МАТЕМАТИКА
Большой справочник
для школьников и поступающих
в вузы
Краткое изложение школьного курса
математики
ш
Задачи по основным разделам школьного
курса математики
ш
Контрольные и проверочные работы
по математике.
Тесты
ш
Справочные материалы
ш
Подготовка к экзаменам
Москва • Издательский дом «Дрофа» •1998

УДК 373.167.1:51(03)
ББК22.1я2
М34
Серия основана в 1998 году
Авторы разделов:
Д. И. Аверьянов, П. И. Алтынов, И. И. Баврин, Л. О. Денищева,
Г. В. Дорофеев» Л. И. Звавич, Н. В. Карюхина, В. С. Крамор, Г. М. Кузнецова»
А. И. Медяник, Т. М. Мищенко, Ю. В. Нестеренко, С. Н. Олехник, В. А. Попов,
М. К. Потапов, А. Р. Рязановский, Е. А. Седова, В. К. Смирнова,
Л. Я. Шляпочник, Б. В. Юрченко, Ел. В. Юрченко
Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы/Д. И. Аверьянов,
М34 П. И. Алтынов, И. И. Баврин и др. — М.: Дрофа, 1998. — 864 с: ил. — (Большие справочники
для школьников и поступающих в вузы).
ISBN 5—7107—2093—3
Справочник является уникальным учебным пособием по математике, содержащим теоретический материал
школьных курсов математики (5—6 кл.), алгебры (7—11 кл.), геометрии (7—11 кл.), примеры решения типовых задач и
задачи для самостоятельного решения, контрольные и проверочные работы, тесты, различные справочные
материалы.
Кроме того, в справочнике представлены обширные материалы для подготовки к выпускным экзаменам по
математике в 9 и 11 классах, к вступительным экзаменам по математике в высшие учебные заведения.
Содержание книги охватывает почти десять школьных учебников по математике для 5—11 классов и около
двух десятков обычных изданий справочно-методической литературы. Книга адресована учащимся, учителям,
родителям, абитуриентам, студентам педвузов.
УДК 373.167.1:51(03)
ББК 22.1я2
ISBN 5—7107—2093—3 © «Дрофа», 1998

Содержание
Предисловие 4
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—б классы (П. И. Алтынов) 7
Алгебра. 7—11 классы (Е. В. Юрченко, Ел. В. Юрченко, В. С. Крамор, В. А. Попов) ... 43
Геометрия. 7—9 классы (И. И. Баврин) 119
Геометрия. 10—11 классы (И. И. Баврин) 183
Задачи по основным разделам Школьного курса математики
Математика. 5—6 классы (J7. И. Алтынов) 231
Алгебра. 7—9 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник) 241
Алгебра и начала анализа. 10—11 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник). ...... 255
Геометрия. 7—9 классы (П. И. Алтынов) 263
Геометрия. 10—11 классы (П. И. Алтынов) 275
Контрольные и проверочные работы по математике. Тесты
Контрольные и проверочные работы
Математика. 5—6 классы (П. Я. Алтынов) 285
Алгебра. 7—9 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник) 289
Алгебра и начала анализа. 10—11 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник) 297
Геометрия. 7—9 классы (А. И. Медяник) 301
Геометрия. 10—11 классы (А. И. Afедяник) 307
Тесты
Математика. 5—6 классы (Е. В. Юрченко, Ел. В. Юрченко) 312
Алгебра. 7—9 классы (П. И. Алтынов) 323
Алгебра и начала анализа. 10—11 классы (П. И. Алтынов) 347
Геометрия. 7—9 классы (П. И. Алтынов) 364
Геометрия. 10—11 классы (Я. Я. Алтынов) 380
Справочные материалы
Краткий справочник по математике (Я. Я. Баврин) 395
Алгебра в таблицах (Л. Я. Звавич, А. Р. Рязановский) 475
Геометрия в таблицах (Л. Я. Звавич, А. Р. Рязановский) 537
Математика в формулах 620
Подготовка к экзаменам
9 класс
Примерные билеты и ответы к устному экзамену по геометрии (Г. В. Дорофеев,
Т. М. Мищенко) 639
11 класс
Задачи и решения письменного экзамена по алгебре и началам анализа (Л. Я. Звавич,
Д. И. Аверьянов, В. К. Смирнова) 675
Примерные билеты и ответы к устному экзамену по алгебре и началам анализа
(Л. О. Денищева, Н. В. Карюхина, Г. М. Кузнецова) 723
Примерные билеты и ответы к устному экзамену по геометрии (Г. В. Дорофеев,
Е. А. Седова) 777
Для поступающих в вузы
Задачи и решения письменных экзаменов по математике (М. К. Потапов,
С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко) 819
Предметно-тематический указатель
К разделу * Краткое изложение школьного курса математики» 850
К разделам «Задачи...» и «Контрольные и проверочные работы. Тесты» 853
К разделу «Справочные материалы» 855

Предисловие
Перед вами необычный учебный справочник.
Его уникальность в том, что он объединяет
практически все, что относится к изучению и
преподаванию школьного курса математики. Впервые
заинтересованный читатель (ученик, учитель,
родитель, репетитор) получает книгу, 9 которой
так полно отражены все основные этапы и все
виды деятельности при обучении математике.
Содержание справочника охватывает почти
десять школьных учебников по математике для
5—11 классов и около двух десятков обычных
изданий справочно-методической литературы.
В справочнике пять разделов, соответствующих
основным формам обучения: усвоению теории,
решению задач, подготовке к контрольным
работам и тестированию, работе со справочными
материалами, подготовке к экзаменам.
Структура всех разделов, кроме справочного,
соответствует традиционному делению школьной
математики по предметам и классам.
Первый раздел «Краткое изложение
школьного курса математики» предназначен для
самостоятельного повторения материала школьной
программы. В очень сжатой форме в полном
соответствии с действующими учебниками
изложена теория и даны примеры решения задач.
Материал второго раздела «Задачи» и
третьего «Контрольные и проверочные работы.
Тесты» можно использовать для закрепления
навыков решения задач, для самопроверки и для
подготовки к контрольным работам и тестированию
в школе. Задачи, контрольные работы и тесты
скомпонованы по классам и основным темам в
соответствии с самыми распространенными
учебниками. Ко всем заданиям даны ответы, более
сложные задания традиционно отмечены
звездочками.
Следующий раздел составляют различные
справочные материалы. «Краткий справочник
по математике» содержит математические
понятия, предложения, формулы по основным
разделам школьного курса математики и примеры
применения теории к решению задач, а также
сведения, значительно расширяющие
общеобразовательный курс.
Справочные материалы «Алгебра в таблицах»
и «Геометрия в таблицах» отличаются
краткостью изложения теории и наглядностью.
Определения, теоремы, формулы, рисунки, примеры
решения задач сгруппированы в тематические
таблицы по всем наиболее важным темам
школьного курса математики.
Название самых оперативных и кратких
справочных материалов — «Математика в
формулах» (точнее, школьный курс математики в
формулах) — является точной характеристикой
содержания этой части справочника.
Заключительный раздел книги содержит
материалы для подготовки к экзаменам по
математике: варианты экзаменационных работ
письменного экзамена по алгебре и началам анализа в
11 классе с разобранными решениями,
примерные билеты и ответы для устной итоговой
аттестации выпускников 9 и 11 классов по
геометрии, алгебре и началам анализа, варианты
экзаменационных работ с решениями по математике
для поступающих в вузы.
Учебный справочник объемлет все этапы
учебного процесса, и любой читатель найдет в нем
полезную и необходимую информацию.
Учащийся, не очень уверенно чувствующий себя в
математике, сможет восполнить пробелы в теории и
научиться решать задачи с помощью первого
раздела справочника. Тот, кто хочет
потренироваться решать задачи или проверить свои
знания, воспользуется вторым и третьим
разделами. Необходимые формулы проще всего найти в
справочных материалах «Математика в
формулах», определения, теоремы, свойства — в
таблицах, а если возникли вопросы, выходящие за
рамки школьной программы, то можно
заглянуть в «Краткий справочник».
Нужную информацию — разъяснение
термина, теоретические сведения по конкретному
вопросу, задачи или тесты на определенную тему —
поможет найти в книге предметно-тематический
указатель.

Краткое изложение
школьного курса
математики
поможет быстро и эффективно
повторить весь изученный материал

Краткий курс
математики содержит
теоретические сведения
и типовые задачи
с решениями по предметам
«Математика», «Алгебра»
и «Геометрия», изложенные
кратко и доступно.
Он позволит в оптимальные
сроки повторить весь
изученный материал,
поможет быстро
и эффективно
подготовиться
к контрольным работам,
выпускным
и вступительным
экзаменам.

Математика. 5—6 классы
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Понятие о натуральном числе
Числа, употребляемые для счета предметов,
называют натуральными. Любое натуральное
число можно записать с помощью десяти цифр:
О, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9.
Такую запись чисел называют десятичной.
Нужно запомнить, что число 0 натуральным не
является.
Для чтения натуральных чисел их
разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в
каждой (самая левая группа может состоять из
одной или двух цифр). Три первые цифры
справа составляют класс единиц, три следующие —
класс тысяч, далее идут классы миллионов,
миллиардов и т. д.
1 миллион (1 млн) = 1 000 000
1 миллиард (1 млрд) = 1 000 000 000
1 триллион (1 трлн) = 1 000 000 000 000
Например, число 23 078 000 104. Его читают:
23 миллиарда 78 миллионов 104.
Классы
Разряды
Число

Миллиарды
с
Д
2
е
3

Миллионы
с
0
Д
7
е
8
Тысячи
с
0
Д
0
е
0

Единицы
с
1
д
0
е
4J
с — сотни, д — десятки, е — единицы
Примеры:
а) Число 100 005 читается так: сто тысяч пять.
б) Число 1 000 050 читается так: один миллион
пятьдесят.
в) Число 10 000 005 000 читается так: десять
миллиардов пять тысяч.
Сложение натуральных чисел
Если прибавить к натуральному числу
единицу, то получится следующее за ним число.
Например, 8 + 1 = 9; 53 + 1 = 54; 399 + 1 = 400.
Таким образом, сложить, например, 9 и 4
означает: прибавить к 9 четыре раза единицу.
Получим: 9 + 4 = 9 + 1 + 1 + 1 + 1 = 13.
Естественно, что это записывают короче:
9 + 4 = 13.
Числа, которые складывают, называют
слагаемыми; число, получающееся при сложении
этих чисел, называют их суммой.
В записи 9 + 4 = 13 числа 9 и 4 — слагаемые,
число 13 — сумма.
Если сложение обозначить буквами, то
а +& = с
слагаемые сумма
При сложении многозначных чисел
употребляют способ сложения столбиком.
Примеры:
а) 3198 б) 183487
+ 457 + 59794
870 243281
4525
При устном счете можно складывать числа
поразрядно.
Примеры:
а) 58 + 74 = (50 + 70) + (8 + 4) = 120 + 12 = 132;
б) 453 + 865 = (400 + 800) + (50 + 60) + (3 + 5) =
= 1200 + 110 + 8 = 1318.
Вычитание натуральных чисел
Действие, с помощью которого по сумме и
одному из слагаемых находят другое слагаемое,
называют вычитанием.
Вычитание — это действие, обратное сложению.
То есть: «из 7 вычесть 3» означает: «найти
такое число, которое в сумме с 3 дает в
результате 7».
7-3 = х, х + 3 = 7, х = 4.
Итак, 7-3 = 4.
Число, из которого вычитают, называют
уменьшаемым, а число, которое вычитают, —
вычитаемым. Результат вычитания называют
разностью.
18 - 13 = 5
уменьшаемое вычитаемое разность
а - Ь = С,
т. е. с + Ъ = а.

