Text
                    В. И. СМИРНОВ
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ТОМ ВТОРОЙ
ИЗДАНИЕ ДВАДЦАТЬ ПЕРВОЕ. СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
механико-математических и фиэико-матема?ичвских факультетов университетов
издательство «наука»
iлавная редакция
физико-математической литературы
МОСКВА 19 7 4


517 С 50 УДК 510 @22) 053@1)-74 18-74
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятнадцатому изданию ••.... 8 гл ав A i ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Уравнения первого порядка 9 1. Общие понятия (9). 2. Определение решения по начальному условию. Теорема существования и единственности A1). 3. Урав- Уравнения с отделяющимися переменными A3). 4. Примеры A5). 5. Однородное уравнение A9). 6. Линейные уравнения и уравне- уравнение Бернулли B3). 7. Способ Эйлера — Коши B8). 8. Применение степенных рядов C0). 9. Общий интеграл и особое решение C2). 10. Уравнения, не решенные относительно у' C4). П.. Уравнение Клеро C6). 12. Уравнение Лагранжа C9). 13. Огибающие семейства кривых и особые решения D1). 14. Изогональные траектории D4). § 2. Дифференциальные уравнения высших порядков и системы уравнений 46 15. Общие понятия D6). 16. Графические способы интегрирова- интегрирования дифференциального уравнения второго порядка D8). 17. Урав- Уравнение y<n> — f(x) E1). 18. Понижение порядка дифференциаль- гого уравнения E2). 19. Системы обыкновенных дифференциаль- дифференциальных уравнений E6). 20. Примеры F0). 21. Системы уравнений и уравнения высших порядков F4). 22. Линейные уравнения с частными производными F6). 23. Геометрическая интерпрета- интерпретация F9). 24. Примеры G1). г л А в А и ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами 75 25. Линейные однородные уравнения второго порядка G5). 26. Линейные неоднородные уравнения второго порядка G9). 27. Линейные уравнения высших порядков (80). 28. Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (82). 29. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (85). 30. Частные случаи (86). 31. Корни ре- решений и колеблющиеся решения (88). 32. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами (92>. 33. Линей- Линейные уравнения и колебательные явления (94). 34. Собственные и
4 ОГЛАВЛВНИВ понужденные колебания (96). 35. Синусоидальная внешняя сила ь резонанс (98). 36. Предельные задачц A03). 37. Примеры A05). 38. Символический метод A06). 39. Линейные однородные уравне- уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами A09). 40. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициен- коэффициентами A12). 41. Пример A13). 42. Уравнение Эйлера A15). 43. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициента- коэффициентами A17). 44. Примеры A21). § 4. Интегрирование с помощью степенных рядов 124 45. Интегрирование линейного уравнения с помощью степенного ряда A24). 46. Примеры A27), 4J. Разложение решения в обоб- обобщенный степенной ряд A29)» 48. Уравнение Бесселя A31). 49. Уравнения, приводящиеся к уравнению Бесседя A34). § 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных урав- уравнений 136 50. Метод последовательных приближений для линейных уравне- уравнений A36). 51. Случай нелинейного уравнения A44). 52. Допол- Дополнения к теореме существования и единственности A50). 53. Схо- Сходимость метода Эйлера—Коши A53). 54. Особые точки дифферен- дифференциальных уравнений первого порядка A56). 55. Автономные системы A65). 56. Примеры A67)» ГЛАВА IU КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА § & Кратные интегралы 173 57. Объемы A73). 58. Двукратный интеграл A76). 59. Вычисле- Вычисление двукратного интеграла A79> 60. Криволинейные коорди- координаты A82). 61. Трехкратный интеграл A86). 62. Цилиндрические и сферические координаты A91). 63. Криволинейные координаты в пространстве A95). 64. Основные свойства кратных интегра- интегралов A97). 65. Площадь поверхности A98). 66. Иптегралы по поверхности и формула Остроградского 720П. 67. Интегралы по определенной стороне поверхности B05). 68. Моменты B07). § 7. криволинейные интегралы 211 69. Определение криволинейного интеграла B11). 70. Работа сило- силового поля. Примеры B15). 71. Площадь и криволинейный интег- интеграл B19). 72. Формула Грина B22). 73. Формула Стокса B24). 74. Независимость криволинейного интеграла от пути на плос- плоскости B27). 75. Случай многосвязной области B32). 76. Незави- Независимость криволинейного интеграла от пути в пространстве B34). 77. Установившееся течение жидкости B36). 78, Интегрирующий множитель B38). 79. Уравнение в полных дифференциалах для случая трех переменных B43). 80. Замена переменных в двойном интеграле B44). ? б* Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра 247 81. Интегрирование под знаком интеграла B47). 82. Формула Ди- оихле B49), 83. Дифференцирование под знаком интеграла B52). 84. Примеры B55). 85. Несобственные интегралы B60). 86. Неаб-
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 содютно сходящиеся интегралы B64). 87. Равномерно сходящиеся интегралы B67). 88. Примеры B70). 89, Несобственные кратные интегралы B74). 90. Примеры B78). § 9. Мера и теория интегрирования 283 91. Предварительные понятия B83). 92. Основные теоремы <28б). 93. Счетные множества. Действия над точечными множествами B88). 94. Мера Жордана B91). 95. Квадрируемые множества B93). 96* Независимость от выбора осей B96). 97. Случай любого числа измерений B98). 98. Интегрируемые функции B99). 99. Вычисле- Вычисление двойного интеграла C01). 100. /i-кратные интегралы C14). 101. Примеры C05). 102. Внешняя мера Лебега C07). 103. Изме- Измеримые множества C09). 104. Измеримые функции C14). 105. До- Дополнительные сведения C18). 106. Интеграл Лебега C20). 107. Свойства интеграла Лебега C23). 108. Интегралы от неогра- неограниченных функций C27). 109. Предельный переход под знаком интеграла C31). ПО. Теорема Фубини C34). 111. Интегралы по множеству бесконечной меры C37). ГЛАВА IV ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ДОЛЯ § 10. Основы векторной алгебры .ОД 112. Сложение и вычитание векторов C39). 113. Умножение век- вектора на скаляр. Компланарность векторов C41). 114. Разложение вектора по трем некомпланарнын векторам C42). 115. Скалярное произведение C43). 116. Векторное произведение C45). 117. Со- Соотношения между скалярным и векторным произведениями C47). 118. Скорости точек вращающегося твердого тела; момент век- вектора C49). § 11, Теория поля '. ; ooi 119. Дифференцирование вектора C51). 120. Скалярное поле и его градиент C53). 121. Векторное поле; расходимость и вихрь C57). 122. Потенциальное и соленоидальное поля C60). 123. Направленный элемент поверхности C62). 124. Некоторые формулы векторного анализа C64), 125. Движение твердого тела я малая деформация C66). 126. Уравнение непрерывности C68>¦ 127. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости C70). 128. Урав- Уравнения распространения звука C71). 129. Уравнение теплопровод- теплопроводности C73). 130. Уравнения Максвелла (§75). 131. Выражение оператора Лапласа в ортогональных координатах C77). 132. Опе- Операция дифференцировании дли случая переменного иоля C83). глава v ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ § 12. Кривые на плоскости и в пространстве 338 133. Плоская кривая, ее кривизна и эволюта C8&). 134. Эволь- Эвольвента C94). 135. Естественное уравнение кривой C95). 136. Ос- Основные элементы кривой в пространстве C96). 137. Формулы Френе D00). 138. Соприкасающаяся плоскость D01). 139. Винто- Винтовые линии D02). 140. Поле единичных векторов D04).
в ОГЛАВЛЕНИИ § 13. Элементы теории поверхностей ¦ 405 141. Параметрические уравнения поверхности D05). 142. Первая дифференциальная форма Гаусса D08). 14а Вторая дифферен- дифференциальная форма Гаусса D09). 144. О кривизне линий» начерчен* ных на поверхности D11). 145. Индикатриса Дюпена и формула Эйлера D14). 146. Определение главных радиусов кривизны и главных направлений D17). 147. Ливии кривизны D18). 148. Теорема Дюпена D21). 149. Примеры D22). 150. Гауссова кривизна D24). 151. Вариация элемента площади и средняя кри- кривизна D25). 152. Огибающая семейства поверхностей и кри- кривых D28). 153. Развертывающиеся поверхности D31). ГЛА ВА VI РЯДЫ ФУРЬЕ 0 14. Гармонический анализ 435 154. Ортогональность тригонометрических функций D35). 155. Тео- Теорема Дирихле D40). 156. Примеры D42). 157. Разложение в про- промежутке @, п) D44). 158. Периодические функции периода 24 D49). 159. Средняя квадратичная погрешность D51). 160. Общие ортогональные системы функций D56). 161. Класс LB D61). 162. Сходимость в среднем D62). 163. Ортонормирован- ные системы в%8 D65). § 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье 469 164. Разложение в ряд Фурье D69). 165. Вторая теорема о сред- среднем D74). 166. Интеграл Дирихле D77). 1о7. Теорема Дирих- Дирихле D81). 168. Приближение к непрерывной функции полино- полиномами D83). 169. Формула замкнутости D88). 170. Характер схо- сходимости рядов Фурье D90). 171. Улучшение сходимости рядов Фурье D95). 172, Пример D98). § 16. Интеграл Фурье и кратные ряды Фурье 501 173. Формула Фурье E01). 174. Ряды Фурье в комплексной фор- форме E09). 175. Кратные ряды Фурье E10). ГЛАВА VII УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 17. Волновое уравнение 513 176. Уравнение колебаний струны E13). 177. Решение Да дам- бера E17). 178. Частные случаи E20). 179. Ограниченная струна E24). 180, Способ Фурье E23). 181. Гармоники и стоя- стоячие волны E31). 182. Вынужденные колебания E34). 183. Со- Сосредоточенная сила E37). 184. Формула Пуассона E41). 185. Ци- Цилиндрические волны E45). 186. Случай л-мерного простран- пространства E47). 187. Неоднородное волновое уравнение E49). 183. Точечный источник E53). 189. Поперечные колебания мем- мембран E54). 190. Прямоугольная мембрана E55). 191. Круглая мембрана E59). 192. Теорема единственности E66). 193. Приме- Применение интеграла Фурье Eб9). g 18» Телеграфное уравнение 571 194. Основные уравнения E71). 195. Установившиеся про- процессы E72). 196. Устанавливающиеся процессы E74). 197. При*
ОГЛАВЛЕНИЯ 7 меры E77)* 198. Обобщенное уравнение колебаний струны E80). 199. Неограниченная цепь в общем случае E84). 200. Способ Фурье для ограниченной цепи E86). 201. Обобщенное волновое уравнение E90)» g 19. Уравнение Лапласа 592 202. Гармонические функции E92). 203. Формула Грина E94). 204. Основные свойства гармонических функций E99). 205. Реше- Решение задачи Дирихле для круга F03). 206. Интеграл Пуассона F06). 207. Задача Дирихле для сферы F10). 208. Функция Грина F14). 209. Случай полупространства F16). 210. Потенциал объемных масс F17). 211. Уравнение Пуассона F21). 212. Формула Кирх- Кирхгофа F25). § 20L Уравнение теплопроводности 628 213. Основные уравнения F28). 214. Неограниченный стер- стержень F29). 215. Стержень, ограниченный с одного конца F34). 216. Стержень, ограниченный с обоих концов F39). 217. Допол- Дополнительные замечания F41). 218. Случай сферы F42). 219. Тео- Теорема единственности F45). Алфавитный указатель 649
ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ Общий план настоящего иэдания второго тома тот же, что я в предыдущем издании. Существенные изменения внесены в первые две главы, посвященные дифференциальным уравнениям. Уже в п. 2 пер- первой формулируется теорема существования и единственности решения при начальном условии, и остальное изложение проводится в непо- непосредственной связи с этой теоремой. Значительно расширено содер- содержание § 5 второй главы. В § 9 третьей главы после изложения теории меры Жордана и исследования интеграла Римана излагаются теория меры Лебега, свойства измеримых функций и интеграл Лебега» В связи с этим § 15 шестой главы содержит изложение свойства класса Ц и тео- теорию ортонормированных систем функций этого класса. Первые три главы были прочтены С. М. Лозинским, от которого я получил ряд ценных указаний. Выражаю ему мою глубокую благо- благодарность. В. Смирнов 11 декабря 1964 г.
ГЛАВА ! ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § U УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА I. Общие понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных» содержит еще и производные неизвестных функций или их дифференциалы [I, 51]. Если функции, входящие в дифференциальное уравнение, зависят от одной независимой пере- переменной, то уравнение называется обыкновенным Ъцфф^ренцппмт f уравнение^ Если же в уравнение входят частные производные неиз- неизвестных функций по нескольким независимым переменным, то уравне- уравнение называют дифференциальным уравнением с частными произ- производными. В настоящей главе мы будем рассматривать лишь обыкно- обыкновенные дифференциальные уравнения, и большая часть главы будет посвящена тому случаю, когда 8адано одно уравнение, содержащее одну неизвестную функцию. Пусть х—независимая переменная и у— искомая функция этой переменной. Общий вид дифференциального уравнения будет Наивысший порядок п производных неизвестной функции, входя- входящих в уравнение, называется порядком дифференциального урав- уравнения. В настоящем параграфе мы будем рассматривать одно обык- обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Общий вид такого уравнения будет *>(*, У, /) = 0 (О или, в решенной относительно у форме, /=/(*, у). B) Пользуясь другим обозначением производной, можем записать это уравнение в виде
10 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Если некоторая функция D) удовлетворяет дифференциальному уравнению A) или B), т. е. если это уравнение обращается в тождество относительно х при замене у и у на f(x) и у'(х), то функция D) называется решением этого дифференциального уравнения. Сама задача нахождения решений дифференциального уравнения называется обычно задачей интегри- интегрирования дифференциального уравнения. В простейшем случае, когда правая часть уравнения B) не содержит у, получается дифференциальное уравнение вида /=/(*)• E) Нахождение его решений есть основная задача интегрального исчи- исчисления [I, 86], и все множество этих решений дается формулой F) где С—произвольная постоянная. Таким образом, в этом простей- простейшем случае имеется семейство решений дифференциального уравне- уравнения, содержащее произвольную постоянную. Как мы увидим, и в об- общем случае дифференциального уравнения первого порядка мы будем иметь семейство решений, содержащее произвольную постоянную: y=<t(x,Q. G) Такое семейство решений называется qSmujl ичтырц/мч уравнения. Общий интеграл может выражаться в неявной форме или в форме, решенной относительно О. <К*, У, О = 0 или ш(*, у)=С. G,) Придавая произвольной постоянной С различные численные значения, будем получать различные решения уравнения — так называемые ча- частные решения уравнения. Укажем геометрическую интерпретацию дифференциального уравне- уравнения и его решений. Если рассматривать х и у как координаты то- точек плоскости, то дифференциальное уравнение B) определяет в каж- каждой точке (jc, y)t где определена функция f(x, у), угловой коэф- коэффициент касательной у' к некоторой линии. Искомое решение D) уравнения B) есть такая кривая (в частном случае — прямая), которая в каждой своей точке имеет угловой коэффициент касательной у\ определяемый равенством B). Такая кривая называется интеграль- интегральной Kjntsou дифференциального уравнения. Иначе говоря, понятие решения уравнения B) совпадает с понятием интегральной кривой (в частном случае — прямой) этого уравнения на плоскости ХО К. Общий интеграл G) дает бесчисленное множество интегральных кри- кривых или, точнее говоря, семейство кривых, зависящее от одной про- произвольной постоянной.
g ft 1, УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 11 Положим, что функция /(jc, у) однозначна и непрерывна в неко- некоторой области В плоскости XOY. Пусть линия ? соответствующая решению G), принадлежит этой области, я функция у(х) определена на некотором промежутке / изменения х. Говоря о решении D), мы, согласно сказанному выше, считаем, что <?(х) непрерывна и имеет производную для jc, принадлежащих А Если к промежутку / принад- принадлежит его левый конец, то производная у(х) есть производная справа, а на правом конце — производная слева. Из уравнения C) и непре- непрерывности /(лг, у) непосредственно следует, что и производная у (х) решения непрерывна на /. Во всем предыдущем мы считаем, естественно, что все функция однозначны. Из однозначности у(х) следует, что прямые, параллель- параллельные оси О У, могут пересекать интегральную кривую не более чет в одной точке. Если мы перепишем уравнение B), или C), в виде т. е. будем считать не у функцией от х, а х функцией от у, го прямые, параллельные оси ОХ, могут пересекать интегральные кри- кривые не более чем в одной точке. Пусть интегральная кривая / урав- уравнения B) такова, что не только прямые, параллельные оси О У, но и прямые, параллельные оси ОХ, пересекают ее не более чем в одной точке, т. а в уравнении у = у(х) функция у(х) имеет однозначную обратную функцию x=ty(y). При этом / является и интегральной кривой дифференциального уравнения C,). В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с уравнением вида B). 2. Определение решения по начальному условию. Теорема существования и единственности. Простейшее уравнение E) имеет бесчисленное множество решений, поскольку в формулу F) входит произвольная постоянная* Но нетрудно показать, что мы получим вполне определенное решение уравнения E), если поставим так на- называемое начальное условие, а именно потребуем, чтобы искомая функция у принимала заданное значение уй при заданном значении х = хг Это начальное условие запишем в виде yU-jr# = yi. (8) Действительно, пусть f(x) — непрерывная на некотором промежутке / Функция и точка х = х9 принадлежит А Заменяя в формуле F) неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пре- пределом х в нижним пределом х^ вместо F) получим
12 ГЛ. I ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Первое слагаемое обращается ь нуль при jc = jc0, и чтобы удовле- удовлетворить условию (8), надо положить C=)v Таким образом, уравне- уравнение E) при начальном условии (8) имеет единственное решение у= \f{t)dt+y? Отметим, что это решение имеет место цо всем промежутке L Аналогично, если мы имеем общий интеграл G) какого-либо урап- нения B), то для удовлетворения начальному условию (8) надо опре- определить произвольную постоянную С из равенства Уо = <?(** О- (9) Обратимся теперь к геометрической интерпретации. Положим, что функция f(x, у) определена в некоторой области В плоскости XOY и в этой области однозначна и непрерывна. В каждой точке (х, у), принадлежащей В, из уравнения B) определяется, как мы уже упо- упоминали, угловой коэффициент У касательной к искомой интегральной кривой. Через точку (х> у) проведем небольшой отрезок прямой, образующий с осью ОХ такой угол я, что tga=y, и придадим этому отрезку какое-либо направление (переход к противоположному направлению не изменит tga). Мы видим, что уравнение B) равно- равносильно определению в области В поля напрд&д&ашт т. е. в каждой точке области В уравнение B) определяет некоторое направление. Интегральные кривые уравнения B) суть кривые /, лежащие в обла- области В и обладающие следующим свойством: в каждой точке (xt у) касательная к / имеет направление, определяемое указанным выше полем направлений. Начальное условие (8) сводится к требованию, чтобы интеграль- интегральная кривая проходила через заданную точку (х^уь), находящуюся в В. Приведем теперь геометрические соображения, из которых наглядно, но не строго логичес- логически, следует, что через заданную точку Мо (дг0, у*) проходит одна и только одна интегральная кривая. Разобьем плоскость XOY прямыми (рис. 1), параллельными осям, на малые квад- квадраты так, чтобы точка М* лежала в вершине одного из этих квадратов (это — несу- несущественно). Из точки Мц проводим в направлении возрастания х отрезок прямой МйМг с угловым коэф- коэффициентом у'0=/(Хц, уо) Д° ближайшего пересечения с одной из прямых сетки квадратов. Пусть (xit yd — координаты точки М|. Из Mi проводим в направлении возрастания х отрезок прямой Л^М* — J И4 I h f г Рис. 1.
Ij I I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 13 с угловым коэффициентом y[=f(xlf ух) до ближайшего пересечения с одной из прямых сетки квадратов и т. д. Это построение можно выполнить r в направлении убывания х. Построенная таким образом ломаная линия и представляет приближенно для х, близких к х& искомую интегральную кривую уравнения B), проходящую через точку Af0. Это построение делает весьма вероятным тот факт, что череа всякую точку Мо из В проходит одна я только одна интеграль- интегральная кривая. Это утверждение справедливо и будет дальше доказано, если f(xt у) обладает кроме непрерывности еще некоторым свойством. Положим для определенности, что ? — открытая область, т. е- область, к которой мы не причисляем ее границы (В может быть и всей плоскостью). Имеет место следующая теорема. Теорема А. Если f(x, у) непрерывна и имеет непрерывную частную производную по у в В, то через каждую точку, при- принадлежащую В, проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения B)> Теорема эта, которую мы пока примем без доказательства, назы- называется обычно ^1СпреилЙ сущегтвппащч и единственноетщщиь кия дифференциального уравненцд B) ЦЮ 9пйаммв,и "пиплш\Н(Щ В дальнейшем, для краткости, сформулированную теорему мы бу- будем называть теоремой А. В конце следующей главы мы приведем доказательство этой теоремы и. ряд дополнений к ней. Укажем, как надо понимать утверждение единственности решения при заданном начальном условии. Пусть y = (p,(jt) и у = ^(х) суть два решения уравнения B), удовлетворяющие условию (8), причем первое опреде- определено на некотором промежутке /|t а второе на промежутке /в изме- изменения х, а точка jc0 принадлежит этим промежуткам. При этом на общей части промежутков /, и /9 должно иметь место тождество <Pi (*) = <р« (лг). Предполагается, конечно, что интегральные кривые y = <?i(x) и у=^(х) не выходят из области В, где f(xt у) опре- определена и удовлетворяет указанным в теореме условиям. В следующих разделах мы укажем некоторые частные типы диф- дифференциальных уравнений, интегрирование которых приводится к вы- вычислению неопределенных интегралов или, как говорят, их интегри- интегрирование приводится к квадратурам. Отметим, что вычисление ин- интеграла связано с вычислением площади, откуда и происходит термин «квадратура». При рассмотрении упомянутых частных типов мы при- приведем ряд примеров, на которых мы проиллюстрируем указанные выше соображения, связанные с теоремой А. 3. Уравнения с отделяющимися переменными. Наряду с про- простейшим уравнением E) рассмотрим уравнение
14 ГЛ, I ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Перепишем его в виде dx 1 я для общего интеграла получим формулу Положим теперь, что правая часть уравнения C) есть произведе- произведение функции только от х на функцию только у: Это уравнение можно переписать в виде Пусть д/(дг) — некоторое решение уравнения A0) или, что то же, уравнения (Ю^ Последнее равенство есть равенство двух дифферен- дифференциалов, из которых левый выражается через посредство у (вид диф- дифференциала первого порядка не зависит от выбора переменной [I, 50]). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределенные инте- интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым, т. е. Выполняя квадратуры и решая относительно у, получим общий инте- интеграл уравнения A0). Переход от A0) к A0х) называется обычно от*- блещем (разделением) переменных. В связи с вышесказанным приведем некоторые общие соображе- соображения. Всякое дифференциальное уравнение первого порядка, решенное относительно производной, можно записать в виде 0. A1) Уравнение, записанное в таком виде, не связывает нас выбором неиз- неизвестной функции. За таковую мы можем принять как у, так и х. Пусть М(х9 у) и N(x, у) суть произведения функции только от х на функции только от у, т. е. Taijpe уравнение называется уравнением с отделяющимися пере- переменными [I, 93]. Деля обе части на Ых{х)М%{у\ сотделим пере- менные>:
fl |I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 15 и получим общий интеграл уравнения в виде В дальнейшем мы займемся и общим уравнением A1). Выше мы не уточнили условий, которые надо наложить на функ- функции g(x)> Л (у) и т. д., а также не обсуждали вопроса о преобразо- преобразованиях, которые мы выполняли — например, деление обоих частей уравнения A0) на h(y). Более подробно это выяснится на примерах. 4. Примеры. 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение где а — постоянная, отличная от нуля. Переменные разделяются: откуда \g\y\ = a\g\x\ + \g\C\. или \у\ = \С\\х\*. A3) Интегрируя, мы пишем под знаком логарифма абсолютную величину, принимая во внимание возможность отрицательных величин, и про- произвольную постоянную обозначаем через \g\C\. Уравнение A2) опре- определяет поле направлений на всей плоскости, кроме прямой х = 0. Если мыт перепишем его в виде l x то увидим, что поле направлений определено на прямой х = 0 при у Ф 0; в этих точках направление касательной параллельно оси О К. В точке @, 0) правая часть A2) и A2,) не имеют смысла. Для урав- уравнения A2) имеются две области В теоремы А: левая полуплоскость Jt<^0 и правая *^>0, а для уравнения A2t) — верхняя полупло- полуплоскость ji^>0 и нижняя у<^0. Разберем теперь случаи: в —2, а=\ и а = —1. При а = 2 из A3) следует: у = Сх\ т. е. мь! получаем семейство парабол с вер- вершиной в @, 0), касающихся оси ОХ, и прямую у = 0 (при С = 0), а для уравнения A2j) и прямая х = 0 будет интегральной линией. Через каждую точку плоскости, кроме @, 0), проходит одна и только одна линия семейства, состоящего из упомянутых парабол и осей координат. В точке @, 0), где дифференциальное уравнение не опре- определено, все линии упомянутого семейства встречаются {узлолйяиаоака. !??& интегральных линий). Если бы мы рассматривали только уравнение A2), то из семейства интегральных линий исключилась бы ось OY(x = 0). Везде вдоль
16 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И этой оси» кроме начала, правая часть A2) обращается в бесконеч- бесконечность (теряет непрерывность). Отметим, что все интегральные линии уравнения A2) касаются оси ОХ. При а=\ из A3) следует у = О, т. е. семейство интегральных линий есть семейство всех прямых, про- проходящих через начало. Это семейство включает, как и при а = 2, оси координат. Отметим, что в этом случае интегральные линии урав-' нения A2) (прямые) приходят в начало с различными угловыми коэффициентами. При а = —1 из A3) получаем ,V = j> т. е. се- семейство интегральных линий уравнений A2) и A2,) содержит все равнобочные гиперболы, имеющие асимптотами оси координат, и сами эти оси. Последнее надо понимать так: в начале косрдннпт встре- встречаются положительные и отрицательные части осей координат. 2* Рассмотрим уравнение Переменные разделяются и, интегрируя, получаем / = **» +2G A5) Для уравнения A4), как и в примере 1, имеются две области В теоремы А: верхняя полуплоскость у^>0 и нижняя у<0. При л = —1 получаем дг9-[~У = 2С, т. е. семейство интегральных линий есть семейство всех окружностей с центром в @, 0). Через всякую точку плоскости, кроме @, 0), проходит одна и только одна такая окружность и нет ни одной интегральной линии, которая бы беспре- беспредельно близко подходила к началу. Если рассматривать только уравнение A4), то у надо считать однозначной функцией от х, и всякая окружность будет состоять из двух интегральных линий: верхней части окружности (при у^>0) и нижней (при y<iO). На оси ОХ (при д> = 0 и дг^О) правая часть A4) обращается в бесконечность. В этих точках касательные к ок- окружностям параллельны оси OY. Если переписать A4) при а = —1 в виде то указанная- особенность при у = 0 исчезает, но появляется особен- особенность при дг = О, и надо рассматривать правые части окружности (при х^>0) и левые (при х<^0), на которых х — однозначная функ- функция у, что требуется уравнением A4]). Область В теоремы А для уравнения A4^ будет отлична от той же области для уравнения A4) при а~=— 1, и при применении теоремы А мы должны иметь в ьмду какую-либо определенную запись дифференциального уравнения. Этого
41 I I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 17 мы я будем придерживаться в дальнейшем, если нет специальных ого- оговорок о другой точке зрения. Можно рассматривать совместно A4) и A4Д как мы делали в примере 1. Эта точка зрения проведена в книге И. Г. Петровского «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений» (Москва, 1964). Указанные неудобства при рассмотрении интеграль- интегральных кривых связаны с тем, что мы рассматриваем их уравнения в явной форме: у = <р(х) или x = ty(y). Если перейти к параметри- параметрической форме уравнений интегральных кривых, т. е. рассматривать х и у как функции вспомогательного параметра t, то уравнение A4) заменится системой двух уравнений для двух функций х и у неза- независимого переменного t: dxdy У x Интегрированием систем мы займемся в дальнейшем. Рассмотрим еще уравнение A4) при а=\. Из A5) получпем у* — jc* = 2C. Семейство интегральных кривых содержит все равно- равнобочные гиперболы и их асимптоты у = ±х. 8. Рассмотрим уравнение Здесь поле направлений определено на всей плоскости, правая часть непрерывна и имеет непрерывную* производную по у на всей пло- плоскости и область В теоремы А есть вся плоскость. Через всякую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая, которая на всем своем протяжении не имеет общих точек с другими инте- интегральными кривыми. Переменные в уравнении A6) разделяются, и общий интеграл имеет вид j или (* + О>/ = — 1. A7) Это — семейство равнобочных гипербол, имеющих центр в точках (—С, 0) и асимптоты у = 0 и * = — С. Кроме того, уравнение A6) имеет очевидное решение у = 0. Уравнение A7) дает две интеграль- интегральные кривые (две ветви гиперболы): при — со<*<[ — С при Первые из них при всевозможных С заполняют без пересечений верхнюю полуплоскость (уЪ>0), а вторые —нижнюю (Ч» <Г О>.
18 ГЛ. !. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ \* Решение у = 0 может быть формально получено из A7) следую- следующим образом: во второй из формул A7) заменим С на 1/С и помно- помножим обе части на С, что приведет к формуле (Сх-\-\)у =— С, откуда при С=0 и получаем ^ = 0. Эта прямая вместе с упомяну- упомянутыми гиперболами заполняет без пересечений всю плоскость. 4. Уравнение ? A8) определяет поле направлений, как в примере 3, на всей плоскости. Переменные разделяются, и общий интеграл выражается формулой A9) Это есть семейство кубических парабол, которое получается из па- параллельным переносом вдоль оси ОХ (рис. 2). Уравнение A8) имеет также решение у = 0 (ось ОХ), которое не получается из форму- формулы A9) ни при каком численном значении С. Легко показать, что никаких других реше- dx 1 ний уравнение A8) и уравнение -т- = -я-у"'3 X не имеют. Уравнение A8), как мы уже упо- ~" минали, определяет поле направлений на всей плоскости XOY. Но производная от правой части по yf равная 2у~1/3, не существует (обращается в бесконечность) при д; = 0. Теорема А имеет место в двух раздельных областях: в верхней полуплоскости (j/^>0) Рис. 2. и в нижней (у<^0). Эти области заполнены параболами A9). Через каждую точку (лг0, у0) проходит только одна парабола. При этом постоянная С определяется из уравнения Через точку A(xOt 0), кроме параболы, проходит еще решение j/ = 0 и единственности решения при начальном условии (jc0, 0) нет. Если мы выделим (рис. 2) сколь угодно малый промежуток х0—Ь^ ^х^лГ|)-{-8> то в этом промежутке определены четыре решения урав- уравнения A8): 1) отрезок параболы ВАС; 2) отрезок DAE оси ОХ; 3) линия DAC, состоящая из отрезка DA оси ОХ и отрезка АС параболы; 4) линия ВАЕ, состоящая из отрезка ВА параболы и от- отрезка АЕ оси ОХ. Все эти линии имеют уравнение вида у = у(х)9 где cp(jt) и ср'(jc) — непрерывны (вдоль этих линий угол, образован- образованный касательной с осью ОХ, меняется непрерывно). Эти четыре ин- интегральные линии и только они существуют на промежутке х9 — }Ъ при любом сколь угодно малом фиксированном 8^
ц §1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 19 Кратко говорят, что через точку (х* 0) «в малом» проходит четыре интегральные кривые. Если мы возьмем какую-либо точку (х& у0) в верхней полупло- полуплоскости О>о>0), то через эту точку проходит единственная пара- парабола (Id) и она не пересекается с остальными параболами A9), так что на всем своем протяжении в верхней полуплоскости она не имеет общих точек с другими интегральными линиями уравнения A8) (един- (единственность в верхней полуплоскости). Но если, спускаясь по указан- указанной параболе, дойдем до оси ОХ, то там нам представляется бес- бесчисленное множество возможностей продолжать эту интегральную линию: можно спускаться по той же параболе или идти направо по оси ОХ, а затем подниматься по другой параболе (или идти по оси ОХ, не поднимаясь по параболе), т. е. через каждую точку пло- плоскости не «в малом», а «в целом» проходит бесчисленное множество интегральных кривых. б. Однородное уравнение. Однородной функцией <р (х, у) нуле- нулевого измерения, или просто однородной функцией, называется функ- функция только от отношения у/х, т. е. <р(лг, y)=f(^-\. Характерным является также условие <p(tx, ty) = (p(x, у) [I, 164]. Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида B0) Сохраняя прежнюю независимую переменную х, введем вместо у новую искомую функцию « = ^> откуда У =и + хи'. Преобразуя уравнение B0), придем к уравнению *?-/<«>-* Случай f(u) = u был рассмотрен в [4]. Положим /(ы)^Ёи. Перемен- Переменные разделяются, и, интегрируя, получаем Г du Возвращаясь к прежней переменной, можем написать уравнение семейства интегральных кривых в виде B1) Рассмотрим преобразование подобия плоскости XOY с центром подобия в начале координат. Преобразование это сводится к тому, что точка (х, у) переходит в новое положение *i = kxt Vx = ky (k> 0), B2)
20 ГЛ. Т. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ или, что то же, оно сводится к умножению длины радиуса-вектора всякой точки плоскости на k с сохранением его направления. Если М есть первоначальное положение 1*очки, a Af, — положение той же точки после преобразования (рис 3), то Применяя преобразование B2) к уравнению B1), получим уравнение Рис. 3. которое ввиду произвольности по- постоянной С не отличается от урав- уравнения BIX т. е. преобразование B2) не меняет всей совокупности кривых B1), но лишь переводит одну из кривых семейства B1) в другую кривую того же семейства. Всякая кривая семейства B1) мо- может быть, очевидно, получена из одной определенной кривой этого семейства при помощи преобразования B2), если соответствующим образом выбрать постоянную &. Полученный результат можно фор- формулировать так: все интегральные кривые однородного уравнения могут быть получены из одной интегральной кривой при помощи преобразования подобия с центром подобия в начале координат. у Уравнение B0) можно переписать так: tg*=/(tgfl), где tga — угловой коэффициент касательной, а 6 — угол, образованный радиусом-вектором из на- начала координат с положительным направлением оси ОХ, Таким образом уравнение B0) устанав- устанавливает связь между углами а и в, так что вдоль всякой прямой, проходящей через начало коор- координат, касательные к интегральным кривым однородного уравнения должны быть парал- параллельны между собой (рис. 3). Из этого свойства касательных становится оче- очевидным то обстоятельство, что преобразование подобия с центром подобия в начале координат преобразует интег- интегральную кривую в интегральную же кривую, ибо, при удлинении радиусов-векторов точек кривой в одном и том же отношении, направ- направления касательных на каждом радиусе-векторе не меняются (рис. 4). Рис. 4.
61 I I. УРАВНЕНИЯ ГОРНОГО ПОРЯДКА 21 Если мы применим указанное выше преобразование подобия к ин- интегральной кривой, которая представляет собою прямую, прохо- дяшую через начало координат, то после преобразования мы полу* чим ту же прямую, так что в атом случае у упомянутый выше прием получения интегральных кривых из одной из них неприменим. Пример. Определить кривые, у которых отрезок касательной от точки касания М до пересечения с осью ОХ равен отрезку ОТ оси ОХ (рис. 5). Уравнение касательной имеет вид к-у«* <*-*>. где (Л, У) — текущие координаты касательной. Подставляя К=0, определим след касатель- касательной на оси ОХ: я условие Afrf = 67^ даст нам [I, 77| отк) да иолу чаем дифференциальное уравнение B3) Рис. 5. которое, очевидно, принадлежит к типу однородных, вводим вместо у новую функцию и по формуле Подставив в уравнение B3), имеем 2« XU' + Ы sb ^ da или х dx 1 — и* в переменные разделяются dx 1 — Интегрируя, получаем или, возвращаясь к у, B4) Это — окружности, проходящие через начало координат и касающиеся в этой точке оси ОХ (рис о). Уравнение B3) имеет еще очевидное решение у = 0. Оно может быть формально получено из B4) тем же приемом, который мы применили в примере 3 из [4]. Заменяем в B4) С на ГС, после этого обе части B4) умножаем на С и затем полагаем С = 0. Числитель и знамена* *ель правой части уравнения B3) одновременно обращаются в нуль только
22 ГЛ. Т. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (S в точке @, 0). Через эту точку проходят все окружности и пряная у=0> и в этой точке поде направлений не определено. Если рассматривать только уравнение B3)» то на плоскости имеется четыре области В теоремы А. Они получаются, если на плоскости провести прямые у*в±х. В точках этих прямых знаменатель правой части уравнения B3) обращается в нуль. Во всех этих четырех областях на интегральных кривых у есть однозначная функция дг. Дифференциальное уравнение dJL=f[ «* + »+« \ B5) ёх — 'Къх + Ьу + С)9 к °* как мы сейчас покажем, приводится к-однородному ^ли к уравнению с отделяющимися переменными. Введем вместо х и у новые перемен- переменные 5aif B6) где а я р — постоянные, которые мы сейчас определим* Уравнение B5) в новых переменных будет Определим а и р из условия аа + &р -(- с = 0, При этом уравнение приведется к однородному Преобразованию B6) соответствует параллельное перенесение ко- координатных осей, причем начало координат переходит в точку пере- пересечения прямых O. B7) Полученные в предыдущем результаты будут, таким образом, при- менимы и к уравнению B5), с той лишь разницей, что роль начала координат будет играть точка (о, Р). Если прямые B7) параллельны, то указанное выше преобразова- преобразование не может быть выполнено. Но в этом случае, как известно из аналитической геометрии, коэффициенты в уравнениях B7) должны быть пропорциональны вводя вместо у новую переменную и:
щ f I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 23 получим, как нетрудно видеть» уравнение с отделяющимися перемен- переменными. Ниже мы познакомимся с весьма важным приложением однород- однородного уравнения. в. Линейные уравнения и уравнение Бернулли. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида 0. B8) Рассмотрим сначала соответствующее уравнение без свободного члена Q(x): z-\-P(x)z = 0. Переменные здесь отделяются я мы получим ж = Се~1Р{*ах B9) Заменяем неопределенный интеграл определенным с переменным верх- верхним пределом: X - J P{t)dt z = Ce *• Если имеется начальное условие у\х-я%=у* C0) то С=у9. Для интегрирования уравнения B5) воспользуемся так называемым способом изменения произвольной постоянной Ла- гранжа, а именно — будем искать решение этого уравнения в виде B9): считая только и не постоянной, а искомой функцией от х. Диффе- Дифференцируя, находим Подставив в уравнение B8), получим \Q{) dx окончательно получаем ldx dx]. C1)
24 ГЛ. Т. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ * При определении у по этой формуле надо брать одно из значений неопределенных интегралов \P(x)dx и так как прибавление к ним произвольных постоянных изменяет только значение С Заменяя их определенным интегралом с переменным верхним ripe* делом [I, 96], можем переписать формулу C1) так: X V - J P[u\du х I P(u)da у(х) = е * [С— \ Q(v)e** dv]. C2) Для ясности мы обозначаем переменные интегрирования различными буквами и и v, отличными от буквы х. Если задано начальное значение C0) искомого решения при х = х^ то формула C2) дает вполне определенное решение X V - J Р (в) du х \ Р (в) da у(х)=е 'о [у0— 5 Q(^)^° Во всем предыдущем мы считали» что Р(х) и Q(x) непрерывна в некотором промежутке /, содержащем точку х0. Из C3) вытекает следующий важный факт: решение у (х) существует во всем проме- промежутке 1 изменения х. Из формулы C2) следует, что решения ли- линейного дифференциального уравнения имеют вид C4) т. е у есть линейная функция произвольной постоянной* Пусть у, есть решение уравнения B8> Полагая У=*+*, C5) получим для г уравнение Сумма» стоящая в квадратных скобках, равна нулю, так как, по пред- предположению, ух есть решение уравнения B8). Следовательно, z есть решение соответствующего уравнения без свободного члена и опре- определяется по формуле B9), а тогда: у=Ух + Се-1Р{«ах. C6) Положим теперь, что известно еще второе решение у« уравне- уравнения B8), и пусть это решение получается из формулы C6) при С= <г.
f 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 25 Исключая е-1Р{**я из равенств C6) и C6t), получим выражение всех решений линейного уравнения через его два решения у& и у»: где q _ произвольная постоянная, заменяющая С/а в прежних обо- обозначениях. Из последнего уравнения вытекает следующее соотношение: У— которое показывает, что отношение ^*~у есть величина постоянная, т. е. семейство интегральных кривых линейного уравнения есть семейство кривых, делящих в постоянном отношении отрезок ординаты между какими-либо двумя кривыми этого семейства, Y Таким образом» если известны две интегральные кривые L\ и Ц линейного уравнения» то всякая другая интегральная .кривая L определяется постоянным значе- значением отношений (рис. 6) Рис. 6. = Tfjt ~С? Щ) '" В силу этого равенства хорды А\Вь АВ и A^Bi должны или пере- пересекаться в одной точке, или быть параллельными. При беспредельном приближении отрезка ординаты ВгВ% к отрезку А{А± направление бтих хорд перейдет в направление касательных к кривым в точках A\t А и А* и мы получаем следующее свойство касательных к инте- интегральным кривым линейного уравнения: касательные к интеграль- интегральным кривым линейного уравнения в точках пересечения этих кривых прямой, параллельной оси OY, или пересекаются в одной точке, или параллельны. Пример. Рассмотрим процесс устанавливающеюся переменного тока в цепи с самоиндукцией. Пусть / — сила тока, v — напряжение, /?—сопро- /?—сопротивление цепи и Z — коэффициент самоиндукции. Имеет место соотношение для I получаем динейное уравиенле di R v
26 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !* Считая /? и L постоянными и v —заданной функцией времени t% вычисляем интегралы, входящие в формулу C3): t t t t \Pdt Обозначив через /ф начальное значение /, т. е, значение силы тока при t = 0, получим, согласно C3), формулу для определения i в любой момент времени 2: f veT'dt). При постоянном напряжении v будем иметь ft При возрастании t множитель е L быстро убывает» и практически через короткий промежуток времени процесс можно будет считать устано- установившимся, причем сила тока определяется по закону Ома: /= ~. В частности, при @ = 0 подучим формулу -Я-~т<) для силы тока при замыкании цепи. Постоннную I//? называют временной постоянной рассматриваемой цепи. Рассмотрим напряжение v синусоидального характера v я A sin «of. Со- Согласно формуле C3), получим Ни Нетрудно видеть, что и, следовательно, R о Подставляя в выражение I, подучим C8)
q 11. уравнения первого порядка 27 -г' Первое слагаемое, содержащее множитель е L , быстро затухает, и практически через короткий промежуток времени после * = 0 сила тока будет определяться суммой двух остальных слагаемых формулы C8). Эта сумма представляет собою синусоидальную величину той же частоты <•>, что в напряжение vt но с другими амплитудой и фазой. Заметим также, что эта сумма, дающая установившийся процесс тока, не зависит от начального зна- значения тока /0. Обобщением линейного дифференциального уравнения B8) является уравнение Бернулли: y' + P(x)y-\-Q(x)ym = 0t C9) причем показатель степени т можно считать отличным от нуля и еди- единицы, так как в этих случаях уравнение будет линейным. Делим обе части на ут: в вводим вместо у новую искомую функцию и: и = /Л vt = A — т) у~ту\ При этом уравнение приведется к виду где т. е. подстановкой и=ух~т уравнение Бернулли C9) приводится к линейному и интегрируется затем как линейное. Отметим, что интегрирование дифференциального уравнения вида = 0, D0) которое называется уравнением Рикатти% не приводится при про- произвольных коэффициентах к квадратурам. Его можно привести к ли- линейному уравнению, если известно его какое-либо частное решение. Действительно, пусть ух(х) — решение уравнения D0), т. е. y't + PWyi + QWy'i+RW^O. D1) Введем в уравнение D0) вместо у новую искомую функцию и по формуле Подставляя в D0) и принимая во внимание равенство D1), получим Аля |/ линейное уравнение вида Общий интеграл этого уравнения имеет вид
28 ГЛ. !. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Подставляя это выражение и в написанное выше равенство для у, получим общий интеграл уравнения Рикатти в виде 7. Способ Эйлера —Кош и. В |2] мы указали приближенное по- построение интегральной кривой уравнения /=/(*> У) D2) при начальном условии у\ЯятЛ9 = у%> D3) Этот прием можно упростить, употребляя вместо сетки квадратов лишь прямые, параллельные оси OY. Получающийся таким путем прием приводит к сравнительно простому и практически удобному способу приближенного вычисления ординаты у искомой интегральной кривой при заданной абсциссе. На- Нанесем на плоскости последователь- последовательность прямых, параллельных ОУ: jc == jcо, хzzz.x±, Jc^^JCj, •••> при* чем xt<х,<*,<... Пусть Мй(Хъ уо)— начальнзя точка интегральной кривой (рис. 7). Из нее проводим луч с угловым коэффициентом /(jc0, ye) до пере- пересечения его в точке М\ с прямой х — хх. Пусть у! —ордината М{. Она определяется из соотношения У 0 М,(Х хо N X, хз X ибо отрезки MQN и NMX выра- выражаются числами хг — хч и ух — у0, а тангенс угла NM^MX по построению равен f(x^ y0). Из точки М\(хь ух) проводим луч МхМъ с угловым коэффициентом f(xit ),) до пересечения его в точке М% с прямой х = х%. Ординаты у9 точки пересечения определяются из соотношения П — У1 = / (*i> Ух) {*% — ПО- ПОТОЧНО так же, исходя из точки М%(хь у4), можно определить следующую точку Мг(х* уа) и т. д. Положим теперь, что нам надо при заданном значении х опреде- определить значение у решения уравнения D2), удовлетворяющее началь- начальным условиям D3). В силу сказанного выше» для этого надо посту- поступать так: промежуток (лг0, х) разбиваем на отдельные части ****** «г*"" ir ^ *• S* **"" v <¦*"' v ^ у ?АЛ\
Т 1 } УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 29 и последовательно определяем ординаты уьуь "чУп-х™* формулам: Л—Л =/(*!. Ух){х% — . D5) Уп-г) (*„_! — . При указанных в [2] условиях относительно свойств функция f(x> y\ если число промежутков увеличивается, а каждый из них стремится к нулю, то величина У, получаемая из формул D5), будет стремиться к истинной ординате у искомой интегральной кривой, если заданное значение х достаточно близко к начальному х0 [см. 53]. Складывая равенства D5) почленно, найдем без труда Л)(*! — *•>+ /(*!¦ Л)С*1 —*i) + ...+ (х — хпЛ D6) В простейшем случае уравнения y'=f(x) написанная формула будет иметь вид л-1 1-0 что, как известно [19 87], дает приближенное выражение для величины Я+ т. е. для решения данного уравнения. Вычисление по формулам D5) производится в следующем порядке. Первая из формул D5) дает разность (уг-ту*). Складывая ее с у* получаем вторую ординату ух и с помощью второй из формул D5) находим разность (у* — ух\ Складывая эту последнюю с уи получаем третью ординату у» и с помощью третьей из формул D5) находим разность у% — у% и т. д. Прибавляя все эти разности к у0, находим Y. Мы вернемся еще к этому методу в следующей главе. Пример. Применим указанный приближенный метод к уравнению при условии у@)=1. Разделяя переменные и интегрируя, убедимся в том, что искомое решение выражается формулой
ЗФ ГЛ. I, ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Прж шргаенении формул D5) будем считать, что 0, 1 (*-1, 2, ...). 0, 0,1 0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ,005 1,0151 1,0303 1,0509 ,0772 ,1095 ,1483 1,1942 0 0,05 0,1005 0,1523 0,2061 0,2627 0,3232 0,3883 0,4593 0,5374 0 0,005 0,0101 0,0152 0,0206 0,0263 0,0323 0,0388 0,0459 0,0537 1 1,0025 1,0100 1,0227 1,0408 1,0645 1,0942 1,1303 1,1735 1,2244 В прилагаемой таблице приведены результаты вычислений с округлением в последнем знаке. Первый столбец содержиг величины дг, второй—соответ- второй—соответствующие им величины у, третий — значения ху/2, четвертый —разности Ду«.?±.0,1, наконец последний — значения ординат точной интегральной кривой При х=0,9. ошибка, как видно из таблицы, меньше 0,031, т. е. соста- составляет приблизительно 2,5%. 8. Применение степенных рядов* Дифференциальные уравнения интегрируются в квадратурах лишь в исключительных случаях. В связи с этим, кроме указанного в [7] метода приближенного интегрирова- интегрирования уравнения, применимого в весьма широком классе случаев, изло- изложим еще метод степенных рядов. При его применении будем пред- предполагать, что правая часть уравнения D2) имеет в точке (лг0, у0) и ее окрестности производные всех порядков по х и у. Итак, рассмотрим уравнение D2) с начальным условием D3). Под- Подставляя в правую часть D2) x*=Xq, у =у& получим значение уо про- производной у по х при х^Хр Дифференцируя D2) по х, при пред- положении, что у — искомое решение, получим уравнение Подставляя в его правую часть х — х& у =J>o и У =Уо> определим значение yl второй производной у" при х = х& Дифференцируя на- написанное выше равенство еще раз по х, получим, как и выше, зна- значение у'ъ производной третьего порядка У" при х=*х0 и т. д. Если функция f(x, у) дифференцируема сколько угодно раз, мы сможем определить произведение всех порядков от .у при х = х0 и тем самым построить ряд Тейлора 1(х-хо)* + ... D7)
$) I I» УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 31 Возникает вопрос о сходимости этого ряда. Доказывается» что если правая часть уравнения D2) представляет собою ряд, располо- расположенный по целым положительным степеням разностей * — х0 и у—у* [I 161]: р. *-о сходящийся, если абсолютные значения этих разностей достаточно малы, то функция f(x, у) дифференцируема сколько угодно раз при значениях хну, достаточно близких к х0 и уф ряд D7) сходится при всех ху достаточно близких к х& и его сумма у есть решение уравнения D2), удовлетворяющее условию D3). Вместо указанного приема постепенного определения производных при х = х0 можно применить и другой прием, а именно метод не- определенных коэффициентов. Подставим в обе части уравнения D2) вместо у степенной ряд с неопределенными коэффициентами У=Уо+*Лх-х*) + *г{х-Хь? + .-- D8) Располагая правую часть по степеням (х — х0) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (jc — x0), сможем опреде- определить постепенно коэффициенты аь аь ... Ряды D7) и D8) будут совпадать, как в этом нетрудно убедиться. Пример. Найдем решение уравнения У'-f, D9) удовлетворяющее начальным условиям b E0) в виде степенного ряда причем мы взяли свободный член равным единице, в силу начального усло- условия E0). Дифференцируем этот ряд: Подставляем полученные выражения вместо у и у' в уравнение D9): x
32 ГЛ. I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и в правой частях, получим приведенные в табличке соотношения. Отсюда ясно, что х9 X* Xя 1 i 3*3 = у ai 1 4а4 =¦ 2" а» 1 1 I т. е. окончательно [I, 126J 9. Обший интеграл и особое реше- решение. Выше мы определили общий инте- интеграл, как решение дифференциального уравнения, содержащее произвольную постоянную. Пусть точка (хф у0), входящая в условие D3), принадлежит области В теоремы А. Изменяя в начальном условии значение уф мы получим бесчисленное множество решений уравнения D2), и j/0 может играть роль произвольной постоян- постоянной. При рассмотрении примеров дифференциальных уравнений мы получали общий интеграл, в который произвольная постоянная вхо- входила не как начальное значение у. Понятие общего интеграла, строго говоря, нуждается в дополни- дополнительных разъяснениях. Мы не будем этим заниматься, поскольку естественной основою теоретического исследования дифференциальных уравнений является упоминаемая нами выше теорема А. Кроме того, весьма редко удается выразить общий интеграл через элементарные функции или квадратуры. Естественно понимать под общим интегра- интегралом такое решение дифференциального уравнения D2), содержащее произвольную постоянную, из которого можно получить все решения, определяемые теоремой А при начальных условиях (хф уо)> запол- заполняющих какую-либо область плоскости XOY. Если общий интеграл получен в неявной форме г, у, С) = 0, E1) то соответствующие значения С определятся уравнением Ф(*о. У» 0 = 0. Пусть имеется общий интеграл уравнения D2) в виде, разрешенном относительно С: ©(дг, у)=С E2) В таком виде он получался для уравнения с отделяющимися пере- переменными. Функция <о(х, у) или равенство E2) называются обычно интегралом уравнения D2).
ц |1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 33 При подстановке в эту функцию вместо у какого-либо частного решения уравнения D2) мы должны получить постоянную величину, т. е. интеграл уравнения D2) есть такая функция хиу, полная производная которой по х равна нулю в силу уравнения D2). Беря полную производную по х от обеих частей уравнения E1), получим [1, 69) fr ( у) ^ <*»(*, У) у я 0 или, поскольку у есть по предположению решение уравнения D2), заменяя у' на /(jc, у), получим ^ E3) Функция &(х> у) должна удовлетворять этому уравнению незави- независимо от того, какое именно решение уравнения D2) мы подставляли в эту функцию. Но в силу произвольности начального условия D3) в теореме существования и единственности значения х и у могут быть какие угодно, если мы берем все решения уравнения D2), т. е. функция <д(х, у) должна удовлетворять уравнению E3) тожде- тождественно относительно хиу. Покажем, наконец, каким образом можно проверить решение уравнения D2), когда оно дано в неявной форме Щ(х>у) = & E4) Как и выше, получаем уравнение ) E5) причем это соотношение должно быть выполнено во всех точках кри- кривой E4), т. е. равенство E5) должно быть выполнено не обязательно тождественно относительно х и у, но лишь в силу равенства E4). Рассмотрим, например, уравнение у 2ху * Нетрудно видеть, что окружность есть решение этого уравнения. Действительно, в данном случае /(*. У)- ^ У » ah(*. jO равенство E5) имеет вид =^.0, х. е. ! * оно очевидно выполняется в силу уравнения окружности. Покажем, что общий интеграл данного дифференциального уравнения будет
34 ГЛ. I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Подставляя в E3) оМ*, у) = х*+ху*—х, получим и непосредственно видно, что это равенство выполнено тождественно при всяких х в у. Уравнение D2) может иметь решения, которые и не заключаются в семействе общего интеграла, т. е. не могут быть получены из фор- формулы E1) ни при каком частном значении С. Такие решения назы- называются обычно особыми решениями. В качестве примера рассмотрим уравнение A8) и его общий интеграл A9). Решение _у = 0 уравне- уравнения A8) не заключается в семействе A9). Как мы видели, через каждую точку решения у = 0 проходит несколько интегральных кривых. Решения, которые принадлежат области В теоремы А, мы не называем особыми. Обычно особыми решениями называют такие интегральные кривые, в каждой точке которых йе выполнены усло- условия теоремы существования и единственности. Они не получаются, обычно, из общего интеграла ни при каком численном значении С. В дальнейших примерах мы еще вернемся к ним. Но, как мы и выше указывали, основой дальнейшего будет служить теорема А. 10. Уравнения, не решенные относительно у\ Теория диффе- дифференциальных уравнений, не решенных относительно у': Ф(^>^У) = 0, E6) является значительно более сложной. Решая это уравнение относи- относительно Уf мы получим уравнение вида D2), но функция f(x, у) может быть и многозначной. Мы ограничимся в общем плане тем случаем, когда левая часть E6) есть многочлен второй степени относительно у': у'* + 2Р (jc, у) У -J- Q (х, у) - 0, E7) причем будем считать, что Р(х,у) и Q(*,у) — многочлены от х ну. Решая относительно у\ получим у = _ р (Xt у) ± VR(x,y), E8) где R(x,y) = [P (х, у)]* - Q (х, у), E9) Мы можем иметь одну или несколько областей В на плоскости XOY, в которых R(x, y)>0. В этих областях формула E8) определяет два различных дифференциальных уравнения (два различных знака у радикала). Правая часть каждого из них непрерывна ъ В ц имеет непрерывную частную производную по у. Согласно теореме А через всякую точку М в области В проходит две и только две интеграль- интегральные кривые, причем эти кривые в точке М не касаются, ибо они в этой точке имеют различные значения у\ разность которых равна
* I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 35 2Kft(*' УУ Никаких решений, помимо тех, которые получаются по теореме А, в области В нет (нет особых решений). В тех частях плоскости, где R(x,y)<0, уравнение E8) не дает вещественных значений у' (нет поля направлений), и никаких интегральных кривых там нет. Наконец рассмотрим уравнение R(x, у)=*0. F0) Оно может определять одну или несколько линий (границы обла- областей В> если последние существуют). Эти линии могут быть инте- интегральными кривыми уравнения E7), но могут и не быть таковыми. Мы не будем рассматривать более сложных случаев уравнений, де решенных относительно у\ Пример 1. Рассмотрим уравнение, отличное по типу от E7), F1) Для него имеются две области Bt, ?f—внутренние части полос между пря- пряными Jf=0 иу=,±а. Отметим, что границы у—о и у=—о суть реше- решения уравнения F1). В уравнении F1) переменные отделяются; интегрируя, получим (x-Q*+y*~a\ F2) т. е. семейство окружностей с центром на оси ОХ и радиусом а. В упомя- упомянутых областях мы имеем два дифференциальных уравнения F1), и фор- формула F2) есть общий интеграл для обоих этих уравнений. В каждой точке Рис. 8. ¦э Bi пересекаются две окружности семейства F2). Прямые у**±а суть особые решения уравнения F1) (рис. 8). Через каждую точку этих прямых проходит ев малом» четыре интегральные кривые уравнения F1) (ср. при- «Р 4 из [4J), На частях плоскости у>а и ><—а дифференциальное урав- *«не F1) не определено. Если точка (д^, у0) лежит внутри Bif то при подстановке ж—х^% у=у9 «Уравнение F2) получится квадратное уравнение для С. Корни этого урав- ?«¦ Дадут те значения С, при которых две окружности F2) проходят через JT^ **#• Л). Как мы упоминали, формула F2) есть общий интеграл обоих ГР*вненнй F1) и эти два уравнения в известном смысле естественно связаны щежДУ собою. На оси у—О окружности касаются.
36 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (И Пример 2. Рассмотрим еще одно уравнение, принципиально отличное от уравнения примера 1: / — *уг=:0. F3) Левая часть разлагается на множители у(у' —х) = 0, и уравнение F3) рав- равносильно совокупности двух уравнений / = 0 и у' = *» имеющих общие интегралы у = С и у = Мы можем, совершенно искусственно, объединить их в один общий интеграл Это —общий интеграл уравнения F3). Но это последнее уравнение является по существу сискусственныы> объединением уравнений у = 0 и у' = х. К каждому из них применима теорема А, причем областью В для них обоих ¦вляется вся плоскость ХОУ. Формула F3t) является «искусственным» объединением общих интегралов упомянутых уравнений. Отметим, что функ- ция у = 0 при дг^О и у = у ПРИ X^Q является решением уравнения F3). При переходе через значение jc = O значения у и у изменяются непре- непрерывно. Эта интегральная линия составлена из решений уравнений/ = и и Мы переходим теперь к изучению двух типов дифференциальных уравнений, не решенных относительно /. 11. Уравнение Клеро. Предварительно введем одно новое поня- тве. Заменяя в дифференциальном уравнении D2) или F6) у' произ- произвольной постоянной Ct, получим семейство линий f(x, у) = Сг или Ф(*, у, С,) = 0. F4) Каждая линия этого семейства есть геометрическое место точек пло- плоскости, которым отвечает одно и то же направление касательной к интегральным кривым. Это семейство называется семейством изо- изоклин, или семейством линий равного уклона поля направлений, опре- определяемого дифференциальным уравнением. Для однородного уравнения [5] изоклинами были прямые, прохо- проходящие через начало координат. Посмотрим, в каких случаях изоклина является интегральной линией уравнения, т. е. дает решение уравнения. Возьмем какую-ни- какую-нибудь изоклину Ф(дг, у, 4) = О, соответствующую частному значению Ci = b. В точках этой изоклины дифференциальное уравнение дает одно и то же направление каса- касательных, и именно мы имеем / = Ь. Для того чтобы изоклина была и решением, необходимо и достаточно, чтобы угловой коэффициент касательной к изоклине во всех ее точках был также равен Ь% откуда
Ill I 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА -37 непосредственно видно, что из(?клина должна быть прямой с угловым коэффициентом bt ибо из / = * вытекает, что у = Ьх-\-с> где с — некоторая постоянная. Итак, изоклина будет решением уравнения только в том случае, когда она есть прямая и когда направле- направление этой прямой совпадает с тем постоянным направлением ка- касательных, которое определяется дифференциальным уравнением § точках этой изоклины. Переходим к первому типу уравнений, не решенных относи- относительно у'. Уравнением Клеро называется уравнение вида у = */ + ?(/). F5) Семейство его изоклин определяется уравнением у = хСх + 9(Сху F6) 0се изоклины — прямые линий, и угловой коэффициент С\ каждой из них есть та постоянная, которая заменила у', т. е. направление прямых F6) в каждой их точке совпадает с направлением касательных, которое определяется дифференциальным уравнением в точках этой Прямой. Вспоминая сказанное выше, можем утверждать, что каждая из прямых F6) есть и решение уравнения F5), т. е семейство изо- изоклин F6) есть в то же время в семейство общего интеграла уравне- уравнения F5). Укажем теперь другой способ получения общего интеграла урав- уравнения F5), причем этот способ даст нам не только общий интеграл, во и особое решение уравнения F5). Обозначая/=р, перепишем уравнение F5): F5,) Дело сводится к нахождению р как функции от х\ р= ш (х) так, итобы при подстановке р = ш(х) в правую часть F5|) получить для у такую функцию от ху производная которой / была бы равна: у =р=ц>(ху Взяв дифференциалы от обеих частей F5|) и полагая слева dy=ydx—pdxt получим дифференциальное уравнение пер* *ого порядка для р: pdx=pdx+xdp + q>'(j>)dp или (х + <р'(р))А> = 0. Приравнивая нулю каждый из множителей, мы получаем два слу- случая. Случай rf/? = 0 дает р=С, где С—произвольная постоянная; подставляя р = С в уравнение F5^ получим опять общий инте- интеграл F6). Во втором случае мы имеем уравнение •включая р из двух уравнений = О,
88 ГЛ. I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ fit получим решение уравнения F5), уже не содержащее произвольной постоянной. Это решение обычно является особым решением урав- уравнения. К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, в которых требуется определить кривую по заданному свойству ее касательной, Г1 причем свойство это должно отно- относиться лишь к самой касательной» но не к точке касания. Действительно, уравнение касательной имеет вид У-у=/(Х-х) или я всякое свойство касательной выражается соотношением между (у — х/) и /: Рис. 9. Решая его относительно (у — ху\ придем к уравнению вида F5). Прямые линии, образующие общий интеграл уравнения Клеро, оче- ридно, не представляют интереса в смысле ответа на задачу, в этот ответ будет даваться особым решением уравнения. П pi мер 1. Уравнение имеет общий интеграл у = Исключая р из уравнений подучаем решение пению совпадающему с данным, формулу F0). Прямые общего интеграла образуют семейство касательных к параболе у»—j-. Пример 2. Найти такую кривую, чтобы отрезок ТХТ% ее касательной между координатными осями имел постоянную длину а (рис. 9). Определяя из уравнения касательной следы ОТХ в ОТШ касательной на координатных осях, составим без труда дифференциальное уравнение искомой кривой 1+7" хг —~. Оно получается также, если применить к ура в» или Общий интеграл его аС F7)
щ | I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 39 представляет собой семейство прямых линий, длина отрезка которых между координатными осями равна о. Особое решение получится в результате исключения р из уравнения 4 уравнения которое приводится к виду Х± Полагая р = tg ?, подучим ш us уравнения F8) для у будем иметь у s= 2 Возводя два последних равенства в степень -- и складывая почленно^ о «СКЛЮЧИМ f г. е. искомая кривая есть астроида, о которой мы говорили в fl, 80]. Прямые F7) образуют семейств?) касательных к ней (рис. 9). 12. Уравнение Лагранжа. Уравнением Лагранжа называется уравнение вида y=^PiOO+*(/X F9) причем мы считаем ?i(/) отличным от у, так как при <Pi(/) = V »ы нолучаем уже разобранное уравнение Клеро. Применим к уравнению F9) тот же метод дифференцирования, что и к уравнению Клеро. Обозначая у=р, перепишем уравнение * виде у=хъ(р) + ъ(РУ G0) Ваяв дифференциалы от обеих частей, находим уравнение первого порядка для р: Д*ля на dp, получим уравнение g Oi G0 которое является линейным дифференциальным уравнением, если счи* **ть х функцией от р. Деля обе части его на коэффициент
40 ГЛ. !. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ П* l?i(p)—Pi» приведем его к виду B8) и получим его общий интеграл в виде х=Ь(Р)С+ЫР)- G2) Подставляя это выражение х в уравнение G0), получим для у уравнение вида У Ь(Р)С+Ь(Р\ G3) Формулы G2) и G3) выражают хну через произвольную по- постоянную С и переменный параметр р, т. е. дают параметрическое представление общего интеграла уравнения Лагранжа. Если исключим «з уравнений G2) и G3) параметр р, то получим обычное уравнение для общего интеграла. Изоклины уравнения F9) прямые: Если вначение d таково, что <p1(Ci)=Ci, то эта формула дает реше- решение уравнения F9), что легко проверить и непосредственна Пример. Для уравнения f 0, ядн у^-дг^/^5^. G4) Формула F0) дает у = х\ и эта функция не есть решение уравнения, так что это уравнение не имеет особых решений. Область В теоремы А есть внешность параболы у = х% (у < jcs). Решая уравнение относительно у, при- приходим к уравнению вида F§Х и-уравнение G1) в этом примере имеет вид 3pdx + Bx + 2p)dp=Q. G5) Деля на dpy приходим к линейному уравнению Поступая, как указано выше, получаем *' л j> 2Cp1'* I р\ G6) Изоклины уравнения G4) суть: >= — 2С,дг — CJ, и при — 2С, = Сит. е. при Ci = 0, получаем решение у = 0, которое не может быть получено из формул G6) ни при каком численном значении С. Но оно не является и .особым решением, ибо уравнение G4), как мы видели, не имеет особых решений. Это решение у = 0 потеряно в результате деления уравнения G5) на dp. Вдоль указанного решения dp = dysO, и переменная/? не может быть независимой переменной, как это мы считаем в уравнении G5.). Отметим, что точка @, 0) лежит на параболе у = х\ так что области В принадлежит не вся ось ОХ (у = 0), а два луча дг>0 и х<0, т. е.у(дг) = О при х > 0 и у (х) а= 0 при х < 0. Формулы G6) дают при всяком фиксиро- фиксированном С две интегральные кривые: одна получается при — со</><0, и другая при 0</»<+оо. Этим исчерпываются все решения уравнения G4), кроме уг=О. Если задана точка Af#(x» уД причем ж?— ушХК то для р в этой точке получаем два значения: р# = — х$±. V А—у+в одно из урав- уравнений G6) дает два значения С, соответствующих интегральным кривым, проходящим через точку Мг Для точки (дг#, 0) (хоф0) получаем /?t — G и />t»—2дгг Первому значению соответствует решение > = 0.
$ 1 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 41 13. Огибающие семейства кривых я особые решения. Мы имели дое два примера, в которых» кроме общего интеграла, были полу- полусны и особые решения. В примере из [10] общий интеграл пред- представлял собою семейство окружностей (*-О«+у* = а« G7) сдентрами на оси ОХ и фиксированным радиусом о. Особыми реше- ифми являлись две прямые у = ±а, параллельные оси ОХ. Прямые эта в каждой своей точке касаются одной из окружностей семей* ства G7) (Рис* &)» В примере из [11] общий интеграл представлял собою семейство прямых, длина отрезка которых между координат- координатными осями равна заданной величине о, а особое решение представ- лило собою астроиду, касающуюся во всех своих точках одной из указанных прямых, т. е. упомянутое семейство прямых являлось семей- семейством касательных для этой астроиды. Эти примеры естественно приводят нас к понятию огибающей данного семейства линий. Пусть дано семейство линий ¦ (* У* 0 = 0, G8) до С—произвольная постоянная. Огибающей этого семейства ййзывается линия, которая во всех своих точках касается раз- различных линий семейства, т. е. имеет в каждой своей точке ка- касательную, общую с линией семейства G8), проходящей через ту же точку. Выясним правило нахождения этой огибающей. Прежде всего определим угловой коэффициент касательной к линии семейства G8). Дифференцируя равенство G8) и принимая во внимание, что у есть функция от х, а С — постоянная, получим откуда ду Приложим, что искомое уравнение огибающей будет R(xt y) = 0. (80) МИ можем считать, что неизвестная нам пока левая часть этого урав- ^яи*» т. е. /? (х, у), имеет вид i|> (xt yt С), где только С не постоян- **% а какая-то неизвестная пока функция от х и у. Действительно, **» любой функции R(xt у) мы можем написать равенство «(*, У) ty (*. У. С) дх dx — дх , С) ,О
42 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (IS которое и определит нам С как функцию от х и у. Итак, мы можем искать уравнение огибающей также в виде G8), считая только С не постоянной, а искомой функцией от х и у. Беря дифференциал от обеих частей уравнения G8), мы получим, принимая во внимание, что С уже не постоянная: С> dx+ а*<у С> dy+ **(х$ °> dC=0. (81) У искомой огибающей угловой коэффициент касательной dyjdx должен быть по условию таким же, что и у кривой семейства G8), проходящей через ту же точку, т. е. равенство (81) должно дать для dy/dx прежнее выражение G9), а это будет иметь место лишь в том случае, когда третье слагаемое в левой части формулы (81) будет равно нулю, т. е. ?* ^с*—-dC=0. Возможность Л7=0 дает по- постоянную С, т. е. дает опять кривую семейства, а не огибающую, и следовательно, чтобы получить огибающую, мы должны положить Это уравнение и определит нам С как функцию от (х, у). Подставляя это выражение С через хну в левую часть равенства G8), получим искомое уравнение огибающей (80), т. е. уравнение огибающей се» мейства G8) может быть получено исключением С из двух уравнений: t(JC, у. С) = 0, ^(У Q=0, (82) Когда мы двигаемся по огибающей, то мы касаемся различных линий семейства G8)9 каждая из которых определяется своим значением постоянной С, таким образом, становится наглядно понятным тот факт, что мы искали уравнение огибающей также в виде G8), считая только С переменным. Вернемся теперь к особым решениям дифференциального уравне- уравнения. Положим, что G8) есть семейство общего интеграла дифферен- дифференциального уравнения Ф(х, у, /) = 0, (83) т. е. что на любой линии семейства G8) координаты (х, у) и угло- угловой коэффициент касательной / удовлетворяют уравнению (83)> В каждой точке огибающей х, у и у будут совпадать с таковыми же величинами некоторой кривой семейства G8), т. е. х, у и у огибающей будут также удовлетворять (83). Итак, огибающая семей* ства общего интеграла есть также интегральная кривая урав* нения. Таким образом, если ф(дг, у, С) = 0 есть общий интеграл урав» нения (83), то исключение С из уравнений (82) приводит нас в не-
I I. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 43 которых случаях к особому решению. Мы оговорились здесь, добавив <в некоторых случаях» (а не всегда), из следующих соображений. В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии G8) имеют касательную, поэтому, если мы исключим С из уравнений (82), то можем получить не только огибающую, а также и совокупность всех особых точек кривых семейства G8), т. е. геометрическое место тех точек кривых G8), в которых эти кривые* не имеют определенной касательной [I, 76]. Кроме того, иногда случается, что сама огибающая входит в состав семейства линий G8). Мы не останавливаемся на строгом изложении теории огибающей и особых решений. Такая теория должна быть тесно связана с теоремой суще- существования и единственности, о которой мы упоминали в [2], и ограничимся выяснением вопроса на некото- некоторых примерах. Ь Будем искать огибающую семейства окружностей F2) Уравнения (82) имеют в данном случае вид (ж —C)f+/«=«¦» — 2(лг-С) = О. Еторое уравнение дает С = д% и, подставляя его в первое уравнение, получаем ул=*аш, т. е. совокупность двух прямых у=±а, что мы имели и раньше. % Общий интеграл уравнения Клеро у = х/ + <р (/) будет Огибающая получится исключением С из двух урав- уравнений j> = *C + f(C), 0 = *+<p'(C). Эти уравнения совпадают с уравнениями из [11] с несу- несущественной заменой буквы р на букву С, т. е. мы полу- чтга прежнее правило нахождения особого решения ураияения Клеро. #Jl Кривая у* = х* представляет собою так называгмую полукубическую параболу (рис. 10). Двигая ее параллельно оси О К, получим семейство таких полукубических парабол: р Каждая из этих кривых имеет острие на оси О К, и в этом острие имеется с правой стороны касательная, параллельная оси ОХ. Уравнения (82) * данном случае имеют вид Исключая С, получаем .г = 0, т. е. ось ОУ. В данном случае эта ось ОК является огибающей семейства, а геометрическим местом особых точек вд семейства. Рассмотрим семейство кривых
44 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПА При Сф0 это есть парабола, а при С = 0— ось ОХ. Уравнения ($2) имеют вид у = С(х-С)\ (jc — С)(лг-ЗС) = 0. Второе уравнение дает С = х или С = удг. Подставляя в первое урав- уравнение, получим или .у = 0, «иди у = 97^*' Первая линип У = 0 есть ось ОХ, которая содержится в самом семействе кривых, а кубическая парабола у = ^дг* есть огибающая семейства. 14. Изогональные траектории. Пусть имеется семейство крирнх, зависящее от одной произвольной постоянной ¦ С*. У. О = 0. (84) Поставим следующую задачу: составить дифференциальное уравнение, для которого семейство (84) есть семейство общего интеграла. Урав- Уравнение (84) определяет у как функцию х и С Дифференцируя (84) по х, получим W*^QWy Q/bOl (85) Исключая С из (84) и (85), придем к искомому дифференциальному уравнению: Ф(х, у, у') = 0. (86) Вернемся к семейству (84). Изогональными траекториями семей- семейства (84) называется семейство кривя*, пересекающихся с кривыми семейства (84) под постоянным углом ср. Займемся сначала определением ортогональных траекторий. По условию ортогональности, искомая кривая в точке ее пересечения с какой-либо кривой семейства (84) должна иметь угловой коэффи- коэффициент касательной, обратный по величине и внаку по сравнению с угловым коэффициентом касательной к кривой семейства (84), и, следовательно, чтобы получить дифференциальное уравнение орто- ортогональных траекторий, надо в дифференциальном уравнении. заданного семейства заменить у на f А* Таким образом, нахождение ортогональных траекторий приводится к интегрированию уравнения где ух — искомая функция от х. Обратимся теперь к общей4 задаче изогональных траекторий, п пусть о — постоянный угол, под которым искомые кривые должны
^ f 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 45 пересекать кривые семейства (84). Обозначая, как к выше» через Vi ординату искомой кривой и принимая во внимание выражение для тангенса разности двух углов где tg ф =У есть угловой коэффициент касательной к кривым (84) и tg Ф1 = -Vi — к искомым кривым, можем написать (87) где <р отсчятывается от кривой (84) к искомой кривой* Исключая у из последнего уравнения и уравнения (86), получим дифференциаль- дифференциальное уравнение изогональных траекторий, которое и надо интегри- интегрировать. Пример. Найти изогональные траектории семейства Исключая С из уравнений jr-Сж", ? = Стх"~\ получим дифференциальное уравнение семейства (Щ: Подставляя это выражение для у в формулу (87), получим диффербя* тмьное уравнение искомого семейства: причем постоянную tg«p мы обозначили через 1/* я вместо у, написали просто у. Это уравнение ириводится к виду /= — (89) ¦• следовательно, есть однородное уравнение [5]. еслитгв!, то семейство (88) будет семейством лучей, проходяпшх начало координат, а искомые кривые должны пересекать hi под яо- НЫЫ ^ГЛ0М} т* €% буду* логарифмические спирали (I, 83] иди окру ж-
48 ГЛ. 1 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ fB Придавая Съ С2,..., Сп определенные численные значения, получим частное решение уравнения B). Дифференцируя F) или G) по х (я—1) раз и подставляя затем дг = дг0 и начальные условия E), получим п уравнений. Предполагается, что эти уравнения разрешимы относительно Съ Сь ..., Сп при любых начальных данных (х0, у0, y'it,..., y^"V)) из некоторой области изменения xQt у0, у'о,..., у[п~1). Таким образом, мы получаем решение, удовлетворяющее условиям E). Опре- Определение особого решения то же, что и для уравнения первого по- порядка. Основой дальнейшего является теорема А. Укажем кратко распространение метода степенных рядов [8] для \ равнений я-го порядка. Если правая часть B) есть ряд, расположен- расположенный по целым неотрицательным степеням разностей и сходящийся при условии, что абсолютные значения этих разностей не превышают некоторого положительного числа, то решение, удовлетво- удовлетворяющее начальным условиям E), может быть представлено в виде ряда Уо+^(х-хо)+§(х-*о?+ ... (8) для всех х, достаточно близких к х0. При этом уравнение B) сов- совместно с условиями E), как и в случае уравнения первого порядка, определяет коэффициенты этого ряда. Действительно, подставляя в уравнение B) х = х0 и начальные значения E), определяем у(п) =у[оп). Дифференцируя затем уравнение B) по х и подставляя х = х0, на- начальные значения E) и у{п)=у[п\ определяем у[п+1) и т. д. Можно поступать и иначе, а именно подставить в обе части уравнения B) вместо у степенной ряд оо у=уь+$ С* - *о)+• • •+A~Ьт)Г (х ~ -*»)" + с неопределенными коэффициентами аю an+h ... Располагая правую часть по целым неотрицательным степеням (х — х0), сможем посте- постепенно определять упомянутые коэффициенты, приравнивая члены с оди- одинаковыми степенями (х — х0) в обеих частях полученного равенства. 16. Графические способы интегрирования дифференциального урав- уравнения второго порядка. Всякому решению дифференциального уравнения /z-ro порядка соответствует некоторая линия на плоскости XOY, которую мы будем называть, как и для уравнения первого порядка, интегральной линией (кривой) этого уравнения. Самому дифференциальному уравнению первого порядка соответствовало поле направлений [2]. Выясним теперь геометриче- геометрический смысл уравнения второго порядка /'=/(*, У, У')- (Ю) Пусть s — длина дуги интегральной кривой и а — угол, образованный поло- положительным направлением касательной с положительным направлением оси ОХ.
iq * 2. дифференциальные уравнения высших порядков 47 произведение массы точки на ее ускорение равно действующей силе. Это дает нам дифференциальное уравнение движения C) Интегрирование этого уравнения второго порядка определит зависи- зависимость х от t, т. е. движение точки под влиянием заданной силы. Для получения определенного решения задачи мы должны задать еще начальные условия движения, а именно положение точки и ее ско- скорость в некоторый начальный момент времени, например при / = 0: Для уравнения л-го порядка A) или B) начальные условия состоят в задании функции у и ее производных до (л — 1)-го порядка вклю- включительно при некотором определенном значении х — х9: В этих условиях jc0, у0, у'„..,, yf-Ъ — определенные числа. Для уравнения л-го порядка B) имеет место теорема существования и единственности, совершенно аналогичная теореме А из [2]. Сформу- ляруем ее в несколько иной форме, чем это мы делали в [2]. Теорема А. Если f(x, у, /,..., у{п'1)) есть функция своих аргументов, которые считаются все независимыми переменны- переменными* однозначная, непрерывная и имеющая непрерывные частные производные по у, у,...9 Уя~!* при значениях аргументов («VJWo» • • •» yi*~l)).u все* значениях, достаточно близких к ним, то уравнение B) имеет одно и только одно решение, у до влет* воряющее начальным условиям E). Мы смогли бы сформулировать эту теорему совершенно так же, как» в [2J, если бы ввели в (л-|-1)-мерном пространстве перемен- ^^' С*> У* У>-..» у{я^) область Д в которой правая часть уравне- уравнения B) однозначна, непрерывна и имеет непрерывные производные по аргументам у, у /*). Все эти аргументы вместе с х рассма- рассматриваются как независимые переменные функции f(x, y% /,..•, у^%)). В следующей главе мы еще вернемся к этой теореме. Изменяя в начальных условиях постоянные у# /0,..., j/f"^ по* y» семейство решений» зависящее от п произвольных постоянных. произвольные постоянные могут входить в решение и не как начальные условия: у=<р(ж; Сь С»,.., Сд). F) T«<fe решение уравнения B^ содержащее п произвольных постояв **х, называется общим интегралом уравнения B), Оно может быгь «писано и в неявной форме: Н*>У, Сь Q>..., CJ = 0. G)
48 ГЛ. 1 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ fK> Придавая Съ С2,..., Сп определенные численные значения, получим частное решение уравнения B). Дифференцируя F) или G) по х (п—1) раз и подставляя затем дг = лг0 и начальные условия E), получим п уравнений. Предполагается, что эти уравнения разрешимы относительно Сь Сь ..., Сп при любых начальных данных (xQ9 у0, yit,..., yf"V)) из некоторой области изменения xQt д/0, у'о,..., у[п~11 Таким образом, мы получаем решение, удовлетворяющее условиям E). Опре- Определение особого решения то же, что и для уравнения первого по- порядка. Основой дальнейшего является теорема А. Укажем кратко распространение метода степенных рядов [8] для \ равнений я-го порядка. Если правая часть B) есть ряд, расположен- расположенный по целым неотрицательным степеням разностей и сходящийся при условии, что абсолютные значения этих разностей не превышают некоторого положительного числа, то решение, удовлетво- удовлетворяющее начальным условиям E), может быть представлено в виде ряда Уо+^(х-Хо)+§(х-Хо?+ ... (8) для всех х, достаточно близких к х0. При этом уравнение B) сов- совместно с условиями E), как и в случае уравнения первого порядка, определяет коэффициенты этого ряда. Действительно, подставляя в уравнение B) х = х0 и начальные значения E), определяем у(п) = д>[,п). Дифференцируя затем уравнение B) по х и подставляя х = х0> на- начальные значения E) и у{п)=у[п\ определяем у[п+1) и т. д. Можно поступать и иначе, а именно подставить в обе части уравнения B) вместо у степенной ряд -*,)* (9) с неопределенными коэффициентами аю ап+ь ... Располагая правую часть по целым неотрицательным степеням (х — х0), сможем посте- постепенно определять упомянутые коэффициенты, приравнивая члены с оди- одинаковыми степенями (х — х0) в обеих частях полученного равенства. 16. Графические способы интегрирования дифференциального урав- уравнения второго порядка. Всякому решению дифференциального уравнения п-го порядка соответствует некоторая линия на плоскости XOY, которую мы будем называть, как и для уравнения первого порядка, интегральной линией (кривой) этого уравнения. Самому дифференциальному уравнению перьою порядка соответствовало поле направлений [2]. Выясним теперь геометриче- геометрический смысл уравнения второго порядка /'=/(*, У, У')- (Ю) Пусть s — длина дуги интегральной кривой и а — угол, образованный поло- положительным направлением касательной с положительным направлением оси ОХ.
16) § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Мы имеем [I, 70] dy dx -~- = tg a, —- = COS а dx 6 ' ds 49 и, дифференцируя по x, получим d2y __ 1 dct 1 da ds _ 1 da_ dx2 cos2a dx ~" cos2a ds dx ~~ cos' a ds * но da/ds есть, как известно [I, 71], кривизна кривой da 1 (И) и предыдущее равенство дает d2y dx2 A2) R>0 R<0 Здесь /? положительно, если а возрастает вместе с s, и отрицательно, если а убывает при возрастании s. Положим, например, что ось ОХ направлена вправо и ось ОУ навегх (рис. 12). При этом, если /?>0, то кривая будет при возрастании s закру- закручиваться справа налево (против часовой стрелки), а при /?<0 — в противопо- противоположную сторону. Согласно формуле A2), дифферен- дифференциальное уравнение A0) можно пере- переписать так: -— = /(*, у, tg a) cos3 а. гA3) Отсюда видно, что дифференциаль- дифференциальное уравнение второго порядка дает величину радиуса кривизны, если за- заданы положение точки и направление касательной в этой точке. Из этого обстоятельства вытекает способ приближения к интегральной кривой уравнения второго порядка при помощи кривой с непрерывно меня- ющейся касательной и составленной из дуг окружностей. Этот "способ аналогичен способу приближения к интегральной кривой уравнения первого порядка при помощи ломаной линии [2]. Положим, что начальные условия для искомой интегральной кривой У \х-о =.Уо> У U-o =.Уо- Отмечаем точку Мо с координатами (х0, у0) и через эту точку проводим направление Мо7о с угловым коэффициентом у = tg a=y'o (рис. 13). Уравнение A3) дает нам соответствующую величину /? = /?0. Отложим отрезок М0С0У равный /?0 и перпендикулярный к направлению М0Т01 и из точки Со, как центра, опишем небольшую дугу M0Mt окружности радиуса /?0. Заметим при этом, что направление отрезка М0С0, в силу сказанного выше, определится знаком Ro. Если, например, RQ < 0, то движение по дуге окружности от Л10 к Mt должно происходить по часовой стрелке (рис. 13). Пусть (л*!, yj — координаты точки Mi и tg а, —угловой коэффициент каса- касательной Mi/i к окружности, проведенной в точки М. Уравнение A3) даст Рис. 12.
50 ГЛ. I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [16 Y соответствующую величину RssRv Отложим отрезок MtCu равный Rx и перпендикулярный к МхТи т. е. лежащий на прямой МХСО, причем направ- направление его определится знаком Rv и из точки Си как центра, опишем не- небольшую дугу MjMo радиуса Rv Для точки М2 так же, как и для Ми полу- получим из уравнения A-3) значение /? = /?21 отложим отрезок М«С2} равный R2 и т. д. Для указанного построения употребляют линейку, в одном конце кото- рои находится отверстие для карандаша. От этого отверстия вдоль линейки идет прямая линия с делениями, по кото- которой отсчитывается величина R, и имеется небольшой треножник, одно отверстие ко- которого устанавливается в соответствующей величине R точке прямой, а два других — только на бумаге. Передвигая в точках Мх, М2 и т. д. треножник вдоль упомяну- упомянутой прямой в зависимости от изменения величины /?, мы не меняем в этих точках направление касательной и получаем таким образом требуемую кривую. Укажем теперь другой способ графи- Y ческого интегрирования уравнения A0), дающий приближенное представление ин- интегральной кривой в виде ломаной линии. Способ этот является обобщением способа, указанного нами на рис. 7. Кроме у, введем еще неизвестную функцию z=/. Вместо одного уравнения вто- второго порядка A0) мы получим тогда порядка с двумя неизвестными функ- функциями у и г: Рис. уравнений первого Тх' A4) Способ, который мы изложим, применим к общему случаю системы двух каких угодно уравнений пер- первого порядка: при начальных условиях = *о. A6) у, 0 * У х0 М2 »t 2 % X Рис. 14. Ломаные вычерчиваются на плоско- плоскости XOY, как для^С*"), так и для z (х) (рис. 14). Нанесем, как и в [7], на плоскости XOY прямые х = х0, х = хи х = л-о,..., параллельные оси О У, причем л-0*< хх < л-2 < ... Отметим точки Мо и iV0 с координатами (xQ}y0) и (лго z0). Из этих точек проводим лучи с угловыми коэффициентами соответственно g(x0, yOi г0) и f(xu1 y0, z0) до пересечения с х = хи и пусть Mi(*i ^i) и ^1(^1» z\) — точки пересечения. Из этих точек проводим лучи с угловыми коэффициентами g(xb vlf zx) и f(xly y^z^) до пересечения с прямой х = л-., и пусть М2(х„ vs) п М, (л-8, v8) — точки пересечения и т. д. Для ординат у1У гх\ у2} z2 и т. д. мы имеем формулы, совершенно анало- шчные формулам" из [7].
17] § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 51 17, Уравнение у{п) z=zf(x). Уравнение Уя) =/(¦*) О?) является непосредственным обобщением уравнения у'= f(x). Выясним сначала форму общего интеграла уравнения A7). Пусть уг{х) есть какое-либо решение уравнения A7), т. е. Введем в уравнение A7) вместо у новую искомую функцию z по формуле У=УЛх) + г- (Щ Подставляя в уравнение A7), получим для z уравнение или, в силу тождества A8), Раз производная /z-ro порядка должна быть равна нулю, то сама функция z есть многочлен (п— 1)-й степени с произвольными посто- постоянными коэффициентами и формула A9) дает общий интеграл уравнения A7) + ... +Спхп~\ т. е. общий интеграл уравнения A7) есть сумма какого-либо частного решения этого уравнения и многочлена (п—1)-й сте- степени с произвольными постоянными коэффициентами. Нам остается, таким образом, найти какое-либо частное решение уравнения A7). Считаем, что функция/(лг) непрерывна в промежутке /, содержащем некоторую точку х = лг0, и будем искать то решение, которое удовлетворяет нулевым начальным условиям: B0) v(n- 1I У \х = Интегрируя уравнение A5) почленно от значения х0 до переменного значения х, получим
52 ГЛ. I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Н8 где у\?~Х) есть значение у{п~и при х = х0. В силу последнего, из условий B0) у[п-{) = 0, и мы будем иметь у<"-» = 1 f(x)dx. Интегрируя правую часть по х еще раз в пределах от х0 до х, получим у[п~^ и т. д. и, наконец, после л-го интегрирования получим искомую функцию. Это повторное интегрирование обычно записывают так: XX XX у—\ dx\ dx...\ dx\ f(x)dx. B1) Xq Xq Xq Xa Эти п повторных квадратур можно заменить одной, как мы сейчас покажем. Напишем для у (х) формулу Тейлора с остаточным членом в виде интеграла [I, 126]: где y0, j4 Уо',..., y(on~~l) — значения у и его производных при х = х0 и буква t обозначает просто переменную интегрирования. В силу на- начальных условий B0) а, в силу дифференциального уравнения A7), у{п) (t) =)'(/), так что вышеуказанная формула Тейлора дает B2) Итак, формула B2) даг/я решение уравнения A7) яри нулевых начальных условиях B0) *ш/, ^/«о /«о ж^, дает выражение по- повторного интеграла B1) в виде однократного интеграла. Прибавляя к решению B2) многочлен (п—1)-й степени с произ- произвольными коэффициентами, получим общий интеграл уравнения A7). Заметим, что в правой части формулы B2) х входит как в верхний предел интеграла, так и под знак интеграла. Интегрирование совер- совершается по t, и при этом х считается постоянным. Формула B2) спра- справедлива, очевидно, и при я=1, если считать 0!=1. 18. Понижение порядка дифференциального уравнения. Ука- Укажем несколько частных случаев, когда порядок уравнения может быть понижен.
18] § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 53 1. Положим, что уравнение не содержит функции у и ее несколь- нескольких последовательных производных /, /',...,Ук"х\ т. е. имеет вид Вводя новую функцию z = y{k\ понизим порядок уравнения на k единиц: Ф(х, г, /,..., г{п-к)) = 0. Если найдем общий интеграл этого последнего уравнения * = <?(*, СхХь...,Сп_к), то у определится из уравнения: уМ = у(х, С„ Со, ... , Cn_k), рассмотренного нами в [17]. 2. Если уравнение не содержит независимой переменной х, т. е. имеет вид то примем у за независимую переменную и введем новую функ- функцию /? = у. Считая, что р есть функция от у и через посредство у зависит от х, и применяя правило дифференцирования сложных функций, получим для производных от у по х выражения „, d I dp \ d I dp \ d2p cj откуда видно, что в новых переменных порядок уравнения будет (п—1). Если это преобразованное уравнение проинтегрировано р = ?(у, Q, с2, ... , Сл_0, то нахождение общего интеграла данного уравнения приводится к квадратуре dy=pdx = <?(y, Сь Q, ... , Cn_{)dx, откуда Одна из произвольных постоянных Сп входит в качестве слагаемого к х, а это равносильно тому, что всякую интегральную кривую можно перемешать параллельно оси ОХ 3. Если левая часть уравнения Ф(*> )', У, ... ,У{п)) = 0
54 ГЛ. Т ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ № есть однородная функция [I, 154] аргументов у, /,...,Ул;, то, вводя вместо у новую функцию и(х) по формуле получим для и уравнение (п — 1)-го порядка. Это следует из следую- следующих очевидных формул: и из того, что после подстановки в левую часть уравнения вынесется некоторая степень написанной показательной функции (в силу усло- условия однородности), и на этот множитель можно разделить обе части уравнения. Аддитивная постоянная в интеграле, стоящем в показателе степени у еу будет произвольным множителем в у. Примеры. 1. Уравнение вида У"=/(у) B3) относится к случаю 2, Его можно проинтегрировать и непосредственно.. Умножим обе его части на 2у' dx = 2dy: Слева стоит, очевидно, дифференциал от /2 и, интегрируя, получим У'2 = ] 2/(у)dy + С, =Л(у) + Ct, откуда g = УК&У+Сй B4) отделяя переменные и интегрируя, получим Если имеются начальные условия то, подставляя в B4) и B5) лг = л*0, >» = .Уо и у' =з'с, получим j п .,'2 (> „ и искомое решение будет х-х = ' dV Положим, что точка движется по оси ОХ под действием силы /^Л"), зави- зависящей только от положения точки. Дифференциальное уравнение движения будет [15J d~x т^. .
181 § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 55 Пусть л*0 и vQ — начальная абсцисса и начальная скорость точки при * = 0: Умножая обе части уравнения на -^ dt и интегрируя, получим 1 (dx\2 1 С 1 fdx\2 С 1 -гг м\^т) — тг mvl = \ Fix) dx или ~ /я — — \ Fix) dx = -(VtfwS- B6) 2 \dt I z j г \at} j z Первое слагаемое в левой части y/nl — j представляет собой кинетиче- кинетическую энергию, а второе слагаемое [ — ^ F{x)dx\—потенциальную энергию движущейся точки, и из B6) следует, что сумма кинетической и потенциаль- потенциальной энергии остается постоянной во все время движения. Решая равенство B6) относительно dt и интегрируя, получим зависимость между t и л*. 2. Рассмотрим задачу: найти кривую y=zy(x), кривизна которой есть заданная функция абсциссы B7) Это есть дифференциальное уравнение второго порядка У> = ? (х) Вводя р=у\ получим уравнение первого порядка с отделяющимися пере- переменными dp = A+ /,»)¦/. и, интегрируя, будем иметь откуда X dJL-_ ?4 /ч B8) и окончательно 3. Рассмотрим уравнение
56 ГЛ. Т. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ A9 обе части которого однородные функции у, /, /'. Вводя подстановку \ udx y = eJ получим хЦп' + и2) = A—лгиJ, откуда для и получаем линейное уравнение 1 х х2 * интегрирование которого дает и = х~2 (d + х) = С{х~2 + дг. Подставляем в выражение у через и: или причем (—С,) мы заменили на Сх и положили ес = С2. 19. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Система п уравнений первого порядка с п неизвестными функциями в разрешенном относительно производных виде будет; = А С 'i. Уь ..., Уп\ i> Уь ..., Уп)> ^=fn(x> Уь Уь ..., Уп)- B9) Решением системы B9) называется совокупность п функций yiz=z^i(x) 0=1, 2, ..., п) таких, что при подстановке их в уравне- уравнения системы B9) эти уравнения обращаются в тождества относи- относительно х. Предполагается, естественно, что функции ф^ (х) непре- непрерывны и имеют непрерывные производные. Как и в случае одного уравнения п-го порядка, имеет место теорема, совершенно аналогичная теореме А из [2]. Начальные условия имеют вид У1 1*= д:0— У\ у У*\х=*хэ У-2 > ...> Уп\х = хо = Уп > и вместо значений аргументов (х0, у0, y'Qi ..., у{оп~~1)) надо говорить о значениях аргументов (х0, yi°', у%\ ..., у(п'). Далее мы остановимся на общих понятиях, касающихся системы B9). Выше мы это делали для одного уравнения, и здесь мы не будем касаться подробностей. Поскольку мы можем менять в усло- условиях C0) значения yi0), решение, получаемое согласно теореме А, содержит п произвольных постоянных. Произвольные постоянные могут
191 § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 57 входить в решения не как начальные данные y'f, но и в общей форме G, Съ ..., Сл). C1) Придавая постоянным Q, С2, ..,, Сп определенные численные значе- значения,, будем получать частные решения системы B9). Чтобы выделить из семейства общего интеграла C1) решение, удовлетворяющее на- начальным условиям C0), надо определить d, С2, ..., Сп из уравнен! й УТ=ЫХ* Ci, Сь ..., Сп) 0 = 1, 2, ..., п) C2) и подставить найденные значения в формулы C1). Если произволь- произвольные постоянные Q суть у'?\ и удовлетворены условия теоремы А, то можно показать, что уравнения C1) разрешимы относительно Q, так что общий интеграл может быть записан в виде ?iC*, Уь Уь .... Уп)=С( (i=l, 2, ..., я). C3) Для уравнений первого порядка мы имели одно такое равенство [9], Здесь каждое из равенств C3) называется первым интегралом, или, просто, интегралом системы B9). При решении системы мы, естественно, находим не сразу п инте- интегралов системы, но нахождение каждого отдельного интеграла облег- облегчает нам, как мы увидим, дальнейшее интегрирование системы. Ука- Укажем определение отдельного интеграла системы. Соотношение ?(*, Уь Уь .... Уп)=С C4) называется интегралом системы B9), если функция ср{х> уь уь ...,уп) отлична от постоянной и при подстановке в нее любого решения y. = tyi(x) (/=1, 2, ..., п) системы B9) она обращается в постоян- постоянную. Говоря о «любом» решении системы B9), мы подразумеваем все решения, которые получаются согласно теореме А в какой-либо области изменения начальных данных. Значение этой постоянной раз- различно при различном выборе начальных данных (произвольная посто- янная\ Положим, что мы имеем несколько интегралов системы B9) Ъ(*> Уь Уь ..., yn)=Q (i=l, 2, ..., k), C5) где k — число интегралов. Любая из функций ср/ обращается в по- постоянную при подстановке вместо уь уь ..., уп любого решения си- системы B9). Если мы возьмем произвольную функцию F(yb <p2, ..., срл) от левых частей равенств C5), то и эта функция обратится в посто- постоянную при подстановке вместо уь уь ..., уп любого решения систе- системы, т. е. мы имеем интеграл системы /ЧТь ?*..., ?*) = С. C6)
58 ГЛ. I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [19 Иначе говоря, любая функция левых частей интегралов системы есть также интеграл системы. Интеграл C6) есть очевидное следствие интегралов C5). Предыдущее рассуждение требует некоторых огово- оговорок, а именно надо оговорить, что левые части всех равенств C5) обращаются в постоянную при подстановке в них решений yt = ф; (х) (/=1, 2, ..., я), получаемых, согласно теореме А, из некоторой одной и той же области изменения начальных данных. При подсчете числа произвольных постоянных в решении C1) существенно, чтобы невозможно было свести их число к меньшему. Например, в формулах три произвольные постоянные можно свести к двум, полагая С\ -f- С2 = С. Критерий того, что этого сделать нельзя и что формулы C1) дают общий интеграл системы B9), заключается в том, что соответствующим под- подбором произвольных постоянных мы можем удовлетворить любым начальным данным из некоторой области их изменения, т. е. что си- система C2) разрешима относительно Q, С2, ..., Сп для некоторой области изменения величин (х0; j/i0), у{?\ ..., уп]). Мы считаем, есте- естественно, при этом, что правые части системы B9) удовлетворяют усло- условиям теоремы А. Мы можем переписать систему B9) в виде пропорционального ряда dx _ dyt М*> у» у» — > Уп) "' A(*»:Vi, у«. — >УпУ Умножая все знаменатели на один и тот же множитель, мы получим и в первом отношении знаменатель не единицу, а некоторую функцию от (х, уц у* ..., уп), и обозначая для симметрии переменные буквами хь дг2, ..., хп+ь перепишем систему B9) в виде: ??i_**i_ _ dxn _ dxn+l у у • • • —"" у у- t где Хг (/= 1,2,..., Я+1)— заданные функции переменных х19хъ..., хп+1. Запись системы B9) в виде C8) удобна в силу своей симметрии. При этом не фиксировано, какая именно из переменных хь считается неза- независимой переменной. Предположим, что в некоторой области измене- изменения переменных xt все функции Xt 0=1, 2, ..., п-\-\) непрерывны и имеют непрерывные производные по всем независимым переменным. Положим, кроме того, что в некоторой точке Жо (х[0>, х^\ ..., #J?4-i) из этой области функция Xn+i отлична от нуля. При этом, в силу непрерывности, она будет отличной от нуля и в окрестности этой точки, и для системы уравнений
191 § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 59 будет применима в окрестности Мо теорема А. Особыми будут лишь те точки, в которых все А^(/=1, 2, ..., п-\-1) обращаются в нуль. Мы использовали выше при любом целом положительном (я-j-l) геометрические термины «точка», «окрестность точки», «область». При п=\ и /2 = 2 это геометрически наглядно. В общем случае эти поня- понятия аналитически определяются аналогично тому, как это делается, например в трехмерном пространстве, при помощи прямолинейных прямоугольных координат. Мы вернемся к этому в дальнейшем. Инте- Интеграл системы C8) имеет вид Положим, что мы имеем п интегралов **.... **+i) = Q (i = 1, 2, ..., л). C30 Они называются независимыми, если эти равенства разрешимы отно- относительно каких-либо п из переменных xi(i=\) 2, ..., п-^\). Это решение дает нам п функций одной независимой переменной и п про- произвольных постоянных, т. е. формулы, аналогичные формулам C1), а в виде C3j) эти формулы разрешены относительно произвольных постоянных, т. е. п независимых интегралов системы C8) дают общий интеграл системы. Все это относится, как всегда, к некоторой области изменения переменных. Можно показать, что независимость интегралов C3j) равносильна тому, что между левыми частями этих интегралов не существует ника- никакого соотношения вида ?* ...» ?Л) = 0, тождественного относительно x-v Предполагается, естественно, что все интегралы C3^ определены в одной и той же области изменения переменных. В предыдущем мы не дали никакого признака, по которому можно было бы судить, что интегралы C9t) суть независимые интегралы. Рассмотрим слу- случай п = 2: «Pi (*и *2, хь) = С1Э <р2 (хи х2, xz) = С2. C9) Вспоминая теорему о неявных функциях [I, 159], можем утверждать, что для разрешимости уравнений C9) относительно лг2 и х8 достаточно, чтобы выражение было отлично от нуля. Аналогичный результат будет иметь место относи- относительно переменных x8f хх и хи х2. Предполагая «рх и сра непрерывными с их производными первого порядка, можно доказать, что необходимое и доста- достаточное условие независимости интегралов C9) сводится к тому, чтобы по крайней мере одно из выражений
60 ГЛ. 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [2а было не равно тождественно нулю. Ь третьем томе мы вернемся к вопросу о независимости систем функций с любым числом переменных. 20. Примеры. 1. Рассмотрим систему xz у г — (, Сокращая уравнение xz yz на — , получим уравнение с отделенными переменными и, интегрируя, бу- будем иметь lgx = \gy — С, т. е. \g - = С, что равносильно Напишем второе уравнение системы dx dz xz -(x* + y*) и, пользуясь уже найденным интегралом, заменим в нем у = Ctx. Сокращая на - f получ.им Интегрируя, имеем или, заменяя Ct = —, получим второй интеграл системы г2 = С3. D2) Итак, мы имеем два интеграла системы ^=СЬ x*+f + z* = C2. D3) 2. Система дифференциальных уравнений движения материальной точки массы т под влиянием заданной силы имеет вид d2x v О ., d2z т1?=Х> тЖ~У> mdT = A D4) где X, К, Z — проекции силы на координатные оси, зависят от времени, по- положения точки и ее скорости, т. е. от переменных t, xt у, zt x\ у, г\ Вводя новые неизвестные функции — производные х', y't z' от х, у и г по t% приведем систему D4) к системе шести уравнений первого порядка
20] § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 61 Общее решение этой системы содержит шесть произвольных постоян- постоянных, для определения которых должны быть заданы положение точки и ее скорость в начальный момент времени. Из равенств D4) вытекают следующие три равенства: m d-x d-z D6) которые, как нетрудно видеть, можно переписать так: dz с D7) Положим, что сила центральна, т. е. что ее направление всегда прохо- проходит через некоторую неподвижную точку, называемую центром, которую мы принимаем за начало координат. Так как проекции вектора пропорцио- пропорциональны его направляющим косинусам, и в данном случае направление век- вектора проходит через начало координат и точку (х, у, z)t то будем иметь X Y Z правые части равенства D7) обратятся в нуль, и мы получим три интег- интеграла системы D6) dz dy\ ~ ( dx dz\ ~ I dy dx\ ~ /J(O4 zi)c m[zx)cm[xiyhc <48> Они выражают, как известно из механики, постоянство секториальной скорости проекций движущейся точки на координатные плоскости. Из равенств D8) вытекает С Iх + СгУ + С3г = °1 D9) откуда видно, что траектория будет плоской кривой. Плоскость траектории определяется, очевидно, центром сил и вектором скорости в начальный мо- момент времени. Рассмотрим еще случай, когда AT, К, Z—частные производные некото- некоторой функции U, зависящей от ху у, z. Функция U называется потенциалом сил, а (—U) — потенциальной энергией точки *-? *-Щ. *=д1 « Умножая уравнения d-x dU __ dU dy_ __ dU_ ~~dx> m di* ~~ dy dH dt2 ~~ dy ' dU ~'dz~
62 ГЛ. I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ на dx/dtt dy/dt, dz/dt и складывая получим (dx d%x . dy d2y dz d2z \ dU lttlP*4FJp"r~aTW)=:~aT> 120 или d m ~Ж1Г 1) dt) откуда получаем интеграл где E2) E3) E4) есть кинетическая энергия точки. Равенство E3) выражает постоянство суммы кинетической энергии Т и потенциальной (—V) во все время движения. 3. Представим себе систему п точек, связанных между собою такими точки системы определяются как функции ., qk и времени /: связями, что координаты любой независимых параметров qit q2t . 9ft 0. о. Qk> 2, n). E5) Положим, что силы, действующие на точки системы, имеют потенциал U, зависящий только от координат точек, так что проекции на координатные оси Xh Yit Zt силы, действующей на t-ю точку, суть частные производные U по *,-, у(, Zi. Пусть mlf m2, ..., mn —массы наших точек. При помощи равенств E5) мы можем выразить кинетическую энергию ш, Г/ dx, \« /rfy, \i / Л, г= через ^ и производные по времени q'i, a U через ^ (< = 1, 2, ,. жение системы будет определяться, как известно из механики, уравнениями Лагранжа: А (дТ\ дТ = dU dt \dq's) dqs dqs 1, 2, ..., k). E6) . , Я), И ДВИ- следующими E7) Функция Т есть, очевидно, многочлен второй степени относительно про- производных q'lt q'2i ..., q'k от параметров по времени, и уравнения E7) пред- представляют собою k уравнений второго порядка, что равносильно 2k уравне- уравнениям первого порядка; интегрирование уравнений E7) даст выражения qk в виде функций от / и 2k произвольных постоянных. Положим, что уравнения E5) не содержат t. Тогда Т и U также не бу- будут содержать t. Умножим уравнения E7) соответственно на q'lt q'2r ,.., q'k и сложим dldT\ 4l .. дТ dU :1 2, d I дТ\ \i , дТ __dU q*diWs)~ L QsdTs- d i i
20) § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 63 Примем во внимание очевидное равенство 2, d (дТ\ \ , дТ _ d \ , дТ \ m дТ VI , дТ_ qsTtWs)~ Lqsdqs-'dt LqsWs~ Lq sdq's~ Lqsdqs* s = 1 s= 1 s = l s = 1 s= 1 В рассматриваемом случае Г —однородный многочлен q's и к ^wr2T' E9) d силу теоремы Эйлера об однородных функциях [I, 154J. Отсюда 2' А (дТ \ \ ' дТ — 9dT dT__dT Я sdt WS) ~ Lqs dqs~Z dt~llt- dt> s= 1 s=1 и формула E8) дает dT = dU di "" dt ' откуда получается интеграл системы E7) (интеграл сохранения энергии) T-U = C. F0) 4. Наличие интеграла дифференциальных уравнений движения системы позволяет в некоторых случаях решить вопрос об устойчивости колебаний системы около положения равновесия. Формулируем вопрос математически, ограничиваясь для краткости рассуждений случаем трех неизвестных функ- функций х, у, г, удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений 2) dx__ dy_ dz_ dt-*1 ~dt-Y> dt~L> (bl) где X, Yt Z—-известные функции от х, у, z и t, обращающиеся в нуль при x=j; = 2 = 0. F2) Система F1) имеет при этом очевидное решение F2), которому соот- соответствует положение равновесия. Это положение равновесия (или просто решение F2)) называется устойчивым, если при любом заданном е>0 существует такое т]>0, что для всякого решения системы F1), удовле- удовлетворяющего начальным условиям будет при всех t > 0 1*1. I.Vi и |г|<8, F3) если только Положим, что система F1) имеет интеграл <р(*. у% г)-С, F5) 1) В случае движения одной материальной точки имеется шесть неиз- неизвестных функций.
64 ГЛ. I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 121 не содержащий t и такой, что функция ср(х, у, г) имеет при x~y=*z=zQ максимум или минимум. Докажем, что при этом положение равновесия будет устойчивым. Изменяя, если надо, знак у <р, мы можем считать, что ф имеет минимум; прибавляя к ф постоянную, можем считать, что этот мини- минимум равен нулю. Итак, функция ф обращается в нуль в точке х=у — г = 0 и положи- положительна во всех точках (*, у, г), близких к @, 0, 0), но отличных от нее. По- Построим около начала координат куб 6е с центром в начале и длиной сторон 2е. На поверхности этого куба непрерывная функция ф положительна и, следовательно, достигает своего наименьшего положительного значения w, так что на всей этой поверхности Ф ^ т > 0. F6) Построим теперь около начала координат концентрический куб бл с длиной сторон 2х\ так, чтобы внутри этого куба имело место неравенство Ф<т, F7) что возможно, ибо ф@, 0, 0) = 0. Положим, что в начальный момент точка (*, У, z) находится внутри куба 6^, т. е. выполнено условие F4). Неравен- Неравенство F7) будет выполняться не только в начальный момент, но и во все время движения. Действительно, ф, в силу F5), сохраняет постоянное зна- значение С при движении. Но раз это так, то во все время движения точка (ху у, г) не сможет пройти через поверхность куба 6е, ибо на этой поверх- поверхности должно иметь место неравенство F6), которое, противоречит F7); итак, условие F3) выполняется при всех t > 0, что и требовалось доказать. Функции х, у, г могут иметь любое геометрическое или механическое значение, и лишь для наглядности доказательства мы рассматривали их как координаты точки. Положим, например, что в уравнениях E7) Т и U не со- содержат времени /, так что имеет место интеграл F0). Пусть при значениях qs = 0 выполнены необходимые условия экстремума U: dQi ^Яъ '" dqk Уравнения E7) имеют при этом очевидное решение: <7s = <7's = O (s^l. 2> -.. b)f F8) которому соответствует положение равновесия системы. Если, кроме того, окажется, что при значениях qs — 0 потенциальная энергия (—U) имеет ми- минимум, то можно утверждать, что разность (T — U) при значениях F8) также имеет минимум, ибо при этом Г, которое не может быть отрицательным, обратится в нуль, т. е. тоже имеет минимум. Таким образом, мы видим, что в случае минимума потенциальной энергии соответствующее положение рав- равновесия будет устойчивым в отношении величин qs и q's (теорема Лагран- жа —Дирихле). 21. Системы уравнений и уравнения высших порядков. Вы- Выясним связь между системой дифференциальных уравнений первого порядка и одним уравнением высшего порядка. Если мы имеем, на- например, одно дифференциальное уравнение третьего порядка
21] § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 65 то, полагая у—у^ у=у.ъ у'' = уг) мы можем заменить это уравне- уравнение третьего порядка системой трех уравнений первого порядка Нетрудно видеть, что уравнение третьего порядка и последняя си- система равносильны в следующем смысле: если у(х) — решение урав- уравнения третьего порядка, то yl(x) = y(x)9 у*(х)=у'(х) и yz(x)=s s=y"(x) есть решение системы, а если yi(x)f yi(x), у3(#) есть ре- решение системы, то y(x) — yt(x) есть решение уравнения третьего порядка. Мы производили уже подобную замену в [16]. Совершенно так же, имея, например, систему двух уравнений второго порядка y"=fx(x, у, /, z, z'l /'=Ъ(х, у, у, z9 /), где у и z — искомые функции от х, мы можем заменить ее систе- системою четырех уравнений первого порядка, вводя четыре искомые функции y=yi9 y=zyb z = y& z' = yi. Прежняя система перепи- перепишется в виде yi=y* J>i=/iC*> Уь Уь Уз, Уд> Уг=Уь y\ — U(*> Уь Уь Уъ> Уд- Покажем, что, наоборот, интегрирование системы, можно, вообще го- говоря (не всегда), заменить интегрированием одного уравнения выс- высшего порядка. Рассмотрим, для примера, систему трех уравнений пер- первого порядка, решенную относительно производных yi=/ifo У и Уь Уг), y'%=f%(*, Уь Уь Уз), F9) >>з = /зС*> Уь Уь )>з). Положим, что первое из уравнений содержит у* Решая относи- относительно него, получим Уг = щ(х, Уь Уь Уз)- G°) Подставляя в остальные два уравнения системы, будем иметь уравнения вида Ъ} +*?* + &.* + &*=**(*> Уь Уь Уз), Уз = <М*> Уь Уь Уз). Подставляя в первое уравнение выражение у'г из второго й решая первое уравнение относительно у\> получим систему двух уравнений с двумя искомыми функциями yt и уз вида УГ = ?(•*> Уь Уь Уз), Уз = ФС*> Уь Уь Уз)- G1) Положим, что первое из уравнений содержит уг. Решая относительно него Уз = <*>3(*, Уь Уь У\) G2)
66 ГЛ. Т. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ I22 и подставляя во второе из уравнений G1), получим уравнение треть- третьего порядка относительно уь которое можем написать в виде у[" = Р(х, уь у[, у[). G3) Положим, что мы сумели проинтегрировать это уравнение У!*=Ф(*, Сь Сь С3). Подставляя в уравнение G2), получим у3, и подставляя затем в G0), получим уг уже без всяких интегрирований. Если первое из уравнений G1) не содержит д>3, то мы имеем уже одно уравнение второго порядка для yv Его общий интеграл будет содержать две произвольные постоянные. Подставляя этот общий интеграл во вто- второе из уравнений G1), получим уравнение первого порядка для у3. Его интегрирование введет третью произвольную постоянную. Нако- Наконец, формула G0) определит у2 уже без всяких интегрирований. 22. Линейные уравнения с частными производными. До сих пор мы рассматривали дифференциальные уравнения, содержащие производные от функций по одной независимой переменной. Такие уравнения, как мы уже упоминали, называются обыкновенными диф- дифференциальными уравнениями. Теперь мы рассмотрим некоторый класс уравнений с частными производными, поскольку эти уравнения непосредственно связаны с теорией систем обыкновенных дифферен- дифференциальных уравнений. Вернемся к рассмотрению системы дифферен- дифференциальных уравнений C8) Равенство или функция <p(xt, хь ..., хп+1), не сводящаяся тождественно к по- постоянной, называется интегралом системы G4), если при подста- подстановке в нее какого-либо решения системы, которое имеется согласно теореме существования и единственности, получается постоянная. Пусть, например, хх — независимая переменная, а х2, xZ)..., хп+1 — функции от хь являющиеся решением системы G4). Подставляя эти функции в выражение <р(х1у хь ..., хп+1), мы должны получить по- постоянную, т. е. в результате подстановки независимая переменная xt должна исчезнуть и, следовательно, полная производная по Xi должна равняться нулю [I, 69] ify-i--^- — -I-it{??»-+- г д<? dxn+i_Q dxt ' дх2 dxt ' дхг dxt ' • • • * dxn+i dxt ' или
22) § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 67 Но раз мы подставляли решение системы G4), то дифференциалы dxs должны быть пропорциональны величинам Xs и, заменяя в фор- формуле G5) dxs пропорциональными величинами Xs> получим для ср следующее уравнение: ^. л ^.. = 0. G6) Функция ср (хи хь ..., хп+{) должна удовлетворять этому урав- уравнению независимо от того, какое именно решение системы G4) мы подставляли в эту функцию. Но в силу произвольности начальных условий в теореме существования и единственности, значения пере- переменных xit хь ..., хп+{ могут быть какие угодно, если мы берем все решения системы G4), т. е. функция cp(^i> хь ...» *n+i) Д°л' жна удовлетворять уравнению G6) тождественно относительно (*i. *ъ ..., лг/г+i)- Мы получаем таким образом следующую теорему. Теорема 1. Если <р (хь хь ..., лгл+1)=С есть интеграл системы G4), то функция у>(хь хь ..., хп+{) должна удовлетворять урав- уравнению с частными производными G6). Нетрудно доказать обратное предложение. Теорема 2. Если ср(хь лг2, ..., хп+1) есть какое-нибудь ре- решение уравнения G6), то cp(xx, лг2, ..., лгЛ+1) = С есть интеграл системы G4). Действительно, подставим в функцию ср (xh хь ..., хп+х) какое- нибудь решение системы G4) и возьмем полный дифференциал Поскольку мы подставили решение системы, мы можем, в силу G4), заменить dxs пропорциональными величинами XSf т. е. dxs = \Xs, ]де X — некоторый коэффициент пропорциональности. Отсюда Но поскольку ср, по условию теоремы, удовлетворяет уравне- уравнению G6) тождественно относительно хъ лг2, ..., хп+ь мы имеем dy(xif хь..., ^я+1) = 0. Выражение дифференциала первого порядка не зависит от того, являются ли переменные независимыми или нет !Ь 153]. В нашем случае, при подстановке решения системы, ср бу- будет функцией одной независимой переменной, например хь и оказалось, что дифференциал этой функции ср равен нулю, т. е. производная по ^1 (после подстановки) тождественно равна нулю, иначе говоря, после подстановки ср не зависит от хи т. е. является постоянной. Это и пока- показывает, что ср^, хъ ..,, лгп+1) есть интеграл системы, что и требова- требовалось доказать. Доказанные две теоремы устанавливают эквивалентность понятия интеграла системы G4) и решения уравнения в частных произвол- 3*
68 ГЛ. Т. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 122 ных G6). Если суть k интегралов системы, то, как мы видели, произвольная функ- функция F(<pi, cpa, ..., <рл) дает также интеграл системы, и мы можем, следовательно, сказать, что произвольная функция каких-либо ре- решений уравнения G6) есть также решение этого уравнения. Если есть п независимых интегралов системы G4), то произвольная функ- функция F(yh <p2, ..., срл) есть решение уравнения G6). Это можно и непосредственно проверить, если подставить <p — F(q>u <р2, ..., <р„) в уравнение G6) и принять во внимание, что функции <pj, <pa> •••> 9п удовлетворяют этому уравнению. Можно по- показать, на чем мы не останавливаемся, что при выполнении некото- некоторых условий этой формулой выражается любое решение уравнения G6). Отсюда получается следующее правило интегрирования этого уравнения: чтобы найти общее решение уравнения с частными производными G6), надо составить систему обыкновенных диф- дифференциальных уравнений G4) и найти п независимых интегра- интегралов G7) этой системы. Общее решение уравнения G8) будет где F — произвольная функция своих п аргументов. Линейное относительно частных производных уравнение G6) об- обладает двумя особенностями: его коэффициенты Xt не содержат искомой функции <р и его свободный член равен нулю. В общем случае ли- линейного уравнения будем иметь уравнение вида ^^"+>^+>Vi = 0, G8) где Fi, К2, ..., Y,^i содержат хг, хь ..., хп и ср. Будем искать се- семейство решений уравнения G8) в виде неявной функции <*>(*!> хь ..., хЛУ 9) = С, G9t) где С—произвольная постоянная. Согласно правилу дифференциро- дифференцирования неявной функции подставляя в G8), получим для <о уравнение
23] § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 69 обладающее указанными выше двумя особенностями. Заметим, что ввиду произвольности С в G9t) переменные xl9 х* ..., хю ср могут иметь любые значения, и, как и выше, отсюда вытекает, что урав- уравнение G92) должно выполняться тождественно относительно Х\,хь...ухт у. Его решение приводится к интегрированию соответствую- соответствующей ему системы обыкновенных уравнений. Если со найдено, то G9Х) определит нам ср. Можно показать, что при некоторых общих предпо- предположениях относительно Yk таким путем можно получать все решения уравнения G8). Обратим внимание на то, что общее решение уравнения с част- частными производными содержит произвольную функцию, тогда как в общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений входят лишь произвольные постоянные. В томе IV мы более подробно изучим линейные уравнения с част- частными производными и установим соответствующую теорему сущест- существования и единственности. 23. Геометрическая интерпретация. Дадим геометрическую интерпретацию изложенной в [22] теории для случая трех пере- переменных. Положим, что мы имеем в трехмерном пространстве поле направлений, т. е. в каждой точке пространства задано определенное направление. Введем какие-нибудь прямолинейные прямоугольные коор- координатные оси. При этом всякое направление будет определяться тремя числами, пропорциональными направляющим косинусам этого направ- направления, т. е. косинусам углов, образованных этим направлением с осями координат. Мы имеем в разных точках, вообще говоря, различные направ- направления, и все поле направлений будет определяться тремя функциями и(х9 у, z), v(x, у, z), w(x, у, z\ (80) так что направляющие косинусы направления, заданного в точке (х, у, z), пропорциональны величинам (80). Как и для уравнения первого порядка, поставим себе задачу найти в пространстве такие кривые, в каждой точке которых касательная имеет то самое направление, которое в этой точке задано данным полем направлений. Но, как известно [I, 160], направляющие косинусы касательной пропорциональны дифференциалам dxt dyt dz, а при сов- совпадении двух направлений величины, пропорциональные их направ- направляющим косинусам, должны быть пропорциональны между собою, т. е. для определения искомых линий в пространстве мы имеем систему дифференциальных уравнений dx = dy = = = _ и (х, у, г) v (х, у, z) w (xt у, г)щ Интегрирование этой системы сводится к нахождению ее двух независимых интегралов *i(*, Л z) = Cu <pa (х, у, z) = C* (82)
70 ГЛ. Т. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ P# т. е. таких, что уравнения (82) разрешимы относительно каких-либо двух переменных. Эти два уравнения определяют некоторую линию пространства [I, 160]; придавая d и С2 различные численные значе- значения, получим семейство интегральных линий системы (81). Начальные условия сводятся к требованию, чтобы искомая линия проходила через заданную точку (xQ) j/0, ,г0). По этим начальным условиям определяются произвольные постоянные Q и С2. Перейдем теперь к геометрической интерпретации уравнения с частными производными. Считаем опять, что функции (80), как и выше, определяют некоторое поле направлений. Требуется найти такие по- поверхности, чтобы в каждой точке поверхности направление, опреде- определяемое в этой точке полем направлений, лежало в касательной пло- плоскости к поверхности в этой точке. Пусть уравнение некоторого се- семейства искомых поверхностей будет у, z) = C. Направляющие косинусы нормали к этой поверхности, как известно [I, 160], пропорциональны -^-, •=¦?, -^, и направление нормали должно быть перпендикулярно к направлению, определяемому величинами (80), так как последнее должно находиться в касательной плоскости. Ис- Используя обычное условие перпендикулярности двух направлений [I, 160], получаем для определения ср линейное уравнение с частными произ- производными »(•*, У. *)% + v(x, У. *)% + *>{*> У> *)й = а (83) Соответствующая этому уравнению система обыкновенных диффе- дифференциальных уравнений есть система (81), так что общее решение уравнения (83) имеет вид а общее уравнение искомых поверхностей будет F(Tl, cp2) = 0, (84) где F — произвольная функция своих двух аргументов. Произвольную постоянную С можно не писать ввиду произвольности F, a cpt и ера дают два независимых интеграла (82) системы (81). Если выберем определенным образом функцию F, то поверхность (84) будет, оче- очевидно, геометрическим местом тех интегральных линий системы (81), у которых значения постоянных в равенствах (82) связаны соотноше- соотношением Q0 = 0. (85) Решение уравнения (83) становится, вообще говоря, определенным, если потребовать, чтобы искомая поверхность проходила через за-
24J § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 71 данную в пространстве кривую (L). Это требование является началь- начальным условием для уравнения с частными производными (83). Искомая поверхность будет, очевидно, образована теми интегральными линиями системы (81), которые выходят из точек кривой (Z), т. е. для кото- которых координаты точек кривой (L) определяют начальные условия. В силу теоремы существования и единственности, для системы (81) мы получаем таким образом определенную поверхность. Исключитель- Исключительным представляется тот случай, когда сама данная кривая (L) является интегральной кривой системы (81). В этом случае предыдущее по- построение даст нам не поверхность, а саму кривую (L). Можно показать, что в этом случае через линию (L) проходит, вообще говоря, бесчисленное множество поверхностей <р = 0, где <р удовлетворяет уравнению (83). Подробно мы будем это излагать в четвертом томе. Положим, что уравнение линии (L) задано в виде совокупности двух уравнений Ых> У> *) = °> <№ У> *) = 0. (86) Исключая из четырех уравнений (82) и (86) переменные xf yy z, получим соотношение между Cj и С2, которое, в силу (85), и опре- определит вид функции F, которую надо взять, чтобы уравнение (84) давало искомую поверхность, проходящую через линию (86). 24. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение с частными производными Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений будет *? = d_l ^ dz_ (88 xz yz — (л:2 -\-у2) * Выше [20] мы нашли ее два независимых интеграла ? *2 = C2. (89) Первое из уравнений дает семейство плоскостей, проходящих через ось OZ, а второе — сферы с центром в начале координат. Интегральными линиями системы (88) будет семейство окружностей, лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале координат. Общее решение уравнения (87) будет (Щ где F—произвольная функция своих двух аргументов. Найдем вид функ- функции F так, чтобы поверхность проходила через прямую л-=1, у =
72 ГЛ. Т. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Г24 Исключаем д-, у и z из уравнений (89) и (92). Первое из уравнений (89) и уравнения (92) дают *=1, У = Си z = Cx\ подставляя во второе из уравнений (89), получаем соотношение между Cj и С2: 1+2С}—С2 = 0, т.е. F(C1? C2) = 1+2CJ —С2. При таком виде функции F уравнение (91) дает уравнение искомой по- поверхности 4 B+У + 2) = 0 или 2. Положим, что поле направлений, определяемое системой дифферен- дифференциальных уравнений, таково, что во всех точках пространства направление одно и то же. Пусть (а, Ь, с) — числа, пропорциональные направляющим ко- косинусам этого фиксированного направления. Система дифференциальных уравнений будет или cdx — adz = что дает сразу два интеграла сх — az = Clf су — bz = С2. Интегральные линии суть, очевидно, параллельные прямые линии, имею- имеющие указанное выше фиксированное направление. Соответствующее уравне- уравнение с частными производными ap.+b%+cdJ?=0 (93) дх ' ду ' дг ' определяет поверхности <р (xt у, г)=0, являющиеся геометрическим местом некоторых из указанных выше прямых линий, т. е. уравнение (93) есть урав- уравнение цилиндрических поверхностей. Его общее решение имеет вид y = F(cx — azt cy — bz), где F—произвольная функция, и общее уравнение цилиндрических поверх- поверхностей, образующие которых имеют указанное выше направление, будет F (сх — az, су — bz) = 0. 3. Положим, что поле направлений таково, что в каждой точке М(х, y\z) направление, даваемое полем, совпадает с направлением вектора, идущего из фиксированной течки А (а, Ь, с) в точку М (х% у, z). Проекции этого век- вектора на координатные оси будут х — а, у — b, z — с и, следовательно, эти же три величины пропорциональны направляющим ко- косинусам заданного направления в точке М. Соответствующая система диф- дифференциальных уравнений будет dx dy dz х — а у — b z — с' и мы имеем два очевидных интеграла Z—С V Z—C
24J § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 73 Геометрически ясно, что семейством интегральных линий будет семейство прямых, проходящих через точку А (а, Ь, с). Соответствующее уравнение с частными производными будет определять конические поверхности, имеющие вершину в точке Л, и общее уравнение таких поверхностей будет где F—произвольная функция своих двух аргументов. Отметим, что через заданную в пространстве линию (L) мы можем про- провести, вообще говоря, только одну коническую поверхность, которая будет образована прямыми, "идущими из точки А в точки линии (Z,). Но если ли- линия (L) есть линия, принадлежащая семейству интегральных линий системы, т. е. прямая, проходящая через точку Л, то можно провести бесчисленное множество конических поверхностей, содержащих такую прямую (?). 4. Рассмотрим еще систему дифференциальных уравнений вида dx = dy = dz су — bz az — ex bx — ay * Приравнивая все три отношения дифференциалу dt некоторой новой перемен- переменной t, можем написать dx = (cy — bz)dt, dy = (az — cx)dt, dz = (bx — ay) dt. (95) Отсюда нетрудно составить два уравнения, которые непосредственно проин- тегрируются. Для составления первого умножим уравнения (95) почленно на а, Ь, с и сложим, а для составления второго уравнения умножим уравне- уравнения (95) на л*, у, z и сложим. Таким образом, получаются два уравнения adx + bdy + cdz = 0, xdx + ydy + zdz = 0, интегрирование которых и дает два интеграла системы ах + by + cz = Си х2 + у2 + z2 = Са. (96) Первый из интегралов дает семейство параллельных плоскостей, направ- направляющие косинусы нормали к которым пропорциональны числам (я, Ьу с). Второй из интегралов дает семейство сфер с центром в начале. В пересече- пересечении этих плоскостей и сфер получится семейство интегральных линий сис- системы (94). Это будет, очевидно, семейство окружностей, расположенных на упомянутых выше плоскостях и имеющих центр на прямой 7-*-7- проходящей через начало координат и перпендикулярной ко всем упомяну- упомянутым плоскостям. Нетрудно видеть, что соответствующее уравнение с частными произ- производными определяет поверхности вращения, для которых прямая (97) есть ось вра- вращения, и общее уравнение таких поверхностей будет
74 ГЛ. Т. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ B4 где F—произвольная функция своих двух аргументов. Заметим, что вид зна- знаменателей в системе (97) можно было бы определить из геометрических соображений, задавая соответственным образом поле направлений, как это мы делали в предыдущих примерах. 5. К линейному уравнению с частными производными приводит задача об ортогональных траекториях в пространстве. Положим, что задано семей- семейство поверхностей «(*.**) = С, (98) зависящее от параметра С, так что через всякую точку пространства прохо- проходит, вообще говоря, одна и только одна поверхность "семейства. Требуется найти поверхность *(*•**) = <?„ (") которая пересекала бы все поверхности (98) под прямым углом. Условие перпендикулярности нормалей поверхностей (98) и (99) даст нам линейное уравнение с частными производными для искомой функции <р: д<& до Соответствующая система обыкновенных уравнений д д дсо dx ду Ъг определяет кривые, у которых в каждой их точке касательная есть нормаль к поверхности (98), проходящей через эту точку. Если 9. (*• У, 2) = Cit 9а (*» У, *) = С9 — два независимых интеграла системы A00), то уравнение искомых поверх- поверхностей будет иметь вид f ft
ГЛАВА II ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 25. Линейные однородные уравнения второго порядка. Теория линейных дифференциальных уравнений является наиболее простой и разработанной частью теории дифференциальных уравнений, и именно яинеШше уравнения наиболее часто встречаются в приложениях* В {Щ мы решали линейные уравнения первого порядка. В настоящей гдаве мы будем рассматривать линейные уравнения любого порядка и начнем с уравнений второго порядка. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение вида o, A) где через Р(у) мы для краткости обозначили левую часть. Из линей- нбсти выражения Р(у) относительно функции у и ее производных вытекает, что при произвольных постоянных С, Сг и С2: Р(Су) = СР(у), Р(С1У1 -f Сф) = С%Р(ух) + СъР(у*). Веля у — уь есть решение уравнения, т.е. P{yx)==i О, то, очевидно, $K)—0, т. е. и у = Су\ есть также решение уравнения. Точно же, если ух и уа суть решения, то У = СдУ1 + С^ B) есТь также решение при произвольных постоянных Q и С& т. е. ре* меная линейного однородного уравнения A) можно умножать на ол постоянные и складывать, после чего опять полу- ^ешение' Очевидно, это же свойство имеет место и для ли- ОДИОР°ДНОГО уравнения любого порядка. Теорема существо- и единственности для уравнения A) формулируется особенно
76 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ B5 просто, как это мы покажем в конце этой главы: если р(х) и <?(х)— непрерывные функции в некотором конечном замкнутом проме- промежутке I (а^х^Ь)и х0 — любое значение из этого промежутка, то имеется одно и только одно решение уравнения A), удовлет* воряющее начальным условиям еде у0 и у'о — любые заданные числа, и это решение существует на всем промежутке I. Если фиксировать дг0 и придавать у0 и yd всевозможные числен* ные значения, то указанные в теореме решения исчерпывают все ре- шения уравнения A). Во всех этих решениях функции у(х)у у'(х) и у"(х) непрерывны вплоть до концов промежутка а^х^Ь и пре- предельные значения у (х) и у" (х) при х = а суть производные у (а -(-0), у" (я-j-O)—справа, а при х = Ь производные слева у (Ь—0), у"F—0). В дальнейшем мы в аргументах не будем писать ± 0 [ср. I]. Из фор- формулированной выше теоремы непосредственно следует совершенно аналогичное утверждение и для открытого промежутка а<^дг<^?» который может быть как конечным, так и бесконечным. Мы будем всегда рассматривать решения уравнения A) на промежутке непрерыв- непрерывности коэффициентов р(х) и q(x). Уравнение A) имеет очевидное решение у = 0 (нулевое решение). Ему соответствует у0 = у'0 = 0. В дальнейшем, говоря о решениях уравнения A), мы будем подразумевать, что эти решения отличны от нулевого решения. Введем одно новое понятие, которое нам понадо- понадобится в дальнейшем. Пусть yt и у2— Два решения уравнения (^.Рас- (^.Рассмотрим следующее выражение, составленное из них: А (Уь Уд = У\Уч — УчУ* D) Оно называется определителем Вронского решений ух и у* Для него имеет место следующая замечательная формула: X - J P{t)dt A(yi, у*)=V *° ¦ E) где До — постоянная, равная, очевидно, значению A(yi, у*) Для доказательства вычисляем производную Принимая во внимание, что ух и у? суть решения уравнения A), можем написать Умножая первое уравнение на (—у^ второе на ух и складывая по- почленно, получим У \У\ — Wi + р (х) (уу* — У&') = 0
ОБ1ДАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 77 $ следовательно, есть линейное однородное уравнение относительно А(уи у2) и> няя формулу B9) из [6], получаем формулу E). Из этой фор- форнепосредственно следует, что определитель Д (у1г у2) или тоэ\с~ на промежутке I равен нулю, если постоянная До равна Шл#> ши не равен нулю ни при одном х из I, так как показатель- на* функция в нуль не обращается. Напомним, что р (х) считается непрерывной на / функцией. Два решения ух и у% уравнения A), отличные от нулевого, назы- называются линейно независимыми, если не существует тождественного относительно х на промежутке / соотношения с йостоянными коэффициентами с^ и сц, отличными от нуля. Если тЩресоотношение имеется, то решения у{ и уг называются линейно защисимыми. Отметим, что если один из коэффициентов, например аь равШ' нулю и оц ф 0, то из C) следует у,г ^ 0, а это противоречит тому^что оба решения отличны от нулевого. Отсюда следует есте- стаёвйость требования того, что оба коэффициента отличны от нуля. Линейная зависимость решений ух и у», выражаемая тождеством F), равносильна, очевидно, тому, что одно из решений отличается от другого лишь постоянным множителем у^^Су^ где постоянная С отлична от нуля. Продифференцируем это соотношение: у^ = Су[; из двух соотношений непосредственно следует, что определитель Вронского &{у\, у^) двух линейно зависимых решений тождественно равен нулю. Поло- жим§!$перь наоборот, что определитель Вронского &(у\>уъ) — тожде- CTB€i|iib равен нулю, и покажем, что при этом решения ух(х) иуъ(х) — линейно зависимы. Фиксируем такое значение x = xQ, при котором ?1-(*$Ф-0, и напишем два уравнения, содержащие постоянную С, обозначая через у10, у20, y'l<h y!29 значения уь уа и их производных при jc?=zxt Уъъ = Су ю, Уъо = Сую» Из первого уравнения С==—° и, подставляя это во второе уравне- Убедимся, что оно также удовлетворено в силу того, что A(yi, yt) ° Н^ЛЮ тождественно, и в частности при дг = дг0. Таким образом, У{*)—У%(х) — Сух(х) уравнения A) удовлетворяет началь- Виям C) при у0 = 0 и у^ = 0, т. е. у (х) есть нулевое реше- и следует, что у*(х) — Сух(х) = 0 или
78 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [25 Мы приходим, таким образом, к следующему заключению: равенство нулю определителя Вронского A(yi, ;/2) является необходимым и достаточным условием линейной зависимости решений у± и уъ т. е. два решения уг и уг уравнения A) линейно независимы тогда и только тогда, когда их определитель Вронского отличен от нуля. Отметим еще следующую очевидную формулу для производной от частного двух решений: X - \p(t)di д 7 у\ *° у\ • (/) Она, очевидно, теряет смысл в тех точках, где yv обращается в нуль. Покажем теперь, что если у± и у% — линейно независимых реше- решения уравнения A), то при надлежащем выборе постоянных Q и С2 формула B) дает нам решение уравнения A), удовлетворяющее любым наперед заданным начальным условиям У U= х9 =>'о> / U-*o = Уо- (8) Опять через jJ0, д/20> >'ш Ум обозначим значения у\, у* и их пер- первых производных при x = xQ. Чтобы удовлетворить начальным усло- условиям (8), надо определить Q и Сг в формуле B) из системы урав- уравнений Ci^io + СъУъ = Уь Су и + C^'2Q = yl. Из линейной независимости yv и у^ вытекает, что До = Ую>'зо — Упр'м Ф О, и следовательно, из написанной системы мы получим определенные значения d и Q, что доказывает наше утверждение. Но в силу теоремы существования и единственности [2] всякое решение уравнения A) вполне определяется своими начальными условиями, и мы можем поэтому высказать следующее предложение: если ух и у2 — Ьва линейно независимых решения уравнения A), то формула B) дает все решения этого уравнения. Таким образом, задача интегрирования A) приводится к нахожде- нахождению его двух линейно независимых решений. Пусть ух — одно из ре- решений этого уравнения и у8 — какое-либо его решение. Интегрируя соотношение G), получим т. е. если известно одно частное решение уравнения A), то второе его решение может быть получено по формуле (9), где Де — постоян- постоянная, которую можно положить и равной единице.
з общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами 79 Надо сказать, что найти это одно решение в конечном виде или яри помощи квадратур в общем случае, когда р(х) и q(x)~ \ от Ху оказывается невозможным. Для некоторых частных -лучаев и, между прочим, в том случае, когда р(х) и q(x) суть по- постоянные, а не функции от х, — решения, как мы увидим, полу- чяются в конечном виде. В дальнейшем мы укажем также один способ построения реше- решений, часто применяемый в приложениях, а именно построение реше- решения в виде бесконечного ряда. 26. Линейные неоднородные уравнения второго порядка. Линей* 0UM неоднородным уравнением второго порядка называется урав- уравнение вида и" -f- р (х) и' -\- q{x)u—f (х). A0) Если р(х), q(x) и f(x) непрерывны в некотором промежутке д^х<С.Ь> то мы имеем, как будет дальше доказано, совершенно такую же теорему существования и единственности, что и для одно- однородного уравнения A). В дальнейшем мы будем рассматривать реше- решения уравнения A0) в промежутке непрерывности р(х), q(x) и f(x). Пусть и = щ есть частное решение этого уравнения, так что и; + р{х) и[ + q (х) ih ==/(*> (И) Введем вместо и новую функцию у: Подстановка в уравнение A0) дает \)?"-{-р(х) или, в силу (II), У = Ь A3) Это последнее уравнение называется однородным уравнением, соответствующим уравнению A0). Если ух и у$ — его два линейно независимых решения, то, согласно формуле A2) и предложению предыдущего номера, формула * ^ — произвольные постоянные, будет давать все решения A0). Свойство это можно формулировать так: общее petue- Ше линейного неоднородного уравнения второго порядка равно сУмме общего решения соответствующего однородного уравнения IK^Wo6b частного решения неоднородного уравнения. выше доказательство годится, очевидно, и для лимеи- УРавнений любого порядка, так что и для них место высказанное свойство.
