В. И. СМИРНОВ
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ТОМ ЧЕТВЕРТЫЙ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специалоного образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
механико математических и фияико математических
факультетов университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 974

517
С 50
УД К 510 @22)
Главная редакция физико-математической литературы и издательства
«Наука», 1974 г., с изменениями.
Владимир Иванович Смирнов
Курс, высшей математики, том четвертый, часть первая
М , 1974 г., 336 стр. с илл.
Редактор А. С. Чистопольский	. ^
Техн. редактор К. Ф. Брудно	Корректор В. П. Сорокина
Сдано в набор 18/IX	1973 г. Подписано к'печати 11/1 1974 г. Бумага бОхЭО'Ав» тип № 3.
Физ печ. л. 21.	Условн. печ. л. 21. * Уч.-изд. л. 20,43.
Тираж 50 000 экз.	Цена книги 88 коп.
Заказ № 1021.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое объ-
объединение «Печатный Двор» имени А М. Горького Союзполиграфпрома при Государст-
Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26.
21.74
053@2)-74

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию
г л А в А I
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Примеры составления интегральных уравнений G). 2. Классификация
интегральных уравнений A1). 3. Ортогональные системы функций A4).
4. Уравнения Фредгольма второго рода A6). 5. Итерированные ядра A8).
6. Интегральные соотношения для резольвенты. Теоремы существования
и единственности B2). 7. Знаменатель Фредгольма B4). 8. Уравнение Фред-
гольма при любом X C2). 9. Союзное интегральное уравнение C4). 10. Случай
характеристического значения C5). И. Миноры Фредгольма D2). 12. Вырожден-
Вырожденные уравнения D3). 13. Примеры D5). 14. Обобщение полученных результа-
результатов D6). 15. Компактные множества непрерывных функций D9). 16. Неогра-
Неограниченные ядра E4). 17. Интегральные уравнения с полярным ядром E6).
18. Случай характеристического значения E9). 19. Многомерный случай F1).
20. Интегральные уравнения с регулярным повторным ядром F1). 21. Аппарат
Фредгольма для полярных ядер F4). 22. Интеграл Лебега F6). 23. Ортонор-
ммрованные в L2 системы F9). 24. Линейные ограниченные операторы в L2
G3). 25. Интегральное уравнение с ядром из L2 G5). 26. Сопряженное урав-
уравнение G6). 27. Вырожденное ядро G8). 28. Решение уравнения с ядром из
L2 при любом к (80). 29. Вподне непрерывные в L2 операторы (83).
30. Симметричное ядро (86). 31. Разложение ядра по собственным функциям
(89). 32. Функции, представимые через ядро (92). 33. Пространство Cl2 (94).
34. Теоремы о норме линейных операторов (95). 35. Существование собствен-
собственного значения (97). 36. Последовательность собственных чисел и теорема разло-
разложения (99). 37. Формулировка полученных результатов в терминах интегральных
операторов A04). 38. Теорема Дини A06). 39. Разложение повторных ядер
A07). 40. Решение интегрального уравнения через характеристические значения
и собственные функции A12). 41. Аппарат Фредгольма в случае симметричного
ядра A13). 42. Классификация симметричных ядер A16). 43. Теорема Мерсера
A18). 44. Кососимметричное ядро и интегральные уравнения, приводимые
1*

4	ОГЛАВЛЕНИЕ
к уравнениям с симметричным ядром A20). 45. Уравнения первого рода A22).
46. Симметризация ядра A24). 47. Примеры A27). 48. Ядра, зависящие от
параметра A30). 49. Случай функций нескольких переменных A32). 50. Урав-
Уравнения Вольтерра A33). 51. Преобразование Лапласа A38). 52. Свертывание
функций A44). 53. Уравнения Вольтерра специального вида A46). 54. Уравне-
Уравнения Вольтерра первого рода A49). 55. Примеры A52). 56. Нагруженные интег-
интегральные уравнения A56). 57. Интегральные уравнения первого рода с ядром
Коши A60). 58. Предельные задачи для аналитических функций A61). 59. Интег-
Интегральные уравнения второго рода с ядром Коши A65). 60. Предельные задачи
для случая отрезка A68). 61. Обращение интеграла типа Коши A72). 62. Преоб-
Преобразование Фурье в Lt A73). 63. Преобразование Фурье в L2. Полиномы Эрмита
A78). 64. Интегральное уравнение Фурье A82). 65. Уравнения в случае бес-
бесконечного промежутка A82). 66. Примеры A84). 67. Случай полубесконечного
промежутка A85). 68. Примеры A88). 69. Случай полубесконечного промежутка
(продолжение) A91).
глав А и
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
70. Постановка задач A98). 71. Основные леммы B00). 72. Уравнение Эйлера
в простейшем случае B03). 73. Случай нескольких функций и производных высших
порядков B07). 74. Случай кратных интегралов B10). 75. Замечания по поводу
уравнений Эйлера и Остроградского B12). 76. Примеры B14). 77. Изоперимет-
рические задачи B21). 78. Условный экстремум B25). 79. Примеры B27).
80. Инвариантность уравнений Эйлера и Остроградского B34). 81. Парамет-
Параметрическая форма B36). 82. Геодезические линии в л-мерном пространстве B40).
83. Естественные граничные условия B43). 84. Функционалы более общего
типа B44). 85. Общая форма первой вариации B47). 86. Условие трансвер-
трансверсальности B50). 87. Канонические переменные B52). 88. Поле экстремалей
в трехмерном пространстве B55). 89. Теория поля в общем случае B60).
90. Особый случай B63). 91. Теорема Якоби B65). 92. Разрывные решения
B67). 93. Односторонний экстремум B70). 94. Вторая вариация B71). 95. Усло-
Условие Якоби B73). 96. Слабый и сильный экстремум B77). 97. Случай несколь-
нескольких функций B79). 98. Функция Вейерштрасса B81). 99. Примеры B83).
100. Принцип Остроградского —Гамильтона B85). 101. Принцип наименьшего
действия B87). 102. Струна и мембрана B90). 103. Стержень и пластинка B92).
104. Основные уравнения теории упругости B93). 105. Абсолютный экстремум
B97). 106. Интеграл Дирихле C00). 107. Общий случай функционалов при
нескольких независимых переменных C05). 108. Прямые методы вариационного
исчисления C07). 109. Пример C08).

ОГЛАВЛЕНИЕ	5
Г Л ABA III
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ Lx И L2.
ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ПРОБЛЕМА МИНИМУМА
КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА
110. Усреднение функций из Ьг и L2 C11). 111. Свойства средних C13).
112. Финитные бесконечно дифференцируемые функции C15). ИЗ. Обобщенные
производные C17). 114. Свойства обобщенных производных C20). 115. Классы
функций Wl{Sf)t Щ (SF) и W'i (@J) С.Л. Соболева C22). 116. Неравенство
Пуанкаре. Теорема Реллиха C27). 117. Постановка задачи о минимуме квадратич-
квадратичного функционала C30). 118. Решение вариационной задачи C32). 119. Связь
с краевой задачей C33).
Алфавитный указатель	 335

ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее шестое издание четвертого тома существенно отли-
отличается от пятого издания. Это связано с 1ем, что четвертый том
впервые печатается после изменения второго тома, в котором
изложена теория интеграла Лебега и класс L2 функций, интегри-
интегрируемых с квадратом по Лебегу. Это повлекло изменение изложе-
изложения первой главы IV тома —теории интегральных уравнений.
Кроме того, добавлена третья глава, содержащая изложение
новых точек зрения на некоторые основные понятия математи-
математического анализа. Вторая глава (вариационное исчисление) несколько
расширена. В третьей главе уже с новых точек зрения рассмот-
рассмотрена задача о минимуме квадратичного функционала.
В предыдущем издании четвертый том содержал более 800
страниц. В настоящем издании его пришлось разбить на две
части, и настоящая книга является первой его частью.
В заключение я приношу глубокую благодарность моим сот-
сотрудникам по университету М. Ш. Бирману, О. А. Ладыженской,
М. 3. Соломяку и Н. Н. Уральцевой за большую помощь при
составлении этой книги.
В. Смирнов

ГЛАВА I
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Примеры составления интегральных уравнений. Интеграль-
Интегральным уравнением называется всякое уравнение, содержащее иско-
искомую функцию под знаком интеграла. Пусть ищется решение диф-
дифференциального уравнения y' = f(x, у), удовлетворяющее началь-
начальному условию у{хо) = уо. Мы видели раньше [11:51], что эта
задача сводится к решению интегрального уравнения:
X
У(х) = ] f(x> y)dx + y0.
Совершенно так же задача интегрирования дифференциального
уравнения порядка y" = f(x, у) с начальными данными y(xQ)~y0\
у'(хо)=Уи приводится к интегральному уравнению
y(x)=\dx]f[z,
Xq	Xq
Преобразуя двукратный интеграл в простой [II; 17], можем пере-
переписать это уравнение в следующем виде:
X
у(х)= \{x-z)f[zy y
х0
Общее решение уравнения */" = /(#, у) получится из интеграль-
интегрального уравнения
y(x)=\(X-Z)f [Z, у B)] dZ + Cl +C2X,	A)
о
где сг и ^ — произвольные постоянные, а нижний предел интегри-
интегрирования мы положили равным нулю. Рассмотрим теперь для
нашего уравнения второго порядка предельную задачу, а именно,
будем искать решение уравнения, удовлетворяющее предельным
условиям y@) = a\ y(l) = b. Полагая в уравнении A) сначала

о	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРЛВНРНИЯ	[1
л;~0, а потом х = /, получим два уравнения для определения
произвольных постоянных, которые дадут нам
ci = a; сг = Ь-^ - \^{l-z)f[z, y{z)]dz.
Подставляя найденные значения в формулу A), приведем нашу
предельную задачу к интегральному уравнению:
X	I
y(x) = F(x)+\(x-z)f[z, y(z)]dz-^ I {l-z)f[z, y(z)]dz, B)
0	0
где
Мы можем переписать уравнение B) в следующем виде:
^f[z, y(z)]dz~
LT*f[z, y(z)]dz.	C)
Введем функцию двух переменных:
*Jtf? при
x(l-z)
iiy-2 при
Уравнение C) может быть переписано при помощи этой функции
следующим образом:
y(x) = F(x)-\K{х, z)f [z, уB)]dz.	E)
О
Применим полученные результаты к линейному уравнению
Уг + р(х)У = <*(х)-	F)
Мы можем утверждать, что задача нахождения решения этого
уравнения при предельных условиях
{/@) = а; </(/) = &	G)
равносильна нахождению функции у(х) из линейного интеграль-
интегрального уравнения.
У (х) = F1(x) + {k (х, г) р (г) у (г) dz,	(8)

1]	ПРИМЕРЫ СОСТАВЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
где
есть известная функция независимой переменной х.
Отметим, что в уравнении A) верхний предел интегрирования
переменный, тогда как в уравнении (8) оба предела интегрирова-
интегрирования постоянны. Отметим еще, что как в уравнении A), так и
в уравнении (8) искомая функция входит не только под знак
интеграла, но и вне знака интеграла. Это обстоятельство, как мы
видели выше [II; 50], является существенным при применении
к решению уравнения метода последовательных приближений.
Умножим коэффициент р(х) в уравнении F) на некоторый
параметр X и рассмотрим однородное уравнение
0	(9)
при однородных предельных условиях:
0@) = 0, у (/) = 0.	A0)
3ia однородная предельная задача приведет нас к однородному
интегральному уравнению, содержащему параметр X:
у(х) = К]К(х, z)p(z)y(z)dz.	A1)
о
Одним из основных вопросов в дальнейшем будет вопрос о том,
при каких значениях параметра X поставленная задача имеет
решения, не равные тождественно нулю. Мы уже встречались
с этой задачей раньше при применении метода Фурье к предель-
предельным задачам математической физики. Отметим еще некоторые
характерные свойства функции К {х, г), которая называется ядром
нашего интегрального уравнения. Это ядро — непрерывная функция
и квадрате kQ, определяемом неравенствами O^x^l и0<г</.
На диагонали этого квадрата, т. е. при x = z, первая производ-
производная от ядра терпит разрыв:
Далее, упомянутое ядро, как функция от х, вне диагонали есть
решение однородного уравнения у" = 0, удовлетворяющее одно-
однородным предельным условиям A0). Отметим, наконец, свойство
симметрии ядра, выражаемое равенством
К (z, x) = K(x, z).	A2)
Все эти свойства ядра непосредственно вытекают из формулы D).
Ядро К (х, z) имеет простой физический смысл. Напомним,
что при действии сосредоточенной силы в точке x = z на струну,

10	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СРАВНЕНИЯ	[1
закрепленную на концах, мы должны иметь в точке приложения
силы условие [II; 176]:
То[(их)х=я+о-(их)х=г-О]= -Л
где Р —величина действующей силы. Нетрудно проверить, что
функция
р
и(х) = 7гК(х> z)
'о
дает форму статического прогиба струны под влиянием упомяну-
упомянутой выше сосредоточенной силы. Отметим при этом, что уравне-
уравнение колебаний струны в статическом случае сводится просто
к уравнению ихх = 0. Все эти идеи приведения предельной задачи
к интегральному уравнению, изложенные нами здесь для простей-
простейшего случая, будут подробно развиты во 2-й части тома.
Укажем еще на один характерный метод приведения предель-
предельных задач математической физики к интегральному уравнению.
Мы определили раньше потенциал сферического слоя следующей
формулой:
где р {№) — заданная на поверхности сферы S функция, ds — эле-
элемент площади поверхности сферы и d —расстояние от переменной
точки пространства М до переменной точки М' поверхности сферы.
Пусть п — направление нормали в некоторой точке Мо сферы.
пи>	(ди(М0)\ (ди(М0)\
Обозначим через —^—- и —V-^ предельные значения, кото-
г	\ ОП It	\ ОП je
ди (М)	к
рые имеет производная —^—- при приближении переменной
точки М пространства к точке Мо изнутри или извне сферы. Мы
вывели раньше [НЬ; 139] следующие формулы:
ди(М0)\
дп
ди (Мо)\
дп I
A3)
где d — расстояние от точки Мо до переменной точки М сферы
и (о — угол, образованный радиусом-вектором М'М0 с направле-
направлением п.
В следующей главе мы увидим, что эти формулы справедливы
не только для сферы. Поставим теперь внутреннюю задачу Ней-
Неймана для сферы, т. е. положим, что ищется функция, гармони-

•>|	КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	П
ческая внутри сферы, нормальная производная которой имеет
заданные предельные значения на поверхности сферы:
Будем искать функцию и в виде потенциала сферического слоя.
Этот потенциал является гармонической функцией внутри сферы,
и нам надо только подобрать плотность р (Mf) этого потенциала
так, чтобы удовлетворялось и предельное условие A4). Принимая
во внимание первую из формул A3) и предельное условие A4),
мы получаем для определения искомой плотности следующее
интегральное уравнение:
Заметим, что в данном случае функции f(M) и р(М) должны
быть определены на поверхности сферы, и интегрирование произ-
производится не по интервалу оси ОХ, как это было выше, а по поверх-
поверхности сферы.
2. Классификация интегральных уравнений. Будем рассматри-
рассматривать пока линейные интегральные уравнения лишь для того слу-
случая, когда искомая функция должна быть определена на оси ОХ.
Напишем интегральное уравнение
\	A5)
а
где у (х) — искомая функция, a f (х) и К {х, г) — заданные функции.
t Функция К (х, г), как мы уже упоминали, называется ядром
,интегрального уравнения.
Написанное уравнение называется уравнением Волыперра вто-
второго рода. Аналогичное уравнение с постоянными пределами
ь
4 у(х) = [К(х, z)y(z)dz + f(x)	A6)
а
называется уравнением Фредгольма второго рода. Если искомая
функция входитч только под знак интеграла, то мы получаем
уравнения Вольтерра или-Фредгольма первого рода. Они имеют вид
IК (х, г) у (z) dz = fx (x); IК (*, z) у (z) dz = fx (x). A7)
a	a
Примером уравнения Вольтер pa первого рода является урав-
уравнение Абеля, о котором мы говорили раньше [II; 82]:

12	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[2
Дадим пример уравнения Фредгольма первого рода. Пусть и (х)
есть статический прогиб струны при наличии непрерывно распре-
распределенной нагрузки p{z), рассчитанной на единицу длины. Будем
рассматривать эту непрерывно распределенную нагрузку как сумму
сосредоточенных нагрузок p(z)dz. От каждой такой сосредоточен-
сосредоточенной нагрузки мы получаем, согласно сказанному в предыдущем
параграфе, статический прогиб вида:
±К(х, z)p(z)dz,
где К (х, z) определяется формулой D). Интегрируя, получим ста-
статический прогиб при непрерывно распределенной нагрузке:
Это уравнение является интегральным уравнением Фредгольма
первого рода, если задан прогиб и (х) и ищется соответствующая
нагрузка p(z).
Отметим, что уравнение Вольтерра является частным случаем
уравнения Фредгольма. Действительно, в уравнении Вольтерра
мы можем интегрировать по г от г = а до г = 6, если предвари-
предварительно доопределить ядро К (*, z) условием К (ху г) = О при г > х.
Мы будем заниматься в дальнейшем почти исключительно урав-
уравнениями второго рода, главным образом уравнениями Фредгольма
второго рода. Именно эти уравнения встречаются наиболее часто
при решении предельных задач математической физики. Теория
интегральных уравнений второго рода значительно проще теории
уравнений первого рода. Как мы уже упоминали выше, наличие
искомой функции вне знака интеграла дает нам естественную воз-
возможность применения метода последовательных приближений.
Теория интегральных уравнений во многом аналогична вопро-
вопросам линейной алгебры, которые мы излагали в т. III. Напомним,
что линейное преобразование в я-мерном пространстве имеет вид
yi = allu1 + ^. + ainun (/=1, ..., п\
и осуществляется матрицей, образованной коэффициентами alk^
написанного преобразования. Иначе это преобразование мы запи-
записывали в виде:
где и {иъ ..., ип) — первоначальный вектор, у (уъ ..., уп) — преобра-
преобразованный вектор и Л —матрица, составленная из коэффициен-
коэффициентов alk. В случае интегральных уравнений вместо вектора п-мер-
ного пространства мы имеем функции, определенные обычно в неко-
некотором промежутке [а, Ь]. Вместо матрицы коэффициентов aik имеем

2]	КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	13
ядро К (х, г) и вместо суммирования имеем процесс интегрирова-
интегрирования, так что в рассматриваемом случае линейное преобразование
выражается формулой
у(х)=\к(х, z)u{z)dz,	A8)
а
где и (г) — первоначальная функция и у (х) — преобразованная функ-
функция.
Напомним далее, что собственными значениями матрицы А мы
называли такие значения параметра [л, при которых уравнение
Ax = \ix
имеет решения х, отличные от нуля. В дальнейшем будем назы-
называть собственными значениями ядра К {х, г) или соответствующего
преобразования такие значения параметра [г, при которых одно-
однородное интегральное уравнение
ъ
, z)y(z)dz = l
имеет решения, не равные тождественно нулю. В теории интег-
интегральных уравнений наряду с собственными значениями (я принято
рассматривать характеристические значения X = ii~1. Таким обра-
образом, А, называется характеристическим значением, если уравнение
\у z)y{z)dz	A9)
имеет ненулевые решения. Сами эти решения у(х) называют соб-
собственными функциями ядра.
Отметим еще, что тождественное преобразование, при котором
функции и (х) соответствует та же функция и (х) [т. е. такое пре-
преобразование, при котором у(х) совпадает с и(х)]9 не выражается
в интегральной форме A8).
При изложении теории интегральных уравнений мы должны
будем сделать, естественно, некоторые предположения относительно
ядра К(х, г), а также функций f(x) и у(х).
Пока, как мы уже упоминали, будем заниматься интеграль-
интегральными уравнениями в одномерном случае. Пути перехода к много-
многомерному случаю будут указаны ниже.
Отметим, наконец, что в дальнейшем мы будем считать задан-
заданные и искомые функции комплексными:
К(х, z) = Ki(x,
где Ks(x, г), fs(x), ys (x) (s = 1,2) — вещественные функции. Неза-
Независимая переменная всегда вещественна. В дальнейшем мы часто

14	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[3
будем иметь дело с конечным замкнутым промежутком. Такой
промежуток мы будем обозначать символом [а, 6].
3. Ортогональные системы функций. В теории интегральных
уравнений нам часто придется иметь дело с ортогональными систе-
системами функций. Теория таких систем подробно изложена в томе II
для вещественных и комплексных функций с использованием как
интеграла Римана, так и Лебега [II; 160, 163]. Здесь мы дополним
эту теорию указанием на процесс ортогонализации систем линей-
линейно-независимых функций.
В [IIV, 31] мы видели, что если имеется т линейно-незави-
линейно-независимых векторов, то всегда можно построить столько же попарно
ортогональных и нормированных векторов так, что прежние век-
векторы выражаются линейно через новые, и наоборот. Весь этот
процесс дословно переносится и на функции. Пусть
i|>i (х), . • •, Цт (х)
— функции, непрерывные в [а, Ь] и линейно-независимые, т. е.
тождественное соотношение
a>ib (х) + ... + ат^т(х) == 0
с постоянными коэффициентами ak имеет место только в том слу-
случае, если все коэффициенты равны нулю. Построим новые функ-
функции, ортогональные и нормированные в [а, Ь]:
Ф1 (х),..., фт (*),
так что фл (а:) выражается линейно через % (х),..., tyk (x) и, наобо-
наоборот, всякое %(*) выражается линейно через ф1.(х), ..., фЛ (а:).
Для краткости письма введем обозначение, аналогичное тому,
которым мы уже пользовались в алгебре, а именно, обозначим
через (/, F) интеграл от произведения / (x)F (х) по промежутку [а, Ь]:
Процесс ортогонализации функций % (х), т. е. процесс построе-
построения функций <р*(х), совершается следующим образом:
Ъ D= Ь (х) - (г|J, ф1) ф1 (х);	ф2 (х) = Ха(дс)
V(Хг, Хг)
Хз (х) = Ь (х) - (^з, Ф2) ф2 (х) - (ф8. фО фх (х); фа (х) = ^L
з. Хз)
1т (х) = ф« (х) - (г|)т, фда-х) фот^х (л-) -... - (ут, ф!> фх (л:);
г (Хот» Хт)

31	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ	15
Функции cp/j (л:) отличаются от %k (х) лишь численным множителем,
который добавляется к функции %k(x) для того, чтобы сделать
эту функцию нормированной, т. е. для того, чтобы интеграл от ее
квадрата по промежутку [а, Ь] был равен единице. Из написан-
написанных формул непосредственно вытекает та линейная зависимость
между % (х) и ф/г (л:), о которой мы говорили выше. Заметим еще,
что ни одна из функций %k(x) не может обратиться тождественно
в нуль, так что (%к9 %к)ф0, ибо если бы, например, мы имели
%2 (х) = 0, то это привело бы нас к линейной зависимости между
к\\\х) и г|>2(*):
¦фа (х) - (%, срх) фх (х) = О,
что сводится в линейной зависимости между я^ (х) и г|э2 (х), а это
противоречит предположенной линейной независимости функций
i|)fc(jt). Из установленного сразу же следует, что (%ky ^)=й=0, так
как в противном случае должно было бы быть %к = 0. Таким обра-
образом, все формулы, по которым определяются функции ф,г, имеют
смысл, ортогональность функции %k (x) к уже построенным функ-
функциям фх (х)у ..., ф^-! (х) может быть проверена последовательно.
Например,
(Х'2, <Pl) = M>2> 4>l)-(*2
Имея ортогональные и ^нормированные ф1(л:) и ф2(а:), получим
(Хз, <Pi) = (to, Ф1)~№з, фа)(фг. Ф1)~(^в, ф1)(фь Ф1> =
= D>з, ф1) — (Фз, фз) = О,
и точно так же (х3, Ф2) = О и т. д.
Отметим еще тот элементарный факт, что ортогональные функ-
функции всегда линеййо независимы. Действительно, положим, что
+... -1- атфт (х) = 0.
Умножая обе части на фл (х) (k = 1, 2, ..., т) и интегрируя,
получим в силу ортонормированности а& = 0, т. е. все коэффи-
коэффициенты ak должны быть действительно равны нулю.
Во всем предыдущем изложении мы рассматривали функции
одной независимой переменной. Все изложенное выше можно
повторить и для функций, определенных в некоторой конечной
замкнутой области на плоскости, в трехмерном или ^-мерном
пространстве.
Пусть Р — переменная точка конечной замкнутой области В
на плоскости, в трехмерном пространстве или на поверхности.
Функции фЛ (Р) (k = 1, 2, ...) образуют ортонормированную систему,
если
(О при р ф q,
1 при р = <7,

16	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[4
причем, хотя мы пишем только один знак интеграла, но интеграл
считается двойным, тройным или взятым по поверхности. Через
dap мы обозначили элемент соответствующего интеграла, взятого
по переменной точке Р. Например, в случае двойного интеграла
в декартовых координатах мы имеем da>P = dx dy.
Коэффициентами Фурье функции f(P) будут
)dnp	B0)
и неравенство Бесселя запишется так:
B1)
4. Уравнения Фредгольма второго рода. Начнем с изучения
уравнения Фредгольма второго рода, содержащего параметр к,
в случае одного измерения:
К(в, t)<p(t)dt.	B2)
Будем предполагать, что промежуток [а, Ь] конечен, f(s) непре-
непрерывна в нем и ядро К (s, t) — непрерывная функция в квадрате &„,
определяемом неравенствами: a^s^b, a^t^b. При этих пред-
предположениях все те преобразования, которые мы будем делать
в дальнейшем, допустимы, и мы будем обращать все внимание
на принципиальную сторону вопроса. Функции f (s) и /C(s, t)
будем считать комплексными, если не оговорена особо их вещест-
вещественность:
K(s, *) = /Ci (s, t) + tKi(s, t)\
f (s) = h (s) + if * (s); Ф (s) = <px (s) + «pa (s).
Решение будем искать в классе непрерывных функций. Затем мы
исследуем интегральные уравнения с полярным ядром специаль-
специального вида. В случае одного независимого переменного — это урав-
уравнения вида
ь
\L(!ltt)la <f(f)dt @<а<1),
где L (s, t) непрерывна в k0; будем искать непрерывные решения,
считая f(s) непрерывной. В двумерном случае
где 0<а<2, г (Я, Q) — расстояние между точками Р и Q, при-
принадлежащими Ву и интегрирование производится по точке Q.

41	УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА	17
Аналогичный вид имеют уравнения с полярным ядром в трехмер-
трехмерной области, на поверхности и вообще n-мерной области.
После этого, используя интеграл Лебега, мы рассмотрим интег-
интегральные уравнения в классе L2 [II; 161] при предположениях,
которые будут уточнены в дальнейшем.
Рассмотрим «интегральное преобразование» («интегральный опе-
оператор»)
t)cp(t)dt.	B3)
В силу предполагаемой непрерывности K(s, f) в k0 всякая непре-
непрерывная в промежутке [а, Ь] функция ф(/) преобразуется в непре-
непрерывную функцию a|)(s). Из B3) следует:
\	0-*(s, t)]cp(t)dt.
Считая только, что интеграл от | ф (t) j8 имеет конечное значение
и применяя неравенство Буняковского, получим
t)-K(s, t)\*dt\\4{t)?dt.
Второй множитель справа есть число, и из непрерывности К (s, t)
вытекает непрерывность t|?(s), т. е. оператор B3) преобразует
всякую функцию ф (/) с указанным выше свойством в непрерыв-
непрерывную в [а, Ь] функцию i|>(s). Из сказанного следует, что при не-
непрерывности К (s, t) и /E) естественно и решение <p(s) искать
в классе непрерывных функций.
Отметим еще, что оператор B3) «линеен», т. е. если ct
(i -= 1, ..., т) — постоянные, то
b	m	m b
IК (s, t) 2 с,ф, @ dt = 2 с, IK (s, f) ф, @ dt.	B4)
a	i — \	i = 1 а
Если /(s)^0, то уравнение B2) называется неоднородным.
Напишем соответствующее однородное уравнение:
ь
t)<p(t)dt.	B5)
Оно имеет очевидное решение ф($) = 0, которое мы назовем нуле-
нулевым решением. Как мы упоминали в [2], значение А, = Я0, при ко-
котором уравнение B5) имеет решения, отличные от нулевого, назы-
называется характеристическим значением ядра или соответствующего
интегрального уравнения, а всякое ненулевое решение уравнения
t)<f{t)dt	B6)

18 s	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[5
— собственной функцией, соответствующей характеристическому
значению Х = Я0. Отметим, что А,о не может быть, очевидно, равно
нулю, ибо из Х = 0 следует согласно B5), что cp(s) = O. В силу
линейности и однородности уравнения B5) относительно искомой
функции, если фх (s), ф2 (s), ..., <рт (s) — собственные функции,
соответствующие одному и тому же характеристическому значе-
значению X = Хо, то и функция
ф (S) = Схф! E) + С2ф2 E) + . . . + Ст<рт (S),	B7)
где с/ — произвольные постоянные, тоже собственная функция,
соответствующая Я = Л0, если только формула B7) не дает тож-
тождественно по s нуля. Если функции (p/(s) {1=1, ..., т) линейно
независимы, то фE) = 0 только в том случае, если все постоян*
ные С[ равны нулю. Как мы покажем дальше, всякому характе-
характеристическому значению соответствует конечное число линейно не-
независимых собственных функций q>p(s) (p=l9 2, ..., k)> так что
формула
Ф (s) = cwi (s) + с2фа (s) +... + Ctffk (s),	B8)
где ^ — произвольные постоянные, не все равные нулю, дает все
собственные функции, соответствующие характеристическому значе-
значению A, = V Обычно говорят, что функции <pp(s)(p = l, 2, ..., k)
образуют базис решений однородного уравнения B6). Если совер-
совершить линейное преобразование базиса фр (s)
(P = U 2, ..., k) B9)
с определителем \\аря\\, отличным от нуля, то tfp(s) образуют
другой базис решений однородного уравнения. В частности,
к системе функций фр(з) можно применить процесс ортогонализа-
ции и тем самым можно считать, что базис образует конечную
ортонормированную систему.
5. Итерированные ядра. Мы будем в дальнейшем часто иметь
дело с интегральными операторами вида:
i|>(s) = $K(s, *)ф@#.	C0)
а
Для краткости часто пишут: *ф = Кф. Как мы упоминали выше,
этот оператор линеен:
К (С1Ф1 -Ь с2фг) == схКч>1 + С2КФ2,	C1)
где с1 и с2—• постоянные. *
Пусть имеются два интегральных оператора с непрерывными
ядрами:
ь	ь
^ F) = ^ /с (S> t)u(t)dt, v1(s) = \L(s> t)u(t)dt.	C2)
a	a

Ч	ИТЕРИРОВАННЫЕ ЯДРА	19
Обозначим их символами /С и L и пусть L/C [а @1 или просто
/ К и — оператор, который получается путем последовательного
применения к u(t) сначала оператора /С, а затем оператора L,
и определим ядро этого оператора:
LK[и (/)] = \L(s, /i)K /С(/ь 0 " (О Л *i =
1
iИ
J
Таким образом, ядро оператора L/C определяется формулой
tb t)dtx.	C3)
Отметим, что ядро оператора KL определяется формулой
L(s, t) = \K{s9 №(tu t)dtu	C4)
a
и L(s, t), вообще говоря, отлично от /C(s, 0» т- е- оператор L/C,
вообще говоря, отличен от /CL. Если оператор L/C совпадает
с KL, то говорят, что эти операторы коммутируют.
Введем итерированные ядра, соответствующие целым положи-
положительным степеням оператора /С, причем основное ядро /C(s, /)
обозначим для симметрии дальнейшего через /Ci(s, t):
ь
/Ci (s, 0 = К (s, 0; /С (s, 0 = \ Kn-i (s, h) К (tl9 0 *i. C5)
a
Ядро /Cw(s, 0 есть ядро оператора /СЛ. В частности,
a
а а
и вообще,
Кп (S, 0 = И • • • I* & tn-l) К ifn-Ъ tn-2> - • •
, t)&txdh...dtn_:x.
Порядок квадратур здесь безразличен. Имеет место, очевидно,
формула
Кр+я (s, 0 = I KP (s, т) Kq (т, 0 d%.	C6)

20
ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Для образования Kp(s, т) надо выполнить (/?—1) квадратур, для
Kg(s, t)—(q—l) квадратур, и еще квадратуру по т. Введем сле-
следующее обозначение:
P2 = JJ|JC(s, f)fdsdty	C7)
а а
причем Р>0 (считается, очевидно, что K{s,t)^O). Приводя
к последовательным квадратурам и обозначая для краткости
получим
C8)
Будем последовательно определять и оценивать повторные ядра,
пользуясь C5) и неравенством Буняковского [II; 161]:
\k(s, tJK(tl9 t)dtx
откуда
I Kz (s, t) |2 < Q2 (s) J
• R* @ - Q2 (s) i?2 @ P\
Далее
s, OI2=
J Q* (
\ I /C (k, t) |» Ль
откуда
и, вообще,
I /Сл+2 E, 0 |2 < Q2 (s) 7?2 @ P2« или | /Сл+1 (s, /) |< Q (s) R (t) P"-
(л = 1, 2, ...).
Рассмотрим ряд
/; Я) =
(s, о я*
5, /) = К E, 0). C9)

11	ИТЕРИРОВАННЫЕ ЯДРА	21
При сделанном предположении непрерывности /C(s, t) в k0> поло-
положительные функции Q(s) и R(t) непрерывны и тем самым огра-
ограничены в [а, Ь], т. е. существует такое положительное число М,
чю Q(s) и R(t)^M. Таким образом,
i	D0)
и, следовательно, ряд, составленный из модулей членов ряда C9),
сходится равномерно по s и / в k0 при
dsdt] \
Iк |< P, т. e. | X | < \ \ | К (s, t) |2 ds dt\ 2, D1)
La a	J
т. е. ряд C9) сходится абсолютно и равномерно при условии D1).
Вообще, если модули членов некоторого ряда образуют равно-
равномерно сходящийся ряд, то говорят, что первоначальный ряд схо-
сходится регулярно. Из регулярной сходимости следует абсолютная
и равномерная сходимость ряда C9).
Через R (s, t; К) мы обозначили сумму ряда C9), и эту функ-
функцию будем называть резольвентой ядра K(s, t) или интегрального
уравнения. Она непрерывна в k0 при условии D1).
Применим теперь к уравнению
ь
t) ф (/) dty	D2)
содержащему комплексный параметр X, метод последовательных
приближений, отыскивая его решение в виде
V(*)=Zl<tn№*	D3)
71 = 0
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Я. Если
члены ряда D3) — непрерывные функции в [а, Ь] и ряд равно-
равномерно сходится, то его сумма ср (s) есть решение уравнения D2).
Применяя указанный выше прием, получим
<Po(s) = /(s), <Pi(s) = \k(s, t)<fo(t)dt
а
и, вообще,
ь
Фя (s) = $ /С (s, f)<P*-i(t)dt.
а
Выразим теперь cpw(s) непосредственно через f(s):
а
ЬЬ	b
ф2 E) - \\ К D, t) К (/, к) f (/x) dtx Л = J /С, (S, к) f (к) dtu

22
и, вообще,
ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Ф« (s) - $ Кп (s, t) f(t)dt (n = 1, 2, ...).
а
Сумма D3) имеет, следовательно, вид
D4)
\
aUi=0
Принимая во внимание равномерную сходимость ряда C9) при
условии D1), можем утверждать, что написанная формула дает
непрерывное решение уравнения D2). Формулу эту можно пере-
переписать в виде
D5)
6. Интегральные соотношения для резольвенты. Теоремы
существования и единственности. Покажем, что резольвента
R(s,t;X)> определенная при условии D1), удовлетворяет как
функция s или t следующим двум интегральным уравнениям:
ь
R(s, t; Я) = /С(s, f) + K\K(s, t±)R(tl9 t\ X)dtly
a
b
R(s, t\k) = K(s9t) + k\K(tu t)R(s, tx\ X) dtx.
a
Чтобы проверить, например, второе уравнение, помножим обе
части формулы C9) на K(ty x) и проинтегрируем по /:
\R(s, t- X)К(t9 x)dt=%№{Kn+i(s, t) К(t, x)dt%
D6)
n=0 a
ИЛИ
\ R (s, t; k) К (t, *) Л = 2 К„+2 (s, x) X".
a	n=Q
Умножим обе части на Я:
k\r(s9 t\ X)K(t, x)dt= У]/СЛ+2(s,
a	n=0
или, заменяя переменную суммирования п на (/г—1) и начиная
суммировать с л=1, получим:
х\ R E, /; К) К (/,
s, x) k\

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ	23
В силу C9) мы можем переписать это равенство в виде
ь
X\R(s, t\ K)K(t, x)dt = R(s, x; X)-K(s, x)9
что и дает второе из уравнений D6), но только при других обо-
обозначениях переменных. Аналогичным образом проверяется и пер-
иое из написанных интегральных уравнений для резольвенты.
До сих пор мы определили резольвенту только при значениях
X, удовлетворяющих условию D1). В дальнейшем увидим, что
резольвента существует на всей плоскости комплексного перемен-
переменного X, кроме некоторых изолированных значений Я, и что она
на всей плоскости X удовлетворяет уравнениям D6). Поэтому
представляется важным доказать теорему существования и един-
единственности, исходя только из уравнений D6)*
Теорема. Если при некотором значении X существует непре-
непрерывная в квадрате kQ функция R(s, t\ X), удовлетворяющая урав-
уравнениям D6), то уравнение D2) при этом значении X имеет един-
единственное решение, и это решение определяется формулой D5).
Доказательство распадается на две часги. Сначала мы докажем,
что при наличии D6) всякое решение уравнения D2) должно
выражаться формулой D5). Это даст нам единственность. Затем
мы проверим, что формула D5) действительно дает решение урав-
уравнения D2).
Пусть ф (s) — некоторое решение уравнения D2). Умножим обе
часш D2) на XR(xy s; h) и проинтегрируем по s:
ь
R(9 s;
' bVb	1
, s-Л)f (s)ds + X\\\XR(x, s\ %)K(s, t)dsU{f)dt.
Принимая во внимание второе из уравнений D6), мы можем
написать:
ъ
X\R{xy s; K)K(s, t)ds = R(xt t\ Я)-К(х, *),
a
и предыдущая формула переписывается в виде
ь
%\ R(x, s;

24	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[7
Сокращая в этой формуле одинаковые члены слева и справа и
заменяя в силу D2)
%\К(х, 0ф(О * = Ф(*)-/(*),
а
получим формулу D5).
Покажем теперь, что функция cp(s), определяемая формулой
D5), действительно удовлетворяет уравнению D2) при наличии D6).
Подставляя выражение D5) в уравнение D2), перенося в нем
все члены в левую часть, получим:
f(s)+x\R(stt;X)f(t)dt-
s, t)\
f
ИЛИ
b
]R(s,t\X)f(t)dt-
b	b b
-\K[s,t)f (t) dt-X\ J K(s, t)R(U h\ X)f{tx) dt Лх = 0,
a	a a
что можно переписать в виде
\ \r (s, t\ X) - К(s, t)-K\K E, tx)R (tlt t\ K) dt±]f @ dt = 0,
a L	a	J
а это последнее равенство действительно имеет место, так как
в квадратных скобках, в силу первого из уравнений D6), стоит
тождественный нуль. Теорема, таким образом, полностью доказана.
Принимая во внимание, что при значениях Я, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию D1), мы построили резольвенту, удовлетворяющую
уравнениям D6), мы можем утверждать, что при значениях X,
удовлетворяющих условию D1), уравнение D2) имеет единственное
решение и что это решение определяется формулой D5). Это можно
было бы доказать и непосредственно.
7. Знаменатель Фредгольма. Мы определили резольвенту только
в круге | X | < Я плоскости комплексного переменного X. Дальше
мы покажем, что она может быть аналитически продолжена на
всю плоскость X, что ее особыми точками могут быть только
полюсы, и что при всех X, кроме полюсов, она удовлетворяет
уравнениям D6). Для этого мы построим такую целую функцию
D (X), что при умножении ряда C9) на D (X) получим также целую

71
ЗНАМЕНАТЕЛЬ ФРЕДГОЛЬМА
25
функцию D (s, t\ X) от Х. Резольвента окажется, таким образом,
частным двух целых функций X:
R(s, t\ X) = пп\ .	D7)
т. е. дробной или мероморфной функцией X [Ш2; 64]. Если урав-
уравнение D(X) = 0 не имеет корней, то R (s, t\ X) есть целая функция
X и ряд C9) сходится на всей плоскости X. Дальше мы, построив
D(X) H"D(s,t\X), подробно исследуем правую часть D7). Для
построения D(X) мы заменим интеграл, входящий в уравнение
D2), конечной интегральной суммой. Такая замена является,
строго говоря, недопустимой, но последующие выкладки не будут
служить для нас доказательством, а будут являться лишь наве-
наведением, чтобы угадать вид D (X).
Разделим промежуток [а, Ь] на п равных частей, длина каждой из кото-
которых будет 6 =	. Введем обозначение для точек деления и для значений,
входящих в уравнение D2) функций в этих точках, а именно, положим
y sg)
(i, p, <7=1, ..., n).
Заменяя интеграл соответствующей суммой Римана, будем иметь приближен-
приближенное равенство:
2]
q=\
В этом равенстве мы заменим независимую переменную s на sp. Таким обра-
образом получим систему п уравнений первой степени относительно неизвестных
п).
При решении этой системы по теореме Крамера ?111Х; 8] будем иметь сле-
следующий знаменатель:
— Л/СцО —ЛЛтоО ... —AAi»
Применим к этому определителю формулу разложения, которую имели
[Hli; 5] для определителя вида
а12 ...
а21 а22 + х ...

26	ТЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[7
полагая в этом последнем #=1 и atj = —W//6- Мы получим, таким образом:
п	п
с , №	V
<PlPtd+ 2\ Zi
Pi, P2 = l
П
Kr
•••+<-¦>.-? 2
И1
... кр
... Кг
Кг
... кг
п. D8)
Для удобства в дальнейших вычислениях введем следующее обозначение:
К(хъ У1) К(хъу2) ... К(хъ уп)
к(
Х1
Уп
К (х2, уд К (*2,
2, уп)
К (хп> Уг) К (хп, у2) ... К (хп, уп)
(я=1, 2, 3, ...)
D9)
Рассмотрим последовательные члены правой части формулы D8). Сумма
представляет собой сумму Римана для интеграла
Ь
\ К ft, k) dtlt
а
и при п —* оо она стремится к этому интегралу. Совершенно так же сумма
представляет собой сумму
ъ
\
Ри
п
Римана
Ъ
\
/C(*i,
Kit»
КРхРх К
KPzPl К
РгРг
для интеграла
h) K(h.
t.) К. иг,
к)
к)
dtx dt2
и т. д.
Таким образом, формула D8) в пределе естественно приводит
нас к следующему степенному ряду относительно к:
E0)
где
\ lо . . . ln

7]	ЗНАМЕНАТЕЛЬ ФРЕДГОЛЬМА	27
И
(к к ... t
\h h • • • ln
определяется согласно формуле D9).
Мы пришли к ряду E0) путем неточных соображений. Возвра-
Возвращаясь к изложению строгой теории, мы должны будем доказать
два факта: во-первых, что ряд E0) сходится на всей плоскости
комплексного переменного А,, т. е. является целой функцией X, и,
во-вторых, что при умножении ряда C9) на ряд E0) мы получим
также целую функцию А.
Произведем оценку коэффициентов dn. В формуле E1) под
знаком интеграла стоит определитель порядка п, каждый элемент
которого K(ti, tk) по модулю не превышает положительного
числа М.'Применяя теорему Адамара [IIIX; 16] и обычную оценку
кратного интеграла, получим
п
\dn\<:n*[M(b-a)]n.
Таким образом, члены ряда E0) по модулю не превосходят
положительных чисел:
И?-г$[М(Ь-аIГ.	E2)
Покажем, что эти числа образуют сходящийся ряд. Взяв отно-
отношение последующего числа к предыдущему, получим
/	1 \2
При беспредельном возрастании п выражение ( 1 -|—] стремится
к \/~е [I; 38], а все написанное отношение стремится к нулю,
откуда и вытекает сходимость при всяком % ряда, образованного
числами E2). Таким образом, функция E0) является целой функ-
функцией от А,.
Функция D(A) получилась предельным переходом из знамена-
знаменателя Крамера. Естественно предположить, что она является зна-
знаменателем для резольвенты R(s, t; А), т. е., что, умножая ряд C9)
на D(A), мы получим целую функцию от А. В результате этого
умножения получим ряд, члены которого уже не числа, как D(A),
а функции от (s, t). Введем специальное обозначение для этого
ряда:
оо
D(s, t\ X) = K(s, t)+ У (—\)п У1 dn(st f).	E3)

28	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[7
Оба степенных ряда C9) и E0) сходятся в круге D1). Поэтому
и ряд E3), полученный от их перемножения, также сходится
в этом круге. Степенные ряды, как абсолютно сходящиеся, можно
перемножать почленно, и мы могли бы получить выражение для
коэффициентов dn(s, t) при помощи простого перемножения упо-
упомянутых рядов, но для удобства в дальнейших вычислениях
поступим иначе. Умножая обе части первого из уравнений D6)
на D(X), получим
ь
D(s, t\ X) = K(s, t)D(k) + k\K(s, h)D(tx, t; X)dtv E4)
a
Подгтавляя в эту формулу вместо D(k) и D(s, t\ к) ряды E0) и
E3) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к, при-
придем к формуле:
ь
dn (s, t) = К (s, t) dn - п \ К (s, h) 4-i (к, t) dtx (/1 = 1,2,3,...), E5)
a
которая дает возможность последовательно вычислять коэффициенты
dn(s, /), причем мы должны считать do(s, t) = K(s, t). Заметим
при этом, что ряд E3) во всяком случае сходится абсолютно и
равномерно относительно (s, t) при условии D1), так как при
этом члены перемножаемых рядов C9) и E0) меньше положитель-
положительных чисел, образующих сходящийся ряд. Это дает нам возможность
почленного интегрирования в правой части формулы E4). Полагая
в E5) лг -= 1, будем иметь:
dt(s9 0 = K(s, t)\K(tu
b
K(s, t) K(s,
K(ti, t)
т. е., принимая во внимание обозначение D9),
При п = 2 формула E5) даст:
d,(s, t) = K(s, t)[[K[' *)<Uidtt-
i a VI hi
-2 \\{, h)^ f

7]	ЗНАМЕНАТЕЛЬ ФРЕДГОЛЬМА	29
Производя элементарные преобразования, получим формулу, ана-
аналогичную предыдущей формуле:
ь ъ
*»•*-$ К I'S
а а
Докажем, что при любом целом положительном п мы имеем:
ь ь ь . , ,
dn(s, t)=\\...\ КГ / * '•¦ "\dhdt2...dtn. E6)
a a	a v x A	n/
Выше мы доказали справедливость этой формулы при п—\.
Обозначим через dn (s, t) выражение, стоящее в правой части
формулы E6). Мы имеем в силу сказанного: d* (s, t) = d1(s1 t).
Покажем сейчас, что dn (s, t) удовлетворяют тому же соотношению:
ъ
dX(s, t) = K(s9 t)dn-n\K(s, h)dU(tl9 t)dtu E5X)
a
что и dn(s9 t). В силу E5) и E5^ dn(s9 t) и dt(s9 t) (n = 2, 3, ...)
определяются последовательно единственным образом, и из
dl (s, t) = dx (s, t) будет следовать, что d* (s, /) = dn E, t) при
любом п. Таким образом, доказательство формулы E6) сводится
к доказательству соотношения E5а), где d*(s, t) есть правая часть
формулы E6).
Заметим прежде всего, что если в символе, стоящем в левой
части D9), мы совершим транспозицию двух букв xt или двух
букв уь, то величина определителя D9) изменит лишь знак, ибо
дело сведется к перестановке двух строк или столбцов этого
определителя. Разлагая определитель, входящий в формулу E6),
по элементам первой строки и принимая во внимание только что
сделанное замечание, мы можем написать так:
s ?i ... tn\	/?i ... tn\	1 ti 12 ... tn
К[, t	\ = K{s,t)K\. A-K{s, ty)KL , .
-K(s,
^ t
Интегрируя обе части этого соотношения по всем /, и меняя
в правой части обозначение переменных интегрирования, а также
пользуясь сделанным выше замечанием, получим

30	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[7
что и приводит нас к соотношению E5!). Таким образом, фор-
формула E6) доказана. Применяя к определителю, входящему в фор-
формулу E6), теорему Адамара, получим следующую оценку:
п + \
\dn(s, /)|<(л+1) 2 M^ib-af,
и отсюда, совершенно так же, как и для E0), покажем, что ряд
E3) дает целую функцию от X и что при любом А, он сходится
абсолютно и равномерно относительно (s, t) в квадрате k0.
Принимая во внимание, что при условии D1) мы имеем
R(s, t; k)D(K) = D(s, t\ Я),
можем написать при этих значениях X:
R(s, t; X) = 5^A^.	E7)
Правая часть этой формулы дает аналитическое продолжение
функции R (s, t\ X) на всю плоскость комплексного переменного к
и показывает, что резольвента есть дробная функция от К. Отметим,
что знаменатель в формуле E7), называемый обычно знаменателем
Фредгольма, не зависит от переменных (s, t).
Укажем некоторые следствия из написанных выше формул.
Из E1) и E6) непосредственно следует:
ь
da+i = \dA(s, s)ds.	E8)
а
Отметим еще возможность простого последовательного вычисле-
вычисления коэффициентов dn и dn(s, t). Полагая в формуле E8) п = 0
и принимая во внимание, что do(s, /) = /C(s, /), получим из этой
формулы dx. Рассматривая затем формулу E5) при лг = 1, получим
из нее di (s, /), помня, что rf0 = 1. Затем формула E8) при п=1
даст нам d2, после чего формула E5) при п~ 2 даст d2(s, t) и
т. д. Если в формуле E3) положить t = s и проинтегрировать
обе части по s, то, в силу E8) получим
(s, s;
т. е. в силу E0)
s, s\ k)ds.	E9)
Отметим, что из E6) следует непрерывность dn(s, t) в Ао, а из
равномерной сходимости ряда E3) в kQ следует непрерывность
D(st t\ к) в k0.

7]	ЗНАМЕНАТЕЛЬ ФРЕДГОЛЬМА	31
Принимая во внимание E7), E9) и вводя обозначения
ь	ь
An = \ Кп E, s) ds, Ах - \К (s, s) ds,
а	а
будем иметь
Д \п	 и
/2=0
откуда в силу D @) = 1
Числа Ап называются обычно следами повторных ядер Кп E> 0
(/2=1, ...). Ряд, стоящий в показателе степени, сходится при
условии D1). Но если мы разложим правую часть найденной
формулы по степеням X, пользуясь обычным разложением е*9
А1Х + А2~+А3}? + ..^П
то получим разложение на всей плоскости X (единственность раз-
разложения в степенной ряд), и коэффициенты dn будут содержать
лишь следы Alt А2, ... Из формулы
D/„ у. ^\ 	 г> /с /. л\ г\ /^ч
следует, что коэффициенты dn (s, t) в разложении D (s, t\ X) могут
быть выражены через следы Ль Л2, ..., Ап и ядра Ki(s, 0»
K2(s, 0, •••> Kw-i(s, 0-
Целые функции D(X) и D(s, if; Я) могут быть разложены
на всей плоскости X по целым неотрицательным степеням (X — Хо),
где Хо — любое фиксированное комплексное число. Например,
D (s, t\ X)=D (s, t\ Xo) 4
где
' "'"^= I (-1)^-7^E, 0 @! = l).
Ич оценок для dn(s, t) непосредственно следует, что последний
ряд сходится равномерно в k0 при любом X, и мы можем утвер-
утверждать, что коэффициенты в разложении D (s, t\ X) по степеням
(X — XQ) также непрерывные в kQ функции.

32	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[8
8. Уравнение Фредгольма при любом X. Рассмотрим уравне-
уравнение E4). Оно получилось из первого из уравнений D6) при помощи
умножения на D(X). Уравнения D6) были нами получены лишь
при условии D1) и, следовательно, мы можем утверждать, что обе
части уравнения E4) совпадают при условии D1). Но в силу
основного принципа аналитического продолжения, если две целые
функции совпадают в некотором круге на плоскости комплексного
переменного Я, то они совпадают и на всей плоскости комплекс-
комплексного переменного [Ш2; 18]. Деля обе части E4) на D(X), мы
видим, что резольвента удовлетворяет первому из уравнений D6)
при любых значениях Я, которые не обращают в нуль D(X).
В этом последнем случае отношение E7) теряет смысл. Точно
так же, применяя аналитическое продолжение, мы убедимся, что
резольвента удовлетворяет и второму из уравнений D6) при упо-
упомянутых значениях X. Таким образом, если X отлично от корня
D (к), то мы имеем непрерывное решение обоих уравнений D6) и,
применяя теорему существования и единственности из [6], полу-
получаем следующую теорему:
Теорема 1. Если значение X не есть корень D(k), то урав-
уравнение D2) при любом f (s) имеет единственное решение, и это
решение выражается формулой D5), где R {s, t\ X) определяется
формулой E7).
Рассмотрим теперь такое значение Х = Х0, которое является
корнем D(X). Может оказаться, что оно же является корнем и
функции D(s, t; X) при любых (s, f). Покажем сейчас, что крат-
кратность этого корня в числителе выражения E7) обязательно ниже
его кратности в знаменателе, а отсюда будет следовать, что всякий
корень D (X) является полюсом для резольвенты.
Теорема 2. Всякий корень Хо функции D (X) является полюсом
резольвенты.
Пусть Хо есть корень D(X) кратности k, т. е.
D(X) = (X-X0)kD0(X) [D0(X0)=?0].
Положим, что он же является корнем D (s, t\ X) кратности /, т. е.
D(s, i; X) = (X-X0)lDQ(st t\ X\
где D0(s, t; Х) — ряд, расположенный по целым положительным
степеням (X — Хо), свободный член которого отличен от нуля при
некоторых значениях s, t. Напомним, что производная D' (X)
имеет корень Х = Х0 кратности (k— 1). Применяя формулу E9),
получим
D'(X)= -(X-Xo)'jDo(sf s; tyds.
a
Левая часть имеет корень Х = Х0 кратности (k— 1), а в правой
части уже имеется множитель (X — ХоI и, кроме того, может ел у-

8]	УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМЛ ПРИ ЛЮБОМ Л	33
читься, что после интегрирования по s выделится еще целая
положительная степень (к — Яо). Это рассуждение приводит нас
к неравенству l^k — l, т. е. оказывается, что если к = к0 и
является корнем числителя выражения E7), то кратность этого
корня во всяком случае ниже k, а потому вся дробь имеет полюс
к = к0. Заметим, что свободный член в разложении D0(s, t\ к)
по степеням (к — к0) есть некоторая функция (s, /). Она может
обращаться в нуль при некоторых частных значениях s и /, но
не равна нулю тождественно, ибо если бы это было так, то к = к0
явилось бы корнем D (s, t\ к) кратности выше /. Доказанную
теорему мы можем сформулировать более точно так: найдутся
такие значения s и t, при которых к = к0 будет полюсом резоль-
резольвенты.
Мы доказали, что всякий корень к0 функции Р (к) есть полюс
резольвенты. Пусть это будет полюс кратности г. В окрестности
точки к = к0 будем иметь разложение вида:
р/с /
где коэффициент a~r (s, t) не равен тождественно нулю в k0..
Из сказанного в конце [7] следует, что ak E, /) — непрерывные
в квадрате k0 функции.
Подставляя последнее разложение в первое из уравнений D6),
умножая обе части на (i — K0)r и полагая затем К = 1Оу получим
ь
a-r(s, t)=X0\K(s, Ь)а-гУ19 t)dix.
Таким образом, оказывается, что коэффициент a.r(s, t) как функ-
функция от s при любом значении переменной t является решением
однородного уравнения
Ф (s) = Хо $ /С (s, f)<p(t)dt.	F0)
а
Поскольку функция a-r(sy f) не есть тождественный нуль, мы
приходим, таким образом, к следующей теореме:
Теорема 3. Если Ко есть корень D(X), то однородное урав-
уравнение F0) имеет решения, не равные тождественно нулю.
Таким образом, всякий корень D (к) является характеристическим
значением интегрального уравнения, т. е. при этом однородное урав-
уравнение
<p(s) = k\K(s9 t)<p(t)dt	F1)
а
2 В. И. Смирнов, т. IV

34	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[9
имеет решения, отличные от нулевого. Если же X не есть корень
D (X), то в силу теоремы 1 уравнение D2) при любом / (s) имеет
единственное решение и, в частности, однородное уравнение F1)
имеет при этом только нулевое решение. Иначе говоря, если
X — корень D(X), то это — характеристическое значение, а если
X — не корень D (X), то это не есть характеристическое значение.
Мы получаем, таким образом:
Теорема 4. Характеристические значения интегрального урав-
уравнения суть корни D(X).
Целая функция D (X) может иметь лишь конечное число кор-
корней во всякой ограниченной области плоскости комплексного пере-
переменного X, т. е.
Теорема 5. Во всякой ограниченной области плоскости X
может существовать лишь конечное число характеристических
значений.
Отметим еще одну формулу, которая бывает полезной в при-
приложениях. Положим, что свободный член уравнения D2) может
быть представлен в виде
f(s)=S/C(s, t)a(t)dt,	F2)
а
где со (^ — некоторая функция.
Считая X отличным от характеристического значения, получим
согласно формуле D5) решение уравнения D2) в виде
ф(s) = J /С (s, t)<*(t)dt + K\\R(s, /; X)K(t, tja(t±) dt dt^
a	a a
Но второе из уравнений D6) дает нам
%\r(s, t\ X)K(t, t1)dt = R(s, tx\ X)-K{s, tx)\
a
подставляя это в предыдущую формулу, мы получаем окончательно
следующее простое выражение для решения уравнения D2):
ь
<p(s)= \R{s^ X)a(t)dtt	F3)
а
если свободный член уравнения определен формулой F2).
9. Союзное интегральное уравнение. Для дальнейшего разви-
развития теории будем рассматривать наряду с уравнением D2) другое
интегральное уравнение, которое отличается от уравнения D2)
тем, что интегрирование производится по первой переменной

10]	СЛУЧАЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ	&
ядра. Свободный член этого уравнения обозначим через g(s),
а искомую функцию — через i|)(s):
* (*) = S (s) + Я J /С (/, s) г|) (/) Л.	F4)
а
Это уравнение называется союзным уравнению D2).
Напишем и соответствующее однородное уравнение:
/.	F5)
При прежних обозначениях аргументов ядра мы должны опре-
определить ядро этого уравнения следующей формулой:
Символ D9) для ядра /Со (s, t) получится из того же символа
для К E, t) заменой xt на yh и наоборот, т. е.
К(Х1 хг ... хп\ /* уг ... ;
Формулы E1) показывают затем, что для ядра /Со (s, t) коэф-
коэффициенты dn будут такими же, что и для ядра /С (s, t), а из E6)
вытекает, что коэффициенты dn (s, t) ядра Ко (s, 0 получаются из ана-
аналогичных коэффициентов для К (s, t) простой перестановкой аргумен-
аргументов s и t. Таким образом, мы видим, что числитель и знаменатель в фор-
формуле E7) для союзного уравнения F4) выражаются через ана-
аналогичные величины для уравнения D2) по формулам:
D0(s, t\ k) = D(t, s; X); D0(k)
т. е. числитель получается перестановкой аргументов s и t,
а знаменатель Фредгольма для союзного уравнения F4) будет
тем жеу что и для уравнения D2). Отсюда следует, между прочим,
что союзное уравнение имеет те же характеристические значения,
что и основное уравнение.
Для союзного уравнения справедливы, конечно, все сформули-
сформулированные в [8] теоремы. Кроме того, на основании сказанного
выше можем утверждать:
Теорема 6. Однородное уравнение F0) и союзное с ним
уравнение F5) одновременно или имеют только нулевое решение
или имеют решения, отличные от нуля.
10. Случай характеристического значения. Теорема 1 дает
полный ответ о решении уравнения D2) в том случае, когда X
не есть характеристическое значение. В настоящем параграфе мы
займемся этим вопросом в том случае, когда к есть характеристи-
характеристическое значение.

36	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[Ю
Пусть Я—характеристическое значение, и положим, что не-
неоднородное уравнение D2) имеет решение cp(s). Умножим обе
его части на какое-либо решение г|? (s) союзного однородного уравне-
уравнения F5) и проинтегрируем по s:
Пользуясь F5), получим
откуда
5ds = O,	F6)
т. е. для разрешимости уравнения D2) необходимо, чтобы f(s)
удовлетворяла условию F6), где яр (s) — любое решение урав-
уравнения F5), среди решений которого наверно есть отличные от нуля,
ибо X, по условию, — характеристическое значение. Если же А,— не
характеристическое значение, то уравнение D2) в силу теоремы
1 имеет решение при любом f(s). Таким образом, справедлива
Теорема 7. Имеются две возможности: или интегральное
уравнение D2) разрешимо при любом f (s) и однородное уравнение
F1) имеет только нулевое решение, или однородное уравнение F1)
имеет решения, отличные от нулевого, и уравнение D2) разрешимо
не при всякой f(s).
При первой возможности неоднородное уравнение имеет единст-
единственное решение. Это следует из теоремы 1, а также из следую-
следующих простых соображений: если бы неоднородное уравнение
имело два различных решения, то их разность была бы решением
однородного уравнения, отличным от нулевого.
Замечание. Если известно, что при некотором X и некото-
некоторой f(s) неоднородное уравнение D2) имеет решение и притом
только одно, то X не есть характеристическое значение. Действи-
Действительно, если бы X было характеристическим значением, то мы,
добавив к упомянутому решению неоднородного уравнения любое
решение соответствующего однородного уравнения, отличное от
нулевого, получили бы решение неоднородного уравнения, отлич-
отличное от упомянутого.
Дальше мы увидим, что условие F6) не только необходимо,
но и достаточно для разрешимости уравнения D2). Предварительно
выясним вопрос о ранге характеристического значения [4].
Пусть X — характеристическое значение и
.<Pi(s), <P2(s), ..., q>m(s)	F7)

10]	СЛУЧАЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ	37
— какие-либо линейно-независимые собственные функции, т. е.
решения уравнения F1), отличные от нулевого:
ь
s, t)<pj(f)dt (/ = 1, 2, ..., т).	F8)
Если X или ядро— не вещественны, то и функции F7) мы
должны считать комплексными. Напомним, что Я = 0 не может
быть характеристическим значением [4]. Поскольку любая линейная
комбинация с постоянными коэффициентами собственных функций
F7) есть также собственная функция, мы можем применить
к функциям F7) процесс ортогонализации. Таким образом, мы
можем считать, что функции F7) взаимно ортогональны и норми-
нормированы, т. е.
(pq (s) ds = О	(рфд)\ \ I фр (s) |2 ds = 1. F9)
Переходя к сопряженным	величинам, можем переписать F8)
в виде
	гт	6

Отсюда видно, что левая часть этого равенства есть коэффициент
Фурье K(s, f) как функции аргумента t относительно ортого-
ортогональной нормированной системы F7), состоящей из конечного
числа функций. В силу неравенства Бесселя можем написать [3]:
Отметим, что | а | = | a | при любом комплексном а. Интегри-
Интегрируя обе части этого неравенства по s и принимая во внимание
F9), получим
т	b Г Ь
/«1
ИЛИ
откуда
ь р&
s, t)\*dt\ds,

38	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[Ю
причем в силу непрерывности ядра интеграл, стоящий справа,
можно толковать и как двойной интеграл. Из написанного нера-
неравенства следует, что число линейно-независимых функций, соот-
соответствующих характеристическому значению Я, не может превышать
числа, стоящего в правой части этого неравенства, т. е.
Теорема 8. Всякому характеристическому значению соответ-
соответствует лишь конечное число линейно-независимых собственных
функций, т. е. ранг всякого характеристического значения конечен.
Отметим, что для характеристических значений Я, далеких от
начала А, = 0, правая часть последнего неравенства становится
большой ввиду множителя | Я |2.
Пусть X — характеристическое значение. Уравнения F1) и F5)
одновременно имеют решения, отличные от нуля. Покажем, что
ранг характеристических значений этих уравнений одинаков.
Теорема 9. Однородное уравнение F1) и союзное уравнение
F5) имеют одинаковое число линейно-независимых решений, т. е.
ранг их совпадающих характеристических значений одинаков.
Будем доказывать от обратного. Положим, что ранг уравне-
уравнения F1) равен т, а ранг уравнения F5) равен м, и пусть т<.п.
Приведем это к противоречию. Пусть
<h(s), Ф2ОО, •••> 4>m(s)	G0)
— линейно-независимые решения уравнения F1), и
•••> *«(*)	G1)
— линейно-независимые решения уравнения F5). Как и выше, мы
можем считать, что как функции G0), так и функции G1) обра-
образуют ортогональную нормированную систему. Мы имеем
ь
(fj(s) = k^K(s, t)cpj(t)dt (/=1, 2, ..., m);
a
b
%(s) = X\K(t, s)%(t)dt (/ = 1, 2, ..., n).
а
G2)
Составим новое ядро:
L (s, t) = K (s, Q - 2 ФДО % (s),	G3)
и напишем два союзных уравнения:
ь
<t>(s) = k\L(s, t)<p(t)dt,	G4)
G5)

10]	СЛУЧАЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ	39
В силу G3) мы можем переписать эти уравнения в таком
виде:
Ь	т	b
<p(s)=*$/C(s, t)<?{t)dt-k 2^$7Щ^7(г)ф@*. G4i)
a	j=z\	a
b	m	b
j = 1
Пусть ф (s) есть какое-либо решение уравнения G4!). Умножим
обе части G4Х) на %(s), где ft — какое-либо из чисел 1, 2, ..., т,
и проинтегрируем по s:
m 6
Принимая	во внимание G2), а также ортогональность и нор-
мированность	функций G1), можем переписать это равенство
и виде
ь	ъ	ь
\ ф (s)qk (s) ds = J^ (s) Ф E) ds - Л ^Фл (s) ф (s) ds,
a	a	a
игкуда в силу Я^О следует:

$Ф*(*)Ф(*)& = О (ft = l, 2, ..., m).	G6)
Таким образом, всякое решение уравнения G4Х) удовлетворяет
и-ловиям G6). Но в силу этих условий уравнение G42) можно
переписать в виде
Г. е. всякое решение уравнения G4Х) [т. е. G4)] удовлетворяет
и уравнению F1). Тем самым ф(б) должно представляться в виде
линейной комбинации функций G0):
т
ФE)=Ц cj<fj(s).	G7)
/=¦1
Покажем, что все коэффициенты Cj должны равняться нулю.
Умножим обе части G7) на q>k(s) и проинтегрируем по s:
Ь			т b
\ ф {&) щ (s) ds = 2 с; I ф,- (s) щ (s) ds.
/ 1

40	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[Ю
Пользуясь G6) и ортогональностью и нормированностью функ-
функций G0), получим 0 = ck. Таким образом, из G7) следует ср (s) = 0,
т. е. однородное уравнение G4) имеет только нулевое решение.
Покажем, что союзное уравнение G5) имеет решения, отличные
от нулевого. Подставим в G5Х) г|;(s) = tyk(s), где k>m. Прини-
Принимая во внимание, что функции G1) образуют ортогональную, нор-
нормированную систему, получим
откуда в силу^G2) и видно, что я|> E) = % (s) при k>m удовлет-
удовлетворяет уравнению G5). Итак, мы получили противоречие с тео-
теоремой 7: уравнение G4) имеет только нулевое решение, а союзное
уравнение G5) имеет'решения, отличные от нулевого. Таким о0ра-
зом, случай m<Zn невозможен.
Точно так же доказывается, что и случай т>п невозможен
и потому т = п, к теорема 9 доказана.
Отметим, что из сказанного выше вытекает, что однородные
уравнения G4) и G5) имеют только нулевое решение, т. е. X
не есть характеристическое значение ядра L(s, t).
Перейдем теперь к вопросу о решении неоднородного уравне-
уравнения:
ь
(s, ОФ(')Я.	G8)
если Я — характеристическое значение. Мы видели, что для
разрешимости уравнения G8) необходимо, чтобы / (s) удовлетворяла
условию:
ds = O,	G9)
а
где г|? (s) — любое решение уравнения:
ь
y(s) = K\K(t, s)q(t)dt.	(80)
а
Переходим теперь к доказательству достаточности условия G9).
Пусть оно выполнено. Составляем ядро L E, t) согласно фор-
формуле G3). Как мы показали, % уже не есть характеристическое
значение этого ядра, так что уравнение
(s, 0<p@tf	(81)
имеет решение. Перепишем это уравнение в виде:

10]	СЛУЧАЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ	41
Умножая, как и при доказательстве теоремы 9, на г|^ (s) и
интегрируя по s, получим
ъ	ъ	ь	ь
откуда в силу G9) получаем:
ь
(О^ = О F = 1, 2, ..., т).
Таким образом, уравнение (81Х) или, что то же самое, уравнение (81),
сводится к уравнению G8), т. е. решение cp(s) уравнения (81)
является и решением уравнения G8). Достаточность условия G9)
доказана.
Если это условие выполнено, то, как всегда для линейных
неоднородных уравнений, все решения этого уравнения представ-
представляют собой сумму какого-либо частного решения ф0 (s) этого урав-
уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения:
т
фE) = Фо(*>+2>,Ф,E),	(82)
/=1
где Cj — произвольные постоянные. Тем самым в этом случае урав-
уравнение G8) имеет бесчисленное множество решений. Решение ф0 E)
можно построить при помощи резольвенты ядра L (s, t).
Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме.
Теорема 10. Если А, есть характеристическое значение, то для
разрешимости уравнения G8) необходимо и достаточно, чтобы сво-
свободный член удовлетворял условию G9), в котором ty{s) — любая
собственная функция союзного уравнения, т. е. любое решение урав-
уравнения (80). Если условие G9) выполнено, то уравнение имеет бес-
бесчисленное множество решений, а все эти решения выражаются
формулой (82).
Замечание. Достаточно проверить условие G9), подставляя
вместо г|? (s) полный набор линейно-независимых решений ^(s),
t|J(s), ..•> tym(s) уравнения (80), ибо всякое другое решение есть
их линейная комбинация. Таким образом, если условие G9) выпол-
выполнено при ур(s) = %(s) (& = 1, 2, ..., m), то оно выполнено и для
любого решения i|)(s) уравнения (80).
Вместо уравнения, союзного с однородным уравнением
ФE) = ^КE, t)<p(t)dt9	(83)
а
а именно, уравнения

42	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[И
часто рассматривают сопряженное с (83) уравнение:
s)co(/)d/.	(842)
а
Уравнения (84) имеют комплексно-сопряженные решения: г|) (s) =
= со (s), и условие разрешимости G9) должно иметь вид
ь
где o)(s) —любое решение уравнения (842).
Аппарат, на основании которого были доказаны основные тео-
теоремы, был впервые дан Фредгольмом A903 г.). Эти теоремы ана-
аналогичны тем, которые были доказаны в алгебре при решении
систем линейных уравнений [Hit; 15].
11. Миноры Фредгольма. Приведенные выше рассуждения позволяют полу-
получить и полную совокупность линейно-независимых собственных функций уравне-
уравнения с ядром К (s, 0» соответствующих заданному характеристическому значению.
Мы приведем только результаты, не останавливаясь на их доказательствах1).
Пользуясь обозначением D9), введем следующие величины:
... tp)	\tX ... tp)
По определению, р-й минор Фредгольма выражается рядом
оо
>1 ... г>р 1
к - и)'
Заметим, что при р = 1 этот ряд совпадает с E3). Пусть А,о —корень D (к)
кратности г. Рассматривая последовательность
\h I x h h
мы найдем в ней первый член, не равный тождественно нулю. Пусть
Число 7, относительно которого можно показать, что оно не превосходит г,
где г — кратность корня К=ко уравнения D (к) = 0, есть ранг характеристического
значения %0. Если s't и t[ — такие значения переменных s^ и ^, при которых
имеет место численное неравенство
См. И. И. Привалов, Интегральные уравнения, 1935 г., стр. 6Ь

12]
ВЫРОЖДЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
43
то полная совокупность линейно-независимых (вообще говоря, не рртогональ-
ных и не нормированных) собственных функций, соответствующих характе-
характеристическому значению Ко, определяется формулой:
sk-\
\<;
t'u
t'y
%0
q),
а для союзного уравнения тому же характеристическому значению будет соот-
соответствовать следующая совокупность собственных функций:
lk-\
S
=l, 2,
12. Вырожденные уравнения. Укажем теперь класс интеграль-
интегральных уравнений, решение которых сводится к алгебраическим урав-
уравнениям первой степени. Ядро К (s, t) называется вырожденным,
если оно представляет собой конечную сумму произведений функ-
функций только от 5 на функции только от I:
K(s, 0=2 Pk{s)ak(t).	(85)
k=\
Функции Pfc(s), так же как и функции ok{t), мы можем считать
линейно-независимыми. Если бы некоторое pP(s) выражалось
линейно через остальные рЛ (s), то мы могли бы подставить это
выражение рр (s) в (85). При этом число слагаемых уменьшилось бы.
Рассмотрим уравнение с таким ядром и союзное с ним урав-
уравнение:
ь
t)<p(t)dt,
(86)
Принимая во внимание (85), получим
Pk(s)]ok(t)<p(t)dt,
или
Ф (s) = / (s) + X
), Ф(s) = g (S) + Я
(87)
(s), (88)
где xk и ^ — некоторые числа, определяемые равенствами
Ъ	b
xk = \ ok (t) ф @ dt\ yk = \pk @ * @ dt.
a	a

44	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[12
Таким образом, всякое решение уравнений (87) должно иметь
вид (88), и все сводится к нахождению не функций, Ъ чисел xk и yk.
Подставляя выражения (88) в уравнения (87) и приравнивая
коэффициенты при линейно-независимых функциях pk (s) и ak (s),
получим для определения xk и yk две системы уравнений:
где
а* = \ Ог (s) Pk (s) ds; fi = \f (s) a, (s) ds, gi - \ g (s) p, (s) ds. (90)
a	a	a
Определители систем (89Х) и (892) отличаются лишь заменой
строк столбцами.
Если, например, определитель системы (89Х) отличен от нуля,
то при любых fi мы получим определенные значения для xt. Под-
Подставляя их в (88), будем иметь ср (s). Однородным уравнениям
ь	t	ь
Ф (s) = Я j К (s, ^) ц> (t) dt\ г|? (s) = Я j /((г, s) г|э (/) cf/
a	a
будут соответствовать однородные системы:
п
Л,—Л/ 7. UibXh — VJ,	Ic/lil
&-& 2 амУк = 0 A = 1, 2, ..., л).	(91а)
Приравнивая определитель одной из этих систем (все равно какой)
нулю, мы получим алгебраическое уравнение для определения
характеристических значений. Если К = К0 — какой-либо корень
этого уравнения, то система (91Х) имеет решение (хъ хъ ..., #„),
отличное от нулевого, и, подставляя его в формулу
п
ф vv == ™0 / j %kQk \p)i	\ /
получим собственную функцию.
Доказанные выше теоремы сведутся в данном случае к извест-
известным теоремам линейной алгебры [1111; 8, 9, 10, 15].
Отметим, что мы можем получить однородную систему (91 х) и
для неоднородного уравнения (87), если только все числа /, равны
нулю, т. е.
J/(s)ai(s)ds = O 0 = 1, 2, ...,п).	(93)

13]	ПРИМЕРЫ	45
Если при этом X не есть характеристическое значение, то система (91 ±)
даст нам только нулевое решение, и в силу (88) мы получим
Ф (s) = / (s). Это решение можно проверить непосредственной подста-
подстановкой его в (87), если принять во внимание (93). Вырожден-
Вырожденными ядрами пользуются для приближенного решения интеграль-
интегральных уравнений, заменяя данное ядро близким к нему вырожден-
вырожденным ядром и затем с помощью указанного выше алгебраического
аппарата решая полученное вырожденное уравнение. Этот метод
приближенного решения интегральных уравнений, как и другие
методы, изложены в книге Л. В. Канторовича и В. И. Кры-
Крылова «Приближенные методы высшего анализа» A950 г.).
13. Примеры 1. Пусть
/0 ^ s ^ я\
/C(s, t) = cos (s + ?) = cos s cos t— sins sin/
\O
В данном случае
Pi W = <*i (s) = cos s;	^ (s) = g2 (s) = i sin s,
причем мнимый множитель i участвует только в промежуточных выкладках.
Вычисляя cttk, получим
#ц = \ COS2 S dS= =r ' CI12 = U21 = Oj	fl!22 = — \ Si
о	о
Система (89Х) принимает вид
2
Имеются два характеристических значения Ях, 2=± и соответствующие
нормированные собственные функции:
Ф1 (s) = ]/ - cos s» Ф2 (s) = у ~ sin s.
2. Пусть
В данном случае рх (s) = ax (s) = s; p2 (s) = а2 (s) = s2 и
3	5
Имеются два характеристических значения ^=2 и ^2= у и С00ТветствУЮ1Дие
им собственные функции:
В обоих примерах ядро К (s, t) было вещественным и оно удовлетворяло
условию K(t, s) — K(s, t). Такие ядра имеют только вещественные характе-
характеристические значения.

