Оптические юстировочные задачи Справочник Г.В.Погарев 1989-600M

Tags: оптические приборы и аппаратура приборостроение
ISBN: 5-217-00413-4
Similar
Справочник конструктора оптико-механических приборов
Компенсация погрешностей в оптических приборах
Конструирование точных (оптических) приборов
Text
                    ОПТИЧЕСКИЕ ЮСТИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ
Г. В. ПОГАРЕВ,
Н. Г. КИСЕЛЕВ

ОПТИЧЕСКИЕ
ЮСТИРОВОЧНЫЕ
ЗАДАЧИ

СПРАВОЧНИК

2-е издание, переработанное
и дополненное

Ленинград
«Машиностроение»
Ленинградское отделение
1989
ББК 34.9я2

П43

УДК 681.7.028.2 (035)

Погарев Г. В., Киселев Н. Г.

П43 Оптические юстировочные задачи: Справочник. —
2-е изд., перераб. и доп. —Л.: Машиностроение. Ленингр.
отд-ние, 1989. —260 с.: ил.

ISBN 5-217-00413-4

Справочник содержит краткие сведения из оптотехники и необходимые
расчетные формулы. Приведены решения многих типовых, в том числе
и сложных, практических юстировочных задач, наиболее часто встреча-
ющихся при разработке, конструировании, изготовлении, эксплуатации
и ремонте современных оптических приборов.

Второе издание (1-е изд. 1974 г.) дополнено новыми задачами из обла-
сти сборки, юстировки и контроля оптических приборов нового поколения,
использующих невизуальные приемники излучения, устройства с автома-
тической компенсацией погрешностей и новые средства обработки инфор-
мации. Кроме того, приложен пакет программ типовых расчетов опти-
ческих систем для программируемого микрокалькулятора.

Книга предназначена для инженерно-технических работников оптико-
механической промышленности.

2706010000—283

П "“038(01)—89	283“89	ББК 34.9я2 + 22.34я2

ISBN 5-217-00413-4	© Издательство «Машиностроение», 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ

Сборка, юстировка, контроль и испытания в оптическом при-
боростроении имеют важнейшее значение — именно эти завер-
шающие, или финишные, операции определяют качество выпу-
скаемых приборов, их себестоимость и производительность труда
при их изготовлении. Удельная трудоемкость финишных операций
быстро растет: если четыре десятилетия назад она составляла
четвертую часть общей трудоемкости изготовления оптических
приборов, то теперь ее доля возросла в 2—3 раза и продолжает
увеличиваться. Эта тенденция связана как с усложнением схем
и конструкций оптических и оптико-электронных приборов при
стремлении повысить точность, информативность, надежность,
быстродействие их работы, так и со спецификой финишных опе-
раций, которые с трудом поддаются механизации, а тем более
автоматизации.

Как свидетельствует отечественный и зарубежный опыт, авто-
матизация сборочных операций и в машиностроении вызывает
значительные трудности, вследствие чего к 1986 г. в нашей стране
было автоматизировано лишь 6 % всего объема сборочных работ,
а в США приблизительно 10 %, и то только в условиях массового
производства изделий.

XXVII съезд КПСС потребовал энергично выявлять и исполь-
зовать резервы ускорения научно-технического прогресса, резко
повысить производительность труда и качество изготовления
изделий. В оптическом приборостроении таким резервом и яв-
ляется область финишных операций, но этот резерв глубинный.

Как показывает опыт советских ученых и специалистов
(А. Н. Захарьевского, В. П. Линника, В. В. Каврайского,
Г. Е. Скворцова, А. А. Забелина, И. В. Лебедева, М. Д. Мальцева,
С. А. Сухопарова и многих других), качество оптических прибо-
ров и производительность их сборки и юстировки можно резко
повысить только в том случае, если предварительно исследовать
для каждого сложного прибора влияние основных его погреш-
ностей изготовления и базирования схемных элементов на выпол-
нение заданных технических условий. Разработанная теория
ошибок прибора позволяет обеспечить высокую технологичность
его конструкции по сборке и создать рациональную методику
юстировки и контроля.
Научную методику сборки, юстировки и контроля необходимо
закладывать уже на первых стадиях разработки принципиальной,
оптической функциональной и конструктивной схем каждого
нового прибора. При разработке теории ошибок приборов нередко
встречаются весьма сложные задачи.

Различные вопросы сборки, юстировки и контроля постоянно
возникают перед разработчиком, конструктором и особенно перед
технологом и исследователем, а также пользователем оптических
приборов. В отечественной, а тем более в зарубежной литературе
указанные вопросы мало освещены.

В помощь ИТР, занимающимся разработкой, производством,
исследованием и эксплуатацией оптических приборов, в 1974 г.
впервые было издано оригинальное справочное пособие «Оптиче-
ские юстировочные задачи», которое широко используется спе-
циалистами и получило их положительную оценку.

Предлагаемое второе переработанное издание справочника
включает ряд новых задач и примеров по юстировке и настройке
также и некоторых оптико-электронных приборов; оно дополнено
пакетом программ для выполнения типовых оптотехнических
расчетов на микрокалькуляторе. Справочник будет полезен сту-
дентам оптических специальностей вузов.

Все замечания и пожелания авторы просят направлять по
адресу: 191065, Ленинград, ул. Дзержинского, 10, ЛО изд-ва
«Машиностроение».
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОПТОТЕХНИКИ.
ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Глава I
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
ДЛЯ РАСЧЕТА ХОДА ЛУЧЕЙ

1. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ХОДА ЛУЧЕЙ

Орт А направления луча, отраженного от плоского зеркала
или преломленного плоскостью, разделяющей две среды с различ-
ными показателями преломления, можно найти из следующих
векторных выражений Ч

А' = А — 2N (AN)

(1)

и соответственно

a' = -^a-n{^L(an)-]/i +(^)1 2((AN)2-1]} =

= ~ А + N
п'

П	i

—г cos е — cos е
п

(2)

где А — орт направления падающего луча; N — орт направления
нормали отражающей или преломляющей плоскости, направлен-
ный навстречу падающему лучу; п, п' — показатели преломле-
ния первой и второй сред, разделяемых преломляющей пло-
скостью; 8, е' — угол падения и угол преломления луча на пло-
скости; AN — скалярное произведение ортов.

Скалярное произведение двух ортов, как известно, равно или
произведению их модулей на косинус угла между ортами, или
сумме произведений их проекций (направляющих косинусов)
на одноименные оси: AN | А | | N | cos (AN) — cos (AN) = AXNX 4
+ AyNy 4” A21mz.

Значение угла преломления в' можно найти также из выраже-
ния для закона преломления

п' sin е' = п sin е.	(3)

1 Выражения (1) и (2) справедливы и для поверхностей любой формы, если

А и N задают направления луча и нормали в точке падения.
Рис. 1. Влияние взаимного разворота главных сечений призм
разделительного кубика на ход преломленных лучей

Пример 1. Определим, какие дефекты возникнут при взаим-
ном развороте главных сечений прямоугольных призм в процессе
склейки разделительного кубика (рис. 1).

Предположим, что обе половинки 1 и 2, составляющие кубик,
имеют номинальную форму — в сечении равнобедренный прямо-
угольный треугольник — и изготовлены из одного и того же
стекла. При идеальной склейке их главные сечения (плоскости,
перпендикулярные к ребрам, образованным взаимным пересече-
нием рабочих граней призм) должны совпадать друг с другом,
и тогда входная и выходная грани кубика будут взаимно па-
раллельны. При этих условиях кубик в проходящем свете дей-
ствует как плоскопараллельная пластинка: выходящий луч,
направленный по орту А'Ь, будет параллелен направлению па-
дающего луча — орту А.

В действительности же при склейке кубика неизбежен неболь-
шой взаимный разворот главных сечений призм на плоскости
склейки, вследствие чего нормали входной и выходной граней
станут непараллельными друг другу, т. е. возникнет клиновид-
ность кубика, величину и направление которой и необходимо
определить. Для этого воспользуемся формулами (1) и (2).

На рис. 1 показаны две неподвижные системы координат осей:
одна из них xyz оринтирована так, что ось z перпендикулярна
к входной грани кубика, а ось х — главному сечению призмы /;
вторая система осей х^^ повернута по отношению к первой
вокруг оси х на угол 45° против часовой стрелки так, что ось zr
перпендикулярна к гипотенузной грани призмы /. Эта гипотенуз-
ная грань имеет светоделительное покрытие, от которого свет
частично отражается влево, а остальная часть его проходит
через кубик насквозь.

По формуле (1) легко найти направление пучка света, отра-
женного от гипотенузной разделительной грани, нормаль которой
6
направлена по орту Np. Решим задачу в системе осей xyz. На-
правление падающих лучей задано ортом А, который идет на-
встречу оси г, поэтому А = —k. Орт нормали гипотенузной
грани наклонен в плоскости yz под углом 45° к оси г, вследствие

чего

ления

Np = — sin 45°j + cos 45°k = -^=- (—j + k). Для
отраженного луча по формуле (1) напишем

направ-

А1 = А —

—2NP (ANP) = —k - 2 -£=- (—j + k) ( — -^) = —j- Таким обра-
У &	' Jr Z '

зом, отраженный луч направлен в сторону, противоположную

направлению оси у, что видно и непосредственно из рисунка,

без всяких расчетов.

Решим ту же задачу и в другой системе осей — в кото-

рой для ортов направлений падающего луча и нормали гипотенуз-
ной грани будет А = -~^(—ji —• kJ; Np = kP По той же фор-
муле (1) для орта направления отраженного луча получим AJ =
= 7F(—h — ki) — 2kl (—	=y^(-h + k0- Здесь от-

раженный луч направлен так же, как и в первом случае, но он
повернут к оси zx под углом 45° против часовой стрелки.

В обоих случаях угол между падающим (орт А) и отражен-
ным (орт А!) лучами составляет 90°, что видно из равенства нулю
скалярных произведений AA'i = cos (AAJ) = AxAix + АУА\У +
+ AZA\Z = 0. Это произведение, равное косинусу угла между
ортами направлений падающего и отраженного лучей, равно
нулю в первом случае вследствие того, что Ах = Ау = 0 и A'iz —
= 0, а во втором случае потому, что Ах = 0, а оставшиеся два

слагаемых суммы скалярного произведения взаимно уничто-
жаются как равные и противоположные по знаку величины:
АуА\у + AZA\Z = "2---2~ ~ 0.

Теперь определим влияние разворота призмы 2 на плоскости
склейки кубика. Поскольку в исходном положении призм 1 и 2
нормали выходной (N20) и входной (NJ граней кубика взаимно
параллельны, то в системе осей xyz для них напишем N] = N20 =
= k. При развороте призмы 2 нормаль выходной грани (орт N2)
опишет поверхность кругового конуса с углом раствора 90° во-
круг нормали разделительной гипотенузной грани — орта Np
или, что то же, вокруг оси zr. Раскладывая орт N20, в системе
координат Х1У& получим две проекции: по оси уг проекции N2yi
= sin 45° и по оси zr — N2Zi = cos 45°. При развороте призмы 2
на угол вокруг оси zx против часовой стрелки последняя проек-
ция орта нормали N2 не будет изменяться, а его проекция на
ось z/i будет вращаться вместе с призмой и в свою очередь даст
две проекции: по оси уг — проекцию N2yx = sin 45° cos й по
оси %! — проекцию N2Xl = —sin 45° sin ух. Спроектировав все
три проекции на оси другой координатной системы xyz, для орта
нормали выходной грани кубика получим следующее векторное
выражение:

N2 = — sin 45° sin Yji + (sin 45° cos cos 45° — cos 45° sin 45°) j +

+ (sin 45° cos ?x sin 45° + cos® 45°) k — -^=-—sin ?J +

+ -+=- (cos ?! - 1) j + y=- (cos ?! + 1) kJ = — y=- sin ?ii -

— sin2^-j + cos2-^-k~-y=^?ii—-J- ?2j + k«

~ - ~^=r ?ii + k « —0,7?ii + k.

V 2

Таким образом, нормаль N2 отклонилась от своего первона-
чального направления и от орта Nx нормали входной грани в пло-
скости xz на угол примерно 0,7ух в сторону разворота призмы 2.
Развертка кубика стала теперь клиновидной, причем ребро
клина примерно параллельно оси у.

По формуле (2) можно найти и направление преломленного
кубиком выходящего луча. В данном случае п = 1,5; и' = 1;
А = —к, поэтому после подстановки получим

АЬ = nA - nN2 (AN2) - N2/l -n2 +n2 (AN2)2 «

« —nk - n i + k) (—1) - (— i + k) / 1 - n2 + n2 «

«(1 - n) 1 - k « —0,35?ii - k.

Видно, что выходящий из кубика преломленный луч при
развороте призмы 2 на угол ух отклонится от своего номинального
направления в плоскости xz на угол — 0,35ух в сторону разво-
рота призмы 2. При этом конечно возникает и соответствующий
угловой хроматизм изображения, наблюдаемого сквозь кубик.
Очевидно, что разворот призмы 2 никак не повлияет на ход отра-
женного луча по орту AI.

При последовательных отражениях луча от двух плоских
зеркал, составляющих так называемое угловое зеркало, с нор-
малями, параллельными ортам Nx и N2, векторное выражение
для орта А" направления дважды отраженного луча, полученное
последовательным применением формулы (1), будет содержать
четыре слагаемых вида

А" = А - 2NX (ANX) - 2N2 (AN2) + 4N2 (NXN2) (ANX). (4)

Вводя вместо ортов направлений двух нормалей Nx и N2 пары
зеркал орт р направления ребра, образованного пересечением
8
этих зеркал, и угол о между зеркалами, формулу (4) можно пре-
образовать к виду [23, ч. 1, с. 1031

А" = A cos 2ст 4- 2р (Ар) sin2o — [Ар] sin 2ст.	(4а)

Орт р направления ребра углового зеркала и угол ст между
зеркалами можно найти по ортам Nx и N2 нормалей зеркал из
следующих формул:

р =-----[ГСдГСг]-. COS ст = —NjN2.	(46)

к sin о	1 1	v '

Угол ст между зеркалами считается положительным, если от
первого по ходу луча зеркала ко второму он откладывается против
направления движения часовой стрелки.

. Векторное произведение ортов А и В выражается вектором,
длина которого численно равна площади параллелограмма, по-
строенного на этих ортах, приведенных к общему началу. Этот
вектор направлен перпендикулярно к ортам А и В в ту сторону,
откуда кратчайший поворот от А к В кажется наблюдателю,
смотрящему с указанной стороны, совершаемым против часовой
стрелки. В развернутом виде это векторное произведение записы-
вается следующим образом:

к

[АВ] =

i

Ах
Вх

j

Ay

By

Az

Bz

— (АуВг — AzBy) i -|- (AZBX — AXBZ) j -]-

+ (AxBy — AyBx) k.

Модуль векторного произведения ортов равен | [АВ] | =
= | А 11 В | sin (АВ) = sin (АВ).

Пример 2. Применим формулу векторного произведения ортов
к нахождению угла клина, возникающего вследствие разворота
призм при склейке кубика, и направления его ребра (орта р)
по условиям примера 1 (см. рис. 1). После взаимного разворота
прямоугольных призм на угол для ортов направления норма-
лей входной и выходной граней кубика было найдено:

Nx == k; N2 =-------------sin yj — sin2 -у- j -f- cos2 -у- к.

Подставив эти значени?	i в формулу векторного произведения,
для вектора направления ребра клина получим	
	i j k	i j k
р sin 0 = — [NjN2] = —	Nzx Nly Nlz =- 0	0	1	=
	N%x №ty N%z	N.x M2B N%z
= Niyi	 -	sin2 J 1+	sinyxj«	yj.  "	У 4	У Ал
Рис. 2. Нахождение двугранного угла между двумя плоскими зеркалами и
направления ребра, образованного их взаимным пересечением

Угол клина при малом угле разворота призм ух равен 0 « 0,7ух.

В данном случае желательно найти единичный вектор — орт
направления ребра клина, который непосредственно из векторного
произведения не получается. Для этого следует выполнить нор-
мировку — разделить полученный результат на sin (NXN2) или
на /1 - (N^)2. В результате для орта р направления ребра
клина найдем

- [NXN2] =	- [NxN2]	_ [N1N2]

/1 — (NXN2)2 -у J __ ( cos2	sin	J + C0S2

« —= _L_ sin j _|_ cos j j
/2sin-£.	/2	2	2

Таким образом, орт p направления ребра клина при малом
угле разворота призмы 2 всегда расположен в плоскости ху (см.
рис. 1), так как не имеет проекции по оси z и направлен почти
вдоль оси у. будучи развернут вокруг оси z лишь на малый угол
—1/(2 /2)	« — 0,35ух.

Пример 3. Найдем значение угла а между плоскими зерка-
лами (рис. 2) и орт р направления ребра, образованного их взаим-
ным пересечением, а также ход луча в системе зеркал.

В системе координатных осей xyz показано расположение
обоих зеркал 1 и 2 в пространстве — в ортогональных проекциях
(рис. 2, а) и в аксонометрии (рис. 2, б). Зеркала / и 2 наклонены
к оси z под углом 45°; нормаль зеркала 1 компланарна (парал-
лельна) плоскости yz и направлена по орту Nx — 1/У2 (j + к),
а нормаль^зеркала 2 лежит в плоскости xz и направлена по орту
N2 = 1/^2 (i — к). Такие два зеркала образуют пространственно
расположенное угловое зеркало с углом а и ребром (направлен-
ным по орту р), определяемыми формулами (46). Подставив в эти
формулы проекции ортов Nx и N2, получим cos а — NjN2 =
= —N1ZN2Z1 поскольку Nlx = N2y = 0; поэтому cos о — —M127V22 =
— 0,5 или о = 60°.

Далее запишем

sin а

	i	j	к
2	0	А7	м
/3		yvii/	'vlz
	А^гх	0	

___ ™ (\lyN2zi 4“	~~ Л^Л^к) —	(i—J + к).

Видно, что орт р ребра системы зеркал 1 и 2 имеет равные по
величине проекции на все три оси х, г/, z, но по оси у проекция
направлена в ее отрицательную сторону, вследствие чего проек-
ции орта р на координатные плоскости ху (рху) и yz (pyz) состав-
ляют с осью у углы, равные 45°.

Теперь найдем угол, который образует проекция орта р в осях
плоскости зеркала 1. Связав с этим зеркалом оси Xif/Л, которые
повернуты к исходной системы осей xyz вокруг оси х на угол 45°
против часовой стрелки, и переходя к новым осям x^Zj с помощью
матрицы поворота получим

/1	0	0 \/ Г\ / 1 \

р, S р = _1—I 0 cos 45° sin 45° || —1 | = —!—I 0 ].

\0 —sin 45° cos45°/\ 1/	\ /2 /

Матрица поворота Si представляет собой таблицу коэффи-
циентов обычных формул перехода от системы осей xyz к коорди-
натной системе x^Zp Поскольку орт рг не имеет проекции по
оси z/i, перпендикулярной к зеркалу /, ребро системы зеркал 1
и 2 компланарно отражающей плоскости зеркала 1. Оно распо-
ложено в квадранте между осями хг и zr и с осью zr составляет
угол, равный arctg = arctg (pxi/pzi) = arctg (1//2) « 35° 16'.

Ход отраженного луча в системе зеркал 1 и 2 определим, при-
меняя формулу (1) последовательно к отражению от зеркала 1
и от зеркала 2. В исходной системе осей xyz для зеркала 1 запи-
шем: А = —j ; Ni ==	2 (j + k); AN = — l/j/2. Следова-

тельно, направление отраженного от зеркала 1 луча будет А' =
- А — 2Ni (ANJ = — j — 2//2 (j + k) (—1//2) = к. Отра-
женный луч идет параллельно оси z, что видно непосредственно
из рис. 2, б.

Далее, поскольку для зеркала 2 ортом падающего луча яв-
ляется орт А' луча, отраженного от зеркала 1 [А' = k; N2 ~
= 1//2 (i— к); A'N2 = —1//2], то для орта направления луча,
отраженного от зеркала 2, найдем А" = к — l/j/2 (i — к) X
X (—1//2) — i. Выходящий из системы зеркал 1 и 2 луч парал-
лелен оси х. Угол между падающим (А) и выходящим (А") лучами,
как видно, равен 90°. Но можно показать, что если систему зер-
кал 1 и 2 рассматривать как угловое зеркало с углом о = 60°
и ребром, направленным по найденному ранее орту р, то отраже-
ние луча по орту А в этом зеркале представится как поворот
его вокруг ребра р (как вокруг оси вращения) на угол 2о = 120°,
в результате чего получится орт А'' направления выходящего
луча.

Введем еще одну, третью систему координатных осей x2y2z2,
повернутую по отношению к системе вокруг оси против
часовой стрелки на угол тангенс которого равен tg |\ =
= Рх?'рzi = 1/1/2. Переведем орты А и А" в новую систему
осей с помощью произведения двух матриц поворота (вокруг
оси х на угол 45° и вокруг оси у2 на угол |3Г) и в результате для
орта направления падающего
(cosPi 0 —sin
0	1	0

sin Pi 0	cos р

'	0	'

(COS Pi 0 —Sin Pi \	1

0	1	0 j "уТ

sin Pi 0 cos Pi /	1

7T .

луча получим

pjWl 0	°	\ / ° \

jl 0 cos45° sin45° j —1 1 =

! / \0 —sin45° cos45° J\ 0 /

—sinBA	[ I/7/6

-1 j = [-l//2

COSp, / I j/уз

Соответственно для орта направления выходящего луча будет

Сравнивая проекции обоих ортов — падающего луча А2 и вы-
ходящего луча А2 — на ось z2, направленную по орту ребра р,
замечаем, что они равны друг другу: AZ2 — AZsi = 1 /7/ 3. Поэтому,
действительно, орт А2 получается из орта А2 путем поворота
последнего вокруг ребра р как вокруг оси вращения.

Угол поворота равен углу у2 между проекциями этих ортов
на плоскость x2y2i т. е. равен скалярному произведению ортов
направлений этих проекций. Нормировкой легко найти указан-
ные единичные орты: для проекции АХгУ2 единичный орт равен
{—V2; —}/3/2; О}, а для проекции АХаУа соответственно |1;
0; 0}. Скалярное произведение этих ортов дает для cos у2 = —г/2,
поэтому угол поворота проекции орта отраженного луча у2 = 120°.

Таким образом, получилось, что отражение луча в системе
зеркал / и 2 действительно представляет собой поворот его вокруг
12
ребра, образованного взаимным пересечением зеркал, на удвоен-
ный угол между зеркалами. Это же следует и из свойств углового
зеркала [см. ниже формулу (10)].

При трех последовательных отражениях луча от плоских
зеркал с ортами направления нормалей Nr, N2 и N3 для орта А'"
направления выходящего луча, трижды используя формулу (1),
можно получить выражение, содержащее уже восемь слагаемых:

Aw = А — 2NX (ANX) - 2N2 (AN2) - 2N3 (AN3) + 4N2 (NXN2) (AN,) +
+ 4N3 (NXN3) (ANJ + 4N3 (N2N3) (AN2) - 8N3 (NXN2) (N2N3) (ANJ. (5)

Векторную формулу общего вида орта № направления выходя-
щего луча после любого числа отражений k в произвольной си-
стеме плоских зеркал с ортами направления нормалей Nb N2,
N3, Nft можно записать следующим образом [55, с. 13]:

	А	2 (AN)	2(AN2)	. . .	2(AN„)
	Nx	1	2(NxN2)	. . .	2(NxNft)
А* =	n2	0	1	2(N2N3)	2(N2Nft)

Nft 0	0	0	1

(6)

Пример 4. Разложив определители для случая одного, двух
и трех отражений, содержащие соответствующее число элементов,
получим приведенные выше формулы (1), (4) и (5) для одного
зеркала, а также для системы из двух и трех плоских зеркал.

Например, для одного зеркала напишем определитель второго
порядка

А 2 (ANJ аг Ь,

Nj 1 tz2 Ь2

и перемножением его элементов получим А' = ахЬ2 — а2Ьх —
= А — 2 (AN1)N1, откуда непосредственно следует формула (1).
Для системы двух зеркал с нормалями Nx и N2 получим опре-
делитель третьего порядка вида

	A	2 (ANx)	2 (AN2)
A" =	Nx	1	2(NxN2:
	n2	0	1

ai q

^2	^2 ^2

Д3	&з С3

Разложив его, получим

А" - ах

Ь2 с2

^3 С3

- bi

п2

Яз

с2	а2 Ь2

с3	д3 Ь3
fe2 С2

Ь$ с3

где

л21 с2	а2

и

^3	^3

— миноры. В данном случае

будет

2 (N,N2)

1

- 2 (ANJ

2(NXN2)

1

+ 2 (AN2)

Nx

N2

- A - 2 (ANJ Nx + 2 (ANJ 2 (NXN2) N2 - 2 (AN2) N2,

1

О

1

откуда получим формулу (4).

Для трехзеркальной системы получится определитель четвер-
того порядка; разложив его, найдем формулу (5). Тем же путем
можно получить формулу и для орта AIV направления луча,
отраженного в системе четырех плоских зеркал, написав соответ-
ствующий определитель пятого порядка. Но, по-видимому, обе
последние формулы проще вывести не из определителя по формуле
(6), а последовательным приложением формулы (1) к отражению
луча от соответствующих систем плоских зеркал.

Выражение для того же орта № можно также получить из
матричной формулы вида

/ тп т12 т13 \ / А х \

А* = MkA =--= т21 т22 т23 I Ау |,	(7)

\m31 m32 rn33)\AzJ

где Mk — матрица действия зеркальной системы, составленная
из девяти элементов /ип, т12, ..., т33 и записанная в тех же осях
координат, в которых задан орт А направления падающего луча.

Перемножение матриц выполняется по известному правилу
«строки на столбцы». Матрица действия Mk квадратная: она со-
держит три горизонтальных строки (первая, например, состоит
из трех элементов mu, m12 и /п13) и три вертикальных столбца
(первый, например, состоит из трех элементов mn, /п21 и /?г31),
а матрица орта А столбцевая: она имеет лишь один столбец,
составленный из трех проекций орта Лх, Ау и Az. После перем-
ножения элементов этих матриц в порядке, показанном ниже,
снова получим столбцевую матрицу для орта луча, отраженного k
раз в системе плоских зеркал:

^21

^31

/И12

m22

m32

Ak =

^13 \ / Ax \	/ mnAx + m12Ay + m13Az \

^23 II I “I ^21^x ~l~ ‘^22^1/ 4~ ^23^2 | —

^33 / \ Az /	\ m31/4x -j" ^32^1/ 4” ™ЗзЛ /

/ 4\

= A* .	(7a)

\ /
При последовательном отражении луча от k плоских зеркал
с матрицами действия М\, М2, Mk для матрицы действия
зеркальной системы можно написать выражение вида

Ж = Ж ... ЖЖ-

(8)

В общем случае матрицу Mk действия любой системы плоских
зеркал по И. В. Лебедеву [40] можно записать так:

•	/cosip —sin ф	0 \

Mk = SolPkSQ = S^1 sin ip cos	0	1 So. (8a)

V 0	0	(—1)*/

Здесь Pk — матрица канонического вида для системы плоских
зеркал с k отражениями; гр — угол поворота пространства изобра-
жений по отношению к пространству предметов вокруг так назы-
ваемого основного неизменного направления (ОНИ) системы
зеркал как вокруг оси вращения; 30 и S~[ — матрица перехода
(поворота) от исходной неподвижной системы координат xyz
к основным осям xoz/ozo системы зеркал и транспортированная ма-
трица обратного перехода от осей xoz/ozo к исходным осям xyz.
Основная система осей хо£/о2о — это такая неизменно связанная
с зеркальной системой координатная система, ось z0 которой
направлена по ее основному неизменному направлению — орту и.
По И. В. Лебедеву, орт и основного неизменного направления
находится из условия

и (ХЕ - Mk) = 0,

(*)

где X — переменный по величине скалярный множитель; Е —
единичная матрица.

Это уравнение получено из условия задачи, сформулирован-
ной И. В. Лебедевым следующим образом: имеется ли в системе
плоских зеркал с матрицей действия Mk такое направление па-
дающего луча, которое сохраняется неизменным и после отраже-
ния этого луча в данной системе или же оно изменяется на прямо
противоположное?

Математически такая задача записывается равенством Mku =
— Хи, откуда и получается приведенное выше уравнение. В раз-
вернутом виде оно выражается системой уравнений:

(^и — М ^12^1/ 4“ ^i3^z — j

m21Ux 4- (m22	+	= 0;	( * * )

m31ux + m32Uy 4- (m33 — X) uz = 0. J

Матрицу M' действия плоского зеркала можно найти из фор-
мулы (1), поскольку А' = А — 2N (AN) = М'А. Отсюда получим

	( т\\	™12	mi3\	.	<1 - 2Ni	—2NxNy	—2NXNZ\
лг = |	m2i	т22	m23 | = 1	—2NxNy	\-2N-	—2N4NZ .	(9)
	\ m3i	т32	т33/	\~2NXNZ	—2NyNz	1 - 2Ni J
Здесь Nx, Ny, Nz — проекции орта N направления нормали
зеркала на оси xyz произвольной неподвижной системы координат.

Видно, что элементы матрицы плоского зеркала — второй и
четвертый, третий и седьмой, шестой и восьмой — попарно равны
друг другу. Это один из основных признаков матрицы действия
плоского зеркала.

Матрица общего вида ЛГ плоского зеркала преобразуется
в матрицу Р' канонического вида при переходе от произвольной
системы координат xyz к основной системе осей xor/ozo, ось z0
которой неизменно связана с зеркалом и направлена по его нор-
мали. Поэтому NZo = 1, NXo = Ny0 = 0 вследствие чего

/1 °	0\

Р' = 0 1	0 |.	(9а)

\0 0 —1 /

Пользование матрицей канонического вида по формуле (9а)
проще, чем матрицей общего вида по формуле (9), но матрица Р'
весьма редко применяется на практике, так как она дает резуль-
тат в основных осях XqUqZq, которые неизменно связаны с зеркалом
и вращаются вместе с ним, что затрудняет интерпретацию полу-
ченного результата. Понятно, что при пользовании матрицей Р'
орты направлений и падающего Ао, и отраженного Ао лучей
также должны быть записаны в той же основной системе осей xQyQzQ.
В общем случае получим

/1 0	0\/Ах\

Ао = Р Ао = I О 1	0 II Ayo j

\0 О -\)\AZJ

^Уо

Az0

Видно, что математически действие плоского зеркала в основ-
ной системе координатных осей хоуого сводится лишь к тому, что
при отражении от зеркала меняется знак только у проекции
орта падающего луча на ось z0, направленную по нормали зеркала.

Матрица Р" канонического вида для углового зеркала может
быть записана в его основной координатной системе xot/ozo, ось z0
которой направлена вдоль ребра, в виде

(cos 2а —sin 2а 0 \
sin 2а cos 2а О I,

О 0	0/

(10)

где а — угол между первым и вторым по ходу луча зеркалами,
отсчитанный также против движения часовой стрелки.

Как видно из канонической матрицы Р", действие углового
зеркала в основной системе координат xoz/ozo сводится лишь к тому,
что при отражении в угловом зеркале орты направлений про-
странства предметов поворачиваются вокруг ребра углового
зеркала (оси z0) на удвоенный угол между зеркалами.
Матрицу М” действия углового зеркала в общем виде — в не-
подвижной системе осей xyz — получим из матрицы канониче-
ского вида Р" преобразованием последней из основной координат-
ной системы Хоу^ в систему xyz согласно формуле (8а):

/ тп /п12 т13

— Sq Р So =— I /7?22 /П2З

\ m31	^32	m33

[cos 2a + 2/>l sin2 a] [—рг sin 2a 4- 2pxpy sin2 a]
[pv sin 2a -f- 2pxpz sin2 a]

[pz sin 2a -|- 2pxpy sin2 a] [cos 2a-4- 2py sin2 a]

[—px sin 2a -[- 2pyPz sin2 a]

[—pv sin 2a -f- 2pxpz sin2 a] [pa sin 2a 4* 2pypz sin2 a]
[cos 2a 4- 2pl sin2 a]

(10а)

Эту же матрицу можно получить и как произведение матриц
двух последовательно отражающих плоских зеркал 1 и 2, так как

М'[2 = М‘2М\.	(Юб)

Пример 5. Определим угол отклонения выходящего луча и
угол поворота изображения, которые возникают при опрокиды-
вании пентапризмы вокруг оси, совпадающей с направлением

Рис. 3. Определение угла отклонения выходящего осевого луча и угла поворота
изображения, возникающих при опрокидывании пентапризмы вокруг падающего
осевого луча
падающего луча. Воспользуемся для решения задачи матрицей
углового зеркала по формуле (10а). На рис. 3 показана пента-
призма номинальной формы с углом о = -г45°. В системе непо-
движных осей xyz ортом А, совпадающим с осью х, задано на-
правление падающего луча, а ортом Ао отмечено направление
выходящего луча при исходном положении призмы, когда ее
главное сечение совпадает с плоскостью ху, а ребро угла между
отражающими гранями 1 и 2 направлено по оси z. Поскольку
угол о 45°, то выходящий луч отклоняется на угол 2а = 90,
и орт А'о совпадает с направлением оси у (рис. 3, в).

Таким образом, для исходного положения пентапризмы имеем
А i; р0 к; о = 45° и А" j.

Этот результат подтверждается и расчетом с помощью матрицы
по формуле (10а)

/

Ао -- АГА == I т21

\ ^31

/П12

/7722

^32

"kb

™23

™33

^11
т21
m3i

cos 2а-р- 2pisin2a \	/ 0

pz sin 2а 4- 2рхру sin2 а I = I 1

—Ру sin 2а -4- 2pxpz sin2 а /	\ 0

вследствие того, что cos 2а = cos 90° — 0; рх = ру = 0; sin 2а =
- sin 90° - 1.

После опрокидывания пентапризмы на угол % вокруг оси х,
вернее, вокруг орта А направления падающего луча, совпада-
ющего с осью х, для орта ребра получим р — —sin aj + cos au;
px = 0. Теперь для орта А выходящего луча найдем

cos 2a
pz sin 2a)
—py sin 2a

Видно, что выходящий луч вращается в плоскости yz вместе
и синхронно с опрокидываемой призмой (рис. 3, б).

Рассмотрим, как изменяется при этом ориентировка изобра-
жения, например, вертикали или горизонтали плоскости пред-
метов, ортогональной (перпендикулярной) осевому лучу —орту А.
Для этого достаточно проследить за поворотом изображения лю-
бого из направлений в плоскости предмета, например за изобра-
жением вертикали — орта В — к.
После отражения в пентапризме при ее номинальном положе-
нии (ро = к) для изображения вертикали получим

/О

Во - ЖВ - Ж о
\ 1

ру sin 2а + 2pxpz sin2а \ /О

—рх sin 2а + %РуРг sin2 а I = О
cos 2а + sin2 а /	\ 1

Этот результат очевиден и без всяких выкладок: при отраже-
нии через пентапризму направление, параллельное ее ребру,
остается без изменения.

После опрокидывания пентапризмы на угол а для направле-
ния изображения вертикали найдем

/0\

В" = ЛГВ - М" О I

\ 1 J

Ру
2pypz sin2 а
cos 2а + 2pl sin2 а

—sin а

—sina cos а
cos2 а

Однако по полученному выражению трудно себе представить
направление изображения вертикали. Следует перейти к плоско-
сти, ортогональной направлению выходящего луча — орту А",
т. е. преобразовать орт В" в так называемую лучевую систему
осей хлулхл. Для этого необходимо умножить орт В" на матрицу
поворота осей вокруг оси х на угол а против часовой стрелки.
Тогда получим

Вл - S.B

1	0	0 \/	—sina \	/—sina

О cos a sina I —sin a cos a 1 = 1	0

0 —sin a cos a / \ cos2 a J \ cos a

Теперь видно, что при опрокидывании призмы на угол a
в соответствии с рис. 3, а изображение вертикали — орт Вл
(а значит и любого другого направления в плоскости предме-
тов) — вращается в направлении движения часовой стрелки на
тот же угол а.

Эту задачу можно решить проще, если воспользоваться основ-
ной системой координатных осей xoyozo, совпадающей с осями
лучевой системы хлул2л (рис. 3, а, Ь). В основной системе запишем:
а) для орта направления отраженного осевого луча, выходя-
щего из опрокинутой на угол а пентапризмы,

	/ cos 2a	—sin 2a	0\	/i	0	0 \
Ао = PSSoA = |	sin 2a	cos 2a	°	0	cos a	sin a j x
	< 0	0	17	\o	— sina	cos a /

(1 \	/ cos 2а \	/ о

О j = I sin 2а I = I 1

О,/ \ 0 7 \ О

б) для орта направления изображения вертикали через ту же
призму

(cos2а —sin 2а 0\ / 1

sin 2а cos 2а	0 j I О

О 0	17\0

О
cos а
—sin а

° V°
sin а И О

cos а J \ 1

—sin 2а
cos 2а

sin а
sina
cos а

— sina
О
cos а

Как видим, получился прежний результат, но более простым
путем. Необходимо было лишь учесть, что орты А и В неподвиж-
ные и их следовало предварительно перевести в поворотную
систему основных осей xoyozo умножением на матрицу перехода So.
Это довольно редкий случай, когда оказалось целесообразнее
воспользоваться основной системой осей xoyozo.

Пример 6. В докладе Р. Аткинсона 1 рассматривается вопрос
о точности, с которой необходимо устанавливать на инструменте
пентапризму, используемую для исследования гнутая меридиан-
ного круга, и приводится без вывода следующая формула для
угла отклонения выходящего из призмы луча: 6 = 0 — 90° =
= 2v — q2 (1	2v). Здесь D — действительный угол между пада-

ющим и выходящим из пентапризмы лучами; 90° — угол между
теми же лучами при номинальном положении призмы с углом 45°
между отражающими гранями; и — отклонение действительного
угла пентапризмы от его номинального значения 45°; q — малый
угол наклона оси инструмента к плоскости нормалей (к плоскости
главного сечения) призмы. Пренебрегая членом q2v третьего по-
рядка малости, можно получить приближенную формулу 6" =
= 2о — 0", 0 1745 q\ где угол отклонения 6 и ошибка v выражены
в секундах, а q — в минутах дуги.

Выведем указанные формулы. Для меридианного круга имеет
значение лишь составляющая угла отклонения луча в плоскости,

1 Р. Аткинсон. Об использовании пентапризмы на меридианном круге/1

Новые инструменты и методы в меридианной астрометрии. М.; Л., 1959. С. 20—23.
проходящей через оси
цапф инструмента. На
рис. 4 указанная пло-
скость совпадает с коорди-
натной плоскостью ху. В
исходном положении приз-
мы ее ребро (орт р0 = к)
перпендикулярно к этой
плоскости и совпадает с
осью г. Падающий луч
(орт А) идет навстречу
оси у, а отраженный луч
(орт А'о) при исходном по-
ложении призмы с углом
о = л/4 + v лежит в пло-
скости ху, составляя угол
2v с осью х.

Рис. 4. Нахождение угла отклонения лучей
пентапризмой, устанавливаемой на мери-
дианном круге при исследовании его гнутия

После опрокидывания пентапризмы вокруг оси х на угол q
запишем

/ 0\

А" = ЛГА = ЛГI —1 |
\ О/

—/«и

—т22

—

причем для орта ребра будет р = —sin qj + cos qk. Для тан-
генса интересующего угла отклонения выходящего луча получим
tg S = Ау/А'х. Поскольку согласно формуле (10а) А* = —/П12 =
= pz sin 2о — fyxPy sin2 о = cos q sin 2 (л/2 + v) = cos q cos 2v,
то вследствие малости углов q и v можно считать А'х ж 1; S « Ау.
В свою очередь по той же формуле (10а) Ау — —= —cos 2о —
— 2р2у sin2 о = — cos (л/2 + 2v) — 2 sin2 q sin2 (л/4 + v) = sin 2v —
— sin2 q (1 + 2v) « 2v — q2 (1 + 2v)t что и требовалось
доказать.

В двух частных случаях углового зеркала, когда о = 90°
и от = 0, матрица М" общего вида упрощается. Для матрицы
действия прямоугольного зеркала (о = 90°) получим



1 -

—У'РхРу

—ЪрхРг

^РхРу
1-2р2
—ЪруРг

—ZpxPz

—2рург
1-2р1

(И)

Из сравнения последней матрицы с формулой (9) замечаем,
что матрица прямоугольного зеркала отличается от матрицы
плоского зеркала лишь обратным знаком, если принять орт р
направления ребра углового зеркала за орт N3 нормали экви-
валентного плоского зеркала, перпендикулярного к указанному
ребру. Отсюда следует, что прямоугольное зеркало (например,
крыша призмы) отражает падающие лучи так же, как и плоское
Рис. 5 Определение влияния раз-
ворота призм оборачивающей системы
Малафеева—Порро на наклон изо-
бражения

зеркало, перпендикулярное к
ребру, если знаки у всех ортов
пространства предметов заме-
нить на обратные. Такая за-
мена крыши эквивалентным по
действию зеркалом, перпенди-
кулярным к ее ребру, значи-
тельно упрощает понимание
действия и юстировки призм
с крышей, а также и расчеты.
Покажем это на примере.

Пример 7. Докажем, что раз-
ворот одной из призм оборачи-
вающей системы Малафеева—
Порро 1-го рода вокруг осевого
луча вызывает удвоенный на-
клон изображения, а такой же
разворот одновременно обеих
призм наклона изображения

не дает.

Оборачивающие призменные
системы часто располагаются
в сходящихся пучках лучей,
но для решения задач, связан-
ных с определением лишь нап-
равления осевого луча или нап-
равления изображения, можно
пользоваться алгеброй свобод-
ных векторов, применимой, во*
обще говоря, лишь для беско-
нечно далеких предметов и изо-
бражений. Поставленная задача
относится к указанному типу.

На рис. 5 изображена приз-
менная система Малафеева—
Порро 1-го рода в номинальном
положении. Заменим нижнюю
прямоугольную призму эквива-
лентным плоским зеркалом Эн,

перпендикулярным ее ребру, орты плоскости предметов В и С заме-
ним ортами —В и —С обратного знака. На рис. 5 след эквивалент-
ного зеркала Эн на двух проекциях изображен утолщенной
штриховой линией, а обратные орты показаны штриховыми
стрелками. После отражения от зеркала Эн эти орты становятся
ортами А', В', С'.

При развороте нижней призмы или, что то же самое, экви-
валентного плоского зеркала Эп вокруг оси z по часовой стрелке

на угол у, как следует из нижнего рисунка, изображения ор-
тов —В и —С повернутся в том же направлении на угол 2у.
Таким образом решается первая часть задачи: легко найти, что
разворот главного сечения призмы вызывает наклон изображения
того же направления, но удвоенной величины.

Для решения второй части задачи заменим эквивалентным
зеркалом и верхнюю призму. Следы этого зеркала показаны
утолщенной штриховой линией и отмечены буквой Эв. После
вторичной перемены знаков у ортов пространства предметов по-
лучим систему ортов — Лв, — Вв, —Св, которые при отражении
от эквивалентного зеркала Эв становятся ортами А", В", С".

После приведения обеих призм к эквивалентным плоским
зеркалам Эп и Эв получим двойное прямоугольное зеркало, ребро
которого параллельно оси z. Заменив и это двойное зеркало
эквивалентным плоским зеркалом Э, перпендикулярным к оси z,
найдем, что оборачивающаяся система призм Малафеева—Перро
1-го рода отклоняет выходящие лучи так же, как эквивалентное
плоское зеркало Э, перпендикулярное к главным сечениям обеих
призм и имеющее матрицу отрицательного знака. Ясно, что раз-
ворот такой призменной системы вокруг падающего осевого луча
на любой угол не вызывает наклона изображения, так как этот
разворот происходит вокруг нормали эквивалентного плоского
зеркала Э.

Для зеркального ромба или ромб-призмы (о — 0) из формулы
(10а) найдем

/1	0	0\

ЛС=о= О	1	0	(12)

\0	0	1 /

т. е. матрица их действия равна единичной; обе системы не изме-
няют направления отраженных лучей, так как выходящие из
зеркального ромба или ромб-призмы лучи всегда остаются па-
раллельными падающим лучам.

Пример 8. Найдем направление орта и основного неизменного
направления (ОНН) наиболее распространенных систем — пло-
ского и углового зеркал. Задачу режим в основной системе коорди-
натных осей xoyozQ, для чего воспользуемся матрицами действия Р'
и Р" канонического вида по формулам (9а) и (10).

Для плоского зеркала

(Р' - Щ и - 0 -

0

1

0

0

0

— 1

О 0\

1 °

0 1 /

и

/(i-х) о о \(иЛ
0	(1 -X) О L

\ 0	0	— (1+X)/Vz/

(1 - М их

(1 - М у у

— (1 + М uz
Это равенство справедливо в двух случаях: 1) когда = 1
и uz = О, при этом Ui = uxiQ + иу}о, т. е. орт основного неиз-
менного направления компланарен отражающей плоскости зер-
кала (имеет место скользящий ход луча); 2) когда Х2 = —Ь
при этом должно быть их = иу — 0 и и2 = к0, т. е. орт основного
неизменного направления совпадает с нормалью отражающей
плоскости. Во втором случае луч, падающий в направлении
орта и2, отражается в прямо противоположном направлении;
поворот плоского зеркала вокруг орта и2 инвариантен, так как
при этом не изменяются ни направление отраженных лучей, ни
ориентировка изображения.

Для углового зеркала воспользуемся приведенной на стр. 15
системой уравнений (**), кторые после подстановки элементов
канонической матрицы Р" примут вид:

(cos 2а — К)их — sin 2а иу = 0;
sin 2а их + (cos 2а — \)иу = 0;

(1 - X) uz = 0.

Если %! = 1, то третье уравнение удовлетворяется при любом
значении uz, а остальные — при их = иу = 0. Орт основного
неизменного направления иг = к0 в общем случае направлен
вдоль ребра углового зеркала. Лучи, падающие вдоль этого
ребра, выходят из него в том же направлении. Поворот углового
зеркала вокруг ребра инвариантен, так как при этом не изме-
няются ни направление выходящих лучей, ни ориентировка изоб-
ражения.

Уравнения системы удовлетворяются также еще в двух част-
ных случаях угловых зеркал.

При а = 0 или а = 180° получим:

(1 — X) их = 0; ’

(1 — X) иу = 0;

(1 -K)uz = 0; t

Видно, что и в этом случае корень = 1 удовлетворяет всем
трем уравнениям, поэтому их, uyt uz могут иметь любые значе-
ния, не превосходящие по модулю единицы, а ортом и является
любое направление. Таким свойством обладает зеркальный ромб:
при любом направлении падающего луча выходящий из ромба
луч ему параллелен, а в параллельном ходе лучей любой поворот
зеркального ромба инвариантен.

При а = 90° получим:

-(1+Х)«х = 0; '

- (1 +%)иу = 0;

(1 - 1) uz = 0. .
Первые два уравнения удовлет-
воряются при Х2 ~ —1» а третье —
при uz = 0, т. е. в прямоугольном
зеркале (например, в призме типа
БР-18О0) основным неизменным нап-
равлением является также любое
направление, перпендикулярное к
ребру прямоугольного зеркала, и
~	4”

В работе [40 ] дано общее реше-
ние задачи о нахождении орта основ-
ного неизменного направления любой
системы плоских зеркал.

Матрицу ЛГ' системы трех плоских
зеркал 1, 2 и 3 можно найти как про-
изведение матриц действия этих
зеркал, или как произведение матри-
цы углового зеркала 1, 2 на матрицу
плоского зеркала 3, или как про-
изведение матрицы первого плоского
вого зеркала 2, 3, т. е.

Рис. 6. Нахождение зеркально-
го эквивалента призмы типа
БкУ в параллельном ходе
лучей

зеркала на матрицу угло-

М123 “ М3М2М1 ~ М3М12 =	(13)

Для матрицы М'" действия системы трех зеркал согласно
формуле (8а) можно написать также выражение, полностью сов-
падающее с матрицей углового зеркала (10а), если известны для
системы трех зеркал значение угла ф — угла поворота простран-
ства изображений — и орт и основного неизменного направле-
ния. В формулу (Юа) вместо проекций ората р ребра углового
зеркала следует подставить одноименные проекции орта и, а вместо
угла а — угол ф/2.

В трех рассматриваемых ниже частных случаях, которые
имеют большое практическое значение, матрица системы трех
плоских зеркал будет иметь более простой вид.

1.	У призмы с двумя отражающими гранями, на одной из
которых нарезана прямоугольная крыша (призмы типа БкУ),
согласно формуле (11) крышу можно заменить эквивалентным
плоским зеркалом, перпендикулярным к ее ребру (рис. 6)Ги призму
с крышей привести к эквивалентному угловому зеркалу с углом
сгэ — а — 90°, ребро которого (ОНН) направлено по ребру ис-
ходной призмы (типа БУ, без крыши) с углом а между отра-
жающими гранями. Матрицу М" действия такой призмы можно
получить из матрицы Л4" углового зеркала по формуле
(10а), в которую вместо угла а исходной призмы следует
лишь подставить угол аэ = а — 90°, а в качестве орта р
ребра принять направление ребра исходной призмы или орт и
Рис. 7. Нахождение положения эквивалентного зеркала ЭЗ
системы трех плоских зеркал с компланарными нормалями
в параллельном ходе лучей

основного неизменного направления, заменив знак матрицы на
обратный.

2.	У прямоугольного триэдра зеркал или уголкового отража-
теля (световозвращателя) все три отражающие плоскости взаимно
перпендикулярны (о = 90°), вследствие чего оэ = о — 90° = 0.
Подставляя а9 = 0 в матрицу М" углового зеркала по формуле
(10а) и изменяя знак матрицы на противоположный, получаем

/1 ° 0\

Мтриэдр = — I о 1 0 I = — Е.	(13а)

\0 0 1 /

В отличие от зеркального ромба, световозвращатели имеют
единичную матрицу действия, но с отрицательным знаком, т. е.
световозвращатель при отражении преобразует направления всех
падающих лучей на противоположные.

3.	Три плоских зеркала перпендикулярны к общей плоскости,
а их нормали — компланарны. Таковы, например, призмы стремя
отражениями в одной плоскости — призмы Аббе, Шмидта, ВР-18О0
и др. Докажем, что в параллельном ходе лучей все перечисленные
призмы и указанная трехзеркальная система по своему действию
эквивалентны одному плоскому зеркалу.

Согласно формуле (13) первую или последнюю пару зеркал
(рис. 7) можно рассматривать как угловое зеркало с углом о12
или соответственно с углом о2з» ребро которого перпендикулярно
к нормали третьего или соответственно первого зеркала. Найдем
матрицу системы, эквивалентной трем зеркалам с углом о12,
из выражения М123 = М3М12.

В системе координат xyz (она является основной для пары
зеркал 1 и 2), ось г которой параллельна всем трем зеркалам,
26
можем написать (оси ху, параллельные плоскости рисунка, не
показаны)

Л1123 — МзМц — МзР12= I Ш21
\ о

/п12 0 \ / cos 2ст12
т22 0 II sin 2а12

О 1 А О

—sin 2ст12 О
cos 2а12 О

О 1

[тг1 cos 2ст12	m12 sin 2а12]

[m21 cos 2(т12 + тгз s)n 2о12]
О

[—ти sin 2о12 т12 cos 2ст12] О
[—т21 sin 2<т12 + т22 cos 2ст12] О

О	1

Здесь уже учтено, что в рассматриваемом случае нормаль
зеркала 3 компланарна плоскости ху и орт N3 ее направления
не имеет проекции на ось г (N3z = 0), вследствие чего элементы
его матрицы — третий, шестой, седьмой и восьмой —равны нулю,
а девятый — единице. Можно еще показать, что второй и четвер-

о	и	Л А

тыи элементы полученной матрицы М123 равны друг другу, так как
в матрице плоского зеркала по формуле (9) элементы с одинаковым
набором цифр в индексах имеют и одинаковый вид, т. е. т12 =
= /7121. Кроме того, в данном случае т22 = — /nn = N2 — N2y.
Таким образом, получалось, что в матрице Л1123 рассматриваемой
системы трех плоских зеркал элементы второй и четвертый, третий
и седьмой, шестой и восьмой попарно равны друг другу. А это
и есть основной признак матрицы плоского зеркала по формуле (9).

Следовательно, мы доказали, что в параллельном ходе лучей
система трех плоских зеркал с компланарными нормалями по
своему действию вполне эквивалентна одному плоскому зеркалу
с нормалью по орту N3, т. е. исходная система трех зеркал так же
отражает все падающие на нее лучи и так же изображает про-
странство предметов, как и одно эквивалентное зеркало. И любые
повороты эквивалентного зеркала будут вызывать те же изменения
хода отраженных лучей и те же изменения ориентировки изобра-
жения, что и повороты всей трехзеркальной системы.

Теперь найдем и направление орта N3 нормали эквивалентного
зеркала. Пусть ось хг новой координатной системы перпендику-
лярна зеркалу 5; тогда для орта его нормали будет N3 — i3 и
матрица трехзеркальной системы еще более упростится:

/(1 -2^) cos 2О12 (2У*- 1) sin 2oi2 0\

(А112з)1 = I sin2o12	cos2o12 О I =

\	0	0	1/

—cos 2о12 sin 2о12 0 \

sin2o12	cos2o12 О I	(*)

О 0	1/
Из рис. 7 видно, что орт N3 нормали эквивалентного зеркала
по отношению к орту N3 нормали зеркала 3 повернут на угол
180° + о21 (при обратном ходе лучей угол о21 имеет знак минус).

Преобразуем полученную матрицу эквивалентного зеркала
к его основной системе координатных осей адого> которая по отно-
шению к прежней системе Х1У& повернута, согласно матрице
преобразования So, сначала вокруг оси z на угол 180° — о21,
а затем вокруг оси у0 на угол 90°. В соответствии с формулой (8а)
для этого необходимо выражение (*) умножить сначала на транс-
понированную матрицу Sq1, а в заключение на матрицу So. Ис-
пользуя такой прием, и перед матрицей канонического вида Р'э,
и за ней получим по единице, так как произведение матрицы So
и транспонированной к ней матрицы S"1 равно единице. В ре-
зультате из исходного выражения (Л412з)1 — Sq1P'3Sq после ука-
занного умножения So (Л1Г2з)1 So1 = SoSq1P3SqSo1 найдем
So (Л^12з)1 So’ = Р3- Поскольку

—1\/ cos(180° - о21)	sin(180° - о21) 0

0 II —sin (180° - о21) cos (180° - о21) 0

оД 0	о 1

0

—sin а21

—cos сг21

0

—COS СГ21

sin о21

то для нахождения матрицы Р’3 канонического вида эквивалент-
ного зеркала запишем

/	0	°	1\

Рэ = So (М 12з) I Sir11 —sin а21 —cos cr21 0 I x
\ —cos a21	sin a21	0 /

	f —cos 2а21	sin 2оа1	0\	/ 0	—sin а21	—COS O2i
X	sin 2оа1	cos 2сг21	° 1	0	—cos о21	sin о21
	к 0	0	17	\~ 1	0	0

Транспонированная матрица S~x получена из матрицы So
заменой строк столбцами. После перемножения матриц получится
матрица плоского зеркала в каноническом виде [ср. с формулой
(9а)]

/1 °	0\

Р'9 = 0 1	0 .

\0 0 —1 /

Таким образом, действительно, система трех плоских зеркал
с компланарными нормалями в параллельном ходе лучей экви-
валентна одному плоскому зеркалу, нормаль N:J которого компла-
нарна нормалям системы и повернута к нормали третьего зеркала
28
a) N3



Аббе и типа

Рис. 8. Нахождение направления эк-
вивалентных зеркал призм Шмидта
(а), Аббе (б) и призмы типа БР-1800 (в)
в параллельном ходе лучей

на угол 180° + о21, где a2i —
двугранный угол между вторым
и первым зеркалами исходной
системы.

Пример 9. Найдем направле-
ние эквивалентного зеркала для
480° (рис. 8). Призма Шмидта

равнобедренная, с углом 45° между равными сторонами и углом
о21 = —67°,5. Откладывая от орта N3 нормали грани 3 угол
180° + о21 = 180° — 67°,5 = 112°,5, найдем направление орта N3
эквивалентного зеркала: оно параллельно основанию призмы —
грани 2.

Призма Аббе имеет углы о21 = —30° и о32 = o2i. Откладывая
от орта N3 нормали грани 3 угол 180° + o2i = 150°, найдем на-
правление орта N3 эквивалентного зеркала: оно параллельно
грани 2 призмы.

В призме ВР = 180° о21 = —30° = о31. Откладывая от орта N3
нормали грани 3 угол 180° + о21 = 180° — 30° — 150°, получили
бы орт Ng нормали эквивалентного зеркала, параллельный
орту N2 направления нормали грани 2 призмы, т. е. N3 = N2,
но из рисунка видно, что призма ВР-1800 отражает лучи навстречу
падающим. Это возможно лишь в том случае, когда эквивалент-
ное зеркало направлено навстречу падающим лучам, т. е. орт N3
должен быть противоположен полученному нами направлению
И Ng - ~ N2.

В данном случае следовало отложить от орта N3 не угол
180° + сгз1, а угол на 180° больший или на столько же меньший,
т. е. угол 360° + о21 или угол о21, чтобы получить направление
орта N3 нормали эквивалентного зеркала. Это отступление от
правил объясняется тем, что математически зеркало представ-
ляется в виде двусторонней отражающей плоскости, вследствие
чего матричные выражения не будут изменяться при изменении
направления оси z0 (которую мы всегда ориентировали по нормали
к отражающей плоскости) на противоположное. В самом деле,
после поворота основной координатной системы xo#ozo вокруг
оси х0 на 180° для канонической матрицы плоского зеркала полу-
чим исходное выражение

/1	0	0\ 1	<1	0	0\	/1	0	0
8?’Р'30== 0 —1	0 )	0	1	0	1 0	—1	0
\0	0	—1 /’	чо	0	—1 /	\0	0	—1
	/1 о		0\				
	0 1		0 1	-Р'.			
	\0 0		-1 /				

Систему четырех плоских зеркал в параллельном ходе лучей
можно по А. И. Тудоровскому [55] привести к эквивалентному
угловому зеркалу с углом а0 и ортом рэ направления ребра,
причем угол оэ найти из формулы

cos оэ = cos о12 cos о34 — sin о12 sin о34 cos ср, (14)

а орт рэ — из выражения

рэ sin аэ — р12 sin а12 cos о34 + р34 cos а12 sin а34 — [р12р34] sin о12 sin сг34,

(15)

где о12, а34 — углы между зеркалами 1 и 2, 3 и 4\ р12, р34 — орты
направлений ребер первой и второй пары зеркал; ф — угол
между ребрами первой и второй пары зеркал.

Пример 10. Пользуясь формулами (14) и (15), найдем экви-
валенты некоторых конкретных зеркально-призменных систем —
призменных оборачивающих систем Малафеева—Порро 1-го и 2-го
рода и двух систем, каждая из которых составлена из пары пен-
тапризм.

На рис. 9, а показаны в одной проекции две прямоугольные
призмы (о12 = о34 = —90°) оборачивающей системы Малафеева—
Порро 1-го рода со взаимно перпендикулярными ребрами (ф = 90°)
так что р12 = i р34 = j. Подставляя эти величины в формулы
(14) и (15), сразу же найдем cos оэ = 0, или оэ = 90°, и

	i j k
Рэ — —[Р12Р34] — —	Р12х Р12у P12z
	Рз4х Рз^у Р34Л

1 j к

1 О О

О 1 о

Таким образом, призменная оборачивающая система Мала-
феева—Порро 1-го рода приводится к прямоугольному зеркалу,
ребро которого направлено по оси z.

На рис. 9, б приведена призменная оборачивающая система
Малафеева—Порро 2-го рода, состоящая из двух прямоугольных
Рис. 9. Нахождение зеркальных эквивалентов призменных обо-
рачивающих систем Малафеева—Порро i-го рода (а, и 2-го рода
(б), четырехзеркальных систем, составленных из двух одинако-
вых пентапризм с равнозначными (в) и с разнозначными углами
(а) в параллельном ходе лучей

призм типа АР-90 (призмы 1 и 4) и прямоугольной призмы типа
БР-180 с двумя отражениями на гранях 2 и 3. Главные сечения
призм 1 и 4 перпендикулярны к главному сечению призмы двой-
ного отражения 2 и 3. Воспользоваться этими данными для ана-
лиза оборачивающей системы по формулам (14) и (15) непосред-
ственно невозможно, так как в указанные формулы входят углы о12
о34, направления ребер р12, р34 и угол между ними, значения
которых в рассматриваемом случае неизвестны и их предвари-
тельно требуется определить. По формулам (46) для каждой
пары смежных отражающих граней найдем величину двугранных
углов о12 и о34 между ними и направление ортов ребер р12 и р34,
для чего на основании рис. 9, б напишем N4 -- 1/у<2 (—j + к);
N2 = 1//2 (-i + j); N3 - 1//2 (i + j); N4 - 1//2 (j - + k).
Подставляя эти орты в первую из формул (46), найдем cos о12 -=
_ = __ NiN2 = 1/2; о12 - 60°; и cos а34 - —N3N4 - 1/2; о34 - 60°.
По второй формуле (46) для орта ребра, образованного пересече-
нием граней 1 и 2, получим

		i	j	k		i	j	k	
Р12 sin о12	2 /з	.v2x		NiZ	2  “ /зГ	A^X	Niy	0	
			Nly	Nlz		0	Nly	Nu	
2 =р>.„	Nlz\	— N2xN12j 4” A72x-			ад =	1 /3	{1; 1;	1}.	

Аналогично для ребра между гранями 3 и 4 будет

i

[N4N3] _	2_

sin а34 у'з

Л?3х

j

N3y

к

Niz

N3z

i

0

N3x

j

N3V

к

Niz

0

2

3

2	1

= _±.(_ад8у1 + NizN3xi-NiyNaxk) =y=-U; -I; И-

Для угла ф между ребрами cos ф = рХ2рз4 = 1/3.

Теперь, подставляя полученные значения в формулы (14) и
(15), найдем

cosa9 = 0; оэ = 90°; рэ = ±0 +1 + к) + т 0 - j + Ю ~

4~ [Р12Р34] — “2"

•11	3

1 + к — -у

i

Р12х

Рз*х

j

Р12у

РзЬу

к

P12Z

P84Z

— "2” { I 4“ к-----[(Pi2yP34z Р12гРз&у) 1 4“ (P12zPs4x — P12xP34z) j 4"

4“ (РпхРзьу ” Р12уРзьх) к]} — у- (i 4~ к i к) 4“ к.

Таким образом, эта призменная оборачивающая система экви-
валентна прямоугольному зеркалу, и вообще любая оборачива-
ющая призменная система в параллельном ходе лучей эквивалентна
по своему действию прямоугольному зеркалу.

На рис. 9, в, г показаны еще две системы, составленные из пар
пентапризм. В первом случае имеем а12 = о34 = о; р12 — р34 = к;
Ф = 0. При подстановке в формулы (1.22) и (1.23) получим cos оэ™
= cos 2о; оэ ~ 2о — угол эквивалентного углового зеркала,
который вдвое больше угла призм, составляющих данную си-
стему. Далее напишем рэ sin 2о — 0,5 (р12 4- Р34) sin 2а или
рэ = 0,5 (р12 4* Р34)* В нашем случае получится рэ =к. Следо-
вательно, данная система эквивалентна угловому зеркалу с уд-
военным двугранным углом 2о и ребром, которое параллельно
направлению ребер обеих призм исходной системы. При угле о ™
= 45° система эквивалентна прямоугольному зеркалу.
Во вторим случае (рис. 9, г) будет сг12 о = —сг34; р12 =
= Psi к; ср = 0. При подстановке в те же формулы (14) и
(15) получим cos аэ = 1; оэ = 0 и далее: рэ-0 = 0,5 (р12 — р34) X
X sin 2о — неопределенность. Это — зеркальный ромб, в кото-
ром любое направление в параллельном ходе лучей обладает
свойствами ребра углового зеркала: вращение вокруг любой оси

и смещение вдоль нее инвариантны.

Пример 11. Проанализируем призменную систему, пред-
ложенную В. С. Филатовым и Г. А. Можаровым для использова-
ния в поворотных окулярах бинокулярных и стереоскопических
приборов взамен ромб-призм, которые применяют в существу-
ющих конструкциях для изменения расстояния между центрами
выходных зрачков (рис. 10).

Каждая призма новой системы состоит из двух одинаковых

полупентапризм с равными по величине, но противоположными
по знаку углами. Как показано в предыдущем примере, такая
призменная система эквивалентна ромб-призме. Несмотря на боль-
шую сложность, система двух полупентапризм выгоднее ромб-

призмы, так как в процессе юсти-
ровки она позволяет изменять, во-
первых, базис, т. е. расстояние меж-
ду падающим и выходящим лучами,
и, во-вторых, длину хода осевого
луча; первое облегчает юстировку
параллельности осей выходящих пуч-

Рис. 10. Система двух полупентапризм,
эквивалентная ромб-призме, применяе-
мая в бинокулярных насадках для
изменения расстояния между окуля-
рами

Рис 11. Приведение призмы Пе-
хана в параллельном ходе лучей
к эквивалентному плоскому зер-
калу

2 Ногаррз Г. В. и др.

33
ков, а второе позволяет уравнивать высоту окуляров в том случае,
когда в бинокулярной системе имеется разность длин хода лучей в
ветвях. Таким образом, любую систему четырех плоских зеркал
или любую призменную систему с четырьмя отражениями в парал-
лельном ходе лучей можно привести или к одному угловому зерка-
лу (в частном случае к одному прямоугольному зеркалу) или к зер-
кальному ромбу, что, в частности, подтверждается и приведен-
ными выше примерами.

Систему пяти плоских зеркал можно рассматривать как бы
состоящей из четырех зеркал с дополнительным пятым плоским
зеркалом. В общем случае такая система в параллельном ходе
лучей будет эквивалентна угловому зеркалу в сочетании с пло-
ским зеркалом, что дает пространственную эквивалентную трех-
зеркальную систему, о свойствах которой говорилось выше.
В частном случае система пяти зеркал может быть с компланар-
ными нормалями. Такова, например, призма Пехана.

Пример 12. Покажем, что призма Пехана, которая состоит
из полупентапризмы и призмы Шмидта, в параллельном ходе
лучей эквивалентна одному плоскому зеркалу (рис. 11). Для
матрицы призмы с пятью отражающими гранями Mv =
—	Учитывая, что полупентапризма с отража-

ющими гранями 1 и 2 и углом между ними О]> = —22°,5 действует
как угловое зеркало с тем же углом и матрицей Л4'{2. упростим
общее выражение: Mv — /ИбЛЦМзМЬ- Из рис. 11 для ортов
направлений нормалей отражающих граней 3—5 призмы Шмидта
в системе осей хуг найдем N3 = —j; N4 = sin 22°, 5j — cos 22°,5k;
N5 = 1A/2 (j + k). Поскольку проекции ортов всех нормалей
на ось х равны нулю, то матрицы действия всех отражающих
граней будут иметь вид [ср. с формулой (9)]

О

1 - 2N2

--2NyNz

° \
—2NyNz I.
1 - 2N2 J ’

ортов нормалей и матрицы полу-

При подстановке проекций
пентапризмы получим
а после перемножения матриц —

/1 °	0\

mv - о 1	о U р;,

\о о —1/

т. е. получим матрицу эквивалентного плоского зеркала, нор-
маль N3 которого параллельна оси г.

Матрицу Л4КЛ преломляющего клина можно получить из ма-
трицы М” углового зеркала, если вместо угла о между зеркалами
последнего подставить половину угла поворота ф/2 преломлен-
ного (выходящего) луча вокруг ребра клина по отношению к па-
дающему (входящему) лучу. Этот угол ф для клина с малым
преломляющим углом 0 равен

Х|) ~ 0 (1 — / п2 (п2 — 1) tg2 е) 0 (1 — п) (1 + tg2 е) .

(16)

Значение угла ф в первом приближении (при малых углах 0
и углах падения 8 не больше 45°) зависит лишь от значения угла
падения 8 луча на клин и не зависит от ориентировки плоскости
падения относительно главного сечения клина.

Пример 13. Рассчитаем допуск на клиновидность защитного
стекла, расположенного перед качающейся головной призмой
перископа, который предназначен для измерения вертикальных
углов в пределах от 8Н — —15° до 8В = +75° с точностью до
±30" и горизонтальных углов с точностью до ±10". Защитное
стекло наклонено к горизонту под углом со ~ 60° (рис. 12).

Формула (16) позволяет определить искомый допуск для за-
щитного стекла в вертикальном сечении из условия Дфв тах <
< 30", где Дфв тах— наибольшее изменение угла отклонения
преломленного луча в заданных пределах визирования по высоте

Очевидно, что это изменение бу-
дет наибольшим, когда направле-
ние визирования будет составлять
наибольший угол с нормалью
защитного стекла. При указан-
ном наклоне защитного стекла
со = 60° направление визирова-
ния будет перпендикулярно ему
при е0 = ±30°, а при визирова-
нии под предельными углами
8Н ~ —15° и 8В — ±75° угол на-
клона осевого луча к защитному
стеклу будет максимальным и со-
ставит 8тах = ± 45°. Поскольку
из формулы (16) Дф ~ (п2 —
— l)/(2n) 0Btg2 е, то для допусти-

Рис. 12. Нахождение направления
преломленного луча при ходе его
вне главного сечения клина
мои клиновидности защитного стекла в вертикальном сечении
найдем условие

ев

_____А^Рв max_____

П2 ~ 1

2п tg 6max

30"-3

1,25

« 70".

Для расчета допуска в горизонтальном сечении защитного
стекла воспользуемся матрицей М'кл преломляющего клина и
рис. 12, где в системе координатных осей xyz показано защитное
стекло, ребро которого (орт ркл) направлено под углом 8 к оси у,
так что ркл = cos 8j + sin sk, а навстречу оси z направлен
орт А падающего осевого луча. В соответствии с этим для орта
преломленного луча

Л"
™кл

— А4КЛА — А1кл

—^13

—^23

—т33

—ру sin 26—2pxpz sin2 0
рх sin 20 — 2pypz sin2 0

—cos 20 — 2pz sin2 0

—Py sin ip

—PyPz sin2 -J-

<ф

—cos ip — 2pl sin2 y-

—sin ip cos 8

—sin2 y- sin 28

—cos ip — 2 sin2 -y- sin2 8

— sin ip cos 8

—sin2 -y-sin 28

— 1 + 2 sin2 -y- cos2 8

—Ip COS 8

—0,25xp2sin 28

— 1

Таким образом, возникает как погрешность вертикального
угла с ничтожным значением 0,25ip2 sin 28, так и существенная
погрешность горизонтального угла ip cos 8. Последняя погреш-
ность возрастает с углом падения и достигает наибольшего зна-
чения при 8тах = ± 45°, когда ipmax cos 8тах = 0 (1 — ri) ( 1 +
+	1 tg2 8тах) cos8тах. Вследствие клиновидности защит-

ного стекла в горизонтальном сечении при визировании по верти-
кали возникает так называемый увод визирной оси от отвеса.
Для предельно допустимой накопленной погрешности горизон-
тального угла по формуле (VIII.26) [55] запишем 10" > ф0 —
36
I	Л Пл - 1	,	9

— Ч’тах = 9г---2й---Ш 8тах, ОТКуда ДЛЯ ДОПУСТИМОЙ КЛИНОВИД-

ности защитного стекла в горизонтальном сечении найдем условие

9 <-_______121______24"

°г	П2 __ 1	•

2п~ tg2 8max

2. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СХОДЯЩЕГОСЯ ХОДА ЛУЧЕЙ

Обозначая символом р* радиус-вектор изображения Tk точки
предмета Г, отраженной k раз в системе плоских зеркал, отно-
сительно неподвижного полюса 0, совпадающего с точкой пред-
мета Т, для радиуса-вектора rk текущей точки отраженного луча А*
напишем следующее векторное уравнение (рис. 13, а):

rk = pk + ХА* - р* + ХЛ4*А,	(17)

где А* — орт направления выходящего луча, отраженного k раз
в системе зеркал; А —орт направления падающего луча; Mk —
матрица действия системы плоских зеркал с k отражениями;
X — переменный скалярный множитель.

