Author: Смирнов В.И.
Tags: фундаментальные и общие проблемы математики высшая математика учебное пособие
Year: 1974
Text
В. И. СМИРНОВ
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ТОМ ТРЕТИЙ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ИЗДАНИЕ ДЕВЯТОЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов механико-математических
и физико-математических факультетов университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1974
517
С 50
УДК 510@22)
Владимир Иванович Смирнов
Курс высшей математики, том III, часть 2
М., 1974 г., 672 стр. с илл.
Редактор В. В. Абгарян
Техн. редактор К- Ф- Брудно Корректор Т. С. Плетнева
Печать с матриц. Подписано к печати II/VI 1974 г. Бумага 60X90"/1б, тип. №3.
Физ. печ. л. 42. Условн. печ. л. 42. Уч.-изд. л. 39,82. Тираж 50 000 экз. Цена книги 1 р. 55 к,
Заказ 224.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии №2
им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский пр., 29, с матриц ордена Трудового Красного
Знамэни Ленинградской типографии №1 «Печатный Двор» имени A.M. Горького
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжьой торговли, г. Ленинград, Гатчинская ул. 26.
20203-072
С053@2)-74 2°4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к восьмому изданию 7
ГЛАВА I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Функции комплексного переменного (9). 2. Производная A5).
3. Конформное преобразование B1). 4. Интеграл B4). 5. Теорема
Коши B7). 6. Основная формула интегрального исчисления C1).
7. Формула Коши C4). 8. Интегралы типа Коши D0). 9. Следствия
формулы Коши D2). 10. Изолированные особые точки D4). 11. Бес-
конечные ряды с комплексными членами D7). 12. Теорема Вейер-
штрасса E0). 13. Степенные ряды E2). 14. Ряд Тейлора E5). 15. Ряд
Лорана E7). 16. Примеры F1). 17. Изолированные особые точки. Бес-
конечно далекая точка F6). 18. Аналитическое продолжение G1).
19. Примеры многозначных функций G8). 20. Особые точки аналити-
ческих функций и римановы поверхности (87). 21. Теорема вычетов
(91). 22. Теоремы о числе корней (94). 23. Обращение степенного
ряда (98). 24. Принцип симметрии A01). 25. Ряд Тейлора на окруж-
ности круга сходимости A05). 26. Дополнительные сведения о формуле
Коши A08). 27. Главное значение интеграла (НО). 28. Главное значение
интеграла (продолжение) A15). 29. Интегралы типа Коши A20). 30. Ин-
тегралы типа Коши (продолжение) A25).
глава и
КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
31. Конформное преобразование A27). 32. Линейное преобразование
A30). 33. Дробно-линейное преобразование A32). 34. Функция w = z2
k ( 1 \
A42). 35. Функция w = y[*-\ A43). 36. Двуугольник и полоса
A46). 37. Основная теорема A49). 38. Формула Кристоффеля A52).
39. Частные случаи A57). 40. Случай внешности многоугольника A61).
41. Минимальное свойство преобразования на круг A62). 42. Способ
сопряженных тригонометрических рядов A65). 43. Плоское установив-
шееся течение жидкости A69). 44. Примеры A71). 45. Задача полного
обтекания A75). 46. Формула Н. Е. Жуковского A76). 47. Плоская
ОГЛАВЛЕНИЕ
электростатическая задача A78). 48. Формула Шварца A81). 49. Ядро
s I
ctg—2— 0^4). 50. Предельные задачи A88). 51. Бигармоническое урав-
нение A93). 52. Волновое уравнение и аналитические функции A96).
53. Основная теорема A98). 54. Дифракция плоской волны B04).
55. Отражение упругих волн от прямолинейной границы B09).
глава ш
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ, ЦЕЛЫЕ
И ДРОБНЫЕ ФУНКЦИИ
56. Интеграл Френеля B15). 57. Интегрирование выражений с тригоно-
метрическими функциями B17). 58. Интегрирование рациональной дро-
би B19). 59. Некоторые новые типы интегралов с тригонометриче-
скими функциями B21). 60. Лемма Жордана B24). 61. Представление
некоторых функций контурными интегралами B26). 62. Примеры инте-
гралов от многозначных функций B30). 63. Интегрирование системы
линейных уравнений с постоянными коэффициентами B34). 64. Разложе-
ние дробной функции на простейшие дроби B40). 65. Функция ctg г
B44). 66. Построение мероморфной функции B46). 67. Целые функции
B48). 68. Бесконечные произведения B50). 69. Построение целой функ-
ции по ее корням B53). 70. Интегралы, зависящие от параметра B57).
71. Эйлеров интеграл второго рода B60). 72. Эйлеров интеграл первого
рода B65). 73. Бесконечное произведение для функции [Г (г)]'1 B66).
74. Представление Г (г) контурным интегралом B72). 75. Формула
Стирлинга B75). 76. Формула суммирования Эйлера B81). 77. Числа
Бернулли B84). 78. Метод скорейшего спуска B86). 79. Асимптотиче-
ское разложение интеграла B88). 80. Примеры B93). 81. Метод стацио-
нарной фазы B97).
ГЛАВА IV
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
И ФУНКЦИИ МАТРИЦ
82. Регулярные функции многих переменных C00). 83. Двойной инте-
грал и формула Коши C02). 84. Степенные ряды C04). 85. Аналити-
ческое продолжение C10). 86. Функции матриц. Предварительные по-
нятия C11). 87. Степенные ряды от одной матрицы C13). 88. Умножение
степенных рядов. Обращение степенного ряда C16). 89. Дальнейшее
исследование сходимости C19). 90. Интерполяционные полиномы C24).
91. Тождество Кейли. Формула Сильвестра C25). 92. Определение функ-
ций одной матрицы формулой Коши C27). 93. Аналитическое продолже-
ние C30). 94. Логарифм матриц C35). 95. Обращение целой функции
от матрицы в случае матриц второго порядка C36). 96. Системы ли-
нейных уравнений с постоянными коэффициентами C39). 97. Функции
нескольких матриц C44).
ОГЛАВЛЕНИЕ О
Г Л А Б Л V
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
'98. Разложение решения в степенной ряд C47^. 99. Аналитическое
продолжение решения C51). 100. Окрестность особой точки C53).
101. Регулярная особая точка C58). 102. Уравнения класса Фукса C66).
103. Уравнение Гаусса C70). 104. Гипергеометрический ряд C72).
105. Полиномы Лежандра C77). 106. Полиномы Якоби C83). 107. Кон-
формное преобразование и уравнение Гаусса C87). 108. Преобразова-
ние Лапласа C92). 109. Различный выбор решений C94). 110. Уравнение
Бесселя C97). 111. Функции Ханкеля и интегральное представление ре-
шений уравнения Бесселя D00). 112. Асимптотические разложения D03).
ИЗ. Асимптотические разложения решений, полученных преобразова-
нием Лапласа D08). 114. Асимптотические разложения решений уравнения
Бесселя D14). 115. Вырождение уравнения Гаусса D18). 116. Формаль-
ные ряды в окрестности иррегулярной особой точки D19). 117. Построе-
ние асимптотических разложений методом последовательных приближе-
ний D22). 118. Функции Эйри D28). 119. Асимптотика при большом
значении параметра D31). 120. Уравнения с периодическими коэффи-
циентами D38). 121. Условия устойчивости и неустойчивости для урав-
нения Хилла D43). 122. Системы линейных дифференциальных уравнений
D51). 123. Регулярная особая точка D54). 124. Регулярные системы
D57). 125. Представление решения в окрестности особой точки D64).
126. Канонические решения D67). 127. Связь с регулярными решениями
типа Фукса D70). 128. Случай любых Us D71). 129. Формальные раз-
ложения в окрестности иррегулярной особой точки D74).
ГЛАВА VI
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Сферические функции и функции Лежандра 477
130. Определение сферических функций D77). 131. Явные выражения
сферических функций D80). 132. Свойство ортогональности D84).
133. Полиномы Лежандра D88). 134. Разложение по сферическим функ-
циям D93). 135. Доказательство сходимости D96). 136. Связь сфери-
ческих функций с предельными задачами D98). 137. Задачи Дирихле
и Неймана E01). 138. Потенциал объемных масс E03). 139. Потенциал
сферического слоя E05). 140. Электрон в центральном поле E08).
141. Шаровые функции и линейные представления группы вращения
E10). 142. Функция Лежандра E12). 143. Функция Лежандра второго
рода E14).
§ 2. Функции Бесселя 518
144. Определение функций Бесселя E18). 145. Соотношения между
функциями Бесселя E20). 146. Ортогональность функций Бесселя и их
корни E23). 147. Производящая функция и интегральное представле-
О ОГЛАВЛЕНИЕ
ние E28). 148. Формула Фурье — Бесселя E32). 149. Функции Ханкеля
и Неймана E33). 150. Разложение функций Неймана с целым значком
E39). 151. Случай чисто мнимого аргумента E41). 152. Новые инте-
гральные представления E43). 153. Асимптотические представления
E45). 154. Функции Бесселя и уравнение Лапласа E50). 155. Волновое
уравнение в цилиндрических координатах E52). 156. Волновое уравне-
ние в сферических координатах E55).
§ 3. Полиномы Эрмита и Лагерра 558
157. Линейный осциллятор и полиномы Эрмита E58). 158. Свойство-
ортогональности E62). 159. Производящая функция E63). 160. Пара-
болические координаты и функции Эрмита E65). 161. Полиномы Ла-
герра E67). 162. Связь полиномов Эрмита и Лагерра E74). 163. Асимп-
тотическое выражение полиномов Эрмита E75). 164. Асимптотическое
выражение полиномов Лежандра E79).
§ 4. Эллиптические интегралы и эллиптические функции 582
165. Приведение эллиптических интегралов к нормальному виду E82),
166. Приведение интегралов к тригонометрической форме E86). 167. При-
меры E90). 168. Обращение эллиптического интеграла E92). 169. Общие
свойства эллиптических функций E96). 170. Основная лемма F00).
171. Функции Вейерштрасса F02). 172. Дифференциальное уравнение
для %> (и) F07). 173. Функции ak (и) F10). 174. Разложение целой
периодической функции F13). 175. Новые обозначения F14). 176. Функ-
ция bt(v) F16). 177. Функции %k(v) F19). 178. Свойства функций тэта
F22). 179. Выражение чисел ek через $s F25). 180. Эллиптические
функции Якоби F27). 181. Основные свойства функций Якоби F29).
182. Дифференциальные уравнения для функций Якоби F31). 183. Фор-
мулы сложения F32). 184. Связь функций $ (а) и sn и F34). 185. Эллип-
тические координаты F36). 186. Введение эллиптических функций F38).
187. Уравнение Лямэ F39). 188. Простой маятник F41). 189. Пример
конформного преобразования F43).
ДОБАВЛЕНИЕ
ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
190. Вспомогательные предложения F47). 191. Случай простых корней
F52). 192. Первый этап преобразований в случае кратных корней F54).
193. Приведение к канонической форме F57). 194. Определение струк-
туры канонической формы F63). 195. Пример F67).
ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящее издание внесены следующие добавления и изменения:
« главе I указаны результаты, касающиеся формулы Коши и интег-
ралов типа Коши с использованием интегралов Лебега; в главе III
изменено изложение приближенного вычисления интегралов по ме-
тоду скорейшего спуска и добавлено изложение метода стационар-
ной фазы; в главе IV расширено изложение теории аналитических
функций одной матрицы. Наибольшие изменения внесены в главу V.
В частности, добавлена краткая теория функций Эйри, рассмотрена
асимптотика решения одного линейного уравнения второго порядка,
содержащего большой параметр, и расширено изложение теории од-
ного дифференциального уравнения второго порядка с периодичес-
ким коэффициентом. В главе VI изменено изложение асимптотик
функций Ханкеля и Бесселя при большом значке и аргументе.
Большую помощь при изложении указанных вопросов оказали
мне В. М. Бабич, В. С. Булдырев и В. А. Якубович. Приношу им мою
глубокую благодарность. Без их помощи я не мог бы выполнить боль-
шой работы по подготовке настоящего издания тома Ш*
В. Смирнов
12 февраля
1968 г.
ГЛАВА I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
1. Функции комплексного переменного. При изложении диффе-
ренциального и интегрального исчисления мы считали, что как неза-
висимая переменная, так и функция принимают лишь вещественные
значения. Далее, при изложении основ высшей алгебры мы рассмат-
ривали наиболее элементарную функцию, а именно—полином, и в том
случае, когда независимая переменная принимает комплексные зна-
чения. Целью настоящей главы является распространение основ ана-
лиза на случай функции от комплексного переменного.
Возьмем, например» полином
f(z)=aozn-{-alzn-l-{-...-\-an,
где ak — заданные комплексные числа. Мы можем считать, что и не-
зависимая переменная z принимает любые комплексные значения, и
таким образом функция / (z) будет определена для любых комплекс-
ных значений г.
То же самое можно сказать о рациональной функции
или о выражениях, содержащих радикалы, например:
В главе VI тома I мы определили элементарные трансцендентные
функции для случаев комплексных значений независимого перемен-
ного, а именно для показательной функции мы имеем:
ег _ ех+1у _
и, определив таким образом показательную функцию, сможем опре-
делить и тригонометрические функции при комплексных значениях
10 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [I
аргумента
eiz __ e-iz eiz ! e-iz
sinz = cp » cos 2 — ^ ,
, sin г 1 ei2z—\ , cosz . ei2z + 1 A)
6 cos z t el2z + 1' fe sin 2; ^l2* — I
Напомним выражение для натурального логарифма комплексного
числа:
ln* = ln|*| + /arg*, B)
где | z | есть модуль z, arg z обозначает аргумент переменной z.
Точно так же, рассматривая функции, обратные A), мы приходим
к обратным круговым функциям комплексного переменного:
arcsinz, arccosz, arctg^, arcctg^.
Нетрудно показать, что эти функции могут быть выражены через
логарифм. Положим, например,
_. _ ei2W—l
Z~XgW~
откуда
или
6 —
Умножая числитель и знаменатель на / и логарифмируя, получим
. 1 , i — z
w = arctg z = -rrAn т-i—.
Совершенно так же, если положить
eiw e-iw
то получим квадратное уравнение для elw:
e*w—2izeiw— 1=0,
откуда
и, следовательно,
где надо брать оба значения квадратного радикала.
ц ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 11
Как мы увидим в дальнейшем, все вышеуказанные элементарные
функции комплексного переменного имеют производную как функ-
ции комплексного переменного, т. е. для них существует определен-
ный предел отношения
когда комплексное выражение Аг стремится к нулю. Вся настоящая
глава и будет посвящена изложению основ теории функций ком-
плексного переменного, имеющих производную. Эта теория отли-
чается чрезвычайно большой отчетливостью и простотой, с одной
стороны, а с другой стороны, имеет широкое применение ко многим
отделам естествознания и техники. В настоящей главе будет дан
краткий очерк самой теории, а приложения будут изложены в сле-
дующих главах. Мы надеемся таким путем достигнуть более отчет-
ливого и компактного изложения теоретических основ.
В дальнейшем мы будем очень часто пользоваться геометриче-
ской интерпретацией комплексного числа, о которой говорили уже
в [I, 170].
Напомним кратко основную идею этой интерпретации. Отнеся
плоскость к прямолинейным прямоугольным осям ОХ, О К, мы можем
каждой точке этой плоскости сопоставить или две вещественные
координаты (лг, у) или одну комплексную координату x-\-iy, что
и будем делать дальше. В этом смысле плоскость называется пло-
скостью комплексного переменного, ось X — вещественной осью и
ось Y—мнимой осью. Кроме этой точечной интерпретации комплекс-
ного числа, мы будем пользоваться, главным образом в следующих
главах, еще и векторной интерпретацией, при которой комплексному
числу x-\-iy сопоставляется вектор, составляющие которого на коор-
динатные оси равны х и у. Непосредственно очевидна связь между
двумя этими интерпретациями, а именно: если провести вектор из
начала координат в точку с комплексной координатой x-\-iy, то
этому вектору будет соответствовать то же самое комплексное число
х -\- iy. Вообще, если на нашей плоскости провести вектор, имеющий
начало в точке Л с комплексной координатой av -J- /а2 и конец
•в точке В с комплексной координатой b{ -j- /&2, то этому вектору
АВ будет соответствовать комплексное число, равное разности ком-
плексных координат конца и начала:
Напомним некоторые результаты, изложенные раньше [I, 171 и 172].
Сложению комплексных чисел соответствует геометрическое сло-
жение соответствующих этим числам векторов. Модуль комплексного
числа есть длина соответствующего вектора, а аргумент равен углу,
образованному вектором с осью X.
12 гл. i. теория функций комплексного переменного (Г
Если комплексная переменная z меняется, то соответствующая
точка двигается по плоскости.
Мы будем говорить, что z = х -}- 1у стремится к пределу а = а -\- 1ЬУ
где а и Ь—постоянные, если модуль разности
стремится к нулю.
Из написанного выражения непосредственно следует, поскольку
под радикалом стоят положительные слагаемые, что | а — z \ —>> О
равносильно тому, что
х -> а и у-*Ь.
Итак,
равносильно
х-* а и у-*Ь.
При этом, очевидно, переменная точка М, соответствующая числу
z = x-\-iy, стремится к точке А с комплексной координатой
aL = a-\-ib как к своему предельному положению. Как нетрудно
показать, на чем мы останавливаться не будем, для комплексного
переменного имеют место обычные теоремы о пределе суммы, про-
изведения и частного.
Заметим еще, что из определения предела вытекает, что г-* О
равносильно | z \ -> 0. Далее, если z -> а, то, очевидно, | z \ -* | а |.
Для комплексного переменного имеет место также признак Коши
существования предела.
Пусть имеется, например, последовательность значений комплекс*
ного переменного
Существование предела у этой последовательности равносильна
существованию пределов у вещественных последовательностей хп и уп>
а для существования этих пределов необходимо и достаточно, чтобы
абсолютные значения разностей \хп — хт\ и \уп—ут\ становились
сколь угодно малыми при достаточно больших п и т [I, 31].
Принимая во внимание, что
j Zfi zm\ = Y(xn—xmf -f- (yn—ymf
ц ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 13
и что под радикалом стоят положительные слагаемые, мы видим,
что для существования предела последовательности zn необходимо
и достаточно, чтобы \zn—zm\ становился сколь угодно малым при
всех достаточно больших п и т> т. е., точнее говоря, при любом
заданном положительном е существует такое N, что \zn — zm\<^e,
если только п и m^>N. В общем случае комплексного переменного
мы должны повторить о комплексном переменном то, что мы
говорили в начале тома I о вещественном переменном. Необходимое
и достаточное условие существования предела комплексного перемен-
ного z состоит в следующем: при любом заданном положительном е
существует такое значение переменной г, что \zr — z" | <^ е, если
только z' и z' — любые два значения, следующие после упомянутого
значения. В дальнейшем мы будем говорить, что комплексное перемен-
ное z стремится к бесконечности, если J -zr | —>- —|— со.
Перейдем теперь к рассмотрению функции комплексного пере-
менного
w=f(z)
и условимся относительно некоторых терминов. Функция f(z) может
быть определена или на всей плоскости, или лишь в некоторой
области плоскости комплексного переменного z, например в некото-
ром круге, или прямоугольнике, или кольце и т. д. У всякой такой
области мы будем отличать внутренние ее точки и точки контура.
Так, например, в случае круга с центром в начале координат и
радиусом единица, внутренние точки характеризуются условием
или »У<1
а контуром является окружность
|*|=1, или
Характерным свойством внутренней точки является то свойство,
что не только она сама, но и некоторая ее окрестность целиком
принадлежит области, т. е. точка М будет внутренней точкой области,
если этой области принадлежит целиком некоторый достаточно малый
круг с центром М. Точки контура не являются уже внутренними
точками области, но в сколь угодно малой окрестности точки контура
находятся внутренние точки области. Мы будем, кроме того, считать,
что наша область не распадается на отдельные куски (связность
области), иначе говоря, будем предполагать, что любые две точки
области могут быть соединены некоторой линией, которая целиком
находится внутри области. В дальнейшем под областью будем под-
разумевать обычно лишь совокупность внутренних точек области.
Если же к области присоединяется и граница, то будем называть
область замкнутой [II, 91J.
14 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [I
Кроме того, мы будем называть область ограниченной, если все
ее точки находятся на конечном расстоянии от начала. В дальнейшем
еще несколько дополним характеристику понятия области.
Вернемся к рассмотрению функции w=f(z). Положим, что она
определена внутри некоторой области В, т. е. во всякой точке z,
лежащей внутри В, f(z) имеет определенное комплексное значение
(мы говорим об однозначных функциях). Пусть z0 — некоторая точка
внутри В. Функция f(z) называется непрерывной в точке zOt если
/ (z) —* / (z0) при z->z^ т. е. при любом данном положительном е
существует такое положительное % что \f(z)—/(^о)|<Се» если
только \z — -ZoK^tq. Функция называется непрерывной внутри В,
если она непрерывна во всякой точке, находящейся внутри В.
Функция /(г) может быть определена не только внутри Д но и на
границе / области, т. е. в замкнутой области В. Мы будем говорить,
что такая функция непрерывна в замкнутой области В, если она
непрерывна в каждой точке этой замкнутой области В. При опреде-
лении непрерывности в какой-либо точке z0 границы / надо иметь
в виду, что точка z может стремиться к z0 любым образом, но не
покидая замкнутой области В. Как и в случае вещественного пере-
менного, имеет место теорема: если f(z) непрерывна в ограниченной
замкнутой области, то она равномерно непрерывна в этой области, т. е.
для любого заданного положительного е существует такое положитель-
ное TQ (одно и то же для всей области), что \f(z{)—/(^)|<С?» если
\z{ — 2«|<^if|, где zx и z<i принадлежат упомянутой замкнутой области.
Напишем zu w — f(z) разложенными на вещественную и мнимую
части:
w = f(z) = u-\- vL
Задать z это значит задать х и у, и задать f(z) — значит задать и
и v, т. е. и и v мы должны считать функциями х и у:
w = /(*) = и (х, y) + v (х, у) L C)
В элементарных функциях такое разделение вещественной и мнимой
частей может быть произведено при помощи простых операций, на-
пример:
w = ** = (х -\-yif = (лг* —У) + 2xyL
Положим, что <го = -^о-Ь.Уо? условие z->z0 равносильно х-+х9
и у-+Уо.
Определение непрерывности в точке 20 дает, что при z-+Zq,
т. е. при лг-^лго и у->УаУ мы должны иметь
или
" I*. У) + v (х, у) I -» и (*о, У о) -t v (лг0,
2] ПРОИЗВОДНАЯ lo
что равносильно
Следовательно, непрерывность f(z) в точке ,г0 равносильна непре-
рывности и(х,у) и v(xy у) в точке (х0, у0).
Разделяя вещественную и мнимую части и пользуясь свойством
непрерывности элементарных функций вещественного переменного,
мы убеждаемся в том, что полином, ег, sin «г, cos z — непрерывные
функции на всей плоскости комплексного переменного. Рациональ-
ная дробь непрерывна везде, кроме тех точек z, где ее знаменатель
обращается в нуль. Точно так же tg z непрерывен везде, кроме тех
точек z, где cos z обращается в нуль. Как и в случае веществен-
ного переменного, сумма и произведение конечного числа непре-
рывных функций — также непрерывные функции, а частное двух не-
прерывных функций непрерывно, кроме тех значений z> в которых
знаменатель обращается в нуль.
При изложении дальнейшей теории мы будем заниматься сначала
однозначными функциями, а затем специально рассмотрим вопрос и
о многозначных функциях. Примерами многозначных функций являются
Уг—1, функция B) и обратные круговые функции.
2. Производная. Выше мы видели, что функция f(z) согласно
формуле C) определяется двумя вещественными функциями и(х, у)
и v(x, у) и непрерывность f(z) равносильна непрерывности и(х, у)
и v(x, у). Выбор их при построении f(z) остается произвольным без
дополнительных требований на f(z). Основой той теории, которую мы
будем излагать в дальнейшем, является требование, чтобы f(z) имела
производную по комплексной независимой переменной z. Это требо-
вание наложит некоторые связи на и(хУ у) и v(x, y\ и из них будут
следовать свойства этих функций. Положим, что f(z) определена
в некоторой точке z и во всех точках, достаточно близких к z.
Производная f(z) в точке z определяется, как мы уже упоминали,
как предел отношения
f(z + Az)-f(z)
Az ' W
причем этот предел должен быть конечным и одним и тем же
причем этот предел должен быть конечным и одним и тем же
при любом законе стремления комплексного приращения kz = kx-\-
-f- / Ад/ к нулю. Точнее говоря [ср. I, 45], при любом заданном числе
е ^> 0 существует такое число у\ ^> 0, что
-/'(*) <«• если |Дг| =
16 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [2
Нетрудно показать, как и в случае вещественного переменного, что
справедливы обычные теоремы о производной суммы, произведения
и частного [I, 47]. Применяя формулу бинома Ньютона, получим при
целом положительном z
(zny = nzn-\ E)
Из сказанного следует существование производной у любого поли-
нома от z, а у рациональной дроби — везде, кроме тех значений, при
которых знаменатель дроби обращается в нуль. Имеет место обыч-
ное правило дифференцирования сложных функций:
F'2{w) = F'w{w).w2. F)
Точную формулировку для этого правила мы приведем в [5]. Ниже
мы выразим f(z) через частные производные функций и(лг, у) и
v(x, у).
Положим, что функция f(z) определена внутри некоторой обла-
сти В и имеет в каждой точке внутри В производную. При этом
просто говорят, что f(z) имеет производную внутри области В. Эта
производная f'(z) будет также однозначной функцией внутри В.
Введем новое важное определение. Будем говорить, что f(z) регу-
лярна, или голоморфна, внутри В, если она однозначна внутри В
и имеет внутри В непрерывную производную /'(-г). Заметим прежде
всего, что из существования производной вытекает и непрерывность
f(z) внутри В. Иногда говорят, что f(z) регулярна (или голоморфна)
в точке -г0. Это значит, что f(z) регулярна внутри некоторой области,
содержащей точку z0 внутри себя.
Обратимся к формуле C), в которой отделены вещественная и мни-
мая части как у z, так и у функции f(z\ и поставим следующий
вопрос: каким условиям должны удовлетворять функции н(лг, у) и
*о(х, у) для того, чтобы f(z) была регулярной внутри области В.
Положим сначала, что f(z) регулярна внутри В и выведем отсюда
следствия, касающиеся н(лг, у) и v(xy у).
Как уже упоминалось выше, при определении производной, суще-
ствование которой предполагается, можно стремить приращение неза-
висимого переменного Дг = Длг-|-Ду/ к нулю любым образом.
Отметим внутри В некоторую точку М с координатой z==x-\-yl
и переменную точку N с координатой z -(- Аг — (х -]- Алг) —|— C-V ~i— АУ) *»
причем N стремится к Ж.
Возьмем два частных способа стремления N к М, т. е. стремле-
ния Аг к нулю.
При первом способе будем считать, что iV стремится к Ж, оста-
ваясь на прямой, параллельной оси X, т. е. при первом способе
будем иметь
Ау = 0 и kz = bx, G)
2] ПРОИЗВОДНАЯ 17
а при втором способе будем считать, что /V стремится к Му оста-
ваясь на прямой, параллельной оси Y, и при этом будем иметь
Длг = 0 и Дг = /Ду. (8)
Составим производную f{z) для обоих этих случаев. В общем
случае мы имеем
[и (х + Алг, у + by) — и (х, у)] + l[v(x + А*, У + А.У) — v (х, у)]
Тп*
Отсюда при первом способе стремления N к М получим
f'(z)=\\m Гц(ЛГ + Алг> -У)"" И(*».У) I / ^(лг + Алг, з^) — р(лг,
Мы видим, таким образом, что вещественная и мнимая части в пра-
вой части равенства должны иметь предел, т. е. функции и(х, у) и
v(x, у) должны иметь частные производные по х, причем имеет
место формула
Точно так же при втором способе стремления N к М будем
иметь согласно (8) и (9)
У) — и(х, У) i ;^(^> У + Ьу) — У(х> У)
^ 1-^ Ад;
или
ду ду у }
Сравнивая выражения A0) и A1) для f'{z)y получаем условия,
которым должны удовлетворять частные производные и(х, у) и
Нх, у):
да (х, у) _dv (х} у) dv (xt у) _ да (л:, у)
дх — ду • дх — di~'
Заметим еще, что из непрерывности f(z) вытекает, на основа-
нии A0) и A1), непрерывность частных производных первого порядка
функций и(хУ у) и v(xy у). Предыдущие рассуждения приводят нас
к следующему результату. Для того чтобы f(z) была регулярна
внутри Ву необходимо выполнение следующих условий: и(х, у) и
v(x, у) должны иметь внутри В непрерывные частные производ-
ные первого порядка по х и у, и эти производные должны удовле-
творять соотношениям A2).
18 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [2
Покажем теперь, что эти условия не только необходимы, но
и достаточны для регулярности f(z) внутри В. Итак, будем счи-
тать, что высказанные условия выполнены, и докажем существование
непрерывной производной f'(z). Принимая во внимание непрерыв-
ность частных производных от и(х, у) и v(x> у) по х и у, можем
написать [I, 68]
и (х + А*, у + Ау) — и (х, у) =
да (х, у) А \ ди (х. у) a f A ¦ а
= дх У)Ьх~] ^^Ду + е1Ах+еаДу,
x, y-\- Ay) — v(x, y) =
dv (х, у) А i dv (Ху у)
= **-\ ^Щ
где efe стремятся к нулю одновременно с Ах и Ад/. Составляя при
помощи последних выражений приращение функции f(z -J- Az) — /(^)
и подставляя его в отношение D), будем иметь
откуда, пользуясь условиями A2), можем переписать это отношение
в виде
/(g +А*)—/(*)_
— Дл: + / Ддг ^ &5 Ах + 1Ьу~ 6 Длг + I Ay9
где
стремятся к нулю одновременно с Аг.
Нетрудно видеть, что последние два слагаемых справа также стре-
мятся к нулю: Действительно, например,
и первый множитель стремится к нулю, а второй не превосходит еди-
ницы. Таким образом, предыдущая формула переписывается в виде
/(г + Ьг)—/(г)_ди(хЛу) . dv (х, у)
Дг ~ (?jc « ^
«И ПРОИЗВОДНАЯ 19
где s7 стремится к нулю одновременно с Дг, а первые два слагаемых
в правой части вовсе не зависят от Аг. Таким образом, отношение D)
стремится к определенному пределу, определяемому формулой A0).
Итак, указанные выше условия для и(х, у) и v(xy у) необходимы
и достаточны для регулярности f(z) внутри В. Уравнения A2) на-
зываются обычно уравнениями Коши—Римана.
Напомним, что мы уже встречались с этими уравнениями, а именно
таким двум уравнениям должны удовлетворять потенциал скорости
и функция тока при установившемся плоском течении идеальной не-
сжимаемой жидкости [II, 74]. Таким образом, основные уравнения
теории функций комплексного переменного A2) являются в то же
время и основными уравнениями при исследовании упомянутого
только что случая задач гидродинамики. На этом факте основаны
многочисленные применения теории функций комплексного перемен-
ного к гидродинамике, о чем мы будем говорить в следующей главе.
Отметим теперь одно важное обстоятельство, вытекающее из
уравнений A2). Мы увидим в дальнейшем, что в случае регулярной
функции и{х, у) и v(xt у) имеют производные всех порядков. Диф-
ференцируя первое из уравнений A2) почленно по лг, второе по у
ш складывая, получим
+° A3)
Точно так же из уравнений A2) нетрудно вывести
Отсюда видно, что вещественная и мнимая части регулярной
функции f(z) должны удовлетворять уравнению Лапласа, т. е.
должны быть гармоническими функциями. В следующей главе мы
так же подробно исследуем эту связь теории функций комплексного
переменного с уравнением Лапласа.
Отметим еще одно важное обстоятельство, вытекающее из урав-
нений A3), а именно мы можем конструировать регулярную функцию,
задавая произвольным образом ее вещественную часть, т. е. прини-
мая за и(ху у) любое решение уравнения A3!). Покажем, что при
этом v{xy у) определяется с точностью до постоянного слагаемого.
Действительно, из уравнений A2) имеем
, dv j , dv , ди , , да
откуда
v{x,y)= J -|rfx-bgrfy + C. A4)
20 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО B
Остается проверить, что написанный криволинейный интеграл не
зависит от пути и дает некоторую функцию своего верхнего пре-
дела [II, 71]. Напомним, что условия независимости криволинейного
интеграла
\ Ydy
от пути могут быть написаны следующим образом:
дХ_дУ
ду дх'
Применяя это к интегралу A4), получим
ду \ ду) дх \дх)' дх* • ду* '
а это по условию выполнено, так как за и(х, у) мы взяли некото-
рую гармоническую функцию. Напомним, что если и(х9 у) одно-
значна, то v(x, у) может оказаться и многозначной, если область,
в которой мы применяем формулу A4), многосвязна [II, 72].
Обратимся теперь к некоторым примерам. Полином есть очевидно
регулярная функция на всей плоскости z. Рациональная дробь есть
регулярная функция внутри всякой области, не содержащей корней
ее знаменателя. Если возьмем, например, /((г)==,г2, то и(х, у) =
— х2—у2 и v (Ху у) = 2ху. Нетрудно проверить, что эти функции
удовлетворяют соотношениям A2).
Покажем теперь, что показательная функция
е* = е* (cosу-{-i sin у)
регулярна на всей плоскости. В данном случае
с, у) = ех cos у у v (ху у) = ех sin у,
откуда непосредственно следует
да х ди
е*со*у
dv х . dv
e*smy
Эти частные производные непрерывны и удовлетворяют соотноше-
ниям A2). Вычисляем производную по формуле A0):
т. е. (ег)' =
Мы получили то же правило дифференцирования показательной
функции, что и для вещественного переменного. Теперь нетрудно
показать, что sin z и cos z имеют также непрерывные производные
на всей плоскости z. Эти производные вычисляются по тем же пра-
вилам, что и для вещественного переменного. Действительно, при-
3]
КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
21
меняя правила дифференцирования показательной и сложной функ-
ций, получим
, /ei* — e-i*\' eiz\e-iz
2i = 2 ='
(sin z) =
(cos zY =
= i-
cos z,
- = — sin ,
3. Конформное преобразование. Выясним геометрический смысл
понятия функциональной зависимости и производной. Положим, что*
функция f\z) регулярна в некоторой области В плоскости (X, У).
Всякому значению z из области В соответствует определенное зна-
чение w=f(z), и совокупность всех значений w = u-\-ivt соответ-
ствующих всем г из В, заполняет некоторую новую область filf
Рис. 1.
которую мы нарисуем на новой плоскости комплексного перемен-
ного u-\-iv (рис. 1). Таким образом, наша функция f(z) совершает
преобразование области В в область В\. Строго говоря, мы должны
были бы более подробно исследовать зависимость между точками z
и w, осуществляемую нашей функцией, и доказать, что совокупность
значений w также заполняет некоторую область. В дальнейшем,
имея в руках аналитический аппарат, мы займемся этим более под-
робным исследованием, а в настоящий момент ограничимся лишь
общими указаниями, которые все же дадут возможность читателю
выяснить геометрический смысл вводимых понятий. В дальнейшем
будет показано, что если в некоторой точке z производная f (z)
отлична от нуля, то достаточно малый круг с центром z перейдет
в некоторую область на плоскости w, содержащую соответствующую
точку w=f(z) внутри себя.
22
ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла модуля
и аргумента производной, причем будем считать, что производная
f'(z) в рассматриваемой точке отлична от нуля. Возьмем две близкие
точки z и г-j-Az. Соответствующие им точки в области Bi будут
w и w -\- Any.
Возьмем отрезки MN и M\Nb соединяющие z с z-\- Дг и w
с w -\~ taw. Этим векторам соответствуют комплексные числа Аг и Aw.
Таким образом, отношение длин этих векторов будет
\MlNl\_\Hw\
\MN\ | Аж|
или, принимая во внимание, что модуль частного равен частному
модулей,
\JMi\-
\MN\ ~~
Да/
В пределе при стремлении N к М точка
к Мь и мы получим
будет стремиться
т. е. модуль производной f'(z) характеризует изменение линейны::
размеров в точке <г при преобразовании, совершаемом функцией /(г).
Рис. 2.
Если, например, f(z) — z*-\-z -f- 3, то при преобразовании линейные
размеры в точке z=\ увеличиваются в три раза.
Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента
производной. Положим, что точка N стремится к точке М вдоль не-
которой линии /, и пусть 1Х — соответствующая линия в области Z?t
(рис. 2). Аргумент комплексного числа Аг дает угол, образованный
3) КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 23*
вектором MN с вещественной осью, и точно так же arg Ate? дает
угол, образованный вектором M\NX с вещественной осью. Разность,
указанных аргументов, т. е.
arg Aw— arg Аг,
представляет собою угол, образованный направлением вектора M\NV
с направлением вектора MN, причем этот угол отсчитывается от
вектора MN противоположно часовой стрелке. Принимая во внима-
ние, что аргумент частного равен разности аргументов делимого и
делителя, можем написать
arg Lw — arg taz = arg -p-.
В пределе направление вектора MN совпадает с направлением-
касательной к кривой / в точке М, а направление вектора M\N%
совпадает с направлением касательной к кривой 1Х в точке М\,
Переходя в предыдущей формуле к пределу, мы видим, что
аргумент производной arg/'(г) дает угол поворота в данной
точке z в результате преобразования, совершаемого функцией f(z).
Иными словами, если провести через z какую-нибудь кривую /,
имеющую в точке z определенную касательную, то в результате
преобразования получится новая кривая /ь касательная к которой
в соответствующей точке w будет образовывать с вышеуказанной
касательной угол, равный аргументу производной. Если мы возьмем
в области В две кривые, пересекающиеся в точке z под некоторым
углом, то в результате преобразования касательные к этим кривым
повернутся на один и тот же угол, равный аргументу производной,,
и, следовательно, угол между преобразованными кривыми будет преж-
ним как по величине, так и по направлению, т. е. преобразование,
совершаемое регулярной функцией, сохраняет углы во всех точ-
ках, где производная этой функции отлична от нуля. Такое пре-
образование, сохраняющее углы, называется обычно конформным.
Если мы нанесем в области В плоскости XY некоторую сетку
кривых, то в результате преобразования получим также сетку кри-
вых, но уже, конечно, других, причем углы между кривыми сохра-
няются, кроме тех точек, где производная равна нулю. Если мы возь-
мем, например в области Ву сетку прямых, параллельных осям, то
в области В\ получим уже криволинейную, вообще говоря, сетку,
но углы между кривыми останутся по-прежнему прямыми, т. е. сетка
останется ортогональной. Больше того, если мы покроем область В
малыми одинаковыми квадратами, то каждый такой квадрат превра-
тится в области В\ в малый криволинейный прямоугольник, стороны
которого приближенно будут равны произведению длины стороны
квадрата на модуль производной в какой-либо из точек этого
24 ГЛ. t. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО D
квадрата, т. е. упомянутый выше криволинейный прямоугольник будет
также с точностью до малых высших порядков квадратом, но так как
значение \f'(z)\ в разных точках будет разное, то эти криволинейные
квадраты, заполняющие Вь будут иметь различные по длине стороны.
Пусть точка z = z0 принадлежит области регулярности В функ-
ции f(z) и f'(zo)^fcO. При этом можно утверждать, как будет потом
доказано, что w=f(z) преобразует некоторую окрестность В9
точки z9 в некоторую окрестность В'о точки wo=f(zo) (w0 нахо-
дится внутри Z?q), так что в В'ц существует однозначная обратная
функция z = y(w), преобразующая В'о в Во. При этом ср(до) регулярна
в Во, и имеет место правило дифференцирования обратной функции
Окрестность Z?o точки z0 во всяком случае должна быть такой, что
во всех ее точках f'(z)^fcO. В дальнейшем мы исследуем и тот
случай, когда f'(z) обращается в нуль, и более подробно рассмотрим
вопрос об обратной функции.
Остановимся кратко на понятии сложной функции F(w), где до =
=/(<г). Пусть f(z) регулярна внутри некоторой области В и преоб-
разует ее в некоторую область В плоскости w. Положим, далее, что
F(w) регулярна в В. При этом сложная функция/7^)— регулярная
функция от z в В, и для нее имеет место правило дифференцирова-
ния, выражаемое формулой F).
Отметим, что это правило справедливо и в том случае, когда
функция w=f(z) такова, что в В' нет однозначной обратной, т. е. при
различных z из В могут получаться одинаковые w из В' и под В'
подразумевается множество значений f(z\ когда z меняется в В. Как
мы увидим в дальнейшем, В есть некоторая открытая область на
плоскости w. В упомянутых случаях обычно не говорят, что w=f(z)
преобразует В и В\ Этот вопрос будет выяснен в дальнейшем.
4. Интеграл. Пусть / — некоторая направленная линия на пло-
скости z. В дальнейшем, если не оговорено особо, всегда будем
предполагать, что линии / гладкие или кусочно гладкие. Это значит,
что / имеет параметрическое представление х = х (t),y=y (t), rnex(t)
и y(t) — непрерывные функции с непрерывными производными, причем
[У (OF+[/(*)]*> о
(это гарантирует в каждой точке / определенную касательную), или
что / состоит из конечного числа кусков, каждый из которых вплоть
до своих концов обладает вышеуказанным свойством. Любая дуга
такой линии имеет определенную длину [I, 103], или, как говорят,
/ спрямляема. Если за параметр t принять длину дуги 5 линии /,
отсчитываемую от фиксированной точки в направлении, указанном
ИНТЕГРАЛ
25
на /, то производные x*(s)> y'(s) суть направляющие косинусы каса-
тельной к / [1, 70], и имеет место равенство
Для линий указанного типа вычисление криволинейного интеграла
\P(x,y)dx-{-Q(x, y)dy
Мп-
77-7
непосредственно сводится к вычислению обычного определенного ин-
теграла. Достаточно лишь в подинтегральном выражении заменить х>
у на x{t)y y(t) и положить
dx = х? (t) dtt dy ==/ (t) dt. Дело
сведется к интегрированию по
t в пределах, соответствующих
линии /.
Положим, что на / задана
некоторая непрерывная функ-
ция f(z). Определим понятие
контурного интеграла по кон-
туру / (рис. 3). Разобьем / на
части промежуточными точками
Mv М2, ..., Мл_1, и пусть zk
(Д=1, 2, ...,«—1)—комп-
лексные координаты Mk, a zQ Рис* 3*
и zn — координаты концов А
и В. Пусть, далее, С* — некоторая точка на дуге Mk_iMky Ci — на дуге
и Сл — на дуге Мп^В. Составим сумму произведений
Предел этой суммы при беспредельном возрастании п и беспредель-
ном уменьшении каждой из частных дуг называется контурным
интегралом от функции f(z) по /:
\f(z)dz = \\
A5)
k=\
Напомним, что написанное равенство равносильно следующему: при
любом заданном е^>0 существует такое ?]^>0, что
если наибольшая из длин частичных дуг
26 ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [4
Обозначим zk — xk-\-yki и С/,— ?*-(-%/. Отделяя вещественную
и мнимую части у f(z), можем написать
] [« $k> Ъ) + v?k, щ) i\ {{xk — xk _ i)-\-(yk — j
: 1
ИЛИ
п
При сделанных предположениях о линии / и при непрерывности
./(г) обе суммы, стоящие в правой части, стремятся к пределам, рав-
ным соответствующим криволинейным интегралам по /, и мы полу-
чаем выражение для интеграла A5) в виде суммы обычных криволи-
нейных вещественных интегралов:
= \u{x, y)dx — v(x}
i
\ y)dx-\-u(x, y)dy. A6)
Выше мы для определенности считали, что линия / имеет концы,
/но очевидно, что данное определение годится и при интегрировании
по замкнутым контурам.
Контурный интеграл A5) обладает совершенно такими же свой-
ствами, как и обычный криволинейный вещественный интеграл [II, 69].
Упомянем основные из этих свойств. Постоянный множитель можно
выносить за знак интеграла. Интеграл от суммы равен сумме инте-
гралов от слагаемых. При перемене направления у контура интегри-
рования величина интеграла меняет лишь знак. Если разбить контур
интегрирования на несколько частей, то величина интеграла по всему
контуру равна сумме интегралов по отдельным его частям.
Выведем теперь одно важное неравенство, дающее оценку вели-
чине интеграла A5). Положим, что на контуре / модуль подинте-
гральной функции не превышает положительного числа М, т. е.
(z на /), A7)
ТЕОРЕМА КОШИ
27
и пусть s — длина контура /. При этом для интеграла A5) имеет
место следующая оценка:
\z)dz
[Ms.
A8)
Действительно, обратимся к сумме A5), дающей в пределе инте-
грал. Принимая во внимание, что модуль суммы меньше или ранен,
сумме модулей слагаемых, получим
или, в силу A7),
Сумма, стоящая множителем при М, представляет собою, очевидно,,
периметр ломаной линии, вписанной в контур /, и, переходя в по-
следнем неравенстве к пределу, будем иметь неравенство A8).
Можно указать более точную оценку для интеграла A5), а именно»
если обозначить через ds дифференциал дуги кривой /, то имеет
место формула
f(z)dz
A9)
Это неравенство может быть непосредственно получено, если.
в подинтегральном выражении заменить f(z) на \f(z)\ и dz = dx-\-
-\-idy — на \dz\ = Vidxf -f (<*yf = ds.
5. Теорема Коши. В дальнейшем мы постоянно будем иметь дело>
с функциями, регулярными в некоторых областях. Границей области
может быть весьма сложное множество. Мы в дальнейшем будем
предполагать, если не оговорено особо, что граница области состоит
из одной или нескольких простых замкнутых кривых, гладких или
кусочно гладких [4]. Определим точно понятие простой замкнутой
кривой. Пусть замкнутой кривой / соответствует параметрическое
представление x(t), y{f)y при котором параметр t меняется на про-
межутке a^t^by причем х(а) = х(Ь) и у(а)=у(Ь). Кривая назы-
вается простой, если ни для какой пары различных значений t = tt
и* = ^ (кроме концов t = a и t = b) точки x = x(ti)) y=y(tx) и
x = x{tz), y=y(t^) не совпадают. В некоторых случаях, которые будут
оговариваться особо, замкнутая кривая может вырождаться в точку.
Например, если область есть круг | z |<[ 1 с исключенной точкой*
я = 0, граница состоит из окружности |-г|= 1 и точки г = 0.
28 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [5
Поставим теперь основной вопрос о том, при каких условиях
контурный интеграл A6) не зависит от пути. Для этого, очевидно,
необходимо и достаточно, чтобы оба криволинейных интеграла, сто-
ящих в правой части и дающих вещественную и мнимую части
контурного интеграла, не зависели от пути. Применяя указанный
в [II, 74] критерий независимости криволинейного интеграла от пути,
приходим к уравнениям
да (ху у) ду (х9 у) dv (х9 у) _ ди (х, у)
ду дх * ду дх *
а это суть в точности условия A2) из [2]. Итак, окончательно, условие
независимости контурного интеграла от пути совпадает с усло-
вием регулярности f(z). Это является основным фактом интеграль-
ного исчисления теории функций комплексного переменного.
Отметим, что при выводе условий независимости криволинейного
интеграла от пути мы пользовались формулой
5
При выводе этой формулы мы предполагали непрерывность не
только самих функций Р(х,у) и Q(x> у), но и их частных производ-
ных, поскольку они входят под знак двойного интеграла. В данном
случае это будет иметь место, так как для регулярной функции f(z)
функции и(х,у) и v(x, у) имеют непрерывные частные производные
первого порядка. В дальнейшем мы будем применять интегрирование
и по самому контуру области В. Это будет вполне законным, если
предположить, что f(z) регулярна в замкнутой области В. Мы по-
нимаем под этим, что f(z) регулярна в несколько более широкой
области, содержащей область В вместе с ее контуром внутри себя,
т. е. f(z) называется регулярной в замкнутой области В, если
она регулярна внутри некоторой области, содержащей В вместе
с ее контуром внутри себя.
Для более подробного исследования вопроса необходимо принять
во внимание вид области, в которой функция /(г) регулярна, а именно
существенную роль играет здесь, так же как и при исследовании
вещественных контурных интегралов, то обстоятельство, является ли
область односвязной или многосвязной. Напомним относящиеся сюда
основные определения и сформулируем результаты, которые совер-
шенно аналогичны соответствующим результатам для вещественных
контурных интегралов [II, 75].
Если ограниченная область плоскости z имеет контуром одну
замкнутую кривую (иначе говоря, область не имеет дыр), то область
•g] ТЕОРЕМА КОШИ 29
называется односвязной. Если при этом f(z) — регулярная функция
в такой области и z0 — некоторая точка этой области, то интеграл
г
F{z) = \f(z')dz' B0)
{через zr обозначена переменная интегрирования), взятый по любой
кривой внутри этой- области, не зависит от пути и дает однознач-
ную функцию своего верхнего предела z. При этом, конечно,
величина интеграла по любому замкнутому контуру внутри области
будет равна нулю. Если наша функция f(z) регулярна в замкнутой
области, то мы можем интегрировать и по самому контуру области В,
и результатом интегрирования будет нуль.
Положим теперь, что наша область В многосвязна и ограничена
одним замкнутым внешним контуром и несколькими замкнутыми
внутренними контурами. Положим для опре-
деленности, что имеется лишь один внутрен-
ний контур [область двусвязна (рис. 4)].
Проведем в нашей области разрез X, соеди-
няющий внешний контур с внутренним.
Таким образом разрезанная область В' будет
уже односвязной, и выражение B0) будет
давать однозначную функцию от г в В\
Если предположить, что f(z) регулярна Рис* 4*
в замкнутой области, то можно интегриро-
вать и по самому контуру области. Мы можем при этом утверж-
дать, что интеграл по всему контуру односвязной области В' должен
равняться нулю. При этом, как указано на рисунке, нам придется
интегрировать по внешнему контуру против часовой стрелки, по
внутреннему контуру — по часовой стрелке и по разрезу \ — два
раза в противоположных направлениях. Интегралы по разрезу взаимно
уничтожатся, и мы будем, следовательно, иметь
\ f(z) dz -f $ f(z) dz = 0, B1)
Oh Oh
где lx — внешний контур, /2 — внутренний и стрелками обозначено
направление интегрирования. Как непосредственно следует из чертежа,
это направление для обоих контуров можно определить из одного
и того же условия, а именно из того условия, что при обходе кон-
тура область остается слева. Такое направление назовем положи-
тельным относительно области. Пользуясь равенством B1), можем
сказать, что и для случая многосвязной области интеграл по контуру
будет равняться нулю, если интегрировать везде в положительном
относительно области направлении.
30 ГЛ. 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [5
Если изменить направление интегрирования по внутреннему кон-
туру, то вместо формулы B1) мы можем написать
J/(*)<**= \t(z)dz9 B2)
C'i Oh
т. е. интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внут-
ренним контурам (здесь только один), если согласиться интегрировать
по всем контурам против часовой стрелки.
Полученные нами результаты составляют основную для теории
функций комплексного переменного теорему, которая называется
обычно теоремой Коши. Мы ее формулируем несколькими различ-
ными способами.
Теорема Коши I. Если функция регулярна в замкнутой
односвязной области, то интеграл от нее по контуру этой
области равен нулю.
Теорема Коши II. Если функция регулярна в замкнутой
многосвязной области, то интеграл от нее по всему контуру
этой области в положительном направлении равен нулю.
Теорема Коши III. Если функция регулярна в замкнутой
многосвязной области, то интеграл от нее по внешнему контуру
равен сумме интегралов по всем внутренним контурам при усло-
вии, что интегрирование по всем контурам производится против
часовой стрелки/
Выясним одно практически важное следствие теоремы Коши. Пусть
два разных контура Г и Г имеют одни и те же концы А и В.
Положим, что V можно непрерывной деформацией перевести в Г,
не покидая области, где f(z) регулярна, и сохраняя неизменными
концы Л и Я Из теоремы Коши непосредственно вытекает, что при
этом величина интеграла от f(z) не будет меняться, т. е. если неко-
торый контур при закрепленных концах непрерывно деформируется
и при этом не выходит из области регулярности функции f(z),
то при такой деформации величина интеграла от функции f(z)
по контуру не меняется. То же самое имеет место и при деформи-
ровании замкнутого контура, если при этом он все время остается
замкнутым.
В заключение сделаем одно замечание, имеющее принципиальное зна-
чение. При выводе теоремы Коши мы пользовались, как указывалось, не
только существованием, но и непрерывностью производной f (z). Эта
непрерывность/'(z) входит в определение регулярной функции. Применяя
другой метод доказательства, можно доказать теорему Коши, пользуясь
только существованием f (z\ но не ее непрерывностью. Но в дальней-
шем мы увидим, что из теоремы Коши вытекает, что /(г) имеет произ-
водные всех порядков, откуда сразу следует, что /'(-г) непрерывна.
Таким образом, второе доказательство теоремы Коши, которое
мы не приводим, имеет то принципиально важное значение, что оно
ф ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 31
не пользуется непрерывностью f'(z), но из него, как следствие, вы-
текает, что из наличия производной f(z) следует и ее непрерывность.
В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будем всегда
считать, что при интегрировании по замкнутому контуру направле-
ние обхода берется против часовой стрелки.
6. Основная формула интегрального исчисления. Положим,
что f(z) регулярна в некоторой области, и рассмотрим функцию,
определяемую формулой B0). Если наша область многосвязна, то
все же мы можем считать F{z) однозначной, произведя соответствую-
щие разрезы. Совершенно так же, как в интегральном исчислении
функций вещественного переменного [i, 98], можно показать, что F(z)
является первообразной функцией для /(г), т. е. F(z)=f(z).
Для этого заметим прежде всего, что из самого определения
интеграла, как предела суммы, непосредственно вытекает
$</* = ?—а,
где аир — комплексные координаты начала и конца /. Далее, оче-
видно,
-F{z) = \ f{z')dz\
где интегрирование можно совершать, например, по прямолинейному
отрезку, соединяющему точки z и z-\-b>z. При достаточно малом
|Дг| этот отрезок не выходит из области регулярности функции
/(г) (поскольку z считается внутренней точкой этой области), и мы
имеем, очевидно,
Z + AZ
F(z + Le)-F(z) = J [f(z')-f{z)-\-f(z)]dz' =
Z
+
= /(г) \ dz'+
z z
где f(z) вынесена за знак интегрирования, так как она не содержит
переменной интегрирования г'. Последнюю формулу можно перепи-
сать в следующем виде:
Остается доказать, что последнее слагаемое, стоящее справа,
стремится к нулю при ^z -* 0. Пользуясь оценкой интеграла, данной
32 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [6
в [4], и принимая во внимание, что длина пути интегрирования
в данном случае равна | Аг |, можем написать
*+Д г
¦?• \ [f(z')-f(z)]dz'
= шах |/B0 —
Нам надо взять maximum модуля разности \f(z')—f(z)\ при
изменении г' вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего z и
z~\-Hz. Непрерывная неотрицательная функция \f(z')—f(z)\ от zf
принимает на упомянутом отрезке наибольшее значение в некоторой
точке z' = z'Of т. е. max \f(z') — f(z)\ = \f(z'Q)—f(z)\. Но при Дг->0
точка z\> принадлежащая упомянутому отрезку, стремится к z, и
в силу непрерывности f(z) разность f(z'o) — /(,г)->0, откуда и сле-
дует, что последнее слагаемое справа в выражении B3) стремится
к нулю, т. е. F'(z)=f(z).
Покажем теперь, что если имеются две первообразные функции
F\(z) и Fz(z) для функции f(z), то они отличаются постоянным сла-
гаемым. По условию имеем
[Ж*) —F, (*)]' = 0.
Таким образом, нам остается показать, что если внутри области
В производная некоторой функции равна тождественно нулю,
то эта функция в области В есть постоянная. Итак, пусть
/j (z) == щ (х, у) 4- ivi (х, у) и
Составляем два выражения для производной
дх ~rl~fo — ду 1 ду —U>
и, следовательно, имеем
Г = и> Ж" "ЗГ= f ду ~и'
откуда непосредственно следует, что Mi и ^ не зависят ни от лг,
ни от у9 т. е. являются постоянными, а следовательно, и функция
f\(?) будет постоянной.
Положим, что мы имеем некоторую первообразную функцию Fx(z)
для функции f(z). Она отличается от первообразной функции B0)
лишь постоянным слагаемым, т. е.
0« ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 33
Для определения этого постоянного слагаемого положим, что
конец z совпадает с началом пути г0, что даст нам
0 = F1(*e) + С или С=— FiB0),
и предыдущую формулу можно переписать в виде
\ B4)
т. е. величина контурного интеграла равна приращению первообраз-
ной функции вдоль пути интегрирования. При этом предполагается,
конечно, что первообразная функция F(z) однозначна и регулярна
в некоторой области, содержащей путь интегрирования внутри себя.
Пример. Рассмотрим интеграл
B5)
где п — некоторое целое число и / — замкнутый контур. Если п
отлично от (— 1), то первообразная функция будет
—L^z-ey*». B6)
•бходе по
иая функ- ^ "***^.
[о, прира- у^ х**"**ч ^\
>вательно, /^ ( е^Л \7
пф-\ ( \^Р) Г
r KOHTVOV 1 ^—^ У
Это будет однозначная регулярная функция или везде, если п^О,
или везде, кроме z = a, если п<^— 1. Предполагаем контур / не про-
ходящим через z — a. При обходе по
замкнутому контуру однозначная
ция B6) будет иметь, очевидно,
щение, равное нулю, и, следовательно, X ( ^^Л \?
величина интеграла B5) при ' а
будет по любому замкнутому контуру . ,
равна нулю. Если л^О, то это непо- V у^
средствеино следует из теоремы Коши. ^^ ^^.^^^
Если п<^— 1, то это также следует р 5
из теоремы Коши, если только точка
г = а не находится внутри контура /.
Предыдущее рассуждение показывает, что и при отрицательном п,
не равном — 1, величина интеграла B5) будет равна нулю, даже
если а находится внутри контура /. При этом подинтегральная функ-
ция не будет уже регулярной в точке z = a> так как в этой точке
она будет обращаться в бесконечность.
Рассмотрим теперь случай п = —1, т. е. интеграл вида
\ ."§
<">
Если а находится вне замкнутого контура U то по теореме
Коши интеграл B7) равен нулю. Положим, что точка а находится
внутри контура / (рис. 5). Проведем окружность С с центром а
34 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [7
и малым радиусом р. Подинтегральная функция (z — а)~1 будет регу-
лярной в кольце, ограниченном контуром / и окружностью С, и, сле-
довательно, согласно теореме Коши, мы можем при вычислении инте-
грала B7) интегрировать по окружности С. На этой окружности
где ср меняется в промежутке @, 2тс). Отсюда
dz = ipe19 dy.
Подставляя в интеграл B7), будем иметь
2*
¦ = \ j— = 2тг/,
О
т. е. окончательно
dz
1-
г— а
= 2тЛ. B8)
7. Формула Коши. Пусть / (z) — некоторая функция, регулярная
в замкнутой области В, которую мы пока для простоты будем счи-
тать односвязной. Пусть / — контур этой области и а — некоторая
точка внутри этой области.
Составим новую функцию
*& B9)
г — a
Эта новая функция также регулярна везде в В, кроме, может
быть, точки z = a, так как в этой точке знаменатель дроби B9)
обращается в нуль. Исключим эту точку кружком с центром а и
малым радиусом г, и пусть С? — окружность этого круга. В кольце,
ограниченном контурами / и Се, наша функция B9) будет регулярной
без всякого исключения, и, следовательно, согласно теореме Коши,
мы можем написать
В интеграле, стоящем справа, положим f(z)=f(a)-\-f(z) —
Тогда
или, в силу B8),
7| ФОРМУЛА КОШИ 35
Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство: интеграл,
стоящий в левой части формулы C0), и первое слагаемое правой
части не зависят от выбора радиуса е, поэтому можно утверждать,
что и второе слагаемое, стоящее справа, на самом деле не зависит
от е. Но мы сейчас докажем, что оно стремится к нулю, когда е-> 0.
Отсюда будет непосредственно следовать, что оно в точности равно нулю.
Применяя оценку из [4] и принимая во внимание, что при движе-
нии z по окружности Се с центром а, очевидно, \z — а \ = е, получим
max |/B)— f(a)\
- UlSi 2тие = max | f(z) — f(a) |. 2ir.
* на С
г— а
При беспредельном уменьшении е точки окружности z стремятся
к а, и максимум модуля разности тах|/(.г)—/(я)| будет стремиться
к нулю, т. е. действительно второе слагаемое правой части формулы
C0) стремится к нулю вместе с е, и по высказанным выше сообра-
жениям оно равно нулю. Таким образом формула C0) переписывается
в виде
Переменим несколько наше обозначение, а именно будем обозна-
чать через z' переменную интегрирования и через z — любую точку
внутри нашей области. При этом предыдущая формула примет вид
C1)
' — z
Эта формула Коши выражает значение регулярной функции
в любой точке z внутри области через ее значения на контуре
области. Интеграл, входящий в формулу Коши, содержит z под знаком
интеграла в качестве параметра и притом в чрезвычайно простой форме.
Точка z находится внутри области, а переменная точка интегри-
рования zf пробегает контур области. Таким образом, zr — z ф 0, и
интеграл, стоящий в формуле Коши, представляет собою интеграл от
непрерывной функции, и его можно дифференцировать по z под
знаком интеграла сколько угодно раз. Мы получаем, последовательно
дифференцируя,
и вообще при любом целом положительном п
36 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [7
Мы видим, таким образом, что регулярная функция имеет произ-
водные всех порядков, и эти производные выражаются через кон-
турные значения функции по формуле C2).
Докажем строго возможность дифференцировать под знаком интеграла
для определения f (z). Мы имеем
eiLC. т. dz;
2ni j (zr — z) (zr — z — Az)
I.Ill
/(z+Az)—/(z) _ 1 С f(z')
Yz 2ic? p (z'-zHz'-z-A*)**'
Если справа перейти к пределу при Az—>О под знаком интеграла, то мы
получим для этого предела выражение
Остается доказать возможность упомянутого предельного перехода под зна-
ком интеграла, т. е. надо доказать, что разность
/(*') dz, ЦС fV) м
стремится к нулю при Az—^0.
После элементарных преобразований получаем
Функция /(-гг), во всяком случае непрерывная на /, будет ограничен-
ной по модулю, т. е. |/B')|^М. Обозначим через 2d положитель-
яое число, равное кратчайшему расстоянию от точки г до контура /, т. в*
\г' — z\^z2d. Точка (z-\-kz) при Дг, близких к нулю, близка к г, а потому
\zr—(z + Az) | > d. Применяя обычную оценку интеграла, получим
где s — длина контура, откуда и вытекает, что 5—*0 при Az—*0. Совершенно
так же можно показать, исходя из формулы C21)> что f (z) также имеет
производную
Г W- 2те? J (z'~z)s г>
что и требовалось доказать.
ФОРМУЛА КОШИ
37
Формулы C1) и C2), как и теорема Коши, непосредственно при-
менимы и для многосвязной области, при этом надо только интегри-
ровать по всему контуру области в положительном направлении,
т. е. имея область слева.
Распространим теперь формулу Коши на случай бесконечной
области. Пусть f(z) регулярна в области В, образованной частью
плоскости, находящейся вне замкнутого контура /, и подчиняется
€ше дополнительному условию, а именно — при беспредельном уда-
лении точки z функция f(z) стремится
к нулю:
О при *-*оо. C3)
Покажем, что при этом также имеет место
формула Коши
_ 1 С f(z')
— 2ni J z' — z
dz\
C4)
Рис. 6.
причем направление интегрирования берется
так, чтобы область В (в данном случае часть
плоскости вне I) находилась слева. Для дока-
зательства проведем круг с центром в начале и с большим радиусом R.
Наша функция f(z) регулярна в кольце, ограниченном контуром / и
окружностью С# (рис. 6) проведенного круга, и мы имеем для любой
точки z внутри этого кольца
' v ' 2т Л г —
2ni
i \ г' — г
ОС*
C5)
Как и при доказательстве формулы Коши, мы убеждаемся, что
второе слагаемое в правой части по существу не зависит от выбора R,
и, следовательно, если мы докажем, что оно стремится к нулю при
беспредельном возрастании R, то отсюда будет следовать, что оно
тождественно равно нулю, и при этом формула C5) перейдет в фор-
мулу C4). Оценим второе слагаемое правой части формулы C5). При
этой оценке мы заменим модуль знаменателя \zr — z\ меньшей вели-
чиной, а именно разностью модулей \z'\ — \z\ — R— \z\. В результате
получится оценка вида
ИЛИ
38 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [7
При беспредельном возрастании R написанная дробь стремится
к 2тс, а первый из множителей max \f(z')\ стремится к нулю согласно
CR
условию C3). Таким образом, мы доказали формулу Коши для слу-
чая бесконечной области. Заметим, что из доказательства следует, что
условие C3) должно выполняться равномерно относительно z. Иными
словами, полностью это условие можно формулировать так: при лю-
бом заданном е существует такой RB, что \f(z)\<^e, если \z\^>Re.
Иногда приходится иметь дело с функциями, которые регулярны
внутри области и имеют определенные предельные значения при пере-
ходе на контур области, так что во всей замкнутой области они
являются функциями непрерывными, но про них нельзя все же утверж-
дать, что они регулярны в замкнутой области, т. е. что они остаются
регулярными и при расширении области. Заметим, что для таких
функций, регулярных в области и непрерывных в замкнутой обла-
сти, имеют место как теорема Коши, так и формула Коши.
Действительно, если мы сожмем немного контур, то функция станет
регулярной и на контуре, и, например, теорема Коши будет при-
менима, т. е. интеграл по контуру будет равен нулю. Если мы затем
будем непрерывно расширять контур с тем, чтобы он совпал со своим
первоначальным положением, то и в пределе интеграл по первоначаль-
ному контуру области будет тоже равным нулю. Здесь, конечно, воз-
можен переход к пределу, так как функция равномерно непрерывна
в замкнутой области.
Можно сказать, что почти все дальнейшие результаты настоящей
главы являются непосредственным следствием формулы Коши, и мы
много раз будем к ней обращаться. В настоящем номере мы при-
ведем два примера применения'этой формулы.
Проведем более подробно доказательство теоремы Коши для того слу-
чая, когда f (г) регулярна внутри круга |z|>/? с центром в начале и ра-
диуеом R и непрерывна в замкнутом круге \z\^R. Функция/(z) будет
регулярной в замкнутом круге \z\^Ru где Rt— любое положительное
число, меньшее R. Теорема Коши применима, и мы имеем
$ f(z)dz = Q.
\z\=Ri
На окружности этого круга z^R^ и dz = Rxiei(tefy , так что
Поскольку/^) равномерно непрерывна в замкнутом круге [1], можно дока-
зать возможность перехода к пределу под знаком интеграла при /?j—*/?
[И, 84], и в пределе получим
7J ФОРМУЛА КОШИ 39
или, переходя опять к переменной z, можем написать
что и требовалось доказать. Для контуров более сложного вида доказатель-
ство представляет большие трудности. Из теоремы Коши, как и выше, вы-
текает формула Коши для функций, регулярных внутри области и непре-
рывных в замкнутой области.
Пример I. Возьмем показательную функцию / (z) = ег. Она регулярна
на всей плоскости, и мы можем применить формулу C2), взяв за / любой
замкнутый контур, внутри которого находится точка z\
Берем за / круг с центром zr = z и некоторым фиксированным радиусом р.
Мы имеем
г' — z = Ре<>; е*' = е*е?cos * + /р 8in *; dz' =
подставляя в предыдущую формулу, получаем
2те
1 = n! f eP cos ср + /р sin <р - w ср ^
откуда
2те
2тс
С_Р!!_ С р? cos 9 + i (P sin <p -
Отделяя вещественную часть, получим выражение для определенного
интеграла довольно сложного типа:
\ е9 cos ^ cos (p sin <р — /wp) rfcp = 2тс -L-. C6)
Пример II. Рассмотрим рациональную дробь
где степень полинома ф (^) стоящего в знаменателе, выше степени полинома
<р (z). Такая функция удовлетворяет, очевидно, условию C3). Положим, кроме
того, что / есть замкнутый контур, содержащий внутри себя все корни поли-
нома ф (z). Мы можем утверждать после этого, что функция C7) регулярна
на части плоскости, находящейся вне контура /, и что к ней применима
формула Коши для бесконечной области. В этой формуле интегрирование
по / надо производить так, чтобы область, находящаяся вне /, была слева,
т. е. по часовой стрелке. Если же будем интегрировать против часовой
стрелки, то результат переменит знак, и будем, следовательно иметь
<U. C8)
(*¦) («•-*)
40 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [S
Обратим внимание на подинтегральную функцию в последнем интеграле.
Как функция от г' она перестает быть регулярной или, как говорят, имеет
особые точки внутри / там, где ^ (z) обращается в нуль. Точка z не является
особой, так как она находится вне контура / (внутри бесконечной области В).
Наличие упомянутых точек, являющихся корнями полинома ^ (z'), и приводит
к тому факту, что величина интеграла C8) по замкнутому контуру / оказы-
вается отличной от нуля.
8. Интегралы типа Коши. В формуле Коши C1) числитель
в подинтегральной функции представлял собою значение регулярной
функции f(z) на контуре /. При этом, согласно формуле Коши,
величина интеграла воспроизводила в точности функцию f(z) в точке*
находящейся внутри области. Будем рассматривать интеграл, стоящий
в формуле Коши, как некий вычислительный аппарат, и посмотрим,
что он будет давать, если мы в числитель его подинтегральной функ-
ции подставим какую-нибудь совершенно произвольно заданную
непрерывную функцию на контуре, про которую ничего не известна
больше того, что она задана и непрерывна на контуре. Обозначим
эту функцию через со (z'). Величина нашего интеграла будет, очевидно,
некоторой функцией от z:
Интеграл, стоящий справа, при сделанных общих предположениях
относительно функции (a(zr) называется интегралом типа Коши.
Мы можем, как и в предыдущем номере, дифференцировать по z
под знаком интеграла сколько угодно раз и получим формулы, ана-
логичные формулам C2):
И^Зйт"»'. D0)
т. е. F(z) есть во всяком случае регулярная функция внутри той
области В, которая ограничена замкнутым контур.ом /. Мы могли бы,
конечно, считать, что z находится и вне замкнутого контура /. При
этом наряду с формулой C9) мы опять имели бы формулу D0),
т. е. формула C9) и для точек z вне контура / определяет неко-
торую регулярную функцию. Если считать, что z находится на
самом контуре, то интеграл C9) теряет смысл, так как при
этом подинтегральная функция на контуре интегрирования обра-
щается в бесконечность. Предыдущие рассуждения приводят нас
к следующему результату: интеграл типа Коши C9) определяет
две регулярные функции — одну внутри контура I и другую вне
контура.
Заметим, что эти две регулярные функции будут, вообще говоря,
различными. Чтобы пояснить это обстоятельство, рассмотрим наи-
¦gl ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ 41
более простой случай, а именно тот случай, когда «плотность»
в интеграле типа Коши со (У) совпадает со значениями на контуре
функции /(г), регулярной в замкнутой области, ограниченной кон-
туром /. Итак, пусть u)(z')=f(z') есть функция, регулярная в за-
мкнутой области, ограниченной контуром /. Если z находится внутри /,
то применима формула Коши C1), и интеграл типа Коши
дает нам внутри контура функцию f(z). Положим теперь, что z
находится вне контура /, и рассмотрим подинтегральную функцию
в интеграле D1) как функцию от z\ Ее числитель f(z') регулярен
внутри и на /, а ее знаменатель zr — z не обращается в нуль внутри
и на /, так как z находится по условию вне /. Следовательно, мы
можем применить теорему Коши и утверждать, что величина инте-
грала D1), если z находится вне /, равна нулю, т. е. в рассматри-
ваемом случае интеграл типа Коши D1) дает /(г), если z внутри /,
и нуль, если z вне /.
Вернемся опять к формуле Коши C1). В этой формуле «плотность»
интеграла типа Коши f(z') совпадала со значениями самой функции
f(z) на контуре /. В общем случае интеграла типа Коши C9), если
<q(zf) задается как произвольная непрерывная функция на контуре /,
это обстоятельство, конечно, не будет иметь места. Для формулы C9)
мы должны различать две функции: функцию f\(z\ определенную
формулой C9) внутри /, и функцию Л (г), определенную вне /.
Если z стремится к некоторой точке z\ лежащей на контуре /
изнутри, то возникает вопрос — будет ли вообще f\(z) стремиться
к пределу и как этот предел будет связан со значением ш(г').
Такой же вопрос можно поставить и для функции /а (г), если г стре-
мится к zf извне контура. В настоящей главе мы не будем заниматься
этим вопросом. При некоторых дополнительных предположениях пре-
дельные значения функций f\(z') и fi(zf) наверно будут существо-
вать, но их связь с ш (У) представляется довольно сложной. Разность
этих предельных значений, т. е., точнее говоря, разность предела
f\(z) и предела f%(z) при стремлении z к z' по нормали к кривой /
будет равна в точности ш(г'). Это правило подтверждается на част-
ном примере интеграла типа Коши вида D1). Здесь внутреннее пре-
дельное значение будет f(z') и внешнее — нуль.
Интегралами типа Коши нередко пользуются при аналитическом
представлении функций. Заметим, что это представление многозначно,
т. е., точнее говоря, можно одну и ту же функцию представить
различными интегралами типа Коши. Покажем это на примере. Пусть
I — замкнутый контур, содержащий начало z = 0 внутри себя, и
определим внутри / регулярную функцию, равную тождественно нулю.
Она, конечно, может быть представлена интегралом типа Коши C9)
42 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [9
с «плотностью» о)B') = 0. Покажем, что эту функцию, т. е. нуль,
можно представить интегралом типа Коши с «плотностью» а)(,г/) = —•
Действительно, рассмотрим интеграл
и покажем, что он равен нулю при любом положении z внутри /,
причем напомним, что по условию начало также находится внутри /.
Разлагая рациональную дробь на простейшие, можем написать
z' (z' — z) zz' ' z(zr — z)
и, следовательно,
dz' , 1 f dz'
z —z
Принимая во внимание пример из [6], получим
Итак, интеграл типа Коши D2) дает также нуль внутри /. До-
бавляя этот интеграл к некоторому интегралу типа Коши C9), даю-
щему регулярную функцию F(z), мы получим другой интеграл типа
Коши, дающий ту же самую функцию F(z). Таким образом, из равен-
ства двух интегралов типа Коши
) D3)
при всяком z внутри / нельзя все же заключить, что «плотности»
этих интегралов совпадают. Но это будет так, если мы наложим на
«плотности» некоторые добавочные условия. Так, например, имеет
место следующая теорема Гарнака: если (^(г') и щ(г') — непрерыв-
ные вещественные функции и / есть окружность, то равенство D3)
равносильно тождеству a)x (zf) = щ (У).
В конце этой главы мы рассмотрим вопрос о предельных зна-
чениях интегралов типа Коши при приближении к контуру области.
9. Следствия формулы Коши. Пусть f(z) — функция, регуляр-
ная в замкнутой области В с контуром / или регулярная внутри
области и непрерывная в замкнутой области. Рассмотрим регулярную
функцию [f(z)]n, где п — некоторое целое положительное число, и
применим к этой функции формулу Коши:
СЛЕДСТВИЯ ФОРМУЛЫ КОШИ 43
Пусть М — максимум модуля |/(^0| на контуре /, и обозначим
через Ь минимум модуля \zf — z\, т. е. наименьшее расстояние
точки z от контура /.
Применяя обычные оценки, будем иметь
где 5 — длина контура /. Предыдущее неравенство можно перепи-
сать так:
1
При стремлении целого положительного числа п к бесконечности
получаем в пределе неравенство
|/(*)|<Л1, D4)
т. е. если f(z) — функция, регулярная в области и непрерывная
в замкнутой области, то максимум ее модуля достигается на
контуре, т. е. ее модуль в любой внутренней точке области не
больше, чем максимум ее модуля на контуре.
Можно показать, что в формуле D4) может иметь место знак
равенства только в том случае, когда f(z) есть постоянная. Дока-
занное выше свойство называется обычно принципом модуля.
Перейдем теперь ко второму следствию из формулы Коши.
Функция ez или полином от z дают примеры функций, регулярных
на всей плоскости. Покажем, что такие функции не могут быть
ограничены по модулю, за исключением того неинтересного случая,
когда f(z) есть постоянная величина. Иными словами, имеет место
следующая теорема, которая называется обычно теоремой Лиувилля:
если f(z) регулярна на всей плоскости и ограничена, т. е. суще-
ствует такое положительное число N, что при всяком z
то f(z) есть постоянная.
Применим формулу Коши для f(z):
1 \Z) —— ~~с\ ~ \ Z I \о CLZ »
' v ' 2rci J (z —zf
Так как f(z) регулярна на всей плоскости, то за контур / мы
можем взять любой контур, содержащий z внутри себя. Возьмем
за / окружность с центром z и некоторым радиусом /?, который мы
ватем будем беспредельно увеличивать. Мы имеем, очевидно,
44 ГЛ. 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [10
и, следовательно,
max|/(*')|
Принимая во внимание D5), получаем следующую оценку:
Левая часть этого неравенства не зависит от выбора /?, а правая
стремится к нулю при беспредельном возрастании R. Отсюда непо-
средственно следует, что /*(,?) = О, и, следовательно, f(z) есть по-
стоянная [6].
В связи с теоремой Лиувилля отметим, что функция /(г) = cos г,
регулярная на всей плоскости, остается ограниченной при вещест-
венном z, но, например, при чисто мнимых значениях z=yi она
равна (е"у -f- ey): 2, откуда видно, что она стремится к бесконечности
при |j/|->oo.
Пользуясь теоремой Лиувилля, нетрудно доказать основную тео-
рему алгебры: всякий полином
f(z) = zn-\- axzn~x +... + an_xz -f an
имеет по крайней мере один корень. Доказываем от противного.
Предположим, что написанный полином не имеет ни одного корня,
т. е. не обращается в нуль на всей плоскости z. Составляем функцию
1 1
регулярную по предположению на всей плоскости. При \z\->oot
как видно из ее выражения, она стремится к нулю, и, следовательно,
существует такое /?^>0, что |ср(,г)|^1 при \z\^R, а в круге
|^|^R она, как непрерывная функция, ограничена, т. е. \y(z)\^M
при \z\^R, где М — определенное число. Следовательно, регуляр-
ная на всей плоскости функция ср(^) ограничена, и, следовательно,
по теореме Лиувилля, ср(,г) есть постоянная. Из |cp(z)|->0 при
|<г|~^оо следует, что эта постоянная равна нулю, т. е. ср(г) = О,
а это противоречит тому, что ср(г) есть частное от деления единицы
на полином.
10. Изолированные особые точки. Мы обращаемся теперь к
исследованию возможных изолированных особых точек регулярных
функций. Положим, нам известно, что f(z) однозначна и регулярна
лишь в окрестности точки z = a. Например, функции fx(z) = -j и
10] ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 45
f(z)=ez на всей плоскости, кроме 2 = 0, регулярны, а в точке
z = 0 уже не регулярны и даже теряют непрерывность. Особые
точки указанного выше типа называются изолированными особыми
точками. Мыслимы три случая: 1) при всех значениях z, близких
к а, функция f(z) ограничена; 2) |/(г)|->оо при z-+a; 3) f(z) не
остается ограниченной при z, близких к а, но |/(<z)| и не стремится
к оо при z—> а. Примером для второго случая является fx(z) = —
1
в точке z = 0. Примером для третьего случая является f^(z) = e z.
Эта функция стремится к нулю, если zy принимая отрицательные
значения, стремится к нулю, т. е. z-+—0, и /2 (z) -> -f- °°> если
Остается рассмотреть первый случай. Мы докажем, что в этом
случае f(z) стремится к определенному пределу при z-+ а, и если
этот предел принять за f(a), то f(z) будет регулярной и в самой
точке z = a.
Действительно, окружим точку 2 = а двумя окружностями ради-
усов р и R с центрами z — a, причем р<^/?. Если z находится вну-
три кольца, образованного этими окружностями, то по формуле Коши
мы будем иметь
-Я
Покажем теперь, что второе слагаемое в правой части стремится
к нулю, если р стремится к нулю. Отсюда, как и при доказатель-
стве формулы Коши, будет вытекать, что это второе слагаемое просто
равно нулю. Условие ограниченности модуля функции f(z) в окрест-
ности z — а дает нам \f(z)\^N, где N—некоторое положительное
число.
Мы имеем zf — z = (zf — а) — (z — а); заменим модуль этой раз-
ности меньшей величиной:
причем \zf—я| = р на Ср. Таким образом, имеем для упомянутого
слагаемого следующую оценку:
I 1 С /(*')
г' — z
dz'
\z — a\ — p г \z-a\-\
отсюда непосредственно и следует, что это слагаемое стремится к
нулю при р->0. Таким образом, предыдущая формула дает нам
46 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [10
т. е. при всех z, близких к a, f(z) выражается интегралом типа
Коши и, следовательно, f(z) представляет собою функцию, регуляр-
ную везде, включая и точку z = a.
Особые точки второго типа называются полюсами, т. е. если f(z)
однозначна и регулярна в некоторой окрестности z = a и
|/(<г)|~>оо при z-+a, то точка z = a называется полюсом f(z).
Особые точки третьего типа называются существенно особыми точ-
ками, т. е. если f(z) однозначна и регулярна в окрестности
точки z = a, но не ограничена в этой окрестности и \f(z)\ не стре-
мится к бесконечности при z-+a, то точка z = a называется
существенно особой точкой f(z).
Докажем одну теорему, касающуюся значений функции в окрест-
ности существенно особой точки. Она впервые была доказана
Ю. В. Сохоцким.
Теорема. Если z = a — существенно особая точка f(z), то
при изменении z в произвольном малом круге с центром z = a
есть значения f(z\ сколь угодно близкие к любому наперед задан-
ному комплексному числу.
Утверждение теоремы заключается в следующем. Пусть ? — про-
извольное заданное комплексное число и е — произвольное заданное
положительное число. При этом в любом малом круге с центром а
существуют такие точки z, в которых \f(z) — т1<С?- Будем дока-
зывать теорему от обратного. Пусть существует такое комплексное
число р, что во всех точках некоторого круга С с центром а выпол-
няется неравенство \f(z) — ф\^т, где т — некоторое положитель-
ное число. Составим новую функцию:
Она регулярна в круге С (кроме, может быть, z = a) и ограни-
чена по модулю:
Следовательно, по доказанному выше, она регулярна и в точке
z = а, и значит при z->a функция ср(г) стремится к конечному
пределу. При этом
при 2->а также должна была бы стремиться к конечному пределу,
если предел срB) отличен от нуля, или к бесконечности, если пре-
дел ср(г) равен нулю, но обе эти возможности противоречат опре-
делению существенно особой точки.
Можно доказать более точную теорему, а именно:
Теорема Пикара. Если z = a — существенно особая точка
f(z), то в любом сколь угодно малом круге с центром а функ-
Ц] БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ 47
ция f(z) принимает бесчисленное множество раз всякое комплекс-
ное значение, кроме, может быть, одного.
Доказательство этой теоремы гораздо более сложно, чем дока-
зательство предыдущей теоремы, и мы не будем его приводить.
Мы только проверим теорему для функции ег, имеющей 2 = 0
существенно особой точкой.
Возьмем любое комплексное число а, отличное от нуля, и напи-
шем уравнение:
J
Вспоминая правило логарифмирования комплексного числа, полу-
чим корни уравнения D6):
1
Z
где ср — аргумент числа а, заключающийся в промежутке @, 2тс), и
k — любое целое число. Беря его сколь угодно большим по абсо-
лютной величине, будем получать корни уравнения D6), сколь угодно
1
близкие к нулю. Таким образом, функция ez в любом сколь угодно
малом круге с центром в начале принимает бесчисленное множе-
ство раз любое наперед заданное значение, кроме нуля. Нетрудно
показать, что функция sin— в любом круге с центром в начале при-
нимает бесчисленное множество раз любое комплексное значение без
всякого исключения.
Полюсы и существенно особые точки являются изолированными
особыми точками, т. е. в некоторой окрестности этих точек функция
регулярна. В дальнейшем при исследовании многозначных функций
мы встретимся еще с одним типом изолированных особых точек,
а именно с точками разветвления.
11. Бесконечные ряды с комплексными членами. Выяснив
основные вопросы, связанные с понятием об интеграле, перейдем
к рассмотрению бесконечных рядов. Пусть имеется бесконечный ряд
с комплексными членами
(*1 + tbi) + (a, + ih) +... + (ап + ibn) +... D7)
Он называется сходящимся, если сумма его первых п слагаемых
Sn = (al + at + ... + an) + i(b1 + bi-\~... + bn) D8)
стремится к конечному пределу при беспредельном возрастании п.
Из этого определения непосредственно следует, что ряд D7) будет
Сходящимся тогда и только тогда, когда будут сходиться ряды
с вещественными членами
J-..., D9)
48 ГЛ. I, ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [11
составленные из вещественных и мнимых частей членов ряда D7).
Если обозначить через А и В суммы рядов D9), то конечная сумма D8)
будет, очевидно, стремиться к пределу А-\-1В> который и будет
представлять собою сумму ряда D7).
Выясним теперь понятие об абсолютной сходимости ряда D7).
Заменяя в ряде D7) каждый член его модулем, получим ряд с по-
ложительными членами
+ ... E0)
Покажем, что если этот ряд сходится, то и основной ряд D7)
также сходится. Действительно, из очевидного неравенства
^ki и \ьп\
непосредственно следует [I, 120 и 124], что из сходимости ряда E0)
вытекает сходимость (даже абсолютная) рядов D9) и, следовательно,
сходимость ряда D7).
Если ряд E0) сходится, то сходящийся ряд D7) называется
абсолютно сходящимся. Такие абсолютно сходящиеся ряды обла-
дают свойствами, аналогичными свойствам абсолютно сходящихся рядов
с вещественными членами.
Если ряд D7) сходится абсолютно, то, как мы только что видели,
ряды D9) сходятся абсолютно, и их сумма не зависит от. порядка
слагаемых [I, 137]. Следовательно, то же самое можно сказать и о
сумме ряда D7).
Совершенно так же, пользуясь рассуждениями,, аналогичными рас-
суждениям из [I, 138], можно доказать и теорему об умножении абсо-
лютно сходящихся рядов, а именно: если имеются два абсолютно
сходящихся ряда с комплексными членами:
то ряд
абсолютно сходится и его сумма равна ST. На подробном доказа-
тельстве этой теоремы мы не останавливаемся. Поскольку для комп-
лексного переменного справедлив признак Коши существования пре-
дела, то этот признак, как и для вещественного переменного [I, 126]»
дает необходимое и достаточное условие сходимости ряда с комплекс-
ными членами, а именно: для сходимости ряда D7) необходимо
и достаточно, чтобы при любом заданном положительном е суще»
ствовало такое положительное N, что
если только n^>N и р — любое целое положительное число.
11] БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ 49
Перейдем теперь к рассмотрению рядоз с переменными членами,
т. е. рядов, члены которых содержат переменное z:
И1(г) + иа(г) + ... E1)
Если такой ряд сходится при всех значениях z, принадлежащих
некоторой области В (или некоторой кривой /), то говорят, что
ряд E1) сходится в области В (или на кривой /).
Введем теперь понятие о равномерной сходимости совершенно так
же, как мы это делали для случая вещественного переменного [I, 143].
Ряд E1) называется равномерно сходящимся в области В (на кри-
вой /), если при любом заданном положительном г существует
положительное N, одно и то же для всех z, находящихся в В
{на /), такое, что
"*(*)
О E2)
если только n^>N и р — любое целое положительное число. Рав-
номерно сходящиеся ряды в случае комплексного переменного обла-
дают теми же свойствами, что и равномерно сходящиеся ряды вещест-
венного переменного [I, 146]. Мы приведем два основных свойства,
которые доказываются совершенно так же, как и в случае вещест-
венного переменного.
Если члены ряда E1) суть непрерывные функции z в некоторой
области В (на кривой /), и ряд сходится равномерно в этой области
(на этой кривой), то и сумма ряда будет непрерывной функцией.
Если ряд E1), состоящий из непрерывных функций, сходится рав-
номерно на некоторой кривой /, то его можно интегрировать вдоль
этой кривой почленно.
Укажем, наконец, достаточное условие абсолютной и равномерной
сходимости ряда E1), совершенно аналогичное тому, которое мы имели
и в случае вещественного переменного [I, 147]. Если для всех z из
области В (на кривой /) члены ряда E1) удовлетворяют неравен-
ствам
\uk(z)\^mk (k=\, 2, ...),
где mk — положительные числа, образующие сходящийся ряд, то
ряд E1) сходится в области В (на кривой /) абсолютно и равномерно.
Отметим еще одно обстоятельство, непосредственно вытекающее
из предыдущего, а именно, если ряд E1) сходится равномерно на
некоторой кривой / и если мы умножим все его члены на некоторую
функцию v(z), которая на этой кривой остается ограниченной по мо-
дулю, например непрерывна, то и новый ряд будет равномерно схо-
дящимся. Действительно, в результате такого умножения мы вместо
ряда E1) будем иметь ряд
50
ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[12
где \v(z)\<^N. Из неравенства E2) непосредственно вытекает для
нового ряда
л + р
2 uk{z)v{z)
откуда и следует равномерная сходимость этого ряда, так как TV—
определенное положительное число и е— сколь угодно малое при
больших п.
Выяснив простейшие понятия, относящиеся к рядам с комплекс-
ными членами, мы переходим теперь к доказательству основной
теоремы, касающейся рядов, члены которых суть регулярные функ-
ции от z.
12. Теорема Вейерштрасса. Если члены ряда E1) суть регу-
лярные функции в некоторой замкнутой области В с контуром I
и этот ряд равномерно сходится на контуре I, то он равномерно
сходится во всей замкнутой области В, его сумма есть регуляр-
ная функция внутри области В и этот ряд можно почленно
дифференцировать сколько угодно раз.
Обозначим через zr переменную точку контура /. Ряд
щ (/) + щ (z*) +... E3)
по условию равномерно сходится, и, следовательно, мы имеем нера-
венство вида
л-ьр
(при n^>N и любом
Написанная конечная сумма регулярных функций есть также регу-»
лярная функция в замкнутой области В, и, следовательно, согласно
принципу модуля, из предыдущего неравенства вытекает такое же
неравенство, справедливое для всей области [9]:
(при n
и любом
откуда и следует, что ряд E1) равномерно сходится во всей замкну-
той области.
Обозначая сумму ряда E3) через <р (zr) (непрерывная функция на /),
помножим все члены ряда на
1 1
где z — некоторая точка внутри области В:
— _L ffj_(?_r> - 1
-z 2тс/ z' —
g + •«
12) ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА 61
Этот ряд также равномерно сходится на контуре /, и, интегрируя
его по этому контуру почленно, будем иметь
2-nt
J z—z 2izl J z—z ' 2т:/ J 2' —
Но для регулярных функций щ(г) мы имеем формулу Коши, и,
следовательно, последнюю формулу можем переписать в виде
Отсюда видно, что сумма ряда E1) внутри области В представ-
ляется интегралом типа Коши и, следовательно, есть регулярная функ-
ция. Обозначим эту сумму через cp(z):
— 2nl } (z' — z)m+iaZ ~^~Ъп ) (z' — z)m+luZ I""-
Заметим, что из доказанной выше равномерной сходимости ряда E1)
во всей замкнутой области В следует, что <р(,г) будет непрерывной
в замкнутой области В, и формула E4) представляет собою просто
формулу Коши для этой функции ср(,г).
Остается только доказать возможность почленного дифференциро-
вания ряда E1) сколько угодно раз. Для этого помножим E3) на
т\ 1
где т — некоторое целое положительное число, и проинтегрируем по /:
2ni
i
В силу формулы Коши и формулы E4) можем записать последнее
выражение в виде
<рИ) ^) = ц(т) (z) -j- uSm) (z) -j- ..., E5)
что и доказывает возможность почленного дифференцирования ряда т
раз внутри области. В следующем номере мы применим эту теорему
к рядам частного типа, с которыми и будем иметь почти исключи-
тельно дело в дальнейшем, а именно к степенным рядам.
Замечание 1. Пользуясь обычной оценкой интегралов, нетрудно
убедиться, что ряд E5), составленный из производных, равномерно
сходится во всякой области Blf которая вместе со своим кон-
туром лежит внутри В. Образуем для ряда E5) обычное выражение
Я + Р
52
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[12
Пользуясь представлением производной по формуле Коши, получим
Пусть S — кратчайшее расстояние от контура 1Х области Вх до
контура / (рис. 7). Применяя к написанному интегралу обычную
оценку, получим
п + Р
m\S
2пЪт+1'
где 5 — длина контура /. Ввиду равномерной сходимости ряда E3),
последний множитель правой части будет сколь угодно малым при
больших п, что и дает равномерную сходимость ряда E5). Так же
нетрудно показать, что если В — одно-
, связная область, то ряд, полученный
w почленным интегрированием:
где а — некоторая точка из Д сходит-
ся равномерно в В [ср. I, 146]. Члены
Рис. 7. этого ряда — регулярные, однозначные
в В функции от z [в].
Замечание 2. Мы могли бы формулировать теорему Вейер-
штрасса, пользуясь не рядами, а последовательностями функций [I, 144];
если имеется последовательность sk(z) (А=1, 2, ...) функций, регу-
лярных в замкнутой области В с контуром /, и эта последовательность
равномерно стремится к пределу на контуре /, то она равномерно
стремится к пределу и во всей замкнутой области В, предельная
функция s(z) регулярна внутри В и при всяком целом положитель-
ном т имеем внутри В
lim s{f)(z) = s{m)(z).
13. Степенные ряды. Степенным рядом называется ряд вида
ae + fli(* — ft) + fli(* —»}¦ + ..., E6)
где ak и Ъ — заданные числа. Выясним прежде всего область сходи-
мости ряда E6). Для этого докажем следующую теорему:
Теорема Абеля. Если ряд E6) сходится в некоторой точке,
z = z§} отличной от z = bt то он сходится абсолютно во всякой
точке z, которая ближе к Ь, чем z0, т. е.
|3| СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 53
и сходится равномерно во всяком круге с центром Ъ и радиусом р,
меньшим \zo — b\ (рис. 8).
Из условия теоремы следует, что ряд
сходится, и, следовательно, его общий член стремится к нулю при
беспредельном возрастании номера. Мы можем поэтому утверждать,
что существует положительное число N такое, что при всяком k
Рассмотрим теперь некоторый круг Ср с центром b и радиусом р,
меньшим, чем \z0 — b\, так что величину этого радиуса мы можем
обозначить через р = б | z0 — b\, где 0 <^ в <М.
Для всякого z, принадлежащего этому кругу
Ср, мы имеем
\ Z u\^~:V \ Zq U\, (^О)
Оценим в круге Ср члены ряда E6). В силу
E7) и E8) можно написать
i — л k . ,Л.
Рис. 8.
откуда непосредственно следует, что в круге Ср
члены ряда E6) по модулю меньше членов
убывающей геометрической прогрессии, состав-
ленной из положительных чисел, т. е. ряд E6) сходится в круге Ср
абсолютно и равномерно. Очевидно, что всякую точку z, которая
расположена ближе к Ь, чем z0> мы можем считать находящейся
в некотором круге Ср, и, следовательно, по доказанному во всякой
такой точке ряд E6) сходится абсолютно. Теорема Абеля доказана
полностью. Выясним теперь некоторые следствия этой теоремы.
Следствие I. Если ряд E6) расходится в некоторой~точке z = Z\r
то он, очевидно, расходится и во всякой точке, которая отстоит от &
дальше, чем Z\. Действительно, если бы он сходился в такой точке,
то по теореме Абеля он должен был бы сходиться и в точке z±.
Мы можем, таким образом, сказать, что для ряда E6) имеет место
следующий факт: из его сходимости в некоторой точке следует
его абсолютная сходимость внутри окружности, проходящей через
эту точку и имеющей центр Ь, и из его расходимости в неко-
торой точке — его расходимость вне окружности, проходящей
через эту точку и имеющей центр Ь.
Может случиться, что ряд E6) сходится на всей плоскости z,
а также что он сходится только при z — b. В последнем случае
он сводится к одному слагаемому а0. Если исключить эти случаи,
то из сказанного выше следует [ср. 1, 148], что для всякого ряда
54 ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [13
E6) существует такое положительное число /?, что ряд сходится
абсолютно при \z — b\<^R и расходится при \z — b\^>R, причем
во всяком круге радиуса, меньшего /?, т. е. при \ z — Ь | ^ 0/?,
0<[8<Ч, сходимость ряда E6) равномерная. Число R называется
радиусом сходимости ряда E6). В исключенных выше двух случаях
считают обычно R = оо (сходимость на всей плоскости) или R = О
(сходимость только в точке z = b). При R = co сходимость на всей
плоскости абсолютная и во всяком конечном круге равномерная.
Заметим, что предыдущее рассуждение не дает нам равномерной
сходимости во всем круге сходимости, но лишь в любом концен-
трическом круге меньшего радиуса. Мы будем выражать этот факт,
говоря просто, что ряд E6) равномерно сходится внутри своего
круга сходимости. Вообще будем называть какой-либо ряд равно-
мерно сходящимся внутри области В, если ряд равномерно
сходится в любой замкнутой области В\ лежащей вместе
со своим контуром внутри В. Отметим, что из приведенного выше
доказательства следует, что и ряд с общим членом \ak(z— b)k\
равномерно сходится внутри круга сходимости ряда E6).
Следствие II. Из равномерной сходимости ряда E6) и теоре-
мы Вейерштрасса [12] следует, что сумма ряда есть регулярная
функция внутри круга сходимости и что этот ряд можно почленно
дифференцировать сколько угодно раз внутри упомянутого круга.
Как равномерно сходящийся ряд его можно и почленно интегри-
ровать. Кроме того, в силу абсолютной сходимости степенные ряды
вида E6) можно перемножать как полиномы внутри того круга, где
они оба сходятся.
Из предыдущего непосредственно вытекает, что почленное инте-
грирование и дифференцирование ряда E6) не нарушают во всяком
случае его сходимости внутри круга сходимости, т. е. ряды
a3(z — b? + ..., E9)
^z-b? + ... E9,)
имеют радиус сходимости во всяком случае не меньший, чем ряд E6).
Нетрудно видеть, что этот радиус сходимости рядов E9) не может
быть и больше, чем радиус сходимости R ряда E6). Действительно,
положим, например, что радиус р сходимости ряда E90 будет
больше /?, т. е. что р^>Я Дифференцируя этот ряд, мы, как только
что упомянули, не уменьшаем его радиуса сходимости и возвращаемся
к ряду E6), и, следовательно, p^R, что противоречит р^>/?. Мы
можем, таким образом, утверждать, что почленное дифференцирование
и интегрирование ряда E6) не меняют его радиуса сходимости.
Отметим в заключение, что во всем предыдущем ничего не говорилось
о сходимости ряда E6) на самой окружности \z — b \ = R его круга
сходимости. Этот вопрос мы рассмотрим несколько позже.
РЯД ТЕЙЛОРА
бб
14. Ряд Тейлора. Выше мы видели, что сумма ряда E6) есть
регулярная функция внутри круга сходимости этого ряда. Докажем
теперь обратное предложение: всякая функция f(z\ регулярная в не-
котором круге \z — Ь |<[R с центром Ь, может быть представ-
лена внутри этого круга степенным рядом
вида E6), и такое представление единст-
венно.
Возьмем какую-нибудь фиксированную
точку z внутри круга \z — Ь | <^ R. Про-
ведем окружность'С/^ с центром Ь и радиу-
сом /?!, меньшим R, но таким, чтобы z за-
ключалась внутри C/?j (рис. 9). Мы можем
выразить f(z) по формуле Коши, интегрируя
по CRl:
F0)
Рис. 9.
На С/?! мы имеем \z*—b\ = Rl9 а, с другой стороны, \z — Ь |< Ru
поскольку z лежит внутри Сдг Пользуясь формулой для суммы чле-
нов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можем написать
z' — z
z' —
1-
г — Ь / | (zr — b)k
F1)
причем для модулей членов этого ряда имеем
z — b
z' — b
и из предыдущего вытекает, что 0^^<[1. Таким образом, беско-
нечный ряд F1) сходится равномерно относительно z\ находящегося
на С/?г Умножая обе его части на
1
и интегрируя по С^ почленно, получим в силу формулы F0)
оо
или
а
А «0
F2)
Об ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [14
где в силу формулы Коши [7]
B'_?)*+г<**'= ?j » F2t)
т. е. значение f(z) в любой точке внутри круга \z — b\<^R, где
f(z) регулярна, представляется рядом Тейлора:
. F3)
Покажем теперь, что представление f(z) степенным рядом един-
ственно. Положим, что внутри некоторого круга с центром Ь функ-
ция f(z) представима рядом вида F2). Покажем, что коэффициенты ak
определяются единственным образом, а именно они должны быть коэф-
фициентами Тейлора. Действительно, полагая в F2) z = b, получим
ao=f(b). Продифференцируем степенной ряд F2):
Полагая z = b, получим ai = f(b). Продолжая так и дальше, полу-
чим вообще
и разложение F2) должно совпадать с рядом Тейлора F3). Таким
образом, если мы какими-либо двумя способами получили разложение
одной и той же функции в степенной ряд по целым положительным
степеням (z — b\ то коэффициенты в обоих этих разложениях при
одинаковых степенях (z — b) должны быть равными.
Предыдущие рассуждения показывают, что ряд Тейлора F3)
функции f(z) сходится внутри такого круга с центром Ь, внутри
которого f(z) регулярна, и внутри этого круга сумма этого ряда
Тейлора равна f{z).
Из выражения коэффициентов ряда Тейлора непосредственно
вытекает оценка величины этих коэффициентов. Пусть R — радиус
сходимости ряда F2). Возьмем в формуле F2^ за Crx окружность
с центром в точке b и радиусом (R — е), где е — фиксированное
малое положительное число. На этой окружности наша функция f(z)
регулярна, и ее модуль не превышает некоторого положительного
числа М, и кроме того, очевидно, \zf — b\ = R — г. Обычная оценка
интеграла дает
I «*
Число е можно брать сколь угодно близким к нулю, но, очевидно,
значение числа М зависит от выбора е.
|5]
РЯД ЛОРАНА 57
Применим теорему Вейерштрасса, доказанную в [12], к случаю-
степенных рядов. Пусть имеются функции, регулярные внутри неко-
торого круга С/? с центром Ь\
и положим, что ряд
2 я* (г)
равномерно сходится внутри этого круга. При этом, согласно теореме
Вейерштрасса, его сумма будет также регулярной .функцией внутри
этого круга и буЬет, следовательно, представляться степенным рядом
— bf-\- ....
Мы можем, согласно теореме Вейерштрасса, почленно дифферен-
цировать этот ряд сколько угодно раз. Совершая дифференцирование
и полагая затем z = b, получим следующие выражения для коэффи-
циентов суммы ряда:
т. е. при сделанных предположениях эти бесконечные ряды склады-
ваются, как обычные полиномы:
16. Ряд Лорана. Нетрудно получить результаты, аналогичные
предыдущим, и для степенных рядов более общего типа:
., F5)
содержащих не только целые положительные, но и целые отрица-
тельные степени (z — b). Ряд вида F5) называется обычно рядом
Лорана. Займемся прежде всего вопросом определения его области
сходимости. Ряд F5) состоит из двух рядов:
и нам надо определить ту область, где оба последних ряда сходятся;
она и будет областью сходимости ряда F5). Ряд F6^ есть обычный
58 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [15
степенной ряд рассмотренного выше типа, и его область сходимости
есть некоторый круг с центром в Ь. Пусть это будет круг
\z — b\<^R\. Для рассмотрения ряда F6%) введем вместо z новую
переменную zf по формуле zr — (z— b)~K После этого ряд (бб2) пре-
вратится в обычный степенной ряд вида
Его область сходимости на плоскости / есть некоторый круг
с центром в начале (роль числа Ь играет нуль). Обозначим радиус
этого круга через ^-, так что область сходимости последнего ряда
будет |<г'1<Г"Б"> или гл^^* Возвращаясь к прежней переменной г,
*\ 2 I 2 I
получим область сходимости вида \z — b\^>R%. Таким образом,
область сходимости всего ряда F5) определяется двумя неравенствами:
|*-ft|<Ri, |*-6|>Я* F7)
Первое неравенство определяет внутреннюю часть круга с цен-
тром Ь и радиусом /?!, и это есть область сходимости ряда F6{).
Второе из неравенств F7) определяет часть плоскости, находящуюся
вне круга с центром Ь и радиусом /?2, и это есть область сходи-
мости ряда (бб2). Если Ri^Rv то неравенства F7) не определяют
никакой области. Если Ri^>R<i> то неравенства F7) определяют кру-
говое кольцо
F8)
ограниченное концентрическими окружностями с центром Ь, радиу-
сами R2 и /?1# Таким образом, область сходимости ряда вида F5)
есть круговое кольцо F8).
Выше мы разбили ряд F5) на два степенных ряда, и из теории
степенных рядов непосредственно следует, что ряд F5) сходится
внутри своего кольца сходимости абсолютно и равномерно, сумма
ряда есть регулярная функция и ряд можно почленно дифференци-
ровать. Заметим, что в неравенстве F8)} определяющем размеры
кольца, внутренний радиус /?2 может оказаться равным нулю, и при
этом ряд F5) будет сходиться при всех zy достаточно близких к Ь.
Точно так же внешний радиус Ri может оказаться равным беско-
нечности, и при этом ряд F5) будет сходиться при всех z, удовле-
творяющих условию \г — b\*^>Rb Если кольцо определяется нера-
венством 0 <^ \z — b | <[ оо, то ряд F5) сходится на всей плоскости z
за исключением точки z = b.
Отметим еще, что часть ряда Лорана F5), содержащая положи-
тельные степени (z — b), сходится не только в кольце F8), но везде
внутри внешней окружности, т. е. при \z — b\<^Ru а часть ряда,
содержащая отрицательные степени (z — b), сходится везде вне внут-
15]
РЯД ЛОРАНА
ренней окружности, т. е. при \г —b\^>R^. Если, например, в ряде
конечное число членов с отрицательными степенями, то обязательно
#а = 0, а если конечное число членов с положительными степенями,
то обязательно Rl = oo. Отметим еще раз, что мы рассматриваем
только такие ряды Лорана, для которых R%<^R\, ибо в против-
ном случае у них нет никакой области схо-
димости.
Совершенно так же, как и для степен-
ных рядов, докажем предложение, обратное
предыдущему, а именно: если f(z) регулярна
внутри кольца F8), то она может быть
представлена внутри этого кольца рядом
Лорана и притом единственным образом.
Немного сжимая внешнюю окружность
кольца и немного расширяя внутреннюю
окружность, мы можем считать, что f(z)
регулярна и на обоих контурах кольца.
Обозначим эти контуры через С#2 и Crv Для любой точки z внутри
кольца будем иметь формулу Коши (рис. 10):
Рис. 10.
При интегрировании по окружности
z — b
мы имеем
z' — b
и так же, как и при выводе формулы Тейлора, можем представит*
дробь, входящую под знак интеграла, в виде ряда, равномерно схо-
дящегося на окружности С^:
Z' — i
Умножая на
G0)
и интегрируя по С^, мы получим для первого слагаемого правой
части формулы F9) представление в виде степенного ряда по поло*
жительным степеням (z — b):
где
60 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [15
При интегрировании по С%ш, наоборот, будем иметь
z' — b
z — l
и для упомянутой выше дроби мы должны написать уже другое
разложение, равномерно сходящееся на окружности С#2:
со
1 1 1
z' — z z—b f z' — l
откуда, умножая опять на множитель G0), получим представление
второго слагаемого правой части формулы F9) в виде степенного
ряда по целым отрицательным степеням (г — Ь)\
_1_
где
Соединяя оба слагаемых вместе, получим для функции f(z) внутри
кольца F8) представление в виде ряда Лорана
-f-oo
/(*)= У ak(z-b)\ G1)
Остается показать, что такое разложение единственно. Для этого,
как и в случае ряда Тейлора, покажем, что из формулы G1) получаются
вполне определенные выражения для коэффициентов разложения ak.
Пусть /—некоторый замкнутый контур, обходящий вокруг Ъ внутри
кольца F8). На этом контуре ряд G1) сходится равномерно. Выбе-
рем некоторое целое число т, помножим обе части равенства G1)
на (z — b)~m~l и проинтегрируем по / против часовой стрелки:
+ 00
С {z _ й)—1 f{z) dz== 2 а Д <* - ft)*-" dz.
I k = —oo I .
Мы знаем [6], что все интегралы, стоящие в правой части, будут
равны нулю, кроме одного, который будет содержать под знаком
аинтеграла (z — b)~l. Такой интеграл получится в члене, соответствую-
16] ПРИМЕРЫ 61
шем k = m, и его величина, как известно, будет равна 2тс/. Таким
образом, предыдущая формула дает нам
i
откуда и получаются определенные выражения для коэффициентов
йт = i S <* — b)~m~l f(<z) dz ("* = °> ± *> ± 2, ...). G2)
16. Примеры. Применяя разложение в ряд Тейлора к элементар-
ным трансцендентным функциям, мы получим для них известные
из дифференциального исчисления разложения в степенные ряды, при-
чем теперь эти ряды будут уже годиться и для комплексных значе-
ний независимого переменного.
Пример I. Для функции f(z) = eg мы имеем, очевидно,
f(n)(z) = ez, и, следовательно, /(л)@)=1. Формула F3) дает нам
при Ь = 0 (ряд Маклорена)
Наша функция ег регулярна на всей плоскости, и, следовательно,
разложение G3) верно на всей плоскости.
Точно так же получаем справедливые на всей плоскости разло-
жения для тригонометрических функций:
l—?+Ц-__... G5)
Пример II. Формула геометрической прогрессии
Дает пример ряда с кругом сходимости |г|<4.
Заменим в этом ряде г на — z и проинтегрируем от 0 до z:
г
и с & z
Мы получили новый степенной ряд с тем же кругом сходимости
1<г|<М. При вещественных значениях z его сумма равна, как изве-
стно [I, 132], in (I -\-z). Покажем, что то же самое будет и при всех
комплексных z из круга |^|<^Ь т. е., точнее говоря, покажем, что
62 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [16
сумма нашего ряда
z
" Чг. G7>
удовлетворяет уравнению
е9(*) = \ + Zm G8)
Возьмем регулярную в круге | z | <^ 1 функцию e?(z) =f(z)
и составим ее разложение в ряд Маклорена. Для этого определим
производные от этой функции. Принимая во внимание, что y'(z) =
= 11 , имеем, очевидно,
Л*)=*'(ж)-трг G9>
и, далее,
ft G\ — р<? {г) . * р<? (z) * — Г)
J W — e (i+2J e A +^J=и>
т. е. /(л)(,г)=0 при всяком п^2. Кроме того, из формул G7) и G9)
непосредственно вытекает, что f(O) = e°=\ и /'@)=1. Разложение
f(z) в ряд Маклорена действительно дает нам
Мы видим, таким образом, что сумма ряда G6) есть одно из воз-
можных значений \n(\-\-z). Эта последняя функция является функ-
цией многозначной, но степенной ряд G6) выделяет из этой много-
значной функции однозначную ветвь, регулярную в круге |<г|<^1:
1пA+г) = -*.-*1+Т--" (80)
Значения логарифма, определяемые этой формулой, называют
иногда главными значениями логарифма. На окружности нашего круга
сходимости лежит особая точка z = — 1 функции ln(l-f-2). Харак-
тер этой особой точки будет выяснен нами впоследствии.
Пример III. Рассмотрим функцию (l-\-z)m. При целом положи-
тельном т ее разложение по целым положительным степеням z пред-
ставляет собой обычную формулу бинома Ньютона. При целых отри-
цательных т наша функция имеет в точке z = — 1 полюс, и, после-
довательно вычисляя производные и составляя ряд Маклорена, будем
иметь разложение в круге |,г|<М [I, 131]:
Если т не есть целое число, то наша функция будет многознач-
ной. Например, при /#=г-ь- будем иметь |^1 -{-г.Вообще для любого
Щ ПРИМЕРЫ 63
значения постоянной т мы можем написать нашу функцию в виде
[I, 176]
(82)
и ее многозначность является следствием многозначности ln(l-|-2).
Возьмем для In A —|— ^г) то значение, которое определяется форму-
лой (80). При этом и функция (82) будет однозначной и регулярной
в круге |,г|<^ 1. Последовательно вычисляя производные функции (82),
будем иметь в силу G7)
[(I + z)m]' = e
[A +хГХ' = т(т —
и вообще
= т (т — 1)... (т _ k + 1) <?<т-*> 1п<*+*> =
= т(т— 1)...(да— k-\-\)(\
где ln(l +-г) определяется рядом (80). Заметим теперь, что ряд (80)
дает то значение ln(l-|-2), которое обращается в нуль при z = 0.
Таким образом, формула (82) и следующие дают
о = т{т - 1)... (т - k + 1).
Отсюда видно, что ряд Маклорена для нашей функции (82) сов-
падает с рядом (81), т. е. формула (81) дает нам регулярное одно-
значное значение функции (82) внутри круга | z |<^ 1 при ' любом
показателе //г. Будем в дальнейшем называть формулу (81) биномом
Ньютона.
Пример IV. Заменяя в формуле для прогрессии z на — z2, полу-
чаем разложение, справедливое в круге ||[1
!1
Интегрируя его от нуля до z, получаем новое разложение, спра-
ведливое в том же круге:
Г dz _г z*,z*
\\+z2— i — "з "Г ~'#
о
<83>
В дальнейшем мы увидим, что сумма написанного ряда дает одно
из возможных значений arctgz, и, таким образом, формула (83)
определяет в круге |z|< 1 ту ветвь многозначной функции, кото-
рая в этом круге является однозначной и регулярной функцией.
64 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [16
Аналогично получается и разложение одной из ветвей многознач-
ной функции arcsin^ в том же круге:
Пример V. Рассмотрим функцию
1
/(*)=¦
-!) («-2)-
Она имеет особыми точками полюсы 2 = 0, 2=1, 2 = 2, а в остальном
однозначна и регулярна на всей плоскости. Отметим три круговых кольца,
имеющих центр в начале:
I<1; (/Г.) 1<И<2; (К,)
В каждом из них наша функция разлагается в ряд Лорана, расположен-
ный по целым степеням 2. Например, в кольце Кя мы имеем, разлагая f(z)
на простейшие дроби:
хм 11 1,11
откуда, в силу 1 < | z | < 2, имеем внутри кольца
1 1 1 V4 1 1 1 1 _ ^
Z^'' z~=~2-~~~2~ I 2 Zl 2* ;
ft=o
и окончательно в кольце Кй имеем
ОО 00
11 VI 1 1 V г*
В кольце Кг аналогичным образом, принимая во внимание, что | z \ > 2,
будем иметь разложение, содержащее только отрицательные степени z:
ОО ОО
1 J1 1 \1 2*
; Z
— 2 z
или
Наша функция регулярна также, например, в кольце с центром в 2=1,
внутренним радиусом ^2 = 0 и внешним радиусом /?!= 1. Нетрудно предста-
вить ее внутри этого кольца в виде ряда Лорана по целым степеням (г— 1).
Пример VI. Рассмотрим частное двух степенных рядов
16]
ПРИМЕРЫ
65
Пусть радиусы сходимости обоих этих рядов не меньше положительного
числа р. Положим, кроме того, что свободный член а0 ряда, стоящего в зна-
менателе, отличен от нуля. При этом функция, стоящая в знаменателе, будет
отличной от нуля не только в начале, но и в некотором круге с центром
в начале координат. Положим, что она будет регулярной и отличной от нуля
в некотором круге | z \ < рх. Мы можем утверждать, что и вся дробь (85)
будет регулярной в круге с центром в начале и радиусом, равным наимень-
шему из двух чисел р и pi (или, может быть, даже в большем круге)-
Мы будем иметь в этом круге разложение функции в степенной ряд
Для вычисления коэффициентов с^ помножим частное на делитель, пред-
ставив произведение в виде степенного ряда
Полученное произведение должно совпадать с делимым, и, в силу един-
ственности разложения в степенной ряд, мы можем просто приравнивать
коэффициенты при одинаковых степенях z. Это даст ряд равенств для опре-
деления искомых коэффициентов ck частного:
«1*0
a2cQ
i + «0*2 = I
(86)
Из этих формул мы сможем последовательно вычислять коэффициенты ck.
Можно рассматривать первые (п + 1) уравнений (86) как систему (п-\-\)
уравнений с неизвестными с0, сх...,сп. Решая их по формуле Крамера,
можно написать явное выражение для коэффициента сп в виде частного двух
определителей:
«0»
«1»
«2,
Я/l-l»
«0»
«1»
«2»
«Л-1»
«Ш
o,
«0»
«1»
«/1-2»
«rt-1»
o,
«0»
«1,
«Л-2,
«Л-1»
o,
o, ...,
«0»
«/1-3» •••>
«/1-2» •••»
o,
o, ...,
«0»
«/1-3» •••>
«Я-2, ••«,
o,
o,
o,
«o»
«i»
o,
o,
o,
«0»
«1»
b0
bx
b2
bn-i
bn
0
0
0
0
«0
(87)
Определитель, стоящий в знаменателе, равен, очевидно,
Применяя это рассуждение к разложению
sin z
cos z
II 31
66 ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [17
будем иметь представление tgz в виде степенного ряда в круге \z\<z~y
так как, как мы увидим дальше, функция cos z имеет только вещественные
корни, которые хорошо известны из тригонометрии.
17. Изолированные особые точки. Бесконечно далекая точка.
В [10] мы исследовали функции, однозначные и регулярные в окрест-
ности некоторой точки, которую мы обозначим сейчас через z — b,
кроме, может быть, самой этой точки, и установили три возмож-
ности: 1) f(z) имеет предел при z->b; 2) \f(z)\ стремится к беско-
нечности при z-+b; 3) третья возможность может быть определена
исключением первых двух. Напомним, что если в первом случае при-
нять f{b) равным упомянутому пределу, то f(z) окажется регулярной
и в точке z = b.
Если f(z) однозначна и регулярна в окрестности z = b, то она
тем самым будет однозначной и регулярной в некотором кольце D
с центром z = b, внутренним радиусом, равным нулю, и некоторым
внешним радиусом R. В этом кольце f(z) разлагается в ряд Лорана
по целым степеням (z — b). Покажем, что указанным трем возмож-
ностям соответствуют следующие возможности при представлении f(z)
рядом Лорана: 1) этот ряд не содержит отрицательных степеней
(z—b)\ 2) ряд содержит конечное число членов с отрицательными
степенями {z — b); 3) ряд содержит бесконечное число членов с отри-
цательными степенями (z — b).
Если ряд Лорана f(z) не содержит отрицательных степеней, т. е.
имеет вид
то f(z)-+aQ при z->b (непрерывность степенного ряда), т. е. мы
имеем первый случай из [10]. Наоборот, если мы имеем первый слу-
чай из классификации [10], то f(z) регулярна, включая z = b, и
должна разлагаться в некотором круге \z — b\<^R в ряд Тейлора
без отрицательных степеней.
Перейдем к рассмотрению второго случая, когда ряд Лорана
в кольце D имеет вид
/(*)= f] ak(z-af, (88)
k=* — m
причем коэффициент а_т можно считать отличным от нуля. Мы мо-
жем переписать формулу (88) в виде
При стремлении z к b множитель, стоящий перед квадратной
скобкой, стремится к бесконечности, а вся квадратная скобка стре-
17] ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 67
мится к пределу а_ш, конечному и отличному от нуля (сумма степен-
ного ряда есть непрерывная функция), и, следовательно, все произ-
ведение стремится к бесконечности. Таким образом, во втором из ука-
занных выше случаев точка z = b будет полюсом функции f(z) по
нашей прежней терминологии [10]. Введем некоторую терминологию,
которой обычно пользуются: при наличии разложения (88) точка
z = b называется полюсом порядка т; сумма членов с отрицатель-
ными степенями
а-т г g-m+i ] I fl-i
{z — b)m ' (z — b)m'x ' •" ~ z — b
называется бесконечной частью, соответствующей этому полюсу.
Коэффициент а_ь стоящий при (z — by1, называется вычетом функ-
ции f(z) в полюсе z = b.
Покажем теперь, что разложение вида (88) будет иметь место
всегда, если z = b есть полюс функции согласно определению из [10].
Итак, пусть f(z) однозначна и регулярна в окрестности z = b и стре-
мится к бесконечности при z->b. Покажем, что имеет место разло-
жение вида (88). Рассмотрим функцию
Поскольку f(z) регулярна в окрестности z = b и |/(г
при z->b, то можно утверждать, что y(z) регулярна в окрестности
точки z = b и стремится к нулю при z->b. Следовательно, y(z)
регулярна и в самой точке z = b [10], причем обращается в этой
точке в нуль. Напишем ее разложение в ряд Тейлора; в нем наверняка
будет отсутствовать свободный член. Предположим, что первый из
членов, отличных от нуля, будет содержать (z — b)m, т. е.
<? (*) = bm(z- Ы + bm+l (z - Ъ)™ +... (Ьт ф 0).
Для функции f(z) будем иметь отсюда формулу
Знаменатель второй из написанных дробей отличен от нуля при
z = by и, следовательно, эта дробь разлагается в ряд Тейлора по
положительным степеням (z — b). Деля этот ряд Тейлора на (z — b)m,
мы получим для f(z) как раз разложение вида (88). Сопоставляя этот
последний результат с предыдущим, мы можем утверждать, что поня-
тие полюса, введенное нами в [10], равносильно понятию такой осо-
бой точке, вблизи которой функция разлагается в ряд Лорана с ко-
нечным числом членов ' с отрицательными степенями (z — b). Следо-
вательно, существенно особой точкой будет такая точка, вблизи ко-
торой разложение функции f(z) в ряд Лорана содержит бесчисленное
68 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [17
множество членов с отрицательными степенями (г — Ь). Здесь, как
и в случае полюса, коэффициент при (г — b)~l называется вычетом
f(z) в существенно особой точке z = b.
Отметим, что в разложении <?(z) должен обязательно встретиться
коэффициент Ьт> отличный от нуля, ибо в противном случае y(z)
была бы равна тождественно нулю в некотором круге с центром
в z = b, а это противоречит равенству ср (z) = jj-r, где f(z) по усло-
вию регулярна в окрестности z = b.
Введем один «несобственный» элемент плоскости — бесконечно
далекую точку плоскости [IHi, 62]. Окрестностью бесконечно дале-
кой точки назовем часть плоскости, лежащую вне какой-либо замк-
нутой кривой на плоскости. Всякая такая окрестность содержит в себе
часть плоскости, лежащую вне круга с любым центром Ь и доста-
точно большим радиусом R, т. е. часть плоскости, координаты кото-
рой удовлетворяют неравенству \z — b\^>R. В дальнейшем мы будем
главным образом пользоваться окрестностями бесконечно далекой
точки, определяемыми неравенством \z\^>R. Плоскость с присоеди-
ненной к ней бесконечно далекой точкой называется обычно расши-
ренной плоскостью. Бесконечно далекую точку обозначают симво-
лом .г = оэ. Пусть f(z) однозначна и регулярна в окрестности z = oo
бесконечно далекой точки. Мы можем рассматривать эту окрестность
как круговое кольцо с центром г = 0, некоторым внутренним радиу-
сом R)>0 и внешним радиусом, равным бесконечности. В этом кольце
f(z) разлагается в ряд Лорана
4-сю
f(z)= 2 а-ь*"> МЖ- (89)
Если вместо z ввести новое комплексное переменное t:
— — t—L
то окрестность \z\^>R точки z = oo перейдет в окрестность 11
т ви
4-00
ь~п точки ? = 0, и ряд (89) примет вид
= 2
k = —оэ
Как и выше, могут представиться три случая. В качестве первого
возьмем тот, когда ряд (89) не содержит членов с положительными
степенями z:
или
fl-^-\ = aQ-\- ait-\- а%Р -["•••> (91)
17] ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 69
откуда следует, что Л у) -> До при t -> 0, т. е. /(г) -> а0 при | z \ -> оо.
В этом случае говорят, что f(z) регулярна в точке z = oo, причем
полагают /(оо) = а0.
Если разложение (90) начинается с члена, содержащего z~m, где
т^>0 — целое, то z = oo называется корнем f(z) кратности т.
В этом случае /(оо)=а0.
Если разложение (89) содержит конечное число членов с поло-
жительными степенями z:
f(z) = a_mzm + a_m+lzm-> +... + a_xz + a0 + -^ + ... (a_m ф 0),
то, вынося за скобки zm, убедимся в том, что f(z) стремится к беско-
нечности при \z\-+oo, причем частное —^г-*а_т при |г|-*оо.
В этом случае точка 2 = оо называется полюсом /(г) порядка т,
а сумма a_mzm ~\-... -j- a_xz называется бесконечной частью в этом
полюсе. При этом полагают/(оо) = оо. Наконец, если разложение (89)
содержит бесконечно много членов с положительными степенями z,
то z = oo называется существенно особой точкой f(z). При пере-
ходе к переменной t мы получим существенно особую точку ? = 0.
Отсюда и из [10] непосредственно следует, что если z = oo есть
существенно особая точка f(z), то в области | z \ ]> р, где р ^> 0 —
сколь угодно большое число, есть значения f(z\ сколь угодно близ-
кие к любому наперед заданному комплексному числу. Во всех ука-
занных трех случаях вычетом в точке z = oo называется коэффи-
циент п\ при z'1 с обратным знаком, т. е. — at. Смысл такого опре-
деления будет выяснен нами позже.
Из сказанного выше следует, что мы можем говорить об опре-
деленном значении f(z) в полюсе z = b, а именно f(b) = оо, т. е.
w = f(z) преобразует точку z = Ъ в точку w = oo. Если точка z = сю
есть регулярная точка, то /(оо)=а0 (см. выше), а если z — oo есть
полюс /(г), то /(оо) = оо. В первом случае точка z = oo пере-
ходит в w = aQ, а во втором w=f(z) преобразует точку z = oo
в себя, т. е. оставляет ее на месте.
Отметим еще, что если a — любое комплексное число, то окре-
стность точки 2 = oo, где f(z) однозначна и регулярна, содержит
области \z — a|^>/?, где R — достаточно большое число. Таким
образом, вместо ряда (89) мы могли бы написать ряд Лорана для
f(z) по целым степеням (z — a):
та получили бы тот же характер особенности f(z) при z = oo и
те же значения /(оо) в случае, если <г = оо — регулярная точка или
70 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [17
полюс f(z). Если в случае регулярности точки г = оо мы продиф^
ференцируем почленно ряд (90) по z, что сводится к дифференци-
рованию ряда (91) по t с последующим умножением на (—-^ \ =
= — t2, то получим
ft (у\ <*1_ 2^2 3<*я
* '— z1 zz z* • • • »
откуда следует, что если z = oo есть регулярная точка /(г), та
/'(оо) = 0. Очевидно, что и производные любого порядка/(т)(оо) = 0.
Отметим, что выше мы всегда считали, что в исходных рядах Тей-
лора и Лорана не все коэффициенты равны нулю, т. е. что рассмат-
риваемая функция не равна нулю тождественно в соответствующем
круге или кольце.
Возвращаясь к [7], мы видим, что условие применимости фор-
мулы Коши для области, содержащей бесконечно далекую точку,
формулируемое в виде:
> 0 равномерно при 2->oo,
сводится к тому, что f(z) регулярна в бесконечно далекой точке
и в разложении (89) ао = О, т. е. /(оо) = 0.
Пример I. Относительно функции ег мы говорили раньше, что
она регулярна на. всей плоскости. При этом мы исключали беско-
нечно далекую точку. Разложение этой функции ег годится везде
и, в частности, в окрестности бесконечно далекой точки. Оно
содержит бесчисленное множество членов с положительными степе-
нями z, и, следовательно, бесконечно далекая точка будет суще-
ственно особой точкой для ez. To же самое можно сказать, напри-
мер, относительно sin z и cos «г.
Пример II. Всякий полином будет регулярной функцией на
всей плоскости и будет, очевидно, иметь на бесконечности полюс,
порядок которого равен степени полинома.
Рассмотрим рациональную функцию, т. е. частное двух поли-
номов:
причем будем считать дробь несократимой, т. е. корни числителя и
знаменателя различными. Наша функция будет иметь на конечном
расстоянии особыми точками корни полинома ф(<г), и эти точки
будут полюсами функций. Поведение функции в бесконечно далекой
точке будет зависеть от степеней полиномов, стоящих в числителе
и знаменателе. Если степень y(z) выше степени ф(г) на т единиц,
то f(z) будет стремиться к бесконечности при z -> оо, но отноше-
f(z) к
ние —)j~- будет стремиться к конечному пределу, отличному от нуля.
Щ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 71
т. е. наша функция будет иметь на бесконечности полюс порядка т.
Если же степень ср((г) не выше степени ty(z)y то функция будет
регулярной на бесконечности.
18. Аналитическое продолжение. Если некоторая функция /(г)
регулярна в некоторой области В, то естественно возникает вопрос:
нельзя ли расширить область определения функции, т. е. нельзя ли
создать более широкую область С, содержащую В внутри себя, и
в этой более широкой области определить регулярную функцию F(z\
которая бы в первоначальной области В совпадала с /(г)? Такое
расширение области определения регулярной функции или, как
еще можно сказать, экстраполирование регулярной функции, назы-
вается аналитическим продолжением функции. Оказывается, что
если такое аналитическое продолжение возможно, то оно является
вполне определенным, единственным. В этом отношении регулярные
функции комплексного переменного существенным образом отли-
чаются, например, от непрерывных функций вещественного перемен-
ного. Действительно, положим, что нам дана некоторая непрерывная
функция со (х) вещественного переменного х в некотором промежутке
а^х^Ь. Мы можем, очевидно, не нарушая непрерывности, продол-
жить график этой функции и вне промежутка и при этом бесчисленным
множеством способов. Для регулярных же функций комплексного пе-
ременного f(z) значения в первоначальной области В вполне опре-
деляют и значения функции вне этой области, если только расшире-
ние области, т. е. аналитическое продолжение, вообще возможно.
Надо только заметить, что, совершая аналитическое продолжение, мы
можем прийти и к многозначным функциям. Целью настоящего номера
является выяснение всех обстоятельств, которые могут встретиться
при аналитическом продолжении и, главным образом, доказательство
единственности такого продолжения.
Выясним предварительно некоторые свойства регулярных функ-
ций.
Пусть точка z = b является корнем регулярной функции f(z\
При этом в ряде Тейлора с центром Ь будет отсутствовать свобод-
ный член и, может быть, еще несколько следующих членов. Положим,
что первый член, отличный от нуля, будет порядка (г — Ь)т, т. е.
/(*) = ат (z — ЬТ + am+l (z - Ъ)т" +... (ат ф 0) (92)
или, иначе,
f(z) = (z- b)m [am + am+l (z - Ь) + ...]. (93)
В этом случае z = b называется корнем кратности т. Обратимся
к формуле (93) и положим, что z равно некоторому числу, близ-
кому к bt но отличному от Ь. При этом множитель (z — b)m будет
отличен от нуля, и сумма, стоящая в квадратных скобках, будет
72 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [18
близкой по величине к числу ат, отличному от нуля, т. е. также
будет отлична от нуля. Иначе говоря, во всех точках, достаточно
близких к корню регулярной функции, эта функция уже отлична от
нуля. Другими словами, корни регулярной функции суть изоли-
рованные точки. В предыдущем рассуждении мы предполагали, ко-
нечно, что разложение Тейлора (92) содержит хоть один член, от-
личный от нуля. В противном случае мы должны, очевидно, считать
функцию тождественно равной нулю, хотя бы в том круге, для кото-
рого имеем разложение Тейлора. Основываясь на нашем рассуждении»
докажем теперь теорему, которая является основной в вопросе един-
ственности аналитического продолжения.
Теорема. Если f(z) регулярна внутри некоторой области В
и обращается в нуль в некоторой области р, составляющей часть
В, то f(z) равна нулю тождественно во всей области В.
Будем доказывать от противного. Положим, что f(z) отлична
от нуля в некоторой точке с области В. Возьмем внутри р некото-
рую точку Ъ и соединим ее с с кривой /, принадлежащей области В.
На некотором участке этой кривой, примыкающем к точке Ь, наша
функция равна нулю, а на участке, примыкающем к точке с, она от
нуля отлична. Таким образом, на кривой / должна существовать
некоторая точка df обладающая тем свойством, что на всем участке
bd наша функция равна нулю, а на участке dc есть точки, сколь
угодно близкие к d, в которых наша функция от нуля отлична.
Регулярная функция является в то же время и непрерывной и, еле-
довательно, в самой точке d она должна иметь корень. Но этот
корень оказывается не изолированным, ибо вся дуга bd кривой /
состоит из корней нашей функции. Но тогда из наших предыдущих:
рассуждений следует, что разложение в ряд Тейлора нашей функции
с центром d должно обращаться тождественно в нуль, и, следова-
тельно, наша функция должна быть равной нулю в некотором круге
с центром d, т. е. она должна равняться нулю и на некотором
участке кривой, примыкающем к точке d и составляющем часть
участка dc. Это обстоятельство противоречит тому свойству точки dy
что на участке dc есть точки, сколь угодно близкие к d, где f(z)
отлична от нуля. Таким образом, высказанная теорема доказана.
Замечание. При доказательстве теоремы можно было бы огра-
ничиться требованием, что f(z) обращается в нуль на некоторой
кривой, лежащей внутри В. При . этом функция должна была бы>
очевидно, обращаться в нуль и в некотором круге, имеющем центр
в одной из точек упомянутой кривой.
Достаточно даже предположить, что корни f(z) имеют точку
сгущения внутри В, т. е. существует такая точка b внутри ВУ что
в круге с центром b и любым малым радиусом находится бесчис-
ленное множество корней f(z). При этом, в силу предыдущих
соображений, ряд Тейлора f(z) с центром Ъ должен был бы обра-
18] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 73
щаться тождественно в нуль, т. е. f(z) была бы равной нулю в не-
котором круге с центром Ь, т. е. была бы равна нулю везде в В.
Следствие. Положим, что две функции f\(z) и /2(z), регу-
лярные внутри By совпадают на некотором куске этой области [3
или на некоторой кривой. При этом разность должна быть равной
нулю в [J, и, согласно доказанной теореме, она будет равной нулю
и во всей области, т. е. если две функции, регулярные в некоторой
области, совпадают в некоторой части этой области (или на
кривой), то они совпадают и во всей области.
Положим, что у наших двух функций совпадают их значения и
значения всех их производных в некоторой одной точке Ь области В.
При этом будут совпадать и их
разложения в ряд Тейлора с цент-
ром в Ь, т. е. наши функции бу-
дут совпадать в некотором круге
с центром Ь, а потому будут
совпадать и во всей области, т. е.
совпадение значений функций и Рис. 11.
всех производных в некоторой
одной точке влечет за собой совпадение функций во всей области,
где эти функции регулярны.
Обратимся теперь к вопросу об аналитическом продолжении.
Пусть f\(z) регулярна в области Bi9 и положим, что нам удалось
построить новую область В® имеющую с В\ общую часть В\Л (тоже
область; рис. |jll), и определить в области В% регулярную функцию
/2B), совпадающую с A(z) в #1>2. Можно назвать /2(г) непосред-
ственным аналитическим продолжением f\(z) из Вг в Z?2, через В\Л.
Функция, определенная в Bv как f\(z), и в В%, как fi(z)> дает единую
регулярную функцию во всей расширенной области. Покажем, что
не может существовать двух различных аналитических продолже-
ний. Действительно, положим, что мы имеем два различных анали-
тических продолжения fi(z) из В\ в В% через ВуЛ. Эти две функ-
ции f{\\z) и Jf)(z)f регулярные в Вь должны совпадать с fi(z), a
следовательно, и между собой в В\>2. Но тогда, в силу доказанного
выше, они совпадают и во всей области В& т. е. дают одно и
то же аналитическое продолжение.
Положим, мы имеем теперь целую цепь областей В\, В%> В&...,
причем By иВч имеют общую часть Б12> B% и В$ имеют общую часть
В%д и т. д. В области В% имеется регулярная функция /2(.г), совпа-
дающая с f\(z) в #1>9. В области Въ имеется регулярная функция /3(г),
совпадающая с /2(г) в В%>3> и т. д. Здесь мы имеем аналитическое
продолжение f\(z) при помощи нашей цепи областей, и это анали-
тическое продолжение единственно. Заметим, что, вообще говоря,
области Bs могут налегать друг на друга и помимо тех частей Bkk^
о которых мы упоминали выше. Рассмотрим для примера цепь,
74
ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[18
12.
состоящую из трех областей Bi9 В% и Въ, и положим, что Въ налегает'на
В\ (рис. 12). На этом налегающем куске, заштрихованном на чертеже,
значения f\(z\ определенные в В\, и значения /2(^), определенные
в Въ, могут быть и различными. При этом будем иметь при анали-
тическом продолжении многозначную функцию. Но мы можем геомет-
рически избегнуть многозначности,
а именно, если на заштрихованном
куске значения f\(z) и /3(<г) раз-
личны, то будем считать, что этот
заштрихованный кусок состоит как
бы из двух листов: одного, при-
надлежащего Bif и другого, принад-
лежащего Въ.
Факт многозначности может
встретиться уже при первом шаге
аналитического продолжения. Поло-
жим, мы имеем аналитическое про-
должение f\(z) из Вх и В*
через ?i>2 (рис. 13), но В% имеет с В\
еще общую часть р. На р значения /а(г) могут и не совпадать со
значениями ft (z). Совокупность всех значений, получаемых при помощи
всевозможных аналитических продолжений исходной функции fi(z\
образует единую функцию, которую назовем аналитической функ-
цией и обозначим через f(z). Как мы уже упоминали, эта функция
f(z) может оказаться и многозначной.
Часто вместо аналитического продолжения при помощи цепи
областей говорят об аналитическом продолжении вдоль некоторой
кривой. Пусть имеется некоторая линия /,
разделенная на последовательные участки:
Pi Qi> PzQv-y Pn Qn* так что участок Pk Qk
имеет с участком РЛ+1 Qk+l общую часть РЛ+1 Qk
(рис. 14). Положим, что эта кривая /
покрыта цепью областей Bif B&..., Bkf...,
так что участок Pk Qk находится внутри Bk.
Обозначим через Bkt k+i область, по которой
перекрываются Bk и Bk+i и которая содержит
участок РЛ+1 Qk линии /. (Областей, по ко-
торым перекрываются Bk и ?Л+1, может быть
несколько или даже бесчисленное множество,
но мы берем именно ту из этих областей, которая содержит Pft+1 Qk
внутри себя.) Как указано на рис. 14, мы считаем, что области Вк
и Bk+i имеют общую односвязную часть, содержащую отрезок РЛ+1 Qk
линии /. Положим, что в Z?i имеется регулярная функция f\(z) и что
ее можно аналитически продолжить при помощи цепи областей В^%>
Въ,ъ...>В^1гП. Вместо этого говорят, что f\(z) можно продолжить
Рис. 13.
18J АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 75
вдоль линии I. Значения функции на участке Р1 Qt (и в окрестности
этого участка) нам заданы, и, применяя основную теорему настоя-
щего номера, мы убедимся, как и выше, в том, что аналитическое
продолжение вдоль / может быть только одно. Оно не зависит от
того, как мы разбили / на участки и какими областями с указан-
ными выше свойствами мы покрываем линию /.
Вернемся к аналитическому продолжению вдоль / при помощи
определенной цепи областей Bk. В окрестности каждой точки
линии / аналитическая функция f(z) будет иметь определенное пред-
ставление в виде ряда Тейлора. Назовем этот ряд элементом функ-
ции в соответствующей точке линии L Если мы немного дефор-
мируем линию /, оставляя неизменными концы Р\ и Qnt то она не
Рис. 14.
Быйдет из областей Bky и тот элемент функции f(z\ который мы
имеем в точке Qn, останется прежним. Отсюда нетрудно видеть, что
если вообще, сохраняя концы кривой Р^ и Qm будем ее непрерывно
деформировать, причем в любом ее положении возможно анали-
тическое продолжение исходного элемента в точке Рх вдоль линии,
то полученный в результате аналитического продолжения элемент
в точке Qn будет все время одним и тем же.
Положим, что при аналитическом продолжении вдоль некоторой
кривой / от точки Pi мы можем совершить продолжение лишь до
некоторой точки С, а дальше аналитическое продолжение вдоль этой
кривой невозможно. При этом точка С называется особой точкой
нашей функции. Отметим только одно существенное обстоятельство,
а именно: если бы мы при аналитическом продолжении из точки Р\
в точку С совершили это продолжение не вдоль кривой /, а вдоль
некоторой другой кривой 1Ъ то при этом точка С могла бы и не
оказаться особой, т. е., вообще говоря, особая точка определяется
не только своим положением на плоскости, но и тем путем,
которым мы к ней пришли, совершая аналитическое продолжение
(см. пример из [19]). В дальнейшем мы почти всегда будем иметь
дело с более простым случаем, когда положение особых точек
76 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [18
может быть фиксировано заранее и не связано с путем аналитиче-
ского продолжения.
В непосредственной связи с предыдущим стоит одна важная
в теории аналитического продолжения теорема, которая называется
теоремой однозначности.
Если аналитическое продолжение некоторого исходного эле-
мента функции возможно по любому пути, лежащему в неко-
торой односвязной области В, то эти аналитические продол-
жения вдоль путей, принадлежащих В, дают однозначную в В
функцию.
Действительно, пусть исходный элемент функции определен
в окрестности некоторой точки Ръ и возьмем два различных пути
/t и /2 аналитического продолжения из Pt в Qn. Ввиду односвяз-
ности области мы можем при помощи непрерывной деформации
преобразовать контур 1Х в контур /2, не покидая области В, и при
этом, согласно условию теоремы однозначности, аналитическое про»
должение вдоль контура будет все время осуществимо. Но при этом,
как мы упоминали выше, и окончательный результат в точке Qn будет
одним и тем же, т. е. наши различные пути аналитического продол-
жения приводят к одному и тому же окончательному результату, и мы
действительно имеем в области В однозначную регулярную функцию.
Проведенное выше рассуждение не является строгим. Вообще
выше мы ограничивались часто лишь простыми указаниями, не вда-
ваясь в подробные доказательства. Мы надеемся все же, что читатель
составил себе представление об основных идеях аналитического про»
должения. Надо заметить, что изложенное выше имеет лишь теоре-
тический характер и не дает никаких указаний на практическую воз-
можность аналитического продолжения.
Упомянем еще об одном принципе теории функций, тесно связан-
ном с аналитическим продолжением и называемом обычно принципом
перманентности. Положим, что исходный элемент аналитической
функции f\(z) удовлетворяет некоторому уравнению, например диф-
ференциальному уравнению второго порядка:
^ ^*)/(*) = 0, (94)
коэффициенты которого pk(z) суть данные полиномы от z. При ана-
литическом продолжении fi(z) производные f[(z) и f[{z)f а также
и вся левая часть нашего уравнения испытывают аналитическое про-
должение. Следовательно, если эта левая часть была равна нулю
в исходной области, то она будет равной нулю и при аналитиче-
ском продолжении, т. е., иначе говоря, если исходный элемент ана-
литической функции удовлетворяет уравнению (94), то этому урав-
нению будет удовлетворять и вся аналитическая функция, получаемая.
из исходного элемента путем аналитического продолжения.
181
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
77
Обратимся теперь к некоторому конкретному способу аналити-
ческого продолжения, а именно будем пользоваться лишь круговыми
областями и разложением Тейлора в таких областях (рис. 15).
Пусть начальный элемент функции задан некоторым рядом Тейлора
с центром b\i
(95)
*=е
Проведем из точки Ь± некоторый контур / и будем аналитически
продолжать нашу функцию вдоль этого контура. Для этого будем
поступать следующим образом: возьмем на нашей кривой / некоторую
точку Ь2 такую, чтобы дуга Ьф^ лежала внутри круга К\ схо-
димости ряда (95). Пользуясь
этим рядом, мы можем вычис-
лить производные /W (Ь%) и на-
писать разложение нашей функ- ^
ции с центром b* ''
(96)
Рис. 15.
Эта новая функция будет определена в некотором круге /С2
с центром Ь2- Если этот круг будет выходить за круг К и то функ-
ция (96) даст аналитическое продолжение f\(z). В точке &2 значения
функций f\(z) и /2(z) и всех их производных будут совпадать, и эти
функции будут совпадать в той круговой луночке, по которой наши
круги перекрываются. Заметим, что мы можем получить ряд (96) из
ряда (95) следующим образом. Перепишем ряд (95) в виде
? a№-W+ (».->!)]*¦ (97)
Разлагая [(z — b^-\-(b%— b\)]k no биному Ньютона и собирая
в сумме (97) члены с одинаковыми степенями (z — b%), получим ряд (96).
Совершив первое аналитическое продолжение, переходим к следую-
щему. Для этого выбираем на кривой / новую точку Ьъ такую, чтобы
дуга Ьфъ принадлежала кругу К2. Ряд (96) мвг можем, как и выше,
перестроить по степеням (z — Ьг) и получим новый элемент функции.
определенный в некотором круге /С3 с центром Ьъ и т. д.
78 ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [19
Отметим, что аналитическое продолжение можно совершать и че-
рез полюс f(z), а также через точку z — oo, если эта точка есть
точка регулярности или полюс аналитически продолжимой функции.
В качестве простого примера рассмотрим аналитическое продолжение
при помощи ряда Тейлора функции
_L_=i _|_*-]_*«.]_... (98)
Ряд сходится и определяет регулярную функцию лишь в круге
|2|<^1. Но его сумма -. _ есть регулярная функция на всей рас-
ширенной плоскости, кроме точки z=l (полюс), и, следовательно,
мы можем аналитически продолжить ряд (98) при помощи ряда
Тейлора на всю плоскость. Если мы возьмем внутри круга | z \ <^ I
некоторую точку &а и перестроим ряд (98) по степеням (г — Ь^ то
получим новый ряд вида
Этот ряд будет сходиться в круге с центром Ь^ и радиусом, рав-
ным расстоянию от этой точки до точки 2=1. Если точка &2 не
лежит на отрезке вещественной оси @, 1), то этот новый круг вый-
дет за старый, и мы получим аналитическое продолжение, которое
затем можем продолжать и дальше. Практически в данном случае,
конечно, не надо применять аналитического продолжения ряда (98),
а естественно пользоваться выражением функции в конечном виде
т——. Но если функция задана только степенным рядом, и никакого
другого выражения для нее не известно, то нам остается лишь путь
аналитического продолжения. В этом направлении было много работ,
посвященных вопросу о возможно более простом практическом осуще-
ствлении аналитического продолжения. В дальнейшем мы дадим один
из таких практических способов для одного частного случая. Сейчас
перейдем к выяснению аналитического продолжения на примерах
элементарных многозначных функций.
19. Примеры многозначных функций. Рассмотрим функцию
z = w* (99)
и положим, что переменная w меняется в верхней полуплоскости,
т. е. в той части плоскости, где коэффициент мнимой части поло-
жителен (над вещественной осью), так что arg w изменяется от О
до т:. При возведении в квадрат модуль \ w \ будет возводиться в квад-
рат, а аргумент умножаться на два, и, следовательно, значения z
19] ПРИМЕРЫ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 79
заполнят уже всю плоскость, причем как положительная, так и отри-
цательная части вещественной оси плоскости w перейдут на плоско-
сти z в положительную часть вещественной оси. Мы видим, таким
образом, что в результате преобразования (99) верхняя часть пло-
скости w перейдет во всю плоскость z с разрезом, проведенным
вдоль положительной части вещественной оси от 0 до -)- оо. Обо-
значим плоскость с таким разрезом через 7\. Мы можем, наоборот,
считать, что w — однозначная функция от z в области Т{.
w = V~z, A00)
причем мы должны брать то значение радикала, для которого коэф-
фициент мнимой части V~z положителен. Вещественные положитель-
ные значения z будут находиться как на верхнем, так и на нижнем
берегу нашего разреза. На верхнем берегу функцию Уz надо брать
положительной, а на нижнем берегу — отрицательной.
Будем теперь считать, что w меняется в нижней полуплоскости.
Возводя его в квадрат, получим, как нетрудно видеть, для z второй
экземпляр той же самой прежней области 7\. Обозначим его через 7V
В этой новой области Т% функция A00) опять будет регулярной
и однозначной, причем радикал надо брать таким, чтобы коэффи-
циент мнимой части у yz был отрицательным.
Из предыдущих рассуждений непосредственно следует также, что
значения функции A00) на верхнем берегу разреза в области Ту
совпадают со значениями этой функции на нижнем берегу разреза
области 7*2 и наоборот.
Таким образом, проводя разрез от 0 к -(~°°> мы получаем
область, где функция A00) однозначна, но для того чтобы иметь
все значения этой функции, надо считать ее за две различные функ-
ции, определенные в областях 7\ и Г9 так, как это мы делали выше.