80 ГЛ. ТТ. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |27 Зная два линейно независимых решения однородного уравне- уравнения A3), можно, как мы сейчас увидим, найти и частное решение уравнения A0), а следовательно, и ?го общее решение. Мы применим при этом способ, который называется способом изменения произ- произвольных постоянных Лагранжа [в]. Пусть ух и у2 — два линейно независимых решения уравнения A3). Его общее решение выражается, как известно, по формуле B). Будем искать решение уравнения A0) в том же виде, считая только С\ и С2 не постоянными, а искомыми функциями от х: и = vt (х)у{ Имея не одну, а две искомые функции vt(x) и гкт.(х), мы можем подчинить их, кроме уравнения A0), еще одному условию. Поставим следующее условие: Дифференцируя выражение A4) и пользуясь условием A5), будем иметь U9 si 1 ¦ н" = Vi (х) уi -f- Щ (х) yl 4~ я I (х) У% ~Ь * Подставив в левую часть уравнения A0), получим V\ (х) \у[ + р (х) у\ -f q (x) yt] + ^ (л:) \yl + yt? (x) >^ -f-^J(x)^J Принимая во внимание, что ух и у3 суть решения однородного уравнения A3), и вспоминая условие A5), будем иметь алгебраичес- алгебраическую систему уравнений первой степени v'\ (¦*) У\ + v* (¦*) У* = 0> ^i (*) Vi + ^ (лг) У г = / W A б) для определения v[(x) и ^() Ввиду линейной независимости решений ух и а потому система A6) дает вполне определенные выражения для v[ (x) и v!2(x). Выполняя квадратуры, найдем vx(x) и Vi(x), и подстаолмя в A4), получим решение уравнения A0). 27. Линейные уравнения высших порядков. Линейные уравне- уравнения высших порядков обладают многими свойствами уравнения вто- второго порядка. Мы их формулируем, не останавливаясь на доказа- доказательствах.
2Л § 3. ОБШАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 81 Линейным однородным уравнением п-го порядка называется уравнение вида Если уь Уъ .. ¦ у У к — его решения, то и сумма также будет решением при произвольных постоянных Cit С2,..., Сй. Это доказывается совершенно так же, как и для уравнения второго порядка [26]. Теорема существования и единственности формулируется так же, как и для уравнения второго порядка, причем начальные условия имеют вид у \х=: х0 —>'п> У \х = х0 — Уо» • • •» У \х = хд — Уо • Решения уи уь ..., yk называются линейно независимыми, если между ними не существует тождественного относительно х соотно- соотношения с постоянными коэффициентами alf о^,..., аА> среди которых есть отличные от нуля. Если уь уь ..., уп — п линейно независимых решений уравнения, то формула т A8) где Сг — произвольные постоянные, дает все решения этого уравне- уравнения. Располагая постоянными Q, можно получить решение, удовлет- удовлетворяющее указанным выше начальным условиям. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го по- рядка имеет вид Если щ —- какое-либо решение этого уравнения и уь у*,... ,уп — линейно независимые решения соответствующего однородного урав- уравнения A7), то формула -.. + Спуп-{- , дает общее при этом, если уъ уь ..., уп известны, то решение уравнения A9) Жет быть получено по «Ьопмуле Где сг — произвольные постоянные, дает общее решение уравне- При получено по формуле u = vv {х)ух -f Щ (х) у* -{- ¦ •. + vn (х)уп>
82 ГЛ. ТТ. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 128 где ги(х) определяется из системы уравнений первой степени «i Му{ -f г>; (х) у, -f-... + vn (x)ya = О, »i (x)y't + v'2 (х)у!2 -f... -f Vn (х)у'п = О, Для читателя, знакомого с теорией определителей, можно указать не- необходимое и достаточное условие линейной независимости, совершенно аналогичное тому, которое мы дали выше для уравнений второго порядка. Пусть, как и выше, ^,.)! , уп — решения уравнения A7). Определителем Вронского этих решений" называется следующий определитель я-го порядка: Д(Уи Л»--1 >'*) = и для него можно доказать формулу, аналогичную формуле E): У\ У\ У\ У» У* У", 1) у(п -1) - Уп — У'п - к k0'l» Л»-м ^я)=^ ~ J Pi <JP) flfAl где Ао — значение Д при лг = л. Из этой формулы, как и выше, вытекает, что Д или тождественно равно нулю, или не обращается в нуль ни при ка- каком значении х. Необходимое и достаточное условие линейной независимо- независимости решений уи у2»-«» Уп и состоит в том, что их определитель Вронского не равен тождественно нулю. При этом по любым начальным условиям вполне определяются произвольные постоянные формулы A8). Как и для уравнений второго порядка, теорема существования и единственности дает решение во всем том промежутке, где коэффициенты уравнения pt (x)t ps (x)t .,¦, pn (x) суть непрерывные функции. 28. Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Прежде чем переходить к уравнению с постоян- постоянными коэффициентами, мы докажем одну формулу дифференцирова- дифференцирования. Положим, что мы имеем комплексную функцию вещественного переменного х\ где ср(лг) и^(лг) — вещественные функции. Производную функции/(J?) определим формулой /4*)=?'С*)+**'(*). Отсюда следует f"() f() + if(x) и т. д.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 83 - г некоторое вещественное число, то производная функции егх\ (erx)' = rerx. Покажем, что эта формула остается справедливой, если г = а-\-Ы есть любое комплексное число. Действительно, из определения пока- показательной функции при комплексном показателе имеем bx-\-i sin Ьх) = еах cos bx~-ieax sin bx и, согласно сказанному выше, ' = e™ (a cos bx — b sin bx) -f ieax {a sin bx -f- b cos bx\ откуда bi)y ax b | i b^ | ^aA' ( _ s|n ^ _|^ / COS (е(а+ы)ху^^^щeax(cos bx_l^ sin ^^ = (a что и требовалось доказать. Далее, имеем Займемся теперь решением линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами У + Л/+«У = 0. B0) Если числа р и q вещественны и некоторая комплексная функция у(х) — <%(х)-\-Щ(х) является решением этого уравнения, то веще- вещественные функции у(х) и ty(x) также, очевидно, удовлетворяют урав- уравнению B0). Подставим в левую часть B0) у = егх, B1) где г — некоторое вещественное или комплексное число. Дифферен- Шр и вынося егх за скобки, получим й фикция B1) удовлетворяет уравнению B0), если г есть корень квадратного уравнения i* + pr+q = 0, B2) которое называется характеристическим уравнением для уравне- уравнения B0)» В дальнейшем считаем, что р и q — вещественные числа. ??ли квадратное уравнение B0) имеет два различных вещественных и Га> т0 фОрМуЛа ^21) дает нам два решения уравнения B0) yl = er^9 уъ = е'*х. B3) решения линейно независимы, ибо их отношение, равное eri* i) Т^ не есть постоянная. Если корни
84 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 128 Н© вещественны, то они мнимые сопряженные: rx = a -j- p/ и г2 = а— р/(р^О). Взяв вещественную и мнимую части е^а+^х, полу- получаем два также линейно независимых решения: еа* sin рлг = 1 [e(a+Pl*>* — e(—PO*je Положим теперь, что уравнение B2) имеет равные корни. Это будет иметь место, если р* — 4q = 0, и при этом ri = r, = -?. B4) Изменим немного коэффициенты р и q так, чтобы корни сдела- сделались различными, например, сделаем так, чтобы корень гх по-преж- по-прежнему имел значение B4), а корень г« немного отличался от него. При этом получаются два решения B3). Вычтем первое решение из вто- второго и разделим на постоянную (га — rj). Таким образом, мы опять получим решение [25]: V zг. г2 — гА Будем теперь измененные значения коэффициентов р и q стремить к их исходным значениям, при которых уравнение B2) имело двойной корень. При этом г2 будет стремиться к гь в формуле B5) числи- числитель и знаменатель будут стремиться к нулю, а вся дробь будет иметь своим пределом производную от функции егх по г при г = гь т. е. второе решение уравнения будет у% = хег^х. Итак, в случае равных корней уравнения B2) мы имеем следующие два линейно не- независимых решения: B6) Ввиду некоторой нестрогости предыдущих рассуждений убедимся непосредственной подстановкой, что у% — действительно решение урав- уравнения. Подставляя у% в левую часть уравнения B0), получим *) -f- p (/lxer^x -f- er^ Первое из слагаемых правой части будет равно нулю, так как г = Г\ есть корень уравнения B2), а второе слагаемое равно нулю в силу B4) и таким образом действительно у% есть решение уравнения B0). В случае вещественных различных корней гх и г2 уравнение B0) имеет общий интеграл B7)
29) § 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 85 в случае не вещественных сопряженных корней ач^р/ О Ф 0) общий интеграл будет у = е** (Ct cos р* + <к sin р*), B8> в случае одного корня (двукратного) уравнения B0) B9) Отметим еще тот частный случай формулы B8), когда уравнение B2) имеет чисто мнимый корень, т. е. а = 0 и р ф 0. При этом должно быть /> = 0, a # должно быть положительным числом. Обозначая л==А9, мы будем для уравнения B2) иметь корни ±kl, и следова- следовательно, уравнение /'-f*V = 0 C0) имеет общий интеграл у = С, cos kx + С* sin &je. C1) 29. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с по- постоянными коэффициентами. Рассмотрим теперь неоднородное урав- уравнение где р и q — по-прежнему заданные вещественные числа и f(x) — за- заданная функция от х. Для нахождения общего интеграла этого урав- уравнения достаточно найти его частное решение и сложить его с общим интегралом соответствующего однородного уравнения B0). Поскольку общий интеграл однородного уравнения известен, можно при помощи квадратур найти это частное решение, пользуясь методом изменения произвольных постоянных [26]. Проделаем это, например» для урав- уравнения вида y" + k*y = f(x). C3) Общий интеграл соответствующего однородного уравнения опреде- определяется формулой C1), и нам надо искать частное решение уравне- уравнение C3) в виде и = vx (x) cos kx -J- щ (х) sin kx, C4) где vx(x) и v<z(x) — искомые функции от х. Уравнения A6) дают в данном случае для производных этих функций систему двух урав- уравнений первой степени Решая v\ (x) cos kx -f- г>2 (х) sin kx = 0, — v[ (x) sin kx -j- v'% (x) cos kx — ~j- f{x). ее, получим [(X) = — -jf(x) sin kx, *i(at) ==-у
86 ГЛ. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |30 Напишем первообразные функции в виде интеграла с переменным верхним пределом и обозначим через 5 переменную интегрирования X X vx (*) = — JL J /(«) sin kl flfS, vi(x)= ~ J /F) cos k\dt, xo x0 где x0 — некоторое фиксированное число. Подставляя в формулу C4), получим частное решение „ = _ ??!*? J /ф Sin k\ d\ -f -^ J /(?) cos & & C4t) или, внося множители, не зависящие от переменной интегрирования, под знак интеграла, X и = \ J f(t) sin k (x — I) d% C4J и общий интеграл уравнения C3) будет у=Сг cos Ajur + CaSin kx-\-^ [ f(Z)s\n k(x — t)dl Сделаем по поводу формулы C4^) два замечания. Переменная х входит в правую часть этой формулы двояким образом. Во-первых, х является верхним пределом интеграла и, во-вторых, она входит под знак интеграла не как переменная интегрирования, но как добавочный параметр, который считается постоянным при интегрировании. Далее, нетрудно показать, что частное решение C4Й) удовлетворяет нулевым начальным условиям при х — х^ т. е. «и_^=о, *и-,о = о. C4,) Первое из этих равенств непосредственно вытекает из C42), так как при лг = лг0 верхний предел интеграла совпадает с нижним, и интеграл равен нулю. Чтобы проверить второе равенство, определим и из фор- формулы C4Д помня, что производная от интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции при верхнем пределе. После очевид- очевидного сокращения получим */= sin kx\ f(l) sin k\ d\ + cos kx I f(t) cos k* Д, *n Xo откуда и вытекает непосредственно вторая из формул C43). 30. Частные случаи. Если правая часть уравнения C2) имеет специ- специальный вид, то можно гораздо проще отыскивать частные решения, не при-
до § 3, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 87 бегая к методу изменения произвольных постоянных. Сделаем сначала ние. Положим, что правая часть уравнения C2) есть сумма двух сла- слагаемых: и положим, что Wj(jc) и ut(x) суть частные решения неоднородного урав- уравнения, когда правая часть равна ft (х) и /а (л:), т. е. Складывая, получим (*| + «ЯГ + /><«! + «*)' + <7 («1 т* e. (tfi+wa) есть частное решение уравнения C5). Рассмотрим теперь неоднородное уравнение вида где в правой части а и k — заданные числа. В дальнейшем, для сокращения письма, введем специальное обозначение для левой части уравнения B2): i(r) = r*+pr + q.) C7) Будем искать решение уравнения C6) в том же виде, что свободный член, т. е. в виде где at — искомый численный коэффициент. Подставляя это в C6) и сокра- сокращая на ekxt получим для определения а± уравнение, которое» в силу C7), «южно записать в виде Если ft не есть корень уравнения B2), т. е. у{к)фЪ% то из этого уравнения определится я,. Положим, что к есть простой корень уравнения B2)t т. е, <р(&) = 0, но ф'(Д)=?О [1# 186]. В данном случае будем искать решение урав- уравнения C6) в виде у = а^хекх. Подставляя в уравнение и сокращая на ek*f получим или, в силу ?(&)=0, ^гауда определяется в^ так как у'(Ь)фО. Если, наконец, число ^ есть двукратный корень уравнения B2), т. е, <р (k) = f (к) s0, то, как и выше, нетрудно показать, что решение уравнения надо искать в виде у z= а^е1**. з^им »е методом можно находить решение и в более общем случае, когда «юоодный член имеет вид произведения P(x)ekxt где />(*) — многочлен от ¦¦ ьсад л не есть КОрень уравнения B2), то и решение надо искать в виде y = Pl(x)eb*t C8) яваяютг^ — многочлен той же степени, что и Р(х), причем искомыми *** я п коэФФициенты ^iD Подставляя C8) в уравнение, сокращая на внеы И*>авкивая К0ЭФфициенты при одинаковых степенях xt получим *пин дяя определения коэффициентов Pt (x).
88 ГЛ, N. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Щ Если же k есть корень уравнения B2), то в правой части C8) надо ввести множитель х или х% смотря по тому, будет ли k простым или двукратным корнем уравнения B2). Перейдем теперь к тем случаям, когда свободный член содержит триго- тригонометрические функции. Рассмотрим сначала уравнение У* + Р/ + ЯУ = *** (« cos '* + Ь sin lx). C9) Пользуясь формулами [I, 177] ejLe . СО8 lX as L 9 sin /л: L 9 sin /л: s — можем представить правую часть уравнения C9) в виде . где Л ий:—некоторые постоянные. Если сопряженные числа (к ±11) не суть корни уравнения B2), то, согласно предыдущему, надо искать решение уравнения в виде А или, возвращаясь от показательных функций к тригонометрическим e±lxt — cog tx ± i sin lxt видим, что если (k ± И) не суть корни уравнения B2), то решение уравнения C9) надо искать в виде у == екх (aL cos lx + Ьг sin lx\ D0) где at и bt — искомые постоянные. Совершенно так же можно показать, что в правой части формулы D0) надо ввести множитель х, если {k ± H) суть корни уравнения B2).. Постоянные а^ и Ьг определяются подстановкой выраже- выражения D0) в уравнение C9). Заметим, что если в правой части C9) участвуют, например, только cos lxt то в решении D0) надо брать все же оба члена, содержащих как cos lx> так и sin lx. Приведем, не останавливаясь на доказательстве, более общий результат. Если правая часть имеет вид ekx [p (x) cos lx -f Q (x) sin lx]f где Р(х) и Q(x) — многочлены от х, то решение надо искать в том же виде г** [Pi (x) cos lx + <?! (х) sin lx\r где Pi(x) и Qi(x) — многочлены от х9 степени которых надо принять рав- равными наибольшей из степеней многочленов Р(х) и Q{x)> Если к ±11 суть корни уравнения B2), то надо приписать еще множитель х. 31. Корни решений и колеблющиеся решения* Мы рассмотрим в этом номере вопрос о корнях решений уравнений A), т< е. о корняч уравнения у(х) = 0, где у(х) — некоторое решение уравнения A). Мы, естественно, будем предполагать, что решение у{х) отлично от нулевого решения у(х)^0. Все наши рассуждения будут, как и выше, относиться к проме- промежутку изменения х9 в котором коэффициенты р(х) и q{x) — непре- непрерывны. Если х есть корень некоторого решения у{х), отличного от нулевого^ т. еш у (х0) = 0, то обязательно у (лг0) Ф % ибо
81! § 3, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 89 начальным данным у(хо)=У(л:0) = О соответствует нулевое решение. Если х0 есть корень двух решений ух(х) и yi(x)t то из D) следует, что A(yi7 у^ — О при x = xGt т, е. решения^ иу2 линейно зависимы. Таким образом, линейно независимые решения не имеют общи* корней. Если решения линейно зависимы, т* е. отличаются лишь постоянным множителем, то они имеют, очевидно, одни и te же корни. Пусть хе — корень решения у (дг), отличного от нулевого. Покажем, щто существует окрестность этой точки х0— й^лг^лго + в, которая не содержит других корней у (х). Если бы при любом ?коль угодно малом положительном Ь в указанной окрестности были $Ы корни, отличные от х€, то мы могли бы составить бесконечную последовательность корней хх, хь ... t отличных от лг0, которая бы Стремилась к х$ (ха -»• дг0). Составим отношение Поскольку у(хп)=у(Хъ) = О, это отношение равно нулю при асяком п. С другой стороны, при хп-+х<> это отношение имеет предел /(-*г0), и следовательно, У(дго) = 0, Но, по условию, y(xQ) = Oy Щ^отому у(х) есть нулевое решение, что противоречит нашему йгредположеншо. Из доказанного следует, что на всяком конечном зщмтутом промежутке а^х^Ь может существовать только J$ число корней любого решения у (х). Если бы это было то существовала бы, как нетрудно показать, последователь- различных корней хп{п=\, 2,...), принадлежащих промежутку ЩЬ, имеющая предел, который мы обозначим через дг0-В силу ййрерывности у (х) и хя -+ xQ из у (хп) = 0 следует, что и у (jee) = О, fif любой окрестности хе принадлежит бесчисленное множество хп решения у(х), чего не может быть, как мы показали ь и л — последовательные корни некоторого решения 1- е* ^{^o)=^(^i) = 0 и Уъ(х)^0 при лгоООь а -~ решение, линейно независимое с у$(ху Покажем, что yi(x) по крайней мере один корень на промежутке xu<^x<^xt. вести доказательство от обратного. Пусть таких корней нет. е^й независимости следует, что у±{х) не равно нулю при и х ~хь т*е- У1 (*) Ф 0 на замкнутом промежутке дг0 ^ х ^ *ь овательно, частное^- есть непрерывная на этом промежутке равная нулю на его концах. Но из формулы G) следует, частное — монотонная на этом промежутке функция —воз- аЯ СЛЙ ЧИСЛ0 Д»^>°1 илй Убываю1Д2я, есля Д0<0. Полу- противоречие и доказывает, что у\{х) имеет по крайней мере
90 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 131 один корень на промежутке xQ<^x<^xv Если бы эта функция имела два корпя х'о и х[ на этом промежутке (х0 <^х'о <^х[ <^ хД то, применяя предыдущие рассуждения, мы получили бы, что у% (х) имеет по крайней мере один корень между х'о и х{, а это противоречит тому, что лг0 и х{ — последовательные корни у.2(х). Мы приходим, таким образом, к следующей теореме: Теорема 1 (Штурма). Если х0 и xi — два последователь- последовательных корня некоторого решения у{х) уравнения A), то всякое другое линейно независимое с у{х) решение того же уравнения имеет в точности один корень между х0 и х^ Иначе эту теорему можно сформулировать так: корни двух ли- линейно независимых решений уравнения A) взаимно разделяют друг друга. Из сказанного следует, что если некоторое решение уравнения A) имеет т корней на конечном замкнутом промежутке а^х^Ь, то число k корней всякого другого решения (отличного от нулевого) урав- уравнения A) при а^х^Ь подчиняется неравенству: т — 1 ^k^m-\-\* Введем новые понятия. Если решение у(х) имеет в некотором про- промежутке / не более одного корня, то оно называется неколеблющимся в этом промежутке. Если же число корней в / не меньше двух, то оно называется колеблющимся в /. Рассмотрим простейшее уравнение у" — k*y = Of где/е2 — положи- положительная постоянная. Решения ekx и e~kx на всем бесконечном про- промежутке — сю <^ х <^ -f- oo не имеют корней. Общее решение C\ekx -f- С*е~кх также не имеет корней, если постоянные Q и Ci 1 / С \ имеют одинаковый знак, и имеют один корень тпг^! — "г/> если эти постоянные разных знаков. Таким образом, всякое решение ука- указанного уравнения будет неколеблющимся на любом промежутке. Уравнение у"~\-к2у = 0 имеет решения cos/ex и sin&x, которые на .шооом замкнутом промежутке, длина которого не меньше -г-, имеют не меньше двух корней, т. е. будут колеблющимися на таком про- ыежутке. Как легко видеть, то же можно утверждать и о любом решении указанного уравнения. Разница в поведении решения рассмотренных уравнений обуслов- обусловлена тем, что в первом из них коэффициент при у отрицателен (--&2), а во втором положителен (+^2). Докажем теперь теорему о неколеблющихся решениях для уравнения с переменным коэффи- коэффициентом- Теорема 2. Если г(х) — непрерывная функция на конечном замкнутом промежутке а^х^Ь и г(х)^0 на этом проме- промежутке, то все решения уравнения / + г(дг)у = 0 D1) — неколеблющиеся на этом промежутке.
31J § 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 91 Будем доказывать от обратного. Пусть имеется решение yQ (x) уравнения A6), отличное от нулевого и имеющее более одного корня на промежутке а^х^Ь, и пусть лгА и х2 — два последовательных корня yQ (дг), так что у0 (хх)=у0 (х2) = 0 и у0 (х) ф О при хх О<>2. Не ограничивая общности, можем считать у0 (х) ^> 0 при хх <^ х <^ х^ ибо если >'oW<CO, то мы заменим уо(х) на [—у0(¦*)]• Из D1) и г(х)^0 следует, что Из у0 (Xj) = 0 и у0 (х)^> 0 при х{ <^х<^х>2 следует, что у'о (х{)^ 0. Но, поскольку уо(х) не есть нулевое решение, должно быть ydCx^^O, и предыдущее неравенство приводит к неравенству _уо (х2) ^>0, которое противоречит условию уо(х2) = О. Теорема доказана. Сформулируем еще одну теорему, доказательство которой в основ- основном аналогично доказательству предыдущей теоремы. Она касается вопроса сравнения колебательности решений двух уравнений Теорема 3. Если г2 (х) ^ гх (х) на промежутке а^х ^Ь, то между каждыми двумя корнями любого решения у (х) первого уравнения находится по крайней мере один корень любого решения z(x) второго уравнения. Короче говоря-, увеличение коэффициента г(х) в уравнении D1) может только увеличить колебательность всех его решений. Отметим, что теорема 2 является следствием последней теоремы. Общее уравнение вида A) а потому уо(х) не убывает на этом промежутке, т. е. у0 (к) ^ yQ G*i) при л*! ^ Е =sc: х2. Напишем формулу Лагранжа [I, 63]: Заменяя множитель у (I) при положительной разности (х2 — хх) на >'o(^i)^^oO)> получим или, в силу может быть приведено к виду D1) при помощи замены у(х) новой искомой функцией и(х): Подставляя это выражение в первоначальное уравнение A), получим, как нетрудно проверить, уравнение
92 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [3 2 причем где ptl рь .„ , рп—заданные вещественные числа. Составим характе- характеристическое уравнение, аналогичное уравнению B2): = 0. D3) Всякому простому вещественному корню r = rt этого уравнения соответствует решение y — erix. Если этот корень имеет кратность s, то ему будут соответствовать следующие 5 решений; Паре мнимых сопряженных корней r = a±f№ первой кратности соответствуют решения еах cos $x и е** sin $x. Если эти корни не простые, а имеют кратность $, то им соответ- соответствуют следующие 2s решений; е** cos рАг, AreaA:cos рАг, ... , х5-^** cos &х, е** sin §xt xe«x sin рлг, ... ? х*~*е** sin $x. Таким образом, используя все корни уравнения D3), мы получим п решений уравнения D2). Умножая эти решения на произвольные постоянные и складывая» будем иметь общий интеграл уравнения. Для разыскания частного решения неоднородного уравнения Отметим, что множитель показательного типа, входящий в выражение у(х) через и{х), не обращается в нуль» так что у(х) и и(х) имеют одни и те же корни* 32. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. В настоящем номере мы приведем без доказа- доказательства результаты, аналогичные предыдущим, для уравнений высших порядков. В дальнейшем мы изложим общую теорию линейных урав- уравнений с постоянными коэффициентами при помощи особого метода —• метода символического множителя, при этом будут доказаны и упомянутые результаты. Однородное уравнение п-го порядка имеет вид D2) можно применять метод изменения произвольных постоянных [27), Если правая часть имеет вид P(x)ekx, где Р(х)—многочлен и к не есть корень уравнения D3)> то и решение уравнения можно искать в виде у = Pt (х) екх% где Pj (х) — многочлен той же степени, что и Р{х). Если «
т § 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 93 есть корень уравнения D3) кратности s, то надо положить у = Xs Р± (х) екх. Бели правая часть имеет вид f(x) = ekx [Р (х) cos tx + <Э (jc) sin tx] D4) a.(Jk:fc'O ве СУ1Ъ ЕОРНИ Уравнения D3), то и решение надо искать в том же *НДе у = ek* [Р, (*) cos /* + Q, (лг) sin /дгЬ где степени многочленов Pt (л:) и Qt (x) надо брать равными наибольшей из степеней многочленов Р(х) и Q (х), " Если же (ft ± H) суть корни D3) кратности s, то к правой части послед- ней формулы надо приписать множитель Xs. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение у _ 5/ + 6у = 4 sin 2x. Соответствующее характеристическое уравнение ittteet корни гх = 2 и rfi=^3. Общий интеграл однородного уравнения будет Cte** + Cte**. Do) Частлое решение уравнения надо искать в виде у = аг cos 2х + bY sin 2x Щдставляя в уравнение, получим Bа1 — lOfrj) cos 2х + (Ш^ +2&х) sin 2x = 4 sin 2*, 1то дает 2л, — 10*, = 0, 10^ +2Ь1 = 4, откуда в1 = ^- и *! = — т. е. частное решение будет ю 13 3? = j-g- cos 2л: + рт sin 2л:, Складывая его с D5)» получим общий интеграл уравнения, 2» Возьмем уравнение четвертого порядка yIV) — 2/" + 2/' — 2/ + у = л: sin x. Соответствующее характеристическое уравнение ri_2r3 + 2rs —2г+1=0 быть представлено в виде двойной корень Г!=г2= 1 и пару мнимых сопряженных га,4 ==:?'• интеграл однородного уравнения будет (С1 + С2лг) е* + С& cos х + С4 sin л*, |^^^ свободный член с формулой D4), видим, что в данном случае *Шя * ^ и A±/«=s5±? суть простые корни характеристического уравне- . ¦ ак что частное решение надо искать в виде $>*** К«^ + Ь) cos л: + (ел- + d) sin х] = (ах" + Ьх) cos .v + (ex* + </л:) sin x, * 6i ^j с, tf —искомые коэффициенты.
94 ГЛЛТ. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ C3 33. Линейные уравнения и колебательные явления. Выясним значение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэф- коэффициентами при рассмотрении колебательных явлений, В дальнейшем мы изменим обозначения и будем часто обозначать независимую переменную через t (время), а функцию — через х. Рассмотрим вертикальные колебания подвешенного на пружине тела массы т около положения равновесия, в котором вес тела в точности уравновешивается упругой силой пру* С жины. о Пусть х — расстояние тела по вертикаль- ^ ному направлению от положения равновесия (рис. 15), Положим, что движение происходит о в среде, сопротивление которой пропгорцио- ° ¦ нально скорости 4тг. «37 dt jr Ma тело будут действовать следующие силы: ъш~ 1) восстанавливающая сила пружины, стремя- Рис. 15. щаяся вернуть тело в положение равновесия, которую мы будем считать пропорциональной удалению х тела от положения равновесия, и 2) сила сопротивления, пропорциональная скорости и имеющая направление, обратное ско- скорости. Дифференциальное уравнение движения будет d2x , dx d*x i , dx , л mW = -blu-cx или OTrfF + ^ + ^ = 0- В качестве второго примера рассмотрим движение простого маят- маятника длины / в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Дифференциальное уравнение движения будет, как известно из ме- механики, ml~ = ~mgsmb-bft, D6) где 9 — угол отклонения маятника от положения равновесия. Рас- Рассматривая случай малых колебаний маятника около положения равно- равновесия, мы можем заменить sin 9 самим углом 9, и уравнение D6) приведется к виду Если на маятник действует, кроме того, внешняя сила, зависящая от времени, то вместо уравнения D7) будем иметь уравнение со свободным членом + ^ + ^^ю <48) В обоих рассмотренных случаях движение определяется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэф- коэффициентами.
т § э. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 95 При дальнейшем рассмотрении этого уравнения мы будем писать его в виде ~-+2*5?+*•¦*=о. <49> или -gi + 2/;g + ^ = /@. E0) К такому уравнению мы приходим вообще при рассмотрении малых колебаний системы с одной степенью свободы около ее по- положения равновесия. Член 2й — происходит от сопротивления среды или трения, и h называется коэффициентом сопротивления; член кйх происходит от внутренней силы системы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия, и &г называется коэффициентом восстановления', свободный член f{t) в уравнении E0) происходит от внешней возмущающей силы, действующей на систему. Уравнение написанного вида встречается не только при рассмотрении колебаний механических систем» но и в разнообразных физических вопросах, связанных с колебательными явлениями, В качестве примера рассмотрим разряд конденсатора емкости С через цепь с сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L Обозначая через v напряжение на обкладках конденсатора, будем иметь для цепи v^Rl + Lf;, E1) где I — сила тока в цепи. Кроме того, известна еще следующая зави- зависимость: 1 = -Cg. E2) Положим» что в цепи имеется еще источник тока с электродви- электродвижущей силой Е, которую мы будем считать положительной, если она действует в направлении, противоположном /¦ В этом случае вместо равенства E1) будем иметь Подставляя выражение E2) в написанное уравнение, получим диффе- дифференциальное уравнение или ДОшшвая это уравнение с уравнением E0), видим, что член •— ^ логичен члену, происходящему от сопротивления; член 777 v —
96 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |34 члену, происходящему от восстанавливающей силы; свободный член 27J- — члену от возмущающей силы. Если найдем v из уравнения E3) и подставим в формулу E2), то сможем определить /. 34. Собственные и вынужденные колебания. Рассмотрим одно- однородное уравнение 09 E4) соответствующее тому случаю, когда отсутствует внешняя сила. Реше- Решение этого уравнения определяет свободные, или, как говорят, соб- собственные колебания. Соответствующее характеристическое уравнение будет 2 0. E5) Дальнейшее исследование разобьем на отдельные случаи. 1. Затухающее колебание. В большинстве случаев коэф- коэффициент сопротивления h невелик по сравнению с коэффициентом восстановления k?, так что разность (h% — ?2) есть число отрицатель- отрицательное: /г2 — #*==—р\ В этом случае уравнение E5) имеет мнимые сопряженные корни r1>e = — h±pi, и мы имеем общий интеграл уравнения E4) х = e~ht (Ci cos pt 4- С2 sin pt). E6) Полагая Ct = A sin <p, C2 = A cos cp, E7) преобразуем решение E6) к виду х = Ae~ht sin (pt 4- <p), E8) или, полагая p = ~f Здесь т есть период свободных колебаний, А — начальная их амплитуда и ср — начальная фаза. Если не принимать в расчет со- сопротивление среды, т. е. положить ft = 0, то уравнение E5) будет иметь корни r = ±ki, и вместо E8) получим х= A sin («+?)• F°) Это будет чисто гармоническое колебание с периодом t==-^. Фор- Формула E9) дает затухающее колебание [I, 69], причем множитель е~м характеризует быстроту затухания. В промежуток времени, равный периоду, амплитуда уменьшается в отношении e~hx. Значения постоян- постоянных С, и Q в формуле E6) или, что то же, постоянных А и <р
KJ § 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ »/ з формуле E8) зависят от начальных условий. Положим, что началь- начальные условия будут Подставляя в формулу E6) * = 0, получим Сх = лг0. Дифференцируем формулу E6) по t х? = — he~M (d cos pt + C2 sin pt) -f р<ГЛ' (— Q sin /tf + C2 cos pt)t откуда, подставляя ? = 0, получим = ~ 1 (Ь^) и окончательно решение, удовлетворяющее начальным условиям F1), будет ^f ^ + ^j F3) Заметим, что в решении F3) коэффициент затухания h и частота колебания p = \fk* — h2 определяются вполне по коэффициентам уравнения E4). Что же касается амплитуды А и начальной фазы ср, то они зависят от начальных условий, и, в силу E7), мы можем на- написать равенства As\n<? = x0, A cos<р = из которых А и ср и определяются. Если Л = 0, то везде надо заме- заменить р на k. 2. Апериодическое движение. Если разность (Л* — №) будет положительной: й« —ft« = tf\ то корни уравнения E5) будут Г! = — h-\-qt г3 = —ft —у, F4) и мы имеем [28]: x = Cxe^-h)t + C*-^*. F5) При этом очевидно, что q<^ht и оба корня F4) отрицательны, а потому лг стремится к нулю при беспредельном возрастании L Дифференцируем равенство F5) по t: х'= Q(q - h)e*-h)t — Cb(q + h)e-{*+h)'. F6) Полагая в равенствах F5) и F6) t = 0, получим два уравнения для определения постоянных Сг и С2 через начальные данные F1): С, + откуда с,= Tq
98 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [35 3. Специальный случай апериодического движе- движения. Если, наконец, ft*— &2 = 0, то уравнение E5) имеет кратный корень гх = Гъ — — ft, и окажется [28]: х = е~ы(СхАгС4\ F7) Ввиду того, что при беспредельном возрастании t функция te~ht стре- стремится к нулю [I, 66], выражение F7) также стремится к нулю. Неоднородное уравнение x*-\-<lhx? + k*x=f{t\ F8) в котором свободный член f(t) происходит от внешней силы, опре- определяет вынужденные колебания. В случае чисто гармонического соб- собственного колебания x" + k*x=f(t) F9) мы имеем общий интеграл этого уравнения [29]: х — Сх cos kt+ Q sin kt + j С /(M)sin k(t — u)du, j С /(M) причем последнее слагаемое справа дает чисто вынужденное колеба- колебание, т. е. решение уравнения F9), удовлетворяющее нулевым началь- начальным условиям *U = *'U = 0. G0) Пользуясь тем же методом изменения произвольных постоянных, можно показать, что в том случае, когда собственное колебание есть затухающее колебание, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям G0), будет t х, (t) = 1 е-м J eh"f(u) sin p{t-u) du, G1) и в апериодическом случае это частное решение будет t t х, @ = 1 e*-h)i J *<*-*>«/ (в) du - i е-<»+л)' J е(*+л>«/(«) du. G2) 0 0 Предоставляем сделать это читателю. 35. Синусоидальная внешняя сила и резонанс. В приложениях сво- свободный член часто бывает синусоидальной величиной х" + 2hx* + k2x = #0 sin («>t + <p0). G3) В настоящем случае будем искать решение уравнения в виде синусоидаль- синусоидальной величины той же частоты <д, что и в свободном члене [30]: х = ЛГ sin (at + ср0 + ty G4)
85) § 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 99 Надо определить амплитуду N и сдвиг фазы Ь этого колебания. Подста- Подставляем выражение G4) в уравнение G3) — ©W sin (со* + ?о + ь) + 2Л»# сое (со* + ^ + 5) + + k2N sin (со* + <р0 + Ь) = Яо sin (со* + ?д Аргумент тригонометрических функций, стоящих в левой части равенства, представим в виде суммы двух слагаемых (о>* + ?0) и *• Пользуясь форму- формулами для синуса и косинуса суммы, получим [(#¦ — ©¦) //cos Ь — 2ЛсоМ sin 5] sin (со* + ср0) + + [2/zo)iVcos 5 + (k2 — о2) ЛГ sin >] cos (со* + ср0) = Но sin (со* + ?0)- Приравнивая коэффициент при sin (со* + <р0) постоянной Но и при cos (o> нулю, получим два уравнения для определения N и Ь: ф2 — со8) Ncos Ь ~~ 2ЫЫ sin Ь = Яо, 2hu>Ncos b + (k* — со2) // sin 5 = 0. Решаем их относительно cos Ь и sin Ь: &_ (& — <**) Но . 2ЛсоЯ0 cos ~ дг [(?2 _ ^2J + 4Л2со2] ' sm "" "" Л^ \(k2 Возводя почленно в квадрат и складывая, получим откуда находим Подставляя это значение УУ в предыдущие выражения cos Ь и sin Ь, получим формулы для определения Ъ: 2^ Gб) Имея значения N и Ь, согласно формуле G4), будем иметь синусоидаль- синусоидальное частное решение уравнения G3). Общее решение этого уравнения будет х = Ae~ht sin (pt + <?) + N sin (со* + ?0 + 5), G7) где Л и <р—произвольные постоянные, определяемые по начальным усло- условиям. При этом мы считаем, что h2 — к2 = — р2<0, т. е. что собственные колебания суть затухающие колебания. Ввиду наличия множителя e~~ht (h > 0) первое слагаемое в выражении G7) быстро убывает при увеличении *, так что это слагаемое заметно влияет на величину х лишь при *, близких к нулю (устанавливающийся процесс), а в дальнейшем величина х опреде- определяется почти исключительно вторым чист© синусоидальным слагаемым, не зависящим от начальных условий (установившийся процесс). Исследуем теперь формулы G5) и G6), служащие для определения ампли- амплитуды N и разности фаз 5 решения G4) и свободного члена в уравнении G3). Если бы в правой части уравнения G3) стояла только постоянная HQi то уравнение имело бы очевидное частное решение в виде постоянной д»
100 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 133 Эта постоянная есть величина того статического отклонения, которое произвела бы постоянная сила. Введем в рассмотрение отношение которое служит мерою динамической восприимчивости системы по отноше- отношению к действующей внешней силе. Принимая во внимание формулу G5) и выражение to> получим у (ka —<*>* л/(\ ш8\\-4ла<°э Из последнего выражения видно, что X зависит только от двух отношений *вт» ч^т- G8) Выясним механический смысл первого отношения. Если бы сопротивле- f- кие отсутствовало, то собственные А колебания выражались бы по фор- формуле F0) х =ss A sin (kt + ?) 3,0 1,5 iff > \ \ 1 i / JL А ж i s V и имели бы период ^ — у- ПеРи°Д возмущающей силы обозначим через Т= — . Для q подучим тогда G9) 0J5 0,5 ff/S 1ft Рис. 16. Ч т. er q равно отношению периода сво- свободного колебания системы без со- сопротивления к периоду возмущаю- возмущающей силы. Таким образом, для величины \ получим Ь= (80) где значение q объяснено выше, а по- постоянная 7, как это видно из ее опре- деленияг не зависит от действующей внешней силы. Ввиду малости h по- постоянная 7 обычно мала, и если q не близко к единице, то X близко к ве- величине . 3, На рис. 16 представлены графики величины X как функции q при нескольких заданных значениях у- Деля числитель и знаменатель в выражениях G6) на Аа, получим фор- формулы sin Ь
851 § 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 101 которые определяют разность фаз внешней силы и произведенного ею воз- возмущения. Величина X зависит от периода Т внешней силы через посредство вели- величины q. Найдем максимум величины X как функции от q. Для этого доста- достаточно найти минимум \ как функции от q*. Как нетрудно видеть, этот минимум будет достигаться при <72=1-— ±т и будет равен I?2 — VJ. Отсюда следует, что максимум X будет достигаться при *=]Л—? <82> и будет равен При малом 7 величина q, которой соответствует максимум X, близка к единице, т. е. период внешней силы, производящей, при данной ее ампли- амплитуде, наибольший эффект, близок к периоду свободного колебания. Разница между этими периодами, зависящими от величины «у, обусловливается нали- наличием сопротивления. Если сопротивление отсутствует, то ч~0, и максимум X достигается при q = 1 и равен бесконечности. В этом случае, характеризуемом условием Л = 0 и <«>=:?, уравнение G3) будет xv + k2x = #0 sin (kt + ср0), (83) и его решение уже нельзя искать в виде G4). Предоставляем читателю проверить, что уравнение (83) будет иметь решение которое содержит t множителем [30]. Вернемся вновь к рассмотрению того случая, когда имеется сопротивле- сопротивление, т. е. h^tO. Как видно из графика, величина X, быстро возрастая перед максимумом, быстро убывает после него. В этом нетрудно убедиться и из формулы (80) при малом f- Подставляя в формулы (81) Хтах и выражение q из формулы (82), получим Y 1 откуда видно, что при наибольшем эффекте внешней силы и малом ? раз- разность фаз Ь близка к (-"--тт). Возвратимся теперь к формуле G7). При сравнительно уже небольших значениях t первое слагаемое, дающее собственные затухающие колебания, будет мало но сравнению со вторым. Будем теперь менять величину <о, т. е.
102 гл. п. линейные дифференциальные уравнения 135 период Т возмущающей силы, В силу вышесказанного при этом будет иметь место следующее явление; при приближении Г к некоторому определенному значению вынужденные колебания будут быстро возрастать, достигнут мак- максимума и затем при дальнейшем изменении Т будут быстро падать. Это явление называется резонансом. Оно встречается при самых разнообразных явлениях, где мы имеем дело с колебаниями: при колебании механических систем, при электрических колебаниях, в явлениях звука и т. д. Положим теперь, что правая часть уравнения содержит сумму несколь* ких синусоидальных-величин m *- -j- 2hx' + k*x = У. Ht sin fat + ?i). (84) j = i Каждому слагаемому правой части уравнения соответствует некоторое свое вынужденное колебание вида Ni sin fat + f i + Ц (/=1,2,..., m)f причем Ni и Ъ} определяются по формулам G5) и G6), если правая часть уравнения известна- Сумме всех внешних сил будет соответствовать сумма указанных выше вынужденных колебаний, т. е. частное решение уравне- уравнений (84) будет [30] m X = 2 NiSin Покажем теперь, каким образом, наблюдая вынужденное колебание, можно определить амплитуды и периоды слагаемых в правой части уравнения (84), если они неизвестны. Положим» что мы можем изменять величину k*t т. е. периЪд t свобод- свободных колебаний. При этом будет иметь место следующее явление: при при- приближении 1 к некоторой величине тх амплитуда вынужденных колебаний будет быстро возрастать, достигнет максимума.и при дальнейшем изме- изменении т быстро упадет и будет оста- оставаться малой, пока период х не при- приблизится в величине та, которой бу- будет соответствовать второй максимум амплитуды вышеописанного харак- характера и т. д* Рис. 17. Эти максимумы объясняются яв- явлением резонанса с одной из внешних сил, стоящих в правой части уравнения (84), и величины tl9 iai ... дают при- приближенное значение периодов этих внешних сил. Откладывая по оси абсцисс периоды свободных колебаний, а по оси ординат амплитуды вынужденных колебаний, получим кривую с несколькими максимумами (рис. 17). При Т5=ту Гили йв=^=—] в сумме (85) будет велик по сравнению с другим один член, а именно тот, у которого <о;- близко к fy Наблюдая из опыта максимальную величину амплитуды вынужденного колебания, мы можем считать ее приблизительно равной Nj и из формулы принимая во внимание, что kt близко к «л сможем найти приближенное значение напряжения силы H
§ 3 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ! 03 36. Предельные задачи. Мы рассматривали выше задачу инте- интегрирования дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. В дальнейшем агы часто будем встречаться с задачами, в которых заданы не начальные условия, а условия на обоих концах того промежутка, в котором рассматривается задача интегрирования уравнения. Такого типа условия называются обычно граничными или предельными условиями. Их число должно равняться порядку урав- уравнения. Выясним некоторые основные факты для задач с предельными условиями для случая линейных дифференциальных уравнений. Пред- Предварительно напомним некоторые сведения о системах линейных алге- алгебраических уравнений. Пусть имеется два уравнения с двумя неизвестными aix-\-bly = ch а^х + hy = с% (88) ИЛИ { \Ь 0. (89) Система (89) называется обычно однородной. При решения написан- написанных систем имеют место следующие два случая: 1) если а^ — — афх ф 0, то система {%Щ имеет решение и притом единственное при любых свободных членах сх и сь а однородная система (89) имеет только нулевое решение х = у = 0; 2) если афч — аф1 = 0, то однородная система (89) имеет ненулевые решения, а система (88) имеет решение не при всяких свободных членах, и если она имеет ре- решения, то число решений бесконечно. Скажем подробнее о втором случае Пусть х = хйУ у=уй — ненулевое решение системы (89). Нетрудно видеть, что х — сх^ у = су01 где с — произвольная постоян- постоянная, также является решением системы (89). Если свободные члены в системе ($8) таковы, что эта система имеет решения х = хъ у=yh то формулы х = Хх-\-сХф у=У\-\~ суъ при любом с дают также решение системы (88). Совершенно аналогичные обстоятельства имеют место и для п линейных уравнений с п неизвестными: или однородная Система (со свободными членами, равными нулю) имеет только нуле- нулевое решение и при этом неоднородная система имеет решение и иритом единственное при любых свободных членах, или однородная система имеет решения» отличные от нулевого, и при этом неодно- неоднородная система имеет решения не при любых свободных членах, и «ели имеет решения, то число решений бесконечно. В дальнейшем мы будем часто встречаться с альтернативой такого рода» Полное исследование систем линейных алгебраических уравнений будет изло- в первой части третьего тома. Рассмотрим общую схему решения предельной задачи для линей* о однородного дифференциального уравнения второго порядка о^н°родными предельными условиями. Пусть имеется уравнение
1 04 ГЛ. И. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ {36 тле q(x) и г (х) — функции, непрерывные в конечном промежутке a^x^bt я X — численный параметр, который может принимать раз- различные значения. Положим, что на концах указанного промежутка заданы однородные предельные условия у(а)=0, у(й) = О (91) или более общие *У (а) + W (а) = 0> ТУ (») + У (*) = 0, (92) где а, р, 7» &— численные коэффициенты. Введем в рассмотрение какие-либо линейно независимые решения уравнения (90). Они зависят, очевидно, не только от независимой переменной х, но и от того, какое значение имеет параметр X, и мы обозначим их через ух(х, X) иу2(лг, X). Общее решение уравнения (90) имеет вид х, X), (93) и предельные условия (91) приводят нас к однородной системе для Q Х)=0. (94) Эта система имеет, очевидно, нулевое решение С% = С% = 0, которому соответствует нулевое решение у(х> Х)^0 задачи (90), (91). Если X выбрано так, что система (94) имеет только нулевое решение, то и предельная задача (90), (91) имеет только нулевое решение. Если же X удовлетворяет уравнению (95) то система (94) имеет решение, отличное от нулевого, и, подставляя вначение СА, С% в формулу (93), получим в этом случае ненулевое решение у(х, X) задачи (90), (91). При таких X функция у (х, X) будет удовлетворять уравнению (90) и условиям (91), Это решение можно умножать на произвольную постоянную, т. е. Су(х, X) также будет решением задачи (90), (91). Других решений при выбранном X задача не будет иметь, ибо все решения, имеющие корень лг=а, линейна вависймы. Таким образом, если X не есть корень уравнения (95)> то вадача (90), (91) не имеет решений, отличных от нулевого. Если же X — корень уравнения (95), то эта задача имеет решение у (х} X) — отличное от нулевого, и это решение определено с точностью до произвольного постоянного множителя. Корни уравнения (95), т. е, те значения X, прп которых задача (90), (91) имеет решение у(х, X), отличное от нулевого, называются обычно собственными значениями этой задачи, а реше- решения у(х, X), собственными функциями задачи, соответствующей указанному собственному значению. Совершенно аналогично можно рассмотреть и случай предельных условий вида (92>
н§ промежутке 0^л*^те и предельные условии у@) = 0, y(it)r=a Э. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 103 Бели же рассмотрим неоднородное уравнение (96) (97) поя неоднородных предельных условиях yo,обозначая по-прежнему черезу\{х, л) иуа(лг, X) линейно независимые решения уравнения (90), мы придем к неоднородной системе для С{ и долевые части которой совпадают с левыми частями уравнений (94). Если X не есть собственное значение задачи (90), (91), т. е. однород- лая система имеет только нулевое решение, то неоднородная задача ЙИ5), (97) имеет при любых f(x), с и d решение z(x, X) и притом единственное, ." Для линейных дифференциальных уравнений четного порядка 2т естественно ставить т предельных условий при х=*а и столько же пйя x^ab. При этом вместо системы (94) мы получим систему 2т уравнений для 2т неизвестных Сь Са, ..., С2/л. 37. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение № ТГ|«гХ*?О уравнение не имеет колеблющихся решений [31] и, следовательно, при Х^О нет решений, имеющих корни х = 6 и д? = и, Итак, задача может иметь только положительные собственные значения. При этом общий интеграл Уравнения (98) имеет вид (99) $М& У"Х можно считать положительным, ибо изменение знака не влияет на величину cos У\х и меняет знак sinj^X.r, причем это изменение знака мё&ет.быть включено а произвольную постоянную d. Предельные }'словия УЩ**У (г,) *= 0 дают Из'кгервого уравнения следует Сх = 0г и при этом второе уравнение дает Wi^tllKX n = 0. Постоянная Сэ не может равняться нулю, так как при 4tj*«Cjs=0 мы получаем нулевое решение >»==0 и, следовательно, для К ^одчаем уравнение sinlAr^^O, откуда уг>Гп=±Ая (Л = 1, 2Г ...), т. е. соЙпГ"'** И ^==А"- Таким образом, мы получаем бесчисленное множество v' f&P^S**. значений и соответствующих собственных функций: Ад = А-„ v§$j/'^-^'As'n.*'r (^=U ^> --Л где Cj^ — произвольные постоянные. При Э?*еднчеНИИ ^ число корней собственных функций на промежутке О^л'^я Сулет048 ^ —не есть кваДРат Целого числа, то любая неоднородная задача 7 ¦ аметь единственное решение. В качестве примера рассмотрим задачу A00)
106 ГЛ. Л. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |33 Общий интеграл уравнения имеет вид и предельные условия дают Сх + С, - 0, откуда 2. Рассмотрим уравнение (98) на промежутке O^x^l при предельных условиях у @)^0, У(/) + Ау{/)«0 (А>0). A01) Можно проверить, что значения X ^ 0 не дают решений задачи. Первое нз условий дает, как и выше, C1=^0t и, подставляя в формулу (99), получаем из второго предельного условия уравнение для h УТ cos yT I = — A sin КГ/. Полагая У"Х /=ti, получим Это уравнение имеет бесчисленное множество корней ±.vk (& = 1, 2, ...), тт нм соответствуют следующие собственные значения и собственные функции: Корни tfft суть абсциссы точек пересечения графика z = tgi» и прямой z=.vv на плоскости (vt z), 38. Символический метод. Мы переходим теперь к изложению нового метода интегрирования одного линейного уравнения и систем динейных уравнений с постоянными коэффициентами. Способ этот, соответственным образом обобщенный, применяется и к более слож- сложным задачам» Сущность способа состоит в том, что мы будем обозна- обозначать символически операцию дифференцирования по независимой пере- переменной t множителем Д стоящим слева от той функции, которую надо дифференцировать, так что если х есть некоторая функция t, то D* = g, A02) и вообще при любом целом положительном s Если а¦ — постоянная, то, очевидно, A04) т. е. ямеет место переместительный закон по отношению к произве- произведению символического множителя на любой постоянный множитель.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 107 Вели F(D) есть полином от D с постоянными коэффициентами го операция F(D)x определяется так: Dn-lx +... + aA.xDx + аях Есля 9i(JD) и y%(D) — два полинома и <p(D)— их произведение, принимая 'во внимание формулу A04) и очевидное равенство (Z?"»jr) /3*1 + r4tf, будем иметь причем множители <р(О) ш <?ъ(О) можно переставлять. Точно так же имеем, очевидно, н полученный результат не зависит от порядка слагаемых ^ (О) и <р2 (D\ Таким образом, обычные правила сложения, вычитания и умноже- умножения распространяются и на введенные нами символические полиномы. В силу A04) постоянный множитель можно выносить за знак сим- символического полинома, т. е. наряду с формулой A04) мы имеем но этого нельзя делать» конечно, с множителем, зависящим от t. Докажем теперь следующую формулу: F (D) (emtx) = ешР (D + m)x> A05) где т ~ постоянная. Формула показывает, что множитель вида ет* можно выносить за знак символического полинома, заменяя * этом, последнем букву D суммой (D + т). Выражение F(D){emtx) состоит из слагаемых вида an^$Ds{emtx)> ш достаточно доказать формулу A05) для каждого такого слагаемого, *• е. достаточно доказать формулу Ds {ет'х) = emt (D + nif x. A06) я формулу Лейбница дифференцирования произведения, можем написать [I, 53] О* +... + С* {em наверху в скобках указывают порядок производной и С* есть число сочетаний из 5 элементов по k. Принимая во
1 08 ГЛ, П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |33 внимание, что {emi)[p) = mpemt и x{p) = Dpx, можем написать, выно- вынося*11" за скобку: [У (emix) = emt (msx + Qm^Dx + С\т*-*О*х +... -f -f Cksms-kDkx -f... + Dsx) = Но правая часть совпадает с правой частью формулы A06). Таким образом, эта формула и формула A05) доказаны. Определим теперь отрицательные степени D как операции, обрат- обратные дифференцированию, т. е* D~sf{t) определим как решение уравнения ?)^/@ A07) причем, для того чтобы придать символу D~sf(t) определенный смысл, условимся брать то решение написанного уравнения, которое удовле- удовлетворяет нулевым начальным условиям x|/-/e = y|/-./. = ... = Jf('-1M/-/o = 0. A08) Иначе говоря, будем считать [17]: t D~sf(t) = (~[у| J V ~ «Г1 Пи) da. A09) Общее решение уравнения A07) будет тогда [17]: t *= D~sf(t) + Р_, (t) = (T^TyT J (t - аГ'/(«) da + Ps_, (t), A10) где Ps_\(t) — многочлен E-—1)*й степени от t с произвольными коэффициентами. Более общую операцию (D — <xysf(t) определим, как решение уравнения (D-*yx=f(t), A11) удовлетворяющее условиям A08)* Чтобы найти это решение, введем вместо х новую неизвестную функцию z, полагая x = eufz. A12) Подставляя в уравнение A11) и пользуясь правилом, выраженным формулой A05), получим для z уравнение е** ф + а — afz =f(t) или Ifz=e~*'f(t). A13) Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям 0
3 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 109 быть определено по формуле A09), если только в ней заме- /@ на *-*7@ Но из формулы « 'У* (/ = 0, 1, 2, .... s—l) вытекает, что если z удовлетворяет условиям A14), то х> определяемое по формуле A12), удовлетворяет условиям A08), Подставляя найденное выражение z в формулу A12), получим искомое решение уравнения A11) t (D - аУ /(Q=—^ J (* - uY-ie—fip) da. A15) Общее решение этого уравнения получим, если умножим общее решение уравнения A13) на е"*, т. е. это общее решение будет где Pj_i@ — многочлен от t степени (s — 1) с произвольными коэффициентами, В частности, полагая f(t) — Or получим общее решение уравнения (D — a)sx = Q A17) в виде х = е*<Р^A). A18) 39. Линейные однородные уравнения высших порядков с по- постоянными коэффициентами. Линейное однородное уравнение я-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид м1* 0. A19) Обозначая символическим множителем D операцию дифференциро- дифференцирования по t и вводя полином . + an_x написать уравнение в виде <р(?)л:==а A20) Составим характеристическое уравнение, соответствующее урав-
110 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ЭЗ и пусть это уравнение имеет корни rlt r2,..., гт кратности kis kb .. „ km: Разлагая полином <р(/>) на множители, можем представить урав- уравнение A20) в виде произведенная над нулем, даст очевидно также нуль. Переставляя множители, мы могли бы поставить ближайшим к х не множитель [В—rm)k™, а какой-либо другой множитель (D — rsfs- Таким обра- образом мы убеждаемся в существовании ряда частных решений: xs = est Pk&- i(t) (s = 1, 2,. #., tn\ A26) где Pk -i@ — многочлен степени (ks—1) с произвольными коэффи- коэффициентами. Придавая в формуле A26) 5 все значения от 1 до т и склады- складывая все полученные таким образом решения, будем иметь решение уравнения A23) [27J: д: = в^Р*1-1@-+-^/^-|@ + .-. + в1>|Я'/)*(Я--1@- A27) Всякий многочлен Рь-\@) степени (ks—1) с произвольными коэффициентами содержит всего ks произвольных настоянных, и сле- следовательно, в силу соотношения A22),. решение A27) содержит всего п произвольных постоянных. Ввиду этого обстоятельства можно думать, что формула A27) дает общее решение уравнения A19), т.е. что всякое решение этого уравнения заключается в формуле A27). При т=\ это было нами доказано выше формулой A1S) из [38] и, таким образом, остается показать, что еелст наше утверждение справедливо для случая {т — 1) сомножителей вида (D~r$fs> то оно будет справедливо и для т сомножителей» Докажем это. Урав- A22) A23) A24) A25) Уравнение :огласног формуле A18) \Щ, имеет общее решение где Pk _i (t) — многочлен степени (km — 1) с произвольными коэффи- коэффициентами. Функция A25) будет, очевидно, решением и уравнения A23). Дей- Действительно, подставляя в это уравнение выражение A25), в результате операции (D — rm)k* получим нуль, и операция
где Мы считаем доказанным наше утверждение для (т — 1) сомно- экителей, а потому для у имеем общее "решение где Qft —i<^) — произвольные многочлены степени (ft,—1). Полагая х = ег**г> A28) вынося ег^ за знак символического полинома и деля обе части ра- равенства на /«*, получим Мы получим общее выражение для z, если проинтегрируем правую часть km раз по t и добавим многочлен степени (km — 1) [17]. Но, как известно [I, 201], интеграл от произведения показательной функ- функции <f* на многочлен ?-й степени от t имеет тот же вид, т. е. z должно иметь вид ЯЙ& 3. ОБШАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 111 ценяе A23) можно переписать в виде В силу A28) получаем, что х должен обязательно иметь вид, давае- даваемый формулой A27), что и требовалось доказать. В частности, если все корни характеристического уравнения про- простые, то все многочлены Pks-i(t) будут нулевой степени (?,= 1), *• ?. будут просто произвольные постоянные Cs, и общее решение Вменения будет иметь вид Среди корней уравнения A21), коэффициенты которого мы счи- считаем вещественными, могут быть и комплексные. Соответствующие им слагаемые в решении A27) нетрудно привести к вещественному *ИДУ> преобразуя показательные функции в тригонометрические, Поло- ГИ-нь^Т0 Уравнеиие О 21) имеет пару мнимых сопряженных корней vj — s0 кратности k. Им соответствует решение вида
П2 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [40 где Sk_i (t) и Tk_! (t) — многочлены степени (к — 1) с произвольными коэффициента1ки. Подставив еш — cos 8* +1 sin btt е~ш = cos Ы — I sin Ы, получим решение вида где Ub_i(t) и Vk_t(t) — многочлены степени (к — 1) с произвольными коэффициентами, связанные с Sk-i(t) и Tk_i(t) формулами <4-i ф = Sk_t (t) + Tk^ (tl Vm (t) = i [Sk^ (t) - Tk_x @]. Из сказанного вытекает следующее правило [32]: чтобы проин- проинтегрировать уравнение A19), надо составить соответствующее ему характеристическое уравнение A21) и найти его корни. Вся- Всякому вещественному корню г = / кратности k' будет соответ- соответствовать решение вида где Pb*-\(ty—многочлен степени (К—I) с произвольными коэф- коэффициентами; всякой паре мнимых сопряженных корней г = *\±Ч кратности k соответствует решение вида где Uk_t (t) и Vk^ (t) — многочлены степени (k — I) с произволь- произвольными коэффициентами. Складывая все таким образом получен- полученные решения, будем иметь общее решение уравнения (И9). В слу- случае простых корней упомянутые полиномы суть произвольные постоянные. 40. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэф- коэффициентами. Линейное неоднородное уравнение имеет вид <P(D)*=/(O, A29) где f(t) — заданная функция. Общий интеграл соответствующего однородного уравнения мы уже умеем составить, и нам остается найти лишь частное решение уравнения A29), которое и надо при- прибавить к упомянутому общему интегралу однородного уравнения, чтобы получить общий интеграл уравнения A29) [26], Можно найти упомянутое частное решение, пользуясь символическим способом. Разложим рациональную дробь —^ на простейшие [I, 196|: -W
«HI 3. ОВШАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1 13 Определим функцию ?(*) по формуле A30) s=\ q—\ которая имеет вполне определенный смысл, так как, согласно фор- формуле A15) из [38], каждое слагаемое правой части имеет определен- определенный смысл A31) Нетрудно видеть, что формула A30) и дает решение уравнения A29), Действительно, H<v по определению символа (D — rs)~Qt если к правой части A31) применить операцию (D — rs)q, то получится Л ?*/(*)• Полином <p(D) делится на (D — rs)qt т. е. 9(D) = ^sq(D)(D — rs)g, где <?sq(D) — по- полином, и следовательно, предыдущую формулу можно переписать так: Но as разложения —^ непосредственно вытекает, что и следовательно, <p(DN@=/@i т. е- формула A30) дает действи- действительно решение уравнения A29). Мы видим, таким образом, что на- нахождение решения уравнения A29) при любой заданной функции f(t) приводится к разложению рациональной дроби на простейшие и к квадратурам, В некоторых частных случаях бывает проще отыскивать частное решение 'уравнения A29) не по общей формуле A30), а способом неоп- неопределенных коэффициентов, как это мы Указывали в [32], Заметим, что, пользуясь указанным выше символическим способом, ко получить формулы G1) и G2) из [34]. ; Пример. Рассмотрим в качестве примера уравнение т A32)
114 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [« Характеристическое уравнение.в данном случае будет + l=0 или (г*+1)* = 0, A33) и оно имеет пару сопряженных корней r=±i второй кратности. Общий интеграл однородного уравнения, соответствующего уравнению A32), будет (CJ + С2) cos t + (C,t + С4) sin t A34) Сравнивая свободный член уравнения с формулой D4) из [32], видим, что в данном случае ft =0, / = 1 и P(t)==t, Q(t)==O. Числа k±tl = + i сов- совпадают с парой корней второй кратности, так что решение уравнения A32), согласно [30], надо искать в виде х = t2 [(at + b)cost + (ct + d) sin t]. A35) Вычисления будут проще, если мы преобразуем правую часть A32) к показательному виду. Делая это, а также написав левую часть в символи- символической форме, перепишем A32) так: (D* + I)8 х = -| f* +1 <г". A36) Решение мы должны будем искать в виде х = *• (at + b) elt +1* (ct + d) e~K A37) Подставляем это выражение в левую часть уравнения (D + О1 (D — I)* t* (at + Ь) ei( + (D + if (D — if t* (ct + d) e^ = Выносим eli и е~и за символический полином» согласно правилу A05): у ^« + — ^ или, заменяя D2 второй производной в« (О2 + 4Ю — 4)Fл/ + 2Ь) + e-'lt(D2 — 4/0 — 4)Fс/-f 2d) = -g- ^« + ~^- Производим дифференцирование: Отсюда по методу неопределенных коэффициентов 24я или Подставляя в A37), оолучвы решение х = — ~ cos t — ~ sin f, A38) и общий интеграл уравнения A32) будет л = (Ct* + С,) cos t + (Ca^ + CJ sin * — J^cos * ~? sin ^. A39)
$ 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 115 42* Уравнение Эйлера, Эта уравнение имее? вид tnx{n) + а^х^ Н-.., + an_xix + ял.к = 0, A40) где alf Яа> ••-» #Л—постоянные. Мы покажем, что око приводится к уравнению с постоянными коэффициентами, если ввести вместо t новую яезависимую переменную т по формуле < = е\ A.41) Операцию дифференцирования no i будем по-прежнему обозначать символическим множителем Д а дифференцирование not — символи- символическим множителем S. Имеем, .очевидно, d х dx dt - dx fa~~"dtdz~e dif или, в символических обозначениях, Dx = e~xbx. A42) Применяя к левой част» операцию Д а к правой равносильную ей операцию е~т&, получим Вынося множитель е~л за знак S, согласно правилу, выраженному формулой A11), будем иметь D*x = e-*z (8 — I) 8лг==^т5 (8—1)*, Из этой формулы и формулы A42) подмечаем следующую общую формулу: Dsx = e-s4(b—l) ... (8— $+1)х. A43) Надо доказать, что если эта формула справедлива для s симво- символических множителей, то она справедлива и для (s -f-1) множителей. Применяя к левой части формулы A43)* которую мы считаем спра- справедливой, операцию Д а к правой равносильную ей оверащш в~т8, получим откуда, вынося s"^ за знак &, iF"x = e-V^(& —s)8(&—1) ... (8 — = e-^«^8(8—1) ... (В — что и доказывает справедливость формулы A43) при любом s. Заменяя в этой формуле ех на t, можем переписать ее в виде fDsx = b(b— 1) ... (8 —*-|-1)х A44) Таким образом, в результате преобразования A41) всякое слагав- Мое e*-j**#(*> в левой части уравнения A40) заменяется слагаемым
Пв ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |42 не содержащим независимой переменной т, и мы получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами [5(8-1) ... (8-п+1) + Й18(8-1) ... (8-» + 2) + ...+ + ая_18 + ая]* = 0. A45) Соответствующее ему характеристическое уравнение будет 0 A46) и общее решение уравнения A45) где rs—корни уравнения A46), ks — кратности этих корней и Рь -iOO—многочлены степени (ks—1) с произвольными коэффици- s ь s ентами» Пользуясь соотношением A41) и возвращаясь к прежней пере- переменной, получим решение уравнения A40) Если все корни уравнения A46) простые, то решение уравнения A40) будет х=С/1 + С/а +... + С/*. A48) Уравнение A46), как нетрудно видеть, получается, если непо- непосредственно искать решение уравнения A40) в виде x=tr. Если имеется неоднородное уравнение вида tnx^ + <Мл-1*('|-1) +"... + aa_ttx' + апх = t"P (lg t\ A49) где P(lgO — многочлен от \gt степени pt то, пользуясь преобразо- преобразованием A41), нетрудно показать, что решение уравнения A49) можно искать в виде x = (lgtytaQ(\gtl A50) где Q(lgt) — многочлен степени р от Igt и 5 — число корней урав- уравнения A46), равных а. Вместо уравнения A40) можно рассматривать более общее урав- уравнение вида (rf + df x{n) -f ax (ct ' * = <>. 061) В этом случае вместо формулы A41) надо воспользоваться следую- следующей формулой преобразования переменных:
43I§ 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 117 в вместо формулы A44) будет иметь место формула (ct + drPx = c4(b—l)... (b — s + l)x, с помощью которой уравнение A51) и приводится к уравнению с постоянными коэффициентами. 43, Системы линейных уравнений с постоянными коэффициен- коэффициентами* Во многих случаях положение механической системы определяет- определяется не одной, а несколькими независимыми величинами qit q^ ..., qkt которые называются координатными параметрами. Их число k дает кисло степеней свободы. Так, например, при вращении твер- твердого тела вокруг неподвижной оси мы имеем одну степень свободы— угол в поворота тела вокруг оси. Вращение же тела вокруг непод- неподвижной точки дает три степени свободы, и за координатные пара- параметры можно» например, принять известные из кинематики твердого тела углы Эйлера: <р> ф и 8, Движение точки по плоскости или сфе- сфере, или какой-либо иной поверхности представляет собой движение с двумя степенями свободы, В случае плоскости координатными пара- параметрами могут служить обычные прямоугольные координаты х и у, а на сфере — долгота <р и широта ф» При движении механической системы ее координатные параметры ЧьЧь^^Як являются функциями от времени t и определяются из системы дифференциальных уравнений и начальных условий. В част- частности» при рассмотрении малых колебаний системы около положения равновесия, которому соответствует значение параметров Обычно удерживают в дифференциальных уравнениях лишь члены лервого измерения относительно qs и —^ и таким образом получают систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Каждое из уравнений будет, вообще говоря, содержать все функции qs и их производные по t первого и второго порядка. В случае двух степеней свободы система будет иметь вид =ft i A52) где ?|, gr*, ^ ?*__ произвольные от qt и q^ no t Обозначая, как и выше, символическим множителем D операцию Дифференцирования по t, можем переписать систему A52) так: + i + fdqi+fa + b + fjq^Q. } °63) «СЛИ на ^с^му действуют внешние силы, то в правой части урав- №.» будут не нули, а известные функции L
118 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [« Начальные условия имеют вид ?i|/=o=?io> ?il/ = o = ?io> q* \i =,0 = ^20» ?a|/ = o = ?2<» где ^ю, q[^ ?2o» ?2G — заданные числа, и общий интеграл системы A53) должен содержать четыре произвольные постоянные. Покажем, каким образом интегрирование системы A53) приводится к интегрированию одного линейного уравнения четвертого порядка с одной неизвестной функцией [ср, 21]. Для этого введем вспомо- вспомогательную функцию V от г, полагая [21] qx = — (a*D* + b*D + Cg) V, q% = {ахГ? + b,D -f cx) V. A54) Подставляя эти выражения qx и q% в уравнения A53), увидим, что первое уравнение будет удовлетворено при любом выборе V> и остается выбрать функцию V так, чтобы было удовлетворено и второе из уравений A53). Подставляя выражения A54) в это второе уравнение, получим для V уравнение четвертого порядка *) - D + /i)] V=0, A55) Найдя У, получим qx и q% из A54) простым дифференцированием. Пусть ги га, г^ г4 — не кратные корни характеристического урав- уравнения bxr + с,) (<V -f ^4r + Д) - — (a,ra + V + ^ (cfrr2 + exr +/,) = 0, A56) так что V = de'i' + C^*' + C8e^ + C4^^ A57) Подставляя это выражение в формулы A54) и принимая во вни- внимание, что Dert = reH и jDV' = rV, получим общее выражение для qx и <уа. Оно будет представлять собою также линейную комбинацию четырех решений, каждое из которых будет содержать произвольный постоянный множитель. Так, например, решение \/=C1eri/ даст Если уравнение A56) имеет комплексные корни, что обычно и встречается в приложениях, то решение уравнений A55) полезно писать в тригонометрической форме, так что паре сопряженных кор- корней г = а±Ы будут соответствовать решения для V: Схеы cos Ы и C2eat sin bt *) Мы предполагаем, что Ma-Mi^°; э™т случай имеет всегда место при рассмотрении движения материальной системы.
43; § 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1 1 9 Точно так же, если уравнение A56) имеет двукратный корень г, = г* то решения будут Отметим теперь тот случай, когда предыдущие вычисления не дадут для q\ и q% общего решения, содержащего четыре произволь- произвольные постоянные. Положим, что для некоторого корня гх уравнение A56) будет ^ + = *«rJ+ftari + tfi = O.. A59) В этом случае формулы A58) дадут для q{ и #а тождественно нуль, и общее решение системы не будет содержать произвольной постоянной Сх. Мы можем попытаться восстановить эту потерянную произвольную постоянную тем путем, что для введения вспомогатель- вспомогательной функции V воспользуемся вместо уравнений A54) уравнениями ft = faD»-H*,D+A)V, ft = -(diD* + 0iD+/i)V. A60) При этом второе из" уравнений A53) будет удовлетворено при всяком выборе V, и, подставляя выражения A60) в первое из урав- уравнений A53), получим для V то же уравнение A55), что и выше. При этом корень rv характеристического уравнения A56) даст для qt и q* вместо A58) выражения 9г — Q №г? + *Л +Л) «Ч ft = — d {dxr\ Если хоть один из множителей (dxr\ -\- exrx 4~/i) и (dftrj -|- e%rx -f-/2) будет отличен от нуля, то мы восстановим, таким образом, решение, соответствующее корню r = rt уравнения A56). Остается еще рассмотреть тот случай, когда, кроме соотношений A59), имеют место соотношения / :0. A61) При этом нам не удается указанным путем восстановить решение, соответствующее корню г = г1 уравнения A56), Но раз выполнены соотношения A59) и A61), то каждый из квадратных трехчленов, стоящих в левой части уравнения A56), будет иметь корень r = rlt т. е, будет содержать множитель (г — г{). Следовательно» при выпол- выполнении соотношений A59) и A61) корень r = ri должен быть крат- кратным корнем уравнения A56). Ограничимся рассмотрением того случая, когда г = гх будет двукратным корнем, и укажем два решения си- системы, соответствующие этому двукратному корню. Эти два решения будут ?i = Ci*4 ?* = 0 A62) A63)
120 ГЛ. П, ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ f« Действительно, подставляя, например, выражения A62) в левую часть уравнений A53), получим, в силу соотношений A59) и A61), тож- тождества. Указанные два решения будут различны, так как в первом д^ есть тождественно нуль, а во втором ft отлично от нуля* Заметим, что если в случае кратного корня г1=^г^ не выпол- выполняется, например, одно из соотношений A59), то, подставляя в фор- формулы A54): VC^ и мы получим решение A58) и решение, содержащее t множителем! ft где /?t и ра — определенные постоянные. Общий интеграл неоднородной системы @, 1 ( } как и в случае одного уравнения, представляет собою сумму общего интеграла соответствующей однородной системы A53) и какого-либо частного решения неоднородной системы. Если свободные члены Л (О и /а @ имеют вид Аоел* cos pt -f B^e*' sin p* = Deat sin (p* -f <p), то и частные решения можно искать в виде ?1 = Ate*' cos ^ -f B^at sin P^> ft = Me** cos p* + B2ea/ sin pft если только (acdzpO не является корнем уравнения A56). Подставляя эти выражения в левые части уравнений A64) и приравнивая коэф- коэффициенты при eat cos %t и eat sin jtf, получим уравнения для определе- определения Ai, Вь Ait 8%. Частные решения системы A64) можно получить при любых ft(t) и /а @ так же, как мы это делали в случае одного уравнения [40]. Решая систему A64) относительно ft и qb получим, например, для где через Д (D) мы обозначили для краткости символический полином, стоящий в левой части уравнения A55). Разлагая рациональные дроби и пользуясь указанным в [38] значением символического множителя (?) — Г)-* мы и получим искомое решение системы A64). Заметим еще, что, пользуясь рассуждениями на [21], мы можем легко приводить интегрирование системы линейных уравнений с по- постоянными коэффициентами к интегрированию одного линейного урав-
44[§ 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 121 пения с постоянными коэффициентами, В томе III мы дадим общий прием интегрирования систем уравнений с постоянными коэффициен- коэффициентами. 44. Примеры* 1» Рассмотрим систему где у и г—искомые функции от х. Определяя из первого уравнения г: —3-* <165> в подставляя во второе уравнение, получим уравнение четвертого порядка ддя у dx* у-1Х> общий интеграл которого определяется по обычным правилам: у *= Ctex + Cte~* + Сь соз х + С4 sin x — 2х. Подставляя это выражение в формулу A65), получим выражение для z: г = dex + С^-* — Ся совдс — CAsinx — x. % Рассмотрим систему трех уравнений первого порядка ^ $ * (Ш) $-. + *, - где х%у в z — искомые функции от t. Решая первое уравнение относительно у. У = щ-* A67) и иодставляя это выражение в остальные два уравнения, получим дгх dz , dz , dx г + ^ x + Подставляя выражение ^,>из второго уравнения в .первое, получим урав- уравнение второго порядка, содержащее одно только х (исключительный %адй): ^„«±-2х = Ъ, dt* dt * общий интеграл которого будет .x^Cft + CiF*. A69t) Подставляя это во второе из уравнений A68), получаем уравнение первого оо$>*дка для г: инюград которого будет С. A69а)
где Lu Л19 Ct — коэффициент самоиндукции, сопротивление и емкость пер- первой цепи, a LS1 R2? С2--те же величины для второй цепи. Покажем на примере этой системы, каким образом можно, не вводя вспомогательной функции V, исключить одну из неизвестных функций и со- составить одно дифференциальное уравнение четвертого порядка с одной неизвестной функцией. Определяя из уравнения A71) -г~- и подставляя полученное выражение вуравнениеA70), получим уравнение ll75) 122 1*Л. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 144 Подставляя выражения A691) и A692) в формулу A67), получим выражение дл»у _ _, Aв9а) Здесь получился тот исключительный случай, о котором мы уже упоми- упоминали в |21]. Вместо одного дифференциального уравнения третьего порядка мы получили одно уравнение второго порядка и еще одно уравнение пср- виго порядка. 3. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами встре- встречаются не только при рассмотрении малых колебаний механических систем около положения равновесия, как мы уже упоминали выше, но и при иссле- исследовании электрических колебаний. Положим, что имеются две цепи, находн- щнеся в магнитной связи, т. е. ток одной из цепей создает магнитное полег индуктирующее электродвижущую силу другой цепи. Если it и iB — силы токов в цепях, то для первой цепи индуктированная электродвижущая сила будет At г-?, а для второй М —1 > где М — постоянный коэффициент взаимной индукции. Если мы предположим, что ни в одной из цепей нет источника тока, то уравнения будут A70) A71) A72) A73) A74) d2l Дифференцируя это уравнение и заменяя М -~ его выражением вз уравнения A70), получим Наконец, дифференцируя это уравнение еще раз и заменяя опять M~ni выражением A73), придем к линейному уравнению четвертого порядка для i{.
«]§ 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ И УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 123 Если бы мы стали исключать iu то для /а получили бы совершенно такое же уравнение четвертого порядка» Соответствующее ему характери- характеристическое уравнение будет ( + 2 fei»j +g,nl) r + п\п\ = 0, A76) где для краткости мы положили .._ М _ 1 n Уравнение A76) можно переписать в виде (г8 + 2Лг + nj) (г» + 2gsr + л» - »г* = 0. A77) Если бы магнитной связи между цепями не было, то мы должны были бы в уравнениях A70) и A71) положить М = 0 и получили бы два отдельных уравнения, определяющих явления разряда в цепях §+ъ%+«?.-° н &+*.%+¦*-* <178> Обыкновенно обе цепи бывают колебательными, иначе говоря, характе- характеристические уравнения, соответствующие дифференциальным уравнениям A78) + п* = 0 и г* + ^3г + д!«=О, A79) имеют комплексные корни, т. е. gf — я?<0 и g? — /il<0, или или иначе Уравнение A77) при k = 0 дает две пары комплексных сопряженных корней (корни уравнений A79)], и при небольших значениях Л4, каковые обычно и встречаются на практике, уравнение A77) будет также иметь две пары комплексных сопряженных корней с отрицательными вещественными частями: rit s=— а±.Ы и re, 4 as — c±dir и обще/в выражение для it будет e^a/ sin bt + Ce^c/ cos Л + Ci*"* sin Л. Заметим, что, зная /lf мы можем получить i3 уже без всяких квадратур. Действительно, из уравнения A74) мы определим -~; подставляя найденное выражение в уравнение A72), получим уравнение первой степени относи* теаьно fa. Выражение /8 будет содержать члены того же вида, что и ilf е коэффициентами, которые будут линейными комбинациями постоянных Ч, Ся, Ct н С4. Если пренебречь сопротивлениями, т.е. считать ^=^3=0 и, кроме <э, считать, что цепи настроены на одну и ту же частоту, т. е. nl=ani^n9 Уравнение A77) будег
124 ГЛ. IK ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [45 откуда а_ —аш'±кпш и Этим чисто мнимым корням соответствует решение в виде тригономе- тригонометрических функций. Таким образом, при магнитной связи цепейг настроен- настроенных на одинаковую частоту, возникают два колебания, частоты которых зависят от общей частоты п цепей и постоянной kt характеризующей маг- магнитную связь следующим образом: пГ' х % 4- ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 45. Интегрирование линейного уравнения с помощью степен- степенного ряда* Решения линейного уравнения с переменными коэффи- коэффициентами выше первого порядка, как мы уже говорили, не выра- выражаются, вообще говоря, через элементарные функции, и интегрирова- интегрирование такого уравнения не приводится, вообще говоря, к квадратурам. Наиболее употребительным приемом является представление искомого решения в виде степенного ряда, о чем мы уже говорили [16]. Этот прием является особенно удобным именно в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Мы ограничимся рассмотрением урав- уравнения второго порядка />«o. A) Положим, что коэффициенты р(х) и q(x) представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням х> так что уравнение имеет вид ^ .)> = 0- B) Обращаем внимание на то, что коэффициент при У мы считаем рав- равным единице. Будем искать решение уравнения B) также в виде степенного ряда оо Подставив это выражение у и его производных в уравнение B), находим
45J * ** ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 125 Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и прирав- приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях х в левой части написанного равенства, получим ряд уравнений 2 ¦ loij —{— Лоа1 "т* ^о*о === 0> ,=о, 4 • 3oi4 —|" 3#001з -}— 2cii<i% —j- a<tfii —(- ^(,ot^ -J— b^x^ —[- 6^0 ^= 0, I (?\ Через Qsifh» ai> ^ •*•> as+\) мы обозначили однородный многочлен первой степени от аргументов а0, аь а2, ..., a^+i» Каждое последующее из написанных уравнений содержит одним искомым коэффициентом больше предыдущего. Коэффициенты а0 и асА остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений D) дает о* а затем второе дает *$, третье а4 и т. д., и вообще из (s-(-l)-ro уравнения можно определить а^ зная предыдущие щ, *l9 as, ..., a,+1. При этом удобно поступать следующим образом. Определим вы- вышеуказанным способом два решения ух и уь причем для первого ре- решения примем ао=1иа1 = Ои для второго Оо = 0 и at=l, что равносильно следующим начальным условиям: Всякое решение уравнения будет линейной комбинацией этих ре- шений, и если начальные условия имеют вид щ очевидно, Выше мы показали, что путем формальных вычислений можно пойепенно определять коэффициенты стеленного ряда C). Но остается открытым вопрос о том, будет ли таким образом построенный сте- стеленной ряд сходящимся и будет ли он давать решение уравнения. В томе III мы дадим доказательство следующего предложения: если Ряды при \x\<CR, nto при этих значениях х построенный Щааанным выше образом степенной ряд будет также сходя- Щпм и явится решением уравнения B), В частности, еслир(х)
126 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДО и q (x) — многочлены от х, та найденный степенной ряд будет сходиться при любом значения х Во многих случаях линейное уравнение имеет вид PAx)/' + Pi(x)y +Р*(х)У = 0. E) где Р9 (х)> Р| (х), Я9 (¦*) — многочлены от х. Чтобы привести его к виду A), надо разделить обе части уравнения на Я<>(х), так что в этом случае надо считать Если свободный член многочлена Р0(х) отличен от нуля, т. е» Ро @) ф 0, то, производя деление многочленов, расположенных по возрастающим степеням х% можно представить р(х) и q(x) в виде степенных рядов, и решение уравнения E) также можно искать в виде степенного ряда. При этом нет необходимости приводить уравнение E) к виду A)» но проще непосредственно подставить выражение C) для у в левую часть уравнения E) и затем применить способ неоп- неопределенных коэффициентов. До сих пор мы рассматривали лишь степенные ряды, расположен- расположенные по. целым положительным степеням х. Вместо этого можно было бы пользоваться рядами, расположенными по степеням разности (х—о). Все сказанное выше, очевидно, применяется и к линейным урав- уравнениям выше второго порядка. Только в этом случае при отыскании решения в виде степенного ряда остаются неопределенными не пер- первые два коэффициента, но число их, равное порядку уравнения. Если имеется линейное неоднородное уравнение у которого не только коэффициенты, но и свободный член суть сте- степенные ряды, то его частное решение также можно искать в виде степенного ряда. Сделаем одно замечание по поводу формул F). Пусть Р(х) и Q(x) — два многочлена от х, причем Р@) ф 0. Производя, как выше было сказано, деление многочленов, можем представить их частное в виде степенного ряда .i G) но возникает вопрос: будет ли ряд, стоящий справа, сходящимся, и если это так, то в каком промежутке он будет сходиться, и будет ли его сумма равна левой части райенства? Решение этих вопросов очень просто вытекает из теории функций комплексной переменной, которая будет изложена в томе HI. Мы приведем здесь лишь окон- окончательный результат степенной ряд формулы G) сходится при
46] § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 127 1#|С» г$е Я— модуль (или абсолютное значение) того корня уравнения Р(х) = 0, который имеет наименьший модуль, и ра- равенство G) имеет место при указанных значениях х. Отсюда вытекает, между прочим, что если интегрировать непосредст- непосредственно уравнение E) при помощи степенного ряда, то полученный ряд будет наверно сходящимся при |*К& где R — модуль на- именыиего по модулю корня уравнения Рц(х) — $. Заметим, что если доказать сходимость ряда C) внутри промежутка / fa + /?), то отсюда будет непосредственно вытекать, что сумма этого ряда дает решение уравнения. Действительно, прежде всего можно вычис- вычислять / и у" простым почленным дифференцированием ряда C) [1, 150]. Да- Далее, подставляя выражения у, у и у" в левую часть уравнения B), мы мо- же» почленно перемножать ряды / и у на ряды р (х) и q (x) ввиду того, что стеленные ряды сходятся абсолютно [I, 137, 148]. Наконец, в силу вы- выбора коэффициентов ап из равенств D), мы имеем сокращение всех членов в левой части B). 46. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение Подставляя ряд C), лолучим откуда, приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, по- получим х* Л А'3 3 . 2ав — а0 = 0, Полагая «0 = 1 и at = 0, получим последовательно значения остальных ко- зффициешов 1 1 1 ^ е. отличными от нуля будут лишь коэффициенты ast у которых значок $ Деангся на 3, и мы можем" написать = v Построенное нами решение будет l-4.7...Cfe —2) (ЗА)!
128 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [48 Для построения второго решения положим ао = О и а4 = 1. Нетрудно, как и выше, показать, что это второе решение будет C* + 1)! - ' Я = 1 Построенные степенные ряды будут сходящимися при всяком значе- значении X. Проверим это для ряда yt по признаку Даламбера [I, 121]. В нем отно- отношение последующего члена к предыдущему будет 1.4.7...C* + 1) ¦»„. Ь4.7...C*-2) k _ C* + 3)! " (ЗЛ)! — ( х C* + 3)! " (ЗЛ)! — (ЗЛ + 2)(ЗЛ + 3) ' и при любом значении л: абсолютное значение этого отношения стремится к нулю при беспредельном возрастании кл откуда и вытекает абсолютная сходимость ряда. 2* Рассмотрим уравнение (I — х*)у" — ху + а*у = 0. Подставляя ряд C)t получим, приравнивая коэффициент при хп нулю, сле- следующее соотношение между коэффициентами ал: или Полагая ao=sl n aiz=i01 получим решение Совершенно так же, подставляя «0^=0 и «i — 1, получим « -^ а2~К* 1 (Д8—1)(а8 —9) (да—1)(Д8 —9)(^ —25) уа— х 31 * -t- ^ л ^ л: ^-.„ В рассматриваемом уравнении коэффициент Р0(лг) = 1 —л:1 при у имеет корни д:=± 1, а абсолютное значение обоих из этих корней равно единице. Отсюда вытекает, что ряды yt и у2 должны сходиться при — I <*<+ 1, т. е. ври |*J< 1. Нетрудно проверить это по признаку Даламбера. Беря отношение по- последующего члена к предыдущему, например, для ряда ylt получим с точ- точностью цо знака а Bл)! Деля числитель в знаменатель на п8, можем переписать абсолютное значение этого отношения в виде
47} 5 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 129 При беспредельном возрастании п это отношение стремится к \х\2, и, очевидно, |д:|8<1 при |лг|<1, т. е., согласно признаку Даламбера, ряд yt абсолютно сходится при |j;J<1. Очевидно также, что он расходится при |jc|>1, если только а не равно целому четному числу, В последнем слу- случае ряд yt обрывается и превращается в многочлен. Аналогичные заключе- заключения получаются и для ряда у2. Можно проверить, что решения у\ и у2 вы- выражаются через элементарные функции cos (a arc соз х\ sin (a arc cos х), 47. Разложение решения в обобщенный степенной ряд. Значитель- вое число уравнений, встречающихся в приложениях, имеет вид х*у" +р(х). ху* + д (х) у=0, где/>(-*) и q(x), как и в уравнении B), — ряды, расположенные по целым положительным степеням л-, или просто многочлены. Ввиду наличия множи- множителя Xs при второй производной написанное уравнение не подходит под тип B). Говорят, что*написанное уравнение имеет в точке х —•$ регуляр- регулярную особую точку. Выписав явно степенные ряды р (х) и q (x) * + ...)y=Ot (8) будем искать решение уравнения уже не в виде простого степенного ряда C), а в виде произведения некоторой степени х на такой ряд: а первый коэффициент а0 мы можем, конечно, считать отличным от нуля ввиду неопределенности показателя степени р у множителя х?, стоящего перед знаком суммы. Подставим в левую часть уравнения (8) выражения yt у' и /'* У" = f] (P + s) (Р + s - 1) «,*^-* 5 = 0 Собрав подобные члены и приравняв нулю коэффициенты при различ- различны! степенях х, получим ряд уравнений х? + Qs(at>r «i» «s. ••• > «5^1) —0, Через Qs(aa, ait a2t ... , cls.j) мы обозначили однородный многочлен первой сгепени от аргументов а0, alt a3r ..« , <xs__t. Ввиду того, что, по условию, Дот^О, первое из написанных уравнений т квадратное уравнение для определения показателя р: , И. CMhti»n«
130 ГЛ. IT. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ D7 Уравнение это называется определяющим уравнением. Пусть рх и ps — его корни. Полагая в уравнениях A0) р = р, или р —р2, будем иметь ряд уравнений, из которых каждое последующее будет содержать одним коэф- коэффициентом as больше предыдущего, и таким образом постепенно можно бу- будет определить о,, а2, ... Коэффициент а0 останется произвольным и будет играть роль произвольного множителя. Можно положить, например, ао=1* После подстановки р = рх или р = р2 первое из уравнений A0) обратится в тождество, второе даст alt третье а2 и т. д. и вообще (s + 1)-е даст as, если уже известны а0) alt ... , as_v При этом надо только, чтобы коэффи- коэффициент при as в этом уравнении был отличен от нуля. Непосредственно видно, что этот коэффициент может быть получен из левой части уравнения A1) заменою р на (pt + s) или <p2 + s)> т. е. он равен F^ + s) или F($s-\-s). Положим» что при построении решения (9) мы исходили из корня урав- уравнения A1)р = ра. Если F(pi-\-s)gb0 при любом целом положительном s, то указанный выше прием вычисления коэффициентов as будет выполним и даст определенные значения для этих коэффициентов. Условие же /T(ps + s)^O равносильно, очевидно, тому условию, что второй корень Pi уравнения A1) не есть число вида (р8 + s), где s — целое положительное число, т. е., иначе говоря, разность корней (рх — ps) не должна быть целым положительным числом. Из сказанного нетрудно вывести следующие заключения, 1. Если разность корней pj и pg уравнения A1) не равна целому числу или нулю, то можно использовать оба корня уравнения A1) и построить вышеуказанным способом два решения вида 2. Если разность (pi — ps) есть целое положительное число, то можно построить указанным выше способом, вообще говоря, лишь один ряд: 5 = 0 8. Если уравнение (II) имеет кратный корень р1 = р2, то также можно построить лишь один ряд A3). По поводу сходимости построенных рядов имеет место предложение, аналогичное предложению, приведенному нами в [45]: если ряды |) asx* и fj М5 ?-=0 5 = 0 сходятся при |лг|<Я, то при этих значениях х построенные выше ряди также будут сходящимися и будут давать решения уравнения (8). К разобранному приводится уравнение х'Р* <*)/' + хРх (х)? + Р* (х)у = 0, A4) где Pq(x), Pi(x) и Р2(х) — многочлены или ряды, расположенные по це- целым положительным степеням х, причем Р0@)ф0. Здесь, как и в [45], можно непосредственно подставлять ряд (9) в левую часть уравнения A4), не производя деление на Ро (х). Кроме того, как и в [45], можно рассмат- рассматривать ряды, расположенные по целым положительным степеням ие дг, а разности (л: — а). В первом случае два построенных решения A2) будут линейно незави- независимыми, т. е. их отношение не будет величиной постоянной, что вытекает
$ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 131 яепосредственно из того факта, что выражения yt и у2 содержат перед зна- знакам суммы различные степени х?1 и х?К Во втором и третьем случаях мы построили только одно решение A3). Формула (9) из [25] дает возможность построить второе решение при помощи квадратуры. Пользуясь ею, нетрудна указать форму второго решения. Формулируем лишь результат. Если раз- разность pi — Ря есть Иелое положительное число или пуль, то, кроме A3), бу- будет решение вида т. е. по сравнению с A2) появляется добавочное слагаемое ?y±\gx. Число? может оказаться и равным нулю, и тогда для ys получим формулу A2). Пусть-?! —ps =? s, где s —целое положительное число, т. е. /*ЧРг + s) =^ -- р(рх) = 0. Если при этом соответствующее Qs в формуле A0) оказы- оказывается отличным от нуля, то Эт^О. Если же QS = Q, то р = 0, и второе ре- решение не содержит логарифма. Все высказанные выше утверждения будут нами доказаны в томе III. 4& Уравнение Бесселя* Это уравнение имеет вид где/? — заданная постоянная. Применения его встречаются в различных во- вопросах . астрономии, физики н техники. Сравнивая это уравнение с уравнением (8), видим, что а0 = 1 и bQ = —/?*, так что определяющее уравнение в данном случае будет -/>8 = 0, или ра —ра =0, и его корни Pi=A ра = — р. Ищем решение в виде у = хР(ао+агХ + а^ + ...). Шдстааляя в левую часть уравнения A6) и приравнивая коэффициенты при различных степенях х нулю, получим Подставляя <х0 = 1 и вычисляя последовательно коэффициенты, придем 1»^П0ЛЬЗЛ? ВТОРОЙ корень ра = — р, можем построить второе решение г*!!ЯЯ ^ ^но может быть получено, очевидно, из решения A7) про- .заменой Р на (—/?), так как.уравнение A6) содержит только р* и не
132 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ меняется при замене р на {—р): Разность корней определяющего уравнения равна 2р, а следовательно, оба написанных решения будут годиться, если р не равно целому числу или половине целого нечетного числа. Решение A7) "с точностью до некото- некоторого постоянного множителя дает бесселеву функцию р-го порядка, которую обозначают обычно через Jp(x) и называют также цилиндрической функ- функцией первого рода. Таким образом, если р не есть целое число или поло- половина целого нечетного числа, то общее решение уравнения A6) будет Степенной ряд, входящий в решение A7), сходится при любом значе- значении х, в чем нетрудно убедиться по обычному признаку Даламбера. Положим теперь, что р = п есть целое положительное число. Реше- Решение A7) сохранит свою силу, а решение A8) потеряет силу, так как, начиная с некоторого числа, один из множителей в знаменателе членов разложе- разложения A8) будет равен нулю. При целом положительном /? = я бесселева функ- функция Jn(x) определяется из формулы A7) добавлением постоянного множи- : 2.4.6Brt + 2) Bл + 4)Bл+ 6) Общий член, в этом разложении будет ...]. (~~ ^* 2д-л!2'4*6. ... 2s. Bл+ 2) B*+ 4) B/1 + 6*)... B* +2s) • В знаменателе каждый из 2s множителей, стоящих после 2я - п), содержит множитель 2. Относя этот множитель к 2Л, можем переписать общий член в виде "~ s!(rt + s)! \2 j » так что формула A9) может быть написана в виде s-0 причем, как всегда^ считается, что 01 = 1. В частности, при я = 0 подучим 5 — 0
^ $ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОЛЮЩЫО СТЕПЕННЫХ РЯДОВ I Зс В силу сказанного в [47], уравнение A6) при целом положительно* ле=я будем иметь наряду с решением B0) второе решение вида Кп <*> == р/я (л:) lg х + лг* fj ЬдЛ B2) Это решение, очевидно, обращается в бесконечность при х = Э. Общий интеграл уравнения A6) при /? =s л будет у = С^п(х) + СшКя{хУ B3) Если мы хотим получить решение, конечное в точке дг = О, то мы должны взять постоянную С8 равной нулю, т. е. должны ограничиться реше- решением B0). Приведем более подробно вид решения B2) при/г = 0. В этом случае уравнение будет yff + ~y'+y = 0, B4) и одно из его решений дается формулой B1). Второе решение можно искать в виде P Взяв линейную комбинацию этого решения с уже найденным, можем свободный член C0 привести к нулю, так что окончательное решение можно искать в виде Подставляя это выражение в левую часть уравнения B4) и применяв способ неопределенных коэффициентов, последовательно определим коэффи- коэффициенты рл. Не приводя всех вычислений, мы только укажем окончательное выражение второго решения. При этом коэффициент р, который оказы- оказывается не равным нулю, мы полагаем равным единице Эта функция называется бесселевой, или цилиндрической, функцией нулевого порядка второго рода. Положим наконец, что р~ Z* ¦ есть половина целого нечетного чи- числа. Хотя в этом случае разность корней определяющего уравнения и равна целому числу Bл + 1), но оба решения A7) и A8) сохраняют силу и буду? между собою линейно независимыми, так как у одного множитель перед 2/1-М 2/t-H стеленным рядом будет х 2 , а у другого х 2 , и следовательно, отно- отношение этих двух решений не может быть постоянной величиной. Подставляя, например, в решение A7) p~-?f получим ряд 2.4.6^-5-7 I Г .V3 , л:5 __ х1 . 1 sin
134 ГЛ. И. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1*9 Умножая это решение на постоянный множитель 1/ —, подучим бсс- селеву функцию Jj (х): Jx(x) = \f — si" x. B6) *2~ Точно так же формула A8) даст B7) и общий интеграл уравнения A6) при р-=~к- будет y^c^w + cj L(x). 2 " Укажем, не приводя доказательства, на то, что вообще бесселева функ- функция со значком, равным половине нечетного числа, выражается через эле- элементарные функции, а именно имеет вид где Рп ( —] и Qn f—) — многочлены от 1/лг, В частности, м sin л: Кроме того, для любого целого положительного я имеет место формула 2 В этой формуле надо четную функцию -52L5 дифференцировать я раз по хК х 49. Уравнения, приводящиеся к уравнению Бесселя» Укажем неко- некоторые уравнения, которые приводятся к уравнению Бесселя A6) заменой деременных. Рассмотрим уравнение вида ху + х? + (ft2*2 — р2)у ~ 0, B8)
а это есть уравнение Бссселя A6) с независимой переменной ?. Таким обра- образом, в силу ? = for, общий интеграл уравнения B8) будет у = CtJp (kx) + С2У_р (kx), B9) или, если р = п есть целое положительное число или пуль, у =- С^п (kx) + C2Kn (kx). B»4> Приведем еще обширный класс уравнений, приводящихся к уравнению Бесселя. Для этого введем в уравнение A6) новую независимую перемен* ную t и новую функцию и по формулам y = tau и х = тЛ C0) где а, р и 1 — постоянные, причем 3 и ] отлиты от нуля. Дифференцируя, имеем очевидные равенства Подставляя выражения >', ^- и -т^ в уравнение A6) и заменяя ~ и -j^ их последними выражениями через ut — и -т^-, получим, после элемен- элементарных преобразовапий, уравнение для и: Уравнение A6) имело общий интеграл следовательно, в силу C0), уравнение C1) будет иметь общий интегрзя и = Г«у = Cj-Vp (у*) + Ctr*J_p Or*?), C2* ричем, еслир = л — целое положительное число или нуль, то /_р (f*1*) ладо вменить на *„<^). C1) и, кроме того, или так что уравнение B8) перепишется: § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 135 ? некоторая постоянная, отличная от нуля. Введем вместо X новую независимую переменную 5 = for. При этом "надо будег в уравнении B8) взмели ,
Можно, наоборот» для любого заданного уравнения вида C3), при усло- условии, что постоянные с и т отличны от нуля, найти по формулам C4) а, 1, 7 и р и выразить общий интеграл уравнения (.43), согласно формуле C2), через функции Ьесселн. Ксли с или т равно нулю, то уравнение C3) есть уравнение Эйлера [42| и приводится, следовательно, просто к уравнению с постоянными коэффи- коэффициентами. Рассмотрим частный случай уравнения C3) Умножая уравнение на f, видим, что в данном случае а произвольно, 0 = с=1 и т = 2. Уравнения C4) будут 2а+1 = я, а«-[>>*/>* = О, PV=>. 2? = 2, откуда можно считать в 1 А 1 fl — 1 и, согласно C2), общий интеграл C3) будет (ЯЯ) Г5» C3) C4) 136 ГЛ. П. Л1ШПГШЫЕ ЛИФФПРЕНЦИАЛЫ1ЫЕ УРАВНЕНИЯ Уравнение C1) есть уравнение ни i.. причем 1 — а причем, если, например, значок —^— окажется целым отрицательным или нулем, то надо заменить J\_a на Ка^у При в= 1 уравнение C5) совпадает с уравнением B4), Вообще уравнение C3) дает обширный класс линейных уравнений, часто встречающихся в приложениях, общий интеграл которых выражается, как мы видим, через функции Бесселя. § 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 50. Метод последовательных приближений для линейных урав- уравнений. Мы уже несколько раз упоминали о теореме существования и единственности для дифференциальных уравнении. Приведем дока- доказательство этой теоремы сначала для случая линейных дифференци- дифференциальных уравнений. Для доказательства мы применим так называемый метод последовательных приближений, которым мы уже пользовались для приближенного вычисления корней уравнений [I, 193]. Лля определенности рассмотрим систему двух линейных однород- однородных уравнений @
Будем считать, что коэффициенты уравнении (I) суть непрерывные функции х в некотором конечном замкнутом промежутке I(a<^.х^Ь), содержащем начальное значение дг0, и в дальнейшем изложении мы считаем, что х принадлежит Л Решения у и z системы A) должны быть, конечно, непрерывными функциями, имеющими производную, и из самих уравнений видно, что и производные -р и -^ будут непрерывными функциями [1]. Интегри- Интегрируя уравнения A) почленно от х0 до х и принимая во внимание B), получим C) Здесь мы для отчетливости выписали аргументы у функции у и zf а переменную интегрирования обозначили через t, чтобы не путать ее с верхним пределом интегрирования х> Итак, уравнения (I) с началь- начальными условиями B) приводят нас к уравнениям C). Покажем теперь, наоборот, что если непрерывные функции у(х) и z(x) удовлетворяют уравнениям C), то они удовлетворяют уравне- уравнениям A) и начальным условиям B). Действительно, полагая в уравне- уравнениях C) x = Xq и принимая во внимание, что интеграл с одинако- одинаковыми пределами равен нулю, получим начальные условия B), а диф- дифференцируя уравнения C) по х> получим уравнения (!) [I, 961. И* сказанного следует, что уравнения C) в указанном смысле равно- равносильны уравнениям A) с начальными условиями B), и в дальнейшем мы будем рассматривать лишь уравнения C). Отметим, что в этих уравнениях искомые функции у(х) и z(x) входят как в левую часть, так и под знак интеграла в правую часть. Выясним идею метода последовательных приближений. Считая на- начальные значения у0 и г9 первыми приближениями к искомым функ- функциям у н zt заменяем в правых частях уравнений C) у и г на у0 и *!>¦ Таким образом, получим функции ух(х) и zx(x): D) вон *• дополнит, опплпния по лифферпшилльным уравнениям 137 и начальные условия B)
то есть (8) 138 ГЛ. П. ЛИНППНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |5Э являющиеся вторым приближением к у и г. Эти функции ух (х) и м(а*), очевидно, непрерывны в вышеупомянутом промежутке /|1,96|. Заменяя теперь в правых частях уравнений C) у \\ z на ^(л*) на Z\{x\ получим третье приближение у*(л*) и zt(x): причем у*(х) и zi(x) опять непрерывны в промежутке / и т. д. Общая формула, дающая («~[-1)-е приближение, будет (S) В промежутке / коэффициенты уравнений (I) суть, по услопию, не- непрерывные функции, а потому в этом промежутке они будут по абсо- абсолютной величине не больше некоторого определенного положитель- положительного числа АП1. 351: со Обозначим» кроме того, буквой т наибольшее из двух положи- положительных чисел \уъ\ и |гв|, т. е. G) В дальнейшем мы будем рассматривать лишь часть промежутка /, лежащую справа от хп, т. е. будем считать лг — лг0 ^ 0. Рассмотрение левой части может быть сделано так же. Оценим разности между соседними последовательными приближе- приближениями. Первая из формул D) дает Заменяя под интегралом все величины абсолютными значениями и большими величинами, в силу (G) и G) получим [1, 93]
601 « 5. ДОПОЛНИТ. СВПДЕ1ШЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРА0ПП11ПЯМ 130 и совершенно так же Первое из уравнений E) при я = 2 будет <«!> вычитая из него почленно первое из уравнений D), получим Заменяя опять под интегралами псе величины абсолютными злаче* ниямп и пользуясь (G), (8) и (8Д получим пли откуда окончательно Совершенно так же (S) (9») Далее, берем первые из уравнений E) при я = 2 и л = 3. По- Почленно вычитая, получим Пользуясь F), (9) и (9Х), как и выше, будем иметь откуда
140 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДО Продолжая так и дальше, можем написать общие оценки разности двух соседних приближений — zn-\ A0) 1 Пользуясь этими оценками, нетрудно показать, что функции уп(х) п zn(x) равномерно стремятся к некоторым предельным функцияму(х) и z(xI) при беспредельном увеличении значка п. Докажем это для последовательности функций уп{х), Эту последовательность мы можем заменить бесконечным рядом С*) -л! + Lv* <*) - л (* у которого сумма первых (л-f-l) членов равна >^п(^), и мы должны, таким образом, доказать равномерную сходимость ряда A1) [1, 144|. Если / есть длина промежутка /, в котором меняется х, то первая из формул A0) показывает, что члены ряда A1) по абсолютной вели- величине не превосходят положительных чисел mML (rt = ,,2,...). а ряд, составленный из этих чисел, сходится по признаку Даламбера, так как отношение последующего члена к предыдущему, равное—jp, стремится к нулю при беспредельном возрастании д. То же следует и из разложения ех [If 129]. Таким образом, согласно признаку Вейерштрасса [I» 147], ряд A1) равномерно сходится в промежутке/, т, е. в этом промежутке уп(х) равномерно стремятся к некоторой функции у(х). Совершенно так же можно доказать, что и последо- последовательность zn(x) равномерно стремится в / к некоторой предельной функции z(x), т. е. в / имеет место равномерное по отношению х стремление к пределу: Jim ya(x)=y(x), llm zn(x) = z(x). A2) л-*со п-*са Функции уп(х) и zn(x) непрерывны в / и, следовательно, то же можно утверждать и относительно предельных функций у(х) и z(x)[\t 14б| Отметим, что для части промежутка /, лежащей слева от х9, гд<2 X — ^o«^Of мы должны в правых частях неравенств (8) и (8») заме- ') Для дальнейшего существенно вспомнить параграфы о рядах с иерс- ыенкыми членами и равномерной сходимости из тома 1.
I 5. ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 141 нить (* — Хц) на (•*<>— •*)• В дальнейших оценках надо будет (t—хй) заменить (Jfy— О и т- Д* Неравенства A0) останутся справедливыми для всего промежутка / при условии замени (х— лг0) абсолютным значением этой разности. Докажем теперь, что предельные функции удовлетворяют уравне- уравнениям C), т. е. уравнениям A) и предельным условиям B). Это непо- непосредственно вытекает из формул E), если в обеих частях этих урав- уравнений перейти к пределу при п-*оо. Тогда уп(х) и yn_i(t) будут стремиться к у(х) и y(t)> a zn{x) и г„_,@ — к г(х) и z{t\ и в пре- пределе для у(х) и z{x) получим уравнения C). Проведем строго этот предельный переход. Из A2) следует Bfflfei (О Уп-х (О + Ях (О *n-i @] = Л (О У (О + ?i @ * (О, Докажем, что эти предельные переходы имеют место равномерно ПО отношению к t в промежутке L Ограничимся периоИ формулой. Оценим разности между пределом и переменной: 1 [ft (О У @ + Чх @ ^ @1 - \Рх @ Ул-i @ + л @ ^-i @1К < 1 ^i (О И У @ - У*-1 (О I +1 ?i (О II г @ ^ гл_, @'. В силу равномерного стремления yrt_i@ и ^i@ к У @ и г@ ПРИ любом заданном е ^> 0 существует число N, одно и то же для всех t из / такое» что Отсюда, в силу F), следует, что при любых t из / имеет место прп »^iV неравенство I \Рг (О У @ + Ях @ ^ @1 - [/>i (О y«-t @ + Ях @ ^-i @11 < •. ч*о я доказывает равномерное стремление к пределу в формулах A2t) во всем промежутке /ив любоп его части (х0, х). Обрата- С1Яся х формулам E) и пользуемся возможностью перехода к пределу ИОД знаком интеграла для равномерно сходящихся последовательно* ttto [I, 146]. Переходя к пределу, получаем из этих формул уравне- уравнения C) для у(х) и z(x). Резюмируя, можем сказать, что метод последовательных прибли- приближений дал нам решение системы A) при начальных условиях B), т. е. JJW доказали существование решения. Покажем теперь, что искомое оение единственно. Пусть уравнения C) имеют два решения: у{х\ я Y(x), Z(jc). Подставляя в уравнение C) сначала одно, а потом
Ro.ii.mcm справа от л*0 промежуток 1{ такой длины /,, чтобы про- произведение 2Mfl = Q было меньше единицы. Докажем, что в этом про- промежутке упомянутые два решения совпадают. Если бы это было не так, то абсолютные значения разностей \y(x)—Y(x)\, \z{x)-Z{x)\ имели бы п !х положительный максимум, который мел обозначим числом Ь, Пусть он достигается» например, первой разностью в точке а* = ;, т. е. Рассмотрим первое из уравнений A3) при #==;. Оценивая инте- интеграл, как это мы делали выше, получим, в силу A4,), откуда, пользуясь (И), а также тем, что 5» принадлежит проме- промежутку /i. а последнее неравенство нелепо, ибо, по условию, ^^ Итак, нами доказано, что решения у> z и К, Z должны совпадать па промежутке дг„ -?: JC^jro-|-/lt где 2Л1/,<^1. Выбирая значения у, г при л* = дГо4"Л u качестве начальных условий, повторяем дока- доказательство единственности для промежутка д-0 -j- /4 ^ х ^ дт0 -f- Л Ч~ ^» где 2Л^<^1. Покрывая, таким образом, часть промежутка /, лежа- лежащего справа от хп, несколькими промежутками длины /, или меньшей (последний из покрывающих промежутков), можем утверждать совпа- совпадение решений на всей части /, лежащей справа от х%. Аналогично поступаем и для части, лежащей слева от лг„. Формулируем теперь окончательный результат: система A) при начальных условиях B) имеет одно определенное решение, которое существует в проме- промежутке /, в котором коэффициенты системы (I) непрерывные функции, и это решение может быть получено по методу после- последовательных приближений. Отметим, что при вычислении первого приближения ух(х) и zx (x) ъ:и можем в формулах D) заменить под знаком интеграла у9 и г0 (Hi) [50 A3) '112 гл. и. лшшпиые днффш>1-ициллы1ые уравнении другое решение и вычитая почленно, будем иметь
90| 5 3 ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ИЗ любыми функциями Уо(х) и z9(x), непрерывными на промежутке /. Все последующее доказательство сохраняется. Не останавливаясь па доказательстве, приведем дие оценки для абсолютного значения раз- разностей у(х) — Уп(х) " *(¦*) — *«(*) при yQ(x)~yQ и zQ(x) = zu: Для использования второй оценки надо знать оценку квадратно*! скобки, стоящей под знаком интеграла. Указанный выше результат, касающийся существования и един- единственности решения, а также сходимости метода последовательных приближений, справедлив и в том случае, когда / есть открытый про- промежуток c<^x<^dt ибо, в силу указанного выше, мы будем иметь существование и единственность решения во всяком конечном зам- замкнутом промежутке а^х^Ь, содержащем значение х0 и принадле- принадлежащем промежутку А Мы могли бы рассматривать и неоднородную систему, т. е. при- прибавить к правым частям уравнений (I) функции fi(x) и ft(x)f непре- непрерывные в промежутке /, или общую линейную систему п уравнений с п искомыми функциями Предыдущее доказательство при этом остается в силе. Линейное уравнение второго порядка = 0 A5) нгожет быть написано в виде системы, если ввести, кроме у, искомую Функцию *=5 у': и таким образом высказанный выше результат справедлив и для урав- уравнения A5) при начальных условиях vU~*0 = >\>» y'U-*e = yi A6) * пРОмежутке / непрерывности коэффициентов р(х) и q(x).
144 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (Ы Пользуясь условиями A6), можем переписать уравнение A5) в виде причем двукратный интеграл можно заменить простым по формуле B2) из [17|. Равенство A7) дает возможность применять метод последо- последовательных приближений к уравнению A5) и не приводя этого урав- уравнения к системе. П р и м с р. Применим метод послелопательных приближении к примеру, рассмотренному нами в |46|: /' — ху = 0. Лозьмем начальные условия у \х_0 = 1 и у' |л-_0 = 0. Уравнение A7) в данном случис будет X X у = 1 + \ dx ^ ху dx. I) ft Подставлял справа у=-\, получим второе приближение который мы имели в 146]. Коэффициент (— А') есть непрерывная функция на бесконечном промежутке — оо < а* < + со, и написанный ряд сходится в этом промежутке. Это легко проверить, пользуясь признаком Даламбера № 121]. 61, Случай нелинейного уравнения. Метод последовательных приближений применим и для нелинейных уравнений» но окончатель- окончательный результат будет при этом несколько иным. Для простоты будем рассматривать сначала одно уравнение первого порядка A8) Предполагается, что функция f(x, у) однозначна, непрерывна и имеет непрерывную производную по у н некоторой открытой области В (область, к которой не причисляется граница) плоскости ХОУ, причем 07) Третье приближение будет Переходя к пределу, получим степенной ряд A9) с начальным условием
mi 4 5 ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ И5 точка (хг уд принадлежит В. В дальнейшем, при рассмотрении не- непрерывных функций у(х\ определенных на некотором промежутке / изменения х$ мы будем считать, что точки с координатами х> у(х\ при изменении х на /, принадлежат В, и у(х) имеет производную. У такого решения у=у(х) уравнения A8) производная у (х) непре- непрерывна на / [ср. 1). Если / содержит точку х и у(х) есть решение задачи A8), A9), то у{х) есть решение интегрального уравнения y(x)=y.-\-\f[t, y(t)\dt (x из /), B0) я, наоборот, если у(х) есть непрерывное на / решение этого инте- интегрального уравнения, то у(х) есть и решение задачи A8), A9) на / |Б0|, Выберем положительные числа а \\ b так, чтобы прямоугольник Q плоскости XOY, определяемый неравенствами (рис. 18) Хо — а ^с х ^ х^ -|- а, у9 — b ^у ^.y0 -f- b> B1) принадлежал В* Поскольку функции f(x, у) и *f -- f по предпо- предположению, непрерывны в замкнутом прямоугольнике Q, они ограни- ограничены по абсолютной величине, т. е. „ существуют такие положительные числа М и k, что B2) B3) если (х, у) принадлежит Q. От- Отметим, что, если концы (*,, ух) и (^i» у%) отрезка, параллельного оси ОХ9 принадлежат Q, то и все его точки принадлежат Q. Применяя фор* иулу конечных приращений и учитывая B3), получим неравенство \/(*ь Уг) —/(*i, ^i) I < * \У% ~Ух |> B4) если (хь У\) и (хь j/4) принадлежит Q, Это неравенство, обычно на- навиваемое неравенством Липшица, будет использовано в дальнейшем. Вычисление последовательных приближений будем производить по формулам, аналогичным D) и E): B5) Рис. 18.
146 ГЛ. ГГ. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ C1 При вычислении по этим формулам надо прежде всего позаботиться о том, чтобы точки с абсциссами х и ординатами уп(х) не вышли из прямоугольника Q, определяемого условиями B1), Первое из них дает для х неравенство \х — х\ а второе сводится к неравенству B6) Для того чтобы это неравенство выполнялось при всяком п, надо подчинить ху кроме уже поставленного условия ; х — л*п' -^ я, еще условию-(л: — дга|^-г7, и окончательно получим два условия: \х — *0!<я, \x — x*\<>jv B7) Покажем, что при этом все приближения будут удовлетворять условию B6). Первое приближение дает и, оценивая, как всегда, интеграл, получим в силу B2): откуда, в силу второго из условий B7), \у\{х)—-у9\^Ь9 т. е. нера- неравенство B6) выполнено при л=1. Кроме того, очевидно, функ- функция ух (х\ определяемая предыдущей формулой, непрерывна при соб- соблюдении условий B7). Убедившись во всем этом, сможем вычис- вычислить у2(х) по формуле B5) при я = 2: xQ откуда, как и выше, \Уг(х) — УоI «SМ\х — х01 <М ^ — ft т. е. неравенство B6) выполнено и при я —2, и, очевидно, )^(лг) — непрерывная функция при соблюдении условий B7) и т. д. Таким образом, мы сможем определять последовательные приближения уп(х) в промежутке (х0 — с, хо-{-с), где, в силу B7), с есть наименьшее из двух чисел: а и г*. Назовем этот промежуток через /. Все уа(х) суть непрерывные функции в /, и во всех дальнейших рассуждениях мы будем считать, что х принадлежит /. Проведем теперь оценку разностей уа(х)—ул.\(х)> причем для простоты будем считать х — лл0^>0, как это мы делали и в преды-
§ 5 ДОПОЛНИТ ОПЕДЕПИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 147 душем. Первое из уравнений B5), в силу B2), дает B8) Берем второе из уравнений B5) при п = 2 и вычитаем почленно из первого откуда [It 95] или, в силу B4), Пользуясь неравенством B8), получим далее B9) п окончательно Далее, написав вторую из формул B5) при п = 2 и « = 3 и про- производя почленное вычитание, получим Пользуясь неравенствами B4) и B9), получим отсюда, как и выше, и, продолжая так дальше, придем к общему неравенству C0) Если справа разность (х— х0) заменить на \х— #„1, то неравенство «Удет справедливо для всех х из / (справа и слева от хь). Но при х из / мы имеем \х — дго|<;а, так что для всех х из / имеем оценку *3 которой, как и в [50], следует, что уп(х) стремятся при п—*оо Равномерно относительно х на промежутке 1 к предельной
148 ГЛ. И. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ {51 функция у(х). Эта функция непрерывна на / и удовлетворяет нера- неравенству \у\х)—у^\<,Ь, которое следует из B6). Таким образом, точки с абсциссами х и ординатами у(х) принадлежат прямоуголь- прямоугольнику Q при изменении х на L В силу непрерывности f(x, y\ имеем Hm/l'i Л @1=/ft У @] С из /> П-+СО Нетрудно видеть, что этот предельный переход имеет место равно- равномерно по отношению к f в промежутке /. Действительно, при любом заданном е>0 существует, в силу равномерной непрерывности/^, у) в Q, такое S>0, что \f(x*, у") — /(д^,/)|<е, если (*', /), (х', f) такие точки из Q, что \х" — х'\*^Ъ и |У —у'1^8. Далее, в си- силу равномерного стремления уп_х {t)—+y{t) в /, существует такое число N (одно и то же для всех t из /), что \y{t)~yn-\(f)\*^ при n^>N и всех / из /. Отсюда вытекает, что для всех t из /; I/ft У@1-/ft y-i@1K" при й>« что и доказывает равномерное по отношению t m I стремление к пределу Обращаемся ко второй из формул B5) и переходим в обоих частях к пределу при л—+оо. В силу упомянутой только что равномерной сходимости, можем переходить к пределу под знаком интеграла и получим для предельной функции уравнение B0). Таким образом, мы пришли к следующему результату: Задача A8), A9) при сделанных относительно f(x, у) предпо* ложениях имеет решение на промежутке х0 — { где с — наименьшее из двух чисел аи -тг, я это решение может быть получено по методу последовательных приближений* Переходим к доказательству единственности решения задачи A8), A9), или, что то же, уравнения B0). Сначала, как и в [60], докажем единственность для некоторого промежутка достаточно малой длины. Пусть на некотором промежутке (х0 — /, хь + /), где положительное число /удовлетворяет неравенствам /<:с и ?/ = 0<Ч, имеются два решения у{х) и Y(x). Подставляя их в уравнение B0) и вычитая почленно полученные равенства, будем иметь y(x)-Y(x)=l\f[t, y(t)\-f[t, откуда
(II i *. ДОПОЛНИТ СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 149 или, в силу B4), \y{x)~Y(x)\^k\\y(t)-V(t)\dt (*>*„). C1) Предполагая, что решения различны на промежутке ^^ + можем утверждать, что \у(х)—Y(x)\ достигает на этом промежутке положительного наибольшего значения Ь при некотором значе- значений # = ?. Подставляя в неравенство C1) х~1, придем» как и в [50], к неравенству: b^klb или \^kl, а, по условию, kl<^l. Это про- противоречие и доказывает единственность на промежуткеxQ^x^xQ-\-l й, аналогично, на промежутке х0 — 1^х^х0. Мы доказали, что если (хо> у0)—любая точка из В, то решение задачи A8), A9) един- единственно на некотором промежутке xQ — l^x^xQ-{-l, т, е. мы дока- доказали «единственность в малом». Положим теперь, что задача имеет решение у(х) на некотором промежутке 1Х и решение Y(x) на промежутке /2, причем как !ь так и /а содержат х = х0. Пусть /—промежуток, состоящий из точек, общих /4 и /2. На / существуют оба решения* Покажем, что они сов- совпадают на /¦ Для определенности будем считать х^х^ на /, что несущественно. Докажем совпадение у(х) и У(х) на / от обратного. Положим, что у(х) и У(х) не совпадают на Л В силу доказанного выше, они все же должны совпадать при всех х^>хй, и достаточно близких к ху Пусть Е — множество таких значений х, что у(х) и Y(x) совпадают на промежутке xe^tx^xr. Если некоторое xf при- принадлежит Е, то всякое х", удовлетворяющее условию хо<^х"<С^х?> также принадлежит Е. По предположению, существуют такие значе- значения х из Д при которых упомянутые решения не совпадают, откуда следует, что множество Е должно иметь точную верхнюю границу, принадлежащую /. Обозначим ее через xv На каждом промежутке Xq^Xz^x? при хп<^хг<^х1 решения совпадают, и, в силу их не- непрерывности, они совпадают и на промежутке хо^х^хг. Но, по определению xlt существуют такие x^>xlf и сколь угодно близкие л:,, при которых у{х) и Y(x) не совпадают. С другой стороны, приняв xi и у(хд= Y(xt) за начальные данные и применив доказанную выше «единственность в малом», мы можем утверждать, что ^(дг) и Y(x) Должны совпадать при всех x^>xt и достаточно близких к xv Полу- Полученное противоречие доказывает совпадение у(х) и У(х) на всем /, Отметим, что в рассматриваемом случае промежуток (xQi хп~{-с) изменения х определяется сложнее» чем это было в случае систем линейных уравнений, где он совпадал с промежутком непрерывности коэффициентов и свободных членов, Пример. Рассмотрим задачу O- C2)
150 ГЛ. И. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 152 Уравнение B0) будет Если брать Ъ близким к нулю или большим, то второе неравенство дает тесный промежуток изменения х. То же будет, если брать а большим, а при а, близких к нулю, тесный промежуток дает первое неравенство. Таким образом, нам не удается получить для х сколь угодно большого промежутка изменения. Дробь имеет наибольшее значение _- при b~af откуда следуют неравенства: | х \ ^ а и | х | ^п~> и наилучшей является оценка j*',^-7=i но решение, очевидно, продолжимо как направо, так и налево во вне промежутка -г^^х^——. Мы приведем более подробный разбор V" 2 У 2 этого примера ниже. Нетрудно видеть, что решение задачи C2) есть кривая, симметричная относительно начала координат. Можно показать, что она ухо- уходит на бесконечность и имеет асимптоты дг= ± h, где 2,002 <Л< 2,005. Отметим, что решение задачи существует на бесконечном промежутке —оо<? х-<С-|-со. 52. Дополнения к теореме существования и единственности. Мы приведем теперь некоторые дополнительные результаты, непо- непосредственно связанные с содержанием предыдущего номера. В нем было гарантировано существование решения задачи A8), A9) на про- промежутке х0 — с ^ х ^ х0 + с, где с — наименьшее из чисел а и ^. Но решение может, конечно, существовать и на более широком про- промежутке. Мы можем взять значения х — с и у— у (с) за нешые на- начальные данные и, таким образом, продолжить решение, оставаясь в области ??. То же можно сделать и при х = xQ — с. При таком продолжении интегральная кривая беспредельно ггриближается к грани- границе В. Если Б — бесконечная область, то понятие приближения к границе В За область В мы можем брать всю плоскость XOY. Вычисляем уп (х): Положительные числа а и Ь, определяющие прямоугольник Q, можно брать любыми. При этом М=а2-\-№ и неравенства, определяющие искомый про- промежуток изменения xt имеют вид
5 ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 151 ключает в себя и бесконечное удаление точек интегральной кривой, частности, если В есть вся плоскость и решение задачи A8), A9) <^h й В продолжимо направо на промежуток xo^x<^h, где й — конечное число, но не на больший промежуток, то можно показать, что реше- решете у=у(х) уходит на бесконечность, имея асимптоту х = к. Все эти утверждения являются следствием того, что во всякой ограничен- ограничений замкнутой области, принадлежащей В, имеют место оценки B2), 123), где М и к — некоторые положительные числа. Вообще при ука- указанном продолжении решения у=у(х) задачи A8), A9) получается максимальный открытый промежуток существования p<^x<^q (ко- (конечный или бесконечный), так что всякое решение упомянутой задачи есть у(х) на промежутке p<dx<^q или на его части. Последнее совпадает с утверждением единственности решения задачи. Обратимся теперь к условиям, которым мы подчинили f(x> у). Отметим прежде всего, что при доказательстве нам было важно иметь в каждом прямоугольнике Q, принадлежащем В, не наличие и непре- непрерывность производной * д * и0 лишь неравенство Липшица B4). Это неравенство вместе с непрерывностью функции f(x, у) и можно взять как условия для f(x, у). Но пример из [2] показывает, что одной непрерывности f(x> у) недостаточно для единственности реше- решения задачи A8), A9). Можно показать (теорема Пеано), что если/(.г, у) непрерывна в В и (лг0, у0)— точка, принадлежащая В, то существует по крайней мере одно решение задачи A8), A9). Указанный выше пример из [2] показывает, что таких решений на промежутке лгв — 8^дг^лго-{"8 при любом малом 8 ^> О может быть больше одного. Доказательство из [51] применимо и для системы уравнений ^ ) 0=1, 2, ,..,, я), J В этом случае область В есть область изменения переменных (*» Уи Уь > ?,, уп). При п = 2 это есть область трехмерного про- пространства (xt уь у2). При л]>2это — область (n-f- 1)-мерного про- пространства. Точка такой области есть последовательность (« -f-1) чисел \х» Ун у2, ..», у„) (координаты точки). Расстояние между двумя точками («0, аи аь ,.., aj и (b0, blt b^..., bn) (n -\- 1)-мерного про- пространства определяется формулой область В есть множество точек, обладающих следую- следующими двумя свойствами: 1) если некоторая точка Р принадлежит В,
162 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [S2 то существует.такое е>0, что В принадлежат в все точки, рас- расстояние которых до Р не больше е; 2) если Р и Q — любые две точки из В> то существуют такие непрерывные функции <pft@ 0, I, 2, ..., ft), определенные на некотором конечном промежутке р что все точки, определяемые формулами принадлежат В при <x^f^:p, причем ^ = а дает координаты точки Я и * = |5 — координаты точки Q. Это условие на геометрическом языке означает, что Ри Q могут быть соединены линией, все точки которой принадлежат В, В случае системы C3) условия теоремы А совершенно аналогичны условиям из [51]: функции ft (х> уь уь ,..,уп) (t = l, 2, ... , л) однозначны, непрерывны и имеют непрерыв- непрерывные производные по всем yk(k=l, % ... , п) в В, а точка (-% JC ^з01, .. - , уТ) принадлежит В. При доказательстве теоремы А в [51] мы исходили из рассмот- рассмотрения прямоугольника Q, в центре которого находилась точка (х^9у9). Мы могли бы вместо этого рассматривать прямоугольник х^^х^хо-\-а> Уо—Ь^У^Уь-^-Ь, что привело бы к построению решения на промежутке Xq^xq^x-\-c, и при этом числа а, Ь и с могли бы оказаться отличными от тех, которые мы имели в [61]. Как мы упоминали выше, условия, налагаемые на функцию f(x, у), являются только достаточными для теоремы существования и единственности решения задачи A8), A9). Приведем другие, менее ограничительные условия, при которых имеет место упомянутая теорема и метод по- последовательных приближений, примененный в [51]. Мы сформулируем теорему для уравнения A8) и будем предполагать, что нулевое приближение есть некоторая функция у0 (х) и что х^х9. Аналогич- Аналогичная теорема имеет место и для систем. Теорема .(С. NL Лозинского). Пусть f(xt у) непрерывна в области В (замкнутой или открытой) и .существует такая неотрицательная интегрируемая (например, непрерывная) на конечном^промежутке I (х^^х^х^), принадлежащем В, функ- функция М(х), что \f(x,y)\^M(x)t если х принадлежит I, и точки (х, у) из В. Положим, далее, что конечная замкнутая область Q, определяемая неравенствами X содержится в В, и существует такая неотрицательная, инте- интегрируемая на I функция k(x)9 что \f(x> Уд — f{x> Ух) | ^ k (х)\уг — j/j |, если xQ^x^xlf и точки (л;, у? и (лг, ух) принадлежат Q.
ваН 5. ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 153 При атом: 1) если функция у${х) непрерывна на I, а точки (х уЛх)) пРп хо^х^хь принадлежат В, то формулы определяют последовательность функций уп (х) (п = 1, 2,...) таких, что точки (х> уп(х)) принадлежат Q при х^^х^х^ 2) задача A8), A9) имеет на промежутке I единственное решение у=у(х), принадлежащее Q, и последовательность функций уп(х) стремится к у{х) равномерно на I; 3) имеют место оценки X \ М (и) du + max \yQ (и) — X x J k (я) du )- Уп (*) I < $ ** * («) I У« (E) - V*-i («) IЛ Пример. Рассмотрим задачу В качестве В возьмем замкнутую область, определяемую неравенствами и O^h где положительные числа хх и А — пока не определены. При этом М (х) = х2 + А2х* при 0 ^ х ^ дгг ибласть Q определяется неравенствами О^Жх» О^\у\^ + А'~, и принадлежность Q к В равносильна неравенству Йяя того чтобы при данном xt существовало Л, удовлетворяющее этому ^равенству, необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение "««ело вещественные корни, и для xt получаем оценку хх^у — = 1,51,.., ^е на п 0 151 34 ^ на промежутке 0 ^ х ^1,51 существует решение задачи C4), и оно * Ил ^Ыть полУчено методом последовательных приближений. Можно показать, что решение имеет асимптоту x — kt где Л < 2,005. Ходимость метода Эйлера — Коши. Вернемся к задаче A8), A9) при /?Mx B '51J условиях, налагаемых на функцию f(xt у), и к прямоугодь- V» определяемому неравенствами B1).
154 ГЛ, П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ E3 Проведем через центр этого прямоугольника в сторону возрастающих д- прямые ЛВ и АС с угловыми коэффициентами М и (—М) [см. обозначе- обозначение B2)] (рис, 19). Высота AD треугольника S с вершинами ЛВС равна, оче- очевидно, j^p Для определенности считаемого-гт < а, так что на промежутке xo-~zx^xQ-\- -г- имеется реше- решение v(a') задачи A8), A9). Применим к этому проме- промежутку метод Эйлера — Коши из [7]. Пусть задано е>0. В силу непрерывности f(x, у), в Q су- существует такое число Ь?, что ¦ У) — при Рис. 19. C5) причем точки (лг, у) и (л:', у') считаются принадлежащими Q. При разбиении промежутка хо^х ^ х0 -\ - jj на части считаем, что шах | xk — xk_t f: ; rain i S6, Ml1 Cfi) C7) Метод Эйлера — Коши приводит к следующей схеме для вычисления ординат ломаной линии Л, соответствующих абсциссам xk [7]: >. Уо)(^1 —- >'*=.У*-1 C8) Первое из этих равенств дает 01 Уй' I (Х1 ' (xt—x0)9 откуда следует, что точка (xt, уг) принадлежит треугольнику S. Ему же при- принадлежит и весь отрезок ломаной /е1 соединяющий точки (xot у0) и (xv >»J. Аналогично два первых равенства C8) дают и \У2 —Уо I ^ М (xL — х0) + М (х2 — лг,) = М (х8 — хо\ откуда следует, что и точка (лг2, у\) вместе с отрезком, соединяющим {хиу\) н (Х2* .Уа)? принадлежат 5. Продолжая так и далее, убедимся в том, ч'то вся ломаная, построенная на основе разбиения C6) промежутка i д-0г лг0 4" Тл! >
53' § 5. ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 100 пои соблюдениях условия {37) принадлежит S. Обозначим через у=уш(х) уравнение этой ломаной. Производная функции у'9 (х) постоянна внутри каж- каждого частичного промежутка xk_^ < л' < л>, а в точках х = xk имеет, вообще говоря, разрыв первого рода. Мы имеем, в силу C8), при дго^д:^ дгв-}-_., Обозначая гЕ (лг)= |у(л) — ye (^) |, получаем. Точки (х, Уг(х)) и (ху у (х)) при х0<х^-jrj принадлежат О, и мы можем применить неравенство Липшица B4) Если положить *о последнее неравенство принимает вид Из очевидной формулы в силу C5) и C7), получаем для Л = 1, 2, ... , й, и, интегрируя разность, стоящую под знаком абсолют- абсолютного значения от х^ до х1 где хо<х^-г?-, получаем равную нулю: Для точного решения у(х) задачи A8), A9) мы имели формулу B0). Вычи- Вычитаем из выражения, стоящего под знаком абсолютного значения, величину
156 гл. п. линейные дифференциальные уравнения E4 Умножая обе части на e~k{x~*o) и интегрируя по х от хй до х, придем к оценке Подставляя & правую часть C9) вместо интеграла правую часть последнего неравенства, придем к окончательному неравенству то есть ^[е*(*-^ -Ц, x^x^xt + jg. D0) Это — оценка между истинным решением задачи A8), A9) и приближенным ее решением по методу Эйлера — Коши. Число е>0 можно1 задавать произ- произвольно, но при уменьшении е приходится прибегать к более мелким под- подразделениям промежутка xQ^x^jr, на части. Оценка D0) имеет место, очевидно, и на промежутке х0 — jz^x^Xq при замене х — х0 на | х—хо\> Мы рассмотрели случай -^ ^ а. При а =^ -^, рассуждения по существу те же. Аналогичные рассуждения могут быть проведены и дяя системы уравнений. Можно показать, что указанная выше сходимость метода Эйлера— Коши имеет место на всяком замкнутом промежутке, принадлежащем про- промежутку существования этого решения. 54. Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка. Если правая часть уравнения /=/(*, У) в точке (.% уь) и ее окрестности есть непрерывная функция, имеющая непрерывную производную по у, то через эту точку по теореме А [2] проходит одна и только одна интегральная кривая. Если эти условия не выполняются, то такое утверждение может и не иметь места. Напишем дифференциальное уравнение в форме, содержащей дифференциалы и положим, что Р(лг, у) и Q(x, у)—функции однозначные, непре- непрерывные и имеющие непрерывные производные пъ х и у на всей плоскости XOY* Если Р{х^ j/<>) Ф 0, то уравнение D1) запишем в виде dy _ Q (х, у) М9 v dx~—pli^J) ™ и прв соблюдении указанных условий точка (jc0, y$) будет находиться внутри некоторой области В теоремы А для уравнения D2J). Если
HI § 5 ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 157 PiXto Уь) — ®> н0 Q (**<>» Уъ)^®* то уравнение D1) запишем в виде dx Р(х, у) /ло v и относительно точки (дгп, j/0) можем утверждать то же, что и выше для уравнения D2г). Особыми точками уравнения D1) назовем те точки, координаты которых суть вещественные решения системы уравнений P(x,y) = 0, Q(x,y) = 0. D3) В таких точках уравнение D1) теряет смысл. Таким образом, мы толкуем уравнение D1) как или уравнение D2|), или уравнение D22) [см. 2]. В следующем параграфе мы заменим D1) системой ~ = Р(х,у), ^=Q(*,j,) D4) и приведем в общих чертах исследование этой системы. Мы будем пользоваться этим приемом, как удобным практическим приемом, и в примере, к разбору которого мы переходим. Положим, что Р(х7 у) п Q(x, у) — многочлены первой степени, и особая точка находится в начале координат, т. е. уравнение D1) имеет вид dx dy . *п* + <*ну ~ Ч^ + я*§У ' { } где ф 0. D6) При этом прямые апх-\~ак у=0 и a,2ix -f- any = 0 пересекаются в точке @, 0), и все точки, кроме @» 0), принадлежат области теоремы существования и единственности уравнения D2,) или D22), Уравнение D5), как нетрудно видеть, есть однородное уравнение и может быть проинтегрировано способом, указанным в [5]. Но мы применим другой способ, а именно, вводя новые переменные ? и т], мы приведем сперва уравнение D5) к виду, более удобному для непосредственного исследования. Положим >у, D7) где ть щ B = 1, 2) — постоянные. Имеем: d\ = tttydx -j- n^dy, df\ = m2dx -{- n^dy. Из уравнения D5), составляя производную пропорцию, получим ) + х (a2ix + aQ2y) ~ m2 (aux + aluy) + n% {auix + aS2y)" Определим теперь коэффициенты в формулах D7) так, чтобы знаме натели написанных дробей были соответственно пропорциональны я Ч- Для первого знаменателя будем иметь m
причем р может иметь и другое значение. Нулевые решения систем D9t) й D92) не годятся, так как при этом преобразование переменных D7) теряет смысл. Нужно, чтобы эти системы имели решения, отличные от нулевого. Для этого необходимо и достаточно, чтобы коэффи- коэффициенты указанных систем удовлетворяли условию (ап — р) (аи — р) — ai2a21 = О, то есть р2 — (ап + а22) р + (апап — апа.п) = 0. E0) При выполнении этого условия как система D9Х), так и система D9^) приведутся к одному уравнению, и можно получить для неизвест- неизвестных (//*!, пА) и (тъ п^) решения, отличные от нулевого. Отметим, что, в силу предположения D6), уравнение E0) не может иметь корня р = 0. Рассмотрим сначала тот случай, когда уравнение E0) имеет раз- различные вещественные корни p = Pi и р = р2. Подставляя в D9^ р = рх и в D92) р = р2, сможем найти отличные от нулевого решетя \ть п\) и (т2> пъ) этих систем. Покажем, что т^ — т^Ф^ E1) т. е. что из уравнений D7) мы можем выразить лг, у через \> \ По- Положим, например, что а^ ф 0. Фиксируя щ Ф 0 и щ Ф 0, получаем — = ¦¦ "г; — = ~ —. откуда -± ф-1 т. е. приходим к (ol). Поскольку П\ и п$ можно полагать равными любому числу, отлич- отличному от нуля, можем считать, что тхщ — тфх = \, и из D7) получаем А*=я^ — п*Л y = — m?-\-miri. E2) В переменных S, у\ уравнение D5) имеет вид Мы толкуем это уравнение, как и уравнение D1), в виде двух уравнений E3) E3.) E3,) Точно так же, обращаясь ко второму знаменателю и приравнивая его pKj, получим систему D9,) 158 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ откуда, сравнивая коэффициенты при х и у, получим систему уравне- уравнений для определения р, тъ nL — линейную однородную по отно- отношению тъ пх\ D9.)