Если падающий луч (орт А) проходит через точку предмета Т,
то выходящий луч (орт А*) пройдет через ее изображение Tk.
Коэффициент X можно найти из конкретных условий задачи.

Выражения для радиуса-вектора изображения точки в системе
осей xyz имеют вид:

для плоского зеркала (рис. 13, б)

р' - (1 - М')г -1- 2?N;	(18)

для углового зеркала (рис. 13, в)

p" = (l-M")(r + qp);	(18а)

для системы трех зеркал с центром Ц в точке их пересечения
(рис. 13, в)

р''' = (1-ЛГ)(г + Чц);	(186)

где г — радиус-вектор неподвижной точки С, вокруг которой
вращается каждая из зеркальных систем, относительно точки
предмета Т\ q — расстояние от точки С до отражающей пло-
скости зеркала; N —орт направления нормали плоского зеркала;
qp — радиус-вектор точки ребра углового зеркала, лежащей
на перпендикуляре, опущенном из неподвижной точки С, отно-
сительно самой точки С; q4 — радиус-вектор центра Ц трех-
зеркальной системы относительно неподвижной точки С; А4',
ЛГ, М"' — матрицы действия плоского, углового и тройного
зеркал, которые даются формулами (9), (10а) и (13) соответственно.
Вывод формул (18), (18а) и (186) дан в работе [16].
Рис. 13. Отражение точки и луча от произвольней системы плоских
зеркал (а), плоского зеркала (б), углового зеркала и системы трех
плоских зеркал с центром Ц (в)

Для зеркального ромба общая формула (18а) дает неопре-
деленность; в этом случае для радиуса-вектора имеем

Рромб ~ 2N1&,	(18в)

где b — расстояние между зеркалами; Nx — орт направления
нормали первого зеркала.

Для прямоугольного триэдра из формулы (186) с учетом (13а)
получим

Ртриэдр — 2 (г qu).

(18г)

Пример 14. Выведем уравнение траектории изображения
точки, последовательно отраженной от двух плоских зеркал, не-
зависимо качающихся на заданные углы вокруг взаимно перпен-
дикулярных осей и расположенных в сходящемся ходе лучей
Рис. 14. Нахождение тра-
ектории изображения точки,
отраженной от двух плоских
зеркал, качающихся вокруг
взаимно перпендикулярных
осей в сходящемся ходе
лучей

между объективом Об и экраном Э (рис. 14). Вершина вогнутого
сферического экрана Э при начальном положении зеркал совпа-
дает с фокусом объектива F', где получается изображение То
бесконечно далекой светящейся точки Т.

На рис. 14 показаны две прямоугольные системы координатных
осей. Начало Ог первой координатной системы x1y1z1 совпадает
с точкой пересечения оптической оси объектива Об с осью качания
первого зеркала Зь лежащей в его плоскости отражения; ось хх
совпадает с оптической осью объектива, а ось — с осью качания
зеркала Зх. Вторая система осей x2y2z2 смещена по отношению
к первой вдоль оси ух вниз на расстояние Ь, так что ее начало 02
совпадает с точкой пересечения оси уг (и у2) с осью качания вто-
рого зеркала 32, причем эта ось качания совпадает с осью х2
и также с отражающей плоскостью зеркала 32, Ось z2 перпенди-
кулярна к экрану Э в его вершине, которая лежит на расстоя-
нии С от начала 02 координат.

В начальном положении каждое из зеркал Зг и 32 наклонено
к оси падающего пучка лучей под углом 45°. При работе каждое
зеркало поворачивается на своей оси качания независимо от дру-
гого зеркала в пределах задаваемого угла. При этом изображение
точки перемещается на экране по горизонтали (при качании зер-
кала 3J, или по вертикали (при качании зеркала 32) или по
некоторой более сложной траектории (если поворачиваются оба
зеркала одновременно). Найдем уравнение траектории, по кото-
рой перемещается изображение точки на экране, для того случая,
когда оба зеркала поворачиваются вокруг своих осей качания на
произвольные углы (зеркало Зг) и а2 (зеркало 32).

Преобразуя формулу (18) в систему координат, неизменно
связанную с неподвижной осью вращения зеркала, для радиуса-
вектора изображения точки предмета в плоском зеркале получим
вектор ное выражение

р' +	(18д)

где М' — матрица действия плоского зеркала по формуле (9);
г — радиус-вектор точки предмета относительно начала В си-
стемы координат, связанной с осью вращения зеркала; q — рас-
стояние от того же начала О системы координат до отражающей
плоскости зеркала; N —орт направления нормали зеркала.

Поскольку в нашем случае отражающие плоскости обоих
зеркал совпадают со своими осями качания, то qx = q2 = О,
вследствие чего исходная формула (18д) упрощается —она будет
содержать лишь первое слагаемое. Применяя эту упрощенную
формулу последовательно к обоим зеркалам Зх и 32, мы и получим
уравнение искомой траектории изображения точки на экране.

Для отражения точки от зеркала Зг из рис. 14 следует, что
ri == (Ь + с) ц — радиус-вектор изображения точки То, проек-
тируемое объективом Об на экран Э; Nx = —cos ViJi — sin yji,
где yx — угол между направлением оси падающего на зеркало Зх
пучка лучей и ортом его нормали, причем = 45° + у (у — угол
поворота зеркала Зг от исходного положения, когда оно накло-
нено под углом 45° к оси падающего пучка лучей). Для радиуса-
вектора изображения точки, отраженной зеркалом 3lt получим

	( ти	Ш12		/ b +с\	( ти\
Pi = ЛГИ =		т22	/П2з I	° 1 = 1	т21 1	+ С) —
		т32	^33/	\ 0 /	\m31J

/ 1 - 2N2

—2NxNy

\-2NxNz

—cos 2уг \

—sin 2yr j (b 4- c) =

0	/

sin 2y \

—cos 2y j(b + e).

0 J

Изображение точки при этом вращается в плоскости х^
по дуге окружности радиусом (Ь + с) с центром в начале коорди-
нат 0х на удвоенный угол качания зеркала.

К. такому же результату можно было прийти и без математиче-
ских выкладок. Переходя к системе координат х2у2г2 зеркала 32,
для радиуса-вектора того же изображения точки от зеркала
найдем

(sin 2у

—cos 2?+ 44

О
Перейдем к отражению точки от зеркала 32, для орта нормали
которого получим N2 = sin a2j2 + cos a2k2 = sin (45° + a) j2 +
+ cos 45° (+ a)k2, где a — угол поворота зеркала от исходного
положения, когда оно наклонено под углом 45° к оси г/2. Далее
по той же упрощенной формуле для радиуса-вектора изображения
точки, последовательно отраженной от зеркал 3j и 32, аналогично
после преобразования получим

/ гхя \

Р2 — М2Г2 ~ Л12 I Лу2 I
\ 0 /

/ гппгХл-\-тХ2Гу2
I т2\ГХ2 + т22Гу.
\ тзхгХг + т32гУл

(1 — 2Л^)г„я
~^NyNzry2

гУ1 cos 2a2

—гУ2 sin 2a2 >

—гУг sin 2a

—гУ2 cos 2a

(b + c) sin 2y

[(b J- c) cos 2y — b] sin 2a
[(b -|- c) cos 2y — b] cos 2a

При исходном положении зеркал Зх и 32 у = a — 0 и р2 ~
= ск2, т. е. изображение точки будет в вершине экрана. При
малых углах качания зеркал

/	2(Ь	+ <?)у	\	/ 2(& + с)у	>

I 2 [с — 2 (Ь + с) у2] a j	I 2ca

\ [с - 2 (Ь + с) у21 (1 - 2a2) /	V “ 2 (b + с)	у2 )

Пример 15. Просчитаем ход пучка лучей через прямоуголь-
ную крышу и определим форму сечения рабочего пучка на ее
гранях, что необходимо в частности для того, чтобы указать
номинальные размеры световых зон поверхностей в соответствии
с ГОСТ 2.412—81.

На рис. 15, а в прямоугольной системе координатных осей
xyz показано ребро (орт р) прямоугольной крыши, которое про-
ходит через начало О осей, совпадает с плоскостью yz и состав-
ляет угол 45° с осью у. С той же плоскостью yz совпадает и бис-
сектриса прямого угла крыши, направленная по оси z'. Нормаль
Ni ее грани 1 при этом составляет с осью х угол 135°, поэтому для
орта ее направления запишем

N, = —U (—i + -4=- i + -4=- 4 =------------------U > + 0>5j + o,5k.

1	]/2 \ т У2 J "|/2	' V2 T > J ’ ’

Для нормали N2 грани 2 будет N2 = —4=-
у 2

+ 0,5 j + 0,5k.

Ось падающего на крышу кругового цилиндрического пучка
лучей, допустим, совпадает с осью z. Из этого пучка радиусом а
выделим крайний луч, проходящий через точку TQ (х0; у0; 0).
Как видно из рис. 15, в, х0 -= a cos у; yQ = a sin у, где у — угол
разворота данной плоскости продольного сечения пучка по от-
ношению к оси х.
в)

Рис. 15. Схема хода лучей, отраженных от прямоугольной зер-
кальной крыши

Задача сводится к нахождению координат точки пересечения
данного луча с гранью 1 крыши, т. е. координат точки пересече-
ния прямой, направленной по падающему лучу, с плоскостью,
заданной следующим уравнением в векторной форме: N (г —
— г0) = 0. Здесь N — нормальный вектор плоскости, в нашем
случае орт нормали грани крыши; г0 — радиус-вектор известной
точки, через которую проходит плоскость (грань крыши); г —
радиус-вектор текущей точки плоскости. Приведенное векторное
уравнение плоскости выражает условие взаимоперпендикуляр-
ности орта N нормали плоскости и произвольной прямой, лежащей
в этой плоскости.

В нашем случае грань 1 крыши проходит через начало коорди-
нат О, поэтому для ее уравнения напишем Nxr = 0 или (	 j +

+ 0,5j + 0,5k) (rxi + ryj + rzk) = 0 = —V~2rx + ry + rz.

Уравнение луча, проходящего через точку TQ (х0; z/0; 0) парал-
лельно оси г, будет иметь вид (х — хо)/О = (у — yQ)IO (z —
— Zq)I — 1, так как направляющий вектор прямой в данном слу-
чае А ~ —к. Решая совместно уравнение луча и плоской грани /,
для искомой точки их пересечения получим х = х0; у — yQ\
42
z = rz = >/2х0 — f/0> а после подстановки будет х = a cos у;
у — a sin у; г = а (]/2 cos у — sin у).

Задаваясь дискретными значениями угла разворота у, можно
найти координаты точек пересечения отдельных крайних лучей
падающего пучка с гранью 1 крыши. Например, для углов у,
равных 0, 30, 45, 60 и 90°, даны значения координат этих точек
в табл. 1 [55, с. 40].

По рассчитанным координатам точек пересечения в исходной
системе осей xyz трудно себе представить форму сечения пучка
лучей с гранью 1 крыши. Очевидно, следует перейти к новой си-
стеме координатных осей, совмещенных с самой гранью 1 крыши.
Для перехода от исходной системы осей xyz к новой системе
XiZ/i?i воспользуемся матрицей Sj преобразования координат путем
двойного поворота: первый раз вокруг оси х на угол а = 45°
по часовой стрелке, в результате чего ось у' совместится с ребром
крыши, и второй раз вокруг ребра крыши (оси у') на угол р =
— 45° тоже по часовой стрелке (при наблюдении со стороны оси у').
Выполняя указанные преобразования, запишем

cos р 0 sin Р \
0	1	0	х

—sin р 0 cos р J

0

cos а
sin а

После подстановки г = у/г2х — у получаем простое выражение

-/2 У

—х 4- -/2 у
0

Используя исходные данные, для уравнения контура сечения
падающего пучка лучей окончательно найдем х1 = уЛ2асозу;
У1 — а (—cos у +	2 sin у).
В последних трех колонках табл. 1 [55] приведены результаты
расчетов по полученным уравнениям. Ясно, что сечение круго-
вого цилиндра наклонной плоскостью дает эллипс (рис. 15, а).

Сечение пучка в плоскости грани 1 крыши показано заштрихо-
ванной нижней половиной косо срезанного эллипса. Нетрудно
доказать, что на грани 2 сечение падающего пучка будет аналогич-
ной формы, но расположено зеркально симметрично по отноше-
нию к первой половине косо срезанного эллипса. Осью симметрии
здесь является ребро крыши. Две половины эллипса образуют
фигуру, напоминающую кардиоиду.

Рассмотренную задачу решим более простым способом. С по-

мощью скалярного произведения орта направления падающего

луча А = —к и орта нормали грани 1 крыши Nx =

+ 0,5j + 0,5k найдем угол наклона плоскости, секущей цилинд-

рический пучок лучей, так как AN = cos (AN) = 0,5 и AN =
- 120°.

Далее с помощью векторного произведения тех же ортов най-
дем направление малой оси эллипса поперечного сечения пучка
лучей плоскостью

Нормировкой для орта bmln направления малой оси получим

,	1-1	• о

bmin = у=~ 1 + у у ]• Заметим, что малая ось эллипса парал-
лельна горизонтальной плоскости ху исходной системы коорди-
нат xyz, так как не имеет проекции по оси z.

Переходя к системе осей x^z^ совмещенных с гранью 1 кры-
ши, с помощью ранее полученной матрицы Зг преобразования
координат получим для того же орта малой оси

п

1

(bmin)l — ‘Slbmln — у$-	0
	—1

1
Т/г-

1

1
V2

1 1 1 1

УТ Уз'

Уз
о

Этот орт образует с осью xt угол
= arctgж 35° 20', что согласуется с
том. Для длины большой полуоси найдем

Т1 = arclg уу=
ymin/Xt

предыдущим результа-
b = ftmin sec 60° = 2а.
Теперь определим ход лучей между гранями крыши, для чего
просчитаем тот же падающий луч дальше — от грани 1 до пересе-
чения с гранью 2 (рис. 15, а). Для этого удобно воспользоваться
координатной системой х^^ оси которой х± и ух лежат в пло-
скости грани /, причем ось направлена по ребру крыши, т. е.
совпадает также и с ее второй гранью 2.

Точка падения луча на грани 1 имеет координаты {j/’2х;
-yf 2у — х; О}, нормаль этой грани направлена по орту Nx = kP
Направляющий орт отраженного луча найдем из выражения
Al — PjSiA, где Si — прежняя матрица перехода от исходных
осей xyz к осям х^у^ грани 1\ Р\ — каноническая матрица дейст-
вия этой грани, для которой оси хху^х являются основными. Под-
ставляя развернутые выражения всех матриц, после перемноже-
ния получаем

Ai - P[SiA

1
W
— 1

1
V2-

1

V2-

1

2

Направляющий вектор AJ отраженного луча составляет с гранью
у	х	Az.	0,5

1 угол, равный arctg — ...... —.....................=

=	= 30°, а его проекция на плоскость х^ с ребром крыши

(осью f/i) — угол arctg = arctg (---~ —35° 20'.

Из рис. 15, б видно, что эта проекция отраженного от грани /
луча параллельна направлению большой оси эллипса.

Для уравнения отраженного луча запишем

Xi —V2 х
=П72

У1 —V2 У+ *
1/V2

?! — 0

или

— /2x1 + 2x = y1-/2z/4-x = /2

откуда хх — —zr +	2х; у± =	+ V2у — х.
Рис. 16. Изображение точки преломляющей плоскостью (а);
определение коэффициента анаморфозы преломляющей плоско-
сти (б)

Для уравнения грани 2 (N2	1\) получится N2r = 0 = гх.

Итак, для координат точки пересечения луча с гранью 2 найдем
= 0;	=^= х -г 2у\	= -j/2x.

Это тоже эллипс, ориентированный так, что на развертке
крыши, когда грань 2 совмещена с гранью /, эллипс на грани 2
является как бы продолжением эллипса на грани 1. Это легко
подтвердить и расчетом положения точек 2\ 3', 4' и 5' по
последним формулам. Эти точки нанесены на рис. 15, в. Очевидно,
что прямые, соединяющие соответствующие пары точек (1 и Г,
2 и 2' и т. д.), будут взаимно параллельными.

Полученные результаты можно использовать, например, для
расчета габаритных размеров крыши, допусков на неплоскостность
ее граней и для других целей.

При преломлении через плоскость, разделяющую две среды
с показателями преломления пип, положение точки Тг пере-
сечения нормального и наклонного лучей по отношению к пре-
ломляющей плоскости определяется отрезком (рис. 16, а)

f п cose'
S S-----------

п COS 8

где s — расстояние от преломляющей плоскости до точки пред-
мета Т.

Плоская преломляющая поверхность в плоскости падения
обладает увеличением (коэффициентом анаморфозы), которое от-
личается от единицы и равно отношению размеров сечений падаю-
щего (D) и преломленного (D') пучков лучей или отношению коси-
нусов угла падения и угла преломления этих пучков (рис. 16, б):

г	cos 8

а D' cos е''

(20)
При преломлении через плоскопараллельную пластинку тол-
щиной d в воздухе точка пересечения нормального и наклонного
лучей сдвигается вдоль нормали к пластинке на величину

As' -s'	----г^г),	(2!)

\ п COS 8 ]	4	7

а выходящий из пластинки луч сдвигается по отношению к пада-
ющему лучу на величину

(22)

COS 8	х 7

В формулах (19)—(22) 8 и е' —углы падения и преломления
на первой входной плоскости пластинки. При малом угле падения
наклонного луча на пластинку

(21а)

а при углах падения, не превосходящих i — 45°, достаточную
точность во многих случаях дает приближенная формула вида

-----.	(216)

П COS 8	х 7

Преломляющая плоскость и плоскопараллельная пластинка
вносят аберрации — сферическую, астигматизм, кому, дистор-
сию, хроматизм.

При преломлении лучей через клин с преломляющим углом 0
луч отклоняется от направления падающего луча под углами:
при ходе в главном сечении

бе О (/п2 (я2	1) tg2 е — 1)

0 (п - 1) + 0 ----- tg2 в = 60 + А6е; (22а)

при ходе в сечении, перпендикулярном к главному,

6g	бе COS 8	6 (}/ П2 4~ (п2 — 1) tg2 8 — 1) COS 8J (226)

при нормальном падении луча

50	0 (ц — 1).	(22в)

Кроме отклонения лучей клин вызывает также угловой хро-

матизм, значение которого Дб/^ в визуальных системах в vc
раз меньше соответствующего угла отклонения б0 лучей, так как
—. В результате
'С'

коэффициент дисперсии — —--------------

tlF' -- Пс'

того, что угол отклонения бг преломленного луча зависит от угла
падения лучей на клип [см. формулу (22а) ], дополнительно возни-

кают следующие явления:
а)	кома, линейная величина которой в сходящемся ходе лучей
равна [76]

(23)

б)	дисторсия, угловое значение которой в параллельном ходе
лучей равно значению А6е из формулы (22а) — при ходе светового
пучка в главнОлМ сечении клина и значению А6е из формулы
(226) — при ходе в сечении, перпендикулярном к главному се-
чению клина.

В формуле (23) I — расстояние по осевому лучу от клина до
плоскости изображения; сг — апертурный угол пучка.

Наконец, преломляющий клин обладает аноморфозой вслед-
ствие того, что его угловое увеличение в плоскости главного
сечения отличается от единицы и равно отношению размеров се-
чений падающего D и выходящего D' пучков, или

г — D - CQS 81 cos	/941

a D' cos ej cos e-2 *	'

где 8i, ej, 82, 82 — углы падения и преломления луча на входной 1
и выходной 2 гранях клина.

Для ахроматической пары клиньев их преломляющие углы
определяют из формул: 25 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

(25)

Здесь nei, nCz — показатели преломления первого и второго

клиньев; v2 — их коэффициенты дисперсий; 6 —- общий угол

отклонения луча, преломленного ахроматической парой клиньев.

Пример 16. Рассчитаем допуск на взаимный разворот (в про-

цессе склейки) главных сечений клиньев, составляющих ахрома-

тический выверочный клин коленчатого визира ПО-i, при усло~

вин, что клин расположен перед трубой с увеличением Г = 4х,

угол отклонения преломленного им луча 6 = 0,01 рад, а клинья

изготовлены из оптического стекла марок К8 и Ф1.

Из каталога оптических стекол находим для стекла К8 nei =

= 1,5183; vet = 63,83 и для стекла Ф1 пв2 = 1,6169; ve2 = 36,70.

Для ахроматической пары угловые хроматизмы клиньев должны

быть, очевидно, равны друг другу, т. е. (Аб/7^^ =-.= (A6F^^)2.

Пользуясь формулой (25), для клина из крона, например, найдем

/де = А_ = Мч-1) =	6__________0,01_______0,01 _

1	- v<,t—~ 63,83 — 36,70 ~ 27,13 ~

0,00037 рад, или (A6F,C')i = (A6F^/)2	76".

Изображая эти хроматизмы соответствующими векторами

(параллельными главным сечениям клиньев), для ахроматиче-

ского клина получим векторную диаграмму из двух равных по

48
величине и противоположно направленных векторов, которые
в сумме равны нулю. При взаимном развороте главных сечений
клиньев на угол у на такой же угол повернется один из указанных
векторов и сумма векторов станет равна вектору, направленному
под углом ^90°----к каждому из слагаемых векторов, модуль

которого равен 2	sin Для малого угла разворота

клиньев последнее выражение можно записать в виде (Дбр'с+у.
В поле зрения прибора малый взаимный разворот клиньев вызо-
вет хроматизхм изображения, направленный поперек главных се-
чений клиньев. Ограничивая этот хроматизм за окуляром величи-
ной (Аб/7Ч,/)Д0П ,<; 104-20", найдем допустимый угол взаимного
(А<+'+доп	. 10" —- 20"

разворота клиньев из условия удоп = г .. х	<—-—~

1 Л Ор г с г j j	4 .76

0,03-^0,06 оад, или удоп 1°,8ч-3°6, или примерно удоп
< 2-4-4°.

При преломлении параксиального луча через сферическую
поверхность положение изображения Т' (расстояние s' от вер-
шины поверхности) точки предмета Г, лежащей на расстоянии s
от той же вершины, определяют, из варианта Аббе

п (1/s — 1/г) = п (1/s' — 1/г),	(26)

откуда

и//s' — n/s = (п — п)/г,

(26а)

где п, п — показатели преломления сред, разделяемых сфери-
ческой поверхностью; г—радиус кривизны поверхности.

Расстояния s и s' отсчитываются от вершины поверхности до
соответствующих точек предмета Т и изображения Т' и считаются
положительными в направлении распространения света, т. е.
слева направо. Радиусы кривизны отсчитываются от поверхности
к ее центру кривизны и считаются положительными, если центр
кривизны (точка С) лежит правее вершины, т. е. тоже по ходу
луча.

Пример 17. Инвариантом Аббе пользуются, в частности, для
расчета положения автоколлимационных точек линзы, что необ-
ходимо знать сборщику при центрировании линзы на станке и
что ускоряет поиск этих точек. Рассчитаем положение автокол-
лимационных точек плосковогнутой линзы, у которой первая
поверхность плоская (гд = оо), а вторая сферическая с радиусом
кривизны г2 — +20 мм, толщиной d — 2 мм, показателем пре-
ломления стекла п = 1,5.

Автоколлимационной называют такую точку, которая изобра-
жается сама в себя. Известно, что любая сферическая поверхность
имеет по две такие автоколлимационные точки с каждой стороны:
одна совпадает с центром кривизны поверхности (назовем ее
центровой автоколлимационной точкой) и вторая — с вершиной
или любой другой точкой поверхности (назовем ее вершинной
автоколлимационной точкой). Для центрирования линз пользу-
ются центровыми точками, так как именно через центры кривизны
обеих поверхностей проходит оптическая ось линзы, которую и
необходимо совместить с осью шпинделя станка при сборке объек-
тивов по широко известному методу Линника—Радченко.

На рис. 17 оптическая ось линзы проходит через центр кри-
визны С2 вогнутой поверхности перпендикулярно к плоскости 1.
Центровая автоколлимационная точка данной поверхности на-
ходится из условия, что светящаяся точка совмещена с центром
кривизны поверхности и лучи от этой точки падают на поверх-
ность нормально — по радиусам кривизны. При этом часть лучей
за счет Френелева отражения (благодаря разности показателей
преломления сред, разграничиваемых данной поверхностью) от-
разится в строго противоположном направлении, т. е. по радиусам
кривизны, и даст автоколлимационное изображение светящейся
точки, совпадающее с самой точкой. При небольших поперечных
сдвигах светящейся точки от центра кривизны поверхности ее
изображение также сдвинется на ту же величину, но в обратном
направлении, так что центр кривизны поверхности будет нахо-
диться между раздельно видимыми светящейся точкой и ее изоб-
бражением.

Вершинная автоколлимационная точка, если светящаяся точ-
ка совпадает с поверхностью линзы (или зеркала), всегда совпадает
с самой этой точкой и при любом поперечном сдвиге точка и ее
изображение не разделяются друг от друга, взаимно заслоняются.

Найдем местоположение всех восьми автоколлимационных
точек плосковогнутой линзы вначале графическим построением
(см. рис. 17), а затем и расчетом по формулам (26) и (26а). При
наблюдении справа налево получим следующие четыре точки:
центровые А2 (от центра С2) и (от центра CJ, находящегося в
50
бесконечности) и вершинные В2 (от поверхности 2) и BL (от по-
верхности /). Ясно, что точка А2 совпадает с самим центром кри-
визны С2 поверхности 2, а точка В2 —с самой ее вершиной В2.
Построение точки Л2 показано возвратно отраженным лучом, от-
меченным двумя стрелками. Построение точки В2 выполняется
лучом, падающим в вершину поверхности 2 и зеркально отражен-
ным от нее.

Построение центровой точки А± показано лучом с одной стрел-
кой: этот луч возвратно отражается от плоской поверхности Л
падая на нее перпендикулярно, затем преломляется в воздух через
поверхность 2, отклоняясь от оптической оси линзы, и при про-
должении в обратном направлении и пересечении с этой осью
дает мнимую точку Аг Вершинная точка Вг от плоской поверх-
ности 1 определится как точка пересечения с оптической осью
продолженного луча, исходящего из вершины Вг этой поверхно-
сти и преломленного поверхностью 2.

Аналогично найдем и положение автоколлимационных точек
Alf Blf Л2, В2 тех же поверхностей, но наблюдаемых слева на-
право. Точка Аг находится в бесконечности, остальные показаны
на рис. 17 и найдены с помощью соответствующих возвратно или
зеркально отраженных лучей.

При расчете по формулам (26) и (26а) положения автоколли-
мационных точек для поверхностей 1 и 2 линзы следует иметь
в виду, что входящие в них расстояния s и s' отсчитываются от
вершины той поверхности, для которой применяются указанные
формулы. Для работы же удобнее указывать расстояния до авто-
коллимационных точек от вершины той поверхности, со стороны
которой наблюдаются эти точки. Обычно их наблюдают справа на-
лево, так как шпиндель станка расположен слева от сборщика.
При этом следует придерживаться правила знаков, принятого в гео-
метрической оптике по ГОСТ 7427—76*, т. е. считать положитель-
ными те расстояния от данной вершины линзы до автоколлимацион-
ных точек, которые откладываются по ходу луча—слева направо.

Все расчеты сведены в табл. 1, где расстояния до автоколли-
мационных точек приводятся для того положения линзы, в котором
она показана на рис. 17. Эти расстояния отсчитываются от вер-
шины В2 до точек, наблюдаемых справа налево, и от вершины Bi
до точек, наблюдаемых слева направо. В последней колонке при-
ведены расстояния до автоколлимационных точек от вершины
той поверхности, со стороны которой эти точки наблюдает сбор-
щик, т. е. всегда справа налево.

Для построения изображения удобно пользоваться кардиналь-
ными точками, осями и плоскостями оптической системы. Важней-
шими из них являются следующие.
Таблица 1. Расчет положения автоколлимационных точек
плосковогнутой линзы (z*! = оо; d — 2 мм; г2 = 20 мм)

Автоколли- мационная точка	п	п'	S, мм	s', мм	Расстояние до автокол- лимацион- ных точек при наблю- дении спра- ва налево, мм
Ai  X в2  ^1  X  В2	1,5  1,5  1  1  1  1  1  1	1  1  —1  —1  —1  —1  —1,5  1,5	ОО  —d  Г2 0  Г1  0  п	1  / S,== I F X п	1 ,э  X (г2~\~d.) —  = 21 = 14,7 1,5	’  И ,  Vs =  .	2_-  1,5 d~ 1,5 = 1,33	II	II	II	II  о к 1	। -	। и । « 8 и f  - ЭФ ।	- Э«-е|е 11 Г +  II е 7 II е 7 II « 7 •	е «  е	1	+	+	+	||  > 1	и	ь	£	£  se "	1	si	si	si  si	—40  —1,29  20  0  0  —14,7  — 1,33

1. Оптическая ось центрированной системы сферических по-
верхностей — прямая, на которой расположены центры кривизны
всех поверхностей.

2. Фокус системы — изображение бесконечно удаленной точки
ее оси. Различают передний фокус F и задний фокус F'.

3. Фокальная плоскость — плоскость, перпендикулярная к
оптической оси и проходящая через фокус. Различают переднюю
и заднюю фокальные плоскости.

4. Главная плоскость — любая из пары сопряженных пло-
скостей неафокальной системы, перпендикулярных к оптической
52
Рис. 18. Нахождение положения эквивалентной узловой точки
линзы

оси системы и изображающихся одна в другой с линейным увели-
чением, равным плюс единице (Р = +1). Различают переднюю
и заднюю главные плоскости.

5.	Главная точка — любая из двух точек пересечения оптиче-
ской оси системы с главными плоскостями. Различают переднюю
и заднюю главные точки в соответствии с тем, которая из поверх-
ностей (передняя или задняя) пересекает оптическую ось системы.
От соответствующих главных точек отсчитывается переднее f
и заднее f' фокусные расстояния системы.

6.	Узловая плоскость — любая из пары сопряженных пло-
скостей неафокальной оптической системы, перпендикулярных
к оптической оси системы и изображающихся одна в другой с уг-
ловым увеличением, равным плюс единице (у = +1). Различают
переднюю и заднюю узловые плоскости.

7.	Узловая точка — любая из двух точек пересечения опти-
ческой оси с узловыми плоскостями: передней (передняя узловая
точка) и задней (задняя узловая точка). Лучи, проходящие через
переднюю узловую точку Д, выходят из задней узловой точки К'
в том же направлении. В случае, когда среды перед оптической
системой и за нею одинаковы, соответствующие главные и узло-
вые точки системы совпадают.

Полезно ввести понятие «эквивалентной узловой точки» си-
стемы Дэ, которая расположена на оптической оси между узло-
выми точками К и К' в точке пересечения наклонной прямой,
соединяющей внеосевые точки сопряженных предмета и изобра-
жения. Расстояние от задней узловой точки Д' до эквивалент-
ной узловой точки Д3, как следует из рис. 18, равно

(27)

где р — линейное увеличение в сопряженных плоскостях; —
расстояние между передней К и задней К' узловыми точками.

Видно, что по мере уменьшения р, т. е. при удалении предмета
от системы (увеличении предметного расстояния а) эквивалентная
узловая точка Д3 приближается к задней узловой точке К' и
сливается с последней, когда предмет уходит в бесконечность.
Эквивалентная узловая точка Д3 обладает замечательным свой-
Рис. 19. Нахождение
положения и размера
изображения предмета
через линзу

счвом. при повороте оптической системы на малые углы вокруг
этой точки изображение предмета не сдвигается в поперечном на-
правлении.

Положение изображения Т' точки предмета Т через оптиче-
скую систему возможно определить с помощью следующих формул
(рис. 19):

по формуле Ньютона

Zqz'o — —f' ;	(28)

по формуле отрезков

по формуле расстояния между сопряженными точками (для
тонкой линзы)

/0==-z0 + 2/'--^ = /'(2-P-М- (30)

zo

Здесь 20, ?о — передний и задний фокусные отрезки, т. е. соот-

ветственно расстояния от переднего фокуса F до осевой точки
предмета и от заднего фокуса F' до изображения этой точки;
Яо, а'ъ — передний и задний главные отрезки, т. е. соответственно

расстояния от передней главной точки

Рис. 20. Положение кардинальных точек линзы

до осевой точки пред-
мета и от задней главной
точки до изображения
точки предмета; [3 —ли-
нейное или поперечное
увеличение в сопряжен-
ной плоскости изобра-
жения для случая, когда
плоскость предмета пер-
пендикулярна к оптиче-
ской оси системы, при-
чем

«   у'    zo  _F_

Р	У	Г	zQ ’

(31)
где у, у' — высота предмета от оптической оси и высота его изо-
бражения в сопряженной плоскости.

Для определения фокусного расстояния и положения карди-
нальных точек простой линзы в воздухе служат следующие фор-
мулы (рис. 20):

<32>

г	ft ~~ 1 d	fz ft — Id	/f) л \

s»--f(34)

- d - s„ +s„- » (1 +	(35)

Для тонкой линзы

Г-	да

Для системы двух линз
ф = фх + ф2 _ ф^д	(36)

где d — расстояние между задней главной плоскостью первого
компонента и передней главной плоскостью второго компонента;

s'F, = (1 - Ф^/Ф; sr = (1 — Ф2б/)/Ф.	(37)

Видимое увеличение лупы и микроскопа определяют по фор-
мулам:

Гл - 250//;;	(38)

Гм - 250//м - РоГОк.	(39)

Глава II

ВЛИЯНИЕ СМЕЩЕНИЙ И ПОВОРОТОВ
ПЛОСКИХ ЗЕРКАЛ, ПРИЗМ И ЛИНЗ
НА ПОЛОЖЕНИЕ И ОРИЕНТИРОВКУ ИЗОБРАЖЕНИЯ

3.	ПОСТУПАТЕЛЬНЫЕ СМЕЩЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗЕРКАЛ
И ПРИЗМ В СХОДЯЩЕМСЯ ХОДЕ ЛУЧЕЙ

Поступательные смещения плоских зеркал и призм с плоскими
рабочими гранями в параллельном ходе лучей недейственны:
они могут привести лишь к срезанию пучков лучей, ко не влияют
ни на ход лучей, ни на положение и ориентировку изображения.
Рассмотрим смещения зеркал и призм в сходящемся ходе лучей.
плоского зеркала на положе-
ние изображения точки

Формулы (40) получают
тых для двух положений

Смещение плоского зеркала 3 на
величину Д?о вдоль нормали N к отра-
жающей поверхности вызывает в об-
щем случае и расфокусировку Д/ и
поперечный сдвиг t изображения Т',
причем (рис. 21):

Д/ 2Д?0 cos80;

t — sin 80.

(40)

Из рисунка видно, что и расфоку-
сировка и сдвиг изображения проис-
ходят в сторону смещения зеркала.
Квадратичная сумма расфокусировки
Д/ и сдвига изображения t равна
/ Д/2 + = 2Дг0.

из разности радиусов-векторов, взя-
плоского зеркала — смещенного (3)

и исходного (30) — по выражению (18)

Др' = р' — р' = 2N (q — qQ) = 2NA<? = 2NAz0. (41)

Переходя к лучевой системе координат хлулгл, одна из осей
которой (ось гл) направлена по выходящему лучу, получим

/1	°	0 \ /0\	/	0 \

Дрл 5лДр' = 2Д?0 0	coseo	+sin	ео °	— 2Д?о ( —sine0 ,	(41а)

\0 —sin 80 cos е0' \1/	\ cos е0 /

откуда и следуют формулы (40).

Смещение углового зеркала в главном сечении в положение Р
на величину &q под углом § к направлению падающего луча (орт А)
вызывает в соответствии с формулой (18а) смещение изображения
Т" в лучевой системе осей хлул на величину (рис. 22)

Др; „ (1 - ЛГ) Aq = (1 - ЛГ) А, (Sln (2о + в)) 	(42)

Лучевая система координатных осей хлулгл ориентирована так,
что ось ул направлена по выходящему лучу Ао, при исходном по-
ложении углового зеркала, а ось хл — по ребру последнего.
После подстановки элементов матрицы М" из выражения (10а)
и преобразования получим

Дрл = 2Д^1па(_5.п(а + д)),	(42а)

откуда расфокусировка изображения равна

Д / = —2A<?smo'sin(cr + $),	(43)
Рис. 22. Влияние направления смещения углового зер-
кала на положение изображения точки. Особые направ-
ления смещений углового зеркала

а сдвиг изображения —

t = 2\q sin о cos (о + $)•	(44)

Полученные формулы позволяют найти два особых взаимно
перпендикулярных направления; при смещении углового зеркала
вдоль одного из них возникает наибольшая возможная расфоку-
сировка изображения без децентрировки Д/тах, t = а при
смещении вдоль другого направления возникает наибольшая
децентрировка—сдвиг изображения, но без расфокусировки
Д/ — 0, /тах- Положив t — О, найдем особое направление I—1
из условия cos (о + dj) = 0; о +	— 90°; Ад = 90° — а, вслед-

ствие чего

Д/тах = —2 Д «у sin о.	(43а)

Приняв далее Д/ = 0, найдем особое направление II—II из
условия sin (о + Фц) 0; о + Фн = 0;	= —ст, вследствие

чего

/шах = 2Д</ sin а.	(44а)

Особое направление II—II совпадает с направлением бис-
сектрисы угла, образованного падающим (орт А) и выходящим
(орт А") лучами, а направление /—I перпендикулярно к этой
биссектрисе. Следует отметить, что положение указанных осо-
a)

.6 = 90

И

5-90

Рис. 23. Положение особых направ-
лений прямоугольного зеркала (а,
б), пентапризмы (в) и полупентапризмы
наклонного тубуса микроскопа (г)



бых направлений зависит от на-
правления падающих лучей, а
не от положения углового
зеркала.

Поступательные смещения
ромба (или плоскопараллель-

ной пластинки) недейственны, т. е. не вызывают ни децентрировки,
ни расфокусировки, что следует непосредственно из формулы
(18в). Это же подтверждается и формулами (43) и (44), из кото-
рых при подстановке о = 0 получаются нули для обеих величин
при конечном значении сдвига Дя.

Пример 18. Найде^м положение особых направлений в не-
которых угловых зеркалах. Падающий на прямоугольное зер-
кало луч (рис. 23, а) составляет равные углы с обеими гранями /
и 2; особые направления смещений I—I и II—II в этом случае
также составляют одинаковые углы с теми же гранями. Во втором
случае (рис. 23, б) падающий луч наклонен к обеим граням под
различными углами, при этом наклонятся и особые направления,

так как в прямоугольном зеркале одно из них перпендикулярно
к падающему лучу (направление II—II). а второе совпадает
с направлением падающего луча (направление I—I),

На рис. 23, в даны особые направления смещений пентаприз-
мы, а на рис. 23, г —то же для полупентапризмы, применяемой
в наклонном окулярном тубусе микроскопа. Из последнего ри-
сунка видно, что направление /—/, при смещении вдоль которого
возникает расфокусировка, составляет сравнительно небольшой
угол (22,5°) с привалочной плоскостью полупентапризмы. Вслед-
ствие этого смещение призмы на указанной плоскости вызовет
существенную расфокусировку, что равносильно изменению рас-
стояния между сопряженными плоскостями микрообъектива.
По формулам (43) и (44) для данного случая получим: Д/ =
= —2sin o'sin (о + ^) = —2sin (—22,5°) sin (—22,5°— 45°) -
- —2sin 22,5° cos 22,5° - —sin 45° - —1//2 —0,71 мм; t -
= —2sin2 22,5° = cos 45° — I ж —0,29 мм (здесь принят сдвиг
призмы на привалочной плоскости Дя = 1 мм). Таким образом,
расфокусировка более, чем в 2 раза превышает возникающий сдвиг
изображения.

Смещение тройного зеркала типа БкУ (с прямоугольной кры-
шей) вдоль ОНИ — орта и, который направлен вдоль орта р
ребра исходной призмы типа БУ, вызывает в том же направлении
удвоенный сдвиг изображения без расфокусировки, а сдвиги
призмы типа БкУ поперек орта и влияют так же, как и смещения
исходной призмы БУ, т. е. вызывает расфокусировку и сдвиг
изображения по формулам (43) и (44).

4.	ПОВОРОТЫ ЗЕРКАЛ И ПРИЗМ
С ПЛОСКИМИ РАБОЧИМИ ГРАНЯМИ

При повороте зеркальной системы вокруг произвольной оси
все точки пространства изображений смещаются без изменения
взаимоположения, а отраженные лучи и изображения линий
при этом поворачиваются. Новое положение изображений точек
при повороте плоского, углового и тройного зеркал можно найти
по формулам (18), (18а) и (186) соответственно.

Для нахождения углов поворота лучей и изображений можно
воспользоваться формулами (1), (4), (4а), (5), (6) или (9), (10а),
(13). Задача при этом нескотько облегчается благодаря тому, что
при отражении в системе плоских зеркал углы между векторами
не изменяются. В самом деле, после отражения двух ортов А
и В пространства предметов от плоского зеркала с нормалью
по орту N для угла между ними получим

cos(A'B') = А В' - {A - 2N(AN)} {В - 2N(BN)} -

- АВ - 2AN (BN) ~ 2 (AN) (BN) +

+ 4 (NN) (AN) (BN) - AB - cos (AB).

Таким образом, действительно, после отражения в плоском
зеркале между векторами угол не изменится. Распространяя
этот вывод на систему последовательно расположенных зеркал,
можно заключить, что после отражения в любой системе плоских
зеркал угол между двумя векторами не изменяется, т. е. справед-
ливо равенство

АКВК-АВ.	(45)
Рис. 24. Влияние поворота плоского
зеркала на направление отраженного
луча и наклон изображения

Взаимная же ориентиров-
ка трех векторов, не парал-
лельных друг другу, в ре-
зультате отражения в систе-
ме плоских зеркал может из-
мениться. Например, прямо-
угольный триэдр векторов
правой ориентировки после
отражения от системы зеркал
с нечетным числом отраже-
ний (плоское зеркало и т. п.)
может преобразоваться в пря-
моугольный же триэдр, но
левой ориентировки.

При юстировке необходи-
мо знать как угол отклоне-
ния выходящего луча от за-
данного (номинального) на-

правления, а также угол наклона изображения при малом по-
вороте зеркальной системы от ее заданного положения. Выведем

такие расчетные формулы для плоского и углового зеркал.

Плоское зеркало. На рис. 24 в системе неподвижных осей xyz
показаны плоское зеркало и падающий луч А неизменного на-
правления под углом падения 80 в плоскости yz. В исходном по-
ложении зеркало совпадает с плоскостью ху, а его нормаль No —
с осью z, поэтому No = к. Тогда выходящий луч — орт Ао —
составит равный угол 80, с нормалью No и будет лежать в той же
плоскости yz, что и падающий по орту А луч. По орту Ао напра-

вим ось ?л лучевой системы осей x^y^z^, которая по отношению
к неподвижной системе осей xyz повернута на угол 80, по часовой

стрелке.

Повернув зеркало из указанного положения вокруг оси у
на угол р, вследствие чего станет N = sin pi + cos pk, найдем
направление орта Ал отраженного луча в лучевой системе коорди-
натных осей Ал = 5ЛАГА. Подставив из рис. 24 для орта падаю-
щего луча А = sin 80j — cos 80k и матрицу 5Л перехода от си-
стемы осей xyz к лучевой системе хл*/лгл путем поворота вокруг
оси х на угол 80, напишем

( 0

' sin 80

COS80

Ал — 5ЛЛ4

(1	0	0	\	/	m12 sin 80 —	т13	cos	е0

О	cos	е0	sin	80	т22 sin е0 —	т23	cos	е0

\0	—sin	е0	cos	е0/	\	т32 sin 80 —	т33	cos	е0

Перемножив матрицы и раскрыв их элементы по формуле (9),
после преобразования получим

/ sin 2р cos 80 \	/ 2р cos 80 \

Ал — sin2P sin 2е0	Р2 sin 2е0 .

\ 1 — 2sin2P cos280/	\	1	/
Последнее приближенное выражение для орта Ал направления
отраженного осевого луча справедливо для малого угла поворота
Р зеркала. Из него видно, что отраженный луч при повороте пло-
ского зеркала на малый угол р вокруг оси у, совпадающей с за-
данной плоскостью падения луча (проходит через орты А и
N) и с отражающей плоскостью зеркала, отклоняется в боковом
направлении в сторону поворота зеркала на угол у' 2р cos 80
и вниз на весьма малый угол ж р2 sin 2б0.

Для нахождения угла наклона изображения, возникающего
при повороте плоского зеркала, необходимо отразить в нем любой
из векторов направления в плоскости предмета, ортогональной
падающему осевому лучу А. Обычно для этого пользуются или
направлением вертикали (орт В в плоскости предметов), или на-
правлением горизонта (орт С, совпадающий с направлением оси
х); последнее предпочтительнее, так как упрощаются расчеты.

Для изображения горизонта в лучевой системе координатных
осей хлг/лгл запишем

/1\	/1	0	° \	/^11
Сл-ЗлМ'С-ЗлМ' lol —	0	cos е0	sin 80 I	™21
\0/	\0	—sin 80	COS80/	\/Пз1

Подставив в элементы матрицы проекции орта повернутой на
угол р нормали зеркала N = sin pi + cos pk, после перемноже-
ния и преобразования получим

/ cos 2р \	/	1	\

с; I sin 2р sin 80 1^1 2Р sin е0
\— sin 2р cose0/	\—2pcose0/

Это выражение справедливо для малого угла Р поворота
зеркала. Угол наклона изображения будет равен ай. и ~
« 2р sin е0, откуда видно, что при повороте плоского зеркала
вокруг оси изображение наклоняется в том же направлении на
угол «н. и- Совместно с ранее полученным выражением для угла
Ул бокового отклонения отраженного луча выражение для угла
наклона изображения а„. и полностью решает задачу о влиянии
малого поворота плоского зеркала вокруг оси у.

Итак, для повернутого на угол р плоского зеркала

Ул~2рсо8е0; (Хн.и 2р sin 80.	(46)

Видно, что при суммировании квадратов обоих углов под кор-
нем квадратным получится Y(ул)2 + (ан. и)2 = 2р.

В общем случае ось поворота плоского зеркала может не
совпадать с осью г/, лежащей в плоскости падения лучей и в отра-
жающей плоскости зеркала, а может составлять угол Q с этой
осью в плоскости yz (рис. 25, а}. Известно, что поворот любого
твердого тела на малый угол о вокруг неподвижной оси можно
Рис. 25 Определение влияния угла наклона оси поворота пло-
ского зеркала в плоскости падения (а) и в перпендикулярной пло-
скости (6) на направление отраженных лучей и наклон изображения

представить вектором со, направленным вдоль этой оси, модуль
которого равен углу поворота и). Раскладывая вектор поворота о
на две проекции — | о | cos Q (по оси у) и coz = |	| sin Q

(по оси г), заключаем, что первая проекция действует аналогично
углу поворота [3 в рассмотренном ранее (см. рис. 24) случае, когда
ось поворота зеркала совпадала с осью у\ она вызывает и боковое
отклонение луча на угол у^ и наклон изображения а„. и»
Поэтому в данном случае получим несколько видоизмененные
формулы:

Ул ~ 2 | (о | cos Q cos 80; .и 2 | о) | cos Q sin е0-	(46а)

Что же касается второй проекции coz, то легко представить,
что она соответствует повороту зеркала вокруг его нормали
в исходном положении, который, очевидно, не вызывает ни от-
клонения выходящих лучей, ни наклона изображения.

В самом же общем случае, который может встретиться при
юстировке плоских зеркал, ось поворота не будет лежать в пло-
скости yz. а будет составлять произвольный угол Г с этой пло-
скостью (рис. 25, б) и, кроме того, угол Q с плоскостью ху. Век-
тор малого угла поворота зеркала со, направленный по его оси
вращения общего положения, теперь будет иметь три проекции:
(ох = | ш | cos Q sin Г по оси х, со^ — | (о | cos Q cos Г по оси у
и (oz = | (о | sin Q по оси z. Проекция (о7у вызывает уже известные
дефекты у^ и ан. и, проекция (oz приведет к недейственному по-
вороту зеркала вокруг его нормали No, а проекция (ох, как легко
себе представить, вызовет поворот зеркала на малый угол (ох
вокруг оси, перпендикулярной к плоскости падения (плоскости
ортов А и N), что приведет к отклонению выходящего луча по
вертикали в плоскости yz на угол 2ьх, но без наклона изображе-
ния.

Таким образом, в самом общем случае поворот плоского зер-
кала на малый угол (о вокруг произвольной оси вызовет три де-
фекта: боковое отклонение выходящего луча на угол у^; наклон
62
Вид А

Рис. 26. Автоколлимационный способ выявления взаимной непа-
раллельное™ зеркал 1 и 2 при сборке зеркального ромба

изображения на угол ан. и и отклонение выходящего луча по
высоте на угол о^, причем:

Ул = 21 (о | cos Q cos Г cos е0; '
«н.и = 2 | ю | cos Q cos Г sin е0;

обл = 2 | f cos Q sin Г.

(466)

Очевидно, что все эти три дефекта можно устранить одним
поворотом зеркала вокруг той же оси на угол со в обратную сто-
рону. Расчеты по приведенным формулам весьма просты при
любой ориентировке осей поворота; необходимо лишь следить за
направлением отсчета углов, так как формулы (466) выведены
для того случая, когда входящие в них углы отсчитываются в сле-
дующих направлениях: угол поворота зеркала — при взгляде
от конца вектора (о против вращения часовой стрелки; угол Q —
от плоскости ху вверх; угол Г — при взгляде со стороны оси z
по часовой стрелке.

Пример 19. Автоколлимационный способ контроля взаимной
параллельности зеркал 1 и 2 зеркального ромба (рис. 26) при-
меняется, например, при сборке катетометра. Автоколлимацион-
ную трубу 4 с угломерной сеткой в поле зрения окуляра предвари-
тельно (в отсутствии зеркального ромба) устанавливают перпен-
дикулярно к вспомогательному плоскому зеркалу 3 и закрепляют
так, чтобы взаимное положение трубы 4 и зеркала 3 не наруша-
лось. Затем в ход лучей между трубой 4 и зеркалом 3 вводят зер-
кальный ромб и наблюдают отклонение возвратно отраженного
пучка лучей, который дважды (при прямом и обратном ходе через
зеркальный ромб) отражается от зеркал 1 и 2, от указанного исход-
Рис. 27. Влияние наклона углового зеркала
вокруг произвольной оси, перпендикулярной
к его ребру, на направление отраженного
луча и поворот изображения

ного положения, причем
в плоскости рисунка (в
плоскости ху) угол откло-
нения равен а, в перпен-
дикулярной плоскости (в
плоскости xz) — р.

Обозначим угол накло-
на зеркала 2 по отношению
к зеркалу 1 вокруг оси х,
перпендикулярной к пло-
скости рисунка, буквой а2,
а вокруг оси уъ лежащей
в плоскости рисунка и
совпадающей с отражаю-
щей плоскостью зеркала /,
буквой р2. Первая состав-
ляющая угла наклона зер-
кала 2 вызовет отклоне-

ние луча, отраженного от
этого зеркала при прямом
ходе, в плоскости рисунка
на угол 2а2, а вторая со-

ставляющая — отклонение
согласно формуле (46) в перпендикулярном направлении на угол
Ул = 2f}2 cos 80 = 2р2 cos 45° = 1/2р2, так как угол падения 80
равен 45°. После отражения от зеркала 3 и обратного хода лучей
через зеркальный ромб указанные углы отклонения удваиваются,
в результате чего а — 4а2; Р = 2ул = 2 У2р2.

Для устранения взаимной непараллельное™ зеркал 1 и 2
следует подпилить опорные площадки корпуса, на которых уста-
новлены зеркала. Если расстояние между площадками равно
а и Ь. как показано на рис. 26, то, например, для устранения
ошибки р2 следует подпилить обе правые угловые опорные пло-
щадки на величину Дь = p2b = Р&/2 •/*2. Если, в частности до-

пускается отклонение от параллельности выходящего из зер-
кального ромба луча по отношению к падающему не более 10",
то точность подпиловки указанных опорных площадок должна
к	а tg 20"Ь tg 20" • 30 л nni т

быть не ниже	~ 0,001 мм. Так же можно

2К 2	2/2

рассчитать величину и точность подпиловки опорных площадок
корпуса при устранении составляющей непараллельное™ сх2.

Следует заметить, что при наклоне зеркала 2 на угол |32 нак-
лон изображения в данном случае не обнаруживается, так как
используется автоколлимационный метод контроля, при котором
наклон изображения на угол н = 2р2 sin 80, возникший при
прямом ходе лучей, полностью уничтожается после повторного
отражения от зеркала 2, поскольку изображение в обратном ходе
лучей поворачивается на равный угол, но в противоположную
сторону, т. е. на угол а„. н = —2(J2 sin е0.

Угловое зеркало. При наклоне углового зеркала вокруг произ-
вольной оси, перпендикулярной к его ребру, в общем случае возни-
кают отклонение выходящего луча и наклон изображения. На
рис. 27 ортом ребра р0 — к условно показано угловое зеркало
с двугранным углом о в системе неподвижных осей xyz в исходном
положении, когда его ребро перпендикулярно к плоскости ху —
плоскости рисунка. Осевой луч, падающий на угловое зеркало,
задан ортом А, совпадающим с осью х, так что А = i. Вертикаль
плоскости предметов задана ортом В и направлена вдоль ребра
параллельно оси z, поэтому В — к.

При исходном положении углового зеркала осевой луч в нем
отражается в направлении орта Ао, который лежит тоже в пло-
скости рисунка (в плоскости ху) под углом 2а к падающему лучу;
орт В при отражении не отклоняется от своего направления,
поэтому Во = В = к.

Опрокинем угловое зеркало из указанного исходного положе-
ния на угол со вокруг оси, перпендикулярной к его ребру и на-
правленной под произвольным углом О* к оси х. Найдем направле-
ние выходящего осевого луча (орт Ал) и направление изображения
вертикали (орт Вл) в лучевой системе осей хлулгл, которая по
отношению к системе xyz повернута на угол 2а вокруг оси z так,
что ось хл совпадает с ортом Ао выходящего осевого луча при ис-
ходном положении углового зеркала. Для искомых ортов Ал
и Вл напишем:

(cos 2а \ /тп cos 2а — т12 sin 2а \

— sin 2а 1 = 1 m21 cos 2а — т22 sin 2а I (47)

О /	\/п81 cos 2а — m32 sin 2а /

и соответственно

/0\	/т13

в; = жвл = м; о | = I т23
\/п33

(48)

Для орта ребра рл опрокинутого на угол со углового зеркала
в той же системе осей хпу^л найдем

рл = sin со sin (2а + $) L + sin со cos (2а + ft) ]л + cos сокл.

Подстановкой элементов матрицы Л4л из формулы (10а) и после
преобразований сначала найдем точное выражение

(1 — 8 sin2--y sin2 о cos2a — cos2 -у sin (2a4-fl) sin О j \

—sin2 у £ sin 4а — 8 cos2 -^-sin2a cos (2a + fl) sin fl J I ’ (47a)

—2 sin co sin a [cos a cos fl—cos co sin a sin fl]	/

3 Погареи Г. В. и др.

65
из которого для малого угла опрокидывания со получим прибли-
женное выражение орта направления выходящего луча

/ 1 \

Ал ~ I ”0)2 sin — 2 sin2a cos (2a + ft) sin О] j •	(476)

\	—2(o sin a cos (a + ft)	J

Для прямоугольного зеркала (о = 90°) точное выражение
(47а) упрощается:

/1—2 sin2 со sin2 ft\

(Ал)а=90° = I ~sin2 °Sin $	•	(47В)

\ sin 2(о sin ft /

Отсюда видно, что при наклоне прямоугольного зеркала вокруг
падающего луча (ft — 0) на любой угол со, поскольку (Ал)а=90' =
— 1Л, выходящий луч не отклоняется от своего первоначального
направления, а при наклоне его вокруг перпендикуляра к падаю-
щему лучу (ft — 90°) выходящий луч отклоняется в вертикальной
плоскости хлгл на удвоенный угол вверх, так как (Ал)0^9о- =
= cos 2со1’л + sin 2сокл.

, Для орта Вл направления вертикали по формуле (48) аналогич-
но найдем

(2sin (о sin a [cos a cos (2a-|- ft) + cos (o sin a sin (2a + ft)]\

—2sin о sin a [cos a sin (2a + ft)—cos co sin a cos (2a + ft)] • (48а)
1 — 2 sin2 (o sin2 a	/

Из этого точного выражения получим приближенное, справед-
ливое для малого угла наклона со углового зеркала

(2(d sin a cos (a — ft) \

—2(o sin a sin (a —ft) L	(486)

1 /

Для того же примера с прямоугольным зеркалом из точной
формулы (48а) получим

(—sin 2(о sin ft\

—sin2(ocosft .	(48в)

cos 2(0	/

При наклоне прямоугольного зеркала вокруг падающего луча
(ft — 0) будет (Вл)а—90° == —sin 2со]л + cos 2(окл, т. е. изобра-
жение будет вращаться вокруг возвратно отраженного луча
(Ал)а==9о^ = ]л вдвое быстрее зеркала в направлении его пово-
рота, а при наклоне вокруг оси, перпендикулярной к падающему
лучу (ft = 90°), станет (Вл)а^90 — —sin 2омл + cos 2сокл, т. е.
изображение Вл отвеса будет опрокидываться синхронно с вы-
ходящим лучом (Ал)сг—9о° = cos 2со1л + sin 2<окл.
Из формул (476) и (486) получим общие выражения для углов
отклонения выходящего осевого (два раза) луча по вертикали
и по горизонту ул, а также для угла наклона изображения а'н. и

A"	'I

₽л =	~ — 2(0 sin ст cos (о 4- $);

А"п

Ул = т— « — со2 [0,25 sin 4а — 2 sin2 а cos(2a ф) sin fl-]; 
Лхл

а'н. и =	~ — 2о> sin о sm (о - <0.

4л

(44

Из найденных выражений сделаем следуюшие выводы.

1.	Угловое отклонение рл выходящего луча по высоте, т. с,
перпендикулярно к плоскости главного сечения углового зеркала,
пропорционально первой степени угла наклона <о углового зер-
кала. Однако при опрокидывании вокруг оси, расположенной
к направлению падающего луча под углом 0 = 90° — о, koi.u
cos (о 4 '&) — 0, этот угол отклонения равен нулю; при этом у: —
вое зеркало опрокидывается вокруг первого особого направления
(О = 90° — а), при смещении вдоль которого отсутствует децгят-
рировка (Z = 0); при опрокидывании углового зеркала вокруг
второго особого направления (ft = —а) угол 4 достигает мак-
симального значения (Зл тах = —2(о sin о.

2.	Угловое отклонение ул выходящего луча по горизонту,
т. е. в плоскости главного сечения углового зеркала, при любой
ориентировке плоскости опрокидывания всегда является величи-
ной второго порядка малости. Таким образом, угол отклонения
выходящего осевого луча (орт Ал) по отношению к направлению
падающего луча (орта А) практически не изменяется при любом
опрокидывании углового зеркала на небольшой угол а), т. е.
почти всегда можно принимать, что эют угол раь 'Я постоянной
величине до величин второго порядки малости ААЛ ж 2а — coast.

3.	Наклон изображения ан. и в ортогональной выходящему
осевому лучу плоскости пропорционален также первой степени
угла наклона со углоного зеркала. Однако при опрокидывании
вокруг оси под углом о = а, когда sin (о — #)	0, наклон изо-

бражения практически ле появляется; это соответствуем опроки-
дыванию вокруг второго особого направления углоып > зеркала*
при опрокидывании же вокруг первою особого иаправ.н-ния нак-
лон изображения достигает наибольшею ; нсш  4,и)Гпах

-2(о sin аэ.

Можно показать, что особые направления 1—1 (наибольшей
расфокусировки AZmax) и //—// (наибольшего сдвига /тах) сох-
раняются и в призмах с крышей типа БкУ при смещениях в пло-
скости главного сечения исходной призмы типа БУ, но при опро-
кидывании призм типа БкУ эти направления меняются ролями.
Так, при опрокидывании такой призмы вокруг направления
I—I возникает наибольший угол отклонения выходящего луча
при высоте (Рл)тах = —2(0 sin оэ, а наклон изображения при
этом отсутствует, т. е. и = 0. При опрокидывании вокруг на-
правления //—II возникает наибольший наклон изображения
(a». и)тах = —2со cos оэ без отклонения выходящего луча по
высоте, так как Рл' = 0. Здесь аэ — угол эквивалентного угло-
вого зеркала призмы БкУ (см. рис. 6).

Пример 20. Рассмотрим юстировку и контроль оптического
отвеса теодолита МГТ-30 по способу, предложенному А. В. Ме-
щеряковым. Предварительно определим влияние поворота угло-
вого зеркала на сдвиг отраженного луча.

На рис. 28, а показаны в разрезе полая горизонтальная ось
визирной трубы теодолита с вмонтированным в нее оптическим
отвесом, который включает в себя следующие узлы: угловое зер-
кало /, составленное из двух плоских зеркал с наружным алюми-
нированием, наклеенных на срезанные под углом 45° лыски оп-
равы в виде кольца; объектив в оправе 2, который можно сдвигать
в двух взаимно перпендикулярных направлениях с помощью
двух пар встречных юстировочных стопоров 5; сетку в оправе 3,
смещаемую вдоль оси для фокусировки на различные расстояния;
окуляр 4, устанавливаемый на резкое видение сетки.

Визирная линия (геометрическое место изображений сетки
3 при обратном ходе лучей) оптического отвеса должна совпадать
с вертикальной осью вращения теодолита, что обеспечивается
юстировкой — соответствующими подвижками углового зеркала 1
и объектива 2. Сдвигами объектива 2 можно установить визирную
линию оптического отвеса параллельно вертикальной оси враще-
ния теодолита, которая совпадает с осью у, а поворотом углового
зеркала 1 вокруг оси z (рис. 28, б) можно совместить визирную
линию с осью у, так как при повороте углового зеркала на угол у
выходящий из него луч (отмечен ортом А") сдвигается на величину
которую можно найти по общей формуле (186) или приближенно
по формуле (42). На рис. 28, б ортом А отмечен падающий на уг-
ловое зеркало луч, идущий навстречу оси х. Зеркала 1 и 2
образуют угол о = —45°, вследствие чего выходящий луч Ао
перпендикулярен к падающему лучу.

При развороте углового зеркала вокруг оси г, параллельной
ребру р, на угол у, его ребро, отстоящее от этой оси на расстоя-
нии q, сдвинется из исходного положения р0 в положение р,
а зеркала /0 и 20 займут положение 1 и 2.

Для разности радиусов-векторов изображения данной непод-
вижной точки при указанных двух положениях углового зеркала
по формуле (18а) напишем Ар" (1 — М") (q — q0). Из рис. 28, б
получится q0 = q (—cos 45° i — sin 45° j) = 7/7/2 (—i — j); q ==--
= q [—cos (45 ° + y) i — sin (45° + y) j ].
Рис. 28. К юстировке оптического отвеса теодолита МГТ-30: а —
разрез оптического отвеса; б — влияние поворота углового зеркала

Поэтому получим

q -- Чо =

я

1/2

[(— cos y 4- sin у) i — (cos у + sin у) j + i + j] =

= -/2 q sin -Д- sin-Д- + cos i + (sin-£- — cos-^-) j

Поскольку система координат xyz для углового зеркала на
рис. 28, б является основной, то М" — Р" и
(1 — cos 2a

- sin 2a
0

sin 2a	0\

1 — cos 2a Ox

0	1/

sin 4” cos J

у у

sin-Jj----cos-i-

0

/1

= j/~2 <7 sin-y-1 1

\0

— 1 0\

1 O X

0 0/

Y । V
sin — + cos -j-

V	Y

Sin ~~---COS-g-

0

Сдвиг изображения и выходящего луча А" равен проекции
Ар на ось х, т. е. / Ар* Y2 q sin ~~ (sin + cos —- —
— sin -у + cos ) = }/"2 q sin у.

Из рис, 28, б для величины q найдем q = R sin 45° (1 +
+ ctg 22,5°) « 3,417? sin 45°; после подстановки получим
ж 3,417? sin у.

Ту же задачу можно решить приближенно по формуле (44),
если принять, что ребро при повороте на малый угол у пере-
мещается не по дуге окружности, а по нормали к биссектрисе
Ор0 угла о = —45°. Тогда, подставляя в упомянутую формулу
Aq qy; a = —45°; у = —135°, сразу получим t ж 2qy sin X
X (—45°) cos (—45° — 135°) = ^2qy.

Юстировка оптического отвеса теодолита МГТ-30 в заводских
условиях выполняется в следующей последовательности.

1.	Над теодолитом, установленным на стенде и выверенным
обычным способом, укрепляют два знака — один на высоте i м5
другой на высоте 0,3 м так, чтобы они находились точно на одной
отвесной линии. Первый этап юстировки сводится к тому, чтобы
как можно точнее отцентрировать теодолит под верхним знаком.
Цля этого на объективный конец его визирной трубы надевают
призму, отклоняющую визирную ось на 90\ с тем чтобы можно
было наблюдать верхний знак при первом положении теодолита,
. затем после его поворота на 180°. Если изображение знака при
•пом сдвигается с горизонтальной нити сетки трубы, то половину
сдвига устраняют найлоном трубы в коллимационной плос < сти,
а половину — сдвигом самого теодолита в той же плоскости. По-
вернув теодолит на повторяют ют же прием в перпендикуляр-
ном направлении
Таким образом добиваются того, чтобы при вращении трубы
теодолита вокруг вертикальной оси изображение верхнего знака
не сходило с горизонтальной нити сетки.

Установив визирную трубу горизонтально, наблюдают верх-
ний знак в поле зрения оптического отвеса и, сдвигая его объек-
тив 2 (рис. 28, а) юстировочными винтами 5, точно совмещают изо-
бражение верхнего знака с центром сетки 3. При вращении тео-
долита изображение знака после этого не должно сходить с центра
сетки отвеса.

2.	Для исключения неотвесности визирной оси оптического
отвеса необходимо отцентрировать ее по второй нижней точке,
лежащей на вертикальной оси вращения теодолита. Перефокуси-
ровав отвес на нижний знак, устанавливают его так, чтобы он
совпал с осью вращения теодолита; при этом центр сетки отвеса
будет описывать окружность вокруг центра знака. Поворотом
углового зеркала 1 вокруг оси z (рис. 28, б) совмещают изобра-
жение знака с центром сетки отвеса и оправу зеркала закрепляют
винтом.

Перефокусировав отвес снова на верхний знак, уточняют
юстировку сдвигами объектива 2 (рис. 28, а) с помощью винтов 5.

Влияние поворотов плоского, углового и тройного зеркал
в сходящемся ходе лучей на положение изображения точки можно
определить по формулам (18), (18а) и (186), найдя разность радиу-
сов-векторов для их повернутого и исходного положений. По-
кажем это на примере зеркального ромба, для которого по формуле
(18в) имеем р'рОМб == 23N1.

На рис. 29 ромб, состоящий из зеркал /0, 20 показан в двух
неподвижных системах координатных осей с общим началом,
которое совпадает с точкой Т предмета, лежащей в плоскости
зеркала 1. Ось х первой системы совпадает с падающим лучом,
направленным по орту А, а ось z — с зеркалом 1. Оси второй си-
стемы xoz/ozo являются основными осями для ромба. Очевидно,
что поворот ромба вокруг оси х0, параллельной нормали Nlo
зеркала 1 (а также и нормали зеркала 2), недействен. Рассмотрим
влияние остальных двух поворотов — вокруг осей yQ и г0. Влия-
ние последнего поворота показано на рис. 29.

Легко себе представить действие любого поворота ромба, так
как изображение Т” неподвижной точки предмета Т всегда лежит
на перпендикуляре к зеркалу /, восставленном из точки Г,
на расстоянии 2Ь от последней. Поэтому при любом повороте
ромба изображение Т" точки Т расположено на поверхности сферы
радиусом 2Ь с центром в точке Т. При повороте ромба вокруг
оси г0 (или оси г) изображение Т" опишет в плоскости рисунка
дугу окружности радиусом 2Ь с центром в точке Т, а при повороте
вокруг оси ifa — дугу окружности в плоскости, перпендикуляр-
ной к плоскости рисунка.

Выведем аналитические выражения расфокусировки и сдвига
изображения для обоих поворотов как разность двух радиу-
Рис. 29. Влияние поворотов зеркального ромба в сходящемся
ходе лучей на положение изображения

сов-векторов при повернутом (Г") и исходном (7'о) положениях
ромба.

Поворот вокруг оси z (г0) на угол у, равный углу Де, дает
Дру = Ру — ро = 2b (Nv — No). Для орта направления нормали
зеркала 1 из рис. 29 найдем: при исходном положении ромба
No = —cos eoi — sin eoj; после поворота на угол у = Де будет
Ny = —cos (е0 Де)! — sin (е0 + Де)j. После подстановки и
преобразований получим точное выражение

Дру = 2b [(sin е0 sin Де -j- 2cosе0 sin2 -^-)i +

+ (—cos e0 sin Де -j- 2 sin e0 sin2-y-) j] >

которое для небольших юстировочных поворотов можно преобра-
зовать в приближенное выражение, содержащее малые величины
первого и второго порядков Дру яг 26Де [(sin ео +
+ 0,5Де cos e0)i + (—cos е0 + 0,5 Де sin e0)j ] или же величины
только первого порядка Дру яг 2Ь&е, (sin eoi — cos eoj).

Проекция приращения радиуса-вектора Дру по оси х равна
расфокусировке изображения Д/, а его проекция по оси у — его
сдвигу ty, т. е.:

Д/яг 2Ь Де sin е0; ty яг — 2b Aecose0.	(50)

Поворот вокруг оси у0 на угол 0 даст Дрр = 2b (Np — No).
Поскольку теперь Np = —cos е0 cos 0i — sin e0 cos 0j + sin 0k,
72
то после подстановки и преобразований вначале получим точное
выражение Арр = 46 sin (cos е0 sin i + sin е0 sin j 4-
+ cos -~-k) , а из него для малого угла поворота £ ромба найдем
приближенные выражения: Арр « 2bfi (-|-cos Boi + sin е0 j +
+ k) , содержащие малые величины первого и второго порядков,
и Арр 2bpk, содержащее величины лишь первого порядка.