8
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—б классы
При действиях с натуральными числами
уменьшаемое не может быть меньше
вычитаемого.
Разность двух чисел показывает, на сколько
первое число больше второго или на сколько
второе число меньше первого.
Примеры:
а) 101 - 13 = 88, так как 88 + 13 = 101;
б) 34 - 0 = 34, так как 34 + 0 = 34;
в) 573 - 573 = 0, так как 0 + 573 = 573.
При вычитании многозначных чисел
результат удобно находить столбиком:
27384
542
-128
414
-9298
18086
Умножение натуральных чисел
Правило: Умножить число т на
натуральное число п значит найти сумму п слагаемых,
каждое из которых равно т.
Выражение т • п и значение этого
выражения называют произведением чисел тип.
Числа т и п называют множителями.
Примеры:
а) 5-4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20;
б) 7 • 1 = 7.
Очевидно, что 5*4 = 4*5, что ясно из
рисунка:
*****
*****
*****
*****
* * * *
* * * *
и * * * *
* * * *
* * * *
При письменном умножении результат
удобно получать столбиком.
а)
в)
Примеры:
„58
б)
37
+ 406
174
2146
2640
5700
1848
1320
15048000
г)
257
Х 39
2313
+ 771
10023
439
308
3512
Ч317
135212
1) при умножении на 10 в результате к числу
справа приписывается 0:
48 • 10 = 480;
2) при умножении на 100 в результате
приписываются справа два 0:
576 • 100 = 57 600
и т. д.;
3) при умножении на 15 число сначала
умножают на 10, а затем прибавляют половину
полученного числа:
496 • 15 = 4960 + 2480 = 7440;
4) при умножении на 5 число сначала
умножают на 10, а затем берут половину полученного
числа:
38 • 5 = 380 : 2 = 190;
5) при умножении на 25 число сначала
умножают на 100, а затем берут четверть
полученного числа:
17 • 25 = 1700:4 = 425;
6) при умножении на 50 число умножают на
100, а затем берут половину полученного числа:
435 • 50 = 43 500 : 2 = 21 750.
Нужно очень хорошо запомнить, что
0=0,а•1=а
При устном умножении нужно знать, что:
Для обозначения действия умножения
применяют два знака: • и х. Знак х впервые
использовал в своих работах в качестве знака,
обозначающего умножение, Оутред. Знак • появился в
1698 г. Его ввел немецкий математик Готфрид
Вильгельм Лейбниц.
Деление натуральных чисел
Деление — действие, обратное умножению.
Его смысл заключен в нахождении одного из
двух множителей, если известны произведение
и другой множитель.
Таким образом, «24 разделить на 8 — значит
найти такое число, что при умножении его на 8
получается 24», т. е.
24 : 8 = х, х • 8 = 24, х = 3.
Итак, 24:8 = 3.

Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
9
Примеры:
а) 105 : 15 = 7, так как 7 • 15 = 105;
б) 0 : 8 = 0, так кдк 0*8 = 0.
Особо нужно запомнить, что
0 : а = 0, если а * 0
а : 0 — нельзя!
Итак, а :Ь = с, причем с • Ъ = а; а — делимое,
& — делитель, с — частное.
Пример: 48 : 6 = 8, 48 — делимое, 6 —
делитель, 8 — частное.
Знак деления : впервые появился в 1202 г, в
работах Леонардо Пизанского. Однако есть еще один
знак деления —, впервые введенный У. Джонсом
в 1633 г. Таким образом, записи 76
1П 76
19 и jg
означают одно и то же. Преимущества записи
деления через черту вы увидите чуть позже.
Итак,
. h - а
Примеры:
а) 90 : 5 = (50 + 40): 5 = 50 : 5 + 40 : 5 = 10 + 8 =
= 18;
б) 165 : 3 - (150 + 15): 3 = 150 : 3 + 15 : 3 = 50 +
+ 5 = 55.
Если делимое оканчивается нулем, то
сначала делится число без нуля на делитель, но в
частном к результату приписывают нуль.
Если и делимое и делитель оканчиваются
нулем, то деление проводят без последних нулей.
Примеры:
а) 480 : 12 = 40, так как 48 : 12 = 4;
6)460:230 = 46:23 = 2;
в) 800 : 40 = 80 : 4 - 20.
Однако при делении натурального числа а на
натуральное число Ъ может случиться, что нет
такого натурального числа с, что с • Ъ = а,
например 15 ; 7. В этом случае речь идет о делении
с остатком. Тогда запись ведется следующим
образом:
15:7 = 2 (ост. 1) или 660 : 50 = 13 (ост. 10).
Обратите внимание на наличие нуля в остатке
во втором примере.
Нужно запомнить, что если а — делимое,
Ъ — делитель, с — неполное частное, г —
остаток, то а = с • Ъ + г. Причем остаток всегда
меньше делителя, т.е. г <Ъ. Следовательно, при
делении, например, на число 7 возможны
только остатки; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Примеры:
а) 48 : 7 = 6 (ост. 6);
6)81: 7 = 11 (ост. 4).
Если в остатке получилось число 0, то
говорят, что одно число разделилось на другое
нацело. Например, 35 : 7 = 5 (ост. 0), пишем просто
35:7 = 5.
Примеры:
а)
_15в|18
13 [12
26
0
156:13 = 12
б) _ 1428|14
14 |102
28
28
0
1428 : 14 = 102
Свойства действий над числами
Переместительное свойство
Правило: Сумма чисел не изменяется при
перестановке слагаемых.
a +b =b + а
Пример: 308 + 1427 = 1427 + 308.
При любом способе сложения результат
равен 1735.
Правило: Произведение чисел не
изменяется при перестановке множителей.
Пример: 14 •
+ 1
14
а •Ъ = Ь • а
108 = 108 • 14.
14 108
08 14
12 + 432
108
1512 1512
Сочетательное свойство
Правило: Чтобы прибавить к сумме двух
чисел третье число, можно к первому числу
прибавить сумму второго и третьего.
(a+b) + c =а+(Ь +с)
Примеры:
а) (327 + 84) + 116 = 327 + (84 + 116) = 327 + 200 =
= 527;

10
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—б классы
б) (4083 + 576) + 5917 = (576 + 4083) + 5917 =
= 576 + (4083 + 5917) = 576 + 10 000 = 10 576.
Правило: Чтобы умножить произведение
двух чисел на третье число, можно первое число
умножить на произведение второго и третьего.
(а • Ь) • с = а • (Ь • с)
Примеры:
а) (7 • 25) • 8 = 7 • (25 • 8) = 7 • 200 - 1400;
б) (50 • 23) • 40 = (23 • 50) • 40 = 23 • (50 • 40) =
= 23 • 2000 = 46 000.
Распределительное свойство
Правило: Для того чтобы умножить сумму
двух чисел на число, можно умножить на это
число каждое слагаемое и сложить
получившиеся произведения.
(а +Ь) • с = а • с + 6 • с
Примеры:
а) (17 + 8) • 5 = 17 • 5 + 8 • 5 = 85 + 40 = 125;
б) 24 • 19 + 76 • 19 = (24 + 76) • 19 = 100 • 19 =
=1900.
Правило: Для того чтобы умножить
разность двух чисел на число, можно умножить
на это число уменьшаемое и вычитаемое и из
первого произведения вычесть второе.
(а-Ь)*с=а*с~-Ь
Примеры:
а) (28 - 19) • 3 = 28 • 3 - 19 • 3 = 84 - 57 = 27;
6)317 • 213-217 • 213 = (317-217) • 213 =
= 100 • 213 = 21300.
ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.
ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ
Делители числа
Делителем натурального числа а называют
натуральное число, на которое а делится без
остатка.
Примеры:
а) число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9,
18;
б) число 25 имеет 3 делителя; 1, 5, 25;
в) число 73 имеет 2 делителя: 1 и 73.
Число 1 является делителем любого
натурального числа.
Если числа а и b оба делятся на число с, то с
называется общим делителем чисел а и Ь.
Примеры:
а) число 28 делится на 4 и 48 делится на 4,
следовательно, 4 — общий делитель чисел 28 и 48;
б) 20 делится на 5, а 53 не делится на 5,
следовательно, 5 не является общим делителем чисел
20 и 53.
Найдем общие делители чисел 48 и 60.
Для числа 48 делителями являются: 1., 2, 3,
4,6,8,12,16,24,48.
Для числа 60 делителями являются: 1, 2, 3,
4,5,6,10,12,15,20,30,60.
Общими делителями являются числа: 1, 2, 3,
4, 6, 12.
Из них 12 — наибольший общий делитель.
Наибольшее натуральное число, на которое
делятся без остатка числа а и Ъ, называют
наибольшим общим делителем этих чисел.
Признаки делимости
на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10
Правило: Если запись натурального числа
оканчивается цифрой 0, то это число делится
без остатка на 10.
Если запись натурального числа
оканчивается другой цифрой, то оно не делится без
остатка на 10.
Примеры:
а) 680 делится на 10;
б) 104 не делится на 10.
Правило: Если запись натурального числа
оканчивается цифрами 0 или 5, то это число
делится без остатка на 5.
Если же запись числа оканчивается иной
цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Примеры:
а) 370 и 1485 делятся без остатка на 5;
б) числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся.
Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными, а
цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечетными.
Натуральные числа называют четными, если
они оканчиваются четной цифрой, и
нечетными, если они оканчиваются нечетной цифрой.
Правило: Если запись натурального числа
оканчивается четной цифрой, то это число
делится без остатка на 2, а если нечетной
цифрой, то число без остатка не делится на 2.

Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—б классы
11
Короче говоря, четное число делится на 2,
нечетное не делится на 2.
Примеры:
а) 8, 60, 574 — делятся на 2;
б) 13, 25, 1001 — не делятся на 2.
Правило: Если сумма цифр числа делится на
3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не
делится на 3, то и число не делится на 3.
Примеры:
а) 276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15
делится на 3;
б) 563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а
14 не делится на 3.
Правило: Если сумма цифр числа делится
на 9, то и само число делится на 9. Если
сумма цифр числа не делится на 9, то и число не
делится на 9.
Примеры:
а) 5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7 = 27, а
27 делится на 9;
б) 359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а
17 не делится на 9.
Правило: Число делится на 4, если число,
составленное из двух последних цифр данного
числа, делится на 4.
Примеры:
а) 78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4;
б) 8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4.
Правило: Число делится на 6, если оно
делится одновременно на 2 и на 3. В противном
случае оно на 6 не делится.
Примеры:
а) 2862 делится на 6, так как 2862 делится и на
2, и на 3;
б) 3754 не делится на 6, так как 3754 не делится
наЗ.
Простые и составные числа
Натуральное число называют простым, если
оно имеет только два делителя: единицу и само
это число.
Натуральное число называют составным,
если оно имеет более двух делителей.
Примеры:
а) число 9 имеет три делителя (1, 3 и 9),
следовательно, оно составное;
б) число 17 имеет два делителя, значит, оно
простое;
в) число 1 имеет только один делитель — само
это число, поэтому оно не является ни
составным, ни простым.
Правило: Разложить составное число на
простые множители означает записать
данное число в виде произведения простых чисел,
которые являются делителями данного числа.
При любом способе записи получается одно и
то же разложение, если не учитывать порядка
множителей.
Примеры:
а) 180 = 2 • 2 • 3- 3 • 5;
б) 1368 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 19.
180
90
45
15
5
1
2
2
3
3
5
1368
684
342
171
57
19
1
2
2
2
3
3
19
Разложение числа на простые множители
помогает решить задачу отыскания наибольшего
общего делителя двух или более чисел.
Наибольший общий делитель (НОД)
Правило: Чтобы найти наибольший общий
делитель нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать те множители, которые
входят в разложение каждого из чисел;
3) найти произведение этих множителей.
Примеры:
а) Найти НОД (6600; 6300):
6600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 11,
6300 = 2 -2-3-3-5-5-7,
НОД (6600; 6300) = 2 • 2 • 3 • 5 • 5 = 300;
б) Найти НОД (34 398; 1260; 6552):
34398 = 2 • 3 • 3 • 3 • 7 • 7 • 13,
1260 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 7,
6552 = 2 • 2 • 2 • 8 • 3 • 7 • 18,
НОД (34 398; 1260; 6552) = 2 • 3 • 3 • 7 =
= 126.
При нахождении наибольшего общего
делителя двух чисел полезно знать еще одно
правило, называемое ^алгоритм Евклида*.

Краткое изложение школьного
Математика. 5—6 классы
Пример: Найти НОД (270; 186). Разделим
270 на 186 с остатком:
270 : 186 = 1 (ост. 84).
Далее разделим делитель на остаток и т. д.:
186 : 84 = 2 (ост. 18),
84: 18 = 4 (ост. 12),
18 : 12 = 1 (ост. 6),
12:6 = 2 (ост. 0).
Наибольшим общим делителем чисел 270 и
186 является последний ненулевой остаток, т. е.
число 6.
Пример: Найти НОД (234; 180).
1) 234 : 180 = 1 (ост. 54),
2) 180 : 54 = 3 (ост. 18),
3) 54 : 18 = 3 (ост. 0).
Следовательно, НОД (234; 180) = 18.
Натуральные числа называют взаимно
простыми, если их наибольший общий делитель
равен единице.
Примеры:
а) 75 и 14 — взаимно простые числа, так как
НОД (75; 14) - 1;
б) 20, 9 и 77 взаимно простые числа, так как
НОД (20; 9; 77) = 1.
Кратные числа
Кратным натуральному числу а называют
натуральное число, которое делится на а без
остатка.
Примеры:
а) для числа 18 кратными являются числа: 18,
36, 54, 72, 90, 108, 126 и т. д.;
б) для числа 7 кратными являются числа: 7, 14,
21, 28, 35, 42, 49 и т. д.
Итак, нужно запомнить:
1) любое число имеет бесконечное число
кратных;
2) наименьшим кратным для числа является
само это число.
Общим кратным для двух и более чисел
будет число, которое является кратным для
каждого из этих чисел.
Примеры:
а) Для числа 8 кратные: 8; 16; 24; 32; 40; 48;
56; ... . Для числа 12 кратные: 12; 24; 36; 48; 60;
(а} ... .
математики
Таким образом, общими кратными для чисел
8 и 12 являются числа: 24; 48; 72; ... .
б) Для числа 7 кратные: 7; 14; 21; 28; 35; 42;
49; ... . Для числа 3 кратные: 3; 6; 9; 12; 15; 18;
21; 24;... .
Общими кратными чисел 3 и 7 являются
числа: 21; 42; 63 и т. д.
Наименьшее общее кратное (НОК)
Из общих кратных двух (или нескольких)
чисел особо выделяют то, которое является
наименьшим общим кратным этих чисел.
Примеры: наименьшее общее кратное чисел
8 и 12 равно 24, а наименьшее общее кратное
чисел 3 и 7 равно 21.
Наименьшим общим кратным натуральных
чисел а и Ъ называют наименьшее натуральное
число, которое кратно и а, и Ь.
Нужно запомнить:
1) если одно из двух натуральных чисел
делится на другое число, то большее из этих двух чисел
является их наименьшим общим кратным;
2) если два (или более двух) числа являются
взаимно простыми, то наименьшее общее
кратное этих чисел равно их произведению.
Примеры:
а) НОК (9; 18) = 18;
б) НОК (2; 8; 16) = 16, так как 8 делится на 2, а
16 делится на 8;
в) НОК (7; 10) = 70, так как 7 и 10 — взаимно
простые числа;
г) НОК (5; 9; 11) = 495, так как 5,9,11—
взаимно простые числа и 5 • 9 • 11 = 495.
В некоторых случаях наименьшее кратное
двух чисел находят устно.
Примеры:
а) НОК (12; 18) = 36;
б) НОК (18; 30) = 90;
в) НОК (5; 10; 12) = 60;
г) НОК (14; 8) = 56.
Однако устно, например, не так просто найти
наименьшее общее кратное чисел 360 и 825.
Правило: Чтобы найти наименьшее общее
кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в
разложение (лучше наиболее длинное) одного из чисел;

Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
13
3) добавить к ним недостающие
множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся
множителей.
Пример: Найдем наименьшее общее кратное
чисел 360 и 825, придерживаясь этого правила.
1) 360 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5,
825 = 3 • 5 • 5 • 11;
360
180
90
45
15
5
1
8251
275
55
11
1
12
2
2
3
3
5
3
5
5
11
2) выпишем наиболее длинное разложение:
2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5;
3) добавим к нему недостающие множители из
второго разложения: 5 и 11;
4) НОК (360; 825) = 2-2-2'3-3-5-5«11 =
= 19 800.
Заметим, что нет необходимости перемножать
все числа, так как 2'2*2«3«3'5 = 360 и
нужно просто выполнить умножение 360 • 55.
Пример: Найти наименьшее общее кратное
чисел 2940; 550 и 63.
2940 = 2-2-3-5'7-7,
2940
14701
735
245
49
71
1
550 = 2 • 5 • 5 • 11,
"550|
275
551
11
1
2
5
5
11
63 = 3 • 3 • 7;
63
21
7|
1
НОК (2940; 550; 63) =
= 2 • 2 • 3 • 5 • 7-7 • 5 • 11 • 3 = 485 100.
Кроме правил нахождения наибольшего
общего делителя и наименьшего общего кратного
двух чисел полезно знать, что произведение
наименьшего общего кратного двух чисел и
наибольшего общего делителя этих чисел равно
произведению самих этих чисел, т. е.
НОК (о; Ь) • НОД (а;Ь) = а • Ь
или
Н0К<а'&>=нсщЬг
Примеры:
а) Найти НОК (20; 48).
Так как очевидно, что НОД (20; 48) = 4, то
НОК (20; 48) = ^-^ = 240.
б) Найти НОК (72; 60).
НОД (72; 60) = 12, тогда
НОК (72; 60) = 'ЩР
360.
II
III
ДРОБИ
(обыкновенные и десятичные).
ОБОЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ
НА КООРДИНАТНОМ ЛУЧЕ
Обыкновенные дроби
Если пирог разрезать на 8 равных частей, то
каждая из этих частей называется долей. Так
как пирог был разрезан на 8 частей, то каждая
доля равна g пирога. Если бы пирог был
разрезан на Ючастей, то каждая доля была бы равна
1
т~ пирога.
Дробью называется число, состоящее из
нескольких долей единицы (в том числе и из одной
доли).
Например, если в обед съели 5 долей пирога,
это означает, что съедено было g пирога, а оста-
3 13
лось g пирога. Запись -g-
означает, что имеется в виду один
8
пирог, состоящий из g пирога,
5
а также g другого такого же
13 ,5
пирога, т. е. -g- ■» lg.