Такое разбиение функции A00) на две отдельные однозначные функ-
ции представляется искусственным, и мы свяжем сейчас эти две функ-
ции в единую аналитическую функцию, однозначную и регулярную
на некоторой двулистной плоскости. Для того чтобы создать эту
двулистную плоскость Ту наложим экземпляр 7\ на экземпляр Т%
и соединим мысленно берега разрезов этих двух экземпляров крест-
накрест, а именно: верхний берег разреза на Ту соединим с нижним
на 72 и наоборот. Точки z = 0 и z = oo будем считать< совпадаю-
щими на обоих экземплярах плоскости. Это соответствует тому
факту, что функция (99) имеет значение z = 0 только при w = 0
и значение z = oo только при те> = оо (w = oo есть полюс этой
функции). Всякое другое значение z = а (а^ЬО и оо) получается при
двух значениях w = ±Vz. Построенная вышеуказанным образом
двулистная область Т получается, очевидно, из расширенной плоско-
сти z при помощи преобразования (99), причем, как указано выше,
80 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [19
точки г = 0 и г = оо на двулистной плоскости Т отождествляются,
т. е. считается, что два листа Т «скреплены» в этих точках. Приме-
няя правило дифференцирования обратной функции, получим
dz o dw I dw I
откуда мы видим, что функция A00) регулярна на двулистной об-
ласти Т везде, кроме точек 2 = 0 и z = oo.
Выясним особую роль этих последних точек. Если мы на обыч-
ной плоскости (z) из какой-либо точки z0, отличной от 2 = 0, опи-
шем простой замкнутый контур вокруг z = 0 (например, против
часовой стрелки), так что аргумент z при возвращении в исходную
точку z0 получит приращение 2тс, а аргумент у z получит прираще-
ние тс, то мы придем в точку 20 уже с другим знаком Vz^. Такой
обход на плоскости (z) приведет на двулистной области Т в точку г,
лежащую на другом листе.
Если мы возьмем, например, на плоскости (г) окрестность |г|<^р
и произведем в этой окрестности разрез вдоль радиуса О^г^р,
то на полученной окрестности z функция Vz будет однозначной,
непрерывной и регулярной (кроме z = 0). Но, как видно из выше-
сказанного-, она не будет однозначной на полной окрестности без
разреза, т. е., точнее говоря, при аналитическом продолжении по ли-
нии, обходящей 2 = 0, наша функция не однозначна. Такая точка
называется обычно точкой разветвления функции. На двулистной
области Т это соответствует тому факту, что при обходе точки
? = 0 мы попадаем на другой лист. В данном случае при вторичном
обходе точки г = 0 мы возвращаемся к исходному значению Vz0
на плоскости (z) и соответственно возвращаемся на исходный лист
двулистной области Т. Такая точка разветвления называется точкой
разветвления первого порядка (функции Y~z или двулистной об-
ласти Т).
Совершенно аналогично точка г = оо будет также точкой раз-
ветвления первого порядка функции yz. При этом в качестве кон-
тура /, обходящего вокруг точки z = oo, мы можем брать любой
простой замкнутый контур, содержащий точку z = 0 внутри (точка
z = oo будет содержаться вне /). Отметим, что если мы возьмем
контур таким, что и z = 0 находится вне /, то естественно считать,
что контур / обходит две точки разветвления z==0 и z = oo
с точки зрения расширенной плоскости (обе точки вне /). При та-
ком обходе Уz вернется к прежнему значению, а на Г мы вернемся
на исходный лист.
В данном случае нам удалось просто получить область 7, на
которой функция A00) является однозначной и регулярной, так как
19] примеры многозначных функций 81
эта функция является обратной для весьма простой функции (99).
В дальнейшем мы уточним понятие точки разветвления функции. На
рис. 16 намечен вид двулистной плоскости близ точки разветвления.
Вообще, если функция
A02)
есть рациональная функция w (частное двух полиномов без общих
корней или просто полином), то в результате преобразования A02)
плоскость w переходит в многолистную плоскость z во всех слу-
чаях, кроме следующих элементарных слу-
чаев [30 и 31]:
z = aw-\-b (афО);
когда расширенная плоскость w перехо-
дит в расширенную плоскость z. В общем
случае обратная функция
w=f(z) A03)
на всей многолистной плоскости Т Рис. 16.
(кроме точек разветвления Т и полю-
сов f(z)) регулярна. Точки разветвления Т получаются: 1) при тех
конечных значениях w9 при которых y'{w)=b\ 2) при значении
w = ooy если в этой точке ср(-ш) имеет корень или полюс выше
первой кратности; 3) при значении z = oo, если в разложении (90)
при замене z на w после а0 следует член —~ при /я^>1. При этом
получается координата z = z0 точки ветвления. При пг=\ точка
z = z0 есть простой полюс f(z). Число листов Т равно наибольшей
степени полиномов, входящих в рациональную функцию A02). Мно-
голистные плоскости, которые получаются не только указанным выше
приемом, но и из более общих соображений, называются обычно
римановыми поверхностями (Риман — немецкий математик середины
XIX века).
Рассмотрим следующий пример многозначной функции:
1
Многозначность этой функции проистекает лишь от наличия в ее
выражении yzy и, следовательно, на двулистной плоскости 7, кото-
рую мы построили выше, функция A04) однозначна. Она, как и
Функция A00), имеет точки разветвления z = 0 и z = oo, а также
полюс в одной из точек z ==4. Таких точек мы будем иметь две
(на листах Т\ и Г2). На одном листе У4. =2, и на другом |/ = — 2,
82 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [19
и именно последняя точка будет полюсом функции A04). Если бы
мы не пользовались двулистной плоскостью Т и совершали бы ана-
литическое продолжение функции A04), например, от точки z=l>
считая /A) = -^-, то мы приходили бы к различным значениям f(z)
в зависимости от пути продолжения. В частности, точка <г = 4 будет
полюсом f(z) при таком пути продолжения, который приводит V^z
при <г = 4 к (—2).
Функцию A04) можно рассматривать как функцию, обратную
функции
которая регулярна на всей расширенной плоскости, кроме точки w = 0.
Эта точка является полюсом второго порядка y(w\ и она дает точку
ветвления г = оо (первого порядка). Далее, ср'(^-) = О и точка w =
= ~2 дает вторую точку ветвления z = 0. Точка w — oo дает точку
z = 4 на одном листе, и точка w==-j- дает z = 4 на другом листе.
Рассмотрим функцию вида
w=f(z) = Viz — a)(z — b). A05)
Для этой функции точками разветвления будут точки а и ft.
Обход по замкнутому контуру вокруг одной из этих точек будет
менять знак у выражения A05), но одновременный обход вокруг
обеих этих точек а и Ь оставляет функцию неизменной. Действи-
тельно, положим
z — а = pie1'?1; z — Ъ =
откуда
t п + п
Если мы обойдем по замкнутому контуру / против часовой
стрелки вокруг обеих точек, то к аргументам cpi и Ъ добавится 2тс,
сумма (<pi —|- «р«) получит приращение 4тс, а аргумент выражения A05)
получит приращение 2тс, т. е. функция не изменит своей величины.
Чтобы сделать функцию A05) однозначной, нам достаточно провести
разрез из точки а в точку Ь. Такой разрез является как бы запре-
щением обходить в отдельности вокруг точек а и Ь. Функция A05)
имеет во всех точках, кроме z = a и Ь, два значения, и, чтобы по-
лучить все значения этой функции, мы должны взять два экземпляра
разрезанной вышеуказанным способом плоскости. На каждом из них
A05) будет однозначной функцией, и значения этой функции на раз-
19] примеры многозначных функций 83
ных экземплярах будут отличаться друг от друга только знаком.
Если мы наложим один экземпляр на другой и мысленно соединим
берега разрезов крест-накрест, то получим двулистную риманову
поверхность с точками разветвления а и Ъ первого порядка, на ко-
торой функция A05) однозначна и регулярна (кроме точек развет-
вления). Бесконечно далекая точка не будет точкой разветвления,
и в каждом листе будет своя бесконечно далекая точка. Вблизи этой
бесконечно далекой точки мы можем переписать функцию A05) в виде
1 1
Разлагая разности по биному Ньютона, что возможно, ибо
в окрестности бесконечно далекой точки — и — меньше еди-
ницы, мы получим для нашей функции следующее представление
в окрестности бесконечно далекой точки:
Х а 1 а* ЬЗ а*
2 г 2.4*а 2.4-623 '")'
т. е., перемножая ряды, увидим, что бесконечно далекая точка на
обоих листах будет полюсом первого порядка.
Отметим, что, решая уравнение A05) относительно z, мы получим
многозначную функцию wy т. е. функция A05) не является обратной
функцией от функции, однозначной на всей плоскости. Ее риманова
поверхность, на которой она однозначна, имеет две точки разветвле-
ния, z = a и z = by первого порядка. Можно получить эту риманову
поверхность при помощи преобразования
bw2 — а
Z —— а <
W2— I
на плоскости w, и функция, обратная написанной,
будет иметь ту же риманову поверхность, что и функция A05).
Рассмотрим функцию
У7=Ъ, A06)
где п — некоторое целое положительное число. Для этой функции
всякий обход вокруг z = a меняет значение функции, и, лишь со-
вершив п обходов вокруг z = a в одном и том же направлении,
Мы вернемся к исходному значению функции, т. е. для функции A06)
84
ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
точка а будет точкой разветвления п—1-го порядка. Действительно,
обозначая через р и ср модуль и аргумент z — а, получим
n j n/— - n
у z — a = y p e
Совершив п раз обход вокруг z = a в положительном напра-
влении, мы добавим к ср слагаемое 2тс, и, следовательно, аргумент
а)
2п
U, U г
Рис. 17.
z — а получит приращение 2тг, от чего значение функции не из-
менится.
Перейдем теперь к рассмотрению другрй важной в теории функ-
ций многозначной функции, а именно логарифма. Эта функция по-
лучается в результате обращения показательной функции
z = ew. A07)
Выясним сначала некоторые свойства показательной функции»
Нетрудно видеть, что она имеет чисто мнимый период 2щ. Дей-
ствительно:
_ ewe%*i _ ew (cos 27t _|_ / sin 2ti:) = ew.
Разделим всю плоскость w = u-\-iv на полосы, шириною 2ти*
прямыми, параллельными вещественной оси (рис. 17, а). За исходную
полосу возьмем, например, полосу UOi ограниченную прямыми г; = 0
и г;=2ти. Мы можем перевести эту основную полосу в любую дру-
гую, добавляя к w слагаемые вида 2mt/, где п — некоторое целое
число. При этом в силу указанной периодичности значения функции
19] ПРИМЕРЫ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 86
A07) не будут меняться, т. е. значения этой функции в каждой из
полос будут такими же, что и в основной полосе. Посмотрим теперь,
во что преобразует функция A07) эту основную полосу. Проведем
в этой полосе отрезок XUQf параллельный мнимой оси, с абсциссой
и = и0. Вдоль этого отрезка будем иметь
и, следовательно,
т. е. наш отрезок перейдет в полную окружность с центром в начале
и радиусом еи°, причем концам этого отрезка XUQ будет соответство-
вать одна и та же точка окружности. Если мы возьмем часть полосы
G0, заключенную между двумя отрезками, параллельными оси м = 0,
с абсциссами и=и1 и щ} то в результате преобразования A07) полу-
чим на плоскости z круговое кольцо с центром в начале и радиусами
ещ и еи2 (рИС# 17,G). Окончательно вся полоса Uo перейдет в плос-
кость z с исключенным началом координат. Верхняя и нижняя гра-
ницы полосы перейдут в положительную часть вещественной оси.
Совершим разрез вдоль этой части вещественной оси. Мы можем
тогда сказать, что верхний берег этого разреза соответствует нижней
границе полосы,- а нижний — верхней границе полосы. Обозначим
через Тх плоскость с исключенным началом и проведенным нами
разрезом. В этой области Т\ функция, обратная A07):
w = \nz, A08)
будет однозначной и регулярной, и ее производная будет опреде-
ляться по обычному правилу дифференцирования обратных функций:
^ J LI A09)
dz (ew)f ew~zm
Как известно, мы имеем
In z = In | z | -{- i arg z.
При аналитическом продолжении этой функции вдоль некоторого
контура мы должны следить за непрерывным изменением аргумента
arg г.
В построенной нами области Т\ изменение аргумента ограничено
пределами 0 ^ arg г ^ 2тс, и мы получаем однозначное определение
для функции A08). Точка г = 0 является, очевидно, точкой развет-
вления нашей функции A08), а именно: совершая аналитическое про-
должение этой функции но замкнутому контуру вокруг начала и
обходя это начало п раз против часовой стрелки, мы добавим к функ-
ции A08) слагаемое 2тс/, и всякий новый обход будет нам давать
новые значения функции, т. е. в данном случае точка z = 0 является
тонкой разветвления бесконечного порядка.
Ъ6 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [19
Обратим внимание на бесконечно далекие точки плоскостей z
и w. Функция A07) имеет точку w = oo существенно особой точ-
кой, и она не определена в этой точке, а для функции A08) точка
z = oo есть точка разветвления бесконечного порядка. Значение z = oo
не принадлежит области значений ew, и точка z = со не принадлежит
бесконечнолистной плоскости функции In z. Совершенно аналогично
предыдущему можно рассмотреть функцию In (z — а), имеющую точки
разветвления z = a и z = oo бесконечного порядка.
Рассмотрим еще функцию
w = \n ^^ = 1п(г — Ь) — 1п(г — а), A10)
имеющую точки разветвления z = a и z = b. Если описать замкну-
тый контур, содержащий z = a и z = b внутри, то уменьшаемое и
вычитаемое написанной выше разности получат одно и то же слага-
емое, разность не изменится, т. е. точка z = со не будет точкой раз-
ветвления функции (ПО). Если мы перепишем функцию (ПО) в виде
то при | z | ^> р, где р — наибольшее из чисел | а | и | Ъ |, мы можем разло-
жить оба логарифма по формуле (80) и получим
w
= 24?-- <ш>
Эта формула дает одну из ветвей нашей многозначной функции
в окрестности г = оо. Остальные ветви w получаются добавлением
к (П1) слагаемого 2ти/, где п — любое целое число (п Ф 0). При
любом фиксированном п мы получим другую ветвь w. Рассмотренная
функция будет однозначной на плоскости с прямолинейным разрезом,
соединяющим точки z = a и z = b, и точка z = oo будет на такой
плоскости регулярной точкой функции wy причем мы фиксируем
в окрестности 2 = со для w, например, разложение A11). Если обра-
зовать, пользуясь указанным выше разрезом аЬУ бесконечнолистную
плоскость так же, как это мы делали для функции In z, пользуясь
разрезом 0 ^ z <^ со, то на полученной бесконечнолистной плоскости
функция (ПО) будет однозначной, к каждому листу будет принадле-
жать точка г = со и в окрестности этой точки мы будем иметь
разложение (Ш) с добавлением слагаемого 2ти/, причем целое число п
различно на различных листах. Как указано выше, на исходном листе
мы приняли п = 0. При всяком целом фиксированном п мы получим
некоторую другую ветвь нашей функции.
20] РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ 87'
Рассмотрим еще функцию
имеющую точки разветвления z — i и z = — I бесконечного порядка-
Для производной этой функции мы, как и в случае вещественного
переменного, будем иметь
dm 1
dz I + *2
или
dw 1
dz
20. Особые точки аналитических функций и римановы поверх-
ности. В предыдущем пункте мы разобрали ряд примеров многознач-
ных функций и построили соответствующие им римановы поверхно-
сти, на которых они однозначны. Рассмотрим соответствующие воп-
росы в общем случае. Мы не будем при этом за недостатком места
входить в детали и ограничимся общими указаниями. Предварительно»
выясним понятие об изолирован-
ной особой точке при аналитиче-
ском продолжении.
Пусть в точке z = a задан
начальный элемент аналитической
функции /(г), который мы затем
продолжаем вдоль линии /. Поло-
жим, что аналитическое продол-
жение возможно до точки z = b
исключительно, но не дальше, так Рис. 18.
что точка z = b является особой
точкой при аналитическом продолжении вдоль / [18]. Пусть сущест-
вует круг К с центром z = b такой, что элементы функции f(z),
соответствующие точкам участка cb линии / (рис. 18), лежащего
внутри К, можно аналитически продолжать вдоль любой линии, лежа-
щей внутри К и не проходящей через точку z = b. В этом случае
точка z = b называется изолированной особой точкой f(z) (соответ-
ствующей пути /). Упомянутое аналитическое продолжение по всевоз-
можным линиям внутри К может привести к однозначной или много-
значной функции внутри /С. В первом случае полученная однознач-
ная внутри К функция будет регулярной везде внутри К> кроме
z = b, будет разлагаться в ряд Лорана по целым степеням (z — b),
и точка z = b будет или полюсом или существенно особой точкой
нашей аналитической функции f(z) (при аналитическом продолжении
вдоль /). Во втором случае, при многозначности получаемой внутри К
функции, точка z = b называется точкой разветвления. Положим,.
SS ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [20
что при всевозможных аналитических продолжениях внутри К мы
получаем в некоторой точке г = ос внутри К конечное число различ-
ных элементов. Обозначим это число через т. Нетрудно видеть, что
в любой другой точке z = §> принадлежащей К> мы получим тоже т
различных элементов. Это непосредственно следует из того, что при
аналитическом продолжении из а в р или из [3 в а различных исход-
ных элементов по одному и тому же пути в конечной точке полу-
чаются различные элементы. В рассматриваемом случае точка z = b
называется точкой разветвления порядка {т—1). Если число раз-
личных элементов, получаемых при аналитическом продолжении
внутри К, в каждой точке К не конечно, то z = b называется точкой
разветвления бесконечного порядка.
Рассмотрим подробнее случай точки разветвления конечного по-
рядка (т—1). По условию аналитическое продолжение внутри К
выполнимо, исключая точку z = b. Такой круг К с исключенной
точкой z = b есть двусвязная область. Возьмем т экземпляров
круга К и разрежем каждый из этих экземпляров вдоль одного и
того же радиуса. Такой разрезанный вдоль радиуса круг К\ будет
односвязной областью. Возьмем внутри каждого экземпляра К\ одну
и ту же точку z = ol. Мы имеем в этой точке т элементов нашей
аналитической функции. Возьмем в каждом экземпляре в точке z = a
определенный элемент и будем его аналитически продолжать внутри К\.
По теореме однозначности [18] получим в каждом экземпляре опре-
деленную однозначную функцию. Будем называть один из берегов
разреза в каждом экземпляре левым, а другой — правым. Например,
назовем правым берегом такой берег, что из его точек можно
попасть на левый берег, двигаясь внутри К\ и обходя z = b против
часовой стрелки. Возьмем некоторый экземпляр круга К\ с опреде-
ленной на нём однозначной функцией. Назовем этот экземпляр пер-
вым, а определенную на нем однозначную функцию обозначим через
fi(z). Значения f\(z) на левом берегу разреза будут совпадать со зна-
чениями нашей функции на правом берегу разреза в некотором
другом экземпляре К\. Назовем этот последний экземпляр К\ вто-
рым, а определенную на нем функцию обозначим через f%(z). Соеди-
ним мысленно левый берег первого экземпляра с правым берегом
второго. Значения /2(<г) на левом берегу второго экземпляра будут
совпадать со значениями нашей функции на правом берегу разреза
в некотором другом экземпляре К\. Назовем этот экземпляр третьим,
а определенную на нем функцию обозначим через /з(^). Соединим
мысленно левый берег второго экземпляра с правым берегом третьего
экземпляра. Продолжая так и дальше, дойдем до последнего экземп-
ляра с номером т. Нетрудно видеть, что значения fm(z) на левом
берегу этого т-го экземпляра должны совпадать со значениями fi(z)
на правом берегу первого экземпляра. Соединим мысленно эти два
берега. Таким образом мы получим //z-листный круг L с точкой
20] римановы поверхности 89
разветвления z = b порядка (т—1). Эта точка считается совпадаю-
щей на всех экземплярах. На /гг-листном круге наша функция будет
однозначной и регулярной везде за исключением точки z = b. Введем
вместо z новую независимую переменную
где р = |<г — Ь\ и cp = arg(z — b\ причем ср фиксировано определен-
ным образом в некоторой точке L. Точка z = b перейдет в z' = 0.
Общее изменение аргумента на L при обходе z = b равно 2ти/#, а при
обходе z' = 0 общее изменение аргумента будет 2ти. Круг I, имею-
щий т листов, перейдет на плоскости zr в однолистный круг С
с центром <г' = 0 и радиусом j/7?, где R есть радиус L. В этом
однолистном круге С наша функция будет однозначной и регулярной,
кроме, может быть, точки г' = 0. Следовательно, она будет разла-
гаться внутри С в ряд Лорана:
п — — оо
или, если вернуться к прежней переменной:
iyV^)n 2 *n(z-bf>, (ИЗ)
т. е. в окрестности точки разветвления порядка (т—1) функция
разлагается по целым степеням аргумента A12). Можно произволь-
ным, но определенным образом фиксировать значение аргумента A12)
в некоторой точке z из окрестности точки z = b. Могут предста-
виться различные случаи в отношении разложения A13). Может слу-
читься, что в этом разложении вовсе не будет членов с отрицатель-
ными значениями п:
При этом, очевидно, f(z)-+a0 при z-+b, причем z может стремиться
к b любым образом, оставаясь лишь в L. В рассматриваемом случае
полагаем f(b)=a0 и назовем z = b точкой разветвления регуляр-
ного типа. Если разложение (ИЗ) содержит лишь конечное число
членов с отрицательными значениями п, то /(г)—*оо при г~>^.
В этом случае полагаем f(b) = oo и называем z = b точкой раз-
ветвления полярного типа. Если разложение (ИЗ) содержит
бесчисленное множество членов с отрицательными значениями п> то
назовем z = b точкой разветвления существенно особого типа.
Все предыдущие определения можно перенести и на бесконечна
далекую точку. Положим, что совершается аналитическое продолжение
^90 ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [20
f(z) вдоль контура / и существует такая окрестность K(\z\^>R)
бесконечно далекой точки (рис. 19), что элементы функции f(z\
соответствующие точкам дуги /, принадлежащей /С, можно аналити-
чески продолжать по любому пути, лежащему внутри /С. Если это
аналитическое продолжение дает однозначную функцию, то точка
z = оо будет или регулярной точкой для f(z)y или полюсом, или
существенно особой точкой [10]. При многозначности упомянутого
аналитического продолжения z = oo называют точкой разветвления.
Если эта точка разветвления будет конечного порядка (т—1), то
в ее окрестности будет иметь место разложение
+°9 п
— Joo
причем дословно можно повторить все, что сказано выше о таком
разложении. Характер точки z = oo может зависеть, конечно, от того
пути аналитического продолжения /, кото-
рым мы приходим в окрестность бесконечно
далекой точки.
Выясним теперь в основных чертах
понятие римановой поверхности для дан-
ной многозначной аналитической функ-
ции f(z). Положим, что при аналити-
ческом продолжении исходного элемента
мы пришли в некоторую точку z = a. Мы
будем иметь в этой точке некоторый
элемент, т. е. ряд, расположенный по целым
положительным степеням (z — а). Этот
ряд может быть перестроен по целым
положительным степеням (z — C), где
Р — любая точка из окрестности точки
г = а, т. е. элемент в точке г = а дает
и элементы во всех точках, достаточно
близких к а. Каждому такому элементу мы сопоставляем точку zt
являющуюся центром соответственного круга сходимости степен-
ного ряда (элемента). Упомянутому элементу с центром z = ol мы
сопоставляем именно эту точку а. Тем элементам, которые из
него получаются в близких точках z = $t мы сопоставляем точки
2г = C, принадлежащие окрестности г = а. Совершая аналитическое
продолжение, мы получаем все новые и новые элементы, а тем
самым — все новые и новые точки z римановой поверхности. Если
при возвращении в точку z==a получится элемент функции, который
уже имелся раньше, то мы отождествим ее с прежней точкой z = ol.
Если же при аналитическом продолжении при возвращении в точку
.2 = а получим аналитический элемент (ряд, расположенный по целым
Рис. 19.
21]
ТЕОРЕМА ВЫЧЕТОВ 91
неотрицательным степеням (z— а)), отличный от исходного, то полу-
ченная точка z = a считается отличной от исходной. Значения функ-
ции и ее нескольких последовательных производных могут и совпа-
дать в этих точках z = &. Речь идет о различии ряда Тейлора, рас-
сматриваемого в целом. Как мы указывали выше, можно совершать
аналитическое продолжение через полюс и бесконечно далекую точку.
На полученной таким образом римановой поверхности полученная
аналитическим продолжением функция однозначна. К этой поверх-
ности причисляют полюсы и точки разветвления конечного по-
рядка регулярного или полярного типа. В этих последних точках
функция имеет определенное конечное или бесконечное значение.
Кратко говоря, аналитическое продолжение создает риманову
поверхность. Полная полученная таким образом поверхность может
состоять из бесчисленного множества листов. Заметим, что риманова
поверхность аналитической функции /(г), естественно, не всегда может
быть получена путем преобразования плоскости w при помощи
однозначной функции z = y(w), как это имело место в простейших
примерах из [19].
Отметим, что мы лишь в самых общих чертах коснулись понятия
римановой поверхности многозначной аналитической функции. Стро-
гое изложение можно найти, например, в книгах: Н. W е у 1, Die Idee
der Riemannschen Flache; А. Гурвиц, Р. Курант, Теория функ-
ций, «Наука», 1968.
В заключение настоящего пункта обратим внимание на то, что
при аналитическом продолжении особые точки могут быть и неизо-
лированными. Например, может случиться, что исходный степенной
ряд непродолжим, т. е. что всякая точка окружности его круга схо-
димости является особой точкой. Примером такого непродолжи-
мого степенного ряда является ряд
радиус сходимости которого равен единице.
21. Теорема вычетов. Вернемся опять к разложению функции
в ряд Лорана вблизи особой точки (полюса или существенно особой)-
В таком разложении мы выделили особо коэффициент при (z — b)~%
и дали ему особое название вычета функции в рассматриваемой осо-
бой точке. Выясним роль этого коэффициента. Итак, пусть имеется
в окрестности точки Ь разложение
92 ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [21
Проинтегрируем написанную формулу по какому-либо небольшому
замкнутому контуру /0, окружающему точку Ь9 на котором напи-
санное разложение равномерно сходится:
\f(z)dz = 2 ak\{z-b?dz.
/о Л = — оо /0
Как мы видели выше [в], все интегралы, стоящие справа, будут равны
нулю, кроме одного, соответствующего случаю k = — 1, и этот
интеграл будет равен 2тс/, т. е. мы имеем
h
Рассмотрим теперь более общий случай. Положим, что f(z) регу*
лярна в некоторой замкнутой области В с контуром /, за исклю-
чением конечного числа точек Ьи ..., Ьт лежащих внутри области
и являющихся для функции полюсами или существенно особыми
точками. Обозначим через а^ E=1, ... , т) вычеты в этих особых
точках. Выделим каждую из особых точек небольшим замкнутым
контуром ls. Согласно теореме Коши можем написать
\f(z)dz= f; \f(z)dz.
I s=Us
Но, как мы видели выше, величина интеграла по каждому из конту-
ров ls равна a[f) «2тс/, и, следовательно, предыдущее равенство выра-
жает нам величину интеграла по контуру области через вычеты
функции в особых точках, лежащих внутри области:
dz = 2*i 2aCf)r A14)
5=1
Теорема вычетов. Если функция регулярна в замкнутой
области, за исключением конечного числа точек, лежащих вну-
три области (полюсы или существенно особые точки)у то интеграл
от функции по контуру области равен произведению 2ти/ на сумму
вычетов в указанных особых точках.
В дальнейшем мы будем иметь многочисленные применения этой
теоремы. Пока установим только некоторые теоретические следствия
из доказанной теоремы, необходимые нам в дальнейшем. Прежде
всего дадим практические правила вычисления вычета, не пользуясь
разложением функции в ряд Лорана.
В качестве первого примера возьмем функцию, имеющую вид
2|1 ТЕОРЕМА ВЫЧЕТОВ 93
где фС?) и ф(г) регулярны в точке Ь и ф(й)=О, так что функ-
ция A15) имеет, вообще говоря, в точке Ь полюс. Положим, кроме
того, что z = b является простым корнем ф(г), т. е. что разложение
в ряд Тейлора функции ф(г) начинается с члена первой степени:
— *)* + ... (^ ^ 0).
При этом функция A15) будет иметь простой полюс (первой крат-
ности) и вблизи z = b:
Из последней формулы непосредственно следует, что для вычета a_t
можно написать
или, принимая во внимание, что С\ равно
В качестве второго примера рассмотрим случай, когда функ-
ция f(z) имеет в точке b полюс любого порядка т:
/(*)= S «*(- — *)*•
fc== — m
Произведение f(z)(z — b)m будет уже регулярной функцией в точке ft,
и коэффициент a_j будет для этого произведения коэффициентом
при (z — b)m~ly откуда, вспоминая выражение коэффициентов в ряде
Тейлора, будем иметь для вычета нашей функции следующее выра-
жение:
(Н7)
Рассмотрим еще один пример. Положим, что f(z) имеет в точке b
корень порядка ту т. е. ряд Тейлора нашей функции с центром b
начинается с члена, содержащего (z — b)m. При этом наша функция
будет иметь вблизи точки b представление
f(z) = (z- ЬГ<? (г) (? ф) ф 0), A18)
где ср(г) регулярна в b и отлична от нуля. Составим логарифмиче-
скую производную нашей функции:
Отсюда непосредственно видно, что точка b является простым полю-
сом для логарифмической производной, с вычетом, равным порядку
94 ГЛ. Т ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [22
корня самой функции /(г). Если в точке Ь наша функция f(z)
имеет не корень, а полюс кратности т, то точно так же имеет
место формула A18), но в ней т следует заменить на (—т) и все
последующие вычисления также сохраняются, т. е. если в некоторой
течке функция имеет полюс некоторой кратности п, то ее логариф-
мическая производная имеет в этой точке простой полюс с выче-
том (—п).
22. Теоремы о числе корней. Положим, что f(z) регулярна в замк-
нутой области В с контуром / и на контуре не обращается в нуль.
Пусть внутри области она имеет корни blf ..., Ьт кратности kh ...
..., km. Ее логарифмическая производная будет иметь в этих точках
bs простые полюсы с вычетом ksy и теорема вычетов дает нам
A20)
Если считать всякий кратный корень столько раз, сколько единиц
в его кратности, то стоящая справа сумма дает общее число корней
нашей функции внутри области, т. е. при наших предположениях
относительно функции f(z) интеграл, стоящий слева, дает число
корней функции, заключающихся внутри контура I.
Подинтегральная функция в этом интеграле имеет, очевидно,
первообразную функцию \nf(z), и мы получим величину интеграла,
определив приращение этой первообразной функции, которое она
получает при обходе контура /. При этом нужно рассматривать
однозначную ветвь этой функции, что сводится, как мы знаем, к тому,
чтобы при обходе контура / следить за непрерывным изменением
аргумента /(г), причем
После обхода контура 1п|/(г)| вернется к прежнему значению и
никакого приращения не получит, и, следовательно, общее прира-
щение нашей первообразной функции будет равно произведению /
на приращение, получаемое аргументом arg/(z). Согласно формуле
A20), мы должны еще разделить приращение первообразной функ-
ции на 2тс/ и получаем окончательно следующий результат:
Теорема Кош и. Если f(z) регулярна в замкнутой области В
и отлична от нуля на контуре I этой области, то число корней
этой функции внутри области равно изменению аргумента функ-
ции при обходе контура, деленному на 2п, или, иначе говоря,
равно упомянутому изменению аргумента, выраженному в долях 2tu.
Доказанная теорема представляется совершенно очевидной для
случая полиномов. Возьмем для примера полином третьей степени и
22] ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛЕ КОРНЕЙ 95
представим его в виде, разложенном на множители первой степени:
а0 + a{z + а^ + а3г3 = а3 (z — bx) (z — &2) (z — Ьъ\
Положим, что корни Ьх и fe2 находятся внутри контура /, а корень
Ъъ — вне этого контура /. Всякой разности (z — bk) соответствует
вектор, идущий из bk в z. При обходе точкой z контура / аргументы
векторов (z — b\) и (z — ft2) получат, очевидно, приращение 2ти,
а аргумент вектора (z — ft3) не изменится. Таким образом, общее при-
ращение аргумента для функции будет 4ти (аргумент произведения
равен сумме аргументов сомножителей), или в долях 2тс это при-
ращение будет равно 2, т. е. как раз числу корней внутри /.
Установим еще одну теорему, касающуюся числа корней регу-
лярной функции и являющуюся непосредственным следствием теоремы
Коши. Пусть, как и раньше, /(г) регулярна в замкнутой области и
на контуре отлична от нуля. Положим, что имеется еще функция cp(z),
регулярная в замкнутой области, значение которой на контуре / по
модулю меньше значений /(г), т. е.
на /. A21)
Заметим, что при наличии этого условия f(z) не может, очевидно,
обращаться в нуль на /. Будем рассматривать две функции:
A22)
Обе они удовлетворяют условиям теоремы Коши. Для первой из
них это уже указано, а что касается второй, то она не может на
контуре обращаться в нуль в силу условия A21). Покажем, что
вторая из функций A22) имеет внутри контура столько же корней,
сколько и первая. Для этого рассмотрим аргумент этой функции на
контуре, причем будем помнить, что на этом контуре f(z) Ф 0:
arg [f(z) + <р (г)] = arg/(*) + arg
Для доказательства нашего утверждения достаточно показать, что
при обходе контура / изменение аргумента
arg [!+;-§] A23)
будет равно нулю. Согласно условию A21), на контуре / дробь
^4-у будет по модулю меньше единицы, и, следовательно, при обходе
контура / переменная точка
будет все время заключаться внутри окружности С с центром в точке
/=1 и радиусом единица. Эта переменная точка опишет некото-
рую замкнутую кривую, находящуюся внутри окружности С и не
96
ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[22
обходящую, очевидно, вокруг начала координат. Мы видим таким
образом, что, действительно, изменение аргумента выражения A23)
будет равно нулю.
Теорема Руше. Если f(z) регулярна в замкнутой области
с контуром I и ср(г) также регулярна в замкнутой области
и на контуре I удовлетворяет условию A21), то функции f(z)
и f{z)-\-y (z) имеют внутри области одинаковое число корней.
Заметим, что из этой теоремы Руше непосредственно вытекает
основная теорема алгебры о том, что всякий полином степени п
а, + ахг +... + anzn (an ф 0) A24)
имеет на плоскости ровно п корней. Действительно, положим в дан-
ном случае f(z) = anzn и ср (z) = а0 -|- axz -\-... -f- an_xzn~x. На всякой
окружности с центром в начале и с достаточно большим радиусом
мы будем иметь, очевидно,
| ср (z) | <^ | f(z) |, так как степень
полинома ср (г) ниже степени по-
линома f(z). В силу теоремы Руше
полином A24) будет иметь внутри
такой окружности столько же
корней, сколько их имеется у по-
линома f(z) = anzn, а последний
полином имеет в начале z = 0
корень кратности п.
Рис. 20. Укажем еще на одно следст-
вие теоремы Коши, которое играет
важную роль в теории конформного преобразования. Положим, что
функция
w=f(z) A25)
регулярна в замкнутой области и при обходе точкой z контура /
точка w описывает простой замкнутый контур /ь который не пере-
секает сам с^бя (рис. 20). Покажем, что при таком условии функция
A25) преобразует исходную область В в область Въ ограниченную
контуром /t. Возьмем некоторую точку wx внутри контура 4 и неко-
торую точку w% вне контура 1Х. Нам надо показать, что функция
F, (г)=/(*) — w,
имеет внутри области В один корень, а функция
ни одного корня. При обходе точкой z контура / разности f(z) —
— Wi = w — wx будет соответствовать вектор, идущий из точки W\
в переменную точку w контура 1Х. При этом мыслимы два случая:
или точка w описывает кон-тур 4 против часовой стрелки, или этот
22] ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛЕ КОРНЕЙ 97
обход совершается по часовой стрелке, причем точку z мы заста-
вляем описывать контур / в положительном направлении, т. е. против
часовой стрелки. В первом случае изменение аргумента функции F\(z\
будет, очевидно, равно 2тс, и, следовательно, эта функция будет дей-
ствительно иметь один корень внутри /. Во втором случае мы полу-
чили бы для изменения аргумента функции F^(z) отрицательное число
(— 2тс), и вышло бы, что функция F\(z) имеет внутри области минус
один корень, что нелепо, ибо число корней должно быть равно нулю
или целому положительному числу. Таким образом, второй случай
встретиться не может, и при положительном обходе точкой z конту-
ра/и соответствующая точка w должна описывать 1\ тоже в поло-
жительном направлении. Обращаемся теперь к функции F*(z). Соот-
ветствующий вектор, идущий из w% в переменную точку w контура liy
при обходе этого контура не получит никакого приращения аргумен-
та, и, следовательно, действительно функция F^(z) не будет иметь
корней внутри /. Мы приходим, таким образом, к следующей теоре-
ме: если f(z) регулярна в замкнутой области Б с контуром / и пре-
образует / в простой замкнутый контур 1Ь который не пересекает
сам себя, то при положительном обходе контура / контур \ также
обходится в положительном направлении, и функция f(z) преобра-
зует область В в часть плоскости, ограниченную контуром lt.
Мы получили теорему Коши, рассматривая интеграл, стоящий
в левой части формулы A20), в предположении, что f(z) регулярна
в замкнутой области и на контуре отлична от нуля. Предположим
теперь, что f{z) имеет внутри области конечное число полюсов,.
а в остальном регулярна и на контуре регулярна и отлична от нуля.
При этом, как мы видели, подинтегральная функция будет иметь
внутри области простые полюсы в корнях функции f{z) с вычетом,,
равным кратности корня, и в полюсах функции f(z) — с вычетом,
равным минус кратность полюса. Применяя к интегралу основную-
теорему о вычетах, будем иметь в рассматриваемом случае вместо
формулы A20)
^y^ A26)
где т — общее число корней и п — общее число полюсов нашей
функции внутри области. Положим, что корни находятся в точках
Ь%, ... ¦ Ьт, а полюсы — в точках ch c2 • • • > сп> причем кратные корни
и полюсы считаются несколько раз. Нетрудно доказать, пользуясь
основной теоремой вычетов, следующую формулу:
^ \ ^ . + *-X A27)
т. е. интеграл, стоящий слева, выражает разность между суммой
координат корней и суммой координат полюсов. Действительно*
98 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [23
например в случае корня Ь кратности k мы имеем вблизи этой точки
разложение
откуда непосредственно следует, что вычет в этой точке равен kb.
Аналогично рассуждение и для полюса.
Сделаем в заключение некоторое добавление к предыдущей тео-
реме о конформном преобразовании области в область. Пусть нам
известно, что f(z) имеет внутри области В один простой полюс,
т. е. в формуле A26) п=1, и что f(z) переводит контур / в про-
стой замкнутый контур, не пересекающий сам себя, но положитель-
ному обходу контура / соответствует отрицательный обход по кон-
туру /j. Обратимся вновь к рассмотрению функций F\(z) и F%(z\
Обе они имеют внутри области тот же простой полюс, что и f(z\
Для первой из них изменение аргумента, выраженное в долях 2ти,
будет равно минус единице, но, с другой стороны, согласно фор-
муле A26), это изменение аргумента должно давать разность между
числом корней и числом полюсов, причем по условию функция имеет
один полюс. Отсюда непосредственно следует, что функция Fi(z)
не имеет ни одного корня. Наоборот, изменение аргумента функции
F%(z) при обходе точкой z контура / будет равно нулю, т. е. раз-
ность числа корней и полюсов у этой функции будет равна нулю.
Но эта функция имеет один полюс, а следовательно, она имеет и
один корень. Таким образом, в рассматриваемом случае функция f(z)
преобразует часть плоскости, находящуюся внутри контура /, в часть
плоскости, находящуюся вне контура 1Ь причем полюс f(z) перехо-
дит в бесконечно далекую точку.
23. Обращение степенного ряда. Мы применим сейчас теорему
Руше для исследования функции, обратной степенному ряду
w = a0-f-al(z — b) + a^z — b? + ... = F(z). A28)
Будем сначала считать, что коэффициент ах отличен от нуля,
т. е. что Fr{b)^0. При значениях г, близких к Ь, мы будем получать
значения w, близкие к а0. Покажем, что в рассматриваемом случае
некоторая окрестность точки b перейдет в однолистную окрест-
ность точки а0, содержащую эту точку внутри себя. Из этого, между
прочим, будет непосредственно следовать, что функция, обратная A28),
будет однозначной и регулярной в окрестности точки а0 и будет,
следовательно, разлагаться в ряд Тейлора по степеням (w — а0).
Функция
23] ОБРАЩЕНИЕ СТЕПЕННОГО РЯДА §&
имеет в точке Ъ простой корень и в некоторой окрестности этой
точки наверно отлична от нуля [18]. Пусть К — такой круг с цент-
ром Ь, в котором функция f{z) регулярна, и имеет единственный
корень z = b. На окружности С этого круга \f(z)\ в нуль не обра-
щается, и существует такое положительное число ту что на этой
окружности | f(z) | ^> т. Пусть далее /Ci есть круг на плоскости w
с центром а0 и радиусом р, меньшим числа т. Возьмем некоторую
фиксированную точку wOi принадлежащую этому кругу.
Мы имеем, следовательно, \а0—wo\^p<^m, T- е. на окруж-
ности С круга К имеем \а0 — w0| <| f(z)|, так как \f(z)\^>m на С.
Согласно теореме Руше, функция
«о — Щ+/(*) = «о +/(*) — Wo = Z7 (^) — ^о
имеет внутри круга /С столько же корней, что и функция /(г), т. е.
один корень. Иначе говоря, значения w = F(z) покроют однолистно
круг К\, когда z меняется в некоторой окрестности точки z = by
т. е. однолистному кругу К\ плоскости w будет соответствовать на
плоскости некоторая, вообще говоря, не круговая окрестность точки
z = b (содержащая точку z — b внутри себя). Наше утверждение>
таким образом, доказано, т. е. если в ряде A28) коэффициент а^О,
то окрестность точки z = b переходит в однолистную окрест-
ность w=zaQ, и обращение ряда A28) при w, близких к w = aQy
имеет вид
A29)
71=1
Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда в ряде A28)
несколько первых коэффициентов обращаются в нуль:
(z - Ь)™ +... (ат ф 0), A30)
т. е.
Рассмотрим корень /гг-й степени из последнего множителя справа:
причем мы берем то значение этого корня (степени с показателем
—¦), которое равно единице при z = b. Существует такое положи-
тельное число р, что при \z — b | ^ р степенной ряд, стоящий в квад-
ратной скобке, сходится и его сумма по модулю меньше некоторого
100 ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [23
наперед фиксированного числа qy меньшего единицы. При этом ко
—
q
всей фигурной скобке в степени — можно применить формулу бинома
Ньютона:
При \z — Ь | <^ р члены этого ряда — регулярные функции и ряд
сходится равномерно, ибо модуль квадратной скобки меньше числа q>
где 0<^<С1- Пользуясь теоремой Вейерштрасса [12], получим
где \z — &|<О> и можно переписать A30) в виде
w-ali=:{yTm{z-b)[\ + cl{z-b) + ci{z-b? + ..
где у^ат — какое-либо фиксированное значение корня, или
A31)
где dx = у^ат Ф 0 и dk = Уат ck_x (k > 1).
Функция
преобразует однолистную окрестность точки z = b в однолистную
окрестность точки хе/ — О, и при этом преобразовании углы в точке
z = b не меняются. Преобразование A31) может быть записано
в виде w — ao = w'm, откуда следует, что при преобразовании A31)
или, что то же, при преобразовании A30) окрестность точки z = b
переходит в т-листную окрестность точки w = a0 и углы в точке
z = b при этом преобразовании в точке w = aQ увеличиваются
s m раз. Формула A31) равносильна формуле
\г-Ь\<р\
где слева надо брать все значения корня. Формула w' = j/~w — а0
/я-листную окрестность точки w — a0 преобразует в однолистную
окрестность гг/ = О. В силу доказанного выше обращение степенного
ряда A32) имеет вид
* = »+2 *«<*"¦ (*1Э*0)
=* + 21 еп {V^
24] ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 101
или, возвращаясь к переменной w, получаем обращение степенного
ряда A30) в виде
(*i^0), A33)
и справа надо брать все значения корня.
Выше рассмотрен случай, когда точки z и w находятся на конеч-
ном расстоянии. Аналогичные результаты получаются и в том случае,
когда одна из точек или обе находятся на бесконечности. Положим,
например, b — оо и а0 — на конечном расстоянии. Вместо A30) будем
иметь разложение
; атф0). A34)
При этом однолистная окрестность точки г = оо переходит в т-
листную окрестность точки w = a& и обращение ряда A34) имеет вид
оо
-1
Ф 0). A35)
В случае «> = оо и z — на конечном расстоянии функция имеет
полюс в точке z = b:
Однолистная окрестность z = b переходит в /и-листную окрестность
да = оо, и обращение ряда имеет вид
z — 0 =
Бели z и w находятся на бесконечности, то w имеет при 2 = оо
полюс:
00
w = a_mzm + a_^zm-1 -f • • • + ахг + 2 а«г"Л' 037)
а обращение имеет вид
24. Принцип симметрии. В [18] было определено аналитическое
продолжение из области Bi в новую область Вч для того случая,
когда эта новая область налегала на первоначальную, причем в общем
102
ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[24
случае не было дано никакого практического способа, как действи-
тельно осуществлять это аналитическое продолжение. Теперь укажем
на одну из возможностей осуществить аналитическое продолжение
в частном случае, причем в этом частном случае новая область будет
не налегать на старую, но лишь соприкасаться со старой областью
вдоль некоторого контура. Предварительно мы должны доказать
одну вспомогательную теорему.
Теорема Римана. Если fx(z) регулярна с одной стороны
от дуги кривой L и на самой этой кривой, a f%(z) обладает тем
же свойством по другую сторону от кривой, и значения этих
функций на самой дуге L совпа-
дают, то эти две функции сов-
местно определяют единую регу-
лярную функцию в области, содер-
жащей упомянутую дугу внутри
себя, или, иначе говоря, f%{z)
является аналитическим продол-
жением fx(z).
Проведем контуры 1Х и /2 с об-
щими концами на L, из которых
первый лежит в области регулярности функции fx(z\ а второй —
в области регулярности функции f^{z\ так что в областях Вх и В%>
ограниченных замкнутыми контурами 1Х и L и /2 и I, наши функ-
ции fx(z) и f%(z) регулярны (рис. 21). Возьмем некоторую точку z
внутри В\. Она будет лежать вне В& и мы, следовательно, можем
написать [7]
Рис. 21.
°~ъа1 \f=-zdz'-
Если мы сложим эти два равенства, то в правой части нам при-
дется два раза интегрировать по дуге L в противоположных направ-
лениях, причем подинтегральные функции при обоих интегрированиях
будут одинаковыми, так как на указанной дуге значения f\(z') и f$(z')
по условию совпадают. Таким образом, эти два интеграла взаимна
сократятся и останутся лишь интегралы по дугам 1Х и /а. Для со-
кращения обозначим через /(/) функцию, равную /t (.г') на дуге 1Х и
равную /2(г') на дуге /2. Складывая предыдущие равенства, будем
иметь
fii*) =
2ni \ z' — z
dz\
24] ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 103
Совершенно так же, беря точку z в области В& мы получили бы
f{z'} dz'
т. е. наши функции f\(z) и f%(z) выражаются одним и тем же инте-
гралом типа Коши по замкнутому контуру (lx -f- /2). Следовательно,
первая из этих функций из области Вх аналитически продолжима
в. область Въ а вторая из В% — в В\> и в результате этого аналити-
ческого продолжения они со-
здают единую аналитическую
функцию, что и доказывает
теорему Римана.
Заметим, что в предыдущем
доказательстве мы пользова-
лись формулой Коши, которая
справедлива и для того случая,
когда функция не регулярна
на контуре, но лишь непре-
рывна в замкнутой области и
регулярна внутри. Таким обра-
зом, в условии теоремы Римана
мы не обязаны считать данные
функции fi(z) и /9(г) регуляр-
ными на самой дуге. Достаточно Рис. 22.
лишь, чтобы fi(z) была регу-
лярна с одной стороны дуги L и непрерывна вплоть до самой дуги
и то же для /2(«г) с другой стороны дуги, причем значения этих функций
на самой дуге L должны совпадать. При этом теорема Римана до-
казывает возможность аналитического продолжения каждой из этих
функций через дугу и тот факт, что одна из этих функций осу-
ществляет это аналитическое продолжение для другой.
Переходим теперь к установлению принципа симметрии.
Принцип симметрии. Если /Л (z) регулярна с одной стороны
от некоторого отрезка (а, Ь) вещественной оси и непрерывна
вплоть до этого отрезка, причем на самом отрезке ее значения
вещественны, то эта функция аналитически продолжима через
упомянутый отрезок, и в точках, симметричных относительно
вещественной оси, эта функция будет иметь комплексные сопря-
женные значения.
Положим для определенности, что наша функция fi(z) регулярна
в некоторой области Вр примыкающей к отрезку (а, Ь) и лежащей
над этим отрезком (рис. 22). Построим область В%, симметричную
с Bi относительно вещественной оси, и определим в этой области
функцию /2 (z) по следующему правилу: положим, что в каждой
104 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [24
точке А% области Z?2 функция АС?) имеет значение комплексное^
сопряженное с тем значением, которое данная функция f\(z) имеет
в симметричной относительно вещественной оси точке А\. Эти сим-
метричные точки имеют, очевидно, комплексные сопряженные коор-
динаты и, обозначая, как всегда, через а комплексное число, сопря-
женное с а, мы можем написать определение нашей функции /2(<г)
в области В% в виде
Эта вновь построенная функция будет регулярной в области В*.
Действительно, для нее приращения независимого переменного Дг и
функции bw будут величинами комплексными, сопряженными с ана-
логичными величинами для функции Л (-г) в симметричной точке*
То же можно сказать и про отноше-
ние этих приращений. Следовательно,,
это отношение для функции /2B)
стремится к определенному пределу,,
равному величине комплексной со-
пряженной с аналогичным пределом
для f\(z)} т. е. к пределу, рав-
ному fB), и, следовательно, функ-
ция fi(z) будет регулярной в об-
ласти В* На самом отрезке (а, Ь}
значения f^(z) совпадают со значе-
Рис. 23. ниями f\(z), так как на этом отрезке
значения f\{z) вещественны. Таким
образом, f<n(z) является, согласно теореме Римана, аналитическим про-
должением fi (z) через отрезок, что и доказывает принцип симметрии.
Мы можем формулировать принцип симметрии и геометрически,,
а именно: если fi(z) регулярна с одной стороны отрезка (а, Ь) ве-
щественной оси и преобразует этот отрезок тоже в отрезок веще-
ственной оси, то она аналитически продолжим а через этот отрезок
и точки, симметричные относительно вещественной оси, преобразует
в точки, тоже симметричные относительно вещественной оси. Можно
формулировать принцип симметрии более общим образом, вводя по-
нятие о точках, симметричных относительно окружности, а именно
назовем две точки симметричными относительно окружности, если
эти две точки находятся на одном и том же радиусе окружности
(одна на самом радиусе, а другая на его продолжении), причем произ-
ведение расстояний этих точек до центра окружности равно квад-
рату радиуса этой окружности (рис. 23).
Пусть А\ и А* — две точки, симметричные относительно окруж-
ности С. Проведем через эти две точки какую-нибудь окружность С*
и пусть М — одна из точек пересечения С с окружностью С.
РЯД ТЕЙЛОРА НА ОКРУЖНОСТИ КРУГА СХОДИМОСТИ
105
Принимая во внимание, что произведение секущей ОЛ§ на ее
внешнюю часть ОА\ должно равняться квадрату касательной и, с дру-
гой стороны, по определению это произведение должно равняться
квадрату радиуса ОМ*, мы можем утверждать, что радиус ОМ яв-
ляется касательной к окружности С, т. е. окружность С ортогональна
к окружности С. Отсюда нетрудно видеть, что и для двух точек Ах
и А2, симметричных относительно окружности С, характерным является
то обстоятельство, что всякая окружность, проходящая через них,
будет ортогональна с С, или, иначе говоря, пучок окружностей,
проходящих через точки, симметричные относительно окружно-
сти С, будет состоять из окружностей, ортогональных к С. Та-
ким же характерным свойством обладают и две точки, симметричные
Рис. 24.
относительно прямой, а именно: пучок окружностей, проходящих
через эти две точки, будет состоять из окружностей, ортого-
нальных к прямой (рис. 24).
Принцип симметрии в общем виде читается так: если f\(z) регу-
лярна с одной стороны некоторой дуги (а, Ь) окружности Cv непре-
рывна вплоть до этой дуги и преобразует эту дугу также в неко-
торую дугу другой окружности С2> то /i (z) аналитически продолжима
за дугу (а, Ь)> и точки, симметричные относительно окружности Q,
она преобразует в точки, симметричные относительно окружности С*
В этой формулировке принципа симметрии мы можем понимать
под словом «окружность» как окружность в собственном смысле
этого слова, так и прямую линию.
Доказательство этой общей формулировки принципа симметрии
будет нами дано в начале следующей главы.
25. Ряд Тейлора на окружности круга сходимости. Рассмотрим
ряд Тейлора
bf A38)
106 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [25
с радиусом сходимости R. Полагая z — b = pei<?> можем написать
ряд A38) в виде
f>rfV** A39)
fe = 0
или
оо
^ Ч (cos ky + isin *?) Р*-
Этот ряд по условию будет сходящимся при p<R. Что же ка-
сается р = /?, т. е. самой окружности круга сходимости, то в этом
случае ничего определенного сказать о сходимости нельзя. Если мы
возьмем, например, ряд
1 _}_z_|_^_}- ... (НО)
с радиусом сходимости /?=1, то на самой окружности круга схо-
димости, т. е. при |г|= 1, модули всех членов ряда будут равны
единице, и ряд будет, очевидно, расходиться на всей окружности круга
сходимости. В качестве противоположного примера рассмотрим ряд
l+f. + $ + - С141)
Для этого ряда отношение модулей последующего члена к пре-
дыдущему будет
zn
(п+\у
п*
и это отношение будет стремиться к \z\, а следовательно, в силу
признака Даламбера, радиус сходимости этого ряда будет также еди-
ница. Подставляя z = el(?, получим ряд, модули членов которого бу-
дут равны положительным числам — , образующим сходящийся ряд,
т. е. ряд A41) сходится абсолютно и равномерно не только внутри
круга сходимости, но и во всем замкнутом круге, включая его
окружность. Мы видим, таким образом, что в вопросе сходимости сте-
пенного ряда на окружности круга сходимости обстоятельства могут
быть весьма разнообразными.
Выше мы видели, что дифференцирование и интегрирование сте-
пенного ряда не меняют круга сходимости. Но эти операции могут
весьма существенным образом сказаться на сходимости этого ряда
на контуре круга сходимости. Так, например, интегрируя два раза
ряд A40), получим ряд
1-2 ^2-3 '3-4 г-"э
который, как и ряд A41), абсолютно и равномерно сходится во всем
замкнутом круге.
25]
РЯД ТЕЙЛОРА НА ОКРУЖНОСТИ КРУГА СХОДИМОСТИ
107
Отметим одну теорему, которая касается суммы степенного ряда,
если он сходится на окружности круга сходимости. Совершенно ана-
логичную теорему для случая вещественного переменного мы дока-
зали раньше [I, 149] и здесь мы не будем останавливаться на дока-
зательстве и формулируем лишь результат.
Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд A38) сходится
в некоторой точке z — b = Rei?o окружности круга сходимости,
то он сходится равномерно на всем радиусе argB — #) = ср0. От-
сюда непосредственно следует, что сумма ряда есть непрерывная
функция на всем упомянутом радиусе, т. а что значение суммы ряда
в точке окружности Rel?0 равно пределу, к которому стремятся вну-
тренние значения суммы ряда при приближении к точке Rel(?0 изнутри
по радиусу. На этой теореме основано простое определение сумм
некоторых тригонометрических рядов.
Рассмотрим один пример. Заменим в разложении
z на (—z) и вычтем полученный ряд из предыдущего. Таким образом по-
лучится разложение у
lni±f=2(!+!+?i+,
A42)
с кругом сходимости | z | < 1. По
ложим в этом разложении z =
и отделим вещественную часть от
мнимой:
cos 3<р , cos 5cp
""~3~ + ~5~"
+
sin 3«p sin 5cp \
Рис. 25.
Можно показать, на чем мы
не останавливаемся, что оба напи-
санных тригонометрических ряда
сходятся, если ср отлично от
kn (k = 0} ± 1, ± 2,...). Определим суммы этих рядов, исходя из формулы
Из рис. 25 непосредственно получаем при z =
. MA = 2 sin i
@ < ср <
108 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [2в
1 I 2
Аргумент дроби 1 ' равен углу, образованному вектором М'А с вектором
1 ~—~ Z
МАУ причем при 2 = 0 (векторы М'А и МА совпадают с вектором О А) сумма
ряда A42) равна нулю и упомянутый угол надо считать равным нулю. При
М —* e*v точка М' стремится к (— ei(?)y и при совпадении М с е** указанный
угол равен -у (он опирается на диаметр). Мы определили, таким образом*
сумму вышенаписанных рядов:
_ /sin<p , sin 3<р
Отметим еще одно обстоятельство, связанное с представлением-
тригонометрического ряда в виде A39). Отделим у коэффициентов ак
вещественную и мнимую части: ak==0Lk— /рл. Подставляя в фор-
мулу A39) и отделяя у всей суммы вещественную и мнимую части,,
мы получим формулу вида
(ИЗ)
Второй тригонометрический ряд отличается от первого лишь тем,
что коэффициенты при cos ky и sin Ajcp переставлены, причем у коэф-
фициента, который стоял при sin/jcp, изменен знак. Обычно второй
тригонометрический ряд называется сопряженным с первым.
26. Дополнительные сведения о формуле Коши. Используя интеграл-
Лебега, можно получить простые законченные результаты о предельных
значениях функций, регулярных в некоторой области, на границе / этой
области, и об условиях применимости формулы Коши. Напомним и уточним
понятия, связанные с границей. В [5] мы определили простую замкнутую
кривую. Если в параметрическом представлении такой кривой ограничиться
лишь предположением в непрерывности функций х (t) и у (t), то соответ-
ствующая кривая называется замкнутой кривой Жордана. Строго доказы-
вается, что такая кривая / является границей двух областей плоскости, из ко-
торых одна лежит внутри и другая вне /. Мы будем сейчас предполагать,
что / есть гладкая кривая, так что ее уравнение может быть записано
в виде x = x(s), ^=^(s), где s — длина дуги /, отсчитываемая от некото-
рой фиксированной точки вдоль / [4]. Если о> (z) есть какая-либо функция,
заданная на /, то ее можно рассматривать, как функцию «[х (s) -{-iy (s)}
от s, заданную на промежутке O^s^Z., где L — длина /. Контурный ин-
теграл по / сводится к интегралу по s:
I
(/) dz' = \ со [х (s) + iy (s)] [xf (s) + iy' (в)) ds, A44>
где
I * (s) + iy' (s) | = V*'* W + Уа (*) = 1. A45>
26) ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФОРМУЛЕ КОШИ
Отделяя в <о [х (s) + iy ($)] вещественную и мнимую части: со (г') = и (s) +
+ iv(s), мы получим два вещественных интеграла, и интеграл A44) будет
иметь смысл, если и (s) и v (s) измеримы и суммируемы на промежутке
b^s^L Отметим, что х' (s) и у' (s) по условию непрерывны и в силу
сказанного выше удовлетворяют неравенствам |*'(s)|^l и |.y'(s)|^l.
Таким образом, при сделанных выше предположениях мы определили кон-
турный интеграл A44) по /. Сказанное, естественно, сохраняется и в случае
незамкнутых кривых. Это относится, в частности, и к интегралам типа Коши.
Пусть В— область, находящаяся внутри замкнутой кривой /, и/(г) — функ-
ция, регулярная внутри В. Определим строго понятие предельного значения
f (г) в какой-либо точке г'о на /. Кратко говоря, речь будет идти о том,
что при определении предельного значения мы должны исключить стремле-
ние г к z'o из В по путям, касательным к / в точке z'o. Пусть п0 — направ-
ление внутренней нормали к / в точке z'o, т. е. то направление, которое
в окрестности z'o принадлежит В. Пусть а — угол, с вершиной z'Q9 растворе-
ния меньше я, биссектрисой которого является внутренняя нормаль п0.
Если f(z) имеет определенный предел при стремлении z к z'o во всех углах
указанного типа, то этот предел f(z'o) называют обычно угловым предель-
ным значением/(г), в точке границы z'o.
Положим, что f(z) имеет везде или «почти везде» на / угловые пре-
дельные значения f(z'o). Термин «почти везде» на / обозначает почти везде
на промежутке Os^s^Z. Напомним, что точкам г* на / соответствуют s
из указанного промежутка (значениям s = 0 и s = L соответствует одна и
та же точка на /, что несущественно). Положим, далее, что эти предельные
значения f(z) =f[x (s) + О> (s)] — суммируемая функция по s на проме-
OZ.. Пр f()
жутке O^s^Z.. При этом нельзя утверждать, что f(z) выражается через
свои предельные значения по формуле Коши. Для того чтобы это имело
место, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
\f(z')z'bdz' = 0 (* = 0, 1,2, ...). ' A46)
Можно при этом исходить не от функции, регулярной внутри В, а от функ-
ции/(*'), заданной на / и удовлетворяющей условиям A46). Сформулируем
соответствующую теорему:
Теорема 1. Если I — гладкая кривая и /(*') — заданная на I сумми-
руемая функция, то условия A46) необходимы и достаточны для тогоу
чтобы существовала регулярная внутри В функция /(*), угловые предель-
ные значения которой на I совпадают почти везде на I с f(z') и которая
пред ставима формулой Коши
h* (z из В). A47)
Отметим, что при условиях A46) интеграл, стоящий в правой части
формулы A47), равен нулю, если z находится вне В. Условия A46) связаны
с функцией f(z')f определенной на /. Естественно, возникает вопрос об ус-
ловиях, накладываемых на значения регулярной внутри В функции /(z),
при которых f(z) имеет везде или почти везде на / угловые предельные
значения и выражается через них по формуле Коши A47). Достаточным ус-
ловием этого является ограниченность f(z) в В, т. е. существование такого
числа М>0, что \f(z) \^M для всех z из В. В случае, если В есть круг
|z|<l, необходимое и достаточное условие состоит в ограниченности ин-
тегралов от |/(г) | по концентрическим окружностям |z|=r @<г<1)>
т. е. в существовании такого числа М > 0, что
2*
110 ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [27
Можно доказать, что эти интегралы возрастают при возрастании г. Для лю-
бой области с гладкой границей имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Для того чтобы функция f(z), регулярная внутри В,
имела везде или почти везде на I угловые предельные значения fiz'), сум-
мируемые на /, и выражалась через них по формуле Коши, необходимо а
достаточно существование внутри В последовательности таких гладких
замкнутых контуров 1п, стремящихся к I, что
J|/MWs^M, A48)
п
где М—определенное число (не зависит от п).
Стремление 1п к / состоит в следующем: любая замкнутая область, ле-
жащая внутри Ву находится внутри всех 1т начиная с некоторого номера п.
В дальнейшем будет показано, что область В может быть бесчисленным
множеством способов конформно преобразована в круг | z | < I единичного
радиуса и в качестве линий 1п можно брать линии, которые при каком-либо
из указанных конформных преобразований переходят в окружности | z | = г
@ < г <С 1). Если на таких линиях условие A48) не выполнено, то не суще-
ствует последовательности /„, на которой оно выполнено.
Выше мы предполагали, что граница / — гладкая кривая. Достаточно
предположить, что это — кусочно гладкая кривая [4]. При этом в отдель-
ных точках может и не существовать касательной.
Гораздо более общим предположением, при котором все сказанное выше
имеет место, является предположение, что / есть спрямляемая кривая Жор-
дана. Определим точно это понятие. Пусть x = x(t), y=y(t) — параметри-
ческое представление замкнутой кривой Жордана и a^t^$ — какая-либо
часть всего промежутка a^t^b (или весь этот промежуток), соответ-
ствующего параметрическому представлению. Промежутку а^^^р соответ-
ствует некоторая дуга X кривой /. Произведем какое-либо разбиение указан-
ного промежутка на части:
а = t0 < t, < t2 < ... < tn_x < tn = p,
что даст некоторое разбиение дуги X на части. Проводя через точки деле-
ния ломаную, будем иметь для ее длины выражение
п-\
° = 2] I * ('*+'> - z <'*> I <* to) = x (ts)
Величина а зависит от способа разбиения промежутка. Если множество
значений а при всевозможных способах разбиения имеет конечную точную
верхнюю границу [I, 42], то эта граница называется длиной дуги X. Если
любая дуга X имеет в указанном смысле длину, то кривая / называется
спрямляемой кривой Жордана, и для нее в этом случае можно в качестве
параметра взять длину дуги s, отсчитываемую от какой-либо ее определен-
ной точки: х = х ($), у =у ($), как это мы делали для гладкой кривой. При
этом почти везде на промежутке O^s^Z,, где L — длина всей кривой /,
существуют производные х' (s) и у' ($), удовлетворяющие соотношению
х'2 (s) +y'2 (s) = 1. Обе указанные выше теоремы имеют место и в том
случае, когда I — спрямляемая кривая }Кордана. Отметим, что мы рассмот-
рели лишь тот случай, когда область ограничена одной замкнутой кривой
(односвязная область).
27. Главное значение интеграла. Мы переходим к исследованию пре-
дельных значений интеграла типа Коши. Предварительно нам надо ввести
новое понятие в связи с интегралами от разрывных функций. Пусть х = с —
27| ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 111
некоторая точка, содержащаяся внутри конечного промежутка (a, ft), и f (х) —
некоторая функция, определенная в этом промежутке. Пусть далее интегралы
с -« ь
\ f(x)dx и \ f(x)dx A49)
а с -f-«
существуют при любом е >• 0. Положим, например, что / (х) непрерывна во
всем промежутке (я, ft), кроме точки х = с, и становится неограниченной при
приближении х к с. Определение несобственного интеграла от f(x) по про-
межутку (я, ft) сводится к следующему: если при е—>-j-O интегралы A49)
стремятся к конечным пределам, то сумма этих пределов и называется ин-
тегралом от f (х) по промежутку (я, ft) [I, 97]. Если этих пределов в отдель-
ности для интегралов нет, но сумма этих интегралов при е—* + 0 стремится
к конечному пределу, то этот предел
с-* ь
lim [ jj f(x)dx+ \ f(x)dx)
называется главным значением интеграла от / (х) по промежутку (я, Ь)\
ь с —г ъ
v. p. \f(x)dx=z lim [ \ f(x)dx+ \ f(x)dx\ A50)
где v. и р. — первые буквы французских слов valeur principale, что значит
по-русски «главное значение».
В дальнейшем для сокращения письма мы не будем писать букв v. p.
перед знаком интеграла. Характерным для определения A50) является тот
факт, что в пределах интегралов, находящихся в правой части формулы,
стоит одно и то же число е, стремящееся к (+0).
Совершенно аналогично определяется главное значение интеграла и в
том случае, когда / (л:) имеет несколько точек разрыва непрерывности вну-
три промежутка. Если существует обычный несобственный интеграл от функ-
ции f (х) по всему промежутку (а, Ь) [I, 97], то главное значение интегра-
ла A50) совпадает, очевидно, с этим несобственным интегралом. Из опреде-
ления A50) непосредственно вытекает, что постоянный множитель можно
выносить за знак интеграла и что интеграл от суммы конечного числа сла-
гаемых равен сумме интегралов от отдельных слагаемых, причем предпо-
лагается, что интегралы от слагаемых существуют в смысле главного зна-
чения.
Приведем простейшие примеры главного значения интеграла. Рассмот-
рим интеграл
ь
? dt
где a<.x<,b и p — некоторое целое положительное число
Если р> 1, то мы имеем
*-« ь
dt , f dt
112
ГЛ. 1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
B7
Если р— четное, то в правой части последнее слагаемое будет (—2): еР~^
и эта правая часть будет беспредельно возрастать при е—>(+0)> и инте-
грал A51) не существует. Если же р— нечетное число, то правая часть на-
писанной формулы не будет содержать е, и мы получим
ь
При /?= 1 получим
Ь
т. e.
i In (X — t)
= in
b — x
x — a'
t — x
= ln
x — a'
Будем говорить, что функция <•> (лг) удовлетворяет в промежутке (л, Ь)
условию Липшица с показателем а, где 0<а^1, если для любых значе-
ний xt и лг2, принадлежащих упомянутому промежутку, выполнено условие
| <о (хш) - о (х,) | ^ k | х2 —
A52)
где k — некоторая постоянная. Мы вводили раньше такое условие при a = 1
и видели, что оно выполнено, если о> (л:) имеет внутри промежутка ограни-
ченную производную [И, 51]. Рассмотрим интеграл
который мы можем переписать в виде
а а а
Пользуясь условием A52), получаем для подинтегральной функции первого
интеграла следующую оценку в окрестности точки t = x:
—»(*)
k
\t-x\
A54)
и, следовательно, этот интеграл будет абсолютно сходящимся интегралом
в обычном смысле [II, 85]. Второй интеграл равен
х — а
Таким образом, интеграл A53) имеет смысл при любом х, находящемся
внутри (а, Ь), если w (t) удовлетворяет условию Липшица A52). Функция/(дг),
определяемая равенством A53), будет определена для всех х, лежащих
внутри (а, 4). Составим выражение
27]
ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 113
При положительном г подинтегральные функции будут непрерывными функ-
циями t и х, если х принадлежит любому замкнутому промежутку, находя-
щемуся внутри промежутка (a, b)t a t принадлежит промежутку (а, х — е)
или (* + е, Ь)\ поэтому и выражение A55) будет непрерывной функцией
от х. Пользуясь тождеством
и условием A52), нетрудно показать, что при е—*-{-0 выражение A55) стре-
мится к пределу f (х) равномерно по отношению к х, и, следовательно,
функция / (х), определяемая формулой A53), будет непрерывной функцией
во всяком замкнутом промежутке, лежащем внутри (я, Ь), т. е., проще
говоря, f (х) есть непрерывная функция внутри промежутка (я, Ь). Дальше
мы докажем более точный результат, а именно: если о> (t) удовлетворяет
условию Липшица с показателем л < I, то f (х) во всяком промежутке,
лежащем внутри (a, b)t удовлетворяет также условию Липшица с тем же
показателем а, а если в условии A52) а == 1, то f (х) удовлетворяет условию
Липшица с любым показателем, меньшим единицы.
Из условия A52) вытекает, очевидно, непрерывность функции <о (х).
Наоборот, из непрерывности функции не следует, что эта функция удовлет-
воряет условию Липшица, т. е. условие Липшица является более сильным
условием, чем простая непрерывность. Отметим еще, что для существования
интеграла A53) в некоторой точке х достаточно потребовать, чтобы w (t)
удовлетворяла условию Липшица в некоторой окрестности точки л:, а в
остальной части промежутка (я, Ь) была просто непрерывной или даже
только интегрируемой. Действительно, для существования интеграла A53)
нам достаточно иметь оценку A54) при всех значениях t, достаточно близких
к х. Если каждую точку х, лежащую внутри (я, Ь), можно покрыть проме-
жутком, в котором выполняется условие Липшица A52) при некотором
выборе k и а, то интеграл A53) будет существовать при всех х, лежащих
внутри (я, Ь). При этом на различных промежутках, лежаших внутри (я, Ь\
постоянные k и а могут быть различными.
Выясним теперь возможность замены переменных в интеграле A53).
Предварительно докажем лемму: если у\{ (г) и т)а (е) таковы, что отношения
Ъ (е) •« и yK (е): е стремятся к нулю при е —> (+ 0), тс
х - в 4- тц (е)
Г f рв
| ) t —
:= lim
X 4- e Jf- Tj3 (e)
Для доказательства леммы достаточно показать, что
5 (е)
lim \ ^-^ = 0й lim
+ 11 ()
С ^«Л==0. Иг
J t — x е_
t — х
X — г ' " * + е
Докажем, например, первое из этих равенств. Считая тгц (s) >0, будем иметь
\t— х\^г — ^i (е) при X — е^^^д:—e + ^i(e), и, следовательно,
)
m
114 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО B7
?)|. Если t)i(O<.0i то мы могли бы напи-
где т — наибольшее значение
сать
t — X
(в)
V.
и лемма таким образом доказана.
Пользуясь этой леммой, легко доказать формулу замены переменных
в интеграле A53).
Теорема. Пусть t = jjl(x) — монотонно возрастающая функция от х,
изменяющаяся в промежутке (а, Ь), если а ^ х ^ р, причем fx (т) имеет в
промежутке (а, Р) непрерывные производные до второго порядка, и [х'(т)^0
внутри этого промежутка. При этом имеет место формула замены пе-
ременных
A56)
^ л: = fA F), tt интеграл, стоящий справа^ надо понимать в смысле глав-
ного значения.
В соответствии с определением главного значения интеграла составим
сумму
fl(T) —
Обозначим fA(^ — е) = л: — ef и
Тейлора
A57)
V 7
' + y|. Согласно формуле
Полагая Л = — ей затем Л =
получим
@<в1 и
откуда непосредственно вытекает
и, следовательно, отношение тре' стремится к нулю, если е'-*0. Преобразуя
интегралы, входящие в сумму A57), к переменной t, представим эту сумму
в виде
х-в' Ь
с1 Л. 1\
а х + в' + tj
Отметим при этом, что из е-> -|- 0 следует в' —
и наоборот.
28] ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 115
Пользуясь доказанной выше леммой, можно утверждать, что сумма A57)
в пределе дает интеграл, стоящий в левой части формулы A56), чем и дока-
зывается эта формула. В условиях теоремы монотонное возрастание функ-
ции fi. (х) можно, очевидно, заменить и монотонным убыванием.
28. Главное значение интеграла (продолжение). Понятие главного
значения интеграла может быть определено и в случае криволинейного инте-
грала. Мы ограничимся рассмотрением интегралов типа Коши:
где L — замкнутый или незамкнутый контур плоскости комплексного пере-
менного т и 6 — точка этого контура, не совпадающая с его концом, если
контур L незамкнутый. Пусть s — длина дуги L, отсчитываемая от некоторой
точки. Будем в дальнейшем считать, что в параметрическом уравнении кон-
тура т ($) = х (s) +з> (s) / функции х (s) и у (з) имеют непрерывные произ-
водные до второго порядка. Положим, что точке х = ? соответствует значение
s = s0. Главное значение интеграла A58) мы можем определить как главное
значение интеграла по вещественному переменному $:
где / — длина контура L, и мы можем считать, что $0 находится внутри
промежутка интегрирования. Совершенно так же, как и в [27], можно пока-
зать, что интеграл A58) существует, если функция w (x) удовлетворяет на L
условию Липшица:
|а>(ха)~о>(х1)|^^(х2-х1(« @<а^1). A60)
Пользуясь доказанной в [27] теоремой о замене пергменных, нетрудно
показать, что если в некотором параметрическом уравнении контура х (t) =
= х (t) -\-y (t) i функции имеют непрерывные производные до второго порядка
и х' (t)^Q, то главное значение интеграла A58) сводится к главному значению
интеграла
где (а, р) — промежуток изменения параметра t и значение t = t0 соответст-
вует точке х = Е- Если © (х) тождественно равна единице, то для интеграла
A58) мы имеем первообразную функцию 1п (х — х0) и непосредственно по-
лучаем для случая замкнутого контура
A61)
причем всегда считаем, что интегрирование по замкнутому контуру проис-
ходит против часовой стрелки. Совершенно так же, как и в случае прямо-
линейного отрезка, можно утверждать, что при условии A60) формула A58)
определяет функцию /(?), непрерывную во всех внутренних точках L, если
это — незамкнутая кривая, и вообще во всех точках Z., если это — замкнутая
кривая. Имеет место, как и в случае отрезка, более точная теорема, доказан-
ная И. И. Приваловым;
116 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [28
При наличии условия A60) функция / (€) удовлетворяет на замкну-
той кривой L условию Липшица с тем же а, если а < 1, и с любым,
показателем, меньшим единицы, если а = 1. Если L — незамкнутая кри-
вая, то оке имеет место для /(?) на любой замкнутой дуге кривой,
лежащей внутри L.
Докажем эту теорему для случая отрезка. Для контурных интегралов
доказательство аналогично. Сделаем предварительно несколько замечаний об
условии Липшица. Прежде всего нетрудно видеть, что условие Липшица
достаточно проверить для достаточно малых значений | Д? |. Действительно,
пусть A62) установлено при |Д?|^/я, где т — некоторая положительная
постоянная. Если | Д? | ^ т, то отношение
-/F)
|А8|-
остается ограниченным, т. е.
где kt — некоторая постоянная. Выбирая наибольшую из двух постоянных
k и ku мы получаем условие Липшица для всех допустимых значений Д?.
Пусть, далее, |3<а^1. При значениях Д€, по модулю меньших единицы, мы
имеем | Д? |Р > | Д? |«, а потому, если /($) удовлетворяет условию Липшица
с показателем а, то тем более она удовлетворяет условию с показателем $.
Положим, что две функции /, (?) и Д (?) удовлетворяют условию Липшица
с одним и .тем же показателем а. Нетрудно видеть, что их сумма и произве-
дение удовлетворяют также условию с тем же самым показателем. Для суммы
это непосредственно вытекает из того, что модуль суммы меньше или равен
сумме модулей, а в случае произведения мы можем написать
Л E + А6) /. E + А8) —ft F) /. (8) =/. (8 + Щ [Д (8 + А6) - Д F)] +
+Л (8) [/. (8+ А6)-/,(?)],
откуда и следует непосредственно наше утверждение о произведении.
Перейдем теперь к доказательству высказанной выше теоремы. Мы
имеем
ъ
где «о (t) удовлетворяет условию Липшица с некоторым показателем а. По-
ложим, что 5 принадлежит некоторому промежутку /, лежащему внутри
(д, Ь). Во втором слагаемом правой части множитель <о (?) удовлетворяет
условию Липшица с показателем а, а второй множитель имеет ограничен-
ную производную и тем самым удовлетворяет условию Липшица с показа-
телем единица. Таким образом все произведение удовлетворяет условию
Липшица с показателем а, и теорему достаточно доказать для функции
ъ
28]
ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
117
выраженной обычным несобственным интегралом. Нам надо оценить модуль
разности
063)
считая |Д8| достаточно малым. Выделим из промежутка интегрирования
часть (8— е, 6 +с), где е = 21 Д8 |, и оценим модуль интеграла A63) по
этой части промежутка. Пользуясь условием A60), получим оценку
* —8 —
Интеграл от второго слагаемого можно представить в виде
^ 2« |
J
V (Г — б)-"ж Л = ^
Таким же образом можно поступить и с интегралом от первого слагаемого,.
и модуль интеграла A63) по промежутку (8 — е, 8 +О будет иметь оценку
?,|Д8]а, где kt — некоторая постоянная. Остается оценить интеграл A63)
по сумме промежутков (а, 8 — е) и (8 + е, Ъ). Для этого представим под-
интегральную функцию в виде
- со (8 + Д8)]
- « (8)]
A64)
Пользуясь A60), получаем следующую оценку для интеграла от модуля
второго слагаемого:
где ka — некоторая постоянная. При этом надо иметь в виду, что написанный
логарифм остается ограниченным по модулю при изменении 8 в упомянутом
выше промежутке /. Остается оценить интеграл от первого слагаемого вы-
ражения A64) по сумме промежутков (а, 8 — в) и (8 + е, Ъ). Займемся оцен-
кой интеграла по одному первому промежутку. Для второго промежутка
оценка будет буквально такой же. В силу A60) мы имеем следующую оценку
для первого слагаемого выражения A64):
При изменении t на промежутке (а, 8 — г) мы имеем (8 —
F — *)^2|Д8|, и, следовательно, |Д6|:|* —Sl^-y, а поэтому
т. е~
118 ГЛ. I. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [28
Таким образом, при изменении t в промежутке (а, ? — е) модуль первого
слагаемого выражения A64) не превышает
и модуль интеграла от упомянутого первого слагаемого имеет оценку
\ (g-
a
Если а < 1, то мы имеем требуемую оценку:
1 , I
1-е
Таким образом, при а <С 1 нужная оценка разности A63) получена. Если
а = 1, то оценка A64t) имеет вид
*|Д6|[1п(8 —a) —lnB|Ag|)],
и при а = 1 разность A63) имеет оценку вида
где k3 и &4 — некоторые постоянные. Принимая во внимание, что In-
I * I
при Д?—>О растет слабее, чем любая отрицательная степень | Д? |, мы можем
написать
где р— любое число, удовлетворяющее условию 0<р<1, и теорема дока-
зана и для случая a = 1.
Исследуем теперь поведение функции /(?) при приближении точки ?
к концам отрезка, например к концу t = a. Мы, как и выше, считаем, что
о) (t) удовлетворяет условию Липшица с показателями а на всем замкнутом
отрезке (а, Ь). Положим сначала, что о>(я)=0. При этом мы можем продол-
жить функцию нулем для *<а, т.е. можем считать о>(?)=0 при?<а.
При этом <о (t) будет определена на некотором отрезке (аи Ь), где at < a,
и условие Липшица при указанном продолжении не нарушится. Интеграл
ь ь
ai a
будет давать прежнюю функцию /(?), и, принимая во внимание, что точка
t = a находится внутри отрезка (аи Ь), мы можем, на основании доказанного
выше, утверждать, что/(?) удовлетворяет условию Липшица с показателем л
(считаем <х<1) и на любом отрезке (a, bt)y где bt<b. Положим теперь,
ЧТО со (я) :^:0.
Мы можем написать
28] ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 119
В первом интеграле числитель обращается в нуль при t = а, и этот
интеграл дает функцию, удовлетворяющую условию Липшица с показателем
а вплоть до ? = я. Второе слагаемое правой части равно, как мы видели в [27]
со (a) In (b — 6) — о) (a) In (? — а).
Уменьшаемое в этой разности удовлетворяет условию Липшица с пока-
зателем единица вплоть до ? = я.
Таким образом, окончательно в окрестности t = a функция/(8) пред-
ставляет собою сумму
-«(в) Ш F-11)+/, F),
где /j F) удовлетворяет условию Липшица с показателем а вплоть до ? = а.
Аналогично рассматривается и конец ? = />, и в этом случае получается
«(«In (ft-©+/,F),
где /2 (?) удовлетворяет условию Липшица вплоть до % = Ь.
Поведение /(?) вблизи концов отрезка рассматривалось и при более
общих предположениях относительно <о(?). Приведем только результат, дока-
зательство которого можно найти в книге Н. И. Мусхелишвили «Син-
гулярные интегральные уравнения», содержащей впервые проведенное под-
робное исследование интегралов типа Коши.
Теорема. Пусть w (t) удовлетворяет условию Липшица (\Ъ2) с пока-
зателем а на любом замкнутом отрезке (a't b')y содержащемся внутри
(а, Ь), причем постоянная k может зависеть от выбора отрезка (а\ V)
(к может беспредельно возрастать при а1 —> а или Ь' —* Ь). Пусть, далее,
вблизи концов а и Ь функция <о (t) представима в виде
где с означает а или Ь, *у = Ti + Тг^ (Tf^O), причем 0=^7i<l u <°*@
удовлетворяет некоторому условию Липшица вплоть до t = c. При этом
/(?) удовлетворяет условию Липшица с показателем а, если а< 1,
и с любым показателем, меньшим единицы, если а= 1, на любом замкну-
том отрезке, лежащем внутри (я, Ь), и в окрестности ? = с имеет вид
со* (с)
причем, если 7i = 0, то fx (?) удовлетворяет некоторому условию Липшица
вплоть до ? = с, а если ii ф 0, то
где /*(?) удовлетворяет условию Липшица вплоть до $ = с и 7о<7ъ знак
«+» относится к случаю с— а, и знак «—» — к случаю с = Ь.
Это предложение имеет место и в том случае, если прямолинейный
отрезок заменен любой достаточно гладкой дугой с концами t = a и t = bt.
причем интегрирование ведется в этом случае по комплексной переменной t.
Отметим, что если f = 0> то имеет место указанный выше результат:-
где /(?) удовлетворяет условию Липшица вплоть до 6 = с.
120 ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [29
29. Интегралы типа Коши. Рассмотрим интеграл типа Коши [8]
при прежних предположениях относительно <о (х) и L. Положим, что z нахо-
дится не на L. Если L — замкнутый контур, то этот интеграл определяет
две различные регулярные функции -внутри и вне Z.» Если контур незамк-
нутый, то F(z) регулярна вне L. В обоих случаях F(co) = 0. Если г = ?
лежит на контуре, то мы имеем интеграл в смысле главного значения и
можем переписать его в виде
т. е., в силу
Считая сначала, что контур замкнутый, докажем теорему: если г стремится
к некоторой точке ?, лежащей на L, то интеграл A66) имеет предел
<168>
причем знак «+* берется, если z—* ? изнутри L, и знак «—», если г-—?
извне. Разберем стремление изнутри. Интеграл A66) мы можем переписать
в виде
1 С со (х) со (Е) С dz 1 С <«> ft) — со СЕ)
2Й \ гНЛ = 1^ \ Г~5 + Я5 \ х г rfT (l69)
z,7ii j т — г ?ш j х — г ^.x:t j x — z
или
1 ? (о (Т) 1 ? о (х) СО E)
^) ^—^flfX==(°(e) + ^ ^ х — Z dX-
Исследуем разность
1
v ;
По обе стороны от точки 8 отложим дуги малой длины ч\. Образуемую этими
дугами часть контура обозначим через Lu а остальную часть — через Z.2.
Обозначая разность A70) одной буквой А, можем написать
1 С@®^ 1 СМ)^^
А = гА
Положим, что г стремится к 6 по нормали к контуру L. При этом рассто-
яние от z до 6 будет меньше, чем расстояние от г до других точек контура,
29] ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ 121
т. е. \г — ?|^|т — г\. Кроме того, tfx = [x'(s) + / (s) /] ds, причем [ л:' (s> -|-
""j)i| = l. Оценивая обычным образом первый из интегралов формулы
получим
.(T)-ID(g) Z-g,
•C(S)— T(S0) I1"*'
где s = s0 соответствует точке x = g. Принимая во внимание, что отношение
длины хорды \x(s)—*(so)\ к длине дуги \s — so\ стремится к единице,.
можем утверждать, что последний интеграл будет сходящимся, и, следова-
тельно, при любом заданном положительном е мы можем выбрать г, настоль-
ко малым, чтобы модуль интеграла по Lx был меньше -^-.Закрепивтаким
образом тг], мы будем иметь уже обычный интеграл по Liy в котором |т — ?',
и |т — z\ остаются ббльшими некоторого положительного числа, а потому
интеграл по L2 будет по модулю меньше -н- при всех z, достаточно близких
к ?. Ввиду произвольности е мы можем утверждать, что разность A71) стре-
мится к нулю при z —> ? по нормали, т. е.
lim
или, в силу A61),
т — 2 2ni J х —
и формула A69) дает требуемый результат:
В случае стремления извне доказательство проводится буквально так же,
только надо иметь в виду, что
J_ f dx _Г1, если г внутри L,
\ \ если 2 вне L.
До сих пор мы предполагали, что z—*% по нормали. Можно показать, что
формула A72) сохранит свою силу и при любом стремлении z к ?. Для этого
достаточно показать, что при предельном переходе на контур по нормали
стремление интеграла A66) к пределу A68) имеет место равномерно при
всех значениях % на контуре L. Ограничимся рассмотрением окружности
|г|=1. Пока считаем, что г—+Ь по нормали. В данном случае x = ei(?y
Ь = е*Уо и ds = d<$. Нетрудно показать, что если О^лг^-у, то s'
Пользуясь этим, можно написать
и модуль интеграла по L будет меньше
fo-И f ч
; j 21"а|<р—ь\1~а ""г^я»
fo-П fe
122 ГЛ. Г. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [29
JHia контуре L2, если z достаточно близка к ?,
|х —g|>y simj; |х — z | >-1 sin yj; | о> (т) — а> (?) | ^ 2М,
где М — наибольшее значение | <о (т) | на L. Полагая Ь = \ z — ?|, получим
Bтс — 2yj) ^
окончательно
Л - . 8М
Сначала выбирается tj так, чтобы первое слагаемое было меньше -^ и затем
при таком фиксированном tj второе слагаемое будет меньше -у, если
5 < (е sin2 y|) : A6М). В эти оценки не входит ?, и, следовательно, разность
A71) стремится к нулю равномерно относительно ?, когда z no радиусу стре-
мится к окружности. Следовательно, в формуле A72) предельный переход
«также имеет место равномерно относительно ?. Отсюда следует, между про-
чим, что и правая часть формулы A72) и интеграл A66) представляют собой
непрерывную функцию от ? [I, 145]. В |27] мы упоминали о том, что эта
функция удовлетворяет условию Липшица.
Обозначим правую часть формулы A72) через с^ (?) и положим, что
Z—¦? любым образом. Пусть ?' — переменная точка окружности, лежащая на
одном радиусе с z. Очевидно, что ?' — ?—-0 и \г — ?'|—•>(). Пользуясь дока-
занным выше утверждением о равномерности предельного перехода в A72)
при стремлении z по радиусу к 6, можем утверждать, что при любом задан-
,ном положительном е для всех z, достаточно близких к ?, будем иметь
1
'2 другой стороны, в силу непрерывности <ак (8) для всех zf достаточно близ-
ких к ?, мы имеем | с^ (?) — с^ (?') | < -~- f а потому
1
для всех г, достаточно близких к ?. Ввиду произвольности ? это и показы-
вает, что в формуле A72) предельный переход имеет место при любом
законе стремления z к t изнутри, и притом равномерно относительно ?.
Иначе говоря, мы можем утверждать, что функция F(z)t определяемая
интегралом A66) внутри окружности, будет непрерывной вплоть до окруж-
ности, причем ее предельные значения на окружности определяются форму-
лой A72). То же самое справедливо при стремлении извне.
Это же свойство интеграла типа Коши может быть доказано и для
любого замкнутого контура L при указанных в [28] предположениях отно-
сительно х (s) и у (s). Можно даже допустить, что L имеет конечное число
угловых точек. Пусть М — угловая точка I, и положим, что при обходе по
L против часовой стрелки направление касательной поворачивается в точке
М на угол т:0, где —1<0<1. При этом, как нетрудно видеть, в правой
29] ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ 123
части формулы A61) вместо ni мы будем иметь A—0) я/, и выражение A68)^
мы должны заменить в точке М выражением
1 -*- 6 ,,ч . 1
причем одновременно надо брать верхние или нижние знаки.
Если мы обозначим через Т7,- (?) и /^ (8) предельные значения на контуре-
L функций A66), определенных внутри и вне I, то доказанную выше тео-
рему можно записать в виде
A74)-
Совершенно аналогичную теорему можно доказать и для случая незамкну-
того контура. Ограничимся рассмотрением конечного отрезка (а, Ь) вещест-
венной оси:
Если (л (t) тождественно равна единице, то вместо формулы A68) будем
иметь
\ С dt I b — г
)=];eEilns=i- A76>
где мы должны брать то значение логарифма, которое обращается в нуль
при 2 = оо. Если I лежит внутри отрезка (a, b)t то вместо формулы A61)
будем иметь
JL r_^--_Li b-=±
a
где значение логарифма берется вещественным. Повторяя буквально преж-
нее рассуждение, получим
lim_L. С ^ldt=
a
Функция A76) имеет разные пределы при стремлении z к ? сверху или снизу
отрезка (а, Ь), а именно:
b—z ,b—?. ,
In
— a
где верхний знак относится к случаю стремления сверху, т. е. от значений
с положительной мнимой частью, а нижний знак — к случаю стремления
снизу. При интегрировании от а до b верхняя полуплоскость находится
124 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [29
с левой стороны и стремление z к ? сверху аналогично стремлению изнутри
в случае замкнутой кривой. Точно так же стремление г к ? снизу аналогично
стремлению извне в случае замкнутой кривой. Обозначая через Fi (?) и
Fe (;) предельные значения функции A75) при стремлении z к ? сверху и
снизу, будем иметь формулы, аналогичные формулам A74):
-^
Если о> \t) удовлетворяет на отрезке условиям, указанным в конце [28},
а вблизи концов имеет вид A60), то для точек z, близких к концам отрезка,
имеют место следующие предложения (см. Н. И. М у сх е л и ш в и л и):
1. Если 7 = 0, то
где знак <+» относится к случаю с = а и знак <—»— к случаю с-=.Ъ и
F0(z) есть ограниченная функция, имеющая определенный предел при г—*с.
Под In (z — с) подразумевается любая ветвь» однозначная вблизи г = с на
плоскости с разрезом (af b).
2. Если f = Ti + V^0, то
где знаки выбираются, как и выше, (z — с)Т обозначает ту однозначную
вблизи z = c на плоскости с разрезом (а, Ь) ветвь, у которой на верхнем
(левом) берегу разреза (z — с)т равно тому значению (t — с)Т, которое вхо-
дит в формулу A65). Далее, F0(z) обладает следующими свойствами: если
7,= 0, то F0(z) ограничена и имеет определенный предел при z—*c\ если
же 7i>°i то
I'WX
где с и fo — постоянные, причем fo < 1- Используя понятие интеграла Лебега,
можно исследовать значения интеграла типа Коши для любой суммируемой
функции о) (t) и для широкого класса контуров (см. И. И. Привалов,
Интеграл Коши, 1918).
Отметим один частный случай. Если w (x) суть предельные значения на
L функции, регулярной внутри замкнутого контура L и непрерывной вплоть
до I, причем со (х) удовлетворяет условию Липшица, то F( (?) = w (?), и пер-
вая из формул A69) показывает, что о (х) должна быть решением однород-
I. ;го интегрального уравнения второго рода
Пусть L, как и выше, — простой замкнутый контур. Главное значение инте-
грала
30] ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 125
переводит любую функцию w (х), заданную на L и удовлетворяющую условию
Липшица, в некоторую другую функцию o>t (?), определенную на L и также
удовлетворяющую условию Липшица. Иначе говорят, что интеграл A79)
является преобразованием или оператором над функцией о> (х). К полученной
функции a>t (?) мы можем опять применить оператор с ядром Коши. При
этом имеет место формула
(|80>
Иначе говоря, в результате двукратного применения преобразования с ядром
Коши мы получаем исходную функцию с коэффициентом — Для доказа-
тельства A80) перепишем первую из формул A74) в виде
Правая часть дает результат применения к функции о> (х) линейного преоб-
разования с ядром Коши. К этой правой части опять применимо линейное
преобразование с ядром Коши
A82)
где т) лежит на L и интеграл, как и выше, надо понимать в смысле главного
значения. Поскольку Fi (S) дает предельные значения на L функции, регу-
лярной внутри Z,, мы должны иметь в силу A78)
1
С другой стороны, в силу A81)
и окончательно интеграл A82) оказывается равным «(tj): 4, т. е. мы имеем
формулу A80).
30. Интегралы типа Коши (продолжение). Приведем теперь, как и
в [26], без доказательства некоторые общие предложения об интегралах типа
Коши. В дальнейшем для краткости интеграл в смысле главного значения
будем называть особым интегралом. Сформулируем основную теорему.
Теорема. Если L — спрямляемая кривая, <•> (х) суммируема на L и осо-
бый интеграл
существует почти везде для 6 на L, то интеграл типа Коши A66) имеет
почти везде на L угловые предельные значения, выражаемые формулами
126 ГЛ. Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [30
Обратно, если интеграл типа Коша A66) имеет почти везде на ?
угловые предельные значения изнутри или извне L, то почти везде на l
существует особый интеграл A83) и граничные значения интеграла типа
Коши выражаются формулой A72) (изнутри и извне).
Приведем два результата, касающихся того случая, когда интеграл типа
Коши определяет непрерывную в замкнутой области В функцию. Это будет
иметь место, например, если на спрямляемой кривой Жордана L функция
<о (t) удовлетворяет условию
В случае круга |6|<1 имеет место следующий результат: если угловые
предельные значения интеграла типа Коши A83) совпадают почти везде на
окружности | ? | = 1 с некоторой непрерывной на этой окружности функцией
/(?), то A83) является непрерывной в замкнутом круге |?|=^1 функцией
F(t) и Z7 (€)=/(€) на окружности | 6 | = 1.
ГЛАВА И
КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
31. Конформное преобразование. В настоящей главе мы займемся
рассмотрением некоторых приложений теории функций комплексного
переменного к задачам плоской гидродинамики, электростатики и
теории упругости. Существенную роль при этих применениях играет
конформное преобразование, и мы начнем настоящую главу с более
подробного рассмотрения конформного преобразования. Основные
свойства преобразования, совершаемого регулярной функцией, были
нами выяснены в [3] и затем в [22]. Мы рассмотрели более подробно
это преобразование как в тех точках, где производная отлична от
нуля, так и в тех точках, где она равна нулю. В точках первого
рода углы остаются без изменения, а что касается точек второго
рода, то в этих точках углы увеличиваются так, как это было ука-
зано в [23]. Пусть
A)
регулярная функция, совершающая конформное преобразование области
В в область Вх. Если f(z) нигде в нуль не обращается в области В,
то область В^ не имеет точек разветвления, но может все же быть
многолистной, т. е. налегать сама на себя. Рассмотрим в области В
некоторую кривую /, функцию ср($), заданную на этой кривой, и кри-
волинейный интеграл
где ds— элемент дуги кривой L В результате преобразования A)
кривая / перейдет в некоторую кривую 1Ь лежащую в области Вь
и элемент дуги новой кривой dsx будет выражаться произведением
dsi = \f(z)\ds, так как |/'(-г)| дает коэффициент изменения линей-
ных размеров [3].
Вводя функцию
B)
128 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [31
обратную A), мы будем иметь, очевидно, F(w) = -p-p- и, следова-
тельно, можем написать ds = | F (w) \ ds^. Так что интеграл в резуль-
тате преобразования будет выражаться в виде
$ C)
h
Точно так же, принимая во внимание, что |/'(z)|9 будет давать
коэффициент изменения площади в заданном месте, мы будем иметь
следующую формулу преобразования двойного интеграла при кон-
формном преобразовании:
\\ ]\ D)
В j
и для элемента площади будет иметь место следующая формула:
<fa,H/W&. E)
Если отделить в формуле A) вещественную и мнимую части,
V в /(*) = И (*, у) + IV (X, у\ F)
то нетрудно видеть, что \f(z)\* равно функциональному определи-
телю от функций и(х9у) и v(xfy) по переменным х и у. Действи-
тельно, этот функциональный определитель выражается формулой
D (а, у) jd«_ jtto du dv
D (xt у) дх ду ду дх
или, в силу уравнений Коши — Римана, формулой
dv\*
)
а это и есть как раз квадрат модуля производной
*(du\*JL(dv\*
dv
Рассмотрим на плоскости z — x-\-iy два семейства линий вида
)=*Cb G)
где С\ и С2 — произвольные постоянные. На плоскости w = u\
им будут соответствовать прямые m = Ci и г;з=С2, параллельные коор-
динатным осям, и, следовательно, линии G) получаются из сетки
прямых, параллельных осям, при помощи преобразования B). Отсюда,
между прочим, следует непосредственно, что линии G), принадлежа-
щие различным семействам, взаимно ортогональны, кроме тех точек,
где f(z) равна нулю. Наоборот, если мы возьмем уравнения
311
КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
129
и положим в правых частях этих уравнений х — С\ или j/ = C2, где
С\ и С2 — произвольные постоянные, то получим на плоскости
W = u-\-iv сетку, состоящую из двух семейств взаимно ортогональ-
ных линий. Эта сетка получается из сетки прямых, параллельных
осям координат плоскости z9 при помощи преобразования, соверша-
емого функцией A). Эти две сетки, которые будут играть в дальней-
шем существенную роль, называются обычно изотермическими сет-
ками. Выясним смысл этого названия. Вещественная часть и(х> у)
(или мнимая) регулярной функции должна удовлетворять уравнению
Лапласа [2]:
д*и (х, у) , д2и (х} у) ^ Q
дх2 * ду*
Но такому уравнению удовлетворяет температура в случае уста-
новившегося потока тепла [II, 129] причем мы считаем, что имеется.
Ч> и4
О
Рис. 26.
плоский случай, т. е. температура и не зависит от одной из коорди-
нат. При таком толковании функции и(х}у\ как температуры при
установившемся потоке тепла, линии первого из семейств G) будут
линиями равной температуры, откуда и происходит название изотер-
мическая сетка. В рассматриваемом случае линии второго из се-
мейств G), ортогональные к первым, будут служить векторными
линиями для векторов, которые мы рассматривали в [II, 129] и назы-
вали векторами потока тепла.
При преобразовании A) две линии и(х, .y) = wo и u(x,y) = ut
перейдут в прямые w = w0 и H = wt, параллельные оси и = 0, и часть
области В, ограниченная вышеуказанными линиями, перейдет в часть
полосы, ограниченной вышеуказанными прямыми, параллельными оси
н = 0. Криволинейный четырехугольник, ограниченный четырьмя
130
ГЛ. ТТ. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
[32
линиями изотермической сетки, перейдет в результате преобразования
A) в прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям
(рис. 26)
Сделаем еще одно добавление к общим основам конформного
преобразования, прежде чем переходить к примерам. Мы видели, что
при преобразовании, совершаемом регулярной функцией f(z) в тех
точках, где производная отлична от нуля, углы сохраняются не только
по величине, но и по направлению их отсчета. Иногда рассматривают
такие преобразования плоскости, при которых величины углов сохра-
няются, а направление их отсчета
переходит в противоположное.
Такое преобразование называют
иногда конформным преобразова-
нием второго рода. В качестве
примера укажем преобразование
симметрии в вещественной оси,
которое будет, очевидно, конформ-
ным преобразованием второго
рода (рис. 27). Это преобразование
можно записать в виде формулы
w — z. Вообще, если f(z) есть
регулярная функция в области В,
то формула
w=f(z)
(8)
Рис. 27.
будет давать конформное преоб-
разование второго рода, определен-
ное в области В\ симметричной с В относительно вещественной оси.
Действительно, переход от z к 2 будет переводить В' в В с сохра-
нением величин углов, но с изменением направления их отсчета.
Последующий затем переход от г к f(z) по формуле (8) не будет
уже менять ни величин углов, ни направления их отсчетов и, таким
образом, в окончательном преобразовании от z к w мы будем иметь
конформное преобразование второго рода.
32. Линейное преобразование. В качестве первого примера кон-
формного преобразования рассмотрим наиболее простую линейную
функцию
w=az-\-b (az?0), (9)
откуда
32) ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 131
Эта функция переводит всю плоскость, включая бесконечно да-
лекую точку, в себя, причем бесконечно далекая точка также пере-
ходит в 'Себя, т. е. остается на месте. В частном случае при а = 1
мы имеем функцию w = z-\-b, которая дает параллельный перенос
плоскости на вектор, соответствующий комплексному числу Ь. В дру-
гом частном случае Ь = 0 и а = е1^ (ф— некоторое вещественное
число) дело сводится к прибавлению к аргументу z числа ф, и это
преобразование w = el*z есть, очевидно, поворот плоскости вокруг
начала на угол ф. Общий случай движения плоскости как целого
получится соединением поворота и параллельного переноса:
* A0)
Если а = е^ф 1, т. е. если мы имеем дело не с чистым парал-
лельным переносом, то из формулы A0) нетрудно определить коор-
динату неподвижной точки преобразования, т. е. той точки, которая
останется на своем месте в результате преобразования. Координата
этой точки определится из уравнения
z0 = Ао 4- Ь, откуда z0 = j^?f'
Нетрудно проверить, что преобразование A0) может быть напи-
сано в виде
т. е. общий случай движения плоскости A0) мы можем рассматри-
вать как поворот плоскости вокруг точки z0 на угол ф. Заметим, что
преобразование A0) будет иметь еще вторую неподвижную точку
на бесконечности.
Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда модуль коэф-
фициента а в линейном преобразовании (9) будет отличен от единицы.
Вводя модуль и аргумент числа а, рассмотрим преобразование в слу-
чае Ь = 0:
w = pe**z.
Здесь дело сводится к умножению длины радиуса вектора из
начала в точку z на р и к повороту плоскости вокруг начала на
угол ф. Такое преобразование называют преобразованием подобия
с центром подобия в начале и с коэффициентом подобия р.
Рассмотрим теперь линейное преобразование (9) в общем случае
при аф\. Вводя неподвижную точку преобразования
т. е. zo=~-^t
мы можем переписать формулу (9), как это нетрудно проверить,
в виде
132 ГЛ. П. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [33
и имеем здесь, очевидно, преобразование подобия, но только с цент-
ром не в начале координат, а в точке zQ. Предоставляем читателю
показать, что в данном случае изотермическая сетка будет состоять
из двух семейств параллельных прямых линий, что очевидно и чисто
геометрически.
33. Дробно-линейное преобразование. Дробно-линейным пре-
образованием называется преобразование, выражающееся в виде част-
ного двух линейных функций
причем надо считать ad — ЬсфО, так как в противном случае дробь,
стоящая в формуле (И), будет сократимой и будет равна просто
постоянному числу. Решая уравнение A1) относительно z, получим
формулу для преобразования, обратного A1), которое также будет
дробно-линейным:
*' + » A2)
cw — а
Всякой точке плоскости z будет соответствовать определенная
точка плоскости w и наоборот, т. е. преобразование A1) преобра-
зует всю плоскость, включая бесконечно далекую точку, саму в себя.
Если в формуле A1) с = 0, то преобразование просто будет
линейным. В противном случае точка z = oo перейдет в точку —,
и точка z = даст точку хе; = оо, т. е. в общем случае дробно-
линейного преобразования бесконечно далекая точка не будет уже
неподвижной точкой.
Докажем одно основное свойство дробно-линейного преобразова-
ния, а именно покажем, что оно преобразует окружность в окруж-
ность, причем под термином «окружность» мы будем здесь и в даль-
нейшем понимать не только окружность в собственном смысле слова,
но и прямую линию. Для линейного преобразования, которое сводится
или к простому движению плоскости как целого, или к преобразо-
ванию подобия, это свойство совершенно очевидно, причем в этом
случае прямая переходит в прямую или окружность в собственном
смысле этого слова. Прежде чем доказывать это свойство для дробно-
линейного преобразования, представим его в несколько другом виде.
Считая с ф 0 и деля числитель на знаменатель, мы можем написать
формулу A1) в виде
¦ / а , be — ad
w = e-\ '—, где е = - и /= .
33] ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 133
Таким образом, наше преобразование состоит из параллельного
переноса Wi = z-\ , преобразования вида w% — — и еще парал-
лельного переноса w = w^-\-e. Достаточно, таким образом, рассмот-
реть преобразование простейшего вида
w = \ A3)
и доказать, что оно переводит окружность в окружность. Уравнение
окружности имеет вид
где Л = 0 в случае прямой линии. Мы можем записать это уравне-
ние в виде
Azz-\-bz-\-bz-{-D = O9 где b = B — iC A4)
и черта наверху показывает, что взято комплексное сопряженное
число. Положим теперь, что на плоскости z мы имеем некоторую
окружность /. Чтобы получить уравнение преобразованной кривой
на плоскости wt нам достаточно определить z из уравнения A3) и
подставить полученное выражение в уравнение A4). Мы будем иметь,
таким образом, на плоскости w кривую /t с уравнением
Л?Т + bfw -f- byw + Dww = 0.
Это уравнение того же типа, что и уравнение A4), т. е. ему также
соответствует окружность (или прямая). Итак, всякое преобразование
вида A1) преобразует окружность в окружность (прямая есть
окружность, проходящая через бесконечно далекую точку).
Положим, что преобразование A1) преобразует некоторую окруж-
ность / в окружность 1Ъ причем обе окружности суть окружности
в собственном смысле слова. Принимая во внимание сказанное в [22],
мы можем утверждать, что если положительному обходу по / соот-
ветствует положительный обход по 1Ъ то преобразование A1) пере-
водит внутренность / во внутренность 1\ и внешность / во внешность 1\.
Если же направления обходов по / и /t противоположны, то внут-
ренность / переходит во внешность /х и наоборот. Если одна из
упомянутых окружностей есть прямая или обе суть прямые, то для
определения тех частей плоскости, которые переходят друг в друга,
надо брать соответствующий обход по обеим линиям, и при этом
те части плоскости, которые находятся с одной стороны от движу-
щегося наблюдателя, например слева, будут переходить друг в друга
Рассмотрим далее две точки А\ и Л2, симметричные относительно
окружности /. Положим, что после преобразования они перешли
в точки Bi и В%. Покажем, что эти последние также будут симмет-
ричны относительно преобразованной окружности 1± Действительно,
134 ГЛ. И. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [33
пучок окружностей, проходящих через точки А^ и Аъ будет, как
мы знаем [24], состоять из окружностей, ортогональных к /. После
преобразования мы получим, очевидно, пучок окружностей, проходя-
щих через точки Вх и Въ и в силу конформности эти окружности,
составляющие пучок, будут ортогональны к окружности li9 а это,
как мы знаем, и является характерным свойством симметричных точек.
Таким образом, если преобразование A1) переводит окружность I
в окружность 1Ь то точки, симметричные относительно окру ж-
ности I, переходят при этом в точки, симметричные относи-
тельно окружности /j. Заметим при этом, что центру окружности
соответствует по закону симметрии бесконечно далекая точка. В дан-
ном случае пучок окружностей, проходящих через эти две точки,
сводится к пучку прямых, проходящих через центр окружности,
и прямые этого пучка, очевидно, ортогональны самой окружности.
Если а и сф<д, то мы можем написать преобразование A1)
в следующем виде:
W = k ft
Числа аир имеют простое геометрическое значение, а именно точка
z = ol переходит в начало w = 0 и точка z = p переходит в беско-
нечно далекую точку.
Рассмотрим на плоскости w семейство концентрических окруж-
ностей, имеющих центр в начале. Уравнение этих окружностей будет
\w\ = Cy и для них вышеупомянутые точки w = 0 и w — oo будут
симметричными. Отсюда следует, что этим окружностям на плоскости
z будут соответствовать также окружности, для которых точки z = d
и г = р будут симметричными, и уравнение этого семейства окруж-
ностей будет, очевидно, иметь вид
' С, A6)
где С — произвольная постоянная. Итак, уравнению A6) будет соот-
ветствовать семейство окружностей,, относительно которых
точки аир симметричны (рис. 28). В это семейство будет входить,
очевидно, и прямая, перпендикулярная к отрезку а, р в его середине.
Рассмотрим теперь на плоскости w семейство прямых, проходящих
через начало, или, иначе говоря, пучок окружностей, проходящих
через точки w = 0 и w = oo. Уравнение этого пучка окружностей
будет, очевидно, argw = C. На плоскости z этому пучку окружно-
стей будет соответствовать, очевидно, пучок окружностей, проходя-
щих через точки а и р, и уравнение этого пучка будет (заметим,
что аргумент числа k постоянен)
arg-^f- = Ci. A7)
33]
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
135
Итак, уравнению A7) соответствует на плоскости z пучок
окружностей, проходящих через точки аир. Окружности семейства
A7), очевидно, пересекаются с окружностями семейства A6) под
прямым углом (рис. 28).
Определим теперь изотермическую сетку на плоскости z. На
плоскости w ей соответствуют два семейства прямых, параллельных
осям. Каждое из этих семейств мы можем рассматривать как семей-
ство окружностей, взаимно касающихся в бесконечно далекой точке.
Рис. 28.
Такому семейству будет соответствовать на плоскости z некоторое
семейство окружностей, взаимно касающихся в точке z = .
Таким образом, искомая изотермическая сетка будет состоять
из двух семейств окружностей, причем окружности каждого
семейства взаимно касаются в точке z = , и окружности
двух разных семейств пересекаются в этой точке под прямым
углом (рис. 29).
Точное определение одного из этих семейств, а вместе с ним
и другого, связано со значением комплексных коэффициентов пре-
образования (И).
Преобразование (И) содержит три произвольных комплексных
параметра, а именно отношения трех из коэффициентов а, &, с, d
136
ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
[33
к четвертому. Таким образом, мы можем определить преобра-
зование A1), задав соответственное количество дополнительных
условий. Мы можем, например, потребовать, чтобы три заданные
точки zb zb <г3 плоскости z перешли в три заданные точки wly
wb w% плоскости w. Нетрудно написать то дробно-линейное пре-
образование, которое будет осуществлять эти условия. Оно будет
иметь вид
W
W —
3 — Wl Z
A8)
Действительно, решая это уравнение относительно w, мы полу-
чим, очевидно, дробно-линейное преобразование вида A1). Кроме того,
подставляя z = Z\ и w =
= wh мы будем в фор-
муле A8) и слева и справа
иметь нуль. При подста-
новке другой пары точек
z = z% и w = wd мы будем,
в обеих частях иметь
¦, / \ / / ч единицу, и при подста-
Ж'7~\/ ^/ ч* новке третьей пары точек
мы будем в обеих частях
иметь бесконечность. От-
сюда видно, что дробно-
линейное преобразование,,
определяемое по фор-
муле A8), действительна
удовлетворяет поставлен-
ному условию. Нетрудно-
показать также, что это-
условие определяет дроб-
но-линейное преобразова-
ние единственным обра-
зом. При этом, очевидно,
построенное преобразование будет переводить окружность, опреде-
ляемую тремя точками zb z%, z& в окружность, определяемую
точками wh wb w%. Если обе тройки точек взяты на одной и
той же окружности, то дробно-линейное преобразование будет пре-
образовывать окружность самое в себя. Если при этом последова-
тельность точек zk на этой окружности дает то же направление
обхода, что и последовательность точек wk, то построенное преоб-
разование будет преобразовывать круг, ограниченный упомянутой
окружностью, в самого себя.
В качестве примера рассмотрим верхнюю полуплоскость, грани-
цей которой служит вещественная ось (внутренние точки этой полу-
Рис. 29.
33]
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
137
плоскости определяются из условия, что коэффициент мнимой части
у координат точек положителен). В данном случае преобразование,
переводящее верхнюю полуплоскость в самое себя, должно и ве-
щественную ось преобразовывать в себя, т. е. вещественным z
должны соответствовать и вещественные wt а следовательно, в фор-
муле (И) мы можем все четыре коэффициента считать также веще-
ственными. Но этого мало, надо еще, чтобы при движении z в по-
ложительном направлении по вещественной оси (в сторону возра-
стания) и w двигалось бы в таком же направлении. В противном
случае верхняя полуплоскость z будет переходить в нижнюю полу-
плоскость W.
Подставляя в формулу (И) z = x-\-iy, получим
или, отделяя вещественную и мнимую части,
W — U ' V~ (cx + d)* + c*y* «^l
(ad-
что
Отсюда непосредственно видно,
у мнимой части w будет также поло-
жителен, если выполнено условие
ad — &с>0. A9)
Итак, общий вид дробно-линей-
ных преобразований, преобразующих
верхнюю полуплоскость самое в
себя, будет A\), с любыми вещест-
венными коэффициентами, удов-
летворяющими условию A9).
Точно так же можно рассмат-
ривать преобразование самого в себя
единичного круга, т. е. круга с цент-
ром в начале координат и радиусом
единица, уравнение которого может быть написано в виде |^|^1.
Предварительно выясним некоторые простые свойства точек, симмет-
ричных относительно окружности С такого круга.
Пусть Ai и Л2 — две такие точки и М — любая точка на самой
С.
Рис. 30.
окружности С. Мы имеем ОА\»
сано в виде следующей пропорции (рис. 30):
~OAi _ ОМ
ОМ
= ОМг, что может быть запи-
Отсюда видно, что треугольники ОАХМ и 0АгМ> имеющие
общий угол AiOM и пропорциональные стороны, образующие этот
138 ГЛ. И. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [33
угол, будут подобными треугольниками, и это подобие дает нам
следующую пропорцию:
АтА, _ ~ОЛ'1
МА2 ОМ '
Обозначим через а комплексную координату Ах и пусть ь = ре1?.
Для симметричной точки А2 будем иметь, очевидно, C = — е1(?у или
иначе комплексную координату этой симметричной точки мы можем
выразить дробью C = — . Составим дробно-линейное преобразова-
а
ние, которое преобразует единичный круг сам в себя и переводит
точку а в начало. Оно должно переводить симметричную точку [J
в бесконечность, т. е. оно должно иметь вид
1
или, если заменить В = ~
a* — 1
где k — постоянный множитель, вид которого мы должны еще опре-
делить из условия, что вся правая часть формулы B1) при любом z
на окружности С должна иметь также модуль, равный единице,
т. е.
Но, очевидно, в силу B0)
откуда |Аа| = 1. Обращаясь к формуле B2), мы видим, таким обра-
зом, что произведение Ы должно иметь модуль, равный единице,
т. е. должно иметь вид ka. = e1^, где ф может иметь любое веще-
ственное значение. Окончательно для искомого преобразования мы
получаем формулу
B3)
в которой можем произвольно выбирать точку а внутри единичного
круга и вещественный параметр ф. В частном случае, если а = 0,
т. е. если начало переходит само в себя, мы имеем простое преоб-
разование х^ = ^|(ф+7Г) z, т. е. вращение единичного круга вокруг
начала на угол (Ф + 11)- Общее преобразование B3) можно разбить
33] ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 139
на две части, а именно на преобразование
w = ^-, B4)
переводящее единичный круг самого в себя и преобразующее точку а
в начало, и затем — на поворот вокруг начала на угол ф.
Мы можем также построить бесчисленное множество преобразо-
ваний, переводящих некоторый круг К\ в другой круг К2. Доста-
точно для этого построить одно из таких преобразований, перево-
дящих К\ в К%, и затем к полученному результату применить любое
дробно-линейное преобразование, переводящее круг К* самого в себя.
При этом важно отметить, что результат последовательного при-
менения двух дробно-линейных преобразований есть также дробно-
линейное преобразование. Действительно, положим, что мы имеем
дробно-линейное преобразование A1) от переменной z к перемен-
ной w и затем следующее дробно-линейное преобразование
*+% B5)
от переменной w к переменной W\. Подставляя выражение A1)
в последнюю формулу, будем иметь после элементарных преобразо-
ваний окончательное дробно-линейное преобразование от перемен-
ной z к переменной w{.
Оно называется обычно произведением дробно-линейных преоб-
разований A1) и B5), причем, вообще говоря, это произведение
будет зависеть от порядка сомножителей, т. е. от того порядка,
в котором мы совершали дробно-линейные преобразования (И) и B5).
Вернемся к случаю верхней полуплоскости и единичного круга
и построим одно дробно-линейное преобразование, переводящее полу-
плоскость в единичный круг. Возьмем для этого преобразование
вида
-=;$. B6)
Нетрудно видеть, что точка z = i верхней полуплоскости пере-
ходит в начало координат, и вещественным значениям z соответ-
ствуют значения w9 по модулю равные единице. Действительно,
причем числитель и знаменатель написанной дроби равны соответ-
ственно расстоянию от точки z до точек / и (—/), и если точка z
находится на вещественной оси, то эти расстояния одинаковы и,
140 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [33
следовательно, |гк>|= 1. Если затем к переменной^ применить любое
дробно-линейное преобразование, преобразующее единичный круг
самого в себя, то получим общий вид преобразований, переводящих
верхнюю полуплоскость в единичный круг.
В заключение докажем принцип симметрии в том общем виде,
как мы его формулировали в [24]. Пусть функция f(z) регулярна
с одной стороны от некоторой дуги АВ окружности С, непрерывна
вплоть до этой дуги и преобразует ее в некоторую дугу AiBl
окружности Q. Совершим над z дробно-линейное преобразование,
переводящее С в вещественную ось:
и точно так же совершим над самой функцией дробно-линейное
преобразование, переводящее окружность Q в вещественную ось.
Таким образом, будем иметь новую функцию fi(z\) от новой неза-
висимой переменной z\i
Эта новая функция /iBj) регулярна с одной стороны отрезка
вещественной оси,, непрерывна вплоть до самого отрезка и перево-
дит этот отрезок тоже в отрезок вещественной оси. Согласно пер-
воначальной формулировке принципа симметрии, доказанного нами
раньше [24], эта функция будет аналитически продолжима за упо-
мянутый отрезок и будет в точках, симметричных относительно
вещественной оси, иметь значения, также симметричные относительно
вещественной оси. Принимая во внимание, что при упомянутых
двух дробно-линейных преобразованиях симметричные точки пере-
ходят в симметричные, мы можем утверждать, что первоначальная
функция f(z) аналитически продолжима за дугу АВ окружности С,
и точки, симметричные относительно этой окружности, переводит
в точки, симметричные относительно окружности С\.
Дробно-линейное преобразование, как мы увидим дальше, имеет
большое принципиальное значение в теории функций комплексного
переменного. Часто им пользуются совершенно так же, как преоб-
разованием координат в аналитической геометрии, а именно прежде
чем рассматривать какой-нибудь вопрос, подвергают плоскость пере-
менных, входящих в задачу, дробно-линейному преобразованию так,
чтобы получить возможно более простую формулировку задачи. Так,
например, пользуясь дробно-линейным преобразованием, мы свели
принцип симметрии в общем случае к уже разобранному нами
частному случаю.
Назовем отображением в некоторой окружности С или прямой
преобразование плоскости, при котором всякая точка А переходит
33]
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
141
в точку Ль симметричную с ней относительно С. Пусть z— ком-
плексная координата А и w — комплексная координата А^ Положим,,
что С есть окружность с центром B(z = a) и радиусом R. Векторы
ВА и ВАХ должны иметь один и тот же аргумент, а произведение
их длин должно равняться R*. Нетрудно видеть, что это приводит
к следующей формуле, выражающей w через z:
w— а =
z — a
B7)
т. е. отображение в окружности выражается дробно-линейной функ-
цией от z:
z — a
и, следовательно, является конформным преобразованием второго
рода. Рассмотрим теперь отображение в прямой. Положим, что пря-
мая проходит через начало и образует угол ф с положительным
направлением вещественной
оси (рис. 31). При этом
точка z перейдет, очевидно,
в точку w с тем же модулем
|-и>| = | z\ и с аргументом
argt^=2(j; — arg2, т.е. в этом
случае преобразование может
быть написано в виде
w = e^2y B8)
и оно будет выражаться просто
линейной функцией от z. Как
нетрудно видеть, тот же резуль-
тат получим и при отображе-
нии в любой прямой.
Если произвести последова-
тельно два отображения в раз-
личных окружностях или прямых, то в окончательном результате полу-
чится некоторое дробно-линейное преобразование. Рассмотрим более по-
дробно тот случай, когда производятся последовательно два отобра-
жения в пересекающихся прямых. Можно всегда считать, что точка
пересечения находится в начале координат. Пусть, далее, ty\ и ф2 суть
углы, образованные этими прямыми с положительным направлением
вещественной оси. Последовательно проводя эти отображения, мы
перейдем от точки z к точке W\ и от точки W\ к точке w по фор-
мулам
w = <
Рис. 31.
142 ГЛ. 1Г. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [34
Подставляя выражение W\ в правую часть второй формулы, мы
будем иметь окончательное преобразование от z к w в виде
и это будет вращение вокруг начала на угол 2(ф2 — фД т. е. два
последовательных отображения в пересекающихся прямых дают вра-
щение плоскости вокруг точки пересечения на угол, равный удвоен-
ному углу, образованному этими прямыми. Точно так же нетрудно
показать, что два последовательных отображения в параллельных
прямых дают параллельный перенос плоскости.
34. Функция w = z\ Мы уже исследовали раньше (в других
обозначениях) функцию
w = z2 B9)
и видели, что она преобразует плоскость z в двулистную риманову
поверхность щ плоскости w с точками разветвления первого порядка
w = 0 и w = oo. Установим теперь только вид изотермических
сеток на плоскостях z и w. Отделяя вещественную и мнимую части,
получим
w = u (х, у) + to С*. У) = (х + iyf = (х* —У") +
Изотермическая сетка на плоскости z будет состоять из двух
семейств равнобочных гипербол (рис. 32):
Рассмотрим теперь изотермическую сетку на плоскости w. Пола-
гая в формулах:
и = х*—у* v = 2xy, x = Cl
и исключая у, а затем полагая у = С2 и исключая х, мы получим
два семейства парабол (рис. 33):
которые являются преобразованием прямых x = Ci и у = С% пло-
скости Z.
Мы можем, очевидно, рассматривать изотермическую сетку, обра-
зованную этими параболами, как изотермическую сетку на плоскости z
для функции w = Yz> обратной функции B9).
Рассмотрим на рис. 32 какую-либо равнобочную гиперболу,
изображенную пунктиром, для которой ось ОХ является веществен-
ной осью. Ее уравнение будет х2—у* = Сх, где С{ — некоторая
положительная постоянная. Возьмем ее правую ветвь. Если в урав-
нении jc2—у* = С увеличивать С от Q до (-}-оо), то будут
35)
ФУНКЦИЯ
143
получаться гиперболы, изображенные пунктиром, правые ветви кото-
рых лежат правее правой ветви гиперболы х*—Уг = Сь и из ска-
занного выше непосредственно следует, что функция B9) конформно
преобразует часть плоскости z, лежащую внутри правой ветви гипер-
болы, на полуплоскость и ^ Q плоскости w. Совершенно аналогично
функция B9) конформно преобразует часть плоскости zt лежащую
внутри левой ветви гиперболы jc2—у* = С\, на полуплоскость и^С\.
Рассмотрим теперь на рис. 33 какую-либо параболу, изобра-
женную пунктиром. Ее уравнение имеет вид v~ = ^C\(C\-\-н), и ей
Рис. 32.
Рис. 33.
соответствует на плоскости z прямая у = Сь причем постоянную С2
мы можем считать положительной, поскольку в уравнение параболы
входит только CJ. Если в уравнении v* = АС2 (С1-\- и) увеличивать
С от С2 до (—{— оо), то будут получаться параболы, изображенные
пунктиром и лежащие левее параболы v2 = АС1{С:г-\-и\ и отсюда
следует, что функция z = }/rw конформно преобразует часть пло-
скости w, лежащую вне параболы г;2 == 4С| (С| -f- и), на полуплоскость
Сч плоскости z.
35. Функция w = -glz-] -). Рассмотрим преобразование пло-
скости, совершаемое функцией
w=t{z+t)> (зо>
где k — некоторое заданное положительное число. Посмотрим, во
что перейдет сетка полярных координат плоскости zy т. е. во что
перейдут окружности |г| = р с центром в начале, и во что перей-
дет пучок прямых arg^ = cp, проходящих через начало. Подставляя
в формулу C0) z = pel<? и отделяя вещественную и мнимую части,
получим равенства
k [ . 1 \
= ~2 \? + JJ
JJ
cos tf
k ( 1 \ .
= -2\f~J) Sin ?
144 ГЛ. 1Г. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [35
Рассмотрим окружность р = р0- Нетрудно исключить <р из урав-
нений C1), что приводит к уравнению
т. е. упомянутая окружность переходит на плоскости w в эллипс
<: полуосями
Ь / 1 \ Ь \ 1
I I \ t\ \
причем в выражении для Ъ мы пишем абсолютное значение, потому
что разность может быть как положительной, так и отрицательной.
Уравнения C1) при р = р0 дают, очевидно, параметрическое уравнение
этого эллипса. В случае единичной окружности р = 1 уравне-
ния C1) дают r/ = &coscp и г> = 0, т. е. эллипс вырождается в отре-
зок (—ky k) вещественной оси, пробегаемой два раза или, как
мы будем говорить, в двойной отрезок. При уменьшении р от еди-
ницы до нуля эллипсы будут беспредельно расширяться и покроют
всю плоскость, и таким образом внутренности единичного круга
-будет соответствовать вся плоскость w с разрезом (— k, k).
Точно так же при увеличении р от единицы до бесконечности мы
получим такие же беспредельно расширяющиеся эллипсы, т. е. части
плоскости zt находящейся вне единичного круга, будет также соот-
ветствовать вся плоскость w с разрезом (—k, k\ Полная пло-
скость z перейдет в двулистную риманову поверхность на плоскости w
с точками разветвления w = — k и w = k. В соответствии с этим
функция, обратная C0):
будет двузначной и будет иметь упомянутые точки разветвления.
Обратимся к более подробному рассмотрению эллипсов C1). Фокусы
этих эллипсов находятся на вещественной оси, и их абсциссы
вычисляются, как известно, через полуоси а и & по формуле
с = ± \^а* — &2. В данном случае будем иметь
т. е. при всяком значении р0 фокусы будут находиться на концах
отрезка (—k, k), или, иначе говоря, эллипсы C2) будут софо-
кусными.
Посмотрим теперь, во что перейдут прямые ср = <р0. Исключая из
уравнений C1) переменную р, будем иметь
= I, C3)
ft2 cos8 <р„ ft8 sin2 <p0
351
ФУНКЦИЯ w = -
+ j)
145
т. е. получим семейство гипербол с полуосями a = k\cosq>0\ и Ь =
= Л5 | sin ер© |- Покажем, что эти гиперболы будут софокусны рассмот-
ренным выше эллипсам. Как известно, у гипербол C3) фокусы нахо-
дятся на вещественной оси, и абсциссы фокусов выражаются через
полуоси по формуле с = ± \f а*-\-Ь\ В данном случае c = ±k,
т. е. действительно эллипсы и гиперболы софокусны. Гиперболы,
соответствующие координатным осям плоскости z
(т-1 т.
И ~2~
вырождаются в ось и = 0 и в отрезки (—оо, —k) и (k, -}- оо)
вещественной оси. Таким образом, мы можем окончательно сказать,
Рис. 34.
что сетка полярных координат плоскости z переходит в результате
преобразования C0) в сетку софокусных эллипсов и гипербол, имею-
щих фокусы в точках it k (рис. 34).
Нетрудно построить функцию, для которой сетка софокусных
эллипсов и гипербол будет служить изотермической сеткой. Для
этого напомним то, что мы раньше знали относительно преобразо-
вания, совершаемого показательной функцией [19]:
имеющей период 2it/. Из формулы
непосредственно вытекает, что линии x = Xq переходят в окружности
с центром в начале и радиусом <?*°, а линии у=у0 переходят
в прямые <р=.Уо> проходящие через начало, т. е. функция ег преоб-
разует сетку декартовых координат плоскости z в сетку полярных
координат плоскости w.
146 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [36
Рассмотрим функцию вида
w1 = eiz = eixe'y9 C4)
имеющую период 2тс. Из написанной формулы непосредственно выте-
кает, что и для этой функции сетка декартовых координат перехо-
дит в сетку полярных координат, но только линии у=у0 переходят
в окружности и линии x = Xq—в прямые.
Рассмотрим теперь функцию
2
C5)
В результате преобразования C4) сетка декартовых координат
перейдет в сетку полярных координат, и затем в результате пре-
образования C5) сетка полярных координат перейдет в вышеуказан-
ную сетку софокусных эллипсов и гипербол. Но применение упомяну-
тых двух преобразований от z к W\ и от w{ к w дает в окончательном
результате преобразование w = kcosz; таким образом, функция k cos г
переводит сетку декартовых координат в сетку софокусных эллип-
сов и гипербол, т. е. эта последняя сетка является изотермической
сеткой на плоскости w для функции w = kcosz. Если бы мы стали
рассматривать . обратную функцию te> = arccos —, то для нее сетка
софокусных эллипсов и гипербол была бы изотермической сеткой
на плоскости z.
Совершенно так же, как и в предыдущем номере, мы можем
получить из предыдущих рассуждений некоторые результаты, касаю-
щиеся конформных преобразований. Одно из значений функции (ЗО3)
преобразует плоскость w с разрезом (— ky k) во внутренность
единичного круга плоскости z. Та же функция преобразует часть
плоскости, находящуюся вне эллипса C2), при каком-либо фиксиро-
ванном ро, во внутреннюю часть круга с центром в начале и радиу-
сом ро, где ро<^1. Если мы возьмем другое значение функции C0t),
то получится часть плоскости, лежащая вне указанной окружности,
если взять ро^>1. Точно так же одно из значений функции C0t)
конформно преобразует часть плоскости wy лежащую между двумя
ветвями гиперболы C3), на угол плоскости z, определяемый нера-
венствами: ср0 <с arg г ^ 1г — ср0, где 0 < сро <С у •
Подробное рассмотрение конформных отображений, связанных
с кривыми второго порядка, имеется в книге И. И. Привалова
«Введение в теорию функций комплексного переменного».
36. Двуугольник и полоса. Рассмотрим двуугольник, образован-
ный двумя дугами окружностей С\ и С2 (рис. 35). Пусть ф — угол
этого двуугольника и ах и а2 — координаты его вершин. Совершая
36] ДВУУГОЛЬНИК И ПОЛОСА 147
дробно-линейное преобразование
Z O
мы переводим точки ^ и а2 в ^=0 и wl=oo> так что дуги, обра-
зующие двуугольник, переходят в полупрямые, идущие из начала на
бесконечность, а сам двуугольник в результате преобразования будет
представлять собою угол величины ф с вершиной в начале. Если мы
тс
затем совершим преобразование w% = w^t то величина угла станет
равной тс, и угол превратится в полуплоскость. Умножая еще затем
w% на множитель вида е*ро, мы можем достигнуть того, чтсхбы эта
полуплоскость была верхней полу-
плоскостью, ограниченной веществен- ^—-^Zn-f
ной осью. Собирая вместе все про- / а '•
деланные преобразования, получим
окончательно формулу, дающую пре-
образование нашего двуугольника
в верхнюю полуплоскость:
Здесь сро есть некоторое веще-
ственное число, зависящее от рас- Рис. 35.
положения нашего двуугольника.
Совершая еще над w дробно-линейное преобразование, указанное
в [33], мы можем преобразовать наш двуугольник в единичный круг.
Выше был рассмотрен двуугольник, заключающийся внутри кон-
тура, образованного двумя дугами окружности. На рис. 35 можно
рассматривать часть плоскости, находящуюся вне замкнутого контура,
так же, как двуугольник, ограниченный дугами окружностей. Но угол
этого двуугольника будет уже, конечно, не ф, a Bit — ф).
Мы предполагали в предыдущем, что угол двуугольника отличен
от нуля. Рассмотрим теперь случай угла, равного нулю. Положим,
что две окружности Q и С2 взаимно касаются изнутри (рис. 36).
При этом ограниченная часть плоскости, находящаяся внутри замк-
нутого контура, и будет давать нам двуугольник с углом, равным
нулю. Точно так же, если две окружности взаимно касаются извне
(рис. 37), то часть плоскости, находящаяся вне этих окружностей,
тоже дает двуугольник с углом, равным нулю. Если а — координата
точки касания, то,- совершая дробно-линейное преобразование
1 г— а '
мы преобразуем окружности в параллельные прямые, и сам двууголь-
148
ГЛ. И. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
[36
ник перейдет в полосу, ограниченную этими двумя параллельными
прямыми. Совершая затем преобразование подобия, а также парал-
лельный перенос и поворот, т. е. некоторое линейное преобразо-
вание, всегда можно добиться того, чтобы эта полоса была ограни-
чена двумя наперед заданными параллельными прямыми, например
прямыми
у==0 и у = 2п.
Поставим теперь себе задачу найти регулярную функцию, которая
преобразовывала бы эту полосу в верхнюю полуплоскость. Мы знаем,
что функция w=ez преобразует нашу полосу во всю плоскость w
с разрезом @, 4~°°) вдоль положительной части вещественной оси.
Рис. 37.
Совершая затем преобразование Vwy получим, очевидно, верхнюю
полуплоскость, т. е. окончательно функция, преобразующая нашу
z
полосу в верхнюю полуплоскость, будет w = e2.
Из предыдущего непосредственно следует также, что сама функ-
ция ez преобразует в верхнюю полуплоскость полосу, ограниченную
прямыми у = 0 и у = 'к. Совершая над переменной ег дробно-линей-
ное преобразование, преобразующее верхнюю полуплоскость в еди-
ничный круг [33], получим функцию
pZ /
C7)
-— ez+i>
ограниченную
прямыми у = 0 и у =
преобразующую полосу,
в единичный круг.
Рассмотрим более подробно один частный случай двуугольника,
а именно верхний полукруг, построенный на отрезке (— 1, 1) веще-
ственной оси, как на диаметре. Функция
W =
C8)
37) ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 149
преобразует вершины этого двуугольника z = —1 и г=1 в точки
10 = 0 и z0 = -j-oo, а диаметр и полуокружность переходят при этом
в две прямые, причем угол между этими двумя прямыми будет вдвое
больше соответствующего угла в полукруге, т. е. будет просто
равен тс.
Иначе говоря, наши две полупрямые образуют одну прямую,
а именно, как нетрудно видеть, вещественную ось, причем при
обходе контура полукруга против часовой стрелки мы двигаемся
по вещественной оси от —оо к -)-со, т. е. функция C8) преобра-
зует наш полукруг в верхнюю полуплоскость. Совершая еще дробно-
линейное преобразование B6), получим функцию
преобразующую наш полукруг в единичный круг.
37, Основная теорема. В предыдущем был рассмотрен ряд слу-
чаев конформного преобразования односвязной области в полупло-
скость или единичный круг, при этом мы имели как случаи ограни-
ченной односвязной области (полукруг), так и случаи односвязной
области, содержащей бесконечно далекую точку внутри себя (внеш-
ность эллипса, внешность двуугольника). Поставим общую задачу
о преобразовании любой заданной односвязной области на плоскости
zy например, в единичный круг на плоскости w или на полуплоскость.
Исключим при этом два случая, а именно тот случай, когда данная
область есть вся плоскость z, включая бесконечно далекую точку, и
тот случай, когда эта область есть вся плоскость, за исключением
одной точки, например бесконечно далекой точки. Во всех остальных
случаях, как оказывается, всегда существует регулярная функция
w=f(z) внутри заданной односвязной области В, преобразующая
эту область в единичный круг |зд>|<^1. Но мы можем затем при
помощи дробно-линейного преобразования переводить этот единичный
круг в самого себя и будем получать таким образом новые конформ-
ные преобразования области В в единичный круг. Отметим внутри
нашей области некоторую определенную точку А, и пусть при пре-
образовании, совершаемом функцией
w=f(z\ C9)
эта точка переходит в точку а, лежащую внутри единичного круга.
Совершая над этим кругом подходящим образом выбранное дробно-
линейное преобразование, мы можем всегда перевести точку а в начало,
не меняя единичного круга [33]. Новое преобразование будет пере-
водить точку А в начало. Кроме того, поворачивая единичный круг
вокруг начала, мы можем достигнуть того, чтобы линейные элементы
при переходе точки А в начало не поворачивались, т. е. чтобы f(z)
150 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [37
была положительной величиной в точке А Таким образом, имея одно
конформное преобразование области В в единичный круг, мы можем
построить и бесчисленное множество таких преобразований, и среди
них будет существовать такое преобразование, которое преобразует
любую наперед заданную точку А внутри В в центр единичного круга
и не меняет направлений в этой точке. Можно показать, что при
этих дополнительных условиях функция, совершающая конформное
преобразование, определяется уже единственным образом, а именно
имеет место следующая, основная в теории конформного преобразо-
вания теорема:
Теорема Римана. Если В — некоторая данная односвязная
область на плоскости z (за указанными выше двумя исключе-
ниями) и Zq — некоторая точка внутри В, то существует одна
определенная регулярная внутри В функция f(z), преобразующая
В в единичный круг так, что z0 переходит в начало и значение
производной f (z0) положительно.
Мы не приводим доказательства этой теоремы. Заметим, что функ-
ция, о которой говорится в ней, только в исключительных случаях
выражается через элементарные функции. В дальнейшем мы займемся
практически важным вопросом приближенного построения указанной
функции.
Сделаем одно важное добавление к теореме Римана. Если граница
области есть простая замкнутая кривая [Б], причем относительно
функций x = x(t) и y=y{t\ входящих в ее параметрическое пред-
ставление, предполагается лишь непрерывность, то f(z) будет непре-
рывной вплоть до границы / и будет преобразовывать эту границу
в окружность |тй>|=1. Функция z = y(w), обратная w=f(z\ будет
регулярной внутри круга | w|<[ 1 и непрерывной вплоть до окруж-
ности |t2j| = 1, которую она будет преобразовывать в границу В.
Как указывалось выше, функция, совершающая конформное пре-
образование данной области В в единичный круг, определяется вполне
лишь при наличии дополнительного условия, о котором говорится
в формулировке теоремы Римана. Можно заменить это дополнитель-
ное условие другим, причем будем в дальнейшем считать, что наш
контур области таков, что функция, совершающая конформное пре-
образование, непрерывна вплоть до контура. При этом можно исполь-
зовать дробно-линейное преобразование единичного круга в самого
себя с той целью, чтобы три заданные точки контура области В
перешли в три заданные точки окружности единичного круга. При
этом функция, совершающая конформное преобразование, определяется
вполне. Можно формулировать дополнительные условия еще и другим
образом, а именно: потребуем прежде всего, чтобы данная точка zQ
внутри В перешла в начало. После этого у нас остается еще воз-
можность поворачивать единичный круг вокруг начала, и мы можем
использовать этот поворот для того, чтобы заданная точка контура
37] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 151
области В перешла в заданную точку единичной окружности, и, как
можно показать, при этом функция определяется вполне.
Итак, при выполнении условий, гарантирующих непрерывность
функции, совершающей конформное преобразование, вплоть до кон-
тура области Ву можно вполне определить эту функцию, задавая
произвольно соответствие трех точек контура области В трем
точкам единичной окружности или задавая произвольно соответ-
ствие одной внутренней точки и одной точки контура области В
таким же точкам единичного круга.
Если у нас имеются на плоскости z две односвязные области Вх
и Въ то существуют, согласно теореме Римана, две регулярные
функции:
D0)
которые преобразуют эти области в единичный круг
Исключая из предыдущих равенств переменную wlf мы придем к регу-
лярной функции 22 = cp0zi)> которая преобразует В\ в В%.
При этом каждой точке Z\ будет соответствовать такая точка z^
что точкам Z\ и z% отвечает в силу D0) одно и то же wv Таким
образом, существует конформное преобразование любых двух одно-
связных областей (за указанными двумя исключениями) друг в друга.
При этом, конечно, можно ставить такие же дополнительные условия,
какие мы указывали выше при преобразовании области в круг.
Отметим одно важное свойство функции f(z\ преобразующей
односвязную область в круг или в другую односвязную область.
Будем считать, что наши области суть однолистные области или —
более общо — что они, хотя и могут налегать сами на себя, но не
имеют внутри себя точек разветвления. При этом производная f (z)
не может обращаться внутри области в нуль, так как обращение
в нуль производной влечет за собой точку разветвления преобразо-
ванной области [23]. Заметим еще, что если возьмем функции \gf(z)
и Vf(z), то они при аналитическом продолжении внутри нашей
односвязной области В не будут иметь особых точек и будут, следо-
вательно, однозначными [18] и регулярными функциями внутри области.
Если мы имеем на плоскости z не односвязную, а, например,
двусвязную область: некоторое кольцо, ограниченное двумя замкну-
тыми кривыми, то его невозможно, очевидно, преобразовать кон-
формно в односвязную область так, чтобы каждой точке кольца
соответствовала определенная точка односвязной области и наоборот.
В случае многосвязной области имеет место одно обстоятельство,
отличающее этот случай от случая односвязной области, а именно не
всякие две области одной и той же связности могут быть конформно
преобразованы одна в другую. Так, например, два кольца, ограничен-
ных концентрическими окружностями, могут быть конформно преоб-
разованы одно в другое в том лишь случае, если для обоих этих
152
ГЛ. 1Г. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
C8
колец отношение радиусов ограничивающих их окружностей одно и
то же.
Но и в случае многосвязной области существует возможность
преобразовать любую область в область определенного типа, а именно:
всякую л-связную область можно преобразовать на плоскость с п
вырезами, которые имеют вид параллельных отрезков прямых, причем
некоторые из этих вырезов могут выродиться в точку.
Прежде чем переходить к изложению приближенных методов
построения функции, совершающей конформное преобразование, мы
выведем аналитическое выражение для функций, дающих конформное
преобразование единичного круга или верхней полуплоскости в область,
ограниченную ломаной линией, т. е. в многоугольник. Формула эта
часто встречается в приложениях.
38. Формула Кристоффеля. Пусть на плоскости z имеется много-
угольник А\Аъ...Ап (рис. 38), и положим, что величины углов этого
многоугольника суть о^тс, а2тс, ..., ая1г. Введем в рассмотрение функцию
z=f{t\ D1)
которая совершает конформное преобразование верхней полуплоскости
t в наш многоугольник. Нашей задачей будет построение аналитиче-
ского выражения этой функции. Положим, что
вершинам многоугольника Ak соответствуют точки
t = ak (?=1,2,..., л),
лежащие на вещественной оси, причем мы считаем,
что все эти точки находятся на конечном расстоя-
нии, чего всегда можно достигнуть при помощи
дробно-линейного преобразования плоскости t.
Кроме того, пусть atl — крайняя точка слева и
ап — крайняя точка справа. Рассмотрим вопрос
об аналитическом продолжении функции f{t) через
вещественную ось. Возьмем некоторый определен-
ный отрезок akak+l вещественной оси, которому соот-
Рис. 38. ветствует сторона AkAk^ многоугольника. В силу
принципа симметрии мы можем функцию f(t) ана-
литически продолжить через отрезок akak+i, и значения этого продол-
жения в нижней полуплоскости дадут новый многоугольник, который
получается из основного при помощи отображения в стороне AkAk+i.
Мы можем затем дальше аналитически продолжить вновь полученную
функцию из нижней полуплоскости в верхнюю через некоторый
отрезок а1а1^г1 вещественной оси. При этом опять в силу принципа
симметрии новые значения f(t) в верхней полуплоскости дадут много-
угольник, который получается из второго многоугольника при помощи
его отображения в той его стороне, которая соответствовала упомя-
ос?л
&./7Г
38]
ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ
152
нутому отрезку utalJrX вещественной оси и т. д. Мы видим, таким
образом, что можно беспрепятственно продолжать нашу функцию
f(t) через вещественную ось, и при этом значения этой функции
будут преобразовывать всякую полуплоскость в многоугольник, кото-
рый получается из основного путем нескольких отображений в тех
сторонах, которые соответствуют тем отрезкам вещественной оси,
через которые мы совершали аналитическое продолжение. Заметим
при этом, что стороне многоугольника АпА\ соответствует на веще-
ственной оси отрезок, идущий от ап к со и затем от сю к аь так
что бесконечно далекая точка в плоскости t соответствует некоторой
точке, лежащей на стороне АпА\ многоугольника. Сами точки ак
будут, вообще говоря, особыми точ-
ками функции f(t). Исследуем харак-
тер этих особых точек. Возьмем для
определенности точку а2 и обойдем
вокруг этой точки, отправляясь из
верхней полуплоскости и вновь туда
возвращаясь. При этом нам сначала
придется пройти из верхней полу-
плоскости в нижнюю через отре-
зок a\ai и затем вернуться из ниж-
ней в верхнюю через отрезок афъ.
Согласно вышесказанному, значе-
ния f(t) в нижней полуплоскости
дадут многоугольник А\ЛИз • • • А'п,
который получается из основного
отображением в стороне А\А^ и затем возвращение в верхнюю полу-
плоскость сведется к отображению в стороне А%Аз этого нового много-
угольника (рис. 39).
Таким образом, вышеуказанному обходу вокруг точки а2 будет
соответствовать на плоскости z отображение в прямых А^А\ и А2Аз,
т. е., как мы видели в [33], линейное преобразование вида zr — &2 —
= ei{f(z— ?2)> где Ъ% — координата точки А*
Отсюда непосредственно следует
Рис. 39.
где 7 — некоторая постоянная
f(t) в верхней полуплоскости.
Отсюда следует
Г (О _Г
т. е. функция
= ?a — e'^b^) и f(f)—новая ветвь
f (t)
Г it)
f(t)
D2)
154 ГЛ. И. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [38
будет регулярной и однозначной в окрестности точки аь и эта точка
может для функции D2) быть полюсом или существенно особой
точкой. Покажем, что эта точка будет простым полюсом с вычетом
(а2—1). Действительно, введем вместо z новую комплексную пере-
менную z'\
i
где b% — координата вершины Л2. Этой вершине будет соответствовать
значение z' = 0, и стороны A%Ai и Л2Л3, образующие угол а2тс,
перейдут в две прямые, образующие угол тс, т. е. на плоскости zf
вышеупомянутые стороны превратятся в два отрезка одной и той же
прямой /, выходящих из начала в разные стороны. Если мы обратимся
теперь к плоскости переменной t, то увидим, что окрестность точки
a2i лежащая над вещественной осью, перейдет на плоскости zr
в окрестность точки zF = 0, лежащую по одну сторону от прямой /.
В силу принципа симметрии то же самое будет иметь место и для
окрестностей точек tf = a2 и г' = 0, лежащих по другую сторону от
упомянутых прямых. Таким образом, окрестность точки t = a<> перей-
дет в однолистную окрестность точки z' = 0, и мы должны будем
иметь разложение вида
Отсюда непосредственно следует, что
или, если применить формулу бинома Ньютона [ср. 23],
где /i @ — регулярна в точке t = аа и отлична там от нуля.
Отсюда
f (t) = *t(t — а,р~1 Л (<) + (* — о,1Г. /[ (О,
и, следовательно,
Г @ _ 1 «ifa— 1)А (*) + 2«2 (t — at)ft (t) + {t-a^fl (t)
f (t) ~t — at' «^ @ + (*-*,)/; @
Второй множитель справа есть регулярная функция в точке г = аъ
и значение его в этой точке равно (а2—1), т. е. вблизи точки t = a<*
имеет место разложение
где P(t — a2) есть функция, регулярная в точке t =
38] формула кристоффеля 155
Аналогично мы убедимся, что функция D2) имеет в каждой точке
ак вещественной оси полное первого порядка с вычетом (<xk—1).