Таким образом, юстировочный поворот зеркального ромба
вокруг оси yQ на малый угол р вызовет только сдвиг изображения
в направлении, перпендикулярном к плоскости его главного се-
чения:

tz = 2&р.	(50а)

5. О КЛАССИФИКАЦИИ ЗЕРКАЛЬНО-ПРИЗМЕННЫХ СИСТЕМ

В оптотехнической литературе описаны десятки различных
зеркальных и призменных систем с плоскими рабочими отражаю-
щими и преломляющими гранями. В табл. 4.6 [78], например,
включены 41 призма и призменная система, однако в этом ката-
логе полностью отсутствуют зеркальные системы и многие приз-
менные системы.

Эмсли [55] описал 57 типов различных зеркально-призмен-
ных систем, но и его каталог тоже нельзя считать полным. Для
ясного понимания свойств, действия и юстировки систем необ-
ходима их строгая научная классификация. Впервые такую клас-
сификацию предложил И. В. Лебедев [40]. В соответствии с ней
системы, составленные из плоских зеркал, можно разделить на
следующие семь классов (табл. 3):

1)	класс А — плоское зеркало;

2)	класс Б — угловое зеркало (в частном случае прямоуголь-
ное зеркало с углом о = 90°);

3)	класс Б-0 — зеркальный ромб — частный случай углового
зеркала при о — 0;

4)	класс В — тройное зеркало с центром в точке взаимного
пересечения зеркал;

5)	класс В-180°—триэдр прямоугольный—частный случай
тройного зеркала, отражающие грани которого взаимно перпен-
дикулярны;

6)	класс А + Б-0 — плоское зеркало (А) в сочетании с пер-
пендикулярным ему зеркальным ромбом (Б-0) — частный случай
тройного зеркала, у которого нормали всех трех зеркал компла-
нарны;

7)	класс Б + Б-0 — угловое зеркало (Б) в сочетании с перпен-
дикулярным к его ребру зеркальным ромбом (Б-0) — система
четырех зеркал общего вида.
5)

6)

г)

Рис. 30. Конструктивные варианты оборачивающих призменных
систем: перископических (а—д) и панорамических приборов (е—k)

Любую систему плоских зеркал можно привести к одному из
перечисленных семи классов. Рассмотрим для примера призмен-
ные оборачивающие системы, изображенные на рис. 30, а—к.
Все они обладают одинаковым действием — дают полное обра-
щение изображения и обеспечивают перископичность. Системы,
приведенные на рис. 30, а—д, используют в стереотрубах и пе-
рископах, а на рис. 30, е—к — в панорамических трубах, служа-
щих для кругового обзора (панорамирования) в горизонтальном
направлении.

Для компенсации поворота изображения, возникающего при
вращении головной призмы на угол ср вокруг вертикальной оси,
необходимо вращать с половинной угловой скоростью или на
половинный угол <р/2 вокруг также направленной оси так назы-
ваемую выпрямляющую призму, в качестве которой в схемах
на рис. 30, е, ж, и, к используют призмы Дове, а на рис. 30, з —
призму Пехана. Выпрямляющие призмы необходимо вращать
в направлении поворота головной призмы во всех схемах, за исклю-
74
Рис. 31. Нахождение эквивалентной зер-
кальной системы (ЭЗС) и эквивалентной
призменной системы (ЭПС) для окуляр-
ной призмы, составленной из призм
АкР-90° и ВР-1800

чением схемы на рис. 30, к,
где вращение призмы Дове
должно иметь противополож-
ное направление, так как
она расположена не непосред-
ственно за головной призмой,
а за неподвижной прямо-
угольной призмой, которая
дает зеркальное обращение
и как бы меняет знак враще-
ния на противоположный.
На рис. 30, к это отмечено
и соответствующим направ-
лением стрелки и знаком ми-
нус при угле <р/2. В схеме на
рис. 30, и вращаются совмест-
но прямоугольная призма ти-
па АР-9О0 и призма с тремя
отражениями типа ВР-1800.
Такая система двух призм
эквивалентна по действию од-
ной пентапризме типа БП-90°.

Поскольку все десять
призменных систем одинако-
вы по своему действию, то
легко прийти к выводу, что
их части без головных призм
в положении, показанном на
рис. 30, также одинаковы

по действию. Из сравнения этих частей призменных систем видно,
что наиболее простой из них является окулярная призма (пента-
призма с крышей), приведенная на рис. 30, г. Иначе говоря, все
остальные призменные системы (повторяем, без головной призмы)
эквивалентны пентапризме с крышей типа БкП-90° или же зер-
кальной системе класса В — тройному зеркалу с центром в точке
взаимного пересечения зеркал. В частности, этой же зеркальной
системе класса В эквивалентна и окулярная призменная система
(рис. 30, 5), состоящая из прямоугольной призмы с крышей типа
АкР-90° и призмы с тремя отражениями типа ВР-1800, т. е. приз-
менная система с пятью отражениями. Той же зеркальной системе
класса В эквивалентна и призменная система с семью отражениями
(рис. 30, з), состоящая из призмы Пехана с пятью отражениями
и прямоугольной призмы с крышей АкР-90°. В свою очередь,
оборачивающая призменная система с шестью отражениями
(рис. 30, и) эквивалентна по своему действию зеркальной системе
класса Б + Б-0.

Пример 21. Найдем зеркально-призменнуюш систему, эквива-
лентную по действию окулярной призме в схеме на рис. 30, д.
В увеличенном масштабе эта призма изображена на рис. 31.
Выше было доказано, что она эквивалентна пентапризме с кры-
шей, а последняя, в свою очередь, эквивалентна трехзеркальной
системе класса В с центром Ц3 в точке пересечения зеркал. По-
ложение этого центра легко найти из условия взаимного равенства
длин хода лучей в эквивалентной зеркальной системе и в исход-
ной призме. Приняв для стекла п = 1,5, найдем положение
центра который расположен на биссектрисе угла между зер-
калом 1 и ребром крыши с гранями 2, 3 эквивалентной системы
(ЭЗС). С центром Дэ совпадает начало основной системы коорди-
натных осей xoyozQ ЭЗС, причем ось zQ направлена по ее основ-
ному неизменному направлению, которое перпендикулярно к
плоскости рисунка, а оси х0 и у0 — по особым направлениям
I—I и II—II. Напомним, что направление I—I отличается тем,
что смещение ЭЗС вдоль него вызывает только расфокусировку
изображения, а поворот ЭЗС около него — отклонение выходя-
щего луча из плоскости рисунка; смещение же ЭЗС вдоль направ-
ления II—II вызывает лишь сдвиг изображения, а поворот около
него — наклон изображения. Поскольку крыша прямоугольная,
то сдвиг ЭЗС вдоль оси zQ вызывает в том же направлении удвоен-
ный сдвиг изображения.

В соответствии с найденной эквивалентной зеркальной сис-
темой можно найти и эквивалентную призменную систему (ЭПС).
Очевидно, что это будет пентапризма с крышей типа БкП-90°.
Заметим, что длина развертки эквивалентной призмы не будет
равна длине развертки исходной призмы, даже если они обе из-
готовлены из стекла одной и той же марки. Это объясняется тем,
что длина хода луча в воздухе (считая от положения входной грани
призмы АкР-90° исходной системы) значительно больше с экви-
валентной пентапризмой, чем при исходной призменной системе,
поэтому на долю хода луча в стекле в первом случае остается мень-
шая длина пути.

После приведения исходной окулярной призмы к ЭЗС легко
определить и влияние ее действенных подвижек. При этом необ-
ходимо иметь в виду, что входная и выходная грани призмы
должны быть установлены перпендикулярно к осевому пучку
лучей (или оптической оси объектива, показанного на рис. 30, д),
так как наклон толстой стеклянной пластинки, в которую раз-
вертывается призма, вызывает дефекты качества изображения,
даваемого объективом, в направлении плоскости наклона. О влия-
нии смещений призмы было сказано выше: смещением вдоль оси х0
можно фокусировать изображение, сдвигами вдоль оси у0 — цент-
рировать изображение по вертикали, а сдвигами вдоль оси z0 —
центрировать его по горизонту.

В табл. 3 1391 указаны действенные подвижки зеркально-
призменных систем всех классов, приведены канонические мат-
рицы их действия и формулы для определения влияния действен-
ных подвижек. В последних столбцах таблицы приведены неко-
76
торые примеры ЗПС, относящихся к соответствующим клас-
сам, и указаны призмы, принадлежащие к каждому из семи
классов.

Действенные подвижки всех зеркально-призменных систем
рассмотрены в системе координатных осей %oz/ozo, которая совпадает
с основной системой осей при исходном положении ЗПС. Из ше-
сти возможных подвижек, имеющихся у любого твердого тела,
только часть их является действенной. В параллельном ходе
лучей малые (юстировочные) поступательные перемещения лю-
бой ЗПС недейственны, а из трех оставшихся поворотов по край-
ней мере один поворот у любой ЗПС является недейственным,
а именно поворот вокруг оси z0, которая совпадает с основным
неизменным направлением, имеющимся, согласно И. В. Лебедеву,
у каждой системы плоских зеркал. У ромба зеркального класса
Б-0 и триэдра прямоугольного класса В-180° поворот вокруг
любой из трех осей является инвариантным — недейственным,
что отмечено во всех трех колонках графы 5 прочерком, и согла-
суется с тем, что матрицы обеих систем единичные. Действенные
подвижки отмечены знаком плюс.

В сходящемся ходе лучей (графа 4) [39] число действенных под-
вижек у всех ЗПС больше, чем в параллельных пучках. У пло-
ского зеркала к двум действенным поворотам вокруг осей х0
и z/0, параллельных отражающей плоскости, в сходящемся ходе
лучей добавляется третья действенная подвижка — смещение
(вдоль оси z0).

Угловое зеркало Б и система класса Б + Б-0 имеют в сходя-
щемся ходе лучей по два действенных смещения — поперек
ребра — в дополнение к двум поворотам вокруг осей х0 и yQi
перпендикулярных к ребру (в исходном положении систем).
У ромба в сходящемся ходе лучей действенны оба поворота вокруг
осей, параллельных зеркалам ромба (в его исходном положении).
Наибольшее число действенных подвижек имеется у тройного зер-
кала общего вида: только поворот вокруг ОНН недейственен,
а все остальные пять подвижек (два поворота вокруг осей, пер-
пендикулярных к ОНН, и все три смещения) действенны. У три-
эдра прямоугольного действенны лишь все три смещения — они
вызывают удвоенный сдвиг изображения в направлении сдвига
центра триэдра, а все три поворота вокруг этого центра недейст-
венны. У системы класса А + Б-0 в сходящемся ходе лучей все
три поворота действенны; в этой системе, состоящей из плоского
зеркала и перпендикулярного ему зеркального ромба, основные
неизменные направления каждой из частей системы взаимно
перпендикулярны. В отличие от этого случая в системе класса
Б + Б-0 основные неизменные направления углового зеркала Б
(его ребро) и перпендикулярного ему ромба Б-0 (нормали зеркал)
взаимно параллельны, поэтому поворот вокруг оси z0, параллель-
ной как ребру углового зеркала, так и нормалям ромба зеркаль-
ного, инвариантен и для всей зеркальной системы.
В графе 7 перечислены недейственные подвижки (смещения
и повороты) 3IIC в сходящемся ходе лучей, и здесь же указаны
номера расчетных формул, позволяющих определить влияние ма-
лых действенных подвижек ЗПС на изменение положения изобра-
жения, направления отраженных лучей и ориентировки изобра-
жения.

6.	СМЕЩЕНИЯ И СДВИГИ ФОКУСНЫХ ДЕТАЛЕЙ

При смещении линзы из исходного положения (см. рис. 19)
на величину Дгл расстояние /0 между сопряженными точками Т
и Т станет по формуле (30) равно /, т. е. изменится на величину,
равную

Д/ = (1 — Ро₽) Агл,	(51)

где ро, Р — линейное увеличение в сопряженных плоскостях
при исходном и смещенном положениях линзы. Для вычислений
более удобна не точная формула (51), а приближенная вида

АI » (1 - Ьо) Дгл -	Аг*,	(51а)

справедливая в тех случаях, когда | Дгл | <С | z |.

В частнььх случаях последняя формула упрощается следующим
образом:

а)	при | Ро |	1 (| 201	/')» т- е- в случае фотообъектива,

сфокусированного на очень далекую точку,

Д/ Д^л;

(516)

б)	при | р01 1= 1 (| z | — /') в случае, когда предмет отстоит
от переднего фокуса линзы F на расстоянии z ~ —f',

AZ = Дг^/f',	(51 в)

а когда предмет совпадает с передней главной плоскостью линзы,

AZ = — Az*/f';

(51г)

в)	при | Ро |	1 (| I С f'), т. е. в случае микрообъектива

Д/-(1 ~р^)Дгл^- Ро Дгл.

(51Д)

При ро = оо (случай окуляра, передний фокус которого сов-
мещен с предметом) формулы (51) и (51а) непригодны. Для на-
хождения положения изображения в этом случае следует пользо-
ваться формулой Ньютона (28).

Если смещаемая линза находится перед системой с продоль-
ным увеличением ас, то расфокусировка изображения за системой
возрастает до значения

Д/с — Д/(ХС — (1 РоР) А2лосс.

(52)
Пример 22. В работе 155 j утверждается: «В хорошо изго-
товленнолм микроскопе при замене одного объектива или окуляра
другим не требуется дополнительной наводки на резкость види-
мого изображения. Это достигается тем, что длина тубуса посто-
янна, постоянны и положения относительно него предмета и изо-
бражения после объектива».

Подсчитаем, с какой точностью необходимо выдерживать за-
данное положение сменных объективов и окуляров, чтобы после
замены одного объектива или окуляра другим действительно не
требовалось дополнительной наводки микроскопа для восстановле-
ния резкости видимого изображения.

Изображение будем считать достаточно резким, если при смене
объективов или окуляров оно смещается за окуляром не более чем
на ±1 дптр, т. е. например, если при исходных объективе и оку-
ляре резкое изображение предмета получалось на расстоянии
/о —250 мм перед наблюдателем (Ло = —4 дптр), то после смены
объектива или окуляра оно может сместиться в пределах расстоя-
ния от = —333 МхМ (Дт = —3 дптр) до /2 = —200 мм (А2 =
~—5 дптр). Из этого условия для сменных окуляров получаются
вполне выполнимые допуски на отклонение их положения в ту-
бусе по высоте. В зависимости от увеличения окуляра Гон эти
допуски не должны превышать (А/ок)доп = /окЮ"3 = ((250/Гок)х
X 10"3 ~ 62,5/Гьк- Например, для окуляра увеличения Гок —
— 10х получится (А/ок)доп ~ 0,6 мм, а для окуляра с Гок =
= 15х — (А/ок)Доп ~ 0,3 мм.

Значительно более строгие допуски получаются для сменных
объективов. Они обычно закрепляются на общем поворотном ре-
вольвере. Например, в микроскопе биологическом рабочем
МБР-1 применяется набор из трех сменных объективов 8x0,20;
40x0,65 и 90x 1,25 (иммерсионный). Объектив 8x0,20, имеющий
наибольшее предметное поле зрения (более 2 мм), используется
в качестве искателя для предварительного просмотра препарата
и выбора участка, подлежащего исследованию с более сильным ра-
бочим объективом. Допустимое смещение объектива но высоте
(А/Об)доп (за счет, например, неточной подрезки высоты оправы
в заданный размер 33 мм от плоскости предмета до ее опорного
торца) при принятом допуске на расфокусировку изображения за
окуляром дптр можно подсчитать по предыдущей формуле,
если вместо увеличения окуляра Гок подставить увеличение
микроскопа Гм = |ЗобГок. В результате запишем (А/об)доп —
= 62,5/11 = 62.5/фо<Ток)2.

Даже для самого слабого объектива и окуляра из набора
(Гок -= 7х;	~ —8х) получится довольно строгий допуск на

подрезку оправы объектива 8 х0,20 по высоте (А/об)доп ~ 0,02 мм.
Для объектива 40x0,65 с окуляром Гок — 10х получится
уже практически невыполнимый допуск (А/об)доп не менее
0,4 мкм.
Следует еще иметь в виду, что поскольку сменные объективы
взаимосвязаны (закреплены на общем поворотном револьвере), по-
грешность установки одного объектива — предыдущего — вызывает
расфокусировку изображения при включении последующего объ-
ектива, если даже последний не имеет погрешности по высоте.

В самом деле, если объектив-искатель 8x0,20 подрезан по
высоте с погрешностью в пределах ранее найденного допуска
Д/и = ±0,02 мм, то по формуле (516) для этого объектива при
обратном ходе лучей = —1х/8 потребуется поднять или опу-
стить предметный столик микроскопа по отношению к револьверу
с объективами на величину Д/с « Д/и = ± 0,02 мм, чтобы полу-
чить резкое изображение препарата. Вследствие этого при замене
объектива-искателя рабочим объективом 40x0,65 появится рас-
фокусировка за окуляром, равная А ~ Д/и1О'/7'2 дптр, где /м =
= 250/Гм = 250/роГок — фокусное расстояние микроскопа: После
подстановки и преобразований напишем А = Д/и (роГок)2/62,5.
Для нашего случая получится очень большая расфокусировка
А = ±0,02 (40 • 10)2/62,5 - ±50 дптр.

Отсюда следует, что допуск на подрезку оправы в размер
33 мм по высоте и на слабый объектив—искатель необходимо
задавать такой же строгий, как на сильный рабочий объектив;
в нашем примере значение (Д/И)доп должно быть меньше 0,4 мкм,
что практически невыполнимо.

Таким образом, расчеты показывают, что дополнительная на-
водка микроскопа на резкость видимого изображения не потре-
буется только при смене окуляров, а при смене объективов не-
возможно обеспечить сохранение резкости изображения.

По ГОСТ 8284—78* изменение фокусировки микроскопа
МБР-1 при переходе от одного объектива к любому другому,
входящему в комплект данного микроскопа (кроме иммерсионных),
допускается не более 0,05 мм. При таком допуске после смены
объективов за окуляром микроскопа может возникнуть огромная
расфокусировка —до Л = 0,05-103//м - Гм/1250 дптр. Напри-
мер, при увеличении микроскопа Гм = 400х получится А —
= 130 дптр (!).

Расфокусировка изображения в микроскопе со сменными
объективами на поворотном револьвере может возникнуть не
только из-за погрешностей подрезки по высоте механических
деталей (опорных торцов оправы объектива, окуляра, тубуса
окулярного и всей цепочки деталей, находящихся между объекти-
вом и окуляром), но также и вследствие погрешностей юстировки
оптических деталей, например полупентапризмы (см. рис. 23, в).
При сдвиге полупентапризмы на привалочной плоскости из рас-
четного положения всего на 1 мм, как было показано, возникает
расфокусировка Д/ « 0,7 мм.

При установленном объективе 8x0,20 по формуле (51д) для
обратного хода лучей найдем изменение высоты предметного сто-
80
Лика относительно его номинального положения, необходимую
для получения резкого изображения препарата, причем Д/с =
= (—Д/ Рй2 — Д/8-2 = 0.7-64-1« 0,01 мм. Но, как следует из
предыдущих расчетов, при замене объектива — искателя 8 X
X р,20 рабочим объективом 40x0,65 при Д/с — 0,01 мм за окуля-
роЦГов = 10х возникает расфокусировка А ж 25 дптр.

Принято считать, что глаз не замечает расфокусировки изобра-
жения, если его смещение А/ от заданной и фиксированной каким-
либ^ знаком плоскости сравнения не превосходит Az, причем

I	Az = 0,2/сг2,	(53)

где d — действующая апертура пучка лучей в месте фокусировки.

В параллельном ходе лучей (о = 0) чувствительность фокуси-
ровки определяется так называемой практической бесконечностью
(Zoo), которая получается пересчетом величины Az по формуле
Ньютона (28) в соответствующее пространство — или предметов
(перед объективом визирной трубы, установленной на бесконеч-
ность) или изображений (за окуляром, установленным на нуль
диоптрий). В результате получится:

для пространства предметов (перед объективом визирной
трубы)

z«>= 1,25Г>2;	(54)

для пространства изображений (за окуляром)

z«--= 1,25О;\	(54а)

где Dp и Dp — диаметр действующего входного и выходного
зрачков, мм. Коэффициент в обеих формулах выбран так, что
значение практической бесконечности получается в метрах.

Для невооруженного глаза (Z)3. г == 2 мм), например, найдем
(^оо)гл = 1,25£>1.г = 1,25-22 = 5 м или 1/(£оо)гл =1/5 м =
= 0,2 дптр, что согласуется с известным фактом: чувствитель-
ность глаза при фокусировке изображения равна 0,2 дптр.

В визирных системах кроме фокусировки сетки в заданную
плоскость с точностью Az требуется еще, чтобы остаточный парал-
лакс сетки (шкалы) не превосходил установленного значения.
Остаточный угловой параллакс в минутах угла в системах с боль-
шим выходным зрачком (Р'р D3, г = 2 мм) вычисляют по фор-
муле

$;СТ ~ 0,34'(D; - 1),	(55)

где принято, что диаметр зрачка глаза Z)3. г = 2 мм, а параллакс
определяется при качаниях глаза в пределах выходного зрачка
от его центра до края, когда зрачок глаза срезается на половину
и поперечный сдвиг главного луча достигает максимального
значения /шах = 0,5 (D'p — 1).
В системах с малым выходным зрачком (Dp < D3. г) расчет-
ная формула для остаточного параллакса в угловых минутах
имеет иной вид:

^ст«0',68/О;,

(56)

так как поперечный сдвиг главного луча при срезании выходного
зрачка наполовину здесь не превосходит значения /тах = 0,25£)р.

В отсчетных системах, например в отсчетных микроскопах,
кроме указанных двух требований — об отсутствии заметной
расфокусировки и недопустимого остаточного параллакса — тре-
буется устранить так называемый рэн, т. е. погрешность масштаба
изображения.

При поперечном сдвиге линзы из исходного положения на
величину е изображен е точки Т' сдвинется на величину

е" = е (1 - ₽),

(57)

а за системой с поперечным увеличением 0С сдвиг изображения
будет равен

e'z = e(\ — Р) Рс.	(58)

Глава III

РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДОПУСКОВ
НА ОПТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ

7.	ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДОПУСКОВ
НА ДЕФЕКТЫ ОПТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ДЕТАЛЕЙ

Основные требования к материалу и изготовлению деталей.
При расчете, задании или анализе допусков на оптические детали
следует исходить из основных требований технических условий
на изготовление оптических приборов [78]. Оптические приборы
должны создавать изображение высокого качества, иметь заданные
характеристики и обеспечивать требуемую точность работы.
Следует при этом учитывать как требования и особенности тех-
нологии изготовления оптических деталей, так и возможность
взаимокомпенсации при сборке и юстировке влияния отклонений
отдельных констант оптических материалов и погрешностей изго-
товления оптических деталей на некоторые параметры прибора;
последнее обстоятельство позволяет иногда значительно рас-
ширить задаваемые допуски на оптические детали.

По ГОСТ 2.412—81 на рабочих чертежах оптических деталей
и сборочных единиц указываются такие требования к материалу,
как, например: Дпе — категория и класс по показателю прелом-
ления; Д (пр, — пС') — категория и класс по средней дисперсии
82
И следующие требования к изготовлению деталей: N — число
интерференционных колец или полос, определяющее предельное
отклонение стрелки кривизны поверхности детали от стрелки
кривизны поверхности пробного стекла, или допускаемую сфе-
ричность плоской поверхности; ДМ — число интерференционных
коДец или полос, определяющее допуск формы поверхности;
/тЫ—наименьшее допускаемое фокусное расстояние пластинок
или( призм как результат сферичности их поверхностей; 0 —
предельная клиновидность пластины, угл. минут или угл. секунд
или ( разнотолщинность, мм; л — предельная пирамидальность
(угол между ребром призмы и противоположной гранью); б —
предельная разность равных по номинальному значению углов
призмы (с цифровым индексом угла призмы, например, для прямо-
угольной призмы — б45о), угл. минут или угл. секунд; Р — классы
чистоты полированных поверхностей; Д7? — класс точности проб-
ного стекла, назначаемый по ГОСТ 2786—82, или предельные
отклонения от значения расчетного радиуса поверхности, %.

Критерии качества изображения и допуски на дефекты опти-
ческих систем и деталей. Согласно критерию Рэлея, качество
изображения, образуемого оптическими системами, считается
первоклассным, если волновые аберрации Дв в пределах действу-
ющего пучка лучей не превосходит значения Х/4 — четверти
длины волны используемого при работе света. Для видимой
области спектра средняя длина волны Хср = 0,55 мкм, поэтому
предельно допустимые волновые аберрации мкм, визуальных
систем для точек в центре поля зрения в пределах действующего
выходного зрачка не должны превышать

(Ав)Доп<0,14.	(59)

Из этого общего допуска на аберрации, возникающие вслед-
ствие технологических погрешностей изготовления и сборки
оптических деталей, обычно выделяют его часть, мкм,

Ав <0,1.	(59а)

Действующим или рабочим пучком называют пучок лучей
наибольшего сечения, который в центре поля зрения оптической
системы образует изображение точки предмета и после выхода
из системы целиком попадает в зрачок глаза наблюдателя (или
другого приемника света). При достаточной освещенности диаметр
зрачка глаза наблюдателя равен D3, г = 2 мм; он является дей-
ствующим выходным зрачком во всех случаях, когда выходной
зрачок прибора больше 2 мм. Соответственно сечение действу-
ющего пучка в плоскости выходного зрачка называется действу-
ющим или рабочим выходным зрачком, а его сечение поверхно-
стями оптических деталей — действующим или рабочим размером
поверхности детали, в отличие от большего светового размера.

Влияние основных дефектов оптических поверхностей и дета-
лей представлено на рис. 32, а—д. Местная неровность высоты
Рис. 32. Влияние дефектов формы и угла наклона оптической преломляющей
поверхности на деформацию и наклон выходящего волнового фронта: а — мест-
ной неровности на плоской границе между двумя средами с различными показа-
телями преломления (пх > п2); б — микрошероховатости поверхности; в —
цилиндричности плоской поверхности; г — клиновидности преломляющей пла-
стинки; д — сферичности плоской поверхности, перпендикулярной к оси пучка
лучей



—А, имеющаяся на плоской границе между двумя плоскопарал-
лельными пластинами, вызывает деформацию Ав проходящего
через границу плоского волнового фронта (рис. 32, а).

Согласно принципу таутохронизма (принцип равенства времен
прохождения светом пути между двумя фиксированными положе-
ниями волнового фронта по любому лучу пучка), для времени
прохождения светом пути между двумя положениями плоского
волнового фронта w и w' по краевому и осевому лучам напишем
dr । d? । Дв	d, — А , d. 4- A

'TKD =- —— H--------— = t0 = —-----н —=—!— , где vlt v2 и vB —

Kp vr 1 v2 vB u v± 1 v2 ’	n	B

скорости света соответственно в средах с показателем прелом-
ления nlt п2 и в воздухе, равные v± = v2 = vBln2.

После преобразований получим

Ав = —(«1 — «г) А,

(60)

т. е. деформация выходящего волнового фронта в некотором по-
стоянном масштабе — (nx — п2) повторяет дефекты плоскости
раздела двух сред.

Согласно принципу таутохронизма, волновые деформации
в пределах сечения данного пучка при прохождении через любую
последующую систему не изменяются по величине, если эта
система находится в однородной среде. Поэтому волновая де-
формация Ап по формуле (60) сохранит свою величину в пределах
данного светового пучка и по выходе из любой оптической си-
стемы, расположенной за пластинкой с дефектом —А. На дефор-
мацию выходящего волнового фронта w влияют также такие
типичные дефекты, как микрошероховатость (рис. 32, б), цилин-
дричность (рис. 32, в), клиновидность (рис. 32, г) и сферичность
(рис. 32, 3). Первые два дефекта вызывают микродеформации
и цилиндричность, а последние два — отклонение и сферичность
выходящего волнового фронта, а также хроматизм поперечный
(рис. 32, а) и продольный (рис. 32, 5).

Деформации и несферичность следует ограничить волновым
допуском Дв; тем же допуском можно регламентировать и хрома-
тизм, ограничивая в пределах рабочего i учка наибольшее взаим-
ное смещение выходящих волновых фронтов w'F' и w’e
(рис. 32, г) для линий F' и С' спектра водорода или наименьшую
разность стрелок AhF'C' между ними (рис. 32, 5).

Однако допуск на клиновидность деталей принято задавать
в угловой мере, удобнее и допустимый угловой хроматизм &6F'C'
выражать в той же мере. Поскольку согласно принципу тауто-
хронизма, при ходе через любую оптическую систему значение
хроматизма в волновой мере kF’C' не изменится, то

=	(61)

р

где D'p — диаметр рабочего выходного зрачка системы.

Допуск на угловой хроматизм в угловых секундах при &F'C' <
<0,1 мкм будет равен

Дбг'С'<-р-г-.	(61а)

При диаметре рабочего выходного зрачка D'p — 2 мм угловой
хроматизм допустим не более 10". В менее ответственных случаях
задают более широкие допуски на угловой хроматизм — до 20"
для каждой детали, вызывающей хроматизм.

При разделении суммарного допуска Дв на прибор в целом
на допуски для отдельных источников первичных ошибок (поверх-
ности, углы, детали) учитывают, что некоторые из погрешностей
имеют скалярный характер (например, хроматизм положения),
а другие — векторный (например, хроматизм за счет клиновид-
ности деталей).

Среднее значение волнового допуска (Дв)ск на каждый источ-
ник скалярных ошибок числом тск можно подсчитать по формуле

(Ав)ск ~ ^ск*	(62)

Среднее значение волнового допуска (ДБ)ВК на каждый источник
векторных ошибок подсчитывают по той же формуле (62), но
с коэффициентом k > 1, учитывающим благоприятное влияние
дисперсии первичных ошибок по фазе на значение суммарной
погрешности; обычно полагают k = ]Л2. Поэтому

(Дв)вк -	2 (Дв/у^^вк)‘

(63)

Формулы для расчета допусков на оптические поверхности
и детали, перпендикулярные к оси пучка лучей. Пользуясь форму-
лой (60), можно рассчитать допуски на высоту А микронеровностей
оптических поверхностей

А --------= g Ав.	(64)

Коэффициент g, обратный передаточному коэффициенту, кото-
рый равен отношению частичной ошибки к первичной, зависит
от разности показателей преломления сред, разделяемых опти-
ческой поверхностью: чем больше его численное значение, тем
шире допуски можно задать на эту поверхность. Для границы
стекло — воздух (при пг — п2 = 0,5) gn = 2; для поверхностей
склейки стекол (при пст — пкл = 0,05) §СКл = 20; для зеркал

1 ,
с внешним отражением g0 = -%-; для зеркал с внутренним (зад-
ним) отражением (при п = 1,5) g0. п — 1/3. Это для поверхностей,
нормальных к оси падающего пучка лучей.

Из сравнения коэффициентов g для приведенных случаев
следует, что требования к поверхностям разных типов значи-
тельно отличаются друг от друга; например, требования к точ-
ности обработки зеркал с внешним отражением в 4 раза, а зеркал
с внутренним отражением более чем в шесть раз строже, чем
к точности обработки стеклянных поверхностей, граничащих
с воздухом. Сами же допуски на микрошероховатости оптических
поверхностей весьма строги. Поскольку в формуле (64) допустимо
Дв значительно менее 0,1 мкм, оптические поверхности визуаль-
ных систем всегда, за редким исключением (поверхности склейки,
наклонные зеркальные поверхности, погружаемые в иммерсию
поверхности и др.), должны обрабатываться с наименьшей шеро-
ховатостью.

Одиночные дефекты полированных поверхностей (царапины,
выколки) и дефекты материалов (пузыри, камни и др.) регламен-
тируют не по их глубине по ГОСТ 2789—73*, а по отношению
площади этих дефектов к площади поперечного сечения рабочего
пучка лучей в месте их расположения; по ГОСТ 11141—84 до-
пустимое отношение площадей не должно превышать 1 %.

Пользуясь тем же коэффициентом g, получим расчетную
формулу для допуска на дефекты формы ДМР в числе интерферен-
ционных колец в пределах рабочего участка оптической поверх-
ности детали:

= w =	=	(65)

A/Z	Л/Z

где ДМВ — допуск на астигматизм и местные деформации выходя-
щего волнового фронта в пределах рабочего пучка лучей, выра-
женный числом полудлин волны света, применяемого для осве-
щения при контроле формы поверхностей под пробным стеклом;
для белого света X = 0,55 мкм.
Предельное значение допуска ДЛГВ для визуальных систем
в любом случае должно быть менее

ДЛ^в =	< Лг < °>36 полосы.	(66)

Л/ 2J м,^О

Коэффициент g в формуле (65) берется соответственно типу
поверхности.

Допуск на астигматичность (несферичность) поверхностей
в пределах светового диаметра О0 можно увеличить в квадрате
отношения его к рабочему диаметру Dp пучка

/ (у \2	/ Q \2

A7V=y₽(^-) • <67>

Допуски на нерегулярные местные ошибки (зональные, вы-
рывы) в пределах светового диаметра следует задавать такими же,
какими они получились по формуле (66) для рабочего участка
поверхности.

Допуск W на общее отклонение формы поверхностей, перпен-
дикулярных к оси пучка лучей, можно определить из различных
требований: исходя из допустимых аберраций (в частности, про-
дольного хроматизма), из условий контроля, из требований вза-
имозаменяемости. Для неответственных деталей этот допуск за-
дают из возможностей технологии серийного оптического произ-
водства. Чаще всего при задании допуска N исходят из удобства
контроля несферичности ДМ, которая' равна наибольшей разности
числа полос ДМ = Мтах — Mmin в главных сечениях поверх-
ности; она надежно определяется, если общее число полос М
не более чем в 3—5 (редко в 10) раз превышает допускаемую вели-
чину ДМ.

Допуск на клиновидность пластинок, разверток призмы, ко-
сину линз определяется по формуле

A6F,c,vg D'p __
пе— 1 D ~ (пе— 1)y

(68)

где Д f'c' — допуск на угловой хроматизм за окуляром прибора
по формуле (61); D, Dp — диаметры рабочего пучка лучей в месте
расположения данной детали и рабочего выходного зрачка соот-
ветственно; их отношение равно угловому увеличению у оптиче-
ской системы, стоящей за данной деталью.

Следует еще иметь в виду, что в сходящемся ходе лучей клин
вызывает также кому. Ее значение в угловой мере за системой,
расположенной за клином, можно вычислить по формуле
[21, с. 514]

Д6к = -30^и2у,

(69)
где а — апертурный угол пучка лучей в месте расположения
клина.

Клиновидность разверток отражательных призм возникает
вследствие двух причин: отклонений углов призм от номинала,
вызывающих клиновидность 0С в плоскости главного сечения,
и пирамидальности л, которая дает клиновидность 0Л в плоскости,
перпендикулярной к главному сечению. В силу перпендикуляр-
ности обеих составляющих клиновидность 0 развертки призмы
равна 0 = 1^05 + 0‘^.

При расчете допусков и контроле призм, согласно
ГОСТ 2.412—81, каждая из ошибок рассматривается как само-
стоятельная. Связь между отклонениями отдельных углов призм
и клиновидностью 0е, а также между пирамидальностью призмы л
и клиновидностью 0Л легко находится из разверток призм (см.
пример 22).

Отклонение угла крыши Лкрш от строго прямого угла вызывает
двоение изображения, когда пучок световых лучей падает одно-
временно на обе ее грани. Допуская двоение изображения за
окуляром не более 20", допуск на отклонение угла крыши вы-
числяют по формуле

20"

,	(70)

крш \ 4rly cos 8р >	\ /

где п — показатель преломления призмы; 8Р — угол падения
осевого луча на ребро крыши; у — угловое увеличение системы,
стоящей за призмой, для осевой точки ребра крыши.

Допуск на децентрировку линзы из допустимого поперечного
хроматизма равен

(71)

где = 0,1 мкм — волновой допуск на хроматизм в пределах
рабочего размера D линзы.

Для линз, составляющих ахроматическую пару и близко
расположенных друг к другу, допуски по формуле (71) получатся
одинаковыми, так как по условию ахроматизации vj/j = —V2/2.
Децентрировка линз вызывает не только хроматизм, но и кому
на оси и другие аберрации, что необходимо учитывать в ответ-
ственных системах.

Из формул (67)—(71) видно, что допуски на отдельные погреш-
ности оптических поверхностей и деталей зависят от их место-
положения в ходе лучей, в первую очередь — от диаметра D
сечения рабочего пучка лучей: чем шире сечение рабочего пучка
в месте расположения детали, тем строже все указанные допуски.
В такой же зависимости от размера сечения рабочего пучка на-
ходятся и требования к материалам для деталей в отношении
оптической однородности, двойного лучепреломления и т. д.
88
Это заставляет для деталей, расположенных в широком сечении
рабочего пучка (дальше от плоскости изображения), назначать
материалы более высоких категорий, чем для деталей, стоящих
в узком пучке (ближе к плоскости изображения), для которых
допустимо применять материалы пониженных категорий. Требо-
вания же к качеству полировки поверхностей и в отношении
таких дефектов, как пузыри, камни, царапины, выколки, наобо-
рот, возрастают с уменьшением сечения рабочего пучка. Самые
строгие требования предъявляются к деталям и поверхностям,
расположенным близко к плоскости изображения, т. е. в узких
световых пучках; к таким деталям относятся сетки и коллективы.

Формулы для расчета допусков на наклонные оптические по-
верхности и пластинки. Для наклоненной под углом плоскости,
разделяющей среды с показателями преломления пг и п2 и име-
ющей неровность высотой —Л, коэффициент ge, который связы-
вает высоту неровности —А с вызванной ею деформацией Лв
проходящего волнового фронта, вычисляется из более сложного
выражения [ср. с формулой (64)]

8 Ав	COS 8 —	— nl Sin2 8

Из общей формулы (72) для поверхностей различного типа
можно получить:

для преломляющей поверхности, граничащей с воздухом
(пг = 1; п2 = п),

SnE —	-./ 2..>	(72а)

COS 8 — V П2 — Sin2 8

для внутреннего зеркала (пх = —и2 = п)
^о. п е = 2ncose ’	(726)

для внешнего зеркала (п — 1)
. ёое —	2cose •	(72в)

В табл. 2 приведены абсолютные значения g8, а на
рис. 33 — график gs для поверхностей трех типов при п = 1,5.
Таблица и график позволяют упростить расчет допусков.

Расчетные формулы (64) и (67) для допусков на микронеров-
ности и несферичность сохраняют свой вид и для наклонных
поверхностей, но значения коэффициента gE в них следует под-
ставлять в соответствии с типом поверхности и углом наклона 8.

Наклонные плоские поверхности имеют два источника астиг-
матизма. Кроме цилиндричности, астигматизм вызывается также
и сферичностью наклонной поверхности, так как при наклонном
падении пучка лучей кругового сечения на строго сферическую
Таблица 2. Коэффициенты для расчета допусков
на оптические детали с преломляющими и отражающими
рабочими поверхностями в зависимости от угла их наклона (при п = 1,5)

Коэффициент	Угол		наклона е, 0		
	0	30	45	60	90
£пе	2,0	1,8	1,6	1,4	0,9
Soe	0,5	0,6	0,7	1,0	ОО
So. п е	0,3	0,4	0,5	0,7	ОО
^пе	ОО	5,4	1,6	0,5	0
Got	ОО	1,7	0,7	0,3	0
Go. п е	ОО	1,2	0,5	0,2	0
Qe	1,0	0,8	0,6	0,3	—

поверхность выходящий волновой фронт деформируется неодина-
ково: больше в плоскости падения (вдоль длинной оси рабочего
участка эллиптической формы) и меньше в перпендикулярнОлМ
направлении (вдоль короткой оси рабочего участка). Возникает
астигматизм волнового фронта, равный наибольшей разности его
стрелок.

Допуск на сферичность наклонной плоскости, определяемый
числом полос Np вдоль малой оси рабочего участка, равен

= А^в = ОеД#в,	(73)

где k — отношение длин большой и малой осей рабочего участка
эллиптической формы.

Согласно ГОСТ 2.412—81, допуск N для некруглых деталей
следует задавать вдоль наименьшего светового размера /св. mln,
поэтому
(/	\ 2

/св^йп.) .	(74)

В случае призм, развертка которых
пучка, и зеркал с внешним отражением

перпендикулярна к оси
знаменатель в формуле

Рис. 33. Коэффициенты ge,
Ge и Qe для расчета допу-
сков на дефекты преломля-
ющей и отражающих поверх-
ностей и на клиновидность
пластинок в зависимости от
их угла наклона е (при
показателе преломления ма-
териала п ~ 1,5)
(73)	равен k2 — 1 = tg2 8, и тогда получаем коэффициент Ge
(см. табл. 4 и рис. 33), равный

Ge = ge/tg2 е.	(75)

В точке 8 = 45° соответствующие кривые взаимно пересекаются,
так как G45» = g45«.

Допустимую клиновидность для наклонной пластинки можно
рассчитать по формуле (68) и умножить полученный результат
на коэффициент Qe (см. табл. 4 и рис. 33), меньший единицы,
учитывающий возрастание углового хроматизма с наклоном пла-
стинки на угол е, причем

Из табл. 4 и рис. 33 можно видеть зависимость требований
к точности поверхностей и параллельности пластинок от типа
поверхностей и угла их наклона. Учитывая, что чем меньше зна-
чения коэффициентов gE и СЕ, а также QE, тем строже эти требова-
ния, приходим к следующим выводам.

1.	Требования к точности обработки (кривые gE для допусков
на местные погрешности и микронеровности) внешних отража-
ющих поверхностей, нормальных к оси пучка в 4 раза, а внутрен-
них даже в 6 раз выше, чем к обработке преломляющих поверх-
ностей, граничащих с воздухом. Однако по мере возрастания угла
наклона е поверхности коэффициенты ge изменяются неодинаково:
для преломляющих поверхностей они уменьшаются (более чем
вдвое при е = 90°), а для отражающих возрастают (до бесконеч-
ности при 8 = 90°). Это подтверждается известным фактом: при
скользящем ходе лучей даже шероховатые (шлифованные) поверх-
ности дают оптически правильное изображение.

2.	Требования к сферичности плоских поверхностей (кривые GE)
с увеличением угла наклона 8 непрерывно и быстро ужесточаются
независимо от типа поверхностей.

3.	Требования к параллельности пластинок и разверток призм
с увеличением угла наклона в ужесточаются (кривая Qe).

8. РАСЧЕТ ДОПУСКОВ ДЛЯ ДЕТАЛЕЙ
ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОРУДИЙНОЙ ПАНОРАМЫ

Пример 22. Определим допуски для основных оптических
деталей артиллерийской панорамы, применив приведенные выше
расчетные формулы.

Оптическая система панорамы имеет примерно следующие
характеристики: видимое увеличение Г = 4х; диаметр входного
зрачка Dp --- 16 мм; преде ,ы измерения горизонтальных углов
<р = 360°, вертикальных — i — ±18°; точность измерения углов
не ниже Дф — Ai = ±0,001 рад (±3',6). К основным оптическим
деталям и узлам панорамы относятся (рис. 34): защитное стекло 1,
головная призма 2, компенсационная призма Дове 3, объектив 4,
призма с крышей 5, пластинка с сеткой 6, линзы окуляра 7 и 8.
Примем наименьший световой размер всех поверхностей и всех
деталей равным 16 мм. Первые три детали 1—3 при работе пано-

рамы могут изменять свое положение по отношению к последним

четырем неподвижным деталям 4—7: при визировании по высоте

вокруг горизонтальной оси на угол

головная призма качается

in = i/2 = ±9°, а при визировании
по горизонту (панорамировании) го-
ловка прибора, заключающая в себе
детали 1 и 2, вращается вокруг вер-
тикальной оси на неограниченный
угол ф и одновременно вокруг той
же оси и в том же направлении, но
на половинный угол ф/2 вращается
и компенсационная призма Дове 3.
Это необходимо учитывать и при за-
дании допусков на оптические де-
тали, так как при взаимном разво-
роте деталей изменяется сумма по-

грешностей векторного характера —

их клиновидностей и астигматизмов.

Панорама относится к приборам
крупносерийного производства, опти-
ческая система включает три слож-
ные в изготовлении детали — призму
Дове, призму с крышей и головную
призму, поэтому в соответствии с
[78 ] для панорамы можно принять
допуски, несколько превосходящие
те, что получаются из критерия Рэ-
лея по формуле (59а).

Рис. 34. Оптическая система артиллерий-

7,4
Примем следующие достаточно строгие значения допусков:
допустимый астигматизм за окуляром до Ддоп = 0,45 дптр; до-
пустимый хроматизм за окуляром Лб^'С' = О',3.

При пересчете этих допусков в волновую меру в пределах
зрачка глаза наблюдателя диаметром О3. г = 2 мм, который
является рабочим выходным зрачком панорамы (поскольку Dp =
= 4 мм > £>з. г), получим: допуск на астигматизм, выраженный
наибольшей разностью стрелок выходящего фронта волны, (Д/гв)р =
= DI, г/(8а) = 0,5Ддоп ~ 0,2 мкм; допуск на хроматизм, выра-
женный линейным смещением волновых фронтов по краю рабочего
пучка лучей для линий F' и С', (Д^'С')р = 0,2 мкм.

Таким образом, в волновой мере оба допуска оказались чис-
ленно примерно равными и оба они превосходят критерий Рэлея
(0,14 мкм), поэтому качество изображения в панораме уже может
заметно отличаться от идеального.

В пределах светового размера выходного зрачка Dp = 4 мм
допустимый астигматизм выражается разностью стрелок выходя-
щей волны Д/гв = 0,8 мкм или числом полос AAfB « 3.

Принятые нами приборные допуски следует распределить
между деталями с учетом требуемой точности их изготовления.
Влияние или вес каждой первичной погрешности, вызывающей
астигматизм, можно оценить по значениям передаточных отноше-
ний, которые равны обратным значениям коэффициентов g& и Ge,
взятым из рис. 33 или табл. 4. Для всех нормально (или почти
нормально) расположенных преломляющих поверхностей можно
считать g = 2; G = оо, поэтому передаточное отношение для них
равно g"1 = 0,5; G"1 = 0.

Для наклонных плоскостей эти передаточные отношения зави-
сят как от типа рабочих поверхностей (преломляющие, отражаю-
щие), так и от их наклона. Для отражающей гипотенузной грани го-
ловной призмы 2 (см. рис. 34) при угле ее наклона 8 = 45° (сред-
нее положение призмы) gQ = Go = 0,5 и соответственно gn1 = GBT = 2.

Для входной и выходной преломляющих граней призмы Дове
(в = 45°) g = G = 1,6 или g"1 = G"1 = 0,6. Для отражающей
гипотенузной грани (8	73°) по формулам (726) и (73) получим

g = 1,14; G - g№~- 1 « 0,067, или g~x = 0,9; Сг1 = 15.

Численное значение последнего передаточного отношения мно-
гократно превосходит значения всех предыдущих передаточных
отношений, а значит погрешности гипотенузной грани (ее сферич-
ность N) призмы Дове наиболее сильно влияют на качество изоб-
ражения всей оптической системы.

Для граней крыши призмы 5 (s = 60°) имеем g = 0,7; G = 0,2
и g"1 = 1,4; G~] = 5. Для ее преломляющих граней, а также
для внешних поверхностей линз объектива 4 и линз 7, 8 окуляра
можно считать g = 2, G = оо и g"1 — 0,5; G"1 = 0. Это в пределах
рабочего пучка лучей, сечение которого для призмы 5 примерно
в 2 раза, а для линз окуляра — даже в 4 раза меньше, чем для
деталей 1—4,
В прямоугольных рамках на рис. 34 указаны полученные
передаточные отношения для всех рабочих оптических поверх-
ностей, граничащих с воздухом. В верхней части рамки дана
величина G”1, а в нижней—g”1. С учетом численных значений
передаточных отношений, а также местоположения деталей в ходе
лучей можно записать все детали в том порядке, в котором умень-
шается их влияние на качество изображения системы.

На рис. 34 показан также пучок лучей, дающий изображение
осевой точки в поле зрения окуляра. Поскольку требования
к поверхностям и деталям зависят от ширины этого пучка (чем
он шире, тем строже требования к точности их формы), то ясно,
что наибольшее влияние на качество изображения системы будут
оказывать детали 1—4. Из них безусловно наиболее ответственной
является призма Дове: у нее одна наклоненная под очень большим
углом 8 ж 73° внутренняя отражающая плоскость и две наклонные
(в = 45°) преломляющие плоскости. На втором месте головная
призма 2; у нее две преломляющие поверхности, как у защитного
стекла 1 и объектива 4, и наклонная внутренняя отражающая
плоскость. На третье место следует поставить не объектив 4,
хотя он и находится в более широком рабочем пучке лучей,
а призму с крышей 5, у которой имеются две наклоненные под
углом 8 = 60° внутренние отражающие грани крыши, погреш-
ности которых сильно влияют на качество изображения. Далее
расположатся объектив 4, защитное стекло /, глазная в, коллек-
тивная 7 линзы окуляра и на самом последнем месте — пластинка
с сеткой 6, совпадающая с плоскостью изображения, где ширина
световых пучков близка к нулю.

Итак, располагая детали и узлы оптической системы в порядке
снижения их ответственности за качество изображения, запишем
их в следующем порядке: 5, 2, 5, 4. /, в, 7, 6.

Примерно в такой же последовательности снижаются требова-
ния и к категориям качества материалов оптических деталей
и повышаются требования к шероховатости полированных поверх-
ностей и к чистке их при сборке. Указанные требования зависят
от размеров сечения осевого пучка в месте расположения деталей
и от длины хода лучей в деталях.

Полученная запись деталей в порядке их ответственности за
качество изображения оптической системы помогает конструктору
при проектировании оправ и устройств для закрепления и юсти-
ровки оптических деталей: особое внимание обращается на те
из них, которые сильнее всего влияют на качество изображения.
Технологу такая последовательность записи расположения дета-
лей позволяет рациональнее построить процесс сборки оптического
прибора, обеспечивающей в первую лчередь получение высокого
качества изображения, наметить эффективную методику контроля
качества оптических узлов, поступающих на общую сборку при-
бора, предложить быстрый способ нахождения местоположения
дефектной детали или узла в сложной системе, имеющей дефекты
94
качества изображения, оперативно провести инспекцию правиль-
ности задания допусков на оптические детали.

При сборке панорамы особое внимание следует обратить
на то, чтобы избежать деформации призмы Дове, которая легко
изгибается при закреплении в оправе и при юстировке — накло-
нах с помощью регулировочных винтов. По формуле (65) легко
найти размер предельно допустимой стрелки прогиба отража-
ющей грани призмы Дове из условия, что приборный допуск
ДМВ = 3 полосы целиком отпущен на одну лишь эту грань.
Даже при этом условии для размера допустимой стрелки получим
всего лишь ДМ = g0, п ДМВ = 1,14-3 ж 3,5 полосы, или менее
1 мкм.

Переходя к расчету допусков на детали панорамы, примем
передаточное отношение для нормально расположенной преломля-
ющей поверхности, равное g-1 = 0,5, за единицу; тогда ранее
полученные значения передаточных отношений необходимо удво-
ить, чтобы получить нормированные передаточные отношения,
которые в дальнейшем будем обозначать буквой k с соответству-
ющим индексом. В панораме имеется следующее число поверх-
ностей, вызывающих астигматизм:

12 преломляющих, нормальных к оси пучка (не считая пла-
стинки 6 сетки, для которой допуски свободные, так как сечение
световых пучков в ее плоскости близко нулю) с k\ = 2g^ = 1;

одна внутренняя отражающая под углом 8 = 45° с двумя
равными передаточными отношениями	п = 2Go.1 п = 4;

две преломляющие под углом 8 = 45° с двумя равными пере-
даточными отношениями &з — 2g~n{ — 2Gn* = 1,2;

одна внутренняя отражающая под углом 8	73° с k4 = 2gol п —

= 1,8 и = 20'4 = 30;

две внутренние отражающие под углом 8 = 60° с k& = 2go.1 п =
= 2,8 и k7 = 2G;J п = 10.

Подставив полученные данные в формулу (63), найдем еди-
ничный допуск для нормально стоящей внешней преломляющей
поверхности: ДМед = V% ДМВ (12&? + 2kl + 4£з + k\ + kl +
+ 2kl + 2^)“1/2 = 3/2 (12-12+ 2-42 + 4• 1,22 + 1,82 + 302 +
+ 2-2,82 + 2-102)"1/2 « 0,12 полосы.

Таким образом, для всех нормально стоящих внешних пре-
ломляющих поверхностей волновой допуск ДМ на астигматизм
в пределах осевого пучка лучей составит 0,12 полосы, для гипо-
тенузной грани призмы 2 он вчетверо больше, т. е. составит 0,49
полосы, для входной и выходной граней призмы Дове будет
примерно 0,15 полосы, а для ее отражающей грани он достигает
0,22 полосы на цилиндричность и 3,7 полосы на сферичность.
После умножения этих волновых допусков на соответствующие
коэффициенты g и G получатся допуски на цилиндричность и
сферичность поверхностей, одинаковые для всех деталей в пре-
делах сечения осевого пучка лучей. Например, для отражающих
граней головной призмы 2, призмы Дове 3 и граней крыши призмы
5 получится AN2 — 0,5’0,49 = 0,25 полосы = N2; AN30 = 1,14 X
х 0,22 = 0,25 полосы и N30 = 1/15-3,7 = 0,25 полосы. При-
мерно такие же допуски получатся и для всех преломляющих
поверхностей; например, для входной и выходной граней призмы
Дове будет AN3n = 1,6 0,15 = 0,25 полосы = N3n.

Аналогично для допуска на угловой хроматизм каждой детали
вызывающей этот дефект (в панораме их имеется 10), по той же
формуле (63) найдем (Дб^сОед = ^2-0',3-10"0’5 = О',14.

Переходя непосредственно к расчету и заданию допусков
на отдельные детали панорамы, необходимо учесть все основные
требования, которым должна удовлетворять каждая деталь. Кроме
обеспечения заданного качества изображения, к ним относятся
требования точности работы прибора, взаимозаменяемости (для
сменных и заменяемых при частичном ремонте деталей), техноло-
гии изготовления, сборки и контроля деталей и экономические
требования. Целесообразно было бы рассчитать допуски исходя
из каждого из перечисленных требований и в качестве окончатель-
ного допуска принять наиболее строгий из них. Но чаще учиты-
вают лишь некоторые, наиболее важные в каждом случае требо-
вания, что ускоряет и облегчает расчет допусков.

1.	Защитное стекло, материал — крон-8 (пе « 1,5; ve = 64,1;
ANB == 0,12; &6F'C' = О', 14). Для плоскопараллельного защит-
ного стекла необходимо указать значения N, 0, fmln и ь"
(предел разрешения в угловых секундах). По формулам (74),
(67) и (68) найдем N — оо; AN = 0,25; 0 ~ 4'.

Допуск на сферичность поверхностей определим также из
допустимой фокусности fmin защитного стекла, которое в этом
случае действует как слабая одиночная линза того же фокусного
расстояния fmin. Она вызовет хроматизм положения, равный
&hF'c = h/ve, где h — стрелка выходящего сферического волно-
вого фронта, а также дефокусировку изображения и параллакс.

Ограничивая хроматизм в пределах рабочего пучка значением
&hF'C' < 0,1 мкм, для допустимой фокусности найдем

D2 D2	82-10“3

^‘" = ^гта^;=8Ло=Гб4==1-25 м- очень большая
фокусность, которая хотя и не вызовет заметного хрома-
тизма изображения, но недопустима, если требуется, чтобы за-
щитные стекла были взаимозаменяемы, т. е. чтобы при замене
одного стекла другим из запасных деталей к прибору не возни-
кали ни расфокусировка, ни параллакс, превосходящие уста-
новленные допуски. Глаз не замечает расфокусировки за окуляром
панорамы в 0,2 дптр, что соответствует практической бесконеч-
ности z'oo = 5 м, вычисленной по формуле (54а). Допуская для
защитного стекла фокусность fmln не менее практической беско-
нечности Zoo по формуле (54), найдем fmin > z«> = 1,25 (Dp) =
- 1,25 (82) = 80 м.
Полагая, что защитное стекло имеет форму двояковыпуклой
или двояковогнутой линзы с равной кривизной обеих поверх-
ностей, определим допуск на сферичность ее поверхностей в числе
дг __ h D2 __	16-103	_ 0,8 _ 1 4

ПОЛОС. /V —?/2— 8/minX/2 — 8-80-103Х/2 “ X ~

Фокусность защитного стекла вызовет угловой параллакс

сетки, который в пространстве предметов не превысит значения

16-3440

80-Ю3

3440 <

/ mln

ж О',7. Ужесточая допуск, округлим

фокусность ДО fmin = 100 М.

Учтем, что при визировании по вертикали под предельными
углами i = ±18° защитное стекло работает как наклонная пла-

стинка, для которой допуск на сферичность найдем по формуле
(74); он составит N = Ge ДАГВ = AN, =	« 2,4.

Заметим еще, что вследствие малого веса каждого влияния

погрешностей защитного стекла в общей сумме погрешностей
всех деталей, особенно по сравнению с влиянием погрешностей
призмы Дове, можно почти без всякого ущерба для качества
изображения всей оптической системы панорамы расширить
полученные расчетом допуски и задать для него N = 2; ДА/” =
= 0,5. При этом достаточно удобен и контроль отклонений от
сферичности, поскольку ДМ составляет заметную часть допу-
ска М.

Следует проверить допустимость клиновидности защитного
стекла 0 = 4' с точки зрения точности измерения углов пано-
рамой. Клиновидность защитного стекла в вертикальной пло-
скости вызовет при качаниях головной призмы вокруг горизон-
тальной оси погрешность измерения угла Z, которая по формуле
(22а) равна Дб, =	0 tg2 i =	0 tg218° = 0,040 или

Дб, = О', 16. Клиновидность стекла в горизонтальной плоскости
вызовет увод визирной оси по вертикали тоже очень малого зна-
чения, которое определим с помощью формулы (226): Дбе = 6g —
— 6о = fie COS 8 — б0 = (fi0 + Дбе) COS 8 — б0 = б0 (COS 8 — 1) +
+ Дб8 cos 8 = Дбе cos 8 — б0 (е2/2) — Дбе cos 18° — О,О5бо «
» О',06. Таким образом, клиновидность 0 = 4' вполне допустима
и из требований точности измерения углов.

Предел разрешения в соответствии с ОТУ [78, с. 6231 для
телескопических систем с поперечным размером выходного зрачка
3,5 мм и больше определяется по формуле s" = k (357Г), где Г —
угловое увеличение оптической системы; k — коэффициент, учи-
тывающий сложность и трудность ее изготовления и выбираемый
в пределах от 1,05 до 2,2. Для защитного стекла, приняв k = 1,
получим е" = 8",75, что ниже теоретического предела sT = 8",6.

Таким образом, окончательно устанавливаем следующие до-
пуски: N = 2; &N = 0,5; 0 = 4'; /т1п = 100 м; е" = 8'',75.

2.	Головная призма, материал — крон-8 (пе « 1,5; ve = 64,1;
Д^в. п = 0,12; ДА'в. о = 0,49; Дб^с* = 0,14). Для прямо-

4 Погарев Г. В. и др.

97
Рис. 35. Клиновидность развертки прямоугольной призмы, воз-
никающая вследствие разности углов А и В в главном сечении (а)
и пирамидальности (б)

угольной призмы необходимо указать допуски Nn и &Nn для
преломляющих, входной и выходной граней; No и A7V0 для отра-
жающей гипотенузной грани; л — на пирамидальность; A9o° —
для отклонения прямого угла; S45o — для разности углов 45°;
е" — предел разрешения.

Для преломляющих граней призмы можно задать те же до-
пуски, что и для пластинки, т. е. N = 2; ДМ = 0,5. Для отража-
ющей грани по формулам (74) и (67) получится N — 0,5 0,49 =
= 0,25 и ДМ - 0,25.

Клиновидность развертки призмы 0 имеет две взаимно пер-
пендикулярные составляющие: 0Л — клиновидность за счет пира-
мидальности л и 0С — клиновидность за счет погрешностей углов.
Принимая 0 = 4' и разделяя этот допуск поровну между обеими
составляющими, получим 0n = l/j/20 — 0С = 3'.

Из развертки прямоугольной призмы (рис. 35) видно, что ее
клиновидность в плоскости главного сечения непосредственно
равна разности острых углов — ,4 В = 0С = 64бо и не зависит
от размера прямого угла С. Клиновидность 0Л в перпендикулярной
плоскости связана с пирамидальностью соотношением 0Я = }Л2л,
где л — угол между гипотенузной гранью призмы и ребром про-
тиволежащего угла С. Получим допуски: л — O^/j/^2 ~ 37j/*2

2'; 64бо = 0С = 3'; Д90° — свободный допуск (можно задать
легко выдерживаемый при изготовлении призмы допуск Д90о =
= 10').

При визировании по вертикали под углами i = -4-18° головная
призма качается лишь на половинный угол, поэтому клиновид-
ность ее развертки вызовет погрешности примерно в 4 раза
меньшие, чем клиновидность защитного стекла. Предел разреше-
ния головной призмы можно задать тот же: е" = 8",75.
Окончательно зададим следующие допуски: Nn = 2; &Nn = 0,5;
No = 0,25; &N0 = 0,25; л - 2'; 645з = 3'; А90о = 10' и е" = 8",75.

3.	Компенсационная призма Дове, материал — крон-8 (пе =
= 1,5; ve = 64,1; ДУВ. п = 0,15; АЛ/В. 0 = 3,7; А6^с, = О',14).
Призма Дове представляет собой усеченную прямоугольную
призму, поэтому для нее следует указать те же допуски, что и для
головной призмы. Для преломляющих и отражающей граней
по формулам (74) и (67) найдем Л/п = 1,6-0,15 — 0,25 =
No — 1/15-3,7 = 0,25 и ДЛ/0 = 1,14-0,22 = 0,25. Вследствие ма-
лого веса влияния ошибок преломляющих граней по сравнению
с влиянием ошибок отражающей грани можно было бы без боль-
шого ущерба для качества изображения расширить допуски до
Л/п = АЛ/П = 0,5.

Следует заметить, что в соответствии с ГОСТ 2.412—81 до-
пуск N на сферичность задается вдоль короткой стороны наклон-
ных рабочих поверхностей, т. е. в нашем случае в пределах ши-
рины пучка 16 мм. Длина отражающей грани призмы Дове
в 4,23 раза больше ее ширины, поэтому допуск на ее сферичность
вдоль длинной стороны будет в (4,23)2 раза больше полученного
нами допуска и составит (4,23)2-0,25 ж 4,4 полосы. Допустимый
радиус кривизны поверхности при этом должен быть не менее
''доп = D2l%h = 0,5 км.

Допуски на погрешности углов и пирамидальность призмы
Дове исходя из требований качества изображения, т. е. из до-
пустимого хроматизма A6F'C' = 0,14, получатся несколько более
строгими, чем для головной призмы, так как входная грань дан-
ной призмы наклонена под углом 45° и коэффициент Q = 0,6
(см. рис. 33 и табл. 2). Поэтому для допусков на составляющие
клиновидности найдем 0С = 0П = 2'.

Отклонение лучей вследствие разности углов 645= в главном
сечении призмы Дове не влияет на точность измерения углов
панорамой, так как в процессе юстировки призмы — при устра-
нении непараллельности ее отражающей грани к собственной
оси вращения — действие этой погрешности автоматически ком-
пенсируется. Таким образом, в призме Дове с погрешностью 645о
ее отражающая грань после юстировки будет наклонена к оси
вращения так, что лучи, падающие на призму параллельно этой
оси, выйдут из призмы в том же направлении.

Отклонение же лучей перпендикулярно к ее главному сечению,
вызванное пирамидальностью призмы, не может быть скомпенси-
ровано юстировкой, так как ее отражающая грань параллельна
плоскости отклонения лучей и это отклонение вызовет в процессе
панорамирования переменные погрешности при измерении гори-
зонтальных и вертикальных углов. Это связано с тем, что призма
Дове вращается на угол, вдвое меньший угла поворота головки.
Задавая допуск на пирамидальность призмы исходя из допусти-
мого хроматизма (при этом было бы л = 0Я/^2 = 27)Л2 =
Рис. 36. Влияние клиновидности развертки призмы Дове
вследствие ее пирамида ль ности на направление выходя-
щих лучей

= -/2' = Г,4), необходимо найти также воз-
никающую погрешность измерения углов. Рас-
чет хода лучей вне главного сечения клина с
углом 0я выполним с помощью матрицы Л4'кл
действия преломляющего клина по формуле
(10а) с учетом формулы (16).

На рис. 36 в системе xyz показана вход-
ная грань призмы Дове, перпендикулярно к
которой направлен орт ркл ребра клина (вер-
шина пирамиды расположена за плоскостью
рисунка). Направление орта ркл выбрано так,
что угол 0Л положителен. Падающий луч (орт
А = —к) и отражающая грань призмы парал-
лельны оси г. Направление выходящего луча
найдем из выражения

где mis, т23, гизз — 3, 6 и 9-й элементы матрицы Жл-

Подставив развернутые выражения этих элементов из формулы
(10а), получим

ру sin ф — 2pxpz sin1 2 * *

А" =

— рх sin ф — 2pypz sin2

— cos ф — 2pz sin2 -~

Для орта ркл из рис. 36 имеем ркл = 1/^2 (j +к), вследствие
чего преобразуем предыдущее выражение:

А"

1 . .

уТ10'’’

—sin2-y

—cos — sin2 -у-

У51"’*’

— sin2

— cos2 -у-
Таким образом, выходящие из призмы Дове лучи вследствие
пирамидальное™ отклоняются от направления падающих лучей
в плоскости главного сечения на весьма малый угол а « 0,25'ф2,
а в плоскости, перпендикулярной к главному сечению, на угол
Р =	Для угла поворота ф луча вокруг ребра по формуле

(15) при п — 1,5163 получим ф = —О,890л. Подставив вычислен-
ный из хроматизма допуск 0Л = 2', найдем ф = —0,89-2' =
= —1',8.

Такое отклонение — оно будет непосредственно входить в по-
грешность горизонтального и вертикального углов — следует
считать недопустимым, так как суммарная допустимая погреш-
ность для панорамы не должна превышать ±0—01 окружности,
т. е. З',6. Ужесточая допуск вдвое, получим обычный для призмы
Дове панорамы допуск на пирамидальность л = 40".

Окончательно для призмы Дове получатся следующие допуски:
Nn = 0,5; ДУП = 0,5; No = 0,25; ДАГ0 = 0,25; л = 40"; б4Бо =
= 2'; Д90о = 10'; в" = 9".

4.	Линза объектива, материал — крон-8 (/' = 40 мм; п ж 1,5;
v = 64,1; ДУВ = 0,12; Дб^с, — О',14, или t±F'C' « 0,08 мкм).
Для склеиваемой линзы необходимо указать допуски Nn, ANn
(для внешней поверхности); Мскл, Д^скл (Для склеиваемой по-
верхности) и допуск на децентрировку с. Для внешней поверх-
ности получатся те же допуски, что и для поверхностей защитного
стекла: Nu = 2; Д7УП = 0,5. Для склеиваемой поверхности допуск
можно расширить до NCKJi = 3. Допуск на децентрировку найдем
по формуле (71): с —	— 0,08• 10"3-64-5 » 0,02 мм.

На вторую линзу объектива можно задать такие же допуски.

5.	Призма с крышей, материал — крон-8 (п = 1,5; v = 64,1;
ДА7В. п = 0,12; АГВ. 0 = 1,2 и ДАГВ. 0 = 0,34; Дб>^ = 0,14,
угловое увеличение для призмы у = 2х). Для данной призмы
следует установить допуски AAfn для преломляющих граней,

Af0, AjV0 для отражающих граней кры-
ши, а также л, 646°, Д90°, Акрш и &”•

На* преломляющие поверхности с
учетом того, что их световой размер
вдвое больше рабочего сечения пучка,
аналогично предыдущему можно задать
Nn — 3; &Nn = 1. Для отражающих
граней крыши по формулам (74) и (67)
найдем No = 1; AAf0 = 1.

В случае призмы с крышей под пи-
рамидальностью следует понимать раз-
ворот ребра крыши, т. е. неперпен-
дикулярность этого ребра по отноше-
нию к ребру противолежащего прямого
угла. Найдем зависимость между ука-
занным разворотом ребра крыши и кли-

Рис. 37. Определение кли-
новидное™ развертки пря-
моугольной призмы с кры-
шей, возникающей вслед-
ствие разворота ее ребра
новидностью развертки призмы. На рис. 37 в системе неподвиж-
ных осей xyz показаны призма АкР-90° и ход осевого луча
в ней. Осевой луч по орту А перпендикулярен к входной грани.
При номинальном положении ребра крыши (показан ортом ро)
очевидно, что и выходящий луч (орт Ао) перпендикулярен к вы-
ходной грани призмы номинальной формы.

Пусть в призме имеется лишь одна погрешность — разворот
ребра крыши на угол л (пирамидальность). Тогда орт р направ-
ления ребра запишется так: р = sin ni + -zp^-cos nj — cos лк.

Для орта А" направления отраженного от крыши луча получим
[используя матрицу крыши по формуле (11)]

А" - М"А = М"

— yr2 sin л cos л

1 — СО82Л

COS2 Л

При малом угле разворота ребра крыши в рассмотренном
случае развертка призмы становится как бы клиновидной, причем
угол клина 0 = уг2л, а ребро его примерно параллельно оси у.
Сравнивая данную призму с прямоугольной головной призмой,
зададим следующие допуски: л = 4' и 645о — 6'.

На угол крыши по формуле (70) получится весьма строгий
допуск Дкрш = 2!'. С учетом этого следует пересмотреть допуски
Ао и ANq и на отклонения от плоскостности граней крыши, так как
при больших отклонениях становится неопределенным само поня-
тие «угол крыши»: этот угол, измеряемый между касательными
к сферическим граням крыши, будет зависеть от того, к каким
точкам проводятся касательные. Полагая радиус кривизны грани
крыши равным /?нрш, найдем, что угол между касательными
к ее крайним точкам составит 6 = ///?Крш, где I — ширина грани
крыши. В случае панорамы I 11 мм. Допуская 6	0",5, для

допустимого радиуса кривизны крыши найдем /?крш = Z/6 =
= 11 -2-105-10'6/0",5 = 4 км. Эта величина составит всего N =
— 0,01 полосы (!), что практически невыполнимо. По-видимому,
следует задать N и AN не более 0,05 полосы.

Таким образом, получим Nn = 3; ANn — 1; NQ = 0,05; ANQ =
- 0,05; л = 4'; 645o = 6'; A00o = 10'; Акрш - 2"; e" - 35". Не-
высокая разрешающая способность призмы с крышей объясняется
тем, что она ограничивается шириной нормальной проекции
каждой грани крыши на сечение пучка лучей.

6.	Заготовка сетки. Допуски на преломляющие грани и на
клиновидность свободные. Обычно задают допуски, легко вы-
полнимые на производстве: N — 10; A2V = 2; 0 = 10'. Требуется
особая чистота полированных поверхностей Р (1-го класса).