14
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
Итак, любая дробь записывается в виде —,
где т называется числителем дроби, an —
знаменателем дроби.
Если числитель меньше знаменателя, то
дробь называется правильной; если числитель
равен знаменателю или больше его, то дробь
называется неправильной.
Например, дроби т= и. - правильные дро-
5 23
би, g и -g- — неправильные дроби.
Число lg называется смешанным числом.
Причем 1 называется целой частью числа, a g —
дробной частью числа. Запись неправильной
дроби в виде смешанного числа называется
выделением целой части числа. Эта запись
получается в результате деления числителя на
знаменатель (здесь надо вспомнить, что знаки — и :
означают одно и то же).
Правило: Чтобы из неправильной дроби
выделить целую часть, надо:
1) разделить с остатком числитель на
знаменатель;
2) в качестве целой части взять неполное
частное;
3) остаток (если он есть) дает числитель,
а делитель — знаменатель дробной части.
Примеры:
23
а) Записать дробь -g- в виде смешанного числа.
23 5
23 : 6 = 3 (ост. 5), тогда -g- = 3g;
б) Ш - 28*, так как 200 : 7 = 28 (ост. 4);
20
в) _. =4, так как 20 : 5 = 4 (ост. 0).
о
Если числитель равен знаменателю
(естественно, не равны нулю), то дробь равна 1.
Примеры:
ч 2 . *х 5 - ч 10 - ч 23 1
a) g = 1; б) g - 1; в) ^ = 1; г) 5а = 1.
10
23
Правило: Чтобы представить смешанное
число в виде неправильной дроби, нужно:
1) умножить его целую часть на
знаменатель дробной части и к полученному
произведению прибавить числитель дробной части;
2) записать полученную сумму числителем
дроби, а знаменатель оставить без изменения.
Примеры:
а) 5г те -g-, так как 5*8 + 3 = 43;
б) 2g « g, так как 2-3 + 1 = 7.
Любое натуральное число можно записать в
виде неправильной дроби с любым
знаменателем.
ft 0 2 4 6 8
Пример: 2=j=2=g=jHT. д.
Десятичные дроби
Рассмотрим числа 7г^;
8 417
100 ; Ь1000 *
Числа со
знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. условились
записывать без знаменателя. Сначала пишут
целую часть, а потом числитель дробной части.
Целую часть отделяют от дробной части запятой.
Если дробь правильная, то перед запятой пишут
0, а количество знаков (цифр) после запятой
должно равняться числу нулей в знаменателе.
Такую запись дробей называют десятичной, а
сами дроби — десятичными.
Примеры: 7тт: = 7,3;
10
8
100
= 0,08; 5
417
1000
= 5,417;
147
10
= 14^ - 14,7;
3_
50
6
= loo = °'06;
54 =510б =5'75'
Изображение чисел
на координатном луче.
Сравнение чисел
Отметим на луче ОХ точку и обозначим ее,
например, Е. Напишем над началом луча
(точкой О) число 0, а над точкой Е число 1. Отрезок
ОЕ называют единичным отрезком. Отложим
отрезок ЕА, равный единичному отрезку, и над
точкой А напишем число 2. Так, шаг за шагом
получаем бесконечную шкалу. Ее называют ко
ординатным лучом. Числа 0, 1, 2 называют ко
ординатами точек О, Е, А. Пишут О(0), Е(1)
А(2). В свою очередь, каждый из отрезков ОЕ
ЕА и т. д. можно разбить на любое число равных
отрезков. Это дает возможность отмечать на
координатном луче дробные числа.

Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
15
О 0,25 g 0,8 1
ljl.4
•!
I I I I I I I 1 I I 1 I I I I 1 1 1 I 1 I 1 1 I -
О
0,5
Е
1,75 А
Равные числа отмечаются на координатном луче
одной точкой. Из двух чисел больше то,
которое правее на координатном луче, а меньше
то9 которое левее.
ДЕЙСТВИЯ
С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ
Основное свойство дроби,
сравнение и сокращение дробей
Правило (основное свойство дроби): Если
числитель и знаменатель дроби умножить
или разделить на одно и то же натуральное
число, то получится равная ей дробь.
Примеры:
а)
б)
в)
г)
4
7
2
3
8
20
42
56 '
4-2
: 7 2
2 3
: 3 3
8:2
20:2
42:2
56:2 :
8 4
: 14 ; 7 =
6 2
: 9; 3
4
10
21 42
28 ; 56
4 5
"75
2 10
3 10
4:2
10:2
42:7
~56:7
20
" 35'
20
= 30*
2
5'
6
8;
т. е.
т. е.
42
: 56 =
8
14
6
9
20
35
20
: 30 ;
42:14
" 56:14
>
3
4
Нужно запомнить, что две равные дроби
являются различными записями одного и того же
числа. Например, число, получающееся при де-
4
лении 4:8, можно записать в виде дроби «, а
1 4 1 „ Q к 3 6
можно 2 > так как о = н • 5 * 16"
Таким образом, используя основное свойство,
можно заменять дроби равными дробями с
большими или меньшими знаменателями.
Деление числителя и знаменателя на их
общий делитель, отличный от единицы, называют
сокращением дроби. Другими словами:
сокращение дроби — это замена данйой дроби равной
дробью с меньшими, чем были, числителем и
знаменателем.
В простых случаях дробь сокращают устно.
Примеры:
. 12 _ 4
а)15 ~ 5;
В последнем примере дробь можно сократить
по-разному, но дробь ~ больше сократить
нельзя — такую дробь называют несократимой.
В большинстве случаев задание «сократить дробь»
означает представить ее в виде несократимой
дроби.
Примеры: Сократить дробь.
77 7 11 _ 7
9;
а)
99
^24 2
б)ёов
в)
105
9 11
12 =
5 12
7 15
2
5;
J7_
20
300 20 15
Однако иногда дробь устно сократить бывает
252
трудно, например дробь «=« . В этих случаях
нужно найти наибольший общий делитель
числителя и знаменателя и разделить на него числа
252 и 378. НОД (252; 378) = 126, тогда 252 : 126 -
252 2
= 2, 378 : 126 = 3. Следовательно, o=g в 5 •
При выполнении многих заданий с двумя и
более дробями их нужно заменить равными
дробями с одинаковыми знаменателями. Такая
замена называется приведением дробей к общему
знаменателю. Чаще всего дроби приводят к
наименьшему общему знаменателю.
Правило: Чтобы привести дроби к
наименьшему общему знаменателю, надо:
1) найти наименьшее общее кратное
знаменателей этих дробей, оно и будет их
наименьшим общим знаменателем;
2) разделить наименьший общий
знаменатель на знаменатели данных дробей,
(получившиеся числа называют дополнительными
множителями для дробей);
3) умножить числитель и знаменатель
каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Например, приведем дроби « и g к
наименьшему общему знаменателю.
Для этого:
1) найдем наименьшее общее кратное (можно
просто общее кратное) чисел 8 и 6. Оно равно 24.
2) выполним деление 24 : 8 = 3 и 24 : 6 = 4.
Получившиеся числа 3 и 4 называют
дополнительными множителями соответственно к дро-

16
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
Примеры: Привести дроби к общему
знаменателю.
а) 12 И 20 *
НОК(12;20) = 60.
60:12 = 5,60:20 = 3.
7-5
12 5
Значит, т~ =
к\ A L 4
°' 18 ; 10 и 9 *
НОК (18; 10; 9) = 90.
35
60'
9^
20
9 3
20 3
27
60
90 : 18 = 5, 90 :10 = 9, 90 : 9 = 10.
5 55 25 7 79
значит, 18 18 5 до5 10 10 9
4 4 10 40
9 9 10 90 *
63 .
90 ;
Одним из применений приведения дробей к
общему знаменателю является сравнение
дробей. Например, при сравнении дробей из
предыдущего примера получаем, что je
^ 4 ^ 7
<д <1б>так
25
как90
40 63
90 90 *
Примеры: Сравнить дроби.
ч 2
а>3И
2
3
5
7*
14 5 15 _ 14 ^
2Ти7=21-ТаККаК2Т <
б)15И18-
8
15
ч 7
в) g и
7
9
48 11 55. 8
90 И 18 90 ' 15
20
27*
20
: «г»следовательно,
<м-
7 20
9 27
15
21
2 5
Т03<Г
Сложение и вычитание обыкновенных
дробей и смешанных чисел
Правило: Чтобы сложить (вычесть) дроби с
разными знаменателями, надо:
1) привести данные дроби к наименьшему
общему знаменателю;
2) сложить (вычесть) полученные дроби.
5 7
Например, сложим дроби 5 и ?2 * Приведем
оа 5 20 7 21
их к общему знаменателю 36: g = 57» и jo = оа •
5 , 7 20 , 21 41 1 5
Теперь получаем: § + и = м + ш = g6 = Х36 •
9
(3 (7
27-7
20
42
10
21
Пример: п -g - 42
Правило: Чтобы сложить смешанные
числа, надо:
1) привести дробные части этих чисел к
наименьшему общему знаменателю;
2) отдельно выполнить сложение целых
частей и отдельно дробных частей; результаты
сложить;
3) если при сложении дробных частей
получилась неправильная дробь, то, выделить
целую часть из этой дроби и прибавить ее к
полученной целой части.
Пример: 19g + 24^ = (19 + 24) + g + Aj =
=43+(ii + g)=43+li=43+i24=44-
Правило: Чтобы выполнить вычитание
смешанных чисел, надо:
1) привести дробные части этих чисел к
наименьшему общему знаменателю; если
дробная часть уменьшаемого меньше дробной
части вычитаемого, превратить ее в
неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть
уменьшаемого;
2) отдельно выполнить вычитание целых
частей и отдельно дробных частей;
результаты сложить.
Пример: 16^ - 7 А = 16| - 7§jj = (16 - 7) +
Чбо 6oJ * во *боф
Умножение обыкновенных дробей
Правило: Чтобы умножить дробь на дробь,
надо:
1) найти произведение числителей этих
дробей и произведение их знаменателей;
2) первое произведение записать
числителем, а второе — знаменателем;
3) если возможно, сократить дробь.
а)
Примеры:
2 5 2 5
3 " 7 3 7 =
а т
Ъ' п =
10
= 21 ;
а т
Ь п

Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
17
°'8 ' 21 8 21
112
168
2
3
В последнем примере для простоты
сокращения дроби можно поступить так:
7
8
16 7 16 7 2 12 2
21 8 21 1 21 13 3*
Правило: Для того чтобы выполнить
умножение смешанных чисел, надо записать их в
виде неправильных дробей, а затем
воспользоваться правилом умножения дробей.
Примеры:
.„5 „3 41
а>218 'Ч = Т8
^А5 О2 29
б>46 -25=Т( •
1А5'
»)2§.1|.5|-
18 41 18 41 1
5 18 5 5 55;
12 29 12 29 2 58
5 6 5 5 5
8 15 27 8 15 27
3 " 8 ' 5 3 8 5
= 27.
Правило: Чтобы умножить смешанное
число на целое число, надо целое число записать в
виде дроби со знаменателем 1, смешанное
число записать в виде неправильной дроби и
перемножить получившиеся дроби.
Примеры:
6
а)3§ ■
« 17
« 53
•б=12
= ±°2.=20^
6
1
5
53 6
12 1
'5
53
2 1
2 ZD2
-j
-5-1
з 1ф
В последнем примере произведение чисел g и
3 оказалось равным единице. Два числа,
произведение которых равно единице, называются
взаимно обратными.
Примеры:
а) g иЬ взаимно обратные числа, так как
5 -1 5 6 =1.
6 ' Х5 6*5 i;
tfxol 3 - 01 3
б) 2« и = взаимно обратны, так как 2« • = =
7 3
3 " 7
1;
в) для числа г обратным является число « > или
i2 3 5 1
lg » так как г • = — 1.
Таким образом, чтобы для числа,
записанного дробью, найти обратное число, достаточно
поменять местами числитель и знаменатель.
Например, для j обратным будет число « > а для
,5 12 Л 7
1 = = -=- обратным является число т^ .
Деление обыкновенных дробей
Правило: Чтобы разделить одну дробь на
другую, надо делимое умножить на число,
обратное делителю.
а)
Примеры:
3 5 3 6
8 * 6
1
8
3 6
8-5
_.. 03 9 11 9
б>42:24~2 :Т = 2
18 Л1_
11 Х11;
3 3 _ 9 .
4 5 20'
А = 9 4 = 9 2
11 2 11 1 11
в) 5:
г)3|
Д)1:
e)3|
За1
Ф
:8
4
5
• 4
5
1
15
4
»1 •
: 3
8
: 1
5
4
2 °4
5
1
15
4
ф
15
4
3
10
1
• —
8
9
2 :
=
=
27
4
5 3
1 10
15 1
4 8
15
4
13
12
15
32 ;
3
2
27
15 9 4 ^ 15 1 1 = 5 =91
4 2 27 12 3 2 2
ДЕЙСТВИЯ
С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ
Сравнение десятичных дробей
Правило: Если в конце десятичной дроби
приписать нуль (или несколько нулей) или
отбросить нуль (или несколько нулей), то
получится дробь, равная данной.
Примеры: 5,70 = 5,7; 18,3400 = 18,34; 163,1 =
= 163,10; 0,35 = 0,3500; 17,0 = 17.