Никаких других особых точек па конечном расстоянии наша функция,
как мы знаем, не имеет, а потому разность
Tit) Lt-as ^6>
s=\
будет регулярной и однозначной функцией на всей плоскости. Выяс-
ним теперь поведение функции D3) на бесконечности. Как мы видели
выше? функция f(t) на бесконечности стремится к определенному
значению, а именно к координате boo той точки стороны АпА\у кото-
рая соответствует ? = оо, и, следовательно, в окрестности бесконечна
далекой точки имеем разложение вида
F (t)
Отсюда непосредственно следует, что для функции у 7 в окрест-
ности бесконечности имеем разложение вида
f{t)_d1 . d2 ,
fit) t * t2 ~r--->
т. е. эта функция стремится к нулю при t—+ oo. Таким образом,,
функция D3), регулярная на всей плоскости, стремится к нулю при
t—-oo, а следовательно, ограничена на всей плоскости. Согласно тео-
реме Лиувиля [9], выражение D3) должно быть величиной постоянной,
и так как мы только что видели, что оно должно стремиться к нулю
при t—->оо, то отсюда следует, что эта постоянная должна равняться
нулю. Это приводит к равенству:
f(t)_ai—\ . «а— 1 . . ап — 1
f(t) ~t — ax ' t — as ~l~"# ' t — an*
Интегрируя один раз, получаем
или
и, наконец, интегрируя еще раз, имеем окончательно
z=№ = Al{t — a1r*-l(t-atf*-*...(t — atf*-ldt + B, D5>
где А и Б — постоянные. Таким образом, наша задача решена ю
156 ГЛ. 1Г. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [38
конформное преобразование верхней полуплоскости t в многоуголь-
ник с углами a^it дается формулой D5), где ak — некоторые точки
на вещественной оси, а А и В — комплексные постоянные.
Выясним прежде всего роль этих последних постоянных. В пре-
дыдущих рассуждениях мы использовали лишь величины углов нашего
многоугольника. Таким образом, подвергая многоугольник движению
или даже преобразованию подобия, мы не меняем углов, и для нового
многоугольника должна иметь место также формула D5). Роль постоян-
ных А и В и сводится к тому, что мы при изменении их переходим
от одного многоугольника к подобному многоугольнику. Более суще-
ственной является роль чисел ak в формуле D5). Расположение этих
чисел на вещественной оси вместе со значением постоянной А дает
длины сторон многоугольника. В дальнейшем мы вернемся еще к этому
вопросу.
При выводе формулы D5) предполагалось, что всем вершинам
хмногоугольника соответствуют точки вещественной оси, лежащие на
конечном расстоянии. Положим теперь, что одной из вершин, напри-
мер вершине Ат соответствует бесконечно далекая точка.
Совершая, например, в формуле D5) замену переменной интегри-
рования t== — --?Л~ап и пользуясь соотношением
*! + ** + ... + ** = /* — 2, D6)
легко показать, возвращаясь к прежним обозначениям, что в этом
случае формула имеет вид
z =f(t) = A\{t-axp-1 (t- а,р->...(*-an_xfn-i-i dt-f В. D7)
to
При помощи дробно-линейной функции, преобразующей полупло-
скость в круг |т|<М, можно показать, что конформное преобразо-
вание упомянутого круга в многоугольник выражается формулой, по
виду совпадающей с D5):
z=f(x) = A\(x — ai)ai-i(T — п2р-1...(х — апГ*-Ых-{-В, D8)
6
где a'k(k=\, ..., ri) — точки, лежащие на окружности |т| = 1.
В указанных выше формулах нижний предел не играет роли и
влияет лишь на постоянную В. Аргументы разностей t — ak и т — a'k
надо фиксировать хотя бы в одной точке одного из промежут-
ков (aki ak+x), считая, например, arg(? — а{) = 0 при ai<^<^a2.
При этом они определяются на всей полуплоскости (или во всем
круге).
39]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
157
Выше мы исходили из некоторого многоугольника на плоскости
t и вывели формулы для функции, преобразующей полуплоскость
или круг в этот многоугольник. Будем теперь исходить из этих
формул. Рассмотрим, например, формулу D5), где ak — некоторые
точки вещественной оси и cnk — числа, удовлет-
воряющие условиям 0<^ал<^2 и соотноше-
нию D6). Можно показать, что при этом фор-
мула D5) преобразует верхнюю полуплоскость
плоскости t в некоторую область плоскости z
без точек разветвления (однолистную или много-
листную), контур которой — ломаная линия
с углами аЛ1с.
На рис. 40 изображен семиугольник, который
является двулистным в заштрихованной части.
Заключение, совершенно аналогичное только что сформулирован-
ному, имеет место и по отношению к формулам D7) и D8).
39. Частные случаи. Начнем с наиболее простого случая треуголь-
ника. Пользуясь дробно-линейным преобразованием плоскости t, мы
всегда можем привести задачу к тому случаю, когда вершинам тре-
угольника соответствуют точки ? = 0, 1 и оо. При этом мы должны
воспользоваться формулой D7), полагая а[ = 0 и а[=\у и получим
таким образом формулу
Рис. 40.
* (х — 1 }ч - * dx -f- В.
D9)
В этом случае в нашей формуле остались лишь произвольные
постоянные А и В\ не играющие существенной роли и связанные
с подобным преобразованием треуголь-
ника. Сравнительная простота фор-
мулы D9) соответствует тому факту, что
всякие два треугольника с одинаковыми
углами будут обязательно подобны один
другому. В случае четырехугольника
это обстоятельство уже не будет иметь
места, и в общей формуле для четырех-
угольника с заданными углами мы будем
иметь под знаком интеграла неопределенный параметр, который за-
висит от длин сторон многоугольника.
Формула D9) применима и к случаю безграничного треугольника
с углами |,у и 0. Такой треугольник представляет собою, очевидно,
полуполосу, ограниченную двумя параллельными полупрямыми и от-
резком, перпендикулярным к ним (рис. 41). Полагая в формуле D9)
Рис. 41.
158 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [39
^ — 0%= -- будем иметь
7 ZZ3 >4'
Остановимся еще подробно на случае прямоугольника. Положим,
что вершины этого прямоугольника В имеют координаты (рис. 42):
где
ичи>а — заданные вещественные положительные числа. Возьмем
правую половину этого пря-
моугольника с вершинами
О, ^, ^
У
«А
w,
и положим, что она кон-
формно отображена на пра-
вую половину верхней полу-
плоскости t, т. е. на ту
половину верхней полупло-
скости U точки которой
Рис. 42.
имеют положительную веще-
ственную часть. При этом
мы можем считать, что вер-
шинам 0, уи /оJ соответ-
ствуют точки 0, 1 и оо контура упомянутой правой части верхней полу-
плоскости. При этом вершине^-1-}-ш% будет соответствовать некоторая
точка вещественной оси, лежащая между точками 1 и оо. Обозначим эту
точку через -г> где 0<[&<[1. В силу принципа симметрии левой
половине нашего прямоугольника будет соответствовать левая поло-
вина верхней полуплоскости t, причем вершинам —у, —Щ-^\-1щ
будут соответствовать точки t = —1 и tf = — Из предыдущих
рассуждений непосредственно вытекает, что всегда можно таким
образом нормировать наше конформное преобразование верхней по-
луплоскости в прямоугольник В} чтобы точкам t=. — 1, 0, 1, со
со, л о). . .
соответствовали точки z = —^, 0, у, г аJ, и при этом точкам t =
1,1^ «, ,
= .— и t = г- будут соответствовать значения ^ = -^-[-/aJH z=
== — ^ -j"l Ш2- Можно теперь применить к нашему случаю формулу D5),
с9] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ 159
1 1 1 1
полагая av = — -г-; а^ = — 1; а3=1; а^ = -г и а1 = а2 = а3 = а4 =
Мы получаем таким образом, принимая во внимание, что при
t=0 и z = Q, формулу вида
t
dt
Z = A
или формулу вида
E0)
При значениях t, лежащих внутри отрезка —1<^<М веществен-
ной оси, мы должны иметь отрезок вещественной оси (— ~t у)
в плоскости z. Отсюда следует, что в формуле E0) мы можем счи-
тать А положительной постоянной и должны брать радикал равным
единице при t = Q. Дальнейшие значения этого радикала в верхней
полуплоскости получатся единственным образом, так как этот радикал
будет регулярной функцией в этой полуплоскости и не будет там
иметь точек разветвления. Принимая во внимание, что вершинам
Y и у-[~гаJ соответствуют значения t=l и t = -j-t мы получим
следующие формулы:
E1)
dt
Щ = <
Длины сторон нашего прямоугольника равны щ и а>2, и можно
построить уравнение для определения параметра kt входящего под
знак интеграла, зная отношение длин сторон нашего прямоугольника
1
1 k
Определив отсюда kt мы сможем найти А из одного из уравне-
ний E1).
160 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [39
Интеграл, входящий в формулу E0), не выражается через элемен-
тарные функции и называется эллиптическим интегралом первого
рода в форме Лежандра. Будем дальше заниматься такими инте-
гралами и не будем сейчас разбирать подробнее вопрос об опреде-
лении k из уравнения E2). Мы привели предыдущее рассуждение
лишь для того, чтобы более отчетливо выяснить вопрос об опреде-
лении постоянных в формуле Кристоффеля.
Рассмотрим еще один частный случай. Пусть на плоскости z мы
имеем правильный л-угольник А\Аъ...,Ат и пусть z = 0— его центр
(рис. 43 для п = 6). Возьмем конформное преобразование треуголь-
ника OAiAz на сектор О'А[А'2 единичного круга с центральным углом
— так, чтобы вершинам треугольника О, А\ и А2 отвечали центр
Рис. 43.
круга О и концы дуги А[ и А'г Совершая отображение треугольника
в его сторонах, мы, согласно принципу симметрии, будем иметь
отображение сектора в соответствующих радиусах. Таким образом,
при аналитическом продолжении функция отобразит весь правильный
многоугольник в единичный круг. Из этих рассуждений непосредственно
следует, что при отображении правильного многоугольника на еди-
ничный круг вершинам многоугольника соответствуют точки, делящие
окружность единичного круга на равные части. Кроме того, в фор-
муле D8) мы должны в данном случае считать
п — 2 1 2
а1==а2=... = ал = __=1 __,
Поворачивая единичный круг вокруг начала, мы можем, конечно,
считать, что вершине А^ соответствует любая точка окружности на-
пример точка х=1. При этом остальные точки окружности, соответ-
.2nk
ствующие вершинам многоугольника, будут е п (k= 1, 2,. ,.,п—1),
так что подинтегральная функция формулы D8) в данном случае
будет иметь вид
(
— е п ].. Дх — е
401
СЛУЧАИ ВНЕШНОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКА
161
Считая, что центр многоугольника находится в начале координат,
получаем следующую формулу преобразования единичного круга
в правильный /z-угольник:
Модуль постоянной А" определяется из размеров многоугольника,
а аргумент этой постоянной дает просто поворот многоугольника
вокруг центра.
40. Случай внешности многоугольника. Рассмотрим часть пло-
скости, лежащей вне многоугольника (рис. 44). Эта односвязная область
содержит бесконечно далекую точку г = оо. Сумма углов, содержа-
щихся в В, равна тс (/z —|— 2), и, обозначая эти
углы по-прежнему через аЛтс, получим соот- "
ношение
Пусть z =/(х) — функция, совершающая
конформное преобразование единичного круга
| т | <М на Ву причем мы считаем, что точке
х = 0 соответствует z = оо, из чего следует,
что w = 0 есть полюс /(х) первого порядка.
Проводя рассуждения, аналогичные рассуж-
дениям из [38], получим
*=/(*) =
E6)
^г&17ГЕ=
Рис. 44.
где а'и — точки окружности |х|=1, соответствующие вершинам ло-
маной линии.
Заменяя х на —, мы получим, принимая во внимание E5), формулу
того же вида, что и формула E6), для конформного преобразования
области | т | ]> 1 на многоугольник.
Сделаем одно замечание по поводу формулы E6), считая, что она дает
преобразования области | х | ^> 1 на многоугольник. Разлагая подинте-
гральную функцию вблизи х = оо, получим, принимая во внимание E5),
E7)
Коэффициент при — должен обращаться в нуль, ибо в противном
случае точка х = оо была бы точкой ветвления бесконечного порядка.
162 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [41
Это приводит к следующему соотношению:
ал— 1)ая = 0. E8)
Если предположить, что формула E6) дает преобразование круга
| т К1 на многоугольник, то, строя разложение подинтегральной
функции в начале, придем к соотношению
(a,-l);l + (a2-l)±-f...-f(an-l)i = 0. E9)
12 /i
Оно совпадает с E8), ибо по условию |а?| = 1, и, следовательно,
a'k~l = aky а числа ak вещественны (и положительны).
Рассмотрим в качестве примера преобразование | х | <^ 1 на часть
плоскости, находящуюся вне квадрата. В силу его симметрии точки
ak (k=\t 2, 3, 4) делят окружность на равные части, и мы можем
считать, что это будут точки
а[ = 1, a'2 = l, at =—\9 a, = — L F0)
Для углов имеем
так что окончательно
т
^V^=l^ F2)
Значение постоянных А и В зависит от длины сторон квадрата и его
расположения на плоскости.
41. Минимальное свойство преобразования на круг. Рассмотрим
функцию
г=/(т)=т + с2т* + ..., F3)
регулярную в круге | т | < R. Она преобразует его в некоторую область В,
которая может быть многолистной и может содержать точки разветвления.
Круг | т | < /?!, где 0 < /?i < Ry переходит в некоторую область Bv Площадь
ее выражается, как мы знаем [31], интегралом
Мы можем написать этот интеграл в следующем виде:
S, = \ \ A + 2ctre*v + 3csr2ei2v +...) A + 2e%rer*v + Зсгг2е'^ + ...)rdr dy.
Ввиду абсолютной и равномерной сходимости ряда в круге |t|</?x мы
можем перемножить наши два ряда почленно и интегрировать их также
почленно. Заметим при этом, что при интегрировании функции вида eikvt
где к — целое число, отличное от нуля, по промежутку @, 2тс) мы получаем
41] МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА КРУГ 163
нуль. Следовательно, при перемножении рядов в предыдущей формуле нам
достаточно сохранить лишь члены, не содержащие множителей вида eik(?, и
интегрирование по <р сведется просто к умножению на 2п. Таким образом
получим
S, = 2* j A + 2* | с2 |2г2 +... + л21 сп |2r**-2 + ...)rdr F5)
или
Si = «/?! + * fj /i|cj2*2*. F6)
/1=2
При стремлении Rt к R последняя сумма будет, увеличиваясь, стремиться
или к конечному пределу или к бесконечности. Но во всяком случае этот
предел, который дает нам площадь всей области В, будет больше числа л/?2,
равного площади исходного круга |х|</?, если в разложении F5) хоть
один из коэффициентов с^ отличен от нуля. Мы получаем таким образом
следующий результат: при преобразовании круга )т|</? функцией F5),
регулярной внутри этого круга, площадь области увеличивается, если хоть
один из коэффициентов съ отличен от нуля.
Установив эту предварительную теорему, мы перейдем теперь к выясне-
нию одного важного свойства функции, совершающей конформное преобра-
зование. Пусть В— некоторая односвязная ограниченная область плоскости zf
причем, не ограничивая общности, мы будем считать, что начало 2 = 0 нахо-
дится внутри этой области. Пусть, далее, Ft (z)— функция, совершающая кон-
формное преобразование В в единичный круг, причем начало 2 = 0 переходит
в центр круга. Эта функция будет иметь в окрестности 2 = 0 разложение вида
/>,(*) = <*!* +*.*¦ + ...,
где мы можем считать dt>0. Рассмотрим теперь вместо функции Ft (z)
новую функцию
Она будет давать преобразование В в круг |х|</?, где /? = -— и ее
разложение вблизи 2 = 0 будет иметь вид
х = F B) = 2 + а%# + aiZ* +... F7)
Функция, обратная ей, будет регулярна внутри круга |х|</? и будет
иметь разложение формы
2=/(т)=т + С2х2 + с8хЗ + ... F8)
Двойной интеграл
~~\F'(z)\*dsy F9)
дающий площадь круга, равен, очевидно, я/?2. Если мы вместо функции F(z)
возьмем какую-нибудь другую функцию <р B), регулярную внутри В и имею-
щую в окрестности 2 = 0 разложение вида F7), то, подставляя вместо г раз-
ложение F8), получим в результате некоторую функцию от т, регулярную
внутри круга [ т ] < R и имеющую там разложение:
<Р W = ? V W] = х + е,т* + *,т» + • • • =/» (х). G0)
164 ГЛ, II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [41
Вычислим двойной интеграл F9) для этой новой функции ф (z). Переходя
на плоскость т и принимая во внимание выражение элемента площади на
плоскости т через элемент площади на плоскости z [31]:
\\\
В
найдем
1 (z) \*dsz= $ $ I *' <*> * f W I2 d8* = И l/; (x) |2 ds«
I x |</? I x |<#
и, согласно доказанному выше предложению, величина этого интеграла будет
больше nR2, если в разложении G0) хоть один из коэффициентов е^ будет
отличным от нуля. Если же все эти коэффициенты равны нулю, т. е. если
<рB)=т, то, очевидно, ср (z) = F (z). Приходим, таким образом, к следующей
теореме:
Теорема. Среди всех функций, регулярных внутри В и имеющих
вблизи 2 = 0 разложение вида F7), функция, конформно преобразующая
В в круг с центром в начале, дает интегралу F9) наименьшее значение.
Можно использовать эту теорему для построения приближенного выра-
жения функции F (г), преобразующей В в круг, в виде полинома. Итак, бу-
дем считать, что F(z) представляется приближенно полиномом степени п:
F(z) = z + a2z* + ... + anzn, G1)
и определим коэффициенты этого полинома ak из того условия, что поли-
ном G1), среди всех полиномов такого же вида, минимизирует интеграл F9),
т. е. дает этому интегралу наименьшее значение. Построим произвольный
полином
со (z) = b2z* + b^z* + ... + bnzn
и построим затем новый полином, имеющий ту же форму G1), что и поли-
ном F(z):
Ф(г) = /Чг)+есо(г),
где е — некоторый параметр, который мы будем считать вещественным.
Составим интеграл F9) для нашего нового полинома
у
[F* (г) + eco' (z)] [F' (Z) + есо' (*)] ds.
Эта функция от е должна иметь минимум при е = 0. Приравнивая нулю
ее производную по е при е = 0, мы получаем следующее условие:
[Г (z) VJJH + РЦгГ*' (z)] ds = 0, G2J
которое должно иметь место при любом выборе полинома а> (z).
Совершенно так же заменяя е на /е, где е — вещественно, получим
вместо G2Х) условие
([F (z) »' (z) - F (z) »' (г)] ds = 0. G2.)
Складывая, получим условие
И F B) w' (г) flTs = 0.
Принимая последовательно о> (г) равным
<*(*) = Л*5 «л
42] СПОСОБ СОПРЯЖЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 165
и вводя обозначение
$$ G3)
мы будем иметь для искомых коэффициентов а^ полинома G1) следующую
систему уравнений первой степени:
Pto + 2Ри<** + 3Pi^s + • • • + nplf n^an = 0,
PtO + 2Pil<*2 + 3/^22«8 + • - • + "Pi, Я-!*** = 0,
... + npn_ly n_tan = 0.
G4)
Таким образом, в существенном дело сводится к вычислению интегра-
лов вида G3).
Если контур области есть простая замкнутая, сама себя не пересекаю-
щая кривая, то можно доказать, что построенные таким образом полиномы
стремятся при п—+со равномерно внутри В к функции, отображающей В
на круг.
Сделаем в заключение одно замечание по поводу первой из доказан-
ных в настоящем номере теорем. Функция F5) может преобразовывать
круг | х | < R в область В> чрезвычайно сложную по своим геометрическим
свойствам как в отношении многолистности, так и в отношении вида кон-
тура. Такая область, как можно показать, может даже не иметь площади
в обычном смысле этого слова, и то, что мы называли выше площадью области,
надо понимать как предел площадей областей Blt находящихся внутри В и
расширяющихся таким образом, что всякая точка В попадает внутрь этих
областей так, что эти области Bt стремятся к В как к пределу. Если В
имеет площадь в обычном смысле слова, то эта площадь совпадает, очевидно,
с указанным выше пределом.
42. Способ сопряженных тригонометрических рядов. Укажем теперь
другой способ приближенного построения функции, совершающей конформ-
ное преобразование односвязной области В на круг. В данном случае мы
будем иметь это приближенное представление в виде полинома не на пло-
скости г области В, как в предыдущем случае,- а на плоскости единичного
круга х. Для простоты будем считать, не ограничивая общности, что центр
круга переходит в начало координат, которое лежит внутри В. Пусть
« = в1т+ *,*¦ + ... G5)
функция, которая преобразует единичный круг С (| т | < I) в В. Если контур В
есть простая замкнутая кривая, то можно показать, что ряд G5) сходится
равномерно во всем замкнутом круге С, включая его окружность. На этой
окружности мы должны положить т = е'?, где 0^<р^2тс; при этом получим
уравнение контура Г нашей области В:
z = x + iy = atei(e + «2*'2<p + а^ +... G6)
или, отделяя в коэффициентах вещественную и мнимую части aft = oe^ — i$kt
можем написать уравнение контура в виде
* = 2 (а* cos k * + Р* sin k ?); -V = 2 (— $k cos k <p + ал sin k f). G7)
*—1 ft—I
В частности, мы можем считать at вещественным, т. е. р, =0. Уравнения
G7) дают параметрическое представление контура Г области В особого
а именно параметрическое представление $ виде сопряженных
166 ГЛ. П. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [42
тригонометрических рядов [25]. Назовем такое представление нормальным
параметрическим представлением кривой, В комплексной форме это пред-
ставление может быть написано в виде G6). Наоборот, имея нормальное
параметрическое представление контура Г области в виде G6) или G7), мы
можем построить и самую функцию, заменив в ряде G6) eik<? на т*. При
этом, конечно, ряд G6) должен быть равномерно сходящимся. Таким обра-
зом, задача сводится к нахождению нормального параметрического пред-
ставления контура Г заданной области В.
Предположим, что имеется уравнение контура Г в неявной форме, при-
чем это уравнение имеет вид
х2 +У* - 1 + ХР (х*, у*) = 0, G8)
где X — некоторая постоянная и Р (х2, у2) — полином, содержащий лишь
четные степени х и у. Уравнение G8) мы можем переписать в комплексной
форме. Заметим для этого, что Р (х2, у2) можно считать полиномом от двух
аргументов:
х2 +у2 = zz и 2 (л:2 —у2) = г2 + Ъ\
так что уравнение G8) может быть переписано в форме
zz - 1 + X 2 S АМ (**)* (z2 + z2Y = 0, G9)
/=ол=о
где Aki — заданные вещественные коэффициенты. По условию наша кривая Г
симметрична относительно координатных осей, и, повторяя рассуждения,
аналогичные тем, которые мы проводили в [39] при рассмотрении правиль-
ного многоугольника, можно показать, что в формулах G7) мы должны
иметь pfc = 0 и а2Л = 0, так что уравнение контура в комплексной форме
мы должны будем искать в следующем виде:
(80)
где a2k+i — вещественные коэффициенты, и, следовательно,
z = «!*"'? + aze-iS(P -f... (81)
Непосредственным перемножением получим выражения
+00
z* = 2 2j aa/+i a2/
Р=-оо[/—/==р
2 "Т~ Z = ^/j I /j a2/+l a2J'+l I ^ ^ i \"^/
p=oL/+/==p J
" e-i Bp+2) (
В каждом из написанных выражений суммирование по J и f совер-
шается от 0 до +00 лишь по тем значениям, которые удовлетворяют на-
писанным внизу суммы равенствам. Подставляя выражения (82) в левую
часть G9), мы должны, перемножая опять ряды и собирая члены с одина-
ковыми степенями е*?, приравнять нулю члены при различных степенях Л
Заметим при этом, что в формулах (82) коэффициенты при положительных
и отрицательных степенях будут одинаковы и участвуют лишь четные
степени Л То же будет, очевидно, и при разложении левой части урав-
нения G9), так что нам придется приравнять нулю лишь свободный член и
коэффициенты при е*2р<? для р > 0.
42]
СПОСОБ СОПРЯЖЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
167
Не проделывая всех вычислений в общем случае, заметим лишь, что
мы получим, в силу первого из уравнений (82), систему уравнений вида
(83)
«ia5 + «за7 + • • • + * T2 (a2/+1) = 0,
где Tp(ct2j+i) — некоторые определенные выражения, содержащие заданные
коэффициенты Аы и искомые a2y+i« Мы их не будем выписывать в общем
случае. Перепишем предыдущую систему, оставляя в каждом уравнении
слева лишь первое слагаемое и извлекая в первом уравнении корень квад-
ратный, а остальные уравнения деля на ах:
OLnOLij 0Cs(Za
Разлагая радикал по биному Ньютона, получим
Mi-'),
2!
(84)
Будем решать эту систему по методу последовательных приближений,
принимая за исходные следующие значения:
a<0) = l; a<<» = a<.0> = ... = 0. (85)
Подставляя выражения (85) в правые части равенств (84) и отбрасывая,
все члены, содержащие X выше, чем в первой степени, мы получим первое
приближение:
причем, пользуясь выражениями 7^ (a2y+i)» можно показать, что все выра-
жения (86) при достаточно больших значениях ] будут равны нулю.
Подставляя выражения (86) опять в правую часть равенств (84) и от-
брасывая те члены, которые содержат X выше, чем во второй степени, мы
будем иметь для коэффициентов второе приближение вида
причем опять все эти выражения будут нули при больших У и т. д. Можно
показать, что полученные таким образом бесконечные ряды для аау+1 будут
сходящимися для всех X, достаточно близких к нулю, и будут давать реше-
ние задачи.
168 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
[42
Пример. Для разъяснения предыдущего метода рассмотрим пример,
а именно найдем функцию, отображающую единичный круг на внутренность
эллипса с уравнением:
1 —Ч*1— У2) = ° (*<!)• (87)
В комплексной форме это уравнение может быть представлено в виде
zz — X —-?— = 1,
и, непосредственно пользуясь формулами (82), получим бесконечную систему
вида
«8«7 + аб«8
а1а9 +а8а11
X (а,а7 + а8а6),
Введем новые неизвестные р^, полагая
Для них система (88) перепишется так:
Pi = 'X"~PlPa — РаРз— Р8?4— Р4Рв — *•• >
Ра = Хрх — рАр8 — р2р4 — РзРб — • • •»
Рз = * (у Р? + Ра) ~ PiP4 — РгРб — ••• ,
(88)
(89)
(90)
Не обращая пока внимания на первое уравнение, мы можем решить
остальные указанным выше методом последовательных приближений.
Таким путем, доходя до членов, содержащих X6, получим
Т*>
8
16
43] ПЛОСКОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ 169
причем все остальные р& будут равны нулю. За начальные значения мы
брали р^°* = р^0) =====... = 0. Подставляя полученные выражения для р^ в пра-
вую часть первого из уравнений системы (90) и пользуясь формулой бинома
Ньютона, получим для р0 выражение с точностью до X5:
Зная р^, согласно (89), можно построить ak:
ai = Ро> аз = PoPi» аб = РоРг» • • •
Искомая функция, отображающая единичный круг во внутреннюю часть
эллипса (87), будет приближенно представляться в виде
43. Плоское установившееся течение жидкости. Выяснив основы
теории конформного преобразования, мы переходим теперь к приложе-
нию теории функций комплексного переменного в гидродинамике. Пусть
имеется плоское установившееся движение жидкости, обладающее
потенциалом скорости ср(лг, у) и функцией тока ф(лг, у) [И, 77].
Напомним, что при этом составляющие скорости в каждой точке
выражаются по формулам
и разность
i, Ух) — Ф (*о, У о) = ф (Mi) — ф (Af 0) (93)
дает количество жидкости, протекающей за единицу времени через
произвольный контур, соединяющий точки Жо и М\. Течение считается
не зависящим от времени и одинаковым во всех плоскостях, парал-
лельных плоскости XY, причем плотность жидкости мы приняли за
единицу. Точнее говоря, выражение (93) дает количество жидкости,
протекающей в единицу времени через цилиндрическую поверхность,
параллельную оси Z, высотой единица, имеющую направляющей некото-
рый контур / плоскости XYy соединяющий М0(х0, j/0) и М1(хь Vi).
Как мы видели, функции ср(х, у) и ф(х, у) связаны между собой соот-
ношениями
дер д<\> дер дф
дх дуf ду дх •
которые в точности совпадают с уравнениями Коши — Римана. Мы
можем поэтому утверждать, что функция комплексного переменного
= <Р {х, У) + Ц (*> У) (94)
170 ГЛ. И. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [43
будет иметь производную в области, занятой текущей жидкостью.
Эта функция называется обычно комплексным потенциалом те-
чения.
Как упоминалось уже раньше, функции ср(лг, у) и ф(лг, у) могут
быть многозначными, а именно могут приобретать постоянные слагае-
мые при обходе некоторой точки или, более общо, некоторой дыры,
которая находится внутри рассматриваемой области. Для функ-
ции ty(x,y) эта многозначность указывает на наличие источника в со-
ответствующей точке, а для функции ср (х> у) — на наличие элементар-
ного вихря в этой точке. В таких случаях функция f(z) будет также
многозначной функцией, т. е. она будет получать постоянные слагае-
мые при обходе некоторых точек (или дыр).
В силу (92) вектору скорости соответствует комплексное число
дер , . дер дер . дф
Тх\~1ду~~дх~11Ьс-
Последнее выражение совпадает, очевидно, с величиной, сопряжен-
ной с производной f(z) [2]. Итак, величина, сопряженная с произ-
водной, дает вектор скорости течения.
Рассмотрим изотермическую сетку, соответствующую функциям (94):
9(х,у)=Сь ф(х, у)=С* (95)
Первое семейство линий представляет собою семейство линий равного
потенциала скорости или, как говорят, семейство эквипотенциаль-
ных линий. Второе семейство (линии тока), как нетрудно видеть,
представляет собою семейство траекторий жидких частиц. Действи-
тельно, как мы знаем, второе семейство будет ортогонально первому,
но вектор скорости, равный grad cp (jc, у), направлен как раз по нор-
мали соответствующей линии первого из семейств (95). Таким обра-
зом, в данном установившемся движении в каждой точке вектор скоро-
сти направлен по касательной к линии второго из семейств (95), про-
ходящей через эту точку, т. е. действительно это семейство есть
семейство линий тока, и эти линии тока в установившемся движении
дают траектории жидких частиц.
До сих пор мы ограничивались лишь кинематическими сообра-
жениями и убедились, что всякая кинематическая возможная картина
движения задается комплексным потенциалом, представляющим собою
регулярную функцию, и, наоборот, всякий такой комплексный потен-
циал дает кинематически возможную картину движения. Покажем те-
перь, что мы сможем таким образом удовлетворить и уравнениям
гидродинамики, причем из этих уравнений получим величину давле-
ния. Напишем уравнения гидродинамики для нашего случая плоского
установившегося течения, считая, что внешние объемные силы имеют
потенциал U(x, у). Приняв во внимание (92), получим два уравнения
44] ПРИМЕРЫ 171
гидродинамики и уравнение непрерывности [II, 127]:
!??!?!?. | дер д2ср dU 1_ др_
дх дх2 •"ду дхду дх р дх*
<fy а2ср , dcpd2cp dU \_др
дх дхду ' ду~ду* ду р ду*
у2 '
где р — плотность жидкости и p(xf у) — давление. Уравнение непре-
рывности, очевидно, удовлетворено, так как вещественная часть регуляр-
ной функции есть функция гармоническая. Первые два уравнения
могут быть переписаны в виде
Отсюда следует, что выражение, стоящее в фигурных скобках»
должно быть постоянной величиной, и мы получаем таким образом
следующий интеграл:
откуда и определяется величина давления р(х,у). В случае отсутствия
объемных сил и полагая р=1, получаем формулу
p = C-!|V|* = C--i-|/4z)|*, (97)
где через | V | мы обозначили величину скорости.
Заметим, что если вместо /(,г)=ср-}-/ф возьмем комплексный потен-
циал if(z)= — ф-f-ty» то эквипотенциальные линии перейдут в линии
тока, и наоборот. Таким образом, всякая изотермическая сетка
регулярной функции дает по существу две различные картины тече-
ния жидкости.
44. Примеры. I. Все примеры изотермических сеток, которые мы приво-
дили раньше, можно теперь истолковать с точки зрения гидродинамики,
причем, как было только что указано, каждый такой пример даст две гидро-
динамические картины.
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых новых примеров. Начнем
со случая элементарной функции
f(z) = A\n(z — a) = Aln\z —
где а — некоторая точка на плоскости и А — вещественная постоянная.
В данном случае эквипотенциальные линии будут окружности с центром а,
и линии тока будут прямые, выходящие из этой точки. При обходе этой
точки функция/(z) приобретает постоянные слагаемые /2тсЛ, и, таким обра-
зом, мнимая часть комплексного потенциала ср (л:, у) (функция тока) будет
приобретать слагаемые 2тсЛ, т. е. будем иметь в точке а источник интен-
172 ГЛ. 11. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [44
сивности 2пА. Вектор скорости будет определяться комплексным числом
z — а
Если обозначить через р и <р модуль и аргумент комплексного числа
z — я, то вектору скорости будет соответствовать комплексное число —elv.
Отсюда, между прочим, непосредственно следует, что при приближении
к источнику скорость будет стремиться к бесконечности и что при поло-
жительном А эта скорость будет направлена от источника на бесконечность,
т. е. мы будем иметь в данном случае именно источнику а не сток.
Рассмотрим теперь более общую функцию
(98>
где а и Ь — две различные точки плоскости и А — вещественная постоянная.
В данном случае изотермическая сетка будет определяться уравнениями
z — а
z — b
= Clt arg
z—а
Как мы знаем, первому из этих уравнений соответствует семейства
окружностей, относительно которых а и Ъ суть симметричные точки, а вто-
рому уравнению — семейство окружностей, проходящих через точки а и Ь
[33]. В данном случае мы будем иметь в точке а источник интенсивности 2пА,
а в точке Ь — сток такой же интенсивности.
П. Положим, что точки а и Ь находятся в точках (— Л) и 0 веществен-
ной оси, и возьмем A=-rt При этом функция (98) будет иметь вид
_ In (z + h) — In z
/{*) — i .
Переходя к пределу при h—*0, мы получим комплексный потенциал,
характеризующий так называемый диполь в начале координат:
Как нетрудно проверить (рис. 45), в данном случае изотермическая сетка
будет состоять из окружностей, проходящих через начало координат и касаю-
щихся оси У (эквипотенциальные линии), и из окружностей, проходящих
через начало и касающихся оси X (линии тока) [33].
III. Рассмотрим функцию
/ (z) = 1А 1 n (z — a) = — A ar g (z — a) + IA In | z — a |,
где Л, как и раньше, — вещественная постоянная. В этом случае линиями
тока будут окружности с центром а, а прямые, выходящие из точки af
будут эквипотенциальными линиями. При обходе точки а в положительном
направлении вещественная часть f (z) (потенциал скорости) получит прира-
щение— 2тсЛ, и мы будем иметь в точке А элементарный вихрь интенсив-
ности— 2пА.
IV. Возьмем функцию
44]
ПРИМЕРЫ
173
которую мы уже исследовали в [35]. Отделяя вещественную и мнимую части,
получим уравнение линий тока в виде
или
=c
ky (х2 +у2 — 1) — 2С (х*+у2) = 0.
В общем случае это будут некоторые кривые третьего порядка. В част-
ном случае, при С = 0, имеем окружность х2-\-у2~\ и ось.у = 0. Будем
рассматривать только часть плоскости вне упомянутой окружности. Мы
Рис. 45.
можем сказать, что одна из линий тока будет состоять из отрезков (—со, — 1)
и A, оо) оси у = 0 и упомянутой окружности. Мы имеем, таким образом,
в данном случае течение жидкости вне окружности с обтеканием этой
окружности. Вычисляя производную
видим, что скорость течения на бесконечности равна -у (k считается ве-
щественным) и что эта скорость равна нулю в точках г = ±1, т. е. в тех
точках, где прямолинейные отрезки линий тока выходят на окружность.
Добавим к нашей функции логарифмический член и составим таким
образом новую функцию
и / 1 \
-iAlaz. A00)
174
ГЛ. И. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
[44
Рис.
Рис. 462.
Мнимая часть второго слагаемого
также сохраняет постоянное значение
на упомянутой выше окружности, т. е.
эта окружность и в случае комплекс-
ного потенциала A00) является одной
из линий тока, но только в рассмат-
риваемом случае при обходе вокруг этой
окружности потенциал скорости полу-
чает дополнительное слагаемое 2гсЛ,
т. е. в случае потенциала A00) мы имеем
обтекание нашей окружности при нали-
чии элементарного вихря. На рис. 46lf
4б2 и 468 изображен вид линий тока
при различных значениях постоянной ^-.
В случае течения, изображенного на
рис. 4б2, точки входа и выхода линии
тока на обтекаемой окружности сли-
ваются.
V. Как мы видели раньше [35], для
функции / (z) = arccos -г изотермическая
сетка будет состоять из софокусных
эллипсов и гипербол с фокусами ± k
на вещественной оси. Эта сетка изо-
бражена на рис. 47. Если за линии тока
взять гиперболы, то получим картину
течения через отверстие (— k, k) на
вещественной оси. Если же за линии
тока взять эллипсы, то получится кар-
тина обтекания эллипса или отрезка
(-ft, k).
VI. Часто при исследовании гидро-
динамической картины бывает удобнее
задавать не комплексный потенциал
w =/ (z), а обратную функцию z = ср (w).
Рассмотрим один пример такого рода.
Пусть комплексный потенциал задан
обратной функцией
z = w + ew.
Отделяя вещественную и мнимую
части
Рис. 46|.
мы будем иметь
х = ср -f- е* cos ф, у =
Полагая ф = С, получим уравнение
линий тока в параметрической форме:
* = ? + ** сое С, y = C + eVsinC9
где ср — переменный параметр. Рассмот-
рим две линии тока, а именно линию
45]
ЗАДАЧА ПОЛНОГО ОБТЕКАНИЯ
175
тока, соответствующую С = л, и линию, соответствующую С = — тс. В пер-
вом случае будем иметь
jc ===== ср — еЧ\ у = п.
Как нетрудно видеть, в данном случае линия тока будет представлять
собою двойной отрезок —oo<jc^—1 прямой у = п. Точно так же при
С = — я получим двойной отрезок —со<л;«^—1 прямой у = — я. Кроме
того, очевидно, что при С = 0 линией тока будет служить сама ось у— О,
На рис. 48 изображены линии тока для настоящего случая.
Рис. 47.
Рис. 48.
45. Задача полного обтекания. Положим, что нам задан на пло-
скости простой замкнутый контур /, и мы ищем течение жидкости
вне этого контура, которое бы удовлетворяло следующим двум усло-
виям: 1) контур / должен быть одной из линий тока и 2) скорость
на бесконечности должна быть определенной по величине и направле-
нию. Будем, кроме того, требовать, чтобы комплексный потенциал f(z)
был однозначной функцией. Не ограничивая общности, можем считать,
что скорость на бесконечности характеризуется некоторым вещест-
венным положительным числом с (т. е. выберем направление ско-
рости на бесконечности за положительное направление веществен-
ной оси).
Положим, что известна функция, конформно преобразующая часть
плоскости z, находящуюся вне /, на внешность единичного круга | т | ^> 1.
Таких функций, как известно, бесчисленное множество, и мы берем
ту из них, которая преобразует бесконечно далекую точку в самое
себя и не меняет направлений в этой точке. Для этой функции и/(оо)
есть вещественное положительное число, так что имеем следующее
ее разложение вблизи точки z = oo:
A01)
176 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [46
Как нам уже известно, выражение комплексного потенциала для
задачи обтекания окружности представляется так:
A02)
где k — некоторая вещественная постоянная, которую мы дальше
определим. Если подставим в выражение A02) вместо т его выраже-
ние A01), то получим функцию однозначную, регулярную вне кон-
тура /, мнимая часть которой сохраняет постоянное значение иа
контуре /, так как мнимая часть A02) сохраняла постоянное значение
на окружности |т| = 1:
4[y A03)
Остается теперь только подобрать постоянную k так, чтобы ско-
рость на бесконечности была равна с, т. е. так, чтобы /'(оо) = с.
Мы имеем, очевидно, на бесконечности, принимая во внимание фор-
мулы A01) и A02),
откуда и следует непосредственно, что мы должны считать k = -?.
Мы видим, таким образом, что задача полного обтекания некото-
рого контура приводит к задаче конформного преобразования
чаЬти плоскости вне этого контура на внешность единичного
круга.
Можно показать, что при условии однозначности функции f(z)
решение задачи единственно, причем предполагается, что f(z) вне /
не имеет особых точек, кроме простого полюса z = oo.
46. Формула Н. Е. Жуковского. Пусть f(z) — комплексный по-
тенциал, который дает обтекание контура /, причем на бесконечности
скорость равна положительному числу с. Будем считать, что f{z)
не является однозначной функцией, но при обходе вокруг контура /
вещественная ее часть у(х> у) получает постоянное слагаемое f-
Составляющие давления на обтекаемое тело будут выражаться, оче-
видно, криволинейными интегралами
)~os(n, x)ds, Fy = \p(xt y)cos(n, y)ds, A04)
i
где p (x, y) — величина давления и п — направление внутренней нор-
мали к контуру.
Элементу контура ds, как вектору, соответствует комплексное
число dz = etbds, где 9 — угол, образованный касательной к контуру
46]
ФОРМУЛА Н. Е. ЖУКОВСКОГО
177
с осью ОХ. Поскольку умножению комплексного числа на / соот-
ветствует добавление к аргументу -?-, комплексному числу ielb ds
соответствует вектор величины ds, направленный по внутренней нор-
мали к /, мы будем, очевидно, иметь
A05)
Согласно формуле (97)
и поэтому
Но ясно, что
dz.
и, кроме того, удобно перейти в предыдущем равенстве к комплекс-
ным сопряженным значениям, после чего получим
Fx — iFy = —
-т' \
Так как контур / есть линия тока, то на нем ф(лг, у) постоянна:
, у) = С1у и, следовательно, на /
откуда следует, что df=df. Умножив обе части A06) на /, получим
комплексное выражение, которое будет вполне характеризовать вектор
общего давления, испытываемого обтекаемым телом:
или окончательно
dz
A07)
Функцию f(z) мы считаем уже регулярной и однозначной вне /.
В окрестности бесконечности она должна иметь разложение вида
A08)
178 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [47
где с есть как раз заданное значение скорости на бесконечности.
Для самой функции f(z) мы имеем в окрестности бесконечности
выражение
и при обходе вокруг / в положительном направлении функция f{z)
будет, очевидно, приобретать слагаемое i2nbb которое раньше было
обозначено буквой ?. Таким образом, мы должны иметь Ь\ =
и вместо A08) можем написать
Отсюда, возводя в квадрат, получим разложение вида
]« = c> + iL + ?+...
A09)
При вычислении интеграла A06) мы можем, в силу теоремы Коши,
производить интегрирование не по самому контуру /, а по замкнутой
кривой, обходящей вокруг / и расположенной в окрестности беско-
нечно далекой точки. При этом интегрировании мы можем восполь-
зоваться разложением A09) и, как нетрудно видеть, получим для R
следующее выражение:
т. е.
Fy = — c[. Fx = 0. A10)
Эти формулы были впервые даны Н. Е. Жуковским.
47. Плоская электростатическая задача. Обратимся теперь к во-
просу о приложении теории функций комплексного переменного
к задачам электростатики. Мы здесь встретимся во многом с задачами,
аналогичными предыдущим. Прежде всего выясним, в чем состоит
плоская электростатическая задача. Как известно, точечный заряд е
создает в пространстве силовое поле, действующее по закону Кулона,
причем интенсивность этого поля выражается общеизвестной формулой
где р — расстояние от заряда е до той точки Ж, где мы определяем
вектор силы. Этот вектор силы имеет направление отрезка, идущего
от заряда к точке М. Представим теперь себе, что мы имеем заря-
женную прямую, параллельную оси Z и пересекающую плоскость XY
в некоторой точке О, причем плотность заряда во всех точках прямой
47] ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 179
одинакова. Обозначим через е величину заряда, рассчитанного на еди-
ницу длины. Картина электростатического поля будет одинакова,
очевидно, во всех плоскостях, параллельных плоскости XY, так что
достаточно рассмотреть лишь саму плоскость ХУУ причем, опять-таки
в силу симметрии, вектор силы будет, очевидно, расположен в самой
этой плоскости и будет иметь направление отрезка, идущего от точки О
к той точке М плоскости, для которой мы вычисляем силу. Элемен-
тарный заряд на отрезке dz нашей прямой будет выражаться произ-
ведением e*dz, и чтобы получить величину силы в точке М с коор-
динатами (лг, у, 0), мы должны вычислить сумму проекций составляю-
щих силы на направление ОМ вышеупомянутого отрезка.
Для величины силы имеем выражение
е dz
где точку О мы приняли за начало координат. Предыдущее выраже-
ние надо еще помножить на косинус угла ср, образованного направ-
лением NM из переменной точки N оси Z с направлением ОМ, причем
из прямоугольного треугольника 0NM имеем
cos со = и z = г tg Ф,
r yx*+y* + z* ST
где г = Vx* -f-J>2. Вводя в интеграл
е cos <p dz
— 00
вместо z переменную ср, получим для величины силы выражение
~2
=y ^ COS cp rfcp
"ИЛИ
Соответствующая потенциальная функция имеет, очевидно, вид
V(x, у)=2е\п^9 A12)
тде г0 — некоторая произвольная постоянная, которую считаем поло-
жительной. Таким образом, логарифмический потенциал A12) является
в электростатической задаче элементарным потенциалом, происходя-
щим как бы от точечного заряда, если мы отвлечемся от всего
180 ГЛ. IT. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [47
пространства и будем рассматривать только плоскость XY. Заметим,
что этот элементарный потенциал A12) обращается на бесконечности
не в нуль, как обычный ньютоновский потенциал трехмерного про-
странства —, а в бесконечность, что существенным образом отличает
электростатические задачи в плоском случае. Если мы имеем заря-
женной не одну прямую, а некоторый цилиндр, имеющий основание В
на плоскости XY> то вместо элементарного потенциала A12) будем
иметь потенциал, выражающийся двойным интегралом
V(x, y)=2[[p?t 1)Iп?ЛЛ1, A13)
V
где р(?, т]) — плотность и г — расстояние от переменной точки (?, ц)
области В до точки М(х, у):
Аналогично, если заряженной оказывается поверхность некоторого
цилиндра, то потенциал выразится криволинейным интегралом.
Известно, далее, что функция In r и, следовательно, функция A12)
удовлетворяют уравнению Лапласа [II, 131]
Такому же уравнению удовлетворяет и потенциал A13) вне зарядов,
т. е. вне области В.
Но мы можем считать всякую гармоническую функцию вещест-
венной или мнимой частью регулярной функции комплексного пере-
менного. В данном случае будем считать потенциал V(x, у) мнимой
частью некоторой регулярной функции
f(z)= U(x, y)+iV(x, у). A14)
Таким образрм, всякая электростатическая картина вне заря-
дов приводит нас к некоторой регулярной функции f(z) (комп-
лексному потенциалу), и наоборот, всякая такая регулярная функ-
ция дает некоторую электростатическую картину плоского поля.
В данном случае оба семейства изотермической сетки функции
U(x, У) = СЪ V(x, y) = C2 A15)
имеют простое физическое значение. Второе из семейств A15) дает
семейство эквипотенциальных линий, а первое семейство, ортого-
нальное ко второму, дает, как хорошо известно, семейство силовых
линий, т. е. таких линий, касательные к которым определяют в каждой
точке направление действующей силы. Составляющие вектора силы
4S] ФОРМУЛА ШВАРЦА 181
имеют следующие выражения:
__ дУ(хуу) F _ дУ(хуу)
х дх ' гу ду
или, в силу уравнений Коши — Римана,
Таким образом, вектору силы соответствует комплексное число-
fiv fill
F Л-iF = — i — = ifr(z). A16)
Если мы имеем замкнутый ограниченный проводник, то внутри
него, как известно, потенциал сохраняет постоянное значение, и плот-
ность заряда на его поверхности вычисляется, как это доказывается
в электростатике, с точностью до знака по формуле
или при помощи комплексного потенциала по формуле
±\. A17)
Нетрудно подметить аналогию между всеми этими понятиями
и соответствующими понятиями в задаче плоской, гидродинамики.
48. Формула Шварца. Вышеуказанное приложение аналитических
функций комплексного переменного к задачам гидродинамики и элек-
тростатики по существу было основано на той тесной связи, которая
существует между гармоническими функциями и аналитическими
функциями комплексного переменного. Мы указывали на эту связь
уже раньше в [2].
Формулируем еще раз основные моменты этой связи: веществен-
ная и мнимая части аналитической функции суть гармонические
функции и, наоборот, всякую гармоническую функцию можно
рассматривать как вещественную часть некоторой аналитической
функции, и при этом ее мнимая часть определяется с точностью
до постоянного слагаемого, т. е. сама функция по вещественной
части определяется с точностью до чисто мнимого постоянного
слагаемого. Как мы упоминали раньше [II, 204], в случае ограничен-
ной области гармоническая функция определяется единственным обра-
зом своими предельными значениями на контуре этой области (задача
Дирихле). Таким образом, принимая во внимание сказанное выше, мы
можем утверждать, что регулярная в некоторой области В с
контуром I функция f{z) определяется с точностью до чисто
мнимого постоянного слагаемого по заданным значениям ее
182 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
[48
вещественной части на контуре L В общем случае любой области
мы не имеем простой формулы, которая бы давала нам решение этой
задачи, т. е. определяла бы регулярную функцию по заданным контур,
ным значениям ее вещественной части. В случае круга такую формулу
построить нетрудно, к чему мы сейчас и переходим.
Пусть имеется круг с центром в начале и радиусом /?. Пусть,
далее, и(х, у) — вещественная часть искомой аналитической функции.
Эта гармоническая функция определяется своими контурными значе-
ниями и(ср) при помощи интеграла Пуассона, который, как мы знаем,
имеет следующий вид [II, 204]:
Нетрудно сидеть, что ядро этого интеграла Пуассона, т. е. дробь,
стоящая под знаком интеграла, представляет собою вещественную
часть некоторой аналитической функции, а именно:
2 — г2
#2 — 2r#cos(cp — {
Если мы подставим под знак интеграла вместо ядра интеграла Пуас-
сона написанную аналитическую функцию комплексного переменного
z, то в результате получится функция комплексного переменного z,
вещественная часть которой совпадает как раз с и (х, у). Эта функ-
ция будет иметь вид
1 Л Г» ~ / м I _
tfcp. A19)
Полагая в этой формуле z = 0, мы получим чисто вещественное
значение для f{z), т. е. формула A19) дает то решение нашей задачи,
которое имеет вещественное значение в начале. Если мы обозначим
через Ci мнимую часть искомой функции в начале, то общее реше-
ние задачи будет иметь вид
\ |Й* A20)
Эта формула и называется обычно формулой Шварца.
Если мы отделим мнимую часть у дроби, стоящей под знаком
.интеграла:
2 — 2r#cos(<p —
48] ФОРМУЛА ШВАРЦА 183
то получим выражение мнимой части регулярной функции внутри
круга через контурные значения ее вещественной части:
Все сказанное выше имеет тесную связь с понятием о сопряжен-
ных тригонометрических рядах.
Пусть
an cos щ -f- bn sin
— ряд Фурье функции н(<р), представляющей предельные значения
вещественной части f(z). При этом, как мы знаем [II, 205], можно
представить саму эту вещественную часть внутри круга не интегра-
лом Пуассона, а рядом вида
00
и (х, у) = и (г, ft) = -г-? + 2 (ап cos //ft + bn sin /zft) r*. A22)
Для мнимой части мы будем иметь сопряженный тригонометри-
ческий ряд [25]
9°
v(x9 y) = v(r, &) = C+ 2) ( — bncosnb-f-an sin nb)rn. A23)
л=1
Если функция «(<р) имеет достаточно хорошие свойства, например
имеет первую производную, удовлетворяющую условиям Дирихле, та
ряд A23), так же как и ряд A22), будет равномерно сходящимся во
всем замкнутом круге и функция v(r, &) будет гармонической внутри
круга и непрерывной в замкнутом круге. Ее называют обычно функ-
цией, сопряженной с и (г, ft) [2], и то же название сохраняется и для
ее предельных значений г>A, <р) по отношению к и(<р).
Положим, что два интеграла Шварца дают одну и ту же регуляр-
ную внутри круга функцию
где щ($) и и%(<р) — непрерывные вещественные функции. Нетрудно
видеть, что эти функции совпадают, так как они являются предельными
значениями одной и той же гармонической функции, а именно веще-
ственной части нашей регулярной функции. Таким образом, тожде-
ство A24) относительно z вполне равносильно тождеству
Wj (ср) = и2 (<р) относительно <р. В этом, по существу, и состоит
теорема Гарнака, о которой мы упоминали в [8].
184 ГЛ. 1Г. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [49
S — t
49. Ядро ctg —~— . Применим сейчас основную теорему о предельных
значениях интеграла типа Коши [29] к случаю окружности | г | = 1 с цент-
ром в начале и радиусом единица. Положим, что на этой окружности дана
вещественная функция и (т), где x = eis, удовлетворяющая условию Липшица.
Мы можем, пользуясь формулой Шварца [48], построить регулярную внутри
окружности функцию, вещественная часть которой имеет предельные значе-
ния и (т) на самой окружности:
п
а (reh) -f v (rei(?) i = ^ [ и (х) ^-±i ds (z = reh) A25)
или, принимая во внимание, что dz =
и (re't) + v (гЛ) * = jjL ^ и (х)
Полагая x + jz = (x — z)-\-2z и разбивая наш интеграл на два интеграла
получим
Положим, что точка z = reif? стремится к некоторой точке 5 = ^ окружно-
сти |г| = 1. Пользуясь теоремой о предельном значении интеграла типа
Коши [29], получим предельное значение нашей функции:
ИЛИ
НО
2е 2^ ^ —s
1С 1С
а (е«) + v (е«)««= gj J и (х) rfs + а E) +1 J а (т) JL rfs, A26)
и, отделяя в формуле A26) мнимую часть, получаем выражение предельных
значений мнимой части через вещественную часть:
причем написанный интеграл надо понимать в смысле главного значения.
Будем писать a (s) и v (t) вместо и (els) и v (eu)\
"(s) ctg'~T"?ds' <127>
49] ядро ctg ^-y-' 185
Напомним, что формула A25) даст ту регулярную внутри круга | z | < 1
функцию, мнимая часть которой равна нулю в центре круга. Принимая во
внимание, что значение гармонической функции в центре круга равно сред-
нему арифметическому ее значений на окружности [II, 204], можем написать
1С
$ v(t)dt = O. A28)
— 1С
Функцию и ($) можно считать периодической с периодом 2л, и функция
v (t) получается также периодической, а в формуле A27) мы могли бы брать
за промежуток интегрирования любой промежуток длины 2к. Функция ctg z
имеет при 2 = 0 простой полюс с вычетом, равным единице [21], и мы
можем выразить ядро линейного преобразования A27) через ядро Коши:
^^^ -s), A29>
где Р (z)— аналитическая регулярная функция во всех точках отрезка
— 2тс<2<27г. Совершенно так же, как и в [28], можно показать, что если
периодическая функция и (s) удовлетворяет условию Липшица с показателем <х,.
то v (t) удовлетворяет также условию Липшица с тем же показателем, если
а <с 1, и с любым показателем, меньшим единицы, если а = 1. Согласно
A29) это утверждение вытекает также из аналогичного утверждения для
ядра Коши.
Мы можем применить к функции v (t) линейное преобразование A27)
и получим таким образом некоторую новую функцию w (гх)у удовлетворяющую"
условию Липшица:
тс
1
Функция w (tj) дает предельные значения мнимой части, если за предельные-
значения вещественной части принять v (t)y причем
тс
\ w{ti)dti=^0. A30>
1С
С другой стороны, если умножить, регулярную функцию A25) на (— /), то-
получим ^регулярную функцию v (rei(f>) — и (ret(?) i. Но заданием веществен-
ной части мнимая определяется с точностью до постоянного слагаемого^
и мы можем поэтому написать
• (*,)= — «(<i)+ С.
Для определения постоянной С проинтегрируем обе части этого равенства*
по промежутку (— nt к) и примем во внимание A30):
тс
0 = — $ и (tt) dt, + 2-кС
— 1С
и окончательно
1С 1С
v{f) Ctg 4~' <К = — « Л) + s \ и (s) ds,
186 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [49
т. е. двукратное применение преобразования A27) приводит с точностью до
постоянного слагаемого к прежней функции с обратным знаком. Получен-
ный результат мы можем записать в виде следующей формулы:
¦К 1С 1С
1 С Г С , . . t — s ..!.*,—*.. ...... 1 С u(s)ds A32)
— тс —те
Это есть известная формула Гильберта, и. ядро преобразования A27) естест-
венно назвать ядром Гильберта. Заметим, что в левой части формулы A32)
мы, как и в интеграле Фурье, не имеем права менять порядок интегриро-
вания. Обозначая символически преобразование A27) одной буквой Л, можем
написать формулу A27) в виде v (s) = h [и ($)], причем в обеих функциях
аргумент обозначен буквой s. При этом формула Гильберта A32) запишется
в виде
ЛЧ«(8I = —«О
— 1С
Формулу A27) можно рассматривать как интегральное уравнение относи-
тельно и (s) при заданной функции v (t). Из предыдущих рассуждений
следует, что для его разрешимости необходимо выполнение условия A28).
Одним из решений этого уравнения будет в силу A31) функция
A33)
Это есть то решение уравнения A31), которое удовлетворяет условию
тс
$ a (s) fifs = 0.
Иначе говоря, это есть та мнимая часть регулярной функции v (ге)
— ш (re1?), которая обращается в нуль в начале координат. Если значение
функции и (re*?) в начале координат равно С, то
, A34)
причем a (s) = const есть решение однородного уравнения
ибо если a (s) = const, то мнимая часть vt равная нулю в начале, равна,
очевидно, нулю. Формула A34) дает все решения уравнения A27), так как
по вещественной части мнимая определяется с точностью до постоянного
слагаемого. В предыдущих рассуждениях считалось, что заданная и искомая
функции удовлетворяют условию Липшица.
Мы можем написать преобразование A27) в виде обычного несобствен-
ного интеграла, аналогично тому как это мы делали в случае ядра Коши,
49) HflPOctg^ 187
Действительно, принимая во внимание, что
так как однородное уравнение A27) имеет в качестве решения постоянную
u(s)=C, можем переписать формулу A27) в виде
1С
• @ = s J [в (s) - и @] ctg Щ? ds.
A35)
Положим, что функция и ($) имеет непрерывную производную. Принимая
во внимание, что
применяя к интегралу A27) формулу интегрирования по частям на проме-
жутках (-— щг — е), (* + е»те) и учитывая еще формулу
lim [u(t + e) — u(t — t)]\n(sm2 ±)=z Urn к'(?) 2elnsin2±
e -* -f 0 \ 2/ e -> -f 0 2
(^~s<|<^+e)f
получим для v (t) следующее выражение:
причем справа стоит обычный несобственный интеграл.
Если и (х) удовлетворяет условию Липшица, то функция комплексного
переменного z = reifft определенная формулой A25), как мы видели выше,
будет непрерывной вплоть до окружности |2| = 1. Пусть
есть ряд Фурье функции и ($). Для функции v (s) будем иметь ряд Фурье [48}
00
2 (— Ьк cos ks + ак sin ks). A362>
В силу уравнения замкнутости [II, 169]
1С 00
и, следовательно,
s^ I u*(s)ds9
188 ГЛ. It. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [50
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда до = О.
Итак, в результате преобразования A27) интеграл от квадрата функции по
промежутку (— тс, п) может только уменьшиться. Отметим при этом, что
мы считаем функцию и (s) вещественной. Мы видим, таким образом, что
преобразование A27) равносильно переходу от ряда Фурье (I36t) к ряду
Фурье A362).
50. Предельные задачи. Задача Дирихле является наиболее простой из
предельных задач для гармонических функций. Формулируем общую предель-
ную задачу для гармонических функций, частным случаем которой является
задача Дирихле: требуется найти гармоническую функцию внутри некоторой
односвязной области В с контуром /, удовлетворяющую на контуре предель-
ному условию вида
«+»?+*$='• <137>
где д, Ь, с и d— заданные вещественные функции на контуре /, которые
считаем функциями длины цуги s этого контура. Мы можем считать и веще-
ственной частью некоторой регулярной функции
u(x, y) + lv(x, у).
При этом, как известно,
да да
г{г) = дх~{Гу
и, следовательно, мы имеем отсюда
где Re — знак вещественной части.
Условие A37) переписывается в виде
)] = d, A38)
и, таким образом, вопрос сводится к разысканию регулярной внутри В функ-
ции, которая на контуре удовлетворяет условию A38).
Пусть известна функция z = o>(t), совершающая конформное преобразо-
вание нашей области В в единичный круг | х | < 1. Мы можем рассматривать
искомую функцию как функцию F(x), регулярную внутри единичного круга:
При этом будем иметь вместо A38)
где в результате преобразования г = о(х) можно считать, что а, Ьу с и d
определены на окружности | х | = I. Таким образом, задача привелась к слу-
чаю круга.
Рассмотрим подробно тот случай, когда предельное условие A37), кото-
рое мы будем считать относящимся к окружности |z| = l, не содержит
<:амой искомой функции и. В этом случае задача формулируется следующим
образом: требуется найти гармоническую внутри единичного круга функцию
50] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 189
# <•*"» У)* удовлетворяющую на окружности этого круга предельному условию
вида
. ди , ди .
дх ' ду
Будем рассматривать и (х, у) как вещественную часть некоторой регулярной
функции / (г). При этом -^- и (— -j-J будут вещественной и мнимой частью
f (z). Меняя обозначения и полагая
f'(z) = a+ivt * = /(j), c = -m(cp),
сводим сформулированную выше задачу к следующей, называемой обычно
задачей Гильберта: найти функцию f(z), регулярную внутри единичного
круга, у которой вещественная и мнимая части удовлетворяют на окруж-
ности круга предельному условию вида
I (ср) и (ср) + т (<р) v (?) = d (<р) @ ^ т ^ 2п), A39)
где I (ср), т (ср) и d (ср)—заданные функции полярного угла <р на единичной
окружности. Мы считаем, что коэффициенты суть непрерывные функции,
причем / (ср) и т (ср) одновременно в нуль не обращаются. Можно при этом,
деля обе части уравнения A39), добиться того, чтобы коэффициенты удовлет-
воряли условию
<P) = 1. A40)
При этом можно положить
/ (ср) = cos «о (<р), т (ср) = — sin о (ср), A41)
где о ?р) есть некоторая функция от <ff а именно:
A42)
Разберем сначала подробно тот случай, когда формулы A41) дают ov(«p)
как однозначную функцию ср. Это будет иметь место, например, в том случае,
когда /(<р) или /я(ср)не обращаются в нуль в промежутке (—те, тс). Поль-
зуясь функцией со (ср), мы можем записать предельное условие A39) в виде
Re[ei<»l(e)f(z)] = d(<?) {z^el(?). A43)
Построим функцию п (г) по ее вещественной части со (ср), пользуясь фор-
мулой Шварца:
()(T)*=;*r- A44)
Обозначим через шк (ср) предельные значения ее мнимой части. Функция
eiKlZ)f(z)
имеет на единичной окружности z = ei(? вещественную часть, равную
е- «id») Re [e
и, следовательно, предельное условие A43) равносильно следующему пре-
дельному условию:
Re [eiK <*• / (г)] = d (<p) e" ft>1 Ч
190 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [50
Зная вещественную часть функции на контуре, мы можем определить
эту функцию внутри опять по формуле Шварца:
«'««*>/ (г) = 1
2
( d (р) ^ ^
— 1С
где «>! (<р) суть предельные значения мнимой части функции A44):
1С
«, (?) = lim Im К « (ф) ^ + ^ «№1. A45)
Здесь Im — знак мнимой части. Окончательно для / (г) будем иметь выраже-
ние
f B)=е-и w J1 ^ d (<р),- -, (*> i!!±f d?+/с j ш A46)
— 1С
Рассмотрим теперь тот случай, когда при обходе единичной окружности
функция со (<?) приобретает слагаемое (—2пп), где п — целое положительное
число:
со (я) _ о, (_ тс) — —. 2/гтс. A47)
Построим функцию, однозначную на единичной окружности:
и по этой функции построим соответствующую функцию комплексного пере-
менного о (г), имеющую предельные значения вещественной части х (ср).
Предельные значения вещественной части у функции
ci (z) = a (z) -f- «л In 2
будут равны со (ср), а предельные значения ее мнимой части будут, очевидно,
те же, что и у функции a (z). Обозначим их опять через (лх (ср). Совершенно
так же, как и выше, мы можем показать, что функция
= z~neia {Z) f (z)
должна иметь предельные значения вещественной части равными
Re [*-»«'•<«/(*)] = d (ср) е—i W A48)
Ввиду присутствия множителя г~п эта функция может иметь в начале
координат полюс порядка не выше /г. Построим сначала с помощью фор-
мулы Шварца регулярную внутри единичного круга функцию с предельными
значениями вещественной части
jj (?) е- -I W -^-^? + 'С. A49)
— 1С
Мы должны добавить теперь к этой функции слагаемое, у которого
вещественная часть на единичной окружности равна нулю, но которая может
иметь полюс порядка п в начале. Нетрудно видеть, что такое слагаемое
(п
а + 2 [лk (^ - А + юн (^ +**)] +
* = 1
50] ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 191
будет иметь вид
где Ak и Bk — произвольные вещественные постоянные.
Добавив это последнее выражение к выражению A49), будем иметь
общее решение задачи
A50)
В том случае, когда п в формуле A47) есть целое отрицательное число,
решение задачи будет иным. Укажем лишь на то, что в этом случае функ-
ция, которая стоит под знаком вещественной части выражения A48), не
только должна быть регулярна внутри единичного круга, но должна еще
иметь в начале координат корень порядка не ниже п. Строя по правой
части формулы A48) регулярную функцию при помощи интеграла Шварца,
мы должны будем написать еще условие того, что полученная функция
имеет в начале координат корень порядка не ниже z. Таким образом, полу-
чится несколько условий для функции d (cp), которым эта функция должна
удовлетворять для того, чтобы задача имела решение.
Рассмотрим еще одну задачу частного вида, а именно: положим, что
предельные условия для гармонической функции на единичной окружности
имеют вид
где / и т — постоянные и d (<р)— заданная функция, причем п есть направ-
ление внешней нормали к окружности и s — направление, касательное к
окружности. В данном случае мы вместо производных по направлениям
осей координат берем производные по указанным выше направлениям, свя-
занным с граничной кривой. Как хорошо известно [Н, 120], эти производные
выражаются друг через друга. В математической физике чаще пользуются
предельными условиями, выраженными в форме A51). Дифференцирование
по направлению п совпадает, очевидно, с дифференцированием по радиусу-
вектору г, и дифференцирование по s совпадает с дифференцированием по
полярному углу «р при г = 1. Вообще мы имеем, полагая z = re*? ии = Ref(z)t
причем можно считать Im/B)=0,
|? = Re [*'/(*')]; |? = Re [*'</(*')] («• = «<*),
и предельное условие A51) можно переписать так:
Re [A + И) z'f (г') + т/ (/)] = d (?) (г' = «'»).
Умножим обе части этого равенства на
1 гЧ-г
d
192 ГЛ. IT. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [50
и проинтегрируем по <р. Мы получим новое равенство, равносильное преды-
дущему [48]. Принимая во внимание формулу Шварца, нетрудно видеть, что
оно будет иметь вид
A + //) zf '{г) + mf (z) = F (*), A52)
где
=— [ d (?) *'* + Z d* = — С tf (cp) Z' + Z dz\ A53)
Будем считать, что d (cp) есть тригонометрический полином порядка п:
п
d (?) = Ло + 2 Ms cos SCP + Я* sjn s?).
5 = 1
При этом
F (г) = 2 V5 (со = Ло; с5 = Л5 - Ш,).
5 = 0
Уравнение A52) есть линейное дифференциальное уравнение первого по-
рядка. Интегрируя его [II, 23], получаем
z) = *"* [С +
где С — произвольная постоянная и fe ==..... Мы должны еще выяснить
условия, при которых 2 = 0 будет точкой регулярности F (z).
При /я = 0 (т. е. /г = 0) интеграл дает логарифмический член, если c0zpt0.
Таким образом, при k = 0 мы имеем условие разрешимости задачи Л0 = 0,
и если оно выполнено, то решение имеет вид
+ м _
Произвольная постоянная С есть решение уравнения
~дп^~ ~ds ~~
При тфО и /^0 число /г комплексно, надо положить С = 0, и решение
имеет вид
/г
5=0
Положим теперь, что / = 0, так что k = т вещественно и отлично от нуля
(случай т = 0 рассмотрен). Если k не целое число или целое положительное
число, то надо положить С = 0, и получится решение A54) при / = 0.
Если к = —/7 (р= 1, 2, ..., /г), то ср = 0 есть условие разрешимости и в ре-
шении надо оставить С, т. е. оно будет
51] 6ИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 19S
где штрих у суммы показывает, что s=p при суммировании надо исключить.
Наконец, если k есть целое отрицательное и k < — п, то решение будет
zs
5 = 0
51. Бигармоническое уравнение. Переходим теперь к рассмотрению
связи теории аналитических функций комплексного переменного с теорией
так называемых бигармонических функций^ т. е. функций, удовлетворяющих
уравнению
ДЛи(лг, у) = 0, A55>
где А есть обычный оператор Лапласа, выражающий сумму вторых произ-
водных по переменным х и у (мы рассматриваем плоский случай). В раскры-
том виде уравнение A55) будет
\дх* ^ dysj \дх2 ^ ду2
или
A56>
Пусть и — некоторая функция, непрерывная со своими производным»
в конечной односвязной области Б и удовлетворяющая в этой области урав-
нению A56). Согласно A55) функция
Aa=p(xty) A57>
будет гармонической функцией. Положим, что q (х, у) есть сопряженная
функция, так что
Р (•*> У) + 1я (х> У) =/ (z) A58)
есть аналитическая функция комплексного переменного z-=x-{-iy.
Построим еще аналитическую функцию
1 f
«р (z) = —г \ f (z) az = r (ху у) + is (л:, v). A59)
Мы имеем, очевидно,
4^ A60)
Вычислим оператор Лапласа от выражения и — (гх-\-$у). Принимая во-
внимание A60), мы будем иметь
т. е. упомянутое выше выражение есть гармоническая функция, которук>
мы обозначим через р1ш Вводя сопряженную функцию qx и соответствующую»
функцию комплексного переменного <\> (z)=pl-+-iq1, можем написать
u — (rx + sy) =pu u = (rx + sy) +Pi = Re [(л: — iy) (r + Щ -\-pi
ИЛИ
+ ^(z)]. A61)
194 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [51
Таким образом, всякая багармоначеская функция выражается через
две аналитические функции комплексного переменного согласно формуле
A61). Нетрудно показать, что и, наоборот, при любом выборе аналитических
функций ср (г) и ф (z) формула A61) дает бигармоническую функцию, т. е.
формула A61), содержащая две произвольные аналитические функции, дает
общее выражение бигармонических функций. Эта формула называется обычно
формулой Гурса.
При заданной бигармонической функции и функции ср (z) и ф (z), входя-
щие в формулу A61), определяются не вполне, но содержат некоторые
произвольные постоянные. Прежде всего, вещественная функция q (xy у)
определяется с точностью до постоянного слагаемого, т. е. функция/(г)
определяется с точностью до чисто мнимого постоянного слагаемого. Кроме
того, при определении функции ср (г) но формуле A59) в нее входит еще
произвольное постоянное комплексное слагаемое. Таким образом, оконча-
тельно функция ср (z) будет содержать произвольные элементы в виде слагае-
мого следующего вида:
C+iaz,
где С — произвольная комплексная постоянная и а — произвольная вещест-
венная постоянная. Мы можем определить эти произвольные постоянные,
поставив некоторые дополнительные условия, например условия вида
ср(О)=О, Im[<p'@)] = 0. A62)
Точно так же при определении функции ф (z) мы получаем произвольное
слагаемое в виде чисто мнимой постоянной, которая определяется, если под-
чинить функцию ф (z)> например, условию
Im[<|/@)] = 0. A63)
Условия A62) и A63) определяют функции ср (z) и <\> (z) уже вполне,
причем считаем, конечно, что точка 2 = 0 принадлежит нашей области.
Рассмотрим основную предельную задачу, касающуюся бигармонических
функций. Она формулируется следующим образом: найти функцию, бигармо-
ническую внутри замкнутого контура /, если заданы значения самой функ-
ции и ее нормальной производной на этом контуре:
ti = <»i(s), ^ = oJ(s) (на /). A64)
Покажем, что предельные условия A64) дают нам непосредственно и
предельные значения производных от функции и по координатам. Действи-
тельно, мы имеем
ди ди . ч . ди . ч
^ = ^cos(s, x) + Tncos(n, х\
ди ди . ч . ди
Сов(зу) + сов()
где s — направление, касательное к контуру /. Таким образом, из предель-
ных условий A64) вытекают предельные условия вида
~ = о>; COS (S, X) + GJ COS (/Z, ЛГ) = со3 (S),
~ = со; COS (S, ^ + о), COS (/Z, .у) = <о4 (S).
51J БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 195
Но в этих последних предельных условиях функции <о3 (s) и <о4 (s) нельзя
задавать произвольно, а именно: криволинейный интеграл
$?" + 5*. <"»
дающий приращение функции вдоль замкнутого контура, должен, очевидно,
равняться нулю, так как функция и должна быть однозначной. Это при-
водит нас к следующему условию для функций <лл (s) и <о4 (s) в предельных
условиях A65):
\ [<°з (s) cos (s, x) + о>4 (s) cos (s, 3;)] ds = 0. A67)
I
В остальном выбор этих функций может быть произвольным.
Будем искать бигармоническую функцию по формуле Гурса A61). Диф-
ференцируя по х и у через посредство гиг, мы будем, очевидно, иметь
A68)
g — Re [- /ср (z) + /яр' (*) + ty' («)] = Im fcp (г) - Ц' (z) — 4/ (*)].
Таким образом, мы приходим к двум равенствам, которым должны удов-
летворять искомые функции о (z) и ф (г) на контуре /:
да . ди
Тх ~l Tv = ? (
/ A69)
Тх +' S = ? (
Второе из этих равенств является, очевидно, следствием первого и полу-
чается из него путем перехода к сопряженным величинам. Мы приходим,
таким образом, в данном случае к некоторой предельной задаче для двух
аналитических функций.
Рассматриваем здесь, как и в случае гармонических функций, только
внутреннюю задачу, относящуюся к ограниченной части плоскости.
В плоской задаче теории упругости напряжения Хх> Уу и Xv выра-
жаются через бигармоническую функцию (функцию Эри) по формулам
A7и)
и, пользуясь формулой Гурса, можно, таким образом, выразить напряжение
через две аналитические функции. Не приводя вывода, дадим лишь окон-
чательный результат. Пользуясь обозначениями формулы A61), будем иметь
\
При помощи этих формул решение статических плоских задач теории
упругости при заданных напряжениях на контуре также сводится к реше-
нию предельной задачи теории функций комплексного переменного.
Выяснение связи теории функций комплексного переменного с плоскими
статическими задачами теории упругости было дано проф. Г. В. Колосовым
в работе «Об одном приложении теории функций комплексного переменного
к плоской задаче математической теории упругости». Систематическое при-
менение функций комплексного переменного к задачам теории упругости
можно найти в книге Н. И. М у с х е л и ш в и л и «Некоторые основные
задачи математической теории упругости» A966).
196 ГЛ. If. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [52
52. Волновое уравнение и аналитические функции. Мы видели
в томе II, что при распространении колебаний, как акустических, так
электромагнитных, основное значение имеет уравнение
которое называется обычно волновым уравнением. Мы будем рас-
сматривать сейчас лишь плоский случай, т. е. когда искомая функ-
ция и не зависит от одной из координат, например от координаты z.
В этом случае волновое уравнение будет иметь вид
д2а , д2а ( 2 1 \
+ с A73)
где и — функция переменных ty х и у. Пользуясь аналитическими
функциями комплексного переменного, мы можем выделить некото-
рый класс решений уравнения A73), имеющий важное применение
в физике, причем пользование аналитическими функциями значительно
упрощает все операции внутри этого класса решений.
Построим некоторое вспомогательное уравнение, которое играет
основную роль во всем дальнейшем:
= O, A74)
где /(т), /я(т), /х(т) и p(i) — некоторые аналитические функции комп-
лексного переменного т. Уравнение A74) определяет х как функцию
переменных t, x и у. Положим теперь, что у нас имеется некоторая
аналитическая функция /(т), которая в конечном счете является функ-
цией переменных tt x и у. Выведем формулы для производных от
этой функции. Обозначая через 8' производную от левой части урав-
нения A74) по переменной т и применяя обычные правила дифферен-
цирования сложных и неявных функций, мы получим без труда сле-
дующие выражения для производных функции т:
дх __{_М. <fc m (%)ш дт _ п (т)
Tt Ь' ' дх Ь' ; да V #
При вычислении производных второго порядка надо иметь в виду,
что
зависит, например, от t как непосредственно, так и через посредство т:
0'т _ д 17 (х) I / (х) . / (х) Г (х) 2/ (х) Г (х) /» (т) у
d^2 dx[ V J 5' "• 5'2 5'2 5'3 »
что может быть записано следующим образом:
^ — 1 Ё. \11
1 \1
' дх [ Ь'
52] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 197
Совершенно аналогично получается
дЧ _ 1 д Тт2 (хI д2т_ 1 д Г п2 (хI
ад:2~5'^xL &' J; ay~5raxL &' J;
_1_ A Г/я(х)/1(хП
Заданная аналитическая функция /(х) зависит от t, x и у через
посредство х, и ее производные определяются по правилу дифферен-
цирования сложных функций. Принимая во внимание предыдущие
формулы, получим
что можно записать так:
и совершенно аналогично
1 д
дх* —Ъ' dx|/ v ' Ь'
S7 J'
Полагая к=/(т) и подставляя в A73), мы получим уравнение
вида
откуда следует, что /(т) есть решение уравнения A73), если коэффи-
циенты уравнения A74) удовлетворяют соотношению
т* (т) 4- я2 W = а*Р (х). A75)
Если хотим получить вещественное решение, то мы можем взять
лишь вещественную часть /(х), которая в отдельности должна удов-
летворять уравнению A73) так же, как и мнимая часть.
Введем в рассмотрение трехмерное пространство (S) с координа-
тами (tfxty). Если в некоторой области В этого пространства урав-
нение A74) дает для х вещественные значения, то в предыдущих
рассуждениях не надо даже считать функцию /(х) аналитической
функцией, так как ее аргумент принимает лишь вещественные значе-
ния. Достаточно предположить, что /(х) есть произвольная функция
вещественного переменного, имеющая непрерывные производные до
второго порядка.
Предыдущие рассуждения приводят к следующей теореме, которая
определяет класс решений уравнения A73), о котором мы говорили выше.
198 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [53
53. Основная теорема. Если в некоторой области В пространства
(S) уравнение A74) при условии A75) определяет т как комплексную
функцию переменных tt x и у, то вещественная и мнимая части
любой аналитической функции /(т) дают решение уравнения A73).
Если же т в некоторой области есть вещественная функция (ty x,y),
то произвольная вещественная функция от т с непрерывными произ-
водными до второго порядка дает решение уравнения A73).
Если /(т)т^О, то, деля обе части A74) на /(т), можем считать
/(т)=1. Кроме того, мы можем принять m(i) за новую комплекс-
ную переменную (—б). При этом условие A75) даст я2(т) = а2— б2,
так что уравнение A74) может быть переписано, например, в форме
a* — ea_y+/>F) = 0, A76)
где /?(б) — любая аналитическая функция б. Вместо /(т) мы должны
писать, конечно, при этом /(б).
Остановимся более подробно на рассмотрении того частного слу-
чая, когда /?(б) = 0. В этом случае уравнение A76) имеет вид
t — Bx-\-Vat — №y = 0 или 1 — б у -f- ]/"«* — 6* y = 0, A77)
и отсюда б определяется как функция лишь от двух аргументов:
* = у, 4 = ^. A78)
В данном случае и построенные нами решения /(б) уравнения A73)
будут функциями аргументов A78), т. е. это будут однородные функ-
ции tt х и у нулевого измерения. Такие функции, как известно, опре-
деляются соотношением
которое должно иметь место тождественно. Можно показать, что
и, наоборот, любое такое однородное решение уравнения A73) может
быть получено указанным выше путем. Будем называть в дальнейшем
эти решения просто однородными решениями.
Исследуем более подробно уравнение A77). Входящий в него
радикал У^а2 — б2 будет, как мы знаем [19], однозначной функцией
на плоскости б с разрезом (— а, а) вдоль вещественной оси. Фикси-
руем значение упомянутого радикала условием, чтобы он был поло-
жительным на верхней части мнимой оси, т. е. при d = ib, где &^>0.
Это условие равносильно тому, чтобы упомянутый радикал был отри-
цательно мнимым при в^>а или положительно мнимым при б<^—а
на вещественной оси. В этом нетрудно убедиться, следя за непрерывным
изменением аргумента упомянутого радикала. Уравнение A77) мы можем
переписать в виде
г5^^в1'ч = а A79)
53] основная теорема 199
Освобождаясь от радикала и решая полученное квадратное урав-
нение, получим для 0 выражение
Мы считаем при этом, что имеет место неравенство
^+^<i A81>
или, что то же,
В формуле A80) радикал надо понимать арифметически. В этом
легко убедиться, пользуясь самим уравнением A79), где радикал дол-
жен иметь определенное значение. Действительно, если мы положим
в уравнении A79) ? = 0, то для 0 получим чисто мнимые значения,
и в силу A79) знак радикала У а2— 02 должен быть противополож-
ным знаку т), т. е. если, например, tq<^0, to согласно поставленному
выше условию б должно находиться на верхней части мнимой оси,
что и совпадает с тем выбором знака в формуле A80), который мы
сделали, считая радикал в этой формуле положительным.
При фиксированных значениях ? и т) мы имеем в силу A78) пря-
мую пространства (S), проходящую через начало. Будем рассматри-
вать только ту часть этой прямой, на которой t^>0t и назовем такую
полупрямую лучом. В силу условия A81) или A82) эти лучи обра-
зуют конический пучок с вершиной в начале и с углом arctg — при
вершине, причем осью пучка является ось L Уравнение A79) или
A80) приводит в соответствие лучам этого пучка комплексные зна-
чения плоскости 0 с разрезом (—а, а). Пользуясь формулой A80),
нетрудно проследить это соответствие более подробно. Отметим неко-
торые существенные факты, непосредственно вытекающие из фор-
мулы A80). Прежде всего, отметим, что лучам, образующим поверх-
ность конического пучка, т. е. лучам, которые удовлетворяют равен-
ству
р+чв=4или *8+y=i's.
соответствуют точки разреза плоскости 0. Оси нашего конического
пучка, которая характеризуется значениями х=у = 0 или ?=т) = 0,
соответствует бесконечно далекая точка плоскости 0. Наконец, отме-
тим еще, что тем лучам, которые находятся в плоскости у = 0 и для
которых т] = 0, соответствуют вещественные значения 0, по абсолют-
ному значению большие а, т. е. соответствуют точки, лежащие на
вещественной оси плоскости 0 и находящиеся вне разреза (— а, а).
200 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [53
Если мы разделим наш конический пучок плоскостью j/ = 0 на две
части, то одной из них будет соответствовать верхняя полуплоскость 0
и другой — нижняя полуплоскость, а именно: той половине, где у ^> 0>
будет соответствовать нижняя полуплоскость, а там, где.у<^0,— верх-
няя полуплоскость.
Если мы возьмем решение уравнения A73), построенное указан-
ным выше способом, т. е. являющееся вещественной частью некото-
рой аналитической функции /@), то такое решение будет иметь по-
стоянное значение на каждом из вышеуказанных лучей.
Исследуем теперь значения 0 для точек пространства E), которые
лежат вне упомянутого конического пучка, т. е. для всех точек,.
в которых выполнено неравенство
i "ЛИ
Уравнение A79) даст нам при этом два вещественных корня, при-
надлежащих отрезку (— а, а):
Этот отрезок (— а, а) является разрезом на плоскости, и на про-
тивоположных берегах этого разреза радикал У а2 — 0й имеет проти-
воположные знаки, так что в уравнении A79) мы должны в данном
случае принимать во внимание двойной знак радикала и вместе с тем
в формуле A83) брать также оба знака у радикала. Пусть MQ(tQ, jc0,
у0) — некоторая точка вне нашего конического пучка, а Вх и 0^ — соот-
ветствующие значения 0, получаемые из формулы A83). Если мы под-
ставим эти значения 0 = 0t и 02 в левую часть уравнения A79), то
у нас получатся два вещественных уравнения первой степени относи-
тельно U х и у, и, следовательно, мы будем иметь две плоскости,
проходящие через точку М9. Мы можем выразить это и иначе,,
а именно: всякому значению 0 = 0О, находящемуся на разрезе (—а, а),
соответствует некоторая плоскость Р пространства E). Пусть X— та
образующая нашего конического пучка, которая соответствует точке
0 = 0О разреза. Плоскость Р должна, очевидно, содержать в себе
эту образующую X. Нетрудно показать, что плоскость Р будет каса-
тельной плоскостью к поверхности нашего конического пучка вдоль
образующей X. Действительно, если бы плоскость Р не была каса-
тельной к поверхности конуса вдоль X, то она пересеклась бы с этой
поверхностью и часть плоскости попала бы внутрь конического
пучка. Но тогда мы получили бы, что точкам, лежащим внутри кони-
ческого пучка, соответствует вещественное 0 = 0О из промежутка.
(— а, а), что, как мы видели выше, не имеет места. Итак, каждому
вещественному 0, находящемуся на разрезе (—а, а), в силу A79)
соответствует плоскость, касательная к поверхности конияес-
53]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
201
11
кого пучка вдоль той образующей, которая отвечает взятому
значению 0.
Вместо того чтобы говорить о коническом пучке и касательных
плоскостях к его поверхности, мы можем пользоваться и плоским чер-
тежом, а именно мы можем пересечь наш конический пучок неко-
торой плоскостью, перпендикулярной к оси t. При этом сам коничес-
кий пучок изобразится некоторым кругом, а касательные плоскости
изобразятся касательными к окружности этого круга. В частности,
мы можем воспользоваться переменными Е и -ц для того, чтобы перейти
к плоскому чертежу. Вместо
конического пучка мы будем
иметь на плоскости (?, у\) круг К:
p-j-Tf^J^ A84)
так что каждой точке этого
круга будет соответствовать
определенный луч нашего пучка,
и наоборот. Касательной к ок-
ружности нашего круга будет Рис. 49.
соответствовать упомянутая
выше касательная плоскость к поверхности пучка. Полуплоскости
т] ^> 0 будет соответствовать та часть пространства, где _у^>0. Оси
т] = 0 будет соответствовать плоскость у = 0.
Пусть /@) — аналитическая однозначная функция на плоскости 0
с разрезом (— а, а). Возьмем соответствующее решение уравнения A73):
w = Re/@). A85)
Это решение будет определено внутри нашего конического пучка
или, для случая плоскости (?, tj), в круге A84). Укажем один, важный
в приложениях, способ продолжения этого решения вне конического
пучка. Для этой цели проведем семейство касательных полуплоско-
стей к поверхности нашего конического пучка так, чтобы эти каса-
тельные полуплоскости шли в одном и том же направлении, т. е.
соответствующие им касательные к окружности
P-J-T|* = -L A86)
имели вид, указанный на рис. 49. Эти касательные полуплоскости
не будут пересекаться друг с другом и заполнят часть пространства (S),
лежащую вне конического пучка. На каждой из таких полуплоско-
стей /@) сохраняет постоянное значение, и мы можем определить
однозначным образом решение и вне конического пучка, пользуясь
той же самой формулой A85), которая нам давала решение внутри
конического пучка. В данном случае вне пучка решение будет
202
ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
[53
сохранять постоянное значение уже не на лучах, а на полуплоскостях.
Заметим, что мы можем, очевидно, двояким образом определять направ-
ление касательных к окружности A86) и, значит, получим два раз-
личных способа продолжения решения по указанному выше методу.
Соответствующие поверхности конического пучка 0 принадлежат
разрезу —а<^Ъ<^а. Мы можем при этом разбить значение и, опре-
деляемое формулой A85), на два вещественных слагаемых: м =
= lh Ф) ~т- Щ Ф% и продолжать одно из них по полукасательным /
(рис. 49), а другое — по полукасательным //. Это даст нам тоже
некоторое решение уравнения вне круга. Мы имеем, таким образом,
но существу, бесчисленное множество различных способов продолже-
ния, причем при всех этих продолжениях сохраняется непрерывность
Рис. 50.
решения и при переходе через окружность. В конкретных задачах
способ продолжения определяется из рассмотрения движения фронта
волны.
Все предыдущее относилось к тому случаю, когда мы рассмат-
ривали решение во всем пространстве E). Положим теперь, что
нас интересует только полупространство у^О или на плоскости
(?, т]) только полуплоскость т]^0. Положим, что формула A85) дает
нам решение в полукруге, причем это решение обращается в нуль
на некоторой дуге АВ полуокружности так, как это изображено на
рис. 50. В данном случае во многих задачах, связанных с распростра-
нением колебаний, мы приходим к однозначному продолжению реше-
ния A85), пользуясь полукасательными к окружности, изображенными
на рис. 50, т. е. соответствующими полуплоскостями, касательными
к поверхности конического пучка. При этом решение будет равно
нулю вне контура AiABBiAi.
Соображения, аналогичные предыдущим, применимы и к общему
случаю уравнения A76), но при этом, конечно, вместо конического
пучка мы будем иметь более сложный геометрический образ (семей-
ство прямых с двумя параметрами), связанный с выбором функ-
ции в
53] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 203
Мы можем в уравнениях A76) или A77) выбирать вместо 0 дру-
гую комплексную переменную z> связанную с 0 некоторой аналити-
ческой функциональной зависимостью. Укажем на один особенно
удобный выбор комплексной переменной. Пусть z связана с 0 фор-
мулой
() <187>
При этом, как мы знаем [35], вместо плоскости 0 с разрезом (—ау а)
мы будем иметь для неременной z единичный круг |z|^l. Поль-
зуясь формулой A87), нетрудно видеть, что при нашем выборе зна-
чения радикала будет иметь место формула
) A88)
Исследуем в данном случае более подробно уравнение A77). Оно
будет иметь вид
или
что можно переписать следующим образом:
Т0Т т °- A89)
Введем для круга A84) полярные координаты по формулам
—J.
Уравнение A89) перепишется при этом так:
ape-^z* — 2z-\- ape* = 0,
и мы имеем, очевидно, для z решение вида г=ге*ч>, где г опреде-
ляется из квадратного уравнения
арг* — 2г + ар = 0 @ ^ г ^ 1),
т. е. в данном случае каждой точке круга A84) (т. е. лучу) соответ-
ствует значение комплексного переменного z = re'lv с тем же самым
аргументом и точкам окружности круга A86) соответствуют точки
единичной окружности с тем же самым аргументом. Иначе говоря,
всякому радиусу круга A84) соответствует радиус единичного круга
| z \ ^ 1 с тем же самым полярным углом.
Указанные в настоящем пункте основные идеи приложения теории
функций комплексного переменного к решению волнового уравнения
204 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [54
A73) имеют обширные приложения в задачах распространения коле-
баний (акустических, электромагнитных), связанных с волновым урав-
нением, а также в более сложных задачах распространения упругих
колебаний. Предыдущий метод дает только некоторый класс решений
уравнения A73), но, как оказывается, в этот класс входят решения,
имеющие важное физическое значение, и, пользуясь этим классом
решений, можно доводить до конца в виде, удобном для вычисления,
задачи, связанные с отражением и дифракцией волн.
Уравнение A73) есть волновое уравнение для плоского случая
(цилиндрические волны), но, пользуясь принципом наложения, можно
из решений указанного выше типа составлять новые решения и иссле-
довать таким образом волновое уравнение и в общем случае трех-
мерного пространства. Обоснование изложенного выше метода можно
найти в работах С. Л. Соболева и автора, напечатанных в «Тру-
дах Сейсмологического института Академии наук СССР». Его при-
менение к конкретным задачам находится в работах Е. А. Нары ш-
киной и С. Л. Соболева. Не вдаваясь в подробности, которые
завели бы нас слишком далеко и потребовали бы много места, мы
изложим весьма кратко применение этого метода к двум задачам: к
задаче дифракции плоской волны и к задаче отражения упругих коле-
баний от плоской границы.
54, Дифракция плоской волны. Рассмотрим плоскость (х, у), на кото-
рой сделан вырез вдоль полупрямой у = х, где х ;> 0. Положим, далее, что-
в оставшейся части плоскости при t<C.O мы имеем плоскую волну, которая
распространяется параллельно ОХ со скоростью— так, что в момент ? = О
она доходит до вершины выреза (начала координат). Положим, что эта
плоская волна имеет следующую элементарную форму:
и = 1 при х< — t; а = 0 при дг> — t, A90)
т. е. позади фронта распространения и имеет постоянное значение единица,,
а впереди фронта, куда возмущение еще не дошло, и=0.
В данном случае при ?<0 функция и удовлетворяет уравнению A73),
и, кроме того, будет являться, очевидно, решением однородного уравнения,,
зависящим только от ? и у\ и определяемым условиями:
и=1 при ?< —; и = 0 при ?>—; A91)
фронт этой волны распространяется со скоростью —, как и должно быть-
для волнового уравнения A73).
Рассмотрим теперь вопрос о дифракции плоской волны A90) относи-
тельно упомянутого выреза, причем будем считать, что и после дифракции,.
т. е. при t > 0, волна будет представляться однородным решением уравнения
A73), т. е. вещественной частью некоторой аналитической функции /(z)
комплексного переменного z% определяемого уравнением A89). Такое пред-
54]
ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
205
положение является вполне естественным, поскольку линия, которая вызы-
вает дифракцию, является вырезом с вершиной в начале. Будем считать,,
что на обеих сторонах выреза должно быть выполнено условие
и = 0 (на вырезе).
A92)
В момент ? = 0 наша плоская волна дойдет до вершины, и затем будет
иметь место явление дифракции. Рассмотрим некоторый положительный
момент времени *>0. Принимая во внимание, что скорость распространения
возмущения для случая волнового уравнения (ПЗ) равна —, мы будем иметь
в указанный момент следующую картину возмущений. Прежде всего, мы
будем иметь прямолинейный фронт ABCD, разорванный на две части пре-
пятствием, через которое этот фронт
прошел. Линия этого фронта перпен-
дикулярна к оси X, причем ОВ =— t.
Дальше мы будем иметь прямолиней-
ный фронт, который будет создаваться
волной, отраженной по обычному закону
от границы OG (рис. 51). Это будет
прямая ЕС, параллельная оси X. Кроме
того, наличие вершины О создает до-
бавочное возмущение в круге с центром
в начале и радиусом — t. Основным
пунктом задачи и является определение
функции и внутри этого круга. Отме-
тим сначала ту картину значений и,
которая будет иметь место вне этого
круга. Спереди от линии ABF внизу
выреза OG мы будем иметь, очевидно,
и = 0. Сверху того же выреза, очевидно,
и =0 спереди от линии CD. Кроме того,
в части плоскости, ограниченной конту-
ром ECFEy к падающей волне будет при-
соединяться отраженная, и в силу предельного условия A92) мы будем иметь
и здесь и = 0. В части плоскости, лежащей вне упомянутого круга позади фронта
волны, всюду и = 1, за исключением указанной области ECFE. Круг с цент-
ром в начале и радиусом — t есть как раз круг A84). Только в данном
случае он разрезан по радиусу arctg-^-=-^-,
Переходя на плоскость z, согласно A89) будем иметь единичный круг
121^1, разрезанный по радиусу argz = —. Как мы уже видели выше,
радиусам круга A84) соответствуют радиусы единичного круга \г\<. 1 с тем
же центральным углом.
Принимая во внимание упомянутые выше значения и и предельные
условия и переходя на плоскость z, мы придем к следующей задаче: найти
функцию f(z), регулярную в разрезанном круге | г\ < 1 и j- < arg z <
-j-, такую, чтобы ее вещественная часть обращалась в нуль на обоих
206 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [54
берегах разреза, т. е. на радиусах
-4~ и arg* =
а также на дугах
7 Зт: _ к
— — -к < arg г < 2" и ° < аг?z< X'
и была равна единице на остальной части окружности |г| = 1. Нетрудно
написать в явном виде решение этой задачи.
Повернув плоскость г вокруг начала на угол -j- я:
wt = e 4 z,
получим круг | Wi | < 1 и O^argWj ^2л, разрезанный вдоль радиуса «^ = 0.
При извлечении квадратного корня этот разрез перейдет в отрезок (—1, 1)
вещественной оси, и весь круг перейдет в верхнюю часть единичного круга.
Таким образом, преобразование
•11 1
*2
переводит наш разрезанный круг плоскости г в верхний полукруг плоско-
сти w. Граничные условия для искомой функции /(w) при этом будут:
вещественная часть /(w) равна нулю на отрезке (—1, 1) вещественной
оси, и
Re I/(*'>)] = 0 при 0<<р<-^- и -g-
= 1 при |-
Таким образом, f(w) преобразует отрезок (—1, 1) вещественной оси
в отрезок мнимой оси и по принципу симметрии f (w) аналитически про-
должима в нижнюю часть единичного круга, причем в точках w, симметрич-
ных относительно вещественной оси, она принимает значения, симметричные
относительно мнимой оси [24].
Это приводит нас к следующему равенству:
Приняв это во внимание, мы переходим к следующим граничным усло-
виям для f (w) на окружности единичного круга:
Re
Re
Re
= 0f --g-
-g. и
A93)
Для построения решений этой предельной задачи рассмотрим функцию
1 . a —
-r-In
1
1 ,
г In -т = — in
t 3 — w i
i — w
54]
ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
207
где а и р — точки единичной окружности, находящиеся на концах одного
и того же диаметра АВ (рис. 52). Пусть М — переменная точка w. Вещест-
венная часть
—да) —arg (? —
представляет собою угол, образованный вектором МА с вектором MB и
отсчитываемый от MB. Функция A94) однозначна и регулярна в круге
|да|<1. При да = 0 ее значение, с точ-
ностью до кратного 2тг, равно тс. Мы будем
считать его равным % и, таким образом,
фиксируем определенную ветвь функции
A94) в круге |да|<1. При таком выборе
ветви будем иметь
1 —а^да
1 , а — да . 1 ,
-г In -т = л Ч г In
i $ — w ' t
4-In A—с
t
— p lw
Г In A —f
где для обоих логарифмов берутся глав-
ные значения, определяемые обычным сте-
пенным рядом. Если w попадает на дугу АРВ,
то упомянутый угол ВМА будет равен -^ 9
М
Рис. 52.
-2-, т. e.
а на дуге AQB он будет равен
при сделанном выборе однозначной ветви функции A94) в круге \w\ < 1 ее
вещественная часть будет равна -к- на дуге АРВ и -^- на дуге AQB.
Применим этот результат к функции
7тс
i =4-in
i
— да
— да
Обозначая через Mt, M2, М3 и М4 точки
. * . 7ic
'"я" ""'"
8 8
мы можем утверждать, что вещественная часть ф (да) равна 2т: на дугах MLM2
и MSMA, равна я на дуге MtM:i и Зя на дуге М2МА. Принимая это во вни-
мание, мы непосредственно получаем решение предельной задачи A93) в
следующем виде:
I / \ О
— — ш (W) — Z .
71
Возвращаясь к прежней переменной 2, имеем решение задачи дифракции
внутри круга
208 ГЛ. II. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [54
в виде
— 2.
Предыдущие рассуждения не являются строго обоснованными, и само
понятие об элементарной плоской волне и, равной единице позади фронта
и нулю впереди фронта, представляется на первый взгляд несколько искус-
ственным. Однако можно показать, что всякую плоскую волну можно пред-
ставить в виде интеграла, содержащего элементарную плоскую волну. Полу-
ченный результат можно с помощью этих соображений распространить на
дифракцию самой общей плоской волны, приведя эту задачу к рассмотрен-
ной задаче.
Рассмотрим общий вид плоской волны, движущейся параллельно оси X.
Такая волна задается функцией f(— t — х\, причем считаем, что/(х) =з
= 0 при х<0. Функция /(— t — л:), очевидно, удовлетворяет уравнению
A73). Выше нами рассмотрен тот элементарный частный случай, когда
/(х) = 1 при т>0 и /(т)=0 при т<0. В этом частном случае функцию
/(х) обозначим через и (х), как это уже было сделано в формуле A90):
•«
-{Г
при т<0,
при х > 0.
Положим теперь, что /(х) есть непрерывная функция, имеющая непре-
рывную производную и равная нулю при х^О. Мы можем написать
/(х)=Л u(x-
Действительно, принимая во внимание определение и (х) и условие / @) = 0,
получим
оо т
I) d\ = \ f (X) d\ =/(x) -/ @) =/ (х).
Таким образом, можно написать
оо
Как видно из этой формулы, падающая плоская волна общего типа
оказывается «суммою» (точнее, интегралом) элементарных падающих волн:
Если через U(xtytt) мы обозначим полученный выше результат дифрак-
ции элементарной волны, то для случая падающей волны /(— t — л:] будем
55] ОТРАЖЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН ОТ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЫ 209
иметь решение вида
V= \U(x,y, t — a\)f (X)tfX.
Ограничимся рассмотрением результата дифракции относительно начала
координат и через ?/(*, .у, О обозначим именно этот результат дифракции.
При ?>0 он имеет место в круге с центром в начале и радиусом —ty
т. е. мы должны считать U(x,y, t)=zO при t^O для любых (х, у) и, кроме
того, U(x, у, t)=0 при х2 -f-у2 :>= —т t* для ?>0. Таким образом, в выра-
жении для V интеграл по X будет распространен фактически по конечному
промежутку изменения X.
При помощи приведенного выше метода может быть решена задача
дифракции относительно угла любой величины плоской волны, падающей
в произвольном направлении.
55. Отражение упругих волн от прямолинейной границы. В случае
плоской задачи теории упругости составляющие смещения и и v могут быть
выражены с помощью формул
где функция <р называется обычно потенциалом продольных волн, а функция
ф — потенциалом поперечных волн. Эти потенциалы должны удовлетворять
волновым уравнениям вида
где _
Уф Vi> <l98>
причем р есть плотность среды, X и jj.— упругие постоянные Лямэ. Числа
— и -j- дают, как известно из теории упругости, скорость распространения
продольной и поперечной волн, и формула A95) представляет собою раз-
биение возмущения общего типа на возмущения продольного и поперечно-
го типа.
Приведем еще формулы, которые выражают напряжение в нашем упру-
гом теле через потенциалы. Мы будем рассматривать лишь вектор напряже-
ния, действующего на площадку, перпендикулярную к оси К. Составляющие
этого вектора выражаются по следующим формулам:
'.¦к =:: f* I ^ -ч Ч Г" -ч а 3~~2
J \ A99)
У =и\(Ь1-2\№+д-?\+ 2*1-3-2-.*" '
После этих предварительных сведений перейдем к постановке за-
дачи. Положим, что в момент времени i = 0 из точки лг = О, у=у0
210 ГЛ. П. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ [55
распространяется возмущение чисто продольного типа, которое характеризу-
ется некоторым потенциалом <р, удовлетворяющим уравнению A96), причем
этот потенциал представляет собою однородное решение уравнения отно-
сительно аргументов /, х и (у—у0), т. е. он определяется как вещественная
часть некоторой аналитической функции
cp = Re[<D(O)], B00)
где комплексная переменная 0 определяется из уравнения
t — Ьх+ У а* — 02 (у—уо)=О. B01)
Последнее уравнение отличается от уравнения A77) лишь заменою д> на (у—•
—у0). Это соответствует тому факту, что потенциал B00) соответствует некото-
рой силе, сосредоточенной в момент t = 0 в точке х = 0, у=у0. Мы не будем
останавливаться подробнее на выяснении этого обстоятельства с точки зре-
ния механической характеристики источника, определяемого формулой B00).
Будем считать, что заданная функция Ф F), входящая в формулу B00),
регулярна на плоскости 0 с разрезом (—я, а), кроме бесконечно далекой
точки, и что ее вещественная часть обращается в нуль на разрезе. Последнее
обстоятельство соответствует тому факту, что заданный потенциал <р обра-
щается в нуль на поверхности конического пучка с вершиной t = 0; x = 0f
у=у0 и с углом arctg— при вершине. Эта поверхность соответствует фронту
распространяющегося возмущения. Мы считаем, конечно, потенциал равным
нулю и везде вне конического пучка. Положим, что имеем не всю плоскость,
где распространяется возмущение, но лишь полуплоскость у > 0, внутри
которой находится центр возмущения х = 0, у =у0 > 0. Потенциал со будет
вполне определять движение лишь в промежуток времени t <C ау0. В момент
времени t = ау0 фронт возмущения дойдет до линии у = 0, которая является
границей нашей среды, и появятся отраженные волны, причем закон отра-
жения должен получиться из предельных условий, которые имеют место на
этой границе. Мы будем предполагать, что эта граница свободна от напря-
жений, и в дальнейшем напишем соответствующие предельные условия,
приравнивая нулю выражения A99) при_у = 0.
В результате отражения мы должны будем присоединить к заданному
потенциалу <р еще два потенциала: один — отраженный продольный потенциал
«Pi, а другой — отраженный поперечный потенциал tyv Будем считать, что оба
эти потенциала выражаются как вещественные части некоторых аналитических
функций комплексных переменных
?i = Re [<*i F0], <W = Re [Vl @2)]. B02)
Нам надо найти как уравнения, определяющие эти комплексные пере-
менные 0! и 02, так и вид аналитических функций Ф1 @Х) и ЧГ, @2) по за-
данному падающему потенциалу ср и по предельным условиям. Упомянутые
комплексные переменные в соответствии со сказанным в [53], а также с тем
обстоятельством, что волновое уравнение для поперечного потенциала <р со-
держит не постоянную а, а постоянную Ь, будут определяться из уравнений
вида
у+Л<е,) = о, J
и нам надо прежде всего выбрать вид функций /?А @Х) и /?2 @2) и знаки у
радикалов, причем значения радикалов на плоскости с разрезом определяются
всегда так, как это было указано в [53].
55]
ОТРАЖЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН ОТ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЫ
211
Обратимся к коническому пучку лучей, соответствующему уравнению
B01) и имеющему вершину в точке t = x = 0, у=уо. В данном случае раз-
ность (у—у0) играет роль буквы у, если мы сравним наше теперешнее
рассуждение с рассуждением из [53]. Плоскость у=у0 будет делить наш
пучок на две части, и та часть пучка, глеу>у0, вовсе не встретит границы
у = 0 в пространстве (S) с координатами (t, л:, у). Другая часть пучка, где
у<Уо> встретит эту плоскость, и точки пересечения прямых пучка с этой
плоскостью заполнят на этой плоскости
область, определяемую неравенством
{рис. 53)
ci*2. B04)
Это непосредственно следует из
того, что уравнение самого пучка в дан-
лом случае будет иметь вид
Область B04) представляет собою,
очевидно, внутреннюю часть некоторой
гиперболы плоскости у = 0 простран-
ства (S). Как мы видели в [53], той
половине конического пучка, которая
пересекается с плоскостью у = 0 и где
у—jyo<O» соответствует верхняя полу-
плоскость значений комплексного пере-
менного 0. Кроме того, очевидно, вдоль
каждого из наших лучей у уменьшается рис# 53.
и t одновременно увеличивается. Выбе-
рем в уравнениях B03) знаки у ради-
калов противоположными знаку радикала в уравнении B01) и, кроме того,
функции /?! @t) и р2 @g) определим так, чтобы уравнения B05) совпадали
€ уравнением B01) при у = 0. Мы получим, таким образом, для новых ком-
плексных переменных уравнения вида
t — 0jjc — у а* — 0| (у -\- у0) = 0, B05)
t — Ь2х — У& — Ъ\у — У а* — Цу0 = 0. B06)
Возьмем некоторую точку Mi (tlt xj в области B04) плоскости у = 0,
лежащей в пространстве (S). В эту точку упадет некоторый луч нашего
конического полупучка, соответствующий определенному значению 0 = 0'.
Если подставить координаты точки t — ti\x = xL и,у = 0 в уравнения B05)
и B06), то для комплексных переменных 0t и 02 получится то же самое зна-
чение. Если мы теперь подставим это значение 0А = 6' и 02 = 0' в полные
уравнения B05) и B06), то полученные уравнения определят нам два луча,
которые мы будем в дальнейшем называть отраженным продольным и отра-
женным поперечным лучами [все это имеет место в пространстве (S)]. От-
метим одно важное обстоятельство, а именно: в силу определенного выбора
знаков у радикалов в уравнениях B05) и B06) мы можем утверждать, что
вдоль этих отраженных лучей при увеличении tу также увеличивается, т. е.
эти отраженные лучи идут в глубь нашей полуплоскости или, лучше сказать,
в глубь полупространства при увеличении времени, т. е. иначе говоря, отра-
женные волны не меняют ничего в той картине возмущения, которая имела
место до отражения. Проверим указанное обстоятельство для уравнения B05).
212
ГЛ. И. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
[55
Сравнивая его с уравнением B01), нетрудно убедиться, что ему соответствует
конический пучок с вершиной ^ = лг = О, у~—у0У симметричной с центром
возмущения относительно плоскости у = 0. Принимая во внимание, что знак
у радикала в уравнении B05) отличается от знака при радикале уравнения
B01), мы можем утверждать, что в данном случае значениям 0 из верхней
полуплоскости, которые мы сейчас и будем иметь в результате отражения,
соответствуют те лучи, где ?>0 и y-\-yQ>0, причем при увеличении t
у увеличивается вдоль луча. Аналогичное обстоятельство будет иметь место и
для лучей, определяемых уравнением B06), но только в данном случае пучок
этих лучей не будет уже коническим. Таким образом, из каждой точки Mt
области B04) будут выходить два отраженных луча. Ищем потенциалы от-
раженных волн'согласно формулам B02), т. е. так, чтобы они сохраняли по-
стоянное значение вдоль отраженных лучей. Остается еще выбрать вид
функций в формулах B02). Мы рассматриваем, как уже было упомянуто выше,
выданном случае предельные условия вида
:s-2)[
d2(? + ?i) | d2(<P + <Pi)
дхду
.]+*
= 0.
ду2 дх ду
Для вычисления производных от функций <р, <рх и 4ч, определяемых по
формулам B00) и B02), мы можем воспользоваться формулами из [52], за-
меняя / (т), т (т) и п (т) соответствующими коэффициентами из уравнений
B01), B05) и B06). Заметим при этом, что для отраженного поперечного
потенциала ^ мы должны заменить а на Ь. При у = 0 наши комплексные
переменные 0, Ьи 02 совпадают, и мы можем обозначить их одной и той же
буквой 6. Приходим, таким образом, к условиям следующего вида:
1 д — 20 У а2 — 02 [Ф' F) — Ф; @)] + (Ь2 — 202) 4t[ (б)'
Re кгзй-
2 _ 26») [Ф' F) + Ф1 F)] —
— б2 ч7; F)
]=о,
B07)
где
Условия B07) должны быть выполнены во всей области B04), т. е.
во всей верхней полуплоскости 0.
Мы получим, очевидно, решение уравнений B07), если определим иско-
мые функции Ф! @) и Wt @) из уравнений
—20 У а2 — 02[Ф' @) — Ф; @)] + (Ь2 — 202) W[ @) = 0,
(b* — 2б2) [Ф' F) + Ф; @)] — 20 УЬ2 — 02 чГ; (б) = 0.
Можно показать, что эти уравнения не только достаточны, но и необхо-
димы для выполнения условий B07), Решая эти уравнения, получаем выра-
жения для производных искомых функций:
— B02 — &2J + 402 У а2 — О2 уь* — Ъ*
ф;F) =
/=¦F)
ф' F),
где
F @) = B02 — b2y +402 У а2 — 02 Yb2 — 02.
B08)
B09)
55]
ОТРАЖЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН ОТ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЫ
213
Для решения задачи нам и интересны только производные от потенциалов.
Согласно формулам A95) будем иметь для смещений следующие формулы:
«=Re
в.) ^].
B10)
Если через рассматриваемую точку М (t, x, у) не проходит падающий
или отраженный луч, то в выражениях B10) мы должны вычеркнуть соот-
ветствующее слагаемое. Отметим одно важное обстоятельство, а именно:
согласно условию вещественная часть Ф' (б) равна нулю при — а <С 0 <С а.
Из формул B08) и очевидного в силу A98) соотношения Ъ>а непосредст-
венно следует, что то же будет иметь место для Ф^ @) и W[ @), так что
отраженные потенциалы <pt и ^i также будут постоянными на поверхностях
отраженных пучков лучей, и мы можем их считать равными нулю как нз
этих поверхностях, так и вне пучков.
Если бы мы стали рассматривать источник колебания не продольного,
а поперечного типа, то картина получилась бы несколько иной. В этом слу-
чае нам был бы задан потенциал поперечных колебаний как вещественная
часть некоторой аналитической функции
ф = Ре[^@)], B11)
регулярной на плоскости 0 с разрезом (—Ь, Ъ)у причем комплексная пере-
менная 0 определяется уравнением
— 02 (у —у0) = 0
B12)
и вещественная часть W @) равна нулю при —Ь < 0 < Ь. Мы должны были бы
искать отраженные продольные и поперечные потенциалы в виде
<Pj = Re [Ф! @t)], ^ = Re [W{ @2)], B13)
где 6j и 0а определяются уравнениями
= 0.
B14)
B15)
Совершенно так же, как и выше, мы получили бы для функций, входя-
щих в выражения B13), вместо формул B08) следующие:
B16)
В данном случае разрез на плоскости 0, точки которого соответствуют
лучам, лежащим на поверхности конического пучка, будет — Ь <С 0 <С Ь.
Коэффициенты при W @) в обоих выражениях B16) содержат радикал
У а2—02 а потому эти коэффициенты, оставаясь вещественными при —
< 0 < а> уже перестанут быть вещественными при —Ь <0< — аи л<0<
При этом произведение мнимой части коэффициента на мнимую часть Ф @)
даст для Ф^ @) и WI @) вещественную часть, отличную от нуля при
— ?<0< — аи а<Ь<Ь. B17>
214
ГЛ. И. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПЛОСКОЕ ПОЛЕ
[55
Если мы подставим такое значение 8 в левую часть уравнения B14),
то это уравнение после отделения вещественной и мнимой частей распадется
на два уравнения:
t—?x — Vb* — Wy9 = Ot у = 0,
т. е. для отраженного продольного потенциала эти критические лучи, на ко-
торых потенциал будет отличным от нуля, не попадут внутрь среды, а будут
идти в плоскости у = 0 (рис. 54). Для отраженного поперечного потенциала
отраженный пучок лучей, определяе-
мый уравнением B15), будет просто
коническим пучком с вершиной t =
= х = 0, у = —y0J и вдоль тех обра-
зующих поверхности этого пучка,
которые соответствуют значениям 8,
удовлетворяющим условиям B17),
значения отраженного потенциала
будут отличны от нуля. В данном
случае нам придется, следовательно,
продолжить отраженный поперечный
потенциал и вне указанного кониче-
ского пучка тем методом, о котором
мы упоминали в [53]. Это обстоя-
тельство имеет простое механическое
значение, а именно: поперечные вол-
ны, исходящие из источника колеба-
ния, падая на границу у = 0, вызы-
вают отраженные продольные волны,
которые, распространяясь вдоль гра-
ницы быстрее, чем поперечные, вызывают в свою очередь поперечную волну,
которая как бы забегает вперед по отношению к отраженной по обычному
закону поперечной волне.
Мы ограничиваемся этими краткими указаниями и не останавливаемся
на подробном механическом исследовании формул B08) и B16). Заметим
только, что знаменатель F(ti), определяемый уравнением B09), имеет веще-
ственный корень 8 = ± с, удовлетворяющий неравенству с> Ьу и наличие
этого корня дает то явление, которое обычно называется явлением поверх-
ностных волн.
Рис. 54.
ГЛАВА HI
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ, ЦЕЛЫЕ
И ДРОБНЫЕ ФУНКЦИИ
56. Интеграл Френеля. В [21] была доказана основная теорема
о вычетах, которая является исходным моментом при применении
теории аналитических функций к различного рода вычислительным
процессам и аналитическим представлениям функций. Мы будем
дальше заниматься задачами вычисления определенных интегралов,
интегрирования линейных дифференциальных уравнений, разложения
функций в бесконечные ряды и представления функций контурными
интегралами.
Начнем с вычисления определенного интеграла вида [П, 86]
sm(x2)dx, (I)
который называется обычно интегралом Френеля и встречается в задачах
дифракции света. Рассмотрим интеграл
\-*sdz, B).
где / — замкнутый контур, состоящий из отрезка О А вещественной оси
дуги АВ окружности с центром О и радиуса R — OA и отрезка прямой
50, причем мы берем угол А ОБ равным —. Внутри этого контура под-
интегральная функция е~*2 не имеет вовсе особых точе#, а потому вели-
чина интеграла B) равна нулю. Разобьем этот интеграл на три части соот-
ветственно трем, указанным выше, кускам контура. Вдоль ОА переменная z
будет вещественной, и мы положим z~ x, причем О^л:^/?. Вдоль ВО
мы имеем z = xe , z2 = ix2 и dz = e dx. Наконец, вдоль АВ имеем:
216 ГЛ. ИГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[56
откуда z2 = /?2?|зср и dz = iRei(? dy. Таким образом, мы получаем следующее
равенство:
1С
R .те О Т
\ е- ** dx + е 4 \ е~ix2 dx + I iRe~ *2 (cos 2? +'sln 2?> + '* rfcp = 0. C)
6 R 0
Покажем^ что третий из написанных выше интегралов стремится к нулю при
беспредельном возрастании R. Принимая во внимание, что ех при чисто
мнимом х по модулю дает единицу, и заменяя подинтегральную функцию
в интеграле ее модулем, мы придем к неравенству вида
е~ Ri (cos 2*+'sitl 2^+* rfc
Т
«- R* cos 2<p
Докажем, что выражение, стоящее справа, стремится к нулю при R—*co
Вводя вместо <р новое переменное ф = 2ср и отбрасывая постоянный множи-
тель, не играющий роли, мы получим выражение
Разделим промежуток интегрирования на две части @, а) и (а, -5-1, где
а — некоторое число, лежащее между 0 и -«-:
1С
Т
/?2*. D)
В первом из написанных интегралов заменим отрицательный показатель
наибольшим из §гр значений, т. е. наименьшим по абсолютной величине,
а именно значением (—/?2cos«). Подинтегральную функцию второго инте-
грала умножим на дробь -т—^, которая все время больше единицы в про-
межутке a<^<-7j-. Таким образом, увеличивая сумму D), мы придем к
сумме вида
о а
и нам достаточно показать, что эта последняя сумма стремится к нулю. Но
оба интеграла, входящих в эту сумму, вычисляются до конца, и сумма их
имеет вид
57] ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ С ТРИГОНОМЕТРИЯ. ФУНКЦИЯМИ 217
откуда непосредственно и следует, что она стремится к нулю при беспре-
дельном возрастании /?. Таким образом, мы показали, что третье слагаемое
в левой части C) стремится к нулю при /? —> со. Первое же из слагаемых
левой части имеет предел
который, как мы знаем [II, 81], равен уУ"я. Можно, следовательно, утвер-
ждать, что и второе слагаемое имеет определенный предел, причем в пре-
деле получаем равенство
или, отделяя вещественную и мнимую части под знаком интеграла,
/У 2" ./2 \ f
1-2-+'-;)
[cos <*2) -'sin (*2>idx=т V*-
Приравнивая вещественные и мнимые части, находим отсюда непосредст-
венно величину интеграла Френеля:
cos (л:2) dx = \ sin (х*) dx = -9- |/ -у. E)
57. Интегрирование выражений с тригонометрическими функ-
циями. Рассмотрим теперь интегралы вида
^ R(cos ху sin x)dx, F)
о
где R(cosx, sinjc)—рациональная функция от cos x и sinjc. Введем
вместо вещественной переменной х комплексную переменную z = etx.
При изменении х в промежутке @, 2тс) комплексная переменная z
пробегает, очевидно, единичную окружность. Кроме того, согласно
формулам Эйлера, мы можем написать
COSJC = —L^ , Sin X=—к-.
и, кроме того, очевидно, dx = — dz. Подставляя все это в F), мы
получим интеграл от рациональной дроби по единичной окружности
|г| = 1, которую будем обозначать через С.
Этот интеграл равен произведению 2ш на сумму вычетов под-
интегральной функции относительно полюсов, лежащих внутри еди-
ничной окружности.
218 ГЛ. ИГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [57
Пример I. Рассмотрим интеграл
е COS X
Проделывая указанные выше преобразования, приведем его к следую-
щему виду:
dz
!
ЦЦ-е^)
С
или
2 р dz
Полюсы подинтегральной функции будут совпадать с корнями квадрат-
ного уравнения
ez2 + 2z + e = 0, G)
один из корней которого по модулю меньше единицы. Этот корень опреде-
ляется по формуле
причем радикал надо брать положительным. Вычет подинтегральной функ-
ции мы можем определить согласно тому правилу, которое было указано
в [21], а именно этот вычет будет равен частному от деления числителя под-
ынтегрального выражения на производную от знаменателя при z = z0, т. е.
в данном случае этот вычет будет
1 1
Г
и окончательно мы получаем
) 1+SCOS* = 1/U^- (8)
О
Пример Н. Рассмотрим еще интеграл
Совершая такие же преобразования, что и выше, мы будем иметь
С
В данном случае значение z = z0 будет единственным полюсом внутри
•единичной окружности, причем это будет полюс уже второго порядка.
Согласно указанию [21], для определения вычета г в этом полюсе мы должны
умножить подинтегральную функцию на (z — 20J, взять первую произвол-
58) ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ 219
ную от полученного произведения и положить затем 2 — *0. Пусть z = zt—
второй корень уравнения G), по модулю больший единицы:
e
Проделывая указанные операции, в данном случае будем иметь
и затем, полагая z = z0 и принимая во внимание выражения z0 и zlt получим*
следующее значение для вычета:
_ 1
Г~4A-е*)8/*-
Окончательно теорема о вычетах дает
? йх = 2я з # <9),
6
58. Интегрирование рациональной дроби. Рассмотрим интеграл
от рациональной дроби
Для того чтобы такой интеграл имел смысл, необходимо и до-
статочно [II, 86], чтобы полином ф(лг), стоящий в знаменателе, не
имел вещественных корней и чтобы его степень по крайней мере
на две единицы превышала степень полинома у(х). Если мы рас-
смотрим при этом функцию комплексного переменного
то она, очевидно, будет обладать тем свойством, что произведение
zf(z) будет стремиться к нулю при г->оо и притом равномерно^
т. е. независимо от способа стремления z к бесконечности. Точнее
говоря, эта равномерность будет сводиться к следующему: для
любого малого положительного е существует такое положительное
/?е, что \zf(z)\<^e, если только | z \^>Rs. Покажем, что если функция
f(z) удовлетворяет этому условию, то интеграл от нее по любой
дуге окружности \z\ = R стремится к нулю при беспредельном
возрастании /?.
Лемма. Если f(z) непрерывна в окрестности бесконечно дале-
кой точки и zf(z) -> 0 равномерно при z -> оо, то интеграл от
f(z) no любой дуге окружности |*| = jR стремится к нулю при
беспредельном возрастании R.
220 ГЛ. НГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [58
Применяя к интегралу обычную оценку из [4], мы будем иметь
II
f(z)dz
; max | zf(z) \--pS,
/
где 5 — длина упомянутой дуги /, которая, очевидно, не превышает
2nRt так что окончательно
\f{z)dz
2* max \zf(z)\.
l
Принимая во внимание, что zf(z) на нашей дуге стремится
к нулю при беспредельном возрастании R, мы и получаем непо-
средственно утверждение нашей леммы.
Вернемся к нашему примеру и проинтегрируем рациональную
дробь <рB):фСг) по контуру, состоящему из отрезка (—R, R)
вещественной оси и полуокружности в верхней полуплоскости, имею-
щей упомянутый отрезок диаметром. Мы можем взять R настолько
большим, чтобы все полюсы функции /(г), лежащие в верхней полу-
плоскости, оказались внутри построенного полукруга. Обозначая
построенную полуокружность через С^, имеем
где через 2г мы обозначили сумму вычетов функции f(z) отно-
сительно полюсов, находящихся в верхней полуплоскости. При бес-
предельном увеличении R правая часть равенства не будет меняться,
а второе слагаемое левой части будет, согласно лемме, стремиться
к нулю, и мы получим в пределе
т. е. интеграл A0) от рациональной дроби равен произведению
2ni на сумму вычетов подинтегральной функции относительно
полюсов, находящихся в верхней полуплоскости.
Пример. Рассмотрим интеграл
+ 0О
dx
В данном случае в верхней полуплоскости находится единственный полюс
подинтегральной функции z = i порядка я. Для определения вычета в этом
полюсе мы должны, согласно [21], помножить подинтегральную функцию
(z2-{-1)~п на (г — i)nt полученное произведение продифференцировать п—1
59] НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ ТИПЫ ИНТЕГРАЛОВ 221
раз по 2, разделить на (п—1)! и положить затем z = i} т. е. искомый вычет
определяется по формуле
1 dn~l (z — i)n
'(л—1)! dzn~x(z*-\- \)n
= i~~ {n—\)\ dzn~l
ИЛИ
(_„)(_ „ _ 1 )...(-„_ n + 2) BQ-""-'_ я(я+1)...Bя —2)
r~ (л—1)! (л —1)!2!»-'
__ (In — 2I
¦ l)! (л — i)!
и окончательно будем иметь
59. Некоторые новые типы интегралов с тригонометрическими
функциями. Заметим, что при выводе предыдущего правила вычис-
ления интегралов с бесконечными пределами мы нигде, по существу,
не пользовались тем, что подинтегральная функция f{z) есть рацио-
нальная дробь. Для нас достаточно, чтобы функция f(z) удовле-
творяла следующим двум условиям: 1) она регулярна в верхней
полуплоскости и на вещественной оси, кроме конечного числа по-
люсов, лежащих в верхней полуплоскости, и 2) при z -> со в упомя-
нутой области zf(z)-+O равномерно. При этом мы, как и выше,
придем к равенству A1), причем второе слагаемое в левой части
стремится к нулю, так что, переходя к пределу, будем иметь
R
lim \ /(х)Aх = 2ж1^]г, A3)
где 2г — сумма вычетов f(z) относительно полюсов, лежащих
в верхней полуплоскости. Разбивая промежуток интегрирования
(—/?, R) на части (—/?, 0) и (О, R) и заменяя в первом из интегра-
лов х на (—х\ мы можем вместо равенства A3) написать
R
lim С [/(*) + /(— x)]dx = 2jdj±r
ИЛИ
5 [/(*) + /(- х)] dx = 2*/2 г. A4)
о
Применим полученный результат к тому частному случаю, когда
подинтегральная функция имеет вид
f{z) = F(z)e^m' (m>0> A5)
причем функция F{z) удовлетворяет поставленным выше двум
условиям. При этом, как нетрудно видеть, и функция f(z) будет
222 ГЛ. ИГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [59
удовлетворять этим двум условиям. Чтобы убедиться в этом, доста-
точно показать, что множитель е1тг, регулярный на всей плоскости,
остается ограниченным в верхней полуплоскости и на вещественной
оси. Мы имеем, очевидно,
eimz = eim(x+iy) и | eimz | = е-ту (щ^О; у^ 0),
откуда непосредственно следует, что \егт*\^1 при у^О. Таким
образом, если F(z) удовлетворяет поставленным выше двум усло-
виям, то мы имеем
оо
\ [F (x) eimx -f F (— х) e~imx] dx = 2ir/ ^ г, A6)
о
где ^г — сумма вычетов функции A5) в верхней полуплоскости.
Рассмотрим два частных случая. Положим сперва, что F(z) — функ-
ция четная, т. е. что F(—z) = F(z\ при этом предыдущая формула
дает
сю
\ F(x) cos mx dx = те/ ^ г. A7)
о
Если же F(z) — функция нечетная, т. е. если F(—z) = — F(z),
то предыдущая формула дает
00
^ F (x) sin mx dx = it 2 г. A8)
о
Пример 1. Рассмотрим интеграл
•dx (а>0; /я>0).
В данном случае функция
удовлетворяет, очевидно, поставленным выше двум условиям и является
функцией четной, так что мы имеем возможность применить формулу A7).
Единственный полюс функции
в верхней полуплоскости есть простой полюс z = la. Мы можем определить
вычет в этом полюсе по тому правилу, которое уже применяли и кото-
рое можно формулировать кратко как правило: числитель, деленный на
59) НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ ТИПЫ ИНТЕГРАЛОВ 223
производную от знаменателя. В данном случае это правило дает следую-
щее выражение для вычета функции A9):
ila
и мы окончательно получаем
00
I
cos mx ъ /олч
—-—- dx = -~- e~ma. B0)
х* -f a1 2a v '
Пример II. Рассмотрим интеграл
00
x sin mx .
7—5—: srz UX.
В данном случае будет применима формула A8), и функция
/(*) = '
ze
,imz
будет иметь единственный полюс z = ia в верхней полуплоскости второй
кратности. Вычет в этом полюсе будет определяться по формуле
или
б/ Г zeimz II т м
г — I I — л—та
dzl(z + id)* J U = m -a •
откуда непосредственно получаем окончательный результат:
оо
f л: sin /пл: , пт тп /ntK
О
Замечание. Заметим, что формулу A3) мы не имеем права,
вообще говоря, писать в виде
-{-оо
\ fix)dx=2rclj^r. B2)
— ОО
Действительно, интеграл между бесконечными пределами
-foo
определяется как сумма пределов интегралов
R о
\f(x)dx и ^ f(x)dx
224 ГЛ. НГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [60
при стремлении R к -)-оо. Если этих пределов в отдельности нет,
но сумма написанных интегралов стремится к конечному пределу,
т. е. существует конечный предел
R
lim \ f(x)dx,
то этот предел называется главным значением интеграла по бес-
конечному промежутку и его обозначают следующим образом:
+ оо R
v. p. \ f(x)dx = lim \ f(x)dx. B3)
-со R-> + c*JR
В формуле A3) мы должны интеграл рассматривать в смысле
главного значения. Но если из каких-либо соображений мы знаем,
что интеграл этот существует как обычный несобственный инте-
грал, то этого не надо делать, так как в этом случае интеграл
в смысле главного значения совпадает с обычным несобственным
интегралом, В [26] мы определили главное значение интеграла
в том случае, когда f(x) терпит разрыв непрерывности в какой-
либо точке на конечном расстоянии.
60. Лемма Жордана. Можно облегчить те условия, которые мы
наложили на функцию F(z) в предыдущем номере для того, чтобы
формулы A7) и A8) имели место. Для этого докажем важную для
дальнейшего лемму.
Лемма Жордана. Если F(z) в верхней полуплоскости и на
вещественной оси удовлетворяет условию: F(z)->0 равномерно
при z-+oo и т есть некоторое положительное число, то при
\ F(z)eimzdz->0, B4)
где С% есть полуокружность с центром в начале координат и
радиусом R, находящаяся в верхней полуплоскости.
Вводя полярные координаты z — Rel1f, перепишем интеграл B4)
в виде
п
\ F (Rei<f) е*т% *С08 ? +l*sin v) lRei<f rfcp
о
и отсюда, принимая во внимание, что | te'm/?C08<P+'>|== 1, будем иметь
\ F(z)eimzdz
CR
225
B5)
По условию \F(Re*9)\ стремится к нулю при /?->оо равномерно
относительно ср при О^ср^тс, и, следовательно, нам достаточно
показать, что при R-+oo интеграл
601
или
\ F(z)eimz
ЛЕММА
dz
ЖОРДАНА
F{z)
B6)
будет ограниченной величиной. Разбивая промежуток интегрирования
L п\ [п \
на два: @, -у и l-^-, irj, и заменяя во втором из интегралов пере-
менное ср на (тс— ср), мы приведем интеграл B6) к виду
Будем теперь поступать так же, как мы это делали в [66].
Разбивая промежуток интегрирования на две части и увеличивая
положительную подинтегральную функцию, получаем неравенство
^d<p._|_2 С
Последние два интеграла берутся до конца и приводят нас
к следующему неравенству:
j
о
Г— e-
1
-»<р=о
^- — a]
2 /'
Второе из написанных слагаемых стремится, очевидно, к нулю
2
так,
при /?->со, а первое стремится к конечному пределу
что вся сумма остается ограниченной при /?
Ш COS ot
оо. То же самое
подавно можно утверждать и относительно интеграла B6), откуда
и следует результат леммы.
Пользуясь установленной леммой, мы можем доказать, например,
формулу A8) при более легких требованиях по отношению к функ-
ции F(z). Действительно, раньше мы требовали, чтобы в верхней
226 ГЛ. НГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [61
полуплоскости и на вещественной оси zF(z)-+0 при |г|->оо, и
это требование было нам необходимо для того, чтобы интеграл
$ F{z)eimzdz
по верхней полуокружности С# стремился к нулю при /?-*оо.
Согласно лемме, мы знаем, что для этого достаточно потребовать
лишь, чтобы F(z)->0, и, таким образом, можем применять фор-
мулу A8) лишь в этом предположении.
Пример. Рассмотрим интеграл
оо
f х sin mx
-dx (я>0; m>0).
В данном случае функция
w 22 + a2
удовлетворяет всем условиям для формулы A8), и, следовательно, мы должны,
как и раньше, определить лишь вычет функции
pimz
pimz
в полюсе z = ia, находящемся в верхней полуплоскости. Это будет полюс
первого порядка, и соответствующий вычет определяется по обычному пра-
вилу: числитель, деленный на производную от знаменателя, т. е.
gpimz
и окончательно
jLp~ma
z=ia - 2 в '
00
х sin mx , тс , _„„
-^-s-dx = Ye-™. B7)
61. Представление некоторых функций контурными интегралами.
Пользуясь теорией вычетов, можно легко составить контурные интегралы,
представляющие прерывные функции.
Рассмотрим, например, функцию ср (?), которая равна нулю при t < 0 и
единице при t > 0, т. е.
( п if ^- с\\
B8)
Покажем, что такая функция может быть представлена контурным инте-
гралом вида
1 (• *IIZ
B9)
причем t входит как параметр под знак интеграла. Контуром интегриро-
вания является вся вещественная ось, причем начало координат 2 = 0,
являющееся полюсом для подинтегральной функции, обходится по полуок-
ружности малого радиуса, лежащей в нижней полуплоскости и имеющей
61]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОНТУРНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ
227
центр в начале (рис. 55). Рассмотрим вспомогательный контур /^, который
состоит не из всей вещественной оси, но лишь из ее отрезка (—R, R)
с обходом начала и из полуокружности С# в верхней полуплоскости, имею-
щей центр в начале и радиус R. Если
* >0, то к интегралу B9) применима У
лемма Жордана, так что интеграл по
полуокружности будет стремиться
к нулю при возрастании /?. Подинте-
гральная функция имеет внутри кон-
тура единственный полюс в начале
2 = 0 с вычетом, равным единице,
так что
Переходя к пределу, мы полу-
чаем
1
eiiz
Рис. 55.
Положим теперь, что *<0. Рассмотрим замкнутый контур, состоящий
из прежнего отрезка (—/?, R) вещественной оси с обходом начала и полу-
окружности С/? радиуса Rt находящейся не в верхней, а в нижней полу-
плоскости (рис. 56). Внутри этого
контура наша функция вовсе не имеет
особых точек, а потому интеграл по
всему этому контуру будет равен
нулю.
Покажем теперь, что при бес-
предельном возрастании R интеграл
по нижней полуокружности будет
стремиться к нулю. Действительно,
если введем вместо z новую пере-
менную интегрирования z' = —z, то
нижняя полуокружность Сц перейдет
в верхнюю полуокружность С/?, и мы
будем иметь
р— Иг'
—zr-dz\
Рис. 56.
По условию ?<0, а следовательно, —*>0, и лемма Жордана показы-
вает, что последний интеграл действительно стремится к нулю. Таким
образом, переходя к пределу, как и выше, получаем
oitz
Рассмотрим интеграл и при
1
0. Он будет иметь вид
C0)
228
ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[61
Рассматривая, как и раньше, отрезок (—Rt R) вещественной оси, мы
должны будем вычислить приращение In z при движении вдоль этого отрезка
с обходом начала. На концах пути вещественная часть In z будет иметь
значение In/? и, следовательно, не получит никакого приращения. Что же
касается мнимой части, равной i arg z, то при обходе начала по полуокруж-
ности она получит, очевидно, приращение м, а на остальных участках пути
остается неизменной. Таким образом, величина интеграла C0) вдоль отрезка
(—R, R) равна -у. Следовательно, то же число мы получим и в пре-
деле при /?—> оо, т. е.
!-<** =-к C1)
В данном случае было существенным, что верхний и нижний пределы
стремились к оо, имея одинаковые абсолютные значения, т. е. равенство
C1) надо понимать в смысле главного
значения интеграла в промежутке
(—оо, +оо) с обходом 2 = 0. Инте-
грал B9) при t-ф® будет сходящимся
а 0
Рис. 57.
Рис. 58.
в обычном смысле слова относительно бесконечных пределов. Действительно,
отделяя вещественную и мнимую части, мы будем иметь интегралы вида
cos tz
sin tz
Сходимость второго из них мы доказали выше [If, 86]. Так же можно
доказать и сходимость первого интеграла.
Итак, при t-ф 0 интеграл B9) дает функцию B8). При * = 0 он суще-
ствует только в смысле главного значения, и его величина равна -^-,
Рассмотрим теперь второй пример, когда функция равна нулю везде,
кроме некоторого конечного отрезка, где она обращается в единицу, т. е.
ф (t) = 0 при t < а и t > Ь\ ф (t) = 1 при а < t < b. C2)
Нетрудно представить эту функцию как разность двух функций указан-
ного типа, а именно:
Оба члена обращаются в нуль при t>b. В промежутке a<:t<.b умень-
шаемое равно единице, а вычитаемое еще равно нулю, и, следовательно, вся
61] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОНТУРНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ 229
разность равна единице. Наконец, при t <.а и уменьшаемое и вычитаемое
равны единице, а вся разность обращается в нуль, так что мы действительно
получаем функцию C2). График этой функции указан на рис. 57.
Рассмотрим теперь функцию, которая равна нулю при ?<0, а затем,
начиная с ? = 0, убывает по показательному закону от значения, равного
единице:
cPl@ = 0 (*<0); b(t)=e-*t (*>0, <х>0). C4)
График этой функции изображен на рис. 58. Нетрудно проверить, что
эта функция может быть представлена контурным интегралом вида
+00
где контур интегрирования идет по вещественной оси. Доказательство этой
формулы будет буквально таким же, как и для формулы B9). В данном
случае только вычет функции
z—i<x
в полюсе z = ioL будет ра'вен e~at.
Рассмотрим наконец функцию, равную нулю при КО и представляю-
щуюся синусоидой при ?>0 (рис. 59):
. J
^i (t) = sin at при t > 0 (a — вещественно)
Так же, как и выше, нетрудно показать, что эту последнюю функцию
можно представить в виде контур-
ного интеграла
[
[1
C7)
Г\
\у
где контур интегрирования идет
по вещественной оси и обходит
полюс z = а подинтегральной функ-
ции. В данном случае вычет под-
интегральной функции в этом
полюсе будет равен
,, Рис. 59.
ettn __ cos ^ -j- t sin at,
так что, отделяя вещественную часть, мы и получаем формулу C7).
Иногда выведенные формулы пишут в другом виде, а именно применяют
интегрирование не по вещественной, а по мнимой оси, причем обход полюса
совершается с правой стороны, т. е. с той стороны от мнимой оси, где ве-
щественная часть комплексного числа положительна. Чтобы получить этот
новый контур интегрирования, достаточно повернуть плоскость вокруг начала
на угол -у против часовой стрелки, т. е. ввести вместо z новую переменную
z' по формуле z's=ziz или г = —г\ Вводя эту новую переменную, мы вместо
230 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [62
формулы B9) будем иметь
Итг'* B9>
Э формуле C5) мы будем иметь значение ia уже не на мнимой оси,
а на отрицательной части вещественной оси, и таким образом получим для
функций <рд (t) представление вида
Srpr C5'>
—ooi
Точно так же для функции tyt (t) будем иметь представление вида
Содержание настоящего номера непосредственно связано с так называемым*
преобразованием Лапласа, о котором мы будем говорить в томе IV.
02, Примеры интегралов от многозначных функций. Рассмотрим не-
которые примеры, когда под знаком интеграла стоят многозначные функции
комплексного переменного. В качестве первого примера возьмем интеграл
z)*-*Q(z)d9, C8)
где а — некоторое вещественное число и Q (z)— рациональная функция,,
такая, что zaQ(z)-+ 0, если 2 — 0 или з — оо. Подинтегральная функция
будет многозначной, так как при обходе точки z = 0 против часовой стрелки
(—z) совершает такой же обход, и, следовательно, аргумент этого выраже-
ния приобретает слагаемое 2п; само это выражение приобретает множи*
тель е2*1, и (—z)a~l в результате обхода будет иметь вид (—z)a~ie%ka~l)'Ki9.
т, е. в данном случае функция приобретает множитель e2{a~l)ni, отличный
от единицы, если а не це^оё число. Таким образом, начало координат является
точкой разветвления нашей подинтегральной функции. Чтобы сделать функ-
цию однозначнфй, проведем из точки 2 = 0 разрез вдоль положительной
части вещественной оси. На разрезанной таким образом плоскости Т наша
подинтегральная функция будет уже однозначной, и, чтобы определить ее
вполне, нам надо задать аргумент (—z) в какой-либо точке плоскости Г.
Согласимся, например, считать, что на верхнем берегу разреза, где z поло-
жительно, аргумент отрицательного числа (—г) равен (—п). При обходе по
замкнутому контуру вокруг начала мы попадаем с верхнего берега разреза
на нижний, причем аргумент (—г) получает дополнительное слагаемое 2л,
так что мы должны считать на нижнем берегу разреза аргумент (—z) рав*
ным я. Обозначая модуль величины z через х, будем иметь
(— z) = хе~г* на верхнем берегу,
(— z) = xein на нижнем берегу
и, следовательно,
(— г)*-1 = Xй"хе~1 ка~" * на верхнем берегу,
(-2)в-^^:^|в-1115 на щщнем берегу, * *
ПРИМЕРЫ ИНТЕГРАЛОВ ОТ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
231
Выберем теперь контур / интегрирования для интеграла C8). Возьмем
за контур интегрирования замкнутую кривую, состоящую из следующих
четырех частей: отрезка (е, R) верхнего берега разреза, окружности С^
с центром в начале и радиусом R,
пробегаемой против часовой стрел-
ки, отрезка (/?, е) нижнего берега
разреза и, наконец, окружности Св
с центром в начале и радиусом е,
пробегаемой по часовой стрелке
(рис. 60). Чтобы иметь возмож-
ность интегрировать по положи-
тельной части вещественной оси,
будем предполагать, что рацио-
нальная дробь Q (z) не имеет по-
люсов на положительной части
вещественной оси. Согласно основ-
ной теореме о вычетах, величина
интеграла C8) будет равна про-
изведению 2ш на сумму вычетов
подинтегральной функции относи-
тельно всех полюсов рациональ-
ной дроби Q (z), которые будут
в то же время и полюсами для
подинтегральной функции. Мы при
этом считаем, что е взято на-
столько малым и R настолько
большим, что все упомянутые полюсы находятся внутри области, ограничен-
лой нашим контуром интегрирования. Покажем теперь, что интегралы по
окружностям С# и Се стремятся к нулю при R—»co и е -+ 0. Действительно,
применяя обычную оценку, будем иметь
Рис. 60.
(— z)a~lQ (г) dz
^ 2tzR • Ra~l max | Q (z) | = 2izRa max | Q (z) |.
на С
на С г
Но по условию zaQ(z)-+0 при |z|-*oo, и, следовательно, выражение,
-стоящее справа, действительно стремится к нулю при R — co. Точно так же
ла окружности Cs будем иметь оценку
"<2iceflmax|Q(z)|,
наСв
итак как по условию zaQ(z)—+0 при z—-0, то последнее выражение
также стремится к нулю при е—*0. Таким образом, в пределе у нас оста-
нутся лишь интегралы по верхнему и нижнему берегам разреза, причем
значение подинтегральной функции на этих двух берегах определяется по
формулам C9), и это дает нам следующую формулу:
R
(x) — xa-lein{a-l)Q(x)]dx = 2TilJ]ri
тде через %г мы обозначили сумму вычетов функции (—z)a~lQ (z) относи-
тельно всех ее полюсов, лежащих на конечном.расстоянии.
Принимая во внимание, что e~iK = eiK = —1, можно переписать преды-
дущую формулу в виде
00
xa-iQ
232 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ F2
или (согласно формулам Эйлера)
D0)
Формула D0) дает возможность вычислить многие определенные инте-
гралы, для которых первообразная функция не выражается в конечном виде.
Напомним еще раз те условия, которым должна подчиняться функция Q (z)
для того, чтобы эта формула имела место. Функция Q (z) должна бить
рациональной дробью, которая не имеет полюсов на положительной
части вещественной оси и, кроме того, удовлетворяет условиям:
z?Q (z) — 0 при z — 0 и z-oo.
Рассмотрим в качестве частного примера интеграл
dx @<в<1). D1)
В данном случае, как нетрудно видеть, функция
удовлетворяет всем поставленным выше условиям и имеет единственный
цолюс 2 =—1. В этом полюсе функция
будет иметь вычет, который вычисляется по правилу: числитель делить на
производную от знаменателя, т. е. этот вычет будет равен
Заметим, что при вычислении значения функции (—z)a~l в точке z = — 1,
мы должны руководиться тем определением этой многозначной функции,
которое было дано выше, а именно на верхнем берегу разреза аргумент (—z)
равен (—я), и, следовательно, при полуобходе вокруг начала на отрица-
тельной части вещественной оси аргумент (—z) будет равен нулю. Иначе
говоря,
г=1.
Окончательно для интеграла D1), согласно формуле D0), получаем сле-
дующее значение:
an
D2)
В качестве следующего примера интеграла от многозначной функции
возьмем
D3)
62] ПРИМЕРЫ ИНТЕГРАЛОВ ОТ МНОГОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ 233
причем мы считаем, что трехчлен А + 2 1—^ имеет вещественные коэф-
фициенты и вещественные различные корни z = zt и 2 = z2, где 0<21<z2.
Будем считать, кроме того, что А < О, откуда непосредственно следует,
что трехчлен будет положительным при zt < z < z2. В D3) интегрирование
совершается но отрезку Zi^z^z2 вещественной оси, и радикал считается
положительным на этом отрезке. Подинтегральная функция
будет иметь в точках zt и z2 точки разветвления первого порядка. Если мы
проведем разрез вдоль отрезка (zlf z2) вещественной оси, то функция D4)
будет регулярной и однозначной на разрезанной таким образом плоскости
Т [19].
Будем считать радикал положительным на нижнем берегу разреза. Чтобы
попасть на верхний берег, мы должны обойти одну из точек разветвления,
и на этом верхнем берегу радикал будет иметь отрицательное значение [19].
Возьмем наш интеграл по всему контуру разреза в положительном направ-
лении, т. е. возьмем интеграл от функции D4) по нижнему берегу в на-
правлении от Zj к z2 и по верхнему берегу в направлении от z2 к zv Пер-
вая часть этого интеграла даст нам, очевидно, интеграл D3). При интегри-
ровании по верхнему берегу подинтегральная функция изменит знак, но и
направление интегрирования перейдет в противоположное, и, следовательно,
величина интеграла по верхнему берегу будет такой же, что и по нижнему,
т. е. величина интеграла по всему контуру разреза будет равна удвоенной
величине интеграла D3).
Согласно теореме Коши, мы можем, не меняя величины интеграла, не-
прерывно деформировать наш замкнутый контур при условии не выходить
из той области, где функция D4) регулярна. Если / — какой-либо замкнутый
контур, содержащий внутри себя упомянутый выше разрез, и такой, что
точка z = 0, являющаяся полюсом функции D4), находится вне /, то из преды-
дущих рассуждений следует
<• - / Z~B С~
+ 2~z~ + Vdz' D5)
Определим теперь вид разложения функции D4) вблизи 2 = сои2 = 0.
В первом случае мы можем написать
и, применяя формулу бинома Ньютона, получим
4) D6)
Определим значение радикала У А в этой формуле. Обратимся для этого
к правой части формулы D4). Она по условию положительна на нижнем
берегу отрезка (ги z2). Для того чтобы с этого нижнего берега попасть на
отрезок (z2, -f- со) вещественной оси, надо обойти точку z = z2 против часо-
вой стрелки. При этом аргумент разности (z — z2) увеличится на те, а аргу-
мент выражения D4) — на -д-, т. е. вместо нуля этот аргумент станет
234 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТО. [6$
равным -^-. Иначе говоря, функцию D4) надо считать положительно мнимой
на отрезке (z2, + со) вещественной оси. (Положительно мнимым мы назы-
ваем число ai при а > 0.) Из D6) при этом следует, что радикал У А надо
считать положительно мнимым.
Совершенно так же, чтобы попасть с нижнего берега отрезка (zlt z2) на
отрезок @, 2j), надо обойти точку z = zt по часовой стрелке, и после такогб
обхода аргумент выражения D4) будет (—^-)» т- е- 9Т0 выражение будет
отрицательно мнимым на отрезке @, zx).
