для ntnuH
в ты
ГРУППА А
полный
СБОРНИК РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
для поступающих в вузы
ГРУППА А
Под редакцией М. И. Сканави
Москва Мир и Образование Астрель
УДК 51(076.1)
ББК 22.11
П51
Все права защищены.
Перепечатка отдельных глав и произведения в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.
Полный сборник решений задач по математике для
П51 поступающих в вузы. Группа А / Под ред. М. И. Сканави. — М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство Астрель», 2012. — 912 с.: ил.
ISBN 978-5-94666-634-3 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
ISBN 978-5-271-37256-8 (ООО «Издательство Астрель»)
В помощь абитуриентам публикуется полный сборник задач по математике с решениями под редакцией М. И. Сканави по всем группам сложности.
Условия и нумерация всех задач полностью соответствуют изданию «Сборник задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией М. И. Сканави, 6-е издание (М.: Оникс, Мир и Образование).
Пособия помогут при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз. Книги адресованы школьникам старших классов, абитуриентам, репетиторам и преподавателям.
УДК 51(076.1)
ББК 22.11
ISBN 978-5-94666-634-3
(ООО «Издательство «Мир и Образование») ISBN 978-5-271-37256-8
(ООО «Издательство Астрель»)
ISBN 978-985-18-0106-6 (ООО «Харвест»)
© Суходский А. М., Маслова Т. Н., 2011
© Ничкова Н. Б., Фохт О. Б., наследники, 2011
© ООО «Издательство «Мир и Образование», 2011
© Оформление переплета. ООО «Харвест». 2011
Решения к главе 1
Вычислить (1.001—1.040):
1.001.
(7-635): 6,5+9,9
13:36+13:035-1— —
16 J 24
Решение.
(7-635): 63+93 * 16
13:36+13:035-1^1:^
16 I 24
0,65:63 + 9,9 = 0,1+93 1 24 _ 21А 24 ~ 169 24 30 + 5 16 j 169 48 169
2
= 20.
Ответ: 20.
1.002.
ГГ2_47\^5+Г6_17Л
I 9 72	7 28 ,
1	10
: (0358-ОД 08) 1,6-
Решение.
Yi-47'' I9 72 >
=[^|+^:035}13-^=(0Д+1М,б-§<7б-0>7б=1.
17 Л	A	io
: 135+ ~^ : (0,358-ОД08) 1,6-^ 72 J ^7 28 J	J	25
I	7 4 3 1
0,5:1,25 + -: 1-- — -3 , л I	5711
1.003. v>-1,5 + — :18-4	3
Решение.
7.4	3 ]	(2	49	Зк
0,5:1^25 + —:!-----3	- +--------3
5 7	11 J	( 5	55	11 J	168
55
1
1 1 1
1,5+- :18-
4	3
4
7 _3
4 55
— • — = 32. 7 3
Ответ: 32.
1.004.
(2,7 -0,8)-21 ---------^- + 0Д25
(5^-1,4):^
: 2-+0,43. 2
Решение.
(2,7 -0,8)-21
:2- + 0,43 = 2
19 7 ю'з
38 70
10' 3
. +0Д25
1 2	1
-----+ —+0,43 = 0,02+0,05+0,43 = 0,5.
20 5 20
1
8
2
•-+0,43 = 5
Ответ: 0,5.
1.005.
г^ц+з- . [21+4,5)0,375 4	3 . 5 _ (6	)
1’7	1
2,5-0,43- 1 *	2,75-1-
3	2
Решение.
22;i,i+31 . [21+4,5)0,375 5+1°.
4	3 . 5 _ (6 J = 2 3. Z
17	1	5 4 5
2,5-0,4 3- 1	2,75-1 -	Э
3	2	2 3
Ответ: 5.
20 3
-1_1 = 7_2 = 5.
U5
1.006.
13,75 + 9— Ц
6)
(	1 А 5
>03-8- -
6,8-3- |-5-
;---ф*-271.
з|-з|-56	6
Решение.
рз,75+91)12 (б^-зЩ (т+у)| (т-тН
)_______6 J _________5 J 6	1 _ V 4	6 J 5	5	5 J 6
(1O.3-81V Гз—-3-1-56	* (2,3-0,5)1	(1-11-56
I	* 1 2 3J 9 ( 3 6J	9	(6 6j
11(1+11 11.11
163 =	Г 2)	5 6	163 55 2 163	169 163	)
6	18 5 + 28	6	2+3	6	6	6
10'9 •
Ответ: 1.
1 + 0Д + —|:(1+0Д- —1-2,52
,6	15 J [,6	15 J
1	1W	1А 7
О,5--+ОД5-- : 0,25-- —
3	5	6 13
1.007.
Решение.
1 + 0,1 + —|:(1 + 0Д-— 1-2,52
6	15 J (6	15 J
fl 1 П
—Ь---1--
16 10 15
1+_L__L\63 6 + 10 15 J 25
0,5-1 + 025-
Т_
13
1_1 1_11(1_11L
2 3 + 4 5 Д4 6 J' 13
1.5-11
3	25 ^21 5 =
"11.12.2’5V-
60	13
Ответ: 3.
1.008.
3-+2,5 3
2,5-1-3
0,05
1-------+5’7
--0Д25
Решение.
Ответ: 1.
1.009.
Г	5 А	1
0,4 + 8 5-0,8- -5:2-"	8)	2
( 1	(	2Y1 '2
11.8-8,9-2,6:- -34-8	I	3 1	5
к V	//
•90.
Решение.
(	5^1	1
0,4+8 5-0,8- -5:2-
7---- г... " V\ 2 90 =
1--8-^8,9-2,6:-11-34-
I8 I 3jJ 5
I	2 1
0,4+40-4-5— -90
(15 о 89 13 ЗА 172
8	10 5 2) 5
34,4 90	344-9
<150_89 + 391.172 2-172 к 10 10 +10 ) 5
Ответ: 9.
5±-4> :5А
1010 U* 3 * 5 6 *
1.U1U. / 2	\	9	7	70	7
4—+0,75 -3 — 3	13
Решение.
(с 4 л 1) . 8	f229 25 83
I 45	6 I 15 ,.2	0,3:0,01	2	45	6 I 15 240	30 2
(ЛП,<М 7	70	7	<14	3^48	7	70 7
3 J 13	3 4 J 13
83 15 90 83 240	5	1	240 5	2	5	.
65 48 7	7	6-20 7	7	7	7
1213
Ответ: 1.
1.011. 1
3	1
|+0,425-0,005 :0Д
зо^+|+з| о 3
26:3^
-0,05.
Решение.
-+0,425 - 0,005 |:ОД б-+5-
---------j-YL+-4	2-o.o3 =
30,5+4 + 3^	26:3^
6	3	7
= (0,6+0,42)-10
61 1 10
2 +6+ 3
12--26
-^77" °’0-5 = 26-7
10,2	7	1	3	7 1	х
—ч------= —।--------= 2.
34	4	20	10	4	20.
Ответ: 2.
1.012.
1	1	2	2
3-1,9+19,5:4- 3,5 + 4- + 2 —
3	2 .	3	15
62	' f 1 'l
--0,16	+
Решение.
J ,П me J „2 ~ 2	10 19 39
3-1,9+19,5:4- 3,5+ 4-+ 2—-----------+ --
3	2 .	3	15 _ 3 10 2
— -0,16
75
( 1
0,5 1 —+4,1 20
2
2 62__4_
75 25
J/21 4Г 2[ 20 +10 ;
7 14 32
—। 4. — 2 3 15
19 13 103
_ 3 + 3 40 - 16-/|
2	103 4
3	10
Ответ: 4.
1.013.
(17
- + 0,6-0,005
^40
5+ll-l^
6 3	30
4,75 + 7-
+-------:0,25.
33:4-
7
Решение.
(17
-+0,6-0,005
^40
5 1 23 - + 1-1 —
6	3	30
4,75 + 7------Л0,25 =
33:4 — 7
6/17 + 3_МП 19 15	6 51 17
= ^ЬЦ1^Ьо+Л^.4 = 1^1О+Л9_.4 = 5 + 7 = 12.
- + i-—	33-1	-	47
6 3 30	33	5
Ответ: 12.
(4,5 1|-6,75 j-1	1^.0,22:0,3-0,96
1.014. / ।	i i \ 2 + 7 зУ
3-0,3+5--- :2-	0,2- — 1,6
( 3	38	3	40 J
Решение.
^4,5-11-6,75 j	1^0,22:0,3-0,96
( i	i i Л 24	7 ГУ
3- 03 + 5- - :2—	0,2- — 1,6
3	3 8 J 3	1/40 J
(9 5_27>l 2 [2’3 4 J 3 10 2 16 V 3 3 10+ 3 8J 8
15 И.10_24	,24
11'50 ’ 3 25 _ И 4 J 3 1 25,1 8 1
(1 _ 3/ 8	Л 2V	1.8 2 5 5
[5 40 J 5	[3 J 8	8 5
Ответ: 1.
3 13
1,88+2 — —
25 J 16
26 9
1.015. д-------гт
0,625- — 18
0,216
, 0Д5
3 2 'I
7,7:24— + — -4,5
4 15
+ 0,56 :0,5
Решение.
7 з
1,88+2 —
3_
16
0,625-
13.26
18' 9
oai6+o,56:0,5
Lai5 j_________
7,7:24- + —У 4,5
4 15
(1,88+242)-^
513 9_
8 18 26
f 216 56 V 3	(72 28 V
(150 100	4 16	150 50. J
77 4 V9"5_l + fll AV
10 ’ 99 +15 J 2 8 4 [45 + 45 ) 2
. 3 8 4 = 4------------------+ -
16 3 2
= 4.
Ответ: 4.
1.016. Г16—-13—У —+2,2(— 2	9 J 33 ^33
Решение.
f16l_13Z\H+2>2fA_l\l=f”_124H+ 2	9 J 33	1^33 11J 11	2 9 J И
22 f 8	3^2	49 6 1 2 49 17 „
—-----н— —----ч—I— = —I— = 2.
10 33 33	11	18 11 3 11 33 33
Ответ: 2.
(32 13^1 1—- — -3,6
I 63 21J
0Д28:3,2 + 0,86 5	2
^12 + 0,8	0,505-j-0,002
Решение.
1.017.
(32 13 1 1--— -3,6 0428:32+0,86	63 21J 0,04 + 0,86
| -12 + 0,8	0,505-|-0,002	1+0,8
J 8 18 _8 18 9 02 5
Ответ: 8.
95_39\18 163 63 j 5 0202 - 0,002
1.018.
1	I11 Ии
3^:10+0475:0,35	77-77 :1,4
3	( lo 1j ]
1,75-1—•— 17 56
0,5-- |-3 9
Решение.
1	(11
3-:10+0Д75:035	77 ,,
3	I 10 1J
1 1:1,4	1 + 1
_ 3 2
49 5 ____________.	__________90 7 = fw_n3 Л! ’.3'
17 56 I 9j 4 17 56 18
5	718 -10 1 .-з
18-7-3 3 3
6 ---
4 2
1 +
7
Ответ: 3.
1.019.
9
0Д25:0,25+1—: 2,5 ,17	>.
7-----------------+ —+1,9 • 0,5.
(10-22:23) 0,46+1,6 ^20	1
Решение.
0Д25:0,25+1—:23 , ч ____________16____। I _ +19 1.0 5 = (10-22:2,3)-0,46+1,6 I 20 ’ 1 Р
М 2 8
17 19
10 220 А 114 40+20
23 50 5
9
8	17 38 5 11 „
1 8 40 40 8 8
5 5
Ответ: 2.
(( 1 23А 22 (	3^1	1 )
1.020. 1--— : — - 0,6:3 — -2-+3,75:1- :2Д.
Ц 7 49 ) 147 4	4)2	2)
Решение.
((Л 23Л
22
147
(311	1
- 0,6:3— -2—+ 3,75:1— 4	2	2
:23 =
((8 23)147	(33 147 ... .) _
= ((?‘49"0J6'W + W;22 = (49 22 "°'4 + У22 =
= (4,5-0,4 + 2,5) ^ = 3.
Ответ: 3.
1.021. 2:3| +
f3l:i3U+f2A_E\18U. .4 J 3 ^ 18 36) 65 J 3
Решение.
(	1 Г 1	^2
4 :3 5+4 4 :13/3 +
"г—' I 18’36 J
18) 1
65 ]’3
(. 5 1 3 65 18 Л 1 (5 3 4)1
2 • —• н— —I— * — I* — = 1 —I— + —  —
( 16 4 2 36 65) 3 4 8 8) 3
= 03.
2
Ответ: 0,5.
1.022.
0,5 + - + -+0,125 (3,75-0,625)—
4 6	।	425
1+0,4+—	12,8-025
Решение.
0,5 + — + -+0,125 (3,75-0,625)— ^+-+-+- a]0<
4 6	+ v	425 = 2 4 6 8 + 3J25-48 =
l+04+—	12,8-0,25 l + 2+ll ЗД-125
3	’	15	3 5 15
25 3 12
= — •- + ^=- = 0,625 + 0,375 = 1.
24 5 32
Ответ: 1.
1.023.
2	1 (	5 1
26-:6,4 • 192:3- -3	9
8-:2 —
7	77
2 0,5:18-11
3
18’
Решение.
81-2^
f26?;6,4Ul^:3’L2LV.l = [S0.AU96 И
l * 3 * JI 9 J 0,5:18—11 18 I 3 32 J I 5 32 J
3 60 77
7 180 1 _25 27 11 112 1 _ 45 112 1 _
1.Л.Ц 18~ 6 * l 5 3-33 18“ 2	9 18"
2 56
= -l(45-9-112-2-l)=10.
Ответ: 10.
1.024.
7 11
0,725+0,6 + — + — 40 20
0,128-6—-0,0345 : —
4	25
•025.
7 И 0,725 + 0,6 + — + — ------j-----40 20, • 0,25 = 0,128 6—-0,0345: —
4	25
= 1325 + 0,725	305
0,8-0,2875	0,5125
Ответ: 1.
1,325 + — ---------------------0,25 = 0,128 -635-0,0345: ОД 2
1.025. | (520-0,43):036-217-2—1-(з1,5:12 —+114-2-+61 — .
к	к	3	2>
Решение.
^(520-0,43):036-217-21- ™:12^ :’.У. 2* = ^223,6:036-217 — W— • —+114-+—1 t	7 J 2 63	3 2 J
-	123^	„„л ,
2 I
17>
- 31,5:12 —+114-2 —+61— =
= (860-527)- -+266+ — 1=333—330 = 3.
2
7
1
2
Ответ: 3.
1.026.
(3,4-1375)—
A-fi-L+611
18 85	17 J
Решение.
(3,4-1375)-^
2
18
(7	2
1 —+6 —
85	17
+ 03 2 +
12,5
5,75 + -2
2Д25 — 17
12,5 ]
—7---------\ "I— 2 +---- =
5 (92 104Л 2	635
— — +------
18 85 17
17 16
=^Й+1+1'1+2=3-
18 85
1.027.
( 1 3,75+2 —
J 2
2--1,875
I 2
2-+1,5 4
2,75-1-2
10 if
Решение.
S’75*22	2 4 +1,5 1() / 375+2,5 _ 2,75+1,5^ 10
21-1,875 ’ 2,75 -1 * ’11 = I2’5 -1’875 ” 2’75 J 11
I 2	2 J
( 6,25	4,25^ 10(	17 A 10 _ 33 10 _ 6
1^0,625 1,25 J11 [	5 J 11 5 11	\
Ответ: 6.
1.028. ((21,85:43,7+8,5:3,4): 4,5): 11 +11|.
Решение.
2 ,11
((21,85:43,7 + 8,5 :3,4): 4,5): 1 =+1	= (0,5 + 2,5): 4 i
=Гз I"15
"I 9
Ответ: 2.
5	21
32 10 32 _42 =2 7 21 "21 + 21 - 21 -
1 |.7+11
2 ’ 5 + 21
1.029.
11 + 3,5:111:21 + 3,4:21-0,35.
I5 4J 5	8
Решение.
(2	1 >	2	1
1—+ 3,5:1— :2- + 3,4:2--0,35 =
5	4 J	5	8
= (1,4+3,5:1,25): 2,4 + 3,4: 2Д 25 - 0,35 = (1,4 + 2,8): 2,4 + +1,6 - 035 = 43:2,4 +1,25 = 1,75 + Ц5 = 3.
Ответ: 3.
1.030.
f Г 15 4 Л 2 Л 03275 - 2— + — :12—
I 88 33 J 9 J
:0,07
(13-0,416): 6,05+1,92
Решение.
(15 4
03275 - 2 —+—
I 88 33
2 I :12- :0,07
9
(13-0,416): 6,05+1,92
(191 4 19 1 03275- —+— •— :0,07 ^88 33) 110) 12,584:6,05+132
г131 605 _9_) ЮР f 131 3 А 100
400 264 110) 7	^400 16) 7 _7 100 1 _ 1
2,08+132	”	4	~ 50 7 4 ”2
Ответ: 0,5.
1.031.
5_ 21
6 45
1-6
3 5 1Д25+1—- —
4 12 0,59
Решение.
5_21
6 45
059 И
9 7_2_
8 + 4 12 _ 11 6 59 100
59	30 11 24 59
100
±25 = 5
5’ 6	6’
Ответ: 7
6
з_|
1.032. *—

+12,5 0,64.
—: 0,0925 300
i----—-------------+12,5 • 0,64 =
0,0925
300
37 400
+ 8 =
300 37
у-------+ 8 = 3(-1)-2 +8 = 3 + 8 = 11.
Ответ: 11.
1.033. х'л „
1,3 + —
<5	17 А
-+2—- :2,5
I8 247_____
- 23+±1112
30 + 11 I 401
•0,5.
Решение.
3+2И :2,5	* + *ф1
( 8	24) л е _ ( 8 24 ) 5 2
-23 4 >11()U’
,3+ 30 +11 401
10 £
3 5 -2.2_!
"в 23	421.110 з'з
10 + 30 + 11 401 165 401
Ответ: 1.
((7 - 6,35): 6,5+9,9)-—-
1.034.
1	5> 1
1,2:36+1-: 0,25-1- 1-
5	6	4
: 0,125.
Решение.
((7-6,35): 6,5+9,9)-^
1	5^1 1
1^:36+12:025-1- 14
5	6 J 4
:0Д25 =
(0,65:6,5 + 9,9) ^-8
_______________64
(6 1 6 л 11> 5
-----+ -.4------
(5 36 5	6 ) 4
(OJ+9,9) | __________о
J_ + 24_ll | 5
30 + 5 6 4
90	3
30
1.035.
45 15.
Решение.
fl —- —113- + 3—•—	25 9 198 26
I 45 15/ 9	65 99	9 125+ 65 99
fl8l_137\l	’	f37 1241 * 2
1/2	9 J 85	[2 9 J* 85
1 52
_ 5 65 _ 1 _9
85 2. 1
18 85 9
Ответ: 9.
2:3-5
2a_iz 118
218 36 j 65
Решение.
3^2 Г3.15А5 f8_23A 147 5 , 33 147 4 3 (2 4 J~2 (7 49 J 22 = 2 +1+ 49 ’ 22 2 —+ (— 13) 2_f£LlZ) A l + 3_A.ll 16/4 ' J 2 (18 36J 65 8 8 36 65
Ответ: 16.
53
1.037.
((	13 9 A 9
4,625- ——:	'
18 26 J 4
- - 0,375 |: 0Д 25 +1 - - — I: (0358 -1,4796:13,7)
2 I 6 12 I
:- + 2,5:135:6,75 :1—
4	’ J 68
68
Решение.
13 9 19
4,625-— — :
18 26 I 4
9	I 53
:-+2,5:135:6,75 :1 —
4	68
|-0,375 j: 0Д25 +
/ <	7 \
--— : (0358-1,4796:13,7)
^6 12 J
• — +2:6,75 • — 9	Г’
68	(35	27^ 68
121	118+2’ 4 121
((37 1
0Д 25: 0Д 25 + 035: (0358 - 0Д08)	1+035:035
121 68 1 = 17
54 121’2 27'
Ответ:
17
27 ‘
1.038.
7	11	1 'I 5	3 ( 1 5 Y
з/-2^+2Л lYz-Zr 3- + -
<. 2 6Л 2__1 i 27 3 9
7 .И
5
12	18	24
19 /13	13
84 ‘ Г 42 2S:
31 52
l-ll I 13
13 A
42 "28 + 24
/12 218 + 224j Si 52/2 + 6j 4з 19:Г5В_213+АЪ2.-1Л 84 ^ 42	28 24 J 27 3 9
Y*3_^ + ^\36__3j7 + 5Y| 20 <217 36 3 13 20 [12 18 24 J 31 52^2 + 6 j] 13 _ [*72~ 31 52 T J 13
19 /223 69 t 5	29 4	” IZ-lZl + ZZ
84 /42 28 + 24/ 27 27	84 ' 56 27
(2 4 J 13 13 20
_2_ + 25	4 13
27 27
Ответ: 5.
1.039.
/ x	fl — -1,5|1,5
(32-1,7): 0,003 [20 J
(29 3 A (	14 A 1
— -•4:0,2 |2,44+1— -
35 7	25 8
62^+l,364:0J 24.
Решение.
(32-1,7): 0,003
<29 3 A
— -- -4:02
35 7
62 4-+1364:0Д24 =
3 3'
1,5:0,003 20 2 .1241	<500 9 A 20
14 4 5 4 1 20 + [в 40 2 j 1241 35 ’	’ 8 J
125_±\20_+11=1241.20_+11 = 12
2 20 J 1241	20 1241
1.040. 5-: 7
8,4-- 6-7
23 + 5:6,25)-7 8-0,0125+6,9
-20,384:1,3
Решение.
39
7
(2,3+5:635)-7 8 0,0125+6,9
-20,384:13
/ >
<42 6Г (2,3+0,8)-7Л	39 <ЗбГ ЗД-7А
[5 7^ ОД + 6,9 )	] 7 Щ 7 J
39
(73-2,9-15,68) = у
(20,88-15,68)=
39,7_ 39.26_15
7	7’5 14 ‘
15 Ответ: — •
14
Найти У из пропорции (1.041 —1.045):
Г Г 1 1 4-3,5- 2--1-I____"I 7 5
1.041. А----------------
:0Д6 32__3.1
„ 7 14'6
~41—-40 —
84	60
Решение.
( 1	1	( 23	49 А
4-33- 2--1- :0,16 41—-40—
Ц 7 5 JJ	I 84	60 J
32__3..1
7 14'6
7 33 А _4_ 16
4 2 35 I 25 35
7 7
(д-З-И-А.АЁ 2_ 25 16
I 10 J 25 35 10 4 35
2	2
, л 12:0375 - 02 0,016: ОД 2 + 0,7
1.042. —-------------------------
6—:15- + 0,8 Х 25	5
Решение.
(0,016:0,12+0,7)(б-:15-+0,8^ { —• —+—Y—•—+ -. v	у 25	5 J (125 25 10 } 25 5 5
1,2:0,375-0,2	3,2-0,2
(2 7Y2 4А 5 6
( 15 10 1 5 5 ) 6 5 _1 3	3	3’
1 Ответ: — •
1.043.
0Д25У 19_21\82 24 40 J 16
63
0,675-2,4-0,02
Решение.
fl^LLZ) 07 (— - —1 8—	±125
 Д бЗ 21J ,У'(24 40j°16 (63 21/10 15 16
(0,675 • 2,4 - 0,02)- ОД 25	(1,62 - 0,02)- ОД 25
40 63
63 40	1 5
1,6-0Д25 02
Ответ: 5.
9|1П-0^45:0,9 Л	I
1 Q44 ----------------= _i------------
103 024-15Д5:7,5	ij__42.7
40	8
9| 1 - 0,945:0,9 j-(10,5 0,24 -15,15:7,5)
-1-42;
9^“1П(2’52 2’02) 9 -~ -[20 20 j________ 2 2_4
43_35.7	43_5 9
40 8 ’	40 8 20
Ответ: 5.
[13_ 2._£.21 [11
15,2-0,25-48,51:14,7	44 И 66 2 J 5
1.045.	у	*	7—.	>~
3,2 + 0,8 5--3,25
Решение.
(15,2-0,25-48,51:14,7)- 3,2+0,8 5
13_A_J_-211.11
44 11 66 2) 5
(3,8 - 3,3)- (3,2+0,8  2,25) 0,5 - (3,2+1,8) _ 0,5 - 5
Г_5__^_.5^6
|^44 66'2 / 5	1^44 33 /5 12 5
Ответ: 25.
Вычислить наиболее рациональным способом (1.046 —1.048):
763-1,7-
1.046. -f=
V63-1.7-
1,7
te + lj)2-4-63-1,7 V632 +2-63-l,7 + L72-463-l,7 763-1,7
76,3 1,7	= 63-1,7 = 63-V = 1
7б32 - 2-63 1,7 + 1,72 J(6,3-l 7)2 6)3
Ответ: 1.
1.047.
V5612 -4592
4-0Д5+4 —: —
t 7	7 3
+4710
/
Решение.
75612 -4592
2	2 20
4 —-0Д5+4 —-
( 7	7 3
7(561+459X561-459)	/-
30	so.2.
7 20+ 7 20
3
/ \
71020 102 t 3 7TiO22 10 + 36710 3
9	2710	9	2710
I 7 J
714710 + 36-Л0	3	750710	3	375
9	2T10- 9	3
Ответ: 125.
1.048.
5-|Т-ОУ
--V2-1+ 2
.2
Ответ: -7 4
Вычислить:
2-2+5°
1.049.-------------------—
(0,5)-2-5(-2)-2 +[|
+ 4,75.
Решение.
2‘2+5°
+4,75 =
(0,5)”2-5(-2)-2 +
?+|
-----2------г+4,75 =
1____5 т2
(0,5Г(-2)2+Ы
- + 1
1	.	5
--—	1-2
, f	+4,75 = -±- +4,75 = —+4— = 5.
J______5	9	4+1	4	4
0,25 4 4
Ответ: 5.
1.050.
(0,б)° - (од)'1
3
Решение.
(0,6)°-(О,!)-1
1-10	=__z2_^-9^-9^ 3
3 Ответ: --
Решения к главе 2
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПОНЯТИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ. ТОЖДЕСТВО И ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).
Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий, входит действие деления, то выражения называют дробно-рациональным.
Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.
Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.
Действия над степенями
Действия над степенями производятся по нижеследующим правилам: атап = ат+п; ,	(2.1)
„т . п „т-п . а : а =а ; (а")'” = атп;
(а-ЬУ =ап Ьп-,
f \П п
I £
Ijj ~ ьп
(2.2)
(23)
(2-4)
(2.5)
Одночлен
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями—умножением и возведением в натуральную степень.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.
Формулы сокращенного умножения
(a+b)2 =а2+2ab+b2 ;	(2.6)
(a-b)2 =а2-2ab+b2 ;	(2.7)
(а+Ь^ = а3+3a2b+3ab2+Ь3;	(2.8)
(a-bf = а3 -3a2b+3ab2 -Ь3 ;	(2.9)
(a-b\a + b)=a2 -Ь2;	(2-Ю)
(a-b^a2 +ab+b2)=a3 -Ь3;	(211)
(a+b/a2 -ab+b2]=a3 +Ь3;	(2.12)
(a-bfa3 + a2b+ab2 +63)=а4 -b4 ;	(2.13)
(a-bja4 +a3b+a2b2 +ab3 +b4)=as -bs;	(2.14)
(a + bfa4 -a3b+a2b2 -ab3 +b4)=a5 +b5;	(2.15)
(a-bjifi5 + a4b+a3b2 + a2b3 + ab4 +as)=a6 -b6;	(2.16)
(a-b^a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 +ab5 +2>6)=a7-b1; (2.17) (a+ft)(a6 -asb+a4b2 -a3b3 +a2b4 -ab5 +b6)=a7 +b7; (2.18) +an~2b + an"3b2 +an^b3 +... + bn-')=an-bn , (2.19) где n — любое целое число;
(a + b^-1 -an~2b + an~3b2 -an~4b3 + ... + bn~[)= an +bn , (2.20)
где n = 2k+1, к — натуральное число;
(a+b + cf =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc;	(2.21)
(a+b-c^ =a2 +b2 +c2 +2ab-2ac-2bc',	(2.22)
(a+b+c+ctf =a2+b2+c2+d2 +
+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd;	(2’2^
(fl+b-c-d^ =a2 +b2 +c2 +d2 +
+2ab-2ac-2ad-2bc-2J>d+2cd-,	.	(2'24)
a(x~xx\x-x2)=ax2 +bx+c,	(2.25)
где xpx2 — корни квадратного трехчлена ax2 +bx + c .
Формулы (2.16) — (2.24) остаются верными, если вместо одночленов а, Ь, с, dподставить любые выражения.
Многочлен Рл(х) относительно переменной х вида
Pn(x)=aQxn + «1хл-1 + а2хп~2 + ... + алЧх + «0, где а0, al9 а2, ... ап — действительные числа и л0 *0, называется многочленом, расположенным по убывающим степеням х, или многочленом, представленным в каноническом виде.
Числа а0, ах, а2,... ап называются его коэффициентами, одночлен а^хп — его старшим членом, aQ — свободным членом, число п — степенью многочлена (п — натуральное число).
Корнями многочлена Рп(х) будем называть такие значения переменной х, при которых многочлен Рп(х) превращается в нуль.
Разделить многочлен Рп (х) на многочлен Qm (х) (т < л) значит найти два
таких многочлена 5я_т(х) и Rk(x), чтобы Pn(x)=Qm(x)sn_m(x)+ Rk(x) и степень многочлена Rk(x) была меньше степени делителя 2Л1(х), т.е. к < т . При этом многочлен Sn_m (х) называют частным, а многочлен яДх)—остатком.
Для любых двух многочленов Рп(х) и Qm(x) (т<п и 2w(x)#0) всегда найдется, и притом единственная пара многочленов Sn_m (х) и Rk (х)> удовлетворяющая тождеству
Л (*) = Qm №п_т (х)+ Rk (х)	(к < т),
т.е. если делитель не нуль — многочлен, то действие деления многочленов всегда выполнимо.
Теорема Безу. Если многочлен Pn(x)=aQxn +а}хп~} +а2хп~2 + ... + ап разделить на двучлен х - а, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при х = а, т.е. R = Рп (а).
Схема сокращенного деления многочлена на двучлен. При делении многочлена Рп(х)=апхп +ап_{хп~х +ап_2хп~2 +... + а0,расположенного по убывающим степеням х, на двучлен х - а применяется метод сокращенного деления, называемый схемой Горнера.
Имеют место следующие формулы для нахождения коэффициентов частного , b2,..., 6лЧ и остатка^:
= О} + аа0,
Ьп-1 - ал-1 + а^п-2 >
Практически вычисление коэффициентов частного блЧ(х) и остатка R проводится по следующей схеме (схеме Горнера).
Пусть требуется разделить многочлен Рл(х)=ялхл + ал_1хл"1 +ал_2хл-2 + +... + я0 на двучлен х-а.
Значение а двучлена, коэффициенты многочлена (Ьп_х, Ьп_2,..., ) и остаток запишем в следующей форме:
ап	ак-1	ЛЯ-2	• ..	а\	ао
ftn-l ~	Ьп-2 = ап~1 + +а6л-1	ftw-З = ап-2 * + ^л-2		+ ab\	R = ao +aft0
Отсюда записываем частное
е„-1 W =*„-!* "* +bn_2xn~1 +... + blx+b0,
если R = 0, и результат деления
Pn(x).(x-a)=Qn_l(x)+-^- или Р„(х)= (х - а)вп_{(х)+R, х-а
если R*0.
Понятие корня. Основные свойства корня
Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения корня, называются иррациональными.
Корнем л-й степени из числа а называется такое число ft, и-я степень которого равна а (п > 2 ). Обозначается tfa , где а — подкоренное выражение (или число), п—показатель корня (п > 2; п g N).
По определению у[а = Ь, если Ьп = а , или (>/л )" = а.
Основные свойства корня
Если корни рассматривать в множестве действительных чисел, то: а) корень четной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку;
б)	корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует;
в)	корень нечетной степени из положительного числа имеет только одно действительное значение, которое положительно;
г)	корень нечетной степени из отрицательного числа имеет только одно действительное значение, которое отрицательно;
д)	корень любой натуральной степени из нуля равен нулю.
Действие, посредством которого отыскивается корень и-й степени из
данного числа а, называется извлечением корня п-й степени из числа а, а результат извлечения корня в виде tfa называют радикалом.
Таким образом, множество действительных чисел не замкнуто относительно извлечения корня четной степени, а результат этого действия (корень) не однозначен.
Заметим, что множество действительных чисел замкнуто относительно извлечения корня нечетной степени, а результат этого действия однозначен.
Арифметический корень и его свойства
Арифметическим значением корня или арифметическим корнем степени и(л>2;л€ДГ)из положительного числа а называется положительное значение корня. Корень из нуля, равный нулю, также будет называться арифметическим корнем, т.е. >fa =Ь есть арифметический корень, где а>0,6>0 и Ьп =а.
Множество неотрицательных действительных чисел замкнуто относительно извлечения арифметического корня, а результат этого действия однозначен. Это значит, что для любого неотрицательного числа а и натурального числа п (п > 1) всегда найдется, и при том только одно, такое неотрицательное число Ь, что Ьп = а .
Правила действий над корнями
Для любых действительных чисел а, Ь и с и натуральных пик имеют место следующие правила действий над корнями:
2п+у/а • 2пУ[Ь  2п+у[с = 2n+^abc >	(2.26)
2n+^abc = 2n+tfa  2n+4b  2n+-l[c ,	(2.27)
=	(i^o) 2n+№ vft	’	(2.28)
2a+J^ = y^ (ь*о) Nb 2n+tfb	(2.29)
(^)к=2П^>	(2.30)
2п+^Г = (2п+^)*:,	(2.31)
2тч^2л4у^ _ (2m+lX2«+lj^ ,	(2.32)
(2т+1Х2л+1|^ _ 2»14^2л^ ,	(2.33)
2^а=2tiabc (а^0,6>0,с>0),	(2.34)
2y/abc = 2^[о| • 2^|й[ • 2^Й (pbc > 0),	(2.35)
^ = 2Л (a>O,Z»O),	(2.36)
2лЕ = _^1[ 2л^|	J’	(2.37)
2^ = 2nVa (а>0),	(2.38)
2пу[а =2ffia (а>0)>	(2.39)
fcfaf = 2tfa* (а>0),	(2.40)
2у/а2к = ^^a\fk (а —любое действительное число).	(2.41)
Во множестве действительных чисел рассматриваются корни нечетной степени из любых действительных чисел и корни четной степени из неотрицательных чисел, причем берутся арифметические значения корней.
Замена дробного выражения, у которого числитель или знаменатель (или оба) иррациональны, тождественно равным ему выражением с рациональным числителем (знаменателем) называется исключением иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения.
При исключении иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения числитель и знаменатель этого выражения умножают на множитель, сопряженный с числителем (знаменателем).
Сопряженным множителем относительно иррационального выражения А называют всякое не равное тождественно нулю выражение В, которое в произведении с Л не содержит знака корня, т.е. Л В рационально.
Рассмотрим основные случаи исключения иррациональности из зна менателей дробных выражений (аналогично выполняется исключение иррациональности из числителей):
А
1. Дроби вида пг~г , где п> к, а> 0, Я — некоторое выражение; в каче-На
стве множителя, сопряженного со знаменателем, можно взять	, так
как	• ylan~k = а.
Умножив числитель и знаменатель этой дроби на ylan~k , получим
А	Апу[^ (
-г= = ~7=	,---=---------
п4ак	4ак -4ап~к а
2. Дроби ввда -т=—т=.
ja+Jb
Выражения 4a+4b и 4а -4b взаимно сопряженные, так как ra+ 4b\4а - 4b)=а - Ь, поэтому
A. а(4^-4ь) AUa-4b)
А _ Aja _ Ajb
~г=—/г - -----, е£ли а > 0, а - b;
Ha+y/b 2а	2Ь
A A{ja+jb]	A[ja+jb)
л-л”(Х-Ж^)=	"р"020-'’20'»’*4-
Выражения Ja+Jb и Уа2 -Jab + vb2 , а также Ja-Jb и
(а - b) рациональны. Поэтому исключить иррациональность из знаменателей указанных дробей можно следующим образом:
где а и b — любые действительные числа, причем а+b Ф 0.
где а и b —любые действительные числа, причем а # Ь •
где а и й—любые действительные числа, причем а+b # О.
гдеаиб—любые действительные числа, причем а*Ь. 	д
4.	Дроби вида ^7^ и
Для выражения tfa-tfb сопряженный множитель можно определить из тождества
(х-у)(х"_| +хп~2у+...+хуп~2 +у"_|)=х" -у" .
Если принять х = >[а, y = >[b , то получим
+ ^an~2b + ... + ^abn~2 +^b^^=a-b. Следовательно,
33
2 М. И. Сканави, группа А
где a*b ( а £ О, А £ 0, если п — четное; а, b — любые действительные числа, если п — нечетное).
Для выражения yfa+tfb сопряженный множитель можно определить из тождества
(х+/)(хл_1 -хл“2/+...+х(-у)п~2 +(-^)л_1)= хп +(-1)л уп.
Если принять х = у[а, у = tfb , то
fa+n4b ^4^ - 4^Ь +...+ (-l)"-2 4аЬп~2 + (- О"'1 4b^y а + (-I)”1 Ь. Следовательно,
л	А(24а2к~^-24a2k~2b+...+24аЬ2к~2 -2$^П
____= _к___________________________________________ 24а+24b	a—b
при а 0,6 О,а*Ь‘,
А
fa2k^b+...-2k^b2kl
а + Ь
где а и b—любые действительные числа и а+b # 0.
А
5.	Дроби вида I- гт I- .
Умножив знаменатель на
(jfl + 4b + 4с jfa+4b - 4с ) = а+b - с+2 Jab .
Умножив последнее выражение на а+b - с - 14аЬ, найдем ^a+b-c)+24ab^a+b-c)-24ab}=(a+b-cf -4ab-
Таким образом, множителем, сопряженным со знаменателем данной дроби,является fai+4b-4c)x(a+b-c-24ab)-Следовательно,
A A(4a+4b-4cta+b-c-24ab)
4a+4b+4c	(a+b-cf -Aab
где a S 0, b S 0, с > 0, (a+b-с)2 -4аЬ # 0.
Аналогично исключают иррациональность из знаменателей дробей
А	А
Г~ П~ Г и Г" гг г • yla+y/b-ylc ^Ja-yjb ~yjc
Если знаменатель дроби — сумма четырех квадратных корней
у/a + y[b + 4с +Jd
, причем ab = cd, то исключить иррациональность из
знаменателя этой дроби можно так:
_____А________ A^yla +jb)-[jc _ A^Ja+ylb-y[c-y/d)
-^Гс+Jdf " а+ь-c-d
где a^0,b>0,c^0,dZQ,a+b*c+d.
A
6.	Дроби вида зГ^зГГ.зП  у] Cl + у] О + yJC
Найдем сопряженный со знаменателем множитель. Для этого воспользуемся тождеством
(х + y+zjp2 +у2 +z2 -xy-xz-yz)=x3 +у3 + z3-3xyz.
Если принять х = у/a, у = y[b, z = y[c ,то
fya + 3y[b +3Jc^/a2 -^yfb2 -^-ylc2 -y[ab -y[ac -y/bc	a + b + c-£[abc .
Умножив полученное выражение на
В = (а + 6 + с)2 + 3(а + 6 + cfilabc + 9у](abtf , получим
(а+Ь+с-Зу/аЬс^ В -(a + b+c)3 -27abc .
Следовательно,
^ylb2	-y[ab-у[ас-ylbc^В
у[а +y[b +yfc	(а+6+с)3 -21abc
при у/a +y[b +у[с *0, (а + 6 + с)3 *21abc .
Преобразование сложного квадратного корня (радикала)
Выражения вида J j + .Jg называются сложными квадратными корнями (радикалами). Для их преобразования пользуются формулой
V 2 V 2
где Л > О, В>0 и Л2 - В > 0; знаки берутся либо только верхние, либо только нижние. В правильности этой формулы можно убедиться, возведя обе части формулы в квадрат. Эта формула упрощает сложный радикал, если А2 -В —точный квадрат.
Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения параметров (2.001—2.124):
х
2.001. —7=	г'-~Т Ху/Х+Х + у/х х- Решение. ОДЗ:0<х#1. yfx+1	1	_ Xifx+X + уГх х2-yfx (Vx+lVx-l) у! = Д+^+1)(У7-1У х^*Рх-1)=х ! 1 Ответ: х -1. 2.002. pVp-47?)'2+(Vp Решение. ОДЗ: р#?.	-у[х 4х +1 4х{ху[х -1) Vx(*+Vx+1)	1 5c(xVx-l)	X—1 1	Д.Л-1)* ) р-я
Jp+Jq = i | i
P-g = fe/p+l/7)2 +typ-ffl. (Vp-TilVp+Ti)=
Jp+Jq {jp-4q^	4p+4q
ylp+2^pq+4q+Jp-2^pg+4q _2(ylp+4q)^
Jp-Jq	4p-y[q
2(jp+y[g\jp+4q)_ ^p+4qf (Jp-JqUp + yfq)	P~q
Ответ:
2(у[р+4д^ p-q
Тогда
(a-bi^Ja + Jbf _ (a-bj^+^bj
((Л-ЛКЛ+Л))2
I»-*)2
(л^У
a-b
Ответ: л-----*—.
а-Ь
2.004.
((а+Ь)-п/4 с1'2 У/3 а2-пЬ-3'4
(	а3~4
о с
Ца+dJ а
6 = 0,04-
Решение.
ОДЗ: а #-6 =-0,04.
Пусть
f(a + 6)-"/4-Л2 а2~пЬ~у4
\4/3
(а+Ь)~п!3 с2!3 _ Ьсуз a^^b-1	a^^ia+b^3'
( b3c4 f6=	6V2-c2/3
Ja + ft)2^'6-8" J (a+bY/3-a^^'
Ь.с2/3	b^c2'3
Т°ГДа X'Y~ a^3 (a+6)^ : (а+б)я/3 й(8-4"Уз
= by2 = (0,04 )V2 = 70Д4 = 0Д.
b e2'3 {a^bY3 a^3
a^3 \a+b)n/3-bV2-c2li
Ответ: 0,2.
2х~^3	х2^3	х+1
2Л05. x2/3_3x-V3"x5/3_x2/}-x2_4x + 3-
Решение.
ОДЗ:
х#0, х#1, х#3.
2Х-1'3	х^3	х+1	2х-*/3
х^3-Зх~^3 х5'3-х*3 х2-4х+3 х~У3(х-3) _	Х2^3______Х4-1	_ 2______1____Х4-1
х^3(х-1) (х-1Хх-3) х-3 х-1 (х-1Хх-3)
_ 2х-2-х-ьЗ-х-1 _	0
=	(х-1Хх-3)	-(х-1Хх-3) = 0-
Ответ: 0.
Решение.
а*Ь,
ОДЗ:  а > 0, Ь>0.
Ofr
и^-шр\ :шээшо
’O< u
‘u ш
эпиэтэд
{и-шу
'LWZ
‘O < ш r
qv
_ . ШЭ8ШО
I
qo _ (q£-qvj^. + qvp-^ _
T“ q£-q^-z+t’ q^ ^qpi+^)yy{qr+qp -
+3-j2tfy-2
Ответ: у2.
Решение.
ОДЗ:0</*1.
/ 1 1-2/+/2	4t+l-2t+l2
V 4 t____________ у 4t
I ! 1 1-2Z+/2" 1 1-t	l4t+l-2(+t2 1-t
4 t	2 4t	N 4t	241
Ответ:
2.010. t.
Решение.
/+4>0,
Г*0.
Ответ: -4.
Решение.
ода:{
1 + х>0, х £ О, <=> 1-4х ф о
Гх >0, |х *1.
4х _ 4х((1-ух) ~(1 + Vx) ) (Vu7(i-V7))2 (Vm(i+V7)(i-V7))2
4х(1-2л/х + х-1-2-Ух-х) _ -16xVx _ 16xVx (1+X)(1-X)2	(1 + X)(1-X)(1-X)
Ответ:
16xVx
(l-x2)(x-l)’
2.012.
x-1 x + x'/2 + l
x°’5 + l 2
x’’5-l+x-0>5‘
Решение.
x-1	x°’5+l	2 =(x1/2-l)(x1/2+l) (x1/2)3-l	2
x + x>/2+l\h5_1+x-O,5- x + xl/2+1	‘ x!/2+1 + J_
-1X* + X"2 +D+2xl/2	,/2 _1)2 +2x./2 =х_2л./2
x + x,/2 + l
+ 1 + 2x1/2=x + 1.
Ответ: x + 1.
Решение.
a>0,
ОДЗ:
r- ,----- |a>o,
\a > 1
a + 1 a-1
Пусть %— выражение в первых скобках, Y— во вторых:
Ответ:
Х-у xl/2jI/4+xl/4^/2	х1/4г1/4
х3/4 + х1/2/,4 ’	Х1/2 + j,/2	' х1/2 -2х1/4//4 +у[12 ’
Решение.
(х>0,
ОДЗ:
[х Фу,
х-у x,/2j1/4+x,/4j1/2	x1/4j"l/4
х3/4+х1/2/4’	х1/2+у1/2	 х,/2-2х1/4//4+у1/2
Ответ:
I п I ----
2.015.
Решение.
т * +п,
ОДЗ: 5У*0,
у > 0 при т = 2к.
I (лг-л)2+4/лл 2л т2~2тп+п2+4тп у т2-п2 =уп(т~п^:у »1(т+п)(т-п)
2	т2+2тп+п2	2	(т+п)2	2 т+п
=	. ^ш(л1+л)(т-л) =	. ут(т+п)(т-п) = у^ . ут(т-п) =
2 т+п 2т-т-п т-п 1 _ут-п т(т-п) _yin(m-n) _ т(т-п) _
Ответ: п1/у.
2.016.
((z^P+z^4)2_4z2/P+2/g (z^P_z^4)2+4zyp^4
\1/2
7
Решение.
ОДЗ: z ф 0, р 0, q Ф 0.
(гг,Р +z2/4)2 -4z2/^+2/« Y/2 _((z2lp)2 +2z2/p+2,4 +(z2lb2 -4z2/^2/’ (z1/p_z1/9)2+4z1/^1/<? J -^(zl/p)2_2zl/p+l/9+(zl/9)2+42l/p+l/9
\jlp?-2jlp*2lq+(?lq)2
^zVp)2 +2zXlp+xlq +{zXlq)2
[ (z2lp-z2lq V/2
z2lp_,2lq

Ответ: |z1/₽ -zxlq\
x-
3/4 + x
Решение.
ОДЗ: x>0.
x-1 xX'2+xU4 1/4	(x1/2-l)(x1/2+l) x2/4 + x1/4 1/4
x3/4+x1/2‘ x1/2+l	x3/4+x2/4	‘ x1/2 + l '
1/2-I
x2/4(xl/4 + l)
J/4zJ/4.n
-----------x,/4 + 1 = xl/2 -1+1 = xx 2 =
1
Ответ: ^Jx.
2.018.
Z	9	9 X“ 1
1+x+x	, 1-x+x
------9“ + 2----Г 4 2x+x 2x-x y
(5-2х2);х = Д92?
Решение.
1 + x+x2 _ 1-x+x2 ---------+2	 x(2 + x)-x(2-x)
•(5-2x2) =
(2-х)(1 + х+х2) + 2х(2+х)(2-х)-(2+х)(1-х+х2Й 1 x(2 + x)(2-x)
•(5-2x2) =
2+2x + 2x2-x-x2
(. _ 21 (10x-4x3) /. „	(2х(5-2х2Ь (.
*V~2x h -n—n	P-2x2)= Г 2\'	(5
I A4’* ) J I *(4-* ) )
_ (4-x2)(5-2x2) 4-x2
2(5-2x2)	2
-2x!)=
Отсюда при x = -J3,92 имеем
4 -(Д92 У _ 4-3,92 _ 0,08
2	2	" 2
Ответ: 0,04.
64.
Решение.
ОДЗ: z = VP~ + Vx2J3 -ylx3y2 -tfy* *0.
3/ 2 3/— ЗГ 2 3/— 3/ 2 3/ Т 3L л2
= >1х +у]*У + ]/У ~УХУ ~уУЛ - чх =з/64 =
,3Л“.42-16.
Ответ: 16.
2.020.
314 + 8/д + 4/д2
V V2
Решение,
ОДЗ:
а 0,	Оа>0.
а
| 8д3	J16(a + 1)4 = J 8д3	8(1+ д)4 61б4 = 2^
(1 + д)4 V 2д4	у(1 + а)4 д4 Ь а
2^ Ответ: д

ТСх + 2)2 -8х
2.022.
Решение.
ОДЗ: 0 < х * 2.
7(х+2)2 -8х _ у/x2 +4х+4-8х _ Jxyjx2 -4х-4 _
-А = ~(Ж^ =	х~2
Jx	г~
у/х
_ Jx^2-if _ у[х -|х-2|
=	х^2	х-2	’
Отсюда:
1)для x<2,-Jx;
2) для х е (2;+°о), 4х .
Ответ: -Jx для хе (0;2); 4х для хе (2;<«).
2.0	23. ^6х(5 + 2>/б )• 7з>/2х - 2>/Зх.
Решение.
ОДЗ:х>0.'
^6х(5+2>/б) • у/Зу12х-2>/Зх = ^6х^ + 2>/б) • 7>/бх(УЗ-^) = = ^6х^ + 2л/б)^(Уб^(>/3-^))2 = ^/бх(5 + 2 л/б ) • ^/бх(5 - 2>/б) = >/бх^ + 2л/б)-6х^-2л/б) = ^36х2(25-24) = у/збх2 = Тбх.
Ответ: у[бх,
2.0	24. ^4xj 1 + 4>/б ) • ^4>/2х - 2л/Зх'.
Решение.
ОДЗ:х>0.
^4х(11+4>/б) • ^4>/2х-2>/Зх =	• ^2л/х(2>/2->/з) =
= ^4х(1+4Тб)-^Vx^-Vs))2 = ^4xJ 1+4-Уб) • ^4х(11 - 4^6) = = ^4х(н + 4>/б)-4х(11-4л/б) = ^16х2 (121-96) = ^400х2 = V20x.
Ответ: V20x.
2.025.
' а3 +а2 +ab + a2b	b \
а2-Ь2	+ а-Ь
\ /
д = 23;6 = 22.
Решение.