7.	Линзы окуляра. Допуски получаются широкие: N и AAf
в 16 раз больше, чем для линз объектива, так как для окуляра
отношения светового размера к диаметру рабочего пучка в 4 раза
меньше, чем для объектива. Зададим легко выполнимые и не
затрудняющие склейку окулярных линз допуски: W = 5; A2V =
= 0,5. Допуск на децентрировку линз окуляра по формуле (71)
с = 0,05 мм.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ

РЕШЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ
ЮСТИРОВОЧНЫХ ЗАДАЧ

Глава IV

ФОКУСИРОВКА ИЗОБРАЖЕНИЯ,

УСТРАНЕНИЕ ПАРАЛЛАКСА ШКАЛ И СЕТОК,
РЕГУЛИРОВКА МАСШТАБА ИЗОБРАЖЕНИЯ

И УВЕЛИЧЕНИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Задача 1
РАСЧЕТ ПРЕДЕЛОВ ОТКЛОНЕНИЙ
ФОКУСНЫХ РАССТОЯНИЙ ОТ НОМИНАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ
В ПАРТИИ СЕРИЙНО ИЗГОТОВЛЯЕМЫХ ДВУХЛИНЗОВЫХ
АХРОМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТИВОВ

Найдем, в каких пределах от расчетного значения могут от-
клоняться фокусные расстояния в партии серийно изготовляемых
двухлинзовых ахроматических объективов, если допуск на откло-
нения радиусов кривизны пробных стекол для всех рабочих
поверхностей обеих линз задан Аг/г = ±0,2 % от их расчетных
значений, а допускаемые отклонения основного показателя пре-
ломления Апе оптических стекол по ГОСТ 3514—76**Е для за-
готовок обеих линз даны по категории 4 класса В.

Полагая обе линзы тонкими и промежуток между их главными
плоскостями равным нулю, для оптической силы (обратной вели-
чины фокусного расстояния) объектива из двух соприкасающихся
линз по формуле (36) имеем

ф = 1//' = Ф1 + ф2 = D1 + D2 + D3 + D4,	(76)

где Ф* и Ф2 — оптические силы первой и второй линз; D± —	—

рефракции преломляющих поверхностей линз с первой по чет-
вертую.

Для отдельной преломляющей поверхности, граничащей с воз-
духом, рефракция равна Dt = п — \!гь вследствие чего для силы
системы двух линз соответственно напишем

Ф = (Л1 - 1) ---+ (п2 - 1)	- -Д),	(76а)

\ Г1	/	\Г3 Г4 /

где г\ — г4 — радиусы кривизны поверхностей линз; п2 —
их показатели преломления.
Дифференцированием формулы (76а) и с учетом равенства
допусков Дп для обеих линз и Дг/r для всех четырех поверхностей
получим

+	-1) (+ (»> -1) Gr - £) ],	Р7)

а после преобразований приведем к виду

Дф = -^4 (Dt + О2) + -^4 (D3 + D4) + 4- (D^Dt+Dt+DJ.

(77а)

Из условия ахроматизации объектива v\f\ = —¥2/2 найдем
ф2 = —фг (v2/vx) и выражение (77а) преобразуем:

Для наибольшего относительного отклонения фокусного
стояния системы двух линз можем написать

(776)
рас-

(78)

Здесь ошибкам Дп и Дг присвоены соответствующие знаки.

Используя формулу (76) и условие ахроматизации, найдем
отношение фокусного расстояния системы линз /' к фокусному
расстоянию fi первой линзы: f\/f' — vi/(vi —V2). Выражение (78)
окончательно преобразуем к виду

ДГ

Г

1

V1~ v2

£ Дп

(П1--1)у24-(п2 —l)Vi
(^1 — 1) («2-1)

-7-(V1 + V2)] .

(78а)

Например, для объектива, изготовленного из крона К8 (nD =
— 1,5163; v = 64,1) и тяжелого флинта ТФ1 (nD ~ 1,6475; v =
— 33,9), при заданных по условиям задачи допусках получим
Д/'//' - 2-10-3-8,69 « 1,74-Ю’2 или Д/'//' = ±1,74 %.

Для склеенного объектива второе слагаемое в формуле (78а)
следует преобразовать, так как г2 = гз и отклонение радиусов
кривизны поверхностей склейки оказывает слабое влияние на
отклонение фокусного расстояния f объектива, вследствие чего
найдем

/ АЛ \	= А” (”1—1)Уа + (Д2—1)У1 |

\ Г /скл Vt —v2 (nj—1) (n2—1) “r

(79)

При близких по значению показателях преломления линз
(«! « п2) можно считать, что скобка второго слагаемого примерно
равна силе всего объектива, и тогда

/ АЛ \	~ Ап (П1— 1) v2 + (п2 — 1) У! Ar /7Q ч

к Г Лкл^У1-У2 (пг— 1)(п2—1>	г •

Для склеенного объектива из тех же сортов стекол, что и
в предыдущем примере, по формуле (79а) теперь получим меньшее
значение (Д/7/')скл ж 2-10"3-5,45 + 2-Ю”3 « 1,3-10-2 или
(АШскл« ±1,3%.

Следует заметить, что выведенные формулы (78а), (79) и (79а)
применимы лишь к объективам, не содержащим плоских поверх-
ностей. При наличии плоской поверхности первое слагаемое,
учитывающее влияние отклонения среднего показателя преломле-
ния стекол, остается без изменений во всех перечисленных фор-
мулах. Второе слагаемое необходимо преобразовать, для чего
удобно воспользоваться, например, принципом таутохронизма.
Согласно этому принципу, отклонение радиуса кривизны любой
сферической поверхности можно рассматривать как добавление
к ней тонкой линзы со стрелкой = —hi кг/ц —---------,

а отклонение плоскости — как добавление к ней линзы со стрелкой
йпл = —-----• Здесь св. 0 — световой диаметр поверхностей; —

радиус кривизны поверхности; rmin — наименьший допустимый
радиус кривизны плоской поверхности.

Итак, в партии серийных объективов фокусное расстояние
(при принятых в примере условиях) может отклоняться от расчет-
ного более чем на ±1,7 % для несклеенных систем и до ±1,3 % —
для склеенных.

Полученный результат согласуется с известным фактом, что
в серийном производстве фокусное расстояние в партии склеенных
из двух линз объективов зрительных труб имеет отклонение до
1 %, а у фотообъективов и окуляров это отклонение достигает
2—3 % и более. Поскольку же операции фокусировки изображе-
ния, устранения параллакса, регулировки масштаба изображения
и увеличения, как правило, должны выполняться с погрешностью
не более десятых, а иногда и сотых долей процентов от фокусного
расстояния линз, т. е. в десятки и сотни раз точнее, чем выдер-
живаются фокусные расстояния линз и систем в серийном произ-
106
водстве, то очевиден вывод о том, что в конструкции оптических
приборов почти всегда следует предусматривать возможность
продольной взаимной подвижки объективов, шкал, сеток и других
элементов, с помощью которых выполняются перечисленные
операции.

Задача 2

РАСЧЕТ СМЕЩЕНИЙ

КОМПОНЕНТОВ ДВУХЛИНЗОВОГО ОБЪЕКТИВА,
НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ РЕГУЛИРОВКИ
ЕГО ФОКУСНОГО РАССТОЯНИЯ В ЗАДАННЫХ ПРЕДЕЛАХ
ПРИ СОХРАНЕНИИ ПОЛОЖЕНИЯ ЕГО ФОКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Определим смещения первого и второго компонентов объек-
тива, вызывающие изменение его эквивалентного фокусного рас-
стояния на ±1 % при условии сохранения неизменным положения
фокальной плоскости, если фокусные расстояния f — 2820 мм,
— —580 мм, а расстояние между линзами (считая обе линзы
тонкими двояковыпуклыми) d ~ 2138 мм.

Дифференцированием по переменной d из формулы (36) для
оптической силы систем двух компонентов получим

АФ	АФ Ф

__ __ .

(80)

Поскольку Ф == 1//' = Ф1 + Ф2 — Ф1Фг^ = f'\ + /2 — d'tfrfz), то
после подстановки в (80) и преобразований напишем

d).

(80а)

Подставляя заданные числовые значения, найдем, на сколько
необходимо изменить расстояние между линзами для того, чтобы
уменьшить оптическую силу исходной системы на 1 % или на
столько же увеличить ее фокусное расстояние: Ad =
- —0,01 (2820 + 580 — 2138) мм - —12,62 мм.

Расстояние между линзами можно изменять смещением или
второй, или первой линзы. При этом возникает различная рас-
фокусировка — смещение А/ фокальной плоскости системы от ее
исходного положения. В самом деле, при смещении второй линзы
по формуле (51а) без второго слагаемого пренебрежимо малой
величины получится А/2 ~ (1 — Р2) Ad2, а при смещении первой
линзы будет AZi « |32 Adi. Здесь в обеих формулах |32 — линейное
увеличение второй линзы в ее исходном положении.

При равных смещениях каждой из линз Adj = Ad2 одинаковая
расфокусировка будет только в том случае, когда [32 = ±1/1/*2 «
~±0,7х. В нашем случае линейное увеличение [32 легко найти
или по формуле [32	или из формулы (39), рассматривая

данную систему двух линз как микроскоп; тогда [32 = 1\/Г ==
= Вычислив предметный отрезок z2 = /2 + f\ — d = 1262 мм
и суммарное фокусное расстояние системы f' =	+ /2 —

— d) = 1294 мм, по обеим формулам получим одинаковый ре-
зультат р2 = 0,459х. Подставим найденное значение в формулы
для расфокусировок AZ2 и найдем А/2 ж (1 — 0,4592) Ad2 —
= 0,789 Ad2 и соответственно Д/х = 0,4592 Adx —0,211 Adx.

Определим направление расфокусировки изображения в каж-
дом из рассмотренных случаев. Если расстояние между линзами
увеличивают, то при смещении второй линзы вправо расфокуси-
ровка положительна — изображение смещается тоже вправо,
а при смещении первой линзы влево изображение смещается
в ту же сторону, т. е. влево. Для восстановления исходного
положения плоскости изображения следует обе линзы сместить
совместно в первом случае влево на величину Д/2 = 0,789 Ad2,
а во втором случае — вправо на величину AZX =0,211 &dx.
В результате первая и вторая линзы получат следующие суммар-
ные смещения: в первом случае Дгх =—0,789 Аб/; Дз2 = (1 —
— 0,789) \d =0,211 Ad; во втором случае Azx =(—1 +
+ 0,211) Ad = —0,789 Ad; Д?2 =0,211 Ad. ’

Как видно, конечный результат в обоих случаях оказался
совершенно одинаковым.

Задача 3

РАСЧЕТ ДОПУСКОВ НА НЕТЕЛЕСКОПИЧНОСТЬ
И НА НЕСОВМЕЩЕНИЕ ФОКУСОВ СИСТЕМЫ ГОЛОВКИ
ЗЕНИТНОГО ПЕРИСКОПА, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ СФЕРИЧЕСКОГО
КОНЦЕНТРИЧЕСКОГО КОЛПАКА И КОМПЕНСАЦИОННОЙ ЛИНЗЫ,
РАСПОЛОЖЕННОЙ ПЕРЕД ПРИЗМОЙ-КУБОМ

В некоторых угломерных приборах для визирования в пре-
делах больших углов по вертикали или по горизонту применяется
качающаяся призма-куб К-0, расположенная перед объективом
неподвижного визира. Таковы, например, командирская труба
для зенитной артиллерии, оптический пулеметный прицел, зенит-
ные перископы подводных лодок.

Приведем примерные данные оптической системы перископа:
видимое увеличение Гт1п = 1,5х и Гтах =6Х; диаметр выходного
зрачка D'p = 7 мм (при Гтах = 6Х); пределы углов визирования
в вертикальной плоскости от in = —10° до iB = +90°; радиус
кривизны наружной поверхности сферического колпака г = 55 мм;
толщина колпака d = 10 мм; воздушный промежуток между
внутренней поверхностью колпака и передней вершиной компен-
сационной менисковой линзы dB = 5 мм; высота катетной грани
нижней половинки призмы-куба d = 42 мм. Полагаем, что все
оптические детали головки изготовлены из стекла марки К8.

Рассчитаем допуски на нетелескопичность системы колпак
плюс компенсационная линза, за которой находится призма-куб.
Половинки призмы-куба представляют собой одинаковой длины
108
и ширины прямоугольные
призмы типа АР-90°, а каж-
дая такая призма эквивалент-
на плоскому зеркалу Э (в со-
четании с перпендикулярным
к нему зеркальным ромбом),
которое параллельно гипоте-
нузной отражающей грани и
сдвинуто в сторону противо-
лежащего прямого угла на ве-
личину /э =(1/2 1Л2) Др, где
Др — радиус-вектор сдвига
изображения вдоль нормали
к выходной грани призмы за
счет толщины dp ее развертки.
Согласно формуле (21) Др —
~ NBMxAs — NBbIxdp (1
— cos e/n cose'), т. e. Др воз-

Рис. 38. Форма входного зрачка зенит-
ного перископа перед призмой-кубом при
визировании в зенит

растает с увеличением угла
падения е (и угла преломле-
ния е') луча на входную грань призмы независимо от его знака.
Так же возрастает вместе с углом е и сдвиг td эквивалентного зерка-
ла. При наведении в зенит обе половинки призмы-куба работают
в одинаковых условиях и для них Др = 0,47dp = 0,47-42 ж
ж 19,8 мм, вследствие чего = 7 мм. Изображения центров
входного зрачка системы, стоящей за призмой-кубом, отраженные
от эквивалентного зеркала каждой ее половинки, в обратном ходе
лучей будут взаимно раздвинуты по высоте на расстояние 4/э =
= 28 мм.

Вид входного зрачка перед призмой-кубом показан на рис. 38.
На равных расстояниях /э. н и t9, в от линии раздела /—/ нижней
и верхней половинок призмы-куба показаны следы их эквивалент-
ных зеркал Эн и Эв. Центр Р входного зрачка основной системы
перископа, совпадающий со средней точкой линии раздела /—/,
изобразится перед призмой-кубом в точке Рн от зеркала Эн ее
нижней половинки и в точке Рв — от зеркала Эв ее верхней
половинки. Расстояние между этими точками, равное 4£э (в нашем
случае 28 мм), одновременно ограничивает и высоту сечения осе-
вого пучка, проходящего через призму. При круглой форме
зрачка системы, стоящей за призмой-кубом, входной зрачок перед
этой призмой будет иметь форму прямоугольника шириной 42 мм
и высотой 28 мм со срезанными боковыми сторонами. Этот зрачок
составлен из двух зеркально обращенных полукругов со срезан-
ными по линии раздела /—/ сегментами.

При хорошей освещенности зрачок глаза наблюдателя диа-
метром О3. г = 2 мм будет служить действующим выходным
зрачком, так как полный выходной зрачок перископа D' = 7 мм
имеет большие размеры. Действующим входным зрачком будет
изображение зрачка глаза диаметром DP = 12 мм, а перед приз-
мой-кубом входной зрачок будет иметь форму двух полукругов
того же диаметра Dp. При наименьшем увеличении Гт1п = 1,5х
действующий входной зрачок имеет размер всего Dp = 3 мм,
а перед призмой он будет в виде двух полукругов с центрами Цп
и Цв, находящимися друг от друга на том же расстоянии 4/э =
= 28 мм.

Каждая половинка полукруглого входного зрачка будет фор-
мировать падающие пучки лучей независимо от другой части
зрачка, поэтому система будет иметь два входных зрачка и соот-
ветственно два главных луча. Эти главные лучи проходят через
геометрические центры тяжести каждого полукруга, которые
расположены ближе к диаметру на расстоянии примерно 0,4
радиуса круга. Расстояние £гл между главными точками будет
меньше расстояния 4£э между раздвинутыми центрами зрачков —
примерно на 1 мм при Гт1п = 1,5х и на 5 мм при Гтах = 6х,
т. е. /гл » 27-4-23 мм.

При наблюдении близких предметов, находящихся на рассто-
янии L, их изображения в поле зрения окуляра также будут
раздвоены по высоте на величину т'ок = ^лГ2-105/^-

Двоение изображений зависит от расстояния L: близкие пред-
меты будут заметно двоиться, далекие все менее заметно, а начиная
с некоторого расстояния Lmln, это двоение станет для наблюдателя
и вовсе незаметным. Полагая, что за окуляром перископа глаз
не замечает двоения в 10" угла, для случая, когда включено наи-
большее увеличение Гтах=6х, найдем

£т|п > - <гдГ2: ^6'1?-~— = 23-6х-0,2/10" км = 2,8 км.
ток

Таково наименьшее расстояние до предметов, двоение изобра-
жений которых за окуляром не превышает 10" угла. Эта же вели-
чина Lmln может служить и допуском на нетелескопичность си-
стемы колпак плюс компенсационная линза, стоящей перед приз-
мой-кубом.

Нетелескопичность возникает вследствие того, что передний
фокус F2 компенсационной линзы не совмещен с задним фокусом
F'i сферического концентрического колпака. Фокусное рассто-
яние последнего по формуле (32) равно f\ =—- ” р Г1 ,
где =55 мм — радиус кривизны передней поверхности кол-
пака; d = 10 мм — его толщина. Подставляя эти значения и nD =
= 1,5163, получим /1 =—726 мм. Главные плоскости сфери-
ческого концентрического колпака совпадают с его центром
кривизны. Полагая, что у компенсационного мениска передняя
главная плоскость совпадает с вершиной его передней поверх-
ности, найдем примерное значение фокусного расстояния мениска
110
fc. оно почти на 40 мм будет меньше фокусного расстояния кол-
пака, т. е. /2 = —Л — 40 мм +686 мм. Точность совмещения
фокусов линз (F2 с Ft), исходя из допустимой нетелескопичности
системы колпак плюс мениск Lmln = 2,8 км, должна быть не
менее А = f?/Lm[n = 6862/(2,8-106) =±0,24 мм.

Пределы перемещения линз зависят от отклонения их фокус-
ных расстояний. Фокусное расстояние сферического колпака,
в частности, зависит от его толщины. Логарифмическим дифферен-
цированием из формулы для f\ получим A/'i//i = Ad/d + Ad (и —
— d) ж kd/d, т. е. погрешность толщины колпака всего на Ad =
= ±0,1 мм вызывает отклонение фокусного расстояния на ±1 %.

Полагая, что подлежащее компенсации при сборке головки
перископа суммарное отклонение фокусных расстояний колпака
и мениска достигает ±1 % от номинальных значений, найдем, что
необходимое смещение мениска при фокусировке составит около
±7 мм. Поскольку воздушный промежуток между колпаком
и мениском меньше этого значения и равен 5 мм, то приходим
к выводу о том, что для совмещения их фокусов здесь целесооб-
разнее использовать подгонку фокусного расстояния менисковой
линзы путем обработки одной из ее поверхностей.

Задача 4

ОБОСНОВАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ
К ПОВОРОТНОЙ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ
ПЕРЕМЕНЫ УВЕЛИЧЕНИЯ СКАЧКОМ,
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ЮСТИРОВОЧНЫХ КОМПЕНСАТОРОВ
И ВЫБОР СПОСОБА КОНТРОЛЯ ПРИ ЮСТИРОВКЕ

Рассмотрим основные требования к поворотной телескопиче-
ской системе, служащей для перемены увеличения скачком,
особенности ее конструкции, методики юстировки и контроля.

Поворотные телескопические трубки часто используют в опти-
ческих приборах для перемены увеличения. Обычно их распола-
гают перед основной системой [94, с. 190], но иногда также и за
ней или даже внутри системы. Не касаясь преимуществ того или
иного местоположения, рассмотрим требования к таким трубкам
на примере поворотной галилеевской системы с увеличением Ги,
стоящей перед основной визирной системой с увеличением Го,
перекрестие С которой на рис. 40 отмечено крестом. При повороте
такой системы могут появиться три основных дефекта:

1)	параллакс или расфокусировка изображения;

2)	ухудшение качества изображения системы;

3)	нестабильность направления визирной оси в пространстве
предметов.

Параллакс и расфокусировка изображения возникают вслед-
ствие нетелескопичности поворотной трубки, называемой также
трубкой-искателем. На рис. 39 показана поворотная трубка
Рис. 39. Определение допусков на нетелескопичность пово-
ротной трубки перемены увеличения скачком, работающей
при прямом (а) и обратном ходе лучей (б)

в двух положениях: при прямом — объективом вперед (рис. 39, а)
и обратном — окуляром вперед (рис. 39, б) ходе лучей. В первом
случае она работает с увеличением Ги. Если задний фокус объек-
тива ^об не совпадает с передним фокусом окуляра ^ок на вели-
чину А, то изображение бесконечно далекого предмета получится
за трубкой-искателем на расстоянии аОк -- /ок/(АЮ3), м> считая
от заднего фокуса ее окуляра F'OK. После поворота трубки-иска-
теля на 180° ее увеличение станет равным Гй1, т. е. изменится
в Ги раз, а расстояние до изображения бесконечно далекого пред-
мета будет аОб =/об/(Д103), считая от переднего фокуса объек-
тива Fo6 при перевернутом положении трубки. Как покажут
дальнейшие вычисления, в готовых приборах допустимы лишь
большие расстояния аок и аоб (десятки и сотни метров), поэтому
при расчетах можно пренебречь расстоянием между фокусами
F'ok и F06, от которых отсчитываются эти отрезки. Расстояния аок

м2

и аОб значительно отличаются друг от друга, так как аОб = аОкГи.
Обычно Ги = 24-Зх, поэтому аоб будет больше аок в 4—9 раз.
Вследствие этого при переключении трубки-искателя в основной
системе появляются расфокусировка изображения и его парал-
лакс по отношению к неподвижной сетке С.

Разность сходимостей АЛ0 за окуляром основной системы
увеличения Го будет равна, дптр,

дл0 = длп =	(81)

\ “об “ок /

Поскольку аок = аОб/Ги, преобразуем выражение (81) к виду
дло = лок(Т^)2(1 -П).	(81а)

\ 1 и /
Для допустимого значения расфокусировки за окуляром труб-
ки-искателя найдем

Л0К<ДЛ,(-^)2_1_	(82)

Полагая, например, Ги — 2х, Го = 5х, ДЛ0 —0,5 дптр, по-
лучим

Лок i 0,5 j________22 “ “F 0,026 дптр.

Для серийного производства это довольно строгий допуск.
Если, например, фокусное расстояние окуляра поворотной гали-
леевской трубки равно /ок = —30 мм, то для допустимого ке-
совмещения фокусов ее объектива и окуляра получится А
<^ЛОК10-3= 302 (д^-) 10-3« 0,02.

Несовпадение фокусов (нетелескопичность трубки) легко
обнаружить по параллаксу, который возникает за окуляром
основной системы при переключении трубки-искателя. Этот не-
устранимый параллакс выгоднее контролировать при малом
увеличении системы, т. е. при обратном ходе лучей в трубке-
искателе: в этом случае размер выходного зрачка больше, чем
при прямом ходе лучей, и соответственно будет наблюдаться
и наибольший остаточный угловой параллакс. Остаточный парал-
лакс можно располовинить, поместив сетку С посередине между
изображениями далекого предмета, которые получаются при
обоих (см. рис. 39) положениях трубки-искателя.

Ухудшение качества изображения можно объяснить тем, что
при переключении поворотной трубки изменяется ширина дей-
ствующего пучка лучей в основной системе: при малом увеличении
она становится больше и так как основная система работает пол-
ным световым отверстием, то изображение будет хуже, чем при
большем увеличении, когда основная система работает лишь
центральным участком зрачка.

Отклонение визирной оси при переключении трубки-искателя
происходит в двух направлениях — по высоте на угол Д/ и по
горизонтали на угол Дер. Если ось поворота трубки-искателя
расположена горизонтально (рис. 40, а, б), то ясно, что первая
ошибка (ДО вызывается как погрешностью фиксации положения
трубки после ее поворота на 180°, так и непараллельностью визир-
ной оси основной системы оптической оси трубки, а вторая (Дер) —
неперпендикулярностыо оси поворота трубки по отношению
к визирной оси основной системы (рис. 40, в, а), а также колли-
мационной погрешностью самой поворотной трубки, т. е. непер-
пендикулярностыо ее оптической оси к собственной оси поворота
(рис. 40, б, е}.

Из рис. 40, а видно, что если визирная ось основной системы
(показана наклонной прямой со стрелкой) непараллельна опти-
Рис. 40. Расчет допусков для пово-
ротной трубки перемены увеличения
скачком на взаимную непараллель-
ность визирной оси основной системы
и оптической оси трубки в плоскости,
перпендикулярной к оси ее поворота
(а, б), на неперпендикулярность ви-
зирной оси основной системы по от-
ношению к оси поворота трубки (в, г)
и на коллимационную самой поворот-
ной трубки (д, е)

ческой оси поворотной трубки-искателя на угол со, то даже при
повороте трубки на 180° (рис. 40, б) возникает отклонение на-
правления визирной оси на угол

М = со (Ги - Ги1) = со (Ги — 1 )/Ги.	(83)

Эту погрешность можно исключить, если поворачивать трубку
не ровно на 180°, а на угол 180° + сох = 180° + co/Ги. Однако
при этом трубка-искатель в обоих положениях будет работать
в наклонных пучках, т. е. с пониженным качеством изображения.

Из рис. 40, в, г для угла отклонения визирной оси аналогично
предыдущему получится

ДФ. = (7(П-1)/П,	(84)

и соответственно из рис. 40, д, е найдем

Л<р* - k (Ги - 2 + Ги1) - k (Ги - 1 )2/Ги.	(85)

Возможна взаимная компенсация этих двух погрешностей,
на что указал проф. Г. Е. Скворцов. Если сделать Acpft = Дфд,
то между коллимационной погрешностью k и наклоном q оси
визира будет выдержано соотношение

<7 = /г(Ги-1)/(Ги + 1).

(86)
Таким образом, для устранения обеих этих погрешностей
достаточно предусмотреть в конструкции устройства лишь один
юстировочный компенсатор, например одиночный эксцентрик
при объективе основной системы. Если же ввести при этом объек-
тиве двойной эксцентрик, то с его помощью можно устранить
сбивание визирной оси также и по высоте, т. е. погрешность А/,
возникающую вследствие наклона визирной оси основной системы
на угол (о.

Процесс самой юстировки ясен из предыдущего. Вначале
желательно устранить расфокусировку, возникающую при пово-
роте трубки-искателя на 180°, т. е. обеспечить телескопичность
галилеевской системы — совпадение фокусов F'o6 и F0K. Оста-
точную расфокусировку можно располовинить смещением сетки
основной системы в среднее положение. Сбивание направления
визирной оси по вертикали и по горизонтали, если оно обнару-
жится при повороте трубки-искателя, можно устранить соответ-
ствующим сдвигом объектива основной системы с помощью раз-
воротов колец упомянутого двойного эксцентрика.

Задача 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ И ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
ЮСТИРОВОЧНЫХ ПОДВИЖЕК КОЛЛЕКТИВА ВИЗИРНОЙ ТРУБЫ,
ПРЕДНАЗНАЧЕННОЙ ДЛЯ ТОЧНОГО ИЗМЕРЕНИЯ
НЕБОЛЬШИХ УГЛОВ

В трубе, предназначенной для точного измерения углов,
используется окуляр-микрометр МОВ-1-15х по ГОСТ 7865—77*Е,
согласно которому гарантируется точность перемещения пе-
рекрестия в пределах 1 мм (одного оборота винта) не ниже 0,005 мм,
а в пределах 8 мм не ниже 0,01 мм. Таким образом, относитель-
ная точность перемещения перекрестия составляет в пределах
одного оборота винта (Д///)х = ±1/200, а в пределах 8 мм
(AZ/Z)8 = ±1/800. По расчету при использовании указанного
окуляра-микрометра в угломерной трубе один оборот его винта
должен равняться 600", откуда фокусное расстояние объектива
трубы следует взять равным /о = 343,77 мм.

При сдвиге перекрестия окуляра-микрометра с оси трубы на
расстояние I откладывается угол а, причем tg а = l/f'. Наиболь-
ший измеряемый угол составит анаиб = 4800". Приняв вследствие
малости угла tg а = а (с погрешностью менее 6.10~7 рад), для
наихудшего случая суммирования погрешностей можем напи-
сать Да/а = Д/// + Д/'//'. Здесь Д/// — относительная погреш-
ность измерения расстояния между изображениями точек в пло-
скости перекрестия окуляра-микрометра, между которыми опре-
деляется угол; Д/7/' — относительное отклонение действитель-
ного фокусного расстояния объектива трубы от его расчетного
значения f'o = 343,77 мм.
Погрешность А/// складывается из погрешности самого оку-
ляра-микрометра и погрешности наведения трубы на точки,
между которыми измеряется угол. Приняв диаметр объектива
DP = 40 мм, обеспечим точность наведения трубы выше 1".

Допустимое отклонение фокусного расстояния объектива от
его расчетного значения А/7/' желательно задать в три—пять
раз меньше относительной погрешности самого окуляр-микро-
метра, равной А/// = 1/800. Допустим Д/7/' = 1/3000. Известно,
что при серийном изготовлении линз фокусное расстояние склеен-
ного из двух линз объектива может отклоняться от расчетного
значения до 1 % и более (см. задачу 1), т. е. это отклонение в 30
и более раз больше принятого нами допуска. Поэтому в угломер-
ной трубе был использован объектив, состоящий из двух компо-
нентов — собственно объектива диаметром 40 мм и с фокусным
расстоянием f = 330 мм и коллектива с фокусным расстоянием
/г = —860 мм, расположенного на расстоянии d = 295 мм от
задней главной плоскости объектива. Эквивалентное расчетное
фокусное расстояние такой системы как раз равно расчетному
значению f'o = 343,77 мм, для получения которого при юсти-
ровке трубы конструктивно предусмотрено продольное смещение
коллектива.

Рассчитаем пределы и чувствительность смещения коллек-
тива, необходимые для регулировки угловой цены деления трубы,
а также найдем точность совмещения плоскости перекрестия
окуляра-микрометра с эквивалентным фокусом объектива трубы.
По формуле (36) оптическая сила Ф систем из двух линз равна
Ф = Фх + Ф2 — ФХФ^, где Фх, Ф2 — оптические силы объек-
тива 1 и коллектива 2; d — расстояние между их совмещенными
главными плоскостями. Дифференцированием этой формулы после
преобразования и подстановки числовых значений для чувстви-

тельности продольного смещения коллектива получим

Admin

Д/7172 _

/7о ~

1	330 (— 860)

3000	344

« =F 0,3 ММ.

Пределы смещения коллектива определим из условия, чтобы
его регулировкой скомпенсировать как отклонение фокусного
расстояния, склеенного из двух линз собственно объектива (до
± 1 %), так и отклонение фокусного расстояния коллектива в виде
одиночной линзы (до ±0,5 6). Дифференцированием той же
формулы (36) теперь найдем АФ = АФХ + АФ2 — (ДФХФ2 +
+ Фх АФ2) d — ФХФ2 Admax — 0. После преобразований полу-
чим Admax = (d — /') -yr- + (d — fi) . Подстановка числовых
величин дает Admax> 1155-^- +35-^-« 1155± 12 мм.

/1	/2	/I

При смещении коллектива в процессе регулировки угловой
цены деления окуляра-микрометра будет смещаться и плоскость
изображения. Из приведенных выше данных легко найти линей-
ное увеличение коллектива, так как оно равно 02 = /2/^2 « 1,04,
т. е. близко к единице. Возникающую расфокусировку найдем
по формуле (51г): Д/ « —ее наибольшее значение при
Д?л = Д^шах = ±12 ММ составит Д/max ~ 0,16 ММ.

Точность фокусировки — совмещения фокуса эквивалентной
системы с плоскостью перекрестия окуляра-микрометра — по
формуле (53) равна Д? = 0,06 мм. При этом остаточный параллакс
D 2 • 105
в пространстве предметов будет менее й'ост ~ -Л -гт;—

102	102

= ~i osn = 1 os лл = 2что еще допустимо. Поскольку расфоку-
сировка Д/, возникающая при смещении коллектива, может
превзойти допустимое значение Дг, потребуется сместить оку-
ляр-микрометр, что можно осуществить, например, подрезкой
опорного торца трубы.

DplO2
1,25 (D2)

Задача 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ МАСШТАБА ИЗОБРАЖЕНИЯ,
ВОЗНИКАЮЩЕЙ ВСЛЕДСТВИЕ ВЗАИМНОЙ НЕПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
ПЛОСКОСТИ ШКАЛЫ (ИЛИ ЭКРАНА)

И ПЛОСКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЯ

Рассмотрим неравномасштабность изображения, которая воз-
никает в оптических приборах, служащих для измерения длин и
углов в пределах поля зрения, из-за непараллельности плоскости
шкалы (в угломерных коллиматорах, трубах или отсчетных микро-
скопах) или плоскости экрана (в профильных проекторах) по
отношению к плоскости изображения предмета.

На рис. 41 точкой Р отмечен центр выходного зрачка объек-
тива (объектив не показан), оптическая ось которого совпадает
с осью г, а плоскость изображения И — с плоскостью ху коорди-
натной системы xyz. Под углами <ов и сон показаны верхний и
нижний краевые главные лучи, пересекающие плоскость изобра-
жения в точках, отстоящих от оптической оси на соответствую-
щие расстояния ув и ун.

Вследствие погрешностей сборки плоскость экрана Э или
шкалы не будет совпадать с указанной плоскостью изображения,
а предположим, будет наклонена на небольшой угол а вокруг
оси %, как показано на рисунке штриховой линией. Перенеся
на эту прямую расстояния ув и ун до крайних точек изображения
и соединив полученные точки с центром Р зрачка, получим штри-
ховые наклонные лучи, которые соответствуют на наклоненном
экране истинным размерам изображения. В действительности же,
изображение на экране Э строится главными лучами, идущими
под углами (ов и (он к оптической оси; эти лучи при пересечении
с экраном дадут искаженные расстояния до точек изображения:
верхнее изображение будет растянуто на величину Дув, а ниж-
Рис. 41. Определение погрешности масштаба изображения, воз-
никающей из-за взаимной непараллельности плоскости экрана
или шкалы и плоскости изображения

нее — сжато на величину Дун. Из рисунка видно, что при равен-
стве по высоте верхней и нижней половин изображения (ув = ун)
растяжение его на экране будет несколько больше сжатия, т. е.
Дув > Дун. Вследствие этого и общая длина изображения на
экране будет несколько больше истинного размера. Из заштрихо-
ванных треугольников 1 и 2 по теореме синусов легко найти для
этих погрешностей точные выражения:

Аг/В = 2z/B sin

sin (о)в 4- <х/2) .
cos (wB + ex) ’

Az/(I

— 2z/H sin

a sin (<он — а/2)
2 cos (сон — а)

(87)

Значения всех входящих в формулы величин ясны из рисунка.

Для юстировочных расчетов желательны более простые, хотя
бы и приближенные формулы. Например, в случае, когда | а | <4
С (±)в и | а | « ojh, в скобках формул (87) можно пренебречь ма-
лым значением угла а и написать:

Az/в = tg сов; Az/H = — уаа tg coH.

(87а)

При малых углах сов и ын формулы преобразуются к виду:

Аг/в =• z/Ba((oB4-a/2); Az/H = — г/на (сов — а/2).	(876)
При телецентрическом ходе главных лучей (<ов = <он = 0)
получим

Аг/в = Аг/Н = (2ув sin2 /cosа « ув (а2/2).	^87в^

В последних двух случаях погрешности масштаба пренебре-
жимо малы, однако иногда именно формулы (876) и (87в) служат
для расчета юстировочных допусков.

В качестве примера рассчитаем для профильного проектора
типа БП допуск на перпендикулярность к оптической оси проек-
ционного объектива плоскости экрана и плоскости предметного
стола (или предмета). Положив расстояние от выходного зрачка
проекционного объектива (точки Р на рис. 41) до экрана 1Р =
= 1,8 м, диаметр экрана 2у — 600 мм, допустимую погрешность
измерения в плоскости экрана Дг/ = ±0,05 мм, увеличения Р
сменных объективов —10; —20; —50, получим: по формуле (87а)
для допустимого угла наклона экрана аэ = ку!(у tg (о) =
= ку Цу* = 0,05-1,8-103/3002 = 0,001 рад или ссэ = ±3,6; по
формуле (87в) (телецентрический ход главных лучей в простран-
стве предметов проектора) для допустимого угла наклона пло-
скости предмета ап = У 2Лу!у = 0,018 рад, или ап = ±1° не-
зависимо от линейного увеличения р сменных объективов.

Видно, что для пространства предметов благодаря телецентри-
ческому ходу главных лучей допуск получился значительно гру-
бее, чем для пространства изображений. Соответственно и допуски
на возможные наклоны и повороты призм и зеркал, входящих
в оптическую систему проектора, при установке их в заданные по-
ложения следовало бы установить более грубые для пространства
предметов и значительно более строгие для пространства изобра-
жений.

В ряде случаев — для угломерных труб, широкоугольных кол-
лиматоров — допуск на погрешность размера изображения за-
дается не в линейной, а в угловой мере, т. е., например, не вели-
чиной Дув, а связанной с ней угловой ошибкой Дсов. Из рис. 41
дожно получить точные соотношения между указанными до-
пусками следующего вида:

sin А<ов =	cos (<ав + а)-----.

‘р 1/1 + tg <ОВ (tg “в + 2 sin а)

sin Дсон

Дун __________cos (сон — а)_________

1/1 + tg <он (tg — 2 sin а) ’

(88)

При малой погрешности а, когда | а | < ®в и | а | <^ <он, обе
эти формулы упрощаются к виду

Д0)в = — Д(0н = А.Ув cos2 (Ов.
‘р

(88а)
Произведя подстановку формул (87) в соответствующие фор-
мулы (88), после преобразований напишем:

sin Дсов

sin Дсон

2 sin -у- tg шв sin (шв +

У1 + tg сов (tg шв + 2 sin а)

2sm-y-tg он sin

У1 + tg сон (tg (0н — 2 Sin а)

(89)

При | а | < сов и | а | < сон получим

Дсов = а sin2 сов; Дсон — —asin2ccH.	(89a)

Точные формулы (89) можно получить и другим путем — с по-
мощью векторного произведения направляющих векторов край-
них лучей Ао (номинального, идущего под углом сос) и А (дей-
ствительного, идущего под углом сов — Д(ов), для чего необхо-
димо найти синус угла Дсов. Для обоих лучей легко написать
уравнения прямых, проходящих через две точки, из которых
первая точка общая — центр зрачка Р (0; 0; —ZP), а вторые
имеют координаты То (0; —Ув\ 0) и Т (0; —у в cos а; ув since).

Как известно, уравнение прямой, проходящей через две дан-
ные точки 7\ (хх; yi, и Т2 (х2, Уг, гг)> имеет вид

Х — Хг	у — уг	= 2 — А	или х—хг	у—у у	= z — z1

х2 — хг	У2 — У1 Z2~Z1	I	Ш	п	’

где х, у, z — текущие координаты прямой; /, /п, п — проекции
направляющего вектора на оси х, у, г.

Подставляя координаты указанных выше точек, получим:
для номинального луча

У 2 Ь lv у 2 + lj) .

—-— = —	или

Ув I р	«о

для действительного луча

----У--- = -1+Jp или - 2-Нр .

— z/Bcosa ув sin а + lp ш п

Для косинусов углов, составляемых направляющими векто-
рами лучей с соответствующими осями координат, напишем:

для орга Ао

cos ₽0 -

~^Ув
РТ0

sin сов;

cos у0

"о

+ «0

РТо

= cos(oB;
для орта А

cos 6 = _. от = ~y*cosa ;
У«2+п2 }/(yBcosa)2 + (yBsina +/р)2

Подставив получим:	ув sina + 1р COS Y =	.  у (ув cos a)2 + (ув sin a + lp)2  из рис. 41 ув — 1р tg (ов, после преобразований  D	— tg (ов cos a  cos 6 =			—.	.;  У1 +• tg <ов (tg <ов + 2 sin a)  1 + tg coB sin a COS V = " 7	— !. b B	== .  У1 + tg a»B (tg wB + 2 sin a)

В результате для направляющих векторов обоих лучей на-

пишем:	Ao = {0; —sincoB; coswB};  A _ {0; —tg<n3cosa; 1 + tg coB sin a) у 1 + tg a»B (tg <oB -I- 2 sin a)

По формуле векторного произведения для модуля этих векто-
ров найдем

|[АА0] | = sin Дсов

i j k

Ay Az
A ox ^Oy ^Oz
AyAjj; AzA(fy

i j k

0 Ay Az

0	^Oz

Подстановка проекций ортов дает

с;л	~ tg “в cos a cos <ов + (1 + tg wBsina) sin wB

V1 + tg coB (tg (oB + 2 sin a)

Произведя простые преобразования, из последней формулы
получим первую формулу (89). Аналогично — через векторные
произведения направляющих векторов нижних крайних лучей,
идущих под углами сон и (сон + Дсон), — можно получить и вто-
рую формулу (89).

Применим полученные формулы к решению простой практи-
ческой задачи — найдем допустимый угол наклона шкалы широ-
коугольного угломерного коллиматора, объектив которого имеет
угловое поле 2со = 30°, фокусное расстояние f' =- 210 мм из
условия, что точность отсчета углов должна быть не ниже Део =
= ±Г. По формулам (89а) сразу получим a — Aco/sin2 15° —
= ± l'/sin2 15° « ±15'.
Задача 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ПОГРЕШНОСТИ УСТАНОВКИ НУЛЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ШКАЛ

НА ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

Рассмотрим погрешность, которая возникает, например, вслед-
ствие поперечного сдвига шкалы широкоугольного угломерного
коллиматора — ШУК (рис. 42) — с оптической оси объектива
(не показан). Вид шкалы и ход главных лучей в вертикальной
плоскости показаны сплошными линиями при номинальном поло-
жении шкалы, а при действительном положении — после ее сдвига
вверх на величину е — штриховыми линиями.

Расстояния до штрихов угломерной шкалы от нулевого деле-
ния рассчитывают по формуле у = f' tg со, где f' — фокусное рас-
стояние коллиматора, т. е. расстояние от задней узловой точки
объектива до плоскости делений шкалы; со — угол между направ-
лениями на нуль и на данное деление шкалы из центра выход-
ного зрачка ШУК, т. е. в пространстве, где расположена сама
шкала. Таким образом, линейное положение штрихов шкалы на-
ходится от значений угла со в тангенсной зависимости.

Ясно, что показания такой шкалы будут справедливы лишь
в том случае (при номинальном ее изготовлении и при отсут-
ствии других погрешностей изготовления и сборки), если она
находится на расчетном расстоянии f от задней узловой точки
объектива. Далее из рис. 42 видно, что при сдвиге шкалы поперек
делений на величину е (нуль шкалы и ее крайние деления отме-
чены 0е, +сое и —сое) возникает погрешность отсчета угла Дсов
в направлении сдвига, так как при этом как бы отнимается от
нулевого деления угол а0 = arctge/f, а к углу со добавляется
существенно меньший угол ав, вследствие чего отсчитанный
в верхней половине шкалы угол будет меньше расчетного сов.
Путем того же рассуждения можно прийти к выводу, что при по-

Рис. 42. Влияние поперечного сдвига нуля нелинейной
(угломерной) шкалы на погрешность измерения углов
казанном на рисунке сдвиге шкалы вверх отсчитанный в нижней
половине шкалы угол будет больше расчетного значения на ве-
личину Дсон, так как к углу со прибавляется тот же угол а0, а вы-
читается из него меньший угол ан. Но, как видно из рис. 42,
изменения верхней и нижней половин угла будут не одинаковыми
по значению, так как ав < ан, вследствие чего суммарный угол
между верхним 4-со и нижним —со делениями шкалы при ее сдвиге
будет меньше расчетной суммы полууглов, т. е. при возрастании
сдвига е шкалы фактический угол между ее крайними штрихами
будет непрерывно уменьшаться.

Определим это изменение углов верхней и нижней половин
шкалы при любом ее сдвиге вверх из условия, что линейное рас-
стояние между нулевым и крайними делениями равно расчет-
ному значению, вследствие чего для верхней и нижней половин
шкалы будет:

ув = f tg ®В = f [tg (®В + “в) — tg а0]; j

Ун = f tg <»н = f [tg (®H — aH) + tg a0]. )

Раскрывая и преобразуя оба выражения, для погрешности
отсчетов получим точные формулы вида:

tg Дсов = — tg a0

tg сов (tg сов + tg a0)

1 + tg сов (tg coB + tga0) + tg2 a0 ’

ta = fa a	tg coH (tg coH - tg a0)

g н g ° i tg (oH (tg coH — tg a0) + tg2 a0 ‘

(91)

При малом сдвиге шкалы | a01 <£ сов и | а01 <£ сон, поэтому
можно написать:

Дсов = —aosin2coB; Дсон = a0 sin2coH.	(91а)

В задаче 6 было показано, что наклон измерительной шкалы
по отношению к плоскости изображения вызывает погрешность,
которая при малом угле наклона тоже почти пропорциональна
sin2 сов в ее верхней половине и sin2 сон в ее нижней половине.
Таким образом, появляется возможность взаимно компенсиро-
вать обе эти погрешности, т. е. наклон шкалы и ее сдвиг в пло-
скости делений. При наклоне шкалы вправо на угол а (см. рис. 41)
необходимо сдвинуть ее вниз так, чтобы угол а0 был равен углу
наклона а.

Важно подчеркнуть, что рассмотренная в данной задаче по-
грешность имеется лишь в приборах с нелинейной измерительной
шкалой. Эта погрешность полностью отсутствует, например,
в измерительных (профильных) проекторах, в отсчетных микро-
скопах: в этих приборах сдвиг нуля шкалы не вызывает погреш-
ности отсчета, отпадает в них и возможность взаимной компенса-
ции наклона шкалы (рис. 41) ее сдвигом (рис. 42).

В заключение приложим полученные выше формулы к расчету
допусков — рассчитаем допустимый сдвиг шкалы с оптической
оси объектива в широкоугольном угломерном коллиматоре,
фокусное расстояние объектива которого равно /' = 210 мм,
угловое поле зрения 2со = 60°, если допустимая угловая погреш-
ность отсчета не должна превышать Асо = ±Г. По формуле
(91а), подставив а0 = elf', найдем е = Асо/'/sin2 со = ±Г X
X 3.10-4.210/0,52 « 1/4 мм.

Глава V

ЦЕНТРИРОВАНИЕ ЛИНЗОВЫХ
И ЗЕРКАЛЬНО-ПРИЗМЕННЫХ СИСТЕМ
ПО ОТНОШЕНИЮ К ЗАДАННЫМ БАЗАМ

Задача 8

РАСЧЕТ ДОПУСКОВ НА ДЕЦЕНТРИРОВКУ ЛИНЗ
СМЕННЫХ ОКУЛЯРОВ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В БИНОКУЛЯРНЫХ
НАСАДКАХ МИКРОСКОПОВ

Рассчитаем допуски на децентрировку линз окуляра Гюй-
генса М-10 с увеличением Гок = 10х (рис. 43), который входит
в комплект сменных парных окуляров при работе с бинокуляр-
ными насадками микроскопа.

Фокусное расстояние коллективной линзы f'K = 39,3 мм,
глазной линзы f'r = 19,8 мм, расстояние между их главными пло-
скостями Нг и Н'к равно d = 27,9 мм.

Как видно из рис. 43, а, коллективная и глазная линзы за-
вальцованы в резьбовых оправах / и 5, которые ввинчены до
упора в корпус 2. Между торцами корпуса 2 и оправы 5 глазной
линзы защемлено опорное кольцо 4, которое определяет положе-
ние окуляра в тубусе микроскопа по высоте. В корпусе 2 запрессо-
вана полевая диафрагма 3, причем предполагаем, что ее плоскость
с круглым отверстием, ограничивающим поле зрения окуляра,
совпадает с передним фокусом глазной линзы (на самом деле по
заводскому чертежу требуется «диафрагму 3 запрессовать в кор-
пус 2 до получения резкого ее изображения при установке глаз-
ной линзы на — 1 диоптрию»).

Для получения слитного изображения при наблюдении в би-
нокулярный микроскоп требуется, чтобы пучки лучей, входящие
из общей точки предмета в правую и левую части бинокулярной
насадки, после выхода из обоих окуляров оставались с большой
точностью параллельными между собой (при параллельных осях
тубусов насадки) или имели общую точку пересечения.

В попарно сменных окулярах децентрировка линз вызывает
отклонение от параллельности осей выходящих пучков лучей,
так как при установке в тубусы бинокулярного микроскопа оку-
124
Рис. 43. Влияние децентрировок линз окуляра Гюйгенса на отклонение оси выхо-
дящего пучка лучей: а — конструкция окуляра М-10; б — оптическая система
окуляра; в, г — влияние децентрировки глазной и коллективной линз соот-
ветственно

ляры могут быть развернуты вокруг своих осей в произвольное
положение. Непараллельность осей выходящих пучков при смене
окуляров не будет возникать только при условии, если обе узло-
вые точки К и К' окуляра совмещены с геометрической осью его
корпуса 2. (Далее будет показано, что для исключения отклоне-
ния от параллельности осей выходящих пучков достаточно у смен-
ных окуляров совместить с геометрической осью корпуса хотя бы
одну — переднюю узловую точку /С окуляра.)

Геометрической осью окуляра является ось наружной поверх-
ности корпуса 2 диаметром 23,2 /9, которая определяет положе-
ние обоих окуляров, вставляемых в расточки тубусов диаметром
23,2 Н9. Указанное основное требование к центрировке сменных
окуляров бинокулярных микроскопов нарушают две основные
погрешности:

1)	поперечный сдвиг еГ центра глазной линзы относительно
геометрической оси окуляра (рис. 43, в);

2)	поперечный сдвиг еп центра коллектива относительно той же
оси (рис. 43, г).

Эти две погрешности в свою очередь возникают вследствие
многих первичных погрешностей. Так, сдвиг центра глазной линзы
вызывают следующие погрешности:

децентрировка самой линзы, допущенная при ее изготовлении
в оптическом цехе;

децентрировка линзы в расточке оправы 5 вследствие сдвига
в пределах зазора по диаметру при закреплении линзы заваль-
цовкой;
эксцентричность самой расточки под линзу в оправе 5 относи-
тельно резьбы, посредством которой эта оправа присоединяется
к корпусу 2;

эксцентричность резьбы под оправу 5 в корпусе 2 относи-
тельно геометрической оси его наружной поверхности;

наклон оси оправы 5 вследствие неперпендикулярности опор-
ных торцов оправы 5 и корпуса 2 и клиновидное™ ободка опор-
ного кольца 4, который защемляется между торцами деталей 5 и 2,
Все перечисленные погрешности имеют векторный характер,
так как они характеризуются не только величиной, но и направ-
лением, Суммируя эти погрешности, можно получить значение
общей децентрировки глазной линзы, которая и обозначена выше
как сдвиг ег ее центра, точнее, эквивалентной узловой точки
(см. рис. 18).

Аналогично можно проследить влияние всех первичных по-
грешностей, вызывающих сдвиг ек центра коллективной линзы
(предлагается сделать это самому читателю).

Вызванная суммарной децентрировкой окуляра непараллель-
ное™ осей выходящих пучков лучей не должна превосходить до-
пускаемого отклонения от параллельности осей пучков в бино-
кулярных приборах: 4О'Х15' в случае расхождения осей выхо-
дящих пучков лучей за окулярами, 20'X 15' — в случае схожде-
ния осей выходящих пучков. Больший допуск (40' или 20') дается
з горизонтальном направлении, в плоскости глазного базиса
наблюдателя, меньший допуск (15') — в вертикальном направ-
лении, т. е. поперек глазного базиса [78, с. 623].

По чертежу завода для окуляров, предназначенных для ра-
боты с бинокулярными насадками, допускают наклон оси выходя-
щего осевого пучка (углы Фг и на рис. 43, в, г) не более 7'
(около 0,002 рад)

Контроль децентрировки окуляров выполняется на специаль-
ной установке, имитирующей микроскоп, посредством вращения
окуляра в тубусе вокруг его геометрической оси. При этом наблю-
дается биение оси пучка, которое допускается в два раза больше
указанного выше отклонения пучка от оси окуляра, т. е. до 2Ф =
= 14'.

Непосредственно из рис. 43, в получим

еГ = /X.	(92)

Аналогично из рис. 43, г найдем

е“ == а d — f'r = d - - ?г$к’	($3)

Положив, что обе линзы вызывают равные угловые отклоне-
ния выходящих пучков, т. е. = Фр, напишем

/'

~	~ kcr.	(93а)
т

Рис. 44. Схема цеховой установки для контроля центрировки оку-
ляров, используемых в бинокулярных насадках микроскопов

Допуски на децентрировки линз отличаются коэффициентом k,
значения которого в окулярах Гюйгенса всегда больше единицы,
так как полевая диафрагма 3 (рис. 43, а) находится между коллек-
тивом 1 и глазной линзой 5.

Подстановкой числовых данных в формулы (92) и (93а), при-
няв = Фг — 0,002 рад, получим ег = 0,04 мм; ек = 4,8ег =
= 0,19 мм. Поскольку большее влияние на децентрировку оку-
ляра оказывает поперечный сдвиг глазной линзы, допуск на ее
децентрировку почти в 5 раз строже, чем на сдвиг коллектива.

Полученные формулы позволяют рассчитать допуски на все
первичные погрешности, вызывающие сдвиги линз ег или (ча-
стично эти погрешности перечислены выше).

Таким образом, децентрировка линз окуляра, особенно глаз-
ной линзы, весьма сильно нарушает параллельность осей выхо-
дящих пучков лучей в бинокулярных микроскопах. Допуски на
сдвиг глазной линзы (в особенности в окулярах больших увели-
чений) трудно выдержать технологически, поскольку этот сдвиг
вызывается многими первичными погрешностями. Резьбовое соеди-
нение оправ линз с корпусом окуляра с этой точки зрения нельзя
признать удачным.

Опыт показывает, что даже для окуляров слабого увеличения
(начиная с Гок = 4х) приходится предусматривать специальную
операцию при их сборке, чтобы обеспечить центрировку с задан-
ной точностью 0,002 рад. Требуемая точность центрировки дости-
гается слепым подбором оправ 5 с завальцованными в них глаз-
ными линзами и оправ 1 с коллективными линзами из больших
партий этих узлов с последующим контролем годности окуляров
(по отсутствию недопустимого биения выходящих пучков лучей)
на специальной установке, схема которой приведена на рис. 44.
Спираль лампочки Л изображается конденсором 7< в предметную
плоскость микрообъектива Об, где помещена диафрагма Д с круг-
лым отверстием. Испытуемый окуляр Ок укладывают на призму П
и при контроле вращают вокруг оси. Изображение спирали лам-
почки за окуляром получается в бесконечности, и контролер
наблюдает ее биение в поле зрения неподвижной трубы Т с сет-
кой (или на экране проекционного объектива, который можно
использовать вместо трубы Т).

Заметим, что при указанном способе подбора линз и принятой
методике контроля можно получить годные окуляры даже при
сильно децентрированных линзах. В самом деле, если на рис. 43, а,
где показано влияние сдвига коллективной линзы ек на отклоне-
ние выходящих лучей, сдвинуть в ту же сторону и глазную линзу
на величину а = ег ек (d — то выходящий осевой луч
станет параллельным падающему, но сдвинутым на величину
А = ек — а = ек (1 — (d — /гЖ ].

Поскольку выходящий луч параллелен падающему, то угло-
вое увеличение окуляра равно единице и, значит, оба луча про-
ходят через узловые точки окуляра: падающий через переднюю
узловую точку Л, которая совпадает с геометрической осью оку-
ляра, а выходящий — через заднюю узловую точку k', которая,
однако, не совпадает с геометрической осью окуляра и сдвинута
от этой оси на указанную величину А. При вращении такого оку-
ляра выходящий луч будет описывать поверхность цилиндра,
поэтому изображение лампочки в телескопической трубе (или на
экране проектора) не будет иметь биения и окуляр будет счи-
таться годным.

Возможен и такой вариант, когда обе линзы — и коллектив
и глазная линза — сдвинуты относительно геометрической оси
корпуса 2 (рис. 43) на одинаковую величину и в одной плоскости,
так что ег — ек. В этом случае также возникает отклонение вы-
ходящего пучка на угол г%к = er/f'0K = eK/f'0K. Положив 0ОК =
= 0,002 рад, для окуляра Гок = 10х получим ег = ек < 0,046 мм.
Таков допуск на децентрировку окуляра в целом как единой си-
стемы.

Рассмотренную задачу можно решить, и не зная фокусного рас-
стояния f коллективной линзы и расстояния d между главными
плоскостями линз, если воспользоваться формулой (39) для уве-
личения сложного микроскопа. Рассматривая сам окуляр как
микроскоп, можно принять коллектив за объектив с увеличе-
нием Рк, а глазную линзу за окуляр с увеличением Гг; тогда по
формуле (39) для увеличения окуляра напишем

Гок = ркГг = рк (250//;).

Зная для окуляра известного увеличения лишь фокусное рас-
стояние глазной линзы f'r или ее увеличение Гг, легко найти ли-
нейное увеличение рк коллективной линзы. Например, для оку-
ляра М-10 получим |3К = Гок/Гг = Гок/;/250 — 0,79х.

При поперечном сдвиге линзы с увеличением |3 на величину е
изображение согласно формуле (57) сдвигается на е' = е (1 — р).
•Соответственно при сдвиге коллектива на изображение в оку-
ляре М-10 (перед глазной линзой) сдвинется на ек = ек (1 — рк).
На рис. 43, г величина ei была обозначена буквой а. причем
я = ЛАо где —допустимое угловое отклонение выходящего
из окуляра пучка лучей. Допустимый сдвиг коллектива можно
найти из выражения

- ₽к).	(936)

Подставив числовые значения, для допустимого сдвига кол-
лектива получим, как и раньше, то же значение ек = 19,8 X
X 0,002/(1 — 0,79) - 0,19 мм.

Задача 9

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ЗАЗОРОВ ОСИ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОГО
И УГЛОВОГО ЗЕРКАЛ В СХЕМЕ ОПТИЧЕСКОГО САМОПИСЦА

На рис. 45, а изображена схема узла оптического самописца.
Объектив 1 через плоское зеркало 2, закрепленное на оси вра-
щения 3 под углом 45°, создает изображение световой точки в фо-
кусе Fo на фотопленке, расположенной по поверхности цилиндри-
ческого барабана 4. Направление падающего пучка параллель-
ных лучей перед объективом задано ортом А, идущим по оси
вращения 3. Неподвижная система координатных осей xyz ориен-
тирована так, что оси х и у перпендикулярны оси вращения 3,
вдоль которой направлена ось г.

При вращении оси 3 с зеркалом 2 в шарикоподшипниках 5
и 6 световая точка F' синхронно с зеркалом должна описывать
дугу окружности, а на развертке цилиндра 4 — прямую, перпен-
дикулярную к оси цилиндра. Вследствие зазоров в подшипни-
ках 5 и 6 траектория, описываемая точкой F’, будет отличаться от
номинальной. Требуется найти, как влияют на положение точки
F' следующие дефекты оси вращения зеркала: осевой зазор Аг;
разность радиальных зазоров Ах; разность радиальных зазо-
ров Ау.

Зазор Аг вызовет такое же смещение зеркала и световой точки
F'. Разности радиальных зазоров Ах и Ау вызывают повороты
оси вращения вместе с зеркалом на малые углы Р и а соответ-
ственно вокруг осей у и х. Оба эти поворота, предположим, про-
исходят вокруг неподвижной точки С, которая лежит на падаю-
щем луче посередине между подшипниками 5 и 6 на расстоянии b
от любого из них и на расстоянии г от начала О координатной
системы хуг, а углы поворота соответственно равны а = &у!Ь\
Р = Ах//?.

Решим задачу по общим векторным выражениям (17) и (18).
По условиям задачи г = —rk; q = А = —k.

Для орта нормали No в исходном положении зеркала напишем
No = 1//Г (j + к), а после поворота зеркала на угол а получим
Na = l/j/2” [(cos а — sin a) j + (cos а + sin а) к] и соответ-
ственно после поворота на угол Р найдем Np = 1/}/2 [—sin Pi +
+ j + cos pk].

5 Погарев Г. В. и др.

129
4

Рис. 45. Схемы оптического самописца с вращающимися плоским (а)
и угловым (б) зеркалами

Для радиуса-вектора г' текущей точки отраженного луча
по формуле (17) с учетом условий задачи и формулы (9) после
преобразований в общем виде напишем

(° \	/О

о I + /2/-N + XM' О

— г/	\ —1

rNx{y~2-2Nz)^2KNxNz
rNy (/2 - 2NZ) + 2\NyNz
rNz (/2 - 2NZ) —X (1 - 2Ni)

(94)
При повороте на угол а получим

/ ° \

= г (— cos 2а + cos а — sin а) + Ха cos 2а (94a)
\г (— 1 — sin 2а -|- cos а -j- sin а) -|- Ха sin 2а/

и аналогично при повороте на угол 0

— г (1 — cos 0) sin 0 — Хе sin 0 cos 0\

г (1 — cos 0) + Хр cos 0 j. (946)

r (1 — cos 0)cos 0 — Xpsin2 0	/

При a = 0 = 0

откуда Xa = Xg = s.

Подставив в формулы (94а) и (946), окончательно найдем
/ ° \

r^, = I г (cos a — cos 2a — sin a) -j- s cos 2a |	(95)

\r (cos a — 1 — sin 2a sin a) + s sin 2aJ

и соответственно

— [г (1 — cos 0) + scos 0] sin 0\

r (1 — COS0) H-SCOS0 j.	(95а)

r (1 — cos 0) cos 0 — s sin2 0 /

При малых углах a и 0 получатся выражения вида:

» (s — га) j + (2s — г) ak;	(956)

гр « — s0i + sj + (0,5г — s) 02k.	(95в)

Из двух последних формул следует, что при наклоне зеркала
на угол а световая точка F' сместится в направлении поворота
на расстояние (2s — г) а, а при его наклоне на угол 0 точка F'
сместится в ту же сторону по оси х на величину (—s0) и вдоль
оси г на весьма малую величину (0,5г — s) 02. В первом случае,
кроме того, появится расфокусировка, равная —га.

На рис. 45, б изображен второй вариант того же узла опти-
ческого самописца, но с использованием не плоского, а углового
зеркала с углом о — 45°. Биссектриса углового зеркала в его
исходном положении направлена к оси вращения под углом 45°.
В остальном схема на рис. 45, б не отличается от схемы на
рис. 45, а.

Найдем, как влияют на положение световой точки F' те же
дефекты подшипников 5 и 6, а именно зазоры Дг, Дх и Дг/.
Осевой зазор Az вызовет такие же расфокусировку и сдвиг
световой точки F', что непосредственно следует из формул (43)
и (44), если в них подставить О’ = 0 (смещение ребра углового
зеркала вдоль падающего луча).

Радиальный зазор Ду вызовет смещение ребра углового зер-
кала как вдоль, так и поперек падающего луча. Для нахождения
суммарного поперечного смещения отраженного выходящего луча
воспользуемся общей формулой (17) с учетом формулы (18а),
в которую подставим следующие данные: г = —rk; q = —aj +
+ (г — а) к (при исходном положении углового зеркала); о =
= 45°; ро = i; А = — к.

После наклона оси 3 вокруг оси х на угол а получим qa =
= [—a cos а — (г — a) sin а ] j + [(г — a) cos а — a sin а ] к;
ра = i, а после наклона оси 3 вокруг оси у на угол р будет q3 =
= —(г — a) sin — aj + (г — a) cos Pk; р3 = cos Pi + sin Pk.

Матрица M' по формуле (10а) для углового зеркала с углом
а = 45° упростится:

/ Рх

Л4а=45° = I	Рг~\- РхРу

\	Ру РхРг

— Рх + РхРу
Ру

рх + РуРх

Ру + РхРг\
— Рх + РуРх .

Рх /

Используя формулу (17), с учетом условий задачи для радиуса-
вектора г" напишем следующее общее выражение:

/ Ях \	/ 0\

г" = (1 - Л4")| Яу + МГ 0 =

\— г-\-Яг)	1/

/ (1 ~ ти)Ях — "ЧгЯу-«h3(— r + qz + k) \

= 1 — m21<7x + (l-m22)^ —/и23(—r-j-^-j-X)	.	(96)

\— m31qx — m32qy + (1 — m33) (— г ф- qj — 1/п33/

Подставив проекции qa, из этого выражения для первого
случая (а у= 0) получим

/ ° \

= I г (cos а — 1 — sin а) — 2а cos а -|- Ха 1	(96a)

\ г (cos а — 1 -|- sin а) — 2а sin а /

Аналогично, используя выражение qe, для второго случая
(Р ¥= 0) найдем

— г (1 — cos Р) sin р — Xpsin Pcos р\

r(l — cos Р) — 2a + Xecosp ].	(966)

r(l -- cos Р) cos р — Xpsin2p /
При а = Р = 0 в обоих случаях получится

откуда

Ха — Хр — 2а -f- s.

Подстановкой формулы (96а) и (966) приведем к окончатель-
ному виду:

/ ° \

= I г (cos а — 1 — sin а) — 2а (cos а — 1) -|- s );	(97)

\ г (cos а — 1 sin а) — 2а sin а J

— г (1 — cos) sin Р — (2а + s) sin Pcos ₽\

(г — 2а) (1 — cos Р) + s cos р j.	(97a)

г (1 — cos Р) cos р — (2а + s) sin2 р /

При малых углах а и Р получатся выражения:

г» (s — га) j + (г — 2а) а к	(976)

и соответственно

гр « — (2а + s) pi + sj - (2а + s - 0,5г) р2к. (97в)

Таким образом, при наклоне оси вращения с угловым зерка-
лом вокруг оси х на малый угол а световая точка F' сместится
в боковом направлении — вдоль оси z — на величину (г — 2а) а =
= 0 при условии, что 2а = г. Одновременно произойдет расфокуси-
ровка изображения световой точки на величину —га. При наклоне
углового зеркала вокруг оси у на угол Р световая точка F' сме-
стится в отрицательную сторону оси х на величину —(2а + s) Р
и незначительно — на малую величину второго порядка (2а +
+ s — 0,5г) р2 — вдоль оси z.

Полученные выражения позволяют определить требуемый
квалитет точности шариковых подшипников и выбрать конструк-
тивное расстояние между ними, а при юстировке самописца оце-
нить влияние этих параметров на точность его работы.

Задача 10

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ НАПРАВЛЯЮЩИХ
ПЕРЕДВИЖНОЙ ПЕНТАПРИЗМЫ, СЛУЖАЩЕЙ ДЛЯ ФОКУСИРОВКИ
ТРУБЫ СО СТАБИЛИЗИРОВАННОЙ ВИЗИРНОЙ ЛИНИЕЙ

В оптической системе визирной трубы для перефокусировки
марки на различные расстояния предлагается использовать про-
дольное смещение пентапризмы П вдоль оси х (рис. 46, а). Изобра-
жение светящейся сетки С, неизменно связанной с объективом Об,
Рис. 46. Анализ схемы визирной трубы со стабилизированной
визирной линией и с фокусировкой при помощи передвижной
пентапризмы

отраженное через пентапризму П (обычную или с крышей), да-
лее от неподвижного плоского зеркала 3 и вновь через ту же
призму /7, получается в точке и служит в качестве перекрестия
визирной трубы.

Рассмотрим влияние погрешностей направляющих для пере-
движения пентапризмы на нестабильность положения визирной
оси трубы и решим, какую призму выгоднее использовать в ка-
честве фокусировочной —обычную или с крышёй. Для решения
задачи выясним, как влияют действенные подвижки обеих призм—
их смещения вдоль осей неподвижной координатной системы xyz
и повороты вокруг тех же осей — на положение изображения
сетки С.

Прежде всего найдем эквивалент зеркально-призменной си-
стемы, состоящей из пентапризмы и плоского зеркала 3 (рис. 46, б).
Начальным будем считать такое взаимоположение призмы и
зеркала 3, когда эквивалентное ребро призмы совмещено с пло-
скостью зеркала 3 в точке Ро. В этом случае система координат-
ных осей xyz является для пентапризмы основной. Системой,
эквивалентной пентапризме с зеркалом 3, будет плоское зеркало
Эо, совпадающее с ребром PQ и перпендикулярное к зеркалу 3.
Изображение сетки С получится в точке Q, симметричной по
отношению к эквивалентному зеркалу Эо. Последовательность
134
отражений сетки С в пентапризме (С"), зеркале 3 (С^) и вновь
в пентапризме при обратном ходе лучей (С^) показана на
рис. 46, б.

Если сместить пентапризму вдоль оси у на &у в положе-
ние Пу, то на столько же, но вдоль оси х сместится и плоскость
эквивалентного зеркала Эу, а изображение Cvy сместится на удвоен-
ную величину 2(/Д, что вызовет такую же расфокусировку трубы
(рис. 46, б).

Смещение ребра Ру пентапризмы Пух вдоль оси х в положе-
ние Рух на величину Дх, как видно из рис. 46, а, б, дает тот же
эффект — изображение Cvyx сетки сместится вдоль оси х на 2Дх.
Эквивалентное зеркало Эух окажется смещенным от зеркала Эу
вправо еще на Дх вдоль оси х.

Таким образом, смещения ребра Ро пентапризмы вдоль осей х
или у дают одинаковый результат — удвоенную расфокусировку
сетки трубы.

Подвижки пентапризмы без крыши вдоль оси z всегда недей-
ственны. В данной схеме оказываются недейственными такие же
подвижки и пентапризмы с крышей, так как сдвиг изображения
сетки Со на 2Ди, вызываемый сдвигом ребра крыши вдоль оси z
на Ди, компенсируется обратным сдвигом изображения сетки С^
на ту же величину 2Ди при возвратном ходе лучей от крыши.
Вследствие этого изображение сетки остается на месте — в точке
Су оси х.

Теперь рассмотрим повороты обеих пентапризм вокруг каждой
из осей х, у, z. Поворот обычной пентапризмы и пентапризмы
с крышей вокруг оси z основной координатной системы, т. е.
вокруг эквивалентного ребра, недействен: изображение зеркала 3
в обратном ходе лучей через каждую из пентапризм останется
параллельным себе, эквивалентное зеркало при этом не накло-
нится. Повороты же обычной пентапризмы вокруг осей х и у
соответственно на малые углы а и Р вызовут наклон плоскости
эквивалентного зеркала в обоих случаях в одну и ту же сторону
и только вокруг оси у на те же самые углы а (приблизительно до
величины второго порядка) и р. Изображение сетки Cv сдвинется
при этом в боковом направлении на Дг « 2/а или Дг « 2/р,
где I — расстояние от сетки С до эквивалентного зеркала Э.
Наклона изображения при этом не возникнет, так как схема ра-
ботает в автоколлимационном ходе лучей.

Повороты пентапризмы с крышей на малые углы а и Р вызовут
отклонения эквивалентного зеркала на те же углы, но в разные
стороны. Это легко найти с помощью матрицы М" по формуле
(10а). Если бы ось вращения обычной пентапризмы была перпен-
дикулярна к биссектрисе угла между осями х и у, а ось вращения
пентапризмы с крышей параллельна этой биссектрисе, то малые
повороты обеих пентапризм вокруг указанных осей не вызывали
бы боковых сдвигов сетки Cv, как это следует из п. 4.

Сделаем следующие окончательные выводы.
1.	Параллельные смещения обычной пентапризмы или пента-
призмы с крышей не влияют на направление визирной оси трубы,
а изменяют лишь ее фокусировку, так как эквивалентное им
обоим зеркало Эо при этом смещается параллельно себе вдоль
своей нормали.

2.	Наклоны главного сечения пентапризмы на малые углы а
и Р вокруг осей х и у дают отклонение визирной оси в боковом
направлении на угол 21а/а' или на угол 2/р/а' соответственно,
где а' — расстояние от задней узловой точки объектива Об до
изображения сетки Cv. Наклона изображения при этом также
не возникает, так как эквивалентное зеркало Э в данном случае
поворачивается вокруг оси у соответственно на углы а или Р
(при повороте на угол а это утверждение справедливо только
в первом приближении).