Напишем теперь разложение функции D4) вблизи z = 0:
или, согласно биному Ньютона,
и, согласно предыдущим рассуждениям, УС надо считать отрицательно мни-
мым. Напомним, что по условию Л<0 и из равенства z2>z1;>0 вытекает,
что и С<0.
Согласно теореме Коши, интеграл от функции D4) по большому замкну-
тому контуру L в окрестности z== со равен сумме интегралов по контуру
/, упомянутому выше, и по контуру X, обходящему вокруг 2 = 0, причем
каждый из интегралов берется против часовой стрелки. Интегралы по L и X
равны произведению 2%i на коэффициент при z в разложениях D6) и D7),.
и, следовательно,
и фрмула D5) дает нам окончательно значение нашего интеграла D3):
D8)
63. Интегрирование системы линейных уравнений с постоян-
ными коэффициентами. Изложим теперь применение теории вычетов
к задаче интегрирования системы линейных однородных уравнений
с постоянными коэффициентами. Рассмотрим такую систему:
D9)
х[ = anxi -)- апх2 +... + а1пхПУ
= anlXl -т- Я/*2*2 + •••"!" аппхп>
Щ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 235
где aik — постоянные коэффициенты и через x's мы обозначили про-
изводные от искомых функций xs по независимой переменной к
Будем искать решение этой системы в следующем виде:
¦** = 5>t(*)«" (* = 1, 2, •.., п\ F0)
где <рДг) суть искомые рациональные функции от z, и символом
тлы обозначаем здесь и в дальнейшем сумму вычетов функции /(г)
относительно всех особых точек, лежащих на конечном расстоянии.
В формулах E0) функции, стоящие под знаком суммы вычетов,
зависят не только от комплексного переменного г, относительно
которого и рассчитываем вычеты, но и от вещественного параметра t,
так что и сумма вычетов будет, вообще говоря, функцией этого
параметра к Так как z и t совершенно независимы между собой,
то можно при дифференцировании функции E0) по t производить
дифференцирование под знаком суммы вычетов, т. е. мы будем иметь
один и тот же результат, если сначала продифференцируем функцию
?,(*)«" E1)
тто t и потом возьмем сумму ее вычетов, или если сначала возьмем
сумму вычетов функции E1), а затем полученный результат продиф-
ференцируем по к Таким образом, наряду с формулами E0), имеем
.и следующие формулы:
x's = 2 zb (z) etz (s = 1, 2, ..., n). E2)
R
Подставим все это в нашу систему D9) и соберем все члены
в одну часть:
Ц[(flu — г)<р, (z) + апЪ(?) + ... + aln<?n(z)] eu = 0,
R
Эти равенства будут наверно удовлетворены, если мы прирав-
няем выражения, стоящие в квадратных скобках, произвольным
236
ГЛ. ИГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[63
постоянным, так как при этом под знаком суммы вычетов мы будем
иметь функции вида Cetz, которые не имеют вовсе особых точек на
конечном расстоянии. Обозначая упомянутые произвольные посто-
янные через — Q, — С2,..., — Ст получим для определения функ-
ций <p5(z) систему обыкновенных алгебраических уравнений первой
степени
(ап — z) ср! (z) + ai2<p2 (z) + • -. + ainVn (z) = — сь
z) cp2 (z) +... -f- а^п (z) = —Cb
— z) срл
== — СЛ
Будем решать эту систему по формулам Крамера
где
ап — z,
а1п
E4)
и А5(г) получается заменой в определителе A (z) элементов 5-го
столбца свободными членами (— Ck). Заметим, что определитель A (z)
представляет собою левую часть известного нам векового уравнения
[IHi, 17]. Остается теперь подставить выражения E3) в формулу E0).
Произведя указанные подстановки, найдем решение нашей системы
в виде
(s=l>
где значения A (z) и А5 (z) объяснены выше.
Покажем теперь, что полученное нами решение удовлетворяет
начальным условиям
.x"i|/=o = Q; лг21/=о = С2; ...; xn\t=o = Cn. E6)
Проверим это лишь для Х\. Имеем
Знаменатель написанной дроби определяется по формуле E4) и
представляет собою, очевидно, полином степени п со старшим
631 ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 237
членом (— 1)" z\ Числитель дроби, входящей в формулу E7), будет
иметь вид
— d, an, ..., а1п
— Qj> #22 — 2, • • • > аъп
— <-л> апЪ ..., апп — z
Раскрывая по элементам первого столбца, нетрудно убедиться, что
это будет полином степени {п—1) со старшим членом (—\)п CiZn~x>
и, таким образом, можно переписать формулу E7) в виде
где точками мы обозначили члены полиномов низшей степени, кото-
рые в дальнейших вычислениях никакой роли играть не будут.
Установим теперь некоторое общее предложение, касающееся
суммы вычетов рациональной дроби.
Лемма. Сумма вычетов рациональной дроби относительно
ее полюсов, лежащих на конечном расстоянии, равна коэффициенту
при z~x в разложении рациональной дроби в окрестности беско-
нечно далекой точки.
Действительно, положим, что наша рациональная дробь имеет
в окрестности бесконечно далекой точки разложение вида
/(*) = !!****• E9)
k
Рассмотрим интеграл
где Q?—окружность с центром в начале и радиусом /?. При доста-
точно большом R все полюсы f(z) будут находиться внутри С^>
и интеграл будет давать сумму вычетов в этих полюсах. С другой
стороны, при достаточно больших R окружность С# будет нахо-
диться в окрестности бесконечно далекой точки, и мы можем для
вычисления интеграла применить разложение E9), откуда будет не-
посредственно следовать, что величина этого интеграла равна Ь_ъ
что и доказывает лемму.
Замечание. Выше [17] мы назвали коэффициент Ъ_х в разло-
жении E9) с обратным знаком вычетом функции f(z) в бесконечно
далекой точке, т. е. этот вычет считаем равным (—Ь_{). Поэтому
нашу лемму можно формулировать следующим образом: сумма вы-
четов рациональной дроби во всех ее полюсах, включая и беско-
нечно далекую точку, равна нулю.
238
ГЛ. ИГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[63
Применим теперь доказанную лемму к выражению E8). Заметим,
что в окрестности бесконечно далекой точки мы имеем очевидное
для написанной дроби разложение вида
(-\)»Clz«-l + ... _Ct ¦ ft2 ,
(_l)«2«-f ... Z ' Z* ' "• '
и доказанная лемма дает нам непосредственно Jti |,_0 = d, точно
так же можно показать, что xs |^> = Cs. Итак, решение, даваемое
формулой E5), удовлетворяет начальным условиям E6), т. е. про-
извольные постоянные С,, входящие в полиномы А5(г), играют роль
начальных условий. Отсюда непосредственно следует, что наши фор-
мулы E5) дают общий интеграл системы.
Пример. Рассмотрим систему
= Х1
В данном случае
— z>
1,
1,
1,
1,
1
1
— 2>
или
и для первой из искомых функций получим формулу
— Си 1,
Xt =
— С2, —
1, —
o7«"
или, разлагая определитель и сокращая на (l+z),
;l(l— г) — сш — С9
аг,=
Знаменатель имеет корни z==—1 и 2 = 2. Определяя вычеты в этих
точках по обычному правилу: числитель на производную от знаменателя,
получим
Заметим, что в данном случае полином Д (г) имеет двойной корень
z = — 1, и все же в выражении лг4 множитель при е~* представляет собою
не полином первой степени от t% но просто постоянную.
63] ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 239
В случае системы неоднородных уравнений (вынужденные коле-
бания)
f) E=1, 2,..., п\ F0)
где fs(t)—заданные функции от t, надо искать решение в виде
^ _ V Сд (t) Als (z) + - + С„ (t) Ans (z) tz
x* —Zt Ajzj e »
где Aik(z)—алгебраические дополнения элементов определителя
и ?&@— искомые функции t (метод вариации произвольных по-
стоянных) [II, 26]. Подставляя F1) в F0) и принимая во внимание,
что при произвольных постоянных Ck формулы F1) дают реше-
ние однородной системы, получим уравнения для производных C'k(t):
t)Ans(z) u_f
E=1, 2,..., n). F2)
Покажем, что мы можем удовлетворить этой системе, полагая
С; @ = e~tzU @5 ¦ ¦. ; С @ = e~tzfn (t). F3)
Действительно, подставляя, получим в левой части F2)
t)Ans(z)
# ( }
Если / ^ ^, то при образовании алгебраического дополнения
Aik(z) будут вычеркнуты два элемента (пц — z) и (akk — z\ стоящие
на главной диагонали определителя А (.г), и, следовательно, Aik(z)
будет полиномом степени (п — 2) от z. В силу доказанной выше
леммы
ибо разложение Aik(z):&(z) в окрестности бесконечности начнется
с члена -f и> следовательно, не будет содержать члена с гг1.
Алгебраическое дополнение Ац(г) будет полиномом (п—1)-й
степени со старшим коэффициентом (—l)"^1 (см. выше) и, сле-
довательно,
V Аи (z) «
Z АB) - •
240 ГЛ. ПГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [64
Из этого непосредственно следует, что предыдущие выражения
F4) равны fs{t). Формулы для Ck(t) дают
t
Ck (t) = \ e-'zfk (т) dx (ft = 1, 2, ... , n\ F5)
о
причем мы выбираем постоянную интегрирования так, чтобы СА@) =
= 0 (чисто вынужденные колебания).
Подставляя в F1), получаем окончательно
( W Ам (г) c(t
64. Разложение дробной функции на простейшие дроби. Мы
применим сейчас основную теорему о вычетах к задаче разложения
функции в бесконечный ряд. Пусть f(z) — функция, регулярная и
однозначная на всей плоскости, кроме отдельных изолированных
точек, которые являются ее полюсами. Такая функция называется
обычно дробной, или мероморфной функцией. Примером дробной
функции является рациональная дробь. В качестве второго примера
приведем функцию ctgz = -—, которая имеет своими полюсами те
sin z
точки, где sin г обращается в нуль.
Последняя мероморфная функция имеет бесчисленное множество
полюсов. Заметим, что если мероморфная функция имеет бесчислен-
ное множество полюсов, то во всякой ограниченной части В плоскости
их должно быть во всяком случае конечное число. Действительно,
в противном случае мы имели бы в В хоть одну предельную точку
этих полюсов, т. е. такую точку z = c, что в любом малом круге
с центром z = c находится бесчисленное множество полюсов функ-
ции f(z). Эта точка z = c была бы особой точкой f(z\ отличной
от полюса, так как из определения [17] полюса вытекает, что он
должен быть изолированной особой точкой. Но, по условию, f(z)
не имеет других особых точек, кроме полюсов. Раз в любой огра-
ниченной части плоскости полюсов конечное число, то мы можем
их пронумеровать в порядке неубывающего модуля, так что, обозна-
чая полюсы через akf будем иметь
причем ] ап \ -> -|~ °° ПРИ беспредельном возрастании п. В каждом
полюсе z = ak наша функция будет иметь определенную бесконечную
часть, которая будет представлять собою полином относительно аргу-
мента без свободного члена Г171. Обозначим этот полином через
[ (*=1.2,...). F6)
64] РАЗЛОЖЕНИЕ ДРОБНОЙ ФУНКЦИИ 241
Покажем теперь, что при некоторых дополнительных предполо-
жениях дробная функция f(z) представляется простым бесконечным
рядом, члены которого выражаются через бесконечные части F6).
Формулируем то условие, которое мы налагаем на функцию f(z).
Положим, что имеется последовательность замкнутых контуррв Сп,
обходящих вокруг начала, и таких, что всякий контур Сп находится
внутри Сл+1. Пусть 1п — длина контура Сп и Ьп — его кратчайшее
расстояние от начала. Мы будем считать, что Ьп—^оо, т. е. что
контуры Сп при увеличении п беспредельно расширяются по всем
направлениям. Кроме того, будем считать, что отношение 1п'Лп
остается ограниченным при беспредельном увеличении пу т. е. суще-
ствует такое положительное число т> что
lf<,m. F7)
Если, например, Сп суть окружности с центром в начале и ра-
диусом гп, то /л = 2тсгл и Ъп = гп> так что 1п:Ъп = 2ъ. Предположим
теперь относительно нашей дробной функции f(z\ что она остается
ограниченной по модулю на всех контурах Сп, т. е., иными сло-
вами, существует такое положительное число М, что на любом
контуре Сп выполняется неравенство
|/(*)|<Л! (на Сп). F8)
Рассмотрим интеграл вида
где интегрирование совершается в положительном направлении,
а точка z находится внутри Сп и отлична от ak. Введем в рассмотре-
ние сумму бесконечных частей, относящуюся к тем полюсам ak>
которые лежат внутри Сп:
2
(Сп)
где знак (С„), помещенный внизу знака суммы, обозначает, что сум-
мирование надо производить лишь по тем полюсам, которые нахо-
дятся внутри Сп.
Подинтегральная функция интеграла F9), как функция от z\
имеет внутри Сп простой полюс z' = z, происходящий от обраще-
ния в нуль знаменателя, и полюсы z' = akt происходящие от беско-
нечных частей f(zr). Вычет в полюсе z' = z определяется по пра-
вилу: числитель на производную от знаменателя:
z' =
242 ГЛ. Ш. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [64
Вычеты в полюсах z' = ak будут такими же, что и у функции
^. G1)
В.этой последней функции <*>n(z') представляет собою рациональ-
ную дробь, у которой степень числителя ниже степени знаменателя
и все полюсы которой находятся внутри Сп. Покажем, что при этом
сумма вычетов функции G1) относительно полюсов ak будет
_ а)Л (г) = — У Ok (—}—). G2)
v i-J \г — akj v '
(cn)
Действительно, функция G1) есть рациональная дробь от z\
у которой степень знаменателя по крайней мере на две единицы
выше степени числителя, так как ^„(г') есть уже рациональная
дробь, у которой степень знаменателя выше степени числителя.
В окрестности z' = oo мы имеем, следовательно, разложение вида
и интеграл по окружности достаточно большого радиуса от функ-
ции G1) будет равен нулю, т. е. будет равна нулю сумма вычетов
функции G1) во всех ее полюсах, находящихся на конечном расстоя-
нии. Ее вычет в точке z' = z равен, очевидно, &n(z), и, следовательно,
сумма вычетов в остальных полюсах ak равна выражению G2). При-
меняя к интегралу F9) основную теорему Ь вычетах, получим
2
Положим в этой формуле z = 0, причем мы считаем, что эта
точка г = 0 не есть полюс f(z):
2
(Сп)
Вычитая это равенство из предыдущего, будем иметь
\ ^
Покажем теперь, что интеграл, стоящий в левой части последнего
равенства, стремится к нулю при беспредельном возрастании п. Дей-
ствительно, принимал во внимание, что
и \*-
<Ц] РАЗЛОЖЕНИЕ ДРОБНОЙ ФУНКЦИИ
получим в силу F8)
dz'
243
*'(*'-*)
Mln
или в силу F7)
С f<f) for
с.
откуда непосредственно вытекает, что интеграл стремится к нулю,
так как Ъп-+оо. Таким образом, формула G3) дает в пределе
-/№- ш.
ft.)
ИЛИ
Jim У [((.(
)
G4)
При беспредельном увеличении п контур Сп по условию беспре-
дельно расширяется, и внутрь Сп попадают все новые и новые по-
люсы akt так что в пределе будем иметь в правой части G4) бес-
конечный ряд, и формула G4) дает представление f(z) в виде бес-
конечного ряда
G5)
Строго говоря, мы должны, согласно G4), в бесконечном ряде G5)
соединять в один член те слагаемые, которые относятся к полюсам,
лежащим между Сп и С„+1. Но если мы убедимся, что ряд G5)
сходится и без такой группировки его членов, то можем, очевидно,
рассматривать в формуле G5) бесконечный ряд обычным образом.
Если вместо условия F8), которое утверждает ограниченность
модуля функции f(z) на контурах СПУ мы имеем более широкое
условие, а именно условие, что f(z) на контурах Сп растет не
быстрее некоторой целой положительной степени zpy т. е. что на
всех контурах Сп имеет место неравенство
/(г)
zP
\М (на Сп\
то вместо формулы G5) будет иметь место следующая формула
разложения:
G6)
244
ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[65
где символом ^ (z) мы обозначили первые р-\-\ членов разложения
функции Gk
— ak
в ряд Маклорена.
65. Функция ctg г. Рассмотрим дробную функцию
cos z
Из формулы Эйлера
ctgz =
sin z'
eiz e-iz
G7)
непосредственно следует, что уравнение sin 2 = 0 равносильно е12г=\,и оно
имеет корни z== kn (k = 0, ± 1, ± 2, ...), т. е. sin z имеет лишь веществен-
ные корни, хорошо известные из
тригонометрии. Функция G7) будет
иметь полюсы в точках
2 = 0, ±п, ±:2тг,... G8)
Покажем, что функция G7) будет
ограниченной по модулю на всей
плоскости, если мы выделим из пло-
скости точки G8) кружками Хр одного
и того же радиуса р, где р — произ-
вольное, заданное положительное
число. Так как функция G7) имеет
период 7г, то достаточно рассмотреть
ее значения в полосе /С, ограничен-
ной прямыми л: = 0 и х = п (рис. 61),
причем в этой полосе точки 2 = 0 и
2 = тс выделены упомянутыми выше
кружками радиуса р с центром в этих
точках. Во всякой ограниченной части
полосы К функция G7) непрерывна,
а следовательно, и подавно ограни-
чена. Нам остается, следовательно,
показать, что при беспредельном уда-
лении на ползсе наверх или вниз, модуль функции G7) остается ограничен-
ным. Положим, например, что мы удаляемся в полосе К на бесконечность,
идя кверху, т. е. если положить z = x -\- iy, то у —> -f- со, а х находится
в промежутке О^лт^я. Мы имеем
. eiz + e~iz . eixe~y + е~1*ёУ
ctg z = i ' —' '
Рис. 61.
eiz (
eixe~y _ e-ixey
откуда, заменяя модуль числителя суммою модулей, а модуль знаменателя
разностью модулей, будем иметь
I ctg
е~У
При беспредельном возрастании у правая часть стремится к пределу
единица и, следовательно, при всех достаточно больших у мы имеем, напри-
мер, неравенство
Ictg2|< 1,5.
65) ФУНКЦИЯ cigz 245
Точно так же можно рассмотреть и нижнюю часть полосы К, и таким
образом наше утверждение доказано.
Заметим, что такое же доказательство можно применить к дробной
функции
-J—, G9)
которая имеет полюсы в тех же точках и обладает периодом 2тс, т. е. функ-
ция G9) будет ограниченной по модулю, если выделить ее полюсы кружками
одного и того же радиуса, величину которого можно брать произвольна
малой.
Вернемся к функции G7) и примем за контуры Сп окружности с центром
в начале координат и радиусами (я + -«-)я. Эти окружности удовлетворяют
условию F7). Кроме того, взяв р достаточно малым (например, меньше ^) *
можем утверждать, что окружности Сп не будут проходить через выделен-
ные из плоскости кружки Ар, и, таким образом, в силу доказанного выше,
на этих окружностях функция G7) будет ограниченной по модулю. То же
самое можно, очевидно, утверждать и относительно функции
l, (80)
так как г'1 стремится к нулю при г—*со. Нетрудно видеть, что функция (80)
уже не имеет полюса в начале 2 = 0, а поэтому мы можем применить к этой
функции разложение G5). Определим бесконечные части функции G7) в ее
полюсах z = kn. Каждый се полюс будет простым корнем sin z и вычет в этом
полюсе будет вычисляться по обычной формуле
cos z
rk = :
1
(sin z)'
Таким образом, бесконечная часть функции G7) в полюсе z = kn будет
В частности, в полюсе 2 = 0 бесконечная часть будет 2, а следова-
тельно, действительно функция (80) не будет уже иметь полюса 2 = 0. Что же
касается остальных полюсов 2 =/to, то у функции (80) бесконечная часть
будет такой же, как у G7). Для применения формулы G5) остается еще
вычислить/@). Функция (80), как нечетная функция, имеет вблизи 2 = 0
разложение вида
/B)=Т12 + Тзг3 + ...,
откуда непосредственно вытекает, что /@) = 0. Окончательно формула G5)
дает
где штрих у знака суммы показывает, что надо исключить слагаемое, соот-
ветствующее k = 0.
Нетрудно проверить, что ряд, стоящий справа, сходится абсолютно
и равномерно во всякой ограниченной части плоскости, если отбросить
несколько первых слагаемых, которые имеют в этой части плоскости полюсы.
Действительно, общий член ряда будет
2
B — kn)kn*
246 ГЛ. ИТ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [66
Во всякой ограниченной части плоскости мы имеем \г\-<М, и, считая k
достаточно большим по абсолютному значению, можем написать
1 М
I (Z &7C) kn k2 1Z (ТС Mk l) '
Коэффициент при -r-t при возрастании k стремится к конечному пре-
делу —а, а ряд
f
У -
как известно, сходится. Следовательно, ряд (81) сходится абсолютно и рав-
номерно в любой ограниченной части плоскости.
Если в формуле (81) заменим г на кг, то эта формула перепишется сле-
дующим образом:
f
.с*«,-1+ f (^ + |). (81.)
Группируя попарно слагаемые, относящиеся к значениям kt одинаковым
по абсолютной величине, но различным по знаку, мы можем переписать эту
формулу следующим образом:
Точно так же можно доказать, например, формулу
п 1 ,
l)*U — k+ k)'
Дифференцируя равномерно сходящийся ряд (8^), будем иметь также
формулу
sin
±, у _L__ V 1
Напомним, что выведенные выше формулы были нами получены другим
путем в теории тригонометрических рядов [И, 157].
66. Построение мероморфной функции. Займемся сейчас задачей
построения мероморфной функции, если заданы ее полюсы ak и бесконечные
части
**\7=Тк) (*=1, 2, ...) (82)
в этих полюсах. Если задано лишь конечное число полюсов аЛ (&= 1,2,..., п),
то функция
п
66] построение мероморфной функции 247
будет давать очевидное решение задачи, причем написанная функция пред-
ставляет собою рациональную дробь. Положим теперь, что нам дано бес-
численное множество полюсов а^ и соответствующих бесконечных частей.
Как мы видели [64], во всякой ограниченной части плоскости должно быть
лишь конечное число полюсов, и их можно пронумеровать в порядке неубы-
вающих модулей, т. е.
|e,|^|e.|^... (KI- + OO).
Никаких других ограничений на расположение полюсов или задание
бесконечных частей не предполагается. Считаем только, что среди полюсов
нет полюса 2 = 0.
Каждая бесконечная часть (82) представляет собою функцию, регулярную
внутри круга |z|<|afc|, и внутри этого круга она разлагается в ряд
Маклорена:
ft \j=r) = °вА) + at)z + <)г* + ". < M < I«» I )• (83)
Возьмем какую-нибудь последовательность положительных чисел tkt обра-
зующих сходящийся ряд:
2 «ft-
Ввиду равномерной сходимости степенного ряда (83) в круге [13]
мы можем взять такой отрезок этого ряда
qk {,) = « + а\% + afV + ... + * А
ЧТО
|() г|^1|ал|. (85)
Составим ряд
00
-2 [ft(izr^)-
и рассмотрим любой круг CR с центром в начале и радиусом R. В силу
1лл|—* + °° существует такое Л^, что R^~2\ak\ ПРИ k">N, и при таких
значениях k в круге С# имеет место оценка (85), и, следовательно, в силу
сходимости ряда (84), ряд (86) сходится в С# абсолютно и равномерно, если
отбросить в нем первые N слагаемых. Эти первые слагаемые дадут в круге С%
полюсы а^ с бесконечными частями (82). Абсолютно и равномерно сходя-
щийся ряд даст функцию, регулярную в С^. Ввиду произвольности радиуса /<
.в этих рассуждениях, мы видим, что сумма (86) решает поставленную задачу
о построении мероморфной функции по заданным полюсам и бесконечным
частям. Заметим при этом, что полиномы qk (г) никаких новых особенностей
не добавляют.
Если задан еще полюс z = 0 с бесконечной частью
¦И-
248 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [67
то достаточно добавить эту бесконечную часть к ряду (86). Приведенное
решение задачи принадлежит шведскому математику Миттаг-Леффлеру.
В [64] мы дали формулу разложения мероморфной функции на простей-
шие дроби при некоторых дополнительных предположениях. Сейчас дадим
аналогичную формулу в общем случае.
Пусть / (z) — некоторая мероморфная функция. Пользуясь вышеуказан-
ным методом, можно построить мероморфную функцию со (z), которая имела
бы те же полюсы с теми же бесконечными частями, что и /(z). Эта меро-
морфная функция <р (z) будет выражаться формулой вида (86). Разность
f(z) — ср (z) будет, очевидно, функцией, регулярной на всей плоскости (кроме
2 = оо). Такая функция называется целой функцией. Она представима
на всей плоскости своим рядом Маклорена. Обозначая
f(z)-^(z) = F(z),
лолучим следующее представление мероморфной функции:
со
/(*) = /> (z) + g, A) + 2 [ft (j^A - Яь (*)], (87)
где F (г)— некоторая целая функиия. Эта последняя формула имеет больше
теоретический интерес, тогда как формулами G5) и G6) удобно пользоваться
в конкретных примерах. Если считать F (г)— любой целой функцией, то (87)
дает общую формулу для всех мероморфных функций с заданными полюсами
и бесконечными частями.
67. Целые функции. Как мы упоминали, целой функцией назы-
вается функция, регулярная на всей плоскости. Она представима
на всей плоскости рядом Маклорена. Если этот ряд обрывается, то
функция есть просто полином. В противном случае бесконечно дале-
кая точка будет существенно особой точкой нашей функции, и
в этом случае функция называется иногда целой трансцендентной
функцией. Функции ег и sin г представляют собою пример целых
трансцендентных функций. В дальнейшем мы будем пользоваться
просто термином — целая функция.
Как известно, всякий полином имеет корни. Таким свойством
может и не обладать целая функция. Так, например, ez вовсе не имеет
корней. Составим сейчас общее выражение для целых функций,
не имеющих корней. Пусть g(z)— некоторая целая функция. При
этом функция
/(*) = **(*> (88)
будет также, очевидно, целой и не будет иметь корней. Покажем
теперь наоборот, что всякая целая функция /(г), не имеющая кор-
ней, имеет вид (88), где g(z) есть некоторая целая функция, т. е.
формула (88), где g(z) есть произвольная целая функция, дает
общий вид целых функций f(z), не имеющих корней.
Раз целая функция f(z) не имеет корней, то функция
Г (*)
671 целые функции 24$
также будет целой. Интегрируя эту целую функцию, мы получаем
тоже целую функцию
g{z)=Ym **=
откуда и вытекает непосредственно (88).
Положим теперь, что целая функция f(z) имеет конечное число
корней, отличных от z = 0:
причем кратный корень выписывается столько раз, сколько единиц
содержится в его кратности. Отношение
где символ Y\ обозначает произведение, распространенное на все
целые значения А; от 1 до т, будет, очевидно, целой функцией
без корней, т. е. будет иметь вид (88). Мы получаем, таким обра-
зом, для нашей функции f(z) представление следующего вида:
(89>
где g(z)— некоторая целая функция.
Мы считаем при этом, что точка z = 0 не есть корень /(г). Если
эта точка будет корнем кратности /?, то вместо формулы (89) будем
иметь, очевидно, следующую формулу:
(\ (90).
В наиболее интересном случае, когда f(z) имеет бесчисленное
множество корней, уже нельзя применить непосредственно фор-
мулу (90), так как справа будет стоять бесконечное произведение,
которое может и не иметь смысла. Чтобы сделать это произведение
сходящимся, мы должны будем приписать к сомножителям (.1 -)
дополнительные множители показательного типа, которые, не вводя,
новых корней, сделают бесконечное произведение сходящимся.
Разберем это для случая функции sin г. Перепишем формулу (81):
,_ie 2' L-^+y.
250 ГЛ. TIT. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [68
При этом обе части будут регулярны в точке 2 = 0, и мы можем
почленно проинтегрировать бесконечный ряд от 2 = 0 до переменной точки 2.
Мы получим в результате такого интегрирования
0
Г* / «. ч i 2 \г=*г
, sin 2 l
1П
2
или, принимая главное значение логарифма в окрестности начала,
Отсюда, переходя от логарифма к числам, мы получаем представление
функции sin 2 в виде бесконечного произведения:
(?) (90
k = — 00
где штрих у знака произведения показывает, что надо исключить сомножи-
тель, соответствующий fe = O. В данном случае множители показательного
Z
типа eklz гарантируют сходимость бесконечного произведения.
Группируя попарно сомножители, соответствующие значениям /г, одинако-
вым по абсолютной величине, получим
^) <92>
Заменяя г на тс2, можем переписать формулу в следующем виде:
оо
sin Tzz
Для более тщательного выяснения вопроса о разложении целой функции
в бесконечное произведение нам надо выяснить некоторые основные факты,
касающиеся бесконечных произведений.
68. Бесконечные произведения. Рассмотрим бесконечное произ-
ведение
00
П сь=w* • • •» (94)
где ck суть некоторые комплексные числа, отличные от нуля. Поня-
тие о сходимости произведения (94) аналогично понятию о сходи-
мости ряда. Образуем конечные произведения:
п
.cm (95)
68] БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 251
Если при беспредельном возрастании п произведения Рп стремятся
к конечному пределу Р, отличному от нуля, то бесконечное произ-
ведение (94) называется сходящимся, и Р называется величиною
этого бесконечного произведения.
Если среди чисел ск находятся равные нулю, то бесконечнее
произведение (94) называется сходящимся, если после исключения
сомножителей, равных нулю, остается бесконечнее произведение,
сходящееся в указанном выше смысле. При этом величина бесконеч-
ного произведения, содержащего сомножители, равные нулю, счи-
тается равной нулю. Указанная выше оговорка о том, что предел Р
произведений Рп должен быть отличен от нуля, сделана для того,
чтобы бесконечные сходящиеся произведения обладали обычным
свойством конечного произведения, а именно — были равны нулю
тогда и только тогда, когда хоть один из множителей равен нулю.
Положим, что все члены произведения (94) отличны от нуля,
и составим бесконечный ряд
сю
2 In ck, (96)
k=\
где в каждом члене значение логарифма выбрано каким-нибудь
образом. Сумма первых п слагаемых ряда (96) будет
Sn=%\nck. (97)
Положим, что при некотором выборе значений логарифмов
ряд (96) сходится, т. е. что существует предел Sn-*S. Формула (95)
дает Рп=^е *, и, следовательно, существует предел Рп-+е , отлич-
ный от нуля, т. е. из сходимости ряда (96) вытекает сходимость
произведения (94). Положим теперь наоборот, что бесконечное про-
изведение (94) сходится, т, е. что существует предел Рп-*Р, отлич-
ный от нуля. Выберем для членов ряда (96) значение логарифмов
так, чтобь1 в правой части формулы (97) иметь всегда главное зна-
чение логарифма произведения с^ ... сп:
5я = 1п|^а ... <?я| + *arg(ел ... сп),
где
В данном случае Sn также будут стремиться к определенному
пределу, а именно:
lim Sn = In \Р | -f / arg P = In P,
и, следовательно, ряд (96) будет сходящимся.
Мы предполагаем при этом, что Р не есть вещественное отри-
цательное число, так что arg Р находится внутри промежутка (— тс, тс).
252 гл. ш. применение теории вычетов [68
В случае, когда Р есть отрицательное вещественное число, мы могли
<5ы выбирать аргументы так, чтобы arg(^a ... сп) заключался в про-
межутке @, 2тс). Доказательство осталось бы прежним.
Мы приходим таким образом к следующему общему предложе-
нию: если все числа ck отличны от нуля, то для сходимости
бесконечного произведения (94) необходимо и достаточно, чтобы
ряд (96) сходился при некотором выборе значений логарифма) при
этом величина бесконечного произведения будет
P = es. (98)
Общий член ряда (96) будет
и, принимая во внимание, что общий член сходящегося ряда должен
стремиться к нулю, мы должны во всяком случае иметь argc^->0,
т. е. ряд (96) может сходиться только в том случае, если, начиная
с некоторого места, будем брать главные значения логарифма.
Выбор значений логарифма в конечном числе первых слагаемых не
может, естественно, повлиять на сходимость ряда и добавит лишь
к сумме ряда (96) слагаемое вида 2//гтс/, где т — некоторое целое
число. Такое добавочное слагаемое у величины 5 не изменит, согласно
формуле (98), величины Р. Таким образом, упомянутый выше выбор
значений логарифмов у членов ряда (96) сводится к тому, чтобы,
начиная с некоторого определенного, но произвольно выбранного
места, брать главные значения логарифма.
Рассмотрим теперь бесконечное произведение, члены которого
суть целые функции от z:
F (z) = П "* (*) = «1 (*) •»«(*>••• (99)
Возьмем на плоскости z круг С% с центром в начале и некото-
рым радиусом R. Положим, что при любом выборе R члены uk(z),
начиная с некоторого значения k, уже не имеют корней в круге С#.
Пусть для определенности при заданном R это будет, начиная
с номера k = kQ (этот номер будет, вообще говоря, зависеть от R).
Рассмотрим бесконечный ряд
00
S(z)= 2 lnuk(z)f A00)
который перепишем следующим образом:
2 In »*(*)+ S lnirA(s)i A01)
Щ ПОСТРОЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ КОРНЯМ 253
Члены последней суммы суть регулярные однозначные в круге С%
функции, так как uk(z) не обращаются в этом круге в нуль. Поло-
жим, что при некотором выборе значений регулярных функций
\nuk(z) последний ряд равномерно сходится в круге С#. Обозначая
его сумму через /*0(.г), где Л0(<г) есть некоторая регулярная функ-
ция [12], мы будем иметь
00 kp-\
Д
Д
т. е. при этом (99) будет регулярной функцией в круге С# и корни
ее в этом круге будут определяться корнями членов uk(z) при k<C^k9.
Ввиду произвольности R мы можем утверждать вообще, что при
равномерной сходимости ряда A00) во всякой ограниченной части
плоскости (исключая несколько первых слагаемых, что не суще-
ственно) бесконечное произведение (99) будет сходиться на всей
плоскости, его величина будет целой функцией и корни этой целой
функции вполне определяются корнями сомножителей uk{z).
Дифференцируя равномерно сходящийся ряд A00), получим
= 2
НО
F(z) = es& и F(z) = S(z)F(z\
т. е.
A02)
Эта формула показывает, что в случае равномерной сходимости
ряда (ЮО) для бесконечного произведения (99) имеет место правило
дифференцирования A02), аналогичное правилу дифференцирования
конечного произведения.
69. Построение целой функции по ее корням. Пользуясь пре-
дыдущими соображениями, мы сможем построить целую функцию
по заданным ее корням. Заметим прежде всего, что корни целой
функции не могут иметь предельных точек на конечном расстоянии.
Если бы такая точка z = c существовала, т. е. если бы в любом
малом круге с центром z = c находилось бесчисленное множество
корней целой функции, то эта целая функция должна была бы тож-
дественно равняться нулю [18]. Повторяя рассуждения из [64], мы
убеждаемся, что во всяком случае корни ak целой функции могут
быть расположены в порядке неубывающего модуля:
254 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[69
причем |дл|->оо при я->оо. Заметим, что если некоторое число а
фигурирует q раз среди чисел ak, то это значит, что соответствую-
щий корень а должен быть корнем кратности q. Мы пока считаем,
кроме того, что z = 0 не участвует среди заданных чисел дЛ.
Ограничим нашу задачу рассмотрением одного частного случая,
наиболее важного в приложениях, а именно будем считать, что ak
настолько быстро удаляются на бесконечность, что существует такое
целое положительное число т> что ряд
Л = 1
есть ряд сходящийся. Мы будем считать
Построим бесконечное произведение
°° Z A-Lf Z "
n(fr 004)
и покажем, что оно будет удовлетворять всем условиям, указанным
в предыдущем номере. Рассмотрим некоторый круг С# Начиная
с некоторого значка k = kOy числа ak будут находиться вне круга С%,
так что при k^k0 члены произведения A04) не будут иметь кор-
ней в круге С# и для всякого z, принадлежащего СЯ) мы будем
иметь
|±| A05)
где & — определенное положительное число, меньшее единицы. Рас-
смотрим ряд A00) для данного случая:
+li +'" + W J A06)
J.
В силу A05) можно воспользоваться разложением логарифма
в степенной ряд и получим при таком выборе значения логарифма
для ряда A06) следующую формулу:
2^ Г l/g\m I B\
i L m\ak) m+1 \ak)
k
Исследуем общий член этого ряда
ПОСТРОЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ КОРНЯМ
Мы имеем, очевидно,
255
m
1
m-fl
или в силу A05), вынося за скобки —
ние, что в круге CR \z\^R
т
я*
m + i
— и принимая во внима-
т. е.
1 m A —Ь) \ak \m '
В силу сходимости ряда (ЮЗ) положительные числа, стоящие
в правой части последнего неравенства, образуют сходящийся ряд,
и, следовательно, ряд A06) будет сходиться абсолютно и равномерно
в круге С#. Таким образом, мы можем утверждать, что бесконечное
произведение A04) представляет собою целую функцию и что корни
этой целой функции определяются корнями сомножителей, т. е. что
корни этой целой функции суть числа ak.
Если мы имеем какую-нибудь целую функцию f(z\ корни кото-
рой суть aki то частное f(z):F(z) будет целой функцией без кор-
ней, т. е. это частное будет иметь вид eg(z\ и мы получим таким
образом следующее представление для целой функции f(z):
(l07)
где g(z) — некоторая целая функция. До сих пор мы предполагали,
что точка z = 0 не является корнем функции. Если эта точка есть
корень кратности /?, то следует только добавить к правым частям
формул A04) и A07) множитель zp.
Рассмотрим в качестве примера функцию sin z. Она имеет простой ко-
рень 2 = 0 и простые корни z = Ы (k = it I, ±: 2,...).
' В данном случае имеем т = 2, так как ряд
У L
k --=-00
как мы уже упоминали выше, сходится. Применяя формулу (!07) и добавляя
множитель z, мы получим
4-оо г
sin z=ee{Z)z IT' (i—-iL
J.JL \ kn
k = —co
Целая функция g(z) не может быть, конечно, определена из предыдущих
общих соображений. Результаты [67] показывают, что в данном случае эта
функция равна тождественно нулю.
256 ГЛ. ИГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ |69
Заметим, что если т = 1, т. е. если сходится ряд
оо
2
1
то, рассуждая, как и выше, можно вместо формулы A07) написать формулу
оо
Л=1
В дальнейшем мы будем иметь еще примеры применения формулы A04),
которая называется обычно бесконечным произведением Вейерштрасса.
Может случиться, что числа ak заданы так, что ряд A03) расходится
при всяком целом положительном т. Это будет, например, если мы поло-
жим ah — \x\(k-\-\) (Л=1,2,...). Действительно, ряд с общим членом
[ln(fc-f 1)ГШ расходится при всяком положительном т, так как сумма его
первых членов больше, чем
k
[ln(fc + \)]mf
а это последнее выражение, как нетрудно показать, применяя хотя бы пра-
вило Лопиталя, беспредельно возрастает вместе с k. В случае расходимости
ряда A03) при всяком целом положительном т составим бесконечное
произведение
A08)
где
и mk будет зависеть от k. Повторяя вышеуказанные оценки, мы убедимся
в том, что для сходимости бесконечного произведения A08) достаточна схо-
димость при всяком R>0 ряда
X [JL\
L \\ak\
[JL
\\ak\)
k — 1
Достаточно для этого взять /w^ = /Si—1. Действительно, применяя признак
Коши [I, 121] к ряду
оо
получим
т. е. ряд действительно сходится. Можно показать, что для сходимости ряда
достаточно взять т^ такими, чтобы имело место неравенство: mk + 1 > In k.
70) ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 257
70. Интегралы, зависящие от параметра. В дальнейшем нам
придется встречаться с определением функций в виде интегралов,
зависящих от параметра. С этим мы уже встречались в [61]. В случае
вещественного переменного мы рассматривали такой способ задания
функции и устанавливали условия, при которых такая функция имеет
производную, причем можно производить дифференцирование под
знаком интеграла [11, 83].
Рассмотрим аналогичный вопрос для случая комплексного нере-
менного.
Теорема. Пусть f(t9 z) — непрерывная функция двух перемен-
ных t и z, когда z принадлежит замкнутой области В с конту-
ром I и t — конечному интервалу a^t^b вещественной оси.
Пусть, далее, f(t, z) есть регулярная функция от z в замкнутой
области В при всяком t, принадлежащем упомянутому интервалу.
При этом функция u(z), определяемая равенством
ь
A09>
есть регулярная функция внутри В, и при вычислении ее произ-
водной мы можем производить дифференцирование по z под зна-
ком интеграла, /#. е.
Согласно формуле Коши, можем написать
fit;)— 1 C/('»g>>rfy
где z — внутри В и t — любая точка интервала a^t^b. Следова-
тельно,
При интегрировании непрерывной функции мы можем менять поря-
док интегрирования [II, 81 и 89):
258 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [70
Эта формула дает со (г) в виде интеграла типа Коши, и, следовательно,
со (г) есть регулярная функция внутри В, а ее производная опреде-
ляется по формуле [8]
Меняя опять порядок интегрирования, можем написать
ь
Выражение, стоящее в квадратных скобках, согласно формуле
Коши дает производную I ¦ . Последняя формула совпадает с фор-
мулой A090, и теорема доказана. Заметим, что мы могли бы считать,
что t меняется не вдоль конечного интервала (а, Ь) вещественной
оси, а вдоль любой конечной кривой. Доказательство теоремы от этого
не изменилось бы. Заметим по поводу предыдущего доказательства,
что интеграл
стоящий в числителе интеграла типа Коши, которым выражается о>(г),
представляет собою непрерывную функцию от z' на /. Это непосред-
ственно следует из того, что fit, z) есть, по условию, непрерывная
функция Своих двух аргументов.
Перейдем теперь к рассмотрению несобственных интегралов.
Здесь для доказательства теоремы достаточно добавить условие рав-
номерной сходимости интеграла A09). Для определенности будем
рассматривать интеграл по бесконечному промежутку (а, +оо), но
доказательство годится и для других типов несобственных инте-
гралов.
Те орем. а. Пусть fit, z) — непрерывная функция двух пере-
менных\ когда z принадлежит замкнутой области В и t^a.
Пусть, далее, f(tt z)—регулярная функция в замкнутой области
В при всяком t^a и интеграл
, z)dt
701 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 259
сходится равномерно относительно z, принадлежащего замкну-
той области В, При этом
со (*) = $/(*, z)dt (ПО)
а
—регулярная функция от z внутри В и
а
Составим последовательность функций
где ап — любая последовательность чисел, больших а, стремящаяся
к (-j-oo). По доказанной теореме, v>n{z) — регулярные функции вну-
три В и
Из условия равномерной сходимости интеграла (ПО) следует, что
wn(z) равномерно стремятся к функции o>(z), определяемой форму-
лой (НО), и по теореме Вейерштрасса.эта функция w(z) есть регу-
лярная функция внутри В и ю'п (z) -+ (o\z)y т. е.
при лЛбом законе стремления ап к (-]— сх>). Отсюда следует
причем интеграл, стоящий справа, наверно имеет смысл. Теорема»
таким образом, полностью доказана.
При доказательстве теоремы мы могли бы считать, что интегри-
рование по t происходит и по некоторому бесконечному контуру С.
Такой несобственный интеграл надо понимать как предел интегралов
по конечным контурам, составляющим часть С. Теорема дословно
применима и для несобственного интеграла, в котором подинтеграль-
ная функция f(t, z) становится неограниченной, например при при-
ближении t к а.
260 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [71
Заметим, наконец, что имеет место следующее достаточное усло-
вие абсолютной и равномерной сходимости интеграла [II, 84]: если
интегрирование по t совершается вдоль вещественной оси и если при
t^a и z, принадлежащем замкнутой области Д выполняется нера-
венство | f(tf z) | ^ ср (t), причем интеграл
\<?(f)dt
а
сходится, то интеграл (ПО) сходится абсолютно и равномерно. Абсо-
лютная сходимость определяется так же, как и в случае веществен-
ного f(zf t).
71. Эйлеров интеграл второго рода. Рассмотрим функцию, опре-
деляемую эйлеровым интегралом второго рода:
?(z) = \ e-*t*-4t, A11)
о
причем tz~l = e(*~l)lnt и значение логарифма положительного числа t
надо брать вещественным. Представим написанный интеграл в виде
суммы двух интегралов:
1 оэ
T{z)=\ e-<tz-1 dt-f \ e-*t*-1 dt A12)
Рассмотрим сначала второе слагаемое в правой части:
со(z) = 5 e-tf-Ht. (ИЗ)
i
При t^\ подинтегральная функция
есть непрерывная функция t и z для любого ги^1и есть целая
функция от z при всяком tf^l. Положим, что z принадлежит неко-
торой ограниченной области В плоскости z. Положим z = x-\-yL
В замкнутой области В абсцисса х имеет наибольшее значение, кото-
рое мы обозначим через лг0. Принимая во внимание, что ln^^O при
t ^ 1 и что модуль показательной функции е91 с чисто мнимым
показателем равен единице, получим для z, принадлежащих В:
Интеграл
00
ldt
71] ЭЙЛЕРОВ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА 261
очевидно сходится [II, 85], и, следовательно, интеграл (ИЗ) сходится
равномерно относительно zy принадлежащих В. Принимая во внима-
ние вторую теорему предыдущего номера и полную произвольность
при выборе В, можем утверждать, что со (г), определяемая форму-
лой (ИЗ), есть целая функция, и можно дифференцировать по z под
знаком интеграла.
Рассмотрим теперь первое слагаемое формулы A12):
A15)
В данном случае подинтегральная функция A14) может терпеть раз-
рыв непрерывности при ? = 0, так как In t при ? = 0 обращается
в (—оо). Как и выше, модуль функции A14) будет
Если х^>1, то при t = 0 подинтегральная функция не будет тер-
петь разрыва непрерывности, и, применяя первую из теорем преды-
дущего параграфа, мы убедимся, что функция A15) будет регуляр-
ной функцией при х^>\, т. е. правее прямой х=1. Докажем
сейчас, что она будет регулярной правее мнимой оси. Действительно,
возьмем какую-нибудь конечную область В, лежащую правее мнимой
оси. Пусть хх — наименьшая абсцисса точек замкнутой области В.
Раз замкнутая область В лежит правее мнимой оси, то хг^>0. При-
нимая во внимание, что ln^^O при tf=^l, получим
если z принадлежит В. Но при ati^>0 интеграл
i
о
сходится, и, следовательно, как и выше, отсюда следует регуляр-
ность функции A15) правее мнимой оси и возможность дифферен-
цировать под знаком интеграла. Из всего сказанного следует, что
формула A11) определяет справа от мнимой оси регулярную функ-
цию Г (г).
Займемся сейчас аналитическим продолжением функции налево
от мнимой оси и покажем, что Г (г) есть мероморфная функция,
имеющая простые полюсы в точках
г = 0, —1, —2,... A16)
Поскольку второе слагаемое справа в формуле A12) есть целая
функция, нам надо заняться функцией A15).
262
ГЛ. ИГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
На конечном промежутке 0 ^
в равномерно сходящийся ряд:
оо
171
1 функция е * разлагается
где, как всегда, считаем 0!=1. Умножая на tz~l и интегрируя
почленно по промежутку @, 1), получим
1 00
V e-Hz-ldt= У (~/ -
О
л=0
Мы считаем z лежащим правее мнимой оси и, следовательно, веще-
ственная часть (n-\-z) положительна, и tn+z = 0 при tf = O, т. е.
1 оо
1 \П 1
п\
-f- л'
Таким образом, для Г(<г) получаем следующее выражение правее
мнимой оси:
л=0
dt
A17)
Бесконечная сумма, стоящая в правой части, ввиду присутствия
п\ в знаменателе сходится абсолютно и равномерно во всякой огра-
ниченной части плоскости, если отбросить несколько первых сла-
гаемых, имеющих полюсы в точках A16). Следовательно, эта сумма
дает мероморфную функцию с простыми полюсами A16), причем
вычет в полюсе z = — п равен -——-. Второе слагаемое справа
есть, как мы уже упоминали, целая функция. Таким образом, правая
часть формулы A17) дает аналитическое продолжение функции T(z)>
определенной формулой A11) только справа от мнимой оси, на всю
плоскость комплексного переменного z, причем Г (г) оказывается
мероморфной функцией с простыми полюсами A16) и с вычетом
-—р- в полюсе z = — п Нетрудно получить значения Г (г) при
целых положительных значениях аргумента. Положим z = n-\-\>
где п — целое положительное число. Мы получим при этом [II, 84]
ГA)=
71] ЭЙЛЕРОВ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА 263
Таким образом, значения Г (г) при целых положительных z дают
факториалы целых чисел:
1, Т(п-{-1) = п\ («=1,2,3,...). (И8)
Выясним теперь основные свойства функции Г (г). Считая
и интегрируя по частям, будем иметь
т. е.
T{z+l) = zT(z). A19)
Мы доказали это равенство лишь на положительной части веще-
ственной оси. Но если две аналитические функции совпадают на
некоторой линии, то они совпадают везде [18], и, следовательно,
формулу A19) можно считать установленной при всех z. Пусть п —
некоторое целое положительное число. Применяя несколько раз фор-
мулу A19), получим более общее равенство, справедливое при всех
комплексных z:
T{z + n) = {z + n—l){t + n — 2)...{z+l)zT(z). A20)
Будем теперь считать, что z находится внутри отрезка @, 1)
вещественной оси, и вернемся к основной формуле A11), причем
вместо переменной интегрирования t введем новую переменную инте-
грирования и по формуле t = u\ Мы получим следующий результат:
о
Заменяя z на 1 — z, можно написать
со
О
Отсюда, перемножая, получим
С» 00
Г(*)ГA-г) = 4 [ [e-«'+**)(±\"-'dudr, A21)
Интеграл, стоящий справа, мы можем толковать как двойной
интеграл на плоскости (и, v), причем областью интегрирования явля-
ется первый координатный угол, т. е. та часть плоскости, где и\
я г>^>0. Введем вместо и и v полярные координаты:
и = р cos <p, v = p sin f.
264 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [71
Формула A21) перепишется в виде
Г (г) Г A — z) = 4 \ \ е~ р2 ctg2* cp p rfp tf<p,
о о
где интегрирование по р надо производить от 0 до -}0 и п0 ?
— от 0 до ~2 > т. е.
л
" оо
Г(г)ГA—г) = 4 tctg^^cpdf [e~~
о о
Как легко видеть,
00
и, следовательно,
к
~2
Г (^ Г A — z) = 2 J ctg2*'1 cp rfcp.
О
Введем вместо <р новую переменную х по формуле
<р = arcctg /x; d<? = п~** ч.
Предыдущий результат можно будет при этом переписать в виде
оо
Но, как мы знаем [62], интеграл, стоящий справа, равен -т-^—>
и, следовательно, окончательно получаем следующую формулу:
Г(*)ГA-*) = ^. A22>
Эта формула доказана нами лишь для отрезка (О, 1) веществен-
ной оси. Но, как и выше, пользуясь принципом аналитического про-
должения, мы можем убедиться, что она справедлива для всех г.
Формула A20) позволяет сводить вычисление Г (г) при любом:
вещественном z к значениям Г (г) на отрезке (О, 1). Формула A22>
72] ЭЙЛЕРОВ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА 265
дает возможность привести отрезок @, 1) к отрезку @, у). По-
лагая в формуле A22) z = -x-y мы получим
A23)
72. Эйлеров интеграл первого рода. Эйлеровым интегралом
первого рода называется интеграл вида
г
В(р, q) = \x<>-l(l —xf-Чх. A24)
о
Как и в случае интеграла A11), мы будем предполагать, что ве-
щественная часть р и q больше нуля и, кроме того,
хр~1 A x)q~l = е& ~ *>ln x+te—l)lfl <1 -•*),
где значения логарифмов берутся вещественными.
Вводя вместо х новую переменную t по формуле t=l—х,
получим вместо A24)
i
т. е.
B(p>q) = B(q,p). A25)
Выведем еще одну формулу, выясняющую основное свойство
функции B(pt q). Интегрируя по частям, можем написать
В силу сделанных предположениий относительно р и q> можно
утверждать, что внеинтегральный член равен нулю, и предыдущая
формула дает следующее свойство функции В(р, q):
B(p,q+\)=fB(p+ltq). A26)
Установим теперь связь функции В(р, q) с функцией A11). При-
меняя то же преобразование, что и в предыдущем параграфе, мы
можем представить произведение T(p)Y(q) в виде
С» 00
о о
266 ГЛ. ИГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [73
и, вводя полярные координаты, получим
оо
г (Р)г (?) = 4 $ *~р2 Р2 ^ 9)" l rfP S cos2^1 cp sin2^ cp rfcp.
о о
Вводя вместо р новую переменную t по формуле р = \ft, можем
написать
и, следовательно,
~2
Г (р) Г (q) = 2Г (/? + 9) J cos2^1 cp sin2*
о
Если теперь ввести вместо <р новую переменную интегрирования х
по формуле A; = cos2cp, то последнее соотношение даст нам
откуда и получается формула, выражающая В(р, q) через функ-
цию Г
73. Бесконечное произведение для функции [Г (.г)]. Вернемся
к основному определению функции Г (г), даваемому формулой A11),
и будем для простоты рассуждений считать г]>0. Множитель е~*
является, как мы знаем, пределом выражения [I, 38]
^=lim A-4)".
Заменяя промежуток @, 4"°°) конечным отрезком @, п\ получаем
таким образом следующий интеграл:
п
Pn{z)= J(l —L)" Г'Л A28)
Надо ожидать, что при беспредельном возрастании зп этот инте-
грал будет стремиться к интегралу, входящему в правую часть фор-
мулы A11). В дальнейшем мы точно докажем это утверждение, а
сейчас займемся теми следствиями, которые из него вытекают.
73) БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ГГ(г)Н 267
Вводя вместо t новую переменную х по формуле t = nt, можем
переписать A28) в виде
Рп(г) = *\A—хГ*ГЫх. A29)
о
Будем считать, что п стремится к -j-oo, принимая целые поло-
жительные значения. Производя интегрирование по частям, получим
1 i
или, принимая во внимание, что внеинтегральный член обращается
в нуль (,г>0),
1 1 i
dx = 2L С A _ ту-1 ,* dx = _JL_
о
Продолжая дальнейшее интегрирование по частям, будем иметь
точно так же
1 i
1 _х)*тг-i dx =^^
и вообще получаем для интеграла A29) следующее выражение:
i
При беспредельном возрастании п это выражение будет иметь
пределом V(z), т. е.
или
' ==limiii±1^4+^«- («- = e-«-). A31)
Чтобы несколько преобразовать последнее выражение, умножим
и разделим его на е \ 2 "' */• После этого мы можем пере-
писать формулу A31) следующим образом:
+
или
268
ГЛ. Ш. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[73
При беспредельном возрастании целого числа п написанное конеч-
ное произведение превратится в бесконечное произведение
т) е
A33)
Это бесконечное произведение построено точно по тому правилу,
по которому строится бесконечное произведение Вейерштрасса [69],.
причем в данном случае ak = — ky и ряд
У -
сходится при /я = 2. Таким образом, в первой части A32) послед-
ний множитель стремится к определенному конечному пределу A33).
Покажем теперь, что и пере-
менная
±-\пп
A34)
стремится к определенному пре-
делу. Для этого достаточно по-
казать, что переменная
*«=1+Т + Т + - +
+ ^-^п = ип-1 A35)
Рис. 62.
имеет конечный предел. Тот же
предел будет, очевидно, и у пере-
менной ип. Рассмотрим ветвь равнобочной гиперболы y = —t лежа-
щую в первом координатном- углу. Число -г будет ординатой этой
ветви при x = k. Величина In л равна, очевидно, площади, ограни-
ченной, нашей гиперболой, осью ОХ и ординатами х=1 и х = п, а
сумма
11
представляет собою сумму площадей выходящих прямоугольников,-
основания которых равны единице (рис. 62). Отсюда непосредственно
вытекает, что разность A35) возрастает при возрастании п. С дру-
гой стороны, эта разность будет, очевидно, меньше разности пло-
73] БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ [П*)] 269
щадей выходящих и входящих прямоугольников, а эта последняя
разность равна, очевидно, A ). Таким образом, наша переменная
vn будет возрастающая, ограниченная переменная, и, следовательно,
она имеет предел.
Этот предел С называется обычно постоянной Эйлера. Его вели-
чина с точностью до седьмого десятичного знака выражается следую*
щим числом:
С= 0,5772157... A36)
Окончательно формула A32) дает нам в пределе
Г(*)"
т)е *• A37>
В правой части последней формулы стоит целая функция от z,
имеющая простые корни z = 0, —1, —2, ... Формула A37) уста-
новлена нами лишь на положительной части вещественной оси.
В силу основного принципа аналитического продолжения можно
утверждать, что она справедлива при всех zy и, таким образом,
функция jwj4 есть целая функция, а формула A37) дает ее пред-
ставление в виде бесконечного произведения.
Мы доказали, что рут есть целая функция, и из этого непосред-
ственно следует, что функция Г (г) не обращается нигде в нуль,
т. е. не имеет вовсе корней.
Пользуясь бесконечным произведением A37), мы легко можем
доказать формулу A22) из [71]. Действительно, формула A37) дает
нам непосредственно
00
или, в силу (93) из [67],
1 z sin m
T(z)T(-z)— ~'
Далее, формула A19) дает нам, если заменить в ней z на (—z)r
Подставляя это выражение Г(—z) в предыдущую формулу, по-
лучим формулу A22):
sin nz
270 ГЛ. Ш. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [73
Нам остается теперь убедиться в том, что интеграл A28) при беспре-
дельном возрастании целого числа п стремится к интегралу A11), причем
достаточно ограничиться тем случаем, когда г>0. Установим прежде всего
оценку разности
"-ЫГ-
Нетрудно проверить, что функция
-'(¦-4)'
является первообразной для функции
n
и, следовательно,
t
1
\ n) \ \ n) n
то подинтегральн
> сказать и о леве
и A I единицей, получим
Если 0<?<я, то подинтегральная функция положительна, и, следова-
тельно, то же можно сказать и о левой части. Заменяя под интегралом ev на
или
0<r*-(l-l)'<?. A38)
Составим разность:
п оо
Г B) — Рп (z) = f Г^ — A — i-^j F-1 Л + ^ ^ **-» Л. A39)
0
При беспредельном возрастании л второй интеграл справа стремится
к нулю, так как интеграл
00
\ е'г t2~l dt
сходится. Остается показать, что и первый интеграл стремится к нулю при
п-*оо. Фиксируем я = л0 так, чтобы
00
«о
где г — произвольно заданное малое положительное число.
Мы можем написать
?
-$["-(-4П"-+$[-Ч1-4Я
73] БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ [Г(г)]-» 271
откуда в силу A38)
Л По П
О < i \е~* — A — ~V1 t*~l dt<Yn\ *z+l dt+{ e-* tz~l dt,
0 0 n0
причем во втором интеграле справа мы заменили разность одним уменьшае-
мым. Подинтегральная функция в этом интеграле положительна и, расширяя
промежуток интегрирования, получим
По ОО
\ \
о < f \t-t — A — 4Y1 tz~l dt < Yn \ tz+i dt+\ e~f tz~l du
'о Ь n0
При больших п первое слагаемое меньше -к-, и, следовательно, при всех
достаточно больших п
т. е. ввиду произвольной малости е в формуле A39) первое слагаемое
справа также стремится к нулю, т. е. действительно
л -*> оо J
r(z)=lim [(\—l\nt*-ldt. A40)
Отметим еще некоторые следствия доказанных формул. Беря
логарифмическую производную от обеих частей формулы A37), получим
оо
d\nT(z) C +
Л'-* \~j— « z ^ Li k(z + k)'
Дифференцируем обе части:
Пользуясь формулой A30), докажем еще так называемую формулу
удвоения:
21^) /^ A43)
Выражая функции T(z) и rfz-f-y) при помощи формулы A30) и
функцию TBz) при помощи формулы, которая получается из A30)
заменой п на 2п, получим
==1Jm
272 гл. иг. применение теории вычетов [74
или
22* 1 Г (z)V( z + уJ 2п~1(п\J ,. /г /1/1/|ч
-—jA L= iim 1-±_ ilm П44)
ГBг:) n-oo 2л!/л n-+oo2z + 2n + \ v
Ho
« i
lim с
¦и мы видим, что левая часть формулы A44) не зависит от г. Пола-
гая z = -j, получаем
гог(. + |)
ГBг)
откуда и следует формула A43). Совершенно так же, как и выше,
может быть доказана следующая более общая формула:
)^ *"-".*—
74. Представление Г (г) контурным интегралом. Укажем пред-
ставление функции Г (z) в виде контурного интеграла, справедли-
вое при всяком z. Если z находится правее мнимой оси, то мы
имеем
Y(z)=\e-4z-4t A46)
о
Рассмотрим нодинтегральную функцию
*-<*" = *-* *<*-!> in' A47)
как функцию комплексного переменного t Эта функция имеет точку
разветвления ? = 0. Проведем на плоскости t разрез вдоль положи-
тельной части вещественной оси t На разрезанной таким образом
плоскости функция A47) будет однозначной, причем мы будем считать
In t вещественным числом на верхнем берегу разреза, т. е. будем
считать arg? = O на этом берегу. Вместо интегрирования по верхнему
берегу вещественной оси рассмотрим новый контур интегрирования /,
изображенный на рис. 63. Этот контур идет из -|-оо, обходит
вокруг начала и возвращается опять на -j~°a В силу теоремы Коши
мы можем, не меняя величины интеграла
\ е-1 tz~l dt (tz l = e^-V in 0, A48)
74] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ T(z) КОНТУРНЫМ ИНТЕГРАЛОМ 273
произвольным образом деформировать контур /, не затрагивая осо-
бой точки t = 0 и удерживая оба конца контура на -|-оо. Выясним
теперь связь интеграла A48) с функцией Г (г), причем будем
считать, что z находится справа у
от мнимой оси. Деформируя
контур /, мы можем достиг-
нуть того, чтобы путь инте-
грирования состоял из следую-
щих трех частей: 1) из отрезка
(-\- оо, е) верхнего берега раз-
реза; 2) из окружности Хв
с центром z = 0 и радиусом е
и 3) из отрезка (г, +оо) —
нижнего берега разреза. На
верхнем берегу в подинтеграль-
ной функции A47) \nt имеет
вещественные значения. При Рис. 63.
переходе на нижний берег In t
приобретет слагаемое 2тс/, так что на нижнем берегу подинтеграль-
ная функция будет
е(г - 1) 2tc< e- t + {г - 1) in t
где In t имеет по-прежнему вещественные значения. Имеем, таким об-
разом,
\ ' е~*t*~4t, A49)
где е — некоторое заданное положительное число. Покажем, что при
е -> 0 интеграл по окружности Хв стремится к нулю. Действительно,
на этой окружности множитель е~* ограничен по модулю, незави-
симо от z, а множитель tz~l имеет оценку
| f~l | = ?(¦*- lMn I'l --У arg/_-?.* - I ?-varg^
т. е. будет или величиной бесконечно малой, если х^>1, или будет
стремиться к бесконечности порядка -1=i. Принимая во внимание,
что по предположению х^>0 и что длина пути интегрирования
будет 2тг?, мы непосредственно убеждаемся, что упомянутый инте-
грал действительно стремится к нулю. Таким образом, формула A49)
в пределе дает нам
{en*t _x)^ e-t tz-i dt = ^ e-t tz-x dt
274 гл. ш. применение теории вычетов [74
или, принимая во внимание определение
$ е~* tz~l dt = (ez*ni — 1) Г B). A50)
Последнюю формулу можно еще записать в виде
рйг^=л- \<ГЧ-*М. A51)
Контур / не проходит через начало координат (? = 0), и поэтому
мы можем уже не ограничивать себя рассмотрением лишь тех зна-
чений z> которые лежат справа от мнимой оси. Как и при-рассмо-
трении интеграла (ИЗ) из [71], мы можем убедиться, что интеграл
A48) представляет целую функцию от z. Формула A50) доказана
нами лишь для z, лежащих правее мнимой оси, но в силу принципа
аналитического продолжения она будет
справедливой на всей плоскости z. Фор-
мула A51) дает представление меро-
~У ^"^—У морфной функции в виде частного двух
целых функций. Знаменатель (еггтЛ— 1)
Рис# 64* обращается в нуль при всех целых
как положительных, так и отрица-
тельных значениях z. Целые отрицательные z и z = 0 дают поляр-
ность Г (г). Если z равно целому положительному числу, то
подинтегральная функция A47) будет однозначной и регулярной
функцией от t на всей плоскости (т. е. будет целой функцией от t)y
и по теореме Коши интеграл от нее по замкнутому контуру / будет
равен нулю, т. е. при целом положительном z в правой части фор-
мулы A51) и числитель и знаменатель обращаются в нуль, и эти
значения z не будут полюсами функции Г (
Заменим в формуле A50) z на A—z)\
$ е* t'zdt = (e-**ni — 1)ГA — z). A52)
Введем вместо i новую переменную интегрирования т, полагая
$ е~* Г* dt = — \ex (eniz)-* dx = — e'zni \ ex <z~* dx, A53)
/ v v
где /' — контур, изображенный на рис. 64. Плоскость т получается
из плоскости t вращением около начала на угол (— тс). Разрез по
положительной части вещественной оси плоскости t перешел в раз-
рез по отрицательной части вещественной оси плоскости т, причем
нижний берег нового разреза соответствует верхнему берегу преж-
него разреза. На этом нижнем берегу нового разреза мы должны
75] формула стирлинга 275
считать arg(^1t4) = O, т. е. argx = — тс. Подставляя выражение A53)
в формулу A52) и умножая обе части равенства на (—екг1), полу-
чим
или
= (*"* — e-«zi) Г (I — г)
откуда, пользуясь формулой A22), получим выражение Г (г) в виде
контурного интеграла:
75. Формула Стирлинга. Мы дадим в настоящем номере приближенное
выражение In Г (г) при больших положительных значениях z. Предварительно
выведем одну формулу, устанавливающую связь между суммою равноотстоя-
щих значений некоторой функции и интегралом от этой функции.
Пусть /(х)—функция, определенная при х^О и имеющая непрерыв-
ную производную. Обозначая через п и к — целые неотрицательные числа,
причем k^n, можем написать
и, суммируя по k от fc = 0 до & = л, получим
в
п п
5М-
in t
раскрытом виде
f (x)dx = \f(x
1)/(л)-
п
.S
правая часть
)dx + \/
> *-0ft
запишется так:
dx+\f(x)dx +
л-!
dx.
••• +
/•(AT)rf.
A55)
причем последнее слагаемое справа, очевидно, равно нулю. Если т — неко-
торое целое неотрицательное число, меньшее л, то в написанной сумме
интегрирование по промежутку (/я, т -(-1) встретится т -(-1 раз, и мы
можем записать формулу A55) в виде
- 2J f(k) = \{[x] + \}f(x)dx9 A56)
*о о
276 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [75
где через [х] мы обозначим целую часть положительного числа лг, так что
[х] = т внутри промежутка (т> т-\-\) и [т] = т. Введем в рассмотрение
функцию
которая представляет собою дробную часть числа х со знаком минус. Если
прибавить к х единицу, то [л:] и х получат слагаемое единицу, а Р (х) не
изменится, т. е. Р (х) имеет период, равный единице. Функция Р (л:) опреде-
лена при лг^О, но мы можем,
\iy ^ /S. • конечно, распространить ее
i >. i \^ i \^ ! определение и на отрицатель-
т-у ^—ф >. ф N. ф— л. Ф ^ ные значения х по закону пе-
~? \Г^ nJ^ W n/^ риодичности с периодом еди-
1 N N N >* ница. Как известно [И, 154],
р 6с величина интеграла от Р (х) по
любому промежутку длины
единица не зависит от положе-
ния этого промежутка. Эта величина дает так называемое среднее значение
нашей периодической функции. Внутри промежутка @, 1) мы имеем
Р (х) = — х, и среднее значение Р (х) будет
1
О О
Построим новую функцию с периодом единица:
A57)
среднее значение которой равно нулю. График Pt (x) изображен на рис. 65.
Подставим под знак интеграла в формуле A56) вместо \х] его выражение
из формулы A57):
п п
y?^{ ^ ^{x)dx. A58)
Мы имеем, очевидно,
п
о
и, интегрируя по частям, получим
J xf (х) dx = nf (n) - J/ (a:) dx.
о о
Подставляя это в A58), получим следующую формулу:
п п п
J ~ [/(л) + /<0)]- [ Рх (x)f(x) dx, A59)
устанавливающую связь между суммой равноотстоящих значений f(k) функ-
ции f{x) и интегралом от этой функции.
75] формула стирлинга 277
Выберем функцию / (х) следующим образом:
/(*) = In (* + *),
где z— некоторое положительное число и значение логарифма берется
вещественное. Подставляя в формулу A59) и производя квадратуру в пра-
вой части, получим
Подставим в эту формулу 2=1 и полученную новую формулу почленно
вычтем из предыдущей. Кроме того, из обеих частей полученного равенства
вычтем (z—1) In п. Таким образом, получим
п
'i Z+k / 141 / 141 Л I *\ , 1 ,
in z—;—- — B — 1) in /i = B — 11 in i 1 н -4--7^-ln
О
При стремлении п к бесконечности первые два слагаемых правой части
стремятся к нулю, а третье слагаемое имеет предел
/ z \ / 2 1+Л
lim A + п) In l+l_±)== lim In [ZL
n \ 1 + Я
Мы можем, таким образом, написать
im In —*—Ц—7s—-—!—- п г • -—г~г ==
-,00 L Ь2.../1 /1+1J
lim
или [73]
00 ОО
(J)J^J|^*. A60)
Принимая во внимание, что среднее значение Рх (х) равно нулю, можно
утверждать, что функция
Q(x) = lpt(x)dx A61)
о
есть непрерывная периодическая функция с периодом единица и Q@) = 0.
Эта функция тем самым ограничена. Отметим, что отсюда следует, что оба
интеграла, входящие в формулу A60), сходятся [II, 86].
Если 0^л:< 1, то [.*] = 0 и формула A57) дает
278 ГЛ. Ш. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
-откуда пепосредственно следует
|75
A62)
Производя интегрирование по частям, получим
A63)
причем внсинтегральный член при а: = оо обращается в нуль.
Эти рассуждения показывают, между прочим, что упомянутые инте-
гралы имеют смысл. Вводя вместо х новую переменную интегрирования t
по формуле x = zt, получим
г JO
О
Мы имеем, далее, в силу A62)
00 СО
Введем для краткости некоторое обозначение, которым мы будем часто
пользоваться ниже. Пусть <р(г) и ф (г)—две функции, определенные при
всех достаточно больших zt и отношение <р (г): ф (z) остается ограниченным
яри Z-—--J-00- Этот факт мы будем записывать в виде
Предыдущее утверждение об интеграле A63) запишется при этом в виде
и формула A60) — в виде
In Г (г) =
или
где
In Г (*)=* — -s- 1п^~
8г
A65)
A66)
067)
м через С мы обозначили постоянную
4AJ
¦¦"-У*
+ х
dx.
75] ФОРМУЛА СТИРЛИНГА 279'
Займемся теперь определением значения этой постоянной. Для этого
воспользуемся так называемой формулой Валлиса, выражающей -~- в виде
предела некоторой дроби:
п
A68>
Чтобы не прерывать изложения, докажем эту формулу в конце настоящего
номера.
Мы можем переписать формулу A68) в виде
У
я ,. 2 8
-я- = lim
2 ".Too <2я)'
откуда, логарифмируя и принимая во внимание, что т\ = Т (т -\-\) при
целом положительном /я, получим
lim Г2 In Г (п + 1) — In Г Bп + 1) + B/г — у) ln 2"~Tln n] = 1п У^Т^
Пользуясь формулой A65), можем переписать это равенство в виде
ИЛИ
lim
Л -¦¦ 00
или
Первое слагаемое в фигурных скобках стремится к lni=l, а второе
к (—s" In 2 К так что получаем равенство
откуда С = 1п"|/2й. Подставляя в формулу A65), получаем формулу Стир-
линга:
( ^)z-- z + <*(z) A69)
или, потенцируя,
280 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [75
где множитель ?(г)=еш{г> стремится к единице при беспредельном воз-
растании z. Если z равно целому положительному числу т, то, умножая
обе части равенства на /я, получим
Х •«, A71)
где гт—-1 при возрастании т.
Как мы знаем, функция Г (z) не имеет корней и In Г (z) есть однознач-
ная регулярная функция на плоскости z с разрезом вдоль отрицательной
части вещественной оси. Если выделить этот разрез сколь угодно малым
сектором с вершиной в начале, то к оставшейся части плоскости приме-
нима формула A69). Это утверждение можно доказать совершенно так же,
как выше была доказана формула A69) при z>0. При этом мы должны на
упомянутой выше плоскости с разрезом брать те значения In* и In Г (г),
которые имеют вещественные значения при z;>0.
Формула Валлиса. Докажем теперь формулу Валлиса, которой мы
пользовались выше. Мы имели раньше [I, 100] следующие формулы:
2*B*-2)...4.2
Принимая во внимание, что при увеличении п степень sin* лс уменьшается,
можем написать
1С 1С ТС
Т Т 7
J sin2**1 х dx < \ sin2* x dx < \ sin2* x dx%
ооо
т. е.
2feBfe — 2),,,4.2 Bfe— 1)»B/е — 3)... 3 > 1 к_
B*+l).B/fc — 1)...5.3< 2^. Bй — 2) ...4-2 2 "^
B/g — 2)Bfe — 4).,,4.2
< Bk— I) B^ — 3)...5-3'
откуда следует, если заменить k на п:
Л L — 1 А 2п 2я
2 > 1 ' 3 ' 3 " 5 "'2п— I '2/I+1'
Обозначая
2/г —2 2/г — 2 2л
__2_ 2^ ± ±
13 3 5 "*2/г — 3 2/г — I 2/i —L'
можно написать
76] ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА 281
При л—* + °° ДР°бь, стоящая слева, стремится к единице, и, следовательно,
что и дает формулу Валлиса.
76. Формула суммирования Эйлера. Вернемся к рассмотрению фор-
мулы A59). Производя в последнем интеграле правой части несколько раз
интегрирование по частям, мы можем написать правую часть в разверну-
том виде. При помощи формулы A61) мы определили функцию Q (х) с пе-
риодом единица, такую, что Q' (х) = Рх (х). Добавляя к Q (х) постоянное
слагаемое, мы можем добиться того, чтобы среднее значение этой функции,
как и у Pj (x), было равно нулю. Меняя еще у полученной функции знак,
получим функцию Р2 (х) с периодом, равным единице, и со средним значением,
равным нулю, такую, что Р2 (х) = — Pi(x). Но Рх (х) =—х + -^- при
1, так что
и, определяя С из условия
jp, (*)<** = 0,
о
получим окончательно
В данном случае Р2 @) = Р2 A) = у^ ; при периодическом повторении
Р2 (х) дает непрерывную периодическую функцию, и написанная выше фор-
мула годится для всего замкнутого промежутка O^jc^I. Далее мы мо-
жем совершенно так же определить функцию Р8 (х) с периодом единица и
со средним значением, равным нулю, такую, что Р'а (х) = Р2 (х). Мы полу-
чим для этой функции следующее выражение в основном промежутке @, 1):
Продолжая так и дальше, мы сможем строить функции Рп (х) с периодом
единица и со средним значением, равным нулю, такие, что
Р*т (х) = -РШ-1 (х); P2m+i (х) = P2m (x). A72)
Можно разложить все эти периодические функции в ряды Фурье; во
всех этих рядах Фурье свободные члены будут равны нулю, ибо средние
значения функций равны нулю. Из черт. 65 видно, что Рх (х) есть нечетная
функция. Определяя ее коэффициенты Фурье по обычному правилу Фурье,
получим
оо
sin 2nnx
'282 ГЛ. НГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [76
Точно так же для следующей функции Р2 (х) будем иметь
Заметим, что этот ряд может быть получен непосредственно почленным
интегрированием и переменой знака из ряда Pt (x)t что соответствует
соотношению Р'г (х) = — Pt (x). Ряд для Р2 (х) сходится равномерно при
всех вещественных значениях л:. Принимая во внимание соотношения A72),
мы можем получить ряды Фурье для следующих функций Рп (х) при по-
мощи последовательного почленного интегрирования, причем свободные
члены этих рядов Фурье надо считать равными нулю.
Таким образом, мы будем иметь
_ у cos 2nnx _ у sin 2mzx
\х) — ^ 22т~1пшпш * 2m+1 w "~ ^ 22mn2m+ln2m+l' ^ '
14з этих формул вытекает, между прочим,
я = 1
Для удобства дальнейших выкладок обозначим
- Вт
' {2т)Г
тде Вт — так называемые числа Бернулла.
Вернемся к формуле A59). Производя интегрирование по частям и
принимая во внимание, что
Р2т @) = Р2т (п) = ^, Р2т+1 @) = Р2т+1 (п) = 0,
•получим
п л
— J Pi (x) f (x) dx = J Pf2 (x) f (x) dx =
о о
В*
= ^[/И-/@)]-
0
п
-/ @I - § Pi (*) Г (*) </лг = § [/ (Я) -f (О)]
О
W ^ = |f [/ (я) —/ @)]-
= § [/ (я) -/ (О)] - § [/" (я) - /" (О)] + • J Р4 (*)/>V) (x) dX)
о
п
761 формула суммирования Эйлера 283-
продолжая так и дальше, получаем формулу суммирования Эйлера:
п п
2/ w=§ / wлх+т[/ @)+f(п)]+§[/ (я) -f <0)] -
*=о о
| f @)] +
5 (П5>
о
При этих вычислениях мы предполагали, конечно, что f(x) при х^О имеет
непрерывные производные до порядка B/и + З) включительно.
Последнее слагаемое правой части дает остаточный член формулы
Эйлера. Из формулы A74) легко заключить, что числа Вп быстро растут
при возрастании я, и соответствующий формуле Эйлера бесконечный ряд
обычно оказывается расходящимся. Все же формулой A75) иногда удобно
пользоваться для приближенного вычисления суммы, стоящей в левой ее
части.
Перепишем формулу A60), подставляя вместо С найденное выше ее
значение:
Производя в интеграле, как и выше, интегрирование по частям, принимая
во внимание, что Рп (х) остаются ограниченными при всех вещественных хг
и формулы A74), будем иметь при 2>0
J?±-. _L — 4- (— I)
5-6 zb '"^K '
25 '"^ ' Bm— \Jm г2
CO
^ (_ i)w-i Bm)!
о
Совершенно так же, как в предыдущем номере, мы можем показать,
что последний интеграл, умноженный на zim+1, остается ограниченным при
я—*-|-оо, т. е. что
) (г + х)
о
и предыдущую формулу можно записать в виде
284 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [77
Если мы, вычеркнув остаточный член, напишем соответствующий бесконечный
ряд, то он окажется расходящимся при всяком г. Если же мы фиксируем /я,
то остаточный член при z —••-[-со будет величиной бесконечно малой более
высокого порядка, а именно порядка 2/я+1-, чем последний из оставленных
членов, который имеет порядок 2m-i-
Формула A76), как и A69), годится на плоскости комплексного перемен-
ного 2, из которой вырезан любой, сколь угодно малый, но фиксированный
сектор с биссектрисой, направленной по отрицательной части вещественной
оси. Если z положительно, то можно более точно оценить остаточный член,
и имеет место формула
R i R
Л + 8 ( 0m
+ (~ l) Bm -Л) 2m ' z1^'1 + 8"* (— 0 B/я + Y)Bm + 2) *
где О<0т<1. На доказательстве этой формулы мы останавливаться не
будем.
77. Числа Бернулли. Мы определили числа Бернулли при помощи ра-
венств
Bm)l \l 1
^m* \lit)
д = 1
Сейчас покажем, что эти числа могут быть постепенно определены совершенно
элементарно и что все они суть рациональные числа.
Напишем разложение ctgz на простейшие дроби [65]:
+ ОО
ИЛИ
со
1 , VI 2г
или, переходя к показательным функциям согласно формулам Эйлера,
. ezi + e~zi ___ 1 , V 2z
~~7: Г77 Г
Положим z = -<y\
т. e.
и
— со
2 2 ,
— \ и
_2 ,
77] ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 285
или
оо
*> 2
1=4 + 4
eu—\'J~l и
Последнюю формулу можно переписать в виде
оо
it ii in 1
A78)
Мы можем написать
00
(|o|<2fac).
Подставляя это в формулу A78), получим
Применяя следствие из теоремы Вейерштрасса о сложении степенных
рядов [14], можем правую часть представить в виде ряда по целым положи-
тельным степеням и при | и \ < 2п:
где мы положили для краткости
Sp=l + 2P + 3P + ...
Вспоминая формулу A77), можем написать
2-1)m~15'«Sr- A79)
Функция, стоящая слева, имеет особые точки, ближайшие к началу: и = ± 2nit
так что написанный степенной ряд имеет круг сходимости | и | <с 2те. Про-
изводя деление и на ряд
oU 1 и и2 и*
сможем получать последовательно числа Бернулли Вт. Приведем значения
первых из этих чисел:
я-1, д..1. я-1, я _ 1 . я-5. «-691
^"""б"» ^а — зо» ^з — 42» ^* —зб' 5~66' ^°~730'
286 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [78
78. Метод скорейшего спуска. Изложим в следующих номерах метод
приближенного вычисления контурных интегралов определенного типа. Пред-
варительно мы выясним некоторые вопросы, связанные с изменением веще-
ственной и мнимой частей регулярной функции. Пусть в области В имеется
функция
f(z) = u(xty)+v(xty)i.
В каждой точке В, в которой производная f (z) отлична от нуля, будет су-
ществовать направление /, в котором и (л:, у) меняется наиболее быстро.
Это направление / есть направление вектора grad и (х, у)} и производная,
взятая в этом направлении (и в противоположном направлении), имеет наи-
большее по абсолютной величине значение. Производная от и (х, у) в на-
правлении я, перпендикулярном к /, равна, очевидно, нулю [II, 108]. Поле
направлений п определяет линии уровня и (хл у) = const, а ортогональное
поле / определяет семейство ортогональных траекторий к этим линиям уровня,
т. е. семейство v (х, у) = const [29]. Таким образом, можно сказать, что
в каждой точке, где / (г) отлично от нуля, а (х, у) изменяется наиболее
быстро вдоль линии v (х, у) = const. Отметим, что при этом -?? вдоль упо-
мянутой линии отлично от нуля. Если бы оказалось, что в некоторой точке
ди ди
не только т-, но и -тг равно нулю, то в этой точке производная от и по
On oi
любому направлению была бы равна нулю, а отсюда следует, что в этой точке
и производная / (г) обращается в нуль.
Исследуем теперь расположение наших линий в окрестности точки zQt
в которой f (z0) = 0. Мы имеем в окрестности такой точки
f(*)-f(*o) = (*-*o)p[bo + bi(*-*o) + -] (Р^Ъ *о^О). A80)
Обозначая
** = rv*'Pv, г —*в = р*'« (го:??:О) A81)
и приравнивая вещественную и мнимую части разности / (z)—f(z0) нулю,
получим следующие уравнения линий а (л:, у) = const и v (x, у) = const
в окрестности z0:
Ф1 (р, а)) = r0 COS (Ро +/М>) + rjp COS [Рх + (р + 1) о)] + Г2р2 COS [Р, +
+ (/> + 2)о] + ... = 0, A82)
Фа (р, «) = r0 sin (р0 +/ко) + rjp sin [px + (Р + 1) «] + r2p2 sin [p2 +
+ (р + 2)«] + ... = 0. A83)
Рассмотрим уравнение A82). При р = 0 получаем
COS(p0+/?o))=0,
т. е.
где т — любое целое число. Полагая /я = 0, 1, ...,2/?—1, получаем все
различные решения уравнения A82) относительно оз при р = 0:
' = 0, 1, 2, ...,2/7— 1). A84)
Нетрудно видеть, что
78] МЕТОД СКОРЕЙШЕГО СПУСКА 287
и, следовательно, согласно теореме о неявных функциях [I, 159], уравнение
{182) имеет 2р решений для ш, непрерывных по отношению к р и стремя-
щихся к шт при р=0, т. е. уравнению A82) соответствуют 2р линий, вы-
ходящих из точки z0 и имеющих в этой точке касательные с аргументами <от.
Но о)т+р = сот + 7г, и мы будем иметь р линий, проходящих через точку z0
и имеющих в этой точке определенную касательную. Эти линии разобьют
окрестность z0 на 2р криволинейных секторов с одинаковыми углами — при
вершине. Внутри этих секторов, в окрестности z01 мы будем иметь попере-
менно Фх (р, со)<О и Фх (р, со)>0, а именно:
При -~- + ^те <С ро + Р& < чу + (т ~г чп
<0, если т четно,
>> 0, если т нечетно.
Это следует непосредственно из того, что знак левой части уравнения A82)
при заданном со, отличном от A84), и р достаточно близком к нулю опреде-
ляется знаком первого слагаемого.
Рассматривая совершенно так же уравнение A83), мы убедимся в том,
что это уравнение определяет р линий, проходящих через точку г0, причем
касательные к этим линиям служат биссектрисами углов, определяемых ка-
сательными к линиям A82).
Точку z0 назовем седловой точкой, секторы Ф1 (р, ео)<0 — отрицатель-
ными секторами и секторы Ф{ (р, ш)>0 — положительными секторами.
При нумерации секторов (число т) мы, естественно, считаем, что |30 =
= arg/(^)B0) — фиксированное число. При добавлении к fi0 слагаемого, крат-
ного 2те, меняется лишь нумерация секторов. Рассмотрим отрицательный
сектор с номером 2/. Линия /, имеющая уравнение v (ху y)—Lv (л:0, у0) = О,
т. е. v (ху у) = const, и расположенная в этом секторе вблизи точки z0 =
= х0 + /у0, чимеет в точке z0 касательную, являющуюся биссектрисой угла
этого сектора, и угол наклона этой касательной, как нетрудно видеть, равен
A85)
Внутри этого сектора и (х, у) — и (х0, у0) < 0, а линия / есть линия скорей-
шего убывания в точке z0 функции и (х, у). Все это относится к некоторой
окрестности точки z0.
Применим сказанное выше к вычислению интегралов вида
U @ = \(z ~ zo)a~lF (z) [cp (z)\*dz = \(z- zo)«-lF (z) enf^dzt A86)
где Rea>0, функции F(z) nf(z) регулярны в окрестности точки г0 и n —
большое положительное число. Положим, что контур / имеет начало в точке zQ
и расположен в окрестности z0 в отрицательном секторе с номером mr=2y.
Согласно теореме Коши мы можем считать, что контур / расположен в окре-
стности z = z0 вдоль линии Ъ (xt у) — v (х0, у0) = 0. При этом | enf(Z) | =
~—епшх,у) имеет ПрИ большом п в точке z = z0 резкий максимум. Линия /
есть линия скорейшего спуска, т. е. быстрейшего уменьшения епи{Х'У\ и надо
ожидать, что главную часть интегралу A86) даст интегрирование по малому
участку линии / вблизи точки г0.
288 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [79
79. Асимптотическое разложение интеграла. Вернемся к рассмо-
трению интеграла A86). Пусть F(г) и f (z) регулярны в некотором круге
A87)
и имеют разложения
F{z) = F(z0)
... (fP) (*o) ^ 0).
Предположим, далее, что вне круга A87) на контуре интегрирования / выпол-
няется неравенство
Re [/(а,)-/(*)]> Л >0 A89)
и существует такое л„, что
z-zo)*-*F(z) ««./'« | rfe^Al, A90)
где А и Л1 — определенные положительные числа. Из A89) и A90), как мы
увидим, следует, что интеграл A86) абсолютно сходится при п^п9. Конеч-
ность или бесконечность пути интегрирования / при этом не играет роли.
Отметим еще, что значение функции (z — zo)a~l будет фиксировано на началь-
ном участке /, а тем самым и на всем контуре. Перепишем интеграл A86)
в виде
/я
e*/<*o> \ (z —
Обозначим через /0 и lt части /, расположенные соответственно внутри и
вне круга A8/), и оценим интеграл
Кп ih) = \ (z — *q)*~1F (z) en\f{Z)-f(W dz.
Используя A89) и A90) и выбирая п > л0, получаем
~ f (*°Н ds =
/ Uo)l, ^ — (я — no) Re |
^ €- w0Re/ U0)^j. e- (я - n0) Ь%
Отсюда следует, что
т. е. при П—+СО интеграл по /t убывает по показательному закону и тем
самым быстрее любой отрицательной степени п. В оставшемся интеграле
по /0 мы выделим члены различного порядка относительно я. Введем сле-
дующее обозначение:
Кп Со) = 5 (г - г.)*-'/7 (г) в"{/ (f)
'о
и перейдем от переменной г к новой переменной •», положив
79] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 289
В силу сказанного выше f(z0)—f(z)^0 на /0, так что т>0 на /о. Прини-
мая во внимание разложение для / (я), получаем [23]
Как упомянуто выше, мы выбираем при определении х ту ветвь корня,
которая отображает контур /0 на положительную часть вещественной оси
плоскости х = s 4- "• Для этого надо иметь
p\
где со/ определяется формулой A85) и в правой части надо брать арифме-
тическое значение корня. Степенной ряд A92) имеет однозначное обращение
z(*) = zo + a1x + aix» + ..., A93)
где
-(ге
Мы можем считать, что число R в неравенстве A87) было выбрано на-
столько малым, что круг \z — 20|^^» согласно формуле A93), получается
из некоторой области, содержащейся в круге | т | < р, в котором функция z (т)
регулярна.
Будем считать, что концу контура /0, расположенному на окружности
\г — 20|=#, соответствует значение т = *1>0, так что контур /0 отобра-
жается в отрезок O^TssCtfj вещественной оси.
Выполняя в интеграле указанную замену переменных, получаем
Кп (/.) = J [* W - *Л*-1Р [* W] *' W e-^dx. A95)
На интервале О^т^^ множитель, стоящий при экспоненте под знаком
интеграла A95), может быть записан в виде
причем имеет место равномерная оценка
\Rn(*)\<cn (O^^'i) A96)
и т*» = ?(<*—1)ш тэ Где in х мы считаем вещественным. В силу A94) bQ опре-
деляется формулой
-pPI **J'F(H), A97)
а для остальных коэффициентов получаются, как можно показать» следующие
выражения:
W\ 7Тщ
(-1 )* Г/'р
Г
р)
A98)
290 ГЛ. ИГ. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ G9
где gks — коэффициенты при (г — го)к в разложении
Выполняя в формуле A95) почленное интегрирование, получим
Кп (/0) = У bk { ъ*+*~*е-п*р dx + \ RN (х) xN+a-le-nxP d%% A99)
I -^\
Оценим интеграл от остаточного члена и покажем, что он порядка О\п Р J.
Используя неравенство A96), приходим к оценке
t h oo
| \ RN(?) *ы+*~1е~п*р dx | < CN\ x*+«-V"* dx<CN\x^^le~n^ dx.
В последнем интеграле перейдем к новой переменной х = пхР:
r о
и, следовательно, действительно
Рассмотрим теперь интегралы, стоящие под знаком суммы в формуле A99).
Прибавляя и вычитая интеграл по промежутку (tu oo), получим
1 с
f z«+k~ie~mPdlz _. jj z*+k-ie-mPdlz _ С ++k-ie-nTPfa B00)
О 0 tt
В первом интеграле перейдем к переменной л::
V "я о
Второй интеграл в равенстве B00) оценим и покажем, что он имеет порядок
O(e~^in). Умножим и разделим подинтегральную функцию на е~пьхР:
Если /г > nOf множитель e~ln п^ хР монотонно убывает при? —оо. Вынося
этот множитель на нижнем пределе интегрирования и расширяя затем
79] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
промежуток интегрирования, мы придем к следующей оценке:
291
0
Поскольку множитель в круглых скобках не зависит от п, полученная оценка,
показывает, что действительно
= Q (g-h
Д4 > 0),
где А4 = ^f. Подставляя найденные выражения для интегралов в формулу
A99), получаем асимптотическое представление для Кп (А>):
Так как величины О (e~Ain) убывают быстрее любой отрицательной степени;
п, мы вправе объединить их со слагаемым О\п р )'
Наш исходный интеграл имеет вид
/„ (/) = «"/ <^о> [/Г„ (/,) + Кп (/«I B02)
и мы показали, что А^ (lt) = О («~4Л). Подставляя разложение B01) в фор-
/ _^\
мулу B02) и вновь объединяя величину О (е~ьп) со слагаемым О \п р }%
мы получаем искомое асимптотическое разложение интеграла 1п (/):
1Л (/) =
Полученное разложение можно записать также в виде
rJV-l
2^r^i±*
B03)
Мы получили, таким образом, для интеграла /л (/) асимптотическое разло-
жение по дробным степеням п~ 1^Р] причем остаточный член убывает при
п—>со на п~ 11$ быстрее по сравнению с последним слагаемым суммы.
292 гл. иг. применение теории вычетов [79
Сохраняя в сумме B03) лишь слагаемое, соответствующее /г = 0, мы
получим для интеграла /„ (/) формулу первого приближения
До сих пор мы рассматривали простейший случай, когда контур интегриро-
вания / в интегралах 1п (/) начинался в самой седловой точке г0. В прило-
жениях встречаются интегралы
/я (L) = Uz — zo)* F (г) e*f ">dz, B04)
распространенные по контуру Z,, начало и конец которого расположены
в отрицательных секторах функции f (г). При этом контур интегрирования
может быть как конечным, так и бесконечным. Будем предполагать, что
исходный контур интегрирования удается, не меняя величины интеграла,
продеформировать так, чтобы он проходил через седловую точку и в неко-
тором круге \z — zo\^R с центром в седловой точке совпадал с линиями
v (х> У) ~*~v (хо> У о) — ® наибыстрейшего убывания функции enf (г). Будем
считать при этом, что контур «входит» в седловую точку в отрицательном
секторе с m = 2j1 и «выходит» из седловой точки в отрицательном секторе
с /пх=2/я.
Кроме того, будем предполагать, как и выше, что в круге \г — го|^/?
функции F{{z) и f(z) разлагаются в ряды A88), вне этого круга на контуре
интегрирования выполняется неравенство
и при некотором п = п0 интеграл B04) абсолютно сходится. Для получения
асимптотического разложения в этом случае, очевидно, интеграл ln (L) сле-
дует представить в виде разности двух интегралов.*Пусть lj и /у2— части
контура, на которые он разбивается седловой точкой z0. Пусть при этом
контур /у расположен в отрицательном секторе с номером т = 2jt и на
контуре 1]х определено направление, противоположное напра.влению интегри-
рования вдоль L, контур /yg расположен в отрицательном секторе с номером
т = 2/2 и на контуре /yg определено направление, совпадающее с направле-
нием интегрирования вдоль L. Введем интегралы
/л (/д) = J (г — zQ)*-lF (z) enf {Z)dz (v = I, 2). B05)
Тогда
In (L) = In (lJ2) — In (tfi). B06)
Для каждого из интегралов 1п (/yv), очевидно, справедлива формула B03).
Фазы коэффициентов Ь^ в этой формуле зависят от принадлежности контура
интегрирования тому или иному сектору. Поэтому впредь коэффициенты Ь^
в формуле B03) мы будем записывать в виде b{fc\ указывая при помощи
верхнего индекса, для какого сектора вычислен соответствующий коэффи-
циент. Принимая во внимание последнее замечание, для интеграла B06) мы
получаем, таким образом, следующее асимптотическое разложение:
"Л B0Т)
SO] примеры 293
8 первом приближении мы будем, очевидно, иметь
x<
Г[-)/г
| ^ j G/rK) «_^i ^ B/i+D к 11 / _ jl_\ 1
Рассмотрим случай простой точки перевала и будем считать а = 1. В случае
простой точки перевала р = 2 и существуют только два отрицательны!
сектора у = 0 и /= 1. Пусть j2 = 0 и jt = I. Нетрудно установить при по-
мощи формулы A98), что прир = 2 и а = 1 выполняются равенства
Поэтому в формуле B07) остаются только четные слагаемые, и мы полу-
чаем разложение по целым отрицательным степеням п:
/Л (L) = e"f «а» гГ 2 ^2, ^ г (Ц1^) ^"' + О (/i-^jj • B08)
В первом приближении
In (L) = i ]/"^ Р (г,)e"f «о'Г ^"* /<8> ()| /•' («.) Г Т [ t + О (я-«)Ь B09)
80. Примеры. Iе. В качестве примера применения формулы B09) полу-
чим формулу Стирлинга для гамма-функции Г (п -f-1). В интеграле Эйлера
для функции Г (г):
Г (п + 1) = \ tne-tdt (Re л > 0),
о
перейдем к новой переменной t = лг:
ИЛИ
оо
Г (п 4-1) = "Л+1 \ еп (|П #- 4)^. B10)
= "Л+1 \
Мы получили интеграл вида B04), в котором
а = 1, F{z) ==1 и /(*) = in г —
Функция f(z) имеет седловую точку z0 = 1 и /* A) =—1. Очевидно, /(г)
в точке 20= 1 достигает максимального значения, равного (—I) и монотонно
убывает при удалении от точки максимума в обе стороны. Поскольку интег-
рал B10) сходится при всяком л, у которого Re/i>—-1, и вне интервала
\г—1 |^/?<-^- выполняется неравенство
—1 — inz + z^R — tn(l +/?) =
294 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [SO
мы можем применить формулу B09). Выполняя необходимые вычисления,
получаем
Г (я + 1) = ]/-^ ««+•«-« [l+О (•!)]• B11)
2°. Рассмотрим интеграл вида
1(*] *. B12)
где ze — седловая точка f(z) и а — числовой параметр. Функции F (z) и/(г)
мы будем по-прежнему считать регулярными в некотором круге \z — zo\^
*^R. При малых значениях |а| подинтегральная функция имеет полюс пер-
вого порядка z = z0 4- а вблизи седловой точки.
При выводе асимптотической формулы для интеграла B04) использовался
тот факт, что функция F (z) и ее производные ограничены в окрестности
седловой точки z = z0. В рассматриваемом интеграле B12) подинтегральное
выражение стремится к бесконечности при а-^0и2-20. Мы выведем асим-
птотическую формулу для /П} а при п —* оо, справедливую не только при
фиксированном а^О, но и при а-*0, причем остаточный член будет мал при
п-+со равномерно по а.
Мы рассмотрим ниже частный случай, когда f (z0) -ф 0, слсдовательног
р = 2, и ограничимся выводом только главного члена асимптотического раз-
ложения. Мы будем, далее, считать, что при а—^0 имеют место неравенства
— у arg/" (zo) + Y + е < afg a < — у *r%f (*•) + -J-— е Bl3>
или
— ~2 arg/' (zo) — у + ^ < arg a < — у arg/' (z9) + -j — с,
где arg/' (z0) фиксирован определенным образом, как и в [78]. Из указан-
ных неравенств следует, что полюс подинтегральной функции zt = z0-\-a не
может приближаться к точке z0 по направлению, касательному к контуру
скорейшего спуска, касательная к которому в точке z0 имеет направление
2 аг?/" (zo) — ~2» Мы будем предполагать также, что на участках /' и
/" контур? Z,, расположенных вне круга \z — zo\^Rt выполняется неравен-
ство
и что часть /0 контура Z,, принадлежащая этому кругу, совпадает с линией
v (•*> У) — v (•*<>> Уо) = 0 наибыстрейшего убывания функции | enf{2) \ и идет
из отрицательного сектора с номером m = 2j1 = 2 в отрицательный сектор
е номером т = 2/2 = 0. Как и в предыдущем пункте можно показать, что
1п (/') = О {е' Ln) и 1п (/") = О (е~ Ап). B14)
Поэтому главным участком контура интегрирования будет по-прежнему
участок контура интегрирования /0, проходящий через седловую точку.
В интеграле
B15)
= \
го + а — z
о
$0] примеры 295
перейдем к новой переменной т, положив, как и в [79|,
+^^(г-го) + ..]. B,6)
При выбранной ветви квадратного корня интегрированию по контуру 1%
будет соответствовать интегрирование по отрезку [—12, ?J (ta>0) веще-
ственной оси плоскости т. Обращая степенной ряд в равенстве B16), получим
где
в
В новой переменной интегрирования интеграл B15) запишется в виде
На плоскости комплексного переменного т подинтегральная функция будет
при достаточно малых | а | иметь полюс первого порядка в точке
Выделяя полярность, представим множитель, стоящий при экспоненте в
интеграле B17), в виде
где Ft (т) — регулярная функция х в некоторой окрестности точки х = 0.
Асимптотическое разложение интеграла
h
строится прежним образом, и согласно формуле B09)
/ = Yi ^« (°) I1 + О («"'И. B19)
В интеграле
заменим пределы интегрирования на —оо и оо. Такое расширение проме-
жутка интегрирования, очевидно, изменит интеграл на величину порядка
О(е~~^% где A1 = min(*1, t2). Таким образом,
296
ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
[80
Принимая во внимание также формулу B19), для исходного интеграла In>a(L)
получаем
где
Интеграл
J
B21)
1
w
= \ dx
сводится к интегралу вероятностей от комплексного аргумента. Положим
1
B22)
где С = >/Г^то. Интеграл B22) протабулирован (В. Н. Фаддее в а и
Н. М. Т е р е н т ь е в, Таблицы значений интеграла вероятностей от комп-
лексного аргумента, Гостехиздат, 1954).
Пусть а-*0, тогда т0 будет также стремиться к нулю. Покажем, что
с к ул
0\п 2)
в этом случае с точностью до слагаемых порядка 0\п 2) величина С в
интеграле B22) может быть заменена первым членом разложения Yn xo (а)
do степеням а, т. е. величиной Со = j/лГ т^ @) а.
Оценим разность
Объединяя интегралы, получим
w-
l*l<$
Мы имеем, далее,
|(С0 —лг) (С —
где
<С,-лг)(С-лг)
— oo
-M _
е- ** dx.
1
V7T ' |1тх;@)а|.|1гаК@)а fа»г(а)]|
-l
и при малых а величина г (о) удовлетворяет неравенству
If (а) |<С. B23)
$1] МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 297
В силу нашего предположения B13) справедливо также неравенство
О < е < | arg т; @) • а | < те — е. B24)
Используя неравенства B23) и B24), последовательно получаем
С-С. t 1 С|«|' 1
\^ х; @) а |» sin8 е " I. |1ша»г(«)| I ^
I I
< @) а | Sin с I
так как
xj @) а | sin e
яри достаточно малых | <* |.
Оценка B25) позволяет утверждать, что действительно
HI
Таким образом, в рассматриваемом случае
-ОС"')-
ом случае
= г* <*о> [f(zo + *)w (Св) + О (/Г Т)],
где
81, Метод стационарной фазы. Мы кратко изложим теперь асимпто-
тическое представление таких интегралов, в которых один из множителей
подинтегральной функции дает колебательный режим с большой частотой k.
Роль малого параметра при этом будет играть величина -г-. Будем рас-
к
сматривать интегралы вида
ь
I (k) = Jg (x) eikh (^' dx, B26)
где k — вещественный параметр и h (x) — вещественная функция, которая
называется обычно фазой соответствующего колебательного режима:
eikh сх» = cos [kh (X)] + 1 sin [kh (x)].
Аналитичность функций g(x) и h (x) пока не предполагается, но будет
предполагаться, что они имеют на промежутке интегрирования непрерыв-
ные производные до определенного порядка или всех порядков.
Как оказывается, существенную роль при оценке интеграла B26) играют
два фактора: значение функции g(x) на концах промежутка интегрирования
и те значения лг, при которых Л'(л:) = 0 (точки стационарности фазы). Особо
значительное влияние на величину интеграла оказывают точки стационарно-
сти фазы. Прежде чем переходить к общим результатам, приведем неско.тькэ
элементарных примеров. Рассмотрим интеграл
00 00 00
/l== J e"x*eik* dx= J е~ x\os (kx) dx +1 $ e~ x% sin (kx) dx.
— 00 — 00 — 00
B27)
298 ГЛ. III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ [81
Функция g (х) = е~~ *2 обращается в нуль при д: = it оо, а производная функ-
h () б Вй й B2
у g () р у р , рд фук
ции h (х) = х не обращается в нуль. Второй интеграл правой части B27)
обращается в нуль в силу нечетности е~~ *2 sin (kx)t а первый
при помощи дифференцирования по параметру, и мы получаем
т. е. /j убывает при k—*co по показательному закону.
Рассмотрим еще интеграл
— 00
в котором h(x) = x2 и Л'@) = 0. Нетрудно показать, что
Т
[
откуда следует, что /2 имеет порядок при Л-—
Перейдем теперь к изложению некоторых общих простых результатов,
которые получаются применением интегрирования по частям.
Теорема 1. Пусть промежуток а^х^Ь конечен, g (x) бесконечно
дифференцируема на нем и обращается в нуль со всеми производными на
концах промежутка. Пусть, далее, h (x) также бесконечно дифференци-
руема и ее производная отлична от нуля на промежутке а^х^Ь. При
этом, если k—*co, то
ь
elkhlX) dx = 0 (k~m)
для любого целого т > 0.
Интегрируя по частям и принимая во внимание, что g (a) = g (b) = 0,
получим
ь
I = — I е* (х) eitth {Х) dx р (х) — / — ( &
1 k )gl {х) е ах' gi {х)-1 dx \h'
а
i
и т. д. Все функции ^s (x) бесконечно дифференцируемы и равны нулю на
концах промежутка. При применении указанной операции т раз получаем»
ъ
81) МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 299
Замечание I. Если предположить непрерывную дифференцируемость
лишь до некоторого порядка N, то утверждение теоремы будет иметь место
при т = N
Замечание 2. При некоторых естественных оговорках утверждение
теоремы будет иметь место и для бесконечного промежутка интегрирования.
Предположим теперь, что функция g(x) и все ее производные равны
нулю при х = Ь, но могут быть отличны от нуля при х = а. Предположение
ft @) фЪ при а^х^Ь сохраним. При интегрировании по частям сохра-
нятся внеинтегральные члены при х = а, и мы получим для интеграла
следующее асимптотическое представление при большом к.
+ + + 0 <*"""'>] <228)
Легко выразить значения первых коэффициентов ds через значения g(x)t
h (х) и их производных при х = а. При наличии стационарных точек, т. е.
точек, в которых производная ft (х) обращается в нуль, исследование инте-
грала значительно усложняется, и мы приведем лишь некоторые простейшие
результаты но этому поводу. Можно показать, что в случае конечного числа
стационарных точек на промежутке интегрирования задача сводится к иссле-
дованию промежутка с одной стационарной точкой.
Приведем теорему, доказательство которой можно найти в книге: Э. К о п-
сон, Асимптотические разложения, 1966. Предполагается, что g(x) и h(x)
регулярны в некоторой области, внутри которой находится промежуток
п^х^Ь, и h (x) — вещественная функция на вещественной оси.
Теорема 2. Пусть h (x) имеет на промежутке а^х^Ь единствен-
ную стационарную точку х = а и g(a)zfiO. При этом, если h* (x) > О,
то
а если h" (х) < 0, то
Совершенно такая же теорема имеет место, если ()
Результаты получаются иными, если К (а) = h" (а) = 0. Если, например,
при этом Л'" (а) > 0, то
Более общие результаты по методу стационарной фазы имеются в книге:
А. Э р д е й и, Асимптотические разложения, 1962.
ГЛАВА IV
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
И ФУНКЦИИ МАТРИЦ
82. Регулярные функции многих переменных. Теория аналити-
ческих функций многих переменных в своих основных понятиях по-
добна теории функций одной переменной, но при дальнейшем раз-
витии она существенно отличается от нее. Мы будем заниматься лишь
основными понятиями этой теории и более подробно остановимся на
теории степенных рядов от нескольких комплексных переменных. Для
краткости изложения будем говорить часто лишь о функциях от двух
комплексных переменных. Все приводимые ниже определения и до-
казательства легко переносятся на случай любого числа переменных.
Итак, пусть Z\ = хх -f- ty\ и ^2 = х* ~\~ 4Уа — две комплексные пере-
менные и
/(*!, **) 0)
— функция от них. Аналогично случаю одной переменной мы можем
рассматривать функцию A) как функцию в четырехмерном простран-
стве Е4 вещественных переменных (х\9 У\, х^у у^). Положим, что эта
функция задана в некоторой области D этого пространства. Говоря
об области в Eit мы будем всегда подразумевать открытую область.
Положим, что функция A) однозначна и непрерывна в D и что для
любой точки (zb z%) из этой области отношения
^zl9zi)^f(zliz%) и f(zl9 zs + bzs)— f(zv z2)
стремятся к определенным пределам при стремлении комплексных
приращений А^ и Д,г2 к нулю. При этом функция A) называется
регулярной или голоморфной в D. Упомянутые пределы называются
Устными производными от f(zh z%) по Zi и по zb и они обозначаются
следующим обычным образом:
df(zltz2) и df(zu z2)
dzt dz2
Аналогичные обозначения дальше будут применяться и для производ-
ных высших порядков.
82J РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 301
В случае функции т переменных f(zlt ..., zm), где zs = xs-\-iys
E=1, ..., т)у область D определения ее находится в 2/ю-мерном
пространстве с координатами (хь уъ ..., хту ут).
Криволинейный интеграл от функции f(zb 2а), непрерывной на
линии
определяется обычным образом при условии, что функции <рл(^) и
фл@ имеют непрерывные или кусочно непрерывные производные
первого порядка.
При обобщении формулы Коши на случай нескольких комплексных
переменных встречаются большие трудности. Мы рассмотрим это
обобщение лишь для простейшего случая области D. Пусть Bs — не-
которая открытая область на плоскости комплексного переменного
zs (s = 1,..., т). Совокупность всех точек (zif..., zm) таких, что всякое
zs принадлежит BS1 называется полицилиндрической областью D 2т-
мерного пространства (zh ..., zm). Если Bs есть круг \zs — bs\<^rs
(г5^>0; s= 1,...,//г), то область D называется круговым цилиндром
с центром (#ь ..., Ьт). Для двух переменных (zif z%) применяют обычно
термины «бицилиндрическая область» и «круговой бицилиндр». В ?4
круговая бицилиндрическая область определяется неравенствами
1*1 — ^i|<Cri и \z% — ^|<Cr2 или
где bk =
Можно дать другое определение регулярности функции f(zh га)
в области D общего вида: функция f(zb z%) называется регулярной
в области Д если она однозначна, непрерывна в этой области и для
любой точки (bi9 ft2) этой области существует такая круговая бици-
линдрическая окрестность этой точки \zt — bl\<^rl (/=1, 2), что
в этой окрестности f(zv г2) представима абсолютно сходящимся сте-
пенным рядом
Р, 0=0
Мы будем исходить из данного выше определения и докажем его
равносильность определению с помощью степенного ряда.
Выше в определение регулярности функции мы включили ее не-
прерывность по двум переменным (zi9 z,2). В связи с этим отметим,
что имеет место следующая общая теорема Гартогса: если функция
f(zitz2) однозначна в бицилиндре A{\zx\<^r^ |*a]<re} и такова,
что для каждого z[0) из круга \ zx \ < гх функция f{z{^\ za) регу-
лярна в круге |га|<>2 и для каждого z^ из круга \z%\<^r%
функция f(zh ^0)) регулярна в круге | zx |< гь то f(zb *2) ре-
гулярна в бицилиндре Л.
302 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [83
83. Двойной интеграл и формула Кош и. Пусть f(zh z%) ре-
гулярна в полицилиндрической области {В^ B^}t определяемой об-
ластями Bs на плоскостях zs(s=lt 2), a /t и 1% — гладкие или кусочно
гладкие контуры, расположенные соответственно в fit и В* Составим
повторный интеграл
A = \ dzi\f(*v z*)dzv
h h
Меняя порядок интегрирования, придем к двойному интегралу
вида
h h
Покажем прежде всего, что интегралы Д и /в совпадают. Поло-
жим, что уравнение кривой 1У в параметрической форме будет
*i @ = *i @ + 0>i @ (а < t ^ Ь)
и уравнение кривой /а будет
г2 (т) = х% (т) + ty% (т) (с ^ х < rf).
Подставляя в выражение функции f(zlt zjj
zi = zl(t) и z% = z%(x)t
мы приведем интеграл Д к двум квадратурам по переменным t и т,
причем при первом интегрировании по t мы будем иметь постоянные
пределы а и Ь* а при втором интегрировании по х — постоянные
пределы с и rf:
д=\ № (х)+/у; (х)] dx 5 /[^п (о, г, (х)] [jc; (о+/у; (щ dt
с а
Написанный интеграл равносилен, очевидно, двойному интегралу
на плоскости (t, x), взятому по прямоугольнику
с < х < d.
В таком интеграле, как известно [II, 59], можно менять порядок
интегрирования, сохраняя прежние пределы, т. е. интеграл Д мы
можем переписать в виде
ь d
А = \ [*\ @ + № @1 dt $ f[zx {t\ z% (x)] \x% (x) + ly% (x)] rfx,
а с
а этот последний интеграл, очевидно, равносилен интегралу 1^ откуда
и вытекает, что интегралы Д и 1% совпадают. Их общая величина
v называется двойным интегралом от функции f(zv z*), взятым по
контурам Д и /а.
83] ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ И ФОРМУЛА КОШИ 303
Мы могли бы определить интеграл непосредственно как предел
суммы. Разделим линию 1\ промежуточными точками
на т частей и точно так же линию /9 промежуточными точками
разделим на п частей. Составим, далее, двойную сумму
"Ё/^ ^))(^+1)-^))(^+1)-4П
р=0 0 = 0
где E*f) — некоторая точка дуги z[p)z[P+i) линии lt и fcfa) — некоторая
точка дуги гфг{я+1) линии /а. Предел исписанной суммы и приведет
нас к величине /х (или /2).
Пусть границы Бх и В%—простые замкнутые кривые 1Х и /2, и
положим, чю f(zv z$) регулярна в замкнутой бицили::дрической области
(Si, В%)9 т. е. J (zv «с2) регулярна в бицилиндрической области (B'v B%)
такой, что В[ и В'% содержат соответственно В\ и В* вместе с их
границами внутри себя.
Рассмотрим двойной интеграл
h
ИЛИ
~ —L^L—dz'v
где Z\ и г2— некоторые фиксированные точки внутри Вх и ?2.
При первом интегрировании по контуру /2 переменная z\ является
параметром и обозначает некоторую фиксированную точку, лежащую
на контуре /1# При этом f{z'v г2) будет функцией одного комплекс-
ного переменного zv регулярной в замкнутой области В2. Применение
обычной формулы Коши даст нам
Здесь функция f(z'v z^ будет регулярной функцией от z[ в замк-
нутой области В\. Применяя еще раз обычную формулу Коши, будем
иметь
и, следовательно, в результате получим формулу Коши
304 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [84
Для случая т комплексных переменных формула Коши, при соответ-
ствующих условиях, имеет для полицилиндрической области вид
z%t ...tzm) =
) aZ ) aZ ) dZ
lm
Из формулы B), как и для случая одной комплексной переменной,
следует, что f(zb г2) имеет в соответствующей полицилиндрической
области производные всех порядков, которые выражаются формулами
dzp дгя
— &L С dz'j С f(*'i>*2)
C)
Из формулы Коши вытекает, как и в случае функции одного комплекс-
ного переменного, принцип модуля: если \f(z'v z'%)\ ^M, когда z\
принадлежит 1Х и г^ принадлежит 4» т<> 1/(^1» ^ч)\^М в замкнутой
соответствующей полицилиндрической области.
Так же, как и для одного комплексного переменного, доказывается
теорема Вейерштрасса: если члены ряда
регулярны в замкнутой бицилиндртеской области (см. выше) и
ряд сходится равномерно в упомянутой замкнутой области, то
сумма ряда регулярна внутри бгщилшдржеской области и ряд
можно дифференцировать почленно по zv и по г2 сколь угодно раз
(внутри этой области). При этом продифференцированный ряд равно-
мерно сходится во всякой полицилиндрической области, которая
находится строго внутри первоначальной полицилиндрической
области.
84. Степенные ряды. Степенной ряд от двух независимых пере-
менных Z\ и г2 с центрами Ь^ и Ь% имеет вид
где переменные суммирования pug независимо друг от друга про-
5егают все целые положительные значения, начиная с нуля. Ряд D)
1вляется двойным рядом.
Такие ряды мы рассматривали выше [I, 142] для того случая,
<огда члены ряда суть вещественные числа.
841 степенные ряды 305
Положим, что сходится ряд, составленный из модулей членов ряда
S 2 |яР*|1*1-*1П*9-л|*- E)
В этом случае, как мы видели в [11], ряды, составленные из
вещественных и мнимых частей членов ряда D), будут абсолютно
сходящимися, и суммы этих двойных рядов с вещественными чле-
нами не будут зависеть от того, в каком порядке мы производим
суммирование этих двойных рядов. Следовательно, в этом случае,
т. е. при сходимости ряда E), ряд D) будет сходящимся, и его сумма
будет вполне определенной при любом порядке суммирования этого
двойного ряда. В дальнейшем мы и будем только рассматривать тот
случай, когда сходится ряд E), т. е. когда ряд D) будет абсолютно
сходящимся.
Нетрудно совершенно так же, как и в [13], установить теорему,
аналогичную теореме Абеля. Положим, что ряд D) абсолютно схо-
дится при Zi = oLt и ^2 = ^. Отсюда непосредственно следует, что
члены этого ряда при указанных значениях независимых переменных
должны оставаться ограниченными по модулю, т. е. что существует
такое число Ж, что при любых значках ряд имеет место нера-
венство
или
lap*KK_&i|P*[a2_M,. F)
Рассмотрим теперь два круга К\ и К% для переменных zt и га:
|*i — »i|<l*i — Ы; l*i — »il<l«t — »t|. G)
Первый из них содержит те точки гъ которые ближе к Ьи чем аь
и второй — те точки zb которые ближе к Ьь чем а2.
Возьмем некоторую точку z\ из круга К% и некоторую точку z*
из круга Kif т. е.
l*i — fti1 = 9ri|«i — Ьх\ и \z% — bi\ = qi\a% — b%\,
где 0<[<7y<4, (/=1,2). При этом, пользуясь F), мы гголучим сле-
дующую оценку для модулей членов ряда D):
\apq\\zi-bl\P\z%-bt\^MqPqi. (8)
Но нетрудно видеть, что двойной ряд с положительными членами
00 00
2 S
р = 0 <7 =
306 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [84
будет сходящимся. Действительно, этот ряд получается путем пере*
множения двух рядов с положительными членами [I, 138]
и его сумма равна, очевидно,
М
Таким образом, в рассматриваемом случае ряд E) будет сходящимся,
а ряд D) абсолютно сходящимся. Из оценки (8) вытекает также, что
ряд D) будет равномерно-сходящимся в кругах К[ и Ki имеющих
центры Ъ\ и Ъъ и радиусы pi и р2, меньшие, чем у /Ci и /С?. По су-
ществу мы пользовались при доказательстве не абсолютной сходи-
мостью ряда D) при Zi = at и г2 = а2, а неравенством
т. е. ограниченностью членов этого ряда при zi = al и г% = щ.
Мы приходим, таким образом, к следующему свойству: если все
члены ряда D) при 21 = а1, г2 = а^ ограничены по модулю одним
и тем же числом, то ряд D) абсолютно сходится внутри круговой
бицилиндрической области G) и равномерно сходится в круговой
бицилиндрической области
1*1 —ftlKO—в)|«1 —Ы |*| —&*|<A—
Отметим, что если для 2i = at и *a = «e ряд D) сходится (не обяза-
тельно абсолютно) при каком-либо порядке суммирования, то его
члены по мере удаления от начала стремятся к нулю и поэтому
ограничены по модулю одним и тем же числом.
Из сказанного выше мы приходим, как и в [13], к понятию о
радиусах сходимости ряда. В данном случае мы будем иметь сопря-
женные радиусы сходимости Ri и Я2 ряда D).
Приведем их точное определение. Два положительных числа Ri
и /?2 называются сопряженными радиусами сходимости ряда D)г
если этот ряд сходится в бицилиндре {| zv — &i|<^/?i, \z%— b^\<CJR^
и не сходится в бицилиндре {| zv — ?i|<CRi, \z% — **!</?»}, где
R'i^>Ru R'z^Rz или R[^Ri и R'2^>R^ При уменьшении одного
радиуса другой радиус сходимости может увеличиться. Как и в [13],
можно оговорить специальные случаи Rj = 0 и Rj = оо (/= 1, 2).
В качестве примера рассмотрим ряд
р
Рядом (б) будет ряд
Щ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 307
Соединим в одну группу все члены этого ряда, у которык сумма
p-\-q равна заданному числу s. Согласно формуле бинома Ньютона,
сумма этих членов будет
(l*i Ж *•!)*,
й ряд A0) мы можем переписать в виде
5 = 0
откуда непосредственно следует, что он сходится тогда и только
тогда, когда | ^i | + | г2| <О- Таким образом, для ряда (9) совместные
сопряженные радиусы сходимости определяются равенством R\-\-R<i=l.
Взяв, например, /?1 = 0, где 0<^б<^1, будем иметь R2=l^-9. Если
взять /?! = 0, т. е. положить в (9) Zi = Q, то получим ряд
для которого R%=1.
В качестве второго примера рассмотрим ряд
Как нетрудно видеть, условие сходимости выражается неравенствами
|^i|<^l и |2*|<^1, и сопряженные радиусы сходимости Rl = R%=\
определяются каждый в отдельности. Но при z% = 0 ряд сходится
на всей плоскости z\— он обращается в полином Z\-\-z\.
Рассмотрим ряд D). В силу равномерной сходимости и теоремы
Вейерштрасса сумма ряда D) внутри совместных кругов сходимости
представляет собою регулярную функцию f(z\, г2) двух переменных.
Так же, как и в [13], ряд D) можно дифференцировать по обеим
переменным сколько угодно раз внутри кругов сходимости, и это
дифференцирование не меняет кругов сходимости.
Дифференцируя несколько раз и полагая затем Zi = bi и z% = bb
получим, как и в [14], для коэффициентов ряда следующие выражения:
*pq-
(П)
т. е. ряд D) представляет собою ряд Тэйлора для функции f(zif га).
Если Ri и Ra — совместные радиусы сходимости ряда D), то этот
ряд абсолютно и равномерно сходится при \zt — bx \ ^ Ri — е и
\z% — b} | ^ Ra — е, где е — любое малое фиксированное положитель-
ное число. При этом, согласно C) и (И), мы будем иметь для коэффи-
циентов ряда оценку
308 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [84
где М — некоторая положительная постоянная, значение которой
очевидно, зависит от того, каким мы выбрали е.
Заменим в ряде D) коэффициенты ард положительными числами,
которые превосходят модули | ард |; при этом мы получим степенной
ряд
оо оо
2 ^ W** —W* (Ki = /?i — e; /?; = /?, —е), A3)
который называется обычно превосходящим или мажорантным для
ряда D). Ряд A3), как нетрудно видеть, имеет сумму, равную
л;
и эта последняя функция называется мажорантной функцией для
ряда D). Ее разложение в степенной ряд по степеням (zx — bx) и
(,г2 — &2) имеет положительные коэффициенты, большие, чем модули
коэффициентов аРГ
Нетрудно обобщить на случай двух переменных и результаты [14].
Пусть f(z\, г2) — функция, регулярная в кругах \zt — bx | ^ Rx и
|г2 — й2|^/?2, с центрами bt и Ьъ и пусть 1Х и /2 — окружности этих
кругов. Предполагая регулярность в замкнутых кругах и фиксируя
две какие-нибудь точки zx и г2 внутри упомянутых кругов, мы будем
иметь формулу Коши
Рассмотрим рациональную дробь
1
Как ив [14], мы можем разложить ее по степеням разностей
— bi) и (г2 — Ь2) в ряд
1у
равномерно сходящийся относительно 2^ и г2, если эти последние
находятся на окружностях /t и /2. Подставляя это выражение в фор-
мулу A5) и интегрируя почленно, мы и придем к представлению
нашей функции f(zly г2) внутри упомянутых кругов в виде степенного
ряда
2 2
р = 0 g = 0
g4] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 309*
Коэффициенты этого ряда определяются по формулам
4тс2 _ _
h h
1 rlP+Q-P i* r, \
. A7)
Таким образом, всякая функция f(zh г2), регулярная внутри
двух кругов, разлагается внутри этих кругов в степенной ряд.
Нетрудно видеть, как и в [14], что это разложение единственно,
ибо коэффициенты его определяются обязательно формулой A1).
Мы можем в ряде D) соединить в одну группу члены одинако-
вого измерения относительно разностей (z\ — b{) и (г2— ?2), т. е.
написать ряд D) в виде
Oj
где внутренняя конечная сумма распространяется на те значения р
и <7, сумма которых равна s. Формула A8) дает нам внутри кругов
сходимости представление функции f(zh z2) в виде суммы однород-
ных полиномов относительно (zv — Ьг) и (г2 — ft4). Положим теперь
наоборот, что ряд A8), расположенный по однородным полиномам,
будет равномерно сходиться в некоторых кругах, \z\ — Ь\ \ ^ Ri и
\z% — bzl^Rz. Согласно теореме Вейерштрасса, сумма этого ряда
будет регулярной функцией f(zb z%) в этих кругах.
Мы можем, кроме того, в данном случае дифференцировать наш
ряд A8) сколько угодно раз по обеим переменным. Совершая это
дифференцирование и полагая затем z\ = b\ и z% = bb получим для
коэффициентов apq формулы A1), т. е. эти коэффициенты будут
коэффициентами ряда Тейлора для функции f(zh г2), и мы можем
переписать ряд A8), расположенный по однородным полиномам, в виде
двойного ряда D), причем этот ряд будет абсолютно и равномерно
сходиться внутри упомянутых кругов. Таким образом, мы можем утвер-
ждать, что из равномерной сходимости ряда, расположенного по одно-
родным полиномам, внутри некоторых кругов, следует, что мы можем
переписать этот ряд просто в виде двойного ряда, который будет
обычным степенным рядом, абсолютно сходящимся внутри упомянутых
кругов.
Если отделить у Z\ = Xx-\-ly\ и z2 = x^J^iy<i вещественную и
мнимую части, то в четырехмерном пространстве с координатами
(хь уъ хъ у%) область равномерной сходимости ряда A8), располо-
женного по однородным полиномам, может быть более широкой, чем,
у ряда D).
310 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [85
В случае (9) ряд A8) будет иметь вид
и область его равномерной сходимости определяется неравенством
т. е.
to + j^ + to-hy^l. A9)
Для ряда (9) мы должны иметь /?i-{-/?a=l, что приводит в Я4
к неравенству
УТ^УЖТЯ<^ B0)
Нетрудно видеть, что неравенство A9) определяет в ?4 более широ-
кую область сходимости, чем B0), т. е. из B0) следует A9), но не
наоборот. Мы не рассматриваем общего вопроса об области сходи-
мости ряда^ D) в Е& Все сказанное выше легко переносится и на
случай степенных рядов от т комплексных переменных.
Напомним, что если функция f(z) регулярна в некотором круге
\z — а | <^ г, /(а) = 0 и f(z) =/= 0, то существует такое целое т ^> 0,
что f(z) = (z— a)mfl(z)f где fx(z) регулярна в круге \г — а |<^ г и
отлична в нем от нуля. Для случая многих комплексных переменных
имеется аналогичная теорема Вейерштрасса:
Теорема. Если f(w, z) регулярна в бицилиндре {\ w|<^rt;
|*|<СГ*Ь /@,0) = 0 и f(w, 0)^0, то существует такое целое
т^>0, кто в некотором бицилиндре А {\ wj<^r[; \z\<C/2}
/(да, г) = [wm + Л, (z) wm~l +... + Ат (z)] Л (w, z\
где Ak(z)(k=\, ..., m) регулярны в круге \ z |<^ rj и f\{w, z) —
s круговом бицилиндре А\ причем Ak @) = 0 и Л @, 0) ф 0.
85. Аналитическое продолжение. Аналитическое продолжение
функции f(zb Zt), регулярной в некоторой области D пространства
Еь может совершаться при помощи цепи областей и вдоль кривой
в упомянутом пространстве. Мы кратко остановимся на случае про-
должения при помощи цепи круговых бицилиндров.
Пусть функция f(zlt z<i) задана рядом D) в некотором круговом
бицилиндре Di{\zv — #i|<Vi; \z% — #а|<Сг*Ь Возьмем некоторую
точку (сь с%) внутри этого бицилиндра. При помощи ряда D) опреде-
ляются частные производные f(zb z<t) в точке (сь са) и ряд Тейлора
для f(zu z%) по степеням (zx — cv) и (гв — с%), сходящийся в некотором
бицилиндре D<i{\z — cx\<^r[; \z — ^l<Cr2}- Он может в ?4 содер-
жать точки, находящиеся вне Dif и при этом в общей части Di и Ь%
Щ ФУНКЦИИ МАТРИЦ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 311
значения f(zit г2) будут совпадать, а в точках D2, находящихся вне
Dx, мы получим аналитическое продолжение f(zlt г2). Если брать
последовательные центры бицилиндров на фиксированной «линии»
Z\{f), 22@> где t — вещественный параметр, то получится определен-
ное аналитическое продолжение первоначального элемента D) функции
(zXi z%). Задание zx(f)y 22@ равносильно, очевидно, заданию вещест-
венных и мнимых частей zx и <г2, как функций tf т. е. заданию линии
в четырехмерном вещественном пространстве Eg. Для случая функции
одной комплексной переменной этот процесс указан в [18]. На плоско-
стях комплексных переменных zx и г2 задание Zi(f), z2(t) определяет
две линии 1Х и /2, выходящие из точек zl = ali z^ = a2i причем пара-
метр t устанавливает биоднозначное соответствие между точками
этих линий. Выбирая центры кругов на линиях lt[zx(t)9 ?«@] ПРИ
аналитическом продолжении, мы должны брать одинаковое значение t.
Задание только линий 1Х и /2 на плоскостях zx и г2 может не опре-
делять однозначного аналитического продолжения. При указанном
аналитическом продолжении линия lt в Eg должна находиться внутри
некоторой открытой области D из Eg— внутри бицилиндров вида
[\гх-г?)\<гъ |г2-*(*)|<г*}, где zf) = zt{tk) (/=1, 2; * =
= 1, 2, ..., /w). Эти бицилиндры и образуют D. Совершенно анало-
гично круги из [18] образуют открытую область плоскости комплекс-
ного переменного г, внутри которой содержится линия, вдоль кото-
рой совершается аналитическое продолжение.
Мы на этом и ограничиваемся в изложении общей теории функ-
ций нескольких комплексных переменных. В настоящее время эта
часть теории функций очень широко развилась. Более подробное
изложение можно найти в книгах: В. С. Владимиров, Методы,
тесрии функций многих комплексных переменных, «Наука», 1964;
Б. А. Фукс, Введение в теорию аналитических функций многих
комплексных переменных, Физматгиз, 1962; Б. А. Фукс, Специальные
главы теории аналитических функций многих комплексных перемен-
ных, Физматгиз, 1963; Б. В. Шабат, Введение в комплексный ана-
лиз, «Наука», 1969.
86. Функции матриц. Предварительные понятия. Перейдем
теперь к рассмотрению случая, когда аргументом функции является
одна или несколько матриц, притом начнем со случая одной матрицы.
Выше мы уже рассматривали [Ш|, 44] наиболее простые случаи,,
а именно полином и рациональную функцию от одной матрицы.
Прежде чем переходить к исследованию функций более сложных,,
установим некоторые основные понятия. В дальнейшем через п обоз-
начается порядок матриц.
Пусть имеется бесконечная последовательность матриц
ХЬХЬ... B1)
312 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ (86
Будем говорить, что эта последовательность имеет пределом мат-
рицу X, если при любых значениях значков I и k
lim {*„}<* = {*U B2)
т. е. элементы матриц Хт имеют своими пределами соответствующие
элементы матрицы X. При этом мы будем всегда считать, что рас-
сматриваемые матрицы имеют один и тот же порядок.
Введем теперь некоторые новые обозначения, которые будут нам
полезны в дальнейшем. Будем обозначать символом ||а| матрицу, все
элементы которой равны числу а. Будем обозначать через \Х\ мат-
рицу, элементы которой равны модулям элементов матрицы X, т. е.
!• B3)
Если некоторая матрица У имеет положительные элементы, ббль-
шие, чем элементы матрицы \Х\, то будем это записывать в виде
неравенства
Иначе говоря, это неравенство равносильно системе следующих
л* неравенств:
Рассмотрим бесконечный ряд, члены которого суть матрицы
Он называется сходящимся, если сумма его первых п слагаемых
(матрица) стремится к определенной предельной матрице Z. При этом
матрица Z называется суммой ряда
Z=Zl + Zi + ... B4)
Это равенство равносильно, очевидно, следующим ri* равенствам:
+ ... (/, *=1, 2 п\ B5)
Назовем окрестностью матрицы А все матрицы X, удовлетворяю-
щие условию
B6)
где р — заданное положительное число. Неравенство B6) равносильно
следующим л* неравенствам:
Основную роль при определении функции от матриц будут играть
для нас в дальнейшем степенные ряды от этих матриц, и мы пере-
.ходим сейчас к рассмотрению таких рядов.
87 степенные ряды от одной матрицы 315
87. Степенные ряды от одной матрицы. Степенной ряд одной
матрицы имеет вид
a/J-f..., B7)
где ак и a — заданные числа, а /—единичная матрица. Для простоты
письма будем считать в дальнейшем, что а = 0. Вместо ряда B7)
будем иметь ряд
" B8>
Согласно правилу умножения матриц имеем
$=1
и вообще
U = 2 {x}ih \x}hh... {x}jm_2jm_t {x}Jmiki
где суммирование производится по всем значкам jk независимо, от 1
до п. Таким образом, элементы матрицы, которая представляется сум-
мой ряда B8), будут выражаться рядами
со
^0 ik |" / 1 Q'tn / j {Xfij \X\j j • • • [Xjj fo, (^9)
tn*=\ Ji, js Jm-i
где через bik мы обозначили число, которое определяется формулой
0 при / ф k,
1 и C0>
1 при i = k.
Последнее обстоятельство непосредственно вытекает из того, что
свободный член ряда B8) есть а0/, т. е. диагональная матрица,
все диагональные элементы которой равны а0. Формула B9) показы-
вает нам, что ряд B8) равносилен п2 обычным степенным рядам осо-
бого вида относительно п2 переменных {X}ik. Заметим, что при
т=\ слагаемое суммы в формуле B9) имеет вид al{X}ik, и внут-
ренняя сумма исчезает.
Остановимся теперь на вопросе сходимости ряда B8). Займемся
сначала абсолютной сходимостью, т. е. наряду с рядом B8) будем
рассматривать также ряд вида
f... CD
или ему соответствующие л2 рядов
314 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [87
Если эти ряды сходятся, то ряды B9) и подавно сходятся, т. е.
сходимость ряда C1) обеспечивает и сходимость ряда B8), и в этом
случае ряд B8) мы назовем абсолютно сходящимся. Согласно опре-
делению матрицы 1^1 имеем
т. е. выражение C2) получается из B9) заменой всех чисел их модулями.
Выясним теперь достаточное условие абсолютной сходимости ряда
B8). Составим степенной ряд обычного комплексного переменного
^-f-..., C3)
и пусть радиус, сходимости этого ряда равен яр, где п — порядок
наших матриц и р — некоторое положительное число. Как известно,
.для коэффициентов ряда C3) имеем следующую оценку [14]:
где е — любое малое фиксированное положительное число и М —
некоторое положительное число, зависящее от выбора е. Возьмем
теперь матрицу \Ь\ где Ь — некоторое число, и определим ее целые
положительные степени
i = rur, т. е. \\йf =
и вообще
\\b\\m = \\nm-lbml C5>
Будем теперь считать, что ? = р1^>0, и возьмем некоторую мат-
рицу X, удовлетворяющую условию | Х\ <C||pill- При этом мы будем
иметь, очевидно,
1*Г<|Р|Г. г. е.
В силу оценки C4)
Если pi<^p, то, взяв в достаточно малым, мы будем иметь
<i,
яр— е ^ '
и при этом ряд C1) будет очевидно сходящимся, а ряд B8) абсолютно
сходящимся. Если радиус сходимости ряда C3) равен бесконечности,
то сумма этого ряда есть целая функция от z [67].
Из предыдущего вытекает, что в этом случае и ряд B8) будет
абсолютно сходящимся для любой матрицы X. Мы получаем, таким
•образом, следующую теорему:
#7] степенные ряды от одной матрицы 815
Теорема. Если радиус сходимости ряда C3) равен пр, то ряд
B8) абсолютно сходится для всех матриц, находящихся в окре-
стности начала
\х\<Ы (Зв>
Если ряд C3) определяет целую функцию, то ряд B8) будет
абсолютно сходиться для всех матриц (целая функция матрицы).
Укажем примеры таких рядов:
где число а ф 0 и In а — любое фиксированное значение логарифма
числа а.
Вместо окрестности начала C6) можно рассматривать окрестность
более общего вида
C7>
где А — матрица с положительными элементами, и легко показать,.
что если ряд B8) сходится в области C7), то он сходится в этой
области абсолютно.
Пусть имеются два степенных ряда, каждый из которых сходится
при условии C6), и положим, что суммы этих рядов совпадают:
|] атХт= 2 а'тХм.
m=0 m==0
Тем самым мы имеем при X=z = [г, г, ..., z] равенство
Но отсюда следует ат = ат (т = 0, 1, ...), т. е. мы имеем единствен-
ность разложения в степенной ряд вида B8).
Все сказанное выше будет справедливо и для рядов вида B7), но
только везде надо заменить X на X — а, т. е. на X—а/. Для рядов
вида B7) или B8) характерным является тот факт, что они содержат
числа ak и а и только одну матрицу X, которая коммутирует с любым
числом 7> т» с. с матрицей fl. Отметим, что в связи с этим к выра-
жению вида (X—f/)m, где т — целое положительное число, приме-
нима формула бинома Ньютона. Но она неприменима к выражению
'816 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [88
вида (f/i+f/t)» где Ux и ?/в— две некоммутирующие матрицы.
В связи со сказанным выше к рядам от одной матрицы применимы
операции, которые мы имели раньше для степенных рядов одной
комплексной переменной.
88. Умножение степенных рядов. Обращение степенного ряда.
Пусть имеются два степенных ряда
Д(Л)= 2 апХт и /,(*)= S ЬтХт,
т — 0 /п=0
абсолютно сходящихся в области C6). Составим новую матрицу,
которая получается от перемножения их сумм
Элементы этой матрицы будут определяться формулами
{Y)ik = ? {/• (X)}is {Л (*)U C8)
s = i
еде
= *A* + S ** 2
*-l /i Jm-\
^=l /i /m-l
Ввиду абсолютной сходимости этих последних рядов мы можем
перемножить их почленно так, что для элементов матрицы Y будем
иметь согласно C8)
Л /т-1
саму матрицу можно представить в виде
Y =
Отсюда следует, что абсолютно сходящиеся степенные ряди
матриц перемножаются, как обычные степенные ряды кисленных
переменных, причем произведение не зависит от порядка сомно-
жителей,
88] УМНОЖЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 317
Перейдем теперь к вопросу о построении функции, обратной
заданной функции f(X), определяемой некоторым степенным рядом
причем будем считать, что в этом ряде коэффициент at отличен от
нуля.
Рассмотрим степенной ряд обычной комплексной переменной
w = а0 -j- atz -j- a%z% -}-... D0)
Как мы знаем, при условии at ф 0 существует единственный
степенной ряд
.9 D1)
определяющий функцию, обратную D0) в некоторой окрестности
\w—0о|<СЛР* Если подставим ряд D1) в правую часть формулы D0):
оо
w = a9-\-ai У\ ck(w
Г оо "J2
— aQ)k-\-aJ ? Ck(w — ЯоП +...,
U=i J
возведем написанные ряды в указанные степени, согласно правилу
перемножения рядов, и сделаем приведение подобных членов, собирая
вместе члены с одинаковыми степенями (w — a0), то придем к тож-
деству w = w. Если во всех предыдущих вычислениях заменим z
матрицей X и w матрицей Y, то все предыдущие вычисления с мат-
ричными степенными рядами, расположенными по степеням разности
(Y—а0/), будут такими же, что и операции со степенными рядами
от численной переменной (w — a0), следовательно, и результат будет
тем же самым, т. е. при условии а^фО степенной ряд C9), опреде-
ленный в окрестности Х—0, допускает единственное обращение
вида
X=^ck{Y-a,ltt D2)
причем этот последний ряд будет абсолютно сходиться в неко-
торой окрестности
\У-а*1\<Ы D3)
Эта окрестность определяется, очевидно, по радиусу сходимости
ряда D1).
Применим предыдущее рассуждение к частному случаю ряда
318 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[88
Обращение этого ряда, дающее функцию \nw9 приводит, как
известно, к степенному ряду
сходящемуся в круге \w— 1 |<С 1*
Таким образом, обращение показательной функции
4 4
приводит нас к определению логарифма матрицы в виде степенного
ряда
^?? .... D4)
абсолютно сходящегося в области
|У-/|<||||. D5)
Матричное уравнение
е*=У D6)
относительно X имеет при заданном У бесчисленное множество
решений. Ряд D4) дает одно из решений этого уравнения, а именно
он дает то решение, которое является регулярной функцией от У
в окрестности единичной матрицы и обращается в нулевую матрицу
при У=/. Вопрос об остальных решениях уравнения как в окре-
стности единичной матрицы, так и вне этой окрестности, связан с воп-
росом об аналитическом продолжении ряда D4), или, что то же,
с вопросом об аналитическом продолжении тех п2 обычных степен-
ных рядов, которым эквивалентен ряд D4). Мы будем заниматься
этим вопросом в дальнейшем.
Обратимся теперь к определению степенной функции от матрицы.
Она определяется с помощью логарифма матрицы следующим образом:
уа — ра\пХ
Л —е • D7)
Если мы имеем численное перемвшое г:
то, подставляя a\nz в разложение показательной функции
и совершая подстановку
$9] ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ 319
лолучим степенной ряд вида
сходящийся при \z —1|<^1. Принимая во внимание упомянутое сов-
ладение формальных операций и для степенных рядов с одной мат-
рицей, получим
±[{X_I)Jr '(^О (ЛГ-/У + -- D8)
причем это разложение будет абсолютно сходящимся в области
D9)
89. Дальнейшее исследование сходимости. Как мы уже упоми-
нали, степенной ряд B8) равносилен /га рядам B9) от п* перемен-
ных {X}ik. Рассмотрим внутреннюю сумму в рядах B9):
h V-i
Собирая в этой сумме подобные члены, мы можем представить
ряды B9) как обычные степенные ряды от п* переменных {X)ik.
Если в суммах E0) заменим все величины их модулями и числа ат
заменим на | ат |, то это, очевидно, вполне равносильно тому, чтобы
в только что упомянутых степенных рядах заменить все величины
лх модулями. Отсюда следует, что если ряды B9) привести к виду
обычных степенных рядов, относительно переменных {X}ikt то
абсолютная сходимость этих рядов равносильна сходимости
рядов C2), т. е. равносильна абсолютной сходимости ряда B8).
Вообще сходимость ряда B8) в самом общем смысле этого слова
сводится к существованию предела последовательности матриц
«о+ ? амХ* E1)
при беспредельном возрастании /. Добавление одного слагаемого,
соответствующего m = l-\-lf к сумме E1) сводится к добавлению
к суммам
«А* + 2 а* 2 Ми ДОлл • • • W/«_.» (б2>
(l,k=l,2 л)
однородного полинома относительно {X}ik
«м 2 М«лМлл —Wm (б3)
Л h
степени (/-}- 1).
320 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[89
Таким образом, сходимость ряда B8) в указанном только что
общем смысле равносильна сходимости п2 рядов B9), причем в эт^х
рядах объединяются в одну группу слагаемые вида E3).
Докажем теперь основную теорему о сходимости или расходимости
степенного ряда в смысле предела сумм E1) при /->оо, т. е. о схо-
димости я2 соответствующих степенных рядов от л2 элементов {X}ik
или о расходимости хотя бы одного из этих рядов.
Теорема. Ряд
+* . E4)
сходится, если все характеристические числа матрицы X лежат
внутри круга сходимости ряда
ов + а^ + а***-!-... E5)
Ряд E4) расходится, если хотя бы одно из этих характе-
ристических чисел лежит вне круга сходимости ряда E5).
Введем для краткости письма обозначения
гЛ — 0 т=0
и суммы рядов обозначим, как и выше, f(X) и /(г).
Докажем сначала теорему для матриц X с простыми элементар-
ными делителями [111Ь 27], т. е. для матриц вида
X=S[K К ...,ХЛ]5, E6)
где Х^ — характеристические числа X и 5—некоторая неособая
матрица, т. е. матрица с определителем, отличным от нуля. Подстав-
ляя E6) в /г(Х\ получим [Шь 44]
/l(x)= 2
m = 0
ИЛИ
откуда
S-Vi (X) S= [ft (\), A (X2), ...,/, (XJ]. E7)
Если все ХА лежат внутри круга сходимости ряда (бб), то правая
часть E7) имеет предел при /->оо, и мы получаем
f(X) = S [/(ХД /(Х2), ..., /(Хл)] S-K E70
Положим теперь, что по крайней мере одно из Хл, например Хь лежит
вне круга сходимости ряда E7). При этом //(X,) не имеет конечного
предела при /->оо и из E7) следует, что ft (X) не имеет конечного
предела. Теорема доказана для матриц X вида E6).
ggi ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ 6ZI
Положим теперь, что матрица имеет не простые элементарные
делители. Как доказано в добавлении к этому тому и сформулировано
в [IHi, 27], произвольная матрица приводится к виду
X = S[JSx(X0, Л2(U ...,JSq(\)]S, E6t)
где матрица в квадратных скобках обозначает квазидиагональную
матрицу. Обозначая через sk порядок матрицы ЛЛ^л)> имеем
Матрица JSk(^k) есть матрица, у которой на главной диагонали стоят
числа Хл, под главной диагональю — единицы, а остальные элементы
равны нулю:
Vх*)=
0 1 Хь
о о
1 К
Если sk=\y то J1(kk) = 'kk. Среди чисел Хл могут быть и одинаковые.
Напомним, что для квазидиагональных матриц одинаковой структуры
имеют место обычные формулы сложения и умножения [Ш^ 26]:
S[Xly ..., jyS
S[Xh ..., jy
{s[xb ...,
li ..., XqYq]S~\
-1}8 = {s[xsv ..., xsq]s-1},
) = S[ft(Л(Х0), //(Л
Переходим к определению вида матриц
где s — целое положительное. Принимая это во внимание и учитывая,
что f{ (X) — многочлен, получим
] S-K F9)
Можно написать
k k k F0)
где lSk — единичная матрица порядка sk, a fs^ —матрица порядка sk,
у которой под главной диагональю стоят единицы, а все остальные
элементы равны нулю. Легко проверить, что [Л°ЛР ПРИ sk^>P^>®
и целом р^>0 есть матрица, у которой стоят единицы на /?-й диаго-
нали ниже главной, а на прочих местах стоят нули. В частности,
Г^]5*" есть матрица, у которой в левом нижнем углу стоит еди-
ница и остальные элементы равны нулю. Матрица [Х°ЛР> где p^sk —
целое, есть нулевая матрица, т. е. матрица, у которой все элементы
322
ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[89
равны нулю. Отметим еще, что к сумме F0) применима формула
бинома Ньютона:
{J,k (юг=xj i.k
откуда, как легко видеть, следует
причем, очевидно,
Г,@)]т
т\ VJsk\
есть нулевая матрица, если т больше наименьшего из двух чисел /
и (Sk—1). Принимая во внимание вышесказанное, будем иметь
f,(h) о о ... о
1!
f!
flih)
flih)
О
О
2!
¦ F1)
Если все У-к находятся внутри круга сходимости ряда E5), то суще-
ствуют конечные пределы
/•-00
=/(Р)(Ы ^ = 0, 1, ...
Переходя к пределу /->оо в формуле E9), получим
(\))]S-\ FГ)
где /(Л^(^л)) определяются формулой F1), в которой ft(z) надо
заменить на f(z). Если хотя бы одно из Xk расположено вне круга
сходимости ряда E5), то расходимость ряда получается так же, как
и в случае простых элементарных делителей. Теорема полностью
доказана, и установлена формула для суммы ряда E4), когда Xk рас-
положена внутри круга сходимости ряда E5).
Легко проверить, что при f(lk)^z0 матрица f(J8h(h)) имеет
один элементарный делитель [л—f(K)]Sk- Отсюда следует, что если
/'(Х*)^0 F=1,2,...,?),
то элементарные делители f(X) суть
89) ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ 323
Запишем значения функции f(z) и ее производных, которые вхо-
дят в формулу FГ).'
f{\\ ГЫ> ..-, f(S»-'>(h) (k=\ q). F2)
Здесь, напомним, q — число элементарных делителей матрицы ХУ
а группа sk чисел F2) соответствует элементарному делителю (X — \kYb
матрицы X. В силу E8) число значений F2) равно порядку п матрицы X.
Если среди элементарных делителей (X—\k)sk есть делители с совпадаю-
щими числами Хл, то и среди значений F2) будут совпадающие. Если, на-
пример, Х1 = Х2, то среди значений F2) будет во всяком случае два раза
фигурировать /(Xj, а может быть, и некоторые производные при Х = Х1.
Считая, что среди чисел Хл, k= 1, ..., q, есть совпадающие, выделим
из них лишь несовпадающие значения. Обозначим через Хл(&=1,
2, ..., т) все различные собственные значения X и черезpk — наиболь-
ший из показателей элементарных делителей, соответствующих собст-
венному значению Хь если таких делителей несколько. Если имеется
только один такой делитель, то pk совпадает с соответствующими sk.