46	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[14
Теорию* интегральных уравнений с симметричными ядрами мы изложим
ниже. Зкги уравнения имеют широкие приложения в математической физике.
3. Дадим теперь пример вырожденного вещественного ядра с мнимыми
харак!еристическими значениями. Пусть
В данном случае можно считать:
p1(s) = s; p2(s) = — 1;
и отсюда
1	1
-з"; «22=—у
Для определения характеристических значений получаем уравнение
±
имеющее чисто мнимые корни. В приведенном примере вещественное ядро
удовлетворяет условию К (/, s) =—/((s, /).
Такие кососимметричные ядра имеют только чисто мнимые характеристи-
характеристические значения.
4. Дадим еще пример вырожденного ядра, не имеющего характеристиче-
характеристических значений. Пусть
К (s, /) = sinssin2; (Q^^J.
В данном случае п=1 и единственный элемент а^ будет:
п
: sin 2sds=0.
Однородные системы (91^ и (922) дают нам х1 = у1 — 0, и однородное уравне-
уравнение при всяком К имеет только нулевое решение. Уравнение, дающее харак-
характеристические значения, превращается в данном случае в нелепое неравенство
1=0.
14. Обобщение полученных результатов. При изложении тео-
теории интегральных уравнений мы предполагали, что искомая
функция ф (s) и свободный член / (s) суть функции одной незави-
независимой переменной, которая может меняться в некотором проме-
промежутке [а, 6]. Этот же промежуток был промежутком изменения
и для обоих аргументов ядра K(s, t). Вся теория останется совер-
совершенно неизменной, если мы будем предполагать, что функции
Ф (М) и / (М) суть функции точки в некоторой ограниченной
области В любого числа измерений или на некоторой поверхности
или на некоторой кривой. При этом ядро К (М, N) будет функ-
функцией пары точек М и N, каждая из которых может меняться

14]	ОБОБЩЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ	47
в упомянутой области или на поверхности или на-кривой, и
знак интеграла в интегральном уравнении надо понимать как
интегрирование по упомянутой области или поверхности или
кривой, так что интегральное уравнение запишется в виде
V(M)=f(M)+$K (M, N) Ф (ЛО da>N. (94)
в
Мы пишем лишь один знак интеграла, но надо помнить, что
интеграл может быть кратным интегралом, распространенным по
упомянутой области, и dcaN обозначает элемент площади или
объема этой области или элемент длины кривой. Например, если
областью изменения является некоторая ограниченная область В
на плоскости (х, у)> то уравнение (94) в координатах может
быть записано следующим образом:
(х, у; 5, Т|)Ф(?, v))dtdr\.
Функцию f (M) мы считаем непрерывной в замкнутой области В
и ищем непрерывные в этой области решения ср(М). Ядро
К(М, N) считается непрерывной функцией пары точек (М, N),
причем каждая может меняться в замкнутой области В.
Рассмотрим теперь систему т интегральных уравнений отно-
относительно такого же числа искомых функций:
Ф,(*)=Ш + 5 I]^7(s, ОфуЮЯ A = 1, 2, ..., т).
а ] = \
Вместо ядра мы имеем в данном случае матрицу функций Kik (s, f).
Нетрудно привести написанную систему к одному интеграль-
интегральному уравнению с одной искомой функцией. Чтобы не усложнять
дело излишними обозначениями, положим, что т = 2:
ь
Ф1 (S) = fl (S) + \ [/Си (S, 0 фх @ + Ки E, t) ф2 (t)] dt,
%	(95)
Ф2 (s) = U (8) + 5 [Кп (s, О Ф1 @ + К22 (sf О Ф2 (t)] dt.
Выше мы говорили, что вся теория интегральных уравнений
остается неизменной, если основной областью является не проме-
промежуток, а любая ограниченная область на плоскости, на поверх-
поверхности или в пространстве. Можно считать также, что переменная
точка пробегает не один отрезок или не одну область, а несколько
отдельно лежащих, отрезков или областей. Вся теория остается
при этом совершенно неизменной. Для приведения системы (95)
к одному уравнению возьмем за основную область промежуток

48	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[14
[а, Ь], взятый два раза, или, иначе говоря, мы берем за основ-
основную область два экземпляра промежутка [а, Ь]. Эти экземпляры
друг с другом никак не связаны. Мы считаем f(M) = f1 (M), если
точка М находится на первом экземпляре, и f(M) = f2(M), если
точка М находится на втором экземпляре. Аналогично определя-
определяется и ф(М) через фх (М) и ф2(М). Ядро К(М, N) определяется
следующим образом:
К(М, N) = Kn(M, N)	K(M, N) = K12(M, N)
(М и N на 1-м экз.)	(М на 1-м экз.; N на 2-м экз.), * '
К (м, N) = Кп (М, N)	K(M, N) = K22 (М, N)
(М на 2-м экз.; N на 1-м экз.)	(М и N на 2-м экз.).
При этом система (94) приводится к одному интегральному урав-
уравнению с непрерывным ядром в основной области /, состоящей из
двух экземпляров отрезка [а, Ъ\:
Ф (М) = / (М) + \ К (М, N) Ф (N) d(»N.	(97)
Интегрирование производится по обоим экземплярам промежутка
и можно считать don^ = dx.
Изложенная теория остается справедливой и при более общих
предположениях относительно ядра, чем его непрерывность. Можно,
например, предположить, что /С (s, t) ограничено и имеет конеч-
конечное число точек и линий разрыва непрерывности, причем линии
имеют уравнения вида / = co(s). Такие ядра мы будем называть
в-дальнейшем регулярными. Отметим, что если ядро /С (s, t) имеет
разрыв вдоль прямой s = s0 (ядро не регулярно), то и функция
ь
f t)h{t)dt	(98)
будет, вообще говоря, иметь разрыв вдоль s = s0 и при предполо-
предположении непрерывности h(t).
Пусть ядро регулярно и, для определенности, предположим,
что его разрывы находятся на диагонали t = s квадрата k0, а функ-
функция h (t), например, непрерывна и тем самым ограничена, т. е..
| h (t) I ^ m, где т — некоторое положительное число. Мы имеем
ь
$s, t)-K(s\ t)\dt.	(99)
При любом заданном положительном е существует, ввиду ограни-
ограниченности подынтегральной функции, такое положительное число
б, что написанный интеграл по промежутку [s — б, s + б] будет
меньше &. Положим, что sr находится внутри этого промежутка.
При интегрировании по оставшимся промежуткам [a, s —б] и

15]	КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ	49
[s + 6, b] подынтегральная функция будет непрерывной функцией
двух переменных s и t и, следовательно, при всех s', достаточно
близких к s, интеграл по упомянутым двум промежуткам будет
также меньше е. Отсюда следует, что левая часть неравенства (99)
при всех s', достаточно близких к s, будет меньше Зте, а это
дает, в силу произвольности е, непрерывность функции o>(s).
Аналогичным образом можно показать, что если К! (s, /) и
К" (s, /) — два ядра, удовлетворяющих указанному выше условию,
то функция
K'"(s9 0 = $K"(s, h)K(tl9 t)dh
a
будет непрерывной функцией своих аргументов. Таким образом,
если ядро К (s, t) удовлетворяет указанным выше условиям, то
второе повторное ядро будет уже непрерывным. Изменение порядка
интегрирования, которым мы пользовались при доказательстве
основных теорем, останется справедливым и при сделанном пред-
предположении об ядре.
•Вопрос становится гораздо более сложным, если ядро неогра-
ничено. В дальнейшем мы исследуем этот вопрос и выделим те
неограниченные ядра, для которых имеют место доказанные вышо.
теоремы.
15. Компактные множества непрерывных функций. Существен-
Существенным моментом теории интегральных уравнений является понятие
компактности бесконечного множества функций. Мы займемся
сейчас этим понятием для множества непрерывных функций. В томе
V мы систематически исследуем это понятие для других классов
функций и с более общих точек зрения. Предварительно напом-
напомним некоторые факты, изложенные в [II; 92, 93]. Если <& есть
бесконечное множество вещественных или комплексных чисел,
модуль которых ограничен одним и тем же числом М > О, т. е.
для всех чисел х из S имеет место неравенство \х\^М, то из
всякой бесконечной последовательности чисел хъ х2, x3i ... из %
можно выделить подпоследовательность хП1, хП2, хп,9 ... (пх >п2>
>п3>¦..), имеющую предел.
Все рациональные числа, принадлежащие какому-либо про-
промежутку [а, Ь]} можно расположить в виде последовательности
(не монотонной) [II; 93]
Всякое множество чисел или каких-либо объектов, члены кото-
которого можно расположить в виде последовательности, пронумеро-
пронумерованной целыми пожшительными числами, называется счетным
множеством. Отметим еще, что рациональные числа расположены
на промежутке [а, Ь] всюду плотно, т. е. любой сколь угодно

50	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[15
малый фиксированный промежуток [а, Р], входящий в [а, Ь\
содержит бесконечное множество рациональных чисел. Таким образом,
рациональные числа, расположенные на промежутке [я, 6],
образуют счетное всюду плотное множество. Совершенно анало-
аналогично точки с рациональными координатами, расположенные
в какой-либо области (конечной или бесконечной) плоскости, трех-
трехмерного или л-мерного пространства, образуют счетное всюду
плотное множество. Перейдем теперь к рассмотрению бесконечных
множеств непрерывных на конечном промежутке [а, Ь] функций.
Определение 1. Бесконечное множество % непрерывных на
конечном промежутке [а, Ь] функций называется компактным,
если из любой бесконечной последовательности функций <$>k (x)
(й=1, 2, ...), принадлежащих &, можно выделить подпоследова-
подпоследовательность q>nk(x), равномерно стремящуюся к предельной функции
на [а, Ь].
Для компактности множества % непрерывных функций одной
ограниченности функций недостаточно. Определим некоторое свой-
свойство множества Ш непрерывных функций f(x), которое играет
существенную роль для компактности. Известно, что любая не-
непрерывная в [а, Ь] функция обладает свойством равномерной не-
непрерывности: при любом заданном е > 0 существует такое б > 0, что
l/OO-ZOOI^e (*' и * из [я. ь~\ и |^~аГ|^6). A00)
При заданном е>0 число б>0 может быть различным для раз-
различных f(x) и, если U состоит из бесчисленного множества раз-
различных непрерывных функций, то при заданном е 2> 0 числа б > 0,
при котором для всех / (х) из Ш выполняется A00), может и не быть.
Определение 2. Говорят, что множество Ш состоит из
равностепенно непрерывных функций, если при любом заданном
е > 0 существует число б > 0, одно и то же для всех функций
f(x) из Ш такое, что выполнено A00).
Сформулируем теперь основную теорему, дающую достаточное
условие компактности (теорема Арцела).
Теорема. Если % есть множество функций f(x), равносте-
равностепенно непрерывных в [а, Ь] и ограниченных по модулю одним и
тем же числом L, m. e. \ f (x) I ^ L для всех f (x) из %, то мно-
множество % компактно.
Предварительно докажем одну лемму.
Лемма. Если fn{x) (я = 1, 2, ..) — некотороя бесконечная
последовательность функций, заданных в [а, Ь] и ограниченных
по модулю одним и тем же числом L, то, каково бы ни было
счетное множество точек xk (k = 1, 2, ...) из [а, Ь], можно из
последовательности fn (x) выделить подпоследовательность, которая
сходится во всех этих точках.
По условию леммы | fn (х) \ ^ L (п = 1, 2, ...) при а ^ х ^ Ь,
и можно из последовательности чисел fn (хг) выделить сходящуюся

15]	КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ	51
подпоследовательность, т. е. нз последовательности функций fn (x)
можно выделить подпоследовательность
которая сходится в точке х — х^. Если для функций (I) положить
х = х2, то получим числа fk(x2), модули которых также не пре-
превосходят L. Поэтому яз последовательности функций (I) можно
выделить такую подпоследовательность
К(Х), }22)(Х), ff(x), ...,	(II)
которая сходится не только в точке х = хъ поскольку она выде-
выделена из последовательности (I), сходящейся при х = хъ но и
в точке х = х2. Подставляя х = х3, заметим, что все числа }?](х3)
по модулю меньше или равны L, и из последовательности (II) мы
можем выделить новую подпоследовательность
/i3)W, /23)M> hS)(*)> ...,	(HI)
которая будет сходиться в точках х = хъ х = х2, х = х3. Продол-
Продолжая это построение дальше, получим вообще последовательности
#»>(*), ... (т = 1, 2, 3, ...),	(т)
которые сходятся в точках х = хъ x = x2t ..., х = хт. Образуем
теперь новую последовательность, взяв из последовательности (I)
первую функцию, из последовательности (II) вторую функцию,
из последовательности (III) третью функцию и т. д.:
Покажем, что эта подпоследовательность уже сходится в любой
точке x = xk. Действительно, возьмем некоторую точку x = xk.
Все функции последовательности (*), начиная с номера /л = &,
т. е. все функции
х) = /J*> (х), /(М) {Х) = /j*^i) Wf ...,	Г *)
согласно указанному выше построению образуют часть последова-
последовательности (т) при m = k, и, следовательно, при подстановке в эту
последовательность (*) значения x = xk мы получим сходящуюся
последовательность чисел, т. е. последовательность функций (**)
сходится в точке х = х^ То же самое можно утверждать и отно-
относительно последовательности (*), что и доказывает лемму.
Перейдем теперь к доказательству основной теоремы. Пусть
имеется некоторая последовательность функций из ©. Применяя
доказанную лемму, можно утверждать, что из этой последова-
последовательности можно выделить подпоследовательность, которая стре-
стремится к пределу во всех точках некоторого счетного множества

52	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[15
точек xk (k = l, 2, ...), всюду плотного в [а, Ь]. Это может быть,
например, последовательность всех точек из [а, Ь]у имеющих
рациональные значения.
Пусть
М*). М*), М*). ...
— та выделенная подпоследовательность, сходящаяся во всех точ-
точках хк. Покажем, что она сходится равномерно во всем проме-
промежутке [а, Ь]. Составим разность fp(x) — fg(x) и представим ее
в виде
h (х) - U <*) = Up (х) - fP foO] + Up (x) ~ U Wl + ih (-0 - fq (x)l («)
где х' — одна из точек упомянутого выше множества, всюду плот-
плотного на [a, b]. Пусть е — какое-либо заданное положительное
число и б — соответствующее ему число, входящее в определение
равностепенной непрерывности. Возьмем конечное множество т',
состоящее из точек xki и такое, что точки этого конечного мно-
множества разбивают промежуток [а, Ь] на частичные промежутки,
длина каждого из которых ^6. Это, очевидно, возможно, так как
множество всех точек xk всюду плотно на [a, b]. В каждой
точке конечного множества точек % последовательность (*) имеет
предел. Поэтому существует такое число N, что
при р и q>N,	ф)
если / — одна из точек упомянутого выше конечного множества
т\ Будем считать, что точка х\ входящая в формулу (а), есть
одна из точек конечного множества т', и напишем неравенство
(т)
непосредственно следующее из (а). При любом положении х на
[а, Ь] мы можем указать такое х\ принадлежащее т', что |/„(*) —
— fn W) I < 8 ПРИ любом п. Это х' будет одним из концов того
частичного промежутка, которому принадлежит х. Кроме того,
при р и q>N мы имеем неравенство ф) для любых х\ принад-
принадлежащих т\ Таким образом, в силу (у) мы можем утверждать
следующее: при любом заданном положительном е существует
такое Л/, не зависящее от х, что \fp(x)—.fq(x)\<3e при р и
q > N и любом х из [я, 6], а это и показывает, что последова-
последовательность (*) равномерно сходится на всем промежутке [а, &],
и тем самым теорема доказана.
Доказательство годится, очевидно, как для вещественных,
так и для комплексных функций. Если нам известно, что после-
последовательность fn (x) равностепенно непрерывных функций сходится
во всякой точке промежутка Ja, b] или в точках xk некоторого
множества, всюду плотного в [я, &], то отпадает необходимость

15]	КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ	53
в выделении подпоследовательности, сходящейся во всех точках
xk, и можно утверждать следующее:
Теорема 2. Если последовательность fi(x)t /2(*)> ••• функ-
функций, равностепенно непрерывных на промежутке [а, Ь], уходится
во всех точках этого промежутка (или даже только в точках xk
некоторого множества, всюду плотного в [а, Ь]), то эта последо-
последовательность сходится равномерно на [а, Ь].
Доказательство теорем буквально переносится и на случай
множества Ш функций /(Р), определенных в некоторой замкнутой
области В в я-мерном пространстве или на поверхности. Равно-
Равностепенная непрерывность здесь, очевидно, определяется так: при
любом заданном положительном е существует такое положитель-
положительное число т], одно и то же для всех функций из Ш, .что | / (Р) —
— / (Q) | ^ е, если Р и Q принадлежат В и расстояние j PQ | <; 8.
Выше было доказано, что ограниченность всех функций мно-
множества <? по модулю одним числом и равностепенная непрерыв-
непрерывность суть достаточные условия компактности %. Можно показать,
что это и необходимые условия (см. т. V).
Пусть имеется интегральный оператор с непрерывным ядром
ь
v(s)=\K(s, t)u(t)dt.	A01)
а
Мы знаем, что он преобразует непрерывные функции и (f) в не-
непрерывные v(s). Пусть S есть некоторое бесконечное множество
ограниченных функций: \u(t)\^m. Ядро в силу непрерывности
в k0 также ограничено: \K(s, t)\<^M, и, следовательно,
т. е. множество функций v (s) ограничено. Имеет место неравен-
неравенство
ъ
\v(s) -v(s') | ^т J| K(s, t) -K{s\ t) | dt.
a
В силу непрерывности ядра при заданном е>0 существует
такое 6>0, не зависящее от v (s), что
при |*-
Из двух последних неравенств следует, что
\v(s) — v (sr) | ^е при |s — s' |^б.
Определение. Оператор называется вполне непрерывным
из*) С в С, если он преобразует всякое ограниченное множество
*) Символом С или С [а, Ь] обозначается множество (пространство) функ-
функций, непрерывных на [а, &].

54	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	И6
непрерывных функций и (t) в [а, Ь] в компактное множество непре-
непрерывных в [а, Ь] функций.
Таким образом, нами доказано, что функции v(s) ограничены
и равностепенно непрерывны, а следовательно, и образуют ком-
компактное множество и интегральный оператор A01) вполне непре-
непрерывен. То же доказательство годится и для регулярного ядра.
16. Неограниченные ядра. Доказанные выше теоремы могут
оказаться несправедливыми для неограниченных ядер. В этом и
следующем параграфе мы докажем эти теоремы и для некоторого
типа неограниченных ядер, а именно, для ядер вида
где L (s, /) непрерывна в k0 и 0 < а < 1. Такие ядра называются
полярными. Непрерывная функция L(s, t) ограничена по модулю
в k0 и
\K(s ОК
где Л— постоянная.
Предварительно оценим величину интеграла по некоторому
конечному промежутку
Рассмотрим интегральный оператор
^«@*.	A03)
где и (t) принадлежит множеству Ш непрерывных функций, огра-
ограниченных по модулю определенным числом: \u(t)\^m, и пока-
покажем, что v (s) образуют компактное множество в С, т. е. что опе-
оператор A03) —вполне непрерывный оператор из С в С. Ограничен-
Ограниченность v (s) одним и тем .же числом следует из
Остается доказать равностепенную непрерывность v (s). Мы, оче-
очевидно, имеем
L	A04)
Пусть 8 > 0 — некоторое число, малое по сравнению с (Ь — а).
Покроем точки s'hs числовой прямой отрезками со2в и ^б длины
28, в середине которых находятся точки s и s. Эти отрезки

16]	НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЯДРА	55
могут перекрывать друг друга и выходить из промежутка [я, Ь].
В интеграле A04) модуль подынтегральной функции не больше
А . А
| s' — t |а •" | s — t )а "
Интегрируя эту сумму по со2б и согб и складывая результаты,
получим положительную величину, которая не больше
1-сь Л*
Остается проинтегрировать по оставшейся части [а, Ь], на
которой \s' — t\ и js —^|>6, так что искомый интеграл не больше
по абсолютной величине
ь
J||s-*jal(s'f t)-\f-tpL(s, t)\dt.	A05)
Нам надо доказать, что при любом заданном е>0 существует
такое ц (не зависящее от u(t)), что
| v (s') — v (s) | ^ 8 при | s — s | ^ у\.
Сначала выбираем б так, чтобы иметь
В силу непрерывности подынтегральной функции в интеграле A05)
существует такое tj, что и интеграл по оставшейся части [я, Ь]
не больше „-, и окончательно мы получаем | v (sf) — v(s) |^e.
Таким образом, доказано, что оператор A03) вполне непрерывен
как оператор из С в С.
Исследуем еще некоторые свойства оператора. Введем непре-
непрерывное ядро, близкое, в известном смысле, к ядру /C(s, /). Пусть
7 —малое положительное число. Положим:
К(s, t) при \s — t\^y,
*v(s. ')=JL(s t)	<106)
^A	|f|
при |s-
Ядро Ky (s, /) отличается от ядра К (s, 0 только при | s — ^ | < у
и | Ку E, 0 | ^ | К (s, 01, так что
а
Наряду с преобразованием A03) рассмотрим интегральное преоб-
преобразование
Vy{s) = \Ky{sy t)u{t)dt.	A07)

56	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[17
Повторяя те же оценки, что и выше, с учетом определения A06),
легко получить следующую лемму:
Лемма. Если непрерывные функции и (t) ограничены по модулю
одним и тем же числом, то формула A07) при 0^Y<^e, где
8>0 и Ko(s, t) = K(s, t), определяет класс равностепенно непре-
непрерывных функций, также ограниченных по модулю одним и тем
же числом.
В дальнейшем нам понадобится еще формула перестановки
порядка интегрирования
I \\ Ку (s, t) Ul (t) dt\ u2 (s) rfs = $ f"j Ку (s, t) u, (s) ds] Ul (t) dt,
a\-a	J	aU	J
где ux{t) и u2(s) — непрерывные в [a, b] функции. Для непрерыв-
непрерывного ядра Ky(s, t) она известна [II; 81], и легко показать, что
ь	ь
[Ky(s, t)ux{t)dt^\K{s, 0«i@* при y^+0 A08)
а	а
равномерно по s. Нам нужна будет еще одна формула. Пусть
(pY (/) — непрерывные в [a, b] функции, зависящие от положитель-
положительного параметра у, которые стремятся равномерно при y~^+0
к функции фо(/), также, очевидно, непрерывной. Тогда
ь	ъ
\Ky(s, t) <py (t)dt-+\ К(s, t) <р0 V)dt.	A09)
а	а
Это доказывается при помощи очевидного неравенства
ь
, t)<po(t)-Ky(s, t)<py(t)]dt ^
b
]K(s,
-Ky(s9 t)]<py(t)dt
17. Интегральные уравнения с полярным ядром. Рассмотрим
интегральное уравнение с ядром вида A02)
ь
K(s, t)y(t)dt,	A10)
где / (s) — заданная и ф (s) — искомая непрерывные в [а, Ь] функ-
функции. Положим сначала, что Я не есть характеристическое значение,
т. е. уравнение
ь
K\K{s, t)y(t)dt	A11)
a

17]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОЛЯРНЫМ ЯДРОМ	57
имеет только нулевое решение. Покажем, что при этом и одно-
однородное уравнение
ь
<ру(8)=Х\Ку(8, t)<fy(t)dt	A110
а
имеет только нулевое решение при всех у, достаточно близких
к нулю. Доказываем от обратного. Пусть существует последова-
последовательность положительных чисел уи у2, ..., упу ..., стремящихся
к нулю, такая, что уравнения имеют решения
<pYn (s) = %\ КУп (s, 0 <рУп @ dt (п = 1, 2, ...),	(П2)
а
отличные от нулевого. Принимая во внимание, что эти решения
определены с точностью до постоянного множителя, можно счи-
считать, что
Ф*я(*)|<1,	A13)
причем при некотором значении s достигается знак равенства.
В Силу леммы из [16] q>yn(s) равностепенно непрерывны, и из по-
последовательности уУп (s) можно выделить подпоследовательность,
равномерно стремящуюся к некоторой предельной функции фо(ь).
Переходя в формуле A12) к пределу, получим
ь
ФоE) = Л$К(*, f)<po(t)dt.%	A14)
а
В силу равномерности предельного перехода и наличия знака
равенства в A13) при некотором s, можем утверждать, что непрерыв-
непрерывная функция ф0 (s) =? 0, т. е. X есть характеристическое значение
уравнения A11), а это противоречит выше сделанному предположе-
предположению, т. е. уравнение (llli) при всех у>0, достаточно близких к
нулю, имеет только нулевое решение, и можно утверждать, что
уравнения
Ms> t)<py(t)dt	A15)
с непрерывным ядром имеют единственное решение при любой
f(s). Покажем, что эти решения при всех у, достаточно близких
к нулю, ограничены по модулю одним и тем же числом. Пусть
ту= max |<pY(s)|. Надо показать, что не существует последова-
тельности Шу , которая стремилась бы к (+оо) при уп-+0. Пусть
такая последовательность есть. Мы имеем

58	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[17
причем при некотором выборе s достигается знак равенства. По-
Полагаем в равенстве A15) v = Y* и делим обе части на тУп:
( E /J!^^_[-—.	A17)
mY/j
u
Второе слагаемое правой части стремится к нулю равномерно
в [а, 6], первое слагаемое в силу A15) и леммы [16] дает после-
последовательность равномерно ограниченных и равностепенно непре-
непрерывных функций. Мы можем в силу теоремы Арцела считать, что
первое слагаемое при уя-^0 стремится равномерно в [а, Ь] к пре-
предельной функции. Тем самым и левая часть должна стремиться
равномерно в [а, Ь] к некоторой предельной функции фо(я), кото-
которая не есть тождественный нуль, так как в A16) достигается знак
равенства. Переходя в A17) к пределу, получим A14), т. е. оказыва-
оказывается, что К — характеристическое значение уравнения A11), что про-
противоречит предположению. Итак, все функции 9Y(s) при у, доста-
достаточно близких к нулю, ограничены по модулю одним и тем же
числом. После этого из (ПО) и леммы [16] следует, что функции
ц)у (s) равностепенно непрерывны. Пользуясь еще раз теоремой
Арцела и переходя к пределу, получим
ь
a(s)=--f(b) + X\K(s, t)a(t)dt9	A18)
а
где со (t) — некоторая непрерывная функция.
Таким образом, мы показали, что если Яне является характери-
характеристическим значением уравнения A10), то это уравнение имеет реше-
решение при любом свободном члене f(s). Единственность решения
непосредственно следует из того, что, по предположению, одно-
однородное уравнение A11) имеет только нулевое решение.
Рассмотрим теперь однородное уравнение, союзное с A11):
ь
ij)(s) =А$ К (t, s)ty(t)dt,	A19)
а
и покажем, что оно имеет также только нулевое решение. Поло-
Положим обратное, и пусть а|) (s) — решение этого уравнения, отличное
от нулевого. Умножим обе части (ПО) на ty(s), интегрируем по s
и в повторном интеграле переставляем порядок интегрирования
согласно [16]:
ь	ъ г ъ	1	ъ
откуда в силу A19) получаем условие разрешимости уравнения

18]	СЛУЧАЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ	59
(ПО) (ср. вывод формулы G9) из [10]):
dt = O.	A20)
Но мы видели, что уравнение A10) разрешимо при любой /(s).
Это противоречие показывает, что однородное уравнение A19)
имеет только нулевое решение.
Таким образом, для ядер вида A02) мы доказали следующее.
Представляются две возможности: или уравнения
ъ
а
Ъ
одновременно имеют решения, и притом единственные, при любых
свободных членах / (s) и g-(s), или соответствующие однородные
уравнения имеют решения, отличные от нулевого.
Замечание. Если X — не характеристическое значение, то мы
показали, что уравнение A15) имеет при каждом положительному,
достаточно близком к нулю, единственное решение, и эти решения
ограничены по модулю одним и тем же числом. Далее путем вы-
выделения подпоследовательности и предельного перехода мы полу-
получили решение исходного уравнения (ПО).
Нетрудно показать, пользуясь единственностью решения урав-
уравнения (ПО), что выделять подпоследовательность не надо. Дейст-
Действительно, если бы q>y(x) при 7-^+0 не имело бы определенного
предела в некоторой точке s, то мы могли бы выделить две под-
подпоследовательности, которые стремились бы равномерно к двум
непрерывным предельным функциям, имеющим различное значение
в точке s. Таким образом, мы получили бы два различных реше-
решения уравнения (ПО), что невозможно, если к — не есть характери-
характеристическое значение. Следовательно, cpY E) без всякого выбора стре-
стремится к предельной функции со (s). Равномерность стремления
к пределу вытекает из того, что функции cpY(s) в силу A15)
ограничены по модулю и равностепенно непрерывны.
18. Случай характеристического значения. Положим теперь, что
X есть характеристическое значение. Если одно из однородных
уравнений
<p(s) =
A2la

60	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[18
имеет конечное число линейно-независимых решений, то, повторяя
доказательство теоремы 9 [10], покажем, что и второе урав-
уравнение имеет столько же линейно-независимых решений. После
этого, совершенно так же как и в [10], можно показать, что условие
A20), где i|)(s) — любое решение A212), является не только необ-
необходимым, но и достаточным условием разрешимости уравнения
(ПО).
Остается показать, что число линейно-независимых решений,
например, уравнения A2^), конечно.
Доказываем от обратного. Положим, что уравнение A21Х) имеет
бесконечное множество линейно-независимых решений
ъ
<Vn(s) = k\K(s, t)<pn(t)dt (/i = l, 2, ...).	A22)
а
Можно считать, что решения эти попарно ортогональны
ъ
S<PP@M0<tf = 0 при рфЯ	A23)
а
и удовлетворяют неравенству
|Ф„E)|^1 (л=1, 2, ...), A24)
причем достигается знак равенства. Из A22) и A24) следует, что
(рп (s) равностепенно непрерывны в [а, Ь] и что существует в по-
последовательности фд (/) подпоследовательность, которая стремится
равномерно в [а, Ь] к некоторой предельной функции ф0 (/). Пере-
Переходя в формуле A23) по этой подпоследовательности Ц)р(х) к пре-
пределу, будем иметь
ъ
и еще раз переходя к пределу по знаку q9
ь
Но функция ф()(/) не может быть равна тождественно нулю, так
как в A24) при всяком п имеет место знак равенства, и формула
приводит нас к противоречию. Тем самым доказано, что уравне-
уравнение имеет лишь конечное число линейно-независимых решений.
Таким образом, для ядер вида A02) доказано еше следующее:
если А, —характеристическое значение уравнения A10), то уравне-
уравнения A21 х) и A212) имеют одинаковое конечное число линейно-не-
линейно-независимых решений, и для разрешимости уравнения (ПО) необ-
необходимо и достаточно, чтобы свободный член / (s) удовлетворял
условию A20), где if(s) — любое решение уравнения A212).

20] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РЕГУЛЯРНЫМ ПОВТОРНЫМ ЯДРОМ 61
В одном из следующих параграфов мы докажем, что для по-
полярных ядер во всякой ограниченной части плоскости X может
существовать лишь конечное число характеристических значений
и каждое из них может иметь лишь конечный ранг.
19. Многомерный случай. Все сказанное переносится без суще-
существенных изменений в доказательствах на многомерный случай.
В двумерном случае интегральное уравнение с полярным ядром
имеет вид
\yfc?<f(t)dt9	A25)
в
где В — ограниченная плоская квадрируемая область; интеграл
надо считать двойным по В, причем ^ —переменная точка интег-
интегрирования, dt — элемент площади (в декартовых координатах dt =
— dxdy), r — расстояние между точками s и t, 0<a<2HL(s, /)
непрерывна при изменении s и t в замкнутой области В. Так же
записывается интегральное уравнение с полярным ядром в трех-
трехмерном или вообще п-ыерном пространстве @ < а < п). Совершенно
аналогично может быть построена теория интегральных уравнений
и при интегрировании по гладким поверхностям. Точные условия
гладкости мы сформулируем во второй части этого тома при при-
применении интегральных уравнений в теории потенциала.
20. Интегральные уравнения с регулярным повторным ядром.
Мы рассмотрим сейчас произведение двух интегральных операто-
операторов с полярным ядром в линейном случае (я=1). Подробное до-
доказательство для любого числа измерений будет дано в томе V.
Пусть два полярных ядра имеют вид
ь
где Lt(s, t) непрерывны в40и0<а,р<1. Произведение
этих операторов есть интегральный оператор с ядром
Докажем, что М (s,, t) непрерывна в k0 вне диагонали s = t.
Пусть so=?to и предположим, что точка (s0, t0) внутри k0. Разде-
Разделим промежуток а^т^й на две части гг и гг такие, что гг

62	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[20
содержит точку t = s0, а г2 — точку x = t0 строго внутри себя.
Выберем достаточно малое г такое, что промежутки |т — so]^e,
|т —fo|<;e находятся строго внутри гг и г2. Промежуток интег-
интегрирования а^т^Ь разобьем на пять промежутков: [a, so — e]y
[50 —8, so-i-e], [So + e, to — z], [to — e, /o-fe], [to + e, b].
Интегралы по [so — s, so~\-e] и [t0 — 8, ^o + e] сколь угодно
малы по абсолютной величине при соответствующем выборе 8,
а интегралы по остальным промежуткам — непрерывные функции
Отсюда следует, что М (s, t) непрерывна в k0 вне диагонали
s = t. Если точка (s0, f0) находится на стороне k0, то доказатель-
доказательство аналогично.
Рассмотрим теперь, по-прежнему считая s^=^, два случая:
а + р>1 и а + Р< 1.
I. а + Р > 1 • Обозначим | s — t \ = б и введем новые координаты
так что | s' —• f' | = 1. Мы будем иметь
&	"	-foo	-foo
f	dx	С	dx	_ _б__ С 	dV
} !5_т|Э|Т_/|сГ^ J is — xV\x — t\a~~-da^ J |s'-_T',p|T'_^;a*
a '	—oo	'	—oo
В последнем^ интеграле поместим начало оси т' в точку s' и
направим ось из s' в f. При этом получим
|s —
Последний интеграл сходится, ибо аи P<Cl и а + р>1, и не
зависит от s и t, т. е.
где L(s, t) непрерывна при $Фг, как доказано выше, и в силу
A26i) ограничена.
II. а + р<1. Отметим, что при этом интеграл A26) сходится
и при s — t. Покажем теперь, что имеет место неравенство
Действительно, умножим обе части на \s — x|a+p и обозначим
|.s — т| |т — t\~1 = r. Нетрудно видеть, что

20] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РЕГУЛЯРНЫМ ПОВТОРНЫМ ЯДРОМ 63
ибо при r^l ra^l, a при г^1 га^га+р. Таким образом, для
ядра М (s, t) при а + р < 1 имеем неравенство
в правой части которого интегралы сходятся равномерно относи-
относительно s^[at 6], t e [a, b]. Отсюда легко заключить, что несоб-
несобственный интеграл
M(s, о
равномерно сходится во всем квадрате k0, включая диагональ
s = t, и следовательно, М (s, ^ — непрерывная в &0 функция.
Рассмотрим теперь степени для оператора с полярным ядром
К и t\-L (s' г)
Для оператора К2 ядро имеет вид
L(s, t)L(t, t) .
На основании сказанного выше для ядер /C2(s, /), /C3(s, 0» •••
показатели полярности ядра будут соответственно 2а — 1, За — 2,...
Пусть р — такое натуральное число, что
ра-(р-1)<0.
Тогда ядро интегрального оператора Кр (s, t) непрерывно в k0.
Отметим, что степень К1 (s, t) есть не что иное, как повторное
итерированное ядро Ki (s, f). Выше мы не рассматривали слу-
случай а + Р = 1.'Этот случай всегда можно исключить, немного
изменяя а или р. Это можно сделать, умножая числитель и зна-
знаменатель ядра на \s — t\e, где е>0 — достаточно малое число.
При а + р = 1 оценка М (s, /) имеет вид
\M(s,
В томе V мы рассмотрим многомерный случай в полном объ-
объеме. Укажем здесь только результат. Пусть в я-мерном простран-
пространстве имеется композиция полярных ядер:
в 1	г*
где Г! —расстояние между точками Р и R и г2 —между R и Q,
0<а<я, 0<р<п, Ц{Ру R) и U(R/Q) непрерывны

64	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[21
в ограниченной области В я-мерного пространства. Ядро М (Pt Q)
непрерывно, если Р отлично от Q, и имеет оценку:
если
если
где г —расстояние между Р и Q. Если а + р</г, то М (Р, Q)
непрерывно в замкнутой области Б.
Рассмотрим однородное уравнение с полярным ядром
(t)dt.	A27)
а
Подставляя вместо ф (t) его выражение из правой части, получим
<p(s) = A,»5K,(s, t)y(t)dt.
а
Продолжая так и дальше, будем иметь
ь
<p(s) = KPlKp(s, t)y(t)dt.	A28)
а
Положим, что Kp{s, t) — yme регулярное ядро.
Очевидно, что всякое решение уравнения A27) есть и решение
уравнения A28). Но последнее может иметь только конечное число
характеристических значений во всякой ограниченной области пло-
плоскости к, ранг характеристического значения конечен, и решение
Ф (s) уравнения с регулярным ядром непрерывно. Следовательно,
то же мы можем утверждать и относительно уравнения A27).
Можно показать, что всякая собственная функция уравнения
A28) (если Кр — характеристическое значение) есть линейная
комбинация собственных функций уравнений
Ь	I	2ш\
q)(s) = Xe*J/C(sf t)<p(t)dt \е = ер) (* = 0, 1, ..., /7-1).
а
21. Аппарат Фредгольма для полярных ядер. Рассмотрим интегральное
уравнение с полярным ядром
ь
<p(s) = f(s) + l\K{s, ОФ(*)Я,	A29)
а
где
В этом случае К (s, s) не имеет смысла и мы не имеем первого следа ядра К (s, f).
Положим, что а < -^ *). При этом все повторные ядра, начиная со второго,
*) При 2 а<1 полярные ядра называются слабо полярными.

21]	АППАРАТ ФРЕДГОЛЬМА ДЛЯ ПОЛЯРНЫХ ЯДЕР	65
К2 (s, 0» непрерывны и, следовательно, существуют следы
ь
Am = \Km(s,s)ds (/11 = 2,3,...).	A31)
а
Вернемся к непрерывному ядру и напомним, что резольвента R (s, t\ К)
определялась формулой
R(s,f,X) = D^^\	A32)
где D (s, t\ X) получалась перемножением двух степенных рядов:
A33)
Ряд для D (к) определялся при всех К по формуле E0), а для |Я', достаточно
близких к нулю, по формуле
Умножая числитель и знаменатель дроби A32) на еА^ и обозначая
D{s, t/k)eA^ = D2(s, t, K)\ D(k)eAll = D2(l),
мы можем написать тождество, аналогичное A33):
D2(s, t\ A,) = [/C(s,O + ^.(s,O + -..]^№).	A34)
Оно получается формально из A33), если выразить D (X) через следы и в A34)
положить Ла = 0.
Дробь
дает, очевидно, аналитическое продолжение выражения, стоящего в квадратных
скобках формулы A34), на всю плоскость К.
Пока мы говорили о непрерывном ядре. В рассматриваемом случае поляр-
полярного ядра A30) при а < ^- можно показать, что
есть целая функция Я и что решение уравнения можно представить в виде
ь
причем нули D2 (к) суть полюсы R2 (s, t; к). Отметим еще, что все члены в D (к)
и D (s, t\ к), содержащие Аъ получаются только из элементов главной диаго-
диагонали определителей, входящих в формулы для dn и dn (s, t), и что можно полу-
получить D2 (к) и D2 (s, t\ к) по упомянутым формулам, полагая К (s, s) = 0.
Исследование указанного выше случая принадлежит Гильберту. Совершенно
аналогично, если в полярном ядре а таково, что повторные ядра Кп (s> 0
непрерывны при п^т, то резольвенту можно представить в виде
D (s t' №
где Dm+1CK) получается из D(k), если положить А1 = А2 = ... = Ат=0 и
Dm+l(s, t, Х)ш-[К{8, 0 + WC.(s, t)+№3(s,

66	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[22
22. Интеграл Лебега. До сих пор мы рассматривали интег-
интегральные уравнения с непрерывными или полярными ядрами
и искали решения в классе непрерывных функций на конечном
промежутке или в конечной области. При этом везде применялся
интеграл Римана. Прежде чем переходить к теории интегральных
уравнений с интегралом Лебега, мы кратко напомним некоторые
основные факты теории из тома II и несколько дополним ее.
Две непрерывные функции f (х) и g{x), определенные, напри-
например, на некоторой промежутке [а, Ь], или в некоторой области,
считаются совпадающими, если они тождественно равны, т. е.
f(x)=g(x) при всех х из [а, Ь]. В теории Лебега мы ввели поня-
понятие «эквивалентных» функций [II; 104J, а именно две измеримые
функции f (х) и g(x), определенные на некотором измеримом мно-
множестве &, называются эквивалентными на Ш, если f(x)^=g(x)
почти везде на ?, т. е. если мера множества тех х, при которых
f (х)Ф g(x), равна нулю. Нетрудно видеть, что если f(x) эквива-
эквивалентно g(x), a g(x) эквивалентно некоторой измеримой функции
ы(х) на %, то и f(x) эквивалентно со (л:).
Две непрерывные функции f(x) и g(\), не равные в какой-либо
точке х = с, не равны в силу непрерывности и в некотором про-
промежутке, содержащем х=--с, и, следовательно, не эквивалентны
Множество эквивалентных между собой функций образует неко-
некоторый класс D, состоящий из бесчисленного множества функций.
Каждый такой класс может содержать не больше одной непрерыв-
непрерывной функции, но может и не содержать такой функции. В даль-
дальнейшем в теории Лебега знак равенства между двумя функциями
будет соответствовать их эквивалентности. Было доказано, что
эквивалентность f(x) функции, тождественно равной нулю на
[а, Ь], можно выразить равенством
а эквивалентность функций ф (х) и -ф (х) — равенством
ь
при этом, конечно, считается, что функции суммируемы.
Теория Лебега легко переносится и на комплексные функции
Измеримость и суммируемость такой функции сводится к соответ-
соответствующим свойствам fx (x) и f2 (x).

22]	ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА	67
Интеграл определяется равенством:
Из неравенств
следует, что для суммируемости f(x) необходимо и достаточно,
чтобы ее модуль | / (х) \ был суммируемой функцией. Принадлеж-
Принадлежность f(x) к L2 [II; 161] равносильна принадлежности /х и /2
к L2 или, иначе, принадлежности |/(л:)| к L2.
Рассмотрим класс L2 комплексных функций на некотором изме-
измеримом ?. Каждую такую функцию назовем элементом L2 [ср. II;
161, 162]. Эквивалентные функции отождествляются как элементы
L2. Эти элементы можно умножать на произвольные комплексные
постоянные и складывать.
Если при сложении заменить слагаемые эквивалентными им
функциями, то и сумма замениася эквивалентной функцией.
Введем обозначение
A36)
Число (ф, г|)) называется скалярным произведением ф (s) и 1C (s).
Оно обладает следующими очевидными свойствами:
(ар, Л|)) = а?(ф, яр) (с и d — постоянные),
<ф1 + 'ф2) = (фь Ь) f (ф2> ^ЧгСфь Ь) + (Ъ> Ь)
(Ф, ф) = (*. ф).
Если (\|), ф) = (ф, -ф), то (ф, г|))~число вещественное. «Норма»
элемента ф определяется равенством
is.	A38)
Очевидно, что |1ф(|^0, причем знак равенства имеет место только
для нулевого элемента ф, т. е. для функции ф($), равной нулю
почти везде в [а, Ь] (эквивалентной нулю).
Элементы ср и г|> называются ортогональными, если (ф, г|))===:0.
Нулевой элемент ф ортогонален любому элементу. Имеют место
следующие формулы.
и неравенство треугольника
A39)

68	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[22
Если элементы г|5ь г|э2, ..., я|)т попарно ортогональны, то из A37)
получаем теорему Пифагора:
Последовательность элементов ф„ сходится в L2 к элементу ср, если
ь
IIФ — Фя IIя = SI Ф (S) — ФЛ(s) ,я ds — 0 при п->0 A40)
а
(сходимость в среднем). При этом будем писать ф„=>ф. Предел
может быть только один. Если последовательность ф„ имеет пре-
предел, то она сходится в себе, т. е. 1| фт — ц)п ||—*0 при беспредель-
беспредельном возрастании т и я, и наоборот, из сходимости в себе выте-
вытекает существование предела последовательности фл [II; 162].
Это свойство называется обычно полнотой пространства L2.
Если бы мы взяли вместо L2 пространство функций ф(я), непре-
непрерывных на конечном промежутке [а, 6], то мы могли бы повторить
для этого пространства все данные выше определения и свойства,
кроме полноты, т. е. из || фт — ф^ ||—*0 при т и п—*оо не сле-
следует существование предела ф (ь) (непрерывной функции) для
последовательности yn(s) непрерывных функций q)n(s). Но из
существования предела ф„ (s) => ф (s) для последовательности непре-
непрерывных функций к непрерывной функции ф (s) следует сходимость
в себе, т. е. ||<рт — фп||—*0 при т и п—>оо. Это вытекает из
формулы
Фт ~ фя = (фт - ф) + (ф - фя)
и неравенства треугольника
II Фт — Фя || ^ II фт - ф || + || ф - фя ||-
Выражения сф, ф + а|> и (ф, if») непрерывно зависят от числа с
и элементов ср и <ф, т. е. если сп-+с, фл1=е>ф и tfrtzz>i|), то
СпЧ>п=>СЦ)\ Ц)п-\-^п=>Ч>+^у (фя. ^я)—*(ф»
Первое и второе утверждения следуют из равенств
?ф - спцп = (с - ся) ф + ся (ф - фл),
(ф4 Ч>) -(ч>п + %) = (ф — фя
и неравенства треугольника. Третье из утверждений было доказано
в [II; 162]. Из определения нормы A38) следует, что если флг=>ф,
то Иф,|||-Ч1ф||.
Сходимость рядов в L2 есть сходимость в среднем, т. е.
S (*)=!>*(*)	(Н2)

23]	ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ В L2 СИСТЕМЫ	69
равносильно
lim J \S(x)-Sn(x)\*dx = Ot
п-*со &
где
Все функции tik (x) можно заменить эквивалентными. При этом
и функция S(x) заменится эквивалентной. Из (Snf v)—*(S, v),
где v — любая функция из L2, следует, что члены ряда A42) можно
почленно умножать на v (х) и интегрировать почленно, т. е.
\ S (х) v(x)dx=Z\ uk (x) v (x) dx.	A43)
Мы переходим теперь к изложению некоторых дополнительных
сведений об ортонормированных системах в L2. Основы этой тео-
теории изложены в [II; 163].
23. Ортонормированные в L2 системы. Сформулируем сначала
одну теорему, доказательство которой будет дано в гл. III.
Теорема 1. Пусть f (х) — какая-либо функция из L2 на конеч-
конечном промежутке [а, Ь] и г > 0 — какое-либо заданное число. Тогда
существует такая непрерывная на [а, Ь] функция ф(л:), что
ь
-<Р(*)|2^<е-	A44)
Эта теорема имеет место и для ограниченных областей на
плоскости или в пространстве. Ее обычно формулируют так: мно-
множество всех непрерывных функций плотно в L2 в случае ограничен-
ограниченной области.
Мы рассмотрим подробно эту теорему в главе III. Она будет
там доказана на основе свойства непрерывности в среднем функ-
функций из L2, которое формулируется следующим образом: для любой
функции f (х) из L2 при любом заданном е > 0 существует такое
г)>0, что
ъ
f{ + h)f{)*d	при |Л|
При этом полагаем f(x + h) = O, если x + h находится вне проме-
промежутка [а, Ь]. Доказательство этого утверждения дано в т. V.
Сформулируем результат для случая неограниченной области.
В этом случае множество всех непрерывных функций надо заме-
заменить множеством всех непрерывных функций, равных нулю во
всех достаточно удаленных точках прямой, плоскости или прост-
пространства. Например, в случае плоскости рассматриваемые функции

70	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[-°3
должны равняться нулю вне некоторого круга с центром в начале
координат, причем радиус этого круга может быть различным
для различных функций. Такие функции называются обычно фи-
финитными.
Рассмотрим теперь вопрос о замкнутости (полноте) ортонор-
мированных систем функций в L2 на конечном промежутке [а, Ь].
Теорема 2. Если ортонормированная система непрерывных
функций yk(x)(k=ly 2, ...) замкнута в классе непрерывных на
[а, Ь] функций, то она замкнута (полна) и в L2.
Для доказательства используем неравенство треугольника A39),
которое запишем в интегральной форме:
\\	Ф A45)
R \g(x) + h (х) ? dxb ^ \\\g (x) Is dxb +\\\h (x) |Ф ^
т. e.
где g{x) и h (x) — функции из L2 в [a, b].
Пусть задана функция / (x) из L2 и число е > 0. В силу сфор-
сформулированной выше теоремы 1 существует такая непрерывная
функция (р (х), что
ь
$.	A46)
Обозначим через ak коэффициенты Фурье ф (х) относительно орто-
нормированной системы ф^ (*). Так как эта система, по предпо-
предположению, замкнута в классе непрерывных функций, то существу*
ет такое число /г, что
$9W-se(*)iad*<-J'	A47)
а
где
п
M*)=2fl*q>*(*)	(Н8)
и ak — коэффициенты Фурье ф (х).
Заменяя в A45)
и используя A46) и A47), получим
ь

23]	ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ В L2 СИСТЕМЫ	71
Если мы заменим в выражении sn (x) коэффициенты Фурье ak
функции ср (х) на коэффициенты Фурье Ък\
ь
h = $ / (*) Фл (*) dx9
а
то интеграл, стоящий слева, может только уменьшиться, [И; 160],
и следовательно,
\\	A49)
а
где оп (х) — отрезок ряда Фурье f (х):
и в силу произвольности е>0 и выбора f(x) из L2 в [а, Ь]
следует, что ортонормированная система cpfe (x) замкнута, а следо-
следовательно, и полна в L2.
. В томе II была доказана замкнутость соответствующих систем
тригонометрических функций на промежутке [—/, /] или [0, /]
в классе непрерывных функций, а потому упомянутые системы
замкнуты (и полны) и в L2.
Укажем еще одну ортонормированную систему на промежутке
[—1, 1], а именно, систему
±k(x) (? = 0, 1,...),	A50)
где Pk (х) — полиномы Лежандра [1Н2; 105]. Эта система может
быть получена ортогонализацией степеней хт(т — 0, 1,...), и вся-
всякий полином Qn(x) степени п выражается через ц>ь(х)'-
Из теоремы Вейерштрасса [II; 168] следует, что класс всех
полиномов всюду плотен в классе непрерывных функций во вся-
всяком конечном промежутке, в том числе и в [—1, 1], т. е. при
любой заданной непрерывной в промежутке [—1, 1] функции f(x)
и числе е>0 существует такой полином Q(x),- что
причем Q(x) представим по формуле A51), где /г —его степень.
Из сказанного следует
— 1

72	ГЛ I- ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[23
причем интеграл, стоящий слева, может только уменьшиться,
если коэффициенты ak формулы A51) заменить коэффициентами
Фурье функции f(x). Отсюда в виду произвольности 8 следует,
что ортонормированная система A50) замкнута в классе всех
непрерывных в промежутке [—1, 1J функций, а следовательно,
и всех функций из L2. При помощи линейной замены x = at-\-
-f E (а Ф 0) мы можем заменить промежуток [—1, 1] любым
конечным промежутком [а, Ь] подходящим выбором аир. Под-
Подставляя x = at-\-$ в функции A50) и умножая их на а~^-, полу-
получим ортонормированную систему в промежутке [а, Ь], замкнутую
в L2. В дальнейшем мы докажем замкнутость функций Эрмита
и Лагерра на промежутках (— оо, + оо) и @, оо).
До сих пор мы рассматривали ортонормированные системы
на конечных промежутках оси X. Рассмотрим теперь квадрат k0
на плоскости, определяемый неравенствами: a^x^b, a^y^b.
Докажем следующую теорему.
Теорема 3. Если q>k(x) (k = 0y I,...) — ортонормированная
замкнутая в L2 система в промежутке [а, Ь], то (uk,i(x, у) =
= 4>k (х) ф/ (у) (&, / = 0, 1,...) — ортонормированная замкнутая
в L2 система в квадрате k{).
Приведем краткое доказательство результата. Мы имеем [II; ПО]
,,			К 	г* 	 1
\ \ и>т п (х> У)®ти пх {х, у) dx dy = \ фш (х) ц)т1 (х) \ ф„ (у) фл (у) dy dx,
*0	«	L«	J
и написанный интеграл равен единице при m = mlf п = пги нулю
в остальных случаях в силу ортонормированности системы <рт(х).
Далее в силу эквивалентности замкнутости и полноты нам надо
доказать следующее: если / (х, у) принадлежит L2 в k0 и
-0 (т, п = 0, 1,...), A52)
то / (x, у) почти везде в k0 равна нулю. Обозначим:
ь
Рт(у) = \[(ху y)ym(x)dx.
а
Из A52) следует
ъ
t, У)<йт.п(х,
и в силу полноты системы фл (у) можно утверждать, что Fm (у) = 0
почти везде в [а, Ь\\ зафиксировав такое у> получим
ъ
\f(x, y)q>m{x)dx = 0.

24]	ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В L2	73
В силу полноты фт(х), f (х, у) = О почти везде по х при указан-
указанных фиксированных у. Применяя теорему Фубини к интегралу
по k0 от | / (х, у) |2, получим в силу сказанного выше, что этот
интеграл равен нулю, т. е. / (х, */) = О почти везде в k0, что и
требовалось доказать.
24. Линейные ограниченные операторы в L2. Систематическое
изучение теории линейных операторов будет проведено в томе V.
Здесь мы вкратце остановимся на простейших свойствах таких
операторов.
Рассмотрим интегральный оператор
ь
v(s) = \K(s, t)u(t)dtt	A53)
а
считая пока для простоты ядро непрерывным. В [4] было дока-
доказано, что оператор A53) преобразует любую функцию u(t) из
класса L2 в непрерывную функцию v(s). Эту последнюю можно
также рассматривать как элемент пространства L2. Таким образом,
интегральный оператор A53) сопоставляет функции из 1^ функ-
функцию, также принадлежащую L2 или, как говорят, является опера-
оператором в L2. Связь между и и v условимся кратко записывать
в виде v = Ku.
Оператор A53) обладает свойством линейности:
К (сгпх + с2и2) = CiKtix + с2Ки2 {съ с2 — постоянные).
Выведем еще одно важное свойство оператора /С. Обозначим
через М наибольшее значение функции |/C(s, t)\ в квадрате k0.
Оценивая* подынтегральное выражение в A53), а затем применяя
неравенство Буняковского, находим
ь		 гь
|v(s) |<М \ 1 • |и@ |dt<М Vb-a Л/ \\u{t)\2dt.
а	V а
Возводя в квадрат и интегрируя, получаем
ъ	ь
\\v(s)|2ds ^М2(Ь-а)*\\и(t)i2dt9
a	a
ИЛИ
Таким образом, мы доказали неравенство
\\Ки\\^С\\и\\,	A54)
где С = М(Ь — а). Любой линейный оператор, для которого, при
некоторой постоянной С^О, выполнено неравенство A54),

74	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[24
называется ограниченным. В [25] будет указано более слабое, чем
непрерывность ядра, условие ограниченности интегрального опе-
оператора вида A53). Заметим, что не всякий линейный ограничен-
ограниченный оператор в L2 является интегральным. Примером может слу-
служить тождественный оператор, действующий по формуле Ки — и.
В неравенстве A54) число С, очевидно, можно заменить на
любое большее. Определим'наименьшее возможное значение С,
для данного оператора К". Пусть мы имеем
||/Си||<С при И=1.	A55)
Если ||иJ>0, то норма элемента и/\\и\\ равна единице и, следова-
следовательно,
с те
и мы получаем неравенство A54), т. е., неравенства A54) и A55)
эквивалентны. Множество неотрицательных чисел Ц/СиЦ при ||м||=1
имеет точную верхнюю границу, которая в силу A55) и является
наименьшим возможным значением С. Она обозначается пк или
|| К | и называется нормой оператора К'.
пк = \\К\\^ sup \\Ku\\.	A56)
Для оператора A53) с непрерывным ядром
Если ||/С|| = 0, то оператор К превращает любой элемент из L2
в нулевой элемент (оператор аннулирования). Норма тождествен-
тождественного оператора (Ки — и), очевидно, равна единице.
Всякий линейный ограниченный оператор К непрерывен, т. е.
для любой последовательности элементов ц>п z=> ф будет /Сф„ = /С
В самом деле,
Линейные ограниченные операторы можно складывать и умно-
умножать:
причем произведение зависит, вообще говоря, от порядка сомножи-
сомножителей. Нетрудно проверить, что
При возведении в целую положительную степень имеем
II Кт К || К \\т.

25]	ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЯДРОМ ИЗ L2	75
25. Интегральное уравнение с ядром из L2. Рассмотрим инте-
интегральное уравнение
t,	A57)
а
где (а, &) —конечный или бесконечный промежуток, f(s) из L2
в (a, b), K(s, ^ — измеримая функция в квадрате k09 и суще-
существует интеграл
ъь
P2 = $$j/C(s, t)fdsdt<oo.	A58)
а а
Решение ф (s) ищем также в L2.
Предварительно исследуем свойства оператора вида A53)
с ядром, удовлетворяющим условию A58). Ядро К (s, t) no t
(по s) принадлежит L2 в (ау Ь) при почти всех s (при почти всех t).
Интеграл A53), следовательно, существует при любой u(t) из L2
и определяет измеримую функцию v (s) на (а, Ь). Это замечание
будет доказано в томе V при доказательстве теоремы Фубини.
Интегрируя по s и применяя неравенство Буняковского,
получим
ь	ь
или
\\Ku\\^P\\ul Ц/СЦ^Л	A59)
где Р определяется формулой A58) Таким образом, интегральный
оператор К вида A53) с ядром из L2 является линейным ограни-
ограниченным оператором в L2 на (а, Ь). Заметим, что промежуток (а7 Ь)
может быть и бесконечным.
Вернемся к исследованию уравнения A57). Интеграл A58)
согласно теореме Фубини [II; ПО] сводится к двум последова-
последовательным квадратурам:
ъ	ъ
а	а
где
/Ь	\1/2
и имеется оценка [б]:
I Kn,i (s, t) | <Q (s) J? @ P*-i (л = 1, 2,.. .)•
Составим ряд
A60)

76	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[26
Обозначая через Sn сумму первых п его членов, получим
IS -S |а -:О2(з) /?2It) РП~Х' Я\я
откуда
pn-l I > |я	Рп+р-1
и при | Я | <: Р правая часть-> 0 при п->оо и любом р>0,
т. е. последовательность Sn сходится в себе в L2. Мы можем,
следовательно, утверждать, что ряд сходится в L2 на k0 к неко-
некоторой функции R (s, /; X), которая по s и t принадлежит L2 [II; 162]
/? E, *;*)=!] /Ся+1 (s, О я» (| я |< я-*), A61)
причем /? (s, /; Я) принадлежит L2 в [а, &] по / при почти всех s
из [а, Ь] [II; 110, 111]. Совершенно так же, как и выше [Б],
можно показать, что при | Я | <I -P уравнение A57) имеет реше-
решение из L2, представимое формулой
<p(s) = f(s) + X$tf(s, f; X)f{t)dt.	A62)
а
Пользуясь неравенством Буняковского, легко показать, что инте-
интеграл, стоящий в правой части, имеет смысл при любой / (t) из L2
и определяет функцию от s также из L2.
Покажем, что при условии |>,|•<Р, т. е. |Я|Р<1, уравне-
уравнение A57) имеет единственное решение. Пусть имеются два реше-
решения, ф = /: + Я/(ф и ср = / + М(ср, откуда
Принимая во внимание, что ||Щ||^ЯР< 1, получаем
откуда следует, что ф — <р эквивалентна нулю.
26. Сопряженное уравнение. Часто вместо союзного уравнения
рассматривают сопряженное уравнение. Уравнением, союзным
с уравнением
Ц	/)<р(*)Я,	A63)
а
мы называли уравнение

26]	СОПРЯЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ	77
а сопряженным с уравнением A63) будем называть уравнение
вида
Ъ(з)=В(з) + Ц1ПГ§Ъ®М-	064)
а
Для «сопряженного ядра» обычно вводится обозначение:
K*(s, t) = K(t, s)
а для соответствующего сопряженного оператора:
ь
v{s) = K*u(f) = lK*(s, t)u(t)dt.
а
Определители, входящие в числитель и знаменатель резольвенты
для сопряженного ядра, будут иметь вид
У^
:::
Уп
)-
Сопряженное ядро удовлетворяет,
ь ь
аа
с тем же значением
R*
Р
@
и
ь
а
Ь
= $1
к*
(S,
очевидно,
0 2dsdt<
t)?ds = Q
Уп\
... xnj
условию
оо
Все рассуждения из [9] сохраняются.
Имеет место соотношение
или, в раскрытом виде,
ЬгЪ	~\		ьГь		1
5 К /С (s, t)<t>(t)dt\q>(s)ds = u\K(t, s)y(t)dt\<p(s)ds.
а\_а	J	a la	J
Проверяется оно заменой порядка интегрирования (теорема Фубини).
Сопряженный оператор, очевидно, линеен и ограничен. Нетрудно
показать, что
¦=/сг

78	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Докажем последнее равенство:
(KXK2)* = \)Ki (s, т) Кг (т, 0 <
b
Из последней формулы следует:
Для резольвенты ядра К* (s, t) имеем формулу
R*(s, t; l)= 2^*+i(s. 0^я,
где
/Cf(s, 0 = K*(s, 0; KS+i(s, 0 = (K*)"+1.
и для решения уравнения A64) имеем
* (s) = g (s) + X $ /?* (s, /; Я) g (/) Л.	A66)
а
27. Вырожденное ядро. Рассмотрим вырожденное ядро
где рЛ (s) и ok (t) из L2. Ему соответствует конечномерный опе-
оператор
v (s) = Kiu @ = 2 (".
Сопряженное ядро
Л=1
и соответствующий конечномерный оператор
п
Уравнение
Ф (s) = f (s) + X \ Ki (s, /) ф (/) dt	A69)

27]
принимает вид
ВЫРОЖДЕННОЕ ЯДРО
79
Ф (s) = / (s) + Я 2 (ф> ст,) Рл (s)	A70)
и неизвестные xk = (ф, aft) определяются из системы уравнений
i=U 2, .... ft),
A71)
где aik = (pkf G() и fi = (f, Gt). Определитель этой системы
имеет вид
— Хпц — Хап ... — Я#1
A72)
	 /Шяо ... 1 — Лип
Для сопряженного уравнения
решение имеет вид
V(s) = i
>, 9k)ok{s)
A73)
A74)
и неизвестные ук — (§, р*) определяются из системы уравнений
--gi (/=1, 2, ...,«),	A75)
где bik = (Gky pi)-^aki и gi = (g, p,-). Определитель Do (X) системы
A75) получается из определителя D(^) заменой Л на Я, а^ на аЛЬ
т. е. заменой строк столбцами наряду с заменой всех элементов
сопряженными. Отсюда следует, что однородные уравнения
= 0 и
A76)
имеют одинаковые корни, причем ранг обоих определителей при
каждом общем корне одинаков, и, следовательно, каждое из
уравнений имеет одинаковое число линейно-независимых решений
при одинаковых корнях. Иначе говоря, уравнения A69) и A73)
имеют одинаковые характеристические значения и одинаковое чи-
число соответствующих линейно-независимых собственных функ-
функций. Уравнения A76) могут не иметь ни одного корня (когда
?>(Я) = const Ф0).

80	ГЛ. I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[28
28. Решение уравнения с ядром из L2 при любом К. Рассмот-
Рассмотрим уравнение
ь
<P(s) = /(s) + M*(sf t)<p(t)dt9	A77)
а
где f (s) eL2B [а, 6] и К (s, 0 е L2 в &0. Пусть со* (s) (^ = 1, 2, ...) —
какая-либо замкнутая ортонормированная система в [а, Ь]. При
этом (dk(s)(Oi(t) (k, 1 = 1, 2, ...) будет замкнутой ортонормирован-
ной системой в kQ. Для простоты письма считаем функции со^ (s)
вещественными. Мы имеезй
k(s, о= 2 6«<Ms)<o,(o,	(I78)
где ^/ — коэффициенты Фурье K(s, t) относительно системы
M)M0
M)
Ряд A78) сходится в среднем, что равносильно уравнению
замкнутости:
]\\K{s, t)\*dsdt= |] | bktl \\	A79)
a a	k, / = 1	»
"Разобьем ряд A78) на две части:
к (s, /) = 21 **.^* Ф ^^ (^; г (^ о = 2 **.I®* («) ©I @.
Суммирование во второй сумме производится по таким парам (k, /),
что по крайней мере одно из этих чисел >п. Соответственно
имеем
К E, t) = K'(s, t) + K"(s, t),	A80)
\\\К'(8, t)\*dsdt= J] |6Л§||«;
аа	fe, i = l
JJ|K'(s, t)?dsdt= 2 IV/I2.
а а »	А или 1>п
Пусть 8 >0 —любое заданное малое число. Можно фиксировать
п таким, что имеет место неравенство
ьь
J$|K*(s, t)\2dsdt^e*.	A81)
Таким образом, ядро /С (s, t) разбито на два слагаемых, из кото-
которых одно /C(s,' t) — вырожденное, а другое, K"(s» 0» — малое

28]	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ ИЗ L, ПРИ ЛЮБОМ %	81
в смысле неравенства A81). Можно переписать основное интег-
интегральное уравнение в виде
ь
Ф (s) = Фо (s) + Я \ К" (s, t) ф (О Л,	A82)
где
Фо (SJ = /
Считая IЯ | •< е, можем выразить согласно A82) cp(s) через
резольвенту ядра Ks, f) и <po(s):
ь
Подставляя вместо (po(s) его выражение A83), получим
b	b
R"(st t\ X)f(t)dt +
a
brb	-,
т; к) К! (т, t) dx ф i
J
или, принимая во внимание вид К' (s, f),
b n
Ф (S) = / (s, X) + X § 2 9k (s, X) со* (t) ф (t) dt,	A84)
где
](s, X)=f(s) + X\Rff(si t\ X)f(t)dt,	A85)
a
n	r	b	ч
pk(st Jt)=2] ^w|com (s) + ^^'(s» T» ^^mWdxl A86)
m = \	\	a	)
Функции / (s, ^) и pfe (s, Я) регулярны в круге de: \ X \ < e, где
e>0 можно фиксировать произвольно малым. Уравнение A84)
есть уравнение с вырожденным ядром и его решение можно свести
к алгебраической задаче, как это мы делали в [27]. Определи-
Определитель D(X) (ср. [27]) для уравнения A82) будет зависеть от X как
через посредство множителя при интеграле, так и через посред-
посредство X, входящего в р^ (s, X). Этот определитель есть регуляр-
регулярная функция от Я в d8, и всякий корень его в dQ есть характе-
характеристическое значение уравнения A85), и других характеристи-
характеристических значений в de нет.
Отметим, что из свойств резольвенты следует, что уравнение
A84) для ф(я) равносильно исходному уравнению A77) в круге d6.

82	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ	[28
Отметим еще, что в силу определения резольвенты уравнение
A85) равносильно уравнению
ь
f(s) = J(s; X)-X\K"(s9 t)f(t; X)dt.	A87)
a
Из этого уравнения и A85) следует, что / (s) и ] (s; X) лишь
одновременно могут равняться нулю в d& т. е. характеристиче-
характеристические значения уравнений A85) и^A87) совпадают в d&, что вы-
вытекает и из их равносильности в этом круге.
Для сопряженного уравнения
ъ
^ (s) = g (s) + X $ К* (s, 0 г|) (/) dt	A88)
а
имеем
K*(s, t) = K'*(s, t) + K"*(s, t),
где
/<'*(s, t)= J] б^соП^о)^/); Г*E, 0= 2 S^
^, / = 1	k или
и, рассуждая как и выше, получим для i|)(s) уравнение с вырож-
вырожденным ядром
_ Ь п
ф (s) - g (s, A,) +X $ 2 *>* (s) Р^ (^ ^) + W ^'
сопряженным с ядром уравнения A84), и следовательно, можем
утверждать, что уравнения A84) и A87) имеют одинаковые харак-
характеристические значения одного и того же ранга в круге > А, | -< е".
Конечность ранга т0 любого характеристического значения Хо сле-
ъ ъ
дует из неравенства /п0 ^ Х[} ^ ^ j/C (s, /) |2 ds df. Остается еще рассмо-
а а
треть условия разрешимости неоднородного уравнения, если X —
характеристическое значение. Именно, необходимым и достаточным
условием разрешимости уравнения
является ортогональность f (s) ко всем собственным функциям
однородного сопряженного уравнения:
*(&¦) = я 5/с*
т. е.

29]	ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ В L2 ОПЕРАТОРЫ	83
В [10] содержится доказательство этого факта для непрерывных
ядер. Оно сохраняется и для ядер из L2y если заменить союзное
ядро на сопряженное и внести соответствующие несущественные
изменения в доказательство.
Таким образом, для ядер из L2 в k0 и свободных членов из
L2 в [а, Ь] мы получаем следующие основные теоремы Фредгольма:
Теорема 1. Во всякой ограниченной части плоскости X может
находиться лишь конечное число характеристических значений X
уравнения A77) и каждое из них имеет лишь конечный ранг.
Теорема 2. Если X не есть характеристическое значение, то
уравнение A77) разрешимо при любом свободном члене f (s) и имеет
единственное решение.
Теорема 3. Если X — характеристическое значение уравне-
уравнения A77), то X — характеристическое значение уравнения A88), и
оно имеет тот же ранг, что и X. Других характеристических зна-
значений уравнение A88) не имеет.
Теорема 4. Если X — характеристическое значение уравнения,
то необходимым и достаточным условием его разрешимости является
ортогональность f (s) ко всем собственным функциям ураьнения
A88), соответствующим характеристическому значению X. Если~
это ^условие выполнено, то уравнение A87) имеет бесчисленное мно-
множество решений.
Отметим, что в последнем случае теоремы 4 решение уравне-
уравнения есть сумма какого-либо частного решения этого уравнения
Фо(#), сложенного с суммой какого-либо полного набора соответ-
соответствующих собственных функций, умноженных на произвольные
постоянные. Число собственных функций, входящих в упомянутый
набор, равно рангу т характеристического значения X:
Ф 00 = Фо (s) + Cicp! (s) + С2ф2 (s) +... + Cmcpm (s).
Распространение аппарата Фредгольма на случай ядер из L2
было проведено в работах Карлемана (Math. Annalen Bd.9 Heft
3/4, 1921 г.) и С. Г. Михлина (Доклады Академии наук СССР,
т. XXII, № 9, 1944 г.).
Отметим в заключение, что полярные ядра при а<[-н есть
ядра из L2.
29. Вполне непрерывные в L2 операторы. Вполне непрерыв-
непрерывным в L2 оператором называется такой оператор v = Ku в L2,
который преобразует каждое ограниченное в L2 множество и (t)
ь
\ \ и (t) fdt^C2 (С > 0 - постоянная)

84	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[29
в компактное множество, т. е. такое множество функций v (s) из
12, что во всякой последовательности этих функций существует
сходящаяся в L2 подпоследовательность. Цель настоящего пункта
доказать следующую теорему.
Теорема. Интегральный оператор с ядром K(s, /) из L2(k0)
есть вполне непрерывный оператор в L2.
Предварительно будет доказана
Лемма 1. Если Вп(п=1, 2, ...) — бесконечная последователь-
последовательность линейных ограниченных и вполне непрерывных операторов
в L2 и В —такой линейный ограниченный оператор в L2, что
норма разности В — Вп стремится к нулю при п->со, то и
В —вполне непрерывный оператор.
Пусть хп (/1=1, 2, ...) — бесконечная последовательность эле-
элементов из ограниченного множества в L2, т. е. ||хя||^С при
всех п. Нам надо доказать, что из последовательности Вхп
можно выбрать сходящуюся в L2 подпоследовательность. Поскольку
Вг — вполне непрерывный оператор, из последовательности Вххп
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть xk i
(k=l, 2, ...) —такая подпоследовательность xnt что последова-
последовательность B1xkil сходится. Поскольку В2 — вполне непрерывный
оператор, из последовательности B2xkfl можно выбрать сходя-
сходящуюся подпоследовательность. Пусть xkt2 (k=l, 2, ...) —такая
подпоследовательность последовательности xkI, что последова-
последовательность B2xk,2 сходится. Из того, что xkt2 есть подпоследова-
подпоследовательность для xktl, следует, что и B1xkf2 — сходящаяся последова-
последовательность. Совершенно так же из последовательности xkt2 можно
выбрать такую подпоследовательность xk>3, что Втхкл при т=1,
2, 3 будут сходящиеся подпоследовательности. Продолжая так и
дальше, получим последовательности xk> р (р = 1, 2, ...; k = 1, 2, ...).
Возьмем теперь диагональную последовательность (ср. [15])
•^11» -^2,2» -^3,3> •••
Это есть подпоследовательность для начальной последователь-
последовательности хп (л=1, 2, ...), и последовательность Bmxktk (&=1, 2, ...)
есть сходящаяся последовательность при любом т. Остается
доказать, что последовательность Bxktk (&=1, 2, ...) также схо-
сходится. Как мы знаем [II; 162], достаточно доказать, что эта
последовательность сходится в себе, т. е. при любом заданном
е>0 существует такое N, что
IBXp.p-BXq.gl^E, pvq^N.	A90)
По условию норма разности операторов B — Bt стремится к нулю
при /->оо, т. е. || В —В/||-> 0 при /-*оо.
Применяя теорему 4 из [II; 161], можем написать неравенство:
|| + | Btxqt q - Bxqt q \\.

29]	ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ В U ОПЕРАТОРЫ	85
Сначала фиксируем такое /, что имеет место неравенство
При этом имеем
\\BxPtP- BtXp.p^
[ВВ1Су и
Далее, поскольку последовательность Bixktk (&=1, 2, ..^схо-
..^сходится, существует такое N, что
|BtXp,р-Btxqtq\<*\ при р и q^N9
откуда и следует A90), что и требовалось доказать.
Лемма 2. Всякий конечномерный оператор вполне непрерывен.
Конечномерный оператор имеет вид [27]
т
Lu = 2 (и, <**) Р* (*),
где функции p^(s), ak(f), u(t) из L2 в [а, Ь]. Рассмотрим огра-
ограниченную последовательность ип (/2=1, 2, ...) из L2, т. е. |ия||^С.
Пусть D — наибольшая из норм ||а*|]. Мы можем написать так:
т
vn (s) = Lun= 2 d*> nPk (s) (dk, я = (ил, а^)).
Из сказанного непосредственно следует оценка \dkjfl\ = \ (uni ak) \ ^
^CD. Каждая из бесконечных последовательностей чисел dktn
(n=l, 2, ...) есть по доказанному ограниченная последователь-
последовательность и, следовательно, имеется такая последовательность знач-
значков пъ п2, ..., что и каждая из последовательностей d*|/llf
dk,n2, ... имеет предел. Обозначим эти пределы:
limdktni-* dk при щ->оо
и пусть иЛ/ @ — соответствующие этим ^,Л/ функции u(s). Введем
функцию из L2
Применяя теорему 4 из [II, 161], получим
!т	11 m
Где с0 —наибольшая из норм ||р*||. Из написанного неравенства
следует, что |yo(s) — ^(s)|-^0 при п^->оо, ч. и т. д.

86	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	ГЗО
Обратимся теперь к доказательству основной теоремы. Мы
видели, что если ядро K(s, t) из L2, то его можно представить
в виде
K(s, t)-=K!(s, t) + K2(s, t)9
где Ki (s, t) — вырожденное ядро и
ьь
S5|Ka(s, t)?dsdt^E\	A91)
a a
где е >0 —любое малое число. Ядру Ki(s, t) соответствует
вырожденный, т. е. конечномерный оператор, a K2(s, t) соответ-
соответствует оператор, норма которого в силу A91) и A59) не превы-
превышает е. Фиксируя последовательность чисел 8л>0, стремящуюся
к нулю, получаем последовательность конечномерных операторов,
соответствующих ядру K^n)(s, /), причем | /( — /((ел)|->.о. Отсюда
следует, что интегральный оператор, соответствующий ядру K{s, /),
вполне непрерывен, ч. и т. д.
Из лемм 1 и 2 следует, что если для любого 8 > 0 линейный
оператор К может быть представлен в виде суммы двух линей-
линейных операторов Ki,e и К2,е> из которых Ki, e — конечномерный,
а /<2,Е имеет норму, не превосходящую 8, то К является вполне
непрерывным оператором. Оказывается, верно и обратное пред-
предложение: любой вполне непрерывный оператор К допускает такое
представление для произвольного е>0, или, что то же, может
быть приближен конечномерными операторами /A)8 в операторной
норме. Это доказывается в п. 13 V тома. Это так не только
в пространстве L2, но и в любом гильбертовом пространстве Н
(имеются ввиду полные сепарабельные пространства Н —
см. п. 121 тома V).
Из доказательств теорем Фредгольма. данных в п. 28, видно,
что они справедливы для операторных уравнений
в произвольном (комплексном) гильбертовом пространстве Я, если
К является линейным вполне непрерывным оператором в Н.
30. Симметричное ядро. Комплексное ядро К (s, t) называется
симметричным или эрмитовым, если
/C*(s, /) = /((/, s) = K(s9 t).	A92)
ледует, что К (s, s) вещественно.	В случае
;енство A92) сводится к
Kit, s) = K(s, t).	A93)
Из этого определения следует, что К (s, s) вещественно. В случае
вещественного ядра равенство A92) сводится к

30]	СИММЕТРИЧНОЕ ЯДРО	°/
Интегральный оператор /Сф с симметричным ядром удовлетво-
удовлетворяет соотношению
(/Сф, if) = (ф, К^р)	A94)
или, в раскрытом виде,
ЬГЬ	1	Ь	р	1
S K/C(s, 0 Ф (/) Л Ы) (s) ds = ^ ф E) К /С (/, s)^(t)dt\ds9
a La	J	a	La	|
которое легко проверяется изменением порядка интегрирования.
В частности,
Р. Ф) = (ф>
откуда видно, что (/Сф, ф) —- число вещественное.
Интегральные операторы с симметричным ядром обычно назы-
называются самосопряженными. Для них характерно соотношение A94).
В дальнейшем до п° [46] мы рассматриваем интегральные урав-
уравнения с симметричным ядром, не оговаривая этого, и для про-
простоты письма считаем п = 1. В многомерном случае рассуждения
такие же. Сначала установим два свойства рассматриваемых опера-
операторов. Пусть ^ — характеристическое значение и ф0 (s) — соответст-
соответствующая собственная функция, так что Фо = ^оКфо> откуда (q;0, фо)> =
МКф0, Фо) или
и, следовательно, всякое характеристическое значение вещественно.
Пусть А,! и д> —два различных характеристических значения,
а фх (s) и ф2 (s) — соответствующие собственные функции:
Ф1 = ^i/Сфь Фа = Яг/Сфг-	A95)
Из первого уравнения следует
ф>) или ^(фь ф2) = (фь
Используя второе из уравнений A95), получим
(ф Ф) (ф /Сф)
?з	Я1ь Фг),
откуда
и в силу Хх Ф Х2 имеем (фь ф2)=^-0, т. е. собственные функции,
соответствующие различным характеристическим значениям, вза-
взаимно ортогональны.