а3 -а-2Ь-Ь2/а
Д+А|(д+ЛГ \а а2
7
a4-a2 -2ab-b2
а3 + а2 + ab+a2b
__________ Ь__ а2-Ь2 а-Ь
1-J—z- \а + у/а + Ь
1 a J
а4 - (д2 +2аЬ+Ь2) .(а(а +1Ха+
д2(а + 1)+а/>(д+1) Ь
(a-b\a+b) а-Ь
а-Ь
а
_а4 - (а+ Ь^ /а(а+1) ; Ь
a2-a-b \ a-b a-b J
_ (a2 - a-bjp2 + а + б) а2 +а + Ь _
а2-а-Ь а-Ь
= (д2 +Д+^-1) = а_/> = 23_22=1
„2 . л . L
Ответ: 1.
Решение. [а >0, °®Uo. / 		\3/2 ( / 3ГЧ~У ^4/У. а» V 	Z— —	3		}у/2 ^/дд2/3-61/3	д(4/15)(з/2) 7 ^у	“W!” У'»)4	и-,», a(W46llf6>4
(д^-б1/8)6	«12/5 «6/4*6/8 10/3 А 2/3 = а-10/5 	2— = а-2 ,fl10/3-3/2 ,62/3-3/4 = - д3/2-63/4 !	л(-12+11Уб = д’2  д11'6 -ft-*/12 = д-2+11/6 —L =		= /,1/12	61/12 1 1 Ъ'!'1 ^Ь 1 Ответ: 	 12/^21. yja о ^jx + yll-х2 -^l-xyll-x2 2-027-	VT-x2 Решение. ОДЗ: 1-X^2-X 1-x2 #0.	a3/2 -b3^ 2 ,fl(20-9)/6 ,^(8-9)/12 = д-1/6 _ ’ bl/l2 /
Ответ: - при Vl-x2 < 0; V1 при Vl-x2 > О.
х(х2 -а2)~^2 +1 a2-Jx + a 1 2-0М- .{х-^+(х-аГ
Решение.
ОДЗ:
х2 -а2 >0, х-а >0, х*0, х-7х2 -а2 £0
х>а, х^О, а #0.
л	2
Ответ: —z--7.
х -а
Решение.
г# О,
ОДЗ:
г £-2.

аг 2^-2-а^	+	г'^а1'2 •(>-23'4)_
a3/2.2V2_23/4.fl	2^2а^2-2х/4)
o+7i
а1/2 -2^	^а-^-У4}	а^2 ^4
(а*/2-2^+2^-а1/2+21/2) a + 2V2 а+У4-а*2 а1/2^4^2-21>4)	ах>2^4	а^2^4
а + 2^а 2'/4.а'/г 2>/2 =2'/4.а'/2 = а^-У4	ах'2-2'14
Ответ: Л.
Решение,
[а >0,
Ответ: —• а
abc + 4 A be
V-------+4Л —
2.032. V	fl * a
Jabc +2
Решение.
ОДЗ: be >0.
a = 0,04.
Ответ: 5.
, n,,	+ +V(2j>-1)3
^4p + 2yj4p2 -1
Решение.
ОДЗ:р^|-
(72p+l + 72p-l
^2p+l+2y/4p2 -I +2p-l
(j2/>+l + j2p-lY2p +1 -^4p2-I + 2p-1
<^2p+\f +2y/4p2 -1 +(j2p^tf
(J^+J^x^-^p2 -i) _
(Тг^ТТ+Тг^Тхдр-^р2-!) _ г~т~
^+^~i =4р~^р -1 Ответ: 4р-^4р2 -1.
Решение.
ОДЗ: а>\.
7^7Т-У(а-1Хд + 1) j _ (1-7а2-1)У(а+1Ха-1)
•^(а-1Ха + 1)(л/а-1 -л/а + 1)	Va-l(Va-l ->/а + 1)
Ответ:
^а2 -1.
2.035.
а + 2 а 2 л/2а V2a+2 а->/2а
'а-У2 а + 2
Решение,
ОДЗ:
а > 0, а #2.
2.036
Решение.
ОДЗ:
inn > 0, пр о, т * О, р *0, тр > 0.
Зопт2р -Зтп-2у9тп2р -Зпр = -Зп(т + р).
Отверг -Зп(т + р).
2.037. ^1/2	*3/2 + *1/2 _х-1/2 ’
Решение.
[х>0, ОДЗ: j ,
хг + х2 х_____2 = (1-х)4х_______2
(V7)2-l	43 ~ х-1 ,Сз
Ответ: -
Решение.
ОДЗ: 0<а*1.
(g-l)2 а-24а+\-а-24а-\ _ (а-У)2{-44а) = _ д-1 1-д
4о	д-1	4д(д-1) 4а 4а
^~а
Ответ: -т=->1а
2.039.	°	—---------------;
4а3'2Ь~2	+9b^ «3/4-ЗЙ5/3
Решение.
а312	Ь2 -а3'2
Ь2	Ь2 _ ь2
у1а3/2Ь-2+6а3>4Ь-У3+9Ь4/2 ^4-ЗЬ3'3 \ Ь2 + й+1/3 +
Ответ: -4.
___1
2.040. S Ь+с • f 1 + б2—-'— "I: а~^~с; 1	1	2bc abc
— + -  \	7
а Ь + с
а = 0,02; Ь = -11,05; с = 1,07. Решение.
1	1	Ь+с-а
а Ь + с । | Ь1 +с2 -а2\а-Ь-с _ a(b + c)
1	1	2bc abc Ь + с + а
а Ь+с	a(b + c)
2Ьс + Ь2 +с2 -а2 ----------------х
2Ьс
abc (b+c-a)a(b+c) (fr2 +2bc+c2)-a2 abc _ a-b-c a(b+c\b+c+a) 2bc a-b-c _b+c-a (b+c)2 -a2 ab _ -(а-Ь-сУр+с+а$р+с-а)а b+c+a 2 a-b-c 2(b+c+a\a-b-c) = -(b+c-a)a = (a-b-cfr = (0,02+11,05-1,07)0,02 =
2	2	2	” 4‘
Ответ: 0,1. 1	1 a2 +2
X04L ^)+^T7-
Решение.
ОДЗ: 0£a*l.
1	1	д2+2 1-Va+l+Va a2 +2 _ 2
2^+Va)+ 2^-Va) 1-a3 2^ + Jafa-Ja) 1-a3	2(1-a)
a2+2	1 a2 +2	_ 1+a + a2-a2 -2 _
(l-a)^ + a + a2) 1 - л (l-a)^+a+a2) (l-a)^+a + a2)
(l-a^l+a+a2) a2+a+l
-1
Ответ: “5	7
a +a+l
2.042.
a = 0,32; x = 0,08. Решение.

-Jax _ - 70,32 0,08 _ -0,16 _ j 2x-a ~ 2 0,08-0,32 “ -0,16 ”
Ответ: 1.
(mn-lY” +	(mn + lj1 m
n2m ' mnm (тп-1/(пин1)п (mn-tfn"n
2n ”__
(/мл-1/” (п?и + 1)л m2n nm~n	nn
[mn-tf1 (mn+iy1 n2m mn ^2m mm
Ответ:
Решение.
x> a > 0.
Ответ: 1.
Решение.
ОДЗ:0<х#1.
Ответ:
2.046.
Решение.
(х #0, °Д3: [—1<S JC <1.
Ответ: -1,
2.047.
a-b a2+b2+а
i 24~Ь 1а2ЛЬГЬ? \i2 +b+ab+a).. (46 4 +4ab2 + a2): fab2 +a)
Решение.
ОДЗ:
a#+-“2’
• 2д2 + ab-b2 Ф 0, <=> a*0, 6*0
a * -b, a *0, 6*0.
a-b _ a2 +b2 +a	a-b _ a2 +b2 +a
l	^ + <,b^).2‘-b/‘, + bl2‘-b'>x
[4b4 +4ab1 +a2):l^b2 +a)	^2 +af
2b2 + a (a-b\a+b)-a2 -b2 -a
x(f>2 +& + a£ + a)=-
r	2b2 + a	'	’
2,2	2/2
a -b - a -b -a
(a + b)(2a - b)(2b2 +a)
(b(b + V) + a(b + V)) =
=_	(;,+1)(0+6)=z«±i). ±ll.
(а + b)(2a -b)(2b2 +a)	2a-b b-2a
b +1 Ответ: ----.
b- 2a
2048 Qp-9^y -3m:f,=Oi78;,=7;2S.
2p + q	2 +pq
Решение.
(2p-q)2 + 2q2 -3pq 4/;2 -3pq _ 4p2 -4pq + q2 + 2q2 -3pq
2p~'+q2	1 + Pq2	~ + q2
P
X 2 + Pc!2 = ^P1 -Ipg + ^bp. 2 + /X/2 = (p-q)(4p-3q) p(4p-3q)	2 +pq2 p(4p-3q)	4p-3q
7
= p - q = 0,78--= 0,78 - 0,28 = 0,5.
25
Ответ: 0,5.
/	3	_	\ (	2	2A
РЧ________2/ </-_ pg . p___________p g
2'049' [(p + f/)5/2 (p + <?)3/2 Jp + q) \<p + q)511 <P + q)V2, Решение.
ОДЗ: P + q > 0 <=> p > -q.
(	3 o2	\ (	2	2 A
___pq ipq , pq . p____________________p q
Sp+ч)5 2 (p+q)312 ylp+qj l(p+?)5/2 (p+^)7/2>
pq j q2	2</ iij- p2	fi g 1
(p+«7)1/2 {(p+q)2 p+q ) (p+q)5/2 I p+qJ
РЧ	(ч2 ~^ч(р+ч)+(р+ч? 1 Р2 . (Р+Ч-Ч
(р+ч)'12 [	(р + чУ	) (р+ч)5/2 I P + q
РЧ^Г -'-РЧ-~Ч2 +р2 +2-РЧ + Ч2} (р+ч)5/2 (р+ч)__ (р+чУ2-(р+ч)2	Р2Р
(р+Ч)	P
Ответ: q(j> + q).
2(х4 + 4х2 -12)+ х4 + 11х2 +30
2.050. ----------/----------------
х +6
Решение.
2(х4 + 4х2 -12)+х4 +11х2 +30 2(х2 + б)(х2 -2)+ (х2 + б)(х2 +5)
х2 + 6	х2 4- 6
(х2 + б)^(х2 — 2)+Х2 +5)	->	2 с о 2 1 1 о 2
= -^-------------------t = 2x~ -4 + х2 +5 =3х2 +1 = 1 + Зх2.
х“ + 6
Ответ: 1 + Зх2.
Oy/b+aja-by[b-ylab2 ay[b-yla3b2 -yfb^ + aja a = 4,91; b = 0,09. Решение,
= a + b = 4,91 + 0,09 = 5.
Ответ: 5.
Решение.

1-х2 >0,	1-1<х<1,
х # 0 [х # 0.
Ответ: 1 - х2.
Решение.
ОДЗ:-1<р<1.
л 2
Ответ:---т-
1-/
2.054.
За2+2ах-х2 ах-Зх2
(Зх + а\а+х) + а2 -9х2
Решение.
ОДЗ:
а х#±—, 3 хФ-а.
За2 +2ах-х2 1П ах-Зх2 ~(х+а\х-За} о (Зх+аХа+х) + а2 -9х2	(Зх+а)(а+х)
, 1Л.	х(а-3х)	_-х+За_*	10х _
(а-ЗхХа+Зх) Зх+а Зх+а
_ -х+За-6х-2а + 10х _ Зх+а _ Зх+а	Зх+а
Ответ: 1.
Решение.
ОДЗ: х*+у.
Ответ: l]x + y -ljx-y.
2.056.
а +1 b(abc + а + с) а b
1	4
Решение.
а+—
*> + -с
ОДЗ.
b(abc + а + с) * 0.
4	. b__________4
д + _£_ ab + \ b(abc+a+c) < bc+l	j
f 4bc+4 ab+1________4
la^c+a + c b b(abc+a+c)
4ab2c+4bc+4ab+4	4
b(abc+a+c) b(abc+a+c)
r4b(abc+a+c) b(abc+a + c)
1 Ответ: —•
2.057.
(x + yf-4xy x2 -xy
Решение.
I x Ф ±y,
ОДЗ: ।	°’
1^*0.
“2
X (x+?) -4xy x4 y-xj x2-xy x2y2-y4
x4 (y2-2xy + x2 x2-2xy+y2>
X/p-y2) [ X2 x(x-y)
y2(y-x)2 x4	(x-j)2 X-y
x*	y2\^c2-y2)~ {x-y\x + y)~ x + y‘
„ x~y
Omeem x + y
2.058.
Y i t i A ja+*+c,
1 1 Yl
1+ к
b2+c2-a2\ 2bc
a = I — ;b = 0,625; c = 3,2.
40
Решение.
2 , „2
1+_L_1[1___i_
a b+cfl a b+c
2bc
_ f a+b+c -a+b+c \ 2bc+b2 +c2-a2 _
I a(b+c) a(b+c) J	2bc
_fa+b+c a(b+c) (b2 +2bc+c2)-a2 _
^a(6 + c) -a+b+c	2bc
_ a+b+c 2bc _ 2(a+b+c)bc _
-a+b+c (b + c)2 -a2	(-a+b+c\b+c-a)(b+c+a)
- 2bc -	2 0,625 -3,2	_	4 -l-i
"(-a+Z,+c)2"r ЗЗ	У“(-1,825+3,825)2 "4_ '
— 1 F ILoZO + J,Z 40
Ответ: 1.
7x2 i'
Х059-
X 1	1
— — + -у2 У х
(х-у)2 + 4ху 1 + у/х
Решение.
ОДЗ:
х * О, у # О, х*-у.
х+у
2	2
х -ху + у
х + у 1	_ 1
у (х+у)х ху
1 Ответ: —• ху
f 3	2	1 4
2.060. 2х-у 2х + у 2х-5у
Решение.
ОДЗ:
С 3	2	1 \ У2	= (3(2х + у)-2(2х-у)	1
^2х-у 2х + у 2x-5yj4x2-y2	(2х-у\2х + у)	2х-5у
у2 _ (6х + 3у-4х + 2у _	1 'j 4х2-у2 _
4л2-J2 [	4x2-j2	2x-5j J у2
2x + 5j>	1	^4х2-д>2 (2x + 5^X^v-5>J-4x2 + у2
°	J'—/— =	(4л= !К-5.г)	х
4х2 -у2 _ 4х2-25у2-4х2 +у2 4л2 - у2 -24у2
З'2	{^х2-у2\2х-5у)	у2	(2х-5у)у2
-24 _ 24
2х - 5у 5у - 2х
24
Ответ: 7 т~ 5у-2х
2.061.
л-2 +2х-
11х-2
Зх + 1
х+1-
% = 7,(3)
Решение.
х2 +2х-
Их-2
Зх + 1
2х2 + х + 2
Зх + 1
Зх3 + 6х2 + х2 + 2х-11х + 2 Зх2 +Зх + х + 1-2х2
Зх + 1	Зх + 1
= Зх2+7х2-9х + 2	Зх + 1 _ Зх3+7х2-9х + 2 _
Зх+1 х2+Зх-1	х2+Зх-1
_ Зх3 +9х2 -Зх-2х2 -6х+2 Зх(г2 +Зх-1)-2(\2 +Зх-1) х2+Зх-1	х2+Зх-1
= fe_t?AlZ.!^3-5~2) = 3x_2 = 3-7,(3)-2 = 37--2 = 3-7--2 =
х2+Зл-1	9	3
22
= 3-—-2 = 22-2=20.
3
Ответ: 20.
1 с 1 п + 4^ 2.062. 6я“ +5tf-l +-----
\	я +1
Решение. ОДЗ: r/*-l.
За-2 + ——
а + 1
6а2 + 5а -1 +	: (за - 2 +	1 =
а + 1 J V a + lj
(д + 1)(6д2+5д-1)+д + 4 (д + 1)(Зд-2) + 3 = 6д3 + 11д2+5д + 3* д+1	’	д+1	д+1
д+1	6д3 + 2д2 + 2д + 9д2 + Зд + 3
'	2	о
За + а +1	За + а +1
2д(3д2+д + 1) + 3(Зд2+а + 1) (Зд2+д + 1)(2д + 3)
Зд2 + д + 1	Зд2+д + 1
Ответ: 2д + 3.
х 6-64 х2 4х2(2х + 1)
2,°63' 4 + 2х-1+х~2'4Л+J_'	1-2х
х X2
Решение.
ОДЗ:
х*0,
1 х*—.
2
х 6-64 х2 4х2(2х + 1)_- х6 6 х2
4 + 2х-1 + х-2 4_.1 + J_	1 -2х	4 + 2 + X 4х2 -4х + 1
X X2	X X2 х2
1-64х6
4х2(2х+1) =	/________х4 * 4х2(2х+1) =	1-(4х2)3
1-2х ~ 4х2+2х+1 (2х-1)2	1~2х	х4(4х2 +2х+1)
х4 _ 4х2(2х+1) _ (1-4х2)(1+4х2+ 16х4) _ 4х2(2х + 1) = (2х-1)2	1"2х	" (4х2+2х + 1)(1-2х)2	1“2х
_ (1-2х)(1 + 2х)(1+4х2 +16х4) 4х2(2х + 1) _ (1 + 2х)(1+4х2+16х4)
(4х2+2х+1)(1-2х)2	1-2х	(4х2+2х+1)(1-2х)
4х2(2х + 1) = (1 + 2х)(1 + 4х2 +16х4) - 4х2 (2х + 1)(4х2 + 2х +1)
1-2х	(4х2+ 2х + 1)(1-2х)
(1 + 2х)(1 + 4х2 + 16х4 - 16х4 -8х3 -4х2 (4х2 +2х+1)(1-2х)
)	(1 + 2х)(1-8х3)
.(4х2 +2x+ljl-2x)
(1+2хХ1-2х)(1+2х + 4х2) (4х 2 + 2х +1)(1 - 2х)
= 1 + 2х.
Ответ: 1+2х.
4а2 -Ь2
2.064.	-----Sb-toV.ab’
Ь3+2аЬ2-За2Ь а2-Ь2
Решение.
ОДЗ:
6*0,
Ь -Зя, b Ф +а.
4а2-b2	2аЬ-а2-4а2 +62
26 + а---__ fl3f>_2fl2fc2+afc3	...
Ь3+2аЬ2-За2Ь	а2-Ь2	б(б2+2а6-3а2)
аб(а2 -2а6+62)_ (а2 +2ab+b2]-4а2 ab(a-b)2 _ (а-бХа + б)	аб(б+ЗаХб-а) (а-Ь^а+Ь)
_ (a+b)2 -4а2 _ (а+b-2а\а+b + 2а) _
-(б+ЗаХ«+б)	~(b + 3a\a+b)
_ (b-a\b + 3a) __Ь-а _ а-Ь
-(б + ЗаХа+б)	а+b а+Ь
а-Ь Ответ:----
а + Ь
Решение.
ОДЗ:
х > 0, у >0, X * у.
(Vx -V7xVx +V7)
Ответ: x + y.
2.066.
Решение.
ОДЗ:
х >0, j>0, X * у.
y/у^ +yjx4y -ijxy4	(V?+^lx4y)-(^jxy4 +
Jx(4x^ + -/^)-у[у(4х^ +	_ 4х(х + у)-у[у(х + у)
‘\[y(tfy4 + >[x4)-Vx(tfy4 +^Х4) л[у(х +y)-Vx(x+у)
(x + y)(Jx-Jy) _ (л/х-^Хл/х+^/7) (x + ^X^y-Vx) -(4у/х-4у[у)
=-(4^+4V7).
Ответ: -($fx + ^[у).
a^1 +ab 1	а
2 067- a-V3_e-V6ft-VJ+r2/3"3^-
Решение.
b*0,
ОДЗ:
а>0,
b* -aV^ +aV3 #0.
Ответ: а5^6.
2.068.
1	1	2	4с2 ’
a2+b2+ab a2b2
a = 1^b =—.
Решение.
f-)a+6+2c) a+b (a+b+2c)
(a b ab )_________ gb v_______
1	1	2	4c2 ” a2 +2ab+b2 -4c2 ~
a2 b2 ab a2b2	a2b2
(a+b-2c\a+b+2c)
________ab_________(a+b-2c)(a+b + 2c)a2b2
(a+b)2 ~(2c)2	~ fa+b)2 ~(2cf)ib
a2b2
_(a+b-2c\a+b+2c\ib	J_=37 A = 1
(a+b-2c\a+b + 2c)	~ ’37	5 37 * 1
Ответ: 1.
a^-laV+ab4/3 V3 2.069. a5/3 _ a4/3bU3 _ ab2/3 + a2/3b  a
Решение.
a*0,
°ДЗ: a5/’ - a'W - ab2'3 + a2'3b # 0.
a3'3-la3^3 +ab^ w a3/3(a^+Ь4'3)
_aWbV> _abW + aWb •a a^P -a^bV3 _aVbW +^/3)X
1	H-fe2^)2
(aV3 -a^b'l3)-^3 -b3'3) a2'3^-b^}-b2l3^-b»3)
(^-/7	_^-^Jgv?-^P+^)_aV3 +fcl/3
(а'/’-б'/зрз.^л) а>/з_51/з aV3_fei/3	•
Ответ:	.
Решение.
ОДЗ: a*±b.
(а2 -Ь2)(Уа - Vfr)(а + 1>Ха-б)(Уа -V&)
(а^Ха-4^-^)_а (a+Z>)(Va-V^)
Ответ: a-b.
(m-l)Jm-(n-l)Jn
2.071. i 3	2
vw n + mn + m -m
Решение.
w>0,
ОДЗ:<и£0,
Jmn +n 4-w-l#0.
m -yjn
Ответ:
m
2.072.
Решение. ‘
ОДЗ: а^О.
Ответ:	- ylb^.
2-073- (й+йй-й)’
Решение.
у15-2у[б	_ 73-2л/Г2 + 2
Л-Л
ДЛ-Л)2 ..Уз->/2_1 Л-Л Л-Л
Ответ: 1.
,a\/m _aVny2 + 4д(т+л)/(тл)
2.074. ~------------- „I „I ’•
Решение.
а > 0, если т и п — четные числа,
ОДЗ:
’ а Ф О, а Ф 1.
^1/т _а1/л^2 +^д(т+л)/(тл)
(a2/m -а2/л)('”7^Т+'^Т)
а2/т -2а|/л1а1/л +а2/" + 4а(л|+л^/('лл^ " (ах'т -аХ1п\ах,т + «1/л)(а('л+|)/,л + а(л+1>/л)
_ a2/>”-2a<1/”,^1/")+a2/"+4fl(i;",KI/',)
(J/m -a1/")(a,/m +a1/”)(a1+I/m +a1+,/")
a2lm +2а(Х1т}^1п}+аг1п ~ (ax,m-axln)(ax/m +aX/n)(a al/m +a-ax/n) ~
___________(aX/m+aX,n)2___________ 1	1
(ax/m-ax/n)(aVm +ax,”)a(ax/m +ax/n) ~ a(ax,m-alln) aC^-Va
Ответ:
1
2/™-9x2/")(wJ7^3;
2.075. ^2,m-9xzln)(^x'-m-?:\lxx-n) (х1/,"+Зх1/”)2-12х(т+")/('”л)
Решение.
x > 0, если т и п — четные числа,
ОДЗ:
х 2тп/^т~п^
(х2/л< -9х2/л)(7х|-Я1 -зУх'~л
(х1/т+3х,/л)2-12х('п+л)/('лл)
= ((х1/л>)2 -(3x(1/w))2)(x(1-w)/,n -Зх(1~л)/л) = х2/”' +6?/л,г1/л +9Г2/" -12х(|/л')+(1/л)
(х1/л> -Зх1/л)(х|/,л +3х'/л)(х(|/л|)~' -Зх(1/лН
2/т_6х(1/т)+(1/Я)+9х2/и
1/m о 1/и
(х1/ш -Зх,/л)(х1/'л + 3х|/л)(----——
X X
(х|/л,-3х1/л)2
(Х^т _3х1/й)(х1/т +Зх1/Л)-—(х1/,Л -Зх1/Л) xVm +3jf
(x1/m-Зх|/Л)2	X
х1/л'+3х1/л
Ответ:
X
2.076.
'45-4V3
Решение,
V45-4V3
+3) =
6__
Т5-4
6(715+4)
= 6(V15-+^ + 30 + 6л/й = -бТ?5 - 24 + 30 + 6-У15 = 6.
15-16
Ответ: 6.
a~* l -b~' a2b2
2*077- а-3+Ь-3 '(а + Ь?-Заь[ ab ,
а = 1-л/2;й = 1 + >/2.
Решение. i 1	1
-1	A-'	„2.2	(z.2 A2 V ------7	„2t2
a —b a b a — b _ a b	a b
a"3 + b~3 (a + b)2-3ab I	. 1 a2 +2ab+b2-3ab
♦ v	7 zJ дЗ
a b
b-a
ab _ ab a2 -ab+b2 ab _	(a-b}a3b3
a2-b2 a3+b3 a2b2 a2-b2	ab(a + bffi2 -ab + b2)
~7b3~
a2-ab+b2 ab = _ ab = _ (l-JlKl + J?) 1 a2b2 (a+b\a-b)	(a+b)2	(1-V2+I+V2)2 4
1 Ответ: — •
4
2.078. ----------+ -5-------+ -5-------
^/“+3r + 2 Г+4/ + 3 / +5/ + 6 J
(t-3f+\2t 2
Решение.
ОДЗ:
t * —3,
t *-2,
r 1	2/	1 V (/-З)2 +12/ =
J2 +3/ + 2 +12 +4/+3 r2+5/ + 6j 2
_(	1	2t	1 f /2-6/+9 + 12/_
<(/+2X/+l)+(/ + 3Xr+l)+(z+3X/ + 2)J ’	2
_ f t + 3+2l(t+2)+l + l V t2 +6/+ 9 _ f 2(t+2)+2t(t+2) Y (/ + 3)2
\ (/ + 1X/ + 2X/ + 3) )'	2	_[(/+lX/+2X/ + 3)J ‘ 2
_ ^(/^Х/пУ^з)2 _^гН^П+з)2 _2
 2M/+2X/ + 3))2 ~2(t + 2nt + \nt + lT 
Решение.
ОДЗ: т > 3.
Ответ: V2(w4-3).
(а - b)2 + ab а5 +Ь5 + а2Ь3 + а3Ь2
2.080.-----\: —о--------;---з-----5---;---Г
(a+b)2-ab (а3 + b3 + a2b + ab2)(a3-Ь3)
Решение.
(я Ь,
ОДЗ: 5 А
[а ф —о.
(a-b)2 +ab а5 + Ь5 + a2b? + a3b2 _ a2 -2ab + b2 +ab t (a + b)2-ab (a3 +b3 +a2b + ab2)(a3-b3) a2 +2ab + b2 -ab
(a5 +a2b3)-^(a3b2 +b5) a2 ~ab + b2
((а3 + Ь3) + (a2b + ab2 ))(а3 -b3) a2 ±ab + b2
((a + b)(a2 -ab + b2) + ab(a + h))(a-h)(a2 +ab + b2) _
а2(а3 4-63) + 62(а3 4-Z?)
_ (°2 -С1Ь^Ь2)(а+Ь))(а2 ^b2)(a-b) _а_^
(a^b)(a2 -ab + b2)(a2 +Ь2)
Ответ: а — Ь.
2.081.
Решение.
ОДЗ: t > 2.
Ответ:
2-082, b(abc + a + c) .	1	’ Г
'	' а ч-------а ч—
b + l/c	b
Решение.
ОДЗ:
abc + а ч- с # О,
Ьс Ф —1, ab * -1.
b
ab + \
6 # О,
1_______6с+ 1	ab + \ = l-frc+QH+l)
b(abc+a+c} abc + a + c b	b(abc + a + c)
_ 1 -ab2c-ab-bc-1 _ -b(abc + а + с) _ b(abc + а + с)	b(abc + а + с)
Ответ: -1.
2.083.
2-х+4х2 +
5х2 -бх+3 Л. . 2х А --------- : 2х+1+--- .
х-1	х-1 I
Решение.
ОДЗ:х#1.
(_	, 2х )
: 2х+1+---- =
1	х-1 J
2—х + 4х!
Х-1
(х+Цх-1 + х)
4х3 -Зх+1 х-1	2х2+х-1
2х — 1	2х-1
Ответ: 2х-1.
а-1 . _ 2-Ь\ 6-1 ’ "а-2 ’
(2-Ь	а-1) (, а-1
2.084. Н~Т+2 “—у 1: Ь-—+а-I о — 1	а —2
a = V2+( Решение.
(2-b ^,a~L\(h.E—L	2~b^ (2-b\a-2)+2(a-l\b-l)
^6-1+ л-2; b-l+a а-2J (Ь-1Ха-2) Ь(а - 1\а - 2)+ a(2-b)(b -1) = ab-2 (b-l\a-2)	=
(b-l\a-2)	~ (b-l\a-2) a2b-ab2 -2а + 2Ь
_ ab-2 _ ab-2 _ 1	1
ab(a-b)-2(a~b) (a-b\ab-2) a-b 72 + 0,8-72 + 0,2
, .... - f «V <’ + b/b	Г--'j [ V<7 + 4b
2.085.	I—  [—	у ab •	.
Ju +yjb J a-b J
Решение.
ОДЗ-J/’>0,
f _ 4i t \lb \(4a ч jb)(4a -4b),
(%G -4b)2
Omnein: I.
2.086.
e~~,~ a - Va~ —b~
+	-b~
a i- у/a~ -b2 Wa4-a2b2
T-7a^^) W2
Решение
ОДЗ:
2 12 a ~b
b^-0.
>0,
/2	>2
-b
4yla4-a2b2 (5b)2
I 2 ”/ 2 a - V a - b J
(а~Уа2 -62)2 ~(а + 7а2-Z>2 )2	25b2
(а + >la2 -b2 )(a -7a2-b2)	4^а2(а2-b2)
_ а2-2а^а2-b2 +a2-b2 -a2-2a^a2 -b2 -a2 +b2	25b2
a2-a2+b2	4-|а|-7а2-*2
_ 4a^a2-b2	25b2	_ _ 25а _ (- 25, если a > 0,
b1 4-\a\-yla2-b2 ~ H " [25, если а < 0.
Ответ: -25, если а > 0; 25, если а < 0.
2.087.
л/3(а-Ь2)+ 736^8^ J2^-J2c ^2(a-b2)2 +(2bj2a)2
Решение.
а >0,
ОДЗ:
• о 0, 2(a-b2)2 +(2bj2a)2 *0.
J3(a-b2) + j3b^ ^(a-b2)2 +(2b42a)2
у[2^-у/2с- V3(a-62)+2V3/>2
42{4а-4с)	4з(а-Ь2 + 2Ь2)	y/2(J^-Jc)Jac
^2.-^1. J2>la2 -2ab2 +b4 + 4ab2	4i(4c-ja)
4a 4c
_	a + b	-Jac _-(a+b )-Jac _-(a + b yjac
-\la2 + 2ab2 +b4	*	^/(a + Z>2)2	a + b2
Ответ: - Jac.
i ». ин. ite.
ОДЗ:
Omee n:
Реше tue.
. и * ±8, °да „«о.
Ответ: 2.
2.090. (a-b)3(4a +4b) 3 + 2a4a +b4b 3(4ab-b)
a4a+b4b	a-b
Решение.
a*b,
ОДЗ:
a > 0, 6>0.
(a-b)\4a+Jb)~3+2a4a+bjb ! 3(7oK-6)
a-ja+bjb	a-b
(A-Tti3___________' з4ь[4^-4ьу
ayfa+bjb (4a -4b)(4a + 4b)
(a-b)3 +(2a4a +b4b)(4a +4b)3 t 14b
(4a+4b)3(a4a+b4b)	4a+4b
За3 + 9a2b + 9ab2 + 3b3 + 9a24ab + 9b24ab +6ab4ab a3 +3a2b + 3ab2 +b3 + 3a2 4ab + 3b2 4ab + 2ab4ab
_3(a3 +3a2b + 3ab2 + b3 +3a24ab ^3b24ab ^2ab4ab) _ a3 + 3a2 b + 3ab2 +b3 + 3a2 4ab + 3b2 4ab + 2ab 4ab
Ответ: 3.
2.091
x'^+x'V6' ^'V'3-*1'2?2'3	’
Решение.
ОДЗ:
x *0, у #0, X *±у.
х^-у^	(x>/3+?Z3)2-^	2/3 1/6	;;
xl/2+xI/3jI/6- х5/6>,1/3 _х1/2у2/3	У х3/6+х2/6д,1/6
(х2/6+>>2/6)_4х2/6>,2/6	2	=
Х у5/6„2/6_ г3/б„4/6	+ „2/3 „1/6	2/6/J/6 . „1/6чХ'
л у л у	л у л	т у J
х4'6+2х2У'6+//6-4х2у/6	2	л-'/6-/6
Х х^у^^-у2/6)	+ х^у'Р v2/6(x,/6+JV,/6)X
x4/6-2xy6/'6+/'6	2	х1'6-/6	(х2/6-уУ6)2
Х х^у^х^-у2!6) + x4V6 л%1/6 +3',/6)'х3/6?2/6И6 ~Г/6Т
2	х1/6-/6	х^-^6	2	= (х|/6-/6)
+ x4V6 х2/6(х'/6+/6)' х3'6.Л6 +xV%|/6'_P/6(x|/6+/6)X
2	Jx1/6-/6)2	2
Х х’/61Л6	+г4/М6'	y5/6v2/6 ~+ ЛМ6
•Л у	Л у	I	•'V у
_ X2/6 -2х116ух>6 +y2/6+2x'l6y'l(> _ х2/6 + V2’11' _ х1'3 +у'>2
Х^у^ 	= А.^//6 =	•
XV3 + yV3
Ответ:
2.092.
Решение.
ОДЗ: х*±1.
1
Ответ:	Г
х -1
Решение.
Г > О,

14*	t.141-2 ijllf+lji-l) 2к
' 4i i.i4i-2
Ответ: 2-Уз.
т4^3 -21т^3 п тУ3 + Зу[тп + 9п2!3
Решение.
ОДЗ: ш#0.
-21т^3-п (. v[7] зГ~2 _	m^3(m-27n)	.
m2/3 + 3& + 9„2'3 \ К Р™ ‘ т*	+9п^
К-M „	т»
}[т	т2^3 +5т^3пУ3 ^9п^3 т^3 ~Зп^3
_ т^3(т^3-Зп^3\т^3 + Зт^3пУ3 + 9л^3) тУ3 т213+Зтх13пх13+9п213	тУ3-ЗпУ3
= т2^3 -т2^3 =0.
Ответ: 0.
р-3	12	3
2.095. zp2+3p :z9~p2 -z3p~p2.
Решение.
ОДЗ:
0 < z * 1, р*0, р * ±3.
р-З 12	3	р-3	12	3
zp2+3p :z9~p2 'Z3p~p2 =zp2+3p 9~p2 3p~p =
p-3 t 12	3	(р-ЗУ+12р-3(р+3)
_zpG>+3) 0>-ЗХр+3) p(p-3) _z pG^+3)(p-3)	_
p2 -6p+9+12 p-3 p-9	P2+3p	p(p+3)	1
_ z p(p+3Xp-3)	_ z p(p+3)(p-3) _ z p(p+3\p-3) _ z p-3
1
Ответ: z p~3.
2.096.
Решение.
x>0,
ОДЗ:
a *0.
2	2
a _ a 4(x-a2) 4(a2-x)
a2
Ответ:----z-----
4(a2 -x)
2.097.
Решение.
ОДЗ: x>0,x*2.
4 M. И. Сканави, группа A
97
= 2.
Ответ: 2.
Решение.
1>0,
ОДЗ:
Ответ: 1.
2.099.
Решение.
• [х*0,
ОДЗ.
у * 0, х * 8 у.
(х2|/3+2^/ху + 4у2^3) С /7) х2/3+2х1У3+4у2/3 ( 3jT_
М (x4/3-8>-x,/3):x1V3| V7/
= ^+2xV+4/J 2^?-V7 Jp3 + 2х[У3 +4У2/3 V3
*1/3(*-8Л ' V7 =	W-fc/3)5 Х
х'/^’/з
2V7-V7 _	(х^3 +2x'/3yV3 +4//3У3	2у‘/3 -х‘/3 _
Х з/7	^3-2у^3+2х113у^3+4уУ3)'	у*3
у''3	2/3-х''3 =
2у'13-х1/3'	у'/3
Ответ: -1.
I-+2-2^)4+^ rFTZZ
2.100.		f—5------L-zVzJ- + 4+z.
z-2+-	Vz
Решение.
f-^A.Az + z2 z2-2z + l	ZV V z
, ) О-гЖгЬ fe-if ' fr-tf
- z(2 + z)= (z + if z - z(2 + z)= (z+2)z(z+2 -1)=z(z + iXz+2).
Ответ: z(z + iXz + 2)
2.101.
' 1 a2 +4 \Га 1 • 1 Y' <a + 41 a3 +2V2 Д2 V2 a J
Решение.
ОДЗ:
a 0, а Ф -42.
/	п\/	\— \ f
1 a2+4	__L + ll =	1 a +4
a + V2 a3 +2V2 ^2 4*2 a J a + 42 a3-^^42^
fa___1_ fl_f 1_____________g* 2 + 4	a2-42a + 2
y/2 a) ^a + ^2 (a 4-	~~>f2a + 2)^ 2л
a2-42a + 2-a2-4 a2-41a + 2 _ -42a-2 1 =
(a + V2 )(a2 - Via + 2) 2a ” a+ 41 2a
„ V2
Ответ:-----
2a
2.102. f(^_(1_a)-.li^z2) . p л	J a -a+1 |(a +
Решение.
ОДЗ:
a *0,
а * ±1.
"(o-l)'1 (1 a)-i1 1+0(0-2) I 1	a-l
a~3	J a2-a + l y(a + l)2	_L
I a3
l + g2-2a__1 _Г a3 , 1 "j a2-2a + l_1 _a3 + l
a2-a + l |« + 1| ^0-1 a-1) a2-a + l |« +1| a-l
(a-I)2	1 = (a+ l)(a2-a + l)(a-1) = (a + l)(a-l)
a2-a + l |a + l| (a2-a + l)-|a + l| la + l|
(a + l)(a-l)
2---------- = 1 -а, если a +1 < 0, или a < -1;
-(0 + 1)
(a + l)(a—1) _ _ j, если a +1 > 0, или, учитывая ОДЗ, a + 1
a > -l,a *0 и a * 1.
Ответ: l-а для a e(-oo;-l); a -1 для a e(-l;0)U(0;l)(l;oo).
2.103.
Решение.
ОДЗ:
ab > 0, а^Ь.
Ответ:
а
2’
2.104.
Ь4 -4а9
&2 -2а3 Ь2
Решение.
\а #0, °да »«о.
а ,1,	4а6	2-,1~Ь	4~	2 з/	3,4	9
b---Г ~а I ~Т—r+ — Vab* —4а
И	b3 Ъ6	Ь3	ab
34b2^3 Ь2
'ajb4-4a6
ЬЧ Ь3
Ь4 -4а6 а6Ь3
а2У^47|2аУ^47>| Ь2
b2	a2b	ab ^2 _2аз
з/Л а 1 2) b2 ty2 -2a3fy2 +2a3\a+b) I*2 b b)W-2a3	Ь
х .	—----- = (а+b^lb2 +2а3.
34ь^
Ответ: (a+b$b2 +2а3.
Ответ: -1.
II
н н н н н Q Q Ч * К
ОДЗ:
3
.	.	,	1	а+х+1
1+(а+х)1 i 1 —^?2+x2)	+ a+x 2ax-l+a2+x2 _ a+x x
l-(a+x)‘* [ 2ax J j 1	2ax a+x-1
a+x	a+x
a2 +2ax+x2 -1 _ a+x+1 (a+x)2 -1 _ (a+x+lXa+x+lXa+x-1) 2ax a+x-1 2ax	(a+x-l)2ax
.	2	( 2	i i \2
(	1 у a -a+l+a-1
_ (a+x+1)2 _ (	a-1 j _ [	a~^ J _
2ax	2a	2a
a-1	a-1
_ a4 a-1 _ a3
~(a-lf'l^~2(a-iy
a3
Ответ: ~Z7—
b
(a b
2.108. k + ~
a+b ~2a~
b a+b
h2 a+2b + — ’ a
a a+b a-b
a = 0,75; 6 = 4/3. Решение,
a b (a+b b -+-+2 • —------- :
b a 11 2a a + b I
b2 a+2b+— •
a
a [ b a+b a-b
a2+2ab+b2 a2+2ab+b2-2ab _ (a2+2ab+b2 a2-ab+ab+b2'\ ab	2a(a+b)	a (a+b\a-b)
(a+b)2ifl2 +b2) (a+b)2{fl2 +b2)_ (a+b)2^2 +b2) a(a+b\a-b) 2a2b(a+b) a(a+b\a-b) 2a2b(a+b)	(a+ft)2^2 +b2)
075-*	1-1 -2
’	3_43__________12..2.
2 0,75-1 2-1-1	2	24
3	4 3
Ответ:	•
4
а = 3 —;х = 0,28.
7
Решение.
ЮО--72 — I25 7 = 2500 1800 - 700
7	7 V 7 *25 “ 7	7 “ 7
Ответ: 100.
2.110.
yjc-d c2yflc
c-d с2+cd
---7 +	---- c + d \c2-cd
c = 2;d = l/4.
Решение.
dc-d c2J2c
Ответ: -7
3
(ah * 1 + a~lb+l^a 1 -b~lJ 2’11L a2b~2 +a~2b2 -](ib~l +a~lb)
Решение.
[a # 0, од3:(ь#о.
(aZ>~*+a ‘fc+lYa '-6 ‘j2 a2b~2 +a~2b2 -(afe-1 +a-lZ>)
a2 +b2 +ab (b-aY (a2 +ab+b2\b-a)2
ab 1	a3b3
a4+b4 a2+b2 a4 +b4 -a3b-ab3
a2b2 ab	a2b2
(р2+аЬ+Ь2\а-Ь)2	a2b2
a3b3 '^-а^ьУ^-Ь4) ip2+ab+b2\a-b)2	(p2+аЬ+Ь2\а-Ь)2
ab[fi3(a-b)-b3(a-b)) ab(a-b^fi -b3)
ip2 +ab+b2\a-b)2	1
abifl-b^a-b^2 +ab+b2) ab
1
Ответ:
ab
2.112.
V^2 J \ 4-4t + t2 \	7
Решение.
|z>0, o«*U2.

,з, J<3g2+2r+4)~> V (2-02
Ответ:
х^Р-х^ч	хУр
2Л13- (х1/р + х1/<?)2-2x'/q(x}/q+xVp) +	+1 
Решение.
Р*0,
ОДЗ:
9*0, х > 0,
x3/p-x3/q	х"р
(XVp +х,л?)2-2x{l\xxl4+xVp}+ x{q-p)lpg+\~
= {xVp-x'/q)(x2/p+x'/px',q +Х2/<?) ! Х1/р
(xi/p+xllq)(xl/p+xl/q-2xl/q) +xl/p~llq + l
_ (xl/p -x1/?)(x2/₽ + xl/pxi,<l +x2,g)	x1/₽
(xl,p +x1/?)(x1/₽-x1/?) x1/p J/?4
Vp + xVpxUg + x2lg хНРхМЧ _
xx'p+x"< V'+x17’"
2/P+2x1/px1/g+x2/g (x^+x17*)2
Mp + J'q
------"Р+х^^ + ЧГх.
Up + rU<l
Ответ: Р4х +
1 + a 1 -6д'2
9-4д-2
Зд-,/2+2д-3/2 д-1/2+Зд-3/2 Решение.
2.114.
ОДЗ:
a *0,
2
3
9-4д-2	1 + д-|-6д-2>|4
Зд-,/2 + 2д-3/2 д-,/2 + Зд’3/2
3	2
1/2 +аЗ/2
, 1	6
+	2
а а1
1	3
1/2 + „3/2 д а 
д2+д-6^
9д2-4 д2
Зл+2	а + 3
3/2	“372
а	а
9а2-4 а2
„3/2	„2 ,„ А „3/2 Y*
а	а + д —о а
За+ 2 а2 а + 3
1(Зд + 2)(Зд-2) (д + 3)(д-2)
[ д1/2(Зд + 2)	д1/2(д + 3)
I =(2д1/2)4 =16д2.
Зд-2 д-2У*
„1/2	1/2
a a J
[ 3a - 2 - a + 2
~l T72
Ответ: 16д .
2.115. 4ai +
. 2b^ J a + Jab'
^+4bV 2aJb
(ь+4Гьу 2 \	7
Решение,
fa >0, ОДЗ: [Z>>0.
«W a + b
2b4a + 2ay/b
- 4ab + +	-ab+b2)_ 2y/ab[Ja +y[b)^
a + b	4a + 4b
= a2 +3ab+b2 -ab = a2 + 2ab + b2 =(a + &)2.
Ответ: (a + bf.
Решение,
т >1, ОДЗ: п > О, Ш*П,
1 Ответ: ?• т
2.117.
1
Решение,
ОДЗ:
а *Ь, а >0, Ь>0, -1<а<1.
= (а+Л'Р +6-a-2a'^V2 _b),l+l_a2 =
=	.-1—+1-а2 = -1+1-а2 = -а2.
а1/2Ь1/2
Ответ: -а2.
Решение.
г(Уз+1)	з(Тз+2)	15(34-5/3) 1
Д73-1)(7з+1) (ТЗ-2)(Уз+ 2)+	) Тз+5
'2(73+1) 13(73+2) 115(34-5/3)^ 1 =
2 + -1	6 J 734-5
-473-10+15+57з 1 Тз+5 1 = 1
2 Тз + 5	2 Тз+5 2
^7754+157128
2 П9‘ 7^32+V^‘
Решение.
77754+157128	77727-2+15764-2	7?-372+15-472
^4732 + 797162 74716^2 + 79t^b2 ^4-2^2 + 79-з72 = 72172+60^ =	78172	= 3$2	= 3‘Т2 = 3
7^/2 + 72772 27^ + 377^ 21^+3‘72 5’72 5*
5747192 + 7718781
Решение.
5747192 + 7718781 _ 5^4^641 +7718Т2ГЗ
712724 + 67375	712^3+671253
574-473 + 7718-3^ 571673 +?7547з 712-27з+6-57з	7247з+307з
5^8 2^3 4-7^27 -2^3 5 2^2^3 4-7 3^2^
Ответ: — •
2.121.
Решение.
^32^4 4-^64^ - З^Ж = V25 -22/3 4-^26-2-|/3 - 3^2-21/4 = = 217/12 +217/12 -3-25/12 =2-2I7/i2 -3-25/12 =25/12(4-3)=25/|2 = = ‘^2? = 1^2.
2.122.
Решение.
- 22^7^2 = 24>/V18 - 22JV18 = 24V18 - 22^18 = 2^18.
Ответ: 2^18.
2.123. 2740-712 + 3^5748 - 2^75 - 4715^7.
Решение.
2^40712 + 3^748 - 2^75 - 4J15V27 = = 2740>/Гз + зТ^Аб^ -21/25~3 -4^157^3 =
= 2^40-2Тз + з75 -4>/з - 2772^3 -4^15-Зу/з = = 2^80-73 + 3 • 2у[з4з - 2у1^3 - 4^4573 = = 2^16 -5<УЗ + 6у[^/з - 2у[^/з - 4-^9-5-Тз = = 2 • 4^5^ + 6- 2>/s/3 - 4 • 3	=
= 8>/?7з+б7^-2>/^-127^ = 14^573 -14^573 = О. t
Ответ: О.
2.124. 5^бТ32 - 3^97162 -11718 + 2^75>/50.
Решение.
537б7И - 3^97162 -11718 + 2^75^50 = = 5^67162 -3^97812 -11^92 + 2^7572^2 = = 5^6-4-72 -3^9-942 -11VV92 + 2^75-5-72 = = 5^24-72 - 3^8172 -1 $1з42 + 2^375-72 =
= 5^8-3<Л - з427 -з42 -1	+ 2^125-372 =
= 5-2ll^-3-33у/з42 -111/з42 +2-53у/з42 = = 10^372-20^3^+10^^ = 0.
Ответ: 0.
Проверить справедливость равенств (2.125—2.134):
2.125.
4:
Решение.
Преобразуем отдельно левую и правую части равенства:
а) 4:
3
5
32/3 Т
= 20-3"2/3;
б) 10^5: (0,25^21679 )=10*||:• $23-З3-32/3 j=
= 1О.зУ4 -23/4.2^4-3"/12 = 5-31/4-23/4-22 =	2/3
2	22	23/4-311^12
Получили, что 20 • 3 -2/3 = 20 • 3 -2^3.
2.126. (4 + 715)(Л0 - Тб)-74-715 = 2.
Решение.
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда
(4+715 У (710-76^-715)= 4,
(4+715 ){* - 715 )(4 + 715 0 - 2ТбО + 6) = 4,
^42 -(V15)2 ^4 + Л5^6-2Тбо)=4,
(16-15)(4 + 715)-2.(8-7б0)=4, (l+715^8-7445)= 2,
(4+ 715 )(8-2715)= 2, (4 + 715)-2 (4-71?)= 2,
+	42-(Т15)2=1, 16-15=1, 1=1.
2.127. 7з - 75 • (з + 75 )• (710 - ^)= 8.
Решение,
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда
(7з - 75 J + 75 У (72 (75 - 1)У =64,
^-V^J + Vs)2 2(75-l)2 =64,
(3 - V5 )^ + >/5)(з + >/5 )(5-2л/5+1)= 32,
(З2-^ J? + V5)(6-2V5)= 32,
(9-з/з + Л)-2-(3-V5)= 32, 8^+ Т5)(з-7?)= 32,
8^32 -(75)2 )=32,
8(9-5)=32, 8-4 = 32, 32 = 32.
2.128.
УТз+Тё-79-672-Vis = эд 72-1
Решение.
Преобразуем левую часть равенства:
Итак, -7з = -7з.
2.129.
25-72+275 1^2 5
7250 + 5^8 V 5 +72 +
Решение.
Положим
25-72+275 , Т^г+Уб2 ^4 л^50 + 578 7s6-22 + 754-23
t/5^2
2^ + _5_+2= Ь+2-5>/2+25 5 +>/2+ V 5Л
Отсюда
_у = 5-У52 2 +У2 _ 5 + 72 = 5-V52-2+72-5-72 V52 -2	V52 -2	V52 -2
-*4^2 __ .
4^2
Получили -1 = -1.
2.130.
Решение.
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда
= 2,
У27-7зТЗ-7з+1 = j ^27-72-73+1 = j j _ j 727-7273+1	’ t/27-7273+1
Решение.
---16-----[	= 2^61 + 247?, 9-6-75+5 Тб-5 >
—^-=-6 = 27б1+2475, —^-=-6 = 2761+2475, 14-6-75	7-3-75
—^-=-3 = 761+2475, 4~21'ф^ = 7б1+2475, 7-3-75	7-3-75
7-3-75	(7-3V5j7+3V5)
12^-+14-=761+2475, 12^+i6=761+2475, 72^(зТ5)2	4
з75+4 = 7б1+2475.