При таком обозначении несовпадающие значения из таблицы F2)
будут следующие:
/(U Г (U .... /С*"*> (h) (k = 1 т). F30
Если матрица X имеет п различных собственных значений \и Х2,...
...,ХЛ, то вместо F30 имеем
Если матрица X имеет кратные собственные значения, но всем им
соответствуют простые элементарные делители и Хь ..., Хт — полный
набор различных собственных значений (т<^п), то вместо F3.2) имеем
/(Ц /(Ц ...,/&.)• F3,)
Значения F3t), F32), F33) называются значениями f(X) на спектре
матрицы X (Ф. Р. Г ант мах ер, Теория матриц, «Наука», 1966).
Из формулы F1) после замены fi(z) на f(z) и из формулы FГ) сле-
дует, что для двух степенных рядов f(z) и <р (г) матрицы f(X) и у{Х)
совпадают при указанном выше условии сходимости соответствующих
степенных рядов при Х = ХЛ, если совпадают значения f(z) и y(z)
на спектре X. Этим обстоятельством можно воспользоваться для того,
чтобы по функции f(z) и матрице X построить полином Р (X) такой,
что f(X) = P(X). Для этого достаточно построить P(z) так, чтобы
его значения совпадали со значениями f(z) на спектре X, т. е. со зна-
чениями, приведенными в одном из случаев F3). Возникающая задача
является задачей интерполирования, к которой мы и перейдем.
324 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [90
90. Интерполяционные полиномы. Основная и простейшая задача
интерполирования заключается в следующем: требуется построить
полином степени не выше (п—1), который принимал бы заданные
значения в п точках плоскости комплексного переменного. Положим,
что в точках zk{k=\i 2, ..., п) он должен принимать значение wk.
Заметим прежде всего, что такой полином может быть только один.
Действительно, мы знаем [I, 186], что два полинома степени не выше
(п—1) совпадают тождественно, если совпадают их значения в раз-
личных п точках. Решение задачи интерполирования может быть
написано в виде следующей простой формулы:
_ ,**—-Zi)(*k — *s) •••(** — 4-i)(*k — z*+i) •••(* — *n) к
Непосредственно видно, что выражение, стоящее справа, есть
полином от z степени не выше (п—1). Если мы положим, напри-
мер, z = zlt то в правой части все слагаемые, кроме первого, обра-
тятся в нуль, а в первом слагаемом дробь будет очевидно равна
единице, т. е. Pn_1(zi) = Wi, и точно так же вообще Pn_1(zk) = wk.
Если f(z) есть функция, регулярная в некоторой области, и точки zk
принадлежат этой области, то формула
дает тот единственный полином степени не выше {п—\\ значения
которого в точках zk совпадают со значениями функции f(z). Этот
полином называется обычно интерполяционным полиномом Лагранжа
для точек zkt а формула F5) называется интерполяционной формулой
Лагранжа.
Общий полином степени (п—1)
содержит всего п параметров as. В формуле Лагранжа эти параметры
определяются из п условий, а именно из тех условий, что в точках zk
значения полинома должны равняться f(zk). Поставим теперь задачу
более общим образом. Положим опять, что f(z) регулярна в некото-
рой области и что внутри этой области задано у точек z\, zb ..., Zp
и требуется построить полином степени не выше (п—1), у которого
бы в точке zk совпадали его значение и значения всех его производ-
ных до порядка (pk — 1) с соответствующими значениями функции f(z)t
т. е. Pn-i(z) и является искомым интерполяционным полиномом.
/ Zu ..., Zm\
Мы будем обозначать его в дальнейшем символом h[z\ )>
91) ТОЖДЕСТВО КЕЙЛИ. ФОРМУЛА СИЛЬВЕСТРА 325
причем все zk различны. При и = 2 имеем
Z — Z* г, ч
/ Z\ Z%\ z — Zi
h[z; *'] =
Первая формула получается для п =2 из формулы F5). В общем
случае имеем, как нетрудно показать,
h[z; ) =
Yl F6)
где
Действительно, легко проверить, что полином P(z) = h\z; ь'"> m]
\ Pv • • •, Pm/
имеет степень не выше Pi + ...+pm—! и удовлетворяет условиям
у l)(zj) (/=1, ..., w).
Формула F5) получается при т = п, p1=pi = ...=pn= 1.
91. Тождество Кейли. Формула Сильвестра. Назовем поли-
ном Q(z) со старшим коэффициентом, равным единице, аннулирующим
полиномом матрицы Xt если Q(^0=0. Из формул F1), F1'), примененных
k/(z)=QB), непосредственно следует, что обращение в нуль зна-
чений Q(z) на спектре матрицы X является необходимым и доста-
точным условием того, что Q (z) есть аннулирующий полином матрицы X.
Используя это и принимая во внимание сказанное в [90], легко по-
строить аннулирующий полином минимальной степени. Он имеет вид
где Х1? ..., Xm — полный набор различных собственных значений X
и pk — наибольшая степень элементарного делителя, соответствую-
щего собственному значению Х = ХЛ. Если матрица X порядка п
имеет п различных собственных значений, то
326 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [91
Если же у матрицы имеются кратные собственные значения, но всем
им соответствуют простые элементарные делители, то
Из изложенного следует, что всякий аннулирующий полином Q(z)
должен делиться на Qo(^)> и общий вид аннулирующего полинома
следующий: Q(z)=Q9(z)R(z), где R(z) — любой полином.
Характеристический полином матрицы X имеет вид
где A (zl — X) — определитель матрицы zl — X. Он представим в виде
D (z) = (z — XO'i ...(* — XJ 9fn> F7)
где qk — кратность собственного значения Хл и, очевидно, gu^Pk»
т. е. D (z) = Qo (z) Rx (z\ где /?iB)— полином (или Rx (z) = 1). Отсюда
следует, что D(z) — аннулирующий полином:
D(A) = 0. F70
Это соотношение называется тождеством Кейли. Отметим, что в слу-
чае, если для всех собственных значений элементарные делители просты,
т. е. если X=S[ki, ..., VIS, то тождество Кейли непосредст-
венно следует из E7!). Действительно, ?)(Хл) = 0, и отсюда
Перейдем к построению полинома Р(Х), совпадающего с заданной
функцией f(X) при условии принадлежности всех \k открытому
кругу сходимости f(z). Полином Р(Х) минимальной степени, обла-
дающий таким свойством (его мы обозначим через Ро (Х)\ получается
путем интерполирования. Из изложенного выше следует, что поли-
ном Pq(X) получается из полинома h\z, ' m заменой z на X
\ Ръ • • • у Рт!
Если у матрицы X все характеристические числа различны, то
—f(Y\—\
— /{Х)= У
Эта формула называется формулой Сильвестра. Бесконечный ряд
входит в эту формулу лишь посредством /(Хл). Если среди характе-
ристических чисел есть совпадающие, но всем им соответствуют про-
стые элементарные делители, то
92] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ МАТРИЦЫ ФОРМУЛОЙ КОШИ 327
где Хь ..., \т — полный набор различных характеристических чисел.
В общем случае имеем
* Рь •-->РтГ
где полином h[z; h m) определяется формулой F6).
\ Рь •••! Рт1
Пример 1. Для матриц второго порядка при Xt ф Х^ получаем
Если Х1 = Х2и имеется один элементарный делитель второго порядка, то
Если же имеется два простых элементарных делителя, т. е.
Xl ° II
Х= о \
и 1
ТО
Последнее равенство имеет место и для матриц А'=Х1/ любого
порядка.
Пример 2. Рассмотрим матрицу третьего порядка, имеющую
одно собственное значение Xj кратности два и другое Х2 =? Х4 — простое.
Если числу Xt соответствует один элементарный делитель (X — Х^2,
то имеем
Если же числу Xt соответствуют два простых элементарных делителя,
то
92. Определение функций одной матрицы формулой Коши.
Пусть В — совокупность конечного числа т замкнутых, односвязных
и непересекающихся областей Bj плоскости комплексного перемен-
ного z, ограниченных гладкими кривыми /у. Пусть, далее, X — матрица,
все собственные значения которой лежат строго внутри областей Bjy и
f(z) — функция, регулярная в замкнутых областях Bj. Определим f(X)
формулой, аналогичной формуле Коши для f(z):
-&*№)**> F8)
328 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [92
причем написанный интеграл применяется поэлементно по отношению
к матричной функции, стоящей под знаком интеграла. Отметим, что
согласно сказанному выше определитель матрицы (zl— X) не обра-
щается в нуль на ij. Контуры /у можно деформировать с сохране-
нием этого условия, и, в частности, их можно перевести в окружности
достаточно малого радиуса, окружающие различные собственные
значения X. При этом число т станет равным числу различных соб-
ственных значений X. В формуле F8) предполагается, что значения
f(z) в различных областях BJt вообще говоря, не связаны между
собой, т. е. значения f(z\ например, в Вх могут не получаться из
значений f(z) в В% никаким аналитическим продолжением. Отметим
еще, что для всех матриц, достаточно близких (поэлементно) к X,
формула F8) также применима, поскольку все собственные значения
этих матриц будут по-прежнему лежать внутри Bj. При этом элементы
f(X) будут регулярными функциями элементов X. Кратко будем в
дальнейшем говорить, что f(X) — регулярная функция Х} если эле-
менты f(X) являются регулярными функциями элементов X. Отметим
еще, что (zl — X)'1 есть рациональная функция элементов X и пере-
менной z, так что интегралы, входящие в F8)> могут быть вычислены
по теореме о вычетах, если известны собственные значения Хл. При
дальнейшем изменении X мы имеем дело с аналитическим продолже-
нием f(X)y о чем мы будем говорить далее.
Если т^>1, то, как мы упоминали выше, в определении f(X)
в различных Bj значения f(z) могут быть никак не связаны между
собой. (Например, f(z) = z* в одной из Bj и f(z) = sin z — в другой.)
Наиболее интересным и важным случаем является тот случай, когда
т=\ или т^>1, а функция f(z) в различных Bj определяется на
основе одной и той же аналитической функции f(z\ причем Bj при-
надлежат некоторой области регулярности f(z) на плоскости z. При
этом функция f(X) называется аналитической, а в остальных случаях —
кусочно-аналитической. Функция f(X), представимая формулой F8),
не всегда представима степенным рядом. Но мы покажем сейчас, что
всякая функция f(X)y представимая степенным рядом, может быть
представлена и формулой F8). Уточним это утверждение. Положим,
что все собственные значения Хл матрицы X лежат внутри круга
Iz I ^ Р> /(*) регулярна в этом круге:
f(z) =
Пусть f(X) определяется рядом
f(X) = a0I+
Определим функцию у(Х) формулой Коши
02]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ МАТРИЦЫ ФОРМУЛОЙ КОШИ 329
и докажем, что y(X)=f(X) при указанных условиях. Положим сна-
чала, что X имеет простые элементарные делители: Х = 5[ХЬ ..., Х„15.
Принимая во внимание очевидную формулу
(zl - X)-1 = S(zI— [К ..., XJ
получим
или, согласно формуле Коши,
Ту же формулу мы имели [89] и для функции f(X), представимой
степенным рядом в случае E6). Следовательно,
9(X)=f(X).
Аналогичным образом проводится доказательство в случае фор-
мулы E64), соответствующей непростым элементарным делителям X.
При этом надо использовать формулу
где
Для простоты письма ограничимся построением матрицы, стоящей
под знаком интеграла, считая Jsk(K) матрицей третьего порядка
Но легко проверить, что
Сказанное выше приводит нас к выражению ср (-ЛГ) согласно формуле
F1), в которой ft{z) заменено на f(z). Такое же выражение было
получено и для степенного ряда, т. е. в этом случае
Из сказанного выше следует также, что если значения двух функ-
ций ft(z) и /а(г) на спектре X совпадают и эти функции регулярны
330 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [93
в окрестности спектра, то совпадают также значения f\(X) и Л(Л'),
вычисленные по формуле F8) (где области Bj — малые круги, содер-
жащие спектр). Отсюда следует возможность замены f(X) полиномом,
как и в случае представления функции f(X) степенным рядом.
Сформулируем некоторые легко доказываемые свойства функций
f(X), представимых формулой Коши. При этом всегда предполагается,
что соответствующие функции f(z) регулярны в окрестности U соб-
ственных значений X.
1°. Если Mz)+Mz)=f%(z) в U, то А(Х)+МХ)=/г(X).
2°. Если A(z)-Mz)=Mz) в U, то A(X)^h(X)=h(X).
3°. Если cp(z) регулярна в U> ty(w) регулярна в окрестности соб-
ственных значений у(Х) и f(z) = ty [<pC?)], то f(X) = ty [у(Х)]} т. е,
при последовательном вычислении F=cp(jf) и ф(У) получится матрица
4°. Если w = <f(z) и z = ty(w)—обратные функции, регулярные
в окрестности соответственно собственных значений матриц Х$ и Ко>
то обратной к матричной функции У=у(Х) является функция Х =
= ф(К). Эти функции определены и выражаются формулой Коши для
всех матриц, достаточно близких соответственно к матрицам Xq и Ко.
Отметим в заключение, что если элементы матрицы Y суть ана-
литические функции элементов Ху то в общем случае отсюда не
следует представимость Y через X ни степенным рядом B8) [или B7)],
ни формулой F8).
93. Аналитическое продолжение. Выше мы определяли функцию
f(X) или степенным рядом, или формулой Коши F8). В первом
случае область определения совпадала с областью сходимости этого
ряда, и во втором случае она определялась условием, что f(z) регу-
лярна в областях Bj и что все собственные значения X находятся
внутри Bj. В обоих случаях при соблюдении соответствующих усло-
вий элементы {f(X)}ik являются аналитическими функциями элемен-
тов {X}ik. Напомним, что степенной ряд, как было указано выше,
преобразуется к формуле F8). Мы изложим кратко, без подробных
доказательств, основные идеи, связанные с аналитическим продолже-
нием f(X)t заданной степенным рядом или формулой F8).
В [85] мы указали общий прием аналитического продолжения
функции многих комплексных переменных вдоль заданного пути при
помощи цепи кругов. Этот прием, очевидно, применим и для одно-
временного аналитического продолжения элементов матрицы f(X) как
функций элементов матрицы X. Но в рассматриваемом случае процесс
существенно проясняется, если использовать при аналитическом про-
должении формулу Коши F8) или формулу Сильвестра [91], причем
проводимое таким образом аналитическое продолжение совпадает
с указанным выше общим приемом аналитического продолжения
в силу единственности аналитического продолжения по заданному
93] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 331
пути. Этот последний определяется тем, что матрица X (т. е. ее эле-
менты) задается как функция некоторого вещественного параметра X(t).
При значениях t, близких к исходным, значения f(X) определяются
первоначальным степенным рядом или формулой F8). При изменении
X{t) будут меняться и собственные значения Xk(t) матрицы X(t), и ха-
рактер этого изменения играет существенную роль как при аналитическом
продолжении формулы Коши, так и в формуле Сильвестра. Как мы
сейчас увидим, дело сводится к аналитическому продолжению f(z)
с учетом изменения Xft.
Рассмотрим кратко те случаи, которые могут встретиться. Положим
вначале, что при аналитическом продолжении f(z) получается одно-
значная функция в области В, в которой находятся все пути Ху(?).
(Если f(z) — целая функция, то в качестве В можно взять всю ком-
плексную плоскость.) При этом для некоторых t = tQ возможны совпа-
дения корней, т. е. \j(to) = \k(to). Нумерация корней производится так,
что Ху(О — непрерывные функции. После совпадения нумерация корней
произвольна, с сохранением непрерывности. Для аналитического про-
должения матричной функции в окрестности матрицы X(t0) можно
воспользоваться формулой Коши F8), где т — число различных корней
Xj(to)> а /у — окружности достаточно малого радиуса, центрами которых
являются различные корни ХД^,).
Аналитическое продолжение можно было бы также осуществить
формулой Сильвестра. Однако ввиду зависимости этой формулы от
жордановой структуры матрицы X значительно труднее установить
регулярность f(X) для X с кратными собственными значениями.
Положим теперь, что хотя бы один из путей \j(t) проходит при
t = t0 через особую точку функции f(z). Можно показать, что в этом
случае матрица X(to) = Xo является особой точкой f(X), т. е. что
невозможно аналитическое продолжение f(X) вдоль матричного пути
X(t) через матрицу X.
Рассмотрим в качестве примера степенной ряд
соответствующий функции /(г)=- . Он сходится, если собствен-
ные значения X лежат внутри круга |г|<^1. Особыми точками при
аналитическом продолжении f(X) будут те матрицы Ху среди собст-
венных значений которых будет хоть одно равно единице. Для всех
лрочих получим
Более сложная картина будет в том случае, когда аналитическое
продолжение f(z) приводит к многозначной функции. Это продолже-
ние определяется однозначно на римановой поверхности, соответствую-
щей многозначной функции f(z) [20]. Если при т^>\ в формуле
332 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [93
Коши значения функции f(z) в разных областях Bj не являются
ветвями одной аналитической функции, то под R будем понимать
совокупность нескольких римановых поверхностей, построенных для
всех регулярных функций f(z) из областей Bj. При этом естественно
пути kj(t) считать также расположенными на R. Как и выше, особыми
точками при аналитическом продолжении f(X) будут те матрицы ХУ
у которых хотя бы одно из \j(t) стремится к особой точке функ-
ции f(z) на R.
Однако теперь возможны и особые точки других типов. Положим,
что первые три корня \k(t) (k=l, 2, 3) при t-+t0 имеют общий
предел Хо, отличный от особой точки f(z\ а пределы остальных
различны и не совпадают ни с Хо, ни с особыми точками f(z).
Если предел Хо для всех Хл(?) (А=1, 2, 3) находится на одном и
том же листе R, т. е. если при аналитическом продолжении f(z) мы
получаем один и тот же функциональный элемент (ряд Тейлора)
в точке Хо для всех Хл(?) (А=1, 2, 3) при t-^tQf то матричное
аналитическое продолжение через соответствующую матрицу Л^о)
возможно, как это имело место и для однозначной f(z). Это анали-
тическое продолжение осуществляется снова формулой Коши, которую
теперь удобнее записать в виде
\-XTlfj{*)dz. F9)
Здесь т — число различных корней ХД?0), /у. — круги достаточно
малого радиуса на комплексной плоскости, центрами которых явля-
ются различные корни Ху.(?0), а /у(z) — соответствующие однозначные
аналитические элементы функции f(z).
Если же хотя бы две из совпавших точек Хл(^0), А=1, 2, 3,
лежат на разных листах римановой поверхности, т. е. если им соот-
ветствуют несовпадающие аналитические элементы fk{z\ k==ly 2, 3,
то формулой F9) воспользоваться нельзя. В этом случае, как будет
пояснено ниже, X(tQ) является особой матрицей, т. е. невозможно
матричное аналитическое продолжение вдоль рассматриваемого пути
через матрицу X(t0).
Поясним это утверждение для случая матриц второго порядка,
причем мы считаем ХА (?) ^ Х2 (?) до перехода к пределу (и букву t
при этом мы не пишем). Для t ф t0 имеем
f(Y\— yfi^-fi^) , ^/(Х,)-Х,/(ХД) m
f(X)—X K_h 1 ^—^ /, G0)
причем /(Xj) и f(\) — значения f(z) на том листе R, где находятся
Xj и Х2 в результате продолжения Xt(?) и Х2(?) (на R). Если предель-
ные точки для Xj(?) и X2(tf) находятся на разных листах /?, то функ-
циональные элементы /t(z) и f%(z) в точке Х = Х0 неодинаковы. При
93] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 333
этом либо некоторые (или все) элементы f(X) будут беспредельно воз-
растать по абсолютной величине при X -> Хо, либо в любой малой
окрестности 8 матрицы Х(го) = Хо имеются такие матрицы Х\ что
аналитическое продолжение по прежнему пути вплоть до 8 и даль-
нейшему продолжению по некоторому новому пути, который не выводит
из 8 и вдоль которого Х-*Х, некоторые (или все) элементы /(X)
будут беспредельно возрастать по абсолютной величине. Ни один
из этих фактов не мог бы иметь места, если бы матрица Хо не была
особой.
Покажем справедливость высказанного утверждения. При Xj ф \
корни Х1 = Х1(А) и \ = \{Х) являются голоморфными функциями
матрицы X. Поэтому формула G0) может служить для аналитического
продолжения f(X) вдоль любого пути, для которого Xj ф Х2. Пред-
положим, что возможно аналитическое продолжение f(X) в окрестность
матрицы XQ = X(t0). Пусть /(Xi)->/i(X0) и /(Х2) -> /2 (Хо) при t-+t0
и предельные значения различны: fx (Хо) ф /2 (Хо). Если у матрицы Хо
отличен от нуля один из элементов, не лежащий на главной
диагонали, то при t-*t0 соответствующий элемент матрицы f[X(t)]
беспредельно возрастает. Пусть либо предельные значения одинаковы:
/i(X0)=/2(X0), либо X(t$) — диагональная матрица. В любой малой
окрестности 8 матрицы X(tQ) найдется недиагональная матрица Х\
имеющая двукратное собственное значение Х^ такое, что ft (Xq) ф /2 (Xq).
Тогда при Х-+Х вдоль пути, для которого Xj ф Х2, будет, как
показано выше, беспредельно возрастать хотя бы один из элементов
матрицы f(X). В обоих случаях получается противоречие с существо-
ванием регулярного матричного элемента f(X) в окрестности матри-
цы Xq.
Если бы предельная точка Х0 = Х(?0) для Xj(^) и Х2(?) находилась
на одном и том же листе R и в этой точке f(z) была бы регулярной
функцией, то формула G0) в пределе дала бы /(Хо) = (Хо — Хо)/' (Хо) -}-
+ /Х)
Аналогично рассматривается и случай матриц любого порядка.
Если при т^>\ в формуле Коши значения функции f(z) в разных
областях Bj не являются ветвями одной аналитической функции, то
для предельной точки Х(?о) совпадение функциональных элементов
заведомо невозможно. В этом случае матрица X(t0) является особой.
Рассмотрим в качестве примера задание f(X) формулой G0) при
т = 2, когда X — матрица второго порядка, В\ — круг | z \ <^ -тг и
В<ь— круг \z— 1|<у, Пусть в первом из них f{z) = 2 и во втором
/(г) = 3. При этом, если \ находится внутри Вх и Х^ — внутри В*
то согласно G0)
?Ь7 J^ G1)
334 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [93
Аналитическое продолжение возможно и определяется формулой
G1), пока круги, в которых должны находиться Xt и Xg, не имеют
общей части. В данном случае R состоит из двух изолированных
плоскостей. Поэтому любая матрица ХУ для которой Xt == X2, явля-
ется особой матрицей для рассматриваемой функции.
То же самое получится и в общем случае, когда значение f(z) в Вх
не получается никаким аналитическим продолжением функции f(z)
из В%. Для функций этого типа любая матрица с кратными собствен-
ными значениями, расположенными на разных римановых поверхностях,
является особой.
Рассмотрим еще один пример. Пусть f(z) — многозначная аналити-
ческая функция, определенная на некоторой римановой поверхности /?,
и начальный элемент определен степенным рядом или формулой
Коши, а аналитическое продолжение таково, что вдоль него собст-
венные значения \k различны и при t-> tQ все они стремятся к Хо, причем
^k(t) и Хв— точки регулярности f(z). Пусть матричная кривая X(t)
представима в виде
причем 5—фиксированная матрица, не зависящая от t Мы имеем
(букву t не пишем)
где fkftk)—соответствующие ветви многозначной функции f(z). Пре-
дельная матрица А'о = Хо/ не зависит от 5. Но если среди чисел pk =fk (Хо)
будут различные, то предельные значения f(X0) функции f(X) при
t-+U будут зависеть от 5:
и мы можем получить бесчисленное множество (континуум) предель-
ных значений /(Хо). Таким образом, АГ0 = Х0/ является при указанном
аналитическом продолжении особой матрицей. Этот пример иллюстри-
рует сформулированное выше утверждение о том, что матрицы Хо
с кратными собственными значениями являются особыми точками
матричной функции f(X\ получаемой аналитическим продолжением,
при котором некоторые из совпавших собственных значений оказы-
ваются на разных листах римановой поверхности функции f(z\ Под-
черкнем, что этот вывод существенно использует тот факт, что при
аналитическом продолжении функция f(X) должна быть определена
на множестве всех матриц фиксированного порядка п в окрестности
линии продолжения в вещественном пространстве Е2Пг- Он теряет силу
для функций, определенных на некотором подмножестве матриц, на-
пример на некотором подпространстве. Например, для подпространства
диагональных матриц
A^ = [Xt, ..., Хя]
94] ЛОГАРИФМ МАТРИЦ 335
особыми точками функции
f(X)=[f(h)> .-..
будут лишь те матрицы X, для которых хотя бы один из диагональных
элементов является особой точкой функции f(z).
94. Логарифм матриц. Выше мы определили путем обращения
матрицы еу=Х степенной ряд для логарифма матрицы [88]
у=щ;г=^_^+?^!_... G2)
Он будет сходящимся, если все собственные значения X находятся
в круге \z — 1 | <^ 1 и значения In z в этом круге определяются
условием In 1=0. Сумма ряда Y удовлетворяет уравнению
eY=X. G3)
Для любой матрицы X вида
X=S[K~.> K]S-\ G4)
где Xft^0 (A=l,..., /г), уравнение G3) имеет решение
Y=lnX=S[ln\b..., \n\n]S-\ G5)
где для \n\k можно брать любое значение. Действительно,
eS[laXl lnX«l5~1 = S[elnX\..., eln^]S-l
В частности, для матрицы Х=1 имеем
где pk — целые числа и 5—любая неособая матрица. Если среди
чисел pk есть различные, то написанная формула дает бесчисленное
множество значений In/. Если все pk одинаковы, то правая часть
принимает вид [2тс/?/,..., 2npi] = 2pvily где р — общее значение pk.
Рассмотрим теперь вопрос об определении регулярной функции
У=1п Ху притом для матриц, не обязательно представимых в виде G4).
Пусть Х^ (А=1, 2,..., q) — все различные собственные значения X.
Проведем на плоскости z бесконечный разрез из точки 2 = 0, не пе-
ресекающий точек z = \k. На плоскости с указанным разрезом In z
есть однозначная регулярная функция. Введем для краткости следую-
щее обозначение для различных значений In z:
(\nz)m = \n\z\ + l(argz + 2rrmi) (m = 0, ±1, ±2,...).
Пусть Bk — замкнутые круги на плоскости с разрезом, не имеющие
общих точек с ним и такие, что внутри Bk находится точка Хл.
336 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [95
Сопоставим каждому кругу Bk целое число mk и определим функцию
т
Y = in X= lj 2 \ (*' - ^)Tl (ln *Ц dz9 G6)
= lj 2 \
где /у — граница #,-. Эта функция является регулярной функцией, т. е.
элементы У—регулярные функции элементов Х> если собственные
значения \k находятся внутри Bj. Кроме того, по свойству 4° из
[92] матрица удовлетворяет уравнению G3), ибо e{lnz)m = z при z? Bj.
Положим теперь, что матрицы X=Xq и Y=Yq удовлетворяют
уравнению G3), и рассмотрим задачу об определении в окрестности
матрицы Xq регулярной функции У=\пХ такой, что У0 = 1пАг0.
Пусть ak {k = 1,..., т) — все различные собственные значения Ко,
откуда следует, что среди Щ) = еа^ находятся собственные значения
Аг0. Предположим, что
{кф?), G7)
где р — какое-либо целое число, отличное от нуля. При этом числа
Х^ различны и совокупность этих чисел дает все различные собствен-
ные значения Хо. Выбирая целые числа mk так, чтобы выполнялись
условия
(lnX^=ab(*=n. ..., т) G8)
и строя In X по формуле G6), получим решение указанной выше
задачи.
Отметим, что если условие G7) не выполнено, т. е. если хотя бы
для одной из разностей имеет место формула ak — az == 2/?ти/, где
р — целое число, отличное от нуля, то число q различных собствен-
ных значений у матрицы Хо будет меньше чем т, и, следовательно,
предыдущее построение провести не удастся. Легко показать, что
в этом случае задача построения регулярной функции Y=\nX
такой, что Ко = *п ^о> вообще не имеет решения.
Отметим, что всякое значение In Xy определенное как решение
уравнения G3) и регулярное в окрестности матрицы Хо (включая
Х=Хц), может быть получено путем аналитического продолжения
из любого начального аналитического элемента этой функции, напри-
мер из ряда G2).
95. Обращение целой функции от матрицы в случае матриц второго
порядка. Функция К= In X является решением уравнения G3). Аналогичным
образом функция Y=Xl^m> где т > 0 — целое число, является обращением
уравнения Х= Ут. Исследуем общую задачу. Пусть F(w)—целая функция
комплексного переменного w и w*=.f(z) — функция, определенная соотноше-
нием F[f(z)] = z. Для произвольной матрицы У определена матричная функ-
ция F(Y). Рассмотрим матричное уравнение
X G9)
95] ОБРАЩЕНИЕ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦЫ 337
и поставим задачу об определении всех решений этого уравнения, не пред-
полагая специально, что решения должны выражаться регулярной функцией
X. В сводке результатов мы укажем, когда последнее обстоятельство будет
иметь место. Все исследование проводится ниже лишь для матриц второго
порядка.
В соответствии с теорией элементарных делителей для заданной матрицы
X возможны следующие формы:
где 5 — неособая матрица. Для искомой матрицы У надо рассматривать
следующие случаи:
II M-i 01|
11° 1*1 II
I
Исследование этих случаев сравнительно просто, но довольно громоздко.
Мы приведем окончательные результаты, не останавливаясь на их доказа-
тельстве.
I. Пусть X имеет различные собственные значения Хх и Х2. Если хотя
бы одно из уравнений
F(#) = K F((.) =X, (82)
не имеет решений, то и матричное уравнение G9) не имеет решений. Если
оба уравнения (82) разрешимы, то общее решение уравнения G9) имеет вид
(83)
где /(Xi)=p-i и /(Xg)=fA2 — произвольные решения уравнений (82). Если
F'(fxy) ^ 0 (у = 1, 2), то формула (83) определяет регулярное (локально)
решение У уравнения G9), т. е. решение, регулярное в окрестности X,
включая X.
II. Пусть X имеет двукратное собственное значение Xlf но XjblJ. Если
уравнение F (у) = Xt не имеет решений или для всех его решений F (р) = О,
то уравнение G9) не имеет решений. Пусть уравнение F([i.) = \l имеет
решение plf для которого F (^) ф 0. При этом общее решение уравнения G9)
имеет вид
где fii — любой из указанных выше корней. Формула определяет регулярное
решение Y=f(X) уравнения G9).
III. Пусть Х=Х1/. Если уравнение /J1(fx) = X1 не имеет решений, то и
уравнение G9) не имеет решений. Пусть указанное уравнение разрешимо
и f-b м-2 — произвольные различные или совпадающие его решения. Общее
338 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [95
решение уравнения G9) определяется формулами
а в случае (Л1 = (л2 также и формулами
|
В этих формулах С — любая неособая матрица.
Рассмотрим два примера. Если F{w)=ew, то F'(w)z^0 и при ^J
все значения 1п X являются локально регулярными функциями, если собст-
венные значения X отличны от нуля:
^ (84)
(85)
= X,).
Ветви логарифмов выбираются произвольно, и этот выбор определяет ветвь
матричного логарифма.
При Х=Х1У все значения логарифма определяются формулами
где С — произвольная неособая матрица, а при/? = # получается регуляр-
ное значение
у. е. значение, совпадающее со значением некоторой определенной в окрест-
ности матрицы \J регулярной ветви функции \пХ. Эта ветвь определяется
формулой Коши. Можно показать, что все значения (86) при p^q не
являются регулярными.
Совершенно аналогично для уравнения Кт = Я, где т^2 — целое число,
получаем при Х^ЬО следующие решения:
\ т \
1 '
1
Л2
\ m
2
= Ххт С
0 е
1 Г 2pzi 2pni
С * (pzfiq — целые),
2рк}\ / \\
f ^ т J = UimУ 7-
Поскольку F@) = 0t то при Х = 0, кроме решения У = 0, получаем
I0 °|сч
I О
(87)
(88>
(89>
(90)
(91)
96] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 339
1 1
В правой части формулы (87) под Xjm, X2m подразумеваются любые значе-
ния корней.
Правая часть формулы (87) определена для матриц X из некоторой
полной окрестности исходной матрицы и при Xj^O, \2^Ь0 является регу-
лярной функцией матрицы X.
Значения (88) и (90) не определены в полной окрестности исходной
матрицы, но они являются регулярными, т. е. совпадают со значением
некоторой регулярной ветви функции Хт, определенной в полной окрест-
ности исходной матрицы.
Значения (89) не являются регулярными, т. е. не могут быть получены
как значения некоторой регулярной ветви функции Х™.
96. Системы линейных уравнений с постоянными коэффици-
ентами. Пусть имеется система линейных дифференциальных уравне-
ний с постоянными коэффициентами
х[ = апхх -f- а12х% -f... + alnxn,
•... -|- GL%nXnt ^ f 92)
x'n = anxxi -f anix% +... + annxnf
где xk суть функции от независимого переменного t и х'и — производ-
ные этих функций.
Будем считать, что искомые функции (хь ..., хп) суть составля-
ющие некоторого вектора
Составляющие Хи суть в данном случае функции от U и мы опре-
делим дифференцирование вектора х по t, как новый вектор с со-
ставляющими (х[,..., '
Введем, наконец, матрицу А с элементами aik. В результате этих
обозначений можно переписать систему (92) следующим образом:
Пусть ищется решение этого уравнения, удовлетворяющее началь-
ному условию
Xk\t^ = xT (A = l, 2,..., п). (94)
Эти начальные условия образуют некоторый вектор, который мы
обозначим через
340 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [96
Нетрудно проверить, что решение системы (93) при заданных
начальных условиях (94) имеет вид
или, вводя матрицу
\t . АН2 ,
мы можем переписать решение (95) следующим образом:
Действительно, формула (95) дает нам
Дифференцируя по /, получим
ИЛИ
откуда в силу (95)
%-**¦
Кроме того, удовлетворены, очевидно, и начальные условия, так как
при ^ = 0 формула (95) дает x\t^ = x^\
Мы можем переписать систему (92), пользуясь матричной записью,
и в другой форме. Предварительно выясним основные правила диф-
ференцирования матрицы. Положим, что элементы некоторой мат-
рицы X суть функции переменного t. Определим производную —тт-
как такую матрицу, элементы которой получаются дифференцирова-
нием элементов матрицы X по t, т. е.
(dX\ _ d {X\ik
\ dt jik ~ dt '
Из этого определения непосредственно следует обычное правило
дифференцирования суммы, а именно: если X и У — две матрицы,
элементы которых суть функции U то
d(X+Y) dX ,dY
It = ~dt+4t' (97)
Точно так же нетрудно доказать и формулу дифференцирования
произведения
^44
98]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
341
причем надо помнить, что, вообще говоря, нельзя переставлять мно-
жители в написанной формуле (98). Согласно определению умноже-
ния имеем
5=1
откуда
d{XY}ik_X d{X}is
dt~Z Щ—
5=1
d{Y}
—
5=1
что и дает непосредственно формулу (98). Эта формула легко обоб-
щается и на случай любого числа сомножителей. Так, например, для
трех сомножителей мы будем иметь
Выведем еще формулу для дифференцирования обратной матрицы.
Положим, что определитель матрицы X отличен от нуля, так что
имеется обратная матрица Х~и.
Дифференцируя это тождество по tf получим
откуда и вытекает правило дифференцирования обратной матрицы
¦X'1. A00)
dt
_
dt
Вернемся теперь к системе (92). Рассмотрим п решений этой
системы. Они образуют, очевидно, квадратную таблицу, состоящую
из /г2 функций:
*21 @
... Xnn(t)
A01)
Мы считаем, что первый значок у функции обозначает номер
функции, а второй значок дает номер решения, в которое входит
функция, т. е., например, лт2з@ обозначает выражение для второй
функции лт2, входящей в решение с номером 3. Мы должны, таким
образом, иметь
= h 2,..., л>
342 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [96
и можно, следовательно, переписать систему (92) в следующей мат-
ричной форме:
^ = АХ, A02)
где X — матрица A01). Напомним еще раз, что при такой форме
записи матрица X дает п решений системы (93), причем каждый
столбец этой матрицы дает некоторое решение системы (93). В дан-
ном случае начальным условием будет являться задание матрицы X
при t — 0:
Х\^ = Х<*\ A03)
где Л'(о) есть произвольным образом заданная матрица с постоянными
элементами. Совершенно так же, как и выше, можно показать, что
решение системы A02) при начальном условии A03) будет иметь вид
X = eAiX^\ A04)
Положим, что определитель матрицы Х^\ дающей начальные
условия, отличен от нуля. Покажем, что при этом определитель ма-
трицы X будет отличным от нуля при всяком t. Принимая во вни-
мание формулу A04), мы видим, что для этого достаточно показать,
что определитель матрицы ем будет отличным от нуля, так как оп-
ределитель произведения двух матриц равен произведению определи-
телей этих матриц.
Но нетрудно вообще показать, что определитель показательной
матрицы еу всегда отличен от нуля.
Действительно, наряду с матрицей
¦составим матрицу
При перемножении двух рядов, стоящих в правой части написан-
ных формул, мы будем иметь дело лишь с числами и степенями
одной матрицы К, так что все сомножители можно переставлять.
Таким образом, формально получится при перемножении тот же
результат, который получился бы, если бы мы заменили пере-
менную матрицу Y переменным числом z. Но при этом в силу тож-
дества еге~г=\ перемножение правых частей формул A05) и A06)
дало бы нам единицу, а следовательно, и в данном случае мы будем
иметь следующее равенство:
96] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 34$
справедливое для любой матрицы Y. Из этого равенства непосред-
ственно вытекает, что матрица e~Y обратна матрице eY и что опреде-
литель матрицы eY отличен от нуля. Заметим, что если Y и Z — две
различные матрицы, которые не коммутируют, то произведение eYez
не будет, вообще говоря, равно eY+z.
Итак, из формулы A04) и доказанного свойства показательной
матрицы непосредственно вытекает, что если определитель матрицы Х{0\.
составленной из начальных условий, отличен от нуля, то определи-
тель матрицы X будет отличным от нуля при всяком t. В этом случае
матрица X будет давать п линейно независимых решений системы A02).
Покажем теперь, что если У есть матрица, которая дает какие-нибудь
п решений системы A02), то она выражается через матрицу X, упо-
мянутую выше, при помощи формулы
Y=XB9 A07)
где В есть некоторая матрица с постоянными элементами. Формула
A07) выражает, очевидно, тот факт, что всякое решение системы
выражается линейным образом через п линейно независимых реше-
ний системы. Для доказательства формулы A07) заметим прежде
всего, что по условию Y должно удовлетворять уравнению A02),т.е.
^ = АУ. A08)
Кроме того, по условию определитель матрицы X, также удо-
влетворяющей уравнению A02), отличен от нуля, а следовательно,
существует обратная матрица Х~х. Согласно правилу дифференциро-
вания обратной матрицы мы будем иметь
dX~l у_х dX y_x
1Г—~Л TtA
или, принимая во внимание формулу A02), получим
^- = — Х-'АХХ'1 = —Х-*А A09>
Составим теперь производную от произведения
откуда в силу A08) и A09)
т. е.
344 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [97
Мы видим, таким образом, что произведение X~lY есть некото-
рая матрица В, элементы которой не зависят от t, откуда и выте-
кает непосредственно формула A07).
97. Функции нескольких матриц. Перейдем теперь к выяснению
основных понятий и фактов, связанных с функциями нескольких
матриц. Ввиду некоммутативности, вся теория функций нескольких
переменных матриц представляется гораздо более сложной, чем тео-
рия функций одной переменной матрицы, и мы ограничимся лишь
рассмотрением самых основных элементов теории функций несколь-
ких матриц.
Начнем со случая полинома. Общий вид однородного полинома
второй степени от двух матриц будет
аХ\ + ЬХХХ% + cXfXx + dX%
Однородный полином второй степени от / переменных матриц
будет иметь вид
где суммирование производится по переменным / и ky которые про-
бегают независимо друг от друга все целые значения от 1 до /.
Однородный полином степени т от I переменных матриц будет
иметь вид
2 *h-JmXh-XJm- (НО)
к Ут-1
Здесь, как и в предыдущем, а;1 ... jm обозначают некоторые
численные коффициенты. В формуле (ПО) каждая из переменных
суммирования jk пробегает все целые значения от 1 до /, так что
написанная сумма будет содержать всего lm слагаемых. Рассмотрим
теперь тот частный случай, когда в формуле (НО) все коэффици-
енты aj , ..., jm равны единице:
л /*-»
Нетрудно проверить, что сумма A11) представляет собою степень
суммы матриц Xjk, т. е.
Л Лп=1
Так, например,
97] ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ 345
Перейдем теперь к рассмотрению степенного ряда от / матриц»
Такой ряд может быть записан в виде
«•+2! 2 ^--уЛ ¦¦¦*>¦¦• A13>
«-Ч Jm~\
Полное исследование сходимости этого ряда представляет го-
раздо большие трудности, чем в случае степенного ряда от одной
матрицы, и мы ограничимся лишь доказательством достаточного
условия абсолютной сходимости ряда A13). Заметим при этом, что
ряд (ИЗ), как и в случае ряда от одной матрицы, называется абсо-
лютно сходящимся, если сходится ряд
f s к>--->/л*л1.--1*лп1> 014>
А /m-i
причем сходимость этого последнего ряда гарантирует и сходимость
ряда A13) и независимость суммы этого ряда от порядка слагаемых.
Фиксируем целое число т и обозначим через а(т) наибольший иа
модулей \aJir.., Уя||,т. е.
Составим ряд обычного комплексного переменного
A16)
/71=1
и пусть пр — его радиус сходимости, где п — порядок матриц. Заме-
няя в ряде A14) коэффициенты |я/>».«>/ш| ббльшими, а именно aSm\
будем иметь ряд
который можно переписать, очевидно, в виде
(И7>
Этот ряд можно рассматривать как степенной ряд от одной
матрицы
z=\xi\+...+\x,\,
и, принимая во внимание, что радиус сходимости ряда A16) равен
лр, можем утверждать [87], что ряд A17) будет сходиться при условии
346 ГЛ. IV. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [97
При этом ряд A14) и подавно будет сходящимся. Получаем,
таким образом, следующую теорему:
Теорема. Если полоэюительные числа я(т) определяются из
условия A15), и ряд (Мб) имеет радиус сходимости пр, то сте-
пенной ряд A13) абсолютно сходится при условии A18).
В частном случае, если радиус сходимости ряда A16) равен бес-
конечности, то ряд A13) будет абсолютно сходящимся при любом
выборе матриц Xk.
Заметим еще, что функция f(X\, ..., X,), определяемая как сумма
ряда A13), удовлетворяет очевидному соотношению
где *S — любая матрица с определителем, отличным от нуля. Совер-
шенно аналогичное свойство мы имели раньше для аналитической
функции от одной переменной матрицы.
Отметим в заключение, не останавливаясь на доказательстве,
одну особенность степенных рядов многих матриц в отношении тео-
ремы единственности. Здесь теорема единственности читается так:
если равенство
яо+ 2
JmXj ... XJm
имеет место для всех матриц
любого порядка, достаточно близких к нулевой матрице, то bo — aQ
и hs •••> Jm = aJ\> ••" 7m
Если бы мы опустили в формулировке требование любого по-
рядка, то теорема оказалась бы несправедливой. В частности, можно
построить однородный полином с коэффициентами, отличными от нуля
f 1
7, 7m=1
обращающийся тождественно в нуль для всех матриц Х$ определен-
ного порядка.
Построение общей теории аналитических функций от матриц и
ее приложение к теории систем линейных дифференциальных урав-
нений было дано в работах И. А. Лаппо-Данилевского, напечатан-
ных в Журнале Ленинградского физико-математического общества.
В настоящее время все материалы, оставшиеся после смерти И. А. Лаппо-
Данилевского, опубликованы в Трудах Математического института
Академии наук.
ГЛАВА V
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
98. Разложение решения в степенной ряд. Во втором томе мы
рассматривали линейные уравнения второго порядка с переменными
коэффициентами и в частности занимались интегрированием таких
уравнений при помощи степенных рядов. Там мы ограничились лишь
тем, что показали, что можно формально удовлетворить уравнению
некоторым степенным рядом, не доказывая сходимости этого ряда.
Сейчас мы дадим полное и систематическое исследование линейных
уравнений второго порядка, коэффициенты которых суть аналитиче-
ские функции комплексного переменного. Независимую переменную
в дифференциальном уравнении мы будем, таким образом, считать
комплексной переменной, а искомую функцию и коэффициенты —
аналитическими функциями.
Напишем линейное уравнение второго порядка в виде
w"-\-p(z)w'-\-q(z)w = 0, A)
где tsf и w" суть производные искомой функции w по комплексной
переменной z.
Пусть, кроме того, имеются начальные условия
«>U«*o = eo; ^'U=*o = ci- B>
Положим, что коэффициенты p(z) и q(z) суть регулярные функ-
ции в некотором круге \z — zQ\<^R. Покажем, что внутри этого
круга существует решение уравнения A) (регулярная функция), удов-
летворяющее условиям B). Вводя, кроме w, новую искомую функцию
u — w', можно переписать уравнение A) в виде системы двух урав-
нений первого порядка
du , ч , v dw
Для симметрии в формулах мы будем рассматривать общий слу-
чай системы двух линейных уравнений с двумя искомыми функциями
% ? v C)
348 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [98
и покажем, что такая система имеет регулярное решение внутри
круга \z — Zq I <^ Rf удовлетворяющее любым начальным условиям
если коэффициенты системы C) суть регулярные функции внутри
упомянутого круга.
Воспользуемся при этом тем же методом последовательных при-
ближений, которым мы уже пользовались в томе II. Весь ход дока-
зательства будет совершенно таким же, как и там. Вместо системы C)
с начальными условиями D) напишем уравнения в интегральной форме:
г 2
n = oL + \[a(z)ii-\-b(z)v]dzf v = $-{-\[c(z)it-\-d(z)v]dz. E)
г0 г0
Рассмотрим круг К: | z — z0 | <^ Ru где Ri — некоторое положи-
тельное число, меньшее R. В этом круге вплоть до его контура
коэффициенты суть регулярные функции, и, следовательно, имеют
место неравенства
\a(z)\<^M, \b(z)\<^M, \c(z)\<^M, \d(z)\<^M, F)
где М — некоторое определенное положительное число. Применяя
метод последовательных приближений, положим
H0(z) = a, vo(z) = $ G)
и вообще
г
И/1+i (*) = a + \ [a (z) un-\-b (z) vn] dz,
г
= P + $ [* (г) и„ + d (г) vn] dz.
(8)
При каждом из интегрирований под знаком интеграла будут
стоять регулярные функции от г, и для каждого из интегралов
величина интеграла не будет зависеть от пути внутри круга /С.
Пусть, далее, т — положительное число, определяемое неравенствами
Для простоты письма будем считать в дальнейшем го = Ои будем
производить интегрирование от 0 до z по прямой линии. При этом
г = ре?\ dz = ef49 @ <?<%). A0)
Первая из формул (8) при п = 0 дает нам
98] РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ В СТЕПЕННОЙ РЯД 349
Заменяя под интегралом все члены их модулями и пользуясь (б)
и G), получим неравенство
11в(s)| <2Af/wp (Hi)
и совершенно так же
\Vi(z) — vo(z)\^2Mm9. A1,)
Первое из уравнений (8) при #=1 будет
Щ (г) = а + \ [а (г) щ + Ь (z) vt] dz,
о
и, вычитая из него первое из уравнений (8) при п = 0, получим
г
Щ (г) — Щ (г) = $ [a (z) (иг — щ) + Ъ (z) (г*! — г>0)] dz.
о
Заменяя опять под интегралом все количества их модулями и
пользуясь неравенствами (НО и A12), будем иметь
или
и совершенно так же
Продолжая таким же образом и дальше, получим следующие оценки:
Отсюда непосредственно вытекает, что члены ряда
Щ + [«1 {?) — мо] + [Щ (z) — "i (z)] + • • • (!2)
в круге |z — 2o|<C^i по модулю меньше положительных чисел
которые образуют сходящийся ряд, т. е. ряд A2) сходится абсо-
лютно и равномерно в круге \z — zo\<^R^ Сумма первых (п —|— 1)
членов этого ряда есть как раз un(z), и, следовательно, un(z) в круге
\z — zo\<^Ri стремится равномерно к некоторой функции u\z).
350 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[98
Точно так же vn(z) будет равномерно стремиться к некоторой функ-
ции v(z). Согласно теореме Вейерштрасса о равномерно сходящихся
рядах эти предельные функции также будут регулярными функциями
внутри круга К. Обратимся теперь к формулам (8). В первой из
этих формул подинтегральное выражение стремится равномерно к пре-
дельной функции
a (z) n-\-b (z) v.
Но, как известно [I, 146], возможность почленного интегриро-
вания равномерно сходящегося ряда есть то же самое, что возмож-
ность переходить к пределу под знаком интеграла для равномерно
сходящейся последовательности функций, и, таким образом, переходя
к пределу в уравнениях (8), мы увидим, что предельные функции и
и v должны удовлетворять уравнениям.E). Полагая в этих уравне-
ниях z = zOf мы видим, что наши функции удовлетворяют начальным
условиям D), а дифференцируя уравнения E), увидим, что они дают
решение системы C).
Возвратимся теперь к уравнению A), которое, как мы видели,
является частным случаем системы C). Мы показали, что в любом
круге с центром z0, находящемся внутри круга \z — zo\<^Ry суще-
ствует решение уравнения, удовлетворяющее условиям B) при любых
с0 и с{. Функции p(z) и q(z) разлагаются внутри круга \z — ^
в степенные ряды
Найденное решение также есть регулярная функция, а потому
также должна разлагаться в степенной ряд, причем в силу B) пер-
вые два коэффициента разложения должны равняться с0 и с^.
. A3)
Подставляя этот ряд в уравнение A), мы должны будем прирав-
нять нулю коэффициенты при различных степенях zy и это приведет
нас, как мы это уже видели [II, 45], к уравнениям вида
2 • 1 с% -f- я<А + Ьосо = 0»
3 . 2с3 4- 2я(А
из которых последовательно определятся коэффициенты ck. Это по-
казывает нам прежде всего, что искомое решение может быть только
одно. Кроме того, из предыдущего доказательства вытекает, что оно
существует, т. е. что при подстановке найденных коэффициентов
в ряд A3) этот ряд будет сходящимся во всяком круге, находящемся
внутри круга \z — zQ | <^ R, т. е., проще говоря, он будет сходиться
внутри круга \z — ^о|<С^* ^ы получаем, таким образом, следующую
основную теорему;
99] АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ 351
Теорема I. Если коэффициенты уравнения A) — регулярные
функции в круге \z — zQ | <[ /?, то в этом круге существует един-
ственное решение уравнения A), удовлетворяющее начальным уело-
виям B) при любых заданных с0 и ^i-
Придавая с0 и су определенные числовые значения, мы можем
построить два решения wv и w* удовлетворяющих начальным усло-
виям:
Если
aip2 —a^^O, A4)
то всякое решение, регулярное в круге \z — zo\<^Rt будет выра-
жаться через Wi и w% в виде
w = A\WX -\- Ajw* A5)
Действительно, если это решение w имеет начальные условия B),
то для постоянных А^ и Л2 мы будем иметь систему уравнений вида
А\Ч + А*ч = с* -Aipt + А$ъ = сь
и эта система, в силу A4), дает определенные значения для А{ и Л2.
Решения W\ и wiy построенные выше, будут линейно независимыми
решениями уравнения A) [II, 24].
Замечание. Применение метода последовательных приближе-
ний к системе C) привело нас для функции и к бесконечному ряду A2).
Этот ряд не будет, конечно, степенным рядом, но его равномерная
сходимость в круге \z — ^ol^^i гарантировала нам существование
регулярного решения в этом круге, представимого степенным рядом.
Мы можем построить функции un(z) и ряд A2) в любой области,
где коэффициенты системы C) суть регулярные функции, и можно
показать рассуждениями, аналогичными предыдущим, что во всякой
такой области ряд A2) и аналогичный ряд для v будут равномерно
сходиться и будут давать решение системы. Вид этих рядов в неко-
торых случаях мы выясним в дальнейшем.
99. Аналитическое продолжение решения. Положим теперь, что
коэффициенты p(z) и q(z) уравнения A) суть регулярные функции
в некоторой области В плоскости комплексного переменного z. Возь-
мем некоторое решение этого уравнения, которое удовлетворяет
определенным начальным условиям B) в некоторой точке z0, нахо-
дящейся внутри В. Такое решение, согласно предыдущему, будет
изображаться степенным рядом, сходящимся в круге, с центром zOt
который находится целиком в области В (а может быть, и в более
широком круге). Это будет некоторый ряд вида A3). Возьмем теперь
352 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |99
внутри круга сходимости этого ряда некоторую точку zx и пере*
строим наш ряд по степеням (z — гД как это мы делали при ана-
литическом продолжении функции. Мы получим новый ряд
f] **(*-*!>*• Aб)
Его сумма будет совпадать с w в общей части кругов сходи ~
мости рядов A3) и A6). Следовательно, в этой общей части сумма
f(z) ряда A6) будет являться решением уравнения A), т. е., иначе
говоря, при подстановке w=f(z) в левую часть уравнения A) эта
левая часть будет равна нулю в некоторой части круга сходимости
ряда A6). Но тогда, в силу основного принципа аналитического
продолжения, она будет равна нулю и во всей той части этого круга,
которая принадлежит В; ряд A6) будет также давать решение нашего
уравнения. Это решение будет вполне определяться своими началь-
ными условиями в точке zh которые, очевидно, будут
где w определяется исходным рядом A3).
В силу доказанной в предыдущем номере теоремы, ряд A6) будет
наверно сходиться в круге, имеющем центр в точке Z\ и принадле-
жащем той области Д где p(z) и q(z) — регулярные функции. Мы
приходим, таким образом, к следующей теореме:
Теорема II. Если коэффициенты p(z) и q(z) суть регуляр-
ные функции в некоторой области В, то любое решение уравне-
ния, изображаемое степенным рядом с центром внутри В, может
быть аналитически продолжено по любому пути, находящемуся
внутри В, и такое аналитическое продолжение дает все время
решение уравнения A).
Сделаем некоторые существенные добавления к доказанной тео-
реме. Заметим, что если В есть односвязная область, то согласно
основному свойству аналитического продолжения [18] w будет пред-
ставлять собою однозначную регулярную функцию в области Ву
которая по доказанному будет решением уравнения A). Если же В
будет многосвязной областью, то w не будет, вообще говоря, одно-
значной функцией в области В.
Если Wi и Wi — два решения уравнения A), то мы имеем следую-
щую формулу (II, 24]:
w\ e •
где С—некоторая постоянная. Если она отлична от нуля, то левая
часть будет отличной от нуля все время при аналитическом продол-
жении, т. е. аналитическое продолжение линейно независимых реше-
100] окрестность особой точки 353
ний все время дает линейно независимые решения, и формула A5)
дает тем самым аналитическое продолжение любого решения череа
аналитическое продолжение двух линейно независимых решений.
Если, например, коэффициенты p(z) и q(z) суть рациональные
функции, то всякое решение уравнения может быть аналитически-
продолжено по любому пути на плоскости, не проходящему через
полюсы p(z) и q(z).
100. Окрестность особой точки. Исследуем теперь поведение
решения в окрестности особой точки коэффициентов p(z) и q(z\
Положим, что точка z = z0 является полюсом или существенно осо-
бой точкой для коэффициентов p(z) и q(z\ так что эти коэффи-
циенты представляются рядами Лорана в некотором кольце К с цен-
тром z$ и внутренним радиусом, равным нулю:
+00
Р(*)= 2 ak(z — z0)k,
^ A8)
k — — оо
Всякое решение уравнения A) может быть любым образом ана-
литически продолжено внутри кольца /С, и при обходе точки z = z0
решение w может приходить уже к новым значениям, т. е. точка
z = z0 будет, вообще говоря, точкой разветвления для решения w.
Выясним более подробно характер этой точки разветвления. Возьмем
какие-нибудь два линейно независимых решения уравнения wx и w*
Если в кольце проведем разрез от центра вдоль какого-нибудь ра-
диуса, то в полученной таким образом односвязной области наши
решения wx и w% будут регулярными однозначными функциями, но
на противоположных берегах разреза эти функции будут принимать
различные значения. Иначе говоря, после обхода точки z = z0 функ-
ции wx и Wt превратятся в некоторые новые функции wx и w%*
Эти новые функции также должны быть решениями уравнения,
а следовательно, они должны выражаться линейно через wx и w&
Таким образом, должны иметь место формулы вида
где aik — некоторые постоянные. Иначе говоря, при обходе вокруг
особой точки линейно независимые решения испытывают некоторое
линейное преобразование. Нетрудно видеть, что
апаы — апаи?ЬО. B0)
Действительно, если бы мы имели апа& — а1ааа1 = 0, то решения
w\ и w% отличались бы лишь постоянным множителем и, были бы
354 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [100
линейно зависимыми, но этого не может быть, так как мы раньше
видели, что аналитическое продолжение линейно независимых реше-
ний приводит также к линейно независимым решениям. Вид линей-
ного преобразования A9) зависит, конечно, от выбора решений
W} И TV*
Постараемся построить такое решение, которое при обходе осо-
бой точки получает лишь некоторый постоянный множитель, т. е.
д.:я которого линейное преобразование имеет наиболее простой вид:
w+ = \w. B1)
Такое решение, если оно существует, должно быть линейной
комбинаций решений W\ и w%.
w
и нам надо найти коэффициенты Ь\ и Ь* В силу B1) мы должны
иметь
откуда в силу A9) получаем
Сравнивая коэффициенты при линейно независимых решениях,
получим систему однородных уравнений для Ьх и &2:
1=о! B2)
Для того чтобы получить для by и &2 решение, отличное от ну-
левого, мы должны приравнять нулю определитель написанной
системы:
11 21 =0. B3)
Это есть квадратное уравнение для X. Взяв некоторый корень
X = Xt этого уравнения и подставляя его значение в коэффициенты
системы B2), мы сможем найти для Ьх и &2 решение, отличное от
нулевого. Таким образом, корни уравнения B3) дают возможные
значения множителя X в формуле B1), т. е. эти корни равны числам,
обладающим тем свойством, что существует решение уравнения A),
которое в результате обхода особой точки z0 в положительном
направлении умножается на упомянутое число. Если возьмем за
исходные другие линейно независимые решения, то линейное преоб-
разование A9) будет уже другим, но корни уравнения B3) должны
остаться прежними, так как эти корни имеют вполне определенный
указанный выше смысл, не связанный с выбором основных решений.
100] окрестность особой точки 355
Приведем чисто алгебраическое доказательство сказанного. Если
вместо W\ и w2 мы рассмотрим другие линейно независимые решения:
щ = cnwx +
где определитель матрицы || cik || должен быть отличен от нуля, то
вместо A9) получим
где матрица || dik |] подобна || aik || [IIIl9 27]:
II rf** II = 11^*11-11 «i* II-ll^ir1-
а подобные матрицы имеют одинаковые характеристические уравнения.
Разберем сначала тот случай, когда квадратное уравнение имеет
два различных корня
X = \х и X = Х2.
Мы имеем при этом два решения, удовлетворяющих условиям
Wi = \Wb w$ == \wi. B4)
Эти два решения будут обязательно линейно независимы. Дей-
ствительно, в противном случае отношение — было бы постоянной
величиной и не менялось бы при обходе особой точки, а в силу B4)
это отношение приобретает множитель •— при обходе особой точки.
Заметим еще, что в силу B0) числа Х| и \ наверно отличны от нуля.
Введем два числа
1пХ fr \nX B5)
где значения логарифмов берутся произвольными. Составим две
функции:
(z — z0)91 = epl ln {г - Zo), (z — zo)p2 = <?p2in U - *•).
При обходе особой точки они приобретают множители
= eln xi = Хь
Таким образом, отношения
при обходе особой точки будут оставаться однозначными, т. е. эти
отношения будут регулярными и однозначными функциями в окрест-
356 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [100
ности точки z = zOf и, следовательно, в этой окрестности они будут
представляться рядами Лорана. Таким образом, для построенных
решений мы имеем следующие представления в окрестности особой
точки:
WX=(Z — *o)Pl S
* = —оо
+00
B6)
Заметим, что In X определен лишь с точностью до слагаемого
вида 2тъ1, где т — любое целое число. Таким образом, в силу B5)
числа pi и р2 определены с точностью до слагаемых, которые должны
<5ыть целыми числами. Это вполне согласуется и с формулами B6),
ибо, умножая ряд Лорана на (z — zo)mt где т — любое целое число,
мы получаем опять некоторый ряд Лорана, и, таким образом, пока-
затели р! и р2 в формулах B6) определены лишь с точностью до
целого слагаемого.•
Рассмотрим теперь тот случай, когда корни уравнения B3) оди-
наковы, т. е. когда Xi = X^. Мы можем при этом построить, как и
выше, одно решение уравнения, удовлетворяющее условию
w\ = \w\. B7)
Возьмем какое-нибудь второе решение wv линейно независимое
от W\. При обходе особой точки оно испытывает линейное преобра-
зование вида
w% = cl<i\Wi —|— tfggWg. B8)
Квадратное уравнение B3) для построенных решений будет
О ап — X =0"
Оно по условию должно иметь двойной корень Х = ХЬ откуда
непосредственно следует, что an = \t т. е. что формула B8) должна
иметь вид
B9)
В силу B7) и B9) отношение ^- при обходе особой точки при-
обретает лишь постоянное слагаемое
\wt) wl « lt •
jt следовательно, разность
100] окрестность особой точки 357
при обходе особой точки будет однозначной и будет изображаться
рядом Лорана. Таким образом, принимая во внимание, что W\ имеет
вид B6) и что произведение ряда Лорана на Wi имеет тот же вид,
что и Wit мы видим, что в данном случае наши решения будут иметь
вблизи особой точки представление вида
— z0).
C0)
Мы получаем, таким образом, следующую теорему:
Теорема III. Если z = z<> есть полюс или существенно особая
точка для коэффициентов p(z) и q{z\ то существуют два
линейно независимых решения, которые вблизи этой точки пред-
ставляются в виде B6) или C0). Заметим, что во втором случае,
когда корни уравнения B3) одинаковы, может все же оказаться,
что постоянная аи и связанная с ней постоянная
будут равны нулю, и тогда будем иметь вблизи этой точки фор-
мулы B6).
Веб предыдущее относилось к тому случаю, когда точка z0 нахо-
дится на конечном расстоянии. Для исследования бесконечно далекой
точки плоскости мы должны вместо z ввести новую независимую
переменную t по формуле
Заменяя дифференцирование по z дифференцированием по t, будем
иметь
dz dt ' dz2 dt2 ~T~ dt '
и уравнение A) с новой независимой переменной будет иметь вид
Для этого нового уравнения прежняя бесконечно далекая точка
превратится в точку t = 0, и мы должны будем исследовать по
предыдущей схеме окрестность этой точки.
Заметим, что все предыдущие рассуждения носили чисто теоре-
тический характер. На самом деле они не дают никакого практиче-
ского способа построения квадратного уравнения B3) и нахождения
358 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [101
коэффициентов в разложениях B6) и C0). Мы переходим сейчас
к исследованию этого практического вопроса нахождения чисел р.
и коэффициентов разложения в формулах B6) или C0). Мы можем
это сделать только в одном случае, а именно тогда, когда разло-
жения в этих формулах содержат лишь конечное число членов с отри-
цательными степенями.
В этом случае особая точка z = z0 называется регулярной осо-
бой точкой, т. е. полюс или существенно особая точка коэффи-
циентов уравнения A) называется регулярной особой точкой этого
уравнения, если разложения Лорана B6) или C0) содержат лишь
конечное число членов с отрицательными степенями. Изменяя pi и
р2 на целое число, мы всегда можем, в случае регулярной особой
точки, достигнуть того, чтобы степенные ряды в формулах B6) или
C0) вовсе не содержали членов с отрицательными степенями и начи-
нались со свободного члена, т. е., например, вместо B6) в случае
регулярной особой точки мы можем написать
B6.)
(c0 и с0 ф 0).
k=0
В других случаях, когда хоть одно из разложений в формулах:
B6) или C0) содержит бесчисленное множество членов с отрица-
тельными степенями, особая точка называется иррегулярной. Мы
должны будем прежде всего указать критерий, согласно которому
могли, бы судить по коэффициентам уравнения о том — будет ли:
особая точка регулярной или иррегулярной.
101. Регулярная особая точка* Пусть wx и w* — две аналитиче-
ские функции, линейно независимые между собой. Нетрудно построить
линейное уравнение, для которого они будут решениями. Действи-
тельно, мы должны иметь
и отсюда без труда определяются коэффициенты уравнения, а именно*
III, 24]:
-»«>-»'> C2)
¦3—p^it- <33>
РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА 359
Положим, что точка z = z0 является регулярной особой точкой.
Рассмотрим только случай pi ф р2, так как случай формул C0) может
быть разобран совершенно таким же образом. Будем в дальнейшем
обозначать через Pk(z — z0) ряды, расположенные по целым поло-
жительным степеням (z — z0) со свободным членом, отличным от
нуля. Имеем в данном случае, по условию регулярности особой
точки z = zOy решения вида
Wi=(Z — Z9p Pi (Z — Zo), W* = (Z — Z0f* P2 (Z —
Отсюда
так как частное двух степенных рядов со свободными членами есть
также степенной ряд со свободным членом. Дальше имеем
A (z) = wfa — w[w% = w\ -^ (^ =
«ли, производя дифференцирование произведения и вынося за скобки
(z — ztf*-*i~\
1P5(* — z.)
и, дифференцируя по z, получим
Отсюда
— 1 —Pi —
— z-z0
т. е. p(z) может иметь в точке z = z0 полюс не выше первого
порядка.
Из выражения wv путем дифференцирования непосредственно сле-
дует, что —L может иметь в точке z0 полюс не выше первого порядка,
а -^ полюс не выше второго порядка. Формула C3) при этом
показывает, что q(z) может иметь в точке z0 полюс не выше вто-
рого порядка.
Мы приходим, таким образом, к следующей теореме:
Теорема I. Необходимым условием того, чтобы точка z0
-была регулярной особой точкой, является то обстоятельство,
что коэффициент p(z) имеет точку zQ полюсом не выше первого
360 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ЮГ
порядка, а коэффициент g(z) имеет точку z0 полюсом не выше
второго порядка, т. е, уравнение имеет вид
где p\(z) и q\(z)—регулярные в точке z0 функции.
Покажем теперь, что это условие не только необходимо, но и
достаточно для регулярности особой точки. Напомним, что уравнения
вида C4) суть как раз те уравнения, которые мы рассматривали
раньше [II, 47] и для которых строили формально решения в виде
обобщенного степенного ряда. Но только прежде мы не занимались
вопросом о сходимости построенных таким образом рядов. Сейчас
мы разберем этот вопрос до конца и докажем, что построенные
формально ряды будут сходящимися и будут давать решения уравне-
ния. Для простоты письма будем считать zo = O.
Перепишем уравнение C4), умножая его на z\ в виде
z*w" + г(а0 + a{z +...)W + (ft0-\-bxz-\-..)w = Q C5)
и будем искать решение этого уравнения в следующей форме:
*>=* 2 ****• C6)
Л = 0
Подставляя это в левую часть уравнения C5) и приравнивая
нулю коэффициенты при различных степенях zy получим уравнения
для определения коэффициентов ck. Эти уравнения будут иметь вид
C7}
o(p + 2) + fi/i (P + 1) + cjt(p) = 0,
где мы для краткости ввели следующие обозначения:
/Х) ХХ1LХ + *, 1
(к=\у 2, ...). C8)
J
Как уже упоминалось, можно считать с0 ф 0, и первое из урав-
нений C7) дает квадратное уравнение для определения показателя-
степени р:
/о(р) = Р(р— lL-p«o-t-^o = O. C9)
Это уравнение называется обычно определяющим уравнением
в рассматриваемой особой точке. Положим, что pi есть некоторый.
101) РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА 361
корень этого уравнения такой, что при всяком целом положитель-
ном п имеет место условие
/o(pi + «)^O (л=1, 2, ...). D0)
При этом уравнения C7), начиная со второго, дадут нам воз-
можность определить последовательно съ сь ... Первый коэффи-
циент с0 останется произвольным и будет, очевидно, играть роль
произвольного постоянного множителя, так что мы можем, например,
положить со=1. Мы должны теперь еще показать, что построенный
таким образом ряд, входящий в формулу C6), будет рядом, сходя-
щимся в некоторой окрестности точки z = Q.
Пусть R есть круг сходимости рядов, входящих в коэффициенты
уравнения C5). Если Rt есть некоторое положительное число, мень-
шее /?, то мы имеем для коэффициентов ak и bk этих рядов следую-
щую оценку [14]:
где тх и т<ъ — некоторые постоянные. Отсюда
и, следовательно, взяв М ^ mv -f- т& будем иметь оценку вида
к
Отношение
при беспредельном возрастании п будет стремиться к нулю, так
как числитель есть полином первой степени от п> а знаменатель —
полином второй степени. Следовательно, можно фиксировать такое
целое положительное число N, что
при n^N. D2)
Из формул C7) имеем
/|(? + я-2) /п (t)
откуда
362 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [101
Далее,
/*(р + л—*)=
2
|<|**|+(|р| + л)|ал| 1 ' •••••"*
поэтому и подавно
|/*(р + л-*)|<(|р| + л)(КЦ-|**1> D4)
Всегда можно выбрать достаточно большое положительное
число Р так, что для первых TV коэффициентов будет иметь место
оценка
l**l<-j? (*=°> *> •••> w-1)- D5>
Напомним, что мы считаем со=1. Будем, кроме того, считать, что
Р во всяком случае выбрано так, что
Р>1+А1. D6)
Для остальных коэффициентов, начиная с cN, мы уже можем
пользоваться неравенством D2). Докажем, пользуясь этим неравен-
ством, что если оценка D5) имеет место для всех ck от с0 до сп
исключительно, то она имеет место и для cw Действительно, в силу
D2), D3) и D4) будем иметь
или в силу D1)
или, предполагая, что для с0, Cj, ..., Ся-i имеет место оценка D5):
9++1)Л1Г71)
p __ 1 #n •
-'1 ^1
Покажем теперь, что
АЛ / Г>Я 1 \
D8)
Действительно, это неравенство равносильно следующему:
или
р» [Р _ A _|_ Л1)] -f- М > 0.
101] РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА 3G3
Это последнее непосредственно вытекает из D6). Неравенства
D7) и D8) дают
рп
я наше утверждение доказано.
Итак, оценки D5) имеют место до значка k = N— 1 включительно
в силу выбора числа Р. Для дальнейших значков имеет место нера-
венство D2), пользуясь которым мы показали, что если оценка D5)
имеет место до некоторого значка, то она имеет место и для сле-
дующего значка. Таким образом мы доказали, что оценка D5) имеет
место для любого значка, т. е. при любом п имеем
\с К —
Но ряд
п
наверно абсолютно сходится в круге |-г|<^-т?-. Следовательно, в
этом круге и ряд, входящий в формулу C6), члены которого по
модулю не больше членов предыдущего ряда, также обязательно
будет абсолютно сходящимся, и его, конечно, можно почленно диф-
ференцировать, как всякий степенной ряд.
Таким образом, мы показали, что формула C6) дает действи-
тельно решение нашего уравнения в некоторой окрестности точки
z = 0. Покажем теперь, что ряд C6) сходится во всем круге \z\<^R,
где сходятся ряды, входящие в коэффициенты уравнения C5). Дей-
ствительно, в противном случае функция, определенная в окрестно-
сти 2 = 0 степенным рядом, входящим в формулу C6), должна была
•бы иметь внутри круга \z\<^R особую точку при аналитическом
продолжении [18] (отличную от точки z = 0). Но этого не может
быть, так как коэффициенты уравнения C5) суть регулярные функ-
ции во всем круге \z\<^R, кроме точки г = 0, и, согласно резуль-
тату [100], решение не может иметь там особых точек при аналити-
ческом продолжении.
Если разность корней квадратного уравнения C9) не есть целое
число, то для каждого из корней выполнено условие D0), и можно
таким образом построить два решения вида C6), причем эти реше-
ния будут, очевидно, линейно независимыми (р! ф р^).
Перейдем теперь к разбору такого случая, когда квадратное
уравнение C9) имеет одинаковые корни или такие различные корни,
разность которых есть целое число.
364 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ЮГ
В первом случае, используя единственный корень уравнения, мы
построим указанным выше способом одно решение вида C6), и надо
будет находить еще второе решение. Обратимся ко второму случаю.
Пусть pi и р2 — корни уравнения C9) и pt = р2 -|- т> где т — некоторое
целое положительное число, т. е. р! есть тот из корней уравнения,
вещественная часть которого больше, чем вещественная часть другого
корня. Для корня pj условие D0) очевидно выполнено, и можно
построить, пользуясь этим корнем, решение указанным выше спо-
собом. Если мы попытаемся использовать второй корень р.2 для
построения решения, то встретимся со следующим затруднением.
Значение ^-\-т является корнем уравнения C9), и, следовательно,
если мы возьмем (#z-j-l)-e уравнение системы C7):
то в этом уравнении коэффициент h{^-\-m) при неизвестном ст
будет равен нулю. Сумма остальных членов будет, вообще говоря,
от нуля отлична, и мы придем к противоречивому равенству. Таким
образом, и в этом случае нам надо будет иначе искать второе реше-
ние. Заметим, что если оказалось бы случайно, что в предыдущем
уравнении и упомянутая сумма равна нулю, то мы могли бы за ст
взять любое число и продолжать вычисление дальнейших коэффи*
циентов ст+1, ... Наши предыдущие оценки показывают, что полу-
ченный ряд будет сходящимся, и мы будем иметь, таким образом,
и в этом исключительном случае второе решение вида C6).
Установим теперь вид второго решения, считая вообще, что
> D9)
где т есть целое положительное число или нуль. Напомним, что
для линейного уравнения
w9 -\-р (z) w'-\-q(z)w = 0
мы имели формулу, которая дает второе решение уравнения w%>
когда известно его одно решение W\ [II, 24]:
^[. 50)
где С—произвольная постоянная. В данном случае
откуда
101] РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА 365
где, как и выше, P\(z) — ряд Тейлора, расположенный по степенями
со свободным членом, отличным от нуля. Построенное уже решение
имеет вид
w1 = z^Pi(z)> E1)
откуда
w\ = z^Pb(z)>
где Ps(z) — ряды Тейлора со свободным членом, отличным от нуля.
Подинтегральная функция в формуле F0) будет, следовательно»
иметь вид
е~ J Р <*> «* J_ = *-«e-SPip4 (г).
Числа pi и рз суть корни квадратного уравнения C9), и, следо-
вательно,
Pi + Ре = 1 — «о-
Отсюда в силу D9)
— а% — 2Pl = рв— pi — 1 = — A + т\
т. е. подинтегральное выражение в формуле E0) будет
Интегрируя это выражение, получим один логарифмический член
7_i In г и затем ряд, который начнется со степени z~m. Умножая
это еще на wv определяемое формулой E1), получим окончательно
следующее выражение:
w% = z~mPb (z). гРФя (z) -f- T-i^iln z
или, в силу D9),
b (z) -f 7_!^i In z, E2)
где Pb(z) — ряд Тейлора со свободным членом. Выражение E2) по
форме совпадает со вторым из выражений C0), причем в формуле
E2) ряд Лорана не содержит членов с отрицательными степенями.
Заметим, что постоянная f-i» вообще говоря, отлична от нуля, но
может в отдельных случаях оказаться и равной нулю. Это будут те
исключительные случаи, о которых мы говорили выше. Таким обра-
зом, мы и в этом случае получаем второе решение, характерное для
регулярной особой точки, т. е. имеет место следующая теорема:
Теорема II. Для того чтобы точка z = Zq была регулярной
особой точкой, достаточно, чтобы коэффициент p(z) в уравне-
нии A) имел точку z0 полюсом не выше первого порядка, а коэф-
фициент q(z) — полюсом не выше второго порядка.
366 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [102
Необходимость этого условия была нами установлена выше.
Заметим, что иногда может случиться, что в регулярной особой
точке оба решения не имеют никаких особенностей. Это будет тогда,
когда pi и р2 суть целые не отрицательные числа, причем второе
решение не содержит логарифма. Так, например, уравнение
2 2
г ' z2
имеет следующие два линейно независимых решения:
Заметим еще, что если pt ===== р2, то постоянная 7_i в формуле E2)
наверно отлична от нуля, что следует непосредственно из преды-
дущих вычислений при т = 0.
102. Уравнения класса Фукса. Исследование регулярных особых
точек было впервые систематически проведено в середине XIX века
немецким математиком Фуксом. Мы займемся сейчас уравнениями,
все особые точки которых суть регулярные особые точки. Такие
уравнения называются обычно уравнениями класса Фукса. Напишем
наше уравнение в виде
w" -]-p(z)w'-{-q(z)w = 0. E3)
Совершая замену независимой переменной
1
получим, как мы видели выше, уравнение
По условию точка ? = 0 должна быть регулярной особой точкой
этого уравнения. Принимая во внимание, что после деления на tl
коэффициент при —^- не может иметь в точке ? = 0 полюс выше
первого порядка, мы должны иметь для р [~г\ разложение вида
[~г\
т. е. p(z) вблизи 2 = 00 должно иметь разложение вида
С54)
1Й2] УРАВНЕНИЕ КЛАССА ФУКСА 367
Точно так же, принимая во внимание, что коэффициент -^ q \-Л
может иметь в точке t = 0 полюс не выше второго порядка, получим
и, следовательно, q(z) должно иметь вблизи
вида
= oo разложение
E5)
т. е. для того чтобы бесконечно далекая точка г = оо была регу-
лярной особой точкой уравнения E3), необходимо и достаточно,
чтобы p(z) имела в точке z = oq корень, и q(z)— корень не ниже
второго порядка. Заметим, что если в разложении E4) ^ = 2 и в
разложении E5) сГ% = A'г = 0, то точка ? = 0 не является особой
точкой уравнения E3t). В этом случае в окрестности z = oo урав-
нение имеет решение
где коэффициенты с0 и с} — произвольны.
Пусть ai9 ..., (хп — особые точки нашего уравнения, лежащие на
конечном расстоянии. Функция p(z) может иметь в этих точках по-
люсы первого порядка и в силу E4) должна обращаться в нуль на
бесконечности, т. е. это будет рациональная дробь вида
где степень числителя по крайней мере на одну единицу ниже сте-
пени знаменателя. Точно так же, принимая во внимание E5), видим,
что q(z) должно иметь вид
где степень числителя по крайней мере на две единицы ниже сте-
пени знаменателя. Разлагая рациональные дроби на простейшие,
будем иметь следующие общие выражения для коэффициентов урав-
нений класса Фукса:
2
E6)
368 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [102
В силу E5) мы должны иметь
>0 при г->оо,
и второе из выражений E6) показывает, что постоянные Ck должны
удовлетворять условию
С, + Сг-[-... + Сл = 0. E7)
Выражения E6) совместно с условием E7) и дают необходи-
мые и достаточные условия того, чтобы уравнение E3) было
уравнением класса Фукса.
Составим теперь определяющие уравнения для особых точекг=ал
и для точки z = oo. Для точки v.k коэффициент при (z — dk)~l в
выражении р(z) равен Ak и коэффициент при (z — ал)~* в выражении
q(z) равен Bkf так что определяющее уравнение в этой точке будет
р(р—1L-ДкР + Я* = 0 (ft=l, 2, ..., п\ E8)
Перейдем теперь к точке г = оо, т. е. к точке tf = 0 для урав-
нения E30. Коэффициент при t~x в выражении
определится, очевидно, следующим образом:
«ЛИ
Hm z» [ 2 _ 1 р BГI = 2 - Н
Принимая во внимание первое из уравнений E6), получим для
этого коэффициента следующее выражение:
2- 2 *•
k 1
Точно так же коэффициент при t * в выражении
будет
|02] УРАВНЕНИЕ КЛАССА ФУКСА 369
Но в силу E6) и E7)
ft-1 1—-
В* Л- \ (akCf* О-
Zj ( a*)8 "^ Z< \ ^ "г"
к == 1 к = I
ОТ К}
lim 2
Окончательно для ,г = оо определяющее уравнение будет
/ п \ п
Р(Р—1)+Р 2— 2 ^ 4" S (fl* + a*Cft)=0. E9)
\ /
Принимая во внимание E8) и E9), нетрудно проверить, что сумма
корней определяющих уравнений во всех особых точках будет равна
«- 2M*+ S Ak-i=n-i,
k=\ k=i
т. е. s/яа су^жа будет равна числу особых точек, лежащих на
конечном расстоянии, уменьшенному на единицу.
Если бы мы захотели построить уравнение класса Фукса с одной
особой точкой, то всегда можем считать, что эта точка находится
на бесконечности, так что на конечном расстоянии вовсе нет особых
точек. В формулах E6) мы должны будем положить все коэффи-
циенты Ak, Bk и Ck равными нулю, и получим таким образом неин-
тересное уравнение w' = 0.
Рассмотрим теперь уравнение класса Фукса с двумя особыми
точками, одну из которых можно всегда считать находящейся на
бесконечности. В этом случае суммы, входящие в формулы E6),
должны содержать по одному слагаемому, и, принимая во внимание
условие E7), получим
1 z — a ' (z — aJ
где a есть единственная особая точка, лежащая на конечном расстоянии.
Это уравнение есть линейное уравнение Эйлера [II, 42], и оно
приводится, как мы знаем, простой подстановкой
х = 1п(.г — а)
к уравнению с постоянными коэффициентами.
370 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [103
В следующем номере мы займемся подробным исследованием урав-
нения класса Фукса с тремя особыми точками.
Напомним читателю уравнение Бесселя [II, 48]
* V + zw' + (z* — р*) w = 0,
которым мы занимались раньше. Это уравнение имеет регулярную
особую точку в начале 2 = 0. Коэффициент при w в окрестности
бесконечно далекой точки не удовлетворяет условию E5), и, следо-
вательно, точка 2 = оо будет иррегулярной особой точкой для урав-
нения Бесселя, т. е. уравнение Бесселя имеет две особые точки: регу-
лярную особенность 2 = 0 и иррегулярную особенность г = оо.
103. Уравнение Гаусса. Перейдем к рассмотрению уравнения
класса Фукса с тремя особыми точками. Пользуясь дробно-линейным
преобразованием плоскости независимого переменного, мы можем,
не ограничивая общности, считать, что эти особые точки суть
2 = 0, z=\ и 2 = oo.
Обозначим корни определяющего уравнения в этих точках сле-
дующим образом:
ai> аъ Pi> Pa>* Ti> Ъ-
Для коэффициентов уравнения получим следующие выражения:
где
0. F0)
Уравнение
р(р— 1)+Л1Р4-Я1 = 0
по условию имеет корни at и о^ откуда непосредственно вытекает
Точно так же из определяющего уравнения в точке 2=1 получим
А%=1 — (Pi —f— Ps)> В* = PiP*
Определяющее уравнение в точке 2 = оо будет иметь вид
Подставляя сюда один из его корней p = fi, найдем выражение
для С»
103] УРАВНЕНИЕ ГАУССА 371
и условие F0) даст нам, наконец, Сх = — С2. Таким образом, в случае
трех особых точек оказывается, что коэффициенты уравнения вполне
определяются по корням определяющих уравнений в особых точках.
Из предыдущих вычислений непосредственно вытекает, что можно
произвольно задавать эти корни для точек z = 0 и z=\, а для
точки 2 = oo можно произвольно задать лишь один корень. Второй
корень вполне определится из того условия, что в данном случае
сумма всех шести корней должна равняться единице (числу особых
точек на конечном расстоянии, уменьшенному на единицу).
Всякое решение построенного уравнения обозначают иногда сле-
дующим символом:
О 1
Pi
h ь
который был введен Риманом.
Введем теперь некоторое элементарное преобразование функции
w для того, чтобы упростить вид уравнения. Заметим, что если
вместо w введем новую искомую функцию и по формуле
w = zp(z—\)q и, it = z~p (z — \)'q w,
то для новой функции получим также уравнение с тремя регуляр-
ными особенностями: z = 0, z=\ и г = оо, но только наличие
множителя z~p(z—1)"^ даст нам вместо корней а1 и а2 определяю-
щего уравнения в точке z = 0 для и новые корни at—р и а3—р.
Точно так же в точке z=\ новые корни определяющего уравнения
будут j3i — q и р2 — q. Выбирая р = *\ и ^ = Pi» можно достигнуть того,
чтобы в особых точках z = 0 и z=\ один из корней определяющего
уравнения был равен нулю, что мы и будем считать в дальнейшем.
Введем теперь новые обозначения. Обозначим через аир корни
определяющего уравнения в точке 2 = oo. Для точки z = 0 будем
иметь один корень, равный нулю, а второй корень обозначим через
1 — 7- Наконец, для точки z = 1 будем иметь один корень нуль,
а второй корень определится из того условия, что сумма всех шести
корней должна равняться единице, и он, следовательно, будет
7 — a — р. Таким образом, вместо, общего символа F1) можем рас-
сматривать следующий частный случай:
О 1 оо
Р 0 0 а; г). F10
\1-Т Т~а-р р
Коэффициенты уравнения определятся из предыдущих вычислений,
если положить там
*1 = 0; ай=1— Т; р1 = О; ра==т —а —р; 7l = a; T, = p.
372 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [104
Мы получим, таким образом, уравнение вида
^+=1±?±^.., + _А1Г_в. F2)
Это уравнение называется гипергеометрическим дифференциаль-
ным уравнением, или уравнением Гаусса. Перейдем теперь к построе-
нию его решений вблизи особых точек.
104. Гипергеометрический ряд. Построим сначала решения урав-
нения F2) в окрестности особой точки z = 0. Эти решения должны
иметь вид
P\(z% z^P%(z\ F3)
где P\(z) и P<i(z) — ряды Маклорена со свободным членом. Найдем
сначала первое из написанных решений. Перепишем для этого урав-
нение F2) в виде
z(z —
и подставим в его левую часть
Применяя обычный метод неопределенных коэффициентов, полу-
чим окончательно решение следующего вида:
gy *¦+¦¦¦+
Н л!тG+
где через F(a, p, *[\ z) мы обозначили бесконечный ряд, стоящий
справа. Поскольку ближайшая к началу особая точка уравнения есть
точка 2=1, мы можем утверждать, что написанный ряд наверно
сходится в круге | z | <^ 1. Этот ряд называется обычно гипергеомет-
рическим рядом. При a = p = f=l он превращается в геометричес-
кую прогрессию. Мы занимались исследованием этого ряда еще
раньше [I, 141].
Для определения второго из решений F3) воспользуемся тем элемен-
тарным преобразованием функции, о котором мы говорили в предыду-
щем номере. Введем вместо w новую искомую функцию по формуле
Для новой искомой функции корни 0 и A—?) определяющего
уравнения в точке z = 0 перейдут в G — 1) и 0. Корни 0 и (*[ — а — C)
в точке 2=1 останутся прежними, и, наконец, в силу второй из фор-
мул F5) корни а и р в точке z ~ оо перейдут в (а +1 — -[)
и (p+1-T).
|04] ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД 373
Действительно, до преобразования разложения решений вблизи,
z = oo имели вид
-,=(i)p,(i) „ ».=A
и после преобразования они будут иметь вид
1 /1 Р+1-7
т)и "а=Ы
Следовательно, новая искомая функция и будет определяться сле-
дующим символом:
О 1 со
Р[ 0 0 а + 1 — у, г
Сравнивая этот символ Римана с символом (бЦ) и обозначая через
<Ч> Pi и Ti значения параметров (а, р, 7)> соответствующие новому
символу Римана, получим
— Ъ
т. е.
в1 = а+1—Т, р1 = р+1—Т, 7i = 2-7-
Решение нового уравнения, регулярное в начале z = 0, будет
согласно предыдущему
M = F(a1,p1,Ti;z) = F(a+l—Т, Р+1— Ъ 2 —7;^>
откуда в силу F5) получаем
Это и будет второе из решений F3).
Перейдем теперь к отысканию решений уравнения F2) в окрест-
ности особой точки z=\. Введем для этого новую независимую
переменную по формуле
z'=\—z.
Точка z = 0 перейдет в г'=1, точка г=1 перейдет в г' = 0,.
и, наконец, 2 = 00 перейдет в г' = оо. Таким образом, и по отноше-
нию к новой независимой переменной мы будем иметь также урав-
нение Гаусса, и функция w определится следующим символом:
/0 1 оо ^
Р 0 0 а;
\т_а_р i_T p
откуда для параметров (а, р, 7) получим значения
374 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [104
В окрестности г' = 0 мы будем иметь два решения:
—г;/),
или, переходя к прежней независимой переменной, получим следую*
щие два решения в окрестности г=1:
— Р. Т~а, 1+Т « Р; 12)/ С l)
Для построения интегралов в окрестности z = oo совершим пре-
образование независимого переменного:
*'=-*-. *=А.
которое сохраняет точку z = I и переставляет точки z = 0 и z = оо.
В новой переменной функция w определится следующим символом:
/0 1 оо \
Р(а 0 0; z'\.
\р т-«_р 1-т I
Совершая дальше замену функции
w = z'au, u = —w, F5A)
мы для функции и получим символ, соответствующий уравнению
Гаусса:
/0 1 оо \
Pi 0 0 а; *
\Р — а т — а — р 1 —|—а — f
Параметры для этого уравнения Гаусса будут
о 1 I „ „ 1 -4-а й
1 ' rl I 1' |1 I г'
и мы будем иметь для функции и следующие два решения в окрест-
ности z' = 0:
откуда, принимая во внимание F5i) и z' = —, получим два решения
^уравнения F2) в окрестности z = oo:
F44)
104] гипергеометрический ряд 375-
Таким образом, все шесть решений, которые мы определили
в окрестности каждой из особых точек, выражаются через гипер-
геометрический ряд. Заметим, что во всех предыдущих вычислениях
мы считали, что разность корней определяющих уравнений отлична
от целого числа. Принимая во внимание расположение особых точек,
можем утверждать, что формулы F4,) имеют место при \z—1 |<^ 1,
а формулы F42) — при |,г|^>1. Заметим, что решение F4) имеет
смысл и тогда, когда 7 есть целое положительное число.
В [I, 141] мы исследовали сходимость гипергеометрического ряда при
лг=1 и показали, что он сходится, если выполнено условие
7-« — Р>0, F6)
причем а, р и 7 считаются вещественными. При этом, согласно второй тео-
реме Абеля [I, 149], мы имеем F (а, Р, ?; х) — F(a, р, 7; 1) при х — 1—0, и
Докажем формулу
Сравнивая коэффициенты при хп, легко доказать соотношение
•» li-i-B7-«-P-i)^]/=•(«> р,7;^) + G-«)(т-Р)^(«. Р.
= 7 G-1H-*)/=>. Р, 7-1;*)
или
_ F8)
где vn — коэффициент при хп в разложении F(a, р, 7 — U *)• Покажем, что
при условии F6) vn —> 0 при п —¦*¦ со.
Мы имеем [I, 141]
—— 1 1 | /X
где <ол — ограничена по абсолютной величине при л—>оо. Пусть р — такое
целое положительное число, что р G — а — Р)>1- Мы можем написать
\Уп\р =1 | Р G — « — Р) , <
где «о» ограничена по абсолютной величине. Из этого равенства и неравен-
ства р G — « — р) > 1 следует, что ряд, составленный из | vn \p> сходится
[I, 141], и, следовательно, vn—*0 при п—*оо. Устремляя в формуле F8) х:
к единице и пользуясь второй теоремой Абеля, получаем
7 (о -|- р — к) F(a, р, 71 1) + G — а) G — Р) ^(а> Pi 7+ 1; 0 = 0>
I. е.
г, 1)=
376 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ A04
Пользуясь несколько раз этим соотношением, можем написать
г. Ц
Произведение, стоящее в квадратных скобках при т-*оо, имеет предел [73]
Г(т)Г(т-«-Р)
Г(Т-«)Г(Т-Р) •
Покажем теперь, что F(a, р, Y + mJ 1)—»1 при т—*аэ. Обозначая через
ип(а> % Т) коэффициент при хп в разложении F(a, р, y» *), можем написать
Заменяя в выражении нл (а, р, Y + m) B числителе аирна|а|и|Р|и
в знаменателе сумму Y + m разностью т — \-\\% причем считается, что
т > | 7 |» получим
причем справа стоит ряд с положительными членами. Вынося за скобку
' а ' '' '. ¦ и заменяя в знаменателях ml на (т—1I, будем иметь
При достаточно больших m аргументы ах =с | а [ -J- 1, рж == | Э | —|— 1 и Yi =
=/я — |т1 + 1 удовлетворяют условию F6), и ряд, стоящий в правой
части последнего неравенства, сходится, причем его члены, а потому и вся
сумма, .убывают при возрастании т. Первый множитель-!—~Т\ ~"*0 при
т—»-оо, и, следовательно, F(a, p, y + т\ 1)-*1 при т —+ оо. Окончательно
формула F9) и приводит нас к F7).
Пользуясь формулой F7), можно выразить решение wt через линейно
независимые решения wz и w4. Все эти три решения имеют место в части
плоскости, общей окружностям с центром 2 = 0 и 21=1 и радиусом единица.
Мы должны иметь
F(*9 fc y; at) = c1f(«i p, i + «н-э—т; i— *) +
e, y-P, i+T —« —ft 1-*).
Считая, что а, р, и y подчиняются неравенствам: 1 > y > a + P, мы можем
в этом равенстве положить х=1 и л: = 0, и таким образом определить Ct
и С2. Пользуясь формулой F7), равенством A22) из [71] и легко доказывае-
мой формулой
sinica sinrcp = sinic(Y — a) sin те (y — P) — sin iq sin тс (y—« —P).
105] полиномы лежандра 377
мы приходим к следующему равенству:
а~Р)^(а, р, 1 + а + р — 7; 1-л:) +
+ Г G) Г (Т - р) Г (а + р -1) A - *)Т---Р X
xfd-a, 7-Л 1+т-«-Р; 1—Jt). G0)
Мы доказали эту формулу при условии 1>7>а + Р- Можно показать, что
она имеет место во всех случаях, когда G — а — р) не есть целое число.
106. Полиномы Лежандра. Отметим теперь один важный част-
ный случай гипергеометрического ряда. Предварительно установим
некоторое общее преобразование для линейных уравнений второго
порядка. Пусть имеется уравнение второго порядка вида
(z)w = 0. G1)
Найдем такой множитель f(z), чтобы
a (*)/(*) wT + Ь (*)/(*) *t = j-%\a (г)/(г
Мы должны иметь
b(z)f(z)=^
b(z)f(z)=^[a(z)f(z)],
откуда
a {z)f (z) + [a' (z) - Ъ (z)} f(z) = 0
или
т. е. мы можем взять
1 J а (г) г
и после этого будем иметь
f Нг) с Ь(г)
Щ G3)
а уравнение G1) примет вид
^ G4)
Проделывая, например, это с уравнением Гаусса F2), приведем
его к виду
*. [Zi (г — i)«+P+i-i «/J _|_ арг7 (z — lf^w = 0. G5)
378 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [105
Перейдем теперь к установлению некоторой общей формулы для
гипергеометрического ряда. Дифференцируя ряд F4) п раз, получим
= «(*+О ••.(" + "-
или
Д G6)
т. е. производная порядка л от гипергеометрического ряда F4)
лишь постоянным множителем отличается от гипергеометрического
ряда с параметрами а —(— /г, §-\-п и f -f- я. Таким образом, функция
W&* удовлетворяет уравнению G5), если в нем заменить а, р и f
на а -\- п, р -|~ л и Т ~Н п» т- е-
Дифференцируя это тождество п раз, получим новое тождество
Напишем это тождество для значений п = 0, 1, 2,..., k—I
и перемножим почленно полученные таким путем тождества. Левая
и правая части полученного соотношения будут содержать одина-
ковые множители, и после сокращения мы придем к искомому
тождеству
^ at(a+l)...(a + *— 1) X
1 (ft=L 2, 3,...). G7)
Напомним, что в этом тождестве буква w^ обозначает гипер-
геометрический ряд F4).
Заметим, вообще, что гипергеометрический ряд обрывается и
обращается в полином, если а или (J, которые входят в гипергео-
метрический ряд симметрично, равно целому отрицательному числу.
Рассмотрим сейчас один частный случай, когда это имеет место,
а именно возьмем гипергеометрический ряд
F{k+l, —k, 1; z) (* = *+!, р = —ft, T=1), G8)
105] полиномы лежандра 379
где k есть некоторое целое положительное число или нуль. Функциа
G8) будет просто полиномом степени k, и коэффициент при старшем
члене zk в этом полиноме будет
(k+\)(k + 2)...2k(-k)(-k+\)...(-\) _ ,k 2*1
k\ 1-2...Л ~~l ' (k\y
Полагая в формуле G7) w1 = F(k4- \f —ky 1; «г), т. е. a = ?-4-l,
P = — k и 7=1, мы получим w^=(—\)k -ту- и, произведя очевид-
ные сокращения, будем иметь
1, -k, 1; Z) = ^=^fzk[zk{z-\f]. G9)
Введем теперь вместо z новую независимую переменную х по
формуле
г = Ц^. (80)
При этом точки z = 0 и z=\ перейдут в х=\ и х = —1-
Обозначим
Pk(x) = F(k-\-l, -k, 1; i=^). (81).
Подставляя (80) в G9), получим следующее выражение для поли-
нома Pk(x):
Эти полиномы Pk(x) называются обычно полиномами Лежандра.
В дальнейшем они нам встретятся при исследовании сферических
функций.
Выясним сейчас некоторые основные свойства полиномов Ле-
жандра. Функция G9) удовлетворяет уравнению, которое получается
из уравнения G5) заменой
a = ft+l, p = — k, T=l, (83>
т. е. функция G9) удовлетворяет уравнению
Совершая здесь замену независимого переменного по формуле
(80), мы увидим, что полиномы Лежандра Рь(х) являются реше-
ниями уравнения
?M?)j =0 (g4)
Напишем более общее уравнение вида
380 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [105
где X — некоторый параметр. Это уравнение в особых точках лг =
= ±1 имеет оба корня определяющего уравнения равными нулю.
Это нетрудно проверить по виду уравнения, это также непосред-
ственно следует и из того, что при условии (83) имеем
т—1=0; т — а —р = 0.
Таким образом, в точках лг = ±1 будет один регулярный интеграл
и один интеграл, содержащий логарифм, причем этот последний
интеграл будет, например в точке х=1, иметь вид
Рх(х — \) + рг(х— 1Iп(х— 1),
где Р\(х—1) и Р%{х—1) — ряды Тейлора со свободным членом.
Из этого обстоятельства непосредственно вытекает, что интеграл,
содержащий логарифм, будет во всяком случае обращаться в беско-
нечность в соответствующей точке. Заметим при этом, что в случае
одинаковых корней определяющего уравнения коэффициент f-i»
о котором мы упоминали в [100], не может быть равен нулю, т. е.
в случае одинаковых корней определяющего уравнения будет обя-
зательно существовать решение, содержащее логарифм.
Вернемся к уравнению (85) и возьмем его решение yi9 регуляр-
ное в точке х = —1. При аналитическом продолжении этого реше-
ния вдоль отрезка —1^лг^1 придем к решению, которое будет,
вообще говоря, логарифмическим в точке х= 1 и будет обращаться
там в бесконечность. Но при исключительных значениях параметра X,
входящего в уравнение (85), интеграл, регулярный в точке х = — 1,
окажется регулярным и в точке лг=1, т. е. мы будем иметь реше-
ние уравнения (85), конечное на всем отрезке (— 1, 1), включая и
его концы. Такими исключительными значениями будут значения
X* = *(* + U (86)
при которых уравнение (85) имеет решение в виде Р*(х). Можно
показать, на чем мы не останавливаемся, что значения (86) исчер-
пывают все значения параметра А, при которых уравнение (85)
имеет решение, конечное на отрезке (— 1, 1), включая его концы.
Выясним еще некоторые свойства полиномов Лежандра. Напишем
уравнение для двух различных полиномов Лежандра:
gj [A — X4) Рщ (*)] + КРт (X) = 0,
(и ф т\
? [(I - *") Рп(*)] + КРп (х) = 0
105] полиномы лежандра 381
Умножая первое из этих уравнений на Рп{х\ второе — на Рт(лг),
вычитая и интегрируя по промежутку (— 1, 1), получим
1
(К — К) 5 Pm(x)Pn(x)dX =
-1
1
Интегрируя первое слагаемое справа по частям, получим
Х)\ — I (l-X*)P'm(x)Pn(x)dx
х = -У -1
ИЛИ
I I
)§-[{\ -x*)P'n(x)]dx = — [ (I -x*)Pm(x)Pn(x)dx.
-1 -1
Точно так же
1 i
[ Pn(xL-[(l—x*)Prm(x)]dx = — [ (I —x*)P'm(x)P'n(x)dx.
Таким образом, получаем
i
(К — К) $ Pm(x)Pn(x)dx = v
или
1
5 Рт (х) Рп (х) dx = 0 (тф п\ (87)
т. е. полиномы Лежандра обладают свойством ортогональности
на промежутке (— 1, 1). Если бы мы стали вычислять интеграл
от квадрата полинома Лежандра
i
/„;= \ P%(x)dx, (88)
то оказалось бы, что он отличен от единицы, т. е. полиномы Лежандра
образуют ортогональную, но не нормированную систему функций.
382 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [105
Принимая во внимание (82), можем написать, пользуясь формулой
Лейбница:
rk W — kl 2ft f+U </лл I- ! dx dxk-i "Г • • • J •
Имеем, очевидно,
—U {S—
откуда непосредственно следуют равенства
P*(l)=l. (89)
Вычислим интеграл /я. Пользуясь формулой (82), можно написать
/ __!_ С ^я(л:2
'п~ (п!J22Л J d
—1)я d*(x*—\)n
J dxn ' dxn
Интегрируя по частям, получим
'"д (Xs— \)п dn (х2 — 1
(n\)*2anl dxn~x % dxn
_
Jfl
— 1
Полином (х2—1У1 имеет корни jc = zfz 1 кратности п. Диффе-
ренцируя его (я—1) раз, получим полином, который также имеет
корни jc = db 1 (первой кратности). Следовательно, внеинтегральный
член в предыдущей формуле обращается в нуль. Продолжая и дальше
интегрирование по частям, мы будем иметь каждый раз внеинтеграль-
ный член, равный нулю, и придем к формуле
1 1
Мы имеем, далее,
и, следовательно,
106] ПОЛИНОМЫ ЯКОБИ 383
Вводя jc = coscp, получим
\ (лг* — \fdx = {— 1)л \ sin2/l+1 cp rfcp =(— 1)Л2 \
-10 0
т. е. [I, 100]
и предыдущая формула окончательно дает
1
^P%(x)dx = 2~-r (90)
Пользуясь выражением (82) и применяя теорему Ролля, нетрудно
показать, что все корни полинома Рл(дг) различны и находятся
внутри промежутка —I^jc^I. Действительно, полином v . —
степени B/г—1) имеет корни х = ±1 кратности (п—1) и по
теореме Ролля имеет еще один корень x = ol внутри промежутка
{— 1, 1). Этим и исчерпываются все его корни. Затем полином
——j-i—— степени Bл— 2) имеет корни лг = ±1 кратности (п — 2)
и, кроме того, по теореме Ролля имеет два вещественных корня:
один внутри промежутка (—1, а) и другой — внутри промежутка
(а, 1). Продолжая так и дальше, мы увидим, что Рп(х) имеет п
различных корней внутри промежутка (— 1, 1).
106. Полиномы Якоби. Полиномы Лежандра являются лишь част-
ными случаями тех полиномов, которые получаются, когда гипер-
геометрический ряд обрывается и превращается в полином. Мы иссле-
дуем теперь общий случай. Введем следующее обозначение:
7—1=/>, а + р-7 = ?, (91)
и будем считать, что р и q суть фиксированные числа, большие,
чем (— 1), причем мы всегда будем предполагать, что параметры
а, р и 7 суть числа вещественные. Для того чтобы гипергеометри-
ческий ряд оборвался и превратился в полином степени k, мы должны
принять а или р равным (— k). He ограничивая общности, мы можем
считать, например, р = — k, и определить затем из (91) значение
а и 7- Обозначим полученный таким образом полином следующим
образом:
Qf *){z) = CkF(p + q + k+h -k, p + 1; г\ (92)
где Ck — произвольная постоянная.
384 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [106
Применяя к написанному гипергеометрическому ряду формулу F4),
убедимся в том, что коэффициент при zk в полиноме (92) равен
, ,v» (Р + Я + к + 1) (р + д + * + 2)... (р + д + 2k) r
Применяя к полиному (92) формулу G7), будем иметь
Определим постоянную Cft формулой
Cft — k\ •
При этом для построенного полинома получится формула
г'{г-
Если вместо z ввести х по формуле (80), то получатся полиномы
от ху которые называются полиномами Якоби:
-xf{\ -\-хучу-9) W = ^l-^[A -хГ*A +xf»]. (93)
При p = q = 0 эти полиномы совпадают с полиномами Лежандра.
При k = 0 Р<р*я)(х)=\.
Из определения Ck непосредственно следует, что коэффициент
при zk в полиноме (92) равен
I—
а в полиноме P^'^(jc) коэффициент при xk равен
В рассматриваемом случае мы имеем
<*=/> +f + ft-1-l, р = —ft, Т=
и функция (92) является решением уравнения
l1ft+ 1)^(
Совершая замену независимой переменной (80), получим для
полиномов Якоби уравнение вида
-\-kip-\-q-\-k-\-1)A — jf)P A + хУ> PJf.« (jc) = 0. (94)
105J полиномы якоби 385
В данном случае полиномы Якоби (93) при р и д^О являются
решением следующей предельной задачи: найти такие значения пара-
метра \ при которых дифференциальное уравнение
/- [A - хГ' A + хГ1 g] + * A - *У A + xfy = 0 (95)
имеет решение, конечное на отрезке (— 1, 1), включая его концы.
Эти значения параметра будут
h = k(p + q + k+l), (96)
а соответствующие решения и суть полиномы Якоби.
Пользуясь уравнением (94) для полиномов Якоби, нетрудно пока-
зать, как и в случае полиномов Лежандра, что имеют место сле-
дующие равенства
1
$ A — х)р A + x)q Р{? д) С*) Pf q) (x) dx = 0 (m ф п). (97)
— 1
Свойства (97) выражают следующим образом: полиномы Якоби
ортогональны на промежутке (— 1, 1) с весом
*)*. (98)
Из формулы (93) можно, как и для полиномов Лежандра, заклю-
чить, что
1 ь v J~ k\
Займемся теперь вычислением интеграла
1
-1
Пользуясь формулой (93), можем написать
г _(-')* '
-1
Производя, как и в [105], интегрирование по частям, получим
1
причем внеинтегральные члены обратятся в нуль в силу р^>—1
и <7^>—1. Обозначая, как и выше, через ak коэффициент при xk
в полиноме P{g*q)(x\ получим
1
386 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |106
. 1—ЛГ
Вводим новую переменную интегрирования г=—^—•
т. е. [72]
или, подставляя указанное выше выражение для <xft и пользуясь фор-
мулой A20) из [71],
т. е. имеет место формула
Т(п+р+\)Т(п + д + \) г 2 . 0()
При п = 0 последнее выражение в силу Г(лг-[- 1) = лгГ(лг) имеет
вид
Отметим еще один частный случай, а именно тот, когда p = q =
= —7г-. Введем для этих полиномов особое обозначение
Л.1 -1\
)=CkP\ 2' *){х)}
Tk{x)=CkP\ 2' *){х)} A01)
где Ck — некоторые постоянные.
В силу (93) они определяются следующим соотношением:
(Ю2)
Выведем теперь другое выражение для этих полиномов, для чего
воспользуемся тем дифференциальным уравнением, которому они
должны удовлетворять. Это уравнение получится из уравнения (94),
если там положить p = q = — у. Будем иметь для Tk(x) уравнение
A03)
Ю7] КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И УРАВНЕНИЕ ГАУССА 387
Корни определяющего уравнения в особой точке х= 1 будут О
и -?-. Первому из них и соответствует решение в виде полинома,
а второе решение наверно отлично от полинома. Чтобы найти поли-
ном, удовлетворяющий уравнению A03) в удобной форме, введем
вместо х новую независимую переменную <р по формуле
* = cos ср. A04)
Заменяя дифференцирование по х дифференцированием по <р,
будем иметь по правилу дифференцирования сложных функций
d d
1
Подставляя это в уравнение A03), получим
Решения последнего уравнения суть
cos ?cp и sin ?cp,
или для уравнения A03) получаем решения вида
cos (k arccos х) и sin (k arccos x).
Пользуясь известной формулой [I, 174]
cos ?cp = cos* cp — [-~\ cos*~*cp sin9 «p -}-...,
убеждаемся, что первое из этих решений есть полином от лг, и, сле-
довательно, с точностью до произвольного множителя решение урав-
нения, представляющееся полиномом, будет
Tk (x) = cos (k arccos x), A05)
и этот полином называется полиномом Чебышева. При ср = О мы
имеем х=\ и, следовательно, 7ЛA)=1, с другой стороны, по
формуле (99)
( )_ ЬЗ...B*-1)
и отсюда нетрудно определить постоянный множитель в формуле A01):
'*W—1.3...BЛ—1) ** W (Wb)
107. Конформное преобразование и уравнение Гаусса. Пере-
ходим теперь к выяснению связи уравнения Гаусса с некоторой
задачей конформного преобразования, причем, как и в предыдущем
параграфе, мы считаем параметры a, [J и f вещественными. Дока-
жем прежде всего, что решение уравнения Гаусса F2) не может
иметь кратных корней на плоскости комплексного переменного вне
388 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [107
особых точек. Действительно, если в некоторой точке z = z0 имеется
корень выше первой кратности, т. е. если
то из самого уравнения F2) вытекает, что w" (zo) = O. Дифферен-
цируя уравнение F2) и полагая затем z = z0, мы получим wm(z0) = 0
и т. д. Но аналитическая функция, у которой все производные
в некоторой точке равны нулю, как известно, равна нулю тожде-
ственно, а мы понимали под wf очевидно, решение, отличное от нуля.
Приведенное доказательство годится и для любого линейного урав-
нения второго порядка с аналитическими коэффициентами. Полу-
ченный результат вытекает также непосредственно из теоремы суще-
ствования и единственности [97].
Рассмотрим теперь частное двух интегралов уравнения Гаусса
Ш- <107>
Эта функция при аналитическом продолжении может иметь осо-
быми точками лишь точки z = 0, 1 и оо, а также те значения zt
которые являются корнями решения wx (z). Эти значения z будут
простыми полюсами функции A07). Если wl(z0) = 0, то можно
утверждать, что w^(zo)^bO. Действительно, если бы мы имели
то наши два решения определялись бы начальными условиями вида
и мы имели бы, согласно теореме существования и единственности,
т. е. решения wx(z) и w.2(z) были бы линейно зависимыми, а мы
считаем, что в формуле A07) числитель и знаменатель суть линейно
независимые решения.
Рассмотрим верхнюю полуплоскость комплексного переменного z.
В этой односвязной области В аналитические функции wx(z) и
w.2(z) не имеют особых точек при аналитическом продолжении и,
следовательно, являются однозначными регулярными функциями z.
Функция A07) также будет однозначной в верхней полуплоскости
и может там иметь особыми точками лишь простые полюсы. Пока-
жем теперь, что производная от функции A07) не может обращаться
в нуль вне особых точек. Как известно [II, 24], мы имеем для этой
производной следующее выражение:
107] КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И УРАВНЕНИЕ ГАУССА 389
где С—некоторая постоянная и p{z)—коэффициент при w' в урав-
нении F2).
Из формулы A08) и вытекает непосредственно наше утвержде-
ние. Принимая во внимание, что в простом полюсе конформность
не нарушается, мы можем утверждать, что функция A07) дает неко-
торое конформное преобразование области В в некоторую новую
область Вь не содержащую внутри себя точек разветвления. Опре-
делим теперь контур новой области Вх.
При приближении точки z из верхней полуплоскости к некото-
рой точке г0 вещественной оси, отличной от особых точек 0, 1 и со,
функция A07) стремится к определенному пределу и — больше того —
даже остается регулярной и в самой точке z0, и она будет регу-
лярной внутри каждого из трех отрезков
(—оо, 0), @, 1), A, со) A09)
вещественной оси. Покажем теперь, что функция A07) стремится
к определенному пределу и при стремлении z к одной из особых
точек. Для примера рассмотрим лишь точку z = 0.
Предварительно выясним одно общее обстоятельство, которое
будет играть роль в дальнейшем. Положим, что вместо Wi(z) и w%(z)
мы взяли какие-нибудь два других независимых решения уравнения
w* (z) и w$(z). Они выражаются через прежние решения линейным
образом:
w*{ (z) = anwx (z) -f апхюг (z\
wt (z) = auwi (z) -j- anw^ (z)t
где
Я11022 012021 Ф 0.
Составим новую функцию т)*(,г), пользуясь новыми решениями
^* (z\ _ w*(z) _ a*iwi (z)+a»2w2(z)
j v w*(z)
или
т. е. при различном выборе независимых решений в формуле A07)
соответствующие функции т^(^) будут связаны друг с другом просто
дробно-линейным преобразованием с определителем, отличным от нуля.
Перейдем теперь к исследованию функции A07) в окрестности
точки z = 0. Выберем независимые решения следующим образом:
m(z) = ziF(!i+l-i9 Р + 1-т, 2-Т; г\] ( j
при этом
390 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [107
Последнюю формулу надо понимать следующим образом: в окрест-
ности 2 = 0 функция t\(z) определяется по формуле A11), а дальше
на всей полуплоскости В она определяется вполне однозначно при
помощи аналитического продолжения. Из формулы A11) непосред-
ственно следует, что, например,
7](,г)->0, если z-±0 и 7<^1.
При всяком другом выборе независимых решений новое y\{z)
будет выражаться через A11) дробно-линейным образом и, следова-
тельно, тоже будет иметь определенный предел при z -> 0.
Покажем теперь, что функция A07) преобразует отрезки A09)
вещественной оси в дуги окружности. Действительно, рассмотрим,
например, отрезок @, 1) и возьмем внутри него некоторую точку z&
Определим решения Wx(z) и w%(z) по их начальным условиям
в точке z0, причем возьмем эти условия так, чтобы w(z0) и te/(zQ)
выражались вещественными числами. Принимая во внимание, что коэф-
фициенты уравнения Гаусса также вещественны, получим для Wi(z)
и Wi(z) в окрестности точки z0 ряды Тэйлора с вещественными
коэффициентами. Аналитическое продолжение этих решений вдоль
отрезка @, 1) также будет приводить, очевидно, к вещественным рядам
Тэйлора, т. е., иными словами, при таком выборе решений функ-
ция y\(z) будет принимать вещественные значения на отрезке @, 1),
т. е. будет преобразовывать этот отрезок также в некоторый отрезок
вещественной оси. При всяком другом выборе решений новая функ-
ция т] (z) получится из прежней дробно-линейным преобразова-
нием, а такое преобразование переводит отрезок вещественной оси
в дугу окружности. Таким образом, действительно, функция A07)
преобразует каждый из отрезков A09) в некоторую дугу окруж-
ности (или отрезок прямой).
Возьмем опять тот случай, когда основные решения Wi(z) и
Wi(z) вещественны на отрезке @, 1). Применяя формулу A08) к этому
отрезку, мы видим, что производная от функции iq(z) на этом
отрезке сохраняет неизменный знак, т. е. функция ri(z) есть монотон-
ная функция переменного z на упомянутом отрезке. Иначе говоря,
если точка z пробегает отрезок @, 1) в определенном направлении,
то точка y\(z) двигается по соответствующему отрезку все время
в одном и том же направлении. Заметим при этом, что точка t\(z)
может проходить и через бесконечность так, что отрезок, описы-
ваемый точкой т] (z), может быть и бесконечным. Кроме того, в неко-
торых случаях этот отрезок может и налегать сам на себя. В общем
случае, при любом выборе независимых решений в формуле A07),
при движении точки z вдоль отрезка @, 1) в определенном направле-
нии точка r\(z) будет двигаться по дуге окружности все время
в одном и том же направлении и отрезку @, 1) может в некоторых
107J КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И УРАВНЕНИЕ ГАУССА 391
случаях соответствовать не часть окружности, а полная окружность,
налегающая сама на себя.
Из всех предыдущих рассуждений вытекает следующий резуль-
тат: функция A07), т. е. частное двух независимых решений урав-
нения Гаусса, преобразует верхнюю полуплоскость конформно
в область, ограниченную тремя дугами окружностей, или, иначе
говор я f в круговой треугольник, не имеющий внутри точек раз-
ветвления. Определим теперь углы этого кругового треугольника.
Возьмем ту вершину А треугольника, которая соответствует точке
z = 0. Выберем основные решения по формуле (ПО), причем будем
считать т<4- Обратимся к формуле A11). В окрестности точки
z = 0 мы будем иметь тг)(,г)]>0 при z^>0, считая argz = O. Обойдя
точку ^ = 0 по верхней полуплоскости, мы получим argz = n и, сле-
довательно, arg^1~T=Tc(l—т)> и дробь формулы A11) при z%
близком к нулю, будет вещественна и близка к единице. Таким
образом, считая т^М» получим на плоскости r\(z) две прямые, одна
из которых идет из начала в направлении положительной части
вещественной оси, а другая наклонена к этому направлению под
углом ти A—т)- Если Т^>1> то мы могли бы взять вместо отноше-
ния A11) обратное отношение. Таким образом, при сделанном выборе
основных решений мы получаем в нашем круговом треугольнике
угол тс 1 1—т| при вершине, соответствующей точке z = 0. При
всяком другом выборе основных решений будем иметь новый тре-
угольник, который получается из прежнего дробно-линейным пре-
образованием, а такое преобразование, как известно, не меняет углов,
и, следовательно, в общем случае мы получим при вершине А угол,
по величине равный тс |1—fl* Точно так же в остальных двух вер-
шинах кругового треугольника, соответствующих точкам z=\ и
z = оо, будем иметь углы, по величине равные те j у — а — |J | и тс | р — а|.
Направление отсчета углов, как всегда в конформном преобразовании,
определяется из того факта, что при движении точки по веществен-
ной оси в, положительном направлении точка двигается по ^онтуру
кругового треугольника так, что этот треугольник расположен слева
от двигающегося наблюдателя.
Предыдущий результат можно формулировать следующим обра-
зом: величина угла треугольника плоскости r\(z) равна произве-
дению к на абсолютное значение разности корней определяющего
уравнения в соответствующей особой точке уравнения F2). За-
метим, не приводя доказательства, что это свойство имеет место и
тогда, когда эта разность равна нулю (дуги окружностей касаются)
или целому числу.
Можно показать, что и, наоборот, всякий круговой треугольник,
хотя бы и многолистный, но не имеющий внутри и на сторонах
точек разветвления, может быть получен из верхней полуплоскости
при помощи конформного преобразования, совершаемого частным
392 ТЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [108
двух интегралов уравнения Гаусса при соответствующем подборе
параметров а, $ и f. В частности, можно брать обычный прямо-
линейный треугольник, который является частным случаем треуголь-
ника, ограниченного дугами окружности. В этом частном случае мы
можем выразить функцию, совершающую конформное преобразова-
ние, интегралом Кристоффеля [38].
108. Преобразование Лапласа. Изложим теперь новый метод
интегрирования линейных дифференциальных уравнений второго по-
рядка, а именно метод интегрирования при помощи контурных инте-
гралов. Далее мы используем этот метод при исследовании некото-
рых специальных функций, а также при изучении поведения решений
вблизи иррегулярной особой точки уравнения A). Мы подробно изло-
жим упомянутый метод для уравнений вида
zw" + (aoz + ах) %й/ -\- (bQz -\-bx)w = 0. A12)
Это уравнение имеет, вообще говоря, регулярную особую точку
z = 0 и иррегулярную z = oo. Будем искать его решение в виде
w(z) = \v(z')ezz'dz', A13)
где v(z')—искомая функция и / — искомый, не зависящий от z путь
интегрирования. Интегральное преобразование A13) называется обычно
преобразованием Лапласа.
Дифференцируя A13) по z, имеем
w' (z) = \ v (z') z'ezz' dz\ w" (z) = \v (z") zr2ezz> dz\ A14)
Умножая на z и интегрируя по частям, получим
zw(z)=\vB0de**' = [vB0ezz\ — J ^^- ezz' dz\
где символ
обозначает приращение функции y(z')> когда zf описывает контур L
Точно так же будем иметь
zw' (z) = [v(zr) zfezz'\ — i d lvj?) z'] ezz> dz'
и
zw"(z)=\v(z')z'4zz'\l—
Поставим прежде всего условие, чтобы
1x4*0(*"+ *<>*' + *•)* гЪ = 0. A16)
108] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 393
При подстановке предыдущих выражений в левую часть уравне-
ния A12) внеинтегральные члены будут равны нулю в силу A15), и
мы приведем это уравнение к виду
jd[v(z')z'*} d[v(z')z'\
\—Л ^а°—м г
Оно будет наверно удовлетворено, если определить функцию v(z')
из уравнения
/J^ /^l-blv(z') = 0. A16)
Рассмотрим квадратное уравнение
= О (П7)
и допустим, что оно имеет различные корни оц и а2. Уравнение A16)
дает нам
1 dv _(gl — 2)z' + (bl — a0)
v dz' (z' — «i)(zr — «2)
или, разлагая дробь на простейшие,
}_dv p-±,q-±
v dz z' —04 ' z'-—a2f
где
(a, — 2) ttl + (b, — a,) + (at — a2)
v '
am
С другой стороны, из квадратного уравнения A17) получаем
al-\-a% = — a0,
и предыдущие выражения р и q преобразуются к виду
p = ^l±t. q = a^±±\ A20)
Интегрируя уравнение A18), получим
v(z') = C{z' — ^Y~\zf — а2)П A21)
и, следовательно, решение уравнения A12) можно получить по
формуле
C\(z' — dif J (zf — а*)*'l e*z' dz', A22)
394 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [109
где С—произвольная постоянная, а контур I в силу A15) и A17)
должен удовлетворять условию
[(y _ чу (у _ ojff е**'\ = 0. A23)
Отметим, что / надо выбирать так, чтобы интеграл, входящий в фор-
мулу A22), не был тождественно по z равен нулю.
109. Различный выбор решений. Укажем некоторые приемы
выбора /. Определяющее уравнение в регулярной особой точке z = 0
Р(Р— 1) + а1Р = °
имеет корни р4 = 0 и р2=1— at. Если 1 — ах не целое положитель-
ное, то одно из решений уравнения будет целой функцией, ряд
Маклорена которой имеет свободный член, отличный от нуля. Ука-
жем выбор пути /, при котором формула A22) дает такое решение.
Подинтегральная функция в выражении A22) имеет особые точки
z' = a1 и 2' = а2, которые будут точками разветвления, так как р
и q будут, вообще говоря, числа не целые. При обходе вокруг
точки z' = ai в положительном направлении, упомянутая подинте-
гральная функция получит множитель е(р~1)Ы = ер*™, а при обходе
точки г' = а2 она получит множитель e(g~l)**l = eg%ni. В дальнейшем
мы будем считать, что рад суть числа не целые.
Возьмем некоторую точку Zq плоскости, лежащую на конечном
расстоянии и отличную от at и а2, и обозначим через 1\ и /2 замкну-
тые контуры, выходящие из zQ и обходящие вокруг точек at и а2.
Обозначим символически через (/ь /2) контур, который состоит
из следующих последовательных обходов: обхода по 1Х в положи-
тельном направлении, обхода по /2 в положительном направлении,
обхода по /j в отрицательном направлении и обхода по /2 в отрица-
тельном направлении. В результате первого обхода функция A23)
получит множитель ер2к\ После второго обхода она получит мно-
житель едЫ, после третьего обхода — множитель е~р*к* и, наконец,
после четвертого обхода — множитель е~дш. Таким образом, окон-
чательно вернувшись в точку zb мы будем иметь для левой части
A23) ту же самую ветвь, которую мы взяли, отправляясь из zQi и,
таким образом, принимая за / контур (/ь /2), мы удовлетворим усло-
вию A23), и формула A22) даст нам решение уравнения. Заметим
при этом, что если бы мы взяли за контур / замкнутый контур, не
содержащий внутри себя особых точек ах и а2 подинтегральной функ-
ции, то эта функция, конечно, тоже вернулась бы к исходному зна-
чению, но, согласно теореме Коши, интеграл A22) по такому контуру
был бы равен нулю и мы не получили бы решения уравнения A12).
В данном случае мы подобрали контур так, что, обходя вокруг осо-
бых точек, мы все же вернулись к исходной ветви функции.
109] РАЗЛИЧНЫЙ ВЫБОР РЕШЕНИЙ 395
Имеем, таким образом, решение
w (z) = С $ (*' — *i)p~l (*' — *ъ)д~1 егг' dz\ A24)
Переменная zf расположена на контуре, который целиком нахо-
дится на конечном расстоянии, и, следовательно, мы можем написать
разложение в ряд
/5 = 0
равномерно сходящийся на контуре интегрирования. Подставляя этот
ряд и интегрируя почленно, мы представим наше решение в виде
оо
г*о (г) = С 2 ? \ z'k {? - <чГ* (*' - **Г1 dz\ A25)
где С—произвольная постоянная, т. е. построенное нами решение
и есть как раз регулярное (в накале координат) решение. Надо
только иметь в виду то обстоятельство, что это решение не должно
быть равно тождественно нулю, что может произойти лишь в исклю-
чительных случаях.
Решение A25) является целой функцией, поскольку второй особой
точкой является z = oo. Решение A25) теряет смысл, если р и q —
целые положительные числа, ибо в этом случае все интегралы, вхо-
дящие в эту формулу, равны нулю согласно теореме Коши. Нетрудно
видеть, что значения этих интегралов при любых р и q не зависят
от выбора начальной точки интегрирования ^0 контура Aи /2). Важно
лишь фиксирование значений многозначных функций (zr — a-if
и (z' — о^)^ в к^кой-либо точке упомянутого контура. Это влияет
лишь на постоянный множитель С. Независимость от zQ связана с тем,
что при полном обходе контура мы возвращаемся к исходному зна-
чению подинтегральиой функции в интеграле A24).
Отметим, что если вещественные части чисел р и q положительны,
то произведение (z' —*v.\f(zf — аа)? обращается в нуль при z' = v.\
и / = О2, и в этом случае упомянутое регулярное решение может
быть представлено интегралом по прямолинейному отрезку от а!
к а2:
w (z) = С \ (zr — atf-1 i? — «Ч)*-1 егг' dz\ A26)
Значение многозначных множителей в подинтегральной функции
влияет лишь на постоянную С.
396
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[109
Возвращаемся к общему случаю. Будем только предполагать, что
числа at и а2 имеют различные мнимые части (это несущественно).
Проведем из этих точек разрезы /,' и /^, параллельные оси X и на-
правленные на —со. На плоскости z с проведенными разрезами
(рпс. 66) подинтегральная функция интеграла A22) однозначна. Мы
выбираем ту ветвь ее, для которой arg(z' — с^) —0 при z'— 04 ^> О,
т. е. на продолжении первого разреза, и arg(z'— а2) = 0 при z' —
— а.2^>0. Указанные на рис. 66 контуры выбираем за контуры инте-
грирования. Мы получаем, таким образом, два решения уравнения A12)*.
да, (z) = \ {/ - а,)""' (*' - а,Г« е" dz',
=$(*'- a,)"
Г' e"' dz'.
A27)
Считаем, что при стремлении z' к (—оо) аргумент z' — ak стре-
мится к ~ на верхнем берегу разреза. Можно считать, например, что
при достаточно больших \z'\ контур l'k идет по нижнему и верхнему
берегам разреза. Для сходимости
интегралов A27) надо ограничиться
такими значениями zt при которых
Re(zz')<^0- Это условие наверное
выполнено, если
h
J
3»
0
/
\
—Л
|, A28)
так как при этом
ИЛИ
Рис. 66.
для всех достаточно больших \z'\. Если мы положим \z\^>ry где
г — какое-либо положительное число, и выполнено условие
-|-fe<arg^<|-e, A29)
где s — любое малсе положительное число, то сходимость интегра-
лов A27) будет равномерной по отношению к z.
Пользуясь формулой Коши, мы можем поворачивать, например,
разрез 1\ вокруг точки (хх. При этом надо иметь в виду, чтобы он
при указанном повороте не пересекал точки а2 и чтобы веществен-
ная часть zzr была отрицательной при больших | z' \ (z задано и
z^bQ). При повороте разреза надо считать arg(z' — aj) = O при
zr — э^^О. Мы приходим, таким образом, к аналитическому продол-
ПО] УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ 397
жению решений из сектора A29). Более подробно мы будем гово-
рить об этом ниже в связи с исследованием уравнения Бесселя.
Установим теперь связь решений A27) с тем решением уравнения
A12), которое регулярно в начале координат. Имея в виду дальней-
шие приложения к уравнению Бесселя, ограничимся случаем, когда
p = q. В этом случае для получения регулярного (в начале коорди-
нат) решения можно брать за контур интегрирования не контур (/lf /2)>
упомянутый выше, но более простой контур, а именно контур, выхо-
дящий из некоторой точки z0 и обходящий ах в положительном направ-
лении, а затем а2 в отрицательном на- у
правлении. При нервом обходе подин-
тегральная функция получит множи-
тель ep*Ki, а при втором — множитель _____
e-q<mi _ е-п^у так что спа вернетСя ———-—
к исходному значению, и условие A23) ¦*¦
будет выполнено. Как и выше, по-
строенное решение не зависит от
выбора точки z0. Отведем эту точку,
не затрагивая точек at и х2, на (— ее),
например, по нижнему берегу раз-
реза >i, идущего в точку at
(рис. 67). Обход точки at даст нам Рис. 67.
при этом решение W\. После этого
обхода мы попадем на верхний берег упомянутого разреза и должны
будем затем обойти точку а.2 в отрицательном направлении. Если бы
мы совершили этот обход с нижнего берега разреза гь то получили
бы решение (—т2). Но при переходе на верхний берег разреза,
откуда и совершается обход точки а2, подинтегральная функция при-
обрела множитель epInit и, следовательно, обход вокруг а.2 в отри-
цательном направлении даст нам (— epinlw$. Окончательно получаем
следующее правило: при p = q регулярный интеграл, получаемый
интегрированием по контуру, указанному на рис. 67, выражается
через решения A27) в виде
A30)
Дальше мы укажем на возможность применения преобразования
Лапласа и для уравнений, отличных от уравнений вида A12). Сейчас ?.:ы
рассмотрим применение указанного преобразования к уравнению Бесссля.
110. Уравнение Бесселя. Уравнение Бесселя [II, 48]
ггхяР 4- zxsf -f- (z2 — /г2) w = 0 A31)
при помощи преобразования
w — znu A32)
398
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
приводится к уравнению
zu" -f B/z + 1) z' + zu = О;
которое имеет вид A12). В данном случае
Уравнение A17) имеет вид .г:'2 -|— 1 ===== 0, и мы получаем
. , 2/г +1
Решения уравнения A33) имеют вид
2п — 1
[ПО
A33)
A34)
A35)
Согласно сказанному в [106] arg(^'-{-/) = 0 при
arg(?' — /) = 0 при zf — *'^>0, откуда следует, что arg(^-{^ 1) = 0
при вещественных z\
Иногда пишут решения несколько в ином виде, а именно вводят
вместо zf новую переменную интегрирования т по формуле zf =
= n — eJ т, что соответствует повороту плоско-
сти z' на угол ( т):
1
= 1 i (I—t2)""
A36)
Рис. 68.
Где Xj и Хз — контуры, выходящие из точки т =
== -j-/оо и обходящие вокруг точек т=1 ит== — 1
(рис. 68), и arg(l—т2)==0 при чисто мнимых т, которые соответ-
ствуют вещественнным z\ или, что тоже, arg(l—т2)==тс при т^>1.
Полагая 1 — %* = е*1(хч— 1), получим вместо A36)
A37)
где
arg(xa—1) = 0 при
A38)
110] УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ
Соответствующие решения уравнения A31) будут
= е (""*)' tz» § <? —
" dx,
Вместо второго решения введем да| = e*2n+1) *' a)s, так что
399
A39)
A40)
Разность г^! — т* дает решение уравнения Бесселя, имеющее вблизи
начала вид [109]
k=0
Мы уже знаем, что такое решение уравнения Бесселя опреде-
ляется следующим рядом [II, 48]:
При этом считается, что п не есть целое отрицательное число. Если
— целое, то, как указывалось раньше, полагают С=
причем, как обычно, 0!=1. Таким образом, функция Бесселя с целым
неотрицательным значком п определяется рядом
или, пользуясь формулой для Г(<г), можем написать
00
2
0
При любом п, отличном от целого отрицательного числа, при опре-
делении Jn{z) полагают
с= L_
2пТ(п+\)9
т. е.
00
ft—О
400 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [111
или, в силу формулы ГB-f- \)—zV(z)t получаем при указанных зна-
чениях п формулу A41). Правая часть этой формулы сохраняет смысл
и при целых отрицательных п. Заменяя в ней п на (— п) и принимая
во внимание, что ^ггг = ^ ПРИ z = 0, —1, —2, ..., получаем
(-1)*
Ы!!
T(k+ ПГ(— n
(i
Заменяя переменную суммирования новой: l = k — п, и вынося за знак
суммы (—\)п, получаем
\n+2l
\ »/ | ~
[=0
A\п
\2)
т. е.
Ля (z) = (-1Г Jn (z) (n - целое). A42)
Разность Wy—W} дает нам функцию Бесселя A41) лишь с точно-
стью до постоянного множителя. Мы будем искать теперь тог мно-
житель а, на который надо умножить разность^—w%, чтобы полу-
чить в точности функцию Бесселя. Учитывая формулу A32) и тог
факт, что р= п^~ , мы сводим задачу к следующей: найти посто-
янную а из того условия, чтобы полусумма решений уравнения Бес-
селя
Xl , -I (l43)
^lzn \ (x2— \f 2 eizxdx
A
давала функцию Бесселя A41). Выше мы предполагали, что (п—-н-)
не есть целое число т^О. Последний случай мы рассмотрим при
подробном изложении функций Бесселя.
111. Функции Ханкеля и интегральное представление решений
уравнения Бесселя. При указанном выше выборе а формулы A43)
дают два решения уравнения Бесселя, которые называются функциями
Ханкеля и обозначаются так, как это указано в формулах A43). При
сложении этих решений получится решение, которое выражается про-
изведением ^ на интегралы по контуру, имеющему вид восьмерки
(рис. 69). Наполним, что рис. 69 получается из рис 67 при at ==/
и Оа = — / поворотом вокруг начала на угол I—^j.
till
ФУНКЦИИ ХАНКЕЛЯ
401
Принимая во внимание, что полусумма функций A43) должна
давать функцию Бесселя A42), получаем
.A44)
= 0, приходим
»—1)я",
Сокращая обе части на zn и полагая затем
к уравнению для определения а:
(х2—1)" 2с/х = / , A45)
и нам остается только вычислить интеграл, стоя-
щий в левой части. Считая п вещественным
и (я— у) больше (—1), мы можем привести
путь интегрирования С к интегрированию по двой-
ному отрезку (— 1, 1), причем надо интегриро-
вать по нижнему берегу отрезка от (— 1) к A)
и по верхнему от A) к (— 1). Как было выше упомя-
нуто, arg(t*—1) = 0 при х]>1, откуда следует, 4Toarg(xf—1) = тс
на верхнем берегу отрезка (— 1, 1) и arg(x2—1) = — п на нижнем
берегу этого отрезка, т. е.
Рис. 09.
/х«
— т4) 2 (на верхнем берегу),
_ 1
— х2) 2 (на нижнем берегу),
и окончательно, складывая интегралы, получим
где
— \)
(!-'
: = — 2/sin In
Принимая во внимание четность подинтегральной функции, можно
написать
rfx
1
jj (т2 — 1)^"» dz = — 4/ sin [(/i — 1) tcj J A —
или, вводя вместо х новую переменную интегрирования х по фор-
муле Х2 = ЛГ,
:==— 2/sin i/i — -jk \
402 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Щ
Но мы видели раньше, что
у A
так что интеграл, стоящий в равенстве A45), будет
Но мы имели раньше
Г
откуда
V2'
так что окончательно
\
п - — 0^1
(т4—-1) 2Л=. ** «
Мы вывели эту формулу в предположении, что п вещественно и
п—о"^—!• Принимая во внимание, что обе части суть аналити-
ческие функции от пУ можно утверждать, что эта формула остается
верной при всяком п. Таким образом, из формулы A45) для постоян-
ной а мы получаем следующее значение:
Внося это значение в формулы A43), находим выражение для
функций Ханкеля:
A46)
г(!_ 1
Ц] ^" J ,• _ 1)" " "г
1121 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 403
В обоих интегралах мы считаем arg(xa—1) = 0 при т^>1. Если
во втором интеграле будем считать arg(x2—1) = 2тс при х}>1, то
можно написать
A47)
x2
Если т-*-|-/оо, то вещественная часть tzx стремится к (— оо),
если только вещественная часть z больше нуля, и, таким образом,
формулы A47) определяют функцию Ханкеля справа от мнимой оси.
Напомним, что мы считаем п — у отличным от целого неотрица-
тельного числа.
Выражение для Н® [z) (s=l,2) легко преобразовать при пред-
положении, что вещественная часть п больше (— -к-)» к интегралу
по промежутку @,. оо). В рассматриваемом случае интеграл по Xt
можно брать по сторонам разреза A, loo) вплоть до точки т = 1.
Учитывая тот факт, что при обходе точки т=1 подинтегральная
— 2ni(n—jr) 9 л
функция приобретает множитель е \ */ = — е~™ , а затем со-
вершая замену переменной интегрирования т = / \- 1, получим, ис-
пользуя формулу T(z)T(l—z)= ^
^
, x
V1 275-
Первая из этих формул имеет место при —-у^ аг& ^ <Jтс> а вторая —
при —rc^O^^Y-
112. Асимптотические разложения. Представление решений урав-
нений вида A12) в виде контурных интегралов дает возможность
получать так называемые асимптотические разложения решений. Мы
404 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [112
кратко изложим сначала общие сведения об этих разложениях. На-
помним, что раньше мы рассматривали такие разложения при боль-
_ _1
ших п по степеням п р, где р — некоторое целое положительное
число [79]. Сейчас мы будем рассматривать их на плоскости ком-
плексного переменного z вдоль некоторого луча z = rel<? при боль-
шом г и чаще в некотором секторе а ^ ср ^ р. В случае луча, при-
меняя, если надо, поворот плоскости z вокруг начала, всегда можно
считать, что луч есть вещественная положительная полуось z^>0.
Мы будем главным сбразом рассматривать асимптотические разложе-
ния вида
Это — так называемые асимптотические степенные ряды. Обозначим
sm(z) сумму первых т членов этого ряда:
Сходимость ряда A49) в точке z = z0 равносильна существованию
предела sm(zQ) при /ю->оо. Совершенно иной подход имеет место
при определении асимптотического разложения. Пусть в некотором
секторе В
A50)
или на некотором луче / при | z | ^> а определена функция f(z\
Говорят, что ряд A49) является асимптотическим разложением f(z)
в В (или на /)> если при любом целом т^\ разность f(z) — sm(z}
при | z | -> со в В (или на /) есть бесконечно малая более высокого
1
порядка, чем -jjft, t- е.
sm(z)}zm-1 = 0. A51)
|*|-* со
Это записывается также так:
/(*)=«„,(*) + <) (_Ц, A52)
где о (-/и обозначает такую величину, что произведение о(-А • zk->0
при |г|-*оо. Принимая во внимание, что sm(z) = sm+1 (z)—~, и ус-
ловие A51), если в нем заменить т на (т-\-\), можем вместо A51)
написать
(*)+О (J^j, A53)
112] асимптотические разложения 405
где 01-Л — такая величина, что произведение О\-Л-гк остается огра-
ниченным при | z | -> оо в В или на /. Обычно асимптотическое раз-
ложение функции f(z) обозначают так:
Если f(z) — функция, регулярная в окрестности точки z — oo и
в самой этой точке, т. е. разлагается при | z | ^> г, где г — некоторое
неотрицательное число, в ряд
то очевидно, что ряд, стоящий справа, будет и асимптотическим раз-
ложением f(z) при | z | ^> г. Но при определении асимптотического
разложения A54) сходимость ряда не предполагается, и в дальнейшем
мы будем иметь в основном дело с расходящимися рядами.
Из определения A53) непосредственно следует, что коэффициенты ст
определяются по функции f(z) единственным образом:
cQ= lim f(z), Ci= lim \f(z) — co| z,
11 ; A55>
ca= lim
т. е. асимптотическое разложение может быть только одно. В напи-
санных формулах | z | -> оо в том секторе а ^ ср ^ р или на том луче,
где имеет место разложение.
Рассмотрим функцию е~z. Вещественная часть ( — z) отрицательна
и по абсолютной величине не меньше | z \ sin e в секторе
— ^ + ?<аг^^^Т — е> 056)-
где е^>0 — малое число. Отсюда следует, что e~*zm-±O при любом
целом /я^О, и, следовательно, асимптотическое разложение состоит
из нулей в секторе A56):
Таким образом, если некоторая функция f(z) в секторе A56) или
на некотором луче из этого сектора имеет разложение A54), то
функция f(z)-\-e~z имеет то же самое разложение. Нетрудно видеть,
что в секторе
у + е ^ arg г ^ -я — е
406 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |112
функция е~г не имеет асимптотического разложения. Произведение
e~zzm стремится по модулю к бесконечности на любом луче этого
сектора.
Рассмотрим при z^>0 интеграл
f(z) = \x'mez-xdx = ег \x-me~xdx, A57)
г г
где т ^ 1 — некоторое целое число. Производя последовательно
интегрирование по частям, получаем
*/-л_ J т | т(т + \) , / 1vtw (т + I)... (т + п— I) ,
J Кг) — zm zm+i l~ zm+s • • • I К l) ^m+л Г
Оценим последний интеграл:
оо оэ
^ J Xm+n+i ^ zm+n+i \e dX= ztn+n+i t
откуда следует, что на луче z^>0 для функции A57) имеет место
асимптотическое разложение
Л\ ^ ТП , /Я (/Я-1-1) I /1 егоч
^)~ ^г — ^тт+ >^ +-- A58)
Нетрудно видеть, что это разложение имеет место и в секторе A56),
причем в интеграле A57) интегрирование совершается по лучу этого
сектора, выходящему из точки z = 0.
Пользуясь определением A53), легко доказать возможность про-
стейших операций над асимптотическими разложениями. Из A54) сле-
дует
где а — постоянная. Два асимптотических разложения в одном и том
же секторе (или на одном и том же луче) можно почленно склады-
вать и умножать.
Если кроме A54) мы имеем
00
?(*)~2?» <159)
то
112]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
407
Асимптотические ряды A54) и A59) можно делить почленно, если
do^fcO [ср. 16]. Полученный ряд будет асимптотическим для част-
ного i~\ в том же секторе по ср при достаточно больших | z |. Если
имеем на некотором луче / разложение A54) и f(z)— непрерывная
функция на / при | z | ^> а, то f(z) — с0 L интегрируема по лучу /
от z до со и
00 00
г к
(k-\)z*^ <Ha l> М>а>' <160>
В дальнейшем мы будем иметь дело с функциями f(z), регулярными
в соответствующих секторах. Сформулируем для этого случая теорему
о возможности почленного дифференцирования разложения A54).
Пусть В и В\ — секторы на плоскости, определяемые неравенствами
?{a<arg*<p; |*|>а}, Вх {<ч < arg z < fa \z\>ax}>
где пх^а и а<^а4<^pt<^р. Если/(г) регулярна в В и в В имеет
место разложение A54), равномерное по arg 2, то в В^ имеет место
разложение
/ _— у ¦ ———
равномерное по arg г в 5^ Разложение A54), равномерное по arg,
в Ву определяется так: при любом заданном е }> 0 существует такое Л
что
ет-1
- 2
\\-т
при всех г из Ву удовлетворяющих условию | z \ ^ N, причем число N
может зависеть от т. Сформулированное предложение доказы-
вается применением формулы Коши для f(z) при г, принадлежа-
щих Вх. Это дает возможность доказать разложимость f(z) для z
из Вх в асимптотический степенной ряд. Отсюда применением фор-
мулы A60) для этого ряда получаем формулу для f(z).
Отметим, что если f(z) регулярна при | z \ ^> а, включая точку
г = оо, то она разлагается при |г|]>а в ряд вида
"- + ?+... A61)
При этом, очевидно,
lim
|ж|-*оо
т-1
т
*«0
11 • ж
>-2?
1=о,
408
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ УРАВНЕНИЯ
[113
т. е. правая часть является и асимптотическим разложением /(г)
при \г\^>а. Положим теперь, что /(г) регулярна при | z |^>о, но
о ее поведении в точке 2 = оо нам ничего не известно. Пусть, кроме
того, имеет место асимптотическое разложение A61) при всех значе-
ниях |г|^>а. При этом ряд, входящий в формулу A61), сходится
при | г | ^> а и его сумма равна f(z). Это утверждение доказывается
при помощи замены z= — и применения теоремы из [10] к функции
^г00=/(—) и g@) = a0- Функция f(z) при этом, очевидно, регу-
лярна и в точке z = co.
Кратко скажем об асимптотических рядах, отличных от рядов
•вида A49).
Разложение
^называется асимптотическим разложением f{z) в некотором сек-
торе a^iargz^p или на луче arg2 = a, если
1т===0 A62)
ири любом /п = 0, 1, ... в секторе или на луче.
Дадим в заключение определение асимптотической последова-
тельности <рл(г) функций при z-*z0: последовательность функций
<р^(г), заданных на некотором множестве Ж точек z, имеющем z = z0
предельной точкой (не входящей в Ж) и удовлетворяющих отношениям
?/м (*): ?k (z) -** 0 при г->г0, называется асимптотической последова-
тельностью. В этом определении не исключена возможность и случая
z-+oo. В случае формулы A54) yk(z) = —~k- и ^о = °°- Подробные
сведения об асимптотических разложениях можно найти, например,
в упомянутой выше [81] книге А. Эрдейи «Асимптотические разло-
жения».
113. Асимптотические разложения решений, полученных пре-
образованием Лапласа. Мы займемся теперь выводом асимптоти-
ческих разложений решений уравнений вида A12), представляемых
интегралами A28). Напомним, что эти решения были определены
нами при
Начнем с первого из них. Вводим вместо z' новую переменную
•интегрирования по формуле z' — а, = * и полагаем для сокращения
$ = olx — а2. Мы считали при выводе формул A28), что мнимые части
аь а* различны и тем самым р не есть вещественное число. После
1131 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 409
указанных преобразований решение w{(z) примет вид
l A63)
где /0 — контур, идущий из t = —оо и обходящий вокруг начала.
Подинтегральная функция имеет точки разветвления t = 0 и t = —р.
Вместо рис. 68 мы будем иметь на плоскости t два разреза, иду-
щих из (—со) к точкам ? = 0 и t = —р = а.2 — аь причем arg? = O
при t^>0 и arg (^ —|— р) = 0 при *-j-p^>0, т. е. на продолжениях
этих разрезов.
Применяя формулу бинома Ньютона, мы будем иметь при |
d"tk' <164>
*=о
где
dh==^rk(Q-\)(q-'i)...(q-k) ц,^.). A65)
В силу указанного выше условия относительно аргумента jP
на плоскости t с разрезом из (—со) к (—р), мы должны считать,
что в выражении р9, равном значению функции A64) при f = 0>
аргумент р заключается в пределах
— *<argP<*, A66)
причем мы считаем, что р отлично от вещественного отрицательного
числа.
Если |*|^| р|> то формулой A64) пользоваться нельзя, и в этом
случае мы будем просто писать
где
Rn (t) = (t-\- p)^ — (d0 -f- dxt -{-... -j- dntn). A67)
Пользуясь последними формулами, можно написать
[ ezttp+k~l dt -4- е^г \ ezitp~lRn(t)dt A68)
Л==о /о /о
Рассмотрим сумму, стоящую в правой части. Вводя вместо t новую
переменную интегрирования т по формуле
410 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [113
приведем интеграл к виду
\ ег4р+к~1 dt = e-«pi (— 1)* z-p~k $ 6TV+*-1 dx.
h *
Кратко опишем идею последующих вычислений. Интегралы, стоя-
щие под знаком суммы, имеют, как мы сейчас покажем, вид
с(—l)kz~p~kT(p-\-k), где с — некоторая постоянная (не зависящая
от k), и эта сумма вместе с множителем ея^ будет иметь вид
A69)
Остается оценить последнее слагаемое. Мы покажем, что оно
имеет вид произведения ea^zz~p^n(z\ где znyn(z)-+0 при z-+-\-oo.
Существенным при этом доказательстве будет тот факт, что
tp~lRn (t) имеет лишь степенной рост при ?->оо, а множитель ezt
убывает по показательному закону при z^>0 и t-> — оо. Остается
в силу этого оценить соответствующий интеграл, когда переменная
интегрирования находится вблизи ? = 0 (при обходе этой точки).