88	'ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[30
Как мы раньше упоминали [4], можно считать, что собствен-
собственные функции, соответствующие одному и тому же характеристи-
характеристическому значению, ортонормированы.
Принимая во внимание доказанное выше, мы видим, что мно-
множество всех собственных функций образуют ортонормированную
систему.
Выше мы приводили пример интегрального уравнения с не сим-
симметричным ядром, которое не имеет ни одного характеристического
значения. Для симметричных ядер этого не может быть, т. е. имеет
место следующая основная теорема.
Теорема 1. Всякое интегральное уравнение с симметричным
ядром имеет характеристические значения {может быть и только
одно).
Эту теорему мы докажем позже.
Мы доказали раньше, что характеристические значения (в дан-
данном случае вещественные) имеют все конечный ранг, и число их на
любом конечном промежутке конечно.
Отсюда следует, что если их бесчисленное множество, то они
сгущаются на бесконечности, и их можно расположить в порядке
неубывания абсолютных значений, т. е. имеем
...	A96)
и соответствующую ортонормированную систему собственных функ-
функций
<Pi(s), Ф2ОО, ФзОО, ...	A97)
Очевидно, что и система
фГЩ, фЛ^ ...	A98)
ортонормирована. Если ядро вещественно, то и собственные функ-
функции A97) можно считать вещественными, и система A98) совпа-
совпадает с A97).
Система A97) называется обычно системой собственных функ-
функций ядра K(s, f) или соответствующего ему интегрального урав-
уравнения.
Для собственных функций имеем
ь
откуда видно, что левую часть можно рассматривать как коэф-
коэффициент Фурье K(s, t)y как функции от t, относительно системы
A98). Неравенство Бесселя дает
ь
K{s, t)?dt.	A99)

31]	РАЗЛОЖЕНИЕ ЯДРА ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ
Интегрируя по s, получим
jHjj \\K(s, f)?dtds,
k = \ k	a a
и, переходя к пределу, если число характеристических значений
бесконечно,
со	Ь Ь
^\ \\K(s, ty?dsdt.
k
Всякое характеристическое значение встречается в последователь-
последовательности A96) число раз, равное его рангу. Знак равенства | Xk \ = \ Хк+1 \
будет иметь место, если K+i = K (ранг > 1), или если Xk+1 =
= — Kk. При бесконечности последовательности A96) |^|
при &->оо.
Если мы рассмотрим вырожденное симметричное ядро
КE, 0=2>*(s)M0,	B00)
k=\
то, как и в [27], докажем, что оно имеет конечное число характе-
характеристических значений. Дальше мы покажем, что если ядро не вы-
вырожденное, то интегральное уравнение имеет бесчисленное множе-
множество характеристических значений.
Все сказанное имеет место для ядер рассмотренных выше типов:
непрерывных и полярных ядер на конечном промежутке и ядер
из L2 на конечном или бесконечном промежутке. В первых двух
случаях собственные функции непрерывны, а для ядер из L2 они
также из L2.
31. Разложение ядра по собственным функциям. Система A97)
может и не быть замкнутой. Поэтому при разложении какой-либо
функции в ряд Фурье по q>k (s) даже при равномерной сходимости
ряда нельзя утверждать, что сумма ряда равна разлагаемой функ-
функции. Начнем с образования ряда Фурье для ядра.
Мы видели, что коэффициенты Фурье ядра относительно си-
системы A98) равны отношениям cp*(s)Aa, и ряд Фурье ядра имеет
вид
^ 1^0	B01)
причем суммирование ведется по k или до бесконечности или до
конечного числа, равного числу всех собственных функций си-
системы фл (s).

90	рЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[31
Отметим, что ряд B01) можно рассматривать как ряд Фурье
/<(s, /), определенной в kih по функциям <рл (s) Ф/ (/) (k, /=1,
2, ...), которые образуют в &0 ортонормированную систему [23J.
При этом
		, ?		@ при &^/,
Теорема 1. Если ядро непрерывно и ряд B01) сходится рав-
равномерно в k0, та его сумма равна ядру в k0, т. е.
K(s, t)= 7 »'kwkv> .	B02)
k
Считая пока, что число характеристических значений беско-
бесконечно, рассмотрим разность
со (S, 0 = ^(s>0_2^f^,	B02,)
являющуюся непрерывной симметричной функцией в квадрате k0.
Если фиксировать s и рассматривать со (s, /) как функцию от t
на промежутке [^ 6], то ее коэффициенты Фурье относительно
системы функций ф^ (t) равны нулю [3]:
Jcd(s, 0фй*)Л = 0 (Л=1,2, ...).	B03)
Нам надо доказать, что со (s, /) тождественно равна нулю
в квадрате k0. Будем доказывать это от обратного.
Положим, что функция со (s, /) не обращается тождественно
в нуль в квадрате ko> и примем ее за ядро интегрального уравне-
уравнения
ь
В силу основной теоремы, сформулированной в предыдущем пара-
параграфе, это интегральное уравнение должно иметь по крайней мере
одно характеристическое значение Яо, которому соответствует не-
некоторая собственная функция %(s), не равная тождественно нулю:
*о(s) = Яо $ со (s, t)%(t)dt.	B04)
а
Покажем, что эта функция ij?o (s) должна быть ортогональна
ко всем собственным функциям ф/г (s) ядра /((s, /). Действительно,

31]	РАЗЛОЖЕНИЕ ЯДРА ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ	91
умножая обе части B03) на V|50(s) и интегрируя по s, получим
ЪЬ	j
В силу B04) и симметрии со (s, f) мы имеем отсюда
$Ы0фЛ0^ = 0 (ft=l, 2,...).	B05)
а
Мы можем переписать равенство B04) в виде
(s, 0-2
2
Принимая во внимание равномерную сходимость ряда B01)
и формулы B05), получим
т. е. функция i|H(s) должна быть собственной функцией первона-
первоначального ядра K(s, t). Следовательно, она должна быть линейной
комбинацией собственных функций ср* (s), соответствующих характе-
характеристическому значению Ко. Но этого не может быть, поскольку i|H(s)
и все q>k(s) образуют ортогональную систему, а ортогональные
функции не могут быть линейно зависимы [3]. Это противоречие
показывает, что наше предположение co(s, /)^0 неверно, и сле-
следовательно, имеет место формула B02). В дальнейшем мы пока-
покажем, что ряд B01) сходится равномерно в k09 если числа Xk одного
знака, кроме, может быть, их конечного числа.
Положим теперь, что ядро непрерывно или слабо полярно или
из L2, и образуем его ряд Фурье в k0:
(t)
Как всякий ряд Фурье функции из L2, он сходится в среднем,
и мы можем говорить об его сумме в k0. Составим разность B02х),
принадлежащую L2 в kOi и будем рассуждать дальше так же, как
и выше. При этом надо принять во внимание, что ряд, сходя-
сходящийся в среднем, можно умножать на функцию из L2 и почленно
интегрировать. Окончательно мы придем к тому, что (o(s, /) = 0
(эквивалентна нулю)., Таким образом, мы имеем такую теорему:
Теорема 2. Для непрерывных, слабо полярных ядер и ядер
из L2 ряд B01) сходится в среднем в k0 и его сумма равна ядру.

92	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[32
Из сходимости в среднем следует уравнение замкнутости
ь ь
k
Можно было бы доказать сначала теорему 2 и получить теорему 1,
как ее непосредственное следствие.
Нетрудно видеть, что непрерывные и слабо полярные ядра
суть также ядра из L2.
Если ядро имеет конечное число характеристических значений,
то ряд B01) содержит конечное число слагаемых, и имеет место ра-
равенство
т
K{Sf t)=2 y*(sjJ»@.	B07)
k=\
Эта формула показывает, что К (s, t) есть вырожденное ядро, если
оно имеет конечное число характеристических значений. С другой
стороны, раньше мы показали [27], что всякое вырожденное ядро
имеет конечное число характеристических значений.
Таким образом, конечность числа характеристических значений
является необходимым и достаточным условием вырожденности
симметричного ядра.
32. Функции, представимые через ядро. Ортонормированная
система (pfe(s) ядра может, конечно, не быть замкнутой и ряд
Фурье какой-либо функции F(s) по этой системе, даже если он
равномерно сходится, может иметь сумму, отличную от F(s).
Выше мы видели, что для ядра из равномерной сходимости ряда
B01) следует, что его сумма равна ядру. Это естественно приво-
приводит к определению некоторого класса функций:
Определение. Функция f(s) называется функцией, пред-
ставимой через ядро, если ее можно представить в виде
f(s) = ]K(s, t)h(t)dt.
а
Если ядро непрерывно или слабо полярно на конечном проме-
промежутке, то будем считать h(f) непрерывной, и при этом f (s) есть
также непрерывная функция. Если ядро из L2, то и h(t) будем
считать из L2. При этом и f (s) из L2. Определим коэффициенты
Фурье f(s):
а а
С
\\
К(
[\
S,
К
о/
(t,
s)qk
(s)
)ds
ds\
h{t)dt-
b
С Ф^ @ " @
a
dt,

32]
т. е.
ФУНКЦИИ, ПРЕДСТАВИМЫЕ ЧЕРЕЗ ЯДРО
.**
93
где йа — коэффициенты Фурье h(t) относительно системы
Таким образом, ряд Фурье f(s) имеет вид
2 *><*>•
B08)
B09)
Будем считать число собственных функций бесконечным. Приме-
Применяя неравенство Коши, получим
п-\-р
ккЦ& ^[ у \hk*\*\ у |Ж*™П*.	B10)
B11)
k = n
Положим, что ядро удовлетворяет условию
ъ
где С2 — некоторая постоянная (не зависящая от s). В силу нера-
неравенства Бесселя имеем
Щ
и из B11) следует
1/2
B12)
Но числовой ряд с общим членом | hk |2 сходится и из B12) следует
Теорема 1. Ряд Фурье функции f(s), представимой через
ядро,
оо
B13)
при условии B11) регулярно сходится, т. е. ряд модулей его чле-
членов
k=\
равномерно сходится. Отсюда следует, что сам ряд B13) сходится
абсолютно и равномерно на промежутке [а, Ь], если соблюдено

94	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	1*3
условие B11). Это условие соблюдается для непрерывных и слабо
полярных ядер на конечном промежутке [а, Ь]. Оно может соб-
соблюдаться при почти всех s для ядер из L2. Дальше будет дока-
доказана
Теорема 2. При соблюдении условия B11) сумма ряда B13)
равна f(s) и в случае ядра из L2 ряд B13) сходится в среднем
к /(s).
Эта теорема называется обычно теоремой Гильберта — Шмидта.
Мы переходим теперь к общей теории операторов, соответствую-
соответствующих вполне непрерывным интегральным операторам с симметрич-
симметричным ядром, как для семейства непрерывных функций на конечном
промежутке, так и для L2.
33, Пространство Cia. Выше мы рассматривали ограниченные
операторы в L2 и доказали ряд их свойств. Техника, связанная
с использованием понятий скалярного произведения, ортогоцаль-
ности функций и т. п., полезна также в теории линейных опера-
операторов, действующих в классе С непрерывных на [я, Ь] функций.
К числу таких операторов, как мы знаем ([4], [16]), относятся,
например, интегральные операторы с непрерывным или поляр-
полярным ядром. Мы введем сейчас понятия, позволяющие рассматри-
рассматривать теорию таких операторов параллельно с теорией операто-
операторов, действующих в пространстве L2.
Обозначим через CLl пространство функций, непрерывных на
конечном промежутке [а, Ь], с такими же, как в L2, определе-
определениями скалярного произведения, нормы элемента и сходимости.
Элементы этого функционального пространства, как и раньше,
обозначаем через cp(s), if)(s) и т. д. Основное отличие простран-
пространства Cl2 от С —отсутствие свойства полноты: если последователь-
последовательность q>n(s) непрерывных на [а, Ь] функций сходится в себе по
норме пространства Cl2 : || ц>т — ф« || -> 0, т. е.
ъ
lim \\<Vm(s)-yn(s)\2ds = 0,
т, п — оо а
то не всегда существует непрерывная функция q>0(s) такая, что
1Ф«-Фо||->О (см. [221).
Понятия ограниченного линейного оператора в Cl2, а также
самосопряженного оператора, вводятся так же, как и в "классе L2.
То же относится и к понятию вполне непрерывного оператора:
линейный оператор К в Сь2 называется вполне непрерывным, если
он преобразует любое ограниченное по норме множество функций
в компактное.
Из оценки, приведенной в [4], и из теоремы Арцела [15] сле-
следует, что интегральный оператор с непрерывным ядром вполне
непрерывен в Cl2. Тем же свойством обладают слабо полярные

34]	ТГОРЕМЫ О НОРМЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
ядра. В самом деле, пусть
а
причем а<Сг/г и функция L(s, t) непрерывна. Пусть s и s' — две
точки из промежутка [а, 6]. С помощью неравенства Буняков-
ского нахЪдим
р
ского нахЪдим
Интеграл в правой части оценивается так же, как в [16], причем
необходимо учесть условие а<1/2. Из получаемой оценки сле-
следует, что функции u(s), отвечающие функциям и (t) с ||и||^С, где
С—-любое число, равностепенно непрерывны. Из неравенства
вытекает, что это семейство равномерно ограничено. Таким обра-
образом, оператор вида B13х) переводит любое ограниченное в Си
(или даже в L2) множество функций в компактное множество
непрерывных функций. Тем более получающееся семейство функ-
функций компактно в Сь2-
34. Теоремы о норме линейных операторов. Докажем теперь
две теоремы о норме операторов.
Теорема 1. Норма линейного оператооа А есть точная верх-
верхняя граница чисел |(Л<р, -ф) | при ||cp|| = ||i|)||= 1, т. е.
sup 1 (Лср, ф)| при ||Ф|Н|гН-1.	B14)
Если Л —оператор аннулирования, то (Лср, -ф) = 0 при всех ф и г|>,
и теорема очевидна, ибо в этом случае || А ( = 0. Положим, что
Л—не оператор аннулирования. Из неравенства
следует, что
при ]ф|| = ||^|| = 1.	B15)
С другой стороны, если в скалярном произведении (Лф, if) поло-
положить г|) =,; , ., Лф, тде Лф— ненулевой элемент, то получим
(Лф, Ф)=||Лф|. В силу XI61) можно выбрать ф так, чтобы ||ф||=1

96	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[34
и ||Лф[| было сколь угодно близко к ||Л||. Это утверждение сов-
совместно с B15) и дает B14).
В дальнейшем мы будем рассматривать операторы только с
симметричным ядром /(*(s, /) = /((/, s) = K(s, t). Для них харак-
характерно следующее равенство:
(ЛФ, 4>) = (ф, Лф).	B16)
При этом (Лф, ф) есть вещественное число. Такие линейные опе-
операторы называются самосопряженными [30]. Основным для даль-
дальнейшего будет следующая теорема.
Теорема 2. Норма самосопряженного линейного оператора
А выражается формулой
ф)| при |ф||=1.	B17)
Обозначим
d= sup | (Лф, ф)|.
Пф.1=1
Надо доказать, что с? = ]|Л|1. Если ф —любой элемент, отличный
от нулевого, то можем написать:
откуда
|(ЛФ, фЖйЦфЦ2.	B18)
Для нулевого элемента ф это соотношение очевидно. Пользуясь
линейностью, можем написать
= 2(Лф, ^ + 2(Ля|), Ф) = 2(ЛФ, t) + 2(if, Лф)
или
= 2(ЛФ,
где Re — обозначение вещественной части. С другой стороны, при-
применяя B18), получим
= 2d (Ц Ф |
откуда имеем неравенство при любых ф и ф:
+ |^112)-	B19)
Пусть г —модуль и а —аргумент комплексного числа (Лф, я]?),
т. е. (Aw. ti>) = el<xr ir^O). Поскольку элемент со ппоиявплен. т

35]	СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ	97
мы можем заменить ср на е~1ау. При этом (Лф, г|э) заменится на
е 1а (Лф, я|)) =е 1ае1аг, т. ё. (Лф, if) заменится на | (Лф, if) ], a 'j ф ||2
останется без изменения, так что неравенство примет вид при
любых ф И1|):
2|(Л<р, *)Kd(||V|» + !|^||»)f	B20)
откуда |(Лф, i|))|^d при | ф I1 = ||i|)|| = 1 и, следовательно,
||Л|| = sup |(Лф, q)\^d, т. е. ||j4i|<d.	B21)
!| Ср || = 1
П -Ф JJ = 1
Остается доказать, что d ^ !| А ||. Мы имеем | (Лф, ф) | ^ || Лф || || ф ||,
откуда
|(ЛФ, ф)|<1|ЛН при ||ф|| = 1.
Но, по определению, d есть точная верхняя граница левой части
написанного неравенства, т. е. d-s^|(j4||. Итак, для самосопря-
самосопряженного линейного оператора
||Л[|= sup |(Лф, ф)|^8ир|^у> Г (j|911^=0). B22)
Очевидно, доказанные теоремы справедливы, как в пространстве
12, так и в d2.
35. Существование собственного значения. Рассмотрим вполне
непрерывный самосопряженный оператор Л в L2 или d2, отлич-
отличный от оператора аннулирования, и однородное уравнение с пара-
параметром \i:
Лф = [Аф,	B23)
что соответствует записи однородного интегрального уравнения
в виде (ср. [2])
ь
\K(s, t)y(t)dt = \iq>(s).	B24)
а
Всякое число (х, для которого существует отличное от тождест-
тождественного нуля решение уравнения B24), будем называть собствен-
собственным значением (или собственным числом) этого уравнения. Ха-
Характеристические значения связаны с собственными значениями
соотношением \л = 'к-1.
В силу - B22) существует такая последовательность нормиро-
нормированных элементов tyn (п = 1, 2,...), что
1(Лг|;„, фя) |-Ч| 4 || (II *« 11 = 1).	B25)

98	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[35
Поскольку || Л || > О (Л —не оператор аннулирования), величины
(Лг|)л, я|э,г) при достаточно больших п отличны от нуля, и среди
них имеется или бесконечно много положительных, или беско-
бесконечно много отрицательных, или бесконечно много и тех и дру-
других. Во всяком-случае, мы можем выделить такую подпоследова-
подпоследовательность из последовательности элементов %, что, удерживая
прежнее обозначение значков, можем написать:
(А^п, Фя)-*|Аь	B26)
где
Hi HI «4 II
или
Hi =-МП-
Составим элемент
и определим квадрат его нормы:
\Ы II2 = (М> - А%
или, принимая во внимание, что \\tyn || = 1, || А% II2 ^11 А ||2 =
В силу B26) правая часть стремится к нулю при п->оо, а по-
потому и ||хл|| ->0, т. е.
B27)
До сих пор мы не использовали того факта, что Л —вполне
непрерывный оператор. Используем это сейчас.
Элементы tyn нормированы, так что множество их ограничено,
стало быть, последовательность Лг|)Л — компактна. Из нее можно
выделить подпоследовательность, имеющую предельный элемент.
Сохраняя прежнее обозначение значков, можем считать, что после-
последовательность АЦп имеет предельный элемент. Но тогда из B27)
следует, что последовательность \jpn имеет предельный элемент
(jxj^O). Пусть tyn^xpi. Предельный элемент срь так же как и
•фл, нормирован в силу сходимости (%, я|э„)->*(фь <Pi). Переходя
в B27) к пределу и принимая во внимание непрерывность опе-
оператора Л, получим цхф! — Лфх = 0, т е.
B28)
Таким образом, уравнение B23) имеет собственное число ц^ и со-
соответствующий нормированный собственный элемент ф1# Из B28)
следует
(Лфь чд^Р!'	B29)

361	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	99
Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме
существования собственного числа.	^
Теорема 1. Если А —вполне непрерывный самосопряженный
оператор, отличный от оператора аннулирования, то уравнение
B23) имеет собственное число jnx такое, что | ^ | = || А ||, а соот-
соответствующий собственный элемент фх обращает в максимум
I (Лф, ф) | при условии || ср || = 1.
Заметим, что при доказательстве сходимости элементов г|)л мы
не использовали полноты пространства, и рассуждения справед-
справедливы как для L2, так и для d2.
36. Последовательность собственных чисел и теорема разло-
разложения. Рассмотрим теперь вместо всего L2 (или Cl2) его часть,
а именно множество тех его элементов ф, которые ортогональны
Фх, т. е. удовлетворяют условию

(ф, 9i) = S9(s)9!(s)ds = O.	B30)
а
Это множество обозначим через F2. Исходное пространство, т. е.
L2 или Cl2, будем сейчас обозначать через F (или F^). Отметим
важные для нас факты, касающиеся F2 Составляя линейные ком-
комбинации элементов F2i мы опять получаем элементы F2. Действи-
Действительно, если (соь ф1) = (со2, фх) = 0, то и
Далее, если сол принадлежат F2 и сол=>соо, то и соо принадле-
принадлежит F2. Действительно, из (со^, фх) = О предельным переходом по-
получаем (оH, ф0 = 0. Покажем еще, что если элемент т принадлежит
F2i то и Ах принадлежит F2. Действительно, по условию (т, ф2) = 0,
и мы имеем
(Лт, Фх) = (т, Лфх) = (т, ^1ф1) = Ц1(т, Фх)-0.
Таким образом, мы можем рассматривать оператор А как само-
самосопряженный, вполне непрерывный оператор, определенный на F2.
Он преобразует элементы F2 опять в элементы F2. Все наши рас-
рассуждения из (4] и [35] сохраняют свою силу с заменой F на F2.
Возникает вопрос о норме оператора А в /\2. Обозначим ее через
Ъ G1 = 11 Л ||). Эта норма определяется согласно теореме 2 из [34]
у2= sup |(Лф, ф)|.
Норма |[ Л || того же оператора в более широком простран-
пространстве F определялась аналогичной формулой B17), где ф пробе-
пробегало не F2, a F. Таким образом, у2 есть верхняя граница более
узкого множества чисел, и мы можем утверждать, что у2^\\ А\\.

100	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[ЗЬ
В частности, может оказаться, что 72 = 0, т- е- может оказаться,
что А есть оператор аннулирования в F2. Положим, что это не
так. Повторяя рассуждения из [35], мы убедимся в том, что при
этом уравнение B23), рассматриваемое как уравнение в F2, имеет
собственное число \х2 и соответствующий собственный нормирован-
нормированный элемент ф2 из F2: Лф2 = |ы2ф2. При этом | \i2 j = у2 и (Лф2, ф2) =
= [а2. Из у2^1|Л|| следует 'jii'sH^I.
Строим теперь множество F3 элементов F, удовлетворяющих
двум условиям:
(ф. Ф1) = (ф. Фг)=0.
Относительно jF3 можно утверждать то же, что мы показали выше
для F2, и А можно рассматривать как самосопряженный вполне
непрерывный оператор в F3. Если это не оператор аннулирования,
то получаем, как и выше, собственное число \х3 и нормированный
собственный элемент ф3 из F3. При этом | jma | = ys» где у3 — норма
А как оператора в F8. Очевидно, | цх | ^ | \х2 \ ^ | \i31.
Продолжая так и дальше, получим собственные числа \xly jn2, ...
..., \хп и соответствующие попарно ортогональные и нормирован-
нормированные элементы фь ф2, ..., фя> причем
и | |хА | есть норма А как оператора в Fki откуда
|(Лф, ф)|^||х*|-|1ф11я»
если
(ф. Ф1) = (ф, Ф2)=... = (ф, ф*-1) = 0.
Положим, что процесс оборвется при построении следующего
собственного числа, т. е. что А окажется оператором аннули-
аннулирования на множестве FnVl9 определяемом условиями
(ф. Ф1) = (ф. Фг) = ... = (ч>, фя)=0.	B31)
Пусть со —любой элемент из F. Построим элемент:
п
Ф = со- 2 С03' Ф^)Ф*'	B32)
k = \
удовлетворяющий B31), т. е. принадлежащий Fn+V По условию
мы имеем
или, раскрывая скобки и принимая во внимание, что ЛфА =
(k = lf 2, ..., /г), получим
п

361
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
101
т. е. всякий элемент вида Лео разлагается по собственным эле-
элементам ф?. Нетрудно проверить, что (со, ф^) \ik суть коэффициенты
Фурье элемента Лео:
(Лео, ф*) =
= !^ К Фа)-
Положим теперь,* что указанный выше процесс построения \iSy
отличных от нуля, продолжается беспредельно. Покажем сначала,
что последовательность \xs стремится к нулю. Пусть, наоборот,
невозрастающая последовательность положительных чисел \il имеет
предел а, больший нуля. Поскольку все собственные элементы ф5
имеют норму, равную единице, последовательность Лф5 должна
быть компактна. С другой стороны, принимая во внимание, что
ф5 попарно ортогональны, получим по теореме Пифагора
|| Лфт — Лф„ |j2 = || |Адафт — [Ляфя | 2 = 1Х2т + \1%,
и при беспредельном возрастании тип последняя сумма имеет
предел 2а, больший нуля, откуда следует, что последователь-
последовательность Лф9 не может быть компактной. Полеченное противоречие
показывает, что |х5->0.
Рассмотрим опять элемент B32), принадлежащий Fn+1. Норма
оператора Л в Fn+1 равна | |шл+11 и, следовательно,
Л (со—
B33)
Но, как легко проверить [3],
= || @ |,2- V ,(@, ФйI2<||@|Р,
так что из B33) следует:
/	п
[ (о — 2 (ш» Фа) Фа
и правая часть стремится к нулю при я->оо, откуда
Л
Г п
со- 2 К
]
Фа) Фа = Лео - 2 fa' Фа)^аФа=>0,
I	A
т. е.
А® = 2 fa» Фа) Н'АФа,
B34
причем сходимость бесконечного ряда надо понимать как сходи
мость в среднем отрезков этого ряда к Лео.

102	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[36
Мы доказали выше, что собственные элементы, соответствую-
соответствующие различным |л5, ортогональны, а собственные элементы, соот-
соответствующие одному и тому же ц,5, можно ортогонализовать.
Указанным выше путем мы получаем последовательность собст-
собственных элементов, образующих ортонормированную систему.
Теорема 2. Элементы Ф*. суть все линейно-независимые
собственные элементы, соответствующие собственным числам, от-
отличным от нуля, т. е. если некоторый собственный элемент %
соответствует собственному числу [хо=^=О, то ц,0 должно совпа-
совпадать с одним или несколькими \xk {собственные значения с ран-
рангом >1) и т есть линейная комбинация соответствующих фА
с постоянными коэффициентами.
Пусть т — собственный элемент, соответствующий некоторому
jx0 ф 0. Покажем, что |л0 должно совпадать с одним или несколь-
несколькими из (ы/г(&=1, 2, ...) и что т есть линейная комбинация
собственных элементов фь соответствующих тем собственным
числам, с которыми совпадает |л0. Если \х0 отлично от всех \ik,
то т ортогонально ко всем фА, т. е. (т, Ф/0 = 0 (?=1, 2, ...).
Подставляя в формулу B34) й = ти принимая во внимание, что
Ат = \10т(\х0 у- 0), получим jxot = O, т. е. т —нулевой элемент, что
противоречит тому-; что т — собственный элемент. Положим теперь,
что fio = Hi и Цо = М<2> но отлично от остальных \ik. Составим эле-
элемент
т' = т-[(т, Ф1)ф1 + (т, Фа) Фа].	B35)
Выражение, стоящее в квадратной скобке, как и т, удовлетво-
удовлетворяет однородному уравнению
А ф = (х0ф ((i0 = И! = ца) •	B36)
При этом и т', очевидно, удовлетворяет этому однородному урав-
уравнению. Если т' есть нулевой элемент, то т = (т, Ф1)ф1 + (т, ф2)ф2,
т. е. т линейно выражается через щ и ф2. Из B35) непосредственно
следует, что т' ортогонально ц>± и ф2. Оно ортогонально также
ко всем ф? при ?>2, так как т' соответствует собственное чи-
число iio = \ii = \i2, отличное от остальных \ik(k>2). Таким об-
образом, подставляя о) = т' в B32), приходим, как и выше, к проти-
противоречию, и теорема 2 доказана.
В теории интегральных уравнений вместо B23) мы пользова-
пользовались записью ф = ЯЛф, т. е. Я = —. По доказанному, |^rt|->0, и
.1.1
потому |ля| = |	г-^оо при я->оо.
Из рассуждений настоящего параграфа следует:
Теорема 3. Все собственные значения ^ вполне непрерыв-
непрерывного оператора А, отличные от нуля, имеют конечный ранг
и вне любого промежутка - [— е, е] — их конечное число. Всякий
элемент вида Аа>, где со — любой элемент, разлагается в ряд Фурье

361	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ЮЗ
по собственным элементам yk> причем сходимость этого ряда
понимается как сходимость в среднем.
Кроме теоремы 3, отметим еще, что | \ik | есть максимум зна-
значений | (Лф, ф) | при условиях
| = 1 и (Ф, Ф1) = (Ф, ф2)=... = (ф, ф,_1)=0. B37)
Рассмотрим еще вопрос о решениях уравнения
Ах = 0	B38)
и докажем следующую теорему.
Теор'ема 4. Для того чтобы элемент т был решением урав-
уравнения Лт = 0, необходимо и достаточно, чтобы т было ортого-
ортогонально ко всем фл, т. е. (т, Фа?)~О (& = 1, 2, ...).
Достаточность непосредственно следует из формулы B34) при
со = т, ибо (т, ф*) = 0 по условию. Докажем необходимость.
Пусть Лт = 0. Принимая во внимание, что Лф/г = |ялфА, можем
написать
(т, ф/г) ^=--(Лт, ф*) = 0,
так как по условию Лт = 0, ч. и т. д.
Справедливо также следующее утверждение:
Теорема 5. Если для симметричного вполне непрерывного
оператора А уравнение Лт = 0 имеет только нулевое решение,
то для любого элемента f пространства'L2 ряд Фурье 2(/, Ф*)ф*»
/е = 1
построенный по ортонормированной системе q>k собственных эле-
элементов Л, отвечающих отличным от нуля собственным числам,
сходится к f в норме L2.
Это предложение верно не только для L2, но и для любого
другого гильбертова пространства. Как известно [II; 163],
оо
ряд 2 (/» Ф*) Ф* сходится в L2 к некоторому элементу f e L2.
k=i
Ясно, что (f — /, cpk) = 0 при всех k = 1, 2 .... Возьмем произ-
произвольный элемент со е L2. По теореме 3 данного пункта Лео раз-
00
лагается в ряд ^ aki$k, сходящийся к Лео в норме L2. Поэтому
k = \
(Aif-f), a) = {f-f
т. е. A(f — f) = 0. В силу условий теоремы отсюда вытекает, что
/ — / = 0, ч. и т. д.

104
ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[37
37. Формулировка полученных результатов в терминах инте-
интегральных операторов. При изложении теорем 1—4 мы не пользова-
пользовались тем фактом, что рассматриваемый линейный, вполне непре-
непрерывный, самосопряженный оператор А есть интегральный оператор:
ь
(s) = ЛФ = \К (s, f) Ф @ dt.
B39)
При непрерывном ядре и конечном промежутке [ау Ь], считая,
что ф @ из L2, мы получаем непрерывную функцию if> (s). Поэтому
, уравнение
f	f)<p{t)dt
с непрерывными f(s), K(s, t) имеет лишь непрерывные решения,
даже если ф (s) ищется из L2. Этого нельзя утверждать об урав-
уравнении
ь
, t)x(t)dt = O.
При непрерывности ядра оно может иметь решения %(t) из L2.
Это надо иметь в виду в теореме 4. Если присоединить все линейно-
независимые решения уравнения из L2 (не непрерывные), пред-
предварительно ортогонализовав их, к собственным функциям ф* (s),
то получится замкнутая (полная) система. Для оператора B39)
рассматривалось уравнение с параметром Лф = (хф и его собствен-
собственные числа
причем
Ml Л II и
b
| = max jj
a
s, t)y(t)y{s)dtds
и этот максимум осуществляется при
определяется так:
ь
при
Величина
s, t)y(t)<p(s)dtds
при || Ф 11 = 1 и
и этот максимум осуществляется при ф(/) = ф*@. Ортонор-
мированная система ф^ (t) (?=1,2,...) может состоять как из
конечного, так и из бесконечного числа функций, причем в по-
последнем случае она может быть как замкнутой, так не замкнутой.

37]	ФОРМУЛИРОВКА ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ	105
Теорема 3 заключается в том, что всякая функция g(s), предста-
вимая через ядро
S(s) = S/C(s, ()<*(t)dt,
а
разлагается в ряд Фурье по (pk(s), сходящийся в среднем к g(s).
Для непрерывных и слабо полярных ядер (со (t) считаем непрерыв-
непрерывной функцией) g (s) — непрерывная функция, соблюдается условие
$! /С (s, *),«#«?,
b
и было доказано, что упомянутый ряд Фурье сходится регулярно,
а следовательно, и в среднем, и его сумма равна / (s), поскольку
предел в среднем единствен.
Ряд имеет вид
Для L2 считаем со (/) из L2 и написанный ряд сходится в среднем.
Рассмотрим полярные ядра без условия их слабой полярности.
Было доказано, что соответствующий оператор
преобразует непрерывные функции ф (/) в непрерывные гр (s) и яв-
является вполне непрерывным оператором из С в С. При 2 ^ а < 1
ядро не принадлежит L2. Рассмотрим интегральное уравнение
с таким ядром:
ь
Ф (s) = / (s) + Я J 0^ Ф (/) dt,	B40)
а
причем мы считаем, что / (s) непрерывна в [а, Ь] и L (s, /) в k0.
Подставим правую часть B40) вместо ср (t) под знаком интег-
интеграла и проделаем эту подстановку несколько раз (ср. [20]);
для краткости письма обозначая ядро через K(sy t)y мы получим
Ф (ь) = F(s) + %п\кп (s, t)Ф @ dt9	B41)
а
где
F{s) = f{s)-\X\K{s, t)f(t)dt + ... + №\Kn-i(s, t)f{t)dt
а	а
— непрерывная в fa, b\ функция.

106	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	138
Выбирая п достаточно большим, получим регулярное ядро. Всякое
решение ср (s) уравнения B40), непрерывное или из L2y должно
удовлетворять и уравнению B41), и следовательно, <p*(s) — непре-
непрерывная функция. Совершенно аналогично и собственные функции
уравнения B40) должны быть непрерывными функциями.
38. Теорема Дини. Докажем одну теорему, которой будем
пользоваться в дальнейшем.
Теорема. Если члены ряда
2!Ы*)	B42)
k = \
— непрерывные неотрицательные функции в промежутке [а, Ь],
ряд сходится во всякой точке этого промежутка и его сумма есть
непрерывная функция в упомянугтм промежутке, то ряд B42) схо-
сходится равномерно в [а, Ь].
Обозначим через Rn (x) остаточный член ряда B42):
*»(*)= 2 h(x).
п
Поскольку члены ряда и сумма ряда по условию являются непре-
непрерывными функциями, то и функция Rn (x) будет непрерывной
функцией в промежутке fa. b]. При любом фиксированном х она
не может возрастать при возрастании п, так как члены ряда не-
неотрицательны, т.е. мы имеем Rn+1 (x)^Rn(x). Обозначим через тп
наибольшее значение, которое принимает неотрицательная непре-
непрерывная функция Rn (x) в промежутке [а 6], и пусть 1п — та точка этого
промежутка, в которой это значение достигается, т. е. mn = Rn(ln).
Покажем, что при возрастании п числа тп не могут возрастать,
т. е. тп+1 ^ тп. Действительно, т„+1 = Rn+1 (?я+1) ^ Rn Цпа). Но зна-
значение Rn (ln+1) не может быть больше наибольшего значения т,
функции Rn(x) в промежутке [а, 6], откуда и следует, что
m>n+i ^ т>п- Невозрастающая последовательность положительных
чисел тп должна иметь предел, который может быть нулем или
положительным числом: если этот предел есть нуль, то равно-
равномерная сходимость ряда B42) обеспечена, поскольку наибольшее
значение его остаточного члена стремится к нулю при п-*оо.
Остается доказать, что предел чисел тп не может быть положи-
положительным числом. Будем доказывать от обратного. Все числа |я,
которые мы ввели выше, находятся на конечном промежутке [а, Ь]
и, следовательно, на этом промежутке будет существовать хотя
бы одна точка х — с сгущения этих чисел [II; 92], т. е. такая
точка, что в любой малой ее окрестности находится бесчисленное
множество чисел ?„. В точке х = с ряд, по условию, сходится и,

39]	РАЗЛОЖЕНИЕ ПОВТОРНЫХ ЯДЕР	* Ю7
следовательно, мы можем фиксировать такой достаточно большой
значок N, что RN(c) <С <у> где буквой / мы обозначали предпола-
предполагаемый положительный предел последовательности тп. Поскольку
функция RN (x) есть непрерывная функция, мы можем найти
точку %п при it>N, настолько близкую к с, что и в этой точке
1п будет соблюдено неравенство /?w(&i)< г"-Так как, по условию,
n>N, то мы имеем тп = Rn (?„) ^RN (gq), т. е. оказывается, что
mn<.-w> а это противоречит тому, что числа тп стремятся, не
возрастая, к пределу /. Установленное противоречие и доказывает
теорему Дини.
Мы знаем, что если члены ряда — непрерывные функции и ряд
сходится равномерно, то и сумма ряда непрерывная функция. В
общем случае обратная теорема несправедлива, т. е. из непрерыв-
непрерывности суммы нельзя заключать о равномерной сходимости ряда.
Теорема Дини утверждает, что если членьь ряда не только непре-
непрерывные, но и неотрицательные функции, то это обратное утверж-
утверждение справедливо, т. е. из непрерывности суммы вытекает равно-
равномерная сходимость ряда.
39. Разложение повторных ядер. Будем считать ядро непре-
непрерывным (и симметричным). Тем самым и все повторные ядра —
непрерывны. Из формулы
ъ
/C2(s, t) = \K(s, tJKih, t)dtx	B43)
мы видим, что /С2 (s, /) как функция от s представима через
ядро, причем роль h(tx) играет функция K(tl9 t) = K(t, ^), a t
есть параметр. Как мы видели выше, коэффициенты Фурье K(t>ti)
по отношению к системе функций A98) равны q>k (t): Kki и, таким
образом, теорема 2 из [32] дает:
тт ,	j\	"^ ф# (S) ф? (^)
А 2 (S, ?) — 7 	=-a^j	.
шел	k
Формула эта доказана (на основании теоремы 2) при любом s из
[а, Ь] и при любом t из того же промежутка, т. е. эта формула
справедлива во всем квадрате k0.
Напомним формулу [5]:
ъ
Kn(s, 0 = S /С (s, ti)Kn-i(ti, t)dtx.	B4.5)
а
Из B45) следует, что коэффициенты Фурье Кп (s, t) как функции

108	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[39
s равны коэффициентам Фурье Kn-i (h, t) как функции tl9 делен-
деленным на Хк. Для K(s, t) — 3W Щ^-, для Кч (s, 0~ это ъг- и т- Д-
Вообще для /Cn(s, t)—3T0 Щтг> и теорема 2 дает:
k
Ш (п = 2. 3. ...).	B46)
причем, как и выше, ряд сходится в k0. Исследуем характер схо-
сходимости этих рядов.
В силу теоремы 2 мы можем утверждать регулярную сходи-
сходимость написанных рядов по отношению к переменной s в про-
промежутке [а, Ь\ при любом фиксированном значении t из того же
промежутка. В силу симметрии мы будем иметь регулярную схо-
сходимость и по огношению к переменной / при фиксированном 5.
Докажем, что ряды будут регулярно сходящимися по отношению
к обеим переменным в квадрате k0. Достаточно провести доказа-
доказательство для ряда B44) Для остальных рядов (при п > 2) дока-
доказательство тем более сохранит свою силу, ибо |Яя|-* + оо. При-
Применяя очевидное неравенство
<Pfe OP ф/г @
Ч
ч + ч
у
оо
мы видим, что достаточно доказать, что ряд У ' ^к}у' равно-
k = \ k
мерно сходится в промежутке [а, Ь]. Этот последний ряд полу-
получается из ряда B44) при t = s и, следовательно, его сумма равна
Члены написанного ряда суть неЪтрицательные непрерывные
функции, его сумма — непрерывная функция в промежутке [а, Ь],
так что равномерная сходимость этого ряда непосредственно вы-
вытекает из теоремы Дини.
Приведем некоторые следствия из полученных формул. Полагая
в формуле B46) t = s и интегрируя по s, получим, принимая во
внимание нормированность функций ср^ (s), выражение для так назы-
называемых следов повторных ядер через характеристические значения
основного ядра:
Ь	со
Кп (s, s)ds=y ~.	B47)

39]	РАЗЛОЖЕНИЕ ПОВТОРНЫХ ЯДЕР
Принимая во внимание B43), можно написать
\к2 (s, s)ds = ]\\K{s,t)\*dsdt,
а	а а
и формула B47) при я = 2 приводит нас к равенству:
109
B48)
Формула B46) может оказаться несправедливой при п = 1. Мы
покажем сейчас, что при любом фиксированном s из [а, Ь]:
ь
lim \ K{s, t)-

Ф* (s) ф* @
B49)
равномерно относительно s в [a, ft]. Для доказательства рассмот-
рассмотрим разложение /С (s, t), как функции ^, по ортонормированной
системе щ((). Коэффициенты Фурье равны фл (s)A^, и мы имеем
Ar = 1
Но мы видели, что
и согласно B44)
п
1
= /С2E, s)
/C2(s, s) при
ч
и при том, как мы видели, равномерно относительно s. Отсюда
следует, что предел B49) имеет место равномерно относительно
s Положим, что ряд B01) сходится равномерно относительно /
в промежутке [а, Ь] при фиксированном s, и обозначим через
Ki (s, t) его сумму. Переходя в B49) к пределу, получим
\\K(s, f)-Ki{s, t)fdt = Of
а
откуда следует, что Ki (s, t) = K (s, 0 в k0, т. е. для доказатель-
доказательства формулы B02) «г надо предполагать равномерной сводимо-
сводимости ряда по отношению к обеим переменным в квадрате k0, а до-
достаточно лишь предположить, что ряд равномерно сходится отно-
относительно одной из переменных при любом фиксированном значении
другой переменной.

ПО	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	С39
Рассмотрим разность
л
B50)
как ядро некоторого интегрального уравнения
лE, ОФ(9*.	B51)
и докажем, что числа Яя+1, Ял+2,... и функции qvu(s), Ф/1+2 ($)>.••
представляют собой полную совокупность характеристических чисел
и собственных функций уравнения B51). Умножим обе части B50)
на Ятфт(/), где т>/г, и проинтегрируем по t. Принимая во вни-
внимание ортогональность функций фр (/), получим
s, f)<pm(f)dt9
а	а
или, принимая во внимание, что q>m(f)—собственная функция
ядра К E, 0» соответствующая характеристическому значению imt
ь
^т \ <Om (S, t) фт @ dt = фт (S).
Мы видим, таким образом, что уравнение B51) имеет те же харак-
характеристические значения Хт и соответствующие собственные функции
фт (s) при т > п, что и основное уравнение. Остается показать, что
это есть полная система характеристических значений и собственных
функций уравнения B51). Умножим обе части B50) на ц>т (s),
где m^n. Принимая во внимание ортогональность и нормирован-
ность функций фр (s), получим
ь	ь
1
Разность, стоящая в правой части, равна нулю, ибо фт (/) есть
собственная функция ядра К (s, t), соответствующая характери-
характеристическому значению Хт> т. е.
n(s, t)ym(s)ds = 0 (m<n).	B52)
а
Пусть X — некоторое характеристическое значение уравнения
B51) и ф (s) — соответствующая собственная функция. Умножая обе
части B51) на q>m(s) и принимая во внимание B52), получим
ь
\ Ф 00 Фт (s) ds = O (пкп).	B53)

39]	РАЗЛОЖЕНИЕ ПОВТОРНЫХ ЯДЕР	111
Подставляя в B51) вместо a>n(s, f) его выражение B50) и при-
принимая во внимание формулы B52), можем записать B51) в виде
ь
ф(*)=Я$КE, 9 Ф (9*
т. е. ф (s) является собственной функцией основного ядра, в силу
B53), ортогональной ко всем cpm(s) при m<n, а отсюда следует,
что к совпадает с одним из Xk при k>nt а ф* (s) является с точ-
точностью ДО ПОСТОЯННОГО МНОЖИТеЛЯ ОДНОЙ ИЗ фуНКЦИЙ ф? (S) ПрИ
k>n или их линейной комбинацией в случае характеристического
значения ранга больше единицы Таким образом, наше утвержде-
утверждение о характеристических значениях и собственных функциях
ядра сол (s, t) доказано.
Из B46) следует, что ядра Kn(s, t) симметричны. Это видно
также непосредственно из их определения. Легко доказать, что Я?
и фл($) суть все характеристические значения и собственные
функции уравнения
ь
<p(s) = l\Kn(s, t)q>(t)dt.
Если ядро слабо полярно, то К2 (s, f) есть непрерывная функция
[20], и мы имеем разложения B46).
Положим, что ядро удовлетворяет условию
\\ К E, 9 |*Я< С»,	B54)
из которого следует
оо
В силу неравенства Коши получим
2
и можем утверждать, что при условии B54) повторные ряды B46)
сходятся регулярно в k0 при п^З.

112
ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[4С
40. Решение интегрального уравнения через характеристические
значения и собственные функции. Положим сначала, что в инте-
интегральном уравнении
ь
t)q>(t)dt,	B55)
к отлично от характеристического значения, так что уравнение
имеет единственное решение. Обозначим через fk коэффициенты Фу-
Фурье заданной функции / (s) и через ck — искомой функции ф (s) отно-
относительно ортонормированной системы q>k (s) собственных функций.
Представляя функцию в правой части, представимую через ядро,
согласно [32], получим
оо
~~ ^ ф* Cs)>	B56)
причем мы считаем, что имеется бесконечное число характеристи-
характеристических значений. Сравнивая коэффициенты Фурье левой и правой
частей, получим уравнение для определения ck:
ck = fk -!- к CJ- или (Xk — к) ck = fk^k>	B57)
откуда, если к не есть характеристическое значение,
и формула B56) дает
оо
" -^ГФ*(8).	B59)
причем ряд, стоящий справа, сходится регулярно для непрерыв-
непрерывных или слабо полярных ядер и в среднем для ядер из L2. В этом
легко убедиться и непосредственно, используя формулу
4>k (s)
1
неравенство Коши и тог факт, что
1
1 при k -> оо.
Положим теперь, что Я совпадает с одним из характеристических
значений, ранг которого может быть любым. Положим для простоты
письма, что А, совпадает с характеристическим значением Х±
третьего ранга, т. е.
Я = Я! = Я2 = Яз.	B60)

41]	АППАРАТ ФРЕДГОЛЬМА В СЛУЧАЕ СИММЕТРИЧНОГО ЯДРА	ИЗ
При этом вторая из формул B57) приведет нас к необходимому
условию разрешимости (ср. [39]):

f* = $/(s)q>*(s)ds = O (ft=l, 2, 3),	B61)
а
т. е. свободный член должен быть ортогонален к собственным функ-
функциям, соответствующим характеристическим значениям А,1-=А2^-Я3,
а формула B58) определит коэффициенты ck при k>3. Положим,
что условия B61) выполнены. При этом общее решение уравне-
уравнения B55) в рассматриваемом случае будет суммой какого-либо
решения уравнения и общего решения однородного уравнения
(при /(s) = 0), т. е.
ф (S) ="
где Ci, jc^ c3 — произвольные постоянные. Кратко говоря, если
К совпадает с -характеристическим значением, то в одной или не-
нескольких дробях B58^ знаменатель обратится в нуль. При этом и
соответствующий коэффициент Ф>рье fk должен равняться нулю,
а всю дробь надо заменить произвольной постоянной. Таким об-
образом, условие B61) не только необходимо, но и достаточно для
разрешимости уравнения.
41. Аппарат Фредгольма в случае симметричного ядра. При-
Применим изложенный выше аппарат Фредгольма к случаю симмет-
симметричного непрерывного ядра, считая X вещественным,
В этом случае числитель Фредгольма E3) и резольвента также
будут симметричными функциями. Мы имели раньше разложение
повторных ядер [39]. Подставим эти разложения в формулу C9),
причем мы считаем, что К удовлетворяет условию D1) и, следо-
следовательно, | А,|<; Ai|:
R(s, t; X) = K{s, f) + \V ЩрШл-V уФ.МФ.(О+... B62)
Нетрудно видеть, что если в этом ряду мы заменим все величины
их абсолютными значениями, то полученный двойной ряд с поло-
положительными членами будет сходящимся. Действительно, соединяя
в нем в одну группу члены, содержащие | фл (s) \ \ ф„ (t) |, получим ряд:

114	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[41
Но, сравнивая этот ряд с равномерно сходящимся рядом
V
1 Ф/* (*) 1 1 Фп @ 1
—
I Я. 11 Я. I2
мы видим, что отношение общих членов ,, ' ,' . .. не зависит
от переменных (s, ^) и стремится к |Я|, откуда и вытекает абсо-
абсолютная сходимость двойного ряда B62). Мы можем, следова-
следовательно, в этом ряду собрать в одну группу члены, содержащие
<P/i(s)<P/i(O- Таким образом, мы получим следующее разложение
для резольвенты по собственным функциям:
R(s, t; K) = K(s, t)+K 2 t((t-Ц '	B64)
n = l
Строго говоря, мы вывели это разложение, предполагая, что X
удовлетворяет условию D1) Но, заменяя в ряде B64) все члены
их абсолютными значениями и сравнивая, как и выше, получен-
полученный ряд с рядом B63), мы убедимся в том, что ряд B64) сходится
абсолютно и равномерно относительно (s, /) при любом Я, отлич-
отличном от Хп. Больше того, он сходится равномерно и относительно
% в любой ограниченной области плоскости Я, если отбросить
в нем несколько первых слагаемых, имеющих полюсы в этой обла-
области. Таким образом, правая часть формулы B64) представляет
собой разложение дробной функции на простейшие дроби и совер-
совершенно так же, как и формула E7), она дает аналитическое про-
продолжение резольвенты R (s, t, Я) на всю плоскость. В частности,
из формулы B64) вытекает, что в случае симметричного ядра вся-
всякое характеристическое значение есть простой полюс резольвенты.
Заметим, что если мы подставим разложение B64) в формулу D5),
то получим формулу B59), дающую разложение решения по соб-
собственным функциям.
Положим в формуле B64) t = s и проинтегрируем по s:
a
Но, деля обе части E9) на D(X), получим
ь
ь
и, следовательно, предыдущая формула может быть переписана
в виде

41]	АППАРАТ ФРЕДГОЛЬМА В СЛ>Ч\Е СИММЕТРИЧНОГО ЯДРА	И5
Пусть Яо —корень D(X) кратности г. Мы знаем [1Н2; 21], что
для левой части последней формулы значение X = Хо будет простым
полюсом с вычетом г. В правой части этой формулы некоторые
из чисел Хп будут совпадать с Хо. Каждая из соответствующих
дробей может быть переписана в виде
X	1 ,J_
Хп (X Хп) X Хп Хп
т. е. каждая из таких дробей даст в полюсе X — Хо вычет, равный
единице, следовательно, г из чисел Хп должны равняться Хо
Мы имеем, таким образом, следующую теорему если, в случае
симметричного ядра, Хо есть корень D(X) кратности г, то этому
характеристическому значению соответствуют в точности г линейно-
независимых собственных функций, т. е. в случае симметричного
ядра кратность корня D (Я) равна рангу соответствующего харак-
характеристического значения.
Мы видели выше, чю ядро /С (s, f) имеет своим рядом Фурье
относительно системы собственных функций фл(/) ряд B01). Под-
Подставляя этот ряд вместо К (s, t) в правую часть формулы B64),
мы убедимся, что резольвента имеет рядом Фурье следующий
ряд:
2Фп 00 Ф
1
00 Фп @
Принимая во внимание, что ряд, стоящий в правой части фор-
формулы B64), является рядом равномерно сходящимся, мы можем
утверждать, что равномерная сходимость ряда B65) имеет место
одновременно с равномерной сходимостью ряда B01), и если это
обстоятельство имеет место, то наряду с формулой B02) мы будем
иметь и формулу:
<266)
Легко получить коэффициенты Фурье функции R (s, /; X) и
непосредственно, умножая обе части B64) на фп (t) и интегрируя
по t. Принимая во внимание, что фп (t) есть собственная функция
ядра К (s, t) и что фл (t) ортогональны и нормированы, получим
таким образом, коэффициенты ряда B65):
ъ
R(s9 t\ X)^n(t)dt=r^-^n{s).
Это равенство показывает, что функции ц>п (s) суть собственные
функций ядра R($, t\ X), соответствующие Характеристическим

П6	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[42
значениям (Хл — X), где вещественное X мы фиксируем произволь-
произвольным образом. Нетрудно видеть, что это есть полная система всех
собственных функций вещественного симметричного ядра R (s, /; X).
Мы можем, таким образом, утверждать, что если примем функ-
функцию R (s, t\ X) за новое ядро, то это ядро имеет ту же совокуп-
совокупность собственных функций q>n(s), что и основное ядро, а соответ-
соответствующие характеристические значения будут (Хп — Х). Применяя
формулу B64) к ядру R (s, t\ X) и обозначая через \i параметр,
входящий в резольвенту, убедимся, что резольвента этого ядра
будет такой:
/1 = 1
а раскладывая R (s, t\ X) по формуле B64) и совершая элемен-
элементарные преобразования, найдем без труда:
R{s, t, Я; |i) =
т. е. если принять R (s, t\ X) за новое ядро, то резольвентой для
него будет функция R(s, t\ X-\-\x).
Отметим, что поскольку для слабо полярных симметричных
ядер мы получили разложение повторных ядер и доказали
равномерную сходимость ряда B63), мы имеем для таких ядер
и разложение B64). Если К (s, t) из L2, то нетрудно показать,
что разложение B66) есть ряд Фурье для R (s, t\ X), соответст-
соответствующий характеристическим значениям {Хп — X) и собственным
функциям q>n(s)q>n(t) (ср. [31]).
42. Классификация симметричных ядер. Выше мы определили
собственные значения и соответствующие собственные функции
из задач о максимуме величины | (Л^, г|У) | [36]. В явном виде
через ядро мы имеем:
= J f J
ala
К (s, 0 я|) @ dt TO ds.	B67)
Пусть ck — коэффициенты Фурье г|з (s) относительно собственных
функций ядра фл (s). Применяя к внутреннему интегралу теорему
Гильберта — Шмидта, умножая полученный ряд на г|) (t) и почленно
интегрируя, получим
(Aip, t)-^1^-	B68)

42]	КЛАССИФИКАЦИЯ СИММЕТРИЧНЫХ ЯДЕР	1"
Положим, что все Кк~>0. При этом
-S*0	B69)
'-Z
и соответствующее ядро называется положительным. Знак равен-
равенства может получиться, если существует такое \|>(s)=^=0 (из L2)>
для которого все ck равны нулю. Если же ортонормированная
система (p&(s) замкнута, то этого не может быть, и У>0. Такое
ядро называется определенно положительным. Аналогично опре-
определяют отрицательные и определенно отрицательные ядра.
Если положить ty(t) = q>m(t), т0 в формуле B68) имеем |ст| = 1
и остальные ck^0 (кфт). Отсюда следует, что если Kk разных
знаков, то и величина J может принимать значения разных
знаков.
Собственные функции ср* (s) получались из условия максимума
J при тех же условиях, что норма i|?(s) равна единице (см. [36]).
В дальнейшем нам нужна будет другая постановка экстремальных
задач, а именно, мы требуем, чтобы была нормирована не сама
функция i|> E), а ее преобразование через ядро:
ds=l.	B70)
Внутренний интеграл разлагается согласно теореме Гильберта —
Шмидта в равномерно сходящийся ряд или ряд, сходящийся
в среднем (для ядер из L2), и условие B70) согласно уравнению
замкнутости можно записать в виде
k=\
Будем считать ядро положительным и перепишем формулу B69)
в виде
Заменяя Xk его наименьшим значением, получим согласно B71)
У^Ях.	B72)
Если мы положим if (s) = K^i (s), то сг = Ях и ск = 0 при k > 1,
так что условие B71) соблюдено, и в формуле B72) мы имеем
знак равенства. Таким образом, первое характеристическое зна-
значение Кг есть наименьшее значение интеграла B67) при условии
B70). Это наименьшее значение достигается, если положить г|> (s) =
^ (). Совершенно так же, как и выше, мы можем показать что

П8	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	?43
характеристическое значение Х2 есть наименьшее значение инте-
интеграла B67), если функция if (s) удовлетворяет следующим условиям:
и это наименьшее значение достигается, если положить i|> (s)
2ф ()
Нетрудно видеть, что приведенный экстремальный принцип
получения характеристических значений и собственных функций
применим не только к положительному ядру, но и ко всякому
ядру, которое имеет конечное число отрицательных характеристи-
характеристических значений, т. е. для которого характеристические значения
могут быть расположены в неубывающем порядке, начиная с пер-
первого. Заметим, что если, например, ^i = Я2 = k3 <z Л4, то интеграл
B67) будет достигать наименьшего значения при условии Ц *Ч? II== ^
и для if(s) = A19i(s), и для tf (s) = Я^фа (s), и для ^(s) = Vp3(s),
а также для любой линейной комбинации i|) (s) = Хг (а^ (s) +
)	)i коэффициенты которой удовлетворяют условию
Аналогичное замечание имеет место и для указанной выше первой
экстремальной задачи.
43. Теорема Мерсера. Приведем формулировку теоремы.
Теорема. Если К {s, t) есть положительное или отрица-
отрицательное непрерывное ядро, то его ряд Фурье по собственным
функциям сходится регулярно в квадрате k0.
Будем считать ядро положительным и вещественным. Докажем
сначала неравенство К (s, s) ^ 0.
Действительно, если бы на диагонали квадрата k0 существо-
существовала такая точка s = t = c, в которой К {с, с)<0, то существо-
существовала бы такая окрестность упомянутой точки | s — с | < е и
11 — с \ < е, что во всей этой окрестности К (s, t) < 0. Мы можем
определить такую непрерывную функцию р (s), которая имеет
положительные значения в промежутке с — e<s<c + ? и
равна нулю везде вне этого промежутка. Для этой функции будем
иметь;
ЬЪ	С+8С + 8
/ = $$*(*• t)p(s)p(t)dsdt= \ \ K(s, t)p(s)p(t)dsdt<0,
а а	с—ее—е
что противоречит положительности ядра. Образуем ядро
B73)

43]
ТЕОРЕМА МЕРСЕРА
119
Его характеристические значения Кп+Ъ А,л+2, ... положительны.
Применяя к этому ядру только что доказанный факт, получим
*<».«>-2 ^3*0, т.е.
Ф* (s)'
:K(S,S).
k=\
оо
Отсюда непосредственно следует, что ряд У, ^\ с положи"
k=\
тельными членами сходится при всяком значении s и что его
частичные суммы при любом значении s из промежутка [а, Ь]
остаются меньше положительного числа М. Применяя неравенство
Коши, можно написать так:
1
п + р
4>k(sL>k(t)
<pk(t)
k—n
Vh
/n~t-p	fn-\-p
2TK2-
k	k
B74)
ИЛИ
n+p
2
k
s) Щ (t)
fn + p
21 q>k (s) I2
' T^v ' непосредственно еле
дует, что ряд B01) сходится регулярно по t в промежутке [а, Ь]
при фиксированном s. Совершенно аналогично доказывается регу-
регулярная сходимость по s при фиксированном t.
Из доказанного следует:
причем в силу теоремы Дини ряд сходится равномерно, и из нера-
неравенства B74) следует регулярная сходимость ряда
щ.
@
в k09 г. и т. д.

120
ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЙ УРАВНЕНИЯ	[44
44. Кососимметричное ядро и интегральные уравнения, при-
приводимые к уравнениям с симметричным ядром. Ядро К (s, /) назы-
называем кососимметричным, если
K(t, 5) = — К (s, f)	B75)
и в случае вещественности ядра:
Если- ввести ядро
L (s, t) = iK(s, t),
то в силу B75) получим
и интегральное уравнение с кососимметричным ядром
ф (S) = / (s) + I К (s, /) ф (/) dt	B76)
можно переписать в виде уравнения с симметричным ядром
?(s, 0ф(')Л,	B77)
где (х = — tk, т. е. Л = jlx/. Отсюда следует, что уравнение B76)
с кососимметричным ядром имеет по крайней мере одно характе-
характеристическое значение и что все его характеристические значе-
значения — чисто мнимые.
Мы укажем сейчас еще класс интегральных уравнений, кото-
которые простым преобразованием приводятся к уравнениям с сим-
симметричным ядром. Это уравнения вида
Ф (s) = / (s) + ^ К (s, t) p (t) Ф @ dt,	B78)
где /C(s, t) — симметричное ядро и непрерывная функция р(
в промежутке [а, Ь]. Умножая обе части B78) на У р (s) и вводя
новую искомую функцию if)(s) = ]/p (s)cp (s), придем к интеграль-'
ному^уравнению
	 б
¦ E) = / (s) Kp (s) + Я $ L (s, /) ф (/) dt	B79)
а
с симметричным ядром:
Пусть Xk и %г (s) — характеристические значения и собственные
функции уравнения B79), причем последние образуют ортонор-

44]	КОСОСИММЕТРИЧНОС ЯДРО	121
мированную систему. Пользуясь формулой ypk (s) = V~p{s) <pk (s),
получим для собственных функций уравнения B78) ортонормиро-
ванность с весом р (s):
bc			( О при кф1,
\p(s)cpk(s)cpl(s)ds={
а	[ 1 При k = l.
При непрерывности или слабой полярности К (s, t) получим для
второго повторного ядра
cq			Ь
	Yi,	= L2 (S, I) = \ Д (S, tx) A [fi, t) p I
и, сокращая на множитель ]/p(s)p(/), получим
b	oo
Аналогичным образом для функций
= jjНр-! (s,
а
будем иметь
Мы имеем, кроме того, формулу:
если ряд, стоящий справа, сходится равномерно по.отношению
к одной из переменных при любом фиксированном значении вто-
второй переменной.
Положим, что функция / (s) представима через ядро L (s, /), т. е.
ъ
f(s) = \L(s, t)h(f)dt.	B80)
а
Тогда
где

122	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[45
Сокращая обе части B80) и B81) на }/p(s), получим для функции
F(s)=f(s):V7$) = \K(s, t)VpV)h(t)dt
а
разложение:
Мы могли бы также привести уравнение B78) к уравне-
уравнению с симметричным ядром, вводя вместо s и t новые перемен-
переменные х и у:
s	*
x = \p(u)du; y = \p(u)du,
а	а
причем в силу р (и) > 0 новые переменные возрастают при воз-
возрастании и/, и последние — однозначные функции х и у. После
замены переменных получим новые функции: f1(x) = f (s), со (х) =
= ф (s) и новое симметричное ядро /Ci (л:, y) = K(s, t), и уравне-
уравнение B78) перепишется в виде
^ y)®(y)dy (l =
\
45. Уравнения первого рода. Рассмотрим интегральное урав-
уравнение первого рода
\k(s, t)y(t)dt = f(s)	B82)
а
с симметричным ядром. Мы считаем, что К (s, /) из L2 в k0,
заданная функция / (s) из L2 в [а, й] и ищется, решение ср (s)
также из L2. В дальнейшем будем называть симметричное ядро
полным, если система его собственных функций полна (замкнута).
Если ядро не полное, то уравнение
ь
\K(st /)cp(/)d* = O	B83)
а
имеет решение, не эквивалентное нулю, и если уравнение B82)
разрешимо в L2, то его решение не единственно. Если же ядро
К (s, f) — полное, то уравнение B82) не может иметь более одного
решения. Если бы оно имело два не эквивалентных решения фх (s)
h<P2(s), то их разность ср (s) = q>i(s) —<p2(s), не эквивалентная
нулю, должна была бы удовлетворять уравнению B83), т. е. ядро
оказалось бы" не полным, что противоречит предположению.

45]	УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА	123
Как и выше, через fk будем обозначать коэффициенты Фурье
/ (s) относительно ортонормированной системы ср# (s) собственных
функций ядра и через \k — его характеристические значения.
Докажем теорему Пикара, дающую необходимое и достаточное
условие разрешимости уравнения B82).
Теорема. Пусть К (s, t) — полное ядро. Тогда для разреши-
разрешимости уравнения B82) необходимо и достаточно, чтобы ряд
ЕШ*1"	B84)
сходился.
Сначала докажем необходимость условия Пусть существует
решение ср (s) (из L2) уравнения B82). Пусть ak — коэффициенты
Фурье ф (s) относительно системы фА E). Как известно, коэффи-
коэффициенты Фурье функции / (б), представимой согласно B82) через
ядро, выражаются формулой
f* = g, т. е. ak = Xkfk9	B85)
и из сходимости ряда с общим членом | ak |2 следует сходимость
ряда B84).
Докажем достаточность условия. Пусть ряд B84) сходится. То-
Тогда существует функция ср (s) из L2 с коэффициентами Фурье Xjk
и в силу полноты системы yk (s) такая функция единственна
(с точностью до эквивалентности)
B86)
причем написанный ряд сходится в среднем. Функция B86) удов-
удовлетворяет уравнению B82), так как при ее подстановке в урав-
уравнение левая и правая части равенства B82) имеют одни и те же
коэффициенты Фурье относительно полной ортонормированной
системы cpfc(s). Теорема доказана.
Полнота ядра, т. е. системы cpfe (s), является существенной
не только для единственности, но и для существования решения
уравнения B82) из L2. Действительно, положим, что система <Pfc(s) —
не полная, т. е. существуют функции из L2, не эквивалентные
нулю и ортогональные ко всем cpk (s) (? = 1, 2, ...).
Пусть со (з) — такая функция. Покажем, что уравнение B82)
при f(s) = u)(s) не имеет решений из L2. В самом деле, пусть
'1акое решение <р (s) существует, и пусть /^ — коэффициенты Фурье
функции cp_(s) относительно ортогональной системы {cp&Cs)}. Из

124	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	Ив;
уравнения B82), вычисляя коэффициенты Фурье левой части со-
согласно [32], находим
причем ряд в правой части сходится в среднем. Умножая на cpm (s)
к интегрируя, получим, что hm = Q (m=l, 2, ...), г. е. (o(s) = 0«
Это противоречит выбору co(s).
Если же при неполном ядре для какой-либо / (s) из L2 урав-
ние B82) имеет решение ср (t) из L2, то, очевидно, функция
q>(t)-\-(o(t), где го (/) ортогональна ядру, также удовлетворяет
уравнению. Следовательно, решение уравнения B82) в этом слу-
случае не единственно.
46. Симметризация ядра. Рассмотрим несимметричное ядро
/С (s, t), которое будем для простоты считать непрерывным в fe0.
Введем в рассмотрение два симметричных ядра
ь		ь
Кг (s, t) = \K (t, s) К (т, t) dx, K2 (s, t) = \ К E, т) К (*, т) dx. B87)
а	«
Покажем, что оба ядра положительны [42]:
ъъ
а La
b b b
а а а
b
К (х, s) ф (s) ds § К (х, f
а
:(x,t)
ф@<
ф@<
it \dx
V(s)dsdxdt =
ь
а
ь
^ /С (т, s)cp (s)ds
а
и аналогично для K2(s, 0- Характеристические значения положи-
положительного ядра Ki (s, 0 положительны; обозначим какое-либо ха-
характеристическое значение через Л2, и пусть ф (s) — соответствую-
соответствующая собственная функция. Покажем, что
ь
y(s)=A\K(s, t)y(t)dt	B88)
а
будет собственной функцией ядра Кг (s, /), соответствующей тому
же характеристическому значению Л2. Действительно, из формул
B87) и B88) легко находим, что
ъ	ььь

(s9x)K(t9 x)K(t, o)y(o)dodTdt
Ь	ГЬ	"I	b
==Aj/d(s, t)KKi(t, oL>(G)do \dx = A*}K(s, г)ф(x)dx =

46]	СИММЕТРИЗАЦИЯ ЯДРА	125
Заметим, что функция B88) не эквивалентна нулю. В самом деле,
из равенства i|)(s)=0 следовало бы:
ь		ь ь
О = 5К(^, s)^(t)dt = \\\K(U s)K(t, т)Ф(т)ЛЛ =
а это противоречит тому, что ф (s)~собственная функция.
Точно так же, если я|э (s) — собственная функция ядра /С2 E, /),
отвечающая характеристическому значению Л2, то
]	t	B89)
а
есть собственная функция ядра К± (s, f), отвечающая тому же харак-
характеристическому числу. Из доказанного следует, что ядра Ki (s, t) и
К2 (s, t) имеют совпадающие характеристические значения Л| \k— 1,
2, ...) одинакового ранга. Пусть фл (s) —соответствующие собствен-
собственные функции ядра Ki (s, /), образующие ортонормированную си-
систему. Тогда, пользуясь формулой B88), нетрудно показать:
т. е. функции % (s) (k = 1, 2, ...) образуют ортонормированную
систему собственных функций ядра Kz (s, /). При этом фор-
формулы B88), B89) дают
% (s) = Л* $ Я (s, О ф^ @ d^; Ф* (s) = ЛЛ$/С (f, s) я|>* (/) Л B90)
(Лл>0; ft=l, 2,...).
Так как ядра /Ci(s, /) и /С2 (s, t) непрерывны, то из теоремы
Мерсера [43] следуют разложения в абсолютно и равномерно схо-
сходящиеся ряды:
Ki (S) t) = | ЩЦШ, К2 (s, t) = | ЬИЬШ. B91)
Докажем, что для ядра К (s, t) мы имеем разложение

126	ГЛ I ИНТЕ1 РАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[46
Написанный ряд является рядом Фурье ядра по ортонормирован-
ным системам <p*(s) и гр^) и сходится в среднем по s и по^.
Действительно, из B91) следует:
*-1 ч
= Ki (t, t) - У ' ^k (t) |2 = У ' ^ (/} |2
и в силу равномерной сходимости ряда B91) полученное выра-
выражение равномерно стремится к нулю при я-^оо. То же верно
при перемене ролей s и t.
Пользуясь разложением B92), легко получить обобщение тео-
теоремы Гильберта —Шмидта на случай несимметричного ядра. Умно-
Умножим обе части B92) на функцию h(t) из L2 и проинтегрируем
почленно:
IК (s, t) h (t) dt = 2 акщ (s),	B93)
a	k = l
где
и hk — коэффициенту Фурье h (f) относительно ортонормированной
системы я|)/?(/). Оценим отрезки ряда B93):
В силу непрерывности ядра имеем
B95)
k — n
где С— постоянная, и, как и в [32], регулярная сходимость ряда
B93) следует из B94) и B95). Аналогично доказывается регуляр-
регулярная сходимость ряда
f
U s)h(t)dt=
a	k = l
Как и в [45], можно рассмотреть уравнение первого рода:
ь
\K(s, t)y(t)dt = f(s).	B96)

47]	ПРИМЕРЫ	127
Если ak — коэффициенты Фурье / (s) относительно ортонормиро-
ванной системы yk (s), то необходимое условие разрешимости —
сходимость ряда
k = 1
Если система <рЛ (s) полна в L2> то решение уравнения B96) суще-
существует и единственно в L2. Если система q^ (s) не полна, то отно-
относительно разрешимости уравнения можно сделать те же замеча-
замечания, что в [45].
47. Примеры. 1. Рассмотрим ядро из [1], причем для простоты письма поло-
положим / = 1, т. е.
B97)
В данном случае мы можем найти в конечном виде все характеристические
значения и собственные функции. В однородном интегральном уравнении
t)y(f)dt	B98)
нам надо при интегрировании от ? = 0 до t — s, т. е. при t^s, пользоваться
вторым из выражений B97), а при интегрировании от t = s до t—\ —первым
из указанных выражений, т. е. уравнение переписывается в виде
s,	x
ф (s) = X С t A — s) ф (t) dt -f- X \s A — t) ф (t) dt.
0	s
Дифференцируем обе части по s:
s
ф' (s) = — X ( ty (t) dt + A,s A — s) ф (s)
0	s
Внеинтегральные члены сокращаются, и, дифференцируя еще раз по s, получим
= 0.	B99)
Ядро B97) удовлетворяет, очевидно, условию К @, t) — K (I, t) — 0, и
формула B98) дает ф @) = ф A) = 0, т. е. мы можем брать только те решения
уравнения B99), которые удовлетворяют предельным условиям* ф@) —ф A)=0.
Уравнение B99) интегрируется в элементарных функциях и, как мы знаем
[II; 180], поставленная для* него предельная задача может иметь решения,
отличные от нуля, только при Хп = п2п2, и эти решения будут фл (s) =
= 1/2 Sin /1Л5.
Непосредственной подстановкой в уравнение B98) нетрудно убедиться, что
упомянутые числа и функции будут действительно характеристическими значе-
значениями и собственными функциями уравнения B98) В этом, впрочем, можно
убедиться, замечая, что при наличии упомянутых предельных условий, мы
не вводили посторонних решений, производя указанные выше операции дифферен-
дифференцирования обеих частей уравнения. Мы уже имели полученные характери-
характеристические значения и собственные функции при рассмотрении задачи колебания
струны, закрепленной на концах [II; 180] Эгот факт стоит в непосредствен-
непосредственной связи с тем, что ядро B97), как мы показали в [1], дает статический прогиб

128	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[47
струны при наличии сосредоточенной силы. В дальнейшем мы разовьем эту
идею для широкого класса задач математической физики. Для рассматриваемого
примера ряд B01) будет равномерно сходящимся, и мы имеем следующую формулу:
sin kns sin knt __ p A — t) при s^t /0^s^l\
?2	~ U(l — s) при s^>* \0^*^1Г	'
Положим, что некоторая функция / (s) имеет непрерывные производные до
второго порядка и удовлетворяет предельным условиям f@) = /(l) = 0. Мы
имеем для такой функции представление через ядро, а именно:
1	s	1
f(s)=- J/C(s, t)f'{t)dt = -$$
6
что легко проверить, производя интегрирование по частям, и что вытекает
также из того, что было сказано в [1] относительно определения прогиба при
непрерывно распределенной нагрузке, которую в данном случае надо считать
равной /' (t). Теорема 2 показывает нам, таким образом, что всякая функция
f(s), удовлетворяющая указанным выше условиям, может быть разложена
в промежутке [0, 1] в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по
функциям У 2 sin kns. В дальнейшем мы увидим, что можно значительно облег-
облегчить условия, налагаемые на функцию f (s). Заметим, что формула C00) также
представляет собой разложение ее правой части в ряд Фурье.
Этот ряд можно рассматривать или как ряд Фурье правой части как функ-
функции от s (t — параметр) по функциям yZsmkns (fc=l, 2, ...), или как ряд
Фурье правой части как функции, определенной в квадрате @=<:s<cl; 0 <:
^^^1), по функциям 2 sin kns sm Izit (k, / = 1, 2, ...), образующим ортого-
ортогональную нормированную систему в упомянутом квадрате. Аналогично преды-
предыдущему, можно рассмотреть ядра вида
С ast -f- us -\-ct-\-d при s^t>
K(s, t) = \	,, | {/
I ast -{- bt -\- cs -\- d при s^t
(см. И. И. Привалов, Интегральные уравнения, 1935 г., ctp. 102).
2. Рассмотрим ядро К (s, t), которое представляет собой функцию от раз-
разности s — t:
/C(s, t) = (x> (s- 0,
где со (*) — непрерывная четная функция, имеющая период 2л. В силу чет-
четности функции со (х) такое ядро будет симметричным ядром. Введем в рассмот-
рассмотрение коэффициенты Фурье функции со (х):
л
1 f
C/> = — \ co(x)coskxdx (k = 0, 1, 2, ...);
п j
при этом в силу четности со (*):
я
f со (a:) sin kx dx = 0.
— я
Рассмотрим теперь интегралы
л
[ со (s — t) cos ^^ dt.

47]	ПРИМЕРЫ	129
Совершая замену переменных s — t = x и пользуясь четностью со (х), получим
я	s + я
f со E — /) cos kt dt = cos ks ^ со (x) cos kx dx,
—я	s — я
или, принимая во внимание, что длина пути интегрирования равна 2л;, будем
иметь окончательно:
я
J со (s — t) cos Atf dt = Jtc^ cos &s.
—я
Точно так же получим
л
^ со (s — t) sin ?? tftf = nck sin fcs.
—л
Рассмотрим однородное интегральное уравнение:
л
<p(s) = A, ^ co(s — ^)ф@^.
—л
Если все коэффициенты Фурье с^ функции со (л;) отличны от нуля, то из
предыдущих вычислений следует, что это уравнение имеет характеристические
значения:
Xk = -]~ F = 0, 1, 2, ...),
которым соответствует следующая система ортогональных и нормированных
собственных функций;
—г —::COSS, —=: COS 2s, ...
V2n ' /я
-7= Sin 5, —p-=. Sin 2s, ...
Ух Vn
Никаких других собственных функций наше ядро не может иметь, поскольку
указанные функции образуют замкнутую систему [II; 155]. Характеристическому
значению Xk при к :> 1 отвечают две собственные функции. Если, например,
Cj = O, а остальные ck отличны от нуля, то из системы собственных функций
отпадут две собственные функции: -— cos s и -— sin s, и ядро перестанет быть
У п	уп
полным.
При любых предположениях относительно коэффициентов сп ряд B01) будет
в данном случае иметь такой вид:
С ^	° ^C0S ks C0S kt ^ Sin ks Sin ^
~2~С° ^~ Lj°k ^C0S ks C0S kt ~^~ Sin ks Sin ^ = 2~ C° ~^~ zL °k C0S k^s~
т. е. это будет ряд Фурье функции со (s — t). В общем случае мы не можем
утверждать, что он сходится. Но если коэффициенты Фурье ck удовлетворяют
условию с^ ;> 0, то из теоремы Мерсера непосредственно вытекает, что ряд
сходится абсолютно и разномерно и дает со (s — t). To же самое заключение
будет иметь место, если среди коэффициентов ck будет лишь конечное число
положительных или отрицательных.