Возведем обе части последнего равенства в квадрат. Тогда (3V5 + 4)2 = 61+24-75 , 45 + 24-75+16 = 61 + 24-75, 61 + 2475=61 + 24-75.
2.132.
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю, имеем
Л + Уб _з(Уб4-Уз) 4(Л-Уз) 7-6 ~	6-3 +	7-3
V7+V6=V6+V3+V7-V3,
7б=>/б.
3	5	2
iA33- 45-42* 41+42 41-45'
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю, имеем
V7+V5 =>/7+>/5.
4iJ10-7V2
2134'
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю, имеем
^/2 -1^2 -l)Jho-142^Q-141) (Л-1У _ 3^0 - 742f
(Л+1р2-1) ЦО+142^0-742)’	2-1 V 100-98
2 -242 +1 =	3-242 = 499-7042.
V 2
Возведем обе части последнего равенства в куб. Имеем
(з-2<^У = 99-70-72, 27-54л/2+72-16^ = 99-70-72,
99 - 7042 = 99 - 7042.
Сделать указанную подстановку и результат упростить (2.135—2.145): x^-a-^-b-^+b^ + b^	2/31-1/2
2-135.----------ь* х2 ----------; х=а •
Решение.
(а *0,
ОДЗ: |6*0.
(а^-./2у _fl2/3 ,ь-|(д2 +b2^3b-l/2 +bl/2
b^.^b-t/2f
_a2b~3^2-a0b~3^2^i2+b2)+b1^2 _ ь^ь-'
а2 а2+b2 Ц2 а2 -а2 -Ъ2 +Ьг
= Ь3'2	Ь3'2 +	=	Ь3‘2	= 0
61/2в4/3	^2^3
Ответ: 0.
2.136.	Ц=- *2 ~2х+ •'/*; х= ^Г-
>[ь	1-4ь
Решение.
ОДЗ: 0<Л#1.
Ответ: 0.
(x+2b х+2а\х 4аЬ 2Л37, \х-2Ь + х-2а / 2’ X~7+b' Решение.
ОДЗ: а Ф -Ь Ф 0.
( m 4aZ> п
—г + 2^ —г + 2а	A L
a + b	a + b .
4ab 2b 2a 2(a+i) ^a + b	a + b >
a + b
> |a+b_ ' 2b(b-a))~2ab~
(4ab+2ab+b2 4ab-2ab-2b2 4ab + 2a2+2ab 4ab-2a2-2ab
—		♦---------------------1---------
a+b	a+b	a+b
a+b (2b$a+b) a+b 2b(3b+a) a+b
2ab I a+b 2b(a-b) a + b
(За + b 3b+a\ a+b (За + b 3b+a\a+b
—	I---.	|.	.. — — I	—---— |.	-
\a-b b-a I lab \ a-b a-b j lab
3a+b-3b-a a + b la-lb a + b l(a-b\a + b) a + b a-b lab	a-b lab	l(a-b)ab ab
x
a + b Ответ: — ab
2.138. (x + lXx + 2Xx + 3Xx + 4>
x =
41-5 1
Решение.
'12-lOjl 5/7-25?
4	+	2
+ 10.p2-l(b/7+52/7-2S'l 24, 4	2
к	/
3 Ответ:
4
11ад (г-1Хг + 2Хг-ЗХг + 4),
Решение.
23
23
3 Ответ: — •
4
2.140.
х(х+lX-х+2\х + 3).
(х-1X^+4)
Решение.
14-6V5 Зл/5-9
14-6-J5 зЛ-9
-1-4
7-3V5+3-J5-9 л -------------4 2
£ 5
1 Ответ: —
2-141- /G+i)2
Решение.
1
1
j3 + x-Jx+2 73-х-7х-2.
2.142.	1	1
73 + x • у/х+2 73 —х • у/х-2
Решение.
1 t 1
7з+7б • >/>/б + 2 5/З—7б • 77б —2 _ 1 1
5/3+Тб • ^у/б + 2 5/3—5/6 • 5/5/6— 2 7з—7б • 5/76— 2 + 7з+7б • 75/6 + 2 _ 7з+л/б • 5/л/б +2 • 5/3—7б • 5/76— 2 5/3—5/6 • ^у/б — 2 — 7з+7б • 5/5/6 + 2 7з+7б • y}Jf> + 2  д/З-л/б • у/у/б -2
(>/55/6-12 J - (5/55/6+12 у
5-J6-12+25/(5>/б-12^Уб+12)+5Уб +12
5>/б-12-5л/б-12
Юл/б+гдаб)* 2 -122 = 576+7150-144 = 57б+7б _ Тб
-24	”	-12	-12 " 2
л 76
Ответ: - —
2
2.143.
2bjx2-l х — Vx2 -1
а > b > 0.
Решение.
a2 + 2ab+b2 ZOJ-----------1
__V 4ab_______________ a+b la2 + 2ab+b2
-1 2jab 1 tab
la2-2ab+bz
2bi-----------
a+b a2 +2ab+b2 -4ab a+b a2-2ab+b2
2jab V tab	2y[ab V 4ab
(a-b)2	2b-^-
a+b a-b .Jab 2-Jab 2-Joi
2b.--------
V 4ab a+b l(a-b)2 2-Jab 1
_ b(a-b) ' a+b-a+b^ _
~ ' 2jdb Г
^ab 2b
Ответ: a — b.
2.144.
2aVl + x2 x + yll + x2
a>0,b>0.
Решение.
a2-2ab + b2 4ab
a-b , a2-2ab+b2 --7= +111 +------- 2jab I 4ай
„ 4ab+a2-2ab+b2 2a.--------------
V______4ab_______
a-b l4ab+a2-2ab+b2 2jab 1 ^ab
_ la2 +2ab+b2	. (a + b)2	2a(a+b)
2a J--------- 2a>  ---------—	---/=
V 4ab___________ V 4ab _ 2<Jab
a-b la2 +2ab+b2 a-b	l(a + b)2	a~.^ + g +
2Vai+’ 4ab 2jabi 4ab
a(a+b) (a-b + a + b Job 2jab
a(a + b) 2a _a(a + b) y/ab Jab 2jab Jab a
Ответ: a + b.
\ + bx t \-bx'
2.145.
1 +ax
1 \2a-b x = — • J---;
a V b
a b
0< — <a<b.
2
Решение.
1. I2a~b а У b
2a-b N b l2a-b N b
x
1+1. М2(2а-^>) j 42a-b al b _ Jb
1 i_l. Ib2(2a~b) j ! V2a-f>
I a 1 b	4b
a+4b(2a-b)
a _ 4b —42a—b a-Jb(2a-b) ~ 4b+42a-b
a
Ja+4b(2a-b) (4b-42a^b\4b-42a-b a-4b(2a-b) (4b + 42a-b\4b-42a-b l(a + y/b(2a-b')J(i + y/b(2a-bjJ _ b-24b(2a-b)+2a-b у ip~4l42a-b)Jp+4b(2a-b)') b-2a+b
y]b(2a-b)f 2a-2-Jb(2a-b) (?+4b(2a-b)f -b(2a-b) ~	2b-2a	1| a2-2ab+b2
a~4b(2a~b) Га+у/Ь(2а-Ь) a-y/b(2a-b) a+y/b(2a-b) b-a u a-b	b—a	b-a
H	7
a2 -b(2a-b) = a2-2ab+b2 = (b-a)2 = 1
(b-a)2	"	(b-a?	~(b-a)2
Ответ: 1.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби (2.146—2.151):
14 2146- 43^/2-Решение.
$ М. И. Сканавн, группа А
129
=2(®-й)(7з+У2)(з+72).
Ответ: 2^/3 -’Л^З	+
4
2.147.	_4^9
Решение.
Ответ: (1/13 +1/9 )(-Лз + з)
Решение.
(з+(У2+Уз))(з+(У2+Уз)) (з+(У2+УзУ ..
(з-(У2+УзДз+(У2+Уз)) 32-(У2+Уз)2
_9+б('/2 + >/з)+('/2+'/з)2 _ 9+б(У2 + Уз)+2+2Уб + 3
9-(2+2>/£ + з) "	9 - 5 - 2 Тб
14+б(У2 + Уз)+2>/б 7+з(У2+Уз)+Уб =
4-2>/б	” 2—Уб
_ (7 + з(У2 + Уз)+ Уб)(2 + Уб)_ (2-Уб)(2+У^)
= 14+б(У2+Уз)+2Уб + 7Уб+з(У12 + У18)+б^
4-6
14+бУ2+бУз+9Уб + 6'/з+9^2+6 20+12-Уз+15-^2+9-Уб -2	-2
^+з42^+з4з) 2
п ^+з42^+з4з)
Ответ:	------L.
2
2.149.
6
Решение.
п 2л/з + з72-л/30 Ответ:---------------.
2
Решение.
Представим заданную дробь в виде
• Умножимэтудробь
на
(74+л/2 + л/з)(|+2-3-24^2} и,
применив равенство
с—24аЬ)=(в + Ь + сУ —4аЬ,	где
а>0,6>0 ис>0,получим
-42-4з\Д+42+43^4+2-3-24^2.) {44+42-4з\44+42+4з\4+2-3-244^2)
(4+2-3)2-4-4-2	9-32
(гТё-иКз-ФУг)
23
_	(>л/б+1)(?-4л/2)
Ответ:	a------L.
23
Решение.
ОДЗ: 0 < a * L a-1
a
2.152.	Показать, что если z = \a + 4a2 + А3 -vVa2 + 63 -а , то z3 + 3bz-2a = 0 •
Решение.
Тогда z3 + 3bz-2а = 2а~ 3bz + 3bz - 2а = 0, что и требовалось доказать.
2.153.	Если л/8-а + j5 + a = 5 , то чему равен ^(8-0^5 +a) 1
Решение.
|8-а>0, ОПЗ-(	<=>-5<а<8.
Д |5 + а>0
Возведя обе части равенства в квадрат, имеем
8 - а + 2-J(8 - а\5 + а) + 5 + а = 25 , или V(8-«X5+a) = 6.
Ответ: 6.
2.154.	Чему равна сумма 725 - х2 + 715 - х2 > если известно, что разность 725 - х2 - 715-х2 = 2 (величину х находить не нужно) ?
Решение.
ОДЗ:
Умножив обе части равенства на 725 - х2 + 715-х2 > имеем
[725-х2 -715-х2 ^725-х2 + 715-х2
= 2f725-х2 + 715-х2
откуда 725-х2 + 715-х2 = 5.
Ответ: 5.
2.155.	Преобразовать (a2 + b2\c2 + rf2) так, чтобы получилось (ас + bclf +(ad- bc^ .
Решение.
Раскрывая скобки, получим а2с2 + a2d2 +b2c2 +b2d2 .Прибавими вычтем выражение labcd. Тогда
а2с2 +2abcd+b2d2 + a2d2-2abcd + b2c2 = (ac+bd)2 ^(ad-bcf => => (a2 +h2)(c2 + d2]=(ac + bd)2 +(ad-bc)2.
2.156.	Вычислить сумму кубов двух чисел, если их сумма и произведение соответственно равны 11 и 21.
Решение.
Пусть a + b = llnab = 21. Тогда
а3 + Ь3 = (а + b/a2 - ab+Ь2 )= (а +. b^(a+bf - 3ab)= 11(112 - 3 21)=
= 11(121-63) = 638.
Ответ: 638.
2.157.	Вычислить значение выражения:
3	_____
a)— -z, z = VV3+^+VV3-V2;
3
б) х3 + Зх, х = Va/5+2 -VV5^2.
Решение.
б) X3 + Зх = ^V5 + 2 - Va/5-2 ) + 30/V5 4- 2 - VV5-2 = 45 + 2 - З3^ +2^ (V5 -2) + 3^45 + 2\45-2f -45+2 +
+ 3^75 + 2 - 3^75-2 = 4 - 33J(45 + 2\j5-2y5 + 2) +
+ 3^(45+2145-2^5-2) + 3^45 + 2 - 3^45-2 =
= 4 - 3^(5-4)(75+2) + 3^5-4^45-2) + 3^45+2 - 3^75-2 =
= 4 - 3^45 + 2 + 3^45-2 + 3^45 + 2 - 3^45-2 = 4.
Ответ: а) —; 6)4.
Решения к главе 3
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
sin2 a + cos2 a = l>	(3.1)
*	sina	tl\	~ tga =	, a#— (2л+11 neZ;	(3.2)
cosa	2	
. cosa	_ ctga =	,	neZ;	(3.3)
sina	
ЯЛ tgactga = l, a*—, n&Z-,	(3-4)
l+tg2a =—, a*—(2n+l)t neZ-	(3.5)
cos a	2	’	
l+ctg2a =—, a* ли, neZ	(3.6)
sin2 a	
(здесь и в дальнейшем запись п е Z означает, что п — любое целое число).
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Для некоторых углов можно записать точные выражения их тригонометрических величин (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Аргумент (а, градусы, радианы)			Функция			
			sin а	cos а	tga	ctga
О’(О)			0	1	0	00 (не определен)
15°	гп ' J2>		Уз-1 2У2	Уз+1 2У2	2-УЗ	2 + УЗ
18° I	.10 J		У5-1 4	л/з + Уз 2^2	У5-1 ^0+2У5	710+2У5 У5-1
30°			£ 2	Уз 2	1	Уз
			2У2	У?4-1 4	У10-2У5 У5+1	Уз +1 У10-2У5
45°	ы л,		1 •Ji	1 Л	1	1
54°	^Зл То		4	V5-V5 2У2	710-2У5	710-2У5 У5+1
(?)			Уз 2	£ 2	Уз	1 Уз
			Уз+1 2У2	Уз-1 2У2	2 + УЗ	2-УЗ
90°	f ^2,		1	0	(не определен)	0
Знаки функций по четвертям
Таблица 3.2
Четверти	Функция			
	sin а	cos а	tga	ctga
I	+	+	+	+
п	+	—	—	—
III		—	+	+
IV	—	+	—	—
Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
sin(a + p)=sinacosp + cosasinp;	(3.7)
sin(a - p).= sinacosP - cosasinp;	(3.8)
cos (a + p) = cos acos P - sin a sin p;	(3.9)
cos(a - p)=cos acos P + sin asin P;	(З.Ю)
tg(a + P)= 8	a,p,a + p* +7w, neZ- 1-tgatgP	2	(3.U)
tg(a ₽)=.*	«Д« ₽*,+*»» 1 + tgatgP	2	(3.12)
ctg(a + P) = c*£actsP J (х,р,а + р#лп, neZ-v ’ ctga + ctgP	(3.13)
ctg(a - P) = ctgactgP+*} а,р,а-р*ли, neZ ctga-ctgP	(3-14)
Формулы двойных и тройных аргументов
sin2а=2sin a cos а;	(3.15)
cos2a = cos2 а - sin2 а=2 cos2 а -1 = 1 - 2 sin2 а;	(3.16)
tg2a=	a# — + ^-,ke Z,a#-^+nn,«e Z .
* l-tg2a 4 2	2
ctg2a = Ctg ——a* — ,ke Z,a* ян,ne Z; 2ctga 2
sin3a = 3sina-4sin3ai
cos3a = 4cos3 a-3cosa1
tg3a= 3tga~tg.ct.> a*^(2n+l),n€Z. l-3tg a 6
, 3ctga-ctg3a , 7W „
ctg3a = —-----, a * —, ne Z
l-3ctg2a	3
Формулы Ьоловинного аргумента
. 2 a 1-cosa sin—=--------
2	2
2 a 1 + cosa cos — =-------
2	2
* > a 1-cosa	_
tg* —=------, а*л(2и + Цие Z ;
2 1 + cosa
. 2 a 1+cosa »	™
ctg — =-----, а*2лл,neZ;
2 1-cosa
a tg— =
2 1 + cosa
sina 1-cosa	™
-----, a*Jtn,«GZ; sina
a 1 + cosa Ctgy =
sina	_
-----, a#wi,neZ;
sina 1-cosa
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
. о . . а+Р а-р sma + smB = 2sin	-cos   ♦ н	2	2 ’ . „ _ а+Р . а-р sina-smp = 2cos	-sin		  2	2	(3.29) (330)
о „ а+Р а-р cosa + cosP=2cos -cos-—- ; 2	2	(3.31)
а _ . а+Р . а-р п . а+Р . Р-а cos а - cos В = -2 sin	—sin - = 2 sin	-sin  	; 2	2	2	2	(3.32)
cos a + sin a = 41 cos(45° - a);	(3.33)
cosa-sina = V2sin(l5° -a);	(3.34)
, a sin(a+p)	„ л/»	<7 tga+tgP = —i—4-, a,P#-(2«-l|«eZ; cos a cos p	2	(3.35)
tga tgp= (	a,p#-(2n-l}neZ; cosacosp	2	(3.36)
„ sin(a+P) a	- ctga+ctgP = —-—а,Р*лл, neZ-sinasinP	’	(3.37)
4	„ o sinfe-a) -	„ ctga-ctgP= .	. ' а,Р#ли, neZ- sin asm p	’	(3.38)
n cos(a-B)	n , . _ o	„ tga+ctgP = —*—a* — + idc,ke Z,p*nn,ne Z  cosasinp	2	’	(3.39)
o cos(a + B)	n	* . tga-ctgP =	*—г-Цг, a* —+itk,ke Z,p*jw,ne Z • cosasinp	2	’	(3.40)
2	mt	„ tga+ctga =	, a*—, neZ; sin 2a	2	(3.41)
itn tga-ctga = -2ctg2a, a*—, neZ;	(3.42)
	1	? a l+cosa = 2cos“ — 2		>		(3.43)
	l-cosa = 2sin — 2				(3.44)
	l+sina = 2cos2	45° - I	2 ;	1 ?	(3.45)
	l-sina = 2sin2	45°-	K»| ft	ч	(3.46)
l + tga =	sin(45° + a) _ sin (45е	’+«)	a	л * — + nn, 2	neZ ; (3.47)
	cos45°cosa	cos a				
l-tga =	sin(45° - a) _ Vi sin(45	•-a)	л а* — + ли, 2		neZ; (3.48)
	cos45°cosa	cosa				
l+tgatgP= cos^a -61 a,P*-^+nn, neZ; (3.49) cosacosP	2
,	o cos(a + B)	0	.	r? l-tgatgp =	*—a,P* —+ лл, neZ- cosacosP	2	’	(3.50)
„ , cos(a-p)	„ ctgactgB + l= .	.^77, а,р*ли, neZ- sin a sin p	(3.51)
1-tg2 a= cos^a, а*^ + ли, neZ;	(3.52)
cos a 2
, j cos 2a	™
l-ctg2a =-----z—, а* ли, neZ;	(3.53)
sin a
tgz«-tg?p=Sin(ct+;^)sin(<^-^-,	»eZ; (3.54)
cos acos p	2
c,O-a8-f..s"ll“7la'ji;“1 "eZ; (3.55) sin asm p
tg2a-sin2a = tg2asin2a, а*у + ли, neZ; (3.56)
ctg2a-cos2a = ctg2acos2a, a# ли, ne Z ;	(3.57)
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
sin a sin p = ^-(cos(a - p)- cos (a + p));	(3.58)
cos a cos p = 1 (cos(a+p)+cos(a - p));	(3.59)
sin a cos p = i (sin (a + p)+ sin(a~P));	(3.60)
sinasinpsiny =
= -(sin(a + р-у)+ sin(p + у-a)+sin(y+ a-p)-sin(a+P+y)); (3.61) 4
sinacospcosy =
= (sin(a+p - y)- sin(p+у - a)+ sin(y+a - p)+sin(a+P+y)); (3.62)
sinasinPcosy =
= - (- cos(a + p - y)+cos(p + у - a)+ cos(y+ a - P)-cos(a + P+y)); (3.63) 4
cosacosPcosy=
= - (cos(a + P - y)+ cos(p + у - a)+cos(y+ a - p)+cos(a+ p + y)). (3.64) 4
Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента
2tgy
sina =----а*л(2и+1), neZ; •	(3.65)
l+tg2y
1-tg2 —
cosa =----а*я(2л+1), neZ;	(3.66)
1+tg2I
2tg— tga=	2 a, # (2«+l) neZ; l-tff 2 2	(3.67)
ctga =	a # ли, n e Z . *«7	(3.68)
Формулы приведения
sin ^±a^=cosa, sin(K±a)=Tsina, sin^-| n ± a j = - cos a, sin(2n ± a) = ± sin a;	(3.69)
cos^ ± a = ± sin a, cos(rc ± a) = - cos a, ГЗ A cod “n±a	cos(2rc±a)=cosa;	(3.70)
tgl ^±а j= + ctga, а*т, neZ,
tg(n±a)=±tga, a#-^(2n+l), neZ, tgl — я±а l=Tctga, a#Jtn, neZ,	(3.71)
tg(2jc±a)=±tga, а*^(2л+1), neZ; ctg| ^±а |=Ttga, а*^(2л+1), neZ,
ctg(n±a) = ±ctga, a#m, ne Z, ctg^-|n±a)= + tga, а#^(2и + Ц ne.Z, ctg(2m ± a)=± ctga, а Ф im, neZ. 144	(3.72)
Обратные тригонометрические функции
sin(arcsin х) = х, -1 < х < 1;	(3.73)
sin(arccos х) = 71 - х2, -1 х 1;	(3.74)
	(3.75)
эШ1 dlUgX) —	1	
7i+x2	
1	(3.76)
Vi+x2	
cos(arccos х) = х, -1 < х 1;	(3.77)
cos(arcsin х) = 71 - х2, -1 < х < 1;	(3.78)
Z	ч	1	(3.79)
Vi+х2	
cos(arcctg х) = •.	; 71+х2	(3.80)
tg(arctg х) = х;	(3.81)
tg(arcctgx) =—, х*0;	(3.82)
X	
Z	.	X	X	.	1	(3.83)
71-х2	
71-х2 tg(arccosх) =	, -1 < х < 0, 0<х<1;	(3.84)
X	
ctg(arcctg х) = х;	(3.85)
ctg(arctgx) = —, х^О;	(3.86)
X	
71-х2 ctg(arcsinx) 		, -l^x^O, 0<х£1; X	(3.87)
ctg(arccosx) =
arcsinx = <
arccosvl-x2, если 0<х<1,
- arccos v 1 - x2, если -1 < x <
(3.88)
i
(3.89)
0;
x
arcsinx = arctg-7==, -1 < x < 1;
Л7?
(3.90)
	д/l — x^ arcctg	, если 0 < x < 1,
arcsinx = ’	Л77	<191) arcctg	л, если -1 < x < 0; X
arcsinv 1 - x2, если 0 < x < 1,
arccos x =
л-arcsinvl-x2, если -1<х<0;
(3.92)
	7i-x2 arctg	, если 0 < x < 1,
arccosx = -	k? „ (W) л + arctg	, если -1 < x < 0; x
X	1	1 arccos x = arcctg -r-	, -1 < x < I; Vl-?	(3.94)
x arctgx = arcsin -r—	, -oo < x < oo; 7i+x2	(3.95)
arccos-7= I , если x>0, 7l + X2 arctgx = ! - arccos —7=, если x < 0;	(3.96)
arctg х =
arcctg—, если x > 0, x
arcctg—- я, если x < 0;
(3.97)
arcctgx =
arcctg x =
arcsin-. — —, если x > 0,
1
я - arcsin  -----j- , если x < 0;
(3.98)
arccos—=====, если x > 0, Ji^x2
X
- arccos	j , если x < 0;
(3.99)
arcctgx =
arctg—,еслих>0, x
л+arctg—,если x < 0; x
(3.100)
(3.101)
arctg x +arcctgx = —, -<»<x<oo;
(3.102)
sin x+arcsin у =
arcsin^x^l-J2 + ja/1-х2 J, если xy S 0 или x2 + y2 < 1;
n - arcsin^ x-Jl-j2 + y>ll-x2 естлх>0,у>0их2 +y2 >1; - л-arcsin^x^/l-y2 + jVl-x2 еслих<0,у<0их2 +y2 >1;
(3.103)
	arcsin^x-Jl - у2 -уу/\-х2 если ху > 0 или х2 + У < 1;
	л-arcsinf xJl- у2 -yVl-x2
arcsinx-arcsin^ = ’	к	)	(3.104)
	если х > 0, у < 0 и х2 + у2 > 1;
	_	’ (	/1	2	/1	2 Л
	- л - arcsin х-\/1 - у - у v 1 - х L
	если х < 0, у > 0 и х2 + у2 > 1;
	arccos^xy -	- х2 J1 - у2)), если х + у > 0;
arccos х + arccos у = <	Z	п	у	(3.105)
	2n-arccosl xy-yl^-x2 Jl-y2) |, если х + у < 0;
если x > у; arccos х - arccos у = «
(3.106)
arccos
если х < у;
	. х+у arctg	—, если ху < 1; 1-х^
arctgx + arctg^ = <	х+у л+arctg	=Чеслих>0иху>1; (3.107) 1-ху х + у - л+arctg	—, если х < 0 и ху > 1; 1-ху
arctgx -arctgy =
X — у
arctg----—, если ху > -1;
1 + ху
я + arctg ———, если х > 0 и ху < -1;
(3.108)
X — у
- п + arctg---если х < 0 и ху < -
Доказать тождества (3.001—3.062): 3.001. ^+cos_|2a + tg2a)(l-cos_|2a Решение.
(1+cos_| 2a + tg2a)^-cos_| 2a + tg2a)= 2 tg2a =
(,	1 sin2a Y. 1 sin2a'I
cos2a cos2aj^ cos2a cos2a J
_ cos2a+l + sin2a cos2a-l+sin2a
cos2a	cos2a
_ ((cos2a + sin2a)+lX(cos2a+sin2a)-l) (cos2a+sin2a)1 2 cos2 2a	cos2 2a
cos22a+2sin2acos2a+sin2 2a-l _ l+2sin2acos2a-l
cos2 2a	cos2 2a
2sin2acos2a 2sin2a -
=------=-----=----— = 2 tg2a.
cos2 2a cos2a. ,
-1
Получили 2tg2a=2tg2a.
3.002.
cos ’2a+ctg -я+2а
=1.
Решение.
5
_1	(5 н (5
cos 2a+ctd -я+2а ctd -я-a
12	‘
4
1	.J 4я+я _ ] ]
-----+ ctfl---+ 2а -ct] cos2a 1 2 I
4л+л ------а
1 cos2a
I	л
+cts2tt+ —+2a 4	2
( л
•ctg я+ —a 4
1	. J K n I d n
-----—+ctfl —+2a *ctg —a l-tg* 2a \2 J \4
J + tg2a
l+tg2a 1-tg2 a
-tg2a
Я 1+tg-tga 4 tgj-tga 4
1-tg2 a J 1-tga
1+tg2 a 2tga 1 + tga l + tg2a-2tga 1+tga 1-tg2 a 1-tg2 a, 1-tga l-tg2a 1-tga l-2tga+tg2 a 1+tga _	(1-tga)2 1+tga
(1-tgaXl+tga) 1-tga (1-tgaXl+tga) 1-tga
Получили 1=1.
3.003.
cos(3n-2a)
. /5л
2 sin —+ a 4
( 5л = t® a---
4	4
Решение.
cos(3n-2a)
. . гГ5л 2sin —+a
4
-cos2a
i (i .
1—cos —+2a	1-cos
1 2
-cos 2a
4л+л _
----+2a
2
-cos2a
-cos2a
7C
1 —cos 2n+ —+ 2a 2
1-cos —+2a 2
-cos 2a
1+sin 2a
Получили tg а-
tg2a+ctg3p _ tg2a
3.004. ctg2a + tg3p tg3p
Решение.
sin 2a cos3P sin 2a sin 3p + cos 2acos 3p
tg2a + ctg3p _ cos 2a sin3P  ________cos 2a sin 3P_____
ctg 2a + tg 3P ~ cos 2a sin3P ~ cos 2a cos 3p+sin 2a sin 3p
sin 2a cos 3p	sin 2a cos 3P
_ sin 2a sin 3P 4- cos 2a cos 3P sin 2a cos 3P_ cos 2a sin 3P	cos 2a cos 3p + sin 2a sin 3P
= sin2acos3p = sin2a cos3p = .ctg3p = tg2a,_Ь = ^. cos 2a sin 3p cos 2a sin3p	tg3p tg3p
tg2a _ tg2a
Получили
3.005. cos a+cos 2a+cos 6a+cos 7a = 4 cos—cos—cos4a.
2	2
Решение.
cosa+cos2a+cos6a+cos7a = (cosa+cos7a)+(cos2a+cos6a)= =2cos4acos3a+2cos4acos2a=2cos4a(cos3a+cos2a)=
.	. . 5a	a.	a	5a	.
= 2cos4a • 2 cos— cos— = 4cos— cos—cos4a 2	2	2	2
„	. a 5a .	. a 5a .
Получили 4cos—cos—cos4a = 4cos —cos—cos4a.
3.006. sin 9а+sin 10а+sin 1 la+sin 12а=4 cos—cos a sin-.
2	2
Решение.
sin 9a+sin 10a +sinl la+sinl 2a =
= (sin9a+sinl2a)+ (sinlOa+sinl la)=
„ . 21a 3a ~ . 21a a „ . 21a ( 3a a
= 2sin--cos—+2sm---cos — = 2sin- cos —+cos—
22	22	2^2	2
- . 21a . a . a . 21a
= 2 sin-2cosacos—= 4cos—cosasin-.
2	2	2	2
Тождество доказано.
7a 2
3.007. cos2a -cos3a -cos4a+cos5a = -4sin—sinacos
2
Решение.
3a
(cos2a+cos5a)- (cos3a+cos4a)=
* 7a	3a	- 7a	a	, 7a (	3a
= 2 cos—cos--2 cos—cos— = 2 cos— cos—
2	2	2	2	2	2
a
—cos—
2
2
7a
a
„ 7a f _ .	.a]	..a. 7a
=2cos—• -2 sin asm— = -4sin—sinacos—.
2 I	2	2	2
2
2
Тождество доказано.
3.008. sin 4a - sin 5a - sin 6a+sin 7a = -4sin—sin asin	.
2	2
Решение.
sin4a+sin7a-(sin5a+sin6a)=
. . Ila 3a - . Ila a . . llaf 3a a
=2 sin—cos----2 sin—cos— = 2 sin— cos---cos—
2	2	2	2	2	2	2
_ . Ila ( - .	. a ]	, • a . .Ila
=2sm—• -2 sin asm— =-4sin—sinasin-—.
2	2 1	2	2
Тождество доказано.
3.009. cos a + sin a + cos За + sin За = 2>/2 cos a sin ~+2a ^4
Решение.
cos a + cos — a + cos 3a+cos — 3a
I2 J I2
я
4
я COS cos 4
+2cos —cos —3a
4	1^4
л
= 2cos —
4
я cos —a
4
f я
+ COS-----
4
За
л/2 (я '
= 2-----2c0s —2а cosa =
2
п
4
cosacosf --2а |=2>/2 cosacos -- — -2a j= 14	1241
= 2V2cosacos — - —+2a =2-72 cos a sin —+2a . 2	4	4
Тождество доказано.
„	- 8cos2 2a
3.010. tga+ctga+tg3a+ctg3a =------.
sin 6a Решение.
sina	cosa	sin3a	cos3a	sin2a+cos2a	sin23a+cos23a
------1- —.-1------1-----=---------------p-------------
cosa	sma	cos3a	sin3a sinacosa sin3aco$3a
= 1 + 1 = 2 + 2 = sinacosa sin3acos3a 2 sinacosa 2sin3acos3a
_ 2	2 _ 2sin6a+2sin2a _ 2(sin6a+sin2a) _
sin2a sin 6a sin2asin6a sin2asin6a
_ 2-2sin4acos2a _ 4sin4acos2a _ 4-2sin2acos2acos2a _
sin2asin6a	sin 2a sin 6a	sin2asin6a
_ 8 sin 2a cos2 2a _ 8 cos2 2a
sin2asin6a	sin6a
Тождество доказано.
3.011. (sina)* 1+(tga)1 =ctgy.
Решение.
(sina)-1 + (tga)1 = -Д- + —— = —J— sin a tga sina
1 sina cosa
1 cosa
-----1----- sin a sin a
1	»	2 « , n 2 O-
_ „„ l+2cos —1	2 cos — +cosa_ 2	_	2
sina - • a	a ~ . a	a
2	sin—cos—	2sin —cos—
2	2	2	2
a cos—
2	. a
---— = ctg—
.a 2 sm —
2
Тождество доказано.
3.012.
. л .
sm - + 3a
U J
l-sin(3a-n)
= ctg
5 3 -л+-а
4 2
Решение.
sin[^ + 3aj	cos|2-|a| Cos2 * — -sin2 —
12 J _ cos3a _ I 2 j _	2______2
l-sin(3a-n) l + sin3a . .	3
v 7	1 + sin 2--a	l + 2sin — cos —
I 2	2	2
(	За	. 3a Y	За	. За (	За	. 3a Y	За	. 3a
cos---sin— cos— + sin— cos-----sin— cos—+ sin —
I	2	2 I	2	2 J Д	2	2 1	2	2
2 3a . 2 За . За За	(	Y
cos y+sin — + 2sin — cos —	cos^ + sin^
За За .3a cos--sin— 1-tg—
2	2	2
За .За .3a cos — + sin— 1 + tg— 2	2	2
A п , я За 164 ~'84 '6T  _
л За (п 3a ,8r18T ,8k+T
За ж (5л За т]=с1<т+т}
Тождество доказано.
„	sin2a-sin3a + sm4a , ,
3.013. —---------------— = tg3a.
cos2a - cos 3a+cos4a
Решение.
(sin2a+sin4a)-sin3a _ 2 sin 3a cos a-sin 3a _ sin3a(2cosa-l)
(cos 2a+cos4a)- cos 3a 2cos3acosa-cos3a cos3a(2cosa-l)
sin 3a
= —i- = tg3a.
cos 3a
Тождество доказано.
3.014. 2 sin2 (Зл - 2a)cos2 (5 л+2a) = — -—sinf - л - 8a |. 4 4	12	1
Решение.
,	. 2 х 1-cosx
Применяя формулы понижения степени sin — = —-— и
2 X 1 + cosx
cos — = —-—, представляем левую часть в виде
2 (l-^-tofecostlte^a))_ 1 (1 __4q))(1 t+4a))=
= (1 - cos 4aXl+cos4a) = (1 - cos2 4a)= f 1 - ^+<^s^a
If, 1 1	o )
= — 1-------cos 8a =
2	2 2
1(1 1	_ 1 1 1 . (5л _ )
- T-Tcos8a =---siri ——8a .
2 2 2	4 4 12 I
Тождество доказано.
3.015. sin 2a(l+tg2a tg a)+ 1 + s'na = tg2a+tg2f — + — 1-sina	^4 2
Решение.
Обозначив
j ! sin2a sinal cos2a cosa I
X = sin2a(l + tg2a tg a)=sin2
_ sin2a(cos2acosa+sin2asina) cos 2a cosa
и применив формулу cos х cos j + sin xsin у = cos(x - у), представим это выражение в виде
sin 2а cos a sin 2а
X =----------=--------= tg2a.
cos2acosa cos2a
Пусть Y =
1+sina
1-sina
1+sinf 2-—|
V 2 J
l-sinf2-l
I 2J
Поскольку sin2x = 2sinxcosx,TO
--.a a occ . ? a - . a a 1-ь2 sin—cos— cos" —+ sin" —+2sin—cos —
=	2	2 _	2	2	2	2 _
1/4.a a ? a . 2 a . a a l-2sin—cos— cos" — + sm —2sin—cos—
2	2	2	2	2	2
a ( . a V ( a	a Y
cos—+sin — cos—4-sin —
2	2 J 2	2
COS----Sin—	7 Э
2	2)	\ z 2 7
Разделив числитель и знаменатель выражения в скобках на cos у * О
и применив формулу +	= tg(x + ^)} где у, х + у — + пп, п е Z,
1-tgxtg.y	2
запишем
°2 l-tg?
Тогда X + Y = tg2a + tg —+ — ^4 2
Тождество доказано.
3.016. l-sin4a+ctg
:os4a = 0.
Решение.
l-sin4a+cti
cos 4a =
(Зл ' cost — - 2a
= cos2 2a + sin2 2a - sin(2 • 2a)+
—7^.---r-cos(2-2a)=
sin----2a |
I4	J
Зл -	. 3л . -
cos—cos 2a + sin—sin 2a = cos* 2 2a - 2 sin 2a cos 2a+sin2 2a + —x4--------x
• Зя	_ 3л . „
sin—cos 2a - cos—sin 2a
4	4
x Los2 2a - sin2 2a)= (cos2a - sin 2a)2 + cos^a+s*n^a x '	cos2a+sin2a
x (cos 2a - sin2aXcos2a + sin 2a) = (cos 2a - sin 2a)2 -
(cos 2a - sin 2aXcos 2a - sin 2aXcos 2a + sin 2a) _
cos 2 a + sin2a
= (cos 2a-sin 2a)2 -(cos2a-sin2aX =0.
Тождество доказано.
,	•	«a 6a sin2a-4
3.017. sin —cos — =-----------cosa.
2	2	4
Решение.
Пусть X = I sin2 — I - cos2 — j
2	2 I
„	,	. 2 x 1-cosx
Используя формулы понижения степени sin	—-—
> X 1+cosx cos' — = —-—, получаем
Y_( 1-cosa Y (1+cosa V _ l-3cosa+3cos2 a-cos3 a
2 J2 J	8
l+3cosa + 3cos2a+cos3a 17 ,	-	3 \
--------------------= -1- 6cos a - 2 cos a )= 8-------------------8		’
2cosa/ ,	2 1 cosa/ , /. • 2
= —-— 3 - cos a3 -11 -sin aj)=
cosa/ , ,  2 \ = ——-l-3-l+sm a)
4
sin2 a-4 4
cosa.
Тождество доказано.
f 3	1
3.018. cos -rc + 4aj+sin(3n-8a)-sin(4K-12a)= = 4 cos 2a cos 4 a sin 6a.
Решение.
cos - л 4-4a j+ sin(3n - 8a)- sin(4л -12a)=
= sin 4a+sin 8a 4- sin 12a = 2 sin 6a cos 2a 4- 2 sin 6a cos 6a =
= 2 sin 6a(cos 2 a 4- cos 6a)=2 sin 6a • 2 cos4a cos 2a = = 4 cos 2acos 4a sin 6a.
Тождество доказано.
3.019.
cos -л-6а 4-sin(n4-4a)4-sin(3n-a)
___L?________z______________________
= tga.
Решение.
cosf ^-л-ба |4-sin(n4-4a)+sin(3n-a)	...
|^ 2___J ________________________ sin 6a-sm 4a 4-sin a
. (5 x /.	/ - \ cos6a4-cos4a4-cosa
sm -л4-6а 4-со8(4а-2л)4-со5(а4-2л)
_ 2 cos 5a sin a 4-sin a _ sina(2cos5a4-l) _ sina _tga 2cos5acosa4-cosa cos a(2 cos 5a 4-1) cosa
Тождество доказано.
l+ctg|2a-|n |ctg(\ + a I
3.020------1___2 ) k2_______I = 1 tg2a.
ctga + tga	2
Решение.
l+sin2asma cos2acosa+sin2asina l+tg2atga_ cos2acosa  ________cos2acosa_____
ctga+tga cosa sina	cos2 a+sin2 a
sina cosa	sinacosa
cos2acosa+sin2asina sinacosa _ cosasina cos 2a cos a cos2a+sin2a cos2a
2cosasina _ sin2a 2cos2a	2 cos 2a
= |tg2a.
Тождество доказано.
. ( • 14 ] . (	8 I A
3.021. sin a+sum gl +—k +sin а--л =0.
Решение.
. (14	) . (8	. (15л-л
sina+sin —л+а -sm -л-а = sin a+sin-----+a
13 J I3 J 1 3
. (9л-л	( л
-a =sma + sin 5л+ a—
-sin
л
3
3
-sin 3л- a+— 3
= sina-sii
n ]	л
a+— = sina-sinacos--+cosasin
3	3

л . n 1 . V3 1 . V3 -sinacos—cosasin—= sina—sina +—cosa—sina-----cos
3	3	2	2	2	2
= sina-sina = 0.
Тождество доказано.
3.022. ctg2 a-ctg2 [3 =
cos2 a - cos2 p sin2 asin2 p
Решение.
cos2 а _ cos2 P _ sin2 Pcos2 a + cos2 fl sin2 a _
sin2 a sin2p	sin2asin2p
_ (sin p cos a - cos fl sin aXsin fl cos a + cos Psin a) sin2asin2p
= sin(p-a)sin(p + a) = ‘-(cos2a-cos2p) sin2asin2p sin2asin2p
^-bcOS2a-l-2cOS2p + l) 2„ 2ft
_ 2 '	' _ cos a - cos p
sin2asin2p	sin2asin2p
Тождество доказано.
3.023. (cosa-cosp)2 +(sina-sinp)2 =4sin2 „A.
Решение.
cos2 a - 2 cos a cos p+cos2 P+sin2 a - 2 sin a sin P+sin2 P = = (cos2 a+sin2 a)+(cos2 p+sin2 p)-2(cosacosp + sinasinp)= =2-2cos(a-p)=2-2cos^2~^^=2-2^1-2sin2^y^^= =2-2 +4sin2 -	=4sin2 ——
2	2
Тождество доказано. (tga+cos”1 alcosa-ctga) . 3.024. /	~	ч )“ 1 *
(cosa+ctgaXtga-cos a)
Решение.
(sina 1 Y cosa^ / .v	4	-+--- cosa------
(tga+cos ajcosa -ctga) _ cosa cosa j______sina J _
(cos a+ctg a)(tg a - cos“l a)	f cos+ cosa Y s*na _ 1
sina cos a cosa, sina+1 (sina-l)cosa
__ cosa_____sina
cosa(sina+l) sina^T sina cosa
Тождество доказано.
3
— л-a 2
sin 4a	cos 2a
3.025. j+cos4a i+cos 2a
Решение.
2 sin 2a cos 2a cos 2a	2 sin 2a cos 2a cos 2a
l+2cos22a-l l+cos2a 2cos22a l+cos2a _ sin 2a cos 2a _ sin 2a
cos2a(l+cos2a) l+cos2a
Тождество доказано.
3.026. cos2(a-90°)+ctg2(a-270°)=	cos2 (a+180°)
Решение.
cos2 (a - 90°)+ ctg2 (a -270° )= sin2 a+tg2 a = sin2 a + S*P,a = cosa
_ sin2 a cos2 a+sin2 a _ sin2a(;os2a+l) _ (l - cos2 afa+cos2 a ”	2	~	2	2
cos a	cos a	cos a
l-cos4a 1	2	1	2/ , „„.1
=.---*— = —*-------cos a = —\ - cos la+180 I.
cos2 a cos a	sin2 |a+90° J
Тождество доказано.
3.027.
l-tg(90° +a)	tg(180° +a)+l
l+ctg(s60° - a) ctg(z70° -a)-l
Решение.
l-tg(90° +a) _ 1+ctga _ ^ + tga _ tga+1 _ tg(180° +a)+l l+ctg(160°-a) 1-ctga j______1 tga-1 ctg(270° -a)-l
tga
Тождество доказано.
tg2acos l2B-tg2Bcos *2a	/ o\
3.028. -------1-	-1------= tg(a-p).
cos 2a+cos 2P
Решение.
sin 2a	1 sin2p	1
tg2acos~12p-tg2pcos~12a _ cos2a cos2p cos2p cos2a _
cos"12a+cos"12p	1	+ 1
cos 2a cos2p
sin 2а-sin 2Р
_ cos2acos2p _ sin2a-sin2p _ 2cos(a+p)sin(a-p) _ cos2a+cos2p cos2a + cos2P 2 cos(a + p)cos(a - p) cos2acos2p
cos(a-P)
Тождество доказано.
(	Г 7 я	и
3.029. 2 sin-l4a-tg —+4a + tg(5re+a)=ctga.
Решение.
2
1	|
----------tg sin 4a----|
1
= 2| —-----tg Зл+ —+4a |+tga =2
I sin 4a 2	)
( 1	A
= 2 -----+ctg4a + tga = 2
I sin 4a	)
2(l+cos4a) „	*
sin 4a
+tga =
1 sin 4a
1 cos4a ------1----- sin 4a sm4a
	+ tga = —	+ tga = 2tga---------------tga
l-tg2a
= l-tg2a+tg2«=_l_ = ctga
tga tga
Iя Л I 1 .
-tg -+4a + tga =
Тождество доказано.
.->[15	* ]	2
3.030. sm vrt-2a Fcos l О	)
cos 4a
4i
Решение.
. 2 X 1-COSJC
Используя формулы понижения степени sm — = —-— и
2Х 1 + COSX cos — =-------
2	2
, представляем левую часть равенства в виде
Тождество доказано.
3.031. (cos a-cos
рУ -(sin a-sin
P J2 = -4 sin2	& cos(a + p).
Решение.
(cos a - cos p)2"- (sin a - sin p)2 =
= cos2 a - 2 cos acos p+cos2 p - sin2 a+2 sin asin p - sin2 p =
= (cos2 a-sin2 a)+ (cos2 p-sin2 p)-2(cosacosp-sinasinp)=
= cos2a+cos2p~2cos(a+p)=
=2 cos(a+p)cos(a - p) - 2 cos(a + P)=
/	/ ot —В
= 2 cos(a+pXcos(a - p) -1) = 2 cos(a + PI cos 2 • p
-1
= 2 cos(a+P П - 2 sinI 2 * —-11=-4 sin2 a cos(a + p).
Тождество доказано.
3.032. sin2
fZl-2a'|_5tozf»!'-2aL
I8 J I8 J
sin 4a
V2
Решение.
.	( In . ]
1-cos-----4a
I 4	)
2
Г8л-л . ---------4a
4--------
2
cos
£______
2
( 9л 1-cos------4a
[ 4
2
(8л+л . cos------4a
1 I 4
- + —----------
2	2
( Я cos 2П - — + 4a Гн
2
i-> I Л Л 2л + —4a
I4 *
2
л
л
1	( (n . }\  L. (n .
= cos 2л + —4a -cos 2л- —+4a 2
4
4
1 (	(n , A (n .
- cos — 4a - cos — + 4a 2	4	4
-2sin^sin(-4a)
4
V2 . л sin 4a
=—sin 4a = —t=-
2 Jl
Тождество доказано.
3.033. cos4a-sin4actg2a = cos2a-2cos2 a.
Решение.
cos4a - sin4actg2a = cos4a - sin4a •
cos2a sin2a
_ sin2acos4ot-cos2ctsin4a sin(-2a) _ - sin2a sin2a	sina sin2a
= -1 = 2 cos2 a -1 - 2 cos2 a = cos2a - 2 cos2 a.
Тождество доказано.
• a
a^  г( In a A sm2
3.034. sin2 — + — -sm —+— =—7^-I 8 4 I I 8 4 I
Решение.
1
2
„ f a я cos 2я+--------
2 4
_ Ia K
-cod 2n+\ — + —
I 2 4
2 2
I a n ] (an cos-------cos —+ —
I 2 -4 I 2 4
If a n . a . n	a я. a. я
- cos—cos—+sin—sin—cos—cos—+sin — sin— 2	24	24	24	24
. a
i	~	-	/o	^sin —
1	* .	a	.	я	v2	.	a о
= --2sin—sin—=—sin—= —=£-.
2	2	4	2	2	^2
Тождество доказано.
3.035. cos4atg2a-sin4a= 2*8?. . tg2a-l
Решение. . sin2a . . sin2acos4a-cos2asin4a cos4a-------sin4a =-------:-------------
cos2a	cos2a
и
sin(-2a) sin2a x _
= —i=-------------= - tg2a =
cos2a cos2a
Тождество доказано.
2tga tg2a-l
3.036. sin2 2a-cos| — -2a pinf2a-— |= i 4 3 Г 6	4
Решение.
sin2 2a-co!
l-cos4a 1 . (. л ----------sin 4a-—
2	2 I 2
1 . n	1	cos4a	1	. (л	. ) 1
—sin— =--------+ -sin — 4a —
2	6	2	2	2	2
Тождество доказано.
1 _ 1 cos4a cos4a _ 1
4~4	2~+~~2	4
2
„	-2	I Л I I Л 11
3.037. sin a+cos ---a fcosl j+a = д-Решение.
Используя формулы
. 2 х 1-cosx sin — =-------
2	2
cos х cos у = у (cos(x - у)+ cos (* + >0), представляем левую часть равенства в виде
l-cos2a if - 2л ) 1 cos2a cos2a 1 1 --  +- cos2a+cos— =-  — + —  - = -
2	2 •	3	22	244
2
Тождество доказано.
tg3a
3.038. tg23a_j
1-ctg2 3a ctg3a
Решение.
tg3a 1-ctg2 3a _ tg3a________tg23a
tg23a-l ctg3a tg23a-l _J_ tg3c
_ tg3a tg23a-l t . = tg3a tg23a-l tg23a-l tg23a tg23a-l tg3a
Тождество доказано.
3.039. cos4a-sin4actg2a = -l.
Решение.	‘
cos4a-sin4actg2a = cos4a-sin4a-	— =
sin 2 a
_ sin2acos4a-cos2asin4a _ sin(-2a) _ -sin 2a _
sin 2a	sin2a	sin 2 a
Тождество доказано.
3.040.
1-cos4a ! 1 +cos4a cos-2 2a-1 sin-2 2a-1
Решение.
l-cos4a l+cos4a l-cos4a l+cos4a
---15-----'----15----=---i------'----i-----=
cos 2a-l ‘ sin 2a-l 1 j 1 j cos2 2a sin2 2a
_ (l-cos4a)cos2 2a (l+cos4a)sin22a _ (l-cos4a)cos22a
1-cos2 2a	1-sin2 2a	sin2 2a
(l+cos4a)sin22a _ (1 - (1 - sin2 2a))cos2 2a + (1+2 cos2 2a - l)sin2 2a cos2 2a	sin2 2a	cos2 2a
2sin22acos22a 2cos22asin22a *	• 2->
=-------j------+---------5------= 2 cos 2a+2 sin 2a =
sinz 2a	cos 2a
=2(:os2 2a+sin2 2a)= 2.
Тождество доказано.
3.041.
tga-cos *a cosa-ctga
= tgacos 'a.
Решение.
sina 1	sina-1
_j	------ — ——	
tga-cos	a _ cosa	cosa _ cosa
cosa-ctga	cosa	cosa	cosa(sina-'TJ
sina	sina
sin a-1	sina	sina sina 1	_]
=------------r-------r =---------=-----------= tga cos a.
cosa cosa(sina-l) cosa cosa cosa cosa
Тождество доказано.