Таким образом, формула A68) перепишется в виде
где 2л<рп (z) ->- 0 при z-*-{-oo. Это приводит к асимптотическому
разложению решения wt(z) или, точнее говоря, к асимптотическому
разложению вида
оо
(г) ~ 2 ^ • 0 70)
z
Кратко говоря, оно получается, если в интеграле A63) разло-
жить множитель
в ряд по биному Ньютона, не считаясь с тем, что при | | ^ | A
этот ряд будет расходящимся. Асимптотичность разложения A70)
получается за счет множителя ezt, убывающего по показательному
закону при z^>0 и t->- — оо. Проделаем все выкладки и оценки.
Вводим в интегралы, входящие в формулу A68), вместо t новую
переменную интегрирования т:
zt= — т = <Г*Ч z = eKizt. A71)
113] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 411
Для упрощения дальнейшего будем считать, что z находится на
луче <г^>0, что несущественно. Важно лишь, что Re^^>0, т. е. что
выполнено условие A70). Преобразованию A71) соответствует пово-
рот плоскости t на угол тс против часовой стрелки, так что разрез
(на плоскости t) из ? = 0 к ? = — со переходит в разрез, идущий
из т = 0 к т = -|-со, и нижний берег первого разреза переходит
в верхний берег второго, где надо считать argx = O. Упомянутые
интегралы на плоскости т берутся по контуру X, идущему по упомя-
нутому разрезу из т = -{-оо с обходом точки т = 0 против часовой
стрелки.
Совершая преобразование в интегралах, входящих в формулу
A68), получим
\ dt = е'*** (— 1)* z-P-k \ е-\Р+к~1 di
/о X
и, используя формулу A50) из [74], будем иметь
/о
и формула A68) дает
и для того чтобы доказать, что
00
ф ^ е-Рш (e*P*i _ 1) 2J. (— 1)* dkT(^ + k) A72)
при z^>0, остается доказать, что
lim zn+p\ e2ttP-lRn(t)dt = O. A73)
Z+CO l
Наметим соответствующие оценки. Контур /0 выберем следующим
образом: путь от t = —оо до t — —г вдоль верхнего берега веще-
ственной оси, окружность С с центром f = 0 и радиусом г и путь
от t = —г до t = —оо вдоль нижнего берега вещественной оси.
Положительное число г фиксировано так, что г^-н-|Р1- Принимая
во внимание указанный порядок роста tp~lRn{t) и неравенство е** ^e~zr
на прямолинейных частях 1& для суммы соответствующих интегралов
412 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
получаем оценку
[113
— 00 —Г
где е^>0 — любая малая постоянная и тх—некоторая положитель-
ная постоянная. Из приведенной оценки видно, что сумма этих интег-
ралов стремится к нулю при г->-|-оо. Остается рассмотреть выра-
жение
zn\p С e*ttP-iRn(t)dt A74)
с
На С мы можем использовать разложение A64) и согласно неравен-
ству Коши будем иметь оценку
где
— постоянная и |р| — е можно считать, например, равным
Далее имеем
Обозначая 6 = —
получаем оценку
\Rn(t)\
(I —в)
A75)
которая имеет место, очевидно, при 11 \ ^ г. Вводя новую переменную
интегрирования х = —zty получим
С е?р-1Н
= (— \fz
n \ e-V-чЦ—-I
A76)
где Q — окружность | т | = гг. Согласно теореме Коши мы можем
вместо С^ взять за контур интегрирования любой замкнутый контур,
выходящий из точки rz вещественной оси, обходящий вокруг т = 0
и находящийся внутри Q. При этом для Rn(t) будет иметь место
оценка A75). Возьмем следующий контур С2 интегрирования: отрезок
вещественной оси от точки rz до фиксированной точки т0
<^z\ окружность | х | = х0 и отрезок от т0 до rz.
Оценим выражение A76), пользуясь A75):
113] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 413
где ds—дифференциал дуги контура, и покажем, что множитель
при — остается ограниченным при z ->-f- со. Действительно, интегри-
Z
рование по окружности радиуса т0 не зависит от z. Рассмотрим еще
интеграл по отрезку (х9, rz). Это даст следующий множитель при z~l
в правой части A77):
rz
-0) \
A78)
где p=pl-\-pit и argx = 0 или 2тс. Написанный интеграл сходится
на промежутке @, -)~оо), и, следовательно, интеграл A78) остается
ограниченным при z-+-\-oo. To же, следовательно, можно утверждать
и об интеграле из A77).
Таким образом, мы можем утверждать, что интеграл A76) стре-
мится к нулю при z—*-f~°° и что на луче z^>0 имеет место асимп-
тотическое разложение
(z) — e~pKi (e*pKi — 1) ^ (— 1)* rf*r^+fe) , A79)
k = 0
где
— iu<arg(a,—
Мы считаем/? отличным от целого числа.
Совершенно аналогично для второго решения получаем
. а . ^ . duY (q + к)
e-°-*zzqwAz)r^e~q*l{eiq*1 — 1) > ( —• 1) П81)
где
*=(«,-^ ; A82)
Для степеней zp и г^ надо считать arg2 = fr при г^>0. Мы прово-
дили все оценки в предположении z^>0. Но нетрудно показать,
как мы это упоминали выше, что формулы сохраняются и при предпо-
414 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [114
ложении Re*}>0. Принимая во внимание сказанное в [109] относи-
тельно возможности поворота разрезов, нетрудно и дальше расши-
рить область, в которой имеют место упомянутые формулы.
114. Асимптотические разложения решений уравнения Бесселя.
Сказанное в [110] непосредственно применимо к решениям уравне-
ния A33). Для них получаем
щ (z)~ К" ~ т)' i п "
п " X
Символ 1,1 при целом А^О определяется следующим образом:
(«)-¦•
Для решения н* имеем формулу [109]
Используем сказанное выше о возможности поворота разрезов. Пусть
а — угол, образованный разрезом из точки т = 1 с положительным
направлением вещественной сьси. Принимая во внимание необходи-
мость того, что показатель izz в формулах A36) должен иметь отри-
цательную вещественную часть, получаем неравенство
или
— а <^ arg z <^ те — а.
114] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ 415
Далее, учитывая требование, чтобы разрез при повороте не пере-
секал точки т = —1, получим —тс <^ arg а <^ тс и окончательно
для z получаем следующий сектор, в котором имеет место асимпто-
тическая формула для Mi (г):
< A84)
Совершенно аналогично для щ(г):
A840
Отметим, что оба сектора имеют угол Зтс, т. е. налегают сами на
себя. В дальнейшем мы вернемся к объяснению этого. Функция Хан-
келя Нп](z), определяемая формулой A46), отличается от ii\(z) мно-
жителем
zn.
Используя асимптотическое разложение A83), после несложных пре-
образований и переноса всех множителей при H^iz) в правую часть,
получим
Вводя обозначения
(Я, *)=:(-
_ [4я« —1«] [4п' — 3»]... [4я« — Bk — 1)»]
k\ 2«
4 1С) ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ A14
можем написать
*=u A85)
^1 B*2)* •
А = 0
Эти формулы имеют место для всех значений пу если z заключается
в указанных выше секторах.
2k -4-1
Отметим, что если п — ± —ту— , где k ^> 0 — целое число, то
ряды обрываются и H{^(z) (s=l, 2) выражаются в конечном
виде.
Бесконечные суммы надо заменить, например, для Нп](z) на
в"! ;-1)*(л,1
2(— l)g (я, А)
и аналогично для /У^,а)(г
При р=1 получаем
Полусумма разложений A85) дает разложение Jn(z). При этом
слагаемые с четным k дают cos (г ^ -^-1, а с нечетным дают
На луче г^>0 в первом приближении получаем
> A88)
При замене л на (— п) надо иметь в виду четность (/z, k).
114] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ 417
Рассмотрим теперь некоторые особенности полученных асимптотических
разложений. Отметим прежде всего, что многозначный множитель z , вхо-
дящий в асимптотические формулы, не характеризует поведения функции-
при обходе вокруг точки 2 = оо. Для уравнения Бесселя, имеющего лишь
две особые точки 2 = 0 и 2 = оо, обход точки 2 = оо равносилен обходу
регулярной особой точки 2 = 0, корни определяющего уравнения в которой,
равны it п. Если п отлично от целого числа, то линейно независимые реше-
ния Jn (z) и J_n (z) приобретают множители e±2n7Zl-
Рассмотрим теперь асимптотическую формулу для И^ (z)t имеющую
место в секторе A84). В этом секторе при обходе вокруг 2 = 0 (или, что-
то же, 2 = оо) после полного обхода на угол Зтс точка вновь возвращается
в третий и четвертый координатный угол. В этом секторе мнимая часть г
имеет вид z = bi, где Ь < 0, и из асимптотической формулы A85) мы видим»,
что показательный множитель в асимптотической формуле для Н^ (z) воз-
растает, а для И^] (z) убывает по показательному закону при возрастании | z ',..
С другой стороны, можно показать, что при указанном обходе Н? (z) будет
иметь в упомянутом секторе следующее выражение через линейно незави-
симые решения Нк? B) и И^ (г):'
В силу сказанного выше асимптотической формулой для Н{*] (z) можно
пренебречь наряду с И^ B), так как асимптотическая формула для Н{*] (z)
дает при больших | z | величину более низкого порядка, чем оценка остатка
ряда после любого члена разложения в Н%] (z). Знак минус при Н(? (z) полу-
чится при упомянутом обходе от множителя z 2, входящего в асимптоти-
ческую формулу Н{? (z).
Отметим еще возможность получения асимптотических разложений»
для Jn (z) в различных секторах. Напомним, что разложение A87) было полу-
чено в секторе — п < arg z < п. Мы можем получить разложение в секторе
0 < arg 2 < 2л из очевидной формулы Jn (z) = enitijn (ze"**)^ ибо при измене-
нии 2 в секторе 0 < arg z < 2п мы имеем —п < (arg ze"*1) < я. Подставляя
в A87) ze~Ki вместо 2, после несложных преобразований получим
L
_L г
у c
L
Это разложение в секторе 0 < arg z < n отличается от A87). Укажем на при-
чину этого. Разложение A87) было получено из формулы
Jn \z) — 2 *
причем разложение Н^ (z) имело место в секторе — 2% < arg z < я, не со-
держащем сектора 0 < arg 2 < 2л. Для получения разложения Н{*] (z) в это*§
последнем секторе надо использовать формулу
hf B) = 2 cos ппИ^ (ze~ni) + enniHl» (ze-«l).
ЛА. В И См и пн on т Я ч 2
418 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ A15
Полученное из этой формулы разложение Н{%] (z), которое мы не выпи-
сываем, будет отлично на общем промежутке 0<argz<rc от A85), но их
разность благодаря множителю eiz будет более низкого порядка при боль-
шом | z |, чем оценка остатка ряда после любого члена разложения Н(%' (z)
в формуле A85). Этим и объясняется разница разложений A87) и A89)
в секторе 0 < arg z < тс.
Приведем общий результат, касающийся разложения Jn (z) в различных
секторах с углом 2тс:
-I ./ /И 1t\ ОО
где постоянные ct и с2 имеют различные значения в различных секторах,
а именно:
при B/7— l)n<arg*<B/?-flOc,
при 2рп < arg 2 < Bр + 2) « (р —целое число).
Указанное скачкообразное изменение cL и с2 называется обычно явле-.
нием Стокса. Оно имеет место не только для функций Бесселя.
115. Вырождение уравнения Гаусса. Рассмотренное нами выше
уравнение A12) и уравнение Бесселя имеют на плоскости z две осо-
бые точки, из которых одна регулярная B = 0), а другая иррегуляр-
ная (z = oo). Такого типа уравнения, естественно, получают из урав-
нения Гаусса, имеющего три регулярные особые точки 2 = 0, z=i\9
z = oo, при слиянии двух из них. Действительно, уравнение Гаусса F2)
при замене z на olz принимает вид
при а-^оо переходит в уравнение вида
zw* -f-(b — z)wr — aw = 0, A90)
где й = т и а = — р. Это последнее уравнение имеет регулярную
особую точку 2 = 0 и иррегулярную 2 = оо. В точке г = 0 опре-
деляющее уравнение имеет корни pi = 0 и ра=1—Ь. Решение урав-
нения A90), регулярное в точке 2 = 0и тем самым являющееся целой
116] формальные ряды 419
функцией, имеет, как нетрудно показать, вид
wi{z) = F(a, b; г)= i+.jL*i + -j-±Jl? + ... , A91)
если ЬфО, —1, —2, ..., а второе решение
w%(z) = zl'bF(a — b+l, 2 — b; z\ A92)
если 2 — ЬфО, —1, —2... Укажем также уравнение Уиттекера
которое при помощи преобразования w = z 2 и приводится
к виду
zn' _(- A _j- 2 т) н' + (— \ z + k \ и = 0.
116. Формальные ряды в окрестности иррегулярной особой
точки. При построении указанных в заглавии рядов будем считать,
что иррегулярной особой точкой является точка z = oo. Этого всегда
можно достигнуть, совершая дробно-линейное преобразование незави-
симой переменной. Мы будем предполагать, что коэффициенты урав-
нения регулярны в окрестности г = оо, т. е. что уравнение имеет
вид
и написанные ряды сходятся при \z\^>r. Если а0 = ?0 = ^ = О,
то точка 2 = oo или является регулярной особой точкой, или вовсе
не является особой точкой [100]. Мы считаем, что по крайней мере
один из указанных коэффициентов отличен от нуля. Если будем
пытаться формально удовлетворить этому уравнению выражением
вида
( L ) A94)
где с0 Ф О» то ПРИ подстановке в левую часть уравнения будем иметь
единственный член, содержащий z9y а именно член вида bocQz?. Отсюда
следует, что мы не сможем даже формально удовлетворить нашему
уравнению выражением вида A94), если Ь^фО. Попытаемся освобо-
диться от коэффициента bOi вводя вместо w новую искомую функцию и
по формуле
420 ГЛ. V. ЛИНИЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ A16
Отсюда
w' = eazu' + Л; w* = еаги* + 2<х<?а V -f ЛаЧ
и, подставляя в уравнение, будем иметь новое уравнение
Остается теперь выбрать постоянную а согласно условию
a2-faa0-f *>о = О. A95)
В результате получим уравнение вида
(^ + §. + 4..)n = O A96)
где a — некоторый корень уравнения A95). Этому уравнению мы уже
сможем формально удовлетворить выражением вида A94). Положим
сначала р
•откуда
if = z4 + pz^v, и" = z*v' + 2pz?~W -f p (p — 1) z'-*v.
Подставляя в A96), будем иметь для новой функции v уравнение
0> A97)
где
I а2? + К | даР + К _1
1 2» I ? Г**«
A98)
Определим теперь р из того условия, чтобы коэффициент qx (z) не со-
держал члена с z'1, т. е. чтобы
Bа + а,)р + Я = 0, p = _aJj±A. A99)
При этом мы считаем, что уравнение A95) имеет различные корни,
откуда следует, что 2a -f- ae ^ 0.
Новое уравнение для г> будет
..^а0> B00)
116] ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 421
Этому уравнению мы сможем формально удовлетворить уже рядом
вида
?+§- + ... B01)
Дифференцируя, подставляя в левую часть уравнения и применяя
метод неопределенных коэффициентов, получим систему уравнений,
из которых последовательно определяются cv с2, ..., а с0 будет
играть роль произвольного множителя. Напишем первое из этих
уравнений:
-Ba
откуда
Окончательно получаем выражение вида
B03)
которое формально удовлетворяет уравнению A93). Если квадратное
уравнение A95) имеет различные корни, то, используя каждый из них,
мы построим вышеуказанным образом два выражения вида B03).
Но, как оказывается, бесконечный ряд, входящий в выражение B03),
будет, вообще говоря, рядом, расходящимся при всяком значении г.
Покажем это на одном частном примере. Возьмем уравнение
w9-\- (ao + — W -\~Ь-то> = 0 (яо^О). B04)
В данном случае мы можем считать a = р = 0 и, подставляя в ле-
вую часть уравнения B04) ряд вида B01), найдем следующие формулы
для определения коэффициентов:
[п (п + 1) — па{ + Ь2] сп — (п -j- 1) ao^/i+i = 0.
Возьмем отношение двух последовательных членов ряда B01).
Пользуясь предыдущей формулой, получим для этого отношения сле-
дующее выражение:
zn+i • zn (n+l)a0 z'
из которого непосредственно следует, что при любом заданном z
упомянутое отношение стремится к бесконечности вместе с л, и, сле-
довательно, построенный бесконечный ряд не может сходиться ни при
каком z.
Рассмотрим теперь тот случай, когда уравнение A95) имеет дву-
кратный корень. При этом 2a-j-ao = O и уравнение A96) имеет вид
422 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [117
Вводя новую независимую переменную t = \rz, получим уравнение
d*u , /2а, — 1 . 2вг , 2а, We ,
и для него квадратное уравнение A95) имеет вид a*-}-4&j = 0,
и если Ъ[ ф 0, то мы имеем для уравнения рассмотренный выше слу-
чай различных корней уравнения A95).
Если же Ь{ = 0, то точка w==oo является регулярной особой
точкой уравнения B05) или же неособой точкой.
Уравнение A12) является частным случаем уравнения A93). Для-
его решений мы получили асимптотические разложения A79) и A81)>
причем уравнения A17) для A12) совпадают с уравнением A95Х-
а р и q совпадают с (— pt) и (— р2). Нетрудно показать, что получен-
ные нами разложения B03) совпадают, с точностью до постояннога
множителя, с асимптотическими разложениями A79) и A81). Таким
образом, в случае уравнения A12) полученные формальные ряды
являются асимптотическими представлениями некоторых решений этого*
уравнения. Это же будет иметь место и для общего уравнения A93).
Асимптотические представления решения этог'о уравнения мы будем
строить по методу последовательных приближений.
117* Построение асимптотических разложений методом после*
довательных приближений. Рассмотрим уравнение B00) и будем
считать сначала 2a-j-ao = —1. Перепишем его в виде
*9 — * = ^Рх (*) * + у Чх (?) Ч B06)
где p\(z) и q\(z) — ряды, расположенные по целым неотрицательным
степеням z~l, сходящиеся в некоторой области вида | z \ ^> г.
Сначала мы будем рассматривать z на луче z^>r. Отметим еле*
дующий факт: уравнение
гже f(z) непрерывна и интеграл
существует, имеет единственное решение, равное единице при z = -\-oop
и это решение выражается формулой
\e-xf(x)dx— \f(x)dx.
117) ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ 423
Интегралы берутся по промежутку (z, 4~°°)> и z^>r. Если/(лг) = 0,
то т>0 = !•
Легко видеть, что дифференциальное уравнение B06) вместе
с указанным условием при z = oo равносильно следующему интегро-
дифференииальному уравнению:
t»(г) = 1 + j I?'* - 1) [?Pi (*>« (*) + ^i (•*) г»(*)] й*. B07)
00
Интегрируя по частям, получаем
г г
J j/>4(*M*)<**+ J зр?•(¦*)*(•*><**. B08>
СО 00
где
Г209)
и ръ (х\ Яч(х) — ряды того же типа, что и pi(x)t qi(x), сходящиеся
при | z | ^> г. Применим к уравнению B08) метод последовательных
приближений, обозначая для краткости письма правую часть его
через A[v]:
тн = Ь ^—1=4^!]. B10)
Н!етрудно видеть, что все vn(z) имеют производные всех порядков
при |<г|}>г и стремятся к единице при z->-\-oo. Из B10) следует
vn(z)-v^l(z) = A[v^l-vn_i]. B11)
Фиксируем какое-либо ro^>rt и пусть тк = max|vk(z) — vk^(z)\
при z, меняющемся на промежутке /0 (r0 ^ z <^ -\- оо). Существует,
очевидно, такая постоянная Л4^>0, что |л(-г)| и\g%(z)\^M на про-
межутке 10. Предыдущая формула дает на этом промежутке
со
со оо
5 prfx, B12)
г 2
откуда
тп<^т^. B13)
Фиксируя Ti ^> г9 так, чтобы иметь rt ^> 2Л1, получим на промежутке ^
(r,<z< + oo)
«n<?wn-i @<?<l> B14)
Отсюда следует, что ряд
424 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [117
равномерно сходится на iit т. е. vn(z) стремится к некоторой пре-
дельной функции v(z) равномерно по /V Эта непрерывная функция
есть сумма равномерно сходящегося ряда B15), и в силу B10) она
является решением интегрального уравнения B08). Из этого уравне-
ния следует, что v (z) имеет на i\ производные всех порядков и стре-
мится к единице при z->-\-oo. Принимая во внимание B09) и интег-
рируя в правой части B08) по частям обратно тому, как это мы
делали при переходе от B07) к B08), убедимся в том, что v(z)
удовлетворяет уравнению B07), а из этого следует, что v(z) есть
решение дифференциального уравнения B06) и v(z)-*-1 при z-> -\- со.
Переходим теперь к построению асимптотического разложения v(z}
на луче z^>0. Мы будем исходить при этом из формул B10). Выпи-
шем явное выражение обозначения ф = Л[ср]:
B16)
При вычислении v%(z)— V\(z) надо положить ср(лсг)^= I. Пусть л^>0 —
некоторое целое число. Докажем следующее утверждение:
Теорема. Если ср (z) имеет на ix степенное асимптотическое
разложение вида
^75") (*^п B17>
то ф(г) имеет разложение вида
?& & ? (*--»), B18>
где bs зависят от as.
При подстановке в правую часть B16) вместо у(х) последнего»
слагаемого выражения B17), имеющего при больших \х\ оценку
где а — постоянная, получим, применяя оценки, аналогичные B12)
и B13), величину O(z~n~x\ При подстановке слагаемых вида -~(s = ky
k-(- 1,..., п— 1) получим
г
^^ ± B19>
Во втором интеграле подинтегральная функция есть ряд по целым
положительным степеням, начинающийся с члена порядка -$& Почлен-
ное интегрирование, очевидно, допустимо, и мы получаем ряд тога
117| ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЯ 425
же типа, начинающийся с -j+j- В первом слагаемом формулы B19)
мы получаем выражения вида
z
e?\e-*x-mdx (/ra = s+b 5 + 2,...).
оо
Для него мы получили асимптотическое представление в [112], кото-
рое начинается с члена порядка z~m, причем берем т = s -\- I, s -\- 2,..., п>
а члены, имеющие порядок выше п, заменяем на O(z~n~l). Таким
образом, для фB) получаем разложение B18). Коэффициенты bs зави-
сят от as и заданных функций p%(z) и q%(z\ Теорема доказана.
Из нее следует при <рB)=1, что
Применяя последовательно формулу B10), получаем
Складывая, получаем
C + + ^ + °(^1> B20>
)+
где
Далее имеем
Vn+i {*) — vn (z) = О (г""), т. е. | vn+l (z) — vn (z) \ < bz'n~\
где b — постоянная. Принимая во внимание B13), получаем
| v(z) — v^iz) | ^ | vn+i(z) — vn+l (z) | -f- | vn^ (z) —
т. e. v(z) — Vn+x (z) = О (z~n~l\ и в силу B20) имеем окончательно
асимптотическое представление
^J J '") B21)
при любом фиксированном целом п, или
C B22)
Мы получили это разложение на положительной части вещественной оси.
Все вышеприведенные рассуждения применимы в секторе —тг + е<С
426 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [117
71
С—е' в КОТОРОМ Г1РИ интегрировании, например, вдоль
луча с постоянным аргументом от z до оо вещественная часть
показателя е~г отрицательна и беспредельно возрастает по модулю.
Последовательные приближения, получаемые по формуле B10), будут
регулярными функциями z в указанном секторе, и в нем будет иметь
место асимптотическое разложение B22). Можно показать, что этот
результат имеет место и в более широком секторе, а именно в сек-
торе, который получается из полной плоскости исключением из нее
сектора с углом 2е, биссектрисой которого является отрицательная
часть вещественной оси, где е^>0 — любое малое фиксированное
число. В основном сохраняется предыдущее доказательство, но инте-
грирование в формуле B10) надо проводить сначала по окружности
с центром в начале, а затем по лучу arg^ = f, содержащемуся в про-
межутке — -j + e <Л<| —6-
Мы рассматривали выше лишь тот случай, когда 2а-[~ао= —U
Если 2а-|-а0 есть любое отрицательное число, т. е. 2а-(-а0^О
и arg Bа -(- а0) = и, то, вводя вместо z новую независимую перемен-
ную z' = az, где а^>0 — подходящим образом выбранная постоян-
ная, мы можем привести уравнение B00) к случаю 2а-}-ао = —1.
Положим, что argBa-}-ao) = u). Совершая замену z'=—еш z, кото-
рой соответствует поворот плоскости вокруг начала на угол (о) -\- тг),
мы заменим 2a-|-a0 на отрицательное число и будем иметь разложе-
ние B22). Возвращаясь к исходной плоскости, мы можем утверждать,
что асимптотическое разложение B22) будет иметь место в секторе
— о) -\- е ^ arg z ^ 2u — ш — е.
Вернемся к исходному уравнению A93). Обозначая через ах и ьг
корни (различные) уравнения A95) и вводя числа
мы сможем сформулировать следующий результат: уравнение A93)
имеет два решения, имеющих асимптотические представления
в секторах
— щ -f е < arg z ^ 2% — щ — г B24)
K = argBa*4-a<>); k=\t 2),
иначе говоря, на полной плоскости с выделением из нее сектора
с углом 2е, имеющим биссектрисой прямую arg z = — о)л. Отметим,
что 2ai -^ao = cf.i — а^ и 2аа-}-а0 = ав — aj. В [116] мы получили
формально разложение решения уравнения A93) в ряд вида B03)„
117] ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ 427
которое определялось с точностью до постоянного множителя. Пока-
жем, что полученное выше асимптотическое разложение B23) совпа-
дает с указанным формальным разложением B03) при со=1. Это
достаточно сделать для случая 2а-{-ао= —1. Из B08) следует
Z
e-*±Pi(x)v(x)dx. B25)
Рассуждая, как и выше, убедимся в том, что правая часть, а следо-
вательно и т/(г), разлагается в асимптотический ряд вида
*»~$ + iS + - B26)
Члены порядка z~l входят в первое и третье слагаемые правой части
формулы B25) и взаимно сокращаются.
Интегрируя разложение B26) [112], получим
v{z)~l-±'-? + ... B27)
Из уравнения B06) вытекает разложение v"(z), и из вида правой
части этого уравнения следует, что это разложение начинается с члена
z~m, где /я ^s 2. Но, производя интегрирование этого разложения
и принимая во внимание B26) и единственность разложения, можем
утверждать, что разложение v" (z) начинается с члена порядка z~%.
Из сказанного следует, что асимптотическое разложение можно
•почленно дифференцировать и что полученные таким образом разло-
жения формально удовлетворяют уравнению B06), т. е. асимптоти-
ческое разложение B23) совпадает с полученным в [116] разложе-
нием при со=1. Если мы будем почленно дифференцировать уравне-
ние B06), то убедимся в том, что производные всех порядков функции
v(z) имеют асимптотические разложения.
К уравнениям вида A12), к которым мы применяли метод Лапласа,
'естественно, применим и метод последовательных приближений. При
применении метода Лапласа мы получали непосредственно коэффици-
енты асимптотических рядов для решений, и нетрудно проверить,
что они и сами решения совпадают с точностью до произвольного
постоянного множителя с теми, которые получаются формальным
разложением по методу из [116]. Для уравнений вида A12) метод
.Лапласа и метод последовательных приближений приводят, естественно,
к одному и тому же результату. Но представление решения в виде
интеграла Лапласа легко приводит, как это мы видели для функций
Ханкеля, к сектору с углом Зтс, внутри которого асимптотическая
формула имеет место. Такое расширение сектора уже не имеет места
для функций Бесселя.
428 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [US
Указанное выше применение метода последовательных приближе-
ний для луча z^>0 изложено в курсе Пикара (Р i car d, Traits
d'Analyse, t. Ill, 1927) и в общем случае в книге: Д. Три ком и
Дифференциальные уравнения, 1962.
118. Функции Эйри. Преобразование Лапласа имеет применения и к
уравнениям, отличным от уравнений вида A12). Рассмотрим уравнение
W" — zw = 0. B28)
Всякое его решение есть целая функция от z [98]. Интегрируя с помощью-
степенного ряда, получаем все его решения в виде
<229>
Применим к уравнению B28) преобразование Лапласа. Проделывая все
указанные в [108] вычисления, придем к формуле
w (г) = С i
z1 B30)
1
при условии
Г _*'г 1
B31)
На плоскости z' функция е 3 быстро стремится к нулю в секторах
7С
I arg г11 ^ 6
arg г'-
\-а-*> B32)
где е>0 — любое малое число. В соответствии с этим решения уравнения
B28) при любом комплексном z определяются обычно следующим образом:
1 (• ZZ'—L- 1 (» **»——
u>k W = 77-- \ е 3 dz' (k = 1, 2); v (z) = -—- \« 3 dz\
B33>
Контур /j идет по лучу argz'= -^- из бесконечности в точку 2' = 0, а затем
о
по лучу arg zr = 0 на (+°°)» ^ — из бесконечности по лучу arg z' = -5- в
о
точку z' = 0, а затем из начала по лучу argz' = 0 на (+оо); /8 — из беско-
нечности по лучу argz =-^-, а затем по лучу arg 2 =-~- на бесконечность,
О О
Как легко видеть,
B34>
118] функции эйри 429-
Из определения даЛ (г) следует, что wi (z) = wa (z) и, в частности, при г
вещественном wx (z) = w2 B), откуда следует, что функция v (z) вещественна
при вещественном z. Второе вещественное решение при вещественном г опреде»
лим формулой
а (,) =
2 >
и отсюда следует при любом z
wt (z) = u(z) + v (z) i.
Функции и (z) и v (z) обычно называются функциями Эйри. Иногда они
обозначаются следующим образом:
Пользуясь определениями w^ (z)} нетрудно получить значения функций
и их производных при z = 0:
°'<Г'~* °ЯГ( B35)
w* @) = и \о) + v @) f; wj '@) = и' @) + г;' @) i.
Уравнение B28) можно преобразовать в уравнение Бесселя A31) при
« = dt-o [И, 42]. Принимая во внимание вид разложения B29) и формулы
A41) и B35), получим
з з
з
*=4*а) Bзб1>
B362>
1 . г
v (г) = -у у nz \1 , (л:) — /1 (
где
— 4 ****
43U
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[118
Из асимптотики функций Бесселя можно получить асимптотику функ-
ций Эйри. Выпишем соответствующие результаты, считая 2>0и большим:
wl(z)=z 4 e3
и(г)=г
23/2Г
U+O\z
Wi(—z) = z
u{-z)=z~
v(-z) = z~
B37)
sin \^z<+±
Отметим, что из вида уравнения B28) непосредственно следует, что все
его вещественные решения — колеблющиеся при z<0 и неколеблющиеся
при 2>0 [II, 31]. Из написанных выше формул следует, что и (г)-* + °°
и v (г) —> 0 при г —+ °°- При ^ >0 функции и (z) и г; (z) положительны.
Отметим возможность видоизменения контуров интегрирования при опре-
делении функций v (z) и и (z) при вещественном г. Лучи argz = -5- и arg 2 =
2 d
2ti y
= -q", участвующие в контуре /3, интегрирование по которому определяет
v (z), можно сместить на мнимую ось. Доказательство этого аналогично до-
казательству леммы Жордана [60]. Кратко наметим его. Надо доказать, что
интегралы
zz' —
в 3
ZZ' r-
e 3 dz'
по дугам окружностей z = Rlei(? и z = R2ei^1 где
4 Зл п , 2тс
тп^^т и т^^т*
стремятся к нулю при RL и /?2—*- + оо. При помощи элементарных преобра-
зований это сводится к тому, что выражение
f z= x \ e
! z | R sin ft) - ^- sin 3<o
стремится к нулю при /?—»--{-оо. Используя неравенства
sin со ^ sin Зсо; cos <л ^ cos ~- @ ^ а> ^ -^-},
6 \ 6 ;»
B38)
119] АСИМПТОТИКА ПРИ БОЛЬШОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА 431
непосредственно получаем то, что надо было доказать. Таким образом, имеем
при вещественном z
4-ioo
~ 2 Yid ) 2 /те J
-ioo
1 ( / д:\
= —г \ сое ж* + т dx. B39)
о
Совершенно аналогично для и (z) при вещественном z получим
*• B40)
Можно показать, что все корни v (z) и v' (z) находятся на луче argz = 7r.
Отметим, что если w (z) есть какое-либо решение уравнения B28), то и
w \ze j есть также решение этого уравнения. В этом легко убедиться
на основании формулы B29) или пользуясь заменой независимой переменной
z = е т. Иногда вместо уравнения B28) пишут уравнение
w'l(z) + zwl(z)=0. B41)
Легко видеть, что если w (z) удовлетворяет уравнению B28), то w (—z)
удовлетворяет последнему уравнению. Подробное изложение результатов,
касающихся функций Эйри, их приложений и таблиц, содержится в книге
академика В. А. Фока (V. A. F о с k, Elektromagnetic Diffraction and Propaga-
tion Problems, London, Pergamon Press, 1965), которой мы пользовались при
изложении настоящего материала. В упомянутой книге wt (z) обозначается
через w (z).
119. Асимптотика при большом значении параметра. Прежде чем
переходить к аналитической теории систем линейных дифференциальных
уравнений, мы рассмотрим два вопроса для линейных уравнений второго
порядка без предположения аналитичности коэффициентов уравнений, а
именно: асимптотику решений уравнений при больших значениях пара-
метра, входящего в уравнения, и уравнения с периодическими коэффициен-
тами. Начнем с первого вопроса, который мы рассмотрим кратко, не оста-
навливаясь на подробных доказательствах.
Мы будем рассматривать уравнение вида
У" + [*2/> (х) + г (х)] у = 0, B42)
где функции р (х) и г (х) — вещественные функции, определенные на
конечном промежутке iQ (a^x^b)t и X >0 — параметр. Отметим, что урав-
нение более общего вида
и" + q (х) и' + [Х«р (х) + г, (х)] и = 0
приводится к случаю B42) заменой
- f
и=уе J
432 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В дальнейшем будем предполагать, что р (х) непрерывна с производными до
второго порядка на замкнутом промежутке i0 и г (х) — непрерывная функ-
ция. Существенную роль при исследовании решении уравнения B42) при
большях значениях X играет знак р (х).
Рассмотрим сначала тот случай, когда р (х) > 0 на промежутке /0. При
больших X коэффициент X2р (х) является превалирующим, и целью даль-
нейшего преобразования уравнения B42) является такое его преобразование,
при котором этот превалирующий коэффициент приведется просто к X2. Для
этого вместо х введем новую независимую переменную х и вместо .у — новую
функцию v по формулам
Интервал i0 (a^x^b) преобразуете в некоторый новый интервал г, (я
^Т^Р)» а уравнение B42), как нетрудно проверить, приводится к виду
d^^ °K'
где
\ р" (х) 5 о'
B43)
v ' 4 р2 (х) 16 ръ (х) р (л:)
•есть непрерывная на ii функция. Напомним, что неоднородное уравнение
—% 4- l2v = / (х) B44)
«меет общее решение [II, 34]
т
v (х) = d sin Хх + С2 cos Хх + 4- [ sin [X (х — t)] f (t) dt9
тде х0 — любое фиксированное значение из промежутка iL. В случае уравне-
ния B43) роль/(х) играет s (x) v (x), и уравнение B44) приводится к интег-
ральному уравнению
т
v (х) = d sin Хх + С2 cos Хх + y i sin [X (х — 1)] s (t) v (t) dt, B45)
ч
к решению которого можно применить метод последовательных приближений.
В качестве нулевого приближения берем
v0 (х) = C/sin Хх + С2 cos Хх,
а последующие поправки определяются формулами
*»+! W = у J sin [X (х - 1)] в (О 0Я @ dt.
Непрерывная функция s (t) ограничена на промежутке 1и т. е. | s (t\ , ,
где М>0 — некоторая постоянная. По индукции нетрудно - доказать ' нера-
венство
Г.Э]
АСИМПТОТИКА ПРИ БОЛЬШОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА
433
которого следует, что ряд
»о W +
(т)
B47)
равномерно сходится на промежутке it. Его сумма удовлетворяет уравне-
нию B45), т. е. уравнению B43). Далее из оценок B46) следует, что
00
2 Vn (х)
= 0(\-)
равномерно относительно т. Таким образом, имеем
оо
v (т) = v0 (т) + 2 vn (т) = Ct sin Хт + С2 cos Хт + О (X)
/i=t
или, возвращаясь к исходным переменным х и у, получаем асимптотику
решений уравнения B42) при больших X:
/ х
B48)
Мы могли бы вместо конечного промежутка а^х^Ь рассматривать и
бесконечный промежуток в одну или обе стороны. При этом остаточный
л
член имеет равномерную оценку [ О (X") | ^ у, где А — положительная
постоянная во всяком конечном промежутке изменения х, но величина А
зависит от выбора конечного промежутка и может беспредельно возрастать
при его расширении.
В связи со сказанным выше сделаем одно замечание. Рассмотрим уравнение
у" + \2р(х)у = 0, B49)
где р (х) — положительная непрерывная периодическая функция на беско-
нечном промежутке (— оо, + °о). Для любого конечного промежутка мы
можем применить формулу B48), но нельзя утверждать, что решения урав-
нения B49) будут ограниченными функциями на всем бесконечном проме-
жутке, хотя первые два слагаемых правой части дают, очевидно, ограни-
ченную функцию на всем бесконечном промежутке, ибо р (х) ^ т > 0, где
т — некоторая постоянная, на всем бесконечном промежутке в силу перио-
дичности. Оказывается, что в рассматриваемом случае может иметь место
следующий факт: при одних значениях X все решения уравнения B49) —
ограниченные функции на бесконечном промежутке, а при других значениях X
этого свойства ограниченности всех решений уже не будет. Более подробно
мы об этом будем говорить в дальнейшем, при исследовании уравнений
с периодическими коэффициентами.
Совершенно аналогично случаю р(л:)>0 можно рассмотреть и случай
р(х)<сО на конечном промежутке а^х^Ь, и вместо тригонометрических
функций, входящих в формулу B48), получатся показательные функции
434 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Переходим теперь к более сложному случаю, когда р (х) в уравнении
0 B51)
меняет знак на рассматриваемом промежутке. Не ограничивая общности^
можем считать, что л: = 0 находится внутри (д, Ь) и р (х) = xpY (л:), где
Pi(x)>0 при а^х^Ь. В данном случае основным «эталонным» уравне-
нием является уравнение Эйри
w" (х) — xw (х) = 0. B52)
Относительно гладкости р (х) и г (х) делаются прежние предположения.
Рассмотрим сначала случай От^х^Ь, т. е. р (х) ^0. Будем искать решение
уравнения B51) в виде
y(x) = A(x)w[«l(x)]t
где w (х) — любое решение уравнения B52), а функции А (х) и (ot (x) выби-
раются так, чтобы в полученном после подстановки в B51) уравнении сокра-
тились члены с положительными степенями большого параметра X. Таким
путем мы придем к приближенному решению уравнения B51):
у = ] ,w \\* со (х)\, B53)
где
[х -,_2^
у Wpi^dx 3. B53J
Функция B53) в точности удовлетворяет уравнению
У" + V^P (x) -\-Го (х)]у = 0, B54)
где
При любом г (л:) уравнение B51) можно записать в виде
B51,)
где
Функция f(x) непрерывна при
В дальнейшем мы будем придерживаться и пользоваться результатами
и обозначениями из [118].
Теорема 1. Существуют решения уравнения B51), имеющие при
вид
Ух(х, А)=-
V W (ЛГ) L Л
B55)
119] АСИМПТОТИКА ПРИ БОЛЬШОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА 435
где ek (л:, X) непрерывны при 0^x^bt X > О, и имеют место оценки
Я- (* = 1. 2),
B56)
где постоянная С не зависит ни от х, ни от X.
Напомним, что v (х) и и (х) — вещественные решения уравнения B52),
причем v (х) —- 0 и и(х) —> + оо при х —* + °°-
Наметим доказательство утверждения для У1 (х, X). Для К2 (х, X) оно
аналогично. Применяя метод вариации произвольных постоянных к уравне-
нию B51 i), получим для решений уравнения B51), которое совпадает с B51 ?),
интегральное уравнение
У (Do
где
3> @ *, B57)
\—решения уравнения B54):
2
¦V
1
/со' (X)
1
B57t)
и W (^1, у«) — определитель Вронского этих двух решений. Для него нетрудно
получить W(у19 ^2) = ^3- Положим Ci = l, C2 = 0 и введем в уравнение
B57) вместо .у (•*) новую функцию г(х):'
y(x)=yl(x)z(x).
Для г (х) получим уравнение
2
г (х) = 1 + Х~ Т f [л (<)Л (<) -Л (<)
f [
/ С) ^ (О Л.
B58)
B59)
Выбор нижнего предела интегрирования (# ;> а:) служит для оценки вычи-
таемого в квадратной скобке. При доказательстве теоремы для У2 (х, X)
в уравнении B57) надо положить d=0, С2 = 1 и выбрать нижний предел
интегрирования равным нулю. При дальнейшем доказательстве используется
следующая
Лемм а. Если $ интегральном уравнении на конечном промежутке
с непрерывным в квадрате
цией F(x) выполнено условие
d
, t) г (t) dt B60)
с
ядром и непрерывной функ-
B61)
436 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
то уравнение B59) имеет единственное решение z (х), причем
где
\Я(х)\
М
\—М
max \F(x)\.
[119
B62)
Кроме того, если К(х, t) непрерывно зависит от параметра X, который
меняется на конечном или бесконечном промежутке, причем выполнено
условие B61) и М не зависит от X, то z(x) будет непрерывной функцией
переменных х и X.
Доказательство леммы легко проводится методом последовательных
приближений.
Из упомянутой леммы следует, что для доказательства сформулиро-
ванной теоремы достаточно установить оценку
Л 3
У1(х)
B63)
где С не зависит ни от х, ни от X.
Кратко наметим путь получения этой оценки. Буквой С будем обозна-^.
чать различные постоянные (не зависящий от X). Из определения о> (х) слс-^
дует, что [<*' (х)]~1^Си и, принимая во внимание формулы B57t) и B37)>
получаем
1 1
откуда следует
ь
\\
х
Интеграл
B64)
имеет еще меньший порядок по X. Переходим к его оценке
и [хт со (х)\
1 1
Положив Х3<о(л:) = а, Х3а>(*) = р, получим
Х<о
3 а
И (а)
119] АСИМПТОТИКА ПРИ БОЛЬШОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА 437
Легко проверить, что u'v — v'u = \. Используя это и применяя к написан-
ной выше дроби правило Лопиталя, получим, что ее предел при а—* +со
равен пределу и2 (a) v2 (а), а в силу B37) этот предел равен нулю. Из ука-
занных выше оценок непосредственно следует и требуемая оценка. Сформу-
лированная выше лемма дает для решения интегрального уравнения B59)
откуда в силу B58) следует утверждение теоремы 1.
Для случая а^х^О (р(х)^О) функция со (х) определяется равен-
ством
2
На всем промежутке а^х^Ь функция а> (л:) является гладкой и о>'(л:)>0..
Функции Yj (л:, X) (у=1, 2), входящие в теорему 1, имеют, очевидно,
смысл и на промежутке я^лгг^О. Используя асимптотику, выражаемую
формулами B37), получаем:
Теорема 2. Решения Ух(ху X), У2(х, X) уравнения B51) имеют при
Ь Х>0 вид
Yl(x' Х)'
где t = \s а>(х) и о(^) —функции х и X, допускающие оценку
причем С не зависит ни от х, ни от X.
Доказательство этой теоремы, основанное на исследовании интегрального
уравнения B57), мы подробно приводить не будем. Отметим лишь, что ин-
тегральное уравнение для Yx (xt X) имеет вид
и интеграл представляется в виде суммы двух интегралов по промежуткам
(О, Ь) и (х, 0). В первом из интегралов можно использовать асимптотику
X) из теоремы 1, после чего этот интеграл приводит к выражению'
Ф
Y
а в интеграле по промежутку (л:, 0) вводится вместо Yt (x, X) новая иско--
мая функция:
438 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [120
Замечание. Отметим еще, что появление и (t) в остаточном члене
Yt(x, X) связано с тем, что в точках лг, где v(t) = O, первый член формулы
для К, (х, X) не является главным.
Можно было бы вместо и (t) и v (t) использовать и решения wL (t) и
w2 (t) уравнения Эйри [118], имеющие комплексные значения при вещест-
венном t. Результат получился бы следующий:
Теорема 3. При а^х^Ь, \^>0 существуют решения уравнения
B51) Zv (х, X), Zi(x9 X), непрерывные при а^лг^О, Х>0 и такие, что
2
Z/(л:, X) = —4= «v(t) [1 + gf (л:, X)], t = X 3 со (х), B65)
у со (л:)
(л:) определена формулами B53?) и B532), Wf(t)—функции Эйри, и
(, X) имеют оценку
\gj(x. Ml^x-
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1, но
несколько проще.
120. Уравнения с периодическими коэффициентами. Рассмотрим
линейное уравнение второго порядка, коэффициенты которого суть
периодические функции независимого переменного. Теория таких
уравнений во многом аналогична изложенной выше теории уравнений
с аналитическими коэффициентами. Мы будем пока считать как ко-
эффициенты, так и независимое переменное вещественными. Итак,
пусть имеется уравнение
y{x) + p{x)y(x) + q(x)y{x) = O, B66)
где р(х) и q(x) — вещественные непрерывные функции веществен-
ного переменного лг, имеющие период а>, т. е.
р(х + ш)=р(х)9 q{x + v) = q(x). B67)
Непрерывность коэффициентов гарантирует нам тот факт, что
всякое решение уравнения B66), определяемое некоторыми началь-
ными условиями, существует при всех вещественных значениях х.
Пусть У\(х) — некоторое решение уравнения, т. е. мы имеем тож-
дество
Заменяя х на jc-f-co, можем написать
у{ (х -f- со) -{- р (х -f u>)yi (х -{- со) + Я (х -{- (о)^ (х + <о) = О
или, в силу B67),
Отсюда непосредственно вытекает, что у\ (х -j- w) будет также
решением уравнения. Возьмем теперь какие-нибудь два линейно неза-
120] УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 439'
висимых решения уравнения У\(х) и Уъ(х). Функции У\(х-\-а>) и
Уъ(хЛ~т) также должны быть решениями уравнения B66), и, следо-
вательно, они должны выражаться линейно через У\(х) и у%(х), т.е.
где aik — некоторые постоянные. Мы видим, таким образом, что если
взять два линейно независимых решения уравнения B66) и приба-
вить к аргументу период, то это будет равносильно некоторому
линейному преобразованию B68). Совершенно аналогично при рас-
смотрении уравнений с аналитическими коэффициентами мы видели,
что при обходе вокруг особой точки линейно независимые решения
испытывают линейное преобразование, и мы можем дальше рассуж-
дать совершенно так же, как это мы делали в [100]. Приведем ре-
зультаты. Таблица постоянных aik зависит от выбора линейно неза-
висимых решений, но коэффициенты квадратного уравнения относи-
тельно р:
Р «12
«21 «22 Р
= 0, B69)
будут одинаковыми при любом выборе решений. Если уравнение B69)
имеет два различных корня pi и р2, то существуют два линейна
независимых решения, которые умножаются на pt и р2 при замене
х на jc-j-o), т. е., обозначая эти решения через %(лг), получим
7], (X + <D) = №\ (Х% Ъ (*+«>) = Р2^2 С4 B70)
Если уравнение B69) имеет одинаковые корни, т. е. р1=р2, то
существует, вообще говоря, только одно решение, приобретающее
множитель pi при замене х на jc-j-о), и в данном случае мы имеем
вместо B70) линейное преобразование следующего вида:
Ъ (х + (о) = р,-!)! (хуу т]2 (х + <»>) = а^т]! (х) + ftife (х). B71)
Напомним еще, что уравнение B69) не может иметь корня, рав-
ного нулю, т. е. определитель, составленный из чисел aik, наверно
отличен от нуля.
Напомнив эти результаты, перейдем теперь к установлению вида
решений в различных случаях. Рассмотрим сначала случай B70).
Возьмем две функции:
X X X X
— — In pi — — In pa
где мы берем некоторые определенные значения для In pt и lnp^
При замене х на лг-j-o) эти функции приобретают множители рх и-.
440 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [120
р2) и, таким образом, частные ч\\(х):р™ и щ(х):р^ оказываются
периодическими функциями с периодом со, и, следовательно, в случае
B70) можно написать
х JL
41 С*) = рГ 9i (х% ъ (х) = р?ъ (х), B72)
где 9i(jc) и cpa(jc) — периодические функции с периодом со.
В случае B71) имеем для y\i(x) такое же выражение. Для иссле-
дования т\ъ(х) введем функцию СО*):
Подставляя в B71), получим
Цх + ш) = Цх) + сЬ(х) (c = a-^j. B73)
Определим теперь функцию <р2(-*0 соотношением
Подставляя в B73) и используя периодичность функции <Pi(jc), най-
дем, что cp2(jc-|-o)) = cp2(jc). Таким образом, в случае B71), когда
уравнение B69) имеет двукратный корень pit два линейно независи-
мых решения имеют вид
Ъ (х) = рГ ь (х% ъ (х) = PiV [~ *Pi (x) + Ъ (х)], B74)
где с — некоторая постоянная, cpi(jc), cp2(jc) — периодические функции
с периодом со. Если с = 0, то второе решение будет иметь вид B72).
Рассмотрим более подробно уравнение Хилла
У + 9(х)у = 09 B75)
т. е. тот частный случай уравнения B39), когда в нем р(х) = 0. Опре-
делим линейно независимые решения следующими начальными усло-
виями:
Vi @) = 1, У[ @) = 0; у% @) = 0, у\ @) = 1. B76)
Полагая в тождествах B68) х = 0 и принимая во внимание B76),
получим a11=j/1(co), ап=Уъ(<й). Дифференцируя тождества B68) и
полагая затем х = 0, точно так же найдем, что ап =у[ (со), а<^=у'%((л).
Таким образом, при сделанном выборе линейно независимых решений
квадратное уравнение B69) записывается в виде
—р
120] УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 441
Свободным членом этого уравнения является значение определителя
Вронского А(х)=у1(х)у'2(х) — у2(х)у[(х) при х = ш. Для A(x) была
получена следующая формула [II, 24]:
X
\p(t)dt
и, следовательно, в данном случае, когда р(х) = Оу имеем
Из B76) следует, что Д@)=1. Таким образом, свободный член Д(о))
в уравнении B77) равен единице, а само уравнение B77) имеет вид
р2 — 2Лр+1=0, B78)
где
2A=j/1((o)+.y;(<o)i B79)
Поскольку q(x)— вещественная функция, то решения У\(х), Уъ(х),
определенные условиями B76), будут также вещественными функ-
циями. Следовательно, число А9 называемое характеристиче-
ской постоянной Ляпунова, будет вещественным числом.
Если число А удовлетворяет условию | А \^> 1, то уравнение B78)
имеет различные вещественные корни, произведение которых равно
единице, т. е. один из этих корней будет по абсолютной величине
больше единицы, а другой — меньше единицы. Если | А | <^ 1, то урав-
нение B78) имеет невещественные, комплексно сопряженные корни-
по модулю равные единице. Наконец, если Л = ±1, то уравнение
B78) имеет двойной корень, равный ± 1. Значения А существенным
образом сказываются на поведении решения при беспредельном воз-
растании переменного х. Разберем указанные выше случаи.
В выражениях B72) множители cpi(-xr) и <р2(.хг) суть периодические
функции, а потому они остаются ограниченными при беспредельном
возрастании х, и характер поведения решений при возрастании х
существенным образом определяется первыми множителями:
X X X
— In pi — — In р2
- ?*
B80)
Вещественная часть In p равна, как известно, In | p |, и, следовательно,
если |Л|^>1, то эта вещественная часть для одного из корней,
например pv будет положительной, а для другого — отрицательной,
и, таким образом, первая из функций B80) будет беспредельно воз-
растать по модулю при jc-^-f-00» a вторая — стремиться к нулю.
Возвращаясь к решениям B72), можно утверждать, что первое из
этих решений не будет оставаться ограниченным при х—>со, а вто-
рое будет стремиться к нулю. Общий интеграл уравнения
B81)
442 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [120
в данном случае также не будет, вообще говоря (Q Ф 0), оставаться
ограниченным (случай неустойчивости). Если | А \ <^ 1, то веществен-
ные части In pj и In р2 равны нулю, а функции B80) при всех ве-
щественных х равны по модулю единице. В данном случае оба
решения B72) и общий интеграл B81) остаются ограниченными при
je->-|-oo. Если начальные условия
у@) = а> у'(О) = Ь
определяются числами а и Ь> достаточно малыми по абсолютной вели-
чине, то постоянные С\ и С2 также будут малыми, а следовательно,
и решение будет оставаться малым по абсолютной величине при вся-
ком положительном х (случай устойчивости).
Остается разобрать только исключительный случай Л = ± 1,
когда уравнение B78) имеет кратные корни. Положим сначала А=1,
т. е. р1 = р2=1. В данном случае мы можем взять решения так, чтобы
они имели вид B74), т. е.
у\Лх) = Ъ(хУ> 4i(*) = ?i(*)+?*?i(J* B82)
где <?k(x) суть периодические функции. Первое из написанных реше-
ний будет чисто периодическим, а второе будет, вообще говоря,
неограниченным ввиду присутствия множителя х. Только в исключи-
тельном случае, когда с = 0> и второе решение будет чисто перио-
дическим. Наконец, если А = —1, т. е. если р1 = р2 =—1, то мы
.можем взять 1пр1 = тс/ и вместо B82) будем иметь
В данном случае мы имеем
и, следовательно, решение ^(лг) будет периодическим с периодом 2ш,
а второе решение, как и в предыдущем случае, будет, вообще го-
воря, неограниченным. Решения уравнения, удовлетворяющие тожде-
ству у (х -f- <°) = — У (х)> называются обычно со-антипериодическими.
Из предыдущих рассуждений легко следует
Теорема. Пусть q (x) — вещественная ^-периодическая функция.
Если при этом уравнение B75) имеет апериодическое решение, то
А = 1; если же оно имеет ш-антипериодическое решение, то
Л = — 1.
В первом случае из сказанного выше следует, что уравнение B78)
имеет корень р = 1, а во втором — корень р = —1, откуда и сле-
дует утверждение теоремы.
121] условия устойчивости и неустойчивости 443Ч
Для иллюстрации изложенного рассмотрим уравнение Хилла.
с постоянным коэффициентом
У = 0. B83)
Постоянную q можно считать периодической функцией с произволь-
ным периодом о). Положим сначала, что постоянная q отрицательна.
Обозначая д = —/г2, получим два линейно независимых решения,
уравнения B83):
при замене х на х -)- и> они получают вещественные множители
pl = ekiO и р2 = ?~Аа), что соответствует случаю |Л|}>1.
Если постоянная q положительна, то, обозначая q = k*, мы будем,
иметь следующие два решения уравнения B83):
-ni(x) = eikx9 щ(х) = е-*кх. B84)
При замене х на je-f-w эти решения получают множители pi = etk<*^
р% = е~1к<*, по модулю равные единице. Эти корни различны при
е*1Ыф\, т. е. при Ыфпу где п — целое число. Это соответствует
случаю |Л|=1. Для равных корней, когда Ы = пщ решения B84)
линейно независимы. Это соответствует случаю |Л| = 1, когда реше-
ния представимы в виде B74), причем для рассматриваемого случая
<; = 0.
Наконец, при q = 0 имеется два линейно независимых решения
Ъ(х)=\>
что совпадает с B74) для pi=l, <pi(j?)=l, ср8(лг)=1, с = ш и соот-
ветствует случаю Л=1.
Отметим, что для уравнения B83) значение постоянной А, найден-
ное по формуле B79), есть A = cos}/r#a) (здесь q может быть числом,
любого знака).
121. Условия устойчивости и неустойчивости для уравнения
Хилла. Выше было показано, что для уравнения Хилла имеет место
устойчивость (все решения ограничены при лг~>-|~°°)> если Дл**
постоянной Ляпунова А выполнено неравенство |Л|<^1, или неустой-
чивость показательного типа, если |Л|^>1. Однако обычно нeльзяs
различить эти случаи без численного интегрирования, так как А
выражается лишь через решения уравнения B75) по формуле B79)-
Далее мы выведем простые достаточные условия устойчивости и
неустойчивости, принадлежащие А. М. Ляпунову и Н. Е. Жуковскому*
выраженные непосредственно через функцию q(x). Для этого нам
понадобятся некоторые леммы, первая из которых непосредственна
связана с содержанием [II, 31].
444 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [121
Лемма 1. Пусть в уравнениях
УГ + ?1(*)Л = 0, У?+?«(*)Л = О B85)
коэффициенты — вещественные непрерывные функции на всей оси
х и qi(x)^>qz(x). Тогда между двумя корнями любого решения
второго из уравнений лежит по крайней мере один корень любого
решения первого из уравнений B85). Пусть, далее, имеются началь-
ные условия
У\ (а) =у, (а) = 0, у\ (а) =у'2 (а) > О B86)
и при а<^х<^Ь решение у{(х) положительно. Тогда на указанном
промежутке у% (х) ^>У\ (х).
Доказательство первого утверждения указано в [И, 31]. Перехо-
дим к доказательству второго утверждения.
Умножая первое из уравнений на yit второе на ух и вычитая
полученные уравнения почленно, получим
^ —У\У*) = [?i (х) - q, (х)] ухУг. B860
На промежутке а<^х<^Ь решения Уи(х)> удовлетворяющие условиям
B86), положительны в силу первого утверждения, и отношение —,
равное единице при х = а, в силу B86') возрастает, откуда и следует
второе утверждение леммы.
Лемма 2. Если q(x)=/=0 и уравнение Хилла имеет не обраща-
ющееся в нуль ^-периодическое решение у{х), то
(О
\q(x)dx<0. B87)
о
Доказательство. Подставляя q(x) = —^- и интегрируя по
частям, получим
О 0 0
В силу периодичности у(х) внеинтегральный член исчезает, и из
полученной формулы следует B87).
Введем понятие выпуклого множества функций. Множество М
вещественных непрерывных функций q(x) называется выпуклым при
соблюдении следующего условия: если функции q\{x) и q^(x) при-
надлежат М9 то и функция
q (х) = sql (x) + A — s) q% (x)
при всех s, удовлетворяющих условию 0<^s<^b также принадле-
жит М. Переходим к основной для дальнейших доказательств лемме.
Лемма 3. Пусть М — некоторое выпуклое множество ю-перио-
дических, вещественных и непрерывных функций q(x) такое, кто
121] условия устойчивости и неустойчивости 445
A) для q(x) из М уравнение B75) не имеет ^-периодических и
ю-антипериодияеских решений; (II) множество М содержит функ-
цию # (.*;)= с2, тождественно равную положительной постоянной.
Тогда при q(x) из М для соответствующей характеристической
постоянной Ляпунова выполнено неравенство \А\<^\.
Доказательство. Пусть q(x) из М. Положим qs(x) =
= A—s)с2-j-sq(jc). Выпуклость множества М означает, что qs(x)
тоже из М при O^s^l. Для уравнения B75) с коэффициентом
qs(x) постоянная A = A(s) является функцией 5. Покажем, что A(s)
Фудет непрерывной функцией s. Любое решение у(х, s) уравнения
B75) с начальными значениями у@), У@), не зависящими от s, будет
непрерывной (и даже целой) функцией s. Это сразу следует из равно-
мерной при О^х^о), O^s^l сходимости к решению у(ху s)
последовательности уп(х, s), определенной соотношениями [II, 50]
уо{х, 5)=j/@), Уп+\(х> s) = — qs(x)yn{x\
Уп+ЛО, s)=y@), y'n+l@, s)=/@)
(я = 0, 1, 2, ...).
При этом yn(w> s), _Уя(«), s) будут непрерывными (и даже целыми)
функциями 5. Следовательно, непрерывными (и даже целыми) функ-
циями s будут j/(o>, s), У ((*>, s\ а значит, и определенная формулой
B79) функция A = A(s).
Как было показано в предыдущем пункте, из предположения (I)
следует, что при 0^5^ 1 выполнено A(s)^b±\. Из предположе-
ний (I) и (II) следует, что с%ф^-у так как для уравнения B75)
п2па
с коэффициентом q{x) = —j- имеем Л=(— 1)л. Выше было показано,
что для уравнения с коэффициентом q (х) = с2 ф —\- выполнено
|Л|<1. Итак, |Л@)|<1 и A(s)^±l при 0<5< 1. Следова-
тельно, |A(s)|<^l при O^s^l и, в частности, |ЛA)|<^1, что и
утверждалось.
Отметим, что утверждение леммы 3 остается справедливым при
более общих предположениях, например, когда условие выпуклости
множества М заменено условием связности. Для дальнейшего, однако,
достаточно сформулированного утверждения.
Критерий Н. Е. Жуковского. Если для некоторого п =
= 0, 1, 2, ... выполнено
то все решения уравнения B75) ограничены при —оо<
и для этого уравнения |А|<^1.
Доказательство. Множество М вещественных ео-периодиче-
ских функций q(x), удовлетворяющих соотношениям B88), очевидно,
446
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[121
выпукло, и выполнено также условие (II) леммы 3. Покажем, что
выполнено условие (I). Пусть у\(х)— решение уравнения B75) для
некоторого q(x) из М такое, что у\(х-f-о>) = ±i](jc). Решение у\(х)
непременно имеет нули. Действительно, если t](jc-|-o)) = — ^(je), to
ij(jc) меняет знак и, следовательно, имеет нули. Если ч\ (х -)- «О = у\ (х),
то г\(х) имеет нули по лемме 2. Пусть Хх<^х%— какие-либо два
последовательных нуля функции г\(х). Будем считать для определен-
ности, что т](jc)^>0 при Х\<^х<^х2. Построим решения rin(x) и
= ?-^- и <7(jc) =
и с начальными ус-
уравнения B75) с коэффициентами
ловиями
У\п (*l) = У\п+1 (Xt) = Т)'
Рис. 70.
Расстояния между соседними нуля-
ми у решений у\п(х), т)^(х) будут>
очевидно, - и -.—^Ц-г-. По лемме
п (п + \)
1 графики функций y\n^i(x)y ri(x), r\n(x) расположены так, как пока-
зано на рис. 70, т. е.
Таким образом, расстояние d между любыми соседними нулями реше-
ния т\(х) удовлетворяет неравенству
B89)
Поскольку т] (jcj-)-ц)) = 0, то на интервале jcj =^ лг =^ л^-|-«> длины
о) укладывается целое число (обозначим его через k) отрезков между
соседними нулями решения т\{х). Длины dj этих отрезков должны
удовлетворять соотношению B89). Легко убедиться в том, что это
невозможно. Действительно, имеем di-\-di-\-. ..-\-dk = M. Складывая
соответствующие неравенства B89), получим ^ « <^о)<^ —, п
/1+ 1 ^ ^ П
<^я-}-1, что невозможно, так как k — целое число.
Итак, выполнено условие (I) леммы 3. Из леммы 3 поэтому сле-
дует справедливость критерия Жуковского.
Отметим, что, несколько уточняя приведенные рассуждения, легко
заменить B88) более общим условием, а именно заменить в B88)
знаки <^ на ^, но при этом потребовать, чтобы
-. При этом по-прежнему
121] УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ 447
В работе В. А. Якубовича (Матем. сб., т. 37 G9), вып. 1, 1965)
установлено следующее обобщение критерия Н. Е. Жуковского:
неравенство | А \ <^ 1 имеет место, если выполнено неравенство
где Г\{х), г%(х)— какие-либо произвольные, дважды непрерывно диф-
ференцируемые («-периодические положительные функции, нормирован-
ные условием
dx? dx
При этом предполагается, что q(x) не совпадает тождественно ни
с левой, ни с правой частью неравенства B90). Исторически первым
достаточным условием устойчивости для уравнения Хилла было сле-
дующее условие, установленное А. М. Ляпуновым (см. А. М. Л я п у -
нов, Общая задача об устойчивости движения, 1894):
Неравенство | А \ <^ 1 имеет место, если
О)
B91)
При этом считается, что q
Лемма 4. Пусть а<^Ь — последовательные нули произвольного
решения уравнения B75), в котором q(x)^0. Тогда
ъ
B92)
Доказательство. Предполагается, очевидно, что у(х)щ/=0.
Можно считать, что у (х) ^> 0 при а <^ х <^ Ъ, и пусть у (с) = max у (х).
а<х<Ь
Существуют точки Х\ и лга, принадлежащие промежуткам
и с<^Хъ<^Ь и такие, что
При а^х^Ь имеем (—y*) = q(x)y^0 и, интегрируя, получим
B94)
В подинтегральном выражении (—у")^0 и j/)>0, а знаменатель
мы заменили его максимумом у (с). При этом вместо ^ мы поста-
вили ^>. Оправдаем это. Если бы вместо ^> стоял знак=, то в силу
448 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [121
непрерывности / и J/ мы должны были бы иметь . = \ -
в промежутке / (х^^х^х^), и надо привести это тождество к про-
тиворечию. Из указанного тождества следует, что в точках проме-
жутка / или У = 0, или у(х)"=у(с). Докажем, что у" = 0 внутри /,
а тем самым и на концах. Пусть существует такая точка х =
= х0 (Xi <^ х0 <^ х2), в которой у" (Хц)<^0. Мы должны при этом
иметь у(х0) =у(с), У(л:0) = 0 и у"(х)<^0 при всех х, достаточно
близких к х0. При этом из формулы Тейлора У {х) = у (х0)-\~ ^у"(х/),
Хо<Сх'<Cxf следует, что при х, близких к х0 и отличных от лг0,
мы имеем у" (х) ф 0 и j/ (x) ф у (х0) =у (с), что противоречит
указанному выше тождеству, и, следовательно, из него следует, что
у"(х) = 0 при Xi <: х ^ хь т. е. в этом промежутке у'(х) = const, что
противоречит B93). Таким образом, доказано наличие знака ^> в B94).
Используя B93) и B94), получим
ь х2
При изменении с в промежутке а<^с<^Ь правая часть достигает
минимального значения 4/(Ь — а) в случае с — а = Ь — с, т. е.
_J | !_>^L
с — а ' b — с ~*~*b — ау
откуда и следует B92).
Переходим к доказательству критерия B91). Применим лемму 3.
Множество функций q(x\ удовлетворяющих условиям B91), очевидно,
выпукло. Условие (II) леммы выполнено. Покажем, что и условие (I)
выполнено. Предположим, что имеется ш-периодическое или со-анти-
периодическое решение у(х\ и приведем это предположение к про-
тиворечию. Согласно лемме 2 у{х) имеет нули и расстояние d между
соседними нулями а и Ъ удовлетворяет неравенству d^o>. Согласно
лемме 4
]q(x)dx \q(x)
a 0
dx
По второму из условий B91) правая часть не меньше о>, откуда ^
Это противоречие указывает на выполнение условия (II) леммы 3, и из
последней следует достаточность критерия B91) для выполнения
условия | А |<^ 1.*)
*) Приведенное доказательство близко к доказательству Ж. Борга
(Amer. J. of Math., v. 69, №1 A949), который установил, что |Л|<1 при
121J УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ 449
Как показал М. Г. Крейн, для выполнения неравенства | А
вместо B91) достаточны следующие менее ограничительные условия:
О) (I)
о о
где
[() если
= 1 0, если ,(*)<0,
и предполагается, что q(x)^0. Этот критерий доказывается по той
же схеме, что и выше.
Приведем еще следующие критерии (В. А. Якубович, ДАН СССР,
т. 74, № 5, 1950), являющиеся по своему характеру промежуточными
между критериями А. М. Ляпунова и Н. Е. Жуковского: если для
некоторого л = 0, 1, 2, ..., выполнено
i
или
то |А|<[1. Для л = 0 первый из критериев переходит в критерий
A. М. Ляпунова. Можно показать, что эти критерии являются точными:
при сколь угодно малом увеличении постоянных в правых частях нера-
венств, содержащих интегралы, всегда можно найти функцию q (x), для
которой выполнены соответствующие условия, но |А|^>1.
Другие критерии устойчивости уравнения Хилла получены
М. Г. Крейном, М. Г. Нейгауз, В. Б. Лидским, Ж. Боргом
и В. А. Якубовичем. Эти условия можно найти в обзоре
B. М. Старжинского (ПММ, т. 18, в. 4, 1954).
Условий неустойчивости уравнения Хилла, достаточно эффективных
и просто формулируемых, известно немного. Приведем следующий
простой критерий, установленный А. М. Ляпуновым:
Если в уравнении Хилла q(x)<^0, то Л^>1 н, следовательно,
кисла рь р.2 различны и положительны.
Доказательство. Пусть У\(х) — решение нашего уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям ^ @) = 1 и j/(@) = 0. Интег-
рируя уравнение Хилла и принимая во внимание последнее начальное
условие, мы можем написать
\ B95)
U Гмипплп т Q
450 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [121
При значениях х, близких к нулю и положительных, ух (х) близко
к единице, и, следовательно, J>i(-xr)^>0 в силу q(x)<^0f т. е. У\(х)
возрастает. В силу соотношения B95)'у[ (х) могло бы стать отрица-
тельным только после того, как У\(х) станет отрицательным. Но,
с другой стороны, для того чтобы У\(х) стало отрицательным, необ-
ходимо, чтобы оно предварительно начало убывать, т. е. необходимо,
чтобы до этого у\(х) стало отрицательным. Мы приходим, таким
образом, к противоречию и можем утверждать, что при всяком х^>0
будет у\(х)^>0 и У\{х)^> 1, и, в частности, имеем У\(ы)^> 1. Возьмем
теперь решение j/2 (х), удовлетворяющее начальным условиям j/2@) = 0
и ^2@)=1. Интегрируя уравнение Хилла, получим
х
у'2(х)= 1 — $ q{x)y*{x)dx. B96)
о
При х, близких к нулю, уЦх) близко к единице и, следовательно,
положительно, а потому Уч(х) возрастает и больше нуля, нбоуъ@) = 0.
Формула B96) показывает, что y'tix) может стать отрицательным
только после того, как у%(х) станет отрицательным. Но, с другой
стороны, Уъ(х) может стать отрицательным, лишь предварительно
убывая, т. е. после того, как у'ч(х) станет отрицательным. Это про-
тиворечие показывает нам, что при всяком положительном х мы имеем
y<i(x)^>0 и У2(х)^>\ и, в частности, У2(м)^> 1. Доказанные неравен-
ства для Ух (со) и у'2 (to) дают нам
2A=J>i(«0 + J>20*)>2. т. е.
что и утверждалось.
Несколько уточняя предыдущие рассуждения, мы могли бы усло-
вие q(x)<^0 заменить условием q(x)^O, q(x)^0.
Рассмотрим в заключение уравнение Хилла, содержащее параметр X:
где, как и раньше, q(x)^0t q(x)E/EQ, q (x) — о>-периодическая функция и
X—комплексный параметр. Как мы видели раньше, вопрос об ограничен-
ности или неограниченности решений уравнения B97) при вещественных
значениях X решается величиной характеристической постоянной Ляпунова
Л-
Эта постоянная в случае уравнения B97) зависит от параметра X, и мы ее
обозначим через А (X). Учитывая равномерную сходимость метода последо-
вательных приближений при построении решений ух (х) и у2 (х) [II, 50],
можно утверждать, что Л (X) — целая функция X, вещественная при веще-
ственных X. Как известно, при этом, если | Л (X) | < 1, то все решения урав-
нения ограничены при —оо<лг< + °°) если \А (X) | > 1, то общее решение
уравнения не ограничено, а при | Л (X) | = ±. 1 общее решение может быть
как ограниченным, так и неограниченным.
Сформулируем некоторые общие результаты, касающиеся промежутков
изменения X, для которых будет иметь место ограниченность или неограни-
122]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
451
ценность общего решения уравнения B97) на бесконечном промежутке
— оо <.*:<+оо. (Близкие утверждения установлены впервые А. М. Ляпу-
новым, Собр. соч., т. 2, изд. АН СССР, 1956, стр. 401-403.)
Г. Каждое из уравнений
Л(Х) = 1, B98J
Л(Х) = -1 B982)
имеет бесчисленное множество корней. Все они вещественны, и их кратность
не выше двух.
2°. Эти корни могут быть пронумерованы так, что
о < х; ^ г; < х; ^ г2* < х; ^ х;' <..., B99)
где 0, Х2, X;', X;, X;',... — корни уравнения B98,), a XJ, X/, X' XJ', ...- корни
уравнения B982). Открытые интервалы @, \[), (X;, Х2), (Х2, Х3), ... являются
интервалами ограниченности (в них | А (К) | < 1), а те из открытых интер-
валов (—оо, 0), (X;, X;'), (Ц, X;#), ..., которые не вырождаются в точку,
являются интервалами неограниченности (в них | А (X) | > 1).
3°. Если X = X: или X = X;.' и XJ = Ц\ то существуют два линейно неза-
висимых решения yt (х), у2 (х) таких,
что
.у л*+ «) = (-О1* с*);
у2 (х + о)) = (- 1)' у2 (X) + У1 (X).
В этом случае
1А(К)
Рис. 71.
) = (— \yz{x) (зоо) ;
и общее решение уравнения B97)
растет, как х.
Если X = Ц = Х^', то
4°. На каждом из интервалов ограниченности (| А (X) | < 1) функция А (X)
меняется монотонно {А (X) > 0 или А (X) < 0). При вещественном а, | а | ^ 1,
уравнение Л(Х) = а имеет лишь вещественные корни.
Аналогичные предложения имеют место и для знакопеременной функции
q (x), но при этом промежутки ограниченности и неограниченности располо-
жены как на положительной, так и на отрицательной полуоси X.
На рис. 71 изображен график Л (X) и проведены две прямые, параллель-
ные оси X и отстоящие от нее на расстоянии единицы. Точки пересечения
графика Л (X) с этими прямыми дают значения X,' и XV.
122. Системы линейных дифференциальных уравнений. До сих пор
мы рассматривали одно линейное дифференциальное уравнение второго
порядка. Оно является частным случаем системы двух линейных уравнений
первого порядка. Вообще одно линейное уравнение порядка п может быть
представлено, если принять производные за новые искомые функции, в виде
системы линейных уравнений первого порядка. Мы обратимся к рассмотре-
нию общего случая системы линейных уравнений первого порядка вида
у\ =Рп (x)yi
Уъ=Ри (X) yt + p22
(х)уш
(X) Уп>
C01)
452
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[122
где у.— искомые функции, у] —их производные и pik{x)—таблица задан-
ных коэффициентов, причем, в отличие от прежних обозначений [96], мы
считаем, что первый значок показывает, при каком из неизвестных стоит
коэффициент, а второй значок показывает, в каком из уравнений этот коэф-
фициент находится. К написанной системе применим дословно метод после-
довательных приближений, описанный нами в [98], и, следовательно, приме-
нимы и все те следствия, которые мы там имели в результате применения
этого метода. Напомним эти следствия. Если все коэффициенты pik (x)
регулярны в некотором круге \х — а | < г, то система C01) имеет единст-
венное решение, удовлетворяющее в точке лг = д любым заданным началь-
ным условиям:
ey1(fl)=a1; ... ; уп(а)=ап,
и это решение будет регулярно в упомянутом круге \х — а|<г. Такое
решение можно аналитически продолжать по любому пути, не проходя-
щему через особые точки коэффициентов р^ (л:), и при этом продолже-
нии оно все время остается решением.
Решение системы состоит из п функций. Положим, что мы имеем п реше-
ний системы. Эти решения образуют квадратную таблицу функций
Уп У12
У21 У22
Ут
У2П
Ут Ут
Упп
причем первый значок дает номер решения, а второй значок — номер функ-
ции, входящей в решение. Назовем теперь решением системы квадратную
таблицу указанного вида, состоящую из п решений, обозначим через Р таб-
лицу, состоящую из коэффициентов Pik{x)i и через У—таблицу, опреде-
ляющую решение. Пользуясь правилом перемножения матриц, можно запи-
сать систему линейных уравнений совершенно так же, как это мы делали
в [96], в следующем виде:
^z=zyp, C02)
Заметим только, что в данном случае мы применили иное обозначение
для значков, чем в [96], а потому получили и другую последовательность
сомножителей в правой части формулы C02). Обозначая, как всегда, через
D (Л) определитель ^матрицы Л, мы можем вывести следующее уравнение
для определителя D (У) решения У:
C03)
где Ь есть некоторая обыкновенная точка для системы, т. е. такая точка,
в которой все коэффициенты Pik{x) регулярны. Формула C03), называемая
обычно формулой Я*коби, является обобщением той формулы, которую мы
раньше имели для определителя Вронского.
Принимая во внимание основное определение определителя в виде суммы
произведения его элементов, мы можем утверждать, что при дифференциро-
вании определителя достаточно продифференцировать в отдельности каждый
его столбец и затем сложить все полученные определители, т. е.
dD{Y) = </
dx
dx
.Уп
У21
У12
У2Ч
Уп
Уи
Ун
У22
Уп
У21
Уи
^22
122]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
453
причем для простоты письма мы считаем п = 2. Заменяя производные их
выражениями из уравнений системы, будем иметь
dD(Y)
dx
Р11У11+Р21У12 У12
Р11У21+Р21У22 У22
Уп Р12У11+Р22У12
У21 Р12У21+Р22У29
Разлагая определители на сумму определителей и вынося за знак опре-
делителя pikt мы замечаем, что #в некоторых слагаемых будут стоять опре-
делители с одинаковыми столбцами, равные нулю, так что предыдущая фор-
мула даст нам
dx
zPn
УП У Li
УН У22
+ Р22
Уп У12
У21 У22
ИЛИ
откуда и вытекает формула Якоби. Эта формула показывает, что если
в некоторой точке х = Ь определитель D (У) отличен от нуля, то он будет
отличным от нуля и при всяком ху который является обыкновенной точкой
для системы, т. е. точкой регулярности всех коэффициентов этой системы.
Если это обстоятельство имеет место, то назовем решение У полным реше-
нием (соответствующие п решений, образующих решение У, будут в этом
случае линейно независимыми). Если это так, то мы можем рассматривать
и обратную матрицу К, причем, как известно [96],
dY'1
dx :
4?
dx
откуда в силу C02) эта обратная матрица удовлетворяет следующей системе:
dV'1
-- — PY-K
C04)
Пусть Z — какое-нибудь решение нашей системы, т. е.
Составим матрицу
C05)
Отсюда, пользуясь обычным правилом дифференцирования произведе-
ния [96], а также уравнениями C05) и C04), получим
dx"^
т. е. матрица А есть некоторая постоянная матрица С, элементы которой
уже не зависят от лг. Отсюда
Z = CY,
или, иначе говоря, всякое решение системы может быть получено из пол-
ного решения умножением слева на постоянную матрицу. Наоборот, из вида
уравнения C02) непосредственно вытекает, что, умножая решение слева
на любую постоянную матрицу, мы также получаем решение. Принимая
во внимание, что
454 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [123
мы видим, что D(Z)^0 в том и только в том случае, если D()^r
т. е., умножая полное решение Y слева на постоянную матрицу С, мы полу-
чаем полное решение в том и только в том случае, когда D(C)^?0. Й$
формулы C03) следует, между прочим, что при аналитическом продолже-
нии полного решения Y оно все время остается полным решением, как мы
об этом уже говорили выше при определении полного решения. Заметим,
что при той форме записи, которой мы пользовались раньше [96], мы должны
были решение умножать на постоянную матрицу не слева, а справа, чтобы
получить другое решение.
Положим, что х = а есть точка плоскости, которая является полюсом
или существенно особой точкой для коэффициентов pik (х). Если мы обой-
дем вокруг этой точки, то коэффициенты вернутся к прежним значениям,
но решение Y при аналитическом продолжении перейдет, вообще говоря,
в некоторое новое решение, которое получается из прежнего умножением
слева на некоторую постоянную матрицу V:
У+ = VY.
Назовем матрицу V интегральной матрицей при обходе точки х==^а.
Принимая во внимание, что
D (К+) = D (V) D (Y)
и что при аналитическом продолжении полное решение все время остается
полным, мы можем утверждать, что определитель матрицы V наверно отли-
чен от нуля. Матрица V зависит от того, какое именно полное решение К мы
взяли. Если вместо Y мы возьмем другое полное решение Z = CYt где
С — постоянная матрица с определителем, отличным от нуля, то мы будем иметь
т. е. интегральной матрицей для нового решения будет матрица, подобная
матрице V. Короче говоря, различные полные решения имеют подобные
интегральные матрицы.
123. Регулярная особая точка. Рассмотрим такую особую точку системы,
которая является полюсом не выше первого порядка для коэффициентов.
Считая для простоты письма, что эта точка есть начало лс = О, мы можем
написать нашу систему в следующем виде:
ху\ = Яп (х)уг + q2l (х)у2 + ... + qni (x)ynt
xyi = Ян (x)yl + я„ (х)у2 + ... + q
хУ'п = Ящ (X) Ух + %
Qik(x)—регулярные функции в точке х = 0:
Яг„ W = aik + a'ik* + «Si*1 + • • • C07>
Будем искать решение системы C06) в виде
у. = хЦс№> + с1Лх + ...)• C08)
Подставляя в систему и сравнивая коэффициенты при х?, мы полу-
й фф ()
чим систему однородных уравнений для определения коэффициентов с(*):
(«и - р) 41} + «2 Д2> + ¦¦'¦ + °п~Лп)=о,
«.S4'> + №. - р) 42) + ¦ • • + <>пЛп) ¦= о,
+ ... + Кл - Р) 4Л) - 0,
C09)
123]
РЕГУЛЯРНАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА
455
и дальше, сравнивая коэффициенты при x?+k, будем иметь систему уравне-
ний для определения коэффициентов с%\ когда предыдущие коэффициенты
^ при т<. k известны:
(ап - р - ft) eg> + а,/? + ...+ ая1сР = Нь
ш
-?- *) #>=
C10)
где
суть линейные однородные функции коэффициентов cjj при т < й.
Все эти вычисления совершенно аналогичны вычислениям из [101]. Обоз-
начим через /(р) определитель однородной системы:
Р «81 •" «Ш
«22 — Р ••• «Л2
а2п ... апп — (
C11)
Для того чтобы получить решение системы C09), отличное от нулевого,
мы должны приравнять этот определитель нулю:
/(р) = 0; C12)
при дальнейшем решении неоднородных систем нам надо, чтобы определитель
этих систем был отличен от нуля. Этот определитель получается из опреде-
лителя системы C09) заменой р на р -f К т. е. он равен /(р + fc). Пусть pt—
некоторый корень уравнения C12) такой, что числа Pi-j-fc, где к — любое
целое положительное число, уже не являются корнями уравнения C12). При
этом наши предыдущие вычисления окажутся формально выполнимыми, и
мы сможем построить ряды, формально удовлетворяющие системе. Можно
показать, как и в [101], что эти ряды будут сходиться в тим круге \х\ <г,
где сходятся ряды C07).
Если корни уравнения C12) различны и отличаются друг от друга не
на целое число, то предыдущий прием дает нам возможность построить п
линейно независимых решений системы C06). В противном случае, как и
в [101], мы будем, вообще говоря, кроме решений вида C08) иметь еще
решения, содержащие 1плг.
Запишем систему в матричной форме:
dx v'
где Q есть матрица, состоящая из функций qik (x), регулярных при л; = 0.
Мы можем представить эту матрицу в виде ряда, расположенного по целым
положительным степеням л::
где As — матрицы с
состоит из элементов
перепишется в виде
постоянными элементами, в частности, матрица Ло
^ матрица Ai — из элементов a\k и т. д. Система C06)
У (А0
C13)
456 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [123
Будем искать решение этой системы в виде
У = xw{l + Clx-\-Ci
где W и Cs — искомые матрицы. Мы имеем
JT= Wxw~'(/ + С,* + Сгх* + ...) + xw (С,
Подставляя в уравнение C13) и умножая слева на x~w, получим
s + ...) +х (С,
= A + С1х + С*х* + ...) (Ао + AlX + ...),
Сравнение свободных членов дает
W=A0,
и далее, сравнивая коэффициенты при xk> будем иметь систему матричных
уравнений для последовательного определения матриц С*:
или
Не останавливаясь на исследовании этой системы в общем случае, мы
разберем лишь тот частный случай, когда матрица Ао приводится к диаго-
нальной матрице, т. е. когда существует такая матрица 5 с постоянными
элементами и определителем, отличным от нуля, что
= [р1, р2, ..., р„],
причем р5 суть как раз корни уравнения C12).
Введем вместо У новую искомую матрицу Yt по формуле
К= YtS. C14)
Подставляя в уравнение C13) и умножая справа на 5, получим для
матрицы Ух систему вида
х 47 =*Yi (В°+BiX+в*х2 + -^ C15)
где
Bk^SAkS-1
и, в частности,
?o = [pi, Ps. "., Р«]. C16)
Ищем, как и выше, решение системы C15) в виде
К, = xWi(l + D,x + D2x2 + ...).
Подставляя, получим Wi = B0, а следующие коэффициенты определяются
из уравнений вида
B0Dk - DkB0 + kDk = Еь C17)
где ^ — матрица, которая выражается через предыдущие матрицы Dm при
m<:k. Принимая во внимание, что Во есть диагональная матрица C16), мы
получим, согласно уравнению C17), для элементов матрииы Dk
?i {Dkhj— {Dk}ij?, + k {?>*},•/= {Ek}iJ%
т. e.
124]
регулярные системы
457
Если разность корней (р?- — ру) уравнения C12) не есть целое число, то
это и дает возможность определения всех коэффициентов. Заметим, что если
среди корней уравнения C12) есть равные, но матрица Ао приводится к диа-
гональной форме (имеет простые элементарные делители), то предыдущие
вычисления сохраняют свою силу.
jVibi не касались в наших рассуждениях вопросов сходимости, которые,
как мы уже упоминали, можно провести аналогично тому, как это было
сделано в [101]. Заметим, кроме того, что мы считали выше, что свободный
член в искомом решении уравнения C13)
равен единичной матрице. Это не является существенным. Важно лишь,
чтобы он был матрицей с определителем, отличным от нуля. Действительно,
пусть
где D(C'Q)^?0. Возьмем новое решение
С-'У^Со-ыс&г* (с; + с[х + а* + ...)•
Но для любой аналитической функции от матрицы, как мы знаем,
так что, например,
C
и, следовательно, новое решение будет
Аналогично можно рассуждать и при решении уравнения C15).
124. Регулярные системы. Рассмотрим систему уравнений простейшего
вида, коэффициенты которых суть рациональные функции, имеющие полюсы
первого порядка на конечном расстоянии и равные нулю на бесконечности.
Пусть л; = 0уесть полюс первого порядка некоторых коэффициентов. Каждый
из коэффициентов pik (х) имеет в этом полюсе некоторый вычет и\?, и эти
вычеты образуют некоторую квадратную таблицу Uj. Мы можем, таким
образом, записать нашу систему в следующем виде:
— a,*
J
C18)
где Uj—матрицы, состоящие из постоянных элементов. Будем искать такое
решение системы C18), которое в некоторой точке лс = &, отличной от
точек fly, обращается в единичную матрицу, и обозначим такое решение
символом
Y(b\ x).
Принимая во внимание это начальное условие, можно переписать си-
стему в следующей интегральной форме:
У (ft; х) =
Y(b; х)
C19)
458 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [124
где интегрирование матрицы равносильно интегрированию каждого ее эле-
мента.
Применим теперь, как всегда, метод последовательных приближений,
а именно положим Ко = /, а следующее приближение определим обычной
формулой
х т
— dx. C20)
х — a,- v '
i
Мы будем иметь, согласно методу последовательных приближений,
Уф; х) = Уо + (К, (х) - У.) + (У, (ж)- У, (х)) + ...,
или, полагая для краткости
Zn (х) = Уп (х) У _! (х) (Zo = /),
причем в силу C20) мы имеем
х т
Z,j (лг) = \ Zn_! (л:) 7 ^—^л:, C21)
можно написать
K(ft; л:) = У + Z, (л:) + Z2 (x) +... C22)
Определим первые члены этого разложения, пользуясь общей формулой
C21). Вводя обозначение
• -ч-С dx _,„*-%
имеем
Точно так же, вводя обозначение
X
получим
х т т
-—Ц-л*.
ИЛИ
124] РЕГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ 459
где суммирование распространяется на значки jt и ]% независимо от I до т.
Продолжая так же и дальше и вводя формулы
х — а*
' C23)
al dx>
определяющие последовательно коэффициенты Lb(O)l tf/v; х), получим
1 m
Z, (x) = 2 Uh- U>M (ah %' x),
Л К
где суммирование распространяется на все значки, указанные под знаком
суммы, причем каждый значок, независимо от других, пробегает целые зна-
чения от 1 до т. Окончательно в силу C22) будем иметь следующее пред-
ставление для нашего решения в виде степенного ряда от матриц iff.
Y (b; x) = / + fj ' 5J Uh... UuLb («/, • • •, a,; x)f C24)
v=i;i yv
причем коэффициенты этого ряда определяются рекуррентными соотноше-
ниями C23).
Решение Y(b\ x) может быть аналитически продолжено по любому пути,
не проходящему через особые точки ар и ряд C24) дает это решение во
всей области его существования, т. е. при любом аналитическом продолже-
нии. Действительно, покажем сначала, что ряд C24) сходится при любом
аналитическом продолжении коэффициентов Lb{ajt, ..., clj\ jc). Пусть / —
некоторая кривая, выходящая из точки х = Ь и отстоящая на конечном рас-
стоянии от точек aj. Пусть 5 — кратчайшее расстояние от точек яудо кри-
вой / и s — длина дуги на этой кривой, отсчитываемая от точки Ь. Применяя
обычную оценку интеграла по контуру /, мы получаем следующую оценку
для коэффициентов ряда C24) на / [4]:
откуда
и вообще на /
Но степенной ряд
*=о
460 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [124
сходится при всяком z, и, следовательно, мы можем утверждать, что ряд
C24) сходится абсолютно для любых матриц Uj и при любом аналитическом
продолжении его коэффициентов [99]. Из предыдущих оценок вытекает
также, что сходимость будет и равномерной во всякой конечной области
(вообще говоря, многолистной), отстоящей от точек ду на расстоянии боль-
шем нуля. Наконец, дифференцируя ряд C24) почленно по лг, нетрудно убе-
диться, что он удовлетворяет и системе. Действительно, мы можем перепи-
сать его следующим образом, выделяя одно из суммирований:
Дифференцируя по x и принимая во внимание, что в силу определения
dLb(afi х) 1
dx х — 0/
dLb(ah, ..., a/v, a/, x) = Z»(g/t fly;, х)
dx х — af '
получим в результате дифференцирования
т со 1,..., т
dY(b; x)_^ VI Uj \ \ m
dx ш х — aj & ? Л'"
или
dY(b; х) _|
dx
т. е.
Jmi f
Наконец, непосредственно ясно, что построенное решение обращается
в единичную матрицу при лг = #, так как в силу определения коэффициенты
ряда обращаются в нуль при х = Ь. Предыдущие рассуждения приводят нас
к следующей теореме:
Теорема. Решение системы C18), которое обращается в единичную
матрицу при х — Ь, определяется рядом C24) во всей области его суще-
ствования по отношению к х и при любом выборе матриц Uj.
Если на плоскости х проведем из точек aj на бесконечность разрезы /у
так, чтобы они не пересекали друг друга, то на разрезанной таким образом
плоскости, которая будет односвязной областью, решение C24) будет одно*
значной функцией х, но на противоположных берегах разреза оно будет
иметь различные значения, а именно: в результате обхода вокруг каждой
точки aj в положительном направлении наше решение будет умножаться
слева на некоторую постоянную матрицу Vj, которую мы назвали выше ин-
124] регулярные системы 461
тсгральиой матрицей, соответствующей особой точке Я/. Выведем теперь
выражения для интегральных матриц Vj через матрицы Uff входящие в коэф-
фициенты заданной системы. В исходной точке х = Ь наше решение имеет
значение /, т. е. обращается в единичную матрицу, и, следовательно, чтобы
получить интегральную матрицу V), нам надо определить значение
нашего решения, которое получится при аналитическом продолжении вдоль
замкнутого контура /у, обходящего вокруг точки aj и возвращающегося
в точку Ь.
Это значение может быть получено непосредственно по формуле C24),
причем надо только в формулах C23) производить интегрирование по выше-
указанному замкнутому контуру /у, и при этом, конечно, полученные коэф-
фициенты не будут уже зависеть от х.
Введем для них следующие обозначения:
р, (в ; Ь) = С -?- = { 2« "Р" 1=1» C25)
ЛП' }x-ah \ 0 при }ф]х
ч
При этом мы будем иметь представление Vj в виде степенного ряда от
матриц Up абсолютно сходящегося при любом выборе этих матриц:
2 "f •••' *ti b> C27>
Теорема. Интегральные матрацы Vj суть целые функции
матриц Up определяемые рядом C27), коэффициенты которого опреде-
ляются формулами C25) и C26).
Вместо формул C26) можно доказать следующие формулы, связывающие
величины Pf для соседних значений г.
Доказательство этих формул мы приводить не будем.
Если совершим аналитическое продолжение построенного решения по
какому-либо контуру, выходящему из некоторой точки х и возвращающемуся
в эту же точку, то такой замкнутый контур в смысле аналитического про-
должения равносилен нескольким обходам вокруг точек aj в положительном
или отрицательном направлении. Следовательно, при возвращении в точку х
наше решение умножится слева на постоянную матрицу, которая представ-
ляется в виде произведения множителей Vj или Vj1. В этом смысле говорят,
что интегральные матрицы Vj образуют группу уравнения C18).
Разъясним сказанное на простом примере. На рис. 72 отмечены особые
точки аи а2 и д3 и сплошной линией указан контур аналитического продол-
жения. Пунктирные линии сводят этот контур к равносильному в отношении
аналитического продолжения контуру, состоящему из ряда обходов вокруг
точек я/, причем взято х = Ь.
462
ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[124
Первый обход относится к точке alt и в результате этого обхода мы
придем в точку Ь с решением У^У{р\ х). Последующий обход относится
к точке ait и в результате этого обхода постоянная матрица Vt останется
без изменения, а матрица Y(b; x) умножится слева на 1/8, т. е. после вто-
рого обхода мы придем в точку Ь со сле-
дующим решением ViV*Y(b\ х); и, нако-
нец, в результате третьего обхода мы
вернемся окончательно в точку Ь с реше-
нием
VtVsV^Y(b; х).
Любое решение Y(x) системы C18)
отличается от решения У (Ь; х) на постоян-
ную матрицу
b; х),
Рис. 72.
Рассмотрим теперь матрицу [Y(Ь; лг)]~\ которая является обратной
матрицей для Y(Ь\ х). Эта матрица, как мы видели раньше, удовлетворяет
системе линейных уравнений
и его интегральные матрицы будут, как
известно [122],
d[Y(b; x)]~l _
dx
: — af
[Y(b;
Применяя к этой системе уравнений метод последовательных прибли-
жений, мы получим следующее представление этой матрицы в виде степен-
ного ряда от матриц U/.
оо I, ... , т
2 uh
где коэффициенты определяются ло формулам
X
dx
f dx х— a/t
Ша*; х) = — \ = — In -г —
ь l l
X
•••» af * x)
%¦• -)=-
dx-
C29)
C30)
C31)
Разложение C29) сходится абсолютно для любых матриц Uj и при любом
аналитическом продолжении относительно переменной х. Эти результаты
получаются совершенно так же, как и выше. Принимая во внимание, что
мы видим, что матрица [Y(b\x)\~l при обходе вокруг особой точки aj помно-
жается справа на матрицу Kjl, и таким образом можно получить представ-
ление Vjl в виде степенного ряда от матриц Uit пользуясь рядом C29) и
124] РЕГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ 463
совершая аналитическое продолжение его коэффициентов по замкнутому
контуру /у, обходящему вокруг особой точки ар Это даст нам ряд вида
»у=/+ s '"s1" uh- цл(%< •••• %¦• *)> <зз2>
где коэффициенты определяются последовательно по формулам
<333->
Отмстим особо один частный случай, когда систему C18) можно про-
интегрировать в конечном виде, а именно предположим, что матрицы Uf
попарно коммутируют, т. е, для любых значков i и j имеем
Покажем, что в этом случае решение Y(Ь; х) системы может быть за-
писано в конечном виде следующим образом:
Нетрудно видеть, что написанная функция обращается в единичную
матрицу при х = Ь. Проверим, что она удовлетворяет и системе уравнений.
Дифференцируя по обычному правилу дифференцирования произведения и
принимая во внимание, что
di\F=ai) ^Тхе Ь af==\b=aj) ~х~=^а~;> ' C35)
получим
dY(b\ л:)_
dx ^Vfr-eJ ~'\b-aj_J x-aj\b-aij ~'\b-am
Раз матрица Uf коммутирует с Uu то она коммутирует и с любой функ-
цией f(Ui)y представляемой степенным рядом от ?/,-. Мы можем поэтому
написать предыдущую формулу следующим образом:
dV(b; х)
т. е. матрица C34) действительно удовлетворяет системе. Формула C34)
может быть получена из системы, если мы в этой системе совершим чисто
формально разделение переменных, не обращая внимания на то, что мы
имеем дело с матрицами, а не с численными переменными. В данном случае
464 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [125
это оказывается возможным вследствие того, что матрицы Uj попарно ком-
мутируют. Правая часть формулы C34) представляет собой просуммирован-
ный ряд C24) в предположении, что матрицы Uj попарно коммутируют. Из
формулы C34) вытекает, между прочим, что в рассматриваемом случае при
обходе точки aj матрица Y(b; x) получает слева постоянный множитель
е JUj.
Это становится ясно, если написать формулу
\b-aj)
и воспользоваться известной многозначностью логарифма.
Отметим еще, что в формуле C35) порядок множителей справа не
играет роли, так как оба множителя содержат только одну матрицу U/,
а потому коммутируют.
125. Представление решения в окрестности особой точки. Рассмот-
рим логарифмы интегральных матриц с дополнительным численным множи-
телем
00
l
<336>
Мы взяли главное значение логарифма, которое представляется степен-
ным рядом, сходящимся, если матрица Vj достаточно близка к единичной
матрице. Из формулы C27) непосредственно вытекает, что это условие
будет наверно выполнено, если матрицы Us близки к нулевой матрице, что
мы и будем пока считать. В дальнейшем мы дадим представление для Wj
при всех Us и покажем, что Wp как функция Us, будет иметь особенность
лишь в том случае, когда среди характеристических чисел Uj есть такие,
разность между которыми равна целому числу, отличному от нуля.
Подставляя в ряд вместо (Vj— /) его выражение по формуле C27) и
собирая подобные члены, получим для Wj представление в виде степенного
ряда от матрицы Us, сходящегося, если эти матрицы достаточно близки
к нулевой матрице:
^/=2 ' S m Ufl... UhQh (•„ ..., щ b), C37)
v=lA A,
Мы не останавливаемся на вычислении коэффициентов этого разложе-
ния, что может быть легко сделано при помощи непосредственной подста-
новки ряда в ряд. Рассмотрим теперь элементарную функцию
х — aA, ^
1ly ' J *-« C38)
Беря соответствующее значение логарифма, которое обращается в нуль
при x~bt мы видим, что функция C38) обращается в единичную матрицу
при х = Ь} а в результате обхода вокруг ау логарифм приобретает слагаемое
2га, и функция C38) превратится в новую функцию:
125J ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ 465
причем порядок множителей в этом выражении не играет роли, так как оба
множителя суть степенные ряды одной и той же матрицы Wj, а следова-
тельно, коммутируют друг с другом. Мы видим, таким образом, что элемен-
тарная функция C38) в результате обхода вокруг ду приобретает слева тот
же самый множитель Vj, что и наше решение Y(b\ х)> и также обращается
8 единичную матрицу при х = Ь. Мы можем, следовательно, написать
\ Y4s {Ь; х)* C39)
где YA] (b; х) есть матрица, равная единичной матрице при х — b и одно-
значная в окрестности точки x = aj. Мы покажем сейчас, что она будет не
только однозначной в окрестности точки х = Ь, но будет и регулярной в
/ W
самой точке х = Ь, т. е. что множитель \z включает в себя не
только разветвление нашего решения, но и вообще всю особенность реше-
ния в точке aj> как это было и при исследовании регулярных особых точек
уравнений второго порядка.
Имеем согласно C39)
f
fx aA/
х) =(г=Т/ Y{bl X)f C40)
откуда, дифференцируя по xt получаем
(x-aA-wf dY(b; x)
Y {l? x)+ )
l?t x)'
(
dx = — x — aj\b — aj) Y {l?t x)' + \F^a}') dx
или, пользуясь уравнениями C18) и C40),
s =
т. е. матрица Y{^ (b; x) является решением системы уравнений
т
= vlJ) (Ь; х) 7, тг-V J „ V • C41>
dx
Обращаясь к правой части формулы C40), мы видим, что оба сомножи-
теля представляются степенными рядами от матриц ?/5, и, следовательно, то
же можем сказать и об их произведении, причем если все Us равны нулю,
то Wj также равно нулю, и первый множитель слева в правой части C40)
обращается в единичную матрицу. То же можно утверждать относительно
Y(b\ x), а следовательно, и относительно Y{J} (b; x) Поэтому можно искать
YlJ} (b\ x) в виде степенного ряда следующего вида:
оо I,... ,mv
? ^ ... и,Д> (а;Ъ ..., ah\ x). C42)
h
Подставляя в уравнение C41) ряды C37) и C42) и сравнивая коэффици-
енты при произведении U/t ...U^, получим
ZP ah\ x) __
dx ~~
\/} (aj a^_y, x)
\4
«x)
466 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [123
и, в частности,
rfx a: — Qfa x — aj '
Заметим, что в написанной сумме по k второй множитель слагаемого
теряет смысл при & = v, и его надо заменить при этом единицей. В даль-
нейшем мы часто будем встречаться с аналогичными суммами, в которых
сомножители крайних слагаемых теряют смысл при принятой записи, и надо
помнить, что они заменяются при этом единицей.
Как мы уже упоминали выше, матрица У{^ (Ь\ х) должна обращаться
в единичную матрицу при х = Ь для любых матриц Ujt достаточно близких
нулю, т. е. все коэффициенты в разложении C42) должны обращаться в нуль
при х — Ъ. Принимая это во внимание и пользуясь предыдущими форму-
лами, мы можем написать следующую формулу, определяющую последова-
тельно коэффициенты в разложении C42):
(at,..., ас, х) = . .
J L * /v
ь
V
— У <?/ (л/,. • • ,вуА; ^) ДУ) (% ,... ,лУу; л:) \dx. C43)
В частности, при v=l мы имеем
C44)
S
b
Эти коэффициенты в разложении C42) должны быть однозначными
функциями в окрестности x = ajt поскольку вся сумма ряда C42) должна
быть однозначной функцией, как мы это видели выше. Отсюда непосред-
ственно следует, что в выражении C44) под знаком интеграла вычет в полюсе
х = aj должен ^обращаться в нуль, и, следовательно, функция C44) оказы-
вается регулярной в самой точке x = aj. Будем теперь дальше проводить
доказательство от (v—1) к v. Положим, что все функции
1</)(яЛ,..., а,8; х) C45)
регулярны в течке х = а;- при s<v. Докажем, что этим же свойством будут
обладать функции C45) и при s = v. Для этих функций мы имеем формулу
C43). В силу упомянутой выше регулярности функций C45) при s < v
подинтегральная функция формулы C43) может иметь в точке x = af- лишь
полюс первого порядка. Но если бы вычет в этом полюсе оказался отлич-
ным от нуля, то функция C43) оказалась бы многозначной в окрестности
точки x = afy чего не может быть. Отсюда следует, что подинтегральная
функция в формуле C43) и сам интеграл будут регулярны в точке лг = ау.
Мы не останавливаемся на более подробном определении коэффициентов
в разложении C42).
Все предыдущие рассуждения относились лишь к тому случаю, когда
матрицы Us достаточно близки к нулю. В дальнейшем мы дадим представ-
ление матрицы Wj и связанных с нею матриц, годное для любых матриц,
причем окажется, что особыми точками в таком представлении будут те
матрицы Us, среди характеристических чисел которых имеются такие, кото-
рые отличаются на целое число, отличное от нуля.
126] КАНОНИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 467
126. Канонические решения. Решение У(Ь\ х) зависит от выбора точки
Ь} в которой производится нормирование матрицы к единичной матрице.
Поэтому матрица Y(b; х) называется матрицей (решением), нормальной
в точке х*=Ь. Эта последняя точка должна быть отличной от особых точек
ар Мы не можем, очевидно, задавать начальные условия в особой точке
x = aJy но мы можем стараться построить такое решение, которое имело бы
наиболее простую форму в окрестности особой точки л: = ду, совершенно
так же, как это нами делалось при построении решения в окрестности регу-
лярной особой точки уравнения второго порядка. Мы и займемся сейчас
построением такого решения. Назовем его каноническим решением в особой
точке х = а/.
Мы можем написать
причем порядок первых двух множителей в правой части не играет роли,
поскольку оба множителя содержат только одну матрицу W/. Относя мно-
житель (b— aj)~wJK множителю Y(J] (Ь\ х)} можно написать
У (Ь\ х) = (х — aj)wJ F</> (b; лг), C46)
где _
Y<fi (b; x) = (b — a,)-wJ YW (b\ x)
есть матрица, регулярная в точке лг = ау. Если все Us равны нулю, то УЧ'{Ь\ х)
обращается в единичную матрицу, и, следовательно, определитель этой матри-
цы отличен от нуля, если Us достаточно близки к нулю. Определитель мат-
рицы(& — aj) y = e J J отличен от нуля как определитель показатель-
ной функции от матрицы [96], и, следовательно, определитель матрицы
Y{J] (Ь\ х) отличен от нуля в точке х = а/, если все Us близки к нулю, т. е.
при этом и матрица Y{J} (b; x)~l будет регулярной в точке х = ар Всякое
решение нашей системы отличается от решения У(Ь\ х) постоянным множи-
телем С (матрица слева):
У(х)==СУ(Ь; х)9 C47)
причем мы считаем, что определитель С отличен от нуля для того, чтобы
получить полное решение. Вместо формулы C47) можно написать
У(х) = С (х — а^/С-'СУЧ* (Ь\ х);
но, как мы видели в [123],
С (х — aj)wJC-1 = (л: — aj)wA
где
W^CWfirK C48)
Выберем теперь матрицу С равной
C = [K^(ft;ay)]-S C49)
так что мы будем иметь
? (b; x) = 1 при х = а^
468 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [126
При этом мы получим решение, которое обозначим через ву(лг) и кото-
рое назовем каноническим в точке х = ду. Это решение представляется
в виде
где §j(x) — матрица, регулярная в точке * = Л/ и равная единичной матрице
в этой точке. Мы покажем сейчас, что в этом каноническом решении мат-
рица Wj должна совпадать с матрицей Vy
Заметим прежде всего, что все матрицы, которые мы выше строили,
представляются степенными рядами от матриц Us> если эти последние мат-
рицы достаточно близки к нулю. При этом матрица Wj так же, как и Wj9
не должна содержать свободного члена в своем разложении, т. е. мы должны
иметь разложение вида
оо 1, ... , т
И; = 23 23 Ujr..UhJj(ahi..tiah). C50)
Дифференцируя по х формулу
мы, как и в предыдущем пункте, получим следующую систему уравнений
для элементов матрицы 6у (а:):
=1
Если все Us равны нулю, то 0у (а:) должна обращаться в постоянную мат-
рицу, причем в силу условия в точке л* = л/ это должна быть единичная
матрица, т. е. мы должны иметь разложение вида
оо 1, .... т
S 53 .ah;x). C52)
В этом разложении все коэффициенты должны быть регулярными
в точке aj и должны обращаться в нуль в этой точке, поскольку вся сумма
ряда должна при любых Us обращаться в точке x = aj в единичную мат-
рицу. Подставляя разложения C50) и C52) в уравнение C51), мы, как и
выше, придем к следующему равенству:
и, в частности,
ai
126] КАНОНИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 469Л
Последнее равенство в силу регулярности левой части показывает, что
Л=Л C54),
лгу l '
О пр
Напишем равенство C53) при v = 2:
X
N](aji> aj2* ¦*)== \ \— \Ji(e/i) N(л/а; х) -f- Jj(fly-j, aj2)]> dx.
aJ
По условию мы должны иметь N/ (a/5; aj) = 0, и, следовательно, первое
слагаемое под знаком интеграла не имеет полярности в точке x = aj. Отсюда
вытекает, что и второе слагаемое не должно иметь полярности в этой точке,
н из этого обстоятельства непосредственно следует, что квадратная скобка
должна обращаться в нуль при лг = ау и, следовательно, все коэффициенты
Jj(aji} aj2) должны быть равны нулю. Совершенно так же, написав равен-
ство C13) при v = 3, мы убедимся, что все коэффициенты Jj(ajlt aj2t а/Л
должны быть равны нулю и т. д. Так что действительно разложение C50)
в силу C54) приводится к простому равенству Wj=Ujt и мы имеем сле-
дующее представление для решения, канонического в точке х = ар
Ь, (х) = (х — af)ufbj (x). C55)
Формула C53) дает возможность последовательного определения коэф-
фициентов в разложении C52). Принимая во внимание, что
при 7i=7>
при 7i
получим
">(e'':*>=lt^-^b
где Ьрд = 1 при р = q и Ьрд = 0 при р ф q%
При обходе вокруг точки йу решение C55) приобретает слева множи-
тель e2ntUJ. Всякое другое решение, как мы знаем, будет иметь интеграль-
ную матрицу, подобную e2*tUJ, т. е. при обходе вокруг особой тонки aj
любое решение системы приобретает слева множитель, который пред-
ставляет собой матрицу, подобную матрице- e2%lUJ.
Вернемся к формуле C55). Второй множитель, как мы указали, регу-
лярен в точке л: = в/. Обратная матрица
М-*)
будет также, очевидно, регулярной в точке лг = л/, так как определитель
матрицы ву(л:) равен единице в точке x = aj. Вообще, если некоторое реше-
ние У(х) может быть представлено в окрестности точки aj в виде
470 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [127
где матрица Y(x) регулярна в точке uj и ее определитель отличен там от
нуля, то матрица W'j называется показательной матрицей взятого решения.
Можно доказать, что такая матрица определяется по заданному решению
единственным образом, если Us близки к нулю. В частности, для канони-
ческого в точке aj решения это будет сама матрица Uf, и вообще для вся-
кого решения она будет подобна матрице Uj
Замечание. Во всех предыдущих рассуждениях мы пользовались по
существу тем, что представление некоторой функции от матриц в виде сте-
пенного ряда этих матриц единственно. Эта теорема единственности лежит
в основе метода сравнения коэффициентов, который мы применяли, под-
ставляя ряд с неизвестными коэффициентами в обе части уравнения и срав-
нивая коэффициенты при одинаковых членах. На той же теореме един-
ственности основано, например, утверждение, что если сумма степенного
ряда от матриц Us есть однозначная функция от х вблизи х = a-t то и все
коэффициенты этого ряда должны быть однозначны.
Как мы упоминали раньше [97], теорема единственности верна, если
суммы степенных рядов совпадают для матриц любого порядка. Во всех
наших рассуждениях порядок матриц не играл никакой роли, а потому, со-
гласно только что сказанному, мы и имели право пользоваться теоремой
единственности.
127. Связь с регулярными решениями типа Фукса. Вернемся к рас-
смотрению канонического решения в особой точке х = ал
Для отчетливости будем считать, что порядок матриц п = 2, т. е. что
имеется система двух уравнений с двумя искомыми функциями. Пусть Sj —
матрица, приводящая Uj к диагональной форме:
или
Рассмотрим интегральную матрицу
Z/ (х) = Sfif (х) = (х -
где ~Zj (x) = Sfy (x) регулярна в точке x = aj. Обозначим ^$(х) элементы
этой последней матрицы:
«где Z^(x)—функции, регулярные при лг = Л/. Принимая во внимание, что
злы будем иметь
^л ay; z-u ^л; ^л a/; z,18 ^л; у
^л ay; ^lt \к) ух — ai) l%% \x) ¦
128] СЛУЧАЙ ЛЮБЫХ U» 471
Каждая строка этой матрицы содержит решение написанной системы [122].
Мы имеем, таким образом, два решения системы, имеющих такой же вид,.
как и решения одного регулярного уравнения в теореме Фукса [101]:
Уп (х) = (х - a/'Ztf (х); У1Ш (х) = (х - ay)"Ztf (x).
Ушх (х) = (* - */)"Ztf (л:); К22 (х) = (дг - ny)P«Z^ (*).
В этих формулах первый значок У (х) дает номер решения, а второй —
номер функции. Заметим еще, что из определения Zf(x) и ву(ву) = 1 следует,,
что
где Sj есть матрица с определителем, отличным от нуля. Число zfy (aj) есть
очевидно, свободный член в разложении ZJQ (х) в ряд Тейлора по степеням
<x aj).
Числа р! и р2, которые в [101] являлись корнями определяющего урав-
нения, в настоящем случае определяются из характеристического уравнения
матрицы Uj. В работах И. А. Лаппо-Данилевского интегральная матрица Qj(x)
называется не канонической, а метаканонической в особой точке х = а^
При такой терминологии матрицу Zj(x) можно назвать канонической в точке
* = aj.
128. Случай любых Us* Формула C37) из [125] дает нам представление
показательной подстановки Wj интегральной матрицы У(Ь; х) в виде сте-
пенного ряда по USy сходящегося лишь в том случае, когда Us близки,
к нулевой матрице. Точно так же формула C52) из [126] дает аналогичное
представление для регулярного множителя канонической матрицы bj(x). Мы
переходим теперь к вопросу о представлении этих матриц при любых Us~
По определению для Us, близких к нулевой матрице, мы имеем [125]
00
*/= -ягIn v'=ts
Обозначим через р„ р2, ... , р„ характеристические числа матрицы []^
Как мы видели [126], матрица Vj подобна матрице e2nlUj, и, следовательно^
характеристические числа матрицы Vj будут
Считая i\k различными и пользуясь формулой Сильвестра, можем написать
(K/~4i)-(K/-i*-i)(K/-^+i)-(K/-^) ln
(yik — 'rli)--('f\k — 'rlk-i)('r\k — Tlk+i)'--(y\k — Tln)
В дальнейшем для отчетливости ограничимся случаем п = 2. Подставляяг
выражение т\ь через pfe, получим
ИЛИ
472 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [128
Если р! = р8, то эта формула превращается в следующую:
^Vf- (ЗЭТ)
Выше мы имели представление Vj в виде степенного ряда по Us для лю-
бых Us. Тем самым предыдущая формула C56) дает нам выражение для Wj при
любых Us. Эта формула теряет смысл, если рх и р2 отличаются на целое чис-
ло, отличное от нуля, так как при этом знаменатель в правой части C56)
обратится в нуль, а числители будут отличны от нуля. Таким образом, для Wj,
как функиии от Us, особыми будут те матрицы Uj, характеристические числа
которых отличаются на целое число, отличное от нуля. В отношении осталь-
ных матриц Us функция Wj никаких особенностей не имеет. Наличие ука-
занных особенностей и является причиною того, что ряд C37) сходится
лишь в том случае, когда Us близки к нулевой матрице.
Наметим, каким образом можно, используя ряд C37), получить Wj
в виде частного двух степенных рядов, сходящихся для любых Us. Составим
численную функцию от Uj, т. е. такую функцию, которая при заданном Uj
имеет определенное численное значение:
e2:ine2Ki9l *"(*-*> . C58)
*(p Р)
^MPi —Pa) MPi — Рг)
Мы можем представить ее в виде степенного ряда, сходящегося при
любых р! и рг:
00
/ nv
jbrnr^v(Pi-P2Jv. C59)
Обозначая через {Uj}Pq "элементы матрицы Uj, мы можем написать то
квадратное уравнение, которому удовлетворяют pt и р8:
I l^/j8l {^/} 22 P
Далее мы имеем
(Pi — P2J = (Pi + P2J — 4pip9
и, принимая во внимание свойство суммы и произведения корней квадрат-
ного уравнения, получим выражение (pt — р8)* через элементы матрицы Uf.
(Pi ~ P2J = ({^н + {USUY - 4 (Щ\п {Uj}tt - {Uj\l2
Подставляя это в C59), получим выражение A (Uj) через элементы
матрицы Uf.
причем этот ряд сходится при любом выборе Uj, т. е. есть целая функция
элементов матрицы Uj.
Обозначим для краткости через &v (Uj) слагаемые написанной суммы:
оэ
128] случай любых и* 47$
причем Ьо (Uj) = 1 и Ъу (Uj) при v > О есть однородный полином степени v от
элементов Uj. Из формул C56) и C58) следует, что элементы произведения
b(Uj)Wj суть целые функции элементов Uj и, вообще, целые функции
элементов всех матриц Us. Такая целая функция может быть разложена не-
однородным полиномам от элементов Us [84]. Принимая во внимание разло-
жения C37) и C60), можем написать разложение по этим однородным поли-
номам:
js J
Написанный ряд сходится уже для любых Us. Таким образом, мы полу-
чаем представление Wj в виде частного двух целых функций от элемен-
тов Us:
23 "Ч )
J L C6i>
Заметим, что ряд, стоящий в знаменателе, есть ряд с численными чле-
нами, зависящими только от элементов матрицы Uj. Рассуждая совершенно»
так же, как и выше, мы можем показать, что произведения
суть целые функции элементов Us. Из формулы C46) следует, что
А Щ [V{j) (Ь; л:)] = [Y(b; л:)] A (Uj) (x-aj)WK
Матрицы У(Ь\ х) и У(Ь; л:), как мы знаем, суть целые функции
матриц Us, и, следовательно, произведение A (Uj) [У1** (Ь\ х)] есть целая функ-
ция элементов 0$. Каноническая матрица 0у (л:) имеет представление вида [126]
и, следовательно, A (Uj) bj(x) есть целая функция элементов Us. To же можно
утверждать и о произведении
A (Uj) 0/ (х) = (х- а;)-и)Ь (Uj) ву (х),
поскольку (х — a)" i есть целая функция Uj. Пользуясь разложением C52),
мы можем представить и каноническую матрицу 6у (лг) в виде частного двух
целых функций элементов Us:
<*-«/' 2! 2 ("Ёт Uh-UJsb^(Uj)Nj(Oji ... aJs; x)
^Qf-oU JsI
C62)
Заметим, что во всех предыдущих формулах число А (Щ коммутирует
с любой матрицей. В рядах, стоящих в числителях формул C61) и C62),
474 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [129
члены суть матрицы, зависящие от элементов Us как через посредство мно-
¦жителей ?/у, так и через посредство численного множителя &v_s {Uj).
Формулы C52) и C62) дают нам представление канонической матрицы
в виде степенного ряда или частного степенных рядов, расположенных по
элементам матриц Us. При этом коэффициенты Nj(ajt... a^t х) зависят от л:.
Можно, наоборот, строить 6у(лг) в виде ряда Тэйлора по степеням (х— aj).
Коэффициенты этого ряда окажутся зависящими от элементов Us. Этот ряд
будет сходящимся в круге | х — aj\<R, не содержащем других особых
точек, кроме x = aj.
Для 0/ (а:) мы имели уравнение C51), причем, как мы показали, Wj=U.
т. е.
dx
У и* .WjW
La x — as x — aj
Подставляя в это уравнение
б/ (х) = 1 + fj Af (x - af)P, C63)
где Ар —искомые матрицы, не зависящие от х, и приравнивая коэффи-
циенты при одинаковых степенях (х — ду), получим уравнения для последо-
вательного определения матриц Ар •
+РЛ? -AfU,- - ^ t^latU (P- 1. 2. •••). C64)
С подобными системами мы уже встречались в [123]. Мы не останавли-
ваемся на решении уравнений C64) и доказательстве сходимости ряда C63).
Здесь применим тот же метод доказательства, которым мы пользовались
в [101]. Отметим лишь, что произведение A (U) А^р есть целая функция
элементов матриц 6^.
129, Формальные разложения в окрестности иррегулярной особой
точки. Мы рассмотрим для случая систем вопрос о построении формальных
разложений решений в окрестности иррегулярной особой точки простейшего
типа. Мы будем считать, что иррегулярная точка есть z = oo. Аналогичный во-
прос для одного уравнения второго порядка был рассмотрен нами в {116].
Пользуясь матричной формой записи, напишем систему в виде
-^ = КD0 + Atz~* + Ащг: + ...), C65)
где Ak — заданные матрицы порядка п. Положим, что ряд, стоящий в пра-
вой части, сходится в области J z \ > г. Предположим, что характеристиче-
ские числа X/ матрицы Ло различны. Переходя от К к подобной матрице
SYS [123], мы можем выбрать неособую матрицу так, чтобы Ао имела
диагональный вид. Будем считать, что это имеет место в уравнении C65):
д0 = [Хх, Х3, ... , кп].
Решение уравнения C65) будем искать в виде
К = еВгг° (Ро + Р^ + P2z~* + ...), C66)
где В и Z> —диагональные матрицы.
129] разложения в окрестности иррегулярной особой точки 475
Из C66) следует
00 00
^ = (BeBzzD+eB*DzD-J) ^ Pkz~k-eBzzD^ Pkkz~»-\ C67)
и, подставляя -т- в C65), получаем следующее тождество для нахождения
матриц By D и Pk (из которых первые две, по условию, диагональные матрицы):.
(B + Dz-*) |j Pkz-*- fj Pkkz-b-i- |j PkZ-k. |j л^-л = 0. C68)
Л = 0 *=1 k=0 k=0
Собирая члены, не содержащие zt получим
ВР0 — РОАО = О C69)
ы в качестве решения этого уравнения берем
Ро = /, Я = Л0. C70)
Для дальнейших вычислений полезно сделать некоторые общие замеча-
ния. Пусть А—диагональная матрица и F—любая. Нетрудно проверить, что
разность AF—FA есть матрица с нулевой главной диагональю, т. е.
{AF—FA}ji = Q (« = 1, 2, ..., п). Отметим еще, что если А—диагональная
матрица и G—матрица с нулевой главной диагональю, то и матрицы АО
и GA — с нулевой главной диагональю.
Возвращаемся к уравнению C68). Собирая члены с z~l и принимая во
внимание C70), получим
A0Pl — P1A0 = Al — D. C71)
, сле-
твами
C72)
Матрица левой части есть матрица с нулевой главной диагональю, и, сле-
довательно, элементы диагональной матрицы D определяются равенствами
Недиагональные элементы Ах определяются, в силу C71), равенствами
{Р\}ij — •} __i~ • C73)
Диагональные элементы {Р^ц пока не определены. Собирая члены при z~8>
получим
Л Р Р Л —~~- 7")Р I p _L P Л _L A
/Iqi 2 г 2** 0 ~~" LJ ж 1 ~у" ж i "у" i 1«* 1 ™i «»2*
Положим Pkz=Pk-\-Dk (k =1,2), где Р^ — часть Pfe с нулевой главной
диагональю и ?>^—диагональная матрица. Приходим к равенству
А0Р2 - РаЛо = (~ DP, + Рг + PtA, + At) + D, (A, -D) + Dt. C74)
При преобразованиях, приведших к этому равенству, мы воспользовались
коммутативностью произведения диагональных матриц. В правой части пер-
вое слагаемое известно, а второе, в силу C71), есть матрица с нулевой
главной диагональю, и такой же является левая часть равенства. Отсюда
следует, что равенство C74) дает возможность определить Dx и Р?. Дальше
рассуждаем по индукции. Пусть определены Р1% Р21 ..., Pk^2 и Pk-v Соби-
раем в равенстве C68) члены при z~k (k > 2) и полагаем, как и выше*
476 ГЛ. V. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ J129
pkz=zPk-\- Dft. Нам надо показать, что полученное равенство дает возмож-
ность определить Dk-i и Рд. Оно имеет вид
A0Pk — PkAо = — DPk_t + (k — 1) Pk-i +
или, после подстановки Рл_? = Pk-i + #*-i и перестановки DDk_i = Db-\
i) + ?>*-i Mi — D) + (Л — 1) D*_,.
В круглых скобках стоят известные матрицы, D^_t (At — D) есть матрица
с нулевой главной диагональю, и совершенно так же, как и в случае к = 2,
последнее равенство дает возможность определить Dk-i и Р^. Таким обра-
зом, доказано, что при выборе решений уравнения C69) в виде C70) можно
однозначно построить формальное решение уравнения C65) в виде
У (z) = eA°zzD (/ + PiZ~l + P8*~2 + • • •) C75)
при условии, что Ао в уравнении C65) есть диагональная матрица с раз-
личными характеристическими числами. Матрица D есть диагональная мат-
рица, определяемая формулой C72).
Выше в [117] мы доказали, что всякому формальному решению урав-
¦нения A93) соответствует и некоторое действительное решение этого урав-
нения, для которого это формальное решение является асимптотическим
в некотором секторе. Аналогичное утверждение имеет место и для системы C65)
яри сделанных предположениях. Мы только сформулируем соответствующий
результат.
Пусть Х^ и bi (*= 1, 2, ... , п) — диагональные элементы диагональных
матриц Ао и D- Каждая строка матрицы Y(t), определяемой формулой C75),
имеет вид
^/^+1м) (Л =1,2 п)9 C76)
где / — фиксированный номер строки, к-— номер столбца У(z), cffl =x {Pm}ik,
й;Л = 0 при хфк и Ъц= 1.
Обозначим, далее, через Si сектор «j еЗ arg 2 ^ & такой, что все направ-
ления arg я = 0, определяемые равенством cos [arg (Xt« — Ху) + 0] = О,
находятся вне st\ При этом в секторе $i при достаточно больших значе-
ниях | г ^существует такое решение^ (г) (уп (г), угг (г;),..., Ут(г)) системы, что
Доказательство этой теоремы имеется в книге: Э. А. Коддингтон и
Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, 1958.
Там же рассмотрен более общий случай систем вида
-j- я= гг (Ао + A tz~l -j- А^г~г + •••),
где г — целое положительное число, а также случай, когда Л„ имеет крат-
ные характеристические числа.
При доказательстве сформулированного выше результата существенную
роль играет применение метода последовательных приближений.
Метод последовательных приближений для линейных систем, приводящий
к равномерной сходимости на бесконечном промежутке, содержится в заметке
В. В. Хорошилова (ДАН СССР, 1949) и в раббте*: Н. П. Е р у г и н,
Приводимые системы, 1946, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова.
ГЛАВА VI
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
130. Определение сферических функций. В настоящей главе
мы будем изучать некоторые специальные классы функций, которые
встречаются при интегрировании уравнений математической физики.
Все эти функции определяются обычно как решения некоторых ли-
нейных уравнений с переменными коэффициентами. В частности, в
задаче колебания струны мы встретились с тригонометрическими
функциями и в задаче колебания круглой мембраны — с бесселевыми
функциями.
Мы начнем с изучения так называемых сферических функций,
которые тесно связаны с уравнением Лапласа. Об этом уравнении мы
уже много говорили раньше. В декартовых координатах оно имеет
вид
дх% * ду* ' дг* ' ^ '
Будем искать такие решения этого уравнения, которые имеют вид
однородных полиномов переменных х, у и z.
Начнем с разбора простейших частных случаев. Единственный
однородный полином нулевой степени есть произвольная постоянная а,
которая, очевидно, удовлетворяет уравнению A). Общий вид одно-
родных полиномов первой степени будет
Ui = ах -\- by -f- cz.
Такой полином также удовлетворяет уравнению A) при любом
выборе постоянных коэффициентов а, Ь и с. Иначе говоря, мы имеем
здесь три линейно независимых решения уравнения A), а именно х,
у и z, и их линейная комбинация с произвольными постоянными
коэффициентами дает общее решение уравнения A), имеющее вид
однородного полинома первой степени. Рассмотрим однородные по-
линомы второй степени
Ui = ax* -j- by* -J- cz* -J- dxy + eyz -\-fzx.
478 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 130f
Подставляя U% в уравнение A), мы получим одно соотношение
для коэффициентов, а именно: а-\-Ь-\-с = 0. Мы можем, например,
считать с = — а — Ь, и, следовательно, общий вид однородных поли-
номов второй степени, удовлетворяющих уравнению A), будет
(J2 = a(x2 — г*)-\-Ь(у* — z*)-\-dxy-\-eyz-\-fzx.
Здесь мы имеем пять линейно-независимых решений уравнения,
а именно Jt2—z2, у1—z2, ху> yz и zx, и линейная комбинация таких
решений с произвольными постоянными коэффициентами дает общее
решение уравнения, изображаемое однородным полиномом второй
степени.
Возьмем однородный полином третьей степени
Цг = ax3-f by*-}-czd + dx*y + ex*z -\-fy*
Подставляя ?/3 в уравнение A), получим
Приравнивая нулю коэффициенты при х, у, z, будем иметь три
уравнения, связывающих коэффициенты:
0 a = -l (f+h).
или
так что общий вид решений уравнения A), имеющих форму одно-
родных полиномов третьей степени, будет
В данном случае мы будем иметь семь линейно-независимых ре-
шений уравнения.
Покажем теперь, что в общем случае существует B/г —|— 1) ли-
нейно независимых однородных полиномов степени п, удовлетво-
ряющих уравнению A). Займемся подсчетом числа коэффициентов
в однородном полиноме и числа уравнений, которым они должны
удовлетворять. Однородный полином степени п с двумя переменными
содержит (п -f-1) коэффициентов. Однородный полином степени п
с тремя переменными может быть записан в виде
a,zn + ?1 (х} у) zn~l +... + ср,^ (х, у)г + Чя (х, у)} B)
130] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 479
где ®k(x> У) — однородные полиномы степени k. Следовательно, общее
число коэффициентов в однородном полиноме B) будет
При подстановке полинома B) в левую часть уравнения A) по-
лучится однородный полином степени {п — 2), содержащий всего
2 членов. Таким образом, ^п "*~ '^п ¦ коэффициентов поли-
нома B) будут связаны ^— однородными уравнениями. Если
эти уравнения независимы, то число коэффициентов, остающихся про-
извольными, будет
(п+\)(п
(п-\)п _р ( «
2 — М~Г1>
что мы и хотели доказать. Но при этом все же остается невыяснен-
ным, будут ли упомянутые выше уравнения действительно незави-
симыми. Мы дадим поэтому другое полное доказательство высказан-
ного предложения. Полином B) мы можем записать в следующей
форме:
где, очевидно,
apqr — p\q\r\
Уравнение A) можно переписать в виде
дЧ/__дЧ/_дЧ/
дг*~ дх* df
Пользуясь этим уравнением, мы можем в выражениях C) исклю-
чить дифференцирование по переменной z выше первого порядка;
например, мы можем написать
дх ду дг* ~ дх ду дг2 \дх* ' ду2) ~ дх* ду \дх* » ду2)"+"
\дх*"+" ау;~ал:б^"+" ал:3aj/ •"ал:а^
Таким образом, останутся произвольными лишь те коэффициенты
ардп в которых или вовсе нет дифференцирования по г, или где это
дифференцирование производится один раз. Это будут коэффициенты:
ардо(Р + Я = п) или аРд1(р-\-<1=г=п— 1), и их общее число равно
как раз BЯ-1-1), что мы и хотели доказать.
480 гл. vi. специальные функции |131
131. Явные выражения сферических функций. Мы установим
теперь явные выражения для тех однородных полиномов, о которых
мы говорили в предыдущем параграфе. Введем сферические коор-
динаты
х = г sin 6 cos 9, У = т sin в sin <p, z = rcosQ. D)
При этом однородный гармонический полином степени п представится
в виде
Un(x,y9z)=r*Yn(b,<t). E)
Такой полином, являющийся решением уравнения A), называется
обычно объемной сферической функцией, а множитель У„@, <р), ко-
торый будет, очевидно, полиномом от cos б, sin 0, cos cp и sin <p, на-
зывается поверхностной сферической функцией, или просто сфери-
ческой функцией порядка п. Нашей задачей и является нахождение
B#-|-1) линейно независимых сферических функций.
Предварительно отметим один простой факт, связанный с реше-
нием уравнения A). Напишем следующий интеграл, зависящий от
параметров х9 у и z:
*
U(x,y,z) = \ /(*+ ixcos t-\-iy tint, t)dt9 F)
причем мы предполагаем, что написанный интеграл можно дифферен-
цировать под знаком интеграла по х, у и z. Произведя дифферен-
цирование, мы убедимся без труда, что функция U(x,y> z) удовле-
творяет уравнению A) при любом выборе функции /(т, t)} лишь бы
было законно указанное дифференцирование.' Действительно,
y,z)= \ (l — cos*t — sm*t)f(z-\-ixcost-\-iysmt, t)dt}
где через f (т, t) мы обозначили вторую производную от /(т, f) по
первому аргументу. Отметим, что этот аргумент является комплекс-
ной величиной. Теперь уже нетрудно, пользуясь формулой F), по-
строить B/*4-!) однородных полиномов степени л, удовлетворяющих
уравнению A).
Напишем их в следующем виде:
(z + ix cos t + iy sin t)n cos mt dt (m = 0, 1,2,..., n\ G)
\ (г + to cos f 4-(y sin 0"sin/w* <ft (//*= 1, 2,..., n). (8)
131] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 481
Вводя сферические координаты, получим, пользуясь интегралом
G), следующие выражения для сферических функций:
тс
$ [cos0 + /sin0 cos (* —<р)]я cos mtdt =
— тс
ТС — С?
= § (cos 8 -j- i sin 8 cos ф)л cos m (cp -f- ф) йф.
— тс — <o
Принимая во внимание, что подинтегральная функция имеет период
2тг по ф, можем брать любой промежуток интегрирования длины
2тг [Н, 142]. Таким образом, последний интеграл переписывается
в виде
Раскрывая cos tn (ср -[- ф) и принимая во внимание нечетность функции
sin /яф, можем переписать эту сферическую функцию в виде
те
cos /гсср ^ (cosS-j-ZsinSa^ycos/^flfy (/# = 0,1, 2,...,/г). (9)
Совершенно так же интеграл (8) приведет нас к следующим п сфе-
рическим функциям:
тс
sin/wcp $ (cos0-f-/sin8cosф)лcos/яфйф (/я= 1, 2,..., п). A0)
— тс
Линейная независимость всех Bя-|-1) функций (9) и A0) непо-
средственно следует из того, что зависимость этих функций от ср
содержится в множителях cos //zcp и sin #zcp и что не может сущест-
вовать линейной зависимости между этими последними функциями,
поскольку они ортогональны между собой на промежутке (— тс, тг)
[II, 142]. Таким образом, мы построили всеBя-|-1) сферических
функций порядка /г. Коэффициенты при cos /#cp и sin /яср в выраже-
ниях (9) и A0) суть одни и те же функции от 0. Мы их выразим
через полиномы Лежандра.
Мы имели следующие выражения для полиномов Лежандра [105]:
Введем еще функции Рпт (х), которые выражаются через полиномы
Лежандра следующим образом:
Р„ W-d -^Sgrffl-^-^^-in A2)
482 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [131
т
При нечетном т множитель A—х2J определен лишь с точ-
ностью до знака. В дальнейшем мы будем рассматривать х из про-
межутка — 1 ^ х ^ 1 и будем полагать х = cos б, где 0 ^ б =sc: тс.
При этом мы будем считать для определенности в выражении Pntm(cosb)
т
множитель A—cos2ОJ равным sinmG, т. е. неотрицательным, ибо
О < б < тс.
Введем теперь другие выражения для Рп(х) и Рп>т(х). Согласно
формуле Коши можем написать
г — х
где С—любой замкнутый контур, внутри которого находится точка
z = x, причем этот контур обходится против часовой стрелки.
Отсюда в силу A1) получаем
yzX^)ndz. A3)
Возьмем в качестве контура С окружность с центром z = x и ра-
\_
диусом \х*—1|2 (считается, что хф±\). При этом переменная
интегрирования z запишется в виде
где выбор значения (х2—IJ безразличен, и можно считать, что ф
меняется от —тг до тс. Совершая в интеграле A3) замену перемен-
ных, получим
1 1 \п
\ 2 Л/(
[л:— 1 + U'8— \Jе**] [х + 1 + (х2 — 1) V*]
1
= 2я
Производя элементарные вычисления и принимая во внимание чет-
ность подинтегральной функции, получим
1
'а — 1Jcosф]"<%
1311 § t. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 483
1
Если мы в правой части разложим [л:-[-(.г2—lJcos ty\n по фор-
муле бинома Ньютона, то, принимая во внимание, что интеграл от
нечетной степени cos ф по промежутку (—тс, тс) равен пулю, мы
видим, что все члены с нечетными степенями (х2—IJ в правой
части пропадут.
Проведем аналогичные вычисления для Рпт (х). Вместо A3)
имеем
т
(z x)n+m+l
'
Будем для определенности считать, что —1<^х<^\. Совершая
прежнюю замену переменных и считая в формуле г = х-\-(х*— \Jе1^
выражение (л:2—IJ положительно мнимым, т. е. вида pi, где
получим
РП:т (х)= /
или, принимая во внимание нечетность sin/тгф,
= i
Если мы в интеграле A4) или A5) положим л; = cos 8, то получим
интегралы, входящие в формулы (9) и A0). Принимая во внимание,
что постоянный множитель при гармоническом полиноме или сфери-
ческой функции не играет роли, мы приходим к следующему заклю-
чению: Bп-\-1) сферических функций порядка п могут быть
написаны в виде
Pn(cos 9), Pntfn(cos 9) cos wcp, Prt,m(cos 9)sin /rccp A6)
(/ю = 1, 2,..., n\
где Рп(х) суть полиномы Лежандра, определяемые формулой A1),
и Рп>т(х) определяются по формулам A2). Напомним, что множи-
тель A—л:2J при подстановке л; = cos 9 считается равным einm9.
Умножая решения A6) на произвольные постоянные и складывая,
получим общий вид сферической функции порядка п:
п
Yn(в, ср)а 00Р„(С08 9) + 2 (а« C0S m'f + ** Sin m<?> Рп,т (COS в> A7)
484 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [132
Вместо тригонометрических функций мы можем, составляя линей-
ные комбинации решений A6), брать показательные функции, так
что вместо набора сферических функций A6) порядка п мы можем
взять следующий набор сферических функций порядка п:
Pn,m(cosd)eim*, Pntm(cosB)e-im* (/*=1, 2,..., п). A8)
Согласно построению общий вид однородных полиномов степени
п от переменных (х, у, z), удовлетворяющих уравнению Лапласа,
будет гпУп(д, ср), где Кл@, ср) определяется формулой A7).
132. Свойство ортогональности. Докажем теперь ортогональ-
ность сферических функций A6) на единичной сфере и вычислим
интеграл от квадрата этих функций по единичной сфере. Предва-
рительно займемся вычислением интегралов
1
1
Мы имеем согласно определению этих функций
причем при т = О получаем интеграл от квадрата полинома Лежандра
Мы выше показали [I05J, что
1
k=\[Pn(x)]4x = ^fl. A9)
В конце настоящего номера мы приведем еще раз доказательство
этой формулы, а пока приступим к вычислению интеграла 1т поль-
зуясь формулой A9).
Производя интегрирование по частям, можно написать
— п J
dxm~l
АГ=-1
- l
или
a(x) dV ton
dxm
132] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 485
Но функция
_dm-lPn (х) _ J_ dn+m-l(x*—[)n
Z— dxm~l ~2nn\ dxn+m~l
как нетрудно проверить, пользуясь уравнением (84) из [1051, удовле-
творяет уравнению
Умножая на A—л:а)т, можно переписать его в виде
Подставляя в формулу B0), будем иметь
-1
ИЛИ
1т = {п + т) (п — т-\-1) ]т_х.
Понижая число т постепенно на единицу, получим
Откуда в силу A9) будем иметь следующее окончательное выра-
жение для интегралов от квадратов функций Рп>т(х):
Полученные результаты дадут возможность вычислить интеграл
от квадрата сферических функций. Сферические функции Ул(б, ср)
можно считать определенными на поверхности сферы единичного
радиуса; 0 и ср являются обычными географическими координатами
точек этой поверхности, причем ср = const суть меридианы и б = const
суть параллели. При таком выборе координатных линий элемент
площади поверхности выражается, как известно, следующей формулой
[II, 59]:
rfa = sin 6 rf6 rfcp. B2)
Докажем прежде всего, что две различные сферические функции
Yp @, ср) и Yq @, ср) различных порядков, т. е. при р ф q> будут орто-
гональными на поверхности s единичной сферы, т. е.
486 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [132
Пусть v — объем, ограниченный этой сферой, и s — поверхность
этой сферы. Применим к гармоническим функциям
p p g g0t9) B4)
формулу Грина [II, 193]
причем р Ц7
В данном случае дифференцирование по нормали совпадает с диф-
ференцированием по радиусу г, так что последняя формула в силу
B4) дает нам
$$ [Я УР № ?) Уд F, 9)-pYq (9, ср) Yp (б, ср)] da = О,
откуда и вытекает непосредственно формула B3).
Покажем, что сферические функции A6), соответствующие одному
и тому же значению я, также будут взаимно ортогональными. Дей-
ствительно, интегрирование по единичной сфере сводится, между
пррчим, к интегрированию по ср в промежутке @, 2тс). Но функции
A6) содержат следующие множители, зависящие от ср:
1, coscp, sincp, cos2cp, sin 2cp, ..., cos яср, sin/кр,
и произведение любых двух из этих 'множителей, проинтегрирован-
ное в промежутке @, 2тс), дает нуль [II, 142]. Точно так же можно
проверить, что функции A8) также образуют ортогональную систему.
Вычислим, наконец, интеграл от квадрата каждой из построенных
нами функций. Возьмем сначала сферическую функцию Pw(cos6), не
зависящую от ср, и составим интеграл от ее квадрата по поверхности
единичной сферы:
тс 2*
\\ РД(cosв)sin9rfQrfcp.
о о
Вводя новую переменную интегрирования x = cos9 и принимая
во внимание формулу A9), будем иметь
тс 2тс 1
^Pi(cose)sin8de*p = 2* J Р«(*) dx = j^py'
Точно так же для других функций
т. 2т. 1
S \[Pn,m(™sb)]*sin*m<tsinUQd<t = T: J
0 0 ----- _j
132] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 487
Отсюда, принимая во внимание B1), будем иметь окончательно
B5)
) ) [Рп,т (cos в) sin /ncp]- da =
^L-J..
В дальнейшем эти формулы мы используем при решении задачи
о разложении произвольной функции, заданной на поверхности сферы,
по сферическим функциям.
Приведем доказательство формулы A9). Пользуясь определе-
нием A1) полиномов Лежандра, можем написать
"{x* — \)n dn(x2—\)n .
dxn
dxn
Интегрируя по частям, получим
dxn~l
dxn
dxn+l
dxn~
Полином (a:2—l)n имеет корни x = ±l кратности п. Его про-
изводная порядка (п— 1) имеет эти же корни первой кратности [I, 186],
и, следовательно, внеинтегральный член в написанном уравнении равен
нулю. Продолжая таким образом интегрировать по частям и дальше,
получим
/ пп
= 2
-1
Но
и, следовательно,
488 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [133
Вводя новую переменную интегрирования у по формуле х — cos <p,
получим
о
и, пользуясь формулой B8) из [I, 100], получаем формулу A9).
133. Полиномы Лежандра. Мы изучим сейчас более подробно
полиномы Лежандра. Заметим прежде всего, что если воспользоваться
определением A1) и применить формулу Лейбница для производной
порядка п от произведения (х2—\)п = (х-\-\)п{х—1)я, то получим
Принимая во внимание, что
d"(x—\)n . dk
^.|^|==0 при k<n,
получим непосредственно из предыдущей формулы
Рп(\)=\. B6)
Мы переходим сейчас к особому методу — методу производящей
функции — для изучения дальнейших свойств полиномов Лежандра.
В дальнейшем мы будем пользоваться этим методом и при изучении
других специальных функций.
Поместим в северном полюсе N единичной сферы положительный
заряд (-(-1), и пусть М — переменная точка, имеющая сферические
координаты г, 0 и ср. Кулоново поле упомянутого заряда будет иметь
в точке М следующий потенциал:
где d есть расстояние от заряда до переменной точки М.
Функция B7) будет регулярной функцией переменной г в точке
г = 0, и мы можем разложить ее по целым положительным степеням г:
i + ..., B8)
133] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 489
причем коэффициенты разложения будут полиномами от cosG. Мы
могли бы точно подсчитать эти коэффициенты, применяя к функции
i = [l+(ra-2rcos9)f"?
формулу бинома Ньютона и собирая затем члены, содержащие оди-
наковые степени г. Мы будем поступать несколько иначе.
Функцию B7) мы можем выразить через декартовы координаты
1 f T. B9)
Мы получим ряд B8), если применим к функции B9) формулу
Ньютона и затем в полученном бесконечном ряде соберем члены
одинакового измерения относительно х, у и zy т. е. члены ряда B8)
суть однородные полиномы относительно х, у и z. Как известно,
сама функция -j является решением уравнения Лапласа [II, 119], и,
следовательно, то же самое можно утверждать и относительно отдель-
ных слагаемых ряда B8), т. е. члены этого ряда должны быть объем-
ными сферическими функциями. Но они не зависят от угла ср,
и, следовательно, каждый член этого ряда должен представляться
в виде произведения cnPn(cosd)} где сп есть некоторая постоянная,
которую нам и надо определить. Имеем, таким образом,
Полагая 0 = 0, получим в силу РяA)=1
откуда непосредственно следует, что сп = 1 при любом значке п,
и, таким образом, мы получаем следующее окончательное разложение
нашего элементарного потенциала по степеням г:
1 = 1-f P^rns ft) г-f P=(ms В) г»-и... C0)
]/1—2rcos8 +r2 ' и ; ' 2V ; ' v '
Заменяя cos 0 на х и г на zf можем написать
1
= 2р»
n = 0
Эта формула может служить определением полиномов Лежандра,
а именно: можно сказать, что полином Лежандра Рп(х) является
коэффициентом при zn в разложении функции
1 C2)
490 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [133
по целым положительным степеням z. Иначе говорят, что функ-
ция C2) является производящей функцией полиномов Лежандра.
Определим радиус сходимости степенного ряда C1). Особыми
точками функции C2) будут те значения z, при которых подрадикаль-
ное выражение обращается в нуль. Решая соответствующее квадрат-
ное уравнение, получаем следующие его корни:
C3)
Поскольку a: = cos0, мы будем считать, что х является вещест-
венным и находится в промежутке — 1 <^х<^ 1. При этом корни C3)
будут мнимыми сопряженными, и квадрат модуля каждого из них
будет равен
При х = ±1 корни C3) совпадают и равны оба ±1. Таким
образом, при условии —l^JCs-gl особые точки функции C2)
будут отстоять от начала координат на расстоянии единица, и, сле-
довательно, ряд C1) будет сходящимся при |,г|<^1. В частности,
разложение C0) будет справедливо при г<^1, т. е. для всех точек,
находящихся внутри единичной сферы. Для точек вне единичной
сферы мы получим уже другое разложение. Действительно, функ-
цию B7) можно переписать при г ^> 1 следующим образом:
1J1
При этом — <М, так что можно применить уже предыдущее разло-
жение, и мы получим окончательно следующее представление потен-
циала B7) вне единичной сферы:
V ;
Каждое из слагаемых этой суммы не имеет вне сферы никаких
особенностей и обращается в нуль на бесконечности.
До сих пор мы рассматривали сферу единичного радиуса. Для
сферы любого радиуса R будем иметь, вынося /?а или г2 из-под
знака радикала:
133) 5 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 491
Из формулы C1) легко вывести основные свойства полиномов
Лежандра. Дифференцируя эту формулу по I и умножая затем на
A — 2xz -j- z\ получим
оо
^=^ г = A — 2xz -f- z*) У пРп (х) zn~l
или
(x-z) fj Pn(x)z" = (\ — 2xz + z*) ? nPn(x)zn~l.
Отсюда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях zf
будем иметь соотношение между последовательными полиномами
Лежандра:
(я+ l)P^i(x) — Bn+l)xPn(x) + nP^x(x) = 0 C7)
01=1, 2, 3, ...),
Pi(x)-xP0(x) = 0.
Точно так же дифференцируя формулу C1) по х и умножая затем
на A — 2хг-f" г2), будем иметь
^W™ Ibc I d* zx~dx~ FЬ)
или, подставляя Рп^(х) из C7),
x^c)_^x1 = npM C9)
dP (x\
Исключая из C8) и C9) x yx } , получим
D0)
Эта формула остается справедливой и при л = 0, если положить
p_j(x) = 0. Полагая в формуле D0) значок п равным 0, 1,..., п и
складывая, получаем новое соотношение
W = ^^ + -^^. D1)
Напишем формулу D0), заменяя п на п — 2&-J-1:
l„Bй_
Суммируя по ^ от А=1 до k = N, где N=-^n при я — четном и
А/ = ~ (/г -j- 1) при п — нечетном, получаем формулу
и+1(лг). D2)
M
492 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [133
Из определения A1) непосредственно вытекает, что Рп(х) содержит
только четные степени х> если п—четное число, и только нечетные
степени ху если п — нечетное число. Точно так же из этой же фор-
мулы непосредственно вытекает
Применяя формулу бинома Ньютона, можем написать
1 1 1
у 1 —2rcos0 +
_/ у 1-3... B/1-1) inB п\( у 1-3...Biii
~\ L 2.4... 2/i в \\ L 2.4...
\я=0 / \т«=0
2iii-1)
2m
где при п = 0 и т = 0 члены ряда надо считать равными единице.