130	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[48
48. Ядра, зависящие от параметра. При изложении теории интеграль-
интегральных уравнений мы рассматривали параметр X, входящий лишь в качестве
множителя при ядре. Мы рассмотрели в [41] интегральное уравнение с
ядром R (s, t\ X), которое является аналитической функцией параметра.
При рассмотрении интегральных уравнений с ядрами, которые являются
аналитическими функциями параметра, мы можем встретить существенные
отклонения от тех закономерностей, которые мы имели в изложенной выше
общей теории. В качестве простейшего примера рассмотрим один тип однород-
однородного интегрального уравнения, в котором ядро есть полином первой степени от X:
ь
где
причем
Нетрудно проверить, что написанное однородное уравнение при всяком X
имеет решение
<p(s)=p(s) + a(s)A.
Рассмотрим теперь общий случай ядра К (s, t\ X) при следующих усло-
условиях: 1) K(s, t\ ^ — непрерывная функция s, t, Я, когда (s, t) принадлежит
kQ и X находится внутри некоторой области В плоскости комплексной перемен-
переменной X) 2) при всех (s, /), принадлежащих упомянутому квадрату, K(s, t\ X)
есть регулярная функция X внутри В.
Напишем интегральное уравнение, вводя вспомогательный параметр \л
перед знаком интеграла:
ь
ф (s) = f (s) + Н< I К (s» ft ^) Ф @ ^<
a
Мы можем повторить ,все рассуждения из [5] и [7], заменяя Я, фигури-
фигурирующее в формулах этих параграфов, на |л. Мы придем, таким образом, к ре-
резольвенте
fix)
Числитель и знаменатель этой дроби — степенные ряды по переменной ji, и
коэффициенты этих рядов -- регулярные функции внутри В. Если X заклю-
заключается в какой-либо замкнутой области В\л лежащей внутри В, то упомянутые
ряды при любом значении \л сходятся абсолютно и равномерно относительно X
[7] и тем самым суммы этих рядов — регулярные функций X внутри В [Н12; 12].
Полагая [х = 1, получим уравнение
ь
5 *. ft «Ф(ОЛ.	C01)
При этом возможны два случая: 1) регулярная внутри В функция D (Х\ 1) не
равна тождественно нулю; 2) D (X; 1) = 0. В первом случае уравнение C01)
имеет резольвенту:
^l(S) и%)~ D(X; 1)

48]	ЯДРА, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА	131
при всех X, отличных от корней D (Х\ 1), ив любой области ?х, лежащей
внутри В, может содержаться лишь конечное число таких корней. Резольвента
удовлетворяет, очевидно, уравнениям
b
#x(s, ft a,) = /C(s, ft %) + ]K(s> tt\ X)R1(t1, ft X)dtv
I	C02)
tfx(s, ft X) = K(s, ft k) + ]K(tl9 ft X)R1(s, tx\ X)dtb
a
и если X не есть корень D (X; 1), то уравнение C01) при любой f (s) имеет
единственное решение:
Ь
<P(s) = /(sL j/?i(s, ft l)f(t)dt.
a
Если Я = А0 есть корень D (Х\ 1), то отсюда следует, что целая функция
D (Хо\ |л) имеет корень |Л = 1, и из результатов [8] следует, что однородное
уравнение
Ь
9(s) = J/C(s, ft k)y(t)dt	C03)
а
имеет при %=Хо решения, отличные от нулевого. Отсюда следует, между про-
прочим, что А, = А.оесть полюс Rx (s, t\ X). Действительно, в противном случае при
всяких (s, t) резольвента Rx (s, t\ X) была бы регулярной в точке Х = Х0 и удов-
удовлетворяла бы уравнениям C02), в чем легко убедиться непрерывным переходом
в точку >w = ^0 от близких значений X, в которых равенства C02) имеют место.
Но если равенства C02) имеют место при Х = Х0, то отсюда следует, что урав-
уравнение C01) при всякой f (s) имеет единственное решение [6], а следовательно,
однородное уравнение C03) может иметь только одно нулевое решение. В слу-
случае D (Х\ \)е=0 однородное уравнение C03) имеет, очевидно, решение, отлич-
отличное от нулевого, при всяком X, лежащем внутри В, и неоднородное уравнение
C01) разрешимо не при всяком свободном члене.
Из предыдущих рассуждений следует, что при сделанных предположениях
о ядре К (s, ft X) и D (Х\ 1) ф. 0 характеристические значения не могут сгущаться
внутри В, т. е. во всякой замкнутой области 5lt лежащей внутри В, их может
быть лишь конечное число. Если вместо регулярности ядра мы предположим,
что оно может иметь полюсы, не зависящие от s и t, то возможно, что в любой
малой окрестности каждого такого полюса находится бесконечное множество
характеристических значений. Так, например, если уравнение
ъ
с непрерывным симметричным ядром имеет бесконечное множество характери-
характеристических значений Хп, то \Хп\—*-\-со, и у уравнения
Ъ
:f(s) + i- \ К (а,
с ядром /С (s, ft X), имеющим полюс А. = 0, характеристические значения Хп1
стремятся при п —* со к fa = Q.
Но может случиться, что резольвента для ядра, которое имеет полюсы, не
имеет вовсе особых точек. Так, например, пусть R (s, ft X) — резольвента

132	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[49
некоторого интегрального уравнения с симметричным ядром. Как мы знаем,
она есть мероморфная функция X, полюсы которой не зависят от s и t. Соста-
Составим интегральное уравнение:
Ь
q>(s) = f(s)-b$/?(s, t;X)cp(t)dt
а
с ядром R (s, t\ X) и параметром |i= — X. В силу сказанного в [41] резольвента
этого уравнения равна
/?(s, ft М-H>U = _* = *(*, ft 0) = * (s, 0.
и она не зависит от X.
В работе Я. Д. Тамаркина (Ann. of Mathem , 1927 г.) доказана сле-
следующая теорема для ядер из L2:
Теорема* Предположим, что ядро уравнения
Ь
<P(s) = f(s) + $/t(s, t\ X)q(t)dt
а
—	регулярная функция X внутри некоторой области Во плоскости X для почти
всех точек (s, t) квадрата k0 и что интегралы
ь	ь
J|/C(s, ft K)\*dt; J|/C(s, t; K)\*ds
a	a
существуют при почти всех s или соответственно t из [а, Ь] и в любой замк-
замкнутой области В^, лежащей внутри Во,
Ь	Ь
\ | К (s, ft X) i2 dt^F0 (s); J | К (s, ft X) ;2 ds ^Fo (*).
a	a
гЭв Т0(х) —положительная функция, зависящая от выбора В'о и интегрируемая
по промежутку [а, Ь]. При этом резольвента R (s, ft X) есть дробная функция
X в Во почти npusвсех (s, t) или не существует ни при каком X. Если К (s, ft X)
—	целая функция X, то R (s, ft X), если она существует хотя бы при одном
Xf есть отношение двух целых функций.
В упомянутой работе доказана аналогичная теорема и для того случая,
когда К (s, ft X) есть мероморфная функция внутри BQ, причем коэффициенты
при полярных членах суть конечные суммы произведений функции только от s
на функцию только от t.
Уравнения с ядрами, аналитически зависящими от параметра, были рас-
рассмотрены еще в ряде работ и, в частности в работах: Miranda (Circ. Matem.
di Palermo, t. 608, 1937 г.), I g 1 i s с h (Math. Ann. Bd. 117, 1939 r.)
и З. И. Халилов (ДАН СССР, т. 54, №7, 1946 г.). В этих работах ука-
указана и литература вопроса.
49. Случай функций нескольких переменных. Мы рассматри-
рассматривали теорию интегральных уравнений в основном для случая
одного независимого переменного и областью интегрирования
являлся конечный или бесконечный промежуток. Совершенно ана-
аналогично строится теория и для функций многих переменных

50]	УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА	133
где В— некоторая двумерная или трехмерная или, вообще,
/i-мерная область, по которой и совершается интегрирование (для
простоты пишем один знак интеграла), / (Р) — заданная в этой
области и ф(Р) — искомая функция. Ядро /С(Р, Q) — заданная
функция пары точек (Р, Q), каждая из которых принадлежит В.
Как и выше, можно рассматривать уравнения с непрерывными
ядрами или с полярными ядрами вида
Q)=^^,	C04)
где L (Р, Q) — непрерывная или просто ограниченная функция,
г —расстояние между точками Р и Q и 0<а</2, где п — раз-
размерность пространства. Слабо полярное ядро вида C04) опреде-
определяется условием 0 < а <-о-. При рассмотрении уравнения для
функций / (Р) и ф (Р) из L2 в В ядро предполагается измеримой
функцией в области 2п измерений, определяемой тем, что Р и Q
принадлежат я-мерной области В. Предполагается при этом, что
$ ]\К{Р, Q)\2d%Pd%Q<cx>.
вв
Отметим, что для полярных ядер вида C04) при непрерывности
/ (Р) и L (P, Q) решение ищется в классе непрерывных функций.
50. Уравнения Вольтерра. Переходим к рассмотрению уравне-
уравнений Вольтерра второго рода в одномерном случае:
, f)<t(f)dt.	C05)
Как уже указывалось ранее, это уравнение является частным
случаем уравнения Фредгольма, а именно, тем случаем, когда
/((s, /) = 0 при t > s, т. е. когда ядро обращается в нуль в поло-
половине квадрата k0, лежащей с одной стороны от его диагонали
s = t. Считаем, что свободный член / (s) — непрерывная функция
в некотором промежутке a^s^b и K(s, t) — непрерывная функ-
функция при a^s^b, a^t^s и /C(s, /)=0 при />s. Таким
образом, на диагонали s = t ядро имеет разрыв первого рода,
если K(sy s)=?0. Все основные теоремы и аппарат из [5—11]
полностью сохраняются.
Ищем, как и раньше, решение в виде ряда
Ф (s) = ФоE) + Ф1 (s) l + 4>2 (s) Ь2 + ...	C06)
Для функций фя (s) получаем формулы
Фо(*) = /(*); Ф.(*) = 1*(*. t)Vn-i(t)dt (я = 1, 2, ...).

134	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[50
На конечном промежутке или квадрате имеем оценки для
непрерывных функций:
|/(s)|<m; \K(st t)\<:M
и, проводя оценки срл (s), получаем последовательно:
s
lq>0(s)|=s?/7i; |<Pi(e)|<S|/C(s, t)\\<fo(t)\dt^mM(s-a),
2!
а	а
и вообще,
I / м ^ [M(s — a)]»
При изменении s на конечном промежутке [а, Ь] члены
ряда C06) по модулю не превышают положительных чисел:
m	л!
образующих при любом К сходящийся ряд и, следовательно, ряд
C06) сходится абсолютно и равномерно на [а, 6], а его сумма
Ф (s) есть непрерывная функция и удовлетворяет уравнению C05).
Совершенно так же, как и в [5], можно образовать резоль-^
венту:
со
R(s,t;k)= ZKn+i(s,t)X\	C07)
где
Ki (s, t) = K (s, 0; K* (s, /) - \ Kn-i (s, к) К (tl9 t) dtx C08)
a
(n = 2f 3, ...),
причем из этих формул следует, что Kn(s, t) = 0 при
Действительно, если t>s9 то ^</ и K(t±, t) = Q.
Как и выше, доказывается абсолютная и равномерная сходи-
сходимость ряда C07) при всех X. Таким образом, для уравнения
Вольтерра C05) резольвента есть целая функция, и при всяком К
это уравнение имеет единственное решение, которое определяется
формулой [6]:
Ф (s) = f (s) + X\R (s, t\ %) f (t)dt.	C09)

50]	УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА	135
Можно, следовательно, утверждать, что уравнение Вольтерра не
имеет характеристических значений, т. е. однородное уравнение
q>(s) = X$/(E, t)ff(t)dt
а
при любом К имеет только нулевое решение. В связи с этим,
если бы мы построили для уравнения C05) знаменатель Фред-
гольма D (Я), то оказалось бы, что он вовсе не имеет корней [8].
Можно показать, чго если ядро имеет вид
где L(s, t) — непрерывная функция и 0<а<1, то уравнение
C05) имеет по-прежнему единственное решение, и это решение
может быть получено указанным выше методом последовательных
приближений. При этом ядра /(„(s, /), начиная с некоторого зна-
значения п, непрерывны. При а<1/2 непрерывным будет уже
ядро Кг (s, t) [20].
Точно так же метод последовательных приближений применим
и к" системам уравнений:
т s
ф. (s) = f, (s) + Я, 2 \ K,k (s, t) щ @ dt.	C10)
k=\ a
Характерным для уравнения Вольтерра при сделанных пред-
предположениях является тот факт, что ряд, полученный по методу
последовательных приближений, сходится при всех значениях А,
в упомянутом промежутке. Если условие непрерывности соблю-
соблюдено при всех s^a, то мы получим решение при всех s^a.
Рассмотрим уравнение с двумя переменными пределами:
I K(S, /)ф@Л	C11)
co(s)
или уравнение
Ф (s) = / (s) + Я У К E, 0 Ф @ dt.	C12)
S
Положим, что s меняется в некотором промежутке [а, 6], причем
соблюдены обычные условия непрерывности для / (s) и К (s, t) и,
кроме того, пусть в указанном промежутке a^o(s)^5. Сущест-
Существуют, очевидно, такие положительные числа N и М, что при
b мы имеем

136	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[50
В уравнении C11) или C12) заменим f (s) и К (s, t) превосхо-
превосходящими положительными числам N и М я введем вместо (co(s), s)
или (s, со (s)) более широкий промежуток интегрирования (a, s):
фE)=# + Ш$ф(/)Л.	C13)
Применение метода последовательных приближений к послед-
последнему уравнению приведет, как легко доказать, к степенному
ряду относительно X, коэффициенты которого положительны и не
меньше, чем абсолютные величины коэффициентов степенного
ряда, получаемого при решении уравнений C11) и C12). Урав-
Уравнение C13) имеет обычный вид, причем роль K(s,t) играет
при t^s постоянная М, и соответствующий степенной ряд схо-
сходится равномерно относительно s в промежутке [а, Ь] при вся-
всяком X. То же можно тем более утверждать о ряде, получаемом
при решении уравнений C11) или C12), и этот ряд дает реше-
решение соответствующего уравнения. Отметим, что решение уравне-
уравнения C13) выражается в конечном виде, а именно:
Заметим также, что, например, уравнение C11) может быть запи-
записано в обычной форме C05), причем ядро подчиняется условию:
/((s, 0 = 0 при ^<<(o(s).
В интеграле, входящем в уравнение C05), мы можем переста-
переставить пределы, изменив одновременно знак у ядра. Таким образом,
тот факт, что переменным является верхний предел интеграла,
не существен для теории. Точно так же вместо неравенства s^a
мы могли бы поставить условие s ^ а. При помощи простой
замены s'— — s и t'=—t один случай переходит в другой.
Аналогичным образом вместо указанных выше неравенств для со (s),
например, в уравнении C11), мы могли бы считать s^co (s)^b.
Рассмотрим еще уравнение:
S
— S
где / (s) определена и непрерывна при —b^s^h, и ядро К (s, f)
определено при —b^s-^b, —b^t^b. Разбивая промежуток
интегрирования на две части, (— 5, 0) и @, ,s), и заменяя в пер-
первом случае переменную интегрирования t на (—t), получим
S	S
Ф (s) = f (s) +;Я ^ К (s, - 0 ф (— 0 dt + Я \К (s, 0 fP @ dt\
о	о	!
заменяем s на (—s) и / на (—t):
s	s
Ф (— s) = f (— s) — Я J /С (— s, t)q>(t)dt-X\K(—s, —t)<p(-t)dt.
О	"	0

50]	УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА	137
Считая O^s^b и O^t^b, положим:
ф (S) = ф! (S), ф ( — S) = ф2 (S), / (S) = Д (S), / ( — S) = f2 (s),
К (s, о = Kn E, 0, К (s, - /) = Kit E, 0, К (- s, /) - - K2i (s, 0,
K(-s, -0 = -K22(s, t).
Мы приведем интегральное уравнение C14) к системе уравне-
уравнений обычного вида:
Ф1 (S) - fl (S) + К I Kn (S, 0 Ф1 @ dt + b{ Ки (S, 0 Ф2 (*) Л,
о	о
Ф2 (s) = /а E) + Я $ /Cai E, 0 Ф1 @ dt + k\ K22 (s, t) ф2 (/) Л.
о	о
Если мы решим эту систему уравнений, то получим две функ-
функции q)±(s) и ф2($), непрерывные в промежутке O^s^b. Реше-
Решение (f(s) уравнения C14) мы получим теперь по формулам:
фE)==ф1E) при O^s^fc; ф($) = ф2(—s) при —b^s^O. При
s = 0 применима любая из этих двух формул, потому что фг@) =
= /i@) = /@) и ф2@)==/2@) = /@). Это доказывает, между про-
прочим,' что так полученное решение y(s) уравнения C14) будет не-
непрерывно и в точке s = 0.
Указанный выше метод последовательных приближений при-
применим и для случая нескольких независимых переменных. Так,
например, в случае двух независимых переменных мы имеем
уравнение
х у
Ф(*. y) = f(*> У)+ЬЦК(*> У\ *> 0фE. t)dsdt, C15)
а с
к которому приложимо все сказанное выше. Разложение по па-
параметру Я, сходящееся при всех значениях Я, возможно и для
более общих уравнений, когда в правой части, кроме двойного
интеграла, стоят и простые интегралы:
Ki(x, у; s)<p(s, y)ds +
а
U	ху
\К2(х, У\ s)q(x9 s)ds + №^K3(x, у; 5, <)<p(s, f) dsdt.
с	ас
Здесь параметр X вводится лишь для удобства проведения ме-
метода последовательных приближений. Совершенно так же, как и
выше, можно доказать существование и единственность решения
уравнения
у х
ф(*. y) = f(x, у) + Ь \ \ К(х, у\ s, 0фE, t)dsdt,
Ы2 {У) COi (X)
где а ^ со2 (л:) ^ х и с ^ со2 (У) <: У-

138	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[51
Мы могли бы также считать функцию со2 зависящей от х, а не
от у, и функцию % зависящей от у. Нетрудно доказать и един-
единственность решения уравнений C11) и C12).
Замечание. Метод последовательных приближений приме-
применим для уравнений Вольтерра и в том случае, когда /С (s, /) из
L3 в k0 и K(s, t) — 0 при s<C.t и f (s) из L2 в [a, b]. При этом
получается степенной ряд относительно Я, сходящийся при любом
Я почти везде в [а, Ь]. Аналогичный результат получается и для
резольвенты R (s, t\ Я).
51. Преобразование Лапласа. Дальше мы займемся уравне-
уравнениями Вольтерра в том специальном случае, когда ядро К (s, t)
зависит только от разности (s — t). Предварительно мы изучим
одно интегральное преобразование, близко связанное с преобразо-
преобразованием Фурье, а именно, так называемое преобразование Лапласа.
Напомним, что если функция /(л:), определенная на проме-
промежутке— оо<л:<с + оо, непрерывна, удовлетворяет условиям Ди-
Дирихле на всяком конечном промежутке и существует интеграл
Ч-оо
\ \f(x)\dx,	C16)
— оо
то преобразованием Фурье функции / (х) называется функция
+ 00
f(x)eaxidx,	C17)
и имеет место следующая формула обращения [II; 173]:
+ оо
— 00
равносильная формуле Фурье, причем последний интеграл надо
понимать как интеграл в смысле главного значения, т. е.
м
1	(*
/(я) = -7= lim \ ^(а)е~ах1йа.
У 2л м ^+оо J
Положим, что не только интеграл C16), но и интеграл
\ e»*\f(x)\dx	C19)
—оо
имеет конечное значение при —/n<p<m. При этом функция
fx (а) определяется формулой C17) не только при вещественных,
но и при комплексных а = а1 + а2/, удовлетворяющих условию
— т < a2 < m, ибо

51]	ПРРОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	139
и по условию этот интеграл имеет смысл при —m<Ca2<Ctn.
В преобразовании Лапласа величина а заменяется чисто мнимой
величиной a = si и, кроме того, что не существенно, откиды-
откидывается множитель (Y~2n)~~l.
Мы переходим к подробному исследованию преобразования
Лапласа. Совершенно аналогичное исследование можно было бы
провести и для преобразования Фурье C17).
Положим, что функция ф (х) в промежутке (— оо, + со)
непрерывна, кроме точек разрыва непрерывности первого рода,
причем число этих точек конечно во всякой ограниченной части
упомянутого промежутка. Пусть, далее, эта функция имеет в каж-
каждой точке производную или же производные справа и слева,
причем в точках разрыва под производными справа и слева мы
подразумеваем пределы отношений:
<p(c-h)-q>(c-0)
	—h	 и
при ft
Положим, кроме того, что интеграл
\ e~a*<p(x)dx	C20)
— оо
абсолютно сходится, если а удовлетворяет неравенству
а<ст<р,	C21)
где аир — некоторые фиксированные вещественные числа, кото-
которые могут быть равны и (—оо) или (+ оо). При этом к функ-
функции е~охц) (х) применимы обычное предельное равенство для инте-
интеграла Дирихле и формула Фурье [ср. II; 173].
Рассмотрим функцию комплексного переменного s = а + т/,
определяемую равенством
4-00
f(s)= \ e~sxy(x)dx.	C22)
— оо
На плоскости комплексного переменного s = g j,-t/ неравенство C21)
определяет полосу,' параллельную мнимой оси, или полуплоскость
(если одно из чисел а или {J равно бесконечности), или даже всю
плоскость. Пусть В —некоторая конечная замкнутая область,
лежащая внутри полосы C21). Мы можем взять внутри C21)
точку so = g0 + t0/, лежащую левее области В, т. е. такую, что
для всех точек s = a + xi9 принадлежащих В, имеет место нера-
неравенство g>g0, и точку Si = cxi + t1/, лежащую правее В. Таким
образом, для всех точек s из В и при всех вещественных х мы
имеем неравенства
| e~sxq) (х) \ <; е-°оХ | <р (х) \ при х ^ 0;
\

140	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[51
Но, по условию, функции, стоящие в правой части написанных
неравенств, интегрируемы по промежуткам @, +°°) и (—оо, 0).
Отсюда следует, что интеграл C22) в области В сходится абсо-
абсолютно и равномерно относительно s и, следовательно, функция
/ (s) является регулярной функцией в области В [Ш2; 70], так
что, ввиду произвольности выбора В, функция / (s) регулярна
внутри полосы C21).
Докажем сейчас теорему, которая даст нам выражение перво-
первоначальной функции <p(jc) через преобразованную функцию f (s).
Вообще, формула C22) представляет собой функциональное пре-
преобразование функции ф (х) с указанными выше свойствами, причем
в результате преобразования получается функция комплексного
переменного f(s), регулярная в упомянутой полосе.
Теорема 1. При сделанных относительно ф (л;) предположе-
предположениях имеет место формула обращения:
G-f-1 со
в которой интеграл берется по любой прямой, лежащей внутри
полосы C21), причем интеграл надо понимать в смысле главного
значения.
Произведение е~охц (х) удовлетворяет указанным выше для ф (х)
условиям, и, в частности, интеграл C20) абсолютно сходится,
а потому к функции е~ох<$ (х) применима формула Фурье:
-J-OO	-f-00	-f-QO
§ e~axida ^ Г<°-°'>'ф (/)#==-? J er**lf(o-ai)da.
— оо
Вводя вместо а новую переменную интегрирования s==a — ai,
получим C23).
Функция / (s), определяемая внутри полосы C21) формулой C22),
ведет себя определенным образом при удалении точки s на бес-
бесконечность вверх или вниз внутри указанной полосы, а именно,
пользуясь абсолютной сходимостью интеграла, нетрудно показать,
что в любой полосе /Е, определяемой неравенством a-f г<а<С
< Р — е, где е — заданное положительное число, функция f (s)
стремится к нулю при удалении точки на бесконечность. Мы можем,
наоборот, задавать не ф (х), а функцию f (s), удовлетворяющую
некоторым условиям внутри полосы C21), и при этом строить
Ф (х) по формуле C23). Уточним наши предположения относи-
относительно f(s). Мы предполагаем, что / (s) регулярна внутри C21).
Пусть, далее, для всякой полосы Je существует функция со (р),
определенная при р>0, принимающая лишь положительные

51]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
141
значения, удовлетворяющая условию со(р)->0 при р->оо, имею-
имеющая сходящийся интеграл:
оо
\ (о (р) ф
и такая, что в Je имеет место неравенство:
Sco (|т I) (s = a + xi).	C24)
Докажем теперь теорему, аналогичную теореме 1.
Теорема 2. При сделанных предположениях формула C23)
дает функцию ф (х), определенную на всей вещественной оси, непре-
непрерывную и не зависящую от выбора ст. При этом первоначальная
функция f (s) определяется через преобразованную функцию ф (х)
по формуле C22), причем интеграл надо по-
нимать в смысле главного значения.
Полагая в правой части C23) s =
получим
-fco
\
+Т
f
C25)
При любом выборе х модуль подынте-
подынтей ф	ф	()
-Т
j)_
f
В
Рис 1
-J
р	р	у
гральной функции не превышает функции со (р),
имеющей сходящийся интеграл, и, следо-
следовательно, интеграл в C25) сходится
абсолютно и равномерно относительно х.
Таким образом, мы видим, что ф (х) определена при любом вещест-
вещественном х и является непрерывной функцией [II; 84].
Докажем теперь, что эта функция не зависит от выбора а.
Рассмотрим внутри полосы C21) какой-нибудь прямоуголь-
прямоугольник ABCD, ограниченный прямыми 0 = 01, g = o2', t = ±T (рис. 1).
В силу теоремы Коши интеграл от f (s) exs по контуру этого
прямоугольника равен нулю. Рассмотрим величину этого инте-
интеграла по сторонам t = ±T9 параллельным вещественной оси.
Например, для стороны t = T будем иметь интеграл
C26)
В силу C24) имеем для этого интеграла оценку:
где k=l или 2. Отсюда, в силу того, что ю(р)->0 при р->оо,
видно, что интеграл C26) стремится к нулю при Г->оо. Анало-

142	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[51
гичный результат получится и для интеграла по стороне t — — Т.
Применяя упомянутою выше теорему Коши, можем утверждать,
что интеграл от функции f(s)exS по прямой g^=g1 сверху вниз
отличается лишь знаком от интеграла по прямой g = g2, взятого
снизу вверх, или оба эти интеграла равны один другому, если
оба брать снизу вверх. Ввиду произвольности в выборе пря-
прямых о = Ох и су = G2 можем утверждать, что интеграл от функ-
функции f(s)exs по прямой сг = а0 имеет одно и то же значение при
любом выборе прямой внутри полосы, т. е. при любом выборе
а0, лишь бы оно удовлетворяло неравенству а<ао<р.
Остается еще доказать, что / (s) выражается через ф (х) по
формуле C22). Полагая в формуле C23) s = g — t/, будем иметь
Умножим обе части на exui и проинтегрируем по х от (— оо) до
(+оо). Принимая во внимание, что к функции /(а —т/) как
функции вещественного переменного т применима формула Фурье:
-J-OO	-|-ОО
f(a-ut) = ~ i exuidx [ f (а - ti) e Xxi dx,
— ОО
мы получим
f(e-ui)= \ ц
— оо
a это и дает нам формулу C22), ввиду произвольности величины и.
Формулы C22) и C23) являются обращением одна другой, в том
смысле, как это указано в теоремах 1 и 2.
Покажем, что если в теореме 2 |3 = ±оо, т. е. если заданная
функция f(s) регулярна в полуплоскости а>а и удовлетворяет
в ней остальным условиям, то функция ф (х), определяемая фор-
формулой C23), обращается в нуль при jc<0. Заметим, что в дан-
данном случае, в частности, по условию, должна существовать при
любом положительном г в полуплоскости а — а ,- е функция со (р)
с указанными выше свойствами. Итак, докажем, что cp(jc) = O
при #<0. Применяя к интегралу обычную оценку и неравен-
неравенство C24), мы полечим
Если х — фиксированное отрицательное число, то при а-> + оо
правая часть стремится к нулю, а левая не зависит от выбора от,

51]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	143
и, следовательно, действительно ср(л:) = О при #<0. В данном
случае формула обращения преобразования C23) будет иметь
вместо C22) следующий вид
со
/ (s) = $ e-**q> (х) dx.	C27)
о
Если считать, наоборот, ср (х) заданной, то преобразование C22)
называется обычно двусторонним преобразованием Лапласа, а пре-
преобразование C27) — односторонним преобразованием Лапласа, Это
последнее преобразование является, очевидно, частным случаем
первого и получается из него, если заданная функция ф (х) равна
нулю прц отрицательных значениях х. В случае одностороннего
преобразования Лапласа мы должны наложить на ср (х) условие,
что интеграл C27) абсолютно сходится в нексторой полуплоскости
сг>а. Если В — некоторая конечная замкнутая область, лежащая
внутри этой полуплоскости, то мы можем взять прямую ст = о{)'>а>
лежащую внутри упомянутой полуплоскости /и слева от В. По
условию, интеграл
сходится и, принимая во внимание, что переменная интегрирова-
интегрирования х>0, мы имеем для s, принадлежащих В,
т. е. интеграл C27) сходится абсолютно и равномерно относи-
относительно s для всех s, принадлежащих В, и дает функцию / (s),
регулярную в В, т. е. регулярную в полуплоскости а>а.
Из приведенных оценок вытекает непосредственно и следующее
утверждение: если интеграл C27) сводится абсолютно в точке
6o = (To-fToj, то он сходится абсолютно и равномерно в полупло-
полуплоскости о^а0. Заметим, что сформулированные выше теоремы
можно доказать и при более общих предположениях относи-
относительно cp(x) и f(s). Очень часто правые части формул C27) и
C12) обозначают через Ьг (ср) и ?()
о	j°°
Li (ср) = \ е-$хц (х) dx\ L2 (ср) = \ e~Sx^ (x) dx.
О	—оо
Преобразования L± (ср) и L2(cp) —линейны, т. е.
U (ад) = CjL, (ср); U (схф! + ед2) = сх1ь (фх) -|-с^Ц (ф2),
где сг и с2 — произвольные постоянные и фг (х) —функции, удовле-
удовлетворяющие указанным выше условиям. Если вместо переменной х

144	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[52
ввести новую переменную и = е~х и положить <p(x) = ty(u), то
преобразования C12) и C13) запишутся в виде
U-f(s)ds.
Если бы мы провели соответствующие рассуждения для пре-
преобразования Фурье C17), то вместо вертикальной полосы, в кото-
которой / (s) — регулярная функция, мы получили бы горизонтальную
полосу регулярности (полосу, параллельную вещественной оси)
для fx(a) (a = st). В остальном результаты сохраняются с точ-
точностью до постоянного множителя перед интегралом.
52. Свертывание функций. Пусть фх (х) и ф2 (х) — две непре-
непрерывные функции, определенные при х^О. Сверткой этих двух
функций называется функция ф3(*), определенная равенством
Ф8Ю = $Ф1(Лф2(*-0Я-	C28)
о
Эта функция, определенная при х^О, будет также непре-
непрерывной функцией. Вводя вместо t новую переменную интегриро-
интегрирования т = л; — t, мы можем представить ф3(л:) в виде
х
Фз (х) = \ фх (х - т) ф2 (т) dr.	C29)
о
Обычно обозначают свертку функций символом
Фз = Ф1 * Ф2>
причем из C28) и C29) непосредственно вытекает, что свертка
не зависит от порядка функций, т. е. ф2*ф1 = Ф1*ф2. Операция
получения свертки называется свертыванием функций.
Положим, что к функциям фх (л:) и ф2 (х) применимо преобра-
преобразование C27), абсолютно сходящееся в некоторой полуплоскости
a>a. Мы покажем, что для у3(х) преобразование C27) также
будет сходящимся в упомянутой полуплоскости и что имеет место
следующая формула:
-U (ф1 * Ф2) = U (Ф1) U (ф2)>	C30)
т. е. операции свертывания в области функций фЛ (#) соответ-
соответствует простое умножение в области преобразованных функций:
fk(s) = ]e-s*<pk(x)dx.	C31)

52]	СВЕРТЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ	145
Для доказательства составим произведение, стоящее в правой
части формулы C30):
(и) du-\e~ ™cp2 (v) dv,	C32)
о
причем переменные интегрирования мы обозначили через и и v.
Написанное произведение мы можем представить в виде двойного
абсолютно сходящегося интеграла по первому координатному
углу плоскости {и, v)\
СО	СО	СО 00
$ е~5Иф1 (и) du. \ <Г5>2 (v) dv=][ <г5(в+*)ф1 (и) ф2 (v) du dv.
О	0	0 0
Возможность такого представления произведения C32) двой-
двойным интегралом непосредственно вытекает из абсолютной сходи-
сходимости входящих в это произведение интегралов. Чтобы убедиться
в этом, достаточно в этих интегралах совершить интегрирование
по конечному промежутку @, т), преобразовать такое произве-
произведение в двойной интеграл, а затем устремить т к бесконечности
и воспользоваться обычным определением несобственного двойного
интеграла [II; 89]. В полученном двойном интеграле введем новые
переменные интегрирования x = u-\-v и t = v. Мы придем к абсо-
абсолютно сходящемуся двойному интегралу
для которого область интегрирования, в старых переменных опре-
определяемая неравенствами и^О; v^09 будет теперь определяться
неравенствами t^O; x — t^O, т. е. на плоскости (t, x) областью
интегрирования будет часть первого координатного угла, лежащая
над биссектрисой t = x. Сводя двойной интеграл к двум квадра-
квадратурам, получим
00	00	СО	ГХ	1
\ е-8ицх (и) du • $ в-"ф2 (v) dv = $ e~sx \\ щ {х -1) ф2 (f) dt dx,
о	о	о U	J
что и доказывает формулу C30).
Для функции Фз(*) мы имеем оценку
о
из которой вытекает, между прочим, следующее неравенство:
о о

146	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[53
или, производя преобразование Дирихле [II; 82]:
Вводя в правой части вместо х новую переменную интегрирова-
интегрирования т = я —/, получим
т
\в
0
или, тем
т
$
0
-ах
Фз
более,
е Gx | ф
(х)
dx-
з (х) | dx
т
^ \ e~Gt
6
оо
'^] е'°
0
ф2 @ | С
' 1 Ф2 @
m — t
it- \ e'01
0
оо
dt.\e^
0
: 1 Ф1 (т)
1Ф1W1
т. е. из абсолютной сходимости интегралов C32) в полуплоскости
а>а следует абсолютная сходимость такого же интеграла и для
срз (х). Отметим, что приведение двойного интеграла по углу
к двум квадратурам легко оправдать обычным образом, рассмат-
рассматривая сначала конечную часть угла, лежащего над биссектрисой
t = x, и затем переходя к пределу. Утверждение справедливости
формулы C30) называется обычно теоремой свертывания.
Совершенно аналогично предыдущему, можно ввести понятие
свертывания функций и доказать теорему свертывания и для дву-
двустороннего преобразования Лапласа, а именно, — имеет место сле-
следующее утверждение: если (рх(х) и ф2 (х) — непрерывные функции,
определенные в бесконечном промежутке (—оо, + оо), и инте-
интегралы L2 (q>i) и L2 (ф2) абсолютно сходятся в некоторой полосе
а<а<Р, то интеграл
+^
Фз (х) - \ Ф1 @ Фи (х -1) dt
— оо
будет абсолютно сходящимся при любом вещественном х. Преоб-
Преобразование Лапласа для полученной функции ф3 (х) будет абсо-
абсолютно сходящимся в упомянутой полосе, и будет иметь место
формула свертывания:
53. Уравнения Вольтерра специального вида. Рассмотрим урав-
уравнения Вольтерра с ядром, зависящим лишь от разности своих
двух аргументов:
х
Ф (х) =¦ / (*) + \ К (х -1) ф @ dt.	C33)
о

53>	УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА	147
Предположим, что непрерывные функции f (x) и К (х) стре-
стремятся к нулю при x-^~fco и имеют оценку
| f (х) I ^ Ае~ах\ | К (*)! < Ве~Ьх,	C34)
где постоянные Л и Б>0, а постоянные а и ^0. Пусть /0 и
/Со —верхние границы значений \f(x)\ и | /( (я) | при х^О. При-
Применяя к уравнению C33) метод последовательных приближений
[50], получим для ф (х) при х^О оценку \ц>(х) \^foeK(iX. Отсюда
видно, что к функциям ф (х), f (х) и К {х) применимо односторон-
одностороннее преобразование Лапласа при а>тах (а, Ь, /@), и мы полу-
получаем преобразованные функции:	*
Ф (s) -- U (Ф); F (s) - Lx (/); L (s) - Lx (К),	C35)
регулярные в полуплоскости сг>/@. 'Применяя к обеим частям
C33) одностороннее преобразование Лапласа и пользуясь форму-
формулой свертывания, будем иметь
откуда
Выше мы видели, что функция Ф (s) должна быть регулярной
в полуплоскости а>/(о- Отсюда ввиду полной независимости
L (s) и F (s) вытекает, что знаменатель написанной дроби не должен
иметь корней внутри упомянутой полуплоскости. Совершая обра-
обращение первой из формул C35), получим
O-\-ioo
S <S>(s)#*ds(o>Ko).	C37)
Итак, определяя функции F (s) и L (s) по формулам C35) и
Ф (s) по формуле C36), мы получим по формуле C37) решение
уравнения C33) в явном виде. Заметим, что при определении
функции ф (х) в конечном промежутке @, /), мы согласно урав-
уравнению C33) используем значения / (х) и К {х) только из упомя-
упомянутого выше промежутка, и можем, таким образом, продолжить
эти функции вне указанного промежутка любым образом и,
в частности, так, чтобы они удовлетворяли указанным выше усло-
условиям. Мы можем даже считать их тождественно равными нулю
при достаточно больших положительных значениях х.
Покажем, что для уравнения C33) и все повторные ядра зави-
зависят лишь от разности (x — t). Мы имеем [50]
К2 (х, /) = 5 К (я - tx) К (tx -1) dtv
t

148	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[53
Введем вместо tx новую переменную интегрирования % = tx — t:
М*. 9 = *S K(x-t-T)K(T)dx9
о
откуда и следует непосредственно, что К2 (х, t) есть функция раз-
разности (х — /), т. е. К2(*, 0 = ^2(^ — 0
Аналогично доказательство и для следующих повторных ядер.
Таким образом, в силу формулы C07) при X = 1 мы можем утвер-
утверждать, что резольвента уравнения C33) будет зависеть только
от упомянутой выше разности Обозначая ее через R(x — t), мы,
пользуясь формулой C09), можем написать решение уравнения
C33) в виде
\	C38)
о
Применяя к обеим частям этого уравнения преобразование Лап-
Лапласа и вводя, наряду с C35), обозначение
M(s) = L1(R)9	C39)
мы получим
Пользуясь формулой C36), мы можем определить М (s) через
известную функцию L(s):
М®=т^туу	C4°)
и обращение формулы C39) даст нам резольвенту R(x):
G-J-too
#(*) = 2S ] M(s)es*ds.	C41)
О —100
Подставляя R(x) в формулу C38), получим решение.
Указанный метод решения уравнения C33) приложим и к си-
системам уравнений Вольтерра вида
Vj(x) = fj{x)+2\Kjk{x-f)<pk{f)(U (/=1, 2, ..., р).
Применяя к обеим частям преобразование Лапласа, получим
Oj(s) = Fj(s)+% ^E)Ф*(«) 0=1, 2, .... р).
Решая эту систему уравнений первой степени, определим Ф, (s),
и решение нашей системы получится по формулам
о 4 юо
<РД*)	S

>4]	УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА	149
Заметим, что условия C34) для ядра К(х) и свободного
члена / (х) можно значительно ослабить. Достаточно потребовать,
чтобы существовала такая положительная постоянная с, чтобы
f (х) е~сх и К (х) е"сх были ограниченными по абсолютной величине
при х>0. При этом будут иметь место формулы C37) и C41)
при всех достаточно больших значениях а Для доказательства
этого утверждения достаточно обе части C33) умножить на е~сх
и ввести новую искомую функцию фх (х) = ер {х)е~сх, свободный
член f1(x) = f(x)e~cx и ядро Ki(x) = K(x)e'cx.
54. Уравнения Вольтерра первого рода. До сих пор мы зани-
занимались исключительно интегральными уравнениями второго рода.
Как мы сейчас увидим, в случае уравнения Вольтерра, при неко-
некотором дополнительном условии, уравнения первого рода легко
могут быть преобразованы в уравнения второго рода. Рассмотрим
уравнение Вольтерра первого рода:
\{х, t)<?{t)dt = f(x),	C42)
причем из самого вида уравнения непосредственно вытекает, что
заданная функция /(л) должна удовлетворять условию f(d) = O.
Дифференцируя написанное уравнение по х и деля на К(х, х),
мы придем к следующему уравнению второго рода:
C43)
причем мы считаем, что f (х) непрерывна и К{х, х)Ф0. Рас-
Рассмотрение общего случая можно найти в книге Г. Мюнтца
«Интегральные уравнения».
Принимая во внимание условие f (а) = 0, мы легко можем от
уравнения C43) вернуться к уравнению C42), т. е. эти уравне-
уравнения равносильны и, следовательно, уравнение C42) имеет един-
единственное решение. Рассмотрим теперь уравнение первого рода
с ядром следующего вида:
где Н (х, t) — непрерывная функция, имеющая непрерывную про-
производную по х. К этому типу уравнений принадлежит уравнение
Абеля, которое мы рассматривали раньше. Итак, будем рассмат-
рассматривать интегральное уравнение
гргФ<0Я = /(*),	C44)

150	ГЛ. I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[54
причем так же, как в уравнении Абеля, мы взяли нижний пре-
предел интегрирования равным нулю. Умножив обе части этого урав-
уравнения на (z — x)"a, интегрируя по х от х^О до x = z и приме-
применяя формулу Дирихле [II; 82], мы придем к следующему инте-
интегральному уравнению:
C45)
ядро которого определяется формулой:
к (у t\-\ н <*' *> а у
Это ядро уже не является сингулярным, как в этом нетрудно
убедиться при помощи преобразования переменных интегрирова-
интегрирования, а именно, вводя вместо х новую переменную интегрирова-
интегрирования б по формуле
мы получим
z—t	\
—г— cos 8, ^ J sin (
<346>
откуда, принимая во внимание непрерывность ядра Н (х, t) и
равномерную относительно z и t сходимость написанного инте-
интеграла, мы можем заключить, что Кг (z, f) есть непрерывное
ядро. Пользуясь формулами из теории функции Г (г) [Ш2; 71, 72],
мы можем написать
1 + cos 8)«-i (I— cos 8)-« sin 6 ш = -^,
и формула C46) даст нам
Ki{z, г) = # (г, г)т-2-.
х ч ' '	\ > / cm ттг/
Таким образом, новое непрерывное ядро Xi (г, f) будет удов-
удовлетворять условию Ki{z, z)=?Q, если только аналогичному усло-
условию удовлетворяет функция Н (х, /), т. е. Н (х, х)=?0. Из фор-
формулы C46) непосредственно получается также, что К\ (г, /) имеет
непрерывную производную по г, если существует непрерывная

[54	УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА	151
производная Нх(х, t). Точно так же при наличии непрерывной
производной /' (х) из формулы
) FZ^ dx= )
непосредственно вытекает, что правая часть уравнения C45) имеет
непрерывную производную:
Таким образом, при сделанных предположениях уравнение
C45) имеет решение ф(я). Остается доказать, что эта функция
удовлетворяет и первоначальному уравнению C44). Подставим
Ф (я) в первоначальное уравнение и образуем разность
Умножая обе части на {г — х)~а, интегрируя по х в пределах
O^x^z и применяя формулу Дирихле [II; 82], получим в силу
C44):
Умножая обе части на (и — z)n г, интегрируя по г в преде-
пределах от 2 = 0 до г = м и меняя порядок интегрирования, будем
иметь при любом и:
откуда и вытекает непосредственно, что со (х) = 0.
Положим теперь, что функция К(х, t)y фигурирующая в урав-
уравнении C42), зависит только от разности (x — t), т. е. рассмотрим
интегральное уравнение первого рода:
C47)
о
Умножим обе части на e~sx и проинтегрируем по х от х = 0
до # = оо. Вводя одностороннее преобразование Лапласа для задан-
заданных функций f (х) и К (х) и искомой ф (х):
Ф (s) = U (Ф); F (s) - U (/); L (s) - Lx (К),	C48)
в силу теоремы о свертывании мы получим
= F(s).	C49)

152	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[55
Мы считаем, что ядро К (х, f) удовлетворяет условию
К (х9 х) Ф О, о котором мы упоминали раньше и которое в дан-
данном случае имеет вид: К @) ^ 0. Это гарантирует нам существо-
существование решения уравнения C47). Далее, как и раньше, мы можем
считать, что / (х) и К (х) обращаются в нуль при больших поло-
положительных значениях х. Принимая во внимание произвольность
/ (х), мы видим, как и в [53J, что L(s) не должна обращаться
в нуль при значениях s с достаточно большой вещественной
частью. Формула C49) дает нам Ф(«), и мы получим в конечном
виде решение уравнения C47), применяя формулу обращения
к первому из равенств C48):
ч
G-\-ico
ф(О=гй? \ est<$>{s)ds.	C50)
Указанный выше метод применим и к уравнению C44), если
Н (х, t) зависит только от разности (x — t), причем нетрудно про-
проверить законность применения преобразования Лапласа и тео-
теоремы о свертывании, если 0<<х<; 1.
55. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение
Ф (*) = /(*) + ?(*-О Ф @ #•	C51)
о
В данном случае К(х) — х и
причем вещественная часть s считается положительной. Формула C40) дает
и в силу уравнения C51) резольвента определяется равенством:
О+ЮО
1 С esx
где а—любое достаточно большое вещественное число.
Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру плоскости s = a-f-xi, состо-
состоящему из отрезка прямой о = Оц, где ао>1, и полуокружности, лежащей
слева от этой прямой и имеющей центр в точке пересечения этой прямой
с вещественной осью. Вводя в интеграл C52) вместо s новую переменную
интегрирования sL по формуле: s — no — isly мы получим на плоскости пере-
переменной s1 контур интегрирования, состоящий из отрезка вещественной оси и
полуокружности с центром в начале. Пользуясь хотя бы леммой Жордана
[Ш2; 60] и тем, что х > 0, убедимся, что интеграл по полуокружности будет
стремиться к нулю при стремлении ее радиуса к бесконечности, и отсюда

55]	ПРИМЕРЫ	153
непосредственно следует, что величина интеграла C52) при о > 1 равна
сумме вычетов подынтегральной функции в точках s=± 1, т. е.
и решение уравнения C51) в силу C38) может быть написано в таком виде:
X	X
Ф (ж) = / (*) + -i- е* \ е-Ц {t)dt-\ е~* [ (?\ (t) dt.
$	$
2. Для уравнения
х
<p(x) = f(x) + le*-*<p(f)dt	C53)
мы имеем К(х)=ех и, следовательно:
оо
S—I1
О
откуда
1	]
M(s) = -—х и /?Ы = -
О —too
Применяя, как и в предыдущем примере, теорему о вычетах, получим
и решение уравнения C53) будет
3. Мы имели следующую формулу, содержащую функцию Бесселя Уо (д:)
1111,; 154]:
оо
e-k* Jo (Ар) dk = 1 ,
откуда следует
оо
Р	1
¦*V0(*)?k = -7==.	C54)
Принимая во внимание асимптотическую оценку функций Бесселя из [Шг; 153],
мы можем утверждать, что формула C54) справедлива, если вещественная
часть s положительна.
Рассмотрим интегральное уравнение
ЧР (*)«/(*) + Ь J 'о С* - 0 ф (О Л-	C55)

154	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[55
В данном случае К (x)==lKJ0{x)} и в силу C54)
)= г^_ и M(s) = —=t=	,
так что резольвента определится по формуле
a-btoo
R (Х) = А [	eSX	ds
или
a-\-i<x> 		of + / oo
a—i oo	о — i oo
Второй из написанных интегралов может быть вычислен, как и выше,
по теореме о вычетах. Займемся преобразованием первого интеграла. Наряду
с формулой C54) совершенно так же можно доказать при целом положитель-
положительном п формулу
и, интегрируя это равенство по а от a — s до а = -|-оо, получим
С другой стороны, применяя теорему о вычетах, получим
CF-f *'°O
а — loo
Мы можем, таким образом, написать
Применяя теорему о свертке [52], получим
»
и, следовательно, для интеграла, входящего в выражение R (х), получим
а + / со 		х
1 Г* |/ 1 -|- S2 — S	1	?	г./*	 .	-1 J1(t)
2л1 j I—X2 + s2	S~ i/'iTTp" j sinLr — v ^— )J —
G — I oo	0
и резольвента уравнения C55) будет иметь выражение:
X
*(*) = гт=== \ Й1[КГ=А?(*-/)].^Л+
(О
+ X cos (КТ^Х2л;) + ^ sin (V\ -
У1 — л2

55]	ПРИМЕРЫ	155
4. Рассмотрим уравнение первого рода:
X
С e*-'q> (*)<# = *.	C56)
Совершая над обеими частями уравнения одностороннее преобразование
Лапласа, получим
(P(s) 1	_/ч s— 1
j^f-iT. т.е. Ф(*)
в-{ Coo
1
a —too
5. Рассмотрим уравнение:
д:
^о (а: — t) ф @ <tf == sin x,	C57)
о
Принимая во внимание, что
мы получим
, ! ф(8) = -T-V-T-, т. е. a)(s) =
и, следовательно,
or-f-ioo
1 С
i
a—/oo
или, принимая во внимание первую из формул C58),
$>(x) = J0(x)t
т. е. подставляя это решение в уравнение C57), получаем формулу
6
6. Рассмотрим еще ядро, которое обращается в бесконечность при
и построим соответствующую этому ядру резольвенту, причем мы не будем
входить в обоснование применимости указанного выше метода в рассматри-
рассматриваемом сингулярном случае.

156	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Вычисляем L (s) и М (s):
оо
{ е^- dx=%T (I-a) s«-i,
[56
и для резольвенты получаем выражение:
где о—достаточно большое положительное число.
Разлагая в ряд, получим
и все сводится к вычислению интеграла:
1
Совершая подстановку s* = t, видоизменяя соответствующим образом
контур и пользуясь формулой A54) из [IIIг; 74], получим
откуда
o + too
J_ С
2га 3
esx sn (tt-n d$=.
хп
56. Нагруженные интегральные уравнения. При изложении
теорий интегральных уравнений с непрерывным ядром мы исхо-
исходили из обычного понятия интеграла. Можно повторить всю тео-
теорию или ее часть, исходя из другого понятия об интеграле. Мы
уже упоминали выше о возможнрсти построения теории интеграль-
интегральных уравнений на основе интеграла Лебега. Существенным явля-
является то обстоятельство, чтобы интеграл, который мы рассматри-
рассматриваем при построении теории, обладал всеми теми свойствами,
которые мы используем при построении теории. В настоящем

56]	НАГРУЖЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	157
параграфе мы укажем на новое понятие об интеграле, на основе
которого может быть построена вся изложенная в начале настоя-
настоящей главы теория интегральных уравнений. Приведенные ниже
результаты принадлежат Кнезеру.
Мы ограничимся лишь простейшим случаем. Пусть / (х) — непре-
непрерывная в конечном промежутке [а, Ь] функция, хр(р=1, 2, ...
..., т)— фиксированные точки в этом промежутке и ар — некоторые
положительные числа. Определим интеграл от f (x) по промежутку
[а, Ь] как сумму обычного интеграла и произведений значений
функции f(x) в точках х — хр на числа ар. В отличие от обычного
интеграла, будем ставить над знаком интеграла черту. Данное
выше определение выражается следующей формулой:
apnxP).	C59)
= \
Непосредственно очевидны следующие обычные свойства интег-
интеграла:
\Ifi(*)+h(x)]dx=[h(x) dx+ $h (x) dx;
a	a	a
b	b
Далее, при последовательном интегрировании по промежутку
[а, Ь] можно переставлять порядок, т. е.
ь\Ъ
\
s, t)dt\ds==U\F(s, t)ds\dt.
J	fib	J
Действительно, применяя непосредственно определение C59),
нетрудно привести обе части написанного равенства к виду
b b	m b	m
\\F(s, t)dsdt + ? I[F(s, xp) + F(xp, s)]ds+ 2 F,(xp, xq).
a a	p = \ a	pt q—\
До сих пор мы не использовали положительность коэффициен-
коэффициентов ар. В следующем свойстве это уже будет для нас важно.
Если / (х) ^0, то и интеграл C59) также имеет не отрицательную
величину, и он может равняться нулю только в том случае, если
/(*) = 0. Совершенно такое же свойство имеет место и для пов-
повторного интеграла. Отсюда, как всегда, вытекает справедливость
неравенства Буняковского для нового понятия интеграла. Если
\f()\, то существует такая положительная постоянная k, что

158	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[56
имеет место неравенство
\f(x)dx
\km.
При ар > 0 мы можем, очевидно, считать k = (b — a) 4- а± +... + ар.
Из последнего свойства вытекает, как всегда [I; 145], что
равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать при
новом понятии интеграла. Пользуясь этим понятием интеграла,
можно повторить дословно всю теорию интегральных уравнений
с непрерывным ядром. Если K(t, s)=K(s, t), то, очевидно, мы
имеем
ь	ь
]K(s, f)q>{t)dt = lK(t, s)q>(t)dt.
a	a
Интегральное уравнение
ь
Ф (s) - / (s) + X \ К E, t) Ф (/) dt	C60)
a
равносильно, очевидно, следующему уравнению с обычным интег-
интегралом:
о	tn
а	/? = 1
Характеристические значения и собственные функции, как
всегда, будут определяться из однородного уравнения:
Ъ
s, t)cp(t)dt.
В случае симметрии ядра собственные функции можно считать
ортогональными:
Ъ
\ Фх (s) Ф2 (s) ds = 0,
а
ИЛИ
Ь			т
^ Фх (s) ф2 (s) ds + 2] я>ф1 (хр) ф2 (хр) = 0.
Остаются, конечно, справедливыми теорема Гильберта — Шмидта
и теорема Мерсера. Уравнения вида C60) называются нагружен-
нагруженными интегральными уравнениями.

56]	НАГРУЖЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	^
Рассмотрим один пример. Возьмем симметричное ядро К (s, /), равное s
при s <=; t и равное t при s>/, причем основным промежутком является
промежуток [0,1] Положим, что в формуле C59) /л=1 и что единственное
дополнительное слагаемое в правой части берется при дс=1, г. е.
а	а
Однородное уравнение
Г
<p(s) = A,$K(s, t)q{t)dt
о
может быть переписано в виде
S	1
q> (s) = X $ *<р (*) of/ + Xs J ф @ Л + tawp A).	C62)
Дифференцируя по s, получим
1
Ф' (s) = X J ф (t) dt + Хаф A),	C63)
S
еще.раз дифференцируя, придем к уравнению
Ф' (s) + Xrp(s)=^O.	C64)
Из C62) и C63) вытекают следующие два предельных условия: ф@) = 0 и
ф' (l) = Xmjf A). Наоборот, легко видим, что решение C64), удовлетворяющее
указанным условиям, является решением интегрального уравнения C62).
Если я = 0, то мы имеем обычное интегральное уравнение, и предельные
условия ф@) = ф'A)—0 не содержат параметра X Полагая % = \i2, мы в сипу
первого из предельных условии имеем: ф(ь) = С sin |as, и второе условие дает
уравнение для определения [х, а именно- cos \i == aji sin \i.
Уравнения более общего типа были рассмотрены Лихтенштей-
Лихтенштейном1).
Пусть В — некоторая область на плоскости и / — ее контур.
Лихтенштейн рассматривал уравнения вида
Ф (М) +Л $ $ К± (М, N) Ф (АО daN + X \ K2 (M9 N) Ф (N) dsN +
в	i
+ Я 2 К, (М, Pk) ф (Pk) = / (М),	C65)
Л = 1
где Pk — фиксированные точки, принадлежащие замкнутой обла-
области В. Это уравнение можно записать в обычной форме, если
ввести новое ядро и новый дифференциал: пусть М принадлежит
замкнутой области В и N отлично от /V Полагаем:
ts,m лгч { Kl(M> N)> еСЛИ N ВНУТРИ В,
КЩ' N)==\ КЛМ, Ny9 » N на - /, d(*N^\dsN на /,
г) Studia Mathematika, t. Ill, 1931.

160	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[57
и пусть
К(М9 N)^Ks(M, Pk) и d®N=l,
если N совпадает с Pk- При этом уравнение C65) запишется
в виде
<р(М) + Х \ K(M, N)y(N)d(DN = f(M),
B + l
и может быть повторена вся теория Фредгольма. Отметим только,
что при этом решение союзного уравнения
при непрерывности f (M) будет иметь, вообще говоря, разрыв
непрерывности при переходе на контур /ив точках Pk. To же
можно сказать и о решениях однородного союзного уравнения.
Предыдущие результаты справедливы и в трехмерном прост-
пространстве. Другой метод исследования нагруженных интегральных
уравнений дан в работе Н. М. Гюнтера1).
57. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши. Мы
начнем сейчас исследование некоторых простейших интегральных
уравнений в одномерном случае, в которых интеграл понимается
в смысле главного значения [НЬ; 26]. При этом мы используем
изложенные раньше результаты, касающиеся главного значения
интеграла и интегралов типа Коши [Ш2; 26, 27, 28]. Основы
теории таких сингулярных интегральных уравнений даны в рабо-
работах Пуанкаре и Гильберта. Дальнейшее широкое развитие теория
получила в работах советских математиков. Систематическое изло-
изложение в одномерном случае дано в книге Н. И. Мусхелишвили
«Сингулярные интегральные уравнения» (Москва, 1968 г.) и в книге
Н. П. Век у а «Системы сингулярных интегральных уравнений
и некоторые граничные задачи» (Москва, 1972 г.). В многомерном
случае теория сингулярных интегральных уравнений изложена
в книге С. Г. Михлина «Многомерные сингулярные интегралы
и интегральные уравнения» A962 г.).
В дальнейшем, говоря о гладком контуре, мы будем считать,
что его уравнения: * = x(s), y = y{s), где s — длина дуги и функ-
функции х (s), у (s) — имеют непрерывные производные до второго
порядка.
Начнем с интегрального уравнения первого рода с ядром Коши:
-f®.	C66)
Studia Mathematika, t. IV, 1932.

58]	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ	161
где L — гладкий замкнутый контур, /(?) — заданная на L функция,
удовлетворяющая условию Липшица.
Относительно искомой функции со (т) будем предполагать, что
она удовлетворяет условию Липшица.
Мы имели раньше формулу [НЬ; 29]:
(Т)
=I rfTJ dl = Т
из которой непосредственно следует, что функция
б	C68)
удовлетворяет уравнению C66). Нетрудно видеть, что решение
этого уравнения единственно. Действительно, умножая обе
части C66) на —,¦. "tir"» интегрируя по ? и принимая во внима-
внимание C67), мы получим C68). Короче говоря, формулы C67) и C68)
являются следствием одна другой в силу C67). Отметим, что
из C68) непосредственно следует, что со (т) удовлетворяет усло-
условию Липшица, если этому условию удовлетворяет /(|) [Н12; 27].
58. Предельные задачи для аналитических функций. Прежде
чем переходить к решению интегральных уравнений с ядром Коши,
займемся некоторыми предельными задачами для аналитических
функций. Предварительно введем одно новое понятие и докажем
вспомогательную теорему.
Пусть некоторая функция / (г) регулярна в окрестности г = оо.
Говорят, что она имеет на бесконечности конечный порядок, если
ее разложение в окрестности г = оо имеет вид
(ц,5*0),	C69)
и целое число т (положительное, отрицательное или нуль) назы-
называется порядком f (г) на бесконечности. Если /п<^0, то f (z) регу-
регулярна в точке z = oo, а если т>0, то z = oo есть полюс /(г).
При m<zO мы имеем f(oo)=0.
Теорема. Если /(г) регулярна на всей плоскости z и имеет
конечный порядок на бесконечности, то f (z) есть полином.
В рассматриваемом случае разложение C69) имеет место на
всей плоскости г, и это разложение не должно содержать отри-
отрицательных степеней г, ибо z = 0 должна быть точкой регуляр-
регулярности /(г). Таким образом, при т>0 функция f (z) будет поли-
полиномом, а при т = 0 — постоянной (полином нулевой степени).
В частности, эта постоянная может равняться нулю. Функция,
тождественно равная нулю, также считается имеющей конечный

162	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[58
порядок на бесконечности. Ее порядок считается равным нулю,
как и у постоянной, отличной от нуля. Доказанная теорема
является, по существу, обобщением теоремы Лиувилля [НЦ; 9].
Пусть L — гладкий замкнутый контур. Решим указанные ниже
три предельные задачи.
Задача 1. Найти функцию ср+(г), регулярную внутри L, и
функцию ф-(-г), регулярную вне L и имеющую конечный порядок
на бесконечности, так, чтобы обе функции были непрерывны вплоть
до L, и на L имело бы место соотношение:
Ф+(т)-<р-(т) = /(т) (т на L),	C70)
где f (т)— заданная на L комплексная функция, удовлетворяющая
условию Липшица.
Формула
определяет функцию ф,|(г), регулярную внутри L, и ф(у (г) — регу-
регулярную вне L и равную нулю на бесконечности. В силу формул
для предельных значений интеграла типа Коши [НЬ; 29]:
C72)
мы видим, что Фо"(т) и фо(т) удовлетворяют соотношению C70),
т. е. формула C71) дает решение задачи 1. Нетрудно видеть, что
Фо(т) и q>o(i) также удовлетворяют условию Липшица [НЬ; 27].
Очевидно, что и
где Р (г) — произвольный полином, дает решение задачи 1, при-
причем ф+(т) и ф~(т) удовлетворяют условию Липшица.
Покажем, что эта формула дает все решения задачи 1. Пусть
Ф+(г) и ф~ (г) — какое-нибудь решение задачи 1. Из C70) и такого же
соотношения для фо(г) следует:
Ф+ W - Фо W = Ф" (т) — ф^ (т) (т на L),
т. е. разности
имеют одинаковые значения на L, и тем самым эти разности опре-
определяют функцию, регулярную на всей плоскости [НЬ; 24] и

58]	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ	163
имеющую конечный порядок на бесконечности. В силу доказан-
доказанной теоремы упомянутые разности равны одному и тому же поли-
полиному P(z)9 откуда и следует формула C73).
Если поставить условие ср~ (оо) = 0, то в формуле C73) надо
положить P(z) = 0. Сформулируем теперь вторую задачу, впер-
впервые рассмотренную Гильбертом, причем мы будем в дальнейшем
считать, что точка 2 = 0 находится внутри L.
Задача 2 (однородная задача Гильберта). Найти
Ф+(г) и ф~ (z) при прежних условиях так, чтобы вместо C70)
выполнялось условие
Ф+(т) = ?(т)ф-(т) (г на L),	C74)
где g (т) — заданная на L комплексная функция, удовлетворяющая
условию Липшица и отличная от нуля.
Пусть k — целое число, равное приращению аргумента g(x)
при обходе точкой х контура L, деленному на 2я:
• Аргумент функции:
go(x) = x~kg(x)	C76)
не получает приращения, когда т обходит L, и Jg g0 (т) — непре-
непрерывная на L функция. Мы фиксируем при этом какое-нибудь опре-
определенное значение логарифма.
Нетрудно показать, что lgg(T)» так же как и go(x), удовлет-
удовлетворяет условию Липшица, на чем мы не останавливаемся. Соста-
Составим функцию:
\|5о(г) = еО)о(г)>	C77)
где
Эти формулы определяют различные, вообще говоря, регуляр-
регулярные функции при г, лежащих внутри и вне L:
^ (г) = е< <*> % (г) = *»о <*>,	C79)
и, пользуясь формулой C72) для предельных значений интеграла
Коши, непосредственно можно проверить, что функции C79) на L
удовлетворяют соотношению:
WW = &(t)iKM.	C8°)
Введем новые функции, регулярные внутри и вне L:
Фо (*) = $? (г); Фо(г) = г-*Фо(г).	C81)

164	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[58
Принимая во внимание C76) и C80), мы видим, что ф? (z) и
Фо (г) являются решением однородной задачи Гильберта. Из C78)
и C79) следует, что со0(оо) = 0 hi|H(oo) = 1, и в силу C81) можно
утверждать, что порядок ф0 (г) на бесконечности равен (—k).
Отметим еще, что ц>1 {г) не обращается в нуль нигде, а фй (г)
может обращаться в нуль лишь при г = оо. Если Р (г)— любой
полином, то функции
Г (г) = Р (г) Ф? (г); ЦТ (г) =- Р (z) ^ (г)	C82)
также являются решением однородной задачи Гильберта. Если
т — степень Р(г), то порядок фо на бесконечности равен (m — k).
При этом, как и в задаче 1, ф-1 (т) и ф~(т) удовлетворяют усло-
условию Липшица.
Покажем еще, что формулы C82) определяют все решения
упомянутой задачи. Действительно, пусть ф+(г) и ф~ (г) —какое-
нибудь решение задачи. Отношения
Ф+ (*)	ф" (г)
регулярны соответственно внутри и вне L и второе из них имеет
конечный порядок на бесконечности. Кроме того, эти отношения
совпадают на L Следовательно, отношения C83) определяют
функцию, регулярную на всей плоскости и имеющую конечный
порядок на бесконечности, и в силу доказанной выше теоремы
эта функция есть полином, откуда и следуют формулы C82) для
Ф+(г) и ф-(г).
ЗадачаЗ (неоднородная задача Гильберта). Найти
Ф+ (г) и ф~ (г) при прежних условиях так, чтобы вместо C74) соб-
соблюдалось условие
Ф+ (т) = g (т) Ф" (т) + / (т) (т на L),	C84)
где g(t) и f (х)—заданные на L функции, удовлетворяющие усло-
условию Липшица, и g (т) ^? 0.
Пусть фо (г) и ф0 (г) —построенное выше решение задачи 2,
не обращающееся в нуль. Из C74) следует: ?(т) = фо (т): фо (т);
подставляя g(x) в C84), перепишем это условие в виде
ф+_(т) __ r?jr) = /(X)
Фо^ СО Ф^ С*) фё (т) '
т. е. мы пришли к первой задаче для отношения ф(?)/фо(г),
откуда в силу C73)
JL С fb) dx l Г (г)
? = JL
ф0B) 2ni
где Р (г) — любой полином, и, окончательно,
h)dT+p {г) ^(г)- <385)

59] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА С ЯДРОМ КОШИ 165
Для области, находящейся внутри L, мы должны вместо фо(г)
взять ф"A"(г), а для внешней области — ср^ (г). Формула C85) дает
общее решение задачи 3. Функции cpj (г) и ср^ (г) определяются
формулой C81) и число k—формулой C75). Первое слагаемое
правой части имеет порядок на бесконечности (—k—1) и вто-
второе— (m—k), где т — степень полинома Р (г). Как и в предыду-
предыдущих задачах, ср+(т) и qr (т) удовлетворяют условию Липшица.
Выясним теперь вопрос о тех решениях задачи 3, которые
обращаются в нуль на бесконечности. Иначе говоря, мы ищем
решения, имеющие отрицательный порядок на бесконечности. Рас-
Рассмотрим случаи: /е>0, k — О и &<0. Если &>(), то первое
слагаемое правой части формулы C85) имеет отрицательный поря-
порядок на бесконечности, а второе будет иметь отрицательный поря-
порядок в том и только в том случае, когда m<.k, т. е. при &>0
формула C85) даег общий вид решений задачи 3, равных нулю
на бесконечности, если за Р (z) взять любой полином степени,
меньшей, чем к. Мы имеем в этом случае бесчисленное множество
решений задачи 3, равных нулю на бесконечности. Общее реше-
решение содержит k произвольных постоянных [коэффициенты Р (г)].
Если k = 0, то первое'слагаемое по-прежнему будет отрица-
отрицательного порядка на бесконечности, а во втором слагаемом надо
взять Я(г) = 0. Решение задачи 3 при этом, очевидно, един-
единственно. Если ?<0, то, принимая во внимание сказанное выше
о порядках слагаемых правой части формулы C85), нетрудно
видеть, что надо взять Р(г) = 0, и, кроме того, в первом слагае-
слагаемом должны отсутствовать члены, содержащие z~k \ z~k~2, ..., г°,
т. е. в разложении интеграла
fft) dx- г С /W лх *~2 f */(т) dx i
) ИГ (т) (т-z) п% - 2rJ ) щ (т) й% 2ш ) ^Ш +'' "
L	Li	L
имеющем место при достаточно большом |г|, должны отсутство-
отсутствовать члены, содержащие г, z~2, ..., z~~k. Это приводит к сле-
следующим необходимым и достаточным условиям того, что задача 3
имеет решение, равное нулю на бесконечности:
==0 (s=0> 1( •••' k~l)-	<386>
При выполнении этих условий решение задачи 3, равное
нулю на бесконечности, единственно и определяется формулой C85)
при P(z) = 0.
59. Интегральные уравнения второго рода с ядром Коши.
Рассмотрим уравнение
^®$Щ = /Ю,	C87)

166	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	№
где A (i), ВЦ), f(l) — заданные на L функции, удовлетворяющие
условию Липшица, причем считается, что
A (t) + B($) ф 0 и А ©-Д (?) ф О (I на L).
Решение ср (?) ищется также среди функций, удовлетворяющих
условию Липшица. Вводим функцию
-	C88)
Из формул C72) следует при указанных выше обозначениях:
ф(|) = Ф+(!)-ф-©,	C89)
= Ф+ ® + Ф" ® •	C90)
Подставляя C89) и C90) в C87), получим
[А (|) + В (I)] Ф+ (|) - [А (|) - В (Б)] Ф" (I) = / A) C91)
или
4||§^|г, C92)
т. е. Ф (г) должно быть решением задачи 3, равным нулю при
г = оо. Пусть, наоборот, имеется такое Ф(г). Определяя <р(|)
по формуле C89), мы будем иметь для Ф(г) формулу C88) [58],
из которой вытекает C90). Определяя из C89) и C90) Ф+(|)
и Ф~(?) и подставляя в C92), получим C87). Таким образом,
решение уравнения C86) равносильно решению задачи 3 при
предельном условии C92). При этом cp(g) определяется форму-
формулой C89). Теперь остается обратиться к результатам из [58],
чтобы получить полное решение задачи. Согласно формулам
C75), вводим целое число
которое называется индексом уравнения C91).
Пусть Фо (г) — решение задачи 2 при условии
отличное от нуля, которое мы построили в [58]. Рассмотрим три
случая:
1) k>0. При этом мы имеем:
Ф <2) - W
где Pk_i (г) — произвольный полином степени (&—1).

59J ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО РОДА С ЯДРОМ КОШИ 167
2) k = 0. Решение получаете^ по C93) при Pk_± (г) = 0, т. е.
w»w(.-^ *• <394)
3) &<0. Для разрешимости задачи 3 необходимо и доста-
достаточно выполнение условий:
lL_-dT = 0 (s-0, 1,...,-*-!),	C95)
и если эти условия выполнены, то решение выражается форму-
формулой C94).
Пользуясь формулами C85) и C89), мы можем теперь полу-
получить решения ф(?) уравнения C87). При этом надо использовать
формулы для скачка интеграла типа Коши. Таким образом,
получим при k^Q
w /tx _ Ф?(?) + Фо(Е) f /Еч .
)]ФНт)(т-?) "Г
причем Рл-1(г)^0 при & = 0. При k<.0, если выполнены усло-
условия C95), получим тот же результат, где только Рл_г(|)^0.
Отсюда непосредственно следует, что однородное уравнение
=0 C96)
при k>0 имеет общее решение:
Ф (S) = № (Б) - Фо F)] Рм (Б).	C97)
а при &^с0 уравнение C96) имеет только нулевое решение.
Формула C97) дает k линейно-независимых решений уравнения
C96):
Ф(|) = [Ф»(|)-Фо(а]61 E = 0, 1, 2	Л—1).
Итак, при k>0 неоднородное уравнение C87) разрешимо
при любой /(?), и однородное уравнение C96) имеет к линейно-
независимых решений. При k = Q уравнение C87) разрешимо при
любой f (I) и имеет единственное решение, а однородное уравне-
уравнение C96) имеет только нулевое решение. При fe<0 мы имеем
(—k) условий C95) разрешимости уравнения C87) и при выпол-
выполнении этих условий уравнение C87) имеет единственное решение.
Однородное уравнение имеет при этом только нулевое решение.
Мы имеем здесь результаты, отличные от тех, которые имели
при решении обычных уравнений Фредгольма.

168	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[60
Отметим, что уравнение первого рода
получается как частный случай уравнения C87) при А (?) = 0 и
ВA) = у. В этом частном случае & = 0.
60. Предельные задачи для случая отрезка. Рассмотрим сей-
сейчас задачи из [58] для того случая, когда вместо замкнутого
контура L мы имеем отрезок [а, Ь] вещественной оси. В даль-
дальнейшем через Ф (г) будем всегда обозначать функцию, регулярную
вне [а, 6], конечного порядка на бесконечности, непрерывную
вплоть до [я, Ь] сверху и снизу, кроме, может быть, концов, и
имеющую вблизи концов оценку
1^-|^г>	C98)
где А и а — постоянные, 0^а<1 и с —один из концов, т. е.
с = а или с = Ь. Через Ф+ (?) и Ф~(?) будем обозначать предель-
предельные значения Ф (г) сверху и снизу на [а, Ь].
Задача 1. Найти Ф (г) так, чтобы при а < | < Ь имело
место соотношение
где f (|) — заданная функция, удовлетворяющая условию Липшица
на замкнутом отрезке [а, Ь].
Как и в [58], формула
где Р (z) — произвольный полином, дает решение задачи. Условие
C98) проверяется непосредственно на основании того, что вблизи
концов Ф (г) имеет вид [1На; 28]
где F (г) имеет конечный предел при z-+c. Можно показать, что
формула C99) дает все решения задачи. Наметим доказательство
этого. Пусть Фг(г) и Ф2(г)—два решения задачи. Достаточно
показать, что разность со (г) = Ф2 (г) — Фх (г) есть полином. Как
и в [58], эта разность регулярна на всей плоскости, кроме,
может быть, точек z = a и z = b, и имеет конечный порядок на
бесконечности. Остается доказать, что со (z) регулярна и в точках
z = a и z = b.

60]	ПРЕДЕЛЬНЫЕ 3\ДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ОТРЕЗКА	169
Примем во внимание, что со (г) имеет вблизи z = c оценку C98).
Легко показать, что при наличии такой оценки со (г) регулярна
и в точке z — c. Чтобы убедиться в этом, достаточно повторить
доказательство теоремы из [Ш2; 10]: если /(г) регулярна и одно-
однозначна в окрестности z — a и ограничена по модулю, то она
будет регулярной и в самой точке z = a. При этом условие огра-
ограниченности \f(z)\^N можно, без ущерба для доказательства,
заменить условием C98), т. е. \f(z)\^ a @^а<1).
Решение задачи 1, удовлетворяющее условию Ф (сю) = 0, полу-
получается из C99) при P(z) = 0.
Следующие задачи мы будем рассматривать в том частном
случае, когда g (?) = — 1.
Задача 2. Найти Ф (г) так, чтобы при a<zl<.b имело
место соотношение
Б) = о.	D00)
Принимая во внимание, что ~\fz — с меняет знак, когда z обхо-
обходит вокруг с, мы можем написать следующие решения задачи 2:
Ф0(г) = 177=4т=тг'	D01)
V{z-a)(z-b)
где значение радикала фиксируется любым образом. Это решение
отлично на всей конечной плоскости от нуля и Ф (оо) = 0.
Решением задачи будет также:
Ф (г) = r P(z) r,	D02)
V(z-a){z-b)
где Р (г) — произвольный полином. Эта формула дает все решения
задачи. Действительно, если Ф (z) — какое-либо решение задачи,
то нетрудно показать, аналогично тому, что мы делали в задаче
1, что отношение Ф (z): Фо (z) есть полином, откуда и следует D02).
Задача 3. Найти Ф(г) так, чтобы при а<.1<Ь имело
место соотношение
?) = Ш,	D03)
где f (I) — заданная функция, удовлетворяющая условию Липшица
на замкнутом отрезке [а, Ь].
Пусть Фо (г)—функция D01), Принимая во внимание, что она
удовлетворяет условию D00), мы можем переписать условие D03)
в виде
Ф+(Ю Фg) /(?)	D04)
т. е. для функции Ф(г): Ф0B) мы имеем задачу 1.
Определим значения радикала в формуле D01), например,
так, чтобы разложение Ф0(г) в окрестности г = оо началось с г

170	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[60
При этом на верхнем берегу разреза [я, Ь] радикал \лA — а) Ц — Ь)
будет чисто мнимым с положительным коэффициентом при i.
Понимая именно такое значение этого радикала, можем пере-
переписать условие D04) в виде
D05)
Покажем, что функция
У{1-а)(Ь-\)	D06)
удовлетворяет на замкнутом отрезке [а, Ь] условию Липшица
с показателем, равным половине. Воспользуемся для этого оче-
очевидным неравенством
пРи а^0, а + р^0.	D07)
Пусть g и ц принадлежат [а, Ь]. Полагая
получим из D07)
откуда, принимая во внимание 1-\-г)^2а> будем иметь
Совершенно аналогично мы могли бы доказать, что
т. е.
—а) (& — Л)
откуда и следует, что функция D06) удовлетворяет условию
Липшица с показателем а= ^ на отрезке [а, Ь]. Следовательно,
и вся правая часть формулы D05) также удовлетворяет условию
Липшица [П12; 27]. Решая для Ф(г)/Ф0(г) задачу 1 с предель-
предельным условием D05), получим
ф iz) -	*	{ f(T)V(x-a)(b-T)
Q
+ . Р(г) .=-, D08)
У(г-а)ф-г)	'

60]	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ОТРЕЗКА	171
где, как всегда, Р{г) — произвольный полином. Пользуясь оцен-
оценкой интеграла Коши вблизи концов отрезка, легко проверить, что
функция D08) удовлетворяет условию C98). Если мы хотим полу-
получить решение, удовлетворяющее условию Ф (оо) = 0, то должны
в формуле D08) положить Р (г) равным постоянной:
ф {z) = 	 '	V nVVV-*)V-*> dT +
' 2mY(z-fl)(z-6)J	т—z
Можно при решении задачи 3 поставить дополнительное усло-
условие ограниченности Ф (г) в окрестности концов отрезка. При
этом вместо решения D01) задачи 2 мы должны взять:
®o(z) = V(z-a)(z-b),	D10)
и вместо формулы D08) получим
ПЦ	f (t)

У(%-а)(т-Ь)(т-г)
+ ЯB)У(г-а)(г-&).	D11)
Чтобы получить решение, удовлетворяющее условию Ф (оо) = О,
мы должны положить P(z) = 0 и, кроме того, должно быть
выполнено следующее условие:
= 0.	D12)
J \Г(х-а){х-Ь)
а
Если поставить условие ограниченности только на конце z = a,
то вместо D10) мы должны взять
и вместо формулы D11) получим
b
В данном случае мы будем иметь при всякой f (Q единствен-
единственное решение, удовлетворяющее условию Ф (оо) = 0:

172	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[61
Мы не останавливаемся на доказательстве формул D11) и D13).
Его можно найти в упомянутой выше книге Н. И. Мусхели-
швили, которой мы и следовали при изложении последних
параграфов.
61. Обращение интеграла типа Коши. Рассмотрим теперь
задачу обращения интеграла:
Поступаем, как в [58]. Вводя функцию
а
удовлетворяющую условию Ф (оо) = 0, получим
ФF) = Ф*©-ф-F),	D15)
Таким образом, уравнение D14) эквивалентно следующему:
Это есть задача 3 из [60] с дополнительным условием Ф(оо) = 0.
Построив решение этой задачи, мы получим ср(|) по формуле D15).
Используя формулу D09) и формулы для предельных значений
интеграла типа Коши, получаем окончательно
dT ,
Отметим, что эта функция удовлетворяет условию Липшица
не на замкнутом промежутке [а, Ь]9 но лишь на всяком замкнутом
промежутке, лежащем внутри [а, Ь]у и может неограниченно
расти при приближении ? к а или к Ь. Если соблюдено усло-
условие D12), то можно получить решение уравнения D14), ограни-
ограниченное на обоих концах:
ь
ф(Б) = /F-*)(Б-*) \ T7=ip=r-—fc.
Подробное изложение рассматриваемой задачи обращения нахо-
находится в упомянутой выше книге Н. И. Мусхелишвили.