U] § 5 ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 159 Обозначая через dt общую величину отношении E3), придем к двум дифференциальным уравнениям E40 E40 E5) откуда рде €\ и г2—произвольные постоянные. Лишняя произвольная по- постоянная получилась за счет возможности замены t на ?-f-C0, где Со — произвольная постоянная. Отметим, что уравнение E3.2) имеет очевидное решение 1 = 0, а уравнение E3В) решение г, = 0, т. е. урав- уравнение D5) имеет интегральными линиями прямые E6,) E60 Точнее говоря, мы должны говорить о четырех полупрямых, исклю- исключая начало, в котором уравнение D5) теряет смысл. Эти полупрямые стремятся к началу. Рассмотрим теперь отдельно следующие случаи: 1. Корни р! и р2 вещественны, различны и одина- одинаковых знаков. Подставляя в формулы E2) вместо \ и т\ их вы- выражения E5) и решая относительно х и у, получаем параметрическое уравнение интегральных линий E7,) E70 Если исключить прямые E6Д Eбй) и значения ? = tq =Ю, которым соответствует х=у = 0, то сх ф 0 ис^О, переменные % и i] не обращаются в нуль ни при каком t и формулы E7А) не дают точки х=у — & ?сли pt и р9 положительны, то, не нарушая общности, можем считать рз^рь а если рх и р$ отрицательны, то будем счи- считать рз^р!» В первом случае из формул E7t) и E7$) следует, что *-*0, у^О и ^l-^—Hh ПрИ г_^_оо. Если же p*<pi<0, то ил Н% мы получим тот же результат при t—»-\-oo, т. е« все интегральные линии E7t) стремятся к точке @, 0), и если мы добавим к ним эту то<1ку? то получим линии, имеющие в этой точке общую касатель- касательную E6Й). Исключение в отношении последнего утверждения отно- относительно касательной составляет интегральная прямая E6Х). Особая точка описанного типа называется узлом. В дальнейшем мы дадим Поляое определение узла. Отметим, что из E4^ и E42) следует
160 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 154 равенство т) = С | тхх -f- пху |pi, т. е. уравнение D5) в рассматриваемом случае имеет общий интеграл вида где С — произвольная постоянная. В качестве примера рассмотрим уравнение dx dy ~х~ 2у' которое имеет вид D5) (р1 = 1, р2 = 2). Его интегральные линии — семейство парабол у = Сх* (у = 0 при С = 0)иось лг = О (рис.20). 2. Корни р! и р2 вещественны, различны и разных знаков. В этом случае формула E8) дает V E9) Отсюда видно, что, кроме прямых Eб|) и E62), ни одна интегральная линия (С Ф 0) не приближается беспредельно к началу, т. е. невоз- невозможно, чтобы вдоль интегральной линии х-—0 ну—*0. Упомянутые интегральные прямые проходят через начало (С=0). Каждая из них разбивается началом (особая точка) на две полупрямые. Особая точка такого типа называется седлом. Обратимся к формулам E7!),кото- рые имеют место и в рассматриваемом Рис. 20. Рис. 21. случае. Положим, что Pi^>0 и р.2 <^ 0. Указанные прямые получают- получаются, как нетрудно видеть, при ^ = 0 и при с2==0. На полупрямых, соответствующих первой прямой, лг—*0, у—-0 при t —>-{-оо(р2<^0), а для другой прямой — при t—* — оо (pi^>0). На рис. 21 стрелкой отмечено направление, соответствующее стремлению t к -f-oo. Отметим, что при |х=1 иС^О семейство E9) есть семейство двух гипербол, для которых прямые E6Х) и E62) суть асимптоты.
54] § б. ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 161 3. Корни pt и р2 — мнимые сопряженные: р? = ос-f-p/ йр2 = ос — ?М, причем а и р отличны от нуля. Подставляя в коэффициенты системы D9j) p = a4-Pt получим для (mv nv) от- отличное от нуля решение, состоящее из комплексных чисел. Подставляя в коэффициенты системы D9.2) p = a— р/, можем утверждать в виду вещественности aik, что отличное от нулевого решение системы будет (Ш%9 яД причем через а мы обозначаем комплексное число, сопря- сопряженное с а. Из формул D7) мы видим, что, в силу вещественности х и у, величины ? и Tj суть комплексные сопряженные. Таким образом, левая и правая части равенства E3) должны быть комплексными сопряжен- сопряженными (или вещественными), и из самого факта их равенства следует, что эти величины должны быть вещественными. Обозначая их общую величину через dt9 приходим к уравнениям E4^ и E42), интегриро- интегрирование которых с учетом того, что & и -ц — комплексные сопряженные, дает 5 = Ceat (cos 3* 4- / sin р*), т] = Ceat (cos 3* — / sin pf), F0) где С= Ci -f- с4 — комплексная постоянная. При С=0 получаем ?=nrj = 0, т. е. особую точку х —у = 0. При СФ 0 имеем |;|=|т]| = = \C\eat ^0, и эта величина —0 при t—* — оо, если а]>0, и при ^—>-^-оо при а<^0. Принимая во внимание линейную зависимость между переменными (;, т^) и (х, у), можем утверждать, что все интег- интегральные кривые уравнения D5) стре- стремятся одним своим концом к особой точке @, 0). Пользуясь формулами F0) и указанной зависимостью между пере- переменными, нетрудно показать, что при приближении к точке @, 0) все инте- интегральные кривые спиралеобразно закру- закручиваются вокруг этой точки в одном и том же направлении (рис. 22). Осо- Особая точка такого типа называется фо- фокусом. Если мы положим ? = и -f~ vl и 1) = и — vi, где и и v вещественны, то эти переменные выражаются через х и у по формулам вида У» F1) где pk и ^ — вещественны и рхд2— Рис. 22. ""-/Wi Ф 0- Эти формулы дают воз- возможность выразить х, у через и, v и убедиться на основании F0) в указанном выше поведении интегральных кривых на плоскости ХОУ вблизи точки @, 0). Для рассмотренных выше трех случаев мы имеем следующий ха- характерный факт: при произвольном, но достаточно малом изменении
162 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ f& коэффициентов aik мы остаемся при прежнем предположении о кор- корнях р^ Рь а следовательно, не меняется и характер расположения интегральных кривых в окрестности особой точки. Иное мы будем иметь в следующем случае. 4. Корни pi и р2 — чисто мнимые: Pi = ^, ра = —(М О Ф 0). Мы имеем формулы F0) при а = 0, из которых следует, что \\ |* = |tj|* = |Сj*, т. е. и*-f-г>2 = |С\\ откуда, принимая во внимание F1), получаем семейство интегральных кривых уравнения D5) (РгХ + ЯУ? + (р*х -f q&f = \C\\ F2) т. е. интегральные кривые — подобные эллипсы или окружности. Ни одна интегральная кривая не проходит через особую точку, и эта последняя окружена замкнутыми инте- интегральными линиями (рис. 23). Такая особая точка называется центром. В этом случае при сколь угодно малом изменении коэффициентов aik у чисто мнимых корней рх 2==±{3/ может по- —>- явиться вещественная часть и центр превратится в фокус. 5. Уравнение E0) имеет крат- кратный корень Pi = p2, отличный от нуля. При подстановке в коэффи- Рис- 23* циенты системы D9,) или D%) p = pt могут встретиться два случая: или все коэффициенты при этом обратятся в нуль, или среди коэффициентов будет по крайней мере один, отличный от нуля. Рассмотрим сначала первый случай ап = аи = 0, ап = аъ = рь F3) при этом система D5) будет иметь вид ^? = <V или dx^dy Pi* pjy x у й ее общий интеграл у — Сх будет семейством прямых, проходящих через начало, т. е. начало координат будет узлом. Среди коэффициентов ап, аи, аи — р1э а& — pt есть по крайней мере один, отличный от нуля. Нетрудно видеть, что при этом а^ и йи не могут оба быть равны нулю. Действительно, если alft=ra21 = 0, то, принимая во внимание кратность корня р, уравнения E0), полу- получим an = an = pii при сделанном предположении уравнение E0) пре- превращается в уравнение р* — (ап -}- ап) р -(- апа& = 0, и условие крат- кратности корня этого уравнения дает ап = ап, и общая величина ап и л22 и есть кратный корень уравнения. Итак, если предположить ап = ац = 0, то выполнены условия F3), что противоречит сделан-
54] § 5. ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 163 ному нами предположению. Поэтому хотя бы один из коэффициентов а или <Цх отличен от нуля. Положим, например, что а^ ф 0. Крат- Кратный корень уравнения E0) будет, очевидно, Pi — и система D9j) при подстановке р = р{ должна привестись, как мы выше упоминали, к одному уравнению Выберем /rc1 = a.2i и nv = —а"~а2* t т. бв a"~a**yf F4) оставляя вторую переменную у прежней. Дифференциальное уравне- уравнение можно будет написать в виде di _ dy Pi? или, подставляя вместо х его выражение, определяемое из фор- формулы F4), т. е: dy У 1_0 Интегрируя это линейное уравнение, получаем При 5—>О имеем у—*0 и -^—*4-со. Освобождаясь от знаменателя в уравнении F5), видим, что имеется еще решение ? = 0, т. е* аих-**=?*. у = 0. F6) Все интегральные линии стремятся одним своим концом к точке @, 0) в касаются в этой точке прямой F6), т. е. мы имеем узел, но только С одной касательной в особой точке (рис. 24). Случай, когда урав- йе«ие E0) имеет корень р = 0, т. е. ana^ — ^0^ = 0, не представ- представляет интереса. Считая естественно, что ни один из знаменателей в Уравнении D5) не равен тождественно нулю, мы видим, что эти знаме- знаменатели в рассматриваемом. случае отличаются лишь постоянным мно- •ВДтеде отличным от нуля, так что уравнение приводится к виду
О 164 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Г5« -^=&, где k — некоторая постоянная, отличная от нуля. Семейство интегральных линий есть семейство параллельных прямых. Если мы в знаменателях уравнения D5) заменим х и у на (х — х0) и (у—д/0), то получим, очевидно, те же картины расположения интег- интегральных кривых, что и выше, но вместо @, 0) особой будет точка (x<bi Уо)- Положим, что в уравнении D1) Р(ху у) и Q(xt у) — многочлены, равные нулю в точке @,0), и выделим из них члены с первыми степенями Р (х, у) =апх-{- а^ + р (х, у), Q (х, у) = апх + а^у + Я (х, у)> F7) где р(х, у) и д(х, у) равны нулю в точке @, 0) и их частные про- производные по х и у также равны нулю в этой точке. При этом в случаях: 1), 2) и 3) картина интеграль- интегральных линий в окрестности точки @, 0) будет того же характера, что и для уравнения D5), т. е. в случае 1) точка @, 0) будет узлом; в случае 2) — седлом и в случае 3) — фокусом. Сформулируем результат более точно. В случае 1) все интегральные кривые, начинающиеся достаточно близко к точке (О, 0), стремятся одним своим концом к этой точке и при добавлении этой точки 2 имеют в ней определенную касательную, ис * причем две интегральные кривые имеют в точке @, 0) общую касательную, т. е. составляют при добавлении этой точки одну кривую с непрерывно меняющейся касательной, а все остальные интегральные кривые имеют в точке @, 0) другую общую касательную. В случае 2) в окрестности @, 0) существуют две пары интеграль- интегральных кривых, стремящихся к точке @, 0), причем кривые каждой пары вместе с точкой @, 0) образуют одну кривую с непрерывно меняю- меняющейся касательной. Остальные интегральные кривые в окрестности @, 0) не стремятся к этой точке и расположены примерно так, как и для уравнения D5). В случае 3) все интегральные кривые в окрестности @, 0), как и для уравнения D5), беспредельно приближаются к этой точке, спи- спиралеобразно закручиваясь в одном и том же направлении. В случае 4) особая точка может быть или фокусом или центром. В последнем случае все интегральные кривые, начинающиеся доста- достаточно близко к особой точке, суть замкнутые кривые, содержащие особую точку внутри. Указанные выше результаты сохраняются и для того, более общего случая, когда р (х7 у) и д(х, у) определены только в окрестности @, 0),
5 ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 165 в этой окрестности (включая точку @, 0)) непрерывные част- е производные до третьего порядка и частные производные пер- первого порядка равны нулю в точке @, 0). 65. Автономные системы. Вернемся к уравнению D1) и введем другие обозначения, а именно запишем его в следующем виде: dxx = dx2 Вводя вспомогательную переменную dt, как это мы делзли в [541, получим систему двух уравнений первого порядка d Пусть (л^, л**)— координаты точек плоскости Х{ОХ^ и ?— время. Будем считать, что ft(xi9 *2) однозначные, непрерывные и имеют непрерывные частные производные первого порядка на всей плоскости. Таким образом, вся плоскость ХгОХ^ и промежуток — оо<*<4-оо изменения t являются областью В теоремы А существования и един- единственности в пространстве (xv хь t). Уравнения F9) можно толко- толковать как задание составляющих вектора скорости, т. е. самого век- гора скорости, а решения его *, = ?,@ (/=1, 2) G0) — как движения точек (хь х^) с течением времени. Решения уравне- уравнения F8) определяют траектории движущихся точек, а формулы F9) дают закон движения точек по этим траекториям в зависимости от времени. Для системы F9) характерен тот факт, что правые части уравне- уравнений не содержат t, и такие системы называются обычно автоном- автономными системами. Мы рассматриваем случай движения на плоскости, т. е. случай двух функций хх (t) и *2 (t). Если при хх = а^ и х* = а^ правые части уравнений обращаются в нуль: f\(av д9)=Д(а1, д2)=^=0, т. е. точка {аь а4) есть особая точка уравнения F8), то система F9) имеет очевидное решение лг^а, и лг2 = а2 при —oo<^t<^-\-oo и точку (alt а*) естественно назвать тонкой покоя системы. В |54| мы рассмотрели при некоторых предположениях вид траектории вблизи точек покоя. Положим для определенности, что во всякой ограничен- ограниченной части плоскости имеется конечное число точек покоя. Если мы исключим все эти точки, то оставшаяся часть плоскости заполняется траекториями, каждая из которых имеет некоторый максимальный про- промежуток существования a<^t<^b, и эти траектории не пересекаются. друг с другом. Из того факта, что t входит в уравнения F9) только под знаком дифференциала, непосредственно следует, что наряду с ре- решением G0) имеется решение (' -U)> G0J
166 ГЛ. Tf. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ f55 где с— произвольная постоянная. Если a<^t<^b — максимальный промежуток существования решения G0), то для решения G0j) это будет промежуток а — c<^t<^b — с. Обоим решениям соответствует одна и та же траектория. Решение G0^ описывает ее с запаздыва- запаздыванием на величину с (при с^>0) по сравнению с решением G0). Выше мы упоминали, что различные траектории не имеют общих точек. Рассмотрим одну определенную траекторию / (не точка покоя), у ко- которой существуют совпадающие точки при различных t, т.е. ^i(t1) = ~9i(h) (*=1» 2) при гхфгъ Учитывая теорему существования и единственности, нетрудно видеть, что это замкнутая траектория, не содержащая, естественно, точек покоя (мы их исключили). Можно также доказать, что функции <р,- (f) (/=1, 2), соответствующие такой траектории, имеют промежуток существования —oo<^<^-f-°o и обладают свойством периодичности, т. е. существует такое число ю, что ф| (t -f- (о) = <р| @ (*=1> 2) при всех L Среди таких чисел со имеется наименьшее, и все числа вида km (? = ±1, ±2, „.) суть также периоды. Точка хг = уг(г) (i=l, 2) на всяком промежутке вида d*^t<^ (!-{-& описывает замкнутую траекторию один раз. Таким образом, кроме точек покоя, имеются два вида траекторий: 1) траектории, которые не самопересекаются (нет одинаковых точек при различных t)\ 2) замкнутые траектории. Последние называются также циклами. Все сказанное выше имеет место и в случае любого числа переменных ?p=/iC*i> *% **) (*=!> 2, .... п). G1) Вернемся к случаю плоскости. Одной из основных задач теории диф- дифференциальных уравнений является качественное изучение расположе- расположения траекторий на всей плоскости или, как говорят, «в целом». Су- Существенную роль при этом играют точки покоя и циклы. Иначе говоря, sto есть задача о качественной картине интегральных кривых урав- уравнения F8) на всей плоскости. Точки покоя определяются решением системы уравнений fx(xu x*) = 0, ft(xu Хъ) = 0. Весьма сложной является задача разыскания циклов. Введем новое понятие. Предельным циклом называется изолированный цикл, т. е. цикл /, обладающий следующим свойством: существует такое поло- положительное число е, что траектория, проходящая через любую точку, кратчайшее расстояние которой до / меньше е, не есть замкнутая траектория. Траектории, проходящие через точку, лежащую внутри цикла /, в силу единственности лежат целиком внутри /. Аналогичное свойство имеет место и для траекторий, лежащих вне L Приведем без дока- гательства еще два результата.
- ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 167 Owl a Внутри всякого цикла / находится по крайней мере одна точка окоя. Если / — предельный циклг то все траектории, находящиеся " внутри, так и вне / и выходящие из точек, достаточно близких к / наматываются спиралеобразно на / при t—+ -|-оо или t-> — 00, причем возможны следующие случаи: 1) внутренние и внешние траекто- траектории наматываются на / при t—+ + 00; 2) то же самое при t-> —00; 3) один из указанных классов траекторий наматывается при t -> -j- 00, а другой при t-+ — со. Предельные циклы имеют не только теоретическое, но и большое практическое значение в физике. Отметим, что, говоря о цикле, мы подразумеваем, как указано выше, замкнутую траекторию без точек покоя. Можно доказать также следующие факты: траектории закручи- закручиваются вокруг точки покоя, являющейся фокусом, и стремятся к узлу при t —> -f- 00 или t -> — сю; если точка покоя — седло, то к ней стремятся четыре траектории: две при t ->> -f- со и две — при t -> — 00, причем первые две и последние две образуют линии, проходящие через седло и имеющие непрерывно меняющуюся касательную. Доказательство указанных выше утверждений и вообще изложе- изложение теории автономных систем можно найти в книге Л. С. Понтря- пгаа «Обыкновенные дифференциальные уравнения». 56. Примеры. 1. Возьмем пример из [9] и заменим дифференциальное уравнение системой *?- = 2xtx2, ^«=1-3x1-4 G2) Уравнение семейства траекторий имеет вид G3) Система G2) имеет четыре точки покоя М,@, 1), Л12@, —1), M3(^-t О), / r~ МЛ—Jl—jOJ. Пользуясь формулой Тейлора, разлагаем правые части урав- уравнй ( нений G2) по степеням (хг— а), (дг2 — (J), где а, 3 — координаты особых точек, и Составляем квадратное уравнение для р. Для точек Л^ и М2 его корни вещественные и различных знаков, а для точек Мш и МА — корни чисто мнимые. Таким образом, особые точки Мх и М2 типа седла, а М3 и М4 — или Фокусы или центры. При С = 0 уравнение дает прямую jct = 0 и окружность 1л Ji + *|= 1, на пересечении которых лежат М, и М3. Никакие другие траек- траектории через эти точки проходить не могут, так что можно утверждать, что существует четыре типа траекторий: 1) траектории вне окружности L и управа от ^1==0, 2) симметричные с ними относительно оси ^ = 0; 3) траск- *ррии внутри L и справа от л:, = 0; 4) симметричные с ними относительно *!•—0. Указанная симметрия непосредственно следует из того, что левая часть уравнения G3) не меняется при замене лг2 на (—л*2). Из G3) следует, йсе тРаектоРии> лежащие вне Lt имеют ось хх = 0 асимптотой. Для ^следования траекторий, лежащих внутри Ц разложим левую часть G3)
168 ГЛ. II. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 155 по степеням ixt— -S-J и х*: Yt[r.-*ff+?*+ -*$+(*.-*$*-* Из этого равенства следует, что траектории, лежащие внутри L, кроме части оси ^! = 0, суть замкнутые кривые, внутри которых лежат точки покоя А/3 и М4 — центры. Нетрудно показать, что вообще семейство алгебраических кривых не может иметь предельных циклов. Картина траекторий системы G2) изображена на рис. 25. Полагая во втором из уравнений G2) ^ = 0, получим dx2 __ 1 „г откуда при |лг2|<1 и ~з#-<0 при |*2|>1, что определяет на- на^>0при|,2|<1и^ правление движения по оси ^=0 при возрастании t Легко получить это направление и на других траекториях (рис. 25). Введем полярные координаты р = Yх\ + *1 и >тол 9 и определим про- производную р8 по t вдоль траекторий. Поль- Пользуясь уравнениями G2), получим откуда ~^- = A — р2) sin ^ или а Л . = — sin у tf^ и Р + G4) Рис. 25. Из этой формулы видно, что для траекто- траекторий, лежащих вне I, интервал изменения t конечен. Действительно, при беспредель- беспредельном удалении вдоль этих траекторий на- наверх или вниз (р—*--{-оо) левая часть ра- равенства G4) стремится к единице, a sin 9—*3zh откуда и следует, что t стре- стремится при этом к конечным пределам, 2. Рассмотрим систему 1). G5) Нетрудно показать, что она имеет единственную точку покоя — фокус @, 0). Используя уравнения G5), получим G6)
5 ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 169 Из этого равенства следует, что окружность L: + x* — \=0 G7) «ается замкнутой траекторией, ибо производная от левой части G7) по t гялу G6) равна нулю [9]. Из G6) следует, что на любой траектории, нахо- мУейся внутри I, p убывает при возрастании tt а на траекториях вне L — «пзоастает Отсюда следует, что никаких замкнутых траекторий, кроме L, нет //Г-пведельный цикл) и что траектории закручиваются вокруг L при t-+—co как изнутри, так и извне. Внутренние траектории закручиваются вокруг ^Чполучим явные выражения для р и <р через t Уравнение G6) есть урав- уравнение первого порядка для р, причем переменные в нем разделяются, и, интегрируя, получим o2=iW- G8) Пои С>0 получаются внутренние траектории (р < 1), при С<0 внешние (р> 1)» а при С = 0 — окружность G7). Для полярного угла ? получаем вдоль траекторий и, в силу G5), |=Р8 + 1 G9) и, пользуясь G8), получаем J (80) Из G8) и G9) непосредственно следует сказанное выше о внутренних траек- траекториях. Для внешних траекторий промежуток существования определяется неравенством При * —— со траектории закручиваются вокруг L, а при *-> — -~lg(— С) траектории беспредельно удаляются, закручиваясь против часовой стрелки (р —• + °°> 9 — + °°)- При С = 0 непосредственно получаем: р = 1 и — =2, т. е. дг,= cosB^+Cj), л-3 = 5^B^ + 0!). На рис. 26 представлен характер расположения траекторий с указанием движения по ним при возрастании t 3, Рассмотрим аналогичный по характеру, но более сложный пример dx. -jjf» *i<*S + *f— 1)M + *J —9) — JP.W + JfJ — 2^ -8), ^e*iW + rt—1)W + ^J — 9) + *iW + ^ —2at1 —8). Приравнивая правые части нулю, получаем три точки покоя:
170 ГЛ. П. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [53 из которого следуют, как и в примере 2, два решения системы ** —1=0. 9 == 0. Рис. 26. Поступая, как в примере 1, нетрудно показать, что Мх— фокус, М2 — узел и Мг — седло. Вместо G6) имеем уравнение (82) (83,) (83.) Решение (832) разбивается точками покоя М% и Ма на две траектории. Кроме того, из (82) следует, что р возрастает при возрастании t внутри окружности (83Х), а так же вне окружности (83г) и убывает между двумя этими окружностями и, следовательно, у системы (81) нет замкнутых траекторий кроме окружности (83Х). Траектории, находящиеся внутри ок- окружности (83t), закручиваются вокруг фо- фокуса Mt при t—+ — со и вокруг окружности (83j) (предельный цикл) при ?—* + °а Все траектории, находящиеся вне . окружности (832), кроме одной, стремятся к узлу М3 при t—+ — со и одна — к седлу М8 также при t —* — со. Внутри кругового кольца между окружностями (83,) и (832) траекто- траектории идут от точек М2 и Мя (из этой точки — только одна) и затем закручиваются вокруг предельного цикла (83t) при t -* + °°. Выше мы отметили, что окружность (83в) разби- разбивается точками Ма и уИ3 на две траектории /х и /2. Касательная к окружности (832) в точке М2 является касательной к lt и /2, а остальные траектории имеют другую общую касательную в этой точке [ср. 54]. Аналогичным образом, в седле Мг две траектории, отличные от /х и /s, имеют в Мг общую касательную, отличную от касательной к окружности. ~ Интегрируя уравнение (82), получим p^(pl7)°9)=CgI"*' (84) и при р >3, т. е. для траекторий, находящихся вне окружности (832), постоян- постоянная С должна быть положительной, Левая часть (84) стремится к единице при р—- + оо, и для'указанных траекторий промежуток изменения t имеет вид — оо<*< — ТдлХ%>С- Как и в примере 2, определим производную от угла tp no t: -? = р8 — 2р cos 9 — 8, (85) at откуда видно, что -~- < 0 при р < 2 и -^ > 0 при р > 4. В промежутке 2 < р < 4 производная меняет знак при изменении <р« Исследуем поведение траекторий при удалении на бесконечность. Из (82) следует, что вне окруж- окружности (832) вдоль всех траекторий р монотонно возрастает и стремится к +оо. Преобразуем уравнение (82) к новой переменной а= —, которая стре- Р мится к нулю (86) dt
SB] $ 5. ДОПОЛНИТ. СВЕДЕНИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 171 Заменяя в уравнении (85) р на о и деля полученное уравнение почленно на уравнение (86), придем к уравнению с?ф _ о A — 2а cos ф — 8о2) do (а2 —1)A — 9а2) * Для этого уравнения а==0 и любое ф не является особой точкой, и, в силу теоремы существования и единственности для этого уравнения на плоскости (а ф), легк0 виДеть» что Для каж* пой из траекторий системы (81) при удалении ее на бесконечность ф стремится к определенному пре- пределу, и эти пределы различны для различных траекторий. На рис. 27 представлен харак- характер расположения траекторий на плоскости ХгОХ2 с указанием дви- движения по ним при возрастании /. Примеры. 2 и 3 взяты из извест- известной работы Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальны- дифференциальными уравнениями». 4. Рассмотрим еще один при- пример общего характера Ж (87) Рис. 27. где ©(т) —непрерывная и непре- непрерывно дифференцируемая функ- функция в промежутке 0^т<+со. Начало @, 0) есть точка покоя системы (87). Других точек покоя нет. Это нетрудно показать так же, как и в при- примере 2. Переходя к полярным координатам, получим систему уравнений ЗК-Р-КЮ. ¦$• (Щ 28. ^х)>0прит1<т<т2, то | /ПРИ L—°°> а если ^т)в:0 при Если © (т) имеет корень т = т0(то>0), то си- система (88) имеет очевидное решение р«|/^— окружность с центром в начале. Если при этом т = т0 —изолированный корень со (т), т. е. со (т) Ф 0 при всех т достаточно близких к j0 и отличных от т0, то окружность р=:|/т0 — предельный цикл. Если со (т) не равна нулю при Xi <т<т2» а © (Tj) = © (Т2)=*О, то окруж- окружности p^V^Tj и psssj/^Ta суть замкнутые траектории системы, а траектории, находящиеся в кольце между ними, суть спиралеобразные кривые, которые закручиваются вокруг этих траекторий, при /—•«оо и t—^ + co. Если эти кривые закручиваются вокруг окружности со(т)<0, то—вокруг Q*=]fT2 при / ——со, и отлична от нуля при x<Ti и близких к хи
172 ГЛ. И. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ E6 а также при т>тя и близких к т2, то все окружности р=улх" при Tj^t^Tj—. суть замкнутые траектории, и вокруг окружности т=}/"х^ закручиваются с одной стороны траектории; аналогично для т= Yx* Возможны, естественно, и более сложные случаи распределения корней функции <о(х). 5. Рассмотрим систему (89) Она имеет единственную точку покоя @, 0), которая является фокусом. В полярных координатах система имеет вид Единственной замкнутой траекторией является окружность G7), которая является предельным циклом. Величина р возрастает как внутри, так и вне этой окружности, и поэтому траектории наматываются на нее изнутри при t—* + со, а извне при t—*— оа Причиною этого является тот факт, что уравнения (89) содержат квадрат выражения х\-\-х\—1. Внутренние траек- траектории наматываются на фокус при t—+ — со. Так же, как и в примере 3, легко показать, что внешние траектории при р-* + со имеют предельные значения для <р, различные для различных траекторий. На рис. 28 изображена схема расположения траекторий с указанием направления на них при воз- возрастании t
ГЛАВА Ш КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА § 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 67. Объемы. До сих пор мы рассматривали определенный интеграл \f(x)dx, а как предел суммы для того случая, когда функция f(x) определена на отрезке (а, Ь) оси ОХ. Иначе говоря, областью интегрирования являлся всегда некоторый прямолинейный отрезок. В настоящем параграфе мы обобщим понятие об интеграле на тот случай, когда областью интегрирования является некоторая об- область на плоскости, или некоторая область в пространстве, или, на* конец, область на какой-либо поверхности. При изложении настоящего параграфа мы будем пользоваться интуитивным представлением пло- площади и объема и не будем останавливаться на обосновании некоторых рассуждений, связанных с переходом к пределу. Основные моменты строгого изложения читатель может найти в последнем параграфе настоящей главы. Мы начнем с понятия о двойном интеграле, кото- которое связано с вопросом о вычислении объема, так же как написан- написанный выше интеграл связан с вычислением площади, а потому, прежде чем вводить понятие о двойном интеграле, мы займемся вопросом о вычислении объемов. Мы знаем, что вопрос о вычислении площади, ограниченной кри- кривой yz=zf(x)t осью ОХ и двумя ординатами: дг = а, x—bt решается с помощью понятия об определенном интеграле, а именно указанная площадь выражается написанным выше определенным интегралом [I, 87], Займемся аналогичной задачей для объема v тела, ограничен- ограниченного данной поверхностью EХ уравнение которой
174 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [57 плоскостью XOY и цилиндром (С) с образующими, параллельными оси OZ. Пусть (о) —проекция E) на плоскость XOY (рис. 29). В [I, 104] мы привели вычисление объема тела также к определенному инте- интегралу, для чего нужно только знать пло- площади параллельных сечений тела; этот способ мы применим и в нашей задаче. Допустим для простоты, что поверх- поверхность (S) целиком находится над пло- плоскостью XOY и что контур (/), ограни- ограничивающий (а), пересекается лишь в двух точках прямыми, параллельными коорди- координатным осям. Будем рассекать рассматриваемое тело плоскостями, параллельными плоскости YOZ, следы которых на плоскости X0Y суть прямые, параллельные оси OY (рис. 29 и 30). Абсциссы крайних сечений обозначим через а и Ь. Это будут, вместе с тем, абсциссы точек контура, разделяющих этот контур на две части A) и B), одна из которых является местом входа в область (о) прямых, параллельных оси ОК, а другая — местом выхода (рис. 30), Каждая из этих частей имеет свое уравнение Площадь сечения тела с плоскостью PQ, проведенной на рас- расстоянии х от YOZ, зависит от х; обозначим ее через S{x). Мы имеем [Ь 104J ь C)
tff 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 175 Остается найти выражение для функции S(x). Это есть площадь фигуры M\NyNiM<& она лежит в плоскости PQ и ограничена кривой jVgA^ пересечения плоскости PQ с поверхностью (S), прямой МкМь параллельной оси О К, и двумя ординатами MXNX и M^N* Так как для всех точек рассматриваемого сечения х постоянно, ординату кривой Л^Ма можно считать функцией от у, определяемой уравнением 7 z=f(x9 у) при постоянном х\ независимая переменная у будет при этом меняться в промежутке (ylt y^\ где ух и уг суть ординаты точек входа пря- прямой MiM.i в область (о) и выхода из этой области. В силу [I, 87], можем писать ] У1 подставив в C), имеем , y)dy. D) Мы получаем, таким образом, выражение объема в виде повтор- повторного интеграла, в котором интегрирование сперва выполняется по у при постоянном х, а затем полученный результат интегрируется по х. Рассекая данное тело плоскостями, параллельными плоскости XOZ, мы получим для того же объема выражение 3 (л:, y)dx9 E) суть известные причем хх и функции от у: F) а « и р означают крайние значения У на контуре (/) (рис. 29 и 30). Ф Рис. 31. Формулы D) и E) были вы- выведены при двух предположениях: поверхность (S) лежит целиком над плоскостью XOY и 2) кон- СО, ограничивающий проекцию (о) поверхности (S) на плоскость г% пересекается лишь в двух точках со всякой прямой, параллель- параллельной одной из координатных осей. Если не выполнено условие 1, то Л части формул D) и E) дадут не объем, а алгебраическую объемов, причем со знаком (-f-) получатся те объемы, кото- лежат над плоскостью XOY, со знаком (—) те, которые лежат А ней. Если же не выполнено условие 2, например (рис. 31) имеется
176 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ несколько пар точек пересечения контура (/) с прямой х = const, то надо разбить область (а) на части, каждая из которых удовлетворяет условию 2. В соответствии с этим поверхность E) и объем v ра- разобьются на части, и для вычисления объема каждой из этих чаете!* будет годиться формула D). Примеры, 1. Объем усеченной прямоугольной призмы (рис. 32). Основа- Основание образовано осями OX, OY и прямыми x = k, y~L Секущая плоскость имеет уравнение х +¦?-+-¦¦ 1 jx l v Т Формула D) в данном случае дает к I к I И1 Xl о kH где о есть площадь основания, h — ордината точки пересечения диагоналей / k верхнего сечения (соответствующая значениям # = -у 2. Объем эллипсоида При пересечении эллипсоида плоскостями^ 2 = const получаются эллипсы с полуосями и с площадью Рис. 32. а поэтому искомый объем будет v = 1 ъаЬ {1 з") dz = -5- nabc. 58. Двукратный интеграл. Для получения приближенного пред- представления площади кривой у=/(х) мы [I, 87] разбивали ее на вер- вертикальные полосы и заменяли площадь каждой из них прямоуголь- прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной некоторому среднему
« 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 177 2 ченйю ординаты кривой для данной полосы. При увеличении числа полос и стремлении каждой из них к нулю, ошибка-*-0, а прибли- приближенное выражение в пределе обращается в определенный интеграл, даюший точное выражение для площади. Аналогичное построение можно проделать и при вычислении объ- объёмов. Область (о) (рис. 33) разбиваем на большое число малых эле- цевтов Аз произвольной формы, причем церез А<* обозначаем как сами эти малые области, так и их площади. Каждый из таких элементов примем за основа- основание цилиндра, который, будучи продол- продолен ДО-пересечения с поверхностью (S), вырежет из объема v элементарный объем. Очевидно, что за величину этого объема мы можем приближенно при* нять объем цилиндра, основание кото- которого тоже До, а высота — ордината, li, е. значение z любой точки элемента 1К>верхности, который проектируется в^виде элемента Ах Другими словами, взяв на элементе До любую гочку N и обозначив для краткости через f(N) ординату точки М поверхности (S), соответствующую этой точке N, или, что то же, значение функции f(x, у) в этой точке, мы имеем для элементарного объема /(Л/) Да и Рис. 33. причем суммирование распространяется на все элементарные площа- площади Да, заполняющие площадь (а). Чем меньше будет каждый элемент Да и тем самым больше чис- число п этих элементов, тем точнее будет полученная приближенная формула, и в пределе можно писать ( Отвлекаясь от геометрических представлений, мы можем опреде- определить написанный предел суммы и независимо от геометрического изображения функции f(N), этот предел и называется двойным, или °*укратным> интегралом от функции f{N) по области (а) и изо- изображается так: Существование написанного предела наглядно ясно, ибо этот пре- ff* как мы выяснили, должен давать объем v, описанный нами выше. • **ое Рассуждение не является, конечно, строгим, но можно доказать
1 78 ГЛ. 11!. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 158 и строго аналитически существование упомянутого предела при до. вольно общих условиях для f{N) и области о. Два знака интеграла указывают на двумерность области интегрирования (область на пло- плоскости). Подынтегральное выражение f(N)do чисто условно. Оно на- напоминает о том, что величина интеграла есть предел указанных выше сумм. Отметим, что мы при этом не вводим на плоскости никакой системы координат, что мы делали в случае формул E) и F). Опре- Определенный выше интеграл называем, как и в случае одного перемен- переменного, интегралом Римана. Если мы положим /(Д/)=1, то получим выражение площади с области (о) в виде двойного интеграла Формулируем полностью определение двукратного интеграла: пусть (о) — ограниченная плоская область и f{N) — функция точки в этой области, т. е. функция, принимающая в каждой точке N области (о) определенное значение. Разбиваем область (о) на п частей, частичных областей, и пусть Да,, Д% ..., Дал — площади этих частей и А\9 А\2, ..., Nn — какие-либо точки, находящиеся на этих частях. Составляем сумму произведений Предел этой суммы при беспредельном возрастании числа де- делений п и беспредельном уменьшении каждой из частичных об- областей ДаА называется двукратным интегралом от функции /(Л/) по области (о) (а) * = 1 Замечание. Пусть dk — максимальное расстояние между двумя точками частичной области с площадью Д<зЛ (диаметр этой области) и d — наибольшее из чисел dh <?2> •.»» dn. Беспредельное уменьшение каждой из частей Да^, о котором говорится в определении, имеет тот смысл, что d-*0. Если буквой / обозначить величину интеграла, то высказанное выше определение равносильно следующему: при любом заданном положительном числе е существует такое положительное число ц что [ср. I, 87] п 7 V 1 Л= I если только d^-ц. В конце настоящей главы при изложении полной теории кратных интегралов мы введем строгое определение площади,
§ 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 179 точним понятие области (о), по которой можно производить инте- интегрирование, выясним, каким образом ее можно разбивать на частич- частичное области и докажем существование предела упомянутых сумм. 69. Вычисление двукратного интеграла. Рассматривая двукрат- двукратный интеграл как объем, мы сможем вывести способ приведения вычисле- вычисления двукратного интеграла к двум простым квадратурам. Отнеся пло- плоскость, на которой находится область /&), к прямоугольной системе коорди- координат ХО К, допустим, что элементы Да „рдучаются путем разбиения площади на прямоугольники со сторонами Д.* и Ду> прямыми параллельными коор- Яинатным осям (рис. 34), и пусть {х9 у) — координаты точки А/. При атом естественно писать /(ДО = / (х, у), Да = Ах Ду, da = dx dy AX Рис. 34. w. (»> x> y)dxdy. С другой стороны, применяя сказанное в [57] относительно вы- выражения объема через повторный интеграл, можем написать <c, y)dx, G) что-и дает правило для вычисления двукратного интеграла, независимо от геометрического значения функции f(x, у). Если первое интегрирование совершается по у> то х при этом Считается постоянным, а пределы ух и у2 суть функции от х, опре- определяемые по формулам B) [57]. Аналогичное обстоятельство имеет Иесто, если первое интегрирование совершается по х. Пределы при первом интегрировании в повторном интеграле будут определенными постоянными, не зависящими от переменной второго интегрирования, лишь в том случае, когда область интегрирования есть прямоуголь- прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. Если (з) есть Прямоугольник, ограниченный прямыми (рис. 35):
180 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ТО Ъ Р , y)dxdy=\dx\f(x, y)dy = , y)dx. (8) i в У ОС 0 и я-/ (б) --• а х 1 II Выражение da = dxdy называется элементом площади в пря- прямоугольных координатах. Заметим, что в формуле G) первое интегрирование по у при по- постоянном х соответствует суммированию по прямоугольникам, содер- содержащимся в полосе, параллельной оси ОУУ причем все эти прямоугольники имеют одну и ту же ширину dx} кото- которая выносится за знак первого интег- интегрирования. Второе интегрирование по х соответствует сложению всех сумм, по- полученных при суммировании по полос- полоскам, параллельным оси О У. В послед- последнем параграфе настоящей главы мы даем точное обоснование формул (8) и G). Если прямые, параллельные осям, пересекают границу (о) более чем в двух точках, то надо поступать так, как это указано в [57]. Здесь и в дальнейшем мы, конечно, предполагаем, что интегралы, о которых идет речь, существуют. Для этого достаточно, чтобы подын- подынтегральные функции были непрерывны в (а) вплоть до ее границы, что мы и будем предполагать, а область (а) удовлетворяла условию, о котором будет сказано при обосновании понятия интеграла. Отнесем теперь площадь (о) к полярным координатам (г, <р). Урав- Уравнение поверхности (S) нужно будет тогда написать в виде z=f(r, <p). Элементы Да получим, начертив семейство линий г=const и ср = const, т. е. концентрических окружностей и лучей, проходящих через начало координат (рис. 36). В частности, при пересечении двух окружностей радиусов г и (/•-{-Дг) и лучей, идущих под углами <р и (cp-j-Acp), образуется криволинейная фигура Да, которую, с точ- точностью до бесконечно малых высшего порядка, можно рассматривать как прямоугольник со сторонами Дг и гД<р, так что Рис. 35. Да = г Дг Дер, тогда можно написать (о) (a) Мы получили здесь двукратный интеграл, подынтегральная функ- функция которого есть /(г, ф)/\ Для его вычисления можно применить
§ 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 181 то же правило приведения к повторному интегралу, но только здесь роль х и у играют г и ср. Первое интегрирование по г при постоянном <р соответствует суммированию по элементам До, содержащимся между двумя лучами <р и (<p-|-flfy), причем йср выносится за знак первого интегрирования. Второе интегрирование по <р соответствует сложению всех сумм, по- полученных при первом суммировании. Применяя упомянутое правило, мы прежде всего отмечаем крайние значения а и [3 аргумента ср (в [67] крайние значения х), затем при фиксированном ср — радиусы-век- радиусы-векторы г4 и г2 точек входа внутрь (а) и выхода из (а) луча ср = const (это соответствует определению ^ и у8 в [57]). Определив эти дан- данные, имеем (9) где rt и г2 — известные функции <р. Рис. 36 соответствует тому случаю, когда начало координат ле- лежит вне контура (/). Если же начало лежит внутри контура (/), то Рис. 36. Рис. 37. можно считать, что ср меняется от 0 до 2тс и что г при заданном эначении ср меняется от 0 до га, где га получается из уравнения кри- кривой (/): г2 = ф(ср), что дает (рис. 37) Выражение (9) i)rdr. О О A0) называется элементом площади в полярных координатах.
182 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Г60 В частности, если /(JV) — la мы получаем выведенное в |1, 102] выражение для площади кривой в полярных координатах: (Формула из [I, 102] соответствует случаю г2 = г и rl = 0). Пример. Вычислим объем, заключенный между шаром радиуса а и прямым круговым цилиндром радиуса -^-i проходящим через центр шара (рис. 38). За начало координат примем центр шара, плоскость XOY выберем перпендикулярно к оси цилиндра и ось ОХ проведем от центра шара к точке пересе- пересечения оси цилиндра с плоскостью XOY". В силу симметрии можем сказать, что искомый объем будет равен учетверенному объему части цилш{дра, ограниченной пло- плоскостями ZOX, XOY и верхним полуша- полушарием. Областью интегрирования будет здесь половина основания цилиндра, контур ко- которой состоит из полуокружности Рис. 38. в нашем случае перепишется в виде Поэтому искомый объем будет и отрезки оси ОХ, причем угол <р меняется от 0 до |-, и соответствующий луч —от оси ОХ к оси OY. Уравнение поверхности шара 69. Криволинейные координаты. В предыдущем номере мы опре- определили элемент площади и рассмотрели вопрос о вычислении инте- интеграла в случае прямолинейных прямоугольных координат (х, у) и
§ 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 183 полярных координат (г, ср). Рассмотрим тот же вопрос для любых координат (и, v). Введем вместо прямоугольных координат х и у какие-нибудь новые переменные и и v по формулам и+Аи Рис. 39. Если мы фиксируем значение и и будем считать v переменным, то получим семейство линий на плоскости. Точно так же, если фиксируем значение v и будем считать и переменным, то получим другое семейство линий. Линии этих двух семейств могут быть как кривыми линиями, так и пря- прямыми (рис. 39). Положение точки М на плоско- плоскости определяется парой чисел (х,у) или, в силу A1), парой чисел (и, v). Эта пара чисел (и, v) назы- называется криволинейными коорди- координатами точки Ж. Решая уравне- уравнения A1) относительно х и у, получим выражение прямоугольных координат (х7 у) через криволинейные (и, v): х = ух(и, v)y у = ^(и, v). A2) В случае полярных координат и есть г и v есть ср. Линии по- постоянного и и постоянного v, о которых мы говорили выше, назы- называются координатными линиями криволинейных координат (и, v). Они образуют два семейства линий (окружности и лучи в полярных координатах). Определим теперь элемент площади do в криволинейных коор- Ъънптах (a, v). Для этого рассмотрим элемент площади МХМ^МЪМ^ (рис. 39), образованный двумя парами бесконечно близких координатных линий; с точностью Координаты вершин четырехугольника М^М^М^М^ До бесконечно малых высших порядков будут [I, 68]: Ш *i = ?i(H, v), л = ф1(и, у); lL
184 ГЛ. 111. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ F0 Л = М«. о+ &.) = $, (в, t ^ Из написанных формул непосредственно вытекает, что л:2— jct = = лг3 — лг4 и уъ — ух=уг — Уь а из этих равенств следует, что от- отрезки МхМ<ъ и Л14Л13 равны и одинаково направлены. То же можно сказать и об отрезках МХМ^ и М^МЪ, т. е. с точностью до малых высших порядков М1М4М3М1 есть параллелограмм, и его площадь равна удвоенной площади треугольника MiM%M& т. е. по известной формуле аналитической геометрии — уг) — Подставляя выражения координат, получаем формулу для элемента площади в любых криволинейных координатах: . 1 d'ft (и, у) dtyt (а, у) <foi (u> у) dtyx {щ у) да ду ду ди — \D\dudvf где D называется функциональным определителем от функций (р2 («, v) и <|*! (и, v) по переменным и и v: ди ду ду ди Окончательно формула замены переменных в двукратном инте- интеграле будет $$/(*¦ y)rf« = $$F(ff, гО|0|Лг*г, A3) (') (9) где F(m, v) означает функцию от и и vy в которую перейдет f(x,y) в результате преобразования A2). Пределы интегрирования по а и v определятся из вида области (о) аналогично тому, как это было ука- указано в [59] для случая полярных координат. В формулах преобразования A1) мы рассматривали и и v как новЕле криволинейные координаты точек, считая самую плоскость неизмен- неизменной. Мы можем, наоборот, считать и и v по-прежнему прямоугольными координатами, и тогда формулы A1) дадут нам преобразование плоско- плоскости, при котором точка, имевшая прямоугольные координаты (х, у)> преобразуется в точку с прямоугольными координатами (к, v). Такое преобразование деформирует облает* (а) в новую область B)- При такой точке зрения мы должны будем переписать формулу A3) так: = \\F(u, v)\D\dudv>
« 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 185 яичем здесь и и v—прямоугольные координаты точек области B]), пределы интегрирования в интеграле по B) определяются так, как это было указано в [69]. Если положить f{x, y) — F(u, v)=l, то получим выражение площади о области (а) в виде интеграла по B) Отсюда видно, между прочим, что при нашей новой точке зрения значение \D\ в какой-либо точке N области (?) есть коэффициент изменения нлощади в точке N при деформации области (?) в область (с), т. е. предел отношения площади некоторой области, лежащей в (о) ц-содержащей образ точки N, к площади, соответствующей области, лежащей в (?) (эта область содержит точку АО, когда эта последняя область стягивается к точке N Более подробно мы рассмотрим с этой точки зрения преобразование переменных в двойном интеграле в [80]. ¦^ Примеры. 1. Рассмотрим на плоскости Ж?К круг л:2+у^1 с цент- центром в начале координат и радиусом единица. Введем новые переменные по формулам перехода к полярным координатам: * = rcos<p» y = r sin у, но бу- будем рассматривать г и ср не как полярные координаты, а как прямолинейные прямоугольные координаты, т. е. будем считать, что точка с прямоуголь- прямоугольными координатами (л:, у) преобразовалась в точку с прямоугольными же координатами (г, <р). При этом, очевидно, вышеупомянутый круг перейдет в ррймоугольник, ограниченный прямыми лг = О, лг=1, y — 0t~ у = 2* (или 0 1 0 ^) = б у, р р , , y t у ( r г = 1, <р = 0, У5^*), причем началу координат х=у = б соответст- соответствует целая сторона г = 0 этого прямоугольника, а противоположные стороны ф=±0 и у = 2тс прямоугольника соответствуют одному и тому же радиусу круга. Применяя для прямоугольника правило приведения двойного интег- интеграла к двум повторным, выражаемое формулой (8), непосредственно видим, что[ |фи интегрировании в полярных координатах по вышеуказанному кругу пределы интегрирования по г должны быть г = 0 и г = 1, а по ср соответ- соответственно 9 = 0 и <р = 2тс. Аналогично можно объяснить и те правила опреде- определения пределов при интегрировании в полярных координатах, которые даны в W данном случае л — д (г cos ?) # д (г sin у) __ д (г cos у) д\г sin ср) __ дг * ду ду дг ' и, как мы видели выше, do rdrdy. 2, В качестве другого примера второй точки зрения рассмотрим прямо- ьвый треугольник (а), ограниченный координатными осями и прямой ?;уа. Точки, лежащие внутри (а), определяются следующими неравен- неравенствами, которым должны подчиняться их координаты у>0, х + у<о. A4) новые переменные (м, о), полагая: аУ f —f— x 4- у *
186 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [6| ИЛИ и (а — v) uv а ' * а Будем рассматривать (и, v) тоже как прямолинейные прямоугольные коор- координаты. Из последних формул следует, что неравенства A4) в новых пере- переменных равносильны неравенствам: 0<н<л, 0<г><д, которые опреде- определяют квадрат {?), имеющий вершину в начале и стороны, направленные по осям. Всякой точке (х, у) из (а) соответствует определенная точка (и, v) из (?) и наоборот. Для D получаем выражение п_а — v иг | и v и ~~ а а а а а * и формула (КЗ) будет иметь вид § \§Р(Ъ v)~dudvt или, вводя пределы интегрирования согласно G) и (8), а а — х а а J dx j f{x% 3r)rfy=l ^ udu J F(tt, v)dv. 0 1) 0 0 61. Трехкратный интеграл. Двукратный интеграл, о котором мы говорили в [58], можно истолковать не как объем тела, а как массу, распределенную на плоской области (о). В самом деле, вообразим, что на (а) распределена материя. Пусть Д/тг — количество материи на элементе Aj, содержащем внутри себя некоторую точку N. Если при беспредельном сжатии Да к точке N отношение д- (Да — пло- площадь упомянутого элемента) стремится к определенному пределу f(N), то этот предел определяет плотность поверхностного распределен ния материи в точке N: Если (а) разбита на малые элементы А а, то масса отдельного эле- элемента приближенно равна произведению f(N)&a> а для полной массы на (а) можем написать приближенно где суммирование распространяется на все элементы Да, заполняю- заполняющие (о). Полученное приближенное равенство будет тем более точ- точным, чем меньше каждый элемент Да. В пределе при беспредельном сжимании по всем направлениям каждого из элементов Да, причем число этих элементов тем самым беспредельно увеличивается, мы
и. § в. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 187 будем иметь » = lim Совершенно аналогичным путем рассмотрение массы пространст- пространственного распределения материи приведет нас к понятию трехкратного интеграла. Вообразим некоторый объем (v) в пространстве, ограни- ограниченный замкнутой поверхностью E). Пусть в этом объеме распре- распределена материя, общая масса которой есть т. Разобьем весь объем (v) на большое число п малых элементов Дг/ и обозначим массу каждого из них соответственно через Д/я. Пусть отношение Am Jv при сужении элемента Lv к точке М, лежащей внутри этого элемента, имеет предел* Он определяет плотность (пространственную) рас- распределения в точке М. Обозначим этот предел через f{M)\ Как и выше, мы можем писать приближенно (V) где суммирование распространяется на все элементы Дт>, заполняю- заполняющее объем (v). В пределе при беспредельном сужении по всем направлениям каждого из элементов Ах; мы будем иметь Этот физический пример приводит нас к общему определению трех- трехкратного интеграла, аналогичному определению двукратного инте- П>алз. Пусть (г;) — ограниченная область трехмерного пространства й f(M) — функция точки, определенная в этой области, т. е. функ- Ция, принимающая в каждой точке М области (v) определенное зна- значение. Разбиваем (v) на п частей, и пусть Дх^, Аг»2, #.., Avn — объемы этих частей, a Mlt Мь ..., Мп — какие-либо точки, находящиеся в &Тйх частичных областях. Составляем сумму произведений A5)
188 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Г6! Предел этой суммы при беспредельном возрастании числа делений и при беспредельном уменьшении каждой из частичных областей называется трехкратным интегралом от функции /(Ж) по обла- области v: Замечание [ср. 58]. Пусть dk— максимальное расстояние между двумя точками частичной области \vk (диаметр этой области) и d — наибольшее из чисел dlt dit ..., dn. Беспредельное уменьше- уменьшение каждой из частичных областей имеет тот смысл, что rf-^О. Если буквой / обозначить величину интеграла, то высказанное определе- определение равносильно следующему: при любом заданном положительном числе s существует такое положительное число ?), что если только Строгая теория трехкратных интегралов, как и двукратных, будет изложена в конце настоящей главы. Если /(М)=1 во всей об- области (v), то получится объем v этой области: Для вычисления трехкрат- трехкратного интеграла нужно уметь приводить его к простым или двукратным интегралам, способ вычисления которых был уже указан. Отнесем пространство ic прямоугольным координата?,!. Допустим, для простоты, что поверхность E), ограничиваю- ограничивающая объем (и), пересекается не более чем в двух точках лю- любой прямой, параллельной одной из координатных осей. Построим цилиндр, проектирующий эту поверхность E*) на плоскость XOY, в виде области (оху) (рис. 40). Линия касания поверхности E) с цилиндром разобьет ее на две части: Рис. 40. 0) (II) =<?i{X9 у).
щ § 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 189 Прямая, параллельная оси OZ и проходящая через любую точку ялотади (оХу)> войдет внутрь объема (v) через часть (I) и выйдет из него через (II); ординаты точек входа и выхода zx и г2 будут известными функциями от (лг, у). Условимся теперь разбивать объем (v) на элементы Ах; следую- следующим образом: площадь (о^,) разобъем на большое число малых эле- элементов Да; на каждом из них, как на основании, построим цилиндр, который вырежет из (v) столбик; этот столбик мы затем разобьем ga элементарные цилиндры высоты Az сечениями, параллельными плоскости XOY и проведенными на расстоянии Az одно от другого. Полученные таким путем элементы объема Av выражаются по фор- формуле Av = Да Az. Возьмем один из элементов Да и внутри него точку N(x, y)i Проведем через нее прямую, параллельную оси OZ, которая пересе- щ$т (S) в точках с ординатами zt и z2; на каждом из ее отрезков, заключенных внутри элементов Av, возьмем по точке М(х, у> z). Сумма, входящая в формулу A5), может быть переписана так: х, у, z)Av = % Да ?/(*, У> z) Az, Фиксируем пока Да и будем уменьшать Az. Из основного поня- понятия об определенном интеграле следует {г) щ>ичем величины лг, у надлежит рассматривать как постоянные пара- параметры. Итак, приближенно имеем 2 У> z)Az** \ /(л:, у, ^^ = Ф(лг, у). {г) . *1 Но тогда, очевидно, в силу определения двукратного интеграла \ do \ f(x, y} z)dz9 A6) рассуждения, если отвлечься от геометрического ования, приводят нас к следующему правилу для вычисления трехкратных интегралов.
190 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [6i Для приведения трехкратного интеграла к простому и двукратному: 1) проектируем поверхность (S\ ограничивающую объем (v), на плоскость XOY в виде области (avv); 2) определяем координаты z^ и z% точек входа и выхода прямой] параллельной OZ и проведенной через точку (х, у) области (оху); 3) считая (х, у) постоянным, вычисляем интеграл $/(*, У, *)dz, а затем двойной интеграл \\ dc\f{x, yt z)dz. Двукратный интеграл можно, в свою очередь, привести к повтор- повторному, пользуясь прямоугольными координатами (х, у), и мы получим окончательно ь у2 zt \ \ \ f(x> У> z) dv — \dx \ dy \ fix, у, z) dz, A7) (v) а у i Zi причем пределы (yl9 y%) и (a, b) определяются, как и в [57]. Мы предоставляем читателю разобрать другой порядок приведе- приведения трехкратного интеграла к повторному путем проектирования поверхности (S) на плоскость YOZ в виде площади (зуг) или на плоскость XOZ в виде (<зхг). Формулу A7) можно переписать так: Ь у9 *9 S S S /(*, У, z) dxdydz = ^dx $ dy $ f(x, у, z)dz. (v) а у % Zi Множитель dxdydz называется элементом объема в прямо- прямоугольных координатах; он получается разбиением объема (v) из бесконечно малые прямоугольные параллелепипеды плоскостями, па- параллельными координатным плоскостям. Путь строгого обоснования формулы A7) будет указан в конце настоящей главы. Заметим, что если прямые, параллельные осям» пересекают (S) более чем в двух точках, то надо разбить (v) на части так, чтобы для каждой из частей пересечение имело место не более чем в двух точках. Вычисляя интеграл по каждой из получен- полученных частей указанным выше способом и складывая эти интегралы, мы и получим интеграл по всей области (v)>
§ 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 191 Если (v) есть прямоугольный параллелепипед, ограниченный пло- плоскостями, параллельными координатным плоскостям и при первых интегрированиях пределы окажутся постоянными /(*, у, z)dxdydz = ]dx \dy \f{x9 у, z)dz. A8) a a [V) a2 62. Цилиндрические и сферические координаты» Часто бывает удобно относить пространство не к прямолинейным прямоугольным координатам, а к другой системе координат. Наиболее употребитель- употребительные из этих систем — цилиндрические и сферические координаты. В прямолинейной прямоугольной системе положение точки опреде- определяется ее тремя координатами (а, Ь> с), и точка эта находится на пересечении трех плоскостей: х — а, y = b, z = cy параллельных координатным плоскостям. Таким # образом в этом случае пространство как бы запол- заполняется тремя семействами взаимно перпендикуляр- перпендикулярных плоскостей где Сх, Q, С3 — постоянные, и всякая точка про- пространства является точкой пересечения трех плос- плоскостей различных семейств. Оставляя координату z, введем вместо хну новые координаты г и <р, полагая jKT=rcos'f, >/ = rsincp, z = z. /X Рис. 4L Координата г есть расстояние точки М до оси OZ и <р есть угол, образованный плоскостью, проходящей через ось OZ и точку М, с плоскостью XOZ (рис. 41), причем <р может меняться от 0 до 2ic иг — от 0 до (-f-oo). Координаты (г, <р> z) называются цилиндриче- цилиндрическими координатами точки М. Точкам оси OZ соответствует г = О, а координата <р у них неопределенна. Мы имеем в этом случае следующие три семейства координатных поверхностей: г = Сх, <р == Q, z = Сз. Первое семейство г = Ci есть семейство круговых цилиндров, ось ^ра1дения которых есть ось OZ. Второе семейство ср — Qi есть тре В° ПОлУплоскостей> проходящих через ось OZ, и, наконец, пллТЬе семейство г = С3 есть семейство плоскостей, параллельных плоскости, XOY.
192 ГЛ. 111. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {62 Придавая переменным г, <р и z приращения кг, Д<р, Дг и проводя по две близкие поверхности из каждого семейства, соответствующие взятым значениям переменных, получим элемент объема и цилиндрических координатах. Вдоль каждого из его ребер меняется только одна из коор- координат, и эти ребра попарно ортогональны (рис. 42). С точ- точностью до малых высших по- порядков такой элемент можно принять за прямоугольный па- параллелепипед с ребрами Дг, г Д<р, Дг, что дает выражение элемента объема в цилиндрических ко- координатах Рис. 42. v и вместе с тем выражение трехкратного интеграла в цилиндри- цилиндрических координатах A9) iv) причем пределы интегрирования оп- определяются по тем же принципам как и в случае прямоугольных коор- координат. Пример. Найти массу сегмента juapa, наполненного неоднородной мате- материей, плотность которой изменяется про- пропорционально расстоянию от основания сегмента (рис. 43). Поместим начало ко-. ординат в центр шара, за плоскость XOY примем диаметральную плоскость, параллельную основанию сегмента, ось OZ направим от начала координат к сегменту и обозначим через а ра- радиус шара, через h высоту сегмента, через г0 радиус основания сегмента. Уравнение шара в цилиндрических координатах будет Рис- = а2 или — Г». Закон изменения плотности выразится формулой fif, % z)
~ § 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ где Ь я г — известные постоянные. Применение формулы A9) дает 193 г dr. Производя подстановку значений г и интегрирование, что мы предоставляем сделать читателю, получим где v есть объем сегмента. Рассмотрим еще сферические координаты или, как иногда говорят полярные координаты в пространстве. Пусть М — некоторая точка пространства и ОМ — отрезок, проведен- проведенным яз начала координат О в точку М. Положение точки М можно определить следующими тремя величинами: длиною р отрезка ОМ; углом <р, который полупло- полуплоскость, проходящая через ось OZ и точ- точку М» образует с плоскостью XOZ; углом 9, который отрезок ОМ образует с положи- положительным направлением оси OZ (рис. 44). При атом р может изменяться от 0 до (-f-oo); угол <р отсчитывается против часо» *ой стрелки от оси ОХ и может изменяться ot tf до 2щ наконец, угол 0 отсчитывается от положительного направления оси OZ ¦ Мфжет изменяться от 0 до к. Опустим ¦з трчки М перпендикуляр MN на плоскость ХОУ и из осно- оснований' этого перпендикуляра N опустим перпендикуляр NK на ОХ. Отрезки ОКу KN> NM дают, очевидно, прямоугольные 1ты х, у, z точки М. Из прямоугольного треугольника ONM шсеей Рис. 44. в» пользуясь еще прямоугольным треугольником ONK> получим окон- Метельно формулы перехода от прямоугольных координат к сфери- чеои х = р sin 9 cos <p, y — p sin б sin <p> z = Рассмотрим семейства координатных поверхностей В- И.
194 ГЛ. ПТ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [С2 Первое семейство есть, очевидно, семейство сфер с центром в начале координат; второе — семейство полуплоскостей, проходящих через ось OZ, и третье — семейство круговых конусов, для которых осью вращения является ось OZ* Заметим, что началу координат О соответ- соответствует р = 0, а значение двух других координат <р и 0 неопределенно. Для всех точек, лежащих на оси OZ, бу- будет неопределенной координата о, а 0 = 0 или тс. Придавая переменным р, б и ^ бесконечно малые приращения Ар, А9 и Д<р, получим элементарный объем в сферических координатах. Вдоль каждого из его -ребер ме- меняется только одна из координат, и эти ребра попарно ортогональны (рис. 45). С точностью до малых высших порядков такой элемент можно принять за прямоугольный параллелепипед с ребрами dp, prf0, p sin 0 rf<p, так что выражение элемента объема в сферических координатах будет dv = p* sin I г п \ р sin $Аф Рис. 45. откуда получаем выражение трехкратного интеграла в сфериче- сферических координатах r = $ $ $/(р, 0, <р) р* sin 0 dp d6 d^ B0) Приведение трехкратного интеграла к повторным можно выпол- выполнить здесь, например, следующим образом: находим центральную проекцию объема (v) из начала координат на сферу радиуса единица (рис. 46); пусть это будет область (с) [если начало координат внутри (v), то (о) совпадает со всей поверхностью сферы]. Проведем радиусы-векторы через все точки (а); в простейшем случае каждый та- такой луч будет иметь точку входа внутрь (v) и выхода из (г>); радиусы-векторы этих точек обозначим через pf и р2 [в случае, когда начало координат лежит внутри (v), полагаем р4 = 0]. Мы по- получим тогда 0> Т)Р2 = 5 $ sin /(p, 0,
§ 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 195 где Pi и Р* — известные функции 9 и <р. Пределы интегрирования по 9 и <р определяются по виду области (о). Пример. Определить массу шара, состоящего из концентрических слоев различной плотности. Можем считать в данном случае, согласно усло- условию» что плотность зависит только от р. Обозначим ее /(р), что дает 2* « а а m_-f С f/(p)p3sin Qdprf8dfy= \ tf<p$ sinO^e ^/(р)р2сГр = 4тс^/(р)р9йГр. Если плотность постоянна и равна единице, получаем выражение объема шара Замечание. Множитель sin bd^do имеет весьма важное гео- метричесвде значение: это есть элемент площади поверхности сферы радиуса единица, на которые она раз- разбивается меридианами и параллель- ^**~ !^^>^sin0 ньгми кругами (рис. 47). Если мы будем разбивать поверхность сферы радиуса единица на элементы do ка- какой угодно формы, то получим *) Рз Рис. 47. Ю (а) Р| где (а) есть область, в виде которой проектируется на поверхность сферы рассматриваемый объем при помощи центральной проекции из начала ко- ординат. Построим элементарный конус, вершина которого в центре шара, а направляющая — контур элемента da. Раствор этого конуса, кото- который измеряется площадью do, называется телесным углом, под которым виде» из центра элемент любой поверхности E), вырезываемый из нее этим элементарным конусом. 63, Криволинейные координаты в пространстве. В общем случае криволинейных координат в пространстве положение точки опреде- определяется тремя числами qb qb qZi связанными с прямоугольными коорди- «атами ху у, z по формулам. 7» у, z) = qx> ф(дг, у, z) — qb <о(лг, у, z) = q^ B1) qb qb дъ различные постоянные значения, получим три координатных поверхностей. Элемент объема dv будет обозначает как сам элемент, так а его площадь.
196 ГЛ. ill. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 163 образован тремя парами бесконечно близких координатных поверх- ностей. Не останавливаясь на доказательстве, приведем результат, ана- аналогичный результату из [60], для двух измерений. Упомянутый эле- элементарный объем dv можно рассматривать с точностью до бесконечно малых высших порядков как параллелепипед, и если мы решим B1) относительно дг, у% z: * = <Pi(?i> q* Ы У = М?1> Яь Ы * = «>itei> Яь Ы B10 то выражение dv будет dv = | D | dqx dq2 dqz> и формула замены переменных в трехкратном интеграле будет выглядеть так: У> z)dxdydz = \\\F(qb qb qz)\D\dqxdq^dqz> (V) где F(qif q& qB) получается из /(лг, у, z) в результате преобразова- преобразования B1J, a D — функциональный определитель от л:, у, z по qi} qb q^: dqx \dq2 dqb dqb dq2) * dq2 \dqs 5^ dqt dqj "^ Так же, как и в [60], формулы B1) можно рассматривать иначе как деформацию пространства, причем точка с прямоугольными коор- координатами (х, у, z) переходит в точку с прямоугольными координатами (Ян Яь ?з)« При таком толковании |D| дает коэффициент изменения» объема в данном месте при переходе от (qb qb q$) к (х, у, г). Приведение тройного интеграла в координатах (qif qb qz) к трем квадратурам и определение пределов в этих квадратурах произво- производится аналогично тому, как это делалось в случае двойного интег- интеграла [60]. Для читателя, знакомого с понятием определителя, заметим, что выра- выражение D может быть написано в виде следующего определителя третьего порядка: ~ 1 * ~ I JL ~ 1 dqx dqx dqt dq% d В томе III мы подробно займемся такими определителями. Пример. Пусть имеется тетраэдр (v\ ограниченный координатным" плоскостями и плоскостью дг + У + 2==д и определяемый неравенствами ,у>0,
§ 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 197 Введем новые переменные + я будем толковать (qlf qfy qt) как прямолинейные прямоугольные координаты. Ненаписанных формул следует Совершенно так же, как и в [601, нетрудно видеть, что тетраэдр (v) пере- переходит в куб (vt): 0<qt<a\ 0<qB<<rt Q<qz<:a. Нетрудно и здесь опре* делать ? = -|?|?» так чт0 формула преобразования будет it qz) -^ q\qt dqk dqt dqs; еога определить пределы интегрирования, а—х а — х—у а а а i f { f i ах а х а а r, z) dz — -%{ q\dqx f ^t</^ i F(qit qtt q%) dqv 64, Основные свойства кратных интегралов. Раньше мы дока- к свойства определенного интеграла, пользуясь его определе- определенней, как предела сумм [I, 94). Совершенно так же можно дока- вать а основные свойства кратных интегралов. Для простоты мы все функции будем считать непрерывными, так что интегралы от них бе- безусловно имеют смысл. t Постоянный множитель можуо выносить за знак интеграла, и инте- i конечной суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых: ~\ Л-1 (а) Если область (а) разложена на конечное число частей (напри- (например на две части (о,) н (о^)], то интеграл по всей области раиен сумме интегралов по всем частям: HI. Если /(ЛО<<р(ЛО в области (о), то В «стноста [I, 94]: (" |
198 ГЛ. HI. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [65 IV. Если <р(ЛО сохраняет знак в области (а), то имеет место теорема о среднем, выражающаяся формулой \ \ f(N) ф (N) da = f(N0) $ $ Ф (ЛО da, (о) (о) где Лг0 — некоторая точка, лежащая внутри области (а). В частности, при ф(Л')=1 получаем (О) где 0 — площадь области (а). Аналогичные свойства имеют место и для трехкратного интеграла. Заметим, что при определении двукратного и трехкратного инте- интеграла как предела суммы считается всегда, что область интегрирова- интегрирования конечна и подынтегральная функция f(N) во всяком случае огра- ограничена, т. е* существует такое положительное число А, что \f(N)\^A во всех точках N области интегрирования. Если эти условия не выполнены, то интеграл может существовать как несобственный инте-* грал аналогично тому, как это имело место для простого определен- определенного интеграла [I, 97 и 98]. Мы займемся несобственными кратными интегралами в § 8. 65. Площадь поверхности» Предварительно рассмотрим искаже- искажение площади при проектировании плоских областей. Пусть на пло- плоскости Р имеется область 5^ (той же буквой обозначим ее площадь) и 52 —ее проекция на плоскость Q, которая образует с Р острый двугранный угол ф. Покроем Р сетью прямоугольников со сторонами, параллельными и перпендикулярными линии / пересечения Р и Q. При проектировании этой сетки на плоскость Q длины сторон, парал- параллельных /, останутся неизменными, а длины сторон, перпендикуляр- перпендикулярных /, умножатся на соэф. При соответствующем выборе осей XY будем иметь S2 = $5 cos ф dx rfy = cos Ф $ J dx dy = SL cos ф, ls\) E,) т. е. при проектировании площадь плоской фигуры умножается на созф. Пусть имеется поверхность E), уравнение которой имеет вид z=f(x,y). B2) Положим, что цилиндр (С) проектирует (S) на плоскость ХО Y в виде области (а) (рис. 48). Функция f(x,y) определена и непрерывна на (с)« Будем считать, что она имеет частные производные первого порядка, непрерывные на (а) вплоть до границы, и обозначим дх ~р> ду ~q' v
§ 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 199 Мы видели [I, 160], что направляющие косинусы нормали (п) к поверхности (S) в точке (х, у, z) пропорциональны р7 q и (— 1), ак известно из аналитической геометрии выражаются по р е., как известно из формулам р р q ( аналитической геометрии, выражаются по cos (n, Y) = cos (я, Z)= к \ B4) Определим площадь части поверхности (S), вырезываемой цилинд- цилиндром (С), который проектирует эту часть на плоскость XOY в виде области (а) (рис. 48). Разобьем площадь (а) на малые элементы Да; цилиндры, построен- построенные на основаниях Да, разобьют (S) на элементы Д5. Возьмем в каждом из элементов Да по точке N(s, r,), которой соответствует на поверхности (S) точка Ж(;, ?], С), где ?=/(?, tj). Проведем в точке М касатель- касательную плоскость и нормаль (я) к поверхно- поверхности и обозначим через Д6" плоскую пло- площадку, вырезываемую на этой касатель- касательной плоскости вышеупомянутым цилинд- цилиндром с основанием Да. Определим площадь упомянутой выше Q части поверхности (S) как предел сум- ми площадей плоских площадок ДУ, когда число элементов Да беспредельно растет, а каждый из них беспредельно уменьшается по всем направлениям. Покажем, что этот предел выражается двойным интегралом по области (а). Элемент До есть проекция плоского элемента Д5" на плоскость XOY, причем нормали к плоскостям этих двух элементов образуют угол (я, Z), косинус которого выражается третьей из формул B4), а потому Рис. 48. или и таким образом для площади 5 упомянутой поверхности мы полу- чзем по определению: S= lim ? ДУ = lim ? редел, стоящий в правой части равенства, представляет собою дпой- й интеграл по области (а), и мы получаем xdy B5)
200 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |6з — искомую формулу для площади части кривой поверхности, вырезы- ваемой из нее цилиндром, образующие которого параллельны оси OZ. Выражение, стоящее под знаком интеграла, представляет собом элемент dS площади поверхности. Пользуясь выражением cos (я, Z), можем написать =\cos(n, Z)\dS. B6) Здесь daxy есть проекция dS на плоскость XOY. Нужно брать абсолютное значение cos (я, Z), так как элементы площади daxv и dS считаются положительными. Мы предполагаем, что р и q, определяемые формулами B3), суть непрерывные функции (jc, у). Предыдущие рассуждения выражают предел суммы площадей Д5' в виде интеграла B5) от непрерывной функции и тем самым показывают, что этот предел существует. Дан- Данное выше определение площади поверхности обладает тем недостат- недостатком, что в само определение входит операция проектирования, ско- скованная с выбором плоскости XOY. Можно показать, что величинi площади поверхности не зависит от выбора плоскости XOY. Заметим еще, что если прямые, параллельные оси OZ> встречают поверхность ($) в нескольких точках, то для вычисления площади поверхности по формуле B5) надо разбить поверхность на части и вычислять пло- площадь для каждой отдельной части. Можно дать определение площади поверхности, не зависящее <^г выбора осей. Пусть (S) — кусок гладкой поверхности, ограниченный кусочно гладким контуром. Разобьем E) на части E\), (S2),..., (S.,), на каждой части возьмем какую-либо точку Mk и спроектируем (S-) на касательную плоскость к (S) в точке Мк. Пусть pk — площадь этой проекции. Можно показать при определенных условиях гладко- гладкости (S) и ее контура, что сумма ^i + /?a + - •• + ?« стремится к опре- определённому пределу S, если наибольший из диаметров В каждой из частей стремится к нулю [ср. 68]. Это определение площади поверх- поверхности в случае явного уравнения поверхности B2) и при наличии непрерывных производных B3) и приведет к формуле B5) для пло- площади S. (Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и инте- интегрального исчисления, т. III). Примеры 1. Вычислить площадь части шаровой поверхности, рассмо- рассмотренной в примере [59]. Мы имеем *-*-У, р= У аа— ж8 — у*
9 в. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 201 а cos? '—г* п :2л Г <— /а8 — г8) г шж a cos f tff: (l-sin?)*p = 2a'(*--l). 2. Найти площадь части цилиндра вырезываемой из него цилиндром (рис. 49) B7) = а». B8) 6 этой задаче удобнее считать независимыми переменными у и 2, а х функцией от них, определяемой из уравнения B7). Область интегрирования «плоскости YOZ есть круг, окружность которого определяется уравнением B8). Заштрихованная па рис 49 площадь равна, очевидно, g- части всей рассматриваемой площади, а потому имеем причем а у х ' у\+р* + я> № ЧТО Рис. 49. а /о» - i arc sin- :8a*. 6в. Интегралы по поверхности и формула Остроградского. !?!!ТГие ° двУкРатном интеграле по плоской области без труда сообщается на случай интегрирования по поверхности. Пусть (S) — **?верхность (замкнутая ила незамкнутая) и F(M) — непрерывная Функц точки на этой поверхности. Разбиваем (S) на п частей
202 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ F3 и пусть ASi, &Sif ..., ASn—площади этих частей и Mlt Afe,.... Мп — какие-либо точки, находящиеся на этих частях. Составляем сумму произведений Предел этой суммы при беспредельном возрастании числа деле- ний и беспредельном уменьшении каждой из частей ASA называется интегралом от функции F(M) no поверхности (S): = Hm E) Положим, что прямые, параллельные оси Z, пересекают поверх- поверхность только в одной точке (рис. 48) и пусть (о) — проекция (S) на плоскость XOY. Пользуясь формулой B6), устанавливающей связь между элементарной площадью поверхности (S) и соответствующей площадью ее проекции (аху), сможем привести интеграл по поверх- поверхности (S) к интегралу по плоской области (oxv): Чу, B9) cos (л, Z)\ при этом считается, что cos (nt Z) отличен от нуля и что значение функции F(N) в точке N области (о) совпадает со значением задан- заданной на поверхности функции F(M) в той точке М, проекция кото- которой совпадает с М Если уравнение поверхности (S) задано в явной фор- форме B2) и функция F(M) выражена через координаты F(x, у, z)y то при интегрировании по (zxv) достаточно подставить z=f(x, у) в выражение функции F(x, у у г), т. е. F(N) = = F[x, yt f(x, у)]. Знаменатель в правой части B9) определится по третьей из формул B4). Отметим, что интегралы по по- X верхности, очевидно, обладают всеми •" свойствами двойного интеграла, ука- Рис. 50. занными в [64], в частности для них имеет место теорема о среднем. Докажем теперь одну из основных в теории кратных интегралов формул — формулу Остроградского, устанавливающую связь между трехкратным интегралом по объему (v) и интегралом по поверх- поверхности E), ограничивающей этот объем. Будем считать, как и в [61], что прямые, параллельные оси Z, пересекают E) не более чем в двух
^ * 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 201 точках. Сохраним те же обозначения, что и на рис. 40 [61]. Введем еше в рассмотрение направление (п) — нормали к (S), причем будем считать, что (л) направлено вовне объема (V) (внешняя нормаль) (рис 50). Это направление (л) образует на верхней части поверх- поверхности (И) острый угол с осью OZ, а на нижней части (I) — тупой угол. Поэтому на нижней части (I) | cos (я, Z) | = — cos (я, Z). Отме- Отметим, что cos (я, Z) = 0 на линии касания поверхности (S) с проекти- проектирующим цилиндром (рис. 50). Формула B6) дает <*<ужу= cos (n> Z)dS (на И) и daxy = — cos (я, Z)dS (на. I). C0) Пусть R(x> у, z) вместе с производной —- ?гУ* непрерывна в области (v) вплоть до (S). Рассмотрим тройной интеграл по (v) от функции **' ¦у> 2'. Пользуясь формулой A6), будем иметь Но интеграл от производной равен разности значений первообразной функции при верхнем и нижнем пределах: ИЛИ Ш Заменяя (/алу на rf5 по формулам C0), мы сведем интегрирование по (^jry) K интегрированию по (S), причем в первом интеграле, содер- содержащем переменную ординату г9 части (И) поверхности (S), придется пользоваться первой из формул C0), и получится интеграл по (II), а во втором интеграле, содержащем zit придется пользоваться вто- второй из формул C0), и получится интеграл по (I): $$ у, г) cos (л, Z)dS. Значки у z можно уже не писать, так как указано, по какой именно •йети поверхности производится интегрирование- В правой части СТоит сумма интегралов по частям (II) и (I), т. е. интеграл по всей
204 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ F8 поверхности (S): Ш dR{VtZ) dv=S $ *<*•»^cos^ Ш S $ Если <р(лг, jf, z) и ф(лт, j/, z)— функции, обладающие свойствами функции /?, то, принимая во внимание, что можем на основании C1) написать формулу интегрирования по частям: (v) (S) Совершенно так же, взяв две другие функции Р(х, у, г) и Q(xy у, z)t мы могли бы доказать i >) E) Складывая почленно полученные три формулы, придем к формуле Остроградского = f С [Р cos (я, ^) + Q cos (л, К) + R cos (л, Z)] rf5. C2) Аналогично C11) записываются формулы интегрирования по частям для производных по х и у. Мы не пишем здесь для краткости аргументов л:, yt z у функ- функций Pt Q и /?, но надо помнить, что это суть функции, определен- определенные в объеме (v) и непрерывные со своими производными. В следующей главе мы приведем большое число примеров при- применения формулы Остроградского. Величины cos (л, X), cos (л, К), cos (л, Z) суть функции, опреде- определенные на поверхности (S), Мы их считали непрерывными. Можно сделать более общее предположение, а именно считать, что (S) раз- разбивается на конечное число кусков, на каждом из которых указан- указанные функции непрерывны. Это будет, например, иметь место, если (S) есть многогранник.
ед « 6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 205 При выводе формулы C1) мы предполагали, что прямые, парал- параллельные оси OZ, пересекают поверхность (S) области (v) не более чем в двух точках. Нетрудно обобщить эту формулу и на области более общего вида. Заметим прежде всего, что если поверхность (S\ кроме верхней части (II) и нижней части (I), имеет цилиндрическую боковую часть с образующими, параллельными оси OZ, то на этой боковой части cos (л, Z) = 0, и добавление этой части к правой части формулы C1) не меняет величины интеграла по поверхности, так что все доказательство формулы остается справедливым. В более общем случае достаточно при помощи цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными оси OZ, разбить (у) на конечное вдело частей, удовлетворяющих предыдущим условиям, и применить к каждой части формулу C1). Складывая полученные таким образом формулы, будем иметь в левой части тройной интеграл по всему объему (v). В правой части будем иметь сумму интегралов по всем поверхностям тех частей, на которые мы раз- разбили (v). Интегралы по приведенным вспо- вспомогательным цилиндрическим поверхностям, как. указано выше, равны нулю. Таким об- образом в результате сложения в правой части мы будем иметь интеграл по поверхности (S) первоначального объема (v). Итак, формула C1) оказывается справедливой и для обла- областей (v) более общего вида. Заметим, что эти рассуждения справед- ЯВЫ и для того случая, когда (v) ограничено несколькими поверхностями: одной по- Рис. 51. верхностью извне и остальными изнутри. На рис 51 изображен тот случай, когда (v) ограничено двумя поверхностями. При этом в правой части C1) надо интегрировать по всем поверхно- поверхностям, ограничивающим (v), и направление (л) будет на внутренних поверхностях направлено внутрь этих поверхностей [т. е. вовне (v)\, 67, Интегралы по определенной стороне поверхности. Иногда поль- пользуются другим определением и другой формой записи интеграла по поверх- ^Сти, Рассмотрим сначала тот случай, когда поверхность E), изображенная W» рис. 50, удовлетворяет условиям, указанным в начале предыдущего номера. В каждой точке поверхности можно придать нормали два противо- противоположных направления*, одно направленное во вне (V), а другое внутрь (V). и соответствии с этим у поверхности можно различать две стороны — Щ*шнюю и внутреннюю. Пусть R(x, yt г\ как и выше, — функция, задан- заданная на (S). Рассмотрим интеграл \\ R cos(й, Z)d$. C3) ч Величина этого интеграла зависит от выбора направления нормали или, 2JJ то же1 от указания на то, по какой стороне поверхности (S) произзо- a интегрирование. При интегрировании по внешней стороне сое (я, Z) >0
206 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ F7 в сое (я, Z)dS = u3xy на части И, а при интегрировании по части [ cos(rt,Z)<0, и сое (л, Z)dS= — d<Jxyt где dsxy — проекция элемента пло- площади поверхности (S) на плоскость ХОК, т. е, элементы площади области (?) в формуле B9). В координатах (л:, у) мы можем написать dsxy=.dxd\\ так что интеграл C3) приведется к интегралу по области (а) плоскости ХОУ: \ \ R [*, у, f (х, у)} dx dy или — J J R [х, у, /(*, у)] dx dy, C4) (о) (з) смотря по тому, по какой части A или II) поверхности* производится ин- интегрирование. Но часто его в обоих случаях записывают одинаково yR dx dy, C5) указывая, по какой стороне (внешней или внутренней) поверхности произ- производится интегрирование. Если интегрирование производится, например, по внешней стороне и части 1, то интеграл C5) сводится ко второму из инте- интегралов C4). Можно определить интеграл C5) непосредственно, как предел суммы произведений Е/?(Ма)ДбЛ значений функции R(M) в точках поверх- поверхности на площади Дз^ проекций на плоскость ХОУ элементов AS*, на кото- которые разбита поверхность (S), причем Дед считаются положительными, если интегрирование совершается по внешней стороне поверхности и части II. и от- отрицательными, если оно совершается тоже по внешней стороне, но по части L Рассмотрим теперь общий случай поверхности (S). Пусть Мо — некото- некоторая точка этой поверхности. Фиксируем определенное направление нормали (п) в этой точке и будем, выходя из точки Мо и двигаясь непрерывно по (S), следить за непрерывным изменением направления нормали (я). Если при любом непрерывном движении это приведет нас к определенному направле- направлению нормали в любой точке поверхности, то поверхность называется дву- двусторонней. Если бы на такой поверхности мы фиксировали направление {п) в исходной точке Мо иначе, то при непрерывном движении мы и во всех остальных точках получили бы противоположное направление нормали. Это дает нам возможность говорить о двух сторонах поверхности (S), смотр* по тому, какое направление нормали мы фиксировали в точке Мо, а тем самым и в остальных точках. Фиксируя сторону поверхности, мы получаем определенное значение для интеграла C3), и этот интеграл записывают при этом в виде C5) с указанием, по какой стороне поверхности производится интегрирование. Алалсличным образом определяются интегралы J j P dy dz и ^ J Q dx dz, где Р(дг, v, г) и Q(at, yt г) — функции, заданные на (S). Интегралы эти соз- ладают с "интегралами Н Р cos (я, X)dS и \ $ О cos (n, Y)dS. При таком определении этих интегралов формулу C2) можно записать так: iv) (Si где в правой части интегрирование производится по внешней стороне поверх- поверхности (S).
« в. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 207 Заметим, что существуют и односторонние поверхности, на которых при непрерывном движении вдоль поверхности нормаль, непрерывно меняясь по направлению, может перейти в проти- противоположное направление при возвраще- возвращении в исходную точку. Простейшим при- мером является так называемый лист Ме- Мебиуса. Для его получения надо взять прямоугольный лист бумаги ABCD, пере- перекрутить его один раз и склеить сторону АВ со стороной CD так, чтобы точка А совпадала с С, а В с D (рис. 52). Если полученное кольцо начать красить, то, не переходя через границу кольца, его можно покрасить с обеих сторон. -Рис. 52. 68. Моменты. Одно из приложений понятия о кратном интеграле — к теории моментов различных порядков материальных систем. Пусть дана система п материальных точек: Mlt Ми ..., Mnt массы которых равны соответственно ти т„..., тп. Моментом k-ro порядка данной системы относительно плоскости (А), прямой (d) или точки (D) называется сумма произведений массы каж- каждой точки системы на k-ю степень расстояния от (Д), (d) или (?)): С этой точки зрения момент нулевого порядка есть просто вся масса системы т = у Момент первого порядка относительно данной плоскости (Д) называется статическим моментом системы относительно этой плоскости. Стати- Статические моменты относительно координатных плоскостей мы встречаем в выражениях для координат центра тяжести системы п 5] « т C6) В данном случае расстояния х^ j^, zt до координатных плоскостей берутся алгебраически, т. е. как положительными, так и отрицательными. Моменты второго порядка называются обыкновенно моментами инер- системы. Так, выражения 2 Х*1тг 2 У*1тГ SZim? сУты моменты инерции системы относительно координатных плоско- плоскостей; выражения I] 01 + *!) тр ? («J + х}) mit 53 <х! + ^D mi
208 ГЛ, III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ F8 суть моменты инерции относительно осей ОХ, О К, OZy наконец, выражение л есть момент инерции относительно точки О. Кроме указанных" выше выражений, приходится иметь дело с выраже- выражениями п п п угл _ V4 ~ — VI — которые называются центробежными моментами системы относительно осей ОХ, О К, OZ. Если мы имеем дело не с системами конечного числа точек, а с непре- непрерывно распределенными массами, то предыдущие суммы заменятся опреде- определенными интегралами, простыми, двукратными и трехкратными, в зависимости от того, будут ли массы распределены по прямым, поверхностям или объемам; вместо множителя mL нужно будет тогда ввести произведение плотности f(M) в данной точ- точке М на элемент длины, площади или объема. Так, например, момент инерции трехмерной области (v) относительно оси ОХ выразится тройным интегралом Рис- 53. ?СЛИ считать плотность f(M) постоянной /0, то втот постоянный множитель будет выноситься из-под знака интеграла, и в формулах C6) в числителе будут стоять интегралы с подынтегральной функцией х, у и г9 а в знаменателе — объем или пло- площадь всей области, причем постоянная /0 сократится. Примеры. 1. Центр тяжести однородного шарового сектора (рис.53). При том выборе координат, который указан на чертеже, достаточно найти только ординату Мы имеем здесь 2х« 2х« а v = \ tf<p I sin в dti I pf dp = у ъа* A — cos а) = -=- оо о 2* ft a f ^ J z dv = ( dy \ sin б rfD \ р соз 9pf dp = 2я ? sin в cos в сГв ? рв — cos2i), 3 1 — соз 2<х 1-COSa где я — радиус шара.
т % 6. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 209 2. Если считать, что масса распределена лишь по шаровой поверхно- поверхности E) сектора, то ордината центра тяжести будет zds «-площадь поверхности (S). В данном случае уравнение поверхности а* или г =гг Yа% — (** + У*)| и нетрудно проверить, что I г cos ( так что где ) есть очевидно круг с центром в начале и радиусом a sin a. щадь s будет С f /;^ 2к rrfr — cos a), в окончательно «a* sin$ a 2 **~~ 2*а«A— сова) В предыдущем примере мы имели для %к меньшую величину 3 3 , 3 , a ¦g- a A + cos a) = ~ a cos1 у. 3L Если центр тяжести совпадает с началом координат, то'все статические моменты равны нулю, что непосредственно вытекает из соотношений: (V) г 2 —*j. —'" h У h Рис. 54. »ого ^Оменты инерции однородного прямого круго- метп«ЦИЛИНДРа (Рис< ^4) относительно оси цилиндра и относительно диа- сго среднего сечения. Считая плотность постоянной и равной /0,
210 ГЛ. 111. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ мы имеем 2« а А J j r'rfr 0 0 2 s ft я /0 $ $J (Zt + r» sin8 ?) r rfr d(? dz = 2/o С d? ^ dz \ B» + r* sin* «p) r dr 2« А О 2* A a = 2/o f *? f «f Л f rdr + 2/0 f sin8 ydy f rfr f rf dr =» ooo о oo где 2Л — высота цилиндра, а — радиус его основания и т — его масса. 5. Моменты инерции однородного эллипсоида Обозначая плотность через /01 имеем, разбивая на слои, параллелъттые пло- плоскости XOY: J/D-j z*nab [\-^ -с Переставляя буквы, найдем без труда + Л* = я-5-( 6. Кинетическая энергия при вращении твердого тела вокруг оси (Ь). Как известно, при вращении тела вокруг оси (Ь) с угловой скоростью <*, скорость V каждой точки тела равна по величине произведению угловой скорости на расстояние точки от оси вращения. Для вычисления кинети- кинетической энергии тела разобьем его на элементы массы Дт и кинетическую энергию соответствующего элемента обозначим через ДГ. Мы имеем Ввиду малости элемента Дт можно представить, что вся его масса сосредо* точена в одной какой-нибудь его точке М\ тогда кинетическая энергия М элемента Дт будет равна ДГ=1 где f(M) есть плотность тела в точке М и г^ — расстояние точки М оГ
I 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 21 1 оси (*). В силу определения трехкратного интеграла получаем отсюда Jc С \ 1 гее \ \ -*т <**rlf W) dv =-=•<*'•?& где ^г = 3 л J г1/(^)^ J «/ ^ ^ irn (V) есть момент инерции тела относительно оси вращения (Ь). Замечание. Иногда при вычислении объема тела или какого-нибудь его момента удается произвести все вычисления не с помощью тройного, а с помощью двойного или даже простого интеграла. Дело зцесь заклю- заключается в том, что при представлении тройного интеграла, как двойного от простого или простого от двойного, удается иногда вычислить внутренний интеграл из каких-либо элементарных соображений, не производя интегри- интегрирования. Это и создает такое впечатление, что для вычислении понадобился не тройной интеграл, а двойной или простой. Так, например, момент инерции Jxv относительно плоскости ХОУ тела (v), ограниченного плоскостями 2 = 0, г = А и поверлностью, образованной вра- вращением линии x=f(z) вокруг оси OZ, можно вычислить простым инте- интегралом, если представить себе тело составленным из круглых плоских дно *ов, параллельных плоскости ХОУ. Объем такого элементарного диска равен *\f{z))*dzt и можно написать 4* = *j *¦[/(*)!¦ л Тот же момент инерции выражается тройным интегралом Л Jxy ss V j \ z% dx dy dz = { z% dz \\ dx dyt (v) 0 Cg) где (9г) — сечение (v) плоскостью, параллельной плоскости ХОУ на расстоя- расстоянии z от этой плоскости. Внутренний двойной интеграл дает площадь (оД ъ е. он равен и \f(z)]*. § г криволинейные интегралы 69. Определение криволинейного интеграла. Положим, что мы имеем в пространстве некоторую кривую (/), которая имеет определен- определенное направление (рис. 55). Пусть А — начало и В — конец этой кривой. Будем на кривой (/) отсчитывать длину дуги от началь- начальной точки Л. Положим, что на (/) вадана непрерывная функция f(M). Разделим (/) на п частей проме- промежуточными точками: Жо, Ми ..., Мь_и Мп, причем Af0 совпадает с Л и Мп с В. На каждом участке M*Mk+\ (k = 0,1 п — 1) возьмем какую-нибудь точку Nk и составим сумму л — I 2jf(Nk)bskt p 55 r% b$k—длина дуги МкМк+х кривой (/). Предел этой суммы при
212 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [fi1 беспредельном возрастании числа делений п и беспредельном умень- уменьшении каждого из участков MkMM называется криволинейным интегралом от функции f(M) по / и обозначается так: J f(M)ds = \im ^ f(Nk)&Sk' A) (I) A-0 Положение переменной точки М кривой (/) вполне определяется длиною дуги s—*u AM, так что функцию f(M) можно считать функцией независимой переменной s, т. е. /(A0=/(s), и интеграл (I) является обычным определенным интегралом где /—длина дуги кривой (/). Заметим, что кривая (/) может быть и замкнутой, т. е. В может совпадать с А До сих пор мы не использовали того факта, что кривая (/) имеет направление. В дальнейшем нам это будет важно. Отнесем простран- пространство к прямолинейным прямоугольным осям. Положение переменней точки М определится координатами (jc, у, z). Пусть Р(х, у, г) — некоторая непрерывная вдоль кривой (/) функция. Обозначим через (?*> *)*> W—координаты точки Nk и через АхЛ — проекцию напра- направленного отрезка MkMk+x на ось ОХ. Величина Ajca может быть, конечно, и положительной и отрицательной и даже равной нулю. Составим сумму произведений P(Nk) = P(lk} т1Л, СЛ) не на Д$Л, а на ДхА, т. е. сумму я-1 Предел этой суммы называется криволинейным интегралом от Р{х, у, z) по (/) и обозначается так: Л-1 5 х, у, z)dx = \\m ^ (А ) А (/I ft = 0 Совершенно аналогично определяются интегралы: \ Q{x, У, z)dy it) и 5 R(x, у, z)dz, где Q(x, yy z) и /?(jf, у, z) — непрерывные функции вдоль (/)• Скла- Складывая эти три интеграла, получим криволинейный интеграл общего
^ I 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 213 0ttda, который обозначается так: \ Р(х, У, z)dx+Q(xt у, z)dy + R(x, у, z)dz. B) По определению интеграл B) является пределом суммы следую- следующего вида: Ч* C*)Az,]. C) где Ауь А** — проекции отрезка Л1ЛМА+, на оси О К и OZ. Не- Нетрудно установить связь между интегралом вида B) и интегралом вида A). Координаты (х, у, г) переменной точки М кривой (/) можно считать функциями длины дуги s=o AM. Производные этих функций дают, как известно [I, 160], направляющие косинусы каса- касательной к кривой (/), т. е. g = cos ft X\ g = cos ft К), g = cos ft Z), где i ~- направление касательной'к (/) в переменной точке М, имею- имеющее то же направление, что и направление кривой» Символом (а, Р) мм обозначаем, как всегда, угол, образованный направлениями а и р, причем значение косинуса этого угла не зависит от направления его отсчета, которое мы в данном случае и не фиксируем. С точностью до малых высших порядков можно считать, что где tk — направление касательной в точке Nk) и интеграл B), как предел суммы C), приводится к виду A): = \ [Р cos ft X) -f Q cos ft Y) + R cos ft Z)] ds, D) U) rAe P, Qf R можно считать функциями 5 вдоль (/). Пусть имеется уравнение кривой (/) в параметрической форме: •* = ?(*)> ,У = ФСй * = »W E) пРичем при изменении параметра т от а до & точка (лг, у, г) описы- Baet кривую (/) от Л до А Мы будем считать, что функции E) непрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка замкнутом промежутке (а, Ь), причем для определенности мы счи- считаем а^?. Положим, что точкам Мк соответствуют значения параметра т = тл. СС|«отрим первую из сумм C). Пусть т' = т* — значение параметра,
214 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |6л соответствующее точке (?*, щ> Cft) кривой. По формуле конечных приращений [I, 63J можем написать где tJ — некоторое значение -с из промежутка (т^, хл+1). Таким обрл- 8ом упомянутую сумму можно переписать в виде 2 0 * = 0 Эта сумма очень схожа с суммой л- 1 которая в пределе, при стремлении наибольшей из разностей (х^+1 — хк) к нулю, стремится к определенному интегралу ф(т), tt(x)]f'(t)ft. G) Докажем теперь, что разность суммы F) и о стремится к нулю. Отсюда будет непосредственно следовать, что сумма F) имеет пре- предел, равный интегралу G). Упомянутая разность имеет вид Значения х^ и xj принадлежат промежутку (хА, xft+1), и в силу рав- равномерной непрерывности непрерывной функции PfaOO, ф(*), ^^-I для любого малого положительного в существует такое 8, что [1, 32| если только х^+1 — ^<[^ Таким образом абсолютное значение ъ будет иметь оценку Но непрерывная в промежутке (а, ^) функция <р'(т) будет и огрч- ниченной в этом промежутке, то есть |<р'(х)|<^/f, где К — определен- определенное число (I, 35]. Отсюда имеем:
—1 * 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 215 Так как •—¦0, если тах(тл+1— т*) —О, то мы видим, что т\ действи- действительно стремите» к нулю, и сумма F) имеет предел G). Рассматривая ?очно так же остальные суммы C), покажем, что при сделанных пред- предположениях интеграл B) может быть представлен в виде обычного определенного интеграла: ь \ Р dx + Q dy + R dz = \ [P?' (?) + QY (*) + /?«' (x)] rft, (8) (/) « где P> Q n R надо выразить через x согласно формулам E). Некоторые из свойств простого интеграла, указанные в [I, 94], непосредственно обобщаются на случай криволинейного интеграла. Так, например: I. Если кривая (/) состоит из отдельных частей AХ), (/*), ..., Aт), то (D + ^ Pdx-\-Qdy + Rdz + ...+ ] Pdx+Qdy II. Величина криволинейного интеграла определяется не только подынтегральным выражением и кривой интегрирования, но и указа- указанием направления на кривой (/), причем при изменении направления кривой интегрирования интеграл лишь меняет знак. Если кривая (/) целиком не удовлетворяет указанным выше усло- условиям, но ее можно разбить на конечное число частей, каждая из которых имеет параметрическое уравнение E), то формула G) при- применима к каждой части, а интеграл по всей кривой можно пред- представить как сумму интегралов по отдельным частям. Нетрудно по- показать, что это равносильно пределу суммы C) для всей кривой. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие кривые (/), ко- торЫе удовлетворяют указанному выше условию. Заметим, наконец, что если т есть длина дуги s= w AM> то формула (8) переходит в формулу D). Если кривая (/) есть плоская кривая, находящаяся на плоскости XOY, то интеграл B) имеет вид рДе Р и Q — функции от (х, у), определенные вдоль (/). 70. Работа силового поля. Примеры. К понятию криволинейного интеграла B) естественно приводит задача вычисления работы. Пусть очка М описывает траекторию (/) под действием силы F, являю- являющейся функцией точки вдоль (/). Для вычисления работы разобьем (/)
216 ГЛ. Ш. КРАТНЫК И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 170 на малые части и рассмотрим одну из этих частей МкМм. Ввиду малости этой части можем считать приближенно, что на этой части вектор силы F имеет постоянное значение, хотя бы то, которое он имеет в точке МкУ и можем заменить дугу v^ MkMk+i хордой MkMk^v Таким образом на этом малом участке работа приближенно выразится произведением IF, | \Щмм \ cos где через |F*| мы обозначали длину вектора F в точке Мк, через \MfcMfc+i\ — длину отрезка MkMM и через АЕк -— работу на уча- стке w MkMk+v Пользуясь известной из аналитической геометрии формулой для угла между двумя направлениями, можем написать I [cos (F^Q cos ? ^ -J-costF*, У) cos (МкМк+и K)+cos(F*, Z) cos (MkMM, Z)], или, раскрывая скобки и обозначая через Р, Q и R проекции век- вектора F на координатные оси, + Rk ДгА, где значок у A Q и R показывает, что берутся значения этих функ- функций в точке Мк. Суммируя затем по всем участкам и переходя к пре- пределу, получим точное выражение для всей работы Е= Примеры. 1. Работа, производимая постоянной силой тяжести при перемещении точки М массы т из положения Mt (au bl} cj в М% (a2i bi} c2) по любой кривой (/), выражается интегралом i + Qdy + Rdz— $ mgdz = mg(c% — c,) (ось OZ мы направили вертикально вниз), откуда видно, что эта работа зависит только от начального и конечного положений точки, но не от пути, по которому точка двигалась. Здесь мы имеем пример криволинейного инте- интеграла, величина которого зависит только от начальной и конечной точек интегрирования, но не от пути. 2. Работа сил ньютонова притяжения к неподвижному центру массы т при перемещении точки единичной xiaccbt из положения Мх в положение Мя> Поместив притягивающий центр в начале координат и обозначая г ради у о вектор точки, мы видим, что сила F направлена противоположно ОМ, я |Ю величине равна*Ц-, где/— постоянная тяготения. Таким образом оказывается fmx /my fmz r—jiy, V — jty, *-— 7вТ, со to to
9 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 217 я если мы через г9 и rt обозначим расстояния точек Mt и М% от притяги- притягивающего центра, то я здесь работа, т. е. соответствующий криволинейный интеграл, зависит только от начальной и конечной точек, но не от пути. Если ввести потенциал точечной массы так что Р ^ - го работа Е будет выражаться разностью значений потенциала U в точках М, и М19 т. е. E В последующих примерах мы рассмотрим криволинейные интегралы по плоским кривым. 3, Рассмотрим плоское установившееся течение несжимаемой жидкости постоянной плотности, которую мы примем равной единице. При таком дви- движении скорость v частицы жид- жидкости, находящейся в точке М(х,у), зависит только от (л:, у). Вычислим количество жидкости q, протекаю- протекающей в единицу времени через дан- данный контур (/) (рис. 56). Обозначим через и и v проекции скорости v на координатные оси. Выделим элемент ^MAf = rfs контура (/). Считая приближенно скорости всех чдстяц этого элемента одинако- выца, мы увидим, что в течение бесконечно малого промежутка времени dt все частицы этого Рис. 56. элемента продвинутся на отрезок О \y\dt в направлении вектора v и займут положение NN\ Площадь параллелограмма MNN'M' может Оы»ь выражена произведением основания ds на величину проекции вектора v dt на направление внешней нормали (л) к кривой (/), т. е. площадь MNN'M = | v | cos (v, л) dt ds, ГД* |v| есть длина вектора v. Обозначая через (s) направление касательной к, контуру (/)f указанные на рис. 56, имеем где символом (а, C) мы обозначаем угол, отсчитываемый от направления л *> направления (J против часовой стрелки. Таким образом мы имеем cos (л, X) = cos (s, Y) и cos (л, У) = — cos (s, X). . Но, как известно, угол между двумя направлениями выражается по cos (v, п) = cos (v, X) cos (л, X) + cos (v, У) cos (л, У),
218 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 170 или, в силу (9), coe(v, n) = cos(v, X)cos(s$ y) — coa(vt K)cos(s, X). Подставляя в выражение площади и принимая во внимание, что |v|cos(?, X) = u, | v | сое(v, r) = tf, ds cos (s, X) = &xt ds cos (s, Y) = Ay, получим окончательно площадь MNN4W = (— v Ax + и Ay) dt. При этом, если угол (v, n) тупой, то cos(v, n) будет отрицательным, и площадь получится со знаком (—). Полное количество жидкости, протекающей за время dt через контур (/;, будет j^ &y) = dt \ —vdx + udy, а за единицу времени: q =r \ —vdx + udy. A0) Заметим, что контур (/) может быть замкнутым и при этом (/) надо об- обходить против часовой стрелки. Количество жидкости q подсчитывается по формуле A0) со знаком (-f), если жидкость течет в ту сторону, куда па- правлена нормаль (л), и со знаком (—), если в обратную сторону. Направление (п) указано нами выше. Оно связано с направлением инте- интегрировании но (/) и ориентировкой осей х, у согласно формулам (9). Если (/) — замкнутый контур и интегрирование совершается против часовой стрелки (рис. 56), то величина q дает разность между вытекающей в еди- единицу времени в область, ограниченную линией (/), жидкостью и втекающей. Уменьшаемое или вычитаемое могут и отсутствовать. Если внутри (/) не имеется ни источников, откуда жидкость вытекает (положительный источник), ни точек поглощения, куда она втекает (отри- (отрицательный источник), то q должно равняться нулю, так как в противном случае количество жидкости, находящейся внутри (/), увеличилось бы или уменьшилось, что противоречит свойству несжимаемости и отсутствию источников. Таким образом установившееся плоское течение несжимаемой жид- жидкости характеризуется равенством \—vdx+udy=0, (И) (/) которое должно выполняться для всякого замкнутого контура (I), И? имеющего внутри источников. 4. В термодинамике состояние всякого тела определяется тремя физи- физическими величинами: давлением ру объемом v и температурой (абсолютной) Г- Эти величины связаны одним соотношением f(v,Pi Г) = 0; например, в случае идеального газа — формулой Клапейрона pv — /?Г=0. Таким образом состояние тела определяется двумя величинами из трех, например: р и vt т. е. точкой М{р, v) плоскости pOv.
$ 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 219 Если состояние меняется, то определяющая его точка М описывает кривую в плоскости pOv, которая называется диаграммой рассматриваемого процесса; если тело возвращается к первоначальному состоянию, процесс называется круговым процессом или циклом, и диаграмма его будет замкну- замкнутая кривая (/). Для определения количества тепла Q, поглощенного телом во время процесса, разобьем его на бесконечно малые элементарные процессы, соот- соответствующие бесконечно малым изменениям величин р, v, Т на Др, Дс\ Д7\ Если бы менялась только одна из этих величин, то количество поглощен- поглощенного тепла было бы приближенно пропорционально приращению соответ- соответствующей переменной; если же меняются сразу все три переменные, то по принципу наложения малых действий [I, 68] полное приращение &Q будет равно сумме этих частных приращений. Другими словами, мы имеем прибли- приближенное равенство вида я окончательно получим Q = 2AQ = ^ A dp + В dv +C dT. A2) Выразив, в силу уравнения состояния, Т через v и р, мы получим Г==<р(у, р); dT = Q ?& подставив эти выражения вместо Т и dT в правую часть A2), найдем окон- окончательно (О где Р и V суть известные функции от с и р. б. Пусть изучаемый процесс есть расширение или сжатие газа или пара в рабочем цилиндре газового или простого двигателя. Изменение объема До будет тогда пропорционально смещению поршня в цилиндре под действием давления р, а потому работа Д?, которая будет произведена да- давлением р, при этом изменении объема, будет выражаться при надлежащем выборе единиц произведением рДу, а полная работа, произведенная в тече- у вне всего кругового процесса т Е » \ р dv, 71. Площадь и криволинейный интеграл* Вычислим площадь о об- области (а), находящейся в плоскости XOY и ограниченной замкнутой кри- кривой @- Допустим для простоты (рис. 67), что кривая (/) пересекается О прямыми, параллельными оси OY, не более чем в двух точках. Обозна- Обозначив через ух ординату точек входа в область (а), у2 — ординату точек выхода прямой, параллельной оси О Y, 113 °бласти (а), а через а и Ь — абсциссы крайних точек кривой (/), Рис. 57.
220 ГЛ. ИГ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ мы имеем [1, 101] Пусть A) и B) — части кривой, соответствующие точкам входа и выхода. Интеграл а есть не что иное, как криволинейный интеграл \ydx. <2) с направлением от точки х=Ъ до х = а, взятый с обратным знаком. Точно так же интеграл ъ \y{dxt а совпадает с криволинейным интегралом \ydx, (и взятым от х = а до х=Ь. Окончательно имеем ь b ь а o = \y%dx — \yxdx= — {\ ydx+ 5 ydx]=—\ydxt A3) а а (\)а BN (/) причем кривая (/) обходится в направлении, обратном часовой стрелке. Совершенно таким же путем находим A4) Складывая и деля на два, находим еще о = -п- \ xdy — ydx. A5) (I) Мы получили формулу A3) в предположении, что прямые, па- параллельные оси О К, пересекают (/) не более чем в двух точках. Нетрудно видеть, что формула справедлива и для более общих кон- контуров. Рассмотрим сначала тот случай, когда область (а) ограничена линиями A), B) и двумя отрезками прямых, параллельных оси ОУ (рис. 58). Повторяя прежние рассуждения, получим
§ 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 221 .j0 х постоянно на CD и В А и </лг = О, так что ^ydx по этим отрезкам равен нулю. Добавляя эти интегралы со знаком минус ч поавой части, получим и для рассматриваемого случая формулу A3). области (а) с контуром (/) более общей формы (рис. 59) мы О а Рис. 58. О 'г Рис. 59. поступаем следующим образом. Проводя отрезки прямых, параллель- jBHx оси OF, разбиваем (а) на конечное число частей, к каждой из Которых применима формула A3). Складывая эти формулы, получим слева площадь <j всей области, а справа интеграл по контуру (/), так кщс интегралы по проведенным вспомогательным контурам, как и выше, равны нулю, т. е. формула A3) справедлива и для взятой области. Тфшо так же формулы A4) и A5) справедливы для контуров общего вида. В случае эллипса A5) дает 2* о 2я cos t-\~b sin t»a sin t)dt = С ab 1 о в указанных формулах для площади существенно, что при инте- интегрировании по (/) этот контур обходится против часовой стрелки, НЛи лучше сказать, контур (/) обходится в таком направлении, в каком над© повернуть ОХ на угол ~, чтобы она совпала по направлению с ОК Если бы мы направили OY не вверх, а вниз, то в формулах Ли» площади надо было б!л интегрировать по (/) по часовой стрелке. ** Дальнейшем мы всегда будем держаться указанного выше условия ** направлении замкнутого контура на плоскости.
222 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {72 72. Формула Грина. Установим теперь связь между интегралом по плоской области (о) и интегралом по ее границе (/). Применяем формулу G) [59] к вычислению интеграла где Р(х, у) непрерывна вместе с —V*' в (°) вплоть Д° (О* Производя сперва интегрирование по ^ и считая, что контур G) области (о) пересекается только в двух точках прямыми, параллель- параллельными оси OY (рис. 57), мы получим С другой стороны, интегралы ь ь , уг)Aх будут не что иное, как криволинейные интегралы у y)dx, взятые соответственно по частям A) и B) контура (/)от точки х = о до точки х =Ь, Изменяя во втором из них направление интегрирования, получим \ \ = — I P{xt y)dx9 а Ь \2)Ь откуда о (з) <2) Ь A) а ИЛИ дР_, Л причем кривую (/) нужно обходить против часовой стрелки (рис. 57). Из этой формулы непосредственно следует, как и в [66], формула интегрирования по частям для функций <р(лг, у) и ф(лг, у), обладающих
j § 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ такими же свойствами, что и Р(ху у): 223 A6,) C) где Q есть другая функция от (х, у). Предположив для простоты, что контур (/) пересекается только в двух точках прямыми, парал- параллельными оси ОХ, мы получим Таким же путем мы вычислим и интеграл причем это выражение может быть тоже приведено к криволиней- криволинейному интегралу по замкнутому контуру ОТ) Вычитая уравнение A6) из A7), мы и получим формулу Грина И (о) (/» Формула A8) выведена в предположении, что функции Р и Q шесте с указанными частными производными непрерывны в (о) вплоть до (/) и что прямые, парал- у яельные осям ОХ и OY, пересе- пересекают (/) не более чем в двух точках. Для областей более общего вида при- применимы рассуждения из [71]. Эти рассуждения применимы и к тому случаю, когда область (о) ограничена несколькими кривыми (рис. 60). При этом в правой части A8) надо инте- интегрировать по всем граничным кри- кривым, причем при принятом направ- Рис. 60. осей надо интегрировать по внешнему контуру против часовой сЧ>елки, а по внутренним контурам — по часовой стрелке, т, е. по всем Контурам так, чтобы область (о) оставалась слева.
224 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Отметим, что формулу Грина A8) мы можем записать в другом виде. Пусть t — касательная к линии /, имеющая то же направление, что и /, и п — нормаль к /, направленная вовне (о). Направление t получается из направления п, поворотом на прямой угол против часо- часовой стрелки, и, следовательно, для углов, образованных ^ иле осям-t координат, мы имеем: (?, X) =«-{- (я> У) и (г, К) = (л, Л). Если ds есть элемент дуги кривой, то dx = ds cos (i% X) и dy = ds cos (t, Y\ т. e. dx = — ds cos (л, K) и rfy = ds cos (л, Х). Подставляя это в формулу A8) и заменяя в этой формуле Р на (—Q) и Q на ft получим И (э? + 5у)da = J () ft) cos cos В этом виде формула Грина представляет собой формулу Остро- Остроградского для плоскости» 73. Формула Стокса. Рассмотрим теперь случай любой незамк- незамкнутой поверхности (S) с контуром / (рис. 61). Предполагаем, что прямые, параллельные оси г, пересекают (S) только в одной точке, к сохраняем все обозначения из {65]. Проекция / на плоскость XOY дает контур (X) области (оху). Зз положительный обход контура (л) принимаем обход против часовой стрелки и соответственно считаем положительный обход по (/). На- Направление нормалип к E)берем так, чтобы оно составляло острый угол с осью OZ, так что cos (л, Z )^>0. При этом в формулах B4) [65] надо брать нижний знак, и эти формулы дают р cos (л, Z) = — cos (л, X), Рис. 61. q cos (я, Z) — — cos (я, Г), (IЭ) а формулу B6) из [65] можно переписать так: doxy=cos(n, Z)dS. B0) Пусть P(xt y7 z) — какая-либо функция, заданная вблизи поверх- поверхности (S) и непрерывная со своими производными первого порядка.
W| § 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 225 Рассмотрим интеграл $ Р(х, у, z)dx. Ф Линия (/) лежит на (S) и, пользуясь уравнением этой поверхности: z—/(лг, у), мы можем заменить под знаком интеграла z на f(x> у). При этом подынтегральная функция Р[х, у, /(х, у)] будет содержать только х ъ у. Координаты (лг, у) переменной точки (X) такие же, что и в соответствующих точках на (/), а потому интегрирование по (/) можно заменить интегрированием по (X): \ Р(х, у, z)dx = \ Р[х> у, f(x, y)\dx. Применим к интегралу, стоящему направо, формулу Грина A8), при- причем в данном случае Р = Р[х> у, f(x, у)]; Q = 0 и (/) есть (к). При вычислении ¦*- надо будет дифференцировать Р как непосредственно по у, так и через посредстйо третьего аргумента г, который заменен на f{xу у): дР^ дР(х, у, г) . ду ду * причем в выражении Р под буквой z надо подразумевать f(xt у). Формула A8) дает J = J PI*, у. ]<*** ду Г"*г Выражая Л^у через элемент d? поверхности E), согласно B0), Приведем двойной интеграл к интегралу по поверхности (S) [66]: у, z)dx = xt у) _ С С \дР(х, у, Тг 5 й, наконец, пользуясь второй из формул A9), получим окончательно Pdx= jj[^cos(/i, K)-gcos(n, Z)]rf& B1) Если Q(jf, у, z) и /?(jc, у, г) — две другие функции, заданные (S), то, совершая круговую перестановку координат х% у и г, В. И. Сннрвов
226 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [73 получим две аналогичные формулы SQdy=$ J [Шcos <* z)-fzcos <* v]ds U) (S) J R dz = J J [^ cos (я, *)_ gf cos (я, У)] dS. fa (S) Складывая три полученные формулы, придем к формуле Стокса -у [( S B2) Формула эта связывает криволинейный интеграл по контуру по- поверхности с интегралом по самой поверхности, и в этом отношении она аналогична формуле Остроградского [66]» которая связывала интеграл по поверхности трехмерной области с интегралом по самой области. Формула Грина есть тот частный случай форму- формулы Стокса, когда E) есть плоская область на плоскости XOY. При этом (/) есть замкнутая кривая на плоскости XOY и dz = 0, a направление (л) совпадает с осью 01, так что cos (nf X)=co$(n, Y) = О и cos (л, Z)=l. Подставляя все это в B2), получим форму- формулу A8). По поводу косинусов, входящих в формулу B2), делаются те же предположения, что и при выводе формулы Остроградского [66]. Формула B1) выведена нами в предположении, что прямые, па- параллельные оси OZ пересекают (S) только в одной точке. Если это не так, то разбиваем (S) на части вспомогательными линиями так, чтобы каждая часть удовлетворяла указанному выше условию, так что к каждой части формула B1) применима. Складывая полученные таким образом для всех частей формулы, будем иметь слева интеграл по контуру (/), так как интегралы по вспомогательным контурам будут браться два раза в противоположных направлениях и сокра- сократятся. Справа получим двойной интеграл по всей поверхности (S), т. е. формула B1) окажется справедливой в общем случае. То же самое замечание справедливо и для общей формулы B2). При этом только нужно соблюдать следующее условие для обхода (/) и направ- направления нормали (л): наблюдатель, обходящий (/) и направленный по нормали (л), должен иметь поверхность (S) слева. Это правило связано с выбором координатной системы, указанной на рис. 61. В этой системе наблюдатель, направленный по OZ, видит ОХ пере- переходящей в OY при вращении на угол —- против часовой стрелки. Если бы это вращение было по часовой стрелке, то в предыдущем правиле слово «слева> надо было бы заменить словом «справа».
эд » 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 227 Если воспользоваться обозначением интеграла но поверхности, указан- указанным в |67], то формулу B2) можно переписать в виде: Определение стороны поверхности (S) и направления (л) производится по вышеуказанному правилу. 74. Независимость криволинейного интеграла от пути на плоскости. Примеры криволинейных интегралов, разобранные в [70J, показывали, что в некоторых случаях величина криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования, но лишь от начальной и конечной точек интегрирования, а в других случаях вид самого пути влияет на величину инте- грала. Теперь, пользуясь формулами Грина и Стокса, мы выясним те условия, при которых величина интеграла не за- Рис. 62. висит от пути интегрирования. Мы начнем со случая плоской кривой и выясним условия независимости криволинейного интеграла (В) \ Pdx+Qdy (Л) от пути. Все дальнейшие рассуждения будут относиться к внутрен- внутренней части некоторой конечной области (D), ограниченной одним конту- контуром. Функции Я и Q вместе с указанными ниже частными производ- производными считаются непрерывными внутри (D). Соединяя точки (Л) и (В) кривыми A) и B) (рис. 62), мы должны иметь <В) [В) A) \ Pdx+Qdy = B) \Pdx+Qdyt B4) или, пользуясь свойством II [69], (Я) О) \ У) (Я) )Pdx+Qdy — B) \Pdx+Qdy = Ot И) И) (А) > () О) )Pdx+Qdy + B) I Pdx-\-Qdy=\Pdx+Qdy = Q, B5)
228 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИЕОЛИНЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |7f где (/)—замкнутый контур, составленный из кривой A) с направле- направлением от (А) к (В) и кривой B) с направлением от (В) к (Л). Таким образом, ввиду произвольности точек А и В, мы видим, что интеграл по любому замкнутому контуру (/) должен равняться нулю. Наоборот, если интеграл по. замкнутому контуру (/) равен нулю, то интеграл по A) равен интегралу по B), так как из равенства B5), наоборот, вытекает равенство B4). Если кривые A) и B), соединяющие точки А и В, пересекаются, то, соединив А с В кривой C), которая не пересекается ни с кривой A), ни с B), из равенств iB) A) \ Pdx+Q (A) iB) B) $ Pdx + Q (A) будем иметь iB) A) \Pdx+Q M) *B> tfy = C) ^ P dx -f- Q tfy <B> rfy = C) \ P </лг 4- Q rfy (A) (B) dy = B) \Pdx-\-Qdy iA\ Итак, условие независимости интеграла от пути совпадает с условием, что интеграл по любому замкнутому контуру (!) равен нулю. Если последнее условие выполнено, то из формулы A8) мы по- получим причем область интегрирования (а) может быть взята совершенно произвольно. Покажем, что отсюда вытекает тождественно, т. е. при всех значениях х и у из (?>). В самом деле, пусть в некоторой точке С (а, Ь) разность отлична от нуля, например положительна. В силу непрерывности дР дО производных -5- и jp, что мы предполагаем, указанная разность будет положительной в некотором малом круге (а0) с центром в С Составим интеграл
щ $ 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ и применим к нему теорему о среднем 164): 229 где (?, tj) — некоторая точка из (<*0), и потому /"(;, t|)>0, откуда вытекает, что а это противоречит тому, что интеграл B6) равен нулю при любом выборе области (а). Итак, условие B7) необходимо для независи- независимости интеграла от пути. Нетрудно видеть, что оно и достаточно, ибо из него, в силу A8), вытекает, что ин- интеграл \ Pdx -f- Qdy по любой замкнутой кривой равен нулю, что и равносильно независимости интеграла от пути. Итак, условие B7) необходимо и до- достаточно для того, чтобы интеграл В(х } B8) о \ {А) Рис. ба не зависел от пути интегрирования и бил только функцией координат точек А и В. Если это условие выполнено, и мы закрепим точку А (х0> у9\ а будем считать переменной только точку В(х> у), то интеграл B8) будет функцией (лг, у), или, как говорят, функцией точки В: \ = U(x, у). B9) Исследуем свойства этой функции. Оставив без изменения у, дадим приращение Лдг только переменной х. Мы получим , y)—U(x, y)= , у) U. Я Pdx + Qdy— \ Pdx+ Qdy. Ввиду независимости интеграла от пути интегрирования, мы можем считать, что путь интегрирования в первом интеграле состоит из кривой АВ (рис. 63), соединяющей А с 5, той же самой, что и Лея второго интеграла, и отрезка прямой В8. Интеграл по АВ
230 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [74 сократится и останется [х + Д*. у) х 4- Д* U(x + bxt y)-U(x,y)= \ Pdx + Qdy = \ P(x,y)dx, (x. у) x ибо на прямой ВВ у не меняется, и dy = 0. Применяя теорему о среднем [I, 96], мы находим U(x + Дат, у) - U(x, у) = ЬхР (х + 8Д*, у) @ < б < 1). Разделив на Дд: и приближая Длг к 0, получим ^= lim Р(х + ЪАх, у) = Р(х, у). C0) их Дх -+ 0 Таким же точно образом мы найдем Соотношения C0) и C1) дают нам [I, 68] Таким образом оказывается, что при выполнении условия B7) подынтегральное выражение Pdx + Qdy C2) является полным дифференциалом функции U(x, у), определяемой по формуле B9). Нетрудно показать, что самое общее выражение функ- функции иг(х, у\ от которой полный дифференциал равен C2), дается формулой U1(xty)=U(xty) + C> C3) где С — произвольная постоянная. В самом деле, мы должны иметь d(J = Pdx+Qdyt откуда Но если дифференциал некоторой функции равен тождественно нулю, то частные производные этой функции по всем независимым переменным равны нулю, и, следовательно, сама функция есть постоян- постоянная, т. е. иг-и=сш что и требовалось доказать.
74) 9 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 231 Отметим очевидное равенство, которое будет иметь место при соблюдении условия B7): (Б) (/*> \ Pdx+Qdy = \ dUx = Ux{B)-UdA). C4) A) U) Обратно, пусть существует такая функция Uv что dUx = Pdx-\-Qdy* C5) Покажем, что необходимо должно быть дх ду я что функция Ux определяется по формуле иЛх.у)=К\ Pdx+Qdy + C. Uo. Уо) В самом деле, соотношение C5) можно переписать в виде я так как величины dx и dy, как дифференциалы независимых пере- переменных, совершенно произвольны [I, 68], то это равенство может иметь место только при условии, что равны коэффициенты при dx в dy в обеих частях равенства, т. е. дх ' ^ ду * откуда уже ясно, что дР_ d*Ut _ dW, _dQ ду дх ду ду дх дх' Итак, при этом выполнено условие B7), а тогда, в силу преды- предыдущих рассуждений, интеграл U(xf у)= ) Pdx+Qdy зависит только от (х, у) и обладает свойством dU откуда следует что и требовалось доказать. Итак, необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение Pdx-\-Qdy было полным дифференциалом некоторой функции Ub заключается в том,
232 ГЛ. 111. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 173 чтобы существовало тождество dP_dQ ду дх' при выполнении которого функция Ux определяется по формуле I*. у) Ui(xt у)— \ Pdx + Qdy + C. {Щ (*о, Уо) 75. Случай многосвязной области. Доказательство того, что условие B7) является необходимым и достаточным для того, чтобы криволинейный интеграл (В) $ Pdx+Qdy iA) не зависел от пути, существенным образом основано на следующих двух обстоятельствах: 1) Функции Я и Q и их частные производные первого порядка непрерывны в рассматриваемой области (D) изменения (х, у). 2) Если в области (D) начерчен какой-либо замкнутый контур (/), то вся часть плоскости, заключенная внутри (/), принадлежит той области, где выполнены условия непрерывности и условие B7), Первое условие важно потому, что упомянутые в нем функции входят под знак интеграла при доказательстве. Второе существенно для применения формулы Грина, т. е. для преобразования криволиней- криволинейного интеграла к двукратному. Оно равносильно тому, что всякий замкнутый контур, начерченный в области, может быть непрерывным сужением приведен к точке, не пы- ходя из области, или проще говоря, это условие равносильно тому, что область не имеет дыр. Положим теперь, что функции Р и Q непрерывны со своими про- производными и условие B7) выпол- выполнено в некоторой области, имею- имеющей две дыры (рис. 64). Если в та- такой области взять замкнутый кон- контур (/0), внутри которого нет дыр, Рис. 64. то к такому контуру и области, им ограниченной, лриложима формула Грина A8), и в силу усло- условия B7) интеграл по такому замкнутому контуру (/0) будет нуль. Возьмем теперь замкнутый контур D), обходящий вокруг дыры A> Здесь формула A8) неприменима, и интеграл B8) по (/t), вообще говоря, окажется отличным от нуля. Покажем, что величина этого интеграла не зависит от вида контура (/J, и важно лишь, что этот
75J § 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 233 контур обходит вокруг одной дыры (I). Возьмем два контура AХ) и (/*), обходящих вокруг (I). Нам надо показать, что величины инте- интеграла B8) по (/i) и (/9) одинаковы. Проведем вспомогательный кон- контур (ab)f соединяющий AХ) с (/*). Кривые AХ\ (/а) и (ab) совместно являются контуром области, уже не имеющей дыр, причем этот кон- контур должен обходиться в направлении, указанном стрелкой. К этому контуру, следовательно, приложима формула A8), и, в силу B7), интеграл по этому контуру будет нуль: \ + \ + $ + \ =о. Q (/j) iba) - q (/a) lab) При этом интегралы по (Ьа) и (ab), взятые в противоположных направлениях, сокращаются, интегрирование по AХ) надо производить по часовой стрелке и по (/2) — против часовой стрелки. Меняя на- направление интегрирования по (А) и знак при интеграле, что не меняет результата, получим S — S =о или окончательно \ Pdx-\-Qdy= \ Pdx+Qdy, т* е. действительно интегралы по (/х) и D), взятые оба, как всегда, против часовой стрелки, одинаковы по величине. Таким образом дыре (I) соответствует определенная постоянная а>|, равная вели- величине интеграла B8), взятого по любому замкнутому контуру, обходящему вокруг (I). Точно так же дыре (II) соответствует другая постоянная шг. Если в области (D) проведем два разреза (ab) и (cd) от дыр к внешнему контуру (рис. 65), то получится новая область, не имею- имеющая уже внутри дыр, и, в силу B7), в этой области можно построить одно- к, Jr0^ ^^» значную функцию it'S и \х, у) U(x, у)= \ Pdx+Qdy. ho, в силу предыдущего, значения этой функции на противоположных краях 0 разреза (ab) отличаются на постоянную Рис. 65. *>и а на (cd)—на постоянную щ. Если уничтожить разрезы и вернуться к исходной области (D), то в ней функция U(x% у) будет многозначной. Обход вокруг дыр будет при- Дааагь этой функции слагаемые шА и ш* г. е. функция U(xt у) будет
234 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ G8 содержать неопределенное слагаемое вида т^щ-^т^щ, где тх и //^ — любые целые числа. Все наши рассуждения очевидно годятся для любого чксла дыр в области, причем дыры могут быть и точеч- точечными, т. е. состоять из одной лишь точки. Число дыр, увеличенное на единицу, называется обычно степенью связности области (D), а сама область с дырами — многосвязной областью. Числа coj и w2 называются циркуляция ми выражения Р dx -f- Q dy или циклическими постоянными функции U(x, у). Пример. Рассмотрим функцию 9 = arctg~f определенную в области (D), ограниченной двумя концентрическими окруж- окружностями с центром в начале координат. Определим Я и 0 но формулам а. V ' Эти функции непрерывны в (D) со своими производными, и, как не- трудно проверить, удовлетворяют соотношению B7). Рассмотрим криволи- криволинейный интеграл п возьмем его по окружности (/j) с центром в начале и некоторым радиу- радиусом о. Подставляя x = acosyt у = a sin <?, получим 2% С —ydx + xdy 1 С rf? = 2«. В данном случае область (D) имеет одну дыру, и циклическая постоян- постоянная о>А = 2п. Функция U% (ху у) является полярным углом и при обходе вокруг дыры приобретает слагаемое 2т„ Заметим, что радиус внутренней окружности можно считать нулем, т. е. можно считать дыру точечной. Дело сведется к исключению точки @, 0). В этой точке функции Р и 0 C7) принимают неопределенную форму -д-. 76. Независимость криволинейного интеграла от пути в про- пространстве. Так же как и на плоскости, условие независимости кри- криволинейного интеграла от пути в пространстве совпадает с условием, что интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. Рассмотрим интеграл iPdx-tQdy + Rdz. C8J ш
761 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 235 Пользуясь формулой Стокса B2), можно доказать так же, как и в предыдущем, что необходимые и достаточные условия незави* симости интеграла C8) от пути выражаются тремя тожде~ ствами: dR «?_п дР dR_n 6Q дР__п ау~гг=0' 57-^=°' ^-^г=а Если эти условия выполнены, то можно построить функцию точки U(x> у, г) U{x> у, z)= \ Pdx + Qdy + Rdz, D0) (хо, уо, zq) причем совершенно так же, как и раньше, можно показать, что dU dU п 6U = Р Q R (В) Ml D2) D3) Кроме того, условия C9) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы выражение Pdx-\-Qdy-\-Rdz было полным диф- дифференциалом некоторой функции (Jlt и, если эти условия выполнены, то d/i определяется по формуле (х, у, z) Ux= ] Pdx + Qdy+Rdz + C, {хо, Уо. 'а) где С—произвольная постоянная. Понятие многосвязной области в пространстве представляет неко- некоторые особенности. В качестве примера рассмотрим область (D\ образованную внутренностью сферы, из которой выделены две трубки (I) и (II), концами упирающиеся в поверхность сферы, как это указано на рис. 66. Если возьмем вамкнутый контур (/Д обходящий вокруг трубки (I), то на него нельзя натянуть поверхность, которая бы заключалась в об- области (?)), и, следовательно, если даже & области (D) условия C9) и выполнены, то все же нельзя к A{) применять фор- формулу Стокса, и величина интеграла C8) по (Д) будет, вообще говоря, отлична от нуля. Но эта величина не будет зависеть от вида (/t). Важно лишь, что (/,) есть замкнутый контур в (D), обходящий вокруг одной трубки (I). Таким образом получится циклическая постоян- Рис. 66.
236 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ G7 ная cdj для трубки (I). Совершенно так же будем иметь вторую цикличе- циклическую постоянную щ для второй трубки (II). Функция U{x7 у, z), опреде- определяемая по формуле D0), в этом случае есть многозначная функция н содержит неопределенное слагаемое т^ ~\- тгщ7 где тх и т^ — лю- любые целые числа. Заметим, что если область (D) есть часть пространства между двумя концентрическими сферами, и в этой области выполнены усло- условия C9), то никаких циклических постоянных не будет, и функ- функция D0) будет однозначной. Действительно, геометрически ясно, что на всякий замкнутый контур, находящийся в (О), >южно в данном случае натянуть поверхность, также находящуюся в (D), а потому ко всякому замкнутому контуру в (D).применима формула Стокса B2), и из условия C9) вытекает равенство нулю интеграла по такому кснтуру. Пример. Рассмотрим угол <р, входящий в систему цилиндрических и сферических координат и определим Р и О по формулам C7), Эти выражения принимают неопре- неопределенную форму -Q- вдоль всей оси OZ. При рассмотрении криволинейного интеграла в пространстве (?) (/) придется исключить трубку, идущую вдоль оси OZ, или просто саму ось, и ьеличина написанного интеграла по любому замкнутому контуру вокруг таки(с трубки даст циклическую постоянную 2п. 77. Установившееся течение жидкости. Пусть в плоском установив- установившемся течении несжимаемой жидкости v(xt у) — вектор скорости, аи(х%у) и v(x, у) — его проекции на координатные оси. В примере 3 [70] мы видели, что условие отсутствия источников сводится к тому, что интеграл \ — v dx + a dy D4) по любому замкнутому контуру есть нуль или, что то же, что этот интеграл не зависит от пути. В силу B7) для этого необходимо и достаточно д (— у) __ ди ^.4-^=0 (л-\ ду ~ дх * дх "* ду ~" ' ( что и является характерным для несжимаемой жидкости. При выполнении условия D5) выражение — vdx + udy оказывается полным дифференциалом некоторой функции ty{M)t которая определяется соотношением - и dy. D6)
77) § ^^ криволинейные интегралы 237 Функция ty(M) называется функцией тока и имеет простое физическое значение: разность ty(li) — Ф(Л) дает количество жидкости, протекающей за единицу времени через произвольный контуру начало и конец которого находятся в точках А и В. Это вытекает непосредственно из формулы A0) G01 для количества протекающей жидкости. Если в отдельных точках области находятся источники, то, исключая эти точки, получим область с дырами, в которых условие D5}* выполнено. Циклическая постоянная для некоторой дыры, равная интегралу D4) по замкнутому контуру вокруг этой дыры, даст, очевидно, количество жидкости q, даваемой соответственным источником в единицу времени. Функция типа у (М) будет при этом многозначной. Если q < 0, то источник будет отрицательной силы (сток). Рассмотрим, кроме интеграла D4), еще интеграл S udx + vdy, D7) величина которого называется обычно циркуляцией скорости вдоль кон- контура (/). Предположим, что циркуляция скорости по любому замкнутому контуру равна нулю, т. е. интеграл D7) не зависит от пути. Это выражают иначе, говоря, что течение незаверенное. Сделанное предположение равно- равносильно существованию функции ?(М): <р= $ udx+vdy, D8) (*о, Уо) такой, что проекции и и v вектора скорости v суть частные производные D9) Функция <р называется потенциалом скорости. Если условие независи- независимости интеграла D8) от пути выполнено в многосвязной области (области с дырами), то потенциал скорости <р будет, вообще говоря, многозначной функцией, и циклическая постоянная интеграла D8) относительно какой* нибудь дыры будет давать напряженность вихря, соответствующего этой дыре. Из равенства D6) вытекает [74] Сравнивая эти равенства с D9), получаем два уравнения, связывающих Потенциал скорости <р и функцию тока <|/: %=%¦ %—% Эти уравнения, которые обычно называются уравнениями Коша — Ра- мана, имеют основное значение в теории функций комплексной переменной, * их гидродинамическое значение, установленное выше, служит основанием тех обширных приложений, которые теория функций комплексной перемен- яой имеет в плоской задаче гидродинамики. В случае установившегося движения в пространстве вектор скорости v(*, yt г) имеет три составляющие: а(х, у, г), v{x, у, г)г w(xt у, г)% • вместо интеграла D8) надо рассматривать интеграл \ и dx + v dy + w dtt w
238 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {7i h если выполнены условия независимости ею от пути dw dv п ди dw л dv да л 10 существует потенциал скорости у = ^ и dx + v dy + w dzt причем djc' ду* дг Обобщение условия несжимаемости D5) на случай пространства мы при- приведем в следующей главе. 78. Интегрирующий множитель. Если выражение Pdx + Qdy E1) не есть полный дифференциал, т. е. дР то, как мы покажем, всегда можно найти такую функцию ц, по умножении на которую выражение E1) обратится в полный диффе- дифференциал p(Pdx+Qdy) = d[/. E2) Всякая такая функция называется интегрирующим множителем выражения E1). Для того чтобы функция {а была интегрирующим множителем выражения E1), в силу B7), необходимо и достаточно выполнение равенства которое, будучи переписано в виде Z0' (о4) может быть рассматриваемо как уравнение для определения множи- множителя р.. Фактически, вообще говоря, этим уравнением трудно пользо- пользоваться, так как оно является уравнением в частных производных, задача интегрирования которых еще более сложна, чем задача интег- интегрирования обыкновенных уравнений. Если выражение E1) есть полный дифференциал, то дифферен- дифференциальное уравнение 0 E5) называемся уравнением типа полного дифференциала.