У каждой из пентапризм существует особая ось, параллель-
ная главному сечению, наклоны вокруг которой обеих призм на
малые углы не вызывают поворотов эквивалентного зеркала Э
вокруг оси у. У обычной пентапризмы эта особая ось перпенди-
кулярна к биссектрисе угла между осями х и у, у пентапризмы
с крышей она параллельна этой биссектрисе.

3.	Любая из подвижных пентапризм — обычная или с кры-
шей — в сочетании с сеткой С, неизменно связанной с объекти-
вом Об, и неподвижным плоским зеркалом 3 может быть исполь-
зована для фокусировки в оптической системе отсчетной трубы
без точных направляющих для визирования в плоскости, парал-
лельной зеркалу 3. Однако предпочтительнее схема с обычной
пентапризмой, так как отсутствие крыши позволяет получить
лучшее качество изображения и избежать раздвоения зрачка и
изображения сетки.

Задача 11.

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ЮСТИРОВКИ
ПЕРЕКЛЮЧАЕМОЙ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ ПРИЗМ,
УСТАНОВЛЕННЫХ НА ОБЩЕМ СУППОРТЕ

Переключаемая система состоит из двух призм — пента-
призмы А и призмы Б двойного изображения, т. е. призмы с двумя
взаимно обращенными изображениями (рис. 47). Обе призмы
неподвижно закреплены на общем суппорте С, который при пе-
реключении призм сдвигается от одного упора Уп до другого
(не показан) и устанавливается в строго фиксированных положе-
ниях. Призмы расположены в сходящемся ходе лучей — между
объективом Об и экраном Э в его фокусе Fq, на котором наблю-
дается изображение предмета, и включаются в ход лучей попе-
ременно. На рис. 47 в ход лучей включена призма Б. Требуется,
чтобы при переключении призм до фиксированных упорами по-
ложений не появлялся сдвиг изображения более ±0,1 мм при
расстоянии от каждой призмы до экрана I — 200 мм.
Рис. 47. Переключаемая система двух призм А и 5,
установленных на общем суппорте

При юстировке выявилось, что переключение призм, напри-
мер замена пентапризмы А призмой 5, вызывает на экране и
сдвиг, и двоение, и наклон изображения, и ухудшение его ка-
чества. Эти дефекты трудно устранить одновременно, так как
при подвижке призм на суппорте в процессе юстировки исчезают
одни дефекты, но появляются другие. Юстировка требует очень
много времени, так как ее приходится выполнять как бы ощупью,
методом последовательных приближений. И даже после юсти-
ровки нет полной уверенности, что достигнут оптимальный ре-
зультат.

В данном случае весьма желательно разработать научно обосно-
ванную методику юстировки и контроля призм, для чего необхо-
димо рассмотреть влияние всех действенных подвижек призм.
Решение этой задачи значительно упрощается, если предвари-
тельно найти зеркальные эквиваленты призм А и Б.

Призма двойного изображения состоит как бы из двух частей —
систем I и II (рис. 48). Каждая система имеет по три отражаю-
Рис. 48. Приведение призм Л и Б к зеркальным экви-
валентам (а, б) и схема мостика призмы Б (в)

щие грани: в системе I — грани /, 2 и 3, в системе // — грани
3, 4 и 5. Грани /, 2 и 4, 5 попарно образуют прямоугольные
крыши, ребра которых взаимно перпендикулярны. Эти системы
(каждая отдельно) изображены на рис. 48, б, где также показаны
их зеркальные эквиваленты.

Система I эквивалентна плоскому зеркалу ЭЭ в сочетании
с перпендикулярным к нему ромбом толщиной &, который вызы-
138
вает сдвиг изображения 2Ь в плоскости ЭЭ. К такому выводу
можно легко прийти следующим путем. Мысленно сдвинув
грань 3 поступательно до совмещения с гранью /, получим
систему трех зеркал с общей линией пересечения, совпадающей
с ребром между гранями 1 и 2. Эта система трех зеркал по дей-
ствию эквивалентна одному плоскому зеркалу, совпадающему
с гранью 2.

В действительности же грань 3 удалена от грани 1 на рас-
стояние bQ = a/yf2 , вследствие чего изображение после отра-
жения от граней 1 и 2 сместится вдоль грани 2 на удвоенную
величину: 2Ь0 = у/~2а, где а — ширина входной грани призмы Б.
Поэтому система трех отражающих граней 1—3 эквивалентна
плоскому зеркалу Э0Э0, совпадающему с гранью 2, в сочетании
с перпендикулярным к нему ромбом толщиной bQ. При отражении
в такой системе зеркал осевой луч, падающий в вершину прямого
угла между гранями 1 и 2, сдвигается в плоскости эквивалент-
ного зеркала Э0Э0 или в плоскости грани 2 на величину 2&0 и
отражается от зеркала Э0Э0 под углом 90° к падающему лучу.

Далее необходимо еще учесть, что развертка призмы тол-
щиной За вызывает дополнительный сдвиг изображения в направ-
лении нормали NBbIX выходной грани на величину Др =	1 За =

= а, если положить п = 1,5. Этот вектор Лр отложен от вершины
угла между гранями 1 и 2. Суммируя векторы Лр и 2Ь0, получим
искомую эквивалентную систему / части призмы Б, которая
состоит из зеркала ЭЭ и перпендикулярного ему ромба толщи-
ной Ь.

Система II представляет собой пентапризму с крышей 4, 5\
она эквивалентна трехзеркальной системе с центром в плоскости
главного сечения, проходящей через ребро крыши 4, 5, причем
эквивалентный центр Цэ лежит в точке пересечения указанной
плоскости с основным неизменным направлением системы // на
расстоянии а/у^2 от действительного центра Ц призмы.

Положение эквивалентного центра, через который проходит
основное неизменное направление системы //, находится из усло-
вия, чтобы расфокусировку величины а, вызванную разверткой
призмы толщиной За, скомпенсировать соответствующим сме-
щением центра Цэ призмы. Для этого необходимо сместить его
вдоль особого направления пентапризмы, которое совпадает
с гранью 3 в плоскости главного сечения, на расстояние а/у42
от действительного центра Ц.

С центром Цэ совместим начало О основных координатных
осей xQyQzQ (рис. 47, 48, а), направив ось г0 по основному неизмен-
ному направлению системы //, ось yQ — вдоль грани 3. Эту же
систему осей можно считать основной и для системы /, хотя,
строго говоря, для этой системы оси х0 и zQ должны были бы совпа-
дать с плоскостью эквивалентного зеркала ЭЭ. Однако это отступ-
Таблица 3. Действенные подвижки призм А и Б в основной системе коорди

Призма		Смещения вдоль осей			
	*0	Уо	Zo		
I	Недейственно	+  Вызывает расфокуси- ровку Дхэ = Д/2 Дг/0 и сдвиг	изображения  Д*/э =	&Уо	Недейственно		
II	+  Вызывает сдвиг изо- бражения	Дг/Э =  = — ~|/2 Д*о	+  Вызывает расфокуси- ровку Дхэ = Д/2	+  Вызывает сдвиг изо- бражения Дгэ = = 2 Дг0		
Б	+  Вызывает двоение изображения по вер- тикали величиной Д/2 Дх0	+  Вызывает расфокуси- ровку обоих изображе- ний одинаковой вели- чины Дхэ = ~|/2	и  двоение изображений по вертикали величины 1/2 Дг/0	+  Вызывает двоение изображений по го- ризонту величиной  2 Дг0		
		Вид поля зрения на экране Э со стороны на			
	2			2	
	4-	t  —ь— 1 1	1	f	
А	+  Вызывает сдвиг изо- бражения	Дг/Э =  = — ~}/2 Дх0	+  Вызывает расфокуси- ровку Дхэ = ~\/2 Дг/0	Недейственно		
натных осей xoyozo и их влияние на местоположение и ориентировку изображений

	Повороты вокруг осей			
	*0	Уо	*0	
	+  Вызывает сдвиг изобра- жения Дгэ = 1/2/а0, его наклон и дц 1г на угол 1/2а0, наклон развертки призмы на угол а0/}/2	+  Почти недействен, вызы- вает лишь сдвиг изображе- ния Д?э = —2bf}0 и на- клон развертки призмы на угол Ро/"|/2	+  Вызывает сдвиг изобра-  жения Д#э — 2 / —  ) ?о> ДИ 1в и на- клон развертки призмы на угол у0	
	+  Вызывает наклон изо- бражения на угол ~]/2а0 и наклон развертки призмы на угол а0/}/2	+  Вызывает сдвиг изображе- ния Дгэ=1/2Фо> ДЦ^г на угол ~1/2Ро и наклон развертки призмы на угол Ро/1/2	Недействен, вызывает лишь наклон развертки призмы на угол у0	
	+  Вызывает двоение изо- бражений по горизонту величиной }/2/а0, со- вместный их наклон на угол ~[/2а0 и порчу их качества	+  Вызывает двоение изобра- жений по горизонту вели- чиной }/2 (/ + ~]/2b) Ро и порчу их качества	+  Вызывает двоение изо- бражений по вертика- ли величиной 2	—  b  у- J То и порчу их качества	
блюдателя по рис. 47 (в системе координатных осей хоуого)				
	7  1	2  1		f
	+  Вызывает сдвиг изобра- жения Д?э = ~|/2Za0, дц 1г на угол ~]/2а0 и порчу его качества из-за наклона развертки приз- мы на угол а0/Д/2	+  Вызывает наклон изобра- жения на угол	и  порчу его качества из-за наклона развертки призмы на угол Р0/}/2	Недействен, вызывает лишь порчу качества изображения из-за на- клона развертки приз- мы на угол у0	
ление несущественно, так как мало само по себе и сказывается
лишь при поворотах призмы Б вокруг осей х0 и yQ.

Аналогично найдем и местоположение эквивалентного ребра рэ
пентапризмы А (рис. 48, а), которое лежит на расстоянии *• я
от действительного ребра р в биссектрисной плоскости угла о.
Соответственно ориентированы как основные оси xoyozo, так и
оси xyz призмы А.

Все возможные подвижки обеих призм в системе основных
осей xQyozo рассмотрены в табл. 3. В левом верхнем углу каждой
ячейки знаком «минус» отмечены недейственные, знаком «плюс» —
действенные подвижки призм А, Б и систем I и II призмы Б.
Символами дц1г и дц1в обозначена децентрировка первого рода
(неперпендикулярность оптической оси объектива к плоскости
экрана Э) в горизонтальной или вертикальной плоскости. Пента-
призма А имеет четыре действенные подвижки, а у призмы Б
все шесть возможных подвижек являются действенными. Для
всех действенных подвижек систем I, II и призмы Б найдены чис-
ловые коэффициенты влияний и показано взаимоположение
изображений на экране Э в соответствии с рис. 47.

Теперь можно разработать и методику юстировки призмы Б.
Из взаимного положения изображений на экране видно, что не-
которые подвижки (смещения Дх0 и Az0, поворот на угол (30) не
сдвигают изображения 1 (через систему /), а другие подвижки
(смещение Az/0 и повороты на углы а0 и у0) не сдвигают изобра-
жения 2 (через систему //); правда, наклон призмы на угол а0
вокруг оси xQ вызывает еще и разворот изображений. Этот при-
знак позволяет в процессе юстировки отделить одни действенные
подвижки от других (кроме сдвига Az0 и поворота на угол (30,
которые вызывают на экране сходные эффекты).

Следует еще учесть, что призма Б, как и пентапризма А, уста-
навливается входной гранью (нижняя грань на рис. 47 и 48) на
верхнюю привалочную плоскость передвижного суппорта С,
благодаря чему практически исключается опрокидывание призмы
вокруг оси zQ.

Из сказанного следует, что при юстировке призмы Б целесо-
образно устранять все шесть действенных подвижек в следую-
щем порядке:

1)	фокусировать изображения смещением призмы вдоль оси yQ\

2)	если изображение 1 после этого оказалось сдвинутым из
правильного положения по высоте, то наклонить призму вокруг
оси z0;

3)	привести изображение 1 в центр экрана поворотом призмы
вокруг оси х0;

4), 5), 6) совместить изображение 2 с изображением 1 смещени-
ями призмы вдоль осей xQt zQ и поворотом ее вокруг оси yQ.

Перечисленные подвижки (смещения и повороты) следует
осуществлять вдоль и вокруг осей xQyQzQ системы координат. Для
142
этого целесообразно установить призму Б на специальный мостик,
позволяющий выполнять отдельные подвижки независимо от
остальных. Мостик должен иметь повороты на небольшие углы
а0, 0о, Yo вокруг всех трех осей и малые сдвиги Ах0, Ау0, А?о
вдоль тех же осей. Конструкция мостика по такой схеме, оче-
видно, получится довольно сложной.

В данном случае, как видно из табл. 3, юстировка призмы Б
ее подвижками относительно осей координатной системы хоуо^о,
основной для систем / и //, не оказалась наиболее удобной, так
как действенными являются все шесть возможных подвижек
призмы.

Представляется целесообразным рассмотреть влияние под-
вижек и выполнить юстировку в другой системе координат, на-
пример в системе осей xyz, которая по отношению к основной
системе осей повернута вокруг оси z0 на угол 45° против часовой
стрелки так, что ось х направлена по выходящему осевому лучу,
а ось у — навстречу падающему осевому лучу.

Смещения и наклоны в новой системе координат достаточно
рассмотреть лишь относительно осей х и у, так как ось z совпадает
с осью zQ основной координатной системы и влияния соответ-
ствующих подвижек приведены в табл. 4. Влияние смещений
легко найти графически, сравнив ход осевого луча при исход-
ном и смещенном на Ах и Ау положениях призмы, или вычислить
по формулам (18) и (18а). Влияние поворотов систем / и II призмы
найдем с помощью матриц действия плоского и углового зеркал
по формулам (9) и (10а).

При наклоне призмы Б вокруг оси х на угол а против часовой
стрелки, а затем вокруг оси у на угол 0 по часовой стрелке
(рис. 47, 48) для орта направления нормали эквивалентного зер-
кала ЭЭ системы / напишем: Na = 1/-/2" (i + cos aj + sin ak);
N3 = 1//2" (cos 01 + j + sin pk).

Для орта направления ребра эквивалентного углового зер-
кала системы II соответственно получится: ра — —sin aj +
+ cos ak; pp = —sin pi + cos pk.

Направления выходящего осевого луча (входящий луч идет
навстречу оси у и А = —j) найдем из следующих выражений:
при наклоне призмы вокруг оси х на угол a

/ ° \

=	=	— 11

\ о )

’ %NxNy \
2N* - 1 ] =

(98)
Таблица 4. Действенные подвижки призм А и Б в системе координатных

Призмы	Смещения вдоль осей			
	X	У	2 (2о)	
I	+  Вызывает расфокуси- ровку изображения Ахэ — Ах и его сдвиг \у3 = &х	+  Вызывает расфокуси- ровку	изображения  Ахэ = Аг/ и его сдвиг  △&> =	Недейственно	
II	+  Вызывает расфокуси- ровку изображения Ахэ = Ах и его сдвиг &Уэ =	+  Вызывает расфокуси- ровку	изображения  Ахэ = Аг/ и его сдвиг  &Уэ = &У	+  Вызывает сдвиг изо- бражения Агэ —  = 2 Az	
Б  (I + П)	+  Вызывает расфокуси- ровку обоих изобра- жений одинаковой ве- личины Ахэ = Ах и их двоение по верти- кали величиной 2 Ах	+  Вызывает расфокуси- ровку обоих изображе- ний одинаковой вели- чины Ахэ = Аг/ и их совместный сдвиг по вертикали на Аг/Э = Аг/	+  Вызывает двоение изображений по го- ризонту величиной 2 Az	
	Вид поля зрения на экране со стороны на			
	2  4- —1— _JL_ 1	2 	1	  /	j |  1	
А	+  Вызывает сдвиг изо- бражения Аг/Э = Аг/ и его расфокусиров- ку Ахэ = &у	+  Вызывает расфокуси- ровку	изображения  Ахэ = Аг/ и его сдвиг Аг/Э= Аг/	Недейственно	

аналогично (при аэ = —45°)

	0\	/'П12 \	/— pz sin 2ст -j- ЧрхРу sin2 ст\
=	а) = мц	1	= ^22 W	cos 2<7 -f- 2p^sin2o	j=
	Д/	\^32 /	\ px sin 2o + 4pypz sin2 a J
/ Рг + РхРу '		( Pz\ /	' cos a \	/ 1 \
Pl)	1 —	1 Ру /I	sin2 a j та 1 a2 |.	(99)
\— Рх + РуРг,		\PyPzJ \	,— sin a cos a/	\—a/
осей xyz и их влияние на местоположение и ориентировку изображений

	Повороты вокруг осей		
	X	У	2 (2о)
	+  Вызывает сдвиг изобра- жения	Д?э = (Z +  + "l/2^)a, его наклон, дц 1г и наклон разверт- ки призмы на угол а	+  Вызывает сдвиг изображе- ния Д?э = (/—"|/2&)р, его наклон и дц 1г на угол 0	+  Вызывает сдвиг изобра- жения Дг/Э ~ (j —  АМ, И.  угол 2у и наклон раз- вертки призмы на угол у
	+  Вызывает сдвиг изобра- жения Дгэ = —/а, его наклон, дц 1г и на- клон развертки призмы на угол а	+  Вызывает сдвиг изображе- ния Д?э = Z0, его наклон и дц 1г на угол 0	Недействен, вызывает лишь наклон развертки призмы на угол у
	+  Вызывает двоение изо- бражений по горизонту величиной 2Za, совмест- ный их наклон на угол а и порчу их качества	+  Вызывает совместный сдвиг изображений по горизонту на Д?э = Z0, совместный их наклон на угол 0 и порчу их качества	+  Вызывает двоение изо- бражений по вертикали величиной 2/у и порчу их качества
блюдателя по рис. 47 (в системе координатных осей хэуэгэ)			
	1	г  1 '	2  f
	+  Вызывает сдвиг изобра- жения Д?э = /а, его на- клон, дц 1г на угол а и порчу его качества	+  Вызывает сдвиг изображе- ния Д?э = /0, его наклон, дц 1г на угол 0 и порчу его качества	Недействен, вызывает лишь порчу качества изображения за счет наклона развертки

Видно, что при повороте призмы Б вокруг оси х на угол а
выходящие осевые лучи отклоняются почти по горизонту в про-
тивоположные стороны на равные углы и угол расхождения
между ними примерно равен 2а.

При наклоне призмы вокруг оси у на угол 0:

/ 0 \	/ 2NxNy \	/cos р\

A3 = Л4рА = Л4Я — 1 ) = ( 2^ — 1 ) = I 0	;	(100)

\0/ \2NyNzJ \sin0/
/ Pz + pxPy \ f Pz \ /COS0\

Ap = M₽(—A)= Pl =	0 1 = 1 О j = Ap.

\— Px + PyPzJ \—PxJ	\Sin 0 /

(101)

Таким образом, выходящие осевые лучи в данном случае откло-
няются совместно на угол р в горизонтальном направлении и
поворачиваются вместе с призмой.

Для определения угла поворота изображения подсчитаем
через призму Б орт В, перпендикулярный к осевому лучу А,
причем В = i. Для орта направления его изображения получим
следующие выражения:

при повороте призмы вокруг оси х на угол а:

/ 1 \

Ва = МаВ — mJ о I

\ о /

1 - 2^ \
— 2ЛГЛ»)
.-2NxnJ

0 '

—cos а

— sin а,

(Ю2)

/—1\

Ва = м;(-в) = мц о
\ о/

Pz ~ РхРу

 Ру PxPz-

' 0 '
cos а
sina

(103)

Изображения Ва и Ва взаимно обращены, следовательно,
при повороте призмы вокруг оси х на угол а они поворачиваются
совместно на равные углы а.

При' повороте призмы вокруг оси у на угол (3:

/1\ /тп

Вр = Л4рВ = Л4р1 0 = т21
\ 0 /	\т31

1-2ЛГЦ / sin2 0	\	/02

—	2NxNy j = I —cos0 j«l—1

—	2NxnJ	\— sin 0 cos 0/	\— 0

/ — 1\

Bp = Afp (—В) = Afpl 0 1 =
\ о/

— Px \	/ — Px \	/ —sin20\	/— 02'

Pz-PxPy 1 = 1 Pz 1 = 1 COS0 j«l 1

— Py—pxPzJ	'—PxPz'	\Sin0COS0/	\ 0

(104)

(104а)
При повороте и вокруг оси у на угол Р изображения вращаются
совместно на равные углы р.

Результаты рассмотрения влияния юстировочных подвижек
в системе осей xyz были приведены в табл. 3. Сравнение данных
двух таблиц показывает, что подвижки в осях xyz удобнее, чем
в основных осях так как все шесть подвижек в первой
системе осей вызывают неодинаковые эффекты, вследствие чего
каждую из погрешностей установки призмы Б легко можно
отличить от всех остальных погрешностей.

Юстировку в этом случае целесообразно проводить в другой
последовательности:

1)	фокусировать изображения смещением призмы вдоль оси х;

2)	центрировать изображения по горизонту поворотом призмы
вокруг оси у\

3)	устранить двоение изображений по горизонту сдвигом
призмы вдоль оси z\

4)	устранить поворот изображений наклоном призмы около
оси х;

5)	устранить двоение изображений по вертикали наклоном
призмы вокруг оси z\

6)	если необходимо, то центрировать изображения по вер-
тикали подъемом или опусканием призмы по высоте.

Перечисленные подвижки можно выполнять независимо,
если поместить призму Б в специальный мостик, показанный на
рис. 48, в. Мостик, устанавливаемый на верхней плоскости суп-
порта, состоит из пяти пластин: плоскоцилиндрической опоры 6
призмы, двоякоцилиндрической пластины 7, плоскоцилиндри-
ческой пластины 8 и плоских клиньев 9 и 10. Оси цилиндриче-
ских поверхностей пластин 6—8 должны проходить через центр Цэ
призмы.

Смещения вдоль осей х и у осуществляются сдвигами всего
мостика на суппорте, вертикальные смещения вдоль оси у —
взаимно противоположными сдвигами клиньев 9 и 10. Повороты
призмы вокруг осей х и z осуществляются взаимными сдвигами
цилиндрических пластин 6 и 7, а поворот вокруг оси у — враще-
нием всего мостика на суппорте. Для выполнения всех подви-
жек и закрепления призмы желательно предусмотреть соответ-
ствующие винты.

Опыты, выполненные А. М. Бурбаевым на макете узла пе-
реключаемых призм, подтвердили целесообразность использова-
ния методики юстировки, разработанной изложенным способом —
с помощью зеркальных эквивалентов призм. Юстировку стало
возможно проводить целенаправленно и более производительно,
чем путем последовательных приближений, как это делалось
прежде.

Опыты выявили также, что не все погрешности изготовления
и склейки призмы Б можно скомпенсировать при юстировке.
Не вдаваясь в подробный анализ всех допусков, задаваемых на
отдельные детали этой призменной системы, которая состоит из
шести деталей (двух призм АР-90°, составляющих после склейки
разделительную куб-призму, двух призм БР-1800, представляю-
щих собой взаимно перпендикулярные крыши, и двух свето-
фильтров (голубого и оранжевого), склеиваемых с кубиком и
крышами), укажем, что, например, разворот ребра одной из
крыш, неизбежный при склейке, вызовет взаимный разворот
обоих изображений, не компенсируемый ни одной из юстировоч-
ных подвижек, что видно из табл. 3 и 4. В результате погрешностей
изготовления деталей и их склейки может появиться клиновид-
ность развертки одной из систем I или II призмы двойного изо-
бражения. Отклонения лучей, вызванные этой клиновидностью,
можно устранить соответствующими поворотами или сдвигами
призмы Б. Таким образом, погрешности изготовления частей
призмы Б существенно усложняют юстировку, поэтому их сле-
дует ограничивать соответствующими допусками на изготовление
и сборку (склейку) деталей.

Глава VI

УСТРАНЕНИЕ НАКЛОНА
И УВОДА ИЗОБРАЖЕНИЯ,
РАЗВОРОТА ШКАЛ И СЕТОК

Задача 12

НАХОЖДЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ НОРМАЛИ
ПЛОСКОГО ЗЕРКАЛА ПО ЗАДАННЫМ НАПРАВЛЕНИЯМ
ПАДАЮЩЕГО И ОТРАЖЕННОГО ЛУЧЕЙ

Нередко возникает задача о нахождении направления нормали
плоского зеркала (орта N) по известным направлениям падающего
(орт А) и отраженного (орт А') лучей. Такую задачу можно назвать
обратной в отличие от прямой задачи, когда по заданному положе-
нию зеркала (орту N) и направлению падающих лучей (орту А)
необходимо найти направление (орт А') отраженных лучей.

Итак, пусть указанные орты А и А' даны в системе координат-
ных осей xyz, причем А = {Ах; Ау\ и А' = {Ai; Ау; A'z\.
Требуется найти направление нормали отражающего зеркала
N = Afxi + Nyj + A/Jc, удовлетворяющее формуле (1) А' =
= A —2N(AN).

По закону отражения все три вектора А, А' и N компланарны,
т. е. векторные произведения ортов А и А' на орт нормали N
148
должны быть равны друг другу. После раскрытия обоих вектор-
ных произведений из этого условия получили бы

= (AyNz - AzNy) i + (AZNX - AXNZ) j + (AxNy - AVNX) k =

= (AyNz - A'zNy) i 4- (A'ZNX - AXNZ) j + (AXN„ - AyNx) k. (105)

Однако для расчетов удобнее иное условие компланарности
тех же векторов — равенство нулю их смешанного произведения
[90, с. 29]:

fAx Ау ДА

([АА'] N) = 0 = \А'Х Ау А'г = (АуА'г - AZA') Nx +
\tfs Ny Nj

+ (AZAX - AXAZ) Ny + (AxAy - AyAx) N* =

= 0^ + ^ + ^.	(106)

Здесь буквами alt br и с1 обозначены соответствующие коэффи-
циенты перед проекциями нормали Nx, Ny и Nz. В качестве вто-
рого условия используем равенство друг другу углов падения и
отражения, вследствие чего равны друг другу скалярные произ-
ведения ортов падающего А и отраженного А' лучей на орт нор-
мали N, а именно: — AN — A'N = —AXNX—AyNy— AZNZ —
= AXNx + AyNy + AZNZ. Отсюда получится

(Ax + A’x) Nx + (Ay + Ay) Ny + (A, + А'г) Nz = 0.	(107)

Обозначив буквами a2, b2 и c2 соответствующие коэффициенты
перед проекциями нормали, можем написать

atNx + b2Ny + c2Nz = 0.	(107а)

Третье условие вытекает из единичности орта нормали N,
вследствие чего сумма квадратов трех его проекций равна еди-
нице:

|N| = ^ + ^ + ^= 1.

Таким образом, рассмотренные три условия дают систему
трех уравнений вида:

^2^х ^2^у 4“ z = О’,
^ + ^ + №z=l. 

(Ю8)
Первые два уравнения дают

Nx
Z?i Ci
^2 ^2

Ny
ci ai
^2 ^2

Nz

“i bt

аг &2

(Ю9)

Обозначая соответствующие определители символами Дх, Д2
и Д3, напишем

△1 Л2 Аз

(109а)

Решая третье уравнение системы относительно Nx и найдя Ny
и Nz из равенства (109а), окончательно получим

= % лг„ = А; nz = ^,	(по)

где

R = 1^Д1 -р Д2 Дз-

Решение рассмотренной обратной задачи можно получить и
непосредственно из векторной формулы (1) для орта отражен-
ного луча, откуда для орта нормали N зеркала сразу найдем

о")

Поскольку модуль | N | = 1, то можно написать

N =	— А =	1 + ("4' — k /11 1

|А'-А1	У-(Л'-Л)’ + (Л'-Л)’ + (Л-~Л)’  '	’

Преобразуя подкоренное выражение, раскрыв скобки и про-
изведя суммирование, получим

У (Л' - А)2х + (Л' - А}2 + (А' - А)2 = /2 /1 - (АА'). (112)

Выражение (112) совпадает с формулой (13.2) из книги
А. И. Тудоровского [90].

Теперь формулу (Ша) можно переписать в виде

N___1 + к (1116)

/2 У1 — (АА')	’	’

Применим полученное выражение к решению простого при-
мера. На рис. 49 показано плоское зеркало в исходном положе-
нии в системе неподвижных осей xyz. Орт нормали No зеркала
направлен по оси z, т. е. зеркало параллельно плоскости ху,
падающий луч (орт А) параллелен плоскости yz, так же распо-
ложен и орт Ао направления отраженного луча. После поворота
зеркала вокруг оси у на угол Р направление отраженного луча
изменится и для него—орта А' —по формуле отражения (1)
150
Рис. 49. Отражение луча от плоского
зеркала, повернутого вокруг оси у
на угол 0

найдем А' = sin 20 cos eoi +
+ sin eoj + cos 20 cos eok, так
как A = sin eoj — cos eok; N =
= sin 0i + cos 0k.

Решая обратную задачу, для
орта N по формуле (1116) напи-
шем

N =

cos е0 [sin 201 4- (1 4~ cos 20) k]

= /2/f— (sin2 e0 — cos2 e0 cos 2P) ’

откуда после преобразований получим N = sin pi + cos pk.

Задача 13

НАХОЖДЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЯ РЕБРА

И ДВУГРАННОГО УГЛА СИСТЕМЫ ДВУХ ПЛОСКИХ ЗЕРКАЛ
ПО ЗАДАННЫМ НАПРАВЛЕНИЯМ ДВУХ ПАДАЮЩИХ
И ДВУХ ОТРАЖЕННЫХ ЛУЧЕЙ

При анализе и юстировке систем двух плоских зеркал часто
бывает необходимо решить и обратную задачу — о нахождении
направления ребра (орта р) и угла о углового зеркала по заданным
ортам направлений падающего луча А и выходящего осевого
луча А", а также по ортам направлений вертикали В фронтальной
плоскости предметов и ее изображения В" (или направлений
горизонта С и его изображения С").

Для получения необходимого числа уравнений воспользуемся
тем, что при отражении от углового зеркала угол между ортом
ребра р и ортами направлений падающего А и отраженного А"
лучей не изменяется: при отражении в угловом зеркале простран-
ство предметов отображается в пространство изображений путем
поворота вокруг ребра углового зеркала как вокруг оси враще-
ния на угол 2сг. На этом основании можем написать

Ар = А"р,

откуда найдем

(А—А")р = 0.	(113)

Развернув это выражение, для первого уравнения системы
получим

(Л - А")х РХ + (А- А")„ рУ + (А- A")z pz = 0.	(113а)
Аналогично для ортов В и В" вертикали получится второе
уравнение системы

(В - В")х рх-\- (В — В")у рУ + (В- В")г pz = 0.	(1136)

В качестве третьего уравнения используем условие единич-
ности орта ребра р, вследствие чего рх + ру + pz = 1.

Система уравнений для нахождения орта р направления ребра
углового зеркала аналогична системе уравнений для нахожде-
ния орта нормали N плоского зеркала (см. задачу 12):

СВР* + biPy + CiPz = 0; •
а2рх + b2py 4- c2pz = 0;

_2 I 2 I 2 _____ i

Px + Py + Pz — 1 •

(108a)

Поэтому решение этой системы выражается формулами, ана-
логичными формулам (НО),

Рх=4г:	^=4*	(110а)

где определители Дх, Д2 и Д3 равны:

«1 Ьх

^2 ^2

ei А	ai

1 j Д2 ~

С?2 С2	^2 ^2

R = / +	+ Ai

Определив проекции орта направления ребра р, легко найти
и угол о углового зеркала. Для этого можно воспользоваться
формулой (41.6*) [90], которая даст соответствующее уравнение,
или получить выражение для непосредственного нахождения
sin о. Последнее выражение легко найти из рис. 50, где в сфери-
ческой системе координат показано отражение орта А в угловом
зеркале и его преобразование в орт А" поворотом на угол 2сг
вокруг орта ребра р как вокруг оси вращения. Непосредственно
из рисунка получим

sin о = а/Ь,	(*)

где а — угловое расстояние от концов ортов А и А" до биссек-
трисной плоскости, проходящей через ребро р и делящей попо-
лам угол 2ft между этими ортами; Ъ — угловое расстояние до кон-
цов ортов А и А" от ребра р углового зеркала; угол между ортом р
и ортами А и А" обозначим 6. Поскольку cos О = АА" и cos S =
= Ар, то для отрезков а и b найдем:

а = sin# =	7/1 — (АА")‘, b = sin 6 =	1 — (Ар)2.

Вводя эти выражения в формулу (*), окончательно получим

1 i / 1 — АА
SHI (7 = — I/ 1-----7VT5 .

/2 ? 1 — (Ар)2

(И4)
Рис. 50. Отражение луча в угло-
вом зеркале

Рис. 51. Нахождение направления ребра и
двугранного угла углового зеркала по за-
данным положениям и ориентировке пред-
мета и изображения

Применим полученные результаты к решению следующей
задачи (рис. 51). С помощью двух плоских зеркал 1 и 2 кадр гори-
зонтально расположенного фильма необходимо обратить в пра-
вильно ориентированное положение, т. е., например, изображе-
ние парусника, направленного по орту С с вертикальной мачтой
по орту В, должно трансформироваться зеркалами 1 и 2 при
обратном ходе лучей в изображение парусника, направленного
по орту С" с мачтой по орту В". После проекции через объектив
Об на экране получится изображение парусника, направленного
слева направо с мачтой вверх. Записывая орты в неподвижной
системе координатных осей xyz, для условий задачи получим:
для ортов осевого луча (при обратном ходе лучей — от кадра)
А = —i; А" = —j. Для ортов, ортогональных осевому лучу
плоскости кадра и плоскости изображения, запишем В = j;
В" = —к или С = к; С" = i. Можно воспользоваться или парой
ортов В, В" или парой ортов С, С". Результат в обоих случаях
должен получиться одинаковый. Воспользуемся первой парой
ортов — В, В".

Подставляя в (108а) значения коэффициентов, получим сле-
дующую систему уравнений:

— Рх + Р» = 0; 

Pv + Pz = 0;

2i 2 I 2 i

Рх + Pv + pz = 1 >

откуда видно, что модули всех направляющих косинусов орта
равны друг другу, причем | рх | = | ру | = | pz | = 1/-/3.
Для нахождения знака проекций

вычислив определители:

я = /д? + д! + д! = /з.

По формуле (110а) для искомых проекций орта р направления
ребра зеркал получим р= —£=-{1; 1; —1}. Угол между зер-

= а = 60° (или о = 120°).

Для действия системы двух зеркал 1 и 2 не имеет значения
наклон каждого из зеркал, лишь угол между ними должен быть
равен 60° (или же 180 — 60 = 120°), а поворот системы вокруг
их общего ребра инвариантен. Целесообразно оба зеркала закре-
пить в общей оправе в виде уголка тоже с углом 60° и ребро оправы
совместить с ребром пары зеркал.

Предположим, что уголок закрепляется на горизонтальной
площадке, параллельной плоскости ху. Проекция ребра на эту
плоскость составит угол у — 45°, а само ребро будет наклонено
к этой горизонтальной плоскости вниз под углом со, причем ш =
= arctg(7^r) "i,rcla (~ vf) = - 35"16'-

Зная конструктивные данные, можно найти и положение ребра
зеркальной системы; для этого должно быть известно положение
хотя бы одной общей точки зеркал 1 и 2.

Задача 14

СТРОГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЛИЯНИЯ ПОВОРОТОВ
ЗАДНЕЙ БАБКИ ЛИНЕЙНОЙ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ МАШИНЫ
НА ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ ДЛИН

В книге [30] следующим образом доказывается, что повороты
задней бабки измерительной машины ИЗМ-10 в вертикальной
плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через линию
измерений, а также вокруг оси, проходящей через биштрихи,
не приведут к появлению погрешностей первого порядка:

«Допустим, что неточность направляющих вызвала поворот
задней бабки вокруг оси, проходящей через точку А (рис. 52).
Задняя бабка, зеркало 3 и объектив О повернутся на угол а
как одно целое. Зеркало примет положение 3', а объектив —
О'. Главная ось объектива также повернется на угол а. Точка А'
является зеркальным изображением точки А при повернутом
154
рительной машины на точность измерения длин

зеркале, ИИ—линия измерения, ММ — направление деци-
метровой шкалы, которая находится в фокальной плоскости
объектива *. При повороте зеркала на угол а луч С'В повернется
на угол 2а. Точка А' находится на двойном фокусном расстоянии
от объектива О', и ее изображение получится в точке А". Углы
В А'О' и ВЛ "О' равны вследствие полной симметрии. Угол О'СО
равен а. Если угол ВА"О равен углу 0'00, то линия ВЛ" парал-
лельна линии СО. Следовательно, поворот задней бабки не вы-
зывает изменения направления хода лучей после объектива,
а параллельное смещение лучей не вносит погрешности в отсчет»
[с. 106—107].

Решим эту же задачу о влиянии поворотов задней бабки изме-
рительной машины аналитическим методом. Обратимся к рис. 52,
на котором сохранены обозначения из цитированной книги.
Точкой В отметим положение центра биштриха, который нахо-
дится в фокусе F' объектива О и на расстоянии f' от точки Л.
Точками Во и В' отметим изображение точки В в зеркале 3,
занимающем номинальное положение, и в повернутом вместе
с бабкой на угол а зеркале 3' соответственно

Поскольку точка Л является центром поворота задней бабки,
то для доказательства того, что при этом повороте бабки отсчет
по шкале не изменится, достаточно лишь установить равенство
смещений по высоте точки О' (узловая точка объектива в повер-
нутой бабке) и точки В' (изображение биштриха в зеркале 3)
от номинального положения визирной оси BqO коллиматора.

Получим вначале приближенное решение для малого угла
наклона а. Обозначив в прямоугольном треугольнике АСО сто-

1 На нашем рис. 52 линия измерения ИИ совпадает с осью х, а направле-
ние ММ дециметровой шкалы проходит через точку Б параллельно оси х.
роны AC = Л; ЛО = |р0|; СО = а = 2f'—h и угол при вер-
шине А буквой со; h = | р01 cos со. По правилам приближенных
вычислений для смещения точки О' по высоте найдем (положив
Део = а) ДЛ0 = —| р | sin соа. После подстановок и преобразова-
ний получим ДЛ0 = —ha tg cd = —(2f — h) a.

Представив поворот зеркала 3 вокруг точки А и перемещение
его в положение 3' как бы состоящим из двух подвижек: смеще-
ния зеркала вдоль нормали N на величину DE = q и поворота
его вокруг точки Е на угол а, для смещения точки Б' по высоте
найдем ДЛо « —[2q — (Б'0Б) a] cos 45° ж —[2 (БА) a cos 45° —
- “SS" J cos 45° = [2/' cos2 450 - (Л - /') ] а = -(2f ~ h) a.

Из сравнения двух последних выражений видно, что узловая
точка О' объектива и центр Б’ биштриха дециметровой шкалы
при повороте задней бабки на малый угол а вокруг точки А
сдвигаются по высоте на одинаковую величину (2/' —К) а. По-
скольку взаимное положение биштриха и объектива при этом
сохраняется неизменным, то отсюда следует вывод, что визирная
ось коллиматора задней бабки, проходящая, как известно, че-
рез центр Б' биштриха и узловую точку О' объектива, сдвигается
по высоте параллельно себе. Этим доказывается, что поворот
задней бабки в вертикальной плоскости не вносит погрешностей
измерения первого порядка малости.

Представляет интерес получить точное решение той же за-
дачи. Воспользуемся матрично-векторным методом. Для прира-
щения радиуса-вектора р0 точки О при повороте бабки вокруг
точки А в системе осей ху с началом в точке А напишем

(а\ / а\	/ а\

= (115)

где S-1 — матрица поворота радиуса-вектора точки О вокруг
точки А на угол а в плоскости ху.

Подставив развернутое выражение S-1 в предыдущую фор-
мулу и произведя перемножение матриц, получим

/1 — cosa sin a \ / а
Дро ~ I .	/,	\ ) I ,

\ —sina (1 — cosa)/\—h

(2а sin2 ---Asina

—a sin a — 2h sin2 -y-

(115а)

Поскольку a = 2f — h, то окончательно найдем

/—h sin a + 2 (2f — ft) sin2

Ap,= ,	a

\— (2f — ft) sin a — 2ft sin2 -g-

(1156)
Согласно формуле (18) для приращения радиуса-вектора рь-
точки Б' получим

Apb- = PB--pb- = (yW'-Mo)r + 2/o(No- N).	(115в)

В показанной на рис. 52 системе координатных осей ху напи-
шем: г-Л;=	= N«=yF(i + j); N =

1
уг
Для

[(cos а — sin а) i + (cos а + sin а) j ].

разности матриц действия зеркала в положениях 3 и 3'

и для разности ортов его нормали по формуле (9) найдем:

_	= [ (№ох - №х) (NQxNQy - NxNy)

°	- NxNy) (N20v-N2y)

No- N

nQx-nx\
NOy-Ny)‘

Произведя подстановку, после преобразований окончательно
получим

/—h sin а + 2 (2f — h) sin2	+ 4/' cos a sin2 -^-\

Др' =	. (115г)

у— (2/' — h) sin а — 2h sin2 У 4f sin a sin2 J

Сравнивая полученное выражение с формулой (1156), видим,
что изображение биштриха 5' смещается вверх на величину, кото-
рая на 4f'sin a sin2« f'a3 меньше, чем смещение главной
точки О'. Иначе говоря, визирная ось коллиматора, как показы-
вает точный вывод, сдвигается при наклоне бабки не вполне па-
раллельно себе: при повороте влево на угол а (как видно на рис. 52)
она отклонится вниз на весьма малый угол а3.

Методически наиболее простым является приближенный спо-
соб доказательства с использованием принципа относительности
перемещений. Вместо того чтобы поворачивать заднюю бабку
с коллиматором относительно измерительной машины, как это
сделано на рис. 52 и в работе [30], можно мысленно повернуть
саму машину вокруг неподвижной точки А на угол а в противо-
положном направлении (по часовой стрелке), оставив неподвиж-
ными заднюю бабку с коллиматором ОБ'о (рис. 52). При этом де-
циметровая шкала переместится влево на длину f'a, и визирная
ось коллиматора наклонится по часовой стрелке на угол а, но
останется параллельной своему прежнему направлению (на
рис. 52 — параллельной дециметровой шкале) с точностью до
величины выше первого порядка малости.
Задача 15

АНАЛИЗ ПРИЧИН ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПЕРЕКОСА ИЗОБРАЖЕНИЙ
В БИНОКУЛЯРНЫХ НАСАДКАХ, В КОТОРЫХ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ
РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ОКУЛЯРАМИ ИСПОЛЬЗУЕТСЯ РАЗВОРОТ
ТУБУСОВ СОВМЕСТНО С ПРИЗМАМИ ШМИДТА С КРЫШЕЙ

В некоторых стереоскопических микроскопах для изменения
расстояния между окулярами в соответствии с глазным базисом
наблюдателя используется взаимно противоположный разворот
на некоторый угол оборачивающих призм совместно с окулярными
тубусами. Таковы, например, стереомикроскопы фирм «Лейтц»,
«Цейсс Оберкохен», народного предприятия «Карл Цейсс Иена»
и серийные микроскопы МБС-1, МБС-2 и МПС-1. В микроскопах
последних двух иностранных фирм и во всех трех отечественных

микроскопах расстояние между окулярами изменяется разворо-
том окулярных тубусов с призмами Шмидта с крышей типа ВкР-45°
вокруг осей, параллельных падающим осевым лучам. Иногда
ошибочно утверждают, что при таком развороте окулярных тубу-
сов взаимного поворота изображений объекта будто бы не про-
исходит.

Однако А. М. Кирилловой было доказано, что при взаимном
развороте призм Шмидта с крышей возникает перекос изображе-
ний, составляющий около 0,3 угла между осями тубусов. Ю. Л. Ги-
тин и Ю. М. Маринченко измерили перекос изображений в двух
серийных насадках 1 и 2 микроскопа МБС-1, причем измерялись
углы поворота изображения ап в каждом тубусе отдельно в за-
висимости от межзрачкового расстояния (окулярной базы) бок на-
садки. На графике (рис. 53) отмечались полученные результаты.
Через точки были построены ближайшие к ним две пары пере-
секающихся прямых 1 и 2. Расстояния между этими парами пря-

мых (или соответствующими точ-
ками), измеренные вдоль оси ор-
динат, в масштабе графика и дают
перекос изображений при данной
окулярной базе. Видно, что в
обеих измеренных насадках пере-
кос изображений (разность углов
поворота изображений) при из-
менении окулярной базы бок в
пределах от 56 до 74 мм ни-
когда не равен нулю, а линейно
растет примерно на 3° от неко-

Рис. 53. Результаты измерения углов на-
клона изображений, возникающего при
развороте тубусов бинокулярных насадок
стереомикроскопа МБС-1 и определение
угла перекоса изображений в насадках
торого наименьшего значения amln при базе, равной 56 мм (almln =
= 1/2°; a2mln = 2/3°), достигая наибольшего значения amax =
= 3° (1/3); a2max = 3° (2/3) при увеличении базы до 74 мм.

Такой перекос изображений в несколько раз превосходит
допуск, обычно устанавливаемый на этот дефект в призменных
бинокулярных системах. Например, в ОТУ [78] на алгебраиче-
скую разность углов поворота изображений вокруг оптической оси
у двух оптических систем бинокулярного прибора по абсолютному
значению устанавливается допуск в 30'.

Для исключения возникающего перекоса изображений пред-
лагалось изменить направление осей разворота, а именно: раз-
ворачивать призмы Шмидта не вокруг осей, параллельных падаю-
щим лучам, а вокруг осей, параллельных ребрам крыш призм
(при развороте вокруг таких осей перекос изображений не воз-
никает вовсе, если при заводской юстировке он был исключен
хотя бы для одного положения окулярных тубусов).

Рассмотрим несколько подробнее суть этого предложения.
Можно показать, что призма Шмидта с крышей действует на на-
правление выходящих лучей так же, как плоское зеркало, пер-
пендикулярное к ребру крыши, если направления всех ортов
пространства предметов поменять на противоположные. Ход
рассуждений при этом таков. Призма Шмидта с крышей с четырьмя
отражениями по действию аналогична одной крыше с двумя отра-
жениями, в чем легко убедиться обычным приемом: обе системы
отклоняют осевой луч на 45° от направления падающего луча и
полностью обращают изображение. В свою очередь прямоуголь-
ная крыша имеет матрицу действия, совпадающую с матрицей
действия плоского зеркала, отличаясь от последней лишь проти-
воположным знаком [см. формулу (11)].

Таким образом, призма Шмидта с крышей в параллельном
ходе лучей вполне аналогична по действию одному плоскому
зеркалу, перпендикулярному к ребру крыши, если знаки у всех
ортов пространства предметов заменить на противоположные.
В сходящемся ходе лучей эта аналогия призмы Шмидта с крышей
плоскому зеркалу сохраняется лишь для направлений отражен-
ных лучей.

При принятом в МБС-1, МБС-2 и МПС-1 направлении оси
разворота призм Шмидта — параллельно падающему лучу, т. е.
перпендикулярно к входной грани призмы, или под углом 22,5°
к ребру Р крыши, — эквивалентное призме плоское зеркало ЭЭ не
перпендикулярно к оси разворота, а будет наклонено на
угол 22,5° от этого положения (рис. 54, а). Совершенно ясно, что
при развороте плоского зеркала вокруг неперпендикулярной
к нему оси обязательно появится поворот изображения.

По формуле (46а) легко найти приближенное значение угла
наклона изображения и. Подставив для данного случая угол
падения на эквивалентное зеркало редуцированного осевого луча
8Э> 0 = 22,5°, угол наклона оси разворота к эквивалентному зер-
Рис. 54. Анализ действия оборачивающей призмы Шмидта с крышей
и ее двух других конструктивных вариантов с помощью приведения
их к зеркальным эквивалентам

калу Q3 = 90 + 22,5°, получим а'н. и « 2 | о | cos Q3 sin еэ. 0 =
= —2(о sin2 22,5° ~ —0,29(о. Знак «минус» показывает, что изо-
бражение поворачивается в сторону, противоположную направле-
нию разворота призмы Шмидта с крышей.

Поскольку призмы при развороте тубусов бинокулярной на-
садки разворачиваются в противоположные стороны на равные
углы (они соединены зубчатыми секторами с передаточным отно-
шением i = —1), то суммарный перекос изображений в насадке
будет равен ~ 0,58со. Наибольший угол разворота составит
(ошах = ±5°, а перекос изображений достигнет почти 3°.

Понятно, что если оси разворота тубусов направить перпен-
дикулярно к эквивалентному зеркалу ЭЭ или параллельно ребру
крыши, т. е. наклонить под углом 22,5° к входной грани призмы,
то перекос изображений при развороте тубусов не будет появ-
ляться (рис. 54, б). Однако при указанном направлении оси раз-
160
ворот призмы приведет к наклону ее входной грани к оптической
оси тубуса, что может вызвать некоторое ухудшение качества
изображения и вызовет кинематическую децентрировку линзовой
системы (объектив плюс окуляр).

При существующей конструкции бинокулярных насадок можно
лишь уменьшить перекос изображений, располовинивая его.
Для этого в процессе заводской юстировки призм Шмидта необ-
ходимо устранить перекос изображений при установке тубусов
на некоторую среднюю базу, например, бср = 63 мм (средняя
между предельными базами 56—70 мм, рекомендуемыми ОТУ).

Для насадок типа МБС более удобна база бок = 58 мм: при
этом оси обоих тубусов конструктивно расположены взаимно
параллельно, благодаря чему проще контролировать взаимную
параллельность осей выходящих пучков лучей. Если же устра-
нить перекос изображений при другой базе (например, 63 мм),
то во время юстировки насадок при базе 58 мм разворотом призм
Шмидта следует ввести перекос изображений заранее вычислен-
ного значения с таким расчетом, чтобы при средней базе бср =
= 63 мм он оказался равным нулю (на рис. 53 это равносильно
переносу точек пересечения наклонных прямых к базе бср =
= 63 мм). Для этого при базе 58 мм должен быть установлен
перекос изображений ап = 5/3° с точкой пересечения изображений
вертикалей через оба тубуса, расположенной сверху.

Из приведенного выше заключения об эквивалентности призмы
Шмидта с крышей плоскому зеркалу, перпендикулярному к ребру
крыши, следует вывод о том, что вообще невозможно изобрести
зеркально-призменную систему, которая обладала бы таким же
действием, как призма Шмидта с крышей, но не имела бы ее не-
достатков (например, не вызывала бы при развороте перекоса
изображения). Это объясняется тем, что все призмы одинакового
действия имеют и одинаковую матрицу действия, которая и опре-
деляет трансформацию пространства предметов в пространство
изображений.

На рис. 54, в, г показаны две призменные системы, которые
по замыслу их авторов, должны были бы полностью заменить
призму Шмидта, но не вызывать перекоса изображения. Это оши-
бочное предположение основывалось на том, что в предлагаемых
призменных системах ребро Р крыши расположено параллельно
оси разворота, а при таком расположении этой оси призма Шмидта
(рис. 54, б) якобы не дает перекоса изображений.

Но легко показать, что имеет значение направление ребра
крыши не у исходной призмы, а у ее зеркального эквивалента.
Штриховыми линиями на тех же рисунках 54, в, г показаны эти
эквиваленты: они представляют собой прямоугольные крыши,
ребра Рэ которых наклонены под углом 22,5° к оси разворота и
к входной грани, т. е. расположены так же, как у исходной призмы
Шмидта с крышей. Из тех же рисунков видно, что эквивалентом
обеих призм является не просто крыша, а крыша с базой &, на
размер которой луч, отраженный от ребра крыши, сдвигается
вдоль ребра по отношению к точке падения входящего луча.
Эквивалентное плоское зеркало ЭЭ в обеих призмах будет на-
клонено к оси разворота, параллельной падающему лучу, т. е.
под тем же углом 22,5°.

Этот пример убедительно говорит о пользе приведения слож-
ных зеркально-призменных систем к зеркальным эквивалентам:
они позволяют упростить анализ свойств таких систем.

В последующие годы исследованием и совершенствованием
оптической схемы стереотубусов микроскопов занимались А. Ц. То-
доров [89] и Г. П. Сивцов [72, 74]. Первый построил и исследовал
макет усовершенствованного тубуса, свободного от перекоса изо-
бражений, второй выполнил общее исследование о возможности
исключения такого перекоса в поворотных зеркально-призмен-
ных системах.

Задача 16

СТРОГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕОБХОДИМОСТИ ОБЕСПЕЧЕНИЯ
ПРИ ЮСТИРОВКЕ ПАНОРАМИЧЕСКИХ ВИЗИРОВ
ВЗАИМНОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ОСЕЙ ВРАЩЕНИЯ

ГОЛОВНОЙ И КОМПЕНСАЦИОННОЙ ПРИЗМ

ДЛЯ ИСКЛЮЧЕНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВ

В работе [75] Г. Е. Скворцов впервые обратил внимание на то,
что в панорамических визирах необходимо обеспечить взаимную
параллельность осей вращения головной призмы и компенсацион-
ной призмы Дове, доказав в общем виде, что несоблюдение ука-
занного требования приводит к погрешностям переменной вели-
чины первого порядка малости при измерении как горизонталь-
ных, так и вертикальных углов. В статье доказательство выпол-
нено с помощью сферической тригонометрии. Представляет инте-
рес доказательство правила Скворцова также и матричным ме-
тодом.	'

На рис. 55, а показана схема панорамического визира в но-
минале. Оси неподвижных координат xyz ориентированы так,
что ось z отвесна, ей параллельна и ось визира — орт Ао = к.
Нормаль головной призмы направлена по орту No = -y=(j — к),
и 2

который расположен к оси z под углом 45 в плоскости начального
меридиана yz, В этом случае направление визирной оси совпадает
с ортом Ао, параллельным оси у. При панорамировании по гори-
зонту головка (нормаль N головной призмы) будет вращаться
вокруг оси z на угол у в соответствии с выражением

N = ^(slnyi 4-cosyj — k).	(116)
Рис. 55. Схема работы панорамического визира

Направление орта А' визирной оси в неподвижной системе
осей можно найти с помощью матрицы М' действия плоского
зеркала по формуле (9)

А' = ЛГА.

(П7)

Для выявления в чистом виде возможных погрешностей изме-
рения горизонтальных и вертикальных углов удобнее находить
направление этого орта в системе вращающихся осей xByBzB,
которая неизменно связана с головкой панорамы и вращается
вокруг оси z на угол у. Для перехода к этой вращающейся системе
следует умножить орт А' на матрицу SB поворота на угол у вокруг
оси z. Тогда

А; = SBA' = SBM'A.	(117а)

Перемножая матрицы, напишем

/О
a; = sbm'( О
\ 1

(П7б)
Подставляя элементы из матрицы действия плоского зеркала
по формуле (9), а затем, используя формулу (117а), получим оче-
видный результат

/—2УХЛЦ
a; = sb -2ад)
\1 - 2N2, J

(cos у — sin у
sin у	cos у

о о

0\ /sin у'

О JI cos у
1/\ О

sin у cos у — sin у cos у\ /О
sin2 у -г cos2 у 1 = I 1

О J \0

(117в)

Таким образом, орт направления визирной оси вращается
строго синхронно с головкой и постоянно параллелен оси ув.

Теперь рассмотрим случай, когда ось визира А наклонена по
отношению к своему номинальному положению на постоянный
угол р в плоскости уг, но ее направление при панорамировании
неизменно; это в панораме возможно, например, в том случае,
когда компенсационная призма Дове не имеет погрешностей юсти-
ровки и изготовления, но ось ее вращения параллельна оси ви-
зира, т. е. наклонена к оси г на тот же угол р. На рис. 55, б по-
казан орт А оси визира неизменного направления, причем А =
= — sin pj + cos pk.

Направление орта Ав визирной оси при исходном положении
головки найдем из выражения (117а), подставив в него значение
орта оси визира:

(О \	/—т12 sin р +	mls cos р\

— sin р I =	SBI —т22 sin р +	cos р I.	(118)

cos р /	\—m82 sin р -|-	m33 cos р/

Раскрывая элементы матрицы М' и подставляя проекции орта
нормали N головной призмы из (116), получим

/cosy —sinу 0\/ 2NxNy sin p-2NxNzcosp \

Ав = I sin у cosy 0 )|	— 0 sinp — 2NyNzcosp I =

\ О 0 1 /1 2NyNz sin р -|- (1 — 2N$ cos р }

(sin р sin у\ / р sin у\
cosp	1 I.	(118а)

— sinp cos у J	\— pcosy/

Таким образом, при панорамировании по горизонту орт Ав
направления визирной оси описывает теперь около оси ув системы
координат, вращающейся вместе с головкой, круговой конус
синхронно с вращением головки. В результате возникает пере-
менная погрешность первого порядка в измерении панорамой го-
164
ризонтального (Дер) и вертикального (Д/) углов. При малом угле р
наклона оси визира первая погрешность равна Дер р sin у,
а вторая — Д/ « —р cos у.

Отсюда можно было бы сделать вывод о том, что для исключе-
ния этих погрешностей следовало бы устанавливать ось визира
и ось вращения призмы Дове строго параллельно оси вращения
головной призмы. Г. Е. Скворцов показал, что требование о па-
раллельности оси визира к обеим осям вращения не является необ-
ходимым. Достаточным будет требование о взаимной параллельно-
сти осей вращения призмы Дове и головной призмы. Докажем это.

Легко показать, что если призма Дове не имеет коллимацион-
ной погрешности и пирамидальности, то выходящий из призмы
луч будет описывать вокруг ее оси вращения круговой конус
в сторону вращения призмы Дове, но с удвоенной угловой ско-
ростью. В самом деле, как видно из рис. 55, в орт Ак направления
оси визира после отражения в компенсационной призме (в обрат-
ном ходе лучей) при соблюдении указанных условий будет на-
правлен по орту Ак = Ак — 2NK (AKNK), где NK — орт нормали
призмы Дове. В неподвижной системе осей xyz напишем NK =
= sin-^-i + cos -у-j; Ак = sin р] + cos pk, поэтому получится
Ак = sin pj + cos pk — 2 (sin	i + cos	j) sin p cos -y- ==

= —sin p sin yi — sin p cos yj + cos pk, что и доказывает ранее
сформулированный вывод: в панораме призма Дове вращается
в направлении поворота головки, но на половинный угол пово-
рота, поэтому выходящий из этой призмы наклонный луч будет
вращаться синхронно с панорамирующей головкой.

Пусть на рис. 55, б орт А теперь вращается, как только что
получили. Тогда для него напишем А = —sin р sin yi — sin р X
X cos yj + cos pk. Пользуясь формулой (117a), в данном случае
найдем

—	sin р sin у\

—	sin pcos у I =r
cos p /

((2/Vx — 1) sinp sin у 4- 2NxNy sin p cosy — 2NXNZ cos p \
2NxNy sin p sin у + (2AfJ — 1) sin p cos у -- 2NyNz cos p I.
2NXNZ sin p sin у 2NyNz sin p cos у + (1 — 2N2) cos p /

(1186)

После подстановки из (116) и преобразования окончательно
получим

( ° \

Ав- I cos р I.	(118в)

\— sin р /
Видно, что выходящая визирная ось описывает в пространстве
предметов круговой конус синхронно с вращением головки па-
норамы. Если повернуть головную призму вверх на угол р/2,
то, очевидно, этот конус выродится в горизонтальную плоскость.

Таким образом, получилось, что при обеспечении взаимной
параллельности осей вращения призмы Дове и головной призмы
в панораме не возникает погрешности измерения ни горизонталь-
ных, ни вертикальных углов, даже и в том случае, когда ось ви-
зира наклонена к оси вращения призмы Дове.

На основании этого вывода Г. Е. Скворцов и сформулировал
общее правило юстировки панорамических визиров, в которых
головная и компенсационная призмы расположены в параллель-
ных пучках лучей: «для обеспечения точной работы прибора не-
обходимо ..., чтобы изображение оси вращения призмы Дове
через оптическую систему, расположенную между головной и
компенсационной призмами, было параллельно оси вращения
головной призмы» [75, с. 73].

Задача 17

АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ УСТАНОВКИ ЗЕРКАЛ И ПРИЗМ
И РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ЮСТИРОВКИ И КОНТРОЛЯ
ЗЕРКАЛЬНОГО ШАРНИРА

Разработаем методику юстировки четырехзвенного оптического
шарнира, который позволяет приводить фокус лазерного пучка
(точку F') в любое желаемое место операционного поля (рис. 56).
В точке Л патрубка 5 находится выходное окно лазера (не пока-
зан), пучок которого после отражения от плоскости зеркала 1
и трех призм 2, 3, 4 типа АР-90° фокусируется тремя сменными
объективами (ft = 30; ft = 50 и ft = 150 мм) в фокусе F' на вы-
ходном срезе четвертого колена 9. Первое колено 6 может повора-
чиваться в патрубке 5 на ограниченный угол ±90°, второе 7 и

Рис. 56. Разработка методики юстировки
четырехзвенного зеркального шарнира
третье 8 колена — на неограниченные углы, четвертое колено 9—
лишь на угол ±45°. Основное требование к юстировке шарнира
заключается в том, чтобы при повороте любого его колена на
указанные углы изображение лазерного пучка в фокусе любого
объектива из указанного набора не сдвигалось в его фокальной
плоскости более, чем на 0,5 мм.

Поскольку звенья шарнира кинематически взаимно не свя-
заны, то их повороты независимы, вследствие чего погрешности
юстировки каждого звена можно рассматривать отдельно друг
от друга. Начнем с патрубка 5 и колена 6. Ход светового пучка
в них связан с отражением от плоского зеркала Д которое в па-
раллельном ходе лучей может иметь лишь две погрешности уста-
новки — повороты вокруг двух взаимно перпендикулярных осей
х0 и у0, лежащих в отражающей плоскости зеркала в его исходном
положении. Падающий на зеркало пучок (по орту А) может иметь
тоже две погрешности — наклоны в двух взаимно перпендику-
лярных плоскостях по отношению к оси вращения колена 6.

На рис. 56 показана вторая система неподвижных осей xyz,
связанная с патрубком, причем ось у направлена по оси вращения
колена 6, ось х — перпендикулярно к плоскости рисунка, на-
встречу читателю, а ось z — по оси вращения второго колена 7.
Оси вращения смежных звеньев шарнира можно считать взаимно
перпендикулярными, хотя это условие и не является обязательным.

Пусть орт А направления оси лазерного пучка наклонен к оси
поворота колена 6 на угол а, тогда А = cos aj + sin ak. Нормаль
зеркала до поворота этого колена направлена по орту No =
— —cos соj + sin сок, а после поворота колена на угол Р против
часовой стрелки (при взгляде со стороны оси у) — по орту N =
= sin cd sin pi — cos eoj + sin cd cos (3k.

Орт Ал направления отраженного от зеркала луча найдем во
вращающейся системе координат xByBzB, которая неизменно свя-
зана с поворотным коленом 6 и по отношению к неподвижной си-
стеме осей xyz вращается вокруг оси у на угол Р, из следующего
выражения:

А; = 5лЛГ А,	(119)

где 5Л — матрица перехода от неподвижной системы осей xyz
к вращающейся системе xByBzB, М' — матрица действия плоского
зеркала в неподвижной системе осей xyz—по формуле (9).

Подставляя входящие величины и перемножая матрицы, после
преобразований получим

(cos р 0 — sin р\ //п12 т13\ / 0 \
0 1	0	11 т21 т22 т23 11 cos a I =

sin P 0	cos Р/ \/n31 m32 m33J \ sin a /

— sin a sin P \

sin a cos p sin2oo — cosacos2(D I-	(119а)

sin a cos P cos 2cd + cos a sin 2cd J
Поскольку угол наклона нормали зеркала со = 45° + 6,
где 6 — малый угол, и угол а — непараллельность лазерного
пучка оси поворота колена 6 — также мал, из последнего выраже-
ния окончательно найдем

— a sin Р \
acosP + 26 I.	(1196)

1	J

Видно, что при вращении колена 6 отраженный от зеркала 1
лазерный луч синхронно с этим вращением описывает в плоскости
хвг/в окружность углового радиуса а; центр этой окружности сдви-
нут на угол 26, если нормаль зеркала отклонена на угол 6 от
своего номинального положения. Это биение отраженного луча
приведет к соответствующему биению и пятна в фокальной пло-
скости объектива тоже по окружности со сдвинутым на 26/' цен-
тром и радиусом а/', где /' — фокусное расстояние сменного
объектива. При наиболее длиннофокусном объективе (/з =
= 150 мм) и заданном линейном допуске 0,5 мм для допустимого
0,5 мм 0,5
угла наклона лазерного луча получим а <----------=

/3

^"збб" рад> или а 10"’

Из полученного выражения для орта Ал видно также, что
установки зеркала 1 дают постоянный сдвиг центра окружности
и поэтому наклонами этого зеркала нельзя устранить биение
лазерного луча. Однако указанный сдвиг центра и соответствую-
щая ему постоянная составляющая наклона отраженного от зер-
кала 1 луча дадут неустранимое его биение по окружности за
призмой 2 второго колена 7. Поэтому при юстировке зеркала 1
первого колена 6 надо устранить постоянный сдвиг центра окруж-
ности (в рассмотренном случае сдвиг 26), а также и биение пятна
по окружности, вызванное непараллельностью а лазерного луча
по отношению к оси вращения первого колена.

Юстировку оптического шарнира целесообразно выполнить
в следующем порядке:

1)	закрепить все шарнирные соединения, кроме первого,
в последнем колене 9 установить длиннофокусный объектив,
а в его фокальной плоскости закрепить экранчик с миллиметровой
сеткой для наблюдения биения сфокусированного пятна;

2)	установить вместо рабочего лазера с X » 1,3 мкм технологи-
ческий гелий-неоновый лазер в базовых опорах патрубка 5 и
наблюдать биение пятна на экранчике; затем устранить его на-
клонами опор лазера по отношению к оси вращения первого ко-
лена 6;

3)	освободить второе шарнирное соединение, закрепив первое
и все остальные, и наблюдать биение пятна на экранчике; затем
устранить его наклонами зеркала /;
4)	освободить третье шарнирное соединение, закрепив второе
и все остальные, и устранить наблюдаемое биение наклонами
призмы 2.

Таким же образом следует отъюстировать и вторую призму 3,
устранив ее наклонами биение пятна, наблюдаемое при вращении
четвертого шарнира колена 9.

Наконец, наклонами последней, третьей, призмы 4 следует
устранить децентрировку пятна по отношению к центру среза
последнего колена 9.

После окончания юстировки следует проверить отсутствие
недопустимого биения пятна при повороте любого или одновре-
менно всех шарниров и уточнить юстировку по перечисленным
этапам. Предполагается, что сами шарниры не имеют биения
(нестабильности) осей вращения.

Глава VII

РАСЧЕТ ДОПУСКОВ
НА ПОГРЕШНОСТИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ
И СБОРКИ ОПТИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ И СИСТЕМ

Задача 18

ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДВУГРАННОГО УГЛА,
ОБРАЗУЕМОГО ГРАНЯМИ КРЫШИ СО СМЕЖНЫМИ

РАБОЧИМИ ГРАНЯМИ ПРИЗМЫ

На чертежах призм с крышей необходимо указывать размер
двугранного угла который каждая грань крыши образует со
смежной рабочей гранью призмы. По равенству этих углов оптик
судит об отсутствии разворота

ребра крыши по отношению к глав-
ному сечению исходной призмы
при нарезании ее граней, т. е.
об отсутствии пирамидальности
призмы с крышей. Допуск на
этот разворот ребра обычно за-
дается в несколько угловых минут,
поэтому размер указанного дву-
гранного угла должен быть вы-
числен до секунд.

Решим задачу в общем виде,
а затем найдем двугранный угол
для нескольких типовых призм с
крышей. Пусть ребро крыши —
орт р0 — составляет со смежной
рабочей гранью 1 угол оо (рис. 57).
Тот же угол оо будет заключен

Рис. 57. К выводу общей формулы
для двугранного угла, образуе-
мого гранями крыши со смежными
рабочими гранями призмы
между нормалями Nj (к смежной грани 1) и Np (к ребру крыши
в плоскости главного сечения исходной призмы). Косинус угла со
равен скалярному произведению указанных ортов, т. е. cos со =
= 1Мг Np.

Построим систему неподвижных координатных осей xyz, на-
правив ось х по орту Ni нормали грани /, а ось z по ребру дву-
гранного угла оо исходной призмы (без крыши). Орты нормалей
в принятой. системе осей запишутся так: Nj = i; Np ~ cos coi +
+ sin cdj. Найдя скалярное произведение ортов нормалей, получим
cos со = Npx.

После нарезания грани 2 крыши ее нормаль N2 выйдет из
плоскости рисунка, как бы повернувшись вокруг ребра как вокруг
оси на угол 45°, и орт ее направления запишется в виде N2 =
= cos co cos 45°i + sin co cos 45°j — sin 45°k = (cos coi +
|/2

+ sin coj — k).	(*)

Для вычисления угла Ф между гранями 1 и 2 найдем скалярное
произведение ортов Nx и N2, равное косинусу искомого угла, т. е.
cos Ф = NxN2 = N2x, так как по осям у и z орт Nx проекций не
имеет. Общее развернутое выражение имеет вид

cos'Q = cos 45°cos со = ^~cos со.	(120)

Пример а. Найти угол между гранями призмы АкР-90°
(со = 45°). По формуле (120) сразу получаем cos Ф = 0,5; Ф =
= 60°.

Пример б. Найти угол между гранями крыши и входной
гранью (смежной с крышей) пентапризмы (со = 112,5°). По фор-
муле (120) найдем ft = arccos cos со — arccos (—sin 22,5°) =
— 105° 42' 00". Для этой призмы можно найти еще два значения
угла Ф, так как ребро крыши составляет с выходной гранью угол
со = 22,5° и с отражающей гранью соотр = 45°. В последнем слу-
чае, как и в примере а, 0отр составляет 60°. Углы граней крыши
с выходной гранью пентапризмы будут равны О^ых = arccos X
X cos 22,5° = 49° 12 38".

Пример в. Найти угол между гранями крыши и смежными
(входной и выходной) гранями призмы Шмидта с крышей ВкР-45°.
Поскольку оба угла одинаковы и со = 67,5°, то по формуле (120)
получим единственное решение 0 = arccoscos 67,5° = 74° 18'.

к 2

Определим теперь зависимость между углом разворота ребра
крыши, т. е. пирамидальностью л развертки крышевидной призмы,
и разностью двугранных углов, образуемых гранями крыши со
смежными рабочими гранями призмы. На рис. 57 показана вторая
система координатных осей х^г^ развернутая по отношению
к системе осей xyz вокруг оси z на угол со так, что ось совпадает

с ребром крыши, не имеющей разворота, причем р0 = —

Направление орта нормали N2 грани 2 крыши, ребро которой
развернуто на угол л вокруг оси хъ найдем из выражения

N2, „ = Sr'S^'SiN,,

(121)

где Si и S?1 —матрица перехода от системы осей xyz к системе
^У1г1 путем поворота вокруг оси z на угол со и соответственно
транспонированная матрица обратного преобразования коорди-
нат; Зл1 — матрица введения разворота ребра крыши на малый
угол л вокруг оси хг.