62]	*	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В Lx	173
62. Преобразование Фурье в L1# Мы рассматривали преобра-
преобразование Фурье [II; 173] и родственное ему преобразование Ла-
Лапласа, используя интегралы Римана. Сейчас мы кратко рассмотрим
преобразование Фурье в интегралах Лебега.
Положим, что ф (х) суммируема на промежутке (— оо, оо)
или, иначе говоря, принадлежит на этом промежутке классу Lx.
Введем следующее обозначение:
\l\
= II ср 1U = \
Так как при вещественных аил: |*ф (х)е га^| = |ф (л;) |, то при
любом а из промежутка (— оо, оо) существует интеграл
ф (х)е~шх dx (—со<а<оо). D16)
Функцию Ф (а) называют преобразованием Фурье функции ф (х)\
иногда (см., например, ниже [65]) множитель 1/]/~2я удобно
отбрасывать.
Выясним некоторые свойства преобразований Фурье для функ-
функций из Lx,
1°. Ф (а) — ограниченная функция; в самом деле, это вытекает
из очевидного неравенства
2°. Если ф* (х) (k=l, 2,...) — последовательность функций
из Ьъ стремящаяся к некоторой предельной функции ф (х) из L±
в метрике Ьъ т, е.
то последовательность преобразований Фурье Q)k (а) стремится
к Ф(а) равномерно на всей оси.
Это свойство непосредственно вытекает из неравенства
1 Фк (а) -ф (а) |<pL||фА-ФI.	D17)
Легко видеть, что если последовательность ф* (*) сходится в мет-
метрике Lx к двум функциям ф (х) и ф (х), то последние функции
эквивалентны (eAHHcfBeHHocTb предела в Ьг).
3°. Преобразование Фурье Ф(а) функции у(х) из L± есть
равномерно непрерывная на всей оси функция.

174
ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[62
Из формулы
получаем неравенство
у
hx
sin -j
(лс
Теперь при любом е сначала надо фиксировать R так, чтобы
сумма первых двух интегралов в правой части была меньше
в/2, а затем выбрать б таким, чтобы при ft<fi и третье сла-
слагаемое было меньше е/2^Тогда при Л<б и при любом а будет
| Ф (а + h) — Ф (а) | < у — е, что и требовалось доказать.
Рассмотрим свертку двух функций фх (х) и ф2 (х) из Lx (ср. [52]):
— оо	—оо
Функция ф3 (х) также принадлежит классу
Фубини
. D18)
так как по теореме
т. е.
1фв1|1
II Фа It-
Вычислим, снова пользуясь теоремой Фубини, преобразование
Фурье Ф3 (а) функции ф3 (х)
У=
\ ф2 @
(а) Л =
(а)Ф, (а),
ИЛИ

f>2]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В Lt	175
Таким образом мы доказали следующее свойство преобразова-
преобразований Фурье.
4°. Преобразование Фурье свертки ц>± (х) и ф2 (я) равно произ-
произведению преобразований Фурье этих функций, умноженному на }/~2я.
Пусть функция г|) (х) определена на всей оси, имеет производ-
производные всех порядков и обращается в нуль вне некоторого проме-
промежутка. Такие функции принято называть финитными. Класс всех
финитных функций обозначают через Cf. Ясно, что Cf содер-
содержится в Ьг. Важное свойство класса L± дается следующей теоре-
теоремой, которая будет доказана в [112].
Теорема 1. Для всякой функции ф (х) из класса Ьг по
любому е>0 найдется такая финитная функция -ф(л:), что
ИФ —*IU<e.	D19)
Отсюда легко выводится, что для всякой функции ф (х) из Ьг
найдется последовательность финитных функций *фл (jc), Л= 1, 2
сходящаяся к ф (х) в метрике Lx. Указанное свойство характери-
характеризуют, говоря, что класс Cf плотен в классе L1%
Сформулированная теорема используется при доказательстве
некоторых важных свойств преобразования Фурье в Lx.
5°. Если ф (а:) принадлежит Lly то Ф(а)->0 при а->±оо.
Для доказательства фиксируем е>0 и найдем такую финитную
функцию i|)(x), для которой выполнено D19). Пусть Т (а) —пре-
—преобразование Фурье от г|)(д:). Согласно D17)
|	D20)
Для функции ^(а) с помощью интегрирования по частям полу-
получаем
ОО	00
2я V (а) = \ т|> (х) e-Mxdx=l- ^' (х) e~iax dx. D21)
Интегрирование здесь фактически ведется по конечному проме-
промежутку, вне которого ty(x) = O, внеинтегральные члены, очевидно,
пропадают. Из D21) вытекает, что ^(а)-^ при а->±оо. Сле-
Следовательно, для достаточно больших |а| будет ^(а)^-^.
У 2я
Отсюда и из D20) находим, что для таких |а| имеет место
|Ф (а) | < е 1/ |-.Тем самым Ф (а) ->0, что и требовалось доказать.
Сложнее доказывается следующее свойство.
6° Если для некоторой функции <р(х) из Ц Ф(а) = 0, то
функция ц){х) эквивалентна нулю. Докажем сначала, что

176	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[62
интеграл от ср (х) по любому конечному промежутку равен нулю:
ъ
$	о.	D22)
С этой целью рассмотрим вспомогательную непрерывную функ-
функцию р{х)у построенную следующим образом. Пусть />0, б>0 —
фиксированные числа, и пусть р (х) = О при ] х | :> I + 8, р (х) = 1
при | л: | ^ /; в промежутках / < | х | < / + б функция р (я) линейна.
Легко вычислить преобразование Фурье Р (а) функции р (х):
— 1Г 2
-K я"
2 cos/g —cos
Из этой формулы видно, что Р (а)— функция из Lx. Кроме того,
так как функция р(х) удовлетворяет условиям Дирихле [II; 173],
то она выражается через Р (а) по формуле обращения
р (*)=-!= $ P(a)eiaxda.
— ОО
Покажем теперь, что свертка функции ф(х), данной в усло-
условии, с функцией р(х) равна нулю тождественно на (—со, оо).
По теореме Фубини имеем:
00	г ОО	-1
-О<И= \ ф@ 5 Р (a) e'^-'Ualdt =
—оо	L—оо	J
00
Т, е., действительно, ^ ф (t) р (х —• f) dt = 0.
— оо
Подставляя вместо функции р (х) ее значение, можно пред-
представить последний результат в виде
—/
JC — I	X— '/ — 6
При 8->-0 находим отсюда, что
при любых />0 и х из (-оо, оо). При x = ^t- и /==-у5 это
приводит к требуемому равенству D22).

62]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ OYPbF В U
177
Из D22) уже без труда получается, что ф (л:) эквивалентна
нулю. Пусть г|^ (х) —финитная функция, такая, что ||ф —г|эЛ||1<
< 1/k. Пусть [а, ъ\~тот промежуток на числовой оси, вне кото-
которого %(#) = 0. Разобьем его на произвольное конечное число
частей точками а = хо<Сх1<С... .<Схп = Ь. Обозначим через ?у ту
точку на промежутке [Xj_l9 Xj], в которой непрерывная функ-
функция tyk (л:) принимает свое среднее значение на этом проме-
промежутке, т. е.
п.
Пользуясь D22), находим
V-i
n
2j
V-i
При измельчении промежутка [а, Ь] сумма, стоящая в левой
ь
части этого соотношения, стремится к интегралу § | \|>fe (/) | dt.
Таким образом, мы доказали, что
Ъ
Эта оценка показывает, что 1|)А(л;)->0 в метрике Lx. Но так как
одновременно tyk (х) -> Ф (х) в Llf то ф (л:) эквивалентна нулю, что
и требовалось доказать.
В заключение без доказательства приведены еще некоторые
свойства преобразования Фурье в Lj.
7°. Пусть ф (х) — функция из Ьг и Ф(а)— ее преобразование
Фурье. Тогда для почти всех х (и, в частности, в каждой точке
непрерывности ф (л:)) справедлива формула
К
Ф (х) = -)= Ит W1 - Щ Ф (а) е*** da.	D23)
—k
Доказательство этой формулы имеется, например, в книге
Титчмарша «Введение в теорию интеграла Фурье». Необходи-

178	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[63
мость в такой усложненной формуле обращения вызвана тем,
что, хотя функция Ф(а) и стремится к нулю при а-*±оо (свой-
(свойство 5°), но не обязательно Ф (а) принадлежит классу Lx. Если
Ф(а) принадлежит Ьъ то справедлива обычная формула обра-
обращения
Заметим, что из формулы обращения D23) свойство 6° пре-
преобразований Фурье вытекает непосредственно. Однако вывод фор-
формулы D23) довольно сложен, и мы дали поэтому независимое
доказательство свойства 6°.
8°(теорема Винера). Пусть функция F(a), определенная при
— оо ^ а ^ + оо, допускает представление в виде
00
F(a)=c+ $ f{x)e~iaxdx,
— ОО
где f(x) из Ьъ и пусть F(a)^0 при всех а и тем самым с =
= F (± оо) ф 0. Тогда функция G (a) = -^-^т также допускает
представление в виде
где g(x)—функция из Ьг.
Доказательства этой теоремы мы не приводим.
63. Преобразование Фурье в L2. Полиномы Эрмита. Приведем
основные результаты, касающиеся преобразования Фурье в классе
L2 на промежутке (—оо, оо). Введем для краткости новое обо-
обозначение. Если
-Ф*(*IВ= I \у(х)-щ(х)\*с1х-+0 при ?->оо,
— оо
то будем писать
Ф (х) = 1.1.т. ф? (х) при &->оо.
Если ф (я) из L2 на промежутке (—- оо, оо), то она может и не
принадлежать Ьг на этом промежутке, но принадлежит Lx на
любом конечном промежутке [II; 161]. Преобразование Фурье
для класса L2 определяется формулой
k
Ф (a) = l.i.m. -^. \ Ф (х) е~™ &х}	D24)

63]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В U ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА	179
причем доказывается, что существует предел, стоящий в правой
части, для любой функции из L2, и Ф (а) тоже из L2- Обращение
формулы D24) имеет тот же вид:
Ф (*) = 1.i .m. --L \ Ф (a) eixa da.	D25)
— k
Отсюда следует, что Ф(а) и <р(х) только одновременно могут
быть эквивалентны нулю. Формулы D24) и D25) устанавливают
биоднозначное соответствие между функциями ф (х) и Ф (а) из L2
на промежутке (—оо, +оо) и соответствующие функции имеют
одинаковую норму в L2, т. е.
+f |O(a)P?fa = +f Ых)?йх,	D26)
и если Фк (а) — преобразования Фурье функций ф*(я) (& = 1, 2)
из L2, то
+ 00			-f ОО
Далее, пользуясь последней формулой, неравенством Буняковского
и тем фактом, что произведение двух функций из L2 принадлежит
Li, можно показать, что для L2 свертка D18) выполнима при
всех х, причем при всех х имеет место формула
Фз(*)= f <Pi(*-0<P2@*= f Ф1(а)Фя(а)**аЛх
— оо	—оо
(— ОО < JC < + ОО),
откуда следует, что ф3(*) равномерно непрерывна при —оо<
<х< + оо и Фз(а:)->0 при jt-^±oo.
Если одна из функций yk (x) (k = l, 2) принадлежит L2, а дру-
другая Li, то фз(*) принадлежит L2.
Особую роль при преобразовании Фурье играют функции
Эрмита, определенные формулой [III; 160]:
%(х) = (-1)*е*±(е~*) = е 2Нп(х) (п = 0, 1,...), D27)
где Нп{х) — полином степени п (полином Эрмита). Функции D27)
образуют ортогональную систему на промежутке (—оо, +оо).
Пусть 7 —оператор преобразования Фурье
+ 00
J <p(x)er***dx.

180	ГЛ. I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[63
Докажем, что функции Эрмита г|?;г (х) суть собственные функции
этого оператора, соответствующие собственным значениям Хп =
= (— i)n. Отметим, что г|)„ (х) — непрерывные функции, абсолютно
интегрируемые по промежутку (—оо, -|-оо) как с первой сте-
степенью, так и с квадратом. Нам надо доказать, что
Т%={-1)»%,	D28)
т.'е. формулу
Интегрируем по частям и учитываем обращение в нуль внеинте-
гральных членов:
+ 00
п~ V'2n J
— 00
а8	а8
Умножаем вне знака интеграла на е2 и под знаком на е 2г
a2	-f-oo
a2	f
v l datl\f2n J
Дифференцируя по параметру а, легко доказать, что последний
интеграл равен е 2, и, таким образом, формула D28) доказана.
Точки Я —±1 и X-=±i суть точки спектра, а ^(^ — собствен-
собственные функции, соответствующие значению Ял — (—i)n.
Наметим доказательство того, что ортогональные на проме-
промежутке (—со, + оо) функции Эрмита образуют полную (замкну-
(замкнутую) систему. Положим, что существует функция со (х) из L2, орто-
ортогональная ко всем функциям Эрмита. Поскольку степени хп
(п = 0, 1, 2, ...) выражаются линейно через первые (л+1) поли-
полиномов Эрмита Hk(x) (& = 0, 1, ..., п), отсюда следует, что
+ оэ	1 2
А - 4)dx = 0 (л = 0, 1, 2, ...).	D29)

63]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В L2, ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА	181
Мы можем, очевидно, предполагать со (х) вещественной. Нам надо
доказать, что со (х) эквивалентна нулю.
Мы имеем очевидную оценку
где б —фиксированное положительное число и постоянная С
зависит от выбора б. Составим функцию комплексного перемен-
переменi	^б	0бб
ного
Мы
г = и + iv,
F(z)=+f
— ОО
имеем
е
определенную в
е~ 2" ** со (х) eizx d
~*х2(д(х)еИи^х
полосе 1 v
— оо
^б1( где 0<б]
х'(о (х) e~vxeiax их.
Jl*l|a>(x)|
D30)
и правая часть интегрируема, как произведение двух функций
из L2. Функция F (z) регулярна в упомянутой полосе и для про-
производных мы имеем
4-оо	1 2
р(п) /z\ — /я f е~  * хпцу (х\ eizx fa
и в правой части оценки D30) добавится множитель хп, который
погасится множителем е—(б—6i)*, и интеграл будет сходиться рав-
равномерно относительно z в упомянутой полосе. Это дает возмож-
возможность дифференцировать по z под знаком интеграла. Из D31)
получаем
FW@) = in\e 2 x»(o(x)dx (/1=1,2,...)
— 00
и в силу D29) все производные F(n^@) = 0 в упомянутой полосе,
а следовательно, F (z) тождественно равна нулю в этой полосе и
тем самым на вещественной оси:
\ е 2 a(x)e-izxdx = 0 (—оо<г<оо),
— 00
т. е. преобразование Фурье функции
е 2 ©(*)
тождественно равно нулю, откуда следует, что эта функция экви-
эквивалентна нулю, а поэтому и оо (х) эквивалентна нулю. Совер-
Совершенно аналогично доказывается, что функции Лагерра образуют
замкнутую на промежутке @, со) систему.

182	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[65
64. Интегральное уравнение Фурье. Мы переходим теперь
к рассмотрению интегральных уравнений с бесконечным проме-
промежутком интегрирования. В этом случае могут оказаться неспра-
несправедливыми основные теоремы Фредгольма, полученные нами выше.
Наиболее простым случаем являются интегральные уравнения,
связанные с формулой Фурье. Напомним [II; 173] ранее доказан-
доказанную формулу Фурье. Если / (s) — непрерывная и абсолютно интег-
интегрируемая в промежутке 0^s<oo функция, и в любой конеч-
конечной части этого промежутка имеет конечное число промежутков
возрастания и убывания, то, строя функцию
	оо
dt9
можно выразить /(s) по формуле
ыо cos* я.
Складывая две предыдущие формулы, получим
	оо
/ (s) + fi (s) = \\ \ U @ + h @1 cos st dt,
т. е. при любом выборе f (s) с указанными выше свойствами
функция ф (s) = f (s) + /i (s) является собственной функцией интег-
интегрального уравнения
ф (s) = Я $ ф @ cos stdt,	D32)
о
соответствующей характеристическому значению X = ]/2 / У п.
Если, например, положить f(s) = e-ps (p>0), то
и мы получаем при К = V2 / "[/"я бесчисленное множество реше-
решений уравнения D32)
зависящих от выбора параметра р>0.
65. Уравнения в случае бесконечного промежутка. Рассмот-
Рассмотрим интегральное уравнение
Ф(*) = /М+ Г *(*-0<Р<0Я	D33)

65]	УРАВНЕНИЯ В СЛУЧАЕ БЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА	183
с ядром, зависящим от разности, в предположении, что функции
k (х) и / (х) принадлежат Lx на промежутке (¦— оо, + оо) и что
решение ищется в том же классе. Применяя к обеим частям пре-
преобразование Фурье, получим
Ф (а) - F (а) + К (а) Ф (а),	D34)
где F(a)f Ф(а), /((а) — преобразования Фурье /(*), <р(х) и k(x)t
взятые в виде
+ СХЭ
К(а)= $ k{x)eiaxdx.
— 00
Из D34) следует
<b(a)=F(a)[l-K(a)Y1.	D35)
Поскольку Ф(а) должна быть непрерывной функцией, то для
разрешимости уравнения D33) при любой / (х) из Lx необходимо
1 - К (а) ф 0 (— оо < а < + оо).	D36)
Условие D36) является и достаточным для разрешимости урав-
уравнения D33) в классе Ьг. В самом деле, по теореме Винера (т. е.
по свойству 8° из [62]) существует такая функция k± (x) из класса
Llt что
[1 - К (а)] = 1 + ] К (х) е~1«* dx^l+Кг (а). D37)
— оо
Из свойства 4° [62] (о преобразовании Фурье свертки) вытекает,
что D35) равносильно формуле
ф(*) = /(*)+ I kx(x-t)f(f)dt\	D38)
— оо
функция ф (х) принадлежит Lx как свертка двух функций того
же класса. Отметим еще, что при условии D36) решение D38)
уравнения D33) единственно в классе Lx\ это следует из свой-
свойства 6° [62].
-Рассмотрим теперь однородное уравнение
оо
<p(x)= \ k(x-t)<f>(t)dt	D39)
— 00
и будем искать его решение в виде ф (х) =еах. Подставляя ф (х) =
= еах в уравнение и совершая замену переменной интегрирова-
интегрирования, получаем уравнение для а:
J k(s)e~asds=l.	D40)

184	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[6б
В упоминавшейся в [62J книге Титчмарша указаны условия,
при которых все решения уравнения D39) являются линейными
комбинациями функций xVv*, где р^=0, 1, ..., qv~-l, av — корни
уравнения D40), имеющие кратность gv. Отметим, что эти реше-
решения не принадлежат Llt и на ядро k(s) необходимо наложить ус-
условия, гарантирующие сходимость соответствующих интегралов.
66. Примеры. Для разъяснения изложенного выше мы приведем примеры
и при их решении будем основываться главным образом на результатах пре-
предыдущего параграфа.
1. Положим, что в уравнении D33)
0 при х > 0,
т. е. уравнение имеет вид
X
Преобразования Фурье f (х) и k (x) имеют вид
1 + а2' ч ' I — ta '	х ' 1—ta
и, следовательно, К{оС)Ф\ при X— 1, отличном от нуля и чисто мнимого
числа Преобразование Фурье Ф (а) решения имеет вид D35):
°ta)==(a-0(
Мы можем написать
Этот интеграл легко вычисляется с помощью вычетов, причем необходимо раз-
различать случаи х^О и *<0, а также Re(l —А,)>0 и <0. Окончательно
получаем:
2
—-е~х
2-А,
2 ,_,
(О
При Х = 2 решение принимает вид ф(х) = — 2хе~х (л:>0), ф(^) =
2. Рассмотрим уравнение с симметричным ядром

67]	СЛУЧАЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА
для которого k (х) = Яе"~~'х и
185
откуда
— /С(ос) =
и, следовательно, 1—2Я должно быть отлично от тождественного нуля и отри-
отрицательного числа.
Находим согласно формуле D37)
/С(а) "" 1-
откуда
Применяя теорему о вычетах, причем отдельно надо рассматривать случаи
х > 0 и л: < 0, получим
вещественная часть |/l—2Л берется положительной. Окончательно,
_4=
Если f (x)— ограниченная функция, то такой же будет и ф(#). Для однород-
однородного уравнения D41) получаются решения
tt ^1)	D42)
D43)
Для того, чтобы при подстановке D42), D43) в правую часть D41) интеграл
имел смысл, необходимо, чтобы вещественная часть радикала У\—2К лежала
внутри промежутка (—1, +1) или что5ы она была равна нулю f A, = yj.
Если 1— 2А,<0, то формула D42) дает ограниченные решения sm |/2А,— 1 х
67. Случай полубесконечного промежутка. В том случае, когда в инте-
интегральном уравнении с ядром, зависящем от разности, основной промежуток
интегрирования не (— оо, + оо) а @, оо), задача становится гораздо болев
сложной. Однородные уравнения такого типа изучали Винер и Хопф A931 г ),
общие уравнения при tпредположении симметрии ядра, г. е k (s —-1) =
= ?(/_$), в. А. Фок A944 г.; В работе И. М. Рапопорга (ДАН СССР,
т. 59, № 8, 1948 г.) устанавливается связь такого рода уравнений с предель-
предельной задачей Гильберта. В данном пункте мы будем следовать этому методу,

186	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[67
ограничиваясь общими указаниями пути его применения. Рассмотрим урав-
уравнение
D44)
Функция k (х) задана на промежутке — оо < х < + оо и f (х) на промежутке
О ^~ х < + оо. Функция ф (а:) ищется на промежутке 0 ^ х < + оо. Предпо-
Предполагается, что заданные функции непрерывны и что при некотором веществен-
вещественном с произведения
k(x)e~cx, f{x)e~cx
абсолютно интегрируемы и имеют конечное число промежутков возрастания и
убывания на соответствующих промежутках.
Доопределим f (х) при х<0, полагая f(x) = O при *<0, и будем искать
такую функцию ф(#), чтобы уравнение D44) удовлетворялось на всем проме-
промежутке — оо <с х <С + оо. Считаем также, что функция ф (л:) е~сх абсолютно
интегрируема на этом промежутке.
Для того чтобы применить теорему свертывания для двустороннего пре-
преобразования Лапласа, мы должны иметь пределы интегрирования —оо<сх<С+оо.
Поступим следующим образом. Введем функции
0 (х > 0),	Г - ф (х) (х > 0),
»(*>-{	D45)
Уравнение D44) можно при этом переписать в виде
ф+(*)-ф-М=/М- J k(x-t)<p_(t)dt.	D46)
— 00
Введем двустороннее преобразование Лапласа [51]
Ф^E) = 12(Ф+); Ф" E) = Мф_), F(s) = L2(f); L(s) = L2(k),
полагая s = c-\-Ti. В силу сделанных предположений об абсолютной сходи-
сходимости интегралов указанные преобразования выполнимы, и в силу D46) полу-
получаем
Ф+ (s) — ф- (s) = F(s)—L (s) Ф~ (s) (s = с + Ti).	D47)
Принимая во внимание, что f(x) = Q при х<0, имеем
оо
F(s) = { e~sxf(x)dx,
и написанный интеграл сходится абсолютно, если вещественная часть s = c
удовлетворяет неравенству Res = a^c, а функция F (s) регулярна спрагЕа"
от прямой а=с и непрерывна вплоть до этой прямой [51]. Совершенно ана-
аналогично, в силу предполагаемой абсолютной сходимости интеграла
интегралы
+ ОО	+ ОО
\	и J e~s*<p_(x)dx
— 00

67]	СЛУЧАЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА	187
должны сходиться абсолютно, если а удовлетворяет соответственно неравенст-
неравенствам о^с и о^с, и можно утверждать, что функция Ф+ (s) должна быть
регулярна в полуплоскости Res = a<c, а функция Ф~ (s) в полуплоскости
Res = a;>c, причем обе они должны быть непрерывны вплоть до прямой о —с.
Можно также показать, что в упомянутых областях обе функции должны стре-
стремиться к нулю при | s\ —*-\-оэ. Равенство D47) связывает предельные значения
функций Ф+(s) и Ф~ (s) на прямой а = с. Переписывая его в виде
Ф+ (s) = [l -L (s)] Ф" {s) + F (s),	D48)
мы видим, что получена неоднородная задача Гильберта (см. [58]). От задачи C84)
задача D48) отличается лишь тем, что вместо замкнутого контура L, содержа-
содержащего внутри начало координат, а вне — бесконечно удаленную точку, контуром
в задаче D48) является прямая s = c-\-ii. Это обстоятельство внесет некоторые
изменения в формулы* Вместо множителя %~k [формула C76)] возьмем множитель
аргумент которого получает приращение (— 2&л), если двигаться снизу вверх
по прямой о = с. Формула C76) в рассматриваемом случае будет иметь вид
где
(мы предполагаем здесь и в дальнейшем, что 1 — L (с+%1)ф$). Вместо фор-
формул C87) будем иметь
„or \-k
а вместо полинома Р (г)—дробь
P(s)
(s-p)*'
так как мы должны теперь применять обобщенную теорему Лиувилля к функ-
функции, регулярной всюду, кроме точки s=C.
Предполагая, что функции L(c+t*) и F (c + ti) удовлетворяют условию
Липшица, выпишем решение задачи D48), исчезающее на бесконечности:
с-\- too
	 \ —:	dx-\	Г"ФоE)=='!	' D49)
2ju J ф,(т)(т—s)	(s—fir	I Ф~ (s) (Res>c).
С— ICO
Здесь
Г Tf(s) (Res<c),
Ф	I Фо(*) (Res>c),
C-f 100
с — too
,'s-a\~k
с -J- ico
	a\-k	1	(•	f/T	Ct\-^
S.
с — too
(exp x

188	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[68
Pfc-i(s) — полином с произвольными коэффициентами степени не выше к — 1;
при к ^ О следует положить Р^_х (s) s 0.
В соответствии с результатами, полученными в конце [58], будем иметь
три случая:	-"
ki> 0. Задача D48) имеет решение, зависящее от к произвольных постоянных.
/г = 0. Задача имеет единственное решение.
/г<0. Стоящий в формуле D49) интеграл должен иметь в точке s=p нуль
)
порядка (—k)} компенсирующий полюс множителя I _~ ) » входящего
в фо (s). Это приводит к необходимым и достаточным условиям разрешимости
с + гоо
J	V	D50)
При выполнении этих условий задача имеет единственное решение.
Построив по формуле D49) функцию Ф~~ (s), находим по формуле обраще-
обращения C23) функцию ф (х) при х > 0:
а -f- loo
ф (а:) = - ф_ (*) = - -1- ? е**Ф~ (s) ds (o>c, x> 0). D51)
а — too
Можно показать, что произведение ф (х) е~сх абсолютно интегрируемо на про-
промежутке 0^#< + oo. Записав формулу обращения для функции Ф+(s), можно
найти ф (я) при х < 0.
Сформулируем результат исследования. Если к — число, равное деленному
на 2л приращению аргумента функции 1 — L (s), когда s меняется от с—too
до c+ico, то при к > 0 уравнение D44) безусловно разрешимо, причем одно-
однородное уравнение имеет ровно к линейно-независимых решений. При & = 0
уравнение безусловно разрешимо и имеет единственное решение (нулевое реше-
решение для однородного уравнения). В случае к < 0 для разрешимости уравне-
уравнения D44) необходимы и достаточны условия D50). При их соблюдении уравнение
имеет единственное решение.
68. Примеры. 1. Рассмотрим симметричное ядро
к(х)=Ке~ 1*1,
где Я —вещественный параметр. В качестве с мы можем взять любое число,
удовлетворяющее неравенству — 1 < с < 1. Функция L (s) будет
о
e~sxex dx = -
1-s2
— oo
1 _ / (S\ -
где
Величина k будет зависеть от X и от класса решений, характеризуемого чис-
числом с. Если Re?ii<c и Re^2<?» то k = ¦{-{. Если ReXx>c, а ReX2<c,
то к = 0; если Re^>c и Rel2>c, то к = — 1

68]	ПРИМЕРЫ	189
1) Случай А<0. При любом с, |с><1, имеем k = 0, так как ^ ^ 1,
а А2 ?^ — 1. Задача D48) имеет вид
Ф+ (s) = ((s"lY)(s+O) Ф" (s> + f ^	<453)
Ввиду особой простоты коэффициента D52) эту задачу можно решить, не
пользуясь интегралами типа Коши. Очевидно, что
s — 1	s — Ag
Перепишем условие D53) в виде
S 1 лчх /х S — Ао -_ / ч	S — 1
Произведение
s-1
o-,vx F(S)
мы легко можем представить как разность вида C70), если учтем, что F (s)
регулярна при Re s > с:
iS — Aj	S — Aj_	S — A/\
Таким образом [ср. 58],
s+l ^ W~	^ZX^
откуда
и решение уравнения
оо
ф (х) =f(x) + X\e-lx-i 'ф @ d^	D56)
о
при л<0 имеет вид
О -{-ioo
L С	('l)F()(X
2) Рассмотрим случай 0 << л <С -„- и положим, что с удовлетворяет усло-
условию |Л— 2л < с < 1. Мы имеем л2 < Ях < с, откуда &= +1. Функция, стоящая
в правой части формулы D53), может иметь в области a >> с простой полюс s— i
и должна стремиться к нулю при \ $ \ —> со. Нетрудно видеть, что мы должны
положить
Где Л —произвольная постоянная. Находим

190	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и решение уравнения D56) при 0<Х<у и "|Л — 2Х,<с<1 будет таким:
a -f too	о + too
о — too
Второе слагаемое является решением однородного уравнения. Добавляя слева
от прямой интегрирования полуокружность большого радиуса, применяя лемму
Жордана и теорему о вычетах, получим решение однородного уравнения в виде
yov ;	2 Kl — 2Л,	2|Л—2Я,
i	,
3)	Случай 0<к< j, — X \ — 2Х<с<у\— 2\. Взяв зтот, более узкий,
класс решений, будем иметь fe = t\ Метод решения—тот же, что и в случае 1).
4)	Случай 0 < X< ~ , — 1 <с<—[Л— 2Х. Класс решений сужен еще
более (k= — 1). Метод решения отличается от случая 1) только гем, что
теперь в формуле D55) выражение, стоящее в квадратной скобке, должно
обращаться в нуль при s — X2- Отсюда выводим необходимое и достаточное
условие разрешимости уравнения D56) в рассматриваемом клаосе:
(К-1)F {Ю-(Ь2-1)F (AJ = O.	D57)
5)	Случай К"^ п, 0<с<1 (k—\). Метод решения тот же, как в слу-
случае 2). Решение однородного уравнения при ^> -^ можно представить в виде
, ч , sin vx
9oW = cosva:H	—,
где v2s=2X — 1. При ^=^- однородное уравнение имеет решение
6)	Случай %^ 2> —-1<с<0 (/г=— 1). Метод решения тот же, как
в случае 4). Будем иметь исчезающее на бесконечности решение, если выпол-
выполнено условие D57). Можно показать, что это условие равносильно
или
](l+x)f{x)dx = O
2. Рассмотрим однородное уравнение, ядро которого определяется форму-
формулой (уравнение Милна):

69]	СЛУЧАЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	191
Эта функция при х = 0 обращается в бесконечность порядка lg*. Это обстоя-
обстоятельство не мешает применению предыдущего метода. Образуем функцию L (s):
1 J
I X {
Повторное интегрирование в первом слагаемом равносильно вычислению двой-
двойного интеграла по той части первого координатного угла плоскости (*, t)t
в которой выполнено неравенство t^x. Производя перемену порядка интегри-
интегрирования, можем переписать это первое слагаемое в виде
«J
at.
Написанный интеграл может быть вычислен, например, дифференцированием
по параметру s, и мы получаем
00
piS-l)t	e~t
2s J	t	2s
причем мы считаем, что вещественная часть s меньше единицы. Точно так же
вычисляется и второе слагаемое в выражении L (s), и мы получаем
причем надо брать то значение логарифма, которое обращается в нуль при
s = 0. Разлагая логарифм в степенной ряд, убедимся, что уравнение
имеет двойной корень s = 0. Можно показать, что оно не имеет других кор-
корней, у которых вещественная часть заключена внутри промежутка (—1, 1).
Если взять О <С с <С 1, то число
и мы можем определить решения по формулам D49) и D51) при F (s) ss 0.
Изложение последних двух п°п° принадлежит Ю. И. Черскому.
69. Случай полубесконечного промежутка (продолжение). Большое иссле-
исследование уравнений вида D44) и систем таких уравнений проведено при весьма
общих условиях для одного уравнения в работе М. Г. К р е й н а (УМН, т. XIII,
в. 5, 1958 г.) и для систем в совместных работах И. Ц. Гохберга и
М. Г. К р е й н а. Мы сможем кратко изложить результаты работы
М. Г. К р е й н а.
В дальнейшем широко используются классы функций, представимых как
преобразование Фурье функций из Lx(—оо, оо), /^ @, со) и Lt (— oo, 0). Для
краткости вместо этих символов будем просто писать L, L+ и ?_. Через R,

192	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[69
R+ и R_ обозначим классы функций, представимых в виде
где f(#), f1(x) и /2(д:) соответственно из L, L+ и L_ и с—постоянная, раз-
различная для разных функций. Функции из R+ продолжимы до функций, регу-
регулярных при 1тХ>0 и непрерывных вплоть до вещественной оси; аналогично
и для jR_.
Большую роль в дальнейшем играет
Теорема Винера — Лев и. Пусть Fo (г) — функция, регулярная в не-
некоторой области & на плоскости или на римановой поверхности, F (К) —
функция из R такая, что кривую z = F(k) (—оо<^Х^оо) можно рассматри-
рассматривать как лежащую внутри &. Тосда и FQ[F (л)] также из R.
Теорема Винера из [62] является частным случаем сформулированной тео-
теоремы Винера —Леви при F0(z) = z~l.
При формулировке дальнейшего понадобится понятие индекса непрерыв-
непрерывной направленной линии на плоскости. Это есть деленное на 2я изменение
аргумента при обходе этой кривой. Если она задана в виде
где Ф (К) непрерывна, отлична от нуля и Ф(+оо) = Ф(—оо), то индекс кри-
кривой (или функции Ф (%)) есть целое число:
При F1(z) — \gz теорема Винера —Леви дает такую теорему
Теорема 1. Пусть g (х) из L, G (К)—ее преобразование Фурьег
ind[l —
Тогда существует такое I (t) из L, что
+ 00
Из этой формулы непосредственно следует, что lg [I — G(X)] —>0 при
%—» ± оо.
В дальнейшем широко используем факторизацию непрерывных на проме-
промежутке — оо^Х^ + оо функций со (Я) класса R при с=1. Под этим термином
понимаем представление со (X) в виде произведения
со (X) =-со+ (X) (j^)k со_ (X) (— оо ^ X <с+оо),	D58)
где оз_(Х), со+(Х) регулярны в соответствующих полуплоскостях ImX>01
1тЯ<0 и непрерывны вплоть до вещественной оси. Кроме того,
при ImX^O и ш_(Х)^О при
Из D58) легко заключить, что
Факторизация D58) называется канонической, если

69]	СЛУЧАЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	193
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь функции вида
©(Х) = 1—G(X)f	D59)
где G(k) — преобразование Фурье некоторой функции из Lv так что
со(±оо) = 1. Можно считать, что
С0+ (± ОО) —С0_ (± ОО)= 1.
Сформулируем основные результаты, касающиеся указанной задачи факто-
факторизации.
Для того чтобы функция D59) допускала каноническую факторизацию,
необходимо и достаточно наличие двух условий,
со (%) ф 0 (— оо ^ % ^ + оо), ind со (к) =-0.	D60)
При этом каноническая факторизация единственна. Кроме того, при
выполнении условий D60) существует функция М (t) из Lx такая, что
-J-OO
со(Я) = ехр j M{t)el^dtt	D61)
— оо
где exp a = e°s, и
со	0
со+ (К) = exp j М (/) ^г^ Л; со_ (К) = exp J Af (/) elW Л.	D62)
0	—оо
Отсюда следует, что со (К) е /? и со+ (Я) е /?+.
Множители в канонической факторизации определяются также формулами:
— J ii^M ф lltnXXJ),	D63)
— CO
^	D64)
В случае общей факторизации имеет место следующее предложение. Для
того чтобы функция D59) допускала факторизацию D58), необходимо и доста-
достаточно, чтобы выполнялось условие
В этом случае равенство A58) можно переписать в виде
Последнее означает каноническую факторизацию для функции
Следовательно, для множителей <а±(Л) справедливы формулы D61) — D64)v
если в них заменить со {X) на сох (Л).
Рассмотрим теперь уравнение D44):

194	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	L69
с ядром k (t) из L+ и введем его преобразование Фурье:
Прежде чем формулировать теоремы о решениях уравнения D44), введем
некоторые функциональные пространства на промежутке @, оо). пространства
Lx и L2, пространство М измеримых ограниченных функций, пространство С
непрерывных при О^ся-соо функций и пространство С таких функции из С,
что /(оо) = 0. Буквой Ш обозначим одно из указанных пространств Все функ-
функции считаются комплекснозначными. В указанных ниже результатах, содер-
содержащих обозначение Ш, можно подразумевать и некоторые другие пространства.
Сформулируем теперь основные теоремы о решении уравнения.
Теорема 1. Для того чтобы уравнение D44) при любом f (х) из Ш
имело одно и только одно решение из Ш, необходимы и достаточны следующие
условия:
при — оо <с X -<Н-оо,	D65)
v = — ind [ 1 - К (к)] = 0.	D66)
Теорема 2. Если выполнено условие D65),	то неравенство v ;> 0
является необходимым и достаточным условием того,	чтобы однородное урав-
уравнение
) = $ k(t-s)<p(s)ds	D67)
о
имело решения, отличные от нуля, в каком-либо из пространств Ш.
Эти решения во всех пространствах Ш одни и те же, и их множество
имеет базис, состоящий из v функций ерд, (х) (k — 0, 1, ..., v—1), стремя-
стремящихся к нулю при х —* оо и связанных между собою следующими соотношениями:
t
k+i(s)ds F = 0, 1, ..., v-2),
=
q>v-i(O =
где сфО, q>k(t) (k = 0, 1, .. , v —2) и г|) (t) из L+.
Теорема 3. Если выполнено условие D65) и v > 0, то уравнение D44)
при любом f (х) из Ш имеет бесчисленное множество решений in Ш
Если же v <С 0, то при данном f (x) из Ш уравнение D44) либо вовсе
не имеет решений из Ш, либо имеет единственное решение. Для того чтобы
имел место последний случай, необходимо и достаточно выполнение следующих
условий:
I	=O (k = 0, 1	M-l),
где я[>? (t) — какой-либо базис множества всех решений транспонированного одно-
однородного уравнения
Укажем теперь на определение резольвент для решения основного инте-
интегрального уравнения.

69]	СЛУЧАЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	195
1. Если выполнены условия D65), D66), то имеется единственная факто-
факторизация:
[1 — /С (X)]-i = со+ (X) со_ (Я),
причем
оо
со_ (X) = 1 + $ V- @ е" ш dt.	D682)
о
Резольвента определяется формулой
J	r)y__(s-r)dr	D69)
J +y
О
(O^f, s<oo; Y+@==0 и 7-@ = ° при
так что при / (t) из % решение уравнения определяется формулой
(t, s)f(s)ds.
Формулу D69) можно записать так:
y(t, s) = y(t-s, 0) + y@, s —0 + J y(t-rt 0)v@, s-r)dr. D70)
Если k(t — s)~k (s—-f), то формула D70) имеет вид
min(^, s)
f, s)=y(\t-s\, 0)+ К 7(<-Л 0)v(s-r, O)dr.
Отметим, что Y+(s) и V-(s) СУТЬ единственные в классе L+ решения уравнений
k(t-s)y_(t)dt=k(-s)
2. Положим, что выполнено условие D65), но
v=— ind[l-/C(A,)]>0.
В этом случае функция A— К(Х))~* допускает следующую факторизацию:
D71
Для функций а)_(А.) и со+ (X), определенных равенствами
со_ w =- а_ (I) и шт (Я)
имеет место представление D68) и формула D69) для резольвенты.

196	ГЛ I ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Кроме того, для /=1, 2, ..., v имеют место представления
оо
'	'	О
причем gi (s) суть решения однородного уравнения D67). Через них можно,
естественно, выразить и решения ф^ (s), упомянутые в теореме 2.
3. Если v=—ind [I — /С (Л.)] <С 0, то у транспонированного уравнения
k(s — t)y{s)ds
индекс — v>0. Если формула D71) определяет факторизацию для уравнения
D44), то для транспонированного уравнения имеем факторизацию
[1 - К МГ^со.. ( - I) со+ ( - А,),
Причем со_ ( — X) играет роль щ (X) и со+ ( — Л,) — роль со_ (А,).
В указанной выше работе М. Г. Крейиа указана возможность использова-
использования приведенных выше результатов в том случае, когда ядро k (t) таково, что
произведение e~hfk (t) при некотором выборе вещественного числа h принадле-
принадлежит L. Полагая
; f (t)
мы вместо D44Х) получим уравнение
Ф (s) = f («) + \k (s ~ t) ф it) dt%	D44a)
к которому применимы указанные выше результаты, и это даст соответствую-
соответствующие результаты для уравнения D44Х).
Сформулируем аналог первой теоремы. Для того чтобы уравнение D44^
для любого f (s) такого, что е~^ f (s) из L, имело одно и только одно решение
Ф (s) (е~Л5ф (s) из L), необходимо и достаточно, чтобы
Отметим еще, что если y(t, s) есть резольвента уравнения D442), то резоль-
резольвента уравнения D44Х) будет выражаться формулой
yh(t, s)=^«-5>y('> «)•
В работе М. Г. Крейна содержатся и дальнейшие исследования этого слу-
случая, в частности, для однородного уравнения.
Рассмотрим кратко один частный случай уравнения D44Х) при выполнении
условий D65) и D66). Легко построить такие ядра k (t) из L, что К ()J) —
рациональная функция от X. Пусть п — степень знаменателя. При этом в силу
К (± со) = 0 степень числителя ^ п — 1 и
1 ттл ft-ttiHh-Qfr)-- (*.-<*»)

69]	СЛУЧАЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ПРОМЕЖУТКА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	197
В силу D65) и D66) числа afe и ^ (Ы1, 2, . , п) должны быть ком-
комплексными, причем внутри верхней и нижней полуплоскостей должно быть оди-
одинаковое число нулей и полюсов дроби.
Пусть а;, Ру 0 = 1, 2, .. , т) из нижней полуплоскости и aJf ру (/ = т +
+ 1, .. , п) — из верхней, причем пусть а, (/ = 1, 2, .. , т) различны. При
этом
1
у = 1
2 ;
; = 1
Если ядро k(t) симметрично, т. е. k( — t) = k(t), то у (/, 0) = y(°» ^) и
7. i = 1

ГЛАВА II
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
70. Постановка залач. Рассмотрим некоторые конкретные
задачи, выясняющие предмет вариационного исчисления. Пусть
имеется неоднородная изотропная среда, в каждой точке (х, у, z)
которой определена скорость v (х, у, г), не зависящая от направ-
направления. Рассчитаем время, необходимое для того, чтобы точка,
двигаясь с указанной выше скоростью, описала некоторую линию /.
Элемент пути ds будет пройден за время ds/v, а для прохожде-
прохождения всей линии / потребуется промежуток времени, выражаемый
интегралом
Т=
1
Закрепим крайние точки (лг0, у0, г0) и (хъ уъ гг) линии /,
а самую линию будем менять. Величина Т будет при этом
меняться в зависимости от /. При этом говорят, что Т есть функ-
функционал от линии I. При определенном выборе / функционал Т
будет иметь определенное численное значение. Одной из задач
геометрической оптики является следующая задача: при закреп-
закрепленных концах (х0, у0, г0) и (хъ уъ гг) определить / так, чтобы
функционал Т имел наименьшее значение. Положим, что в урав-
уравнении линии / мы приняли х за параметр, так что у и г суть
функции от х. При этом интеграл A) запишется в виде
v(x,y,z) ™'	w
где у' и z' — производные от упомянутых выше функций. Задача
сводится к разысканию функций у (х) и z (x) таких, чтобы интеграл B)
имеет наименьшее значение, причем искомые функции должны
удовлетворять следующим предельным условиям*:
N
У \хо) -1 i/o» z \xo) — ^о>

701	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ	199
В случае плоскости функционал B) будет иметь вид
и задача сведется к нахождению одной функции у(х), удовле-
удовлетворяющей двум предельным условиям:
Рассмотрим теперь задачу для кратного интеграла. В прост-
пространстве задана замкнутая кривая /; требуется натянуть на нее
такую поверхность, которая имела бы наименьшую площадь.
Пусть К— проекция / на плоскость (х, у) и Б— область, ограни-
ограниченная X. Уравнение искомой поверхности представим себе в явной
форме z = z(x, у). При этом площадь поверхности будет выра-
выражаться интегралом
C)
где zx и zv — частные производные от z(x, у) по х и у.
При определенном выборе поверхности величина S будет иметь
определенное значение, и мы имеем здесь функционал от поверх-
поверхности. Задача сводится к такому выбору функции z(x, y)> при
котором S имеет наименьшее значение. Предельным условием
в данном случае является задание значений искомой функции на
контуре к. Эти значения должны давать ординаты z того кон-
контура /, на который должна быть натянута поверхность.
Основной задачей вариационного исчисления и является разы-
разыскание наибольших и наименьших значений функционалов от линий
и поверхностей, выражаемых некоторыми определенными интег-
интегралами. Эта задача аналогична задаче дифференциального исчис-
исчисления об отыскании наибольших и наименьших значений некото-
некоторой функции. Как мы знаем, эта последняя задача непосредст-
непосредственно связана с задачей разыскания экстремумов функции, а
именно, — разыскиваются такие значения независимых переменных,
при которых функция принимает наибольшее или наименьшее зна-
значение по сравнению со всеми достаточно близкими значениями.
Аналогичным образом мы будем рассматривать задачу и для функ-
функционалов. Так, например, в случае функционала B) мы будем искать
такую линию /, чтобы Т имело для этой линии значение не боль-
большее, чем для всех линий, к ней достаточно близких. Если функ-
функционал для некоторой линии или поверхности имеет значение не
меньшее (или не большее), чем для всех близких к ней линий или
поверхностей, то говорят просто, что для этой линии или поверх-
поверхности функционал имеет экстремум.

200	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[71
В дальнейшем мы дадим точную постановку задачи и опреде-
определим понятие близости для линий и поверхностей, которые играют
роль независимых переменных обычного дифференциального исчис-
исчисления. Мы знаем, что для нахождения тех значений х, при кото-
которых функция f(x) достигает экстремума, нам необходимо решить
уравнение f(x) — 0. В вариационном исчислении доказывается,
что линия у — у(х) или поверхность z = z(x, у), дающая экстре-
экстремум некоторому функционалу, должна удовлетворять некоторому
дифференциальному уравнению. Нашей первой задачей является
построение этих дифференциальных уравнений. Удовлетворение
этим уравнениям представляет собой необходимое условие экст-
экстремума функционала, совершенно так же, как равенство f (х) = 0
является необходимым условием того, чтобы заданная функция
/ (х) имела экстремум при некотором значении х. Для вывода
упомянутых уравнений нам понадобятся две леммы, которые мы
изложим в следующем пункте.
71. Основные леммы. Лемма 1. Если интеграл
\f(x)r\(x)dx,	D)
х0
где f (х) — фиксированная непрерывная в промежутке [х0, хг] функ-
функция, обращается з нуль для всякой функции ц{х), непрерыв-
непрерывной вместе со своей производной и равной нулю на концах, т| (х{)) =
= г\ (*!) = 0, то f (x) тождественно равна нулю в промежутке [х0, хх].
Доказываем от обратного. Пусть в некоторой точке дг = |
внутри промежутка f(x) отлична от нуля. Например, /(?)>0.
Вследствие непрерывности / (х) будет положительной и в некотором
промежутке [|lf ?2], содержащем точку ? внутри и лежащем внутри
[xOi JCi]. Определим теперь функцию т) (х) следующим образом:
(* — \if (* — У2 ПРИ ii ^ х ^ Ъ&>	E)
0	при iz^-X^Xi.
Построенная таким образом функция г\ (х) удовлетворяет всем
условиям леммы. Действительно, по построению, т] (х0) =ti (хг) = 0.
Произведение (х — |хJ (х — Н2J и его производная по х обраща-
обращаются в нуль при х — %1 и х = 12. Вне промежутка [§ь |2] к)(х)
есть тождественный нуль. Отсюда вытекает непрерывность функ-
функции и ее производной во всем промежутке [х0, х±]. Принимая
во внимание, что вне Цъ |2] функция т] (х) — тождественный нуль,
можем написать интеграл D) в виде

71]	ОСНОВНЫЕ ЛЕММЫ	201
откуда следует, что он имеет положительное значение, так как
подынтегральная функция непрерывна и положительна внутри
промежутка интегрирования. Но по условию леммы интеграл
должен быть равен нулю. Это противоречие и доказывает
лемму.
Приведем аналогичную лемму для двойного интеграла.
Лемма 2. Если интеграл
в
* У)г\(х9 y)dxdy,	F)
где f (x, у) — фиксированная в области В непрерывная функция,
обращается в нуль для всякой функции r\ (х, y)f непрерывной
вместе со своими частными производными первого порядка в В и
равной нулю на контуре I области В, то f (х, у) тождественно
равна нулю в области В.
Положим, что в некоторой точке (?, ?) внутри В функция
f (х, у) положительна. Тогда она будет положительной и в неко-
некотором круге с центром (?, Q и радиусом р, лежащем внутри 5.
Определим г\ (х, у) следующим образом:
0	при (*-g
-02-p2]2 при (х-1
Нетрудно проверить, что г\ (х, у) удовлетворяет всем условиям
леммы, а интеграл F) сведется к интегралу по упомянутому
кругу от непрерывной положительной функции и будет положи-
положительным, что противоречит условию леммы.
Замечание. Обе леммы останутся справедливыми, если мы
наложим на функцию ц более тяжелые ограничения, например,
потребуем, чтобы она имела непрерывные производные до неко-
некоторого порядка п и чтобы на концах промежутка [х0, л^], а в слу-
случае интеграла F) — на контуре /, она обращалась в нуль вместе
с производными до порядка (/г—1). Доказательство останется
прежним и достаточно будет лишь, например, в формуле E)
показатель степени 2 заменить на (ft—l).
Отметим также, что лемма может быть легко доказана для
трехкратных интегралов и вообще интегралов любой крат-
кратности.
Следующие две леммы имеют совершенно иной характер.
По существу, они могут быть объединены в одну лемму, но для
ясности мы разделим их на две.
Лемма 3. Если g(x) непрерывна в промежутке [х0, хг] и
]g(x)n'(x)dx~0	G)

202	ГЛ. II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[71
для всякой функции ц (х), непрерывной вместе со своей производ-
производной в [х0, х±] и т] (х0) = tj (#i) =0, то g(x) — постоянная.
Обозначив
Хо
мы получим
]	-c]dx = 09	(8)
Хо
и функция
удовлетворяет указанным в лемме условиям, так что
Хо
Умножая обе части (8) на с и вычитая из последнего равен-
равенства, получим
х0
откуда g(x)=c.
Лемма 4. Если а(х) и Ь(х) непрерывны в [xQ> xt] и
\[a(x)r\(x) + b(x)r((x)]dx = 0	(9)
х0
для всякой функции ц (лс), удцвлетворяющей тем же условиям, что
и в лемме 3, то Ь (х) имеет непрерывную производную Ь' (х) = а (х)
в [хОу хг].
Положив
A(x) = \a(t)dt,
Хо
получим, интегрируя по частям,
la(x)r\(x)dx = -\A(x)r((x)dx9
Х0	Х0
и равенство (^.переписывается в виде
х0

72]	УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ	203
и в силу леммы 3
х
Ь(х) = \ а (/)<# +const,
т. е.
72. Уравнение Эйлера в простейшем случае. Рассмотрим про-
простейший функционал
J = \F(x, у, y')dx,	A0)
Хо
где F — заданная функция всех трех аргументов. Мы будем счи-
считать ее непрерывной вместе с производными второго порядка
в некоторой области В плоскости (х, у) и при любых значениях
аргумента у'. Функционал J получит определенное численное
значение, если мы фиксируем функцию У = у(х), или, что то же,
кривую у = у(х), которую всегда считаем лежащей внутри В.
Положим, что значения функции у (х) на концах промежутка
интегрирования заданы:
У(хо)=Уо\ У(хд = ух.	A1)
Будем считать, что искомая функция имеет непрерывную произ-
производную. Такой класс функций, имеющих в промежутке [х0, х±]
непрерывную производную, назовем классом Сг (соответственно
этому класс функций, имеющих п непрерывных производных,
будет обозначаться С/г), и в дальнейшем будем считать, что все
функции, о которых мы будем говорить, принадлежат этому
классу. Назовем е-окрестностью кривой у = у(х) всевозможные
кривые уг (#), которые во всем промежутке [х0, хг] удовлетво-
удовлетворяют неравенству | yi{x)~у (х) | ^е. Иногда, кроме этого нера-
неравенства, добавляют еще одно: | у\ (х) — у' (х) | ^е, т. е. требуют
е-близости не только по ординате, но и по угловому коэффи-
коэффициенту касательной. В первом случае иногда говорят об е-близости
нулевого порядка, а во втором случае, при наличии двух нера-
неравенств, говорят об е-близости первого порядка.
Определение. Говорят, что функционал J достигает
относительного экстремума для кривой у(х), лежащей внутри
упомянутой области В, принадлежащей классу d и удовлетворя-
удовлетворяющей условию A1), если величина этого функционала для у(х)
не меньше (или не больше) его величины для любых других кривых
класса Сь находящихся в некоторой е-близости к у (х) и удовлет-
удовлетворяющих условию A1).
Это понятие относительного экстремума совершенно аналогично
понятию максимума'и минимума функции [I; 58]. Наряду с поня-
понятием относительного экстремума можно ввести и понятие

204	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[72
абсолютного экстремума. Пусть имеется некоторый класс D функций
у{х), для которых интеграл A0) имеет смысл. Говорят, что функ-
функционал J достигает в классе D абсолютного экстремума для
кривой у(х), если величина этого функционала для у(х) не меньше
(или не больше) его величины для всех других кривых класса D.
Сейчас мы будем заниматься только относительным экстремумом
и только в конце главы рассмотрим коротко вопрос об абсолют-
абсолютном экстремуме. Для- краткости речи относительный экстремум
будем называть просто экстремумом. В следующих параграфах
мы будем рассматривать функционалы, отличные от функционала
A0). Для таких функционалов также можно ставить вопрос как об
относительных, так и об абсолютных экстремумах. Мы не будем
об этом каждый раз упоминать и будем заниматься сначала только
относительными экстремумами
Выведем необходимые условия, которым должна подчиняться
у (х) для того, чтобы функционал J имел экстремум. Возьмем
любую функцию ц (х), равную нулю на концах промежутка инте-
интегрирования, и наряду с у(х), которая должна давать экстремум
функционалу У, образуем нов^ю функцию у (х)-\-аг\(х), где а —
малый численный параметр. Это новая функция удовлетворяет
тем же предельным условиям, что и у(х). Подставив ее в функ-
функционал «/, получим в результате интегрирования некоторую функ-
функцию параметра а.
J{a) = ]F(x, y(x) + ar\{x), t/(x) + ai\'(x))dx.	A2)
При любом заданном положительном е функция у (х)-\-аг\ (х)
находится в е-окрестности (даже первого порядка) линии у (х)
для всех значений параметра а, достаточно близких к нулю.
Следовательно, раз у (х) дает экстремум функционалу /, то функ-
функция A2) должна иметь экстремум при значении а = 0, а потому
ее производная должна обращаться в нуль при а —0. Дифферен-
Дифференцируя под знаком интеграла и обозначая производные значками,
поставленными снизу, будем иметь
r@)^\[F%(x, у, t/)r\(x) + Fy(x9 у, y')v)'(x)]dx = 0.
В коэффициенты при т] (х) и т)' (x) вместо у (х) подставляется
та функция, которая, по предложению, дает экстремум функ-
функционалу A0), так что эти коэффициенты суть некоторые непре-
непрерывные функции от х. Согласно лемме 4 коэффициент при rf (x)
имеет производную по х. Производя интегрирование по частям,
получим
J' @) = [F> Л (*)]? + $ Л (*) [Ру - гх F,] dx = 0.	A3)

72]	УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ	205
Внеинтегральный член равен нулю, так как, по условию, г\ (х0) =
= Ц (xi) = 0 и, следовательно,
Применяя лемму 1, можем утверждать, что функция у(х), даю-
дающая экстремум интегралу A0), должна удовлетворять уравнению
Fv-ddxFf = 0,	A4)
причем, как мы видели, при подстановке у (х) в функцию /у (я, у, у')
должна получиться функция, имеющая непрерывную полную
производную по х. Но мы не можем раскрывать эту полную
производную по правилу дифференцирования сложной функции,
т. е. по формуле
^ /V = /V + Fyyt/ + Fyytf,	A5)
поскольку мы не предположили существования непрерывной произ-
производной у"второго порядка.' Ниже мы покажем, что если вдоль
исследуемой линии у = у(х) производная Fvy^0f то функция
у{х) имеет непрерывную производную у" и тем самым уравнение
A4) может быть переписано в виде
Fу УУ" + руу'У' + рху - Fy = 0.	A6)
Это уравнение было дано Эйлером и называется обычно уравне-
уравнением Эйлера. Оно представляет собой дифференциальное уравне-
уравнение второго порядка, и его общий интеграл содержит две произ-
произвольные постоянные, которые определяют из двух предельных
условий A1). Произведение J'(Q)a, являющееся дифференциалом
функции J (а) при а = 0, называется обычно первой вариацией
функционала A0) и обозначается б/. Принимая во внимание A3),
можем написать
l(±)ydx	A7)
Приведем теперь доказательство существования непрерывной про-
производной у" (х) при условии Fvy ^ь 0. Полная производная, вхо-
входящая в уравнение A4), есть предел отношения
-Fy, (х, у, у') __ гс лС^Утр Лл^У'
при Дх-^0, и квадратные скобки обозначают, что соответствую-
соответствующие производные надо брать при некоторых средних значениях

206	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[72
между (л:, у, у') и (х + кх, у + Д*/, у' + ку'). Напомним, что мы
предположили непрерывность производных второго порядка у функ-
функции F (х, уу у')щ В силу сказанного выше левая часть имеет при
Дл:->0 предел, равный полной производной от F (х, г/, у') по х.
В правой части первые два слагаемые имеют пределы:
Fxy (x, У, У') и i/Fyy (х, у, у')
и [/уу'] имеет предел Fyy(xf у, у'). Если этот последний отли-
отличен от нуля, то существует предел
А*/' , 3xFy'(*' у* у')~р*у (л:' /А у')—у'руу' (*> У> У')
Ах *	Fy.y, (х, у, у')
который является непрерывной функцией от х на тех участках
кривой у = у(х)9 на которых Fvy(x9 у, у')^0. Если /у/ = 0
лишь в отдельных точках кривой, то только в этих точках у"
может или не существовать, или потерять непрерывность.
Итак, предполагая, что функция у (х) дает экстремум инте-
интегралу A0), мы пришли к уравнению A4) или A6) для этой
функции, т. е. эти уравнения являются необходимыми условиями
того, чтобы функция у(х) давала экстремум интегралу A0).
Напомним, что t/(х) мы считали непрерывной функцией. В даль-
дальнейшем мы рассмотрим и те случаи, когда у' (х) имеет в отдель-
отдельных точках разрывы первого рода.
Основное уравнение Эйлера A6) является дифференциальным
уравнением второго порядка и задача сводится к отысканию
интегральной кривой, соединяющей две точки, (я0, у0), (xlf у±),
с различными абсциссами х0 и хг. Сформулируем в связи с этим
теорему С. Н. Бернштейна A912 г.) для A6).
Если в дифференциальном уравнении
f = F(x, у, у%	A8)
где F определена при всех значениях аргументов и функции F,
Fy, Fy непрерывны в каждой точке (х, у) при любых значениях
у' и существует такая постоянная k>0 и такие ограниченные
в каждой конечной части плоскости функции
что при любых аргументах
Fy(x, у, y')>k и \F(x, у, jOI«z(*, y)y'2 + $(x> У),
то через любые две точки (х0, у0) и (хъ ух) с различными абсцис-
абсциссами проходит одна и только одна интегральная кривая у(х)
уравнения A8).
Доказательство этой теоремы можно найти в книге Н. И. А х и е -
з е р а «Лекции по вариационному исчислению».

73] СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ФУНКЦ И ПРОИЗВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 207
73. Случай нескольких функций и производных высших порядков.
Нетрудно написать уравнение Эйлера и для того случая, когда
функционал зависит от нескольких функций, как это имело место,
например, для функционала B).
Ограничимся случаем двух функций:
J = \ F(x, у, if, z, 2f)dx.	A9)
x0
Строим две функции, близкие к у(х) и г(х):
у (х) + ar) (x); z (х) + а±у]х (х),
где т| (х) и % (х) — произвольные функции, равные нулю на кон-
концах промежутка. Подставляя их в интеграл A9); получим функ-
функцию J (а, ах) от а и аь и для того, чтобы у(х) и z (x) давали
экстремум функционалу A9), необходимо, чтобы частные произ-
производные; от J (а, аг) по а и ах обращались в нуль при а = ах = 0.
Производя вычисления, совершенно аналогичные предыдущим,
получим для этих частных производных следующие выражения:
B0)
Ja @, 0) = [7ут,Е + I г) (х) (Fy-fL /у) dx,
х0
/а, @, 0) = [/VThft + ) % (х) (F,-^Fr) dx,
и так как внеинтегральные члены обращаются в нуль, то, как и
выше, мы убедимся в том, что для того, чтобы функции у(х) и
г(х) давали экстремум функционалу A9), необходимо, чтобы они
удовлетворяли следующей системе двух уравнений второго по-
порядка:
Fy-?F' = 0'> F.-iF* = 0-	B1)
Кроме этих уравнений мы имеем еще предельные условия:
выражающие закрепление концов искомой пространственной кривой.
В силу B0) вариация интеграла A9) выразится следующей
формулой:
[{ &) [K)]	B2)
х„

208	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[73
Для функционала, зависящего от п функций: уг (х),..., уп(х),
J=\ F(x, уи у{, уъ уъ ..., yni y'n)dx,	B3)
необходимые условия экстремума будут выражаться системой п
уравнений второго порядка:
а предельные условия закрепления на концах будут иметь вид
Первая вариация функционала B3) имеет вид
п
к = \ k
У F • ЬуЛ + [ У [Fyu--?-F • \bykdx (8yk = aki\k (x)). B5)
Рассмотрим теперь тот случай, когда интеграл содержит про-
производные искомой функции выше первого порядка:
J=\ F(x, у, у\ ..., y<n))dx.	B6)
х0
Как и выше, построим близкую кривую y(x)Jrar\(xI подставим
в интеграл B6), продифференцируем по а и положим а = 0. Таким
образом мы получим
Ху
Jf /Q\ ;__ С ПС ц /jA l p ,y\r (y\ JL % ,-\- F (Л)Т1^Л^ (х)] dx	/QT4
Преобразуем все слагаемые правой части, кроме первого, интег-
интегрируя несколько раз по частям:
Xi
с) dx. B8)
Мы считаем, что г| (д:) и ее производные до порядка (п— 1)
обращаются в нуль на концах. Вследствие этого внеинтегральные

73J СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ФУНКЦ И ПРОИЗВ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 209
члены пропадут; приравнивая нулю У @), получим условие:
Х0
которое в силу замечания к лемме 1 приводит нас к следующему
уравнению Эйлера:
Это есть дифференциальное уравнение порядка 2п. Его общий
интеграл содержит 2п произвольных постоянных, и мы должны
иметь еще 2п предельных условий. В простейшем случае эти
условия сводятся к заданию функции и ее производных до по-
порядка (л — 1) на концах промежутка. Из этих предельных условий
и вытекает, что аналогичные величины для т) (х) должны обра-
обращаться в нуль. Отметим еще, что мы считали непрерывными все
те функции, которые входят в предыдущие формулы, так что,
например, мы считаем, что искомая функция у (х) имеет непре-
непрерывные производные порядка 2п (класс С2л).
При рассмотрении функционалов B3) и B6) мы приходим
к уравнениям B4) и B9), предпрлагая в первом случае, что функ-
функции yk(x) (k=l, 2, ..., п) имеют непрерывные производные до
второго порядка, а во втором случае, что у (х) имеет непрерывные
производные до порядка 2п. Можно при некоторых предположе-
предположениях доказать, что это будет действительно так. Для функцио-
функционала B3) имеет место следующее утверждение: если функции ук (х)
(&=1, ..., п) дают экстремум функционалу B3), и определитель
С*-1. 2. ....*)
отличен от нуля вдоль линии yk = yk(x) (k = 1, 2,..., п), то yk (х)
имеют непрерывные производные второго порядка. В случае функ-
функционала B6) равенство нулю первой вариации приводит к урав-
уравнению:
\Fyin-2) dxdx+...
XX	X
...+ (— 1)" \ $... \Fydxdx...dx =
X, Xg	Xp
= С0 + С1(х-х0) + ... + Ся.1 (x - Xo)"-\ C0)
где Co, Cl9 ..., Cn_i — некоторые постоянные. Это основано на
следующей лемме (ср. лемму 3 [71]).

210
ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[74
Лемма. Если для непрерывной функции М (х) имеет место
равенство
для всякой функции г[(х), имеющей непрерывные производные до
порядка п и удовлетворяющей условиям
то М (х) есть полином степени (п — 1).
Если у (х) имеет непрерывные производные до порядка 2/г, то,
дифференцируя уравнение C0) п раз, получаем уравнение B9).
Если F имеет непрерывные производные до порядка п-\-\ по всем
своим аргументам, то соответствующие полные производные по ?
можно раскрыть по правилу дифференцирования сложных функ-
функций fcp. A5)J.
74. Случай кратных интегралов. Приведем теперь вывод необ-
необходимого условия экстремума для кратного интеграла. Впервые
эти условия были указаны М. В. Остроградским. Рассмотрим двой-
двойней интеграл
'х, у, и, их, uy)dxdy9	C2)
где их, и^ —частные производные функции и (х, у), а Б —некото-
—некоторая конечная область на плоскости XY. Считается, что функция
F (х, у, и, р, q) имеет непрерывные производные до второго по-
порядка, если точка (л:, у, и) находится внутри некоторой трехмер-
трехмерной области <$, а р и q — любые {р = их\ q = uy). Ищется поверх-
поверхность и = и(х, у), лежащая внутри $, с границей А,, одно-
однозначно проектирующаяся на плоскость XY в виде области В
с границей /, дающая экстремум функционалу C2). Иными сло-
словами, ищется функция и (х, у) в области В, дающая экстремум
функционалу и принимающая данные значения на /. Мы предпо-
предполагаем, что и (х, у) имеет непрерывные производные до второго
порядка в В. Составляем близкие функции и (х, у) + аг\ (х, у), где
Ц (х> У) — произвольная функция, обращающаяся в нуль на /. Под-
Подставляя эту функцию в интеграл C2), дифференцируя по а и по-
полагая а = 0, получим следующее выражение первой вариации
функционала:
б*/ = Ja @) а = а ^ (/v| + Fujfie -j- FUyx\y) dx dy.
в

СЛУЧАЙ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ	211
Преобразуем последние два слагаемых, пользуясь известной фор-
формулой Римана
в
следующим образом:
в
= \ \ [
В
В
Таким образом, мы будем иметь следующее выражение первой
вариации:
6J= \bu(FUxdy-FUydx)+\ \ (Fu-^xFax-^Fay)8u
' I	В
Fм = ост1(*, у)).
Для экстремума необходимо, чтобы эта первая вариация обраща-
обращалась в нуль, или, принимая во внимание, что ц (а:, у) на / равно
нулю, мы можем утвержда!ъ, что двойной интеграл, стоящий
в правой части C3), должен равняться нулю, а отсюда в силу
леммы 2 [71] мы получаем для искомой функции и {х, у), дающей
экстремум функционалу C2), следующее уравнение Остроградского:
или, в раскрытом виде,
Fuxuxu>xx + 2FUxUyuxy + FuyUyUyy + FUxUux +
+ FuyuUy + FXUx + FlJUy -Fu = 0. C5)
Мы получили уравнение с частными производными второго по-
порядка, которое должно быть удовлетворено внутри области. Пре-
Предельным условием, как мы уже говорили выше, является задание и
на контуре /.
В случае кратного интеграла, зависящего от нескольких функ-
функций, мы будем искать систему таких уравнений. В случае трой-
тройного интеграла и функции и (х, у, г), зависящей от трех незави-
независимых переменных, получится уравнение следующего вида:

212	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[75
Если под знак интеграла входят производные функции и (х> у)
до порядка я, то уравнение Остроградского будет иметь вид
r" ~дхГи* ~ ду
+ V^—- + (-1)ea^ * = 0' C7)
Во всех предыдущих рассуждениях мы, как всегда, считаем
непрерывными все функции, входящие в формулы. Кроме того,
считается, что возможно применение при выводе формулы C3)
преобразования двойного интеграла в криволинейный, что связано
с поведением частных производных их и иу в окрестности кон-
контура / области В. Мы еще вернемся с более общих точек зрения
к вопросу об экстремуме кратных интегралов при заданных пре-
предельных условиях.
75. Замечания по поводу уравнений Эйлера и Остроградского.
Рассмотрим сначала уравнение Эйлера A4) в простейшем случае.
Положим, что функция F не содержит у. Уравнение принимает
вид
d_
dx'
— F > — О
и имеет очевидный первый интеграл Fy> = C. Если F не содер-
содержит х, то нетрудно проверить, что имеется первый интеграл:
F-y'Fy> = C.	C8)
Действительно,
± (F - j,7v) = Fjtf + Fy>y" - F^y" - Fy>yy'2 - Fy.y>y'y" -
Поскольку F н'е содержит х, множитель при — у' является левой
частью уравнения Эйлера и, следовательно, в силу этого урав-
уравнения
т. е. мы имеем действительно интеграл C8).
Если F не содержит у', то уравнение Эйлера A4) будет
Fy(x, y) = 0,
т. е. мы имеем не дифференциальное, а конечное уравнение. Оно
даст нам одну или несколько линий, а не семейство, зависящее
от двух параметров, как это имело место в случае дифференци-
дифференциального уравнения, и мы не сможем, вообще говоря, удовлетво-
удовлетворить предельным условиям.

7Г>] ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ УРАВН ЭЙЛЕРА И ОСТРОГРАДСКОГО 213
Отметим теперь те случаи, когда уравнение Эйлера обращается
в тождество. Положим, что F — A (х, у) + В(х, у) у', причем имеет
место тождество
^_<* 0.	C9)
ду дх	v '
Нетрудно проверить, что при. этом левая часть уравнения A4)
будет тождественно равна нулю, а интеграл A0) может быть запи-
записан в таком виде:
\	D0)
причем в силу C9) он не зависит от пути, т. е. имеет одно и то
же значение при любом выборе кривой /, соединяющей точки
(*о> Уо) и (хъ уг), что и обуславливает тот факт, что уравнение
Эйлера обращается в тождество. Нетрудно видеть, что в данном
случае мы можем написать
F{x, У, y') = -*xG{x, у),
где G (х, у) определяется как интеграл D0) с переменным верх-
верхним пределом.
Совершенно так же, если подынтегральная функция в интег-
интеграле B6) будет полной производной по х от некоторой функции,
зависящей от (х, у, у', ..., у{п~г)),
F{x9 у, у', ..., ^) = ^6(xf у, у', .... *<*-*>),
то уравнение Эйлера B9) превратится в тождество.
Рассмотрим теперь функционал C2) и положим, что подын-
подынтегральная функция имеет вид
F{x, у, и, иХ9 Uy)=fc + g?,	D1)
где А и В —некоторые функции от (*, у, и). Непосредственной
подстановкой можно проверить, что при этом уравнение Остро-
Остроградского превращается в тождество. По сути дела, это происхо-
происходит от того, что в силу формулы Римана двойной интеграл от
выражения D1) равен интегралу по контуру:
[{Ady-Bdx)
i
и, таким образом, значение этого двойного интеграла вполне опре-
определяется теми значениями, которые принимает функция и на кон-
контуре / области В. Есда фиксировать значение и на контуре /, то
двойной интеграл по области В будет иметь одно и то же значе-
значение при любом выборе функции и.

214	ГЛ П ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	.	176
Выражения вида D1) можно назвать выражениями типа рас-
расходимости. Заметим, что если мы к подынтегральной функции
какого-либо функционала C2) добавим выражение типа расходи-
расходимости, то, очевидно, это вовсе не повлияет на уравнение Остро-
Остроградского, т. е. новый функционал будет иметь то же самое урав-
уравнение Остроградского, что и прежде. Это непосредственно вытекает
из того, что левая часть уравнения C4) есть линейная однородная
форма от F и ее частных производных.
Выше мы видели, что если в интеграле C2) подынтегральное
выражение есть выражение типа расходимости, то уравнение
Остроградского обращается в тождество. Можно доказать и обрат-
обратное утверждение.
Если подынтегральная функция F содержит частные производ-
производные выше первого порядка, то, как и выше, условие D1) является
необходимым и достаточным для того, чтобы уравнение Остро-
Остроградского C7) превращалось в тождество. Но при этом А и В
могут содержать частные производные того же порядка, что iiF.
Так, например,
F = иххиуу - uly = (ихиуу)х - (ихиху)у,
и нетрудно проверить, что при этом уравнение C7) превращается
в тождество.
76. Примеры. 1. Рассмотрим функционал BХ), полагая v (x, у)~\/Гу»
1^а,	D2)
К такому функционалу приводит так называемая задача о брахистохроне:
среди линий, соединяющих две данные точки (jc0, y0) и (*ь ух), найти ту,
двигаясь по которой, свободно пущенная материальная точка пройдет весь
путь в кратчайшее время. При этом считается, чта ось у направлена верти-
вертикально вниз, т. е. по направлению действия силы тяжести. В функционале
D2) подынтегральная функция не содержит х, и мы можем сразу написать
первый интеграл уравнения Эйлера:
У у V'yVi+y'2 ^ci'
или
,2	?>i—у	D3^
У
Полагая
в^.A-сод^
у 2
откуда

76J	ПРИМЕРЫ	215
после подстановки в D3) и упрощения найдем
Q
-~- A —cos и) du = ± dx,
и, следовательно,
С	С
х=± -? (и — sintt) + Ca; t/ = —±-A — cos a).
Отсюда видно, что экстремали функционала D2) суть циклоиды. Посто-
Постоянные С± и С2 определяются заданием начальной и конечной точек. Если одна
из этих точек —начало координат, то надо положить С2 = 0, и начало коорди-
координат получается при значении параметра и, равном нулю. Отметим при этом
тот факт, что рассмотренная задача обладает некоторой особенностью, а именно,
при и = 0, как нетрудно проверить, у'— , обращается в бесконечность, и
ах
знаменатель в подынтегральной функции интеграла D2) обращается в нуль.
Если в этом интеграле перейти к переменной м, то особенность при и = 0
исчезает.
2. Пусть (и, ь) — координатные параметры, определяющие положение
точки на некоторой поверхности, и
ds* = E (м, v) du2 + 2F (и, v) dudv + G (ut v) dxP
— квадрат элемента длины линии на этой поверхности [II; 142].
Геодезическими линиями на поверхности называются линии, которые опре-
определяются из необходимого условия минимума интеграла
^	dut	D4)
выражающего длину кривой, причем вдоль кривой мы считаем v функцией
от и. Уравнение Эйлера будет иметь вид
1	Ev + 2Fvv' + Gvv'* d	Г + Gv'	==()
2	VE + 2Fv' + Gv'* du VE+2Fv' + Gv">
Рассмотрим сферу с центром в начале и радиусом единицам
х = sin б cos ф; у = sin б sin cp; z = cos б.
При этом
ds* = dW +sin* Qdqfi,
и интеграл D4) будет
\
где q/__производная от ф по б. Подынтегральная функция не содержит ф и,
следовательно, мы имеем следующий интеграл:
Положив Ct=0, получим очевидное решение ф= const. Иначе говоря,
геодезическими линиями будут все меридианы сферы, т. е. все большие круги,
проходящие через полюсы сфер, в которых 6 = 0 и л. Ввиду произвольности
выбора полюса, очевидно, что все большие круги сферы будут ее геодезичес-
геодезическими линиями.