3.042. cos2(45° - a)-cos2 (б0° + a)-cos75°sin(75° -2a)=sin2a.
Решение.
Используя формулы
?x 1 + cosx
cos — =------
2	2
sin xcos у = ~ (sin(x - j>)+ sin(x + >>)),
представляем левую часть равенства в виде
l + cos(90°-2a) l + costao0 +2a) 1/. / ~ \ • lien* о
-----1----------------------*--|sm(-2a)+sin|J50 -2a))=
= — (1 + cos(90° - 2a)-1 - cos(l 20° + 2a)+ sin 2a - sin (l 50° - 2a)).
Так как
cos(90° -2a)=sin2a, cos(l20e +2a)=cosl20°cos2a-sinl20°sin2a =
= —cos2a-----sin2a
2	2
и
sin(l50° -2a)=sinl50°cos2a-cosl50°sin2a = -cos2a +—sin2a , v 7	2	2
TO
2
sin 2a + - cos2a +—sin 2a+sin 2a—cos 2a-sin 2a
2	2	2	2
= — - 2sin2a = sin2a. 2
Тождество доказано.
l-2sm2a 1-tga
3.043.	= ;—— •
l + sin2a 1 + tga
Решение.
Используя формулы l-2sin2x = cos2x, sin2x+cos2x = l
и
sin2x = 2sinxcosx, представляем левую часть равенства в виде
____________cos 2a_______ cos2a
cos2 a+sin2 a+2 sin acos a (cos a+sin a)2
Применяя формулу cos2x = cos2 x - sin2 x, имеем
%. _ cos2 a-sin2 a _ (cosa+sinaXcosa-sina) _ cosa-sin a
(cosa+sina)2 (cosa+sina)2 cosa+sina
Разделив числитель и знаменатель этой дроби на cos a * 0, получи
y l-tga
1 + tga'
Тождество доказано.
sin2a+sin5a-sin3a - .
3 044. ------------;--= 2sma.
cosa+i-2sin22a
Решение.
sin2a+(sin5a - sin3a) _ 2sin'acosa+2cos4asina cosa+ |)-2 sin2 2a)	cosa+cos4a
_ 2sina(cosa+cos4a) _
cosa+cos 4a
Тождество доказано.
ctg22a-l -	. a о
3 045 —---------cos8actg4a = sin8a.
2ctg2a
Решение.
ctg2 2a 1	_ tg 2a-----cos8actg4a =
2 ctg 2 a	2
tg2a
l-tg22a tg2a o , . l-tg22a o .
= —г------=-----cos8actg4a = — ------cos8actg4a =
tg22a 2	2tg2a
= —----cos8actg4a = — ---cos8a —-
tg4a	tg4a tg4a tg4a
= Ц-  (1 -cosSa) =	= sinta
l-cos8a	l-cos8a
cos 8a
Тождество доказано.
1
3.046.
cos4a+l 1 . . ----------=—sin4a. ctga-tga 2
Решение.
cos4a+l _ cos4a + l _ cos4a + l _ (cos4a+l)sinacosa _ ctga-tga cosa sina cos2 a-sin2 a cos2 a-sin2 a
sina cosa	sin acos a
_ (cos4a +1)2sinacosa _ (cos4a+l)sin2a _ cos4a + l	? _
2(cos2a-sin2a)	2 cos 2a	2
cos4a + l sin 4a	sin 4a 1 . .
=---------------— = —-— = -sin 4a.
2	l + cos4a	2	2
Тождество доказано.
3.047. c<g(l5-+2«)=-^. l+sin4a
Решение.
Пусть X = ctg(l5° +2а)=
1
„	(	\ ,	X 1-cosx
Применяя к выражению tg(45° +2a) формулу tg—= $	, где
х*л+2ял, ne Z, имеем
x ________1_____ _ sin(9O0 +4a) _ cos 4a
l-cos(90° +4a) l-cos(90° +4a) 1 +sin 4a
sin(90° +4a)
Тождество доказано.
(sin* 1 * 2 a+tg2 a+l)(cos2 a-ctg2 a+1 (cos2 a+ctg2 a+ljsin2 a+tg2 a-1
Решение.
3.048.
=1.
iin2 a+tg2 a+lkos2 a-ctg2 a+l)_ x>s2 a+ctg2 a+ljsin2 a+tg2 a-1)
Y	2
,,	2 cos a
+1 cos a------5—
sin a
2
. 2 sin a sin a+—5— cos a
[2 cos2 a . I . 2 sin" a .
cos a+—j—+1 sin a+—,----1
sin a I cos a
cos2 asin2 a+sin2 a+cos2 a sin2 acos2 a-cos2 a+sin2 a
•2
• 2
• 2
________cos2 a_________________sin2 a_______i
.2 о	2	. 2	2*2	*2	2	*'
sm acos a+cos a+sm a cos asm a+sin a-cos a
cos2 a
sin2 a
Тождество доказано.
3.049.
ftga+^ctga sina+cosa
\2
2 sin 2a
Решение.
sina+cosa
sin2 a+2sinacosa+cos2 a
sina
cosa
__ cosa sing sin2 a+2sinacosa+cos2 a
1	2
sin2 a+2sinacosa+cos2 a
________sinacosa_________ sin2 a+2sinacosa+cos2 a
2
sin 2a’
sinacosa 2sinacosa
Тождество доказано.
3.050. sin2(45° + a)-sin2(30° -a)-sinl5°cos(150 +2a)=sin2a. Решение.
sin2(45° + a)-sin2^0° -a)-sinl5°cos^5° +2a)=
l-cos(90o + 2a) l-cos(60e-2a) 1/. / ~ \ . /,л. ~ \\
=-------------1-----(sin(-2a)+sin(30 +2a>
cos(90°+2a)	cos(60° -2a) sin2a sinfco*+2a)_
”2	2 V 2	+ 2	2
= ^(-cos(90° +2a)+cos(60e -2a)+sin2a-sin^0° +2a))=
= i(sin2a+cos60ecos2a + sin60°sin2a+sin2a-sin30’cos2a-cos30’sin2a)=
2V	7
1C. „	1	о Vi . „ 1	л
2l	2	2	2	2 I
1	„ . „
= -’2sin2a = sin2a.
2
Тождество доказано.
3.051. sin6 a + cos6 a + 3sin2 acos2 a = 1.
Решение.
sin6a+cos6a + 3sin2 acos2 a =
= (йп2аУ +(:os2 a/ +3sin2 acos2 a =
= (sin2 a + cos2 a)(sin4 a-sin2 acos2 a+cos4 a)+3sin2 acos2 a =
= ((sin4 a + cos4 a)- sin2 acos2 a)+ 3 sin2 acos2 a =
= ^(sin2 a + cos2 a)2 -2sin2 acos2 a^-sin2 acos2 a^+3sin2 acos2 a =
= (l - 3sin2 acos2 a)+ 3 sin2 acos2 a = 1.
Тождество доказано.
tg3a _ 3-tg2a
3-052* tga l-3tg2a
Решение.
tg2a + tga
tg3a _ tg(2a + a) _ l-tg2atga _ tg2a + tga _
tga tga tga (l-tg2atga)tga
2tgg_+tga 1-tg a
1—tga tga
2
tga ----2“
(1-tg a
f, 2tg2a '
1-tg2 a
tga
2 =
2+l-tg2a
1-tg2a _ 3-tg2a l-tg2a-2tg2a 1 - 3 tg2 a
1-tg2 a
Тождество доказано.
 (	\ • t( x	• 2 x
3.053. sinasin(x-a)+sin l у-a l=sin —.
Решение.
Используя формулы
sin A sin В = j(cos(^4 - /?)- cos(z4+В))
. э A 1-cosJ sin — =-------,
2	2
представляем левую часть равенства в виде
.. 1 / м \	\ l-cos(x-2a) cos(x-2a) cosx
X = - (cos(2a - x)- cosx)+-------= — -------------+
2	2	2	2
. 1 cos(x-2a) lz,	\ if, Л, xYl
2	2	2V	7	\ 2JJ
ifi fi • 2 * if. i . a • 2 X 'I 1 A . 2 X . 2 X = - 1- l-2sm — =— l-l+2sin — = — -2sin — = sin —.
• 2^	2JJ 2l	2 J 2	2	2
Тождество доказано.
3.054. cos2a-sin22a = cos2acos2a-2sin2acos2a. Решение.
cos2 a - sin2 2a = cos2 a - (sin2a)2 = cos2 a - (2 sin acosa)2 = =cos2 a-4sin2 acos2 a = cos2 all-4 sin2 a)=
= cos2 a(l-2sin2 a-2 sin2 a)=cos2 a(cos2a-2sin2 a = cos2 acos2a-2sin2 acos2 a.
Тождество доказано.
3.055. S--n?a —2(cos2a + cos4a + cos6a)-1 = 0.
sina
Решение.
S*n?a - 2(cos2a+ cos4a+cos6a) -1 = sina
sin(6a+a) ~ n ~	.
= — ------- - 2 cos2a - 2 cos 4a - 2 cos 6a -1 =
sina
_ ( sin(6a+a) _ 2 cos 6a 1- 2 cos2a - 2 cos4a -1 =
I sina	J
pin6acosa+co^sina_2cos6aL2cos2a_2cos4a_1 = sina	)
sin6acosa+cos6asina-2cos6asina ~	_ A .
----------------------------2 cos2a - 2 cos4a -1 =
sina sin6acosa-cos6asina _ n n A . ---------------------2cos2a-2cos4a -1 =
sina
s*n5.a - 2 cos 4a 1- 2 cos2a -1 = ( S^-a- - 2 cos4a 1 - 2 cos2a -1 = sina	)	I sina	)
sin4acosa + cos4asina	. A _	~	.
---------------------2cos4a |-2cos2a-l =
sina	J
sin4acosa+cos4asina-2cos4asina л ~	,
----------------------------------2cos2a-l =
sina
sin4acosa-cos4asina n n . sin3a n ~	.
=---------------------2 cos2a -1 =-----2 cos2a -1 =
sina	sina
fsin(2a + a) _	~	. fsin2acosa+cos2asina -	.
= 1 —ь---^-2cos2a 1-1 = 1---------------------2cos2a 1-1 =
sina	)	sina	j
_ sin2acosa + cos2asina-2cos2asina _ sin2acosa-cos2asina _
sina
sina
sina
Тождество доказано.
3.056. sin2 a - sin2 P = sin(a+p)sin(a - p).
Решение.
sin2 a-sin2 p = (sina-sinpXsina + sinp)=
. a+p . a-p * .a+p a-p = 2 cos--- sin---- • 2 sin-- cos--- =
2	2	2	2
C . a+P a+pY_ . a-p a-P'i = 2sin----cos----- 2sin----cos-—- =
I 2	2 1 2	2 J
= sin(a+p)sin(a - p).
Тождество доказано.
3.057. cos4 x+sin2 у +—sin2 2x -1 = sin(y+x)sin(y - x). 4
Решение.
cos4 x+sin2 y+^sin22x-l = cos4 x + sin2 y+i(sin2x)2 -1 =
= cos4x + sin2y+^(2sinxcosx)2 -1 =
4	. 2	1 j • 2	2	«
= cos x + sm y + ~4sin xcos x-l =
4
= cos4 x + sin2 у + sin2 xcos2 x -1 =
= ^os4 x+sin2 xcos2 x)+sin2 y-1 =
= cos2 x(cos2 x + sin2 x)— (1 - sin2 y)=
= COS2 X -cos2 у = (cOSX -COSyXcOSX + COSy)=
_ . x + y . x-y - x + y x-y
= -2sin---—sin--— 2cos----—cos----— =
2	2	2	2
. x + y	Х + уУл • X-y	X-y^
= - 2sin---cos _ z 2sin-----—cos---— =
I 2	2 A 2	2 J
- -sin(x + y)sin(x - y)=sin(x + y)sin(y - x).
Тождество доказано.
3.058.
ctg ^ + a tg(2n-2a)
<3
ctg -л-2а -tga
-2>/3sin —+a sinl —-a = 2sin|2a-—
.4	4	3
4
4
Решение.
Используя формулу sin xsinу = ±(cos(x- у)-cos(x + у)) и формулы приведения, перепишем левую часть равенства в виде
tgatg2a tg2a-tga
,	2 tga
tga-;;-%—
T cos2a-cos—|= *£аЧ»2а—yf^cos2a = 2 J tg2a-tga 2tg2a
/з cos 2a =----J—tg a _—_ cos 2a _
1-tg2 а
2 tga t
-—5-----tga
1-tg a
21 a	(1	л/з	A
= ——-J? cos 2a = sin 2a--Уз cos 2a = 2 —sin2a---cos2a =
l + tg2a	12	2
—	* /4 7C	7C I I 7C
= 2 sin2acos—cos2asin — =2sin 2a —
3	3	3
Тождество доказано.
л+а
3.059.
tg2a-tga
+2coi
Решение.
+а
-2а .
Используя формулу cos х cos у = (cos(x - у)+cos(x + у)) и формулы приведения, перепишем левую часть равенства в виде
tg2a(-tga) * я tg2atga , X =	\—2—L+cos 2a+cos — = ——--—+cos 2a =
tg2a-tga	2 tga-tg2a
2tga 4
—4~~ tga
= ——я------+ cos 2a =-+ cos 2a = - sin 2a+cos 2a =
tga.2^_ l+tg2a
1-tg a
= cos 2a - sin 2a = cos 2a-cos —2a =-2sin —sin 2a —
2 I 4 I 4
•2t-
л sin —2а
4
4
Тождество доказано.
~	.	-1. cos2a+sin2a
3.060. tg4a+cos 4a =----------
cos2a-sin2a
Решение.
A -i л sm4a 1	l + sin4a
tg4a+cos 4a =----— +--------=---------=
cos4a cos4a * cos4a ________(cos2a+sin2a)2________ cos2a+sin2a (cos2a+sin 2aXcos2a - sin2a) cos2a - sin 2a
Тождество доказано.
lga + t^+l8«Zl|P+2tg!„ = 2C0S-2a. tg(a+P) tgfa-Й
Решение.
3.061.
~	.	sin(x + у)	* sin(x-y)
Так как tgx + tg.y =—*—— и tgx-tgy =—*—— , где cos х cos у	cosxcosy
л	_
х, у * у + ли, п € Z, то левую часть равенства можно записать в виде
sin(a + р) sin(a-p)
cosacosB+ coSacosB +2tg2a = cos(a + p) + cos(a - p)	2 ц fa
sin(a+P) sm(a~P)	cosacosp cosacosp
cos(a + p) cos(a-p)
cos(a + p)+cos(a-p) _ 2 2cosacosp _ 2 Л . 2 \ = —ч----r/--2—+ 21g a =------------ + 2tga = 2ll + tga)
cos a cos p	cos a cos p
2 о -i
= —5—=2 cos a.
cos a
Тождество доказано.
3.062. 1-—sin22a + cos2a = cos2 a + cos4 a. 4
Решение.
1 - sin2 2a + cos2a = 1 - (sin2a)2 + cos2a =
= 1 - - (2 sinacosa)2 + cos2 a - sin2 a = 1 - - • 4sin2 acos2 a+ 4	4
+cos2 a - sin2 a = 1+cos2 a - sin2 a(l+cos2 a)=
= +cos2 a)(l - sin2 a)= (1 + cos2 ajcos2 a = cos2 a+cos4 a.
Тождество доказано.
Упростить выражения (3.063—3.113):
»1 • (« ~ 1 2а . 2 а
3.063. l-sin—Зя -cos — +sin —.
I2 J 4	4
Решение.
1 . f а . А 2 а( • 2 а 1-sin—Зя -cos — + sin — 12	2	2
. .К а 1	2 а . 2 а
= 1 + 81ПЗя— -cos —+ sin —
12	4	4
. 2 а . а . 2 а .(-(Х]-.2<х^-а а = 2sin — + sin— = 2sin —+sin 2 — =2sin —+2sin—cos—=
4	2	4	4 J 4	44
- . af . a	al	. af . a
= 2sin— sin—+ cos— = 2sin— sin—4-si
4	4	4	4	4
x	/	X
. a _ . я f а я 1	~ /т . a fa я я
= 2sin—-2 sin—cos-=2v2 sin—cos — 4--
4	4144	41442
_ o /т . a . f а+я Ответ: 2V2sm—sin —-—
4 I 4
l+sin2a
+cos2 a.
3.064.
cos(2a-2n)ctg
Решение.
2	l + sin2a
—r + cos a =---------------у--------------
cos(2a - 2rc)ctgl a - - л j	cos(2 л - 2al - ctgf n - a
l + sin2a
+ cos2a =
______1+sin 2a____
_	( 4л+л
-cos2actd-------a
4
1+sin 2a
2	i+sinza	2
+ cos a =---------—---------rr+cos a =
M .	Л	I I
cos2actg Л+ —a
4 J
•	2	2
l + sin2a	2 cos a+sin a+2sinacosa 2
--------7----г+cos a =--------------7-----x---+ cos a =
~ J я cos2actd —a
1 4
CO!
cos2a —
• i л sin —a
14
- (cosa + sin a^
-a
+ cos2a =
n i я I cosOcos —a
14 j
- (cos a+sin a)2 ~(cosa-sina)
+ cos2 a = - 1+cos2 a = (cos a + sin aXcos a - sin a)- — (cos a+sin a)
5 a—л
4
-sin2 a.
Ответ: —sin2 a.
Решение.
2 a cos —
. 4
• 2 a sin —
4
2 3a cos —
4
3a 4
2 a a cos —cos— 4	2
sin2
3a ~4
. ? 3a ,	2 3a
sin----1-cos —
4	4 a
----“-------—’COS—
. 2 3a	2
sin — ______________4__________
. 2 3a 2 a 2 3a . 2 « sin —cos —cos —sm —
4	4	4	4
2 a cos —
4
. 2 a • 2 3a sm — sin —
4	4
•2^.2 sin —sin
4
3a 4
. 2 3a 2 a 2 3a . 2 a sm —cos —cos —sm —
4	4	4	4
2 a a . 2 « cos — cos—sm —
4	2	4
. 3a a 3a . a
sm—cos—cos—sm—
4	4	4	4
га	a.2« л	• 2 a	2«	a	. 2 a	a
cos —cos—sm — 4sm —cos —cos— sm —cos—
4	2	4 =	4	4	2 =	2	2	=
sin—sina 2
4sin—sina	4sin—sina
2	2
.a	a » . a	a
sm—cos— 2 sin—cos— • „	,
2	2 _	2	2 _ sma _ £
4sina	8 sin a	8sina 8
Ответ: -• О
. a	a	a
sin—ctg—cos— 4	о	4
a A a —cos—ctg—
a . a
-sin— 4
a cos— . a 8	a
sm-------o__cos_
4 . a	4
sm— 8 a cos— a я . a cos------— 4-sin —
‘ . a 4 sm—
8
4
.a a	a . a
sm—cos-cos—sm—
4	8	4	8
.a	. a a a . a
sm—	sm—cos—cos—sm—
8=	4	8	4	8	_
a	a.	a.	a	a	a.	a.	a
cos—cos — 4- sm—sm —	cos— cos— + sm—sm—
4	8	4	8	4	8	4	8
. a sm—
8
Ответ: “tg—.
о
3.067. cosa^+cos *a+tga)^-cos *a+ tga) Решение.
cos a^ 4-cos”1
(л 1	sinaYi 1	sina
I	cosa cosa 1	cosa cosa
cosa4-14-sina cosa-14-sina = cosa---------------------------=
cosa	cosa
((cosa+sina)+lX(cosa+sina)-l)_ (cosa + sina)2 -1 cosa	cosa
cos2 a+2sinacosa+sin2a-l 2sinacosa . 	=	= 2sina. cosa-------------------------cosa
Ответ: 2 sin a.
3.068. sin2 a(l+sin"1 a+ctg afa - sin"1 a+ctg a Решение.
sin2
. 2 (i 1 cosaYi 1 cosa
= sina 1+-—+------11-----+----
sina sinaj^ sina sina
. 2 sina+l+cosa sina-l+cosa = sin a-----------------------=
sina	sina
= ((sina+cosa)+lX(sina+cosa)-l)=(sina+cosa)2 -1 = = sin2 a+2 sin acos a+cos2 a -1 = 2 sin acos a = sin 2a.
Ответ: sin 2a.
l-cos(8a-~3rc) 3069‘ tg2a~-ctg2a
Решение.
l-cos(8a-3ft)_ l-cos(3it-8a) _ (l-cos(3w-8a))sin2acos2a
tg2a-ctg2a ~ sin2a cos2a ~	sin2 2a-cos2 2a
cos2a sin2a
_ (l-cos(3re-8a))2sin2acos2a _ (l+cos8a)sin4a _
2 (cos2 2a-sin2 2a)	2cos4a
_ (l+2cos2 4a-l)sin4a _ 2cos24asin4a _ -2sin4acos4a _ 2cos4a	2cos4a	2
_ sin 8a
“	2~
л sin 8a
Ответ:------—
Решение.
1 f 1	Vai.al.a	l.a
= - -+cosa sm—= — sm—+—sm—cosa = —sm—+
2^2	J 2 4 2 2 2	42
l(.( a} . 3^1. a l.a 1.3	1.3
+ — sm— +sin-a =—sin-sm —+ -sin-a = -sin-a.
4^	2 J 2J4	24	24	2	4	2
1 . 3 Ответ: —sin—a.
3.071. sin2(j+2pj-sin2^y-2p).
Решение.
sin2f «+2B)-sm2f“-2pl= l-^(a+4p)_l-coS(a-4p) =
^2 J 1^2	2	2
. 1 _cos(a+4p)_ 1 cos(a-4p) _ 1 ( ( _4p)_cos((I +4₽))= 2	2	2	2	2
= -sin asin(- 4p)=sin asin4p.
Ответ: sin a sin 4₽.
cos”12x + sin 2x tg2x
3.072. l+cos4x
1
л . 21 4snr —x
4
— x
Решение.
cos l2x + sin2xtg2x l+cos4x
л . 2 П 1 | Я 4 sin —x ctfl —x
4 И4
1
1	. _ sin2x
------+sin 2x_ cos2x-cos2x
l+cos4x
1 + sin1 2 2x cos2x l+cos4x
l+sin22x cos2x(l+cos4x)
1__________l+sin22x ,	1
cos2x(l+2 cos2 2x -1) 2cos2x
4 J
l+sin22x 1	_ 1+sin2 2x+cos22x _ 1 + 1 _
2cos32x 2cos2x 2cos32x 2cos32x
-----,— = —т— = cos-3 2x.
2 cos 2x cos 2x
Ответ: cos 3 2x.
3.073. cos2((x+2p)+sin2(a-2p)-l.
Решение.
cos2 (a+2p)+ sin2 (a - 2p)-1 = ^+cos(^a+4P)+ t l-cos(2cx-4p)	1- cos(2a+4p) [ 1 cos(2a-4p)
+	2	2+	2	+2	2
= i(cos(2a+4p)-cos(2a-4p))= -sin2asin4p.
Ответ: — sin2asin4p.
3.074. sin2 (a + 2p)+sin2(a-2p)-l.
Решение.
sin2 (a+2p)+sin2 (a - 2p)-1 = * cos(2(X + 4p) +
l-cos(2ot-4p) _ । _ X _ cos(2a+4p)	_ cos(2a-4p)
+	2	2	2	+2	2
= - ^ (cos(2a+4p)+cos(2a -4p))=~ • 2 cos2acos4p = -cos2a cos4p.
Ответ: -cos2acos4p.
3.075. (cosa-cos2p)2 + (sina+sin2p)2.
Решение.
(cosa-cos2p)r+(sina+sin2p)2 =
= cos2 a-2cosacos2p+cos2 2p+sin2 a+2 sin a sin 2p +sin2 2p =
= (cos2 a + sin2 a)+ (:os2 2p+sin2 2p)-2(cosacos2p-sinasin2p)=
= 2 - 2(cos a cos 2p - sin a sin 2p)=2 - 2 cos(a+2p)=
= 2-2fl-2sin2^^l 2
= 2-2cosf2-^&> \ 2 >
= 4sin2^. 2
A . 2 a + 2p Ответ: 4sm —-—.
2
(1 - cos2a)cos(450 +2a)
3*076»	2 л . >
2sin 2a-sin4a
Решение.
= 2-2+4sin2	=
2
(l-cos2a)cos(45°+2a)	a) 22 fcoS2tt-s,n2а)
2sin2 2a-sin4a	2sin2 2a-2sin2acos2a
_ 41 sin2 a(cos2a - sin2a) _ 41 sin2 a _ 72 sin2 a	72 sin a
-2sin2a(cos2a-sin2a) -2 sin 2a 4 sin a cos a	4 cos a
V2 Ответ:-----tga.
,	2(3	(Х^	2^11
3.077. cos -я— -cos — л+ —
I8 4J I8 4)
Решение.
_	-J2 . а
Ответ: -—sin—. 2	2
3.078. ctg 45° -у +ctg 135° -у
Решение.
Ответ: 2tga.
3.079.
l+ctg2actga tga+ctga
Решение.
U^-'-elga l+ctg2actga _ 2ctga__________	2	_ 1+ctg a x
tga+ctga " L+Ctga	1+ctg* 2 a	2
ctga	ctg a
y ctga	ctga
l+ctg2a 2
ctga Ответ: ——•
2
_ cos ma- cos na
3.080. --------:---•
sinna-sinzna
Решение.
—2 sin---asin-----о
cos ma-cos ла _ cos ma-cos ла _2 2
sin ла-sin ma	sin ma-sin ла	™ + л -.т-л
2 cos--asm--------a
2	2
. т + л sin------a
2
т + л cos------a
2
ж т + л =tg—
a.
Ответ: tg
т + л ------a.
. of	3ft | •	2 х I Л	I	-'ll Л
3.081. sinz a---(l-tgza)tg — + a cos —a
\	2 )	\4	/	\4
Решение.
. 21	3л ]z, A 2	| Л	|	-21 Л I
sin a-----1(1 — tg a)tg —+ a cos —a =
V	2 J	14	у 147
1
' /a \A2	(	\
. I J I /,	2 x I Я I
sin —л —a (l-tga)tg — + a •
12	J)	14	J 2(n
> 4	7	4	z cos —-a
14
x 1-cos b^ + 2a
1-cos2a ]	^2 J ___________1_____
14-cos2aj . (л ~ A . , (n ' y sin — + 2a 1 + cos — 2a
12	J l<2	)
_l + cos2a l + cos2a-l + cos2a l + sin2a 2
2	1 +cos 2a cos 2a 1 +sin 2a
Ответ'. 2.
3.082. 1-
Решение.
	1 i 1 j 1 j	cos 2 a !_________________________________________1	! t 1 cos2a + l ~ cos2a+l
-cos 2a cos 2a cos 2a
cos2a4-1-cos2a _	1	_	1	_	1
cos2a4-l cos2a + l 2cos2a-14-l 2cos2a
1
Ответ :---ч—
2 cos a
cos 1 a+cos-1 В
3.083. -----ift . й--— •
tgacos p+tgpcos a
Решение.
1	1	cosa+cosp
cos-1 a+cos-1 p ,  ____cosa cosp_______ cosacosp
tgacos-1 P+tgpcos-1 a " sina 1	sinP 1 sin a+sin p
cosa cosp cosp cosa	cosacosp
a+p	a-p	a+p
cosa+cosp	2cos-^cos^	cos^ a+p
sina+sinp	^„a+P^a^P	sin«+P	Ctg 2 ’
2	2	2
_	. a+P
Ответ: ctg—
3.084.
Решение.
(3	A	3( л	A
tg -л-a +tg3 -+a ___Lz----I----kr--L
.3^5	A	t (3
ctg -л-a +ct81 2 Л+а ctga-ctg3a
ctg a-ctg3 a ctg3
3 я
ctg 2л+ —a -tga
(4л+я	A t
_ ctga-ctg3 a _ tg3a-tga
ctga-ctg3a _
1______1_“
ctg3 a ctga
л
2
, ,g ^ = ctg4a. 1-ctg2 a
ctg3 a
1
3.085. 1-
Решение.
, • -п л 1-sin —+а
2
cosa-1
• (л sm] - + а
V
cosa-1 cosa-1
cosa-1 l-2sin2 —-1 2sin2 —
2	2
Ответ: 0,5 sin
l-tg(%-2a)tga
3.086. ~7j-----'
td г л-а +tga V )
Решение.
(	\	1+ 2t^ ~tga
l-tg(re-2a)tga _ l+tg2atga _ 1-tg a _ . (3	A 4	ctga + tga	1 ..ял,
tg -я-а +tga	&	----+tga
\2	)	tga
l-tg2a+2tg2a
- l~tg2 a _ l+tg2a tga _ tga _ 2 tga l+tg2a 1-tg2a l+tg2a 1-tg2a 2^1-tg2a)
tga
= 1. 2te_cL- = ltle2a = ^ 2 l-tg2a 2 8	2 ’
tg2a Ответ: ——•
3.087.
Решение.
sin2 а	. ?	sin4 а
tg asm a	Cos2a	CpS2a
tg2a-sin2a sin2 a . 2 sin2 all-cos2 a)
cos" a	cos" a
sin4 a cos2 a _ sin4 a __ sin4 a _ 3	2 S 1 \ ~ -2	• 2	~ • 4	~
cos" a sin all-cos" a) sin asm a sin a
Ответ: 1.
ctg(27O° - a) ctg2 (360° - a)-1
1088- l-tg^-180")
Решение.
ctg(?70° - a) ctg2 (збО° - a)-1 _ tg a ctg2 a-1 _ 2tga l-tg2(a-180°) ctg(180° +a) l-tg2a ctg a l-tg2a x—- a * = tg2actg2a = 1.
2 ctg a
Ответ: 1.
cos2 (а-270е)	sin2 (a+270°)
3'089’ sin’2 (a+90°)-1+ cos'2 (a- 90°)-1'
Решение.
cos* * 2 (g-270°) sin2 (g+270°) _ (:os^70°-a))2 sin-2(g+90°)-l cos-2(g-90°)-l	1_______i
(ип(?0°+д)У
^in(27O° +g)f _ sin2g cos2 g _ sin2g cos2g
______?	।	1	।	1	। l-cos2g l-sin2g (jos(90°-g)jf________________________«>s2«	si“2« cos2g sin2g
. 2 о	2	• 2	. 2	2	2	• 2
- sm acos a + cos asm a _ sin acos a cos asm a _ 1-cos2 a l-sin2a sin2 a cos2 a
= cos2a+sin2a=l.
Ответ: 1.
3.0,0. ^‘82к7”')К!(°-г70-)-.).
(1+ctg2 (g+270° ))cos-2 (g+90°) Решение.
6+tg2 (g - 90° )Jkin’2 (a - 270’ )-l) (1+ctg2 (a+270° ))cos-2 (g+90°)
1
. 2 sin a
f 2 A 1	2
, cos g 1-cos g
1+——---------—
sin g cos g
\ /
\ sin2 a	1
2	2
cos a J sin a
sin2 a+cos2 a sin2 a 1
sin2 a cos2 a _ cos2 a _ sin2 acos~ a _ ^2 a
cos2 a+sin2 a	1	1	cos2 a
cos2 a sin2 a sin2 «cos2 a
Ответ: sin2 a.
3.091.
Л |	?! ft
tg 2+“ FCtg a-2
Решение.
)	>(	л')
-cos' a— J Г 2J
-ctg a--
2	♦ *>	?	• 7	2	-2
cos a - siir a _ cos~ a - sin a _ cos a-sin a ctg2 a - tg2 a cos2 a sin2 a cos4 a - sin4 a . 2	2	• 5
sin a cos a cos“asin"a
(cos2 a - sin2 ajcos2 a sin2 a _ (cos2 a - sin2 ajcos2 a sin2 a cos4 a - sin4 a	(cos2 a - sin2 alcos2 a+sin2 a
cos2 a sin2 a 2 • > 4cos2asin2a sin2 2a
—z------5— = cos asm" a =---------=-------
cos a+sin'a	4	4
Ответ:
sin2 2a ~~4
3.092.
a a tg—— Ctg —
.a .a tg—+Ctg —
Решение.
. а	а
sin— cos— _L 2
. 2 а 7 а sin —cos“ —
2	2
ос , а tgI”CtgI х (х х а tgI+Ctg2
а cos—
2
. а sm — __2_-
. а а sm— cos—
2^-2
а cos—
2
. а sm—
2
а . а cos—sin—
2	2
. 2 а 2 а sm —+cos —
2	2
а . а cos—sin—
2	2
2 а
= sm —cos
2
a
I
(	2 а . 2
-ч cos —sin — = -cosa.
I 2	2 J
Ответ: -cosa.
cos2 a-ctg2 a+1 3>093‘ sin2 a + tg2 a-1 Решение.
2	♦ 2	< cos a-----x—+1
cosza-ctg a+l_sin2a sin2a + tg2a-l . 2 sin2a -
cos a
• 2	2	2	-2
sin acos a-cos a+sin a
= —------2	=ctg2 a.
sin acos a+sm a-cos a sin a
cos2 a
7
Ответ: ctg a.
cos2 fca-90°)+ctg2 (90* +2a)+l 3'094, sin2fa -270°)+tg2(z70° +2a)+l ’
Решение.
cos2 fe a-90*)+ctg2 (90° +2a)+l _ sin2^a-270’)+tg2(i70°+2a)+l ~
(cos(90° - 2g))~ + (ctg(90° + 2а))~ +1	sin2 2а+tg2 2а+1
(-sin(270‘ -2а))2 +(tg^70° +2a))* +1 cos22a + ctg22a+1
. >„ sin2 2a , sin22acos22a+sin22a+cos22a sm' 2a + -—z—+1 ------------------------5-----
________cos 2a ____cos 2a________________________
2 cos2 2a , sin22acos22a+cos22a+sin22a
cos 2a + —j—+1 -------------------------2-----
sin 2a	sin 2a
Ответ: tg22a.
3.095.
. ?(. л sin 4a— ________L_ 2J_____: (з	> (3
ctg -n-2a +tg -n+2a 12	2
Решение.
•2л sin 4a—
л-|	|-sin| — -4a |i
2 )	[ I2 J)
f 3	А	С з	А	Сз	А	(з
ctg -n-2a +tg -ic+2a ctg -л-2а +ta -л+2а
\2	J	I2	J	I2	J	Д2
_ cos2 4a _ cos2 4a _ cos2 4a _ “ tg2a-ctg2a ~ sin2a cos2a ~ sin22a-cos22a ~
cos 2a sin 2a sin2acos2a
cos2 4asin2acos2a _ cos2 4asin2acos2a cos2 2a - sin2 2a	cos 4a
cos4a 2sin2acos2a _ cos4asin4a _
"~2	2
2cos4asin4a _ sin8a
4	4~ ‘
Ответ: —-sin 8a. 4
3.096.
1
l-cos(4a-7t) sin3 2a
Решение.
1| l-cos(4a-Jt) n sin3 2a 2tg —л-a cos a —
2	2
3-1	<3	Y (n	St
о 2tg -я-a cos —a
2 J	|^2	1 V2	JJ
1
Г 3 > '> j 3 2ctg^a + -u sin2|a- —л
l-cos(n-4a) sin3 2a
<3 Y M
2ctg -я+a -sin -я-а Д2	2
2
1	+1+cos 4a______1__________1_______
2 ctg a sin2 a sin3 2a -2tgacos2a 2 cos a sina
l+2cos22a-l 1	1 2cos22a
-I-------------1- ---------=-----------1-------p
sin 2a 2sma	2smacosa sin 2a
* Uuo (JC cosa
1	1	. 2 cos2 2a	1 2sin22a+2cos22a
-----------=	. .		-	1	=	------------- 2 sin a cos a sin 2a	sin 2a-sin 2a-sin 2a
2^in2 2a + cos2 2a) _	2
sin3 2a sin3 2a
Ответ:
2 sin3 2a
3.097.
cosl 2 a+2sin2(a-7t) cos2 a + 4 sin a + sin2 (a + я) cos3 (a - 4я)	cosa(4sina+l)
Решение.
cos2 a+2 sin2 (a - я) cos2 a-ь 4 sin a-ь sin2 (a + я) _
cos3 (a - 4я)	cos a(4sin a+1)
_ со82а+2(-8т(я-а))2 со82а+4$та + (5ш(я-ьа))2 __
(со8(4я -a))3	cos a(4 sin a+1)
_ cos2a + 2sin2a ^cos2 a+4sina+sin2a _ cos2 a+2sin2 a cos3 a	cos a(4sin a+1)	cos3 a
l + 4sina _ cos2 a+2sin2 a 1 _ cos2 a+2sin2'a+cos2a
cosa(4sina+l) cos3 a cosa	cos3 a
_ 2cos2a+2sin2a _ 2(cos2a+sin2a)_ 2
cos3 a	cos3 a cos3 a
( 3i	(	8 i 2	1
3.098. sin 2d — л + cos 2a—я +cod -я+2а .
2	3 J 13
Решение.
Пусть
(	3 i	f	8
y = sin 2a—я +cos 2a—я
I	2 J	I	3
(2
+ cos -я+2а =
I 3
( 3
= -sin -я-2а 2
I	(i	(2
+cos -я-2а +cos -я+2а
I	3	3
l 3	1
-sin -я-2а =cos2a;
(2)2	2	1 V3
cos —я+2а =cos—7icos2a-sin—nsin2a = —cos2a-sin 2a.
3	3	3	2	2
1	V3	1	V3
X = cos 2 a—cos 2a +—sin2a—cos2a-sin2a = 0.
2	2	2	2
Ответ; 0.
4 sin* 2 * (a - 5я)~ sin2 (2a+я)
3.099. --7---7-^-
21 о 3 cos 2a—я
2
-4+4sin2a
Решение.
4 sin2 (a - 5я)- sin2 (2a+я) _ 4(- sin(5rc - a))2 - (sin(ff+2a))2 _
/	3 '
cos 2a—я
I	2
-4+4sin2a
4+4sin a |со8|-я-2а I ^2
4sin2a-sin22a _ 4sin2a-4sin2acos2a
sin2 2a - 4+4 sin2 a 4 sin2 a cos2 a - 4+4(1 - cos2 a)
4sin2 a(l-cosz a)___________4sin2asin2a_______
4(1 -cos2 a)cos2 a -4+4 -4cos2 a 4cos2 a-4cos4 a-4cos2 a
4sin4 * * *a
4cos4 a
= -tg4a.
Ответ: - tg4 a.
‘ 2| 9	| . 2[ 17
3.100. sin -я+а -sin —я-а I8	J I8
Решение.
со/--2а cosf —+2а 11=-| -2sin—sin(-2a)
2	14	14	2	4 v 7
= —- (- sin 2a) =—sin 2a = -U sin 2a.
2	2 Ji
Ответ: -=sin2a. V2
3.101. ctg(4a-7U cos4f - я-2a sin4(-тс-2a
Решение. ctg(4a-7t)| cos4| - 1 I 1 = -ctg(n-4a^c< Г/ = -ctg(n-4al cc = ctg 4a cos4 —- I \ x л ff 2(n = ctg 4a cos , A  Гл л = ctg4acos —-4i Ответ: cos 4a.	< И JI4 )) 5	A	(9	Y -	л-2а -sin4 -Tt-2a = *	J	V	)) (4л+л	Yj* f . (8л+л 0 Ylj* I 4	)) И 4 )) j (	(n	yY	(	(	(n yiYl >	s л+ —2a	- sin 2л+ —2a	= 4	4 v	к V	V) ? 1	fir	M 2a -sm —2a = J	I4	JJ \Y ( (к Y2>l -2a - sin2 —2a	= JJ	))) cos4a . . a	— sin4a = cos4a. J sin4a
3.102.
i(5	1	>( 5
cos — л-2а -sin —я-2а
___I4	J I4
а .а I (_ а (ла cos— +sin— cos 2л— +cos — + —
2	21	2	[2 2
Решение.
/5	у	2(5
cos — л-2а -sin
14	I
-л-2а 4
a
a . a j (- a | cos —+ sm — cos 2 л-+cos
2	2 12
2
л a
2 + 2
sina
sina
(5 A cos -л-4а
I 2
cos
a	. a Y a	.ah	(	2 a	• 2 a 1	.
cos—+ sin — cos — sm— sma cos-sm — sma
2	2 12	2 1	I 2	2 1
~	(л .
cos 2л + —4a
2
cos a sin a 4sin2acos2a A n ----:------= 4cos 2 a. sin2a
2 cost	4a j л . л
[2 J_2sm4a 2cosasina	sin 2 a
Ответ: 4 cos 2a.
3.103.
I 5 о cos -л-2а 2
Решение.
cos 2л4- --2a 2
tg Я+ -
cos —2a I 2
. f л n sm —2a
2
tg ^-a j(l + sin2a) l + cos y-2aj
sin 20
(4	/
sin 2a
cos 2a л ----:----(1 +
__ 1 +sin 2a
sin 2a
cos 2a , _
— = ctg2a. sin 2a
Ответ: ctg 2a.
tg2a
tg4a-tg2a
Решение.
tg2a _ tg2a	_ tg2a(l - tg2 2a) _ 1 — tg2 2a
tg4a-tg2a ' 2tg2a _ t	~ tg2a(2-l + tg2 2a)” 1 + tg2 2a
1 - tg2 2a
j _ sin2 2a	cos2 2a - sin2 2a
_ —£os 2a _----- cos 2a ----_ cos2 2a _ sjn2 2a = cos 4a.
, sin2 2a cos2 2a + sin2 2a
1 +—->— ---------5-------
cos- 2a cos 2a
Ответ: cos 4a.
„ „л, sin 6a cos(6a-jc)
3.105. —— +  l.
sin2a cos2a
Решение.
sin6a cos(6a-n) _ sin6a | cos(n-6a) _ sin6a cos6a _ sin2a	cos2a sin2a cos2a sin2a cos2a
_ sin6otcos2a-cos6asin2a _ sin4a _ 2sin4a sin2acos2a	sin2acos2a 2sin2acos2a
_2sin4a _2 sin4a
Ответ: 2.
3.106.
1+cos(4a - 2 n)+cos^ 4a - j / j l+cos(4a+Jt)+cos 4a+—л
Решение.
l+cos(4a- 2л)+ cos| 4a--
3 A -rc+4a
2
l+cos4a+sin4a _ l + 2cos22a-l+2sin2acos2a 1 - cos 4a+sin 4a 1 - (j - 2 sin2 2a)+ 2 sin2acos2a
_ 2cos2 2a+2sin2acos2a _ 2cos2a(cos2a+sin2a)_ cos2a _ctg2a 2sin22a+2sin2acos2a 2sin2a(sin2a+cos2a) sin2a
Ответ: ctg 2 a.
sin(2a+2л)+2sin(4a - n)+sin (ба+4л)
сов(бл - 2a)+2 cos(4a - л)+cos(6a - 4л)
Решение.
8т(2а+2л)+28Й1(4а-л)+5ш(ба+4л)
cos(6n - 2a)+ 2 cos(4a - л)+cos(6a - 4 л)
_ 8т(2л+2а)-28т(л-4а)+8П1(4л+6а) sin2a-2sin4a+sin6a сов(бл - 2a)+2 cos(n - 4a)+cos(4n - 6a) cos2a - 2 cos4a+cos 6a
_ 2sin4acos2a-2sin4a _ 2sin4a(cos2a-l) _ sin4a _ t 2cos4acos2a-2cos4a 2cos4a(cos2a-l) cos4a
Ответ: tg4a.
3.108.
4sin -я + а
_________12	J	 aA__________________a
tg' -я-- —ctg j -я+-2	2	2	2
Решение.
4cosa	4cosa
4 cos a
2 a x 2 a Ctgy-tgy
2 a . 2 a 4 a . 4 a cos — sin —	cos —sin —
2 1	2	2
. 2 a	2a	.2» 2a
sin — cos — sin —cos —
2	2	2	2
л 2 a 2 a 4cosasin —cos —
;______________2	2
2a . 2 aY 2a .2a cos —sin — cos — +sin —
2	2	2	2
cosasin* 2a . 2 =----------= sin a.
cosa
Ответ: sin2 a.
sin(2a+p)+sin(2a-p)-cosf | я-2a
3.109. ------------------------Jy------
cos(2a + p)+cos(2a-p)-sin -n+2a
Решение.
( 3 sin(2a+p)+sin(2a-p)-cos -л-2а
_______________________________J _ 2sin2acosp+sin2a _ cos(2a+p)+cos(2a - p)- sin -л+2a 1 2cos2acosP+cos2a
I2 J
_ sin2a(2cosp+l) _ sin2a _ cos2a(2cosp+l) cos2a
Ответ: tg2a.
cos3a+cos4a+cos5a
3.110. -7-T--—A---------——.
sin 3a + sin 4a + sin 5a
Решение.
cos3a+cos4a+cos5a _ 2cos4acosa+cos4a _ cos4a(2cosa+l) _ sin 3a+sin 4a + sin 5 a	2 sin 4acos a+sin 4a sin 4a(2cosa+1)
cos4a x A
= -- — = ctg 4a. sin 4a
Ответ: ctg4a.
/7
3.111.
-(5	)	,f7	A
cos -л-2а +4cos -л-a -4 2	,	2
2
1+cos(4a - re)-8 sin2 (5 л - a) Решение.
,(5	A	,(7	)
cos -л-2а +4cos -л-а -4 12	I	12
1+cos(4a - тс)- 8 sin2 (5л - a)
Гл	W2 Г Гс
(4л + л	J f 6л+л ]] A
cos------2a +4 cod--------a -4
12 J 4 2 J
2л+1 ^-2a
1+cos(n - 4a)- 8(sin(5n - a))2
' 44x2 ( (	(^
+ 4 cod Зл+ —a 1	2
-4
1+cos(n - 4а)~ 8(sin(5n - a))2
l-cos4a-8sin2a
sin2 2a+4 sin2 a-4 l-cos4a-8sin2 a
4sin2 acos2 a-4(1-sin2 a) 4sin2acos2a-4cos2a _ l-^-2sin22a)-8sin2a 2sin22a-8sin2a
4cos2 a(sin2 a-1) _ -4cos2acos2 a _	-4cos4 a
8sin2acos2a-8sin2a 8sin2 alcos2a-l) -8sin2asin2a
cos4 a 1	4
=-----;— = -ctg a.
2 sin4 a 2
1	4
Ответ: —ctg a-
3.112.
5	1 . ( л a
cos — л-a sin —+—
2	2 2
2f Jt-aY, . л-a (3 cos --- 2sin----+соя -л-а
I 4 1	2	12
Решение.
a :os—
2
хч .	a
2sinacos— _______2
In a)	L . aY^ a
—z	x 14-sin— 2 cos—sina
2 2 I f n a ) I 2 1	2
----A 2cos—sina	v л
2 I 2
CO!
- ♦ a 2 sin a cos— ___________2. \ . aY-i a a a n a(t . a Yi • a) 1 + sin— 2cos—2sm—cos— 2cos— 1+sin— 1-sin—
2 1	2	22	2	2 1	2 J
2sin0 cos— 2
_ . a a ~ . a sina 2sm-cos- 2sin-? a cos**— 2
- . ? a 1-sm** — 2
a
a tg 2 ’ cos—
2
Ответ: 2tgy.
1+cos a + cos 2a+cos 3a cosa4-2cos2a-l Решение.
3.113.
14- cos a 4- cos2a 4- cos 3a _ 14- cos2a 4- (cos a 4- cos 3a) _ cos a 4- 2 cos2 a -1	cos a 4- 2 cos2 a -1
_ 14-cos2a4-2cos2acosa _ 14-2cos2 a-14-2^cos2a-l)cosa
cosa4-2cos2 a-1	cosa4-2cos2 a-1
=2cosa. cosa+2cos a-1
Ответ: 2 cos a.
Преобразовать в произведение (3.114—3.147):
3.114. sin 4a - 2 cos2 2a+1.
Решение.
sin 4a - cos 4a = sin 4a - sin(90e - 4a)= 2 cos45e sin(4a ^45° )=
= 2 — sin (4a
2 v
3.115. tgy+ctgy+2.
Решение.
.	a	a
_	_	sin—	cos—
tg—+ ctg—+2 =----—	_l--1
b2	2	a
cos— 2
. a sin—
2
. 2 a ? a sin — +cos~ —
2	2
a . a cos —sin—
2	2
+2 =
1	-	2	-	2	_ 2+2sina
---------+2 =------------+2 =-----+2 =--------- ♦ a a----Э a a-----------Sin<X Silla
sin—cos —	2 sm — cos—
2	2	2	2
(it A —+a	—a
2(1.sina)_fmrsing | = 2-2sin^-oos^— sina	sina	sina
A . (n aVfn a А л • 4П4+1П4^| sina	sina
A . 21 Я « = 4 sin — + —
4 2
sin"1 a.
>
~ л • 2i л <* Ответ: 4sm — + — 14 2
a.
3.116. cos'4a-sin"4a.
Решение.
sin4 a-cos4 a
—4	—4	1
cos a-sin a = —-------------4 ~------т----—-
cos a sin a cos asin a
a - sin4 a	s2 a - sin2 a%:os2 a + sin'
sin4 2a
16sin4 acos4 a
•4
1
-16cos2a	cos2a 1
=----2----= -16 —--------,— = -16ctg2asin 2a.
sin 2a	sin2a sin 2a
Ответ: -16ctg2asin 32a.
tg4a-tg6a
3.117.	—4-----“г—-
ctg a-ctg a
Решение.
tg4a-tg6a _ tg4a-tg6a = tg4a(l-tg2a)
ctg4 a-ctg2 a 1_______L_ 1-tg2 a
tg4 a tg2 a tg4 a
.tg«a=tg>a
1-tg2 a
Ответ: tg*a.
3.118.	l-3tg2(a+270’).
Решение.
l-3tg2(a+270’)=l-3(tg(270’ +ajf =l-3ctg2 a=4||-|ctg2a
/1 7з
=4 rTctga
! V3 t .1
-+—ctga =4 --2 2	2
cosa sina
cosa
2 2 sina
2 2
1 . V3 1 . V3 -sma----cosa -sma+—cosa
= 4.2	2	.2	2
sina	sina
4|sinacos60° -cosasin60° Asinacos60° +cosasin60‘l J sin2 a
4sin(a-60* Jsin|a+60°) sin2 a
Ответ: 4 sin (a - 60’ )sin(a+60’ )sin“2 a.
3.119.	l-3tg2(a-180’).
Решение.
l-3tg2(a-180’)=l-3(-tg^80r -а)У =
(1 3
= l-3tg2a = 4---tg'a =4tga - + — tga =
14 4	2 2	2 2
4 4
2 2
/ 1 -Уз sina Y1 >/з sina
= 4------------ +------------
2	2 cosa 2 2 cosa
1
. 1	V3 .	1	V3 .