18
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
Так же как и натуральное число,
десятичную дробь можно разложить по разрядам.
Например, 23,5708 = 23 + 0,5 + 0,07 + 0,0008.
Цифра, стоящая на первом месте после
запятой, относится к разряду «десятых», на втором
месте — к разряду «сотых», на третьем
месте— к разряду «тысячных», на четвертом
месте— к разряду «десятитысячных». Число
23,5708 читается: 23 целых 5 тысяч 708
десятитысячных.
Правило: Для того чтобы, сравнить две
десятичные дроби, надо сначала сравнить целые
части дробей; в случае их равенства
последовательно сравнивают цифры, стоящие в
разряде «десятых*; в случае их равенства
сравниваются цифры следующего разряда — «сотых*
и т. д.
В случае разного числа цифр после запятой у
сравниваемых чисел их уравнивают
приписыванием справа необходимого количества нулей.
Примеры:
а) 78,001 > 13,7859, так как 78 > 13;
б) 14,387 < 14,5082, так как целые части равны,
а в разряде десятых 3 < 5;
в) 0,47 > 0,09;
г) 1,537 > 1,5369, так как 1,5370 > 1,5369;
д) 18,34 < 18,343, так как 18,340 < 18,343.
Сложение
и вычитание десятичных дробей
Правило: Чтобы сложить (вычесть)
десятичные дроби, надо:
1) уравнять в этих дробях количество
знаков после запятой;
2) записать их друг под другом так, чтобы
запятая была записана под запятой;
3) выполнить сложение (вычитание), не
обращая внимания на запятую;
4) поставить в ответе запятую под
запятой в данных дробях.
Примеры:
а) 23,756 + 4,8 = 23,756 + 4,800 - 28,556.
23,756
+ 4,800
28,556
б) 0,017 + 23,24 = 0,017 + 23,240 = 23,257.
в) 75 + 1,248 - 75,000 + 1,248 = 76,248.
75,000
+ 1,248
76,248
г) 90,04 - 7,518 - 90,040 - 7,518 = 82,522.
90,040
~ 7,518
Д)5-
- 0,04 -
е) 24,87 - 5
5,00 -i
- 24,87
0,04 =
-5,00
82,522
4,96.
5,00
0,04
4,96
= 19,87.
24,87
5,00
19,87
Умножение десятичных дробей
Правило: Чтобы умножить десятичную
дробь на натуральное число, надо:
1) умножить ее на это число, не обращая
внимания на запятую;
2) в полученном произведении отделить
запятой столько цифр справа, сколько их
отделено запятой в десятичной дроби.
Примеры:
а) 7,84 • 92 = 721,28;' 7,84
х 92
6)14,3 • 39 = 557,7.
1568
7056
721,28
х14*'о
39
1287
429
557,7
+
0,017
23,240
23,257
Правило: Чтобы умножить десятичную
дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой
дроби перенести запятую на столько цифр
вправо, сколько нулей стоит в множителе после
единицы.
Примеры:
а) 16,48 • 10 = 164,8;
6)1,0073 • 100 = 100,73;
в) 74,235 • 1000 = 74 235.
Правило: Чтобы перемножить две
десятичные дроби, надо:

Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—б классы
19
1) выполнить умножение, не обращая
внимания на запятые',
2) отделить в полученном произведении
запятой столько цифр справа, сколько их стоит
после запятой в обоих множителях вместе.
в) 2978,4 : 73 = 40,8;
Примеры:
а) 7,38 • 0,4 = 2,952;
6)9,45 • 0,012 = 0,1134;
в) 24,079 • 1,5 = 36,1185.
+
7,38
Х 0,4
2,952
х 9,45
0,012
1890
945
0,11340
24,079
1£
120395
24079
36,1185
Правило: Для того чтобы умножить
десятичную дробь на 0,1, надо запятую перенести в
дроби влево на одну единицу; на 0,01 —
перенести запятую влево на две единицы; на 0,001 —
перенести влево на три единицы и т. д.
Примеры:
а) 78,3 • 0,1 = 7,83;
б) 0,056 • 0,01 = 0,00056.
Деление десятичных дробей
Правило: Чтобы разделить десятичную
дробь на натуральное число, надо:
1) разделить дробь на это число, не обращая
внимания на запятую;
2) поставить в частном запятую, когда
закончится деление целой части.
Примеры:
а) 1825,2: 234 = 7,8; 1825.21234
1638 (73~
_1872
1872
6)95,41 : 47 = 2,03;
0
95,41147
94 |2^3
_141
141
0
2978,4173
292 (40^8
_584
584
г) 3,2 : 8 = 0,4.
Правило: Чтобы разделить десятичную
дробь на 10, 100, 1000 и т. д. надо перенести
запятую в этой дроби на столько цифр влево,
сколько нулей стоит после единицы в
делителе.
Примеры:
а) 47,4 : 10 = 4,74;
б) 8,92 : 100 = 0,0892.
Правило: С помощью деления находят
десятичную дробь, равную данной обыкновенной
дроби. Для этого надо поделить числитель
этой дроби на знаменатель.
Примеры:
a) g = 7 : 8 = 0,875;
_ 7,0 0018
0 |0,875
70
64
60
56
40
40
0
б) ~ = 0,15; в) | = 1,5; г) ~ = 0,025.
Правило: Чтобы разделить число на
десятичную дробь, надо:
1) в делимом и делителе перенести
запятую вправо на столько цифр, сколько их после
запятой в делителе;
2) после этого выполнить деление на
натуральное число.
Примеры:
а) 160,23 : 4,9 = 1602,3 : 49 = 32,7;
1602,3149
147 f
132
98
343
343
32,7

20
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
б) 0,05 : 0,004 = 50 : 4 = 12,5;
в) 40 : 0,25 = 4000 : 25 = 160.
Правило: Чтобы разделить десятичную
дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо
перенести в ней запятую вправо на столько цифр,
сколько в делителе стоит нулей перед
единицей. (То есть, другими словами, разделить на
0,1; 0,01; 0,001 и т. д. — это то же самое, что
умножить число на 10,100,1000 и т. д.)
Пример: 7,23 : 0,1 = 72,3.
Приближенные значения чисел.
Округление чисел
Если данное число заменяется на другое
число, близкое ему по значению, то получаем
приближенное значение данного числа.
Например:
17,23 - 17, 0,0028 - 0, 199 » 200,
g « 0,3, 24,5043 - 24,5, 37,92 » 37,9.
Замену числа ближайшим к нему
натуральным числом или нулем называют округлением
этого числа до целых.
Примеры: 27,4 « 27; 239,7 « 240; 4,1589 « 4.
Числа можно округлять до любого разряда:
до десятых, до сотых, до тысячных и т. д.
Правило: Если число округляют до какого-
нибудь разряда, то все следующие за этим
разрядом цифры заменяют нулями, а если они
стоят после запятой, то их отбрасывают.
При этом если первая отброшенная или
замененная нулем цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то
стоящую перед ней цифру увеличивают на 1.
Если же первая отброшенная или замененная
нулем цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то
стоящую перед ней цифру оставляют без
изменения.
Примеры:
а) Округлить числа 89,6289; 113,251; 9,97 до
десятых:
89,6289 « 89,6; 113,251 - 113,3;
9,97=10,0.
б) Округлить числа до целых:
236,48 « 236; 18,713 * 19; 89,545 - 90.
ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИН.
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
ЕДИНИЦАМИ ИЗМЕРЕНИЯ
ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ВЕЛИЧИНЫ
Значения десятичных приставок
При обозначении единиц разных величин
используются приставки, показывающие, во
сколько раз увеличилась или уменьшилась
основная единица измерения величины.
Приставки увеличения и их краткие
обозначения:
дека — в 10 раз больше да;
гекто — в 100 раз больше г;
, кило — в 1000 раз больше к;
мега — в 1 000 000 раз больше М.
Приставки уменьшения:
деци — в 10 раз меньше д;
санти — в 100 раз меньше с;
милли — в 1000 раз меньше м;
микро — в 1 000 000 раз меньше мк.
Например, декалитр — это величина, в 10
раз большая, чем 1 литр. Тогда если вспомнить,
что 1 литр кратко обозначается 1 л, а краткая
запись приставки дека — да, то получается
следующая запись: 1 дал = 10 л или 1 л = 0,1 дал.
Другой пример. Миллиметр — это величина,
в 1000 раз меньшая, чем 1 метр. Так как один
метр имеет краткую запись 1м, а приставка
милли кратко обозначается также м, то
получается, что 1 мм = 0,001 ж,а1л= 1000 мм.
Единицы измерения длины
Основной единицей измерения длины
является метр. Метр кратко обозначается м, т. е.
1 метр записывается 1 м.
1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм = 1 000 000 мкм.
Напомним, что последняя запись означает,
например, что 1 метр равен 1 000 000 микронов.
Из этой цепочки следует, что:
1 дм = 10 см = 100 мм = 100 000 мкм;
1 см = 10 мм = 10 000 мкм;
1 мм = 1000 мкм.
Эти соотношения можно записать
по-другому:
1 мкм = 0,000001 м = 0,00001 дм =
= 0,0001 см = 0,001 мм;
1мм = 0,001 м = 0,01 дм = 0,1 см;

Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
21
1 см = 0,01 м = 0,1 дм;
1 дм =0,1 м.
Длину большей величины обычно
записывают в километрах, краткая запись — 1 км.
1 км = 1000 м = 10000 дм = 100 000 см =
= 1 000 000 мм = 1 000 000 000 мкм,
т. е.
1 мкм - 0,000000001 ?СЛ1,
1 лсл* = 0,000001 км, \см= 0,00001 км,
\дм = 0,0001 км, 1 ле = 0,001 км.
Очень мелкие величины измеряются в
ангстремах:
1 ангстрем = 0,0001 мкм.
Единицы измерения массы
Основной единицей измерения массы
является грамм, краткое обозначение — г. При
обозначении других единиц массы обычно
используются приставки милли и кило (другие
приставки используются редко).
1 г = 1000 мг или 1 мг = 0,001 г,
1 кг = 1000 г или 1 г = 0,001 кг,
1кг = 1 000 000 мг или 1 мг = 0,000001 к:г.
Крупные по массе величины измеряют в
тоннах (т) и центнерах (ц):
1 т = 10 ц = 1000 кг = 1 000 000 г или
114 = 0,1т, 1 кг =0,001 т,
1 г = 0,000001 /п, 1 ц = 100 кг = 100 000 г или
1 кг = 0,01 ц, 1 г = 0,00001 ц.
Единицы измерения площади
Основная единица измерения площади —
квадратный метр: обозначается м .
1 м = 100 дм = 10000 см = 1 000 000 мм,
т. е. 1 ел*2 = 0,0001 м, 1 дл*2 = 0,01 м,
1 еж2 = 0,01 дм, 1 еж2 = 100 мм2,
1 лш2 = 0,01 см2, 1км2 = 1 000 000 м,
\м2 = 0,000001 км2.
При измерении земельных участков часто
используются единицы измерения ар и гектар
(краткая запись a is. га).
1 а= 100 м = 1 000 000 см, т. е. 1 м = 0,01 а.
Другое название ара — сотка. 1 сотка — это и
2
есть 1 ар, или 100 м .
1 га = 100 а = 10 000 л*2 или 1 а = 0,01 га, a
1л2 = 0,0001 га.
Единицы измерения объема
Основной единицей измерения объемов явля-
ется кубический дециметр; обозначается дм .
з
Для 1 дм имеется другое название — 1 литр. То
з
есть иными словами 1 дм = 1 л.
Тысячная часть литра обозначается
миллилитр, т. е. 1 л - 1000 мл, а 1 мл = 0,001 л.
1 л = 1 дм3 = 1 000 000 лш3,
1 мм3 = 0,000001 л.
3 3
Таким образом, 1 мл — 1000 жж , а 1 лги =
3 * 3
= 0,001 л!Л. Так как 1 см = 1000 лш , то 1 мл =
= 1 см .
Крупные объемы измеряются в декалитрах
з
(дал): 1 дал = 10 л; и кубических метрах (м ):
1 м = 1000 л, т. е. 1 м = 100 дал.
Единицы измерения времени
Самой мелкой единицей времени является
секунда. При записях единиц времени
приставки обычно не используются (хотя, например,
можно измерять время в миллисекундах, т. е. в
тысячных долях секунды).
1 MUH = 60 С, 1 С = rg мин,
1 ч = 60 мин = 3600 с,
1 __L- 1 - -L
1 с ~ 3600 ч> * "*"*w "" 60 ч*
1 сут = 24 ч = 1440 лшн = 86 400 с,
Т. е. 1 Ч = «Г сУт> 1 мин = JTJq С1/7П.
Перевод одних единиц времени в другие
связан не с десятичными дробями, а с
обыкновенными.
Например, 5 мин = gn ч = То ч>
Нужно запомнить, что 30 мин = 0,5 ч = ~ ч;
1 3
15 мин = 74= 0,25 ч; 45 мин = т ч = 0,75 ч;

22
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
20 мин = g ч; 6 ч = j сут; 8 ч = ^ q/m; 12 ч =
= 1
! 2 c#m-
Единицы измерения скорости
Задача. Бегун пробежал 100 м за 10 с.
Очевидно, что он бежал со скоростью 10 метров в
секунду. Это записывается 10 м/с. Велосипедист
за 1 ч проехал 36 км — естественно, его скорость
36 км/ч.
Вопрос: У кого скорость передвижения была
больше? Давайте разберемся.
10 м/с = 36 000 м/ч = 36 км/ч
(так как 1 ч = 3600 с, а 1 км = 1000 м).
Можно по-другому: 36 км/ч = 36 000 м/ч =
= 10 м/с.
Получается, что скорость у них была
одинаковая.
Примеры:
а) Перевести 15 км/ч в м/мин:
(15 • 1000 - 15 000) (15000 : 60 = 250
15 км/ч = 15 000лс/ч
= 250 м/мин;
б) 4 км/с перевести в м/мин. 4 км/с =
= 4000 м/с = 240 000 м/мин.
В 1972 г. на Олимпиаде в Мюнхене в
плавании на 400 м два спортсмена — швед Г. Ларссон
и американец Т. Макки — показали
одинаковое время: 4 мин 31,98 с. С какой скоростью
(м/с) они двигались? Ответ: 400 : 271,98 =
« 1,47 м/с (так как 4 мин = 240 с, 240 + 31 =
= 271 с).
Кого наградить золотой медалью? Один из
секундомеров зафиксировал, что Ларссон на 0,001 с
раньше коснулся стенки бассейна (в тот момент
пальцы Макки были в 1 мм от стенки). Вот вам
и 0,001 с.
Для любознательных
Старинные русские меры
Меры длины:
1 верста = 1,067 км;
1 сажень = 3 аршина = 7 футов = 2,134 м;
1 аршин = 16 вершков = 0,711 м = 71,1 см;
1 вершок — 4,445 см (оказывается, что «от
горшка два вершка» — это 9 см).
Самое любопытное в том, что были меры
«линия» и «точка»:
1 линия = 10 точкам = 2,54 мм;
1 точка = 0,254 мм.
Меры массы:
1 пуд = 40 фунтов = 16,38 кг;
1 фунт = 0,41 кг = 410 г;
1 лот = 12,8 г;
1 золотник = 4,26 г; '
1 доля = 44,4 жг.
Меры объема:
1 бочка = 40 ведер = 492 л;
1 ведро =10 штофов = 20 бутылок = 12,3 л;
1 штоф = 10 чарок — 1,23 л;
1 чарка = 0,123 л — 123 жл;
1 бутылка = 0,615 л = 615 мл.
Английские старинные меры
Меры длины:
1 миля = 1609 м;
1 ярд = 91 см;
1 ф1//п = 30,5 см;
1 дкшл* = 2,54 см;
1 морская миля, = 1853 ж;
1 кабельтов = 185 ж.
Меры массы:
1 англ. фунт = 0,454 «:г = 454 г (английский
фунт на 44 г больше русского фунта);
1 унция = 28,3 г (1 аптекарская унция =
= 31,1 г).
Меры объема:
1 галлон = 4,55 л;
1 кварта = 1,14 л;
1 пинта = 0,57 л.
Для любителей читать Ж. Верна
Формула для перевода градусов Цельсия в
градусы Фаренгейта: F = 1,8 • С + 32. Например, по
Цельсию t = 20°. По Фаренгейту t = 1,8 • 20 +
+ 32 = 68°. Другой пример: по Цельсию t = -10°,
а по Фаренгейту t = 1,8 • (-10) + 32 = 14°.
Обратная формула (перевод градусов
Фаренгейта в градусы Цельсия):
С = 1 .(^-32).
Например, по Фаренгейту 95°, тогда по
Цельсию 35°.

Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
23
ПРОЦЕНТЫ
Что такое процент
Сотую часть рубля называют копейкой,
сотую часть доллара называют центом (от
латинского слова centum — сто), сотую часть метра —
сантиметром (обратите внимание на значение и
произношение приставки санти), сотую часть
гектара — аром (а по-народному — сотка).
Принято называть сотую часть любой
величины или числа процентом.
Значит, 1 копейка — один процент рубля,
1 см —- 1 процент метра, 1 цент — 1 процент
доллара, 1а — 1 процент гектара, а число 0,05 —
1 процент от 5. Для краткости слово «процент»
1
после числа заменяют знаком %, т.е. 1% =
100
= 0,01.
Понятие процента неразрывно связано с
десятичными дробями.
Правило: Чтобы обратить десятичную
дробь в проценты, ее надо умножить на 100.
Чтобы перевести проценты в десятичную
дробь, надо число процентов разделить на 100.
Примеры:
а) Записать десятичные дроби в процентах.
0,25 - 25% (т. к. 0,25 • 100 =25);
0,5 = 50% (т. к. 0,5 • 100 = 50);
0,003 = 0,3% (т. к. 0,003 • 100 = 0,3);
0,0158 - 1,58% (т. к. 0,0158 • 100 = 1,58);
1,538 - 153,8% (т. к. 1,538 • 100 = 153,8).
б) Записать проценты в виде десятичных дробей.
40% = 0,4 (т. к. 40 : 100 = 0,4);
63% = 0,63 (т. к. 63 : 100 = 0,63);
1,5% = 0,015 (т. к. 1,5 : 100 = 0,015);
0,08% = 0,0008 (т. к. 0,08 : 100 = 0,0008);
110% = 1,1 (т. к. 110 : 100 = 1,1);
200% = 2 (т. к. 200 : 100 = 2).
Основные задачи на проценты
Задача 1. В школе 800 учеников. Из них
46% приняли участие в математической
олимпиаде. Сколько человек приняли участие в
олимпиаде?
Решение: 1) Найдем 1% учеников школы:
800 : 100 = 8 (уч.).
2) Найдем 46%:
8 • 46 = 368 (уч.).
Ответ: 368 учеников.
Решение задачи можно оформить короче, если
перевести 46% в десятичную дробь: 46% = 0,46,
а затем число всех учеников умножить на
полученную десятичную дробь, т. е.
800 • 0,46 = 368.
Правило: Для того чтобы найти р
процентов от данного числа а, надо:
1) перевести р процентов в десятичную дробь;
2) умножить число а на получившуюся
десятичную дробь.
Примеры:
а) Найти 17% от 32.
17% =0,17,32 • 0,17 = 5,44.
б) Найти 30% от 1,8.
1,8 • 0,3 = 0,54.
в) Найти 145% от 76.
76 • 1,45 = 110,2.
Задача 2. На городскую олимпиаду
школьников по математике из всех школ приехали
140 человек, что составило 3,5% всех желавших
принять в ней участие. Сколько всего человек
хотели принять участие в олимпиаде?
Решение: 1) Найдем сначала 1% всех
желавших:
140 : 3,6 = 40 (чел.).
2) Найдем количество всех желавших:
40 • 100 = 4000 (чел.).
Ответ: 4000 человек.
Можно было поступить по-другому:
перевести 3,5% в десятичную дробь (3,5% = 0,035), а
затем число учеников, принявших участие в
олимпиаде, разделить на полученную
десятичную дробь, т. е. 140 : 0,035 = 4000.
Правило: Для того чтобы найти все число
по известной части Ь и числу
соответствующих процентов р, надо:
1) перевести р процентов в десятичную
дробь;
2) разделить Ь на полученную десятичную
дробь.
Примеры:
а) Найти число, если 12% его составляют 66.
66:0,12 = 550.