216	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Рассмотрим задачу геометрической оптики в пространстве:
=:\n(гл Z) Vl+y'* + z'* dx	D5)
для того случая, когда скорость v или показатель преломления л = гг1 не зави-
зависят от х.
Если для интеграла D5) мы напишем уравнения Эйлера и решим их отно-
относительно у" и z", то получим уравнения
пу" = пуA+у'* + г'*); пг" = пг(\+У'2 + г'%	D6)
и мы имеем, как нетрудно проверить, первый интеграл:
п = С К1+#'2 + г'2.	D7)
Если я не содержит и переменной у, то первое из уравнений D6) дает у" -=¦ О,
т. е. z/ = Cxa; + Q, и, следовательно, всякая экстремаль есть плоская кривая,
лежащая в плоскости, параллельной оси г. Если положить v—Vz , то получим
задачу о брахистохроне в пространстве, причем ось г имеет направление
действия силы тяжести.
Положим теперь я = г, причем мы будем рассматривать только полу-
полупространство, для точек которого г имеет положительное значение. Подставляя
в формулу D7) п = 2~1 и у — СхХ + Съ, получим для функции г уравнение
первого порядка с разделяющимися переменными:
	Czdz
|/l-(l+Q)C2z2 ~~ *'
откуда
l
Вводя вместо С новую произвольную постоянную, С|= . ,г.л ^2 , и вместо
С2 —постоянную Со^Са + СхСз и заменяя, в силу y =
можем переписать предыдущую формулу в виде
(*-CgJ + (#-C:J + *2==Cf.	D8)
Таким образом, для интеграла
J	2
экстремалями будут полуокружности, являющиеся пересечением сфер D8),
имеющих центр в плоскости z = 0, с плоскостями ^ = CxJt + C2, перпендику-
перпендикулярными к плоскости г = 0.
Можно дать полученному результату интересное геометрическое толко-
толкование. Если в полупространстве z > 0 мы определим элемент длины, т. е. мет-
метрику, формулой

Щ	ПРИМЕРЫ '	217
то интеграл D5) будет выражать длину кривой при принятой метрике. В силу
наличия г в знаменателе под знаком интеграла длина кривой будет беспре-
беспредельно увеличиваться при приближении этой кривой к плоскости г = 0, т. е.
эта плоскость будет как бы бесконечно далекой плоскостью для геометрии
с построенной метрикой.
Упомянутые выше полуокружности будут играть роль прямых в этой
геометрии. Кроме этих полуокружностей, будем называть прямыми в этой
геометрии полупрямые, перпендикулярные к плоскости 2 = 0. Эти полупрямые
являются вырождением упомянутых полуокружностей. Плоскостями назовем
полусферы с центром в плоскости 2 = 0 или полуплоскости, перпендикулярные
к плоскости 2 = 0. При таких определениях для точек, прямых и плоскостей
этой новой геометрии будут выполнены, как нетрудно проверить, все аксиомы
обычной евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных прямых, т. е.
мы имеем, таким образом, в полупространстве г > 0 просто осуществление
геометрии Лобачевского. Отметим/ что в случае прямой, перпендикулярной
к плоскости 2 = 0, мы не можем принимать х за независимую переменную.
Для того чтобы не связывать себя выбором независимого переменного, мы
должны искать уравнение экстремали в параметрической форме: х (t), у (t), г (t).
При этом указанный выше интеграл запишется в виде
tx
Vxl + tfl + z!
г
to
В дальнейшем мы рассмотрим основную задачу вариационного исчисления
в случае параметрического задания линии. При таком параметрическом задании
указанные выше полупрямые будут экстремалями интеграла J.
В плоском случае мы будем иметь интеграл вида
и экстремалями будут окружности, имеющие центр на оси #, или прямые,
перпендикулярные к" этой оси. В полуплоскости t/>0 упомянутые полуокруж-
полуокружности и полупрямые будут играть роль прямых, и мы будем иметь в упомяну-
упомянутой полуплоскости осуществление плоской геометрии Лобачевского. В част-
частности, через всякие две точки Мо и Мх упомянутой полуплоскости будет про-
проходить одна н только одна экстремаль.
4. Среди линий, соединяющих точки Мо и Мг плоскости XY, требуется
найти ту, которая при вращении вокруг оси Ох образует поверхность с наи-
наименьшей площадью. Площадь поверхности вращения выражается интегралом
[I; 106]:
и, откидывая постоянный множитель 2я, мы придем к задаче об экстремуме
интеграла:

./ = $ yV\+y'2 dx.
Xq
В данном случае подынтегральная функция не содержит #, и мы можем
написать интеграл C8) уравнения Эйлера:
= Clf откуда •¦ Г 1 У г = dx.

218	ГЛ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[76
Интегрируя, найдем
или
и окончательно:
х-С2	х-С2
Г—
/
-f [е Ъ +е
Clch^=-^.
Таким образом, экстремали суть цепные линии, имеющие ось симметрии,
параллельную оси OY [I; 178]. Можно показать, что в рассматриваемой задаче
через две данные точки Мо и М± не всегда проходит одна и только одна
экстремаль. В зависимости от положения этих точек таких экстремалей может
быть две, одна или ни одной.
Как мы видели выше, геодезическими линиями на сфере являются большие
круги этой сферы. Если точки Мо и Мх сферы не являются концами одного
и того же диаметра сферы, то их можно соединить двумя дугами одного и
только одного большого круга. Если же точки Мо и Мх лежат на концах
одного и того же диаметра, то их можно соединить бесчисленным множеством
полуокружностей больших кругов сферы.
Уравнение Эйлера является лишь необходимым условием экстремума
соответствующего функционала, так что мы не можем утверждать, что найден-
найденная экстремаль дает действительно экстремум соответствующему функционалу.
В дальнейшем мы укажем и некоторые достаточные условия. В случае геодези-
геодезических линий на сфере минимум расстояния будет давать меньшая из двух
дуг большого круга, соединяющих точки Мо и Мх. Никакая линия поверх-
поверхности, соединяющая точки Мо и Mlt не может давать наибольшего расстояния
между точками Мо и Мг. Очевидно, можно провести на поверхности сколь
угодно близкую линию, соединяющую Мо и М19 с длиной большей, чем длина
взятой линии.
5. Рассмотрим задачу на экстремум интеграла
Л + uydxdy.
Как мы видели [70], к этой задаче приводится задача отыскания поверх-
поверхности с наименьшей площадью, натянутой на данный контур. Если мы натянем
на заданный контур какую-нибудь поверхность, то совершенно очевидно, что
мы можем построить сколь угодно близкую к ней поверхность, натянутую на
тот же контур, с большей площадью, и, следовательно, в данном случае экстре-
экстремум интеграла может сводиться только к его наименьшему значению. Подстав-
Подставляя подынтегральное выражение в уравнение C4), мы получим следующее
дифференциальное уравнение второго порядка для искомых минимальных
поверхностей:
г A jf.qV) — 2spq-\-t A+р2) = 0	D9)
(p — Ux'i Q — Uy'i r=uxx> s==uxy* ^==wt/t/)«
Напомним, что средняя кривизна поверхности определяется формулой
[II; 146]:
1/1 , 1 \ _ EN-2FM + GL	E0)

76]	ПРИМЕРЫ	219
где ?, Ft..., Му N суть коэффициенты первой и второй форм Гаусса. В слу-
случае явного задания уравнения поверхности мы имеем [II; 143]:
и уравнение D9) выражает тот же факт, что во всех точках минимальной
поверхности средняя кривизна должна быть равна нулю. Этот результат был
нами получен и раньше при помощи вариации элемента площади поверхности
|Н; 151].
Уравнение D9) есть уравнение в частных производных второго порядка
с двумя независимыми переменными, аналогичное, в известном отношении,
уравнению Лапласа. Покажем, что при помощи аналитических функций
комплексного переменного мы можем получить решения уравнения D9), совер-
совершенно так же, как раньше мы получали решения уравнения Лапласа также
при помощи аналитических функций комплексного переменного [Ш2; 2]. Из
формулы E0) непосредственно следует, что мы получим Я = 0, если для поверх-
поверхности выполнены условия: Е = G = М = 0. Пусть г — радиус-вектор поверхности,
имеющий составляющие (я, у, г). Предыдущие условия могут быть записаны
в виде [II; 143]:
где т —единичный вектор нормали к поверхности. Эти условия будут наверное
удовлетворены, если мы подчиним г следующим условиям:
г'2_0. г'2—Q. Г" _П
Первые два из написанных равенств суть ^скалярные равенства, а третье —
векторное. В развернутой форме они могут быть записаны следующим образом.
= ^?-=0.	E2)
dudv dudv dudv
Равенство E1), очевидно, не выполняется, если производные от коорди-
координат по и и v имеют вещественные значения. Допустим, что координаты сугь
аналитические функции комплексных.переменных и и v. Равенства E2) пока-
показывают, что (я, у, г) должны представляться в виде суммы функции только
от и и функции только от v [II; 177]:
х=Ф1 (и)+яр! (v); у=фа (и)+1|52 (v); г == <р3 (и) + я|>3 (v)t	E3)
причем в силу E1) мы должны иметь
з	з
Положим м==р + ш. Для того чтобы иметь вещественную поверхность,
мы допустим, что г|з5 (v) имеет значения, комплексно сопряженные с q>5 (и).
Точнее говоря, мы будем считать, что и = р —ш и функции г|?5 (v) имеют ком-
комплексно сопряженные значения по отношению к ф5 (и) в точках, симметрич-
симметричных относительно вещественной оси. Формулы E3) при этом примут вид

220	ГЛ И. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[76
где Re —знак вещественной части. Включая множитель 2 под знак веществен-
вещественной части и функциональной зависимости, мы можем переписать наши фор-
формулы в виде
u),	E4)
где аналитические функции ф5 (и) должны подчиняться условию:
|>;s(«)=0.	E5)
s = l
В параметрическом представлении E4) роль вещественных параметров
играют р и а, т. е. вещественная и мнимая части комплексного переменного и.
Мы можем принять за независимую комплексную переменную одну из функ-
функций ф5 (и). Например, можем положить / = ip3(") и считать, что первые" две
функции суть функции комплексного переменного t> Они должны быть свя-
связаны соотношением:
0.
Мы видим, таким образом, что совокупность полученных нами минимальных
поверхностей зависит от одной аналитической функции. Так, например, мы
можем написать
где ср! (t) — произвольная аналитическая функиия комплексного переменного t.
Можно пользоваться более симметричной записью, а именно:
*= Re i [/ (u)-uf («)-Ц^ f" (")],
V=Re[f(«)-u/'(«) + —2
где f (и) — произвольная аналитическая функция. Нетрудно проверить, что
функции, стоящие под знаком вещественной части, действительно удовлетво-
удовлетворяют соотношению E5).
6. Рассмотрим функционал
E6)
где В —некоторая ограниченная область плоскости (х, у). В силу C4) урав-
уравнение Остроградского для этого функционала имеет вид
и** + «1/|/ = 0,
т. е. это есть уравнение Лапласа. Мы вправе ожидать, что гармоническая
функция, имеющая заданные предельные значения на контуре / области В,
дает функционалу E6) наименьшее значение, по сравнению со всеми другими
функциями, непрерывными в замкнутой области В> имеющими внутри В непре-
непрерывные частные производные первого порядка и принимающими на / те же
предельные значения, что и упомянутая выше гармоническая функция. Но
мы не имеем строгого доказательства этого утверждения, поскольку уравне-
уравнение Остроградского дает только необходимое условие экстремума и, кроме
того, надо помнить, что при выводе этого уравнения мы предполагали сущест-
существование непрерывных вторых производных у искомой функции. Будем считать,
что В есть круг с центром в начале координат и радиусом единица.

77]	ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ	221
Мы знаем, что при любых заданных непрерывных значениях на контуре
существует единственная гармоническая функция у, решающая задачу Дирихле
при заданных контурных значениях. Но мы ничего не можем утверждать
о поведении первых производных этой функции при приближении к контуру,
и, следовательно, не можем утверждать, что для "построенной гармонической
функции функционал E6) имеет конечное значение. Действительно, оказыва-
оказывается, что можно задать такие непрерывные предельные значения на контуре,
что функционал E6) для построенной гармонической функции будет равен
(+оо), т. е., точнее говоря, если мы возьмем интеграл E6) по концентриче-
концентрическому кругу Вг радиуса г, меньшего единицы, то при г -> 1 этот интеграл
будет беспредельно возрастать. Можно показать, что при этом функционал E6)
будет равен (+ со) и для любой функции с непрерывными производными пер-
первого порядка, имеющей те же предельные значения.
Вообще, имеет место следующая теорема, если при заданных предельных
значениях на контуре I функционал E6) имеет конечное значение для некото-
некоторой функции и, то он имеет конечное значение и для гармонической функ-
функции v с теми же предельными значениями, причем D (v)^D (и) и знак равен-
равенства имеет место только в том случае, если и совпадает с v.
Доказательство этого предложения будет дано ниже, а сейчас докажем
эту теорему при дополнительном предположении, что гармоническая функция v
имеет внутри круга ограниченные частные производные первого порядка. При
этом интеграл E6) имеет для этой функции, очевидно, конечное значение.
Функцию и мы можем представить в виде u = v-{-(p, где ф обращается в нуль
на контуре области, а внутри имеет непрерывные производные первого порядка.
Функционал E6) для этой функции может быть записан в виде
D (v + ф) = D (?) + D (ф) + 2 J С (vxipx + VyVy) dx dy.	E7)
в
Применим формулу Грина к кругу Вг с радиусом г < 1:
\ \ (v^x + Vy^y) dx dy = — \ V фДу dx dy+ \ ф ~ ds.
Поскольку v есть гармоническая функция, двойной интеграл в правой части
обращается в нуль, а в криволинейном интеграле, взятом по окружности Сг
радиуса г< 1, при стремлении г к единице, ф стремится к нулю равномерно
по отношению к полярному углу, а dv/дп остается ограниченной, и в пределе
этот интеграл, очевидно, обращается в нуль. Таким образом, в пределе и инте-
интеграл, стоящий в левой части, обращается в нуль, и формула E7) может быть
написана в виде
Но мы имеем, очевидно, D (ф) ;> 0, причем знак равенства может иметь место
только в том случае, если ф обращается тождественно в нуль в круге В.
Таким образом, мы действительно имеем D (v)^D (u), причем знак равенства
может иметь место только в том случае, если и совпадает с v.
77. Изопериметрические задачи. Напомним задачу об относи-
относительных экстремумах в случае функций нескольких переменных
[I; 167]. Совершенно аналогично и в вариационном исчислении
ставятся задачи об экстремуме некоторого функционала, при
условии, что искомая функция должна удовлетворять некоторым
дополнительным соотношениям. В частности, поставим следующую

222	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	Uf
задачу: среди всех кривых у (х), для которых интеграл
хх
л=$ G(x> y> y')dx==a	E8)
Хо
имеет заданное значение а, определить ту, которая дает экстре-
экстремум интегралу
J = ]F(x9 у, yf)dx.	E9)
Задача эта носит обычно название изопериметрической задачи.
Это название происходит от основной из задач указанного типа,
а именно, от задачи нахождения замкнутой кривой, которая при
заданной длине а ограничивает наибольшую площадь (окруж-
(окружность). Поставленная задача приводится к обычной задаче вари-
вариационного исчисления без дополнительного условия при помощи
следующей теоремы:
Теорема Эйлера. Если кривая у(х) дает экстремум инте-
интегралу E9) при условии E8) и при обычных предельных условиях
A1), и если у (х) не является экстремалью интеграла E8), то
существует такая постоянная К что кривая у(х) есть экстре-
экстремаль интеграла
\H(xt у, y')dx, где H = F + №.	F0)
х0
Введем в рассмотрение функцию, близкую к у(х):
у (х) + ахщ (х) + a2Ti2 (x).	F1)
где аг и а2 — малые параметры, а % (х) и гJ (х) — функции с обыч-
обычными свойствами, равные нулю на концах промежутка интегри-
интегрирования. Подставим эту функцию в интеграл E8):
Л (аь а2) = \ G (х, у + ащ! + a2%, у' + a^l + а2щ) dx.
х0
Применяя обычные вычисления, можно написать:
у	х0
Раз у(х) не есть экстремаль интеграла E8), ю разность
Gi>~~dxGy' не есть Т0ЖДественный нуль в промежутке (л:0, х±) и,

77]	ИЗОПЕРИМЕТРИЧЬСКИЕ ЗАДАЧИ	223
очевидно, можно выбрать функцию r[z (х) так, чтобы интеграл
xt
был отличным от нуля.
Обратимся к уравнению J1(a1, a2) = a Оно удовлетворено при
al = a2 = 0, поскольку у(х) есть, по предположению, решение
нашей задачи, и в силу сделанного выбора % частная производ-
производная от Jx(al9 a2) по a2 отлична от нуля при a1 = a2 = 0. Таким
образом, по теореме о неявных функциях fl; 159J уравнение
Л (аь а2)=а определяет а2 как функцию от ах при всех значе-
значениях аь достаточно близких к нулю, причем производная от а2
по ах при ах = 0 определяется, очевидно, следующей формулой:
da2
dx ¦
X0
L
dx =
Подставим функцию F1) в интеграл E9) и продифференци-
продифференцируем полученный интеграл по аъ помня, что а2 есть функция
от ах:
Пользуясь выражением F2) для постоянной k, можем написать:
dJ
где
ИЛИ
dJ
Хо
Раз у(х) дает экстремум интеграла E9) при условии E8), то мы
должны иметь j- _ = 0, откуда, принимая во внимание произ-
произвольность г)! (х) и основную лемму, получим, полагая F-\-№ = H9
уравнение

224	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[77
которое является уравнением Эйлера для интеграла F0). Общий
интеграл написанного уравнения будет содержать три произволь-
произвольные постоянные, а именно: две постоянные интегрирования и
постоянную К. Эти постоянные должны определяться из двух пре-
предельных условий и условия E8).
Сделаем одно замечание по поводу полученного результата.
При умножении подынтегральной функции интеграла E9) на про-
произвольную постоянную экстремали этого интеграла останутся,
очевидно, прежними, и мы можем вследствие этого записать функ-
функцию Н в симметричной форме Н = XxF + J^G9 где Ях и Я2 — постоян-
постоянные. Поскольку F и G входят в выражение Н симметрично, мы
можем утверждать, что при отыскании экстремума интеграла E9)
при условии, что интеграл E8) сохраняет постоянное значение,
мы получим те же самые экстремали, что и при разыскании
экстремума интеграла E8), при условии, что интеграл E9) со-
сохраняет постоянное значение. В этом состоит так называемый
принцип взаимности в его простейшей форме. Мы считаем при
этом, что постоянные Ях и Я2 отличны от нуля, т. е. мы исклю-
исключаем те кривые, которые являются экстремалями интеграла E8)
или интеграла E9).
На примерах выясним смысл требования в теореме Эйлера,
чтобы у(х) не была экстремалью интеграла E8). В более общем
случае изопериметрическая задача имеет следующий вид: найти
функции yt(x) (/ = 1, 2, ..., я), дающие экстремум интегралу
J = \F(xf уъ у'и ..., уя> y'n)dx9
при наличии связей
\ G$(х, у, уи ..., Уп, Ук) dx=as (s= 1, 2, ..., р)
Xq
и предельных условий
Уг (Хо) = У? ; Уг (*l) ='»i11	(/=1,2	 П).
При наличии некоторого дополнительного условия, обеспечи-
обеспечивающего, как и выше, применимость теоремы о неявных функ-
функциях, мы можем утверждать, что функции yt (x), дающие реше-
решение поставленной задачи, должны быть экстремалями для инте-
интеграла
хх
\ Н{ху уъ уи ¦••> уп> Уп)йх,

78]	УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ	225
р
где Н = Р+У] ksGs и ^—постоянные. Доказательство этого ут-
s=l
верждения аналогично предыдущему. Заметим, что число связей р
может и превышать число искомых функций п.
78. Условный экстремум. Будем рассматривать теперь такие
задачи, в которых дополнительные условия имеют вид, отличный
от E8). Начнем с простейшей задачи. Найти две функции у (х)
и z(x), дающие экстремум интегралу
J=]F(x, уу у', г, z')dx	F3)
и удовлетворяющие уравнению
G{x, у, z)=0	F4)
и предельным условиям закрепления на концах:
причем координаты (xOi yOf z0) и (хъ у1у гх) должны, очевидно,
удовлетворять уравнению F4).
Геометрически дело сводится к нахождению линий, лежащих
на поверхности F4) и дающих экстремум интегралу F3). Можно
было бы из уравнения F4) определить z как функцию от х и у
и вставить эту функцию в интеграл F3); тогда мы пришли бы
к обычной задаче вариационного исчисления без всяких дополни-
дополнительных условий с одной искомой функцией у(х). Используем
это замечание для вывода того уравнения, которому должны удов-
удовлетворять функции у(х) и г(х), дающие решения поставленной
задачи. Будем считать, что вдоль этого решения частная произ-
производная Gz отлична от нуля. При этом уравнение F4) будет раз-
разрешимо относительно г, и мы получим z = q>(x, у). После под-
подстановки этого выражения в интеграл F3) он примет вид
Хх
J = \F(x, у, у\ ф, фл + чмОЖс.	F5)
Плоская кривая /, являющаяся проекцией нашей простран-
пространственной кривой на плоскость (л:, у), должна давать экстремум
интегралу F5) при закрепленных концах и, следовательно, она
должна удовлетворять уравнению Эйлера, написанному для этого
интеграла. Произведем предварительные вычисления для состав-
составления этого уравнения. Обозначим через [F] подынтегральную
функцию в интеграле F5). Эта функция зависит от (л:, у, у').
Через F без квадратных скобок мы обозначаем прежнюю

226	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[78
функцию F (ху уt у', г, г'), так что [F] получается из F в резуль-
результате подстановки г = ф(л;, у) и zf =ух + ц)уу'. Мы имеем
r = Fy>
Уравнение Эйлера для интеграла F5):
в силу написанных выше формул, приведется к виду
Из уравнения F4) следует равенство
% = -?¦
Подставляя его в предыдущее равенство, получим
F-* F
f d f г a z dx z' - о
Вдоль линии у = у(х), z = z(x), дающей, по условию, экстремум
функционалу F3) при условии F4), дробь, входящая в последнее
равенство, есть некоторая функция от х:
F -<Lf ,
Z rfj? Z
и два последних равенства приводят к дифференциальным урав-
уравнениям для у (х) и z (#), не содержащим производной функции
Х(х):
Таковы необходимые условия на у(х), z(x) для того, чтобы они
давали экстремум функционалу F3) при условии F4). Нетрудно
видеть, что последние уравнения можно записать в виде
где
F6)

791	ПРИМЕРЫ	227
т. е. экстремали рассматриваемой задачи должны быть безуслов-
безусловными экстремалями интеграла с подынтегральной функцией F*.
Заметим, что в рассматриваемой задаче вместо постоянного множи-
множителя X изопериметрической задачи мы имеем множитель X (х), зави-
зависящий от х. Исключив из F4) и F6) функции X (х) и г, мы полу-
получим уравнение второго порядка для у(х). Две произвольные
постоянные определятся из предельных условий для у(х).
Связи F4), не содержащие производных от искомых функций,
называются обычно голономными связями. Высказанное выше
утверждение оказывается справедливым и для функционала B3),
зависящего от нескольких функций, для случая неголономных
связей вида:
Gs (х, уъ Уи • • -, Уп, Уп)=0 (s= 1, 2	р), F7)
т. е. при некоторых дополнительных условиях функции уи даю-
дающие экстремум интегралу B3) при условиях F7), должны удов-
удовлетворять уравнениям:
где
f*=ffll^(x)Gs(х, уъ у\, ..., уП9 Уп).	F9)
s = \
Система F8) обладает одним существенным отличием от анало-
аналогичной системы для случая голономных связей. Так как функции
F7) в рассматриваемом случае содержат производные у'и то функ-
функции Fli будут содержать Xs(x), и уравнения F8) будут содержать
производные от Xs (x) по х. Окончательно уравнения F7) и F8)
дадут систему (п + р) дифференциальных уравнений с (п + р) неиз-
неизвестными функциями yt и Xs(x) второго порядка относительно уь
и первого — относительно Xs(x).
Введем в рассмотрение функции zt (х), определенные равенст-
равенствами:
*г(х)=у\{х) (/=1, 2, ..., п).	G0)
После такой замены уравнения F7) дадут р голономных связей для
функций yt и zt, a F8) и G0) обращаются в систему 2п уравне-
уравнений первого порядка с Bп-\-р) функциями уп zt и Xs(x). Решив
F7) относительно каких-либо р из функций yt и zt и подставив
их выражение в уравнения F8) и G0), получим 2п уравнений
первого порядка для 2п из функций yt9 zn Xs(x). Общее решение
этой системы будет содержать 2п произвольных постоянных, кото-
которые должны определяться из 2п граничных условий.
79. Примеры. 1. Среди всех кривых длины /, соединяющих две данные
точки Л и Б, определить кривую, ограничивающую вместе с прямолинейным
отрезком ЛВ наибольшую площадь. Проведем ось X через точки Л и Б и пусть

228	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[79
*0 и #! —абсциссы этих точек. Считаем, что для искомой кривой у есть одно-
однозначная функция от а: в промежутке [х0, хг]. Дело сводится к отысканию наи-
наибольшего значения интеграла
\ydx	G1)
при дополнительном условии:
^V\+y'2dx = l.	G2)
XQ
Последний интеграл выражает длину линии у (х) между точками х = х0
и x — xv Его экстремалями будут, очевидно, прямые линии/Это можно непо-
непосредственно проверить, составляя уравнение Эйлера для этого интеграла. Если
1<хх — х0, то условию G2) не удовлетворяет ни одна линия. Если 1 = х1 — х0,
то условию G2) удовлетворяет только прямолинейный отрезок ЛВ. В обоих
случаях поставленная задача не имеет смысла, и в дальнейшем мы будем счи-
считать 1>хх — х0. В рассматриваемом случае
причем эта функция не содержит х, а потому первый интеграл соответствую-
соответствующего уравнения Эйлера будет
откуда
или
(y-b)dy
интегрируя, получим
(x-
т. е. экстремалями будут окружности радиуса |Я,1.
Пусть go будет угол, под которым виден отрезок АВ из центра окруж-
окружности:
#1 — #o = 2A,sin— и I — hi).
Для определения со имеем уравнение:
. со со ,	ч ,
решение которого всегда возможно при указанном выше условии. Пользуясь
принципом взаимности, мы можем высказать предложение: среди кривых, огра-
ограничивающих площадь заданной величины, дуга окружности имеет экстремаль-
экстремальную (очевидно, наименьшую) длину. Заметим еще, что если /> -^-(xi — xo)y то
у не будет однозначной функцией от х.
Пользуясь полученным результатом, можно показать, что если замкнутая
кривая среди кривых данной длины ограничивает наибольшую площадь, то
°та кривая должна быть окружностью.

79]	ПРИМЕРЫ	229
2. Требуется определить положение равновесия тяжелой однородной нити
данной длины / с закрепленными концами, находящейся под действием силы
тяжести. Считаем направление силы тяжести совпадающим с отрицательным
направлением оси у. Положение равновесия определяется требованием, чтобы
центр тяжести нити находился возможно ниже. Мы считаем очевидным,
что всякая прямая, параллельная оси у, встречает нить не больше, чем в
одной точке. Задача сводится к нахождению экстремума интеграла [ср. пример
4 из д° 76]:
при дополнительном условии
\V\+y'2dx = l	G3)
Xq
и граничных условиях: y(xo) = yOi y(xi) = yv В данном случае
F*=yY\ + у'2 + % ]Л +у'2,
и первый интеграл уравнения Эйлера будет':
dy	dx
у 	= -
=а ИЛИ
l+y'2	Viy + Kfa* а
Если положить
ег -4- е~г
a^
то уравнение легко интегрируется и дает
т. е. экстремалями задачи будут цепные линии. Постоянные а, Ь и К должны
определяться из граничных условий:
и условия G3). Вычитая одно граничное условие из другого и преобразуя
разность гиперболических косинусов в произведение, будем иметь
G4)
где
После подстановки найденного значения у в условие G3) оно приводится
к виду
или
= /.	G5)

230	w гл. И. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[79
В силу G4) получаем
G6)
Число /, очевидно, должно удовлетворять неравенству:
и уравнение G6) имеет единственный корень. Из G4) и G5) получаем
или
Но
~Г=1 + ЗГ + 5Г+#"
есть монотонно возрастающая от 1 до (+ оо) функция при 0 ^ х < со, прини-
принимающая один и только один раз всякое значение, большее единицы, а потому
уравнение G7) имеет единственный положительный корень. После того как
найдены v и |Л, нахождение а, Ъ и X не представляет затруднений.
3. Рассмотрим упругий однородный стержень, прямолинейный в недеформи-
рованном состоянии. Как известно из теории упругости, его потенциальная
энергия в деформированном состоянии пропорциональна интегралу, взятому
вдоль стержня, от квадрата его кривизны. Положим, что стержень имеет
длину / и заделан в точках (л:0, у0) и (xlt уг). Примем за независимую пере-
переменную длину стержня s, отсчитываемую от точки (х0, у0), и обозначим через
6 (s) угол, образованный касательной к стержню с осью х. Кривизна будет
выражаться производной 6' (s), и интеграл, экстремум которого ищется, имеет
вид
$вЛ?Й.	G8)
о
Как известно,
	 r«/-wo fl*	—P- _ eifi О
и мы имеем, следовательно, следующие два уравнения связи:
l	l
s^xx—-х0; ^ sin 6 rfs = r/x—?/0.	G9)
Кроме того, заделанность стержня в конечных его точках равносильна заданию
функции б (s) при s = 0 и s = I:
6@) = я; 6@ = 6.	(80)
В данном случае:
F* = Q'2 + h1 cos 6 + А,2 sin 0,
и эта функция не содержит независимой переменной s, так что мы имеем непо-
непосредственно следующий первый интеграл уравнения Эйлера:

79]	ПРИМЕРЫ	231
Введем две новые постоянные:
и вместо б введем новую переменную (р:
en-00
где мы положили 60=arctg-~. При таких обозначениях написанный выше
первый интеграл уравнения Эйлера приводится к виду
откуда мы получаем выражение s через ф в виде эллиптического интеграла:
_
Vh
Jdy
Постоянные k, h, 80 и s0 должны определяться из условий G9) и (80).
Для нахождения декартовых координат точек стержня достаточно в соотно-
соотношения
--- == cos 6 = cos Bф+в0); -/ = sin б = sin Bф+в0)
подставить вместо ds его выражение:
dx=s 2cosBy+e0>_	2 8щBФ+е0)_
y'h V\ — k2 sin2 ф	Vh УI —№ sin2 <p •
откуда сейчас же определяются х и у при помощи квадратур.
4. Рассмотрим задачу о нахождении геодезических линий на заданной
поверхности:
G(x, у, 2) = 0.	(81)
Дело сводится к нахождению экстремума интеграла
х0
при дополнительном условии (81). Уравнения F6) в данном случае будут
иметь вид
У>	^ 0; 4	Z' =—^=0.	(82)
Чтобы выяснить основное геометрическое свойство геодезических линий, про-
продифференцируем уравнение (81) полным образом по х:
Умчножая обе части на ^ и подставляя вместо XGy и %GZ их выражения из (82),
после несложных преобразований придем к равенству:

232	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[79
аналогичному равенствам (82), причем дроби, стоящие под знаком производной
по х, равны направляющим косинусам касательной к искомой геодезической
кривой, так что мы можем переписать эти уравнения в виде
dcosa__	d cos ft _ ^ r d cos у
dx	dx	J dx
Пользуясь формулой — = cos а, мы можем заменить дифференцирование
по х дифференцированием по s и получим таким образом:
d cos a _ d cos В „ d
G	^ G
где ^i = ACOsa. Но, как известно [II; 136], левые части написанных уравне-
уравнений пропорциональны направляющим косинусам главной нормали к кривой,
а правые части —направляющим косинусам нормали к поверхности, откуда
следует непосредственно, что вдоль геодезической линии главная нормаль к ли-
линии будет Ьдповременно и нормалью к поверхности.
5. Рассмотрим задачу о брахистохроне в сопротивляющейся среде: среди
линий, соединяющих две данные точки, А и В, найти ту, двигаясь по кото-
которой пущенная вниз с данной скоростью материальная точка пройдет весь путь
в кратчайшее время, причем в среде имеется сопротивление, выражающееся
заданной функцией R (v) скорости v.
Из механических соображений непосредственно следует, что искомая
кривая должна находиться в плоскости, проходящей через прямую АВ и вер-
вертикальную прямую, проведенную из точки А. Примем эту плоскость за пло-
плоскость (х, у) и направим ось у вертикально вниз. Пусть (х0, у0) и (х1у уг) —
координаты точек А к В. Приращение кинетической энергии при движении
вдоль кривой будет происходить за счет положительной работы силы тяжести
и отрицательной работы сопротивления, т. е.
d-~=gdy-R(v)dsy
где g— ускорение силы тяжести и ds — У dx2 + dy2. Принимая х за независи-
независимую переменную для функций v n у, получим
W — gy' + R (р)У\+у'2 = 0,	(83)
и дело сводится к нахождению экстремума интеграла
при наличии неголономной связи (83), причем v и у являются искомыми функ-
функциями.
Предельные условия обычного типа должны сводиться к заданию функций
на концах промежутка:
УЫ = Уо> У{*1) = Уъ	(84)
v(xo) = vo; v(x1)^vv	(85)
Первое из условий (85) равносильно заданию величины скорости, с которой
выпущена точка из начального положения А. Второе из условий (85) сводится
к заданию скорости в конечной точке кривой и не представляется естествен-
естественным с механической точки зрения. В дальнейшем мы еще вернемся к этому

79]	ПРИМЕРЫ	233
вопросу. Следуя общему приему, мы должны написать уравнения Эйлера для
функции
y* H + K{x)w*-K(x)gy\	(86)
где
Функция F* не содержит у, и ее уравнение Эйлера по отношению к у имеет
очевидный первый интеграл Fy — C, или
(87)
а уравнение Эйлера для функции F* по отношению к функции v будет
или
vX' (x)
(88)
Мы имеем, таким образом, систему трех уравнений, (83), (87) и (88), для
функций у, v и X. Непосредственно дифференцируя разность H2 — (C+ghJ
по л: и пользуясь упомянутыми выше тремя уравнениями, убедимся в сущест-
существовании следующего интеграла:
aa,	(89)
где а —новая произвольная постоянная. Из написанного уравнения можно
определить X как функцию от v: X — X(v). Деля почленно (87) на (88), полу-
получим
$н	(90)
В силу уравнений (87) и (89)
,_C + g%
у -~г~>
откуда
Подставляя в правые части равенств (90) и (91) X = X(v) и производя квадра-
квадратуры, будем иметь
v, а, С); r/ = e-|-if> (у, а, С),
где d и е—произвольные постоянные. Написанные два уравнения и дают пара-
параметрическое представление искомой брахистохроны, причем v играет роль пара-
параметра. Произвольные постоянные должны определяться из предельных условий
(84) и (85). Последнее из условий (85), как мы увидим* в дальнейшем, должно
быть заменено условием
р* ,| — о
1 V' \X=Xt U»
которое выражает тот фант, что скорость v может иметь произвольное значение
при х = х1. Написанное выше условие в силу (86) имеет вид Xv\x_x =0.
Считая скорость отличной от нуля, получим X\x==Xi~0.

234	ГЯ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[80
80. Инвариантность уравнений Эйлера и Остроградского. При
разыскании экстремума функции одной переменной y = f(x) мы
можем совершать замену независимой переменной, вводя вместо х
новую независимую переменную ?: # = ф(?), причем мы считаем
Ф (!) монотонной и имеющей производную, отличную от нуля.
Правило дифференцирования сложной функции дает
| = П*)Ф'A).	(92)
Необходимое условие экстремума в новой независимой перемен-
переменной будет /' (л:) ф' (?) = 0, и в силу ф' (I) Ф 0 это новое условие
равносильно прежнему f (х) = 0. Можно получить формулу, ана-
аналогичную формуле (92), и для левой части уравнения Эйлера
в различных случаях. Начнем с рассмотрения простейшего функ-
функционала:
J=*iF(x, у, y')dx	(93)
Хо
и, для краткости письма, введем специальное обозначение доя ле-
левой части уравнения Эйлера:
[F]y = Fy-^xFy>.
Вводя новую независимую переменную g, можем написать
и интеграл J в новой независимой переменной принимает вид
$	$ФA У,
Вводя близкую функцию у + ац и производя обычные вычисления,
мы получим
-^ jF(x, y + a% y'+ar\')dx\a=0= \ [F]yr\dx.
Xq	Xq
Это же выражение в новой независимой переменной может
быть записано в таком виде:
Приравнивая оба полученные результата, можем написать

80]	ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА И ОСТРОГРАДСКОГО	235
откуда ввиду произвольности функции г) согласно лемме 1 [71]
будем иметь
Г/71 _ Гф &ХЛ -^>	(QA)
L "ь J^ "¦*
причем символ, стоящий справа, должен быть раскрыт в пред-
предположении, что независимой переменной является |, т. е.
Формула (94) совершенно аналогична формуле (92), о которой
мы говорили выше, а уравнение Эйлера
Ф
dx
= 0, очевидно,
равносильно уравнению Эйлера [F]y = 0. Все это может быть
обобщено и на тот случай, когда подынтегральная функция
содержит несколько искомых функций.
Рассмотрим функционал для случая двух независимых пере-
переменных:
J = \\F(x, у, и, их, uy)dxdy.
в
Введем вместо (х, у) две новые независимые переменные (?, г\):
причем мы считаем, что написанные функции имеют непрерывные
производные и что соответствующий им функциональный опре-
определитель не обращается в нуль. Преобразуем подынтегральную
функцию к новым независимым переменным:
Fix, у, и, их, uy)=F[x(l, г]), у(Ъ, г\), и, щ
= ФA7 т], и, иь иц).
Вводя, как и выше, близкую функцию а + ат], дифференцируя
интеграл по а и полагая а = 0, будем иметь
где Вг — результат преобразования области В при помощи указан-
указанной выше замены переменных, D (^ у,—обычное обозначение для
функционального определителя, и символ [ ]и обозначает левую
часть уравнения Остроградского, т. е., например,
[F]a = Fu — frcF»x — ~д~у Fuy-
Совершая в интеграле, стоящем в правой части формулы (942),
замену переменных и пользуясь произвольностью функции rj, мы

236	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[81
получим следующую формулу преобразования левой части урав-
уравнения Остроградского к новым независимым переменным:
Совершенно аналогичная формула получается и в случае боль-
большего числа независимых переменных. Уравнение Остроградского
[Р]и = 0 равносильно уравнению Остроградского Ф D *у ^ = О
в новых независимых переменных.
Можно совершать и одновременную замену независимых пере-
переменных и функции. Так, например, если мы в случае функционала
(93) введем вместо (х, у) новые переменные (?, т|):
то вместо функции у = у(х) в новых переменных будем иметь
функцию т| = т|E)- Преобразуя функционал (93) к новым пере-
переменным, получим
J[ ч),
и, как и выше, уравнение Эйлера [F]y = 0 будет равносильно
уравнению Эйлера [Ф]л = 0.
В следующем параграфе мы исследуем уравнение Эйлера в том
случае, когда функциональная зависимость у (х) задается в пара-
параметрической форме.
81. Параметрическая форма. При разыскании экстремума
функционала требование, чтобы искомая кривая имела явное
уравнение у = у{х), может существенно сузить задачу, так как
может оказаться, что прямые, параллельные оси у, пересекают
кривую, дающую решение задачи, более чем в одной точке.
Перейдем к рассмотрению общего случая параметрической формы
уравнения искомой линии. Считая х и у функцийми некоторого
параметра t, мы можем переписать интеграл (93) в виде
Js=\F[x, y, b)x'dt,	(95)
где хг и (/' — производные по ty a t0 и tx — значения параметра,
соответствующие концам кривой. Наш интеграл / имеет вид (95)
ори любом выборе параметра t.

81]	ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА	237
Отметим тот факт, что подынтегральная функция не содержит
независимой переменной t и является однородной функцией пер-
первого измерения от х' и у'. Рассмотрим, вообще, некоторый инте-
интеграл:
J = ]f(x, у, х\ y')dU	(96)
у которого подынтегральная функция не содержит независимой
переменной t и является однородной функцией первого измерения
от х' и у\ т. е.
F(x, у, kx\ ky')=kF(x, у, х', у').	(97)
Покажем, что при этом интеграл (96) не изменит своего вида
при любой замене параметра t. Введем вместо / другой пара-
параметр т, полагая т = т(^), причем мы считаем т'(/)>0, так что
при возрастании t и х также возрастает. Преобразуя интеграл (96)
к переменной т, получим
J=\F(xt у, x'xx'
и, пользуясь формулой (97), можем написать
ti	tt
\F(x, уу хЫ, y'xx't)t'xdx=\F(x, у, хх, y'x)dx,
То
т. е. интеграл (96) не изменил своей формы при замене параметра.
Отметим, что роль k в формуле (97) у нас играло т?, так что
достаточно потребовать, чтобы тождество (97) имело место при
k>0. В дальнейшем мы будем считать, что для интеграла (96)
выполнено условие (97).
Напомним, что при определении близости для кривых, задан-
заданных в явной форме, мы требовали близости ординат кривых,
соответствующих одинаковым абсциссам. В общем случае пара-
параметрической формы уравнения можно определить близость незави-
независимо от выбора параметра, а именно: мы можем сказать, что кри-
кривая / находится в е-близости нулевого порядка от кривой 1Ъ
если между точками I и /х можно установить такое взаимно одно-
однозначное и взаимно непрерывное соответствие, при котором рас-
расстояние между соответствующими точками не превосходит 8.
Аналогично может быть определена е-близость первого порядка.
Перейдем теперь к выводу необходимого условия экстремума.
Пусть некоторая линия / дает интегралу экстремум. Производим
каким-нибудь образом выбор параметрического уравнения линии I,
так что уравнение Ь будет: x = x(t), y = y{t). Берем близкую кри-
кривую х (t) + ar] (t), у @ + ^1% @> причем считаем соответствующими

238	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[81
точки, получаемые при одном и том же значении параметра.
Подставляя уравнение близкой кривой в интеграл (96) и прирав-
приравнивая нулю производные по а и аг при а = 0^ = 0, мы, как
всегда, покажем, что функции x(t) и y(t) должны удовлетворять
при любом выборе параметра t системе двух уравнений Эйлера:
Fx-px. = 0; Fy—t|iy = 0.	(98)
Эти уравнения не содержат в явном виде самого параметра.
Кроме того, отметим, что по существу дела одну из функций,
x(t) или y(t), мы можем считать произвольной. Действительно,
совершая замену параметра t (т), мы получим #[Y(x)] и y[t(T)]>
в силу произвольности выбора t (т) мы можем считать одну из
этих функций произвольной функцией от т. Учитывая это обсто-
обстоятельство, мы вправе ожидать, что два уравнения (98) сводятся
к одному. Докажем это.
Дифференцируя обе части тождества
выражающего свойство однородной функции F [I; 154], по х, у,
\ '
9
р
х\ у' получим
Из последних двух равенств найдем
F*>*	Fv>»>	Fu'u>
y" —x'y' x'
где через F± мы обозначили общую величину написанных трех
отношений. Возвращаясь к уравнениям (98) и производя диффе-
дифференцирование, придадим им такой вид:
Fx - x'Fxx> - y'Fyx. - 7t'Fx.x. - y"Fx>y> = 0,
Fy - x'Fxy> - y'Fyy, - x"Fx>y> -y['Fyy. = 0.
Заменяя в этих уравнениях /v*', FX'U* и FyV ^o формулам A00),
a F^, Fy — по формулам (99), преобразуем их к следующему виду:
где
Мы считаем, что я' и у' одновременно в нуль не обращаются,
так что написанные два уравнения действительно приводятся
к одному:

81]	ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА	239
К этому одному уравнению с двумя искомыми функциями, равно-
равносильному системе (98), мы можем добавить еще одно уравнение,
характеризующее конкретный выбор параметра t\ например, если
за параметр мы выберем длину дуги s искомой экстремали, то
это добавочное уравнение будет иметь вид х'2-\-у'2 = 1. Принимая
во внимание выражение радиуса кривизны плоской кривой [I; 71],
можем переписать уравнение A01) в виде
1 _ Fxy	Fyx>
Все сказанное без труда может быть распространено и на
функционалы, зависящие от кривых в л-мерном пространстве.
Рассмотрим интеграл:
J = \F{*i. *i', ..., xnt x'n)dt,	A03)
и
где я,-—функции от t, а ^' — производные. Как и выше, мы счи-
считаем функцию F однородной функцией первого измерения от х\.
При этом интеграл A03) не меняется при любой замене пара-
параметра /. Как и выше, нетрудно показать, что для того, чтобы
кривая n-мерного пространства (х1у ..., хп) давала экстремум
интегралу A03), необходимо выполнение следующих уравнений
Эйлера:
или
^-t/sFx:xrt/s'Fx:x^0 (/-I, 2	я).
Нетрудно проверить, что левые части этих уравнений связаны
следующим соотношением:
1=1	I S = I	I, Se=I
Действительно, в силу однородности F можно написать, согласно
теореме Эйлера,

240	ГЛ. II. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[82
дифференцируя это тождество по xs и x'Sy находим
Из этих тождеств непосредственно вытекает, что действительно,
сумма, стоящая в средней части формулы A05), тождественно
равна нулю. Таким образом, в системе A04) одно из уравнений
есть следствие остальных, и мы можем добавить к системе A04)
еще одно уравнение, характеризующее выбор параметра. Отметим,
что вся изложенная теория может быть распространена и на
случай кратных интегралов.
82. Геодезические линии в я-мерном пространстве. Пусть в «-мерном
вещесгвенном пространстве определена некоторая метрика
п
rfsa= 2] aikdxidxk (aik=aki)t	A06)
i. fe = i
где aib суть заданные функции аргументов xs. Эти функции мы считаем непре-
непрерывными с их частными производными первого порядка. Задание метрики A06)
равносильно тому, что длина кривой xs(t) (s = l, 2, ..., п) выражается инте-
интегралом
$ |?]/. 2 l ашх'Л dt>	A07)
причем мы считаем выражение, стоящее под радикалом, положительным при
любых значениях xs и х[, если не все x's — нули, т. е. мы считаем, что задан-
заданная квадратичная форма A06) определенно положительна. Мы имеем, конечно,
право считать, что коэффициенты а^ и а^, стоящие при одинаковых произ-
произведениях дифференциалов, также одинаковы, т. е. а^ = аЛ/.
Геодззическими линиями называются экстремали интеграла A07). Это поня-
понятие является непосредственным обобщением понятия геодезической линии на
заданной поверхности, о котором мы говорили, выше. Обозначим, для крат-
краткости, через ф сумму, стоящую под знаком радикала:
Ф= 2 «,**«•	(Ю8)
Мы имеем для экстремалей следующие уравнения Эйлера:
° A"=1>2	п)- A09)
Одно из уравнений этой системы есть следствие остальных, и мы добавим
еще одно уравнение, а именно:
и пусть s — то значение параметра /, которое определяется этим дополнитель-
дополнительным уравнением. Из A07) непосредственно следует, что A10) равносильно

82]	ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ Bft-MEPHOM ПРОСТРАНСТВЕ	241
тому, что за параметр t мы выбираем длину дуги s кривой я-мерного про-
пространства. Благодаря (ПО) система A09) упрощается и принимает вид
Нетрудно проверить, что эта система имеет интеграл:
>	Ф = const.
Действительно,
п	п
Но в силу того, что ф — однородный полином второй степени от х\у имеем
и, следовательно,
i = 1	1=1
Пользуясь этим равенством, можем переписать выражение для dq>/ds в виде
п
dcp odcp
ds ds
и в силу A11) имеем ^=0, т. е. ф = const есть интеграл системы A11), и
дополнительное условие (ПО) получается, если положить произвольную посто-
постоянную равной единице.
Напишем теперь уравнения A11) в раскрытом виде:
п	п
Wxi — Jj *Р ' xs — Zj f? ' fXs == 0»
s = \ -xixs s = ]
или, подставляя сюда выражение A08),
п	п
1
р, q — 1	р, s = 1	s = I
Остановимся на второй сумме. В	ней коэффициенты при х[х'р и л:^ не
одинаковы, но мы можем сделать их	одинаковыми, заменив каждый из них
на их полусумму:
J Idapj	dasi
\8р)
Соединив первую сумму со второй и переменив знак на обратный, мы приведем
окончательно нашу систему к следующему виду:
л'+ 2 i(%+&-t&)"«-0 <¦¦=¦•2	»»-<"г)

242	ГЛ. II. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[82
В этих уравнениях производные берутся по длине дуги s. Выражение, стоя-
стоящее в скобках во второй сумме, носит в дифференциальной геометрии назва-
название символа Кристоффеля первого рода и обозначается следующим образом:
^Ql___^PQ\= \pql
dxD dXi) ~[i y
2 \dxq
Можно написать уравнения A12) в разрешенном относительно ** виде.
Обозначим через atk элементы матрицы, транспонированной по отношению
к матрице (| aik Ц, т. е.
где D есть определитель матрицы ||а^|!, который будет отличным от нуля
в силу определенности квадратичной формы A06), и А^ — алгебраические допол-
дополнения элементов а^ этого определителя. Мы имеем следующие основные равен-
равенства для элементов aik:
п
atsaks =
s = l
Умножая обе части A12) на aJ\ суммируя по i и меняя во втором слагаемом
порядок суммирования, получим в силу A13):
Р. Я = 1
где
После использования соотношения A10) уравнения Эйлера приняли вид A11),
и эти уравнения перестали уже быть зависимыми. Нам удалось решить их
относительно я*.
В качестве примера рассмотрим задачу нахождения геодезических линий
на произвольном цилиндре. Выбираем ось Z параллельно образующим цилиндра,
и пусть уравнение направляющей в плоскости (х, у) будет д: = ф(а); г/=гр (о),
причем за параметр о принята длина дуги направляющей, так что
Выберем за координатные параметры, определяющие положение точки на
цилиндре, указанный выше параметр а и координату г. При этом
так что в данном случае мы будем иметь
Уравнения A14) дадут нам а" = 0 при (/ = 1) и г" = 0 (при / = 2), причем про-
производные взяты по длине дуги s. Таким образом, мы получим

83]	ЕСТЕСТВЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ	243
Если А ф О, то мы можем написать уравнение этих линий в виде г =
= Сго + С2, где Q и С2 - произвольные постоянные. Эти линии, полное урав-
уравнение которых будет
* = ф(о); У=У(°У> 2 = ^G +С2,	A16)
суть те винтовые линии, которые мы рассматривали в [II; 139]. Присутствие
постоянного слагаемого в выражении г не играет, конечно, никакой роли.
83. Естественные граничные условия. До сих пор при рас-
рассмотрении экстремума функционала (93) мы принимали в качестве
предельных условий закрепление искомой кривой на ее концах,
т. е. задание значений у (х0) и у(х1). Укажем сейчас другой вид
предельных условий. Положим, что мы ищем экстремум интеграла
J = \F(x,y,tf)dx,	A17)
причем левый конец искомой кривой закреплен, т. е. на левом
конце имеется предельное условие у(х0)=у0, а на правый конец
никакого условия не наложено; кроме того, само собой очевидно,
что этот конец должен находиться на прямой х = хъ параллель-
параллельной оси у. Мы покажем сейчас, что на таком свободном конце
должно быть также выполнено некоторое предельное условие,
которое непосредственно получится из условия экстремума инте-
интеграла A17). Действительно, если некоторая кривая дает экстремум
интегралу A17) по сравнению со всеми близкими кривыми со сво-
свободным правым концом, то тем более она дает экстремум инте-
интегралу A17) при условии закрепления правого конца. Но тогда
эта кривая, как мы показали выше, должна удовлетворять урав-
уравнению Эйлера, т. е. быть экстремалью интеграла A17). Обра-
Обратимся теперь к общему ^выражению первой вариации интеграла [72]:
Как и выше, эта первая вариация должна обращаться в нуль.
Член, содержащий интеграл, равен нулю, поскольку функция
у(х), как мы только что показали, должна и в этом случае удов-
удовлетворять уравнению Эйлера. Внеинтегральный член должен обра-
обращаться в нуль при x = xQ, так как этот конец является закреп-
закрепленным. Таким образом, равенство нулю первой вариации при-
приводит нас к равенству Fy>r[ = 0 при х = х±. На свободном конце ц
может быть произвольным, и окончательно мы получаем на сво-
свободном конце следующее предельное условие:
F?\x = Xl = 0.	A18)
Оно дает нам некоторую связь между у и у' на свободном
конце. Нетрудно проверить, что для интеграла BХ) условие A18)

244	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[84
будет иметь вид у' — 0, т. е. в случае интеграла BХ) оно сво-
сводится к требованию, чтобы на конце х = хх экстремаль была пер-
перпендикулярна к прямой х^хх. Предельное условие A18) назы-
называется обычно естественным предельным или граничным условием.
Повторяя предыдущее рассуждение для случая интеграла
*i
J = $ F (х, уъ Уи • • •, Уп, Уп) dx,
получим на свободном конце следующие п предельных условий:
/у = 0 (i=U 2, ..., п).
Рассмотрим теперь интеграл, содержащий производные второго
порядка:
J = \F(x, у, у', y'')dx.
Хо
Принимая во внимание формулы B7) и B8), а также то обстоя-
обстоятельство, что на свободном конце ц (х) и г{ (х) произсольны, мы
получаем следующие два естественных граничных условия на
свободном конце:
Отметим, что первое из этих условий дает связь между вели-
величинами у, у\ у", у'" на свободном конце. Совершенно так же
для двойного интеграла
J = l\F(x9 у, и, иЛ, uy)dxdy	A20)
в
естественные граничные условия на контуре / будут иметь такой
вид:
где s—-длина дуги контура /. Это непосредственно вытекает из
формулы C3) для первой вариации интеграла A20).
84. Функционалы более общего типа. Рассмотрим сейчас пер-
первую вариацию функционалов, которые, кроме обычных интегра-
интегралов, содержат дополнительные слагаемые, зависящие от значений
функций на концах промежутка интегрирования или на контуре
области интегрирования. При исследовании экстремума таких
функционалов мы придем к прежним уравнениям Эйлера, и допол-
дополнительные члены в этих функционалах окажут лишь влияние на
форму естественных предельных условий. Вводя эти дополнитель-

84]	ФУНКЦИОНАЛЫ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ТИПА	245
ные члены, мы сможем получать различные формы естественных
предельных условий, важные в приложениях вариационного
исчисления к математической физике. Ограничимся рассмотрением
отдельных частных случаев.
В качестве первого примера рассмотрим функционал:
J = \F (х9 у, у') dx-q> (у0) + ф Ы,	A22)
где у0 и r/i—значения функции у (х) на концах промежутка инте-
интегрирования, а ф (у0) и ty (уг) суть заданные функции своих аргу-
аргументов, причем знак минус перед ф (у0) поставлен для удобства
дальнейших вычислений. Рассматривая близкие кривые" у (х) +
+ arj(x), подставляя в функционал, дифференцируя по а и пола-
полагая а = 0, получим следующее выражение первой вариации:
Уъ У'
y (*о> Уо, У' (Хо))} 6у0. A23)
Если некоторая кривая у(х) дает функционалу A22) экстремум
при свободных концах, то тем более она должна давать экстре-
экстремум при закрепленных концах, т. е. в последних формулах мы
можем считать 6*/! = 6(/0 = О, и основная лемма покажет нам, как
всегда, что у(х) должна удовлетворять обычному уравнению
Эйлера. Если оба конца свободны, то в формуле A23) Ьух и 8у0
произвольны, и мы получаем предельные условия вида
ф' (У) -f /у |* = *. = 0; г|/ (у) +Fy.\x = Xl = 0.
Полагая, например, ф(у) = / (у—аJ, получим при х = х0 предель-
предельное условие вида
и, в пределе, при /-*оо, будем иметь Уо=-а, т. е. придем к слу-
случаю закрепленного конца.
В случае двойного интеграла в качестве дополнительного члена
возьмем криволинейный интеграл по контуру / основной области
интегрирования В, причем за независимую переменную в этом
криволинейном интеграле мы примем длину дуги s контура /,
отсчитываемую от некоторой определенной точки этого контура.
Будем считать, что под знак интеграла в криволинейном инте-
интеграле входят: независимая переменная б, искомая функция и и
ее касательная производная us, т. е.
J = \\F(x, у, и, их, uy)dxdy+\<S(st и, us)ds. A24)

246	ГЛ. II. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[84
Производя обычные вычисления, придем к следующему выраже-
выражению для первой вариации:
x^y^	^s)	A25)
Рассуждая как и выше, можно показать, что для того, чтобы
функция и(х, у) давала экстремум функционалу A24) при есте-
естественном граничном условии, необходимо, чтобы функция и удов-
удовлетворяла обычному уравнению Остроградского, и чтобы на кон-
контуре / было выполнено предельное условие:
-дф4-°- <12б>
В качестве примера рассмотрим функционал:
lp(s)uds,
i
где р (s) — заданная на / функция. В данном случае уравнение
Остроградского превратится в уравнение Лапласа, а предель-
предельное условие будет иметь вид
Принимая во внимание, что ^ и ~ суть направляющие косинусы
касательной к /, а следовательно, ? и (•—^ч —направляющие
косинусы внешней нормали к /, можем написать предельное усло-
условие в следующем виде
si-"г" »¦
Мы пришли, таким образом, к задаче интегрирования урав-
уравнения Лапласа при заданных значениях нормальной производной
на контуре области, т. е. к задаче Неймана. Если бы мы взяли
то получили бы предельное условие вида
Отметим еще одну возможность повлиять на естественные пре-
предельные условия, не меняя уравнений Эйлера и Остроградского.
Этого можно достигнуть не путем добавления к функционалу
дополнительных слагаемых, как это мы делали выше, а путем
добавления к подынтегральной функции основного интеграла
такого выражения, которое не оказывает влияния на уравнение

85J	ОБЩАЯ ФОРМА ПЕРВОЙ ВАРИАЦИИ	247
Эйлера или Остроградского. Мы построили такие выражения
в [75]. Если, например, мы рассмотрим вместо интеграла
] F (х, У, У1) dx
интеграл
*\{F+A(x, y) + B(x, y)y')dxt
Хо
где АУ = ВХ, то уравнение Эйлера не изменится, а естественное
предельное условие вместо Fy> = 6 будет /у -|-Б = 0.
Аналогичным образом можно поступать и в случае кратного
интеграла.
85. Общая форма первой вариации. До сих пор при определении
первой вариации мы предполагали, что промежуток или область
интегрирования не меняются. Сейчас мы введем выражение пер-
первой вариации, не делая этого предположения. Это даст нам воз-
возможность рассмотреть основную задачу вариационного исчисле-
исчисления в общем случае подвижных концов. Будем сначала рассмат-
рассматривать простейший из интегралов, а именно интеграл A17). Раньше
мы считали, что близкие кривые у (х) + ах] (х) отличаются от
основной кривой у(х) добавлением слагаемого ач)(х). Сейчас
мы будем считать, что близкие кривые у(х, а) содержат пара-
параметр а любым образом, причем при а = 0 получается основная
кривая у (х) = у (х, 0), для которой мы и вычисляем вариацию
интеграла. Итак, рассмотрим интеграл
J=\F{xy yy y')dx	A27)
Хо
и введем в этот интеграл измененную близкую кривую, считая,
что и пределы интегрирования зависят от а:
J(a)= I F[х, у(*, а), ух(х9 a)] dx,	A28)
причем при а = 0 мы имеем- функцию и пределы, входящие
в интеграл A27):
у (х, 0) = у (х)\ хх @) = хг\ х0 @) = Xq.
В соответствии с общим определением вариации как произве-
произведения производной по а при а = 0 на а, можно написать
(а)
aa la-o *	* da
= д Tdy(x9 a)] 1	d Г аг/ (л:, a)
_ % (*, a)
^a

248	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[85
причем мы считаем, что у (л:, а) имеет непрерывные производные
до второго порядка. Беря от интеграла A28) производную по а,
полагая в ней а = 0 и умножая на а, получим следующее выра-
выражение первой вариации интеграла:
8J = F (хъ уъ yj 6*i — F {xOi г/о, У.) 8*о + $ (Fy 8у + Fy> by') dx,
Хо
ИЛИ
8J = [F (х, у, у') вх? + ] (Fy by + Fy> by') dx.	A29)
Хо
Преобразуем, как всегда, второе слагаемое, интегрируя по
частям:
Хо	Хо
Xt
= Fy (*ь Уъ Уд (&y)i — Fy {Хо> Уо, Уо) (&У)о- [ ЬУд/y'dx, A30)
где фу)г и (8уH суть граничные значения вариации функции у:
а 0 = 0, 1).	A31)
Найдем теперь первую вариацию ординат концов кривой,
причем мы проведем все вычисления лишь для ординаты у1 пра-
правого конца. Очевидно, что
У1 = у[х1(аI а],
и при изменении а будут меняться оба аргумента функции у,
а не только второй, как это мы имели при определении (бу)ъ
так что первая вариация 8у± ординаты ух будет:
ct-o
= yl8x1 + (8tj)l, A32)
где у[ — угловой коэффициент касательной на правом конце кри-
кривой. Аналогично для вариации 8у0 ординаты левого конца кри-
кривой будем иметь
A33)
Подстановка в A30) вместо (8у)± и (8уH их значений из
уравнений A32) и A33) даст нам следующее окончательное

85]	ОБЩЛЯ ФОРМА ПЕРВОЙ ВАРИАЦИИ	249
выражение для первой вариации интеграла A27):
6Jr = [f (хъ уъ yl)--yiFlj'{xli уъ yl)]8x1 +
(*i> Уъ yi)^yi — [F(xOf Уо, Уо)—уоРу(х<» Уо>
—Fy (*b, у* Уо) 6%+ \ [Fy- ~xFyj 8ydx, A34)
x0
или
. A35)
Правая часть написанного равенства линейна относильно 8х,
и 8yt и она сохранит свой смысл и для того случая, когда близ-
близкие кривые зависят от нескольких параметров, причем под пер-
первой вариацией надо понимать в этом случае первый полный диф-
дифференциал по упомянутым параметрам, вычисленный для исходных
значений этих параметров, т. е.
в ва в0«ь	A36)
если рассматриваемая кривая получается из семейства, завися-
зависящего от п параметров при а, = 0 (t=lt ..., п).
Вычисления, совершенно аналогичные предыдущим, в случае
интеграла, зависящего от п неизвестных функций
Xi
J = ^ F (х, уъ у'и ..., уп, у'п) dx9	A37)
Хо
приводят к следующей формуле для первой вариации:
\
L	t = l	J^ = ^o	t=l	* =
X byt dx,
или
+ 2 \
I = 1 X0
где 8x0, 6*i, 8y't°\ бу!15 —вариации координат концов кривой.

250	ГЛ II. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[86
Выясним геометрически разницу между величинами Ьух и {Ьу)ъ
входящими в формулу A32). Координаты правого конца кривых
сравнения {/ = /(*, а) будут: х1{а) и y1(a) = f[x1(a)i а]. При
п изменении а правый конец опишет неко-
некоторую линию к. Начальным значением а
является значение а = 0, так что сама
величина а является приращением этого
/
/
параметра от начального значения а =
С	A32) Ь	фф
Согласно A32) 8у± есть дифференциал
А С функции ух (а) = / [хг (а), а] по отношению
к переменной а, т. е. Ьуг есть главная
часть приращения ординаты уг (а) пра-
правого конца. На рис. 2 это приращение
изображается отрезком CD. Согласно A31)
($y)i есть дифференциал функции / [хг @),а],
Рис. «2.	причем в первом аргументе хг (а) мы по-
полагаем а = 0 до вычисления дифференциала.
Таким образом, (Ьу)х есть главная часть приращения ординаты
на конце хх @) при переходе с основной кривой у(х) на кривую
сравнения y — f(xy а). На рис. 2 это приращение изображается
отрезком АВ.
86. Условие трансверсальности. При рассмотрении естествен-
естественных условий мы считали, что конец экстремали может переме-
перемещаться по прямой х = х0 или x = xlf параллельной оси у. Поло-
Положим теперь, что он может перемещаться по любой заданной
линии Я на плоскости (х, у).
Для определенности будем считать, что левый конец (х0, у0)
закреплен, а правый может перемещаться по X. Рассуждая, как
и раньше, мы докажем, что если некоторая кривая у(х) дает
экстремум интегралу, то она должна удовлетворять уравнению
Эйлера, т. е. быть экстремалью. Первая вариация должна обра-
обращаться в нуль: слагаемое, содержащее знак интеграла, будет
равно нулю в силу уравнения Эйлера, а внеинтегральный член
при х = х0 будет равен нулю в силу условия закрепления конца.
Таким образом, равенство нулю первой вариации приводит нас
к следующему условию на подвижном конце:
[F(x, У, y')—y'Fy{*> У* y')]&x + Fy.{x, у, у')8у = 0, A38)
где 6а: и Ьу—проекции на координатные оси бесконечно малого
перемещения вдоль кривой Я. Если бы мы считали оба конца
подвижными, то получили бы на обоих концах предельное усло-
условие A38). Достаточно повторить предыдущее рассуждение, помня,
что если кривая дает экстремум интегралу при подвижных кон-
концах, то тем более она дает экстремум при неподвижных концах
или при неподвижном одном конце.

86]	УСЛОВИЕ ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТИ	251
Обозначая через у' = ^ угловой коэффициент касательной •
к кривой Я, можем переписать условие A38) в виде
F(x9 у, y') + (j/-y')Fy'(x, У, У')=0.	A39)
Мы видим, таким образом, что это условие, называемое обычно
условием трансверсальностиf устанавливает связь между угловым
коэффициентом у' касательной к экстремали и угловым коэффи-
коэффициентом у' касательной к кривой X в каждой точке этой кривой.
Если уравнение К задано в неявной форме ср (х, у)=0, то усло-
' вие трансверсальности может быть переписано в виде
Рассмотрим условие трансверсальности в трехмерном простран-
пространстве. Основной интеграл будет иметь вид
, у9 у\ г, z')dx.	/A41)
Х0
Принимая во внимание формулу A37!) и рассуждая совершенно
так же, как и выше, мы получим, что если один из концов может
двигаться по заданной поверхности S, то на этом конце должно
быть выполнено условие трансверсальности:
(F-y'Fy.-2'Fz-)dx + Fy.6y + Frbz = 0t	A42)
где bx, 8y, bz—составляющие бесконечно малого перемещения
вдоль поверхности S. Написанное условие равносильно тому, что
коэффициенты при 6х, Ьу, 8г должны быть пропорциональны
направляющим косинусам нормали к S.
Если уравнение поверхности дано в неявной форме ср (я, у, г) = О,
то условие трансверсальности A42) записывается, очевидно,
в виде
<IV Ф*
Фа:	<IV Ф*
Оно дает нам два соотношения, связывающих х, у> г, г', у*. Эти
соотношения заменяют два условия у(хо)=уо, z(xo) = zo в случае
закрепленного конца.
В общем случае , интеграла A37) экстремаль представляет
собой линию в (п+ 1)-мерном пространстве (х, уъ ..., уп)> и если
ее конец может двигаться по заданной гиперповерхности

252	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[87
Ф (х, уъ ..., уп) = 0, то на этом конце должно быть соблюдено сле-
следующее условие трансверсальности:
ИЛИ
п
р— 2 У/ * F .	р ,
*=> Уь 11^ ^Л*	A45)
Отметим один частный случай. Положим, что основной интеграл
имеет вид
Х0
что соответствует задаче геометрической оптики. Покажем, что
в этом случае условия трансверсальности A45) совпадают с усло-
условием ортогональности, т. е. с тем условием, чтобы экстремаль была
нормальна к поверхности S. Подставляя в условие A45) F ==
= п l/i j_j/_l-2'2 и производя очевидные сокращения, получим:
Но 1, у', z' пропорциональны направляющим косинусам каса-
касательной к экстремали, а частные производные от ср пропорцио-
пропорциональны направляющим косинусам нормали к S, и написанные
равенства выражают указанное выше условие ортогональности.
Аналогичное обстоятельство будет иметь место и для интеграла
J=\n(x9 y)Vl+y'2dx
х0
в плоском случае, только вместо поверхности S мы будем иметь
линию к на плоскости (х, у).
Заметим еще, что если мы в интеграле A41) перейдем к пара-
параметрической форме уравнения кривой у(х), z(x)> так что подын-
подынтегральная функция будет иметь вид Ф(л:, у, г, х', у', z'), то,
как нетрудно проверить, условие A45) записывается в виде
Фл:	Чу	4>z '
87. Канонические переменные. Условие трансверсальности лежит
в основе очень важной в вариационном исчислении геометрической
теории экстремальных задач, к изложению которой мы и переходим.

87]	КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ	253
Предварительно мь^ совершим замену переменных в уравнениях
Эйлера, а именно—'перейдем к так называемым каноническим пе-
переменным. Начнем со случая трехмерного пространства, когда
основной интеграл имеет вид
J=\F(x9 у, у'9 z, z')dx.	A47)
х0
Уравнения Эйлера для этого интеграла
рр0' ff
представляют собой систему двух уравнений второго порядка. Вве-
Введем вместо у' и г' новые переменные, v и w, по формулам
v = Fy>\ w = Ft>,	A49)
причем мы считаем, что написанные уравнения разрешимы отно-
относительно у' и г', т. е. что соответствующий функциональный опре-
определитель отличен от нуля:
f^i 0
D(y', z') ^ '
Введем еще вместо F новую функцию Я:
Н(х, у, г, v, wi^t/v + z'w-F^y'Fy + z'Fs-F, A50)
и эту новую функцию Я будем считать выраженной через новые
переменные v и w. Определим частные производные от функции
Я {х, у у z, v, w) по последним четырем переменным:
dzf	п г? dyf r, dz'
wFF k F
или, в силу A49),
Hy = — Fy.	A51)
Точно так же при помощи простого дифференцирования по-
получим
Hz=-F2; H* = y'\ Hw = z'.	A52)
Таким образом, вместо двух уравнений второго порядка A48) мы
можем в новых переменных написать систему четырех уравнений
первого порядка для функций у, z, v, w независимой переменной х:
dyri.dzrj.dv и . dw тг
Система A53) обычно называется канонической системой. Из фор-
формул A50) и A52) непосредственно получается выражение подын-
подынтегральной функции ? функционала через функцию Я:
-H.	A54)

254	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[87
Общий интеграл системы A48) или A53) будет содержать
четыре произвольные постоянные. Через всякую точку простран-
пространства (х, у, z) при соблюдении обычных условий для теоремы су-
существований и единственности теории дифференциальных уравне-
уравнений мы можем провести пучок экстремалей, придавая произволь-
произвольные начальные данные производным у' и г'. Такой пучок экстре-
экстремалей будет представлять собой семейство кривых, зависящее
от дв^х произвольных постоянных, а именно, от начальных зна-
значений упомянутых выше производных. Назовем вообще семейством
экстремалей совокупность решений уравнения Эйлера, зависящую
от двух произвольных постоянных и заполняющую без взаимных
пересечений некоторую часть пространства, т. е. такую, что через
каждую точку этой части пространства проходит одна и только
одна экстремаль семейства. Таким образом, при наличии такого се-
семейства экстремалей мы будем иметь в каждой точке определенные
значения для у' и zr и тем самым в каждой точке части прост-
пространства, заполненного упомянутым семейством экстремалей, мы
будем иметь определенные значения для v и w, т. е. мы можем
считать, что в части пространства, заполненной семейством экстре-
экстремалей, v и w определены как функции координат (#, у, г). Эти
функции у (х, у у z) и w(x, */, г) мы назовем функциями наклона
упомянутого выше семейства экстремалей. Покажем теперь, что
эти функции должны удовлетворять уравнениям, содержащим ча-
частные производные от этих функций. Действительно, четыре функ-
функции:
у (*), г (л:), v [х, у(х), z (*)], w[x, y(x), z(x)],
независимой переменной х должны удовлетворять системе A53).
Заменяя в последних двух уравнениях этой системы полные
производные dv/dx и dw/dx их выражениями, можем переписать
эти уравнения в виде
+*> = -и
Воспользовавшись теперь двумя другими уравнениями системы
A53), мы и получим систему в частных производных, которым
должны удовлетворять функции наклона v(x, у, г,) и w(x9 y> г):
zHw = - Ну\ wx + wyHv + wzHw = - Нг. A56)
Положим теперь, наоборот, что v(xyy, z) и w(x,y, z) появи-
появились не как функции наклона некоторого семейства экстремалей,
а являются просто некоторым решением системы A56). Подставляя
эти функции v(x, у, г) и w(x, у, z) в правые части первых
двух уравнений системы A53), мы получим систему двух уравне-
уравнений первого порядка для у и г. В результате интегрирования
этой системы у и г окажутся функциями х и двух произвольных

88]	ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ	255
постоянных. Подставляя эти выражения у (х, Съ С2) и г(х, Сь С2)
в функции v (х, у, z) и w(x, г/, г), мы и для этих функций полу-
получим выражение через х и две произвольные постоянные.
Нетрудно показать, что при этом будут удовлетворены и два
последних уравнения системы A53). Действительно, пользуясь
правилом дифференцирования сложных функций и первыми двумя
уравнениями системы A53), мы можем написать
откуда в силу первого из уравнений системы A56) мы и получим
уравнение ^ = — Ну. Точно так же можно показать и справедли-
справедливость последнего из уравнений системы A53).
Если экстремали у (х, Съ С2) и z(x, Сь С2) заполняют неко-
некоторую часть пространства без пересечений, т. е. образуют семей-
семейство экстремалей, то для этого семейства функции v и w, которые
мы взяли как произвольные решения системы A56), будут являться
функциями наклона для этого семейства экстремалей. Таким обра-
образом, мы показали, что, имея решение системы A56), мы можем
построить соответствующее семейство экстремалей, для которого
это решение системы A56) будет являться функциями наклона.
При этом мы ограничиваемся, конечно, лишь той частью простран-
пространства, для которой у (х, Сь С2) и г (а:, Сь С2) являются семейством
экстремалей, т. е. которую они заполняют без взаимных пересе-
пересечений.
Отметим еще, как выглядит условие трансверсальности в кано-
канонических переменных. В первоначальных переменных это было
условие A42). Пользуясь формулами A50) и A52), мы можем
переписать условие трансверсальности в виде
— №х + vby + wbz = 0.	A57)
88. Поле экстремалей в трехмерном пространстве. Переходим
теперь к изложению геометрической теории для случая интеграла
A47).
Будем рассматривать специальные семейства экстремалей, кото-
которые мы сейчас и определим. Пусть / — некоторая кривая в про-
пространстве. Назовем ее квазидлиной или J-длиной величину инте-
интеграла A47), взятого вдоль этой кривой. Так, например, в слу-
случае интеграла B), соответствующего задаче геометрической оптики,
квазидлина будет выражать время, в которое точка проходит
кривую /, двигаясь с заданной в пространстве скоростью v (х, у, z).
Рассмотрим пучок экстремалей, выходящих из заданной точки Мо
в пространство, и пусть этот пучок образует семейство в некото-
некоторой окрестности точки Мо, т. е. положим, что в этой окрестно-
окрестности экстремали пучка взаимно не пересекаются, кроме точки Мо.