4-cosa----sina -cosa + — sina
2	2	2	2
2
2
cos'a
__ 4(sin 30° cos a - cos30° sin a)sin 30° cos a + cos 30° sin a cos2 a
_ 4sin(30° -ajsin cos2 a
Ответ: 4sin(30’ -a)sin^0° +a)cos 2 a.
/	3 A ,(	3 A
3.120.	tg a-—л -ctg a + jit .
Решение.
2f 3 )	,( 3}	3
tg a—я -ctg" а+-я = -tg -n-a 2	2	2
f (3 W - ctg ^я+а
2	’2	4	-4
x 2	.2 cos" a sin a cos a-sin a
= ctg2 a - tg" a = —--------= —----------—
sin" a cos a sin" acos" a
_ 4(:os2 a-sin2 a)(cos2 a + sin2 a) _ 4cos2a
4 sin2 acos2 a	sin2 2a
Ответ: 4cos2asin 2 2a.
3.121.	3sin2 (a-270° )-cos2 (a+270°).
Решение.
3 sin2 (a - 270’)- cos2 (a+270’ )= з(- sin(?70’ - a))r - (cos^70’ + of = 3(sin(270° - a)^ - (cos^70’ + a))” = 3cos2 a - sin2 a =
'3 .... 1 .
3	2	1  2 1 J V3 1 .
-cos a—sin a =4|—cosa—sina 4	4
V3	1 .
—cosa+-sma
2	2
/к 2	2 ” л
= 4(x>s30’ cosa - sin 30’ sin a)(cos30’ cos a+sin 30’ sin a)=
= 4cos($0’ +a)cos(30° - a).
Ответ: 4cos(30’ +a)cos^( 3.122. sin2(a+90’)-3cos2 Решение.
Г1	3
= cos2 a-3sin2 a = 4 —cos2 a—sin2 a 14	4
. i	V3 . T i	V3 .
= 4 —cosa-----sina — cosa +—sina =
2	2	12	2
= 4(sin 30’ cos a - cos 30’ sin a')(sin 30’ cos a+cos 30’ sin a)= = 4sin^0’ -a)sin(30’ + a).
Ответ: 4 sin(30‘ - a)sin(30’ + a). /	/ о A
3.123. sin2 p— -cos2 a—я . 2	2
V 2 Решение.
sin2[p~^ -cos2
3 I I • я n a—-я = -sin —В
2	.2
71 3 H
2 II
( Зя cos------a
I 2
2
= sin
л2	(	Гъг	W2
I Jic	1	2	о • 2
- cos —-a =cos p-sin a =
I 2	J
7	\	к	))
_l+cos2P l-cos2a_l cos2p 1 cos2a_
~2	2	2+ 2 -2+~l
= i (cos2a+cos2p) = | - 2 cos(a+p)cos(a - p)=cos(a+p)cos(a - p)
Ответ: cos(a + p)cos(a—p)
(a \
3.124. 3-4cos2 -я-а .
12 >
Решение.
. .	>(3	.	l+cos(3re-2a)
3-4cos* -я-a = 3-4--------------  -	=
I2 J 2
= 3-2-2 cos(3k - 2a)= 1 - 2 со$(3я - 2a)=
= l+2cos2a = 21— + cos2a =2 cos —+cos2a =
I2 . „ (n	(n = 2-2cos —+ a cos — I6 J I6 _	.	(я ) Ответ: 4 cos — + a cos I* J 3.125. 3-4sin2| —-a I2 ) Решение. 	A cin 21  ry j— Э  A .	3 /V	/ Г Л a =4cos —+ a cos —a . ) I* J I6 ) (n 'I —a . I6 J l-cos(rt-2a)_
l2 J = 3-2-b2cos(K-2a)=l+2 fl	A f	Д = 2 —cos 2 a =2 cos — I2	J I	3 п Г . Гя V (n = 2- -2sm - + a sin — I I6 J I6 A . (n Y f = 4sin —+ a sin a— . I6 J I 6 J A • ГЛ V ( Ответ: 4sm —+ a sm a 1 6	) I	2 cos(u - 2a)=1-2 cos2a = cos 2a ^= a • (n	V (я a |= —4sinl - + a sin —a JI	16 j I 6 n ” 6 r
(п А (3
3.126.	1+cos —+ 3а -sin —я-За
V 2
(5 +ctd -я+За
2
Решение.
,	(я , ] . (3	. 1 J 5	- 1
1+соя —+3а -sin -я-За +cta -я+За =
12	112	12
. . ,	,	. ,	, • ,	, sin3a
= 1 - sin За+cos За - tg За = 1 - sin За+cos За-=
cos За
_ (cos За - sin 3a)cos За + cos За - sin За _ (cos3a - sin 3aXcos За+1) _
cos3a	cos3a
cos За
_ /Т j За . Г я « ।
2V2 cos —sin — 3a
„	2	14 J
Ответ:--------------1------1.
cos 3a
3.127.	l+cos(2a+270’)+sin(2a+450°).
Решение.
1+cos(ia+270°)+ sin(za+450° )= 1+cos(270° + 2a)+sin(450° + 2a)= = 1 +sin2a+cos2a = cos2 a+sin2 a+2 sin acosa+cos2 a -sin2 a = = (:os2 a+2 sin a cos a+sin2 a)+ (cos a - sin aXcos a + sin a)=
= (cosa+sina)2 + (cosa-sinaXcosa+sin a)=
= (cos a+sin aXcos a+sin a + cos a - sin a)=
= 2(cosa+sin a)cosa = 2 (cos a+cos(90° - a))cosa =
= 2 • 2cos45° cos
(a-45’)c
A osa = 4---cos
2
la-45’)cosa =
= 2л/2 cosacos(a-45’)=2V2 cosacosl45° -a
Ответ: 142 cos a cos(45’ - a).
3.128.	l-cos(ia-270’)+sin(2a+270’).
Решение.
l-cos(2a-270’)+sin(2a+270’)=l-cos(270’ -2a)+sin(270’ +2a)=
= 1+sin2a - cos2a = sin2 a+cos2 a+2 sin a cosa - (:os2 a - sin2 a)=
= (sina+cosa)2 +sin2 a - cos2 a = (sin a+cosa)2 +
+ (sina+cosaXsina-cosa)=(sina+cosaXsina+cosa+sina-cosa)=
=2(sin a+cos a)sin a—2 ^in a+sin(90’ -a))sina =
= 2 ♦ 2 sin45° cos(a -45* )sin a = 4	sin acos(a - 45° )=
= 2^2 sinacos(a-45* )= 2^2 sinacos(45* - a).
Ответ: 141 sin a cosW5* - a
3.129.	sinf—я - 2a |+ 2 sin2
2 I
и 3 I 1 2a—я -1.
2
Решение.
sin
-я-2а |+2sin2 2
(5	1	0Г3 i
2a—я -l = sin -я-2а +2sin -я-2а -1 =
2 J V JI2 J
=cos2a+2cos22a-l =cos2a+cos4a = 2cos3acosa =
= 2cosacos3a.
Ответ: 2 cos a cos За.
3.130.	1 -cos(2a - я)-cos(4a + я)+cos(6a - 2я)
Решение.
1 - cos(2a - я)- cos(4a + n)+cos(6a - 2я)=
= l-cos(n-2a)-cos(n+4a)+cos(2rt-6a)=
= 1+cos2a+cos4a+cos6a = 1+2cos2 a -1+cos4a+cos6a =
=2cos2 a+cos4a+cos6a = 2cos2 a+2 cos5acos a =
=2 cos a(cos a+cos 5 a)=2 cos a  2 cos	cos
= 4cosacos3acos2a = 4cosacos2acos3a.
Ответ: 4cosacos2acos3a.
i3 i Г 5 i
3.131.	1+ctgI—n-4a l+sin"1 -n+4a L
Решение.
. f3 A A . V5 . V J3 A 1 1+ctd -л-4а +sin -rc+4a =l+ctd -rc-4a +—7-------
Д2	)	12 I 12	1.(5.
\	7 к 7	\	7 siri-rc+4a
V
, A 1	, sin4a 1 cos4a+sin4a+l
= l+tg4a+--— = 1 +—— + — =-----------A----=
cos4a cos4a cos4a cos4a
_ cos2 2a - sin2 2a+2 sin2acos2a+cos2 2a+sin2 2a _
cos4a
(cos2a - sin2aXcos2a+sin2a)+ (cos2a+sin2a)r _ cos4a
(cos2a+sin2aXcos2a-sin2a+cos2a+sin2a) _ 2(cos2a+sin2a)cos2( cos4a	cos4a
2cos2oJ cos2a+cod "2a 2cos2a-2cos-cos| 2a--
cos4a	cos4a
2V2 cos2acos 2a - ~ 1 2^2 cos 2a cosl — - 2a I
__________ 1	4)= И /
cos4a	cos4a
2V2cos2acos( —2a 14 Ответ:------------—--------
cos 4a
sin a - 2 cos 3a - sm 5a
3.132.	--------------------—
cos a - 2 sin 3a - cos 5a
Решение.
sina-2cos3a-sin5a _ (sin a-sin 5a)-2 cos 3a __ cosa - 2 sin 3a - cos 5a (cosa - cos5a)- 2 sin 3a _ 2 cos 3a sin(- 2a) - 2 cos3a _ - 2cos3a sin 2a - 2 cos3a _ - 2 sin 3a sin(- 2a) - 2 sin 3a 2 sin 3a sin 2a - 2 sin 3a -2cos3a(sin2a + l) A o sin2a + l A o l + sin2a 2sin3a(sin2a-ll)	sin2a-l l-sin2a
Ответ: ctg3actg2
3.133. 2cos2
Решение.
2 cos21 —
.	2(3lt a\ c (5	,
= 2cos-------+V3cos -тс-a -1 =
12 2 J \2 J
= 2sin2 — -V3sina-l = l-cosa+V3sina-l
Ответ: 2 sin а— .
I 6 J
_____ sin 4а+sin 5а+sin 6а
3,134.		.
cos4a4- cos 5a+cos 6a
Решение.
sin 4a+sin 5a 4-sin 6a _ (sin4a+sin6a)+sin5a _ cos 4a+cos 5a+cos 6a (cos4a+cos 6a)+cos 5a _ 2sin5acosa+sin5a _ sin5a(2cosa+l) _ sin5a
2cos5acosa+cos5a cos5a(2cosa+l) cos5a
Ответ: tg5a.
3.135.	-cos5acos4a-cos4acos3a+2cos2 2acosa. Решение.
- cos 5acos 4a - cos 4a cos 3a+2 cos2 2a cos a =
= - cos 4a(cos 5a + cos 3a) 4- 2 cos2 2a cos a =
= - cos 4a - 2 cos 4a cos a+2 cos2 2 a cos a =
= -2 cos2 4a cos a+2 cos2 2a cos a = -2 cos a(cos2 4a - cos2 2a
= -2 cos a(cos 4a - cos 2aXcos 4a+cos 2a)=
=-2cos a(-2 sin 3a sin a) • 2 cos 3a cos a =
= 2 cos a(2 sin acos aX2 sin 3acos 3a)=2 cos a sin 2a sin 6a.
Ответ: 2cosasin2asin6a.
3.136.	sin 1 Oa sin 8a+sin 8a sin 6a - sin 4a sin 2a.
Решение.
sin 1 Oa sin 8a 4- sin 8a sin 6a - sin 4a sin 2a. =
= sin 8a(sin 1 Oa 4- sin 6a) - sin 4a sin 2a =
= 2 sin 8a sin 8acos2a - sin 4a sin 2a =
= 2 sin* 2 8acos2a-sin4asin2a =
= 2sin2 8acos2a-2sin2acos2asin2a =
= 2sin2 8acos2a-2sin2 2acos2a = 2cos2a^in2 8a-sin2 2a)=
= 2 cos2a(sin 8a - sin 2aXsin 8a + sin 2a)=
= 2 cos 2 a • 2 cos 5 a sin 3 a • 2 sin 5acos3a =
= 2cos2a(2 sin 3acos3aX2 sin 5acos 5a)=2 cos2asin 6a sinl Oa.
Ответ: 2cos2asin6asinl0a.
_____cos7a-cos8a-cos9a+cosl0a
3-137. ——----—------—-----r-TT—-
sm 7a - sm 8a - sin 9a+sin 1 Oa
Решение.
cos7a-cos8a-cos9a+cosl0a (cosl0a+cos7a)-(cos9a+cos8a) sin 7a - sin 8a - sin 9a+sin 1 Oa (sin 1 Oa+sin 7a)- (sin 9a+sin 8a)
_	17a	3a	0	17a	a 2coJ7afcos^_“>|
2cos-cos---2cos--cos—	2cos-r~	C0S^T	V
2	2______2	2 _ 2(2 2 J
- .	17a	3a	-	.	17a	a _ . I7af 3a a
2sin-cos---2sin--cos—	2sm--- cos----
2	2	2	2	2	2 2
17a
cos----
_____2
. 17a sm----
2
. 17a = ctg—•
л . 17a
Ответ: ctg-у-.
3.138. sin5a-sin6a-sin7a+sin8a. Решение.
sin 5a - sin 6a - sin 7a + sin 8a = (sin 8a+sin 5a)- (sin 7a+sin 6a)=
* . 13a 3a ~ . 13a a - . 13af 3a a^ =2sm---cos---2sm---cos— = 2sin- cos--cos— =
2	2	22	2(2	2)
» . 13af » . a'l . . a .	.13a
= 2sin- -2sinasin— =-4sin—sinasin—-.
2	2 I 2	2
a .	. 13a
Ответ: -4 sin
—sinasin----.
2	2
3.139. cos3a-cos4a-cos5a+cos6a.
Решение.
cos 3a - cos4a - cos 5a+cos 6a = (cos 6a+cos 3a)- (cos 5a+cos4a)=
_ 9a 3a _ 9a a . 9af 3a a A
= 2 cos—cos-2 cos—cos— = 2 cos— cos-cos— =
2	2	22	2^2	2 J
* 9a f . .	. a^ 4 . a • 9a
=2 cos— -2smasm— = -4sin —sin acos—.
2	2	2	2
л	. a . 9a
Ответ: -4sin—sinacos—.
2	2
sinl3a+sinl4a+sinl5a+sinl6a
3.140. —---------------—--------—
cosl3a+cosl4a+cosl5a+cosl6a Решение.
sinl3a+sinl4a+sinl5a4-sinl6a
cos 13a+cos 14a+cos 15a+cosl 6a
(sinl6a+sml3a)+(sinl5a+sinl4a)
(cosl6a+cosl 3a)+(cosl 5a+cosl4a)
29a	3	29a a о • 29af 3 a
2sin—cos-a+2sin—cos- 2sm— cos-a+cos-
2	2_______2	2	_	* 2	(	2	2
.	29a	3	_	29a	a	~	29a	f	3	a
2 cos——-cos—a+2cos—-cos— 2 cos  cos—a+cos—
2	2	2	2	2	2	2
« . 29a
2smT_t 29a
,	29a tg 2 ’
2 cos——
2
, 29a
Ответ: tg-y--
3.141. sin2a+sin4a+sin6<x.
Решение.
sin 2 a 4- sin 4a+sin 6a. = (sin2 a + sin 4a)+ sin 2 (3 a)=
= 2 sin 3acos a+2 sin 3acos 3a = 2 sin 3a(cos a 4- cos 3a)= = 2 sin 3a ♦ 2 cos 2a cos a = 4 sin 3acos 2acos a.
Ответ: 4sin3acos2acosa.
3.142.	sin 5a+sin 6a+sin 7a+sin 8a.
Решение.
sin 5a + sin 6a+sin 7a+sin 8a = (sin 5a + sin 6a)+ (sin 7a+sin 8a)=
„ . Ila a * . 15a a - af . Ila . 15aA
= 2 sin—cos—+2 sin-cos—= 2cos— sm—+sm-- =
22	22	2^	2	2 J
. a ~ . 13a	. a . 13a
= 2cos—-2sin-cosa = 4cos—cosasin—.
2	2	2	2
л . a	13a
Ответ: 4 cos—cos a sin—-.
2	2
3.143.	cos5a+cos8a+cos9a+cosl2a.
Решение.
cos 5a + cos 8a+cos9a + cosl 2a = (cos 5a + cos 8a)+ (cos9a + cosl 2a)=
.	13a 3a _	21a 3a „ 3af 13a	21a
= 2cos-—-cos— + 2 cos—- cos—- =2cos— cos-+cos- =
22	22	2^2	2 J
- 3a .	17a	.	. 3a	.	17a
= 2 cos — 2 cos-cos 2a = 4 cos—cos2acos—.
2	2	2	2
_	. 3a -	17a
Ответ: 4 cos—cos2acos .
2	2
3.144.	3+4cos4a+cos8a. Решение.
3+4cos4a+cos 8a = 3+4^2 cos2 2a -1)+ 2 cos2 4a -1 =
= 3+8cos22a-4+2(2cos2 2a-l)” -1 =
= 8cos2 2a+2(4cos4 2a-4cos4 2a+1)-2 =
= 8cos2 2a+8cos4 2a-8cos2 2a+2-2 = 8cos42a.
Ответ: 8 cos4 2a.
3.145.	-Jtga+sina --Jtga-sina, 0 < a < j.
Решение.
7tga+sina - ^/tga-sina = 7tga(l+cosa) - ^tga(l-cosa) =
= 7tga + sina - y/tga-sina = 7tga(F+cosa) - 71ба0"со$а)=
= 7tga • 71 +cos a - 7tSa' 71-cos a = 7tga (71+cos a - 71-cos a
_	~ I---- f n a
Ответ: 2^/tgacos — + — .
^4 2 )
3.146.	l + sin2a-cos2a-tg2a.
Решение,
1 + sin 2a -cos2a - tg2a = 1 + sin 2a - cos2a -	-
cos 2a
cos2a - (cos2a-sin2a)cos2a-sin2a _
cos2a
_ (cos 2a - sin 2a)- (cos2a -sin2a)cos2a _ (cos 2a - sin 2aXl - cos 2a)
cos 2a	cos 2a
-cos 2a)
cos 2a
-2sin — sinl 2a-— I-2sin(7C+a)sin(7C-a))
_____4	4 J _____________________
cos 2a
- 2 •—sinf 2a - —	2 sin2 a) 2^2 sin2 a sin2( 2a “
2 у 4 ___; =к 4
cos 2a	cos 2a
2>/2 sin2 a cos — + 2a
______________у 4
cos 2a
• 2 I 71 n I
sm acos — + 2a
I 4	)
Ответ: -------------------------.
cos 2a
3.174.	sin 2a + sin 4a-sin 6a.
Решение.
sin 2a + sin 4a - sin 6a = sin 2a + sin 4a - sin 2(3a) =
= 2 sin 3a cos a - 2 sin 3a cos 3a = 2 sin 3a(cos a - cos 3a) =
= 2 sin 3a • (-2 sin 2a sin(-a)) = 4 sin 3a sin 2a sin a.
Ответ: 4 sin 3a sin 2a sin a.
Доказать справедливость равенств (3.148—3.152):
3.148.	(sin 160° + sin 40°)(sin 140° + sin 20°) + (sin 50° - sin 70°) x
x(sin 130°-sinl 10°) = 1.
Решение.
(sin 160°+sin40°)(sin 140° + sin 20°) + (sin50° - sin 70°)(sinl 30° - sin 110°) =
= (sin( 180° - 20°) + sin 40°)(sin(l 80° - 40°) + sin 20°) +
+ (sin 50° - sin 70°)(sin(l 80° - 50°) - sin( 180° - 70°)) =
= (sin 20° + sin 40°)(sin 40° + sin 20°) + (sin 50° - sin 70°)(sin 50° - sin 70°) =
= (sin 20°+sin 40°)2 + (sin50° - sin 70°)2 = (2 sin 30° cos 10°)2 +
/	.	\2	/	-	x2
+(2cos60°sinl0°)2 = 2—coslO0 + 2-sinl0° =cos210°+sin210° = l.
I	2	J	V	2	J
Равенство справедливо.
3.149.	(cos34°)-1 +(tg56°)~’ =ctg28°.
Решение.
(cos34°)"' + (tg56°J-' = —L-+ctg56’ =	/  -4+ctg56’ =
cos 34	cos|pO -56 )
=	1 cos 56° = l+cos56° = l+cos2(28°) = l+2cos* 2 28° -1 _
sin56° sin56° sin56° sin2(28°)	2sin28°cos28°
2cos228° cos28° 4 oo0
=--------------=---------= ctg 28 .
2sin28° cos28° sin 28°
Равенство справедливо. cos28°cos56° cos2°cos4° V3sin38° 3 150 -------------+------------=-------------.
sin 2° sin28° 4sin2°sin28°
Решение.
cos28°cos56° cos2°cos4° sm28ocos28ocos56o +sin2°cos20cos4,>
-------------4	— — 	-—— — sin2° sin28°--------------------------sin2°sin28°
4sin28° cos28° cos56° 4-4sin2ocos2ocos4° __
4sin2°cos28°
2sm56°cos56° 4-2sin4° cos4° sinll2° 4-sin8° _
4sin2°cos28o	4sin2°cos28°
= 2sin60°cos52° = 2'T cos(90° ~38°) = V3sin38° 4sin2° cos28° 4sin2° cos28° 4sin2° sin28°
Равенство справедливо.
3.151. l-2sin50° =0,5cos’l160°.
Решение.
'	. cno (1 - 2 sin 50° )• 2 cos 160° 2cos 160°-4 sin 50° cos 160°
2cosl60°	2cosl60°
= 2cosl60°-2^in(-110°)+sin210°)=
2 cos160°
i ° J-2sin50o)-2cosl60o 2cos 160°-4sin50°cos 160°
2cosl60°	2cosl60e
_ 2 cos 160°-2(sin(-1 l(P)+sin210P) 2cosl60°+2sinl lQP-2sin21QP _ 2cosl60P	”	2cosl60p
= 2cos(l 80° - 20°) + 2sin(90° + 20°) -2sin(l80°+30°) _
2 cos 160° .
2 — _ - 2 cos 20° + 2 cos 20° + 2 sin 30° _	2 1
2cosl60°	” 2cosl60° “ 2cosl60°
Равенство справедливо.
3.152. (cos 70° + cos 50°)(cos 310° + cos 290°) + (cos 40° + cos 160°) x
x (cos 320°-cos 380°) = 1.
Решение.
(cos 70° + cos 50°)(cos 310° + cos 290°) + (cos 40°+cos 160°) x
x(cos 320° - cos380°) = (cos70°+cos 50°)(cos(360° - 50°)+cos(360° - 70°)) +
+(cos(90° - 50°)+cos(90° + 70°))(cos(270° + 50°) - cos(450° - 70°)) =
= (cos70°+cos50°)(cos70°+cos50°)+(sin 50° - sin 70°)(sin50° - sin 70°) =
= (cos 70° + cos 50°)2 + (sin 50° - sin 70°)2 = (2 cos 60° cos 10°)2 +
, (	1	)	(	1
+ (2cos60°sin(-10°))2 = 2—cosl0° + -2—sinl0°
I 2	i	к	2
= cos210° + sin210° + l.
Равенство справедливо. Вычислить (3.153—3.166): . 2 Л 2 Зл . 2 $Л 2 7л 3 153 sin* —+ cos— + sin*— + cos —.
8	8	8	8
Решение.
. 2 Я 2 Зл . 2 5л 2 7л sin* — + cos* — + sin — + cos* — = 8	8	8	8
1-cos— 1 + cos— 1—cos— 1 + cos—
------4+------4+------4+-------4 =
2	2	2	2
. п 4л-л 4л+л 8я-л
4 - cos—+cos-----cos----+ cos----
4______4________4_______4_
2
I.	/V	I A JV
-COS—+ COS Л-----COS Л+ — +cos 2л—
4	( 4 J ( 4 J (	4
2
4-cos—cos—+cos—+ cos— .
4	4	4	4 _4_?
2	2
Ответ: 2.
3.154. tg435° + tg375°.
Решение.
. «с» . к» cosl5’ sinl5’ cos* 215’+ sin215'
= ctgl5 +tgl5 ---------+--------=----------------
sinl5’ cosl 5° sinl5’cosl5’
2	2	2.
----;--------=--------= -7- = 4.
sinl5’cosl5’ 2sinl5’cosl5°	sin30°	j.
2
1
Ответ: 4.
3.155. tg255°-tgl95°.
Решение.
tg255° -tgl95’ = tg(27O’ -15’)-tg^8O’ +15’)= . ic« . к» cosl5" sinl5’ cos215’-sin215’
= ctgl5 -tgl5 =----------------=------------------=
sinl5 cosl5° sinl5°cosl5’
cos30’ 2cos30’	2cos30’ „	... _ /г
=-------------=---------------=---------= 2ctg30 = 2V3.
sinl5’cosl5’ 2sinl5°cosl5’	sin30°
Ответ: 2у/3.
(3	4
3.156. sml-«-2arctgj
Решение.
. (3	.	4>
sin -я-2arctg— =
2	3 I
-cos 2 arctg—
„ A 4 1 i
2 cos" arctg— -1
= 1-2 cos arctg—
18=2_
25 25’
7 Ответ: —
13	5
3.157. ctg—л-ctg—я.
Решение.
t 13	5	12я+я	5	( я 5я
ctg—я-ctg—n = ctg-----Ctg—Я = С1Я Я+— -ctg— =
612	12 Б 12	*12	\	12)	*12
х я 5я
= ctg--ctg— =
12	12
я 5я . 5я я 5я . я cos— cos— sm—cos-----cos—sm —
12 12	_	12	12	12	12	=
. 5я sm—
12
. я sm —
12
. я . 5я sm — sm —
12	12
1
2
. 4я sm—
12
4я	6я
cos----cos —
12	12
2sin-______3__
л я cos—cos—

Ответ: 2>/з.
3.158. sinf 2а + - п I I 4 1
2 если tg а = -
3
Решение.
.С 5 1 . [ 4л+я ~	к
sin 2а + -л =sm-----+2а =sin л + 2а + —
4	4
я
4
4
= — sinl 2а + -
4
. ~ л _ . я V2 V2 _ = -sm2acos—cos 2 a sin— =-sin 2 a-cos2a =
4	4	2	2
= —— (sin 2a+cos 2a) =——
2	2 ^1 + tg a
! 1-tg2 a' l + tg2a?
V2 tg2 a-2tga-l _ <J2 9 3	17^/2
2 l + tg2a 2 j + £	26
9
Ответ:-----
26
I 7 ) 3.159. cos 2a + —я L если
4 I
2. ctga = -.
Решение.
cos 2а+-л =cos 4
8л-я 4
*	я
+2a = cos 2л + 2a—
I 4
л А - л . _ . л V2 _ V2 . _ = соя 2a— =cos2acos—+sm2asm —= — cos2a+—sin2a = 1	4	4	4	2	2
V2 1-tg2a 2tga 2 |j + tg2a l + tg2a,
V2 fl+2tga-tg2 a^_ V2 ctga ctg2a
2 [ l+tg2a j" 2	1+ 1
ctg a
V2 ctg2 a+2ctga-l V2 9 + 3	_ 7-J2
2 ctg2a+l	2	4 j 26
9
Ответ: —r-26
3.160. , „ . „ , если tga = 0,2.
6 + 7sin2a Решение.
5	_	5	_	5+5tg* 2a____
6+7sin2a 61 14tga 6+6tg2a+14tga
l	+ tg2a
5+5 0,04	= 65
6 + 6 0,04+14 0,2 113’
65 Ответ: —.
2
3.161. -—----если tga = 0,2.
3+4cos2a
Решение.
2	=	2	=	2+2tg2a	= 2+2tg2a
3+4cos2a 4-4tg2a 3+3tg2 a + 4-4tg2 a	7-tg2a
l + tg2a
_2+2 0,04_26
7-0,04	87'
Л 26
Ответ: —.
3.162. sina, если sin —+ cos—=1,4. 2	2
Решение.
.a	a	,,
sin —+ cos—= 1,4 =>
2	2
, 2«	Л	.	a	a	2®
=>sin	— + 2sin — cos— + cos	— = 1,96, sin —+cos — + sin a
2	22	2^2 2j
1 +sin a = 1,96.
Тогда sin a = 1,96 -1 = 0,96.
Ответ: sina = 0,96.
1,96,
3.163. sin2a, если sina-cosa = p.
Решение.
sina-cosa = p =>
=> sin2 a-2sinacosa + cos2 a = p2, l-sin2a = p2, откуда sin2a=l-p2.
Ответ: 1 - p2.
3.164. 2-13cos2a+sin"12a, если ctga = -y.
Решение.
<	ю -	1	~ 13-13tg2a
2 -13cos2a+sin 2a = 2 -13cos2a+---= 2--------— +
sin2a l+tg2a
2	2	13----Ц- 1 + —1-
+	1	= 2- 13~13t8 a + l + tg a _2_	ctg tx + ctg a
2tga	l + tg2a	2tga 11	1	2
l+tg2a	ctg2 a ctga
12 _n ±4.1
=2- 13ctg2a-13 + ctg2a+l = 2_ 25 _ + 25	=
ctg2a+l 2ctga ±+i	--
25	5
13-325 _ 1+25 . 312 26	13_57
1+25 2-5	26 10	5 5
57 Ответ: — •
3.165. l+5sin2a-3cos“*2a, если tga = -2.
Решение.
1+5 sin 2a - 3cos-12a = 1+5 sin2a-1— = 1+-------±—
cos2a 1+tg a 1-tg a l+tg2a
j IQtgct _ 3+3tg2q = j +10(-2) _ 3 + 3(-2)r l + tg2a l-tg2a 1+4	1-4
Ответ: 2.
( 5л
3.166. ls y + a
если
(in ) 9
tg — + 2a = —
2	11
-ос ,
Решение.
sin 2a
2 sin 2a _ 2 sin 2a
n	cos 2a
cos — + cos 2a
2
= 2tg2a =
2 ctg2a’
(7л -	(6л + л
tg|j- + 2aJ=tg|—
9	9
= -ctg2a = —, ctg2a = -—;
2 _ 2 __22 ctg2a _ 9	9
11
22
Ответ: ---• 9
[ л	]	12
3.167. Найти число a€ , если известно, что tg2a = —— \	j	5
Решение.
2 tga __12 1-tg2a 5 ’
1-tg2 a 5
=>6tg2a-5tga-6 = 0, откуда (tg a)] = ^, что не подходит к решению задачи, так как по условию угол принадлежит 2-й четверти и его тан-
2
гене отрицателен, и (tga^ = - у .
Отсюда,
а =-arctg-4-ял, ле Z . Так как
то
2
a = -arctg j + тс
Ответ: я-arctg—.
3.168. Доказать, что если АиВ — острые углы некоторого прямоугольного треугольника, то sin 2 А+sin2В = 4 sin A sin В.
Решение.
sin 2 А + sin 25 = 4 sin A sin В =>
=> 2 sin A cos А + 2 sin В cos В = 4 sin A sin В.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Отсюда А 4- В - 90°, В = 90° - А, и
2 sin A cos A 4-2sin(90° -j)cos(90° -л)= 4 sin A sin(90° - а) => => 2sinЛ cos A 4-2cosЛбш A = 4sin Acos A,
4sinAcos Л =4sin Acos A,
что и требовалось доказать.
Р < я j, если известно, что tg(a 4- р) = и
। я
3.169. Найти число В — <
I 2
tga = -4 .
Решение.
ч(а+Р)=ч“±йЬ_1
1-tgatgp 19
Так как tga = -4,
то l+4tgp "19’	откуда
P = -arctg5 + nn,ne Z. С учетом того, что Pe
л A , получим
J
p = л-arctg 5.
Ответ: p = л-arctg 5.
3.170. Найти sin4 a+cos4 a если известно, что sin a - cos a = - .
2 Решение.
sin4 a+cos4 a = ^in2 3 4 a+cos2 af -2sin2 acos2 a = 1-2 sin2 acos2 a.
„ 1
Возведя обе части равенства sin a-cosa = - в квадрат, получим
2	2	1
sin a-2sinacosa+cos a = — , 4
откуда
3 . 2	2	9
sinacosa = - sin acos a = —. 8’	64
Подставив это значение sin2 acos2 a в исходное равенство, получим
• 4	4	1 о 9	,	9	32-9	23
sina + cos a = 1 - 2 — = 1-=--= —
64	32	32	32
23 Ответ: —
3.171.	Дано: ctga = ^,ctgp = |,0<a<^,0<p<p Найти a + p. Решение.
о 3 1 ctga + ctgp = - + -, 4 7
cosa cosp _ 25 sina sinp 28’
sinpcosa+cospsin a _ 25
sinasinp 28
_	3 cosa
По условию ctg a = ----
4 sina
3 cos2 a 9 l-sin2a 9
= 77^—2— = —’ОткУДа
4 sin a 16 sin a 16
• 2	16
sm а = 25 И’ТаК КаК ае
4	„ 1 cos2 Р 1 l-sin2p 1
5	7 sin2 p 49 sin2 P 49 ’
откуда
sin2 P = 7^ и, так как Pe I I, to
50	\	\
. „	7	7
SinP = -^=- = —T=
V50 5V2 ’
Подставляя полученные значения, получаем
sin(a + p) 25 . / а\ m(o+D)=-,
5 5>/2
откуда а + Р = (-1)" + ли, пе И;иучитывая ограничения на а, р,име-
а Зя ем а+Р = — 4
Л	О Зя
Ответ: а+Р = — 4
3.172.	Найти ctg2a, если известно, что sin
и
270’< а < 360° • Решение.
sin(a-90’)=-p -sin (90°-а)=~-, sin(p0°-a)=—, 3	3	3
2	2	4
cosa = -, cos a--, 3	9
.	• 2	-2	5
1-sm a=—, sin a = —.
9	9
С учетом того, что х е (270°; 360°), имеем sina = --^-. Учитывая
найденные значения, получим
ctg 2a = —1— tg2a
j _ sin2 a
1	_ 1 - tg2 a _ cos2a _ cos2 a-sin2 a
2 tga 2 tga 2sina	2 sin a cos a
1-tg2 a	cosa
4_5
9 9
'5
2- - —
3
3
„	*5
Ответ:----
20
3.173. Доказать, что если a и P удовлетворяют неравенствам
л Л Л _ Л	7	„	1	Я
0<а<—,0<В<—и cosa = —tgB = —, то а + 2В =—.
2 Р 2	V50	3	4
Решение.
sina 2tgP
tg(a+2Р) = tga + tg2P = COSa 1-_tg2J3 = l-tgatg2p । sina cosa
2tgp l-tg2p
_ sina(l-tg2 P) + 2tgPcosa cos a(l - tg2 Р) - 2 sin a tg р
Так как ае 0;— , то
I 2J
7	2	49 .	. 2
cosa = —т=, cos а = —, 1 — sin а
>/50	50
49 . 2	1	1
—, sin a = —, sina =-?=
50	50	V50
1	7	1
Учитывая значения sina = —?=, cosa =-7= и tgB = —, имеем V50	V50	3
9	-F= 1-- +2----7==
sina(l-tg P) + 2tgPcosa _ V5Q < 9 J 3 V50 cosa(l-tg2p)-2sinatgp 7 (। О 2 * *
V50l 9J TV50
Отсюда tg(a + 2P) = l,T.e. a + 2p = ^ (при 0<a<— и 0<p<~), что и требовалось доказать.
3.174.	Найти tg2a, если известно, что cos(a-90°) = 0,2 и 90°<а<180°.
Решение,
cos(a - 90°) = cos(90° - а) = sin а = 0,2, sin2 а = 0,04,
*>	о	24
1 — cos 2 а = 0,04, cos2 а = 0,96 = —, 25
cosa =
при а е (90°;180°).
„	- sin 2а	2 sin a cos а
Далее, tg2a =-----—- =—5-----------—
cos 2а cos а - sinz а
2 1 (. 24бУ
5 I 5 J = 4л/б
24_J_	23 '
25 25
Ответ:-------.
23
3.175.	Доказать, что если а и Р удовлетврряют неравенствам
0<а<—, 0<р<— и tga = 5, ctgp = —, то а + р =—.
2	2	3	4
Решение.
CtgB=- C0SP^2 cos2P = 4 1~sin2P = 4 sin26 = 2.
3 sinP 3 sin2p 9 sin2p 9	13
л
откуда при 0 < P < у имеем
2	2
. а 3	sina sin a 1-cos а г 1
sinP = -₽=; tg а = 5;--= 5; —x— = 25;------= = 25; cos a = —
V13	cosa cos2 a cos2 a	26
Отсюда при 0 < а < — находим cosa = -7=. Тогда 2	V26
»	2 с 13
ctgp-tga = --5 = -y,
cosp _ sina _ cosacosp-sinasinp _ cos(a+p) _ 13
sinp cosa sinpcosa sinpcosa 3
Использовав найденные значения sin p = -7= и cosa = -7=, имеем 713	V26
cos(a+p) _ 13
3	1 ~~T’
713 726
13>/2cos(a+p) _ 13 j	_ _у> откуда
cos(a + р) = —у, отсюда a + Р = у, что и требовалось доказать.
3.176. Дано: ctga = 4, ctgP = |, 0 < a < у 0 < р < у Найти a + р. Решение.
.	. cosa . cos2 a l-sin2a
ctg a — 4, -— = 4, —5— = 16,---5— = 16,
sina sin a sin a
• 2	1-	n л
откуда sm a = —, отсюда при 0 < a < — имеем
1 a cosP 5 cos2p 25 l-sin2p 25 sma = -=; ctgP = -£ = -,—=	,-----£ = —
717 sinP 3 sin2 P 9 sin" p 9 ’
9	л	3
откуда sin p — следовательно, при 0 < p < — имеем sinP = -т= 34	2	V34
Тогда ctga + ctgP =
cosa cosP _ sinPcosa + sinacosp _д + 5 sina sinP sinasinP	3
17
3 ’
sin(a + p)_ 17
sinasinP 3
Использовав найденные значения sin а = —= и sin В = —/=, имеем л/17	у/34
sin(a+p)_17	17-У2 sin(a+p)_ 17
1___з_ з ’	3	" 3 ’
V17 >/34
откуда sin(a + p)=^y-.
п а< —
2
Отсюда a + р = у для 0 < 4
иО<Р<^.
О Я
Ответ: а + р = —.
4
3.177. Вычислить (1 + ctgaXl + ctgр), если а + р = -р Решение.
(1 + ctg аХ1 + ctg р) = (1 +	Y1 +
I sina 1 smp
sin а + cos а ------------х
sina
^sinp + cosp _ cos acosp + sin asin p + sin acos p + cos a sin p _ sinp	sin asin p
cos(a - P)+ sin(a + p) |(cos(a-p)-cos(a + p))
/9
2 cos(a-p)+ —
---------л~2=2‘ cos(a-p)+y-
Ответ: 2.
3.178. Вычислить (1 + tgaXl + tgp), если a + p = ^.
Решение.
(l + tgaXl + ЧЙ-
i cosa 1 cosP I cosa
cos P + sin p _ cos acos P + sin a sin P + sin acos p+cos a sin p _ cosp	cosacosP
(
2 cos(a-p)+^-
cos(a - 0)+sin(a + р) - 1 . .
2...................
(	=2.
у (cos(a-p)+cos(a + p)) Cos(a-p)+^y-
Ответ: 2.
V21	V21
3.179. Доказать, что если sina = —sinP = -^- иа,Р —острые
углы, то a + Р = 60°. Решение.
V21 . ,	21 t 2	21 i 28
sina =--,sm"a = —,1-cos a = —,cos"a = —
7	49	49	49
так как aa — острый угол, то cos a =
. п V21 .	21 ,	21	175
sinp =----, sin" P = —, 1 -cos" P = —, cos" p =-;
14 H 196 H 196 И 196
так как РР — острый угол, то cosp =
. Тогда
sin(a + р) = sin acos Р + cos asin p =-------+-----------= —
K H 7	14	7	14	2
Следовательно, a + р = 60°, что и требовалось доказать.
sin a + tga
3.180. Показать, что выражение cosa+ctaa неотрицательно в об-
ласти определения.
Решение.
sina + tga _ sina + tga _
cosa + ctga „ , 1 b cosa +-------------
tga
(	\2
8tg2|	Vitgf
=----:H------------7 = 7---------v2------г >o,
H2! 1+,8i
2 j 2) \A	J J
Что и требовалось доказать. 2	• 2
3.181.	Исключить а из равенств х = tg а, у = sm а.
Решение. 2 sin2 а у у 2
x = tg а = —z— = —— и — = cos а. cos2 а cos а *
Отсюда
у . 2	2	У
у + —= sin а + cos а, _у + — = 1, ху + .у = х, х-у = ху.
X	X
Ответ: х-у-ху.
3.182.	Доказать, что cos 2 - cos 8 < 0.
Решение.
cos 2-cos 8 = -2sin5sin(-3) = 2 sin 5 sin 3.
Так как -^<5<2л, то sin5<0;3<n, поэтому sin3>0. Тогда 2sin5sin3<0 и cos2-cos8 < 0, что и требовалось доказать.
3.183.	Величины а, р, у в указанном порядке составляют арифметиче-_	sin a-sin у	_
кую прогрессию. Доказать, что----------= ctgp.
cos у-cos а
Решение.
Согласно свойству членов арифметической прогрессии
ак =а*-1+°Аг-И ( * = 2, 3,.... п -1, поэтому
н 2
Тогда
~ а+у . а-у 2 cos--sm-----L
sina-siny _	2	2
cosv —cosa ♦ a + y . a —у
'	2 sin-Lsin----L
2	2
= ctg^|^ = ctg0,
что и требовалось доказать.
3.184.	Дана дробь — .	Преобразовать подко-
1 +у32со5415°-10-8>/з
ренное выражение к более простому виду, после чего дробь сократить. Решение.
___________5___________=____________5_____________
1 + ^32сов415°-10-8->/з 1 + ^32(cos215 )2-10-8-Уз
5(1-^4+У16)	= 5(l-^4+Vl6) = j _ 3/4 + 3/jg
+ 1+4
Ответ: 1-^4 + l/l6
3.185.	Выразить tg4 a+ctg4 а черезт, где m = tga+ctga.
Решение.
tg4a+ctg4a = ((tga+ctga)2-Itgactga^ -2tg2actg2a = = ((tga+ctga)r -2^ -2 = ^и2 -2^ -2 = m4 -4m2 +4-2 = = m4 -4m2 +2.
4 о л Ответ: m -4m +2.
Решения к главе 4
ПРОГРЕССИИ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность, у которой задан первый член av а каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d, называемым разностью прогрессии.
Если заданы первый член ах и разность арифметической прогрессии d, то и-й член арифметической прогрессии вычисляется по формуле
ап +<7(л-1),	(4.1)
Формула (4.1) называется формулой общего члена арифметической прогрессии.
Свойства членов арифметической прогрессии
1. Каждый средний член арифметической прогрессии равен полусумме равноотстоящих от него членов:
ак = ак-\+^ак+\ , к = 2> з,п _ j.	(4 2)
2. В конечной арифметической прогрессии суммы членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов:
Д| + ап = а2 + а„_х = ... = ак + ап_к^} =... = 2а, + d(n -1).	(4.3)
Сумма п первых членов арифметической прогрессии
Сумма п первых членов арифметической прогрессии равна
Sn=^-n.	(4.4)
Учитывая (4.3), т.е что ах +ап = 2а{ +</(л-1), формулу (4.4) можно записать в виде
Sn = 2ai+d2{n~^n.	(4.5)
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность, у которой задан первый член bv а каждый следующий член, начиная со второго,равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное для данной последовательности число q, называемое знаменателем прогрессии.
Если заданы первый член и знаменатель геометрической прогрессии д,то л-й член геометрической прогрессии вычисляется по формуле bn=bl4n-1.	(4.6)
Формула (4.6) называется формулой общего члена геометрической прогрессии.
Свойства членов геометрической прогрессии
1.	Квадрат каждого среднего члена геометрической прогрессии равен произведению равноотстоящих от него членов, т.е.	'
(4.7)
2.	В конечной геометрической прогессии произведения членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны произведению крайних членов:
*1 A = *»2 А-! =byb„_1=... = bk-bM..^qn-\ (4.8)
3.	Произведение п первых членов геометрической прогрессии с по
ложительными членами равно корню квадратному из л-й степени произведения ее крайних членов:
Рп=^ьп)п.	(4.9)
В общем случае
Сумма п первых членов геометрической прогрессии
Сумма п первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле
S„=b>~n4	(4.10)
1-9
Учитывая (4.6), т.е. что bn -b^qn~x, формулу (4.10) можно представить в виде
Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии
Бесконечный числовой ряд, образованный из членов геометрической прогрессии Ь} + Ь2 + &3+ ...+ Ьп +... , при |<?| < 1 сходится, и его сумма 5 равна
S =-^~.	(4.12)
1-9
Формулу (4.12) называют также формулой суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
4.	001.3а изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца заплатили 2600 руб., а за каждое следующее заплатили на 200 руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено еще 4000 руб. Средняя стоимость изготовления и установ-
4
ки одного кольца оказалась равной 2244 — руб. Сколько колец было уста
новлено?
Решение.
Пусть = 2600 — первый член арифметической прогрессии, d = -200— разность этой прогрессии, п — количество членов.
Тогда по формуле (4.5) получаем
Z-ZOOCC-IX-ZOQ) --------г-------------= 2244, п---------------------9
2	40
9п - 41л - 360 = 0, откуда п\ = 9; л2 = _ ~ (не подходит).
Ответ: п-9.
4.002.Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 5/3, а произведение третьего и четвертого ее членов равно 65/72. Найти сумму 17 первых членов этой прогрессии.
Решение.
Имеем
5 а1+а5
65 43-4<=^
Используя формулу (4.1), находим
а, +а( +4d = |, (a1+2rf)(a1+3<Z) = ^
2а.+4</=-,
1	3
(a1+2rf)(a1+3J) = ^
a,+2d = —,	al+2d-~,
6	О
(a1 + 2<Z)((a1+2J) + </) = ^|	=
72 [O\O 7
По формуле (4.5) получаем =
2- + — 16
3 4
2
•17 = 1”
3
119
Ответ:
4.003. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, а за каждый последующий — на 1/2 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
Решение.
Пусть ах = 1 — первый член арифметической прогрессии, d = ± —
ее разность, Sn = 7 — сумма п членов этой прогрессии, где п — количество членов. По формуле (4.5) имеем
--------—-л = 7, л2+Зи-28 = 0,
2
откуда пх = -7 (не подходит); п2 = 4 . Отсюда: стрелок попал в цель 21 раз.
Ответ: 21 раз.
4.004. Найти три первых члена аьа2, аз арифметической прогрессии, если известно, что Л] + а3+а5 =-12 и аха3а5 =80.
Решение.
\а{ + а3 +д5 =-12,
Из условия имеем s
[oj ^3 ^5= 80.
Используя формулу (4.1), получим
(ах + ax+2d + ax+4d = -12,
[aifo + Id \ax + 4rf)= 80
Ja1+2rf = -4,
+2rfXai +2d + 2J)= 80
ar(-4X-4+2</)=80
al=-4-2J, at(d-2) = -10**
|a|=-4-2rf, Ц-4-2^-2)=-Ю**
(at = -4-2d, (rf = ±3.
Я| =-4-2б/, d2 =9
[л = -4-2rf, \ax = -4-2J, Отсюда s ,	или i
[d = -3	|// = 3,
т.е.
= 2, d = -3
или
aj =-10, d = 3.
Тогда
ax = 2,a2 = 2-3=-l,a3 = 2-6 = -4;
или
a{ =-10, a2 =-10 + 3 = -7, a3 =-10+6 =-4.
Ответ: 1) 2, -1, -4; 2) -10, -7, -4.
4.005. Найти число членов арифметической прогрессии, у которой сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32. Написать три первых члена этой прогрессии.
Решение.
f(ai +d)d = 30, И3^СЛ0ВИЯИМееМ [(a,+2</)+(a, + 4rf)= 32 =>^=16-34/, (16-2</)rf = 30, 2d2 -16t/ + 30 = 0 или
rf2-8rf+15 = 0=>
/ = 3,	p' = 5
=> z ИЛИ 5 » ax =7	[ai =1
Для каждого из решений воспользуемся формулой (4.5).
1) При ах = 7, d' = 3 получим
14 + 3(«- 1)	о 2 it	л
П2 =----------л, Зп +11и-224 = 0,
2
32
откуда п} = 7 , п2 = —— (не подходит). В этом случае имеем
«I =7, а2 = Ю, а3 =13 •
2) При ц =1 сГ = 5 имеем 112 = ^-—^——л, 5л* 2 * *-Зп-224 = 0,
откуда п = 7 , п = -6,4 (не подходит). В этом случае три члена таковы:
= 1, а2 = 6,а3 =11.
Ответ. 7; 1)7, 10,13; 2) 1,6, 11.
4.006. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м?
Решение.
Пусть ц=800 — первый член арифметической прогрессии, d = -25 — разность, Sn = 5700 — сумма п членов этой прогрессии. Используя формулу (4.5), получим
п = 5700, п2 -65и + 456 = 0,
2
отсюда п{ = 8 , п2=57 (не подходит).
Ответ: за 8 часов.
4.007. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.
Решение.
{а9
«13 =2«6 + 5-
Используя формулу (4.1), получим
Гц + 8rf = 5(ц +rf) Г4ц =3J, Ш = 2(а} + 5d)+ 5 ** [а, = 2d - 5, **
'4(2J-5)=3< ‘ aj=2J-5
d = 4,
a( =3.
Ответ: 3; 4.
4.008. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой сумма крайних членов равна -49, а сумма средних членов равна 14.
Решение.
+Z>4 =-49, Из условия имеем < =14.
Используя формулу (4.6), получим
Ь + b,q3 = -49,	(1 + q3 )= -49,
b\q + bxq* 1 2 = 14	|б19(1 + ^) = 14
[a(i+?)J-?+?2)=-49>
[/w(l + $)=14.
Разделив первое уравнение системы на второе, получим
®=0 1V+359+14=o.
biq^ + q) 14 q 14
2?2+5?+2 = 0 т.е. q = -2, / =	=7, />, =-56.
Тогда получим:
1) bi' = 7, b2 = -14, b3 =28, b4' = -56 *
2) Z>j" = -56, b" = 28, b" = -14, />/ = 7 •
Ответ: 1) 7, -14, 28, -56; 2) -56, 28, -14, 7.
4.009. Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |<?| < 1, сумма которой равна 8/5, второй член равен -1/2.
Решение.
к
Используя формулы S = —- и bn — bxqnA , получим -
bi _8 \-q 5’ , 1 ^ = -2
—	, 16g2 -16g -5 = 0, откуда найдем Ч\ =	, Чг = — > 1 (не
7	(
подходит). Тогда ^з = Ь\Ч~ =
1У_ п
2 Л Л
8’
Ответ: -
О
4.010. Найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |^| < 1, сумма которой равна 6, а сумма пяти первых членов равна 93/16.