781 § 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 239 Оно может быть сразу проинтегрировано. В самом деле» пусть U и есть та функция, для которой dU=Pdx+Qdy. Функция эта при сделанном предположении, которое равносильно условию B7), может быть найдена всегда по формуле B9). Уравне- Уравнение E5) равносильно равенстоу d(J=Qt т. е. и=С9 E6) каковое равенство и дает общий интеграл данного дифференциаль- дифференциального уравнения E5). Пусть теперь выражение E1) не есть полный дифференциал. Диф- Дифференциальное уравнение E5) всегда имеет, в силу теоремы сущест- существования, общий интеграл, который мы запишем в виде F{xy у) = С Функция F(x, у) должна удовлетворять соотношению dF(x,y) , dF(xty)dy _n te I ду dx~Vt где j-, в силу E5), мы должны заменить на ^-— о")» т* е- Должно иметь место тождество dF OF Обозначая через \l общую величину этих двух равных отношений, мы имеем ?-* %-*. 7. е. р. есть интегрирующий множитель выражения E1). Это рассуждение доказывает, что всякое выражение Pdx-{-Qdy имеет интегрирующий множитель. Найдя интегрирующий множитель выражения E1) и по нему функ- функцию F, можно написать общий интеграл дифференциального урав- уравнения E5): F=C. Примеры. 1. Линии тока установившегося плоского течения жидкости имеют дифференциальное уравнение — = — или — v dx + и dy = 0, E7) где и и v—проекция вектора скорости v на координатные оси. Если жидкость несжимаема, то выполняется условие: ди ,dv
240 гл- ш- КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [73 которое показывает, что выражение — vdx-\~udy EЯ) есть полный дифференциал некоторой функции; действительно, в [77J мы видели, что — v dx + и dy = dty, где ф есть функция тока, и уравнение линий тока будет:, 6 = С, что и дает общий интеграл уравнения — v dx + и dy = 0. 2. В примере 4 [70] мы упоминали об элементарном тепловом процессе и дали выражение бесконечно малого количества тепла, получающегося при таком процессе, в зависимости от бесконечно малых изменений давления /?, объема v и температуры Г. Напишем три выражения для dQ в зависимости от того, какие из трех величин р, и, Т считаются независимыми переменными: cv dT+ Cj dv (Г, v — независимые переменные), CpdT-\-ctdp (Г, р — независимые переменные), E9) Pdp-\-Vdv (p, v — независимые переменные). Величины cv и ср особенно важны и называются теплоемкостями вещества при постоянном объеме и постоянном давлении. Если мы в E9) будем выражать одни независимые переменные через другие, то получим ряд соотношений между коэффициентами. Так, в ра- равенстве ср dT+ сг dp = cv dT+cl dv F0) будем считать независимыми переменными Гит/. Положим Подставив это выражение для dp в F0) и приравняв коэффициенты при dT и dv, имеем **=' + * у <61> Таким же путем из равенства мы получим В случае идеального газа мы имеем уравнение состояния pv^RT, откуда следует ??_^ ^? — _ 1L ^Z — Z. ^Г — L дТ~~ v9 др~~ р% др~ R* dv ~" R '
ТВ) * 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 241 и тогда соотношения F1)— F4) дают Эти равенства позволяют выразить величины clt c2, P, V через основ- основные cv и ср\ Выражение dQ, вообще говоря, не есть полный дифференциал. Но в силу двух основных начал термодинамики можно утверждать, что: I. Разность между dQ и элементарной работой давления р dv есть пол- полный дифференциал dQ —р dy == dUt причем функция U называется внутренней энергией. И. Частное от деления dQ на абсолютную температуру Т есть полный дифференциал, или, другими словами, --= есть интегрирующий множитель выражения dQ: причем функция S называется энтропией. Начало I, в силу первой из формул E9), дает нам (б7) —p) dv, откуда dv дТ Значки Т и v означают те переменные, которые считаются постоянными при указанном дифференцировании. Точно так же начало II дает откуда г. Т dv " ТдТ нли Сравнивая уравнения F7) и F8), находим Переходя опять к случаю идеального газа, мы заключаем отсюда С другой стороны, уравнение F6) дает с "~*~ о ~"~ (с —• с \ те с —— с ***** V? G1 \
242 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |87 На основе экспериментальных данных считают, что: 111. Величина ср—теплоемкость идеального газа при постоянном давле- ,ши—есть величина постоянная, а потому и cv = cp — /? есть также вели- величина постоянная. Из G1) следует, что cp>cv и, обозначив для краткости где Л>1, мы без труда найдем окончательно, в силу формуя F6) и G1): после чего формула E9) дает следующее выражение для dQt d(J и dS: dQ-. CpdT—v dp, v dp -\-kp dv G2) dU=cvdT, G3) dS = cvd-T+<Ldv = cvd-I+R<%. G4) При изотермическом процессе температура остается постоянной, т. е. dT=0 и т. с. все поглощаемое тепло идет на работу давления, и полное изменение ко* личества поглощенного тепла при переходе от объема vv к объему vt будет График процесса при постоянной температуре называется изотермой. Адиабатическим процессом называется процесс, совершающийся без притока или утери тепла. Он характеризуется условием rfQ = 0 или rfS = 0, S = const, или постоянством энтропии в частице газа или во всем его объеме. Энтро- Энтропию можно определить из формулы G4): S = ^lgr+/?lgt/ + C, так что адиабатический процесс характеризуется условием или, переходя от логарифмов к основаниям TCvvR = T?*>vcP~c'° = const, или, возвышая в степень —, и так как Г=?т^> то окончательно Tvk l = const, = const. G5)
79] § 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 243 Наконец, при постоянном объеме мы имеем dt/ = O, и dQ = cvdT, dQ = cv(T>—Tx)} G6) если газ переходит от температуры Тх к температуре Т9. 79. Уравнение в полных дифференциалах для случая трех переменных. Обобщая уравнение E5) на три переменные, получим O, G7) где Р, Q и R — заданные функции (х, у, г). Если выполнены усло- условия C9), то левая часть уравнения G7) есть полный дифференциал некоторой функции LJ(x> у, z), и общий интеграл уравнения G7) будет U( у, z) = C, G8) где С—произвольная постоянная. Геометрически уравнение G8) дает семейство поверхностей в пространстве. Если левая часть G7) не есть полный дифференциал, то будем искать интегрирующий множитель, т. е. такую функцию |л.(*, у, г), чтобы левая часть уравнения = Q G9) была полным дифференциалом. Условия C9) дают при этом: (p) pQ)_n ft) ~ду дг ~К)> дг что можно переписать так: (80) Умножая эти равенства почленно на Я, Q, /?, складывая и сокра- сокращая на (а, получим соотношение между Я, Q и /?: Таким образом, предполагая существование интегрирующего мно- множителя р., мы пришли к необходимому условию (81), которому должны удовлетворять коэффициенты Р, Q, R. Можно показать (на чем мы не останавливаемся), что это условие и достаточно, т. е. уравнение G7) не всегда имеет интегрирующий множитель, и равенство (81) дает необходимое и достаточное условие существования такого множителя. Если р существует, то левая часть уравнения G9) есть полный дифференциал некоторой функции U, и равенство G8) дает общий интеграл уравнений G9) и G7). Если же условие (81) не
244 ГЛ. !И. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [80 выполнено, то уравнение G7) не имеет общего интеграла вида G8). Условие (81) называется иногда условием полной интегрируемости уравнения G7). Выясним геометрический смысл уравнения G7) и его общего интег- интеграла G8), если последний существует. Функции Р(х, у, z\ Q(x, у. z), R(x, у, z) определяют в каждой точке некоторый вектор \(х, у, z\ проек- проекциями которого на оси они и являются. Система дифференциальных уравнений v dx rfy _ dz P~ Q — R определяет семейство некоторых линий (L) в пространстве, в каждой точке которых соответствующий вектор v направлен по касательной. Уравнение G7) равносильно условию перпендикулярности бесконечно малого перемещения с составляющими dxt dy, dz к вектору v, т. е. уравнение G7) определяет в каждой точке некоторый плоский элемент, перпендикулярный к v или, что то же, лежащий в нормальной пло- плоскости к той из линий (L), которая проходит через взятую точку. Общий интеграл G8) и дает семейство поверхностей, касательные плоскости которых в каждой точке удовлетворяют этому условию, т. е. нормальны к v. Иначе говоря, поверхности G8) будут ортогональны к линиям (L). Если задано семейство линий (L), заполняющих прост- пространство, то можно определить в каждой точке касательный к ним вектор v, взяв его длину хотя бы равной единице, его составляющие Pt Q, R и построить уравнение G7). Равенство (81) дает при этом условие, чтобы заданное семейство линий (L) было ортогонально к некоторому семейству поверхностей. 80. Замена переменных в двойном интеграле* В заключение настоящего параграфа дадим вывод формулы замены переменных в двойном интеграле, указанной нами в [60]. Пусть имеется преобра- преобразование переменных x = o(tt, v), у = ф(м, v). (82) причем мы рассматриваем (х, у) и (г/, v) как прямолинейные прямо- прямоугольные координаты точек на плоскости. Формулы (82) дают нам точечное преобразование плоскости, при котором точка (и, v) пере- переходит в точку (jc, у). Положим, что мы имеем на плоскости область (ог) с контуром (/j) и область (а) с контуром (/)¦ Предположим, что: .1) функции (82) непрерывны вместе со своими производными пер- первого порядка в области (oj) вплоть до (/4); 2) формулы (82) дают биоднозначное соответствие области (а,) с контуром (/t) и области (о) с контуром (/), т. е, всякой точке (м, v) из (ах) соответствует опре- определенная точка (х, у) из (а) и, наоборот, точкам (/J — точки (/);
60! f 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 245 3) функциональный определитель от функций (82) по переменным (и, v): Р(ъ Ф)_<*Р(Ц» у) fo("> у) fo(tf, v) &^(и, и) D(uy v) ди dv dv ди сохраняет определенный знак в области (at). Будем говорить, что соответствие между (а) г/ (з,) прямое, если при обходе по A{) против часовой стрелки соответствующая точка (х, у) обходит (/) тоже против часовой стрелки. В противном случае, когда обходу по (Д) соответствует обход в противоположном направлении по (/), назовем соответствие обратным. Площадь о области (а) выражается интегралом [71]: где интегрирование совершается против часовой стрелки. Вводя новые переменные по форл!улам (82), получим. J Jjj g*>. (84) th) Hi) Мы уславливаемся интегрировать по (Д) против часовой стрелки. Если соответствие прямое, то в результате преобразования и полу- получится именно это направление у (/|), а потому в формуле (84) надо брать знак (-f )• Если же соответствие обратное, то на (/) в резуль- результате преобразования получится противоположное направление, но> приписав знак (—), мы можем опять интегрировать против часовой стрелки. Применим к интегралу (84) формулу Грина A8), полагая х = и, ^^ При этом получится и, следовательно, Применяя к двойному интегралу теорему о среднем [64], получим o = db < где значение функционального определителя (83) берется в некото- некоторой точке (н0, т>0), принадлежащей (з,). Из последней формулы сле- Дует, между прочим, в силу положительности а и аи "что если соот- соответствие прямое, то определитель (83) имеет знак (-{-), а при обратном соответствии — знак (—). Перейдем теперь к выводу формулы замены переменных. Пусть t(xf у)—функция, непрерывная в области (oj и тем самым в (о).
246 ГЛ. ПТ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [80 Разделим (а,) на части: т|, z!t> ..., т„. Этим частям будет соответ- соответствовать, в силу (82), разбиение (а) на некоторые части т,, т2, ..,, пп. Будем обозначать теми же буквами т* и тл площади этих частей. По формуле (86) имеем где {uk> vk) — некоторая точка из т*. Ей соответствует некоторая точка xk = <?(ukt vk), yk = ty(uk, vk), и мы можем написать Переходя к пределу, получим формулу замены переменных в двойном интеграле /(*, У) dx dy = J J Л? (в. Ч- ¦ («. () , (87) которая совпадает с формулой A3) из [60]. Отметим одно следствие формулы (86). Положим, что область (з,) беспредельно сжимается к точке (и, т>). При этом (а) будет беспре- беспредельно сжиматься к соответствующей точке (х> у), и точка (м0, г«„), принадлежащая (а,), будет стремиться к (w, v). Переходя к пределу, получим из (86) ID (Т. 4 ID (и, % т. е. отношение площадей будет иметь своим пределом абсолютное вначение функционального определителя в соответствующей точке, как мы об этом уже упоминали в [60]. Совершенно так же, если рассматривать функцию одной переменной лт=/(н), как точечное преобразование на прямой, при котором точка с абсциссой и перехо- переходит в точку с абсциссой х> то абсолютное значение производном |/'(нI дает предел отношения соответствующих длин на упомянутой прямой, т. е., иными словами, дает коэффициент линейного искажения в данной точке с абсциссой и при упомянутом точечном преобра- вовании. Заметим, что при выводе формулы (85) нам приходится пользо- пользоваться второй производной ^ L. и ее независимостью от порядка дифференцирования. Таким образом, строго говоря, к сделанным в начале настоящего номера предположениям надо добавить еще су- существование и непрерывность з—з-, откуда, как известно [I, 165], следует и ее независимость от порядка дифференцирования.
SI] § 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 247 Если (v) — область в пространстве, ограниченная поверхностью E), то, применяя формулу Остроградского [66], можем, полагая p=Q = 0 и /? = г, выразить объем v этой области в виде интег- интеграла по поверхности: v = §zcos(n, Z)dS. Пользуясь этим выражением объема, можно доказать формулу вамены неременных в тройном интеграле F3] приблизительно тем же путем, каким мы это сделали выше для двойного интеграла. § 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 81. Интегрирование под знаком интеграла. При вычислении кратных интегралов мы встретились с определенными интегралами, у которых подынтегральная функция и даже пределы интегрирования зависят от некоторого переменного параметра. Здесь мы остановимся несколько подробнее на таких интегралах. Мы исследуем интеграл в котором переменная интегрирования обозначена через х, подынте- подынтегральная же функция зависит не только от ху но и от параметра у, от которого зависят и пределы интегрирования j^ и хг. В этом слу- случае очевидно и результат интегрирования /(у) будет, вообще говоря, функцией от у. Формула G) из [59]: \l{y)dy = \dy \ /(*, y)dx = \dx\f[x, y)dy A) а а ДГ| a j'l называется формулой интегрирования определенного интеграла по параметру под знаком иЯтеграла. Она получает особенно простой вид, когда пределы х{ и А"а не зависят от у и приводятся к постоян- постоянным числам а, Ь [69]: \l(y)dy = ]dy\f(xt y)dx = \dx\f{xt y)dy. B) а а а а 9 Во всех этих формулах подынтегральная функция /(дг, у) считается ^прерывной функцией двух переменных в области интегрирования, а эта область считается конечной.
248 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 181 Пример. Указанный выше прием применяется иногда для вычисле- вычисления определенных интегралов от функций, для которых неопределенный ин- Y теграл неизвестен. Применим его для вычисления интеграла Лапласа: C) Пусть (?>') — четверть круга с центром в на- начале и радиусом г, лежащая в первом координат- координатном углу, (D") — квадрат, ограниченный пря- прямыми д: = 0; x = r; y = Q\ y = r и, наконец, {D'")—четверть jcpyra с центром в начале D fi7 и радиусом г ^2 (рис. 67). Очевидно (?)') есть нис* 0/* часть (D") и (Z/') —часть (?)'"). Возьмем двой- двойной интеграл по этим областям от положи- положительной функции е~~х*~У*. Имеем очевидные неравенства m>*dxdy< __ jr'2 — у2 dy. Вводя полярные координаты: ;c = pcos:?; y = получим [59] Заменяя г на r}f2t будем иметь -— JC3 — V2 J (О"') Интегрирование по квадрату (D") даст у = \ ^— ** rfx о 1\'""л ¦h e~ *% dxj и написанное выше неравенство принимает вид При стремлении г к бесконечности крайние члены неравенства стремятся к -г, а следоватеяьно, к тому же пределу должен стремиться и средний член, откуда вытекает следующее значение ддя интеграла C): оо J 2 '
$2) § 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Нетрудно видеть, что [I, 96] !~*dx = 2i е~* Их=У*. Г е О 249 E) Если пользоваться несобственным интегралом по всему первому коор- координатному углу, который мы обозначим через (Р), то результат получится непосредственно. Действительно \у-"-" """=5 e- ** dx и вводя полярные координаты: 1С т \Р) о о откуда / = ^-^", что и совпадает с полученным выше результатом. 82. Формула Дирихле. Задав в формуле (I) х{ и ха как функции v и промежуток (а, р) изменения у мы тем самым определяем некоторую область (в) в плоскости XOY. В приложениях часто встречается случай, когда эта область приво- приводится к равнобедренному треугольнику, обра- ? аованному тремя прямыми (рис. 68) Приводя двойной интеграл по площади ;этого треугольника к повторному и интегри- интегрируя 8 одном случае сначала по х, а потом но у9 а в другом случае сначала по у и потом по х, подучим формулу \dy\f(x9y)dx* , у) dy, F) У-Ь х-у а х b Рис. 68. которая называется формулой Дирихле. Пример. (Задача Абеля). Определить кривую, расположенную в вертикальной плоскости и обладающую тем свойством, что тяжелая материальная точка, падающая по этой кривой, будучи выпущена без на- начальной скорости из любой точки кривой М на высоте h (рис. 69) над самой низкой точкой кривой О, приходит в точку О в течение времени Т, которое есть данная функция от высоты h: Направим ось ОК вертикально вверх, ось ОХ горизонтально, начало координат поместим в самую низкую точку искомой кривой, уравнение ко- которой ищем в виде Положим \f(y)\* [/•(У))'" G)
250 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [82 По закону живых сил приращение кинетической энергии при переходе точки из начального положения Л1 в N будет равно работе силы тяжести, так как реакция кривой перпендикулярна пере* мсщсиию точки и потому не дает работы, т. е. у mv* = mg(Л —.у), v = ~, или Рис.69. Y2g(h— у) причем мы берем знак (—), так как при увеличении t высота у точки убывает. 'Время падения из точки М в О соответствует изменению у от h до 0, а потому Таким образом нам предстоит определить неизвестную функцию а(у)пз уравнения (8), которое называется интегральным уравнением, так как не- неизвестная функция и (у) входит под знак интеграла. Умножим обе части уравнения (8) на и проинтегрируем но h в пределах от 0 до г: г « Л dh С u(y)dy bV7= Повторный интеграл, стоящий в правой части, можем преобразовать по формуле Дирихле следующим образом: oJ У z- У z-h I Vh-y J J /(,_*)(*_,) г f dh , (9) J У (Z-h){h-y) Внутренний интеграл вычисляется без особого труда, если ввести новую переменную t по формуле — у). Когда h меняется от у до г, переменная t меняется от 0 до 1, и мы имеем г — Л = (г — у) 0—0» Л —У = (* -У) <» uh = I*
ед § 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 251 откуда dh С dt f dt С TTIf 2) arcsinB/ — S (=0 = arc sin in I — arc sin (— 1) ^ —— f — n]^' z wAu(y)dy' п окончательно получаем г или fO-)dy = F(?), A0) где F (г) есть известная функция от г, определяемая по формуле <f(h)dh Дифференцируя соотношение A0) по г, находим dF B) у 2J/? d С ф (A) t/A MW = — = ¦~\-7==-t A1) dz si dz J Кг —А что и дает решение задачи, так как, зная функцию и (у), без труда найдем и *=/(>') по формуле G). Мы проделаем это до конца для частного случая таутохронной кри- кривой, для которой время падения в самую низкую точку вообще не зависит от высоты А, т. е. q-.(A)=const=c. Мы имеем тогда Для определения x=f(y) имеем теперь, в силу G), Положим tt A=2a. Мы найдем
252 ГЛ. ПТ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ f83 где х0 — постоянная интегрирования. Читатель легко покажет, что получен- полученная кривая есть циклоида, но только расположенная не так, как циклоида [I, 79L В дальнейшем мы покажем, как выполнить дифференцирование по г в общей формуле A1). Сделаем некоторые замечания по поводу полученного решения. Отмс- Отмстим, что мы получили решение (И) интегрального уравнения (8), предпола- предполагая, что такое решение существует. Строго говоря, мы должны еще про- проверить решение A1), т. е. подставить выражение A1) для и (г) в уравнение (8), и показать совпадение левой и правой частей. Заметим еще, что двой- двойной интеграл (9) является несобственным в том смысле, что его подынтег- подынтегральная функция обращается в бесконечность. Из дальнейшего мы увидим, что он существует, и нетрудно показать, что формула (I), приводящая ею к повторным интегралам, применима в данном случае. 83. Дифференцирование под знаком интеграла. Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра у: ъ /(у) = $/(*, y)dx. A2) а Пределы а и Ъ будем считать пока независящими от у. Положим, что f(x, у) непрерывна и имеет непрерывную частную производную л в пРямоУгольнике: &^x<kb\ а^у^р. Покажем, что при У этих предположениях существует производная . ¦, которую можно получить, дифференцируя по у под знаком интеграла, т. е. Приращение А/(у) функции /(у) определяется формулой U(y) = I(y + by)-I(y) = {\f(x, у+Ду)_/(*, y)\dx. A4) а Применяя формулу конечных приращений, получим fix, у + Ау)~/(х,у) = Дуа/(х'У Aj>) @<8<1). A5) Принимая во внимание равномерную непрерывность функции л в УПОМЯНУТОМ выше прямоугольнике, можем написать и утверждать, что т)(х, у, Ау) равномерно по отношению к х и у стремится к нулю, когда Ду-*0, т. е. при любом положительном з
83] § 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 253 существует такое 8, что | т] (лг, у, Ау) | ^ е, если только j Ду | Отсюда следует, между прочим, что ь ъ \ у, а а и ввиду произвольной малости е мы имеем ь \г{{ху у, Ly)dx-*0 при Ду-*0. A7) а Вернемся к формуле A4). Пользуясь A5) и A6), можем написать, принимая во внимание, что Ду не зависит от х: ъ ь Д/(у) = Ду j ^iJldx + Ay Деля на Ду и переходя к пределу, получим, в силу A7), т. е. формула A3) доказана. Заметим, что если предположить не- непрерывность только самой функции f(x, у), то из формулы A4) и вз того, что разность [f(x> j/-j-Ay) — /(лг, j/)] равномерно по отно- отношению х и у стремится к нулю при Ду->0, вытекает уже, что 1{у) есть непрерывная функция от у. Рассмотрим теперь при прежних предположениях относительно f(X; у) интеграл /i (У) = ?/(*> y)dxt A8) ь котором и пределы интегрирования хх и д:2, принадлежащие про- Ыежутку (а, ^), зависят от у, причем мы предположим, что эти функции имеют производную по у, а тем самым и непрерывны. Обозначим через Дл^ и Дх.2 приращения, которые получают хх и хь когда у получает приращение Ду. Мы имеем 2 + 2 2 = \ f(*> У + д>0 dx — ^ /(^ У) dx. A9) Заметив, что [I, 94]
254 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (83 мы можем переписать равенство A9) так: V — f(X, y)]dx + *X + ДАГ1 4- 5 ^ (•*» ^ + ду) ^ — S /(*• у + Ду) <**• (Щ Х2 Xi При этих вычислениях мы предполагаем, конечно, что функция f(x> у) удовлетворяет указанным выше условиям при а^у^р и при всех значениях лг, которые принадлежат промежуткам интегри- интегрирования в написанных интегралах. По теореме о среднем [I, 95J можем написать 5 дг2, у-\- Ау) = Д <0<в, и 62<1). Если by -> 0, то и Алги Алг2 -> 0, и, в силу непрерывности f(x, у), можем утверждать, что при этом т^, y]2->0. Подставив эти выражения в формулу B0) и пользуясь форму- формулами A5) и A6), получим, деля на Ly: *1 Переходя к пределу, получим, в силу A7), следующую формулу для дифференцирования интеграла A8): Х2 Если хх и jc.2 не зависят от у, то получается формула A3). Эта последняя формула справедлива и при дифференцировании кратного интеграла по параметру, если только область интегрирования (В) не зависит от параметра. Если, например, в двукратном интеграле по области (В) подынтегральная функция /(/И, t) зависит не только от
ад § 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 255 переменной точки М интегрирования, но и от параметра t, то (В) {В) При этом считается, что f(M, i) и - ¦¦ ' ¦ суть непрерывные функции при изменении М в области (В), включая контур, и при изменении t в некотором промежутке. Заметим, что при доказательстве формул A3) и B2) существенно, что промежуток интегрирования конечен. В примерах мы будем при- применять формулу A3) и для бесконечного промежутка. В дальнейшем мы укажем условия законности такого применения. Из предыдущих формул вытекает также, что если f(x> у), х^(у) и хх(у) суть непрерывные функции, то и интеграл A8) есть непре- непрерывная функция от у. 84. Примеры. 1. В [29] мы нашли частное решение уравнения удовлетворяющее условиям 1 /7ч» I = 0. B3) Оно имеет вид t у = -г 1 f(u) sin k (t — и) da, ¦V Нетрудно проверить это непосредственным дифференцированием со- согласно правилу B1). Мы имеем t 1 f(u)sink(t — и) =« м*= t о t (t—u)da, '• е. действительно, Равенства же B3) получаются непосредственно из предыдущих формул. «ели положить там * = а
256 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 184 2, Пусть требуется вычислить интеграл [1, ПО] v Л = \+х* Введем параметр а и рассмотрим Непосредственно ясно, что /@) = 0 и /(!)== Л. Формула B1), применительно к параметру а, дает Разлагая рациональную дробь на простейшие, получим: а \ х ? и, интегрируя по х: ri igQ+a1) , aarctgg а - 2 " 1 A + а ) ! + а Окончательно rf/(a) lg A + а2) , g arc tg а . }g A + a8) _ lg A + «*) . a arc t^ < е/з ~" 2A + a2) "^ l+ac2 "*" 1-fa2 "~2(l+a2)'i" 1 + a3 a a ч 1 f 1SA +aS) ^ i ( a arctgct . о причем постоянного слагаемого мы не пишем, так как /@) = 0. Применяем ко второму слагаемому интегрирование по частям: I л_ 1.. /I I e\ . * I **?. I * ~T~ V- J г 0 и, следовательно, в силу B4)
84J S 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 257 откуда при а = 1: 3* Вычислим интеграл ? sin Вместо этого интеграла мы рассмотрим более сложный по внешнему виду оо / (а, р) = С е-«* ^L&L dx (а > 0). B5) Дифференцируем по Р: д! (а, Р) Т д ( ..„ sin Р^ \ . ? _^ о о Последний интеграл вычисляется без труда [I, 201]: оо откуда Г» л» ЛЯ. ft B6) Остается только определить постоянную интегрирования С, не зависящую от р. Для этого мы будем приближать Р к 0 в равенствах B5) и B6): lim /(а, р) = /(а, 0) = 0, /(а, 0) = arc tg ясно, что С=0. Итак, мы имеем /(a, P)«arctg? ел Интеграл, который, нам надо вычислить, получается из /(а, р) при а=0, причем а надо приближать к нулю со стороны положительных чисел, т. е. а->-+0. Если мы будем приближать а к 0 в предыдущем равенстве, то получим разные пределы, в зависимости от того, будут лн р > 0 или Р<0: iim.«ctgIL- ^ p<Oj 9 В. И Г.мип у при р > 0, |- при Р<0, 0 при р = О
258 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 184 и потому окончательно *): Отмстим, что интеграл, стоящий слева, даст нам разрывную функцию Рис. 70. /(Р) от р. График этой разрывной функции, состоящий из двух полупрямых и точки, изображен на рис. 70. 4. Дифференцируя k раз по а очевидное равенство получим Рассмотрим теперь интеграл Если п есть число нечетное: п = 2& + 1, то 1п вычисляется подстанов- подстановкой X2z=zt Для рассмотрения случая чедного п введем в формуле D) новую пере- переменную интегрирования x—ifat. Заменяя в полученном результате t опять *) Предыдущие рассуждения не строги, так как предполагают равенства: Jim /(а, р) = /(а, 0), lim /(а, Р) = /@, Р), которые могут считаться оче- видными, если известно, что /(а, р) есть непрерывная функция как от р, так и от а. Заметим, кроме того, что если бы мы не ввели под знаком инте- интеграла множитель е~ах, то получили бы после дифференцирования по р ин- 00 теграл \ cosfixdx, не имеющий смысла. Строгое доказательство непрерыв- непрерывности /(о, р) будет дано в [88].
84) § 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 259 на х, будем иметь формулу Дифференцируя ее k раз по а, находим откуда 5. В интеграле зависящем от двух параметров аир, будем рассматривать а постоянным. Дифференцируем по р: Интегрируем по частям: т. е. В этом дифференциальном уравнении переменные разделяются: откуда, интегрируя, получим B7) где постоянная С уже не зависит от р. Подставляя р=0, будем иметь С другой стороны, в силу B7), следовательно, С = у 1/ ~ и окончательно, подставляя это выражение С в B7),
260 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |85 Заменяя а на а2, получим результат, которым мы затем воспользуемся при исследовании уравнения распространения тепла: 85. Несобственные интегралы. Мы неоднократно встречали ин- интегралы, у которых либо подынтегральная функция, либо пределы интегрирования обращаются в бесконечность. В [I, 97, 98] мы усло- условились приписывать таким интегралам определенный смысл, если выполнены некоторые условия. Теперь мы остановимся на этих инте- интегралах подробнее. 1. Подынтегральная функция обращается в бес- бесконечность. Пусть в интеграле ь \f{x)dx ф>а) а функция f{x) непрерывна при а^х<Ь> но обращается в беско- бесконечность при лг = &, или, точнее говоря, пусть f(x) становится не- неограниченной при стремлении х к Ъ от меньших значений. Мы при- принимаем тогда по определению [I, 97] Ь &— е \f(x)dx= Hm \ f(x)dxf I e-* + 0 2 если только предел, написанный в правой части равенства, суще- существует. Выясним условия его существования. Согласно основному признаку Коши [If 31], необходимым и достаточным условием суще- существования предела переменной является то, чтобы разность каких- либо двух значений этой переменной, начиная с некоторого ее значения, для всех последующих была по абсолютному значению меньше любого наперед заданного положительного числа. В рассматриваемом случае эта разность будет Ь— е" Ь — ъ* 6 —е" J f(x)dx— J f(x)dx— J f(x)dx (e''<e'), a a b — e' и мы получим таким образом следующее общее условие: для суще- существования (сходимости) несобственного интеграла \f{x)dx, а у которого подынтегральная функция f(x) обращается в беско- бесконечность при х~Ь — 0, необходимо и достаточно, чтобы при
851 §8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 261 заданном сколь угодно малом положительном числе Ь существо* вало такое т?>0, чтобы было f(x)dx\<:b при 0<е' и г" Принимая во внимание известное неравенство [I, 95] I \ f{x)d непосредственно заключаем, что из сходимости интеграла J|/(*)i<*» B8) а вытекает сходимость интеграла ь \f(x)dx. B9) а Обратное заключение — неправильно, т. е. из сходимости инте- интеграла B9) не вытекает сходимость интеграла B8). Если интеграл B8) сходится, то интеграл B9) называется абсолютно сходящимся [ср. I, 124]. Из общего признака вытекает весьма важный для приложений Признак Кош и: если подынтегральная функция f(x), непре- непрерывная при а^х<^Ь, удовлетворяет при х, близких к Ь, ус* ловию ГГ^-. <30) где А и р — положительные постоянные, причем р<С.\, то несоб* ственный интеграл B9) сходится и притом абсолютно. Если же ^F «¦ р^Ь CD то интеграл B9) не существует, В самом деле, мы имеем в случае C0): ']' ]' \f(x)\dx<A*X ** ^ •«->- Ь-*' ft-4' причем правая часть будет сколь угодно малой при достаточно ма- малых е' и е", так как показатель A —р) положителен (р<^\). В случае же C1) мы можем прежде всего быть уверены в том, что в соседстве с точкой х — b непрерывная функция f(x)
262 ГЛ. ПТ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Г85 сохраняет постоянный знак, так как, в силу C1), абсолютное значение f{x) остается больше положительного числа, и, следовательно, f(x) в нуль не обращается, а потому и не может переменить знака. Ограничи- Ограничиваясь случаем положительной функции f(x), имеем b-t" b-t" b-t* ^p ПРЙ Р= \-p причем правая часть может быть сделана сколь угодно большой при сколь угодно малых г' и е", ибо по условию 1—/?<С0- Геометрически признак Коши ссвершенно нагляден, так как в случае C0) кривая у=/(х) ПйР* 1 1 Рис. 71. Рис. 72. при х, близких к Ь, находится целиком внутри области, заключенной между двумя симметричными кривыми V = H ^ C2) (рис. 71), которые при р<^1 имеют конечную площадь, а потому и /(л:) имеет таковую. В случае же C1) кривая у=/(х) в соседстве с точкой х=Ь выйдет из указанной области, и так как кривые C2) при /?^1 не имеют конечной площади, то и кривая у==/(х) также не будет ее иметь (рис. 72). Совершенно аналогично можно рассмотреть те случаи, когда/(х) обращается в бесконечность при нижнем пределе х—а или в неко- некоторой средней точке х = с промежутка интегрирования [I, 97J.
85) § 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 263 2. Бесконечные пределы интегрирования. Мы рас- рассмотрим теперь случай ? = -)-оо, т. е. несобственный интеграл Н-оо Ъ \ f(x)dx= Hm \f{x)dx в предположении, что f(x) непрерывна при х^а. Отметим, что символ Ь -> -f- со обозначает, что Ъ беспредельно возрастает, прини- принимая все достаточно большие значения. Применяя признак Коши, как и в предыдущем случае, получим: для существования (сходимости) несобственного интеграла \f(x)ix C3) а необходимо и достаточно: при заданном сколь угодно малом положительном числе Ь существует такое положительное число N, что Ъ" | \ f(x)dx\<b при Ь' и b">N. Ь' В частности, совершенно так же, как и в случае 1, докажем Признак Коши: если подынтегральная функция f(x) не- непрерывна при х^а и ^ C4) то несобственный интеграл C3) абсолютно сходящийся. Если оюе !/(*)!>^ и p<if C5) то интеграл C3) не существует. Совершенно аналогичным путем можно рассмотреть несобствен- несобственные интегралы [I, 98] \ f(x)dx и \ f(x)dx. — СО —QO Укажем практически удобный способ применения признака Коши. Оста^ новимся сначала, на интеграле вида C3). Условие его сходимости C4) сво- сводится к тому, что существует такое/?>1, что произведение f(x)xP при •*-* + оо остается ограниченным. Это условие наверно выполнено, если существует конечный предел lim f
264 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [86 Точно так же условие расходимости C5) имеет место, если существует предел Нщ отличный от нуля (конечный или бесконечный). Так, например, интеграл из примера 5 [84] будет абсолютно сходящимся, так как произведение e-***cos$x-xP при любом положите льном р стремится к нулю при х-+ +со. Действительно, множитель cos ,3л: не превышает единицы по абсолютной величине, а произведение е~ах*хР—+О, как в этом нетрудно убедиться по правилу Лопиталя, положив, например, р = 2 [I, 65]. Интеграл вида будет расходящимся, так как Вообще интеграл от рациональной дроби с одним или двумя бесконеч- бесконечными пределами будет сходиться только в том случае, если степень знаме- знаменателя по крайней мере на две единицы выше степени числителя. Кроме того, для сходимости такого интеграла необходимо, чтобы после возможных сокращений дроби знаменатель не обращался в нуль в промежутке интегри- интегрирования. Если этот промежуток (— со, Н-оо), то знаменатель не должен иметь вещественных корней. Совершенно 'аналогично можно применять условия C0) и C1) сходи- сходимости и расходимости интеграла в случае обращения подынтегральной функции в бесконечность. Так, например, интеграл 1 cin v dx сходится при m < 2, ибо произведение 5IL?. х =s-^-^- стремится к еди- X X нице при х-+ -f 0, и р = /я — 1 < 1. 86, Неабсолютно сходящиеся интегралы. Признак Коши дает лишь достаточное условие C0) или C4) сходимости несобственного интеграла. Например, он неприменим для неабсолютно сходящихся интегралов, т. е. таких, что ^f{x)dx или J f(x)dx а а сходится, а интеграл \\f(x)\dx или l\/
66) I 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 265 не сходится. Приведем признак сходимости, применимый и для не- неабсолютно сходящихся интегралов: если интеграл F{x)=\f(f)dt (e>0) а при беспредельном возрастании х остается, ограниченным, то интеграл Т будет сходящимся при любом р^>0. Действительно, интегрируя по частям, получим а а или, принимая во внимание, что F(a) = O: При беспредельном возрастании /V первое слагаемое правой частя стремится к нулю, ибо F(N) по условию остается ограниченным и Р^>0. Второе слагаемое представляется интегралом, сходящимся по признаку Коши, так как под интегралом числитель F(x) по условию остается ограниченным при je->-j-oo, а в знаменателе степень х выше единицы. Таким образом существует предел Примеры. 1, Возьмем интеграл {*?** C6) рассмотренный нами в примере 3[84]. Заметим, что при лг—*О подынтеграль- подынтегральная функция стремится к р, так что несобственный характер этого инте- града происходит только от бесконечного предела. Далее очевидно м sin?* dx =1— -g- C ...... ... Г 1 ___ft__l*-*
266 откуда ГЛ. III, КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ N I sin N т. е. интеграл J sinfted* при любых а и jV остается ограниченным, Сле- а доватсльно, к интегралу C6) применима доказанная теорема, и он сходится. 2. Рассмотрим еще интеграл sin (**) dx. C7) Совершая замену переменных приведем его к виду JL \ ZzL-dt и совершенно так же, как и в примере 1, докажем, что он сходится. Выяс- Выясним несколько подробнее причины, обусловливающие сходимость интеграла C7). Подынтегральная функция / (х) =^ = sin (x2), график которой изображен на рис. 73, даже не стремится к нулю при *->+оо, признак Коши, оче- v видно, не применим. Разобьем про- межуток @, 4-°°) йа части: (О, /я), (Vn, Рис. 73. в каждой из которых функция .y — sinfc2) сохраняет неизменный знак: в пер- первой (-|-)i во второй (—), в третьей ( + ) и т. д. Положим ип = (— ] sm(x*)dx. Ynn Вводя вместо х новую переменную t получим С sin A-\-пл) .. I ? sin t 3 УТ+пл ~2 ) УТ+'ь откуда видно, что числа ип положительны и убывают при возрастании це- целого положительного числа п. Кроме того, из неравенства и <1 С dt - 1У^ * 2 J Vtm 2 V п следует, что ип-*0 при п-*-\-оэш Из всего сказанного вытекает, что знако-
87J § 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 267 переменный ряд «о — будет сходящимся [1, 123]. Положим теперь, что Утл^Ь< У(т+\)п, и рассмотрим интеграл C8) C9) b Yn С sin (х«) d*= \ 0 0 sin (*») J sin (*») + sin V (m— 1)я (— l)m и„ D0) Ymn где 0^8<1, так как последний промежуток (J тл, б) составляет лишь часть промежутка О'/тщ, V (m-f-1) л) или даже отсутствует при b — Ymn- При 6-> + оо и целое число mt определяемое неравенством C9), стремится к (_|_оо), и из сходимости ряда C8) и равенства D0) вытекает существова- существование несобственного интеграла Н-оо Ь \ sin (a2) dx = Urn ( sin (x2) dx = и0 — и% -\- и2 — и3 + ... В. настоящем случае существование несобственного интеграла обусло- обусловливается знакопеременностью подынтегральной функции, а также тем, что последовательные площади, находящиеся над и под осью ОХ, по мере уда- удаления от начала по величине убывают и стремятся к нулю, причем послед- последнее обстоятельство происходит не от того, что их высота стремится к нулю, но от беспредельного суживания этих площадей. Совершенно так же можно рассмотреть и интеграл C6). В томе III мы получим следующее значение для интеграла C7): + оо -foo + Написанные интегралы называются интегралами Френеля или интегра- интегралами дифракции. Последнее название связано с той ролью, которую играют эти интегралы в оптике. 87. Равномерно сходящиеся интегралы.1) Если подынтеграль- подынтегральная функция несобственного интеграла зависит от параметра у,. то числа г) и Л/, о которых говорилось в общих признаках 1 и 2 из [86], вообще говоря, зависят от у. Если при изменении у в промежутке числа г} и N в условиях Ъ-ъ" f(x9y)dx \f{x,y)dx <б при 0<е' и е"<гь D1) <б при Ьг и b">N D2) *) Перед чтением настоящего параграфа полезно вспомнить теорию равно- равномерно сходящихся рядов из тома I.
268 ГЛ, III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [67 можно выбрать независимо от значений у, то несобственные интегралы \f(x,y)dxf \f{x,y)dx D3) а а называются равномерно сходящимися относительно у. В частности, интегралы, которые встречаются при примене- применении признаков Коти, будут равномерно сходящимися, если по- постоянные А и р не зависят от у. Всякий сходящийся несобственный интеграл мы можем предста- представить в виде сходящегося ряда, каждый член которого есть уже обычный интеграл. Этим приемом мы уже пользовались в преды- предыдущем. Обратимся к первому из интегралов D3). Задав ряд поло- положительных, убывающих и стремящихся к нулю чисел ei, е* е3, ..., ея, ..., D4) можем написать b b — Bt Ь — егЪ — г3 lf(x,y)dx= $ f(x,y)dx + $ + $ +...+ b b ...+«*О0+..., D5) где MjO = \ f(x,y)dx. D6) В случае второго из интегралов D3), задав ряд беспредельно возрастающих чисел bb b2, b3t ..., Ъпл ..., D7) будем иметь b% ba (y)+ ... +"п(У)+ ,-• D8) Из определения равномерной сходимости интеграла и ряда [[, 143] непосредственно вытекает, что если несобственный интеграл схо- сходится равномерно, то и соответствующий ему ряд будет равномерно сходящимся при любом выборе чисел D4) или D7). Действи- Действительно, например, сумма далеких членов ряда D5) равна инте- интегралу по отрезку, близкому к Ь, для которого соблюдено нера- неравенство D1).
щ % 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 269 Свойства равномерно сходящихся интегралов аналогичны свой- свойствам равномерно сходящихся рядов [I, 146]. Для определенности формулируем их для второго из интегралов D3), но сказанное при- применимо и для первого. 1) Если функция f(x, у) непрерывна при а^х и при измене- изменении у в некотором конечном промежутке а^у^р, и интеграл + оо \ f(x, y)dx D9) а равномерно сходится, то он есть непрерывная функция от у при 2) При тех же условиях имеет место и формула интегри- интегрирования под знаком интеграла: \dy\ f(x, у) dx= \ dx\f{x, y)dy. E0) a a a a 3) Если при непрерывности f(x, у) и *у ^ интеграл D9) сходится, а интеграл +(Щ^<1х E1) сходится равномерно, то имеет место формула дифференциро- дифференцирования под знаком интеграла: -f оо 4-оэ ? J fix, y)dX== I Mi^ dx. {щ a a Докажем для примера свойства 1) и 3). Члены ряда D8) S f E3) по доказанному в [83], суть непрерывные функции, и, в силу равно- равномерной сходимости интеграла, этот ряд сходится равномерно, и, следовательно, сумма ряда, т. е. интеграл D9), тоже есть непрерыв- непрерывная функция [I, 146]. Для доказательства C) заметим, что из [83] следует, что инте- интегралы E3) можно дифференцировать под знаком интеграла, т. е.
270 ГЛ. HI. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |8S Но, в силу равномерной сходимости интеграла E1), мы имеем равномерно сходящийся ряд И гак, ряд D8) сходится, а ряд из производных сходится равно- равномерно. Отсюда следует [I, 146), что сумма ряда E4) есть производ- производная от суммы ряда D8), что и приводит к формуле E2). Укажем простой признак абсолютной и равномерной сходимости несобственного интеграла, аналогичный признаку абсолютной и равно- равномерной сходимости ряда [К, 147]. Сделаем это для второго из интегра- интегралов D.4). Аналогичный признак имеет место и для первого интеграла. Пусть, как всегда, f(x, у) непрерывна при а^х и a-sS^y^JJ. Пели существуем такая непрерывная при л^х и положитель- положительная функция (pW, что \f(x, y)\^<?(x) при а^.х и а^.у^? // интеграл 4 Считаем пока, что « — фиксированное положительное число, и рассма- рассматриваем интеграл E6) как интеграл, зависнщий от параметра {3. Заметим, что E4) E5) сходится, то интеграл D9) сходится абсолютно и равномерно (относительно у). В силу сходимости E5) при любом заданном 8^>0 существует N такое, что причем это N не зависит от у, так как у(х) не содержит у. Но из \/(х> У)\<:(?(у) вытекает т. е. то же самое Л/, не зависящее от у, годится и для интеграла D9) и даже для интеграла что и доказывает наше утверждение. 88. Примеры. 1. Рассмотрим более подробно пример 3 из [84|: E6)
881 §8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 271 отношение —— сохраняет непрерывность и при jr = 0 и обращается при х=0 в р, так что интеграл E6) является несобственным только вследствие бесконечного предела. При положительных ж>1 мы имеем — < 1 и, p следовательно, snip* < е~ах, а интеграл Р Г 1 "Tv = oo 1 J I « Jv==i а сходятся, и, следовательно, по доказанному признаку, интеграл E6) сходится равномерно относительно р. Дифференцируя его по р под знаком интеграла, получим интеграл го J <ra.v cos 6 который, в силу I <Ta* cos р* | < e~a-*, также сходится равномерно. Отсюда вытекает, что интеграл E6) есть непрерывная функция от р и что его можно дифференцировать под знаком интеграла. Для оправдания всех вычислений упомянутого примера остается еще доказать, что lim /(a, Р) = /@, р), т. с. что интеграл E6) при фиксированном Р есть непрерывная функция от а справа от нуля. Мы докажем, что он есть непрерывная функция от а при a ^ 0. Выше мы уже показали, что он сходится и при ос = О. Не ограничивая общности, можем считать p>0t так как случай р<0 приводится к случаю р > 0 простой переменой знака интеграла, в случае же ря=0 утверждение очевидно. Будем поступать аналогично тому, как это мы делали в [86] с интегра- интегралом Френеля. Разобьем весь промежуток @, -\-ос) на части Л\ (п ?5\ (пп (/* + 1>я\ f Р/э \Р* РУ1 '" f \Р' Р Г "• такие, что в первой части подынтегральная функция f!lPf „ р>0) имеет знак (-(-), во второй —знак ( —) и т. д. Положим (п-Н)я (-О" Вводя вместо х новую переменную / = x-v-, получим л fT , пал *" —F sinp/ ., видно, что ип (а) — положительные и убывают при возрастании ги
272 ?fl. w. кратные и криволинейные интегралы Кроме того, из неравенства E7) не зависящую от а, причем —лГТ~~*° "Ри п~* + °э- Отсюда вытекает рав- равномерная сходимость ряда при а^О и, следовательно (I, 146], непрерывность его суммы, поскольку члены ряда ип (а), в силу |89|, суть, непрерывные функции. Заметим, что из одной равномерной сходимости ряда E8) при а^О бел дополнительных рассуждений еще не следует равномерной схоаимости инте- интеграла. В данном случае можно доказать, что и шпеграл равномерно схо- сходится при а ^> 0. Заметим, что интеграл равный -5- при р>0, (— y) ПРИ Э<0 " нулю при Э = 0, дает функцию от % имеющую разрыв непрерывности при ,3 = 0. Отсюда вытекает, что написан- написанный интеграл не может сходиться равномерно относительно 3 в промежутке изменения р, содержащем g = 0. Если мы возьмем этот промежуток прайсе нуля, то величина интеграла у имеет производную по % равную нулю, п" интеграл нельзя дифференцировать по fi под знаком интеграла, так как после такого дифференцирования получается интеграл по промежутку @, оэ) и г cosSjc, не имеющий смысла. 2. В примере 4 из [84] мы дифференцировали k раз но а интеграл: под знаком интеграла. Для доказательства законности этой операции досы- точно показать, что при целъм положительном к интегралы следует, что ип (п) _ 0 при п —¦ -(- оо. Итак, мы можем представить при а ^ 0 наш интеграл в виде суммы знако- знакопеременного ряда Остаточный член этого ряда, в силу E7) и теоремы [I, 123), имеет оценку
ft 1 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 273 сходятся равномерно во всяком промежутке c*?.a<zdf где с>0. Так как в промежутке интегрирования лг^О, то очевидно е~ах^е~сх и е-*ххк ^ е~сххк, и в силу доказанного в [87| признака равномерной сходи- ыости нам достаточно доказать сходимость интеграла Но если обозначить f (а*) = е~еххк, то, применяя обычным образом правило Лопиталя [I, 65), убедимся, что f(x)x* = e~iXxk+J — 0 при .v-—-fco» „ „0 признаку, указанному в [83], видим, что написанный интеграл действительно сходится. 3. В [82] мы получили решение задачи Абеля в виде Покажем, как можно вычислить производную в правой части этого равен- равенства. Обозначим Дифференцируя по г под знаком интеграла, мы получили бы под знаком 3 интеграла (г — Л) 2 , что дало бы расходящийся интеграл [85], а потому надо поступать иначе. Преобразуем интеграл I (z) интегрированием по частям, предполагая существование непрерывной и ограниченной в окрестности /; = О производной <р' (Л) при h > 0: ^CiH ^W ссть постоянная, то <f*(h)z=Ot и мы имеем полученную уже ранее формулу. Если у(+0) = 0, то оказывается 1<А) E9) Напомним, что с( + 0)= lini 9 (Л). Это будет постоянная, которая будет, вообще говоря, отличной от нули, тогда как по самому своему опре- определению |@) = 0. Дифференцируя написанную выше формулу, мы найдем,
274 ГЛ. 1П. КРАТНЫЕ II КРИВОЛИПГ.ПНЫП ШГПТРАЛЫ '*'» Мы не привели доказательства того, что для несобственного интегряля / i<) применима формула B1) из [83]. Заметим, что если вместо /г внеч гп iioir. переменную интегрирования и по формуле: Л — zu, то дли I (г) получим нн^ грал с постоянными пределами I Предполагая, как и выше, существование непрерывной и ограничь \\\и 'i производной <|' (Л) при Л>(), можем, как нетрудно проверить, дифцЧ р< н覦'*- ров«:ть под знаком интеграла: 1 I d/Jzl _ 1 С q,'Bu)du . - С g' (г) и du dz " 21/г J \ 1^7 Z ) |'1~"м" # Производя в первом слагаемом интегрирование по частям и ночврат.гл-'ь к прежней переменной Л, получим опять формулу E9). 89. Несобственные кратные интегралы. Переходим jiikj1» к рассмотрению несобственных кратных интегралов и начнем с двер- дверных интегралов. Как и выше, несобственные интегралы могут Оы и лпух типов: или подынтегральная функция становится иеограничс'- ной, или сама область интегрирования иеограничеиа. Остановим^1 сначала на первом случае. Пусть /(/И) — непрерывна в конечне^ сбласти (а) за исключением точки С, в окрестности которой /(.10 но ограничена. Пусть (А) —малая область, содержащая С впут]11 себя. Исключим из (а) ту ее часть, которая принадлежит (А), а осы1* шуюся часть обозначим (а — А). Существует интеграл (о-Л) Если при беспредельном сужении (Л) к точке С этот интеграл cip> иится к определенному пределу, не зависящему от того, каким имеш0 образом (А) сужается к С, то этот предел и называют несобствг/- ным интегралом от f(M) по (а) (С может быть и на границе (о'У- r = lim \\ f(M)da. (^ (о\ (о—*Д) Дальше будем считать (это по существенно), что Л пробегает upon;" мерованную последовательность (А„) (//— 1, 2,...), сжимающуюся к (•• Точнее говоря: С лежит внутри всех (Ая), причем (Ая11) прииаллеж»1 (Л„) при любом п и (Ая) принадлежит кругу с центром С и радиусом *> причем Ffl —> 0 при //—> оэ. Положим сначала, чго /(ЛО^О. ^Р11 этом последовательноеib чисел -V," И /(М)Aо (я=1, 2, ...)
§ 8. НГСОВСТВГНПЫР ИНТЕГРАЛЫ т. е. если а*„—>/, то и уп—+1, а если хп—> -1-со, то и уп—>-j-co. Пусть хп—+1- При этом Л'я<с:/ и при любом заданном е]>0 суще- существует такое целое положительное М, что хп^1 — е при ii^zN. Рассмотрим какое-либо (оЛ). Существует, очевидно, такое п\ что (Л„) принадлежит (Ъп), так что )'„<Л"Л'</, г. е. yn<-J при всех п. Далее, существует такое Л/', что ($,„) при /// ^ Л'' принадлежит AiV и при т г^ /V имеем ут^хм^ I — е» откуда и следует, что уп—+1 мри /*-> со. Совершенно аналогично доказывается, что если для одной из последовательностей (Дп) имеем хп—>-f-co, го и уп—*-f-oo для вся- всякой другой последовательности. В первом случае, т. е. если для неко- некоторой последовательности Л"„ —/, то интеграл по (а) сходится и его величина равна /, а во втором случае он расходится. Если f(M)<0 в окрестности С, то, вынося минус за знак интег- интеграла, придем к предыдущему случаю. Положим теперь, что f(M) бывает разных знаков. В этом случае мы будем рассматривать только абсолютно сходящиеся интегралы, т. е. такие интегралы, что \\\f{M)\d* F1) имеет смысл, т. е. сходится. В нем подынтегральная функция ужо неотрицательна, и к нему применимы предыдущие замечании. В част- частности, из этих замечаний следует, что если f\(M) и fi(M) — две положительные функции, f\(M)^c.J^(M\ и интеграл от f^{M) схо- сходится, то интеграл or /Х(М) и подавно сходится. Машу функцию/(Л/) можно представить в виде разности двух положительных функции: f(M) = \f(M)\ — M/(M)!—/(Л1)|. Интеграл F1) но условию схо- сходится. Тем самым сходится интеграл от функций 2|/(УИ)|1. Функция [|/(Л1)| —/(А1)| равна 2\/(М)\ в тех точках, где /(М)<0, и рав- равна нулю, где/(Ж) > 0, т.е. положительная функция |/(М)|—/(Ж) ^ ^2\f(M)\, и, следовательно, интеграл от нее тоже сходится. Но тогда сходится и интеграл от разности \/(М)\ — \ \f(M)\ — /(Щ> т« е. от f(M). Итак, если интеграл F1) сходится, то сходится и интеграл от f(M). Укажем одно достаточное условие сходимости интеграла F1): в окрестности точки С функция удовлетворяет условию *гр, где г—расстояние от С до переменной точки М, и Р—постоянные и р<^2, то интеграл F1) сходится. т ^75 убывает при возрастании п и, следовательно, или имеет некоторый конечный предел /, или стремится к (-j-oo). Покажем, что тоже будет иметь место и для всякой другой последовательности (Ьп) областей, сужающихся к С:
276 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 189 Доказательство этого условия такое же, что и приведенное далее доказательство аналогичного условия для случая неограниченной области интегрирования. Совершенно аналогичным образом определяется несобственный трехкратный интеграл по конечной области (г»), если f(M) становится неограниченной в окрестности некоторой точки С, и все предыдущие рассуждения годятся и для такого интеграла. Только высказанное выше достаточное условие абсолютной сходимости интеграла в данном случае формулируется так: если в окрестности тонки С функция удовлетворяет условию \f(M)\^ -р9 где г — расстояние от С дэ переменной точки М, Аир — постоянные и р<^%> то интеграл \\ F2) (V) абсолютно сходится, В данном случае условие р<^ 2 заменяется усло- условием р <^ 3, так как в полярных координатах в пространстве элемент объема имеет выражение dv=r* sin Ь dr db rfcp (г* вместо г Bda = rdr dy). Рассмотрим теперь тот случай, когда область интегрирования (о) простирается в бесконечность во всех направлениях или просто неограничена. Пусть (ог) — конечная область, содержащаяся в (о) и беспредельно расширяющаяся таким образом, что всякая точка М области (о) попадает, начиная с некоторого этапа расширения, в (с{). Считая f(M) непрерывной в (о), может составить интеграл \\f(M)do. F3) Если при беспредельном расширении (о,) этот интеграл стремится к определенному пределу, не зависящему от того, каким образом (о,) расширяется, то этот предел и называют интегралом от /(Л1) по бесконечной области (о): х F4) Если f(M)^0 лля всех достаточно далеких точек М, то интегрлл F3) при расширении (а,) или имеет определенный предел, или беспре- беспредельно возрастает. Для первого случая характерным является тот факт, что интеграл по любой области или даже по конечному числу любых областей, принадлежащих (о) и лежащих вне круга с центром в начале и некоторым радиусом г0, остается ограниченным (при этом он будет стремиться к нулю, если г0—>оо). Обозначим через (<О совокупность вышеупомянутых областей. Отметим еще, что из опре- определения несобственного интеграла следует, что, если сходится интеграл F5)
т § 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 277 то интеграл F4) также сходится. Он называется п этом случае абсолютно сходящимся, и только такие интегралы мы и рассматри- рассматриваем. Нетрудно доказать следующее достаточное условие сходимости: если для всех достаточно удаленных точек М функция удов- летворяет условию \f(M)\^jp% где г—расстояние от любой фиксированной точки (начала) до переменной точки М, A up —по- —постоянные и р > 2, то интеграл F4) сходится. Пользуясь напи- написанным неравенством и вводя полярные координаты, получим Совокупность областей (а') обязательно содержится в кольце, ограни- ограниченном окружностями г — г0 и г = /?, где R может быть сколь угодно большим. Интегрируя по всему кольцу, получим Принимая во внимание, что р — 2>0, получим искомую оценку интеграла по (а')- (<п г и что и доказывает высказанное выше утверждение. При достаточно большом г0 интеграл по (а') будет сколь угодно малым. Аналогично определяется несобственный тройной интеграл по бесконечной области. В последней теореме для тройного интеграла условие р>2 надо заменить условием р>3. Заметим еще, что ска- ванное выше о несобственных двойных интегралах в случае, когда f(M) обращается в бесконечность, применимо и к несобственным интегралам, распространенным по поверхности. Такие интегралы сво- сводятся, как мы видели, к интегралам но плоскости F6). Мы рассматривали только абсолютно сходящиеся несобственные интегралы. Но имеет место следующая важная теорема: если несоб- несобственный интеграл сходится, то он и абсолютно сходится (см. 1 • м. Фихте и гол ьц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», т. 111). Она относится ко всем упомянутым выше несоб- несобственным интегралам. Для случая двойных интегралов из сходимости интеграла F0) следует сходимость интеграла F1) и из сходимости F4) следует сходимость F5). Если f(M) :>s 0, то для несобственных интегралов неважно, каким °6разом (Д) стягивается к точке С или (ах) расширяется. Можно считать, апример, что (Дп) есть круг или сфера с центром С, радиус ц которой
278 ГЛ. !П. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |90 стремится к нулю, и что (о{) есть часть (о), содержащаяся п круге с фиксированным центром, радиус которого беспредельно растет. Если же f(xt у) меняет знак, то мы должны предварительно убедиться в том, что несобственный интеграл сходится, и нельзя дока- доказывать его сходимость при помощи специального выбора областей (Д). Пользуясь сказанным выше, нетрудно определить понятие равно- равномерной сходимости несобственного кратного сходящегося интеграла, зависящего от параметра. Например, интеграл ((>()), подынтегральная функция которого зависит от параметра а, назовем равномерно сходящимся относительно а, если при любом положительном 6 существует такое положительное г\, не зависящее от а, что |JJ/(Af)rfa I (о') если (о') —любая часть (а), содержащаяся в круге (Дп). Аналогично определяется равномерная сходимость и других несобственных инте- интегралов. В частности, из опенки F2) вытекает, что интеграл будет равномерно сходящимся, если числа А и р не зависят от а. Для равномерно сходящихся интегралов имеют место свойства и признак равномерной сходимости, указанные в [87]. Более сложными являются несобственные кратные интегралы, в которых подынтегральная функция становится неограниченной не в окрестности некоторой точки, а в окрестности некоторой линии (/). При этом надо исключить эту линию некоторой областью (Д) и затем суживать (Д) к линии (/). Можно доказать, что если интеграл по (о) сходится, то он выражается через повторные квадратуры (формула G) из [59]). Если f(xty)^0 в (о) и повторные квадратуры от нее приводят к конечному числу А, то интеграл от /(*, у) по (о) сходится и равен А. Если для знакопеременной / (х, у) повторные квадратуры для !/(*, у)\ приводят к конечному числу, то инте- интеграл от f (*, з1) по (о) сходится (ср. [1I0J). 90. Примеры. 1. Рассмотрим интеграл dxd\> <« =5*1). где (о) —вся плоскость. Вводя полярные координаты и интегрируя по кру- кругу (/Сд.) с центром в начале и радиусом /?, получим rdrdy_ я Г I 1 Если а<1, то при беспредельном возрастании R правая часть беспредельно возрастает, и интеграл расходится. Если а;>1, то правая часть имеет ко- конечный предел j-f т. е. интеграл сходится и равен р. В последнем
т 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 279 случае сходимость можно доказать, пользуясь достаточным условием, ука- заяным в предыдущем номере. При а = 1 интеграл расходится. 2 Рмотрим интеграл н 2. Рассмотрим интеграл где (о) есть квадрат, ограниченный прямыми: * = 0, *=1, >> = 0, у = \. Вдоль стороны х = 0 подынтегральная функция обращается в бесконечность. Выключаем эту сторону узенькой вертикальной полоской, т. е. интегрируем по прямоугольнику (ое), ограниченному прямыми: * = е, *= 1, у = 0, у = 1 0) Се) И при е-*0 будем иметь предел, равный единице, т, е. наш интеграл схо- сходится и равен единице. 3. Притяжение, оказываемое массой на точку, расположенную вне или внутри нее (рис. 74). Пусть масса притягиваемой точки С(х9у, г) есть единица. Разобьем притягивающее тело (v) на элементы массы Аш и в каждом из них возьмем точку М (?, t\t ?). Обо- Обозначив через г расстояние СМ, мы полу- получаем для величины притяжения точки С элементом Аш приближенное выражение (сосредоточив всю массу Aw в точке М) Am 7а"» ybfwtf причем постоянную тяготения мы счи- считаем равной единице. Так как указан- Рис. 74. ная сила притяжения имеет направле- направление отрезка СМ, то проекции этого элементарного притяжения на коорди. натньл оси будут: Am ? — х Am rj— у Am g — z Проекции же полного притяжения будут иметь приближенные выражения ¦ Am, Y ~ -Am, Am. Обозначив через и,(?, г), ?) плотность массы в точке М, мы приближенно Am -w \i Ao, н окончательно, увеличивая число элементов и уменьшая беспредельно каж- №й из них: (f) Обращаем внимание на то, что в написанных интегралах перемен- и интегрирования являются координаты (g, ц, J) переменной точки М
280 ГЛ, 111. КРАТНЫЕ II КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 190 области (v)> и плотность ц (?, ij, С) является функцией этих переменных. Коорди- Координаты (дг, у, г) точки С входят под знак интеграла как непосредственно в чис- числители, так и через посредство и являются параметрами, так что величины X, У и Z суть функции дг, у и г. Если точка С находится вне притягивающей массы, величина г никогда пс обращается в нуль, и мы будем иметь дело с обыкновенными интегра- интегралами. Если же точка С попадает внутрь массы, то подынтегральные функции в выражениях F6) обращаются в бесконечность при совпадении переменной точки интегрирования Л! с С, и мы имеем дело с несобственными интегра- интегралами. Они, однако, наверно имеют смысл, если мы будем считать, что ц есть непрерывная функция, ибо, назвав через ji0 верхнюю границу значений функции |(л|, мы получим I Z — x г* г*9 Г число /> предыдущего правила в данном случае равно 2 п Тем более будет иметь смысл и интеграл F8) выражающий потенциал рассматриваемой массы в точке С. (С этим поня- понятием мы познакомимся подробнее ниже.) 4. Мы имеем очевидные формулы S — х _ _ дг_ т| — у _ _ дг S — z _ _ дг г ~" дх * г ~~ ду9 г ~~ дг9 г8 *^\ РД г )-дх\г}9 г9 ~"ty\rj9 г' -дг\г}9 а потому интегралы F6) можно переписать в виде: (г») (v) т. е. эти интегралы получаются путем дифференцирования интеграла F8) no x} v и z под знаком интеграла. Дифференцирование производится по координатам точки (,v, у, г), в которой подынтегральная функция терпит разрыв, и рассматриваемый случай не подходит под тот случай, для которого были установлены выше [87] теоремы, касающиеся непрерывности и возмож- возможности дифференцирования под знаком интеграла. Дальше мы увидим, что при условии непрерывности ц (?,>)» С) интегралы Х% К, Z суть непрерывные функции (xfy,z) во всем пространстве, U— непрерывная функция с непре- непрерывными частными производными первого порядка, и эти производные могут быть получены дифференцированием интеграла F8) под знаком интеграла, т. е. y_<W V-dU 7-dU Х-§1' r~df' Z~dl- Дифференцируя потенциал U второй раз по дг, у и г под знаком интеграла
т 8 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 281 0 помня, что fi(?, tj, С) не зависит от (л\ yt *), получим (С9) Эти формулы справедливы только в том случае, если точка С(х,у, г) находится вне притягивающих масс, т. с.'вне (v). При этом все интегралы — собственные. Если же С внутри (v)t то двукратное дифференцирование 1/г даст, как нетрудно проверить непосредственным дифференцированием: G0) ЯК интегралам F9) не будет уже применим признак сходимости из (90], т. е. если С внутри (и), то вторые производные от потенциала U нельзя опредс- яят?, два раза дифференцируя под знаком ин- интеграла, v j7 Складывая равенства G0), будем иметь Xj^Lr и, следовательно, складывая равенства F9), справедливые, если С пне (и), получим урав- уравнение G1) Итак, потенциал объемных масс U(x, у, z) удовлетворяет уравнению G1) в точках С(лг, у, г\ находящихся вне этих масс. В даль- дальнейшем мы выясним, как надо изменить это Уравнение, если точка С находится внутри масс. Рис. 75. 5. Рассмотрим случай однородного шара радиуса а (ц — постоянно). I la— правим ось OZ по прямой ОС, где О—центр шара (рис. 75), и введем сферические координаты (о, в, «): G2) G3) Но очевидно Мы выполним сперва интегрирование пс
282 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (9) Введем вместо 0 переменную г, причем р и <р считаются постоянными. Здесь придется различать два случая: если *>р, то при постоянных р и <р и при изменении в от 0 до я величина г меняется от (г — р) до (z + p). Если же z < р, то г меняется от (р — г) до (р + г) (рис. 76). Сверх того, в силу G3) при постоянных р и <?: Итак, оказывается С sin 0 rfO _ J PZ ^ Т?-7 (г<* Подставляя это в G2), мы должны различить два случая: 1) Точка С находится вис сферы или на се поверхности; тогда и в промежутке @, а) все значения р^г; в этом случае мы имеем G4) где т есть полная масса шара. 2) Точка С находится внутри сферы (рис. 76); здесь промежуток @, а) нужно разбить на два: @, г) и (г, а)% и мы получим при z = fl, т.е. когда точка находится на поверхности шара, обе формулы G4) и G5) дают одинаковую величину для U, что доказывает непрерывность функции U, Переходим к вычислению иритяже- ^ ния. В силу симметрии, оно должно быть направлено по оси OZ% так чго нужно вычи- вычислить только Когда точка С находится вне шара, мы поль- пользуемся формулой G4): Z = -~-; G6) когда же точка С находится внутри шара, при- применяем формулу G5): z=-4-*^- <77) о Рис. 76. При * = д обе формулы E7) и E8) совпадают, что доказывает непре- непрерывность притяжения Z. Формулы G4), G6), G7) показывают, что потенциал и притяжение однородного шара в точке вне шара можно полунить» сосредоточив всю
f|| I 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2ЯЗ массу шара в его центре. Притяжение же в точке внутри шара пропор- пропорционально расстоянию притягиваемой точки от центра шара. Для простоты вычислений мы выбрали оси координат специальным образом, направив ось 0Z в точку С, так что в предыдущих формулах z есть расстояние точки С до центра сферы. При любом расположении координат- координатных осей с началом в центре сферы надо заменить z на Y х%щ\~У* + ^'> г;1° (*1.У)*)» как всегДа» координаты точки С. "Формулы G4) и G5) дадуг U т (С вне сферы), ?/= 2л,и. L2 — i (а-2 +у* + г-)] (С внутри сферы). Первое из выражений для U очевидно удовлетворяет уравнению G1). Дифференцируй второе выражение два раза по х, у и г, получим д^Т + ^5" + "Э?— —4^ <С внутри сферы). (/8) Как мы увидим в дальнейшем, это уравнение оказывается справедливым Я для любого объема (v) с переменной плотностью, если С находится внутри (v). б. Положим, что притягивающие массы распределены по поверхности E) с поверхностей плотностью ц(Л1), которая является функцией переменной точки М поверхности (S). Обозначая, как и выше, через C(x,y,z) притяги- притягиваемую точку с массой единица и через г расстояние | СМ |, получим для потенциала 0 выражение и для проекций притяжения E) (S) Н {S) Потенциал G9) называется обычно потенциалом простого слоя. Выше мы рассматривали тот случай, когда С находится не на (S) (внутри или вне (S)), так что все интегралы собственные. При этом потенциал G9) удов- удовлетворяет, как и в примере 4, уравнению G1). § 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 91. Предварительные понятия. При изложении теории простого и кратного интегралов мы исходили из интуитивного представления площади и объема. В настоящем параграфе мы дадим обоснование ^тих понятий и строгое изложение основ теории кратных интегралов. Отсюда будет, естественно, следовать и. теория простого (однократного) Интеграла. Теория измерения длин, площадей и объемов называется обычно общим термином — теория меры. Сначала мы изложим бо- более элементарную теорию меры—так называемую меру )Кордана
284 ГЛ. II!. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (91 (французский математик второй половины XIX начала XX веков), связан- связанную с понятием интеграла Римана, которым мы пользовались в на- настоящей главе. В настоящее время она уже не играет большой роли в математическом анализе, и мы приводим ее для того, чтобы дать законченное теоретическое изложение интеграла Римана. Далее мы переходим к теории меры Лебега (французский мате- математик первой половины XX века), которая связана с новым понятием интеграла — с интегралом Лебега. »тот и следующий номера содержат некоторые сведения о множе- множествах точек, необходимые как для теории Жордапа, так и для теории Лебега. Рассматриваются в основном множества на плоскости, но псе сказанное легко переносится на случай прямой и трехмерного про- пространства. Мы будем пользоваться геометрической терминологией (точка, линия, область и т. д.), но в основе будет лежать арифметизированная плоскость, в которой точка определяется парой чисел (х, у) —коор- —координатами. Назовем е-окрестностыо точки М(а, Ь) круг с центром М и радиусом е, т. е. множестпо тех точек (л:, у), координаты которых удовлетворяют неравенству Будем рассматривать множества точек на плоскости, содержащие конечное или бесконечное число точек. В первом случае множестпо называется конечным, а во втором — бесконечным. Пусть Е— бес- бесконечное множество. Введем некоторые важные для дальнейшего понятия. Точка М называется предельной точкой множества Е, если любой е-окрестности М принадлежит бесконечное число точек В. Сама точка М может как принадлежать, так и не принадлежать Е. Конеч- Конечное множество, очевидно, не имеет предельных точек. Множество Е называется ограниченным, если все его точки при- принадлежат некоторому квадрату: a^x^b, c^y^d (b — a = d — с) со сторонами, параллельными осям. В следующем номере мы покажем, что всякое бесконечное ограниченное множестпо . имеет по крайней мере одну предельную точку. Множестпо Е> содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым множеством. Если Е не имеет предельных точек, то его также естественно называть замкнутым. Точка М, принадлежащая /?, называется внутренней точкой Е, если этому множеству принадлежат псе точки некоторой е-окрестности точки М. Открытым множеством называется множество Е} все точки которого суть внутренние точки, и областью (открытой областью) — такое открытое множество /?, что любые дне точки Ь можно соединить ломаной линией (состоящей из конечного числл отрезков прямых), все точки которой принадлежат П. Отметим, что иногда вместо термина «открытое множество» применяют термин
0* §9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 285 «область», п при этом вышеуказанный термин «область» заменяют тер- термином «связная область». Мы будем применять указанную выше тер- терминологию. Внутренние точки квадрата 0<.r<l,0<j/<l образуют область, $ внутренние точки двух квадратов, не имеющих общих точек, обра- образуют открытое множество, но не область. Вся плоскость ?2 есть одновременно и замкнутое и открытое множество. Назовем границей открытого множества множество / точек ЛГ, обладающих следующим свойством: сама точка ЛГ не принадлежит Е9 но является предельной для Е точкой. Отметим, что всякая точка Ж, принадлежащая открытому множеству Е9 является и предельной для Е9 ибо все точки некото- некоторой е-окрестности М принадлежат Е. Покажем, что / — замкнутое множество. Пусть iV— предельная точка /. Надо доказать, что N принадлежит /. По определению пре- предельной точки в любой е-окрестности N находятся точки /, а потому и точки ?, ибо /—граница Е. Но точка Л; не принадлежит Е9 ибо все точки ?? —внутренние. Таким образом, Л/—предельная точка /Д не принадлежащая Е, т. е. N принадлежит /, что и требовалось дока- доказать. Если присоединить к открытому множеству Е его границу /, to полученное множество Е9 как нетрудно показать, замкнуто. Пере- Переход от ? к ? обычно называется замыканием Е. Замыкание откры- открытого квадрата 0 <jc< 1, 0<Су < 1 приводит к замкнутому квадрат/ 6<Ж1, O^S_y^Sl. Отметим, что все точки / или некоторые и.1 них могут стать внутренними точками Ё. Это будет иметь место, например, если ?—все точки плоскости, кроме точек окружности &+y*ss*\. При этом Ё есть вся плоскость. Если Е есть круг ?*4\У8<1 с исключенным радиусом из точки @, 0) в точку A, 0), Т. e. с исключенными точками (jc, 0), где О^лг <1, то ? есть весь Замкнутый круг Jt2+_y2*gl. Точки исключенного радиуса стали внутренними точками ?. Если ? —область, то ? называют часто замк- замкнутой областью. Введем еще некоторые понятия, связанные*с любым множеством Точек плоскости. Назовем производным множеством Е' множества Е совокупность всех предельных точек ?. Как и выше для /, можно Доказать, что всякое производное множество Е' —замкнуто. Пусть?1 — множество всех точек плоскости, не принадлежащих ?. Оно пазы* ся обычно дополнительным для ?. Границей I любого множе- ? называется множество точек, принадлежащих одному из мно- или Ех и производной другого, т. е. ? и ?' или Ег и ?'. открытого множества это определение границы равносильно при- нному выше. Дадим и другое определение границы любого множества ?, равно- Сильное, как нетрудно показать, указанному выше. Назовем точку М 118 ? изолированной тонкой Е, если существуег е-окрестиость М,
286 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [92 не содержащих точек Е, отличных от М. Границей I множества В назовем множество изолированных точек Е и тех предельных точек /?, которые не являются внутренними точками этого множества. Можно, как и выше, показать, что / — замкнутое множество. Точки / могут как принадлежать, так и не принадлежать к Е. Если присоединить / к Е, то получим замкнутое множество Zf. Это доказывается, как и выше, для открытого множества. 92. Основные теоремы. Докажем две теоремы, связанные с введен- введенными понятиями. Теорема 1. Всякое бесконечное, ограниченное множество имеет по крайней мере одну предельную точку. В силу ограниченности множества Е все его точки принадлежат некоторому квадрату: a^x^ib, c^.y^d, который мы будем обо- обозначать символом |я, Ь; су d\. Разделим этот квадрат на четыре рав- равных квадрата. По крайней мере один из них [ait bx; cx, dx] содержит бесчисленное множество точек из Е. Квадрат [аи bx\ cXt dx] опить разделим на четыре равных квадрата, и по крайней мере один из них содержит бесчисленное множество точек из Е, и т. д. Мы имеем, таким образом, две бесконечные последовательности замкнутых про- промежутков (а, Ь\ (а„ bx)t (аь Ьг\ ..., (ал, *„),..., (с, d), (clt dx)t (с* rfi),..., (сп, dn\ ..., и в каждой из них следующий промежуток есть половина предыдущего. Последовательность ап есть неубывающая последовательность, а Ьп — невозрастающая, и обе последовательности ограничены. Таким обра- образом ап и Ьп имеют предел при я —оо. По разность Ьп — ап = = —ъг- -— 0 при п —•• оо, и следовательно, ап и Ьп имеют один и тот же предел: ап~>р и Ьп—*р при н —оо. Совершенно аналогично, rn — q и dn—*q при л-^оо, и точка М с координатами (/?, q) есть, как нетрудно видеть, предельная точка для Е. Поскольку в любой е-окрестиости предельной точки М находится бесконечное число точек Zf, мы можем выбрать такую бесконечную после- последовательность различных точек Мп (/;„, qn) из Е, что Мя —¦ Mtj. е. рп —~ Р и qn—>q- Итак, если Е имеет предельную точку М, то сущест- существует бесконечная последовательность различных точек Мп из Ef стремящихся к М. Бесконечное множество, состоящее из точек Мп с координатами хп = п, уп = п (л=1, 2, .,.), не имеет предельных точек (это множество —не ограничено). Пусть Е и Ех — какие-либо множества точек. Берем всевозможные расстояния MN любой точки М из Е и любой точки N из Ех. Полу- Полученное множество неотрицательных чисел MN имеет некоторую точную нижнюю границу 8^0 [I, 42J. Это число 8 называется расстоянием
$9. мпрл и теория интегрирования 287 межу множествами Е и Ех. Если эти множества имеют хотя бы одну общую точку, то, очевидно, & = 0. Но это равенство может иметь место и для множеств без общих точек. Теорема 2. Если Б и Ех— замкнутые ограниченные множе- множества без общих точек, то расстояние Ь между ними положительно. Доказываем от обратного. Пусть 8 = 0. Из определения точной нижней границы следует, что при этом должна существовать такая последовательность точек Мп из В и Nn из Ех, что расстояния MnNn — 0 прИ я—, со. Отмстим, что среди точек Мп и среди точек Nn могут быть и совпадающие. Возможны два случая: или среди Мп бесчислен- бесчисленное множество различных точек, или таких точек лишь конечное число, и то же возможно и для А/л. Пусть для Мп и Nn имеет место первый случай. В силу ограниченности /: и теоремы 1 можно утверждать, что множество Мп имеет по крайней мере одну предельную точку, и мы оставим только те отрезки прямых MnNn> в которых Мп стре- стремится к некоторой предельной точке М при беспредельном возраста- возрастании значка. Из этой подпоследовательности выделим новую так, чтобы и последовательность Nn стремилась к некоторой предельной точке М Нумеруя полученную бесконечную последовательность опять целыми положительными значками, можем считать, что в последователь- последовательности MnNn и Мп и Nn стремятся к предельным точкам М и N при я—*со. В силу замкнутости Е и Ех, можем утверждать, что М при- принадлежит Е, a iV принадлежит Ех. С другой стороны, из MnNn—+0 следует, что М и N совпадают, а это противоречит тому, что Е и ?i не имеют общих точек. Переходим ко второму случаю. Пусть он имеет место для Л1„. При этом имеется бесчисленное множество совпадающих Мп. Сохраняя лишь те пары Мп и Nn, где Мп совпадают с некоторой точкой М, получим, сохраняя прежнюю нумерацию, последовательность отрез- отрезков MNn, где М из Е и /Vn из ?t. Среди точек Nn не может быть бесчисленного множества одинаковых, ибо MNn—+0, a E и Ех не имеют, по условию, общих точек. Применяя то же рассуждение, что и выше, можем считать, что Nn стремятся к некоторой точке Лг из Е{, и из MNn—+Q получаем, что М и N должны совпадать, что опять приводит к противоречию. Теорема доказана. Из доказанной теоремы следует, что если точка М не принад- принадлежит замкнутому множеству Е (ограниченному или неограни- неограниченному), то расстояние между М и Е положительно. Легко доказать и следующее утверждение: если Е и Ех — огра- ограниченные замкнутые множества, то существует по крайней мере одна такая пара точек М из Е и N из Ех, что MN = b. Отметим, что расстояние между двумя неограниченными замкнутыми множествами, не имеющими общих точек, может равняться нулю, так **к эти множества могут безгранично сближаться при удалении на бесконечность. Этого не может быть, если одно из них ограничено.
288 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (93 Введем еще одно понятие. Возьмем всевозможные расстояния М'М", где М* и М" принадлежат некоторому множеству Е. Множество не- неотрицательных чисел М'М" имеет [I, 42] точную верхнюю границу rf, которая может равняться и +оо. Число d называется диаметром множества Е. Для ограниченных множеств d не равно +оо, а для неограниченных d = -f- oo. Все сказанное выше имеет место для прямой и трехмерного про- пространства. Точки прямой определяются одним вещественным числом х, г-окрестность точки х = с определяется неравенством с — г^х^ ^лг-f-e, ограниченная область есть некоторый открытый промежу- промежуток а < х < bf а граница состоит из двух точек х = а и х = Ь. Нетрудно показать, что открытое множество Е есть множество точек конечного или бесконечного числа открытых промежутков, без общих точек, причем в последнем случае складываемые промежутки можно пронумеровать: ап<х <.Ьп(п = 1, 2, ...). В трехмерном случае точка определяется тройкой чисел (х, у, z), а е-окрестность точ- точки (а, Ь, с) неравенством и внутренность куба неравенствами a<x<b, c<y<d, e<z<f (b-a=*d-c=f-e). 93. Счетные множества. Действия над точечными множествами. Введем новый термин. Пусть имеется некоторое множество, содержа- содержащее бесконечное число элементов. Оно называется счетным множе- множеством, если все содержащиеся в нем элементы можно пронумеровать целыми положительными числами. Мы будем часто говорить в этом случае, что множество содержит счетное число элементов. Пусть мы имеем не одно счетное множество, а счетное число счетных мно- множеств. Их элементы можно обозначить буквой с двумя значками aPtQ (pf q=l, 2, ...): первый указывает номер множества, а второй — номер элемента в этом множестве. Все эти элементы также можно пронумеровать по возрастанию суммы значков и первого из них при одинаковой сумме: а1Л* й1,Ь п2,Ъ а1,& Й2.2> Я3,1» •••> т. е. объединение счетного числа счетных множеств есть также счетное множество. То же будет и при объединении конечного числа счетных мно- множеств, а также и в том случае, когда среди объединяемых множеств кроме счетных есть и конечные множества. Рассмотрим еще мно- множество рациональных чисел из промежутка О^х^ 1. Их можно про- пронумеровать по возрастанию суммы числителя и знаменателя и по воз- возрастанию числителя при одинаковой сумме. При этом дроби берутся
93] § 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 289 в несократимой форме: 0 1' 1 Т' l 2 • 1 3 ' 1 4 ' 2 3 » 1 5"» 1 6 » 2 5 Так же можно пронумеровать дроби из любого промежутка или на всей числовой оси. Введем обозначения, которыми мы будем пользоваться в дальней- дальнейшем. Если точка М принадлежит множеству Е, то будем писать: М^Е. Если же М не принадлежит Е, то будем писать М е?. Если все точки множества Е принадлежат множеству Е, то будем писать Е аЕ. Определим действия над точечными множествами. Суммой конечного или счетного числа множеств S = ^Ek A) k называется множество, состоящее из точек, принадлежащих хотя бы одному из Ek. Разностью множеств Ег и Е2: R = EX-E2 B) называется множество, состоящее из точек Еь не принадлежащих Ег Произведением конечного или счетного числа множеств Т = ЦЕ„ C) k называется множество, состоящее из точек, принадлежащих всем Ek. Отметим, что если Е2 а Еь то из B) следует Если Ег d E2, то /?, определяемое формулой B), не содержит ни одной точки. Такое множество называется пустым множеством.' Множество Е, определяемое формулой C), будет пустым, если мет точек, принадлежащих всем Ek. Указанные выше определения имеют, очевидно, смысл и для мно- множеств, состоящих из любых элементов. Отметим при этом, что ука- указанный выше результат (объединение счетного числа счетных мно- множеств есть счетное множество) надо формулировать так: сумма счетного числа счетных множеств есть счетное множество. Напомним еще об одном понятии [91]. Мы рассматриваем в основ- основном множества точек на некоторой плоскости. Совершенно аналогично можно рассматривать точки на прямой или в трехмерном пространстве. Множеством дополнительным для Е (см. [91]) на плоскости называется множество всех точек этой плоскости, не при- принадлежащих Е (аналогично для прямой или трехмерного пространства).
200 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ JW »то множество обозначается обычно символом С/:. Очевидно, что С (СП) —И. Если П и Ё — два множества и Edk то Ck<ZCl:. Н дальнейшем равенство Л=П для двух множеств Л и # означает, что эти множества состоят из одних и тех же точек, т. е. если М(^Л, то М^В, и наоборот, если М?П, то Л1^Л. Для дополнительных множес'ш имеют место следующие формулы: о) (•г>) со G) Докажем, например, первую из них. Пусть М принадлежит мно- множеству, стоящему в левой части D), т. е. М?СЕХ и M?CEt. Дока- Докажем, что она принадлежит множеству, стоящему в правой части D). Из Af?C/F| следует, что M?El9 и из М^СЕ^ следует, что М(^1:+. Но раз M?Ei и М?ЕЬ то М принадлежит правой части D). Совер- Совершенно аналогично доказывается, что если точка М принадлежит правой части D), то она принадлежит и левой части D). Формула G) непо- непосредственно следует из E), а F) из G). Основную роль в дальнейшем будут играть открытые и замкнутые множества. Сформулируем ряд теорем, касающихся этих множеств. Теорема 1. Если Е — открытое множество, то СЕ — замк- замкнутое, а если Е — замкнутое, то СЕ — открытое. Теорема 2. Сумма конечного или счетного числа открытых множеств — открытое множество. Произведение конечного числа открытых множеств — открытое множество. Теорема 3. Произведение конечного или счетного числа замк- замкнутых множеств — замкнутое множество. Сумма конечного числа замкнутых множеств — замкнутое множество. Теорема 4. Если 1:\ — открытое и /:'.2 — замкнутое множе- множества, то R = Ех — Hi — открытое множество. Пели же /:, — замкнутое, а /:2 — открытое множество, то R—замкнутое множество. Отметим, что пустое множество считаем как замкнутым, так и открытым. Доказательство всех этих теорем очень просты. Для при- примера докажем теорему 2. Пусть Ек — открытые множества и точка M(~S, где vV—сумма /:\. При этом М принадлежит какому-либо слагаемому /:*А, но поскольку это слагаемое открытое множество, ему принадлежит некоюрая е-окрестиость М, а отсюда следует, чго эга окрестность
I 9. MFPA И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 291 принадлежит и Л Таким образом, если Л/?6\ то в S входит и неко- некоторая е-окрестность М> то есть S — открытое множество. Положим теперь, что произведение C) конечно (Л=1, 2, ..., т), и все 1:к — открытые множества. Нсли Л1(~ 7, то она входит во все /Гл, причем 1:к принадлежит и некоторая е^-окрестность М. Пусть в']> 0 наименьшее из положительных чисел ги (к— 1, 2, ..., т). При этом е'-окрестность М входит во все Пк, следовательно и в Г, т. е. Т—открытое множество. Теорема 3 следует из теорем 1 и 2 при помощи перехода к допол- дополнительным множествам с использованием формул E) и (G). 94. Мера Жордана. Здесь мы считаем, что все множества, о кото- которых мы будем говорил., ограничены, и не будем этого оговаривать особо. За основу меры мы примем, что мера (площадь) квадрата со сторонами, параллельными осям, т. е. квадрата: a^Xx^b d Где I) — a = d — су равна (Ь—л)*. Проводя прямые v = q + lr (kt /=0, zizl, iL2, . где г^>0, мы покрываем плоскость сеткой квадратов со сторонами, параллельными осям, и г — длина сторон этих квадратов. Назовем множеством типа (а) множество, состоящее из конечного числа замк- замкнутых квадратов сетки. Площадью такою множества назовем сумму площадей, составляющих его квадратов. Это определение площади нуждается в оправдании. Проводя пря- прямые, параллельные осям, всякое множе- множество типа (а) можно подразделить на квадраты и нетрудно показать, что сумма площадей этих квадратов при этом остается неизменной, и таким об- образом всякое множество типа (а) имеет определенную площадь. Всякое множе- множество типа (а) будем обозначать большою буквою в скобках, а его площадь той же буквой, но без скобок. Если множе- множество (?/) типа (а) находится строго вну- внутри множества (V) типа (а), то ?/< V. Пусть Е—какое-либо ограниченное множество точек. Покроем плоскость сеткою равных квадратов, и пусть (S) — совокупность тех квадратов, псе точки которых, включая и точки их границ, суть внутренние точки IS, a 5' — сово- совокупность тех квадратов, которые имеют общие точки с границей / множества П. Квадраты из (У) не входят ? (о). Отметим, что если (S) не содержит ни одного квадрата (пустое множество точек), то надо считать S=0 (рис. 77). 10» Рис. 77.
292 ГЛ. 11!. КРЛТИЫК И КРИВОЛПНППНЫП ИПТГГРЛЛЫ (94 Беря всевозможные сетки рапных квадратов, получим бесконечное множество неотрицательных чисел 5. Вес эти числа не больше площади квадрата, которому принадлежит ограниченное множество Е. Точная верхняя граница множества чисел 5 называется внутренней мерой множества Е, Обозначим ее через а. Точная нижняя граница мно- множества положительных чисел 5 + 5' называется внешней мерой мно- множества /:'. Обозначим ее Л. Пусть г —длина сторон квадратов сетки. Теорема. Ест г—> (), то 5->я и 5+5' -> Л, т. е. при беспредельном измельчании сетки 5 стремится к внутренней ц 5 + 5' к внешней мере И. По определении) точном нижней границы, при любой сетке квад- ратв 5 + 5' Г5.2 Л. Нам надо доказать, что при любом заданном е>() существует такое т]>0, что 5+5'<Л + с, если r<t|. Но опре- определению точной нижней границы, существует такая сетка, что соот- соответствующая ей сумма 5 + 5', которую мы обозначим через 50 + 5'„ меньше Л + е. Пусть г0 —длина сторон квадратов этой сетки. Окай- Окаймим E0 + 5у) квадратами со стороной -°, где я — целое положи- положительное число, так, чтобы получилось множество Ej) типа (а), которое образовано квадратами со стороной -°- и содержит E0 + 5<',) строго внутри себя. Если мы возьмем я достаточно большим, то Sx будет сколь угодно мало отличаться от 50 + 5,'„ и мы можем считать 5|<Л + е. Пусть ^ — граница Ej). Замкнутые множества \х и / не имеют общих точек, и пусть б —расстояние между ними (б > 0). Пели мы возьмем г<-у^> то нес квадраты сетки, имеющие общие точки с Е или /, будут находиться внутри (Sx) и, следовательно, при г<__ будем иметь 5 + 5'<5|<Л + е. Таким образом, число t), о котором мы говорили выше, можно взять равным-—--, и доказа- доказано, что 5+5'-> Л при г->0. Если Е не имеет внутренних точек, то 5=*0 для любой сетки квадратов. Если же внутренние точки имеются, то 5>0 при доста- достаточно малом г, и аналогично предыдущему можно доказать, что 5~><* при г->0. Следствие 1. При определении а и Л мы можем исходить из какой-либо фиксированной сетки квадратов и измельчшь эту сегку путем деления каждого квадрата на четыре равных квадрата. При эюм мы получим неубывающую последовательность 5П и невозрастании) ю последовательность 5„ + 5,', (/(=1,2,...), причем 5„ -> а и 5rt + S'n -> Л при я-*оо, где я —номер сетки, которая получилась при я-м шаге измельчения. Этим соображением удобно пользоваться при доказатель- доказательстве приводимых далее утверждений.
ш. $9. МПРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 201 Следствие 2. Из S<^S-\-S' следует при г—*0, что я-*: Л, Т. с. внутренних мера не больше внешней. 1:сли Л = 0, той я = 0, 9 следовательно, ?" не имеет внутренних точек. Можно показать, что существуют такие замкнутые кривые /, которые не пересекают сами себя и имеют параметрическое представление х = '?A), у = •{>(*), где • ft)"и ф@ — непрерывные функции, и у которых внешняя мера ио- дойсительна. Такие кривые, как можно показать, являются границе» области, и у этой области а<^Л. 95. Квадрируемме множества. Множество /: называется квад- руруемым, если а—Л, т. е. если его внутренняя и внешняя меры одинаковы. Общая величина этих мер называется при эгом мерою Множества I: и обозначается /// (//). Отметим, что если мы будем творить о мере какого-нибудь мно- множества, то этим самым утверждается, что это множество квадрируемо. ЕСЛИ /4 = 0, то, как мы видели, /: — квадрируемо и /м(/:) = 0. Обратно, если ///(/;) = (), то Л — 0. Такие множества меры нуль будут дальше играть большую роль. Необходимое и достаточное условие квадрируемости состоит, очевидно, в том, что Л' и Л*-}-Л"' имеют оди- одинаковые пределы при г —0, т. е. в том, что Л"-—О при г-— 0. Пусть /, как и выше, граница некоторого ограниченного множества /?. Точечное множество / не имеет внутренних точек, для пего (S) —• пустое множество при любой сетке квадратов и а = 0. Множе- Множество (S') — состоит из тех квадратов сетки, которые имеют общие ТОЧКИ с /, и необходимое и достаточное условие квадрируемости (^—¦0 при г — 0) сгодится к тому, Ч1О Л = 0 для /, т. с. к тому, ЧТО w(/) — 0. Итак, Теорема. Дли квадрируемости I: необходимым и достаточ- достаточным условием нвлметсн равенство т(/)—(). Нетрудно показать, что всякое множество типа (а) квадрируемо и pro мера равна его площади, т. е. сумме площадей, составляющих его квадратов. Пусть некоторое множество 1:\ имеет меру нуль, и пусть задано е^>0. Выбирая г достаточно малым, мы получим для ве- величины У, соответствующей Ь\, неравенство 6"< -'-. Окружая каждый квадрат, принадлежащий к E'), восемью прилегающими квадратами сетки, и причисляя их к (S')f если они раньше не входили в (У), при- Лвм к следующему результату: при любом заданном е^>0 множе- множество меры нуль можно заключить строго внутрь множества шипа (а), площадь которого меньше е. Результаты последних двух номеров легко приводят к следующим УОДрждениям: 1. Всякая часть множества меры нуль есть множество мери *улъь Сумма конечного числа множеств меры нуль есть множе* с*Но меры нуль.
204 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (93 2. Если множества ?, и Е* — квадрируемы и Ех d ?* то 'Л. 1:сли Е\ и Е* — квадрируемые множества, не имеющие об- общих внутренних точек, то их сумма Е = ЕХ +/:а — квадрируемос множество и т (Е) = т (Ех) + т (/?*). Докажем последнее утверждение. Пусть (Sk) и (Sk -\- Si.) (k=\, 2)—миожестпа типа (а) для Екл л (S) и (S-j-S') — для IS. Но условию, (Sx) и ($.2) не имеют общих точек, но при сложении Ех и /;\ могут появиться в /:' новые квадраты, так что *S\ -]- Л - - S. С другой стороны, сумма множеств («Vt-}-«Sj) и (*S^-|-*S^), покрывающих /;, и Е^ имеете с их границами, покрывает и Е с ее границей, ибо всякая точка границы Е является граничной по крайней мере дли одного из /;А, откуда S-^-S'<^(Sx -f-Sj)-f-OS*-{-?«) -Отметим, что некоторые из квадратов (S[) и Ei) могут совпадать. Таким образом, приходим к неравенству При беспредельном измельчении сетки Si— 0, Sx—>m(E{) и S*—m(Et)9 оiкуда У— 0 и Л — тA:\)-{-т(Е*), т. е. Е—квадрируемос множе- множество и Доказанное свойство имеет место и для конечного числа слагае- слагаемых Ек> не имеющих попарно общих внутренних точек (свойство аддитивности мер и). В дальнейшем мы часто будем иметь дело с открытыми множест- множествами и областями. Пусть Е—открытое квадрируемос множество и /—его граница (меры нуль). Разобьем Е при помощи конечного числа линий /5(s=l, 2, ..., /л), каждая из которых есть замкнутое мно- множество меры пуль. Сумма замкнутых множеств ls и множества / есть замкнутое множество меры нуль. Обозначим его буквою /;. Вычитая из Е сумму /Л, получим открытое квадрируемое множество Ех. Все точки его границы принадлежат /;. Положим, что разбиение Е производится прямыми, параллельными геями, и рассмотрим те частичные прямоугольники (или квадраты), которые содержат точки Ех. Число таких прямоугольников конечно, и множество точек Ех внутри каждого из них, есть некоторое от- открытое квадрируемое множество, граничные точки которого Moiyr лежать или па Е или на границе соответствующего прямоуголь- прямоугольника. Мы получаем, таким образом, конечное число кпадрирусмых открытых множеств //;, (Л'=1, 2, ..., ///), сумма мер которых раина мере /: и диаметр llk не больше диагонали соответствующего прямо- прямоугольника. В дальнейшем при разбиении кпалрпруемого открытого множества (или области) па части мы будем исегда подразумевать,
,51 19. мгра и теория интегрирования 295 iJtt) это производится линиями, имеющими меру нуль. Если /: — об* ласть, то при некоторых свойствах / мы и в каждом частичном пря- прямоугольнике будем иметь область. Дадим теперь простой пример линии X меры нуль, а именно по- положим, что X имеет явное уравнение у = у(л-), где f (л;)—непрерыв- (л;)—непрерывная функция на конечном промежутке а - " х ^ Ь. В силу равномерной непрерывности <р(:с), при заданном е^>0 существует такое 8^>0, что | ? (*") — ? (*') I < Т(Ь~—а) * ссл" Iх ~ х I '^ 8# ВыбсР°м г так» Ч1 обы оно было меньше Ь и меньше .,,,,^7-;. При построении сетки квадратов промежуток (а, Ь) разобьется на части: а = л*0 <Г х* <*л* <[ <.•.<, ^/i 1<^л = ^» причем для сред- средних частей хк — xki = r, а л*, —- о • "г г и ^ — хп.\^г. Иозьмем те квадраты сетки, которые находятся в одной полосе между x — xh л м х = хк (*=1, 2 л) (рис. 78). В силу Хк — хк ! ••-': 3, можем утверждать, что колебание <p(.v) в промежутке (а*л |, а*л) меньше „ .?---. Квадрат, имеющий общую точку с самой нижней (верхней) точкой линии у = у(х) на промежутке (**-!i ¦**)» может идти вниз (наверх), самое большее на г. Таким образом, сумма высот квадратов сетки, имеющих общие точки с линией X и содержащихся в упомянутой колесе» меньше ..-. —- -j- ^г, Рис. 78 или, в силу г<^тг ь*~ ;» эта сумма меньше ,^-, а сумма площадей втих квадратов меньше . (хк — хк ,). (Суммируя по k от Аг=1 о — и до k = nt видим, что сумма площадей квадратов, имеющих с X точки, меньше е, откуда, в виду произвольности е, следует, что т (X) = 0. Совершенно также можно показать, что линия x = ty(y)t где ty(y) непрерывна в некотором конечном замкнутом промежутке, имеет *еРУ> равную нулю. 11азовсм простой всякую кривую, которая мо- может быть разбита на конечное число частей, каждая из которых имеет Уравнение у = <?(х) или x = ty(y)t где <?(х) и ty(y) непрерывны * соответствующих конечных замкнутых промежутках. Из предыду- предыдущего следует, что простая кривая также имеет меру, равную нулю. •акая кривая может быть замкнутой кривой, которая не пере- пересекает сама себя. При атом она является границей квадрирусмой Области.
29A ГЛ. 111. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (93 Можно показать, что если кривая / имеет параметрическое пред» ставление х = <р (*),. у = ф@> г^е ?@ и <Н0> а также их производ- производные непрерывны на некотором конечном промежутке to^t <;/t, кривая не пересекает сама себя, и производные ср'(/) и <|/@ ие обращаются одновременно в нуль, если t принадлежит к указанному промежутку, то /и @ = 0. Если ср(/1) = <р(^0) и ф(/,) = ^(*0), но кривая не пересе- пересекает сама себя при U<^t<^tlt то / — замкнутая, сама себя не пере- пересекающая крииая и, при указанных условиях гладкости, ее мера равна нулю. ь Интеграл \y(x)dxt как нетрудно показать, дает площадь в ука- а ванном выше смысле области, ограниченной кривой у = у(х)У осью ^ = 0 и прямыми х = а и х = Ь, причем мы считаем, что <р (лг) не- непрерывна при а^х^Ь и положительна. Отметим, что при определении внутренней и внешней меры и квад- квадрируемости мы могли бы пользоваться не сеткой равных квадратов, а сеткой прямоугольников со сторонами, параллельными осям, и счи- считать при этом площадь прямоугольника а^х^Ь, c^y^d равной (? — a)(d — с), т. е. произведению его сторон. 96. Независимость от выбора осей. Определение внутренней и внешней меры, а также понятие квадрируемости тесно связано с вы- выбором осей, поскольку мы производим измерение площадей с помощью сетки квадратов со сторонами, параллельными осям. Хорошо известны формулы для новых координат точки при параллельном переносе координатных осей и их повороте. Параллельный перенос оставляет направление осей прежними и ничто не меняется при определении площади. Иное будет при повороте осей. Граница любого квадрата есть простая линия, и следовательно, любой квадрат квадрируем. Ко- Конечная сумма квадратов любой сетки также квадрируема [95]. При параллельном переносе площадь квадрата, очевидно, не меняется. Покажем, что площадь любого квадрата равна квадрату длины его сто- стороны. Достаточно, очевидно, доказать следующую теорему: Теорема 1. Если повернуть квадрат со сторонами, парал- параллельными осям, вокруг начала, то площадь его остается прежней. Пусть (q) — исходный квадрат со стороной г и (qx) — квадрат, полу- полученный после поворота. Такими же буквами будем обозначать их плошди и положим ~ = s. При помощи параллельного переноса, не меняющего площади, мы можем совместить (q) с любым параллель- параллельным квадратом со стороною г и, следовательно, для всех квадратов со стороной г отношение — при данном повороте плоскости будет одно и то же. Совершим теперь над плоскостью преобразование по- подобия с центром в начале» при котором длины всех радиусов-векторов,
ft 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 207 вЛ из начала, умножаются на некоторое положительное число Л. Такое преобразование сводится к переходу точки (лг, у) в точку с координатами (kx, ky). При этом преобразовании все ли- иейные размеры умножаются на к. Всякий кпадрат со сторонами» параллельными осям, переходит в такой же квадрат, но длины его cftpOH умножаются на к. Отсюда следует, что площади (внутренние щ внешние) при этом умножаются на к*. Обозначим через (</) и (q[) te квадраты, которые получаются из (д) и (?,) при помощи указан- указанного преобразования подобия. Очевидно, что (q[) получается из (</) при помощи того же вращения, при помощи которого (qx) получается из (q). Но ^{ = A*(?i и q' = k*q и, следовательно, ~ = s. Но, подби- подбирая соответственным образом число к, мы можем перевести квадрат q в квадрат с любой длиной стороны. Таким образом, мы видим, что отношение & = $ при данном повороте плоскости имеет одну и ту же величину для всех исходных квадратов q. Покажем теперь, что 5=1. Рассмотрим круг х*-{-у*<^\ с центром в начале и радиусом еди- единица» покрытый сеткой квадратов со сторонами, параллельными осям. Этот круг есть, очевидно, квадрируемая область. При повороте вокруг начала площадь квадрата получит множи- множитель s, и в силу определения площади и доказанной выше теоремы, площадь круга также должна умножаться на s. Но при упомянутом повороте круг перейдет сам в себя, и его площадь не должна изме- измениться, т. е. 5=1, что и требовалось доказать. Положим, что имеются две различные по направлению сетки рав- равных квадратов. В первой имеем множества типа (а), а аналогичные множества второй сетки назовем множествами типа (|3). Такие области Квадрируемы при любом выборе сетки квадратов и их мера равна сумме площадей составляющих их квадратов (площадь квадрата — квадрат длины его стороны). Покажем, что при переходе от одной сетки к другой не нару- нарушается свойство квадрируемости и не меняется мера квадрируемого множества. Пусть Е—ограниченное множество точек плоскости, и |1усть оно квадрируемо в первой сетке. Отсюда следует, что при любом заданном t^>0 его границу / можно [96] заключить строго внутрь некоторого множества (L) типа (а), мера которого <^е. Расстояние между / и границей L положительно, и при достаточном измельчании •торой сетки можно заключить / строго внутрь множества (Lx) типа (р), содержащегося внутри (?). Поскольку L{<^L<^t и е>0 произвольно, можно утверждать, что / имеет меру нуль и при использовании вто- второй сетки, т, е. Е квадрируемо и во второй сетке. Аналогично до- доказывается, что если Е квадрируемо во второй сетке, то оно квадри- квадрируемо и в первой сетке. Для доказательства совпадения меры Е 8 указанных сетках достаточно доказать совпадение внутренних мер.
298 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |97 Пусть а —внутренняя мера Е в первой сетке и at — во второй. П^и любом заданном е > 0 существует в первой сетке такое множество (S) типа (а), состоящее из внутренних точек Е, что S>a — e. Расстояние между (S) и / положительно, и при достаточном измельчании второй сетки существует множество (§) типа (Р), состоящее из внутренних точек Ё и содержащее E). При этом §>а — е, откуда, ввиду про- произвольности е, следует, что а1 ^ а. Аналогично доказывается, что a^alt т. е. ai = a. Если Е не имеет внутренних точек, то а = а1 = 0. Мы доказали следующую теорему. Теорема 2. При использовании различно направленных сеток равных квадратов свойство квадрируемости и величина меры не меняются. 97. Случай любого числа измерений. Как мы указывали, вся теория площадей переносится и на трехмерное пространство, и мы получаем, таким образом, понятия внутреннего и внешнего объема и квадрируемой трехмерной области или множества. Роль квадратов играют кубы. Можно построить совершенно аналогичную теорию измерения «пло- «площадей» или теорию меры для любого я-мерного пространства. Точкой такого пространства назовем последовательность п вещественных чисел (xlt дг2» ...» хп). Расстояние между двумя точками (xh х2, ..., хп) и (Уь Уг> •••> Уп) определим формулой Шаром с центром (а,, а2, ... > а„) и радиусом р назовем совокупность точек (xv лг2, ..., хп\ координаты которых удовлетворяют неравен- неравенству Наконец, кубок с ребром г назовем совокупность точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам as '^xs^bs (s=l, 2, ..., //), где ^s — as==:r* Мерой куба будем считать число гя. Все эти опре- определения дают нам возможность повторить предыдущую теорию для я-мерного пространства и установить понятия внутренней и внешней меры области или вообще множества, и при их совпадении говорить, что область (или множество) измерима (на плоскости — квадрируема). Все доказанные теоремы будут справедливы и для //-мерного прост- пространства. Параллельный перенос в я-мерпом пространстве выра- выражается формулами преобразования: х[ = xs + as (s = 1, 2, ..., ")» а поворот вокруг начала выражается некоторым линейным преобрази-
*] § 9. МПРЛ И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 299 раннем, при котором расстояние точки до начала остается неизменным. более подробно об этих преобразованиях мы будем говорить в томе 1Н&. При определении связной области мы пользовались понятием ло- ломаной линии, т. е. линии, состоящей из конечного числа отрезков прямых. В «-мерном пространстве прямой мы назовем линию (т. е. множество точек), имеющую параметрическое уравнение xs = ips(t)t где ф5(/) —многочлены первой степени. Примерами областей в я-мер- ном пространстве являются множества внутренних точек шара или куба. Обычно область я-мерного пространства определяется некото- некоторыми неравенствами, которым должны удовлетворять координаты точек этой области. Заметим, что при л = 1, т. е. на прямой, связная область есть обязательно множество внутренних точек некоторого промежутка. То, что мы говорили о простых кривых, можно обобщить на я-мерное пространство. В частности, если в трехмерном простран- пространстве имеется поверхность с явным уравнением z*=q)(xt у), где <р(*> jO —непрерывная функция в некоторой ограниченной замкнутой области плоскости Л'ОК, то такая поверхность есть измеримое мно- множество, и ее мера равна нулю. Далее легко, как и в [95], построить понятие простой поверхности, и всякая область, ограниченная простой поверхностью, будет измеримой. 98. Интегрируемые функции. Пусть (о)— ограниченная квадри- руемая область или открытое множество и/(Л/) —ограниченная функ- функция, определенная па (о) и ее границе. Разобьем (а) па конечное число квадрируемых областей (или открытых множеств) (a*) (k = 1, 2,.,., т), как это указано в [96]. Пусть б — это разбиение и ok — меры мно- множеств (аЛ), так что Oi + a2-\-..*-\-on = ot Afo — любая точка, принад- принадлежащая множеству (Ok) или его границе, </Л — диаметр (ok) и jiF)— наибольшее из чисел dk. Функция f(N) называется интегрируемой по (а), если существует определенный предел сумм при стремлении /л (б) к нулю [ср. I, 116]. Этот предел называется интегралом от функции f(N) по (а): (О) k я i Пусть mk и Af/, —точная нижняя и точная верхняя границы значе- значения /(Лг) на (ал) (включая границу). Составим суммы
300 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИПТПГРЛЛЫ [98 которые зависят только от разбиения б. Имеет место очевидное; не- неравенство Пусть / — точная верхняя граница значений sF) и / — точная нижняя граница значений «SF) при всевозможных разбиениях 6. Имеем [I, 115] Как и в [I, 116] можно показать, что необходимое и достаточное условие интегрируемости ограниченной функции f(N) заключается в том, что разность стремится к нулю, если ц(б) стремится к нулю. Если это условие выполнено, то / = / и величина интеграла равна /. Можно показать, что sF)-*l и 5F)-*/ при цF)-+-0для любой ограниченной функции /(iV), й отсюда следует, что равенство / = / является не только необходимым, но и достаточным условием существования интеграла от f(N). Если /(Л/)« 1, то сумма а F) равна площади (мере) (а): Используя указанное выше условие интегрируемости, можно указать некоторые классы интегрируемых функций: 1. Пели f(N) непрерывна на замыкании (о) ограниченного откры- открытого множества (а), то она интегрируема. Это доказывается совершенно так же, как и в |1, 116). 2. Если множество (/?) точек разрыва ограниченной функции f(N) имеет меру нуль, то f(N) интегрируема. Ьудем для простоты считать, что (R) лежит строго внутри (а). Пусть задано е>0. Из того, что ///(/?)= О, следует, что (R) можно заключить строго внутрь множества G) тина (а), лежащего внутри (а), мера которого меньше г. Пусть /—граница (У), Мера /, очевидно, равна нулю, и мы можем заключить / внутрь множества G\) типа (а), лежащего внутри (а), площадь которого так же, как и у (У), меньше е. Пусть tfj — расстояние от / до границы (УД Отмстим, что если (а) разбита на части, и диаметр каждой из частей меньше dv то сумма площадей тех из частей, которые имеют общие точки с /, меньше е. Если мы выделим из (а) внутреннюю часть G'), то па оставшемся замкнутом множестве (ад) функция f(N) равномерно непрерывна, и, следовательно, существует такое с/а > 0, что колебание /(Л/) на всяком множестве, принадлежащем (аД диаметр которого меньше dv меньше е.
HI I 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 301 Применяя рассуждения, аналогичные тем, которые мы применили в [Ь Н01> можно показать, что если ji(8) меньше dx и </*, то где б — мера (а), а т и М — точные нижняя и верхняя границы зна- значений f(N) на (о), включая границу. Выйду произвольности е отсюда следую что f{N) интегрируема на (о). Как и в |19 117], можно доказать основные свойства интегрируе- интегрируемых функций: 1. Если f(N) интегрируема на (о) и мы изменим значения f(N) Нй множестве (R) меры нуль, сохраняя ограниченность функции, то и новая функция интегрируема и величина интеграла при 9W0M не изменится. 2. Если f(N) интегрируемо на (о) и (о) разбита на конечное число квадрируемых областей или открытых множеств (аЛ) (?=1, 2, .,., т), то f(N) интегрируема по каждой (ок) и инте- интеграл по (о) равен сумме интегралов по (оЛ). Отметим еще, что из интегрируемости по всем (<зк) следует и интегрируемость по (о). Остаются справедливыми и остальные свой- свойства интегрируемых функций, указанные в [I, 117]: вынесение посто- постоянного множителя за знак интеграла, интегрируемость суммы, произ- произведения и частного интегрируемых функций, интегрируемость абсо- абсолютного значения интегрируемой функции и теорема о среднем. Отметим еще, что, поскольку граница / квадрируемой области или открытого множества имеет меру нуль, значения ограниченной функ- функции f(N) на / не влияют на величину интеграла. 09. Вычисление двойного интеграла. Установим теперь формулу, которая приводит вычисление двойного интеграла к двум квадрату- квадратурам. Рассмотрим сначала случай прямоугольника (R) со сторонами (8) параллельными осям. Положим, что f(N)=f(x, у) интегрируема по (ЯХ т. е. существует интеграл (9) A0)
302 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (99 и повторный интеграл \F(x)dx = l[\f(xf y)dy]dx. A1) а ас Разобьем (R) на части при помощи промежуточных точек деления и пусть (Rik) — частичный прямоугольник, ограниченный прямыми: х = х1У х = хш; у=ук, У=Уи±\* Пусть, далее, mlk, Miu — точные нижняя и верхняя границы значений f(x, у) в замкнутом прямоуголь- прямоугольнике (/?,*); Д^=дг/+1 — хь Ьум=Уи+1 — У1г Интегрируя неравенство [(х, у) из по промежутку Ук<:У<>Ук+1> получим *> у) <*у причем (ул, ул+|) есть часть (г, rf), и написанный интеграл существует в силу существования интеграла A0) [I, 117]. Складывая эти нера- неравенства, получим m— I 2 $ S Интегрируем по промежутку (xlt т *l+\ d Л-1 xi с Л-1 написанный интеграл существует в силу существования интеграла A1). Суммируем последнее неравенство по /: "? Ш ] " ? S Ш ] S s j«0 Л —0 ас / — О Л-0 Принимая во внимание, что произведение bykbxi выражает площадь (Rik)* можем уизерждать, что крайние члены неравенства при беспре- беспредельном измельчании прямоугольников стремятся к интегралу (9), что и приводит к требуемой формуле: $$/(*, У) dxdy = \ [$/(*, у) dy\ dx, A2) </& ас
т $ 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 303 т. е. если существуют двойной интеграл (9) и повторный инте- интеграл (И), то имеет место формула A2), т. е. эти интегралы равны. Заметим, что существование интеграла A1) предполагает суще- существование интеграла A0). Если f(N)~-непрерывная функция в замк- замкнутом прямоугольнике (R), то интегралы (9) и A0), очевидно, суще- существуют. При этом, как мы видели [83], формула A0) дает непрерыв- непрерывную функцию от лги, следовательно, интеграл (И) также существует. Рассмотрим теперь область (а), ограниченную двумя кривыми .у = <р2(лг) и^увф^дг) и прямыми х = аъх=*Ь (рис. 79). Положим, что суще- существует двойной интеграл С y)dxdyf A3) A4) (О) (О) простые интегралы > f(xty)dy я повторный интеграл »<*) ) 1 f(x9y)dy\dx. A5) Рис. 79. Пусть (/?) — прямоугольник, образованный прямыми (8), причем мы выбираем с и d так, чтобы при всех х из (а, Ь) мы имели с<чх{х\ a d>(p*(-*r)> т. е. (а) составляет часть (/?). Определяем в (/?) функ- функцию Л(Л/)=/1(лг, у), которая равна f(N) в точках области (а) и равна нулю в тех точках (/?), которые не принадлежат (а). Кривые y — q>i(x) и y~4>i(*) разбивают (R) на три части: (а) и области (I) и (II), ле- лежащие под и над (а) (рис. 79). Функция fi(N) интегрируема по (о), так как там она совпадает cf(N) и интегрируема по (I) и (II), так как во внутренних точках этих областей она равна нулю. Следовательно, Л (Л/) интегрируема no (R), [98] и AС) (о) Точно так же существуют при всяком х из промежутка (а, Ь) инте- интеграл ф! (X) 5 f(x.y)dy A7) 5 ! (X) и интеграл A5). Следовательно, к функции fi(M) применима
304 ГЛ. 111. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ flOO формула A2) и, в силу A6) и A7), эта формула дает формулу приве- приведения двойного интеграла по (о) к повторному: = \[ \ f(x,y)dy]dx. A8) () При этом пыводе мы предполагали существование интегралов A3), A4) и A5). Если f(x, у) непрерывна в замкнутой области (о), то, как и выше, интегралы A3) и A4) существуют. Кроме того, в силу [83], формула A4) определяет непрерывную функцию от х, и следо- следовательно, интеграл A5) также существует. Совершенно аналогично можно доказать и формулу приведения трехкратного интеграла к повторному интегралу, содержащему три квадратуры [61]. 100. п-кратные интегралы. Все сказанное в [96| и [97] пере- переносится непосредственно на случай /i-мерного пространства и приво- приводит к понятию интеграла от ограниченной функции по ограниченной измеримой /f-мерной области, к указанному выше условию интегри- интегрируемости и к обычным свойствам интегралов. Точно так же, анало- аналогично [99|, имеет место формула приведения я-кратного интеграла к повторному, содержащему п квадратур. Формулу эту можно дока- 8ать путем индукции, изменяя п на единицу. Пределы в кратном интеграле вычисляются из тех неравенств, которыми определяется область интегрирования. Пусть f(N) = f(xv xit ..., *„)-—непрерыв- *„)-—непрерывная функция в замкнутой квадрируемой области (Рп) л-мерного про- пространства, внутренние точки которой определяются условиями: точки (лГ|, дг4, ..,, хп_х) суть внутренние точки некоторой измеримой области Qn_x из (п — 1)-мерного пространства и хп удовлетворяет неравенствам где <pi(*i, Хъ *„_,) и <р*(хь х* ,.,, хп_х) — непрерывные функ- функции в Qrt_i. При этом /1-кратный интеграл выразится квадратурой по хп и (л—1)-кратиым интегралом по (Qrt,i): П — S5 — $ Г ^ H*» •- xn)dxn]dxx ... dx_v A9) (<?я-1) iPiUi *rt-|) Обобщением прямоугольника плоскости со сторонами, параллельными осям, является призматоид (/?„) «-мерного пространства, определяемый неравенствами: B0)
% 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 305 Интегрирование по этому призматоиду приводится к повторному интегралу, все пределы которого постоянны: ьп - I ь . \ dxn_x $ an - \ an ..., xn)dxm и можно менять произвольно порядок интегрирования, оставляя по каждой переменной прежние пределы. Для читателя, знакомого с понятием определителя, укажем и фор- формулу замены переменных в п-кратном интеграле. Положим, что вместо переменных (л'}, лг* ..., хп) вводятся новые переменные (*;, x'v ..., х'п), и пусть лг, = ср,(*;, л:; xfn) (i=l, 2, ..., п) B1) — формулы, выражающие старые переменные через новые. Введем в рассмотрение так называемый функциональный опреде- определитель системы функций B1): 5P, 5*; •¦• Wn Формула замены переменных имеет вид B2) 'l ...dx'a, B3) где неравенства, определяющие новую область интегрирования (Р'п), получаются из неравенств, определяющих (Р„), если там заменить xt их выражениями B1). Условия применимости формулы B3) те же, которые были указаны для двойного интеграла в (80]. Несобственные л-кратные интегралы определяются так же, как и несобственные Двойные и тройные интегралы |89]. Перейдем теперь к примерам. 10!. Примеры. 1. Тетраэдр л-мерного пространства, ограниченный гипер- гиперплоскостями: определяется неравенствами: 0, .... дгЛ>0, B4)
306 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (Ml При « = 3 получается обычный тетраэдр, ограниченный координатными пло- плоскостями и плоскостью х+у + г*=*а. Введем новые переменные, положив *. + ... + *„ "~ откуда следует Стлрыс переменные выражаются через новые по формулам: а Из этих формул непосредственно вытекает, что тетраэдр B4) можно заменить л-мериым кубом: B5) 2. Определим меру (объем) n-мерного шара с центром в начале и ра- радиусом г, определяемого неравенством *»+*•+...+*;¦ <л B6) Если совершить преобразование подобия с коэффициентом подобия k, то объем всякого куба умножится на knt а радиус г умножится на /?. Отсюда непосредственно следует, что искомая мера vn, являющаяся функцией одного г, должна иметь вид vn = Cnr*t B7) где Сл —численная постоянная, различная для различных л. Если пересечь шар BG) плоскостью постоянного х1у то, как это видно из формулы B6), получится (л— 1)-мерный шар, квадрат радиуса которого равен (г3 — *{). п — 1 В силу B7), мера этого шара будет Crt_t (r2 — x\) 2 . Часть л-мерного шара, заключенная между плоскостями хг и (x1 + dxi), будет иметь меру Сп_х (га — х\) 2 dxu откуда вытекает следующее выражение для vn: + r «Hi vn = Cnr» = Cn_t J (r«-jrj) 2 dxu или, совершая подстановку дг1=гсозф, получим следующую связь между Я я 2 С„ « Сл_, j sin" ф t/ф - 2СЛ_! ^ sin« ф Жр, B8)
1021 § 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 307 где, как известно II, 100], к т ' 7/н оТ о" Т "Ри чет»°М Л, 1С sin" ф */<?=- . Ov—^-s— при нечетном п. IX \П — Z) •«• О Заменяя в B8) п на (я — 1), получим О Из написанных равенств вытекает при любом целом п: Сп = Сп_ш?~. B9) 4 Ио, как известно, С, = оС,= „ я. Применяя формулу B9), получим отсюда Л-ft Я-1 "РИ ||СЧСТН0М ^^ n (yt 2) 102. Внешняя мера Лебега, Переходя к теории меры и инте- интеграла Лебега, отметим прежде всего, что некоторые из результатов этой теории мы приводим без доказательства. В соответствующих пестах мы приводим ссылку на том V, содержащий доказательства упомянутых результатов. В дальнейшем мы часто будем встречаться с суммами конечного или счетного числа неотрицательных слагаемых. При этом мы будем допускать, что отдельные слагаемые или суммы равны ( + °°)- Если какое-либо слагаемое равно (-|-оо), то и сумма естественно считается равной (-{-со). Но сумма счетного числа слагаемых (предел суммы первых п слагаемых при л-*со) может быть равна (-f"°°) и тогда, когда среди слагаемых нет равных (-}-оо)' Отметим еще, что сумма неотрицательных слагаемых не зависит от их порядка. В теории меры Лебега допускаются как ограниченные, так и не- неограниченные множества. Мы начнем с определения внешней меры. Существенное различие по сравнению с мерой Жордана состоит в том, что при определении внешней меры допускается покрытие множества не только конечным, но и счетным числом квадратов Дл
308 ГЛ. HI. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |1М (/1=1, 2,...) со сторонами, параллельными осям. Эти квадраты могут принадлежать разным сеткам квадратов и перекрываться. Мы будем считать Д„ открытыми квадратами, что несущественно, но это будет нам удобнее, поскольку в дальнейшем изложении открытые множества играют важную роль. Определение. Внешней мерой любого точечного множе- множества Е называется нижняя граница сумм ?пл.Дя C0) п площадей квадратов Д„ при всевозможных покрытиях Е этими квадратами. Если при любом покрытии сумма C0) равна (-f-oo), то внешняя мера Е считается равной (-f-oo). Если Е — ограниченное множество, то его можно покрыть одним квадратом Aj и, следовательно, его внешняя мера конечна. Но внешняя мера может быть конечной и для неограниченного точечного множества. Внешняя мера пустого множе- множества естественно считается равной нулю. Внешнюю меру всякого мно- множества Е обозначаем символом \Е\. В дальнейшем сумму C0) для какого-либо покрытия А некото* рого множества Е будем обозначать через с (А). Переходим к доказательству основных свойств внешней меры. Теорема 1. Если Е%аЕ» то \Е%\^\Ег\. Непосредственно следует из того, что всякое покрытие Ех есть и покрытие Е%. Теорема 2. Для конечного и счетного числа слагаемых внешняя мера суммы не больше суммы внешних мер слагаемых: Пусть задано t>0. В силу определения точной нижней границы, существует такое покрытие Ak множеств Ек, что о(Ак)*^\Ек\-\~щ. Берем квадраты, входящие хотя бы в одно из Ак (их конечное или счетное число [93]). Они совершают некоторое покрытие А суммы Ек> и для него имеем откуда |2|S и, в силу произвольности t, получаем C1).
t03| * 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 309 Отметим, что в формуле C1) может иметь место знак < даже в том случае, когда Ek не имеют попарно общих точек. Таким обра- образом, для внешней меры мы не имеем свойства аддитивности. В даль- дальнейшем мы часто будем обозначать открытые множества буквою О (французское слово ouvert— открытый), а замкнутые множества бук- буквою F (французское слово ferme — замкнутый). Теорема 3. Для всякого множества Е при любом заданном е>0 существует такое открытое множество О, покрываю- покрывающее Е, что \О\\Е\ + C2) Если |Е| = + оо, то это очевидно при любом О, покрывающем Е. Положим, что |Я| конечна. При любом заданном е>0 выбираем такое покрытие А множества Е, что \Е\ + е. C3) Сумма открытых квадратов Д„, входящих в А, есть открытое множе- множество О. Оно покрывается промежутками Д„ и покрывает Е. По опре- определению внешней меры, \0\<ко(А) и из C3) следует C2). 103* Измеримые множества. Мы не будем вводить понятия вну- внутренней меры, как это мы делали в теории меры Жордана, а с по- помощью открытых множеств непосредственно перейдем к понятию измеримого множества (аналог квадрируемости по Жордану). Свой- Свойство, выражаемое теоремой 3, имеет место для всякого множества Е. Но не для всякого множества Е внешняя мера разности О — Е соот- соответствующим выбором О может быть сделана < е, где е > 0 — задано. Если Е обладает таким свойством, то мы будем называть его измеримым. О п р е д е л е п и е. Множество Е называется измеримым, если при любом заданном е > 0 существует такое открытое множе- множество О, что EczO и | О — Е: | ^ е. Внешнюю меру измеримого множества Е будем называть просто мерою Е и обозначать символом т(Е). Переходим к выяснению свойств измеримых множеств. Отметим, что пустое множество счи- считается измеримым и его мера —равной нулю. Прежде всего возни- возникает вопрос —будет ли всякий квадрат или прямоугольник (откры- (открытый или замкнутый) со сторонами, параллельными осям, измеримым множеством, и если это так, то чему равна его мера. Не останавли- останавливаясь на доказательстве, сформулируем результат. Теорема 4. Множество точек замкнутого или открытого прямоугольника со сторонами, параллельными осям, есть изме- измеримое множество и его мера равна произведению длин его сторон.
310 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ № Теорема 5. Открытые множества измеримы. Если ?—открытое множество, то для проверки его измеримости достаточно взять О совпадающим с Е, и при этом |О — Е\=*0. Теорема 6. Если \Е|«= 0, то Е — измеримое множество и ю(?) = 0. Если Е—измеримое множество и /w(?)=»0, то |?| 0 || Если |? | = 0, то, согласно теореме 3, для любого заданного е>0, существует такое О, что Е d О и | О | ^ е, а потому» п силу тео- ремы 1, тем более |О — Е\^.г> т. е. Е измеримо и /я(?) = 0, ибо т(Е) совпадает, по определению, с внешней мерой. Наоборот, если Е измеримо и /я(?) = 0, то и |?|=:0. Теорема доказана. В силу доказанного измеримое множество Е меры нуль, или, как обычно говорят, множество Е меры нуль, определяется следующим свойством: при любом заданном е>0 можно покрыть Е конечным или счетным числом квадратов, сумма площадей которых ^е. Теорема 7. Сумма конечного или счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество. Пусть ?п(л=1, 2, •..) — измеримые множества, С— их сумма и е > 0 —заданное число. Согласно определению измеримого множества, существуют такие открытые множества О„, что Еп с О„ и | О„ — Еп \ ^ ^ 2п• Сумма О„ есть некоторое открытое множество О и ?сО. Но для любых множеств Рп и Qn легко проверить, что п п Применяя это к ОЛ и Еп, имеем п Пользуясь теоремами 1 и 2, получаем и, в силу |ОЛ — что и доказывает измеримость Е. Теорема 8. Замкнутые множества измеримы. Не приводя довольно сложного доказательства этой теоремы, м* сформулируем еще лемму, на которой оно основано [V, 36]. Лемма. Если расстояние между двумя множествами Пх и ? положительно, то \ Ех + Ег \ = | Ег \ +1Е2 \.
1081 § 9..MEPA И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 311 Теорема 9. Если Е — измеримое множество, то и СЕ из- измеримо. В силу измеримости Е существуют такие открытые множества Оп% что ЕаОп и|О„ — Е\^~ (л=з1, 2, „.). Введем замкнутые множе- множества Fn = COn. Из ЕаОп следует FnaCEt и в силу D) из |93J имеем СЕ — Fn = On — E. Заменяя в леоой части Fn на сумму 1:п, получим откуда СЕ- Левая часть не зависит от //, а правая стремится к нулю при п -> со и, следовательно, се- = 0, т. е. разность, стоящая слева, есть множество Ео меры нуль. По- Поскольку Fn d СЕ, мы имеем и из теоремы 7 и 8 следует, что С/: — измеримое множество. Следствие. Из измеримости СЕ следует измеримость () Следующая теорема дает критерий измеримости Е не через откры- открытые множества, покрывающие Е (определение измеримых множссти), а через замкнутые множества, содержащиеся в Е, Теорема 10. Для того чтобы множество Е было измери- измеримым, необходимо и достаточно следующее: при любом заданном е > 0 существует такое замкнутое множество /% что F а Е и lif-FKe. Измеримость Е равносильна измеримости C/i, а для этого необ- необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного е > 0 существо- существовало такое открытое множество О, что СЕ а О и |О — СЕ\^е. Если положить F — CO и принять во внимание, что, в силу D) из [93|, О — СЕ — Е — СО — Е — F, то |О — СЕ\^г можно переписать в виде \Е — F\<ze и FaE, ибо СЕ а О [93]. Теорема доказана. Теорема 11. Произведение конечного или счетного числа измеримых множеств есть измеримое множество. Разность измеримых множеств есть измеримое множество.
312 ГЛ. 111. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ A03 Если ?„—измеримые множества, то измеримость их произведенийн вытекает из формулы [93]: и теорем 9 и 7. Измеримость разности следует из очевидной фор- формулы А — В = А • СВ и измеримости произведения. Теорема 12. Мера суммы конечного или счетного числа из- измеримых множеств попарно без общих точек равно сумме мер слагаемых множеств. Пусть Еп— измеримые множества попарно без общих точек. Изме- Измеримость их суммы следует из теоремы 7. Проведем доказательство при предположении, что все Еп ограничены, но их число бесконечно. Согласно теореме 10 при любом заданном *^>0 существуют такие замкнутые множества Fn> что FnczEn и \Еп — Fn\^ кп . Множе- Множества Fn, очевидно, ограничены и не имеют попарно общих точек. Из формулы Еп == Fn -f- (En — Fn) непосредственно следует ^. C4) Для конечной суммы Fn имеем по теореме 1: I s ll S 4 I ? F«M ? Применяя лемму к сумме Fn и пользуясь C4), получим |?? ??^? откуда при /w-*oo I ?f»|^ ? \e*\—. или, ввиду произвольности e, I S^|> S is.!- fl«l П — I Сравнивая с неравенством C1), получаем л-l л-i
1081 I 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 313 или, в силу измеримости слагаемых и суммы, S En)= 2 m(E*i п — 1 п— i Свойство, выражаемое теоремой 12, называется обычно полной аддитивностью меры Лебега. Прилагательное «полный» выражает тот факт, что аддитивность меры имеет место не только для конеч- конечного, но и для счетного числа множеств, не имеющих попарно общих точек. Таким свойством не обладает мера Жордана. Замечание. Отметим, что из теорем 2 и 6 следует, что сумма конечного или счетного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль. При этом не предполагается, что слагаемые множества попарно без общих точек. Теорема 13. Если А и В измеримы, BczA и В—-конечной меры, то т {А — В) = т (А) — т (В). Разность А—B = D измерима по теореме 11. В силу BczA имеем A = B-\-D> причем В и D без общих точек и, следовательно, m(A) — m(B)-\-m(D). Вычитая почленно /и(#)<[+со, получаем т(А — В) — т (А) — т (В). Приведем еще два результата, касающиеся предельного перехода для множеств. Пусть Рп — невозрастающая последовательность изме- измеримых множеств, т. е. PiZdP%zdP%zd... Пределом Рп при л->оо назовем произведение всех Ря: Р = Нт Рп = П Рп (Pi Э PiЭ. • .)• C5) Множество Р может быть и пустым. Множество Р, состоит, очевидно, из элементов (точек) Р и тех элементов, которые входят в какое- либо Рк, а, следовательно, и во все Рх при /<[?, но не входят в Рл+|. Мы можем, таким образом, представить Pi в виде следующей суммы множеств, не имеющих попарно общих точек: откуда т (/>,) = т (Р) + я-1 Нт 2 П-+СО If шш\ и из этой формулы непосредственно следует т(Р)= Иш /^(Рд). C6)
314 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ A04 Отметим одно следствие полученной формулы. Пусть имеется бес- бесконечная сумма измеримых множеств: E = Et -}-?'« + ..., и положим Rn = Е — (?*!-(- Е% + ...-{- Еп)- Последовательность Rn не возрастает, и предельное множество R пусто. Действительно, если предположить, что имеется точка М, принадлежащая R, т. е. исем Rm то отсюда следует, что М принадлежит Е, но не принадлежит ни одному из Ek(k—\, 2,...), а это противоречит тому, что Е есть сумма Ek. Таким образом, мы можем утнерждать, что /я (/?„)->() при п-+оо. Если ?„ — неубывающая последовательность измеримых множеств Snt т. с. S, CZ S* CI•••» то предельным множеством S называется сумма всех Snt и нетрудно показать, что m(S)= Htn m(Sn). C7) п -* со Вся изложенная выше теория меры легко переносится на случай прямой и л-мерного пространства [97]. Отметим, что в случае прямой всякое открытое множество есть сумма конечного или счетного числа открытых промежутков. Как и для меры Жордана, можно показать, что мера Лебега не зависит от выбора осей координат. Приведем некоторые замечания, связанные с теорией меры. Введем полуоткрытые квадраты, определяемые неравенствами: a<^x*^bt c<^y^d (b — a = d—с), и нанесем на плоскости сетку таких ква- квадратов. Они не имеют попарно общих точек. Пусть О — некоторое ограниченное открытое множество. Отметим те квадраты, которые входят в О (их конечное число). Каждый из оставшихся квадратов поделим на четыре равные части и отметим те из полученных ква- квадратов, которые входят в О, и т. д. Поскольку расстояние любой точки О до ее границы положительно, всякая точка О попадает в один из отмеченных квадратов, т. е. О есть сумма счетного числа полу- открытых квадратов, а мера О равна сумме площадей этих квадратов. Отсюда видно, что мера Лебега множества О совпадает с внутренней мерой Жордана. Если присоединить к множеству О его границу /, то получим замкнутое множество. Оно измеримо по Лебегу, но его мера может быть больше меры О. Если F—ограниченное замкнутое множество, то мы можем по- покрыть его открытым квадратом О и разность Oj = О — F есть откры- открытое множество, причем 1:=О~ОХ> и m(F) = т(О) —т (Ох). Таким образом, мера F определяется через меры открытых множеств. 104. Измеримые функции. Переходим к выяснению того класса функций, который является основным в теории Лебега. Мы будем рассматривать функции точки f(x), определенные на измеримых мно- множествах и принимающие вещественные значения. Буква х обозначает точку измеримого множества на прямой или на плоскости, или вообще в //-мерном пространстве. Для f(x) считаются допустимыми и значс-
104] I 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 315 иия(±оо). Если f(x) не принимает этих значений, то будем говорить, что функция принимает конечные значения. Функция называется огра- ограниченной, если абсолютная величина всех ее значений не превышает некоторого числа (конечного). Введем некоторые обозначения. Пусть функция f(x) задана на множестве Е. Символ E[f(x)^>а] или E[f^>а] обозначает множество тех точек х из ЕУ в которых f(x)^>а. Аналогичный символ приме- применяется и для других типов неравенств или равенств. Если f(x) и g(x) — две функции, определенные на Е> то символ E\f^>g\ обозна- обозначает множество тех точек х из Е> в которых f(x)^>g(x). Аналогич- Аналогичный смысл имеет символ E[f=g] и т. д. Введем еще новый термин: «почти везде». Если некоторое свойство имеет место во всех точках некоторого измеряемого множества Е, кроме, может быть, множества точек меры нуль, то будем говорить, что это свойство имеет место почти везде на Е. Определим теперь класс функций, который лежит в основе теории Лебега. Определение. Функция f(x)t определенная ни измеримом множестве Е, называется измеримой (или измеримой на Е), если для любого вещественного числа а, как конечного так и беско- бесконечного (±оо), измеримы множества: E\f^a)f ?[/<*], ?[/><*], ?[/<*], E\f=a]. C8) В дальнейшем мы будем иметь дело с измеримыми множествами и измеримыми функциями, определенными на измеримых множествах. Введем еще одно важное в теории Лебега понятие. Определение. Две функции f(x) и g(x), определенные на Е, называются эквивалентными на Е, если они равны почти везде на Е, т. е. если мера множества E[f^g] равна нулю. Отметим, что если мера Е равна нулю, то любая функция на нем измерима и любые две функции эквивалентны. Это следует непосред- непосредственно из того, что всякая часть Е имеет меру нуль. Нетрудно по- показать, что если функция /t эквивалентна gx и /% эквивалентна gb то А+Л эквивалентна tfi + ft, АЛ эквивалентна gtg% и у эквива- лагтна —!, если соответствующие действия имеют смысл. Если мы изменим значение f(x) на множестве меры нуль, то получим функцию, эквивалентную /(*). Отметим еще, что функция, равная постоянной па ?, очевидно, измерима. Переходим к теоремам, связанным с понятием измеримых функций и эквивалентных функций. Теорема 1. Для измеримости множеств C8) при любом а достаточно, чтобы одно из этих множеств, кроме пятого, было измеримо при любом а.
316 ГЛ. HI. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |104 Множества [f^a] и E[f<^a\— дополнительные множества, и измеримость одного из них при любом а равносильна измеримости другого. Точно так же измеримость третьего из множеств C8) при любом а равносильна измеримости четвертого. Множество пятое есть разность первого и третьего множеств. Докажем, например, что из измеримости третьего множества при любом а следует измеримость остальных множеств. Действительно, из измеримости третьего множе- множества следует измеримость четвертого, а также измеримость первого, в силу формулы 1 п — I а тем самым и второго. Заметим, что множества Z:|/=-f-coJ ?•(/= — оо] могут быть представлены в виде П /I- I П- I Теорема 2; Если f(x) измерима на Е, то она измерима и на любой измеримой его части Е*. Если f(x) измерима на конеч- конечном или счетном числе множеств Еп, то она измерима и на их сумме. Утверждения теоремы вытекают из следующих формул: Теорема 3. Если f(x) и g(x) эквивалентны на Е и одна из них измерима, то и другая измерима. По условию теоремы, множество A = E\fф g] имеет меру нуль. На измеримом множестве Е* = Е — А имеем f(x) = g(x), и из изме- измеримости f(x) на Е, и тем самым на Е*> следует измеримость g(x) на ?". По ^(дг)^измерима на А (меры нуль), а тем самым и на Е = Е'-\-А. Теорема 4. Если f(x) — измеримая функция, то и |/(*)| — измеримая функция. Утверждение теоремы непосредственно следует из формулы Теорема б. Если f(х) — измеримая функция и с — веще- вещественное число, то f(x)-\-c и с/(х) — измеримые функции. При с = 0 теорема очевидна. Считаем, что с z/Ь О. Первое утверждение следует из формулы -- 4
104) §9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 317 а второе из формул [т] при с>0, i] при с<0. Теорема 6. Если f(x) и g(x) —измеримые функции, то мно- окество E\f>g\ измеримо. Пронумеруем все рациональные числа [93]: rv г2, ... Утверждение теоремы следует из формулы Теорема 7. Если f(x) и g(x) —измеримые функции, прини- принимающие конечные значения, то функции f—g, f+g, fg и - (при g^O) измеримы. Измеримость /— g следует из формулы и теорем б и 6. Измеримость суммы —из формулы /4-g =¦/—(—g) и теоремы 5 при с = — 1. Измеримость /2 —из формулы а измеримость fg из формулы Измеримость — (при g=fiQ) следует из формул ±] при a>0, ±] приа<0, [] при а = 0. Наконец, измеримость частного следует из формулы -?-=/—, Ого- Оговорка о конечных значениях необходима, ибо в противном случае действия над функциями могут потерять смысл. Если в некоторой точке /= + °° и g^ — оо, то сумма f+g не имеет смысла. Но если, например, измеримые функции / и g могут принимать конечные вначения и значение (+ со), то сумма f+g имеет всегда смысл и свойство измеримости ее сохраняется.