256	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	188
На каждой экстремали от точки Мо отложим дугу М0М так,
чтобы квазидлина этой дуги для всех экстремалей была равна
одному и тому же числу р. Геометрическое место точек М будет
давать нам некоторую поверхность, которую мы назовем квази-
квазисферой с центром Мо. Меняя число р, мы получим семейство
квазисфер, зависящее от одного параметра и заполняющее неко-
некоторую окрестность точки Мо. Нетрудно видеть, что экстремали
нашего пучка будут пересекаться с квазисферами трансверсально,
т. е. в каждой точке, принадлежащей некоторой окрестности
точки Af0, функции наклона v (х, у, г) и w (x, у, г) нашего пучка
экстремалей будут удовлетворять условию трансверсальности A57),
где бл;, бу, бг суть составляющие бесконечно малого перемещения
по квазисфере, проходящей через упомянутую точку.
Действительно, обратимся к формуле, дающей выражение вариа-
вариации функционала A47) в общеда случае:
xy A58)
и положим, что конец М экстремали нашего пучка движется
по поверхности квазисферы. При этом величина функционала
J по построению остается постоянной, и, следовательно, 8J = 0.
В правой части формулы A58) интегральный член обращается
в нуль, поскольку взятая кривая является экстремалью; внеин-
тегральный член обращается в нуль на нижнем пределе, так как
точка Мо закреплена и, следовательно, в этой точке 8х = 8у =
= 6г = 0, а поэтому внеинтегральный член и на верхнем пределе
должен обратиться в нуль, т. е. в точке М, движущейся по поверх-
поверхности квазисферы, должно быть выполнено условие трансверсаль-
трансверсальности A57). Заметим, что весь наш пучок экстремалей зависит
от двух произвольных постоянных, и движение точки М по поверх-
поверхности квазисферы сводится к изменению значения этих постоян-
постоянных, которые играют в данном случае роль параметров, о кото-
которых мы говорили в [86].
Пусть М — некоторая точка, принадлежащая окрестности
точки Мо. Мы имеем определенную экстремаль, соединяющую Мо
с М, и величина интеграла A47) вдоль дуги М0М этой экстре-
экстремали является определенной функцией б (х> у> г) координат
точки М. При этом семейство квазисфер имеет, очевидно, уравне-
уравнение
в(*, У, г) = р,	A59)
где р —параметр, о котором мы говорили выше. Обычно говорят,
что пучок экстремалей, выходящих из точки Мо, образует (в окре-

88]	ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ В TPFXMEPHOM ПРОСТРАНСТВЕ	257
стности Мо) центральное поле экстремалей. Упомянутые выше
квазисферы называются трансверсальными поверхностями этого
поля и функция б—основной функцией поля.
Перейдем теперь к построению общего поля экстремалей. Пусть
So — некоторая поверхность в трехмерном пространстве. В каж-
каждой точке этой поверхности условие трансверсальности A42) опре-
определяет значения у', г\ или A57) определяет значения v и w в
этой точке. Принимая эти значения у' и г' за начальные значения
производных, мы можем из каждой точки поверхности So выпу-
выпустить экстремаль, которая пересекается трансверсально с поверх-
поверхностью So. Проделывая это для каждой точки поверхности So,
мы получим совокупность экстремалей, зависящую от двух пара-
параметров, пересекающихся трансверсально с поверхностью So. Пусть
в некоторой окрестности этой поверхности указанные экстремали
образуют семейство, т. е. взаимно не пересекаются. Отложим
на каждой экстремали нашего семейства от точки Мо, лежащей
на поверхности So, дугу М0М так, чтобы величина интеграла A47)
вдоль этой дуги экстремали имела заданное значение р. Геомет-
Геометрическое место концов М этих дуг даст нам некоторую поверх-
поверхность S.
Нетрудно видеть, что экстремали нашего семейства пересека-
пересекаются с этой поверхностью S трансверсально. Действительно,
достаточно лишь повторить прежнее рассуждение, которое мы
проводили в случае центрального поля. Правда, в данном слу-
случае точка Мо не является неподвижной, а движется по поверх-
поверхности So, но экстремали нашего семейства, по самому их построе-
построению, пересекаются с So трансверсально, а потому в правой части
формулы A58) внеинтегральный член обращается на нижнем пре-
пределе в нуль, совершенно так же, как и в случае центрального
поля. Таким образом, поверхности S, заполняющие часть прост-
пространства в окрестности поверхности So, пересекаются с экстрема-
экстремалями построенного семейства трансверсально. В этом случае
также говорят, что семейство экстремалей является полем экстре-
экстремалей, а поверхности S суть трансверсальные поверхности этого
поля. Таким образом, семейство экстремалей является полем экст-
экстремами, если существует семейство поверхностей, - ависящих от
одного параметра и пересекающихся трансверсально с экстремалями
семейства. Величина интеграла A47), взятого вдоль упомянутой
выше дуги М0М экстремали нашего поля, является функцией
б (*> у, г) координат точки М, и уравнение A59) есть уравнение
семейства трансверсальных поверхностей нашего поля. В частности,
при р = 0 мы имеем поверхность 50. В случае интеграла, соот-
соответствующего задаче геометрической оптики, квазисферы централь-
центрального поля представляют собой фронт волны от локального возму-
возмущения в точке Мо в различные моменты времени. В общем слу-
.чае трансверсальные поверхности S дают также фронт волны

258	ГЛ II. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[88
в различные моменты времени, при условии, что So естьг фронт
волны в начальный момент времени.
В каждой точке трансверсальной поверхности S коэффициенты
при бл:, 8у, 8z в условии трансверсальности A57) должны быть
пропорциональны направляющим косинусам нормали к поверхно-
поверхности S. С другой стороны, эти направляющие косинусы, как из-
известно, пропорциональны частным производным от левой части
уравнения A59) по координатам, т. е. эти частные производные
должны быть пропорциональны коэффициентам в условии транс-
трансверсальности A57). Но, как мы сейчас покажем, имеет место тот
замечательный факт, что мы имеем в данном случае не пропор-
пропорциональность, а точное равенство, т. е.
? = -Н(х, у, г, v, w); | = У; | = ш,	A60)
причем в написанных формулах v и w мы должны, конечно, счи-
считать функциями (jc, у, г). Это будут те функции наклона нашего
поля, о которых мы говорили в предыдущем параграфе. Это утвер-
утверждение, как-мы сейчас покажем, непосредственно следует из ос-
основной формулы A58).
Для отчетливости рассмотрим сначала центральное поле. В этом
случае, как мы уже говорили выше, б (х, у, г) является величиной
интеграла A47) по дуге М0М экстремали нашего центрального
поля.
Будем двигать конец М уже не по квазисфере, как это мы
делали выше, а произвольным образом в пространстве. При этом,
конечно, будет, вообще говоря, меняться и экстремаль поля, со-
соединяющая Мо с подвижной точкой М. В данном случае переме-
перемещение точки М будет зависеть не от двух параметров, как выше
при движении по квазисфере, а от некоторых трех параметров,
которые мы не будем фиксировать. Обозначим буквой б диффе-
дифференциал, относящийся к изменению этих параметров. Вернемся
к основной формуле A58), причем величину интеграла J мы мо-
можем, в силу сказанного выше, заменить функцией б (х, у, z).
В правой части этой формулы интегральный член пропадает ввиду
того, что мы интегрируем по экстремали. Внеинтегральный член
на нижнем пределе также обратится в нуль, так как точка Мо
закреплена. Но внеинтегральный член на верхнем пределе уже
не обратится в нуль, так как точка ~М движется не по квазисфере,
а любым образом, и мы будем иметь равенство
66 (х, у, г) = — H8x + v8y+.w8z,	A61)
откуда и вытекают формулы A60).
Совершенно так же проводится доказательство этих формул
и для любого поля. Вместо квазисфер мы имеем поверхности S,
и внеинтегральный член в правой части формулы A58) по-преж-

88]	ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ	259
нему обращается в нуль на нижнем пределе, поскольку поверх-
поверхность So пересекается с экстремалями поля трансверсально.
Исключая v и w из трех уравнений A60), мы получим урав-
уравнение с частными производными первого порядка для основной
функции поля:
у, г, 6„ вж) = 0.	A62)
Таким образом, оказывается, что для любого поля основная функ-
функция должна удовлетворять одному и тому же уравнению A62).
Покажем теперь, наоборот, что, вообще говоря, всякое решение
уравнения A62) является основной функцией для некоторого поля.
Пусть 0(о) есть некоторое решение уравнения A62). Опреде-
Определим функции v и w по формулам:
v = d{y0); o> = 8;e).	A63)
Дифференцируя тождество
y, z, 6<Г, 8П = 0	A64)
по у и г, получим дза уравнения A56), т. е., как мы видели
выше, построенным функциям v и w соответствует некоторое
семейство экстремалей, для которого они являются функциями
наклона. В силу A63) и A64), левая часть уравнения A57) есть
полный дифференциал функции б@), т. е. б{0) (х9 у, г) = С есть
семейство трансверсальных поверхностей для упомянутого выше
семейства экстремалей, и, таким образом, это семейство экстре-
экстремалей образует поле. В силу A61) в этом случае левая часть
уравнения A57) есть полный дифференциал основной функции
поля и, таким образом, функция 8@) является основной функцией
упомянутого выше поля. Отметим*еще, что из предыдущего выте-
вытекает, что для того чтобы семейство экстремалей давало поле,
необходимо и достаточно, чтобы левая часть уравнения A57) была
полным дифференциалом, т. е. чтобы криволинейный интеграл
от этой левой части не зависел от пути.
В случае интеграла, соответствующего основной задаче гео-
геометрической оптики, условие трансверсальности A42) имеет вид
V\+y'
У	п
" , У>	Лу + я	г>
или, после очевидных упрощений,

260	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[89
откуда непосредственно следует, что в данном случае условие
трансверсальности совпадает с условием ортогональности, и транс-
версальные поверхности любого поля пересекаются ортогонально
с экстремалями этого поля.
Канонические переменные и функция Н определяются в дан-
данном случае равенствами:
v== пУ' _.	w	п2>
V2	* '
пг'\ /
яг41
или, после упрощений,
а уравнение A62) имеет такой вид:
Ох — Уп2-Ц—82 = 0 или e5 + ej + 6J = na(^ #> г).
Если я = const, то пространство однородно, и экстремалями
будут прямые линии. Они образуют поле'в том и только в том
случае, когда являются нормалями к некоторой поверхности So
Остальные трансверсальные поверхности So поля мы получим,
откладывая на этих нормалях отрезки одной и той же длины
Можно получить эти поверхности, проводя семейство сфер с цент-
центром на So и фиксированным радиусом и беря огибающую этого
семейства сфер (построение Гюйгенса). Это же построение сохра-
сохраняется и в случае неоднородного пространства, если только сферы
заменить квазисферами. Отметим еще, что в [II; 140] выяснены
условия, при которых семейство прямых линий будет семейством
нормалей к некоторой поверхности.
89. Теория поля в общем случае. Изложенная геометрическая
теория остается справедливой и в случае плоскости, когда основ-
основной интеграл имеет вид
J=X{F(x,y,!/)dx.	A65)
Вместо у' вводим новую переменную и по формуле u = Fy>,
а также функцию Н (х, у, u) = i/Fy> — F. Вместо уравнения Эйлера
для интеграла A65) будем иметь систему двух уравнений пер-
первого порядка:

89]	ТГОРИЯ ПОЛЯ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ	261
Условие трансверсальности
y^O	A67)
в новых переменных будет иметь вид
0.	A68)
Семейство экстремалей на плоскости должно содержать один
параметр, причем мы считаем, что оно покрывает часть плоскости
без взаимных пересечений. В этой части плоскости у' и новая
переменная и являются определенными функциями координат (х, у)
точки (а —функция наклона семейства). Обращаясь к условию
трансверсальности A68), мы видим, что его можно толковать как
дифференциальное уравнение первого порядка для определения
трансверсальности кривых семейства экстремалей, т. е. таких
кривых, которые пересекаются с экстремалями семейства транс-
версально:
В данном случае мы будем иметь ту особенность, что всякое
семейство экстремалей образует поле. При этом, конечно, мы счи-
считаем выполненными те условия, которые обеспечивают теорему
существования и единственности для уравнения A69).
Перейдем теперь к изложению теории поля в общем случае
любого числа измерений. Мы не будем проводить здесь доказа-
доказательств, которые вполне аналогичны тем доказательствам, которые
мы проводили в случае трехмерного пространства. В данном слу-
случае основной интеграл будет содержать п функций qlf ..., qn
независимой .переменной л; и их производные q'k\
J=\F(x, <7i, q'u ..., Qn> q'n)dx.	A70)
Соответствующие экстремали определяются из системы п урав-
уравнений второго порядка:
Вместо q'k вводим новые переменные pk
p*-F#	<172>
причем мы считаем, что функциональный определитель
D(F ., .... f л
о ......«

262	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[89
отличен от нуля, т. е. уравнения A72) разрешимы относи-
относительно q'k.
Функция Я, которую мы считаем выраженной через перемен-
переменные (х, qk, pk), определяется формулой
Н(х, qkf Pk)=j]q'sps-F.	A74)
s = l
Непосредственно дифференцируя и пользуясь уравнением A72),
получим
а система A71) переписывается в виде 2л уравнений первого
порядка (каноническая система):
dx~~nPk> dx~~	qk-	W
С помощью интеграла A70) можно определить понятие квази-
квазидлины любой линии в (п+1)-мерном пространстве с координа-
координатами (х, qly ..., qn). Если совокупность экстремалей, зависящая
от п произвольных постоянных, заполняет часть (п+ 1)-мерного
пространства без взаимных пересечений, то мы говорим, что эти
экстремали образуют семейство экстремалей. В упомянутой части
пространства q'k и тем самым pk являются определенными функ-
функциями точки, т. е, переменных (л:, qly ..., qn) (функции наклона
семейства). Центральное поле определяется буквально так же,
как и в трехмерном пространстве. Для получения общего поля
возьмем некоторую гиперповерхность Sft: ф (я, q±1 ..., qn) = 0.
Условия трансверсальности дают нам п соотношений для опре-
определения значения производных qk в каждой точке So; принимая
эти значения за начальные значения при интегрировании си-
системы A71), мы получаем, вообще говоря, семейство экстремалей,
пересекающихся трансверсально с So. Совершенно так же, как
в трехмерном случае, строятся остальные поверхности S, кото-
которые пересекаются трансверсально с экстремалями семейства, и
это семейство экстремалей образует поле. В каждом поле сущест-
существует основная функция б (jc, qlt ..., qn), которая, например, для
центрального поля дает величину интеграла от центральной
точки Мо поля до переменной точки взятого по экстремали поля.
Аналогично определяется основная функция и для любого поля.
При любом выборе поля мы имеем для основной функции
и эта основная функция должна удовлетворять уравнению с част-
частными производными:
qlf ..., qa§ Bg±t ..., в,я) = 0.	A76)

901	ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ	263
Наоборот, любое решение этого уравнения является, вообще
говоря, основной функцией некоторого поля, причем функции A72),
соответствующие этому полю, определяются по формулам pk = Qqk-
Выражение
будет полным дифференциалом тогда и только тогда, когда Pk
являются функциями наклона некоторого поля, и в этом случае
последнее выражение будет полным дифференциалом основной
функции в(х, <7ь ..., qn) этого поля.
90. Особый случай. Отметим один важный особый случай.
Положим, что F есть однородная функция первого порядка отно-
относительно производных q'ki как это имеет, например, место при
параметрической форме вариационной задачи. Согласно формуле
Эйлера для однородных функций имеем
s=l
Дифференцируя это тождество по q'k, получим
и определитель этой однородной системы должен равняться нулю.
Но это есть как раз определитель A73), который должен быть
отличным от нуля для того, чтобы был возможен переход к кано-
каноническим переменным. Из тождества A77) непосредственно сле-
следует, что в данном случае функция Н будет тождественно равна
, нулю. По предыдущему, мы можем определить понятие поля экстре-
экстремалей, и для всякого поля мы будем иметь основную функцию
0 (ху <7ъ • • i Qn)> частные производные от которой определяются
равенствами:
s — l
Первое из этих уравнений показывает, что основная функция
не содержит х. Правые части уравнений 0^ = /у являются одно-
однородными функциями нулевого измерения от q'k, и с помощью этих
уравнений можно выразить отношения qklqx (k = 2, ..., п) через
производные вЯк. Подставляя эти выражения в уравнение A77),
мы получим уравнение с частными производными, заменяющее в
данном случае уравнение A76).

264	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[90
Проведем все вычисления для случая интеграла, выражающего длину кри-
кривой в л-мерном пространстве.
2 alkq\qkdx.	A79)
Коэффициенты atk удовлетворяют соотношению а^ — аы и являются задан-
заданными функциями переменных qk. В данном случае мы имеем
г-У 2 а*л?*ь
\	'. 6 = 1	'
Як
откуда
где через Ацг мы обозначали элементы матрицы, обратной матрице а1к \\\\\ 25].
Подставляя выражение q'k/F в уравнение A77), получим искомое уравне-
уравнение в частных производных, которому должна удовлетворять основная функция
любого поля экстремалей для интеграла A79)*
|] А1кЪяЪя=\.	A80)
i, k = 1	l
Величина интеграла A79), взятого по экстремали поля между точками Мо
и М, дает геодезическое расстояние между этими точками, и для квадрата
этого расстояния Г = 62 мы получаем во всяком поле уравнение с частными
производными:
п
V А ьГ„ ГЛ =4Г	П8П
В этой задаче независимой переменной является параметр, который можно
выбирать совершенно произвольно и который не входит в коэффициенты а1к
и функцию б. Мы можем в данном случае рассматривать поле и основную
функцию в n-мерном пространстве (qlt q2, .. , qn), в этом пространстве одну
из переменных можно принять за независимую переменную, а уравнение A80)
представляет собой для данного случая симметричную форму записи уравне-
уравнения A76).
В случае основной задачи геометрической оптики при параметрической
форме записи мы имеем	*
и уравнение A80) будет иметь вид
Мы получили это уравнение раньше, исходя из такой формы основного интег-
интеграла, в которой роль независимой переменной играла переменная х.
Во всей изложенной выше теории мы не предполагали, что независимая
переменная не входит в подынтегральную функцию F. В случае задачи геоде-
геодезических линий, которой соответствует интеграл A79), aik не содержали неза-
независимой переменной, и можно поступать иначе. Обозначая, как и в [82],

91]	ТЕОРЕМА ЯКОБИ	265
через ф выражение, стоящее под знаком радикала в формуле A79), и принимая
за параметр длину дуги, т. е. вводя соотношение
мы получим систему дифференциальных уравнений A11):
и для нее мы можем совершить переход к каноническим переменным уже обыч-
обычным образом, а именно, вместо q't ввести новые переменные рг=Фq* •
п
Функция Н определится равенством Н (qk, Pk)~ ^ q'sps — (p, и из тога,
s = 1
что ф есть однородный полином второй степени от q's, непосредственно следует,
что #==ф. Выражая ф через ^ и р^ и подставляя pb = Qg в соотношение
ф=1, мы и получим уравнение с частными производными для 8. Обозначая
для ясности через г|) функцию ф, выраженную через qk и pki будем иметь
каноническую систему:
^-V- Ф—Ч <*-¦•'	»>•
Принимая во внимание, что яр (qk, pk) есть однородный полином второй
степени от р^, мы можем утверждать, что написанные уравнения сохранят свой
вид, если в них одновременно заменить pk на apk и s —на аГЧ, 1де а —произ-
—произвольная постоянная Пусть q(^ и p'g —начальные значения qk и pk при s = 0.
Принимая во внимание сказанное выше, можем утверждать, что в решении
канонической системы величины рк, р^0) и s входят только в комбинациях spki
spg\ т. е. это решение имеет вид
где tk — spk и rk = sp?. Принимая во внимание соотношение ty (qk, P^)=l
и тот факт, что tk = sp^ можно утверждать, что квадрат геодезического расстоя-
расстояния от точки (?j°, q*2°, .. , q$) до точки (qv qv .. , дл) может быть выражен
формулой:
Пользуясь равенствами ^ = ФЛ (гЛ, ^^°), мы можем выразить rk через ^ и qlg>
и, таким образом, правая часть написанной формулы выразится через qk и q^\
91. Теорема Якоби. Если мы полностью проинтегрируем систему
обыкновенных дифференциальных уравнений A75), то можем,
конечно, строить всевозможные поля, соответствующие данной
вариационной задаче, и тем самым можем найти любое решение
уравнения A76). Мы вернемся к этому вопросу во второй части
настоящего тома, когда будем излагать теорию уравнений с част-
частными производными первого порядка. Наоборот, если мы умеем
находить решения уравнения A76), то, как сейчас покажем, мы

266	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[91
сможем построить общий интеграл системы A75). Необходимо
только уточнить, какой смысл имеет наше утверждение, что мы
умеем находить решения уравнения A76). Это уравнение должно
определить функцию б от независимых переменных (xt qly ..., qn).
Оно не содержит самой функции б, и потому, добавляя к любому
его решению произвольное постоянное слагаемое а, мы получим
так же решение уравнения. Назовем полным интегралом этого
уравнения такое его решение, которое, кроме указанной выше
постоянной а, содержит еще п произвольных постоянных
б = б (х, ql9 ..., qn> alf ..., ая) + а,	A82)
причем мы считаем, что определитель, элементами которого явля-
являются частные производные второго порядка б^, отличен от нуля.
Как оказывается, знание полного интеграла уравнения A76) дает
нам возможность при помощи простых дифференцирований по-
построить общий интеграл системы A75), а именно, имеет место
следующая теорема Якоби:
Если известен полный интеграл A82) уравнения A76), то
равенства
е«л = &*;	A83)
qk = Pk	(«=1, ..., ft),	(looi)
где ak и bk — произвольные постоянные, дают решение системы A75),
зависящее от 2п произвольных постоянных.
В силу сделанного предположения, что определитель I] бд.а II
отличен от нуля, мы можем решить уравнения A83) относительно
qtJ причем переменные qk выразятся через независимую перемен-
переменную х и произвольные постоянные as и bs (s= I, 2, ..., п). Под-
Подставляя эти выражения qk в левые части уравнений A83Х), мы
получим выражения рк также через х, аъ ..., ап, и нам надо
показать, что полученные таким образом выражения qk и pk
удовлетворяют системе A75). Дифференцируя уравнения A83)
по х и уравнение A76) по at, получаем 2п равенств:
дх dat ' jLd dqs dat dx *
s = 1
дЧ t \> ч дЧ _Q	,
откуда следуют п равенств:
n
j^hI до с до.} \ dx
s=l

92]	РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ	267
Согласно условию || 8^ || Ф О, откуда непосредственно следует,
что -р- = #р . Для доказательства справедливости остальных
уравнений системы A75) мы дифференцируем уравнения A83i)
по х и уравнение A76) по qt: v
dpi _ дЧ . X дЧ dqs п __ дЧ . \ „ дЧ . „
d* ~ дяйи "*" Zl ftftufc d* '	d*d<7/ "*" Z- ps dqsdqi "t"/7^*
s=l	s = l
Вычитая почленно и пользуясь уже доказанными равенствами, мы
и получим остальные уравнения системы A75).
Мы видим, таким образом, что нахождение полного интеграла
уравнения A76) дает общий интеграл системы A75), определяю-
определяющей экстремали нашей задачи. Соотношение между системой A75)
и уравнением A76) соответствует тому геометрическому факту,
что всякое поле экстремальной задачи может быть описано либо
при помощи самих экстремалей, образующих поле, либо при
помощи трансверсальных поверхностей этого поля.
92. Разрывные решения. В некоторых случаях оказывается,
что среди линий, обладающих непрерывно меняющейся касатель-
касательной, нет такой, которая дает экстремум некоторому функционалу,
и возникает вопрос, нельзя ли получить решение среди линий
более общего класса, например, среди линий, которые в отдель-
отдельных точках не имеют касательной, но имеют все же определенную
касательную слева и определенную касательную справа (линии
с угловыми точками). Мы проведем в общих чертах рассуждение
для случая простейшего функционала
J = ]F{x,y, y')dx,	A84)
не останавливаясь на детальных доказательствах.
Рассмотрим сначала один частный пример, а именно, функцио-
функционал вида
J= \ y2(\-y'?dx,	A85)
причем искомая экстремаль должна проходить через точки
Л^Г0(— 1, 0) и Mi(h 1). Для любой такой кривой функционал A85)
будет, очевидно, положительным. Построим линию, состоящую
из двух отрезков прямых линий и соединяющую точки Мо и Mi,
а именно, образуем ломаную линию М0ОМ1у где О — начало коор-
координат плоскости (х, у). Нетрудно видеть, что функционал A85)
для взятой ломаной' линии обращается в нуль, так как у = 6
вдоль отрезка М0О и у' = 1 вдоль отрезка ОМ±. Эта ломаная

268	ГЛ П ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[92
линия, имеющая угловую точку в начале координат, будет,
очевидно, давать экстремум интегралу A85).
Проведем теперь рассуждение для общего случая. Положим,
что некоторая линия, соединяющая точки (х0, у0) и {хъ у±) и
имеющая одну угловую точку (х2, у2), дает экстремум функцио-
функционалу A84) по сравнению с другими, к ней достаточно близкими
кривыми, которые также могут иметь угловую точку и должны
проходить через заданные конечные точки (х0, у0) и (хъ у±). Мы
можем считать закрепленными не только конечные точки, но и
точку (х2, у2), которая является угловой точкой для исследуемой
кривой. Эта кривая при этом предположении тем более должна
давать экстремум интегралу A84). Отсюда непосредственно сле-
следует, что участки кривой, соответствующие промежуткам [х0, х2]
и [х2, хг] оси х, должны являться экстремалями задачи, т. е.
должны удовлетворять соответствующему уравнению Эйлера.
Существенно выяснить те условия, которым должны удовлетворять
ордината и угловые коэффициенты касательных к кривой в точке
излома. Определим вариацию интеграла A84), приняв нашу
кривую за исходную и разбивая весь промежуток [x0, хг] на две
части: [х0, х2] и [х2, хх].
Принимая во внимание, что концы кривой закреплены и что оба
участка кривой удовлетворяют уравнению Эйлера, мы получим
следующее выражение для этой первой вариации:
б J = [F - y'Fy']** -o8x2-[F- y'Fy>]X2 + 0бх2 +
+ I/Vk - о &Уг - [Ft/]X2 + о 6{/2.
Ввиду произвольности бдс2 и 6у2 мы получаем следующие два
условия, которые должны выполняться в угловой точке нашей
кривой, если эта кривая дает экстремум интегралу A84):
[F-y'FslXM-o = [F-y'Fy.]Xt+o; [M*a-o = [M*, + o. 086)
Эти условия называются обычно условиями Вейерштрасса-Эрдманна.
Предлагаем читателю проверить, что они действительно выполнены
в начале координат для той ломаной линии, которая дает экстре-
экстремум интегралу A85).
Отметим, что условия A86) сводятся к требованию непрерыв-
непрерывности выражений F — y'F^ и Fy* в той точке х=-х2, в которой у
имеет скачок. Эти выражения будут, очевидно, непрерывными
в остальных точках, где у' — непрерывна. Положим, что нам удалось
построить общий интеграл уравнения Эйлера. Значения двух про-
произвольных постоянных, входящих в этот интеграл, будут, вообще
говоря, различными для промежутков [х0, х2] и [х2, хг]. Пусть
у = ©,(*, Сь С2)
— общий интеграл для промежутка [л:0, х2] и
С3, С4)

92]	РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ	269
— для промеж>тка [хъ хх]. Нам надо определить пять постоян-
постоянных, а именно, — значения произвольных постоянных Сь С2, С3,
С4 и абсциссу х2 точки излома. Мы имеем два предельных усло-
условия при х = х0 и х--хъ а также два условия A86). Недостающее
пятое равенство мы получим из условия непрерывности кривой
при Х=-Х2\
Ш^ \X2i L»i, L*2/ — uJ ^л2, из, v-»4/*
Совершенно аналогичным образом мы могли бы рассмотреть и
тот случай, когда линии ииеют несколько угловых точек.
Можно получить аналогичные условия и для разрывной задачи
в случае кратного интеграла:
J = \\F(x, уу и, иХу uy)dxdy.	A87)
в
Положим, что некоторая поверхность и (х} у) дает экстремум
этому интегралу при закрепленном контуре у наличии некоторой
линии излома. Иначе говоря, функция и(х, у) должна быть
определена в области В плоскости (х, у), должна иметь заданные
значения на контуре этой области, но внутри области может
существовать линия Ху вдоль которой производные первого порядка
функции и(ху у) терпят разрыв непрерывности так, что с обеих
сторон этой линии указанные частные производные имеют опре-
определенные пределы, но они могут быть различными. Среди такого
класса функций ищется функция, дающая относительный экстре-
экстремум интегралу A87).
Положим, что некоторая функция действительно дает такой
экстремум и имеет внутри В линию прерывности Ху которая раз-
разбивает область В на две части: Вх и В2. Рассуждая совершенно
так же, как и выше, мы убедимся, что функция и (ху у) в об-
областях Вх и В2 должна быть решением уравнения Остроградского.
Существенным моментом является выяснение тех условий, которым
должны удовлетворять функция и (ху у) и ее частные производные
первого порядка в точках линии X. Пусть ф —некоторая функ-
функция, содержащая и (ху у) и ее частные производные первого
порядка. Такая функция при приближении к точкам линии X из
областей Вх и В2 будет иметь, вообще говоря, различные пределы,
которые мы обозначим через фх и ф2. Введем специальное обозна-
обозначение для разности этих пределов, т. е. для скачка функции ф:
[ф] = ф2 ~ Фь
Обратимся к формуле C3), дающей вариацию двойного интег-
интеграла. Первое слагаемое правой части можно записать в таком виде:
*У-р dx)ds
гх ds uy ds I '

270	ГЛ. II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	^93
dii I dx\
или, принимая во внимание, что ~ и —-т- дают направляю-
CLS	у	CIS I
щие косинусы внешней нормали п к контуру /, мы можем запи-
записать упомянутое слагаемое в виде
\ 8и [FUx cos (п, х) + FUy cos (л, у)] ds.
Применим теперь формулу C3) к интегралу A87), разбивая
область В на части В1 и В2- В каждой из последних областей
функция и (х, у) должна удовлетворять уравнению Остроградского,
и потому двойные интегралы будут равны нулю. Контуры
областей Вх и В2 будут состоять из части контура / и линии X.
На контуре / мы имеем 8и = 0, а на контуре X направляющие
косинусы внешней нормали для областей Вх и В2 отличаются
знаком. Таким образом, окончательно получим
8J = ^ Ьи {[FUx] cos (л, х) + \FUy] cos (л, */)} ds,
где п — направление нормали к Я, внешней по отношению В2.
Из условия 6У = 0 и произвольности 8и получим одно из условий,
которое должно иметь место вдоль X:
[FUx\ cos (л, х) + \FUy] cos (я, у) = 0.	A88)
Мы получили только одно условие, потому что при рассмотрении
первой вариации интеграла A87) считали саму линию X фикси-
фиксированной. Более подробное рассмотрение вариации интеграла
приводит еще ко второму условию вида 1)
)dUyl	A89)
где значок 2 у круглых скобок показывает, что надо брать вдоль
X значение величины, стоящей в скобках, со стороны области ?2-
Условия A88) и A89) аналогичны условиям A86) для функцио-
функционала A84).
93. Односторонний экстремум. Выше мы рассматривали задачу
[76]: среди линий, соединяющих точки Мо и Mi плоскости (х, у)>
найти ту, которая при вращении вокруг оси ОХ образует поверх-
поверхность с наименьшей площадью.
Функционал, соответствующий этой задаче, имеет вид
Строго говоря, мы должны при этом поставить условие, чтобы
кривая у (х) лежала над осью ОХ, т. е. чтобы выполнялось нера-
l) H. М. Гюнтер, Курс вариационного исчисления. Гостехизда^ 1941.

94]	ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ	271
венство y(x)^0. Такие задачи вариационного исчисления, при
которых искомые функции (или их производные) должны подчи-
подчиняться некоторым неравенствам, называются обычно задачами на
односторонний экстремум.
Рассмотрим простейшую задачу об экстремуме функционала
J = \F(xt у, y')dx	A90)
при дополнительном условии вида
где ф (х) — заданная функция, имеющая непрерывную производ-
производную. Иными словами, искомая кривая у(х) должна находиться
над кривой у=кр(х). Кроме того, искомая
кривая должна проходить через заданные
точки М0(х0, уо) и Мх(хъ ух). Искомая
кривая может состоять из участков, на-
находящихся над кривой у = ц)(х), и из
участков самой этой кривой. На рис. 3
мы имеем два участка (М0А и В Mi), на-
находящихся над кривой, и участок АВ
самой кривой. Для участков М0А и В Mi u	A
возможна двусторонняя вариация и, как	Рис. 3.
всегда, эти участки должны быть экстре-
экстремалями интеграла A90). На участке АВ возможна лишь одно-
односторонняя вариация, при которой 6#^0. Принимая во внима-
внимание формулу A7) для вариации интеграла A90), можем утвер-
утверждать, что для минимума этого интеграла необходимо, чтобы
вдоль АВ мы имели:
т-1 а т-1 л
Кроме того, для существования экстремума должно быть выпол-
выполнено некоторое условие в точках А и В. Не останавливаясь на
выяснении этого вопроса, отметим лишь, что в простейшем слу-
случае это условие сводится к тому, чтобы в точках А и В линии
М0А и ВМг имели общую касательную с линией АВ.
94. Вторая вариация. До сих пор мы занимались исследова-
исследованием лишь первой вариации для функционалов различных типов.
Равенство нулю этой первой вариации давало нам необходимое
условие того, что данная линия или поверхность сообщает экстремум
соответствующему функционалу. Это необходимое условие совершен-
совершенно аналогично тому факту из дифференциального исчисления, что
для того, чтобы некоторая функция нескольких переменных

272	ГЛ ТТ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[94
достигала в некоторой точке экстремума, необходимо, чтобы в этоп
точке ее полный дифференциал первого порядка обращался в нуль
В дифференциальном исчислении мы имели в некоторых случаях
и достаточные условия, для формулировки которых нам были
необходимы уже частные производные второго порядка от иссле-
исследуемой функции. В вариационном исчислении установление доста-
достаточных условий представляется гораздо более трудной задачей.
Мы будем рассматривать только простейший функционал
J = ]F(x, у, y')dx	A91)
в случае закрепленных концов. Рассмотрим, как всегда, близкие
кривые у {х) ~\ ац (х) и определим вторую вариацию функционала
A91), как тот член в разложении J (а) по степеням а, который
содержит а2, т. е. положим
Это приводит нас непосредственно к следующей формуле:
2 **
6V = у \ (Рц2 -}- 2Qr\r\' + /?V°) ^*>	A92)
где
р==Р j Q = F '\ /? = /7','.	A93)
Так как 2Qy|T]/ = Q у \ то, предполагая наличие соответст-
соответствующих производных у F, интегрируя по частям и принимая во
внимание, что т] (х0) = г\ (хг) = 0, получим
)dx, где S = />-^.	A94)
Мы считаем, что необходимое условие экстремума выполнено,
т. е. что кривая у (х) является экстремалью. Будем для опреде-
определенности говорить о минимуме интеграла A91). Функция У (а)
должна иметь минимум при а = 0, следовательно, необходимым
условием минимума является тот факт, чтобы 62У^О при любом
выборе г] (л:). Покажем, что отсюда непосредственно вытекает, что
вдоль нашей кривой должно иметь место неравенство R^zO.
Действительно, положим, что при некотором значении х = с мы
имеем на нашей кривой обратное неравенство R (с) < 0. В силу
предполагаемой непрерывности R (х) это неравенство будет иметь
место и на некотором достаточно малом промежутке [с — е, с-1 е].
Определим теперь функцию г\(х) так, чтобы она обращалась

95]	УСЛОВИЕ ЯКОБИ	273
в нуль вне упомянутого промежутка и на его концах, имела все
необходимые производные, была достаточно малой по абсолют-
абсолютной величине на упомянутом промежутке, но совершала бы на
этом промежутке достаточно быстрые колебания. При таком
выборе функции г\(х) интеграл A94) сведется к интегралу по
промежутку [с — е, c-fe], в котором функция R(x) имеет, по
предположению, отрицательные значения. Под знаком интеграла
будет превалировать слагаемое, содержащее т]'2 (*)> и величина
интеграла окажется отрицательной, что противоречит указанному
выше необходимому условию минимума интеграла A91). Итак,
для того, чтобы экстремаль у(х) давала минимум интегралу A91),
необходимо, чтобы вдоль этой экстремали выполнялось условие:
/у„'2>0.	A95)
Аналогичным образом, для того чтобы экстремаль давала макси-
максимум интегралу A91), необходимо, чтобы вдоль этой экстремали
выполнялось условие
Приведенное условие называется обычно условием Лежандра,
95. Условие Якоби. Прежде чем переходить к дальнейшему
исследованию второй вариации, напомним некоторые сведения
о корнях решений линейных уравнений второго порядка [II; 31]:
0,	A96)
причем коэффициенты р(х) и q (x) считаются непрерывными
в замкнуюм промежутке [xOt хг], к которому и относятся все
дальнейшие результаты. Если х = с — какая-либо точка из ука-
указанного промежутка, то любые начальные данные
определяют единственное решение уравнения A96), и это реше-
решение существует во всем промежутке [х0, Хх\. Если а = р = 0, то
*/(.*;) = 0. Этим и исчерпываются все решения уравнения A96).
Если х2 лежит внутри [хОу хг], у (х) — нетрлвиальное решение урав-
уравнения A96) и */(x2) = 0, то уг(х2)^0 и у{х) меняет знак при
переходе через корень х = х2. Если у1(х) и #2(*) —какие-
либо два решения уравнения A96) и они имеют общий корень,
то они линейно зависимы. Если эти решения имеют общий корень
то эти решения линейно зависимы
и, следовательно, имеют общие корни.

274	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[95
Если ух (х) и у2 (х) линейно независимы, то их корни переме-
перемежаются, т. е. между двумя последовательными корнями одного
из решений лежит один и только один корень другого решения.
Сделаем некоторые добавления к сказанному выше. Пусть
Уо (х) — решение уравнения A96), удовлетворяющее условию
Положим, что это решение уо(х) не имеет корней при хох
При этом никакое решение не может иметь более одного корня
в промежутке [д:0, Хх] в силу упомянутой выше перемежаемости
корней линейно-независимых решений, но существуют решения,
не имеющие ни одного корня в промежутке [а*0, хх]. Докажем
это последнее утверждение. Пусть ух (х) — решение уравнения
A96), определяемое начальными условиями
. »iW = *; f/i(*o) = i,	A97)
где k — малое положительное число. Во всяком промежутке
О^й^б, где б —фиксированное положительное число, ряд, полу-
полученный при построении решения ух (х) [II; 50], сходится рав-
равномерно относительно k, как в этом нетрудно убедиться, и сле-
следовательно, Ух (х) есть непрерывная функция от k при любом х
из [х0, хг] и при 0^&^б. При k = 0 решение уг (х) есть уо(х)
и Уо(х±)>0 по условию, а следовательно, Ух(хх)>0 при поло-
положительных k, достаточно близких к нулю. Отсюда непосредст-
непосредственно следует, что ух (х) при указанных k не имеет корней в про-
промежутке [х0, Xi]. Действительно, Ух(хо) = к и ух{хх)>0 оба поло-
положительны. Если бы ух (х) имело корни внутри [х0, хг], то их
число не меньше двух, ибо уг (х) должно менять знак при пере-
переходе х через корень, а мы видели выше, что если у0 (х) не имеет
корней при хо<х^Хх, то никакое решение не может иметь более
одного корня в промежутке [х0, л^].
Возвращаемся к исследованию второй вариации и будем счи-
считать, что вдоль исследуемой экстремали у = у(х) выполнено усло-
условие более сильное, чем условие A95), а именно
Хх).	A98)
Это— так называемое усиленное условие Лежандра.
Рассмотрим интеграл, входящий в формулу A94), заменяя
букву т] буквой и:
K(u)=\(Su* + Ru'2)dx.	A99)
Уравнение Эйлера для этого интеграла имеет вид
I(tt)=?(/fo')-Sa-0f	B00)

95]	УСЛОВИЕ ЯКОБИ	275
причем R = Fy>y> в этом уравнении есть коэффициент при и" и
в силу условия A98) мы, деля обе части его на R, получим
уравнение вида A96) с непрерывными в промежутке [а, Ь] коэф-
коэффициентами р (х) и q(x). Таким образом, для уравнения B00)
имеет место все, что мы говорили выше о решениях уравнения
A96). Принимая во внимание, что Ru'2 dx = Ru' du, интегрируя
по частям, получим при условиях и (х0) = и (хг) = 0:
K(u) = — \uL(u)dx.	B01)
Пусть и0 (х) — решение уравнения B00), удовлетворяющее началь-
начальным условиям
ио(*о) = О; щ(хо) = 1.	B02)
Существенным для дальнейшего будет тот факт, имеет ли реше-
решение ио(х) корни внутри промежутка [х0, хг]. Оказывается, что
если такие корни имеются, то исследуемая экстремаль не может
давать минимум интегралу A91).
•Уравнение B00) называется обычно уравнением Якоби и, если
щ(х) т^0 при хо<Сх<С.хъ то говорят, что экстремаль у (х) в про-
промежутке (х0, х±) удовлетворяет условию Якоби, а если ио(х)^О
при хо<Сх^хъ то4 говорят, что экстремаль у (х) удовлетворяет
усиленному условию Якоби. Заметим, что коэффициенты S и R
уравнения B00) по самому их определению зависят от экстре-
экстремали у(х), и, таким образом, высказанное выше условие явля-
является действительно условием, наложенным на экстремаль у(х).
Из сказанного выше следует, что если выполнено условие
Якоби, то никакое решение уравнения B00) не может иметь
внутри [х0, хг] больше одного корня.
Предположим, что выполнены усиленные условия Якоби и
Лежандра.
Рассмотрим теперь вместо решения ио(х) другое решение урав-
уравнения B00), а именно, решение иг(х)9 удовлетворяющее началь-
начальным данным
Мхо) = ?; и[(хо) = и	B03)
где k > 0 настолько мало, что решение их (х) строго положи-
положительно во всем замкнутом промежутке [х0, xj. Пользуясь этим
решением уравнения B00), мы сможем сейчас^ привести выраже-
выражение A94) к такому виду, из которого будет непосредственно сле-
следовать, что 62У^О.
Пусть со (а:) — любая функция с непрерывной производной. Мы
имеем очевидное равенство:
ХХ

276	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[95
поскольку подынтегральная функция представляет собой полную
производную от функции т]2(о, равной нулю на концах проме-
промежутка. Умножая написанный интеграл на у и прибавляя к пра-
правой части формулы A94), получим
Х\
6V = | \ [(S + ю') т|» + 2ш|т|' + Ял'1 dx.
о
Потребуем, чтобы подынтегральная функция в написанном инте-
интеграле была полным квадратом, что сводится к равенству:
Полагая в этом уравнении со = — R —, мы придем как раз к урав-
уравнению B00), ?. е. в качестве функции со мы можем взять функ-
функцию со =— /?~, причем для нас существенно, что Ui(x) не обра-
обращается в нуль во всем замкнутом промежутке [х0, хг]. При таком
выборе функции со мы приведем формулу A94) к виду
*.	B04)
откуда следует 62J^0, причем 62J = 0 только в случае
т|' + |г У] = 0, х € fa, хг).	B05)
Но из B05) и гого, что rj (л:0) = ц (хг) = 0, следует, что г](л*)е=0
при х^[х0, хг], ибо
х
у\(х) = ц(хХ))е *о
Таким образом, мы доказали следующую 1еорему:
Теорема. Если экстремаль удовлетворяет усиленным усло-
условиям Лежандра и Якоби, то для такой экстремали
6V^0,	B06)
причем знак равенства имеет место только в случае г](л;J==0.
Следствие. Рассмотрим теперь вместо функционала A99)
функционал
- \ (Su2 + Ru'*)dx-k\ и'*dx,	B07)

96]	СЛАБЫЙ И СИЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ	277
где k — малое положительное число. Соответственное уравнение
Эйлера-имеет вид
~[(R-k)u']-Su = 0.	B08)
В силу усиленных условий Лежандра и Якоби для функци-
функционала B07) можно выбрать k>0 настолько малым, что R — k>0
в промежутке [х0, хг] и что решение уравнения B08), удовле-
удовлетворяющее начальным условиям
1,	B09)
не обращается в нуль при хо<.х^х1. При этом, применяя дока-
доказанную теорему к функционалу B07), получим для 0
\ (Srf + #ti'2)dx>k\ ri'2dx,	B10)
Xq
где R и S взяты на первоначальной экстремали у = у(х).
96. Слабый и сильный экстремум. Говорят, что экстремаль
у = у(х) дает слабый экстремум интегралу A91), если она дает
экстремум (минимум или максимум) этому интегралу по сравне-
сравнению со всеми кривыми г/ (лг) + rj (x), расположенными в ее е-окрест-
ности первого порядка [72], т. е. со всеми кривыми, достаточно
близкими к ней по ординате и по угловому коэффициенту каса-
касательной
hWKe; |4'(*)l<e.	B11)
Если же экстремаль дает экстремум интегралу A91) по сравне-
сравнению со всеми кривыми, близкими только по ординате, т. е.
только | ц (х) | <; е, то говорят, что экстремаль дает сильный экстре-
экстремум интегралу. Очевидно, что всякий сильный экстремум явля-
является и слабым экстремумом. Обратное утверждение не всегда
справедливо. Докажем следующую теорему:
Теорема. Усиленные условия Лежандра и Якоби достаточны
для того, чтобы экстремаль давала слабый экстремум интегралу A91).
Напомним, что функция F (х, у, у') считается непрерывной
вместе с ее производными до второго порядка в некоторой обла-
области В плоскости (а:, у) и при любых значениях у'. Считается,
что исследуемая экстремаль функционала
J(y)=]F(x, у, y')dx
х0
находится внутри В. Пусть ^(л:) — функция с непрерывной про-
производной в промежутке [xOt xj, равной нулю на его концах.
Рассмотрим разложение разности

278	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[96
по формуле Тейлора до производных второго порядка и в резуль-
результате положим а = 1:
5	, B12)
где
и F3,v, Fyy, Fyy — значение соответствующих производных при
аргументах (х9 у (х) + В± (х) г\ (х)у у' (х) + В2 (х) г\' (х)) @ < в, (дс) < 1,
^=1, 2). В силу непрерывности производных второго порядка
от F можно записать б в виде
6 = 5W + 2адп' + ад'2) dx,	B13)
где 8fe-^0 (А== 1, 2, 3) при hl-^О и |rf |->0.
Принимая во внимание, что для экстремали
\
х0
и приводя второе слагаемое правой части B12) к виду A94), по-
получим
\	.	B14)
Оценим интеграл от vf через интеграл от ч\'\ По неравенству
Буняковского
откуда
Xt
f (*) dx^fa-^»J J ^ (X) djc.	B15)
Оценим теперь величину б. В силу неравенства Коши

971	СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ФУНКЦИЙ	279
Принимая во внимание B15) и то, что при любом заданном е>0
cyu;ecTByet такое е0 > 0, что | гк | ^ е при | т) | <; е0 и | rj' | ^ е0,
получим:
|б|^П(|е1| + |в2|)т
Xq
откуда
Xq
и, принимая во внимание B10), получаем
-1—* п ) \ л' dx,
Xq
откуда и следует, что
если ч\ (х) обладает указанными выше свойствами и не равно тож-
тождественно нулю. Теорема о слабом минимуме доказана.
Можно показать, что если выполнены усиленные условия Ле-
жандра и Якоби и, кроме того, Fy>y> (x, у, р) положительно для
всякого конечного значения р в некоторой области, содержащей
экстремаль у(х) внутри, то эта экстремаль дает сильный мини-
минимум. Это связано с теорией поля экстремалей, на которой мы
кратко остановимся в [98].
Отметим еще, что если на экстремали соблюдено усиленное
условие Лежандра, но решение ио(х) уравнения B00), удовлетво-
удовлетворяющее условиям B02), имеет корни внутри [х0, Xi]9 то эта экстре-
экстремаль не дает минимума интегралу A91).
97. Случай нескольких функций. Приведем результаты, ана-
аналогичные результатам из [95] и [96], для случая нескольких функ-
функций, т. е. для функционалов вида
Xi
J{yi	yn)=\F{x, yl9 ..., yn, y[, ..., y'n)dx. B16)
Методы доказательств принципиально те же, что и выше.
Положим, что Ук = Ук(х) (А=1, ..., п) — экстремаль функцио-
функционала B16), т. е. функции yk(x) удовлетворяют уравнениям Эйлера
из [73]. Пусть r\k(x) (*=1> •••» л)— добавки к функциям Ук(х),
удовлетворяющие обычным условиям гладкости и предельным
условиям
4k(xi)=O (?=1, ..., п).

280	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[97
Подставляя функции yk (х) в выражение F и ее производных по
аргументам yk и y'ki получаем две квадратные таблицы функций
от х:
(У R*=F*A 0. *-!...•.»)• 1217)
В дальнейшем для краткости воспользуемся обозначениями
п
(ф. *)= I] Ф*(*)Ы*) (*=1, ..., я),
через Srj и Stj' будем обозначать результат линейного преобра-
преобразования
(S^ = Z Slkr\ki (Sri'), = 21 S.ik4l (г = 1, ..., /г),
и аналогично для Rr\ и i?ri'. Вторая вариация приводится при
а = 1 к формуле
(У) = у 5 [(Sri, Ti) + (i?T)', г,')] dx,	B18)
аналогичной A94).
Условие Лежандра выражается положительностью квадратичной
формы с коэффициентами Rlk при всех х из промежутка [х0, л^],
т. е. неравенством
при всех вещественных %s (s=l, 2, ..., п), а усиленное условие
Лежандра положительной определенностью упомянутой формы,
т. е.
2] WA^^« (^о^л:^^),	B19)
где с —некоторое положительное число.
Роль уравнения B00) играет система уравнений Эйлера [73]
для квадратичного функционала B18):
? 2*";г0 (*1=в1' 2> •••' »)• B2°)
Пусть
. «*а(х)> •••» «*»(х) (Л=1, 2, .... я) B21)

98]	ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА	281
— решения системы B20) с начальными условиями
%W = C; при s^tk и Ukk(xo) = l E=1, ..., я),
4Ы-0	B22)
и А (х) — определитель порядка п с элементами ukl(x). Усиленное
условие Якоби состоит в том, что А (х) не обращается в нуль
при xo<ix^xx. Доказывается, что если для экстремали yl = yl (л)
выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби, то такая эк-
экстремаль дает слабый минимум функционалу B16).
98. Функция Вейе^штрасса. В настбящем параграфе мы приведем некоторые
результаты, касающиеся сильного экстремума Отметим прежде всего, что если
для некоторой экстремали выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби,
то эту экстремаль можно окружить полем экстремалей. Положим, что мы имеем
на плоскости (х, у) некоторое поле экстремалей, покрывающее область В пло
скости (х, у). Угловой коэффициент у' экстремали нашего поля, как мы уже
говорили выше, будет функцией точки в области В Введем для этой функции
специальное обозначение у' ~t (х, у) (функция наклона поля) Пусть б (х, у) —
основная функция поля, ее полный дифференциал выражается формулой
<Й(х, y) = [F(x, у, t)-tFy (х, у, t)]dx+Fy,(x, у, f)dy,	B23)
причем в данном случае прежнюю букву б мы заменяем обычной буквой d
Отсюда непосредственно следует, что криволинейный интеграл от правой части
формулы B23I не зависит от пути внутри области В. Этот интеграл можно
записать в виде
F (x, у, t) + [fx-t(x, </)]/y (х, у, О} dx;	B24)
он называется обычно инвариантным интегралом Гильберта Если за кривую
X мы возьмем некоторую экстремаль поля, то вдоль этой экстремали имеется
равенство ,^ = t (л:, у), и интеграл B24) приводится к основному интегралу.
С у, У) dx.	B25)
dx)
После этих предварительных указаний перейдем к выводу основной фор-
формулы, дающей выражение приращения основного функционала J Пусть X —
некоторая экстремаль этого функционала, соединяющая точки (лг0, #0) и (хъ ух),
и положим, что эту экстремаль можно окружить полем, покрывающим некото-
некоторую область В плоскости (х, у) Пусть / — какая-либо другая кривая с не-
непрерывно меняющейся касательной, соединяющая те же точки (х0, у0) и (xlf уг)
и лежащая в области В. Обозначим через J (I) к J (X) значение основного
функционала B25) для линий / и X Величина / (Я), как мы видели выше,
совпадает с величиной интеграла B24), взятого по X, а этот последний инте-
интеграл не зависит от пути, и мы можем взять его не по экстремали X, а по
кривой /. Мы имеем, таким образом,
1,,	л	\
,(х, у, t)\ dx,

282	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[98
и, следовательно, получаем такое выражение для разности*
J @-У (%) =\\F (х, у, Щ-F (х, yt t) - [%-t(xf */)]/> (x, у, О} dx.
B26)
Напомним, что в этом выражении t (х, у) есть наклон поля, a dy/dx есть
угловой коэффициент касательной к кривой /. Введем в рассмотрение следую-
следующую функцию четырех переменных:
?(*, У> Б, Л) = ^(*> У, i\) — F(x, у, Б) —(Л —Б)*> (*. У, Б). B27)
которая называется обычно функцией Вейерштрасса для функционала B25).
Пользуясь введенной функцией, мы можем переписать формулу B27) в виде
J(t)-J(X)=[E(x,y,t,%\dx.	B28)
Написанная формула является основной формулой при исследовании до-
достаточных условий экстремума. В частности, пользуясь этой формулой, можно
показать, что для того, чтобы экстремаль у (х) давала сильный минимум функ-
функционалу B25), необходимо, чтобы вдоль этой экстремали при любых значениях
переменной ц выполнялось неравенство:
Е(х, у, у\ т|)^0.	B29)
Из формулы B28) непосредственно вытекает следующая теорема, дающая
уже достаточное условие сильного минимума* для того чтобы экстремаль у(х)
при закрепленных концах давала сильный минимум, достаточно, чтобы ее
можно было окружить полем и чтобы существовала такая окрестность у(х),
в каждой точке которой при любом значении переменной к\ выполнялось бы
неравенство
Е[х, у, t(x9 у), ffl^O,	B30)
где t (x, у), как и выше, функция наклона поля. Так как мы пользуемся явным
уравнением кривых, то при окружении экстремали у (х) полем необходимо
потребовать, чтобы семейство экстремалей, образующих поле, имело явное
уравнение у=у(х, а), где функция у(х, а) обладает непрерывными производ-
производными до второго порядка.
Разлагая разность F (х, у, r\) — F(x, у, ?), входящую в функцию Вейер-
Вейерштрасса, по формуле Тейлора до второй степени разности (ц—|), мы можем
написать функцию Вейерштрасса в виде
Е(х, у, Б, л) = уСп--БJ^у <*' у, tii),
где т]х заключается между Б и rj. Отсюда непосредственно вытекает, что для
положительности функции Вейерштрасса достаточно потребовать, чтобы при
любом значении т] имело место неравенство Fy,y, (я, у, ч\) ^ 0. Отсюда полу-
получается более простое достаточное условие сильного минимума, а именно, для
того, чтобы экстремаль у{х) при закрепленных концах давала сильный мини-
минимум, достаточно, чтобы ее можно было окружить полем, в каждой точке кото-
которого при любом значении г) выполняется неравенство
*уу(х> У> Л)^0.	B31)
Доказательство всех высказанных в настоящем параграфе теорем можно
найти в курсе М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника.

99]	ПРИМЕРЫ	283
Указанные выше рассуждения проводятся и для случая функционала от
нескольких функций (уъ у2, . . , уп)
J(y)=]lF(xt y,y')dx,	B32)
Хо
где y = (yv ..., уп) и y'=*(y'v ..., у'п) суть векторы с п составляющими.
Вводя вектор наклона гголя
y' = t(x, у),
где / = (*!, ..., tn), можем записать формулу, аналогичную B23), в виде
[п	In
1 = 1 **	J	* = 1 y*
и соответственным образом перепишется формула B26). Функция Вейерштрасса
в рассматриваемом случае будет иметь вид
E(X,y,t, %)-F (,, „, %)-П*, У, 0 -l^t-^i*, У, 0.
и аналогично предыдущему формулируется достаточное условие сильного
экстремума функционала B32).
99. Примеры. 1. Рассмотрим функционал, соответствующий задаче геомет-
геометрической оптики на плоскости
В данном случае
при любом значении т], т. е. выполнено условие B31) и, следовательно, если
экстремаль, проходящую через точки Мо и Мь можно окружить полем, то
она дает сильный минимум рассматриваемому функционалу. В случае п (л:, у) =
= у'1 экстремалями в полуплоскости у > 0 будут полуокружности, ортого-
ортогональные к оси ОХ. Если точки Мо и Мх верхней полуплоскости не лежат на
прямой, перпендикулярной к оси ОХ, то через эти две точки проходит одна
определенная экстремаль, и ее можно окружить полем.
2. Возьмем случай п(х, y)~Vy-\-h > т- е- рассмотрим интеграл
J=[ yy-\-hy\-\-y'2dx (h — постоянная > 0).
Подынтегральная функция не содержит х, и уравнение Эйлера имеет ин-
интеграл

284
ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[99
Решая последнее равенство относительно у' и интегрируя, получим общий
интеграл уравнения Эйлера:
который представляет собой семейство парабол.
При Сх = 0 получаем в качестве экстремалей прямые, параллельные оси OY.
Рассмотрим пучок экстремалей, выходящих из начала координат, т. е.
примем начальные условия:
Определяя по этим начальным данным Сг и С2, получаем
Дифференцируя по а и исключая а, находим огибающую этого семейства
парабол:
Это будет парабола с вершиной Л @, — h) и с осью * —0 (рис. 4). На части
экстремали от начала координат до любой точки, которая предшествует точке
касания зтой параболы с огибающей, выпол-
У=~" нено усиленное условие Якоби. Кроме того,
в силу неравенства
>о
F	=
выполнено и усиленное условие Лежандра, т. е.
такую часть экстремали можно окружить по-
полем и, в силу сказанного в предыдущем при-
примере, эта дуга экстремали дает сильный мини-
минимум нашему функционалу. Отметим, что из
вида нашего функционала вытекает условие
y-\-h^0, т. е. мы имеем в данном случае
задачу на односторонний экстремум. В полуплоскости y+h > 0 все обстоит
обычным образом.
3. Рассмотрим интеграл
1
J = f y's dx
Рис. 4.
и положим, что требуется провести экстремаль через точки Мо@, 0) и Мх A, 1).
Уравнение Эйлера имеет общий интеграл г/ = С1^ + С2, и экстремаль у = х
проходит через заданные точки. В данном случае F =Fyy, = Q и Fy,y, = 6y't
т. е. на экстремали у—х мы имеем F^/ = 6>0, и выполнено усиленное усло-
условие Лежандра. Уравнение Якоби B00) будет в данном случае и" = 0, и его
решение, удовлетворяющее начальным условиям B02), будет и0 (<) = х. Оно
не имеет вовсе корней, кроме начального корня хо = О. Таким образом, вдоль
отрезка МЬМХ экстремали у = х выполнены усиленные условия Лежандра
и Якоби, и этрт отрезок экстремали дает слабый минимум нашему функцио-
функционалу.
Функция Вейерштрасса B27) имеет вид
Е(х, у, е, л)=ла—Б8—з(п—Б)Б1-

100]	' ПРИНЦИП ОСТРОГРАДСКОГО - ГАМИЛЬТОНА
Вдоль нашей экстремали левая часть неравенства B29) имеет вид
Е(х, у, у', т)) = т|8
и существуют значения т], при которых неравенство B29) не выполнено, т. е.
экстремаль у = х не может давать сильного минимума.
4. Задача определения геодезических линий на заданной поверхности при-
приводит к функционалу [76]:
«о
где ?, F и G—заданные функции (и, v), и трехчлен, стоящий под знаком
радикала, может принимать лишь положительные значения, т. е. EG—F20
и ?>0.
Мы имеем:
v;>0'
и условие B31) выполнено, т. е. если геодезическую линию можно окружить
полем геодезических линий, то она дает сильный минимум нашему функцио-
функционалу при заданных концах. В частности, на сфере дугу большого круга,
меньшую я по радианной мере, можно окружить полем, состоящим из дуг
больших кругов.
100. Принцип Остроградского — Гамильтона. Вариационное
исчисление играет основную роль при установлении уравнений
механики и математической физики. Уравнения эти могут быть
получены единообразным путем из некоторого вариационного прин-
принципа с помощью понятия энергии. Это последнее понятие, извест-
известное из механики систем точек, переносится и на другие физиче-
физические процессы и приводит, как мы увидим в дальнейшем, при
помощи основных принципов вариационного исчисления к неко-
некоторой общей схеме составления уравнения математической физики.
Мы начнем со случая механики систем материальных точек.
Пусть имеется система п материальных точек, массы которых
мы обозначим через mk и координаты — через (xkt yk, zk). Поло-
Положим, что движение системы подчинено связям:
ф5 = 0 (s=l, 2, ..., т)	B33)
и происходит под действием сил, обладающих силовой функцией:
Хь = —. Уъ = — - Zb = d-	Г234)
k дхь' * дуь'	dZfc'	^ '
причем ф5 и U суть заданные функции координат точек и вре-
времени. Кинетическая энергия нашей системы выразится формулой
k = i

286	ГЛ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[100
Положим, что из некоторого положения /, соответствующего
моменту времени t = tOf наша система переместилась к моменту
времени / = /х в другое положение //. Из всех возможных спо-
способов, которыми могло осуществиться перемещение системы из /
в //, мы выбираем класс допустимых движений системы, а именно
тех движений, которые совместимы с заданными связями и в за-
заданный промежуток времени [/0, 4] переводят систему из / в //.
Принцип Остроградского —Гамильтона утверждает, что действи-
действительное движение системы выделяется из всех допустимых движений
тем, что оно удовлетворяет необходимому условию 6.7 = 0 экстре-
экстремума интеграла •
и
t	B35)
при заданных положениях системы при t = tQ и t = t1.
Каждому допустимому положению системы будет соответство-
соответствовать совокупность Зп функций xk(t), Ук{1), z*@> определенных
в промежутке [tOf fj, удовлетворяющих уравнениям B33) и имею-
имеющих заданные значения при t = tQ и t = t1. Мы имеем, -таким^
образом, вариационную задачу с голономными связями B33) и
закрепленными границами. Для ее решения мы должны, следуя
правилу множителей Лагранжа, составить функцию
и для нее написать уравнение Эйлера. В данном случае мы имеем
и аналогично для координат yk и zk, и уравнения Эйлера будут
иметь вид
s=l
т. е. они совпадают с дифференциальными уравнениями действи-
действительного движения системы, как это мы и хотели доказать.

101]	ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ	287
Если вместо прямолинейных прямоугольных координат опре-
определить положение системы при помощи независимых параметров
Яъ ...» Qk> где k = 3n — m, то функции Т и U будут функциями
этих параметров:
T(qu q'u ..., <7ь qi t)\ U (qu ..., qky t),
уравнения связи отпадут, и мы получим задачу об экстремуме
интеграла B35) при закрепленных граничных значениях функций
qk и без всяких связей. Уравнения Эйлера будут иметь вид
или, так как U не зависит от q'k [II; 20],
7^ + ^-17^=0 (/=1, ..., k).	B36)
Каноническими переменными будут в данном случае q-t и pi9
где ри называемые обычно обобщенными импульсами, определя-
определяются формулой
Функция Н [87] будет
l=\	l=\ l
Если Т есть однородный полином второй степени от q\ [И; 20],
то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях [I; 154]
получим H = 2T — T — U = T — U, т. е. функция Н представляет
собой полную энергию системы.
101. Принцип наименьшего действия. Предположим, что
ни силовая функция ?/, ни функции ср5 не содержат t. В этом
случае, как известно, имеет место интеграл энергии
T-U = ht	B37)
который выражает тот факт, что сумма кинетической энергии Т
и потенциальйой энергии (— U) во все время движения сохра-
сохраняет постоянное значение. Далее, в рассматриваемом случае
выражения прямолинейных прямоугольных координат через коор-
координатные параметры qs не будут содержать, /. Кинетическая
энергия будет квадратичной формой относительно производных ql:
2Т = J] «Л1 = 2 аИ qtq) (aif = aJt)9	B38)
5=1	*\/ = i

28S	ГЛ. II. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[101
где atj суть функции qs. Пользуясь соотношением B37), мы
можем переписать подынтегральную функцию интеграла B35)
в виде
Отбрасывая постоянное слагаемое, представляя 27 в виде
V2U + 2h У 2Т и заменяя в одном из множителей 2Т его выра-
выражением, получаемым из формулы B38), мы придем к интегралу
вида
h 	 _
B39)
У i, / = 1
Покажем, что уравнения Эйлера для этого интеграла при-
приведут нас опять к уравнениям Лагранжа B36), которые мы полу-
получили выше. Действительно, уравнения Эйлера для интеграла B39)
имеют вид
B40)
Заметим, что подынтегральная функция в интеграле B39)
не содержит независимого переменного и является однородной
функцией первого измерения относительно производных ql. Сле-
Следовательно, как мы видели выше [81], одно из написанных
уравнений Эйлера будет следствием остальных, и мы можем при-
присоединить к нашим уравнениям Эйлера, еще одно уравнение,
которым фиксируется выбор независимого переменного (пара-
(параметра). Для того чтобы таким независимым переменным оказалось
именно время, мы присоединим к уравнениям B40) уравнение
27 ~~х>
которое, очевидно, равносильно закону сохранения энергии B37).
При этом уравнения B40) перейдут в уравнения Лагранжа B36).
Итак, в рассматриваемом случае уравнения действительного дви-
движения получаются из необходимого условия экстремума инте-
интеграла B39) при закрепленных концах. Это утверждение состав-
составляет принцип наименьшего действия в форме Якоби.
Введем в fe-мерном пространстве с координатами qly ..., qk
метрику, определяемую следующим выражением дифференциала
дуги:
2 atjdqtdqj.

101]	ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ	289
При этом интеграл B39) может быть переписан в виде
и основная задача механики системы точек оказывается разно-
сильной задаче о геодезических линиях в упомянутом выше
^-мерном пространстве. Можно показать, что для достаточно малых
участков траектории действительного движения интеграл дейст-
действия вдоль участков имеет слабый минимум. Рассмотрим движение
одной материальной точки по некоторой поверхности S по инер-
инерции. В зтом случае мы можем считать U = 0, и интеграл B39)
приводится просто к виду
\VYdt,	B39Х)
to
или, если мы ведем прямолинейные прямоугольные координаты,
к виду
Траекториями движения будут геодезические линии этой поверх-
поверхности.
Интеграл примера 2 из [79J получается при применении прин-
принципа наименьшего действия к случаю одной материальной точки,
находящейся под воздействием силы тяжести, причем направле-
направление оси OY совпадает с направлением силы тяжести.
Можно придать другую форму принципу наименьшего действия, которую
мы сейчас укажем, не останавливаясь на доказательстве. Рассмотрим инге1рал
B41)
и будем считать t0 и tx функциями параметра т. Присоединим к функционалу
B41) в качестве дополнительного условия уравнение B37) с фиксированным
значением h. Можно показать, что действительное движение с фиксированным
начальным и конечным положениями и с фиксированными начальным и конеч-
конечным моментами времени t удовлетворяет необходимым условиям экстремума
для функционала B41). Подчеркнем, что время t следует считать функцией
вспомогательного параметра и варьировать наряду с координатами q;. Сформу-
Сформулированный принцип есть принцип наименьшего действия в форме Лагранжа.
Некоторую специфику имеют механические системы со связями, зависящими
не только от координат, но и от скоростей. Рассмотрим наиболее распростра-
распространенный случай линейных связей:
k
Gs(qv q[ .... qk% q'k)= ? fbi(qv ..., <fc)tf =0 (s=l, ..., p). B42)
Уравнения действительного* движения системы с такими связями таковы:
XJsi (' = 1' -• k)-	B43)

290	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[102
Эти k уравнений вместе с р уравнениями связи дают возможность определять
k+ р неизвестных функций qv ..., qk> Klt ... > Хр. Левая часть B43) такая же,
как и в уравнениях Эйлера, правая часть представляет собой силу реакции
связей.
k
Если выражения ^] fsi (Яъ •¦•> Як) &4i являются полным дифференциалом
некоторых функций от координат
k	k
то условия связи можно записать так: ср5 (qx, ... , qk) = const (s = 1, ... , p);
связи в этом случае называются голономными, а уравнения B43) суть уравне-
уравнения Эйлера, полученные из рассмотренной выше задачи [100].
В общем случае (т. е. когда B42) не приводится к голономным связям)
механическая система называется неголономной, а уравнения B43) не являются
уравнениями Эйлера для вариационного принципа с функцией Т + U + 2 Xs (/) Gs.
s
В этом состоит отличие задачи о движении неголономной механической системы
от рассмотренной в [78] вариационной задачи с неголономными связями.
102. Струна и мембрана. Прежде чем переходить к установлению вариацион-
вариационного принципа в общей теории упругости, мы рассмотрим ряд частных случаев
упругих тел, размеры которых в одном или двух измерениях значительно
больше, чем в остальных измерениях. Здесь установление вариационного
принципа сводится, по существу, к некоторым предположениям о потенциаль-
потенциальной энергии, т. е. о работе сил деформации в зависимости от формы дефор-
деформируемого тела.
Пусть имеется струна, натянутая вдоль оси х и совершающая плоские
поперечные колебания в плоскости (х, и) [II; 176]. Кинетическая энергия
колеблющейся струны будет выражаться формулой
где р — линейная плотность струны, л:=0и#= / — абсциссы ее концов. Будем
считать, что работа сил деформации выражается произведением натяжения
струны То на ее удлинение;

+ u%dx—t.
Разлагая радикал по биному Ньютона и ограничиваясь двумя первыми
членами, мы получаем следующее выражение для потенциальной энергии дефор-
деформации:
В случае внешней силы F (xf t), рассчитанной на единицу длины, нам надо
добавить к потенциальной энергии еще слагаемое
/
— [Fudx;

102]	СТРУНА И МЕМБРАНА	291
окончательно принцип Остроградского — Гамильтона сведется к необходимому
условию 6/ = 0 для интеграла
h l
J = 1 [ [ (рМ2 _ Tll2 + 2Fu) dx dt.	B44)
Интегрирование совершается по прямоугольнику 0 ^ х ^ /; t0 ^ t ^ t± на
плоскости (Ху t). На сторонах этого прямоугольника л:=0 и л; = / в случае
закрепленной струны мы имеем предельное условие ы = 0, а на сторонах t = t0
и /==/! функция ы должна совпадать с функциями и (Ху t0) и и (х, ti), дающими
форму струны в начале и конце промежутка [/0, /J.
Если на концы струны действуют упругие силы, то, принимая во внимание,
что потенциал упругой силы пропорционален квадрату отклонения, мы должны
к интегралу B44) добавить слагаемое такого вида:
& (/, t)] dL
По существу, этот добавочный член представляет собой интеграл по кон-
контуру упомянутого выше прямоугольника, причем на сторонах t=t0 и t = tx
подынтегральная функция равна нулю, а на сторонах х=0 и х = 1 она равна
кги2 @, t) и h2u2(ly t). Принимая во внимание сказанное в [84], а также
то обстоятельство, что на стороне х = 0 внешняя нормаль направлена противо-
противоположно оси Ху мы будем иметь на сторонах х = 0 и х = 1 естественные пре-
предельные условия вида:
Уравнение Остроградского для двойного интеграла B44) даст нам обычное
уравнение колебаний струны.
Совершенно так же надо рассуждать для получения уравнения колебания
мембраны [II; 189]. Положим, что в естественном состоянии мембрана натя-
натянута в плоскости (х, у) и Го—ее натяжение, рассчитанное на единицу длины.
Работа сил деформации будет выражаться произведением Го на приращение
площади-
\dxdy-\\dxdyy
где и(Ху у у t) — отклонение точки (ху у) мембраны в момент времени t от поло-
положения равновесия и В — область плоскости (xt y)t занятая мембраной. Огра-
Ограничиваясь малыми колебаниями, мы получим следующее выражение для инте-
интеграла B35):
dt dx dy.	B45)
Уравнение Остроградского для написанного интеграла приведет нас к извест-
известному уравнению колебания мембраны. Если на границе имеется упругая связь
с коэффициентом <?(s), то к интегралу B45) надо добавить слагаемое
q (s) a2 ds,

292	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[ЮЗ
где / —конгур мембраны. В данном случае естественные граничные условия
принимаю! вид
где а? —направление внешней нормали к /. В случае же закрепленной мембраны
граничные условия будут, очевидно, и \i — 0.
103. Стержень и пластинка. Под стержнем мы подразумеваем тело линей-
линейных размеров, которое работает на изгиб. Возникающая при деформации
потенциальная энергия считается пропорциональной интегралу от квадрата
кривизны. В случае малых колебаний мы заменяем кривизну второй производ-
производной ихх и получаем для потенциальной энергии деформации следующее выра-
выражение:
II ?
и%х dx,
где \i — заданный коэффициент пропорциональности. Интеграл B35) в дан-
данном случае будет выглядеть таким образом:
U l
2
t{
и соответствующее уравнение Эйлера приведет нас к следующему уравнению
поперечных колебаний стержня:
д2и
Заметим, что если конец стержня свободен, то предельные условия могут
быть получены как естественные предельные условия, о которых мы говорили
в [83].
По аналогии со стержнем [79], будем считать, что потенциальная
энергия для пластинки, которая в естественном состоянии имеет плоскую
форму, представляет собой однородную квадратичную функцию величин, обрат-
обратных главным радиусам кривизны пластинки в деформированном состоянии,
а именно:
где а к Ь — некоторые постоянные и В — область плоскости (х, у), занятая
пластинкой. Мы имеем для кривизны главных нормальных сечений уравне-
уравнение [И; 146]:
(EG-Z72) ~ + BFM-EN-GL)~- + (LN-М2) = 0.
В случае явного уравнения поверхности и = и(х, у), отбрасывая члены
второго измерения относительно их и иу, мы получим
? = С?=1; F = 0, L~uxx\ М = иху, N = uyy,
откуда

104]	OCHOBHbIL УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ	293
и, следовательно,
Щ + Щ = (ихх + иуу)*-2 (иххиуу-и1уУ
Окончательно можем написать:
где D и а — две новые постоянные, составленные из постоянных а и Ъ. Коэф-
Коэффициент D называется жесткостью пластинки на изгиб и а есть известный
коэффициент Пуассона. К написанному выражению энергии деформации надо
добавить еще потенциал внешних сил, действующих на поверхность пластинки.
Окончательно получим следующее выражение для интеграла B35), считая
пластинку закрепленной по краям и ограничиваясь случаем статического про-
прогиба:
т S S [- (н**+ц«)*+2 <! -ст> (ил-"У+i Нdx dy>
в
где р — нагрузка, рассчитанная на единицу площади. В силу C7) из [74] урав-
уравнение Остроградского в том случае, когда подынтегральная функция содержит
производные до второго порядка от искомой функции и по двум независимым
переменным х и у, имеет вид
F-~F^_-F 4-— F 4-2 -^-F 4- ^ F -0 f246t
ttt дх*их ду\ + д# »хх±г дхду 4i/ ^W иуу	{ '
Считая D = 1, можем написать
F=- l2 ("^ + "
что приводит к следующему уравнению для статического прогиба:
В случае колебания пластинки, добавляя кинетическую энергию, будем
иметь
Характерным является то обстоятельство, что член, входящий в выражение B47)
и содержащий множитель A — а), при подстановке в левую часть уравнения
Остроградского B46) дает тождественный нуль и не влияет на уравнение
Остроградского. Но необходимо отметить, что упомянутый член оказывает
существенное влияние при установлении естественных предельных условий.
104. Основные уравнения теории упругости. Пусть (и, v, w) — составляющие
вектора смещения при деформации сплошной среды. Картину напряжений
в этой среде дают шесть составляющих тензора напряжений:
где ох — составляющая по оси х напряжения, действующего на площадку,
перпендикулярную к этой оси (оу и о2 имеют аналогичное значение), хху =
= %ух — составляющаях по оси х напряжения, действующего на площадку,пер-
площадку,перпендикулярную к оси у, или наоборот. Аналогичное значение имеют чхг и туг.

294
ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[101
При малых деформациях деформация среды характеризуется следующими шестью
величинами:
B48)
du
г*~~ dx
Уху — У ух
Ууг = Угу
»' гУ
du
— ду "*"
dv
~~ dz +
dv л dw
~d~y ' ez~~~dz
dv
dx; V«-Y«
dw
"?'
;
du
.Величины ех, еу, ez характеризуют относительные удлинения линейных эле-
элементов в направлении осей, а уку — изменение прямого угла, образованного
осями х п у. Введем еще две величины, а именно, величину
характеризующую относительное изменение объема, и
Можно показать, что последние две величины не зависят от выбора осей.
В классической теории упругости изотропного однородного тела принимают,
что составляющие тензора деформации и напряжений связаны между собой ¦
линейной зависимостью, которая выражает обобщенный закон Гука:
G
или
где G и т — постоянные, характерные для данного вещества, причем G называ-
называется модулем сдвига и т — коэффициентом поперечного сжатия (постоянная
Пуассона). Из закона Гука вытекает непосредственно следующая зависимость
между величинами bus.
1 т—Ъ
9
Обозначим, далее, через А работу сил деформации, отнесенную к единице объема,
которую можно выразить через составляющие тензора деформации или через
составляющие тензора напряжений:
45
B49)

104]	ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ	295
причем имеют место, как это можно проверить, пользуясь написанными форму-
формулами, следующие соотношения:
дА ' дА	_ дА
духу ; ** дах ; Уху дхху
дА	дА	дА
^7; еу==^; Ууг==Т^>	<250>
дА	___ дА	_ дА
дУгх ' 8*~~ faz ' yz*~~~faz7
Можно показать, что в каждой точке упругого тела существуют такие три
взаимно перпендикулярных направления, что если мы их выберем за оси, то
в этой точке будут иметь место равенства yxy = yyz=:y2X=:Q. Выбирая эти
направления за оси координат и обозначая через е1э е2, е3 при таком выборе
осей те величины, которые мы раньше обозначали через е^, &у, ъг> получим
в силу B49) в =>той точке следующее выражение для А:
ох =
оу =
дА
дгх;
дА т
дА
дгг '
хху —
~zx —
Условие положительности величины А приводит нас к следующему неравенству
для постоянной т: 2 <. т ^ со.
Будем сначала говорить об условиях равновесия упругого тела D, ограни-
ограниченного поверхностью S. Пусть на это тело действуют массовые силы с сос-
составляющими:
х (х, yt z, 0; у (х, у у г, 0; z (*, у, *, 0.
и положим, что на части S± поверхности S нам задан вектор смещения, а на
части $2 — напряжение, причем через Xlt Уъ Z1 мы обозначим составляющие
этого напряжения. Это суть заданные функции переменной точки М на 52.
Сумма интеграла по D от А и работ внешних сил, взятых с обратным знаком,
дает потенциальную энергию упругого тела:
^ [A — (Xu + Yv+Zw)] dxdydz- § (X^ + YjV+Zjw) da. B51)
D	S2
Эта потенциальная энергия является функционалом от трех функций м,
о, w координат точек тела (*, у, г). Мы получим уравнение равновесия, если
напишем уравнение Остроградского для упомянутого выше функционала, причем
надо принять во внимание, что интеграл по поверхности не играет роли при
составлении этого уравнения Остроградского. Принимая во внимание, что А
не зависит от самих функций \х, у, до, а только от их производных, мы при-
придем к следующему уравнению Остроградского для функционала B51) по отно-
отношению к функции и:
~X~~~dxAltx~~~dy АиУ~~дг Аи* = °'	B52)
Принимая во внимание, что А зависит от их только через посредство &Xt
от иу—только через посредство уху и от и2 — только через посредство ухг>'
можем переписать предыдущее уравнение, учитывая B50), в виде
дох дххи дхх2
-дГ+^+^+х-°-	<253>
Аналогично напишутся два других уравнения равновесия. На части St
граничной поверхности фиксированы значения функций и, v, wt а на части 52

296	ГЛ. II. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[104
естественные граничные условия [83] имеют следующий вид:
oxcos(n, x)-\-TXyCos(n, y)+tzxcos(n, z)~X1 = 0,
xxy cos (n, x) + Gy cos (n, y) + iy2 cos (n, z) — Yx = 0,
r^ cos (n, дс) + %yZ cos (rc, #) + c2 cos (д, г) — Zx = 0,
где п — направление внешней нормали к 52-
Подставляя в уравнение B53) вместо составляющих тензора напряжений
их выражение через составляющие тензора деформации, мы получим следующие
три уравнения равновесия:
или, в векторной форме,
G Uu -j	^Ц-grad div u) + F=0.
Заметим, что формулу B49) для упругого потенциала мы можем записать
в виде
где соА., (ду, (oz — составляющие вихря вектора смещения, т. е.
dw dv	да dw	до да
'х ~~ ду dz * у~~ dz дх ' ' z ~~ дх ду"'
Обратим внимание на то, что выражение, стоящее в квадратных скобках
формулы B54), не влияет вовсе на уравнение Остроградского, т. е. мы получим
уравнение равновесия упругого тела, если напишем уравнение Остроградского
для интеграла:
G ,
Чтобы получить уравнение движения, достаточно, согласно принципу Остро-
Остроградского— Гамильтона, добавить к подынтегральному выражению написанного
интеграла член, соответствующий кинетической энергии (с обратным знаком):
где р — плотность нашего тела, и проинтегрировать по конечному промежутку
времени [^0,- tx]. Таким образом, дело сведется к составлению уравнения Остро-
Остроградского для интеграла:
U
о	~1
Y (ust + v\ + w!) + ^ ~" (Хи +Yv + Zw) dt dxdydz
по отношению к функциям и, о, w независимых переменных (л:, у, z, t). Это
приведет нас, как это нетрудно проверить, к следующим основным уравнениям

105]	АБСОЛЮТНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
динамической теории упругости, записанным в векторной форме:
p
f^- — - \ -« -г —	о 8rad div u ) •
При этом, как всегда, считается, что в крайние моменты времени t = t0 и
/ = *! перемещения должны совпадать с действительными перемещениями [100].
105. Абсолютный экстремум. Мы ввели [72] понятие абсолют-
абсолютного экстремума. Сейчас рассмотрим частные примеры и приве-
приведем в связи с ними некоторые соображения о существовании
абсолютного экстремума.
Пусть имеется функционал:
\	y]dx9	B55)
где р(х)у q(x) и f (х) — непрерывные в замкнутом промежутке
[0, /] функции, причем р(х) имеет непрерывную производную и
p(x)>0; q(x)^0.	B56)
В классе D функций у (х), непрерывных вместе с производной
у' (х) в промежутке [0, /] и удовлетворяющих предельным усло-
условиям
У@)=а; У (/) = &,	B57)
требуется найти ту функцию, для которой функционал B55) при-
принимает наименьшее значение.
Уравнение Эйлера для этого функционала имеет вид
i[p(x)yr]-q(x)y = f(x).	B58)
Покажем, что при условиях B56) это уравнение имеет на проме-
промежутке [0, /] решение, удовлетворяющее условиям B57), и что
такое решение единственно. Пусть z0 (х) и гх (х) — решения одно-
однородного уравнения:
?	B59)
удовлетворяющие начальным условиям:
Теорема существования и единственности, применимая ввиду
р (х) > 0, обеспечивает наличие таких решений, причем они суще-
существуют во всем промежутке [0, /]. Мы покажем, далее, что z0 (I) Ф 0.
Это равносильно тому, что однородное уравнение B59) не имеет
решений, отличных ют тождественного нуля и равных нулю при
х = 0 и х = 1. При этом, очевидно, гг{())ф0, и решения го(х) и
zi (x) — линейно независимы.