Подстановкой в (121) соответствующих матриц и выражения
(*) для орта нормали N2 после перемножения получим

(cosco sin со 0\ /1	0	0 \	/cosco	—sin со 0\

— sin со cos со 0 |0	cos л	sin л	I sin со cosco О I	X

О 0 1 / \0 —sinn cos л/ \ 0	0	1/

(cos со \	/ cos со — sin л sin со\

— sin со j = -У — sin со — sin лсоб со I.	(121а)

1	/	> 2 \

— 1 /	\	—cos Л /

Используя лишь проекцию нормали по оси %, для двугранного
угла тЭ’ между гранями / и 2 аналогично формуле (120) напишем

cos О’г, я (cos со — sin л sin со)

1	'	X

(cos со — л sin со).

(120а)

Последнее выражение справедливо для малой пирамидаль-
ности призмы.

Из выражения, аналогичного формуле (121), но написанного
для орта N3 грани 3 крыши, можно получить



1 , . . . .

— (cos СО + sin л sin со) «

1	.	I	. X

™(cos СО -|- Л Sin со).

(1206)

Для малого значения угла л, полагая, что 0^ = Ф + ДФ,
легко найти следующее соотношение для разности углов:

— ^2, л 'в’з, Л

2 л sin со

У 1 4- sin2 со

(122)

Пример г. Найти отношение Д^/л для призмы АкР-90° (со
= 45°) и призмы Шмидта с крышей ВкР-45с (со = 67,5°). По фор-
муле (122) найдем 1,15 и 1,36 соответственно.

Как было сказано, двугранный угол Ф между гранями крыши
и прилежащей рабочей гранью призмы с крышей служит оптику
для контроля правильности направления ребра крыши, которое
должно быть параллельно главному сечению исходной призмы
(без крыши). Этот угол измеряют с помощью механического угло-
мера типа УН (ГОСТ 5378—66) с точностью до 2' или 5', а в более
ответственных случаях — на гониометре. В последнем случае
ребро двугранного угла Ф необходимо установить параллельно
оси вращения столика гониометра. Для этого удобно воспользо-
ваться клиновидной подкладкой с углом 0 под одну из граней
крыши и рассчитать угол 0 так, чтобы ребро двугранного угла 'ft
призмы было расположено при этом перпендикулярно к плоскости
столика.

Обращаясь к рис. 57, можно сформулировать задачу так:
найти угол опрокидывания призмы вокруг нормали Nx грани 1
из условия, чтобы грань 2 крыши оказалась также перпендику-
лярной к плоскости рисунка (полагаем, что плоскость рисунка
совпадает с верхней плоскостью столика гониометра). В этом
случае нормаль N2, очевидно, окажется параллельной плоскости
рисунка, как и нормаль Nx грани 1. Иначе говоря, проекция
после указанного опрокидывания призмы с крышей должна
стать равной нулю. Для искомого угла опрокидывания, или угла 0
клиновидной прокладки, из выражения (*) сразу напишем

tg 0 =---= cosec со.	(123)

Пример д. Для призмы АкР-90° угол со = 45°, поэтому 0 =
= arctgcosec со = arctg » 54° 40'.

Пример е. Для пентапризмы с крышей БкП-90° получим
три решения:

1)	©! = 112,5°; 0Х = arctg (sin 112,50)"1 = 68° 55';

2)	со2 = 45°; 02 = 54° 40';

3)	<о3 = 22,5°; 03 = arctg (sin 22,5е)-1 = 68° 55'.

Пример ж. Для призмы Шмидта с крышей ВкР-45° получится
0 = arctg (sin 67,5°)-1 = arctg 1,08 = 47° 10'.

Клиновидную прокладку можно изготовлять с углом 0, при-
близительно равным расчетному значению, так как для точной
установки ребра угла О' параллельно оси вращения трубы гонио-
метра можно воспользоваться наклоном его столика. Сам расчет
угла 0 также можно выполнить приближенно с помощью обычной
логарифмической линейки.

Задача 19

РАСЧЕТ ДОПУСКОВ ДЛЯ КАЧАЮЩЕГОСЯ ПЛОСКОГО ЗЕРКАЛА
И ЗАЩИТНОГО СТЕКЛА, РАСПОЛОЖЕННЫХ

ПЕРЕД ОБЪЕКТИВОМ ТЕЛЕВИЗИОННОЙ КАМЕРЫ

Рассчитаем допуски N и ДМ для плоского зеркала, располо-
женного перед объективом передающей телевизионной камеры
с горизонтальной осью, в фокальной плоскости которого помещен
катод приемной трубки размером 32x32 мм с числом элементов
172
т = 1000. Зеркало качается на горизонтальной оси, перпенди-
кулярной к оси объектива, так, что визирный луч отклоняется
от отвеса вперед на угол = +45° и назад на угол i2 = —30°.
Перед качающимся зеркалом расположено еще плоскопараллель-
ное защитное стекло. Объективы телекамеры сменные: большой
имеет фокусное расстояние /б = 500 мм; 1 : 4,5; малый f'M =
= 100 мм; 1 : 2,5. Объективы работают при эффективной длине
волны Хр = 650 нм.

В отличие от визуальных систем, где требования к качеству
изображения точки определяются критерием Рэлея, в данном
случае эти требования регламентируются допустимым размером
пятна рассеяния, который, очевидно, не должен превышать раз-
мера одного элемента катода приемной трубки, равного а —
= 0,03 мм.

Обе погрешности зеркала — сферичность (N) и цилиндрич-
ность (АМ) — вызывают астигматизм изображения точки. Свяжем
астигматизм в волновой мере А/гв с размером пятна рассеяния а
и апертурой о пучка лучей. Астигматизм Д/гв равен наибольшей
разности стрелок кривизны волнового фронта в пределах сечения
D2

рабочего пучка диаметром D: A/iB = hB max — hB т1п = (ri —

D2\r

— rm’ax) ~-g^—= 0,5o2 Ar, где Ar— расстояние между астиг-
матическими изображениями точки. С другой стороны, наимень-
шее сечение пучка между астигматическими фокусами, т. е. раз-
мер пятна рассеяния, равно а = &га. Произведя подстановку,
получим АЛВ = 0,5аа.

По условиям задачи найдем допустимый астигматизм для
большого объектива A/iB. б = 0,5ааб = 5/3 мкм и для малого
объектива A/iB. м = 0,5аам = 3 мкм. Эти допуски значительно
(в десятки раз) больше волнового допуска для визуальных систем
(A/iB 0,1 мкм).

Выделяя на каждую первичную погрешность не более 1/6 об-
щего допуска (учитывая и влияние погрешности защитного
стекла), получим волновые допуски АМВ в числе полос, т. е.
в числе полудлин волны света, применяемого при контроле под
пробным стеклом плоскостей качающегося зеркала и защитного
стекла: для большого объектива ДМВ. б = 1; для малого объек-
тива АМВ. м = 1,8.

В пределах поперечного рабочего размера качающегося зер-
кала допуски М и ДМ получим по формулам (72) и (65): N —
= GOe АМВ = (1,74-0,225) ДМВ; ДМ = §ОЕ-ДМВ = (0,64-1,3) ДМВ.

В скобках указаны значения соответствующих коэффициентов
для наружной отражающей поверхности при углах ее наклона
8 = 304-67,5°, вычисленные по упомянутым формулам. Возьмем
наименьшее значение этих коэффициентов и для допусков качаю-
щегося зеркала найдем: для большого объектива Мр. б = 0,2;
ДМР. б = 0,6; для малого объектива Мр. м = 0,4; ДМР. м = 1.
При определении допусков для защитного стекла по тем же
формулам (72) и (65) следует учесть, что визирная ось при кача-
ниях плоского зеркала имеет углы падения 8 = (—30)ч-(+45)°.
Для преломляющих поверхностей оба расчетных коэффициента
непрерывно уменьшаются с ростом угла падения (см. рис. 33),
поэтому допуски следует определять при наибольшем угле 8тах =
= 45°. При этом для защитного стекла получится: для большого
объектива А7Р б = 1,6 = ДМР б; для малого объектива Л/р. м =
= 3 = ДЛГр. м.

При расчете допуска на клиновидность защитного стекла
следует еще учесть, что она вызывает дисторсию.

Задача 20

РАСЧЕТ ДОПУСКОВ НА ПОГРЕШНОСТИ
ИЗГОТОВЛЕНИЯ И УСТАНОВКИ ПЛОСКИХ ЗЕРКАЛ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРОФИЛЬНЫХ ПРОЕКТОРОВ

Выведем формулы для расчета допусков на погрешности из-
готовления и установки плоского зеркала 3, расположенного
между объективом Об и экраном Э измерительного (профильного)
проектора (рис. 58, а), и определим эти допуски для следующего
конкретного случая: расстояние L от плоскости выходного
зрачка Р' объектива Об до экрана Э по осевому лучу равно 3040 мм,
расстояние I до точки падения осевого луча на зеркало 820 мм.
Угол падения осевого луча на зеркало 8 = 45°. Задняя апертура
объектива о' = 0,00665 рад. Половина угла поля зрения объек-

Рис. 58. Определение допусков на погрешности формы плоского зеркала, рас-
положенного между объективом и экраном измерительного проектора
тива со = 4,5°, причем поле изображения на экране имеет форму
прямоугольника шириной 300 мм и высотой 360 мм (размер диаго-
нали 2у' = 470 мм). Допуски для плоского зеркала найдем из
условия, что разномасштабность изображения на экране не должна
превышать Ду' = 0,05 мм.

Разномасштабность изображения на экране проектора могут
вызвать следующие три погрешности плоского зеркала:

сферичность, измеряемая числом интерференционных колец W
под плоским пробным стеклом или радиусом кривизны сферы

цилиндричность, измеряемая наибольшей разностью числа
полос AN в главных сечениях зеркала или радиусом кривизны
цилиндра /?ц;

отклонение от перпендикулярности осевого главного луча
по отношению к плоскости экрана.

Отступления наклонного зеркала от плоскости вызовут также
астигматизм в изображении точек предмета, а наклон главного
луча в плоскости экрана — еще и нерезкость изображения на краю
поля зрения.

Рассмотрим влияние всех перечисленных погрешностей. На
рис. 58 показано влияние сферичности зеркала, которая вызывает
на экране Э разномасштабность двух видов:

1)	неравенство увеличений в плоскости отражения осевого
луча, пропорциональное разности размеров изображений в каждой
половине поля зрения:

Ду' = Дуб — Дг/е;	(124)

2)	неравенство увеличений во взаимно перпендикулярных
плоскостях, пропорциональное разности размеров изображений
в этих плоскостях:

Ду± = (Ду* + Дуе) — 2 Д yi	(125)

Величины, входящие в обе формулы, ясны из рис. 58, где
сплошными прямыми показаны главные лучи для крайних точек
поля зрения при отражении от строго плоского зеркала, а штрихо-
выми — те же лучи после отражения от слегка вогнутого сфериче-
ского зеркала радиусом кривизны R с центром в точке О. В пло-
скости рисунка — в плоскости отражения осевого луча — откло-
нения главных лучей равны Дуб и Ду^, а в перпендикулярной
плоскости — Ду£ (рис. 58, в). В качестве индексов приняты углы 6,
8 и образуемые с осью СО нормалями вогнутого зеркала в точ-
ках падения крайних главных лучей.

В общем случае отклонения Дуб, Дув, не равны друг
Другу, в результате чего изображение круга на экране деформи-
руется, как показано штриховой линией на рис. 58, б.

Для обеих погрешностей масштаба из рис. 58 после преоб-
разований получим:

Ду' = A tg2 со sin 8,	(124а)
где

л _ л I (cos со cos е)2	_____1_____

L (cos 2со + cos 2е)2 cos 2(0 + cos 2е

и соответственно

Ду'± = —Б tg <о cos е,	(125а)

"	А

где

„__ 21 (cos со cos в)2 + (sin ° sin е)2	1	 1 — I / L

L (cos 2(0 + cos 2e)2	cos 2(0 + cos 2e ’ 2 cos2 (o *

Из формул (124a) и (125a) можно найти допуск на сферичность
зеркала, выраженный наименьшим допустимым радиусом кри-
визны 7?, при заданной допускаемой разности масштаба изобра-
жений Al/доп-

Влияние цилиндричности на разномасштабность изображений
рассмотрим для двух частных случаев:

а)	ось цилиндра перпендикулярна к плоскости отражения,
т. е. плоскости рис. 58, а, и радиус кривизны его равен /?ц*,

б)	ось цилиндра лежит в плоскости отражения и радиус кри-
визны равен 7?ц.

В первом случае разномасштабность Дг/ц вычисляется с помо-
щью формулы (124а), в которую вместо радиуса кривизны сферы R
следует подставить радиус цилиндра 7?ц. Формулы (125) и (125а)
упростятся, так как в данном случае Дг/£ = 0 и третий член вы-
ражения Б также равен нулю.

Во втором случае ось цилиндра совпадает с плоскостью
рис. 58, а, поэтому формула (124а) даст нуль. В формуле (125а)
для разномасштабное™ во взаимно перпендикулярных плоско-
стях (Ду'1) вследствие цилиндричности множитель Б сохранит
лишь третье слагаемое.

С учетом сказанного расчетные формулы после преобразований
запишем в следующем виде.

Для допустимой сферичности зеркала:

4^^л^2о)51пе:	<12б>

4 = ~^5tg cocose.	(127)

Для допустимой цилиндричности зеркала:

ось цилиндра перпендикулярна к плоскости отражения осе-
вого луча

*S- = ^Utg’«>sine;	(128)

7?ц	&IIL, /»-|	1 — 1/L \ .	/1

тг == —7д" х ( Б ~ о—т— tg ю cos в;	(129)

L2	0^±)ц V	2cos2му	v
Рис. 59. Графики для расчета допусков на сферичность и цилиндричность пло-
ских зеркал профильных проекторов в зависимости от положения зеркала в ходе
лучей (Z/L), угла его наклона (е) и угла поля изображения (со) при допустимой
разномасштабности изображения на экране Лг/' = 0,1 мм

ось цилиндра совпадает с плоскостью отражения осевого
луча

ТУ = 0;	(130)

_	4//L (.	I \ tg со cose	,1Qn

L2 ~	(Д^1)и X	L ' cos2 “ '	'

В формулах (126)—(131) Ду' (без индексов и с различными
индексами) означает допуск на разномасштабность; выражения
для множителей А и Б даны в формулах (124а) и (125а).

Заметим, что формулы (126) и (128) по виду полностью совпа-
дают друг с другом, отличаясь лишь индексами при 7? и Ду'.
Таким образом, для расчета допусков остаются всего четыре
формулы — (126), (127), (129) и (131). На основании результатов
вычислений по этим формулам на рис. 59 построены графики из-
менения величин R/L2-, Rn/L2‘, Ri/L2 в зависимости от местополо-
жения зеркала, определяемого отношением 1/L, для четырех
значений угла наклона е зеркала (0, 30, 45 и 60°) и для двух поле-
вых углов (со = 5° и со = 10°). Кривые 1 построены по формулам
(126) и (128), кривые 2 — по формуле (127), кривые 3 — по фор-
муле (129) и кривые 4 — по формуле (131). Все графики построены
для допустимой разномасштабности Ду' =0,1 мм.

Из рис. 59 можно сделать следующие выводы.

1.	Сферичность зеркал вызывает разномасштабность изобра-
жений как в плоскости отражения (кривые /), так и во взаимно
перпендикулярных плоскостях (кривые 2). Разномасштабность
возрастает с увеличением угла наклона зеркала 8 и угла поля
зрения со объектива. Разномасштабность обоих видов при угле
8	0 по мере удаления зеркала от плоскости выходного зрачка Р

вначале возрастает, достигает максимума и затем уменьшается
до нуля, далее, переходя через нуль, меняет знак на противо-
положный и вновь непрерывно и ускоренно возрастает при при-
ближении зеркала к экрану. Совершенно очевидно, что при на-
личии сферичности вращение зеркала вокруг его нормали ничего
не меняет на экране.

2.	Цилиндричность зеркал в общем случае также вызывает
оба вида разномасштабное™, однако здесь вращение зеркал во-
круг нормали изменяет составляющие разномасштабности:

а)	разномасштабность в плоскости отражения, когда с нею
совпадает и радиус цилиндра 7?ц, имеет наибольшее значение
(кривая /), которое при повороте зеркала на 90° уменьшается до
нуля [см. формулу (130)1;

б)	разномасштабность во взаимно перпендикулярных плоско-
стях достигает наибольшего значения, когда лежит в пло-
скости отражения (кривая 3), а при повороте зеркала на 90°
уменьшается до минимального значения (кривая 4). Характер
кривых 3 и 4 примерно одинаков, за исключением точек, близких
к экрану.

Особый интерес представляют случаи, когда допуски на от-
дельные погрешности свободны. Это соответствует условию, при
котором равны нулю множители А или Б в расчетных формулах
(126)—(128) или выражения в скобках, входящие в формулы (129)
и (131). Из этого условия легко найти соответствующее местополо-
жение зеркала.

Заметим, что почти для всех местоположений зеркала между
объективом Об и экраном Э проектора допуск на его цилиндрич-
ность из условия б) вывода 2 получается более строгим, чем из
условия а). Только для местоположений, близких к экрану, это
соотношение изменяется на противоположное.

Допуск для каждого зеркала следует рассчитывать по той
кривой, точка которой имеет наибольшую ординату. Из графиков
видно, что для расчета допусков R и 7?ц достаточно лишь трех
формул: (126), (127) и (129). Однако все эти формулы для зеркал
вблизи выходного зрачка Р (Z — 0) дают свободный допуск. В этом
случае допуски для зеркала следует определять из требования
качества изображения для точек предмета.

Допуск в числе полос М на сферичность наклонного плоского
зеркала с допуском ДМ на его цилиндричность в пределах рабо-
чего участка поверхности связаны соотношением [см. формулу
(73) 1 N = ДМ/tg2 8, причем

* = w = w	<132>
Рис. 60. Определение допусков на погрешности установки пло-
ского зеркала измерительного проектора

В свою очередь, по формуле (64) с учетом формулы (72в) для
допуска на цилиндричность наружной отражающей поверхности
получим

°	2 cos е X ’

(133)

где е — угол наклона зеркала к осевому пучку; АЛ — стрелка
прогиба поверхности и соответственно разность стрелок прогиба
поверхности в пределах ее рабочего участка диаметром D.

Из формул (132) и (133) после преобразований и подстановок
D =2 (L — /) а соответственно получим

4 = ^sln2e>	(134)

Дц 2(1

L2 A/VjjXcoss L2

где о' — задняя апертура проекционного объектива; AjVb —
допуск на астигматизм точки в числе полос (для визуальных си-
стем обычно не более 0,35); остальные величины имеют прежнее
значение.

Теперь выясним влияние погрешностей юстировки плоского
зеркала в сходящемся ходе лучей (рис. 60). Считая, что положение
объектива О и экрана Э конструктивно вполне определено кор-
пусом проектора, рассмотрим действенные подвижки зеркала
в неподвижной системе осей которая для зеркала в расчет-
ном положении является основной системой. Для наглядности
полученные результаты представим в другой — лучевой системе
неподвижных осей хлг/лгл, ось ?л которой перпендикулярна
к плоскости экрана 5, а ось ул является вертикалью этой пло-
скости.
В сходящемся ходе лучей плоское зеркало, как известно, имеет
три действенные подвижки: два поворота вокруг осей х0 и у0
и смещение вдоль нормали N, т, е. вдоль оси z0. Смещение зер-
кала 3 вдоль оси г0 на величину Az0 вызывает расфокусировку
изображения, равную [формула (40)] А/ ~ 2Az0 cos s0 и попе-
речный сдвиг изображения по экрану t = 2Az0 sin 80, где 80 —
угол падения осевого луча на зеркало.

Более вредны повороты зеркала 3 вокруг осей х0 и yQ. При по-
вороте зеркала вокруг оси у0 на угол Р отраженный осевой главный
луч отклонится от своего расчетного направления — орта Ао —
на угол, в 2 раза больший. Точка пересечения этого луча сдви-
нется от центра экрана на величину 2 (L — /) р, и осевой луч ста-
нет неперпендикулярным к плоскости экрана на угол 2р. В ре-
зультате возникает разномасштабность изображения по горизонту
8у' - 2р/ tg со,	(136)

где со — половина угла поля изображения объектива проектора;
у' — половина размера изображения на экране.

Возникновение разномасштабности показано на выпрямленной
схеме, где Э' отмечено номинальное положение изображения
экрана Э в зеркале 3, а Э' — положение изображения экрана
в зеркале, повернутом из номинального положения на угол 2р
по часовой стрелке (не учтен сдвиг осевого луча по экрану на рас-
стояние 2 (L — /) р, не имеющий в данном случае значения).
Из рисунка видно, что размер левой половины изображения воз-
растет на величину 6г/г, а размер правой половины на столько же
уменьшится. Формула (136) и дает величину искажения изображе-
ния на экране.

Поскольку tg со = у’ Щ то

(136а)

Для допустимого угла поворота рдоп зеркала 3 (в угловых ми-
нутах) вокруг оси уи получится

К.п <	3440	(137)

независимо от расстояния / от экрана Э до зеркала 3.

Для условий задачи найдем рдоп < "^4^°)^' 3440	4>5/-

Влияние поворота зеркала 3 вокруг оси xQ на угол а по фор-
муле (46) найдем сразу в лучевой системе координатных осей хлулгл:
при повороте зеркала 3 вокруг оси xQ осевой главный луч откло-
нится в плоскости улгл вверх на угол 2а cos 80, в результате чего
изображение на экране сдвинется по высоте на величину
2 (А — /) a cos £0 и появится разномасштабность изображения
по вертикали, равная

Ьу'в = 2а/ tg со cos 80.	(138)
Таким образом, допустимый угол поворота зеркала 3 вокруг
оси может быть в sec е0 раз больше, чем угол (Зд0П по формуле (137).
В нашем случае аД013	6'.

Напомним, что поворот зеркала вокруг оси х0 на угол а вы-
зовет кроме того и наклон изображения на угол а„ 2а sin 80.

При больших размерах экрана малые сдвиги изображения
осевой точки не имеют существенного значения, расфокусировка
на оси легко устраняется.

Наклоны осевого главного луча на угол 2{3 или на угол 2а cos е0
приведут также к тому, что плоскость резкого изображения пред-
мета станет непараллельна плоскости экрана Э. Это вызовет
расфокусировку точек изображения на краю. Если расфокуси-
л О»2

ровка не превышает Az = мкм, то, например, для допусти-
мого угла [Здоп наклона главного луча в плоскости рис. 60 полу-
чим в угловых минутах

ft'	Az3440 _ 0,34z	/1ЧСП

Рдоп	2у> - "у-рр-U)

Для условий задачи найдем рдоп 20', что значительно больше
допуска по формуле (137).

В процессе сборки и юстировки проектора в некоторых слу-
чаях возможна взаимная компенсация погрешностей зеркал,
вызывающих разномасштабность в данном сечении. Такая воз-
можность вытекает из сравнения, например, формул (124а) и (136)
для случая, когда формула (124а) не дает Ау' = 0. Разномасштаб-
ность во взаимно перпендикулярных сечениях наклонами зеркала
и вообще юстировкой не может быть скомпенсирована. Если
в схеме проектора имеется несколько зеркал, то задача о компен-
сации погрешностей усложняется и требует особого подхода.

В заключение определим допуски для зеркала проектора
согласно условиям задачи. В данном случае наименьший размер —
ширина зеркала D ~ 81 мм, отношение UL>-- 0,27. Из рис. 59
делаем вывод, что для нахождения допусков следует пользоваться
формулами (127) и (129), по которым рассчитаны кривые 2 и 3.
Эти формулы дают: для допуска на сферичность R/L2 ~ 0.43 мм"1;
для допуска на цилиндричности R^/L2 = 0,86 мм-1. Соответственно
для наименьших значений радиусов кривизны зеркала после вы-
числений получим: для сферы R 4 км; для цилиндра R4 8 км.

При световом диаметре зеркала D = 81 мм для тех же допу-
сков в числе полос под плоским пробным стеклом найдем: N =
= 0,75; AN =0,38.

По формулам (134) и (135) при допустимом астигматизме
ANB 0,3 для соответствующих допусков получим —=

= -pr-sin2 е 0,4 мм"1, или N ж 0,8; ж 0,8 мм"1, или AN
ж 0,4.
Выбирая наиболее строгие из полученных значений, на по-
грешности изготовления плоского зеркала следует задать до-
пуски: N < 0,75 и ДЛ/ < 0,38	0,4. При юстировке проектора

зеркало следует установить так, чтобы оптическая ось объектива
О за зеркалОлМ была перпендикулярна к плоскости экрана Э
(рис. 60). Контроль выполнения этого требования удобно осу-
ществить автоколлимационным методом. Если после установки
зеркала в указанное положение наблюдается разномасштабность
на экране, то следует хотя бы частично скомпенсировать ее не-
большими наклонами зеркала вокруг осей х0 и yQ.

Задача 21

РАСЧЕТ ДОПУСКОВ

НА ПОГРЕШНОСТИ ИЗГОТОВЛЕНИЯ
И СБОРКИ (СКЛЕЙКИ) ПРИЗМЫ ПЕХАНА

Рассчитаем допуски для призмы Пехана, исходя из допустимой
клиновидности развертки 0ДОП и допустимого астигматизма ДМВ
в пределах рабочего пучка лучей. Материал призмы — стекло
оптическое К-8.

Призма Пехана состоит из двух частей — полу пентапризмы
и призмы Шмидта (рис. 61). Полагая, что обе призмы не имеют

Рис. 61. Расчет допусков на погрешности склейки призмы
Пехана (а) и на погрешности изготовления полупентапризмы (б)
и призмы Шмидта (в)
никаких погрешностей изготовления, определим допуск на вза-
имный разворот их главных сечений, который возможен при
склейке или ином соединении призм в систему. Этот разворот
призм приведет к тому, что выходная грань призмы Пехана ока-
жется непараллельной ее входной грани на некоторый угол 6.
При этом клиновидности развертки призменной системы не воз-
никнет, так как развертки обеих составляющих ее призм по при-
нятому нами условию представляют собой строго плоскопарал-
лельные пластинки, не появится и хроматизма изображения.
Однако выходящий из призмы луч отклонится от направления
падающего луча как раз на угол 6, так как если падающий луч
перпендикулярен к входной грани призменной системы, то вы-
ходящий луч также будет перпендикулярен к ее выходной грани.
Иначе говоря, при взаимном развороте призм на некоторый угол со
вокруг оси z неподвижной системы осей xyz (рис. 61, а) появятся
отклонение луча, выходящего из плоскости главного сечения
призмы Пехана, и наклон изображения.

В самом деле, при развороте призмы Шмидта, которая в парал-
лельном ходе лучей эквивалентна плоскому зеркалу, параллель-
ному грани 2 (см. пример 9), вокруг падающего луча, совпадаю-
щего с осью z, по формуле (46а) при еОэ = 67,5°; Q =
= —22,5° и (у} « 6л) получим: 6л = 2оэ cos 22,5° cos 67,5° =
= со sin 45° « 0,7ог, 6н и = 2<о cos 22,5° sin 67,5° = (о (1 + c°s 45°) «
« 1,7(0.

Таким образом, угол бокового отклонения выходящего луча —
в плоскости хлгл лучевой системы неподвижных осей xnynzn —
составит 0,7 от угла разворота призмы Шмидта вокруг оси z,
причем луч отклонится в сторону поворота эквивалентного зеркала
или грани 2 (рис. 61, а).

Покажем, что такой же результат получится и в том случае,
если развернуть полупентапризму по отношению к призме Шмидта,
т. е. повернуть ее вокруг той же оси z на тот же угол со, но в об-
ратную сторону, вследствие чего ребро угла о = 22,5° между
отражающими гранями будет направлено по орту р = cos eoi +
+ sin соj. Теперь для орта Ал направления выходящего луча (при
обратном ходе) в лучевой системе осей хл^/лгл напишем

А; = 5лЛГА,	(140)

где А — орт направления падающего луча в системе осей xyz\
М" — матрица действия углового зеркала (которому эквива-
лентна полупентапризма) в той же системе осей; 5Л — матрица
перехода от осей xyz к лучевой системе осей хлулгл, осуществляе-
мого поворотом вокруг оси х на угол 45° против движения часовой
стрелки. Произведя подстановку А = —к; а = 22,5°; р — cos eoi +
+ sin eoj и воспользовавшись формулой (10а), после перемноже-
ния матриц последовательно получим
/ 0\

A" = 5ЛЛ4"А = SnM" I 0 1

\— 1 J

10	0 \

0 cos 45° sin 45° j x
,0 —sin 45° cos 45°/

1	\	/	1 .

----7= Pu	\	/--------7= Sin CO

/2™ I I /2
0,5(px— 1) I ~ I 0,5(cosco—1)
— 0,5 (px 4*1)/	\—0,5 (cos co+1)

1

----7= Sin (0

/2

— sin2^-

— cos2

/ — 0,7co -
«I — O,25co2

\ —1

(140a)

Итак, при взаимном развороте главных сечений призм возни-
кает отклонение выходящего луча в сторону разворота из пло-
скости главного сечения призмы Пехана на 0,7 угла разворота.
Если призма расположена в параллельном ходе световых лучей,
то это боковое отклонение выходящего луча невозможно скомпен-
сировать при юстировке призмы Пехана и поэтому такой взаимный
разворот призм необходимо регламентировать строгим допуском.

Ранее было отмечено, что выходящий луч остается перпен-
дикулярным к выходной грани и при взаимном развороте призм,
если падающий луч перпендикулярен к входной грани. Покажем
это на примере полупентапризмы, для чего найдем направление
орта NBX нормали ее входной грани (при обратном ходе лучей)
после разворота призмы на угол со:

/10 О'

NBX. Л = 5ЛИВХ = I 0 cos 45° sin 45°
\0 —sin 45° cos 45°

----\= sin co

/2

1

-т= cos со

/2

1 •	\

----7= Sin CO	\

/2	|

0,5(cos CD —	1)	I ’

— 0,5 (cos co + 1)/

откуда видно, что нормаль NBX. л строго параллельна орту Ал
направления выходящего луча по формуле (140а).

Призма Пехана чаще всего помещается в сходящемся ходе
лучей, где она эквивалента зеркальной системе класса 6, т. е.
плоскому зеркалу ЭЭ, перпендикулярному к главному сечению
184
призмы и ее входной грани, в сочетании с зеркальным ромбом,
перпендикулярным к эквивалентному зеркалу. Ромб имеет зна-
чительную толщину, поэтому при наклоне призмы Пехана в пло-
скости эквивалентного зеркала выходящий луч будет сдвигаться
в боковом направлении, благодаря чему появится возможность
в процессе юстировки компенсировать боковым наклоном призмы
в сходящемся ходе лучей отклонение луча, вызванное разворотом
призм при склейке. Однако следует иметь в виду, что при этом

компенсируется лишь сдвиг следа выходящего луча в плоскости
изображения, но не компенсируется наклон плоскости изображе-
ния, т. е. ее непараллельность полевой диафрагме.

Расчет допусков на погрешности изготовления призм выпол-
няется обычным путем. На рис. 61, б, в показаны развертки обеих
призм, из которых видно, что их клиновидности в главном се-
чении 0С и погрешности 0Я, вызванные пирамидальностью, сле-
дующим образом связаны с погрешностями углов и с самой пира-
мидальностью л: у полупентапризмы 0С = А — 2С О,50доп;
0Л = л О,50доп, у призмы Шмидта 0С = А — С = 667}5^
< О,50доп; е„ = 2л cos 22,5° < 0,5едоп, откуда л <4cos°22^ =

Таким образом, в полупентапризме 0С = 0, если угол А (в но-
минале А — 45°) вдвое больше угла С (в номинале С = ст = 22,5°),
а угол В не имеет значения. В качестве пирамидальности нами
принят угол между входной гранью АВ и ребром противолежащего
угла С.

В призме Шмидта 0С = 0, если равны друг другу углы А и С
при основании 2 равнобедренного треугольника; здесь угол В
(в номинале В = 45°) не имеет значения. В качестве пирамидаль-
ности принят угол между гранью 2, параллельной эквивалентному
зеркалу ЭЭ призмы (рис. 61, а), и противолежащим ребром угла В
(рис. 61, в).

Допуски на погрешности N и ДУ граней призм зададим с уче-
том их типа и угла наклона. Грани 1 (рис. 61, б, в) в обеих приз-
мах — преломляющие, граничащие с воздухом, нормальные к оси
пучка, поэтому для них gla =2, Gln = оо. Однако в призме
Шмидта грани 1 одновременно являются и внутренними отражаю-
щими, наклоненными под углом ej = 45°, вследствие чего для них
будет еще g10a = 0,5 = Glon. В таких же условиях работает
грань 2 в полупентапризме, поэтому и для нее g2on = 0,5 = G2on.
Грань 3 той же призмы и грань 2 призмы Шмидта как внутренние
отражающие с углом наклона е3 = 22,5° имеют gsoa = 0,36;
G3on = 1,95. Полагая на каждую первичную погрешность до-
пуск ДУВ = 1/6, получим допуск на сферичность и астигматич-
ность граней призм в пределах их рабочих участков. Включая
еще допуск на углы и пирамидальность, окончательно зададим
допуски:
на полупентапризму AAfj = 1/3; Nr = 1 (из условия удобства
контроля); AjV2 = 1/12 = N2‘, AAf3 = 1/18; N3 = 1/3; разность
погрешностей углов А45о — 2A22j5o = О,50доп; л = О,50доп; на
призму Шмидта АЛ\ = 1/3; Л\ = 1; АЛ/2 = 1/18; N2 = 1/3;
$67,5° — О,50доп; л = О,270доп.

Задача 22

РАСЧЕТ ДОПУСКОВ НА ПОГРЕШНОСТИ СКЛЕЙКИ
ОБОРАЧИВАЮЩЕЙ ПРИЗМЕННОЙ СИСТЕМЫ МАЛАФЕЕВА — ПОРРО
2-ГО РОДА И РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ КОНТРОЛЯ

Призменную оборачивающую систему Малафеева—Порро
2-го рода часто применяют, например, в бинокулярных микроско-
пах (рис. 62), где она кроме оборачивания изображения выполняет
также и вторую роль — сдвигает пучки лучей в поперечном на-
правлении на величину q, благодаря чему разворотом окулярной
коробки вокруг оси падающего пучка лучей можно изменять оку-
лярный базис — расстояние между центрами выходных зрачков
микроскопа — в соответствии с глазным базисом наблюдателей.

Систему обычно получают склеиванием трех призм — двух
призм типа АР-90° (призмы /, 4) с призмой типа БР-1800 с двумя
отражениями на гранях 2 и 3. При изготовлении, особенно при
склеивании, призм неизбежны погрешности, которые вызовут
поворот изображения и непараллельность выходящего пучка
лучей по отношению к падающему пучку.

Поворот изображения устранить юстировкой невозможно,
поэтому его размер необходимо ограничить допуском (в одном
конкретном случае он был равен 15').

Отклонение выходящего пучка можно было бы устранить при
юстировке, например, наклонами призменной системы с помощью
прокладок под ее опорную плоскость СБ, которая является сбо-
рочной базой. Однако желательно обойтись без всяких прокладок:

Рис. 62. Расчет допусков на погрешности склейки оборачива-
ющей призменной системы Малафеева—Порро 2-го рода и раз-
работка методики контроля
они усложняют юстировку и снижают надежность ее сохранения.
Поэтому отклонение от параллельности оси выходящего пучка
по отношению к оси падающего пучка лучей также ограничили
допуском, в том же случае он был равен 10'.

Контроль этого дефекта оказался намного сложнее, чем кон-
троль наклона изображения. На практике отклонение выходя-
щего пучка пытались проконтролировать следующим образом.
Установив визирную ось автоколлиматора перпендикулярно к вы-
ходной грани призмы 4, одновременно визировали встречный
коллиматор, установленный перед призмой /, визирная ось ко-
торого задавала направление пучка, входящего в эту призму.
После этого призменную систему выводили из хода лучей между
коллиматорами и измеряли непосредственно угол отклонения
выходящего луча.

На первый взгляд такой способ контроля представляется пра-
вильным. Однако при переворачивании призмы между коллима-
торами, т. е. при установке входной грани призмы 1 перпенди-
кулярно к автоколлиматору, а выходной грани призмы 4 — перед
коллиматором, получалось другое значение угла отклонения вы-
ходящего пучка лучей, значительно отличающееся от результата
первого измерения. Возникли вопросы: как же правильно кон-
тролировать второе требование к призменной системе и что же
измеряли при работе по описанному способу? Чтобы исчерпывающе
на них ответить, необходимо прежде всего выявить основные
базы призменной системы, разобраться в ее свойствах и во влиянии
погрешностей склейки ее частей.

Известно, что любая оборачивающая призменная система
эквивалентна прямоугольному угловому зеркалу, ребро которого
является основной ее базой. В системах, где выходящий пучок
лучей параллелен падающему пучку, «ребро» этого эквивалент-
ного зеркала параллельно обоим пучкам и проходит через ту
точку призменной системы, при падении в которую луч по вы-
ходе из системы является своим продолжением. На рис. 62 эта
точка принята за начало О координатных осей ХоУо^о, а ось z0
направлена вдоль указанного «ребра» призменной системы.

При юстировке окулярного узла бинокулярного микроскопа
именно это «ребро» необходимо установить посередине между его
осью вращения и осью окуляра, параллельно этим осям; таково
требование к номинальной системе. Только при этом условии не
будет биения выходящих из окуляра пучков лучей при вращении
окулярной коробки.

Покажем, что не только номинальная призменная система,
но также и реальная система призм, имеющая погрешности из-
готовления и склейки, может быть эквивалентна прямоугольному
угловому зеркалу с «ребром», совпадающим с осью z0.

Задача о приведении системы четырех плоских зеркал к экви-
валентному угловому зеркалу в общем виде была решена А. И. Ту-
доровским [см. 55, с. 28]. Однако в нашем случае матрицу A1IV
действия призменной системы, приведенной на рис. 62, проще
найти непосредственным перемножением матриц действия от-
дельных призм Mi, М'23 и М4, так как

Mlv = M^M^Mi.	(141)

В системе осей xoyozo, являющейся основной для средней прямо-
угольной призмы с отражающими гранями 2, 3, матрица Л1гз
будет равна матрице Р23 канонического вида, а последняя при-
водится к матрице Р'3 эквивалентного плоского зеркала
[см. формулу (11)1. В результате подстановки в (141) получим

A1IV - MiP^Mi = — M'tPsMi =

(1 0	0\	/—тп —т12 —т13\

О 1	О |Л4[ = Ж[—т2Х —^22 —т23 ]. (141а)

0 0—1/	\ т31	т32	т33)

В элементы тп, т\2,	т33 матрицы М\ входят проекции

орта Ni направления нормали отражающей грани призмы 1,
а в соответствующие элементы матрицы М\ — проекции орта N4
нормали отражающей грани призмы 4. Полагая для общности
решения, что при склеивании призмы 1 и 4 развернулись на средней
призме в одном и том же направлении соответственно на углы ах
и а4 вокруг оси, параллельной оси х0, напишем:

Nx = p={—Г, —sin a,; — cosax};

N4 = -^= {— 1; sina4; cosa4[.

Перемножив матрицы согласно (141а) и подставив в их эле-
менты проекции нормалей из формулы (*), после простых пре-
образований для элементов матрицы A1IV призменной системы
получим:

тхх == —cos (ax + a4);

m12 = —cos ax sin (ax + a4);

m13 = sin axsin (ax + a4);

m21 = cos a4sin (ax + a4);

m22 = sin axsin a4 — cos ax cos a4 cos (ax + a4);

m23 = cos ax sin a4 + sin ax cos a4 cos (ax + a4);

m3X = —sin a4 sin (ax + a4);

m32 = sin ax cos a4 + cos ax sin a4 cos (ax + a4);

m33 = cos ax cos a4 — sin ax sin a4 cos (ax + a4). j

(142)

При развороте призм 1 и 4 на равные углы, но в противополож-
ные стороны (ах = —а4 — а) видно, что элементы первый и пятый
188
будут равны минус единице, девятый — плюс единице, а все
остальные обратятся в нуль. Таким образом, при указанном раз-
вороте призм 1 и 4 на плоскости склейки призменная система
в целом не изменяет своих свойств: она будет оставаться экви-
валентной прямоугольному зеркалу, ребро которого параллельно
оси г0. Иначе говоря, при этом не будет возникать ни поворота
изображения, ни отклонения выходящего пучка лучей.

Заметим, что по формулам (142) можно найти также и элементы
матрицы действия системы оптического шарнира, применяемого
в танковом шарнирном прицеле ТШ и в бинокулярной насадке
ОГУ-25 универсального измерительного микроскопа УИМ-23.
В номинале шарнир эквивалентен зеркальному ромбу, а при раз-
вороте призм 1 и 4 — угловому зеркалу с переменным углом оэ
и с «ребром», параллельным оси х0 на рис. 62.

Перейдем к разработке методики контроля отклонения выхо-
дящего пучка лучей от направления входящего пучка. Заметим,
что при работе по описанному выше способу — с использованием
автоколлимации от преломляющих граней призм 1 и 4 — при раз-
вороте последних в разные стороны будет наблюдаться большое
отклонение выходящего пучка, которого на самом деле может и не
быть, если углы и а4 равны друг другу.

При разработке рациональной методики контроля отклонения
выходящего пучка необходимо учесть сборочную базу СБ призмен-
ной системы (рис. 62). Этой базой служит нижняя опорная пло-
скость средней призмы с гранями 2, 5, которой она укладывается
на дно окулярной коробки. Если дно коробки перпендикулярно
к своей оси вращения (оси конуса), а «ребро» призменной системы
перпендикулярно к своей привалочной базе СБ, то отклонение
выходящего пучка лучей отсутствует — он будет параллелен
падающему пучку.

При контроле призменной системы визирную ось коллиматора
следует установить перпендикулярно к базовой плоскости СБ
(например, с помощью плоскопараллельного зеркала, приложен-
ного к плоскости СБ) и с помощью встречного коллиматора,
выведя призменную систему из хода лучей, измерить угол откло-
нения выходящего пучка. В случае симметричности конструкции
призменной системы можно измерить тот же угол еще раз, уста-
новив автоколлиматор перпендикулярно к верхней нерабочей
грани призмы 2, 3.

В качестве сборочной базы СБ системы следует оконча-
тельно принять ту нерабочую грань средней призмы, при из-
мерении от которой получился меньший угол отклонения осе-
вого луча.

Если бы контроль при склейке призм также выполнялся на
установке, позволяющей наблюдать автоколлимацию от плоскости,
параллельной опорной базе СБ средней призмы, то можно было бы
обеспечить ориентировку «ребра» эквивалентного прямоугольного
зеркала строго перпендикулярно к этой же плоскости. Наклон
изображения при контроле по автоколлимационной схеме не
обнаруживается.

В заключение заметим, что кроме задания двух указанных
выше допусков необходимо задать еще и третий — отклонение
от параллельности входной грани призмы 1 по отношению к пло-
скости СБ системы. На сборочном чертеже призменной системы
при указании отклонения от параллельности выходящего пучка
по отношению к входящему следует указать, что перед контролем
непараллельности визирная ось коллиматора должна быть уста-
новлена перпендикулярно к опорной плоскости СБ средней
призмы.

Рассмотренный пример убеждает в том, что при задании до-
пусков на погрешности изготовления и склейки (сборки) сложных
призменных систем необходимо найти их зеркальный эквивалент,
выявить его основные базы, исследовать взаимодействие по-
грешностей в приборе с учетом его сборочных баз и указать основ-
ные базы при разработке методики контроля этих систем.

Глава VIII
РАЗРАБОТКА МЕТОДИК ЮСТИРОВКИ И КОНТРОЛЯ
ОПТИЧЕСКИХ УЗЛОВ И ПРИБОРОВ

Задача 23

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ЮСТИРОВКИ И КОНТРОЛЯ
АВТОКОЛЛИМАЦИОННОЙ ТОРЦОВОЙ ТРУБКИ

Методика юстировки — это научно обоснованная последова-
тельность действий, направленных на выявление и устранение
основных погрешностей оптических приборов в процессе сборки
и юстировки. Методики юстировки позволяют получать приборы
обусловленного качества и выполнять их сборку и контроль наи-
более целенаправленно и быстро. С помощью методик юстировки
можно разработать и научно обоснованную технологию сборки
прибора, а также технологичную в отношении сборки конструк-
цию самого прибора.

Рассмотрим приемы разработки методик юстировки на при-
мере автоколлимационной торцовой трубки (рис. 63) с окуля-
ром 4, снабженным разделительным кубиком 2, и двумя сетками —
основной 3 и вспомогательной 5, Такие трубки широко применяют
в цехах при контроле, в частности, в процессе сборки и юстировки
самых различных оптических приборов.

Перечислим основные технические требования к этой трубке:
сетки 3 и 5 должны быть установлены строго в фокальной пло-
скости объектива /; визирная ось автоколлимационной трубки
190
Рис. 63. Торцовая автоколлимационная трубка с окуляре?! с разделительным
кубиком и двумя сетками

должна быть строго перпендикулярна к переднему торцу а кор-
пуса; качество изображения должно быть высоким.

Для выполнения перечисленных требований при сборке трубки
в ее конструкции предусмотрены следующие необходимые юсти-
ровочные подвижки и соответствующие устройства — так назы-
ваемые компенсаторы:

1)	кольцо параллаксное 12, позволяющее путем изменения его
толщины (например, подрезкой) уменьшать расстояние между
объективом 1 и сеткой 3 к тем устранять параллакс между этой
сеткой и автоколлимационным изображением сетки 5 (от плоского
зеркала перед объективом 7); но в нашем случае требуется не
только отсутствие параллакса между указанными сетками, но
и их строгая установка в фокальную плоскость объектива 7;

2)	регулировочные конические стопоры (по четыре через каж-
дые 90°) для сдвига сеток 3 и 5 в любом направлении поперек оси
объектива /;

3)	разворот мостика 10 вместе с кубом-призмой 2 вокруг оси
объектива с последующим его закреплением в правильном поло-
жении по отношению к плоскости сетки 5 тремя стопорами; при
этом попутно устраняется и наклон изображения сетки 5 по от-
ношению к сетке 3.

Прежде чем перейти к разработке методики юстировки и кон-
троля трубки, необходимо сделать два важных замечания об
особенностях схемы автоколлимационной трубки, снабженной
окуляром с двумя сетками и разделительным кубиком.

Первое замечание относится к устранению параллакса сеток
в автоколлимационной трубе с разделительным кубиком. Из-
вестно, что автоколлимационный метод установки труб на беско-
нечность — один из наиболее точных: он вдвое точнее обычного
неавтоколлимационного метода фокусировки. Поэтому вполне
естественно при устранении параллакса между сетками 3 и 5
трубки воспользоваться именно автоколлимационным методом
контроля фокусировки, тем более, что он легко осуществим на
практике: для этого следует лишь воспользоваться хорошим
плоским зеркалом. Можно применить, например, плоское проб-
ное стекло, которое для повышения яркости отраженного изобра-
жения желательно алюминировать.

Приложив плоское зеркало к торцу а трубы и осветив сетку 5,
получим в плоскости сетки 3 автоколлимационное изображение
штрихов сетки 5. Это изображение в общем случае не будет рез-
ким точно в плоскости сетки 3. Наблюдая параллакс между сет-
ками при сдвигах глаза поперек выходного зрачка или измерив
разность сходимостей между их изображениями, пользуясь диоп-
трийной шкалой окуляра, можно определить взаимное положение
основной сетки 3 и изображения сетки 5. Зная фокусное расстоя-
ние окуляра, можно вычислить и необходимую величину подрезки
или увеличения толщины прокладочного кольца 12.

Однако после устранения параллакса между сетками 3 и 5
обе они могут оказаться не в фокусе объектива Г. если одна из них
(например, сетка 5) будет расположена перед его фокусом F',
то другая (сетка 5) будет на том же расстоянии за фокусом F'.
Отраженное от плоского зеркала изображение сетки 5 при этом
окажется за фокусом F' объектива и совпадет с плоскостью сетки 5,
вследствие чего параллакса между ними не будет. Однако, если бы
сетки 3 и 5 имели одинаковые шкалы, то можно было бы заметить,
что в рассмотренном случае изображение шкалы сетки 5 было бы
несколько больше по размерам шкалы сетки 5, т. е. увеличение
изображения шкалы 5 при отсутствии параллакса между сетками
не было бы равно единице.

Для того чтобы обе сетки совпали с фокусом F' объектива,
необходимо хотя бы одну из них (например, основную сетку 3)
предварительно установить строго в фокальную плоскость объек-
тива 1. Для этого можно воспользоваться автоколлимационным
методом, только окуляр с кубиком нужно превратить в окуляр
Гаусса. За окуляром 4 следует поместить наклонную прозрачную
пластинку, с ее помощью лампочкой 7 осветить штрихи сетки 3
и через ту же пластинку наблюдать эту сетку и ее автоколлима-
ционное изображение от плоского зеркала, поставленного перед
объективом 1. Резкое изображение сетки 3 должно строго совпа-
дать с плоскостью штрихов самой сетки — только тогда сетка 3
будет находиться в фокусе F' объектива. Добиться этого можно
192
подгонкой толщины параллаксного кольца 12. Только после уста-
новки основной сетки 3 в фокальную плоскость объектива 1
в ту же плоскость можно установить и сетку 5. К сожалению,
в конструкции трубки для выполнения этой операции не преду-
смотрено никаких регулировочных компенсаторов, но можно
подрезать торец оправы сетки 5.

Второе замечание касается понятия «визирная ось автоколли-
мационной трубы». Визирной осью обычных труб или коллимато-
ров называют, как известно, прямую, которая в пространстве
изображений проходит через центр перекрестия сетки и заднюю
узловую точку К' объектива, а в пространстве предметов — через
переднюю узловую точку К объектива и изображение центра пере-
крестия сетки в этом же пространстве.

У автоколлиматора с кубиком имеются две сетки, и при опре-
делении понятия «визирная ось автоколлимационной трубы»
обе они должны быть учтены. Если приложить к торцу а трубы
плоское зеркало, то в плоскости сетки 3 увидим автоколлимаци-
онное изображение сетки 5. Предположим, что это изображение
вполне резко в плоскости штрихов основной сетки 5, но центр
изображения сетки 5 не совпадает с центром основного перекре-
стия. Действуя стопорами сетки 3 (или сетки 5), можно совместить
эти центры перекрестий. Спрашивается: будет ли после этого
визирная ось автоколлиматора перпендикулярна к зеркалу,
приложенному плотно к торцу а корпуса трубы? Для ответа на
этот вопрос сформулируем понятие «визирная ось автоколлима-
ционной трубы».

При освещении лампочкой 7 через конденсор 6 сетка 5 при
обратном ходе лучей изобразится от отражающей гипотенузной
грани куба-призмы 2, предположим, ниже оси объектива. Это
первичное изображение сетки 5 через окуляр 4 видно не будет,
его можно было бы увидеть, посмотрев в трубу через объектив 1.
Отразившись в плоском зеркале, приложенном к торцу а трубы,
сетка 5 вторично изобразится сквозь куб-призму 2 в плоскость
основной сетки 3. Предположим, что стопорами сетки 3 совместили
ее центр с центром вторичного изображения сетки 5, которое
видно через окуляр 4.

Визирной осью автоколлимационной трубы с двумя сетками
и разделительным кубом-призмой в данном случае следует на-
звать прямую, которая проходит через заднюю узловую точку
объектива и через точку, лежащую посередине между центрами
перекрестий первичного изображения сетки 5 и изображения
сетки 3 через куб-призму в обратном ходе лучей. Эта прямая,
т. е. визирная ось, будет перпендикулярна к зеркалу, приложен-
ному к торцу трубы.

Визирная ось в указанном определении не будет видна через
окуляр. Ее можно «визуализировать», т. е. сделать видимой, если
перекрестие 5, а также и первичное изображение перекрестия 5
поместить на указанную прямую. Для этого окуляр с кубиком
следует вновь превратить в окуляр Гаусса, установив за окуля-
ром 4 наклонную прозрачную пластинку и осветив через нее
сетку 3. Если отраженное от плоского зеркала, приложенного
к торцу а, изображение сетки 3 с помощью ее стопоров точно
совместить с самой сеткой 3, то последняя окажется на визирной
оси автоколлиматора. После этого останется лишь совместить
центр изображения перекрестия сетки 5 с центром основной сетки 3,
воспользовавшись для этого стопорами при сетке 5. В пределах
точности выполнения двух последних операций по регулировке
сеток 3 и 5 визирные оси ветвей (основной — с сеткой 3 и вспомо-
гательной — с сеткой 5) будут совпадать с визирной осью авто-
коллимационной трубы в соответствии с данным выше ее опре-
делением.

Теперь можно составить методику юстировки и контроля авто-
коллимационной трубы (рис. 63):

1)	закрепить в своих оправах сетки 3 и 5, конденсор 6; собрать
окуляр 4 и закрепить куб-призму 2 на мостике 9, 10;

2)	вычистить куб-призму и установить мостик 9, 10 в трубу 3,
закрепив его предварительно тремя стопорами; вычистить и уста-
новить в патрубок 13 сетку 5 в оправе, закрепив ее кольцом 14;
развернуть куб-призму так, чтобы ее грань, обращенная к сетке 5,
стала параллельна опорной плоскости оправы этой сетки в па-
трубке 13; проверку можно осуществить вспомогательной авто-
коллимационной трубкой: автоколлимационные изображения от
указанной грани призмы и от сетки 5 (обычно последнее изображе-
ние плохого качества из-за широких допусков N и ДМ, задавае-
мых на поверхности заготовок сеток) должны совпадать друг
с другом;

3)	совместить сетку 5 с фокусом объектива 1; для контроля
можно воспользоваться в качестве лупы конденсором 6, за кото-
рым следует поставить наклонную плоскопараллельную пла-
стинку, чтобы можно было осветить штрихи сетки 5 и через нее
наблюдать автоколлимационное изображение этой сетки от пло-
ского зеркала, расположенного перед объективом 1; сетка 5
будет находиться в фокусе объектива только в том случае, когда
ее автоколлимационное изображение совпадает с самой сеткой
(этого можно добиться смещением или объектива /, или сетки 5);
целесообразно было бы предусмотреть прокладное кольцо за
объективом; подрезая это кольцо по толщине, можно было бы
необходимой точностью совместить фокус F' объектива 1 с пло-
скостью сетки 5;

4)	установить стопорами центр сетки 5 на визирную ось авто-
коллиматора способом, который был описан выше;

5)	совместить сетку 3 с фокусом F' объектива /, подрезая при
необходимости кольцо 12; контроль можно осуществить автокол-
лимационным способом, превратив окуляр с кубиком в окуляр
Гаусса, как это было сказано выше; при выполнении переходов 3
и 5 необходимо следить за правильным расположением штрихов
сеток 5 и 3; их вертикальные штрихи не должны быть на-
клонными.

6)	совместить стопорами центр сетки 3 с автоколлимационным
изображением центра сетки 5 от плоского зеркала, приложенного
к торцу а трубы;

7)	установить «нуль» диоптрийной шкалы окуляра, развернув
кордовое кольцо 11 при отжатых стопорах и затем закрепив ими
шкалу в правильном положении; проверить, хватает ли расхода
диоптрийной установки окуляра в обоих направлениях.

После выполнения всех перечисленных переходов будут удо-
влетворены приведенные выше технические требования к трубке.

Задача 24

СОСТАВЛЕНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ТРЕБОВАНИЙ, РАЗРАБОТКА
МЕТОДИКИ ЮСТИРОВКИ И КОНТРОЛЯ АВТОКОЛЛИМАЦИОННОЙ
ПРОЕКЦИОННОЙ УСТАНОВКИ А. Н. ЗАХАРЬЕВСКОГО

ДЛЯ РЕГУЛИРОВКИ БИНОКЛЕЙ ПРИ СБОРКЕ

Оптическая схема коллиматора (рис. 64, а) состоит из лампы /,
конденсора 2, точечной диафрагмы 3, наклонных плоских зер-
кал 4 и 5, объектива 6, главного плоского зеркала 7 и экрана 8.
Диафрагма 3 и экран 8 совпадают с фокальной плоскостью объ-
ектива, вследствие чего на зеркало 7 падает параллельный пучок
света, который после отражения от него в обратном направлении
фокусируется объективом на экране 3, где и можно наблюдать изо-
бражение ярко освещенной диафрагмы 3 — световой «зайчик».
Этот «зайчик» позволяет лишь судить о настройке самого коллима-
тора и при контроле биноклей не используется (его может быть
и не видно, если зеркало 7 установлено строго перпендикулярно
к падающему пучку лучей).

Контролируемый бинокль помещают в параллельный ход лучей
между объективом 6 и главным зеркалом 7. Части светового пучка,
проходящие сквозь обе трубки бинокля в прямом и обратном на-
правлениях, дадут на экране 8 еще два «зайчика», которые и ис-
пользуются при контроле бинокля на установке. Пользуясь ди-
оптрийной установкой окуляров, можно добиться наилучшей
резкости обоих «зайчиков». Если пучки лучей, выходящие из
обеих трубок бинокля, строго параллельны, то «зайчики» совпадут
друг с другом. При наклоне бинокля оба «зайчика» будут со-
вместно смещаться по экрану и при этом могут несколько разой-
тись друг от друга как в направлении наклона бинокля из-за
неравенства увеличений в трубах (погрешности ДГ), так и в по-
перечном направлении из-за перекоса изображений в призменных
биноклях (погрешности Да).

Таким образом, установка А. Н. Захарьевского позволяет
контролировать выполнение всех основных требований, предъяв-
ляемых к призменным биноклям: взаимную параллельность опти-
ческих осей трубок при любом их развороте вокруг оси шарнира;
5)

Поле зрения

7

а)

8

Рис. 64. Схема

автоколлимационной проекционной

установки А. Н. Захарьевского для юстировки и
контроля биноклей (а) и способ измерения на ней
разности увеличений и перекоса изображений в тру-
бах (б)

равенство увеличений в трубках; отсутствие перекоса изображений
в призменных системах; установку «нуля» диоптрийных шкал
окуляров и даже качество изображения трубок.

Технические требования к коллиматору найдем из рис. 64, а,
где кроме конструктивной оптической схемы показана также прин-
ципиальная схема коллиматора с выпрямленным ходом лучей.
Видно, что в номинале осветитель (лампа Г, конденсор 2',
диафрагма 3') совместно с объективом 6' должны составлять цен-
трированную систему, при этом диафрагма 3' должна совпадать
с фокусом объектива 6', а плоскость экрана 8' — с его фокальной
плоскостью.

Поскольку в конструкции коллиматора желательно обойтись
наименьшим числом юстировочных подвижек, то целесообразно
некоторые основные схемные элементы — объектив 6, зеркало 7
и экран 8 — установить в своих оправах без всякой регулировки.
Эти элементы и зададут положение основных баз коллиматора.
При юстировке коллиматора необходимо «визирную» ось (прямую,
проходящую через центр изображения диафрагмы 3 на выпрям-
ленной схеме и заднюю узловую точку объектива 6) установить
196
перпендикулярно к отражающей плоскости главного зеркала 7;
только при этом условии оптические оси трубок контролируемого
бинокля в номинальном его положении будут параллельны оси
светового пучка. Плоскость же экрана вив этом случае должна
быть совмещена с фокальной плоскостью объектива 6.

Как покажут дальнейшие расчеты, перечисленные требования
необходимо выполнять с умеренной точностью. Например, даже
при грубой установке диафрагмы 3 в фокусе объектива 6, т. е.
при большой непараллельности выходящего из него светового
пучка лучей, не возникнет погрешности контроля взаимной парал-
лельности осей трубок бинокля при том, однако, условии, что
плоскость экрана 8 и плоскость диафрагмы 3 являются взаимно
сопряженными. В самом деле, легко представить себе, что если
на таком коллиматоре установлен бинокль со строго параллель-
ными оптическими осями трубок, то пучки лучей, входящие
в окуляры под некоторым углом схождения, после прохождения
через бинокль, отражения от главного зеркала 7 и повторного
прохождения через бинокль в обратном направлении выйдут
из окуляров под тем же углом, но с противоположным знаком.
На сопряженной с диафрагмой 3 плоскости экрана 8 изображе-
ния диафрагм не раздвоятся — будет наблюдаться один совме-
щенный «зайчик», что и служит признаком строгой взаимной
параллельности осей трубок. Отсюда следует вывод о том, что
диафрагма 3 и экран 8 могут и не совпадать с фокальной пло-
скостью объектива 6, а располагаться на значительных расстоя-
ниях от нее, но симметрично по отношению к фокальной плоскости.

Однако при несовпадении диафрагмы 3 с фокусом объектива 6
для получения резкого ее изображения на экране приходится
устанавливать окуляры бинокля не в нулевое положение, а сме-
щать от него на величину 1/z' 103 дптр, где ?' — расстояние, мм,
от заднего фокуса окуляра до изображения диафрагмы 3 за объек-
тивом коллиматора в обратном ходе лучей. Допуская погрешность
при контроле положения нуля диоптрийных шкал в 0,01 дптр,
для допуска на несовмещение диафрагмы 3 с фокусом объектива 6
получим z< fo6-103/z' = /об-Ю”6 = ±2,5 мм. Здесь принято,
что фокусное расстояние объектива коллиматора равно 500 мм
(реальный случай).

Непараллельность плоскости экрана 8 по отношению к фо-
кальной плоскости объектива 6 приведет к двоению «зайчиков»
на экране при наклоне контролируемого бинокля со строго па-
раллельными осями, причем двоение будет равно t = 1^^6/f',
где I — полуширина экрана; аэ — угловая непараллельность
его к фокальной плоскости объектива; б — окулярный базис
бинокля; f — фокусное расстояние объектива коллиматора. До-
пуская двоения t зайчиков до 0,1 мм, полагая б = 65 мм, I =
= 75 мм и f' =500 мм, получим аэ<#'//б« 0,01 рад или аэ<0,5°.

Юстировку коллиматора целесообразно выполнить в следу-
ющей последовательности.
1.	Совместить экран 8 с фокальной плоскостью объектива 6
с точностью 1—2 мм по глубине и до 0,5° по направлению. Проще
всего это сделать подвижками зеркала 5, а контролировать —
по параллельности плоскости изображения экрана 8 по отноше-
нию к опорному торцу оправы объектива 6. Если при расточке
этой оправы заодно подрезать и верхний ее торец, т. е. обработать
его параллельно опорному торцу посадочного места под объектив,
то, положив на верхний торец оправы плоскопараллельную
пластинку, наклонами зеркала 5 следует добиться параллельности
изображения экрана 8 в зеркале 5 по отношению к этой пластинке.
Фокусировку можно проконтролировать автоколлимационным ме-
тодом или же с помощью визирной трубы, установленной на бес-
конечность.

2.	Совместить диафрагму 3 с фокусом объектива 6 так, чтобы
она резко изображалась после отражения от зеркала 7 в плоскости
экрана в, и центрировать осветитель так, чтобы объектив 6 был
полностью заполнен светом, а ось выходящего из него светового
пучка была перпендикулярна к зеркалу 7. Эту операцию следует
выполнить наклонами, поворотами и смещениями зеркала 4,
диафрагмы 3 и самого осветителя. По окончании центрировки рез-
кое изображение диафрагмы 3 на экране будет перекрываться
зеркалом 4. На этом юстировка коллиматора заканчивается.

Следует обратить внимание, на то, что достоинством коллима-
тора А. Н. Захарьевского является то, что он построен по нерас-
страивающейся оптической схеме, так как все его основные эле-
менты являются общими для обеих трубок бинокля: при любом
малом смещении или сдвиге любого элемента коллиматора оба
«зайчика» будут лишь совместно смещаться по экрану, не изменяя
взаимного положения.

Остановимся еще на одной особенности автоколлимационной
схемы коллиматора. Известно, что при автоколлимационном ходе
лучей поворот изображения не обнаруживается. В самом деле,
если в одной из трубок призменного бинокля угол между главными
сечениями призм оборачивающей системы Малафеева—Порро
1-го рода отличается от прямого на величину у, то появится пово-
рот изображения на угол 2у. Однако после отражения от перпен-
дикулярного главного зеркала 7, которое не дает поворота изобра-
жения, и прохождения лучей в обратном направлении через ту же
оборачивающую призменную систему, но с отражением от ее
граней в обратной последовательности изображение повернется
на тот же угол 2у в обратную сторону и за окулярами поворот
изображения исчезнет. Все же при контроле на коллиматоре
А. Н. Захарьевского поворот изображения можно обнаружить,
если наклонить плоское зеркало 7 и измерить величину b взаим-
ного расхождения «зайчиков» на экране 8 в направлении их сме-
щения и величину а взаимного сдвига «зайчиков» поперек их
смещения. Первая измеренная величина прямо пропорциональна
разности увеличений ДГ в трубах и равна b = f^2a ДГ/Г. Вто-
198
рая величина прямо пропорциональна перекосу изображения
в трубах а = 2у/, где 2у — перекос.

Пример. При контроле бинокля Б8х30 с перекосом изобра-
жения на угол 2у = 30' « 0,01 рад и разностью увеличений
в трубах до ±1 % получим b = 500-0,2-0,01 = 1 мм и соответ-
ственно а = 0,01-100 = 1 мм, т. е. вполне заметные на глаз ве-
личины.

Подобный же эффект дает наклон бинокля, который располо-
жен между объективом 6 и неподвижным зеркалом 7 коллиматора
(рис. 64, б).

Задача 25
РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ЮСТИРОВКИ И КОНТРОЛЯ
КОЛЕНЧАТОГО ВИЗИРА

Коленчатый визир ПО-1, называемый иногда прицельной тру-
бой, служит для наводки зенитного орудия в цель. Оптическая
система визира (рис. 65, а) состоит из выверочного ахроматиче-
ского клина /, поворотной компенсационной призмы Дове 2,
объектива 3, призмы с крышей 4. Все эти узлы расположены
в неподвижной по отношению к стволу орудия части визира.
В поворотном колене закреплены окулярная призма 5, свето-

Рис. 65. Оптико-кинематическая схема коленчатого визира ПО-1 (а)*
и вывод основного условия для его юстировки (б)
фильтр 6, сетка 7 и окуляр 3. Для обеспечения удобства работы
наводчика при любом угле возвышения орудия поворотное колено
может поворачиваться на 120° вверх вокруг горизонтальной оси
I—I от исходного горизонтального положения орудия, когда
оси неподвижной трубы и окулярного патрубка взаимно парал-
лельны. Возникающий при этом поворот изображения компенси-
руется соответствующим поворотом призмы Дове, которая вра-
щается от конической шестерни 9 окулярного колена с передаточ-
ным отношением 1 : 2 на угол в 2 раза меньший.

Для исправной работы трубы в соответствии с ее техническими
условиями необходимо выполнить ряд требований. В частности,
требуется устранить параллакс сетки (допускается не более 2'
угла в пространстве предметов), наклон изображения (допускается
не более 30') и разворот штрихов сетки (допускается неотвесность
вертикального штриха не более 30').

При вращении окулярного колена в вертикальной плоскости
в пределах от 0 до 120° изображение неподвижной точки предмета
в поле зрения трубы не должно смещаться в вертикальном и гори-
зонтальном направлениях больше чем на 0,001 рад (3,6'). Это
требование к оптической трубе является основным.

Если же принять в трубе обратный ход лучей, то последнее
требование можно сформулировать иначе, а именно: необходимо
потребовать, чтобы направление визирной оси в пространстве
предметов сохранялось неизменным в пределах допустимого
угла 0,001 рад (3,6') при вращении окулярного колена в вертикаль-
ной плоскости в интервале от 0 до 120°. В номинальной схеме трубы
центр перекрестия сетки С при обратном ходе лучей изобразится
за окулярной призмой 5 на оси поворота I—I окулярного колена
в точке С, а за призмой с крышей 4 — в точке С" в фокусе объек-
тива 5, причем ось визира, проходящая через точку С” и заднюю
узловую точку объектива 3, будет параллельна оси вращения
призмы Дове.

Нестабильность визирной оси может возникнуть по многим
причинам, так как между сеткой 7 и объективом 3 расположены
еще три оптические детали — призмы 4, 5 и светофильтр 6, при-
чем только призма 4 неподвижна по отношению к объективу, а ос-
тальные детали, включая и сетку 7, поворачиваются при вращении
окулярного колена. Кроме того, перед самим объективом распо-
лагается поворотная призма Дове. Ясно, что нестабильность визир-
ной оси будет следствием как нестабильности обеих осей враще-
ния — окулярного колена (ось I—/) и призмы Дове, — так и
пирамидальности последней призмы.

При дальнейшем рассмотрении будем полагать, что все пере-
численные погрешности отсутствуют (или только незначительно
нарушают требование о стабильности визирной оси), и при этом
условии подробно исследуем погрешности юстировки оптической
системы трубы, также приводящие к нестабильности визирной
оси.
Для этого воспользуемся таблицей влияния действенных подви-
жек оптических схемных деталей на нестабильность визирной оси
трубы [78, с. 277]. Такие таблицы позволяют выявить из шести
возможных действенные подвижки, т. е. те из них, которые влияют
на заданные регламентированные (оговоренные допуском) свой-
ства или характеристики прибора. Кроме того, из таблиц можно
усмотреть и возможность взаимной компенсации действенных
подвижек, что позволяет обойтись в конструкции прибора
наименьшим числом юстировочных компенсаторов (см. также
задачу 11).

Прежде всего заметим, что призма Дове вызывает биение ви-
зирной оси при двух условиях [56, с. 96]:

1)	когда не устранена коллимационная погрешность k самой
призмы, вследствие чего лучи, параллельные ее оси вращения,
отклоняются за призмой от этого направления на угол 2А и при
вращении призмы синхронно с ней описывают поверхность конуса
с углом раствора 4&;

2)	когда падающие лучи не параллельны оси вращения призмы
на угол р, вследствие чего и при отсутствии коллимационной
погрешности выходящие из призмы лучи описывают поверхность
конуса с углом раствора 2р, но с удвоенной угловой скоростью
вращения, т. е. в рассматриваемом случае синхронно с вращением
окулярного колена (рис. 65, б); оба конуса соосны оси вращения
призмы Дове и описываются выходящими лучами в направлении
вращения призмы.

Отметим весьма важное обстоятельство, связанное с погреш-
ностью р. Если (при обратном ходе лучей) на призму Дове падает
наклоненный на угол р пучок лучей неизменного направления,
то по выходе из нее, как было сказано, этот пучок вращается по ко-
нусу в сторону вращения призмы на удвоенный угол ее поворота.
Иначе говоря, если ось визира трубы стабильна по направлению,
но наклонена к оси вращения призмы Дове на постоянный угол р,
то в пространстве предметов визирная ось вращается по конусу,
т. е. она нестабильна. И наоборот, если сама ось визира вращается
по конусу, соосному оси вращения призмы Дове, в сторону ее
вращения и с удвоенной угловой скоростью, то изображение оси
визира через призму (т. е. визирная ось в пространстве предметов)
будет стабильна по направлению. Именно на этом и основана юсти-
ровка оптической трубы ПО-1, т. е. для устранения нестабильности
визирной оси' необходимо выполнить следующие действия:

1)	устранить коллимационную погрешность k призмы Дове;

2)	устранить наклон оси визира (погрешность р).

При устранении погрешности р автоматически и полностью
компенсируется и биение оси визира, возникающее при вращении
окулярного колена трубы из-за неправильной установки призмы 5
и сетки 7. Основное условие, которое необходимо выполнить при
юстировке трубы ПО-1, заключается, таким образом, в том,
чтобы установить направление главного луча, на котором распо-

* Погарев Г В. н др.