Решение.
Используя формулы 5 = —— и (4.11), получим
1-^
У^ = 6,	р>!=б(1-д>	р!=б(1-д>
“м—й	16	2
t , 1 3 t , 1 3
Тогда Ь2 = 3- = -, Ь3 = 3 - = -.
Z7	, 3	3
Ответ: 3,—,—.
2 4
4.011. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найти эти числа.
Решение.
ах + а2 + л3 =2,
Из условия имеем
д|2
2	2 14
а2 +а3 =у
+
Используя формулу (4.1), получим
+О|+2t/ — 2,	в|+</	,
а2+(а, +J)'+(a1+2J)'= —	2,4 ,/2	_14
[ 1 9 [3	) 9
3 Отсюда имеем: 1) За2-4o,+1=0.
Тогда
,	, 2	' 1	" 1	"2	",
1) at =1, a2 =-, a3 = -;2) at =-, af = -, a3 =1.
,21	12,
Ответ: 1) 1,	2)	1.
4.012. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.
Решение.
Из условия имеем а3+О9=8. По формуле (4.1) получаем a1+2rf+a14-8rf = 8> 2^410^ = 8, а по формуле (4.5), находим SH = 2а1^—.11 = 44
Ответ: 44.
4.013. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму 10 первых членов арифметической прогрессии.
Решение.
Из условия имеем: av -1, ^+</-1, ах +2^41 --три последовательных члена геометрической прогрессии. По формуле (4.5) находим 53 =	t-—-3 = 15 или ^+^ = 5. По формуле (4.7) получаем
=(^-1X01+26/+!). Подставляя в это уравнение значение
ax =5-d , получим 16 = (4-d\() + d\ d2 +2d-8 = 0. Отсюда J,=-4, d2 =2 . Тогда ax =9, a2 =5, a3 =1; ax =3, a2 =5, a3 =7. Учитывая, что по условию «] < а2 < а3, получим а, = 3, d = 2. Тогда
Slo = 2’3+2'9 10 = 120.
Ответ: 120.
4.014. Известно, что при любом п сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn = 4и2 -Зп. Найти три первых ч лена этой прогрессии.
Решение.
Пусть л=2 и п-3. По формуле (4.4), находим
5, =^-|^-2 = 4 (2f-3-2 = 10, =а±£1.3 = 4.(з)2_3.3 = 18
или по формуле (4.1) получаем
(а, + а, + d = 10,	[2а + d = 10,	[а=1,
+«! +2 J =18	[aj+rf = 9	|d = 8.
Тогда a2 = ax + d = 9, a3 = +2d = 17 .
Ответ: 1,9, 17.
4.015. Вычислить
(l+З2 +52 +... + (2n-tf +...+1992)-(г2 +42 +62 + (2nf +...+2002).
Решение.
Из условия имеем
l + З2 +52 + ... + (2л-1)2 +...+1992 -22 -42 -62 -(2л)2 -...-2002 =
= (1 - З)2 + (з2 - 42)+ (s2 - 62)+... + ((2л -1)2 - (2л)2)+...+(1992 -2002 )= = (1-2Х1+2)+(3-4ХЗ+4)+(5-бХ5 + б)+...+(2л-1-2лХ2л-1 + 2л)+ +...+ (199-200X199+200)=-3-7-11-...-(4л-1)-. ..-399.
Отсюда =-3, J = -4, ап =-399 . Используя формулы (4.4) и
ап ~ а\ 1
п = ——- +1, получим
Sn =
-3-399
2
-399 + 3 Л
-------+ 1
-4	)
= -20100.
Ответ: - 20100.
4.016. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560.
Решение.
Из условия имеем
£>!-*2=35, by - 64=560.
По формуле (4.6) получаем
*1-% = 35,	f*1(l-^) = 35, i-g _ 35
%2-*,93=560	|*i<72(l.-g) = 560	92(1-^)~560
=> </2 = 16,<?| = -4,<?2 = 4. Подставляя qx = -4, получим
*1 =7,*2 =~28,*з =112,*4 =-448. Подставляя qy = 4, получим
"	35 , "	140 . "	560 . "	2240
61 ’’Т'*2
14^7 оо 11. лло 35	140	560	2240
Ответ: 1) 7, -28,112, -448; 2)--,---,-----,-----.
3	3	3	3
4.017. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.
Решение.
IZh-fy =9, Из условия имеем <
1^-64=18.
По формуле (4.6) получаем
*1<72-*1=9, b^q-b^q* = 18
*!(<?2-1) = 9,	_	?2-1	_9_
-blq(q2-l) = lS -?(?2-1) 18
9
=> q = -2. Подставляя q = -2, получаем bx = —z— Я -1
9
=----= 3. Тогда
4-1
*2 =—6,*з =12,*4 =—24.
Ответ: 3, -6,12, -24.
4.018. Знаменатель геометрической прогрессии равен 1/3, четвертый член этой прогрессии равен 1/54, а сумма всех ее членов равна 121/162. Найти число членов прогрессии.
Решение.
Из условия имеем
ь4 =—,
4 54’
S
. ” 162
По формулам (4.6) и (4.11) получаем
.	, з .fiY bi i , i
о4 = ад = 6, - ; — =—, Oi= —
4	1 3 I 27 54 1 2
= —=>24з(з"-1)= 242-3”
162 V ’
=> 3” =243, n = 5.
Ответ: n = 5.
4.019. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что Ь4 -Ь2 =-45/32 и 56 -64 = -45/512 .
Решение.
Из условия имеем
45
32’
-b4=-
45
512
^4 “ ^2 - “

Используя формулу (4.6), получим
[, 3 ,	45	32’	g(y2-l) 512 32
2	1	I	1 „
=> q = —,	= ~7>	= 7 • Подставляя эти значения qt и q2, найдем
16	4	4
= -6 и = 6 •
Ответ: 1) - 6, - —; 2) 6, - .
4.020. Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равна 1820.
Решение.
Из условия имеем q = 3, S6 = 1820 .
По формуле (4.11) получаем
^——^ = 1820, ^=5. 1-3	1
Используя формулу (4.6), найдем Ь5 = £^4 = 5 • (з)4 = 405.
Ответ: 5, 405.
4.021. Арифметическая прогрессия обладает следующим свойством: при любом п сумма ее п первых членов равна 5п2 . Найти разность этой прогрессии и три первых ее члена.
Решение.
Пусть л = 2 и и = З.Поформуле(4.5)находим
^а\	7 - S 72
7 Э ’	[2a1+t/ = 20, R = 10,
2ax+2d у1	=	(/*1=5.
2
Тогда a2 =15, a3 =25 .
Ответ: 10; 5, 15, 25.
4.022. Произведение трех первых членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.
Решение.
fa Л А =1728, Из условия имеем 5,	7	.
J	+b2 + Ь3 =63.
Используя формулу (4.6), получим
bi-btf-biq2 =1728,
' >
4	+	= 63
M = 1728,	(*W = 12,
1} + l\q + (bfl )j = 63	[^+12+12^ = 63
*W = 12, 6j+12^ = 51.
=> 4<?2-17<?+4 = 0,
<7 = 4 или q = —. 4
\q = 4, Отсюда получаем s или «
4=48.
Ответ: 1) 3, 4; 2) 48, ~ .
4.023. Решить уравнения:
а)	2х + 1 + х2 -х3 + х4 -X5 +... = 13/6, где |х|<1;
б)	—ьх + х2 + ... + хл + ... = —, где |х| < 1.
х	2	’ 1
Решение.
а) 2х + 1 + (х2 -х3 +х4 -х5 + ...)= 6
По формуле S =	получаем
1-9
X2	13	17
2х+1+-----= — =>18х2+5х-7 = 0 =>*!=-> х2=~а’
1 + х	6	2	9
б) —+ (х + х2 + ... + х" + ...)=
По формуле (4.12) получаем
Ответ: а) Х| = -, х2 = --; б) х2 = - .
4.024. Первый член арифметической прогрессии равен 429, разность ее равна -22. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069?
Решение.
Из условия имеем at = 429, d = -22, Sn = 3069.
По формуле (4.5) получаем
2-429-22(и-1) п = 3069, (429_j= 3069
п2 -40л+ 279 = 0 => п{ =9, п2 =31.
Ответ: 9 или 31.
4.025. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |<?| < 1 равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна 153,6. Найти четвертый член и знаменатель прогрессии.
Решение.
Из условия имеем
Ь\ + ^2 + 63 + • • • = 16, l^+l^+bl +... = 153,6,
По формуле (4.6) получаем
5, +biq + l\q2 +... = 16,	^(j+9 + 92 +...)=16,
Д2 + b2q2 + bfq4 +... = 153,6 J + q2 + qA +.. .)= 153,6.
По формуле (4.12) получаем
^—=16,
&2—Ц- = 153,6 1"?
=> b[ =16(1-9) => (1б(1-9))?——г = 153,6, откуда 9 = — . Тогда
1~9	4

= 12. По формуле (4.6) получаем b4 = bfq3 = 12 • — = 64
3
16
3 1
Ответ:	—
16 4
9 М. И. Сканави, группа А
257
4.026. Найти натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию, если произведение трех и четырех первых ее членов равны соответственно 6 и 24 .
Решение.
[«!(«! + rf)(«2 +^) = 6 условия имеем < z , z Л , z
+ 2rf)(«j + 3J) =
^1 (#| + ^)(«2 + tZ)	6	J A A 1 J
=>-------------------------= — =>«i + 3d = 4,«, = 4-3tZ.
a1(a1+6/)(a2+t/)(a1+3rf) 24	1	1
Получаем уравнение
3d3 - lid2 + 48</ - 29 = 0 <=> 3d3 - 3d2 -19d2 +19d + 29d - 29 = 0 <=>
о(d-l)(3d2-\9d + 29) = 0 =>di =1,J23 =	(не подходят).
’	6
d = 1 => «] = 1, «2 = 2, «з=3, «4=4.
Ответ: 1,2,3,4, ...
4.027. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 6, их произведение равно 135/16. Найти сумму 15 первых членов этой прогрессии.
Решение.
Из условия имеем
«3 +«9=6,
135 а3п9= —
По формуле (4.1) получаем
«I + 2J +«i +8</ = 6,	(«j +5J = 3,
*	135	135
(«J + 2rf)(«! + 8rf) =	(«! + 2tZ)(«l + 8J) = —
16 I	16
=> a, = 3 - 5d => (3 - 5 d + 2</)(3 - 5 d + 8<7) =
,2	1 .	1 .	1
16	1	4	2	4
	. 17	.7
Тогда «j =— и «| =—. 4	4
По формуле (4.5) получаем
17	1 .л	7	1 «л
,-------14	„ - + --14
S15 = -^—-----15 = 37,5 или 5,5 = -2—4--15 = 52,5.
Ответ: 37,5 или 52,5.
4.028. Найти число членов конечной геометрической прогрессии, у которого первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12 и 3072.
Решение.
Из условия имеем Ьх = 3, b2 = 12,..., Ьп = 3072.
По формуле (4.6) получаем
*1 =3, q=4, 4'"1 =1024
5
/»!=3,
% = 12,
б,?”’1 * =3072
Ответ: 6.
4.029. Найти сумму всех положительных четных двузначных чисел, делящихся на 3 нацело.
Решение.
Из условия имеем ах = 12, ап = 96, d = 12 .
По формулам (4.4) и (4.5) получаем
H = q"~a| +1; n = —~12+1 = 15, S„ = —9^-15 = 810.
d	6	”2
Ответ: 810.
4.030. Найти знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии (|^| < 1), у которой каждый член в четыре раза больше суммы всех ее последующих членов.
Решение.
Из условия имеем Ь} = 4(5-^).
По формуле (4.12) получаем
/>, =4f-A—U *, =
U-? I
1 л 1
, 1-<7=4?, q = -
1~<7
1
Ответ: —
4.031. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший угол которого равен 120°, образуют арифметическую прогрессию с разностью в 5°. Определить число сторон многоугольника.
Решение.
Из условия имеем а\ = 120°, d - 5°. Используя формулы суммы членов арифметической прогрессии (4.5) и суммы внутренних углов л-уголь-ника Sn = 180°(л - 2), получим
240°+ 01-1)5-. и _ j 8qo^w _ 2)эи2 _ 25и +144 = 0 =>
=> Л| = 9,л2 = 16 (не подходит, так как в этом случае
=> а16 = 120° +5° -15 = 195°, а внутренний угол выпуклого n-угольника всегда меньше 180° ).
Ответ: 9.
4.032. Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии равно 406. При делении девятого члена прогрессии на ее четвертый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найти первый член и разность прогрессии.
Решение.
Из условия имеем «И3 °6	По формуле (4.1) получаем
= 2я4 +6.
(a1+2t/)(a1+5t/) = 406, Uj +8d = 2(fl| +Зб/) + 6.
=>at = 2d-6 и 14rf2-33d -185 = 0, откуда найдем
37	'	( 37 1	79
d, =----,d? =5. Тогда a, =2-------6 =------(не подходит) или
1	14 2	I 14 J 7
ai"=2-5-6 = 4.
Ответ :4 и 5.
4.033. В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами и со знаменателем |#| < 1 сумма трех первых членов равна 10,5, а сумма прогрессии 12. Найти прогрессию.
Решение.
По формулам (4.6) и (4.12) получаем:
bl + bxq + Ьд1 = 10,5,	k (1 + q + q1) = 10,5,
A = 12(l-9)	=12(1-9).
Отсюда 12(1-^)(1 +</ +02) = 10,5, 12(1-?3) = 10,5, ? = 0,5.
Тогда bi = 12(1 -0,5) = 6, b2 = 3, by =
3
Ответ: 6,3, — ,....
2
4.034. Найти три первых члена арифметической прогрессии, у которой сумма любого числа членов равна утроенному квадрату этого числа.
Решение.
Пусть и = 2 и л = 3. Из условия имеем
а\ +а2 =3-22,
<
+ а2 4-я3 = З-З2.
По формуле (4.1) получаем
fa} +ai + d = 12,	j2aj 4-rf = 12, fd = 6,
[al+al+d + ai+2d = 27 [a14-rf = 9	(aj=3.
Тогда a2 = 9,a3 = 15.
Ответ: 3, 9, 15.
4.035. При делении тринадцатого члена арифметической прогрессии на третий член в частном получается 3, а при делении восемнадцатого члена на седьмой член в частном получается 2 и в остатке 8. Определить разность и первый член прогрессии.
Решение.
[^13 “ За3,
Из условия имеем S ~
1^18 ~ 2^7 4- 8.
Используя формулу (4.1), получим
п, + 12</ = з(а1+24	(at=3d,	1а,=12,
п, +17d = 2 (а, + 6J)+ 8 (а, = 5d - 8 ** [d = 4.
Ответ: 4, 12.
Решения к главе 6
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Для любых а, b и с верны равенства:
(a + bf =а2 + 2ab+b2	(6.1)
(a-bf =а2 -2ab + b2 ;	(6.2)
a2 —b2 = (a-b\a+b)‘,	(6.3)
(а + bf = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3(6.4) (a-b)3 =а3-За2Ь + ЗаЬ2-Ь3;	(6.5)
a3 +b3 =(a+b^a2 -ab+b2);	(6.6)
а3 -Ь3 = (a-b/a2 +ab + b2)',	(6.7)
ах2 + Ьх + с = а(х - Xj X* - х2), где %i, х2 — корни уравнения
ах2 +Ьх + с = 0 •	(6-8)
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Уравнением с одним неизвестным называется равенство /|(*)=£|(*)	(6-9)
где fx (х) и gj (х) — некоторые заданные функции переменной х над числовым множеством М,
Решением (корнем) уравнения (6.9) с одним неизвестным называется такое численное значение неизвестного, взятое из множества чисел,
указанных в условии уравнения, которое обращает данное уравнение в тождество (верное равенство).
Решить уравнение — это значит найти множество всех его решений или показать, что решений нет.
Областью допустимых значений неизвестного (ОДЗ) уравнения (6.9), называется множество всех значений, взятых из числового множества, над которым задано уравнение, при которых существуют обе фун-кции(части уравнения) /(х) и gjx).
Пусть в результате преобразования уравнения (6.9) получено уравнение
(6.10)
Если все решения уравнения (6.9) являются решениями уравнения (6.10), то уравнение (6.10) называется следствием уравнения (6.9).
Два уравнения (6.9) и (6.10) с одним и тем же неизвестным называются равносильными (эквивалентными), если уравнение (6.10) является следствием уравнения (6.9) и, наоборот, уравнение (6.9) является следствием уравнения (6.10) или если оба уравнения решений не имеют.
При преобразованиях уравнения область его допустимых значений может изменяться, полученное уравнение в общем случае неравносильно данному. Если при некоторых преобразованиях ОДЗ уравнения расширяется, то полученное уравнение может иметь корни, посторонние для данного уравнения.
Если обе части данного уравнения возвести в одну и ту же степень, то все его корни будут корнями полученного уравнения, т.е. полученное уравнение всегда будет следствием данного, обратное утверждение не всегда имеет место.
Всякое целое рациональное алгебраическое уравнение п-й степени с одним неизвестным может быть записано в виде
апхп + an_xx'l~{ +... + ajX + a0 =0	(6.11)
где ап, ап_х,..., а0 — заданные числа (коэффициенты уравнения), х — неизвестное, п — натуральное число.
Коэффициенты ап и а0 называются соответственно старшим коэффициентом и свободным членом уравнения (6.11).
Уравнение первой степени с одним неизвестным
Целое рациональное алгебраическое уравнение первой степени называют просто уравнением первой степени.
Любое уравнение первой степени с одним неизвестным может быть приведено к каноническому виду •
пх + 6 = 0 (а*О}	(6.12)
Уравнение (6.12) является частным случаем уравнения (6.11), если в последнем положить п = 1, а, = 1 и а0 = b.
Уравнение ах + 6 = 0 (а^0)в множестве действительных чисел всегда имеет решение, и притом только одно:
Ь х =—. а
Уравнение второй степени с одним неизвестным
Целое рациональное алгебраическое уравнение второй степени называется уравнением второй степени, или квадратным уравнением.
Всякое квадратное уравнение с одним неизвестным можно привести к каноническому виду
ах2 +6х + с = 0 (а*О)	(6.13)
Уравнение (6.13) является частным случаем уравнения (6.11), если в последнем положить п = 2 , а2 = а , а{ = b п а$ = с .
Квадратное уравнение (6.13), записанное в канонической форме, называется неполным, если хотя бы один из его коэффициентов, кроме старшего а, равен нулю.
Если все коэффициенты квадратного уравнения, записанного в каноническом виде, отличны от нуля, то оно называется полным.
Полное квадратное уравнение, старший коэффициент которого равен 1 (а = 1), называется приведенным квадратным уравнением', оно имеет вид
х2+рх + ^ = 0.	(6.14)
Формулы корней полного квадратного уравнения
Если D = Ь2 -4ас > 0 (дискриминант уравнения), то уравнение (6.13) в множестве действительных чисел имеет два и только два действительных корня, которые определяются по формулам
(6.15)
- b - 4 b2 -4ac	-b + >lb2 -4ac
Xi =--------------, x7 =------------
1	2a	2	2a
Если b2 - 4ac > 0, то xl Ф x2, а если b2 - 4ac = 0, то xx=x2, Если b2 - 4ac < 0, то уравнение (6.13) действительных решений не имеет.
В частном случае, когда b — четное число, т.е. Ь = 2к , уравнение (6.13) принимает вид ах2 + 2кх + с = 0, а формулы (6.15) преобразуются в следующую:
(6.16)
-к±\к -ас
xi 2 _ а
Если уравнение приведенное, т.е. имеет вид х2 + рх + q = 0, то для определения его корней получим
Х^~ 2 * V 4
(6.17)
Разложение квадратного трехчлена на множители
Выражение ах2 +Ьх + с при а Ф 0 называется квадратным трехчленом.
Выражение D = b2 -4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена.
Если D > 0, то квадратный трехчлен разлагается на множители с действительными коэффициентами:
ах2 + Ьх + с = а(х-хх\х-х2\	(6.18)
где Xj и х2 — корни квадратного трехчлена, определяемые по формулам нахождения корней полного квадратного уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется целое рациональное алгебраическое уравнение четвертой степени, которое может быть приведено к каноническому виду
ax4 + bx2 +c = 0 (a#0).	(6.19)
Заменив x2 на Z, получим at2 + bt + c = 0, из которого находим _-b- ylb2 -4ас _ - b + 4 b2 -4ac ‘l~ 2a 't2~ 2a
Если Zj >0 и Z2 >0	(a>0,c>0,b2 -4ac>0,6<0 или
a < 0, c < 0, b2 -4ac > 0, b > 0), то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня
J-b-ylb2 -4ас , l-b + ylb2 -4ас ------э	’ хз,4 =	-z-• 2а---------------------------------1 2а
Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения
Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения и имеющие вид
решаются с помощью подстановки
(6.20)
(6.21)
Тогда ** t и относительно z получается уравнение
aZ + & —= <?или д/2_с/ + £ = о (z*0).
Теорема Виета
Корни уравнения апхп +ап_1хп~} +... + а1х + а0 =0 (дл*0) сего коэффициентами связаны следующими соотношениями:
ап-\
Х1 + х2 +‘-- + х„ =----—,
ап
ап^
х!х2 + Х1Х3+... + Хл_1Х// = “^>
ап-3
{Х}Х2Х3 +х{х2х4 +... + Хл-2х,1-1Хн =-------->
ап
Х^Ху.-.Х^Х^^^-. ап
Например, для уравнений четвертой степени ах* + bx3 + сх2 + dx + е = О (а * 0) теорема Виета имеет вид
X] +Хэ +х3 +х4 =---,
а с
Х}Х2 + XjX3 +Х)Х4 + х7х3 +х7х4 +х3х4 = —, а d
Х1Х2Х3 +Х1Х2Х4 + Х1Х3Х4 +Х2Х3Х4 =--,
а
е ххх2х3х4 = —; а
для кубического уравнения ах3 + bx2 + сх + d = 0 (а Ф 0):
Х1 + х2 + хз =--,
а
с
< XjX2 +XjX3 +Х2Х3 = —, а
d xtx2x3 =---;
а
для квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 {а 0):
b %i+x2 =—, a
c
Xl%2 =-• a
Иррациональные уравнения
Иррациоиалънымуравнением называется алгебраическое уравнение, если хотя бы один из членов которого иррационален относительно неизвестного, т.е. это есть уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала.
Общий метод решения иррациональных уравнений заключается в следующем: сначала изолируется один радикал, затем обе части уравнения возводят в степень, потом снова изолируют радикал и т.д. При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень получается уравнение, в общем случае неравносильное данному; поэтому проверка найденных значений неизвестного по условию исходного уравнения обязательна, т.е. является составной частью решения.
Если обе части уравнения /|(х)= /2(х) возвести в четную степень л, то корнями полученного уравнения (/j(x))n = (/2(х))л будут все корни исходного уравнения (х) = /2 (х) и уравнения fx (х) = -/2 (х).
При переходе от уравнения Л(х) = /2(х) к уравнению (yj (х))" = (/2 (х))л потери корней не произойдет, но могут появиться посторонние корни, а именно: корни сопряженного с исходным уравнения
Если обе части уравнения /i(x) = /2(х) возвести в нечетную степень к, то получим уравнение (х))* = (f2 (х))*, равносильное исходному в множестве действительных чисел.
При возведении в нечетную степень обеих частей уравнения, рассматриваемого в множестве действительных чисел, посторонние корни не появляются.
Приступая к решению иррационального уравнения, целесообразно предварительно определить ОДЗ, так как может оказаться, что это уравнение не определено в области действительных чисел.
При решении иррациональных уравнений следует иметь в виду, что не принадлежащие к ОДЗ значения неизвестного всегда посторонние для решаемого уравнения; их можно отбросить без проверки по условию. Найденные значения неизвестного из области допустимых обязательно следует проверить по условию уравнения, так как они также могут оказаться посторонними.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Системой п уравнений с т неизвестными называется п уравнений, в каждом из которых неизвестные, обозначенные одной и той же буквой, означают одну и ту же неизвестную величину.
Решением системы п уравнений с т неизвестными называется всякая упорядоченная совокупность из т таких чисел, которые, будучи подставлены в систему вместо неизвестных, обращают каждое уравнение системы в тождество.
Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или показать, что она решений не имеет.
Если система не имеет решений, то ее называют несовместной или противоречивой, в противном случае — совместной.
{а}х +Zm’ = q,
может либо иметь единственное решение, а2 х + Ь2 у = с 2
либо иметь бесконечно много решений, либо не иметь решений. При графическом способе решения каждому уравнению данной системы ставится в соответствие некоторая прямая на плоскости ХО У; таким образом, данной системе на плоскости соответствует пара прямых. Две прямые на плоскости могут либо пересекаться в одной точке, либо совпадать, либо не иметь общих точек.
При пересечении прямых данная система имеет единственное решение; при совпадении прямых данная система имеет бесконечно много решений; если прямые не имеют ни одной общей точки, то данная система решений не имеет.
Решить уравнения (6.001 — 6.066):
6.001.	1 = 23.
х - 4	л* + 3
Решение.
ОДЗ: х * -3, х # 4.
х2+1 х2-1 „	16х2-25х-275 п
х-4 х + 3	(х — 4Хх + 3)
=> 16х2-25х-275 = 0 => х. =	, х2 =5.
1	16	2
55 Ответ:	, х2 =->.
16
6.002. ----
х~а
Решение.
ОДЗ: х*а,
Ь —^—=2. х-Ь
х*Ь.
Ь । а х-а х-Ь
2х2 - 3(а + б)х + (а + б)2 _ ^-а\х-Ь)	=°^
а+Ь ~2~
а + Ь
Ответ:	, х2 = а + о.
X2 6Л03. —
3*	4 Л
-2---------+ 4 = 0.
2 . v с
Решение.
_ 1 + V21
ОДЗ: х Ф 0, х Ф у
х2
Пусть —
= z, тогда z + — + 4= 0 => z
=^z2 +4z + 3 = 0, =» zj =-3, z2 =-1.
Чтобы найти х, решим два уравнения:
х2+х-5	~2
--------= -3 или
= -1.
Решая каждое из них, находим:
%! = -5, х2 *з =-1->/б, х4 =-1 + >/б.
Ответ: х, = -5, х2 =1, х3-4 = -1±>/б.
4	50	..
6.004. х -	=14.
2х4 -7 Решение.
„	„ 4	Z+2 50
Пусть 2х - 7 = z, тогда —--— = 14 =>
Чтобынайтих, решим два уравнения 2х4 - 7 = -4 или 2х4 - 7 = 25,
решив которые, получим х, =
, х3 = -2, х4 =2.
Ответ: х12 = ±Я—, х3>4 = ±2.
б-°°5- х(х + 2) (х + 1)2 12’
Решение, ОДЗ: х * 0, х * -1, х Ф -2.
1________1	= J_ 1_______________1	= J_
х(х+2) (х + 1)2 ~12^х2+2х х2+2х+1 12'
Пусть х2 + 2х = z, тогда
z2+z + 12 Л 2	л -5
—7----г— = 0=» z +z + l2 = 0=»Zi =-4, Zo =3.
z(z + l)
Чтобы найти х, решим два уравнения: х2 +2х = -4 или х2 +2х = 3.
Решая их, находим: хх1 е 0 (р < 0} х3 = -3, х4 = 1.
Ответ: хХ 2 е 0, х3 = -3, х4 = 1.
6.006.
1	?	2
l _ m + n “ ~	2	2 *
x m — n
Решение.
ОДЗ: x * 0, т * ±п. .	7	2	7	2
1 ~т+п 2	+ л 1 л
х + - = 2—----<=>х2 -2—--х + 1 = 0,
х т~-п~	т~-п
корни Х| =
т + п	т-п
----, х2 = ——• т-п-т + п
л	т + п	т-п	। ।
Ответ'. х1 =-, х2 =----, где т * л
т-п	т + п	1
Решение.
ОДЗ: х * 0, а * 0.
х2 Ъ3 Ь Ь2	х4 -{a2b + ab2\c2 + а3Ь3
— □----= — + — <=>----------------£--------
а3 х2 а а2	а3х2
или х4 - (я 2 6 + ab2 )х2 + а3Ь3 =0, ах Ф 0.
Уравнение является биквадратным относительно х. Пусть х2 = j тогда наше уравнение принимает вид
у2 - [a2b + ab2 )у + а3Ь3 = 0,
откуда
a2b + ab2 ±\(a2b + ab2\-4а3Ь3 --------------------------=
a2b + ab2 +JaAb2 +2а3Ь3 +а2Ь4 -4а3^
2
b2 -2a3b3 +a2b4 _a2b + ab2
~2	Г"
a2b+ab2±\
; yi =ab2, у2 -а2Ь.
Чтобы найти х, нужно решить два квадратных уравнения: х2 = ab2 или х2 =а2Ь.
х12 = tTofe2" = ±bja , где с учетом ОДЗ а > 0;
х3 4 = +т]а2Ь = +ch[b , где Ь > 0 ♦
Ответ: хХ2 = ±bja , где а > 0; х3 4 = +ajb , где Ь > 0 ♦
6.008.
х-3 х + 3 х + 6 х-6 -----1--=-----1----.
х -1	х+1 х + 2 х-2
Решение,
ОДЗ: х Ф +1, х Ф +2.
х-3 х + 3 х + 6 х-6	2х2-6 2х2 -24
----+------=-----+-----<=> —----= —------<=> х —1 х + 1 х + 2 х-2 х2-1 х2-4
х2-3 х2-12	6х2
х2 -1 х2 -4	(х2 -1)(х2 -4)
отсюда х = 0.
Ответ: х = 0.
5а 4а За о
6.009. ——+ ~+ ~= 8 у + а у + 2а у + За
Решение.
ОДЗ: у Ф -а, у Ф -2а, у Ф -За.
-g8-У3 +36лу2 +38а2^
у + а у + 2а у + За	{у + а)(у + 2ajy + За)
или
j>(4j>2 +18ау+19а2)=0,
у Ф -2а, уФ-За
>=>;> = 0 или 4^2 + 18яу + 19а2 =0.
-9а±78к?-76а2 -9a±aV5 a(-9 + >/3 ’	4	4	4
„ л a(-9± Уз)
Ответ: У| = 0, у2 з = —5-1.
4 1 1 1
6.010. з . з . . • х3 +2 х3+3 12
Решение.
ОДЗ: х # -V2, х * -7з.
1_____1_ = ±	х6+5х3-6
х3+2 х3+3 ^^^х’+г^+з)	**
1хб+5х3-6 = 0, [(х3+2р+з)*О.
Пусть х3 = у. Получаем квадратное уравнение относительно у: уг + 5 у - 6 = 0. Отсюда yt = -6, у2 = 1.
Отсюда х3 = -6 или х3 = 1 и X! = -Тб, х2 = 1.
Ответ: х1 = ~7б, х2 = 1.
6.011.
х-2 х + 2 х-4 х + 4 28 ----h----—----F-------. х-1 х + 1 х-3 х + 3 15
Решение,
ОДЗ: х#±1,х*±3.
Из условия имеем
----+
Iх-1
х + 2] / х-4 х + 4 ]	28
----I— ---------1=----
х + 1 1 I х-3 х + 3 1	15
х2-2 х2-12	14	2х2+6	14 .
х2 +3	7	»2+3	7 .
°(х._фГ5)-нв^_1р-9)+1з=0<=>
7х4-55х2+108 = Ьх4 -55х2 +108 = 0, (х2 - 1)(х2 - 9)	[(х2 - 1)(х2 - 9) * 0.
2
Пусть х = у, откуда
Ту2 - 55у +108 = 0;	= 4, у2 = у.
Чтобы найти х, решим два уравнения: х2 = 4, Х] 2 - ±2 или
Ответ: Xj 2 =±2,х3 4 = ±^у.
6.012. (х- 1)(х2 - 3) + (2х - 1)(х2 + 2) = 3.
Решение.
ОДЗ: хе Л.
Имеем
х3 -х2 -Зх + 3+2х3 -х2 +4х-2 = 3<=>
<=>Зх3-2х2 +х-2 = 0<=>Зх3 -Зх2 +х2-х + 2х-2 = 0<=>
<=>Зх2(х-1) + х(х-1) + 2(х-1) = 0<=>(х-1)(Зх2+х + 2) = 0
х-1 = 0,Х| = 1 или Зх2 +х + 2 = 0,Х2з 6 0 (D<0).
Ответ: х = 1.
6.013. 3| x+-V|-7| 1 + —| = 0. к х2)	\ х)
Решение.
ОДЗ: х#0.
зГ, + 'L7f,.£|.о« Хх^1>-7<»')х = о«
I	X2 J V х)	X2
3(х + 1)(х2-х +1)-7(х+1)х .	(х + 1)(3(х2-х + 1)-7х)
<=>-----------------------0<=>----------2	и
Xх	х“
^(x + l)(3x* 2-10x + 3) Q
Имеем (х+1)(Зх2-10х+3) = 0. Отсюда х + 1 = О, X] = -1 или , 1
Зх - 10х + 3 = О, х2 =—, х3 = 3.
Ответ: xt = -1, х2 = у, х3 = 3.
4	5
6.014.	---+ ~5----= 2.
•х2+4 х2+5
Решение.
ОДЗ: хе Л.
4	2
t9*----= о<=>2х4 * 6 7 * +9х2 = 0 <=>х2(2х2 +9) = О,
(х2+4)(х2+5)
х2 = 0,Х| = 0 или 2х2 +9 = 0, х2 3 е0.
Ответ: х = 0.
7(х-2)(х-3)(х-4) _ 2
6’015' (2х-7)(х+2)(х-6)
Решение.
7 ОДЗ: х * у, х # -2, х * 6.
11х3-93х2 + 190х
Из условия получаем -------------~ = СучетомОДЗэтоурав-
(2х - 7)(х+2)(х - 6)
нение равносильно
11х3 -93х2 + 190х = 0 <=> х(11х2 -93х + 190) = 0 =>
,	38
=> Xi =0 или 11х -93х +190 = 0, х2 =5, х3 = —
Л	А	с	38
Ответ: х> = 0, х2 = 5, х3 = —
2 -’ll
Х* 2+1 X лл 6.016. ------+ — = 2,9.
X X2 +1 Решение.
QJXS: х * 0.
Пусть — = у, тогда J <---2,9 = 0 <=> —-—----0 <=>
х	у	у
_	х2+1 5
Отсюда-----= — или
X 2
х2+1 2
Первое уравнение имеет корни *i = 2, хг = —, а второе уравнен решений не имеет (D < 0).
Ответ: Х| =2, хг = ^.
х + п т-п х + р т-р
6.017.----------=-----------~-
т + п х-п т + р х-р
Решение.
ОДЗ: х Ф п, х Ф р, т Ф -п, т * -р.
Из условия получаем
¥п\х-п)-(т-п\т + п) _ (х +р\х-р)-(т-р\т + р)
(m + n^x-n)	(т + р\х - р)
х2-п2-т2+п2 х2 -р2 -т2 + р2 (т + п)х - п(т + п) (т + р)х - р(т + р)
2	2	2	2
х -т	х -т______
(т + п)х - п(т + л) (т + р)х - р(т + р)
х2-т2	_	х2-т2	= о
(т + п)х - п(т + п) (т + р)х- р(т + р) (г2 - ж21 (___1______________1______1=о
' I (т + и)х - п(т + л) (т + р)х - р(т + р) I
Отсюда получаем х2 - т2 = 0 <=> х2 = т2, х12 =	, или
_______t____________________________ о
(т + п)х-п(т + п) (т + р)х - р(т + р)
(ш + р)х - р(т + /?)- (т + п)х + п(т + п) _
((ди + п)х - п(т + и)Х(ап + р)х - р(т + />))
или с учетом ОДЗ
(т + р)х-(т + п)х- р(т + р)+л(т + и)=0<=>
<	=> (w + p)x-(pi + п)х = р(т + р)-п(т + п)<^>
<	=> (pi + р-т-п)х = рт + р2 -тп-п2 <^(р-п)х = р2 -п2 + рт-тп <=>
<	=> (р- п)х = (р-п\р + и)+ т(р-п)^> (р-п)х = (р-п\р + п + т)
Отсюда:
1)если р-п-0, р = п, то, учитывая ОДЗ, хе Я, кроме/? и л;
2)если />-и^0, р^п.то х3= р + п^т.
Ответ: если п = р, то хе R, кроме пир; если п Ф р, то jq = т,
х2 = -т, х3 = т + п + р.
6.018. х2 4-х + х”1+х-2 =4. Решение.
ОДЗ: х 0.
Из условия имеем х
1 W 1 "I А л + — 1+1 х + - -4 = 0.
х J I х)
Пусть х + —= j=>x2 +2 + -^- = у2 илих2 +Д- = у2 -2.Нашеурав-х	X1	X2
некие принимает вид у2-2 + j>-4 = 0<=>у2 +у-6 = 0, откуда
у{ = -3, у2 =2 . Относительно х получаем два уравнения: х + — = -3,
откуда Xj 2 =
±>'5	1	ч	1
----или х + — = 2, откуда х34 = 1.
2	х
Ответ: xi 2 =-----,х34
21	> л <
6.019. i-;—— - х- + 4х = 6.
х -4х + 10
Решение.
ОДЗ: хе R.
Из условия имеем +	- 4х +1 о)+ 4 = 0.
?	21	v2 -4v-21
Пусть х~-4х+ 10 = j>*0:---j> + 4 = 0 <=> —-----= 0.Урав-
У	У
некие у~ —4у -21 = 0 имеет корни yt = -3, у2 = 7 . Относительно х получаем два уравнения: х2 - 4х +10 = -3 , х2 - 4х +13 = 0 (р < 0) или х2 -4х + 10 = 7, х2 -4х + 3 = 0, xj =3, х2 =1.
Ответ: Xj = 3, х2 = 1.
6.020. ---- +----= 2,5.
х-b х-а
Решение.
ОДЗ: х Ф Ь, х * а.
„ х-а	1 Л. у2 -2,5^ + 1 п
Пусть------ -у: У + — 2,5 = 0, -------= 0.
х-Ь	у	у
, 1
Уравнение у1 -2,5д> + 1 = 0 имеет корни Л = Уг=2 • Получаем
два уравнения относительно х:
х-а 1
Т^Т“2 ’
откуда Xj = 2а - b, или
---г = 2 откуда х2 = 2Ь - а .
х-Ь
Ответ: если а Ф Ь, то Xj =2а-Ь9 х2 -2Ь-а\ если а = Ь , то корней нет.
6.021. 8х4+х3+64х + 8 = 0.
Решение.
ОДЗ: хе R.
Из условия имеем (8х4 + х3) + (64х + 8) = 0 <=> х3(8х +1)+8(8х +1) = 0
<=> (8х + 1)(х3 + 8) = 0 <=> (8х + 1)(х + 2)(х2 - 2х + 4) = О.
Отсюда 8х+1 = O,Xj =-^-, или х+2 = 0,х2 = -2, или х2 -2х+4 = 0, х3 4 60 (£><0).
Ответ:
1 , х,--,х2 = -2.
6.022. (х + З)3 - (х +1)3 » 56.
Решение.
ОДЗ: xeR.
Из условия имеем
(х+3-х-1)((х+3)2 +(х+3)(х + 1)+(х + 1)2) = 56 <=> <=>2(х2 +6х+9+х2 +4х+3 + х2 +2х + 1) = 56<=> ох2 +4х-5 = 0,Х[ = -5,х2 =1.
Ответ: jq = -5,х2 = 1.
,	* + 2 х + 6 х + 10 ,
6.023. ----+—— +------= 6.
х + 1 , х + 3 х + 5 Решение. ОДЗ: х*-1,х*-3,х*-5. Из условия имеем:
(x + D + l t (х + 3) + 3 t (х + 5) + 5 _ 6 х+1	х+3	х+5
,	13	5,	Зх3+18х2+23х
х + 1 х + 3 х + 5	(х + 1)(х + 3)(х + 5)
С учетом ОДЗ получаем Зх3 +18х2 + 23х = 0 или х(3х2 +18х+23) = 0, откуда Xj =0, или
„ ,	-9 + V12	-9-V12
Зх2 + 18х + 23 = 0> х2 =---,х3 =------
Ответ: Х| = 0, х2
-9 + V12
-Г-^з =
л 1	1-	12	4 л_
6.024. 4х'+12х + —+ —= 47.
х х"
Решение.
ОДЗ: х 9*0.
Группируя, получаем:
+(12х + —
-47 = 0 <=>
х2 +-^ |+12
-47 = 0.
Пусть х + — = у=> х2 +2 + Дг = у2 или х2 + Д- = у2 -2 • Тогда
Х	X2	X2
4(у2-2)+12у-47 = 0, 4/+12у-55 = 0, yt=~,y2=^.
Относительно х получаем два уравнения: х +
1	5
или х + — = —, X 2
корнями которых ЯВЛЯЮТСЯ Xj 2
_	-n±Vio5 1
Ответ: х12 =--------, х3 = —9 х4 =2.
6.025. (х-а)2-(х-Ь)3 =Ьг-а3.
Решение.
ОДЗ: хе А.
Левую и правую части уравнения разложим на множители как разности кубов:
{x-a-x^bj^x-af +(х - а\х -б)+(х-b^ )=(b-a^)2 +Ьа + а2\
(b-a^c2 -2ax + a2 + x2 ~(a + Z>)x ++ x2-lbx + b2 )-- (b - afy2 + ba + a2 )= 0,
(b~afex2 -3(я + b)x + ab + а2 +62)-(й-а)(б2 +6а + д2)=0<=>
<=> (Z>-a)(x2 -(a + Z>)x)=0.
Отсюда:
1)если b -a = 0, b = a, to xgR;
2)если b-a*0, Ь*а,то x2 -(a + Z>)x = 0,или x(x-(a+ Z>)) = 0,откуда x{ = 0, x2 = a + b.
Ответ: если a = b , to xe R; если а Ф b, to Xj = 0, x2 = a + b.
6.026. — = (a+\f. x-1
Решение.
ОДЗ: x *1.
Приводим уравнение к общему знаменателю:
дх2-(д + 1)2(х-1) = 0дх2-(д + 1)2х + (д + 1)2 = 0 х-1	х-1
С учетом ОДЗ дх2 - (д+1)2 х + (д+1)2 = 0, откуда
(д+1)2 ±-4a(a + lf (д+1)2 ±^/(д+1)2((а+1)2 -4д) = 2а 2а '
_ (д+1)2 ±7(а+1У(д2 +2д + 1-4д) _ (д+1)2 ±^(a+iyCa-l)2 _ 2д	2д
(д+1У±(а-1У. 2д
_ (д+1)2 -(д-1)2 _ а2 +2д + 1-д2 +1 _ д+1
1	2д	2д	а '
(д+1У+д2-1 д2+2д+1 + д2-1 2д2+2д	,
х2 =  ---—-----=-----------------= — -----= д+1.
2д	2д	2д
л а+1 ' Ответ: х1 =----,где л#0; х2 =д+1.
(х-а)2 + х(х -л)+ х2 19
6.027. 7----v---7---ч--Г = Т’
(х-л; -х(х-а)+х	'
Решение.
ОДЗ: (х-л)2 -х(х-л)+х2 ^0.
Из условия получаем
б(х — л)2 -13х(х-л)+6х2 Л	\2 1 о /	\ , 2 а
---'—2---1---1----у = 0=>6(х-лу-13х(х-л)+6х =0.
7((х - а у - х(х - л)+ х2 ;
Разделим обе части последнего уравнения на х2 * 0:
„ х-л ?
Пусть----= у: бу -1 Зу + 6 = 0. Корнями полученного квадрат-
2	3
ного уравнения являются У\ = —, Уг - ~
Имее л два уравнения:
х-л 2	х-л 3
	= — или -= —, откуда X. = Зл , X-------------3	X-2	1
х2 = “2л . Сделав проверку по ОДЗ, получим ответ.
Ответ: если л # 0, то Xj = Зл , х2 = “2л ; если л = 0, то корней нет.
6.028. ---- +----------
а + Ь а-b х
Решение.
ОДЗ: л +Ь, х 0.
Из условия имеем
х 2л-х а + Ь , л ----ь-----------1 = 0»
а + Ь а-Ь х
(a-b)x2 +(2a-x\a + b)x-(a + b^(a-b)-(a + b\a-b)x __
~	{а + Ь\а-Ь)х
(а - b)x2 + 2а(а + b)x — (д + b)x2 — (а + Z>)r (п - />)- (я2 - Z>2
°	pQjr
((g-&)x2 - (fl+ fe)x2)+(2fl(a+ Z>)x -(fl2 -b2\]-(a + b^a-b) (a2-62>
(a-b-a-b)x2 +Ь,а2 +2ab-a2 +b2)x-(a+bf(a-b) л
~—------------------------------------------=Oe
-2bx2 +(a2 +2ab + b2pc-(a+bf(a-b)_n
СучетомОДЗ -2bx2 + ^i2 + 2а6 + 62}с-(д + б)2(а-б)=0 или 2bx2 -(a + bj x + (a + bf (a-b)=0, откуда
(a + bf ±-J(a + b^ -Sb(a + bf(a-b) _
“	4b	~
(р+ьУ ±7(д+&)2((д+^)2-8б(д-б))_
4b	~
_ (a+bf ±(a + b)Ja2 +lab + b2 -%ab + ib2 _
4b
_((i + b^ ±(a + b)Ja2 -6ab + 9b2 _(a + bf ±(a+b)J(a-3b^ 4b	4b
_ (a+b^ ±(a + b\a-3b)_ (a + b)((a+b)±(a-3b))-
4b	4b
(a + bXa+b-a+3b) _ (a + b)4b _а + ^
4b	4b ° ’
(a+bXa + b + a-3b) _ (a+bX^a-2b) _ (a+bXfl-b) _ a2 -b2
4b	4b	26	2b~'
a2 -b2
Ответ: если b Ф 0, то Xi = a + b, x2 = ———; если b = 0, to x = a. 2b
6.029.
2
a -1 a-x л ----+-----= 1.
ax-1 a
Решение.
ОДЗ: a#0,х/-. а
Из условия имеем:
ах~\ а
ах-\ а
д2-1 а х -----1----- ах -1 а а
с учетом ОДЗ ах2 - х - [а2 -1)2 = 0, откуда
= 1± 71+4д2(д2-1) = 1±>/4д4-4д2+1 = l±-J^fl2-lj
1,2 “ 2д “ 2а ~ 2а 1±(гд2-1).
2д
*1 =
1-2д2+1 2а
1-д2	1 + 2д2-1
-----> *2 =	«---- а---2а
= а.
1~л2	Л
Ответ: х, =----, х2 = а ПРИ a * 0.
а
6.030.
' х2 +6>2 _Г 5х Y ^х2-4_>	^4-х2 J
Решение.
ОДЗ: х Ф ±2.
Перепишем это уравнение в виде
/ 2 х V /	\2	2 х I/ ~е
х +6 f 5х |	х +6 _ If 5х |
^х2-4^	^х2-4у	х2-4 v[x2-4J
х2 +6
Р^4
5х х2 -4
х2 +6 5х	х2 +6 5х
=> “5--=----5---или —7 - “5—
х2-4	х2-4	х2-4 х2-4
С учетом ОДЗ получим уравнения х2 + 5х + 6 = 0
или х2 - 5х + 6 = 0,
откуда jq = -3, х2 = -2, х3 = 2, х4 = 3; х2 = -2 и х3 =2 не подходят по ОДЗ.
Ответ: Xj = -3, хг =3.
6.031- 73х + 4 + Jx-4 = 2>[х.
Решение.
ОДЗ: Зх + 4 >0,х-4 >0,х>0=> х>4.
Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем
Зх + 4 + 27(Зх + 4^х - 4) + х - 4 = 4х <=> «27(Зх+4Хх-4) = 0.
Ещераз возводя в квадрат, получаем: (Зх+4Х* -4)=0 .Отсюда имеем
4	4
Зх + 4 = 0 илих-4 = 0,	= --,х2 = 4; х{ = _у не входит в ОДЗ. Про-
веряя х = 4 непосредственной подстановкой в исходное уравнение, имеем: Ответ: х = 4 •
6.032. -Jx +Vx + И + 7x-Vx+7T = 4.
Решение.
Пусть 7х + 11 = >0 или х + 11 = >>2 ,т.е. х = у2 -11 .Тогда
^У1 + «У—11 + ^У2 “У“П = 4 или ^у1 +_у-11 = 4-^у1 -у-11 • Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
/ +>--11 = 16-8// -J'-ll + / - J-11» 87/-у-11=16-2у
или 4-J/ - у -11 = 8 - у. После возведения обеих частей уравнения в квадрат, найдем
1б/-16у-176 = 64-16>'+/, 0<j<8=*
15/ =240,	.
=> z	или у = 4.
0<^<8
Отсюда получаем Vx + 11 =4 или х + 11 = 16, х = 5. Проверкой убеждаемся, что это корень йсходного уравнения.
Ответ: х = 5.
6.033. ^/15 — л* + у/з — x = 6.
Решение.
|15-х>0,	[х<15,
°Д3: 3-х>0 ~ х<3,
Из условия имеем:
У15-х = 6->/3--х =>15-х = 36-12>/3-7х+3-х, 12>/з^х =24.Уз^7 = 2.
Отсюда 3 - х = 4 или х = -1. Проверкой убеждаемся, что это корень исходного уравнения.
Ответ: х = -1.
6.034. 1 + 71 + х7х2 -24 = х.
Решение.
Запишем уравнение в виде V1 + х>1х2 -24 = х-1. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
14-хл/х2 -24 = х2 -2x4-1, ху/х2 -24 = х2 -2х, х-1>0	|х>1
7х2 -24 = х-2, х>1.
=> х2 -24 = х2 -4x4-4 или 4х = 28; х = 7.
Проверяя х = 7 непосредственной подстановкой в исходное уравнение, имеем:
Ответ: х = 7.
(x-a)ylx-a 4-(x-ft)vx-fe , /	,\
6.035. 1\ —-------------------= а~Ь (а>Ь).
у!х-а л-yjx-b
Решение.
Из условия имеем
у/х-а +у!х~Ь
Разложим на множители числитель левой части уравнения как сумму кубов:
х-а
- yl(x-a\x-b) + (х/х-й j2
+ <Jx-b
а-Ь.
Так как jx-a + Jx-b # 0. то
(л/х-аУ -<J(x-a\x-b) + (y/x-b\ = а-Ь<^>
& х-а- J(x-a\x-b) + x-b = a-b<^>
<=> 2х - 2а = ,](х-а\х-Ь) о 2(х - а) = <J(x-a\x-b) =>
=>4(x-af = (x-a\x-b)<^4(x-af -(х-аХх-б)=0<=>
<=> (х-а%4х-4а-х + b)& (х-а/Зх-4а + б)=0.