298	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[105
Общий интеграл уравнения B58) имеет вид
Уо (*) = <Vo (х) + с&г (х) + g(x),
где с0 и сг — произвольные постоянные и g (x) — какое-либо част-
частное решение уравнения B58), существование которого на проме-
промежутке [0, /] обеспечивается теоремой существования при р (х) > 0.
Предельные условия B57) приведут нас к уравнениям
@) + g @) = а; сого (/) + g (/) = 6,
из которых с0 и с± определяются единственным образом.
Таким образом, мы получаем единственное решение у0 (х) урав-
уравнения B58), удовлетворяющее предельным условиям B57), при-
причем это решение непрерывно с производными до второго порядка
на промежутке [0, /]. Остается показать, что го(/)=^О, т. е. что
однородное уравнение B59) не имеет решений, отличных от тожде-
тождественного нуля и равных нулю при л; = 0 и х = 1.
Умножая обе части B59) на «г и интегрируя по частям, получим
^ (pz'2 + qz*) dx = 0 (z @) = z (/) = 0),
о
откуда 'в силу р(х)>0 и q(x)^0 при O^x^l следует, что
г(рс) = О.
Построенное выше решение у0 (х) уравнения B58) принадлежит
классу С2. Покажем, что оно дает минимум функционалу B55)
или, точнее говоря, покажем, что J (y0) ^J (у), где у — любая функ-
функция из класса D, причем знак равенства имеет место только в том
случае, когда у(х) тождественно с уо(х).
Всякую функцию у (х) из D мы можем представить в виде
у(х) = уо(х) + 1\(х), где т] (х) — непрерывна с производной на про-
промежутке [0, I] и равна нулю на концах этого промежутка. Мы
имеем
Принимая во внимание свойства уо(х) и ц(х), мы сможем
в первом интеграле' произвести интегрирование по частям:
+ {IP (*) Л'2 + Я (х) ч1] dx + p (х) у'м \xxZ[y

105]	АБСОЛЮТНЫЙ ЭКСТРЕМУМ	299
откуда, принимая во внимание, что уо(х) есть решение уравне-
уравнения B58) и что т] @) = г) (/) = 0, получим в силу B56)
J (У)~ J (Уо)
причем знак равенства будет иметь место лишь при у\(х)^0.
Действительно, если имеется знак равенства, то мы должны иметь
т]' (х) = 0, т. е. т] (х) — постоянная на промежутке [0, /]. Но ц @)=0,
а потому ri(%) = 0 на промежутке [0, /]. Таким образом, наше
утверждение доказано, Т. е. при уо(х), и только при у0(х), функ-
функционал B55) достигает наименьшего значения в классе D. Отме-
Отметим, что на функции класса D мы наложили требование лишь
существования и непрерывности первой производной, а функция
уо(х)> при которой функционал B55) достигает наименьшего зна-
значения, имеет и непрерывную производную второго порядка.
В качестве второго примера рассмотрим задачу о наименьшем
значении функционала:
1
J(y)= $ x2y'2dx	B60)
—i
в классе D непрерывных функций у(х), имеющих непрерывную
производную на промежутке [—1, 1] и удовлетворяющих пре-
предельным условиям:
Ьу	B61)
где афЪ* В силу последнего условия класс D не содержит по-
постоянной, и, таким образом, J (у)>0 для любой функции из D.
Множество чисел J (у) должно иметь точную нижнюю границу
[I; 42]. Покажем, что она равна нулю.
Нетрудно проверить, что при любом положительном 8 функции
arc tg -
s
	_
arc tg —
6
принадлежат классу D. Мы имеем
,j	b — a
и —	1
2arctg —
Б
и, следовательно, для функций B62)
1
4	4 arctga 1- _•} 82 + х* 2 arctg —

300	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[106
Правая часть стремится к нулю при г->0, откуда и видно, 'что
точная нижняя граница значений функционала B60) равна нулю.
Но, как мы говорили выше, класс D не содержит постоянной и
^(#)>0 в классе D. Тем самым точная нижняя граница не до-
достигается в классе D, и в этом классе функционал B60) не имеет
наименьшего значения.
106. Интеграл Дирихле. Рассмотрим теперь функционал
B63)
где В — круг с центром в начале координат и радиусом единица.
Написанный интеграл называется обычно интегралом Дирихле.
Мы будем рассматривать этот функционал в классе D функций
и (х, у), непрерывных в замкнутом круге х2-\-у2^\, имеющих
внутри этого круга непрерывные производные первого порядка и
удовлетворяющих на границе / круга предельному условию
M|i = f <в),	B64)
где / (8) — заданная на окружности / непрерывная функция поляр-
полярного угла б. Поскольку мы не предполагаем непрерывности част-
частных чпроизводных их и иу в замкнутом круге, мы должны толко-
толковать интеграл B63) как несобственный интеграл, т. е. как предел
интегралов по кругам Вр (х2 -\- у2 < р2) радиуса р при р->1.
Поскольку подынтегральная функция неотрицательна, интеграл
по Вр не убывает при возрастании р, и упомянутый предел или
конечен или равен (+оо). В первом случае, кан обычно, мы го-
говорим, что интеграл сходится, а во втором, что он расходится.
Можно считать, что в последнем случае величина интеграла равна
(+оо). Уравнение Остроградского для функционала B63) есть
уравнение Лапласа [76]:
и мы вправе ожидать, что гармоническая в круге В функция,
принимающая на / предельные значения B64), дает функционалу
B63) наименьшее значение в указанном классе D. Мы знаем, что
такая гармоническая функция существует и единственна [II; 206].
Обозначим ее через v (x, у).
Покажем прежде всего, что можно так задать непрерывную функ-
функцию /@), входящую в условие B64), что функционал B63) для
u = v:
B65)

1061	ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ	301
будет равен (+оо). Действительно, положим
B66)
Написанный ряд сходится, очевидно, абсолютно и равномерно
относительно б и определяет непрерывную периодическую с пери-
периодом 2я функцию /(б). Решение задачи Дирихле с предельными
значениями B66) имеет вид [II; 206]
оо
X tl\ = V \Т 6^ == • ——— f*OS ^O2/iQ\
В интеграле B63) перейдем к полярным координатам:
B67)
Мы имеем
00
vr == 2J 2nr2*n-1 cos B2лб); ve = — 2 2^ Sln B2/*б)>
причем написанные ряды сходятся абсолютно и равномерно отно-
относительно г и б в любом круге г^р, где р<1. Принимая во
внимание ортогональность синусов и косинусов кратных дуг на
промежутке длины 2я, получим
, 1	°°
=2 И
I f
0
f
п=10	п=1
и при р->1 сумма последнего ряда беспредельно возрастает,
откуда и следует, что при условии B66) величина .интеграла B65)
равна (+оо).
Таким образом, в рассматриваемом случае не имеет смысла
утверждение, что гармоническая функция v (x, у) дает функционалу
B63) наименьшее значение. Можно показать, что если интеграл
B63) равен (+оо) при u = v, то он равен (+оо) и для любой
функции из класса D, удовлетворяющей предельному условию
B64). Это непосредственно вытекает из следующей теоремы
Теорема. Если интеграл B63) при предельном условии B64)
имеет конечное значение для какой-либо функции из класса D, то

302	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[106
он имеет конечное значение для гармонической функции v из класса
D, и при этом для любой функции и из D мы имеем
J(u)^J(v),	B68)
причем знак равенства достигается только при u = v.
Доказательство теоремы совершенно просто, если предполо-
предположить, что гармоническая функция v (x, у) имеет в В ограничен-
ограниченные частные производные первого порядка. При этом интеграл
B63) имеет, очевидно, конечное значение. Нам достаточно дока-
доказать, что если для какой-либо функции w из D интеграл J (и) имеет
конечное значение, то J (w) ^ / (v)> причем знак равенства имеет
место только при w = v. Мы можем написать: w = v-\-r\f где
\] (х, у) имеет внутри В непрерывные частные производные пер-
первого порядка, непрерывна в замкнутом круге В и равна нулю на
окружности /. Мы имеем
JP (v + r\) = Jp (v) + Jp (г,) + 2УР (v, л),	B69)
где через J9 (и) мы обозначаем интеграл J (и), взятый по кругу Вр, и
h (v, Л) = И (vxr\x + vyy\y) dx dy.
Функция v (x, у) имеет внутри В непрерывные частные произ-
производные второго порядка, и, применяя формулу Грина, мы получим
где /p — окружность с центром в начале координат и радиусом р,
а dv/дп — производная по нормали к этой окружности. Поскольку v
есть гармоническая функция, двойной интеграл в правой части
равен нулю, а в криволинейном интеграле при стремлении р
к единице ц стремится к нулю равномерно по отношению к поляр-
полярному углу, а dv/дп по условию остается ограниченной, и этот
криволинейный интеграл, очевидно, стремится к нулю. Таким
образом, формула B69) в пределе дает:
в
откуда следует, что J (w)^J (v)f причем знак равенства имеет
место только при цх = 0 и г]у = 0, т. е. если г\ есть постоянная
в круге В. Но т] = 0 на / и, следовательно, т] = 0.
Проведем теперь доказательство теоремы в общем случае.
Пусть, как и выше, w — тг. функция из D, для которой интеграл
J (w) имеет конечное значение, й пусть
cos пь+&*sin пб) >	B7°)

106]	ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ	303
— ряд Фурье функции /F), входящей в условие B64). Функция v
определяется внутри В рядом
v (Л в) = | + 2 (а* cos пд + b* sin пЬ
Положим:
От (Г, в) = | + ^ '(«» COS "б + 6« Sin > Г"	B72>
и определим функцию r)w(r, 8) равенством: w = vm + r\m. Эта функ-
функция цт(г, б) имеет внутри В непрерывные частные производные
первого порядка, непрерывна в замкнутом круге, и ее предельные
значения r]w(l, б) на / имеют ряд Фурье:
00
2 (fln cos пВ + bn sin пд).
п = т-\-\
Это непосредственно вытекает из B72) и того, что предельные
значения w имеют ряд Фурье B70). Отсюда следует:
\ r\m(h 6)cos?6d6 = 0; J r]m(l, 8) sin^6rf8 =0 B73)
о	о
F = 0, 1, 2, ..., /и) F=1, 2, ..,, /я).
Как и выше, мы имеем
¦/р (vmt чт) = - 5 $ л* Л"» ^^ + $ ч« (р, е)^N)
Двойной интеграл равен нулю, а подынтегральная функция в кри-
криволинейном интеграле равномерно относительно б стремится к
р=1
и интеграл от этого произведения равен нулю в силу B72) и
B73). Таким образом, JQ{pm> tjw)->0 при р-*1. Переходя в фор-
формуле
«/р (Vm + t\m) = Jp (Vm) + «/p (Цт) + 2J9 (Vm, Г\т)
к пределу, получим
J (w) = J (vm) + / (r\m).	B74)
По условию, J (w) имеет, конечное значение, и из последней фор-
формулы видно, что и / (цт) имеет конечное значение. Для J (vm)
это очевидно в силу B72).

304	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[10Q
Из B74) следует:
J(vm)^J(w)	B75)
и тем более при любом р< 1:
/РЫ</И.	B76)
Но в круге Вр ряд B71) можно дифференцировать почленно
и полученные ряды равномерно сходятся в В9, т. е. в круге В9
производные от vm при т->оо равномерно стремятся к соответ-
соответствующим производным от v. Таким 'образом, неравенство B76)
при т-+оо дает
J9(v)^J(w)y
откуда, при р~>1, и следует: J (v)^J (w).
Пусть мы имеем знак равенства и докажем, что w = v. Поло-
Положим w = v-\-v\, где т), как всегда, имеет внутри В непрерывные
производные первого порядка, непрерывна в замкнутом круге и
равна нулю на окружности /.
Мы имеем
¦/р (т|) = /Р (w) + J9 (v) - 2/р (w, v).	B77)
Принимая во внимание, что
12 (wxvx + wyvy) | ^ w%
мы имеем
откуда следует, что при всех р < 1
т. е. J9(w9 v) остается ограниченным при р->1.
Первые два слагаемых правой части формулы B77) имеют ко-
конечный предел при р-> 1 и, следовательно, величина J9(r\) остается
ограниченной, т. е. имеет конечный предел при р-М. Мы можем
далее написать:
{v9 л),
и из существования конечных пределов для J9 (w), Jp (tA и J9 (т))
следует, что и J9 (р, г\) имеет конечный предел при р -*¦ 1. Обо-
Обозначим
J (v, т|) = lim/р (о, т|).
р-1
Вводя произвольный вещественный параметр 8, мы можем на-
написать:
J9 (v + ел) = ^Р (v) + 2еУр (v, ц) + eVp (л).

107J ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ФУНКЦ ПРИ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 305
При р->1 все слагаемые правой части имеют конечный предел и,
следовательно, то же имеет место и для левой части. Переходя
к пределу, получим
J (v + гц) = J (v) + 2eJ (v, ц) + гЧ (ц).	B78)
Таким образом, при любом вещественном г интеграл Дирихле
B78) имеет конечное значение для функции и = у + ?Г), и в силу
доказанного выше имеем
B79)
причем знак равенства достигается при е = 0 и е = 1, ибо по усло-
условию J (w) = J (v). Отсюда следует, что правая часть B78) дости-
достигает наименьшего значения при 8 = 0 и е-=1, что возможно лишь
в том случае, если J(r)) = O, т. е. т] = 0, и из w = v-\-\] следует,
что w = v. Теорема полностью доказана.
В главе о предельных задачах мы вернемся к вопросу об абсо-
абсолютном экстремуме для изопериметрических задач [77].
107. Общий случай функционалов при нескольких независимых
переменных. Мы сейчас кратко коснемся вопроса об абсолютном
минимуме для функционалов общего вида. Рассмотрим сначала
случай функционала
J (и) = Ц F{x, у, р, q)dxdy,	B80)
в
где р(х, у) = их, q{x, y) = uy, и подынтегральная функция не со-
содержит и (х, у). Пусть В — конечная односвязная область с глад-
гладкой границей, a F\х, у, р, q) непрерывна по всем своим аргу-
аргументам и имеет непрерывные производные до второго порядка
по р и q при всех р и q из промежутка (—со, оо), когда точка
(х, у) принадлежит замкнутой области В. Положим, что при этих
условиях выполнены неравенства
FppFqq-FlQ>0	B81)
и
Fpp>0.	B82)
Уравнение Остроградского для функционала B80)	имеет вид
Положим, что оно имеет решение ио(х, у) с непрерывными про-
производными до второго порядка внутри В, причем сама функция
"о(*> У) и ее первые производные непрерывны в S. Пусть т| (х, у) —
любая функция, непрерывная вместе с производными первого
порядка в В и равная нулю на границе / в области В, Разло-
Разложим функционал J (ио-\-<х>ч) по степеням а до порядка а2 и по-
положим затем а = 1. Из условий для и0 и г) следует, что

306	ГЛ. II. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[107
коэффициент при а будет равен нулю [74]:
в	в
Принимая это во внимание, получим
1 Г С г
J (Ио + Vi) = J (и0) + у \ \ \Fрр^х + 2Fpqy)xv)y + i^r^] <ix; d#, B84)
причем функции Fpp, Fpqy Fqq в B84) имеют аргументы
(х> у, Ро + М*» Цо + ЪъЦу), где Ро и <7о — частные производные от а0
по х и у, а функции бх (л:, г/) и 02 (х, ^/) удовлетворяют неравен-
неравенствам (ХбДл;, ^)^1 (/=1, 2). Из B81) и B82) следует, что
выражение, стоящее в квадратных скобках, есть положительная
величина, и следовательно, / (щ + ц)^ J (uo)t причем равенство
имеет место только при ц (х, у) = 0, т. е. и0 (х, у) дает функционалу
наименьшее значение по сравнению со всеми другими непрерыв-
непрерывными функциями с непрерывными производными в В, имеющими
на / те же значения, что и ио(х, у). Условия B81) и B82) можно,
очевидно, записать в виде одного неравенства Fppl\ + 2Fpq^& +
+ ^?Ш1>0> которое должно выполняться при всех значениях
вещественных параметров ^ и ?2 с 61 + 61*0. Совершенно
аналогично, для функционалов вида
' fa, .... хП9 рь ..., pn)dx1 ... dxn (pk = l~-
при любом п неравенство
n
Ц FPiPk(xlt ..., хЯ9 ръ ..., Pn)l?k>0,	B85)
i. k = \
в котором 5i, •••> in — произвольные вещественные параметры, не
равные одновременно нулю, гарантирует то, что решение и (хъ ..., хп)
уравнения Остроградского ^ ^.	^—~	 == ° Дает
l	Xi
наименьшее значение функционалу J по сравнению со всеми
гладкими функциями, совпадающими на I с и.
Если подынтегральная функция содержит и саму функцию
и(хъ ..., хп), то условие B85) надо заменить следующим:
? FPiPhl& + 22FPi&b + Fa&>0	B86)
/, k=\	t=i
при любых вещественных значениях ?0, |х, ..., |л, таких, что

108]	ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	307
108. Прямые методы вариационного исчисления. В настоящее время ши-
широко развиты иные методы подхода к решению задач на абсолютный экстре-
экстремум — методы, которые обходят применение дифференциальных уравнений. При
этом пытаются построить искомую функцию, дающую абсолютный экстремум
функционала, при помощи некоторого предельного процесса, исходя непосред-
непосредственно из вида того интеграла, экстремум которого 'ищется.
В данном случае, как мы уже упоминали выше, задача представляется
гораздо более трудной, чем соответствующая задача из дифференциального
исчисления. В последнем случае, согласно основной теореме Вейерштрасса
о непрерывных функциях, мы знаем, что всякая функция, непрерывная в замк-
замкнутой области, наверное принимает в некоторой точке этой области свое наи-
наибольшее (наименьшее) значение. В случае задач вариационного исчисления
мы уже не имеем такой простой теоремы, и таким образом ставится под вопрос
самое существование решения задачи.
Пусть / (у) есть некоторый функционал от искомой функции у (л:), и мы
ищем эту функцию так, чтобы упомянутый выше функционал имел наименьшее
значение в некотором классе D функций у (х). При любом выборе функции у (х)
из класса D функционал J получает определенное численное значение. Исполь-
Используя все функции класса I), мы получим, таким образом, бесчисленное множестго
чисел —значений функционала J. Пусть d —точная нижняя граница этого мно
жества чисел. Мы не знаем заранее, существует ли в классе D функция у (х),
которая дает нашему функционалу это наименьшее значение d, но в силу опре-
определения точной нижней границы мы можем во всяком случае найти такую
последовательность уп (х) функций из класса D, что числа J (yn) имеют своим пре-
пределом d при беспредельном возрастании п. Последовательность функций уп (х)
называется обычно минимизирующей последовательностью. Одной из возможностей
осуществления прямых методов вариационного исчисления является следующий
прием: дается способ построения минимизирующих последовательностей с таким
расчетом, чтобы из построенной минимизирующей последовательности путем неко-
некоторого предельного перехода получалась бы искомая функция, дающая наимень-
наименьшее значение нашему функционалу. Если удается довести таким путем задачу
до конца, то этот прием приводит к решению предельной задачи для диффе-
дифференциального уравнения, которое выражает необходимое условие экстремума
исследуемого функционала. Такой метод применим не только для доказатель-
доказательства существования решения, но и для построения практически удобного спо-
способа его приближенного вычисления. На указанном выше принципе основан
известный метод Ритца для решения предельных задач. Отметим, что широкое
обобщение этого метода на случай дифференциальных уравнений, не связанных
с вариационным исчислением, было дано Б. Г. Галёркиным (Вестник
инженеров и техников, 1915 г.). Работа Ритца была напечатана в 1908 г.
(Journal fur die reine und angew. Mathem., Bd. 135).
Теоретическое обоснование прямых методов естественно приводит, особенно
для уравнений с частными производными, к использованию теории функций
вещественного переменного. Сейчас рассмотрим простой пример применения
прямых методов. Мы еще вернемся к этим вопросам в главе III.
Исследование сходимости методов Ритца и Галёркина и вопрос об оценке
погрешности были подробно проведены в ряде работ советских математиков.
Изложение этих вопросов и указание соответствующей литературы имеется
в книге Л.В.Канторовича и В. И. Крылова «Приближенные методы
высшего анализа». Исследованию сходимости методов Ритца и Б. Г. Галёркина
посвящена значительная часть книги С. Г. М и х л и н а «Вариационные методы
в математической физике» A957 г.).
Теоретическое обоснование прямых методов в связи с теоремами существо-
существования соответствующих экстремальных функций и исследованием их свойств
изложено в монографии С. Л. Соболева «Некоторые применения функцио-
функционального анализа в математической физике» A950 г.).

308	ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ	[109
109. Пример. Возьмем функционал, рассмотренный в [105]:
/
М У] dx	B87)
и будем искать его наименьшее значение в упомянутом выше [105] классе D
при однородных предельных условиях
0@) = 0@=0,	B88)
причем, как и в [105], считается, что р (х) > 0 и q(x)^0.
Мы знаем, что решение поставленной задачи дает функция уо(х), удовлет-
удовлетворяющая уравнению B58) и предельным условиям B88). Пусть
ui (*)> м2Й, ...	B89)
— последовательность функций, непрерывных в интервале [0, /] вместе с их
первыми производными, удовлетворяющих условиям B88) и линейно независимых.
Составляем линейную комбинацию перрых п функций нашей последователь-
последовательности с неопределенными пока постоянными коэффициентами yn = ci[n^ul-\-
+ ... + я^ип и подставляем в интеграл B87). После выполнения квадратур
получим результат вида
jn=4yn)= ?_ «.x^+ii мп) к-»,,)- w
Определим коэффициенты а^ из того условия, чтобы значения а[п^ удовлетво-
удовлетворяли необходимому условию экстремума выражения Jni т е , проще говоря,
приравняем нулю частные производные от Jп по а[п). Мы получаем, таким
образом, п уравнений первой степени для определения а[п):
Определитель этой системы уравнений есть вместе с тем дискриминант
квадратичной формы, входящей в выражение B90) и происходящей от интегри-
интегрирования выражения {ру'^ + ЯУ*п)* В силу сделанных предположений, упомяну-
упомянутая квадратичная форма будет определенно положительной. В самом деле, она
может оказаться равной нулю только в том случае, когда уп = 0, а это в силу
линейной независимости функций и^ (х) приводит к тому, что все коэффи-
коэффициенты ajj^"равны нулю. Но дискриминант определенно положительной квад-
квадратичной формы, равный произведению ее собственных значений, будет навер-
наверное положительной величиной Таким образом, определитель системы B91) будет
отличным от нуля; мы найдем из этой системы определенные значения для а[п)
и сможем составить /г-ое приближение уп (х). Отметим, что при увеличении
числа п вычисленные уже коэффициенты, вообще говоря, изменятся. Поэтому
при обозначении этих коэффициентов мы приписали к ним еще верхний зна-
значок, указывающий номер приближения.
Принимая во внимание, что квадратичная форма, входящая в выраже-
выражение B90), определенно положительна, а также то, что система B91) имеет един-
единственное решение, можем утверждать, что решение (а^\ •• , а^) этой системы
дает наименьшее значение выражению B90). При увеличении числа п наимень-
наименьшее значение функционала ищется в более широком классе функций, и мы

109]
ПРИМЕР
309
можем, следовательно, утверждать, что
J (Уя) ^ J (Ур) ПРИ Я > Р-	B92)
Кроме того, для любой линейной комбинации г (х) функций B89)
*(*)=¦ 2 ahuh{x)	B93)
мы имеем [105] / (г) ^ / (у0).
Покажем, что при некоторых предположениях относительно системы функ-
функций B89) функции уп (х) стремятся равномерно на промежутке [0, /] к упомя-
упомянутой выше функции уо(х).
Формулируем эти предположения. Для любой функции у(х)> непрерывной
вместе с производной на промежутке [0, /], и при любом заданном положи-
положительном в, существует такая конечная линейная комбинация функций B89),
что выполняются неравенства:
0 (*) — 2 akuk w
Покажем прежде всего, что
Мы имеем [105]
1. 2, 3,
). B94)
B95)
B96)
Применяя B94) к функции у(х)—уо(х) и пользуясь произвольностью f, мы
можем утверждать, что при любом заданном положительном б существует
такая линейная комбинация B93) функций B89), что J (z) — J (уо)^д. Далее,
в силу построения ут (х) мы имеем J (ут) — J (yQ) ^fi ив силу B92) можем
написать: J (уп) — J (у0) ^ б при п^ту откуда ввиду произвольности положи-
положительного числа б и следует B95). Мы имеем, как легко проверить,
Производя в первом интеграле интегрирование по частям и принимая
во внимание, что у—уп — Уъ удовлетворяет условиям B88), получим для этого
интеграла выражение:
I dx (рУо) + qy° + f\ (Уп " Уо) dx>
откуда видно, что упомянутый интеграл равен нулю, так что
{
J (yn)-J (Уо)-1[Р(Уп-УоJ+ПУп-УоJ]^ т- е-
B97)

310
ГЛ II ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[109
Обозначая через а наименьшее значение положительной функции р (х)
на промежутке [0, /], получим на основании B97)
B98)
Далее, неравенство Буняковского дает нам:
и, на основании B98), получаем | уп (х) — у0 (х)\^у -'VJ (yn) ~ J (Уо)
(О ^ х ^ /), откуда в силу B95) и следует, что уп (х) —> у0 (х) равномерно
на промежутке [О, /J.
Докажем, что для функций
uk (х) = sin Щ- F=1,2,3,..),	B99)
удовлетворяющих условиям B88), выполнены и условия B94).
Продолжим функцию у' \х)у заданную в промежутке [0, /], на промежуток
[— /, 0] четным образом. При любом заданном положительном т] найдем такой
т
тригонометрический полином Т(х)~со+ \ cftcos~^, что [II; 168]
C00)
причем со = -у- \ Т (х) dx.
Но из C00) следует Т(х)=у' (x) + f (x), где
принимая во внимание, что у {0)~у (/) = 0, получим со = ~ \ /W dx> откуда
г], и из C00) следует:
m
, , ч VI	knx
у'(х)- 7, ckco&
1
» и» следовательно,
i
Интегрируя написанную разность от 0 до х> получим
m
)	Ьттл,
,2ц1
и, взяв т) = е/[2 (/+1)], мы получили линейную комбинацию функций B99)
т— ck sin -у-, удовлетворяющую условиям B94).
Совершенно аналогично, пользуясь теоремой о приближении непрерывной
функции полиномами, можно показать, что функции uk (х) = (/ — #) х* (/г —
— 1,2, 3, ...) также удовлетворяют условиям B94). Все они, очевидно,
удовлетворяют и условиям B88).

ГЛАВА III
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ U И L2. ОБОБЩЕННЫЕ
ПРОИЗВОДНЫЕ. ПРОБЛЕМА МИНИМУМА КВАДРАТИЧНОГО
ФУНКЦИОНАЛА
110. Усреднение функций из Lx и L2- Настоящую главу мы
посвятим некоторым вопросам теории функций вещественного
переменного, связанным в основном с функциональными прост-
пространствами L± и L2, о которых мы говорили в томе II [161 — 163]
и в начале настоящего тома [22, 23, 62]. В конце главы будет
рассмотрена вариационная задача для функционала, содержа-
содержащего частные производные. При этом само определение част-
частных производных будет существенным образом изменено (обоб-
(обобщенные производные). В дальнейшем все функции считаются
вещественными. Мы начнем с процесса усреднения любой функ-
функции f(P), принадлежащей L± или L2. Этот процесс дает воз-
возможность построить функции, имеющие производные всех по-
порядков, и сколь угодно близкие к f (Р) в метрике Lx или L2
соответственно.
Определим сначала «усредняющее ядро». Введем функцию со
одного вещественного независимого переменного, определяемую
следующим образом:
со @=1 c^~x ПРИ
I 0 при
при
причем постоянную с определим ниже. Вопрос о непрерывности
функции со и ее производных возникает только при t = ± 1. Если
t2-> 1 от меньших значений, то 1/(/2—1) ->> — оо и со (/) —>> 0. Произ-
Производная любого порядка от функции со по t при t2 < 1 имеет,
очевидно, вид
c
(/а—1)а*	t
где Р (f) — некоторый полином и а — целое положительное число.
При /2->1 от меньших значений, раскрывая неопределенность,

312	ГЛ III СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦ ПРОСТРАНСТВ I, И U [НО
убедимся в том, что выражение (t2— \)'аё2-1 стремится к нулю.
Мы видим, таким образом, что функция со (t) имеет производные
всех порядков при — оо</<оо. Дальше мы будем рассматри-
рассматривать пространство Rm с декартовыми координатами хг,..., хт. Мы
часто будем обозначать точки этого пространства одной буквой
х или y(yl9 ..., ут) и т. д. Расстояние между двумя точками х
и у из Rm обозначим следующим образом:
Фиксируем какую-нибудь точку у из Rm и положительное число
ft>0 и рассмотрим функцию соГх~у' ]. Она непрерывна в Rm
и имеет все непрерывные частные производные по xk, k = 1,..., m,
в Rm. Эта функция отлична от нуля лишь в шаре радиуса к
с центром в точке #. Постоянную с определим из условия
= dx±...dxm).	B)
Пусть и (х) — функция, суммируемая по некоторой ограничен-
ограниченной области ?& или, общее, по некоторому ограниченному откры-
открытому множеству. В этом случае обычно пишут ие^(^). Совер-
Совершенно аналогично пишут хе^, если точка х принадлежит мно-
множеству 8. Если и(х) не принадлежит Ьг{^) или х к <?, то
пишут и ё Li (&) или хб1. Продолжим и (я) вне ^ нулем, т. е.
будем считать и(л:) = 0, если х находится вне &F. Введем теперь
функции uh(x) (A>0)—средние для функции и(х):
{dy = dyi ... d^). C)
Здесь и в дальнейшем, если нет обозначения области интегриро-
интегрирования, считается, что интегрирование производится по всему Rm.
Фактически в интеграле C) оно производится по шару с цен-
центром х и радиусом h, ибо вне этой сферы подынтегральная функ-
функция равна нулю, и значения uh(x) определяются только значе-
значениями и(у) в упомянутом шаре.
В частности, uh(x) = 0, если х вне &9 а расстояние от х до
границы области 3> не меньше ft, ибо и(х) продолжена нулем
вне SF. Отметим еще, что в силу B)
)dy=l.	D)
Для доказательства D) достаточно использовать замену перемен-
переменных интегрирования yk—Xk — hZk (fe=l, 2, ..., т).

1111	СВОЙСТВА СРЕДНИХ	313
111. Свойства средних. Докажем ряд свойств средних.
1. Если и (х) ограничена в J?, то
sup |иЛ(*)|< SUP I
m
Это следует из очевидного неравенства
;ps sup \u{y)\ U(l?^?i\^= sup \u(y)\.
2. Функция uh(x) имеет производные похЛ(*=1, 2, ...,/п)
любого порядка, которые определяются формулой
- г- f
Усредняющее ядро имеет производные всех порядков по
х{хъ ..., хт) во всем Rm, отличные от нуля лишь в сфере
с центром х и радиусом к. Будем рассматривать для простоты
письма лишь производную от uh(x) по хх. Отношение
запишется в виде
Разность в квадратных скобках можно выразить по формуле
конечных приращений Лагранжа, и множитель при и (у) будет
иметь вид
д (\х—у\ \ I
дхл \ h ) \(хл 4- 0A*1t х9, .., # л •
Под знаком интеграла стоит написанное выражение при 0<
<б<1, равномерно ограниченное при всех указанных б и Л^,
умноженное на функцию и (у) из Llt Таким образом, абсолютное
значение подынтегральной функции имеет оценку с\и(у)\, и воз-
возможно осуществить предельный переход при Дл^-^О под знаком
интеграла [II; 109; теорема 1], так как с\и (у) \, где с—постоян-
с—постоянная, есть суммируемая функция. Это приводит к формуле F)
для производной uh(x) по хх. Аналогичное доказательство годится
и для общей формулы F).
3. Для любой mgLi (Rm) имеет место формула
G)
Действительно, по олределению

314 ТЛ III СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦ ПРОСТРАНСТВ L{ И L2	[111
и в силу B)
Перед доказательством следующего свойства средних сформу-
сформулируем одно свойство суммируемых функций, которое будет дока-
доказано в томе V. Пусть и (х) е Ьг (&)у где ^, как и выше, —огра-
—ограниченное открытое множество. Продолжим ее нулем вне 2&. При
этом имеет место следующее свойство, которое называется непре-
непрерывностью в среднем: при любом заданном г > О существует
такое 6>0, что $ | и(х-\-у) — и (х) | dx^e при \у\^Ь9 т. е.
25
u(x)\\Ltw^z при ]у!<б.	(8)
Аналогично, если и (х) е L2 (&)t то при любом е>0 существует
б > 0 такое, что
при |у|<6.	(9)
4. Если u (a;) e Lx (^), то
l\uh(x)-u{x)\dx-+0 при А->-0,	A0)
т. е. средние функции uh (х) стремятся в метрике L± (&) к и (х)
при h -*> 0. Если г/ (я) е L2 (•®г). то
\\uh(x)-u(x)\2dx-+0 при А->0.	A1)
Рассмотрим доказательство для более сложного случая и е
Из G) по неравенству Буняковского следует
В первом интеграле область интегрирования та же, что во вто-
втором. Полагая во втором интеграле (х — y)/h = г, получим
С со2 (^^) Ф - А [ со2 (г) с/г = dhm9
откуда
или, полагая у — х = у ,
I uh (х) -1

112]	ФИНИТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ	315
Это неравенство интегрируем по ?& и применяем теорему Фубини
[II; ПО]:
5 dy'
Используя непрерывность в среднем, можем утверждать, что
при любом заданном е>0 существует такое Л>0, что
$	при
откуда
i\uh{x)-u (х) |» dx < % \ dy' =
где с2 —объем шара с единичным радиусом в Rm. Ввиду произ-
произвольности е отсюда и следует A1).
Соотношение A0) для функций и(х) из L±(&) доказывается
еще проще, так как в этом случае не надо применять неравен-
неравенство Буняковского, а следует исходить непосредственно из нера-
неравенства
| и* (*)-«(*)!<:? [ \u(x + y')-u(x)\dy'
и использовать теорему Фубини и свойство непрерывности в сред-
среднем функций из Li(^). Все сказанное выше имеет место и в том
случае, когда S5—ограниченная замкнутая область или, вообще,
ограниченное измеримое множество.
112. Финитные бесконечно дифференцируемые функции. Функ-
Функция, определенная во всем пространстве Rm и равная нулю во
всех достаточно удаленных точках Rmy т. е. в точках, удовле-
удовлетворяющих условию \х\>М, где М — некоторое положительное
число, называется обычно финитной функцией в Rm. Класс финит-
финитных бесконечно дифференцируемых в Rm функций обозначается
через Cj° (Rm). Число М для различных функций и (х) этого класса
может быть, естественно, различным. Рассмотрим функцию и(х),
суммируемую по всему пространству Rm, т. е. и(х) из Li(i?m)/
Обозначим через и{М) (х) функцию, совпадающую с и (х) в шаре
\х\<СМ и равную нулю в остальных точках Rm. Так как и е
€=/* (Я), ТО
\\u(x) — u{M)(x)\dx= J \u(x)\dx-*0 при М->оо.
\х\>М
Введем теперь усреднения u{M)h(x) с А< 1. Согласно [111] u{M)h(x)
бесконечно дифференцируемы и равны нулю при | х\>М + 1, т. е.

316 гл m сведения по теории функц пространств и и l2 [112
u{M)h(x)<=C?(Rm). Кроме того,
\ \u{M)(x) — umh(x)\dx-+Q при ft->О.
Л1 + 1
Фиксируем произвольное е>0и по нему подберем М так, чтобы
Jj \u(x) — u{M)(x)\dx<-j9
а затем рассмотрим столь малые ft, что
\ I u{M) (х) — uiM)h(x) | dx = \ | и{М) (х) — и{М) h (x) | dx <-|-.
||<А1+1
Тогда получаем
т. е. функцию и (х) можно аппроксимировать в норме пространства
Li(Rrl функциями u(M)h(x) класса C™(Rri). Аналогично доказы-
доказывается, что если m(x)gI2(O, to
\\u — tliM)h\\L2{Rm)->Q При h^Q
Итак, можно считать доказанной следующую теорему:
Теорема 1. Класс С? (Rm) плотен в пространствах Lx (Rm)
и L2(Rm).
Обратимся к рассмотрению ограниченной области 2& и введем
класс функций Cj°(^), финитных в J^. Это те функции из
Cf(Rm), для которых открытое множество точек х, в которых
| и (х) | > 0, вместе с замыканием лежит внутри &. Докажем сле-
следующую теорему.
Теорема 2. Класс Cf(Sf) плотен в L2{&) и Lx{&).
Обозначим через ^ множество тех точек ^~, для которых
расстояние до границы S открытого множества &F больше б [II; 92]:
р (х, S)>6. Легко доказать, что S — замкнутое множество, а мно-
множество ^"б — бткрытое. Пусть Тб(*) — характеристическая функция
множества ^б, т. е. тб (х) = 1, если х е &ь и Тб (х) = 0, если
х (Е ^6- Через (Тб (х) обозначим усреднение для т2б (х) с радиусом
усреднения ft = 6. Эта функция обладает следующими свойствами:
1) оь(х) бесконечно дифференцируема в Rm\ 2) о&(х) = 0, если
р(^, S)^fi, ибо для таких точек шар радиуса б, по которому
происходит усреднение, не пересекается с &%& 3) Сб {х) = 1
в ^2Ь> т^к как для таких точек упомянутый шар лежит в ^26>
где т2б (х) = 1; 4) 0 ^ о6 (х) <; 1. Это следует из того, что т2б (х) и
/i %	 U \\
ядро усреднения co(J—g-^-1] неотрицательны, а также из свой-
свойства 1).

113]	ОБОБЩГНИЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ	317
Пусть v (х) <= Cf (Rm). Произведение v (x) аб (х) е С
v (х) аа (х) = v (х) для х е «^зб- Оцениваем интеграл
?
где m — мера Лебега. Любая точка x?f входит в &?& при
достаточно малом б и, следовательно, т (& \ &&) -> 0 при
б -» 0. Мы имеем из предыдущих неравенств, что || v (x) о& (х) —
— v (х) 1к2ш ~^ 0. Предположим теперь, что и (х) е L2 (•®г)- В силу
сказанного выше при заданном е > 0 существует такая функция
v (х) из Cf (Rm), что || г/ — ^Н^^"' ^атем ПРИ выбранном v(x)
существует такое малое б > 0, что || v — шб || ^-1 и, следова-
следовательно, || и — voq || ^ || и — v || + II v — vg& || ^ е. Этим доказано,
что класс Cf (J?) плотен в L2 (C2)). Аналогично проверяется, что
С? (Я?) плотен в LX(D).
113. Обобщенные производные. Мы введем сейчас новое поня-
понятие частной производной, которое имеет широкое применение.
В [II; 661 мы приводили формулу (З^) интегрирования по частям
для тройного интеграла
\ \\ ф2 dv = ~ \ \ \ 4%dv+ J I ФФсо8(я, z)dS. A2)
Совершенно аналогичная формула имеет место и для интеграла
любой кратности при соответствующем определении cos (n, г).
Отметим, что, если, например, ф (х) — функция, финитная в &9
то интеграл по S равен нулю и формула A2) принимает вид
S S5 »3*—
Коротко говоря, можно перекидывать дифференцирование с одного
множителя if на другой ф, меняя знак у интеграла. Рассмотрим
какую-либо производную порядка /:
Если функции ф (х) и и (х) имеют внутри & непрерывные част-
частные производные до» порядка / и функция ф (х) финитна в ?Г, то
имеется формула интегрирования по частям
\ О'ф (х) и (х) dx = (— \I\ ф (х) Dlu (x) dx.	A4)
3>	?

318 ГЛ III СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦ ПРОСТРАНСТВ U И U	[ИЗ
Формула эта может быть положена в основу понятия обобщен-
обобщенной производной.
Определение 1. Пусть и (х) и и* (х) е L2 (&), причем для
любой ф (х) е Cf C) имеет место формула:
\ и (х) D'q> (x) dx = (—1)' $ ф (х) и* (х) dx.	A5)
При этом и* (х) называется обобщенной производной вида D1 в об-
области &?. Покажем, что обобщенная производная единственна
с точностью до функции, эквивалентной нулю. Положим, что
существует еще обобщенная производная и\ е L2 (&) типа D'.
Надо доказать, что и* эквивалентна и*. Подставляя в формулу
и* вместо а* и почленно вычитая полученные две формулы^
получим
5(м*-и?)<рЖс = 0	A6)
для любой бесконечно дифференцируемой финитной в 3? функции
Ф (л) Положим ф (х) = ут (х), где фт (х) <= Cj° C>) и стремится
к (и* — и\) в L2 (^). Переходя в интеграле A6) к пределу, полу-
получим [II, 162]
$
,25
откуда и следует, что и* (х) и и\ (х) эквивалентны Для обобщен-
обобщенной производной применяется то же обозначение, что и для
обычной
и* (х) = D'u (х) —
К1- дхУ
Если существует обычная непрерывная производная Dlu (x), то
эта производная в силу формулы интегрирования по частям A4)
совпадает с обобщенной производной а* (х).
Из определения обобщенной производной и ее единственности
следует
D1 (С1иг (х) + с2и2{xjfr^bD'Ui (x)+c2Dlu2 (x),	A7)
причем обобщенная производная, стоящая слева, существует, если
существуют обобщенные производные, стоящие справа. Из опре-
определения следует также, что Dlu (x) не зависит от порядка диф-
дифференцирования, но лишь от его вида D1. Отметим еще, что из
существования Dlu (x) не следует существование обобщенных про-
производных порядка ниже / или того же порядка /, но другого
вида, отличного от D1. Сформулируем еще свойство замкнутости
обобщенного дифференцирования. Пусть vn (x) e L2 (&), vn (x) ->
-» v (x) в L2 (&), существуют обобщенные производные Dlvn (x) =
= vt (х) и v% (х) -> v* (х) в L2 (&) при п -> оо. Тогда v (x) имеет

ИЗ]	ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
319
обобщенную производную Dlv (х) = v* (х). Для доказа!ельства
надо заменить в формуле A5) и (х) и а* (х) на vn(x) и Vn(x) соот-
соответственно и перейти к пределу при я->оо. При этом мы полу-
получим формулу A5), в которой и (х) заменено на v(x) и и* (х) на
v* (х), что и требовалось доказать.
Предполагая, что и (х) имеет обобщенную производную и* (х) =
= Dlu(x), вычислим обычную производную от средней функции:
¦'JW-
\u(y)
D^col
Если x^l^ и ее расстояние от границы ^ больше А, то мы
можем в точке х взять со \~и^ ) в качестве финитной функции
Ф в формуле A5):
и в силу A8) можем записать эту формулу в виде
*) = »*$ и* (УH)
т. е. средние функции от обобщенных производных совпадают с про-
изводными того же вида от средних функций во всех точках &,
расстояние от которых до границы ?$ больше радиуса усреднения.
На основании свойств средних функций можем утверждать,
что uh{x)->u (х) и Dluh {х) -> и * (л:) в L2 (®') при h -> 0, где
^г'~ любая область, лежащая строго внутри J^. Прежде чем
переходить к формулировке дальнейших свойств обобщенных про-
производных, дадим их другое определение и докажем его равно-
равносильность первому определению.
Определение 2. Функция и * (х)" из L2 {&) называется
обобщенной производной типа D1 функции и(х) из L2(&), если
суицествует последовательность ип(х) функций из Cf(Rm) таких,
что ип (х) и Dlun (x) сходятся при п ->оо к и (х) и и* (х) в L2 {?&'),
где 20'—любая область, лежащая строго внутри &.
Теорема. Определения 1 и 2 равносильны.
Положим, что и* (х) есть обобщенная производная Dlu (x) по
определению 2. Заменим в формуле A4) и(х) на ип(х) и Dlu(x)
на Dlun(x). После этого мы можем перейти к пределу под знаком
интеграла [II; 109] и придем, таким образом, к формуле A5),
соответствующей определению 1.
Справедливость обратного утверждения доказана непосредст-
непосредственно перед определением 2.

320	ГЛ. III. СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦ. ПРОСТРАНСТВ U И L2 [114
114. Свойства обобщенных производных. Укажем свойства
обобщенных производных; некоторые из них легко вытекают из
данных определений, а другие будут доказаны в томе V.
Если u*=Dlu есть обобщенная производная в ?&, то она
является обобщенной производной и в любой подобласти об-
области 3Fт Это следует непосредственно из второго определения.
Если и (х) из L2 (?$) имеет обобщенную производную
из L2(&), а и* (#) — обобщенную производную
то и (х) имеет обобщенную производную
из L2(^). Это следует из первого определения.
Свойства обобщенных производных будут подробно исследо-
исследованы в томе V. Отметим без доказательства некоторые из них.
Если функция f(x) одной независимой переменной непрерывна
в конечном промежутке [а, Ь] и внутри него имеет обобщенную
производную ^^ из L2 ([а, 6]), то / (х) имеет вид
*)•	B0)
При этом /(я) имеет почти везде в [а, Ь] обычную производную,
равную (эквивалентную) обобщенной производной -^^. Если
функция ф(л:) суммируема на промежутке [а, Ь] и f(x) опреде-
определена формулой
\	B1)
то f(x) непрерывна на [а, 6] и почти везде имеет обычную про-
производную f'(x) = q(x). Функции, представимые формулой вида
B1), называются обычно абсолютно непрерывными на [а, Ь].
Отметим, что данные выше два определения обобщенных произ-
производных могут формулироваться не в L2(&), а в Li(&), и фор-
формула B1), если cp(jt) суммируема на [а, Ь], определяет класс
функций, непрерывных в [а, Ь] и имеющих внутри этого проме-

114]	СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ	321
жутка обобщенную производную из Lx ([a, &]):
Не всякая непрерывная на [а, Ь] функция f(x) абсолютно непре-
непрерывна. Справедливо и следующее утверждение: не всякая непре-
непрерывная на [а, Ь] функция, имеющая почти везде в [а, Ь] произ-
производную, абсолютно непрерывна. Можно показать, что существуют
непрерывные в [а, Ь] функции, которые ни в одной точке внутри
[а, Ь] не имеют производной. Они тем самым не имеют и обоб-
обобщенной производной. Составим функцию двух переменных
и(хъ x2) = f(x1) + f(x2), где 1(хг) и f(x2) — функции только что
указанного типа. Функция и (хъ х2) не имеет обобщенных произ-
производных первого порядка, но имеет, как нетрудно показать, об-
обобщенную производную dxd Q- Сформулируем теперь один
общий результат, касающийся обобщенных производных. Если
функция w(jc)gL2(^) и имеет все обобщенные производные
порядка / из L2 (^), то она имеет все обобщенные производные
порядка, меньшего /, также принадлежащие L2(^).
При этом граница области 3 не должна быть слишком пло-
плохой. Достаточно, например, чтобы она была гладкой. В томе V
будет описан более широкий класс областей, для которых это
имеет место.
Можно, кроме понятия обобщенной производной, определить
обобщенное выражение для любого линейного дифференциального
оператора с постоянными коэффициентами. В качестве примера
рассмотрим оператор второго порядка
Составим новый оператор
+« B2)
k,
В общем случае линейного дифференциального оператора с по-
постоянными коэффициентами оператор L*u отличается от Lu зна-
знаком при производных нечетного порядка. Если функция и(х)
имеет в области 3 непрерывные производные, входящие в выра-
выражение оператора Lu, а ср(л:) принадлежит Cf(?$), то с помощью
формулы A4) нетрудно доказать равенство
J ul. * q)dx=\Lu-ydx.

322	ГЛ III СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦ ПРОСТРАНСТВ L, И U [П5
Для суммируемых в области 3> функций и(х)уи* обобщенное
выражение оператора Lu — u* определяется равенством
\uL*ydx=\u*ydxy	B4)
где ср (х) — любая функция из Cf(&).
Это определение не предполагает, что для и (х) определены
отдельные производные, входящие в Lu, Если все они сущест-
существуют, то Lu можно из них составить согласно формуле B2).
Отметим, что в соответствии с данным выше определением об-
обобщенное решение уравнения Lu = 0 можно определить формулой
^ uL* <pdx = 0, где ср (х) — любая финитная бесконечно дифферен-
цируемая в &F функция.
115. Классы функций W\{&\ Щ{9?) и W\(&). Мы рас-
рассмотрим сейчас некоторые классы функций, имеющих обобщенные
производные. Подробное изложение теории этих и более общих
классов, а также их применений имеется в монографии
С. Л. Соболева «Некоторые применения функционального ана-
анализа в математической физике», и в томе V.
Класс W\(S?) есть множество всех функций и(х) из L2(=^),
имеющих все обобщенные производные первого порядка тоже
из и(&)- Этот класс линеен, т. е. если uk{x)^W\(@>) {k =
= 1, ,.., я), то и
где сА — произвольные постоянные. Элементы этого класса опре-
определены, очевидно, с точностью до эквивалентности. Введем в этом
классе скалярное произведение
т	к
B5)
«у \	^™ v"v« "«^/г I
где ъ~ — обобщенные производные. Ему соответствует норма
(u,v)m= \ U+ 2!Щах,
Легко проверить, что они обладают всеми необходимыми свойст-
свойствами:
(и. v)wi = (v9 u)wrt
2, V) Wi = C± (UU V) wi + C2 (U2t V) wi И (U, U)>0

115]	КЛАССЫ ФУНКЦИЙ Wl($), W\ Ш и w\ {?)	323
для а^ЁО. Отсюда следует два важных неравенства: неравенство
Коши — Буняковского
|(и, v)wi
и неравенство треугольника
Естественно вводится сходимость в W\{?$). Это означает: ип-+и
при /г->со, если
|| ип — и ||^1-> 0 при я->оо.	B7)
Ясно, что это равносильно сходимости в L2(&) функций ип (х)
и их обобщенных производных первого порядка, т. е.
.0.	B8)
Из неравенства треугольника для нормы следует, как и в
непрерывность нормы, т. е. из \и.п — иЦ^-^О следует \\un[\wi-^
->\\u\\wi. Докажем теперь теорему.
Теорема. Класс W%(&) является полным гильбертовым про-
пространством.
Нам надо проверить лишь полноту. Это значит, что если
Wup—Uqlw1,"*® ПРИ Р И Я~^°°у	B9)
то существует такой элемент m^eIFJ^), что
lun — ulwi-*-0 при п-*оо.	C0)
Действительно, условие B9) можно переписать в виде
^-<dk^° при р и
В силу полноты L2(^) существуют такие функции г/, иъ ..., ут
из L2(^), что
К — a||L2->0, 1!"- —ул ->0 при /г->оо(? = 1, ..., m). C1)
Но из свойства замкнутости обобщенного дифференцирования
следует, что
Вместе с C1) это приводит к B8), что равносильно требуемому
соотношению C0).

324	ГЛ III СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦ ПРОСТРАНСТВ L, И L2	[115
Отметим, что предел ип в W\(&), как и в L2(&), может
быть только один [ II; 162].
Гильбертово пространство W\{Sf) определяется как подпро-
странство Wi(&), получаемое замыканием в норме W\(®) мно-
множества всех функций и(х) е Cf(D). Иначе говоря, принадлеж-
принадлежность и(х) к W\(&) означает, что существует последовательность
un(x)^Cf{&) (п=1, 2,...) такая, что \\ип — u\\wi->0 при я->оо.
Скалярное произведение и норма в W\{3?) задаются теми же
равенствами B5) и B6), что и для W\(&).
Пусть и (х) е W!2 (@) и v(x)<= W\ (&). Тогда имеет место
следующая формула интегрирования по частям:
Sb
В самом деле, если и (х) е Cj° (<^), то формула C11) справедлива
по определению обобщенной производной. Записывая ее для
функций ип (х) е С? (&), стремящихся к и {х) в норме класса
W\{&), и переходя к пределу при я->оо, получаем формулу C1Х).
Если обе функции и{х) и v(x) принадлежат лишь классу
W{ {&), то в формулу интегрирования по частям, как обычно,
входит некоторый интеграл по границе области (см. формулу A2)
в [ПЗ]). Для того чтобы распространить эту формулу на случай
функций из W\(?P), необходимо определить значения функции
ме^(^) на границе области. Эта задача нетривиальна, так
как функции класса W\(^) определяются лишь с точностью до
эквивалентности, т. е. их значения на множествах т-мерной
лебеговой меры нуль не определены. Указанные вопросы будут
рассмотрены в томе V.
Для функций класса W\C) выполняется неравенство
* {х) dx ^c W 2 (^) dx\ {и е= Щ (&)),	C2)
где постоянная с зависит от области ^, но не зависит от функ-
функции и(х). Это так называемое неравенство Пуанкаре — Фридрихса.
Пусть сначала u^Cf (&). Заключим 3? в куб А, содержа-
содержащий ?$ (замыкание 20). Не ограничивая общности, будем считать,
что куб определяется неравенством 0 ^ xk ^ a (k =-1, ..., т).
Продолжим и(х) нулем на А\^. Тогда меС^(А). Запишем
для и (х) представление
y\ С ou(xlt ..., хт) А
, хт) = \	g^	ахг
о

115]	КЛАССЫ ФУНКЦИЙ w\ (?), W\ (#) и W*C»	325
и оценим последний интеграл по неравенству Буняковского:
а
и* (х19 хъ ..., хт) ^аJ (|^J dxx.
Интегрируя C2i) по переменным х2, ..., хп от 0 до а, получим
а	а
Наконец, последнее неравенство проинтегрируем по ^х от 0 до а.
В полученном неравенстве интегрирование фактически ведется
лишь по области 3). Из него следует C2) при с = а2. Таким
образом, C2) получено для любых aEC*(f).
Пусть теперь ме^(^) и {ип} a Cf (&) — последователь-
последовательность функций, удовлетворяющая условию B7). Запишем C2)
для функций ип в такой форме:
Теперь, пользуясь непрерывностью нормы в Ьг{Щ и соотноше-
соотношениями B8), перейдем здесь к пределу при л->оо:
•««.«215
1 = 1
Это и есть неравенство C2). Отметим еще, что из C2) вытекает
неравенство
В противоположность тому, как это было при замыкании по
норме пространства 12(^г), класс Cf(&) не плотен в W\(&),
и W\ {^) является только подмножеством класса W% (&). Пока-
Покажем, что это подмножество замкнуто, т. е., если
и \Un-u\wi-+Q при м-^оо (п=1, 2,...),
то иеЩA), Пусть задано е>0. Из написанного выше сле-
следует, что существует такое иП9 что \\ип—-^|^1<4-. Для ип из

326	ГЛ III СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦ ПРОСТРАНСТВ L, И L2 [П5
класса W\ (&), по определению этого класса, существует такое
vn^Cf{&f\ что \\un — vn\\wi<c о- Но тогда по неравенству тре-
треугольника \\vn — и[1^,1 <е, откуда в силу произвольности 8>0
и определения класса W\{^>) следует, что ае^(#).
Класс W\{&) естественно интерпретировать как множество
тех функций из W\ (&), которые обращаются, в некотором обоб-
обобщенном смысле, в нуль на границе S>. Мы не имеем возможности
обсуждать здесь этот вопрос подробно. В томе V мы будем гово-
говорить о нем в связи с так называемыми теоремами вложения для
указанных, а также более общих, пространств С. Л. Соболева.
Сформулируем здесь только один результат и для наглядности
рассмотрим случай трехмерного пространства R3. Пусть поверх-
поверхность S, ограничивающая «^, принадлежит классу Cz, /5=^1;
уточним это понятие. В каждой точке S имеется касательная
плоскость. Существует такое d>0, что если N — любая точка S,
то всякая сфера с центром N и радиусом d разделит S на две
части, из которых одна заключается внутри и другая вне сферы,
и прямые параллельные нормали в точке N пересекают часть S,
находящуюся внутри сферы, в одной точке. Выбирая нормаль за
ось х3, мы можем написать уравнение этой части 5 в виде х3 =
= <p(*1, х2). При этом предполагается, что q>(xlf x2) имеет непре-
непрерывные частные производные до порядка / включительно.
Пусть некоторая функция и (х) непрерывна со своими част-
частными производными первого порядка в замкнутой области &? и
S^C1. Очевидно, что и (х) е W\ (&). При всем этом и (х) е
е W\ (SF) тогда и только тогда, когда и (х) обращается в нуль на S.
Перейдем теперь к классу W\(i&F). Он определяется как мно-
множество тех функций из L2(^r), которые имеют всевозможные
обобщенные производные первого и вторсго порядков, также
принадлежащие к L2(^). Мы можем ввести в W\(&) скалярное
произведение, определяемое формулой
<«¦ •>«- S (»+ 2 ??+ 2
и соответствующую ему норму
С ее помощью вводится сходимость в классе Wi(&), которая
равносильна одновременной сходимости в L2(«^r) самих функций
и всех производных первого и второго порядков. Как и для
W\{3T)i можно показать, что класс W\(&) является полным
гильбертовым пространством.

lib]	НЕРАВЕНСТВО ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА РЕ Л ЛИХА	327
116. Неравенство Пуанкаре. Теорема Реллиха. При исследова-
исследовании свойств функций из классов W\ и W% важную роль играет
так называемое неравенство Пуанкаре, к выводу которого мы
сейчас переходим. Пусть А —m-мерный куб. Его объем обозначим
через |Д|. Нужное нам неравенство имеет вид
Оно справедливо для всех функций и (х) е W\ (А), однако мы
докажем его (и в дальнейшем используем) лишь для непрерывно
дифференцируемых в А функций. Можно показать, что множество
всех таких функций плотно в W\(tS), поэтому неравенство C4)
распространяется на весь класс W\{S) точно так же. как выше
было распространено на класс W\ (&) неравенство Пуанкаре-Фрид-
рихса. Мы, однако, не останавливаемся на доказательстве упомя-
упомянутого свойства плотности.
Неравенство C4) докажем, ограничиваясь для простоты слу-
случаем ш = 3. Считаем, что куб А определяется неравенствами
О^х, уу z^a. Пусть М1(хъ уъ гх), М2(х2, у2, z2) — произволь-
произвольные точки из куба А. Для любой непрерывно дифференцируемой
функции и(М) = и(х, у, z) имеем
Хг	Уг
, У, *2)dy +
, ух, z)dz.
С помощью элементарного неравенства (a -j- b + сJ ^ 3 (а2 + Ъ2 + с2)
находим
Г(л^(х, у2у z2)dx
уи(хъ у, г2)^2+зГ(о^(л:1, уи z)dzf.
Lzi	J
Каждый член в правой части оценим по неравенству Буняков-
ского, а затем усилим оценку, заменяя промежуток интегриро-
интегрирования на [0, а]. Мы получим
(x9 y2f z2)fdx +
](Dyu(xlt у, zz)Jdy+](D2u(xlt уъ z)Jdz].
о	о	J

328	Гл. Ш. СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦ ПРОСТРАНСТВ L, И L2	[116
Проинтегрируем обе части полученного неравенства по dMxdM2
{dMi^dXidytdZi, /=1, 2), причем обе точки Мъ М2 независимо
пробегают куб А:
$ $ Iй (Мг) - и (Мх)]2 dMx dM2 <
Преобразуем интеграл, стоящий в левой части неравенства C4Х):
$ $ [«(М2) - и (Мг)]2 dM1 dM2 = 2а3 J аа (М) ЛИ - 2 /J a (M) dMJ.
Л А	А	\А	/
Учитывая это соотношение и сокращая обе части неравенства C4i)
на 2а3 = 2 | А |, получим C4) (при т = 3). Неравенство Пуанкаре
доказано.
Следствие. Пусть «^ — ограниченная область в Rfn. По
любому s > 0 найдется конечное число N = N (г) попарно ортого-
ортогональных в L2 {&) функций фх (х),..., фдг (х) таких, что || фя ||Lf {$) <, 1
и для любой функции и (х) е Wh {&) справедливо неравенство
N
2
А = 1
Доказательство достаточно провести для функций u{
так как на произвольные функции из Щ(&) неравенство C5)
распространяется с помощью предельного перехода (см. доказа-
доказательство неравенства C2) в [115]). Пусть А —куб, содержащий
область &. Все функции u(x)^Cf(Sf) продолжим нулем на
Д\$. При фиксированном е>0 разобьем куб А на равные
кубы Дь А2, ..., ДдГ, число N выберем так, чтобы для кубов Ал
выполнялось неравенство
Положим фЛ(я) = 1 /1/|Дл|, если ^еДпП^, и фя(л:) = 0, если
яеДлП-^ (таким образом, если куб Д„ не пересекается с об-
областью 2&, то фл (а:)^0). Отметим, что по построению || фл ||^2 ^ ^ 1
при всех п. Ясно, что функции цп(х) попарно ортогональны.
Из неравенства C4), написанного для функции u(x)^Cf
в кубе Ал, получаем (учитывая C5i)):

116]	НЕРАВЕНСТВО ПУАНКАРЕ. ТЕОРЕМА РЕЛЛИХА	329
Суммируя по всем л=1, 2, ..., N, приходим к требуемому нера-
неравенству C5).
Используем полученный результат для доказательства важной
теоремы Реллиха.
Теорема. Пусть & —произвольная ограниченная область
в Rm. Тогда любое множество функций и (х) е W$> (&), ограничен-
ограниченное по норме в W\(J&), компактно в пространстве L2(^).
Утверждение теоремы Реллиха часто Выражают следующими
словами: пространство Wl2{^) вкладывается в L2(J^) компактно.
Доказательство. Пусть дана последовательность функ-
функций щ (х) е Wh (&), / = 1, 2, ..., удовлетворяющих неравенству
\\Ui\\wi2(?)^A. Из этого неравенства следует, что Ци^ — ut\\
для любых номеров ix и /2; таким образом,
Требуется показать, что из последовательности {щ{х)} можно
выделить подпоследовательность, сходящуюся в L2(J?).
Положим гр = 2~р, р=1, 2, ..., и для каждого гр найдем
функции у[р)(х), q>i>p) (х), ..., cpW (x), для которых выполнено C5).
р
Каковы бы ни были номера р==1, 2, ... и л=1, 2, ..., Np,
числовая последовательность J щ (х) <р<р> (л:) d^, /=1,2,...,
ограничена по модулю числом А:
2
Почти дословно повторяя доказательство леммы из [15] находим,
что из последовательности \ut (x)\ можно выделить такую под-
подпоследовательность {и/; (*)}, для которой при всех р=1, 2, ...
и п = 1, 2, ..., Np сходятся числовые последовательности
\uh(x)^(x)dx9 /=1, 2, ...	(.)
Установим теперь, что подпоследовательность {«^ (#)} схо-
сходится в L2(^"). При любом р = 1, 2, ..., в соответствии с выбо-
выбором функций у{р)(х) (/1=1, ..., Np), имеет место неравенство
л = 1
(/,/=1,2,...).

330	ГЛ. III. СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКП ПРОСТРАНСТВ L, И L2	[117
Фиксируем произвольное е>0; сначала найдем такое р, что
4Л2ер<е/2, а затем, пользуясь сходимостью всех последователь-
последовательностей (*), нардам такой номер /0, что при у, />/0 сумма в пра-
правой части последнего неравенства также будет О/2. Тогда для
таких у, /
т. е. последовательность щг (х) сходится в себе по норме прост-
пространства L2 (^)- Следовательно, она имеет в L2 {Щ предел. Дока-
Доказательство теоремы завершено.
117. Постановка задачи о минимуме квадратичного функцио-
функционала. Пусть akl (x) = aLk (x) (&, /=1, ..., т) — ограниченные изме-
измеримые в & функции. Предположим, что квадратичная форма
с коэффициентами аы {х) равномерно положительно определена
в S7", т. е. для любых вещественных \г (/=1, ..., т) выполнено
неравенство
т	т
a2S< 2 akl(x)Ut (а>0),	C6)
где а —постоянная (не зависит от х). В силу ограниченности akt{x)
выполнено также неравенство вида ,
т	т
2 fl«(jc)i*s,^P2]8,	C7)
k, i = \	/ = i
где р —постоянная. Рассмотрим на функциях и(х) класса W
функционал
Из C6) и C7) следует
и, принимая во внимание C22), можем написать:
oh. II и ||Vi < / (а)< р || и ||Vi @<ах < Р),	D0)
2
где с*! — положительная постоянная.
Наряду с J (и) будем рассматривать соответствующее билиней-
билинейное выражение
где и(х) и w (х)

П71
ПРОБЛЕМА МИНИМУМА КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА
331
Лемма 1 Функционалы J (и), J (и, w) непрерывны относи-
относительно сходимости в Wl2(&).
Доказательство. Пусть || ип — и \\Wi ->0, || wn — w \\щ ->0
при п-+оо. Нам нужно показать, что тогда J(un)-+J(u) и
J (un, wn) -> J (и, w), причем достаточно установить второе соот-
соотношение, т. е.
3b
ди
$
Докажем это соотношение. Из
ди,
дия
ди
ности
того,
вытекает, что
ди
,,m), az->oo. D2)
-О и из ограничен-
^ —-тН ->0 при п->оо. Ввиду этого D2) следует из
#/	OXj \\L2
непрерывности скалярного произведения пространства L2(^)
[II, 162].
Пусть h (x) e L2(^) — некоторая фиксированная функция.
Введем в рассмотрение функционал
<&(u) = J (u)-2 \h{x)u(x)dx
D3)
Лемма 2. Функционал Ф(и) непрерывен и ограничен снизу
Непрерывность Ф (и) следует из леммы 1 о непрерывности
J (и) и непрерывности в W2 {&) функционала
l(u)=\h(x)и (х) dx.	D4)
3b
Последнее вытекает из того, что сходимость в W2 (&) влечет схо-
сходимость в L2 (&), а относительно последней сходимости функцио-
функционал 1(и) непрерывен [II; 162].
Проверим ограниченность Ф (и) снизу. Из C9) и C2) имеем
Лемма доказана.

332	ГЛ III СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУИКЦ. ПРОСТРАНСТВ Lx И U [118
Теперь имеет -смысл рассмотрение следующего вопроса. На
функциях класса W\ {&) функционал Ф(и) определен и имеет
конечную точную нижнюю границу. Достигается ли эта нижняя
граница на какой-либо функции класса W\ (^)? В следующем
пункте мы покажем, что этот вопрос решается положительно.
118. Решение вариационной задачи. Пусть и (х) \\w(x)<=:
f). Легко проверяется, что
u, w) — \hwdx] + J(w).	D5)
Обозначим через d точную нижнюю границу для Ф(и) на функ-
функциях и (х) класса W\ (&) и пусть {uk} a W\ (^ — минимизирующая
последовательность"
при &->оо.	D6)
Заменим в D5) и(лг) на uk (x) и w(x) на %w{x), где ^ — веществен-
вещественный параметр. Учитывая, что O(uk + Kw)^d} мы получим нера-
неравенство
W (w) + 21 [J (uk9 w) - \ hw dx] + dk - d ^ 0.	D7)
Поскольку квадратный трехчлен D7) неотрицателен, должно выпол-
выполняться неравенство
|	\fJ (w) (dk — d).	D8)
25
Замечая, что
\J(uk — uh
J (ukt w) — \hw dx
— \ hw dx I,
1
1
мы получим из D8) соотношение
— uu
Полагая здесь w = uk — tiu затем сокращая на ]/7 (w) и возводя
в квадрат, убедимся в справедливости неравенства
J (uk - щ) ^ [Vd^d + Vd^d]2.
Оно вместе с D0) дает нужное неравенство
II ик-щ Ц-,1 < -1-[Vd^I+ Vd^d}\	D9)
Лемма 3. Минимизирующая последовательность uk (x) схо-
сходится в W

119]	СВЯЗЬ С КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕЙ	333
Действительно, из D9) и D6) вытекает, что
lim \\uk — Ui\\wi=0,	E0)
k, 1-+СО
а поскольку полнота класса W\ {&) установлена, из E0) следует
существование такой функции uQ^W\(&), что
Лемма 4. Пусть и0—предел минимизирующей последова-
последовательности. Тогда для любой функции w e W\ {2$) будет
J (u0, w) = \ hw dx {w <= Щ (&)).	E1)
Доказательство сводится к переходу к пределу в неравенстве
D8), что возможно в силу леммы 1.
Теперь можно доказать основное утверждение.
Теорема. Существует единственная функция класса W}2 (&)9
на которой достигается точная нижняя граница функционала Ф (и).
Пусть и0 (х) —- предел минимизирующей последовательности,
и (х) е W\ (ST) и w(x) = u (х) — и0 (х). Тогда, заменяя в D5) и (х)
на ио(х) и учитывая E1), получим
Ф (и) = Ф (щ + w) = Ф (и0) + J(w).	E2)
Заметим теперь, что J (w)^0 и в силу D0) из равенства J(w) = 0
вытекает, что w = 0. Поэтому
Ф(и)^Ф(и0),	E3)
причем знак равенства возможен лишь при и = и0. Теорема дока-
доказана.
Замечания. 1) Из единственности минимизирующей функ-
функции вытекает, что к ней сходится всякая минимизирующая после-
последовательность. 2) Мы видели, что минимизирующая функция ио(х)
удовлетворяет соотношению E1) при любой w^W[{&). Обратно,
если E1) выполнено, то из E2) следует, что щ (х)—минимизи-
(х)—минимизирующая функция. Таким образом, соотношение E1) можно рас-
рассматривать как уравнение в вариациях, определяющее ио(х),
причем оно эквивалентно исходной вариационной задаче. Тож-
Тождество E1) есть условие обращения в нуль первой вариации
функционала Ф (и) при и (х) = и0 (х).
119. Связь с краевой задачей. Если_граница S гладкая и
аы{х) — непрерывно дифференцируемые в ^"функции и если реше-
решение ио(х) вариационной задачи, рассмотренной в [117], окажется
элементом С2 (Щ, то и0 (х) будет удовлетворять уравнению Остро-

334	ГЛ. III. СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦ ПРОСТРАНСТВ U И L2 [119
градского для функционала J (и), т. е. уравнению
т
д (_ да \ ,	.-..
•i-^r)^^	E4)
и граничному условию.
a|s = 0.	E5)
Уравнение E4) выводится из тождества E1) следующим обра-
образом: преобразуем левую часть E1) с помощью интегрирования
по частям и результат запишем в виде:
1
E6)
Так как E6) верно при любой w e W\ (&), W\ (&) плотно в
{?) и выражение, стоящее в квадратных скобках, принадлежит
(), то оно.должно быть равным нулю. Краевое же усло-
условие E5) выполняется в силу свойств непрерывных элементов
из W\(&), о чем говорилосьв [115 J - Таким образом, решение ио(х)
вариационной задачи, принадлежащее С2 (^), является классичес-
классическим решением E4), E5). Сказанное дает возможность считать
решение ио(х) вариационной задачи обобщенным решением пре-
предельной задачи E4), E5).
Представляет интерес вопрос о том, когда обобщенное реше-
решение щ задачи E4), E5) является классическим или принадлежит,
например, пространству W\ (&) и удовлетворяет уравнению E4)
для почти всех х из $f"i Ответ на первый вопрос дает известная
теорема Ю. Шаудера, на второй-—теорема О. А. Ладыженской.
Именно, если граница S является гладкой поверхностью класса
Я2'а, коэффициенты akt (x) суть функции из класса Гёльдера
Я1*а (Ш), a h ^ На {&), то задача E4), E5) имеет решение и0 (х) из
класса Гёльдера *) Н2'а(&). Если же S^C*, коэффициенты
аы е С (J?) и имеют ограниченные в & обобщенные производные
первого порядка, a h(x) ge L2 (^)> то задача E4), E5) имеет решение
ио(х) из Wf (=^). В обоих случаях решение ио(х) является обоб-
обобщенным решением задачи E4), E5), т. е. решением вариационной
задачи, рассмотренной в [117]. Доказательство только что сфор-
сформулированной теоремы о разрешимости задачи E4), E5) в про-
пространстве W* {&) будет дано во рторой части IV тома.
*) Мы не будем определять здесь пространства Hl*a (&), но заметим,
что функции из C'+i(jp) принадлежат Н1~

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вейерштрасса — Эрдманна условия 268
Вполне непрерывный оператор в про-
пространстве С 53
—	— — в пространстве L2 83
Вторая вариация 272
Выражение типа расходимости 214
Геодезические линии 215, 240
—	— на цилиндре 242
Голономные связи 227
Достаточные условия абсолютного мини-
минимума 306
—	— сильного минимума 282, 283
Естественные граничные условия" 244
Задача геометрической оптики 216
—	Гильберта однородная 163
—	— неоднородная 164
—	о брахистохроне 214, 232
—	о равновесии тяжелой однородной нити
229
Замкнутость ортонормированной системы
функций 70
Знаменатель Фредгольма 24
Изопериметрическая задача 222
Инвариантный интеграл Гильберта 281
Интеграл Дирихле 300
Интегральное преобразование 17
—	уравнение 11
—	— Вольтерра второго рода 11
—	— — первого рода 11
—	— вырожденное 43
—	— нагруженное 158
—	— самосопряженное 87
—	— сопряженное 42
—	— союзное 34
—	— с полярным ядром 16
—	— с симметричным ядром 87
—	— с ядром из L2 75
—	— Фредгольма второго рода 11
—	— — первого рода 11
Интегральный оператор 17
Итерированные ядра 19
Каноническая система 253
Канонические переменные 253
Квазидлина кривой 255	•
Квазисфера 256
Класс С?° 175
Класс Сп 203
Компактное множество непрерывных функ-
функций 50
Лагранжа множители 286
—	уравнения 288
Лапласа преобразование 138
—	— двустороннее 143
—	— одностороннее 143
—	уравнение 220
—	формула обращения 140
Лежандра условие 273
—	усиленное условие 274
Метод Ритца 307
Минимизирующая последовательность 307
Неголономная механическая система 290
Неголономные связи 227
Непрерывность в среднем 314
Неравенство Коши 278
—	Пуанкаре 327
—	Пуанкаре — Фридрихса 324
Норма оператора 74
Обобщенная производная 318
Обобщенное выражение дифференциаль-
дифференциального оператора 322
Обобщенные импульсы 287
Общая форма первой вариации 249
Оператор в L2 73
Ортогонализацйя системы функций 14
Ортогональная система функций 14
Ортонормированная система функций
Основная функция поля 257
70
Первая вариация функционала 205, 208,
Поверхность класса С 326
Поле экстремалей общее 257
—	— центральное 257
Полнота ортонормированной системы
функций 70
Полнота пространства L2 68
Полный интеграл дифференциального урав-
уравнения 266
Порядок регулярности функции на беско-
бесконечности 161
Построение Гюйгенса 260
Принцип взаимности 224
—	наименьшего действия в форме Ла-
Лагранжа 289
	—	Якоби 288

336
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Принцип Гамильтона — Остроградского 286
Пространство С 53
—	CL2 94
—	Lt 173
—	L2 67
—	W\ (Q) 322
—	W\ (Й) 324
—	W) (Q) 326
Пучок экстремалей 254, 256
Равностепенная непрерывность 50
Ранг характеристического значения 36
Резольвента 21
Решение предельной задачи классиче-
классическое 334
— — — обобщенное 334
Свертка 144
Семейство экстремалей 254, 262
Символ Кристоффеля первого рода 242
Симметризация ядра 124
Скалярное произведение в L2 67
След ядра 31
Собственная функция 13
Средние функции 312
Сходимость в среднем 68
— ряда регулярная 21
Счетное множество 49
Тензор напряжений 293
Теорема Ардела 50
—	Бернштейна 206
—	Винера 178
—	Винера — Леви 192
—	Гильберта—Шмидта 94
—	Дини 106
—	Ладыженской 334
—	Мерсера 118
—	Реллиха 329
—	свертывания 146
—	Шаудера 334
—	Эйлера 222
—	Якоби 226
Теоремы Фредгольма 83 -"
Трансверсальные поверхности поля 257
Уравнение колебаний упругого стержня
230, 292
Уравнение колебаний пластины 293
—	Остроградского 211, 212
—	Эйлера 205, 208, 209
Уравнения теории упругости 296, 297
Условие трансверсальности 251
Усредняющее ядро 312
Формула интегрирования по частям 324
Функции абсолютно непрерывные 320
—	наклона семейства экстремалей 254
—, представимые через ядро 92
—	финитные 70
	 в D 316
	в Rn 315
—	средх1ие 312
—	Эрмита 179
Функция Вейерштрасса 282
Функционал 198
—	кривых, заданных в параметрической
форме 236
Характеристическое значение 13
Экстремальный принцип для характеристи-
характеристических значений 118
Экстремум функционала 199
—	— абсолютный 204
—	— односторонний 271
—	— относительный 203
—	— сильный 277
—	— слабый 277
—	— условный 225
Ядро вырожденное 43
—	интегрального уравнения 9
—	кососимметричное 120
—	Коши 160
—	определенно положительное 117
—	полное 122
—	положительное 117
—	регулярное 48
—	симметричное 86
—	слабо полярное 64
Якоби теорема 266
—	уравнение 275
—	усиленное условие 275
—	условие 275