318 ГЛ. HI. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ A05 Большое принципиальное значение имеет следующая теорема, коти- котирую мы приводим без доказательства [V, 44]: Теорема 8. Если fn(x) (л=1, 2, ...) — бесконечная последо- последовательность измеримых на Е функций, сходящихся везде или почти везде на ?, то и предельная функция f(x) измерима на Е. Эта теорема показывает, что предельный переход в классе изме- измеримых функций не выводит из этого класса. Совершенно иную кар- картину имели мы для класса непрерывных функций. Предельный переход для последовательности непрерывных функций может приводить к разрывным функциям [1, 144] даже при наличии предела иезде. Если fn(x) — f(x) почти везде на ?, то па множестве меры нуль, где пет сходимости, функция f(x) доопределяется любым образом, например нулем. При различном доопределении получаются эквива- эквивалентные функции. Приведем еще результат, касающийся предельного перехода, кото- который будет нам нужен в дальнейшем [V, 44]. Теорема 9. Пусть Е— измеримое множество конечной меры и fn(x) — последовательность измеримых на Е функций, которые принимают почти везде на Е конечные значения и схо- сходятся почти везде на Е к функции f(x), также принимающей почти везде на Е конечные значения» При этом для любого за- заданного е^>0 мера множества точек х, в которых выполнено неравенство \f(x) — fn(x)\^>€* стремится к нулю при л—*со. 105. Дополнительные сведения. Прежде чем переходить к поня- понятию интеграла Лебега, приведем некоторые примеры и дополнительные теоремы. Пусть f(x) и #(*)—-эквивалентные функции, непрерывные на некотором замкнутом квадрате или прямоугольнике Д. Покажем, что их значения совпадают во всех точках А. Действительно, если в неко- некоторой точке лг0 имеем, например, f(x0) — g(xQ)^>0t то, в силу непре- непрерывности функций, это неравенство сохранится и в некоторой е-ок- рсстности дг0. Мера этой окрестности больше нуля, а это противоре- противоречит предположенной эквивалентности функций. Таким образом, понятие эквивалентности функций не имеет смысла в классе непрерывных на А функций. Всякая непрерывная на А функ- функция f(x) строго индивидуальна. Если две непрерывные функции f(x) и g(x) отличаются в одной точке х0, то они отличаются, как мы видели, и на множестве положительной меры из А. Совсем иное мы имеем в классе измеримых функций f(x). Изменяя произвольным образом значения f(x) на множестве меры нуль, мы приходим к функ- функции, эквивалентной f(x). Легко видеть, что если f(x) эквивалентна g{x) и g{x) эквивалентна h(x\ то f(x) эквивалентна h(x\ и в классе измеримых на некотором множестве Е функций функции распреде- распределяются на группы эквивалентных функций, причем в каждой такой
105| I 9- МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 319 группе содержится бесчисленное множество функций таких, что зна- знамения каждых двух из них отличаются на множестве точек из Е, имеющем меру нуль. Во многих вопросах теории Лебега целесооб- целесообразно отождествлять все функции одной группы. Отметим еще один факт. Если f(x) — функция, непрерывная на некотором замкнутом множестве ?, имеющем изолированные точки [91], то, меняя значе- значение/(х) в изолированной точке, мы, не нарушая непрерывности/(лг), получаем функцию, эквивалентную f(x). Укажем примеры измеримых функций. Положим, что f(x) непрерывна на А. Нетрудно показать, что множество Д[/^а] при любом а замкнуто, откуда следует изме- измеримость /(•*). Можно показать, что если f(x) принимает на Д конеч- конечные значения и множество точек разрыва ее непрерывности имеет меру нуль, то f(x) измерима на Д. Но это условие измеримости является только достаточным. Дадим пример функции f(x) одной переменной, определенной на промежутке Д (O^jc^I) и измеримой на нем, причем каждая тонка х из Д есть точка разрыва непрерыв- непрерывности f(x). Определим/(jc) на Д —следующим образом:/(дг) = О, если лг — рациональное число, и /(лс)=1, если х — иррациональное число. Счетное множество рациональных точек имеет меру нуль [93], а по- потому множество иррациональных точек из Д имеет меру — единица. Отсюда легко следует, что f(x) — измеримая функция. Она эквива- эквивалентна функции, тождественно равной единице. Но нетрудно видеть, что всякая точка х0 из Д есть точка разрыва непрерывности. Дей- Действительно, в любой е-окрестности х = х0 находятся как рациональ- рациональные, так и иррациональные значения лг, т. е. в любой с-окрестности х0 функция f(x) принимает как значение 0, так и значение 1, откуда следует, что всякая точка х0 из Д есть точка разрыва непрерывности. Приведем результат Н. Н- Лузина A913), вскрывающий связь между измеримыми и непрерывными функциями. Теорема. Пусть f\x) определена на измеримом множестве Е конечной меры и принимает почти везде на Е конечные значе- значения. При этом для измеримости f(x) необходимо и достаточно следующее: при любом заданном *]>0 существует такое замкну- замкнутое множество F, принадлежащее Е, что т(Е—F)<^* и f(x) непрерывна на F. Отметим, что m(E — F) = in(E) — m(F\ в силу F Сформулируем еще результат Д. Ф. Егорова A911), устанавли- устанавливающий связь между сходимостью измеримых функций и их равно- равномерной сходимостью. Теорема. Пусть /п(х) — последовательность функций, при- принимающих на измеримом множестве Е конечной меры почти везде конечные значения и сходящаяся почти везде на Е к функ- функции f(x\ также принимающей на Е почти везде конечные зна- значения. При этом для любого заданного t существует такое
320 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [10$ замкнутое множество F, принадлежащее Е, что т(Е~ F)< в и сходимость Л (*)-*/(•*•) на F равномерная. 106. Интеграл Лебега. Переходим к определению интеграла Лебега. Пусть на измеримом множестве конечной меры Е задана огра- ограниченная измеримая функция. Из ограниченности f(x) следует суще- существование такого числа L>Q> что \f(x)\^L при х^Е. Разби- Разбиваем Е на конечное число измеримых подмножеств попарно без общих точек: Е= ?) Е* <39> и пусть rnk и Mk—-точная нижняя и верхняя границы значений па ?*• Составляем суммы [ср. 98] s (б) - ? mkm {Eu\ S F) - jjj Mkm (? Д D0) где б обозначает подразделение C9). Эти суммы, очевидно, ограни- ограничены при любых подразделениях: \s(b)\^Lm(E) и |?|(б)|<L/R(?). Пусть / — точная верхняя граница sF) и / — точная нижняя гра- граница S(b) при всевозможных б. Определение. Если 1=*/, то говорят, что f(x) интегри* русма по Е, и величину интеграла считают равной I = /: $ D1) и Определенный таким образом интеграл называется интегралом Лебега. Отметим вид f(x)dx подынтегрального выражения и тот факт, что мы пишем один знак интеграла во всех случаях: прямой, плоскости, л-мерного пространства. В дальнейшем мы будем придер- придерживаться этих обозначений. Только в [110], при изложении вопроса о приведении кратного интеграла к последовательным квадратурам, мы будем записывать подынтегральное выражение в более подробной форме и знак интеграла при кратном интегрировании будем писать несколько раз. Так, например, для интеграла на плоскости можно писать \\f{xv x2) dxxdx2 или « f(x, у) dx dy. Введем понятие произведения подразделений [ср. I, 115—117]. Поло- Положим, что наряду с подразделением C9) мы имеем другое подразде- подразделение б'; Е- 2 fc* D2>
|0в| I 9 МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 321 Произведением подразделений D1) и D2) называется подразделе- подразделение 88\ состоящее из всевозможных частичных множеств ЕкЕ\> Эти последние не имеют попарно общих точек» но могут быть и пустыми. Подразделение Е= ? El называем продолжением подразделения C9), если каждое El при- принадлежит только одному из Ек. При переходе от некоторого подраз- подразделения 8 к его продолжению сумма s(8) не убывает и S(b) не воз- возрастает- Если 8t и 8* — два каких-либо подразделения, то $(&tX &(&*). откуда s(8,)^/*?/^«S(8a) и, в частности 11, 115], Кроме сумм D0), составим сумму где хи ? Ек. Имеем, очевидно, s (8) < о (8) *?$(*). D4) Теорема, Для равенства I = / необходимо и достаточно, чтобы существовала такая последовательность подразделений 8Я, для которой S(bn) — s(8fl) — 0. Доказываем достаточность. Если 5(8Я) — $(8Л)~-0, то из D3) следует, что 1 = /. Доказываем необходимость. Пусть 1 = 1. По определению I я /§ существуют такие последовательности подразделений Ь'п и Ь„, что *{8д)—•'($(*я)<0 и S(K)—+1(S{bn)^*Jy Для последовательности подразделений 8rt = 8rt8«, тем более 5(8Л)~- i и 5(8П)—¦/. Но / = / и, следовательно, 5(8Я) — 5(8л)-^0. Доказанная теорема дает необходимое и достаточное условие инте- интегрируемости f(x). Отметим, что в подразделениях 8Л частичные мно- множества не должны обязательно измельчаться, т. е. наибольший из их диаметров не должен обязательно стремиться к нулю. Если существует последовательность подразделений 8Л, для кото- котором &•(»,.)-*№.) —0. то s(in)-+t (/=:/), $(8„)-Ч и из D4) еле- дует, что и o(bn)~*i при любом выборе точек xk из Ek. Если 1а сути продолжение 8л, то все сказанное выше имеет место и для 8„. Мы укажем сейчас такую последовательность подразделений 8ДО что для любой ограниченной измеримой функции, определенной на мно- множестве /: конечной меры, S(&n) — 5(8Л)—»0, откуда будет следовать интегрируемость такой функции. Пусть т и Л4 — точные нижняя и верхняя границы значений (\х) на Е. Разобьем промежуток (/w, M)
322 ГЛ. И1. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ flOt на частя = М D5) и определим следующим образом разбиение 8 множества Е на частич- частичные множества: Ъ = Е Lv0 </(*) < у %]. Ек = Е [ум </(х) <ук] D6) (* = 2, 3 л). Отсюда следует, что Ун-\<Щ и у*^Л1л, и, таким образом, S Л-1« (/?*) < 5 F) < 5 (8) < 2 укт (Ек) D7) я тем более 53 Л-1« №*> < I < / < S Jf*« (Я*> D8) Образуем разность между крайними членами этого неравенства; Пусть |х(8) — наибольшая яз разностей ук—укЛ (A=xl, 2, ...» л). Имеем в силу того, что сумма т(Ек) равна т(Е)> Если мы возьмем такую последовательность подразделений 8л, для которых соответствующая величина ^(8Я)—*0 при я—¦со, то раз- разность между крайними членами неравенства D8) стремятся к нулю, я, следовательно, Je=/, т. е. f(x) интегрируема. Отметим, что условие |1(й„) — 0 при л—*со сводится к беспредельному измельчению раз- разбиения промежутка (/», М) язменения функции f{x). Подразделе- Подразделение D6) множества * Е называется обычно подразделением Лебега, а обе суммы, входящие в неравенство D7), соответствующими сум* мами Лебега, Из сказанного выше следует Основная теорема* Всякая ограниченная, измеримая на измеримом множестве Е конечной меры функция f(x) интегри- интегрируема по Е, и величина интеграла равна пределу сумм Лебега или сумм о(8„) при любом выборе хк для подразделений Лебега при беспредельном измельчении промежутка (/я, М) изменения функции. Суммы о(Ъя) будут иметь, как мы упоминали выше, тот же пре- предел и для любых продолжений Ьл подразделений Ьп, о которых гово- говорилось в теореме.
до) I 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 323 Пусть ограниченная функция f(x) определена, например, на конеч- конечном замкнутом промежутке Д(а^д-е^?; c^y^d). Как показал Лебег, для существования интеграла Римана от f(x) по Л необходимо и достаточно, чтобы лебегова мера точек разрыва /(лг) имела меру нуль. Из этого результата легко следует, что при этом f(x) измерима на Л и ее интеграл Лебега по Д совпадает с интегралом Римана. 107* Свойства интеграла Лебега. Поскольку интеграл Лебега может быть определен как предел сумм оFп) для подразделений Лебега при цF„)-*0, или для их продолжений $„, он имеет свойства, аналогичные свойствам интеграла Римана. Мы отметим и еще некото- некоторые важные дополнительные свойства, которых не было у интеграла Римана. В этом номере мы считаем везде, что /(лг) и Л(лг) — изме- измеримые ограниченные функции и ? — множество конечной меры, 1. Если С — постоянная, то \ () D9) ? Для любого подразделения 6 суммы 5F) и 5F) имеют значение Ст(Е), откуда и следует D9). 2. E0) Пусть бя и 6'п — последовательность подразделений, при которых оFа) для fi(x) и сF'п) для /t(x) имеют пределом соответствующие интегралы. Для 6п*=6л6'п суммы crFJ) как для Л(дг), так и для f%(x) имеют пределом соответствующие интегралы, и F0) получается на основе теоремы о пределе суммы. 3. CkfM(x)dx= f; CAfk(x)dx. E1) Применяем несколько раз формулу E0), а вынесение постоянного множителя за знак интеграла следует из возможности вынесения его м »"ак сумм а(бд). 4. Если f(x) S* 0 на Е9 то Все суммы а(б„) неотрицательны. 5. Если fx(x)^ft(x) на Е> то y{ E2) E3)
824 ГЛ. 111. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |М! Достаточно применить 4 к разности f\(x) — f%(x) и воспользо- воспользоваться 3. 6, \\f{x)dx\^\\f{x)\dx. (ГL) \\ \ Для доказательства достаточно взять произведение подразделении для f(x) и \/(х)\ и написать аналогичное неравенство для сумм а(Ьп). 7. Если а*^/(х)^Ь, то am (П) < [f(x) dx ^ Ът (Е). E5) Непосредственно следует из б и 1. 8. Если \f(x)\^L, то \\f{x)dx\<kLm(E). E6) Неравенство )f(x)\ ^ L равносильно: — L^f(x)^L и E0) является следствием 7. 9. Если E=E*-{-E'f где Е* и Е9 измеримы и без общих то- точек, то \/(х) </*= $/(*) dx + \ f(x)dx. E7) Достаточно взять последовательности подразделений для /Г и ?', составить для них суммы о(Ьп\ сложить их и перейти к пределу. 10. Пусть f(x) — ограниченная функция, определенная на мно- множестве Е конечной меры. При этом для любого заданного ^0 существует такое ^^О, что \ * если eCZE и т(е)*^т\. Это свойство следует из неравенства Оно называется абсолютной непрерывностью интеграла. 1 К Если Е разбито на конечное или счетное число измеримых множеств Ek (попарно^ без общих точек), то В случае конечного числа слагаемых формула следует из 9. В слу- случае бесконечного числа Eh положим: ?— Ех -\- Е^ -J-. ¦. -J- ^л "Ь Ял» гле
|fTj I f>. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 825 m(Rn) — 0 при л —оо. Имеем \f(x)dx=% \f{x)dx+\f(x)dx, причем последнее слагаемое по абсолютной величине ^ Lm(Rn) и стремится к нулю при л—*оо, откуда и следует /(x)dx. E9) Доказанное свойство называется полной аддитивностью интеграла. 12, Пели ?—- множество меры нуль, т. е. /я(?) = 0, то для любой ограниченной на Е функции Функция f(x) измерима на Е и для любого подразделения суммы $(Ъ) и S(i) равна нулю. 13. Если f\(x) и ft(x) эквивалентны на Е> то F0) Пусть Е* та часть Е, где fl(x)^fi{x). По условию, /н(?*) = 0 я на множестве Е' = Е—Е функции ft(x) н/e (.v) совпадают. Имеем равенства I- f* сложение которых и дает F0). 14, Если /(дг)^О на Е и dx = 0t F1) то f(x) эквивалентна нулю. Надо доказать, что мерз множества E[f^>0] равна нулю. Эго можно представить в виде и бели его мера была бы положительной, то положительной должна быть «ера но крайней мере одного из слагаемых правой части. Пусть»
326 ГЛ. 111. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |107 например, положительная мера Е = Е /^ — I. Обозначая Е* = Е — ?Г, имеем ) dx = \ f(x) dx +\f(x) dx. if E" Первое слагаемое правой части ^ — т(Е?)^>0, а второе, в силу "о f(x)^Of неотрицательно, откуда следует, что левая часть положи- положительна, что противоречит F1). 16, Пусть /п(х) (л = 1, 2, ...) — бесконечная последователь- ность функций, определенных на Е и равномерно по отношению к значку п ограниченных, т. е. }fn(x)\*^L, где L —положитель- —положительное число (L не зависит от п) и fn(x) — f(x) почти везде на п. При этом llm \fn{x)dx = \f(x)dx. F2) «-¦со Е Е Предельная функция f(x) почти везде на Е удовлетворяет неравен- неравенству \f(x)\*^L Переходя к эквивалентной функции, можем считать, что оно выполнено везде на Е, Нам надо доказать, что F3) "I1 Из свойства 6 следует \\f(x)-fH(x)\dx\<.\\f(x)-fn{x)\dx. F4) Пусть задано t>0, и пусть Еп = Е[ \f — /п|^е]. В силу теоремы из [104J т(Еп) — 0 при /!—»оо, а в точках Е — Еп выполняется не- неравенство |/ —/Я|<С«- Кроме того, в любой точке Е F5) Из формулы 5 в-ея следует \ I /(х) - /„ (х) \ dx < 2Lm (Е„) + ш (Е - ?„) и тем более [\Пх)-/п
$щ | 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 327 Поскольку т(Ея)-+О при л-*оо, существует такое N>0, что *я(?„)<е при n^N, и таким обраэом, [\f(x)-A(x)\dx^[2L+m(E))B при n^Nf откуда, ввиду произвольности е>0 и F4), следует F3). Доказанное снопе-пи) дает возможность переходить к пределу под знаком инте- интеграла при единственном предположении ограниченности /п(х) по абсо- абсолютной величине независимо от знака. Отметим, что достаточно предположить, что неравенство \fn(x)\*^L имеет место лишь почти везде на Е. 108. Интегралы от неограниченных функций. Мы определили интеграл от ограниченной функции по множеству Е конечной меры. Положим теперь, что f(x)— неограниченная неотрицательная измери- измеримая функция на множестве Е конечной меры. Определим ^урезанную функцию*: т9 если f(x)>m (/я>0), т. е. значения f(x)t не большие /и, сохраняются, а значения, большие /я, заменяются на т. Функция [f(x))m ограничена и изме- измерима (легко доказать), а потому существует интеграл ]• **, F7) который не убывает при возрастании т. Если этот интеграл имеет конечный предел при /я-^-f оо, то величину указанного предела принимают за величину интеграла от f{x) no E: Ш \{f(x)]Mdx F8) и говорят, что f(x) суммируема по Е. Отметим, что закон беспредельного возрастания т — несуществен. Если f(x) — ограниченная функция, то это определение интеграла совпадает с прежним, ибо [f(x)\mm*f(x) при всех достаточно боль- больших т. Если интегралы F7) беспредельно возрастают при т->-\-оо, то говорят, что интеграл от /(х) по Е равен (+ оо). Отметим, что если /(х) суммируема на Е, то мера множества ровна нулю, т. е. f(x) принимает на Е почти везде конечные зна- значения. Действительно, очевидно, что при любом т > 0 имеем [f\m =* tn
328 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИИППНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ на Ео и для неотрицательных ограниченных функций f(x) имеем Если /и(?0)>0, то правая часть и тем более интеграл, стоящий в левой части, стремятся к (+ оо) при т-+ + оо, т. е. f(x) не сум- суммируема на Е. Положим теперь, что f(x) — неограниченная функция, принимающая значения разных знаков. Определим положительную и отрицательную части /(дг): Г(х) if<<X)* вСЛИ /W^0' лг Ы1 °' если/(*)>0, 7 К }\ О, если /(д:)<0, КХ} \ -f(x), если/(лг)<0. Обе эти функции неотрицательны и измеримы на Е: F9) G0) Если /+ (х) и /- (х) суммируемы на Е, то говорят, что и функ- функция f(x) суммируема на Е и величина интеграла от f{x) no E определяется формулой G1) Если уменьшаемое правой части равно (+ со), а вычитаемое конечно, т. е. /~(дг) суммируема по ?, то говорят, что интеграл от /(х) по Е равен (+то)- Совершенно аналогично, если /+(лг) сумми- суммируема по Е, а вычитаемое правой части G1) равно (+ со), то гово- говорят, что интеграл от f{x) по Е равен (— со). Из определения неотрицательных функций /+(лг) и /- (х) следует, что если в некоторой точке /*(хо)>О, то /~(хо) = О, а если /~ (•*(>) >°» то /+(л-0) = 0, и, пользуясь F9) и G0), получаем [f-(x))m^[\f(x)\)m при т>0. Отсюда легко вытекает, что суммируемость /(х) равно- равносильна суммируемости |/(дг)|, т. е. суммируемость есть абсолютная суммируемость [ср. 89]. Отметим еще, что суммируемая на Е функ- функция имеет почти везде на Е конечные значения. Это непосредственно следует из того, что у неотрицательной суммируемой функции мера множества Е0~Е[ |/|=» + оо] равна нулю. Укажем теперь остальные свойства интеграла от суммируемости функции по множеству конечной меры. Будем считать, что /(х)^0.
1M| I 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 329 Для функций, меняющих энак, все сводится к Л С*) и/"(•*) в СИЛУ G1)- Вез изменения сохраняются свойства 4, 9, 12, 13 и 14, причем спой- ство 12 без условия ограниченности f(x). Свойство 3 формули- формулируется так: 1. Если ДМ^О (?=1, 2, ,.., р) суммируемы по Е, то и их линейная комбинация с постоянными положительными коэффи- коэффициентами есть суммируемая функция и имеет место фор- формула E1). Имеет место и следующее, просто доказываемое свойство: 2. Цели f(x) суммируема на ?", то она суммируема и на любой измеримой части Е множества Е и ()\f() G2) в* Докажем абсолютную непрерывность интеграла. 3. Если f(x) суммируема на ?, то при любом заданном t]> О существует такое ij>0, что G3) если Z <П Существует такое т>0, что В При этом, в силу G2), для любого т. е. и при ш(е)<^ получаем G3). 4. Если f(x) суммируема на Е и множество Е разбито на конечное или счетное число множеств Ek (попарно, без общих мочек), то имеет место формула E8). Рассмотрим случай бесконечного числа множеств ?л. Для ограни- ограниченной функции [f(x)]m имеем 09 к-1 L \f{*)\mdx,
330 ГЛ. III. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |1« откуда Е k-XBk и при /и —*-|-оо получим ? 5 А- 1 /л G4) Докажем теперь противоположное неравенство. Из /(-хг)^О еле* дует» что при любом и>0и любом конечном />, и при л—>4"°° получим откуда при р —• оо и следует неравенство, противоположное G4), т. е. 2 \f(x)dx. G40 *~i ёк Просто доказываются и следующие два свойства: 5. Если Е разбито на счетное число измеримых множеств Ек, функция f(x) суммируема на каждом Ek и ряд с неотрицатель- неотрицательными слагаемыми f(x)dx G5) сходится, то f(x) суммируема на Ей имеет место формула ( 6. Если fi(x)^f%(x)^s0 на Е и /,(jc) суммируема на Е, то и f%(x) суммируема и \%{) G6) В Отметим те изменения» которые надо внести в формулировку свойств, если f(x) — неограниченная функция» меняющая знак: в свойстве 1 постоянные коэффициенты могут быть любого знака; свойство 2 сохраняется» но без неравенства G2); свойство 5 сохра- сохраняется, если в сумме G5) f{x) заменить на |/(*)|. Свойство 6 за- заменяется следующим;
т • •- МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 331 7. Если f%(x) измерима на Е, fx(x)— измерима, неотрица- неотрицательна и суммируема на Е и |/,(х)|</,D то f%(x) сумми- суммируема на Е и \\U()d\\f G7) Нетрудно ввести понятие суммируемых функций и определить интеграл для функций fix), принимающих комплексные значения. Разделим у такой функции вещественную и мнимую части: G8) Функция f(x) называется суммируемой на Е> если суммируемы /|(дг) и/вD и интеграл определяется в этом случае формулой \ f(x) dx = 5 Л (х) dx + / \ Д (х) dx. G9) Имеет место следующее свойство: для суммируемости f(x) необхо- необходима и достаточна суммируемость модуля \f\ = yf*% -J-/J. Это непосредственно следует из неравенств 109, Предельный переход под знаком интеграла. Приведем простые по форме и важные для приложений теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. Теорема 1. Пусть fn(x) (я=1, 2, ...) — бесконечная после* Ьовательность функций, суммируемых на Е, причем для всякого п имеется почти везде на Е оценка 1/nWKFW на Е, (80) где F(x) суммируема на Е, и fn(x)—>f(x) почти везде на Е. При в том f(x) суммируема на Е и (8!) Доказательство этой теоремы аналогично доказательству свойства 15 из [107|. Суммируемость f{x) следует из того, что \f{x)\<F{x) почти везде на Е. Как и в [107], вводятся множества Ет причем т(Е)-*0 при л — оа Вместо F5) имеем \f(x)-fn(x)\dx.
332 ГЛ. tit. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ flW В силу абсолютной непрерывности интеграла от F(x) существует такое N, что \ F{x)dx<b% при при откуда, ввиду произвольности •, и следует (81), Теорема 2. Пусть fn(x)(n—\t 2, ,..) неотрицательны и суммируемы на Е, /л (*)-"*/(*) почти везде на Е и \/n(x)dx^At (82) t где А — некоторое число (не зависит от л). При этом f(x) сум- суммируема на Е и \ (83) Отметим сначала, что если в некоторой точке /я (•*"«) — /С*оХ то [/„ С*о)]т — i/(*t)lm» В 9Т0М легко убедиться, разбирая отдельно случаи f(x9)<gm и /(хо)>/я. Та^сим образом, \fn{x)\m — \f()U почти везде на Е при любом /я. Очевидное неравенство |Л( /лг) и (82) дает , (*)]«**< Л (84) и» в силу свойства 15 из [107], причем роль L играет /я, имеем Переходя в (84) к пределу при п — оо, получаем </*< Л, откуда следует суммируемость f(x) на fi1, и при т —* со неравен- стио (83). Теорема 3. /7ус/«А /п(х) (л= I, 2, ...) — неубывающая после- последовательность суммируемых на Е функций. При этом у предель- предельной функции f(x) интеграл по Е равен конечной величине или (-f оо) и имеет место формула (81). Суммируемые функции fn(x) почти везде на Е конечны, и не* убывающая последовательность в каждой точке имеет предел, кото- который может быть и бесконечным. Для простоты будем считать, что
109] « 9- МЕРА и ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 833 все значения всех fn(x) конечны» Но значения /(х) могут, очевидно, равняться и (+оэ). Рассмотрим неубывающую последовательность неотрицателышк функций 0*?/п(х)—/%(х). Мы имеем 0 </л (х) -/, (х) </(*)-/, (х). Если f(x)~f\(x) — суммируема на Е, то и f(x) — суммируема. Раз- Разность /(jt) — /t (jc) может играть роль F(x) теоремы 1, и применяя вту теорему, получим "it" \\fn(x)-fdx)]dx=\\f(x)-fx(x)]dx9 Jim откуда следует (81). Положим теперь, что интеграл от f(x)—f\(x) равен Поскольку f\(x) — суммируема, отсюда следует, что /~ О") сум- суммируема, а интеграл от Л(дг) равен (+оо), т. е. интеграл от f(x) равен (+ оо). В силу свойства 15 из [107], имеем "«¦ 5 \fn (*) -fX (*)]mdx =5 Vi*) -U С*)].-**- (85> Л-+ОО j \fn (*) -h (*)]mdx = j \f(x) -U (*))mdx. Пусть К—любое заданное положительное число. Ввиду того, что интеграл от \f{x)—f\(x)] равен (+°°)» существует такое фикси- фиксированное т, что правая часть (85) больше К, и, в силу (85), для всех достаточно больших п ^\fn(x)-ft(x)Udx>K я тем более Отсюда, ввиду произвольности /С, следует t(x)dx-\Mx)dx] = + co, г. е. Jim lfn(x)dx=z+co, Я-*ОО ? ч формула (81) доказана и в том случае, когда интеграл от f(x) равен (-f оо). Замечание. Аналогичный результат справедлив и для невоз- растающей последовательности суммируемых функций fn(x), причем предельная функция может иметь интеграл, равный (—со). Он не- непосредственно получается из доказанной теоремы заменою f*(x)
334 ГЛ. Ш. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ №• Отметим еще важное следствие доказанной теоремы. Теорема 4. Если функции uk(x)(k = \, 2, ...) неотрица- неотрицательны и суммируемы на Е и ряд с неотрицательными членами ^\uk(x)dx (86) к-\Е сходится, то почти везде на Е сходится ряд ик(х) (87) А-1 и uk(x)—~0 при А — со почти везде на Е. Рассмотрим неубывающую последовательность неотрицательных суммируемых на Е функций я применим теорему 3. В силу сходимости ряда (86), интеграл от /п(х) при п — со имеет конечный предел. Следовательно, пре- предельная функция» в данном случае выражаемая рядом (87) суммируемая на ?, а потому имеет на Е почти везде конечные зна- значения, т. е. ряд (87) сходится почти везде на ?*, откуда непосред- непосредственно следует, что ик (х) —- 0 при k — оо почти везде на ?. 110. Теорема Фубинн. Для кратного интеграла Лебега теоремы а сведении такого интеграла к одномерным интегралам имеют очень простую и обшую форму. Мы приведем лишь результат (Vt Q8). Сначала сформулируем теорему для двойного интеграла на прямоуголь- прямоугольнике. Теорема 1. Пусть f(x, у) — суммируемая функция на пря- прямоугольнике b(a*^x*?b; c^iyn^d). При этом f(x, у) изме- измерима и суммируема по у на промежутке c^y^d для всех или почти всех значений х из промежутка а^х^Ь, функция \ (88) суммируема по промежутку а<х<Ь и имеет место равенство с а с
n0| f 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 335 Совершенно аналогичные утверждения имеют место и пра перемене порядка интегрирования: ft f(x, у) dxdy = \ [\ f(xt y) dx] dy. (90) 4 с а Отметим, что если функция h(x) определена лишь почти везде, то ее можно доопределить на множестве меры нуль, полагая ее, на- например, равной пулю на этом множестве. Совершенно такое же заме* чаиие относится и к функции { (91) определенной везде или почти везде на промежутке c^y^d. Ука- ваиная выше теорема была установлена итальянским математиком Фубини. Из (89) и (90) следует ft d d b Щ/(дг, y)dy\ dx = \[\f(x, y) rfjc] dy, (92) a e с а т, е. возможность для суммируемой на А функции менять порядок интегрирования. При предположении суммируемости f(xty) на А мы имели фор* мулы (89) и (90). Обратное заключение о существовании двойного интеграла по А, если имеют смысл повторные интегралы, стоящие в правых частях формул — неправильно. Но если f(x, у) неотри- неотрицательна на А, то имеет место следующая Теорема 2. Если f(x, у) измерима и неотрицательна на А и существует повторный интеграл правой части формулы (89) или (90), то f(xty) суммируема на А. Но из суммируемости f(xt у) на А следуют формулы (89), (90) и (92). Замечание. Если f(x> у) меняет знак, но для )f(x,y)\ суще- существует повторный интеграл,правой части формулы (89) или (90), то, согласно теореме 2, |/(дг, у)\ суммируема на Е, но при этом и f(x, у) суммируема на Е. Таким образом, формулы (§9), (90) к (92) имеют место, если мы убедились, что один из повторных интегралов существует для \f(x,y)\. Вели f(xt у) суммируема на измеримом ограниченном множестве Б> ^о имеет место формула \ (93) где Ея — множество точек Е, имеющих заданную абсциссу х, Е? — аналогичное множество, а Е'я а ^ — проекции Е на оси ОХ и ОК.
336 ГЛ. ПК КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЦП Интегралы по Ех и Еу могут не иметь смысла для значений х и у% образующих на осях ОХ и OY множества меры нуль. (Ех и Еу могут быть на этих множествах меры нуль неизмеримы.) Для доказательства формулы (93) достаточно покрыть Е конечным промежутком Д и применить формулы (89) и (90) к функции /0 (х, у), определенной на Д, равной f(x%y) на Е и нулю на оставшейся части Д. Формула (93) имеет место и для функций, суммируемых на неограниченных мно- множествах конечной меры. Нее сказанное выше об измеримых множествах, измеримых функ- функциях и интеграле Лебега сохраняет справедливость как в линейном случае, так и в л-мерном пространстве [ср. 100]. В линейном случае теорема Фубини, естественно, отсутствует. Сформулируем эту теорему в многомерном случае. Теорема 3. Пусть Дт+Л — промежуток в пространстве /?т+д, имеющем т-\-п измерений: а Ат и Дд следующие промежутки б пространствах Rm и Rn: Дт: Пусть, далее, f(xu xit...t xm+n) — функция, суммируемая на Дт+Л. ?ои/ jfw фиксируем некоторую точку N из Дт, шо /(JCi, x^ ... • • • » -^т+л) будет измеримой и суммируемой в Дя яр« любом вы- выборе N, кроме, может быть, множества точек меры нуль в Дт. Интеграл от этой функции по Дя суммируемую в Дт функцию и имеет место формула \ $ (94) Приведем еще два результата, непосредственно связанных с тео- теоремой Фубини. Мы формулируем их для случая функции двух неза- независимых переменных f(x>y)t определенной на конечном проме- промежутке Д[B^х<^; c<ay<tf]. I. Если f(xt у) измерима на Д, то для почти всех х из про- промежутка а^х^Ь она измерима по у на промежутке d Роли хну при этом можно поменять.
||t| f 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 337 2. Если/(х% у) измерима на к и для почти всех х из существует интеграл , y)dy, то <?(х) измерима на промежутке 111. Интегралы по множеству бесконечной меры. До сих пор мм рассматривали интегралы на измеримых множествах конечной меры. Расширение понятия интеграла на случай множества бесконеч- бесконечной меры производится по существу так же, как и для интеграла Рнмана ]89]. Пусть на измеримом множестве Е бесконечной меры задана измеримая неотрицательная функция /(дт). Рассмотрим какую- либо возрастающую последовательность множеств конечной меры для которой Е является предельным множеством [103]. Мы можем, например» считать, что Ея есть произведение Е и промежутка Д„ (—n^Xi^n; —nz^Xt^n). Для ограниченных множеств Еп существуют интегралы \f(x)dxt (96) которые н силу неотрицательное™/^) не убывают при возрастании п. Предел монотонной последовательности (96) называется интег- интегралом от f(x) no E \/(х)dx =я»т j fix)dx, (97) & функция f(x) называется суммируемой на Е, если указанный предел конечен. Нетрудно показать, что этот предел не зависит от выбора воз- возрастающей последовательности Еп1 имеющей Е своим предельным множеством [ср. 89]. Отметим, что интегралы (96) могут равняться (-f-oo). При этом интеграл от f(x) по Е также равен (-f-°°). Но может случиться, что все интегралы (96) конечны, а предел этой последовательности равен (+ со). Измеримая на /(х) функция, не удовлетворяющая условию /(лг)~> называется суммируемой на Е> если суммируемы неотрицатель- функции f*(x) и f'(x)t и величина интеграла от f{x) на Е 0|*ределяетсн формулой \ f (х) dx = \ /+ (х) dx — \f (х) dx. (93) и а в
338 ГЛ. lit. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПН Если только одна из функций f+(x) или /~(х) суммируема, то» как и в [108]» интеграл от f(x) no Е имеет смысл» но его величина равна (— оо) или (-)- оо). Для интеграла на измеримом множестве бесконечной меры спра- ведливо все сказанное в [108]» а также теоремы из [109] и теорема Фубини. Доказательства проводятся в основном следующим образом: сначала используются соответствующие свойства интегралов на мно- множествах Ел или на произведении некоторого множества и множества Еп, а затем проводится предельный переход при я->со. Напомним, что при изложении несобственных кратных интегралов Римана мы указали на то» что эти интегралы сходятся абсолютно [89]. Это относится и к интегралам по бесконечным областям, например к интегралу по всей плоскости. Несобственный простой интеграл определялся при помощи предельного перехода [85J \f(x)dx= lim \f(x)dx, (99) если указанный предел существует (сходящийся интеграл). При этом из сходимости интеграла не следует его абсолютная сходимость. Указанное выше определение интеграла по множеству Е беско- бесконечной меры таково, что из суммируемости функции f(x) на Е сле- следует и ее абсолютная суммируемость» т. е. суммируемость Если мы для функции» суммируемой на промежутке а^х^Ь при любом b^>at определим интеграл по промежутку а<х< + оо формулой (99)» причем указанный в этой формуле предел (конечный) существует, то это определение отлично от указанного выше, и может оказаться, что для \/(х)\ предел, входящий в формулу (99), равен (-j-co).
ГЛАВА IV ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ § 10. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ » Сложение и вычитание векторов. Настоящая глапа будет посвящена главным образом изложению векторного анализа. В на- настоящее время имеется большое число специальных курсов вектор- векторного анализа, и мы, не вдаваясь в подробности, выясним лишь основ- основные понятия и факты, непосредственно связанные с предшествующим материалом и необходимые нам для изложения основ математичес- математической физики. При рассмотрении физических явлений мы встречаемся с величи- величинами двух родов — скалярными и векторными. Скалярной величиной или просто скаляром называется величина, которая при определенном выборе единицы меры вполне характери- характеризуется числом, ее измеряющим. Так например, если в пространстве имеется нагретое тело, то температура в каждой точке этого тела характеризуется определен- определенным числом, и мы можем сказать поэтому, что температура есть ве- величина скалярная. Плотность, энергия, потенциал представляют собою также скалярные величины. В качестве примера векторной величины рассмотрим скорость. Чтобы вполне охарактеризовать скорость, недостаточно знать число, измеряющее величину скорости, но необходимо указать и ее напра- направление. Мы можем охарактеризовать скорость, строя вектор — отре- отрезок» имеющий в данном 'масштабе длину, равную величине скоро- скороди, и направление, совпадающее с направлением скорости. Таким об- рааом лектор вполне определяется своей длиной и направлением. v-ила, ускорение, импульс представляют собой также векторные вели- величины. Вернемся к примеру нагретого тела. Температура и в каждой точке этого тела характеризуется определенным числом или, как *орят, есть функция точки в пространстве, занятом телом. Относя Р°странство к системе прямоугольных координат XYZ, мы можем
340 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ |Ш сказать, что скаляр и есть функция независимых переменных (х,у, z) определенная в той области пространства, которая занята нагретым телом. Здесь мы имеем пример так называемого поля скалярной ве- величины, или скалярного поля. Если же в каждой точке некоторой области определен вектор, то мы имеем векторное поле. Таков пример электромагнитного поля» в каждой точке которого имеется определенная электрическая и маг- магнитная сила. В некоторых случаях бывает важно знать точку приложения вектора, т. е. ту точку пространства, с которой совпадает начало вектора. В этом случае мы имеем дело со связанными векторами. Однако в дальнейшем мы будем иметь дело преимущественно со свободными векторами, т. е. такими, для которых точка приложения может ле- лежать где угодно. Поэтому мы будем считать равными два вектора, если они равны по величине (длине) и имеют одинаковое направление. л/1 \с Векторы в дальнейшем мы будем 4—А М w& К \ обозначать полужирным шрифтом У У$ О А Вих величины (длины) со ур рф В/ шКУ/ *У$ /О А, В,.... их величины (длины) — со- /Уф /в /> ^Jry ответственно символами | А |, | В |, ¦.., IS / /*^??*\/a скаляры же — обычными буквами ла- ^тинского алфавита. Пусть имеются несколько векто- рис* ьо# рои А, В, С. Из некоторой точки О построим вектор А, из его конца построим вектор В, из конца этого вектора — вектор С. Вектор S, который имеет начало в начале первого вектора, а конец в конце последнего вектора, называется суммой данных векторов: Сумма векторов обладает основными свойствами обыкновенной суммы, а именно — свойствами переместительным и сочетательным, выражающимися формулами (рис. 80) Если из конца вектора А построим вектор С, по величине рав- равный, а по направлению противоположный вектору В, то вектор М, имеющий начало в начале вектора А, а конец в конце вектора С, называется разностью векторов A w В (рис. 81): Нетрудно видеть, что этот вектор вполне определяется соотно- соотношением
(UJ I 10. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 341 Обозначим, вообще, через (— N) вектор, по величине равный, а по направлению противоположный вектору N. Тогда разность векторов А и В можно определить, как сумму А и (— В), т. е Нетрудно показать, что определенные таким образом понятия о сумме и разности векторов подчиняются тем же правилам, что я обыкновенные алгебраические сумма и разность, на чем мы останавливаться не будем. Правило сложения векторов имеет Рис. 81. много приложений в механике и физике. Если, например, точка участвует в нескольких движениях, то ее окон- окончательная скорость получается по правилу сложения из тех скоростей, которые она имеет в отдельных движениях. По тому же правилу получается раино дебетующая нескольких сил, действующих на одну и ту же точку. Заметим» что если при сложении конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, т. е. если построенная по ука- указанному выше правилу ломаная линия будет замкнутой, то говорят, что сумма рассматриваемых векторов равна нулю В частности, очевидно, что Вообще, вектор называется равным нулю, если его величина равна нулю. В этом случае о его направлении говорить не прихо- приходится. 113. Умножение вектора на скаляр. Компланарность векторов» Если имеем вектор А и вещестьенное число д, то произведением а\ *** Аа называется иектор, по величине равный |а|*|А|, а по на- направлению совпадающий с А, если а]>0, или противоположный А, *сля а^О. В случае я = 0 произведение ак также равно нулю. Таким образом, если А и В — два вектора, имеющих одинаковые ¦ля противоположные направления, то между ними существует соот- соотношение В = пА, которое можно написать в более симметричном виде ?.#
342 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ 1И4 Наоборот, наличие написанного соотношения указывает на то, что векторы А и В имеют одинаковые или противоположные направления. Пусть теперь даны два каких-нибудь вектора А и В, направле- направления которых не совпадают и не противоположны. Через произволь- произвольную точку О (ряс. 82) проведем две прямые, параллельные данным векторам. Они определят плоскость, параллельную не только век- векторам А и В, но и всем векторам вида т\ и пВ при произволь- произвольных значениях чисел т и я, а в силу правила сложения — также и их сумме Обратно, всякий вектор С, парал- параллельный построенной плоскости, можно представить в виде mA + лВ. Для того, рис. 82. чтобы убедиться в этом, достаточно от- отложить этот вектор от точки О и пред* ставить его, как диагональ параллелограмма, стороны которого парал- параллельны А и В. Написанное выше соотношение можно переписать в более симметричном виде и оно выражает условие компланарности трех векторов, т. е. того обстоятельства, что эти три вектора параллельны одной и той же плоскости. Если А и В имеют одинаковые или противоположные направления, то векторы А и В компланарны с любым вектором С, и в предыдущем соотношении надо считать с = 0. 114. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Предположим теперь, что имеются три некомпланарных вектора А, В и С. Всякий вектор можно представить как диагональ параллеле- параллелепипеда, три ребра которого параллельны векторам А, В и С. Таким образом всякий вектор может быть выражен через три пекомпланарных вектора в виде (рис. 83): Отсюда следует, что между всякими четырьмя векторами существует соотноше* ние вида Если три первых вектора компланарны, Рис* *&• то надо считать лишь d = Q. Особенно важный частный случай предыдущего ^правила разло- разложения вектора по трем векторам мы имеем тогда, когда пространство
tie I 10. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 343 отнесено к прямоугольной системе координат XYZ, векторы же А, В, С по длине равны единице (такие векторы мы будем называть вообще единичными) и имеют направление осей ОХ> О К OZ. В этом случае они называются основными лекторами или ортами ш обозначаются буквами 1, j, k. Всякий вектор А можно представить в виде A = ml + n] + pk. (I) Если отложить вектор А от начала координат, то числа т9 л, р дадут координаты его конца и выразят проекции вектора А на ко- координатные оси. Эти проекции мы в дальнейшем будем обозначать через Ах, Ау> Аш и называть слагающими или составляющими век* тора А по координатным осям. Предыдущее соотношение может быть тогда переписано в виде: А = ^1 + Д,]+Л,к. B) Если п — любое направление в пространстве, то проекция век- вектора А на это направление будет ЛЛ = |А1 cos (л, A) или, принимая во внимание выражение для косинуса угла между двумя направлениями, известное из аналитической геометрии: A,—|A|[cos(rt, A') cos (A, X)+cos(«, У) соз (А, + cos (л, 2) cos (A, Z)] = Ая cos (л, X) + Ау cos (л, Y) + Ая cos (nt Z). При сложении векторов составляющие их, очевидно, складываются (проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих). 115, Скалярное произведение. Скалярным произведением двух векторов А и В называется скаляр, величина которого равна произ- произведению величин этих векторов, умноженному на косинус угла, об- образованного ими. Скалярное произведение обозначают символом А-В, так что A-B = (A||B|cos(A> В). C) Из этого определения непосредственно следует, что А В = ВА, т- е. для скалярного произведения имеет место переместительный аакон. Если векторы А и В образуют прямой угол, то, очевидно АВ = 0. В частности, для основных векторов будем иметь
344 ПК IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ {Ш Если векторы А и В имеют одно и то же направление, то А.В—|А||В|, а если их направления противоположны, то В частности, и Скалярное произведение выражается через слагающие векторов следующим образом A-B = |A||B|cos(At B) = |A||B|[cos(A, X) cos (В, -Y) + + cos(A, К) cos (В, Y) + cos (A, Z)cos(B, Z)] = = lA|cos(A,AO|B|cos(B, A0 + |A|cos(A, K)|B| cos(B, *л ' K + |A|cos(A, Z)|B|cos(B, ZJ^/lA+^yfiv+XA т. е» скалярное произведение двух векторов равно сумме произведе- произведений соответствующих слагающих этих векторов. Заметим, что левая часть написанного равенства не зависит от выбора координатных осей, а потому и правая часть также не за- зависит от выбора координатных осей, что по виду этой части не очевидно. При выводе формулы F) мы воспользовались известной из ана- аналитической геометрии формулой для угла между двумя направлени- направлениями [114]. Нетрудно показать, что для скалярного произведения имеет ме- место и распределительный закон, т. е. соотношение Действительно, пользуясь только что выведенным выражением скалярного произведения, можем написать Из распределительного свойства непосредственно вытекает и бо- более общая формула выражающая обычное правило раскрытия скобок при перемножении многочленов.
10. ОСНОВЫ ВГКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 345 116. Векторное произведение. Из какой-либо точки О простран- пространства проведем векторы А и В и построим на них параллелограмм. Перпендикуляр в точке О к плоскости построенного параллелограмма имеет два противоположных направления. Одно из этих направлений обладает тем свойством, что для наблюдателя, стоящего вдоль него, направление вектора А может быть переведено в направление век- вектора В вращением на угол, меньший л, в ту же сторону, в какую для наблюдателя, стоящего вдоль оси OZt положительное направле- направление оси О А' может быть переведено в направление оси OY враще- вращением на угол ~. На рис. 84 изображено это направление перпендикуляра в случае правой и левой систем координат. Векторным произведением вектора А на вектор В называется вектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на этих векторах, и по направлению сов- совпадающий с вышеуказанным направлением перпендикуляра к плоскости этого парал- параллелограмма. Векторное произведение вектора А на вектор В обычно обозначают символом А X В. Его величина, согласно предыду- предыдущему определению, равна | A J | В | sin (А, В), (9) Его направление вависит от ориенти- ориентировки координатной системы и при пере- перемене ориентировки переходит в противо- противоположное. Есл» векторы А и В имеют оди- Рис. 84. лаковые или противоположные направле- направления» то векторное произведение равно нулю. Вектор, у которого на- направление зависит от ориентировки осей, как, например, у А х В, на- навивается часто псевдовектором. Отметим, что для определения век- *ора достаточно задать тройку чисел (Л*, А„, А?) в какой-либо определенной прямоугольной системе координат XYZ. Во всякой дру- другой прямоугольной системе X' Y'Z' составляющие (Ах>, Ау>, А у) по- поручатся иэ (Ах> Ауч Ag) по формулам преобразования координат. Если X'Y'Z* имеют ориентировку, отличную от XYZ, то для псевдо- псевдовектора надо еще изменить знак у составляющих. Отметим еще очевидные формулы J х к =«I; ; ВхА = — Ах В; kxl-j; lxj = k A0) (И)
346 ГЛ» IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ |ltf Найдем теперь выражение составляющих векторного произведе- произведения Р=*А х В через составляющие векторов Л и В. Принимая во внимание перпендикулярность вектора А х В векторам А и В, мо- можем написать РХАХ + РуА, + Р, А. - О, РХВХ + Р9В„ + Р.В. - 0. Воспользуемся следующей элементарной алгебраической леммой, до- доказательство которой предоставляем читателю: Лемма. Решение двух однородных уравнений с тремя пере- менными ax + by + cz=* 0, ахх + Ь^у + схг = 0 имеет вид х=*Х (Ьсг — cbx\ у*=*Х(сах — асх\ * = X (abx — bax\ где \ —произвольный множитель. При этом считается, что хотя бы одна из написанных разностей отлична от нуля. Применяя эту лемму, получим РЛ = X (АуВж - AgBv\ РУ = Х (АЖВХ - Ах Bg), Р? - X (АХВУ - АуВх)> где X надо еще определить. Заметим, что если все три написанные разности равны нулю, то векторы А и В образуют углы 0 или л, и А X В в 0, т. е. Рх в ру =- Pt ш 0. Воспользуемся для определе- определения X тождеством, которое называется обычно тождеством Лаг- Лагранжа: ») (a J + frj + cj) - (аах + ЪЪХ справедливость которого нетрудно проверить, раскрывая скобки и его обеих частях. Отметим далее, что (Рх + Р1 + Р1) есть квадрат длины вектора Р, т. е. X* \(АуВж - АЖВУ? + (АЖВХ - АХВЖ)* + (АХВУ - АуВх)*] - «|A|*|B|»sin«(A, В). Применяя к левой части тождество Лагранжа, можем переписать это равенство так: Х« 1(Л1 + А1 + Л|) (В* + BJ + «) - (^ А + ^у5у + АЖВ,)*\ - — |AP|B|«sln«(A, В), или, принимая во внимание D) и F), ХМ IА |* | В |« -1А |« | В |»cos*(A, B))-|A|«|B|«sin«(A, В), откуда непосредственно следует, что Х«±1. Докажем, наконец, что Х»-|- 1. Подвергнем векторы А и В не- непрерывной деформации, которая привела бы вектор А к совпадению
|Я I to. основы векторной алгебры 347 с основным вектором I, а вектор В — к совпадению с основным век- вектором J. Деформацию можно производить так» что векторы А и В и нуль не обращаются и не бывают параллельны между собой. Тогда векторное произведение А X В, не обращаясь в нуль, также будет непрерывно изменяться и в результате обратится в IXj = k> так как А совпадает с 1 и В с J. Принимая во внимание непрерывность изменения, а также то об- обстоятельство, что X может иметь лишь два значения (±1), можем утверждать, что X вообще не будет меняться при указанной дефор- деформации и что, следовательно, значение X после деформации будет таким же, каким оно было и до нее. Но после деформации мы будем иметь Лж=1, ЛУ = Л, = О, Ву=\> tf, = fl, = 0, P,= l, Рх = Ру = 09 и из соотношения мы можем заключить, что Х = -}-1. Мы получаем, таким образом, следующие выражения слагающих векторного произведения А X В: АуВж—АшВг AgBx — AxBv АжВу — АуВх. A3) Пользуясь этими выражениями, читатель без труда проверит справедливость распределительиого закона для векторного произведе- произведения, т» е. соотношение (А + В)ХС = АХС + ВХС. A4) С помощью формулы A0) без труда получим отсюда а затем и более общую формулу: (A| + Ai)X(B, + B9) = AlXB| + AIXB, + AaXBl + A,XB^ A5) вполне аналогичную формуле (8) для скалярного произведения. 117, Соотношения между скалярным и векторным произве- произведениями. Составим скалярное произведение вектора А на векторное произведение N = BXC: Величина векторного произведения BXC = N равна площади па- параллелограмма, построенного на векторах В и С. Но
348 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ (U7 и, следовательно, это произведение можно рассматривать как про* изведен не площади | N | упомянутого параллелограмма на проекцию вектора А на направление N, перпендикулярное к этой площади, т. е. скалярное произведение А • (В X С) выражает объем параллелепи- параллелепипеда, построенного на векторах А, В и С Его знак зависит от ориентировки координатных осей. Нетрудно видеть, что если сово- совокупность векторов В, С, А или, что то же, А, В, С имеет ту же ориентировку, что и оси координат, то мы будем иметь знак (-}-). В этом можно убедиться тем же методом непрерывной деформации, которым мы уже пользовались выше !). При вычислении объема параллелепипеда мы за основание его принимали параллелограмм, построенный на векторах В и С. Но точно так же мы могли бы принимать за основание параллелограмм, по- построенный на векторах С и А или А и В. Мы получаем, таким об- образом, следующие соотношения: А.(ВХС) = В.(СХА) = С.(АХВ), A6) Следует только обратить внимание на знаки этих трех скалярных произведений. Они будут одинаковы, так как совокупность векто- векторов (А, В, С), (В, С, А) и (С, А, В) имеет одинаковую ориентировку. Две последние совокупности получаются из первой путем круго- круговой перестановки. При другом порядке иекторов знак перей- перейдет в обратный, т. ем например, А.(ВХС) = -В.(АХС). A7) Если три вектора А, В, С компланарны, то объем параллелепи- параллелепипеда будет равен нулю, т. е. в этом случае А-(ВХС) = 0. A8) Это равенство есть необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов А, В и С Рассмотрим теперь векторное произведение А на векторное про- произведение В X С, т. е. Так как вектор D перпендикулярен вектору В X С, то он компла- компланарен с В и С, а поэтому |ПЗ|: A9) ') Зависимость знака произведения А'(ВхС) от ориентировки коор- координатных осей происходит оттого, что множитель В X С зависит от ориен- ориентировки осей. Таким образом, рассматриваемая величина А -(В X С) не есть обычный скаляр, величина которого не должна зависеть от выбора коорди- координатных осей. Вообще величины, зависимость которых от координатных осей заключается лишь в изменении знака при перемене ориентировки осей» на- называются псездосколярвми*
itq i io. основы векторной алгебры 349 но D перпендикулярен и к А, а потому [11 Б]: откуда т = (л А • С» п = — |д.А • В, после чего оказывается я остается только определить коэффициент пропорциональности ц. Для этого достаточно сравнить слагающие по какой-нибудь из ко- координатных осей векторов в левой и правой частях предыдущей формулы. Направим ось ОХ параллельно А и вычислим слагающие ПО оси 01. Заметив, что при сделанном выборе осей мы имеем для левой части [Ив] D, = А, (В X С), = а (BgCx - ВХСЖ), а для правой [115] отсюда, сравнивая, получим, что р=\. Это приводит нас к следующей формуле: B0) Как следствие из этой формулы, выведем разложение вектора В М двум направлениям: параллельному и перпендикулярному к дан- данному вектору А. Положив в формуле B0) С = А, перепишем ее » §яде = (А-В)А-АХ(АХВ) B1) А X (А X В) = а:а—¦ ¦ дает искомое разложение, так как очевидно, что вектор V лле вектор же В" перпендикулярен вектору А. Ткйм* Скорости точек вращающегося твердого тела; момент вектора, з2|[!!™е яскторкого произведении имеет многочисленные применении в ме- 2352L*1 В частности. при исследовании движении твердого тела. В даль- fSw»1111 пользУемся правовращающейся системой координат. |/1 п°тРим сперва твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной W» При этом всякая точка М тела будет иметь скорость v( no величине
350 гл. iv. декторныл анализ и теория поля .г Рис. 85. равную произведению расстояния РМ точки М от оси вращения (рис. 85) на угловую скорость вращения со, по направлению же перпендикулярную к плоскости, проходящей через ось враще* ния и точку М. Эту скорость v геометриче- геометрически можно представить следующим образом. Выберем на оси (L) то из двух ее направлений» по отношению к которому вращение совершается против часовой стрелки» и будем считать его положительным. Отложив от произвольной точки А оси в указанном направлении отрезок» длина которого равна а>, мы будем иметь вектор о, который называется вектором угловой скорости. Обозначив далее через г вектор, определенный отрезком Л/Й, и вспомнив определение векторного произведе- произведения, получим без труда следующее выражение для скорости v: V —О X Г, ибо величина векторного произведения о X г равна | г 11 о | sin (г» о) — со -1 МА | • sin ф—о. | МР | — | v |, а направление совпадает с направлением v. Как известно из кинематики, при любом движении твердого тела, имею- имеющего неподвижную точку О, скорости точек тела в каждый данный момент таковы, как будто бы тело вращалось вокруг некоторой оси, проходящей через точку О (мгновенная ось) с некоторой угловой скоростью ш (мгновен- (мгновенная угловая скорость); положение оси вращения и величина а>, вообще го- говоря, будут меняться с течением времени. Согласно сказанному выше, в каждый данный момент скорость точки твердого тела определяется векторным произведением вектора мгновенной угловой скорости на век- вектор ОМ. Рассмотрим другой пример* Пусть к точке М приложена сила, изобра- изображенная вектором F, и пусть А есть некоторая точка пространства (рис. 86). Моментом силы F относительно тонки В называется векторное произве- произведение F х г, где г есть вектор, имеющий начало в точке М и конец в точке Л. Опустим из точки А перпендикуляр АР на прямую, на которой лежит сила F. Из прямоуголь- J? кого треугольника AMP получим \~AP\-\t\\tin(rt F)| и, следовательно, величина момента силы F относи- относительно точки А будет |r||F|$ln(r, F)|-|F||»J. т. е. равна произведению из величины силы на рас- расстояние точки А до прямой, на которой лежит сила. Направление момента определяется по выше- указанному правилу определения направления век- векторного произведения. Из сказанного вытекает, между прочим, что момент силы не меняется при перемещении точки со приложения М по прямой, на которой лежит сила. Вместо момента си."" относительно точки можно, очевидно, говорить о моменте любого вектора. риС
I II. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 351 Выведем выражения слагающих момента. Пусть (at bt c)~ координаты дочки А и (xt yt z) — координаты точки М. Слагающие вектора г будут а — х, Ь—у, с —г. Пользуясь выражением слагающих векторного произведения, получим сле- следующие слагающие момента: (z-c)Fx-(x-a)Fg, (x-a)Fy-(y-b) F* Возвращаясь к примеру вращения твердого тела вокруг оси, можем сказать, что скорость точки А1 твердого тела равна моменту вектора угло- угловой скорости относительно точки М. Обозначая через (дг, у, t) координаты этой точки, через (x6t yOf го)~-координаты начала вектора угловой скорости И через Ох> Ov, Oz — слагающие этого вектора» получим следующие выра- выражения слагающих скорости точки М: (*-*.)О, —(у— Определим теперь момент вектора относительно.оси. Пусть в простран* те имеется некоторая прямая А, которой придано определенное направле- направление (ось). Моментом вектора F относительно оси А называется алгебраическая величина проекции на эту ось момента вектора F относительно какой-либо точки А оси А. Чтобы доказать законность этого определения, выясним независимость указанной в определении проекции от положения точки А на оси А. При* нем ось А за ось OZ и пусть @, 0, с)— координаты точки А и (х, у% *) — координаты начала М вектора F. При таком выборе координатных осей проекция на ось А момента вектора г относительно точки А совпадает со сигающей его по оси OZ и, в силу предыдущих формул, будет равна *Л—yFjcr так как <i = & = 0. Эта разность не зависит от с, т. е. от поло- положения точки Л на оси А. § П. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 119. Дифференцирование вектора. Обобщим понятие дифферен- дифференцирования на случай переменного вектора А(т), зависящего от не- некоторого численного параметра т. Будем откладывать вектор от не- некоторой определенной точки — например начала координат О (рис. #7), При изменении параметра t конец перемен- переменного вектора А(т) опишет некоторую кри- ВУ» A). Пусть ОМХ и ОМ — положения пЧ*ненного вектора при значениях (-с 4- Д^О «^параметра.Отрезку ММХ соответствует Радость А(т +Дт)^А(т), и отношение At Л^СТ HPIfHTAnirH _ л. "ИСф 87. JJ* некоторый вектор, параллельный У ММхш Предельное положение этог этого вектора при Дх -* 0, если
352 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ (И, оно существует, и будет представлять собою производную У-ь'^Г. да. Эта производная есть очевидно вектор, направленный по касатель. ной к кривой (L) в точке М. Он также зависит от т, и его произ- производная по х дает вторую производную ; * и т, д. Разложим вектор А(*) по трем основным векторам I, J, к: Определение B2) даст тогда и вообще т. е. дифференцирование вектора сводится к дифференцированию слагающих этого вектора. Известное правило дифференцирования произведения обобщается на случай произведения скаляра на вектор, а также и на случай скалярного и векторного произведений» так что имеют место формулы: B4) , B4.) где/(t) — скаляр, А(т) и В(т) — векторы, зависящие от t. Проне- рим, например, формулу B4i). Левая часть ее представляется в виде й \АХ W 5^ (х) + ^ (х) Я, (!) + Л, (т) 5, (х)} =» Тот же результат получим, как нетрудно видеть, и для правой части. Считается, конечно, что производные, о которых идет речь, сущест- существуют» В формулах B4), B4J, B4а) из существования производных
^ ft II. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 353 *ft сомножителей пытекаег существование произподных и у произве- произведения [ср. I» 47]. Совершенно элементарно доказывается обычное лраиило дифференцирования суммы векторов. Если точка М движется по некоторой кривой (Л), то радиус-вектор г этой точки есть функ- функция времени t. Дифференцируя радиус-вектор по t, получим вектор скорости движущейся точки: —S-S-S- <"> Длина этого вектора будет равна производной от пути s по времени U а направление будет касательно кривой (?). Полученный §ектор скорости также зависит от времени и, дифференцируя его, получим вектор ускорения w = ^« Если мы примем за независимую переменную длину кривой $, то Производная от г по $ будет представляться единичным векто- вектором касательной t = —, т. е. вектором длины единица, направлен- яым по касательной. Действительно, в [1, 70] мы имели 1—д * -»1, т. е. отношение длины хорды к длине соответствующей дуги стре- стремится к единице. То же справедливо, очевидно, и для кривых в про- страистве [1, 160]. Из этого факта и определения B2) при x = s не- непосредственно вытекает, что длина упомянутого выше вектора каса« тельной действительно равна единице. 120* Скалярное поде и его градиент. Если некоторая физиче- физическая величина имеет определенное значение в каждой точке простран- пространств! или части пространства, то таким путем определяется поле этой величины. Если данная величина есть скаляр (температура, давление, электростатический потенциал), то и поле ее называется скалярным* Bcfti же данная величина есть вектор (скорость, сила), то поле» ею определяемое, называется векторным [112]. Начнем с исследования скалярного тюля. Для задания такого поля Достаточно определить функцию точки U(M)= U(x, у, z). Так, например, нагретое тело дает скалярное поле температуры. В каждой точке М тела температура U(M) имеет определенное зна- ****¦№! которое может меняться от точки к точке. Возьмем определенную точку и проведем через нее прямую, при- *^1 придадим этой прямой определенное направление (/) (рис. 88). рассмотрим значение функции U (М) в самой точке Мив близкой ИЭД точке Mi на взятой прямой (/)• Предел отношения — U(M) В. И.
354 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ если он существует, называется производной от функции U(M) no направлению (/) и обозначается так: Иш Эта производная характеризует быстроту изменения_функции U(M) в точке М в направлении (/)¦ Отметим, что число ЛШ, может быть как положительным, так и отрицательным. Если направление от Ж и Aft совпадает с на- направлением (/), то это число положительно» При замене направления (/) противоположным (/') число AfAfj меняет знак, и производная по направлению (/') лишь знаком отличается от производной по направлению (/). Будем считать, что в каждой точке М некоторой области со функция /(М) имеет производную по любому направлению и что производная по любому фиксированному направлению (/) есть непрерывная функция точки М в ш. Дальнейшие рассуждения будут относиться к упомянутой области» Как мы видим, функция U(M) имеет в каждой точке бесчислен- бесчисленное множество производных, но нетрудно показать, что производная по любому направлению выражается через производные по трем взаимно перпендикулярным направлениям Xt Y, Z по формуле Рис» 88. Заметим прежде всего, что при составлении производной B6) мы могли бы проводить через точку М не прямую, а какую-нибудь на- направленную кривую (L) (рис. 88). Вместо формулы B6) нам надо было бы рассматривать предел Этот предел есть очевидно не что иное, как производная от функ- функции U(M) по длине дуги s взятой кривой (?,), и, пользуясь правилом дифференцирования сложных функций, мы можем написать -S-B8) Но, как известно [I, 1601, |^t ^f jj суть направляющие коси- косинусы касательной к линии (L) в точке Ж, и в случае, когда (I) есть прямая, мы и получаем как раз формулу B7)» Кроме того, формула B8;
f н. теория поля 355 (п) «оказывает, что производная по кривой совпадает с производной по направлению (//*)> касательному к кривой в точке Ж. Введем теперь в рассмотрение поверхности уровня нашего ска* лярного поля. Эти поверхности характеризуются тем условием, что 00 всех точках такой поверхности функция U(M) сохраняет одно и то же постоянное значение С. Придавая этой постоянной раз- различные численные значения, получим семей- семейство поверхностей уровня U(M)=*C. Будем считать, что через каждую точку М неко- некоторой области о) проходит гладкая поверх- поверхность уровня. Для случая нагретого тела поверхности уровня суть поверхности равной температуры. Пусть E) есть поверхность уровня, проходящая через точку М (рис. 89). Введем в этой точке три взаимно перпен- перпендикулярных направления: направление (п), нормальное к поверхности (S), щ два направления (tx) и G2), лежащих в касательной плоскости. На- Направления (/]) и (tt) являются касательными к некоторым кривым (Lx) ш (Ц% лежащим на поверхности уровня. Вдоль этих кривых функция U(M) сохраняет постоянное значение, а потому 0| B9) Возьмем теперь любое направление (/). Применяя формулу B7) к трем взаимно перпендикулярным направлениям (л), (tx) и (/2) и принимая во внимание B9), будем иметь Рис. 89. Ш C0) •мака Вели мы отложим на направлении (л) вектор, равный —^—^-с учетом —gLJ-f то, согласно C0), проекция этого вектора на любое направление (/) дает производную ди^) ^ Построенный по вышеуказанному правилу вектор называется гра- ошентом функции U(M)t т. е. градиентом скалярного поля называется ¦вкторное ноле, построенное по следующему правилу: в каждой *очке вектор направлен по нормали к соответствующей поверхности УРовия а по алгебраической величине равен производной от функции по направлению упомянутой нормали. Градиент скалярного U(M) обозначается символом grad U (М), и формула C0) мо- оыть записана в виде C1)
356 * л. iv. векторный анализ и теория поля tut где grad, U(M) есть проекция вектора grad U(M) на направлю нне (/). Нетрудно видеть, что выбор направления нормали (л) к поверх* иости уровня (S) не влияет на направление grad t/(M). Этот вектор всегда направлен в ту сторону нормали к (S), куда функция U(M) возрастает. Отнесем пространство к декартовой системе координат XYZ* Вместо U(M) можем писать U(x,ytz), и величины проекций вектора grad U (аг, у, г) на указанные оси равны частным производным функ- функции U (jc, у> г) по х> у% z. Упомянутое выше определение градиента с помощью поверхностей уровня может оказаться неприменимым, например, в таких точках» где поверхность уровня вырождается в точку или линию, а также если эта поверхность не имеет определенной касательной плоскости. Рассмотрим три функции: Ut = x* + / + Л U* = x*-\-y\ U% = x*-\- -\-у% — 4ху> В точке @,0,0) поверхность уровня t/, вырождается в точку, Ui — в линию (ось OZ), а уравнение х*-\-у*— 4ху = 0 есть совокупность двух плоскостей, проходящих через ось OZ, и в точках этой оси указанная поверхность уровня не имеет определенной каса- касательной плоскости. Для всех трех функций частные производные первого порядка равны нулю в точке @, 0, 0), и в этих точках гра- градиент указанных функций надо считать равным нулю (нулевой вектор). Примеры. 1. Поле тяготения, которое мы рассматривали в (90), при- водит к скалярному полю потенциала тяготения где ц(М,) есть плотность материи, занимающей объем (и), и г — расстояние точки At до переменной точки Л1, интегрирования. Мы имели следующие выражения для слагающих силы тяготении: р dU(M) р _ dU(M) р __ дЩМ) где FXf Fvt Fg — состаиляющие вектора силы F. Отсюда непосредственно ?. <H/(Af) следует, что вообще г< = —j^ > т- с- векторное поле силы тяготении есть градиент потенциала U(M). Работа силы тяготения выражается фир- фирму л ой (В) {В) (А) * (А) т. е. работа эта выражается разностью потенциала в точках А и В, Последним свойством обладает, очевидно, всикое консервативное сило- силовое поле, т. е. такое поле, для которого F = grad?/(M). Часто потенциалом называют не самую функцию U(M)> а —U(M). 2. Если различные точки тела имеют различную температуру U(M), то в поле будет происюдить движение тепла от более нагретых частей к мс-
jj!! ¦ n трория поля 357 лее нагретым. Возьмем какую-нибудь поверхность и па ней малый элемент 5s около точки Л1. В теории теилопроводности принимается, что количе- >(9О тепла 4СЛ проходящего через элемент dS за время dt% пропорционально gtdS и нормальной производной температуры —~—-, т. е. C2) г1С ^ — коэффициент пропорциональности, который называется коэффициен- коэффициентом внутренней теплопроводности, а (л)—направление нормали к dS, Построим вектор — kgradU(M)t который называется вектором потока «епла; знак ( —) мы ставим в силу того, что тепло течет от более высоких «емператур к более низким, а вектор gradl/(A4) направлен но нормали 1 аоверхности уровни в сторону возрастания функции U (М)> В силу фор- формулы C2) можно сказать, что количество тепла AQ, проходящее за время dt через элемент dSt будет C3) Отметим, что мы рассматриваем изотропное тело. Если оно однородно, ¦yd * —постоянная. При неоднородности тела Л — функции точки. |2К Векторное поле; расходимость и вихрь. Обратимся теперь к рассмотрению векторного поля \(М). В каждой точке М той части пространства! где поле задано, А(М) есть определенный вектор. На- Например» при течении жидкости в каждый заданный момент времени мы имеем векторное поле скоростей \(М). Векторной линией поля называется такая кривая (/.), в каждой точке которой касательная имеет направление вектора А (Ж) (рис. 90). Совершенно так же, как и в [23J, нетрудно видеть, что дифференциаль- дифференциальные уравнения векторных линий поля можно написать в виде Рис. 90. где составляющие А^ Ау и А8 суть определенные функции лг, у, г. В силу *еор*мь! существования и единствен- мости через каждую точку М, при соблюдении условий этой теоремы, 6yie? проходить одна определенная ^горная линия. Если провести все C4) ¦шторные линии, проходящие через точки некоторого куска поверх- ВОС1* ($), то их совокупность даст векторную трубку (рис. 90). делим в векторном поле некоторый объем (v)t и пусть (S) есть ^•ерхность, ограничивающая этот объем, а (л)— направление нор- О^У к (S), внешней по отношению к объему (v). Применим формулу jJjjPerpaACKoro |66J к функциям А# Ау, АШУ считая, что эти функ- мепрерывны и имеют непрерывные частные производные первого
Ъ58 гл. iv. векторный анализ и теория поля порядка в области (v) вплоть до ее границы: = \\[АХ cos (л, AT) + Ау cos (л, К) + Ag cos (я, Z)] <?$ или [1141: Интеграл по поверхности, стоящей в правой части равенства, назы- называется потоком поля через поверхность. Физический смысл его будет выяснен в дальнейшем. Подынтегральная функция в объемном интеграле называется расходимостью (дивергенцией) векторного поля1) и обозначается символом divA: •"vA-? + *b + ?. C6) Таким образом формулу Остроградского можно записать так: SSJSj C7) iv) т. е. объемный интеграл от расходимости равен потоку поля через поверхность этого объема. Определение расходимости C6) связано с выбором координатных осей Х> К, Z, но» пользуясь фор- формулой C7), нетрудно дать другое определение расходимости, не связанное с выбором координатных осей. Окружим точку М не* большим объемом (v%), и пусть (Sj) есть поверхность этого объема. Применяя формулу C7) и пользуясь теоремой о среднем [64], можем написать ^S, то есть dlvА где вначение dlvA берется в некоторой точке М{ объема и Vi есть величина этого объема. При беспредельном сжимании объема к точке М, точка Mv будет стремиться к точке М, и пре- предыдущая формула в пределе даст величину расходимости в самой точке М: dlvA= Hm ?? , (Зв) 0 div —первые три буквы французского слова divergence, что значит расходимость*
Mt f п. теория поля 359 ДО! е. расходимость поля в точке М есть предел отношения по* тона поля через малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к объему, ограниченному этой поверхностью. Предыдущие рассуждения показывают, что всякое векторное поле А дает некоторое скалярное поле div А, а именно поле своей расходимости» Мы покажем сейчас, что, пользуясь формулой Стокса, мы естественно придем кроме того и к некоторому векторному полю, порождаемому исходным полем А. Принимая напишем формулу Стокса, считая, что функции Axt Ayt As непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка в неко- некоторой области, внутри которой находится поверхность (S): <39> Пусть tfs —направленный элемент дуги кривой (/), т. е. элемент дуги этой кривой, рассматриваемый как малый вектор» Его соста- составляющие па оси будут dxt dy, dz, и выражение, стоящее под зна- знаком криволинейного интеграла, представляет собою скалярное произ- произведение A'rfs, т. е. равно A8d$t где Л, —проекция А на касатель- касательную к {/). Введем вектор с составляющими в любой системе XYZ: д^_дАу. дАх _ дАм л дАу дАх ду ~ЗГ» "ЭГ ~йГ' "^ dJT' ( ' Можно показать, что это псевдовектор A16J. Он образует вектор- векторное поле, которое называется вихрем поля А, и его обозначают символом rot А или curl A1). Формулу C9) при этом можно переписать так: j A«ds e ЭД Irot, A cos (я, X) + voty A cos (л, Y) + rot, A cos (л, Z)] dS ИЛИ J^rfs-JJrotrtArf5, D1) tloti ч^ 'Подставляет собою три первые буквы французского слова rota* смл л„лзна1|ИТ вР»и№ние, a curl есть английское слово, которое равно- Русскому термину „вихрь".
360 гл. iv. векторный анализ и теория поля цза где rot* А — составляющая rot А по нормали (я) к поверхности (S), Криволинейный интеграл, стоящий в левой части, называется обычно циркуляцией вектора А вдоль контура (/), и формулу Стокса мож- можно формулировать так: циркуляция поля вдоль контура некоторой поверхности равна интегралу по самой поверхности от нормаль- нормальной составляющей вихря, т. е. равна потоку вихря черев поверх- поверхность. Формула D1) дает возможность дать определение вихря, не связанное с выбором координатных осей. Пусть (т) есть некоторое направление, проходящее через точку М, и (а) —малая плоская пло- площадка, проходящая через эту же точку нормально к (т). Применим к (о) формулу D1) и воспользуемся теоремой о среднем (направле- (направление на границе (т) связано с ориентировкой осей): I Atds~*roimA\Mtot т. е- rotmA|M|S А) где (X) есть контур (о) и Л^ — некоторая точка этой площадки. Бес- Беспредельно сжимая площадку к точке М и переходя к пределу, полу* чмм, как и в случае расходимости, значение составляющей вихря на любое заданное направление (т) в точке М: \ A$ds rotmA~lim ^~ D2) В дальнейшем мы будем иметь многочисленные примеры приме* пения понятий вихря и расходимости и выясним физический смысл этих понятий» 122, Потенциальное и соленоидальное поля. В [120] мы полу- получили векторное поле qrad U(M)f являющееся градиентом некоторой скалярной функции U(M). Такое векторное поле называется потен- потенциальным полем. Не всякое векторное поле будет, конечно, полем потенциальным, и мы укажем сейчас необходимые и достаточные ус- условия, при которых заданное векторное поле будет потенциальным. Соотношение A«=grad U(M) равносильно [120] лв "^ Л~ т. е. равносильно тому, что выражение z D3) есть полный дифференциал некоторой функции. В [76] мы видели, что для этого необходимо и достаточно выполнение трех условий: dAg *Ау п дАх дАж л 9А9 дАЛ л ду дг v> дг дх ' дх ^Г '
При этом A = gradt/(Af)> и G6) D4) I II. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 361 Может случиться, что выражение D3) не будет полным диффе- ренталом* но будет допускать интегрирующий множитель, т. е. будет существовать такая функция точки |±(Af), что выражение D5) будет полным дифференциалом. Назовем такое поле квазипотенци- олышм* Как мм видели в [79], характерной особенностью такого вол! будет существование семейства поверхностей U(M) = С, орто- ортогональных к векторным линиям поля, причем из D5) следует, что pAaBgrad V или ъ е. поле А будет в этом случае отличаться от потенциального поля численным множителем —, имеющим в различных точках про- пространства различные значения. Необходимое и достаточное условие квазипотенциллыюсти поля сражается формулой [79]: ЧТ0 *ожно написать так: D6) с^ МобхоЪимым и достаточным условием существования щ*1 вй поверхностей, ортогональных к векторным линиям J**^* является условие D6), т. е. перпендикулярность векторов Заш»/ ЫЛЦ Равенство НУЛЮ rotA- д^^^тим, что если пространство, занятое полем, многосвязно, то ^^¦Иыл поля, определяемый по формуле D4), может оказаться га*ачн0й функцией [76]. 0гй три условия в свою очередь равносильны равенству нулю •м«п« поля: rot А = 0, т. е. для того, чтобы векторное поле было льным, необходимо и достаточно, чтобы вихрь этого \ялся нулю. Если это условие выполнено, то, согласно [76|, поля определяется в виде контурного и^еграла
362 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ II* Выше мы исследовали векторное поле, у которого вихрь равен нулю, и обнаружили, что такое поле есть поле потенциальное. Век- Векторное поле А, у которого расходимость равна нулю, т. е выпол- выполнено тождественное условие divA = 0, называется соленоидальным. В силу формулы C7) для та- такого поля имеем \\AmiS-\ D7) Рис. 91. где (S) — произвольная замк- замкнутая поверхность, внутри ко- которой наше поле везде суще- существует. Примем за поверхность (S) часть некоторой векторной трубки, выделенную двумя ее сечениями (?,) и (S*) (рис» 91). На боковой поверхности трубки <4„ = 0, так как А находится в касательной плоскости к этой боковой поверхности. Если для сечений (St) и E4) возьмем направление нормали (я) в одну и ту же сторону по отно- отношению к дпижению вдоль трубки, то на одном сечении (S,) это будет внутренняя нормаль, а на другом (Si)—внешняя по отноше- отношению к выделенной части векторной трубки. Применяя к ней фор- формулу D7), будем иметь i$g) (Si) причем знак ( —) в интеграле по Et) вызван тем обстоятельством, что на (Si) направление (п) противоположно направлению внешней нормали. Предыдущее равенство показывает, что интеграл [\AndS D8) в случае соленоидального поля имеет одно и то же значение для всех сечений (S) векторной трубки. Он дает поток поля через сечение (S) и называется обычно напряжением векторной трубки $ сечении (S). Таким образом для соленоидального поля напряжение имеет одно и то же значение во всех сечениях векторной трубки. Если при движении вдоль векторной трубки площадь ее сечения увеличивается, т. е. векторная трубка расширяется, то интенсивность потока, т. е. величина Ап> вообще говоря, уменьшается так, что величина интег- интеграла D8) остается неизменной. 123. Направленный элемент поверхности. Подобно направлен- направленному элементу кривой [121], можно ввести в рассмотрение напра- влемный элемент поверхности dS. Положим, что мы различили из данной поверхности две стороны, так что в каждой точке поверх*
I U. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 363 имеются два взаимно противоположных направления нормали, вязан с той или другой стороной поверхности, причем в случае епрерывного движения по поверхности направление нормали, опре- определенное с той или другой стороны поверхности, будет изменяться непрерывна 167). В случае замкнутой поверхности имеются внутрен- внутренняя и внешняя нормали но отношению к объему, ограниченному поверхностью. Направленным элементом dS поверхности назовем вектор, длина которого равна площади dS элемента, а направление совпадает с определенным направлением нормали (л) к этому эле- элементу. В случае замкнутой поверхности условимся принимать за таковое направление внешней нормали, а для внутренней нормали вместо (л) будем писать (пх\ Проекции вектора dS на координатные оси будут давать проек- проекции элемента площади поверхности на соответствующие координат- координатные плоскости со знаком плюс или минус, смотря по тому, будет ли угол, образованный (я) с координатной осью, острым или тупым. Пусть /(Л1) есть некоторая скалярная функция и A(Af) — вектор, определенные на поверхности (S). Составим выражения D9) Первое из них есть вектор, составляющие которого суть J \f(M) cos (л, X)dS, \\f(M) cos (л, У) dS, <*> iS) [[ f(M) cos (n,Z)dS. iS) Выражение D9J есть скаляр (S> (Si *• наконец! выражение D9*) есть вектор с составляющими J J [Ay cos (л, Z) — Аж cos (л, Y)) dS, g cos (л, X) — Ах cos (л, Z)]dS, И [Ax cos (л, У) — Ay cos (л, Л)) dS.
364 ГЛ. FV ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ П24 Пусть (S) — замкнутая поверхность и (v) — объем, ею ограничен, ныП» причем f(M) и A(Af) определены во всем объеме» Пользуясь формулой Остроградского» нетрудно проверить следующие три ра. иепстиа; (й0) =S S S divArft>> (so,) Равенство E0,) совпадает с формулой C7). Проверим еще равен- о E0*). Слагающие по оси ОХ левой и правой частей выражаю!сн егралами J $ \АУ cos (л, Z) - A, cos (n, Y)\ dS, - сизо () интегралами которые совпадают по величине, в чем нетрудно убедиться преобра- преобразованием тройного интеграла по формуле Остроградского. Совершенно аналогично» пользуясь формулой Стокса и направлен- направленным элементом поверхности» можем написать следующие формулы: $$$ E1) Ф E) $ E1,) Здесь {?) —некоторая поверхность и (/) — ее контур. Вторая из этих формул совпадает с формулой D1), так как в силу определения скалярного произведения rot А ¦ dS = rotrt A dS. Для формулы E1) составляющие левой и правой частей на ось ОХ будут > Z) ~S пользуясь формулой B2) из [73], нетрудно показать» что эти выра- выражения равны. 124. Некоторые формулы векторного анализа. Укажем некото- некоторые соотношения» связывающие введенные нами векторные операции. В [122) мы видели, что вихрь потенциального поля равен нулю: rotgradi/=0. E2) Нетрудно проверить, что вихревое поле имеет расходимость, ран- ранную нулю, т.е. d
I II. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 365 Действительно, д (дАа дАЛ . д /дАх дАЛ . д Введем еще в рассмотрение расходимость потенциального поля divgrad (/= ^ pad, U+ ? grad, i/ + ? gnd, и SgS си) Дифференциальный оператор навивается оператором Лапласа. Из левой части E4) видно, что он яе зависит от выбора координатных осей. Применяя формулу 08) х вектору grad U, получим определение Д(/ в точке М в виде \Si) [as llm &i- . E6) Мы определили Ai/ для случая, когда U— скаляр. Символ ДА, где А —векторное поле, означает вектор, составляющие которого суть ДЛ*, LAy и ДИл. Укажем еще следующие формулы: rot rot A = grad div A — ДА, E7) div (/A)=/div A + grad/- A, E7t) div(AXB) — B-rotA — A-rot В» E7^ grad/XA + /rotA, E7S) ) as ф Д<р 4- «p Дф -|- 2grad cp. grad ф. E7|) Мы проверим лишь первую из этих формул, предоставляя про- ку остальных читателю. Возьмем составляющую по оси ОХ век- стоящего в левой части E7Х и покажем, что она совпадает составляющей вектора, стоящего в правой части: Л1Л открывая скобки я прибавляя и вычитая
366 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ A25 что и требовалось доказать. Заметим при этом, что из формулы E7) следует независимость АА от выбора осей, ибо ДА = grad div A — rot rot A. 125. Движение твердого тела и малая деформация. В [118] мы видели, что при вращении твердого тела вокруг точки О скорость любой точки выра- выражается формулой V = О X Г, где о — вектор мгновенной угловой скорости иг — радиус-вектор ОМ. Самый общий случай движения твердого тела мы получим, придавая ему еще переносное цвижение со скоростью v0, и при этом полная скорость выразится формулой v = v0 + о X г. E8) Найдем теперь обратно — вектор угловой скорости по заданному полю скоростей v. Заметим прежде всего, что векторы v0 одинаковы в данный момент для всех точек тела, а потому они не зависят от (дг, у, z). Мы имеем тогда по формуле D0) rotv0 = 0. Пусть /?, qt г — составляющие о относительно осей, имеющих начало в О. Составляющие векторного произведения охг будут: qz— ry, rx— pzy ру — qx} так что согласно D0) составляющие rot (о X г) будут 2pt 2q, 2r, а потому вектор угловой скорости выразится через v в виде o = ~rotv. E9) Отсюда и самое название вектора rot v — вращение вектора скорости. Если помножим вектор скорости v на величину dt малого промежутка времени, то получится вектор \ dt, который будет давать приближенно сме- смещение точки за малый промежуток времени dt. Таким образом получим векторное поле малых смещений точек твердого тела: А=уЛ. Обращаясь к формуле E8) и считая, что переносное движение отсут- отсутствует, т. е. что точка О закреплена, получим следующую формулу для вектора смещения: А = оххг, F0) где Oj =s о dt есть малый вектор, направленный по оси вращения и равный малому углу поворота за промежуток времени dt. Пусть ри qti rt — соста- составляющие этого вектора и (л*, у, z) — координаты переменной точки твердого тела. Составляющие вектора А будут Ах = Ч\* ~ г&% А у = rtx —Plz, Аг = Piy — q,x. Отсюда, как и выше, нетрудно выразить вектор малого поворота через вектор смещения c^s^rotA. F1) Кроме того, последние формулы показывают, что составляющие вектора А суть линейные однородные функции координат (л:, у, г). Рассмотрим теперь общий случай линейной однородной деформации, при которой составляющие вектора смещения суть линейные однородные функции коорцинат: Ar-^+M + c* | F2)
125] § И. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 367 Коэффициенты a, b и с будем считать малыми и ограничимся рассмотре- рассмотрением малого объема (v) вблизи начала координат. Всякая точка этого объема сместится на вектор А и ее новые координаты после преобразования будут: \ F3) ] Такое преобразование будет только в частных случаях сводиться к вра- вращению объема (v), как твердого целого вокруг О. В общем случае оно будет связано и с деформацией этого объема, т. е. с изменением расстояний между его точками. Выясним несколько подробнее это обстоятельство. Составляющие вихря вектора смещения А согласно F2) будут: Ь3—с21 Ci — д3, а2 — bt. Если бы преобразование сводилось к вращению элементар- элементарного объема, как целого, то мы получили бы вектор смещения Аш с соста- составляющими А^^^(е1 — аж)г^(аш — Ь1)у% 4l)= ^(ag — bjx~(b»—e*)*> ^{)^ьс)у{с а)х Вычитая этот вектор из А, представим этот последний в виде А = АA) + АB), F4) где вектор чистой деформации АB> имеет составляющие Л I J| 9/1 I \ % / I \ F5) Нетрудно видеть, что этот вектор будет потенциальным вектором, а именно: А"> = -I grad [aiX* + b2y* + с3г2 + (b, + а2) ху + (с, + аж) хг + (еш + Ьг) yz], и, очевидно, вихрь этого вектора будет нуль. Определим теперь изменение элементарного объема в результате дефор- деформации. После деформации новый объем буцет выражаться интегралом (V) Совершая замену переменных по формуле из [631, должны будем заме- заменить = {A + п1) [A + Ьш) (I + еш) - c2bz\ + b, [c2a3 - а2 A + сг)] + + ^i [eA-^+h)a,\)dxdydz. Раскрывая скобки и удерживая лишь свободный член и первые степени малых коэффициентов а% b и с, получим d% dt\ tfC = [1 + (ах + Ьш + с,)] dx dy dz%
368 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ A23 и предыдущая формула дает Ь2 + с,)] dxdydz = v + (a, + b2 + cs) v, Си) Где v — величина объема до деформации. Коэффициент кубического измене- изменения будет но нетрудно видеть, в силу F2), что сумма, стоящая справа, есть div А, т. е. расходимость поля смещений дает коэффициент кубического изменения. 126. Уравнение непрерывности. Пусть v означает скорость течения жидкости. Вычислим количество жидкости, протекающей через данную по- поверхность (S) (рис. 92). Пусть dS — малый элемент поверхности. Частицы, занимавшие в момент t положение dS, за промежуток времени dt передви- передвинутся на отрезок v dt} и таким образом за этот промежуток времени через dS протечет количе- количество жидкости dQ, занимающее объем цилиндра с основанием dS и образующей v dt. Высота этого цилиндра равна, очевидно, vndt> где vn есть проекция v на нормаль (п) к поверхности, а потому dQ = ?vn dt dS, где р есть плотность жидкости. Величина dQ по- получится отрицательной, если угол (п, v) окажется тупым. В случае замкнутой поверхности направ- Рис» 92. ление (п) совпадает с направлением внешней нор- нормали поверхности, и величина dQ получится отрицательной, если жидкость втекает в объем, ограниченный этой поверх- поверхностью, через площадку dS. Общее количество жидкости, вытекающей через поверхность, отнесенное к единице времени, будет Q = И ру" dS> F6) IS) при этом втекающая жидкость подсчитывается этой формулой со знаком минус. Количество жидкости, занимающей объем (v)} ограниченный E), выра- выражается интегралом и за время dt это количество изменит свою величину на dt а потому отнесенное к единице времени приращение количества жидкости будет
126) § 11. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 369 а количество вытекающей жидкости выразится тем же интегралом, но с обратным знаком, так что для Q получим два выражения (S) (v) или, согласно формуле C7), (V) (V) причем мы оставляем плотность р под знаком расходимости, так как она может быть переменной, т. е. зависеть от положения точки. Последняя фор- формула дает нам соотношение, справедливое для любого объема внутри жид- жидкости: (V) В [74] мы показали, что если двойной интеграл по любой области от не- некоторой непрерывной функции равен нулю, то эта функция тождественно равна нулю. То же доказательство годится и для тройного интеграла. Отсюда следует д g + d( 0 F7) Это соотношение, связывающее плотность и вектор скорости любой жидко- жидкости, сжимаемой или нет, называется уравнением непрерывности. Соотноше- Соотношение F7) может быть записано иначе, если мы учтем изменение плотности р жидкой частицы, причем р (t, x, у, z) есть плотность частицы, которая в мо- момент t имела координаты (х, у, z). Плотность этой частицы зависит от t как непосредственно, так и через посредство (х, у, z)y поскольку частица дви- движется и ее координаты зависят от t. Полная производная от р но t будет dp dp , dp dx , dp dy .dp dz что можно записать и так: dp dp , dp , dp , dp dt dt dx x*dy v dz z* или -j? = -^ -(- grad p • v. F8) Мы можем переписать равенство F7), пользуясь E7Д в виде т. е., в силу F3), g + Pdivv = 0, F9; откуда divv = -f. р dt Таким образом расходимость поля скоростей v дает относительное изменение плотности элемента жидкости, находящегося в данном ме- месте, — изменение, отнесенное к единице времени.
370 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ [127 Если жидкость несжимаема, то это изменение должно равняться нулю, и мы получим из F9) условие несжимаемости divv = 0. G0) Мы вывели условие непрерывности путем подсчета количества жидко- жидкости, вытекающей из объема, подсчета, произведенного двумя способами. При этом предполагается, конечно, что в объеме нет источников жидкости — ни положительной, ни отрицательной силы (сток). Если течение жидкости невихревое или, иначе говоря, потенциально, т. е. вектор v есть потенциальный вектор v = grad <p, то ср называется потенциалом скорости. Подставляя в уравнение G0), по- получим: divgrad? = 0, т.е. g + || + g| = O, G1) т. е. потенциал скорости для случая несжимаемой жидкости должен удовлетворять уравнению Лапласа G1). 127. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости. Под идеальной жидкостью мы будем подразумевать такую деформируемую сплошную среду, в которой внутренние силы — находится ли она в состоянии равновесия или движения — приводятся к нормальному давлению, так что если выделить в этой среде некоторый объем (v)> ограниченный поверхностью E), то дей- действие на него остальной части среды приводится к силе, направленной в каж- каждой точке E) по внутренней нормали. Обозначим величину этой силы (давление), отнесенную на единицу площади, буквой р. В каждый данный момент давление р (М) дает некоторое скалярное поле. Равнодействую- Равнодействующая сил давления на поверхности объема (v) выразится, в силу E0), инте- интегралом IS) («) где знак (—) поставлен потому, что положительное давление действует в на- направлении внутренней нормали, а вектор dS по условию направлен по внеш- внешней нормали. Применяя принцип Даламбера, мы должны уравновесить силу давления внешними силами, которые мы относим к единице массы и обозначаем F, что дает в объеме (v) равнодействующую И SpF dv> и, наконец, силою инерции, которая на элемент массы будет — р dv W, где р —плотность, W —вектор ускорения жидкой частицы. На объем (v) сила инерции будет (V) Итак, согласно принципу Даламбера, мы должны иметь $$$ [pF - g^d p - рW] dv = 0, (V) откуда, в силу произвольности (v), как и выше, можно заключить, что подынтегральная функция равна нулю, и тогда получим pW = PF — grad/7. G2)
128] § И. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 371 В этой формуле заключаются три уравнения, которые являются основными уравнениями гидродинамики идеальной жидкости. Пусть щ vf w — составляющие вектора скорости, выраженные как функ- функции координат точек (ху уу г) и времени L Слагающая вектора ускорения W по оси ОХ будет равна полной производной по времени от составляющей u(t, x> У) *) вектора скорости, так что мы можем написать w ди . ди dx \dudy ди dz или tV7 du , du , du . du x dt dx л dy * dz Совершенно так же ^ dv , dv .dv dv xvr dw . dw . dw . dw z dt { dx l dy * dz Таким образом векторное уравнение G2) приведет нас к трем уравнениям: ^и \d}L 4-^ jl^u F ^ **Р dt ' dx "*"dy dz ~~~ x $ dx' dv , dv _ , d^ _ , dv .. ^ 1 dp .?3 ул dj; ' d2 г р дг Это — так называемые уравнения zudpodunaMunu в форме Эйлера. К этим уравнениям нлдо присоединить еще уравнение непрерывности, которое мы вывели в предыдущем номере. Пользуясь настоящими обозначениями, можем переписать уравнение F9) в виде fv + fw+ у * dz * v \dx * dy dz) x ' Характерной особенностью написанных уравнений является то обстоя- обстоятельство, что при исследовании движения мы выбрали за независимые пере- переменные координаты точки пространства (л:, у, z) и время t. В некоторых случаях вместо координат точек пространства (л*, у, z) за независимые пере- переменные выбирают координаты того положения жидкой частицы, которое она имела в начальный момент времени. При таком выборе независимых пере- переменных уравнения гидродинамики, конечно, будут выглядеть иначе. Уравне- Уравнения G3) и G4) — четыре уравнения, содержащие пять неизвестных функций (и, v, w, р, р). К этой системе надо добавить еще одно уравнение. Можно считать, например, что плотность постоянна или что имеется определенная зависимость между плотностью и давлением р =/(р) (уравнение состояния). 128. Уравнения распространения звука. Уравнения G2) или G3) имеют место не только для жидкости в тесном смысле слова, но и для газа. Суще- Существенным является лишь гипотеза о том, что внутренняя сила сводится к одному давлению. Будем считать движение настолько малым, чтобы в ле- левых частях уравнений G3) можно было пренебречь членами, содержащими произведение скоростей на их производные но координатам. При этом урав- уравнения G3) перепишутся так: <^_-р ±dp dv__ -. l_dp dw_ „ j_dp 7- dt~ *~~ p dx9 dt~~ y~ ? dy> Й" '"pS1 { }
372 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ |128 или в векторной форме: 0I G6) Точно так же, отбрасывая в уравнении G4) члены с произведениями проек- проекций скорости на производные от плотности по координатам, получим ^ + pdivv = 0. G7) Пусть р0 — постоянная плотность среды в состоянии покоя. Введем малую величину s, характеризующую относительное изменение плотности при движении и определяемую равенством P Отсюда do ds Г ___ _________ *-_• /*С р 1 + в причем в знаменателе A+s) мы отбрасываем малую величину s. В силу написанного, можно считать дт = — з?, и равенство G7) дает | = -divv. G8) Можно считать, что градиент давления пропорционален градиенту вели- величины s, характеризующей сжатие или разрежение, т. е. grad/? = ? grad s, где е — коэффициент упругости среды. Подставляя это в уравнение G6) и считая в этом уравнении р = р0, получим Возьмем операцию расходимости от обеих частей этого равенства -a- div v = div F div grad s. at Po Принимая во внимание G8), можем написать это уравнение так: Этому уравнению должна удовлетворять величина s, которая есть функция времени и координат точки. Заметим, что при вычислении расходимости производной 4.- мы переставили дифференцирование по t с операцией рас- расходимости, что представляется законным, так как результат дифференциро- дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Если внешние силы отсутствуют, то уравнение G9) будет (80) Последнее уравнение называется обычно волновым уравнением. Вспо- Вспоминая, что величина s характеризует величину сгущения или разрежения,
129] § П. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 373 мы можем сказать, что в нашем случае это уравнение дает закон распро- распространения звука. Те части пространства, где divF отлична от нуля, будут источниками звука. 129. Уравнение теплопроводности. В [120] мы видели, что количество тепла, проходящее за время dt через элемент поверхности dS, принимается равным dU dQ — kdt dS dS n U(M) где k — коэффициент внутренней теплопроводности, U—температура и (л) — направление, нормальное к dS. Рассмотрим замкнутую поверхность (S), ограничивающую объем (z/), и подсчитаем полное количество тепла, прохо- проходящее через (S). Нетрудно видеть, что мы получим dQ = - dt И k gracU UdS. (81) (S) При этом, если в направлении внешней нормали (п) температура убывает, то -5- < 0, и соответствующий элемент интеграла будет отрицательным, а при возрастании температуры картина будет обратная. Принимая во вни- внимание, что тепло течет в направлении убывания температуры и знак (—) в правой части (81), можем утверждать, что Q есть количество тепла, отда- отдаваемого объемом (v) за промежуток времени dt Втекающее в (v) тепло будет подсчитываться формулой (81) со знаком ( — ). То же количество отдаваемого тепла можно подсчитать иначе, следя за изменением температуры внутри объема. Рассмотрим элемент объема dv. На увеличение температуры этого элемента на dU за промежуток времени dt нужно затратить количество тепла, пропорциональное повышению темпера- температуры и массе элемента, т. е. количество тепла: dv — w-^-dt dv, где р — плотность вещества, -у — коэффициент пропорциональности, который называется теплоемкостью вещества. Таким образом отдаваемое всем объемом тепло выразится но формуле (v) причем знак (—) мы ставим потому, что подсчитывается отдаваемое, а не получаемое тепло. Приравнивая полученные два выражения для dQ и применяя формулу C7) из [121], будем иметь И J 7Р 3? ** = S И div(*grad U)dv> (82) (v) iv) т- е. при произвольном объеме должно иметь место соотношение (V) откуда мы получим дифференциальное уравнение теплопроводности ^ (83)
374 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ [129 или dU д ( . dU\ д ( . д(А . д Это уравнение должно выполняться во всех точках внутри рассматрива- рассматриваемого тела. Температура U зависит от координат точки и времени. Если тело не только изотропно [120], но и однородно, то ], р и ft постоянные, и уравнение (83) можно переписать в виде dU 2 / т\/~~Ь\ ~dt \ У ^р J ' ' или dU 9 (d2U , d2U , д2 Если тепловое явление стационарно, т. е. температура не зависит от времени t, а только от координат (л:, у} z)} то уравнение (84) перепишется в виде Мы получили таким образом для температуры в стационарном тепловом процессе уравнение Лапласа, которое мы уже встречали выше. При выводе уравнения теплопроводности (83) мы предполагали, что в рассматриваемом теле отсутствуют источники тепла. В противном случае мы должны были бы вместо равенства (82) написать другое равенство, а именно (V) (V) {V) где последнее слагаемое в правой части представляет количество тепла, вы- выделяемого в объеме (v), причем это количество тепла рассчитано на единицу времени. Подынтегральная функция е (t, M) дает напряженность источников тепла, непрерывно распределенных в объеме (v), и эта функция может зависеть как от времени, так и от положения точки М. Вместо дифференциального уравнения теплопроводности (83) мы получили бы уравнение вида 7Р ^j = div (k grad U) + e (86) или, в случае однородного тела, вместо уравнения (84) мы имели бы M=a'bV+U (87) Уравнения (87) и (84) аналогичны уравнениям G9) и (80) из [128]. Нали- Наличие источников тепла в уравнениях теплопроводности аналогично наличию внешних сил или, точнее говоря, источников звука — divF в уравнениях ргвепространения звука. Как то, так и другое обстоятельства делают диффе- дифференциальное уравнение неоднородным, т. е. уравнения G9) и (87), кроме членов, содержащих искомую функцию s или ?/, содержат еще и свободные члены — divF или е, которые надо считать заданными функциями. Обратим внимание и на существенную разницу между уравнениями (80) и (84). Первое
130] § п. теория поля 375 из них содержит вторую производную от искомой функции по времени, тогда как второе содержит первую производную по времени. Это обстоя- обстоятельство существенным образом скажется при интегрировании этих урав- уравнений. 130. Уравнения Максвелла. При рассмотрении электромагнитного поля вводятся следующие векторы: Е и Н — векторы электрической и магнитной сил; г — вектор полного тока; D — вектор электрического смещения; В—ве- В—вектор магнитной индукции. Два основных закона электродинамики, являю- являющихся обобщением законов Био-Савара и Фарадея, могут быть написаны в виде 1 С С 11 ¦•" (88) (/) f I d С С V Esds = —1 \ Вп dS, (89) (/) (S) где с — скорость света в пустоте. Первое из уравнений связывает циркуляцию вектора магнитной силы вдоль контура некоторой поверхности с потоком вектора полного тока через самую поверхность. Второе уравнение связывает циркуляцию вектора элек- электрической силы с производной по времени от потока магнитной индукции через поверхность. В написанных уравнениях (/) — произвольный замкнутый контур и (S) — поверхность, им ограниченная. Кроме того, в покоящейся однородной среде векторы D и В связаны с векторами Е и Н: где е и {х — постоянные, называемые диэлектрической постоянной и магнит- магнитной проницаемостью среды. Вектор полного тока состоит из двух слагае- слагаемых— тока проводимости и тока смещения: где X — коэффициент проводимости среды. Таким образом окончательно уравнения (88), (89) принимают вид [ Hsds = ~ [ С [\Еп + г^р) dS, (90,) (/) (S) E5tfs = -|^J §pHndS. (90.) (/) (S) Интегралы, стоящие в левых частях этих равенств, могут быть по фор- формуле Стокса преобразованы в интегралы по поверхности: jj I rot^H dS и \\ то\пЕ dS, (S) \S) так что уравнения переписываются в виде
376 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ 1130 Ввиду произвольности поверхности E), а следовательно, и направления нор- нормали (и), из последних уравнений вытекает -^. (91.) Эти уравнения и представляют собою уравнения Максвелла в дифференци- дифференциальной форме. Мы имеем здесь шесть дифференциальных уравнений, содер- содержащих шесть составляющих Exi Ey} Е21 MXi Hyy Нг, Непосредственным следствием уравнений (91 j) и (912) в рассматриваемом случае является соленоидальность векторов дЕ дП & И dt> ибо их расходимость равна, в силу (91J и (912), с div rot H и с div rot E и, следовательно, обращается в нуль [124]. Но можно доказать еще и то, что сами векторы Е и Н соленоидальны в некоторой части пространства, если они были там таковыми в начальный момент времени. Прежде чем переходить к доказательству этого утверждения, введем две величины diveE = p?==p, divH.H = Pw, (92) которые называются плотностями электрического и магнитного заряда* Из уравнения div ( XE + е ^ = A. div еЕ + ~ div (еЕ) = 0 следует и, интегрируя это линейное уравнение первого порядка, получим [6] -А, где р0 есть значение о при * = 0. Стало быть, если в начальный момент вре- времени мы имели ро = О, т. е. divE0 = 0, то и при всяком t будет р = 0, т. е. divE = 0. Точно так же из уравнения (912) следуем и если divH0 = 0, то divH=:0 при всяком t Последнее уравнение равносильно условию равенства нулю магнитного заряда, что обычно и допускается. Из уравнений Максвелла можно вывести другие уравнения, в которые каждый из векторов Е и Н входит отдельно. Производя операцию rot над
13ц § и. теория поля 377 обеими частями уравнения (912), мы имеем —crot rot Е = ц—^т— или, в силу формулы E7г) и уравнения (91х), c(AE-graddivE)«-t|(e^ + XE)t откуда окончательно ??+T§ = |>E-graddivE>- <93> Совершенно такое же уравнение получается и для вектора Н. При отсутствии электрических зарядов, т. е. в случае divE = 0, уравне- уравнение (93) перепишется в виде 5J + A* ?ДЕ. (94) Это уравнение называется обычно телеграфным, уравнением., так как оно было получено впервые при изучении распространения тока по кабелю. На- Наконец, если мы имеем дело с совершенным диэлектриком, т. е. непроводя- непроводящей средой, то \ = 0, и уравнение (94) будет: С уравнением такого вида мы уже встречались в [128]. Если процесс стационарен, т. е. векторы Е и Н не зависят от /, то уравнение (912) дает rot Е = 0, т. е. Е есть потенциальный вектор: E = gradqr, и первое из уравнений (92) дает divgradq):=— или Д<р = —. (96) 6 б В тех местах, где р = 0, т. е. где электрические заряды отсутствуют, полу- получим для потенциала ф уравнение Лапласа Д<р = О. 131. Выражение оператора Лапласа в ортогональных коорди- координатах. В [63] мы вводили в рассмотрение любые криволинейные координаты в пространстве. Теперь мы рассмотрим один частный случай таких координат, а именно тот, когда элементарный объем, который, как мы упоминали в [63], представляется в виде паралле- параллелепипеда, будет прямоугольным параллелепипедом. Этот случай ортогональных криволинейных координат представляется наиболее важным и чаще всего встречается в приложении. Пусть вместо декартовых координат х, уу z вводятся три новые переменные ?1 = Ф С*, у, z), q2 = ф (х, yt z), q3 = со (х, у, z\ (97) или в форме, решенной относительно х, у, z, x = 4>i(<li> Я* <7з)> У = Ч>2(Яь Яъ Чъ\ * = Фз(<71> <72> <7з). (Щ Мы считаем, что все указанные функции непрерывны и имеют непре- непрерывные частные производные первого порядка.
378 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ [131 Придавая новым переменным qv q2 и q3 постоянные значения А, В, С, получим три семейства координатных поверхностей. Уравнения этих новых координатных поверхностей в координатах ху у, z будут: , у,г) = А (I), ф (*, у,г) = В (II), со (*, у, z) = С (III). (99) Возьмем две какие-либо координатные поверхности из разных семейств, например, из семейств (II) и (III). Они пересекаются вдоль некоторой линии, уравнение которой будет г, у, z) = у, г) = где В и С— определенные постоянные. Вдоль этой линии меняется только переменная qv и эту линию можно назвать координатной ли- линией qv Аналогичным образом получаются координатные линии q2 и q3. Вычислим квадрат элемента длины в новых координатах: A00) Раскрывая скобки, получим однородный полином второй степени относительно dqb dq2i dq3. Выясним условия, при которых этот полином не будет содержать членов с про- произведениями различных дифференциалов^. Рассмотрим, например, в выражении A00) слагаемое, содержащее произведение dqxdq2. Коэффициент при этом произве- произведении будет ?4* рис 93 Элемент объема в новых координатах (рис. 93) будет ограничен тремя парами координатных поверхностей. Из его основной вершины Л, которой соответствуют значения qv q2> q3 новых координат, будут выходить три ребра: АВ, АС и AD. Вдоль ребра АВ меняется только qb вдоль АС — только q2 и вдоль AD — только q3. Рассмотрим первое и вто- второе ребра. На первом ребре функции (94) суть функции только ql9 и направляющие косинусы касательной к этому ребру пропорцио- пропорциональны [I, 160] CoBepujeniio так же направляющие косинусы касательной ко вто- второму ребру пропорциональны
i3ii §11 теория поля 379 Равенство нулю выражения A01), таким образом, равносильно тре- требованию перпендикулярности рассматриваемых двух ребер. Если потребовать, чтобы в выражении A00) обратились в нуль и коэф- коэффициенты при dqidq$ и dq^dq^ то это будет равносильно требо- требованию, чтобы все три ребра элементарного объема в новых коорди- координатах были взаимно перпендикулярны. Таким образом необходимым и достаточным условием ортогональности системы криволиней- криволинейных координат является то, чтобы выражение ds1 содержало только члены с квадратами дифференциалов, т. е. члены с dq\, dq\ и dq\. Будем считать в дальнейшем, что криволинейные координаты ортогональны. При этом получим для ds1 выражение вида: ds* = Н[ dq\ + Н\ dq\ + HI dq% A02) где 1 \d<hl vtyi/ A03) — /*Pi\2 Принимая во внимание, что вдоль каждого из ребер элементарного объема меняется только одна из переменных, мы получим, согласно формуле A02), длины этих ребер dsl = Hidqu ds% = H%dqb dsz = Hbdqb A04) и элемент объема в новых координатах будет выражаться формулой dv = dsx ds2 dsz = HiHiH$ dqx dq^ dq* A05) Положим теперь, что в пространстве имеется векторное поле А. Расходимость этого поля в некоторой точке М определяется, как известно [121], по формуле \\AndS divA= lim &) » где (Si) — поверхность, ограничивающая некоторый объем (г^), содер- содержащий точку М и беспредельно сжимающийся к этой точке, и ^ 1 — величина, этого объема. Применим это к случаю элементарного объема в криволинейных координатах qv qb q^ и определим поток поля через поверхность этого элементарного объема. Начнем с опре- определения потока через правую и левую грани. В основной вершине А криволинейные координаты имеют значения qi9 qb qd} а на правой грани надо будет заменить qx на (q\-\-dq{). Кроме того на пра- правой грани направление внешней нормали совпадает с направлением
380 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ [131 координатной линии qb а на левой эти направления противоположны. Таким образом на правой грани слагающая Ап по внешней нормали (п) будет Aqi> а на левой грани это будет (— Aqi)> где АЯ1 — проекция вектора А на касательную к координатной линии q{ или, как говорят обычно, ни координатную линию qv Ввиду малости граней заменяем поверхностный интеграл по ним ^ Ап dS просто произведением подынтегральной функции на площадь соответствующей грани и таким образом получим для потока через правую и левую грани выражение И ~ Aq^StdS а поток через обе грани будет Aqi ds* dsz \gi +dqi — Aqx ds2 ds^ \qi или, согласно формулам A04), АЯ1 НгИ6 dq.2 dq6 \qi +dqk — AQl НгНъ dq2 dq% \qi = Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получим окон- окончательно выражение потока через правую и левую грани: ) Совершенно так же поток через заднюю и переднюю грани будет я поток через верхнюю и нижнюю грани Складывая полученные три выражения и деля на величину элемен- элементарного объема, получаемую из формулы A05), придем к выражению расходимости поля в ортогональных криволинейных координатах Положим теперь, что поле А есть потенциальное поле, т. е. поле градиента некоторой функции U(M)y то есть A = grad?/. В этом случае составляющая поля АЯ1 есть производная функции U по на- направлению q{. ^L X dU
131] 5И. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 381 совершенно аналогично ! ди л * ди Подставляя эти выражения в формулу A06), получим выражение оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах Уравнение Лапласа Д?/=0 будет выглядеть в координатах qi9 Яг следующим образом: д [H2H8dU\, д (H8HtdU\, д (И1И2ди\_ 1. Сферические координаты. В случае сферических коор- координат формулы (98) имеют вид [62] jc = r sin 0 coscp, y = r sin 6 sin (p, z = rcos6, причем qi = r, #2 = 0 и ^3==cp. Вычисляем ds*: ds* = (sin 6 cos <p dr-)- r cos б cos <p db — r sin б sin <p rfcpJ-f-(sinб sincpdr-}- + г cos б sin <p йб -)- r sin б cos cp rfcpJ + (cos б dr — r sin б я?0)«, или, открывая скобки, ds* = dr* + г2 d62 + г2 sin2 б tfcp2, A09) т. е. Нх=\, Нъ = г, //3 = т sin б, причем 0^6<:тс, так что //3^0. Подставляя в A08), получим уравнение Лапласа в сферических коор- координатах ИЛИ Найдем решения этого уравнения, зависящие только от радиуса- вектора. При этом надо считать -^ = -г- = 0, и, следовательно, dr j y откуда r,f = _Cl „ли f = -S, и, интегрируя, получим ?/=? + С» A11)
382 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ [131 где Сг и С2 — произвольные постоянные. Напомним, что г есть расстояние переменной точки М до любой фиксированной точки Жо, которую мы можем выбрать за начало. В частности, при С1 = 1 и С2 = 0 мы имеем решение—, о котором мы уже говорили в [90]. 2. Цилиндрические координаты. В этом случае х = р cos ф, у = р sin ф, г = -г, так что <7i = p, ?2 = Ф» Яз = 2- Для rfs2 имеем: откуда Нг = 1, Я2 = р и /73=1, и уравнение Лапласа в цилиндри- цилиндрических координатах будет, согласно A08), или д Нетрудно показать, как и выше, что решение этого уравнения, зависящее только от расстояния р точки до OZ, будет t/^Qlgp + C,. A13) Положим, что значения ?/ не зависят от г, т. е. что U имеет оди- одинаковые значения в соответствующих точках всех плоскостей, парал- параллельных плоскости XOY. При этом достаточно рассматривать значе- значения U на одной плоскости XOY (плоский случай). В прямолинейных прямоугольных координатах уравнение Лапласа в этом случае будет дх* + ду> ~" Относя плоскость к полярным координатам (р, ф), получим, в силу A12), уравнение Из выражения A13) видно, что в плоском случае lgp будет давать решение уравнения Лапласа, где р — расстояние переменной точки плоскости до какой-либо фиксированной точки. Вместо lgp можно, конечно, брать решение lg — = — lg p. Таким образом в трех- трехмерном пространстве основным решением уравнения Лапласа является величина, обратная расстоянию переменной точки до некоторой постоянной точки, а в плоском случае основным решением будет логарифм этого обратного расстояния или самого расстояния.
182] § П. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 383 132. Операция дифференцирования для случая переменного поля. Положим, что мы имеем в пространстве некоторое скалярное поле U(t, M) или векторное поле A (t, М), причем в обоих случаях это поле меняется с течением времени, т. е. в каждой точке величина скаляра или вектор суть функции времени t. Положим, кроме того, что все пространство находится в движении, которое характеризуется полем вектора скорости v. Последний вектор мы также считаем зависящим от времени. Будем следить за изменением величины U с течением времени. Мы можем сделать это двояким образом. 1. Фиксируя свое внимание на определенной течке пространства, мы будем определять скорость изменения величины U в этой точке пространства. Таким образом мы придем к частной производной -^- , которую можно на- назвать локальной производной, поскольку мы связываем себя с определен- определенным местом пространства. 2. Иначе мы можем определить скорость изменения величины U, фикси- фиксируя свое внимание на определенной частичке движущейся среды (субстан- (субстанции). При этом мы должны, дифференцируя по времени, принимать во вни- внимание и движение самих точек среды, т. е. мы должны дифференцировать величину U не только непосредственно по t, но также и через посредство координат (л:, у, z) точки М Мы приходим в этом случае к полной произ- производной или, как иначе говорят, к субстанциональной производной: dU dU , dUdx , dU dy . dUdz dU ,dU , dU . dU что можно переписать в следующей сжатой форме: f f A14) Мы уже имели пример субстанциональной производной в [126], где мы рассматривали полную производную по времени от плотности частицы дви- движущейся непрерывной среды. Точно так же для переменного вектора A (t, M) в движущейся среде будет иметь место формула dk д\ , д\, ,д\ д\ или fj^ , A15) где символ (v grad) имеет следующее значение: В формулах A14) и A15) первое слагаемое, т. е. частная производная по времени, характеризует изменение величины в данном месте, а второе слагаемое является результатом движения самой среды. Мы установим теперь некоторые формулы для дифференцирования инте- интегралов по областям, связанным с движущейся средой. В данном случае зависимость величины интеграла от времени будет иметь место как вследствие того, что подынтегральная функция зависит от t, так и потому, что область интегрирования меняется с течением времени. Мы можем здесь при вычислении производной по t считать эту двоякую зависимость от t за зависимость Ох двух переменных и применить правило дифференцирования сложных
384 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ [132 функций [I, 69]. Дело по существу приведется к принципу наложения беско- бесконечно малых действий. Производная от интеграла по t будет состоять из двух слагаемых: первое слагаемое, вычисленное в предположении неизменности об- области интегрирования, определяется простым дифференцированием по t иод знаком интеграла [83], а второе слагаемое учитывает лишь эффект от изме- изменении самой области интегрирования, и при его вычислении подынтегральная функция считается неизменной с течением времени. Переходим к рассмотрению ряда случаев. 1. Пусть (v) — некоторый переменный объем и U(t, M) — скалярная функция. Установим формулу для производной Udv. Каждый элемент dS поверхности E), ограничивающей область (v)} за промежуток времени dt опишет объем dtvndS, где (п) — направление внеш- внешней нормали к поверхности (S) [126]. Деля на dt и добавляя слагаемое, происшедшее от изменения подынте- подынтегральной функции, получим выражение производной интеграла в виде (v) (v) (S) откуда, применяя формулу Остроградского, будем иметь А dt Заменяя -^ его выражением через -гг согласно формуле A14) и поль- пользуясь формулой E7Х) [124] div (Uv) = U div v + v • grad Ut можем переписать формулу A16) в виде d dt J J J w "" - J J ; ¦ " ' —" i »-• <117) (V) (V) 2. Рассмотрим теперь производную от потока неременного вектора поля A (t, M) через движущуюся поверхность (S): (S) Здесь (S) — некоторая поверхность, связанная с движущейся средой, и (п) — определенное направление нормали к (S). Одним из слагаемых в иско- искомом выражении производной будет о A18) Определим теперь второе слагаемое, происходящее от движения самой поверхности (S). Пусть (/) — контур этой поверхности и ds — направленный
132] § И. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 385 элемент этого контура, причем в дальнейшем мы определим направление контура (/) (рис. 94). За промежуток времени dt поверхность (S) опишет объем (W), ограниченный тремя поверхно- поверхностями: положением (St) поверхности (S) в мо- момент t, положением (S^a) поверхности (S) в момент t + dt и поверхностью (S'), описан- описанной контуром (/) за промежуток времени dt. Элемент площади поверхности (S') будет dSr = | ds X v | dt. Пусть (n)— направление нормали на E/) и (St+dt)i взятое в одну и ту же сторону, а именно положим, что на E/+,//) оно направ- направлено вовне объема E1/). Обозначим также че- через (п) направление нормали к (S'), внешней для (ЬУ), и придадим (/) такое направление, чтобы ds, v и (п) на (S') имели ту же ориен- ориентировку, что и координатные оси. При этом очевидно Ап dSf = А • (ds X v) dt, Рис. 94. так что формула Остроградского дает нам l • (ds Xv)= \ \ 1 div Adv. A19) Id *'<sV) Знак (—) перед интегралом по E/) поставлен в силу того, что на E/) нор- нормаль (п) направлена внутрь E1/). Но, как известно [117], А . (ds X v) = ds • (v X А) = (v X A)s ds, где (v X A)s — проекции v X А на направление ds, и, следовательно, по фор- формуле Стокса * А . (ds X v) = С (v X A), ds = [ С готЛ (v X A) dS. (О (/) Разбивая объем (ЬУ) на элементарные объемы dv = vndS dt, где dS— элемент площади поверхности (S/), мы получим из формулы A19): [vn div А — гоГЛ (v X A)] dS. Деля обе части на dt и переходя к пределу, мы будем иметь то слагае- слагаемое в выражении производной, которое происходит от движения поверх- поверхности (S). Прибавляя еще слагаемое A18), получим окончательно A20) (S) Если (S) есть замкнутая поверхность, то в выражении производной будет отсутствовать член, содержащий rotrt(Axv), и соответствующая этому случаю формула непосредственно вытекает из A16). Действительно, пУсть (v) — переменный объем, ограниченный замкнутой поверхностью (S).
386 ГЛ. IV. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ Пользуясь формулой Остроградского и A16), получим (S) [133 (V) И (V) (v) ' (S) 3. Рассмотрим теперь производную от циркуляции переменного вектора по движущейся кривой Одним из слагаемых в искомом выражении, как всегда, будет Определим теперь добавочное слагаемое, происходящее от движения самой кривой. За промежуток времени dt кривая (/) опишет поверхность F5), ограниченную четырьмя линиями (рис. 95): кривой АХА2, которая является положением (//) линии (/) в момент времени t; кривой В^^, которая дает положение (lt+dt) линии в момент t-{-dt; наконец, кривыми А1В1 и А%В2$ которые опишут концы Аг и Л2 кривой (/) за промежуток времени dt. Фор- Формула Стокса дает Asds+ \ Asds- \ Asds+ \ As ds = \ J rotn A dS, A22) причем Л Рис. 95. и значки наверху показывают брать в точках А± и Л2. Элемент площади поверхности dS будет и (h+dt) производится в направлении от Af и Вг к А2 и В2, и (я) — направление нор- нормали к FS) такое, что на (//) векторы ds, v и (п) имеют ту же ориентировку, что и оси. Интегралы по малым кривым {А2В2) и {ВХА{) можно заменить одним элементом, т. е. произведением величины подынтегральной функции на длину пути интегрирования. Мы получим для них скалярные произве- произведения вектора А на малое перемещение vdt: A<2>.v<2> dt и —AA)-v(l) dt, где знак (—) поставлен ввиду того, что по кривой BtAt интегрирование произво- производится от Вх к Av т. е. противоположно v, что значение соответствующих величин надо dS--=\ds Xv dt, иметь направление и нормаль (п) к поверхности будет что, очевидно, го^ A ds = (ds X v) • rot A dt--= (v X rot A). ds dtt и формула A22) дает вектора ds x v, так Vt + dt) Asds— (lt) (rot A X v)s ds.
I32] § И- ТЕОРИЯ ПОЛЯ 387 Деля обе части на dt, переходя к пределу и добавляя слагаемое A21), получим искомое выражение для производной, причем вместо (//) мы пишем просто (/): Если кривая (/) замкнутая, то внеинтегральные слагаемые пропадут, и мы получим A23) A24) Эту формулу можно просто вывести, преобразуя криволинейный интеграл по формуле Стокса и применяя затем формулу A20). Рассмотрим еще циркуляцию скорости вдоль некоторого движущегося контура (/). Согласно формуле A23) A25) Составляющая вектора rot v X v по оси ОХ будет Раскрывая скобки и прибавляя и вычитая -^r^Vx* можем написать: и, пользуясь A15), нетрудно получить отсюда где w — вектор ускорения. Подставляя в A25), будем иметь A26) ибо, очевидно,
ГЛАВА V ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ § 12. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 133. Плоская кривая, ее кривизна и эволюта. В настоящей главе мы дадим основы теории кривых и поверхностей, причем начнем с исследования плоских кривых, затем перейдем к кривым в про- пространстве и к поверхностям. При изложении мы будем пользоваться векторами, так что читателю необходимо твердо помнить содержание первых номеров предыдущей главы включительно до [119], содержа- содержащего вопрос о дифференцировании вектора. Начнем с доказательства леммы: Лемма. Если А есть вектор длины единицы (единичный век- тор), зависящий от скалярного параметра t, то — • А = О, то есть~_1_А. Действительно, по условию леммы А-А=1, и, дифференцируя это равенство по U получим d А л . А d А л _.А + А.^=0, или, в силу независимости скалярного произведения от порядка мно- множителей: А=° те ^JA причем условие -^ JL А имеет очевидно смысл лишь в том случае, d\ если вектор -jr отличен от нуля. Здесь и в дальнейшем мы всегда предполагаем существование и непрерывность тех производных, о которых говорится в тексте. Пусть на плоскости имеется некоторая кривая (Z.) и скалярный параметр t определяет положение переменной точки М на этой кри- кривой. Мы можем охарактеризовать нашу кривую радиусом-вектором г (О
133] § 12. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 389 из некоторой постоянной точки О в переменную точку кривой (рис. 96). Как мы видели [119], производная -- дает вектор, напра- гленный по касательной к кривой, а если за параметр принять длину дуги s кривой, отсчитываемую от определенной точки кривой в опре- определенном направлении, то производная ^- даст единичный вектор касательной t, направление которого совпадает с направлением уве- увеличения параметра 5 вдоль кривой: ?='¦ Производная от единичного вектора-касательной по s называется вектором кривизны: N = ||. B) Длина этого вектора характеризует быстроту изменения напра- направления вектора t и называется кривизной кривой. t(s) , t(s+As)-t($) (L)\ Рис. 96. Рис. 97. В силу доказанной леммы вектор кривизны перпендикулярен касательной, т. е. направлен по нормали. Кроме того из его определения непосредственно следует, что он направлен в сторону вогнутости кривой, так как в эту сторону направлена разность t(s-j-As)—t(s) при As^>0 (рис. 97). Длина вектора N, как мы уже указали, называется кривизной кривой, и если ввести обозначение | N | = —, C) р величина р, обратная кривизне, называется радиусом кривизны. в рассмотрение единичный вектор кривизны п, то есть вектор Длимы единица, по направлению совпадающий с N. Если длина |N| = 0, то надо считать р = оо, и вектор п не 0|феделен. Если, например, (Z.) — прямая, то во всех ее точках
390 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [133 IN 1 = 0, и мы можем выбирать любое из двух направлений нормали к прямой в той плоскости, в которой мы рассматриваем прямую. В дальнейшем будем считать, что | N | Ф 0. В силу C) имеем Р D) t Отложим на направлении п, т. е; на направлении нормали кривой в сторону вогнутости, отрезок МС, равный радиусу кривизны р в точке М (рис. 93). Его конец С называется центром кривизны кривой в точке М. Если М двигается вдоль д/ кривой (L), то С меняется и опи- ь сывает некоторую кривую (Lx), кото- которая называется эволютой кривой (L), т. е. эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны. Для дальнейшего нам необхо- dn димо определить производную -т-. Вектор п есть единичный вектор, и, dn. dtk Рис.98. следовательно, ^-_1_п, то есть - параллелен касательной. Дифферен- Дифференцируя очевидное равенство t-n = 0 no sy будем иметь Но векторы N и п совпадают по направлению, и, в силу D), Nn = —, так что из последнего равенства следует Ь-^=—:—. р da Сопоставляя это с параллельностью векторов t и ^ видим, что -п ds по направлению противоположен t и имеет длину —, т. е. ~ = — — t ds о -п E) Пусть, как и выше, г и 5 — радиус-вектор и длина дуги для кривой (I), а Г! и Si — те же величины для эволюты (LJ. Диффе- Дифференцируя равенство (рис. 98) ПО 5, ПОЛуЧИМ ds
133J § 12- КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 391 или, в силу E), —-1 = t -ь / п — t, то есть —-i = -^ п. (б) tfs • tfs ds ds v Правая часть этой формулы есть вектор, направленный по нор- нормали к (L), а левая — вектор, направленный по касательной к эво- эволюте, и, следовательно, нормаль кривой (L) параллельна касательной эволюты. Но обе эти линии проходят через одну и ту же точку С, а поэтому должны совпадать, и мы имеем первое свойство эволюты: нормаль к кривой касается эволюты в соответствующей точке. Вспоминая определение огибающих семейств линий, мы можем высказать и следующее второе свойство эволюты: эволюта есть огибающая семейства нормалей к кривой. Естественным параметром для эволюты является ее длина дуги si9 и, согласно правилу дифференцирования сложных функций, dr{ dtx dSi dst . ds ~ds1 ~ds"~~ds1' где tj — единичный вектор касательной эволюты. Подставляя в F), получим ds l ds ' откуда, сравнивая длины векторов, стоящих в обеих частях этого равенства, будем иметь Считая для простоты, что на рассматриваемом участке кривой и эволюты величины s{ и р увеличиваются, можно написать dsx = dp. Интегрируя это соотношение по рассматриваемому участку, обна- обнаружим, что приращение длины дуги эволюты совпадает с прираще- приращением радиуса кривизны исходной кривой. Таким образом мы полу- получаем третье свойство эволюты: на участке монотонного изменения радиуса кривизны приращение его равно приращению длины дуги эволюты между соответствующими точками. В случае рис. 98 это свойство выразится равенством: MiCt—MC=^CCi. Выберем на плоскости определенные координатные оси ОХ и OY, и пусть ср есть угол, образованный направлением касательной t с осью ОХ. Выражая единичный вектор через его составляющие, получим t = cos <p I -}- sin cp j, где i и j суть единичные векторы по осям ОХ и О У. Дифференци- Руем предыдущее равенство по s:
392 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [133 откуда квадрат длины вектора кривизны будет dsi -r-r°S(Psij йли 7= " Мы получим таким образом выражение для кривизны, которое мы уже приводили в [I, 71]. Положим, что уравнение кривой (L) дано в явной форме y = f(x). G) Семейство нормалей к этой кривой будет иметь уравнение у' Здесь (X, У) суть текущие координаты нормали, а {х> у) — коор- координаты точки М кривой (L), причем у есть функция G) от х. Таким образом роль параметра в уравнении семейства нормалей (8) играет абсцисса х переменной точки кривой. Применяя к семейству (8) сбычное правило нахождения огибающей [13], мы должны написать два уравнения: уравнение (8) и новое уравнение, которое получается из него дифференцированием по параметру %: Исключая из этих уравнений параметр лг, мы получим уравнение, связывающее X и У. Это и будет уравнение огибающей семейства нормалей, т. е. уравнение эволюты. Можно поступать и иначе, а именно, решая систему (9) относительно X и У, мы выразим по- последние через параметр х, т. е. получим параметрическое уравнение эволюты УО±П i^ (Ю) Если уравнение кривой (L) задано само в параметрической форме, то надо в формулах A0) выразить производные от у по х через дифференциалы переменных [1, 74]: >_<ty_ ш _ \dx) d2ydx—d2xdy " ~dxy * ~ dx ~ dxz * и, подставляя эти выражения в A0), получим параметрическое урав- уравнение эволюты для этого случая: — d2ydx—d2xdy9 Примеры. 1. Найдем эволюты эллипса
1331 12 КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 393 Написав уравнение эллипса в параметрической форме х = a cos U у = Ь sin t и подставляя в уравнение A1), найдем после несложных вычислений: дЗ А2 Л2 A3 Х = - — cos**, K = -g * sin'g. Исключим параметр t из этих двух уравнений. Умножая первое из уравне- уравнений на а, второе на bt возводя в степень-^ и складывая, получим уравнение о эволюты эллипса в неявной форме: а 3 X1 + bJ YJ == (a2 — b*f. Нетрудно, пользуясь этими уравнениями Рис. 99. построить эволюту эллипса. Заметим, что в вершинах эллипса его радиус кривизны принимает наименьшее и наибольшее значения, и в соот- соответствующих точках эволюта имеет особые точки, а именно точки возврата (рис. 99). 2. Найдем эволюту параболы у = ялЛ Пользуясь уравнениями A0), по- получим без труда а Х f = 2я Исключая отсюда параметр Л", получим уравнение эволюты иараболы в явной форме (рис. 100): 1 Ч -7Г 3. Рассмотрим циклоиду х = a (t — sin t), у = а (I — cos t\ Пользуясь формулами (И), найдем для ее эволюты параметрическое урав- уравнение X=a(t + sint); V~ — a(\— cost).
894 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [134 Нетрудно показать, что эта кривая будет такая же циклоида, что и заданная кривая, но иначе расположенная относительно осей (рис. 101). Рис. 101. Действительно, полагая г = т — я, последние формулы можно переписать в виде X-^an=za(x — sin т), У + 2д = яA— cost), откуда и следует непосредственно наше утверждение. 134. Эвольвента. Сама кривая (L) по отношению к своей эво- эволюте (Lj) называется эвольвентой. Из свойств эволюты нетрудно получить правило построения эвольвенты по заданной эволюте. Если С—перемен- С—переменная точка на (L{) и sA — длина дуги этой кривой, то, откладывая на касательной к (Ц) в точке С в отрицательном на- направлении отрезок CM = si-\-a) где а — некоторая постоянная, получим геометри- геометрическое место (L) концов М. Нетрудно показать, что это геометрическое место и будет искомой эвольвентой (рис. 102). Чтобы обнаружить это, достаточно дока- доказать, что отрезок СМ будет служить нор- нормалью к кривой (L). Пусть, как и выше, г и ^ — радиусы-век- радиусы-векторы кривых (L) и (Z,x), tx — единичный вектор касательной к ) По построению откуда, дифференцируя по sv Рис. 102. то есть S=- Отсюда видно, что вектор -?-, параллельный касательной к (L), uSi в то же время параллелен вектору ^-L, т. е. параллелен нормали к (Li), а отсюда следует, что касательная СМ к (?х) есть нор- нормаль к (Z,).
135] | 12. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 393 Мы можем придавать произвольное значение постоянной а в фор- формуле CM = Si-\-a9 а потому можем получить бесчисленное множе- множество эвольвент для заданной эволюты. Из самого способа построе- построения следует, что любые две эвольвенты будут иметь общие нормали и что отрезок нормали между этими двумя эвольвентами будет сохранять постоянную длину, равную разности значений постоянной а, соответствующих взятым эвольвентам. Такие две кривые назы- называются параллельными кривыми. 135. Естественное уравнение кривой. Вдоль всякой кривой кривизна есть определенная функция длины дуги 7=/(*)• A2> Покажем, наоборот, что всякому уравнению вида A2) соответ- соответствует одна определенная кривая. Действительно, выберем какое-ни- какое-нибудь направление за направление оси X и пусть <р есть угол, обра- образованный касательной кривой с этой осью. Как известно, — = ±-~, и уравнение A2) дает откуда = ±5 о Можно считать, что направление оси ОХ совпадает с направлением касательной при 5 = 0, так что в последней формуле можно считать С=0, т. е. мы получаем выражение для угла ср: 5 <t = ±F(s), где F(s) = \f(s)ds. о Далее мы знаем, что [I, 70] dx dy _ = COscp, ^ = sin?, откуда, в силу предыдущего равенства, S =\ cos [F(s)\ ds + Cu У = ±\ sin [F(s)] ds+ C2. о Помещая начало координат в точку кривой, для которой s = 0, Должны будем считать Ci = C2 = 0 и получим вполне опреде-
896 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [138 ленную криг.ую х = $ cos [F (s)\ dsy у = it \ sin [F (s)] ds. о о A20 Двойной знак дает только симметрию относительно оси ОХ. Мы показали таким образом, что уравнению A2) может соот- петствовать определенная в указанном выше смысле кривая и что при выбранной системе координат уравнения A2j) должны давать лараметрическое задание этой кривой. Нетрудно проверить, что, дей- действительно, для кривой, определяемой уравнениями A2Д кривизна имеет значение, определяемое формулой A2). Уравнение A2) называется естественным уравнением кривой в том смысле, что уравнение это не- связано ни с каким случайным гыбором осей координат и ему соответствует одна вполне опреде- определенная кривая (с точностью до симметрии). Примеры. 1. Если уравнение A2) имеет вид — = С. т. е. радиус кри- р еизны р есть величина постоянная, то, как мы знаем, такому уравнению удовлетворяет окружность |1, 71]. Из предыдущего следует, что окружность есть единственная кривая с постоянным радиусом кривизны. 2. Положим, что кривизна — пропор- Р циональна длине дуги 1 Р ~~" ' где 2а—положительный коэффициент про- пропорциональности. Предыдущие вычисления дадут в данном случае s s х == \ cos (as2) ds, y=[ sin (as2) ds. A3) Рис. 103. ' 0 о В силу сходимости интегралов [86] > оо cos (as2) ds, \ sin (as2) ds b можно утверждать, что при беспредельном возрастании s кривая будет стре- стремиться к точке плоскости с координатами, равными значениям вышенапи- санных интегралов, причем она будет спиралеобразно закручиваться вокруг этой точки (рис. 103). Если в формулах A3) будем придавать s и отрица- отрицательные значения, то получим часть кривой, содержащуюся в третьем координатном угле. Полученная здесь кривая называется спиралью Корню. Она встречается в оптике. 136, Основные элементы кривой в пространстве. Кривая (L) в пространстве может быть определена заданием переменного радиуса- вектора г (t) из начала в переменную точку кривой М (рис. 104).