Перемножая ряды и сравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
нях г, получим следующее выражение для полиномов Лежандра:
Рп (cos б) = аоап cos nb -J- а^а^ cos (/г — 2) б +.. • + «л«о cos лб, D4)
где все коэффициенты ak положительны и определяются формулами
fl°=1' ^=b32;4(t2fe271} (^ = 1, 2,,.0i D5)
Отсюда, между прочим, непосредственно следует
| Рл (cos 6) | ^ доал + «i«^i + • • • + «««о = Рл A) = 1. D6)
Формулы C7) дают возможность последовательно определять
полиномы Лежандра. Выпишем первые пять полиномов:
1 1 i <47)
р3 (х) = у E*3 — За:), Р4 (х) = у C5х4 — 30*2 + 3).
Если f(x) есть некоторая функция, определенная в промежутке
(— 1, 1), то возникает вопрос о представлении ее в виде ряда, рас-
положенного по полиномам Лежандра:
fix) = aQ + ахРг (х) + а2Р* (*) + ... D8)
Пользуясь ортогональностью Рп(х) и формулой A9), мы, как
и в теории тригонометрических рядов, убеждаемся, что коэффи-
циенты ап должны определяться по формулам
1
ап = гс~г" V f(x)Pn(x)dx. D9)
-i
134] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 493
Можно показать, что при таком выборе коэффициентов ряд D8)
сходится в промежутке (— 1, 1) и его сумма равна /(л), если только эта
последняя функция удовлетворяет некоторым, весьма общим условиям.
134. Разложение по сферическим функциям. Всякая функция,
определенная на поверхности сферы любого радиуса, является функ-
цией географических координат 0 и ср на этой сфере, так что мы
можем ее обозначить в виде /(б, ср). Положим, что она разлагается
по сферическим функциям, т. е. может быть представлена на сфере
в виде ряда, аналогичного ряду Фурье:
№ ?) = а?) + 2 (а<"> Рп (cos 6) +
+ 2 (eS? C0S m<? + Ь% Sin т?) Pn, m (C0S 4 E0>
m=\ ' J
Пользуясь ортогональностью сферических функций, а также
формулами B5), мы, как и в ряде Фурье, получим следующие выра-
жения для коэффициентов ряда:
E1)
(8т = 2 при т = 0 и Ьт=1 при
Строго говоря, такое рассуждение является только некоторым
предварительным соображением при определении коэффициентов
ряда E0). Мы должны затем подставить значения коэффициентов,
полученные по формулам E1), в ряд E0) и доказать, что при некото-
рых предположениях относительно функции /@, ср) этот ряд будет
сходящимся, и его сумма будет равна /@, ср). В следующем пара-
графе мы проведем такое доказательство.
Выясним предварительно некоторые соотношения интегрального
вида, которым должны удовлетворять сферические функции. Пусть
SR — поверхность сферы радиуса R и Уя@, ср) — некоторая сфери-
ческая функция порядка п. Функция
Un{M)=rnVn{% ср)
будет гармонической, и мы можем применить к ней известную фор-
мулу Грина [II, 193]:
494 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [134
где d — расстояние переменной точки М сферы S# до точки Ж,
находящейся внутри сферы, ds — элемент площади поверхности сферы
и v — направление внешней нормали к сфере 5#, так что в данном
д д „
случае ^-==^. Мы имеем, очевидно,
11
7" YR* — 2/?г cos 7 + г2
и, далее, в силу C6),
так что
/? = 0
В этих формулах 7 есть угол, образованный радиусами-векто-
рами ОМ и ОМ. Подставляя всё это в формулу E2), получим,
считая радиус R равным единице:
21 (* + !) Р^ (cos T) Г*[
J
где через 6' и <р' мы обозначили географические координаты пере-
менной точки ЛГ единичной сферы. Написанные ряды сходятся рав-
номерно относительно 0' и ср'> так как г <С ^ и полиномы Лежандра
удовлетворяют неравенству D6). Производя почленное интегрирование
рядов, будем иметь
Из этой формулы непосредственно вытекает, что все слагаемые
суммы должны обратиться в нуль, кроме слагаемого, соответствую-
щего k = n, что и дает нам следующие интегральные формулы,
имеющие важное применение в приложениях сферических функций:
0 при т ф щ E3)
=-2j^T У„F, <р). E4)
134) § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 495
Выведем теперь формулу, выражающую cos 7 через тригонометри-
ческие функции 0, ср, б' и ср'. Проведем для этого два радиуса ОМ"
и ОМ! единичной сферы, концы которых имеют географические коор-
динаты @, ср) и @', ср'). Проекции этих радиусов на координатные осп
будут, очевидно,
sin 6 cos ср, sin в sin ср, cos0 и sin 0' cos ср', sin 6' sin cp', cos0',
и косинус угла, образованного этими двумя радиусами, будет выра-
жаться суммой произведений этих проекций, т. е. получаем для cos^
следующую формулу:
cos 7 = sin 6 sin 0' cos (ср — ср') -|- cos 0 cos 0'. E5)
Вернемся вновь к ряду E0). Если этот ряд равномерно сходится
и его сумма равна /@, ср), то для его коэффициентов мы получаем
формулы E1) так же, как и в теории тригонометрических рядов.
Объединим теперь в сумме E0) в одно слагаемое те члены ряда,
которые представляют собою сферическую функцию заданного по-
рядка щ т. е. положим
?)=
1 = 0
Заменяя в этом разложении 0 и ср на 0' и ср', умножая на Рп(cos 7)
и интегрируя по переменным 0' и ср', будем иметь, согласно E3) и
E4), следующую формулу для членов ряда E6):
Уп (9, ?) = ^- § $ /(«'. ?') Рп (cos Т) do. F7)
S
Эта формула дает сумму тех членов ряда E0), которые стоят
под знаком суммирования по п и относятся к заданному значению п.
Подставляя значения коэффициентов E1) в отдельное слагаемое
суммы E0), получим
п
уп (в, т) = 2 ётШ ^йг [cos щ\\*F'- *f) cos щ>Рп-т (cos 6f) d°+
+ sin wcp ^ /(8', ср') sin щ'Рп,т (cos 0f) da] Pthm (cos б),
или
Уп (б, <?) =
^^^
496 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [135
Сравнение формул E7) и E8) дает нам
(п+т)\Ът Р">т (cos Г) Р»'т (cos 0) C0S m (tp' - *> Г ° = °- E9)
Ш J
-1
J
Строго говоря, мы вывели эту формулу лишь в предположении, что
/@, <р) есть сумма равномерно сходящегося ряда E0). В частности, она будет
наверно справедливой, если ряд E0) приведется к конечной сумме. Заметим,
что угол 7 есть одна из географических координат (широта), если за полюс
взять точку с географическими координатами 0 и <р. Таким образом,
rnPn (cos 7) есть однородный гармонический полином степени /г, и, следова-
тельно, Pw(cosy) является некоторой сферической функцией порядка п пере-
менных 0' и <р'. Мы видим, что квадратная скобка в формуле E9) есть
конечная сумма сферических функций, и, следовательно, можно в частности
считать, что /@', <р') равна этой конечной сумме сферических функций.
Таким образом, получаем при таком выборе функции, что интеграл от
квадрата упомянутой выше квадратной скобки равен нулю, а потому и всё
выражение, стоящее в квадратных скобках, должно равняться нулю:
п
РЛ(СО8Т)= У /* ГД [2 Рп,т (COS V) РП}т («» 0) COS Ш (ер- ^ <р). F0)
т = 0
Эта формула называется обычно теоремой сложения для полиномов
Лежандра.
135. Доказательство сходимости. Докажем теперь, что произвольная
функция / @, ср), заданная на поверхности сферы и удовлетворяющая там
Некоторым условиям, разлагается в ряд E6) по сферическим функциям.
Принимая во внимание формулу E7), получим следующее выражение
для суммы первых (п -f-1) слагаемых ряда E6):
)Pk(cost)da.
Введем новые географические координаты 7 и Р> помещая северный
полюс в точку, которая раньше имела географические координаты 0 и ср.
При этом функция /@', ср') будет в новой системе координат некоторой
функцией FG, P) новых координат, и мы будем иметь
(во
Введем новую функцию Ф G), которая представляет собою среднее
значение функции F G, P) на различных параллелях в новой системе коор-
динат:
2т:
135) § I. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 497
Введем новую переменную х = cos 7 и положим
Ф G) = W (х). F3)
Интегрируя в формуле F1) по переменной C, мы можем переписать ее
в виде
те п
1 Ь Y4
Sn = -7Г- \ Ф G) /_, (^^ + 0 Рл (cos T) s^n 7 ^7
о k—o
или
/г
5Я= y) W(*)Zi №+l)Pk(x)dx,
-1 л=о
т.е. в силу D1)
Pn+i (х) , №я (л:)
Будем считать, что функция / F, <р) такова, что ? (л:) имеет непрерывную
производную в промежутке (— 1, 1). Интегрируя при этом по частям, полу-
чим
1
или, принимая во внимание
будем иметь
5Я = ЧГ A) - -у J [P«+i (*) + Рл W]V (д:) dx. F4)
Выясним теперь значение первого слагаемого ^A) справа. В силу F2)
и F3) мы имеем
1 с
) d% F5)
Но точка при 7 = 0 при произвольном (J представляет собой северный
полюс сферы или, что то же, прежнюю точку с географическими координа-
тами 0 и ср. Иначе говоря, F@, fj) =/@, ср) не зависит от % и формула F5)
дает
Таким образом, мы можем переписать формулу F1) в виде
1
Sn =/ № <р) - у J [Ря+i W + Ря(дс)] rw ^ F6)
Нам надо доказать, что
498 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [136
т. е. нам надо доказать, что интеграл, стоящий в формуле F6), стремится к
нулю при беспредельном возрастании п. Пусть М — наибольшая величина
абсолютного значения непрерывной функции \Е" (х) в промежутке (— 1, 1).
Упомянутый интеграл по абсолютному значению будет меньше следующего
выражения:
1 1
—1
Нам остается, следовательно, только показать, что интеграл
1
\Pn(x)\dx F7)
стремится к нулю при возрастании я. Применяя неравенство Буняковского
[1Н19 29,1 получим
1 ill
(\ \Pn(x)\dx)*^\ P\{x)dx\ l-tf* = 2^ P*n(x)dx
\i J ?x ?i ?i
иди, в силу A9),
откуда и вытекает непосредственно, что интеграл F7) стремится к нулю при
п —»оо.
Указанный прием доказательства теоремы разложения по сферическим
функциям взят нами из книги Вебстер-Cere «Дифференциальные
уравнения в частных производных математической физики». Тот факт,
что произвольная функция, удовлетворяющая указанным выше усло-
виям общего характера [ч? (х) имеет непрерывную производную], раз-
лагается по сферическим функциям, указывает на то, что сферичес-
кие функции образуют замкнутую систему [II, 155] на поверхности
единичной сферы. Впервые эта замкнутость системы сферических
функций была доказана А. М. Ляпуновым A899 г.).
136. Связь сферических функций с предельными задачами.
Сейчас мы укажем на связь теории сферических функций с некото-
рыми предельными задачами для дифференциальных уравнений. На-
пишем уравнение Лапласа в сферических координатах [II, 119]:
IF [r IF! + ЖТ? (Sin ° ~Ш] + W W = 0. F8)
Будем искать его решение, имеющее вид произведения функции
только от г на функцию только от В и ср:
136] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 499
Подставим в уравнение F8)
это можно переписать, разделяя переменные, в виде
d 1 д Г . л дКF,фЛ | 1 д2У
sin2O
f(r) — У
Левая часть содержит только г, а правая только 9 и ср, и обе
части должны равняться одной и той же постоянной. Обозначая эту
постоянную через X, будем иметь два уравнения:
г*Г'{г) + 2гГ(г) — Щг) = 0 F9)
и
AjK+Xy^O, G0)
где мы для сокращения обозначили
)%] ст.)
Множитель /(г) мы уже знаем, а именно, в силу E), он должен
равняться тпу и, таким образом, наше внимание должно сосредото-
читься на уравнении G0). Функция К(9, <р), как мы видели, есть три-
гонометрический полином, и, следовательно, во всяком случае она
должна быть конечной и непрерывной на всей единичной сфере,
т.е. при любом выборе углов б и ср, и, в частности, при 6 = 0 и
0 = 1г, когда sin б обращается в нуль. Приходим таким образом к
следующей предельной задаче: найти такие значения параметра X,
при которых уравнение A0) имеет решения, непрерывные на всей
единичной сфере, и построить эти решения. Первая часть задачи
не представляет никакого труда, ибо мы знаем, что /(г) должно рав-
няться гп> и, подставляя это в уравнение F9), получим бесчисленное
множество значений параметра X, а именно:
Хя = л(/|+1) (Л = 0, 1, 2,...). G2)
При этом уравнение
гТп (г) + 1rfn (г) - п (« + 1)/„ (г) = 0 G3)
будет иметь одно решение fn(r) = rn и второе решение fn(r) = r~n~i.
Подставляя Х = #(#-|~1) в уравнение G0), получим уравнение для
сферических функций
В данном случае собственному значению \п = п(п-\-1) соответствует
Bл -[- 0 собственных функций. Это будут сферические функции
500 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [136
порядка п. Поскольку сферические функции образуют замкнутую сис-
тему на единичной сфере, ими исчерпываются все собственные функ-
ции уравнения G0). Подставляя выражения A6) в уравнение G4) и
полагая х = cos б, получаем для Pntfn{x) следующее уравнение вто-
рого порядка:
[О ^^^] + (Х ^)Р(*) 0 G5)
При т = 0 получается уравнение для полиномов Лежандра Рп(х).
Собственные значения и соответствующие собственные функции Рп,т(х)
решают следующую предельную задачу: найти такие значения Хя, при
которых уравнение G5) имеет решение, которое остается конечным
во всем промежутке—1^лг^1, включая и его концы. Отметим, что
уравнение G5) имеет в особых точках x = zL\ определяющее урав-
нение р(р — 1) + р 4~ = 0 с КОРНЯМИ ? = — -у.
Решение, соответствующее корню р = к-, обращается в бес-
конечность в соответствующей особой точке.
Указанная задача сводится к нахождению таких значений \т при
которых решение, принадлежащее корню р = -у в точке х=—1,
принадлежало бы тому же корню и в точке х=1.
Решением этой задачи и являются значения \п = п(п-\-1), а соот-
ветствующие собственные функции определяются формулой A2).
Свойство ортогональности сферических функций непосредственно
связано с тем, что они решают указанную выше предельную задачу
для уравнения G0). Совершенно так же функции Рпт(х) обладают
свойством ортогональности на отрезке (—1, 1):
1
\ Рр,т (*) Рд,т (х) dx = 0 при р ф д. G6)
Это доказывается на основании уравнения G5) совершенно так же,
как это было сделано в [102] для полиномов Лежандра. Отметим
еще один факт, связанный с теорией сферических функций. Если
мы используем решение fn(r) = rn уравнения G3), то получим реше-
ние rnYn@, cp) уравнения Лапласа. Это будет гармонический полином
степени п. Если мы используем второе решение fn(r) = r~n~1 урав-
нения G3), то приходим к следующему заключению: функция
fn+i > К11)
где Yn(B, cp) — сферическая функция порядка пу является решением
уравнения Лапласа. Это решение обращается в бесконечность при
г = 0 и не является, конечно, полиномом от х, у, z.
137] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 501
137. Задачи Дирихле и Неймана. Сферические функции при-
меняются в задачах математической физики, связанных с уравнением
Лапласа и относящихся к случаю сферы. Для примера рассмотрим
задачи Дирихле и Неймана, о которых мы говорили раньше [II, 192],
для случая сферы. Требуется определить гармоническую функцию
внутри сферы радиуса /?, если заданы ее предельные значения на
поверхности этой сферы (внутренняя задача Дирихле). Разложим
заданные предельные значения по сферическим функциям:
М ?) = SM0, ?)• G8)
л = 0
Составим новый ряд, умножая общий член написанного ряда
на [-П-] , где г — расстояние переменной точки до центра сферы
оо
U(г, 0, ср)= 2 уп& ?)(-?)* С<#). G9)
Принимая во внимание, что -^-п Кл@, ср)гл есть гармонический
полином, мы видим, что функция G9) будет гармонической внутри
сферы и, кроме того, непосредственно ясно, что при r = R ряд G9)
обращается в ряд G8), так что эта гармоническая функция удовлетво-
ряет требуемым предельным условиям.
Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле, т. е. положим, что
требуется определить функцию, гармоническую вне сферы и равную
нулю на бесконечности [II, 192] по ее предельным значениям G8)
на поверхности сферы. Принимая во внимание, что Yn(Q, у)г~п~1
суть гармонические функции, не имеющие особенностей вне сферы
и равные нулю на бесконечности, мы получаем решение внешней
задачи Дирихле в виде
U{г, 0, ср)=2 К„(в, ч)[f) . (80)
/1=0
Переходим теперь к решению внутренней задачи Неймана. По-
ложим, что требуется определить внутри сферы гармоническую
функцию U {г, 0, ср) по значениям ее нормальной производной на
поверхности сферы
4^=/@, ср) (r = R). (81)
Мы знаем, что для гармонической функции интеграл от нормаль-
ной производной должен обращаться в нуль [II, 194]:
502 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [137
т. е. заданная функция /"F, ср), входящая в условие (81), должна
обязательно быть такой, что
/(б, cp)tfa = O. (82)
Вспоминая формулу E7), определяющую сферические функции,
получаемые в разложении /(б, ср), и принимая во внимание, что
Pn(cosf) есть постоянная при # = 0, мы видим, что условие (82)
равносильно тому факту, что в разложении /@, ср) по сферическим
функциям отсутствуют сферические функции нулевого порядка.
Таким образом, в данном случае мы будем иметь
Нетрудно видеть, что решение задачи Неймана будет даваться
следующей формулой:
оо
U (г, в, <р) = ^ | Уп (9. <р) -?=т + С, (84)
где С — произвольная постоянная.
Действительно, этот ряд определяет гармоническую функцию,
и дифференцирование по нормали совпадает в данном случае с диф-
ференцированием по г. Нетрудно проверить, что, дифференцируя ряд
(84) по г и полагая затем r = Ry мы и получим ряд (83), т. е. будет
удовлетворено предельное условие (81). В случае внешней задачи
Неймана функция /(б, ср), входящая в условие (81), уже не должна
удовлетворять условию (82), так что мы имеем для нее разложение
общего вида G8). Легко видеть, что при этом решение внешней за-
дачи Неймана представится в виде ряда
U(r, е, <р)=_
причем направление нормали v мы считаем совпадающим с направле-
нием радиуса г.
Рассмотрим один специальный случай внешней задачи Неймана. Поло-
жим, что сфера радиуса R движется с направленной по оси Z скоростью
а в безграничной жидкости, покоящейся на бесконечности. Возьмем движу-
щуюся со сферой систему координат, помещая начало координат в центре
сферы. При этом нормальная составляющая скорости жидкости на поверх-
ности сферы будет определяться формулой
az о
— = a cos 0.
138] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 503
Предполагая движение жидкости стационарным и с потенциалом ско-
рости, мы будем иметь задачу нахождения функции U по следующим усло-
виям: 1) вне сферы U должно быть гармонической функцией; 2) на беско-
нечности составляющие скорости, т. е. производные от функции U по коорди-
натам, должны обращаться в нуль и 3) на поверхности сферы функция U
должна удовлетворять условию
-з— = — a cos 0.
дг
В данном случае /(б, <р) =—a cos б или, вспоминая выражение для поли-
номов Лежандра, имеем
/(О, <р)= —вР^совб),
т. е. в данном случае функция /@, ср) представляется одной сферической
функцией первого порядка. Решение задачи будет определяться формулой
U (г, в|?) = -|р1(сов b)lj-=™L. cos 0.
138. Потенциал объемных масс. Положим, что в пространстве име-
ется ограниченный объем V, заполненный материей с плотностью р (Мг). Потен-
циал от такого распределения будет выражаться тройным интегралом вида
где d есть расстояние переменной точки М' объема V до точки М, в которой
определяется значение потенциала. Пусть О есть начало координат, и введем
в рассмотрение длины радиусов-векторов
и угол 7) образованный этими радиусами-векторами. Возьмем достаточно
далекие точки М, для которых величина г больше наибольшей из величин г'.
Для таких точек мы будем иметь следующее разложение [133]:
00
равномерно сходящееся относительно г' в силу | Рп (cos7) | < 1. Подставляя
его в интеграл (86), получим разложение потенциала U{M) по целым отри-
цательным степеням г:
I^SA (87)
л = 0
где
= И \
') г'Прп (cos 7) dV. (88)
Определим первые три члена разложения (87). Вспоминая выражение
для первых трех полиномов Лежандра, а также принимая во внимание оче-
видную формулу
cos -, -
504 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [138
можно написать
(cos ^)=^
Подставляя это в формулу (88), будем иметь
т. е. коэффициент при — в разложении (87) равен общей массе т, заклю-
чающейся в объеме V. Далее получаем
К'(е' *> = S И р (М') r'Pl(cos *> dV=
Написанные интегралы выражают произведения массы т на координаты
центра тяжести. Будем считать, что за начало координат выбран центр
тяжести массы. При этом мы будем иметь, очевидно, Кх (б, <р) = 0. Переходим,
наконец, к вычислению У2 (б, <р). Для этого введем в рассмотрение моменты
инерции нашей массы относительно осей
= И\рт(у2+z'2)dv* в=\\\р(А||)(г'
А =
J jj. J J J J
(89)
с=
а также центробежные моменты относительно осей
D = SSSp{Mr)y'z'dVy E=\W*(M)zx>dVt (9°)
Можно показать, на чем мы не останавливаемся, что координатную
систему можно всегда расположить таким образом, чтобы центробежные
моменты (90) обратились в нуль. Мы будем считать, что координатные оси
и выбраны именно таким образом. Подставляя выражение r'2P2 (cos 7) в фор-
мулу (88), мы, как нетрудно проверить, получаем следующее выражение
для К2 @, <р):
У2 F, о) = т -^-Г- г2 — ,
и для потенциала U(M) будем иметь с точностью до членов порядка —
т
139] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 505
Вводя сферические координаты вместо х, у и z, можем переписать это
выражение следующим образом:
, (В+С—2А) cos2 ср sin2 6 + (С + А — 2В) sin2 cp sin2 6 + (Л + В — 2С) cos2 6 ,
., _ , h...
(92)
139. Потенциал сферического слоя. Положим, что на поверх-
ности Sr сферы радиуса R распределена некоторая масса с поверх-
ностной плотностью р (Ж'). Потенциал такого простого слоя U(M)
будет выражаться интегралом по поверхности сферы
p-ds. (93)
где d есть расстояние точки М до переменной точки М поверх-
ности сферы. Выражение -т- будет иметь разложения различного вида
внутри сферы S% и вне сферы S&
Будем сначала считать r<^R, при этом мы получим [133]
с»
|=2pB(co8T)^i, (94)
/г=0
где т есть угол, образованный радиусами-векторами ОМ и О7И' из
центра сферы. Плотность р (№) мы должны считать заданной функцией
/F', <р') географических координат на сфере.
Подставляя разложение (94) в интеграл (93), будем иметь, вспо-
миная, что ds = R*do = R*smWdWdy':
00
U{M) = 2 ?п \ \ Ж ?0 Л, (cos т) rfa. (95)
Написанные интегралы непосредственно связаны с членами разло-
жения функции /@, ср) по сферическим функциям, а именно, если
/(в.?) =2 мв,?> (96)
то, как известно,
и, следовательно, разложение (95) мы можем написать в следующем
виде:
00
К(9 ^
2 щтщг (97)
/г=0
506 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [139
Совершенно так же, пользуясь разложением C6), получим
оо
^Ч ОП+2
U(M) = 4* 2 {2п+\)г™ Y" (9' *> (Г >R)' (98)
Пользуясь этими разложениями, отметим некоторые свойства
потенциала простого слоя. Заметим прежде всего, что разложения
(97) и (98) совпадают, если точка М попадает на поверхность сферы.
В данном случае мы должны положить r = R и получим следующий
результат:
оо
где 0 и ср — географические координаты точки Мо, лежащей на по-
верхности сферы. Мы видим, таким образом, что потенциал простого
слоя меняется непрерывно, когда точка М проходит через поверх-
ность сферы. Это свойство потенциала простого слоя имеет место
не только для сферы, но и для поверхностей общего вида.
Исследуем теперь поведение нормальной производной от потен-
циала (нормальная составляющая силы) при переходе точки М через
поверхность сферы.
Обозначим через (—jr"^. предел нормальной производной при
(
стремлении точки М по радиусу к точке Жо изнутри сферы, а через
(—з—^М —такой же предел при стремлении точки М к той
же точке поверхности Мо извне сферы. Через v мы обознача-
ем направление внешней нормали к сфере в точке Мо. В данном
случае это направление совпадает с направлением радиуса ОМ0.
Дифференцируя формулы (97) и (98) по направлению v, т. е. по г,
и полагая затем r = R, мы получаем выражения для упомянутых
выше пределов:
A01)
Отсюда видно, что нормальная производная потенциала простого
слоя имеет, вообще говоря, разрыв при прохождении через поверх-
ность.
139] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 507
Из формул A00) и A01) непосредственно вытекают следующие
формулы:
откуда в силу (96) и (99) мы можем написать
(дЩМ0)\ t
\ dv /<? ' \
Формула A02) показывает, между прочим, что величина скачка
нормальной производной равна произведению (—4тс) на значение
плотности в рассматриваемой точке поверхности.
Выясним теперь значение правой части формулы A03). Обозначая,
как и выше, через v определенное направление, а именно направление
радиуса ОЖ0, и принимая во внимание, что в интеграле (93) только
множитель -г зависит от координат точки М, получим
$J?(±) „04)
SR
Но мы имеем
М \ _ 1
где (о есть угол между радиусом-вектором МГМ и направлением v.
Определим значение интеграла A04), предполагая, что точка М нахо-
дится на самой сфере и именно в точке MQ. При этом мы будем
иметь d = 2/?cosco и, следовательно,
<LA
Для интеграла A04) получим следующее значение:
Обозначим эту величину через —i^# ^Ри этом Ф°РМУЛУ
можно переписать в следующем виде:
(dU(M0
508 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [140
Отсюда вытекают, между прочим, следующие выражения для пре-
делов нормальной производной потенциала простого слоя:
Эти формулы оказываются также справедливыми не только для
сферы.
140. Электрон в центральном поле. При рассмотрении электрона в поле,
образованном некоторым положительным ядром, мы имеем, согласно теории
Шредингера, следующее уравнение:
-?И(г)ф = ?;ф, A06)
где h — постоянная Планка, (х — масса электрона, е — его заряд, V(г) —
заданная функция, зависящая только от расстояния г от начала и опреде-
ляющая потенциал поля, ф (л:, у, г) — волновая функция и, наконец, Е— по-
стоянное число, определяющее уровень энергии рассматриваемой физической
системы. Уравнение A06) должно иметь решение, определенное во всем
бесконечном пространстве и остающееся ограниченным на бесконечности.
Будем искать решения уравнения A06) в виде произведения функции только
от г на функцию только от 0 и <р. Выражая операторы Лапласа Дф в сфе-
рических координатах, можем написать
где, как и выше [136],
л . 1 д
sin t) uv
Уравнение A06) перепишется в виде
Подставляя выражение ф =/(/•) К (б, <р) и разделяя переменные, мы будем
иметь
Д Y
Обе части написанного равенства должны равняться одной и той же
постоянной, которую мы обозначим через X. Это даст нам два уравнения:
Дх К— ХГ=0, A07)
= 0. A08)
Уравнение A07) должно иметь решение, непрерывное на всей поверх-
ности сферы. Мы уже знаем, что при этом параметр X должен принимать
140] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 509
значение —/(/+1), и в качестве решения будем иметь сферические функ-
ции Yi (б, <р). Подставляя указанное значение X в уравнение A08), будем
иметь уравнение для определения множителя, зависящего от г, который
мы обозначим теперь через // (г):
|Я (r> + ?'i <r> + [Е +eV <r> ~
Значения параметра Е определятся из условия, что уравнение A09)
должно иметь решение, ограниченное как при г = 0, так и при стремлении г
к +оо. Вообще говоря, мы получим бесчисленное множество таких зна-
чений Е. Они обычно нумеруются, начиная с целого числа (/+1), т. е. они
нумеруются по порядку следующими целыми числами:
л = /+1, / + 2, / + 3, ...
Таким образом, значение Е будет зависеть от двух значков, а именно —
от значения целого числа / и номера я. Число / называется азимутальным
квантовым числом и число п называется главным квантовым числом.
При заданных / и п мы имеем, вообще говоря, определенную функцию
fni(r)t удовлетворяющую уравнению A09) и указанным выше предельным
условиям при г = 0 и г = +оо. Что же касается функций К/F, ср), то их
будет всего B/+ 1):
и для полной характеристики волновой функции мы должны указать значе-
ние и для третьего значка т. Это значение называется обычно магнитным
квантовым числом. Оно играет существенную роль при рассмотрении воз-
мущения рассматриваемой физической системы, вызываемого включением
магнитного поля, направленного по оси Z.
Рассмотрим теперь тот частный случай, когда потенциал является куло-
новским потенциалом
Ър
где k — некоторое целое число, равное, например, для случая атома водо-
рода, единице. Подставляя выражение потенциала в уравнение A09), придем
к уравнению следующего вида (&=1):
Введем вместо г новую переменную г:
z
и положим
•=|? и s=2'+l- A11)
Кроме того, вместо fi (r) введем новую искомую функцию у:
510 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [141
Подставляя все это в (ПО), придем к уравнению
которое мы рассматривали в [115].
Остановимся на рассмотрении отрицательных значений параметра Е.
При этом, как мы видели выше, получим бесчисленное множество дискретных
значений для постоянной Е, а именно, обозначая
мы имели следующие значения для параметра X:
> = 0, 1,2,...),
откуда
1 fs+l , V 1
— '—7>— +Р\ И ?„ =
A±±+ р\2
и, следовательно, в силу A11) для параметра Е мы имеем следующие зна-
чения:
где п — главное квантовое число, равное (/> + /+1).
Мы видим отсюда, что для случая поля Кулона значения параметра Е
не зависят от азимутального квантового числа /. Если фиксировать п и тем
самым значение параметра Е, то, поскольку /г=/? + / + 1, можно придавать /
следующие значения:
/ = я—1, /г —2 0.
Каждому такому значению / соответствует B/ + 1) собственных функ-
ций ф. Таким образом, для значения A12) параметра Е будем иметь следую-
щее общее число собственных функций:
Если вместо уравнения Шредингера мы взяли бы для случая одного
электрона уравнение Дирака, то пришли бы к функциям, аналогичным
шаровым функциям. Эти шаровые функции со цпином» рассмотрены, напри-
мер, в книге: В. А. Ф о к, Начала квантовой механики.
141. Шаровые функции и линейные представления группы вращения.
Как мы уже упоминали раньше, однородные полиномы переменных (х, у> z),
удовлетворяющие уравнению Лапласа, дают некоторое линейное предста-
вление группы R вращения пространства вокруг начала.
Мы видим, таким образом, что совокупность сферических функций
порядка / дает лине'йное представление группы R, и это представление
будет представлением порядка B/+1). Рассмотрим этот вопрос несколько
подробнее.
Возьмем сферические функции порядка / в том виде, в каком они ука-
заны формулами A8), и введем для них специальные обозначения:
Q(m)(?,O)==,/m?P/>m(cos0) (/» = -/, _/+!,...,/_!,/), (ИЗ)
где
^1, -m (COS в) =Р|^ (СОв в),
e
0
0
0
и* о,
0
0
0
0
e-iil-*t*
0
... 0
... 0
... 0
141] § 1- СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 51 1
Пусть {a, р, -у}— некоторое вращение из группы R с углами Эйлера
а, р и 7- В результате этого вращения точка сферы с координатами («р, в)
перейдет в новое положение (ср', б'), и функции Q(m) (ср', 0') будут линейно
выражаться через функции Q("*) (ср, 0). Матрица этого линейного преобразования
и будет соответствовать вращению {a, р, у} в том линейном представлении
группы R, которое определяется функциями (ИЗ). Простая зависимость этих
функций от угла ср показывает, что вращению вокруг оси Z на угол а, т. е.
вращению {а, 0, 0}, соответствует при этом диагональная матрица
A14)
Обозначим вообще через {Di {Ro)\ik элементы матрицы, соответствующей
определенному вращению Ro, причем значки / и k пробегают ряд значений
-/, —/ + 1, .... /.
Возьмем за Ro вращение вокруг оси У на угол р, в результате которого
точки сферы с координатами ср = О и 0 перейдут в точки ср = О и 0 + р.
Принимая во внимание вид функций A13), можно утверждать, что при сде-
ланном выборе Ro матрица Di(R0) преобразует функции P/>m(cos0) в функ-
ции Ри т [cos @ + р)], т. е.
/
Pi,т [cos@; + ?)]= 2 {Oi(Ro)}msPiiS(cosb) (т = -/,-/ + 1,...,/).
Обращаясь к формулам A2), мы видим, что Plfs(cosb) обращаются
в нуль при 0 = 0, если s :$?(). Полагая в предыдущих формулах 0 = 0, будем
иметь, таким образом,
Pi,m (cos?) = {D, (/?0)U P, A) = {Di (/?,)}„,.
Отсюда видно, что элементы столбца матрицы Di{R0) с номером & = 0,
вообще говоря, все отличны от нуля, т. е. среди них есть равные нулю
только при исключительных значениях р.
Итак, среди матриц Dt(R) есть диагональные матрицы A14) с различ-
ными элементами и есть матрицы, у которых элементы некоторого столбца
все отличны от нуля. Как мы видели в [IIIlv 69], при этом матрицы дают
неприводимое представление группы R, и можно поэтому утверждать
неприводимость представления, доставляемого матрицами Di(R). Функции A13)
попарно ортогональны, но не нормированы к единице для интегралов от
квадрата модуля. Приписывая к функциям подходящим образом выбранные
постоянные множители, можно построить и нормированные функции:
<р, 0). A15)
И) Q(
Они дадут уже унитарное неприводимое представление D\{R) [llli, 63]f
эквивалентное Di (R), причем в этом новом представлении вращению {а, 0, 0}
будет соответствовать прежняя матрица A14), так как постоянные множи-
тели, приписанные нами, не изменят характера зависимости функций (ИЗ)
от ср.
Умножая функции A15) на любые множители, по модулю равные еди-
нице, мы получаем также унитарные представления с тою же матрицей
512 ГЛ. VI СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [142
A14), соответствующей вращению {а, 0, 0}. Одно из этих представлений
в точности совпадает с тем, которые мы построили другим путем в [\\llf 62].
Собственные функции уравнения Шредингера, рассмотренные ранее,
распадаются на группы в соответствии со значением числа /, причем в такую
группу входит B/-|-1) собственных функций (/ — азимутальное квантовое
число). Нумерация функций, входящих в такую группу, производится чис-
лом т (т — магнитное квантовое число), принимающим значения т = — /,
— / + 1, ...,/. Из вида функций A13) непосредственно следует, что
^^,e) = mQ(m)(?, 0),
т. е. т-я функция нашей группы является собственной функцией оператора
*•=!&• A16)
и число т есть соответствующее собственное значение. Кроме того, каждая
из функций A13), как мы знаем, удовлетворяет уравнению
т. е. каждая из функций, входящих в упомянутую группу B/4-1) функций,
является собственной функцией оператора
M
и соответствующее собственное значение равно I (I-\-\). Оператор Lz лишь
множителем h отличается от оператора составляющей количества движения
на ось Z. Точно так же оператор A17) лишь множителем /г2 отличается от
оператора квадрата момента количества движения.
142. Функция Лежандра. Напишем уравнение Лежандра:
и будем считать х комплексным переменным, причем п может обо-
значать любое число. Уравнение A18) имеет в особых точках х — ± 1
оба корня определяющего уравнения, равные нулю [105]. Таким
образом, в обеих этих точках будет один регулярный интеграл и
один интеграл, содержащий логарифм, причем этот последний инте-
грал не ограничен в окрестности, соответствующей особой точке.
Попытаемся удовлетворить уравнению A18) интегралом вида A3),
который давал полином Лежандра при целом положительном п:
dt
Подставляя в уравнение A18), получим
i — x)]dt =
142] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 513
откуда видно, что формула A19) дает решение уравнения A18),
если при обходе переменной t по контуру О выражение
возвращается к исходному значению. При нецелом п подинтегральная
функция в интеграле A19) имеет три точки разветвления: t = x и
t = ±l. При обходе вокруг точки t=l или t = —1 против часо-
вой стрелки числитель (t*—l)n+1 приобретает множитель (л+1J™
и при обходе точки t = x знаменатель приобретает множитель
Проведем на плоскости комплексного переменного t разрез от
t = — 1 до t = — оо вдоль вещественной оси и в качестве контура С
Рис. 73.
возьмем замкнутый контур, выходящий из некоторой точки А (ле-
жащей на вещественной оси правее точки t=\) и обходящий про-
тив часовой стрелки вокруг точек t=\ и t = x (рис. 73).
Мы считаем, что х не находится на разрезе и что контур С не
пересекает разреза. Исходное значение многозначной подинтеграль-
ной функции определяется из условий arg(?—1) = arg(^ —j— 1) = 0
и | arg(^ — х)\<^ъ при t^>\. В силу сказанного выше выражение
A20) возвращается к исходному значению, когда t пробегает кон-
тур С. Отметим еще, что, в силу теоремы Коши, величина интеграла
не зависит от выбора точки А на вещественной оси правее ? = 1
и от вида контура. Существенно лишь, что контур не пересекает
упомянутого выше разреза.
Таким образом, мы получаем решение уравнения A18)
рМ = ** \ dt
где С — описанный выше контур. Это решение есть регулярная
функция от х на всей разрезанной указанным выше образом пло-
скости и, в частности, в точке дг=1. Но, как мы видели [105],
уравнение A18) получается из уравнения Гаусса при а = //-|-1,
р = — п и 7=1, если заменить независимую переменную z уравне-
1
—— X
1 —— X
ния Гаусса на 2 . Поскольку решение A21) регулярно при д;=1,
514 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [143
т. е. при z = 0, оно должно совпадать с точностью до множителя
с гипергеометрическим рядом
-1-1, -n, 1; i^J. A22)
Для определения С вычислим Рп A):
1 С ¦ (**_1)« 1?(г_|_1)/г
Oil1)— 2Я+1 тс/ \ tf — П"+1 —2/2+1 ri Л t—\~'
и, вычисляя последний интеграл по теореме о вычетах, получим
РЛA)=1, после чего формула A22) при х=\ дает С=1, т. е.
f 1, — я, 1; ~). A23)
При целом положительном п мы получаем полином Лежандра. Кроме
того, из формулы A23) в силу того, что F(a, [3, y; z) не меняется
при перестановке аир, следует, что при любом п
Пользуясь формулой A21), можно непосредственно проверить со-
отношения C7), C9) и D0) из [133]. Функция Рп(х) как решение
уравнения A18) имеет, вообще говоря, особые точки х =—1 и
х = оо. Формула A21) дает представление этой функции на всей
плоскости с указанным разрезом.
143. Функция Лежандра второго рода. Мы построили одно из
решений уравнения A18). Займемся теперь построением второго
решения. Мы знаем, что если У\(х) — одно из решений уравнения
то второе решение может быть построено по формуле
024)
где С — произвольная постоянная. Рассмотрим сначала случай целого
положительного п. В особой точке лг = оо уравнения A18) опреде-
ляющее уравнение имеет корни р± ===== лг —|г— 1 и р2 = — п. Решение
уравнения, соответствующее первому корню, обращается в нуль
при jc = oo. Пользуясь формулой A24), мы можем представить это
решение в виде
A25)
Функция Qn(x) имеет особые точки jc = dbl и регулярна на пло*
скости комплексного переменного х с разрезом от х =—1 до х=1.
143] § 1. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖЛНДРА 515
Формула A25) дает Qn(x) на всей этой плоскости. Отметим, что
корни Рп(х) лежат внутри промежутка (—1, 1).
Выразим Qn(x) через полиномы Лежандра и логарифмы. Для
этого в уравнение A18) введем вместо и(х) новую функцию v(x)
по формуле
и (х) = \РП (х) In J±-[ — v (x). A26)
Для v(x) получаем уравнение
В силу D2) можем переписать это уравнение в виде
N
= 2 2 Bл - 4* + 3) Рп_т1 (х), A27)
где Ы=^п ПРИ Л четном и N=^(^"+) ПРИ п не.четном. При-
нимая во внимание, что Pn-2k+i(x) удовлетворяет уравнению
(,, _ 2k + 1) (/г - 2k + 2) РЛ_2/М (jc) = О,
убедимся в том, что уравнение
A -х2)g - 2х^ + я(я + 1)« = 2Bй-
имеет частное решение
Отсюда, в силу A26) и A27), получаем следующее решение урав-
нения Лежандра A18):
N
2 Bk?k\X) A28)
k— I
Оно должно выражаться через Рп(х) и Qn(x):
Mx)=C1Pn(x) + C%Qn(x). A29)
Из A28) и очевидного разложения
516 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ИЗ
следует, что при лг->оо величина „5S остается ограниченной.
С другой стороны, в правой части A29) Рп(х) есть полином сте-
пени п, a Qn(x) стремится к нулю при лг->оо, как -^. Сопоста-
вляя это, можем утверждать, что Q = 0, т. е.
C,Qn (х) = щ (х) = \рп С*) Ш J±-| - Rn (x\ A30)
где Rn(x) — полином степени (п—1). Отсюда следует
Г d \Qn(x)l_ I , Sn(x)
2 dx [Pn (x)\ — 1 -x2 -Г \Pn {x)f •
где 5Л(лг) — полином от лг. С другой стороны, в силу A25)
Сравнивая это равенство с предыдущим, получим
С2 _ 1 , Sn (х)
~1 -*« "f [Ря (л:)
откуда
C [
и, полагая лг=1, получаем С2=1, т. е. на основании A28) и A29)
окончательно имеем
Функция Qw(at) называется обычно функцией Лежандра второго рода.
Наличие логарифмических членов связано с характером особых
точек лг = ±1 уравнения A18). Легко представить Qn(x) в виде
определенного интеграла. Отметим, что при целом положительном п
выражение A20) обращается в нуль при t = ±l. В соответствии
с этим, при составлении решения уравнения A18) в виде A19) мы
можем за контур С взять просто отрезок —l^^^l и получим
A32)
$
где С—любая постоянная. Этот интеграл при лг->оо стремится
к нулю, как -ттг+т, и потому написанное решение лишь постоянным
множителем отличается .от Qn(x). Определим постоянную С так,
чтобы решение A32) совпало с Qn(x). Из формулы A1) следует,
что коэффициент при хп у Рп(х) равен
2/г!
143] § U СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 517
Обращаясь к формуле A25), мы видим, что разложение подинте-
гральной функции по целым положительным степеням лг1 начинается
с члена ( i—2Я+2)» а разложение ОЛ(лг) начинается с члена
•pz—j—гт щ^. Сравнивая с формулой A32), получаем следующее
уравнение для С:
-1
или
откуда [I, 100]
ог> 2яBя —21...4.2 1_
и, принимая во внимание A33), получаем C = -^+i. Подставляя в
A32), получаем выражение Qn(x) в виде интеграла
1
Q«(*)=2^i$ ((ilff".^- A34)
Это выражение годится на всей плоскости комплексного перемен-
ного лг, кроме отрезка —1^лг^1. Дадим теперь представление
Qn(x) через гипергеометрический ряд. Предварительно запишем
формулу A33) при помощи функции T(z), причем используем
соотношения A43) из [73] при z = n-\-\ и формулу ГBя-|-2) =
= Bл+1) Г B/1+ 1):
(
а _ Г B-Ц) _ ( 1)
а« — 1Г(л+ OP 2»— B„ +1)уг«Г(«+1)* U '
Отметим далее, что преобразование t — x* переводит уравнение
Лежандра A18) в уравнение
а это последнее уравнение есть уравнение Гаусса с параметрами
+р= ^, 7=1. Пользуясь первой из формул при
= t и заменяя ? на лг2, мы получим решение уравнения A18)
518 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [144
которое в бесконечно далекой точке ведет себя так же, как и Qn(x)>
а потому отличается от Qn(x) лишь постоянным множителем.
Остается выбрать С так, чтобы решение A36) совпало с Qn(x)t
1 1
разложение которого по степеням - начинается с члена то—т Шл •
? \zn т~ *) апх
Это дает С= ,2 , п—, и мы получаем
До сих пор речь шла о функции Qn(x) при целом положитель-
ном п. Можно определить Qn(x) как второе решение уравнения A18)
и для любых значений п, как это мы делали для Рп(х). Обратимся
к интегралу A34). Он имеет смысл, если вещественная часть (п-\-1)
положительна, и может служить определением Qn(x) при указанном
для п условии. В общем случае можно определить Qn(x) контурным
интегралом A19) при подходящем выборе контура. Выражение A37)
годится для п, отличных от целых отрицательных значений. Надо
при этом иметь в виду, что если п — не целое положительное число,
то функция Qn(x) имеет точку лг = оо точкой разветвления. Она
определена в плоскости с разрезом от х = — оо до лг=1. Если
п — целое отрицательное число, то, полагая п = —т — 1, где т —
целое положительное число или нуль, мы видим, что уравнение A18)
переходит в уравнение
и в качестве решений уравнения A18) можно взять Рт(х) и Qm(x).
Для функций Qn(x) легко проверяются формулы C7), C9) и D0)
из [133].
§ 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
144. Определение функций Бесселя. Мы впервые встретились
с функциями Бесселя при решении задачи о колебании круглой
мембраны [II, 178]. Формулируем те результаты, которые были там
получены, устанавливая связь между волновым уравнением и функ-
циями Бесселя.
Волновое уравнение в плоском случае имеет вид
Разбирая колебание круглой мембраны, мы ввели полярные коор-
динаты на плоскости
x=rcos<f, y =
144] § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 519
и нашли те решения уравнения A), которые представляются в виде
произведения трех функций, из которых одна зависит от t, другая —
от г и третья — от ср. Такие решения имеют следующую форму:
(a cos со^ -|— р sin ut)(C cos/?cp -j- D sin/?cp) Zp (kr\ B)
где а, р, С и D — произвольные постоянные, а постоянные со, k и
а должны быть связаны соотношением
оJ = ?2а2. C)
Через Zp(z) в предыдущей формуле мы обозначаем любое реше-
ние уравнения Бесселя
Заметим еще, что постоянная р в выражении B) может также
иметь любое значение. Мы ее брали равной целому числу, поскольку
хотели получить решение, обладающее периодом 2т? по отношению
к переменной ср. Кроме того, желая получить решение, которое
остается конечным при г = 0, мы брали за Zp[z) то решение
уравнения D), которое остается конечным при z = 0y т. е. решение
Jp(z) (/?^=0), которое представляет собою функцию Бесселя. Значе-
ние постоянной k, а вместе с тем в силу C) и постоянной со, опре-
делялось из предельного условия. В дальнейшем будем иметь еще
применение функций Бесселя. В настоящее время займемся изучением
свойств функций, определяемых уравнением D), и начнем с изучения
функции Бесселя, о которой говорилось выше.
Функция Бесселя с точностью до постоянного множителя опре-
деляется разложением вида [II, 48]
E)
Если р = п есть целое положительное число или нуль, то мы
выбирали постоянный множитель С равным ^гт, причем, как всегда,
0!=1. Таким образом, для функции Бесселя с целым положитель-
ным значком мы имели выражение вида
Если р не есть целое число, то в формуле E) принимаем посто-
янный множитель С равным
520 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [145
и, таким образом, придем к следующему выражению для функции Бесселя:
W ? L1 () + [)
- \\{р+\)
или, в силу основного свойства функции Г (.г),
Можно показать, что функция Бесселя с целым отрицательным
значком (—п) лишь постоянным множителем (—1)" отличается
от функции Бесселя с таким же целым, но положительным значком.
Если р отлично от целого числа, то функции Jp(z) и J_p(z) дают,
очевидно, два линейно независимых решения уравнения Бесселя [II, 48].
Ряд G) сходится, как мы это видели, при всех конечных значениях z.
145. Соотношения между функциями Бесселя. Выведем теперь
некоторые основные соотношения, которыми связаны функции Бесселя
с различными значками. Производя дифференцирование степенного
ряда G), получим
d JP (*) _ d у (— l)fe z2k _у (— 1)*. 2k z2*-1 g.
Л = 0 ' /г = 1
или, заменяя переменную суммирования k на k -j-1 и начиная сум*
мировать с k = 0,
d Jp(z) _V (—I)fe+12(fe +
dz zP Id (k + 1
/г=0
ИЛИ
fz\
\2)
J_ _ у () \
dz zP ~ zP L k\T(p4-\+k+l) \2)
Мы получаем, таким образом, сравнивая с G), следующую формулу:
d JpK*) _ JP+i(z)
dz zP ~* zP ' ^
Производя дифференцирование дроби, можно переписать эту
формулу в таком виде:
145] § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 521
Разделим обе части формулы (9) на z:
1 d Jp(z)_ Jp+l(z)
z dz zP zP+1 '•
Написанное соотношение можно формулировать словами следую-
щим образом: дифференцирование дроби -^- с последующим деле-
нием на z равносильно увеличению р на единицу и изменению знака
у упомянутой дроби.
Применяя это правило несколько раз, получаем следующую фор-
мулу, справедливую при любом целом положительном т:
(zdz)m zP * ' zP+m '
Формулу эту можно еще переписать следующим образом:
fjttl Т (*\ Т /^\
** Jp У*/ / 1 \m Jp+m \*)
1
d (z2)m zP —^ 2mzp+m '
Продифференцируем теперь произведение zpJp(z) no z;
A_7Pi /„4_ \ (-l)k2(p + k)
dz z ирУ?>— Z k\T( \)
или, принимая во внимание, что T(p-\-k-\- \)={p-\-k)T(p-\-k\
получим
т. е., в силу G), приходим к формуле, аналогичной формуле (9):
^z%(z) = z%_l(z). A3)
Дифференцируя произведение, можем переписать эту формулу
следующим образом:
J'pi.z) = Jp_l{z)-^-. A4)
Разделим обе части формулы A3) на z:
Применяя несколько раз эту формулу, приходим к формуле,
аналогичной A1):
dm
j^» zPJp (г) = zP~mJp_m (г) A5)
или
нт 9р-т г /9\
ф^гРМг)=* Jm»W. A6)
522 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [145
В формулах A1) и A5) мы пользовались следующим обозначе-
нием:
dm f, ч d d d
(zdz)mJ K } zdz zdz "'¦
где число дифференцирований по z с последующим делением на z
равно т.
Сопоставляя формулы A0) и A4), получаем соотношение между
тремя последовательными функциями Бесселя
г ^p+i \z)== Jp-\ \z) г
или
Пользуясь предыдущими формулами, покажем теперь, что функции
Бесселя, значок которых равен половине целого нечетного числа, т. е.
имеет вид ± т^г , где т — целое число, выражаются через эле-
ментарные функции. Применим для этого формулу G) к случаю /? = ^:
1
Применяя несколько раз основное свойство функций Г (г), будем
иметь
и, таким образом, получим
оо 4- + 2Л оо
г -V—У (-
т. е.
jL(z)
Применяя теперь формулу A1), будем иметь при любом целом
положительном т
/fr^^(J|i) A9)
146] § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 523
Аналогичные результаты получаются и для отрицательных знач-
ков. Формула G) при р = —^ Дает
и, применяя затем формулу A5), получим при любом целом положи-
тельном т
z)=y-г 2 -^рг(-^). B1)
Мы выписали выше [II, 48] в раскрытом виде выражение бес-
3 5
селевых функций для значков р = ±^ и р = ±^%
146. Ортогональность функций Бесселя и их корни. Как мы
уже говорили, функции Бесселя применялись нами раньше при рас-
смотрении колебаний круглой мембраны. При этом мы использовали
обычный метод Фурье и, для того чтобы удовлетворить начальным
условиям задачи, нам пришлось разлагать заданную функцию в ряд
по бесселевым функциям. Мы получили таким образом ряды, анало-
гичные рядам Фурье, причем оказалось, что функции Бесселя, в из-
вестном смысле, обладают свойством ортогональности [II, 178]. Сей-
час мы рассмотрим этот вопрос с более общей точки зрения и
выясним некоторые дополнительные обстоятельства.
Как известно, функция Jp(kz) удовлетворяет уравнению [II, 48]
г dz
или, умножая на z, можем написать уравнение в виде
Мы будем в дальнейшем считать, что значок р — вещественный и,
кроме того, /?^0.
Возьмем два различных значения числа k и напишем соответст-
вующие дифференциальные уравнения:
524 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [146
Умножим первое уравнение на Jp (k2z), второе — на Jp (k^z), вычтем
и проинтегрируем по некоторому конечному промежутку @, /):
С Г, /t ч d Г ^p(Mi , ,, ч d Г dJp(k*z)l\
} — *5) J zJp faz) Jp (k*z) dz = 0.
0
Выражение, стоящее под знаком первого интеграла, представляет
собою полную производную по z от разности
d Г dJp(kxz) dJp(k2z)
можно, таким образом, написать
dJp (ft,*) rf/p (M) Л*-'
J
k\ — kl) \ zJp {k\Z) Jp {k%z) dz = 0.
о
Но мы имеем, очевидно,
где обозначаем вообще
и, следовательно, предыдущая формула может быть записана в виде
[k\zJp (kiz) Jp (k%z) — k^zJp (k%z) Jp (kiz) ]* ~ 0 +
r = 0. B2)
0
Напомним разложение бесселевой функции
2Tfc+Ui)? B3)
Отсюда в силу р^О непосредственно вытекает, что внеинте-
тральный член обращается в нуль при z = 0, и мы приходим окон-
чательно к следующей основной для дальнейшего формуле:
+ (AJ - Щ \ zJp (kiZ) Jp (k%z) dz = 0. B4)
146) § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 525
При /=1 эта формула принимает вид
- kjp (k,) Jp (k,) +
+ (k\ — k\) \ zJp {hz) Jp (k*z) dz = 0. B5)
Мы предполагали при предыдущих вычислениях, что /? ^ 0. Не-
трудно непосредственно проверить, что интегралы имеют смысл, и
внеинтегральный член в формуле B2) обращается в нуль для z = 0
и при более общем предположении р^>—1.
Покажем прежде всего, что функция Бесселя не может иметь
комплексных корней. Положим сначала, что она имеет такой корень
a-\-ib, причем а ф 0. Разложение G) имеет все коэффициенты веще-
ственными, и, следовательно, функция Jp(z\ кроме корня a-\-ib,
должна иметь и сопряженный корень а — lb. Обратимся к формуле
B5) и положим k^=.a-\-ib и k.2 = a— lb. При этом k\ ф!г\, и эта
формула даст нам
1
\zJp(kiz)Jp{hz)dz = 0.
о
Величины Jp(kiz) и Jp(k.2z) будут мнимыми сопряженными, следо-
вательно, в предыдущей формуле под знаком интеграла стоит поло-
жительная величина, и эта формула не может иметь места. Остается
теперь рассмотреть случай а = 0, т. е. показать, что функция Jp(z)
не может иметь и чисто мнимых корней ± lb. Действительно, под-
ставляя в формулу B3), мы получим разложение, содержащее поло-
жительные члены:
00
Это обстоятельство непосредственно вытекает из того, что, со-
гласно формуле A11) из [71], функция Г (z) положительна при г^>0.
Мы приходим, таким образом, к следующему результату: если р веще-
ственно и р^>—1, то функция Jp(z) имеет все корни веществен-
ные. Заметим, кроме того, что из разложения B3), содержащего
только четные степени, непосредственно вытекает, что корни Jp{z)
будут попарно одинаковыми по абсолютной величине и обратными
по знаку, так что достаточно рассматривать только положительные
корни. В дальнейшем мы и будем подразумевать только такие корни.
Напишем асимптотическое представление функций Бесселя [112]:
ИЛИ
526 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ A46
При беспредельном удалении z вдоль положительной части веще-
ственной оси второе слагаемое в квадратных скобках стремится
к нулю, а первое бесчисленное множество раз переходит от — 1
к —]— 1. Отсюда непосредственно вытекает, что функция Jp(z) имеет
бесчисленное множество вещественных корней.
Если z = ki и z = k% — два различных положительных корня урав-
нения
Jp(zt) = 0, B6)
то формула B4) дает нам непосредственно следующее свойство
ортогональности функции Бесселя:
i
\zJp{kvz)Jp{hz)dz = O. B7)
о
Согласно теореме Ролля функция J'p(z) также должна иметь бес-
численное множество вещественных положительных корней, и если
мы обозначим теперь через k^ и k% два различных положительных
корня уравнения
fP(zt) = 0, B8)
то в силу B4) будем иметь точно такие же условия ортогональ-
ности B7).
Рассмотрим теперь уравнение более общее,, чем написанное выше,
а именно уравнение вида
ЧИ+МИ = 0, B9)
где а и C — заданные вещественные числа. Пусть z = ki и z = k%—
два различных корня уравнения B9), т. е.
Отсюда непосредственно следует
kjp (ktt) Jp (kj) —**/; (kj) Jp {hi) = 0,
а следовательно, и в этом случае внеинтегральный член в формуле B4)
обращается в нуль, и мы имеем по-прежнему условия ортогональ-
ности B7). Частным случаем уравнения B9) являются, очевидно, урав-
нения B6) и B8). Из условия ортогональности, как и выше, непо-
средственно вытекает, что уравнение B9) не может иметь комплексных
корней a-\-ib> где а ф 0.
Кроме того, так же как и выше, можно показать, что уравнение
B9) не имеет и чисто мнимых корней, если только а^>0 и Р^>0.
Напомним два известных нам соотношения:
^m!)w!) ^4 C0)
Первое из них, в силу теоремы Ролля, показывает, что между
двумя последовательными корнями Jp(z) лежит по крайней мере
146] § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 527
один корень Jp+l(z). Второе соотношение показывает, что между
двумя последовательными корнями Jp+i(z) лежит по крайней мере
один корень Jp(z). Сопоставляя это, непосредственно убеждаемся в
том, что положительные корни Jp(z) и Jp+\(z) разделяют друг друга,
т. е. что между двумя последовательными положительными корнями
Jp(z) находится один и только один корень Jp+i(z), и наоборот.
Пусть а и Ь — наименьшие положительные корни Jp(z) и Jp+l(z).
Принимая во внимание, что zp+lJp_i(z) имеет корень г = (У и при-
меняя ко второй из формул C0) теорему Ролля, мы видим, что Jp(z).
должна иметь корень внутри промежутка @, Ь\ т. е. а<^Ь.
Таким образом, мы видим, что наименьший положительный ко-
рень функции Jp (z) будет ближе к началу, чем у Jp+i (z). Заметим,
кроме того, что функция z~pJp(z) есть решение уравнения [110]
и, следовательно, функции z~pJp(z) и -р [z~pJp (z)] не могут иметь
общих положительных корней [107]. Следовательно, то же самое
можно сказать, в силу C0), и относительно функций Jp{z) и Jp+i(z).
Свойство ортогональности функций Бесселя играет важную роль
при разложении заданной функции по функциям Бесселя, как это
имело, например, место в задаче колебания круглой мембраны.
При этом представляется существенным уметь также вычислять
интегралы вида
i
\zJ%(kz)dz,
о
где z = k есть корень уравнения вида B9). Рассмотрим тот случай,
когда k есть просто корень уравнения B6). Возьмем формулу B4),
в которой мы положим k2 = k и kt будем считать переменным и
стремящимся к k. Формула даст нам
С ikJ' (kl) Jp (ktl)
(ki-\-k) \ zJp(klz)Jp(kz)dz= p\ I .
При k\->k не только знаменатель дроби, но и числитель обра-
тятся в нуль, так как Jp(kil) будет стремиться к Jp(kl) = O. Раскры-
вая неопределенность по обычному правилу, получим в пределе
i
или
I
Р /2
C1)
528 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [147
Возьмем известное нам соотношение
d Jp(*) ViW
dz zP zP
и положим здесь z = kL При этом получится
так что предыдущую формулу можно записать еще следующим
образом:
J(kl) C2)
Совершенно аналогично мы получаем для того случая, когда z = k
есть корень уравнения B8):
zJf, (kz) dz = —^-rp (kl) Jp (?/). C3)
Но мы имеем
и, пользуясь равенством fp(kl) = 0, можем переписать формулу C3)
в виде
i
zTb (kz) dz=1 (Р - ?-) Jl (kt). C4)
147. Производящая функция и интегральное представление.
Рассмотрим аналитическую функцию комплексного переменного t
C5)
Она имеет существенно особые точки t = 0 и t = oo и разла-
гается, следовательно, в ряд Лорана на всей плоскости комплексного
переменного t, причем коэффициенты этого разложения будут функ-
циями параметра г, входящего в выражение C5):
*я\ ') 2 М)Л C6)
Покажем теперь, что эти коэффициенты и будут функциями
Бессселя Jn(z). Действительно, мы имеем для коэффициентов разло-
жения C6) следующее представление контурным интегралом [15]:
1471 § 2 ФУН1<Ц™ бесселя 529
где /0 — любой простой замкнутый контур, обходящий вокруг начала
в положительном направлении. Введем вместо и новую переменную
интегрирования t по формуле и =—, где z — некоторое фиксиро-
ванное значение, отличное от нуля. Точке и = 0 соответствует ?=0
и контур /0 перейдет на плоскости t также в некоторый контур,
обходящий вокруг начала в положительном направлении. Совершая
замену переменных, получим следующее выражение для коэффициентов:
На контуре /0 мы можем представить показательную функцию
в виде степенного ряда, равномерно сходящегося по отношению к t:
Подставляя это в предыдущую формулу, получим
/?=0 10
Если n-\-k есть целое отрицательное число, то подинтегральная
функция в последнем интеграле не имеет точку ? = 0 особой, и вели-
чина интеграла будет равна нулю. Если же (n-\-k) есть целое
положительное число или нуль,-то, вспоминая разложение е', мы
убеждаемся, что вычет подинтегральной функции в точке t = 0
будет равен . >.. Следовательно, при целом положительном зна-
[п -f- к)\
чении значка п мы получаем
т. е. an(z) действительно совпадает с Jn(z). Если заменим в фор-
муле C6) t на f—-г-), то левая часть останется неизменной, и это
показывает нам, что а_л(г) = (—1)ла„(г), т. е. при отрицательном
значении п имеем в силу (8)
Таким образом, вместо формулы C6) можно написать следующее
разложение:
t*g\ t)= 2 Мг)Л C7)
530 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [147
Иначе говоря, функция C5) является производящей функцией
для бесселевых функций с целым значком. Формулой C7) удобно
пользоваться для выяснения свойств функций Бесселя с целым знач-
ком. В частности, используем эту формулу для вывода интегрального
представления функции Бесселя с целым значком.
Полагая в формуле C7) t = et(?, получим
или, разделяя вещественную и мнимую части, причем z и ср мы счи-
таем вещественными,
оо — оо
cos (z sin cp) = JQ (z) -f~ 2 Jn (z) cos щ -f- ^ Л (*) cos яср,
я= 1 /г = — 1
оо —оо
sin (<г sin cp) = ^ Л (г)sin Щ 4" 2 ^Л (г) s^n WcP'
/1=1 Л = -1
или, принимая во внимание (8), получим
, (z) cos 2/гср,
C8)
00
sin (z sin cp) = 2 2 J^! (z) sin B#—1) cp.
Формулы C8) представляют собою разложение функций в ряд Фурье;
применяя обычный способ определения коэффициентов, получаем
следующие интегральные представления для функций Бесселя:
) = — \ cos(zsincp)cos2ясрrfcp (n = 0, 1, ...),
1 f
Лл-i (^) = -^ \ sin (^ sin <P) sin Bw — 1) cp dcp (я = 1, 2,...)
о
Тот же способ определения коэффициентов дает нам следующие
два равенства:
— \ cos (z sin cp) cos Bn — 1) ср rfcp = 0 ,
sin (z sin cp) sin 2 щ rfcp = 0,
— \ si
147] § 2. ФУНКЦИИ БЕССИЛЯ 531
Можно объединить формулы C9) в одну формулу, справедливую
как при четном, так и при нечетном значке. Рассмотрим для этого
интеграл
— \ cos (пу — г sin cp) rfcp =
о
те те
1С 1С
= — \ cos (z sin cp) cos щ rfcp -f- — V sin (г sin cp) sin яср d<p.
о о
При четном п первое слагаемое справа есть Jn(z), а второе равно
нулю, так что вся сумма равна Jn(z). При нечетном п первое сла-
гаемое будет нуль, а второе даст Jn(z\ так что при любом целом
положительном значке п мы имеем интегральное представление
•к
1 С
Jn(z) = — I cos(flcp — ^sincp)rfcp (# = 0, 1, 2, ...). D0)
о
Строго говоря, последнее равенство доказано нами лишь для
вещественных значений z. В силу принципа аналитического продол-
жения можем утверждать, что оно справедливо и при любом ком-
плексном z. Принимая во внимание четность подинтегральной функции,
мы можем записать эту формулу следующим образом:
Jn(z) = ^ \ cos(flcp — ?sincp)rfcp. D1)
— тс
Эту последнюю формулу можно еще записать так:
Jn (г) = JL С el (w-*sin v) rfcp. D2)
Действительно, применяя формулу Эйлера к показательной функ-
ции, получим два слагаемых, из которых одно будет равно инте-
гралу D1), а второе будет равно нулю, в силу нечетности подинте-
гральной функции.
Заметим, что формула D0) уже не имеет места, если значок п не есть
целое число. В данном случае мы имеем более сложную формулу, а именно:
1С 00
jp (Z) = 1 С cos (p? - г sin i) tf? - ^p. J ft»-*sh * db D3)
б
причем эта формула справедлива для значений z, лежащих справа от мни-
мой оси. Напомним при этом определение гиперболического синуса:
Доказательство этой формулы дано в [152].
532 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ A48
Применяя формулу C7) и пользуясь очевидным равенством
>Ю еИ<-4)=>
имеем
2 2 2
п=—со k = — со k = — оо
Перемножая степенные ряды, стоящие направо, и собирая члены с tnf
получим
+ СО
/«(* + *)- 2 h{a)Jn-k(b). D4)
k = — со
Эта формула выражает теорему сложения бесселевых функций с целым
значком.
Для значка, равного нулю, существует более общая теорема сложения,
а именно:
= Jo (a) Jo (b) + 2 fj /* (a\ Jk (b)cos Ы. D5)
fe = l
148. Формула Фурье — Бесселя. Для произвольных функций, опреде-
ленных в промежутке @, оо) и удовлетворяющих там некоторому дополни-
тельному условию, существует интегральное представление, аналогичное
интегралу Фурье, но содержащее вместо тригонометрических функций
функцию Бесселя, а именно: если /(р) непрерывна в промежутке @, оо) и
удовлетворяет условиям Дирихле [Н, 155] во всяком конечном промежутке
и, кроме того, существует интеграл
то имеет место при любом целом п и при р > 0 следующая формула:
/ (Р) = \ sJn (sp) ds jj tf (t) Jn (st) dt D6)
Приведем формальный вывод соотношения D6), не останавливаясь на
некоторых деталях доказательства. Будем считать р радиусом-вектором, вве-
дем полярные координаты и применим к функции
os?\
формулу Фурье [Н, 173], переставляя порядок внутренних интегралов:
-{-co-j-co -j-co-j-co
?(*>.V) = 4i? \ \ ei(u'x + vy) dadv \ \ g(b, •4)e-i{tt* + v'n)dbd4i.
— со—со —со — оо
Введем теперь вместо переменных (н, v) и E, yj) полярные координаты
$ = S COS а, 11 = t COS P,
Y] = S Sin а, V = t Sin p.
149] § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 533
Пользуясь D7), можем написать
оо те оо те
f (о) ein<? =-г» \ tdt \ е'Р'003^-?)^ \ sf{s)ds \ eim е" ш С03 (<х "" -} da.
Введя вместо р новую переменную интегрирования Р' по формуле
z
получим
— ist cos fa — 9 — В' 5"
Принимая во внимание периодичность тригонометрических функций,
можем привести промежуток интегрирования к прежнему промежутку
(—те, тс). Точно так же, вводя вместо а новую переменную а' по формуле
а — ? — р' = а',
получим
о о
откуда, принимая во внимание формулу D2), будем иметь формулу D6).
В случае функции, заданной в конечном промежутке @, /), вместо фор-
мулы D6) можно рассматривать разложение в ряд, аналогичный ряду Фурье,
по ортогональным функциям, о которых мы говорили в предыдущем пара-
графе.
Заметим, что формулу D6) можно доказать и для любых вещественных
значков л, больших f—s-J, а также при меньших предположениях отно-
сительно функции /(р).
149. Функции Ханкеля и Неймана. Мы определили выше [111]
два решения уравнения Бесселя
^_|__L^_j_(l _^.)-а; = о D8)
следующими формулами:
D9)
534 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [149
В этих формулах подинтегральная функция определена однознач-
ным образом на плоскости комплексной переменной т с разрезами,
проведенными из точек т = ±1 параллельно мнимой оси на -}-/оо,
а именно — в первой из формул мы считаем arg(x2— 1)=0 при т^> 1
и во второй формуле мы считаем argD2—1) = 2тг при т^>1. Пере-
ходя с отрезка A, 4"°°) вещественной оси на отрезок (—оо, — 1)
по нижней полуплоскости, минуя разрезы, мы совершаем полуобход
в отрицательном направлении относительно точек т = ±1, и, таким
образом, аргумент выражения (т2—1) = (т—1)(х —[— 1) получает при-
ращение (— 2тс), т. е., иными словами, во второй из формул D9) мы
должны считать arg(r*—1) = 0 при т<^—1. Формулы D9) опреде-
ляют функции Ханкеля для значений г, лежащих справа от мнимой
оси, т. е. имеющих вещественную часть больше нуля. Заметим, кроме
того, чтЬ подинтегральная функция в интегралах D9) при фиксированном
значении z является целой функцией параметра р и, принимая во вни-
мание быстрое затухание подинтегральной функции на бесконеч-
ности, мы можем утверждать, что и функции Ханкеля Hf\z)
при фиксированном z являются целыми функциями параметра р. Из
асимптотических выражений функций Ханкеля [111] непосредственно
вытекает, что эти функции представляют собою два линейно незави-
симых решения уравнения Бесселя. Мы видели также, что функция
Бесселя является полусуммой функций Ханкеля
<(*)+<<*), E0)
Можно провести тесную аналогию между уравнением Бесселя D8)
и уравнением
определяющим обычные тригонометрические функции cospz и sinpz.
При этом функции Ханкеля являются аналогами его решений eipz и
e~ipz, а функции Бесселя Jp(z) являются аналогом решения cospz урав-
нения E1). Введем теперь еще решение уравнения D8), равное раз-
ности функций Хенкеля, деленной на 21:
Np(z)= "p" (*)-"?'(*) , E2)
Это решение, называемое обычно функцией Неймана, будет ана-
логом решения sinpz уравнения E1). Из формул E0) и E2) непо-
средственно получаем следующие выражения функций Ханкеля через
функции Бесселя и Неймана:
z\ H?(z) = Jp(z)-iNp(z). E3)
Отсюда видно сразу, что функции Jp(z) и Np(z) определяют два
линейно независимых решения уравнения D8).
149] § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 535
Для функций Ханкеля мы имели следующие асимптотические
представления:
E4)
которые были нами доказаны при г^>0. Пользуясь формулой E0),
можно, как было уже указано раньше [114], получить асимптоти-
ческое представление функций Бесселя
- т -
и точно так же, пользуясь формулой E2), мы получаем асимптоти-
ческое представление функций Неймана при
Во всех написанных формулах надо считать z^>0 и радикал
брать положительным.
Выведем теперь формулу, выражающую функцию Неймана через
функции Бесселя. Сначала рассмотрим тот случай, когда значок р
отличен от целого числа. В этом случае, как мы знаем, уравнение D8)
имеет два линейно независимых решения Jp(z) и J_p(z). Второе из
этих решений должно выражаться линейно через решения Jp(z)
w Np(z\ которые, как было выше указано, тоже являются линейно-
независимыми решениями, т. е. мы должны иметь формулу вида
J-p B) = QJp (г) + C,NP {г\ E7)
где Q и С2 — постоянные коэффициенты, которые мы сейчас и опре-
делим. Принимая во внимание асимптотические выражения E5) и E6),
можно написать
г + у—4j = C|CO8~T
+ С, sin (z - f - ?) + dO B-1) + C,0 (г-1).
Заметим, что произведение постоянной или вообще ограниченной
функции на величину O(z~1) порядка — дает также величину O(z~l)
порядка —. Мы получаем, таким образом,
z
E8)
536 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [149
Отсюда можно вывести значение постоянных, сравнивая главные
члены в написанных разложениях. Действительно, положим
Q = cos pn — Ah С2 = — sin pn — Л 2,
где Ai и Л2— новые искомые постоянные. Подставляя в формулу
E8), получим
) ( J-
или
л I DTZ ТС \ • л I /?ТС ТС \ -. . _|Ч
Л1С08(г — Чу -т-1 -\- AvSmiz — ^ 4") = 0B '»
т. е. левая часть написанного равенства, являющаяся периодической
функцией с периодом 2тс, должна стремиться к нулю при г->-]~°°*
Отсюда непосредственно следует, что мы должны иметь Л1 = Л2 =
= 0, т. е.
Q = cos рп, С2 = — sin/?Tc.
Подставляя эти значения постоянных в формулу E7) и решая
относительно Np(z), придем к искомому выражению функции Ней*
мана через функции Бесселя:
w , ч Jp(z)cospn — J_p(z)
Функции Неймана, как и функции Ханкеля, суть целые функции
параметра р. Формула E9) справедлива, если р отлично от целого
числа. Если р равно целому числу, то знаменатель формулы E9)
обращается в нуль. Но, очевидно, и числитель будет равен нулю,
в силу соотношения (8). Таким образом, чтобы получить значение
дроби E9) при целом /?, мы должны будем просто раскрыть неопре-
деленность, заменяя числитель и знаменатель их производными по
параметру р и полагая затем р равным целому числу п:
т ,, . dJ-P (*)
COS /77C ТС Jp (Z) Sin РП
"n\*J— тс C0S/7TC
Получаем, таким образом, следующее выражение функции Неймана
с целым значком:
149) § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 537
Подставляя выражение E9) в формулы E3), получим формулы,
выражающие функции Ханкеля через функции Бесселя для случая
нецелого р:
l ;
Р У ' Sin /771
Из этого соотношения непосредственно вытекает следующая за-
висимость между функциями Ханкеля, значок которых отличается
лишь знаком:
Н1]р (z) = е1** H^z); H{l]p(z) = в'{^ Hf (z\ F2)
Строго говоря, эта формула доказана нами в предположении, что
р отлично от целого числа. Но левая и правая части формулы F2)
суть целые функции от /?, и, следовательно, формула справедлива
при любом р. Если р есть целое число, то числитель и знаменатель
формул F1) обращаются в нуль. Раскрывая неопределенность, как
и выше, можем получить формулу и для целого р = п.
Рассмотрим, наконец, тот случай, когда значок р имеет вид/? =
= к—, где т — целое положительное число или нуль. Если мы
подставим такое значение р в формулы D9), определяющие функции
Ханкеля, то под знаком интеграла будем иметь функцию, регулярную
на всей плоскости, включая точки т = ±1, и, следовательно, интег-
ралы обратятся в нуль. Но при этом множитель Г l-j — р) обратится
в бесконечность, и формулы D9) потеряют смысл. Вместо этих фор-
мул обратимся к разложениям из [114]. Вообще говоря, эти разло-
жения были расходящимися, но формально удовлетворяли уравнениям,
как это мы показали раньше. В рассматриваемом случае они не только
будут сходящимися, но просто превратятся в конечные суммы и да-
дут нам выражение функции Ханкеля в конечном виде. Рассмотрим,
например, первую функцию Ханкеля со значком р = —Т~~:
•( .
ИЛИ
2 У \Ч
ш—L
538 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [149
Отсюда непосредственно видно, что все слагаемые, соответствую-
щие k^m-\-\, обратятся в нуль, и мы будем иметь следующее
представление функции Ханкеля:
1 Ьтг • F3)
Точно так же для второй функции Ханкеля будем иметь конеч-
ное представление в виде
" [-iz] '.F4)
Формулы E9), F1) и F2) остаются справедливыми и для знач-
ков р= у~—. Заметим, что можно принять формулы F1) за опре-
деление функции Ханкеля при р = —^—; принимая во внимание
A9) и B1), получим
или
так что окончательно можно написать
2 Jt dm f—ismz —
\
2
и совершенно аналогично
^- 1Г+1 / У^ГР A?js (т) F5)
4* 2
?). F6)
Отсюда можно получить, между прочим, и разложения F3) и F4).
При р = -2~, пользуясь F1), а также выражениями
2 г 2
получаем
Я? (г) = — / у ^ б?'*; Я|} (г) =
2"" ^
150] § 2- функции бесселя 539
Для функций Ханкеля можно легко доказать ряд соотношений,
аналогичных тем, которые мы имели выше для функций Бесселя.
Приведем некоторые из них:
dm 1Ир1)(г)\ umHp%m{z) ш dm /Яр2' (z)\__ umHp + m(z)
(zdz)m\ zP I ^ ' zP+m ' (zdz)m\ zP I * } zP+m f
Ц H<}> (z) = H?-1 (*) + Н?+1 (г); Ц Hp» (z) = H$L {(z) + H(p\ i {z\
Заметим, что из определения Jp(z) следует, что Jp(z) и Np(z)
вещественны, а Н{р (z) и Hp2)(z) суть мнимые сопряженные при
вещественных р и z.
150. Разложение функций Неймана с целым значком. При целом
значке решения Jn (z) и J_n (z) будут линейно зависимыми, и за второе ли-
нейно независимое решение мы можем взять Nn (z). Представляет интерес
поэтому вывести разложение для этого решения, справедливое на всей пло-
скости. Согласно общей теории Фукса, это разложение должно, кроме целых
степеней z, содержать еще In z.
Предварительно выясним некоторые формулы, относящиеся к функции
Г (z). Мы имели для этой функции следующее бесконечное произведение
Вейерштрасса:
¦ =е
T(z)
где С—постоянная Эйлера. Как известно [68], мы можем написать лога-
рифмическую производную для этого произведения по тем же правилам,
что и для конечного произведения. Отсюда
J 1\
+ k T)
полагая z = n, где n — некоторое целое положительное число, получим
00
Ш__±_с- У f—L. -1) -
Г (л) ~" л ° ii \л + k k)~~
ИЛИ
Ш—1—4-—+ 4-1 С (п-2 3 )
Г (л) -„_l + n_2+"-+'~C (tl-Z> 6> ->'
Далее имеем Г (л) = (л — 1)! и, следовательно,
F7)
и при *=1 получим ГA) = 1 и ГA)= — С, а потому
540
ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[150
Займемся теперь тем случаем, когда t равно целому отрицательному
числу или нулю. Мы знаем, что Г (z) имеет в точке z = — п полюс первого
/ пя
порядка с вычетом -—~—, т. е. мы имеем вблизи этой точки разложение
или
?±«
Отсюда при помощи простого дифференцирования находим
d 1
dt Vlt) t = -n
= (-1)»л! (я = 0, 1, 2, ...).
F9)
Обратимся теперь к нахождению разложения решения Nn (z), опреде-
ляемого формулой F0). Мы имеем
\±Р V (—
2k
и, дифференцируя по параметру р, получим
dJp(z)
Мы должны положить затем р — п, причем будем иметь
[ = /z-f-* + l
Подставляя в формулу F0) и пользуясь формулами F7) и F9), получим
окончательно при п^ 1
151] § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 641
И ДЛЯ п=^0
оо
" ^ (Л!)а \~2~У
/г = 1
151. Случай чисто мнимого аргумента. Если Zp(z) есть неко-
торое решение уравнения Бесселя, то, как мы знаем, Zp(kz) является
решением уравнения [II, 49]
' = 0. G2)
Полагая здесь k = i, мы видим, что функция Zp(iz) есть решение
уравнения
Возьмем сначала Zp(z) равной Jp(z):
Чтобы получить решение уравнения G3), вещественное при ве-
^0
щественном р и 2^>0, умножим написанное решение на постоянную
i~p = e 2 . Таким образом мы получим следующее решение урав-
нения G3):
1
Ip(z) = e 2
Функция I_p (z) тйкже является решением уравнения G3), и если р
отлично от целого числа, то Ip(z) и Lp(z) суть два линейно незави-
симых решения уравнения G3).
Если мы теперь возьмем Zp(z) равной первой функции Ханкеля
Hp^z), то, добавляя еще некоторый постоянный множитель, придем
к следующему решению уравнения G3):
Kp(z) = \ne*PKiHy{iz\ G5)
Принимая во внимание F2), можно переписать эту формулу сле-
дующим образом:
Р G6)
542 гл. vr. специальные функции [151
Пользуясь первой из формул F1), мы можем выразить Kp(z) через
l±p(z). Действительно, эта формула дает
или, пользуясь G4),
и окончательно
— \ pni — — pni
2 /() 2
sin/
Функции /р^) и Кр(-г') удовлетворяют соотношениям, аналогич-
ным тем, которые мы в [145] вывели для Jp(z).
Пользуясь определением G4) и свойством J_n(z) = (— lLJn(z)
функций Бесселя с целым значком, нетрудно показать, что
Ln(z) = In(z). G8)
Выражение функции Kn(z) с целым значком можно получить
из G7), переходя к пределу при р-+п и раскрывая неопределен-
ность:
Как мы упоминали в [111], асимптотическая формула
2
справедлива при —iu-]-e<^arg^<^^ — е, а потому можно вместо z
подставить iz, считая z вещественным положительным и arg (?г) =-^-.
Применяя формулу G5), получим асимптотическое выражение Kp(z)
при ^0
или
т. е. функция Kp(z) убывает по показательному закону при z-+-\-oo.
Уравнение G3) часто встречается в математической физике, и
при этом решение Kp(z) с упомянутым законом убывания имеет
большое значение в приложениях к физическим задачам.
152] § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 543
Иногда символом Kp(z) обозначают функцию, которая в приве-
денных нами обозначениях равна cos ръКр (z).
Если в уравнении G2) заменить k на ik, то мы увидим, что
функции Ip(kz) и Kp(kz) являются решениями уравнения
Эти решения будут линейно независимыми так же, как Jp(z) и
Hpl)(z) для уравнения Бесселя.
Существуют в большом числе таблицы функций Бесселя. Укажем,
например, на книгу Р. О. Кузьмина «Бесселевы функции», в ко-
торой имеются и таблицы.
152. Новые интегральные представления. Для выяснения ряда свойств
функций Бесселя удобно пользоваться интегральными представлениями, отли-
чающимися от тех, которые мы вывели раньше. Эти представления могут
быть получены или суперпозицией плоских волн *), или методом интеграль-
ных преобразований 2), или же, наконец, методом прямого преобразования
введенных выше явных выражений для функций Бесселя. Мы будем сле-
довать третьему пути рассуждений. Подставим в формулу G) вместо
jtt—.и I 1 у ее выражение через контурный интеграл [74], т. е.
1
\~2ni у
где V — контур, охватывающий отрицательную часть вещественной оси. Мы
получим
Jo B) == п~7
~2ш )
-».о ^~ [Т)
Выполняя суммирование, найдем
Будем считать, что комплексное число z удовлетворяет условию
|arg*|<-j-, (82)
и сделаем замену переменных по формуле x = -^-zt Тогда мы получим
1'dt, (83)
1) Ф. Ф
8) Р. К
Ф. Франк, Р. М и з е с, Уравнения математической физики, 1937.
"у рант, Д. Гильберт, Методы математической физики, 1951.
544 гл. vr. специальные функции [152
причем в качестве пути интегрирования / можно взять прежний же петле-
образный контур /'. Формула (83) была указана Н. Я. Сониным A870 г.).
Выберем в качестве / контур, состоящий из нижнего берега разреза по
отрицательной части вещественной оси, круга 111 = 1 и верхнего берега
упомянутого разреза. Перейдем к новой
переменной интегрирования по формуле
t = ew. Тогда путь интегрирования / пе-
рейдет в контур Со, изображенный на
рис. 74, а функция Jp {z) представится
следующим окончательным выражением:
(84)
17Г
Заметим, что все участки контура Со,
Рис. 74. расположенные на конечном расстоя-
нии от начала координат, можно дефор-
мировать любым образом. Для получе-
ния дальнейших результатов удобно преобразовать интеграл (84). Это легко
сделать, если считать, что Со имеет вид, указанный на рис. 74 и положить
w = ср — ni.
Пользуясь соотношением sh (ср + 2тт;/) = sh ср, нетрудно получить следую-
щую формулу (ср. [147]):
Jp (z) = i [ cos (/?<p — z sin cp) tfcp — ^? { e-Pv-*sb 9 dy> (85)
Построим теперь интегральные представления типа (84) для остальных цилин-
дрических функций.
Если воспользоваться формулой (85), а также соотношением [149]
то можно получить равенство
С 1 Г
nNp (Z) = Ctg/?n V COS (py — Z Sin cp) tfcp : У COS (py + Z Sin cp) flftp —
0
ИЛИ
ie оо
I = - \ sin (z sin cp — /?<р) Жр V (еР9 + <гР? cospn) е~г*ъ 9 Жр. (86)
Последняя же формула, вместе с формулой (85), позволяет найти и инте-
гральные представления для функций Ханкеля:
Яр1' W = Jp (*) + Шр (г)% Нр> (z) = Jp (г) - iNp (г).
153] § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 545
Мы получаем
(87)
где Ct и С2 являются бесконечными контурами, соединяющими точку (— оо),
соответственно, с точками (оо, я/) и (со, —я/). Распространение формул (85)
и (87) на случай произвольных значений z можно произвести методом ана-
литического продолжения.
153. Асимптотические представления. Полученные интегральные пред-
ставления (84) и (87) удобно применить для нахождения приближенных
выражений цилиндрических функций в случае больших значений [ z | или | р |.
Обозначим
f = 5 (88)
и введем в рассмотрение функцию
.%w. (89)
Тогда интегралы из формул (84) и (87) примут следующий вид:
С dWt (90)
Будем считать, что риг суть положительные вещественные числа и вос-
пользуемся методом скорейшего спуска.
Для проведения этого метода прежде всего необходимо выяснить поло-
жение седловых точек w0, определяемых из условия
f(wo) = chwo — 5 = 0,
установить расположение контуров
Im (sh w — %w) = Im (sh w0 — Zw0)
и убедиться в том, что контуры Си С2 и Со могут быть приведены к линиям
наибыстрейшего изменения функции (89).
Мы рассмотрим все эти вопросы, причем будем различать три случая
в зависимости от значения числа ? = —.
Z
1. Случай 0<6<1; 2-> + оо.
Седловые точки имеют значения ± р/, где cosp = ?. Будем считать, что
0 < р < -к, и выясним расположение стационарных контуров.
Рассмотрим вначале полуполосу Ог^а^тс; м^О (w = u-{-w). В седло-
вой точке
= cos p ^0<p<^j; Г (*f}) = /sinfc sin p > 0. (91)
Как следует из построений [79], направление стационарного контура, вдоль
которого Re/ убывает (соответственно возрастает), определяется равенством
arg (w — р/) = -2 f соответственно arg (w — р/) = — -^),
546
ГЛ. Vr. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[153
Уравнению стационарных контуров lmf(w) = Im/(ft/), проходящих через
стационарную точку ft/f 0<ft<-|), можно придать вид
; — ft) cos ft 4" s*n ft
h
sin г;
(92)
откуда
du sin v cos ft — cos v sin ft — (v — ft) cos z/ cos ft
dv "" sh и sin21; ~~
v r p T
1С Г
= -r r-5— \ sin гм t> cos ft 4- 17 sin 7 dy dv.
sh и sin2 v j .1
8 L о J
(93)
Таким образом, — >0 или <0 в соответствии со знаком v — p.
Из [92] следует, что при г;-*0 и при v—+n и—+-\-со. Следовательно,
стационарный контур, вдоль которого Re/(до) убывает, выходит из седловой
V
Рис. 75.
точки w = р/ под углом -^ к вещественной оси и монотонно удаляется от нее
(¦т->0), приближаясь к своей асимптоте v = tz, м>0 (при а—* + оо,
v —+ъ). Стационарный контур, вдоль которого Re/(«;) возрастает, выхидит
из стационарной точки w = pi под углом arg (w — ft/) = — —и при а—* со
приближается к вещественной оси v = 0, имея ее своей асимптотой.
Стационарные контуры в полосе —оо<м<0, 0<о<яив полосе
— оо<м< + оо, — 7i<t;<0 нетрудно построить, зеркально отражая
построенные нами контуры сначала от мнимой оси, потом от вещественной.
Это легко следует из четности по и левой части формулы \mf(w) — Im/(p/) = 0
и уравнения
и (v + Р) cos Э — sin ft
ch и = ^—' r/ ,— -
sin v
(94)
стационарных контуров, проходящих через седловую точку —ft/. На рис. 75
стрелками на стационарных контурах указано направление убывания Re/(w).
В качестве контуров Ct и С2 в формулах (87) для функций Ханкеля можно
взять стационарные контуры а и Ь (рис. 75).
153] § 2. функции бесселя 547
Применяя обычную схему метода скорейшего спуска к интегралам
Нр (г) = Н{% (г) =Д С е2 (sh w"iw) dw, (95)
Д
0<g<lf
Hf (z) = H{ZV (z) = — ~\ ez (sh W-W dwt (96)
получим
=^; 0<arccos$<~; fT^
Асимптотику функции Бесселя Jp (г) нетрудно найти, пользуясь форму-
лой
Если в формулах (97) зафиксировать /? = 4, то они переходят в полученные
нами уже асимптотические формулы A87) и A88) из [114].
При ?=1 интегралы (95) и (96) тоже можно вычислить по методу пере-
вала, однако при&= 1 в седловой точке о/ = 0, /@) =/ @) == f'@)t f" @)^:0
и формулы из [79] приходится применять уже в случае /7 = 3.
При 5 —* 1 правые части формул (97), (98) стремятся к бесконечности
и не переходят в асимптотические формулы для функций Н(*} (г) и Я^2) (г).
Случай, когда & = — меняется в окрестности точки 5=1, будет далее спе-
циально рассмотрен.
Если проанализировать процесс оценки остатка при проведении метода
скорейшего спуска [79], то нетрудно видеть, что функции О f — J в форму-
лах (97) и (98) удовлетворяют неравенству
где С на любом интервале 0<?г^1—г @<е<1, е фиксировано) можно
выбрать не зависящей от 5.
2. Случай §>1, р—> + оо. Седловые точки нн а (а > 0) находятся из
равенства cha = ?. Уравнение стационарных контуров имеет вид
Im (sh w—-$w) = Im (sh a — a ch a) = 0 A00)
или
ch и sin v = v ch a. A01)
Они распадаются на вещественную ось v = 0 и на кривую ch и = ——- 9
симметричную относительно координатных осей и имеющую две ветви.
548
ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[153
Стационарные контуры изображены на рис. 76. Направления, при движе-
нии вдоль которых вещественная часть Re/(о/) уменьшается, помечены
стрелками.
В качестве Ct и С2 (в формулах (87)) можно взять соответственно
контуры, идущие вдоль вещественной
оси из —со до точки а и далее по
стационарному пути в точку + оо -f- nl
или —оо — та (рис. 76). При р—*-{- со
главный вклад в интегралы (87) дает
интегрирование по окрестности точ-
ки-—а. Таким образом, асимптотические
разложения первой и второй функций
Ханкеля отличаются только знаком.
Для получения асимптотики функции
Рис. 76.
Бесселя
контур Со (в формуле (84)) можно де-
формировать в стационарный контур,
идущий из +оо — td в точку а и далее
(рис. 76). Главный вклад в интеграл (84) при/?—* + со дает инте-
грирование по окрестности точки а.
Применяя основную формулу из [79], получим
•=)). A02>
¦S <104)
Через О(—|в формулах A02), A03), A04) обозначены функции г и /?, допу-
оце*
(-3
екающие при ? = ->! и/?->оо оценку
С
'' Рш
A05)
Тщательное проведение оценок метода скорейшего спуска показывает, что
постоянную С здесь можно выбрать не зависящей ни от z, ни от р на полу-
оси 5^1 + е (е>0—произвольное фиксированное число).
При переходе 6 с отрезка 0^S< 1 на полуось ?> 1 характер асимпто-
тики функций Бесселя и Ханкеля существенно меняется. При 0^5<1,
г—> + оо эти функции осциллируют, при ?>1, z—* + oo функция Бесселя
экспоненциально убывает, функции Ханкеля экспоненциально растут.
3. Случай 1~е^е^1 +*•
Пусть ?, возрастая, пробегает отрезок 1 — e^l^l+e. Как следует
из предыдущего, две стационарные точки при 1—е^5<1, w = ±. i arccos5
функции
f (w) = sh w — %w
153]
§ 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
549
будут при возрастании 5 двигаться к началу координат и сольются в одну
точку о/ = 0 при ?=1. Дальше при возрастании 6 седловые точки опять
расходятся от начала координат, двигаясь уже и по вещественной оси влево
и вправо (w = ± In F + ]/"б8-— 1), 5 > 1).
Точка 8=1—точка смены форм асимптотик. Поведение функций Яр1' (г),
Н{р* (z)> Jp (z) ПРИ ~ = Ь меняющемся в окрестности точки 6=1, удается
описать с помощью функций Эйри [118], а именно: для любых целых т19
шч>0 имеют место формулы
2
+**Ф 2
dm®*.
m=0
Л
m=0
+ ¦
;\«8'F)Л у fk©
fe3 Lm=O
i-l
«ag + of > )i +
m=0
rm2-l
+ —?—\ L
_m=0
zim \z-
A06)
A07)
A08)
Здесь ty cm и flfm (w = 0, 1, 2, ...) — функции 5, не зависящие от /лх и mit
регулярные и вещественные при $>0, причем
СоF)>а
VH?)
Через O[—z—) и О | . ) обозначены функции от р и zt допускающие
\z"mi I \z~m2 I
оценки
О
z%
О
550 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [154
На любом интервале 1 —es^S^l+e @<е<1, е фиксировано) по-
стоянные cmi и ст^ можно выбрать не зависящими ни от z, ни от ?.
Для функций* ст (?), dm (?) получены рекуррентные соотношения, позво-
ляющие в принципе найти в явном виде эти функции при любом целом т.
Вывод формул A06), A07) довольно сложен. Он требует распростране-
ния классического метода скорейшего спуска на тот случай, когда у «фазо-
вой» функции две стационарные точки близки (в нашем случае, как мы
отмечали, при ? — 1 две стационарные точки стремятся к точке о/ = 0).
С этой модификацией метода скорейшего спуска и выводом формул
A06), A07) можно познакомиться по статье С. Chester, В. Friedman,
F. Ursell (Proc. Cambr. Philos. Soc. 1957, v. 53, J& 3, 599, 611).
Равномерные асимптотические формулы для функций Бесселя и Ханкеля
впервые были получены акад. В. А. Фоком в 1934 г. (ДАН, т. 1, № 3,
97—99).
Изложение настоящего пункта принадлежит В. М. Бабичу.
154. Функции Бесселя и уравнение Лапласа. Уравнение Бес-
селя встречается весьма часто при решении задач математической
физики. Мы не можем за недостатком места рассматривать сколько-
нибудь полно применение функций Бесселя и ограничимся лишь
основными фактами, устанавливающими связь уравнения Бесселя
с основными уравнениями математической физики.
Начнем с уравнения Лапласа. Мы исследовали раньше уравнение
Лапласа в сферических координатах и пришли, таким образом, к сфе-
рическим функциям. Точно так же, написав уравнение Лапласа в ци-
линдрических координатах и применяя метод разделения переменных,
мы придем к функциям Бесселя.
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид
д f dU\ .
МР) +
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения трех
функций: одной — только от р, второй — от о и третьей — от z:
Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получим
d\odR(t)] а*ф (Т) #2 (ж)
- = 0.
/?(р) ^ р Ф(ср) ^ Z(Z)
Каждая из двух последних написанных дробей должна равняться
постоянной величине, так как независимая переменная ср входит только
в первую из этих дробей, a z — только во вторую. Приравнивая
вторую из дробей постоянной (—р*) и третью — постоянной А2,
получим следующие три уравнения:
Ф* (?) +/>*Ф (?) = 0, Г (Z) - k^Z(z)=:0>
154] § 2. функции бесселя 551
или
Будем пока считать постоянные р и k отличными от нуля. Пер-
вые два уравнения дают нам
или O(c9) = ,
Vl/ sm/кр
Z(z) = e±**.
Наконец, третье уравнение дает Zp(kp), где Zp(z) есть любое
решение уравнения Бесселя с параметром р. Если хотим иметь
решение однозначное, то постоянную р мы должны считать целым
числом п.
Получим, таким образом, решения уравнения Лапласа следующего
вида:
e±kZ 2 Z Iе*7» ^ + СЛ » A09>
где п — любое целое число и постоянная k может иметь любое
значение.
Если k = 0, то мы должны вместо Z(z) = e±kz считать Z(z)=\f
или Z{z)=zy и уравнение для R(p) даст нам R(p) = p±p. Нако-
нец, при /? = 0 надо считать Ф (ср) = А -\- By и при p = k = O надо
считать R(p) = C-\-D lgp. При п = 0 формула A29) дает нам реше-
ния следующего вида:
е±*ЧС1Л(*р) + ОМ(*р)], A10)
не зависящие от угла ср. Такие решения играют существенную роль
при рассмотрении потенциала масс, имеющих осевую симметрию.
Если мы хотим получить решение, конечное при р = 0, то в фор-
муле (ПО) должны положить постоянную С2 равной нулю, и будем
иметь решения вида
6?±Ч/О(&р). A11)
Из решений уравнения Лапласа такого типа может быть получено
решение —, являющееся основным в теории ньютоновского потенциала,
а именно имеет место формула
00
[ e~k*J0 (ftp) dk = -t4==S = -i- (*><>), A12)
имеющая многочисленное применение в теории потенциала. Чтобы доказать
эту формулу, обратимся к формуле D2), которая даст нам
552 гл. vr. специальные функции [155
откуда, интегрируя по /г, получим
? ? р- kz — ikp sincp "|fe = oo
1 (? Гр- kz — ikp sincp
=^-~ \\ - —
или, подставляя пределы,
°
+ {p Sin cp Y
Последний интеграл легко вычисляется методом, указанным в [57),
откуда и вытекает непосредственно формула A12).
Если вместо постоянной kl ввести постоянную (—k\ то e±kz
перейдет в cos&2 и sin?z, a Jp(kp) и Np(kp) могут быть заменены
на /р (Ар) и /Ср (Ар).
155. Волновое уравнение в цилиндрических координатах. Рас-
смотрим теперь волновое уравнение
где
и будем искать его решение в виде произведения
и=е~шУ(х, у, z). A14)
Подставляя в уравнение A13), получаем для V уравнение вида
Д\/ + А2\/ = 0, A15)
где
Уравнение A15) называется иногда уравнением Гельмгольца. Если
мы возьмем какое-нибудь его решение, подставим в формулу A14)
и отделим вещественную часть, то она даст вещественное решение
волнового уравнения, которое в отношении зависимости от времени
представляет собою гармоническое колебание частоты со. В отдель-
ных случаях это решение может изображать стоячую волнуу
а в других случаях—распространяющуюся волну. Выясним сначала
эти понятия на простейших случаях. Если взять, например, произ-
ведение е"*0^ sin Ах, то его вещественная часть cos wt sin kx даст
стоячую волну. Точно так же произведение е~шсоъ1гх дает тоже
стоячую волну. Если же взять произведение e~mtetkv, то его веще-
ственная часть cos(Ajc — orf) даст синусоидальную волну, которая
155] § 2. функции бесселя 553
распространяется в направлении оси X со скоростью у. При при-
менении функций Бесселя роль cos^x и sin^x будут играть Jp(kp)
и Np(kp), а роль eikx и e'ikx будут играть Я^1}(*р) и Я^2)(^р).
Вернемся к уравнению A15) и напишем оператор Лапласа в ци-
линдрических координатах, считая пока, что V не зависит от z
[II, 131]:
Мы уже интегрировали такое уравнение при помощи разделения
переменных раньше и знаем, что его решения имеют вид Zp(kp)c?sp(*,
где Zp(z) — любое решение уравнения Бесселя с параметром р.
Считая р = п целым, получаем однозначные решения. Если возь-
мем функцию Бесселя, то получим решения
вещественная часть которых
sm
дает стоячую волну. Если для решения возьмем первую функцию
Ханкеля, то, принимая во внимание асимптотическое выражение функ-
ции Ханкеля при большом аргументе, будем иметь, ограничиваясь
первыми членами, следующее асимптотическое представление:
т. е. на бесконечности мы имеем распространяющуюся волну,
фаза которой уходит на бесконечность. Про такие решения будем
говорить, что они удовлетворяют принципу излучения. Если же
мы вместо множителя е"ш взяли бы множитель егЫу то должны
были бы для того, чтобы удовлетворить принципу излучения, в каче-
стве второго множителя брать вторую функцию Ханкеля, так как
согласно асимптотическому выражению мы имеем следующее асимп-
тотическое равенство:
Рассмотрим теперь общий случай, когда функция V зависит и
от координаты z. Уравнение A15) будет при этом иметь вид [II, 131]
1 д ( dV\ , 1 d2V
Ищем его решение в виде
554 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [155
Применяя обычный метод разделения переменных, найдем реше-
ние уравнения
где Zp(z) — любое решение уравнения Бесселя. Полагая k2 — /г2=Х2
и рассматривая случай однозначных решений (р = п — целому поло-
жительному числу), мы будем иметь следующие решения:
Нп\Ц)е^. A19)
" V V) Sin Wf v f
Первое из этих решений остается конечным при р = 0 и дает
стоячую волну. Второе решение удовлетворяет принципу излучения.
Решениями первого типа обычно пользуются в том случае, когда
область, в которой происходят колебания, есть внутренняя часть
цилиндра, содержащая ось р = 0. Решения второго типа применяются
для части пространства, находящегося вне цилиндра. В задачах ди-
фракции приходится часто пользоваться и многозначными решениями,
для которых р не есть целое число.
Рассмотрим одну задачу частного вида. Уравнение A15) имеет очевид-
ное решение elkx ~eikpzost?. Умножая, его на е~ш> получим решение
eiikx-wt)^ которое представляет собою элементарную плоскую волну, рас-
пространяющуюся *вдоль оси X. Положим, что эта плоская волна имеет
место не во всем безграничном пространстве, но лишь вне цилиндра р=я,
причем на этом цилиндре должно быть выполнено предельное условие:
К=0 (при р = а).
Чтобы удовлетворить этому предельному условию, мы должны добавить
к решению eikx уравнения A15) еще некоторое другое решение этого урав-
нения (добавочное возмущение, получаемое в результате дифракции), при-
чем это добавочное решение должно обязательно удовлетворить принципу
излучения и быть однозначным решением. Принимая во внимание сказанное
выше и независимость основного решения от zf мы будем искать это добавоч-
ное решение, пользуясь показательными функциями вместо тригонометриче-
ских, в виде линейной комбинации решений вида A19) при X = к\
2 апН?(к?)е' (9>а). A20)
/г = — оо
Нам надо только определить коэффициенты ап из предельного условия.
Вспоминая формулу C7) и полагая там t = iei? и 2 = /гр, мы можем напи-
сать основное заданное решение с виде
156] § 2. функции бесселя 555
В силу предельного условия мы должны иметь
Я= —ОО П = —00
и мы получаем для коэффициентов ап следующие выражения:
Окончательное решение задачи будет, следовательно, иметь форму:
4-00
n — ~ oo
Рассмотренная задача имеет применение в некоторых частных случаях
дифракции электромагнитных волн относительно бесконечного проводя-
щего цилиндра. Полученные ряды представляются практически удобными
лишь в случае сравнительно большой длины волны.
Представляется интересным сравнить решение задачи о дифракции
элементарной плоской волны с решением задачи о колебании круглой мем-
браны [II, 182]. Отметим прежде всего, что в рассмотренной только что
задаче о дифракции плоской волны число k является данным (оно опреде-
ляется частотой падающей волны ю), тогда как в задаче колебания мем-
браны оно определялось из предельных условий. В задаче дифракции коэф-
фициенты разложения определяются из предельного условия, а в задаче коле-
бания мембраны коэффициенты разложения определялись из начального
условия, т. е. из картины колебаний при ? = 0. В задаче дифракции мы
вовсе не имеем начального условия, так как мы рассматриваем не общую
задачу дифракции любого начального возмущения, но лишь установившийся
синусоидальный режим в отношении времени с заданной частотой о>.
156. Волновое уравнение в сферических координатах. Рас-
смотрим теперь уравнение A15) в сферических координатах. Оно
будет иметь вид
Ищем его решение в обычной форме:
1/=/(г) Г(в, ср). A22)
Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получим
Г (г) , 2/(г) . 1 А1КF> ср) . 2_
где AiK определяется формулой G1) из [136]. Мы приходим, таким
образом, к двум уравнениям следующего вида:
Д1К + ХУ = О A23)
и
/¦(') + !-№+(*•-?)/(г) = 0. A24)
Уравнение A23) совпадает с тем, которое мы имели при изучении
сферических функций. Считая решение однозначным и непрерывным
556 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [156
получаем для постоянной X следующие возможные значения:
\п = п(п-\-\) (я = 0, 1, 2, ...),
и им будут соответствовать решения уравнения A23), представляю-
щие собою обычные сферические функции Yn(Q, ср). Уравнение A24)
переписывается в виде
Ш + тШ + @-П(П+1))Мг)=О. A25)
Введем вместо /(г) новую искомую функцию R(r) по формуле
Подставляя в уравнение A25), мы получим для Rn(r) уравнение
вида
Rn(г) + ±Ъ(г) + \#- К—^)Rn(г) = О,
и, таким образом, Rn(r) есть Z i (kr), где Z i (r) есть решение
уравнения Бесселя с параметром /? = я-)-у, и согласно A22) мы
имеем
Zn !(/гг)
К= ^^ Уя(в, ср) (я = 0, 1, 2, ...). A26)
Заметим, что мы имеем здесь как раз тот случай уравнения Бес-
селя, когда его решения выражаются в конечном виде через элемен-
тарные функции. Выбор решения Z i (kr) определяется, как и в пре-
дыдущем номере, физическими условиями задачи. Обычно вводят
в рассмотрение следующие три функции:
С(р)=У^я-, ,(р). С!Г(р)=г „ _
A27)
причем постоянный множитель 1/ -?¦ добавлен для удобства вычис-
лений. В частности, при п = 0 мы получаем согласно [149]
р ' ° р р
Те частные решения, которые не зависят от ср, имеют вид
Z у (kr)
156] § 2. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 557
и при п = 0 имеем
Zx (kr)
2
Чтобы получить решения основного уравнения A13), мы должны
еще помножить решения A26) на е±ш или, что то же, на cosutf
и sin inty где а) и k связаны соотношением A16). Если применим к урав-
нению A13) обычное разделение переменных, полагая ?/=Г(?)Х
X V(x> У> z\ т0 Для У получим уравнение A15), а для T(t) будем
иметь
Г (t) + a*k* Г (*) = О (a2*2 == аJ),
что и дает нам указанные выше функции, зависящие от L Но до
сих пор мы считали, что k (или со) отлично от нуля. Если & = 0,
то мы должны брать T(t) = A-\-Bt и для V получаем просто урав-
нение Лапласа Д1/ = 0. Это приводит нас, таким образом, еще к ре-
шениям вида
(A + Bt)rnYn(B)?)t A28)
которые надо присоединить к решениям A26).
Здесь, как и в предыдущем случае цилиндрических координат, можно
провести до конца решение задачи относительно колебаний внутри сферы
при заданных предельных и начальных условиях, а также задачу дифрак-
ции плоской волны относительно сферы.
Положим сначала, что требуется найти решение волнового уравнения
AU, A29)
удовлетворяющее начальным условиям
U
=Л(г, е,ср), д"
t==0
=Л(г, в, <р), (г<а) A30)
г-а
==0. A31)
и предельному условию
ди
Тг
Обращаясь к решениям A26) и принимая во внимание требования ко-
нечности решения при г = 0, берем Z { (kr) равным J х (kr) и опре-
деляем при заданном п числа k из предельного условия
j=z = 0 или / \(ka) — 2kaf {(ka) = 0. A32)
В дальнейшем обозначим положительные корни этого уравнения через
де (ш=о, 1,2,...).
558 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [157
Кроме того, решения A28) удовлетворяют предельному условию A31)
при л = 0. Согласно методу Фурье мы должны искать решение нашей за-
дачи в виде
№* *+у{*(9> 9) sin ak* *\—у?—•A33)
Остается определить еще сферические функции У\^ F, ф) и У}** @, <р)
порядка п из начальных условий A30). Заметим при этом, что уравнение
A32) имеет как раз ту форму, которую мы рассматривали в [151], и мы
сможем определить упомянутые сферические функции, пользуясь ортогональ-
ностью функций Бесселя. Более подробно мы не будем этого выяснять.
Обратимся теперь к задаче дифракции элементарной плоской волны,
определяемой решением е*{кг~Ы) уравнения A29), относительно сферы г = я
при предельном условии
В данном случае мы взяли волну, распространяющуюся вдоль оси Z.
Вместо формулы A21) в сферических координатах имеет место формула
eikz = eikrcosb = 2J Bл + 1) 1«<|/я (kr) Рп (cos 0), A34)
где Рп(х) — обычные полиномы Лежандра. Доказательства этой формулы
мы приводить не будем. Принимая во внимание принцип излучения, мы
будем искать дополнительное возмущение в виде
f| anV»(kr)Pn (cost). A35)
л = о
Коэффициенты ап определяются из того условия, что сумма решений
A34) и A35) должна обращаться в нуль при г = я, что даст нам
_
§ 3. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА И ЛАГЕРРА
157. Линейный осциллятор и полиномы Эрмита. Уравнение
Шредингера, как известно, имеет вид
Будем считать, что функция ф зависит только от х и что потен-
циал V определяется формулой V = -^-x\ что соответствует слу-
чаю упругой силы /= — kx. Мы приходим, таким образом, к урав-
нению вида
157] § з. полиномы эрмита и лагерра 559
и значения параметра Б должны определяться из того условия, что
решение уравнения остается конечным во всем промежутке
^]j. Введем две новые постоянные:
f^ A)
Из них а2 является заданной и X играет роль параметра вместо Е.
Уравнение перепишется в виде
|5 + (Х~а^ф = О. B)
Это линейное уравнение имеет иррегулярную особую точку
дг = оо. Будем поступать так же, как это мы делали в [116], а
именно положим
и определим функцию со (л:) из того условия, чтобы в коэффициенте
при искомой функции и (х) в дифференциальном уравнении уничто-
жился член, содержащий х*. Дифференцируя и подставляя в урав-
нение B), получим для и(х) уравнение
и9 (х) + 2и/ (х) и' (х) + К (х) + и/2 (х) + X — а2лг2] и (х) = О,
и, чтобы избавиться от слагаемого —ЛЛ мы положим
причем знак минус выбран нами для того, чтобы получить затуха-
ние при jc—»±оо. Получаем, таким образом,
^(х) = е~^х2и(х), C)
где для и(х) имеет место уравнение
d2u n du
Если при некотором выборе значений параметра X это уравне-
ние будет иметь решение в виде полинома, то при этом функция
ф(лг) будет, очевидно, затухать на бесконечности и, следовательно,
удовлетворять поставленным предельным условиям. Мы будем, таким
образом, искать решение уравнения D) в виде полиномов. Введем
вместо х новую независимую переменную
отсюда
du da-шг- d2u d2u
560 гл. vr. специальные функции [157
и, подставляя в уравнение D), будем иметь следующее уравнение
для и:
S-*S+(t-0—ft
Начало координат является обыкновенной точкой для этого уравне-
ния, и можно искать решение его в виде обычного степенного
ряда:
с произвольными двумя первыми коэффициентами а0 и ах. Подста-
вляя в уравнение E), получаем соотношение для последовательного
определения коэффициентов
откуда
F)
Покажем теперь, каким образом можно получить решение урав-
нения в виде полинома степени п. Будем считать, что параметр X
выбран из условия
1—1 = 2/1,
а
Хл = Bл+1)а. G)
При этом формула F) даст нам последовательно
Я/Ч-2 = Я/н-4 = <V6 = . . . = 0. (8)
Если п—число четное, то мы положим, кроме того, #i = 0
и а^фО. В силу F) мы будем иметь при этом а1 = а3 = а8 =
= ... = 0, а все ak с четными значками до k<=n включительно
будут отличны от нуля, а остальные — нули в силу (8). Если же я —
нечетно, то надо, наоборот, положить ао = О и а^фО. Мы полу-
чаем таким образом решение в виде полиномов, причем формула G)
дает соответствующие собственные значения параметра X. Подставляя
эти собственные значения в уравнение E) и обозначая через #„(?)
введенные полиномы, получаем для них дифференциальное уравнение
вида
Н"п F) - 2Шп (?) + 2пНп F) = 0. (9)
Согласно C), для функций фл(?) будем иметь
157] § 3. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА И ЛАГЕРРА 561
Полиномы ИпA) называются обычно полиномами Эрмита, а
функции A0) — функциями Эрмита.
Для функций Эрмита мы имеем уравнение B), где мы должны
только перейти от переменной х к переменной ?. После этого урав-
нение примет вид
(b) (^ ) A1)
Выведем теперь одну простую формулу для полиномов Эрмита.
Положим v = e~*2, откуда if =—2Ы Дифференцируя это равен-
ство (#-|-1) раз и применяя к производной произведения формулу
Лейбница, будем иметь
или
v№) + 2W"l) + 2(n+ l)vw =0. A2)
Введем новую функцию Kn(ty = e*2vW и покажем, что для нее
имеет место уравнение (9). Функция Кп(?) есть, очевидно, полином
степени п от Ь
Kn(l) = eV^n(e-V). A3)
Подставляя выражение
в уравнение A2), получаем действительно для КпA) уравнение (9).
Таким образом, полиномы Эрмита, определенные пока лишь с точ-
ностью до произвольного постоянного множителя, совпадают с функ-
циями A3). Заметим, что второе решение уравнения (9) не может
быть полиномом, так как это уравнение имеет точку ? = оо ирре-
гулярной особой точкой. Для того чтобы получить положительный
старший коэффициент, припишем к выражению A3) постоянный мно-
житель (— \)п и определим полином Эрмита следующей формулой:
/Ш = (-1)"^|к^2)- A4)
Выпишем первые три полинома Эрмита:
Вообще #л(?) будет содержать только четные степени \ при
четном п и только нечетные степени при нечетном п. Это вытекает
непосредственно из описанного выше метода определения коэффи-
циентов ak. Из формулы A4) вытекает, что старший коэффициент
при \п в полиноме Нп{%) равен 2п. Это непосредственно следует из
того, что дифференцирование показателя (— I2) дает (— 2$).
562 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [158
Можно показать, на чем мы не останавливаемся, что функции
Эрмита представляют собой совокупность всех решений уравне-
ния B), удовлетворяющих предельным условиям.
158. Свойство ортогональности. Рассмотрим две различные
функции Эрмита ф„(?) и фт(?). Мы имеем для них уравнения
Умножая первое из них на фт(?), второе — на ф„(?), вычитая и
интегрируя по промежутку (— оо, -f- оо), получим, как всегда,
свойство ортогональности функций Эрмита:
5 = 0 (пфт) A5)
—ОО
или, в силу A0),
-н»
\ e-VHn(t)Hm(l)dt = 0 (пфт\ A6)
—оо
т. е. можно сказать, что полиномы Эрмита ортогональны в про-
межутке (—оо, -f-oo) с весом е~~^\ Вычислим теперь интеграл A6)
при п = т. Согласно формуле A4) будем иметь
—ОО
или, интегрируя по частям,
Внеинтегральный член представляет собою произведение е~^ на
полином, а потому он обращается в нуль при ? = ±оо. Произведя
дальнейшее интегрирование по частям, получим
4-со
—СО
или, принимая во внимание, что старший коэффициент полинома
ЯяF) равен 2я,
+00
159] § \ полиномы эрмита и лагерра 563
и окончательно будем иметь [II, 78J
ln= $ e-*HlQ-)dl = 2ndV«. A7)
—оо
Можно построить ряды, аналогичные рядам Фурье и расположенные по
полиномам Эрмита так же, как это мы делали и для полиномов Лежандра
[133]. Но только в данном случае вместо конечного промежутка (— 1, 1)
мы будем иметь бесконечный промежуток (—оо, +°°)- В этом промежутке
получится разложение вида
где коэффициенты аПУ в силу предыдущего условия ортогональности и фор-
мулы A7), определяются следующим образом:
Для того чтобы разложение A8) имело место, необходимо, конечно,
чтобы функция /(?) удовлетворяла некоторым условиям.
169. Производящая функция. Принимая во внимание A4) и
пользуясь формулой Коши, выражающей производную функции е~*2
в виде контурного интеграла, мы можем написать
h
где /, есть любой простой замкнутый контур, обходящий вокруг
точки z = l. Введем вместо z новую переменную интегрирования t
по формуле
Совершая замену переменных в интеграле и сокращая обе части
на множитель е~^2, получим
где 1\ есть простой замкнутый контур, обходящий вокруг начала.
Из этой формулы непосредственно вытекает, что —,Нп($) есть коэф-
фициент при tn в разложении функции
B0)
564 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [159
в ряд Маклорена, т. е. функция B0) является производящей функ-
цией для полиномов Эрмита, умноженных на постоянный мно-
житель -г Г
B1)
/г=0
Из этой формулы легко получаются основные соотношения для
полиномов Эрмита. Дифференцируя тождество B1) по 5, будем
иметь
ИЛИ
/г=0 /г=0
и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем
соотношение
Н'п?) = 2пНп_х$). B2)
Продифференцируем теперь тождество B1) по t:
00
2(
/г=1
ИЛИ
П=гО П—\
откуда опять сравнением коэффициентов получаем еще следующее
соотношение:
Нп+1 (?) = 2Wn $) - 2пНп_х ($). B3)
Определим, наконец, свободный член в полиномах Эрмита, т. е.
#л@). При нечетном п это будет, очевидно, нуль, так как нечет-
ный полином Эрмита содержит только нечетные степени Е. Для чет-
ного п имеем прежде всего //0@)=1. Затем формула B3)' при
п = 1 и 5 = 0 дает
Я2@) = — 2#о(О) = — 2.
Та же формула при п = 3 и $ = 0 дает
#4@) = — 2.3#а@) = 22.ЬЗ.
160] § 3. ПОЛИНОМЫ ЭРМИГА И ЛАГЕРРА 565
Далее, при п = Ь и Е = 0 получаем
Я6@) = — 23.Ь3.5
и вообще
Я2л@) = (—1)Л.2Л.Ь3.5. ....Bл— 1). B4)
Отметим еще, что если применить к формуле A4) несколько
раз теорему Ролля, то можно показать, что все корни Нп$) веще-
ственны и различны. Совершенно аналогичные рассуждения мы при-
меняли в [105], чтобы показать, что все корни Рп(х) различны и
находятся в промежутке (— 1, 1).
Иногда вводят полиномы Эрмита несколько иначе, чем это мы
сделали выше, а именно вместо формулы A4) определяют полиномы
Эрмита формулой
и (t\ } п~2 dn (Г ~2
Разница получается лишь в постоянных множителях, из которых
один стоит перед полиномом, а другой относится к аргументу S.
160. Параболические координаты и функции Эрмита. Отметим
один частный случай замены переменных в волновом уравнении
Введем вместо х и у новые переменные ? и у\ и положим, что
преобразование переменных совершается при помощи формулы
где /(С) — регулярная функция комплексного переменного С По
правилу дифференцирования сложных функций будем иметь
а? ал: а? '" ду as' сь^ алгдт\~* ду дч\
и, далее,
ал:2 \ д%) ' ал: ду д% д% * ду2 \д%) ' ал: а^2 ' ду д?2 г
drf ал:2 \дг\) ' дх ду ду\ дг\ ' а,у2 \dri) * дх drf
Пользуясь уравнениями Коши — Римана
аФ а<р а^
566 ГЛ. VT. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [160
а также тем, что ср(?, т|) и ф(?, Т|) удовлетворяют уравнению Ла-
пласа, нетрудно проверить следующую формулу:
d2U , d2U [ d*U> d2U\ [7<Ы2 , / д<\>\2]
+ + 1Ш + J
или
d2U
Рассмотрим частный случай
или
Координатные линии ^ = Cj и т] = С2 будут на плоскости (х> у)
изображаться параболами [34], а потому новые координаты Е и к)
называются параболическими. Совершая преобразование в волновом
уравнении указанным выше способом, будем иметь
и, следовательно, уравнение B5) в новых переменных будет в дан-
ном случае выглядеть следующим образом:
t/ = 0. B6)
Будем искать его решение в виде произведения двух множителей, из
которых один зависит от 6, а другой — от tj:
«/=.*(*) К(Ч).
Подставляя в уравнение B6) и разделяя переменные обычным образом,
получим
Обе части полученного тождества должны равняться одной и той же
постоянной, которую мы обозначим через (—р2). Таким образом, мы придем
к следующим двум уравнениям:
X' F) + (№* + Г) X (Q = О, Г (т]) + (*V - Р2) К (I) = 0. B7)
Напомним дифференциальное уравнение (И), которому удовлетворяли
функции Эрмита
<КE) + B«+1-г2)Ы?)=0( B8)
где для функции Эрмита имеем следующую формулу:
W & =е 2Нп® = {-\Ге2Жп{е~ 1\ B9)
161] S 3. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА И ЛАГЕРРА 667
Рассмотрим первое из уравнений B7) и введем вместо ? новую перемен-
ную ?i по формуле
Отсюда
и, подставляя в B7), придем к уравнению
*'"а C0)
Если мы определим постоянную Р2 равенством
Pi = B/i + l)**f
где п — некоторое целое положительное число или нуль, то преобразуем
уравнение C0) к виду B8). Таким образом, в новой переменной ^ за функ-
цию X мы можем взять функцию Эрмита
Хп = Сп*пA-1)=Спе *Нл<&д
или, возвращаясь к старой переменной, получим
где Сп — произвольная постоянная.
Точно так же, рассматривая второе из уравнений B7) и вводя вместо
новую переменную
мы приведем и второе уравнение к виду B8) при том же самом значении
параметра $п. Возвращаясь к старой переменной, будем иметь
Таким образом, мы получаем бесчисленное можество решений волнового
уравнения B5) следующего вида:
Un=An*n(Vibl)*n(iVibn) (я = 0, 1,2,...). C1)
Эти решения образуют полную систему функций и являются аналогом
функций Бесселя для случая цилиндрических координат. Здесь так же, как
и там, можно построить аналог и функциям Ханкеля, что дает возможность,
например, решать задачи дифракции относительно параболического цилиндра.
161. Полиномы Лагерра. Исследование состояния электрона, нахо-
дящегося в кулоновом поле, а также некоторые другие задачи совре-
менной физики приводят к линейному уравнению второго порядка
следующего вида:
«>" + ->Ч- 2s + T-ib>=°- C2)
568 гл. vr. специальные функции [161
Здесь 5 — заданное вещественное неотрицательное число и е —
вещественный параметр. Задача состоит в нахождении таких значений
этого параметра, при которых уравнение C2) допускает решение,
которое остается ограниченным на всем отрезке 0^z<^-\-oo вещест-
венной оси.
Разберем область отрицательных значений параметра е и введем
в этом случае вместо z новую независимую переменную по формуле
и вместо параметра 2s введем новый положительный параметр по фор-
муле
1
После таких преобразований уравнение C2), как нетрудно прове-
рить, приводится к виду
Точка х = 0 является регулярной особой точкой для этого урав-
нения, и определяющее уравнение в этой точке будет иметь вид
Это последнее уравнение имеет корни а = ±^. Принимая во
внимание требование ограниченности решений в начале координат, мы
должны будем взять корень а = у, т. е. выделить из нашего реше-
s
ния множитель х2, и наше решение вблизи начала должно иметь вид
(ЬоЧаО). C4)
В окрестности бесконечно далекой точки мы, согласно [116], будем
пытаться формально удовлетворить уравнению C3) выражением вида
Квадратное уравнение для а будет
««-1 = 0.
161] § з. полиномы эрмита и лагерра 569
Оно даст нам два значения о. = ±-ъу и соответствующие значе-
ния постоянной р будут
Р Х
Принимая во внимание условия ограниченности решения на беско-
нечности, мы должны взять то решение, которое на бесконечности
имеет асимптотическое представление вида
1 00
~7~
Таким образом, задача сводится к определению тех значений X,
для которых решение вида C4) при аналитическом продолжении вдоль
отрезка @,-|-оо) имеет на бесконечности представление C5).
Предыдущие соображения, естественно, приводят к тому, чтобы
вместо w ввести новую искомую функцию у по формуле
?
w = e 2x2y. C6)
Подставляя w в уравнение C3), мы получим для у уравнение
0- <37>
Это уравнение имеет вид уравнения из [115]. Принимая во вни-
мание наши предыдущие соображения, мы должны найти решение
уравнения C7), регулярное в начале и такое, что w ограничен©
на бесконечности.
Если положим для краткости
i±l —Х=/7, C8)
то уравнение C7) сможем записать так:
х -~ —|— (^ —[— 1 — х) -~- — ру = 0. C9)
Если обозначить
то решение уравнения C9), регулярное в начале, будет [115]
y = C.F(p, 5+1; х), D1)
где С—произвольная постоянная. Очевидно, что ряд D0) обрывается,
если а равно нулю млн целому отрицательному числу, и в этом слу-
чае наше решение будет удовлетворять требуемому условию на
570 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [161
бесконечности. Принимая во внимание C8), мы получаем, таким об-
разом, следующее уравнение для определения параметра X:
откуда
Х„ = ^ + л (л = 0, 1, 2, ...). D2)
При таком значении параметра искомое решение уравнения C9)
будет
Р fi п х . я (я — 1)
"f~ 2!
Выберем постоянную Сп следующим образом:
откуда окончательно получаем следующее решение уравнения C9)
в виде полинома от л: и s:
Qn\x) = Tirts+~l)l)F(-n> '+4 *) D3)
ИЛИ
D4)
Эти полиномы называются обобщенными полиномами Лагерра.
Можно показать, что формула D2) дает все значения параметра,
при которых наша задача имеет решение, удовлетворяющее постав-
ленным условиям в точках х = 0 и je = -]-oo.
Пользуясь рассуждениями, совершенно аналогичными рассужде-
ниям из [105], мы можем дать простое выражение обобщенных поли-
номов Лагерра. Ряд D0) является решением уравнения
0g D3)
Если продифференцировать его т раз, то получим ряд
а (а + 1) ... (а 4- т—1)^, ( , ч
T;Tjl{...}Tj:w-i;f(« + w, l + »r, х)
и, обозначая F{a, f; *)=.yi. видим, что производная порядка т:
Т, х), D6)
161 j § з. полиномы эрмита и лагерра 571
является решением уравнения D5), в котором аиу заменены ть-\-т
и if-j-/w, т, е,
Умножая обе части этого уравнения на хпт~1е~х> мы можем пере-
писать его в следующей форме:
1 — (а + т) x^m-le-xyW = 0.
- Дифференцируя это тождество т раз, получим
Образуя подобные равенства для m = Q, 1, ..., k—1, перемно-
жая их почленно и производя очевидные сокращения, будем иметь
¦1e^yJ*)]===a(a+l)...(a + A—l)^^!. D7)
Положим, что а равняется целому отрицательному числу a = — k,
так что ряд D0) представляет собою полином степени k, а у№ есть
постоянная
Формула D7) дает при этом
так что окончательно получим
В силу f = s -|-! будем иметь, таким образом, следующее выра-
жение для обобщенных полиномов Лагерра:
D8)
Эти полиномы являются решениями уравнения
Число s мы считаем теперь вещественным и}>—1.
572 гл. vr. специальные функции [161
Полиномы Лагерра совершенно аналогичны полиномам Эрмита,
но только для них основным промежутком является не промежуток
(— со, -f- со), а промежуток @, -{- со). Формула C6) дает нам функ-
ции Лагерра, аналогичные функциям Эрмита:
.«(*) = е~ VqJ? (х) = х~ V ? <*«V*> D9)
Эти функции являются решениями уравнения
Как всегда, нетрудно вывести свойства ортогональности этих
функций:
$44*) «У (*)**== 0 (/»=^л) E1)
о
или, в силу D9),
<${* = O {тфп\ E2)
Займемся теперь вычислением интеграла E2) при т = п. Сог-
ласно определению полиномов Лагерра, мы имеем
in— \xe [^л ^;j ax— \ 4n \x) fjyn \л c ) их.
V
Интегрируя по частям, получим
dx dxn~i dx>
и
причем, как и для полиномов Эрмита, внеинтегральный член обра-
щается в нуль. Производя многократное интегрирование по частям,
придем окончательно к интегралу
Но —j-п— есть произведение п\ на старший коэффициент поли-
нома Qtn(x\ Применяя формулу Лейбница к производной, стоящей
в формуле D8), нетрудно видеть, что этот старший коэффициент
161] § з. полиномы эрмита и лагерра 573
равен (—1)л, и, таким образом, мы можем написать
00
ln = n\\x*ne-xdx
О
или, вспоминая определение функции Г (г), получаем окончательно
00
\ xse~x [Q{ns) (x)]* dx = n\ Г (s + п + 1). E3)
о
Можно рассматривать, так же как и для полиномов Эрмита, раз-
ложение произвольной функции f(x) в ряд по полиномам Лагерра
в промежутке @, -f-oo).
Построим теперь производящую функцию для полиномов Лагерра.
Согласно формуле D8) и теореме Коши, выражающей производную
порядка п от функции zs+ne~* при z = x, можно написать
s -*Ms) / ч «If zs+ne~z
х е ц„ IX) = о~
где 1Х — малый замкнутый контур, обходящий вокруг точки z = x.
Заметим, что функция zs+ne~~z будет регулярна на всей плоскости,
кроме точки 2 = 0, где она имеет точку разветвления, если s не есть
целое число. Вводя вместо z новую переменную интегрирования
, г — х х _^_ xt ,
подставляя в интеграл и сокращая на xse~x> мы получим
xt
~~t 1 Л
где /0 — малый замкнутый контур, обходящий вокруг ^ = 0.
Отсюда видно, что -jj\-Qn\x) СУТЬ коэффициенты в разложении
функции
в ряд Маклорена по степеням t, т. е.
574 гл. vr. специальные функции [162
Из этой формулы можно вывести ряд простых соотношений для
полиномов Лагерра. Дифференцируя обе части E4) по лг, получим
-T=rt
е
n\ dx
я—О
ИЛИ
л=0 /1 = 0
откуда, сравнивая коэффициенты при tnf имеем
E5,
Совершенно аналогично, дифференцируя обе части E4) по t, при-
дем к соотношению
хф(x)=(n + s)Q{°-\x)- <#+,'>(*> E6)
Наконец, если умножим обе части E4) на A—t), то получим
еще следующее соотношение:
Q|f- l\x) = Q{ns\x) - nQ^l! (*). E7)
Часто вместо полиномов Q^ (х) рассматривают полиномы -^ Q$? (лг).
Применяя к формуле D8) несколько раз теорему Ролля, можно
показать, что все корни Q^(x) вещественны, различны и находятся
внутри промежутка @, -|- оо).
162. Связь полиномов Эрмита и Лагерра. Полиномы Эрмита просто
выражаются через полиномы Лагерра Qn (х). Эти последние при s = —~-1
как мы знаем, суть решения уравнения
Введем вместо х новую переменную ? по формуле л: = ?2, откуда
!L l d JJL lL jL\ JL d*LA
Подставляя в уравнение E8), придем к уравнению
^р25^ + 4яу„=О, E9)
которое совпадает с уравнением (9), если в этом последнем заменить п
на 2п. Как мы уже упоминали, второе решение уравнения (9) не есть уже
163] § з. полиномы эрмита и лагерра 575
полином, а потому можно утверждать, что q\ 2' (S2) с точностью до постоян-
ного множителя совпадает с Н2п (?), т. е.
Для определения постоянной Сп сравним старшие коэффициенты в обеих
частях написанного равенства. В левой части старший коэффициент, как
мы видели [1571, равен 22Я, а в правой части он равен (—1)ЛСЛ [161], так
что Сп = (—\)n2int и окончательно
й «). F0)
Перейдем теперь к выводу аналогичной формулы для H2n+i F). Функ-
ерей
ция 0>\2' (х) удовлетворяет уравнению
которое при помощи преобразования х = ?2 переходит к виду
Введем еще вместо уп новую функцию гп по формуле
1
Уп = у zn-
Дифференцируя по 5 и подставляя в уравнение, получим уравнение
для zn:
Это уравнение совпадает с (9), если в этом последнем заменить п
на Bл+1). Из предыдущих преобразований непосредственно получаем
Сравнение старших коэффициентов дает Dn = (—\)п 22Я+1, и окончательно
Им+1 E) = (— \)n22n+lZQy) (?2). F1)
163. Асимптотическое выражение полиномов Эрмита. Функция Эрмита
.1. / «А Л 2 и /4/.\ / 1 \/2 Л 2 /Л—jf*\ /62)
удовлетворяет уравнению A1):
Гя (х) + B/i + 1 - х2) фЛ (jf) = 0. F3)
Рассмотрим случай четного значка. При этом мы получим
576 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [163
Кроме того, в силу B4), а также того обстоятельства, что И2п (х) есть
полином от х2, получим следующие начальные условия:
^2«@) = (—1)л-2«. 1.3-5... B/1—1); <14*(°)=0. F5)
Уравнение F4) совместно с начальными условиями F5) даст нам воз-
можность получить асимптотическое выражение полиномов Эрмита при
большом п. Напомним прежде всего, что решение уравнения
У" + Ь*у=/(х), F6)
удовлетворяющее нулевым начальным условиям у @) = у' @) = 0, имеет
вид [И, 34]
y = -i [f(u)sink(x — u)du. F7)
Если вместо нулевых начальных условий имеем начальные условия
у@) = ау /@)=*, F8)
то мы должны к решению F7) добавить решение однородного уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям F8), и окончательно решение урав-
нения F6), удовлетворяющее начальным условиям F8), будет
X
у = acoskx + ~ sin kx + 4- \ f (и) sin k(x — u) du. F9)
Обратимся к уравнению F4) и перепишем его в следующем виде:
Уш (х) + Dл + 1) ^п (х) = л'2 ^2п (х).
Положим в данном случае k2 = An + 1 и f(x) = x2 <|л>Л (х). Мы получим
согласно формуле F9)
I = ^ал @) COS у An + 1
1
(и) sin /4/z +1 (* - и) du. G0)
Можно показать, что при больших п первое слагаемое, стоящее справа,
дает главное значение функции ф2я (х). Чтобы показать это, оценим инте-
гральный член, стоящий справа, считая л:>0. Применяя неравенство Буня-
ковского, получим в силу A7)
и2 <|л>Л (и) sin|^4n + 1 (x—u)du
: j/ ^2/i (и)dul/ \uA sin2/4л + 1 (л:—• и)
<j/ J $n(u)dul/ \u*du=
du <
163] § з. полиномы эрмита и лагерра
и, подставляя в G0), будем иметь
577
= ф1я @) cos У An + 1 х + - ;
у
- К (х),
у э у An -f-
где 8Л (л:) — некоторая функция от х, удовлетворяющая условию
Вынося за скобки <\>in @) и принимая во внимание его выражение F5),
будем иметь
(—\)п
Рассмотрим ближе множитель, стоящий при 0Л (х±:
У*х2 /1-2.3...2л _У^х2 Г 2-4-6...2/г
УЪ ' 1-3-5...B/1 — 1)"" /5" г 1-3.5...B/1— 1)"
Если положить
то, как известно [1, 100],
B/г— 1) B/г — 3)... 1 п
2пBп — 2)...2 2' /?
2/г B/г — 2)...2
причем, очевидно, /2Л+1 < /2Л, т. е.
2/г B/1 —2)... 2 Bп — 1) B/г—-3)... 1 тс
{2/1+1) B/1— 1)...з < 2/iB/i —2)...2 2 >
или
^ 2/1 B/г -2),., 2 у
[Bп-1)Bп-Ъ)...)
откуда
2.4.6.,.
Ь3.5...Bл—1) ^ у\
и окончательно коэффициент при Ьп (х) будет
где 0<6л<1. Отбрасывая множитель, меньший единицы, можно написать
предыдущее выражение в виде
б
578
ГЛ. УГ. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[163
гдеО<6^<1. Подставляя это выражение в формулу G1), будем иметь
следующее асимптотическое представление функций Эрмита с четным значком:
п (х)
= <\>2п @) cos У4л+1 х
/4л+ 1
где —1 < 0л (лг)<1. Таким образом, при заданном х второе слагаемое
в квадратных скобках стремится к нулю при возрастании значка п. Допу-
щение л:>0, как нетрудно проверить, — несущественно. Добавляя множи-
1
тель е , получим асимптотическое выражение полиномов Эрмита с чет-
ным значком:
cos У An + 1 х + О ( 4 _
Для случая нечетного значка точно так же можно получить
1
X Ь3-5...Bл —
sin/4л
4 _
В этих формулах
°ш
обозначает такую величину, что
-т=~] остается ограниченным при возрастании пу если х находится
в любом ограниченном промежутке своего изменения. Заметим, что под
знаком тригонометрических функций мы можем брать любой аргумент
/4л + а л:, где а — заданное вещественное число. Действительно, мы имеем,
например:
cos /4/i+ 1 х — cos /4/i +a x
= 2 sin
•- 2 sin
2 (/4л + « + /4я + 1 )
Если л: находится в ограниченном промежутке, то это последнее про-
изведение будет величина О [ 4 ], и, следовательно, с точностью до
\ Уп I
такой величины можно заменить cos/4/i -f- 1 х на cos|/ An-\-a x. Пользуясь
предыдущими вычислениями, можно дать и более точную оценку дополни-
тельных членов О I i j.
\ /« У
164] § з. полиномы эрмита и лагерра 579
164» Асимптотическое выражение полиномов Лежандра, Совершенно
аналогичным путем можно вывести асимптотическое выражение полиномов
Лежандра Рп (х) при большом п. Мы имеем дифференциальное уравнение
A - л:2) Р"п (х) - 2хР'п (х) + п(п+1)Ря (х) = 0.
Введем вместо х новую переменную t по формуле x = cos?, а вместо
Рп (х) — новую функцию:
vn(t) = Y~sinlPn(cost) или Prt(cos^)= Vn^ , G2)
у sin*
Подставляя все это в уравнение, получим после несложных преобразо-
ваний уравнение для vn(t):
j4l
*; (t) +[n(n+1) + ^—J vn(t)=о,
которое мы перепишем в виде
к w+(«+т)8 ^ w=- -щрпг». w.
Для л: мы имеем промежуток —1^л:^1, которому соответствует
0^*^7г. За начальное значение возьмем t^-^-, которому соответствует
л: = 0. Рассмотрим случай четного значка:
W G3>
Принимая во внимание формулу G2), а также то обстоятельство, что
Р2л @) = (_l)»-L|^L=i). и P-w (о) = 0,
будем иметь следующие начальные условия для vsn (t):
Если в уравнении G3) отбросить правую часть, то полученное однород-
ное уравнение будет иметь общий интеграл:
С, cos Bп + 1J t + С2 sin Bя + у) ^. G5)
Подберем Ci и С2 так, чтобы удовлетворялись условия G4):
С» cos Bя +1) -J + С2 sin Bл +1) | = v2n (-j)
-С, sin Bn + y) у + C2cos
или, пользуясь формулами cos (tin -\- <p) == (—1)лсс«<р и sin (tin -\- <р) = (—1)" X
X sin <?, будем иметь
С, cos -J + Cs sin | = (-1)" vin (^) • - Cl sin \ + Cs cos -J = 0,
580 гл. vr. специальные функции [164
откуда
-J) - (-1)" vin (I) sin \,
и, подставляя в G5), получим выражение
Таким образом, решение уравнения G3) при начальных условиях G4)
будет
у) cos
1)('-«)^ G6)
где мы считаем 0^лг<1 и 0</^у. Заметим при этом, что решение
уравнения F6), удовлетворяющее начальным условиям у (а) =/ (а) = 0
имеет вид F7), где только нижний предел интеграла равен не нулю, но а.
Рассмотрим интеграл, стоящий справа, и воспользуемся формулой G2):
t
Kin = ) 4sin2 и Sin {2п + т) V "" а) Pin (cos
= ) 4sin2 и Sin {2п + т) V "" а) Pin (
откуда, применяя неравенство Буняковского, получим
? sin* Bл +!)<*_«) |
^ < \ 1б«Щ«и d" i ^»(COS И) Si" " rfU-
Первый из сомножителей, стоящих справа, будет меньше, чем
1С
"
]
J 16 sin4 и
где C (t) имеет конечное определенное значение при заданном t и остается
ограниченным при 0<eL<t^^t где ех — заданное положительное число.
Второй из сомножителей меньше
1С
1
Р\п (cos и) sin и du = ^ Р|я (л:) J - !
V Р\п (cos и) sin и du = t
о о
Окончательно получаем оценку
164] § з. полиномы эрмита и лагерра 581
где а(х) не зависит от л и остается ограниченным при 0 ^ х < 1—е,
где е — любое заданное положительное число. Подставляя в формулу G6),
получим
*шп (О = (-1)" v2n (~) cos [Bn + i-) * —j] +
где 7 (х) остается ограниченным для промежутка О^лг<1—е при возра-
стании п. Принимая во внимание выражение G4), получим
1.3... B/г — П ( г/
2 2 • 4... 2/г
Воспользуемся неравенством
2.4.6...2/1
1.3.5...Bл—
которое мы доказали выше. Оно даст нам
ЬЗ...B/1—1)
или
.. ,.ч_ 1-3... B/г-1
-2/1 \ч— 2.4...2л
где 5 (л:) Hi) (л:) — функции от л:, которые при О^лг< 1 — е остаются огра-
ниченными при возрастании п. Этим функциям можно дать и более точную
оценку, основываясь на предыдущих вычислениях.
Наконец, пользуясь формулой G2), получим
р2„(созо= , * Ьо'/;B
Совершенно аналогично для нечетного значка:
G8)
Полученный результат распространяется и на отрицательные значения
je==cos?, и символ О( —) в предыдущих формулах обозначает такую вели-
чину, что произведение пО (—) остается ограниченным при возрастании п
независимо от л:, если х находится где угодно в промежутке —1 + е < х <
<1 — е, причем е обозначает любое фиксированное малое положительное
число.
Мы можем написать предыдущие формулы в более простом виде. Для
этого воспользуемся формулой Валлиса [75]
?_ lim 2а-4»-Bл-2)'.2ц-
2 -""„-.оо 12-33...Bм— l)^ •
582
Она
дает
]
п
ГЛ.
[ini
-* 00
VT.
ЬЗ
2
СПЕЦИАЛЬНЫЕ Ф
...B/1—1) /?)—
• 4 ... 2/2
[165
или
.3...B/1—1) 1/7Г- -i/2 .
где rin-+0 при я-—оо, т. е.
ЬЗ...B/t-l) _Т/"Т
2 • 4 ... 2/1 "р лте
После этого формулу G7) можно переписать так:
Аналогичным образом поступая и с формулой F8), можно убедиться,
что при любом значке имеет место формула
G9)
где "^—»0 при п—+оэ равномерно относительно ty если е<?<я — е, где
е>0.
Приведем еще без доказательства асимптотические выражения полиномов
Лагерра. Если х изменяется в промежутке О^а^х^Ь, где а и Ь —
любые конечные числа, то имеет место асимптотическая формула
§ 4, ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
165. Приведение эллиптических интегралов к нормальному виду.
Мы будем рассматривать в настоящем параграфе некоторые функции
комплексного переменного, которые не связаны с линейными диф-
ференциальными уравнениями, а имеют несколько иное происхождение:
эти функции в основном связаны с некоторыми интегралами, которые
не выражаются в конечном виде, именно с так называемыми эллип-
тическими интегралами. Мы уже упоминали о таких интегралах
раньше [I, 199]. Здесь мы начнем с рассмотрения этих интегралов.
Раньше мы рассматривали интегралы вида
A)
где R(x,y) — рациональная функция своих аргументов нР(х) — неко-
торый полином второй степени. Мы видели, что такие интегралы
выражаются через элементарные функции. Если же Р(х)есть поли-
165] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 583
ном третьей или четвертой степени, то интеграл вида A) назы-
вается эллиптическим интегралом и он не выражается, вообще
говоря, в конечном виде. В исключительных случаях он может все
же выражаться через элементарные функции. Так, например, если мы
возьмем интеграл
С x2n+1 dx
где п — некоторое целое число, то, вводя новую переменную t=x*y
мы придем к интегралу вида
tndt
который, как мы знаем, выражается через элементарные функций.
Если интеграл вида A), где Р(х)— полином третьей или четвертой
степени, выражается через элементарные функции, то его называют
иногда псевдоэллиптическим.
Перейдем к исследованию эллиптических интегралов. Заметим
прежде всего, что случай, когда Р(х) есть полином третьей степени,
не отличается принципиально от того случая, когда этот полином
будем полиномом четвертой степени. Один случай переходит в другой
при помощи простой замены переменной интегрирования. Действи-
тельно, положим, что Р(х) есть полином четвертой степени
Р(х) = ах*-\-Ьх*-\-сх* + Aх-\-еу B)
и пусть х = Х\ есть один из корней этого полинома. Введем вместо х
новую переменную t по формуле
* = *! + !. C)
Подставляя в выражение B), получим
Р(х) = а
Раскрывая скобки и принимая во внимание, что х = Х\ есть корень
полинома B), будем иметь
где Pi @ есть некоторый полином третьей степени. Таким образом
мы можем переходить от случая полинома четвертой степени к слу-
чаю полинома третьей степени. Заметим, что преобразование C) состоит,
собственно, в том, что один из корней полинома B), а именно корень
x=xh в новой переменной обращается в корень t = oo.
584 ГЛ. VI СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ A65
Наоборот, если Р(х) — полином третьей степени, то в результате
дробно-линейного преобразования
мы получаем
где Pt(t) — некоторый полином, вообще говоря, четвертой степени.
Рассуждая совершенно так же, как и в [I, 199], мы можем пока-
зать, что эллиптический интеграл A) приводится к интегралам сле-
дующего вида:
D)
dx
— a)k\/P(x) '
E)
где cp(jc)—некоторый полином. Предполагая, что Р(х) есть полином
третьей степени, мы покажем сейчас, что интегралы написанного выше
вида приводятся к трем типам интегралов. Рассмотрим для этого
интегралы вида
где k — некоторое целое число, положительное или отрицательное.
Положим
Производя дифференцирование, будем иметь
тхт~1 (ах9 + bx2 + cx + d) ¦ хт (За*2 + 2Ьх + с)
откуда, интегрируя и принимая во внимание обозначение F), получим
ь + mblm+l + mclm
(С—произвольная постоянная), пли
а [т + Ti W + ь(т + [)ym.i -г с [т + 4-
2,
-+- dmlm_x = xm VPjxj -f С. G)
165) § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 585
При т = 0 и т = 1 будем иметь
Эти последние формулы позволяют выразить последовательно /а
и /3 через /0 и Д. Полагая в формуле G) /га = 2, имеем
откуда можем определить /4 и т. д. Итак, все интегралы вида F)
при целом положительном k выражаются через /0 и Д. Таким же
свойством обладает, очевидно, и интеграл D).
Обратимся теперь к интегралу E). Вводя вместо х новую пере-
менную х — a = t, мы придем к интегралам вида
j$==dt (k = -h -2,...), (8)
где Pi @ — некоторый полином третьей степени и k — целое отри-
цательное число. Полагая в формуле G) /я==—1, получим
где а', Ъ\ с' и d' — коэффициенты P\(t).
Полагая затем т = —2, получим
и т. д. Отсюда видно, непосредственно, что все интегралы вида (8)
выразятся через /j, Го и /1^ т. е. в прежних обозначениях — через
интегралы
С х~а dx [ dx [ dx
(x — a)
Таким образом, окончательно можем утверждать, что если Р(х)
есть полином третьей степени, то всякий эллиптический интеграл
сводится к интегралам следующих трех типов:
С dx С xdx С 2
J УР~{х) ' J УРТхТ ' J (x — a
Первые из этих интегралов называются эллиптическими инте-
гралами первого рода, вторые — эллиптическими интегралами вто-
рого рода и, наконец, третьи — эллиптическими интегралами треть-
его рода.
586 гл. vr. специальные функции [166
Заметим, что если исходный интеграл был вещественным, то
предыдущие вычисления могли привести нас к формулам, содержа-
щим комплексные числа. Так, при пользовании формулой C) число Х\
могло оказаться и комплексным, если, например, полином Р(х) имеет
все четыре корня комплексными. Точно так же при разложении
рациональной дроби на простейшие и приведении интеграла к виду E)
мы могли получить для а и комплексное значение. Мы не будем
останавливаться на подробном выяснении того, как надо производить
вычисление для того, чтобы иметь дело лишь с вещественными коли-
чествами, В дальнейшем мы будем отчасти учитывать это обстоя-
тельство.
166. Приведение интегралов к тригонометрической форме.