24
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
б) Найти число, если 150% его равны 960.
960: 1,5 = 640.
в) Найти число, если 0,2% его равны 5.
5 : 0,002 = 2500.
г) Вкладчик положил в банк некоторую сумму
денег под 80% в год. Через год он получил
прибыль в 30 000 рублей. Найти величину
вклада.
30 000: 0,8 = 37 500 (р.).
Задача 3. В финале Всероссийской
математической олимпиады приняли участие 160
школьников, из них 24 человека стали призерами.
Какой процент школьников стал призерами
олимпиады?
Решение: 1) Найдем 1% всех школьников:
160: 100 =1,6 (чел.).
2) Найдем процент призеров:
24:1,6=15%.
Ответ: 15% всех участников стали призерами.
Однако можно рассуждать по-другому: най-
24
дем дробь r-jwj и умножим ее на 100, чтобы
перевести ее в процент, т. е.
24 2400
160 " 10°-Тб0- ~15/о-
Правило: Чтобы найти процент числа Ь
от числа а, надо дробь - умножить на 100.
Примеры:
а) Найти, сколько процентов составляет число
15,57 от числа 90.
15,57 |100и1ММ00иШв1Ш|
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ
И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Координатная прямая
Точка О на прямой АВ разбивает эту
прямую на два дополнительных луча О А и ОВ.
Выберем единичный отрезок и примем точку О за
начало отсчета. Тогда положение точки на
каждом из двух лучей задается ее координатой.
Чтобы отличить друг от друга координаты на этих
двух лучах, условились ставить перед
координатами на одном луче знак «+» (обычно на правом
или верхнем луче), а перед координатами на
другом луче знак «-» (обычно на левом или
нижнем луче).
-5 -4 -3 -2 -1 0
■ч 1 1 1 1 н-
+1 +2 +3 +4 +5
—I 1 1 1 м
В
О
Числа со знаком «+» перед ними называют
положительными. Часто знак «+» опускают. На-
2 2
пример, вместо +7 пишут 7. То есть +2g = 2g,
+4,3 = 4,3.
Числа со знаком «-» перед ними называют
5
отрицательными. Пишут: -1; -6; -= , -2,6 и
читают «минус один», «минус шесть», «минус
пять седьмых» и т. д.
Начало отсчета (или начало координат) —
точка О — изображает число нуль (0). Само
число нуль не является ни положительным, ни
отрицательным. Оно отделяет положительные
числа от отрицательных.
-3-
-+-+-
-2,6
Н—I—ь
-1
—н
0
-4-
«S
ч—н-
4,3
-44 Н
90
90
9
О
б) Найти, сколько процентов составляет число
150 от числа 120.
150
15 000
120 # 10° 120
- 125%
в) Найти, сколько процентов составляет число
0,3 от 1,9.
0,3 «м-0.3-100 „300 _1(Л5 «-«о.
Прямую с выбранными на ней началом
отсчета, единичным отрезком и положительным
направлением (помечается стрелкой на прямой)
называют координатной прямой. Число,
показывающее положение точки на прямой,
называют координатой этой точки.
Например, координата точки С равна -2,6.
Записывается; С(-2,6). Координата точки D
равна +4,3. Записывается D(+4,3), или D(4,3).

Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—б классы
25
Противоположные числа.
Целые числа. Модуль числа
Два числа, отличающиеся друг от друга
только знаками, называют противоположными.
-5 -4 -2,5 -1 0 +1
—н 1 1—i—i 1 1 н
+2,5 +4 +5
I i I 1 h-^-
Например, +1 и -1 — противоположные числа;
2,5 и -2,5 — противоположные числа;
4 4
-6 ц и6? —противоположные числа.
Для каждого числа есть только одно
противоположное число. Число 0 противоположно
самому себе.
Натуральные числа, противоположные им
числа и число нуль называют целыми числами.
Например, про числа -15; -3; 0; 1; +5; 10 014
можно сказать, что они целые. А про числа -7,5;
1 5
-2 g ; 1,1; 15 5 нужно сказать, что они целыми не
являются. Числа 5; +17; 106 являются и
натуральными, и целыми, а числа -3; -19; 0; -101
целыми являются, а натуральными — нет.
Модулем числа а называют расстояние (в
единичных отрезках) от начала координат до точки
А(а).
1
-4,7
-3
—н
l I 1
-Н—h
А О
Вместо слова «модуль» в записи используют
символ | |. Например, запись «найти |-3|»
означает, что надо найти модуль числа -3. Из
определения модуля следует, что |-3| = 3, так как
число -3 находится на расстоянии трех
единичных отрезков от начала отсчета.
Л
= 15 > так как расстояние от нуля до
числа l| равно \\ . |3| = 3; |-4,7| = 4,7.
Заметим, что |0| = 0.
Правило: Модуль числа не может быть
отрицательным (так как расстояние не может
быть отрицательным). Для положительного
числа и нуля он равен самому этому числу, а
для отрицательного числа модуль равен
противоположному числу.
Противоположные числа имеют равные
модули, так как они находятся на равных
расстояниях от начала отсчета. Например, |-10| = 10 и
|10| = 10, следовательно, |-10| = |10|.
а)
б)
в)
Примеры:
1-12,6| = 12,6; г) |23| = 23;
0| = 0; д)|1|-1;
5 е)|-1| = 1.
4
= 7
6*
Сравнение положительных
и отрицательных чисел
-5 -4 -2,75 -1 0 1
4,5
l 1 I I
III —
Правило: Из двух чисел, отмеченных на
координатной прямой, больше то, которое
лежит правее, и меньше то, которое лежит
левее.
Примеры:
а) 4,5 > -5, так как число 4,5 расположено
правее, чем -5;
б) -4 > -5, так как -4 расположено правее, чем
-5;
в) -2,75 < -2g , так как -2,75 на координатной
прямой левее, чем -2^ .
Правило: Любое отрицательное число
меньше любого положительного числа.
Из двух отрицательных чисел меньше то,
модуль которого больше.
Нуль больше любого отрицательного числа,
но меньше любого положительного.
Примеры:
1
а) -100 < g
б) 1,4 >-14;
в)-7д <-6, так как
-7
= 7| и|~6| = 6,а7| >6.
Значит, число -7g расположено дальше от
нуля, чем число -6;
г) -7,5 < -6, так как 7,5 > 6;
д) 0 > -80;
е) -4,9 < 0;
ж)3^ >0.

26
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—6 классы
Сложение чисел с помощью
координатной прямой
Правило: Прибавить к числу а число Ь
значит изменить число а на Ь единиц. Причем
если Ъ — число положительное, то число а
увеличивается; если же Ь — отрицательное
число, то число а уменьшается.
Примеры:
а) -8 + 3 = -5;
б)-8 + (-3) = -11;
Г
+з
А
-8
н—ь
-5
Л h
-3
-11
Л
н—н
-8
в) -2 + 4 = 2;
г)3 + (-4) = -1.
+4
-4
Г
Л
г
Л
\ 1 1—ь
-2
-1
При сложении двух положительных чисел
суммой является положительное число.
Сложение двух отрицательных чисел дает в
результате отрицательное число,
Сумма положительного и отрицательного
чисел может быть как положительной, так и
отрицательной (смотри примеры а) и в)).
При сложении двух противоположных чисел
суммой является число 0.
Например, -3 + 3 = 0; 4,9 + (-4,9) = 0. В
общем виде:
а + (-а) = 0
От прибавления нуля число не изменяется.
Например, -13 + 0 = -13; -2,8 + 0 = -2,8.
Сложение положительных
и отрицательных чисел
Правило: Чтобы сложить два
отрицательных числа, надо:
1) сложить их модули;
2) поставить перед полученным числом
знак «-».
Примеры:
а) -6 + (-4) = -10 (так как |-6| + |-4| = 6 + 4 = 10
и перед этим числом ставится знак «-*);
б) -3,2 + (-!) = -4,2.
Правило: Чтобы сложить два числа с
разными знаками, надо:
1) определить больший модуль из модулей
этих чисел;
2) из большего модуля вычесть меньший;
3) поставить перед полученным числом знак
того слагаемого, модуль которого больше.
Примеры:
а) Нужно сложить -4 и 9. Для этого:
1)|-4| = 4,|9| = 9и4<9;
2) 9 - 4 = 5;
3) так как |9| > |-4|, то ответ положительный,
т. е.-4 + 9 = 5.
б) Сложим 3 и -10.
1) |3| = 3, |-10| = 10 и 3 < 10;
2) 10 - 3 > 7;
3) так как |-10| > |3|, то ответ отрицательный,
т. е. 3 + (-10) = -7.
.»
(3
= -1140-21=-11^
11 24 1X24#
г) -3,7 + (-10,12) = -(3,7 + 10,12) = -13,82.
д)-4,5 + 1,2 =-3,3.
ж)-12,5 +5 = -7,5.
Вычитание положительных
и отрицательных чисел
Правило: Чтобы из данного числа вычесть
другое число, надо к уменьшаемому прибавить
число, противоположное вычитаемому:
а -Ъ = а + (-&)
Примеры:
а) 14-19 = 14+ (-19) = -5;
б) -9,2 - 3 = -9,2 + (-3) = -12,2;
в) -3-(-4)= -3 + 4 =1.
а - Ь а+{-Ъ)
При выполнении примеров типа т - (-п)
нужно очень хорошо помнить, что
т - (-п) = т + п.
Примеры:
а) 4 -(-2,1) = 4 + 2,1 = 6,1;
б) -9,8 - (-5,7) = -9,8 + 5,7 = -4,1.
Разность двух чисел положительна, если
уменьшаемое больше вычитаемого, и
отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого.

Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—б классы
27
Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то
их разность равна нулю.
Примеры:
а) -4 - 3 < 0, так как -4 < -3 (-4 - 3 = -7).
б) -2g - (-8) > 0, так как -2g > -8 f-2g - (-8) -
-•й-
в) 5 - (-9) > 0, так как 5 > -9 (5 - (-9) = 14).
г) 12 - 13,8 < 0, так как 12 < 13,8(12-13,8 =
- ~1,8).
Умножение и деление положительных
и отрицательных чисел
Правило: Чтобы перемножить два числа с
разными знаками, надо перемножить модули
этих чисел и поставить перед полученным
числом знак «-».
Примеры:
а)-2,4 • 5 = -(2,4 • 5) =-12;
6)6 • (-0,7) = -(6 • 0,7) = -4,2.
Правило: Чтобы перемножить два
отрицательных числа, надо перемножить их модули.
Примеры:
1 (1\, 11 1.
а' 2A3je2#3e6;
б) -2 • (-0,4) = 2 • 0,4 = 0,8.
При умножении чисел полезно помнить
такую таблицу (правило знаков):
(+)•(+) = (+) (-)•(+>-<-)
(+) •(-)-(-> (-)•(-)-<+)
'Правило: При делении чисел с разными
знаками надо разделить модуль делимого на
модуль делителя и поставить перед частным
знак «-».
Примеры:
5 2 (Ъ 2\ =_5_3 =_5 =,1.
а) 6 : 3 [б:3) 6 2 4 Х4*
б) £ -(-^--{г^^-ГЪ ="3'
Правило: Чтобы разделить
отрицательное число на отрицательное, надо разделить
модуль делимого на модуль делителя.
Примеры:
а) -2,4 : (-0,4) = 2,4 : 0,4 = 6;
б>-2:(-§Н:Ь16-
Правило знаков при делении чисел то же, что
и при умножении: при умножении (делении)
чисел с одинаковыми знаками результат
положителен; при умножении (делении) чисел с
противоположными знаками результат
отрицателен.
ЗАДАЧИ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ
Порядок выполнения действий
Сложение и вычитание чисел называют
действиями первой ступени, а умножение и деление
чисел — действиями второй ступени.
Правило: 1) Если в выражении нет скобок и
оно содержит действия только одной ступени,
то их выполняют по порядку слева направо.
2) Если выражение содержит действия
первой и второй ступени и в нем нет скобок, то
сначала выполняют действия второй
ступени, а потом действия первой ступени.
3) Если в выражении есть скобки, то
сначала выполняют действия в скобках (учитывая
при этом правила 1 и 2).
Примеры:
Ф @
а) 20,3 - 0,6 + 1,4 = 21,1;
1)20,3-0,6 = 19,7,
2)19,7 + 1,4 = 21,1;
© Ф
6)17,8 - 0,8 • 5 = 13,8;
1)0,8 -5 = 4,
2)17,8-4=13,8;
2 ® 5 ® ( 1 ® 5\ 2
x>4i -1! -ai -1! -a + Ci -1) -ai-
.5
2)2
8
92 =21 §
CZ 8 3
7,
3)lo| "7 = 3?;
r>9i : {ч + ч) • 5=9:
1>88+2§-БЯ«
Z)y2 18 2 : 18 2 ' 95 5 * 5'
3)1;
5 =
= 9.

28
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—б классы
В выражениях типа а + Ъ - с разрешается
сначала выполнить вычитание Ь - с, а затем
разность сложить с а.
В выражениях типа а • Ь : с можно сначала
выполнить деление Ь : с (или а : с), а затем
умножить получившееся частное на а (или на Ь).
Примеры:
а) 17,6+ 24,8-3,8 = 38,6;
1)24,8-3,8 = 21,
2)17,6 + 21 = 38,6;
6)24^ • 4? :2| =49;
1)4|:2|=2,
2)24^ • 2 = 49;
4,8-1,5
в)
1,6
= 3 • 1,5 = 4,5.
При выполнении совместных действий с
обыкновенными и десятичными дробями
нужно учитывать рациональность выбора: иногда
лучше действия выполнить в обыкновенных
дробях, а в других случаях — в десятичных.
Примеры:
а) 0,4
6)2^ :0,36 =
It =0,4 • 1,5 = 0,6;
100
36
21
4 °4*
14
B)2g -0,21 = 3 " Ш=25-
Совместные действия
с положительными
и отрицательными числами
Вычисления в примерах, содержащих
несколько действий, можно проводить двумя
способами:
1) просто выполнять отдельно все действия
по порядку;
2) выполнять действия цепочкой.
Примеры:
® ф ®
а)-16,4 - 5,2 : (-0,4) + 1,5 = 1,9;
по действиям:
1)5,2: (-0,4) = -13,
2)-16,4-(-13) = -3,4,
3)-3,4 + 1,5 = -1,9;
цепочкой:
-16,4 - 5,2 : (-0,4) +1,5 = -16,4 - (-13) +1,5 =
= -16,4 + 13 + 1,5 = -16,4 + 14,5 = -1,9;
б)-2
! Ф 5 ® ® ®
-2 : 0,5 + 7,2 = 0,4;
по действиям:'
1) *Ъ * 6 3 5 5 Z,5>
2)2:0,5 = 4,
3)-2,8-4 = -6,8,
4) -6,8 + 7,2 = 0,4;
цепочкой:
-2g : g -2:0,5 + 7,2 = -^-| -4 + 7,2 = -2,8 +
+ 3,2 = 0,4;
@ Ф ®
в) 5 - 4,8 : (-0,3) • 0,75 = 17;
по действиям:
1)4,8: (-0,3) = -16,
2)-16 • 0,75 = -12,
3)5-(-12) = 17;
цепочкой:
5 - 4,8 : (-0,3) • 0,75 = 5 + 16 • 0,75 = 5 + 12 =
= 17.
Степень
Запись ал, где а — любое число, п —
натуральное число, называют степенью. Причем
число п называют показателем степени, а —
основанием степени.
Запись ап означает произведение п
множителей, каждый из которых равен а, т. е.
а = а • а • а
а,
л раз
Примеры:
а) 43 = 4 • 4 • 4 = 64;
б) 0,35 = 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 = 0,00243;
B)UJ = 5 5 " 25 »
.ЗУ*
2\2 2 2 _ 4
5) 5 5
«(->!)■-'? И)И)-т ■(-¥)■(-¥)-
1000 „314
343 ^343*
2 2
Не надо путать записи типа (-0,4) и -0,4 ,
так как (-0,4)2 = (-0,4) • (-0,4) = 0,16, а -0,42 =
= -(0,4 • 0,4) = -0,16, а также f g 1 и j, так как

Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—б классы
29
(й-
? Ё 2 ?=!*! ±L = 2 2 2 2
3*3*3*3 81* а 3 3
16 Л
= Т=5з-
При выполнении примеров, содержащих
степени, в первую очередь выполняется возведение
в степень, а затем все остальные действия.
Примеры:
Ю-2. 1.8»-^—2.1.69- °-4г -
= - 3,38 - 0,008 = -3,388;
б) [\ + I)2 - 50 • ОД3 = [I)2 - 50 • 0,001 -
(5 (9
__25_n25V _JL/ 125 - 9 _ 116 _
36 ' 36 20 180 180
29
45*
Правило: При возведении в степень
отрицательных чисел ответ будет
положительным, если показатель степени — четное
число, и отрицательным, если показатель —
нечетное число.
Примеры:
;-о,и2 = о,с
б) (-0Д)4 = 0,0001; г) (-0Д)5 = -0,00001.
а) (-0Д)2 = 0,01; в) (-0Д)3 - -0,001;
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Раскрытие скобок
Выражение а + (Ь + с) можно записать без
скобок: а 4- (Ь + с) = а + Ъ + с. Эту операцию
называют раскрытием скобок.
Правило: Если перед скобками стоит знак
«+», то можно опустить скобки и этот знак
«+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в
скобках. Если первое слагаемое в скобках
записано без знака, то его надо записать со
знаком «+».
Например, а+(&-с+2) = а+&-с + 2 или
(т - п) + (-4 + а) = т-я-4 + а.
Правило: Чтобы раскрыть скобки, перед
которыми стоит знак «-», надо опустить
скобки и этот знак «-», поменяв знаки всех
слагаемых в скобках на противоположные.
Если первое слагаемое в скобках записано без
знака, то его надо записать со знаком «-».
Например, -(а - Ъ) = -а + Ъ или х - (-у + 5) =
= х + у - 5.
Примеры:
а) (х - у) - (-у + 8) = х - у + у - 8 = х - 8, так
как -у + I/ = 0;
б) -(а + &) + (3 - с) = -а - Ъ + 3 - с = -а - & - с + 3;
в) 8,2 - (4,5 - а) = 8,2 - 4,5 + а = 3,7 + а;
г) (6 - х) - (-9+у) -20 = 6-x + 9-i/-20 =
= -х - у - 5.
Коэффициент.
Раскрытие скобок с применением
распределительного свойства
Если выражение является произведением
числа и одной или нескольких букв, то это
число называют числовым коэффициентом (или
просто коэффициентом).
Например, в выражении -8,5а —
коэффициент равен -8,5; 4ху • 5 = 20ху — коэффициент
равен 20; -тп = -1т — коэффициент равен -1; х =
= 1х — коэффициент равен 1; -т • 6я • (-За) =
= ISmna — коэффициент равен 18.
Правило: Если перед скобками стоит
множитель со знаком «+», то можно опустить
скобки, умножив каждое слагаемое скобок на
этот множитель, сохранив при этом знаки
всех слагаемых.
Например, 7 + 2 • (а - 4) = 7 + 2а - 8 = 2а - 1;
Зх • (-8 - у) = Зх(-8) + Зх(-у) = -24* - Зху.
Правило: Если перед скобками стоит
множитель со знаком «-», то этот знак нужно
заменить на «+», изменив при этом знаки
всех слагаемых в скобках. Далее необходимо
воспользоваться предыдущим правилом.
Например,
-3 • (4 - 5а) = +3 • (-4 + 5а) = -12 + 15а;
18 - 4с • (3+2а) = 18 + 4с • (-3 - 2а) -
= 18-12с-8ас.
Примеры:
а) 4 • (Зх - 2) - 2 • (-Ьу - 1) = 4 • (3* - 2) +
+ 2 • (Ъу + 1) - 12* - 8 + 10у + 2 = 12* + 10у - 6;
б) -6а • (-* + 7) + х • (3 - у) - +6а • (х - 7) +
+ х(3 - у) = бале - 42а + Зх - ху.
Подобные слагаемые. Вынесение
общего множителя за скобки
Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную
часть, называют подобными слагаемыми.

30
Краткое изложение школьного курса математики
Математика. 5—б классы
Например, -2а и 0,4а — подобные
слагаемые; х и -5л: — подобные слагаемые, слагаемые
86 и 8а — подобными не являются; подобными
2
также не являются слагаемые ах и ay; х и х .
С подобными слагаемыми можно
производить арифметические действия. Сложение и
вычитание подобных слагаемых называется
привед