136] § 12. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 397 Принимая за параметр t длину дуги кривой 5 и дифференцируя г по s, получим единичный вектор касательной к кривой [119] "ds Производная от t no 5 называется вектором кривизны: ds = N, A4) A5) 1 и длина этого вектора кривизны дает кривизну кривой — , а обрат- обратная величина р называется радиусом кривизны. Как и в случае пло- плоской кривой, вектор N перпендикулярен к t, и направление вектора N называется направ- направлением главной нормали кривой. Вводя еди- единичный вектор главной нормали п, можно написать N = ±n. A6) Введем еще один единичный вектор, пер- перпендикулярный к t и п: b = tXn. A7) Этот вектор называется единичным векто- Рис. 104. ром бинормали. Три единичных вектора t, n и Ь, имеющих ту же ориентировку, что и координатные оси, составляют, как говорят, переменный триэдр, связанный с кривой (L). Если кривая плеская, то векторы t и п находятся в плоскости кривой и, следовательно, единичный гектор бинормали b есть постоянный вектср длины единица, пер- перпендикулярный к плсскссти кривой. Для кривой неплоской произ- производная j- характеризует отклонение кривой от плоской формы и называется вектором кручения. Докажем, что вектор кручения параллелен главной нормали. Согласно формуле A7) ds /ч" ' e'N ds' Но векторы N и п совпадают по направлению, и, следовательно, их векторное произведение равно нулю, т. е. db A8) db откуда вытекает перпендикулярность векторов — и t. С другой сто clb Роны, как всегда, производная единичного вектора -^ перпендику-
898 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ 1138 лнрна к самому вектору Ь. Таким образом вектор -г-, перпендику- перпендикулярный векторам t и Ь, будет действительно параллелен вектору п, и мы можем записать где численный коэффициент — называется кручением кривой, а об- обратная величина ч—радиусом кручения, или радиусом второй кри- кривизны. Заметим, что величина — может быть как положительной, так и отрицательной, в противоположность кривизне — , которая всегда не отрицательна. Существование вектора касательной, вектора кри- кривизны и вектора кручения связано, конечно, с существованием про- производных, через которые они выражаются. Выведем теперь формулы для вычисления кривизны и кручения.. Вводя координатные оси OX, OY, OZ и соответствующие им еди- единичные векторы i, j и к, можно написать ~ ds2 l* ds2 J * ds2 ' откуда для длины вектора N получим h m+m+ Из формулы A9) вытекает, что кручение — можно выразить как скалярное произведение m 1 _db 4 — ds или, в силу A8), 4 Заменяя п его выражением из формулы A6) n = pN, получим
136J § 12. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 399 Но векторное произведение t X N перпендикулярно вектору N, а по- потому первое из слагаемых в последнем выражении равно нулю, и мы получаем или, переставляя множители в векторном произведении, Совершая круговую перестановку векторов и пользуясь форму- формулами A4) и A5), получим окончательно Заметим, что коэффициент при (— р2) есть объем параллелепипеда, построенного на векторах ~, -j-?» -~т\ [117]. Возвратимся к формуле B0) для кривизны. В ней предполагается, что координаты х, у, z выражены как функции длины дуги. Преоб- Преобразуем теперь формулу B0) к новому виду, годному для любого параметрического задания кривой. Для этого нам надо будет выра- выразить производную от координат по длине дуги через дифференциалы координат. Дифференцируя формулу y* + dz\ B2) получим ds d?s = dx dlx + dy d*y + dz d*z. B3) Кроме того, имеем [I, 74] <Fx_ _ d2x ds — d2s dx d2y _ d2y ds — d2s dy drz _ d2z ds — d2s dz ds2 ~ ds* * ds2~~~ ds3 ' ds*~~ ds* Подставляя это в формулу B0), будем иметь в силу B2) ^_ ds2[(d2xJ + (d2yJ + (d2zJ] —2ds d2s (dx d2x + dy d2y + dz d3z) + (d2sLs* ds« или, в силу B2) и B3), J Р2 — _, (dx* + dy2 + dz2) \(d2xf + (d2y)* + (d*z)*\ — (dx d2x + dy d2y -f dz d*z)* ds« B5)
400 iH. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ {137 Вспомним теперь элементарное алгебраическое тождество, необ- необходимое нам в дальнейшем [116]: q) - ЪЬХ , - Ъах)\ B6) «) (а\ Применяя это тождество к числителю в выражении B5), можем на- написать окончательную формулу для квадрата кривизны где (dx* + dy2 + dz2)* ' B7) dx d*z, C=dx d?y — dy cPx. Если кривая (L) есть траектория движущейся точки, то вектор ско- скорости определится из формулы Дифференцируя еще раз по времени, получим вектор ускорения VI:==:Ttr=zdfiJt"di * ~dt% или, в силу A5) и A6), _d2s , ds ds dt _d2s Wf ~~ dt2 + Л Л rfs ~~ Л8 откуда видно, что вектор ускорения имеет составляющую по касательной, равную --7Т, и по главной нормали — равную —, а составляющая по бинор- бинормали равна нулю. 137, Формулы Френе. Введем обозначение для направляющих косинусов осей подвижного триэдра относительно неподвижных ко- координатных осей, указанное в прилагаемой таблице. Формулы Френе дают выражения про- производной от написанных девяти направля- направляющих косинусов по s. Составляющие единичного вектора t суть а, р и f, и формула дает первые три формулы Френе: t п Ь X а «3 У Р Pi z If Ti ds р ' ds p ' ds p * Точно так же формула A9) приводит к следующим трем формулам
1381 § 12. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 401 Френе: ds ~ x • rfs ~ т » ds ~ x # l i; Рассмотрение подвижного триэдра дает непосредственно п = — t X Ь, и, дифференцируя по s, получим S = -7nXb-ItXn = -It-ib. Это дает три последние формулы Френе: ^i__^__«2. {E!__JL_ ii &=_Л Ti /28.) ds p x ' ds p x ' rfs p x # ^ 2; Пользуясь формулами B8), нетрудно показать, что если вдоль линии (L) кривизна — равна нулю, то это есть прямая линия. Действительно, тождество — = 0 дает Р dz_d?_dj_() ds~~ds~ds~ ' откуда видно, что а, р и f суть постоянные. Но, как известно [I, 160], направляющие косинусы касательной а, C и т равны соот- соответственно -р , -^ и -^, и раз эти производные — постоянные, то сами координаты х, у, z суть полиномы первой степени от $, т. е. линия есть действительно прямая. Точно так же нетрудно показать, что если вдоль кривой круче- кручение равно нулю, то эта кривая есть плоская кривая. 138. Соприкасающаяся плоскость. Плоскость, определяемая векторами t и п, называется соприкасающейся плоскостью кривой. Нормалью к этой плоскости служит вектор Ь. Найдем выражения для направляющих косинусов этого вектора. Ввиду того, что это — единичный вектор, его направляющие коси- косинусы равны его составляющим bx> byt bz. Из формул A7) вытекает B9) г^е tjp ... у пх,... — составляющие векторов t и п. Но, как мы видели выше, tXi tyf tz пропорциональны dx> dy, dz, a nx, nyi nz — nponop- Диональны составляющим вектора N, которые равны -т4, ^-| и -^2,
402 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ а эти последние в свою очередь, в силу B4), пропорциональны разностям d2x ds — d?s dxy d*y ds — d2s dy, d*z ds — d2s dz. C0) Заменяя в формулах B9) tx> ty, tz на dx, dy, dz; nv np n2 — раз- разностями C0) и производя сокращения, убедимся в том, что напра- направляющие косинусы бинормали пропорциональны выражениям = dy d*z — dz d*y, B = dz d2x — dx d*z, C1) которые мы ввели выше [136]. Обозначая через (ху у, z) коорди- координаты переменной точки М кривой (L), можем написать уравнение соприкасающейся плоскости в виде А(Х — x) + B(Y — y)-fC(Z— г) = 0. В тех точках, где длина | N | ===== 0, т. е. р == оо, все три величи- величины C1) равны нулю, как это следует из B7), и соприкасающаяся плоскость не определена. Не определено и направление главной нор- нормали и бинормали. 139. Винтовые линии. Пусть имеется цилиндр с образующими, парал- параллельными оси OZy и пусть (/) есть его направляющая, лежащая в плоскости XOY (рис. 105). Введем в рассмотрение длину дуги а кривой (/), отсчитывае- отсчитываемую от точки А пересечения этой кривой с осью ОХ в определенном направле- направлении, и положим, что уравнение направ- направляющей будет * = ?(«). .У = Ф(*). C2) Откладываем на (/) некоторую дугу AN и строим отрезок ЛМ4 = /гз, парал- параллельный оси OZ, причем k есть опреде- определенный численный коэффициент (ход винта). Геометрическое место точек М дает винтовую линию (L), начерченную на нашем цилиндре. Параметрические уравнения этой линии будут очевидно * = <р(а), >' = ф(а), * = *а. C3) Nr X Рис. 105. Пусть s — длина дуги кривой (L), отсчитываемая от точки Л. Имеем ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = [cp/2 (a) + i|/2(c)-+ k2\ d*\ Ho cp'(a) и <{/ (a) равны косинусу и синусу угла, образованного касатель- касательной'к кривой (/) с осью ОХ [I, 70], а потому ср'2 (a) -j- <{/2 (а) = 1, и преды- предыдущую формулу можно переписать в виде откуда
139] § 12. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 403 Определим теперь косинус угла, образованного касательной к (L) с осью OZ: dz dz da k ^~~ ds~" flfj " Ss ~" у \ это дает первое свойство винтовой линии: касательные к винтовой линии образуют постоянный угол с некоторым неизменным направлением. Обратимся к третьей из формул B8). В данном случае она дает О = -Ь- или Yi = и, следовательно, главная нормаль винтовой линии перпендикулярна к оси OZ, т. с. к образующей цилиндра. Но она, с другой стороны, перпендику- перпендикулярна к касательной к винтовой линии. Образующая цилиндра и касатель- касательная к винтовой линии определяют, как нетрудно видеть, касательную плоскость к цилиндру во взятой точке на винтовой линии, и из предыду- предыдущего вытекает, что главная нормаль винтовой линии перпендикулярна к этой касательной плоскости. Мы получаем таким образом второе свойство винтовой линии: главная нормаль к винтовой линии во всех ее% точках совпадает с нормалью к цилиндру, на котором эта винтовая линия на- начерчена. Теперь обратимся к косинусам 7> 7ь 72 — углов, образованных осью OZ с направлениями подвижного триэдра винтовой линии. Принимая во внима- внимание, что *r + 7i + 7i:==l и что 7 и 7i — постоянные, как мы видели уже, мы можем заключить, что и 72 есть величина постоянная. Третья из формул B82) дает, в нашем случае, —-— =0, откуда мы видим, что отношение Р т — есть величина постоянная; итак, имеем третье свойство винтовой ли- линии: вдоль винтовой линии отношение радиуса кривизны к радиусу кру- кручения есть величина постоянная. Обозначим буквой г радиус кривизны плоской кривой (/). Принимая во внимание, что квадрат кривизны равен сумме квадратов вторых производных от координат по длине дуги, мы мо- можем написать и L Ра -~Ws2J ^[ds2) ^Wl lWJ ^W) ^W) J (l+fc2J ' откуда P2 A -+- k2J Ml + k2J "~ A + k2J r2' или p = (l -|_ k2) г, т. е. радиус кривизны винтовой линии отличается от ра- Диуса кривизны направляющей в соответствующей точке лишь постоянным множителем. Если цилиндр круговой, т. е. направляющая (/) есть окруж- окружность, то г — постоянно, следовательно, и р — постоянно, но тогда, согласно третьему свойству, и т тоже есть постоянная величина, т. е. винтовая ли- линия на круговом цилиндре имеет постоянную кривизну и постоянное кручение. В заключение выясним еще одно важное свойство винтовых линий. Оно заключается в том, что если взять на цилиндре две точки, то кратчайшее
404 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [140 расстояние между этими двумя точками на цилиндре будет даваться вин- винтовой линией, проходящей через эти две точки. В этом отношении винтовые линии на цилиндре совершенно аналогичны прямым линиям на плоскости. Указанное свойство обычно выражают, говоря, что винтовые линии суть геодезические линии цилиндра. Вообще геодезическими линиями на задан- ной поверхности называют линии, дающие кратчайшее расстояние между двумя точками поверхности. Если мы развернем цилиндр на плоскость XOZ, поворачивая его вокруг образующей, проходящей через точку Л, то, в силу того, что отношение дуги AN к отрезку NM сохраняет постоянное значение -г-, винтовая линия ft на плоскости окажется прямой линией. При указанной развертке цилиндра на плоскость длины сохраняются, и упомянутое выше свойство винтовой линии — давать кратчайшее расстояние на цилиндре — становится очевид- очевидным. Заметим, что это свойство стоит в непосредственной связи со вторым свойством винтовой линии, т. е. с тем фактом, что главные нормали винто- винтовой линии совпадают с нормалями к цилиндру. В геометрии вообще дока- доказывают, что главные нормали к геодезической линии на любой поверхно- поверхности совпадают с нормалями к этой поверхности, 140. Поле единичных векторов. Пусть t — поле единичных векторов, т. е. в каждой точке пространства задан единичный вектор t. Выведем про- простую и важную формулу для вектора кривизны N векторных линий этого поля. Вводя координаты (ху у} z) и длину дуги s векторной линии, мы мо- можем написать dx __ dy_ dz _ ~~dl-tx> ds* di"'* Определим составляющую Nx вектора кривизны _dtx__djtx dx_j,dtx 4У i <??* & x~~ ds~~ dx' ds "Г dy ' tfs" dz ' ds или ~ dx x dx x^ dy l*+ dz Дифференцируя тождество по x, получим dtx dty dtg Вычитая эту сумму из полученного выше выражения NX1 можем пере- переписать его в виде _ (dtx dtg\ __ / dty __ dt^ x \dz dx) z \dx dy т. e. Nx = (rot t X t)*, и то же самое, очевидно, получится и для двух дру- других составляющих, что и дает искомую формулу для вектора кривизны век- векторных линий: N = rottXt. C4) Для того чтобы линии были прямыми, необходимо и достаточно, чтобы длина N, т. е. кривизна — , была равна нулю 1137J. Отсюда видно, что для
141] § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 405 того чтобы векторные линии единичного поля t были прямые, необхо- необходимо и достаточно, чтобы rottxt = 0. C5) Кроме того мы видели, что для существования семейства поверхностей, ортогональных к векторным линиям, необходимо и достаточно [122] rot t • t = 0. C6) Совместное выполнение условий C5) и C6) возможно лишь в случае rott = 0, ибо если этот вектор отличен от нуля, то условие C5) равносильно параллельности векторов rot t и t, а условие C6) равносильно их перпенди- перпендикулярности. Отсюда следует, что векторные линии поля единичных векто- векторов t будут нормалями к некоторому семейству поверхностей лишь в том случае, когда rot t = 0. Это предложение играет важную роль при изложении начал геометрической оптики. § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 141. Параметрические уравнения поверхности. До сих пор мы рассматривали уравнение поверхности в пространстве с координатны- координатными осями X, Y, Z в явной форме z = f(x, у) или в неявной форме F(x,y9 г) = 0. C7) Можно написать уравнения поверхности в параметрической форме, выражая координаты ее точек в виде функций двух независимых пе- переменных параметров и и v: x = <f(u, v), y = ty(u9 v), z = u>(u, v). C8) Мы будем предполагать, что эти функции однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные до второго порядка в некоторой области изменения параметров (и, г>). Если подставить эти выражения координат через и и v в левую часть уравнения C7), то мы должны получить тождество относи- относительно и и v. Дифференцируя это тождество по независимым пере- переменным "иг;, будем иметь дх'ди~* dy'du~i dz 'ди~и' дх'dv ' ду*dv"• дг 'dv Рассматривая эти уравнения как два однородных уравнения отно- ri Р ИР Л Р сительно -т-, ^-, -д— и применяя алгебраическую лемму, упомянутую в [116], получим dF , fdty д& до* д<1>\ dF , {д<& cty d<p д&\ д^ — к\ди'ск>~дп'д1г1' ду~ \дп' dvTu' dvl &F . /dj dty дф ду\ dz \ди* dv ди dvj' где k — некоторый коэффициент пропорциональности.
406 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [141 Мы считаем, что множитель k и по крайней мере одна из раз- разностей, стоящих в правых частях последних формул, отличны от нуля. Обозначим для краткости написанные три разности следующим образом: dty дсо д(л д<\> d (v, z) да д<? д<? ды d (z> х) да' dv Ш "dv d(u~~v)' Ш'ди da" dv d(a, v)' &P (Ц> cty cty d (x, y) da' dv da'dv d (w, v)' Как известно, уравнение касательной плоскости к нашей поверх- поверхности в некоторой ее точке (дг, у, z) можно написать в виде [I, 160] dF dF dF или, заменяя v-, ^-,т- пропорциональными величинами, можем пе- переписать уравнение касательной плоскости так: > y\(Z-z) = 0. C9) d (и, v)K y ' d (и, v)v -y/ ' d (a, v) Коэффициенты в этом уравнении, как известно, пропорциональны направляющим косинусам нормали к поверхности. Положение переменной точки М на поверхности характеризуется значениями параметров и и vf и эти параметры называются обычно координатами точек поверхности или координатными параметрами. Придавая параметрам и и v постоянные значения, получим два семейства линий на поверхности, которые мы назовем координатными линиями поверхности: координатные линии u = Cif вдоль которых меняется только v, и координатные линии г> = С2, вдоль которых меняется только м. Эти два семейства координатных линий дают координатную сетку на поверхности. В качестве примера рассмотрим сферу с центром в начале коор- координат и радиусом R. Параметрические уравнения такой сферы могут быть написаны в виде x = R sin и cos v9 y = R sin и sin v, z = R cos iu Координатные, линии и = С1 и v = C% представляют собой в дан- данном случае, очевидно, параллели и меридианы нашей сферы. Отвлекаясь от координатных осей, мы можем охарактеризовать поверхность переменным радиусом-вектором г (w, v), идущим из по- постоянной точки О в переменную точку М нашей поверхности. Част- Частные производные от этого радиуса-вектора по параметрам г'а и r'v дадут, очевидно, векторы, направленные по касательным к коорди- координатным линиям. Составляющие этих векторов по осям ОХ> OY, OZ
141] § 13 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 407 будут, согласно C8), ср«» ф«, со^ и <р»> <?»> ш^ и отсюда видно, что коэффициенты в уравнении касательной плоскости C9) суть состав- составляющие векторного произведения г'а X г»- Это векторное произведе- произведение есть вектор, перпендикулярный к касательным х'и и r'v, т. е. вектор, направленный по нормали поверхности. Квадрат длины этого вектора выражается, очевидно, скалярным произведением вектора х'п X r'v на самого себя, т. е. проще говоря, квадратом этого вектора 1). В даль- дальнейшем будет играть существенную роль единичный вектор нормали к поверхности, который мы можем, очевидно, написать в виде ш= /"Хг; . D0) Изменяя порядок сомножителей в написанном векторном произве- произведении, мы получим для вектора D0) противоположное направление. Мы будем в дальнейшем определенным образом фиксировать поря- порядок множителей, т. е. будем определенным образом фиксировать на- направление нормали к поверхности. Возьмем на поверхности некоторую точку М и проведем через эту точку какую-либо кривую (L), лежащую на поверхности. Эта кри- кривая, вообще говоря, не координатная линия, и вдоль нее будут меняться как и, так и v. Направление касательной к этой кривой будет опреде- определяться вектором r«-f-ri-T-, если считать, что вдоль (L) в окрестности точки М параметр v есть функция от и, имеющая производную. Отсюда видно, что направление касательной к кривой, проведенной на по- поверхности, в какой-либо точке М этой кривой, вполне характери- характеризуется величиной y в этой точке. При определении Касательной плоскости и выводе ее уравнения C9) мы считали, что функции C8) в рассматриваемой точке и ее окрестности имеют непрерывные част- частные производные и что, по крайней мере, один из коэффициентов уравнения C9) отличен от нуля в рассматриваемой точке. Если ;' у[ ф 0 при и = щ, v = v0, то то же будет иметь место и в некоторой окрестности указанных значений. Согласно первым Двум из формул C8) эта окрестность перейдет в окрестность значе- значений лго = <р(?/о, г>0), _Уо = ФО'о> Щ)> и для значений (х, у), достаточно близких к (лт0, уо), первые два из уравнений C8) могут быть решены относительно и и v [I, 157], т. е. (и, г;) могут быть выражены че- Рез х и у. Подстановка этих выражений в третье из уравнений C8) Дает в окрестности рассматриваемой точки уравнение поверхности в явной форме z = f(x, у). 1) Вообще, если А есть некоторый вектор, то мы будем обозначать ]сРсз А2 квадрат длины этого вектора, т. е. скалярное произведение А • А.
408 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Р42 142. Первая дифференциальная форма Гаусса. Рассмотрим теперь квадрат дифференциала дуги какой-нибудь кривой на нашей поверхности дг дх Открывая скобки, будем иметь так называемую первую диффе- дифференциальную форму Гаусса: ds* = Е (w, v) du2 -f- 2Z7 (z/, г;) du dv -\- О (и} v) dv\ D1) где или E=ra\ F = D2) D2,) Совершенно так же, как и в [131], можно показать, что равенство нулю коэффициента F является необходимым и достаточным усло- условием того, чтобы координатные линии w = Ct и г> = С2 были взаимно перпендикулярны. В этом частном случае криволинейные координаты z/, v на поверхности называются ортогональными координатами. Выведем теперь выражение для элемента площади поверхности через коэффициенты выражения D1). Рассмотрим на поверхности малую площадку, ограниченную двумя парами близких координатных ли- линий (рис. 106). Пусть (и, ^—-ко- ^—-координаты основной вершины А. Стороны AD и А В будут соот- соответственно x'udu и r'vdv. Прини- Принимая рассматриваемую малую пло- Рис. 106. щадку за параллелограмм [ср. 60], мы можем написать выражение площади этого параллелограмма как длины вектора, получаемого при векторном перемножении упомянутых векторов, т. е. Имеем для квадрата длины вектора Vr'P —(^ 6Z dZ дЛ1 \{dz дх дх (дх dv ду \5H'Sv~du ду дх\* du'dvl '
143] § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 409 откуда, в силу тождества B6) из 1136], (г„Хг;J = ?О-Я, D3) и для элемента площади поверхности будем окончательно иметь dS = /EG — F2 du dv. D4) Точно так же, подставляя D3) в формулу D0), можем написать выражение единичного вектора нормали к поверхности в виде m= /**'» . D5) Заметим, что, в силу D3), разность EQ — F2 положительна. 143. Вторая дифференциальная форма Гаусса. Рассмотрим какую-нибудь линию (L) на поверхности и пусть t — ее единичный вектор касательной. Он, очевидно, перпендикулярен к единичному вектору нормали к поверхности, т. е. t-m = 0. Дифференцируя это соотношение по длине дуги s кривой (L), будем иметь d\ I . dm /> 1 , \ i j dtt\ л .m_Lt- —= 0 или —(n-m) + t--r- = 0, ds ' ds p v ' ' ds где p — радиус кривизны и n — единичный вектор главной нормали кривой (L). Предыдущее равенство можно переписать в виде п • m dt dm cos cp dv • dm или 9 — ds ds """ p — ds' ' где cp — угол между нормалью к поверхности и главной нормалью к кривой (А). Выражая дифференциалы dx и dm через координатные параметры и и v, можно написать cos ? _ - (ru du + *v dv) - (ти da + ш; dv) р cfs2 • К ) Раскрывая в числителе скобки, получим вторую дифференциальную форму Faycca: — (ги du -f- г* dv) • {ma du -f- mi afo) = v)dv\ ( ) где L = — ri • mi iM = — у (ri • m;) — -y (ri • т«), D7) Л/= — ri-m^, и формула D6) окончательно примет вид cos у _ Ldu2 + 2M du dv + N dv2
410 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Г143 Укажем теперь другие выражения для коэффициентов L, М и /V, Дифференцируя очевидные соотношения r'u. m = 0, r'v • m == 0 по независимым переменным и и v, получим четыре соотношения г«2. m + г« • т^ = 0, г«„ • т + г« • т; = 0, г»д • т -f- ri • ти = о, г^з • т -(- г» • т» = 0, и отсюда можем, вместо формул D7), написать следующие выраже- выражения для коэффициентов второй дифференциальной формы Гаусса: L = г«2 • m, N= r»s • m, D9) Л1 == Yav * И1 = — Та * ttlx, = — Tv • Шй. Вспоминая выражение D5) для вектора т, можем переписать ра- равенства D9) в виде м _ ruv • (г« х г;) Veg-f* ' E0) Рассмотрим теперь тот случай, когда уравнение поверхности дано в явном виде *=/(*, ^). E1) В данном случае роль параметров играют х и у, и мы будем иметь следующие выражения для составляющих радиуса-вектора и его производных по параметрам: где Применяя формулы D2Х) и E0), получим выражения коэффициентов в обеих формах Гаусса: г(х, у, z), г;О, О, р), r;@, I, q), ri'i@, 0, г), г^@, 0, 5), г>@, 0, 0, F=l+p\ F=pq, O= L= r T =r, M= . s =, N= - * =r. E3) Выберем теперь координатные оси определенным образом, а именно поместим начало координат в некоторую точку Ло на поверхности,
144] § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 411 оси ОХ и ОУ возьмем в касательной плоскости к поверхности в точке Ло и ось OZ направим по нормали поверхности. Значком нуль будем обозначать тот факт, что соответствующая величина взята в точке Ло. При сделанном выборе координатных осей косинусы углов, образованных нормалью к поверхности с осями ОХ и О К, будут в точке Ао равны нулю, мы получим [65] pQ = qQ = O, и формулы E3) дадут в точке Ло: 144. О кривизне линий, начерченных на поверхности. Вер- Вернемся к рассмотрению формулы D8). Ее правая часть зависит от значений коэффициентов двух форм Гаусса и от отношения ~. По- Последнее обстоятельство станет непосредственно ясным, если разде- разделить числитель и знаменатель на йиа. Упомянутые коэффициенты суть функции параметров (?/, v) и в заданной точке поверхности имеют „ dv определенное численное значение. Что же касается отношения -т-, то оно, как мы Фидели [141], характеризует направление касательной к кривой. Мы можем поэтому утверждать, что обе части формулы D8) имеют определенное значение, если фиксировать точку на поверхно- поверхности и направление касательной к той кривой на поверхности, которую мы рассматриваем. Если же взять на поверхности в фиксированной точке две кривые, имеющие не только одинаковое направление каса- касательных, но и одинаковое направление главной нормали, то у таких кривых и угол ср будет одинаковым, а потому, в силу упомянутой формулы, и величина р окажется одной и той же, т. е. мы имеем сле- следующую теорему: Теорема 1. Две кривые на поверхности с одинаковой каса- касательной и главной нормалью в некоторой точке имеют в этой точке и одинаковый радиус кривизны. Если на поверхности имеется какая угодно кривая (L) и на ней некоторая точка М, то, проводя плоскость через касательную и главную нормаль к этой кривой в точке М, мы получим в сечении этой плоскости с поверхностью плоскую кривую (Z,o), имеющую ту же касательную и главную нормаль, что и заданная кривая, а потому и тот же радиус кривизны. Таким образом доказанная теорема Дает возможность сводить изучение кривизны любой кривой на по- поверхности к изучению кривизны плоских сечений поверхности. Назовем нормальным сечением поверхности в заданной точке М сечение поверхности какой-нибудь плоскостью, проходящей через нор- нормаль поверхности в точке М. Мы имеем, очевидно, бесчисленное мно- множество нормальных сечений, причем мы можем фиксировать опреде- определенное нормальное сечение, задавая определенное направление каса- касательной в касательной плоскости к поверхности, т. е. фиксируя
412 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ \Ш величину отношения -т-. Заметим, что главная нормаль у нормаль- нормального сечения или совпадает, или противоположна вектору т, так что угол ср равен 0 или т:, и, следовательно, coscp = :±:l. Рассмотрим какую-нибудь кривую (L) на поверхности и на ней определенную точку М. Назовем нормальным сечением, соответствую- соответствующим кривой (I) в точке М, то нормальное сечение в точке Ж, ко- которое имеет в этой точке общую касательную с кривой (I). Пусть р — радиус кривизны кривой (L) и R — радиус кривизны соответ- соответствующего нормального сечения. Так как обе кривые имеют одну и ту же касательную, то правые части в формуле D8) для них одина- одинаковы, и мы можем написать ^ = ^1, т.е. P = R.|cos?|, E5) где ср — угол между главной нормалью кривой и нормалью к поверх- поверхности. Поскольку R и р положительны, знак в правой части надо брать совпадающим со знаком cos ср. Последняя формула приводит к следующей теореме: Теорема 2 (теорема Менье). Радиус кривизны любой кри- кривой на поверхности в заданной точке равен произведению радиуса кривизны соответствующего нормального сечения на абсолютное значение косинуса угла между нормалью к поверхности в этой точке и главной нормалью к кривой. Иначе говоря, радиус кривизны любой кривой на поверхности равен величине проекции радиуса кривизны соответствующего нор- нормального сечения, отложенного на нормали к поверхности, на главную нормаль к этой кривой. В случае сферы нормальное сечение есть окружность большого круга, и если мы за кривую (L) возьмем какую-либо окружность, начерченную на сфере, то формула E5) при- приводит к очевидному соотношению между радиусами двух упомянутых окружностей (рис. 107). Согласно теореме второй, изучение кри- Рис. 107. визны кривых на поверхности сводится к изу- изучению кривизны нормальных сечений в задан- заданной точке поверхности. Как мы видели, для нормального сечения в фор- формуле D8) надо считать coscp = ±l. Согласимся относить знак (—), когда он встретится, к величине р, т. е. согласимся считать радиус кривизны нормального сечения отрицательным, если главная нормаль нормального сечения противоположна направлению вектора т, т. е. противоположна выбранному направлению нормали к поверхности. При
144] § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 413 таком соглашении мы будем иметь для нормальных сечений формулу Напомним еще раз, что в правой части этой формулы коэффици- коэффициенты дифференциальных форм имеют определенное значение, так как мы фиксировали некоторую точку на поверхности, и величина -^ dv * зависит лишь от значения отношения ^-, т. е. от выбора направле- направления касательной. Знаменатель в правой части формулы E6) имеет всегда положительные значения, так как выражает величину ds\ a потому знак кривизны ъ нормального сечения определяется знаком числителя, и могут представиться следующие три случая: 1. Если во взятой точке Ж2 — LN<^0, то для всех нормальных сечений -^ имеет один и тот же знак, т. е. главные нормали ко всем нормальным сечениям направлены в одну и ту же сторону. Такая точка поверхности называется эллиптической. 2. Если М2 — 1Л/^>0, то -? будет иметь различные знаки, т. е. во взятой точке поверхности имеются нормальные сечения с проти- противоположным направлением главной нормали. Такая точка поверхности называется гиперболической. 3. Если Ж'2 — IiV = 0, то при этом числитель в правой части формулы E6) представляет собой полный квадрат, и здесь -^ не ме- няет знака, но при одном положении нормального сечения обра- обращается в нуль. Такая точка поверхности называется параболической. Заметим, что в гиперболическом случае трехчлен, стоящий в чис- числителе правой части формулы E6), меняя знак, обращается в нуль, и будут два нормальных сечения с кривизной, равной нулю. В эллип- эллиптическом же случае таких сечений не будет. Введем координатные оси, приняв взятую точку поверхности за начало и поместив оси ОХ и ОУ в касательной плоскости, как мы это делали в [142]. В силу формул E4) равенство E6) примет вид d? Касательная к нормальному сечению лежит в плоскости XOY> и отношения -? и -^ равны соответственно cos б и sin 8, где 6 — угол, образованный касательной с осью ОХ. Таким образом предыдущая
414 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [143 формула принимает вид ~> = r0 cos2 G -f- 2s0 cos 0 sinO -f- tQ sin2 0. E7) В этой формуле мы имеем в явном виде зависимость кривизны -^ от направления касательной, характеризуемого углом 0. При этом, если s\ — roto <^ 0, то точка будет эллиптической, в случае s2 — rotQ ^> О — гиперболической, а в случае si — roto = О — параболической. В случае s20 — rQtQ<^0 функция z=f(xf у) будет иметь в рас- рассматриваемой точке максимум или минимум [I, 163], равный нулю, т. е. поверхность вблизи этой точки будет расположена по одну сторону от касательной плоскости. При s20— roto^>O не будет ни максимума, ни минимума, т. е. в любом соседстве с рассматриваемой точкой поверхность будет расположена по обе стороны от касатель- касательной плоскосга. Наконец, в параболической точке, где s20— ro/o = O, ничего определенного о расположении поверхности относительно ка- касательной плоскости сказать нельзя. Из формул E3) непосредственно вытекает, что знак (Ж2 — LN) при любом выборе осей X YZ совпадает со знаком (s1 — rt) и, следо- следовательно, при s1 — rt <^ 0 точка будет эллиптической, при s2—гГ>0 —• гиперболической и при s2 — rt = О — параболической. На одной и той же поверхности могут быть точки разных родов. Например, на торе, который получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в одной плоскости с окружностью и вне ее [I, 107], точки, лежащие с внешней стороны, будут эллиптическими, а с внут- внутренней стороны — гиперболическими. Эти две области отделяются одна от другой крайними парал- YJ лелями тора, все точки которых суть параболические точки. 145. Индикатриса Дюпена и формула Эйлера. Фиксируя коор- координатные оси так, как это было указано в предыдущем номере, построим в касательной плоскости, т. е. в плоскости ХОУ, вспомога- вспомогательную кривую следующим обра- образом: на всяком радиусе-векторе из начала О отложим отрезок ON = = / ±R, где R — радиус кри- кривизны того нормального сечения, для которого взятый радиус-вектор является касательной. Знак (±) выбираем так, чтобы под радикалом оказалась положительная вели- величина. Геометрическое место концов N построенных отрезков дает кри- кривую, которая называется индикатрисой Дюпена. Свойство этой кри- рис- 108-
145J § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 415 вой, согласно построению, следующее: квадрат любого ее радиуса- вектора дает абсолютное значение радиуса кривизны того нормального сечения, для которого взятый радиус-вектор является касательной (рис. 108). Составим уравнение индикатрисы Дюпена. Пусть (?, т]) —коорди- —координаты переменной точки N на индикатрисе. Согласно построению ц = У± R sin б, т. е. I2 = ± R cos2 0, г]2 = ± R sin2 8, причем при положительном R надо брать верхний знак, а при отри- отрицательном— нижний. Умножая обе части равенства E7) на dt/?, по- получим, в силу E7): r^2 + 2s?i\ + t0if = ±U E8) Это и есть уравнение индикатрисы Дюпена. Кривая эта дает гео- геометрически наглядное представление об изменении величины радиуса кривизны при вращении нормального сечения вокруг нормали к по- поверхности. В эллиптическом случае кривая E8) есть эллипс, и в пра- правой части надо брать определенный знак. В гиперболическом случае уравнению E8) соответствуют две сопряженные гиперболы. В пара- параболическом же случае левая часть уравнения E8) есть полный квад- квадрат, и его можно переписать в виде = ±l, т.е. или и мы имеем совокупность двух параллельных прямых. Во всех трех случаях точка О является центром кривой, и кривая имеет две оси симметрии. Мы можем выбрать оси ОХ и OF совпадающими с этими осями симметрии; при этом, как известно, в левой части уравнения E8) пропадает член, содержащий произведение ?т), т. е. при указанном пмборе осей должно быть so = O, и формула E7) даст при таком вы- выборе осей ОХ и О У 1 = r0 cos2 d+t0 sin2 0. E9) Выясним геометрический смысл коэффициентов г0 и t0. Полагая в формуле E9) 0 = 0, мы получим кривизну -Б- нормального сече- 1 ния, касающегося оси ОХ} и, следовательно, rQ= D-. Точно так же,
416 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Ц45 полагая 0 = -^-, получим, ?0=-—- где -^—кривизна нормального се- чения, касающегося оси О К Подставляя найденные значения г0 и ?0 в формулу E9), получим формулу Эйлера 1 _cos2Q , sin26 ^=-^г+"^г- F0) Заметим, что направления осей ОХ и О К совпадают с направле- направлениями осей симметрии кривой E8). Положим, что -^ ^ тг и что» 11 ' 2 например, -о"^>"- Из формулы F0) непосредственно следует, что -^-достигает наибольшего значения при 6 = 0 и 0 = ти и наменьшего значения — при б = у и 9 = -^, Полученный результат формулируем в виде следующей теоремы: Теорема 3. В каждой точке поверхности существуют два взаимно перпендикулярных направления в касательной плоскости, для которых кривизна -в достигает максимума и минимума, и 1 1 если тг п  соответствующие этим направлениям значения кривизны, то кривизна любого нормального сечения выражается по формуле F0), где 9—угол, образованный касательной к рас- рассматриваемому нормальному сечению с тем направлением, ко- которое дает кривизну -^-. Hi Радиусы кривизны R{ и R.2 называются главными радиусами кри- кривизны нормальных сечений в рассматриваемой точке. Те два направ- направления в касательной плоскости, которые их дают, называются глав- главными направлениями. Кроме того в гиперболическом случае полезно отметить еще два направления в касательной плоскости, а именно — направления асимптот индикатрисы Дюпена. Для этих асимптоти- асимптотических направлений радиус-вектор индикатрисы равен бесконечности, и кривизна соответствующего нормального сечения в рассматриваемой точке равна нулю. В эллиптическом случае Rx и R^ имеют одинаковые знаки. В ги- гиперболическом случае эти величины будут разных знаков. В пара- параболическом же случае кривизна одного из главных нормальных сече- сечений будет равна нулю, и, считая, например, 75- = 0, мы будем иметь в параболическом случае формулу 1 _ cos2 9 R~ Ri *
1461 § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 417 Отметим еще один частный случай точек поверхности эллипти- эллиптического типа, а именно тот случай, когда величины Rx и R2 оди- одинаковы, т. е. Ri = Ru. Формула F0) даст при этом -Ъ = -7Т9 т. е. в данном случае все нормальные сечения имеют в рассматриваемой точке одинаковую кривизну. Такая точка поверхности называется точ- точкой закругления, или омбилической точкой. Можно доказать, что сфера — единственная поверхность, все точки которой омбилические. 146. Определение главных радиусов кривизны и главных на- направлений. Перепишем основную формулу E6) для кривизны нор- нормального сечения в виде (L — ER-1) du* -f 2 (Ж — FR'1) du dv-\-(N — OR~l) dv* = 0. F1) Деля на dv1 и вводя вспомогательную величину t — -^, харак- характеризующую направление касательной к нормальному сечению, полу- получим уравнение: — FR~l из которого кривизна R'1 нормального сечения определяется в зави- зависимости от t. Для главных направлений величина R~l должна дости- достигать максимума или минимума, а потому производная or R~l no t должна обращаться в нуль. Но эта производная выражается, очевидно, формулой [I, 69] dR~l di dt &р ' и, следовательно, для главных направлений производная -? должна обращаться в нуль, т. е. Заменяя t = ~ и умножая на dv> получим (L — ER~l) du-\-(M — FR-1) dv = 0. F2) Если бы мы разделили уравнение F1) на du* и за переменную, характеризующую направление касательной, взяли бы t{ = — , то со- совершенно так же получили бы для главных направлений равенство (М — FR-1) du -f- (Л/ — GR'1) dv = 0. F3)
418 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [147 Перенося в равенствах F2) и F3) члены с dv направо и по- почленно деля одно равенство на другое, мы получим квадратное урав- уравнение для определения кривизны главных нормальных сечений, т. е. Ri R2 (ЕО - F2)^ + (?FM - EN- QL) -~- + (LN-M2) = 0. F4) Выражение называется гауссовой кривизной поверхности в заданной точке, а выражение называется средней кривизной. Из квадратного уравнения F4) полу- получаем непосредственно выражение гауссовой и средней кривизны че- через коэффициенты первой и второй формы Гаусса: v LN-M* EN-2FM + GL А== EG — F* • 2 (EG — У72) * ^ ' Перепишем уравнения F2) и F3) в виде (Ldu + Mdv) R = Edu + Fdv, (Mdu + Ndv) R = Fdu + Odv. Разделив почленно одно на другое, мы исключим букву R и после элементарных преобразований получим уравнение (ЕМ - FL) du2 + (EN ~ GL) du dv + (FN - QM) dv2 = 0. F8) Деля его на du2, будем иметь квадратное уравнение относительно dv т-« --г-. Его два корня дадут нам величины, характеризующие главные направления в каждой точке поверхности: Ф(« *> 147. Линии кривизны. Линией кривизны на поверхности назы- называется такая линия на поверхности, у которой в каждой ее точке касательная направлена по главному направлению. Так как в каждой точке поверхности имеются два главных направления, те мы будем иметь два семейства линий кривизны на поверхности, и эти семейства будут взаимно ортогональны. Таким образом совокупность всех линий кривизны даст некоторую ортогональную сетку на поверхности. Урав- Уравнение F8) или эквивалентные ему уравнения F9) суть дифференциаль- дифференциальные уравнения линий кривизны. Интегрируя их, мы выразим v через и
147] § «3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 419 и, подставляя это выражение в уравнения поверхности, получим урав- уравнения линий кривизны. Пусть нам дана некоторая координатная сетка на поверхности. Выясним условия, при которых эта сетка есть сетка линий кривизны. Прежде всего, раз эта сетка должна быть сеткой линий кривизны, то она должна быть ортогональной сеткой, т. е. мы должны иметь /7=0. Кроме того, раз координатные линии w = Q и г> = С2 суть линии кривизны, то уравнение F8) должно удовлетворяться при подстановке вместо и или v постоянной. Принимая во внимание уже полученный результат F = 0, будем иметь ОМ = 0 и ЕМ = 0. Но мы видели, что разность EQ— F2 положительна и, следовательно, величины Е и О не могут быть равны нулю, и из двух предыдущих формул выте- вытекает Л4 = 0. Итак, необходимым условием того, что координатная сетка была сеткой линий кривизны, является условие F = M = 0. Наоборот, если это условие выполнено, то дифференциальное урав- уравнение линий кривизны F8) имеет решение и = Сх и v=C%> т. е. координатные линии суть линии кривизны, и мы получаем следующую теорему: необходимое и достаточное условие того, чтобы коор» динатная сетка была сеткой линий кривизны, заключается в том, что в двух дифференциальных формах Гаусса средние коэффи- коэффициенты на всей поверхности равны нулю, т. е. F = M = 0. Можно определить линии кривизны и иначе, чем мы это сделали выше. Рассмотрим на поверхности некоторую линию (Z,). Нормали к поверхности вдоль этой линии обра- образуют семейство прямых с одним пара- параметром, определяющим положение точки на (I), и это семейство не будет иметь огибающей, ибо вообще семейство пря- прямых в пространстве, зависящее от одного параметра, не имеет огибающей [152], т. а не является семейством касатель- касательных к некоторой линии в пространстве. Но если выбрать (L) определенным об- образом, то огибающая нормалей будет существовать. Выясним условия, при которых это имеет место. Положим, что линия (Z.) на поверх- поверхности выбрана так, что огибающая (Lx) нормалей к поверхности вдоль линии (L) существует (рис. 109). Обозначая через г — радиус-вектор точек кри- кривой (Q, через гх — соответствующий радиус-вектор (Ц) и через а — алгебраическую величину отрезка нормали к поверхности между (L) (/ мы можем, очевидно, написать Рис. 109. = r -J- от, G0)
420 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ П47 где, как всегда, m — единичный вектор нормали поверхности. Раз кри- кривая (L\) есть огибающая нормалей, то вектор dxb направленный по касательной к ней, должен быть параллелен вектору т, и мы можем написать drl = bm, где Ь есть некоторый скаляр. Дифференцируя формулу G0), получим bm = dx-\-adm-\-da m, то есть dx -f- a dm = cm, G1) где с — некоторый скаляр. Покажем, что с = 0. Для этого умножим обе части G1) скалярно на т: dx • т + a dm • т = с. Вектор dx направлен по касательной к (L), т. е. перпендикулярно к т, и, следовательно, dx*m = 0. Кроме того, из равенства m«m= 1, как всегда, вытекает dm • m = 0 и, следовательно, предыдущее равен- равенство действительно дает с = 0> и G1) может быть переписано в виде dx -f- a dm = 0. G2) Эта формула обычно называется формулой Родрига. Мы вывели эту формулу из предположения, что нормали поверхности вдоль (L) имеют огибающую. Положим теперь, наоборот, что вдоль некоторой линии (L) на поверхности имеет место формула G2). При этом фор- формула G0) определит некоторую кривую (Ц). Дифференцируя эту формулу и принимая во внимание G2), получим: dxv = dam> т. е. направления вектора m и касательной к (Lt) параллельны. Иными словами, нормаль к поверхности вдоль (L) касается (Ц). Итак, фор- формула G2) дает необходимое и достаточное условие существования огибающей у нормалей к поверхности вдоль (Z,). Заметим, что оги- огибающая может выродиться в точку, и тогда нормали образуют кони- коническую (или цилиндрическую) поверхность, причем условие G2), как можно показать, также должно быть выполнено. Напишем G2) в раскрытом виде х'и du -(- Xv dv -f- a (mi du -\- mv dv) = 0 и умножим скалярно на iv В силу формул D2Х), D7) и D9), получим Edu-\-Fdv-\-a(—Ldu — Mdv) = O, а это есть как раз равенство F2) при a = R. Совершенно так же умножая скалярно на х'т получим равенство F3). Нетрудно показать и наоборот, что из равенств F2) и F3), которые определяют главные радиусы кривизны и главные направления, получается формула G2) при a = R. На этом мы не останавливаемся. Таким образом условие существования огибающей нормалей G2) равносильно F2) и F3), причем а есть величина одного из главных радиусов кривизны. Пре- Предыдущие рассуждения приводят нас к следующим результатам: линии кривизны поверхности характеризуются тем свойством, что
148J § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 421 вдоль них нормали к поверхности имеют огибающую (или дают конус или цилиндр), причем величина отрезка нормали между поверхностью и огибающей равна одному из главных радиусов кривизны. Если некоторая плоская кривая вращается вокруг оси, лежащей в ее плоскости, то линиями кривизны полученной поверхности вра- вращения будут ее меридианы и параллели. Действительно, вдоль мери- меридианов нормали к поверхности образуют плоскость, а вдоль парал- параллелей — конус. 148. Теорема Дюпена. Пусть в пространстве имеются три семей- семейства взаимно перпендикулярных поверхностей у, z) = qly <!>(*, у, z) = qb а>(лг, у, z) = qz. Они образуют сетку ортогональных криволинейных координат в про- пространстве [131]. Радиус-вектор г из начала в переменную точку пространства М характеризуется криволинейными координатами qlt qb qb этой точки. Частные производные г^, г^ и г^, дают векторы, направленные по касательным к координатным линиям, и условия ортогональности координат можно написать в векторной форме 4•*;.=<>. **•*;,=о, г^.г;2=о G3) Дифференцируем первое из этих равенств по q{> второе по q^ а третье по q* r?i?2# Тя* ~\~ гя*' r?i<?3= О» Отсюда непосредственно получаем Сопоставим три равенства VQi % ТЯъ == ТЯ-2 ' Г<?з == ГЯ1Я* " ГЯз == 0. Из них следует, что векторы г^, г^2 и г?1<?2 перпендикулярны к одному и тому же вектору г^8 и, следовательно, компланарны, откуда следует, что [117] ^•DХ4) = 0. G4) Рассмотрим теперь координатную поверхность qz = C. На ней параметры qx и q* являются координатными параметрами, и коор- координатные линии qi — C и qi = C суть линии пересечения взятой поверхности с двумя другими координатными поверхностями наших ортогональных координат в пространстве. Мы имели следующие
422 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [149 формулы: г . (г 17 г' .г' М Я\Я* [* 91 и равенства G3) и G4) показывают, что в данном случае F = M = 09 т. е. координатные линии qx и q.2 суть линии кривизны на поверх- поверхности #з = const. Это приводит нас к следующей теореме Дюпена: если в пространстве имеются три семейства взаимно ортого- ортогональных поверхностейt то любые две поверхности из разных семейств пересекаются по линии, которая является линией кривизны для обеих этих поверхностей. 149. Примеры. 1. Уравнение сжатого эллипсоида вращения может быть написано в параметрической форме в следующем виде: х = a cos и sin v, y = a sin и sin v, z = c cos v. Координатные линии и = cx суть, очевидно, линии пересечения эллипсоида с плоскостями y=,xXgcu проходящими через ось вращения, т. е. суть меридианы, а координатные линии v = c2 — параллели, получаемые от пере- пересечения эллипсоида плоскостями z = c cos c2i перпендикулярными оси враще- вращения. Применяя формулы D2) и E0) и принимая во внимание, что х, у и г суть составляющие вектора г, получим Е = a2 sin2 v, F = 0, G = a2 cos2 v + с2 sin2 v, __ ас sin2 v лл — 0 W ас Ya2cos2v-\-c2sm2v * "|/Vcos2t; + c2sin2t/ " Равенства F=M = Q можно было предвидеть в силу того, что меридианы и параллели суть линии кривизны эллипсоида вращения. Остальные коэффи- коэффициенты зависят только от параметра v, характеризующего положение точки на меридиане. Главные направления совпадают, очевидно, с касательными к меридиану и параллели. Выражение (LN — М2) в данном случае положи- положительно на всей поверхности, т. е. все точки поверхности — эллиптические. Не вычисляя в отдельности главные радиусы кривизны, приведем лишь выра- выражение гауссовой кривизны: _J LN—M2 с2 "~ #i#2 ~~EG — F2 (a2 cos2 v + с2 sin2 vf % 2. Уравнение конуса второго порядка перепишем в явной форме Непосредственно дифференцируя, нетрудно получить: p~"a*z с2х с*у с*у2 сАху
149] § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 423 Пользуясь формулами E3), можно определить все коэффициенты форм Гаусса. Отметим лишь, что в данном случае rt — s2 = 0, т. е. все точки поверхности суть параболические точки, и один из главных радиусов кривизны равен бесконечности*. Соответствующее главное направление совпадет, очевидно, с прямолинейной образующей конуса. 3. Рассмотрим гиперболический параболоид ~" 2а2 2Ь2 * В данном случае r = —g, s = 0 и t = — д, так что rt— $2<0, и, следо- следовательно, всякая точка поверхности является гиперболической точкой. Две прямолинейные образующие поверхности дают в данном случае направление асимптот индикатрисы Дюпена, которая состоит из двух сопряженных гипер- гипербол. Аналогичное обстоятельство мы будем иметь и для однополого гипер- гиперболоида. 4. Обычные прямолинейные координаты, а также сферические и цилин- цилиндрические координаты дают простейшие примеры ортогональных координат в пространстве. Укажем еще один пример таких координат. Рассмотрим уравнение поверхности второго порядка, содержащее параметр р: JTi + T^+^-^O. fl»> где д2>?2>с2. Фиксируя точку М(лг, у, z) и освобождаясь от знаменате- знаменателей, мы будем иметь уравнение третьей степени относительно р. Нетрудно показать, что это уравнение имеет три вещественных корня и} v и w, кото- которые заключаются соответственно в границах — с2, —с2>я>—- #9, —Ь2>ха)> — а*. G6) Действительно, при больших положительных значениях р левая часть уравнения G5) близка к (— 1) и имеет знак (—), а при значениях р, немного z2 больших (—с2), слагаемое -j-.—g есть большая положительная величина, с ~г Р и левая часть уравнения G5) имеет знак (+). Таким образом внутри проме- промежутка (— с2, оо) должно существовать такое значение р, при котором левая часть уравнения G5) обращается в нуль. Аналогичным образом можно убедить- убедиться в существовании корней внутри промежутков (—Ь2} —с2) и (—-в2,—Ъ*\ Три числа (и, v, w) называются эллиптическими координатами взятой точки М(х, у, z). В нашем рассуждении предполагается, что все три координаты точки (х, у, z) отличны от нуля. В противном случае для р полу- получится уравнение ниже третьей степени. Если, например, z = 0, a x и v отличны от нуля, то /равнение G5) даст и и v% a w надо считать равным (—с2). Исследуем теперь координатные поверхности в эллиптической системе координат. Подставляя в уравнение G5) р=и, где и — некоторое число из промежутка (—с2, оо), получим поверхность *2 , У* I *2 _! G7) а2 + и"Ъ2 + и^ с2 + и"~~ ' к } которая очевидно является эллипсоидом, так как, в силу первого из нера- неравенств G6), все три знаменателя в уравнении G7) положительны. Полагая Р = г/, где V — из промежутка (-— Ъ2, —с2), получим однополый гиперболоид
424 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [150 так как в данном случае а- + v > b2 + v>0 и c2-f-t><0. Наконец, при р = w, где w — из промежутка (—а2, —Ь2)у получим двуполый гиперболоид *2 . У2 , z* _i (т Покажем, что полученные три координатные поверхности взаимно орто- ортогональны. Вычитая почленно уравнения G7) и G8), получим х2 у2 z2 + + ^ ° * (80) (а2 + и) (a2 + v) + (b2 + и) (b2 + v)+ (с2 + и) (с2 + v) ^ ° * Направляющие косинусы нормалей к поверхностям G7) и G8) соответ- соответственно пропорциональны [I, 160]: и равенство (80) выражает условие перпендикулярности этих нормалей, т. е. дает доказательство ортогональности поверхностей G7) и G8). Точно так же можно доказать взаимную ортогональность и других координатных поверх- поверхностей. Пользуясь теоремой Дюпена, мы можем утверждать, что два семей-' ства линий кривизны на эллипсоиде G7) (при фиксированном и) получатся в результате пересечения этого эллипсоида со всевозможными гипербо- гиперболоидами из семейств G8) и G9). 150. Гауссова кривизна. Выясяим геометрический смысл понятия о гауссовой кривизне. Примем за координатные линии на поверх- поверхности — линии кривизны этой поверхности. Вдоль каждой из этих линий будет выполнено соотношение G2), причем коэффициент а есть, как мы видели, один из главных радиусов кривизны. Это дает нам следующие соотношения: г'и + Ritn'u = 0, г; + Ram; = 0. (81) Сопоставим всякой точке М поверхности —точку Мо сферы единич- единичного радиуса, которая получается в пересечении этой сферы с век- вектором т, отложенным из центра сферы, причем m есть единичный вектор нормали к поверхности в точке М. Такое точечное соответст- соответствие между точками поверхности и точками сферы называется обычно сферическим отображением поверхности. Положение точки Mq будем характеризовать теми же параметрами и и г;, что и положение М. Ввиду того, что координатные линии суть линии кривизны, будем иметь Е=ги\ F = 0, G=rv\ (82) Радиус-вектор сферического изображения Жо есть по определе- определению т, и, в силу формул (81) и (82), коэффициенты первой формы Гаусса для сферического изображения будут: Е0 = ти*=-щЕ, /7в = ш;-ш; = 0, GQ = mv* = ±G. (83)
1511 § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 425 Остановимся лишь на доказательстве среднего из равенств, ибо остальные два непосредственно вытекают из (81) и (82). Формулы D9) дают М = — Ги'ПЬ = — iv mi. Раз мы приняли за координатные линии линии кривизны, то Ж = 0, т. е. rj, • mi = iv mi = 0. Умножая первое из равенств (81) на пь или второе на т'т получим т« • т^ = 0. Элемент площади самой поверхности и соответствующий элемент сферического изображения будут dS = \ГЕО du dv, dS0 = УЁД) du dv, или, в силу (83), k откуда видно, что гауссова кривизна в точке М по абсолютной величине есть предел отношения площади сферического отобра- отображения к соответствующей площади самой поверхности, когда эта последняя беспредельно сжимается к точке М. Упомянутое отношение характеризует, очевидно, степень разбросанности пучка нормалей к поверхности в точках элемента dS. В [146] мы вывели выражение гауссовой кривизны К через коэф- коэффициенты двух форм Гаусса. Самим Гауссом было дано выражение К только через коэффициенты Е, F и О и их производные по и и v. Из этого обстоятельства вытекает одно важное следствие, на кото- котором мы остановимся. Пусть между двумя поверхностями (S) и (Sx) установлено точечное соответствие, причем соответствующие точки характеризуются одинаковыми значениями параметров и и v. Каждая из поверхностей будет иметь свою первую форму Гаусса, выражаю- выражающую квадрат элемента длины. Тождественность этих двух форм равно- равносильна тому, что при упомянутом точечном соответствии длины сохра- сохраняются, или, иначе говоря, поверхности наложимы друг на друга. При этом коэффициенты Е, F и О и их производные по и и v будут для обеих поверхностей одни и те же, а потому и кривизна К в соот- соответствующих точках обеих поверхностей будет иметь одно и то же значение, т. е. при отображении друг на друга двух поверхностей, сохраняющем длину, гауссова кривизна в соответствующих точ* ках обеих поверхностей имеет одно и то же значение. В частности на плоскости гауссова кривизна равна нулю, и у по- поверхностей, которые могут быть наложены на плоскость без иска- искажения длин, должно быть LN — М2 = 0, т. е. все точки—парабо- точки—параболические. В предыдущем мы измели пример таких поверхностей, а именно — конус и цилиндр. 151. Вариация элемента площади и средняя кривизна. Пусть (S) — некоторая поверхность, (и, v) — ее координатные параметры и г (и, v) — ее радиус-вектор. Откладывая в каждой точке Ж (и, v)
426 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [151 поверхности по нормали m отрезок ММХ алгебраической величины п(и, v), где п(и, v) — некоторая функция и и vy получим новую поверхность (vSj), образованную точками М\. Точки Mi мы будем характеризовать теми же параметрами (и, v), что и точки М, и будем говорить, что между точками (S) и (Si) установлено соответствие по нормалям к (S). Радиус-вектор гМ(и, v) поверхности (Si) по опре- определению будет: rA>(w, v) = r(u> v)-\-n(u, v)m(ut v). Дифференцируя по и и vf получим: Г?/ = Г'а + я> + пт'а> rvV = V'v + П'ьт + nm'v- Вычислим коэффициенты Еь Fv 6г первой формы Гаусса для по- поверхности (Sx), причем будем считать длину п и ее производные по и п v — малыми и будем пренебрегать членами второго измерения относительно этих величин А = (грУ = (г; + л> + пти) • (г; + пит + nm'J = = г'п2 + 2п'и (г и • ш) + 2/1 (г и • т'и). Векторы г'и и m взаимно перпендикулярны и ivm = 0, и фор- формула D7) дает Е1 = Е—2nL Точно так же нетрудно получить F F 2M и G1 = Q—2nN. Отсюда или, в силу F7), Е& — F\ = (ЕО — Я) A — Извлекая корень, разлагая A — 4nH)i/2 по биному Ньютона и отки- откидывая члены со степенями п выше первой, будем иметь: l—F\ = yEQ — F*{\ —2nH). (84) Умножая на dudv и интегрируя, получим с точностью до малых величин второго порядка выражение разности 85 площадей близких поверхностей (S) и (Si): (S{) (S) = — 5 S 2nHVEQ — F2 du dv (85) (S) или. bS=—\\2nHdS. (S) В непосредственной связи с этой формулой находится известная задача Плато об определении поверхности с наименьшей площадью, натянутой на заданный контур (L). Нетрудно видеть, что на
151] § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 427 такой поверхности средняя кривизна Н должна быть равна нулю. Действительно, если бы на некотором участке (о) такой поверхности величина И оказалась, например, положительной, то, выбирая малую величину п также положительной на о и равной нулю на остальной части поверхности и в частности на (L), мы получили бы, в силу (8э), для 85 отрицательное значение и поверхность (S{), проходя через (Z,), имела бы площадь, меньшую, чем (S), что противоречит предположению. В силу указанного обстоя- обстоятельства поверхности со средней кривизной, равной нулю, называются минимальными поверхностями. Из формулы (84) вытекает также формула дифференцирования интеграла по переменной замкнутой поверхности по параметру. До- Допустим, что положение некоторой переменной замкнутой поверхности определяется значением параметра X и что при Х = Х0 поверхность занимает положение E), а при X, близких к Хо, —положение F\), близкое к (S). Установим между точками М поверхности (S) и точ- точками Mi поверхности ($t) соответствие по нормалям, как это опи- описано выше. При этом п будет функцией и, г> и X, которая обра- обращается тождественно относительно и и v в нуль при Х = Х0, т. е. п (и, v, Х0)=0. (86) Пусть далее /(Л/) — некоторая функция точки в пространстве, не зависящая от параметра X. Величина интеграла (87) будет зависеть от параметра X, так как от этого параметра зависит вид поверхности. Найдем выражение для производной /'(Хо). Умно- Умножая обе части (84) на dudv, можем написать dS\ = (l—2nH)dS, и выражение (87) перепишется так: E) E) При этом область интегрирования—исходная поверхность (S)—уже не зависит от X, и мы можем применить обычное правило диффе- дифференцирования под знаком интеграла [83]. Точка Mi лежит на поверх- поверхности (Si), и пусть М — соответствующая ей точка на поверхности (S\ так что отрезок MMi = n(u, v) нормален к (S), т. е. имеет направ- направление т. Множитель f(Mi) при дифференцировании по X при X —Хо даст /(Ali)—/(М) /(Mi)~—/(М) ^ ^д^ ^/(АО дп ьТка Х-Хо Л1* MMl Х^Г0 — ~^Г#5Х
428 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [152 где т — направление нормали т. Принимая во внимание, что множи- множитель п обращается в нуль при Х = Х0 и обозначая через ^- значе- значение производной при Х = Х0, получим Пусть уравнение переменной поверхности (Si) написано в неявной форме t; Х) = 0 или ср(лг, у, г, Х) = 0. (89) Дифференцируя по X как непосредственно, так и через посред- посредство Mv так же, как это мы делали с функцией /(Мх), получим при Х = Х0 д<р(Мц Хо) j>dy(Ml, Хо) дп л (?Х0 ' дш дк0 Определяя отсюда *Л и подставляя в формулу (88), получим следующее выражение для производной: (90) ,5) дт Если в интеграле (87) и подынтегральная функция / содержит параметр X, то так же, как и в [132], к правой части (90) надо добавить слагаемое вида 152. Огибающая семейства поверхностей и кривых. В [13) при исследовании особых решений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка мы ввели понятие об огибающей семейства плоских кривых. Точно так же исследование решений уравнений с частными производными приводит к понятию огибающей семейства поверхностей. Выясним в кратких чертах это понятие. Пусть имеется семейство поверхностей с одним параметром , yt zt а) = 0. (91) Фиксируя численное значение а, получим определенную поверхность семейства. Рассмотрим новую поверхность (S), которая имеет то же уравнение (91), но с переменным а, получаемым из уравнения ,*,<ова (92)
152] § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 429 Можно сказать, что уравнение (S) получится исключением а из урав- уравнений (91) и (92). Если фиксировать значение а = а0, то, с одной стороны, получится определенная поверхность (So) из семейства (91), а с другой стороны, подставляя a = aQ в уравнения (91) и (92), полу- получим некоторую линию (/0) на поверхности F*), так что поверхности (S) и (?0) будут иметь общую линию (/0). Покажем, что они будут иметь общую касательную плоскость вдоль (/0). Для поверхности (91), в силу постоянства а, проекции dx, dy, dz бесконечно малого перемещения вдоль поверхности должны удовле- удовлетворять соотношению dF , JF. \ dF.. л На поверхности (S) а — переменно, и мы должны написать dF j i dF dx+ Но в силу (92) это соотношение совпадает с предыдущим, т. е. на (So) и (S) в общих точках бесконечно малое перемещение пер- перпендикулярно к одному и тому же направлению, у которого напра* вляющие косинусы пропорциональны: dF dF dF дх' ду' dz9 откуда и следует, что (So) и (S) касаются вдоль (/0). Таким образом исключая а из уравнений (91) и (92), получим9 вообще говоря, уравнение огибающей поверхности семейства (91), причем касание имеет место вдоль некоторой линии. Пример. Пусть имеется семейство сфер с центром на оси OZ и данным радиусом г Дифференцируем по а: --2B — 0) = О. Исключая а, получим уравнение кругового цилиндра который касается каждой из вышеуказанных сфер вдоль окружности. Рассмотрим теперь семейство поверхностей, содержащее два параметра: F(x, у, z, a, b) = 0. (93) Исключая а и Ъ из написанного уравнения и уравнений dF(x,y, г9 а, Ь)_(л dF(x, у, г, ау ?)_п да ' db ~Vt получим, как нетрудно показать, поверхность (S), которая касается поверхностей семейства (93). Но в данном случае касание будет имегь
430 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [152 место не вдоль линии, но лишь в некоторой точке. Действительно, фиксируя значения а = а0 и b = b0, мы, с одной стороны, получим определенную поверхность E0) из семейства (93), а с другой стороны, подставляя а = а0 и b = b0 в три уравнения (93) и (94), получим, вообще говоря, некоторую точку Жо на поверхности (?). В этой точке, при соблюдении некоторых условий, (S) касается 5 Пример. Пусть имеется семейство сфер с центром на плоскости XOY и заданным радиусом г: {х — аJ + (у — bJ + z2 = r2. Дифференцируем по а и Ь\ — 2(лг — а):=0, — 2(у — ?) = 0; исключая а и Ь, получим уравнение 22 = г2, т, е. огибающая будет состоять из двух параллельных плоскостей z = ;tr, которые касаются каждой из вышеуказанных сфер в некоторой точке. По поводу нахождения огибающей семейства поверхностей можно сделать то же замечание, что и по поводу нахождения огибающей семейства кривых [13], а именно, например исключение а из уравне- уравнений (91) и (92) может привести не только к огибающей поверхности, но и к геометрическому месту особых точек поверхностей семей- семейства (91), т. е. таких точек, в которых поверхность не имеет каса- касательной плоскости. Если левая часть уравнения (91) есть непрерыв- непрерывная функция с непрерывными производными первого порядка, то всякая поверхность, которая во всех своих точках касается различ- различных поверхностей семейства (91), может быть получена указанным выше приемом исключения а из уравнений (91) и (92). Вообще в этом и следующем параграфах мы не приводим доказательств и не уточняем условий, ограничиваясь приведением в общих чертах основных фактов. Рассмотрим теперь семейство линий в пространстве, зависящее от одного параметра: F\(x, у, z> я) = 0, F%(x9 у, z, а) = 0. (95) Будем искать огибающую этого семейства, т. е. такую линию Г, которая во всех своих точках касается различных кривых семей- семейства (95). Мы можем считать, что Г также определяется уравне- уравнениями (95) [13], в которых только а есть не постоянная, но пере- переменная. Проекции dx, dy, dz на^ оси бесконечно малого перемещения вдоль кривых (95) должны удовлетворять уравнениям;
153] § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 431 Совершенно так же проекции Ъх, Sy, bz бесконечно малого переме- перемещения вдоль Г должны удовлетворять уравнениям Условия касания сводятся к пропорциональности этих проекций, т. е. Ьх_ ^у Ьг_ dx dy dz ' а эти условия, в силу предыдущих соотношений, равносильны двум уравнениям: -^Ьа = О и -~8а = 0, или, считая 8а ф 0, т. е. а — не постоянной, получим два уравнения dFj (х, у, г, а) _ n dF2 (х, у, г, а) _ да ~и> 55 ~ Четыре уравнения (95) и (96) не определяют, вообще говоря, линии, т. е. семейство линий в пространстве не имеет, как правило, огибающей. Но если эти четыре уравнения сводятся к трем, т. е. одно из них есть следствие остальных, то из этих трех уравнений координаты (х> у> z) определяются как функции параметра а, т. е. мы получаем линию в пространстве, которая и будет огибающей [или геометрическим местом особых точек линий (95)]. В следующем номере мы будем иметь пример семейства прямых в пространстве, имеющих огибающую. 153. Развертывающиеся поверхности. В качестве частного слу« чая рассмотрим семейство плоскостей с одним параметром а: A(a)x + B(a)y±C(a)z + D(a) = 0. (97) Огибающая поверхность E) получится исключением а из двух урав- уравнений А (а) х + В(а)у +C(a)z +D(a) =0, При фиксированном а эти два уравнения дают некоторую пря- прямую (/а), и поверхность (S) есть геометрическое место этих прямых, т. е. обязательно линейчатая поверхность. Дальше мы увидим, что
432 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [153 не всякая линейчатая поверхность может быть получена указанным выше путем. Вдоль прямой Aа) поверхность (S) касается плоско- плоскости (97), т. е. вдоль прямолинейной образующей Aа) поверхность (S) имеет одну и ту же касательную плоскость. Таким образом на (S) семейство касательных плоскостей 'зависит только от одного параметра а, характеризующего образующую Aа). В общем случае семейство касательных плоскостей к поверхности зависит от двух параметров, определяющих положение точки на поверхности. Пусть уравнение (S) написано в явной форме: z=f(x, y)> причем частные производные функции f(xt у) мы будем обозначать так же, как в [65]. Первые два направляющих косинуса нормали будут функциями одного параметра а: я Исключая из этих уравнений а, получим связь между р и q, которую можем написать в виде Соотношение это должно быть выполнено на всей поверхности (S) и, дифференцируя его по независимым переменным х и у, получим откуда ft — s* = 0, (99) т. е. у поверхности, которая огибает семейство плоскостей с одним параметром, все точки должны быть параболичес- параболическими. Поверхность E) образована, семейством прямых (98). Нетрудно видеть, что это семейство прямых имеет огибающую. Действительно, дифференцируя уравнения (98) по а, получаем два уравнения Л' () + ()у + ()+ () , A00) = 0, \ и четыре уравнения (98) и A00) сводятся к трем. Таким образом мы можем утверждать, что поверхность (S) образована касатель- касательными к некоторой пространственной кривой Г. Если эта кривая Г вырождается в точку, то (S) есть коническая поверхность, а если эта
153] § 13. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 433 точка удаляется на бесконечность, то (S) есть цилиндрическая поверх- поверхность. Покажем, что и наоборот, если дана в пространстве кривая Г,) A01) то поверхность (S), образованная касательными к кривой Г, оги- огибает семейство плоскостей с одним параметром, а именно семей- семейство соприкасающихся для кривой Г плоскостей. Действительно, это семейство имеет уравнение А(Х — x) + B(Y — y)JrC{Z — z) = 0, A02) где (х, у, z) определяются формулами A01) и Л, В, С определяются формулами C1) из [138]. Дифференцируя A02) по параметру t и при- принимая во внимание, что в силу C1) = 0, A03) получим dA(X — x) + dB(Y — y) + dC(Z — *) = 0, A04) где вместо производных по t мы пишем дифференциалы. Огибающая поверхность семейства A02) состоит из прямых линий, определяемых уравнениями A02) и A04), и нам остается показать, что эти два уравнения определяют касательную к Г в точке (лг, у, z). Дифферен- Дифференцируя соотношение A03) и принимая во внимание, что, в силу C1), Ad*x-\-Bd*y-{-Cd2z = 0i получим dA dx + dBdy + dC dz = 0. A05) Соотношения A03) и A05) показывают, что нормали к плоско- плоскостям A02) и A04), проходящим через точку (лг, у, z), перпендику- перпендикулярны к касательной к кривой Г, т. е. плоскости A02) и A04) про- проходят обе через эту касательную, что нам и надо было доказать. Выше мы видели, что условие (99) является необходимым условием, того, что (S) есть огибающая семейства плоскостей с одним пара- параметром. Можно показать, что оно и достаточно. Выше мы говорили также [150], что условие (99) (или ему равносильное LN — М* = 0) необходимо для того, чтобы (S) можно было отобразить на плоскость без искажения длин. Можно показать, что и наоборот, если это усло- условие выполнено, то достаточно малый кусок поверхности можно ото- отобразить указанным выше образом на плоскость. Поэтому огибающие семейства плоскостей с одним параметром называют развертываю- развертывающимися поверхностями.
434 ГЛ. V. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ [153 Не всякая линейчатая поверхность будет развертывающейся по- поверхностью. Например, если мы возьмем гиперболический параболоид или однополый гиперболоид, то для них соотношение (99) не выпол- выполнено [149], хотя они и являются линейчатыми поверхностями. Отсюда следует, что если переменная точка такой поверхности движется вдоль прямолинейной образующей, то соответствующая этой точке касатель- касательная плоскость вращается вокруг этой образующей. Французский математик Лебег подробно исследовал поверхности, развертывающиеся на плоскость, при весьма малых предположениях о функциях, вводящих в уравнения C8) таких поверхностей (мы предполагали наличие непрерывных производных до второго порядка). Он дал, между прочим, пример такой поверхности, причем эта поверх- поверхность есть нелинейчатая поверхность вращения.
ГЛАВА VI РЯДЫ ФУРЬЕ § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 154. Ортогональность тригонометрических функций. Гармони- Гармоническое колебательное движение у = A sin {(jut -f- <p) представляет простейший пример периодической функции периода 7= — . Мы ограничимся пока рассмотрением периодических функций периода 2тс и обозначим независимую переменную через х, так что функция у обратится в у = A sin (х + ср). Более сложные функции того же периода будут функции Aksln(kx + <fk) (k = Q, I, 2, 3, ...), равно как и сумма любого числа их: которая называется тригонометрическим полиномом п-то порядка; естественно при этом возникает вопрос о приближенном представ- представлении произвольной периодической функции f(x) периода 2тс в виде тригонометрического полинома п-ro порядка, а затем и вопрос о разложении функции f(x) в тригонометрический ряд подобно аналогичным задачам приближенного выражения функции в виде многочлена я-й степени или разложения ее в степенной ряд. Общий член этого ряда Ah sin (kx + <рk)
436 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ [154 называется А-й гармоникой функции f(x). Его можно написать в виде Ak sin {kx -j- cpft) = ak cos kx -f- bk sin Адг, где ak = ЛЛ sin cpft, bk = Ak cos срЛ (k = 0, 1, 2, ,..). Гармоника нулевого порядка Ло sin cp0 есть просто постоянная, кото- которую мы для упрощения дальнейших формул обозначим через —• Итак, наша задача заключается в том, чтобы подобрать, если воз- люжно, неизвестные постоянные ао> Дь Ьь аь Ъъ ..., аш Ьф ... так, чтобы ряд sin Адг) A) был сходящимся и чтобы его сумма равнялась заданной периоди- периодической функции f(x) периода 2тс. Для решения этого вопроса выясним одно простое свойство коси- косинусов и синусов кратных дуг. Пусть с — любое вещественное число и (с, с -f- 2тс) — любой промежуток длины 2тс. Нетрудно доказать, что J ^ = O (A = l, 2, 3, ...). B) с с Рассмотрим, например, первый из написанных интегралов. Перво- Первообразная функция для cos kx равна sin, x и, ввиду ее перио- периодичности, ее значения при х = с и х = с-\-2п будут одинаковы, и разность этих значений будет нуль, т. е., действительно, cos kx dx = sin kx = 0. с Совершенно так же, пользуясь известными формулами тригонометрии: Sin kx COS lx = 2 » sin kx sin lx = — cos kx cosa= cos(ft + /)^
154] § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 437 можно доказать, что ^ cos kx sin lx dx = 0, с+ 2* c + 2?c J cos Алг cos Л*г dx = 0, ^ sin &лг sin lxdx = Q (kz? /). с с Рассмотрим семейство функций 1, cosx, sin х, cos 2лг, sin 2x, ..., cos лл:, sin ллг, ..., D) причем первой из функций семейства является постоянная, равная единице. Формулы B) и C) выражают следующий факт: интеграл от произведения любых двух различных функций семейства D) по любому промежутку длины 2те равен нулю. Такое свойство называется обычно свойством ортогональности семейства D) на указанном промежутке. Вычислим теперь интеграл от квадрата функций семейства D). Для первой из функций этот интеграл равен очевидно 2те, а для остальных, в силу формул Sin2AAT=5= — СО8**= ? It мы будем иметь \ cos*kxdx = n, ^ sin4xdx=zn (k—l, 2, ...). E) с с В дальнейшем для определенности мы будем брать с = — тс, т. е. роль промежутка (г, с -{- 2tc) будет у нас играть промежуток (— те, те). Вернемся теперь к поставленной выше задаче. Положим, что неко- некоторая функция f(x), определенная в промежутке (— те, тг), а затем и при остальных значениях х по закону периодичности с периодом 2те, является суммою ряда A): f(x) = т* + ^ (а* cos *¦* + h sin /fex). F) Интегрируя обе части этого равенства по промежутку (— тс, тс) и ваменяя интеграл от бесконечной суммы суммою интегралов от отдель- отдельных слагаемых, получим J t{x)dx— С %dx+ 2 (a* J ca&kxdx + b,, j
438 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ [154 и, в силу B), это приводится к равенству откуда определяется постоянная а0: /(*)<*¦*• G) Перейдем к определению остальных постоянных. Пусть п — неко- некоторое целое положительное число. Умножим обе части F) на cos nx и проинтегрируем, как и выше + * + * \ f(x) cos nxdx = !j i cos nxdx-{- — 1С +7C f \ cos *х cos nx &ХЛ-Ък \ sin ^лг cos nx dx}. (8) — 1С OO +7C -frt \ \ В силу B) и C) все интегралы в правой части равенства будут равны нулю, кроме одного, а именно кроме интеграла + * ^ cos kx cos nx dx при k = n, а этот последний интеграл, в силу E), будет равен тс. Формула (8), таким образом, приводится к виду ^ cos л* dx = апп9 — я откуда + « аЛ = ~ ^ /(дг) cos лх Лд; {п = 1, 2, ...). — те Совершенно так же можно получить формулы 1 V ba=^ J /(x)sinfijc<fcc (л=1, 2, ...). G»)
154] § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 439 Заметим, что формула G) совпадает с формулой G^ при п = 0. Мы можем, таким образом, написать 1V вл = ± J f(x) cos kxdx (k = 0, 1, 2, ...), 71 — к + 1С f = - [ f(x)s\ukxdx (k=\, 2, ...). (9) Вышеприведенные вычисления не являются строгими и имеют зна- значение лишь как наводящие. Действительно, мы сделали ряд неоправ- неоправданных предположений: во-первых, мы с самого начала предполо- предположили, что заданная функция разлагается в ряд F), затем мы заменяли интеграл от бесконечной суммы суммой интегралов от отдельных слагаемых, или, как говорят, интегрировали ряд почленно, что не всегда можно делать [ср. I, 146]. Строгая постановка задачи состоит в следующем. Пусть в проме- промежутке (— те, те) нам задана функция f(x). По формулам (9) вычисляем, постоянные ak и bk и подставляем значения этих постоянных в ряд A). Спрашивается: будет ли полученный таким образом ряд сходящимся рядом в промежутке (— те, те), и если будет, то будет ли его сумма равна f(x)? Коэффициенты ak и bk, вычисляемые по формулам (9), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а ряд, который получается из ряда A) после подстановки вместо ak и bk их значений из фор- формул (9), называется рядом Фурье функции f(x). Операция разложения данной функции f(x) в ряд Фурье называется гармоническим ана- анализом. В следующем номере мы формулируем решение поставленной выше задачи о сходимости ряда Фурье заданной функции. Замечание. Указанные выше формулы C) и E) имеют место при интегрировании по любому промежутку длины 2те. Вообще, если функция f(x), определенная при всех вещественных значениях х, имеет некоторый период а, т. е. f(x-\-a)=f(x) при всяком дг, то интеграл от f(x) по любому промежутку длины а имеет определен- определенное значение, не зависящее от начала этого промежутка, т. е. вели- величина интеграла с + а \ f(x)dx с не зависит от с. Действительно, число с мы можем представить в виде с = та-\-Н} где т — целое и h принадлежит промежутку @, а): с-\-а {m + \)a-\-h {m~\-\)a {m-\-\)a-\-h \ f(x)dx= \ f{x)dx= \ f(x)dx+ \ f(x)dx. с ma-\-h ma + h (m-{-i)a
440 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ Г155 В первом интеграле введем новую переменную интегрирования tlz=:x — та, а во втором t2 = x— (т-\-\)а\ с-\-а a h \ f(x)dx = \f(ti + ma)dtl + \f[t2-\-(m+\)a}dt* с h 0 Принимая во внимание периодичность /(лг) и обозначая переменные интегрирования опять через лг, получим \ откуда и следует независимость интеграла от с. Если /(лг) имеет период 2тс, то мы можем вычислять ее коэффициенты Фурье ак и bk по формулам (9), интегрируя по любому промежутку длины 2тс. 155. Теорема Дирихле. Ряд Фурье функции f(x) будет сходиться и его сумма будет равна f(x), если только сделать некоторые огра- ограничительные предположения относительно' функции f(x). Мы пред- предположим, во-первых, что функция /(лг), заданная в промежутке (—тс, тс), или непрерывна, или имеет внутри этого промежутка лишь конечное число точек разрыва непрерывности. Мы предположим далее, что все эти точки разрыва непрерывности обладают следующим свойством: если х = с есть точка разрыва непрерывности /(лг), то существуют конечные пределы f(x) при стремлении х к с: как справа (от ббльших значений), так и слева (от меньших значений). Эти пре- пределы обычно обозначают /(? + 0) и f(c — 0) [I, 32]. Такие точки разрыва непрерывности обычно называют точками разрыва первого рода. Предположим, наконец, что весь промежуток (— тс, тс) можно разбить на конечное число частей таких, что в каждой части./(лг) меняется монотонно. Указанные выше условия называются обычно условиями Дирихле, т. е. говорят, что функция удовлетворяет условиям Дирихле в промежутке (— тс, тс), если она или непре- непрерывна в этом промежутке, или имеет конечное число разрывов первого рода, и если, кроме того, промежуток (— тс, тс) можно разбить на конечное число таких промежутков, в каждом из которых /(лг) меняется монотонно. Заметим, далее, что на конце д: = — тс нам важен лишь тот предел, к которому стремится /(лг) при стремлении х к (—тс) справа, а потому вместо /(—тс) мы будем писать /(—тс -]— 0) и точно так же вместо/(тс) будем писать/(тс — 0). Отметим, что пределы эти могут быть различными, но сумма ряда A) должна быть, конечно, одинаковой при х = — тс и лг = тс, в силу периодичности функций D). Одной из основых теорем теории рядов Фурье является следующая: Теорема Дирихле. Если /(лг), заданная в промежутке (—тс, тс), удовлетворяет в этом промежутке условиям Дирихле,
155J § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 441 то ряд Фурье этой функции сходится во всем промежутке (— тс, тс) и сумма этого ряда: 1) равна /(х) во всех точках непрерывности /(х), лежащих внутри промежутка; 2) равна 2 во всех точках разрыва непрерывности; 3) равна 2 на концах промежутка, т. е. я/ш х = — тс и х = 4- тт. Доказательство этой теоремы будет дано в конце настоящей главы. Сделаем некоторые замечания по поводу формулированной тео- теоремы. Члены ряда A) суть периодические функции с периодом 2тс. Поэтому, если ряд сходится в промежутке (—тс, тс), то он схо- сходится и при всех вещественных значениях х, и сумма ряда пе- периодически повторяет, с периодом 2тс, те значения, которые она давала в промежутке (— тс, тс). Таким образом, если мы поль- Рис. 110. зуемся рядом Фурье вне про- промежутка (—тс, тс), то мы должны считать, что функция f(x) продолжена вовне этого промежутка периодически с периодом 2тс. С этой точки зрения концы промежутка х = ±тс явятся для продол- продолженной таким образом функции точками разрыва непрерывности, если /(-тс + 0)^/(тс-0). На рис. 110 изображена функция, непрерывная в промежутке (— тс, тс), которая при периодическом продолжении дает разрывы непрерыв- непрерывности в силу несовпадения значений f(x) на концах промежутка. При вычислении коэффициентов Фурье часто бывает полезно пользоваться следующей леммой: Лемма. Если f{x) есть четная функция в промежутке {—а, а), т. е. /(—х) = /(х), то \ f(x)dx = 2\f{x)dx, -а и и если f(x) —нечетная функция, т. е. /(-— х) = — /(х), то \ f(x)dx = 0. — а Доказательство этой леммы было дано в [1, 99].
442 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ [158 156. Примеры. 1. Разложим /(л-) = л" в ряд Фурье в промежутке (—я,я). Произведения a'cos ftA* суть нечетные функции от х} а потому в силу формул (9) все коэффициенты ak равны нулю. С другой стороны, произведения х sin kx суть четные функции, и коэффициенты bk можно вычислять по формуле Т. 1С и 2 Г . . . 2 [ atcos&a: *=« . \ Г \ 2(—I)* Ьъ = — \ a: sin ftA* */а* = — \ г— + -т- 1 cos ftA" tfа: > = ——j-^— . л тс J тс I ft лг-0 ft J J ft о о На рис. 111 график ряда Фурье изображен жирной линией, и из этого чертежа видно, что' в точках аг = ±;7с мы имеем разрыв непрерывности, причем среднее арифметическое пределов слева и справа равно очевидно нулю. Таким образом теорема Дирихле дает в рассмат- А Ао\/\ А А риваемом случае: sin х sin 2x Рис. 111. х при — т: < а: < я, О при х = ± я. A0) 2. То же для функции а*2. В данном случае произведения л:2 sin /ja: суть нечетные функции и все коэффициенты Ъь равны нулю. Вычисляем ak\ it лг = те or» 2 a:8 aQ = ~ \x*dx=-Y х = 0 2 С 8 L . 2 Га:2sin t = — I A*2 COS ftA" dX = — \ r- d 4 ft J — -v- 1 COS ftA" dX r- \ л: sin ftA" dx \ ¦ ... «ji / Из рис. 112 видно, что в данном случае график ряда Фурье не имеет л'-4л -2л -Л О Л Вл ЗЛ 5Л Рис. 112. нигде разрывов, и сумма ряда равна л-2 во всем промежутке (—тс, я), вклю- включая концы: 0 ^ = ir- cos
156] § 14. ГАРМОНИЧРХКИЙ АНАЛИЗ 443 Полагая лг = 0, получим 1++ +A>ft-li+ ? <12> Если положим 1 1 1 l+__+_ + __ + #§e =a, ,.1,1,1, то имеем, очевидно, a = a +1 + 1 + 1+ =a + и равенство A2) дает 1 l I l l _L - l т. e. ,.1.1. _1_ | J_ , , 1 . тс^ 9 Т-25" ••' "t"B/z+lJ"t" •••""" 8 ' 3. Разложить в ряд Фурье функцию :t при — тс < л: < О, с2 при 0 < л: < тс. Мы имеем здесь —те О 1 (** 1 Г Г С 1 = — 1 /(x)cos Ал-^х=— \ схcos Лх с?л- + \ c2coskxdx\ = 0f — те —те О + те 0 те 1С 1 Г С Г I — — \ /(л:) sin kx dx = — \ ^ sin Лл: е/л: + V с2 sin kx dx\-
444 гл. vi. ряды фурьв [\$7 т. е. #? = 0 при четном k и теореме Дирихле (рис. 113): т. е. #? = 0 при четном k и bk = *^ при нечетном k, а потому по I с2 при 0 < л: < те, Cl + c2 л О5) *Т 0 ct при — те < х < 0, при 0 < л: < те, при л: = 0 и ±те. Рис. ИЗ. 157. Разложение в промежутке @, л). В предыдущих примерах мы упрощали вычисления коэффициентов Фурье, пользуясь четностью или нечетностью разлагаемой функции f(x). Вообще, применяя лемму из [155] к интегралам (9), определяющим коэффициенты Фурье, мы получаем 1С ак = -?- С f(x) cos kx dx, bk = 0, A6) если f{x) есть функция четная, и A7) о если f(x) — функция нечетная. Самое же разложение функции будет вида 00 |+ У akcoskx, A8) если f(x) — четная, и 2** sin А*, A9) если f{x) — нечетная функция. Пусть теперь нам дана произвольная функция f(x), определенная в промежутке @, те). Эту функцию можно разложить в промежутке (О, тс) как в ряд вида A8), содержащий только косинусы, так и в ряд вида A9), содержащий только синусы. При этом в первом случае коэффициенты вычисляются по формулам A6), а во втором — по A7). Оба эти ряда внутри промежутка @, ic) будут иметь суммой функ-
157| § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 446 цию f(x) или среднее арифметическое в точках разрыва. Но вне промежутка @, те) они будут представлять совершенно различные функции: ряд по косинусам даст функцию, получающуюся из f(x) четным продолжением в соседний промежуток (— те, 0), а затем пе- периодическим продолжением с периодом 2те вне промежутка (— те, те). Ряд по синусам дает функцию, получающуюся нечетным продолже- продолжением функции f(x) в соседний промежуток (—те, 0) и затем перио- периодическим продолжением с периодом 2те вне промежутка (—те, к). Таким образом, при раз- разложении по косинусам а при разложении по сину- синусам Рис. 114. X 0 п Ряд по cos /( + 0) /(*-0) Ряд по sin 0 0 -Зк Рис. 115. Соответственно этому в концах промежутков мы получим указан- указанные в таблице значения рядов A8) и A9). На рис. 114 и 115 указаны графики функций, выражаемых ря- рядами A8) и A9), составленными для одной и той же функции f\x) в промежутке @, те). Примеры. 1. В примерах 1 и 2 [156] мы получили ряды для функции х по синусам и для функции х2 по косинусам в промежутке @, тг). Разлагая функцию х в ряд по косинусам в промежутке @, я), мы получим х = ~ akcos Ьх* ао = — Отсюда \ х dx = 0 = -^2[{— 1)*—1] = J 4 ЯЛ I ?-5 I nk2 при четном k, при нечетном k. -2 *\ I cos х cos За: cos Bk + \)x B0) @ < x < я).
446 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ П57 В промежутке (— тс, 0) сумма ряда, стоящего в правой части, будет совпа- совпадать с (—л), т. е. во всем промежутке (—тс, тс) она совпадает с абсолютным значением | л* |: 4 cos Зл: , cos 5л: B1) а затем вне промежутка (—тс, тс) сумма ряда дает функцию, которая Yk -4л -Зл -2л -л О Рис. 116. получается периодическим повторением \х\ из промежутка (—щп) (рис. 116). Разлагая функцию х2 по синусам в промежутке @, я), мы получаем _ 2 f 2 ' sin x sin 2x . sin . sin Злт 1 8 Г +—з —J"tl 8 Г sin л: , sin Зл: . sin Ъх . sin 5л: . 1 в промежутке 0<.х<к (рис. 117). Рис. 117. Предоставляем читателю доказать, что мы можем переставить члены ряда Фурье так, как мы это сделали выше.
157] § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 447 2. Функции cos zx есть четная функция от х, а потому она может быть разложена в промежутке (—я, я) по косинусам: 2 я Мы имеем cos zx = -?• + 7 аь cos kx\ аи = — \ cos г* cos fc v с?л:. ^ Ami я n 2 С* , 2 sin zx\x = n 2 sin aQ = — \ cos 2* ax = 0 Я J Я \ cos 2* a Я J Я 2 |x = 0 Я2 я я 2 Г 1 f = — V cos zx cos kx dx= — \ [cos B + k) x + cos B — k) x] dx Я #) Я J 0 0 1 Г sin B +/г) л: .sin B — &) д;~[^ = я ^ 1 Tsin (я2 + ^зх) sin (яг —^яI я [ г + /г z — k J* = o ~" n [ z + k г — /г j Стало быть, в промежутке — 2г sin nz Г 1 cos zx - in nz Г 1 , cos x . cos 2a; cos 3a: 1 rt L222 12_22 22 —22 + 32 — 22 "" ' ' 'J # Полагая х = 0 и а:=я, приходим к следующим двум формулам: in яг "" я L 222 ^ Za k*-z* J' l ; Sin ; Формулы эти называются формулами разложения —. и ctg яг на про- Sin Я2 стейшие дроби. Дифференцируя B2:) по г, разделив на я и изменив знак, получим разложение оо 1 - 1 Г1 12 sin2 nz я2 I.*2 sin2 nz я2 |_z2 JLd (№ — z*? или, замечая, что (/г2-г2J B + /гJ ' (г-/ получим -у- «^ -1? 2 nhf- <»>
448 гл. vi. ряды фурье |ш Формула B2Л приводит к замечательному разложению функции cXgz в степенной ряо. Умножив обе ее части на -кг и заменив nz на zt т. е. * на Т' Но 2z8 мы получим 2z* 2 Ctg 2 = 1 00 VI 2z ? k2n2 — z2 к ^* 1 / -2 \ k2n2 Подставив это в предыдущую формулу и располагая по степеням z2, имеем 00 00 ОО zctgz=z\ — 2-5 7 Ti — 2-1 7 тт — ... — 2-57Г > г^ — ... & п2 iJ /г2 п4^! А4 тс2Л ^j Л2Л Заменив г на -к-, получим Обозначим коэффициент при >z2n через л>-\т: /г= 1 Первые числа Вп нетрудно определить, непосредственно разлагая в ряд sin тг- z z z 2 -тгс*2"о—хотя бы как частное ряда cos -~- наряд [I, 130]: 2, Z Z z Т R X R l R l R X R 5 и непосредственно ясно, что числа Вп рациональны. Они называются числами Бернулли. С другой стороны, зная их значение, мы можем определить суммы рядов ОО 2 1 2-BпI
158] § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 449 Иногда вместо чисел Бернулли рассматривают числа Эйлера, определяе- определяемые по формулам: =0(/е = 1, 2, 3, ...). B5) Если мы в равенстве B4) заменим г на -у-, то, так как 1 ctg 21Ctg окажется t 2i t ~2i * cos sin t 2i t 21 t 2 t e2 + eT- e e t 2 / 2 t 1 * 1 2' Числа Бернулли и Эйлера встречаются часто в самых разнообразных отделах анализа. 158. Периодические функции периода 2/. Часто бывает нужно разлагать в тригонометрический ряд по косинусам и синусам функ- функцию f(x), определяемую не в промежутке (—тс, тс), а в промежутке (— /, /), или же — в ряд только по косинусам или только по синусам функцию, определенную в промежутке @, /). Эта задача приводится к предыдущей с помощью изменения масштаба, т. е. введения вместо х вспомогательной переменной 6 по формуле *=Д, * = =?. B6) Положим Если функция f(x) была определена в промежутке (—/, Г), то функ- функция ср (?) будет определена в промежутке (— тс, тс) переменной 5. Разлагая функцию <p(S) в ряд Фурье, получаем
450 где, в силу B6): * те гл. vi. ряды фурье +ТС [158 $ + 1 J B7) Таким образом теорема Дирихле остается верной и для про* межутка (— /, /) с тем, однако, что разложение F) заменяется разложением B8) причем коэффициенты ak и #Л определяются по формулам B7). То же относится и к разложениям функции f(x), определенной в промежутке @, /), только по косинусам или только по синусам; для функции f(x) получаются ряды cos Ых 2 f г, ч Ых "» ^ = 7 \ f^ cos T" О B9) 2** «in*?, *ft= ftl C0) Пример. Разложить по синусам функцию/(л:), определенную равенством / /(*) = Мы имеем в данном случае sin у при при y < х < /. ¦ ; = — у sm -у sin —г- dx9
159) § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 451 так как в промежутке [-^-, Л подынтегральная функция обращается в 0. Простое вычисление, которое мы предоставляем сделать читателю, дает 0 при нечетном k > 1, bh = { /\\^2k при четном k «<*•-!) так что / sin ~ при 0<х<~, у при ^==у, О при х = 0 или /. Промежуток (—/, /) может быть заменен любым промежутком (с, с+ 21) длины 2/, как это мы уже упоминали для промежутка длины 2тс. При этом сумма ряда B8) дает f(x) в промежутке (с; с + 21), и при вычислении коэф- коэффициентов по формулам B7) промежуток интегрирования (—/, /) надо заменить промежутком (с, с+ 21). 169. Средняя квадратичная погрешность. Укажем теперь другой подход к теории рядов Фурье. Пусть, как и выше, f(x) — заданная функция в промежутке (—тс, тс). Составим линейную комбинацию первых Bл -j- 1) функций семейства D): cos kx +- Ьи sin cos Алг + р, sin где а0, <*!, рх, ... , ал, рд — некоторые численные коэффициенты. Написанное выражение называется обычно тригонометрическим полиномом n-го порядка. Рассмотрим погрешность, которая полу- получится, если заменить f(x) суммой C2), т. е. рассмотрим разность п kx)). Наибольшим уклонением Ал суммы C2) от функции f(x) в про- промежутке (—те, тс) мы назовем наибольшее значение |ДД(#)| в этом промежутке: чем меньше будет Ал, тем точнее тригонометрический полином /2-го порядка C2) представляет функцию f(x). Однако величину Ал неудобно принять за меру приближения, и не только потому, что исследование этой величины затруднительно, но и потому, что при решении вопросов о приближенном представлении функции часто более важно добиться уменьшения погрешности в «среднем»
452 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ П59 или «вероятной» погрешности, чем уменьшения «наибольшего укло- уклонения». На рис. 118 изображены различные приближенные кривые (пунктирные) для данной функции f(x) (сплошная). Наибольшее уклонение кри- кривой (/) меньше, чем кривой B), но в общем кривая (/) гораздо больше отли- отличается от истинной, чем кривая B); сколь- сколько-нибудь значительные уклонения этой последней встречаются в промежутке (—тс, тс) гораздо реже, чем уклонения кривой (/). При применении способа наименьших квадратов для обработки наблюдений за меру точности наблюдений принимается «средняя квадратичная погрешность», ко- которая определяется следующим образом: пусть при измерении вели- величины z получены значения: (*) Рис. 118. погрешность каждого измерения есть г — гк (*=1, 2, ..., N); средняя же квадратичная погрешность Ьп определяется по формуле т. е. 8Л есть корень квадратный из среднего арифметического квадратов погрешностей. Именно эту среднюю квадратичную погрешность мы и примем за меру степени приближения суммы C2) к нашей функции f(x). Здесь только нужно помнить, что мы имеем дело не с конечным числом значений, а с бесчисленным множеством их, и притом распре- распределенных непрерывно по всему промежутку (—тс, тс). Таким образом каждая отдельная погрешность будет не что иное, как Дл(л0, И сред- средняя арифметическая их квадратов будет а средняя квадратичная погрешность Ьп выражения C2) найдется из формулы 1 + I cos sin кх)}% **• C3)
159] § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 453 Нам остается теперь подобрать постоянные а0, а1э $lt ... , а„, $л так, чтобы величина Ъ*п была наименьшей, т. е. решить обыкновенную задачу на минимум функции 8J от Bл-|-1) переменных. Прежде всего упростим выражение C3) для 8„. Произведя воз- возвышение в квадрат, мы находим - -J - J D cos kx + pft sin kx) }2 = = I/(*)F - *<>/(*) - 2 2 (a* cos ** + P* sin ^ ^ W + T + 2 (^ С0§2 kX + № Si /?= 1 где оп означает линейную комбинацию выражений вида: cos lx cos mx, sin Ix sin mx (l Ф m) cos Ix sin В силу свойства ортогональности тригонометрических функций [154], интеграл от всех этих выражений по промежутку (—тс, тс) равен нулю, а следовательно, будет равен нулю и интеграл от ап по этому промежутку. Интегралы от cos2&xr и sin2&x;, как известно, равны тс, и, подставляя выражение C4) в формулу C3), получим — тс — 1 У Гал ^ /(л:) cos Ьг ^лг -f pA { f(x) sin Принимая во внимание выражения (9) для коэффициентов Фурье функции /(х), можем переписать выражение 8Д в следующем виде:
454 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ 1159 или, вычитая и прибавляя сумму можем написать — п k=\ п т 2[(а* - а*L+(р* - **J]- C5) наименьшее значение Ь% будет, очевидно, в том случае, когда два последних неотрицательных слагаемых в правой части обратятся в нуль, т. е. это будет иметь место, если положить ао = ао и вообще ak = ak и $k = bk(k=l9 2, ...). Итак, средняя квадра- квадратичная погрешность приближенного выражения функции f(x) посредством тригонометрического полинома п-то порядка будет наименьшей, если коэффициенты полинома суть коэффициенты Фурье функции f(x). Отметим при этом одно важное обстоятельство. Из полученного результата следует, что значения ak и рЛ, которые обращают в мини- минимум 8л, не зависят от значка п. Если мы увеличим п} то нам надо будет добавить новые коэффициенты ak и рЛ, но уже вычисленные коэффициенты останутся прежними. Величину вп наименьшей погрешности мы получим по формуле C5), заменив там аЛ и fyk соответственно на ak и bk) что дает Л=1 ИЛИ е„2 = ~ \ ). C7) При возрастании п, т. е. порядка тригонометрического полинома, в правой части C7) будут добавляться новые отрицательные (или, во всяком случае, не положительные) слагаемые: — aj+ь — *л+ь ...» и таким образом погрешность гп может только уменьшаться при увеличении п, т. е. точность приближения увеличивается (не уменьшается) при возрастании п. Величина е^ выражается формулой C3), если в ней заменить ал, рд на ak, bk, т. е. выражается интегралом от квадрата некото-
159| § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 455 рой функций, а потому г% наверно положительна или, точнее говоря, не отрицательна. Принимая это во внимание, получим, в силу C7), п -И Пока мы явно не высказывали никаких предположений относительно свойств /(х). Для предыдущих рассуждений необходимо, чтобы существовали все те интегралы, которыми мы пользовались, т. е. чтобы можно было вычислять коэффициенты Фурье по формулам (9) и чтобы существовал интеграл от квадрата функции. Для опреде- определенности будем считать, что f(x) непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода. При этом все упомянутые интегралы наверно имеют смысл [I, 116]. Можно сделать относительно f(x) и гораздо более общие предположения, и во всяком случае во всех предыдущих и дальнейших рассуждениях не играют роли предполо- предположения, которые фигурировали в условиях Дирихле. Вернемся к не- неравенству C8). При увеличении п сумма положительных слагаемых, стоящая в левой части, будет увеличиваться (не уменьшаться), но при этом будет оставаться меньше определенного положительного числа, стоящего в правой части неравенства. Отсюда непосредственна вытекает, что бесконечный ряд будет рядом сходящимся [I, 120]. Устремляя п к бесконечности я переходя в неравенстве C8) к пределу, получим: Принимая во внимание, что общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю при беспредельном удалении от начала, мы можем высказать следующую теорему: Теорема. При сделанных предположениях относительно f(x) ее коэффициенты Фурье ak и bk стремятся к нулю при А—*-{-оо. При нишей новой точке зрения основным является следующий вопрос: будет ли погрешность гп стремиться к нулю при бес* предельном возрастании п. Если в правой части формулы C7) мы перейдем к пределу при беспредельном увеличении я, то вместо ко* П 00 нечной суммы ^ получим бесконечный ряд ^], т. е. Я 00 litn 2.Д = -М 1Д*)]« dx -1 - У D + Ь\\
456 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ [160 откуда вытекает, что стремление к нулю гп равносильно тому, что в формуле C9) мы имеем знак равенства, т. е. -\-П 00 Уравнение это обычно называется уравнением замкнутости. В сле- следующем параграфе настоящей главы мы докажем, что еЛ—*0, т.е. что уравнение D0) действительно имеет место для всех функций f(x) с указанными выше свойствами. 160. Общие ортогональные системы функций. Большинство проведенных рассуждений настоящей главы основывалось не на кон- конкретных свойствах тригонометрических функций, но лишь на свой- свойстве ортогональности функций семейства D). Поэтому эти рассу- рассуждения применимы для любого семейства ортогональных функций. Такие семейства, как мы увидим, часто встречаются в задачах мате- математической физики. Пусть у нас имеется семейство вещественных функций в промежутке а ^ х ^ Ь, для определенности будем считать эти функции непрерывными: Мы предполагаем, что ни одна из этих функций не равна тождест- тождественно нулю. Говорят, что функции семейства D1) ортогональны, если ь $ ?т С*) <Ря («*)<** = О ПРИ ГПфП. D2) а " Интеграл от квадрата каждой функции семейства D1) будет равняться некоторой положительной постоянной. Введем следующие обозначе- обозначения для этих постоянных: kn = \[<?n(x)?dx. D3) а Если к каждой функции уп(х) семейства D1) добавим численный множитель , то новые функции УК у kn в силу D2) и D3), будут удовлетворять не только условиям ортого- ортогональности, но и интеграл от квадрата каждой функции будет равен единице, т. е. [ О ПРИ тфПу при т = п. а \\
160} § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 467 При этом систему называют обычно ортонормированной. Пусть f(x)— функция непрерывная или с конечным числом раз- разрывов первого рода на промежутке а^х^Ь. Числа ь D6) называются обобщенными коэффициентами Фурье или просто коэф- коэффициентами Фурье функции f(x) относительно ортонормированной системы D5), а ряд f] ck$k(x) D6,) рядом Фурье функции f(x). Без дополнительных предположений относительно f(x) и функций системы D5) ничего нельзя утверждать о сходимости этого ряда или о его сумме, если он сходится. Напишем выражение для средней квадратичной погрешности при представлении заданной функции f(x) конечной суммой вида Квадрат ее выражается в виде J а /г —I Мы не пишем множителя ф — а)~1 перед знаком интеграла. Принимая во внимание D4) и D5), получим, как и в [159]: K = \[f(x)]4x- 2 4+ S (Xk-ck)\ откуда непосредственно следует, что 8„ имеет наименьшее значение, которое мы обозначим е?, при ^kz=ck\ 2 $ k=\ a Отсюда, как и выше, следует неравенство D8)
458 гл. vi. ряды фурье пво которое называется обычно неравенством Бесселя. Основным является вопрос, будет ли еЛ стремиться к нулю при п~ со, причем стремле- стремление гп к нулю равносильно тому, что в D8) мы имеем знак равен- равенства, т. е. \v(x)?dx=2kcl D9) a k=\ Уравнение это называется уравнением замкнутости для f(x) no отношению к системе функций D5). Эта система называется зам- замкнутой, если уравнение D9) справедливо для любой непрерывной функции f(x) и для любой функции с конечным числом разрывов первого рода. Заметим, что если это так, то можно доказать, что уравнение D9) справедливо и для гораздо более широкого класса функций. Доказательство уравнения замкнутости для разнообразных систем ортогональных функций было дано в работах В. А. Стеклова. В этих же работах было выяснено важное значение уравнения замкнутости в теории ортогональных систем. Доказательство уравнения замкну- замкнутости для тригонометрических рядов впервые было дано А. М.Ляпу- М.Ляпуновым. Вернемся к семейству функций 1 cos х, sin xt cos 2x, sin 2x,.. o cos nx> sin nx>... Эти функции обладают свойством ортогональности на промежутке (—те, те), но они не нормированы, т. е. интегралы от квадратов их не равны единице. Из вышеизложенных вычислений [154] следует, что в данном случае ортонормированным будет семейство функций 11 1 1 1 L , РЛС V* ______ С1П \^ рлс ft у» _____ cln ti V ' j- —— | /**"~ ^v/J> «<V, _T oil! -Л', • « »y ___Г V^Uo /t-.Л', __JT O11J fl>«V, « « « Положим, что ортонормированная система D5) замкнута, и пока- покажем, что при этом не существует непрерывной функции (кроме рав- равной тождественно нулю), которая была бы ортогональна по всем функциям семейства D5). Действительно, пусть f(x)—такая функ- функция: т. е. все коэффициенты Фурье ck функции f(x) равны нулю. При этом из уравнения замкнутости D9) следует, что
160] § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 459 и из этого равенства, поскольку f(x) предположена непрерывной, следует, что /(л;) = 0. Обратное утверждение не имеет места, т. е. из того факта, что нет непрерывной функции (кроме тождественного нуля), ортогональной ко всем функциям системы D5), не следует, что эта система замкнута. Мы рассмотрим еще этот вопрос в сле- следующем параграфе, когда будем излагать теорию ортонормированных систем для измеримых функций с использованием интеграла Лебега. Вернемся к замкнутой ортонормированной системе D5), и пусть f{x) и g(x)— функции непрерывные или с конечным числом раз- разрывов первого рода на (а, Ь). Через ck и dk обозначим коэффициенты Фурье этих функций. Для их суммы f(x)-\-g(x) коэффициенты Фурье равны ck-\-dk: ь ь ь \ [fix) + g{x)\ фл (x) dx= \ f{x) фл (x) dx + \ g(x) ф* (x) dx = ck+dk. a a a Мы можем написать три уравнения замкнутости }'dx=f1 4, \ [g{x)f dx^Z d%, k = 1 a k = 1 a k = \ Раскрывая в последней формуле скобки и принимая во внимание две первые формулы, получим \f(x)g(x)dx= 2 ckdk. E0) а к = I Из очевидного неравенства непосредственно следует абсолютная сходимость ряда, входящего в формулу E0). Формула E0) называется обобщенным уравнением замкнутости. Если g(x)=f(x), то dk = ck (k=lt 2, ...), и фор- формула E0) переходит в формулу D9). Укажем одно интересное след- следствие формулы E0). Положим, что (а, C) есть какая-либо часть про- промежутка (а, Ь) или весь этот промежуток, и определим функцию g(x) следующим образом: g(x)=l при а^лт^р и ^(лг) = О во всех других точках промежутка (а, Ь). При этом имеем ь э dk = \g(x)%(х) dx = \%(x)dx, а а и формула E0) дает 2 \ E1)
460 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ [160 Как мы уже упоминали, без дополнительных сведений о системе функций D5) и функции f(x) ничего нельзя сказать о сходимости ряда Фурье Dбх) функции f(x) и его сумме, если он сходится. Предыду- Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме: Теорема 1. Если ортонормированная система D5) замкнута, то ряд Фурье любой непрерывной функции f(x) или функции с конечным числом разрывов первого рода на (а, Ь)у почленно про- проинтегрированной по любому промежутку (а, C), содержащемуся в (а, Ь), сходится и его сумма равна интегралу от f(x) no («. Р)- Докажем еще следующую теорему: Теорема 2. Если ортонормированная система D5) замкнута и если ряд Фурье функции /(лг), непрерывной на промежутке а^:х^.Ь, равномерно сходится на этом промежутке, то его сумма равна f(x). Пусть ck — коэффициенты Фурье f(x). По условию, ряд D6^ равномерно сходится при а^х^.Ь, и его сумма о)(лг) есть тем са- самым непрерывная функция на этом промежутке: 00 Нам надо доказать, что f(x) — о>(л;) = 0. Умножим обе части по- последнего равенства на tyn(x) и проинтегрируем их по промежутку (а, Ь). В силу равномерной сходимости мы можем интегрировать ряд почленно: \ f и из формул D4) следует т. е. числа сп являются коэффициентами Фурье не только f(x), но й <о(х). Таким образом, все коэффициенты Фурье непрерывной функ- функции f(x) — <й(х) равны нулю, и, в силу замкнутости системы, можно утверждать, как мы показали выше, что f(x) — со(л;) = 0. Изложенная теория без изменения переносится на случай системы функций многих переменных, ортонормированных в какой-либо ко- конечной области плоскости, трехмерного или вообще я-мерного про- пространства. Сказанное выше обобщается легко и на случай комплекс- комплексных функций <!>! (х) -f- /<03 (х), где (Oj (x) и щ (х) — вещественные функ- функции. В дальнейшем через а мы будем обозначать величину, комплексно- сопряженную а. Система комплексных функций .. E2)
161} § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 461 называется ортонормированной, если 0 при k ф /, коэффициенты Фурье функции f(x) определяются формулой ь а Формула D7), неравенство Бесселя D8), уравнение замкнутости D9) и обобщенное уравнение замкнутости имеют вид b n b n ' 2 с$п С*) ? dx = $ | /(х) |2 dx — 2 I ck |2, E5) oo b S I**!'«?$ 1^C*)!'**» E6) 6 CO a k — I 161. Класс 1а. Настоящий и следующий номера являются подго- подготовительными для [163], в котором мы излагаем теорию ортонорми- рованных систем измеримых функций, но результаты их имеют и большой самостоятельный интерес в теории Лебега. Пусть Е— какое-либо измеримое множество на прямой или вообще в я-мерном пространстве и L^(E) — класс вещественных функций/(jc), измеримых на Е и таких, что функция [f(x)f суммируема на Е, т. е. \ [/С*)]2 &х <С "Ь °°# (^®) Е Отметим, что отсюда следует, что f(x) почти везде на Е принимает конечные значения. В дальнейшем вместо L%(E) мы будем писать Z.a и не будем записывать аргумента х у функций. Докажем некоторые теоремы о классе 12- Теорема 1. Если функции f и g^L^ то произведение tg суммируемо на Е. Это следует из очевидного неравенства i Замечание. Если Е — множество конечной меры и f ?j L2, то f суммируемо на Е. Это следует из предыдущего неравенства при #=1.
ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ Г162 Теорема 2. Если f и g(^Lbmouфункцииcf и /+ g?L* где с — постоянная. Утверждение относительно cf очевидно, а для f-\-g следует из +g?P + 2fg+g\ теоремы 1 и [108, 111]. Теорема 3. Если f и g?L%, то имеет место неравенство (\ /К dxf ^ \P dx \ g* dx (Буняковского — Шварца). F0) Е ЕЕ Если функция / или g эквивалентна нулю, то левая и правая части F0) равны нулю. Будем считать, что / и g не эквивалентны нулю на Е. Заметим прежде всего, что если в квадратном трехчлене аР-\-2Ы-\-с коэффициенты вещественны и а^>0, то из формулы at* -f 2bt + с = 1 [(at + bf + (ас — b*)] следует, что если указанный трехчлен при всех вещественных t имеет неотрицательные значения, то Ь*^ас. Из очевидной формулы Е Е Е Е и того факта, что правая часть последней формулы при всех t не- неотрицательна, и следует F0). Отметим, что коэффициент при Р по- положителен, так как функция f(x) не эквивалентна нулю на Е, Нера- Неравенство F0) справедливо, очевидно, и для интегралов Римана. Теорема 4. Если f и g^Lb то имеет место неравенство E \ dx< Y\Pdx +У \g*dx. F1) E Е Из F0) следует Умножим обе части на 2 и добавим к обоим частям полученного неравенства интегралы от /2 и g2. Это приведет нас к неравенству 5 а+gf dx < \У1г&+У\№ v> E IE Ъ J из которого непосредственно следует F1). 162. Сходимость в среднем. Введем в классе ?2 сходимость в среднем. Определение. Говорят, что последовательность функций fn(x) (n=\> 2, ...) из ?2 сходится в среднем к f(x) из Z,2 uM просто сходится в Z,2 K функции f(x), если "m \(f-fn?dx = 0. F2)
1621 § 14. ГАРМОНИЧЕСКИП АНАЛИЗ 463 Мы будем записывать это кратко так: Если под знаком интеграла мы заменим f(x) эквивалентной функ- функцией, то интеграл не изменится, т. е. если fn(x) сходятся в [2к f(x\ то они сходятся и ко всякой функции, эквивалентной f(x). В даль- дальнейшем мы будем отождествлять эквивалентные функции, т. е. класс эквивалентных функций из Ц будем считать за одну функцию. До- Докажем единственность предела в 12 при такой точке зрения. Теорема 5. Если fn^>f и fn^>gy то fug эквивалентны. Применим к правой части очевидного равенства f~g=(f-fn)-\-(fn-g) формулу F1): BEE При п -> сю правая часть стремится к нулю, а левая не зависит от п, и потому откуда следует, что функция /—g эквивалентна нулю на Еу т. е. / и g эквивалентны. Установим необходимое и достаточное условие того, что последовательность функций из 12 имеет предел в Z.2. Это условие аналогично условию Коши существования предела для число- числовой последовательности. Предварительно введем определение. Определение. Говорят, что последовательность функций /п из L% сходится в себе в ?2, если для любого заданного е^>0 существует такое N, что \{fn — fm)*dx<>*% "P« num^N. F3) Е Теорема 6. Для того чтобы последовательность fn(x) из 12 сходилась в L2 к некоторой функции f(x) из Lb необходимо, чтобы последовательность fn(x) сходилась в себе в L* Дано, что /„ сходится в [2к некоторой функции /. Применяя к правой части очевидной формулы неравенство F1), получим VV\fmfdx. F4) При заданном е^>0, »в силу сходимости последовательности fnt су- существует такое N, что при п и m^N интегралы, стоящие под
464 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ N62 ?8 радикалами в правой части неравенства ^-р, и F3) получается непосредственно из F4). Большое принципиальное значение имеет обратная теорема, которую мы докажем в том случае, когда мера Е конечна. Она может быть затем распространена и на случай множества Е бесконечной меры. Теорема 7. Для того чтобы последовательность fn из ?2 на множестве Е конечной меры сходилась к некоторой функции из Lb достаточно, чтобы последовательность fn сходилась в себе в L2. Дано, что /д сходится в себе, и отсюда следует, что существует бесконечная возрастающая последовательность целых положительных чисел щ<^щ<^пг<^... такая, что (k=l, 2, ...). F5) Применяя неравенство F0) при f=\fnk —/ | и g=l, получим Е или, в силу F5), откуда следует сходимость ряда и, в силу теоремы из [109], ряд 00 2j \fnk + \— fnk\ k = 1 сходится почти везде на Е. Тем более почти везде сходится ряд оо сумма первых р членов которого равна /я (х), т. е. почти везде на Е последовательность функций р Itltf Tiltf 'tltf * • • стремится к некоторой предельной функции f(x), имеющей почти везде на Е конечные значения. Покажем, что f^L2 и что /Л?>А В силу сходимости последовательности /я в себе для любого задан-
1631 § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 465 ного е^>0 существует такое N, что 5 ifnk ~ fnf dx^е2 при nk и n^N. При &-*оо, в силу теоремы из [109], получим J при n^N, F6) Е откуда следует, что /—/п?Ц. Но и fn^Lb а потому, в силу теоремы из [161], f (~ L%. Неравенство F6) показывает, наконец, что/я=>/. Из двух последних теорем следует, что сходимость в себе в Ц является необходимым и достаточным условием того, что последовательность сходится в L% к некоторой функции. Теорема 8. Если fn и gn^U и /л=>/, gn^>g> то lim \fngndx = \fgdx. F7) Вводя для любых двух функций 9 и Ф из ?2 обозначение можем записать неравенство F0) в виде (?. Ф Положим По условию, (срл, 9rt)-^0 и (ф„, фл)->0 при я->оо. Составим раз- разность = —(/» Фя) —(Тя» в)" (Тт откуда, применяя F8), получим При п -> со правая часть стремится к нулю, откуда | (/, g) — (fn, gn) | -> 0, т- е- (Л» gn)~»(f> g)> чт0 совпадает с F7). 163. Ортонормированные системы в L2. Теория ортонормиро- ванных систем в Z,a получает законченную форму. Первоначальные понятия и формулы те же, что и в [160]. Все функции считаются
466 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ ПвЗ вещественными. Пусть имеется ортонормированная система функций из L2: Ы*)> Ы*)> ..- Ы*)> •••> F9> т. е. г , , - ГО при k ф /, Л е \ 1 при k = L Для любой функции / из ?2 можем образовать ее коэффициенты Фурье относительно системы F9) ck=lf%dx G1) Е и ряд Фурье G2> о сходимости которого мы утверждать ничего не можем. Имеем формулу $(/- S в*Ф*)'^=[5/«^- S 4]+ S (afe-^)9- G3) t: k = i ? fc = l fe = l Наименьшее значение это выражение имеет при ak = ck, причем откуда следует неравенство Бесселя S «*<$/*<**• G4) Если имеет место знак равенства, то соответствующая формула называется уравнением замкнутости для функции / относительно ортонормированной системы. Это уравнение равносильно тому, что отрезок ряда Фурье функции стремится в [2к/ при #->оо. Докажем теперь основную в теории ортонормированных систем теорему. Теорема 9(Рисса — Фишера). Если ak—любая заданная последовательность вещественных чисел, квадраты которых
Ш1 § 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 467 образуют сходящийся ряд 2 о, G6) то существует единственная функция из Lb для которой числа ak суть коэффициенты Фурье относительно системы F9) и для которой имеет место уравнение замкнутости. Образуем функции из Z,2: Sn(*)= S arfk(x). G7) В силу ортонормированности системы F9), имеем и из сходимости ряда G6) следует, что правая часть стремится к нулю при р -> со, т. е. последовательность G7) сходится в себе в Ц. В силу теоремы 7 эта последовательность сходится в [2к некоторой функции f(x)\ lini \{f—Snfdx = Oy т. е. lim \(f— J] ak%? dx = 0. G8) Я —> 00 JF? /I —* OO ? fc =ss 1 Пусть cA — коэффициенты Фурье /(лг). Вернемся к формуле G3). Ле- Левая часть стремится к нулю при п -> оо, и разность, стоящая в квад- квадратной скобке в правой части, неотрицательна в силу неравенства Бесселя, откуда следует, что ck = ak {k=\, 2, ...), т. е. ak суть коэффициенты Фурье функции f(x), а из G8) следует, что для этой функции имеет место уравнение замкнутости. Остается доказать, что функция f(x) с указанными выше свойствами единственна. Пусть, кроме f{x\ имеется еще функция g(x) с указанными свойствами. При этом G7) суть отрезки ряда Фурье как для f(x), так и для g(x), и последовательность Sn(x) стремится в Z,2 как к f(x), так и к ^-(дг) и, в силу теоремы 5, f(x) и g(x) эквивалентны. Теорема полностью доказана. Определение. Ортонормированная система F9) называется замкнутой, если для любой функции f(x) из Z,2 имеет место уравнение замкнутости. При доказательстве теоремы 9 мы не предполагали, что система замкнута. Если это имеет место, то в теореме не надо оговаривать, что для f(x) имеет место уравнение замкнутости, т. е. имеет место Теорема 9'. Если система F9) замкнута и ak — любая за- заданная последовательность вещественных чисел, для которой ряд G6) сходится, то существует единственная функция из Lb для которой число ak суть ее коэффициенты Фурье.
468 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ [613 Мы знаем, что, наоборот, для любой функции из f(x) ее коэф- коэффициенты Фурье образуют числовую последовательность ak, для ко- которой ряд G6) сходится. Таким образом, если система F9) замкнута, то существует биоднозначное соответствие между функциями f(x) из 12 и числовыми последовательностями ak, для которых ряд G6) схо- сходится, причем ak суть коэффициенты Фурье f(x) относительно си- системы F9). Введем еще одно Определение. Система F9) называется полной, если в Z,a не существует функции^ отличной от нуля (т. е. не эквивалент* ной нулю) и ортогональной ко всем функциям системы F9). Мы докажем, что понятия замкнутости и полноты равно- равносильны, т. е. из замкнутости вытекает полнота и из полноты — замк- замкнутость. Положим, что система замкнута, и пусть функция od(jc) из Ц ор- ортогональна ко всем функциям системы F9): \u>tykdx = 0, G9) Е т. е. все коэффициенты Фурье и(х) равны нулю. Из уравнения замк- замкнутости G5) получаем откуда следует, что функция м(х) эквивалентна нулю, т. е. система полная. Положим теперь, что система F9) полная, и будем доказывать ее замкнутость от обратного. Пусть имеется функция g(x) из L2 с коэффициентами Фурье ak такая, что для нее уравнение замкнутости не имеет места, т. е. С другой стороны, согласно теореме 9, существует такая функция из f(x) ? Z.2 с теми же коэффициентами Фурье, для которой имеет место уравнение замкнутости \ГОх= 2 4, Е Л= 1 откуда следует, что \gdx>\Pdx. (80) Е Е Но у разности f(x) — g(x) все коэффициенты Фурье равны нулю, т. е. эта разность ортогональна ко всем фЛ (лг), и из полноты следует,
164] § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 469 что f(x) — g(x) эквивалентна нулю, т. е. f(x) эквивалентна g(x)t а потому и /2 (х) эквивалентна g* (х), т. е. интегралы, входящие в (80), должны быть равны. Это противоречие и доказывает замкнутость системы F9). § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 164. Разложение в ряд Фурье. Настоящий параграф мы посвя- посвятим более глубокому и строгому изложению теории рядов Фурье и начнем с изложения доказательства теоремы разложения f(x) в ряд Фурье. При этом мы будем налагать на f(x) условия, отличные от условий Дирихле [155], что приведет к упрощению доказательства. В дальнейшем мы дадим доказательство и теоремы Дирихле. Обратимся к ряду Фурье функции f(x): ak cos kx -f- bk sin где aft = i \ /@ cos Arf <#, ^ = ~ \ f{t) sin « Л, — 1С —7C и переменная интегрирования обозначена нами буквою t, чтобы не путать ее при дальнейших вычислениях с переменной х формулы A). Подставляя выражения ак и bk в формулу A), найдем сумму первых Bя-[-1) членов ряда Фурье функции /(л:), которую мы обозначим через Sn(f): п Sn (/) = у -|" Л (ал cos ^ + bk sin Ajc) = ¦f тс \ k = 1 (cosktcoskx+sinktsinkx)]dt= Но имеет место формула [I, 174] sin("— 2")^+ sin ~2 1 -j- cos f -f- cos 2<p-]-... +cos (/z—l)<p= — 2sin|-
470 гл. vi. ряды фурье rm Заменяя в этой формуле п на (я-f- 1) и вычитая из обеих частей половину, получим 1 2 у -f- COS cp -]- COS 2cp -f-. .. -[- COS Л<р = 2 sin -| откуда sin C2n+\)(t-x) 2 JL, B) Т+ 2 — v y o.t—x л=1 2sm—g— и предыдущее выражение для Sn(f) можно переписать в виде Sn(f)=~ \ /@ т1^ dt. Функцию f(x)y заданную в промежутке (— ic, тс), мы периодически продолжаем с периодом 2т:, так что мы можем считать ее опреде- определенной при всех вещественных хи с периодом 2т:. Дробь, стоящая под знаком интеграла, в силу B), также имеет относительно t пе- период 2тс. Принимая во внимание замечание из [154], мы можем в предыдущем интеграле заменить промежуток интегрирования (— тс, тс) любым промежутком длины 2тс. Берем какое-нибудь значение х независимого переменного и принимаем за промежуток интегрирования (х — тс, #-f-ic): sin B*+!)«-*) 2_х dt. Отметим еще раз, что во всем дальнейшем мы под f(x) разумеем функцию, продолженную указанным выше образом из промежутка (— тс, тс) на все вещественные значения л:. х Разбиваем весь интеграл на два: один ^ и другой J . В пер- х—п х вом вводим вместо t новую переменную интегрирования z по фор- формуле t = x — 2г, а во втором — но формуле t = x-]-2z. Совершая замену переменных под знаком интеграла и вычисляя новые пределы
1641 § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 471 интегрирования, получим S.(f) =\ C) Если мы положим, что f(x) во всем промежутке (— тс, тс) равна единице, то очевидно, что свободный член у ее ряда Фурье будет равен единице, а остальные члены — нулю, т. е. Sn if) при всяком п будет равна единице, и мы имеем следующее равенство }—dz (/i=l, 2, 3...). D) Прежде чем переходить к доказательству основного предложения о разложении функции в ряд Фурье, докажем лемму: Лемма. Если (я, Ь) есть промежуток (—тс, тс) или его часть и ф(г) — функция, непрерывная в (а, Ь) или имеющая в этом промежутке конечное число разрывов первого рода, то интегралы ь ь - V ф(z) cos nzdz и - \ ф(z) sin nzdz a a стремятся к нулю при беспредельном возрастании целого числа п. Если (а, Ь) есть промежуток (— тс, тс), то эта лемма буквально совпадает с теоремой из [159]. Положим теперь, что (а, Ь) есть часть (— тс, тс). Продолжим ф (z) из (а, Ь) во весь промежуток (— тс, тс), полагая ее равной нулю в частях промежутка (— тс, тс), лежащих вне (а, Ь), т. е. определим новую функцию tyi(z) так, что ф1(г) = ф(г) при a^z^b и ф1(<г) = О, если z принадлежит про- промежутку (— тс, тс), но находится вне (а, Ь). При этом мы можем, например, написать b -fit — V ф (z) cos nzdz = — \ ф! (z) cos nz dz, a —n и этот интеграл стремится к нулю в силу упомянутой выше теоремы из [159]. Заметим, что ty\(z) также или непрерывна в промежутке (— тс, тс), или имеет конечное число разрывов первого рода. Не- Нетрудно показать, что лемма остается справедливой, если (а, Ь) — любой конечный промежуток.
472 гл. vi. ряды фурье Им Обращаемся теперь к доказательству основной теоремы разложе- разложения f(x) в ряд Фурье. Мы, как всегда, считаем, что f(x) непрерывна или имеет конечное число рызрывов первого рода в промежутке Умножая обе части равенства D) на f(x\ вводя этот множитель под знак интеграла и вычитая полученное равенство из C), будем иметь f( „ sinBn+l)* , что можно переписать еще в виде л J ¦" х ' х ч /J sin 2 о о E) Для того чтобы доказать, что ряд Фурье A) функции f(x) схо- сходится и имеет суммою f(x)f надо показать, что разность [Sn(f)—f(x)] стремится к нулю при беспредельном возрастании п. Рассмотрим функцию фМ_ f(x-2z)-f(x) -2z VKZ) —2z sinz в промежутке (о, -|-). Она может иметь точки разрыва первого рода, происходящие от точек разрыва f{x—2z\ и, кроме того, надо особо исследовать значение 2 = 0. Положим, что во взятой точке х функция f(z) не только непрерывна, но и имеет производную. Из определения производной и из очевидного равенства lim 2 ж-0 Sin2 вытекает, что ф(г) стремится к определенному пределу, равному — 2/' (х), когда 2-*0. Отсюда вытекает, что к функции ф(г) при- применима вышеуказанная лемма, и первое слагаемое в правой части формулы E) стремится к нулю при беспредельном возрастании п.
1641 § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 473 Точно так же доказывается, что и второе слагаемое стремится к нулю, а отсюда вытекает, что и разность [Sn(f)—f(x)] стремится к нулю во взятой точке х. Мы получаем таким образом следующую теорему: Теорема. Если f(x) непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода в промежутке (— тс, тс), то ее ряд Фурье сходится и имеет суммою f(x) во всякой такой точке х, в ко- которой f(x) имеет производную. Нетрудно получить и более общие результаты. Положим, что в точке х функция непрерывна или даже имеет разрыв непрерыв- непрерывности первого рода, но существуют конечные пределы Иш и Нш ^ (б) ft —-И П h-*+0 П Геометрически существование этих пределов, т. е. производных слева и справа, равносильно существованию определенной касательной слева и справа. При этом имеет место следующее дополнение к до- доказанной теореме: если существуют конечные пределы F), то в этой точке ряд Фурье функции f(x) сходится и его сумма равна *(х~~ )+^(*+ ) [что равно f(x), если f(x) непрерывна]. Умножая D) на ^"~ )'Т"/(*+ ) и вычитая из C), можем на- писать Sn(/) f(x-0)+f(x + 0) _ sln — 2z 1 •^ я я J 2z sin г Надо доказать, что правая часть стремится к нулю при беспре- беспредельном возрастании п. Принимая во внимание существование пределов F), мы можем утверждать, что при 2->0 обе дроби 2i имеют конечные пределы, и, рассуждая совершенно так же, как и выше, мы убедимся, что оба интеграла, стоящих в правой части G), стремятся к нулю при беспредельном возрастании п. Таким образом приведенное выше дополнение к теореме доказано.
474 гл. vt. ряды фурье ftes При значениях х = ъ и х =— тс в силу периодического продол- продолжения f(x), пределы F) сведутся к пределам Нт и сумма ряда будет „т Заметим, что во всех примерах, рассмотренных нами в предыду* щем параграфе, f(x) удовлетворяет во всех точках условиям дока- доказанной теоремы или дополнения к ней. 165. Вторая теорема о среднем. Для доказательства теоремы Дирихле и более подробного изучения ряда Фурье нам будет необходимо одно пред- предложение интегрального исчисления, которое имеет некоторую аналогию с теоремой о среднем, изложенной в томе I [I, 95], и называется обычно второй теоремой о среднем. Это предложение формулируется следующим образом: если ср(лг) — монотонная ограниченная функция в конечном про- межутке а^х^Ь с конечным числом точек разрыва, f(x)— непре- непрерывная функция, то ь ч ь $ ср (x)f(x) dx = i(a + O)]f(x)dx + ti(b- 0) $ f(x) dx, (8) a at где % —некоторое число из промежутка (а, Ь). Нетрудно видеть, что достаточно доказать формулу (8) для случая воз- возрастающей (неубывающей) функции <р(*), ибо если ср(лг)— убывающая, то [ — у(х)] есть возрастающая функция и, применяя формулу (8) к [ — <р(*)] и меняя в обеих частях знаки на обратные, получим равенство (8) и для са- самой <р(х). Покажем еще, что достаточно доказать формулу (8) для того слу- случая, когда <р(а + О) = О. Действительно, пусть для этого случая формула (8) доказана, и рассмотрим ср (х), которая указанному условию не удовлетворяет. Введем новую монотонную функцию ^(дг) = ср(лг) — ср(а-)-О). У этой функ- функции предельные значения на границах будут ф(а + 0) = 0 и ф(& — 0) = = ср(? — 0) — <р(я + О). По предположению, к функции ф (лг) формула (8) применима, и в силу <р (а + 0) = 0 она дает ь ь \ ф (x)f(x) dx = ^(b-0)\ f(x) dx, a I или откуда а из этого равенства непосредственно вытекает формула (8) для у(х). Итак, достаточно доказать формулу (8) для возрастающей или, лучше сказать, неубывающей функции <р(*), у которой ср (а -|- 0) = 0. Значения такой функ- функции в промежутке (а, Ь) будут, очевидно, неотрицательными.
165] § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 475 Для доказательства разобьем промежуток (а, Ь) на части, отметив в нем точки х0 = а, л*1} x2i... , Xi-u л"/, ..., л*л-1, хп = о. Как известно [I, 95], где ^—некоторое значение, лежащее внутри промежутка (л-,-_„ л-,). Соста- Составим сумму 23 ?(w/(W(^-^-i) = 23 ?<« f /wrfx 1=1 ,--i *м При беспредельном возрастании п и уменьшении наибольшей из длин промежутков (х^и xt) эта сумма стремится к определенному интегралу [I, 116], т. е. мы имеем ь п xi <f*=lim 2] м Займемся теперь исследованием суммы 23 t(W f f(x)dx= 23 ?F/)[ J f(*)dx- i = i *M *=i *M Интегралы ft ft ft . J f(x)dxt..., J f(x)dx,...t ^ /(*)</* A0) являются частными значениями функции ft дг ^ (И) которая есть непрерывная функция от переменного предела интегрирова- интегрирования х [I, 96], а поэтому все значения A0) лежат между наименьшим и наи- наибольшим значениями т и М функции A1). Принимая во внимание, что в выражении (9) все множители и <рF,)-<рFм) неотрицательны, и заменяя в этом выражении значения A0) справа на /я, а затем на Му получим 23 * (W ] /w ^ ^ Ь (W + 23 h <w - 23 ?(W f /w^^{?(w+ 23 1-1 *lx 1-2
476 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ [165 то есть п р или в пределе при п~*оо и беспредельном уменьшении наибольшей из длин промежутков (х^и л:/) мы имеем и неравенство будет т. е. где Р —некоторое число, лежащее в промежутке (m, M). Но непрерывная функция A1) принимает в промежутке (а, Ь) все значения, лежащие между ее наименьшим и наибольшим значениями т и М [I, 43], в том числе и Р, а потому в промежутке (а, Ь) наверно найдется такое значение 6, при ко- котором ъ и, следовательно, а это совпадает с формулой (8) в силу условия <р(я + 0) = 0. Заметим, что формулу (8) можно доказать, не предполагая непрерывности f(x) и конеч- конечного числа разрывов у <р (лг), на чем мы, однако, останавливаться не будем. Отметим, наконец, что вместо формулы (8) можно доказать более общую формулу ь g ь S \ f{x) dx% S ? (* где числа А и В должны удовлетворять следующим условиям: А ^ <р (а + 0) и #3?ср (ft —0). Следствие. В [159] мы видели, что при некоторых условиях коэффи- коэффициенты Фурье ап и Ъп функции f(x) стремятся к нулю, при я —оо. Если f(x) удовлетворяет условиям Дирихле, то можно доказать более точный результат, а именно, что ап и Ьп при больших п будут бесконечно малыми порядка не ниже —, т. е. для них будет иметь место оценка вида 1М<-, \ьп1< — > где М — определенное положительное число. По условию, промежуток (—я, я) можно разбить на конечное число частей, в каждой из которых f(x) монотонна и ограничена. Пусть (a, fJ) — одна из этих частей. Коэффи-
166] § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 477 циент ап будет суммой конечного числа слагаемых вида 1 с — \ f(x)cosnx dx, а которое можно преобразовать по теореме о среднем: - \ f(x) cos nx dx = -/(a + 0) ? cosnxdx + ~ /(р —0) ? cosnxdx =?= а а \ _ /(« + 0) (sin n\ — sin /za) + /@ — 0) (sin /гр — sin /г?) я/г Мы получим таким образом для отдельного слагаемого в выражении ап оценку вида —, где М = — | /(а + 0) | -I | /(р — 0) |. Оценка того же вида п я я очевидно будет и для всей суммы конечного числа таких слагаемых, т. е. для \ап\. Аналогичное рассуждение годится и для Ьп. Если f(x) непрерывна, /( —я)=/(я) и существует производная f (х)9 удовлетворяющая условиям Дирихле, то, интегрируя по частям и принимая во внимание, что в силу /(— я)=/(я) внеинтегральный член обратится в нуль, получим nbn=z?- \ f (x) sin nxdx = — — V f(x)dcosnx=*~ \ /' (x) cos nx dx. — те — тс — те Но последний интеграл, как коэффициент Фурье функции f (x), удовлетво- удовлетворяющей условиям Дирихле, имеет вышеуказанную оценку, и для Ьп полу- получаем при сделанных предположениях оценку Аналогичная оценка получится и для ап. Более подробное рассмотрение оценок коэффициентов Фурье в зависимости от свойств функции f(x) будет нами дано позже. 166. Интеграл Дирихле. Из формулы C) видно, что вопрос о сходи- сходимости ряда Фурье, т. е\ о существовании предела суммы Sn(f), приводится к исследованию интеграла типа ь S. у. sin mz , Ф (Z)—: dZ. т ч ' sin z а Мы будем рассматривать более простой интеграл, а именно интеграл вида ъ A2) 1 ?* . . который называется интегралом Дирихле, Мы докажем по поводу этого интеграла следующую лемму: Ле Е () д дущу у мма. Если ф(я) удовлетворяет условиям Дирихле в промежутке (а> Ь), то; 1) если а = 0 и Ь>0, то при беспредельном возрастании т
478 гл. vi. ряды фурье цвз интеграл A2) имеет предел -к-^ + О); 2) если я = О и b<Ot то этот предел равен -^ <р (— 0); 3) если а<0 и Ь > О, то предел равен. -^ 'Г* ?^"* ; 4) если я и ? > О или я w & < О, то упомянутый. пре~ дел равен нулю. Нетрудно видеть, что достаточно доказать одно первое утверждение. Считая его доказанным, мы можем легко получить из него остальные. Докажем, например, утверждения 3 и 4, считая первое дока- доказанным: ъ ь а f , ч sin mz . 1 f . ч sin mz , If , ч sin mz . W* чОdz jW& Если а и b > 0, то в силу утверждения 1 уменьшаемое и вычитаемое в правой части имеет предел -^- <р(-г*О), и, следовательно, разность стре- стремится к нулю, что и доказывает утверждение 4. Если же а < 0 и Ь > 0, то, заменяя в вычитаемом переменную интегрирования z на (— z), получим sin mz а If , ч sin mz . If , ч sin mz . .If , ч si — \ ф (г) dz = — \ <p (г) rfH— \ cp (—0) a 0 0 Так как # и (— fl)>0, то можем применить к обоим интегралам утвер- утверждение 1 и получим Перейдем теперь к доказательству утверждения 1, т. е. покажем, что при #>0 При доказательстве будем пока считать, что y(z) не только удовлетворяет условиям Дирихле, но и монотонна в промежутке @, Ь). Мы имели раньше следующий результат: Рассмотрим интеграл Это есть непрерывная функция с, равная нулю при е = 0 и стремящаяся к •? при с-* + оо. Мы можем отсюда заключить, что при всех положи-
166) § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 479 тельных с написанный интеграл остается по абсолютной величине меньшим некоторого определенного положительного числа М. Рассмотрим теперь интеграл с двумя положительными пределами Мы имеем, очевидно, A5) dx dx + sin* dx т. е. интеграл A5) при любых положительных а и b остается по абсолютной величине меньшим некоторого определенного положительного числа 2М. Прежде чем переходить к доказательству A3), рассмотрим более простой интеграл ь 1 С sin mx х Совершая замену переменных t = mx и пользуясь A4), получим при беспредельном возрастании т: Ь mb 1 С sin mx , 1 f sin? ,, 1 п 1 и следовательно, и sin mx Таким образом для доказательства A3) нам достаточно показать, что т. е. что при достаточно больших т левая часть написанного по абсолютной величине меньше любого положительного числа е. Разобьем промежуток интегрирования (О, Ь) на два: (О, Ь) и E, Ь)} где 5 — малое положительное число, которое будет фиксировано в дальнейшем. Покажем, что каждый из двух интегралов и A6) при достаточно больших т меньше у по абсолютной величине. Ввиду ко- конечного числа разрывов функции <р (л:) можно взять 5 настолько малым, чтобы
480 гл. vi. ряды фурье lies в промежутке @, Ь) функция <?(х) не имела разрывов, так что у(х± ^)=а = ср(лг). Принимая во внимание, что, по условию, ср(лг) монотонна, и при- применяя к первому из интегралов A6) теорему о среднем, получим 5 1 С sin шх 1 С sin шх о о пь ь $ и, следовательно, 5 | J ЬЮ- sin wat 1 <"те~ По определению символа <р (-f- 0), разность ср(й) — ср (—J— 0) —> 0 при &-*0 и, следовательно, мы можем приблизить 5 настолько к нулю, чтобы правая часть написанного равенства была меньше -н-. При этом первый из интегра- интегралов A6) будет по абсолютной величине меньше -я- при любом т. Фиксируя таким образом положительное число 5, обратимся ко второму из интегралов A6). Применяя к нему также теорему о среднем, можем написать его в виде $ ь 1 г /%ч . , ЛЧ1 ? sin шх , , 1 г ,, ЛЧ , , Лч_ С sin шх . /1_, те Л лг те J лт Множители, стоящие перед интегралами, суть постоянные, и нам доста- достаточно доказать, что оба интеграла стремятся к нулю при возрастании т. Рассмотрим, например, первый из интегралов и совершим в нем замену t = шх. Получим интеграл "**-(Л A8) \ При беспредельном возрастании ш пределы тЬ и т? беспредельно возра- возрастают, так как Ь — фиксированное положительное число и 6 не меньше b.t Но раз интеграл со есть сходящийся интеграл, то интеграл A8) при беспредельном возрастании его обоих пределов должен стремиться к нулю [85]. Аналогично рассматри- рассматривается и второй из интегралов в выражении A7), а поэтому все это выра- выражение стремится к нулю, т. е. второй из интегралов A6) стремится к нулю и, следовательно, при достаточно больших т он по абсолютной величине е меньше -^, Равенство A3) и, следовательно, все утверждения леммы доказаны нами в предположении, что y(z) не только удовлетворяет условиям Дирихле, но и монотонна. Остается показать, что A3) верно и в том случае, когда ср(г) удовлетворяет только условиям Дирихле. В силу условий Дирихле, промежуток (О, Ь) можно разбить на конечное'число частей, в каждой из которых <p(z) монотонна. Пусть (О, Ь) можно разбить хотя бы на три части (О, bL)t (bl} b2) и (bgi b), в каждой из которых cp(z) монотонна. Интеграл A3)
167] § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 481 разобьется на три: ь bi ь2 ь sin mz С sin mz . . f , ч sin mz . , f , . sin mz . ^= J 4(*)dZ + ^ pB)Л + ^ (*) dz. ^ J 4(*)JdZ + ^ cpB)Л + ^ ?(*) 0 bL b* A9) К каждому слагаемому правой части применима лемма, так как в проме- промежутках (О, Ь{)> (#!, Ь2) и (b2, b) функция <р(г) монотонна. Следовательно, первое слагаемое стремится к -«-^( + 0), остальные два — к нулю, и интег- интеграл A9) стремится к -уЧ(-\-0)у что и требовалось доказать. Заметим, что в интеграле Дирихле A2) число т может беспредельно возрастать любым образом, не обязательно принимая только целые значе- ки.1. Полученный результат имеет своим источником тот факт, что функция sin mz л при больших значениях т очень часто меняет знак и, кроме того, принимает большие значения при г, близких к нулю. 167. Теорема Дирихле. Пользуясь леммой из предыдущего номера, мы докажем без труда теорему Дирихле [155]. Нам надо доказать, в силу C) что выражение ¦ -\/(^ + 2.)SinB"+1J^ B0) • * J ч ' ' sin z v ' /(^__О) + /(лг + О) стремится к -^ о —— при ^еспРедельном возрастании п. Рас- Рассмотрим вместо B0) выражение жй + 1 j/^ + u^^+'^fe B1) 0 Верхние пределы в обоих интегралах положительны, и функции f(x — 2z) и f{x-\-2z) удовлетворяют условиям Дирихле в промежутке интегрирования. Кроме того, т = 2л -|" 1 —> оо, и, по доказанной в предыдущем номере лемме, выражение B1) стремится к пределу — Т — . Остается дока- доказать, что разность выражений B0) и B1) стремится к нулю. Для этого до- достаточно показать, что интегралы
482 гл. vi. ряды фурье стремятся к нулю. Докажем это для первого интеграла: / 1 1 \ 1 (* ж ^ » ' \ С1П «У V I ' •' IT 1 * * ' ' " ' t \ / где 1 1 z — sin z / 1 1 \ \ sin z z 1 * промежутке ин рерывен). Втор< Первый множитель /(х — 2z) имеет в промежутке интегрирования конечное число разрывов первого рода (или непрерывен). Второй sin z z zsinz при z-+ 0 стремится к нулю и никаких разрывов в промежутке (о, ~\ не имеет. Следовательно, к интегралу B2) применима лемма из [164], и этот интеграл стремится к нулю. Таким образом, утверждение теоремы Дирихле доказано. Мы дополним доказанную теорему еще двумя предложениями, которые мы приведем без доказательства. Полученное нами предложение обнаружи- обнаруживает лишь то, что во всякой точке промежутка х ряд Фурье 5 [/(*)] схо- сходится и имеет суммой f(x), но в этом предложении ничего не.упоминается о характере сходимости в промежутке ( — тс, тс). Предложения, которые мы сейчас формулируем, восполняют этот пробел. 1. Во всяком промежутке, в котором функция f(x), удовлетворяю- удовлетворяющая условиям Дирихле, кроме того, непрерывна, и который лежит внутри промежутка (—тс, тс), ряд S [/(*)] сходится равномерно. 2. Если /(*), удовлетворяющая условиям Дирихле, непрерывна во всем промежутке (— тс, тс), и сверх того то ряд S [f(x)] сходится равномерно при всех значениях х. Читатель покажет без труда, что предложения, аналогичные указанным выше, имеют место для рядов, расположенных только по косинусам или только по синусам в случае, если функция определена в промежутке @, тс), со следующими изменениями: При условиях теоремы Дирихле для промежутка @, тс) сумма ряда 2 г cos kx\ ak—-\f (t) cos kt dt B3) „ TC J равна при 0<л:<тс B4) 2 и /( + 0)—при * = 0; /(тс —0) — при * = тс; сумма же ряда СО 1С bk sin kx\ bk = ^ [f(t) sin kt dt B5) будс! B4) при 0<л:<тс и нуль при * = 0 и * = гс.
168) § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 483 Все эти результаты получаются очень просто, если продолжить функ- функцию/(х) в соседний промежуток (— тс, 0) четным образом в случае ряда B3) и нечетным в случае ряда B5), как это было сделано в [157]. 168. Приближение к непрерывной функции полиномами. Нашей следующей задачей является доказательство формулы замкнутости D0) из [159]. Это доказательство будет основано на некоторых резуль- результатах из теории приближений функций полиномами. К изложению этих результатов, которые являются важными и сами по себе, мы сейчас и переходим. В основе всего здесь лежит следующая тео- теорема: Теорема I (Вейерштрасса). Если /(х) — любая непрерыв- непрерывная в замкнутом конечном промежутке а^х^Ь функция^ то существует последовательность многочленов Р\(х), P%(x),..tt которая стремится равномерно [I, 144] к f(x) во всем замкну- замкнутом промежутке (а, V). Заметим прежде всего, что при помощи преобразования х = * ~ а можно промежуток (а, Ь) привести к промежутку @, 1), и полиномы от х будут полиномами от х' и обратно. Можно поэтому считать, что промежуток (а, Ь) есть @, 1). Докажем сначала два элементар- элементарных алгебраических тождества. Напишем формулу бинома Ньютона 2 C™umvn-m = {!t + v)\ B6) т =0 Дифференцируя это тождество по и и умножая на ut а затем проде- проделывая то же самое с полученным тождеством, будем иметь два новых тождества 2 B7) п 2 «'CjJW " т = па (пи + г-) (и + г»)"-* Полагая в B6) и = х и г» = 1 —х, будем иметь 1= 2 С?*"A—jp)»-111. B8) Умножая B6) на п*х\ первое из B7) — на (— 2пх), второе из B7) — на единицу и складывая, получим при и = х и г>=1—х\ 2 № — nxfCnXmA — xf~m = nx(l—x).