Мы будем рассматривать сейчас лишь эллиптические интегралы пер-
вого и второго рода и покажем, что их можно привести к новой
форме, в которой подинтегральная функция содержит тригонометри-
ческие функции. Начнем с интеграла первого рода. Мы можем,
конечно, считать, что старший коэффициент у Р(х) равен ±1:
Положим сначала, что этот полином с вещественными коэффи-
циентами имеет три вещественных корня: а, р и ]. Мы должны,
конечно, считать, что среди этих корней нет одинаковых, так как
в противном случае полином Р(х) содержал бы квадратный множи-
тель (х — аJ, который мы могли бы вынести за знак квадратного
радикала, и, таким образом, у нас остался бы под знаком радикала
лишь поливом первой степени. Будем считать, что а есть наимень-
ший корень, если при х* стоит знак (-(-), и наибольший корень,
если при хъ стоит знак (—). Пусть, далее, [5 обозначает средний по
величине корень. Вместо х введем новую переменную ср по формуле
— a) sin2 ср. (Ю)
Подставляя это выражение в наш полином
P(x) = ±x* + bx* + cx + d = ±(x — a)(x — ?)(.* — т),
будем иметь после несложных вычислений
р (х) = 17 — а | (р — аK A — k* sin2 ср) sin2 ср cos2 cp,
где
*=¦??•. о»
причем, согласно нашему выбору корней, это число k2 заключается
всегда между 0 и 1, и мы всегда считаем k^>0. Мы имеем, далее,
в силу A0)
dx = 2 ф — a) sin cp cos
166] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 587
и, следовательно, выражение
-0= A2)
VP(x) К
лишь постоянным множителем отличается от выражения
do
/1— ft8 sin2op'
A3)
Покажем, что мы можем прийти к тому же результату, когда
полином Р(х) с вещественными коэффициентами имеет только один
вещественный корень х = а. В этом случае можно представить этот
полином в виде
где трехчлен (x*-\-px-\-q) с вещественными коэффциентами не
имеет вещественных корней и, следовательно, остается всегда поло-
жительным при вещественных значениях х. В данном случае введем
вместо х новую переменную ср по формуле
%. (И)
Производя подстановку, будем иметь
±(х — a)(x9
где
4-
2
Т \
A6)
Покажем, что это число заключается между 0 и 1. Для этого
достаточно показать, что второе слагаемое внутри круглых скобок
в выражении A5) по абсолютной величине будет меньше единицы,
т. е. достаточно показать, что квадрат знаменателя будет больше
квадрата числителя. Мы имеем, очевидно,
Но второе слагаемое справа будет наверно положительным, так
как по условию трехчлен x*-\-px-\-q имеет мнимые корни, и, таким
образом, мы получаем
588 гл. vr. специальные функции [166
Далее из выражения A4) вытекает
cos2-|-
и, следовательно, и в данном случае в результате преобразования
выражение A2) будет лишь постоянным множителем отличаться от
выражения A3).
Итак, мы видим, что всякий вещественный интеграл первого
рода при помощи вещественного преобразования может быть при-
веден к виду
[М ). A6)
Обратимся теперь к интегралу второго рода
Применяя одно из предыдущих преобразований, мы приведем
этот интеграл к интегралу A6) и интегралу одного из следующих
двух видов:
- \
A7)
Добавляя к первому интегралу постоянный множитель k\ можно
представить его в виде
sin2 ер , С dy
— ^2 sin2
и, таким образом, он сводится к интегралу вида A6) и еще к инте-
гралу следующего вида:
^ /1— ?2sin2cprfcp. A8)
Покажем, что второй из интегралов A7) приводится к первому
интегралу A7). Воспользуемся для этого следующей фсфмулой, кото-
рую нетрудно проверить простым дифференцированием:
Интегрируя это тождество, мы получаем искомый результат:
С *8*Т d =2t ±уг —
о С sin2 <о , С ci
г \ ' —- пФ — \ ,
J У 1 — Л8 sin2 ср т J/1 —i
sin-
166) § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 589
Мы видим, таким образом, что эллиптические интегралы пер-
вого и второго рода приводят к интегралам следующих двух
типов:
С d(? С /1—A2sin2cp^cp. A9)
Эти интегралы называются иногда эллиптическими интегралами
первого и второго рода в форме Лежандра.
Можно написать интегралы A9) несколько в иной форме, если
ввести вместо <р новую переменную t по формуле
t = sin ср.
При этом
, dt
первый из интегралов A9) приводится к следующему виду:
/A—*«)A—?»*«)•
Здесь мы имеем под знаком радикала полином четвертой степени
особого вида. Мы могли бы, исходя из эллиптического интеграла
общего вида, прийти именно к такому полиному под знаком радикала,
если бы воспользовались заменой независимой переменной в виде
общего дробно-линейного преобразования
а
X =?
Напишем интегралы A9) с нижним пределом, равным нулю, и
с переменным верхним пределом, вводя специальные обозначения:
F(k, «p)= j—fL^, E(k, <p)=J Vl-kHm\d<?. B0)
0 0
Если верхний предел имеет значение <р=5.у, то величины этих
интегралов будут функциями только от k:
B1)
и эти интегралы называются обычно полными эллиптическими ин-
тегралами первого и второго рода.
Существуют таблицы для значений как интегралов B0), так и
интегралов B1). Первыми по времени являются таблицы Лежандра,
590 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [167
опубликованные в 1826 г. Между прочим, в этих таблицах имеются
значения логарифмов величин B1) при различных значениях k; при
этом полагают & = sin0, и значения 0 даются через каждую десятую
часть градуса. Основная таблица с двойным входом дает значение
интегралов B0), где, как и выше, положено ? = sin0. Эта таблица
содержит значение интегралов с девятью десятичными знаками для ср
и 0 от 0 до 90° через один градус. Укажем еще на книгу Янке
и Эмде «Таблицы функций с формулами и кривыми», содержащую
также таблицы эллиптических интегралов.
167. Примеры. 1. Время полного колебания простого маятника с дли-
ной / и амплитудой колебания 2а выражается формулой
а
T-lf%\-=?_. B2)
Г 5 J J/COSX — COS a
где g— ускорение силы тяжести. Нетрудно выразить интеграл B2) в виде
полного эллиптического интеграла первого рода. Для этого введем посто-
янную & = sin~ и вместо х введем новую переменную по формуле sin-^- =
= k sin <p. Мы получим
cos t — cos а = 21 sin2 -н- — sin2 -о*) = 2/г2 cos8 <p
и, кроме того,
х , ~. , , 2k cos со do
cos -гг di = 2k cos <p do или dx = T ,
2 /1 — k2 sin2 <p
откуда окончательно будем иметь., принимая во внимание, что в силу
х . а . л п
sin -~- = sin -су smcp переменная ср должна меняться от 0 до -^-:
Л
I — Аг sm4 <|
2. Рассмотрим эллиптический интеграл
do
0
где k2 > 1, и положим, что верхний предел <р0 заключается в промежутке
@, а), где а определяется из уравнения sina = —. Введем вместо <р новую
переменную <|> по формуле sin ф = k sin ср. Изменения ф будут ограничиваться
некоторым промежутком @, ф0), где sin ф0 = /г sin cp0, и после элементарных
преобразований получим
— лаsin2
167] § 4, ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 591
откуда
Г
о
Если верхний предел <ро = а, то ^0 = — ^ и мы получаем, согласно обо-
значениям B1),
С '
j/1 —
о
sin2со k \kf
Совершенно так же можно рассмотреть и интеграл
при &2>1. В частности, мы будем иметь
3. Рассмотрим интеграл
dx
Положив ^ = coscp, приведем его к нормальному виду
Точно так же, при помощи той же подстановки, получим
f х2 dx if flfcp .^ f -, /"" ГТ
J r r J 1^ 1 —YSin2cp ^
4. К интегралу
г dx
применимо то, что мы говорили в [166], и в соответствии с этим, вводя
вместо х новую переменную «р по формуле
будем иметь
I
592 гл. vr. специальные функции [168
5. Более сложным является приведение интеграла
B3)
к простейшему виду. В данном случае подрадикальный полином разлагается
на два вещественных множителя второй степени
х*+ 1 = (л:2 + IJ —(/2"лгJ = (л:2 + /2"а:+ 1)(лг« —/2аг + 1).
Вообще, если подрадикальный полином четвертой степени имеет все
корни мнимые и разлагается на вещественные множители второй степени
р (х) = (л:2 + рх + q) (л:2 +р'х + q%
то надо определить числа X и.{х по формулам
—Р')Ь = Я — <1' — У(<1 — Q'Y + (Р —Р') Ш' — 9Р%
—p') (pq' — qp')
и совершить замену переменной
X
1
где т — наименьшее из двух чисел
В данном случае замена переменных будет иметь вид
и в результате такого преобразования интеграл B3) примет вид
Г* и Г
? + 6C + 2/2 ) sin2 <p cos2 <р + C + 2 /2 f cos4 <р
Нетрудно проверить, что выражение, стоящее под радикалом, является
произведением
на sin2 cp + cos2 <p, и мы получаем окончательно следующую формулу, дающую
приведение интеграла B3) к нормальному виду:
f dx _ f B —/2)rfy
J Vx^+1 ~ J A 4/2_~
168. Обращение эллиптического интеграла. Рассмотрев эллип-
тический интеграл, мы выясним теперь понятие об эллиптической
функции. В некотором отношении эллиптические функции подобны
168] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 593
известным тригонометрическим функциям и являются их обобщением.
Выясним прежде всего тот факт, что основные тригонометрические
функции, например x=sinit, можно получить при помощи так на-
зываемого обращения интегралов. Рассмотрим элементарный интеграл
- B4)
Величина интеграла и является функцией верхнего предела инте-
грала х. Будем рассматривать обратную функцию, т. е. будем рас-
сматривать верхний предел х как функцию величины интеграла м.
Мы получаем, таким образом, однозначную, регулярную и периоди-
ческую функцию х = sin и. Говорят, что эта функция получается
в результате обращения интеграла B4). Точно так же, если мы возь-
мем эллиптический интеграл первого рода
х
? dx
то в результате его обращения, как оказывается, получается анали-
тическая однозначная функция x=f(u). Эта функция не будет уже
целой. Она будет дробной функцией, и, кроме того, она будет обла-
дать уже не одним, а двумя существенно различными периодами.
Мы выясним дальше этот вопрос более подробно. Сейчас мы оста-
новимся на рассмотрении эллиптического интеграла первого рода
в форме Лежандра
»={ , dz , B5)
о
причем будем предполагать k числом вещественным и удовлетворяю-
щим неравенству 0<^&<^1.
Мы уже встречались с интегралом B5) при рассмотрении задачи
конформного преобразования верхней полуплоскости z на прямо-
угольник плоскости и [37]. Напомним относящиеся сюда основные
результаты, лишь с некоторым изменением обозначений. Формула
B5) дает конформное преобразование верхней полуплоскости z
в некоторый прямоугольник ABCD плоскости м. Его сторона АВ
лежит на вещественной оси, и вершины А и В имеют координаты
1
:+-? = •+ [ / dz -, B6)
J /A—z»)(l-/W)
1
длина АВ — 2 [ dz = <Ж B7)
} /A__22)A—/W) >
О
594
гл. vr. специальные функции
[168
Длина стороны ВС определяется по формуле
JL
длина ВС =
dz
1
— 1)A— k°z2)
Если мы в этой формуле введем
интегрирования х по формуле г=
вместо
г новую переменную
.у===, где *•=!-*• то,
произведя замену, получим новое выражение для длины стороны ВС,
которая, как и длина АВ, будет выражаться полным эллиптическим
интегралом первого рода:
1
длина ВС
=К\
B8)
где число К* определяется из формулы
= 1. B9)
Число k называется обычно модулем интеграла B5), а число
К — дополнительным модулем, причем имеем B9).
Будем совершать теперь аналитическое продолжение функции B5).
Если, например, совершим аналитическое продолжение из верхней
полуплоскоси в нижнюю, через
отрезок A, -г) вещественной оси, то
полученная функция будет преобра-
зовывать нижнюю полуплоскость
тоже в прямоугольник, который
получится из основного прямо-
угольника ABCD отображением
в стороне ВС, получаемой из
упомянутого отрезка веществен-
ной оси. Точно так же и дальней-
шие аналитические продолжения
из одной полуплоскости в другую
будут давать нам значения и
в виде прямоугольника плоскости и, получаемого из предыдущего
прямоугольника при помощи отображения в той его стороне, ко-
торая соответствует отрезку вещественной оси, через который мы
совершали аналитическое продолжение. Таким образом, вообще
всевозможные аналитические продолжения функции B5) на плоско-
сти z дадут на плоскости и сетку одинаковых прямоугольников, ко-
торые заполнят всю плоскость н, нигде не налегая друг на друга.
Каждому такому прямоугольнику будет соответствовать или верхняя
или нижняя полуплоскость г. На рис. 77 изображена эта сетка, при-
В
Рис. 77.
168] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 595
чем незаштрихованным прямоугольникам отвечает верхняя полупло*
скость, а заштрихованным — нижняя полуплоскость. Наоборот, совер»
шая аналитическое продолжение функции z=f(u\ получаемой в ре-
зультате обращения B5) вдоль некоторой линии /, мы должны лишь
обращать внимание на то, какие стороны прямоугольника пересекает
эта линия, и получаем на плоскости z переход из одной полуплоско-
сти в другую через соответствующие отрезки вещественной оси. Если
мы, например, на плоскости и
обойдем вокруг какой-либо
вершины нашей сетки прямо-
угольников, то на плоскости z
придем к прежним значениям z.
Таким образом, мы видим, что
функция /(и) есть однозначная
аналитическая функция на всей
плоскости и.
Точке u — iK\ лежащей на
середине стороны CD основ-
ного прямоугольника, соответ-
ствует значение z — oo [37],
причем однолистная окрест-
ность точки u = iK' переходит в однолистную окрестность точки
2=:оо, и отсюда видно [23], что наша функция /(и) имеет в точке iK!
простой полюс. Аналогичные точки будут в каждом прямоугольнике
нашей сетки, т. е. /(и) есть дробная функция.
Покажем, наконец, что функция /(к) имеет вещественный период
4/С и чисто мнимый период i2K'. Возьмем нашу сетку прямоугольни-
ков и составим из нее новую сетку более крупных прямоугольников,
jjf объединяя в один прямоуголь-
Рис. 78.
г/о--
2К
в 2К
Рис. 79.
ник четыре прямоугольника, име-
-OU+4K ющих общую вершину (рис. 78).
Этот большой прямоугольник
~ имеет сторону, параллельную ве-
щественной оси, длины 4/С и
сторону, параллельную мнимой
оси, длины 2К7.
Переход от и к w-f-4/C или от и к u-\-i2K' равносилен геометри-
чески переходу в соседний четырехугольник, причем значение /(и) при
этом переходе не меняется. Например (рис. 79), переход от и к и -f- 4/Срав-
носилен последовательным отображениям в прямых ВС и A'D', что дает
на плоскости z два отображения в вещественной оси и приводит к преж-
нему значению <г. Таким образом, мы имеем действительно двоякую
периодичность функции f(n), выражаемую следующими формулами:
f(u + 4K)=/(«)
{u + l2K)=f{ii).
596
ГЛ. Vrt СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Полученная нами однозначная функция, ввиду ее некоторой ана-
логии с sin и, обозначается обычно следующим образом:
z = sn (и).
Мы встретим ее в дальнейшем. В результате обращения других
эллиптических интегралов первого вида мы будем получать другие
дробные двояко-периодические функции. Мы займемся сейчас общей
теорией таких функций и некоторых связанных с ними функций, при-
чем несколько изменим предыдущие обозначения.
169. Общие свойства эллиптических функций. Пусть щ и щ —
какие-нибудь два комплексных числа, отношение которых не есть
число вещественное. Функция f(u) называется эллиптической, если
f(u) есть дробная функция с двумя
периодами щ и со2, т. е.
C0)
тождественно при всяком и. Иначе
говоря, прибавление к аргументу a)j
или со2 не меняет значения функции.
Из формулы C0) следует и более
шг ^4д общая формула
)=/D C1)
Рис. 80.
где mi и т% — любые целые числа,
положительные или отрицательные.
Поясним геометрически свойства
двоякой периодичности. Отложим
от какой-либо точки А плоскости и
два вектора АВ и АД соответ-
ствующие комплексным числам coj и со2. Ввиду того, что отношение
со2: coj по условию не вещественно, эти векторы лежат на различных
прямых, и мы можем построить на них параллелограмм ABCD. Совер-
шая параллельный перенос этого параллелограмма на вектор щ и о>2,
мы покроем всю плоскость сеткой одинаковых параллелограммов
(рис. 80). Переход от любого параллелограмма в соседний равносилен
переходу от и к и ± щ или и ± со2, и в силу двоякой периодичности
значения /(и) в соответствующих точках построенных параллело-
граммов будут одинаковы. Каждый из упомянутых параллелограммов
называется параллелограммом периодов функции /(и). Заметим, что
выбор упомянутой выше основной вершины А может быть сделан
совершенно произвольно. Если мы возьмем, например, за основную
вершину начало координат О, то вершины нашей сетки параллело-
граммов будут иметь комплексные координаты т^1-\-т^ль т. е. эти
169] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 597
вершины будут давать совокупность периодов функции /(н), указан-
ных формулой C1) (рис. 81). Если мы возьмем какую-нибудь точ-
ку М плоскости и и через нее проведем прямые, параллельные
нашим векторам coj и щ, то радиус-вектор, идущий из О в Ж, будет
геометрической суммой двух векторов, из которых один параллелен
(©!, а другой — оJ, и, таким образом, всякое комплексное число можно
единственным образом представить в виде
и = кщ -{- /со2,
где k и /—числа вещественные. Эти числа будут косоугольными
координатами точки и, если за основные орты принять векторы,
-UJ.+W-
•(ш,*шг)
Рис. 81.
соответствующие комплексным числам щ и со2. Выше мы пользова-
лись термином соответствующей точки двух параллелограммов
сетки. Это суть такие две точки, разность комплексных координат
которых есть период, т. е. выражается числом т^ -|- /я2оJ, где т^
и т.2 — числа целые. В этом смысле всякой точке плоскости и соот-
ветствует некоторая точка из основного параллелограмма сетки. Если
мы возьмем, например, сетку, изображенную на рис. 81, в которой
основной вершиной является начало координат, то можем предста-
вить координату любой точки и в виде
и =
где k\ и
— вещественные числа, удовлетворяющие условию
!^ и 0^?2<Ч, a mi и т% — числа целые. Заметим, что мы
причисляем к каждому параллелограмму одну из его вершин и две
598 гл. vr. специальные функции [169
стороны, выходящие из этой вершины. Остальные стороны и вер-
шины получаются из указанных добавлением периода.
Переходим теперь к выяснению основных свойств эллиптических
функций. Дифференцируя тождество C1) п раз, получим
т. е. производные эллиптической функции будут тоже эллипти-
ческими функциями с теми же периодами. Предположим дальше,
что /(и) не имеет вовсе полюсов, т. е. является по существу целой
функцией. Ее параллелограмм периодов есть ограниченная часть пло-
скости, и в этом параллелограмме, включая его контур, она регу-
лярна, а следовательно, и подавно непрерывна, а потому и ограни-
чена, т. е. существует такое положительное число N, что в основ-
ном параллелограмме периодов выполняется неравенство \f(u)\<^N.
В остальных параллелограммах сетки значения /(и) повторяются, и,
следовательно, написанное неравенство выполнено на всей плоскости,
т. е. f{ii) есть целая функция, ограниченная на всей плоскости. Со-
гласно теореме Лиувилля, мы можем утверждать, что такая функция
должна быть постоянной величиной, т. е. мы имеем следующую
теорему:
Теорема I. Если /(н) есть целая, двояко-периодическая функ-
ция, то /(и) есть величина постоянная.
Высказанная теорема представляется весьма важной по тем двум
следствиям из нее, которые мы сейчас установим. Пусть Л 00 и
/аОО— две эллиптические функции с одинаковыми периодами щ и со2.
Положим, что они имеют в параллелограмме периодов одинаковые
полюсы, с одинаковыми бесконечными частями. При этом разность
/а00— /i00 будет двояко-периодической функцией без полюсов,
т. е. эта разность будет целой двояко-периодической функцией, и из
теоремы вытекает, что эта разность должна быть постоянной вели-
чиной. Итак, мы имеем:
Следствие I. Если две эллиптические функции Л 00 и /a(w)
с одинаковыми периодами имеют в параллелограмме периодов одни
и те же полюсы, с одинаковыми бесконечными частями, то они
отличаются лишь постоянным слагаемым.
Положим теперь, что f^(u) и /а(к) имеют в параллелограмме
периодов одни и те же полюсы, одинаковой кратности, и одни и те
же корни, одинаковой кратности. При этом отношение /a00:/i00
не будет вовсе иметь в параллелограмме ни корней, ни полюсов и
должно равняться постоянной величине, т. е. мы имеем:
Следствие II. Если две эллиптические функции Л (и) и /2 (и)
с одинаковыми периодами имеют в параллелограмме периодов
одинаковые корни и полюсы, одной и той же кратности у обеих
функций, то эти функции отличаются лить постоянным мно-
жителем.
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 599
Расположим параллелограмм периодов функции /(и) так, чтобы
полюсы этой функции не находились на его сторонах, и рассмотрим
контурный интеграл от функции /(и) по контуру параллелограмма
f(ii)du= \ f(u)du-\- $ f(ii)du + $ f(u)du+ \ f(u)du. C2)
ЛЯ ВС CD DA
Возьмем интеграл по стороне CD и введем вместо и новую
переменную интегрирования u = v-\-w,2. При этом на плоскости v
сторона CD перейдет в сторону В А, и в силу периодичности функции
будем иметь
f(ii)du= J f(v-\-w<i)dv= ^ f(v)dv = — ^ f(y)dv,
) ВА ВА АВ
т. е. в правой части формулы C2) сумма первого и третьего сла-
гаемого даст нуль. То же самое можно утверждать и относительно
суммы второго и четвертого слагаемого, и мы имеем, следовательно,
$ & = О, C3)
ABCD
т. е. если на контуре параллелограмма не лежат полюсы эллиптиче-
ской функции /(н)> то контурный интеграл от этой функции по кон*
туру параллелограмма равен нулю.
Рассмотрим такое комплексное число а, что уравнение /(и) — а = 0
не имеет корней на контуре параллелограмма. Применим предыдущий
результат к эллиптической функции
Мы получим, таким образом,
Написанный интеграл выражает, как известно, разность между
числом корней и числом полюсов функции f(u) — а [22], и, следо-
вательно, можно утверждать, что число корней уравнения /(н) = а
равно числу полюсов /(и) — а, или, что то же, числу полюсов /(и),
т. е. функция /(н) внутри параллелограмма принимает одинаковое
число раз значение а и значение бесконечность.
Это доказано нами для любого а в предположении, что уравнение
f(ii) = a не имеет корней на контуре параллелограмма. Если это
не так, то сдвинем немножко наш параллелограмм так, чтобы корни
упомянутого уравнения пошли внутрь параллелограмма, а полюсы
попрежнему бы оставались внутри его. Для сдвинутого параллело-
грамма наш предыдущий результат будет справедливым. Нетрудно
•видеть, что он будет справедливым и для первоначального паралле-
600 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [170
лограмма, если только при счете числа корней уравнения мы будем
присоединять к параллелограмму одну его вершину и две стороны,
выходящие из этой вершины. Заметим, кроме того, что если уравне-
ние f{ii) = cn имеет корень и = щ и вблизи этого значения имеет
место разложение вида
— щ)к + ck+l(и — щ)k+l + ... (ck ф 0),
то такой корень надо считать корнем кратности k для функции
f(u) — а или для упомянутого выше уравнения. При всех этих
оговорках мы получаем из предыдущих рассуждений следующую
теорему:
Теорема II. Эллиптическая функция принимает в параллело-
грамме периодов всякое значение (конечное или бесконечное}
одинаковое число раз.
Если f{ii) принимает в параллелограмме периодов всякое значение
т раз, то она называется эллиптической функцией порядка т.
Такая функция преобразует параллелограмм периодов в /я-листную
риманову плоскость. Конформность преобразования может при этом
нарушиться лишь в тех точках, где f(u) обращается в нуль, или
там, где f(ii) имеет кратные полюсы. Этим значениям и будут соот-
ветствовать точки разветвления упомянутой выше римановой поверх-
ности.
Мы покажем сейчас, что целое положительное число т не может
равняться единице. Действительно, из формулы C3) непосредственно
вытекает, что сумма вычетов эллиптической функции в ее полюсах,
находящихся в параллелограмме периодов, должна равняться нулю.
Если бы мы имели т = \, то f(ii) имела бы в параллелограмме один
простой полюс, что прямо противоречит только что высказанному
результату. Таким образом, мы видим, что не существует эллип-
тических функций первого порядка. Дальше мы построим факти-
чески эллиптические функции второго порядка. Можно показать,
что эллиптические функции второго порядка суть как раз те эллип-
тические функции, которые получаются в результате обращения
эллиптического интеграла первого рода. Существуют, конечно, и эллип-
тические функции более высокого порядка.
170. Основная лемма. Рассмотрим элементарную функцию sin и.
Это есть целая функция, имеющая простые корни в точках и =
= kiz (k = 0, ± 1,...), расположенных на вещественной оси и отстоя-
щих друг от друга на расстоянии тс. Две другие основные функции,
, (sin и)' cos и , , v 1 /о ,ч
CtgH=-^-v — ==- И — (Ctg Щ = , - , C4)
fe sin и sin и \ ь ) Sln2 и у \" )
имеют в этих точках простые и двойные полюсы. Для функции sinH
мы имели представление в виде бесконечного произведения, а для
170) § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 601
функций C4) мы имели представление в виде разложения на простей-
шие дроби. Совершенно аналогично мы построим в следующем номере
целую функцию, которая имеет простые корни в точках
^lwl ~~f~ ^2W*2> C5)
где о)! и со2 — комплексные числа, отношение которых не вещественно,
а Шх и mi — любые целые числа. Эти точки C5) суть вершины сетки
параллелограммов, изображенной на рис. 81. Для построения этой
целой функции мы воспользуемся формулой Вейерштрасса, выражаю-
щей целую функцию в виде бесконечного произведения. Для приме-
нения этой формулы нам надо найти такое целое число р, чтобы ряд
V' l C6)
ТП\, 171%
был сходящимся. Штрих у знака суммы показывает, что суммирова-
ние производится по всем целым значениям ш^ и m%> кроме значе-
ния /я, = /я3 = 0. Аналогичное условие будет иметь место и в даль-
нейшем при наличии штриха у знака суммы или произведения. Мы
можем переписать сумму C6) в виде
mi, m.2
где 8mi> т2 — расстояние от начала до той вершины сетки рис. 81,
которой соответствует комплексная координата т^щ -\- т^щ. Пусть
28 — кратчайшее расстояние до начала вершин упомянутой сетки,
отличных от начала. Это число 28 будет в то же время, очевидно,
и кратчайшим расстоянием между двумя вершинами упомянутой
сетки. Проведем мысленно на плоскости рис. 81 две окружности
с центром в начале и радиусами п и (п-\-\\ где п — целое число,
удовлетворяющее условию п^>Ь. Пусть Кп есть кольцо, образован-
ное этими двумя окружностями. Оценим приближенно число вершин
сетки, находящихся в кольце Кп,
Пусть это число равно tn. Проведем кружки с центрами в вер-
шинах сетки, принадлежащих кольцу КПУ и радиусом 8. В силу опре-
деления числа 8 эти круги не будут налегать друг на друга, и их
общая площадь тс8%, будет меньше площади кольца, с внутренним
радиусом (я — 8) и внешним радиусом (л -\-1 -\- 8), т. е.
или, после элементарных вычислений,
46 + 2 д 2&
602 гл. vr. специальные функции [171
Для каждой из вершин, находящихся в кольце Kw расстояние
&mlf m« будет не меньше п, и, следовательно, сумма слагаемых ряда C7),
соответствующих вершинам, находящимся в кольце Кп, будет во всяком
случае меньше
Atn + A2_ At , A2
пр — ПР~1 Т пР '
Эта оценка будет справедлива для слагаемых суммы C7), у кото-
рых 8mi, т2 будет достаточно большим по сравнению с Вь например,
Ъпц, т2^>й-|-1. При ЭТОМ соответствующие точки будут наверно
находиться в кольце Кп, для которого я^>о. Отбрасывая в ряде C7)
конечное число слагаемых и заменяя оставшиеся слагаемые большими,
получим, согласно предыдущему, превосходящий ряд
Л л \
/iP-i "Т ПР )-
Этот ряд, как известно [I, 122], сходится при р ^> 2 и в частности
при /7 = 3, и поэтому можно сделать вывод:
Основная лемма. Ряд C6) сходится при р)>2 и, в част-
ности, при р = д.
171. Функции Вейерштрасса. Для сокращения письма обозначим
w = т^щ -\- т%щ. C8)
Принимая во внимание основную лемму, можно непосредственно
построить целую функцию, имеющую простые корни в точках C8).
Эта функция определится следующей формулой [69]:
( ?) C9)
где бесконечное произведение распространяется на все пары целых
значений т\ и т2 как положительных, так и отрицательных, кроме
т\ = т% = 0.
Как известно [68], мы можем вычислять логарифмическую про-
изводную от написанного произведения так же, как и от конечного
произведения, причем логарифмическая производная от отдельного
сомножителя написанного произведения будет
1 . а 1 1 _ 1 ij_4- —
w "' w2 w и и — w"' w *~ w2'
W
i
Таким образом, мы получаем вторую функцию
а (и) U ' ^d \И — W
D0)
171] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 603
которая имеет в точках C8) простые полюсы. Эта функция полу-
чается из а(н)> как ctgxx из sin и. Принимая во внимание сходимость
ряда
нетрудно показать, что ряд D0) сходится равномерно во всякой
конечной области, если отбросить конечное число слагаемых, имеющих
в этой области полюсы. Дифференцируя функцию D0) и меняя знак,
получаем новую функцию
М\, Ш2
Эта новая функция получается из ?(м) совершенно так же, как
. 2 из ctg хх. Она имеет в точках w полюсы второй кратности.
Ряд D1) сходится также равномерно в области указанного выше
вида [12].
Выясним теперь некоторые основные свойства введенных функций.
Напишем формулу для о(—хх):
2 \w
Поскольку произведение распространяется на все пары целых пгх
и тъ кроме #г1 = /я2 = 0, мы можем переменить знаки у тх и тъ
т. е. переменить знак у w, и таким образом получим
о(-и)=-я Д (l-J)C + JW =-о(н),
/Til, /Tig
т. е. а(хх) есть фунщххя нечетная. Совершенно так же можно по-
казать, что С (я) есть также фунщххя нечетная, а $ (хх) есть функ-
щхя четная. Это, впрочем, может быть получено и непосредственно
из формул
^ = 7$р Р(«)=-С'(«), D2)
поскольку дифференцирование нечетной функции дает четную функ-
цию, и наоборот. Кроме того, из формул, определяющих введение
функции, непосредственно следует:
Функции о(м) и С (и) не могут иметь периодов wj и <о2, так как
первая есть целая функция, а вторая имеет в параллелограмме один
604 гл. vr. специальные функции [171
простой полюс. Покажем, что функция $>(и) имеет периоды щ и аJ.
Для этого образуем сначала
=_ 2. _ У *
и3 Li (u — wy
ИЛИ
F(«)= —2 2d {u — wy = ~2
fflit 171% ТП\_, 171%
где суммирование распространяется на все целые Ш\ и #z2 без
исключения. Отсюда
!
[W — (Wj — 1) coj — m2co2]3 •
П%1, 171%
Если Wj пробегает все целые значения, то то же можно сказать
и относительно (т^—1). Таким образом, имеем
и аналогично можно сказать, что ф {и -\- щ) = F (к). Итак,
(A=l, 2). D4)
Посмотрим теперь, как изменяется функция ${ii) при прибавлении
к аргументу чисел о^ или щ. Интегрируя D4), имеем
где Ck — некоторая постоянная. Положим в этом тождестве и = — ^,
причем напомним, что —• не есть полюс f (и):
В силу четности функции $ (и) имеем pf — "у)==^('у)» и» следова-
тельно, С/г = О, т. е.
Р(и + «>л) = Р(«) (А=1, 2). D5)
Посмотрим теперь, как меняется функция С(н) при прибавлении
к аргументу чисел о^. На основании D5) и D2) имеем
С (« + »*)=С D
Откуда, интегрируя, получим
С (я + щ) = С (я) + т], (А = 1, 2), D6)
171] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 605
где y\k — некоторая постоянная, т. е. функция С 00 получает по-
стоянное слагаемое щ при прибавлении к аргументу числа o)k.
Из формулы D6) вытекает и более общая формула:
С (и + тхщ + пцщ) = С (и) + ЩЪ + т&\ъ D7)
где /fti и m<i — любые целые числа.
Можно число % представить как частное значение функции С 00»
а именно: полагая в формуле D6) и= — ~ и принимая во внимание
нечетность функции С 00» получим
^=1> 2). D8)
Обратимся теперь к функции а (и). В силу D6) и D2) можем
написать
°(И + со*) ""«(И)
Интегрируя, получим
In о(и + о)Л) == In о 00 4- ^л« +
или
где Ck = eD—некоторая постоянная. Для определения этой постоян-
ной положим в написанном тождестве и = — ^-:
Принимая во внимание нечетность а (к) и сокращая на множитель
'т)> отличный от НУЛЯ> получим
и окончательно
o(!i + uk) = —e4\+~*)a(u) (* = 1, 2). D9)
Вывод: функция а (и) приобретает множитель показательного
типа при прибавлении к аргументу числа а)л. Вместо формулы D9)
можно получить более общую формулу, аналогичную формуле D7),
а именно:
о(и + гг>)=гЛЯ+2)о(н), E0)
где
W = /гг^! 4- Щ^ъ ч\ = Щ'Цх 4" т*Ъ
606 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [171
и ? = 1 или 6 = —1, смотря по тому, будут ли целые числа Ш\ и /я2
оба четные или нет. В последнем случае соотношение E0) непосредст-
венно вытекает из D7) так же, как D9) из D6). Этим только слу-
чаем нам и придется пользоваться в дальнейшем при #г1 = /я2=1.
В заключение настоящего параграфа выведем одно соотношение,
связывающее постоянные а)Л и r\k. Предварительно установим некото-
рый порядок в обозначении периодов щ и щ. Рассмотрим основной
параллелограмм ABCD (рис. 80). Одна из его сторон AD образует
с другой его стороной АВ положительный угол, меньший тс. Мы
всегда будем считать, что число o)j соответствует той стороне АВ,
от которой угол отсчитывается, а число щ — той стороне AD парал-
лелограмма, до которой производится отсчет положительного угла,
меньшего тс; при этом аргумент дроби — будет представлять собою
некоторый угол, заключающийся между 0 и тс, т. е. мнимая часть
упомянутой дроби будет обязательно положительной. У обратной
дроби — мнимая часть будет, очевидно, отрицательной. Таким обра-
зом, мы всегда будем обозначать числа шл так, чтобы отноше-
ние — имело положительный коэффициент при мнимой единице.
Построим теперь параллелограмм с основной вершиной А(и = щ)
так, чтобы полюс С (и) находился внутри него. Этот единственный
полюс имеет в силу D0) вычет, равный единице, и согласно основной
геореме о вычетах интеграл от функции С(н) по контуру параллело-
грамма будет равен 2тс/, т. е.
И0 + ш1 «O+^l
\ С (и) А» + \
Uq tfO +
Uq
«0
Заменяя во втором из написанных интегралов переменную и новой
переменной u = vi-\-(u1 и в третьем — переменную и новой перемен-
ной и = г>9+ъюв, получим
«о ио но + ш1
"о
где интегрирование совершается по отрезкам прямых, или, меняя
обозначение переменной интегрирования,
«» Uf
172) § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 607
Отсюда в силу D6) и получаем искомое соотношение между
числами <*)? и r\k:
YJjCO.2 T^COj = 2ir/. (б 1)
Это соотношение называется обычно соотношением Лежандра.
Функции а (и), С(н) и ft (и) были введены впервые Вейерштрассом.
Как видно из их определения, для их построения можно пользоваться
любыми двумя комплексными числами wj и щ при единственном
ограничении, чтобы их отношение было невещественным, и эти функ-
ции Вейерштрасса являются не только функциями аргумента и, но
и функциями тех комплексных параметров щ и щ, о которых мы
только что упоминали. Поэтому иногда их обозначают следующим
образом:
а (и; о)Ь щ\ ?(н; а)Ь ш2), ft(a; а)ь а).2). E2)
172. Дифференциальное уравнение для ft (и). Установив основ-
ные свойства функций Вейерштрасса, перейдем сейчас к более по-
дробному изучению функции ft (и) и, в частности, к установлению
дифференциального уравнения первого порядка, которому эта функция
удовлетворяет. Прежде всего выясним ^вид разложения функции ft (и)
вблизи точки и = 0, которая является полюсом второго порядка
для ft (и). Для этого обращаемся к основной формуле D1). Имеем
вблизи и = 0
W
— —14- —-4- 4- —4-
и w Гад2''"' wn+l I ' "
и, дифференцируя по и, получим
1 _ 1 1 2и ¦ , (/i+l) «я .
(и; — иJ ws ' wb ~Т"Ь\ wn+2 T• • •
Отсюда в силу D1) будем иметь следующее разложение для^(м)
вблизи начала:
При нечетном п суммирование по Ш\ и /и2 будет содержать члены,
попарно равные по величине и обратные по знаку, так что получим
. + ^1»-* + ..., E3)
где
~' ' (« = 2,3,...). E4)
п
608 гл. Vr. специальные функции A72
Установим теперь вид разложений для ft'2 (и) и ft* (и). Мы имеем,
очевидно,
где в последних двух выражениях не выписанные члены содержат
положительные степени и. Отсюда
Г2 00 - 4F (и) + 20с Jp (я) = - 28с, +..., E5)
где опять невыписанные члены содержат положительные степени и.
Таким образом, для выражения, стоящего в левой части, точка н = О
уже не будет полюсом. Следовательно, это выражение будет эллип-
тической функцией, не имеющей вовсе полюсов в параллелограмме
периодов, ибо единственными полюсами функции ft (и) были точка
и = 0 и соответствующие вершины других параллелограммов. Поэтому
выражение E5) (эллиптическая функция без полюсов) должно быть
постоянной величиной. Но правая часть обращается в —28с8 при
н = 0, и, следовательно, она тождественно равна — 28с3, т. е.
р* (и) = 4#>3 (и) — 20с Jp (и) — 28с3.
Введем обозначения:
ft = 20с, =60 2' 5?; & = 28с,= 140 J' ^. E6)
Предыдущие вычисления приводят нас к следующей теореме:
Теорема. Функция f (и) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
К2 (я) = 4Р (и) - gap (и) - & E7)
Числа g* и g3 называются инвариантами функции ft (и).
Функция р(и) имеет в параллелограмме периодов с основной вер-
шиной и = 0 один двойной полюс н = 0. Остальные вершины парал-
лелограмма мы уже не должны причислять к этому параллелограмму,
и, следовательно, р(и) есть эллиптическая функция второго порядка,
так что всякое уравнение #>(?*)== а при любом заданном значении
комплексного числа а имеет два корня в параллелограмме периодов.
Если р(щ) = я и $Г(щ) = 0, то корень и = щ надо считать по
крайней мере двойным. Но выше двойного он и не может быть, по-
скольку ft (и) есть функция второго порядка, и, следовательно, в этом
случае функция ft (и) будет принимать значение а только в одной
точке и = и0) принадлежащей параллелограмму. Если
172] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 609
уравнение $>(и) = а будет иметь два различных простых корня в парал-
лелограмме. Посмотрим теперь, где будут лежать те значения и, в ко-
торых р'(н) = 0. Полагая в тождестве
или Y \Ц"
получаем в силу нечетности
^) = 0(Л = 1,2) и j
т. е. F(«) обращается в нуль на серединах сторон и на середине
диагонали параллелограмма с основной вершиной н = 0. Введем
в рассмотрение значение самой функции f (и) в этих точках:
= еъ. E9)
Каждое из уравнений ft(u) = ek имеет двойной корень в соответ-
ствующей точке. Принимая во внимание, что fp(n) есть функция вто-
рого порядка, можно утверждать, что числа ek различны.
Обратимся теперь к формуле E7). Правая часть этой формулы
есть полином третьей степени от р(и). Полагая и = чг или и = <°1 Т (°8,
мы видим, что этот полином обращается в нуль, если ft(it) = ek, так
как при указанной подстановке левая часть равенства E7) обращается
в нуль, а %>{и) обращается в ek. Разлагая полином на множители,
можно, таким образом, переписать формулу E7) в виде
(и) = 4 (р («) — *,) (fp (и) — ej (jp (и) — еъ\ F0)
Сравнивая правые части формул E7) и F0), получаем связь между
числами ek и инвариантами g% и g-
ft ^^ ft
Если положим л; = #>(«), то уравнение E7) можно переписать
в виде
\Ти) =4**-ft*-ft.
Принимая во внимание, что при и = 0 мы имеем лг = оо, получим,
разделяя переменные и интегрируя,
в= f ^ F2)
т. е. функция fp(ii) получается в результате обращения эллжти-
. ческого интеграла первого рода F2). Можно показать и наоборот,
610 ГЛ. VI1. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [173
что при любом выборе постоянных &> и ?з таких, что подрадикаль-
ный полином не имеет кратных корней, обращение интеграла F2)
приводит к функции Вейерштрасса Р(и).
Можно показать далее, что всякая эллиптическая функция с пе-
риодами о)! и ш2 является рациональной функцией от %>{ii) и K(w)>
так что совокупность рациональных функций от р'(н) и f(ii) и пред-
ставляет собою всю совокупность эллиптических функций с перио-
дами COj И ОJ.
173. Функции ek(u). Из формулы F0) непосредственно вытекает,
что произведение, стоящее в правой части, представляет собою пол-
ный квадрат однозначной аналитической функции F00- Оказывается,
что то же самое можно утверждать и относительно каждого из сомно-
жителей ft (и) — ek. Совершенно аналогично для случая тригономет-
рических функций
(cos w)'2 = sin2 и = A — cos a) A -f- cos и),
и каждый из сомножителей в правой части есть полный квадрат
однозначной аналитической функции
1 — cos и = 2 sin2 -~ и 1 -|- cos и = 2 cos2 —¦.
Чтобы доказать наше утверждение относительно разности %>(ii) — ekf
мы установим одну вспомогательную формулу. Рассмотрим разность
fp(v) F3)
как функцию аргумента и. Она имеет в параллелограмме с основной
вершиной и = 0 двойной полюс и = 0. В силу четности функции $(и)
корнями функции F3) будут те две точки параллелограмма, которые
соответствуют комплексным числам u = ±v, т. е., точнее говоря,
это будут те точки параллелограмма, которые отличаются от ±v
на период. Если такая точка параллелограмма окажется полупериодом,
то упомянутые две точки сольются в одну двойную точку, как это
было разъяснено выше. Наряду с функцией F3) рассмотрим функцию
F4)
Докажем прежде всего, что эта последняя функция также имеет
периоды о)! и оJ. Действительно, мы имеем в силу D9)
f(i1 I v «(и — v + щ) g (** + р + <*>*)
а (ц + у) ?.'(** —
'*.№). " *»
К* (и)
173] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 611
Таким образом, действительно, функция F4) имеет периоды (Oj
и о).2. Из формулы F4) непосредственно вытекает, что в основном
параллелограмме она имеет двойной полюс и = 0 и два корня, кото-
рые будут изображаться теми точками параллелограмма, которые
отличаются от ±v на период. Все эти утверждения непосредственно
вытекают из расположения корней функции о (и), а именно из того,
что эти корни суть w = гщщ -\- /ю2аJ, причем все они простые. Таким
образом, функции F3) и F4), обе с периодами <% и <% имеют
в основном параллелограмме одинаковые полюсы и одинаковые корни,
с одной и той же для обеих функций кратностью. Мы можем утвер-
ждать, следовательно, что эти функции отличаются лишь постоянным
множителем [169]:
Для определения постоянной С умножим обе части на и2 и поло-
жим затем и = 0:
Са(и — v) с i
«=о
и=0
Га(цI2
L и J
В силу D3) будем иметь
l=Co(—v)o(v) = — Co*(v)
и окончательно получаем искомую формулу
Г) F5)
Для того чтобы исследовать разности g> (it) — ek) нам остается
только в формуле F5) положить
too
?* Li di
Так, например,
^, F6)
или, принимая во внимание, что в силу D9) имеем
т. е.
F7)
612 гл. vr. специальные функции
можем написать вместо F6)
[173
или
- 1
е
-2
Точно так же можно разобрать и две другие разности. Мы полу-
чаем, таким образом, следующие представления $ (и) — еА в виде
квадрата частного двух целых функций:
>]' F8)
где ввели следующие обозначения:
Установим некоторые свойства функций ok{ii). Эти функции суть,
очевидно, целые функции, и, полагая и = 0, мы имеем
оЛ@)=1 (Л=1, 2, 3> G0)
Переписывая соотношение F7) в виде
получаем
и то же самое для двух других функций ok(u), т. е. функции ak(u)
суть четные функции.
Подставляя выражения F8) в правую часть формулы F0) и извле-
кая корень, имеем
174] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 613
Для определения знака помножим обе части на г/:* и положим затем
и = 0. Принимая во внимание разложение
а также формулы G0) и D3), убеждаемся, что в предыдущей фор-
муле мы должны брать знак (—), т. е.
174. Разложение целой периодической функции. Целая функция
с (а) не имеет вовсе периодов. Дальше мы покажем, что, присоединяя
к ней некоторый множитель показательного типа, мы можем получить
целую функцию, обладающую периодом. Сейчас мы рассмотрим общий
случай целой функции с периодом и
выведем разложение для такой функ-
ции. Это разложение может быть на-
писано или в виде степенного ряда или
в виде ряда Фурье [ср. 119].
Положим, что целая функция ср(г/)
имеет период ш, т. е. при любом ком-
плексном и
ср (и -f о)) = <р(и). G2)
Проведем через начало вектор ш и
две прямые, перпендикулярные к этому
вектору и проходящие через его начало
и его конец (рис. 82). Эти две прямые Рис* 82i
образуют полосу периода функции ср (гг).
Прямая CD получается из прямой АВ при помощи преобразования
и' = и-|-а). Совершим над плоскостью и преобразование т = и" п .
На плоскости т = т1-|-/т2 наша полоса перейдет в полосу, ограни-
ченную прямыми т2 = 0 и т2 = 2тг. Если мы затем совершим пре-
образование
2гЛи
то на новой плоскости С наша полоса изобразится всей плоскостью
с исключенной точкой С = 0 [19] и с разрезом вдоль положительной
части вещественной оси С Два берега разреза соответствуют прямым,
образующим первоначальную полосу на плоскости и, причем соответ-
ствующим точкам на этих двух берегах отвечают значения и, связан-
ные соотношением н' = н-|-а). В силу G2) наша функция имеет оди-
наковые значения на обоих берегах разреза, а следовательно, одина-
ковыми будут и значения производных всех порядков, т. ev короче
614 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [175
говоря, наша функция будет регулярной и однозначной не только на
разрезанной плоскости С, но просто на всей плоскости С с исклю-
ченной точкой С = 0. Мы можем поэтому утверждать, что она должна
разлагаться на этой плоскости в ряд Лорана
-foo +00 2izia
Приходим, таким образом, к следующей теореме:
Теорема. Всякая целая функция ср (и) с периодом ш может
быть представлена на всей плоскости переменной и рядом вида
-{-со 2яш
a"e~n- <74>
Написанный ряд сходится, очевидно, равномерно во всякой огра-
ниченной части плоскости. Если мы воспользуемся формулами Эйлера
и сгруппируем члены, соответствующие значениям #, одинаковым по
величине и противоположным по знаку, то получим представление
функции ср(гг) в виде тригонометрического ряда
00
. 2пип\ ,._ч
m-— , G5)
где
я» = «« + cl-w Ь'п = i(an — an) {п = 1, 2, 3, ...). G6)
175. Новые обозначения. Теория эллиптических функций при
подробном изложении содержит весьма обширный формальный аппа-
рат, которым и приходится пользоваться при приложении этих функ-
ций. К сожалению, не все авторы при изложении придерживаются
одних и тех же обозначений. Мы излагаем лишь самые основы теории
и не будем приводить многочисленных и часто весьма полезных
формул, встречающихся в теории эллиптических функций. Все же
в дальнейшем нам надо будет иметь дело с более сложным формаль-
ным аппаратом, чем это было до сих пор. Мы остановимся при этом
на обозначениях, которые ведут свое происхождение в существенном
от Якоби и которые систематически проведены в книге Гурвица1).
Мы следуем изложению этой книги в нескольких следующих пунктах.
В дальнейшем нам придется часто иметь дело с половинами чисел
щ и со2, а потому, чтобы избежать дробей, мы вместо щ и щ введем
обозначение
^ = 2®, цJ = 2а/. G7)
*) А. Гурвиц, Р, Курант, Теория функций, «Наука>, 1968,
175] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 615
В соответствии с этим мы положим также
•41 = 2-4, % = 2y)'. G8)
Основным элементом построения дальнейших функций будут не
сами числа coj и со.2, как это, например, было для функции ft (и), а их
отношение
х=^ = ^ G9)
(Oj CO v '
или другая величина, непосредственно связанная с этим отношением:
h = e**\ (80)
Введем также вместо аргумента и два новых аргумента:
ш
*-?. * = е*™ = е*Ш. (81)
Предыдущие обозначения нарушают симметрию чисел со и со', т. е.
эти числа играют различную роль в предыдущих обозначениях. Мы
будем всегда считать, как и раньше, что отношение ~ имеет поло»
жительный коэффициент при /, т. е. если положить ~ = г-)-/$, то
5^>0, и, следовательно,
|Л| = ?-*5<1. (82)
При таком выборе щ и со2 мы имели соотношение Лежандра E1),
которое при новых обозначениях перепишется в следующей форме:
Y)W' — Т)'(О=у1Г/. (83)
Отметим некоторые следствия, вытекающие из принятых обозна-
чений. Имеем согласно (81)
2со — ' 2 ' 2(о —v г1» —lz> e z>
и точно так же
т. е., например, добавление числа со к к равносильно добавлению числа
Y к v или умножению г на /, а добавление к и числа со' равносильно
добавлению -i к v или умножению z на А2. Заметим еще, что мы
будем всегда определять степени h? и z9 как еЫх? и е/тсг>р.
616 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [176
176. Функция &! (и). В новых обозначениях мы имеем следующую
форму основного свойства функции с (и):
а (и -\- 2о)) = — е^ №ш) а (и); с (и + 2а/) = — е^' ^^ о (и). (84)
Добавим к функции с (а) показательный множитель
<?(и) = еаи2+Ьис(и) (85)
и выберем числа а и Ь так, чтобы новая функция ср(н) имела период 2о).
Мы имеем в силу (84)
2о>) = —
ИЛИ
и точно так же
<р (И + 2cof) _
В формуле (86) показатель степени правой части есть полином
первой степени от и. Для того чтобы правая часть была равна еди-
нице при всяком и, необходимо приравнять нулю коэффициент при и
в показателе, а свободный член в показателе приравнять выражению
вида kizi, где k — целое нечетное число. Мы положим в соответствии
с этим
а = — —, Ь^=к-.
ZO) Zoo
Подставляя это в правую часть формулы (87), будем иметь
в силу (83)
тл . , . . .со' nin
И | Zco ) со ч ' ' ' to to _2
Мы видим, таким образом, что для функции
= e~*"zo(u) (88)
t)tt2 /it/*
имеют место равенства
ср (и -f 2(о) = ср (г/), ср (и -f- 2а/) = — г ср (и). (89)
Так как ср(и) есть целая функция с периодом 2ш; то для нее
имеем разложение вида [172]
Дяв- СО Лев— 00
176] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 617
Кроме того, добавление к и числа 2а/ равносильно умножению z
на h, т. е.
и вторая из формул (89) дает нам
2
или, заменяя в последней сумме переменную суммирования п на
+ f
Отсюда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z,
получаем
что может быть записано также следующим образом:
(_i)««ft v 2;ал+1==(_1ГЙ
Мы видим, таким образом, что выражение
должно сохранять одно и то же значение при всех целых значениях п.
Положим
где С—некоторая постоянная. Отсюда получаем следующее выраже-
ние для коэффициентов разложения функции ср(н):
У
и, следовательно,
) = Ы %(—l)nhv' 2) z2n- (90)
п = — оо
Формула (88) дает нам при этом следующее выражение для
функции Вейерштрасса а (и):
^~ (91)
618 ГЛ. VI., СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [176
Это приводит нас, естественно, к введению новой функции
-тУ
2/ -21-1
_ ', (92)
которая связана с функцией о (и) следующим соотношением:
o(n) = e2aCbi(v). (93)
Определим теперь постоянную С. Принимая во внимание, что
$t (v)
w = 2aw, что в силу (93) &1@) = 0 и что отношение * v при v = 0
равно &1@), получим, деля обе части формулы (93) на и и полагая
затем н = 0,
1 = — С$[ @),
и окончательно
а (и) = е2ш кт-щ ^1 С0)" (^^)
Преобразуем теперь степенной ряд (92) для функции ^i(xj) в три-
гонометрический ряд. Для этого нам надо будет в упомянутом раз-
ложении сгруппировать члены, относящиеся к показателям степени,
одинаковым по величине и обратным по знаку. Обозначим через v
положительное нечетное число v = 2/z—1 (/ж ===== 1, 2, 3, ...), откуда
n="~t . Для # = 0, —1, —2, ... положим v = —2п-\-1, откуда
V -I- 1
п= —2~ , и мы можем написать
1,3,5.... V_±J !f 1,3,5,... -v + l !! I
[1,3,5.... V_±J !f
2 (-1) 2/*v+
где суммирование в каждой из сумм производится по нечетным поло-
жительным числам, т. е. v= 1, 3, 5, ... Принимая во внимание, что
у + 1 -у + 1 -у + 1 у-1
(-1) 2 =(-iL-i) 2 =-(-1) 2 =-(-1J
и
zv — z~v = eh™ — e~h™ = 2/ sin wo,
можно переписать предыдущую формулу в следующем виде:
177) § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 619
ИЛИ
1,3,5... in! ^
Г! 1 ?5 -.
= 2[А4 sin то —A4 sin3TO-f-u4 sin5TO —...J* (95)
Функция &i(x;), называемая обычно первой тэта-функцией, есть
целая нечетная функция от v. При построении этой функции мы
пользуемся только одним комплексным числом т, которое по условию
должно лежать в верхней полуплоскости, т. е. иметь положительную
мнимую часть, причем h = et1zz. Поэтому тэта-функцию иногда обо-
значают через ^(ц т).
177, Функции frfc(xj). Выше мы ввели наряду с функцией а (и) еще
три целые функции ok(u). Это приведет нас естественно к тому,
чтобы наряду с функцией b\(v) ввести еще три функции тэта.
Мы имеем согласно нашим обозначениям
или в силу (93)
Раскрывая скобки показателя степени и заменяя я- на v, a —
на х, получим
где С3 — некоторая новая постоянная. Наконец, пользуясь соотно-
шением (83), получим выражение функции о3(н) через первую функ-
цию тэта:
[j j (96)
Аналогично получим для о2(м)
где для сокращения письма мы положили
7) = 7) -\- 7)', О) = СО -{- 0)'.
Формула (93) дает нам при этом
620 гл. vr. специальные функции [177
и мы получаем, окончательно проделывая вычисления, аналогичные
предыдущим:
о2 (и) = С,е &z-%(± + ^-v). (97)
Точно так же будем иметь
^(^y (98)
Выведем теперь разложение в степенной ряд для значений функций
тэта, стоящих в выражениях функций ck{u). Мы имеем
Но в силу (81) вычитание из v числа -к- равносильно умножению
z на (—/), и, следовательно, принимая во внимание (92),
+О0
п= —оо
Точно так же
•"(т + т—) — •¦(—т-т).
/ 1 , х\
и вычитание из числа v числа (у + -o-l равносильно умножению z
на — /.А"-
Отсюда следует
+ 00
^ (—/ft" "з'гГ-1 =
+ оо
- - v
= h hz Zih^-Wz*"-*
* — oo
или заменяя переменную суммирования п на я -)- 1,
^ (т+т ~ v)=л 4 ^v Ля'г8л f A00)
и точно так же
^j \ )nh«:z2n A01)
(
= —QO
177] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 621
Введем три новые функции тэта:
+ 00
b,(v)=
+ СО
/г= —оо
A02)
При этом предыдущие формулы для ал(и) могут быть написаны
в виде
(и)
оа(и) =
(г* *з (и) =
где С2 и С3 — некоторые новые постоянные. Для определения посто-
янных мы положим xj = O. При этом и = 0 и ал@)=1, откуда
l . f>
2 а /л\ » С3 ;
и окончательно имеем
Иногда вместо ^4(^) пишут &0(г;).
Степенные разложения A02) для функций тэта могут быть легко
преобразованы в тригонометрические ряды, как это мы уже делали
для функций fri(xj). Мы получим, таким образом,
1 9 25
(v) = 2h4 cos tzv 4- 2А"cos Зте -\- 2hA cos
A04)
^4(v)=\— 2h cos 2™-f- 2/г4 cos 4™ — 2/г9 cos 6m-f-...
В дальнейшем для сокращения письма мы не будем писать аргу-
мента xj = O, т. е. вместо &i@) будем просто писать ft[ и вместо &л@)
будем писать г>л. Принимая во внимание (95) и A04), можем написать
для этих величин следующие разложения:
I 9 23 49
\ = 2т. (/г4 — ЗА" + 5/гт — 7АТ +...),
1 9 25 49
2 = 2Ат + 2АТ 4" 2/г4 4" 2А" + • • •»
= 1 — 2А + 2А4 — 2А9 4- •..
A05)
622 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [178
Эти ряды весьма быстро сходятся, так как но условию |/г|<М,
и суммы этих рядов суть функции, регулярные от т, определенные
в верхней полуплоскости.
Нетрудно теперь установить и связь функции Вейерштрасса $ (и)
с функциями тэта. Мы имели раньше
и, следовательно, принимая во внимание выражение функций а (и) и
ok(u) через функции тэта, будем иметь
178. Свойства функций тэта. Все функции тэта суть целые
функции аргумента v9 и основным элементом при их построении
было комплексное число т из верхней полуплоскости. Чтобы отме-
тить последнее обстоятельство, иногда пишут Ьк (v; т). Из них функ-
ция bi(v), как было уже упомянуто, нечетная, а остальные — четные.
Посмотрим теперь, как изменяются функции тэта при прибавлении
к аргументу v числа у. Принимая во внимание разложение функ-
ций тэта в тригонометрические ряды и пользуясь формулами приве-
дения тригонометрических функций, мы непосредственно получим
Исследуем теперь изменение функции тэта при прибавлении
к аргументу v числа 4-. Это, как известно, равносильно умноже-
нию z на А2. Пользуясь представлениями функций тэта в виде сте-
пенных рядов, получим таким образом, например, в силу (92)
или в силу A02)
где
i i
m = h" *z1 = h~ V™, A07)
178] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 623
и точно так же можно показать, что
Отсюда можно получить и более общие формулы преобразования.
Так, например:
где
l = h-xz'\ A08)
Полученные результаты могут быть записаны в виде следующей
таблицы:
A09)
Если мы хотим выразить, например, ^(^Н-у ~Ь у) чеРез Функ-
цию тэта от основного аргумента v, то должны в первом столбце
найти % и в соответствующей строке взять выражение, стоящее под
»•
•:
•+i
»t
—*i
.«4
1
4- l 4- T
— im94
z> 4-1
— /9,
—/a2
Дадим еще таблицу корней функции тэта. Функция bx(v) отли-
чается от функции о (и) множителем показательного типа, который
никогда в нуль не обращается, и, следовательно, &i(x>) обращается
в нуль тогда и только тогда, когда a (it) обращается в нуль, а это
последнее обстоятельство имеет место, если
где п и Н — любые целые числа. Деля на 2о>, получаем следующее
выражение для корней функции §\{v)\
v = п -J- л'т.
Корни остальных функций тэта можно получить, пользуясь
первой строкой предыдущей таблицы. Так, например, мы имеем
624 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [178
fr3 (v) = т~1Ь1 (v 4- iy-\—7r), и, следовательно, корни ft3 (v) будут опреде-
ляться из условия
ибо tn~1 = h4eirv в нуль не обращается, или
где п и it' — любые целые числа. Мы получаем, таким образом, сле-
дующую таблицу для корней функции тэта:
*!
п
п
+
+
л'т -|-
/г'т -f-
/г'т -|-
1
2
т
X
(ПО)
Отметим еще, что из пятого столбца таблицы A09) непосред-
ственно следует, что функции &3 и ^4 имеют период 1, а функции ^
и &2 имеют период 2. Последняя таблица показывает, что различные
функции тэта не имеют одинаковых корней.
Функции тэта мы можем считать функциями от двух аргументов
v и т. При всяком заданном т из верхней полуплоскости это суть
целые функции гот v и при всяком заданном v это суть регулярные
функции от т в верхней полуплоскости. Это последнее обстоятель-
ство непосредственно следует из того, что ряды (92) и A02) схо-
дятся равномерно при условии |Л|<^Р<С^ Покажем теперь, что
все четыре функции тэта, как функции двух аргументов, удовлетво-
ряют одному и тому же дифференциальному уравнению второго
порядка:
мы
Это уравнение имеет
проводности, о котором
уравнение A11) хотя бы для функции
член ряда A04), который равен 2/1
раза по v, получим
формальное сходство с уравнением тепло-
говорили раньше [II, 203]. Проверим
Дифференцируя общий
два
179] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 625
и тот же результат мы получим, дифференцируя один раз по т и
умножая на 4тс/:
4те/ BШ*еЫхп2 cos 2rnzv) = — 8/АЛ?*"я' cos 2оти
Аналогично проверяется уравнение и для остальных функций тэта.
179. Выражение чисел ek через Ъ8. При изучении функции
Вейерштрасса р(н) мы ввели числа еь которые при наших новых
обозначениях определяются следующим образом:
е1 = ^(о)), *а = р(а> + а/), ^з = РМ, (И2)
причем мы имели для функции ${ii) основное соотношение
F2 («) = 4 (р (и) - *t) (р (я) - **) № (и) - еъ\ A13)
Числа ^, как мы видели, удовлетворяют условию
= 0 A14)
и различны. Эти числа играют основное значение в теории функции
f(ii). Их можно принять за основу при построении функции f{ii)
вместо чисел 2со и 2а/. При этом функция f{ii) будет определяться
как обращение эллиптического интеграла первого рода
X
'" ,, ,. ()
Выразим теперь числа ек через значение функций тэта при аргу-
менте, равном нулю. Возьмем формулу A06)
1 К %k+i(v)
и положим в этой формуле и = со, т. е. v = -^ , и затем и = со -j- со',
т. е. v = -к- -f- -к". ^ы получим, таким образом, в силу A12)
л г 1 »;
626 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [179
Пользуясь таблицей A09), дающей формулы приведения для
функций тэта, будем иметь
/ 1 а: о4
Мы докажем дальше следующее важное тождество
&i=TC&3&3&4, A16)
применение которого дает возможность переписать предыдущие фор-
мулы в очень простой форме:
Займемся теперь доказательством тождества A16). Мы имеем
согласно A06)
откуда, разлагая функции ^(v) и $k+i(v) B РЯД Маклорена и при-
нимая во внимание нечетность §\(v) и четность остальных функций,
получим
или, выделяя в знаменателе множитель v и производя деление ряда
на ряд,
ИЛИ
Как известно, разложение $>(и) в окрестности и = 0 не содержит
свободного члена, и, следовательно, возводя квадратную скобку пра-
вой части в квадрат и собирая в правой части свободные члены,
мы должны получить (—ek\ что дает нам
180) § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 627
Отсюда, принимая во внимание A14), имеем следующее соотно-
шение
Во всех написанных формулах штрихи у Ь показывают дифферен-
цирование по переменной v, так что, например, ftj" есть * ^ при
<d = 0. Уравнение A11) при v = 0 дает нам
Ц = Ы^ (? = 2,3,4)
и точно так же, полагая в уравнении A11) k = l, дифференцируя
по ti и полагая затем и==0, получим
Пользуясь последними двумя соотношениями, мы можем перепи-
сать формулу A19) в виде
Интегрируя это по т, будем иметь
где С—постоянная, не зависящая уже от т, т. е. от h. Для того
чтобы определить эту постоянную, подставим в обе части предыду-
щего тождества разложения A05), выписывая лишь первые члены
разложения,
Сравнивая коэффициенты при младших членах, содержащих А4,
мы получим С=п, что и приводит нас к тождеству A16).
180. Эллиптические функции Якоби. Вместо эллиптической
функции Вейерштрасса р(и) пользуются часто другими эллиптиче-
скими функциями, которые исторически появились раньше функций
Вейерштрасса еще у Якоби. Пусть, как всегда, т — любое число из
верхней полуплоскости, а о> и а/ — два числа, отношение которых
равно — = т. Пользуясь этими элементами построения, мы можем
построить функции тэта. Определим три новые функции, которые
628 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [180
являются отношением двух целых функций, т. е. будут дробными
функциями:
»4 (»)' \
11
(и)
Согласно известным формулам
эти новые функции связаны с функцией Вейерштрасса fp(u) следую-
щими тремя соотношениями:
A21)
Исключая из этих соотношений функцию ft(ii)> получим два со-
отношения, связывающих новые функции:
сп2 (и) + (*i — еъ) sn2 («) == 1; dn2 (и) + (е% — еъ) sn2 (и) =1. A22)
Формулы A17) предыдущего номера дают нам при этом
До сих пор комплексные числа ш и а/ оставались совершенно
произвольными. Существенным было лишь то обстоятельство, чтобы
отношение — = т находилось в верхней полуплоскости. В теории
функций Вейерштрасса эти числа не подчинены никаким дальнейшим
ограничениям. В теории функций Якоби число о) при заданном т
определяется из того условия, чтобы разность в\ — еъ была равна
единице. Второе из соотношений A23) дает нам при этом число ш:
o) = ^^ = |(l + 2A+2ft4 + 2ft9 + --02 (h = e™\ A24)
которое вполне определяется этой формулой при заданном т, а затем а/
определяется формулой а/ = а)т. Подставляя выражение A24) в соот-
ношения A23), получаем
ft | (Ц
е\ — *2 = Г4> ei — ez=h е^ — ег = ^9 A25)
3 3
причем правые части зависят только от т. Соотношения A22) можно
переписать при этом следующим образом:
sn* 00 -f сп2 (н) = 1, dn2 (и) -f A2 sn2 (и) =1, A26)
181] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 629
где для краткости положено
*a = Jj. О27)
Функции Якоби строятся по одному числу т, а потому иногда
пользуются следующими обозначениями:
sn(tt; т), сп (и; т), dn (и; т).
Число ky определяемое формулой A27), называется модулем
функций Якоби. Введем еще так называемый дополнительный модуль,
определяемый формулой
*" = {{. A28)
Складывая первое и третье из соотношений A25), получим
Ae-f-A*=l. A29)
Формулы A27) и A28) определяют k2 и &'2 в виде полных квад-
ратов некоторых однозначных функций от т, и мы можем написать,
беря определенные значения радикалов:
Вернемся к формулам A20). Мы можем выразить множители,
стоящие направо и не зависящие от v, через k и k\ Действительно,
согласно A30), имеем
откуда в силу A24) и A16)
и, следовательно, формулы A20) можно переписать в следующем виде:
"М-ТиШ- «w-УТШ- ""W-^fci оз.)
181. Основные свойства функций Якоби. Формулы A31) дают
представление функций Якоби в виде частного двух целых функций.
Пользуясь нечетностью b{(v) и четностью остальных функций §k(v),
мы можем заключить, что sh(k) есть нечетная функция, а сп(и)
и с1п(н) — четные функции.
630 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Кроме того, ^@)=0, и мы имеем
U v—Q 2со?/ v=0 2co 1?
а формулы A20) дают
snj") =Xj cn@) = dn@)=l.
[181
A32)
Вернемся теперь к таблице A09), дающей формулы приведения
функций тэта. Принимая во внимание, что прибавление к v слагае-
мого -к- или -^- равносильно прибавлению к и слагаемого го или а/
и пользуясь основными соотношениями A31), мы получаем следую-
щую таблицу, дающую формулы приведения функций Якоби:
sn
СП
dn
11-\-<Л
сп (и)
dn(tt)
Msn(M)
п dn (и)
Л dn(и)
1 1
Л sn (и)
i dn(a)
Л sn(tt)
j СП (tt)
sn (м)
1 dn(a)
k en (м)
.Л' 1
k сп(м)
f/.rsn(n)
сп(и)
—sn(tt)
—cn(tt)
dn (u)
и -f- 2co'
sn (a)
—сп(и)
—dn(tt)
a + 2a) -f 2(o'
— sn (м)
сп(и)
— dn (u)
A33)
Три последних столбца этой таблицы показывают, что функция
sn(w) имеет периоды 4о> и 2а/, функция сп(и) имеет периоды 4ш и
2a)-f-2a)' и, наконец, функция dn(tt) имеет периоды 2о> и 4а)'.
Таблица (ПО), определяющая нули функций тэта, приводит нас
непосредственно к таблице, определяющей нули и полюсы функций
Якоби. Присоединяя сюда еще и указание на периоды, мы получаем
следующую таблицу:
A34)
На рис. 83 изображены параллелограммы периодов функций
Якоби, причем кружками обозначены корни и крестиками — полюсы
соответствующей функции. Поскольку функции тэта, как и функции
о (и), имеют простые корни, мы можем утверждать, что функции
8П(И)
СП (И)
dn(«i)
Нули
2ло> 4- 2л V
Bл + l)a> + 2/zV
Bл+1)<о + Bлг+1)о>'
Полюсы
2лсо + Bл' + 1) со'
2/гсо + Bл' + 1) со'
2/ко + Bл' + 1) со'
Периоды
4со И 2со'
4со И 2со+2со'
2со И 4со'
182) § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 631
Якоби имеют простые полюсы. В каждом из изображенных парал-
лелограммов этих полюсов будет два, т. е. все функции Якоби суть
эллиптические функции второго порядка с простыми полюсами.
ш
Этот факт непосредственно связан с тем, что все эти функции могут
быть получены в результате обращения некоторых эллиптических
интегралов первого вида, содержащих полином четвертой степени
под знаком радикала. Мы и переходим сейчас к выяснению этого
обстоятельства.
182. Дифференциальные уравнения для функций Якоби. Из
формул (ИЗ) и A21) непосредственно следует
"" sn3 (и)
Чтобы определить знак правой части, помножим обе части напи-
санного равенства на и3 и положим затем н = 0. Принимая во вни-
мание, что произведение и3р'(и) при и = 0 дает (—2), а также
пользуясь формулами A32), находим, что в правой части предыду-
щей формулы мы должны брать знак (—). Этот знак, очевидно,
остается неизменным и при аналитическом продолжении функции,
т. е. мы имеем
] 2cn(tt)dn(tt)
sir (и)
С другой стороны, дифференцируя соотношение
1
" sir' (и)'
получим
sn»(a)
и сравнение этих двух выражений для р(и) дает нам
[sn (и)]' = сп (и) dn (и).
A35)
632 гл. vr. специальные функции [183
Дифференцируя затем равенства A26) и пользуясь A35), получим
формулы производных для двух других функций Якоби:
(сп (н)У = — sn (и) dn (и), (dn (и)У = — k* sn (и) сп (и). A36)
Отсюда, возводя в квадрат и пользуясь A26), мы получим окон-
чательно следующие дифференциальные уравнения для функций
Якоби:
A37)
da j
du
Остановимся несколько ближе на дифференциальном уравнении
для функции 8п(«). Полагая x = sn(u\ можем написать
причем при я = 0 надо считать х = 0 и радикал, стоящий справа,
равным единице, так как sn'@)=l в силу A32). Разделяя пере-
менные и интегрируя, получаем
и= ( ах _
Отсюда видно, что функция sn(u) получается в результате
обращения эллиптического интеграла первого рода в форме Ле-
жандра. Можно показать и наоборот, что, задавая произвольное
комплексное значение для числа k2, отличное только от 0 и 1, по-
лучим в результате обращения интеграла A38) функцию Якоби sn (и).
Таким образом, элементом построения для функции Якоби вместо т
может служить число k. Мы подробно исследовали интеграл A38)
с точки зрения конформного преобразования для того частного слу-
чая, когда число № вещественно и заключается между нулем и еди-
ницей. В этом случае имеем один вещественный период, который
мы в [168] обозначили через 4/С, и другой чисто мнимый период 2/К7.
Сравнивая с теперешними обозначениями, получим
183. Формулы сложения. Рассмотрим три функции переменного
и: ср! (и)=sn (я) sn (и -\- v)\ ср.2 (и)=сп (и) сп (и -(- v); срз (и)=dn (и) dn (u-\-v),
где v—произвольное фиксированное число. Пользуясь таблицей A33),
нетрудно убедиться, что все эти функции имеют периоды 2о> и 2о/.
183] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 683
Функция <pi(M) имеет простые полюсы там, где sn(w) или sn(u-{-v)
имеют полюсы. Пользуясь таблицей A34), мы видим, что это будут
точки, которые отличаются от а/ или —tj-j-u/ на период, т. е. на
выражение вида п2ы -{- я'2а/, где п и ri — любые целые числа.
В основном параллелограмме периодов, построенном на векторах 2о> и
2а/, таких точек, следовательно, будет только две. Тот же результат
получится и для остальных функций ср& (и)> т- е- все эти Функции
суть эллиптические функции второго периода с периодами 2о> и 2а/
и с двумя простыми полюсами в параллелограмме периодов, из ко-
торых один равен о/. Можно подобрать постоянные А и В так, чтобы
две функции
<Ра(и) + Ар1(и) и <р8(«) + Я<Р1(и) A39)
уже не имели полюса и = о/. При таком выборе постоянных функ-
ции A39) будут иметь в параллелограмме периодов только один полюс
первого порядка, откуда непосредственно следует, что эти функции
будут просто постоянными, так как не существует эллиптических
функций первого порядка [169]. Таким образом, можно утверждать,
что при определенном выборе постоянных А и В имеют место со-
отношения
dn(u)dn(u-\-v)-{-Bsn(u)sn(u-\-v)=B1. J
Постоянные Д В> А\ и Вх являются постоянными в отношении
аргумента и, но их величина зависит от выбора и Приступим к опре-
делению этих постоянных. Полагая в формулах A40) н = 0, мы не-
посредственно получим
At = en (v); Вх = dn (у).
Дифференцируя соотношения A40) и полагая затем г/ = 0, будем
иметь в силу A35), A36) и A32)
(сп (у))' + A sn (v) = 0, (dn (v))r + В sn (v) = 0,
откуда опять-таки в силу A36)
A = dn(v), B = k*cn(v).
Подставляя в формулу A40) значения постоянных, получаем
окончательно следующие два соотношения:
сп (и) сп (и -f- v) -\- dn (у) sn (и) sn (и -\-v) = сп (г;), |
dn (и) dn (и -\- v) -j- k2 сп (г;) sn (и) sn (и -j- <u)= dn (xj), J
которые мы можем считать тождествами относительно и и и За-
меняя и на (—и) и г; на v-\-u, получим отсюда
сп (и) сп (-и) — dn (и -f- v) sn (к) sn (v) = en (h -f- v),
dn (w) dn (-u) — k? en (и -{- v) sn (и) sn (-u) = dn (u -j- -u).
634 Гл. vr. специальные функции [184
Из последних двух формул мы можем найтп сп (и -f- v) и dn (и -f- v),
а подставляя в первое из равенств A41), получаем sn(tf-j-'u). Это
приводит нас к следующим формулам сложения, выражающим зна-
чение функций Якоби от суммы двух аргументов через значение
функций Якоби от отдельных аргументов:
en (tt _1_ *л sn (и) сп (у) dn (v) + sn (у) сп (и) dn (и)
sn{u-\-v)— l-^sn^(«)sna(^)
rn
en
_ сп (и) en (v) — sn (и) dn (a) sn (v) dn (v
" 1 — k* sn2 (и) sn- (y)
j / i \ dn(H)dn(tf) — /г2 sn (м) en (u) sn (t;) en |
П ^" ' 1 — k* sn2 (a) sn2 (y)
A42)
Первые две из написанных формул напоминают формулы сложе-
ния для обычных тригонометрических функций — синуса и косинуса.
Эти последние функции действительно оказываются вырождением для
функции Якоби при k = 0. Действительно, если в интеграле A38)
положим А = 0, то его обращение даст нам x=sinu, а из формул
A26) и A32) вытекает, что сп(//) превратится в cosh. Наконец,
вторая из формул A26) показывает, что при k = 0 функция dn(r/)
вырождается просто в единицу, а потому не имеет своего аналога
среди тригонометрических функций.
184. Связь функций $>(и) и sn(#). Установим теперь непосред-
ственную связь между эллиптическими функциями fp(u) и sn(w).
Возьмем функцию f (и) с какими-либо периодами 2ш и 2а/. Введем
О)'
в рассмотрение число— = т из верхней полуплоскости и, пользуясь
этим числом, построим функции тэта и функцию sn(*f) согласно
первым из формул A30) и A31). Числа 2ю и 2о/, связанные с упо-
мянутой выше функцией Вейерштрасса, не будут, вообще говоря,
удовлетворять условию ех — еъ = \. Согласно приведенным выше
формулам, будем иметь следующие соотношения A17):
Для функции sn(w) вместо 2a> и 2аз' будем иметь новые числа
2о) и 2а/, которые, как известно, определяются из условий
265 = те^, 265' = 2шт. A44)
Обозначим через X отношение Х = — = <^т и рассмотрим функцию
184] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 635
Имеем Х2а) = 2о5 и Х2а>'== 2<5', и согласно таблице A33) функция
f{n) имеет периоды 2о> и 2а/. Из таблицы A34) мы видим, что
полюсы функции f{ii) будут я2оо -}- я'2о/, где л и nf — любые целые
числа.
Таким образом, функция /(и), как и функция р(и), имеет периоды
2о) и 2а/ и имеет в основном параллелограмме периодов единственный
полюс второго порядка и = 0. Покажем, что бесконечная часть в этом
полюсе у fiii), как и у функции ft (и), будет -g. Действительно,
принимая во внимание нечетность функции sh(h)h A32), имеем вблизи
и = 0 разложение вида
sn (н) = и -f съи* -f- с5и5 -|-...,
откуда
1 1 1 1
или имеем вблизи м =
что мы и хотели показать. Итак, окончательно функция f(u) имеет
в общем с функцией ft (и) параллелограмме периодов одинаковые по-
люсы с одинаковыми бесконечными частями, откуда следует, что эти
две функции отличаются лишь постоянным слагаемым, т. е.
^c- A45>
Определим постоянную С, полагая г/ = о). Имеем: ft((n) = eh и
в силу таблицы A33)
и формула A45) дает
С=ех — W A46)
Согласно формулам A43) и A44), можем написать
2й = 2о) Yd — еъ 265' = 2а/ /ех — еъ
т. е.
откуда, пользуясь A46), будем иметь С=еа.
Пользуясь равенствами A43) и A14), можно постоянную С за-
писать следующим образом:
г— ('
636 ГЛ. УГ. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [185
Таким образом, окончательно получаем следующую связь между
функциями ft (и) и sn(w):
1Ци) = —1^—-{-ег A47)
sn2 (у eY — еъи)
или
(Х= |/ех —ег). A48)
185. Эллиптические координаты. Эллиптические функции применяются
очень часто главным образом в задачах механики. Остановимся лишь на
самых основных и простых приложениях этих функций. Первым приложением
будет применение эллиптических функций при рассмотрении эллиптических
координат в пространстве. Мы уже встречались с эллиптическими коорди-
натами раньше [II, 137]. Сейчас повторим то, что нам было о них известно,
а также укажем некоторые дополнительные их свойства. Изменим несколько
обозначение, которым мы пользовались раньше, а именно числа а-} Ь2 и с2
заменим на —а2} —Ь2 и —с2. Напишем уравнение
Это есть уравнение третьей степени относительно р. В любой заданной
точке с декартовыми координатами (л:, у, г) уравнение A49) имеет три ве-
щественных корня: X, fx и v, которые удовлетворяют неравенству
X > а2 > fx > Ь2 > v > с2, A50)
и эти три числа и называются эллиптическими координатами упомяну-
той точки. Чтобы не оговаривать знаков (=), мы считаем ху у w z отлич-
ными от нуля, например положительными. Если в уравнение A49) подста-
вить р = X, то получим эллипсоид, проходящий через заданную точку, при
р = {а это будет однополый гиперболоид, а при 5 = v— двуполый гиперболоид.
Мы видели раньше, что координатные поверхности X = пост., (л= пост, и
v = uoct. взаимно ортогональны, т. е. эллиптические координаты суть ортого-
нальные координаты. Выведем формулы, выражающие декартовы координаты
через эллиптические. Приводя левую часть уравнения A49) к одному знаме-
нателю и принимая во внимание, что числитель будет полиномом третьей
степени от р, со старшим коэффициентом (— 1) и корнями X, (х и v, можно
написать тождество относительно р:
_**__ у2 z2 — (р — X) (р — р.) )р — у)
р — а2 "*" р — Ь2 "Г" р — с2 (р — а2) (р — ^2) (р — с2) '
Умножая на (р — а2) и полагая затем р = я2, получим выражение для х*
и так же найдем выражения у2 и z2:
х ~~
(а2 — Ь2) (а* — с2) '
у2 =(Х ^-^иь*-^Ь2)'
(К — с2) (|jl — с2) (v — с2)
A52)
185] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 637
Выведем теперь формулу для квадрата элемента дуги в эллиптических
координатах. Формулы A52) в результате логарифмирования и последующего
дифференцирования дадут нам
«dx d\ . d[x flfv
х ~Х — я2 > — «2^v — a*y
n dy d\ d\k dv
_ _r_ ¦—: - _i :—- _| _
2*1 _ _____ 4- _-___- 4- _____
Отсюда, умножая на х, .у, 2, возводя их почленно в квадрат и складывая,
будем иметь
ds2 == L2d\2-\-M2dii2-\-N2dv2} A53)
где, например,
4/ | _____
Заметим, что правая часть формулы A53) не должна содержать произ-
ведений d\ d\L и т. д., так как эллиптические координаты суть ортогональ-
ные координаты [II, 130]. Правая часть формулы A54) может быть получена,
если мы продифференцируем левую часть тождества A51) по р, переменим
знак и положим затем р = X, т. е.
4/«= d
Мы можем написать, таким образом, следующую формулу для ds2:
^^
(v — a2) (v — ?2) (v — c2)
A55)
Зная выражение элемента длины, мы можем написать уравнение Лап-
ласа в эллиптических координатах [II, 119]. Для сокращения письма введем
следующее обозначение:
В обозначениях из [И, 119] мы имеем
причем #? надо брать положительными и надо помнить, что/(Х) и /(v) —
положительны, а/(р.)<0. Уравнение Лапласа в эллиптических координатах
будет
о, A56)
где два последних слагаемых получаются из первого циклической переста-
новкой б) кв X, (л и v,
638 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [186
186. Введение эллиптических функций. Вместо переменных X, ja и v
введем новые переменные а, C и 7 П0 формулам
d\ , du. .- dv . /ir-,4
= act — = da — • as fl7t (Io7)
V74M У/(«*) У/М
т. е. а, р и | выражаются в виде эллиптических интегралов первого рода
через X, fx и v, а, наоборот, последние являются эллиптическими функциями
от первых. В силу A57) мы имеем, например,
д д
и уравнение A56) мы можем переписать следующим образом:
^ X)^=0- A58)
Обратимся теперь к формулам A52) и покажем, что ху у и z суть одно-
значные функции от новых переменных a J и |. Действительно, рассмотрим
радикал
УШ = У (Р - я2) (Р - Ь*) (р - с2),
который входит в выражения A57). Введем вместо р новую переменную t по
формуле
где/? и q — некоторые постоянные. Мы получим
(р - а2) (р - Ь2) (р - с2) = q* (t - О (* - *t) (< ~ ej,
где ^/j — корни полинома относительно t, так что имеем
Выберем прежде всего число р так, чтобы сумма чисел е^ равнялась
нулю, т. е.
*i + *2 + ^з = О,
откуда
а2 + &2 + с2
р = з •
После этого предыдущие формулы определят нам числа ek с точностью
до множителя qy который мы будем считать положительным и обозначим
через s2. Таким образом, имеем
3
3
Г2 П
A59)
3
Отсюда вытекает, между прочим,
187) § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 639
Подставляя $=^p-\-qt, будем иметь
р — а2 = s2 (t — ej; ? — b2 = s2(t — e2); p — с2 = s2 (t — ел).
Полином /(р) в новой переменной запишется в виде
Полагая
x, +
можно первую из формул переписать в виде
h) (* — еъ)
причем мы опускаем произвольное постоянное слагаемое справа, которое
не играет существенной роли.
Полагая для простоты письма s = 2, мы получаем в результате обраще-
ния интеграла t = р (а), так как радикальный полином в силу ех -\- е2 + еъ = О
имеет как раз вид, указанный в [179].
Формула A61) дает нам
- + 4р(а), A62)
и совершенно аналогично получим
f!±^+fl A63)
Подставляя эти выражения в формулы A52) и принимая во внимание
A59), A62) и A63), будем иметь
A64)
(P) - g8) (P Cf)
Все разности, стоящие в числителях, как известно [173], суть квадраты
однозначных функций а, р, -у, так что действительно из предыдущих фор-
мул х, у и z определяются как однозначные аналитические функции а, р и ].
Уравнение Лапласа A58) в новых переменных, согласно A62) и A63), будет
187. Уравнение Лямэ. Применим к уравнению Лапласа обычный метод
разделения переменных и будем искать решение этого уравнения в виде
произведения трех функций, из которых одна зависит только от а, вторая
от р и третья от у.
). A66)f
640 ГЛ. VI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [187
Подставляя в уравнение A65) и деля на А (а) В (,3) С (*(), будем иметь
а» (?) -9 (W) ^щ-+(F (») -f G» ^+® ^ -р(а» ^cы¦=°•
Мы удовлетворим этому уравнению, если будем считать, что сомножи-
тели в выражении A66) суть решения уравнения одного и того же вида,
а именно:
4$--™-* !$--«•»-« ?$—«•«-*
где я и & — некоторые постоянные. Мы приходим таким образом к рассмо-
трению уравнения второго порядка с двояко-периодическим коэффициентом
^? + Иэ(«) + 6]Я(«)=0. A67)
Определим прежде всего постоянную а так, чтобы общий интеграл
уравнения A67) был однозначной функцией от и. Вблизи точки м = 0 коэф-
фициент а§>(и)-{-Ь имеет разложение вида
и, следовательно, определяющее уравнение в этой регулярной особой точке
будет
р(р—1) + в = 0. A68)
Для однозначности необходимо, чтобы корни этого уравнения были
целыми числами. Поскольку сумма корней этого уравнения равна + 1» мы
должны иметь для уравнения A68) корни — п и п-\-\у где п — некоторое
целое положительное число или нуль. Таким образом, для постоянной а
получаем следующие возможные значения:
вя = —л(/1 + 1) (л = 0, 1, 2,...). A69)
Строго говоря, в предыдущем мы показали лишь, что равенство A69)
является необходимым условием однозначности общего интеграла. Покажем
теперь, что оно и достаточно. Из общей теории вытекает, что одно из
решений уравнения A67) при а = — п(п-\-\) будет иметь вблизи начала
разложение вида
Ц(и) = и"+Чсо + С1и + сяи* + ...) (Со^О). A70)
Но уравнение A67) не меняется, если в нем заменить и на (—м), а сле-
довательно, если в формуле A70) совершим такую же замену, то мы должны
получить также решение. Это новое решение должно отличаться от реше-
ния A70) только постоянным множителем, ибо второе решение, линейно-
независимое с A70), уже имеет совершенно иную форму вблизи и = 0. Из
этих рассуждений непосредственно вытекает, что степенной ряд, входящий
в формулу A70), содержит лишь четные степени и, т. е.
/?1(a) = a»+1(^o + ciiia + c4ai + ...) (со^0). A71)
Второе решение уравнения A67), как известно, может быть получено
по формуле [И, 24]
ИЛИ
R2 (U) = /?, (и) J JLj (с0 + c2
Подинтегральная функция будет иметь вблизи и = 0 разложение, содер-
жащее лишь четные степени а} а потому член с иг1 будет отсутствовать,
188] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 641
и второе решение /?2 (//) но будет содержать In и. Таким образом, мы
видим, что оба решения будут однозначными вблизи м = 0. Предыдущее
рассуждение можно буквально повторить и для любой особой точки урав-
нения A67). Эти особые точки будут и = ш^ + m2(o2, где o>j и о>2 — периоды
jp (и), a mi и т2 — любые целые числа. Таким образом, всякое решение
уравнения A67) может иметь в особых точках этого уравнения лишь полюсы,
а потому является действительно однозначной функцией от и.
Подставляя в уравнение A67) значение постоянной A69), получим урав-
нение
utl"
+ |_ п (П + 1) р (и) + b\R (и) = 0,
A72)
которое называется обычно уравнением Лямв. Постоянная Ь определяется
дальше из того условия, чтобы уравнение A72) имело решение или в виде
полинома от j«J (и) или в виде произведения такого полинома на множи-
тели вида
причем таких дополнительных множителей может быть один, два или три.
Оказывается, что существует B/1+1) значений для постоянной Ь, удовле-
творяющих этому условию. Если А0(и) есть решения уравнения A72) упо-
мянутого выше вида, то произведение
являющееся решением уравнения Лапласа, как оказывается, является поли-
номом от декартовых координат д:5 у и z степени п. При заданном п таких
решений, как было упомянуто выше, будет B/1 + 1), и они называются
обычно функциями Лямэ. Эти полиномы имеют, очевидно, непосредственную
связь со сферическими .функциями, о которых мы говорили раньше.
188. Простой маятник. В качестве наиболее простого примера приме-
нения функций Якоби рассмотрим простой маятник. Положим, что тяже-
лая материальная точка массы единица движется но гладкой окружности.
Возьмем координатные оси X и Z
в плоскости этой окружности, причем
ось Z направим вертикально вверх;
и пусть / — радиус окружности. По-
ложим, что наша точка при * = 0
пущена из самой нижней точки
Д10 (z = — /) с некоторой начальной
скоростью v0. Приращение кинетиче-
ской энергии будет равно работе
силы тяжести, и мы получим, таким
образом, формулу
1 о 1 о
или
A73)
Рис. 84.
Предположим, что прямая z~u пересекает нашу окружность в неко-
торых точках А и А\ т. е. что я < / пли vo<.2\/~lg* Из формулы A73) вы-
текает, что z^ctj и, следовательно, движение будет совершаться па ;iyie
/UJ,,/V (рис. 84) нашей окружности. Мы имеем г== —/cosfl и введем угол а
642
Гл. vr специальные функции
[188
такой, чтобы а = — /cosa @ <; а <С тг). Величина скорости будет выражаться
формулой
ds , I flf0
и,^следовательно, уравнение A73) может быть переписано в виде
/а (—) = 2g/ (cos 6 — cos a)
или, вводя половинные углы,
откуда
Мы считаем при этом, что 0 возрастает при возрастании t. Введем
вместо 0 новую переменную х по формуле
.0 .а
sin у = т sin-у
Дифференцируя это соотношение, получим без труда
2 sin ~2 dz 2 sin -^ dz
2 sin -у dx
db =
COS-jr-
:, т. е. dv =
1г= с • * (*-=1п-Й,
и, следовательно, подставляя в A74) и принимая во внимание, чю при
^ = 0 мы имеем 0 = т = О:
откуда
и, пользуясь известными свойствами функций Якоби, получим
sin I-= sin ! sn
f *) = * sn (|/f
A76)
причем, извлекая корень, мы принимаем во внимание, что при * = 0 мы
имеем 0 = 0. Последние формулы дают возможность выразить координаты
х и z в виде однозначных функций L
189] § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 643
Рассмотрим теперь тот случай, когда постоянная я, входящая в фор-
мулу A73), больше /. Мы можем переписать эту формулу следующим образом:
/*g?J = 2g (a + I cos в) = 2g (в + / - 2/ sin
ИЛИ
р {ш)г=2g (а + ° A -*2si т) • A77)
где
причем, очевидно, &2<1. Интегрируя соотношение A77), получим
где ь
J у 1 — Л» sin» -g-
Вводя вместо 0 новую переменную т = sin -у , будем иметь
, откуда х == sin -75- = sn (-тг X*
о
и точно так же
cos тг = I/ 1 — sn- 1-х- И =
Эти формулы дают возможность и в этом случае выразить координаты
в виде однозначных функций времени.
189. Пример конформного преобразования. Как мы видели выше, при
0< k < 1 функция
-5
/(I
о
A79)
преобразует верхнюю полуплоскость z на прямоугольник плоскости м, и,
следовательно, обратная функция 2 = sn(a; k) преобразует прямоугольник на
плоскость. Длины сторон прямоугольника определяются интегралами [168]
о С ** и f dx
J /A—л:2) A — k2x2) J/A—х8)A—Л'«а:») '
о о
где ?2-(-/г'2=1. Таким путем можно получить прямоугольник с любым от-
ношением сторон. Добавляя к правой части формулы A79) постоянный мно-
житель -г-, можно получить прямоугольник с любыми сторонами, и такой
прямоугольник будет преобразовываться на полуплоскость функцией 2 =
= sn(Xtt; k). Покажем теперь, что функция, преобразующая прямоугольник
644 гл. vr. специальные функции [189
в круг, просто выражается также через функцию з (и) Вейсрштрасса. Возь-
мем на плоскости прямоугольник Ки вершины которого имеют координаты
(О, 0), @, «), (а, Ь) и @, Ь). Пусть z = /(«) — функция, преобразующая Кх
в единичный круг, причем некоторая точка E, г{), находящаяся внутри К и
переходит в центр круга. Если мы аналитически продолжим f (и) через ту
сторону, которая соединяет вершины @,0) и @, а), тс» в силу принципа сим-
метрииf(u) будем преобразовывать прямоугольник К», симметричный с/^,
относительно упомянутой стороны, во внешнюю часть единичного круга, т. е.
в область i z | > 1, причем точка (с, —у(), симметричная сточкой (;, т;), перей-
дет в бесконечно далекую точку. Принимая во внимание однолистность
отображения, можем утверждать, что /(//) имеет в точке ? + /*»; простой
корень, а в точке S — ir,"—простой полюс. Если мы построим еще два прямо-
угольника /Ся и /<4» симметричных с /СА и АГ2 относительно мнимой оси, то
один из них будет преобразовываться в область ! z \ <. 1, а другой — в область
|г|;>1| причем в точке z = — $ — nj функция f (и) будет иметь простой
корень, а в точке z = — ; 4~ щ — простой полюс.
Рассуждая совершенно так же, как и в [168|, можно убедиться, что/(и)
есть эллиптическая функция с периодами 2а и 2Ы. Основной параллелограмм
(прямоугольник) периодов будет состоять из четырех вышеуказанных пря-
моугольников, причем выше мы отметили все нули и полюсы f(u) в этом
параллелограмме периодов.
Полагая <о1=2«н со2 = 2Ы, построим функцию Всйерштрасса а (и) и
составим новую функцию:
Она имеет те же простые нули и полюсы, что и наша функция /(и)
в упомянутом выше параллелограмме периодов. Мы покажем сейчас, что функ-
ция A80) имеет периоды cdi и о2, и отсюда будет непосредственно следовать,
что f (и) и ср (и) отличаются лишь постоянным множителем. Пользуясь свой-
ством функции а (и), выраженным равенством D9), можем написать
\и - 5 Ч- «г, + 2" ' -г ^^ и -г i ~ i\ -1-
3(f/— ; --/>;) д (Ц 4- 6
(
а (И — g + /r^) с (a -f- P — ir,)"
что мы и хотели показать. Таким образом,
= г - (ц
а (М — g + '>.) « (a + С — «>,> •
Для определения постоянной С положим и = 0 и перепишем предыду
щую формулу в виде
—tV«) <j F4-^)
Определение функции a (н) дает
j, /Ла
189] § 4. ЭЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ II ЭЛЛИПТИЧЕСКИ!- ФУНКЦИИ 645
где w = mfia -\~ тЛЫ. Будем считать и — вещественным. Поскольку произ-
ведение распространяется навес целые значения т{ и ///.,, кроме Wj = w2 = 0,
мы будем иметь попарно сопряженные сомножители, а именно те, у кото-
рых mt одинаковы, а ш2 отличаются знаком. Если ///., = О, то соответствую-
щие множители вещественны.
Таким образом, в рассматриваемом случае, когда <*>L — вещественно,
to2 — чисто мнимое, функция а (и) будет вещественной при вещественном и.
В силу принципа симметрии она будет иметь сопряженные значения при
сопряженных значениях и. Отсюда следует, что числитель и знаменатель
в обеих дробях правой части формулы A81) буд\т сопряженными, так что
модуль каждой из дробей равен единице- Обратимся к левом части. Точка
и = 0 находится на контуре основного прямоугольника К[ (в его вершине),
и, следовательно,/@) находится на единичной окружности, т. е. ^/@I = 1.
Таким образом, формула A81) показывает, что ; С ; == 1, т. о. С — е1®, где ft —
некоторое вещественное число. Окончательно получаем следующую формулу
для функции, преобразующей прямоугольник KL в единичный круг:
Выбор числа 0 не играет роли. При изменении значения 0 единичный
круг поворачивается вокруг центра.
ДОБАВЛЕНИЕ
ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
190. Вспомогательные предложения. Целью настоящего добав-
ления является доказательство предложения, приведенного нами без
доказательства в [HIlf 27]. Прежде всего, сформулируем это предложе-
ние. Если А есть некоторая матрица, то всегда можно найти такую
матрицу V с определителем, отличным от нуля, что матрица КАК,
подобная матрице Л, будет иметь квазидиагональную (или диагональ-
ную) форму
1/лк1 = [/р1(Х1), /p2(U ..., /Рр(Хр)], A)
где матрицы /Р(Х) имеют вид
B)
Нижний значок р указывает порядок матрицы и аргумент X дает
число, стоящее на главной диагонали. Если р=1, то матрица Д(Х)
приводится к числу X. В результате доказательства этого предложе-
ния мы дополним его в некоторых существенных пунктах.
Напомним, прежде всего, геометрический смысл перехода к по-
добной матрице. Матрица А порядка п является оператором в ^-мер-
ном пространстве в том смысле, что она совершает некоторое линей-
ное преобразование этого пространства. Вид матрицы А зависит,
как мы видели [IIIlf 21], от выбора координат, т. е. основных ортов.
Если матрица А выражает линейное преобразование при определен-
ном выборе ортов и если мы совершаем преобразование координат,
при котором новые составляющие каждого вектора выражаются через
его прежние составляющие при помощи преобразования V, то в но-
вой координатной системе наше линейное преобразование будет
X
1
0
0
0
0
X
1
0
0
0 ...
0 ...
X ...
0 ...
0 ..,
0
0
0
X
1
0
0
0
0
X
190] ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 647
выражаться матрицей VAV \ Таким образом, формулированная нами
задача сводится, по. существу, к выбору ортов, в некотором смысле
наиболее естественных для линейного преобразования, осуществляе-
мого в прежней системе координат матрицей А, а именно к такому вы-
бору ортов, при котором наше линейное преобразование выражается
матрицей, имеющей форму, указанную в правой части равенства A).
Прежде чем переходить к решению этой задачи, мы предвари-
тельно выясним некоторые вспомогательные предложения, которыми
нам придется пользоваться. Большая часть этих предложений выяс-
нена ранее, но для цельности картины мы соберем их здесь в одном
месте.
Прежде всего мы остановимся на выяснении понятия подпростран-
ства, с которым мы часто имели дело и раньше. Если xh ... , xk
суть k линейно независимых векторов пространства, причем
то совокупность векторов, определяемых формулой
где cs — произвольные числа, мы называли подпространством изме-
рения k, образованным вышеуказанными векторами. В случае k = n
подпространство совпадает со всем пространством. Можно дать дру-
гое определение подпространства, эквивалентное только что указан-
ному, а именно: подпространством называется совокупность векторов,
обладающих следующими двумя свойствами. Если некоторый вектор х
принадлежит этой совокупности, то и вектор сх, где с — произ-
вольное число, также принадлежит совокупности, и если два вектора
Х\ и jc2 принадлежат совокупности, то и их сумма Х\-\-х^ также
принадлежит совокупности. Иначе говоря, совершая действие умно-
жения на число и сложение над векторами совокупности, мы не вы-
ходим из этой совокупности.
В дальнейшем мы будем иметь дело с двумя способами опреде-
ления подпространства, которые мы сейчас и укажем. Пусть Р — не-
которая матрица порядка п и х — произвольный переменный век-
тор в я-мерном пространстве. Совокупность векторов, определяемых
формулой
Ъ = Рх, D)
является, очевидно, некоторым подпространством, которое может
совпадать и с полным пространством. Действительно, если к указанной
совокупности принадлежит некоторый вектор %х=з:Рхь то к этой же
совокупности принадлежит и вектор с&\ = Р (с\Х\\ и если к нашей
совокупности принадлежат два вектора \Х = РХ\ и \ч = Рхь то к этой
совокупности принадлежит, очевидно, и вектор \\-\-\ъ = Р(Х\.-\-Хъ), и,
таким образом, формула D) при произвольном переменном векторе х
действительно определяет некоторое подпространство. Как мы уже
упоминали [Шц 15], число измерений этого подпространства равно
рангу матрицы Р.
648 ДОБАВЛЕНИИ [190
Укажем теперь второй способ определения подпространства. Пуаь
Q есть некоторая матрица порядка я, и мы рассматриваем совокуп-
ность векторов, удовлетворяющих уравнению
С?лг = О. E)
Совершенно так же, как и выше, можно показать, что эта сово-
купность векторов образует некоторое подпространство. Как мы
видели выше 111119 14), это подпространство будет иметь измерение /?,
где (п — к)—ранг матрицы Q.
Говоря о подпространстве, мы, конечно, всегда предполагаем,
что оно не пустое, т. е. что оно содержит действительно векторы,
отличные от нуля. Посмотрим, в каком случае формула D) опре-
деляет пустое подпространство, т. е. в каком случае для любого х
из нашего пространства формула D) дает вектор, равный нулю. Принимая
во внимание самый вид линейного преобразования, мы можем утвер-
ждать, что это будет иметь место в том и только в том случае, когда
матрица Р равна пулю, т. е. когда все ее элементы равны нулю.
Пусть ?\, Ет — некоторые подпространства. Мы будем говорить,
что они образуют полную систему подпространств, если всякий век-
тор х -нашего пространства может быть представлен единственным
образом в виде суммы векторов
* = Sl + ---t-6m. F)
принадлежащих указанным выше подпространствам. Отметим значе-
ние условия единственности представления. Из этого условия непо-
средственно вытекает, что вектор, равный нулю, не может быть
представлен в виде суммы F), среди слагаемых которой есть отлич-
ные от нуля, а это в свою очередь равносильно тому факту, что
между векторами упомянутых выше подпространств не может суще-
ствовать линейной зависимости. В качестве примера рассмотрим
обычное вещественное трехмерное пространство, образованное век-
торами, имеющими начало в некоторой точке О. В качестве полной
системы подпространств мы можем взять некоторую плоскость L,
проходящую через О, и некоторую прямую /, проходящую через О
и не лежащую в плоскости L. Первое подпространство будет двух
измерений и может быть образовано двумя произвольными векторами,
лежащими в плоскости L и не находящимися на одной прямой. Второе
подпространство будет одного измерения и может быть образовано
любым вектором, лежащим на прямой /. Всякий вектор нашего
трехмерного пространства может быть единственным образом пред-
ставлен как сумма векторов, лежащих в плоскости L и на прямой /.
Пусть А есть некоторая матрица, осуществляющая линейное пре-
образование пространства. Положим, что нам удалось найти такую
полную систему подпространств ?ь ..., Нт измерения р,, . ..,р,„,
что каждое из этих подпространств будет инвариантным по отно-
I90|
ПРИВЕДЕНИИ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМГ
ГL9
шению к линейному преобразовании), осуществляемому матрицей .4,
т. е., иначе говоря, любой вектор подпространства Es(s=\, ..., т)
в результате линейного преобразования, осуществляемого матрицей Л,
перейдет в вектор того же подпространства. В данном случае мы
имеем следующий естественный выбор ортов, при котором матрица А
принимает квазидиагональпую форму структуры {pi, ..., pm }. Берем
за первые pi ортов какие-либо pj линейно независимых векторов,
образующих подпространство Еь за следующие р., ортов выбираем
какие-нибудь р.3 линейно независимых векторов, образующих подпро-
странство Еь и т. д. Раз Es образует полную систему подпространств,
мы имеем, очевидно, pi -\-... -|- рот = п. Нетрудно видеть, что при
таком выборе ортов наша матрица А действительно будет квазидиа-
гоналыюй формы. Остановимся на этом подробнее и для простоты
письма ограничимся случаем т = 2. Пусть (хь ..., хп)— некоторый
вектор и (х[, ..., х'п) — новый вектор, получаемый из него при
помощи нашего линейного преобразования. В силу инвариантности
подпространства Ех и сделанного выбора ортов мы должны иметь
При Хр1 + [=ХиЛ-2 ... = Хп = 0 И х'Р1+\—х'91+2 = ... = х'п = О
и точно так же, в силу инвариантности Еъ если х{ = .. . = агР1 =0,
то х[ ==... = х'Р1 — 0. Отсюда непосредственно следует, что при
сделанном выборе ортов наше линейное преобразование осуще-
ствляется квазидиагональной матрицей вида
an
*..
a
0
0
al2 ...
*« ...
0 ...
0 ...
flip,
a, r
0
0
0
0
0
bn
bn
0
0
0
b» .
.. 0
.. 0
.. 0
¦¦ *lp.
о о
0
К*
= [А', В'\.
G)
Отметим еще, что выбор основных ортов внутри каждого под-
пространства остается совершенно произвольным, и в дальнейшем мы
используем этот произвол для того, чтобы привести каждую из
отдельных матриц А' и В', входящих в квазидиагопальную матрицу
G), к наиболее простой в некотором смысле форме.
Мы переходим сейчас к следующим предложениям, которыми нам
придется пользоваться в дальнейшем.
Пусть f(z) есть некоторый полином
/(.г) = а^ + а^'1 -}г... + ар_лг + ар.
Подставляя вместо z некоторую матрицу А, мы получаем поли-
ном от матрицы
f(A) = а0А' -Ь М^1 + • • • -г VH + V (8)
650 ДОБАВЛЕНИЕ [190
В результате действий, указанных в правой части, мы получим
некоторую новую матрицу, т. е. всякий полином от матрицы f(A)
есть также некоторая матрица. Отметим, что коэффициенты поли-
нома as суть некоторые числа. Поскольку целые положительные
степени одной и той же матрицы Ak коммутируют друг с другом
и с любыми числами, мы можем утверждать, что не только сложе-
ние, но и умножение полиномов от одной и той же матрицы А про-
изводится по правилам обычной алгебры так же, как это делается
с полиномами от численного аргумента. Таким образом, если мы
имеем некоторое тождество, связывающее несколько полиномов от
численного аргумента и содержащее действия сложения и умноже-
ния, то же самое тождество будет иметь место, если вместо аргу-
мента z мы подставим любую матрицу А.
Основную роль в вопросе приведения матриц к каноническому
виду играет характеристическое уравнение
ап — X а12 ... аХп
апХ апъ ... апп — X
апп
=о,
где aik — элементы матрицы А. Это уравнение может быть записано
в виде
D(A — Х) = 0, A0)
где символ D(U) означает определитель матрицы U. Как мы пока-
зали выше [91], имеет место следующее тождество Кейли:
ср(Л) = О, A1)
т. е. если в характеристический полином <р(Х) матрицы А вместо
аргумента X вставить матрицу Л, то в результате получится мат-
рица, равная нулю.
Нам остается еще отметить два простых предложения. Как из-
вестно, корни уравнения (9) называются характеристическими
числами матрицы А Докажем следующую теорему: если Хь ..., Хп
суть характеристические числа матрицы А, то у матрицы Л5,
где s — целое положительное число, характеристические числа
будут Ц, ..., X*.
Принимая во внимание, что в полиноме ср(Х) старший член равен
(— Х)/г, мы можем написать тождество относительно X:
-X). A2)
190] ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 651
Пусть г = е s —корень степени s из единицы. Мы имеем очевид-
ное тождество [I, 175]:
B — \)(z — еХ).. \z — es'1X) = zs — X5. A3)
Принимая во внимание, что определитель произведения матриц
равен произведению определителей и тождеств A2) и A3), мы можем
написать
или
D (As - Is) = П [(X, - X) (X, - еХ)... (ХЛ - е"Х)].
Отсюда, в силу тождества A3), получим
n
т. е.
что и доказывает высказанную теорему.
В дальнейшем нам придется вычислять определитель матриц,
имеющих квазидиагональную форму
А = [Аи Аь ..., Ак].
Нетрудно видеть, что он равен произведению определителей
матриц Ak) т. е.
D(A) = D(A1)D(A,)...D(Ak). A4)
Для простоты письма ограничимся случаем k = 2. Мы имеем в силу
закона умножения
[Аь Л2] = [Л, /][/, Л2],
откуда
D(A) = D([Ah I))D([I, A%]\
Применяя разложение определителя по элементам некоторого
столбца или строки, мы получим, например,
D([Ah l]) = D(Al),
откуда и вытекает непосредственно формула A4).
В заключение напомним, что подобные матрицы имеют одина-
ковые характеристические числа.
652 ДОБАВЛЕНИЕ [191
191. Случай простых корней. Выше мы разобрали полностью
приведение матрицы к канонической форме в том случае, когда
матрица имеет различные характеристические числа. Изложим это
несколько иначе с тем, чтобы потом провести аналогичные рассу-
ждения и в общем случае, когда имеются одинаковые характеристи-
ческие числа.
Пусть X,, ..., Х„ — характеристические числа матрицы А, различ-
ные между собой. Как мы видели, существуют в данном случае п
линейно независимых векторов vk> которые удовлетворяют уравне-
ниям
Avk — lkvk (k=\, 2, ..., п)
или
(A — lk)vk = 0. A5)
Каждый из этих векторов <ок образует подпространство Ek одного
измерения, и эти подпространства Ek дают полную систему под-
пространств. Каждый из векторов вида ckvk, где ck — некоторое число,
удовлетворяет, очевидно, уравнению Ackvk = Kkckvk, т. е. в резуль-
тате преобразования А умножается лишь на число \k. Иначе говоря,
каждое из подпространств Ек является инвариантным подпростран-
ством по отношению к линейному преобразованию, осуществляемому
матрицей А. Выбирая векторы vk за орты, мы приводим матрицу А
не только к квазидиагональной форме, но просто к чисто диагональ-
ной форме, поскольку каждое из подпространств Ek имеет лишь
одно измерение.
Напишем уравнение вида
(A--\k)x = 0 (k = \9 2, ..., n\ A6)
Ему удовлетворяют, между прочим, векторы подпространства Ек.
Нетрудно видеть, что других решений оно не имеет, т. е. что урав-
нение A6) определяет подпространство одного измерения. Действи-
тельно, если бы оно определяло подпространство выше одного из-
мерения, например двух измерений, то, как мы показали в [HIj, 27],
каждый вектор этого подпространства будет линейно независимым
с векторами остальных подпространств Ek> и мы получили бы таким
образом (п-\-\) линейно независимых векторов в я-мерном про-
странстве, что невозможно. Таким образом, в рассматриваемом слу-
чае уравнения A6) и определяют подпространство Ek.
Можно определить эти подпространства и иначе. Возьмем для
этого разложение на простейшие дроби
п
к -1
аи V 9 (z)
^~ или 7 С1ь - =
191| ПРИВПЛП-ШГ МАТРПП К КЛИОНИЧГГКОП ФОРЧН в5л
где ак -— числа, огличиьк oi пуля. Подставляя имесю z матрицу А,
получим
Рассмотрим теперь подпространства Ек, определяемые формулами
1 = акЛЩ-х (*=1, 2, ..., /О, A8)
где jc — любой переменный вектор из всего пространства. Постоян-
ный множитель ak в формуле A8), очевидно, никакой роли не
играет. Из формулы A7) получаем разложение любого вектора х:
причем слагаемые правой части принадлежат подпространствам E'k.
Покажем, что эти подпространства Е'к> определяемые формулой A8),
совпадают с Eki которые определялись уравнением A6). Действи-
тельно, если | есть некоторый вектор из Е'к, который определяется
формулой A8); то в силу формулы Кейли имеем
т. е. всякий вектор из E'k принадлежит Ek. Остается показать, что и,
наоборот, всякий вектор r\k из Ек может быть получен по фор-
муле A8) при определенном выборе х. Для этого подставим в A9)
вместо х вектор г\к. Поскольку каждый полином -,-—^- при s ф k
А — As
содержит множитель (А — ал), мы имеем в силу A6), которое слу-
жит определением Ек,
Йг|;П* = 0 при зфк
и, таким образом, получаем из A9) при замене х на x\k
т. е. вектор г\к действительно получается по формуле A8), если
вместо х мы возьмем сам вектор цк.
Рассуждения, совершенно аналогичные предыдущим, мы будем
иметь и для случая кратных корней характеристического уравнения.
Это даст нам возможность разбить все пространство на полную си-
стему подпространств, инвариантных по отношению к линейному
преобразованию, совершаемому матрицей А. Для каждого из этих
подпространств характеристическое уравнение будет иметь все корни
654 ДОБАВЛЕНИЕ [192
одинаковые, и вторым шагом в нашем преобразовании будет такой
выбор ортов в этом пространстве, при котором мы приходим к ос-
новной формуле A).
192. Первый этап преобразований в случае кратных корней.
Положим, что характеристическое уравнение (9) имеет корень а%
кратности гь корень а,2 кратности г2 и т. д. и, наконец, корень as
кратности rs. Разлагая на простейшие дроби, мы будем иметь фор-
мулу вида
где gk(z) — полином от z степени не выше (rk — 1), причем gk{o,k) ф 0.
Введем в рассмотрение полиномы
<^. B0)
Мы имеем, очевидно, тождество
или, заменяя аргумент z матрицей Л, получим
1=2 ЛИ*
Таким образом, для любого вектора х мы получим представле-
ние в виде суммы s векторов
x=j]fk(A)x. B1)
Определим теперь некоторые подпространства Еъ ..., ES) а имен-
но положим, что Ek есть подпространство, определяемое формулой
%=fk(A)x (* = 1, 2, ..., s). B2)
Мы увидим дальше, что каждое из этих подпространств Ek бу-
дет не пустым. Обозначим через Xk любой вектор из подпростран-
ства Ek. Мы докажем, прежде всего, следующие две формулы:
= 0 при рфЯ и fp(A)xp = xp. B3)
Действительно, но определению
192) приведение матриц к канонической форме 655
где х — некоторый вектор полного пространства. Поэтому в силу B0)
Если р и q различны, то дробь, стоящая в правой части равен-
ства, представляет собой полином, содержащий множителем <р(Л);
в силу тождества Кейли, этот полином будет представлять собою
матрицу, равную нулю, что и доказывает первую из формул B3).
Для доказательства второй формулы достаточно в формуле B1)
положить х = Хр и принять во внимание первую из формул B3).
Мы получим, таким образом, непосредственно вторую из этих фор-
мул. Покажем теперь, что эти подпространства образуют полную
систему подпространств. Формула B1) показывает, что всякий вектор
может быть представлен в виде суммы векторов из подпространств Еk.
Нам остается только показать, что между векторами из этих под-
пространств не может существовать линейной зависимости. [Положим,
что такая линейная зависимость существует:
Сгхх + Сл +... -f Csxs = 0, B4)
где вектор xk принадлежит подпространству Ek. Нам надо показать,
что если xk отлично от нуля, то коэффициент Ck должен равняться
нулю. Применяя к обеим частям равенства B4) линейное преобра-
зование fk(A)> мы получим в силу B3)
что и доказывает наше утверждение.
Таким образом, построенные подпространства Ek действительно
образуют полную систему подпространств, и сумма их измерений
должна быть равна п, т. е. числу измерений полного пространства.
Можно определить каждое из подпространств Ek иначе, чем это
было сделано выше, а именно покажем, что подпространство Ek
определяется уравнением вида
(A-4Y*x = 0t B5)
т. е. представляет собою совокупность векторов, удовлетворяющих
этому уравнению. Действительно, положим сначала, что имеется не-
который вектор |, определяемый формулой B2), и покажем, что он
удовлетворяет уравнению B5). Действительно, подставляя выражение
вместо х в уравнение B5), мы получим в левой части этого урав-
нения выражение
(Л — а*/* Д (A) x = gk (Л) ? (А) х}
656 ДОБАВЛЕНИИ |192
и в силу тождества Кейли [<р(Л) = О| результат будет действительно
равен нулю. Остается теперь показать обратное, а именно, что всякое
решение т] уравнения B5) может быть получено по формуле B2)
при некотором выборе х. Более точно мы покажем, что из уравнения
(А-*к)г*ц = 0 B6)
вытекает
Л = ДИ)Ч. B7)
Действительно, в силу B1) мы имеем
Но каждый из полиномов fp(A) при р ф к содержит множитель
(А — сик)Гк и, следовательно, в силу B6), мы имеем fp(A)r\ — 0 при
р ф k, откуда и вытекает формула B7).
Вернемся к рассуждениям из |ШЬ 27]. Если \ — zk есть некото-
рый корень характеристического уравнения, то, подставляя его вместо
X в коэффициенты системы A05), мы получим однородную систему
с определителем, равным нулю, и, таким образом, сможем построить
для нее решение, отличное от нулевого. Это решение vk будет
удовлетворять уравнению
а потому и подавно уравнению B5), т. е. будет входить в состав
подпространства Е^ которое, следовательно, не пусто.
Из вида уравнения B5) непосредственно вытекает, что каждое
из подпространств Ek будет инвариантным по отношению к преобра-
зованию, совершаемому матрицей А Действительно, если некоторый
вектор х удовлетворяет уравнению B5), то непосредственно очевидно,
что и вектор Ах будет удовлетворять этому же уравнению, так как
(А — т.кр Ах — А (А — a*)r*je.
Пусть <7Ь ..., qs — числа измерений подпространств Eh ..., Es.
Выбирая основные орты в этих подпространствах, как это было
указано в предыдущем номере, мы, перейдем от матрицы А к подоб-
ной матрице, имеющей квазидиагональную форму,
5И5Г1 = 1Л1, А2, ..., As], B8)
причем составляющие матрицы Ak будут иметь порядок qk. Мы
покажем сейчас, что числа qk совпадают с кратностями rk корней
характеристического уравнения, и4что каждая из матриц Ak имеет
единственное характеристическое число ал кратности rk.
193] ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 657
Для доказательства возьмем любой вектор § из подпространства Ek.
Он должен удовлетворять уравнению B5). При новом выборе ортов
это уравнение перепишется в виде
Но мы имеем, например,
Si (Л - *kfSil = Sx (A - ч) Sf'S, (А - a,) Sx* = № AS?
так что предыдущее уравнение можно переписать в виде
или
[А, - *к, А, - аЛ, ..., As - 4}'kl = 0. B9)
Рассмотрим, например, случай /е=1.
В данном случае у вектора | все составляющие, кроме первых qh
будут равны нулю, и вместо B9) мы можем написать уравнение
Mi —ai)"$' = 0, C0)
где через §' мы обозначили произвольный вектор в пространстве,
имеющем qx измерений, и матрица (Ах—v.\)ri будет матрицей по-
рядка qi. Поскольку уравнение C0) должно иметь место при любом
векторе |', мы должны иметь
Отсюда, конечно, следует, что все характеристические числа мат-
рицы (Aj — aj/i должны равняться нулю. Но эти характеристические
числа получаются из характеристических чисел матрицы А\ — <*\
путем возведения этих последних в степень rh и, следовательно, все
характеристические числа матрицы Ах—%\ равны нулю, а все характе-
ристические числа матрицы Ах равны at. Совершенно так же можно
показать вообще, что все характеристические числа матрицы Ak
порядка qk равны аЛ. Но матрица B8), подобная Д должна иметь
те же характеристические числа, что и матрица А. Ее характери-
стическое уравнение имеет вид
([X — K А* —К .-., Л —Х]) = 0
или [190]
О(АХ — \)D(A% — \)...D(AS — X)= 0.
Отсюда вытекает непосредственно, что q^ должны совпадать с г*,
и что матрица Ak имеет единственное характеристическое число ай
кратности rk.
193. Приведение к канонической форме. Мы видели, что каж-
дая из матриц Ак имеет единственное характеристическое число afe
кротости rk. Для приведения этой матрицы к канонической форме
658
ДОБАВЛЕНИЕ
A93
упомянутого в начале вида достаточно выбрать в подпространстве Ek
соответственным образом орты. Мы приходим, таким образом, к рас-
смотрению частного случая, а именно матрицы с единственным харак-
теристическим числом. Пусть, вообще, некоторая матрица D порядка
г имеет единственное характеристическое число а кратности г.
Матрица B = D — а будет иметь единственное характеристическое
число нуль кратности г, и эту матрицу мы и будем дальше рас-
сматривать.
В силу тождества Кейли мы имеем 5г = 0, так как левая часть
характеристического уравнения для матрицы В равна, очевидно, (—\уУ.
Но м жет случиться, что В1 = 0, где / — целое положительное число,
меньшее г. Возьмем наименьшее целое положительное число /, при
котором имеет место формула
В1 = 0. C1)
Если, например, сама матрица В равна нулю, то /г= 1. Для матрицы
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
нетрудно проверить, что В2 = 0.
Если матрица В равна нулю, то D = В-\-а есть чисто диаго-
нальная матрица
D = [a, a, ..., a],
и, таким образом, мы уже имеем каноническую форму. Итак, имеет
смысл рассматривать лишь тот случай, когда /]> 1.
В силу условия C1) уравнение
определяет всё пространство измерения г. Мы его будем в дальней-
шем обозначать о). Построим теперь уравнение
Поскольку матрица В1'1 отлична от нуля, это уравнение опреде-
ляет некоторое подпространство с числом измерений, меньшим г.
Определим вообще последовательность пространств следующими
уравнениями:
Blx = 09 Bl'lx = 0} ..., Вх = О, C2)
и обозначим через Fm подпространство, определяемое уравнением
Втх = 0. Пусть хт — число измерений этого подпространства. Как
мы уже упоминали выше, Fx совпадает со всем пространством о>,
193] ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 659
и т/ = г, а чл^ч- ^сли "^который вектор § входит в подпро-
странство Fm т. е. удовлетворяет уравнению #mg = 0, то вектор В\
будет удовлетворять уравнению Вт~х (?|) = 0, т. е. будет входить
в подпространство Fm_\. Кроме того, очевидно, что всякий вектор,
входящий в пространство Fm> тем самым входит и в подпространство
Fm+h т. е. подпространство Fm составляет часть подпространства Fm+\.
Дальше мы увидим, что число измерений подпространства Fm всегда
меньше числа измерений подпространства Fm+b T- е« подпростран-
ство Fm составляет правильную часть подпространства Fm+\, а не
совпадает с ним. Мы имеем пока неравенства вида
C3)
и дальше мы покажем, что не только в начале, но и везде в даль-
нейшем мы имеем просто знак '?>)•
Обозначим zl — Tj_| = гь где гг есть некоторое целое положитель-
ное число. Мы можем построить в подпространстве Ft (т. е., иначе
говоря, во всем пространстве ш) rt линейно независимых векторов
1ь • • • > !/•/» таких, что никакая их линейная комбинация не принад-
лежит Ftji* При этом всякий вектор из Ft может быть представлен
в виде линейной комбинации векторов §ь ..., | и некоторого
вектора из Ft_\, Для образования этих векторов §,, ..., |г мы мо-
жем, например, в подпространстве Ft_x выбрать любым образом хь_х
линейно независимых векторов. При этом векторы |ь ..., \г будут
дополнять эти векторы до полной системы линейно независимых
векторов в пространстве о>. Совершенно так же обозначим хь_х — tz_a =
= г1Л) где гь_х будет некоторым целым неотрицательным числом,
и построим в подпространстве Ft_\ такие гм линейно независимых
векторов, что никакая их линейная комбинация не принадлежит
подпространству Ft_^ Назовем эти векторы и любые их линейные
комбинации векторами tj. Рассмотрим теперь векторы
C4)
Все они принадлежат подпространству Ft_\. Покажем, что ника-
кая их линейная комбинация не может принадлежать подпростран-
ству Fi-ъ Действительно, в противном случае мы имели бы
ИЛИ
l
т. е. оказалось бы, что линейная комбинация векторов |ь ..., %г при-
надлежит подпространству В1~1У что противоречит определению этих
векторов. Таким образом, мы видим, что векторы C4) суть линейно
независимые вектора из подпространства Ft ь являющиеся для этого
подпространства векторами ц, т. е. никакая их линейная комбинация
660 ЛОвлвлрнпр |193
не принадлежит Ft 2- Отсюда непосредственно вытекает, что vl_{^rl.
Совершенно так же, обозначая -ч_ 2 — zl_.6 — rl .2, мы получим /Y_2^/Vb
и вообще, обозначая ~.т — т,„_., = rm, мы имеем
0 < г, < г,., < гм< ... < гх (Г! = тД C5)
Отсюда, между прочим, и вытекает непосредственно, что в фор-
муле C3) мы имеем везде знак Q>), т. е.
Ч>4 >>>~*1 C6)
Число rt можно назвать числом измерений подпространства Ft
по отношению к подпространству FlAi составляющему его часть.
Точнее говоря, rt есть число линейно независимых векторов из Ft
таких, что любая их линейная комбинация не принадлежит к F^\.
Эти векторы образуют некоторое подпространство G7, входящее в Ft.
Точно так же гг t есть число измерений Ft_\ относительно F\ *, и мы
получаем аналогично предыдущему некоторое подпространство GM,
входящее в Ft..\, Boo6uie rm есть число измерений Fm относительно
Fm_\, и какие-нибудь rm линейно независимых векторов из Fm,
обладающих тем свойством, что никакая их линейная комбинация не
входит в /v_i, образуют подпространство Qm% входящее в Fm. Под-
пространство Gj совпадает с самим Fh Если | есть некоторый век-
тор из От и тем самым из Fm> то В% должен принадлежать Fm t.
Но он уже не может принадлежать Fm.b ибо и противном случае
мы имели бы 5т~2 (/?!)= 0 и, следовательно, вектор | принадлежал
бы не только Fm, но и Fmh что противоречит определению под-
пространства От. Таким образом, производя над подпространством
От линейное преобразование В, мы получим часть подпространства
Gm_! (или все подпространство Gm_i), причем линейно независимые
векторы От переходят также в линейно независимые векторы От {.
Из формул
гт'==~т zm 1 (^1== Tl)
непосредственно вытекает, в силу zt = г,
ri Л~ ri i ~1~ - • • ~L ri = r»
и подпространства G7, ..., G{ образуют, очевидно, полную систему
подпространств.
Мы переходим, наконец, к последнему этапу построения, а именно
к построению окончательных подпространств, инвариантных относи-
тельно линейного преобразования, осуществляемого матрицей В.
Выбираем из Qt некоторый вектор %х за первый орт и строим еще
(/—1) ортов по следующему правилу:
8i=sgi, Ь=Д5* .... 5/ = в$м № = /^ = 0).
Из предыдущих рассуждений непосредственно следует, что эти
орты линейно независимы и что они принадлежат последовательно
193]
МАТРИЦ К КЛЧОНИЧПСКОИ ФОРМЕ
661
к подпространствам Oh Gt , О,. Нетрудно нпдеть, что они обра-
зуют подпространство, инвариантное по отношению к линейному
преобразованию В. Действительно, имеем при любом выборе посто-
янных ck
Отсюда непосредственно следует, что матрица линейного пре-
образования образованного таким образом инвариантного подпро-
странства, если |k принять за орты, будет матрицей порядка / кано-
нической формы:
О 0 0 ... О О
7,@) =
1 0 0 ... О О
О 1 0 ... О О
0 0 0
1 0
Использовав таким образом один из векторов из Olf мы берем
какой-нибудь второй вектор к\{ из О/, линейно независимый с §ь
и пристраиваем к нему еще (/—1) векторов по формулам
Построенные таким образом / векторов будут линейно независимы
не только друг с другом, но и с векторами |fe. Это непосредственно
вытекает из того факта, что линейно независимые векторы из От
переходят в линейно независимые векторы из От \ при преобразо-
вании В. Принимая векторы r\k за орты, мы получим инвариантное
подпространство, в котором наше линейное преобразование будет
осуществляться матрицей /ДО). Используя все гь векторов из под-
пространства О/, мы построим тх инвариантных подпространств изме-
рения /, в каждом из которых паше линейное преобразование будет
осуществляться матрицей вида /ДО).
Переходим теперь к следующему подпространству GM измерения
Г/..1, причем rt.\^rv Из этого подпространства rt векторов уже
использованы при предыдущем построении ортов. Используя осталь-
ные (rM — rt) векторов совершенно так же, как это мы делали
выше, мы построим (гм — г;) инвариантных подпространств, в каж-
дом из которых наше линейное преобразование при сделанном вы-
боре ортов будет выглядеть в виде матрицы /?__t @) порядка (/—1)
канонической формы.
Вообще, когда мы дойдем до подпространства От, то в нем
останутся неиспользованными (гт — гт+\) линейно независимых векто-
ров. Выбирая эти векторы каким угодно образом и применяя к каж-
дому из них последовательно преобразование В, мы для каждого
из них получим дополнительно еще (tn—1) векторов и, принимая
662 ДОБАВЛЕНИЕ |193
эти векторы за орты, мы получим (rm — rm+i) серий ортов, причем
каждая из этих серий будет содержать т ортов и будет определять
некоторое инвариантное подпространство измерения т, для которого
наше преобразование будет осуществляться матрицей /w@) канони-
ческой формы порядка т.
Наконец, когда мы придем к последнему подпространству Оь то
в нем останутся неиспользованными (Т\ — г2) линейно независимых
векторов, для которых имеет место формула ?Е = 0. Принимая
каждый из них за орт, мы получим (тх — г2) инвариантных подпро-
странств одного измерения, в каждом из которых наше линейное пре-
образование будет выглядеть в виде матрицы первого порядка, равной
нулю. Окончательно результат нового выбора ортов будет выра-
жаться некоторым линейным преобразованием а над составляющими
вектора, и в результате этого преобразования наше линейное пре-
образование, осуществляемое раньше матрицей В> будет теперь осу-
ществляться подобной матрицей квазидиагональной формы
ofla-1 = [/Pl@), Ы0), ..., /^@)], C7)
причем в квадратной скобке среди нижних значков будет гг равных
/, (гм — rt) равных (/—1) и т.д. и, наконец, (гх — г2) равных
единице. Для матрицы D — B-\-o. мы имеем, очевидно,
g~x = gBg~1 -\- golg'1 = gBg~1 -\- а,
т. е. дело сводится к прибавлению числа а к диагональным элемен-
там, и мы получим, таким образом,
GDGl = [Ih(<x\ /Pa(a), ..., /^(а)]. C8)
Вернемся, наконец, к нашей исходной матрице А В предыдущем
номере, согласно формуле B8), мы ее представили в виде квази-
диагональной матрицы, в которой каждая составляющая матрица Ak
имеет единственное характеристическое число ak кратности rk. Каж-
дую из этих матриц Ak мы можем, согласно предыдущему, привести
к канонической форме C8) при помощи некоторой матрицы Gk
порядка rk. Если ввести в рассмотрение матрицу
52 = [а1, о.2, ..., а5],
то мы будем иметь
и окончательно наша матрица А приведется к канонической форме
ОЗД) Л (ЗДГ1 = [/Р1 (X,), /ра (U ..., /рр (Хр)]. C9)
Числа Ху должны совпадать с числами ah причем сумма нижних
значков у составляющих матриц I?.(Kj)> Для которых \j = aki должна
равняться Гд.
194] ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 663
Формула C9) решает вполне задачу о приведении данной мат-
рицы А к канонической форме. Возникает вопрос об единственности
такого представления, т. е. о доказательстве того факта, что внутри
квадратной скобки, стоящей в правой части формулы C9), при
любом способе приведения к канонической форме будет стоять
совершенно определенное число матриц /р.(Ху) при заданных ру- и Ху.
Итак, пусть имеется приведение матрицы А к канонической форме,
сделанное каким-либо образом:
Принимая во внимание, что подобные матрицы должны иметь
одинаковое характеристическое уравнение, можем написать характе-
ристическое уравнение матрицы А в виде
D([IM /P2(U ..., /Рр(Хр)]_Х) = О
или
D([IPl^i-4 IP2(h-4 ..-, /Рр(Хр-Х)])=О,
что равносильно следующему [190]:
D (/Pl (X, - X)) D (IP2 (Х2 _ X))... D A9р (Хр - X)) = 0.
Но из вида матрицы /р(а) следует, что
D[I?(a)]=(a-Xf. D0)
Таким образом, числа Ху должны совпадать с характеристическими
числами a.k матрицы Л, и сумма значков ру, для которых \j = ak,
должна равняться кратности rk характеристического числа ak. Остается
показать, что эти числа р; должны иметь определенное значение.
Этот факт можно доказать, пользуясь теми геометрическими сообра-
жениями, которые дали нам приведение матрицы к канонической
форме. Существенную роль при этом должно играть рассмотрение
инвариантных подпространств. Мы не будем проводить этого дока-
зательства, а в следующем номере докажем критерий алгебраического
характера, определяющий вполне значки ру- по заданной матрице А
Этот критерий, основанный на рассмотрении общего наибольшего
делителя определителей данного порядка матрицы (А — X), приведен
без доказательства в первой части этого тома [Шь 27]. Он, очевидно,
дает нам и доказательство единственности представления данной
матрицы в канонической форме.
194. Определение структуры канонической формы. Предвари-
тельно докажем две вспомогательные леммы.
Лемма 1. Если А и В суть две квадратные матрицы порядка
п и С=АВ — их произведение, то всякий определитель матрицы
С порядка t, где t^n, может быть представлен в виде суммы
6ГL ДОБАВЛЕНИЕ [194
произведении некоторых определителей порядка i матрицы А на
определители порядка t матрицы В.
Эта лемма непосредственно следует из теоремы, доказанной
в [Шь в].
Следствие. Пусть элементы матрицы А (X) суть полиномы от л,
а элементы матрицы В не содержат л, причем определитель этой
матрицы В отличен от нуля. Обозначим через dt(k) общий наиболь-
ший делитель всех определителей порядка t, входящих в состав
матрицы Л(Х), и через rf/(X) обозначим такой же общий наибольший
делитель для матрицы А (к) В. Из доказанной леммы непосредственно
следует, что dt(k) должен содержаться в d't(k). Но мы можем напи-
сать
АA)=\А(\)В]В\
и доказанная лемма дает нам совершенно так же, что rf/(X) должно
заключаться в dt(\), т. е. dt(k) и d'f(k) совпадают. То же самое мы
получили бы, если бы вместо матрицы А(\)В составили матрицу
В A QI
Отсюда далее следует, что упомянутый общий наибольший дели-
тель dt(k) для матрицы Л(Х) и для подобной матрицы ВА(к)В 1
будет одним и тем же.
Выясним еще одно свойство общего наибольшего делителя df(k).
Для этого введем новое определение.
Определение. Назовем элементарным преобразованием мат-
рицы Л(Х), элементы которой суть полиномы от X, преобразование
этой матрицы при помощи конечного числа следующих трех опе-
раций:
1) перестановка двух строк (или столбцов);
2) умножение всех элементов некоторой строки (столбца) на одно
и то же число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам некоторой сiроки (столбца) соответ-
ствующих элементов другой строки (столбца), умноженных па одно
и то же число пли на один и тот же полином от X.
Если матрица .4i(X) получается из Л (л) при помощи элементар-
ного преобразования, то, очевидно, и наоборот, Л(Х) можно полу-
чить из ,4i(X) при помощи элементарного преобразования. Две мат-
рицы, которые получаются одна из другой при помощи элементарного
преобразования, назовем эквивалентными.
Л е м м а 2. Эквивалентные матрицы имеют одинаковые общие
наибольшие делители г/ДХ) (tf=l, 2, ..., п).
Достаточно показать, что если все определители порядка t мат-
рицы Л(Х) содержат общим множителем некоторый полином у (X),
то такой же общий множитель будут содержать и все определители
порядка t эквивалентной матрицы .4i(X). Первое и второе из указан-
ных выше трех преобразований добавляет к упомянутым определите-
194]
ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
вво
лям порядка t численный множитель, отличный от нуля, и для этих
двух преобразований лемма очевидна. Остается показать, что и при
третьем преобразовании общий множитель <р (л) сохранится. Положим,
например, что это преобразование состоит в прибавлении к элемен-
там строки с номером р соответствующих элементов строки с но-
мером с/ Фр, умноженных на полином 6 (X). Все определители порядка t,
не содержащие строки с номером /; или содержащие строки с номе-
рами р и q, не изменятся при указанном преобразовании в силу
свойства .VI определителя из [HIj, 3J. Определители же порядка t,
содержащие строку с номером р} но не содержащие строки с номе-
ром q, после преобразования будут иметь вид: Л'(Х)± Ф(Х) Л"(Х), где
Л'(л) и А" (X) —некоторые определители матрицы А (к) порядка L
Из сказанного непосредственно следует, что общий множитель ср(Х)
определителей порядка t матрицы А(Х) войдет действительно и во
все определители порядка t матрицы А\(к).
Лемма 3. Всякую матрицу вида
— X
1
0
0
a —
1
X
0
0
a — X ..
. 0
0
. 0
0
0
0
О
О
О
1 а —X
D1)
порядка р можно при помощи элементарных преобразований при-
вести к диагональной матрице |1, 1, ..., 1, (а — X)f].
Для случая р=1 лемма очевидна. Рассмотрим случай р = 2.
Переставляя строки, умножая затем элементы первого столбца на
— (а — X) и прибавляя полученные произведения к элементам вто-
рого столбца и проделывая то же для строк, мы будем иметь тре-
буемый результат после вынесения (— 1) из последнего столбца:
a —X 0
1 a —л
1 a —X
a —X 0
: — Л
0
(a-;
-(*->¦)*!
1, (а-Щ.
Для матриц третьего порядка мы имеем, совершая указанные
только чго преобразования:
а л
1
О
C
0 I
о i
a-Xl
— 1
0
0
a — л
666
ДОБАВЛЕНИЕ
[194
Переставляя вторую и третью строки и совершая дальнейшие
элементарные преобразования, мы будем иметь
1
0
0
(a
0
- XJ
j
0
0
a —X
,1
0
jo
->
1
i
1
0
0
0
— 1
(a — ХУ
0
— 1
(a-X)*
0
(a-X)
0
0
0
(a — XK
->
->
1
0
0
0
— 1
0
(a
0
0
-X)B
и после вынесения (—1) из второго столбца получим [1, 1, (а — XK].
Таким образом, постепенно мы можем доказать лемму для матриц
любого порядка.
Переходим теперь к доказательству алгебраического критерия
структуры канонической формы матрицы Л, указанного в [IIIlf 27].
Согласно следствию из леммы 1, мы можем свести разыскание общих
наибольших делителей dt(X) матрицы А — X к разысканию общих
наибольших делителей подобной матрицы:
V(Л — X) V-1 = VA V'1 - X = [/Pi (X, - X),
D2)
Применяя лемму 3 к каждой из матриц, входящих в состав этой
квазидиагональной матрицы, мы можем при разыскании общих наи-
больших делителей dt(k) заменить матрицу D2) чисто диагональной
матрицей, в которой вдоль главной диагонали стоит (pi—1) единиц,
затем (Xj — X)pi, после этого (р2—1) единиц и затем (Х^ — Х)Ра и т.д.
Заметим далее, что если при построении определителя некоторого
порядка t, входящего в эту матрицу, мы вычеркиваем совокупность
строк, не совпадающую с совокупностью вычеркиваемых столбцов,
то в полученном определителе по крайней мере одна строка и стол-
бец будут состоять из нулей, и этот определитель будет равен нулю.
Таким образом, при построении определителей, входящих в получен-
ную диагональную матрицу, нам надо всегда вычеркивать одинаковые
строки и столбцы, что, проще говоря, сводится к вычеркиванию
диагональных элементов, произведение которых и дает величину опре-
делителя.
Рассмотрим для определенности какой-нибудь один корень Х = а
кратности к характеристического уравнения. В определитель порядка
п входит, очевидно, множитель (X — а)*. Положим, что общий наи-
больший делитель определителей порядка (п—1) содержит лишь
(X — а)Ч Это значит, что наибольшая степень бинома (X — а), вхо-
дящего в построенную диагональную матрицу, равна (k — к{), т. е.
в каноническом представлении нашей матрицы имеется матрица
195] ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 667
Ik k (°0- Точно так же дальше. Если общий наибольший делитель
определителей порядка (п — 2) равен (X — а)**, то это значит, что
после (X — o)k *i наибольшая степень (X — а), входящая в построенную
диагональную матрицу, равна (X — a)*i-**, т. е. кроме Ik-k^o) в ка-
ноническую форму входит матрица /^-^(а). Если мы таким путем
придем, наконец, к определителям некоторого порядка, из которых
хоть один вовсе не содержит множителя (X — а), то мы исчерпаем
таким образом все те составные части канонической формы Л, для
которых Х = а. Таким образом, упомянутый в [HIlf 27] алгебраический
критерий структуры канонической формы матрицы нами доказан.
Заметим, что из предыдущих рассуждений не только вытекает, что
>l>i>>m НО И /i^/i^...^/m^/m+b
где
Ч ==3 # #1> ^2==z Rl &Ъ • • • » ^т == Ьт 1 &т\ ^т+\ = Rm.
196. Пример. Если мы сумели решить характеристическое урав-
нение для данной матрицы Л, то вид ее канонической формы может
быть непосредственно определен хотя бы при помощи того алгебраи-
ческого критерия, который указан нами в предыдущем номере. Но
остается вопрос о построении той матрицы V с определителем,
отличным от нуля, которая приводит заданную матрицу Л к кано-
нической форме. При исследовании самого преобразования к канони-
ческой форме мы привели задачу к последовательному выбору новых
ортов. Этот выбор в конечном счете и приводил данную матрицу
к канонической форме. Но мы знаем [И^, 21], каким образом по за-
данному преобразованию ортов составить то преобразование ?/, ко-
торое приводит матрицу Л, как оператор, к новому виду. Если Т
есть линейное преобразование ортов, то матрица А приводится к но-
вому виду UAU'1, где U= Г*, т. е. для получения U по Т мы
должны в Т переставить строки и столбцы и взять обратную мат-
рицу.
Наметим теперь план решения задачи. Сначала мы будем выби-
рать новые орты таким образом, чтобы наша матрица привелась
к квазидиагональной форме в соответствии с различными ее харак-
теристическими числами так, как это указано в [192]. В данном слу-
чае вопрос о выборе новых ортов сведется к решению уравнений
первой степени вида (Л — a^)r*jc = 0. После этого задача сведется
к приведению к канонической форме матрицы В с единственным
характеристическим числом, равным нулю. Здесь нам придется сна-
чала определить такое наименьшее число /, что В1 = 0, и затем
строить систему уравнений первой степени вида
66Я
ДОБАВЛ1-ШИ
[195
— 2
— 4
1
4
4
— 1
1
1
2
1
1
1
0
— 1
1
3
3
— 3
5
— 3
2
2
— 2
l
0
Определяя ранг этой системы уравнений, мы возьмем те векторы,
которые ей не удовлетворяют, и, совершая над ними преобразова-
ние В, построим серии новых ортов. Если после этого в подпро-
странстве, определяемом написанной системой, останутся еще векторы,
то, применяя и к ним последовательно преобразование В, мы получим
новые серии ортов и т. д. Таким образом, мы придем ко второму
преобразованию ортов и тем самым ко второму преобразованию подо-
бия для основной матрицы А, которая окончательно и приведет эту
матрицу к канонической форме. Разъясним эти общие соображения
численным примером.
Рассмотрим матрицу пятого порядка
А = \
Составляя по обычному правилу ее характеристическое уравнение,
мы увидим, что оно будет иметь следующий вид:
(X — 2f(X~r 1 у2 == О,
т. е. это уравнение имеет корень Х = 2 третьей кратности и корень
Х = —1 второй кратности. Составляем теперь матрицы (А — 2K и
(Л-j-iy2. Уравнение (А — 2fx = 0 должно определить нам подпро-
странство измерения три, т. е. матрица (А — 2):{ должна иметь ранг,
равный двум.
Точно так же матрица (Д-!-1)'2 должна иметь ранг, равный трем.
При помощи элементарных вычислений находим
(A-2f =
и система (А — 2K jc = 0 сводится к двум уравнениям:
— 54xj — 27*3 -f- 27лг4 -f- 21 хъ = О,
— 54
— 54
27
- 54
54
0
0
0
0
0
— 27
— 27
0
— 27
27
27
27
— 27
27
— 27
27
27
— 27
27
— 27
где {xh х.2, д*3, хь х%) — составляющие вектора х.
Мы имеем,, таким образом,
195|
ПРИВГ-'ДПНМГ .МЛ ГРИЦ К К ХИОПНЧГГ.КОП ФОр.МП
669
причем л*2, л*4 и л>, остаются произвольными. Полагая одно из них
равным единице, а остальные нулю, получаем три новых орта, кото-
рые в прежней системе имеют следующие составляющие:
(О, 1, О, О, ОХ A, 0, - 1, 1, 0); A, 0, - 1, 0, 1). D3)
Точно так же в результате элементарных преобразований по-
лучим
0
9
0
— 9
— 6
3
6
— 12
0
0
0
0
9
9
— 9
18
3
3
— 3
— 3
6 0—9
6
и уравнение (Л-f-l)~jt = O приведется к системе трех уравнений
— 2х2 -{- Злг4 -j~ -vs = 0,
— ЗАГ1-4-
Злг4 + 2дгв = 0,
или
= Х\\ Xi = Х? Х$ = —
причем Х\ и Хц остаются произвольными. Это дает нам два новых
орта:
A, 1, 0, 1, -1) и @, 0, 1, 0,0). D4)
Новые орты D3) и D4) будут выражаться через прежние по фор-
мулам
= ех —е-л
Матрица этого линейного преобразования имеет вид
0 1 0 0 01
10—11
Т= 10—10
11
0 0
0 1
10
670
ДОБАВЛЕНИЕ
[195
и мы получим, переставляя строки и столбцы и переходя к обратной
матрице:
о
1
о
о
о
— 1
— 1
1
1
1
О
— 1
1
О
1
о
о о
о о
о о
О 0 1
1 1
0 1
1 О
0 1
1 —1
1
2
— 1
— 1 -
1
Отсюда, произведя по обычному приему перемножение матриц,
преобразуем матрицу А к квазидиагональной форме, состоящей из
матриц третьего и второго порядков:
1
2
1
Матрица третьего порядка
О
2
О
О О
О О
1
2
1
— 1
2
3
О
О
О
2
О
О
О
О
— 2
1
О
О
О
— 1
О
D5)
— 1
— 2
3
должна иметь характеристическое число к = 2 третьей кратности.
Составляем новую матрицу:
— 1 0—1
— 2 О
1 О
— 2
1
имеющую характеристическое число Х = 0 третьей кратности. Воз-
водя ее в квадрат, получаем В\ = 0. Таким образом, в данном случае
мы имеем / = 2, и единственная система В{х = 0 приводится к од-
ному уравнению
195]
ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
671
Подпространство 1\2 н наших прежних обозначениях совпадает
с полным трехмерным пространством, и подпространство F\ может
быть образовано векторами A, 0, — 1) и @, 1, 0). Берем вектор
A, 0, 0), не входящий в F\. Он образует подпространство Оа. Про-
изводя над ним операцию получаем
ДЦ1, 0, 0) = (—1, — 2, 1).
Векторы A, 0, 0) и (—1, —2, 1) образуют первую серию новых
ортов, которым соответствует каноническая матрица
0 0
1 0
За третий орт мы должны брать какой-нибудь вектор Fh линейно
независимый с вектором (—1, —2, 1). Берем вектор @, 1, 0). Ему
соответствует каноническая матрица 0 первого порядка. Новые орты
будут выражаться через прежние по формулам
=— е[ —
е*.
Берем теперь матрицу
нальную матрицу D5):
второго порядка, входящую в квазидиаго-
-2 — 1
1 О
Она должна иметь характеристическое число
кратности. Строим матрицу
= —1 второй
1
1
с характеристическим числом Х = 0 второй кратности. Очевидно,
?| = 0, как это должно быть по формуле Кейли. Уравнение Б<лХ = 0
равносильно ^4 + «*» = 0, где х4 и х^ — составляющие х в рассмат-
риваел^м двумерном пространстве. Берем за первый орт вектор A, 0),
т. е. лг4=1 и л'8 = 0, не удовлетворяющий уравнению Б2д: = 0,
и, применяя к нему операцию В^ получаем
Bt(i, 0)=(—1, 1).
Таким образом, два новых орта будут A, 0) и (— 1, 1), так что
получаются следующие выражения новых ортов через прежние:
672 ДОБАВЛЕНИЕ
или, принимая во внимание прежние формулы.
1195
D6)
е* —
Последним двум ортам будет соответствовать каноническая мат-
рица /2@).
К первым двум каноническим матрицам мы должны прибавлять
число 2 по главной диагонали и к последней канонической матрице —
число (— 1). Окончательно каноническая форма матрицы А будет
2
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
— 1
1
0
0
0
0
1
= [/*B), АB), /¦(-
D7)
Составим, наконец, матрицу V, которая преобразует А к виду D7).
Она, как мы видели, является произведением S4Sb где 6\ получено
нами выше, a S* может быть определено по формуле
о.2— /j ,
где Т\ — матрица линейного преобразования D6). Мы имеем
7^*'
1
0
0
0
0
рои
— 1
— 2
1
0
0
зводя
V
0
1
0
0
0
0
0
0
1 —
0
0
0
0
1
1
и
О 'Г
о.2= /|
перемножение, получим
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0 -
0
1
1
0 1 1
-1 О.|
0 1
0 0!|
1 1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
Окончательно