Из последнего уравнения следует, что либо х - а = 0, откуда Х| = а,
либо Зх - 4а + b = 0, откуда х2 = —-— .
Подставляя Xj и х2 в начальное уравнение, убеждаемся, что это действительно корни.
„	4а-Ь
Ответ: х( = а; х2 =---.
6.036. V3x + 7-Vx+T = 2.
Решение.
ОДЗ:
Зх+7>0, х + 1>0
<=$> х>-1.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
Зх+7-27(Зх + 7Хх+1) + х+1 = 4 <=>4х+4 = 27(Зх+7Хх+1) <=>
<=> 2(х+1)=V(3x+7Xx+l) => 4(х+1)2 = (Зх+1\х+1) <=>
<=>4(х + 1У -(Зх+?Хх + 1)=0«> (х+1Х4х+4-Зх-7)=0<=>
<=> (х+1Хх-3)=0 или ,х + 1 = 0,Х| =-1 или х-3 = 0,х2=3.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что это корни начального уравнения.
Ответ: х, = -1, х2 = 3.
6.037. Vl + Vx +V1-V* =2.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Возведя обе части уравнения в куб, получим
1 + Vx + 3^ +Vx^-Vxj+S^ + Vx^-Vx)2 + 1-Vx =8<=>
Так как у/1 + у[х + у! - 4х = 2, то уравнение принимает вид:
3^ +Vx)(l->/x) 2 = 6 <=>	+Vx^-Vx) = 1 <=> Vl-x = 1 <=>
<=> 1 - х = 1, х = 0.
Ответ: х = 0.
6.038. 2>/7^ : 0,63/- = 10^5 :-^216^9.
V 3	4
Решение.
ОДЗ: 7-х>0<=> х<7.
Будем упрощать исходное уравнение:
2Л^5^3 40^3 /г
<=>--------=----- <=> V /
3	2'^3"
Очевидно, что х = 3 есть корень этого уравнения и других корней нет.
Ответ: х = 3
6.039.
2	2
х + 5^2 л( х V -----+4 ---------- х ) х + 5 >
= 4.
Решение.
- Из условия имеем
|х + 5 . Г х . л /х + 5	4	. п
J-----+4J-------4 = 0<=> J----+  —- -4 = 0.
V х Vx + 5	V х х
V х + 5
Пусть
,|Х + 5 = у. >0: у + — -4 = 0<=>у2 -4у + 4 = 0<=>
V х	У
«(у-2)2 = 0<=>у-2 = 0<=>у = 2.
/х + 5	„
Тогда J =2 .Проверкой убеждаемся, что это выражение удовлетворяет условию.
х+5	.	_ .	5
Отсюда------= 4 <=> х + 5 = 4х, х = -.
х	3
5
Ответ: х = — •
6.040. ^24 + >/^-^5 + Тх =1.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Возведя обе части уравнения в куб, получим
24 4- Vx - 3^(24 + Vx^(5 +7х)+3^44->/х)(54->/хУ - 5 - у[х = 1 <^>
<=> -3^4 + Vx )(5 + у[х^24 + 4х - y[s + y[x ^=-18.
Тах как ^24 +Vx - ^5 + >/х = 1 по условию, то получаем
V(24 + Vxfc+Vx) = 6 <=> (24+4х J5 + 4х )= 216,
(л/х)2 +29л/х-96 = 0.
Откуда у[х = 3, 4х = -3 (не подходит). Отсюда х = 9.
Ответ: х = 9.
6.041. Vx + 34-Ux-3 =1.
Решение.
Возведя обе части уравнения в куб, получим х + 34-х + 3- $](х + 34\х-3) (Vx + 34 - Vx -3) = 1.
Так как Vx+34 - Vx-3 = 1 > то имеем следующее уравнение:
37 - 3 V(x+34Xx-3) = 1 <=> Щх+34\х-3) = 12-» <=>(х+24Хх-3)=1728<=>х2+31х-1830=0; xt =-61,х2 =30. Проверкой убеждаемся, что это корни исходного уравнения.
Ответ: jq = -61, х2 = 30.
6.042. х2 + Зх -18+4>/х2+Зх-6 = 0.
Решение.
Пусть Vx2 + 3х-6 = у > 0. Тогда х2 + Зх -6 = у1 или
х2 + 3х = ^2 +6
и уравнение принимает вид:
у2 + 6-18 + 4у = 0 <=> у2 + 4^-12 = 0,	=-6 (неподходит), у2 = 2 .
Тогда
>/х2 + 3х-6 =2 <=> х2 + 3х - 6 = 4 <=>
<=> х2 +Зх-10 = 0; Х|=-5, х2=2.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: Х| = -5, х2 = 2.
6.043. 7х2 + 32-2^х2 +32=3.
Решение.
Пусть Vx2 +32 =)>>0. Относительно у получаем уравнение у2 - 2у - 3 = 0, откуда yt = -1 (не подходит), у2 = 3 . Тогда
а/х2 +32 =3»х2+32 = 81 »х2 =49.
Это выражение удовлетворяет заданному уравнению. Отсюда |х| = 7
ИЛИ Xj 2 = ±7.
Ответ: = -7, х2 = 7.
6.044. У(5х+2)3 —-----= 6.
№х + 2?
Решение.
ОДЗ: х#-|.
Пусть ^(Sx + 2)3 = у, у 0 • Относительно у имеем уравнение:
у- — = 6 (у * 0) <=> у2 -бу-16 = 0, откуда у, = -2 , у2 =8. Тогда: У
и v^=-^,=4^=z#±i);
2)	V(5x+2)3 =8; х2 = 6.
-2(У4 + 1)
Ответ:	, х2 = 6.
6.045. хТх -4^? + 4 = 0.
Решение.
Пусть 7х = у, тогда х = у3, х2 = у6. Относительно у имеем уравнение
у3 у-4у2 +4 = 0 <=> у4 -4у2 + 4 = 0 <=> (у2 -2^ =0t=>
<=>у2-2 = 0, у2 =2,
откуда у12 = ±72 . Тогда Vx = -72, х1 = -78 и 7х = 72, х2 = 78.
Ответ: = -2-Л, х2 = 2у/1.
6.046. Зу[х -5у1х 1 = 2х"1.
Решение.
Из условия имеем З^х -	~ •
Ух х
Пусть Vx = у, у Ф 0, и уравнение принимает вид
Зд>---4- = °1г#0)оЗ/-5г-2 = 0«з(у2)2-5(г2)-2 = 0) у У
откуда у2 = 2; у2 = -1 (не подходит). Тогда у12 - ±71 => 7х = -2 или Vx = 71, х( = —Ji, х, = 78 •
Ответ: х, = -2у/2,х2 = 272.
6.047. х2 +7х2 +20 =22.
Решение.
Пусть 7х2 +20 = у > 0 , тогда х2 +20 = у2, х2 = у2 -20 и уравнение принимает вид у2 - 20+у = 22 <=> у2 + у - 42 = 0, откуда найдем У|=-7, у2=6; у1=-7<0 не подходит. Тогда 7х2 +20 =6 или х2 +20 = 36> х2 =16> *1,2 =±4-
Ответ: х( = 4, х2 = -4.
4 7х +3 -
6.048. 57=-— + —Г~ = 2-7х +2	5
Решение.
ОДЗ: yfx + 2 * 0,7х # -2, х * -8.
Пусть >[х + 2 = у, у 0. Относительно у уравнение принимает вид — + ^^ = 2 (у*0)<=>у2-9у+20 = 0,откуда у( =4, у2 = 5.
У 5
Тогда: 1) у/х + 2=4; х, = 8 ; 2) у[х +2 = 5; х2 =27 .
Ответ: Xj = 8; х2 = 27.
6.049. V778+47P78=6.
Решение.
ОДЗ: х3 + 8 > 0 <=> х3 > -8 <=> х > -2.
Пусть ух3 + 8 = у, у > 0, и уравнение принимает вид у2 + у = 6 <=> <=> у2 +у-6 = 0, откуда у, = -3, у2 = 2; = -3 не подходит. Тогда
Vx3+8=2, х3+8 = 16, х3=8, х = 2-
Ответ: х = 2.
(5 - х)>/5 - х +(x-3)Jx-3 »
6.050. 1---le I ’--------= 2.
V5-x +Vx-3
Решение.
[5-х >0, °«3:U-3>0o3fixS5'
п	(л/5-х)3 +(>/х-зУ
Перепишем уравнение в виде -Ь— . /_—\_ / = 2 и разложим
у15-х+у1х-3
числитель левой части на множители как сумму кубов:
(л/5-х + л/х-З“хХх”3) + 7(х“З)2
л/5-х + 7х-3
Учитывая, что знаменатель положителен, получаем
7(5-х)2 -	- х\х -3) + у}(х -3^ =2<=>
<=> 5 - х - ^/(5-хХх-З) + х - 3 = 2 <=>
<=>7(5-хХх-3) = О, (5-хХ*-3)=0,
откуда 5 - х = 0, Xj = 5, или х-3 = 0, х2 = 3. Проверкой убеждаемся, что это корни исходного уравнения.
Ответ: х} = 5, х2 =3.
6.051. 7х + 1 -у/9-х = >/2х-12.
Решение.
х+1>0,.
ОДЗ: < 9-х > О, 2х-12>0
Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получаем 7(х+1Х9-х) = 11 - х, откуда
(х + 1X9-х) = 121-22х + х2 <=> х2 -15х + 56 = 0; Xj = 7, х2 =8.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: Xj = 7, х2 = 8.
6.052. ---7=т=--------П= =
x-vx-x х + ух -X
Решение.
х2-х>0,	[х(х-1)^0,	/ ,г ч
х Ф 0 |х Ф 0
Из условия получаем
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем —-— = 3 или х = 4 . Проверкой убеждаемся, что х = 4 является корнем последнего уравнения с радикалами.
Ответ: х = 4.
Решение.
ОДЗ: х#±1.
Пусть Vx = у, у * ±1 • Относительно у уравнение принимает вид
/-	(уг-|р->1)
у2-1	у+1	у2 -1	у+1
<=> у2 +1-у+1 = 4 <=> у2 — у—2 = 0,
откуда найдем у( = -1, у2 = 2 . Тогда vx = -1, х( = -1, или Vx = 2, х2 =8; X] = -1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: х = 8.
6.054. 75 + V^ +	= V^.
Решение.
ОДЗ:
5+Vx>0, 5-Vx^0
<=>-125<xS125.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем уравнение
5 +Vx+27(s + VxJs-Vx)+5-Vx = V? <=>
2д/25-Vx7 = Vx7 -10 => 100 - 4tfx2 = Vx7 - 20Vx7 4-100 <=>
Vx7-leVx7 = 0 <=>
откуда Vx7 =0, Xj = 0, или Vx7-16 = 0, Vx7 = 16, x2 =64. При
проверке х1 =0 не удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: х = 64.
6.055. Jxtfx + VxVx = 56.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Из условия имеем
— —	( — Y —
xi°-х'о =56<=> х10 -х10-56 = 0.
2
Пусть х10 = }>>0. Относительно у уравнение принимает вид у2 - у - 56 = 0, откуда = -7 или у2 = 8;	= -7 < 0 не подходит.
1	12 ю
Тогда х10 =8 . Отсюда х = 8 3 , х = (г3)з , х = 210 =1024 .
Ответ: х = 1024.
6.056. 7х2 +9-Vx2 -7 = 2.
Решение,
ОДЗ. X2 -7>0.
Перепишем уравнение в виде 7х2 +9 = 7х2 - 7 + 2 . Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем
х2+9 = х2 -7 + Vx2-7+4<=>Vx2-7 = 3 <=> х2-7 = 9 <=>
<=> х2 =16, х12 =±4.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: Xj = 4, х2 = -4.
6.057. 710-х2 + 7х2 +3=5.
Решение.
ОДЗ: 10-х2 >0.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем
10 - X2 + 27(ю-х2)(х2+з)+X2 + 3 = 25 <=> ^0-х2\х2+з) = 6 <=>
<=> (10-х2 )(х2 + з)=36<=>х4 -7х2 +6 = 0, х2 =1илих2 =6;
Х| 2 =+1, Х3 4 =+л/б.
Ответ: хХ2 - ±1, х34 = ±л/б.
6.058. т£| + ^р1 = 2.
V х + 3 V 5-х
Решение.
(х Ф -3,
ОДЗ:
|х*5.
_	75”х
Пусть 4/-т ~z>
J Vx+3
z Ф 0. Относительно z уравнение принимает вид
z + - = 2 <=> z2 -2z + l = 0<=> (z—1)2 = 0<=>z-l = 0, z = l. z
i 5-x	1	,
Тогда Zl—— =!<=>----- = 1; x = l.
Vx + 3	x+3
Ответ: x = 1.
J 16z Jz -1
6.059. 5J—-+( — =2,5.
V z-1 V 16z
Решение.
Пусть
J 16z
V z-1
= у, у *0. Относительно у уравнение принимает вид
1	2	1
у + — = 2,5<=>у -2,5у+1 = 0, откуда л = ~,У2 = 2 .Тогда или
У	2
J16z 1 16z	1	1
ПТГГ^Гй’г'=~5п’1'™
= 32,z2=2.
Ответ: z} = z2 = 2-
6.060. Hsx + 1 -V5X-12 = 1.
Решение.
Перепишем уравнение в виде ^5х + 7 = V5x-12 +1 и возведем обе части в куб:
5х + 7 = 5х-12+з(^5х-12У +3^5х-12+1<=>
«> (V5X-12)2 +V5x-12-6 = 0.
Пусть V5x-12 = t. Относительно t уравнение принимает вид t2 -1 - 6 = 0, откуда найдем Z, = -3 и t2 = 2.
Тогда или ^5х-12 = -3, 5х -12 = -27, х( = -3 , или V5x-12 = 2 , 5х-12 = 8, х2 = 4.
Ответ: х, = -3, х2 = 4.
6.061. 2Vx+5Vx-18 = 0.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Обозначим Vx = у > 0 • Относительно у уравнение принимает вид 9	9
1уг +5^-18 = 0, откуда найдем я ---, у2 =2 ;	= -- <0 ие под-
ходит.
Тогда Vx = 2, х=26 =64-
Ответ: х = 64.
6.062. >/Зх2 +1+д/х2 +3 =7бх2 +10.
Решение.
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем
Зх2 +1+2<Дзх2 +1)(х2 +з)+х2 +3 = 6х2 +10 <=>
<=> 7(зх2 +lj(x2 +з) = х2 +3 =>
=> (зх2 + 1)(х2 + з)= (х2 + if. <=> (зх2 + 1)(х2 + з)- (х2 + з)* = 0 <=>
<=> (х2 +з)(зх2 +1-х2 ~з)=0<=> (х2 +з)(х2 -1)= 0;
х2+3^0,х2-1 = 0,х2 =1, х12=±1.
Ответ: х12 =±1.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Перепишем уравнение в виде
V7 +1	у/х +1 - 3Vx +3 л
-7-=----3 = 0, х * 1 <=>-——--------= О <=>
Vx-l	Vx-1
<=> -264х +4 = О о Vx = 2,х = 26 = 64.
Ответ: х = 64.
6.064. х+2 + л/Зх + 8 = >/2х + 6.
Решение.
х + 2^0,
ОДЗ:<Зх + 8>0,<=>х£-2.
2х + 6>0
Запишем уравнение в виде >/х+2 -л/2х+6 = -\/Зх + 8 и возведем обе его части в квадрат:
х + 2-2^/(х + 2)(2х + 6) +2х + 6 = Зх + 8<=>
<=> 7(х + 2)(2х + 6)=0,
откуда х + 2 = 0, Xj = -2, или 2х + 6 = 0, х2 = -3— не подходит по ОДЗ.
Проверкой убеждаемся, что х = -2 является корнем данного уравнения.
Ответ: х = -2.
6.065. V2x+5 +V5X + 6 =712х+25.
Решение.
ОДЗ:
2х + 5>0, 5х+6>0, <=>х>-—. 12х + 25>0	5
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем 2х+5 + 2Л/(2х + 5)(5х+6) + 5х+6 = 12х + 25» о 27(2х + 5)(5х+6) = 5х+14 => => 4(2х+5)(5х+6) = 25х2 + 140х +196 <=> 15х2 + 8х - 76 = 0, 38	,	38
откудаХ| = х2 = 2; Xi = не подходит по ОДЗ. Проверкой убеж-
даемся, что х = 2 является корнем уравнения.
Ответ: х-2.
6.066. х2 -4х-6 = >/2х2-8х + 12.
Решение.
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем
(х2-4х-бУ = 2х2 -8х + 12 <=> (х2 -4х-6^ -2(х2-4х-6 + 12)=0.
Пусть х2 - 4х - 6 = у, у > 0. Относительно у уравнение примет вид у2 -2у-24 = 0, откуда у1 = -4 , у2 = 6; у} = -4 не подходит.
Тогда х2 -4х-6 = 6<=> х2 -4х-12 = 0, Xj = -2, х2 = 6 . Проверкой убеждаемся, что это действительно корни исходного уравнения.
Ответ: Xj = -2, х2 = 6.
Решить системы уравнений (6.067—6.119):
6.067.
х + у = 0,9.
Решение.
Перепишем систему в виде
(х + 0,2)-+ (у + 0,3/ =1, х + 0,2 - 0,2 + у + 0,3 - 0,3 = 0,9
х + ОД = и, 7 + 0,3 = v.
Тогда •
и2 + v2 =1, и + v = 1,4
(w + v)2-2uv = l. и + v = 1,4
(1,4-2uv = 1,	fl,96-2uv = 1,	(uv = 0,48,
и + v = 1,4	[u + v = 1,4	[и + v = 1,4.
По теореме Виета возможны только следующие варианты: [и] =0,6,	[u2=0,8,
< Л или < [v! = 0,8 [vs = 0,6.
fx + 0,2=0,6,	[х + 0,2 = 0,8, fxj=0,4,	]х2=0,6,
Тогда	или <	<	_ или <
[у + 0,3 = 0,8	[^ + 0,3 = 0,6; |/i=0,5	[у2 =03.
Ответ: (0,4; 0,5), (0.6; 0,3>
6.068.
х3 + у3 =7, Х3у3 = -8.
Решение.
По теореме Виета возможны только следующие варианты:
или
х3=-1, (х2 =-1, /=8, Ы=2-
Ответ: (2; -1) (-1; 2)
6.069.
х-1 + у 1 =5, х~2 +у-2 =13.
Решение.
Перепишем систему уравнений в
виде *
1 + 1 = 5, х у
1	1	,,
2 + 2
X	У
ОДЗ:
х#0, у .* 0.
Приводя к общему знаменателю, получаем
х + у = 5ху, х2 + у2 =13х2у2
х + у = 5ху,	(х + у = 5ху,
(х + уУ - 2ху = 1 Зх2у2	[ху(бху -1) = 0.
Последняя система равносильна двум системам уравнений:
jx + y = 0, |ху = 0
*!=0,
Л =0-
Это решение не подходит по ОДЗ.
6.070.
х у 13 у X 6 х + у = 5.
Решение,
ОДЗ:
х*0, /*0.
Умножив левую и правую части первого уравнения на Ьху * 0, получим
б(х2 +^2)=13х^,б^хч-^)2 -2xj)=13x%\ху = 6,
х + у = 5	|х + у = 5	[х + >> = 5,
у2-5^4-6 = 0, 1*1=2, (х2=3, x + j> = 5,	/1=3, (/2=2.
Ответ: (2; 3 X (3; 2)
6.071.
х - у = 1, х3-/=7.
Решение,
Преобразуем второе уравнение системы
х-у = 1,	[х-у = 1,
(x-jj(x:2 +ху + _у2)=7	(х-у)2 +3х^ = 7
х-у = 1, [х-у = 1, <=>
1 + Зху = 7	|х>> = 2,
откуда
х2 =-1,
У2 = “2-
Ответ: (2; 1) (-1; -2)
6.072.
'J___1_ = J_
}> + 1 х’ /-х-5 = 0.
Решение.
1У ±1, °Д3: |х#0.
Преобразуем первое уравнение системы
ху + х-ху+х = у2 -1, у2 — х = 5
2х = у2-1, у2 -х = 5
у2 -х = 5
=> х = у2 - 5. Подставив это значение х в первое уравнение системы, получим 2(у2 -5)= у2 -1, у2 = 9, у, = 3, у2 = -3; тогда Xj = 4, х2 = 4 .
Ответ: (4;ЗЦ4;-3)
у2 -ху = -12, х2 - ху = 28.
Решение.
6.073.
(у(у-х)=-12, Из условия имеем	у) - 28
Разделив первое уравнение на второе, получим
Зх у=-’ х(х-у)=28.
х(х-у)=2%
х(х- у)=28
Зх
Подставив у = — из первого уравнения системы во второе, получим
Зх У~~’ х[х-—1=28
Ц 7 )
Отсюда:
Зх г о у =—, л
7 Ь1=-7 х = -7	1 1
Ответ: (- 7; - 3} (7; 3)
Зх у~~’
X2 =49.
1)
или
2)
Зх У~-
х = 7
У2 =3, х2 = 7.
у Л
6.074.
х + у + — = 9, У к±2>=20.
Решение, ОДЗ: у*0.
Пусть
х + у = и, f
|W + V=9.
х _ Имеем s	По теореме Виета возможны толь-
,У	”
ко следующие варианты:
Тогда
или
2)
и2 =5, v2 =4.
или
Х2 =4, ,У2 =1-
Ответ:
< х2у + ху2 =6, ху + х + у = 5.
6.075.
Решение.
fxy(x + y) = 6, Из условия имеем < z \ с
I ху = и, П*СТЬ U + , = v.
{uv = 6,
,, откуда по теореме w + v = 5
Виета находим и, = 2, и2 = 3 , V[ = 3, v2 = 2 .
ху = 2,	, Гху = 3,	]*> Ь
„ или <	, откуда 1_ 7 и
х + у = 3 [х + у = 2	{У1~^
х2 = 2, ,Уг =L
Ответ: (1; 2), (2; 1)
6.076. i
х2у3 + х3у2 =12, х2у3 -х3у2 =4.
Решение.
Из условия имеем
х2у2(у + х)=12, х2у2(у-х) = 4.
Разделив первое уравнение на второе, получим х2у2(у + х) 12 у + х _	,	,
,z,;----( = — <=>  -= 3 <=> у + х = 3у-3х <=> у = 2х.
х2у (у-х) 4 у-х
Из первого уравнения системы находим
х2(2х)3 +х3(2х)2 =12 <=> 8х5+4х5 =12 <=> х5 =1, х = 1.
Тогда у = 2.
Ответ: (1;2)
6.077.
х4+/ =82, ху = 3.
Решение.
Перепишем систему в виде
((х+у)2 -2xyf -2х2у2 =82, Rx+y)2 -6^ -18 = 82, ху = 3	[ху = 3
((х + у^-б/ =100, ху = 3.
Из первого уравнения (х + у)2 - 6 =10, откуда (х + у)2 =16 или
(х + у)2 = -4; (х + у)2 = -4 не подходит. Тогда
{х + у = 4, |х[=1, (х2 =3, ху = 3, 1/1=3, 1/2 =1
или
(х+у = -4, Гх3=-1, Гх4=-3, 2)|ху = 3,	[у3=-3, |у4=-1-
Ответ. (1;3)(3;1)(-1,-3)(- 3,-1)
6.078.
х3+у3 =35, х + у = 5.
Решение.
По формуле суммы кубов получаем
(х + у)(х2-ху + у2)=35,^ х + у = 5
(х + уд(х + у)2 - Зху)= 35, х + у = 5
|5(25-Зху)=35, (25-Зху = 7, Г ху = 6, |x + j> = 5	|х + у = 5	|х + у = 5.
[%! =2,	[х2=3,
По теореме Виета возможные варианты; < _ или «	_
Ответ: (2; 3} (3; 2)
6.079.
х3 +у3 =9, ху = 2.
Решение.
Перепишем систему в виде
х6 - 9х3 +8 = 0, где х * 0,
2
У = -• х
Из первого уравнения получаем х3 = 1 или х2 = 8, откуда Xj = 1, х2=2.Тогда ^=2, j2=l.
Ответ: (1; (2; 1)
6.080.
и2 + uv = 15, v2 +uv = 10.
Решение.
Ju(w + v) = 15, Перепишем систему в виде j / -ь v) = 10 и раЗД6™14 пеРвое уравне-
ние на второе:
u(w + v) 15	и	3	3v
v(w + v) 10	v 2	2
ж-r	3v
Подставив м= — во второе уравнение системы, получим
э 3v 5v
v2 + -у = 10 , -у = Ю, v2 = 4 , откуда Vj = -2, v2 = 2 . Тогда их = -3 ,
и2 =3 .
Ответ: (-3; -2\ (3;2)
6.081.
х3 + у3 =65, х2у + ху2 =20.
Решение.
Разложив левые части, представим систему в виде . (x + yk*2 -xf + /2)=65,(x + y^x + yf -Зху)=65, ху(х + j>) = 20	+ j)=20.
х + у = и, Тогда
ху = V.
u(w2 -3v)=65.
uv = 20
u(u2 -3v)= 65, 20
v = —.
и
„	( 2 а 2(Н
Из первого уравнения получаем и! и -3— I и
= 65, и3 = 125,отку-
20	х + у = 5,
да и = 5 . Тогда v = — = 4 и s А Отсюда 5	[ху = 4.
Ответ: (4; 1) (1; 4)
х2 + у4 = 5, ху2 = 2.
Решение.
Xi=4,	(х2 =1,
1И1 л [У1=1	[у2=4.
6.082.
2
Из второго уравнения системы х = — . Тогда из первого уравнения
У
2 получаем —
I У
+ у4 = 5 , j8 - 5у4 +4 = 0. Отсюда yf = 1 или у4 = 4 ,
Г-	Г-	2
откуда У!=-1, y2=U ^з=“^2, ^4=^2. Тогда х1>2=у = 2;
*3,4 =|=1.
Ответ: (2; Ц (2; -1^; 41) (1; - 41) 12(х + у^ + х = 2,5-у, б(х-у? +х = 0,125 + у.
Решение.
6.083.
Перепишем систему в виде
12(х + у^ + (х + у)-2,5 = 0, 6(x-yf + (х-у)-ОД 25 = 0.
Тогда первое уравнение будет квадратным относительно х + у, а второе относительно х - у. Решая указанные уравнения, получаем
-1±V1+12O =-1±11
24	24 ’
(* + Л,2
-1±2
Перебирая возможные варианты, имеем:
	f	1	3	[ 1	5
	х+у=~~,	Х' ~ ~ 8 ’	х+у=~~,	Х2~ 24 ’
1)-	1 <=>'	- 1-2)	1 <=>'	7
	Г^-4	П 8’	х-у =— 1	12 J	У2 24’
	Г	5	1	[	5	1
	х+у =—, 12 <=><	12 ’	х+^ = -.	Х4 4,
з)-	1	-1. ч	1	1
		3’	х-у = — 1 Л 12	Г4 = 6-
Ответ:
4’6 Д12 ’ 3 Д 24 ’ 24 Д 8’ 8J
6.084.
—+ —= 3, х 3
х	3	3
--1-  —
2	у	2
Решение.
[х#0, °да; Uo.
Приводя к общему знаменателю, получаем
6 + ху - 9х,
=> 9х - Зу = 0,
откуда у = 3х .Отсюдаполучаем — + — = 3, х2 -Зх + 2 = 0 при х # 0 , х 3
откуда X] = 1, х2 = 2 ; тогда = 3, у2 = 6 .
Ответ: (1; 3) (2; б)
6.085. 1
х2 + у2 _ 10
х + у	3 ’
х у 4
Решение.
х*0,
ОДЗ:
X * -у.
Перепишем систему в виде
з(х2 +/)=Ю(х+Я<=>, З^х + у)2 -2ху)=10(х + Я 4(х + у)~3ху	[4(х + у)=3х^.
(х + у = и,	Г 3u2 -10w-6v = 0,
Пусть I _ у Тогда в новых переменных *
4	7	(4 1	7
Отсюда v = -w и Зи -10и-6\-и =0, Зи -18w = 0, откуда 3	3
и{ = 0 , и2 = 6; тогда Vj = 0, v2 = 8.
Получили совокупность двух систем lx + j = 0,	(х + у = 6,
или2)Ь = 8.
1х!=2, 1х2 =4,
Решая эти системы, найдем 1 „	и]„
Ответ: (2; 4)l (4; 2)
(х-у/х2 - у2) =45,
6.086. Г А ' ’ х + у = 5.
Решение.
Перепишем эту систему в виде
< '(* - И* - уХ*+J>)= 45,	((х - у)2 (х+у)= 45,
х+у = 5	х+у = 5.
=» (х - yf -9, откуда х - у = -3 или х - у = 3 . Получили совокупность двух систем:
х-у = -3, |х-у = 3, 2) 1
х + у = 5, |х + у = 5.
Решая эти системы, найдем
xj =4, 7i=1
х2 =1, Л =4-
Ответ; (4;1}(1;4)
6.087.
х4-/=15, х3у-ху3 =6.
Решение.
Пусть t = —, тогда у = tx и система принимает вид
х4-/4х4 =15,	[х4(1-?)=15,
x4r-x4z3=6	x4(z-z3)=6.
1-“/^ 15
После деления получаем------ = — <=> 2z2 - 5/+2 = 0, откуда
t-r 6
1
А = 2’ г2=2-
При Zi из уравнения х4(1-/4)=15 имеем
X4fl- —L15»X4
I 16J
= 16
9
откуда Xj = -2 , x2 = 2 ; тогда yx = -1, y2 = 1.
При t2 = 2 имеем x4 (1 -1 б) = 15, x4 = -1, это решение не подходит.
Ответ: (-2; -1), (2; 1)
6.088.
*-2 = 2, у х б’
X2 - у2 =5.
Решение.
ОДЗ:
х * О, 7*0.
После преобразований первого уравнения, получим
Х ~У = 7ХУ> 5 с г 6
’	6	=> — ху = 5 <=> xj> = 6, у = ~.
2	2	<	Х
X -у = 5.
Из второго уравнения системы находим
х2 — —у-= 5 <=> х4 -5х2 -36 = 0 х
откуда х2 = -4 или х2 = 9; х2 = -4 не подходит, поэтому х, = -3 ,
х2 = 3; тогда у1 = -2 , у2 = 2 .
Ответ: (- 3; -2\ (3; 2).
Решение.
Из первого уравнения системы v3 = m -1 - и3. Подставив это значение v3 во второе уравнение, получим
u3(w-l-u3)=-/и <=> (w3)2-(w-l)u3-?и = 0,
откуда
з __	+	+4m m — 1 ±V/h2 —2m +1 + 4/И _
“u -	2	~	2
_ m-1 ±Jm2 +2m+l _ m -1 ±^/(w+l)2 _ zn-l±(m+l)
"	2	2	’>	2
ИЛИ 3 m~\ + m + \	— -
«2 =----------=;"J’ “2 = ^fn ’
тогда = m ,vx= >[m или	= m -1 -m = -1, v2 = -1-
Ответ: (-1; Vw) (Vm;-1)
6.090.
ax+— =2, У
b
—t-ay = 2ab.
.x
Решение.
(x *0, °д3: V#o.
„	(axy + b = 2y,	,
Перепишем систему в виде	=> 2у = 2аЬху у = abx.
\Ьл-аху = 2аЬх
Из первого уравнения системы получаем а2х2 -2ах + 1-0 (при/>*0)
или (ох-1)2 =0,откуда Xi =х2 = —.Тогда y = a b — = 6,где а^О. а	а
Ответ: если ab = 0 , то корней нет; если ab 0, то х = —, у-Ь. а
[(х-у)ху^30,
6-091, [(x + j) xj' = 120.
Решение.
После деления второго уравнения системы на первое получаем
(x+r)xv_120	3
(х - у)ху ~	И3 первого уравнения системы находим
3'3
х - ~ х к -х = 30, х3 = 53, откуда х = 5; тогда у = 3 .
Ответ: (5; 3)
6.092. i
х2 + у2 +6x + 2j> = 0, х + у + 8 = 0.
Решение.
Из второго уравнения системы у = -8 - х. Подставив это значение^ в первое уравнение системы, получим
х2 +(--8-х)2 +6х +2(-8- х)= 0 <=> х2 +1 Ох+ 24 = 0,
откуда Xj = -6 , х2 = -4; тогда = -2 , у2 = -4 .
Ответ: (- 6; - 2\ (-4; -4)
v-u = 1,
6.093. <>-v = l,

Решение.
Из первого уравнения системы найдем у = 1 + и. Подставив это значение v во второе и третье уравнения системы, имеем
w-(l + u) = l,	(w-u = 2,
(u-1)5 + (l + w-2)3 +(w-3)3 =3	(u-1)3 + (u-l)3 + (w —З)3 =3
и - и = 2,
г^-^+^-з^з.
Из первого уравнения последней системы найдем w = 2 + и . Подставив это значение и> во второе уравнение этой же системы, находим
2(и-1)3 + (2+и-3)3 =3<=>(м-1)3 = 1, откуда и = 2. Тогда w = 4, a v = 3.
Ответ: (2;3;4).
6.094.
х+у ' х-у 13 х-у х+у 6 ’ ху = 5.
Решение,
ОДЗ: х*+у.
Преобразовав первое уравнение системы, получим
6(х + у)2 +6(х-у)2 = 13(х-у)(х+у)<=>х2 = 25у2, откуда
=-5у,х2 =5у.
Из второго уравнения системы находим у1 = -1 (не подходит) или у1 = 1, откуда Д2 ~ *1- Тогда х12 = ±5.
Ответ: (5;1), (-5;-1).
3x+2y + 2z = 13,
6.095. s2x+3y + 2z = 14,
2x + 2y+3z = 15.
Решение.
Сложив все три уравнения, получим 7(x + y + z) = 42, откуда
х+у+ z = 6. Теперь будем последовательно вычитать это уравнение из каждого уравнения системы:
(3x + 2y+2z = 13,	, [2x+3y + 2z = 14,
<	<=>х = 1; <	<=>у = 2;
[x + y+z =6	[x+y + z = 6
|2x + 2y + 3z = 15, 1	<=>У = 3.
[х + у+ z = 6
Ответ:
6.096. i
хУ =16, =2.
Решение.
у
Деля первое уравнение системы на второе, получаем — = 8, у = 8х .
3	2	5	1
Из второго уравнения системы имеем х • 64х = 2, х = —, откуда
1
х = - ; тогда у = 4.
Ответ:
x + 2y + 3z = 3,
6.097. \3x + y + 2z = 7,
2х + Зу + z = 2.
Решение.
Будем преобразовывать систему по методу Гаусса, т.е. из второго и третьего уравнения системы вычтем первое, помноженное на соответствующее число
х + 2у + 3z = 3,	х+2у + 3z = 3,
Зх + у+2z = 7, <=> ’ - 5у - 7z = -2, <=> 2x + 3y + z = 2	-y-5z = -4
x + 2y + 3z = 3, у 4- 5z = 4,	<=>
-5y-7z = -2
x = 2, J=-l, z = 1.
Ответ: (2; -1;1)
X3 +/ =7, 6.098. 1/^4	0
|xy(x + jJ = -2.
Решение.
Перепишем систему уравнений в виде
(х + у/^-ху + у2^?,^ xy(x + y) = -2
(x + y)((x + y)2-3xy)=7, _xy(x + y)=-2.
IX 4- У = U, Пусть s	тогда система уравнений имеет вид
(ху = V,
u(u2 -3v)=7,	2
uv = -2	и
Из первого уравнения полученной системы найдем
и и2 + — |=7<=>и3 + 6 = 7> и3 и 1
= 1,
>ткуда и = 1. Тогда
2	9 П
= -у = -2 .Далее,
v
Ответ: (2; -1) (-1; 2)
6.099. 1
х2 + ху + у2 = 91, x + Jxy + у = 13.
Решение.
ОДЗ: ху>0.
Пусть <
тогда
X = и2
У = V2,
х2 = и4 У =v4.
Относительно и и v система уравнений принимает вид
м4 +u2v2 + v4 = 91, С2 +г2У -2u2v2 +u2v2 = 91, и +uv + v =13	u2+v2=13 — uv.
Из первого уравнения полученной системы имеем (13-mv)2-w2v2 =91, 169-26mv+m2v2-w2v2 =91, uv = 3. Из второго уравнения системы получим
u2+v2=13-3, (u + v)2-2uv = 10, (u + v)2 =10 + 2uv = 16, откуда
и + v = -4 или
u + v = 4•
Получили две системы уравнений:
[u + v = 4,
2) 1 Q
7 [uv = 3,
или
|uv = 3
откуда по теореме Виета находим
{Wi=-1, fu2 =-3, (и3 =1, Ju4=3, Vj = -3, [ v2 = -1, [v3 =3, [v4 = 1.
Тогда для <
[Xj =1, fVx=3,	f*2=9>
откуда	откуда <
bl =9> bb=l,	Ьг=1-
Ответ: (1; 9) (9; 1)
6.100.
л/w + v - Vu-v = 2,
и + v - -Ju — v = 8.
Решение.
[u + v>0, 0ДЗ: L-v>0.
Перепишем систему уравнений в виде
Складывая и вычитая уравнения системы, получаем
\Vu + v =6,
Vu + v = 3, Vu-v =1.
Отсюда
|« + v = 81, Ju=41, [u - v = 1, |v = 40.
Ответ: (41; 40)
6.101.
Решение,
Перепишем систему уравнений в виде
Если '
u> Ju + v = 6, v, TO |u v = 8.
J«2 =4, и™ |y2 =2.
По теореме Виета единственно возможные варианты
Гм, =2, |v,=4
Тогда
или •
|x +j? = 4, откуда
[x - у = 64
или
х2=12, Л =4-
и 1
*i = 34,
/,=-30,
x 4- у = 16, x-^ = 8, Ответ: (34;- 30^(12; 4)
6.102.
y]2x-y+l\ -^Зх+у-9 = 3, ^2х-у+11 +фх+у-9 = 3.
Решение.
Пусть "
$]2х-у + \ 1 = и > О, ^/Зх + у-9 = v > 0.
, Относительно и и v система принимает вид
и1 -у2 =3, J(u-vXw + y) = 3, (и-v = l,	(и = 2,
\ + v = 3 ^[u + v = 3	^tu + v = 3, откуда V = l.
Тогда «
ф.х-у+\1=2, фх+у-9=1
2x-j + ll = 16, <=>
Зх + у-9 = 1
2x-j = 5,
3x+j = 10,
откуда
[х = 3, |у = 1.
Ответ: (3;1}
у/5х + у + у]5х- у = 4.
Решение.
ОДЗ:
5х + у > 0,
5х - у > 0,
у>о.
Пусть = z > 0 . Тогда z - — = 1 или z1 - z - 2 = 0, где z*0 . От
сюда zl = -1, z2 = 2 ; Zj = -1 < 0 не подходит.
i У У
Тогда J— = 2,— = 45^ = 4х.Из второго уравнения системы имеем
л/5х + 4х + у/5х-4х = 4, у/9х + у[х = 4, 4-Jx =4, у[х = 1,откуданахо-дим х = 1. Тогда у = 4. Непосредственной проверкой убеждаемся, что это решение.
Ответ: (1;4)
ylxy[y +tfy>[x =12, 6.104.
ху = 64.
Решение.
(х >0, °Д3: [у > о. Перепишем систему в виде
.	= 12,<=>|Vx?V/(V7 + Vx)=12,
ху = 64	|xj = 64.
Пусть >Гх = и > 0, a tfy = у > 0. Тогда имеем
u2v2 (u + v) = 12,	[(«у)2 (м + у)=12,
м6у6=64	|иг = 2
[4(u + v)=12, fu + v = 3, <	<=> <
[uv = 2	[uv = 2,
fui =1,	fu2=2,
откуда <	или 5
h=2	|v2=l.
Тогда
откуда
Xi=l,	[x2=64,
< или 4
[^i=64	[у2=1-
Ответ: (1; 64), (64; 1)
6.105. i
^?=з.
Л’-г)2 =•
Решение.
Из условия имеем ’
|х + /| = 3, >-у|=1.
Из этой системы уравнений получаем
следующие четыре системы: [х+у = -3,	[х+у = -3,	[х+у = 3,	[х + у = 3,
1)	/2)	1	3)	/4) Л ,
=	|х-у = 1;	[х->у = 1;	[х->» = -1.
Складывая и вычитая уравнения каждой системы, найдем ее решения:
{Xi =~2, jx2=-l, Jx3 =2, Jx4=l, Л =4 V?=-2, |у3=1, V«=2-
Ответ: (-2; -1} (-1;-2\ (2; 1} (1; 2)
6.106. 1
и2 +v2 = uv+13,
u + v = Vuv +3.
Решение.
ОДЗ: uv>0.
Относительно x иу получаем систему
*4 +у4 =х2у2 +13,	(х2 +y2>f -2х2у2 -х2у2 +13,
х2 +у2 =ху + 3	[х2+/=х>- + 3
(х2 +у2У -Зх2>>2 -13 =0,
х2 + у2 -ху + 3.
Из первого уравнения системы имеем
(ху+З)2 - Зх2/ -13 = 0, х2у2 + бху + 9-Зх2у2 -13 = 0,
х2у2 -Зху+2 = 0,откуда ху = 2 или ху = 1 .Получили две системы уравнений:
1)
ху-2, (х+у)2 = 3ху+3
или
2)
ху = 1,
(х + у)2 = 3ху+3,
откуда находим
х2 =2, ,У2 =1-
Тогда
Ответ: (1; 4^(4; 1), (* - >/3; 2 + >/з ) (г + >/3; 2 - V3 )
1	1	4
ху = 9.
Решение.
Пусть <
где и > 0 и v > 0 .
Относительно и и v система уравнений примет вид
[114
- и v 3 u2v2 =9.
Учитывая, что и > 0, v > 0 , получаем
w+v 4	[	4
-----= —,	и + v = — uv, 4 uv 3 <=>	3	<=>
uv = 3 uv - 3
и + v = 4, uv = 3,
[uj =1, fu2 =3, откуда <	_ <	1
[vt=3; [v2=l.
Тогда <
yfx =l, fxj =l, 77 = 3. Vi=9;
x2
У2
= 9, = 1.
Ответ: (1; 9) (9; 1)
3b.-Jx-y) +\ob. + Jx + y\ =5.
6.Ю8.4 ;	'	,	'
4^-Jx-y) -Sfy + Jx+y) =3.
Решение.
Перепишем систему уравнений в виде
3	!	10
2-у[х-у 2+^х+у
2-у/х-у 2 + <Jx + y
х-у>0,
ОДЗ: <U + >’>0, х-у *4.
Пусть 4
Относительно и и v система уравнений прини-
мает вид
(3u + 10v = 5,
[4u-5v = 3.
Отсюда получаем и = 1; v = - . Тогда
2-Jx-y	2-y/x-y =1,	y/х-у =1,	(х-у = \,
1	_	[2 + ^х + у =5 |/г+7 = 3	1х+>' = 9’
2+yjx + y 5
откуда
|х = 5, [у = 4.
Ответ: (5; 4)
6.109.
Ifx+tfy =4, х+^ = 28.
Решение.
Пусть
Vx =и,
х = и3,
3 Относительно и и v система принимает вид У = V .
u + v = 4, fu + v = 4,
u3 + v3 = 28 (м + v)(u2 -uv + v1 )= 28
(u + v = 4,
=> <
i uv = 3,
откуда
{«1=1, Jw2=3, vt=3; [v2=l.
y[x=l, [x(=l, Тогда <	<=>•!
l[y = 3 th = 27;
Ответ: (1; 27), (27; 1)
Jtfx+y + yjx-y -4,
6.110. ] I---- I------ o
[у1х~^У ух~У =8.
Vx =3,
u + v = 4, ((м + v)2 -3uv)=7
x2 =27,
У2 =1-
Решение.
\х + у>0,
2
Пусть <
= V2.
Относительно и и v система примет вид u + v = 4, ju + v = 4, и2 -v2 =8<[(m + vXm-
u + v = 4, u-v = 2,
|w = 3, откуда 5	, Тогда <
I v = 1.
х+^ = 81, jx = 41, откуда
х - у = 1,	1л -
Ответ: (41; 40)
Решение.
°д3: V °-
Перепишем систему уравнений в виде <
и вве-
дем подстановку
и,	л
где и > 0 и v > 0. Тогда
ху = V,
2u = 3v, и2 -2v = 5
2и v =—,
3
tr-2v = 5
2и v~ 3 ’
2 о 2w и -2-----= 5
3
2и v = —,
3
Зи2 -4и-15 = 0.
6.111.
4	4
Из второго уравнения их =-у , и2 =3; их = - — не подходит. Тог
да v = 2 и
х+у = 5, ху - 4.
„	„	1*1=4, \х2 =1,
Используя теорему Виета, находим: <	•{
1л=1; (Л =4.
Ответ: (4; 1} (1; 4)
6.112.
Решение.
х>0,
ОДЗ: Ь>0.
Пусть
V* = и > О,
V7=v > о,
Относительно миг система имеет вид
и2 +V2 =10, u + v = 4
откуда
(m + v)2 -2uv = 10,	|wv = 3,
u+v = 4	|u+v = 4,
wi =1, yi =3;
m2 =3, v2 =1.
Тогда
$q =1, .^ = 3;
^/x7 = 3, |х(=1, $7=1 ° Vi =81;
Ответ: (l;81),(81;l)i
x2 =81, y2 =1.
6.113.
x + у = xy + a.
Решение.
ОДЗ: — >0.
У
Пусть ------= t, где t > 0. Относительно t уравнение принимает
1	7	7	IX + tf
вид r + - = 2, г -2г + 1 = 0, (г-1) = 0, откуда / = 1. Тогда J-------=1,
/	V У
-----= 1, откуда у = х + а. Из второго уравнения получаем
У
х + х + а = х(х + а) + а, х2 + (а - 2)х = 0,х(х + а - 2) = 0,
откуда X] = 0,х2 = 2 - а. Тогда = д,у2 = 2.
Ответ: если а * 0, то Х| = 0,	= а, х2 = 2-а, у2 = 2; если а = 0, то
х = у = 2.
6.114.
у42х - Ху/2у = 6, ху2 — х2 у = 30.
Решение.
ОДЗ:
х>0, у>0.
Перепишем первое уравнение в виде л/2(7ху2 -д/х2у) = 6 и поло-
/ Г I 2
жим уху = w, ух у = v, где и > 0, v > 0. Тогда система относительно и и v примет вид
< V2(u-v) = 6,^ L-v = 3V2, и2 -v2 =30	[(w-v)(u + v) = 30
и - v = 3 VI,
30 <=> и + V =--7=-
3J2
u-v = 3V2, и + v = 5>/2,
откуда и = 4>/2, v = V2.
Значит, <
ху2 - 32, х2у - 2.
Перемножив эти уравнения, получим х3у3 = 64, откуда ху = 4. Окон-
2	1	32 о
{ательно находим х = — = —,у = — = 8.
4 2	4
Ответ: (—; 8).
Решение.
Пусть
х = м
Относительно миг система принимает вид
u + v = 3,	и + v = 3,	u + v = 3,
и2 -uv+v2 =3	(u +v)2 -3wv = 3	З2 -3wv-3
и + v = 3, uv - 2,
{г	13/—	с
lu2=2,	Vx = l,	|*1=1’
< Тогда < откуда <
V1 =2;	[v2 =1.	1^7	= 2>	=8’
Их = 2,	[х = 8,
откуда <
34у = 1,	^=1-
Ответ: (1;8),(8;1).
6.116.
у/u +Hv =5.
Решение.
Г и >0, ОДЗ: I v > 0.
Пусть <
Относительно х и у система принимает вид
х2 + у2 =5
x-y = l,	|х-у = 1,	(x-y = l,
(x - + 2xy = 5 V + 2xy = 5	|xy = 2,
I Xi =-1, [х2 = 2, I Xi =-1<0, откуда 5	5	5	не подходит.
171=-2; Ь'2=»; bi=-2<o
Тогда *
Vm =2, (и = 16, VJ = 1	|v = l.
Ответ: (16; 1)
6.117.
х-у-^а1,
Решение.
ОДЗ: Vs0-
Перепишем систему уравнений в виде
1) При « = 0 имеем
[xi =0. откуда <
Vi = 0;
2) При а * 0 имеем
откуда <
х = Зя,
х2 =9я2, /2 =^2
при a > 0.
Ответ: если а = 0, то Xj =	= 0; если а > 0, то х2 = 9я2, у2 = a2 *>
если а < 0,0.
I 2	V 3
1* + У 1*-у -
[ 8	V 12
Решение.
ОДЗ:
х+у>0, х-у^О.
Обозначим
1х+у
. — - и,
V 2
---- гдеи>0иу^0. x-j
,---— - V,
V з
Относительно и и v система принимает вид
u + v = 14, и - v = 6,
ju = 10, т откуда < Тогда * v = 4.
^=10, 2
= 4
^’^„fx^-200,
х-у = 48,
[V=‘6
Jx = 124, откуда |J = 76 Ответ: (124; 7б)
6.119.
Vx - Vy = 0,5 yfxy, x + y = 5.
Решение.
fx^O, °Д3: [y>0.
Пусть
где и > 0 и v > О.
Относительно и и v система принимает вид
и - v = 0,5uv, и - v = 0,5uv,
и2 + v2 =5 /и-v)2 +2uv = 5
=> (0,5uv)2 + 2uv-5 = 0, 0,25(uv)2 +2uv-5 = 0,
откуда uv = -10 или uv = 2 ; uv = -10 < 0 не подходит. Тогда
u-v = 0,5uv,	fu —v = l,	[u = 2,
<=> < откуда <
uv = 2	[uv = 2,	[v = 1;
Vx=2, |x = 4, 77=1, V = L
Ответ: (4;1)
6.120.	He решая уравнения ax2 +bx + c = Q , найти xf2 + x£2, где x1 и x2 —корни данного уравнения.
Решение.
_2_?1	1 Х\ + х2 (х, + х-> )2 -2х, х?
1 +Х2“=— + — =
Х1 х2 х{х2	lVjX2X
По теореме Виета Xj +х2 = —, х1 х2 =— и а	а
*Т-2-
a j а _ а2 л _Ь2 -2ас а2 _ Ь2 -2ас
Ь2 -2ас
Ответ:----,--
1	1
6.121.	Составить квадратное уравнение с корнями и , если Х|	х2
Х| и х2 —корни уравнения ах2 +6х + с = 0.
Решение.
Пусть у1 + ру + q = 0 есть искомое уравнение с корнями У\ ~	,
_ 1
У2 - .Из условия по теореме Виета имеем х2
Тогда '
У1+?2 =“А
71 у 2 = <?-
а
с хгх2=-.