484 гл. vi. ряды фурье [Ш Нетрудно показать [I, 60], что правая часть этого равенства, поло- положительна в промежутке @, 1) и принимает наибольшее значение при л; = у, откуда следует при 01 2 (т - nxf Схт A - хГт < 1 п. B9) 0 2 т=0 Покажем теперь, что многочлены п = 2 f[V равномерно стремятся к f(x) в промежутке @, 1). Умножая обе части B8) на f(x) и вычитая из полученного равенства равенство C0), можем написать f(x)-Pn(x) = 1 Нам надо доказать, что при любом заданном положительном е суще- существует такое N, не зависящее от лг, что | [ т = 0 Так как при 0^дг<;1 произведение C%xm(l—x)n~m^s0> to 2 | от =0 и достаточно доказать неравенство л 2 | т =0 Функция f(x) равномерно непрерывна в промежутке @, 1) [I, 36], т. е. существует такое &, что \/(хх) — /(дг^Ку при|^ — ^2|<[8. Пусть х — фиксированное значение из промежутка @, 1). Разобьем сумму C1) на две части 5^ и 5а. К первой сумме отнесем те ела-
168] § 13. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 485 гаемые, у которых т удовлетворяют условию х - т <8. В силу выбора 8 имеем для первой суммы, состоящей из положительных слагаемых, оценку где (/) указывает, что суммирование ведется по значениям т, удо- удо. Если мы просуммируем по влетворяющим неравенству х всем значениям т от 0 до п, то сумма может только увеличиться, т. е. п п i с« *ст О - хУ-т=т 2 т=0 2 т=0 т. е. в силу B8), «Si<^4- при любом п. Переходим ко второй сумме где суммирование распространяется на те значения пг, которые удов- удовлетворяют неравенству х ^8 или \пх — т|^пЪ, и оценим эту сумму. Функция f{x), непрерывная в замкнутом промежутке @, 1), должна удовлетворять в этом промежутке неравенству вида: 4, где М — определенное положительное число [I, 35] и, 4. Кроме того, которые не на множители 1 ™ следовательно, умножим слагаемые суммы меньше единицы. Вынося 2М и ^, не зависящие от переменной суммирования т, за знак суммы, получим 2 (** - Все слагаемые положительны, и если мы просуммируем по всем значениям т от /?г = 0 до т — п, то значение суммы может только увеличиться. Принимая во внимание B9), получим 2М \i ¦ -о^а" /, (pi — ПО ^aj т =0 Числа М и 8 — определенные положительные числа, и чтобы
486 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ 1168 удовлетворяло неравенству &а<^» Д°статочно взять глР^у» т'е' -р. Мы получили то число Лг=-р-, которое нам надо было найти. Действительно, при n^>N обе суммы 5t и 52<^4-, и нера- неравенство C1) удовлетворено; теорема Вейерштрасса доказана. Нетрудно видеть, что доказанную теорему можно формулировать следующим образом: если f(x) — непрерывная функция в замкнутом промежутке (а, Ь) и е — любое заданное положительное число, то существует такой многочлен Р(х) от х, что во всем проме- промежутке (а} Ь) выполняется неравенство |/М-ЯМ|<е. C2) Основываясь на теореме Вейерштрасса, докажем аналогичную тео- теорему для периодических функций. Теорема II. Если f(x) — непрерывная периодическая функция периода 2т: и г — любое заданное положительное число, то суще- существует такой тригонометрический полином т Т(х) = cQ -f- 2 (ck cos kx + dk sin kx), C3) что при всяком х: \f(x)-T(x)\<s. C4) Заметим прежде всего, что, в силу периодичности, достаточно удовлетворить неравенству C4) в основном промежутке (— тс, тс). Положим сначала, что f(x)— четная функция, и введем вместо х новую переменную ? = cosx, т. е. x==arccosf, причем мы берем главное значение этой функции, т. е. при изменении t от 1 до (—1) функция jc = arccos^ непрерывно меняется от 0 до тс. Функция /(jc)=/(arc cos t) будет непрерывной функцией t в промежутке (— 1, 1) и, по теореме Вейерштрасса, существует такой много- многочлен P(t\ что и, еозвращаясь к прежней переменной, получим: I/O*) — P(cosx)|<s ( При замене х на (—х) значения f(x) не изменяются ввиду чет- четности f(x) и значения i°(cosjc) также не изменятся ввиду четно- четности cos х, т. е. написанное неравенство справедливо и при — тс ^ х ^ О, 1. е. во всем основном промежутке. Но, как известно [I, 176J, целые
168] § \*>. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬВ 487 положительные степени sin x и cos x выражаются линейно через синусы и косинусы кратных дуг, так что многочлен от cos x, т. е. P(cosx), можно представить в виде C3), и теорема доказана. Рассмотрим теперь любую непрерывную периодическую функцию fix). Если мы положим J_ = 2 1 то f(x) будет равно сумме ср(х) и ф(х), причем у(х)—функ- у(х)—функция четная и ф (х) — нечетная, и обе — периодические. При за- данном е существует, по доказанному, такой многочлен P(t), что |ср(дг) — P(cos ^)|<^y. Если мы докажем, что существует такой много- многочлен Q(t)> что |ф(х) — sin х Q(cos x)|<-i (— тг<х<и), C3) то тригонометрический полином sin x Q(cos будет удовлетворять условию C4). Введем по-прежнему новую пере- переменную t = cosx и рассмотрим функцию ф(х) = ф(агс cos t) в про- промежутке — 1 s^<: 1. Функция ф(х), как всякая непрерывная, нечетная и периодическая функция, обращается в нуль при лг = О и дг = тг, и, следовательно, ф (arc cos t) обращается в нуль на концах промежутка, т. е. при t = ±\. Из формулы C0) вытекает, что если f(x) обра- обращается в нуль на концах промежутка @, 1), т. е. /@)=/A) = 0, то и многочлен Рп(х) обладает тем же свойством. Пользуясь пре- преобразованием у = 2х—1, можем свести промежуток @, 1) к проме- промежутку (—1, 1) и утверждать, что существует такой многочлен R(t), равный нулю при t = ±l, что |<KarccosO —R@I<j ПРИ — Мы можем при этом написать /? @ = О — *2) #i @> гДе /?i@ —тоже многочлен, и предыдущее неравенство переписывается в виде j при 0<лг<тг. C7) Для функции sin х Rx (cos x) — V 1 — tl R{ (t), непрерывной в про* межутке —l^^^l, существует такой многочлен Q(t), что 7 при -
488 гл. vt. ряды фурье то есть | sin xRt(co$ х)— Q(cosat)|<[~ при и тем более | sin2 х Rx (x) - sin x Q (x) | <|, C70 ибо |sinjf|<l. Из C7) и C7t) следует: | ф (лг) — sin x Q (cos x) | ^ | ф (x) — sin2 x R{ (cos x) | -(- sin2 xRi (cos лг) —* sin x Q(cos лг) | ^ т. е. неравенство C6) доказано в промежутке @, те). Но так как функции ф(лг) и sin х Q(cos x) — нечетны, то неравенство тем самым справедливо и во всем промежутке (—те, те). Приведенные выше доказательства теорем I и II принадлежат С. Н. Бернштейну. 169. Формула замкнутости. Из доказанной только что теоремы довольно просто вытекает справедливость формулы замкнутости из [159] для системы тригонометрических функций. Положим сначала, что заданная в промежутке (—те, те) функция f(x) непрерывна и Продолжая f(x) вовне этого промежутка по периодичности, по- получим непрерывную периодическую функцию, и при заданном е будет существовать тригонометрический полином Т(х), удовлетворяющий неравенству C4). Из этого неравенства вытекает V \f(x)-nxypdx<*. C8) Пусть п — порядок тригонометрического полинома, т. е. значение числа пг в формуле C3). Но при любом выборе тригонометрического полинома порядка не выше п величина интеграла C8) имеет наи- наименьшее значение е%, когда за тригонометрический полином мы выби- выбираем сумму первых B/z-f-1) членов ряда Фурье функции/(дг). Отсюда вытекает, что еп ^ е, и ввиду того, что положительное е можно выби- выбирать сколь угодно малым, отсюда следует, что еп, которое не увели- увеличивается при возрастании п, должно стремиться к нулю при я—¦оо, а это, как известно [159], и равносильно формуле замкнутости для f(x). Рассмотрим теперь более общий случай, когда f(x) непрерывна в промежутке (— те, те), но ее значения /(— те) и /(те) неодинаковы.
§ 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 489 Как всегда, существует такое положительное число М, что |/(лг)| ^.М при —тс^лг^тс. Пусть т] — произвольное заданное положительное число и пусть 8 — положительное число, удовлетворяющее неравен- неравенствам C9) Построим новую функцию f\(x) по следующему правилу. В проме- промежутке (—тс, тс—8) функция f\(x) совпадает с f(x), в промежутке (тс — 8, тс) график fx (x) есть отрезок прямой, соединяющий точку х = % — 8, j/=/(tc — 8) с точкой дг = тс, y = f(— тс) (рис. 119). Функция fi(x) есть непрерывная функция в промежутке (—тс, тс), имеющая одинаковые значения /(— тс) при x = ±Tzt и мы имеем, очевидно, как и для f(x), \ Д (х) \ ^ М. В силу доказанного выше, при любом заданном положительном г\ можно найти такой тригонометриче- тригонометрический полином, что \ГЛ*)-Т(х)\*<1х<%. о] л; Рис. 119. Принимая во внимание, что f(x) = fl(x) в промежутке (—тс, тс — 8), имеем те —б Откуда, принимая во внимание, что можем написать - я или, б силу C9), - A D1)
490 гл. vi. ряды фурье ("о Составим интеграл 1x = l |j {[/(*)-/, (*I+ [/,(*)_ 7 (*W«tf*. Принимая во внимание очевидное неравенство (a -j- bf ^ 2 (а* -f- Z?2), можем написать 1 а отсюда, в силу D0) и D1), следует [f(x)-T(x)fdx<:-4. Обозначая через я порядок тригонометрического полинома 7~(лг) я рассуждая, как и выше, получим отсюда ед^т), и ввиду произволь- произвольной малости т] имеем еп—>0 при /?—*оо, т. е. формула замкнутости имеет место и для /(*) с указанными выше свойствами. Совершенно так же можно доказать, что формула замкнутости имеет место в том случае, когда f(x) ограничена в промежутке (— тс, тс) и имеет конеч- конечное число точек разрыва. Если все точки разрыва суть точки разрыва первого рода, то не надо оговаривать ограниченности функции. Чтобы провести доказательство, можно выделить точки разрыва достаточно узенькими промежутками и построить новую функцию /i(x), непре- непрерывную в промежутке (—тс, тс), совпадающую с f(x) вне упомянутых промежутков и имеющую прямолинейные графики внутри этих про- промежутков. Для /j (x) можно по предыдущему построить тригономе- тригонометрический полином Т(х), удовлетворяющий неравенству D0), а упо- упомянутые промежутки можно выбрать настолько узенькими, чтобы гыполнялось неравенство D1). В остальном доказательство проводится, как и выше. Итак, формула замкнутости доказана нами для всех функций, имеющих конечное число разрывов первого рода (или непре- непрерывных). Заметим, что она имеет место и для гораздо более широ- широкого класса функций. 170. Характер сходимости рядов Фурье. Ряды, которые мы получили в [156], обладают тем недостатком, что они плохо сходятся. Некоторые из них не будут абсолютно и равномерно сходящимися, например, ряд A0) 1156]
t70] § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 491 при xz=z~ обращается в ряд \\ 3 + 5 - ие абсолютно сходящийся; ряд A0), кроме того, не может быть и равномерно сходящимся, так как представляет прерывную функцию. Таким же недостат- недостатком обладает и ряд, представляющий прерывную функцию, имеющую значе- значения с1 и с2. Существует зависимость между характером гладкости разла- разлагаемой функции и ее рядом Фурье. Эту зависимость мы исследуем здесь более подробно. Относительно функции f(x) мы предположим раз навсе- навсегда, что она сама и ее последовательные производные, о которых будет говориться, суть функции, удовлетворяющие условиям Дирихле, и периоди- периодически продолжаются вовне промежутка (—те, тс). Обозначим через Xi , л 2 , .. • , л то — 1 точки разрыва функции f(x) внутри (—те, те), через Л*1, *2, ... , ЛГт! — 1 точки разрыва ее производной f(x) внутри (—те, те) и вообще через y{k) x{k) Лк) точки разрыва производной flk) (x). К точкам же разрыва нужно будет при- присоединить и концы промежутка (—те, те), если предельные значения /(+ п ± 0), /' (+ * ± 0), ..., /<*> (+.±0) между собой не совпадают. Обозначим для симметрии л:^0' = — те и х(^ = к и аналогично для произ- производных. Наше предыдущее условие для производных сводится к тому, что внутри всякого промежутка (x[k\ x^t) (s = 0, 1, ..., xk—I) существует непрерывная производная f{k) (x). В силу условий Дирихле эта производная будет иметь определенные предельные значения и на концах промежутка. Преобразуем теперь выражения для коэффициентов Фурье функции /() Начнем с коэффициента + « ап = — \ f(x) cos nx dx, — к Разобьем промежуток интегрирования (—те, те) на отдельные части в каждой из которых функция f(x) непрерывна. Интегрируя по частям, мы имеем { f (х) cos nx dx = ^M?f{X) — \[f Wsin nx d*>
492 гл. vi. ряды фурье Так как, с другой стороны, \ f(x)cosnxdx= lim \ f(x)cosnxdx = \ /' (х)sin nx dx, ,. sin /гх j,, ч = lim f(x) то, принимая во внимание непрерывность функции sin nx, мы получим -- \ n J nxdx. Суммируя по / от 1 до т0, окончательно будем иметь -/(^ - 0)] } -1 J /' W sin пх dx% ПК — 1С причем д:^0'= — я, л:™» =-f-я, и, в силу периодичности /(лг), f(x(^ -\- 0) = =/W0) + 0)« В данном случае sin их^'= 0, но мы сохраняем соответствую- соответствующее слагаемое для симметрии с дальнейшими формулами. Обозначим для краткости скачки функции f(x) в точках разрыва дг^0), л^01, ..., х1^ соответственно через Ь<°> =/(л-^0) + 0) — /(л-<°> — 0), ..., Ъ<" =/(^°0> + 0) —f(x(°> — 0). Предыдущая формула перепишется тогда в виде где а'п и ^ обозначают коэффициенты Фурье производной f (х). Точно так же, исходя из формулы у f(x) sin пх dx = — —-—/(л-)+ \ /' (*)cos nx dx%
170] § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 493 получим Lb?'cosnx?'+aZ- D3) Формулы D2) и D3) важны сами по еебе, так как они показывают, что если периодическая функция f(x) имеет скачки, то ее коэффициенты Фурье при п —> со будут порядка — и притом главные части коэффи- коэффициентов ап и Ьп будут соответственно равны т0 *0 -5* 2 ьт&[ппх?'' ^ 2 i = l остаток же будет порядка выше, чем —. В самом деле, остаток этот будет вида п' п* величины же а'пнЬ'п, как коэффициенты Фурье функции f (х), стремятся к 0 при я—*оо, т. е. будут величинами бесконечно малыми при я—>оо. Но фор- формулы D2) и D3) важны еще и потому, что, пользуясь ими, мы сможем выделить из коэффициентов Фурье ап и Ьп> которые стремятся к нулю при л —0, составляющие различных порядков малости по сравнению с —. Для этой цели обозначим вообще через а{?\ Ь^ коэффициенты Фурье производной А-го порядка /Л)(*)> а через о^, ..., &(ХЛ) — ее скачки в точ- точках .*f>, *<*>, ...f 4*) b(k) в f(k) (X(k) + 0) — /k) (x[k) — 0); ...; tip = /(Л) (п + 0) — f{k) (n - 0). Применим формулы D2) и D3) к коэффициентам dlV bn, для чего нужно только заменить f{x) на f'(x)t bf* на Ц119 xf* на дг^1', х0 на %v мы получил* 1 *.t, n J где а* и ^ — коэффициенты Фурье
494 гл. vi. ряды фурье Точно так же, продолжая эти рассуждения, {170 в! = У V sin пх^ — —, /=1 ^2 ,„ Ъ° = — У Ъ<?' cos nxf' + —, Положив для краткости i 2*<**sin ^ в*= т 2 ^ 1 1 2 1=1 мы из предыдущих формул будем иметь: а* S3 *¦"•" ¦"¦—• ¦ —1— —— ¦' I '¦ — —— —I— —-J— D4) где р^, р^ имеют различные выражения в зависимости от вида числа k; выра- выражения эти приведены в следующей табличке: к ?k tt 9k Am -г» 4m+1 _^> 4m+ 2 4m + 3 •if» Здесь e^ и ^ft) — коэффициенты Фурье функции f{k)(x). Из выражений Ak и #я видно, что эти величины зависят от я, но вели- величина п входит лишь под знак тригонометрической функции, а потому при беспредельном возрастании п величины As и Bs при фиксированном s остаются ограниченными. Коэффициентами при тригонометрических функциях в выражениях As и Bs стоят скачки производной f(S) (x). Если этих скачков нет, то As = Bs = 0. С другой стороны, если производная flk)(x) есть функ- функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, то множители р^ и р? , которые с точностью до знака совпадают с одним из коэффициентов Фурье функции /1к) (л*), будут порядка не ниже— при большом я, так как в [165] мы видели, что коэффициенты Фурье функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, порядка не ниже —. Мы получаем таким образом следующую теорему: Если периодическая непрерывная функция f(x) имеет непрерывные производные до (k—\)-го порядка включительно, а производная k-го по- порядка есть функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, то коэффи-
171] § 15. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬВ 495 циенты Фурье ап, Ьп функции f(x) будут порядка не ниже будут иметь оценку где М — некоторое положительное число. Заметим, что при k^ 1 ряд Фурье функции f(x) будет равномерно схо- сходящимся. Действительно, из доказанной теоремы следует, что в этом случае коэффициенты ап и Ьп будут удовлетворять неравенству а общий член ряда будет иметь оценку 2М | ап cos пх 4- bn sin пх | < - откуда и следует абсолютная и равномерная сходимость ряда, так как ряд 00 /,— есть ряд сходящийся [1, 122]. ~\ Формулы E7) остаются в силе и для рядов Фурье в случае промежутка (— /, /). Нужно только положить %i sin- i-i ' ' fl \k а выражения для рл, рл, которые выписаны в табличке, умножить на f —) р иричем здесь 0) — /lfe) (/ — 0) = /<^ (_ / + 0) — /<л> (— / _ 0) . . . 171. Улучшение сходимости рядов Фурье. Как мы видели в преды* дущем, присутствие в выражении для коэффициентов Фурье ап и Ьп функ- функции f(x) членов порядка —, которые делают ряд Фурье плохо сходящимся, обусловливается наличием скачков у функции f(x). Функция может иметь сколько угодно производных внутри промежутка (—тс, тс), но достаточно одного скачка в конце промежутка, т. е., собственно говоря, несовпадения предельных значений /(т тс ± 0), чтобы ряд Фурье этой функции стал прак- практически негодным для вычисления. Далее, в приложениях очень часто важно исследовать не функцию /(*), разложенную в ряд Фурье, а ее производные первого, второго и даже третьего порядка. Между тем, если коэффициенты Фурье самой функции /(х) порядка—^j- , то при дифференцировании ряда
496 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ [П1 коэффициенты будут уже порядка —Wi что ясно из равенств оо оо /(л:) = Ц- + 2* (a« cos пх + Ьп sin nx)t f (х) г=Л п {bn cos пх —- оп sin ил), 00 f (л:) = ^ п2 (— ял cos пх — Ьп sin их). Обратно, при каждом интегрировании порядок коэффициентов будет повышаться на единицу, ибо 1 Л (ап cos лл: + ^„ sin пх) dx = С + У оо — bn cos пх + an sin пх Где С — произвольная постоянная. Таким образом при дифференцировании сходимость ряда Фурье ухудша- ухудшается; так, например, если коэффициенты Фурье функции /(лг) были порядка -3, что будет в том случае, если эта функция непрерывна и периодична, а/'(лг) может иметь точки разрыва, то ряд, который получится почленным дифференцированием для вычисления f(x), будет иметь коэффициенты по- порядка -, а ряд для f"(x) совсем потеряет смысл, так как его коэффициенты i:e будут даже стремиться к нулю. Таким образом может оказаться, что ряд Фурье функции f(x) совершенно не годится для вычисления производных от функции f(x) ни при каких значениях л:, и это произойдет для такой функции, которая лишь в одной точке промежутка не имеет производной, а во всех остальных имеет таковые и любого порядка. Поэтому возникает задача улучшения сходимости ряда Фурье, т. е. преобразование его к такому ряду, коэффициенты которого настолько вы- высокого порядка малости, что ухудшение сходимости при дифференцирова- дифференцировании не мешает вычислять производные; например, если мы желаем беспре- беспрепятственно вычислять почленным дифференцированием производные до третьего порядка включительно, то желательно, чтобы коэффициенты ряда были порядка не ниже -g, ибо тогда для третьей производной получим ряд, коэффициенты которого будут иметь порядок -j, и вычисление с этим рав- равномерно сходящимся рядом будет практически удобно. Улучшить сходимость ряда Фурье функции f(x) можно следующим об- образом. Пусть в формулах D4) имеются члены порядка —, т. е. функция/(л*) имеет скачки Ь^°). Всегда можно построить простую вспомогательную функцию <foW> кото- которая имеет те же скачки, что и f(x). Тогда разность
171] § 1*. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 497 не будет уже иметь скачков, и ряд Фурье S(/i) для функции ft(x) будет иметь коэффициенты порядка, по крайней мере —. За <ро(*) проще всего брать функцию, график которой есть «ступенчатая линия», т. е. состоит из отрезков, параллельных оси ОХ, или вообще из отрезков прямых, причем в первом случае <?'о (*) = 0, то есть /; (х) = /' (а-), а во втором, если мы будем считать угловые коэффициенты всех отрезков одинаковыми и равными и/0, то и таким образом функция /[ (х) имеет те же самые скачки, что и f (x\ Определив так или иначе функцию ср0 (х), мы получим где <?о(х) — известная и весьма простая функция, состоящая из отрезков параллельных прямых, a fl (x) имеет ряд Фурье, коэффициенты которого имеют порядок не ниже —§. Исправляем теперь функцию ft(x). Мл имеем Поступая с /1(х) так же, как мы выше поступали с f(x), мы можем написать где <pi (л:) — функция, состоящая из отрезков параллельных прямых, и /2(х) разлагается в ряд Фурье, коэффициенты которого порядка не ниже —^-. Ин- Интегрируя последнее равенство, получим для ft (x) и тем самым для f(x) вы- выражение в виде суммы ряда Фурье с коэффициентами порядка не ниже —j- и кусков парабол второй степени. Если бы мы занялись дальше исправле- исправлением /"(•*)» то получили бы для f(x) выражение в виде суммы ряда Фурье с коэффициентами порядка не ниже —г и кусков парабол третьей сте- степени и т. д. Изложенный способ применяется главным образом тогда, когда функция неизвестна, а дан только се ряд Фурье, причем его коэффициенты имеют вид D4). При этом надо по виду коэффициентов определить точки разрывов и скачки функции f(x) и ее производных, а затем применить указанный выше прием улучшения сходимости. Можно поступить и иначе, а именно: если возможно просуммировать те части ряда Фурье, которые происходят от первых слагаемых выражений D4) для коэффициентов ап и Ьп. Именно эти слагаемые и создают плохую сходи- сходимость ряда Фурье. Оставшийся после суммирования ряд Фурье будет уже сходиться лучше, чем раньше.
498 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ Ц72 При упомянутом выше суммировании надо пользоваться следующими формулами; sin nx п=\ cos ял: 2 »¦ 7С X 71 X О (— 2я < х < 0), @ < х < 2ti), 2*2 + бпх + Зл:2 12 2^2 — fax + Зл-2 12 2т:2л: + ЗгсА:2 + (— 2тс ^ л: <^ 0), @ ^ х ^ 2тс); 12 12 (— 27С ^ X ! @ ^ х ^ 2тс). D5) D6) D7) Первая из написанных формул получается, если разложить функцию —^— в промежутке @, п) по синусам. Вторая получается из первой путем интегрирования по х от 0 до х, причем надо пользоваться равенством [156] со П* "" 6 * Точно так же и третья формула получается из второй путем интегриро- интегрирования. Дальнейшее интегрирование могло бы нам дать и дальнейшие фор- формулы указанного выше типа. При этом мы считаем длину промежутка рав- равной тс. Этого всегда можно достигнуть простым преобразованием независи- независимого переменного. Указанная выше идея улучшения сходимости ряда Фурье путем посте- постепенного исправления функции f(x) и ее производных так же, как и при- приведенный ниже пример, принадлежат А. Н. Крылову. 172. Пример. Рассмотрим ряд Фурье Мы имеем здесь со п COS тс 2j я2- Ятт: т -1 sin nx 2/г cos тр D8) Для того чтобы представить Ьп в виде D3), разложим дробь а^ . по
172] § 1R. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ 499 степеням —, доведя разложение до членов порядка — . п —1,1,1 п2 — 1 ~"~ п + п3 + пъ '-л* нтс niz /2~* D9) тш тш3 тт*(п2—\у Нам надо таким образом просуммировать два ряда: cos —2~ sin лл: и -т cos -~- sin «л: E0) Обозначая первую из сумм через St (x), можем переписать ее в виде К каждой из этих сумм можно применить формулу D5). Рассмотрим снача- сначала первую сумму. При изменении х от 0 до тс аргумент (*+ тН изменяет- изменяется от y до -j", и формула D5) дает 471 Обращаясь ко второй сумме, замечаем, что при изменении л: от 0 до -^ аргумент (л:— ^-\ меняется от —^- до 0, при изменении х от ~ до тс аргу- аргумент 1х—-S-) меняется от 0 до -^-• Формула D5) дает в этом случав 2л- — Зтс /тс 4тс О t'-т)
500 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ Складывая, получим для 5Х (х) следующее конечное выражение: пп . 00 cos -гг- sm nx п п»1 X 7С (•?<*«?«), ('-*)• [172 E1) Вторую из сумм E0) мы могли бы вычислить, пользуясь формулой D7), но можно поступать и иначе. Обозначим эту сумму через S2(x). Нетрудно видеть, что, интегрируя Sx (х) дважды по х, мы получим — Sa (x) с точностью до полинома первой степени. Интегрируя выражения E1) два раза, получим ? (•<*<*)¦ (*<*<•) и, следовательно, Для определения постоянных заметим, что ряд Фурье для Ss (л:) имеет коэффициенты порядка -g, а ряд для S'2 (x) имеет коэффициенты порядка-—, и, следовательно, оба ряда сходятся равномерно и дают функцию, непрерыв- непрерывную при х = ^ • Отсюда следует, что оба выражения E2) и их производные должны совпадать при лг = -у: -Ж + Ъ--ЪГ+С!. E3) Кроме того, из вида второй из сумм E0) следует S2 @) = $я (п) = 0, что, в силу E2), дает С'2=0; C;fw + Ci' = 0. E4) Из этих уравнений можем определить все четыре постоянные; ,_d — 4" t °2 — M» подставляя в E2), получим выражение S2(x): * х* Окончательно для ряда D8) получим выражение n-1
173J § 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 501 что и решает нашу задачу. Функция f(x) выражается через известные функ- функции St(x) и S2(x)y состоящие из кусков прямых и парабол, и ряда Фурье, коэффициенты которого порядка 1 т е JL § 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 173. Формула Фурье. Изложение теории рядов Фурье мы за- закончим исследованием предельного случая, когда промежуток (— /, /), в котором изучается ряд Фурье, стремится к (— оо,. -|- оо), т. е. /,->4~°°- Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле и не- непрерывна во всяком конечном промежутке и сверх того абсолютно интегрируема в промежутке (—оо, +оо), т. е. существует инте- интеграл \f(x)\dx=Q. По теореме Дирихле внутри (—/, /) мы имеем Помня, что 3S ^- dty bn = -j \ f(t) sin мы получим отсюда Что произойдет с этой формулой, когда /->-j-oo? Первое слагае- слагаемое очевидно стремится к нулю, ибо +оо -I Вводя новую переменную а, которая принимает равноотстоящие 8начения в промежутке @, оо): те 2те пп
602 гл. vi. ряды фурье \т получая кажлый раз приращения Да = у, мы оставшуюся сумму можем написать в виде \®cos а ^ (а) —I При больших / интеграл, стоящий под знаком суммы, мало отли- отличается от \ f(t) cos a. (t — x)dt, и можно думать, что вся сумма при /->-[-со будет стремиться к пре- пределу ОО -J-OO ¦М da. f /@ cos a (t — х) dt, 0 —оо и таким образом мы имеем -foo -{-оо f(x) = 1 J rfa j /@ cos a (f — jc) rft A) В точках разрыва непрерывности, если таковые имеются, надо только заменить f(x) на + 0)+f(x-0) 2 Формула эта, которая получается из ряда Фурье при /->-|-оо, называется формулой Фурье. Мы приходим таким образом к предло- предложению: если функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле во всяком конечном промежутке и абсолютно интегрируема в про- промежутке (—со, -j-со), то при всех х имеет место равенство со -{-со I С Л С f{t) cos «(*_*) dt =/(* + 0>+/(*-<». B) О —оо Теорема эта называется обычно теоремой Фурье, а интеграл, стоящий в левой части этой формулы, интегралом Фурье функции f (х). Предыдущее рассуждение не является строгим, его можно сделать таковым при помощи некоторых дополнительных рассужде- рассуждений. Мы не будем этого делать, а приведем другое, строгое доказа- доказательство формулы Фурье, основанное на результатах из [166J.
173 ? 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 503 Формула B) будет доказана, если мы покажем, что lim lim 1СлТ/(Осоз«(**)Л=^±Л?^# X -оо л J J 2 0 — оо Обозначая интеграл, стоящий в левой части, ч»ерез У (А, х\ мы можем написать: 4-оо X 4 У (А, *) = -! С /@ ^ С COSa(* — x)da, C) О + 0 О т. е. можем переставить порядок интегрирования по t и по А. Это вытекает из того, что в силу абсолютной интегрируемости функ- функции f(x) интеграл: + 00 f (t) сова (t — x)dt D) — 00 сходится равномерно при всех значениях а. Действительно, интегралы N* - N С /@ cos a (t — x)dt% i f(t) cos a (f—x)dt (N<N') ... E) по абсолютному значению не превосходят N' I/WI л, F) и, стало быть, при данном е существует такое NOi не зависящее от а, что при всех N и N' > No интегралы E) будут меньше в по абсолютной вели- величине, ибо этим свойством, в силу абсолютной интегрируемости f(t)t обладает интеграл F). Но тогда интеграл D) можно интегрировать по параметру а под знаком интеграла, что и дает нам X -f-oo -f со X У(А,Л-) = 1 Ctfa С f(t) C0Sa(t — x)dtz=z± С f{t)dttcosa(t—x)da. О — оо — оо О Внутренний интеграл по а правой части формулы C) можем вычислить не- непосредственно и получим + 0О С ^1H?^) G) t—x — оо и нам остается найти + 00 lim 1 С /(О — х Разбив промежуток интегрирования (— оо, +- оо) на два промежутка (— оо, х\ (х, + оо) и введя вместо (f — х) переменную (— г) в первом и г во втором
504 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ 1173 промежутке, мы перепишем G) в виде 00 Оба эти интеграла имеют вид интегралов Дирихле, но только с беско- бесконечными пределами. Тем не менее нетрудно показать, что они обладают свойствами обычных интегралов Дирихле, т. е. при X —* оо должно получиться 00 1С dz -- 0), (8) после чего окажется действительно что и докажет теорему Фурье. Остается доказать формулы (8). Ограничимся доказательством пер- первой из этих формул. Пусть е — любое заданное малое положительное число. iX При z > 1 множитель по абсолютной величине меньше единицы при любом вещественном X, а функция f(x — z) по условию абсолютно интегри- интегрируема в промежутке @, со) и, следовательно, существует такое число N> lt что при всяком X 00 00 Рассматривая интеграл Дирихле в конечном промежутке можем утверждать, что он стремится к -^ /(# —0) при Х-+оэ, т. е. при всех достаточно больших X N Имеем очевидно ; — z) dz, z -\/(x-z)^^dz-~f(x-O): -Ь \ Пх-z. sinX^
1733 § 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 505 откуда, в силу последних неравенств, при всех достаточно больших X будем иметь 1 (* Ввиду произвольной малости е это и дает первую из формул (8). Вто- Вторая доказывается буквально так же. Формула B) может быть преобразована, если функция/(лг) четная или нечетная. В самом деле, раскрывая cos a(t — x)t имеем ОО +00 : — 0) _ 1 Л \ \ ^^cos cos алг "Ь О —оо /(*) sin otf sin оагЛ], (9) причем оба интеграла по t имеют, очевидно, смысл ввиду абсолют- абсолютной интегрируемости f(t) в промежутке (— оо, -f- оо). Если функция f(t) — четная, то функция f(t) cos at — четная, а функция/@ sin at — нечетная, и, следовательно, +2° \ f(t) cos at dt = 2\ f(t)cosi —оо +CO i f(f) sin at <# = 0, так что 2 .. ., tf = \ cos ax da \ f(f) cos at dt. Если же функция /(лг) — нечетная, то таким же образом получим Если функция f(x) определена только в промежутке @, оо), ее можно продолжить в соседний промежуток (— оо, 0) четным или нечетным образом и тогда мы для одной и той же функции f(x)t
506 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ [173 считая ее для простоты непрерывной, получим две формулы 00 00 f(x) = ^ \ cos ax d% С f(t) cos iX dt (x > 0), A0) о о oo oo f(x) = -~- ^ sin *x d* \ f® sin ^ dt о о Нужно только помнить, что для первой из них функция f(x), про- продолжаясь четно, дает непрерывную функцию от ху так что первая фор- формула верна и при х = 0; во второй же формуле, если /@)^0, мы получим разрыв, и правая часть при х = 0 равняется не /@), а нулю. В формуле (9) первое интегрирование совершается по t, и, введя две функции А (а) =1 J /@ cos at dt, В (а) = 1 J /(<) sin а/ Л, —СО —00 мы можем переписать формулу (9) в виде со /(х) = \ [A (a) cos ад;-|-?(а) sin ax] d%% считая для простоты f(x) непрерывной. В этой формуле мы имеем разложение f(x) в бесконечном промежутке (—oo, -f-oo) на гармо- гармонические колебания, причем частоты а этих колебаний непрерывно меняются от 0 до -j-oo, а функции А (а) и В (о) дают закон рас- распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты а. Для конечного промежутка (—/, /) мы имели частоты аЛ=-^ (п — 0, 1, ...), образующие арифметическую прогрессию. Если в формуле A0) положить 00 Д (а) = л/ С fit) cos d dt, A2,) то ее можно переписать в виде со /(х)=y\ \ ъ (а) c°s ах сь- (х 2^ В этих двух формулах f(x) и /i (а) совершенно одинаково выражаются одна через другую. Если считать в формуле A22) f(x) заданной и /i(a) — искомой, то формула A22) представляет собою так называемое интегральное уравнение для Д (а), поскольку эта функция входит под знак интег- интеграла (интегральное уравнение Фурье). Формула A2Х) дает решение
ПЗ] § 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 507 этого интегрального уравнения. Совершенно так же формулу A1) мы можем представить в виде следующих формул: /, (а) = у |- J /@ sin at dt, A3.) О со / (х) = у- $ А (я) sin ах da. A3,) о Пример ы. 1. В формуле A0) положим И-]1 ПРИ 10 при х>\. Мы получим тогда для интеграла, стоящего в правой части равенства A0): ОО 00 ОО 1 00 i cos ах doL С f{t) cos otf dt = f cos «jr da f cos ^ ^ = f и следовательно, 2 f cos ал: sin a 00 ¦I 1 при 0^л:< 1, у при * = 1, О при ^ > 1. 2. Полагая в формуле (И) •f(x) = мы в правой части имеем интеграл и получаем таким образом a sin ax _ I у е~Р* при I 0 при x = 0. 3. Точно так же, полагая в формуле A0) найдем Часто формулу Фурье пишут в комплексной форме M^. A4) —00 —00
508 гл. vi. ряды фурье П7з Нетрудно получить эту формулу из формулы B). Заменяя под интегралом e4t-x)i _ cos а р _ ^ _|_ i sin а ^ _ А^ получим два интеграла + 00 -{-00 + 00 +00 + { + + i jj rfa \ f (i) cos a (t — x)dt и JL J da. С f (t) sin a. (t — x)dt. Во втором из них переменная а входит под знак синуса, так что подынтегральная функция есть нечетная функция от а и, следова- следовательно, интегрируя по а в промежутке (— со, -f" °°)> мы получим 0. Наоборот, в первом интеграле стоит четная функция от а, и инте- интегрирование' по а в промежутке (— оо, -f- со) можно заменить инте- интегрированием в промежутке @, сю), приписав к интегралу множитель 2. Отсюда видно, что формула A4) равносильна формуле B). Считая f(x) непрерывной, перепишем A4) в виде +00 — 00 —00 откуда видно, что, как и для формул A0) и A1), мы можем пере- переписать ее в виде следующих двух формул + 00 A(a) = ^J/(O^^, A5,) ^ —00 + 00 /(x) = -i= j A(a)^a^a. A5*) ^ —00 Сделаем одно замечание по поводу интеграла Фурье в комплексной форме. Мы не можем утверждать, что интеграл + 00 +00 с бесконечными пределами по отношению к переменной а имеет обычный смысл [851. Мы можем лишь утверждать, что при любом конечном поло- положительном значении М + Л1 +оо — Л1 —оо и, следовательно, строго говоря, формулу Фурье в комплексной форме мы должны записывать в виде + Ж +оо f(x) = ~- lim [ e~«xidoi i f(t) eati dt. Ztt Л1-+оо J J Л1-+оо J J — A\ — oo
174] § 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 509 В данном случае нижний предел стремится к(—оо), а верхний — к (+оо), имея одинаковые абсолютные значения. Для существования несобст- несобственного интеграла в обычном смысле необходимо, чтобы предел существо- существовал при любом законе стремления нижнего предела к (—оо) и верхнего к (+оо). 174. Ряды Фурье в комплексной форме. Ряд Фурье можно представить в комплексной форме так же, как это мы только что сделали с интегралом Фурье. Напомним формулы из [168]: 00 (a* cos — +Mm— , ft=i A6) -Н -Н ak=-L С/фсов-^Я, 6* = -)- ^/(l)sin M«. Покажем, что формулы эти равносильны следующим: +00 I ""* +» } "Я? f(x)= ^спе l , c^^We '«Й. A7) л== — оо —/ Здесь значок п принимает не только целые положительные, но и отрицательные значения. Определим отдельно cQi ck и c_k, где k — целое положительное число. Согласно A7) и A6) имеем (s *f_ /sin —/ Подставляя в ряд A7) и суммируя отдельно по положительным и отрицательным значкам, получим Слагаемые двух написанных сумм при одинаковых А суть мнимые сопряженные величины. Соединяя их в одно слагаемое, получим ве- вещественную величину . kitX . kiZX
510 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ [175 и предыдущее выражение для f(x) совпадает с рядом Фурье A6), откуда и следует равносильность A7) и A6). 176. Кратные ряды Фурье. Ряды и интегралы Фурье могут слу- служить и для представления функций от двух и большего числа неза- независимых переменных. Рассмотрим, например, функцию /(лг, у) перио- периодическую, периода 2/ относительно х и периода 2т относительно у. Рассматривая функцию f(x, у) как функцию от лг, мы имеем f{x, V)= 2 cQ(y)e \ A8) cr = — oo где $ Функция cff(y), в свою очередь, может быть разложена в ряд вида где t V т j cQXe Т = — 00 +m Подставив полученное выражение для га(у) в формулу A8), ао- лучим + +оо f(X) y)= 2 ( о = ~оо 1 = —оо откуда, раскрывая скобки, имеем формулу f(X, y)= S <^ ГЛ » B0) Т = —00 которая обобщает ряд Фурье на случай двух переменных. Таким же образом для периодической функции f(xit хь х3) от трех независимых переменных периода 2а)А относительно хк, периода
175] § 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 611 2сю.2 относительно jc2 и периода 2а>3 относительно хъ> мы имеем / \Х\-> Л-2, -^з^ — / j ^^^^^ у V/ где | оI о>2 <о3 ^ __;я^__-}--^-} — j Выделяя вещественную часть в формулах B0) и B1), получим разложение в ряд Фурье в вещественной форме. Ряд B0) при /=//z = тс имеет вид оо о, -г—0 -f-^а.Ч sin ajicr cos xy-\-a{o]x sin ал: sin zy). B3) Мы не выписываем выражений для коэффициентов и не проводим исследования условий разложимости f(x, у) в ряд Фурье. Укажем одно достаточное условие: если f(x, у) имеет период 2ти по х ну, непрерывна и имеет непрерывные частные производные при всех х и j/, то она разлагается в ряд Фурье при всех хну. Отметим, что в формуле B3) а и т могут независимо друг от друга стре- стремиться к бесконечности: оо т п S = иш s S • с, т = 0 т-*оо о = От = О «-¦00 Формула Фурье для функции двух переменных имеет вид B4) — 00 —00 —00 —00 причем интегрирование по ol{ и а.> надо понимать так, как это ука- указано в конце [173]. В вещественной форме будем иметь оо 4~°° °° 4~°° l \ d4 \ /(^^cos aiG — ^)cosa2G]— y)dt\. 0 —oo B5) Эта формула имеет место, если функция f(x,y), определенная на всей плоскости, непрерывна, имеет частные производные первого
512 ГЛ. VI. РЯДЫ ФУРЬЕ [175 порядка, при любом фиксированном у абсолютно интегрируема по х на промежутке —оо<^х<^-|-оо и при любом фиксированном х абсолютно интегрируема по у на промежутке —оо<^у<^-\-оо. Если, например, функция /(лг, у) есть четная функция от х и у, то вместо формулы B5) можно писать f(x,y) = 4 С С С (* = -2 \ cos aAхdcf.x I cos а.хЬс& \ cos а2у A<х% \ /($,tj) cos а2у\di\. B6) О О D О Аналогичным образом может быть написана формула Фурье и для функции f(xv Хъ ..., хп) любого числа независимых переменных.
Г Л А В А VII УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 176. Уравнение колебаний струны. Вопрос об интегрировании дифференциальных уравнений с частными производными принадлежит к наиболее трудным и обширным отделам анализа, и здесь мы огра- ограничимся рассмотрением основных задач из указанной области. Насто- Настоящий параграф мы посвятим задачам, связанным с так называемым волновым уравнением д*и «(д2и . д2и , д2и\ д2и = Д Н4 + } или ~Т7Т- dt2 \ дх2 • ду* [ dz2 где Ди = -J--J- 4- -^-s—f- -s-x- == di v grad it. dx2 ' dy* ' dz2 ь К этому уравнению мы пришли при рассмотрении звуковых и электрО]Магнитных колебаний. Положим, что и не зависит от у л zy т. е. что и имеет одинаковое значение во всех точках любой плоскости, перпендикулярной оси ОХ. В этом случае волновое уравне- уравнение принимает вид и в таких случаях говорят обычно, что имеется плоская волна. Мы покажем сейчас, что такое же уравнение получается при рассмотре- рассмотрении малых поперечных колебаний натянутой однородной струны. Под струной мы понимаем тонкую нить, которая может свобод- свободно изгибаться. Допустим, что она находится под действием сильного натяжения То и в состоянии равновесия без внешних сил направлена по оси ОХ. Если мы выведем ее из положения равновесия и, кроме того, подвергнем действию какой-нибудь силы, то струна начнет ко- колебаться, причем точка струны, занимавшая при равновесии положе- положение N с абсциссой х, к моменту t займет положение /И. Мы огра- ограничимся рассмотрением только поперечных колебаний, предполагая, 17 В. И. Смирнов
514 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ A78 что все движение происходит в одной плоскости и что точки стру- струны движутся перпендикулярно оси ОХ (рис. 120). Смещение NM то- точек струны мы обозначим через и. Это смещение и будет искомой функцией двух независимых переменных х и t. Выделим элемент струны ММ\ который при равновесии занимал положение NN'. Считая деформации малыми, мы будем пренебрегать квадратом производной ^— по сравнению с единицей. Пусть а — ост- острый угол, образованный направлением касательной к струне с осью ОХ Мы имеем да да ._ _._ _ tg« = -3— и sin а = дх дх V l да дх Обозначим через F силу, действующую на струну перпендикулярно к оси ОХ и рассчитанную на единицу длины. На рассматриваемый элемент ММ действуют следую- следующие силы: натяжение в точке М\ направленное по касательной в точ- точке М\ причем оно образует ост- острый угол с осью ОХ, натяжение в точке М, направленное по касатель- касательной в точке М и образующее ту- тупой угол с осью ОХУ и сила F dx, направленная по оси и. Ввиду сде- сделанного предположения малости де- деформаций мы считаем оба упомяну- упомянутых выше натяжения равными по величине натяжению 7'0. Положим сначала, что мы имеем равновесие струны под действием упомянутой силы F. Проектируя на ось и, бу- будем иметь следующее условие равновесия: То sina'— To sin а-{-/7йлг = 0, A) где а' — значение упомянутого угла а в точке ЛГ, т. е. *"-(?¦).. —-(•?•)„. и, следовательно, Рис. 120. Разность, стоящая в квадратных скобках, выражает приращение функции-^-—, вызванное изменением х на dx. Заменяя это приращение дифференциалом, получим [I, 60] \дх)м' [дх )м~ дх*
176] § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 515 Подставляя в B) и сокращая на dxf будем иметь уравнение равновесия струни ghO. C) Для получения уравнения движения нам достаточно, по прин- принципу Даламбера, к внешней силе добавить еще силу инерции, кото- которую мы получим следующим образом: скорость точки М есть оче- да дЧ видно -4J-, а ускорение -зтг*, и поэтому сила инерции элемента ММ, равная с обратным знаком взятому произведению ускорения на массу, будет дЧ , Wfdx' где р есть линейная плотность струны, т. е. масса единицы длины, а сила инерции, рассчитанная на единицу длины, будет дЧ причем мы считаем р постоянной величиной. Итак, уравнение движения мы получим, заменяя в уравнении C) F на F — p-dJr> что дает д2а ^ д-и , „ Разделив на р и положив А = а*, L=f, D) мы получаем уравнение вынужденных поперечных колебаний стру* ны дЧ « дЧ Если внешняя сила отсутствует, мы имеем / = 0 и получаем уравнение свободных колебаний струны дЧ 2 дЧ ™ В томе IV мы укажем другой вывод уравнения E) на основе принципа Гамильтона. Выше мы предполагали, что внешняя сила распределена по всей струне непрерывно; но иногда приходится иметь дело с силой Я, сосредоточенной в одной точке С. Этот случай можно рассматри- рассматривать либо как предельный случай предыдущего, считая, что сила действует на бесконечно малый элемент длины е около точки С, но так что произведение ее величины на в стремится к конечному
51 в ГЛ. VIT. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ A76 пределу, отличному от нуля, при е->0, либо же непосредственно, прилагая уравнение B) к элементу ~ММ около точки С и заменяя там Fdx на А Заметим при этом, что мы не добавляем к Fdx силы инерции (—-s-g- p dx\, так как считаем, что она стремится к нулю при dx->0. Считая, что концы элемента приближаются к точке С, и обозна- ди чйв предельные значения, к которым стремится ^-, когда мы при- приближаемся к точке С справа или слева, соответственно через /да\ (ди мы получаем в пределе из уравнения B) Мы видим, таким образом, что в точке С действия сосредоточенной силы струпа имеет угловую точку, т. е. точку с различными направ- направлениями касательной слева и справа. Как и вообще в динамике, одного уравнения движения E) недо- недостаточно для полного определения движения струны: нужно еще задать ее состояние в начальный момент * = 0, т. е. положение ее точек и и их скорость ? при ? = 0, как известные функции от х: (8) Эти условия, которым должна удовлетворять искомая функция и при f = 0, называются начальными условиями. Теоретически можно рассматривать бесконечную струну, и в этом случае для нахождения решения достаточно уравнения E) и условий (8), причем у(х) и cpt (лг) должны быть заданы во всем бесконечном промежутке (—со, -|-оо). Этот случай может соответствовать рас- рассмотрению плоских волн в безграничном пространстве. Как мы уви- увидим в дальнейшем, полученные для бесконечной струны результаты дадут нам картину распространения возмущений и в ограниченной струне до того момента времени, когда в рассматриваемую точку придут возмущения, отраженные от концов струны. Но если струна ограничена с одной или с обеих сторон в точ- точках х — 0 и х = /, то нужно указать, что делается на её концах. Пусть, например, конец струны х — 0 закреплен. В этом случае мы должны иметь »U^ = 0. (9)
177) § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 51.7 Если закреплен и конец лг = Д то мы получаем еще и эти условия должны быть выполнены при всяком L Но концы струны могут быть не закреплены, а двигаться задан- заданным образом. Тогда ординаты этих точек струны нужно считать заданными функциями от времени, т. е. положить Как бы то ни было, если струна ограничена с одной или с обеих сторон, то для каждого ее конца должно быть задано условие, которое называется предельным условием. Итак, мы видим, что для решения конкретной физической за- задачи не меньшее значение, чем само уравнение движения, имеют дополнительные начальные и предельные условия, и что нас интере- интересует не столько нахождение каких-нибудь решений или даже об- общего решения уравнения движения, сколько нахождений именно того решения, которое удовлетворяет поставленным начальным и пре- предельным условиям. 177. Решение Даламбера. В случае свободных колебаний бес- бесконечной струны искомая функция и(х> t) должна удовлетворить уравнению F) dt* ~ дх* при начальных условиях (8) причем ввиду неограниченности струны функции <р (х) и <pi (x) за- заданы в промежутке ( — сю, -f- oo). Можно найти самое общее решение уравнения F), и притом л такой форме, что легко можно будет удовлетворить и условиям (8). Для этого преобразуем уравнение F) к новым независимым пе- переменным: ? = х — at, т) = х -f- at или Считая и зависящим от х и t через посредство 5 и т\ и приме- применяя правило дифференцирования сложных функций, выразим произ- производные по прежним переменным через производные по новым пере- переменным: да да , да да (да да\
Ъ18 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1177 Применяя эти же формулы еще раз, получим д2и _д_ / да , да \ , д (да , да \ д2н ¦ ^ ^2w • д2а сРа rfiSLldli дЦ\ *JL(— ^!L\ 2 f^f ^ д*и , д2п\ dt2 df\ \ду\ д? ) д% \ду\ д?) \д?* откуда №i 2 д*и 4 2 д2ц и уравнение F) оказывается равносильным следующему: Переписав уравнение A1) в виде д (да заключаем, что ^- не зависит от т], т. е. является функцией только от I. Положив получаем, интегрируя, где 62(tj) есть произвольная функция от т) («постоянная» при инте- интегрировании по I может зависеть от т}). Первое слагаемое можно считать здесь произвольной функцией от S, ибо 0(?) есть произволь- произвольная функция $, и, обозначив ее через В{(%) имеем или, переходя к старым переменным (лг, f), и(х, t) = Ьх(х — at) + 02(^ + «О, 02) где 0! и 62—произвольные функции своих аргументов. Это самое общее решение уравнения F) называется решением Даламбера; оно содержит две произвольные функции 0j и 02. Для их определения мы воспользуемся начальными условиями (8), которые, ввиду равенства dJL = a[-ei{x- и равенства A2), дают или, интегрируя и меняя знак на обратный, х
1771 § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 519 Положив # = 0, определяем произвольную постоянную О. С=01(О)-02(О). Не ограничивая общности, можем считать С=0, т. е. 01 @) — 0,@) = 0, A4) ибо, если бы оказалось С Ф О, то, введя вместо функций Ъ± (х) и 62 (лг) функции % т' мы, не меняя равенств A3), удовлетворили бы и A4). Итак, мы имеем б, (х) -f 02 (х) = ? (х), 0, (х) - 9, (х) = -11 ь (z) dz. A5) О Отсюда мы без труда определяем функции 01(х) и 0г(х): X \dz. A6) о о Подставив полученные выражения в формулу A2), находим x-at ± T<?(* + *Q + x+at X X или, окончательно, x+at u(x, t) = ^-at)p(X + at) + ^ J b x—at Формула A7) дает, очевидно, дважды непрерывно дифференцируе- дифференцируемое решение (так называемое классическое решение) задачи, если ср (х) имеет непрерывные производные у(х) и у"{х), а ср,(х)—непрерыв- ср,(х)—непрерывную производную <f[(x) при —оо <^ х <^ -j- oo. Однако нередко приходится иметь дело с задачами, в которых начальное возмущение задается функциями, не удовлетворяющими этим условиям. Например, если струна в начальный момент имеет форму ломаной линии, то у(х) не имеет определенной производной в вершине ломаной. Тем не менее разумно считать, что формула A7) дает решениз задачи, хотя функция и(х, t) и не всюду имеет непрерывные про- производные до второго порядка. В этом случае говорят, что задача имеет так называемое обобщенное решение. Теория обобщенных решений будет изложена в томе IV.
520 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ГП8 178. Частные случаи. Формула A7) дает полное решение по- ставленной задачи. Для лучшего уяснения полученного решения раз- разберем различные частные случаи. 1. Начальный импульс равен. нулюу т. е. начальные скорости точек струны равны нулю. При этом условии ®х{х) = 0, и форму- формула A7) дает в то время как в начальный момент я |/»о = и C*t 0) = ?(•*)• Каков физический смысл решения A8)? Числитель выражения A8) состоит из двух слагаемых, и мы остановимся на первом: <р(лг— at). Положим, что наблюдатель, выйдя в начальный момент времени * = 0 из точки х = с струны, передвигается в положительном на- направлении оси ОХ со скоростью а, т. е. его абсцисса меняется по формуле: x = c-{-at или х — at = c. Для такого наблюдателя смещение струны, определяемое формулой и = ср (х — at\ будет оставаться все время постоянным, а именно равным ср (с). Самсе явление, определяемое функцией и — у(х — ct), называется распро- распространением прямой волны. Возвратись к формуле Даламбера A2), мы можем сказать, что слагаемое Qx (х — at) дает прямую волну, которая распространяется в положительном направлении оси ОХ со скоростью а. Точно так же второе слагаемое в%(х-\-аг) определяет таксе колебание струны, при котором возмущение распространяется со скоростью а в отрицательном направлении оси ОХ в том смысле, что в момент t точка с абсциссой с — at будет иметь тоже откло- отклонение w, которое имела точка je = c при ^ = 0. Соответствующее явление назовем распространением обратной волны. Величина а есть скорость распространения возмущений или колебаний (поперечных). Формула D) показывает, что т. e. что скорость распространения поперечных колебаний обратно пропорциональна корню квадратному из плотности струны и прямо пропорциональна корню квадратному из натяжения. Указанное выше решение A8), которое является средним ариф- арифметическим прямой волны <р(дг — at) и такой же обратной болны y{x-\-at\ может быть получено следующим образом: строим л в а одинаковых экземпляра графика и = у(х) при ? = 0 и вообразим, что они налегают друг на друга, а затем раздвигаются в обе сторо- стороны со скоростью а. График и в момент / получится как средняя арифметическая раздвинутых таким образом графиков, т. е. этот график в момент t будет делить пополам отрезки ординат между раздвинутыми графиками.
178) I 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 521 Отметим, что в последующем примере не выполнено то условие малости tg а, которое предполагалось при выводе уравнения F), и этот пример имеет качественный характер. Пусть, например, график ср(лг) имеет вид, изображенный на рис. 121: (О вне промежутка (—а, а), X + а При — о ^ X ^ 0, а 2а За а 45' 4а* 4а» ~а> \— X -\- а при На рис. 122 изображены графики u(xt t) в моменты 5а 2а 4я' а' Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные оси: одну для переменной х и дру- другую для L На рис. 123 нами отмечена одна ось X. Всякая точка нашей плоскости опреде- определяется двумя координатами {xt t), т. е. такая точка характеризует определенную точку струны х в определенный момент времени L Гк X * 0 * Рис. 121. -ее Ш- а Та -За -2а -a if а 2а да Рис. 122. Нетрудно при этом определить графически те точки струны, началь- начальные возмущения которых дошли в момент t9 до точки jc0. Это будут» Рис. 123. согласно предыдущему, точки с абсциссами x9-jratQt так как а есть скорость распространения колебаний. Для нахождения их на оси X
622 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ A78 достаточно провести через точку (дг0, *0) две прямые x-at = x%-atb \ x-{-at = xo-{-atQ, ) и в пересечений их с осью ОХ и получатся искомые точки. Пря- Прямые B0) называются характеристиками в точке (лг0, t0). Вдоль пер- первой из этих прямых у(х — at) сохраняет постоянное значение, т. е. эта прямая дает те значения (х} t), при которых прямая волна дает то же отклонение, что и при значениях (х0, ?0). Вторая из прямых B0) играет ту же роль для обратной волны. Можно сказать коротко, что возмущения распространяются по характеристикам. Применяя указанное построение, можем обнаружить следующие факты. Пусть начальное возмущение имелось лишь в некотором проме- промежутке (<*!, а2) струны (рис. 123), т. е. ср(х) = 0 вне этого промежутка. Ограничиваясь лишь верхней полуплоскостью (xt f), т. е. t^>0, кото- которая одна имеет физический смысл, проведем характеристики из точек ал и а2 оси ОХ, начерченные сплошными линиями. Эти характеристики разобьют всю полуплоскость на шесть областей. Область (I) соот- соответствует таким точкам, до которых в данный момент доходит как прямая, так и обратные волны. Область (II) соответствует тем точкам, до которых в данный момент доходит только обратная волна; в об- область же (III), наоборот, доходит только прямая волна. Точки облас- областей (IV) и (V) таковы, что к данному моменту до них возмущение еще не дошло. Наконец, до точек области (VI) возмущение успело дойти и пройти через них, и в данный момент они находятся в состоя- состоянии покоя. Это ясно из того, что если через какую-нибудь из точек М этой области провести характеристики, то они пересекут ось ОХ в некоторой точке х = с вне отрезка начального возмущения, и, следовательно, значения <p(x±at) = <p(c) будут равны нулю. Кроме того, если провести через М прямую, перпендикулярную оси ОХ, то нижняя часть этой прямой, которой соответствуют при неизменном х более ранние моменты времени, пересечет по крайней мере одну из областей (I), (II), (III), а верхняя часть этой прямой, которой соот- соответствуют более поздние моменты времени, будет вся находиться в области (VI). Этим замечательным свойством—приходить к первона- первоначальному состоянию после прохождения волн — струна обладает не при всяком начальном возмущении, как будет видно ниже. 2. Начальное смещение равно нулю и имеется только начальный импульс. Мы получим тогда решение x+at и(х9 <)==5 $ ?i (*)<**. B1) x-aJt
178} § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 523 Если обозначим какой-нибудь неопределенный интеграл функция (pW через <?i(x), то получим и(х, 0 = Ф1(дг + а0 — ®i(x — at), B2) т. е. также будем иметь дело с распространением прямой и обрат- обратной волны. Если начальное возмущение ограничивалось лишь про- промежутком (аь а2), мы получаем то же построение, что и в случае 1, с тем, однако, важным различием, что в области (VI) смещение бу- будет уже отлично от нуля и будет выражаться интегралом *1 Действительно, для точек области (VI), по самому построению этой области, мы имеем х-\- ctf]>a2 и х — at<^alt т. е. в формуле B1) интегрирование надо производить по промежутку, заключающему («!, <х2) внутри себя. Но по условию вне (y.iy а.2) функция cpt (z) равна нулю, так что остается интеграл лишь по (а{, а2), и мы получаем для и(х, t) выражение B3), которое представляет собою некоторую постоянную. Таким образом действие начального импульса приводится к тому, что с течением времени точки струны будут сдвигаться на отрезок, длина которого выражается интегралом B3), и оставаться без дви- движения в этом новом положении. Можно истолковать еще формулу B1) следующим образом. Пусть точка х лежит правее промежутка (ах, а2), т. е. лг^>а2. При * = 0 промежуток интегрирования (х — at, x-\-at) вырождается в точку х, а затем, при увеличении t, он расширяется в обе стороны со ско- скоростью а. При г<СУ^—^ он не будет иметь общих точек с (а1э а2), функция 4\{z) будет в нем равна нулю, и формула B1) даст и(х, /) = 0, т. е. покой в точке х. Начиная с момента t= х~~~а* ^ промежуток (x — at, x-\-at) будет налегать на промежуток (aiy а2), в котором cpj(^) отлично от нуля, и точка х начнет колебаться (момент прохождения переднего фронта волны через точку х). Наконец, при t^> - ~~gl промежуток (х — at, хЛ-at) будет содер- жать целиком промежуток (а1? а2), интегрирование по промежутку (х — at, x-\-at) будет сводиться к интегрированию по (аь а2), так как вне этого последнего промежутка cpj (z) по условию обращается в нуль, т. е. при t^>,Ar"~Qtl мы имеем постоянное значение и(х, О» определяемое выражением B3). Момент t = есть момент про- прохождения заднего фронта волны через точку х.
524 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Г179 Сделаем некоторые замечания по поводу общего случая. Отме- Отметим, что в общем случае может оказаться, что прямая или обратная волна вовсе отсутствует. Действительно, положим, например, что функции ср (х) и cpj (лг), входящие в начальные условия, удовлетворяют соотношению X ?M + i \<P(z)dz 0 B4) При этом, в силу второй из формул A6), функция 6.2(лг) будет тождественно равна нулю, и в общем решении A2) обратная волна будет отсутствовать. Если в правой части B4) мы вместо нуля по- поставим постоянную, то 62 (jc) обратится в постоянную, а в формуле A2)- это постоянное слагаемое можно отнести к О^х — at)y т. е. обратная волна также будет отсутствовать. Вернемся к примеру, рассмотренному нами в случае 1. Рис. 121 дает график начального отклонения (начальная скорость равна повсюду нулю). Последний из рис. 122 дает график струны в некоторый момент t = t^ со- состоящий из двух отдельных кусков. Правый кусок, соответствующий промежутку (с, Зс), будет передвигаться направо, а левый кусок — налево со скоростью а. Но мы можем описывать дальнейшие явления при t^>to, приняв момент t = t0 за начальный момент, подсчитав для этого момента отклонения и и скорости ^ и применяя общую фор- формулу A7), в которой надо только в правой части заменить t на (t —10), так как tQ принято за начальный момент времени. В данном случае начальные условия будут отличны от нуля только на проме- промежутках (— Зс, — с) и (с> Зс). В общем случае возмущения на каж- каждом из этих промежутков дали бы и прямую и обратную волны. Но в данном случае, как мы видели выше, возмущения, например на промежутке (с, Зс), дают только прямую волну. Это происходит потому, что на этом промежутке, кроме начальных отклонений, изо- изображенных на последнем из рис. 122, возникнут в результате кс- лебаьшй такие скорости при / = ?0, что обратная волна будет отсут- отсутствовать. Совершенно так же возмущение на участке ( — Зс, — с) не даст прямой волны. Это явление соответствует одной из форму- формулировок принципа Гюйгенса. 179. Ограниченная струна. Пусть имеется конечная струна, закрепленная на концах, и пусть абсциссы концов струны будут х — 0 и х = L Кроме начальных условий (8)
179) § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 525 где (р(х) и у{(х) заданы при O^x^l (ср@) = <?х@) = ср(/) = = ср1(/) = О), нужно удовлетворить еще предельным условиям Решение Даламбера A2) и(х, f) = Ol(x — at) + ^(x^at)t A2) конечно, годится в этом случае, но определение функций 0Х и 0.2 пэ формулам A6) B6) встречает здесь то затруднение, что функции срС*О и 9i(x)> а следо- следовательно и $i(x) и 0,г(х)у определены лишь в промежутке @,/) со- согласно физическому смыслу задачи, а аргументы (x±at) в формуле A2) могут лежать и вне этого промежутка. Стало быть, для возможности применения способа характеристик нужно продолжить функции Ьх(х\ %{х) или, что вполне эквивалент- эквивалентно, функции ср(лг), ®i(x) вне промежутка (О,/). С точки зрения физической это продолжение сводится к определению такого началь- начального возмущения бесконечной струны, чтобы движение ее участка (О, /) было то же, как если бы он был закреплен в концах, а остав- оставшаяся часть струны была бы отброшена. Подставляя в правую часть A2) х = 0 и х — l и приравнивая результат нулю, выразим предельные условия в виде е,(—в<)+в*(«О=о, 1 или, обозначив переменный аргумент at просто через х, =_e,(x), \ Когда х изменяется в промежутке @, /), аргумент (/ — х) изменяется в этом же промежутке, и правые части равенств B8) нам известны. Но при этом аргументы (—х) и A-\-х) изменяются соответственно в промежутках (—/, 0) и (/, 2/), и второе из уравнений B8) дает нам значения %(х) в промежутке (/, 2/), а первое дает 6t(дг) в про- промежутке (— /, 0). Далее, при изменении х в промежутке (/, 21) аргу- аргумент A-х) изменяется в промежутке (— /, 0), и правые части ра- равенств B8) нам известны на основании предыдущего вычисления.
626 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ A7) При этом аргументы (—х) и A-\-х) изменяются в промежутках (—2/, —/) и B/, 3/), так что формулы B8) дают нам %(х) в про- промежутке B/, 3/) и Qi(x) в промежутке (—2/, —/). Продолжая так и дальше, мы убедимся в том, что формулы B8) дают нам определен- определенные значения для функции ®i(x) при х^О и 02(лг) при х^1, что нам и надо для применения формулы A2) при t^>0. Совершенно так же, если менять х в промежутке (—/, 0), то левые части формул B8) известны, и мы получаем В.2(х) в промежутке (—/, 0) и 6j (х) в промежутке (/, 2/). Меняя затем х в промежутке (— 2/, — /), получим 02 (х) в промежутке (— 2/, — /) и 0j (лг) в промежут- промежутке B/, 3/) и т. д., т. е. формулы B8) дают нам определенные значения 0\(х) и 02(jc) ПРИ всех вещественных х. Если мы заменим во втором из уравнений B8) х на A-{-х) и воспользуемся первым уравнением, то получим т. е. оказывается, что функция 02(лг) имеет период 2/. После этого первое из уравнений B8) покажет нам, что и функция $i(x) имеет период 2/. Из этого вытекает, что для фактического знания Bt(x) и 02(х) при всех вещественных х нам достаточно провести только первую из описанных выше операций продолжения этих функций, т. е. достаточно изменять х только в промежутке @, /). Формулы B8) дадут нам 9{(х) в промежутке (— /, 0) и 02(лг) в промежутке (/, 2/), т. е. Oj (х) будет известно в промежутке (— />-f~/)> а 02(лг)— в промежутке @, 21). Остальные значения этих функций получаются из их периодичности. Определив таким путем функции 0t(x) и 6«(лг), нетрудно про- продолжить и функции <р(х), <pi(x), так как, в силу уравнений B6), мы имеем X т. е. а Заменяя в первом из уравнений B8) х на (—х), а также дифферен- дифференцируя, получим Пользуясь этими соотношениями и первыми из уравнений B8), можем написать
179] § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 527 т. е. для <f(x) и <pi(x) получаем чрезвычайно простой закон продол- продолжения: они продолжаются из промежутка @, [) в промежуток (— /, 0) по закону нечетности, а затем с периодом 2/. Если при этом мы получим на всей оси х функции ср(х) и у{(х) такие, что ср(х) имеет непрерывные производные <р'(х) и ср" (jc), а срА (лг)—непрерывную производную уЦх), то, согласно формуле A7), мы будем иметь два- дважды непрерывно дифференцируемое решение нашей задачи. Обращаемся вновь к плоскости xt. Ввиду ограниченности струны, надо рассматривать только полосу верхней полуплоскости t ^> 0, заключающуюся между прямыми лг = О, х = 1 (рис. 124). Выясним физический смысл решения A2), в котором функции 0{(х) и Ь2(х) определены уже при всех значениях х, как указано выше. Проведя через точки О и L характеристики до встречи с проти- противоположными границами полосы, через полу- полученные точки пересечения опять проводим характеристики до встречи с противополож- противоположными границами полосы и т. д. Мы разобьем таким образом полосу на области (I), (II), (III),... Точки области (I) соответствуют тем точкам струны, до ко- которых успели дойти возмущения лишь от внутренних точек, а потому фиктивно до- добавленные бесконечные части струны здесь на движение не влияют. В точках вне об- области (II) мы имеем уже возмущение, до- дошедшее от фиктивной части струны; возьмем, например, точку Мо (хо> в области (II). Так как у = вх (х0 - at,) + 02 (х0 + eg, Рис. 124. то в этой точке имеются две волны: одна — прямая, дошедшая от на- начально возмущенной точки AfA струны с абсциссой х = х0 — at0, дру- другая— обратная из точки М$ с абсциссой x = xo-{-atQ, причем, в данном случае ЖА есть реальная точка из промежутка @, /), М2 — фик- фиктивная. Нетрудно заменить ее реальной точкой, заметив, что, в силу B8), и таким образом обратная волна ^(xo-\-ato) есть не что иное, как прямая волна — 6j B/ — х0 — at0) от начально возмущенной точки M'2Bl — x0 — at0) (симметричной с М2 относительно точки I), кото- которая, дойдя до конца струны L в момент • B/ — х0 — at0) __. а
ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ изменила свое направление и знак на обратные и к моменту t9 дошла в таком виде до точки Мо; другими словами, действие за- закрепленного конца х = 1 свелось к отражению волны смещения, связанному с переменой знака смещения и с сохранением его абсо- абсолютной величины. То же явление мы обнаружим и для волн, дошедших до конца х — 0; в точках области (III) мы будем иметь дсе волны: обратную )¦; прямую, отраженную от конца х = 0. В точках областей (IV), (V), (VI), ... получим волны, которые претерпели несколько таких отра- отражений от обоих концов струны. Если бы вместо предельного условия B5) мы, например, в конце х — / имели бы условие ди = 0, то вместо второго из уравнений B7) мы получили бы или, заменяя опять at на лг, Интегрируя это соотношение, имеем очевидно где С — некоторая постоянная, которую, не ограничивая общности, можно считать равной нулю, в чем предо- предоставляем убедиться читателю. Таким обра- образом мы имеем = ei(/ — x). B9) Рис. 125. Физический смысл этого условия сво- сводится также к отражению от конца х = 1у но с сохранением и знака и ве- величины смещения. Особенно простой пример применения из- изложенного выше способа характеристик и от- отражений дает нам „защепленная струна", которая в начальный момент была оттянута за одну из ее точек без начальной скорости. Читатель без труда докажет нижеследующий способ определения фигуры струны в любой мо- момент t по ее начальной фигуре.
180] 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 529 Па рис. 125 линией ОЛЬ изображена начальная форма струны, ной — симметричное ее изображение относительно середины струны Опустим на ОЬ перпендикуляр АР до встречи его с прямой А'Ь в точке В', находим середину С отрезка АВГ и определяем таким образом направление LC. Фигура струны в любой момент получится, если мы будем передвигать секущую, параллельную направ- О лению LCt от точки Л к точке Л'; в частности в момент т= — струна займет положение пунктирной лома- ломаной OA'L На рис. 126 изображены последовательные формы, принимаемые струной в моменты: О 0| ?т> Тт> TZ) т* 180, Способ Фурье. Поперечные колебания струны, закрепленной в концах, могут быть трак-^ тованы и с помощью рядов Фурье, и хотя в этом * частном случае этот способ и не так прост, как предыдущий, мы его изложим, так как он приме- применяется во многих других задачах, к которым спо- способ характеристик не применяется. Напишем еще раз уравнения нашей задачи в другом порядке: пунктир- д*и (=0 - д2а C0) C1) C2)' Рис. 126. Вместо того, чтобы искать общее решение уравнения C0), будем искать частное его ре- решение в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от t, а другая только от х: u=T(t)X(x). Подставив это в C0), имеем C3) или a*T(t)~ ад1 В левой части полученного уравнения стоит функция, зависящая только от t> в правой же — только от х, и равенство возможно лишь
530 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [180 в том случае, если и левая и правая части не зависят ни от t, ни от х, т. е. представляют собой одну и ту же постоянную. Обозначим эту постоянную через (— к2): _ Х'(х) _ — — a4{t) — Х(х) откуда получаем два уравнения X" (х) + & X (х) = 0, Г @ + аЧ* T(t) = 0. C5) Общие интегралы этих уравнений при k ф 0 будут [28] X (х) = С cos kx -j- D sin A*, 7@ = A cos aAi -f- ? sin akt, где Л, Д С, D — произвольные постоянные. Согласно C3) для и получим и = (A cos akt -)- Б sin akt) (С cos kx + D sin kx). C6) Будем теперь подбирать постоянные так, чтобы удовлетворялись пре- предельные условия C1), т. е. чтобы в выражении C6) множитель, со- содержащий х} обращался в нуль при х — 0 и x = L Это дает С- 1 -f D• 0 = 0, С cos kl-\- D sin kl—Q. Из первого уравнения следует С=0, и второе дает Dsinkl=0. Если считать ?) = 0, то, в силу C=D = 0, решение C6) будет тождественный нуль. Такое решение не представляет для нас инте- интереса. Поэтому мы должны считать 23^0, но sin kl=0. Мы получаем таким сбразом уравнение для определения пара- параметра k, который до сих пор оставался совершенно произвольным1): sin kl=07 е C7) Если мы подставим в C6) k=~- или k = — -^-, то разница будет лишь в знаке у синусов, и ввиду наличия произвольных по- постоянных множителей эти два решения будут по существу одинако- одинаковыми. Таким образом из значений C7) для k достаточно взять лишь положительные. Полагая в формуле C6) С=0 и обозначая произвольные постоянные AD и BD через i и Д получим и = (A cos akt -f- Б sin akt) sin kx. J) Если бы мы в уравнении C4) обозначили постоянную через (-f k2) вместо (—Л2), то получили бы Х(х)= Секх + De~kx и не смогли бы удовлет- удовлетворить предельным условиям C1). Такое же обстоятельство будет иметь место и при А = 0. Аналогичное замечание относится и к дальнейшим задачам, к которым мы будем приме- применять способ Фурье.
1811 § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 631 Мы должны еще подставить вместо k одно из значений C7). Подставляя вместо k различные значения, мы можем и постоянные А и В считать различными. Мы получаем, таким образом, бесчисленное множество решений / . mzat i п . nnat \ , пкх . 1 о \ /оо\ i/n = ^cos —( \-Вп sin —J-) sin-у- (я = 1, 2, ... ). C8) Эти решения удовлетворяют как уравнению C0), так и предель- предельным условиям C1). Заметим теперь, что благодаря линейности и однородности уравнений C0) и C1), если мы имеем решения щ9 щ, ..., им удовлетворяющие, то и их сумма будет также им удовле- удовлетворять (как и в аналогичном случае обыкновенных линейных одно- однородных уравнений). Мы имеем таким образом следующее решение уравнений C0) и C1): 00 2( А tmat , п . meat \ . пкх /олч (Д cos -у- + Вп sin _) sin -у-. C9) Остается подобрать постоянные Ап и Вп так, чтобы удовлетво- удовлетворялись и начальные условия C2). Продифференцируем решение C9) no t: 00 да \1 / та я . mat , пка о nzat\ . пкх //|ЛЧ 2p^sin—r + ~r5rtcos~7-J sin—. D0) Полагая в C9) и D0) ? = 0, получим, в силу C2), оо оо СР(ЛГ)= 2л Ап sin T1 Ъ-(*)= 2d~~l~BnS я=1 я=1 Написанные ряды представляют собою разложение заданных функ- функций ср(лг) и 'fi(Ar) по синусам в промежутке @, /). Коэффициенты таких разложений определяются по известным нам формулам, и это дает нам следующие значения Ап и 5Д: / i А. = Т [ 9(г) sin ^-dz, Bn = -^\b{z)bm^-dz. D2) *о о Подставляя эти значения в формулу C9), получим ряд, формаль- формально удовлетворяющий всем поставленным требованиям. Достаточные условия, налагаемые на у(х) и ср^лг), при которых его сумма дейст- действительно дает решение рассматриваемой задачи, будут даны ниже. 181. Гармоники и стоячие волны. Введем амплитуду МЛ и на- начальную фазу <рЛ гармонического колебания „ nnat | о . mat к, . / rnzat ^cos-7~+^/lsin-r- = ^/l sin ^
532 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [181 Каждый член ряда C9), дающего решение задачи iiTzat . г, . muzt\ . mix .. . / nuat , \ . пcos -{ \-Вп sin -y—j sin — =Nn sin ^-— -f <ря)si ппх представляет собою так называемую стоячую волну, при которой точки струны совершают гармоническое колебательное движение с одинаковой фазой и с амплитудой пт.х зависящей от положения этой точки. При таком колебании струна издает звук, высота которого зависит от частоты колебаний птга ,лл. а сила—от наибольшей амплитуды Nn колебаний. Придавая п зна- значения 1, 2, 3, ..., мы получаем основной тон струны и ряд после- последовательных обертонов, частоты которых или числа колебаний б секунду пропорциональны членам натурального ряда целых чисел 1, 2, 3, ... При некоторых значениях х амплитуда iV^sin-^-1- может быть отрицательной. Можно ее взять по абсолютной величине, доба- добавив к фазе тт. Решение C9), т. е. звук, издаваемый струной, складывается из этих отдельных тонов, или гармоник; амплитуды их, а потому и влияние их на звук, издаваемый струной, обыкновенно быстро убы- убывают при уьеличении номера гармоники, и вей их действие сводится к созданию тембра звука, различного для разных музыкальных инструментов и объясняемого именно наличием этих обертонов. В точках амплитуда колебаний п-И гармоники обращается в нуль, пбо в этих течках sin7^ = 0, и точки D5) называются узлами #~й гармоники. В точках же / 3/ B/1-1)/ Х Х~2п' Ъг> •••' 2л амплитуда колебаний /2-й гармоники достигает наибольшей величины, ибо функция sin -у1- в этих точках имеет максимальное абсолютное значение, и точки D5j) называются пучностями для я-й гармо- гармоники. Струна колеблется при этом так, как будто бы она состояла из п различных кусков, не связанных между собой, но закреплен- закрепленных в ограничивающих узлах. Если мы прижмем нашу струну как
1811 § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 533 раз посередине, т. е. в пучности ее основного тона, то обратятся в нуль амплитуды не только этого тона, но и всех других, имеющих пучности в этой точке, т. е. 3-й, 5-й, ... гармоник, напротив, на четные гармоники, которые имеют узел в прижатой точке, это влиять не будет, и струна будет издавать не свой основной звук, а его октаву, т. е. звук с числом колебаний в секунду вдвое большим. Изложенный способ в отличие от способа характеристик можно назвать способом стоячих волн; обычно же он называется способом Фурье. Нетрудно обнаружить полное тождество решения, представляемо- представляемого рядом C9), с тем, которое было найдено выше в [179]. В самом деле, заметим сначала, что в [179] мы показали, что применение формулы Даламбера A6) к ограниченной струне требует, чтобы функ- функции ср(лг) и <Pi(at), заданные в промежутке @, /), были продолжены в промежуток (—/, 0) по закону нечетности, а затем с периодом 2/. Но такой способ продолжения вполне равносилен разложению этих функций в ряд Фурье по синусам [157], т. е. вполне равносилен фор- формулам D1) для любого х. Подставляя эти выражения ср(лг) и <рх(х) в формулу Даламбера A7), мы и придем, как нетрудно видеть, к ре- решению C9) „_ 1 х л \ "—1 LAn\ f 4 /1=1 x-\-at oo x — at \ пк(х — at) , . tin (x 4- at)~ ~+sin ; x — at n=\ ИЛИ cos »*<*-*') - cos J^x + *> _ "I отк}гда и вытекает непосредственно C9). Способ Фурье в данном случае имеет недостатки по сравнению со способом характеристик, а именно ряд C9) часто сходится очень медленно и не годится не только для вычисления, но даже для стро- строгого доказательства того, что этот ряд есть действительно решение, так как при этом приходится его дифференцировать почленно два раза, что введет в я-м члене множитель /Л Зависимость искомой функции от начальных данных <р(х)9 q>i(x), выражаемая рядом C9), гораздо сложнее по внешнему виду, чем зависимость, определяемая по способу характеристик. Зато способ Фурье обнаруживает весьма
634 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ {182 важное обстоятельство, а именно — существование бесконечного мно- множества различных собственных гармонических колебаний струны, из которых складывается самое общее ее колебание. Принимая во внимание сказанное в [179], можно утверждать, что сумма ряда C9) будет давать решение нашей задачи с непрерывными производными до второго порядка, если функции ср (х) и <pj (x) обла- обладают указанными в [179] свойствами. Если же функция ср(лг) имеет непрерывные производные до третьего порядка и удовлетворяет ус- условиям ср @) = ср" @) = ср (/) = ср" (/) = 0, а ср^х) имеет непрерывные производные до второго порядка и срж @) = <pt (/) = 0, то, как можно показать, ряд C9) можно дифференцировать по х и t дважды. Можно рассматривать решение волнового уравнения и при меньших предпо- предположениях о начальных данных, о чем мы будем говорить в четвер- четвертом томе. В дальнейшем при применении метода Фурье мы не будем оговаривать тех условий, при которых получаемые ряды действи- действительно дают решение задачи. Общая точка зрения на метод Фурье будет нами изложена в четвертом томе. Цель настоящего изложения — указать метод решения и получаемый при этом аппарат. Отметим еще, что из рассуждений, приведенных в [177], и метода характеристик [179] непосредственно следует, что решение поставленной выше за- задачи как для бесконечной, так и для конечной струны, единственно, В дальнейшем мы займемся вопросом единственности решения для общего волнового уравнения. 182. Вынужденные колебания. В [176] было выведено уравнение вынужденных колебаний струны под действием силы F(x, t), рассчи- рассчитанной на единицу длины [/(*, 9=Д/Ч*, О]. D6) К этому уравнению нужно присоединить предельные условия (бе- (берем случай закрепленной струны) и начальные условия hU=o = O, u\x=i = 0, D7) = TiD D8) Эти вынужденные колебания общего типа можно представить себе как результат сложения двух колебательных движений, из которых одно есть чисто вынужденное колебание, т. е. такое, которое совер- совершается под действием силы F, причем струна в начальный момент не выведена из состояния покоя, другое есть свободное колебание, кото- которое струна совершает без действия силы, только вследствие началь- начального возмущения. Аналитически это приводит к введению вместо и двух новых функций v и w, по формуле
182) § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 535 где функция v удовлетворяет условиям — = а2 —-+-/(лг, О» D9) v\Xsx0 = 0, v\x==i = 0, E0) ^1/==0_0, ^ — 0 E1) и дает чисто вынужденное колебание, а функция w удовлетворяет условиям w|,«o = *(*), Щ^ и дает свободное колебание. Составив сумму n = v-\-w> мы убе- убедимся без труда, что она дает решение нашей задачи, т. е. уравне- уравнений D6), D7) и D8). Методы нахождения свободных колебаний w были указаны в пре- предыдущих номерах, так что здесь мы остановимся только на нахо- нахождении функции v. Как и в случае свободных колебаний, мы будем искать функцию v в виде ряда v(x, 0= 2 МО sin ^y, E2) так что предельные условия E0) удовлетворяются сами собой, но функции Tn(t)> конечно, отличаются от тех, которые мы имели в [180], ибо уравнение D9) не однородно. Подставив ряд E2) в уравнение D9), получаем: СО 00 Т (t) sin у- = — а*2 тп(*)[т) 8Ш "Г откуда, заменяя ^ величиной а>я D4) [181], fix, t) = 21 T'n @ + < Тп @1 sin ^- E3) Функция f(xf t), рассматриваемая как функция от ху может быть разложена в промежутке O^x^l в ряд Фурье в виде 00 f(x, t)=^fn{t)b\xin^, E4) л—1
536 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ A82 коэффициенты которого /Л@> определяемые по формулам i f(*> Osin^ dz, E5) зависят от t. Сравнивая разложения E3) и E4) для одной и той же функции f(x, t), мы получаем ряд уравнений ft'@ + а>5 Тп(t)=fa@ (л=1,2,...,), E6) определяющих функции 7\(tf), 7*2@> • • • При таком определении 7W (t) функция E2) удовлетворяет диффе- дифференциальному уравнению D9) и предельным условиям E0). Для удовлетворения же оставшимся начальным условиям E1) достаточно подчинить функции Tn(t) этим условиям, т. е. положить Тп@) = 0, ft@) = 0, E7) ибо тогда ясно, что !2 -j^о, Э 2 п = 1 я = I Решение уравнений E6) и E7) было указано в [29J, откуда нетрудно Бывести t Tn(t) = ~\ Ш sin шя(<--с)Л, Л о или, подставляя выражение E5) для /л('с): Ta (t) = -f— \ di I/(г, t) sin <ол (t — t) sin -^ dz. E8) 0 0 Подставив это в E2), мы и получим выражение v(x, t). Нетрудно показать, что если f(x> t) имеет непрерывные производные до вто- второго порядка и /@, t) = f{/} t) — 0, то сумма ряда E2) есть реше- решение задачи D9)—E1). До сих пор мы рассматривали неоднородность или в начальных условиях (у функции w), или в дифференциальном уравнении (у функ- функции v). Естественно рассмотреть неоднородность и в предельных ус- лсьпях. Считая уравнение и начальные условия однородными и обозна- обозначая искомую функцию опять буквою н, мы получим следующую задачу: д^и «д2и | ... ,,ч да л — = а з—?> и = со (t), и = Wi (И, и = -=г~ t===z v» at2 дх" U = o x~i t = о ot t = o Мы рассмотрим этот случай неоднородности в предельных условиях в томе IV.
183) S 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 537 183. Сосредоточенная сила. Исследуем формулу E8) для силы, сосре- сосредоточенной в одной точке С (л: = с). Величину этой силы мы обозначим не через Р, как это мы делали в [176], а через рР. Как было указано [178], этот случай можно рассматривать как предельный того случая, когда сила г действует только на малом промежутке (с — 5, с + Ь) и тем самым равна нулю вне этого промежутка, причем полная величина силы $ F (z, t) dz — рР @ при 5 -> и. с — Ь По формуле D) имеем ] f (г, t)dz — P (t) при Ь — 0. с — 8 Принимая во внимание, что по условию f(z,t) равна нулю вне проме- промежутка с—& =^ 2 5$; с-f-Ь, и пользуясь первой теоремой о среднем [1, 95J, причем предполагается, что/(г, i) знакопостоянна в промежутке получим I г. . . ПК2 (* П№ ПТУ* Г 1 f(ztt)sm—r- dz= \ f(z, tf) sin—г-«fc = sin-7— \ f(z9t)dz, где С есть некоторое значение из промежутка (с—&, с В пределе, при 5 -* 0: С nnz пке ^ /(г, 0 sin -у- dz — Р @ sin -у- , б и тогда функция Тп (t), определяемая как предел выражения в правой части E8) при 5 — 0, обратится в t ппс а вынужденное колебание определится по формуле со / \1 2 пас С ппх ^^'^Z^^T" P(t) sin <оя (* — t)tfx • sin -г-. E9) «==1 0 Эта формула показывает, что в вынужденных колебаниях могут отсут- отсутствовать некоторые обертоны, именно те, длл коих т. е. те, которые имеют узел в точке С приложения силы.
538 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Г183 Остановимся на случае гармонически колеблющейся вынуждающей силы, когда нужно будет положить или, считая для простоты фазу ®0 = 0, P(t) = P0 smut. Формула для Тп (t) дает тогда t Тп (t) = -r-^~ s^n ~7— \ ^ sin (ox sin о)Л (t — x) dx =з = — 7—^ sin—т1- \ {cos [соЛ^ — (о>Л — со) х] — cos \u>nt — (о>Л + w) x]} dx = к / oj cs _ 2 sin —— sin <unt -j 5—?-j- Sin —j— Sin wf. Если частота вынуждающей силы не совпадает ни с одной из частот <оЛ собственных колебаний, все знаменатели (ы2п — <о2) отличны от нуля; но если о) приближается к одной из частот сол, соответствующий знаменатель умень- уменьшается и член Гя @ становится весьма большим по сравнению с прочими, т. е. происходит явление резонанса. Наконец, если <•> = <оЛ, то предыдущее выражение для Tn(t) теряет смысл и должно быть заменено другим. Подставив полученные выражения Tn(t) в формулу E2), имеем су г> — * Sin^ t -сч — 2й)Р0 V! * I ПК* I v (х, 0 = —7— 2 ^-^Г^ sin «nt sin— + /г=1 Л ппс Первое слагаемое в правой части имеет вид свободных колебаний, вто- второе же имеет ту же частоту, что и возмущающая сила. Отнеся первое сла- слагаемое к свободным колебаниям w(xt t), мы займемся только вторым слагае- слагаемым, обозначив его через V(x, t): 2Ра или, положив а2 = 8 8 = ^ sin w< у -^Ц- sin-^. F0) а2ъ% jLa п ь I
§ П. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 639 Сумма может быть вычислена по способу, указанному в [172], но мы, не останавли- останавливаясь на этом, укажем другое решение той же задачи, рассматривая сосре- сосредоточенную силу не как предельный случай непрерывно распределенной, а непосредственно. Точка С приложения силы разбивает струну на два участка @, с) и (с,/). Рассматривая оба эти куска отдельно, обозначим ординату первого участка через ut(xt t)> второго же —через и2(х, f). Для этих функций uL и щ мы получаем следующие уравнения ... : ^ g приО<*<с/ F1) при *<*</, F1.) так как внешних сил внутри промежутков @, с) и (с, /) не имеется. Далее, мы имеем условия закрепления концов: "»U=o=°. «sU=* = °> F2) условие непрерывности струны в точке х — с: и, |,_в = щ U_e, F3) и, наконец, условие равновесия сил, действующих в точке х = с [176]: дщ #=с =- х—с f * q Мы ограничимся только случаем гармонической силы P(t)=zP0 sin at и из вынужденных колебаний, ею вызываемых, выделим колебания той же частоты <о. Эти колебания мы ищем в виде и(х, t) = X где, однако, функция Х(х) должна иметь различные выражения в промежут- промежутках @, с) и (с, /), и в связи с этим мы положим: ut = Хх (х) sin «•>/, и2 = Х2 (х) sin at. F5) Подставив это в уравнения F1) и F1 х), мы имеем — со2 sin co/Xj (x) = a2 X'l (x) sin <of, то есть 1) В формуле G) [1761 при наших теперешних обозначениях нужно г>/.ч i~> vll2 dut (ди\ (ди\ написать ?P(t) вместо Р И-^ ,-^ вмеСто ^j ()
540 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [183 и аналогично откуда Условия F2) дают нам и можно положить где С2 — произвольная постоянная. Обозначая для симметрии произвольную постоянную С'% через С1э мы получаем Условие непрерывности F3) дает тогда: Остается только удовлетворить последнему условию F4), из которого получается Итак, постоянные С* и С» определяются из системы уравнений и формулы F5) дадут тогда решение задачи в виде: @6) Читатель проверит без труда тождественность решений (Щ и F0; для V(xt t), разлагая F6) в ряд Фурье по синусам.
184) § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 541 184. Формула Пуассона. По аналогии с бесконечной струной займемся теперь решением общего волнового уравнения в безграничном пространстве при заданных начальных условиях. Предварительно выведем одно вспомогательное предложение. Для удобства записи дальнейших формул обозначим координаты (х,уУ z) через (хь дг2, х3). Пусть w (xi9 хь х%) — любая функция, непрерывная со своими производными до второго порядка в некоторой области D или во всем пространстве. Все дальнейшие рассуждения будут отно- относиться к этой области. Рассмотрим значения функции о> на поверх- поверхности Сг (хьхьх?) сферы с центром в точке (X\9xi9x9) и радиусом г. Координаты точек этой сферы могут быть выражены по формулам где (а1? а2, а3)—направляющие косинусы радиусов упомянутой сферы. Мы их можем записать в виде ол = sin 8 cos ср, а2 = sin 0 sin <р, а3 = cos О, причем угол б меняется от 0 до тс и угол <р—от 0 до 2тс. Обозна- Обозначим через dxa элемент площади сферы единичного радиуса и через dro элемент площади сферы радиуса г. d{a = sin 6 db drp, dro = r%a = r2 sin в d§ dy. Рассмотрим среднее арифметическое значений функции со по поверх- поверхности сферы Cr (xif X* хД т. е. интеграл от функции w (Xi,xi9xb) по поверхности упомянутой сферы, деленный на площадь этой по- поверхности. Величина этого интеграла зависит, очевидно, от выбора центра (xl9xiyx9) и радиуса г сферы, т. е. упомянутое среднее ариф- арифметическое будет функцией четырех переменных [xvxbx^r). Мы можем записать это среднее арифметическое двояким образом: ъ(хл>х*Хъг) = -^ I ^ ®{хх-\-олг\ дг2+ <**>*; ^з + ^)^ F8) б 6 или = ^( f «> (-^l + air; x2 -f- a2r; хд + «3r) dra. C Докажем, что при любом выборе функции w функция v удовлетво- удовлетворяет одному и тому же уравнению с частными производными, а именно ^ ±vr = 0, F9)
542 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [184 где, как всегда, В формуле F8) интегрирование совершается по поверхности единич- единичной сферы, и мы можем дифференцировать по хг под знаком интег- интеграла. Таким образом мы имеем 2тс те о о 2« к 3 Последний интеграл мы можем преобразовать в интеграл по поверх- поверхности сферы Сг(Хц лг2, хг): з dv I cr k=\ и, применяя формулу Остроградского, мы получим .Й, G0) где Dr есть сфера с центром (лг4, лг2, лг3) и радиусом г. Последнее выражение есть произведение двух функций от г: дроби 1: 4тсг* и интеграла. Производная по г от тройного интеграла по сфере Df равна интегралу от той же подынтегральной функции по поверх- поверхности Сг этой сферы. Чтобы убедиться в этом, достаточно, например, выразить интеграл по Dr через сферические координаты. Таким образом дифференцируя еще раз по г, получим: Подставляя все указанные выше выражения для производных в уравнение F9), мы убедимся непосредственно в том, что это уравнение действительно удовлетворено. Если г -> 0, то из фор- формулы F8) непосредственно вытекает, что v(xlt лг2, лг3) стремится к m(xlt хь л?з)? а из G0) вытекает, что -^ стремится к нулю, так как тройной интеграл формулы G0), согласно теореме о среднем, имеет порядок г3, а в знаменателе стоит Л Мы приходим таким образом к следующей теореме;
184) § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 643 Теорема. При любом выборе функции со, допускающей непре- непрерывные производные до второго порядка, функция v, определяе- определяемая равенством F8), удовлетворяет уравнению F9) и начальным данным V / \ dv = <*>(*!, ХЬ Хд), gjr = 0. G1) r=0 Покажем, пользуясь этой теоремой, что функция и (хь хь лг3, t) = tv(xlt хъ лг3, at) G2) удовлетворяет волновому уравнению д2и 9 (д2и , д2а . д2и\ и начальным условиям ди = 0, Действительно, мы имеем дГ G4) 8y at) ,_ ud9v(xu x2f xz, at) W~Za д? Га* fr2 f Au = tkv(xu хъ хь at), где, например,dv(Xi} *? х*> at) есть значение производной dv^x^ ^ г> при r = at. Подставляя предыдущие выражения в уравнение G3), мы получаем для v уравнение F9) при r = at, которое, как дока- доказано выше, действительно имеет место. Начальные условия G4) непосредственно получаются из G1). Поскольку уравнение G3) есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, мы можем утверждать, что функция м1 = зт также удовлетворяет этому уравнению. Определим ее начальные данные при ? = 0. Принимая во внимание начальные условия G4), мы получим непосредственно ди для функции ul = -^: Для производной —^ = ^ мы имеем, в силу G3),
544 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [184 или, дифференцируя первое из начальных условий G4) по коорди- координатам, мы получим отсюда Таким образом производная по t от построенного выше реше- решения волнового уравнения G3), удовлетворяющего начальным усло- условиям G4), является решением того же уравнения и удовлетворяет начальным условиям _^_ _п G40 ^h-.o==a>t<*1' Xb X Возвращаясь к прежним обозначениям координат и взяв в первом случае начальных условий G4) за а)(лг, j/, z) некоторую функцию ?i (*> У> %)> и во втором случае начальных условий G4j) взяв за а) (лг, ^, г) какую-либо другую функцию <р (х, j;, z) и сложив таким образом построенные решения, будем иметь решение уравнения F7), удовлетворяющее начальным условиям = ср(лг, у, Z)> -J-I А —fiC^» У. <*)• G5) Обозначая для краткости письма через Тг{а>(М)\ — среднее ариф- арифметическое от функции со по сфере с центром М{х, уу z) и радиу- радиусом г, мы можем написать, согласно сказанному выше, упомянутое решение уравнения F7), удовлетворяющее начальным условиям G5), в виде и(М, t)^tTat{b{M))^^[tTat{^{M))]. G6) Эта формула называется обычно формулой Пуассона. Ее можно, очевидно, записать в виде 2те % 2гс it и(х, у, z, O = iJ $.?i(«, P. T)^ + i[i [ J ?(«. где d1a = sin6fl$tf<p и (а, р, ^) — координаты переменной точки вышеупомянутой сферы: cos cp, p=y-}-atfsin0 sin <р, f = <г-|-^ cos 9. G7) Предыдущие рассуждения показывают, что функция и, определен- определенная формулой G6), действительно удовлетворяет уравнению F7) \* условиям G5), если cpi(.xr, yy z) имеет непрерывные производные до второго порядка и <р(х, у, z) до третьего порядка. Последнее обсто- обстоятельство связано с тем, что в формуле G6) второе слагаемое со- содержит дифференцирование по t. Однако, если ср(лг, у, z) и <?i(xt у, z) обладают более плохими дифференциальными свойствами, как это бывает, например, в зада-
185| § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 545 чах с сосредоточенными начальными возмущениями, то и тогда естественно считать, что формула G6^ дает решение задачи. Только в этом случае решение будет не классическим, а обобщенным (см. том IV). В дальнейшем мы увидим, что поставленная задача может иметь только одно решение. Положим, что начальное возмущение сосредоточено в некотором ограниченном объеме (и) с поверхностью (о), т. е. что cp(/V) и cpt(/V) d равны нулю вне (г>), и пусть точка М находится вне (v). При t <^ —, где d—кратчайшее расстояние от М до (а), сфера (Sat) находится вне (г/), обе вышеупомянутые функции равны нулю на (Sat)t и фор- формула G6) дает и(М, t) = 0, т. е. покой в точке М. В момент t= — поверхность (Sat) коснется (а), и передний фронт волны прой- пройдет через М. Наконец, при t ^> —, где D — наибольшее расстояние от М до точек поверхности (а), сфера (Sat) будет опять находиться вне (v) [весь объем (г;) будет внутри (Sat)]t и формула G6) опять дает и(М, t) = 0. Моменту tf — соответствует прохождение зад- заднего фронта волны через точку Ж, после чего в этой точке и(М, t) обращается в нуль, а не в постоянную, как это было для струны (т. е. для плоской волны). Передний фронт волны в заданный момент t представляет собою поверхность, отделяющую точки, ко- которые еще не начали колебаться, от точек, которые уже колеблются. Из предыдущего вытекает, что все точки этой поверхности имеют кратчайшее расстояние от (а), равное at Нетрудно показать, что эта поверхность будет огибающей для семейства сфер, имеющих центры на поверхности (а) и радиус at. Постоянная а является, как мы видим, скоростью распространения фронта волны. 185. Цилиндрические волны. Отнесем пространство к прямо- прямолинейным прямоугольным осям и предположим, что функции y(xt yt z) и <pi (x> уt z) зависят только от х и у, т. е. сохраняют постоянное значение на всякой прямой, параллельной оси OZ. Если передвигать точку М (лг, у> z) параллельно оси OZ, то, очевидно, правая часть формулы G6^ не будет менять своего значения, т. е. функция и (х, у, z, t) также не будет зависеть от z, и формула G6t) даст нам решение уравнения д2а а ( d2a i д2а\ ,-^ при начальных условиях О- G9)
Б46 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |185 Мы можем рассматривать это решение, оставаясь исключительно на плоскости XOY. Для этого нам надо интегралы формулы G6^, кото- которые берутся по сферам, преобразовать в интегралы по кругам на плоскости XOY. Возьмем точку М(х, у) на плоскости XOY. Точки с координатами (а, р, ^), определяемыми по формулам G7) при z = 0, суть переменные точки сферы (Sat) с центром М(х, уу 0) и радиусом at. Элемент площади поверхности этой сферы будет dSaf — aH^diO. Части этой сферы, находящиеся над и под плоско- плоскостью XOY у проектируются на плоскость XOY в виде круга (Cat) с цен- центром М и радиусом at. Элемент площади проекции dCat связан с элементом площади поверхности сферы dSat формулой [66]: где п — направление нормали к (Sat), т. е. радиуса этой сферы, образующее острый угол с осью OZ. Если N—переменная точка сферы, Nx—ее проекция на плоскость XOY, то из элементарных геометрических соображений ясно, что х ' ' MN at где (а, р) — координаты переменной точки круга (Cat). Подставляя все это в первый из интегралов формулы G6,) и принимая во вни- внимание, что круг (Cat) получится как от верхней, так и от нижней части сферы (Со/), мы получим следующее преобразование первого интеграла формулы G6,): 2« п -'at9 Применяя то же преобразование ко второму интегралу и обо- обозначая элемент площади dCat на плоскости ХОУ в виде dnd$, мы получаем окончательно следующую формулу для искомой функции, удовлетворяющей уравнению G8) и условиям G9):
186J I 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 547 Положим, что начальное возмущение ограничивается некоторой конечной областью (В) на плоскости XOY с контуром (/), т. е. <р(лг, у) и cpt (л:, у) равны нулю вне (В). Положим, что точка М лежит вне (В). Для моментов времени t<^ —, где d — кратчайшее расстояние от М до контура (/), круг (Са() не имеет общих точек с (В), функции ср(лг, у) и срх (jc, у) равны нулю во всем круге (Са/), и формула (80) дает и(х> у, ?) = 0. В момент t = — в точку М придет передний фронт волны. Для значений t^> — f где D — наибольшее расстояние от М до точек (/), круг (Cat) будет содержать внутри себя всю об- область (В), и интегрирование в формуле (80) надо совершать просто по области (В), так как <р(лг, у) и <Pi(jc, у) обращаются в нуль вне (В), т. е. arjr с J J Ла^ — (e — .r)« — C — В данном случае, после прохождения заднего фронта волны в момент t=- функция и(х, у, f) не обращается ни в нуль, как в случае трехмерного пространства, ни в постоянную, как в случае струны. Но ввиду присутствия аЧ* в знаменателе мы можем все же утвер- утверждать, что и(х, у у t) будет стремиться к нулю при беспредельном возрастании t Говорят, что в рассматриваемом случае имеет место явление диф* фузии волн после прохождения заднего фронта. Мы провели все рассуждение, оставаясь на плоскости XOY. В трехмерном простран- пространстве уравнению G8) соответствуют так называемые цилиндрические волны. 186. Случай /г-мерного пространства. Полученные в [184] результаты непосредственно обобщаются на случай любого числа измерений. Мы будем рассматривать «-мерное пространство с координатами (xv x2t . . ., хп). Объем сферы радиуса г в таком пространстве определяется формулой [97]: 2.4-6. .ГA-2 1.3.5.!.*(B-
54# ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ \№ Дифференцируя эти выражения по г, мы получим величину площади поверхности сферы: .4-6 ... (л —2)' v 2 2 71 2 «-I 0/1 (r^= 1 . 3 .5 ... (n — 2) Г (П Направляющие косинусы ak радиусов сферы выражаются через (/г —1) углов по формулам Oj == COS 6lf а2 = sin 0, cos 02, а8 === sin 0j sin 02 cos 08, аЛ_2 = sin 0j sin 63 ... sin вЛ_3 cos 8Л_2, an_t = sin 6X sin 62 ,.. sin 0Л_2 cos cp, an = sin 0j sin 08 ... sin 0Л_2 sin cp, где 0 ^ 0Л < я, 0 ^ cp < 2тс. Элемент площади поверхности единичной сферы (сх) будет flfjo = sin71 0X sin*"8 08 ... sin 0л_2 йЪх db2 ... ^0я_2 rf?, и для сферы (аг) радиуса г: Положим, что в пространстве Rn задана функция <о с непрерывными производными до второго порядка. Ее среднее арифметическое по сфере с центром (xv ..., хп) и радиусом г будет определяться формулой V(XV х2 хю г) = ^-^ 1 ... 1 niXt + af, Хш + алг, ..., Xn + an^dtQ (°i) или v x&i ..., xn> r) = ^-j Совершенно так же, как и выше, мы можем показать, что функция v удо- удовлетворяет дифференциальному уравнению d2v А . п — 1 dv л и начальным условиям dv\ Пользуясь указанным результатом, можно получить окончательные формулы для волнового уравнения с любым числом независимых переменных. Мы приведем в общем случае лишь окончательные результаты.
t87J § П. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Решение волнового уравнения д*и __ а (д*и.д2и ~а% [ 1 1 \дх2 дхЪ при начальных условиях и -о ди г, ... , Хп) при нечетном п имеет вид я—з * 0=1. п—а л 2 1.3...(в-2) т и при четном л а(хи..., хт 0 = я-2 549 (81) (82,) (823) где Т9 {to (Xi)\ — среднее арифметическое от функции «(л^, дг2,..., д-п) по сфере с центром (л^, лг2>-.«» -^л) и радиусом р. Для проверки формул (82t) и (822) нам достаточно потребовать, чтобы функция ы(хи х21...,хп) имела при нечетном п непрерывные производные до порядка ^ и при четном п до порядка п + 2 187. Неоднородное волновое уравнение. Рассмотрим неоднород- неоднородное волновое уравнение (83) в безграничном пространстве, и будем искать его решение, удовле- удовлетворяющее нулевым начальным условиям /=о dt /==о = 0. (84) Добавляя к этому решению решение однородного уравнения, удов- удовлетворяющее начальным условиям G5), получим решение уравне- уравнения (83), удовлетворяющее, условиям G5). Для решения поставленной выше задачи рассмотрим решение однородного уравнения &-w 2 td2w , d2w , d2w\ W~a \дх* » d^"^W)9 (85)
Б50 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1187 удовлетворяющее начальным условиям w , ж =/(-*> У> *> *}, (86) причем в качестве начального момента взято не 1 = 0, а / = т, где 1 — некоторый параметр. Функция w будет выражаться формулой Пуассона, но только в этой формуле мы должны заменить t на (t— т), поскольку начальным моментом времени является не t = Q, а / = т. Мы будем иметь таким образом w(x, у, zy t; т) = 2тс тс = -Ц-Г"$ ^fl^^ait — ^y+a^it — x^z+a^it — x^ld^ (87) о о где a1 = sin0coscp, a2 = sin6sin (p, a3 = cos6. (88) Отметим, что функция w, кроме обычных независимых перемен- переменных (х, у, z, t\ зависит от параметра т. Определим теперь функцию и (х} уt z, t) формулой и(х, у, z} t) = lw(x, у, z, t\ i)dx (89) о и покажем, что она удовлетворяет неоднородному уравнению (83) и нулевым начальным условиям (84). Мы имеем Внеинтегральный член равен нулю в силу первого из условий (86). Дифференцируя еще раз по t, получим д2а _ С d2w (х, у, 2, t\ х) - , dw (x, у, z, t; т) dt* ~ J dt* a "^ dt . о J о причем полученный внеинтегральный член равен f(x, у, z, t) в силу второго из условий (86), т. е. !w{Xyt;x) У, z, t). При дифференцировании выражения (89) по координатам доста- достаточно дифференцировать подынтегральную функцию Дм = J Aw (x, у, z, t; i) dx.
187J § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 551 Из двух последних формул и уравнения (85) непосредственно вытекает, что и удовлетворяет уравнению (83). Начальные условия (84) непосредственно следуют из формул (89) и (90), если принять во внимание, что в формуле (90) внеинтегральный член равен нулю, как было указано выше. Таким образом формула (89) дает решение уравнения (83) при начальных условиях (84). Подставляя в (89) вместо функции w(x, у, z, t; т) ее выражение (87), получим и(х> у, z> 0 = t 2ic ic Это выражение для и преобразуем к другому виду. Вместо т введем новую переменную интегрирования: r = a(t — х). Совершая замену переменных, получим и(х, у, z, 0 = at 2x t— — или, умножая и деля на г, и(х, у, z, 0 = / at 2 i V il J e, ssin Принимая во внимание формулы (88) для aft и вспоминая выра- выражение для элемента объема в сферических координатах, мы видим, что входящие в последнюю формулу три квадратуры равносильны тройному интегралу по сфере Dat с центром (лг, у, z) и радиусом at. Вводя переменную точку и, принимая во внимание, что af -f-a|-f-aJ = 1» получим и выражение для и запишется окончательно в виде
552 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [187 где неравенство r^at характеризует упомянутую выше сферу Dat. Характерным в подынтегральной функции последнего выражения является тот факт, что функция / берется в момент времени t—Z-y предшествующий моменту U для которого вычисляется iu Разница ~ в моментах времени дает то время, которое нужно для перехода из точки (?, т), С) в точку (х, yt z) со скоростью а. Выражение (91) называется обычно запаздывающим потенциалом. Отметим еще, что основная формула (89) имеет простой физический смысл, а именно она показывает, что решение неоднородного урав- уравнения (83), удовлетворяющее начальным условиям (84), является суммой импульсов w(x, у, z, t; x)rfx, происходящих от наличия свободного члена и определяемых уравнениями (85) и (86). Рассмотрим теперь неоднородное волновое уравнение для цилин- цилиндрических волн при нулевых начальных условиях. Совершенно так же, как и выше, мы можем получить решение задачи в виде •, yt t) = \ w (xt yt t; t) dx, о где w(x, у у t; т) удовлетворяет однородному уравнению d2w ofd2w , d2w\ и начальным условиям dw W ^=°> srL.e/<*** Принимая во внимание формулу (80), получим окончательно Отметим, что в последней формуле мы имеем интегрирование по времени, чего не было в формуле (91), где зависимость от времени сводилась лишь к зависимости от времени радиуса сферы, по кото- которой призводилось интегрирование, и к зависимости от времени функции f{xt у} z, t). В линейном случае Sg** <94)
188) § П. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 553 решение будет, очевидно, t x+a(t— x) *0 x-a{t — -:) 188. Точечный источник. Если мы положим, что свободный член в уравнении (83) отличен от нуля только в небольшой сфере с центром в начале координат, то при стремлении радиуса этой сферы к нулю и при беспредельном возрастании интенсивности внеш- внешней силы мы в пределе можем получить решение волнового уравне- уравнения при наличии точечного источника, который начинает действовать с момента ? = 0 и закон воздействия которого может быть любым в зависимости от времени. Положим, что f(x,y,z, 0 = 0 при Vx* + f + z*>z (96) f(x,y, zy t) dx dy dz = 4™ @, (97) где Сг — сфера с центром в начале и радиусом е. Обратимся к фор- формуле (91) и будем считать, что at^> "[/"лг2-)-/-}"'2*- В силу (96) достаточно произвести интегрирование по сфере С6. В пределе при 6 -> 0 величина г будет равна расстоянию от точки (лг, у, z) до начала, т. е. r = ]/je2 -f- у* -j- z\ и мы получим, принимая во вни- внимание (97), у, ztt) = y Кроме того надо считать, что и(х, у, z, t) = 0 при r^>aty так как при r^>at область интегрирования в интеграле (91) не содержит внутри себя сферы Cs при достаточно малых г. Отметим, что функ- функция (98) при любом выборе дважды непрерывно дифференцируемой функции о)@ удовлетворяет однородному волновому уравнению и имеет особенность в начале координат. В случае уравнения (92) мы должны совершенно так же, как и выше, считать: /(лт, у, 0 = 0 • при где 7. г— круг с центром в начале и радиусом е. Обращаясь к фор- формуле (93) и переходя к пределу, получим решение для точечного
554 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [189 источника в случае цилиндрических волн: w(*, J>, 0 = 0 при Формулы (98) и (99) отличаются, аналогично тому, что мы ука- указывали в предыдущем параграфе [(91) и (93)]. Воздействие точечного источника на точку (х, у, z) в момент времени t согласно формуле (98) зависит только от интенсивности источника в момент времени t — --. В случае формулы (90) это воздействие определяется дей- действием точечного источника за промежуток времени от момента ? = 0 до момента t = ^~. а В линейном случае (94), полагая, как всегда, = v(t) и f(x, t) = 0 при | мы получаем, переходя к пределу в формуле (95): а u(x, t)= § co(x)tfx при \x\<^atf A00) 0 u(xtt) = 0 при \x\^>at. 189. Поперечные колебания мембран. До сих пор мы рассматривали волновые уравнения на плоскости и в пространстве при отсутствии границ, так что, кроме дифференциального уравнения, имели только начальные усло- условия. Предельные задачи для волнового уравнения на плоскости и в про- пространстве представляются гораздо более трудными, чем в линейном случае. Рассмотрим предельную задачу на плоскости в двух частных случаях — когда основной областью, для которой решается задача, является прямо- прямоугольник или круг. Мы будем физически толковать волновое уравнение на плоскости, как уравнение для поперечных колебаний мембраны. Под мембраной мы понимаем весьма тонкую пленку, которая, подобно струне, работает только на растяжение, но не на изгиб. Если мембрана нахо- находится под действием равномерного натяжения Гои в состоянии равновесия лежит в плоскости (л:, у) и если мы ограничимся лишь тем случаем, когда движение происходит параллельно оси Ozy то смещение и точки (л*, у) мем- мембраны будет функцией от х} у и \ которая удовлетворяет дифференциаль- дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению струны, а именно д2и 9 (д2и . д д*
190J f 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 655 где р — поверхностная плотность мембраны, р/— внешняя сила или нагрузка. На выводе уравнения A01) мы здесь останавливаться не будем. Кроме дифференциального уравнения A01), нужно иметь в виду предель- предельное условие, которому должна удовлетворять функция и на контуре (С) — границе мембраны. Мы остановимся лишь на том случае, когда на контуре (С) мембрана закреплена, т. е. и = 0 на (С). A02) Наконец, нужно задать начальное условие, т. е. смещение и скорость всех точек мембраны в начальный момент 190. Прямоугольная мембрана. Рассмотрим свободные колебания пря- прямоугольной мембраны, контур которой есть прямоугольник со сторонами х~0, x = lt y = 0t y=ztn A04) в плоскости (лг, у). Внешнюю силу мы будем считать отсутствующей, т. е. /=0. Нам нужно найти решение уравнения *+} A05) удовлетворяющее условиям A02) и A03). Применяя опять способ стоячих волн (Фурье), ищем частное решение уравнения A05) в виде (a cos tot + р sin Ы) U(x, у), A06) что дает нам — <о2 (a cos at + Р sin Ы) U(x, у) = я2 ^~~ + -j%-\ (а cos ^t + P sin «ft откуда, полагая i- = *. (ЮТ) находим уравнение для U: Ищем частное решение этого уравнения в виде U(x,y) = X(x)Y(y), A08) что дает нам X" (х) У (у) + Х(х) Y" (у) + k*X{x) У (у) = О, ИЛИ Х"(х) _ Y" -ЩТ— У (у) где X2 — пока неопределенная постоянная.
556 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [190 Итак, мы имеем два уравнения: X" (х) + \*Х (х) = 0, У" (у) + ц* У (у) = 0, A09) где Уравнения A09) дают нам общий вид функций Х(х) и У (у): X (х) = Ct sin \х + С2 cos Хдг, У (у) == С8 sin рх + С4 cos px, Из условия и = 0 на (С) получаем ?/(*, 3>) = 0 на (С), а это последнее условие, в свою очередь, распадается на следующие условия: откуда ясно, что С2 = С4 = 0, и если мы отбросим постоянные множители Сг и С8, не равные нулю, то окажется: A10) причем sinX/ = 0, sin fxm = 0. (Ill) Из уравнений A11) вытекает, что X и fx имеют бесчисленное множество значений X=Xt, Х2, ..., Ха, ...; fi = filf м-2, ...,р.т, ...; Хв = -у-, jiT = -^-. (Ц2) Взяв по произволу по одному значению X и р из рядов A12), получим соответствующее значение постоянной k2: а по этому значению k2 найдем и соответствующее значение частоты со из A07): A13) Подставив в выражение A06) Ха вместо X, jiT вместо |х и обозначив через а,,, т> pJ# T соответствующие значения аир, мы получаем бесчисленное мно- множество решений уравнения A05), удовлетворяющих предельному усло- условию A02), в виде («a, t cos wa, т* + Pa, x S'n ^xO S*n ~7~* ^П > т. е. бесчисленное множество собственных (свободных) гармонических коле- колебаний мембраны, соответствующих таковым же колебаниям струны. Постоянные а, р определяются из начальных условий. Положив * = 0 в формулах оо aa, т COS a)ajX^ + Рв) т Sin wa> г^) Sin ——- Sin ——, 00 ди VI /o . .ч . отел: . ттсу "ж ~ 2j Wa» ^ ^j> т cos {°a> x"" a<j>x sm w a*x)sm "T~"sm — » O,Ts=l
190) § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 657 получим на основании A03) 00 VI . ctzx . тяу 00 dtf I . ч VI п . зях • хтву 5- == ср2 (^, з;) = / (L х«- sm —7— sm —?-• (/Г |/=0 ^^ / 771 о, т=1 Эти формулы суть не что иное, как разложения функций <pt и ср2 в двой- двойные ряды Фурье, и коэффициенты аир определяются, как нетрудно видеть, по формулам / т 4 С С о о sin T sin о * С С /е ч • Оте? • T7tYl J- ^ "с, т Р«,х = ^ ^ 1 ?i F Ч) sm 7" Sm ш 5 > 'о о что и дает решение поставленной задачи. Случай мембраны отличается от случая струны тем, что для последней каждой частоте собственных колебаний соответствует своя форма струны, которая просто разделяется узлами на несколько равных частей. Для мем- мембраны же может оказаться, что одной и той же частоте соответствует не- несколько фигур мембраны с различными положениями узловых лани\ху т. е. таких линий, на которых амплитуда колебаний приводится к нулю. Проще всего это можно исследовать на примере квадратной мембраны / = т = г. В этом случае частота <oa) t определяется по формуле A15) где а = — есть множитель, не зависящий от о и т. Полагая а = х = 1, по- получаем основной тон ац мембраны с частотой со11=ауг2: »т • / , v • ях . пу ап ~Nt sm (<ont + <pn) sm — sm —• Узловых линий внутри мембраны при этом не имеется совсем. Полагая затем о = 1, х = 2 или о=2, х=1, имеем два других тона одинаковой частоты «18 = ш21 = а У 5, именно и»2 === Л^и sin (<0|2^ "Т" ^ц) sin —- sin —t • 2ял: . лу We» == *»ai sin (^«1» ~г Фл) sm — sin ~~%
568 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [19Э Узловые линии этих простейших колебаний суть соответственно г г jy=-g- ИЛИ * = у Но, кроме колебаний ul2t u2lt существует еще бесчисленное множество других колебаний той же частоты о12, которые получаются линейной ком- комбинацией ui% и и21. Полагая для простоты ср12 = <р21 = О, мы получаем коле- колебание вида . т . пх . 2пу , . 2кх . %у Л sin tot \ Nt sm — sin —- + Na sm sm — , где « = oI2 = oJ1, Ni = Nl2 и N2 — N2l. При Ni = N2 узловые линии определяются из уравнения л . пх . 2тсу . . 2тсл: . тсу о . кх . пу [ пх . ку\ О = sm — sm —— + sin sin -^ = 2 sm — sin — I cos \- cos — j, что дает узловую линию При iVa= — Nt точно таким же путем найдем узловую линию: лг— ^ = NfO N2-N, \ ч ч ч ч ч ч / / f / Рис. 127. Эти простейшие случаи изображены на рис. 127. Более сложные узло- узловые линии при той же частоте мы получим, когда N2^b±.Ni и NL> Nb0 Все они имеют уравнения вида cos %х ... %v Л Ь #i cos ^ = 0. Полагая теперь в = 2, получаем единственный тон частоты (о22 = узловые линии которого суть (рис. 128): Следующий случай г = 4 и « = ?. г=1, х = 3, <j = 3, t==l приводит опять к бесчисленному множеству колебаний одной и той же ча- частоты ш18 = <i)el = а ^ 10. Их узловые линии в простейших случаях, аналогич-
191] 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 559 пых случаю с частотой coJ2 = со21 с= а "^5, изображены на рис. 129. Все эти фигуры представляют собою не что иное, как известные из акустики хладниевы фигуры. Вынужденные колебания мембраны исследуются совершенно так же, как и вынужденные колебания струны, с тою лишь разницей, что внешняя сила f(xt у у t) разлагается не в простой, а в двойной ряд Фурье. -—. -. .1 _ _—. Рис. 128. Nj-0 Ns-0 N2=-Nj ч / /\ Рис. 129. о 191. Круглая мембрана. Случай круглой мембраны дает нам пример разложения данной функции по функциям Бесселя, — пример, который ва- важен и потому, что такие разложения встречаются в других весьма важных задачах математической физики. Итак, мы исследуем свободные (собственные) колебания круглой мем* Ораны, контур которой есть окружность радиуса / с центром в начале коор- координат. По-прежнему мы считаем, что на контуре мембрана не смещается. Вводя вместо прямоугольных координат (х, у) полярные (г, 0), мы имеем тогда в|,_,=а Как и в случае прямоугольной мембраны, будем искать частные реше- решения уравнения A05) вида (a cos tot + р sin tot) Ut но только будем считать, что функция U выражена через (г, 6), а не через (лг, у). Для функции U мы получим то же дифференциальное уравнение /=0, A16) но только нужно преобразовать его к новым переменным (г, 6). Для этого достаточно выразить оператор Лапласа Ё? <117> «/л иу в полярных координатах. Мы знаем, что оператор Лапласа от трех пере- переменных " d*U , d*U выражается в цилиндрических координатах в виде [131]: Считая U независящим от z, выразим A17) через полярные координа- координаты. В дальнейшем длину радиуса-вектора мы будем обозначать буквой г
660 ГЛ. VIT. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ A91 вместо р, а полярный угол — буквой 0 вместо ср: d*U d*U> I dU , I d*U Уравнение A16) перепишется так: Ищем его частные решения в виде произведения U(rtb)=T(b)-R(r), что дает ТF) [/?" (г) + 1 /Г (г) + Л2 Л(г)] + ji Г' (8) /? (г) = 0, или Г"(в)_ г'Д"(г) + г/?(г) + *8г'/?(г) „ Г (в) Л (г) и, наконец, а A18) ' (г) + у # (г) + ^2 - ^) Л (г) = 0. A19) Уравнение A18) имеет общее решение вида и так как функция U по самому смыслу задачи должна быть однозначной периодической функцией от в с периодом 2тс, то тем же свойством должна обладать и функция Г@), что возможно лишь при условии, что X есть число целое. Ограничившись только положительными значениями X, мы должны считать Х=0, 1, 2, ..., /г, ... и соответствующие выражения для функций Г@) и R(r) обозначим через 7О@), ТЛЧ Г, (в), ..., ГЛ (в), ...; /?в(г), /?,(/•), Л, (г), ..., /гЛ(г), ... Таким путем мы получаем бесчисленное множество решений уравнения A05) вида (a cos at + p sin ш*) (С cos w6 + D sin яв) ^Л (г) (а> = ak). A20) Функция /?„(/*) удовлетворяет уравнению A19), если там заменить X на я: К С) + у Как мы видели в [49], общий интеграл этого уравнения будет Яп (г) = СЛ (Аг) + С2/Сл (АгХ A22) где Jn (х) — функция Бесселя и #л (л:) — второе решение уравнения Бесселя, которое обращается в бесконечность при х=0; так как по самому смыслу задачи искомые решения должны оставаться ограниченными во всех точках мембраны, в том числе и в начале координат г=0, то в предыдущей фор- формуле для Rn(r) член cJKn(kr) должен отсутствовать, т. е. Са = 0. Не ограни- ограничивая общности, мы можем считать Ct = 1, т. е. положить A23)
191| § 17 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 561 и гогда предельное условие дает /„(*/) = 0. A24) Положив ?/ = {а, мы получаем трансцендентное уравнение для определе- A25) :лен- A26) ния которое, как это доказывается в теории функций Бесселя, имеет бесчислен- бесчисленное множество положительных корней (л) in) которым соответствуют значения h{n) и{П) tJn) и{П) _ ^ГП_ Ki » ла » *ъ • -•» кт — / » ••• параметра Л и, в силу A07), значения /„ 012 ш = 12 ) A27) A28) частоты со. Первые девять корней первых шести функций Бесселя даны в прилагаемой таблице 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2,404 5,520 8,654 11,792 14,931 18,076 21,212 24,353 27,494 3,832 7,016 10,173 13,323 16,470 19,616 22,760 25,903 29,047 5,135 8,417 11,620 14,796 17,960 21,117 24,270 27,421 30,571 6,379 9,760 13,017 16,224 19,410 22,583 25,749 28,909 32,050 7,586 11,064 14,373 17,616 20,827 24,018 27,200 30,371 33,512 8,780 12,339 15,700 18,982 22,220 25,431 28,628 31,813 34,983 Следующие корни могут быть вычислены по приближенной формуле: ^ = j^n-l+4m)-M24n^4my (,29) которая при данном п будет тем точнее, чем больше т. Мы не можем здесь входить в обоснование формулы A29). Из формулы A20) вытекает, что полученные нами частные решения можно представить в виде («й a COS "m, nt + «# п sin com, nt) COS fib. Jn (ftgV) + + С; n cos com, nt + p? n sin o,W) nt) sin nb•/„ <*2V) A30) (m, я = 1, 2,...). Заметим еще, что при \=0 уравнение A18) имеет решения — постоян- постоянное и 6. Второе решение не годится, как не периодическое. В первом
662 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ A91 случае формула A20) дает решение (««Jo cos <W + a?>osin »mte 0 Л (*1? г). Это решение также имеет вид A30) (при п = 0). Нам остается теперь только удовлетворить начальным условиям и I/-0 = Ь (г, в), ~-1 = ъ (г, б). A31) С этой целью, приняв во внимание полученные частные решения, мы ищем и в виде двойного ряда а (г, в, 0 =» S («#„ cos «ж>|| * + «g> sin <от,Л 0 cos лО . Ул (Л^} г) + w = l + S Фт\п cos <от,л < + ffln sin «я,л 0 sin Л0 . Jn (*2> г). 0 Вычислив т,п (<*(т]п cos <°т,л t — а$п sin <от,Л t) cos лб . 2 л=0 cos <°т'л ^""р*^sin *т>п °sin й6 •J и положив в этих формулах * = 0, мы, в силу A31), приходим к разложению данных функций ^ (г, 6) и <ра (г, 6) в двойные ряды вида /1=0 <f>» (Г, в) = 2 <от,я (a%n cos лб + р^д sin яО) Jn (*5Ji 71 = 0 Разлагая функцию «рх(г, 6), как периодическую функцию от 0, в обык- обыкновенный ряд Фурье, мы имеем «. (г, 6) = -тр -f- / ("tn^cosЛ^ + Фл s*n n®)» где /1 = 0,1,2,...). A33) к
Wll § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 663 Сравнивая это разложение с первой из формул A32), находим без труда 00 00 Чо — z 2j am,0 Jq \km rh % — 2j am,nJn Kkm П> Коэффициенты срA) и Yl) очевидно зависят от г, как это показывают их выражения A33). Мы приходим таким образом к задаче о разложении дан- данной функции от г в ряд по функциям Jn(k^r) — при фиксированном п. Имея эти разложения, мы определим коэффициенты а и [J, и поставленная задача будет решена. Итак, пусть требуется разложить данную функцию /(г) в ряд вида 00 Допустив, что разложение это возможно и может быть интегрируемо почленно, мы покажем только, как определить коэффициенты Ат. Для этой цели мы докажем, что функции обладают свойством обобщенной ортогональности, а именно: (*<д) г) Jn {kf г) г dr = 0 при *ф т. A36) Действительно, уравнение A21), если в нем заменить k2 на и соответственно Rn (г) на Jn (k[n) г) и Jn (k^} r), дает нам Умножив первое уравнение на rJn(k^r)f второе на rJn(k{sn)r)t вычитая и интегрируя по г от 0 до /, получим Jn (ft?» r) Jn (ft(«
564 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (Ш Интегрируя по частям, мы имеем J dr | _, dJn(k[n)r) r> djn(k. dr dr r -J dr dr a) dr и точно так же Отсюда выводим без труда: ) Jn (к^Г) Г dr " I —-—1_ L dr По самому определению чисел k^\ k^ мы имеем откуда следует, что правая часть написанного равенства обращается в нуль при г = /. Ввиду присутствия множителя г и конечности Jn (x) и J'n (x) при jc = O можно утверждать, что правая часть обращается в нуль и на нижнем пределе г = 0, но так как при ъфч. и k^ фк^\ отсюда вытекает что и требовалось доказать.. После того как доказана формула A36), определение коэффициентов Ат в разложении A35) не представляет труда: умножив обе части равенства A35) на Jn(k{p)r)i интегрируя по г от 0 до / и пользуясь формулой A36)» мы находим сразу i i [ /(г) Jn (k^r) r dr = Ар J fn (Л^г) г drm о о Итак, мы можем сказать, что если разложение A35) возможно и его можно почленно интегрировать, то коэффициенты Ат определяются по
формулам § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 665 ФормулььA33) и A34) дают нам теперь следующие выражения для коэф- коэффициентов аш и ра): пт,0 — 2 / №r)rdr И 1С / db \?i(г,6)cosпв Jn (k<?>i rm,n ' ?1(r,6)sinn6 oe 1,000 1,59* Пользуясь теми же соображениями, мы определим и коэффициенты а<2\ ?B>—нужно только заменить в предыдущих формулах <pi на ср2 и разделить соответствующие выражения на <от>„. Как и в случае прямоугольной мем- мембраны, общее движение круглой мем- мембраны складывается из бесчисленного множества собственных гармонических колебаний, причем одной и той же частоте может соответствовать и бесчисленное множество различных случаев распо- расположения узловых линий. На рис. 130 изо- изображены некоторые случаи расположе- расположения узловых линий с указанием соответ- соответствующей частоты, причем за единицу принята частота основного тона; здесь же указаны и радиусы узловых линий, имею- имеющих вид окружностей, и эти радиусы выражены в долях радиуса мембраны. При применении метода Фурье в случае любого контура можно выделить лишь множитель, зависящий от tf согласно формуле A06), что приводит к уравнению 3,166 2,918 Рис. 130. и надо определить те значения параметра к, при которых написанное урав- уравнение имеет решения! отличные от нуля, удовлетворяющие предельному
566 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |192 условию A02), а также сами эти решения. В предыдущих примерах это нам удавалось сделать при помощи дальнейшего разделения переменных. В об- общем случае этот метод неприменим, и надо рассматривать непосредствен- непосредственно уравнение A37). Задача, естественно, не решается в явной форме. Теорети- Теоретическое решение указанной задачи и некоторые качественные результаты, к ней относящиеся, будут даны в томе IV. Предельная задача для волнового уравнения в трехмерном пространстве в случае прямоугольного параллелепи- параллелепипеда решается совершенно так же, как и в [190], но только мы приходим к рядам Фурье по трем переменным х, у иг. Случай сферы опять приводит к функциям Бесселя. Мы будем говорить об этом в томе III, в связи с более подробным изложением теории функций Бесселя. Подробное исследование сходимости рядов Фурье, получаемых при решении предельных задач для волнового уравнения в случае многих про- пространственных переменных будет дано в томе IV. 192. Теорема единственности. Докажем теперь единственность решения волнового уравнения как в случае безграничного простран- пространства, при заданных начальных условиях, так и при наличии еще предель- предельных условий. Для простоты письма будем считать скорость а= 1, чего можно достигнуть, заменяя в волновом уравнении t на сГЧ. Для оп- определенности возьмем случай трех независимых переменных, т. е. волновое уравнение ~W ( } и начнем с рассмотрения задачи с одними начальными условиями, заданными на всей плоскости: да "- у). A39) Мы уже имели раньше решение этой задачи [185]. Из самого метода этого решения можно было бы получить и единственность. Мы да- дадим сейчас другое доказательство единственности, которое будет применимо и для задачи с предельным условием. Если уравнение A38) с начальными условиями A39) имеет два решения: их и щ, то раз- разность и2 — их должна удовлетворять уравнению A38) и однородным начальным условиям 4=о = О, 4Н=о=0' A40) Надо показать, что при этом и должно тождественно равняться нулю при любых значениях (х, у) и при любом t ^> 0. Рассмотрим трех- трехмерное пространство (х, у, t) и возьмем в нем некоторую точку N(xQ> у0> tQ) такую, что tQ^>0. Из этой точки, как вершины, про- проведем коническую поверхность (х — xQf -f- (у —y9f — (t — tof = 0 A41) до ее пересечения с плоскостью tf = 0. Проведем еще плоскость t = tx, где 0<^i<Oo> и пусть D — трехмерная область, ограничен-
1»! § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 667 ная боковой поверхностью Г упомянутого конуса и частями пло- плоскостей t = Q и t = tlt находящимися внутри конуса (D — усеченный конус). Нетрудно проверить следующее элементарное тождество: да ( д2а д2и д2а \_ д \[ да \* , ( да \* , ( да г dt [dt* ~^~-^) — ~дГ1 +l Z dx [dt dx) Z dy \dt dy )• Проинтегрируем его обе части по упомянутой области D. Интеграл от левой части должен обращаться в нуль, поскольку и является ре- решением уравнения A38). Интеграл правой части мы можем преобра- преобразовать в интеграл по поверхности области Д пользуясь формулой Остроградского: -2 *.?„»(»,*)-2 .* *!-«„(.,,.)},& A43) На нижнем основании усеченного конуса D функция и и все ее частные производные первого порядка, в силу A40), равны нулю, и интеграл A43) по нижнему основанию равен нулю. На верхнем осно- основании (а), лежащем в плоскости t = tv мы имеем cos (п, лг) = со$(л, j/) = 0 и cos (п, ?)=1. На боковой поверхности Г конуса направляющие косинусы нормали удовлетворяют соотношению cos2 (я, t) — cos2 (я, х) — cos2 (п, у) = 0, и интеграл A43) по Г может быть переписан в виде + [-g- и мы получим окончательно [-g-cos(M)—^ На поверхности Г имеем cos(n, t)^>0, и, следовательно, потому
568 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [192 откуда следует, что во всех точках внутри полного конуса с вер- вершиной N(x0, у0, t0) частные производные первого порядка функции а равны нулю, и, следовательно, сама функция и — постоянна. На основании конуса она равна нулю в силу A40), а следовательно, и равно нулю и в точке N. Приведенное доказательство теоремы единственности без труда может быть распространено и на случай предельной задачи для уравнения A38). Положим, ищется решение уравнения A38) в некоторой области В плоскости (х, у) при задан- заданных начальных и предельных условиях, причем предельные условия относятся к контуру / области В. Построим цилиндр с основанием В и с образующими, параллельными оси t. Каждой точке этого цилиндра соответствует определенная точка в области В и опреде- определенный момент времени L Положим, что в области В мы имеем ну- нулевые начальные данные A40) и пусть на контуре / области В мы имеем однородное предельное условие w | / = 0. A44) Докажем, что функция и равна нулю во всех точках упомянуто- гЬ выше цилиндра. Возьмем такую точку N и проведем через нее конус A41). Пусть D — тело, ограниченное боковой поверхностью этого конуса, упомянутого выше цилиндра и плоскостями ^ = 0 и t = tu Проинтегрируем опять обе части тождества A42) по этой области. Все рассуждения останутся прежними, но только в правую часть войдет интеграл по боковой поверхности цилиндра. Если этот интеграл окажется равным нулю, то прежнее доказательство теоремы единственности сохранится полностью. В интеграле по боковой по- поверхности цилиндра подынтегральная функция совпадает с подынте- подынтегральной функцией интеграла A43). Но на боковой поверхности цилиндра мы имеем cos (л, t) = 0, и, кроме того, на этой поверх- поверхности ™ = 0. Последнее равенство непосредственно вытекает из того факта, что точки боковой поверхности цилиндра представляют собою точки контура / в различные моменты времени t, а на кон- контуре / мы имеем при всяком t однородное предельное условие A44). Таким образом подынтегральная функция интеграла A43) обращается в нуль на всей боковой поверхности цилиндра, и приведенное выше доказательство теоремы единственности сохраняется полностью и для формулированной только что предельной задачи. При доказа- доказательстве теоремы единственности нам приходилось интегрировать правую часть выражения A42) по области D и применять формулу Остроградского. Эти операции являются вполне законными, если мы предположим, например, что функция и имеет непрерывные произ- производные до второго порядка в D вплоть до границы. Выше мы упоминали, что при исследовании практически инте- интересных задач сталкиваются с необходимостью вводить в рассмотрение
193] § 17. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 569 так называемые обобщенные решения. В томе IV мы покажем, что теорема единственности имеет место и в этом более широком классе обобщенных решений. 193. Применение интеграла Фурье. Рассмотрим волновое уравнение в линейном случае (it. ClX для полубесконечной области х^О с начальными условиями и предельным условием" Нетрудно решить эту задачу методом, указанным в [179]. Действительно, достаточно продолжить функции у(х) и cpj (х), заданные в промежутке @, -)-оо), на промежуток (—оо, 0) по закону нечетности и затем применить формулу A7) для бесконечной струны. Полагая в этой формуле лг = О, мы получим +at ф (—at) -\- ф {at) 1 С и I vs=o ^"^ о г п~ \ *Pi (^) ^» и оба слагаемых обращаются в нуль в силу нечетности продолжения ф (z) и <pi (z), так что предельное условие наверно удовлетворено. Если применим к поставленной задаче метод Фурье, то вместо ряда Фурье получим интеграл Фурье. Как мы видели в [180], применение метода Фурье с учетом предельного условия приводит к решениям вида и = (Л cos akt + В sin akt) sin kx. Второго предельного условия нет, а потому все значения параметра к являются допустимыми, т. е. мы приходим к сплошному спектру возможных частот к полубесконечной струны. Вместо суммирования по дискретным значениям k, которое мы применяли в [180], мы в рассматриваемом случае должны применить интегрирование по параметру /г, считая, конечно, А и В функциями k. Таким образом мы получим: т и (лт, t) = I [A (k) cos akt + В (k) sin akt] sin kx dk. A48) — oo Функции A (k) и В (k) должны определяться из начальных условий A46). Они дадут: -foo -f со у(х)= 1 A (k) sin kx dk, <Pi(*)= 1 ak В (k) sin kx dk. A49) — 00 —00 Сравнивая эти формулы с формулой Фурье для нечетной функции -{-00 00 = — \ | \ f(t)sinatdt\ sincu:</a, —оо О
570 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ J193 мы определяем функции A (k) и B(k): о и, подставляя в формулу A48), получаем решение задачи +00 00 и (л-, t) = l- И ^ [ ? №) cos akt+ ~- Ь F) sin akt 1 sin k\ sin *л: rfg | dk, —оо О или, принимая во внимание четность подынтегральной функции, как функ- функции от k: 00 00 2 С i С Г 1 1 1 и (дг, 0 = — 1 { \ ср (8) cos akt -|—г cpj E) sin a&? sin Л; d% } sin ftjf йГ^. 71 «H J L a« J J о о Нетрудно, пользуясь формулой Фурье, убедиться в том, что правая часть этой формулы совпадает с правой частью формулы A7) при условии нечет- нечетности <р(*) и <р? (х). Совершенно аналогично можно рассмотреть в случае уравнения предельную задачу для полуплоскости у^Ос предельным условием «1у_о = ° A50) и любыми начальными условиями и оо; у ^ 0). Нетрудно проверить, что решение задачи будет давать формула (80) при условии нечетного продолжения функций <р(х, 'у) и <pt (дг, у) по аргументу у на промежуток (—оо, 0). Действительно, при у = 0 первое слагаемое фор- формулы (80) может быть написано в виде x+at -j-y 55 j [ J x-at _ и внутренний интеграл равен нулю при любых х и t, ибо подынтегральная функция есть нечетная функция от р. Совершенно аналогично и второе слагаемое формулы (80) обращается в нуль, так что условие A50) действи- действительно выполнено. Мы могли бы и для рассматриваемой задачи применить метод Фурье, используя представление функции двух переменных интегралом Фурье. Проверка тождества полученного таким образом решения с реше- решением, определяемым формулой (80), представляет большие трудности, чём в линейном случае. Совершенно аналогично можно рассмотреть волновое уравнение в полупространстве г^О при предельном условии и = 0 при
194] § 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 671 2 = 0. Метод Фурье применим и для решения волнового уравнения для без- безграничного случая, когда имеются только начальные условия. Но его при- применения приводят к более сложным вычислениям, чем те, которые мы при- применяли выше. § 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 194. Основные уравнения. Оба изложенных выше способа: характеристик (Даламбера) и стоячих волн (Фурье) с успехом при- применяются и при исследовании так называемого телеграфного уравне- уравнения, которое имеет основное значение в теории распространения квазистационарных электрических колебаний по кабелям. Пусть имеем цепь, состоящую из прямого и обратного проводни- проводников длины /. Мы будем считать, что по всей этой цепи равномерно распределены рассчитанные на единицу длины омическое сопротивле- сопротивление /?, самоиндукция Z,, емкость С и утечка изоляции А, чем этот случай отличается от разобранного в [1,181], когда мы имели сопро- сопротивление, самоиндукцию и емкость сосредоточенными лишь в отдель- отдельных точках цепи, а остальными ее частями мы пренебрегали. Обо- Обозначим через v и / напряжение и силу тока в сечении цепи нз рас- расстоянии х от конца х = 0. Эти функции от х и t связаны двумя дифференциальными уравнениями, которые мы сейчас выведем. Применяя закон индукции к элементу dx цепи, мы должны напи- написать, что падение напряжения в этом элементе v — (v _j_ dv) = — dv = g^- dx складывается из омического R dx-i и индуктивного Ldx-^9 или, разделяя на dx*. Далее, разность между токами, входящим и выходящим из эле- элемента dx, т. е. складывается из токов заряжения С dx -?- и утечки A dx • v, что дает «^ + ^-О. B) Весьма важное значение имеют предельные условия, которые должны выполняться на концах цепи. Если конец цепи открыт, то в этом конце мы должны иметь / = 0 (при х = 0 или * = /). C)
672 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [195 Вообще, если в конце цепи включена внешняя электродвижущая сила Е, сопротивление г и самоиндукция \, то в этом конце мы должны иметь v = E-{-rl-\-\~t (при лг=О или х = 1). D) В частности, если, например, один конец х = 0 поддерживается под напряжением Е, а другой лг = / замкнут накоротко, мы имеем t>U-o = ? *U-/=0- E) 195. Установившиеся процессы. Скажем сперва несколько слов об установившихся процессах, когда внешние факторы, действующие на цепь, либо 1) постоянны, либо 2) являются синусоидальными вели- величинами, причем в первом случае мы будем считать v и / независя- независящими от L 1. В первом случае уравнения (I) и B) дают нам g + W = 0; ?x+Av = 0. F) Дифференцируя первое из этих уравнений по х и принимая во внимание второе, получим *°-RAv = 0. G) Функция v определяется сразу по способу, указанному в [28]» и мы находим *(*) = С,*** + С^-Ч (8) где Определив v, находим / из первого из уравнений F) Примеры. 1. В случае цепи под постоянным напряжением Е на одном конце и накоротко замкнутой на другом мы имеем условия E), из которых определятся произвольные постоянные, входящие в формулу (8): ¦Сх + С2 = Е, Cxebl + С2е~ bl = О, откуда Eebl и, подставляя в формулу (8), получим
1951 § 18« ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 573 и формула (9) дает 2. Пусть теперь на нашу цепь действует синусоидальная внешняя элек- электродвижущая сила определенной частоты «; мы можем тогда перейти от действительных физических величин к векторам, как это было сделано в [I, 180], и под вынужденными колебаниями будем понимать синусоидаль- синусоидальные колебания напряжения и тока цепи той же частоты о>. Вспомнив пра- правила из [I, 180] и введя векторы тока I и напряжения V, которые в рас- рассматриваемом случае зависят от *, мы перепишем систему дифференциаль- дифференциальных уравнений A) и B) в виде jg + (/? + toZ.)l=O; jl + (A + fo>C)V = O. (И) Дифференцируя первое из этих уравнений по л: и пользуясь вторым, исключим 1 и получим и совершенно такое же уравнение, как нетрудно показать, можно получить и для I. Стало быть, 1 и V являются решениями одного и того же дифференци- дифференциального уравнения 2-го порядка. Применяя способ [28] и положив (R+i<*L)(A + i<»C) = **t A2) имеем V A где Aj и А2 — произвольные постоянные векторы. Подставив это в первое из уравнений A1), определим вектор . 1 dV х Для окончательного решения задачи нужно определить постоянные век- векторы Aj и А2, что можно сделать, воспользовавшись двумя предельными условиями (о начальных условиях здесь, конечно, говорить не приходится), причем вместо того, чтобы дать по одному условию для каждого конца в от- отдельности, можно задать два условия для одного и того же конца, например, задать там и вектор напряжения и вектор тока. Как бы то ни было, формулы A3) и A4) определяют векторы вынужден- вынужденных колебаний, которые зависят от л:, т. е. меняются вдоль цепи как по амплитуде, так и по фазе. Изображая каждый вектор (m + ni) точкой на плоскости комплексной переменной и меняя л: от 0 до /, мы получим для V и I две кривые — векторные диаграммы напряжения и тока. При опреде- определении вида этих кривых нужно помнить, что х есть, вообще говоря, число комплексное; положив мы имеем V = А^х (cos Ьх + / sin Ьх) + А2е~а* (cos Ьх — i sin Ьх). Каждое из слагаемых в правой части дает спираль [I, 183], и V получа- получается путем „геометрического сложения" этих двух спиралей; радиус-вектор точки кривой V, соответствующий какому-нибудь значению л*, равен геоме- геометрической сумме радиусов-векторов точек этих двух спиралей при том же
574 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ \Ш значении х. То же можно сказать и относительно вектора I. Вводя мно- множитель Г А + ЫС f x 7 который называется волновым сопротивлением, можно написать выражение для V и I в виде V = А^« + А.Г** I = \ (А,г« - А,***). A6) Если мы перейдем от векторной формы к обычной, то получим для ис- искомых функций v и I выражения вида v = V(x) sin И + Ф (*)], / = / (*) sin И + x (*)], A7) которые и дают гармонические колебания той же частоты о>, что и у внеш- внешней силы, и в которых амплитуды V(x) и I(х) и фазы ф.(х) и i(x) зависят от положения рассматриваемого сечения цепи. 3, Цепь под синусоидальным напряжением на одном конце и откры- открытая на другом. Данный на конце х = 0 вектор напряжения обозначим че- через Vo. Кроме уравнений A1), мы имеем еще предельные условия которые, в силу формул A6), дают нам Ах + А2 = Vo, A2<r*' - А^ = 0. Решая эти уравнения и подставляя в A6), находим без труда V —V ch*(l — x) , Voshx(/ —jr) 0 ch%l ' v chx/ ' При ^ = 0 мы получаем комплексное сопротивление в точке лг = О в виде chx/ ?0 sh %l ' 196. Устанавливающиеся процессы. Сравним между собой два типа вынужденных колебаний в одной и той же цепи под действием различных внешних факторов. Эти колебания обозначим номерами (I) и (II). Напряжения и ток колебаний типа (I) обозначим через vit i{, а те же величины типа (II) — через г>2, i%. Если мы внезапно заменим внешние условия, при которых имеют место колебания (I), на те, при коих должен получиться тип (II), то система не сразу перейдет от (I) к (II), а только по истечении более или менее продолжительного промежутка времени, который теорети- теоретически может быть равен бесконечности, но практически конечен; в цепи возникнут свободные колебания (или устанавливающиеся), которые характеризуются величинами напряжения v и тока /, причем мы будем считать, что во время переходного процесса состояние ли- линии получается путем сложения состояния (II) со свободными затуха- затухающими колебаниями, т. е. напряжение и ток переходного процесса определяются суммами
196] § 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 575 При f = 0, т. е. в начале переходного процесса, эти суммы должны обращаться в vx и 1Х. Функции v и i должны удовлетворять диф- дифференциальным уравнениям A) и B) [194] и предельным условиям C) или D), в зависимости от условий на концах. Сверх того, они должны удовлетворять и начальным условиям вида: A9) Функции v и / мы будем искать не непосредственно, а выразив их через одну новую неизвестную функцию w, для чего положим dw Уравнение B) дает тогда di , г, d2w i л dw d Г, , ^ dw откуда где с не зависит от х. Не ограничивая общности, мы можем, однако, считать с = 0, ибо, не изменяя величины v = -^- , можем прибавлять к w произвольное слагаемое, не зависящее от х. Итак, мы имеем *="?> 1 = -С%—Лщ B0) и уравнение B) удовлетворено. Подставив B0) в уравнение A), получаем уравнение, которому должна удовлетворять функция w (x, t), а именно ИЛИ *%^ ^ 0. B1) Это уравнение называется телеграфным уравнением. Для упрощения его введем новую неизвестную функцию и(х} t) по формуле *У w(x,t) = e-*iu(x9t) B2) и постараемся подобрать постоянный множитель р. так, чтобы в уравнении для и пропал член, содержащий -~. Дифференцируя и Уг-Q -?• введен для упрощения последующих выкладок.