201
ложен центр вращения сетки визира (при повороте окулярного
колена), параллельно оси вращения призмы Дове.

Для разработки методики юстировки трубы выведем уравне-
ние траектории, описываемой визирной осью трубы в пространстве
предметов до устранения погрешности р, но при обязательном
условии, что коллимационная погрешность призмы Дове предва-
рительно устранена. На рис. 65, б ось вращения призмы Дове
совпадает с осью z неподвижной системы координатных осей xyz.
Далее расположен объектив Об, в фокальной плоскости которого
изображение перекрестия сетки С" описывает круговую траекто-
рию радиусом Д при повороте окулярного колена вокруг оси /—I
(рис. 65, а) на угол i. Призма Дове повернется в том же направле-
нии, но на половинный угол i/2. На рис. 65, б призма Дове и изо-
бражение сетки С" показаны в исходном положении; при этом
нормаль отражающей грани призмы (орт No) направлена по
оси у, а сетка Со занимает самое высокое положение, и ось визира
составляет малый угол 0 = Д//об с направлением на центр враще-
ния Ц сетки С", где /об — фокусное расстояние объектива Об
трубы. С направлением на центр Ц совместим ось z1 второй непо-
движной координатной системы x^z^ повернутой относительно
первой системы осей xyz вокруг оси х на малый угол р.

Для нахождения траектории следа визирной оси в плоскости
сетки неподвижной коллиматорной трубы с окуляром (на рис. 65, б
не показана), установленной перед юстируемым прибором, сле-
дует получить выражение для орта А' направления визирной оси
после отражения оси визира (орта А) через призму Дове при об-
ратном ходе лучей. На рис. 65, б показаны орты Ао и Ао лишь
для исходного положения призмы Дове.

Орт А проще найти сначала в системе осей x^z^ а потом уж
перевести его в систему координат xyz умножением на матрицу
перехода S. Умножая далее на матрицу М' действия плоского
зеркала, эквивалентного призме Дове, получим искомое выра-
жение

А' = M'SAi = Л4'А.	(143)

Для направления А' оси визира в исходном положении сетки С”
напишем А01 = —sin 0]\ 4- cos 0kv После поворота сетки Сп на
угол i получим Ai = —sin 0 sin i ц — sin 0 cos i ji-f- cos 0 kt.
Переходя к системе осей xyz, найдем

(1	0	0 \ /—sin0sinh

О cosр — ship II —sin0cosi 1 —

О sinp cosp/ \ cos0 /
— sin 0 sin i	\

— sin 0 cos p cos i — cos 0 sin p ].

—sin 0 sin p cos i + cos 0 cos p /
Подставив последнее выражение в (143), с учетом формулы (9)
в развернутом виде напишем

/ (1 -2N2x)Ax-2NxNyAy-2NxNzAz \

А' = М'А = — 2NxNyAx + (1 - 2N2) Ау - 2AyNzAz .	(143a)

2AXNZAX - 2NyNzAy + (1 - 2N2Z) Az J

Для орта нормали призмы Дове, повернутой на угол i/2, будет
N = sin (i/2) i + cos G/2) j. Поскольку проекция нормали на ось
равна нулю, выражение (143а) упростится, вследствие чего после
подстановки выражений для ортов А и N и преобразований полу-
чим

cos 0 sin р sin i — sin 0 sin2 -у- sin 2i
cos 0 sinp cos i + sin 0 (1 — 2 sin2 -y cos2 i
cos (0 + p) + 2 sin 0 sin p sin2

(1436)

При малых углах 0 и р получится приближенное выражение

А' р sin и + (р cos i + 0) j + k.

(143в)

В плоскости сетки коллиматорной трубы при этом будет наблю-
даться траектория следа визирной оси в соответствии с уравне-
ниями:

ах = A'xf'k ж pfk sin г,
ау = A'yfk « (р cos i + 0) Д, )

где /к—фокусное расстояние объектива коллиматорной трубы.
Это — параметрическое уравнение окружности, центр которой
сдвинут вдоль оси у на величину 0Д-

Перейдя к новой системе координатных осей x2y2z2 поворотом
вокруг оси х на угол 0, для орта направления визирной оси окон-
чательно найдем

/1 О

А2 = S2A' = | 0 cos 0

\0 sin 0

О \ / р sin i \ /р sin t\
— sin 0 j I p cos i + 0 | j p cos i |.
cos 0 J \	1	/	\ 1 J

(143r)

Получился весьма простой вывод: в первом приближении ви-
зирная ось описывает вокруг оси z2 круговой конус с углом рас-
твора 2р синхронно вращению окулярного колена трубы.

Методика юстировки также очень проста: поворачивая окуляр-
ное колено визира и одновременно наблюдая в окуляр коллима-
торной трубы круговую траекторию, описываемую изображением
сетки визира, следует заметить по сетке трубы положение центра
этой дуги. Для устранения наблюдаемого биения сетки далее сле-
дует с помощью предусмотренного в конструкции прибора юсти-
ровочного компенсатора уменьшить угол р ж нуля, сдвигая изо-
бражение сетки визира к центру описываемой дуги. В конструк-
ции трубы ПО-1 для этой цели предусмотрены наклоны и разво-
роты мостика с крышевидной призмой 4.

При выполнении рассмотренной основной юстировки необхо-
димо следить за тем, чтобы не появились и другие дефекты —
расфокусировка и параллакс сетки, а также наклон изображения
и ухудшение его качества. Первый дефект устраняют продоль-
ным смещением объектива визира. Наклон изображения, если он
достигает недопустимого значения, устраняют соответствующим
разворотом призмы Дове, выводя шестерни 10 на это время из за-
цепления и затем вновь вводя в зацепление после нужного разво-
рота. Оставшийся малый поворот изображения можно уменьшить
разворотом мостика с крышевидной призмой 4. Качество изобра-
жения ухудшается при децентрировке оптической системы и при
деформациях рабочих поверхностей, особенно отражающей грани
призмы Дове.

Задача 26

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ЮСТИРОВКИ
ОПТИЧЕСКОГО УГЛОМЕРА

Маркшейдерской службой • горной промышленности при кон-
троле подземных выработок, а также при топографических съем-
ках и разбивочных работах в строительстве используется малога-
баритный оптический угломер с одним лимбом для измерения
как горизонтальных, так и вертикальных углов.

Прибор имеет два канала — наведения (визирная труба) и сня-
тия отсчетов по лимбу (рис. 66). Отсчет горизонтальных углов
производится по индексу, нанесенному на пластинке 9, установлен-
ной в неподвижной части прибора. Элементы 5—8 отсчетной си-
стемы вращаются совместно с визирной трубой вокруг горизон-
тальной оси. При этом призма 5 вызывает синхронный поворот
изображения штрихов лимба /, расположенного в фокальной
плоскости объектива 3. Этот поворот и используется для снятия
отсчетов вертикальных углов по индексу на окулярной сетке 7,
где рассматривается изображение лимба.

Несмотря на простоту схемы и невысокие требования к точ-
ности прибора (погрешность измерения углов ±6'), для разра-
ботки рациональной методики юстировки потребовалось исследо-
вание влияния погрешностей сборки отсчетной системы на точ-
ность функционирования отсчетного микроскопа.

Для приборов с лимбом в качестве датчика угла характерной
погрешностью является его эксцентриситет. В схеме угломера
эксцентриситет при наведении по углу местности проявляется
как биение изображения центра лимба на сетке окуляра. В номи-
нальной схеме это изображение совпадает с центром перекрестия
204
Рис. 66. Оптико-кинематическая схема однолимбового теодолита (а) и анализ
его погрешностей (б)

сетки и сохраняет неизменное положение при любом угле визи-
рования.

На первый узгляд может показаться, что биение изображения
лимба в поле зрения окуляра происходит из-за погрешностей уста-
новки поворотной призмы 5 относительно оси вращения. Однако
далее будет показана ошибочность этого предположения.

Используя схему угломера, определим состав погрешностей.
К ним относятся: 1) сдвиг центра лимба с оси вращения /—/;
2) децентрировка объектива 3; 3) погрешности базирования приз-
мы 2; 4) погрешности базирования призм 4 и 5, работающих в па-
раллельном ходе лучей. Погрешности 2—4 определяются отно-
сительно конструкторской базы — оси оптической системы отсчет-
ного микроскопа.

Чтобы выяснить характер влияния перечисленных погрешно-
стей на положение изображения лимба, составим математическое
описание функционирования отсчетной системы в геометрическом
приближении. Введем систему координат xyz (рис. 66,6). Напра-
вим ось у по оси вращения визира, а ось z —по оси визирования.

Положение изображения центра лимба в выбранной системе
координат в зависимости от параметров схемы, угла поворота
205
визира и при наличии указанных погрешностей характеризует
вектор А".

Перечисленные погрешности представляют собой сдвиги и по-
вороты элементов схемы. Три первые погрешности вызывают на-
клон визирного луча, определяемого изображением центра лимба
в призме 2 и эквивалентной узловой точкой объектива 3. Поскольку
лимб работает не только при вертикальном, но и при горизон-
тальном наведении, то его эксцентриситет необходимо устранять
при сборке независимо от других погрешностей. Тогда визирный
луч можно представить единичным вектором.

А (р sin epi 4- j Р cos фк),	(144)

где р — угол отклонения визирного луча, вызванный децентри-
ровкой объектива 3 и сдвигами и поворотами призмы 2; ф — угол
между осью z и проекцией вектора А на плоскость yz.

Действие призм 4 и 5, эквивалентных одиночным зеркалам,
может быть описано операторами М\ и М2 в матричной форме (9).
Элементы этих матриц содержат проекции нормалей Nx и N2
эквивалентных зеркал на оси выбранной системы координат. Еди-
ничный вектор нормали Ni с учетОхМ погрешностей базирования
призмы 4 находится по алгоритму

N1 = S^S«'N01>	(145)

где N01 = cos 45° j 4- sin 45° k — единичный вектор нормали в
номинальном положении призмы 4\ S^; Sp}; — матрицы
поворотов вокруг координатных осей х, у, z на углы аь
Аналогично для нормали N2 напишем

N2 = SF’Sv’SB*S^N02>	(146)

где N02 = —cos 45° j+ sin 45° k; 871 — матрица поворота приз-
мы 5 на угол местности I.

Запишем алгоритм нахождения единичного вектора А" изо-
бражения визирного луча А в призмах 4 и <5, имеющих погреш-
ности базирования и рабочий поворот,

А" - MiM'iA.	(147)

Здесь вектор А" записывается в неподвижной системе координат,
но наблюдательная система, включающая объектив 6, сетку 7 и оку-
ляр 8 (рис. 66, а), вращается. Поэтому вектор А" должен быть
определен во вращающейся системе координат

Ai- = 8Д\	(148)

где Sj — матрица перехода в систему координат, повернутую на
угол i вокруг оси у.

Объектив 6 визирному лучу A'i ставит в соответствие радиус-
вектор R" изображения центра лимба в своей фокальной пло-
скости

R" = /;6а;.

(149)
(150)

Составляющие многочлена, полученного в результате перемно-
жения по алгоритмам (145)—(149), представляющие собой проек-
ции R" на координатные оси, дают информацию о характере влия-
ния отдельных технологических погрешностей на положение изо-
бражения в поле зрения:

Ri = (р sin <р + Pi + 71) /об cos i 4- (р cos ф + 2ах) f'o6 sin i —

— 0г/об + Уг/об',

R^ = (р sin ф + 01 + Y1) /об sin i — (p cos ф + 2aJ /;б cos i —

2сХ2/об«

Анализ этих выражений показывает, что погрешности базиро-
вания неподвижных элементов отсчетной системы вызывают бие-
ние, такие же погрешности вращающейся призмы — лишь по-
стоянное смещение изображения лимба в поле зрения. Аналити-
ческие выражения передаточных коэффициентов погрешностей
указывают на способ выявления погрешностей при контроле и на
возможность их взаимной компенсации. Разность координат R”x
и Ry при двух значениях угла i — 0 и 180° дает удвоенное зна-
чение составляющих биения по осям х и у. Поэтому контролировать
биение можно, наблюдая положение изображения центра лимба
на сетке окуляра до и после поворота отсчетной системы на 180°.

Для устранения биения изображения необходимо выполнить
всего два условия компенсации — р sin ф + 0Х + ух = 0;
р cos ф + 2ах = 0 и соответственно предусмотреть в конструк-
ции прибора две юстировочные подвижки — повороты призмы 4
на углы 04 и ур В процессе юстировки поворотом призмы 4 на
угол ух устранить составляющую биения по оси х, а поворотом
на угол <Xi — составляющую биения по оси у.

Аналогично и в оправе призмы 5 должна быть реализована
возможность ее поворота на углы а2 и у2 Для совмещения центра
изображения лимба с центром перекрестия окулярной сетки.

Задача 27

ИССЛЕДОВАНИЕ КОМПЕНСАТОРА НИВЕЛИРА
С САМОУСТАНАВЛИВАЮЩЕЙСЯ ЛИНИЕЙ ВИЗИРОВАНИЯ

Нивелиры с автоматической стабилизацией визирной оси в пло-
скости горизонта давно вошли в практику измерительных работ
благодаря более высокой точности и производительности, вытеснив
уровенные нивелиры. Стабилизация в нивелирах с автоматичес-
кой стабилизацией визирной оси осуществляется с помощью ком-
пенсаторов, обеспечивающих постоянство положения изображе-
ния на сетке прибора. ГОСТ 10528—76*, регламентирую-
щий выпуск нивелиров трех классов: высокоточных, точных и тех-
нических, даже для технических нивелиров требует погрешности
3)

Рис. 67. Упрощенная схема нивелира
Ni 007 с маятниковым призменным
компенсатором стабилизации визирной
оси

самоустановки визирной оси не
более 5" во всем диапазоне ста-
билизации.

Обеспечить высокую точ-
ность работы таких систем мож-
но только при правильном выбо-

ре компенсатора, оценке влия-
ния его погрешностей и в результате юстировки, выполненной на
основе научно обоснованной методики.

Исходным моментом для решения этих задач является адекват-
ное математическое описание функционирования исследуемой

системы, позволяющее составить точное и полное представление
о влиянии отдельных схемных и конструктивных параметров,
а также технологических погрешностей на координатные преоб-
разования, выполняемые компенсатором.

Среди известных в настоящее время нивелиров с компенсато-
рами хорошо зарекомендовала себя по точности и надежности в ра-
боте схема нивелира фирмы Карл Цейс Йена Ni007 (рис. 67, а),
где компенсационный элемент в виде призмы БР-1800 закреплен
на маятниковой подвеске.

Проведем исследование функциональных возможностей этого
компенсатора.

Для математического описания его действия выберем непо-
движную систему координат xyz, ось z которой совместим с опти-
ческой осью объектива, а начало координат — с его эквивалент-
ной узловой точкой.

В результате поворота нивелира вокруг оси х из-за нестабиль-
ности основания все элементы, жестко с ним связанные, повернутся
на тот же угол, не изменят своего положения горизонтальный
луч, идущий от объекта, и призма на подвеске. Можно показать,
что система имеет аналогичное математическое описание, если
все элементы нивелира считать неподвижными, а горизонтальный
луч и компенсатор — повернутыми вокруг оси х, но алгоритм опи-
сания в этом случае будет более простым.

Головная призма 1 поворачивает луч с ортом А вокруг своего
ребра на 90°, за объективом 2 этому лучу соответствует точка Т
в его фокальной плоскости, имеющая в системе координат xyz
радиус-вектор R. Призмы 3 и 4 изображают точку Т в плоскости
окулярной сетки 5.

Заменим призмы 3 и 4 их зеркальными эквивалентами, а для
описания их действия воспользуемся операторами зеркальных
систем в бикватернионной форме [15], поскольку они установлены
в сходящемся ходе лучей.

Радиус-вектор R точки Т последовательно преобразуем опе-
раторами действия ТИз—эквивалента повернутой призмы 3
и Л14 — эквивалента призмы 4.

Алгоритм этих преобразований имеет вид R"' = A14oAf3o
°/?°Л1зоЛ14, где Л1з = ЬоД13о£ — бперация, описывающая
поворот призмы 3.

Тогда

R" = М4 oLo/|43oLoRoLoM3oLoM4,	(151)

где «о» —знак бикватернионного умножения; R = 1 +
+ со/об sin aj — (o/об cos ak — радиус-вектор точки Т в биква-
тернионной форме; со — символ Клиффорда; Л43 = i—copzj +
-j-	— оператор действия призмы 3 до ее поворота; ру; pz —

координаты ребра, образованного отражающими гранями; Л43 =
= —i — (opzj + copyk — дважды сопряженный бикватернион;
L = cos(a/2) + sin(a/2) i 4- соС2 sin (a/2) j 4- &Cy sin (a/2) k — опе-
ратор поворота призмы 3 на угол a; Су\ Cz — координаты оси
качания подвески; L = cos (a/2) — sin (a/2) i — <oCz sin (a/2)j —
—<£>Cy sin (a/2) k — бикватернион, сопряженный c L; /И4 —
=	+ (/2/2) j - (/2/2) k — оператор действия призмы 4\

—расстояние от начала координат до отражающей грани.

Выполнив перемножение по алгоритму (151), получим выра-
жение для проекций R'" на координатные оси и на основании
выражения для Ry составим уравнение компенсации:

Ry — 2СУ sina — 2pys'ma + Cz sin2 a — 2pz cos a + /об cos a = 0, (152)
из которого можно сделать вывод, что стабильное положение изо-
бражения точки Т"’ на сетке окуляра при наклонах прибора воз-
можно лишь при определенных соотношениях параметров: Су =
= ру\ р2 = 1/2 /об,’ С2 = 0. Эти соотношения должны быть обе-
спечены юстировкой прибора.

Следует отметить, что точность прибора ограничивается и
самой схемой, так как наклон перископической зрительной трубы
209
с пентапризмой вызывает смещение визирной оси по вертикали.

В системе координат xyz зададим скользящий вектор (винт) С
(рис. 67, б), представляющий стабилизированный луч. Найдем зави-
симость изменения линейной координаты 2 луча С", отклоненного
пентапризмой, от угла наклона прибора при двух положениях
пентапризмы, соответствующих визированию на две рейки, по
алгоритму С" = L °	°1 °C ° L ° Мг° L, где С = k; М\ = cos 45° +

+ sin 45° Pi + со sin 45° (ti x Pi) — оператор действия пента-
призмы; Pi — орт ребра призмы; tx — радиус-вектор, характе-
ризующий положение ребра относительно начала координат;
L = cos (а/2) 4- sin (а/2) i — оператор наклона прибора; С =
= а + со (р х а) — выражение для скользящего вектора прямой
в общем виде; а — свободный вектор, характеризующий угловые
координаты прямой; р — радиус-вектор, задающий положение
прямой относительно начала координат.

Выражения для скользящего вектора стабилизированного
луча при двух положениях пентапризмы имеют следующий вид:

Со = — j + (о [sin a (tly -4- tlz) - cos a (Zlif — /12)] i; (153)

Ciao0 = j — ® [sin a (tly + tu) + cos a (tly - fu)] i. (154)

Раскрывая выражения для моментной части винта Со и Ci8o°,
равной со (р" х а), из (153)—(154) получим: pi о = sin a (tly + tlz) —
— cos а (tly — flz); pi 180° = sin a (t1:J + flz) + cos a (tly — tlz). От-
сюда погрешность измерения превышений нивелиром Д/i = pz, 0 —
— pz, 18(Г = 2sina(Z1?/+/1г). Таким образом, пентапризма в схеме
нивелира ограничивает диапазон стабилизации компенсатора.

Задача 28

МЕТОДИКА ЦЕНТРИРОВКИ ЛИМБОВ И КОДОВЫХ ДИСКОВ
ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ДАТЧИКОВ УГЛА

Эксцентриситет лимбов и кодовых дисков, являющийся одной
из основных погрешностей угломеров и датчиков угла, вызывает
погрешность измерения углов вида

Дфе = [sin 0н ~ sin (ф + 0Н)] e/R,	(155)

где 0Н — начальное направление вектора эксцентриситета е; R —
рабочий радиус лимба (диска).

Допуская Дфе равной не более погрешности деления штрихов
лимба, которая достигает Дф = 2" 4- 3" при его диаметре 2R =
= 100 мм, для наилучшего (0Н = 0, 180°) и наихудшего (0Н =
= 90, 270°) случаев, получим из (155) допуск на эксцентриситет
£доп = 0,34-0,6 мкм.

Центрировка лимба по центрировочной риске и другими визу-
альными методами [39] не может обеспечить такой точности,
поэтому применяют один из более чувствительных способов, осно-
210
ванный на анализе электри-
ческих сигналов, формируе-
мых двумя электрическими
считывающими системами,
установленными на диамет-
рально противоположных
участках лимба. Эти сиг-
налы из-за эксцентриситета
лимба и первой гармониче-
ской составляющей погреш-
ности деления штрихов будут
иметь периодические (с пе-
риодом 2л) погрешности по-
ложения, находящиеся в про-
тивофазе. Измерив сдвиг фаз
этих сигналов, например с
помощью фазометра, можно
оценить суммарный эксцен-

Рис. 68. Схема центрировки лимба угло
мера

триситет, его направление и использовать для центрировки и кон-
троля результатов. Более простым способом является применение
для этих целей двухлучевого или простого осциллографа. В первом
случае сигналы отсчитывающих систем подаются на разные входы
осциллографа и по одному из них синхронизируется развертка.
Тогда периодическое смещение второго сигнала относительно пер-
вого (пропорциональное учетверенному значению эксцентриситета
и коэффициенту электрического усиления сигнала), будет характе-
ризовать искомую величину.

Рассмотрим центрировку лимба с помощью простого осцилло-
графа1 (рис. 68, а). Электрический сигнал квазисинусоидальной
формы (колоколообразный, треугольный, трапецеидальный и
т. п.), вырабатываемый считывающей системой 2 при равномер-
ном вращении лимба (диска) /, преобразуется формирователем 3
в узкий прямоугольный электрический импульс. Квазисинусои-
дальный сигнал, вырабатываемый считывающей системой 5, уста-
новленной на диаметрально противоположной стороне лимба,
остается неизменным. Оба сигнала подаются на вход осциллогра-
фа 4, создавая на экране осциллографа фигуру, изображенную
на рис. 68, б.

Из-за суммарного эксцентриситета лимба прямоугольный им-
пульс, играющий роль индекса, перемещается относительно ква-
зисинусоиды (по которой синхронизирована развертка осцилло-
графа) из положения I в положение II. Значение суммарного
эксцентриситета (е2) определяется из соотношения:

о ___ ^max ^min г

62--------8Я

(156)

1 А. с. № 1223040.
где Лтах, Лщш — координаты максимального и минимального
смещений импульса соответственно; Н — поле изменения квази-
синусоидального сигнала; L — линейный шаг между импульсо-
образующими элементами (штрихами) лимба. Чувствительность
этого способа выявления децентровки лимба весьма высока бла-
годаря масштабному усилению электрических сигналов на осцил-
лографе и высокой чувствительности зрения оператора к опреде-
лению взаимного смещения прямоугольного импульса и наклон-
ной прямой участка квазисинусоиды. Например, при L =
== 20 мкм, Лтах — ^тш = 1 мм; Н = 50 мм получаем =
= 0,05 мкм.

Для устранения децентрировки лимба его сдвигают (с по-
мощью винтового 6, винто-рычажного механизмов или постукива-
нием) в направлении, перпендикулярном к линии, соединяющей
считывающие системы. Эту операцию выполняют для одного из
крайних положений прямоугольного импульса на экране осцил-
лографа (какого именно — I или II —> определяется эксперимен-
тально), которому соответствует направление вектора суммарного
эксцентриситета, также перпендикулярное к линии, соединяющей
считывающие системы. Опыт показывает, что подобным способом
достигается точность центрировки в единицы десятых долей
микрометра.

Задача 29

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ
СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ КРУГОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Фотоэлектрические преобразователи круговых перемещений
(ФПКП) широко используются в системах автоматизированного
управления станками, роботами, приводами летательных аппа-
ратов для преобразования вращательного движения их элементов
в цифровой код. Точность их работы во многом определяет ка-
чество управления, поэтому стремятся уменьшить погрешности
ФПКП как конструктивными способами, так и при их юстировке.
Одним из эффективных методов повышения точности является
компенсация систематической составляющей погрешности ФПКП
[34, 39], осуществляемая введением поправок в цифровой код.

Исследования показали, что систематические составляющие
погрешностей ФПКП в пределах полного оборота вала преобра-
зователя хорошо аппроксимируются рядом Фурье, имеющим ко-
нечное число членов разложения:

k

Дфс = ^о+ Е Лп Sin(п<р-ь 4>п),	(157)

п=\

где Ао — постоянная составляющая погрешности; Ап — ампли-
туда погрешности; п — номер гармоники; ф — угол поворота вала
преобразователя; — начальная фаза погрешности.
Данное обстоятельство может быть использовано для вычисле-
ния поправок в вырабатываемые ФПКП текущие значения углов
с помощью вспомогательной функции F' (Дфс), обратной триго-
нометрическому многочлену (157). Методика компенсации систе-
матической составляющей погрешности требует эксперименталь-
ного измерения суммарной погрешности ФПКП, выявления ее
систематической составляющей, гармонического анализа этой
составляющей, разработки и отладки коррекционной программы
для микроЭВМ.

Измерение погрешности ФПКП осуществляется с помощью
специального стенда для контроля угловых преобразователей [48]
либо широко применяемым на практике методом сравнения с образ-
цовой многогранной призмой. Необходимое число N контроли-
руемых положений ФПКП зависит от номера п наивысшей суще-
ственной гармоники и определяется из выражения

N = <158>

где t — дискретность отсчета ФПКП, t < 2ЛП.

Исследование и анализ первичных погрешностей показывает,
что наибольший вклад в систематическую составляющую погреш-
ности преобразователя вносит первая гармоника (период 2л) [см.
выражение (157)], вторая (период л) и четвертая (период л/2)
гармоники. Это обусловлено конструктивной и технологической
недокомпенсациями (главным образом из-за некачественной юсти-
ровки ФПКП) влияния эксцентриситета лимба и погрешностей
его деления [39]. Следовательно, существенный эффект повы-
шения точности ФПКП может дать алго-
ритмическая коррекция уже данных
трех гармоник, при этом для их выяв-
ления, согласно (158), не требуется ор-
ганизация контроля ФПКП в большом
числе точек на рабочем диапазоне.

Выявление систематической состав-
ляющей погрешности преобразователя
осуществляется путем многократных
повторных измерений его суммарной
погрешности в контролируемых точках.

Гармонический анализ измеренной
систематической погрешности осуще-
ствляется на ЭВМ по стандартной про-
грамме в целях выявления спектраль-
ного состава гармонических составляю-
щих погрешности с их амплитудами,
частотами и фазами. Причем число
членов разложения определяется, как
известно, числом точек контроля пре-
образователя, т. е. k = (N/2)— 1.

Начало

Вызов 0,

Вычисление
q = 2n/2YKT
’~Г"~

Вычисление
ip(I)=0T ч

♦ ____

Вычисление

,	1,2.3,*

FT (А <рс)=Ад+ЕАТ зъл[1ip(I)+wTj

Введение поправок

У,(1)=У(1)-г'(Ду>с)

| Вычисление 1=1+1

Возврат

Рис. 69. Блок-схема алго-
ритма коррекции погрешно-
стей преобразователя угла

I

I


Вычисление поправок для текущих значений углов, вырабаты-
ваемых преобразователем, осуществляется по программе, вве-
денной в микроЭВМ, содержащейся в комплексе с ФПКП. Работу
этой программы можно рассмотреть по ее блок-схеме (рис. 69).

Вначале из оперативного запоминающего устройства микро-
ЭВМ производится выборка первого значения цифрового кода
угла ФПКП и перевод его в радианную меру (т. е. 0! = ф (/).
Затем вычисляется значение тригонометрического многочлена
F'\ (Афе) для этого значения угла по его аналитическому выра-
жению, введенному в программу заранее. Далее осуществляется
суммирование (вычитание) действительного угла Y (/) и F'i (Лфс)
для получения значения угла Ук (/), не искаженного системати-
ческой погрешностью. Этот процесс повторяется NK раз, где NK —
число вырабатываемых ФПКП кодов с последующим возвратом
в программу.

Задача 30

РАЗРАБОТКА ТРЕБОВАНИЙ И МЕТОДИКИ ЮСТИРОВКИ УЗЛА
АВТОПОДФОКУСИРОВКИ ДИАПРОЕКТОРА

В современных диапроекторах применяют устройства автома-
тической подфокусировки кадра с целью компенсации влияния
дефектов, вызывающих расфокусировку изображения. Одно из
таких устройств (рис. 70, а) построено по схеме двойного микро-
скопа Линника и содержит источник света 1 (лампа накаливания
с тонкой нитью или светодиод), линзу 2, изображающую световое
тело источника света на поверхности пленки 3, линзу 4, перено-
сящую это изображение в плоскость позиционно-чувствительного
фотоприемника 5 (например, дифференциального фотодиода),
теплофильтр (при необходимости) 6. При смещении пленки из
плоскости ее настройки на величину Т изображение светящегося
тела источника сместится относительно равносигнальной зоны
дифференциального фотодиода на величину у':

у’ = 2Тр2 sin (сс/2) = Т /2р2,	(159)

где fJ2 — линейное увеличение линзы 4; а — угол между осями
двойного микроскопа (обычно а = 90°).

Возникающий сигнал рассогласования через усилитель 7
управляет двигателем 3, который приводит диапозитив (напри-
мер, с помощью зубчатого редуктора и кулачка 9) в номинальное
положение.

Задавая максимальное значение Ттах, размеры чувствитель-
ных площадок фотоприемника &, размер светящегося тела d,
а также учитывая, что у'тзх — Ь/2, определяют по формуле (159)
увеличения линз 2 (00 и 4 (02): Pi = b/(dp2); ₽2 = Ы(2Ттах У2).

Определим требуемую точность коррекции расфокусировки,
которая позволит найти допуски на юстировку узла подфокуси-
214
70. Схема устройства узла под-
фокусировки

ровки и требования к чувствительности работы следящего при-
вода. Остаточная расфокусировка не должна превышать геометри-
ческой глубины резкости проекционного объектива, которая опре-
деляется из следующего выражения [38]:

тг = ±f28Lmln/[(p' - 2/') DBX],

где /' — фокусное расстояние проекционного объектива; е —
разрешающая способность глаза при наблюдении изображения на
экране, е = 5-4-10'; Lmin — минимальное расстояние от наблюда-
теля до экрана; р' — расстояние от выходного зрачка проекцион-
ного объектива до экрана; Z)BX — диаметр входного зрачка.
Приняв, что минимальное расстояние от наблюдателя до экрана
примерно равно расстоянию от диапроектора до экрана, т. е.
Lлш ~ (р'—2/'), получим: Тг « /'еЛ, где А — относительное
отверстие проекционного объектива. Для типового проекционного
объектива типа «Триплет» с f = 100 мм, А ~ 1 : 2,8 получим
при е = 5' : Тг ~ ± 100-5-3-10-4* 0,357 = ± 54 мкм.

Подставив это значение в (159), можно найти соответствующее
ему у' и с помощью светотехнического расчета с учетом излучаю-
щих характеристик источника света и характеристик (чувстви-
тельности) приемника вычислить минимальное рассогласование
сигнала, на которое должен реагировать следящий привод.

Допустимое значение наклонов кадра при автоподфокусировке
вокруг произвольной оси можно оценить соотношением: Ду <
< 2ТГ//, где I — размер кадра по диагонали.

При юстировке узла подфокусировки настраивают на резкость
проекционный объектив по эталонному диапозитиву и осевой
подвижкой узла с линзой 2 совмещают изображение источника
излучения с плоскостью фотопленки, причем, если форма светя-
щегося тела представляет собой прямоугольник, то его длинная
сторона должна быть ориентирована разворотом узла 2(либо источ-
ника света) вдоль оси у. Перемещением вдоль оси узла с линзой 4
осуществляют перенос изображения в плоскость чувствительных
площадок 11 фотоприемника. Разворотом этого узла, а при необ-
ходимости поперечными сдвигами фотоприемника или источника
света добиваются отсутствия сигнала рассогласования, что будет
при параллельном и симметричном расположениях изображения
светового тела относительно границы 10 между фоточувствитель-
ными площадками приемника (рис. 70, б).

Задача 31

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ЮСТИРОВКИ ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО
ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

В станко- и приборостроении широкое применение нашли фото-
электрические преобразователи линейных перемещений (ПЛП),
основанные на растровых шкалах [10]. Несмотря на конструк-
тивные отличия этих преобразователей, в их юстировке много
общего, что позволяет разработать единую ее методику. Схема
ПЛП (рис. 71, а) содержит осветительную систему 1—5 (по Келе-
ру), измерительный растр 6, проекционные объективы 7, 12, пента-
призму в, четыре отклоняющих зеркала 9 и четыре фотоприем-

ника 13. Подсвеченный
участок растра проекцион-
ной системой с увеличе-
нием Iх переносится на
другой участок, где при
движении растра происхо-
дит модуляция светового

Рис. 71. Схемы преобразователя
линейных перемещений (а) и
подключения фотоприемников (б)

ФП2

Т
потока. Этот поток, попадая на фотоприемники, приводит к изме-
нению электрических сигналов с фотоприемников, создавая ин-
формацию о численном значении перемещения растра.

Для определения направления перемещения растра и подавле-
ния постоянной составляющей сигнала с фотоприемников в пре-
образователе образуются два квадратурных (синус-косинусных)
сигнала. Для этого сигналы с четырех фотоприемников (или с диф-
ференциального фотоприемника, имеющего четыре приемные пло-
щадки) должны быть равны по амплитуде и последовательно сдви-
нуты относительно друг друга по фазе на 90° и подключены по
схеме, приведенной на рис. 71, б.

Основные требования к юстировке преобразователя: 1) осве-
тительная система должна создавать телецентрический ход свето-
вых лучей и равномерно освещать проектируемый участок растра;
2) проекционная система должна иметь линейное увеличение Iх;
3) не должно быть расфокусировки и разворота изображения
штрихов растра; 4) изображения участков растра перед фото-
приемниками должны быть последовательно сдвинуты относи-
тельно друг друга на 1/4 шага; 5) сигналы с фотоприемников
должны быть одинаковы по амплитуде и сдвинуты по фазе отно-
сительно друг друга на 90°.

Допуски на все эти требования рассчитывают исходя из задан-
ной точности работы преобразователя с учетом его конструктив-
ных характеристик.

Перед выполнением юстировки необходимо проконтролировать
источник 1 и приемники 13 излучения, а также выставить в номи-
нал напряжения их питания. В качестве источника излучения
в ПЛП чаще всего используют светодиоды, у которых проверяют
форму и расположение светящейся площадки относительно кор-
пуса светодиода, а также снимают индикатриссу излучения. Све-
тодиод с ИК-излучением проверяют с помощью электронно-опти-
ческого преобразователя (ЭОП) или инфракрасного микроскопа
(МИК-4). Фотоприемники (обычно фотодиоды) подбирают по
равенству их интегральной чувствительности.

Юстировку осветительной системы производят подвижками
светодиода 1 вдоль оси (при необходимости его вращением), чтобы
коллектор 2 строил изображение светящейся площадки свето-
диода в апертурной диафрагме 4, Осевыми подвижками конден-
сора 5 изображение полевой диафрагмы 3 переносят в плоскость
штрихов растра 6, Визуальный контроль осуществляется с по-
мощью матового стекла (микроскопа) и визирной трубы, выста-
вленной на бесконечность (проверка телецентричности хода
лучей). Контроль в невидимом диапазоне производится с помощью
фотоприемника, вольтметра и визирной трубы с ЭОПом (кон-
троль телецентричности хода лучей).

Чтобы увеличение проекционной системы было равно Iх,
уравнивают фокусные расстояния объективов 7 и 12 регулировкой
воздушного промежутка одного из объективов.
Плоскость штрихов растра 6 располагают в фокальных пло-
скостях объективов 7 и 12. Для этого подвижкой вдоль оси объек-
тива 7 добиваются резкого изображения штрихов растра, видимых
за объективом с помощью зрительной трубы или визира с ЭОПом,
установленных на бесконечность. Далее подвижкой вдоль оси
устанавливают в нужное положение объектив 12. Контроль осу-
ществляют с помощью микроскопа (простого или инфракрас-
ного), наблюдая одновременно резкое изображение штрихов на
растре и их изображения, построенного элементами 7, S, 9, 12,
либо аналогично юстировке объектива 7 с помощью визирного
устройства с ЭОПом, подсветив участок растра излучателем с та-
кой же длиной волны.

Разворот изображения штрихов растра устраняют наклоном
блока 10 отклоняющих зеркал (при необходимости разворотом
отдельных зеркал) вокруг оси у, добиваясь наибольшей крутизны
сигнала с фотоприемников по осциллографу при возвратно-посту-
пательном смещении растра.

Необходимый сдвиг фаз сигналов с фотоприемников в 1/4 пе-
риода устанавливают наклоном зеркал вокруг оси х винтами 11,
контролируя двухлучевым осциллографом по фигуре Лиссажу
при попарном подключении фотоприемников ФП1 и ФП2-, ФП2
и ФПЗ; ФПЗ и ФП4 к его входам, осуществляя возвратно-посту-
пательные перемещения растра. Сдвиг фаз сигналов с фотоприем-
ников ФП1 и ФПЗ; ФП2 и ФП4 должен быть равен 1/2 периода.

Равенство амплитуд сигналов обеспечивается подвижками
блока 10 для уравнивания световых потоков с зеркал 9, осевыми
перемещениями фотоприемников, регулировкой резисторов в цепи
их питания или заменой.

Рассчитаем требования к чувствительности этих регулировок
при юстировке проекционной системы датчика.

Чувствительность регулировки воздушного промежутка Ad
между линзами одного из объективов для обеспечения равенства
их фокусных расстояний определяется из следующего соотноше-
ния [39 к

Ad = А/э/(/эФ1Фг),

где А/э — допустимое значение разности фокусных расстояний
объективов 7 и 12 (определяется допуском на отклонение увеличе-
ния от Iх); f'3 — эквивалентное фокусное расстояние юстируемого
объектива; Фь Ф2 — оптические силы подвижного и неподвижного
компонентов объектива.

Например, для двухлинзового объектива с = 55 мм, —
— 109 мм, /2 = 114 мм при А/э = 0,2 % получаем Ad — 0,45 мм.

Для выполнения фокусировки объективов 7 и 12 необходимо
обеспечить их перемещение вдоль оптической оси с чувствитель-
ностью, равной дифракционной глубине резкости изображения:


где X— длина волны излучения; о — передний (задний) апер-
турный угол проекционного объектива.

Например, при X = 0,9 мкм, о = 0,1 чувствительность по-
движки должна быть не хуже 45 мкм. При устранении разворота
изображения чувствительность наклона зеркального блока 10
(или отдельных зеркал) вокруг оси у (Р) можно определить из фор-
мулы [46]

Р = ан.п/(2 sin i0),
где ан. п — допустимый разворот изображения штрихов; i0 —
угол падения осевого луча на зеркало; при визуальном контроле
разворота изображения

ан. п < 250е/ГВ,

где 250 мм — расстояние наилучшего видения; е — разрешающая
способность глаза; Г — увеличение оптической системы (микро-
скопа, лупы, с помощью которой производится наблюдение); В —
высота штрихов; при контроле разворота изображения по кру-
тизне сигналов с фотоприемников минимальное значение равно

®“НП	Ill'llВ,

где АЛ — погрешность формы штрихов растра. Например, при
АЛ = 1 мкм, В — 3 мм получаем а'н, п — Г и, если io = 45°,
необходимая чувствительность наклона зеркал р — 0,7'.

Чувствительность наклонов зеркал вокруг оси х (ах) опреде-
ляется допуском на сдвиг фаз сигналов с фотоприемников. Сдвиг
фаз сигналов с фотоприемников осуществляется сдвигом соответ-
ствующих изображений, создаваемых зеркалами, на 1/4 периода
растра, поэтому

ах - /Л/(2/'),
где t — период растра; /' — фокусное расстояние объектива /2’
k — допуск на сдвиг фаз сигналов с фотоприемников в долях пе-
риода растра; при t = 15 мкм, /' — 55 мм, k = 1/24, получаем
ах - 1".

Как показывают расчеты, при юстировке данного преобразова-
теля линейных перемещений трудно выполнимой является только
одна операция — юстировка сдвига фаз сигналов с фотоприемни-
ков.

Задача 32

МЕТОДИКА ЮСТИРОВКИ И НАСТРОЙКИ
ПРИБОРА УПРАВЛЕНИЯ ЛУЧОМ (ПУЛ)

Оптико-электронные приборы автоматического дистанционного
управления движущимися объектами все шире применяют в на-
родном хозяйстве. Такие приборы, разработанные в ЛИТМО под
руководством профессора С. Т. Цуккермана, оказались перспек-
1615 19	13 12 11 10	8 9

Рис. 72. Принципиальная схема прибора управления лучом

тивными для решения ряда инженерных задач, в частности для
управления на расстоянии положением рабочих органов земле-
ройных машин [91].

Принцип действия наиболее совершенной системы ПУЛ-Н
(рис. 72) заключается в том, что прожектор /, закрепленный на
визирной трубе серийного теодолита параллельно ее визирной
оси, образует в пространстве энергетическую равносигнальную
плоскость, которая является базовой. Приемная часть, состоящая
из приемника 6 (скрепленного с управляемым органом мелиора-
тивной машины) и блока усилителей 12, выявляет свое отклонение
по высоте от базовой плоскости, и если оно превышает допустимое
значение, то вырабатывает команды управления, необходимые
для возвращения рабочего органа машины в заданное базой поло-
жение.

Базовая плоскость формируется объективом 4 прожектора
проецированием (на максимальную дистанцию работы машины)
ребра разделительного прямоугольного зеркала — призмы 2,
от каждой грани которой отражается изображение светового тела
одного из двух инфракрасных светодиодов 3 с различающимися
друг от друга частотами (fr и /2) излучения. Пучок лучей, посы-
лаемый прожектором, оказывается как бы разрезанным горизон-
тальной плоскостью А Б на две части — верхнюю, модулирован-
ную частотой и нижнюю — с частотой/2. Эта граница и является
базовой плоскостью.

В приемной части 6 (состоящей из объектива 5 и фотоприем-
ника 7 с предусилителем) при ее сдвиге вверх или вниз от этой
плоскости начинает преобладать поток одной из частот (напри-
мер, при сдвиге вверх — поток частоты fj. В этом случае фото-
приемник 7 преобразует потоки в электрические сигналы, которые
после усилителя 13 разделяются в электронных фильтрах 10
(выделяется сигнал с частотой /2) и 11 (сигнал с частотой /х).
При недопустимом значении разности этих сигналов электронное
пороговое устройство 9 и вырабатывает упомянутые выше ко-
манды управления.
Рис. 73. Конструктивная схема ПУЛ-Н

Описанное устройство при потреблении электроэнергии от ак-
кумулятора мощностью менее 1,5 Вт обеспечивает чувствитель-
ность к сдвигам по высоте не менее ±1 мм на расстоянии до 300 м,
что позволяет легко реализовать высокую точность позициониро-
вания рабочего органа машины при достаточно широкой зоне
управления, которая обеспечена углом расходимости пучков
прожектора около 2°.

Электронная схема блока питания 16 прожектора содержит
задающий кварцевый генератор частоты 14 (часового типа), дели-
тель частоты 15 электрического сигнала, с выхода которого и сни-
маются импульсы тока, питающего светодиоды, отличающиеся
друг от друга по частоте в 2,5 раза, что исключает их взаимное
влияние.

Основными элементами блока усилителей 8 являются два актив-
ных фильтра 10, 11, в которых первый каскад состоит из фильтра
нижних частот, а второй каскад — из фильтра верхних частот.
Последовательное соединение четырех каскадов реализует
фильтр четвертого порядка, что обеспечивает высокую избира-
тельность электронной схемы.

Труба 9 прожектора (рис. 73) включает объектив 11, в корпу-
се 6 — разделительную призму 8 и два одинаковых канала под-
светки, каждый из которых содержит призму 7, конденсор 4, 5 и
светодиод 1 (типа АЛ107Б).

Оптическую схему приемника составляют светофильтр 12,
отрезающий видимое излучение мешающего фона, и объектив 13,
14, в фокусе которого закреплен фотоприемник 16 (фотодиод
ФД-К-155). В корпусе 15 приемника установлены оптическая
часть, электронные платы 17 предусилителя и визирная марка 18.

Требуемые технические характеристики системы обеспечивают
юстировкой и настройкой, добиваясь равенства полей яркости
с погрешностью не более 5 %; фокусировки изображения ребра
призмы на максимальное расстояние работы машины (300 м) с по-
грешностью не более 1 %; равенства коэффициентов усиления с по-
грешностью не более 5 % для электрических сигналов частот fr
И /2.

Требования к объективу приемника невысоки, так как он играет
роль концентратора энергии излучения прожектора на фото-
приемник, а потому допускается аберрационный кружок рассея-
ния до 1 мм.

Предварительная сборка оптико-механических узлов прожек-
тора и приемника является типовой. На оптической скамье ОСК-2
проверяют разрешающую способность прожектора (не менее
200 мм"1 для X = 0,95 мкм), а также юстируют узел излучателей
в следующей последовательности.

1.	Продольной подвижкой светодиода 1 совмещают его излу-
чающую площадку с центром сферической оправы 3 (погрешность
не более 0,1 мм) с контролем микроскопом.

2.	Последующие три операции осуществляют с использова-
нием промышленной телевизионной установки МТУ-1, на видео-
контрольном устройстве которой рассматривают распределение
освещенности в изображении.

2.1.	Центрируют изображения источников относительно ребра
разделительной призмы 8 подвижкой прямоугольной призмы 7,
сфокусировав объектив передающей камеры МТУ-1 на ребро
призмы 8.

2.2.	Согласуют диаграмму направленности излучения свето-
диодов с апертурой конденсорной системы 4, 5 разворотами оп-
равы 3 при отпущенном кольце 2, добиваясь равномерного рас-
пределения освещенности в изображении.

2.3.	Уравнивают яркости обоих каналов, регулируя силу
тока питания светодиодов с помощью переменных резисторов.

3.	Фокусируют прожектор на предельную дистанцию подвиж-
кой излучателя на величину, рассчитанную для рабочей длины
волны излучения X — 0,95 мкм.

Настройку электронной схемы усилителей осуществляют под-
бором резисторов и конденсаторов с погрешностью номиналов не
более 1 %, при этом будет обеспечено менее 0,5 % взаимного
проникновения электрических сигналов частот и /2.

По окончании сборки ПУЛ-Н согласуют базовую плоскость
с визирной осью теодолита с погрешностью не более 20", для
чего наводят перекрестие визирной трубы 19 на перекрестие визир-
ной марки 18 приемника, удаленного на расстояние не менее 30 м,
и с помощью винта 10 наклоняют прожектор на пружинном шар-
нире относительно визирной оси теодолита до тех пор, пока не
исчезнут команды на управление исполнительными органами ма-
шины.
ПРИЛОЖЕНИЕ

ПАКЕТ ПРОГРАММ

ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ДЛЯ ПРОГРАММИРУЕМОГО МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРА

С инженерным калькулятором программируемый микрокаль-
кулятор (ПМК) объединяет лишь общность названия. ПМК по сути
является микроЭВМ, построенной на основе четырехразрядного
микропроцессора. Наиболее распространенными (по числу выпу-
щенных приборов) остаются ПМК типа БЗ-34, МК-54, МК-56.
Новая серия ПМК, включающая приборы МК-52, МК-61, пол-
ностью программно совместима с БЗ-34 и имеет расширенный набор
встроенных функций. МК-52 имеет энергонезависимое запоми-
нающее устройство, в котором после выключения питания может
длительное время храниться записанная программа.

Основной недостаток существующих ПМК заключается в отно-
сительно малой скорости выполнения программы. Это своеобраз-
ная плата за дешевизну, компактность и возможность работы от
встроенных аккумуляторов. ПМК — чисто вычислительная ми-
кроЭВМ (в отличие от информационно-вычислительных) с опре-
деленным ограничением на число операторов и данных в про-
грамме. Язык программирования относится к группе автокодов,
осваивается достаточно легко и позволяет создавать весьма изо-
щренные расчетные алгоритмы.

Сложность расчета оптических систем, как известно, происте-
кает не от сложности используемых алгоритмов, а от последова-
тельного применения относительно простых алгоритмов ко всем
компонентам оптической системы. А это позволяет существенно
снизить требования к «мощности» вычислительной системы. Ниже
приводится пакет программ для ПМК типа БЗ-34, который без
изменения может быть перенесен на ПМК МК-52, МК-61. Про-
граммы по возможности выполнены универсальными и охваты-
вают задачи расчета зеркально-призменных систем и оптических
систем в параксиальной области. Возможности ряда программ
иллюстрируются с помощью примеров.

Для определения направления луча в зеркально-призменных
системах предназначены программы Ш, ПЗ. Отметим, что в про-
граммах вычисляется только направление луча, а не его ход,
т. е. игнорируется конечная толщина компонентов системы. В па-
раллельном ходе лучей такое допущение вполне приемлемо. В об-
щем случае такой прием заметно упрощает аналитическое решение
целого ряда практических задач. В программе П2 расче! действи-
тельных лучей подменен непосредственным нахождением изобра-
жения точки в зеркале. При определенном расположении точек
на поверхности предмета достаточно просто решается задача опре-
деления оборачивания изображения. Программа П4 позволяет
найти новое положение нормалей к граням зеркально-призмен-
ной системы, когда ось поворота имеет произвольную ориен-
тацию.

Программы П5—П13 позволяют определить положение пло-
скости изображения, габаритные размеры компонентов в зеркаль-
но-линзовых центрированных системах, компоненты которых
представлены либо своими фокусными расстояниями, либо кон-
структивными параметрами. Программы такого рода бывают
полезны как при разработке оптических систем, так и при их
юстировке. Программа П5 позволяет найти положение кардиналь-
ных точек линзы по ее конструктивным параметрам. С помощью
программы П15 можно определить смещение изображения в децен-
трированной оптической системе. Рассчитать положение плоско-
стей изображения, размер изображения в системах с цилиндри-
ческими компонентами можно с помощью программы П14. Нако-
нец, программа П16 позволяет выполнить расчет хода одновре-
менно до трех действительных лучей через оптическую поверх-
ность. С ее помощью может быть выполнен аберрационный расчет
оптической системы. При этом используется тригонометрическая
схема расчета хода лучей. В свое время она была достаточно
популярна вследствие компактности алгоритма.

Теперь о соотношении материала этого раздела с остальным со-
держанием книги. Может показаться, что авторы говорят на раз-
ных языках, когда дело касается зеркально-призменных систем.
В приложении для расчета зеркально-призменных систем исполь-
зуются только векторные методы. В основном содержании вектор-
ные используются лишь изредка, а предпочтение отдано матрич-
ным методам. Этому есть единственное объяснение — векторные
методы, по своей сути, — более компактны и для ПМК более
приемлемы. Матричные методы являются более емкими для ана-
литических исследований и несомненно будут представлены в про-
граммах для более совершенных ПМК. Кроме того, при наличии
аналитических решений для зеркально-призменных систем в при-
ложении приведены программы для решения зачастую аналогич-
ных задач. Это не противоречие. Возможно, кто-то предпочтет
воспользоваться численными решениями и, зайдя в тупик при
осмыслении полученных результатов, осознает всю красоту ана-
литических решений. С другой стороны, уточнение аналитических
решений, полученных зачастую при тех или иных упрощающих
предположениях, с помощью численной модели является логиче-
ским завершением выполненного исследования.

Использование предлагаемых программ предполагает некото-
рый уровень подготовки. Читателю можно порекомендовать ряд
книг, например, [И].
П1. РАСЧЕТ НАПРАВЛЕНИЯ ЛУЧА

В СИСТЕМЕ ПЛОСКИХ ЗЕРКАЛ

По программе можно определить направление луча, отражен-
ного от одиночного зеркала или от системы зеркал (рис. П.1).
Угловое положение зеркала задается ортом нормали Nx (A71X, Nly,
Nlz). Если известны координаты ЛОх, Доу, AOz орта Ао падающего
луча, координаты орта отраженного луча определяются по фор-
муле

Ах = Ао —2NX (AONX).	(Ш)

Рис. П1. Схема для
расчета направле-
ния отраженного
луча (Зх и 32 —
зеокала)

Рг1, А,„->Рг2,

Направление орта нормали к зеркалу может быть задано с точ-
ностью до знака, т. е. при замене Nlx = —Nlx, Nly = —Nly,
Nlz = — Nlz направление орта Ax остается
неизменным.

По отношению ко второму зеркалу орт Ах
определяет падающий луч и по формуле (П1)
можно найти направление луча после второго
зеркала. Для удобства расчета направления
луча в системе зеркал вычисленные коорди-
наты отраженного луча записываются в памяти
ПМК на место координат орта падающего луча.
Если по тем или иным соображениям необхо-
димо сохранить кооординаты орта падающего
луча, с шага 26 программы следует записать
команды: 3, ПО, О, П6, В/О. Тогда координаты
орта отраженного луча будут записаны: А1Х ->
Л12 -> РгЗ.

Имея координаты ЛОэс, АОу, AGZ падающего луча и координаты
Ах, ^iz отраженного, по формуле ср = arc cos (ЛОхЛ1эс +
+ АоуА1у + AOzAlz) в непрограммном режиме определяется
угол ф между лучами.

Программа П1. Исходные данные: Nlx (0) -+ Рг7, Nly (0,5) ->

Рг8,_ Nlz (/3/2) — Рг9, АОх (0,5) РгА, AOJ, (0) РгВ,
АОг (/3/2) -► РгС (в скобках приведены данные для контроль-
ного примера). По окончании расчета: А1Х = 0,5 в РгА; А1у —
— —0,75 в РгВ; A]z = —0,43301 в РгС. Инструкция: ввод,
В/О, С/П. Время счета 15 с.

0	ПП	22 КИП4	КИП5	X	+ FL0	02	ПД	ПП

1	22	КИП5 КИП4	ИПД	2	х X	—	КП6	FL0

2	11	С/П 6	П4	9	П5 П6	3	ПО	0

3	В/0

П2. РАСЧЕТ ПОЛОЖЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ ТОЧКИ

В ПЛОСКОМ ЗЕРКАЛЕ ИЛИ В СИСТЕМЕ ПЛОСКИХ ЗЕРКАЛ

Положение плоского зеркала в системе координат X, Y, Z
определяется ортом нормали NT (Nlx, Nly, Nlz) к плоскости зер-
кала и величиной blt равной удалению зеркала от начала коорди-
X

Рис. П2. Схема для опре-
деления изображения
точки То (31 и 32 — пло-
скости зеркал)

нат, причем Ьг отсчитывается вдоль орта
Ni (рис. П2). Положение предметной точки
TQ определяет радиус-вектор р0 с коорди-
натами x0, у0, zQ. Положение точки Ти
являющейся изображением То, определяет-
ся радиусом-вектором рг Можно запи-
сать, что

p1 = p0 + 2N1[ft1-(N1p0)]	(П2)

или

Pi — Роз 4” 2^ЬХ, (ПЗ)

где Роз = Ро — 2 Nx (Л\р0); (Njpo) = Nlxx0 + Nluy0 + Nuz0; p03,
есть изображение вектора р0 в зеркале с ортом нормали Nlt пло-
скость которого проходит через начало координат.

Если р0 = 0, т. е. То находится в начале координат, то рх =
— 2N1b1. Отсюда видно, что в формулах (П2), (ПЗ) направление
орта Njt должно совпадать с направлением вектора, проведенного
из начала координат перпендикулярно к плоскости зеркала.
Только при = 0 формулы (П2), (ПЗ) становятся независимыми
от выбора одного из двух возможных направлений орта Nx.

Когда То находится достаточно далеко от зеркала, так что
можно принять р0 « оо, формулы (П2), (ПЗ) асимптотически пере-
ходят в известную формулу (П1).

В программе по известным координатам орта Nx и значению blt
координатам х0, у0, г0 предметной точки То определяют координа-
ты хи ylt z-i точки Tlf являющейся изображением точки То. В свою
очередь, 7\ может быть предметной точкой для второго зеркала
и по формуле (П2) можно найти ее изображение во втором зер-
кале. Таким образом, циклическое использование формулы (П2)
позволяет найти положение изображения точки То в системе
зеркал.

Программа П2. Исходные данные: х0 (5) -> Рг1; у0 (—20) -»
->Рг2; z0 (0)-► РгЗ; Nlx (/0J5) -> Рг7; Nly (0,5) — Рг8;
Nlz (0) -* Рг9; (10) -* РгА (в скобках приведены данные для
контрольного примера). В результате расчета: = 32,141 в Рг1;
уг = —4,3301 в Рг2; zx = 0 в РгЗ. Инструкция: ввод, В/О, С/П.
Время счета 17 с.

0	0	П4	П5	6	П6 3	ПО	ИПА	ИП1	ИП7

1	х	ИП2	ИП8	х	+	ИПЗ	ИП9	х	+	—

2	ПВ	КИП4	2	КИП6	X	ИПВ	х	+	КП5	FLO

3	21	С/П

Пример П1. Рассмотрим процесс юстировки интерферо-
метра Майкельсона (рис. ПЗ). Источник света— полупроводни-
ковый лазер. Его излучение фокусируется осветительной систе-
мой в точке Т9, т. е. интерферометр работает в расходящемся
пучке света малой длины когерентности. Поэтому нужно обеспе-
чить не только соответствующее
угловое положение зеркал интер-
ферометра, но и равенство длин
его плеч.

Предположим, что каждое зер-
кало имеет две угловые подвижки
вокруг осей, перпендикулярных
и параллельных плоскости чер-
тежа, а также линейную подвиж-
ку вдоль оси плеча. Для юсти-
ровки используем вспомогатель-
ный источник света в виде гелий-
неонового лазера. Предположим,
что зеркало 32 смещено от рас-
четного положения. Нормаль N2
от начала координат равны N2x =
N2Z = cos ф, причем ф = 85°; ф 

Рис. ПЗ. Схема интерферометра
Майкельсона

к его плоскости и удаление Ь2
•• cos ф sin ф; N2y = sin ф sin ср;
= 80°; b2 = 10. Положение ос-

тальных компонентов системы определяется величинами:

х0 = 0;	— 2	АГзх=1;
Уо = —10;	Ni =	>  yviy— 2	— 0;
z0 = 0;	= 0;	N3t = 0;
	th = 0;	b3 =-- 10.

Изображение точки То в зеркалах Зх и З3 есть точка Тхз, поло-
жение которой определяется достаточно просто. Получим х13 =
= zX3 = 0, у13 = 30. Точка ТХ2 является изображением точки TQ
в зеркалах Зх и 32. Воспользуемся программой П2. Вводя х0,
yQ, го» NXx, Nly, N1Z1 Ь1У получим: хх = zx = 0; ух = —10. Вводя
значения N2X, N2y, N2z, Ь2, после повторного запуска программы
получим х12 ж 3,4; у12 « 28,87; z12 ж 6,88. Зная координаты
точек ТХ2 и Тхз и плоскости экрана (рис. ПЗ), можно, вычислив
разность хода, найти параметры интерференционной картины
в плоскости экрана. Прибор считается отъюстированным, когда
точки Т12 и Т13 будут совмещены. С помощью программы можно
установить, что к этому ведет следующая последовательность
действий. Сначала угловыми перемещениями зеркал 32 и З3 мни-
мые источники Т12 и Т13 приводятся на одну прямую, приблизи-
тельно перпендикулярную к плоскости экрана. При этом интер-
ференционная картина будет иметь вид симметричных оси у
колец. Затем'линейной подвижкой одного из зеркал увеличивают
шаг интерференционных колец вплоть до настройки на бесконечно
широкую полосу. В процессе юстировки возможно потребуется
некоторая угловая подвижка одного из зеркал.
ПЗ. РАСЧЕТ НАПРАВЛЕНИЯ ЛУЧА
В ЗЕРКАЛЬНО-ПРИЗМЕННОЙ СИСТЕМЕ

Считается, что оптическая система состоит из последовательно

расположенных плоских отражающих и преломляющих поверх-
ностей, образующих зеркально-призменную систему (ЗПС). На
рис. П4 показана ЗПС в виде прямоугольной призмы. С помощью

программы рассчитывается только направление луча после каж-
дой поверхности. Координаты точки пересечения луча с поверх-
ностью не определяются.

Угловое положение отражающей или преломляющей поверх-
ности задается ортом нормали Nb имеющем проекции Nlx, Nly, Nlz
на координатные оси х, у, г. Поверхность также характеризуется
величиной Pi = n0/ni, представляющей отношение показателей
преломления в пространстве падающего и отраженного (прелом-
ленного) лучей. Оптическая система считается заданной, если для
всех ее поверхностей известны значения N и р. Для отражающей
поверхности принято, что р = п0 = пг = 1;для преломляющей
поверхности р у= 1. Например, если луч идет из воздуха в стекло,
то п0 < пг и р < 1. Если из стекла в воздух, то п0 > пг и р > 1.
Когда на поверхности возможно и отражение и преломление,
выбор направления вычислений диктуется значением величины р.
При р = 1 рассчитывается орт отраженного луча.

Для программы необходимо задать направление Ао падающего
на поверхность луча. Результатом работы программы будут коор-
динаты орта Ai после поверхности. В свою очередь орт Ах опре-
деляет луч, падающий на вторую поверхность. Вторичное исполь-
зование программы даст орт А2 после второй поверхности и т. д.

При задании орта N не нужно следить за строгим выполнением
условия'(AN) >0 при расчете орта преломленного луча. Как
и для отражающей поверхности, для преломляющей в качестве
орта N может быть выбрано любое из двух возможных направле-
ний нормали к поверхности. В программе при расчете орта пре-

ломленного луча производится проверка на наличие полного
внутреннего отражения (ПВО) на границе раздела типа стекло—
воздух. В случае ПВО вычисления

по программе прекращаются и на ин-
дикаторе высвечивается число 5. Это
является приглашением на расчет
орта отраженного луча. Нажимая кла-
вишу С/П, можно продолжить вычис-
ления и найти координаты луча, отра-
женного от поверхности. После окон-
чания работы программы в РгД исход-
ное значение р будет заменено на 1.

Расчет орта отраженного луча
производится по формуле

Ах - Ао - 2NX (AONX), (П4)
расчет орта преломленного луча — по формуле

А, = Ц1Ао + {sign (A0N.) <1 - jxhl - (AoN,)2])172 -

- И1 (AoNOJN,.	(П5)

которая устраняет привилегированность одного из направлений
нормали к поверхности. В (П4), (П5) принято, что A0Ni =
= ЛОхЛ/1Х + ЛоуЛ/iy + AQzN1z\' sign (A0Ni) = 1, если (Ао NJ >
> 0; sign (A0Ni) = —1, если (A0Ni) <0. В процессе расчета
производится проверка условия 1 — р?[1 — (A0Nt)2] <0. При
его выполнении имеет место ПВО.

Для удобства расчета луча через систему поверхностей вновь
вычисленные координаты орта после поверхности записываются
на место исходных значений. При задании исходных данных необ-
ходимо следить за выполнением условий Aqx + A<jy + Aqz = 1
и NL + N2y + N\z = 1, что гарантирует выполнение А2Х +
+ А2 у + A2 z — 1.

Программа ПЗ. Исходные данные: ЛОх (0,6)-> Рг1; ЛОу (0,6)->
-> Рг2;_Л02 (/0^8) -> РгЗ; Nlx (0,2) -> Рг7; Nly (0,6) -> Рг8;
Л/12 (1Л0,6) -> Рг9, рх (1,5) -> РгД. (В скобках приведены данные
для контрольного примера). В результате расчета: А1Х = 0,77888

в зависимости от типа

в Рг1; А1у = 0,53663 в Рг2; Alz = 0,32462 в РгЗ. Инструкция:
ввод, В/О, С/П. Время счета 20 или 25 с

поверхности.

0 ИП1		ИП7	X	ИП2	ИП8	X	+	ипз	ИП9
1	+	ПС	ипд	1	—	Fx — 0	24	ипс	2
2	X	пв	БП	52	1	t	ИПС	Fx2	—
3	Fx2	X	—	Fx< 0	41	5 .	С/П	1	пд
4	17		ипс	ипд	X	Fx< 0	50’	ху	/-/
5	—	ПВ	0	П4	П5	6	П6	Т	по
6	ипд	X	КИП6	ипв	X	+	КП5	FL0	59

X

Пример П2. Определить

смещение

№

ипд
БП

*У

КИП4

С/П

луча, выходящего из пентапризмы с кры-
шей, изготовленной из стекла с пока-
зателем преломления 1,5, если угол
между гранями крыши выполнен с от-
ступлением от заданного.

Сечение призмы плоскостью, пер-
пендикулярной к входной грани, пока-
зано на рис. П5. Как известно, грани
крыши должны составлять с плоско-
стью ху угол 45°. Пусть вследствие
ошибок изготовления они составляют
с плоскостью ху угол, равный 44°.

^5

Н5

^а2 *

А,

х

'2

Рис. П5. Сечение пентаприз-
мы с крышей плоскостью ху



22,5
Воспользуемся программой ПЗ. Для нее необходимо задать
орты нормалей ко всем граням призмы с точностью до знака орта.
Зная, что 2-я (по ходу света) грань составляет с осью х угол, рав-
ный 67,5°, нетрудно записать координаты ортов нормалей к 1,
2 и 5-й граням. Орты нормалей к граням крыши лежат в одной
плоскости, перпендикулярной к плоскости ху. Линия пересече-
ния этой плоскости с плоскостью ху составляет с осью х (как это
видно из рис. П5) угол, равный 67,5°. Теперь можно записать:

Nlx = 1;	/V2x = cos	22,5°;	N3X = sin 44° cos	67,5°;

Nly = 0;	Niy = sin	22,5°;	N3y = sin 44° sin	67,5°;

Nlz = 0;	Niz = 0;	N3Z = —cos 44°;

Hi = 1/1,5;	p.2	1;	p3 = 1;

Nix sin 44° cos 67,5°;	N6X = 0;

Niy = sin 44° sin 67,5°;	A/6y—1;

Niz - cos 44°;	N6Z - 0;

Пусть на призму падает луч, параллельный оси х, т. е. А1Х =
= 1; Агу = 0; Alz = 0. Пятикратное применение программы
позволяет получить координаты орта А6 луча, выходящего из
призмы: Авх = —0,0013; Аву = 0,99532; Лбг = 0,09667. Луч
составляет с нормалью к выходной грани угол arc cos (Лбг/) =
= 5,55°, так как основное смещение луча произошло в плоско-
сти уг. Таким образом, погрешность изготовления двугранного
угла крыши в 2° привела к смещению луча, выходящего из призмы,
на 5,55°.

П4. РАСЧЕТ НАПРАВЛЕНИЯ НОРМАЛИ
К ПЛОСКОСТЯМ ЗЕРКАЛЬНО-ПРИЗМЕННОЙ СИСТЕМЫ
ПРИ ЕЕ ПОВОРОТЕ ВОКРУГ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ

Для зеркально-призменной системы полезно знать, как смес-
тится луч при ее угловом смещении от расчетного положения
(рис. П6). Задача достаточно легко решается только для избран-
ных направлений ЗПС. При произвольном направлении оси пово-
рота относительно ЗПС возможно, как правило, только численное
решение. Фактически возникают две подзадачи. Первая и самая
трудная связана с определением нового положения плоскостей
ЗПС в результате ее разворота. Вторая — заключается в расчете
направления луча в развернутой ЗПС и может быть решена, на-
пример, с помощью программ П1 и ПЗ.

Пусть N —орт нормали к одной из граней ЗПС (рис. П7).
Ось поворота имеет направляющий орт V с координатами Vx,
Vz. Координаты орта V можно задать через углы а, у, причем
230
Рис. П6. Поворот призмы вокруг оси V (Nj, N2, N3 — нормали к граням призмы;
Ао и А4 — орты входящего и выходящего лучей; штриховой линией показано
направление соответствующих ортов после поворота призмы)

Рис. П7. Положение координатной системы VEO

у — угол, который орт V составляет с сосью г, а а — угол между
проекцией орта V на плоскость ху и осью х. Имеем

Vx = sin у cos a; Vy = sin у sin а; Vz = cos 7.	(П6)

Определим плоскость разворота, как плоскость, перпендику-
лярную к орту V. В ней зададим два ортогональных орта Е и Q,
так чтобы они составляли прямоугольную систему коорди-
нат VEQ. Координаты орта Е определим из дополнительного
условия, что он лежит в одной плоскости с ортом V и осью z.
Орт Q ортогонален ортам V и Е. Отсюда

Q = ExV.

(П7)

Здесь * — обозначение операции векторного умножения. Так
как (EV) = О, координаты ортов Е и Q получаются равными:

Ех — —cos у cos a;	Qx = —sin а;

Еу = —cos у sin а;	Qy = cos а;

Ez = sin у;	Qz = 0.

(П8)

Координаты Nx, Ny, Nz орта нормали N к грани ЗПС могут
быть известны или заданы через углы риф, как

Nx — sin р cos \|э; Ny = sin р sin ip; Nz — cos p. (П9)

В координатной системе VEQ орт N имеет вид

N = V (VN) + E (EN) + Q (QN),	(П10)

где

(VN) = Vxyx+V^ + VzVz;

{W) = EsNx + EvNy + EzNz-,	(П11)

(QN) = QXNX + QyNy + QZNZ	(П12)

есть проекции орта N на координатные оси V, Е, Q. Вследствие
разворота ЗПС вокруг оси V орт N займет новое положение, кото-
рое мы обозначим как N'. Известно, что при развороте проекция

орта N на ось поворота остается постоянной, т. е. VN = VN'.
Поэтому орт N' можно записать в виде

N' = V (VN) + Е (EN')-J-Q (QN').	(П13)

Исходя из (ШО) и (П13) запишем, что

N' = N4-F,	(П14)

причем

F = Е [(EN') - (EN)] 4- Q [(QN') - (QN)].	(П15)

В плоскости разворота определим угол 0г такой, что

Ух sin 0г = (EN); V, cos 0Х = (QN).	(П16)

Так как известны значения (EN) и (QN), угол 0Х определим
как

ex = arctg-&.	(П17)

После поворота вокруг оси V на угол 6 проекция орта N' на
плоскость разворота будет составлять с осью Q угол

02 - 0i + 6,	(П18)

причем

(QN') - Vr cos 02; (EN') - VT sin 02;	- [(EN)2 + ‘(QN)2p/2. (П19)

Теперь все значения, входящие в (П14),(П15) и требуемые для
определения N', найдены.

Отметим, что 02 отсчитывается в плоскости разворота от оси Q.
При 02 = О проекция орта N' на плоскость разворота совпадает
с ортом Q.

Новое положение нормали к плоскости ЗПС после ее поворота
вокруг оси V на угол 6 определяется с помощью следующего алго-
ритма. Считается, что известны координаты Мх, Л^, 2VZ орта N
нормали к плоскости ЗПС, углы а, у оси вращения и угол 6 пово-
рота вокруг оси V. По формулам (П8) рассчитывают координаты
£х, Еу, Ez, Qx, Qy ортов Е и Q координатной системы EVQ.

Затем по формулам (ПИ), (П12), (П17) определяют проекции
EN, QN и угол 0V Вычисляют значения 02, QN', EN' по форму-
лам (П18), (П19). Наконец из (П14), (П15) определяют координаты
орта N', т. е. новое положение орта N.