576 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [198 сокращая на е~**> мы имеем и для указанной цели достаточно выбрать jj. под условием 2p.Z.C — (LA + RC) = 0, >-*&?-. <»> Подставив это значение [л, мы после простых преобразований получим для и уравнение где » LA-RC Разберем сначала тот случай, когда величиной & можно прене- пренебречь, или она в точности равна нулю, т. е. В этом случае ? и, положив ^С=а\ B7) для и получаем уравнение изученное выше. Его общее решение есть [1771*. и (х, 0 = 01(х — at) + G, (х -f at), B9) и постоянная а =1/ -—ч- ^а^//г скорость распространения возму- щения по кабелю. Формула B2) дает w (х, 0 = е-** [8, (х - at) + в, (х + <rf)], и, наконец, из формул B0) получаем v (х, t) = -g- = в-** [91 (х - «О + % (х + в/)], /(л:, t) = — ^ x + в/) + Л8, (jf — oO -f- Л92 (x = aCe-* [Q\ (x — at) —
197J § 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 577 ибо, в силу B6) и B5), [лС= Л, и остальные члены сокращаются. Вместо произвольных функций 6j и 02 удобнее ввести непосред- непосредственно функции 9i С*) = »;(*) и щ(*) = К(х)> после чего получаем окончательное выражение для v и I в виде: v, t) = <r^ [9i С* - at) + <р4 (* -f a*)], I ) = -?jl [9i C* - aO - ( где для краткости положено & = -%/— Именно этими выражениями мы и будем пользоваться. Функции <pi (х) и 9« (•*) определяются по начальным условиям A9), которые дают нам 9i С*) + 9* (•*) = ?(•*)» 9i (х) — 9а W = л (^)» откуда Задачу можно было бы считать решенной, если бы функции g(x) и h{x)y или, что то же самое, 9iC*) и 9«W были заданы во всем промежутке (—со, +оо); на самом деле, однако, они известны лишь в промежутке @, /), и для того, чтобы воспользоваться полу- полученным решением, нужно продолжить их вне этого промежутка. Это можно сделать с помощью предельных условий, как и в случав струны, и здесь физический смысл этого продолжения есть не что иное, как отражение волны в том или ином виде от концов цепи. Явления, которые соответствуют полученному решению C0), ана- аналогичны разобранным выше в случае струны. Мы имеем здесь две волны, прямую и обратную, которые, дойдя до концов, отражаются от них. Существенное различие со случаем струны заключается в наличии множителя е~^, который убывает с течением времени и вы- вызывает затухание колебаний, тем более быстрое, чем больше по- показатель р. — логарифмический декремент затухания. 197. Примеры. Если конец х = / открыт, то условие дает нам в силу C0) +«0 = ?i ('— или, заменив at на х, т. е. в этом конце волна отражается, оставаясь неизменной а по вели- величине и по знаку, так как функция <?2 (х) есть четное продолжение функции <р! (л:). То же, понятно, получится, если открытый конец будет в точке х = О,
578 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ A97 Вела конец х = 1 накоротко замкнут, т. е. то, принимая во внимание C0) и заменяя at на х, получим т. е. волна отражается, сохраняя абсолютную величину, но меняя знак, ибо функция <р2 (х) есть нечетное продолжение функции <рА (х). Дальнейшее продолжение идет так же, как и в случае струны. 1. В открытую на конце цепь включается переменный гармонический ток частоты со. Окончательно установившемуся состоянию (II) будут соот- соответствовать гармонические колебания частоты о, которые были выведены выше [195]: v2 = V(x) sin И + ф (*)], /i = / (х) sin К +1 (*)]¦ Если до включения цепь была пуста, то мы имеем *, = 0, /1==0. Поэтому, в силу формул A9), начальные условия будут Предельные условия будут следующие: на открытом конце л; = /должно быть На конце лг = О мы можем считать ибо в рассматриваемом устанавливающемся процессе нас интересуют только те колебания, которые происходят от различия начальных условий цепи С вынужденными колебаниями частоты <о. По формулам C1) определяем функции «pj (л:) и <р2 (л:), а затем продолжаем их нечетным образом через ко- конец х = 1 и четным — через конец л* = 0. 2. Рассмотрим затухающий процесс, происходящий при начальных условиях где Е—постоянная, и при предельных условиях »|*-о = °. *!*-/ = & Формулы C1) дают 9l (а:) = ?2 (х) = — у при 0 < л- < /, а из предельных условий получаем «Pi ( — *) = -- <Pi (х), «Pi (/ — *) = ?я (/ + *)t C2) откуда видно, что сра (л*) продолжает в промежуток (/, 2/) функцию <р, (х) четным образом, а функция ср1 (дг) продолжает в промежуток (— /, 0)
197] § 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ функцию у*(х) нечетным образом, т. с. F ср2 (.*•) = —,- при 0<л:<2/ 679 Заменяя во втором из уравнений C2) х на (/ + л-) и сравнивая получен- полученное равенство с первым из равенств C2), будем иметь и точно так же нетрудно получить <р, A1 — л') = — 9i (—х\ т. е. функции ух(х) и <?2(x) при прибавлении к аргументу 2/ меняют знак, и периодом для них будет только 4/. Рис. 131. Сопоставляя все сказанное, нетрудно видеть, что функции <fi С*) и <?з (х) совпадают и имеют график, изображенный на рис» 131. Для получения значений v и / мы двигаем этот график со скоростью а налево и направо и берем полусумму ординат, умноженную на е"^} для v и полуразность, умноженную на — e~v-f, для /. На рис. 132 изображен график напряже- напряжения на конце х = /, причем к свободному колебанию v прибавлено установившееся 4/ v2 = Е. Буква т = — обозначает период свободного колебания. Если на конце * = / включены оми- омическое сопротивление Г/, самоиндук- самоиндукция Л; и емкость y/> T0 условие D) дает следующее соотношение для продолже- продолжения функции <р2 (л) в промежуток (/, 2/): C3) Если заменить в нем аргумент at на х, то оно превращается в диффе- дифференциальное уравнение для определения неизвестной функции Ф (*) = <?8 (/+ л-) при 0<л:</. Аналогичный результат мы получаем, пользуясь предельным условием на конце л- = 0, и для продолжения' ок (х) в промежуток (—/, 0). Рис. 132.
580 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [198 3. В конце х = 1 включено только омическое сопротивление Г/. Равен- Равенство C3) заменяется тогда следующим: - at) + ъ(* + at)} = О ^- \Ь (I - at) - Ъ (/ + at)], откуда, вводя х вместо at, определяем <р2 (/+ х): ) = № (/~*Х где 9 = ^~» . C4) Таким образом в данном случае при отражении в конце х = 1 волна умножается на множитель q. Очевидно, что | q | ^ 1, т. е. волна уменьшается по абсолютному значению, и происходит поглощение. При rt ==a этот мно- множитель обращается в нуль, и происходит полное поглощение волны; при Г/ = оо множитель q=\, и мы получаем отражение волны без изменения, что и следовало ожидать, так как этот случай равносилен открытому (не замкнутому) контуру. Продолжив таким путем ср2 (х) в промежуток (/, 21) и соответственным образом срх (х) в промежуток (— /, 0), мы но формуле C4) продолжаем <р2 (•*) в промежуток B/, 3/) и т. д. При этом, конечно, мы уже не получаем периодической функции, и если \q\ < 1, то при последовательных отражениях будет происходить все более и более сильное поглощение волны. Функция <р2 (х) будет определена таким образом при х>0, функция же ср, (х)—при х < /; но это только нам и нужно, так как аргументы (л: — at) и (x-\-at), or которых зависят <pt(x) и ср2 (х), как раз удовлетворяют этим неравенствам. 198. Обобщенное уравнение колебаний струны» Мы рассмот- рассмотрели телеграфное уравнение в частном случае В = 0. Прежде чем переходить к общему случаю, исследуем теоретически обобщенное волновое уравнение пока в линейном случае W=adP + oifc + ^dt+W' C5) причем первый коэффициент а2 мы считаем положительным, а ос- остальные — любых знаков. Введем вместо v новую искомую функцию и по формуле v = eat***u C6) и покажем, как и выше, что всегда можно выбрать числа аир так, чтобы в уравнении для и пропали члены, содержащие частные производные первого порядка. Подставляя выражение C6) в уравне- уравнение C5), сокращая на eat^x и приводя подобные члены, придем к уравнению д2и а д2и , , , a ооч ди , , о ч ди , IF = а IF +<ai + 2а Р) Si + (a« - 2a) Ш + и, полагая a = a2:2; р = — а,: 2a2, придем к уравнению вида ?вв.?* + Л, C7)
1981 § 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 581 причем коэффициент с2 может быть как положительным, так и от- отрицательным, т. е. мы должны считать с или положительным числом или чисто мнимым. Будем решать уравнение C7) для бесконечной оси ОХ при началь- начальных условиях Вместо поставленной задачи, определяемой формулами C7) и C8), будем решать другую задачу, определяемую следующим уравнением и начальными условиями d2w о W = 0, dw с = w (x) e a "y Решение этой задачи мы можем непосредственно написать, со- согласно формуле (80) из [185]: c где Cat — круг с центром (х> у) и радиусом at. Вводя вместо а и Р новые переменные а' = а—х и p'==fJ—у, преобразуем написан- написанный интеграл в интеграл по кругу Cat с центром в начале и радиусом at w(x v о-_JLC w{x, у, t)- 2яа \ или, вынося еа за знак интеграла, можем написать с w(x, у, t) = e^y u(x, t\ D0) где второй множитель уже не зависит, очевидно, от у. Покажем, что выражение D1) и ре- решает нашу основную задачу, т. е. удовлетворяет уравнению C7) и начальным условиям C8). Действительно, w удовлетворяет уравне- уравнению C9Х), и, подставляя выражение D0) в уравнение C90, получим
582 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [198 i-v после сокращения на еа' уравнение C7) для гг. Начальные условия для и получаются непосредственно из начальных условий C92) для w и формулы D0). Итак, решение уравнения C7) при начальных усло- условиях C8) дается формулой D1). Преобразуем выражение, стоящее в правой части этой формулы, к другому виду. Приводим двойной интеграл по кругу Cat к двум квадратурам +at +YaW-0L'2 -?' u(Xi О = гЛ- { \ [ в —f1(ft(fl4.r)^. D2) Вводя во внутреннем интеграле вместо J3' новую переменную инте- интегрирования <р по формуле: р'=}/а^2—a'2 sin ср, приведем этот ин- интеграл к виду +1- 1- с ^ — уа2^2 —а'2 Sincp те 2" или, вводя новую трансцендентную функцию l(z), определяемую интегралом, зависящим от параметра z\ D3) можем написать формулу D2) в виде и (х, 0 = я" j / (-^ /««<«-«ч) » («' + ДГ) da', j ( ) — а/ или, вводя переменную интегрирования a = a' и(д;, 0 = ^- J /(^Ka2f'-(a-xJ) «(a)da. t J х — at Дифференцируя полученное решение по t, получим, как и в [184], новое решение «i = ^ уравнения C7), удовлетворяющее уже не
1981 § 1S. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 683 начальным условиям C8), а условиям да = 0. D4) Для того чтобы получить решение уравнения C7), удовлетворя- удовлетворяющее начальным условиям общего вида да г = о • v '' dt / = o D5) достаточно в начальных условиях C8) взять со (х) = <pi (-v), в началь- начальных условиях D4) взять ы(х) = у(х) и сложить соответствующие выражения для /?, что приведет нас к формуле x-\-at D6) Производя дифференцирование по ? по верхнему и нижнему пределам, а также под знаком интеграла, и, принимая во внимание, что /@)=1 в силу D3), можем переписать формулу D6) в виде и (Х) ц _ ? jc + a/ i j / (j KaV - (a - A-J) «p, (a)'flfa + г — at + at x-at r & где через Г (г) мы обозначили производную от /(г) по аргументу z. Установим теперь связь между функцией l{z) и функцией Бес- Бесселя с нулевым значком [48]: - ffciif № D8) Разлагая e2Sin? в степенной ряд пГ
С84 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [199 и интегрируя этот ряд почленно по промежутку (—-^» Н"")' что возможно ввиду равномерной сходимости ряда, получим При нечетном п написанные интегралы обращаются, очевидно, в нуль, а при четном n = 2s мы имеем [I, 100] +т ТС откуда следует Т «2 о 00 ' ^ Zd Bs BS-l)Bs-3)...l 2S.BS-2)...2 * Bs— l)Bs — 3)...l )! 2s ¦ Bs — 2)... 2 * или 2 s=0 Сравнивая это разложение с D8), мы получаем l(z)=Jt(iz). E0) 199. Неограниченная цепь в общем случае. Переходим теперь к рас- рассмотрению телеграфного уравнения для неограниченной цепи. Предварительно заметим, что уравнение B1), которое мы получили в [196] для вспомогатель- вспомогательной функции Wy будет также уравнением, которому должны удовлетворять в отдельности напряжение v и ток /. Действительно, вернемся к основным уравнениям A) и B) и исключим L Для этого продифференцируем уравнение A) по х и подставим вместо- его выражение, получаемое из уравнения B)
199) § 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 585 Для v получаем уравнение B1) ^g ^ 0. E1) Если бы мы стали исключать из уравнений A) и B) напряжение v, то полу- получили бы для i такое же уравнение. Определив v, мы можем найти i так, чтобы оно удовлетворяло уравнениям A) и B). Например, пользуясь уравне- уравнением B), получим JD ) E2) где интегрирование совершается по х при постоянном t w В (t) — произволь- произвольная пока функция от t. Подставляя это выражение i в уравнение A) и дифференцируя по параметру t под знаком интеграла, получим =:0. E3) Дифференцируя сумму первых трех слагаемых по х, в силу E1) получим нуль, т. е. эта сумма есть некоторая известная функция одного t, и для определения В (t) получаем линейное уравнение первого порядка. Произволь- Произвольная постоянная, получаемая при его интегрировании, определяется обычно из начального условия. Уравнение E1), как и выше [196], приводится к виду dt2 ~~ LC dx* при помощи подстановки где fc«a E4) г, t), E5) LA + RC \LA-RC\ E6 Если при t = 0 нам заданы вдоль цепи v и /, то тем самым мы знаем -5-7- w~ при ^ = 0, а уравнения (I) и B) дадут нам -— и -зг при ^ = 0. Таким образом, мы можем считать, что наряду с уравнением E1) мы имеем обыч- обычные начальные условия E7) Пользуясь E5), мы получаем следующие начальные условия для а: <58)
586 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ \?М Применяя для и формулу D7) и принимая во внимание E5), получим окончательно (Щ где [лис указаны выше, и а Здесь, как и в случае колебания струны, мы имеем определенную ско- скорость а распространения возмущения, так что если функции Ф(х) и W (х), дающие начальное возмущение, отличны от нуля только в некотором конеч- конечном промежутке р ^ х ^ qf и мы применим формулу E7) к точке х, гделг>^, то v (л*, t) будет равно нулю до момента времени t = — (х — q). Существенной разницей по сравнению со струной будет тот факт, что после прохожде- прохождения заднего фронта начального возмущения функция v{x, t) ке обратится ни в нуль, ни в постоянную, но будет функцией х и t. Действительно, если t>—(л:—/?), то слагаемые формулы E9), стоящие вне знака интеграла, будут равны нулю, а интегралы останутся, и промежутком интегрирования будет постоянный промежуток (р, q). Но все же переменные х и t будут входить под знаки интегралов в качестве параметров. Если, например, при ^ = 0 в цепи отсутствует ток, а потенциал v опре- определяется функцией Ф(х), то, в силу уравнения B), мы имеем F0) Если считать А = 0, т. е. пренебречь утечкой, то справа будет нуль. 200. Способ Фурье для ограниченной цепи. Нетрудно применить спо- способ Фурье для интегрирования уравнения E1) при заданных начальных и предельных условиях в случае ограниченной цепи. Положим, что один ко- конец цени х = 0 поддерживается при заданном постоянном напряжении Е, а на другом конце v = Qf т. е. имеются предельные условия F1) Положим, кроме того, что в начальный момент ^ = 0 в цепи нет ни на- напряжения, ни тока, т. е. при 0<л:</. Уравнения A) и B) показывают нам, что при этом F2) F3) Таким образом нам надо интегрировать уравнение E1) при предельных условиях F1) и при начальных условиях F4)
200] § 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 587 Составим сначала решение уравнения E1) v = F(x)t зависящее только от А', которое бы удовлетворяло предельным условиям F1). Для F(x) полу- получаем уравнение F" (х) — b2F (x) = 0 (b2 = RA). В примере из [195] мы нашли решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям F1), а именно Введем теперь вместо v (x, t) новую искомую функцию w(x% t) по формуле w(x, t) = v(x, t)-F(x). F6) Для w(x, t) мы имеем то же уравнение E1), однородные предельные усло- условия »U = o, «Ч,_, = о F7) и начальные условия = 0. F8) Для сокращения письма перепишем уравнение E1) для w в виде где a* = LC, 2h = LA + RC, b2 = RA. G0) Дальше идет обычное применение метода Фурье. Ищем решение урав- уравнения F9) в виде произведения функции только от х на функцию только от t: w = XT. Подставляя в уравнение F9) и отделяя переменные, получим X' _ а*Г+2НГ + Ь2Т_ mV~ х— т — /я » где w2 — пока произвольная постоянная. Имеем два линейных уравнения с постоянными коэффициентами Принимая во внимание предельные условия F7), берем решение пер- первого уравнения Xm = sin —j— (т = 1, 2, ...) и считаем т целым положительным числом. Уравнение для Т имеет общее решение где Ат и Am — произвольные постоянные, а ат и am — корни уравнения /2а + (Ь212 + т2к2) = 0, G1)
588 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |200 причем мы считаем, что постоянные R, Lf С и Л у цепи таковы, что это уравнение при всяком целом т имеет различные корни. Таким образом получаем бесчисленное множество решений, удовлетворяющих предельным условиям ^ G2) Берем сумму этих решений 00 «V) sin G3) и подбираем постоянные Ат и Ат так, чтобы удовлетворялись начальные условия F8). Это дает нам (а™ Ат + атАт) sin -у- == 0. Определяя обычным образом коэффициенты Фурье, получим два уравне- уравнения для Ат и Л^: G4) Вставляя под знак интеграла функцию F5), мы сможем выполнить квад- квадратуру и получим -r\F(x)sm 2тп Решая систему двух уравнений G4), будем иметь с пт а'2тп ' т Подставив это в формулу G3), получим оо f amt Корни уравнения G1) будут или вещественные отрицательные, или мни- мнимые сопряженные с отрицательной вещественной частью. Во всяком случае решение G5) будет затухающим при возрастании t. Оно определяет пере- переходный процесс от пустой цепи к установившемуся состоянию, определяе- определяемому функцией F5). Формула F6) дает нам окончательное выражение на- напряжения: 2т, 'У у 0
200) § 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 689 Решая квадратное уравнение G1), получим для его корней выражения вида где Подставляя в G6), можем представить эту формулу в виде G9) Определим теперь i по способу, указанному в [199]. Уравнение B) дает нам дх k^sh й-')sin T- со 7 ми* .—«-*-(*« г-) sh Лт ^ sin —=—, т = 1 Ш или, замечая, что, в силу G8), получим, интегрируя по х и принимая во внимание, что a2 = LC: ._ЛЕ ch b{l — x) 1 Г shbl ~~ со — 2АЕ1е~*' У ьч% _! nV fch /г/;^ + ~ sh Aw ^j cos со , 2? f \1 1 , f - m^v + jy e / "F"s^ m cos ~7— Подставляя в уравнение A), получаем уравнение для определения B(t)i откуда B(t) = Boe L ' (81) где Во — произвольная постоянная, которую надо определить из того усло- условия, что i при г = 0 равно нулю вдоль всей цепи. Подставляя выражение (81) в формулу (80) и полагая затем < = 0 и г=0, получим AEchb(l-x) . \ 1^
590 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [201 Но, разлагая первое слагаемое, стоящее справа, в ряд Фурье, в проме- промежутке 0<а:</ по косинусам, мы получаем AEchb(I — х) АЕ , \1 1 тпх Т eh Ы = gr + 2Л?/ 2 W» + m V C0S ИГ т—\ и условие (82) дает так что -г' Подставляя это выражение B(t) в формулу (80), получаем окончатель- окончательное выражение силы тока. Подробное исследование приведенного метода решения можно найти в статье акад. А. Н. Крылова «О распространении тока по кабелю» (Журнал прикладной физики, том VI, вып. 2, стр. 66, 1929). 201. Обобщенное волновое уравнение. В [198] мы рассмот- рассмотрели обобщенное волновое уравнение в линейном случае, т. е. с двумя независимыми переменными. Пользуясь тем же методом, можно рас- рассмотреть обобщенное волновое уравнение с тремя и четырьмя неза- независимыми переменными. Для упрощения дальнейших формул мы будем считать, что в волновом уравнении скорость я=1. Чтобы из полученных ниже формул перейти к формулам с любым а, доста- достаточно заменить в них t на at. Рассмотрим для безграничной плоскости уравнение W=W* + d? + CU (83) с начальными условиями Поставим вместо этой задачи—новую, а именно задачу интегриро- интегрирования волнового уравнения d2w d2w , d2w , d2w с начальными условиями w\ = 0, d-Z =«>(xty)ec*. f/ = 0 ' Ot /«0 v *J Эта задача непосредственно решается формулой Пуассона: 2т: т: w = 4^ \ \ ® (х + t sin 0 cos ср, у -f-1 sin б sin ср) ^с <*+'cos 0) sin С dO dy. о о Мы можем переписать эту формулу в виде w(x, у, z, t) = eczu(x} у, О,
201] § 18. ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ 591 где и(х, у, t) = ~4п~ \ \ {DC* + *sin" cos Ъ y + ^sin9sincp)ec/cos9sin0.^0rf'f, (85) и, совершенно так же, как и в [198], доказывается, что эта функция удовлетворяет уравнению (83) и начальным условиям (84). Преобра- Преобразуем теперь формулу (85) к более простому виду. Введем вместо О новую переменную интегрирования р по формуле: t cos 6 = р, откуда = -d? и sine=|/i_ Интегрирование по 6 в формуле (85) в новой переменной будет иметь вид 7- [ «) (х + Vr*T=rp5 cos у, У + У& — Р2 sin cp) ec? rfp, или, разбивая промежуток интегрирования на два: (—t, 0) и @, О и заменяя в первом промежутке р на (—р), мы сможем записать последний интеграл в виде t у 1 co(jc~f- V& — р2 cos <р, у + У^2 — р2 sin cp) ch d:p dp, о и таким образом формула (85) запишется в виде и(х, у, t) = t 2% = \ I ^- \ со (х -f- Y& — Р2 cos cp, у 4" У72 — р2 sin <p) rfcp I ch rp dp. Интегрирование по ср в этой формуле дает нам среднее арифме- арифметическое значений функций со (х, у) по окружности на плоскости ХО У с центром (лег, у) и радиусом ]/ ft — ра. Обозначая это среднее ариф- арифметическое через Ту^-рз {^ (^> У) Ь мы можем написать окончатель- окончательно формулу (85) в виде t а (х, у, t) = § TV7rr? { а) (х, у)} ch cp dp. (86) О Заметим, что если с — чисто мнимое с = сх1> то ch co = cos cxo. Дифференцируя построенное решение по t, получим решение ut = ~-
592 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ?202 уравнения (83), удовлетворяющее начальным условиям Совершенно так же для интегрирования уравнения при начальных условиях -0, *L =«(*, У, ^ (88) надо использовать формулу (822) из [186] при я = 4, заменяя о на (о(лг2, лг3> х$ес*к Проделывая некоторые простые преобразования, мы получим решение уравнения (87) при начальных условиях (88) в виде: § MVF^?) Т{(х, у, z)}d9, где 7р {о) (х, у, г)} есть, как всегда, среднее от функции ш (лг, у, z) по сфере с центром (х, у, г) и радиусом р. § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 202, Гармонические функции. В настоящем параграфе мы рас- рассмотрим уравнение с частными производными вида где U есть функция от дг, у и z. Уравнение A), как мы уже упо- упоминали, называется уравнением Лапласа. Левая часть уравнения A) обозначается, как мы видели выше, символом At/ и называется опе- оператором Лапласа над функцией U. В [90] мы видели, что уравне- уравнению A) должен удовлетворять потенциал сил тяготения или сил взаимо- взаимодействия электрических зарядов во всех точках пространства, нахо- находящихся вне притягивающих масс или вне зарядов, создающих поле. Уравнение вида A) встречалось также в [126]. Этому уравнению должен удовлетворять потенциал скорости невихревого течения не- несжимаемой жидкости. В [129] мы показали, что уравнению A) должна удовлетворять температура в однородном теле, если теплообмен явля- является стационарным, т. е. температура U зависит только от места, но не от времени. Точно так же в [130] мы получили уравнение Лап- Лапласа при рассмотрении стационарного электромагнитного поля.
202] § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 693 Если функция U не зависит от одной из координат, например, от z, то уравнение A) приводится к виду В этом случае U сохраняет одно и то же значение на всякой прямой, параллельной оси Z, или, иначе говоря, картина значений U в плоскостях, параллельных плоскости XOY, одна и та же, так что достаточно рассмотреть лишь плоскость XOY. Функция, непрерывная со своими производными до второго по- порядка в некотором объеме (трехмерной области) (D) и удовлетво- удовлетворяющая там уравнению A), называется гармонической в (D) функци- функцией. Такой термин применяется и в отношении уравнения B) для обла- области в плоскости XOY. В дальнейшем мы выясним некоторые свойства гармонических функций. Обычно в задачах математической физики функция U> кроме уравнения A), должна подчиняться некоторому предельному условию. Начальные условия в данном случае, конечно, отсутствуют. Основ- Основной предельной задачей для уравнения A) является следующая за- задача: определить функцию, гармоническую в области (D), если заданы ее значения на поверхности (S) этой области. Задача эта называется обычно задачей Дирихле. В формулировке задачи под значениями U на поверхности (S) подразумеваются те предельные значения, кото- которые получает U при приближении изнутри области (D) к точкам по- поверхности E). Более точно можно формулировать задачу так: ищет- ищется функция U, гармоническая внутри (D) и непрерывная в области (?)), включая ее границу E), причем заданы значения U на (S). Эта заданная на (S) функция должна быть, конечно, непрерывной. Будем для простоты считать, что граница (D) есть одна замкнутая поверх- поверхность (S). Заметим, что область (D) может быть как конечной, так и бесконечной. В последнем случае она лежит вне (S). В случае ко- конечной области мы имеем внутреннюю задачу Дирихле, а в случае бесконечной — внешнюю задачу Дирихле. В последней задаче ста- ставится еще то условие, чтобы функция стремилась к нулю при бес- беспредельном удалении точки, или, как говорят, функция должна обра- обращаться в нуль на бесконечности. Предельное условие в задаче Ди- Дирихле записывают в виде \ C) где f(M) — заданная непрерывная функция на поверхности (S) и М — переменная точка этой поверхности. Аналогично формулируется внутренняя задача Дирихле и применительно к уравнению B) для плоской области, причем предельным условием является задание V на контуре области. В случае внешней задачи Дирихле на плоскости требуется, чтобы функция имела конечный предел при беспредельном удалении точки.
594 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ B03 Укажем еще на один тип предельного условия, а именно на тот случай, когда на поверхности (S) задается значение нормальной про- производной Задача нахождения гармонической функции, удовлетворяющей та- такому предельному условию, называется задачей Неймана. Она встре- встречается в гидродинамике при рассмотрении движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Предельное условие D) выражает при этом совпадение нормальной составляющей скорости точки М поверхности (S) тела и жидкой частицы, прилегающей к точке М. Задача Неймана может быть формулирована и для уравнения B). Прежде чем переходить к выяснению свойств гармонических функ- функций, мы приведем вывод некоторых формул, необходимых нам в дальнейшем. 203. Формула Грина. Пусть (D) — некоторое ограниченное тело, (S) — его поверхность, (/и V — две функции, непрерывные и имею- имеющие непрерывные производные до второго порядка в области (D) вплоть до его поверхности (S). Рассмотрим интеграл \ { grad t/-grad Vdv. Cm* Применяя очевидное тождество dU dV д (rr dV\ r, d*V dU дУ _ д /. dV\ и два аналогичных тождества для -^— и -г-, можем переписать ин- интеграл в виде (D) С f f U LVdv. — С Преобразуем первое из слагаемых в правой части по формуле Ост- Остроградского /=J J[(/^-cos(«, X)+U^-cos (я, К) + -\-U~ cos (л, Z)]dS— С [ С
203] § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 595 или [120]: где (п) — направление нормали в точках поверхности E*), внешней по отношению к телу (D). Таким образом мы приходим к так называемой предварительной формуле Грина J J J \дх дх » ду ду~ dz dz j = J J Jgradf/.grad Vtft>= ^ Jf/^rf5—J J Jf/Д^х;. E) (b) \s) (b) Левая часть этого равенства не меняется при перестановке функ- функций U и V, а потому то же относится и к правой части, т. е. мы можем написать (S) (D) (S) ф) откуда и получается формула Грина в окончательной форме F) (D) (S) Иногда пользуются не внешней, а внутренней нормалью. При этом надо только изменить знаки у производных по нормали в правой части формулы, и для случая внутренней нормали формула Грина бу- будет выглядеть так {S (D) {S) где nt — направление нормали внутрь (D). Область (D) может быть ограничена и несколькими поверхно- поверхностями (S). Формула Грина применима и в этом случае, но только по- поверхностный интеграл, стоящий в правой части этой формулы, надо брать по всем поверхностям, ограничивающим область (D). Заметим, что при этом нормаль (п)} внешняя по отношению к объему (D), бу- будет на поверхностях, ограничивающих этот объем изнутри, направ- направлена внутрь поверхностей. Как мы упоминали, при выводе формулы Грина F) достаточно потребовать, чтобы функции U и V были непрерывны вместе с про- производными до второго порядка вплоть до (S). Необходимо, конечно,
596 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [203 предъявить некоторые требования и к поверхности (S). Можно при этом сослаться на те условия, при которых была выведена формула Остроградского [66]. Эти условия сводились к следующему: поверх- поверхность (S) может быть разбита на конечное число кусков так, что на каждом куске, вплоть до его границы, имеется непрерывно меняю- меняющаяся касательная плоскость. Такие поверхности называются обычно кусочно-гладкими. Ребра поверхности, являющиеся границами упомянутых кусков, должны быть кусочно-гладкими линиями. Это условие, налагаемое на поверхность, может быть выражено и в аналитической форме. Следствием формулы Грина является важная в приложениях фор- формула, дающая выражение значения функции в любой точке Жо внутри (D) в виде суммы некоторого поверхност- поверхностного и некоторого объемного интеграла. Пусть U(М) — функция, определенная в об- области (D) и непрерывная с производными до второго порядка вплоть до E). Применим формулу Грина к этой функ- функции и к функции V= —, где г —расстояние от определенной точки MQ, лежащей внутри (D), до переменной точки М. Функция V= —обращается в бесконечность, если точка М совпадает с Жо, и мы не можем применять формулу Грина ко всему телу (Z)). Выделим из этого тела малую сферу с цент- центром Мо и малым радиусом р и обозначим через (Д) оставшуюся часть тела (D) и через QJp) — поверхность выделенной сферы (рис. 133). В области (Д) функции U и У= — обладают требуемым свойством непрерывности, и, применяя к этой области формулу Грина, мы по- полу ч и м Рис. 133. причем интегрирование совершается по обеим поверхностям (S) и B]р)> ограничивающим тело (D,). Но, как мы видели, функция V= у удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. А—- =0 [131]. Кроме того,
208] § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 597 на сфере Q]p) нормаль п направлена внутрь сферы прямо противопо- противоположно направлению радиуса г, так что производная по нормали под знаком интеграла по Q]) есть взятая с обратным знаком производ- производная по г. Принимая во внимание все сказанное, мы можем переписать формулу G) в виде Будем теперь стремить радиус р выделенной сферы к нулю. При этом первое из слагаемых в написанной формуле будет стремиться к объемному интегралу по всему телу (D). Второе слагаемое от р не зависит. Покажем, что третье из написанных слагаемых стремится к пределу 4тс?/(М0). Принимая во внимание, что на Qy величина г имеет постоянное значение р, можем написать ftp P Применяя теорему о среднем, будем иметь ~ U{M) dS=\- где Жр — некоторая точка на поверхности сферы С?р)« Эта точка стремится к Mq при р->0, откуда видно, что написанное выше вы- выражение стремится к 4«?/(Ж0). Точно так же применение теоремы о среднем к последнему слагаемому дает -и- г дл i Производные первого порядка функции U по любому направле- направлению при стремлении Жр к Жо остаются ограниченными, так как по предположению функция U везде внутри (D) имеет непрерывные производные до второго порядка. Множитель 4тир стремится к нулю при р -> 0. Отсюда видно, что последнее слагаемое в формуле (8) стремится к нулю. Окончательно формула (8) в пределе даст нам
598 ГЛ. VT1. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [203 искомое следствие формулы Грина J J где Мо — любая фиксированная точка внутри (В) и г — расстояние переменной точки М до точки Жо. Заметим, что тройной интеграл в формуле (9) есть интеграл несобственный, так как подынтегральная функция обращается в бес- (9) Заметим еще раз, что эта формула справедлива для любой функ- функции U, непрерывной в области (D) вплоть до 5 вместе со своими производными до второго порядка. Совершенно аналогичные формулы имеют место и для случая плоскости. Мы приведем их, не останавливаясь на их доказательстве. Пусть (В) — некоторая область на плоскости, (/) — контур этой области и п — направление нормали к этому контуру, внешней по отношению к (В). Оператор Лапласа для случая плоскости имеет в декартовых координатах вид: или Аналогично формуле F), мы будем иметь на плоскости формулу A0) В отношении формулы (9) аналогия не будет полной, а именно при выводе формулы (9) было существенным, что функция — удо- удовлетворяет уравнению Лапласа. Для случая плоскости это не будет иметь места, и вместо функции — решение уравнения Лапласа надо будет брать в виде \gr или \g — = — lgr, где г — расстояние от какой-либо постоянной точки плоскости до переменной точки М. Таким образом вместо формулы (9) мы на плоскости будем иметь формулу (И)
204] § la. УРАВНЕНИИ ЛАПЛАСА 599 конечность в точке Мо. Но этот интеграл, очевидно, сходится, так как подынтегральная функция по абсолютной величине меньше вы- ражения — при р=\. Аналогичное замечание имеет место и по отношению к формуле A1). 204. Основные свойства гармонических функций. Рассмотрим функцию U, гармоническую в ограниченной области (D) с поверх- поверхностью (S). Считая, что U непрерывна вместе с производными вто- второго порядка вплоть до (S) и применяя формулу Грина F) к этой функции U и к гармонической функции V= 1, получим, в силу Д1/=ДA) = 0 и "^ = 0 т. е. имеем первое свойство гармонической функции: интеграл от нормальной производной гармонической функции по поверхности области равен нулю. Если применим к гармонической функции U формулу (9), то, в силу Д{/=0, получим (S) Это дает нам второе свойство гармонической функции: значение гармонической функции в любой точке внутри области выража- выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на поверхности области формулой A3). Отметим, что интегралы в формулах A2) и A3) не содержат производных второго порядка функции U> и для применимости этих формул достаточно предположить, что гармоническая функция не- непрерывна вместе с производными первого порядка вплоть до E). Чтобы убедиться в этом, достаточно несколько сжать поверхность (S), написать формулы A2) и A3) для сжатой области (D'), в которой имеется непрерывность и производных второго порядка вплоть до поверхности, и затем перейти к пределу, расширяя (D') до (D). Сжатие можно произвести, например, откладывая на внутренней нормали к (S) в каждой ее точке один и тот же малый отрезок длины 8. Концы этих отрезков образуют новую (сжатую) поверх- поверхность. При этом поверхность (S) должна быть такой, что описанное преобразование при всех достаточно малых 8 приводит к поверх- поверхности, которая не пересекает сама себя и является кусочно-гладкой [203]. Этот вопрос будет подробно изложен в томе IV. Применим формулу A3) к частному случаю области, а именно к сфере с центром в Мо и радиусом /?, считая, конечно, что
600 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [204 функция U гармоническая в этой сфере и непрерывна с производ- производными первого порядка вплоть до ее поверхности CSd)« В данном случае направление внешней нормали п совпадает с направлением радиуса сферы, так что мы будем иметь дп ~ дг и формула A3) дает Ш ад Но на поверхности сферы ?# величина г имеет постоянное значе- значение /?, так что & I J IJ udS> или, в силу A2), будем иметь окончательно С t UdS ЩМ0)= ('«* . A4) Формула эта выражает третье свойство гармонической функции: значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому значению этой функции на поверхности сфе- сферы, т. е. равно интегралу от значений функции по поверхности сферы, деленному на площадь этой поверхности. Из этого свойства почти с очевидностью вытекает следующее четвертое свойство гармонической функции: Функция, гармоническая внутри области и непрерывная вплоть до границы области, достигает своего наибольшего и наимень- наименьшего значения только на границе области, кроме того случая, когда эта функция есть постоянная. Приведем подробное дока- доказательство этог9 утверждения. Пусть U(M) достигает наибольшего значения в некоторой внутренней точке Mt той области Д где U(M) — гармоническая функция. Построим сферу ?? с центром Mi и ради- радиусом р, принадлежащую Д применим формулу A4) и заменим подынтегральную функцию U ее наибольшим значением ?/(тах> на сфере 2]р« Таким образом получим причем знак равенства имеет место только в том случае, когда U на сфере 2Р есть постоянная, равная U(M{). Поскольку по предпо- предположению и(Мх) есть наибольшее значение U(M) в D, мы можем утверждать, что имеет место знак равенства, и что, следовательно!
204] § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 601 U(M) равна постоянной внутри и на поверхности всякой сферы с центром Mi, принадлежащей D. Покажем, что отсюда следует, что U(M) есть постоянная и во всей области D. Пусть N — любая точка, лежащая внутри D. Нам надо показать, что U(N)— U(Mx), Соединим Мх с N линией / конечной длины, например ломаной линией, лежащей внутри Д и пусть d — кратчай- кратчайшее расстояние / от границы 5 области D (d — положительное чис- число). В силу доказанного выше U(M) равна постоянной U(M{) в ша- шаре с центром Мх и радиусом d. Пусть Ж2 — последняя точка пересе- пересечения линии / с поверхностью упомянутого шара, если считать от Мх. Мы имеем ?/(М.2)= U(Mx), и по доказанному выше U{M) равна постоянной U(Mx) и в шаре с центром Ж2 и радиусом d. Пусть Мз — последняя точка пересечения / с поверхностью этого шара. Как и выше, функция U(M) равна постоянной U(MX) и в шаре с центром М3 и радиусом d и т. д. Путем построения конечного числа таких шаров мы и убедимся в том, что U(N)=LJ(Mx), что и тре- требовалось доказать. Можно показать также, что U(M) не может иметь внутри D ни максимумов, ни минимумов. Пользуясь доказанным свой- свойством гармонических функций, очень легко показать, что внутренняя задача Дирихле, о которой мы упоминали в [202], может иметь только одно решение. Действительно, если предположить, что су- существуют две функции Ux(M) и U^{M)y гармонические внутри D и принимающие на поверхности «S этой области одни и те же предель- предельные значения /(Ж), то разность V(M) = Ux(M)—U%(M) будет так- также удовлетворять внутри D уравнению Лапласа, т. е. будет гармони- гармонической функцией, и ее предельные значения на поверхности 5 везде равны нулю. Отсюда, в силу доказанного выше, непосредственно сле- следует, что V(M) обращается в нуль тождественно во всей области Д ибо в противном случае она должна была бы достигать внутри по- положительного наибольшего значения или отрицательного наименьшего значения, что невозможно. Таким образом два решения Ux(M) и U<i(M) задачи Дирихле должны совпадать во всей области Ь. Со- Совершенно так же доказывается единственность внешней задачи Дирих- Дирихле, если учесть, что по условию в бесконечно далекой точке гармо- гармоническая функция должна обращаться в нуль. Совершенно аналогичные свойства получаются и для гармониче- гармонических функций на плоскости. В данном случае вместо формулы A3) мы будем иметь формулу @ и теорема о среднем будет выражаться в виде A6)
802 ГЛ. VTI. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [204 где Х# —окружность с центром Мо и радиусом R. Для внешней задачи Дирихле в бесконечно далекой точке требуется не обраще- обращение в нуль, как в трехмерном случае, но лишь существование како- какого-либо конечного предела, и единственность задачи Дирихле надо доказывать иначе, чем в прежнем случае. Мы приведем это доказа- доказательство в томе IV, где рассмотрим задачи Дирихле и Неймана бо- более подробно. Отметим сейчас, что любая постоянная есть гармоническая функ- функция, удовлетворяющая предельному условию Щ = о. дп \(S) откуда видно, что если к решению задачи Неймана добавить про- произвольную постоянную, то полученная сумма также будет решением задачи Неймана с теми же предельными значениями ~^~, т. е. реше- решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Из формулы A2) следует также, что функ- функция f(M), входящая в предельное условие внутренней задачи Ней- Неймана, не может быть произвольной, но должна удовлетворять условию В заключение отметим еще, что формула A3) справедлива и в том случае, когда U(M) есть гармоническая функция в бесконечной области, образованной частью пространства, находящейся вне поверх- поверхности 5. При этом надо только сделать предположение о порядке малости U{M) на бесконечности, т. е. при беспредельном удалении точки М. Достаточно (и необходимо) предположить, что при беспре- беспредельном удалении имеют место неравенства dU(M) dl \A, где R — расстояние от М до начала или какой-либо другой опреде- определенной точки пространства, А—численная постоянная и /—произ- /—произвольное направление в пространстве. Для доказательства формулы A3) для безграничной области при указанных условиях достаточно применить формулу A3) для конечной области, ограниченной поверх- поверхностью 5 и сферой с центром, например, в точке Мо и достаточно большим радиусом. При стремлении этого радиуса к бесконечности интеграл по поверхности сферы будет стремиться к нулю в силу приведенных выше условий, и мы получим формулу A3) для лю- любой точки Мо, лежащей вне 5. Как мы увидим в томе IV, условия (*) наверно выполняются, если U(M) стремится к нулю при беспредель- беспредельном удалении точки М.
205] § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 603 205. Решение задачи Дирихле для круга. В предыдущем па- параграфе мы видели, что задача Дирихле может иметь только одно решение, но мы еще не знаем, имеет ли она вообще решение. Не рассматривая этого вопроса в общем случае, мы ограничимся лишь частными случаями. При этом мы применим к решению задачи раз- различные методы. Начнем с плоского случая. Пусть требуется найти функцию, гармоническую внутри круга и принимающую на окружности этого круга наперед заданные зна- значения. Пусть R—радиус этого круга, и примем центр круга за начало координат. При этом заданные предельные значения на ок- окружности круга будут представлять собою некоторую известную не- непрерывную функцию полярного угла на окружности /@). Берем внут- внутри круга переменную точку М с полярными координатами (г, 6). Ис- Искомая функция должна удовлетворять уравнению Лапласа [131]: дг или <"> Применим в данном случае метод Фурье и будем искать реше- решение уравнения A7) в виде произведения функции только от 9 на функцию только от г: ?/=Х(в) о) (г). A8) Подставляем это выражение в уравнение A7): rV' (г) х(б) -f Ы (г) х (9) + X" (б)«(г) = О или Г(9)_ гУ'(г) + г«'(г) Поч ТЩ ЦТ A8lj Левая часть написанного уравнения содержит одну независимую переменную б, а правая — независимую переменную г и, следова- следовательно, обе части должны равняться одной и той же постоянной, которую мы обозначим через (— к2). Таким образом получаем два уравнения X"(e) + *2Z(°) = ° и rV (г)+ /-<!>'(/-) — /Ло(г) = 0. Первое из них при k ф 0 дает Второе — есть уравнение Эйлера [42]. Ищем его решение в виде w(r) = rm: 1 — klrm = 0, откуда, сокращая на rm, получаем rn1 — ^ = 0, т. е. m = 4hk, и общий интеграл уравнения будет
604 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1205 если только постоянная k отлична от нуля. Подставив в формулу A8), получим для U выражение U=(A cos ?9 + В sin kQ)(Crk + Drk). A9) При ? = 0 будем иметь уравнения х"(9) = 0 и га)" (г) + «>» = 0, и, как нетрудно показать, получим U=(A + BQ)(C+Dlgr). A90 В формулах A9) и A9t) — Л, В, С, D и k — постоянные, к опре- определению которых мы сейчас и переходим. Заметим, что прибавление к углу 6 величины 2тс равносильно обходу вокруг начала координат. При этом однозначная функция U(r, б) должна вернуться к исход- исходному значению, т. е. в формуле A9) первый множитель, зависящий от 6, должен быть периодической функцией от б с периодом 2тс. Отсюда следует, что постоянная k может принимать только целые значения k — ±l, ±2, ±3, ..., zkn, ... Но если подставить в формулу A9) k = n или k — — п, то ввиду произвольности коэффициента В результат получится по существу один и тот же, и поэтому мы можем ограничиться только целыми положительными значениями постоянной k (характеристические числа задачи), т. е. k = n (n=l, 2, 3, ...). Периодичность решения A9j) требует, чтобы постоянная В была равна нулю. Таким образом мы приходим к следующим решениям Un(r, в) = (Ая cos пв + Впsinnb)(Cnrn + Dnr'n) (л = 1, 2, ...), причем постоянные могут быть различными при различных значениях целого числа п, почему мы и снабдили их значками. Обращаясь теперь ко второму множителю, зависящему от г, заметим, что иско- искомое решение должно быть конечным и непрерывным в центре круга, т. е. при г = 0. Отсюда следует, что все постоянные Dn и Do не- необходимо положить равными нулю. Обозначая произвольные постоян- д ные АпСп через Ап9 ВпСп — через Вп и AQC0 — через -^, мы мо- можем написать решения в виде Un(r, д) = (Ап cos nQ-\-Bn sinnQ)rn (я=1, 2, ...), U0(r, 6) = ^. В силу линейности и однородности уравнения Лапласа сумма этих решений будет также решением, т. е. мы получаем решение
205) § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 605 вида U(r, fl) = А- + 2 (А* cos п0 + Вп sin я=1 Определим теперь произвольные постоянные Лл и Вп по задан- заданному предельному условию U(r, е)Ц^=/F), B1) где /(б) — заданная в промежутке (— тс^б^тс) непрерывная функ- функция, причем /(—тс)=/(тс). Это условие дает B2) /2=1 Отсюда видно, -что AnRn и ?л/?л суть коэффициенты Фурье функ- функции /F) в промежутке длины 2ти, например в промежутке (—те, те). Вычисляя их по известным формулам -Не +* Лл = -JL- J / (q cos nt dty вя=-±г^№ sin ^ dt B3) —те —л и подставляя найденные отсюда значения в формулу B0), получим искомое решение задачи Дирихле. Сравнивая ряд Фурье B2) с формулой B0), дающей решение за- задачи, можем формулировать полученный результат следующим обра- образом: чтобы получить решение задачи Дирихле для круга, надо написать ряд Фурье для предельных значений f(Q) и умножить (п-\-\)-й член этого ряда на множителъ\-уг-\ . Вместо бесконечного ряда B0) решение можно представить в виде определенного интеграла. Подставляем в формулу B0) выраже- выражения коэффициентов B3): +« 00 -J-1C U{r, б) = 4г \ 'Ю<й + 2т$ ИЛИ [ 2 (±)П cos n(t-O)\dt. n== 1 Формула A4) из [I, 174] дает непосредственно оо У*-^ B4)
606 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [208 Заменяя г на -^ и ср на (t — 6), получим окончательно следую- следующее выражение для ?/(г, 0): и (г. в) = ^ ] m v_2*z1w+* dt Заметим, что если бы обозначали обе части уравнения A8,) не через (—/г*), а через (-{-#*)> то в выражении A9) вместо (Л cos ^9 -j- + 5 sin ?6) мы получили бы (АекВ -}- Be~k\ а эта последняя функция не является периодической ни при каком вещественном k. При выводе формулы B5) мы предполагали, что решение задачи Дирихле, т. е. искомая функция U(r, б), существует. Кроме того, мы пользовались разложением /F) в ряд Фурье B2), что не обязательно имеет место, и в это разложение непосредственно подставляли г = /?# Все это заставляет нас проверить формулу B5), т. е. мы должны по- показать, что интеграл, стоящий в правой части формулы B5), дает гармоническую функцию внутри круга r<^R и что /(б) суть пре- предельные значения этой функции на окружности этого круга. Отме- Отметим, что интеграл формулы B5) называется обычно интегралом Пу- Пуассона. 206. Интеграл Пуассона. Для простоты письма мы будем счи- считать в этом номере радиус круга R равным единице, так что формулу B5) перепишем в виде B7) Интеграл дает функцию от г и в, так как второй множитель 1-г2 1 — 2r cos (t — 0) + г* его подынтегральной функции кроме переменной интегрирования t содержит параметры гиб. При этом функция B7), а потому и B6), имеют период 2тс по отношению к переменной б. Из очевидного не- неравенства 1 — 2r cos (t — 6) -j- r2 ^ 1 — 2r-[-r2 = (l — rf следует, что выражение B7) и его производные любого порядка суть непрерыв- непрерывные функции гиб при 0^г<^1. Отсюда следует, что интеграл B5) можно дифференцировать по г и б под знаком интеграла [83], и это дифференцирование будет касаться только множителя B7). Но, поль- пользуясь выражением оператора Лапласа в полярных координатах [131J, нетрудно проверить, что функция B7) удовлетворяет уравнению Лап- Лапласа. Отсюда непосредственно следует, что формула B6) определяет функцию U(г, б), гармоническую при г<^1. Остается показать, что
206] § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 607 ее предельные значения на окружности круга г=1 равны /"(8), что и составляет главную часть доказательства. Заметим прежде всего, что если в формуле B6) положить f(t) = 1, то и гармоническая функция ?/(г,6) будет тождественно равна еди- единице, т. е. надо ожидать, что справедлива формула Докажем эту формулу. Согласно B4) причем ряд, стоящий справа, сходится равномерно относительно tt так как члены этого ряда по абсолютной величине не превышают 2гп. Интегрируя ряд почленно по t, и получим B8). Функция f(t), определенная на окружности г=1, имеет период 2тс, т. е. /(—тс)=/Gг). Мы продолжаем ее вне промежутка (—ти, к) по закону периодичности, что дает нам непрерывную в промежутке — оо<^<^-{-оо функцию f{t) с периодом 2я. Введем вместо t новую переменную интегрирования t — 6 = <р, т. е. ^ = ср —j— 0 и dt = dy. Принимая во внимание перио- периодичность f(t) и cos(t—б), мы можем оставить прежний промежуток интегрирования (—тс, тс) [154] и написать Пусть точка (г, 0) стремится к точке A, б0) на окружности. Нам надо доказать, что при этом llm U(r, б)=/@0). В интеграле B8) совершим такую же замену переменных, умно- умножим обе части на /(б0) и вычтем полученное равенство почленно из B9): f/(r, e>-/<M = -i-J [/(9 + 6) —/(9o)]l _2^-^ + r3rfcp. C0) Нам надо доказать, что интеграл, стоящий справа, стремится к нулю при г -> 1 и 0 -> б0, т. е. будет сколь угодно малым по абсолютной величине, если г достаточно близко к единице и 9 к б0. При лю- любом заданном положительном е существует такое iq^O, что
608 ГЛ. VTI. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ B09 при условиях |?|<i) и |9 — 0о|^т) |/(?+e)-/(WK-f. C1) В интеграле C0) разобьем весь промежуток интегрирования на три части (— те, — 7)), (— 7),л|), (tj, *). C2) Оценим абсолютное значение интеграла по второму промежутку: Принимая во внимание, что дробь, стоящая под знаком интеграла, положительна, заменяя стоящую там разность ее абсолютным значе- значением и применяя C1), получим или, расширяя промежуток интегрирования г l T С и, следовательно, в силу B8), C3) Рассмотрим теперь интеграл по первому из промежутков C2). В этом промежутке coscp^cosiQ и, следовательно, 1 _ 2т cos <? + г2 ^> 1 — 2r cos tj + г* = A — О* + 2г A — cos ч) или 1 — 2r cos cp -j- г2 ^5 4г sin2 -^-. Абсолютное значение разности [/(<р + в)—/(%)] не превышает некоторого определенного положительного числа М, раз /"(^) — не- непрерывная периодическая функция. Таким образом для интеграла по первому из промежутков C2) получаем оценку |ЛК ^-г-A-гв)(*-1Л втсг sin2 -^-
206J § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 609 и такую же оценку получим и для интеграла по третьему из про- промежутков C2). При г -> 1 правая часть написанного неравенства стремится к нулю и, следовательно, сумма интегралов по первому и третьему из промежутков C2) будет при всех г, достаточно близ- близких к единице, по абсолютному значению меньше ~^~ • Принимая во внимание C3) и произвольную малость е, мы можем утверждать, что правая часть равенства C0) действительно стремится к нулю при г _> 1 и е -> 60. Отметим связь интеграла B6) с рядом Фурье функции /(б). Этот ряд Фурье имеет вид B2), причем мы полагаем сейчас R = 1: где коэффициенты определяются по формулам B3) при /?=1. Если, например, /@) удовлетворяет условиям Дирихле [155], то ряд C4) сходится при всяком 0. Но в общем случае непрерывной функции мы этого утверждать не можем. Но во всяком случае Ап и Вп->0 при п->оо, так что ряд оо rn C5) сходится при г<М, и, как это видно из [205], сумма этого рядл и дает функцию B6). Далее оказывается, что при г -> 1 сумма ряда C5) стремится к /(в), т. е. к той функции, от которой произошел ряд Фурье C4), который может быть и расходящимся рядом. Применим эту же идею к любому ряду п=1 Если этот ряд сходится и имеет сумму s, то теоремы Абеля из теории степенных рядов [I, 148] показывают, что при ^ сходится ряд 2 и, ввиду его равномерной сходимости в промежутке 0 ^ г ^ I [I, 149], мы имеем lim со (г) = 5. C8) Но может случиться, что ряд C6) расходится, а ряд C7) при О ^ г < 1 сходится и о> (г) имеет предел при г -> 1 — 0, т. е. имеет место C8). В этом случае s называется обобщенной суммой расходя-
610 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ^ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [207 щегося ряда C6) в смысле Абеля, и говорят, что ряд C6) сумми- суммируем по Абелю. Из сказанного выше непосредственно вытекает, что для сходящегося ряда эта обобщенная сумма существует и совпадает с обычной суммой ряда. Полученные выше результаты об интеграле Пуассона можно фор- формулировать так: ряд Фурье непрерывной периодической функции /@) при всяком 0 суммируем по Абелю и имеет обобщенную суммуу равную /@). Отметим еще, что при исследовании интеграла Пуассона мы стремили точку (г,0) к предельной точке A,0О) не обязательно по радиусу, а любым образом. Положим, что в интеграле B6) г^>\. Совершенно так же как и выше, мы убеждаемся в том, что интеграл B6) дает гармоническую функцию вне окружности г = 1. Для исследования его предельных значений перепишем его в виде U(г, 6) = М /(*) \JL±_^ dt B60 Написанный интеграл совпадает с интегралом B6), если в этом последнем заменить г на 1: г, причем, в силу г.^> 1, мы имеем 1: г <С^ 1. Таким образом, к интегралу, входящему в формулу B6j), применимы все предыдущие рассуждения с заменой г на 1: г, и функция B6t) при стремлении точки (г,0) к точке A, 0О) извне .окружности стре- стремится к —/(%)- Мы можем таким образом утверждать, что функция V(r,B)= ± J fit) x_2rSs«-o)+-F- dt дает решение задачи Дирихле для части плоскости, находящейся вне окружности г= 1 с предельными значениями f(Q). При бес- беспредельном удалении точки (г, 0) функция V(r, 0), как это видно из последней формулы, имеет конечный предел lim V(r,B)= 4- f f(*)dt. —11 Как мы* упоминали выше, решение задачи Дирихле и{М) для бес- бесконечной части плоскости, находящейся вне замкнутого контура /, единственно, если предположить, что искомая функция стремится к конечному пределу при беспредельном удалении точки М (см. том IV). 207. Задача Дирихле для сферы. Пусть R—радиус сферы Q]) и f(M') — заданные предельные значения гармонической функции на поверхности сферы, причем М — переменная точка этой поверх-
207] § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 6П ности. Мы предполагаем, что f(M)—непрерывная на поверхности сферы функция. Рассмотрим какую-либо, но определенную точку /Wo внутри (?) и обозначим через г расстояние переменной точки пространства М до УИ0. Наряду с точкой УИ0 рассмотрим точку Мь лежащую на продолжении радиуса сферы ОМ0 и такую, что (рис. 134) = /?. C9) Точка М1у лежащая вне сферы Q])> называется иногда симметрич- симметричной с Жо относительно B). Обозначим через rt расстояние пере- переменной точки М до Мх. Если М находится на поверхности B) в не- некоторой точке Ж', то величины г и гх связаны простой зависимостью, кото- которую мы сейчас и выведем. Заметим, что треугольники ОМ0М' и ОМ{М подобны, так как они имеют общий угол при вершине О и стороны, образующие эти углы, пропорциональны i у W^r в силу C9). Из подобия вытекает [ о^ ?; -^ » \М0М\ _ \ОМ0\ г _\ОМ0\ \МХ Ml ~~~ \OM\ rx~ R ' откуда ' R Т D0) Рис. 134. где р = \ОМ0\ есть длина радиуса-вектора из центра сферы в точку Мо. Функция — внутри сферы в бесконечность не обращается, ибо М\ лежит вне сферы, и есть, следовательно, функция, гармоническая внутри сферы [131]. Формула D0) дает предельные значения этой функции на поверхности сферы. Пусть U(M)—искомое решение за- задачи Дирихле. Формула A3) дает D1) С другой стороны, применяя формулу (б) к гармоническим функ- функциям U и V= —, получим '1 0 = ' ди дг~> dS. D2)
612 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [207 п Умножая обе части D2) на постоянное число j—- и вычитая из D1), мы, в силу D0), исключим ^-: Но значения U на (?) представляют собою заданную функцию /(Ж'), и мы можем написать B) Формула эта и решает задачу Дирихле для сферы, так как под знаком интеграла стоят известные величины. Преобразуем раз- разность, стоящую в квадратных скобках. Заметим прежде всего, что поверхности г = const суть сферы с центром Мо, так что grad r есть вектор длины единица, имеющий направление М0М, и, следовательно, ^r = cos(r, n) Точно так же 3?«-=_^ , д liAf. Это дает д I 11 \ а П \ 7 т —жг=р где г и г, под знаком косинуса обозначают направления /И0Ж и 7 т жгр cos (r>л) —и"cos (f» и)- D4) Вводя величину р! = | OAlt | = —, можем написать из треуголь- треугольников ОЖ'ТИо и OM'Mi. р* = R2 + г2 — 2Rr cos (r, w), pj = /?2 + т\ — 2Rrx cos (rt, n). Определяя отсюда cos (r, ri), cos (г1э п) и подставляя в выраже- выражение D4), будем иметь, в силу D0) и определения рх: р дп дп Rr*
207) § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 613 и формула D3) может быть переписана в виде ^7^- dS> или, если ввести угол ^ образованный радиусом-вектором с переменным радиусом-вектором ОМ\ угловые сферические коорди- координаты Ff, ср') точки М и сферические координаты (р0, 0О, ср0) точки Мо с началом в точке О: Полученное интегральное представление" U(MQ) аналогично инте- интегралу Пуассона в случае плоскости. Для того чтобы показать, что интеграл, входящий в формулу D5), дает гармоническую функцию, достаточно показать, что при фиксированной точке М дробь (R2 — Р2) • г* есть гармоническая функция от /Ио. Введем сферическую систему координат с началом в точке Ж' и с осью Z, направленной от М к О, и обозначим, как всегда в сферической системе, 0 = ? OAf Af0. При этом р2 = /?2--2/?rcos9-fr2 и #2 —Р2 _2flcos6 1_ гз — Г2 г • Подставляя эту разность в уравнение Лапласа, выраженное в сфе- сферических координатах, убедимся в том, что упомянутая дробь есть гармоническая функция точки Жо. Докажем теперь, что при любом положении Мо внутри сферы имеет место формула Введем сферическую систему координат с началом в точке О и с осью Z, направленной из О в Af0, причем в данном случае 6=/.M0OAf и г2 = /?2 — 2/?р cos 0 + Р2- Интеграл, входящий в фор- формулу (*), будет 2тс те D2 02 _J_ А о р (/?* — 2р/? cos О -J- Л 2 8 = л
614 ГЛ VII УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |206 или, принимая во внимание, что p<^R, получим формулу (*): Дальнейшее доказательство того, что интеграл D5) имеет на сфере предельные значения /(Ж), проводится так же* как и в слу- случае интеграла Пуассона. Решение внешней задачи Дирихле с предельными значениями /(Ж') дается формулой ^ i^dS D5l) S' ИЛИ j гдер == | ОМ0\,г=\М0М'\ и 7= L МйОМ', но в данном случае р ^> R. Как и выше, мы убедимся в том, что интеграл формулы D5^ дает гармоническую функцию вне сферы. Для того чтобы убедиться, что предельные значения U(MQ) равны /(Ж), перепишем D6t) в виде где р' = р и /?' = /?. При этом р'</?', и когда точка (р, 60, <р0) стремится к точке М (/?, 0, ср)> лежащей на сфере ?> то (р', 60, <р0) стремится к (R\ Ь, ср). В силу результата, полученного для внутрен- внутренности сферы, мы имеем ] и, принимая во внимание, что р' -+ R', можем утверждать, что и пра- правая часть формулы D6.2) стремится к /(М), что мы и хотели дока- доказать. Отметим еще, что в силу D6,) {/(р, 0о»9о) стремится к нулю, когда Мо удаляется на бесконечность, т. е. когда р -> сю. Это сле- следует из того, что под знаком интеграла формулы D60 числитель содержит р2,а знаменатель имеет, очевидно, порядок р3. 208. Функция Грина. Из приведенного решения задачи Дирихле для сферы можно вывести указания и для общего случая внутренней задачи Лирихле для любой поверхности (S). Формула A3) непосредственно не дает
208] § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 615 решения задачи, так как под знак двойного интеграла входит не только само U, для которого значения на поверхности заданы, но и ^—. Надо on исключить последнюю величину, чтобы получить решение задачи. Пусть Мо — фиксированная точка внутри (S). Пусть нам известна функция Gi(M\ Mo), обладающая следующими двумя свойствами: 1) как функция переменной точки /И, это есть гармоническая функция внутри E); 2) на поверхности (S) ее пре- предельные значения равны —, где г — расстояние переменной точки (S) до Мо Пусть U(M)~ искомое решение задачи Дирихле. Применяя формулу F) к гармоническим функциям U{M) и ф (М; УИ0), можем написать O of Г [ (S) (S) или в силу предельных условий для Gx (М) Мо): Умножая это равенство на j— и складывая с A3), получим --Oi(A4;M0)|rfS. D7) E Эта формула и дает решение задачи Дирихле, если известна функция (?j (М; Мо). Разность, стоящая в квадратных скобках: О (М; Мо) = -1 - Ог (М; Мо), D8) называется функцией Грина для области, ограниченной поверхностью (S) с полюсом в точке Мо. Из определения Gx (М; Мо) вытекают два основных свойства функции Грина: 1. G (М; Л10) есть гармоническая функция внутри (S), кроме точки Мо, где она обращается в бесконечность, причем разность G(M; Мо) остается конечной и является везде внутри E) гармонической функцией. 2. Предельные значения G(M\M0) на поверхности (S) равны нулю. В случае сферы, в силу формулы B6), функция Gx (M] MQ) будет равна il . — и функция Грина будет Р ri G(M;M0) = i-~^l. D9) Мы получили формулу D7), пользуясь формулой A3) и применяя инте- интегральную формулу Грина к 0(М) и Gt (М; Мо). Возмонсность применения этих интегральных формул требует особых доказательств, которые основаны на изучении поведения производных при приближении к поверхности ($).
616 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [209 Строгое доказательство формулы D7) при широких предположениях относи- относительно поверхности E) и функции U(M) на (S) было впервые дано А. М. Ля- Ляпуновым. Совершенно аналогично для случая плоскости мы имеем формулу для решения внутренней задачи Дирихле: (I) где функция Грина G(M',M0) для области с контуром (/) и с полюсом Мо должна обладать следующими двумя свойствами: 1. G(M;M0) есть гармоническая функция внутри (/), кроме точки Мо, где она обращается в бесконечность, причем разность G(M)M0) — lg — есть гармоническая функция и в точке Мо, 2. Предельные значения G (М; Мо) на контуре (/) равны нулю. Нетрудно видеть, что может существовать только одна функция с ука- указанными двумя свойствами. Действительно, если бы их было две: GB) (М; Мо) и G{l)(M;M0), то их разность G{2) (М; Мо) — G{1) (М; Мо) была бы гармони- гармонической везде внутри (S) или (/) и имелд бы нулевые предельные значения на (S) или (/), т. е. была бы тождественно равной нулю внутри (S) или (/). 209. Случай полупространства. В качестве примера применения фор- формулы D7) рассмотрим задачу Дирихле для полупространства. Требуется найти функцию и(х, у> 2), гармоническую в полупространстве г > 0, если известны ее предельные значения f(x, у) на плоскости 2=0: U\g-o=*f(xt у). E0) Пусть г — расстояние от переменной точки М до точки Мо(хо, у0, zq), причем 20 > 0, и гх — расстояние от переменной точки М до точки Мо (*о> 3\)> —*о)> симметричной с Мо относительно плоскости 2 = 0. Дробь — есть гармоническая функция точки М в полупространстве z > 0, ибо М'о лежит вне этого полупространства. Если М находится на плоскости 2=0, то, очевидно, — = — • Таким образом функция Грина в рассматриваемом случае имеет вид 1 1 V(x- *оJ + О' - УоУ + (*- *оJ V(x - Направление нормали к плоскости 2 = 0, внешней по отношению к по- полупространству 2>0, есть направление, противоположное оси OZ, т. е. =: — и формула D7) дает Oft OZ У (х- XoY + (у - у „Г + (z - B — ЧГ 1 dx dy.
210J § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 617 После дифференцирования квадратной скобки надо положить z=0. Производя несложные выкладки, получим окончательно +ОО+ОО Мы не будем проверять, что правая часть представляет гармоническую функцию и имеет предельные значения f(x, у), когда (xQi у0, z0) стремится к (х, у> 0). В данном случае бесконечно далекая точка лежит на поверх- поверхности области, и нетрудно проверить, что построенное решение обладает следующим свойством: если /(*, у) непрерывна и на бесконечности, т. е. если f(x, у) имеет конечный определенный предел а при беспредельном удалении точки (х> у) на плоскости 2 = 0, то и U(xo> y0, zQ) имеет тот же предел а при любом беспредельном удалении точки (л:0, _vo> *o) B полупрост- полупространстве z >0. Иначе говоря, построенное решение имеет требуемое предельное значе- значение и в бесконечно далекой точке плоскости, если f(xt у) непрерывна в этой точке. Совершенно аналогично при решении задачи Дирихле для полупло- полуплоскости у > 0 функция Грина имеет вид и формула D7Х) при предельных значениях U\y-o=fW E2) дает решение задачи +00 1 '$*• <53> —со Подробное рассмотрение задачи Неймана мы относим к тому IV. 210. Потенциал объемных масс. Рассмотрим неоднородное уравнение Лапласа дЮ d*U d2U . , /кп в конечной области (D) с поверхностью E). Общее решение этого уравнения есть сумма какого-либо частного его решения и гармони- гармонической в D функции. Пусть имеется решение уравнения E4), к ко- которому применима формула (9). Поскольку производная от — по любому фиксированному направлению удовлетворяет уравнению Лап- Лапласа, то подынтегральная функция в поверхностном интеграле фор- формулы (9) и сам этот интеграл суть гармонические функции в D. Таким образом тройной интеграл должен удовлетворять уравне- уравнению E4). Но в силу E4) в этом интеграле AU можно заменить на <р(х, у у г), и таким образом мы получаем частное решение
618 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [210 уравнения E4) вида Щх, у, г)= -1 \ J С l%3ii> «fo E5) (?) J (?) Мы получили этот результат, предполагая, что уравнение E4) имеет решение, к которому применима формула (9). Для полного решения задачи нам надо более подробно исследовать объемный потенциал E5) при определенных предположениях относительно функции y{N). Мы положим }x(N)= —ср(Л0:4тс и будем исследо- исследовать следующий потенциал объемных масс ^ E6) или V(x,y, г)=\\ \^^dv. E6,) Положим, что [х(А0 непрерывна в (D) вплоть до E). Как мы уже упоминали, интеграл E6) является собственным интегралом, если М лежит вне (D). В этом случае функция V(M) имеет частные произ- производные всех порядков. Эти производные могут быть получены диф- дифференцированием под знаком интеграла, и V{M) удовлетворяет урав- уравнению Лапласа AVr= 0. Если М принадлежит (D), то существует несобственный интеграл E6) и существует также интеграл, получен- полученный путем дифференцирования подынтегральной функции, например, по х [90]. Но не было доказано, что он дает частную произ- производную от V по х. Докажем по поводу интеграла E6) две теоремы: Теорема 1. Если p(N) непрерывна в области (D) вплоть до (S), то V(M) и ее частные производные первого порядка непре- непрерывны во всем пространстве, и упомянутые частные производ- производные могут быть получены дифференцированием под знаком ин- интеграла. Доказательство будем проводить при любом положении М отно- относительно сбласти (D). Вместо — введем новую функцию, которая от- отличается от — лишь при r<^s, где г — заданное положительное число, но которая сама непрерывна и имеет непрерывные производ- производные по координатам вплоть до г = 0. Для этого заменим— ириг<^ полиномом: а + рг2 = а -j- p [(? — xf + (t) — yf + (С — z)% выбрав аир так, чтобы при г = е иметь и 2р. 1
210) § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 619 что дает непрерывность производных на стыке функции - иа-f-flr2, 3 1 т. е. при г = е. Написанные формулы дают а = р [1 = — ^, и мы приходим к функции gt(r), определенной равенствами ft (г) =4 при г^е, 3 1 E7) &№=Ъ~Ъ?Г* При Г<е* Подставляя эту функцию вместо - в интеграл F6), получим вме- вместо V(M) новую функцию [$U E8) непрерывную во всем пространстве и с непрерывными частными производными, которые могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла, поскольку подынтегральная функция интеграла формулы E8)" сама непрерывна и имеет непрерывные производные при г^>0. Мы можем, например, написать dV (M) С С С д ф) Составим разность V(M) - Ve (Ж) = j Jf J [x (АО [ 1 - ge (r)] dv. F0) Поскольку - и ge(r) совпадают при г^>е, разность, стоящая справа, равна нулю для всех точек Л/, лежащих вне сферы (ае) с центром М и радиусом е. Если, например, М лежит вне (D) и е меньше расстоя- расстояния от М до (D), то интеграл, стоящий а правой части F0), равен нулю. В других случаях сфера (ag) может частично или целиком попа- попадать в (?)). Обозначая через т наибольшее абсолютное значение ^{N) в (D) и принимая во внимание, что & (г) положительная функция, мы получим для подынтегральной функции правой части оценку ?-«. С)] |<«[р+&(/•)], F1) и вне сферы (о8) подынтегральная функция, как указано выше, обра- обращается в нуль. Если мы проинтегрируем положительную функ- функцию, стоящую в правой части F1), по всей сфере (ав), то получим.
620 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ'ФИЗИКИ очевидно, следующую оценку: [210 s 2тс тс Подставляя вместо gs(r) вторую из формул E7) и выполняя ква- квадратуры, получим Отсюда видно, что при е->0 непрерывные функции Уг{М) равно- равномерно по отношению к положению точки М стремятся к V(M), а потому V(M) есть также непрерывная функция [[, 144]. Для исследования частных производных функции V(M) составим инте- интеграл, который получается дифференцированием интеграла формулы E6) по х под знаком интеграла, и обозначим полученную функцию через W(M): lll{) F2) Составим, как и выше, разность И (D) Принимая во внимание, что для любой функции h (г) мы имеем дх и что f dr r можем для подынтегральной функции последнего интеграла написать неравенство и, совершенно так же, как и выше s 2тс тс :т dr Принимая во внимание, что, в "силу E7), dr = рг ПРИ и выполняя квадратуры, получим дх —' \ откуда следует, что при е —> О производная —*\ равномерно от- относительно Ж стремится к W(M). Выше было доказано, что VS(,M)
211] § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 621 равномерно стремится к V(M). Принимая во внимание теорему из [I, 144], мы видим, что W (М) есть частная производная от V(M) по х, т. е., в силу F2), д дх (D) Непрерывность W(M) вытекает из непрерывности частных произ- производных E9) и равномерного стремления их к пределу W(M), и тео- теорема доказана полностью. Производные по у и z исследуются точно так же. Отметим, что при доказательстве теоремы мы использовали лишь ограниченность ^{N) и ее интегрируемость. 211. Уравнение Пуассона. Для построения производных второго порядка от функции V{M) мы должны усилить наши предположе- предположения относительно \^(N). Теорема 2. Если непрерывная функция \^(N) имеет непре- непрерывные производные первого порядка внутри (D), то V(M) имеет непрерывные производные второго порядка внутри (D) и удовле- удовлетворяет внутри D уравнению AV(M) = — 4ти|А(М). F3) Фиксируем внутри (D) какую-либо точку М0(х0> у0, <г0). Пусть (og) — шар ; с центром Мо и радиусом е, лежащий внутри (D), и (Д) — часть (D), лежащая вне (а8). Разобьем потенциал E6) на два слагаемых И V*WTdv= ^(Ж)+ Уо(АО, F4) и, в силу теоремы 1, (а.) Мы имеем
622 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1211 и, следовательно, можем написать Подставляя это выражение вместо подынтегральной функции в интеграле по <з8 формулы F5) и применяя формулу Остроградского, получим (DL) <*•> где (Ss) есть поверхность шара i (о8) и п — направление внешней нор- нормали к (S&) в точке N. Первое слагаемое правой части есть собст- собственный интеграл для точек Ж, лежащих внутри (а8), и он имеет внутри (ае) производные всех порядков. То же можно утверждать относительно третьего слагаемого, которое является интегралом по поверхности шара (ag). Второе слагаемое есть объемный интеграл по (ае) с непре- непрерывной плотностью д? > и> в СИЛУ теоремы 1, он имеет непре- непрерывные производные первого порядка во всем пространстве. Таким dV (M) образом можно утверждать, что —. имеет непрерывные произ- производные первого порядка внутри (а8). Принимая во внимание произ- произвольность выбора точки Мо внутри (?)), можем утверждать, что имеет непрерывные производные первого порядка везде внутри (D). dV(M) dV(M) Применяя те же рассуждения к —¦?—- и —jr~^> можем утвер- утверждать, что V(M) имеет внутри (D) непрерывные производные второго порядка. Остается доказать формулу F3) для любой точки Жо вну- внутри (?>). Вернемся к формулам F4) и F6). Потенциал Vi(M) объемных масс по области (Dt), как мы знаем, есть гармоническая функция вну- внутри (о8), ибо (ое) лежит вне (D{)f т. е. A Vx (М) = 0 внутри (о8), и тем са- самым kv(M) = А1/0(Ж) внутри (а8). Таким образом для составления ДК(Ж) достаточно продифференцировать по х под знаком интег- интеграла (пользуемся теоремой 1) те члены в F6)> в которых интегри- интегрирование совершается по (ое) и E8), составить аналогичные выражения для производных второго порядка по у и z и сложить все три про- производные. При этом надо помнить, что под знаком интеграла только множитель — зависит от (х, у, z). Составив таким образом kV(M) внутри (а8), мы возьмем его значение в центре Мо сферы (а8). Обозна- Обозначая через AV(M0) это значение и через г0 расстояние от Mq Д°
21Ц § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 623 переменной точки интегрирования, мы получим cos (п,у) + Ц^ cos (я, г) I dS. F7) Эта формула справедлива при любом выборе радиуса е, лишь бы шар (ое) лежал внутри Д и величина A V(M§) не зависит, очевидно, от выбора е. Будем стремить е к нулю. Докажем, что при этом тройной интеграл будет стремиться к нулю. Достаточно рассмотреть интеграл от одного из слагаемых. Пусть т — наибольшее абсолют- абсолютное значение непрерывной функции ^е ' в некотором фиксирован- фиксированном достаточно малом шаре ое . При е ^ е0 мы имеем, принимая во внимание, что ~~ х° ^ 1: dv ¦ dv и \ Вводя сферические координаты с началом в УИ0 и заменяя dv = = r^sin8rf0rfcprfro, мы убедимся в том, что выражение, стоящее в пра- правой части, равно т • 4тгз, откуда и следует, что тройной интеграл стремится к нулю при е->0. Займемся теперь поверхностным интегралом формулы F7). Мы имеем, принимая во внимание, что внешняя нормаль п направлена по радиусу сферы: Ц^о cos (Л| х) + !!^о cos (П) у) + izp. cos (Л| г) = = -з- [cos2 (п, х) + cos2 (я, у) + cos2 (л, гI = -1, 'О ' I) и следовательно, поверхностный интеграл может быть записан в виде или, применяя теорему о среднем 1 где УУ8—некоторая точка на E?). При е->0 точка /Ve стремится
624 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [211 к точке Жо и [х (/V6)-> |a (Жо), и в пределе поверхностный интеграл формулы F7) дает 4тс(а(М0), что и приводит к формуле F3). Эта формула называется обычно формулой Пуассона или уравнением Пуассона. Из. доказанной теоремы непосредственно следует, что если <р (х> У у %) непрерывна в области (D) вплоть до поверхности 5 и имеет непрерывные частные производные первого порядка внутри (D), то фор- формула E5) дает решение уравнения E4). Заметим, что если ср (N) опреде- определена во всем пространстве и достаточно быстро убывает при беспре- беспредельном удалении точки N, то за (D) мы можем взять всё пространство. Совершенно аналогичные теоремы могут быть доказаны и для интеграла по плоской области (В) (В) или у)=\ 1 ' iB)% Если p(N) непрерывна в (В) вплоть до контура этой области, то V(M) сама непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка на всей плоскости, причем эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла. Если, кроме того, fA(iV) имеет непрерывные частные производные первого порядка внутри (В), то V(M) имеет непрерывные частные производ- производные второго порядка внутри (В) и в каждой точке внутри (В) удовле- удовлетворяет уравнению Пуассона Составим наряду с интегралом E5) интеграл U1(M) = -4~ [ [ [ 4{N)G(M; E5,) где Q(M]N)—функция Грина области D с полюсом N. В интеграле E5t) интегрирование совершается по точке N. Принимая во внимание формулу D8), можем написать ф) где С?! (Ж; Л^)— гармоническая функция М везде внутри (D) и имеющая пре- предельные значения — на E), где р — расстояние от переменной точки на (S) до точки N. Второй интеграл справа есть функция точки М, входящей под знак интеграла в виде параметра, и поскольку GX{M\ N) — гармоническая функция везде внутри (Z)), то и второй интеграл справа есть гармоническая функция М внутри (D). Оператор Лапласа от первого слагаемого справа по доказанному равен ср (М), и таким образом функция U1 (M), определенная формулой E5Х), удовлетворяет уравнению E4). Далее, принимая во внима-
212J § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 625 ние, что G(M\N) имеет на E) нулевые предельные значения, мы видим на основании E5t), что UX{M) удовлетворяет на (S) предельному условию ^i(M)ls = 0. Итак, формула E5^ определяет решение уравнения E4), удовлетво- удовлетворяющее написанному предельному условию. Предельные значения реше- решения E5), которые получаются, как значения интеграла, стоящего в правой части, когда точка (л*, у, z) находится на E), зависят от <р(лг, уу z). Заметим, что проведенное выше исследование функции E5t) не является вполне строгим. Оно требует дополнительного исследования зависимости (?(М; N) от точки N, доказательства возможности дифференцирования под знаком интеграла и предельного перехода под знаком интеграла, когда М стремится к точке поверхности E) (см. том IV). 212, Формула Кирхгофа. Формула A3) дает для гармонической внутри поверхности (S) функции значение во всякой внутренней точке в виде инте- интеграла по поверхности (S). Можно получить аналогичную формулу и для функции V(x, у, 2, 0= У(М\ О» удовлетворяющей волновому уравнению d*V да=а»ДИ. F8) Положим, что функция V(M't t) непрерывна со своими производными до второго порядка в области (D), ограниченной поверхностью E), при всех *>0. Пусть Мо — некоторая фиксированная точка внутри 0). Обозначим через г — расстояние г = М0М от Мо до переменной точки М. Применим общую формулу (9) к функции ( OF9) или, короче, U(Myt)^v(M;t-^j. G0) Если to (t) есть некоторая функция от t% то обозначим символом [со] ту функцию, которая получится из <о(?) заменой t на t , т. е. [со] = со f t J. Обычно называют [to] запаздывающим значением функции «(?). Смысл этого станет понятным, если считать, что а есть скорость распространения некоторого процесса. При таком обозначении мы можем формулу F9) или G0) записать в виде: /7=[К|. При дифференцировании функции F9) по координатам надо принимать во внимание, что [V\ зависит от координат как непосред- непосредственно, так и через посредство г, которое входит в четвертый аргумент. Таким образом мы будем иметь дп [дп.\ a [dt ]дп (п} Точно так же, пользуясь выражением оператора Лапласа в полярных координатах с центром М„ [131]: d*U , 2 dU , 1 д [ ,_ „ dU\ , 1 д*Ц sin e и принимая во внимание, что dU[dV dU \dV^\ \\dV-] d2U ^\д~у-\ 2 [ д*У 1 , I f^Kl IF-'ldr \~~TldFy дг*-~1дг*} a \Wdr\ +1? [~WJ'
626 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [212 получим 4 Но, в силу F8), мы имеем [АV] = —^ -^ , и следовательно, Нетрудно показать, что _М_1]_1_Г-Щ г~ a\arldt* есть расходимость некоторого вектора: Действительно, мы имеем формулу [112]: div (/A) =/div A + grad /- A. В данном случае /= — -^- , и A = grad(lgr) есть вектор длины ~, направленный по радиусу-вектору из Мо. Скалярное произведение grad/«А есть произведение | А | на проекцию grad/ на направление А, т. е. на про- производную от / по направлению вектора А. Итак, в данном случае будем иметь 1 . 2 д Применяя G2) и дифференцируя -^- по правилу дифференцирования сложных функций, мы и докажем справедливость формулы G3). Применяя затем формулу Остроградского и принимая во внимание, что gradrt (lg r) = 1 дг = —jT— , получим Подставляя это выражение и выражение G1) в правую часть форму- формулы (9) и принимая во внимание, что U(MQi t)= V(MOi t), так как в точке Мо мы имеем г = 0, получим формулу Кирхгофа 4 (S) 6V Формула эта выражает V(M0, t) через запаздывающие значения V, -^т и -т- на поверхности (S). В данном случае, как и в формуле (9) для гармо-
212] § 19. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА 627 6V нических функций, присутствие -^— не дает возможности применять фор- формулу G4) непосредственно для решения задач, связанных с волновым урав- уравнением. Формула G4), данная Кирхгофом, тесно связана с принципом Гюй- Гюйгенса. Положим, что (S) есть сфера с центром Мо и радиусом г. В этом слу- случае -л—= -^—, и формула G4) переписывается в виде " или, полагая dS = г2 sin $ d% dy = г2 do>: (S) (S) Если взять радиус сферы равным г—at, то t = 0, т. е. запаздываю- запаздывающее значение сводится к значению функции при ? = 0, и формула G5) дает формулу Пуассона (81) из [184], решающую задачу о распространении коле- колебаний в безграничном пространстве при заданных начальных условиях J $} G6) dV причем значок нуль указывает, что надо брать -^- и V при t = 0, и инте- интегрирование производится по сфере с центром Мо и радиусом at. Вид фор- формулы Кирхгофа G4) тесно связан с понятием запаздывающего потенциала. Выше мы видели, что при любом выборе функции to (t)t имеющей непрерыв- непрерывные производные до второго порядка, функция есть решение уравнения F8). При этом г есть расстояние от любой фик- фиксированной точки пространства до переменной точки [188]. Совершенно аналогично предыдущему можно построить формулу Кирх- Кирхгофа и для любого решения неоднородного волнового уравнения %ir y,z,t) G8) в области D, и эта формула, кроме поверхностного интеграла, будет содер- содержать и тройной [V] Применяя эту формулу к сфере с центром Мо и радиусом at для реше- решения, удовлетворяющего нулевым начальным данным при ? = 0, получим фор- формулу (91) из 1187].
628 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |213 § 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 213» Основные уравнения. Уравнение теплопроводности в од- однородной среде, как мы видели, имеет вид — = а! где B) k — коэффициент внутренней теплопроводности, с — теплоемкость ве- вещества и р — плотность. Кроме уравнения A), нужно иметь в виду начальное условие, дающее начальное распределение температуры и при ? = 0 u\t=o=f(x, у, г). C) Если тело ограничено поверхностью E), то на этой поверхности мы будем иметь и предельное условие, которое может быть различным, смотря по физическим обстоятельствам. Так, например, поверхность (S) может поддерживаться при определенной температуре, которая может и меняться с течением времени. В этом случае предельное условие сводится к заданию функции U на поверхности (S), причем эта заданная функция может зависеть и от времени t. Если темпера- температура поверхности не фиксирована, но имеется лучеиспускание в окру- окружающую среду данной температуры ?/0> то по закону Ньютона, прав- правда, далеко не точному, поток тепла через поверхность (S) пропорцио- пропорционален разности температур окружающего пространства и поверхности тела (S). Это дает предельное условие вида g~ + h(U—U0) — 0 (на S), D) где коэффициент пропорциональности h называется коэффициентом внешней теплопроводности. В случае распространения тепла в теле линейных размеров, т. е. в однородном стержне, который мы считаем расположенным вдоль оси X, вместо уравнения A) мы будем иметь уравнение При такой форме уравнения не учитывается, конечно, тепловой обмен между поверхностью стержня и окружающим пространством. Уравнение E) можно получить также из уравнения A), предпола- предполагая U не зависящей от у и г. Начальное условие в случае стержня
2141 § 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 629 будет Если стержень ограничен, то на обоих концах мы имеем предель- предельное условие. Как и выше, конец может поддерживаться при опреде- определенной температуре. В случае лучеиспускания предельное условие D) будет иметь вид 4=A((/?/о) = 0 (на конце), G) причем знак (—) имеет место для левого конца, с наименьшей абсциссой х, а знак (-(-)—для правого конца, и h есть положи- положительная постоянная. 214. Неограниченный стержень. Мы начнем с неограниченного стержня, для которого, кроме уравнения E), нужно только удо- удовлетворить начальному условию F). По способу Фурье мы ищем прежде всего частное решение уравнения E) в виде что дает нам или Г@ _Х"(х)_ ,% a2T(t) ~ Х(х) " ' где X2 — постоянная. Мы получаем таким путем Г (*) -f XV T(t) = О, X" (x) + X2 X (х) = 0, (8) откуда, отбрасывая постоянный множитель в выражении T(t): T{t) = e~vla4, X(x) — A cos Xx -f В sin X*; постоянные А и В могут зависеть от X. Так как никаких предельных условий мы здесь не имеем, то параметр X остается совершенно произвольным, и при составлении функции и(х, t) в виде суммы 2 ^аЧ cos Хх+в wsin Хлг] все значения X для нас равноценны. Естественно поэтому заменить сумму по отдельным значениям X—интегралом, взятым по пара- параметру X от (— оо) до D~ °о)> т- б. положить и (х, I) = J е-»°'-' [а (X) cos \х + В(X) sin lx)\ Л. (9>
63U ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ J214 Применяя формулу дифференцирования под знаком определенного интеграла, убедимся без труда, что написанная функция дает действи- действительно решение уравнения E). Переходим теперь к начальному ус- условию F), которое дает нам 00 u\t^0=f(x)= $ [Л (X) cos Хлг-j-5 (X) sin Хлг]<А. A0) — оо Сравнивая интеграл в правой части с формулой Фурье для функ- функции f(x)\ — 00 —00 ОО ОО 00 ~ "S" I [cos lx fr® cos X? Л + sin Xx fr®sln — CO —00 —00 мы видим, что можно удовлетворить условию A0), положив 00 J /(QcosXSrfS B(\) = ±- J /(l)sinXUS. — 00 Подставляя полученные выражения для А(Х) и 5(Х) в (9), получаем 00 ОО b(jc, 0=4 (/(^ ( <Гx"a2'[cosЦcosХдг + sin X$ sin lx\dk = — ОО —00 — 00 —00 00 00 = Т $ /(|) Л J «~X2a2/cos X (? — О причем мы использовали тот факт, что подынтегральная функция есть четная функция от X. Формула (И) дает решение нашей задачи, но может быть упро- упрощена. Для этого достаточно заметить, что [84] 00
2t4] §20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 631 а потому 4J ^¦"A"^cosX(; — *)<& = —1—г?е № 2q'v7i? после чего формула (И) принимает вид 00 E-*>з Во всех предыдущих вычислениях и дальше мы считаем, конечно, t положительным. Представленное в такой форме решение получает важный физический смысл. Заметим прежде всего, что функция рассматриваемая как функция от(х, f), есть также решение уравнения (о), как это ясно и из самого способа ее получения и может быть прове- проверено непосредственным дифференцированием. Каков же физический смысл этого решения? Выделим малый элемент стержня (х0 — Ь, хо-{- Ь) около точки лг0, и пусть функция f{x) равна нулю вне промежутка (х0 — Ь, хо-\~Ъ) и имеет постоянное значение Uo внутри него. Физически можно пред- представить себе дело так, что мы в начальный момент сообщили этому элементу количество тепла Q = 2bcpU0> которое вызвало повышение температуры на Uo в этом участке. В последующие моменты распре- распределение температуры в стержне дается формулой A2), которая в нашем случае принимает вид \ и0г <? =%=г J, ° 2aVnt 2c?aY%t 25 хо-Ь k r хо-Ь Если мы будем теперь приближать 8 к 0, т. е. будем считать, что то же количество тепла Q распределяется на все меньшем участке я в пределе сообщается стержню в точке л*0, то будем иметь дело с мгновенным источником тепла в точке х = х0 напряжения Q. От наличия такого источника тепла в стержне получится распреде- распределение температур по формуле aVnt 25 J % Так как по теореме о среднем
632 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [214 то ?о~*-*о ПРИ S->0, и предыдущее выражение обратится в R 1=те **** с? 2aY%t Стало быть, функция A3) дает распределение температуры, которое вызывается мгновенным источником тепла напряжения Q = cp, помещенным в начальный момент ? = 0 в точке лг = ? стержня (замена xQ на Е). Решение A2) становится теперь очевид- очевидным. Для того чтобы придать сечению 5 стержня температуру /(?) в начальный момент, мы должны распределить" на малом элементе rf; около этой точки количество тепла или, что то же самое, поместить в точке $ мгновенный источник тепла напряжения dQ; распределение температуры, вызываемое этим источником, согласно формуле A3), будет (Е-*K Общее же действие от начальной температуры /($) во всех точ- точках стержня суммируется из этих отдельных элементов, что и даст нам полученное выше решение A2) Положим, что температура f(x) в начальный момент ? = 0 равна нулю везде, кроме некоторого промежутка (а19 а.2), в котором она положительна. Решение A2) в данном случае будет «2 = С J 2а у =r e ^ dl A4) t Если взять t сколь угодно близким к нулю и х сколь угодно большим, т. е. если взять сколь угодно далекую точку стержня в момент, сколь угодно близкий к начальному, то формула A4) даст для u(xt t) положительное значение, так как подынтегральная функ- функция положительна. Таким образом из формулы A2) вытекает то об- обстоятельство, что тепло распространяется не с какой-либо конечной скоростью, но мгновенно. Это существенно отличает уравнение тепло- теплопроводности от волнового уравнения, которое мы получили при рас- рассмотрении колебаний струны. В случае распространения тепла в неограниченной трехмерной среде мы имеем дифференциальное уравнение A) и начальное
214] § 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 633 условие C), и вместо формулы A2) решение будет , у, z, t) = — 00 — 00 — 00 Проверим тот факт, что функция, определяемая формулой A2), удо- удовлетворяет уравнению E) и начальному условию F). Первое утвер- утверждение непосредственно вытекает из того, что функция A2) удовле- удовлетворяет уравнению E), и из возможности дифференцировать интеграл формулы A2) по t и х под знаком интеграла, если, например, f(x) непрерывна и абсолютно интегрируема по промежутку ( — оо, -\- оо). Для проверки начального условия F) введем вместо % новую пере- менную а по формуле *~ 2а]/Т # формула A2) после этого переписывается в виде +00 и (х, t) = JL С f(x -J- а2аУТ) <Г«* da. A6) У п J —оо Напомним еще формулу [81]: Умножим ее почленно на f{x) и вычтем из A6) + 00 4 \ откуда — оо Кроме непрерывности и абсолютной интегрируемости, будем еще считать f(x) ограниченной, т. е. |/(лг)|^?, и таким образом при любых х, t и а мы имеем: \f(x-\-v2ayt)—f(x)\^2c. Пусть г — заданное положительное число. Можно фиксировать столь большое положительное Л/, что 1 ¦
634 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [21 При этом из A8) будет следовать + N \u{x, O-/(*)I<Js + -tM V В силу непрерывности f(x), можем утверждать, что при всех t достаточно близких к нулю, и при | а | ^ N мы имеем и последнее неравенство дает и тем более т. е., в силу A7), мы имеем \и(ху t)—f(x)\^e при всех t, доста- достаточно близких к нулю, откуда, ввиду произвольности е, и следует lim u(x, t)=f(x), что и представляет собой начальное условие F). Отметим, что t стремится к нулю от положительных значений. Если т и М — гра- границы значений /(лг), т. е. m^f(x)^M, то из A6) следует 4-оо 4-оэ и, в силу A7), имеем т^и(х, f)<iM, т. е. температура и(х, t) при всех положительных t лежит в тех же границах, что и началь- начальная температура. Совершенно так же, как и выше, может быть проверена и формула A5). 215. Стержень, ограниченный с одного конца. Пусть это будет конец ^г = 0 стержня х>$0; мы допустим, что на этом конце имеется лучеиспу- лучеиспускание в окружающую среду с температурой 0°. В этом случае мы имеем, кроме начального условия F), предельное условие ? «*«| , A9) дх х=о U-o' и, с другой стороны, решение A2) непосредственно не годится, так как в силу начального условия подынтегральная функция f(x) определена только
215] § 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 635 в промежутке @, со). Стало быть, для применения формулы A2) надлежит продолжить функцию f(x) в промежуток (—оо, 0). Для этой цели перепишем формулу A2) в виде B0) -|-оо 0 +00 что можно легко показать, разбив \ на два: \ и 1 и заменив в первом ; — оо — оо О на (—?). Для подстановки в формулу A9) вычисляем При * = 0 отсюда выводим Интегрируя по частям, мы имеем 1) точно так же Мы предположим, что f(x) продолжена непрерывно в промежуток (— оо, 0). Тогда очевидно и х) Предполагается, что е iaH /(?)-¦ 0 при ?-*со.
636 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [215 Условие A9) превращается в СО?2 которое наверно удовлетворяется, если положить /' <- © + /' E) = Л [/(- 6) + /FI или, обозначив пока Ф (?) =/(~ 5), Ф' (?) = -/'(- & определить неизвестную функцию Ф (?) из дифференциального уравнения Ф' (8) + Л Ф (?) =/' (g) - Л/F) (ё ^ 0). Интегрируя это уравнение, получаем Ф F) = е~К \С + С е^ [f E)- hf F)]« }. Полагая 6 = 0, определяем постоянную С: С = Ф@)=/@), и так как то (- 6) = Ф (© =/E) - Подставляя это выражение для /(—5) в формулу B0), мы и получаем окончательное решение нашей задачи. Заметим, что из последней формулы при ?—* + 0 вытекает/(—0)=/(+0), т. е. непрерывное продолжение f(x) в промежуток (—оо, 0), что мы предполагали выше. Если, например, начальная температура постоянна: = н0 при то мы имеем X /С—*) = и0 — 2herh* f uQ ehx dx = к0 Bб-л^ — 1), и формула B0) дает B1)
215] § 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 637 Читатель без труда покажет, что это решение может быть выражено через функцию X следующим образом: ) ^[(^ Vr]\ B2) Более простой результат получается, если на конце х = 0 отсутствует лучеиспускание, и этот конец поддерживается при температуре 0°. Мы имеем тогда предельное условие «U=o=°> B3) которое можно получить и из A9), разделив на Л и затем переходя к пре- пределу при Л-*оо. Решение можно найти из формулы B2) при Л—•• со, но проще поступать, непосредственно продолжая функцию f(x) в промежуток (—оо, 0) так, чтобы выполнялось условие для чего достаточно положить т. е. надо продолжить f(x) нечетным образом. Формула B0) примет тогда вид B4) и если она обратится в 2аУТ Рассмотрим теперь стержень, ограниченный с одного конца л: который поддерживается при заданной температуре и = <р (г). Допустим сперва, что начальная температура есть 0°, т. е» °» B6) и начнем с частного случая <р (*) = 1, т. е. и \Xss0 =1. B7>
638 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ J215 Нетрудно получить решение уравнения E), удовлетворяющее усло- условиям B6) и B7). Для этого мы положим функция v будет также решением уравнения E), но должна удовлетворять условиям так что получится сразу по формуле B5), если положить там ко= —1, —) и и (л*. I) = 1 — 0 (—^— 1. B8) t I \2a у t / Определим теперь распределение температур, если на конце д: = 0 тем- температура поддерживалась равной 0° до момента т, а затем поддерживалась равной Г. Это распределение мы обозначим через их(х, t). Очевидно, что до момента * = т мы будем иметь их = 0; после же этого момента их совпа- совпадает с решением, полученным выше, если начать отсчитывать t не от 0, а от t, т. е. заменить в выражении B8) t на t — т, что даст нам @ при *<т, i-e( ;_J \2aVt — x* Но тогда очевидно, что если на конце лг = О температура Г поддержи- поддерживалась только в течение промежутка (х, x + rfx), а все остальное время она была 0°, то соответствующее распределение температур будет их (х, t) — ux+dx (л:, t) = — ~? dz\ если же она поддерживалась в течение промежутка (т, t -(- di) на темпера- температуре ср (т), а не Г, то получим решение их (х, t) — м _ в , ^ при откуда ясно, что если поддерживать конец * = 0 на температуре <р(т) при всех т > 0, то при изменении т от 0 до t мы получим полный эффект, сло- сложив вес элементарные эффекты, что дает нам искомое решение задачи в виде «(л:, 0 = - f ?«^<^ б или, так как при 2а Yt-% д 2 С 2 2а то окончательно ДГ2 B9)
216] § 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 639 Для того чтобы получить решение, которое сверх предельного условия удовлетворяет не B6), а начальному условию общего вида очевидно, достаточно прибавить к решению B9) полученное выше решение B4). 216. Стержень, ограниченный с обоих концов, Мы исследуем один из наиболее типичных случаев, когда на конце х = 0 поддер- поддерживается температура 0°; и|,.о = О; C0) на конце х = 1 тепло излучается в окружающую среду с темпера- температурой нуль: да , = — Ни дх C1) начальная температура: u\tmmO=:f(x) @<*</). C2) Задача эта решается весьма просто по способу Фурье. Так как здесь имеются предельные условия, то мы подчиним найденное выше решение е - Х2а2' X (х) = е'ХшП [A cos Хлг -f В sin Xx] C3) условиям C0) и C1), что дает нам ЛГ(О) = О, т. е. Л = 0, Л*(/)= —hX(t), откуда имеем, отбрасывая постоянный множитель В, $т\х C4) X cos Х/= — h sin X/. C5) Полагая \l = v, получаем трансцендентное уравнение tgv = avf где а= — г-т* C6) Это уравнение имеет бесчисленное множество вещественных кор- корней [37], из которых мы обратим внимание только на положитель- положительные: vif u2, г>з,..., vn,... C7) Этим корням соответствует бесчисленное множество значений X: К *» ^з> • • • / ^ • • • > где К = 7*. C8>
640 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [216 а им, в свою очередь, — бесчисленное множество частных решений уравнения E) Впе п sinXnx (л=1, 2, 3, ...), удовлетворяющих предельным условиям. Для того чтобы удовлетворить начальным условиям, ищем и в виде _ C9) /1=1 и при f = 0 получаем 00 СО и Lo = fix) = S 5*sin х«* = 2 ^^i» M' D°) где мы обозначили Хп(х) = ът\пх. Докажем, что функции Хп{х) ортогональны. Напишем для двух из них соответствующие дифференциальные уравнения (8) Умножая первое почленно на Хп(х), второе на Хт(х), вычитаем почленно полученные уравнения и интегрируем по промежутку @, /): ( [Х'т (х) Хп (х) - Хп (х) Хт (х)] dx + A>т - XJ) \Хт (х) Хп (х) dx = 0. V 0 Интегрируя в первом интеграле по частям, получим х'т (/) хп (/) - X @ хт (/)+х'п @) хт @) - хгт @) хп (О)+ + Wm-^n)\xm(x)Xn(x)dx = Q. D1) о Но Хт{х) и Хп(х) удовлетворяют предельным условиям C0) и C1), т. е. В силу этих равенств внеинтегральный член формулы D1) обра- обращается в нуль, и, принимая во внимание, что Х^, — Х^ ф 0 при различ- различных тип, мы получаем j Xm (x) Xn (x) dx = 0 при тфп. о
2171 §20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 641 Установив ортогональность, мы обычным приемом убеждаемся в том, что в разложении D0) коэффициенты Вп должны определяться формулой i i Это решает задачу разложения функции f{x) по функциям Хп(х) и вместе с тем дает решение поставленной выше задачи в виде ряда C9). В томе IV мы покажем, что система функций Хп (х)у которые получаются, как выше, в результате применения метода Фурье к основным задачам математической физики, есть замкнутая система, и что при некоторых предположениях относительно f{x) эта функ- функция разлагается в основном промежутке в равномерно сходящийся ряд по функциям Хп(х). Отметим, что если бы вместо предельных условий C0) и C1) мы взяли предельные условия н = 0 при дг = О и при .*; = /, то получили бы Хп(х) = ът~-х, и пришли к обычному ряду Фурье по синусам. При исследовании распространения тепла в кольце мы, вместо предельных условий, должны поставить условие периодичности темпе- температуры. Считая радиус кольца равным единице, так что длина всего кольца есть 2х, и обозначая через х длину кольца, отсчитываемую от некоторой точки, мы приходим к решению вида u(x, t) = -Y~-\- 2^(апcosnx-\-bnsinnx)e a~n , где a :-\-bnsinnx) — ряд Фурье начального распределения температуры f(x) в кольце. Достаточные условия для того, чтобы полученный здесь для и(х, t) ряд действительно решал рассматриваемую задачу, будут даны в томе IV. 217. Дополнительные замечания. Возьмем обобщенное уравнение теп- теплопроводности которое получается, если учесть лучеиспускание со всей поверхности стержня в окружающее пространство, температура которого принимается равной нулю. Легко проверить, что уравнение D2) простой подстановкой v = e~ctu приводится к уравнению E) для и.
642 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |218 Неоднородное уравнение в случае неограниченного стержня при нулевой начальной температуре, т. е. при условии и = О для t = О, имеет решение вида У%аГЦГ^ ** D4) О — оо Оно может быть получено или тем же методом, который мы применя- применяем в [187] к неоднородному волновому уравнению, или суперпозицией ос- основного сингулярного решения A3), в котором мы заменяем /на(* — т)и после умножения на r(S, т) интегрируем по ? от —оо до +оо и по т от т = 0 до т= t. Физический смысл этих операций очевиден. Решение уравнения D3) получается путем суперпозиции источников, которые размещены по всему стержню с интенсивностью F(S, т), причем такой источник начинает действо- действовать с момента времени т. Производится суперпозиция таких источников и по времени. Применение метода Фурье в двумерном и трехмерном случае проводится совершенно так же, как и для волнового уравнения, но только множитель, зависящий от времени, в рассматриваемом случае есть показательная функция. Так, например, для уравнения да 2 [д2а . д2и\ a +) в случае прямоугольной пластинки мы имеем решение в виде u = e-^tU(Xi y)f D5) причем мы поставили в показателе <о2 с тем, чтобы пользоваться формулами из [190]. Пусть имеется предельное условие и = 0 на (С) и начальное условие и = <рх (х, у) при t = 0. Решение представляется рядом а„ ,? sin —г— sin —, C,T=1 где o^ т определяется формулой (ИЗ) из [190] и а^х — первой из формул A14). В'случае круглой пластинки [ср. 191] та же подстановка D5) приводит к следующему решению: и = 2 амме~*т/1' cos nbJn (k ?>r) + f] $m,ne "~W sin nbjn (k{%r), n==0 n=l m==l m = l причем ат>п и р^,Л определяются но тем же формулам, что и а^п и ^п из [191], (ода|Л —по формуле A28). 218. Случай сферы. Рассмотрим параллельно волновое уравнение и уравнение теплопроводности в случае сферы $- = я2Д«, D6)
218) § 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 643 считая, что начальные данные зависят только от расстояния г точки до центра сферы =0— ?i(n, dt = ъ (г); D8) D9) Предельные условия мы возьмем вида -^- = 0 при r = R, E0). --—\-hv = 0 при г = /?, E1) где /? — радиус сферы и h > 0. В силу центральной симметрии решения также не будут зависеть от полярных углов и будут, таким образом, функ- функциями только от г и t. Полагая и = (A cos at + В sin Ы) U (r), E2) E3) получим для б7(г) и V(r) одно и то же уравнение &W-\- k2W = 0t где k2 = -^-«Выражая оператор Лапласа в сферических координатах и принимая во внимание, что W зависит только от г, получим уравнение Вместо W введем новую искомую функцию ^? (г) Подставляя lF(r) = —— в уравнение для W, получим для R(r) уравнение: R" (г) + &R (г) = 0, откуда Я (г) = Cj cos kr -f C2 sin kr% и, следовательно, Принимая во внимание, что решение должно оставаться конечным в центре сферы, т. е. при г = 0, мы должны считать Ct = 0, и, подставляя в E2) и E3), получаем решения вида и = (Л cos u>t + В sin co?) 1 E4) E5) Постоянная к и, тем самым, со = ak определяются из предельных условий E0) и E1). Второе из них в применении к —-— дает следующее уравнение для k\ kR ctg kR = 1 — hR. E6) При h = 0 приходим к уравнению, получаемому из предельного условия E0): kR. E7)
644 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [218 Полагая kR = v, мы видим, что уравнения E6) и E7) совершенно анало- аналогичны уравнению C6). Пусть: ku ks, ... — положительные корни уравнения E6). Принимая во внимание E5), получаем для v (г, t): E8) Начальное условие D9) дает 00 Совершенно так же, как и в [216], функции sinknr ортогональны на промежутке (О, R) и, следовательно, коэффициенты разложения E9) опреде- определяются формулами R R = [ sin2 knr dr. Переходя к уравнению для и, мы по-прежнему обозначим через kn (n = = 1, 2,...) положительные корни уравнения E7). Здесь мы должны еще учесть и корень k = 0, который соответствует частоте <о, равной нулю. При этом вместо (A cos at + В sin at) мы должны написать А + Btt уравнение для R (г) будет #"(г) = 0, и W(r)~R(r):r есть постоянная, так что соответствую- соответствующее решение уравнения D6) будет а0 + bot. Оно удовлетворяет, очевидно, при любых значениях постоянных а0 и Ь0) предельному условию E0). Окончательно для и получим Дифференцируя по t и полагая ^ = 0, получим разложение функций, входя- входящих в начальные условия D8) оо оо (г) = aQr + ^ «п s^ Кг. П2 (г) = Ьог + ^ Kbn *™ knr. Принимая во внимание уравнение E7), нетрудно проверить, что sin knr ортогональны не только между собой, но и с функцией г на промежутке (О, R), т. е. R R \ r$mknrdr = Q и 1 sinkmrsinknr dr = 0, при тфп, и коэффициенты в последних разложениях определяются по обычному пра- правилу: R R R 2Ь С) dr / { г2 dr » 4з ( Г*Ъ W dr> {(г) sin knr dr/ \ sin2knrdr. /С sin2 V
219) § 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 645 Аналогичные формулы получаются и для коэффициентов Ъп. Отметим, что для уравнения D7) при со = 0, мы получаем решение т/= const, но это решение не удовлетворяет предельному условию E1), ибо но условию Л>0. Уравнение D6) мы можем толковать как уравнение для потенциала ско- скорости и при колебании газа. При этом предельное условие E0) выражает тот факт, что скорость газовых частиц, находящихся на поверхности сферы, имеет составляющую, направленную по нормали к сфере, равную нулю. Предельное условие E1) для уравнения теплопроводности D7) выражает тот факт, что поверхность сферы лучеиспускает в окружающее пространство, температура которого принимается равной нулю. 219. Теорема единственности. Перейдем теперь к вопросу об единственности решения уравнения теплопроводности при заданных начальном и предельных условиях [ср. 192]. Возьмем одномерную задачу, т. е. уравнение Построим на плоскости xt = 0, х = 1и находящуюся сверху для ограниченного стержня область Q, ограниченную прямыми отрезка 0 <: х =^ / оси х (рис, 135). Проведем еще какой-либо пря- прямолинейный отрезок t = tQ) t0 }> 0, параллельный оси х. Он отсечет от области О конечный прямо- прямоугольник OAQP, который мы обо- обозначим одной буквой Н. Докажем следующую теорему: Теорема. Пусть функция и (х, t)удовлетворяет уравнению F0) внупгри Q и непрерывна вплоть до контура О. При этом наибольшее и наименьшее зна- значение и(х, t) в И достигается на части J контура Н, образуе- образуемой сторонами ОР, О Л и AQ. При доказательстве ограничим- ограничимся рассмотрением случая наиболь- наибольшего значения и будем доказывать от обратного. Положим, что наи- наибольшее значение и(х, t) достигается не на J, а внутри Н или внут- внутри стороны PQ, и приведем это к противоречию. Пусть это наибольшее значение достигается в точке (х\ у) и равно М. Тем самым наиболь- наибольшее значение функции и(х, t) на /меньше, чем Ж. Построим новую функцию v(x, t) следующим образом: Рис. v(x, t) = F1)
646 ГЛ. VII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ [219 где k — положительное число, которое мы сейчас фиксируем. Мы имеем в прямоугольнике Н: и можно фиксировать число k настолько близким к нулю, чтобы наибольшее значение v(x, t) на Убыло, как и для и(х, t)t меньше, чем значение v (x, f) в точке (х'9 if). При таком выборе к функция v(x, f) будет принимать наибольшее в Н значение не на У, а внут- внутри Н или внутри стороны PQ. Рассмотрим эти случаи отдельно и приведем оба эти случая к противоречию. Пусть v(x, t) принимает наибольшее значение в некоторой точке C(xv tt)9 находящейся внутри Н. Тем самым в этой точке С будет иметь место максимум функции v(x9 t)9 и мы должны иметь в этой точке [I, 68]: dv Л d2v If откуда следует ~Ж а " или, в силу F1), Но внутри О функция и удовлетворяет уравнению F0), и напи- написанное неравенство приводит к нелепому неравенству: — k ^ 0. По- Положим теперь, что v(x, t) достигает наибольшего в Н значения в точке N(xv to)y находящейся внутри стороны PQ. Рассматривая из- изменение v(xy t) вдоль отрезка K\Nt параллельного оси t, мы прихо- приходим к неравенству т>Г^0 В точке ^> поскольку значения фушщии v (лг, t) в точке N не меньше ее значений на всем отрезке Л^ N. Рас- Рассматривая теперь изменение v(x,t) вдоль PQ, приходим к неравен- неравенству .ч \ ^0 в точке N, ибо v(xy t0) имеет в точке N(x = x{) мак- максимум. Таким образом -~ — а2 -^г ^0в точке N, и мы прихо- приходим к противоречию совершенно так же, как и выше, и теорема до- доказана. Из доказанной теоремы непосредственно следует, что если и (х, t) обращается в нуль на всем контуре /, то и(х) f) равно нулю и во всем прямоугольнике Я, а это очень просто приводит к теореме един- единственности. Положим, что кроме уравнения A) имеются начальные условия и предельные условия (задание температуры на концах): и|,..о=/(*)
219] § 20. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 647 Эти условия сводятся к заданию функции и(х, t) на части J кон- контура G. Мы считаем, что эти граничные значения представляют со- собой непрерывную функцию на всем контуре О, включая и точки О и Л, т. е. (о@)=/@) и щ@) =/(/). Пусть при условиях F2) су- существуют внутри О два решения Ui(x, t) и щ(х, t) уравнения F0), непрерывных вплоть до контура О. При этом их разность и(х, t) = = iii(x, t) — щ(х, t) есть решение уравнения F0), равное нулю на J. Из доказанной выше теоремы непосредственно следует, что и равно нулю везде внутри О, т. е. щ (лг, t) совпадает с и2 (х} t). От- Отметим, что теорема единственности сохраняется, если не требовать непрерывности и (х, t) в точках О и Л, но потребовать ограниченно- ограниченности этой функции в окрестности указанных точек. При этом и гра- граничные значения не должны быть непрерывными в этих точках. Для безграничного стержня решение дается формулой A2). Пред- Предположим, что заданная функция f(x) непрерывна и обращается в нуль вне некоторого отрезка (— b, -f- b)> так что —& Пользуясь этой формулой, нетрудно показать, что и (х, t)-+0 равномерно относительно t при х -> -j- оо или х -> — оо, т. е. при любом заданном положительном е существует такое положи- положительное число N, что \и(х> t)\ s^e при \x\^N и любом положи- положительном t. Докажем, что существует только одно решение с таким свойством при заданном начальном условии F). Как и выше, доста- достаточно показать, что и{х} t) принимает наибольшее и наименьшее
648 ГЛ. V1T. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ |219 значение на оси х. Доказываем от обратного. Пусть u(xf t) принимает наибольшее значение М в некоторой точке C(xlytx\ причем ^]>0, т. е. f{x)<^M в промежутке — со<^х<^4*"°°- Принимая во внимание, что /(х)=0 вне промежутка (— by b), можем утверждать, что М^>0. Проведем две прямые x = d и х = —d, выбрав d настолько большим, чтобы на указанных прямых имело место неравенство \u(xf t)\<^M, и построим прямоугольник //, образованный указанными прямыми, осью х и прямой, параллельной этой оси и проходящей через точку С (рис. 136). Значение функции u(xt t) в точке С больше, чем ее значение на части J контура Д образованной тремя сторонами: x==df х = — d и ? = 0. Таким образом функция и (х, f) достигает в прямо- прямоугольнике Н наибольшего значения или внутри Д или внутри сто- стороны, проходящей через точку G, а это, как и выше, приводит к противоречию. Таким образом единственность решения задачи с ука- указанным выше свойством при сделанных относительно f{x) предполо- предположениях доказана.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абелева суммируемость рядов 610 Абеля задача 249, 273 Абсолютная непрерывность интеграла 324 — сходимость несобственных интег- интегралов 263, 275, 277 Автономная система 165 Аддитивность интеграла полная 324 — меры 294 полная 313 Асимптотическое направление 416 Бесселя неравенство 458, 461, 466 — уравнение 131, 134 —• функции 132 — 134, 560 — 566 Бернулли уравнение 27 — числа 448 Бесконечное множество 284 Бинормаль 397 Буняковского неравенство 462 Вариация элемента площади 425 Вейерштрасса теорема 483 Вектора дифференцирование 351 Векторная величина 339 — диаграмма 573 — линия 357 Векторное поле 353, 357 — произведение 345, 347 Величина векторная 334 — скалярная 339 Винтовая линия 402 Вихрь вектора 359 Внешняя задача Дирихле 593 — мера 292, 308 Внутренняя задача Дирихле 593 — мера 292 — точка множества 284 Волна плоская 513 — прямая и обратная 520 — стоячая 532 — цилиндрическая 545 Волновое уравнение 372, 513 неоднородное 549 Волновое уравнение, решение в слу- случае струны 518 , — в плоском случае 545 , — для трехмерного случая 541 , п-мерного случая 549 обобщенное 590 Вронского определитель 76, 82 Вторая теорема о среднем 474 Вынужденные колебания мембраны 559 системы с одной степенью сво- свободы 98—102 струны 515, 534 Гармоника 436, 532 Гармонические функции 593, 599 Гармонический анализ 439 Гармоническое колебание 96 Гаусса дифференциальная форма вто- вторая 409 первая 408 — кривизна поверхности 418, 425 Геодезические линии 404 Гидродинамики уравнения для идеальной жидкости 371 Гиперболическая точка поверхности 413 Главная нормаль 397 Главные направления 416 — радиусы кривизны 416 Градиент скалярного поля 355 Граница множества 285, 286 Граничное условие 103 Графическое интегрирование диффе- дифференциальных уравнений 28, 48 — 50 Грина формула 223, 594 — функция 614 — 616 Гюйгенса принцип 524 Даламбера решение уравнения коле- колебаний струны 517 — 519 Двойной интеграл 177 Двукратный интеграл 177 Диаграмма векторная 573
650 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ' Диаметр множества 288 Дивергенция 358 Дирихле задача 593 , решение для круга 603 — 606 1 полупространства 616, 617 f сферы 610 — 614 — интеграл 477 — теорема 441, 450, 481 — условие 440 — формула 249 Дифференциальная форма вторая 409 первая 408 Дифференциальное уравнение 9 Бернулли 27 Бесселя 131, 134 в полных дифференциалах 238, 243 высшего порядка 46 — 56 } допускающее пониже- понижение 52 , графический метод решения 28,48 — 50 , интеграл 32 , интегрирование 10, 46 ; , — с помощью рядов 124— 136 Клеро 37 Лагранжа 39 линейное высшего порядка 81 с постоянными коэф- коэффициентами 92, 93, 109—117 неоднородное второго по- порядка 79 с постоянными ко- коэффициентами 85 — 88 однородное второго поряд- порядка 75 с постоянными ко- коэффициентами 82 — 85 первого порядка 23 , не решенное относительно производной 34 , общий интеграл 10, 32 обыкновенное 9 однородное 19 , особое решение 34, 48 первого порядка 9 — 46 , порядок 9 , приближенный метод решения с помощью рядов 30 1 __ — —. Эйлера — Коши 28, 153—156 , решение 10, 46 Риккати 27 с отделяющимися переменными 13 Дифференциальное уравнение с ча- частными производными 9, 66 — 74 , символический метод решения 106— 121 , теорема существования и един- единственности решения 13, 47, 136 — 153, 566, 645 ¦ , частное решение 10 Эйлера 115 Дифференциальных уравнений сис- системы линейных с постоянными коэф- коэффициентами 117—121 обыкновенных 56 — 66 Дифференцирование вектора 351 — по параметру интеграла 252 Диффракции интегралы 267 Диффузия волн 547 Дополнительное множество 285, 289 Дюпена индикатриса 414 — теорема 422 Егорова теорема 319 Единичные векторы 343 Естественное уравнение кривой 396 Жордана мера 283, 291—293 Закругления точка 417 Замена переменных в двукратном ин- интеграле 184, 246 — в трехкратном интеграле 192, 194, 196 в /г-кратном интеграле 305 Замкнутая область 285 Замкнутое множество 284 Замкнутости уравнения 456, 458, 459, 461, 466 Замкнутые системы функций 458, 461, 467 Замыкание множества 285 Запаздывающее значение функции 625 Запаздывающий потенциал 552 Затухающие колебания 96 Звука распространения уравнение 371 Изменения произвольной постоянной Лагранжа 23, 80 Измеримая функция 315 Измеримое множество 309 Изогональные траектории 44 Изоклины 36 Изолированная точка множества 285 Индикатриса Дюпена 414
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 651 Интеграл двукратный (двойной) 177— 186, 197, 198, 299 — Дирихле 477 —, зависящий от параметра 247 — 260 — кратный 304 — криволинейный 211—236 — Лапласа 248 — Лебега 284, 320, 323 — 327, 337 — несобственный 260 — 274 ¦ кратный 274 от разрывной функции 260 с бесконечным пределом ин- интегрирования 263 ~ общий 10, 32, 47, 57 — первый 57 — повторный 175 — по поверхности 201, 205 — Пуассона 606 — равномерно сходящийся 267 — Римана 176, 284 — системы дифференциальных урав- уравнений 57, 66 — трехкратный (тройной) 186—198 — Френеля 267 — Фурье 502, 569 Интегральная кривая 10 Интегральное уравнение Абеля 250 Фурье 506 Интегрирование по параметру под знаком интеграла 247 — с помощью степенных рядов ли- линейных дифференциальных уравне- уравнений 124—136 Интегрируемые функции 299 Интегрирующий множитель 238, 243 Источник точечный 553 Касательная к кривой на поверхнос- поверхности 407 — плоскость к поверхности 406 Касательной единичный вектор 389, 397 Квадратичная погрешность средняя 451 Квадрируемое множество 293 Квазипотенциальное поле 361 Кирхгофа формула 626 Класс L2 461, 465 Клеро уравнение 37 Колебания мембраны 554—566 — системы с одной степенью свобо- свободы, вынужденные 98 — —, вызванные синусоидальной внешней силой 98 собственные 96 — струны свободные 513—534 Колебания струны, вызванные сосре- сосредоточенной силой 537—540 вынужденные 534—536 — тока в цепи, свободные 584—590 Колеблющееся решение 90 Компланарность векторов 342 Конечное множество 284 Координатные линии 183, 379, 406 — поверхности 378 Координаты криволинейные 183. 191, 193 ортогональные 408 Коши признак абсолютной сходимос- сходимости интегралов 261, 263 Коши — Римана уравнение 237 Кратный интеграл 304 Кривая плоская 380 — простая 295 — пространственная 396 Кривизна вторая 398 — Гаусса 418, 425 — кривой 389, 397 — линии на поверхности 411 —¦ средняя 418, 425 Кривизны вектор 389, 397 — линии 418 — радиус 389, 397 главный 416 — центр 390 Криволинейные координаты 182, 195, 379 Криволинейный интеграл 211—236 Круглая мембрана 559 Кручение кривой 397, 398 Лагранжа способ изменения произ- произвольных постоянных 23, 80 — тождество 346 — уравнение 39 Лапласа оператор 365, 592, 598 в ортогональных координатах 381 сферических координатах 381 цилиндрических координатах 382 — уравнение 281, 370, 374, 381, 592—628 Лебега интеграл 284, 320, 323—327 — мера 284, 309 — подразделение 322 — сумма 322 Линейная зависимость решений 77, 81 Линейное дифференциальное уравне- уравнение второго порядка 75, 79 с постоянными коэф- коэффициентами 82 — 88
652 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ' Линейное дифференциальное урав- уравнение высшего порядка 81 с постоянными коэф- коэффициентами 92, 93, 109 — 117 первого порядка 23 Липшица неравенство (условие) 145 Логарифмический декремент затуха- затухания 577 Лозинского теорема 152 Локальная производная 383 Лузина теорема 319 Максвелла уравнения 376 Мембраны колебания 554 — 566 Менье теорема 412 Мера внешняя 292, 308 — внутренняя 292 — Жордана 283, 291—293 — Лебега 284, 309, 327, 337 — множества 293, 309 Меры теория для плоскости 283 — — — «-мерного пространства 298 Минимальная поверхность 427 Многосвязная область 234 Множества граница 285 — диаметр 288 Множество бесконечное 284 — дополнительное 285, 289 — замкнутое 284 — измеримое 309 — квадрируемое 293 — конечное 284 — меры нуль 293, 310 — ограниченное 284 — открытое 284 — предельное 314 — производное 285 — пустое 289 — счетное 288 Момент вектора 350, 351 Моменты системы точек относитель- относительно плоскости, оси и точки 207, 208 Направление асимптотическое 416 — главное 416 — обхода кривой 222, 226 Направлений поле 12 Направленный элемент поверхности 363 Напряжение векторной трубки 362 Начальная амплитуда 96 — фаза 96 Начальное условие 11, 47, 56, 517, 555, 628 Независимость криволинейного ин- интеграла по пути 227, 234 Независимые интегралы системы диф- дифференциальных уравнений 59 Неймана задача 594 Неколеблющееся решение 90 Неоднородное линейное дифферен- дифференциальное уравнение 79, 81, 85, 92, 112 Непрерывности уравнение 369 Несжимаемости условие 237, 370 Несобственный интеграл 260 — 283 Нормаль главная 397 — к поверхности 407 Нормальное сечение поверхности 411 Область 284 — замкнутая 285 — квадрируемая 293 — многосвязная 234 — открытая 151, 284 — связная 285 Обобщенная сумма расходящегося ряда 609 Обобщенное решение 519 Общий интеграл дифференциального уравнения 10, 32, 47, 57 Объем 173 Обыкновенное дифференциальное уравнение 9 Огибающая семейства кривых 41 ¦ в пространстве 428 нормалей 391 поверхностей 428 Ограниченная функция 315 Ограниченное множество 284 Однородная функция 19 Однородное дифференциальное урав- уравнение. 19 ¦ линейное второго порядка 75, 82, 85 , высшего порядка 81, 92, 109—112 Омбилическая точка 417 Оператор Лапласа 365, 377, 592, 599 Определитель Вронского 76, 82 — функциональный 84, 305 Определяющее уравнение 130 Ортогональность системы тригоно- тригонометрических функций 437 Ортогональные координаты 379, 408 — системы функций 456, 563 — траектории 44
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ" 653 Ортонормированная система функций 457, 461, 465 Орты 343 Особая точка 157 регулярная 129 Особое решение дифференциального уравнения 34, 48 Остроградского формула 204 Открытая область 151, 284 Открытое множество 284 Параболическая точка поверхности 413 Первый интеграл системы дифферен- дифференциальных уравнений 57 Период колебаний 96 Плато задача 426 Плоская волна 513 Площадь, вычисление криволинейным интегралом 219 —, определение 291 — поверхности 198 Поверхности координатные линии 406 — минимальные 427 — параметрическое уравнение 405 — развертывающиеся 433 — уровня 355 Поглощение волны 580 Погрешность средняя квадратичная 451 Подразделение 320 — Лебега 322 Покоя точка 165 Поле векторное 353, 357 — квазипотенциальное 361 — направлений 12 — потенциальное 360 — скалярное 340, 353 — соленоидальное 362 Полнота системы функций 468 Поля теория 351—387 Поперечные колебания 513 Порядок дифференциального уравне- уравнения 9 Последовательных приближений ме- метод 136, 144 Потенциал 280, 356 — запаздывающий 552 — объемных масс 280, 617—621 — простого слоя 283 — сил 61 — скорости течения 237, 370 Потенциальное поле 360 Поток поля 358 Предельная задача 103 — точка множества 284 Предельное множество 314 — условие 103, 517, 555, 571, 628 Предельный цикл 166 Продолжение подразделений 321 Произведение множеств 289 — подразделений 321 Производная локальная 383 — по направлению 354 — субстанциональная 383 Производное множество 285 Простая кривая 295 Прямоугольная мембрана 555 Псевдоскаляр 348 Пуассона интеграл 606 — уравнение 283, 621—625 — формула 544, 624 Пустое множество 289 Пучность 532 Работа силового поля 215 Равного уклона линии 36 Равномерная сходимость несобствен- несобственного интеграла 267, 278 Радиус кривизны 389, 397 главный 416 — кручения 398 Развертывающаяся поверхность 433 Разность множеств 289 Расстояние между множествами 286 Расходимость 358 Регулярная особая точка 129 Резонанс 102, 538 Риккати уравнение 27 Римана интеграл 176, 284 Рисса — Фишера теорема 466 Родрига формула 420 Ротор 359 Свободные колебания мембраны 555, 559 струны 515 Свободный вектор 340 Связная область 285 Седло 160 Символического множителя метод 106—121 Скаляр 339 Скалярная величина 339 Скалярное поле 340, 353 — произведение 343, 347 Собственные значения 104 — колебания системы с одной сте- степенью свободы 96 — функции 104
654 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ' Соленоидальное поле 362 Соприкасающаяся плоскость 401 Средняя квадратичная погрешность 451 — кривизна 418, 425 Стокса формула 226 Стоячая волна 532 Стоячих волн способ 533 Струна, вывод уравнения колебаний 513 — неограниченная 516 — 524 —, обобщенное уравнение колебаний 580 — ограниченная 524 — 540 Субстанциональная производная 383 Сумма Лебега 322 — множеств 289 Суммируемая функция 329 — 331, 337 Суммируемость рядов по Абелю 610 Существования решения теорема 13, 46, 126—153 Сферические координаты 193, 381 Сходимость в себе 463 Счетное множество 288 Таутохронная кривая 251 Телеграфное уравнение 377, 571—592 для неограниченной цепи 584 ограниченной цепи 586 Телесный угол 195 Теплопроводности уравнение 373, 628 — 648 для неограниченного стержня 629 стержня, ограниченного с од- одного конца 634 9 обоих концов 639 обобщенное 641 Тон 532 Точечный источник 553 Траектории изогональные 44 — ортогональные 44 Трехкратный интеграл 188 Тригонометрический полином 435, 451 Триэдр 397 Трубки векторные 358, 362 Тяготения поле 279, 356 Угловая мгновенная скорость 350,366 Узел 159, 162 — гармоники 532 Узловая точка 15 Уклонение наибольшее 451 Уровня поверхности 355 Условие граничное 103 — начальное 11, 47, 56, 516, 555 628 — предельное 103, 517, 555, 571, 628 Устанавливающиеся процессы 574 Установившиеся процессы 572 Устойчивое решение 63 Фокус 161 Френе формулы 400 Френеля интеграл 267 Фубини теорема 334 Функциональный определитель 184 305 Фурье интеграл 502, 569 — интегральное уравнение 506 — коэффициенты 439, 457, 461, 466 — ряды 439, 466 в комплексной форме 509 кратные 510 обобщенные 457 , характер сходимости 490, 495 — способ 529, 555, 559, 586, 603, 629, 639, 643 — теорема 502 — формула 502, 507 Характеристики 522 Характеристическое уравнение 83 Хладниевы фигуры 559 Центр 162 — кривизны 390 Цикл 166 — предельный 166 Циклические постоянные функции 234 Цилиндрическая функция 132, 133 Цилиндрические волны 545 — координаты 191, 382 Циркуляция 234, 360 Частное решение дифференциального уравнения 10, 47 Частота колебаний 532 Чисто гармоническое колебание 96 Штурма теорема 90 Эвольвента 394 Эволюта 390, 392 Эйлера дифференциальное уравнение 11о
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 655 Эйлера форма уравнений гидродина- гидродинамики 371 — формула 416 — числа 449 Эйлера—Коши способ приближенного построения интегральных кривых 28, 153—156 Элемент объема в криволинейных координатах 195 . прямоугольных координатах 190 сферических координатах 194 Элемент объема в цилиндрических координатах 192 — площади в криволинейных коор- координатах 183 полярных координатах 181 прямоугольных координатах 180 направленный 363 поверхности 200 сферы 195 Эллиптическая точка поверхности 413 Эллиптические координаты 423
Владимир Иванович Смирнов Курс высшей математики том второй М., 1974 г., 656 стр. с илл. Редактор Ю. А. Горькое Техн. редактор С. Я. Шкляр Корректор 3. В. Автонеева Печать с матриц. Подписано к печати 14/П 1974 г« Бумага 60х90'/>б, тип. № 2. Физ. печ. л. 41. Условн, печ. л. 41. Уч.-изд. л. 39,2. Тираж 63 000 экз. Цена книги 1 р. 26 к. Заказ № 1276. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград- Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государ- Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной тор- торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26<