Вследствие специфики вычисления тригонометрических функ-
ций в ПМК орт N' вычисляется с точностью до знака, т. е. в зави-
симости от положения орта N в системе координат xyz может быть
найдено или значение N' или значение — N'. Этот недостаток не
является принципиальным, ибо программы П1 и ПЗ нечувстви-
тельны к изменению направления орта нормали на противопо-
ложное.
В программе возможна аварийная остановка на шаге 45 при
условии QN = 0, т. е. когда орт N перпендикулярен к орту Q и
оси вращения V. Достаточно изменить одну из координат орта N
на бесконечно малую величину, чтобы устранить этот недостаток.

Программа П4. Исходные данные:	(/2/2)-► Prl;

Nv (/2/2) -> Рг2; Nt (0) РгЗ; б (30) -> Рг9; а (30) -> РгА;
у (30) -*• РгВ. Инструкция: ввод, В/О, С/П. Время счета: 33 с.
По окончании расчета: N'x =0,3342 в Prl; N'y = 0,934735 в Рг2;
Nz = 0,12074 в РгЗ. Переключатель Р/Г в положение Г (в скоб-
ках приведены данные для контрольного примера).

0 иш	ИПА	F cos	П8	ИПВ	F cos	/-/	П6	X	П4
1 X	ИП6	ИПА	F sin	П7	X	П5	ИП2	X	+
2 ИПВ	F sin	П6	ИПЗ	X	+	ПО	Fx2	ИП2	ИП8
3 X	ИП1	ИП7	X	—	ПС	Fx2	+	FK	пд
4 ИП0	ИПС	-j-	F arctg	ИП9	+	F sin	F Вх	F cos	ипд
5 X	ИПС	—	ПС	э	ипд	X	ИПО	—	по
6 ИП4	X	ипс	ИП7	X	—	ИП1	+	m	ИПО
7 ИП5	X	ипс	ИП8	X	+	ИП2	+	П2	ИПО
8 ИП6	X	ипз	+	ПЗ	С/П				

П5. РАСЧЕТ ФОКУСНОГО РАССТОЯНИЯ
И ПОЛОЖЕНИЯ КАРДИНАЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИНЗЫ

Фокусное расстояние f линзы в воздухе и положение главных
плоскостей, определяемое отрезками SF и S'F- можно определить
с помощью программы П5. Используются формулы (32, 33).

Программа П5. Исходные данные: п (2) -* РгО; гх (100) -* Prl;
г2 (200) -* Рг2; d (10) -* РгЗ (в скобках приведены данные для
контрольного примера). Инструкция: ввод, В/О, С/П. В резуль-
тате расчета: SF = —195,238 в Рг8; SF> = 190,476 в Рг9. Время
счета 15 с.

0	ИП1	ИП2	X	ИПО	1	—	ИПО		ПА	ИПЗ
1	X	ПВ	ИП2	ИП1	—	+	ИПО	X	—	ИПА
2	Ч-	П9	1	ИПВ	ИП1	—7“	—	X	П8	1
3	ипв	ИП2	—	+	ИП9	X	/-/	П7	С/П	

Пример ПЗ. Определить влияние конструктивных параметров
линзы на ее основные оптические характеристики. Расчет выпол-
нить для линз с параметрами: первая — гх = 50 мм; г2 — —50 мм;
d = 10 мм; nD — 1,5; вторая — гх = 100 мм; г2 = 200 мм; d —
= 10 мм; nD = 1,5.

8 Погарев Г. В. н др.	233
Воспользуемся программой П5. Для первой линзы получаем
SF = —48,276; f — 51,724. Изменим только толщину линзы.
Пусть d = 9 мм. Устанавливаем, что SF = —48,454; f = 51,546.
Изменим радиус первой поверхности. Примем — 49,5 мм. Полу-
чим: Sp — —48,042; Sp- = 48,007; f = 51,473. Изменим пока-
затель преломления. Если nD = 1,51, то SF = —47,306; f —
= 50,733.

Полученные результаты показывают, что наиболее ощутимое
влияние на характеристики линзы оказывает изменение показа-
теля преломления линзы. Изменение толщины сказывается весьма
слабо. Более заметно (по крайней мере по абсолютному значению
изменяются характеристики у второй линзы. Для исходной линзы:
Sf = —393,55 мм; SF- = 374,19; f = 387,1 мм. При = 1,51
с помощью программы получаем: SF — —385,75; S'F- — 366,53;
f = 379,34.

П6. РАСЧЕТ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЯ
В ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВОЙ СИСТЕМЕ

Предмет расположен на расстоянии sx от зеркально-линзового
компонента (т. е. зеркала или линзы) с фокусным расстоянием
(рис. П8). Положение плоскости изображения, формируемого ком-
понентом, определяется отрезком si, равным

1/si = 1/f 1 + ПР1 (1/S1),	(П20)

где Пр = 1, если компонент линзовый и Пр = —1, если компо-
нент зеркальный.

Изображение, сформированное первым компонентом, является
предметом для второго компонента, удаленное на расстояние

$2 = si — d\,

(П21)

где dr — расстояние между первым и вторым компонентами.
Циклическое использование формул (П20), (П21) позволяет найти
положение плоскости изображения в системе зеркально-линзовых
компонентов, расположенных на одной оптической оси.

Если оптическая система является многокомпонентной, для
расчета положения изображений одновременно до семи предме-

Рис. П8. Ход луча через оптическую систему

тов можно воспользоваться
программой П6. В про-
грамме определяется поло-
жение изображения снача-
ла за первым компонен-
том, затем за вторым и
т. д. Число компонентов
оптической системы в прин-
ципе может быть не огра-
ниченным.

Программа П6. Исход-
ные данные:	Prl;
-►Рг2; /7р,->РгЗ; &->Рг4, k — число предметов (или их изобра-
жений). Отрезки sx>, характеризующие положение предметов отно-
сительно первого компонента, размещаются в Рг7—РгД. В случае
двух предметов: $ц -► Рг7; sI2-> Рг8. Вычисленные значения stj раз-
мещаются в памяти ПМК на месте исходных значений s^. В част-
ности, при k = 2 имеем: si в Рг7; s'12 в Рг8. Инструкция: ввод,
В/О, С/П. Время счета: при Л = 1 4- 7 с, при k = 24-10 с.

0	ИП4	ПО 6	П5 П6	КИП5	ИП2	—	Fl/x	ИПЗ

1	х	ИП1	F\/x	+	FMx	КП6	FLO	05	С/П

Контрольный пример: — 100-> Prl; di = 20 -► Рг2; Пр1 =
= — 1 -> РгЗ; sxx = —200 Рг7; s12 = —300 -> Рг8; k = 2 ->
-* Рг4. В результате расчета: «ц = 68,75 в Рг7; si2 = 76,19 в Рг8.

Напомним, что для первого компонента dQ — 0. Аварийная
остановка программы происходит, если предмет или его изображе-
ния располагаются в фокальной плоскости компонента. Если
система содержит не более четырех компонентов, их параметры
можно записать в памяти ПМК и за одно обращение с помощью
программы П7 определить положение плоскости изображения
(т. е. отрезок si) всей зеркально-линзовой системы.

Программа П7. Используется инвертированный порядок рас-
положения параметров компонентов в памяти ПМК. Параметры
последнего компонента, имеющего номер k, всегда располагаются
в Рг2—Рг4.

Исходные данные: М = 3k + 2 -*• РгО; sx -► Prl. Если k = 4,
параметры компонентов размещаются следующим образом: Д ->
-> РгД; -► РгС; Пр4 -► РгВ; /3 -> РгА; d3 -► Рг9; Пр3 -* Рг8;
/2 -► Рг7; d2 -► Ргб; Пр2 -► Рг5; /1 -* Рг4; d\ -► РгЗ; Пр] -> Рг2.
По окончании расчета: si в Prl. Инструкция: ввод, В/О, С/П.
Время счета: при k = 1-4-5 с, при k = 24-10 с.

0 КИП0	Fl/x	ИП1	КИП0 — Fl/x	КИП0	X + Fl/x

1 Ш	ИП0 3	—	Fx < 0 00	С/П

Контрольный пример: М = 5-> PrO;sx = —200-> Prl; Прх =
= 1 -► Рг2; d\ — 10 —> РгЗ; = 50 -> Рг4. В результате расчета:
Si = 65,625 в Prl.

Здесь также dx = 0. Для отрезков di, s{, s'i действует правило
знаков, принятое в вычислительной оптике. Например, после зер-
кального компонента их знак изменяется на обратный. Аварий-
ная остановка программы происходит, если предмет или его изо-
бражение находятся точно в фокальной плоскости компонента.

П7. РАСЧЕТ ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ ИЗОБРАЖЕНИЯ,
ФОРМИРУЕМОГО ЦЕНТРИРОВАННОЙ СИСТЕМОЙ ОТРАЖАЮЩИХ
И ПРЕЛОМЛЯЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Оптическая система, состоящая из линз и зеркал, задана
своими конструктивными параметрами. Каждая поверхность ха-
рактеризуется радиусом кривизны rt и отношением щ — п^/п.
Рис. П9. Ход луча через систему сферических поверхностей

показателей преломления до и после поверхности. Для отражаю-
щей поверхности принято, что	= nt = —1. На гра-

нице воздух — стекло —= 1/пь где — показатель прело-
мления материала линзы. Взаимное расположение компонентов
оптической системы определяется отрезками dt. Если задано поло-
жение предметной плоскости, определяемое отрезком s0 (рис. П9),
с помощью программы можно определить положение изображе-
ния за системой из k поверхностей, характеризуемое отрезком Sk-i.

За одно обращение к программе определяется положение пло-
скости изображения, формируемое одной оптической поверх-
ностью, а также поперечное увеличение Vt поверхности. Напри-
мер, для первой поверхности отрезок Sq и значение Vi опреде-
ляются как

So =

___________«в____________.

«О (1 — Р1) 1Л1 +	’

V1 =s6/Sb.

(П22)

(П23)

Изображение, формируемое первой поверхностью, является
предметом для второй поверхности, удаленным от нее на рас-
стояние

S] = Sq — dp

(П24)

Вторичное использование формул (П22)—(П24) позволяет опре-
делить положение плоскости изображения за второй поверхностью
и увеличение V2 = ViV2 системы из двух поверхностей и т. д.

Ниже приводятся две программы, базирующиеся на исполь-
зовании формул (П22)—(П24). В программе П8 определяются
положение плоскости изображения за поверхностью и текущее
поперечное увеличение оптической системы. В программе П9 за
одно обращение определяется положение изображения несколь-
ких предметов. В обеих программах принято, что плоская поверх-
ность характеризуется величиной г = 0 и для первой поверх-
ности d0 — 0. После отражающей поверхности осевые отрезки
и показатели преломления изменяют свой знак на противополож-
ный. Предмет на бесконечности задается достаточно большим‘от-
резком, например, равным 1.108.

Программа П8. Исходные данные: d (5) -> Рг1; гх (50) -* Рг2;
Pi (2) -* РгЗ; s0 (—100) -► Рг4; 1 -*• Рг5. В результате расчета:
236
So = —25,6097 в Pr4; Vi — 0,2439 в Рг5 (в скобках приведены
данные для контрольного примера). Инструкция: ввод, В/О,
С/П. Время счета 8 с.

0	ИПЗ	ИП4	ИП1	—	П4 4-	ИП2	Fx 0	14 Fl/x
1	1	ИПЗ	—	X	+ Fl/x	t	ИП4	4- ИП5
2	X	П5		П4	С/П			

Нередко в оптической системе необходимо найти положение
изображения по крайней мере двух предметов. Один является
непосредственно предметом для оптической системы, второй —
входным зрачком, апертурной диафрагмой и т. п. Приведенная
ниже программа позволяет за одно обращение рассчитать поло-
жение изображений от одного до семи предметов включительно.

Программа П9. Исходные данные: если число предметов k —
— 7, d0^- Prl; гх-> Рг2; РгЗ; s01 -> Ргб; s02-► Рг7; s03->
-> Рг8; s04 -► Рг9; s05 -* РгА; soe -> РгВ; s07 -> РгС, k = 7 в РгД.
По окончании расчета: s6i в Ргб; so2 в Рг7; Sq3 в Рг8; Sq4 в Рг9 и
т. д. Если k = 2, Sqi -> Ргб; s02 -► Рг7. При повторном расчете
через следующую поверхность вводятся новые значения г, d, р.
На любой поверхности значение k может быть увеличено или
уменьшено. Для первой поверхности d0 = 0.

0	ИПД	ПО	ИП2	Fx 0	06 Fl/x	П2 5 П4	П5

1	КИП4	ИП1	—	f	ИП2 X	1 ИПЗ —	X

2	ИПЗ	+	4-	КП5	FL0 10	С/П

Инструкция: ввод, В/О, С/П. Время счета: для k — 1 4- 8 с
для k — 24-14 с.

Контрольный пример: do = O-»-Prl; Гх = 50-> Рг2; рх =
— 1/1,5 -► РгЗ; Sqx = —10 —> Ргб; s02 = —20 —> Рг7; k = 2 в РгД.
По окончании расчета: Soi = —16,666 в Ргб; sq2 = —37,5 в Рг7.

По формуле а = ———	можно в непрограммном

I $02 — $01 Л0
режиме найти продольное увеличение а оптической системы.
Для этого нужно задать отрезки s01 и s02 достаточно близкими друг
к другу и определить положение их изображений в оптической
системе, т. е. отрезки sh и sj2 с помощью программы П9. Здесь п0
и nf — показатели преломления в пространстве предметов и изо-
бражений соответственно.

Пример П4. Определить положение автокол л имационных (АК)
точек от центров кривизны поверхностей линз объектива «Инду-
стар-55» с фокусным расстоянием 140 мм. Оптическая схема объ-
ектива приведена в работе [42] и показана на рис. П10.

АК-точкой называют точку на оси оптической системы, изобра-
жение которой в оптической поверхности совпадает с ней самой.
У одной оптической поверхности две АК-точки: одна совпадает
Рис. П10. Схема объек-
тива

с центром кривизны поверхности, вторая
лежит на пересечении оптической оси с
поверхностью.

В системе поверхностей положение АК-
точки отдельной поверхности находится
следующим образом. Предметная точка

помещается, например, в центр кривизны
поверхности и определяется изображение точки в системе поверхно-
стей. Для объектива на рис. П10 АК-точка от центра кривизны по-
следней поверхности есть ее изображение в обратном ходе (т. е.
справа налево) в системе поверхностей, начиная с 6-й поверхности.

Объектив «Индустар-55» имеет следующие параметры:

Mi = 1;

гх = 38,475;

di = 5,6; п2 = 1,6126;

г2 = со;

d3 — 6,35; п3 = 1;

г3 = —86,068;

d3 = 2,5; п4 = 1,5749;

r4 = 35,29;

d4 = 8,12; пъ = 1;

r5 = —271,48;

d3 = 2,0; ne = 1,5294;

re = 36,149;

d3 = 7,5; n7 = 1,6227;

r7 = —55,65;

n8 = 1.

Для решения задачи воспользуемся программой П9. Так как
мы строим изображение в обратном ходе лучей, сохраним индексы
при г, d, п в соответствии с табличными. Знак при г изменяется
на противоположный. Поместим предмет в центр кривизны 7-й
поверхности, тогда s7e = —г7. Первый индекс при s означает
номер центра кривизны, второй — номер поверхности, от кото-
рой отсчитывается отрезок s7e.

Исходные данные для программы: d3 — 7,5 в Prl; г6 =
= —36,149 в Рг2; рв = п7/л6 = 1,6227/1,5294 в РгЗ; s76 = 55,65
в Ргб; к = 1 в РгД. Результатом работы программы будет отре-
зок s76, определяющий положение изображения центра кри-
визны 7-й поверхности в 6-й поверхности.

В 5-й поверхности можно получить изображение центров кри-
визны 7-й и 6-й поверхностей. Поэтому d6 = 2 в Prl; г3 — 271,48
238
в Рг2; = 1,5294	в РгЗ; se6 = —гв = -	-36,149 в Рг7; к = 2
в РгД.		
Для последующих поверхностей вводятся значения:		
= 8,12	d3 = 2,5;	di = 6,35;
г4 = —35,29;	r3 = 86,068;	r2 = 0;
ц4 = 1/1,5749;	p,3 = 1,5749;	p2 = 1/1,6126;
s54 = ~г6 = 271,48;	s43 = —r4 = —35,29;	s33 = —r3 = 86,068;
к — 3;	к = 4;	к — 5.

di = 5,6;

fl = —38,475;

И1 = 1,6126;

S21 = -/*2 :=: 1* 10®J

к = 6;

После шестикратного использования программы получаем:
sn = 16,978 в Ргб; Sei = —55,432 в Рг7; S51 = 24896,8 в Рг8;
sii = 59,307 в Рг9; S31 = 34,438 в РгА; S21 = 62,806 в РгВ. Знаки
при отрезках соответствуют движению света справа налево.
Отсюда АК-точки от центров кривизны всех поверхностей (за
исключением 1-й и 6-й) расположены слева от поверхности. АК-
точка от 5-й поверхности расположена практически в бесконеч-
ности.

П8. ГАБАРИТНЫЙ РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

При габаритном расчете в пределах параксиального прибли-
жения обычно определяются световые диаметры компонентов оп-
тической системы, апертурные и полевые углы, степень виньети-
рования наклонных пучков и т. д. Габаритный расчет обычно
выполняется при помощи расчета хода параксиальных лучей.

В параксиальной оптике поверхности независимо от радиуса
кривизны изображаются плоскими. Положение компонентов оп-
ределяется положением их главных плоскостей. Габаритный рас-
чет обычно производится для меридионального сечения оптиче-
ской системы. Каждый луч, исходящий из предметной плоскости
или плоскости компонента, характеризуется двумя параметрами:
высотой hi и величиной tg (рис. П11). Основной задачей рас-
чета является вычисление высоты hi+1 луча на следующем компо-
ненте и значения tg af+1 за следующим компонентом.

Для работы с нижеприведенными программами требуется в не-
программном режиме рассчитать входные значения Ло и а0. Бу-
дем различать три типа лучей. Апертурный луч исходит из осе-
вой точки предмета и проходит край входного зрачка на вы-
соте D3p/2, а при его отсутствии — край оправы первого компо-
Рис. П11. Ход луча через систему оптических компо-
нентов:

1 — плоскость изображения; 2 — входной зрачок; 3—5 —
плоскости компонентов

нента на высоте Dx/2. Полевой луч исходит из крайней точки пред-
мета (на высоте DJ2), проходит через центр входного зрачка,
а при его отсутствии — через узловую точку первого компонента.
Произвольный луч исходит из произвольной точки предмета на
высоте h0 и пересекает входной зрачок на высоте Ло.

За точку исхода луча, входящего в оптическую систему, можно
принять как плоскость предмета, так и плоскость входного зрачка.
Пусть зрачок и предмет расположены на расстояниях d3p и dn
от первого компонента соответственно. Для единства расчетного
алгоритма принято, что любой отрезок dt > 0 (в том числе d3p
и dn), если точка исхода луча расположена слева от плоскости ком-
понента и di < 0, если — справа от плоскости компонента.

Если точка исхода луча — предметная плоскость, лучи ха-
рактеризуются следующими параметрами:

апертурный (рис. П12)

tgaol~^3p-dnj':

полевой

la а _ D0  l _ Do .

tg *02 - 2 (d8p-dn) ’ Л02 - — •
произвольный

tg ffos = j’ _j » Лоз = h0.

“8p — “П

(П25)

Для предмета на бесконечности за точку исхода луча прини-
мается входной зрачок или плоскость первого компонента. Для
апертурного луча имеем: tg <т01 = 0 и Л01 = D3p/2; для поле-
вого — tg a02 = —D-J2d3v и Лоа = 0; для произвольного — зна-
чения tg <т03 и Л03 должны удовлетворять условию I tg a031 <
< D^d^, | Лоз | < DJ2.	1 6	1

Оптическая система может быть задана фокусными расстоя-
ниями своих компонентов или их конструктивными параметрами,
т. е. радиусами кривизны поверхностей и отношением показате-
240
Рис. П12. Схема для расчета входных данных:
/ — плоскость изображения; 2 — входной зрачок; 3 —
плоскость компонента

лей преломления до и после поверхности. Поэтому ниже приве-
дены два варианта программ.

1. Оптическая система задана фокусными расстояниями ком-
понентов. Если известны высота луча Ло на предметной плоскости
и tg ст0, где а0 — угол луча с оптической осью, можно найти вы-
соту hi луча на первом компоненте и угол луча после компонента
по формулам:

fti = Ло — do tg ст0;	(П26)

tg oi = npi tg oo + hi/fi-	(П27)

Здесь ft — фокусное расстояние первого компонента; do — dn,
если плоскость исхода — предметная плоскость; Пр — 1, если
компонент — линзовый и Пр — —1, если компонент зеркальный.
Исходные значения Ло> tg о0 в зависимости от типа луча опреде-
ляются по формулам (П25).

Рассчитанные значения и tg Oj являются исходными для
расчета хода луча через второй компонент при помощи формул
(П26), (П27), причем do заменяется на di, а вместо f\ и Пр\ подстав-
ляются значения f2 и Пр2. Для отрезков hi и углов ст/ принято
правило знаков, используемое в вычислительной оптике.

В программе принято, что у компонента с бесконечно боль-
шим фокусным расстоянием f = 0. Это может быть плоскопарал-
лельная пластинка, плоскость материальной диафрагмы, плос-
кость изображения. Если через оптическую систему нужно «про-
гнать» только один луч, можно воспользоваться программой П10.
За одно обращение к программе по исходным hit tg стг опреде-
ляются ht+1 и tg стг+1.

Программа П10. Исходные данные: fi (100) -► Prl; do (200) ->

Рг2; Пр! (1) -> РгЗ; h0 (10) Рг7; tg а0 (0,01) Рг8. В ре-
зультате расчета: hi — 8 в Рг7; tg ох = 0,09 в Рг8. Инструкция:
ввод, В/О, С/П. Время счета 5 с.
В скобках приведены данные для контрольного примера.

О ИП7 ИП8 ИП2 X — П7 ИП1 Fx 0 10 4-

1 ИПЗ ИП8 X	+ П8 С/П

Если через компонент необходимо пропустить одновременно
не более трех лучей, используется программа П11. Здесь также
применяют формулы (П26), (П27).

Программа П11. Исходные данные: /1 -> Prl; do -* Рг2; Пр1 -►
-> РгЗ; к -> РгД. Здесь к — число рассчитываемых лучей.
При к = 3 — h01 -> Рг7; tg o0i -* Pi'S; h02 -► Pr9; tg o02 -> PrA;
/i03 -* РтВ; tg o03 -> РгС. Для компонента c f = oo принимается,
что f' — 0. Инструкция: ввод, В/О, С/П. Время счета: при к =
= 14-9 с., при к = 2 4- 15 с.

0 ИПД ПО 6	П4 П5 П6 КИП4 ИП2 КИП4 X

1	— КП5 КИП6 ИП1 Fx=/=0 17 4- ИПЗ КИП5 х

2	+ КП6 FLO 06 С/П

Контрольный пример: f\ = 100 -> Prl; do = 200 -► Рг2; Пр] =
= 1 РгЗ; к = 1 -> РгД; h0 = 10 -> Рг7; tg ст0 = 0,01 -> Рг8.
В результате расчета: /гх = 8 в Рг7; tg стх = 0,09 в Рг8.

2.	Оптическая система задана конструктивными параметрами
компонентов. Известен радиус г\ кривизны поверхности и отно-
шение = n0/ni показателей преломления слева и справа от
поверхности. Падающий луч характеризуется величинами h0
и tg а0. Луч исходит из плоскости, удаленной от компонента на
расстояние d0. Тогда параметры луча за компонентом (см.
рис. ПИ) равны:

hi = h0 — d0 tg ст0;	(П28)

tg = Pi tg a0 +	(1 - pO.	(П29)

На границе воздух—стекло p < 1, на границе стекло—воз-
дух р>1. Для отражающей поверхности принято р = —1.
Для расчета хода лучей по формулам (П28), (П29) можно исполь-
зовать программу П12.

Программа П12. Исходные данные: г\ (50) -> Prl; d0 (100) ->
-> Рг2; р (0,6) РгЗ; к (1) -> РгД; h0 (10) -► Рг7; tg о0 (0,02) -►
-* Рг8 (в скобках даны данные для контрольного примера).
В результате расчета: hi = 8 в Рг7; tg стх = 0,076 в Рг8. Ин-
струкция: ввод, В/О, С/П.

0	ИП7 ИП2	ИП8	X	—	П7	1 ИПЗ — X

1	ИП1	Fx^O 14	4-	ИПЗ	ИП8	X + П8	С/П

В программе П12 для плоской поверхности принимается, что
г = 0. С помощью программы П13 через поверхность можно одно-
временно пропускать от одного до трех лучей.
Программа П13. Исходные данные: -> Prl; dQ -> Рг2; иц ->

РгЗ; к -> РгД. Здесь к — число рассчитываемых лучей. При
к 3 h01 -> Рг7; tg о01 -> Рг8; h02 -> Рг9; tg о02 РгА; h03 ->
-> РгВ; tg о03 -> РгС. Вновь рассчитанные значения hu и tg olf
записываются на место исходных значений. Для плоской поверх-
ности принимается г ~ 0. Инструкция: ввод, В/О, С/П. Время
счета: для к = 1 4- 10 с, для к = 2 4- 18 с.

0	ИПД	ПО	6	П4	П5	П6	КИП4	КИП4	ИП2	х

1	—	КП5	КИП6	1	ИПЗ	—	X	ИП1	Fx=H=0	21

2	4-	ИПЗ	КИП6	X	+	КП5	FLO	06	С/П

Контрольный пример: t\ — 50 -> Prl; dQ = 100 -> Рг2; =
= 0,6 -> РгЗ; к = 1 -> РгД; h0 = 10 -> Рг7; tg о0 = 0,02 Рг8.
В результате расчета: /гх = 8 в Рг7; tg = 0,076 в Рг8.

Исходные данные для программы подготавливаются в соответ-
ствии с формулами (П25) в зависимости от типа луча.

П9. РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧА В СИСТЕМЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
И СФЕРИЧЕСКИХ ЛИНЗ И ЗЕРКАЛ

В оптических системах нередко используют компоненты с ци-

линдрическими поверхностями или так называемые «цилиндриче-
ские» линзы и зеркала. Поперечное увеличение системы со сфе-

рическими компонентами во всех меридиональных плоскостях
(т. е. плоскостях, проходящих через оптическую ось) одно и

то же. У цилиндрического
компонента можно выде-
лить две характерные вза-
имно перпендикулярные
меридиональные плоско-
сти. В первой, параллель-
ной образующей цилиндри-
ческой поверхности, ради-
ус кривизны поверхности
и соответственно фокусное
расстояние бесконечно
большие. В перпендику-
лярной плоскости фокус-
ное расстояние имеет ко-
нечный и определенный
размер. Эта плоскость на-
зывается главной.

Примем, что оптическая
система из сферических и
цилиндрических компонен-
тов имеет оптическую ось,
совпадающую с осью z,

Рис. П13. Оптическая система со сфериче-
скими и цилиндрическими компонентами:

1 — сферический компонент; 2, 3 — цилиндри-
ческие компоненты; 4 — плоскость изображения
Рис. П14. Ход лучей в сечении хг\

1 — плоскость предметов; 2,3 — плоскости компонентов; 4 — пло-
скость сечения; 5 — плоскость изображения

как это показано на рис. П13. Главные плоскости цилиндрических
компонентов могут лежать либо в плоскости xz, либо в плоско-
сти yz, т. е. плоскости отдельных компонентов могут быть или
параллельными или перпендикулярными друг другу. Например
(рис. П13), компонент № 2 в плоскости yz имеет fey = оо, а в плос-
кости xz вполне определенное значение fex. У компонента № 3
наоборот, —/зх = оо. Существуют еще сфероцилиндрические
компоненты, у которых f'x #= f'y оо. У сферических компонентов
фокусное расстояние в любой меридиональной плоскости неизмен-
ное.

Нередко оптические системы с цилиндрическими компонен-
тами используют для формирования светового пятна прямоуголь-
ной формы. Чтобы определить его размеры, достаточно знать
размеры пятна в плоскостях xz и yz. Пусть свет исходит из
точки TQ на оптической оси системы, удаленной от первого компо-
нента на расстояние После цилиндрического или сфероцилин-
дрического компонента луч пересечет оптическую ось на рас-
стояниях s\x и от компонента (в плоскости xz и yz соответ-
ственно), определяемых например для плоскости xz как (рис. П14)

1/sk ~ l/f\x “Ь flpi (1/$1д),	(ПЗО)

а для плоскости yz как

~ Mf\y + Пр\	(П31)

где Пр = 1 для линзового компонента и Пр = —1 — для зер-
кального. У сферического компонента fe\x = f'\y-

Изображение, сформированное первым компонентом, является
предметом для второго компонента, удаленным от него на рас-
стояния:

$2х = $1х	$2у = &\у dj,	(П32)

где di — расстояние между первым и вторым компонентами.

Если в плоскости первого компонента имеется диафрагма с раз-
мерами hlx и hly в плоскостях xz и yz, можно определить углы а1х
и а1у лучей, проходящих компонент на высотах hlx и hly, как

tg = hix/s'ix) tg = h\yls\y.	(ПЗЗ)
В плоскости второго компонента лучи будут иметь высоты h2x
и h2y, равные:

h%x ~ ^2х tg h2y = s2y tg (x>iy	(П34)

Так как световое пятно в любом сечении, перпендикулярном
к оси z, симметрично относительно плоскостей xz и уг, значе-
ния tg alx, tg а1у, Л2х, h2y достаточно определить с точностью
до знака.

Последовательное применение рассмотренного алгоритма ко
всем компонентам системы позволяет определить положение
плоскости изображения в каждой из плоскостей за всей системой.
Для последнего компонента в качестве отрезка указывается
расстояние от компонента до плоскости экрана, где определяются
размеры светового пятна.

Можно проследить, какие размеры имеет пятно в любой дру-
гой плоскости, параллельной экрану, задавая удаление этой
плоскости от плоскости экрана. Тогда размеры hx и hy пятна в этой
плоскости:

^х ~ ($ix ^1) tg &у = (Sty Zi) tg CX>iy*	(П35)

Программа П14. Программа позволяет определять положение
плоскости изображения и размеры светового пятна в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях для системы из сферических, ци-
линдрических и сфероцилиндрических линзовых и зеркальных
компонентов. Считается, что главные плоскости цилиндрических
и сфероцилиндрических компонентов параллельны или перпенди-
кулярны к плоскости xz, т. е. угол между главными плоскостями
компонентов может быть 0 или 90°. Принято, что лучи, входящие
в оптическую систему, исходят из точки на оптической оси си-
стемы. В программе последовательно рассчитывается ход луча
сначала в одной меридиональной плоскости, затем во второй ме-
ридиональной плоскости, перпендикулярной к первой.

Для расчета хода луча через первый компонент необходимы
следующие данные: удаление $1Х и sly источника света от первого
компонента, высоты hlx и hly луча в плоскости первого компо-
нента. Если источник точечный, то $1х = $1?/. Если в плоскости
первого компонента световой пучок имеет квадратную форму,
то hlx = hiy.

Компонент характеризуется величинами f\x и f[y фокусного
расстояния в каждой из плоскостей и величиной Пр, причем Пр =
= 1, если компонент линзовый и Пр = —1, если компонент зер-
кальный. Значение для первого компонента равно расстоянию
между первым и вторым компонентами. Значение Пр определяет
вид расчета. Если Пр = 0, производится расчет хода лучей через
компонент, когда Пр 0, вычисляются размеры изображения
в плоскости, параллельной плоскости экрана.

С помощью программы определяются: положение плоскости
изображения $2х и s2y относитеьлно второго компонента, а также
высоты h2x и h2y лучей в плоскости второго компонента. Для
продолжения расчета через второй компонент необходимо ввести:

fay, Пр2 и d2, характеризующие второй компонент и положение
третьего компонента относительно второго и т. д. Для послед-
него компонента вводятся его параметры f'iXt f'iy и Пр, а также ве-
личина t удаления плоскости экрана от последнего компонента.
Выходные данные программы после последнего компонента —
отрезки 5(1+1)^ и S(/+i)y, отсчитываемые от плоскости экрана, а
также высоты h(i+\}x и	луча в плоскости экрана.

С помощью программы можно определить размеры пятна в лю-
бой плоскости, параллельной плоскости экрана и удаленной от
него на расстояние t19 не изменяя результатов расчета S(i+i)Jt,
S(t+i)z/, h(i+\)x> ha+\)y. Для этого перед запуском программы нужно
записать в РгЗ любое ненулевое число, а в РгД — величину
По окончании расчета в Prl и Рг2 будут записаны величины hx
и hy. Расчет можно повторять многократно для разных значе-
ний tv Если такой расчет не требуется, при записи программы
в память ПМК можно не вводить фрагмент программы, начиная
с шага 32, но перед началом вычислений в РгЗ необходимо запи-
сать число Пр = 0.

Когда фокусное расстояние компонента — бесконечность, в ка-
честве записывается число 0. Для предметной точки на беско-
нечности в качестве величины s записывается достаточно боль-
шая величина, например, 1-Ю8. Если предмет или его изображе-
ние находятся в фокальной плоскости компонента, происходит
аварийная остановка программы. Величина может принимать
как положительные, так и отрицательные значения. Если
отличается от t знаком, то плоскость располагается между компо-
нентом и экраном. Если знак совпадает со знаком t, то плоскость
расположена по ходу света за экраном. Для отрезков d, t, s, s'
после зеркального компонента знак изменяется на противополож-
ный.

Исходные данные для программы: Пр (0) -> РгЗ; Пр (1) ->
Рг4;	(—200) Рг7; f\x (100)	Рг8; h\x (10) Рг9; sXy =

= (—150)	РгА; f[y (100) РгВ; h}y (20) РгС; dx (50) РгД.

По окончании расчета: s2x = 150 в Рг7; h2x = 7,5 в Рг9; s2y =
= 250 в РгА; h2y = 16,666 в РгС. Инструкция: ввод, В/О, С/П
(в скобках приведены данные для контрольного примера). Время
счета 18 с.

Если Пр = 1 в РгЗ, -► РгД, то по окончании расчета:
Нх в Prl; hy в Рг2. При этом результаты расчета в Рг7—РгА
остаются неизменными. Инструкция: ввод, В/О, С/П.
0 2	ПО	6	П5 П6 ИПЗ Лс=0	32	КИП5	Fl/x
1 ИП4	X	КИП5	Fx=/=0 16 Fl/x +	Fl/x	КИП 5	ху_
2 -ь	FBx	ипд	— КП6 ху КП6	X	КП6	FL0
3 08	С/П	0	П6 КИП5 ИПД —	КИП5	' X	КП6
4 КИП5 FL0		34	С/П			

Пример П5. Составлена оптическая система из сферической
линзы с /; = 150 мм и цилиндрической линзы с = 100 мм и
f'2y = оо. Расстояние между линзами 20 мм (рис. П15). Входной
зрачок расположен перед сферической линзой на расстоянии 30 мм
и имеет размеры 40x40 (мм). Источник света находится на рас-
стоянии 10 000 мм от первой линзы. Найти положение и размеры
штриховых изображений, когда источник света находится на оп-
тической оси системы и когда он смещен вдоль оси х на расстояние
500 мм.

Ход лучей через оптическую систему в сечениях xz и yz пока-
зан на рис. П16. На рис. П16, в приведена форма светового пятна
в различных плоскостях, перпендикулярных к оси z. Видно, что
в плоскости yz цилиндрическая линза не влияет на ход лучей и
световой штрих формируется в фокальной плоскости Пл2 сфери-
ческой линзы. В сечениях xz оптическую силу имеют оба компо-
нента и формируется световой штрих, расположенный ближе
ко второму компоненту в плоскости Плх.

При смещении источника света с оси z вдоль оси х лучи, пере-
секающие зрачок на оси х, будут лежать в меридиональном се-
чении оптической системы. Лучи, пересекающие зрачок по оси у,
по отношению к оптической системе являются косыми (за исклю-
чением луча, проходящего через центр входного зрачка), и про-
грамма П14, строго говоря, неприменима
в этом случае. Однако, если смещение
источника вдоль оси х невелико (как в на-
шем случае), ею все же можно восполь-
зоваться.

Прежде всего отметим, что в пределах
параксиального приближения новой осью
симметрии внеосевого пучка будет луч,
идущий от источника и проходящий через
центр входного зрачка. После компонентов
он имеет направляющий орт О (рис. П16, а).
Центры световых штрихов должны лежать
на этом луче. Вследствие малого смещения
источника можно принять, что ход лучей
в сечении, проходящем через ось у и орт О,
останется практически неизменным. Суще-
ственные изменения он претерпит только

Рис. П15. Внешний вид
оптической системы:

1 — kxqjwqVl зрачок; 2 —
сферический компонент; 3 —
цилиндрический компонент
Рис. П16. Схема для определения размеров светового
пятна: а, б — сечение оптической системы плоскостями xz
и yz соответственно; в — форма светового пятна в пло-
скости входного зрачка и в плоскостях Плг и Пл2:

1 — входной зрачок; 2, 3 — плоскости компонентов

в сечении xz. Ход этих лучей показан на рис. П16, а штрихо-
выми линиями.

Воспользуемся программой П14. Когда точечный источник
света находится на оси z, имеем следующие исходные данные для
программы: $1* =	= — 10 000; h\x = h\y = 20 мм; f\x =

= f{y = 150; Пр = 0; Пр = 1; di = 20. С помощью программы
устанавливаем, что дальний штрих расположен на расстоянии
$2Х = 132,284 от второго компонента. Для второго компонента
системы вводим: f2x = 100; f2y = 0; d2 = t = 132,284. Получаем:
s3x = —75,335; h3x = —22,982. Ближний штрих расположен на
расстоянии 75,335 слева от плоскости Пл2. Вновь воспользуемся
программой для определения размера светового пятна в пло-
скости Пл1. Вводим: 4 = $3х; Пр = 1 и получаем, что Л3х = 0;
h3y = 9,894. Таким образом, ближний штрих имеет длину 19,788
и удален на расстояние 56,949 от второго компонента. Дальний
штрих имеет длину 45,96 и удален на расстояние 132,284 от вто-
рого компонента.

Теперь найдем положение центров штрихов при смещении
источника света на расстояние dx = 500. Расчет достаточно про-
вести только для сечения xz. Луч, исходящий из центра входного
зрачка, имеет на первом компоненте высоту /г1х = 0,05-30 =
— 1,5. Кроме того, slx = —30; fix = 150; d\ = 20; Пр = 0.
Так как расчет для сечения yz не требуется в РгА—РгС, можно
ничего не записывать. Следует только помнить, что нулевые зна-
чения в этих регистрах могут привести к аварийной остановке
программы, после того как результаты для сечения xz уже рас-
считаны ПМК. Для второго компонента подставляем f'2x = 100;
t = 132,284. Получаем, что центр дальнего штриха сместился
в плоскости Пл2 вдоль оси х на расстояние 4,55. Подставляя
Пр = 1 и А = —75,335, с помощью программы находим, что
центр ближнего штриха сместился на расстояние 3,268. При
принятых допущениях длина штрихов остается неизменной.

П10. РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧА
В ДЕЦЕНТРИРОВАННОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

Пусть оптическая ось системы совпадает с осью z, а плоскости
компонентов перпендикулярны к оптической оси (рис. П17). Оп-
тическая ось компонента может быть смещена (децентрирована)
параллельно оси z на 6х и §у вдоль осей х и у соответственно.
Два компонента, расположенных близко к друг другу, с различ-
ными 6х и 8у моделируют компонент, оптическая ось которого
имеет наклон к оптической оси системы.

Каждый компонент оптической системы характеризуется фо-
кусным расстоянием fi и величиной /7pt-, определяющей тип ком-
понента. Если Пр = 1 — компонент линзовый, если Пр = —1 —
зеркальный. Таким образом, для каждого компонента указы-
ваются четыре величины: //, /7pt-, 6х/, 6r/t-. Параметры оптической
системы задаются расстояниями dt между компонентами и отрез-
ком 51? равным удалению плоскости предметов от первого компо-
нента. В результате расчета необходимо найти положение изобра-
жения точки TQ за первым компонентом, т. е. координаты точки
Л (xj, i/i). Для определения влияния децентрировки компонен-
тов есть смысл разместить точки То на оптической оси системы и
тогда х0 = yQ = 0.

Рис. П17. Ход луча в децентрированной оптической системе:

1 — предметная плоскость; 2, 4 — плоскости компонентов; 3, 5 — проме-
жуточные плоскости изображения
первым

(П36)

(П37)

первого

(П38)

Положение плоскости изображения, формируемого
компонентом, можно найти как
г _ ftst
l~ f'tnPt + st ‘

Поперечное	увеличение	компонента	равно

у. = _1	=______fl ,

1 Si	f'{npt + St

Координаты точки То относительно оптической оси
компонента равны

х0 = — 6*11 Уо = Уо~ Ьуъ

положение точки 7\ в системе координат компонента определяется
как

xi = ХоУь У1 = yoVi.	(П39)

Наконец, в системе координат оптической системы координаты
точки 7\ равны

Xi = XiVi + блл; г/I = yiVi + 6z/i.	(П40)

Плоскость изображений первого компонента является предмет-
ной плоскостью для второго компонента, удаленной от него на
расстояние

s2=s'i — d\.	(П41)

Циклическое использование формул. (П36)—(П41) позволяет
найти положение плоскости изображения и координаты точки 7\
в системе из i компонентов. Для первого компонента d0 = 0.

Программа П15. Исходные данные: Sjq (1) РгО; Ьуг (2) -►
— Prl; х0 (10) -> Рг2; % (20) — РгЗ; d0 (5) -> Рг4; з0 (—200)->
-> Рг5; fl (50) Ргб; Пр (1) -► Рг7 (в скобках приведены данные
для контрольного примера). В результате расчета: х{ = —1,9032
в Рг2; у'\ = —7,8064 в РгЗ; s[ = 66,129 в Рг4. Инструкция: ввод,
В/О, С/П. Время счета

0	ИП6	f	ИП7	X	ИП5	ИП4	—	П9	+	4-

1	П8	ИП9	X	П5	ИП2	ИП0	—	ИП8	X	ИП0

2	+	П2	ИПЗ	ИП1	—	ИП8	X	ИП1	—	ПЗ

ПН. РАСЧЕТ ХОДА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ
В МЕРИДИОНАЛЬНОМ СЕЧЕНИИ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Смысл используемых обозначений иллюстрируется рис. П18.

Расчетная схема строится на формулах [42]:

sin Bi = Г1~sin Qi;	(П42)

ri
sin ej = y,i sin еь	(П43)

— ei + 8ь	(П44)

si = и [1 — (sin ej/sin aj)].	(П45)

Падающий на поверхность луч характеризуется параметрами
и Луч после поверхности (преломленный или отраженный)
характеризуется параметрами aj и sj, определяемыми по формулам
(П42)—(П45). Оптические свойства поверхности задаются радиу-
сом кривизны гг и отношением = п^/п^ показателей преломле-
ния до и после поверхности.

Для точки вне оси исходные значения и sx можно найти по
формулам:

= агс*8 ;	(™6>

Si = s0 + Ло/tg аь	(П47)

где hQ и йзр — высота луча в плоскости предмета и в плоскости
входного зрачка оптической системы. Отрезки s0 и s3p определяют
положение предметной плоскости и входного зрачка. Когда вход-
ной зрачок совпадает с первой поверхностью, s3p = 0. Если пред-
мет находится на бесконечности — од = 0 и sx = —оо. Расчет хода
луча тогда начинается непосредственно с формулы (П43), в ко-
торой

sin 8i = /i0/ri-	(П48)

При переходе ко второй поверхности сг2 — ^i, т. е- угол луча
с оптической осью остается неизменным, а отрезок s2 рассчиты-
вается по формуле

S2 — Si — di,

(П49)

где dj — расстояние между первой и второй поверхностями.

Используя формулы (П42)—(П45), можно найти параметры
луча за второй поверхностью оптической системы и т. д. Для

Рис. П18. Ход действительного луча:

1 — плоскость входного зрачка; 2,3 — поверхности компонен-
тов оптической системы
определения высоты Ли луча в плоскости изображения, удаленной
на расстояние sa от последней поверхности, используется формула

Ли = («/ — Sh) tg о,.	(П50)

Таким образом, при расчете хода луча через первую поверх-
ность от предмета на конечном расстоянии используют формулы
(П42)—(П47). Если предмет находится на бесконечности, исполь-
зуются формулы (П48), (П43)—(П45). Расчет хода луча через
остальные поверхности ведется по одному и тому же алгоритму
(П42)—(П45), (П49). Формула (П50) используется на последнем
этапе расчета — при определении точки пересечения луча с плос-
костью изображения.

Формулы (П42)—(П45) справедливы для расчета хода луча
через отражающие поверхности. Для первой по ходу луча отра-
жающей поверхности принимается |л = —1. Все отрезки, отсчи-
тываемые вдоль оптической оси, изменяют свой знак на противо-
положный. После второй отражающей поверхности снова изме-
няется знак |л и осевых отрезков и т. д.

Основной недостаток рассмотренной тригонометрической схемы
расчета хода луча состоит в потере точности на поверхностях с
большими радиусами кривизны. Действительно, при гг = оо из
формулы (П42) приходим к заведомо неверному результату, что
sin 8х = sin Ор Исходя из этого, алгоритм может привести к гру-
бым ошибкам в оптических схемах, содержащих плоские по-
верхности, а также в том случае, когда промежуточное изобра-
жение находится на бесконечности. Тем не менее, компактность
алгоритма настолько привлекательна, что еще совсем недавно
он широко использовался в профессиональных программах рас-
чета оптических систем.

Программа П16. Программа предназначена для расчета хода
одновременно от одного до трех действительных лучей через пре-
ломляющую или отражающую поверхность, что позволяет опре-
делять аберрации центрированных зеркально-линзовых систем.

Исходные данные для программы подготавливаются предвари-
тельно в зависимости от положения предмета относительно первого
компонента. Когда предмет на конечном расстоянии, значения sn,
on, s12, о12, $13, о13 (при расчете хода одновременно трех лучей)
вычисляются по формулам (П46), (П47) и записываются в Рг8—
РгД соответственно. В Prl записывается величина Пр = 0.

Когда предмет на бесконечности, исходными являются вели-
чины еп, е12, е13, которые вычисляются с помощью (П48) и записы-
ваются в Рг9, РгВ, РгД соответственно. При этом в Prl вводится
число Пр = 1. В процессе работы программы содержимое Рг8,
РгА, РгС автоматически обнуляется.

Во всех случаях в Рг2, РгЗ, Рг7 записываются величины: р,
г, dt характеризующие оптическую поверхность. Для первой по-
верхности d0 = 0, для второй d± равно расстоянию между первой и
второй поверхностями. Для любой поверхности (кроме последней
252
и первой, когда предмет на бесконечности) Пр = 0. На последней
поверхности при определении Ли принимается dt = «и и Пр = —1.
В РгО вводится число к, равное числу рассчитываемых лучей.
Содержимое РгО используется в программе для организации цик-
лов и поэтому на каждой поверхности содержимое РгО необходимо
восстанавливать. Число к на любой поверхности может быть
уменьшено (если обнаружилось непрохождение луча) или при
необходимости увеличено, при этом конечно к <; 3. При увеличе-
нии к необходимо предварительно подготовить соответствующие
значения а и s.

Вид поверхности определяется значением р. При р = —1 она
отражающая (зеркальная).

Исходные данные: при к = 3 -> РгО, Прх -> Prl, рх -> Рг2,
г± -> РгЗ, dr (или $и) -> Рг7, sn -> Рг8, ап -> Рг9, s12 -> РгА,
а12 -> РгВ, s^3 -> РгС, о13 -> РгД. Если к = 1;	-> Рг8, ->

-> Рг9. В РгА—РгД запись не производится. В результате расчета:
при к = 3; Sii в Рг8, сгп в Рг9; в РгА; сг;2 в РгВ, в РгС, а!з
в РгД. Инструкция: ввод, В/О, С/П в любом режиме. Время счета:
при	К = 1 и Пр = 0 — 20 с, при Пр = —1	— 10	с.

0	7	П4	П5	П6 ИП1 Fx = 0 09	БП	13	Fx<0

1	62	БП	50	ИП1 Fx=0 62 КИП4	Fsin	1	КИП4

2	ИП7	—	ИПЗ	4-	—	X	Farcsin	FBx	ИП2	X

3	Farcsin FBx	КИП5	F D	F 0	—	—	КП6	Fsin	4-

4	1	xy	—	ИПЗ	X	КП5	КП6	FLO	13	С/П

5	КИП4	F tg	КИП4	ИП7	—	X	КИП5	ху	КП5	FLO

6	50	С/П	0	КП4 КИП4 F sin БП	26

Контрольный пример: переключатель Р/Г в положение Г.
1 РгО; Прх = 1 —> Prl, рх = 1/1,5 -> Рг2; = 100 — РгЗ,
dQ = 0 -+ Рг7; Ох = 10° -> Рг9.По окончании расчета: si = 297,977
в Рг8; aj = —2,3522° в Рг9.

П12. НАПРАВЛЕНИЕ НОРМАЛЕЙ К РАБОЧИМ ГРАНЯМ ПРИЗМ

На рис. П19 показаны ряд распространенных оптических
призм. Ниже приведены координаты ортов нормалей к плоскостям
призм, а также величина р, равная отношению показателей пре-
ломления до и после поверхности. Материал можно рассматри-
вать, как справочный по отношению к программам П1—П4. На-
правление ортов совпадает с направлением радиуса-вектора
нормали к граням призмы. При сохранении начала координат
в соответствии с рис. П19 координаты ортов могут быть ис-
пользованы в программе П2 без изменения знака.
Рис. П19. Оптические призмы: а — призма Дове; б —
полупентапризма; в — треугольная призма; г — призма
Лемана; д — прямоугольная призма с крышей; е — призма
Порро—Малафеева 1-го рода

1.	Призма Дове (АР-О)

Nlx = /2/2; У2х = 0; N3x = /2/2;

Nly = - /2/2; N 2у = 1; N3y = /2/2;

Pi = 1/n;	p2 = 1; Из = n;

2.	Полупентапризма (БУ-45)

Nlx = 1;	N2x	= /2/2;	N3x	= cos 67,5°;	Nix =	/2/2;

Nly = 0;	A/2y	= /2/2;	N3y	= sin 67,5°;	Niy =	/2/2;

Pi = 1/n;	p2	=1;	p3	= 1;	p« =	n;

3.	Треугольная призма с двумя отражающими гранями (БУ-6(

ЛГ1Х = 1;	У2х = 0,5;	м3х = 0;	Nix = 0,5;
Nly = 0;	N2y = /3/2;	л/ = 1;	Niy = /3/2;
Pi = 1/n;	Из = Г.	Из = Г,	и« = «;
4. Призма Лемана			
Nlx = 1;	N2x = 0,5;	N3X = /3/2;	Nix = 1;
Nly = 0;	N2y = /3/2;	N3y = 0,5;	Niy = 0;
Px = 1/n;	Иг — 1;	Из = i;	И4 = n;
5. Прямоугольная призма с крышей (БкР-180) М1х = 1; N2x = /2/2; N3x = —1/2; Nix = —1/2;	- 1;
Nly = 0; N2y = /2/2; N3y = 1/2; Niy = 1/2;	Niy = 0;
M12 = 0; N2Z = 0; N3z = /2/2; A/42 = -/2/2;	Nt, = 0;
Pi = 1/n; щ = 1;	p3 = 1;	p4 = 1;	Hs = n;

6. Призма Порро—Малафеева 1-го рода

= 0;	M2X = y^/2;		—/2/2;
Nly = 1;	N2y = /2/2;	Nav =	/2/2;
Nu = 0;	N2i = 0;	Naz =	0;
p4 = 1/n;	p2 = 1;.	Из —	1;
M4X = 0;	N3X = 0;	Ntx	= 0;
Niy = /2/2;	N3y = /2/2;	Nty	= —1;
M42 = /2/2;	M62 = -/2/2; M.2		- 0;
p4 = 1;	Ив — 1>	Ps	= n.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	КПСС. Съезд (27; 1986, Москва). Материалы XXVII съезда КПСС. —
М.: Политиздат, 1986.—352 с.

2.	Брусков А. М., Брусков В. М. Конструирование зеркально-призменных
оптико-механических узлов. — М.: Машиностроение, 1987. — 00 с.

3.	Бурбаев А. М. Методика юстировки системы переключаемых призм//
Оптико-механическая промышленность. — 1974. — № 10. — С. 64—68.

4.	Вычислительная оптика: Справочник/Под редакцией М. М. Руси-
нова. — Л.: Машиностроение, 1984. — 423 с.

5.	Голубовский Ю. М., Пивоварова Л. Н., Афанасьева Ж. К. Фотоэлек-
трические преобразователи линейных и угловых перемещений//Оптико-механи-
ческая промышленность. — 1984. — № 8. — С. 50—58.

6.	Грамматин А. П., Кунделева Н. Е. Алгоритм автоматизированного рас-
чета допусков на конструктивные элементы оптических систем//Оптико-мех.
пром-сть. — 1982. — № 9. С. 25—28.

7.	Грейм И. А. Анализ, синтез и юстировка зеркально-призменных систем.—
Л.: СЗПИ, 1981. — 81 с.

8.	Гришин Б. С. Юстировка сложных оптических систем приборов. — М.:
Машиностроение, 1976. — 205 с.

9.	Данилевич Ф. М., Никитин В. А., Смирнова Е. П. Сборка и юстировка
оптических контрольно-измерительных приборов.—Л.: Машиностроение,
1976. — 256 с.

10.	Долинский И. М. Новая методика структурного анализа механизмов
оптических приборов//Оптико-мех. пром-сть. — 1980. — № 4. — С.. 37—41.

11.	Дьяконов В. П. Справочник по расчетам на микрокалькуляторах. —
М.: Наука, 1985. — 224 с.

12.	Захарьевский А. Н. Конспект сферической тригонометрии (с примерами
из оптотехники). — Л.: ЛИТМО, 1948. — 44 с.

13.	Ильин Р. С., Федотов Г. И., Федин Л. А. Лабораторные оптические при-
боры. — М.: Машиностроение, 1966. — 496 с.

14.	Кожевников Ю. Г. Оптические призмы. Проектирование, исследование,
расчет. —М.: Машиностроение, 1984. — 152 с.

15.	Кочетов Ф. Г. Нивелиры с компенсаторами. — М.: Машиностроение;
М.: Недра, 1985. — 148 с.

16.	Креопалова Г. В., Лазарева Н. Л., Пуряев Д. Т. Оптические измере-
ния. — М.: Машиностроение, 1987. — 00 с.

17.	Кривенков В. В. Автоматический контроль и поверка преобразователей
угловых и линейных величин. — Л.: Машиностроение, 1986. — 248 с.

18	Кручинина Н. И. Анализ влияния погрешностей широкодиапазонного
нивелира на точность стабилизации линии визирования//Оптико-мех. пром-сть. —
1984. — № 4. — С. 41—44.

19.	Латыев С. М. Компенсация погрешностей в оптических приборах. —
Л.: Машиностроение, 1985. — 248 с.

20.	Лебедев И. В. О некоторых свойствах систем плоских зеркал//Тр. ин-та
физики и математики АН БССР. — 1956. — Вып. 1. —С. 125—151.

21.	Максутов Д. Д. Изготовление и исследование астрономической оптики. —
М.: Наука, 1984. — 272 с.
22.	Маламед Е. Р. Влияние разворота в процессе перемещения дифракци-
онной решетки на работу ПЛП (преобразователя линейных пепемешени£П//
Оптико-мех. пром-сть. — 1983. — № 8. — С. 15—17.	'

23.	Мальцев М. Д. Расчет допусков на оптические детали. — М.: Машино-
строение, 1974. — 169 с.

24.	Нефедов Б. Л. Методы решения задач по вычислительной оптике. _

М.; Л.: Машиностроение, 1966. — 265 с.

25.	Оптические системы геодезических приборов/Д. А. А н и к с т, О. М. Го-
лу б о в с к и й, Г. В. Петрова и др. — М.: Недра, 1981. — 240 с.

26.	Погарев Г. В. Оптические юстировочные задачи: Справочное пособие. —
Л.: Машиностроение, 1974. — 224 с.

27.	Погарев Г. В. Юстировка оптических приборов. — Л.: Машинострое-
ние, 1968. — 292 с.

28.	Погарев Г. В., Бурбаев А. М., Кручинина Н. И. Методика нахождения
эквивалентов зеркально-призменных систем. — Л.: ЛИТМО, 1983. — 46 с.

29.	Пошехонов Б. Л. Графоаналитическая геометрия в применении к опти-
ческим задачам. — М.; Л.: Машиностроение, 1967. — 158 с.

30.	Пошехонов Б. Л. Применение начертательной геометрии к решению
оптических задач. — Л.: ЛИТМО, 1985. — 82 с.

31.	Прикладная оптика/А. С. Д у б о в и к, М. И. А п е н к о, Г. В. Ду-
ре й к о. — М.: Недра, 1982. — 612 с.

32.	Проектирование оптических систем/Под ред. Р. Шеннона, Д ж. В а ft-
ан т а. — М.: Мир, 1983. — 432 с.

33.	Русинов М. М. Юстировка оптических приборов. — М.: Недра, 1969. —
328 с.

34.	Сборник задач по теории оптических систем/Л. Н. Андреев,
А. П. Гр а мм ат ин, С. И. Кирюшин. —М.: Машиностроение, 1987. — 192 с.

35.	Сборник задач по курсу «Сборка и юстировка оптических приборов»/
Г. В. Погарев, Бурбаев А. М., Кручинина Н. И. — Л.: ЛИТМО,
1985. — 35 с.

36.	Сивцов Г. П., Антушевич Л. М. Расчет зеркальной системы проектора//
Оптико-мех. пром-сть.' — 1983. — № 5. — С. 22—25.

37.	Скворцов Г. Е. О влиянии некоторых ошибок юстировки панорамиче-
ских систем на точность измерения углов//Расчет и исследование в оптическом
приборостроении. — Л.: Изд-во ЛГУ. — Вып. 19. — 1956.

38.	Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. — Л.: Машинострое-
ние, 1969. — 670 с.

39.	Справочник конструктора оптико-механических приборов/Под ред.
В. А. Панова. — Л.: Машиностроение, 1980. — 742 с.

40.	Сухопарое С. А. Пространственно-инвариантные схемы оптических
приборов//Изв. ВУЗов. Приборостроение. — 1982. — № 11. —С. 58—66.

41.	Сухопарое С. А. Обобщенный метод точностного расчета конструкций
оптических приборов//Изв. ВУЗов. Приборостроение. — 1986. — № 6. —
С. 58—65.

42.	Теория оптических систем/Б. Н. Бегунов, Н. П. Заказное,
С. И. Кирюшин. — М.: Машиностроение, 1981. — 432 с.

43.	Тодоров А. Ц. О юстировке стереомикроскопов//Тр. ЛИТМО. — Вып.
90. — 1977. — С. 59—62.

44.	Тудоровский А. И. Теория оптических приборов. — М.; Л.: изд-во
АН СССР. — Ч. 1. — 1948. — 661 с.

45.	Цуккерман С. Т. Новые приборы автоматического управления машинами
оптическим лучом//Изв. ВУЗов. Приборостроение. — 1982. — № 10. — С. 71—74.

46.	Чуриловский В. Н. Теория оптических приборов.—М.; Л.: Машино-
строение, 1966. — 564 с.

47.	Hansen F. Justierung. VEB Verlag Technik. — Berlin, 1964. — 164 S.

48.	Krause W. Geratekonstruktion. VEB V. T. — Berlin, 1982. — 660 S.

49.	Naumann H., Schroder G. Bauelemente der Optik. Taschenbuch fur Kon-
strukteure. — C. Hanser Verlag. Munchen; Wien: 1983. — 599 S.

50.	SlyusarevG. G. Aberration and Optical Design Theory. Sec. ed., Ad. Hilger.
Bristol: 1984. P. 651.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие......................................................... 3

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОПТОТЕХНИКИ. ОСНОВНЫЕ
РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Глава /. Основные формулы геометрической оптики для расчета хода
лучей............................................................. 5

1.	Расчетные формулы для параллельного хода лучей ....	—

2.	Расчетные формулы для сходящегося хода лучей.......	37

Глава II, Влияние смещений и поворотов плоских зеркал, призм и
линз на положение и ориентировку изображения..................... 55

3.	Поступательные смещения плоских зеркал и призм в схо-
дящемся ходе лучей.................................. —

4.	Повороты зеркал и призм с плоскими рабочими гранями	.	.	59

5.	О классификации зеркально-призменных систем............	73

6.	Смещения и сдвиги фокусных деталей................. 78

Глава III. Расчетные формулы для допусков на оптические детали ...	82

7.	Формулы для определения допусков на дефекты оптиче-
ских поверхностей и деталей............................... —

8.	Расчет допусков для деталей оптической системы ору-
дийной панорамы.......................................... 91

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ

РЕШЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ЮСТИРОВОЧНЫХ ЗАДАЧ

Глава IV. Фокусировка изображения, устранение параллакса шкал
и сеток, регулировка масштаба изображения и увеличения
оптических систем............................................... 104

Задача 1. Расчет пределов отклонений фокусных расстояний от номи-
нального значения в партии серийно изготовляемых двух-
линзовых ахроматических объективов................................ —

Задача 2. Расчет смещений компонентов двухлинзового объектива,
необходимых для регулировки его фокусного расстояния
в заданных пределах при сохранении положения его фо-
кальной плоскости............................................... 107

Задача 3. Расчет допусков на нетелескопичность и на несовмещение
фокусов системы головки зенитного перископа, состоящей
из сферического концентрического колпака и компенса-
ционной линзы, расположенной перед призмой-кубом . . .	108
Задача 4. Обоснование требований к поворотной телескопической
системе перемены увеличения скачком, определение числа
юстировочных компенсаторов и выбор способа контроля
при юстировке....................................................... 111

Задача 5. Определение пределов и чувствительности юстировочных
подвижек коллектива визирной трубы, предназначенной
для точного измерения небольших углов .............................. 115

Задача 6. Определение погрешности масштаба изображения, воз-
никающей вследствие взаимной непараллельности плоскости
шкалы (или экрана) и плоскости изображения.......................... 117

Задача 7. Определение влияния погрешности установки нуля нели-
нейных измерительных шкал на погрешность измерения . . .	122

Глава V. Центрирование линзовых и зеркально-призменных систем
по отношению к заданным базам....................................... 124

Задача 8. Расчет допусков на децентрировку линз сменных окуля-
ров, применяемых в бинокулярных насадках микроскопов —

Задача 9. Определение влияния зазоров оси вращения плоского и
углового зеркал в схеме оптического самописца....................... 129

Задача 10. Анализ влияния погрешностей направляющих передвиж-
ной пентапризмы, служащей для фокусировки трубы со
стабилизированной визирной линией .................................. 133

Задача 11. Разработка методики юстировки переключаемой системы
из двух призм, установленных на общем суппорте ....	136

Глава VI. Устранение наклона и увода изображения, разворота шкал
и сеток ............................................................ 148

Задача 12. Нахождение направления нормали плоского зеркала по
заданным направлениям падающего и отраженного лучей —

Задача 13. Нахождение направления ребра и двугранного угла системы
двух плоских зеркал по заданнььм направлениям двух па-
дающих и двух отраженных лучей ...................................... 151	'

Задача 14. Строгое доказательство влияния поворотов задней бабки
линейной измерительной машины на точность измерения
длин................................................................ 154

Задача 15. Анализ причин возникновения перекоса изображений в би-
нокулярных насадках, в которых для изменения расстояния
между окулярами используется разворот тубусов совместно
с призмами Шмидта с крышей ......................................... 158

Задача 16. Строгое доказательство необходимости обеспечения при
юстировке панорамических визиров взаимной параллельно-
сти осей вращения головной и компенсационной призм для
исключения погрешностей измерения углов ............................ 162

Задача 17. Анализ погрешностей установки зеркал и призм и разра-
ботка методики юстировки и контроля зеркального шар-
нира ............................................................... 166

Глава VII. Расчет допусков на погрешности изготовления и сборки
оптических деталей и систем ........................................ 169

Задача 18. Вывод формулы для двугранного угла, образуемого гра-
нями крыши со смежными рабочими гранями призмы ...	—

Задача 19. Расчет допусков для качающегося плоского зеркала и за-
щитного стекла, расположенных перед объективом телеви-
зионной камеры.....................’................................ 172

Задача 20. Расчет допусков на погрешности изготовления и установки
плоских зеркал измерительных профильных проекторов . .	174

Задача 21. Расчет допусков на погрешносли изготовления и сборки
(склейки) призмы Пехана............................................. 182
Задача 22. Расчет допусков на погрешности склейки оборачивающей
призменной системы Малафеева—Порро 2-го рода и раз-
работка методики контроля.......................................... 186

Глава VIII. Разработка методик юстировки и контроля оптических узлов
и приборов......................................................... 190

Задача 23. Разработка методики юстировки и контроля автоколлима-
ционной торцовой трубки .................................. —

Задача 24. Составление технических требований, разработка методики
юстировки и контроля автоколлимационной проекционной
установки А. Н. Захарьевского для регулировки биноклей
при сборке......................................................... 195

Задача 25. Разработка методики юстировки и контроля коленчатого
визира............................................................. 199

Задача 26. Разработка методики юстировки оптического угломера
(Н. И. Кручинина).................................................. 204

Задача 27. Исследование компенсатора нивелира с самоустанавлива-

ющейся линией визирования (Н. И. Кручинина) . ... .	207

Задача 28. Методика центрировки лимбов и кодовых дисков фотоэлек-
трических датчиков угла (С. М. Латыев)............................. 210

Задача 29. Разработка методики алгоритмической компенсации систе-
матических погрешностей фотоэлектрических преобразовате-
лей круговых перемещений (С. М. Латыев)............................ 212

Задача 30. Разработка требований и методики юстировки узла авто-
подфокусировки диапроектора (С. М. Латыев)......................... 214

Задача 31. Разработка методики юстировки фотоэлектрического пре-
образователя линейных перемещений (С. М. Латыев) . .	216

Задача 32. Методика юстировки и настройки прибора управления лу-
чом (ПУЛ) (А. Н. Тимофеев)......................................... 219

Приложение. Пакет программ типовых расчетов оптических систем для
программируемого микрокалькулятора (Н. Г. Киселев) . . .	223

П1. Расчет направления луча в системе плоских зеркал . . .	225

П2. Расчет положения изображения точки в плоском зеркале
или в системе плоских зеркал .................................. —

ПЗ. Расчет направления луча в зеркально-призменной системе 228

П4. Расчет направления нормали к плоскостям зеркально-приз-
менной системы при ее повороте вокруг произвольной оси .	230

П5. Расчет фокусного расстояния и положения кардинальных
точек линзы................................................. 233

П6. Расчет положения плоскости изображения в зеркально-лин-
зовой системе .............................................. 234

П7. Расчет положения плоскости изображения, формируемого
центрированной системой отражающих и преломляющих
поверхностей............................................ 235

П8.	Габаритный расчет	оптической	системы................... 239

П9. Расчет хода луча в системе цилиндрических и сферических
линз и зеркал............................................... 243

П10.	Расчет хода луча	в	децентрированной оптической системе 249

ПП. Расчет хода действительных лучей в меридиональном сече-
нии оптической системы ................................. 250

П12. Направление нормалей к рабочим граням призм...........	253

Список литературы.................................................. 256
СПРАВОЧНОЕ ИЗДАНИЕ

ПОГАРЕВ Георгий Васильевич,
КИСЕЛЕВ Николай Григорьевич

ОПТИЧЕСКИЕ ЮСТИРОВОЧНЫЕ ЗАДАЧИ

Редактор Л. М. Манучарян

Переплет художника В. Т. Левченко
Художественный редактор С. С. Венедиктов
Технические редакторы: П. В. Шиканова, А. И. Казаков
Корректоры: И, Г. Иванова, Н. Б. Старостина

ИБ № 5506

Сдано в набор 03.01.89. Подписано в печать 14.08.89. М-27055. Формат бОХЭО1/^. Бумага
типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,5.
Усл. кр.-отт. 16,5. Уч.-изд. л. 16,69. Тираж 8380 экз. Заказ 676. Цена 1 р. 30 к.
Ленинградское отделение ордена Трудового Красного Знамени издательства «Машино-
строение^ 191065, г. Ленинград, ул. Дзержинского, 10.

Типография № 6 издательства «Машиностроение» при Государственном коми-
тете СССР по печати. 193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
1989 г.

издательство «Машиностроение»
выпускает следующие книги:

Русинов М. М. Композиция оптических си-
стем. — Л.. Машиностроение. —29 л. — 1р. 90 к.

Рассмотрены вопросы рационального выбора исход-
ных конструктивных оптических систем, основанного
на сочетании оптических элементов и узлов с изве-
стными свойствами. Даны основные теоретические све-
дения из геометрической оптики применительно к боль-
шим полям зрения и апертурам, рассмотрены свойства
отдельных оптических элементов и узлов. Приведены
примеры композиций оптических систем различного
назначения.

Порфирьев Л. Ф. Основы теории преобразо-
вания сигналов в оптико-электронных системах. Учеб-
ное пособие для приборостроительных специальностей
вузов. — Л.: Машиностроение. — 25,5 л. — 1р. 30 к.

Изложены вопросы преобразования характеристик
сигналов в современных линейных автоматических
оптико-электронных системах (ОЭС) с использованием
когерентного и некогерентного излучения. В качестве
основных характеристик, определяющих преобразова-
ние chi налов в ОЭС и в их элементах, используются
« номерные и многомерные функции для всех элементов
ОЭС. Даны методы расчетов основных параметров
линейных ОЭС, в том числе со встроенными ЭВМ.
Приведены рекомендации по выбору параметров ЭВМ,
встраиваема в ОЭС.
Уважаемый читатель!

Линия отреза

В целях получения информации о качестве наших изданий
просим Вас в прилагаемой анкете подчеркнуть позиции,
соответствующие Вашей оценке этой книги.

1.	В книге существует:

а)	острая необходимость

б)	значительная потребность

в)	незначительная потребность

2.	Эффективность книги с точки зрения практического
вклада в отрасль:

а)	весьма высокая

б)	высокая

в)	сомнительная

г)	незначительная

3.	Эффективность книги с точки зрения теоретического
вклада в отрасль:

а)	весьма высокая

б)	высокая

в)	сомнительная

г)	незначительная

4.	Материал книги соответствует достижениям мировой на-
уки и техники в данной отрасли:

а)	в полной мере

б)	частично

в)	слабо

5.	Книга сохранит свою актуальность:

а)	1—2 года

б)	в течение 5 лет

в)	длительное время

6.	Название книги отвечает содержанию:

а)	в полной мере

б)	частично

в)	слабо

Дополнительные замечания
предлагаем Вам приложить отдельно.
Фамилия, имя, отчество .

Ученое звание .....................................

Специальность .....................................

Место работы, должность............................

Стаж работы..........................................

Просим отрезать страницу по линии отреза и в почтовом
конверте выслать по адресу; 191065, Ленинград, ул. Дзер-
жинского, 10, ЛО изд-ва «Машиностроение»

Г. В. Погарев, Н. Г. Киселев. Оптические юстировочные
задачи

Линия отреза