а
Отсюда
р = -(у\+у2) = -
xt + х2 _Ь с _Ь Х\Х2 а а с’
1
Ч = УгУг = —
*1
1 _ а
х2 с
Ь а
Получили уравнение у2 +—у+— = 0, ас*Ц , <=> су2 +Ьу + а = Ъ . с с
Ответ: су2 + by + a = Q при а .
6.122.	Составить уравнение второй степени, один из корней которого был бы равен сумме, а другой — произведению корней уравнения ах2 +bx + c = Q •
Решение.
Пусть у2 + ру + q = 0 — искомое уравнение с корнями у1 = х{ + х2, у2 = х, • х2. По теореме Виета имеем
b У\=х^х2= —, а
С и 5 у2=Х|-Х2=-	Ь1У2=^
Отсюда р = -(у1+^2)= —- —= -^—q = yty2	Получили
а а а	а2
уравнение
2 Ь~С be л 22	/»	\ t л
у +-----у—- = 0<=>a у + a\b-c)y-be = 0 .
a a2
Ответ: a2у2 + a(b-c)y-bc = 0.
6.123.	Составить уравнение второй степени, корни которого были
бы на единицу больше корней уравнения ах2 + Ьх + с = 0 .
Решение.
Пусть у2 + ру+q = 0 — искомое уравнение с корнями yi = Xj +1, У2 = х2 +1. Из условия по теореме Виета
b х\ + х2 = —, а тогда с
Х1 -х2 =“, а
У\ +У2 =xi + 1 + х? + l = Xj +х? + 2 = - —+ 2 = -р, а
У1 ' У2 = (*1 + 0(х? +1)=х1*2 + Х1 + х? + 1 = --- + 1 = <7, а а
Ь-2а Р =-----,
а
а-Ь + с 4 =-----
а
Получили уравнение
у ч-----уч--------= 0<=^ау +(Ь-2а)у + а-Ь + с = 0
а	а
Ответ: ау2 +(р-2а)у + а-Ъ + с = Ъ.
6.124.	Определить коэффициенты квадратного уравнения
х2 + px + q = 0
так, чтобы его корни были равны р и q.
Решение.
{p + q--p,	[2р + ^ = 0,
<=> 5 / х
Р4 = 4
Из второго уравнения системы имеем ^ = 0 или р-1 = 0. Тогда = 0,	= 0; р2 =1, ^2 =-2р2 = -2.
Ответ: рх = qx = 0; р2 = 1, q2 =	.
6.125.	Найти коэффициенты АиВ уравнения х2 + Ах + В = 0, если известно, что числа АиВ являются его корнями.
Решение.
По теореме Виета (я+в = -я,	[2Л+в = о,. (4=о,	(4=1
[ЛВ = В	|В(Л-1)=0 |5,=0	[В2=-2.
Ответ: Ах= = 0; А2 = 1, В2 = -2.
6.126.	При каком целом значении к один из корней уравнения 4х2 -(3Ar+2)x + (fc2 -1)=0 втрое меньше другого?
Решение.
Из условия по теореме Виета имеем
ЗА+2
*1+*2= —
Jt2-1 ^2 = —,
х2 = 3Xj
л ЗА:+2 4X1=—
Зл’=*^ 1	4
хг =3х.
ЗА+2
Х1=Лб-’ х2 = 3хь /ЗА+2? А2-1 3 16	4
где ке Z • Отсюда 31к2 -36Аг-76 = 0, к{ =2, к2 =-—Z (не подходит).
Ответ: к = 2.
6.127.	При каком целом значениир уравнения Зх2 -4х + р-2 = 0 и х2-2рх + 5 = 0 имеют общий корень? Найти этот корень.
Решение.
Пусть Xi — общий корень, тогда
Зх2 -4xj + р-2 = 0, Зх2 -4xt +р-2 = 0,
xf - 2рхх + 5 = 0 |3xf -6pxj +15 = 0
=» -4xi +6pxj + р-2-15 = 0, (6p-4)xi +р-17 = 0,
17-р ы
откуда х( =--— . Из второго уравнения системы имеем
6р-4
r17-p V
/
-2р
17-р
6р-4
+5 = 0,
12р3-31р2-138р+369 = 0,
12р3-36р2 + 5р2 -15р-123р+369 = 0, (12р3 -36р2)+(5р2 -15р)-(123р-369)=0,
12р2(р-3)+5р(р-3)-123(р-3) = 0, (р-з)^2р2+5р-12з)=0.
Отсюда р—3 = 0, Р] =3, или 12р2+5р-123 = 0, откуда Рг =~^2’ 41
Рз = 3; Рг =	не подходит. Таким образом, р = 3 , тогда х = 1.
Ответ: х = 1, р = 3 .
6.128.	Найти все значения а, при которых сумма корней уравнения х2 -2я(х-1)-1 = 0 равна сумме квадратов корней.
Решение.
{Х1 + х2 =2а,
Xi -х2 = 2а-1 Далее,
%! + х2 =х? +х2 =(х1 +хг)2 -2XjX2 <=> х, +х2 = (xj +х2)2 -2х{х2 . Используя значения хх+х2=2а и хгх2=2а-1, получаем 2а = (2а)2 -2(2а-1), откуда 2а2 -За+1 = 0 > а1 = | > а2 =1 •
Ответ:	, а2 = 1.
6.129.	При каком значении а уравнения х2+ах + 8 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют общий корень?
Решение.
Пусть	— общий корень, тогда
*|2 х12
+аХ] + 8 = 0, +*! +а = 0
=> ах{ -Х| +8-а = 0,
*1
а-8 а-1
Из второго уравнения системы имеем
fe-8? м
(а-8
о,
а3-24а+72 (я-1)2
а3 -24а + 72 = 0,
а3+216-216-24а+72 = 0, (а3+21б)-24а-144 = 0, (а3 +63)-24(а+б)=0,
(а+б/а2 -6а+Зб)-24(а+б)=0,
(а+б)(а2-6а+12)=0,
откуда а = -6 . Для квадратного уравнения D < 0,0 .
Ответ: а = -6.
6.130.	В уравнении х2 -2х+с=0 определить то значение с, при котором его корни и х2 удовлетворяют условию 1х2	=47 .
Решение.
Из условия по теореме Виета имеем 4
%! + х2 = 2, Xi*x2=c, Отсюда 7х2 -4х! =47.
х2 =2-Х| и получаем
7(2 - X] )—4х| = 47	|Xj = -3.
Таким образом, с = -15.
Ответ: с = -15 .
6.131.	Не решая уравнения х2 -(2а +1)х+а2 +2 = 0, найти, при каком значении а один из корней в два раза больше другого.
Решение.
Из условия по теореме Виета имеем
		2а+1
х, +х2 =2а+1,	Зх, = 2а+1,	х,= 3 ,
х, -х2 =а2 +2, <=>•	2х,2 -а2 +2, <=>-	2 о2 +2 Xi =	 2
х2 = 2х.	х2 = 2х,	х2 =2х,.
Отсюда
2а+1А2 а2+2	4а2+4а+1 а2+2
----- =------<=>----------=------<=>
3 J 2	9	2
<=>а2 -8а +16 = 0 <=> (л-4)2 =0.
Таким образом, а = 4.
Ответ: л = 4.
6.132.	При каком значении р отношение корней уравнения
X2 + рх -16 = 0 равно -4 ?
Решение.
По теореме Виета и условию имеем систему
х,+х2= -р, ’ ХГХ2 =-16, <=>
— = -4
\|+х2 =-р, 'Х{-Х2 =-16, =>
/2 = -4х.
хх-4хх=-р, Х1(-4х,)=-16
-Зх, =-р,
-4х2 =-16
х -S-Х1’з’ х,2=4.
р2 .	г
Таким образом, — = 4, откуда р
= 36, или р1>2 = ±6.
Ответ: Р\2 = ±6.
6.133.	Не решая уравнения Зх2 - 5х - 2 = 0 , найти сумму кубов его корней.
Решение.
По теореме Виета и условию имеем систему
5
*1+*2 = P
2
X|X2 = ~3
и
Отсюда х*
з 5 f5Y ( 2A 215 + Xj =-	-	- —	=---.
2 3 3	3	27
V ' v '/
215
Ответ:
6.134.	При каком целом значении b уравнения 2х2 + (36-1)л -3 = О и 6х2 -(26-3)х-1 = 0 имеют общий корень?
Решение.
Пусть %! —общий корень. Тогда
2х(2 + (3 b - ifo - 3 = 0, |бх2 + (96 - 3> - 9 = 0, < 6х2 - (26 - 3>q -1 = 0 |бх2 -(2Ь-3>( -1 = 0 «(96-3)х + (26-3>-9+1 = 0, х = ——.
1 \Ь — 6
Из первого уравнения имеем
г[—— 1 +(зб-1{—^—)-з=о, ^116-6 )	\116-6 J
6, = -^-, Ьг =2;
1	99 2
99Z>2-1646-68 = 0,
к 34
bi = - — не является целым значением.
99
Ответ: Ь = 2.
6.135. При каком положительном значении с один корень уравнения 8х2 -6х + 9с2 =0 равен квадрату другого?
Решение.
По теореме Виета и условию имеем систему
3
2
Отсюда получаем с1 = -3 или с1 = —; с2 = -3 < 0 не подходит. Тог-
1 1
Да Q с2 = -
Cj = — <0 не удовлетворяет условию.
Ответ: с = ~.
Решения к главе 7
ЛОГАРИФМЫ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ
Степени с действительными показателями
a0 al,	(7.1)
где 0° не имеет смысла;	
а~п а—(а^О) а”	(7.2)
где п - действительное число;	
О AI ^2, 1 * 1^2 in SI с Q	(7.3)
где т и п - натуральные числа;	
а°а₽=аа+₽,	(7.4)
— SaaH5 аР	(7.5)
	(7.6)
где а и Р —действительные числа.	
Показательная функция
Показательной функцией переменной х называется функция у = ах, где а - данное число.
Если а < 0, то функция аЛ определена только при целых и при дробных значениях л- (если знаменатель дробного показателя - нечетное число). Если а = 0, то выражение ОY определено при х > 0. Если а > 0, то функция ах определена при всех действительных значенияхх, причем при а = 1 имеем 1х -1, т.е. функция равна постоянному.
В дальнейшем показательную функцию ах будем рассматривать при а > 0 и а 1.
Основные свойства показательной функции у = ах при а>0,
1.	Показательная функция определена при всех действительных значениях х (хе R).
2.	Областью изменения показательной функции служит множество всех положительных действительных чисел, т.е. у е (0, + ©о).
3.	При а > 1 показательная функция строго возрастает, т.е. из неравенства д') <х2 следует неравенство ах' <аХ2 . Причем если хе (-©©;()), то уе(0;1);если х=0,то у = 1; если хе (0;©о), то уе (1; + ©©),т.е. если хе (-©о; + ©о), то уе (0; + ©©); у—>0 при х—>-©© и У -> +°° при х —> +©© .
4.	При а е (0; 1) показательная функция строго убывает, т.е. из неравенства X) < х2 следует неравенство лЛ| > а*2. Причем если х е (-©©; 0), то уе (1; + ©о); если Л-=0,то у = 1;если хе(0; + ©©),то уе(0;1),т.е. если хе (-©©; + ©©), то уе(0; + ©©);	при х—»-©© и ^—>0 при
X —> +©© .
5.	Характеристическое свойство: значение показательной функции от суммы равно произведению значений этой функции от слагаемых, т.е.
Логарифмы и их свойства
Логарифмом числа/? по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести числом, чтобы получить число b: 1 oga b = х, если ах = b, или
№=/>•	(7.7)
В дальнейшем основание логарифмов будем считать положительным и отличным от единицы (а > 0, а * 1).
Приведем некоторые свойства логарифмов (при любом положительном основании, отличном от единицы).
1.	Логарифм единицы равен нулю, т.е. loga 1 = 0.
2.	Логарифм основания равен единице, т.е. loga а = 1.
3.	Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, такое действительное число а, что logа Ь = а.
4.	Из равенства logfl X! = loga х2 следует Xj = х2 (и наоборот).
Основные правила логарифмирования
1.	Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел, взятых по тому же основанию, т.е.
\oga(bc) = \ogab + \ogac.	(7.8)
Замечание. Логарифм произведения нескольких чисел, если оно по-ложительно, равен сумме логарифмов модулей этих чисел, взятых по тому же основанию, т.е.
loga(Z>! b2...bn)s loga|6,| + loga|б2|+... +
+ loga|ft„| (Z>r/>2...6„ >0).	(7.9)
2.	Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию, т.е.
loga = loga b - logfl с.	(7.10)
Замечание. Логарифм частного двух чисел, если оно положительно, равен разности логарифмов модулей делимого и делителя, взятых по тому же основанию, т.е.
loga-^sloga|Z>|-loga|c| (ЬоО).	(7.11)
3.	Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм ее основания (логарифмы взяты по тому же основанию), т.е.
logfl6c = eloga6.	(7.12)
Замечание. Логарифм положительной степени числа, отличного от нуля, равен произведению показателя степени на логарифм модуля ее основания, взятый по тому же основанию, т.е.
logoy=clogoH (У>о).	(7.13)
Формулы перехода от одного основания логарифма к другому
1.	Логарифм числа по данному основанию равен логарифму этого числа по новому основанию, деленному на логарифм данного основания по новому основанию, т.е.
,	_ _ log6 #
1оё<Л = —.	(7.14)
log* a	v '
1
Множитель |og а называется модулем перехода.
2.	Из формулы (7.14) при N = Ь получаем
<715>
3.	Часто в логарифмических преобразованиях пользуются тождествами
log? N = log|a| N (ak > о)	(7.16)
И
logi IN
U>0) (717)
Логарифмическая функция, ее свойства и график
Логарифмической функцией называется функция вида y = logox,
где а > 0, аФ\ их - независимая переменная.
По определению логарифма выражение v = log„ х означает то же, что и выражение ау - х , т.е. логарифмическая функция есть обратная функция по отношению к показательной.
Основные свойства логарифмической функции
1.	Логарифмическая функция определена при всех положительных действительных значениях х (нуль и отрицательные числа при положительном основании логарифмов не имеют).
2.	Областью изменения логарифмической функции служит множество всех действительных чисел у € (- <»; + <»).
3.	При а>0 логарифмическая функция возрастает, т.е. если 0<х1<х2,то loga Xj < loga х2. Причем если хе(0;1),то уб(-«>;0); если х = 1 ,то у = 0;если хе (1; + ©©),то уе (0;+<»),т.е.если хе (0; + <»), то уе (-°°;+оо); у ->-<» ПрИ х —>0 и у при х->+оо .
4.	При 0<я<1 логарифмическая функция убывает, т.е. если 0 < Xj < х2, то logaXj >loga х2 . Причем если хе (0; 1), то уе (0;+<»); если х = 1,то у = 0;еслихе (1;+<»),то уе (-©о; 0), т.е. если хе (0; + «>), то уе (-°°; + оо); у->-©о ПрИ х _»+оо и у —>+°° при х ->0<
5.	Характеристическое свойство: значение логарифмической функции от произведений двух положительных чисел равно сумме значений функции от каждого из чисел:
loge (х, • х2) = loge X) + loga х2.
Показательные уравнения
Показательным называется уравнение, содержащее неизвестное только в показателе степени.
Рассмотрим несколько типов показательных уравнений, решаемых методами элементарной математики.
Показательные уравнения рассматриваются в множестве действительных чисел. Проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения при решении показательных уравнений в общем случае обязательна.
1. Уравнение вида
ах=Ь	(7.18)
называется простейшим показательным.
Рассмотрим уравнение (7.18) при а > 0 и а Ф1. Если b > 0, то уравнение имеет единственное решение х = loga b . Если Ь < 0, то уравнение решений не имеет.
2. Показательное уравнение вида
а/М = ь/гЫ,	(7.19)
где <7 > 0 a*l,Z>>0,6*l,a f\(x\f2(x)—заданные элементарные функ-ции, логарифмированием приводится к виду
/l(x)log£,a = /2(x)logf b.
Если последнее уравнение решается методами элементарной математики, го тем самым решается уравнение (7.19).
Логарифмические уравнения
Лога} ифмическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестные только под знаком логарифма.
Логарифмические уравнения, как и показательные, рассматриваются в множес тве действительных чисел. Проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения в общем случае является обязательной.
1.	Ур шнение вида
logax = Z>,	(7.20)
где х - н ^известное, а а и b - заданные числа, называется простейшим логарифмическим.
Если а > 0 и а * 1, то такое уравнение при любом действительном значени i b имеет единственное решение
х = аь.	(7.21)
2.	Логарифмическое уравнение вида
loga/i(*)=1ogaZ>(x)	(7-22)
где а > 0 и а Ф1, после потенцирования приводится к виду /,(х)=/2(х).	(7.23)
Корнями уравнения (7.22) будут только те корни уравнения (7.23), при кот< рых j\ (х) > 0 и /2 (х) > 0, т.е. корни, принадлежащие к области определения уравнения (7.22).
3.	Ло арифмические уравнения вида
/(logev(x))=0,	(7.24)
где /(/) и у(х) — некоторые заданные функции, заменой loga у(х)= t приводятся к уравнению f(t)=O 
Показательно-логарифмические уравнения
Если неизвестное в уравнении входит в показатель степени и под знак логарифма или в основание логарифма, то такое уравнение называют показательно-логарифмическим.
Показательно-логарифмические уравнения чаще всего решают, логарифмируя обе части уравнения, и приводят их к логарифмическим уравнениям.
При решении систем показательных и логарифмических уравнений в основном применяются те же способы, что и при решении систем алгебраических уравнений (подстановки, алгебраического сложения, введения новых неизвестных и др.).
Упростить (7.001-7.015):
[ 1 1
7.001. *251086 5 + 49108,7 .
Решение.
I i 1	_____________ _______________
V 251086 5 4- 491088 7 = 7521°85 6 + 721087 8 — ^51°85 + 71087 & =
= 7б2+82 =10.
Ответ: 10.
1 4
36 +31087 9
Решение.
1	4	3	4	3
81log5’ +271О8»36 + 31О8’9 =з41°8з5 + 32108136 + 321083 7 =54+362+49 =
= 625+216+49 = 890.
Ответ: 890.
7.003. -log2log2M
Решение.
П=	1	1
-log2log2 Vv2 =-log2log228 =-log2-log22 = -log22 3 =3.
8
Ответ: 3.
7.002. 81 °85 3 +2710g9
7.004. -log3log3^.
Решение.
- log3 log3	= —log3 log3 3’ = —log3 ^log3 3 = —log3 3"2 = 2.
Ответ: 2.
7.005.
Решение.
Ответ: -11.
7.006. Зб10^5 +101 ~lg2 _^iog936 Решение.
36loe*5 +10l-le2 — 31069 36 =62log65 । Ю jiog^262 = 10Ig2
= 6i°g652 + 10 _3iog36 _52 +5-6 = 24.
2
Ответ: 24.
7.007.
814 2log’4 4-25108,23 8
^log72
Решение.
8>4 2log’4 +25log,2s8 »49log72
814 t 52Iogs323
Ответ: 19.
7.008.
409
з__
( /	\ 2
------125log236
Решение.
g2lOg9 5 +j31og3V6
409
</ ! \21og725	>
72	_g3Iogs26 _
---------X 409
625-216
409
Ответ: 1.
7.009.
i । ।
1У 1У 1У	(основания лога
рифмов представляют собой идущие подряд натуральные степени числа 2).
Решение.
№°82Л'	... ^°esi2^
is
= (у106' 2 • y108v4 . д^,ов№ ДГ,О8«5|2^5 —
= (2-4-8 -512)й = ^' -22 -23 -2’)^ = (г|т2+3+ +9)^.
Выражение Sn =1 + 2 + 3 + . .. + 9 является суммой членов арифметической прогрессии, где ах = 1, d = 1, ап = 9, п = 9. Тогда Sn = *--- п = = ^•9 = 45. Отсюда (г45р =23=8.
Ответ: 8.
гою. (г108*"
.[741og„a _50.51о?75о
Решение.
^21O84^W — 3lo82?(fl2+1) _2л^74Iog49а — 5°’51og^" _ j = ^2log2fl4 _з1оё?(^+1)_2^у ^7log7a2 -5log5fl-l^=
а -а-1
=	~а~^ (д2 +а + 1)=а2 +а + 1.
о2-а-1
Ответ: а2 + а+1.
70П loga A/a2-l log?/fl7«2-l logo2(a2-l)-log^Va2-l
Решение.
logaл/а2 -1 -logyfl 7а2 -1 2^°^и^а	“О
loge2 (а2 -1)- log.^ Va2 -1 1 lOge (а2 -1)-1 loga (а2 -1)
= I loga (a2 -1)= loga Ve2-1.
Ответ: loge -J a2 -1.
——+1	——+1
7.012. alo8*a	Ь-2аХоъ“A+1 • 6log*e+l + ablog“b .
Решение.
2	2
a'og»/ .ь-2а'°ьм .b'°ba+i +ab'°s‘b* =а-а2^ь Ь-
-2a aloe"b-b b'ot*a+a b b2'otta = a-alo8“*2 b-2abba + +a-b-b^ = ab2b-2a2b2 +aba2 = ab3 -2a2 b2 +aba2 =
= ab3 -2a2b2 + a3b - ab^2 - 2ab + a2 )= ab(b - a)2 =
= aZ>(a - i)2.
Ответ: ab(a-bf.
<	1	\	2
2521og4,25	,4 log34_a2
7.013. -------------------;------------------------•
1-a
Решение.
1	2
2521ogw25+21og21og21og2a21ob4 ,4 log,4_a2
.1_______________________________________=
1-a
^51o6549^ +2iog2log24 .(l210*3)-1 -a2 — ................. ..	./------------—
1-a
W +2108,2'1.9-'-а2	(7 + 2)-1-ог
= ---------------------= ——2--------= 1=2- = 1 + a.
1-a	1-a	1-a
Ответ: 1 + a.
12 M. И. Сканави, группа A
353
7.014. (loga b + log4 a + 2Xloga b - loga6 />)log4 a -1.
Решение.
(logo b + log* a + 2Xloga b - loga4 Z>)logz, a -1 = loga b +
1~4 + 2 x loga6 J
logaab Jlogab	log„b
logn6 ______1____1 =
logaa + logaZ> J loga A
= 5ogM.[, i-JofoLp_________________1 =
logab	l + loga6 JlogaZ>
(lOg^ + l)2	/	1	) 1 (iQgq^+lHl + lOg^-O
10ga b ° [ 1 + loga b Jloga b	(\ + \og„b)iogab
-1 = loga/> + l-l = logaZ>.
Ответ: loga b.
7.015.
________1-lOgqfe_______
(loga/> + log4a+l)loga D
Решение.
________1-logp _________
(loga b + log4 a + 0-loga b
Z>+l + loga/>Xl-logaZ>)
Ответ: logfl b.
7.016. Если logfl 27 = ft, то чему равен log^ y[a 1 Решение.
log jr y[a = — • 2 log3 a =---= —-— = -7.
6	53 31ogfl3 log, 27 ft
7.017. Показать, что при условии х>0 и у>0 из равенства х1 +4у2 = 12ху следует равенство lg(x+2y)-21g2 = 0,5(lgx + ig у)
Решение.
Из условия имеем: (х+2 у? - 2х • 2у = 12ху, (х+2yf = 1 бху.
Прологарифмировав обе части полученного равенства по основанию 10, получим:
\g(x + 2y? = lgl6xy, 21g(x + 2y)=lgl6+lgx + lgy, 21g(x + 2y)=41g2 + Igx + Igy, lg(x + 2y)-21g2 = 0,5(lgx + Igy)
7.018. Вычислить сумму 2х + 2~x, если 4 х +4-х =23.
Решение.
2 х +2~х =y[^x+2~xJ = 74х+4-х+2 = 723 + 2 = 725 = 5.
Ответ: 5.
7.019. Доказать, что если у = 2х* и z = 2У , то х = ±A/0,51og2 log2z , и указать все z, при которых х принимает действительные значения.
Решение.
По условию у > 0 и z > 0. Прологарифмировав обе части равенства по основанию 2, получим log2 у = log2 2Х?, log2 у = х2, откуда х = ±«Jlog2 У • Аналогично z = 2У => у = ^/log2z .
Таким образом, х = ±Jlog2 л/iogTz = ±70,51og2 log2 z . Отсюда log2 log2 z > 0, log2 z > 1, z > 2 .
Ответ: z^2.
Решить уравнения (7.020 - 7.046):
7.020. fl+—Ilg3 + lg2 = lg(27-3l/x).
\ )
Решение.
ОДЗ:
x*0, 27-3l/x >0.
Ig3 2x +lg2 = lg 27-3V
1+—
1g 2-3 2х
= lg 21-3х
1+— 1 1 1
2-3= 27-3Y, 3х +6-32v -27 = 0.
Это уравнение, квадратное относительно 32х; найдем 32х = -9, ко-
77	1
торое не подходит, и 32Л = 3, откуда х = —.
Ответ: -7. 2
7.021. 31og5 2+2-х = Решение.
ОДЗ: 3*-52-v >0.
log5 8 + 2log5 5 -log5(з x -25 • 5 X)=x a log5
откуда ~x $_x = 5 Y <=> 15х = 152. Таким образом, x = 2 .
Ответ: 2.
7.022. A/iog^x?-41og9V3^’ = l.
Решение.
ОДЗ:
x>0, log3x>0, х>1.
-Jlog3 x9 = 1 + 4log9V3x <=» ^9log3x = l + log33x <=>
<=> ^/91og3 x = 1 + log3 3 + log3 x <=> 791og3 x = 2 + log3 x.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
9 log3 х = 4 + 4 log3 х + log3 х <=> log3 x - 5 log3 x + 4 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log3 х, имеем (log3 х), = 1, (log3 х), =4, откуда х, = 3, х2 = З4 = 81.
Ответ: 3; 81.
7.023. log|_x 3 - logbv 2 - 0,5 = 0.
Решение.
ОДЗ:
1 - x > 0, 1-х*1,0*х<1.
3	3 I-----	9	5
Из условия log|_x —= 0,5 <=> — = vl—х => — = 1-х, откуда х = -—.
Ответ:
4
7.024. 1g 5 + lg(x+10)=1 - lg(2x -1)+ lg(2 lx - 20)
Решение,
ОДЗ:
х + 10>0, 2х-1>0, 21х-20>0,
1g5 + lg(x +10)= Igl 0 - lg(2x -1)+lg(2 lx - 20) <=> lg5(x +10)=
= lg 10(21x-20)	5(% + J0)= 10(21x-20),
2x-l	2x-l
откуда 2x2 -23x + 30 = 0 . Решая это уравнение, имеем хх = 1,5; х2 = 10.
Ответ: 1,5; 10.
7.025. log2182 - 2 log2 V5^x = log2 (11 - х)+1.
Решение.
[5-х >0,
ОДЗ:
м [11-х>0,х<5.
log, 182 - log2 (5 - х) = log2 (11 - х)+ log2 2 => log2	= log2 (11 - х)- 2,
-^- = 2(11-х 5-х
откуда х2 -16х - 36 = 0, Х| = -2, х2 = 18; х2 = 18 не подходит по ОДЗ.
Ответ: -2.
7.026. log5 Vx-9 - log; 10 + log5 >]2x-\ = 0.
Решение. lx-9>0,
0ДЗ: [2x-l>0,x>9.
Из условия
.	J(x-9)(2x-l)	J(x-9X2x-l) .	/7—ттт-----
log5 2L1-------L = о <=> —---------- = 1 <=> уЦх - 9Д2х -1) = 10 =>
=>(x-9X2x-l)=100, 7	7
откуда 2x2 -19x-91 = 0, x, =13, x2 =—^', xi =~ не подходит по ОДЗ.
Ответ: 13.
7.027. lg(x+l,5)=-lgx.
Решение.
(x + l,5>0,
ОДЗ:	n
[x >0.
lg(x +1,5)+Igx = 0=>lg(x4-l,5)x = 0=>x2 4-1,5x-1 = 0,
откуда Xj = —, x2 = -2; x2 = -2 не подходит по ОДЗ.
л 1
Ответ: — •
2
7 028 52(,og52+T)-2 = 5 v+log52
Решение.
^x+iogs2 j2 _ jx+iogs2 _2 = 0; решив это уравнение как квадратное относительно 5 x+log52, найдем 5v+logs2 =-1 и 5v+log52 = 2; 5x+log52 =-1 не имеет решений.
Таким образом,
5x+,og52 =2=>log55A+1O8s2 =log52, x4-log52 = log52,
откуда x = 0 •
Ответ: 0.
7.029. 0,25log2 ^-W'ofct2-’) = ^2(7-x).
Решение.
x + 3 > 0,
ОДЗ:	x2-9>0, 3<x<7.
[7-x^O.
Из условия имеем
(2-гГ’_ ДТТТ) а 2,ОЬ(ЛПГ .2,ogj(.=-,) _
Следовательно, х2 -4х -5 = 0 при х > 3. => Xj = 5, х2 = -1; х2 = -1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5.
7.030. xlgV55r?-lg25 = 0.
Решение.
2х-8	(2х-8>	2х2-8х
xlg5 5 = lg25, lg5 5 = lg52, 5 5 = 52,
откуда Xj = 5, x2 = -1.
Ответ: 5; -1.
7.031. log5(x-2)+log^(r3-2)+log0>2(x-2)=4.
Решение.
ОДЗ:	x-2>0,x>2.
Из условия имеем
log5(x-2)+21og5(r3 -2)-log5(x-2)=4, log5(x3-2)=2,
откуда x3 -2 = 25, x3 = 27. Тогда x = 3 •
Ответ: 3.
7.032.
2-lg4 + lg0,12 lg(j3x + 1 +4) -lg2x
Решение.
x>0,
ОДЗ: <3x + l>0, lg(73x + l +4)* lg2x,
Из условия
i inn i л i 1 (/->	7	-	1 100*0Д2 « >/Зх4-1+4
lg 100 - 1g 4 + 1g 0,12 = lg к/ Зх+1 + 4)- lg 2x => lg   = 1g  -
4	2x
3 = >/3x + l +4	73х+Т = 6х-4, 6x-4 >0 =>
2x
3x4-l = 36x2 -48x4-16, 6x-4>0
12x2 -17x4-5 = 0, 'Х>Л.
3
„	.	5	,	5
Корнями квадратного уравнения будут хх =—,х2 =1; xi =— не
подходит.
Ответ: 1.
7.033. xlg’x“51gx =0,0001.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1. '
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем lgxIg x"5Igx = lg0,0001=> (lg3 x-51gx)lgx = ^, lg4 x-51g2 x+4 = 0.
Отсюда (igx^ = -1, (igx^ = 1, (igx)^ = -2, (lgx)4 = 2. Тогда Xj =	,
X2=10, Хз=Т5о’X4=100-
Ответ: 7—10; 100.
7.034. lg(?x -24-x)=2+0^51gl6-0^xlg4.
Решение.
ОДЗ: 3х-24-x >0.
Из условия
lg(3x-24-х)= lgl00+ lg2-lg2x => 18(зх-24-x)= lg*25Ll,
3* _2‘*-x — 200
” 2х '
Отсюда 6х = 216, откуда х = 3.
Ответ: 3.
7.035. log(81х +32x)=31og27 90.
Решение.
Из условия log3 (вIх + 32х )= log3 90, 92х +9* -90 = 0, откуда найдем 9х = -10, что не подходит, или 9х = 9, откуда имеем х = 1.
Ответ: 1.
7.036. 3x-log6 8х =log6(33x +х2 -9)
Решение.
ОДЗ: З3х + х1 - 9 > 0.
Из условия Зх = log6 8х +log6 (з3х + х2 -9) Зх = log6 8х (з3х + х2 ~9), откуда63х =8х(?3х +х2 -9) З3х =33х +х2 -9<=>х2 =9.Тогдахц =±3.
Ответ: -3; 3.
7.037. log6^3x2 +l^-log6^32-x2 +9j=log62-l.
Решение.
Из условия
logef3’2 +1У1о8б(з2-х2 +9l=log62-log66, log6 =log6
V )	\	)	32-х +9	6
ТА	V2
Решая это уравнение как квадратное относительно 3 , получим 3х = -1 (не подходит) или 3 х" = 3 , откуда х2 = 1, х1>2 = ±1.
Ответ: -1; 1.
7.038. Igf625^5*^®^” 1=0.
Решение.
x2-20.V4-55	X2-20x4-55
Из условия имеем 625-5	5	=1, 5	5	=5"4, откуда
х2-20x4-55 л 2
------------= -4, х2 -20х+75 = 0. Тогда х} = 5; х2 =15.
Ответ: 5; 15.
7.039. Ig^lO^2-21) j-2 = Igx -Ig25.
Решение.
ЛТТ_ х2 -21 >0,	/г?
ОДЗ: 1	x>V21.
|х>0,
Из условия имеем
1 ( 2	. ,ЛП 1	1 ос 1 х2-21 .. х х2-21 х
Iglx -21l-lgl00 = lgx-lg25, 1g-----= lg—, ------= —.
V ’ &	5	6 Б 100	6 25	100	25
Получаем квадратное уравнение х2-4х-21 = 0, корнями которого будут X] = 7 , х2 = -3; х2 = -3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 7.
7.040. Igp +l)=21g’‘(х2 +1)-1.
Решение.
ОДЗ: х*0.
lg(x2 +1)= ^2 +i)-l, lg2(х2 +l)+lg(x2 +1)-2 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно lg(x2 +1), найдем lg(x2 +1)=-2 и lg(x2 + 1)=1. Отсюда х2 +1 = 0,01, х2 =-0,99,0 . х2 +1 = 10, х2 =9 .Тогда х12 =±3 .
Ответ: -3; 3.
7.041. igV5x(13'x)+lllg2 = ll.
Решение.
*(13-х)	х(13-х)	х(13 —х)
Отсюда имеем 5 2 •2||=10||,5 2	=5’'.Тогда-----------= 11,
х2 -13х+22 =0, откуда Х| =2; х2 =11.
Ответ: 2; 11.
7.042. x(lg5-l)=lg(2x+l)-lg6.
Решение.
x(lg 5 -lg 10)= lg(ix +1)-lg6, Xlg= lg—, 1U О
9х 4-1	9х 4-1
lg2-x=lg——, 2-x=——22x+2x-6 = 0. 6	6
Решив это уравнение как квадратное относительно 2х, найдем
2х = -3 (не подходит), 2х = 2 , откуда имеем х = 1.
Ответ: 1.
7.043. Ig^l Vs*2’8* ^=0.
Решение. ;—	?~8х	г2 _8г
Имеем81уЗх'~8* =1, 3 3 =3^,откуда—-— = -4, х2 -8х+12-0;
х, = 2 ; х2 = 6.
Ответ: 2; 6.
7.044. log* 9х2 ;log2 х = 4.
Решение.
ОДЗ:	0<х*1.
Имеем
log3 9х ]og2 х _ 4	9 + |og3 х2 )]og3 х _ 4 iog2 х + |og3 х _2 = 0.
log3x
Решая это уравнение как квадратное относительно log3 х, найдем
(logз х^ = -2 , откуда Л1 = ^ > 0°8з л')2 = 1 ’ 0ТКУДа хг = 3 • 1 _
Ответ: —;3.
7.045. log5 (Зх -11)+ log5 (х -27)=3 + log5 8.
Решение.
|3x-ll>0, ОДЗ: |«-27>О. *>27'
Имеем
log5 (Зх -11)+ log5 (х - 27) = log5125+log5 8,
log5 (Зх -11)- (х -27)= logj(125-8} (Зх -11Хх - 27) = 125 • 8,
Зх2 -92х-703 = 0,
19	19
откуда находим Xj =37 , ^2	—; х2 =—— не подходит по ОДЗ.
Ответ: 37.
7.046. lg(5-x)+21gV3-x =1.
Решение.
/5-х > 0,
°Д3: |з-х>ц х<3
Имеем lg(5 - х)+lg(3 - х) = 1, lg(5 - хХз - х) = 1, откуда (5 - хХз - х)=10, х2 -8х + 5 = 0. Тогда х, =4-Vn, х2 =4 + Vn ; х2 = 4 + Vn не подходит по ОДЗ.
Ответ: 4-л/ГТ.
7.047. Найти натуральное число п из равенства
-^2 ^5 ^8 ^З/i-l _27^
Решение.
32+54-8+...+3П-1 =315( 2 + 5 + 8 + ... + Зп-1 = 15.
В левой части уравнения имеем сумму членов арифметической про-с*	о , „ а 1 1 ак~а\ 1	3/7-1-2 ,
грессии Sk, где =2, rf = 3,	=3/2-1, к=—-----L + l =-----+1 = п.
п =
a}+ak 2-ьЗл-1 Зл2 +п
Тогда Зк -—  к =------------л =—-—, и уравнение принимает
Зл2 +п ., , j -л .
вид —-— = 15, Зл +л-30 = 0,откуда п = 3.
Ответ: 3.
Решить уравнения (7.048 — 7.127):
7.048. 0,5(lg(x2 - 55х+9о)- lg(x -Зб))= 1g Л.
Решение.
(х2 -55х+90>0,
[х-36>0.
Из условия
0,5(lg(x2 - 55х+9о)- lg(x - 36))= 0,5 lg2, lg*2~55* + 9° = 1 g2,
x-36
x2 -55X + 90 2
x-36
Имеем x2 -57x4-162 = 0 при x*36-Отсюда Х]=54, х2=3;
х2 = 3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 54.
7.049. lg(5-x)-|lg(35-x’)=0.
Решение.
ОДЗ:
5 - х > 0, 35-х3 >0,
x<V35.
Из условия имеем 31g(5-x)=lg(35-x3
lg(5-x)3 =lg(?5-x3), от-
куда (5-х)3 =35-х3, х2 -5x4-6 = 0 Тогда xt =2, х2 =3.
Ответ: 2; 3.
7.050. log2	4-log2 (г2 -25)= 0.
Решение.
ОДЗ: —7>0илихе (-«;-5)U(5;°°)
* х+5
Имеем log,	——— = 0, (х-5)2 = 1, откуда х-5 = -1 или
х + 5
х-5 = 1- Тогда Х| =4, х2 =6; Xj =4 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 6.
7.0SL lgS-lg(x-5) = |
lg Vx + 7-lg2
Решение.
х-5 >0,
ОДЗ:^х + 7>0,	х>5.
л/х + 7 5*2,
Из условия
lg8-lg(x-5)= lg2-lgVx + 7, lg—= lg 2-—, x-5 Vx+7
- = -=£=, 4Vx + 7 = x-5, 16x + 112 = x2-10x+25,x>5.
x-5 Vx+7
Имеем x2 -26x-87 = 0 , откуда Xj =29 , x, =-3 ; x, =-3 не под-
ходит по ОДЗ.
Ответ: 29.
7.052. logo 5 4х + 1оё2	= 8-
О
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Имеем
log2 4x + log, -—8 = 0, 8
log2 x + 61og2 х-1 = 0.
(log2 4+log2 x)2 + log, x2 —log2 8-8 = 0,
Решая это уравнение как квадратное относительно log, х , найдем (log2 х)| = -7, откуда х, = 2'7 =	, или (log2 х)2 = 1, откуда х2 = 2 .
12о
Ответ:
7.053. lg(lg x)+ lg(lg x3 - 2)= 0.
Решение,
Igx >0, ОДЗ:	,
Igx3 -2>0, Из условия имеем
31g2 x-21gx-l = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 1g х, найдем
(lg x)i = -1, откуда х( =
-5	V1 v
не подходит по ОДЗ.
или (lg х\ = 1, откуда х2 = 10;
Ответ: 10.
7.054. log2 х + log4 х + log8 х = 11. Решение, ОДЗ: х > 0.
Имеем log2 х + 2. log2 х+i log2 х = 11, log2 х = 6, откуда х = 26 =64.
Ответ: 64.
7.055. log3(jx -8)=2-х.
Решение.
ОДЗ: У -8 >0.
По определению логарифма имеем 3Х-8 = 32-Х,
9 Зх-8 = —
32х - 8 • 3х - 9 = 0, откуда, решая это уравнение как квадратное отно
сительно 3х, найдем 3х = -1,0 ; или 3х = 9, откуда х = 2.
Ответ: 2.
7.056. 7lgx -5lgx+1 = 3-5lgx4 -13 • 7lgx-1.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Из условия
7lgx _5.5igx =2.5ig* -12.7^, 35-7lgx +65 7,gx =2b5lgx +175-5lgx, 5	7
( 7	( 7 V
100-7l8X =196-5lgx, -	= -
15 I 5
откуда Igx = 2 и x = 100-
Ответ: 100.
7.057. 5х+6 —3*+7 = 43-5x+4 -19 3x+s Решение.
( с V ( c \ J
Имеем 56-5х-43-54-5х = З7-3х-19-35-3х, — = — ,отку-l3 J t3 J
да x = -3.
Ответ: -3.
Решение.
7
ОДЗ: 2х-7>0,х>-.
Из условия
logs(V2x-7 +1)= |logs(V2x-7 + 7) log5p2x-7 +1)= logs^2x-l+l,
откуда
л?2х-7 +l = -JV2x-7 + 7 =>(>/2x-7)2 + 2<j2x-7+1 = V2x-7+7, (V2x-7j + V2x-7 -6 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно >/2х-7 , найдем
V2x-7 = -3,0; или V2x-7 = 2, откуда х = 5,5.
Ответ: 5,5.
Решение.
ОДЗ: х>0.
I x 2+Jx+x	1 x 2+Jx+x
J2 . jl+Vx .3 2(1+Vx) _ j4 3 2 1+Vx 2(1+Tx) _
откуда
1 x 2 + yfx +x л
Решив это уравнение как квадратное относительно 4х 9 найдем 4х = -1,0 ; или 4х =9, откуда х = 81.
Ответ: 81.
7.060.	0,12= = 4^2.
Решение.
ОДЗ: х * 0.
Перепишем уравнение в виде
х £ -J_	1	*+*__!_	2+-
22 -23 -2 2х = 22 -23 22 3 2х =2 3
откуда х х 1	7	-
2 + з"2Гз’5*2-14*-3 = 0-
Тогда Xj = -у, х2 = 3.
Ответ: -у; 3. 5	1
7.061. -Л0^4'^+1° -16^=0.
Решение.
ОДЗ: х>0. Из условия j 5	2	1	5	2
22.2 4<Jx+io _2^+* 22 4V*+io =2^+1 откуда
= -Л- =.(ЛУ-зЛ-10.0,
2 477+10 77+1 v ’
Решая это уравнение как квадратное относительно 4* , х = -2, 0; или Vx = 5, откуда х = 25.
Ответ: 25.
х-3 J / Зх-1
7.062. 8^-7^0,25 х'*'1 =1.
Решение.
ОДЗ
7
3
Перепишем уравнение в виде
Зх-9 Зх-1	Зх-9 Зх-1
23х-7 «2 Зх-з = 2°, 23х~7 Зх-з =2°,
откуда
Зх-9 Зх-1 Л 5 -----------= 0 => х =
Зх-7 Зх-З	3
Ответ: —. 3
7.063. 2х2-3-5х2-3 =0,01 (10х’1)3.
Из условия 10х -3 = 103х-5, х2-3 = Зх-5, х2 -Зх + 2 = 0,
X] = 1, х2 = 2.
Ответ: 1; 2.
T25Y 12 ( 27 V
7.064. 0,6х —	= — .
V 9 ) U25J Решение.
Имеем
-2х2+х + 24 = 9,2х2-х-15 = 0,
найдем
откуда
5
откуда Х| = - —, х2 = 3.
л 5 , Oti'ieeiTi. , 3.

1 1
7.065. 5Х~& -0^ = ^25.
Решение.
QJ& 0<х*1. ।	1	2 I________!_	2
Изусловия 5Х~^ -5	= 53, 5х’77	=53 .
Отсюда —, 2^/х J2 + Vx - 6 = 0. Решив это уравне-х~^х у/х 3 ние как квадратное относительно Jx , найдем Jx = -2,0; или Jx 9 откуда х = —. 4 9 Ответ: — ♦ 4 1	1	77
7.066. 2^~{	=4х+л/*.
Решение. ОДЗ: 0< х*1. 1	_1	277	1___1	2 77
Имеем* 2^*4 *2	= 2*+77	77+1 =2*+77.
_	1	1 2л/х Г о л п
Тогда —/=-------j=— =-----т=г, х - V х -2 = 0. Решая это уравне-
Vx-1 Vx+1 x + vx
ние как квадратное относительно Jx , найдем Jx = -1,0; или Jx = 2, откуда имеем х = 4 *
Ответ: 4.
4+79^7
7.067. 2,5	0,41_,/5=х =510 ОД5.
Решение. ОДЗ: 9-х>0, х<9.
Перепишем уравнение в виде
Тогда
откуда X) = -7, х2 = 8.
Ответ: -7, 8.
7.068. 2х2-1 -З'2 =Зх2_| -2х2+2.
Решение.
2х ,2 3х ,2	9	,2	4	,2
ИмеемV + 4 2 “ + 3*, ~2Х = ^3Х 2	3	2	3
Тогда х2 = 3, откуда х, = —7з , х2=у[з .
Ответ: - 73; >/з.
7.069. log л (г - б)- logV5 (ix - 2)= 2.
Решение.
ОДЗ:-
4х-6 >0, 2х -2 >0.
4х -6 Имеем log -----= 2,
'Г52х-2
п2х —6
—-----= 5, 22х -5 -2 х +4 = 0. Решая это
22-2
уравнение как квадратное относительно 2 х, найдем (2 х J = 1, откуда имеем X] = 0, или (гх = 4, откуда имеем х2 = 2 ; х( = 0 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 2.
7.070. 410g’x2 +log7J3 = 0>2(42+log’x-4log’x).
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Перепишем уравнение в виде
42iog,x +21Og33 = 0^6-4lt>E’x -4log’x) 4210g’-v -3-410fox +2=0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 4log’’c, найдем ^4log’x |=1, откуда (log9 х), = 0, X] = 1, или (4log’x = 2 , откуда (log9 х)2 = 1, х, = 3
Ответ: 1; 3.
7.071. 3-52х-1 -2-5х’1 = 0,2.
Решение.
Из условия 3-52х-2-5х =1, 3-52х-2-5х-1 = 0. Решая это уравнение как квадратное относительно 5 х, получаем 5 х = -1,0; или 5х =1, откуда х = 0.
Ответ: 0. 2	1	1
7.072. 10 х + 25х = 4,25-50х.
Решение.
ОДЗ: х * 0.
1	2	( L' •
Разделив обе части уравнения на 25 х, имеем 2 х -4,25 2 х +1 = 0,отку
да, решая уравнение как квадратное относительно 2х, получим 2 х
ч Л
4
откуда | — | = -2, х. = -—, или 2х
\х Л	2
1 1 k
Ответ: Х( = --; х2 =-.
7.073. 9х2-1 -36-3х"•’ +3 = 0.
Решение.
и Pl -2	1
= 4,откуда! ~ I х2 =-.
9х’	3х
Имеем-------36---+ 3 = 0,
9	27
З2'2 -12 -3х2 +27 = 0 . Решив это
2	2
уравнение как квадратное относительно 3 , получим 3х = 3, откуда х2 = 1, х|>2 = ±1, или 3? = 9, откуда х2 = 2 , *3,4 = ±з/2 .
Ответ: — V2; — 1; 1; V2.
7.074. 4х-10-2х’1-24 = 0.
Решение.
Из условия 21х - 5 • 2 х - 24 = 0. Решая это уравнение как квадратное относительно 2х, получим 2х = -3,0; или 2х = 8, откуда х = 3.
Ответ: 3.
7.075. (Vi)* +(^’10 =84.
Решение.	'
Перепишем уравнение в виде
+ Ж -84 = 0, 3 • $3$* +	-252 = 0 .
Решая уравнение как квадратное относительно (>/з)*, получаем (т/з)* = -—, 0 ; или = 9,310 = З2, откуда = 2, х = 20.
Ответ: 20.
7.076. 9^ -21 = 6-3^.
Решение.
ОДЗ: х-5>0, х>5.
З2^-6-3^ -27 = 0.
Решаем уравнение как квадратное относительно З^”* . Имеем 3^5 =—3 (не подходит) или 3'^ =9, откуда >/х-5 =2 , или х - 5 = 4. Тогда х = 9.
Ответ: 9.
7.077. 17.2^х-8 = 2-4'^х.
Решение.
ОДЗ: х2 -8х > 0, хе (-<»;0]ll[8;-н»)
Имеем 2-22л/х2’'‘х-17-2'/х2"®х+8 = 0. Решая это уравнение как
квадратное относительно 2^ 8х , получаем 2^х2~8х = 2 *, откуда >1х2 -8 = -1,0; или 2^x2~ix = 8, откуда д/х2 -8х = 3, х2 -8х = 9, х2 -8х-9 = 0, х, = -1, х2 = 9.
Ответ: -1; 9. 2 ix+i 7.078. 8х -2 х +12 = 0. Решение.
ОДЗ: х 0.
Перепишем уравнение в виде
2 х -23+* +12 = 0,
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 х, получаем
( 3 > 2х
= 2, откуда
*1
(
= 3, или 2 х = 6 > откуда
< Д
( log22x
( 3 \	а
= log2 6 I — = log2 6 х2 = --------- = 31og6 2 = log6 8
’ (X L ’ log2 6
Ответ: 3; log6 8.
7.079. 21ogx27-31og27x = l.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Перейдем к основанию 27. Имеем
— -----3 log27 х — 1 = 0 => 3 log27 х + log27 х - 2 = 0.
log27 *
Решая это уравнение как квадратное относительно log27 х, получаем
1	2	-
(log27 х\ = -1, откуда х( = —, или (log27 х)2 = -, откуда х2 = 273 = 9.
1 27 3
Ответ:
7.080. lgL/6 + .v+e)—
1о8д10
Решение.
6 + х>0,
ОДЗ: <х>0,	0<х^1.
х*1,
Перейдем к основанию 10. Имеем
lg(j6+x +
lg(>/6 + x + б)= 1g х.
Тогда >/б+х + 6 = х,
л/б+ X = X - 6 => <
х2 -13x4-30 = 0, х >6,
откуда х = 10.
Ответ: 10.
7.081. log5 x + logx25 = ctg2 О
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Перейдем к основанию 5. Имеем
1	2	((А	,	2	,
log5x+-----= ctg 4л+-	, log5x + ---= 3=>
log5x	6JJ	log5x
=> log2 x-31og5 х + 2 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log5 х, получаем (log5 x)t = 1 или (log5 х)2 = 2 , откуда х, = 5; х2 = 25.
Ответ: 5; 25.
lgx+5
7.082. х 3 =10s+lgJt.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, имеем
Igx 3 =lgl05+lgr, ^X^---lgx = (54-lgx)lgl0, lg2 x4-21gx-15 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно Igx , получаем (Igx)! = -5, или(^х)2 = 3, откудаxj = 10"5,х2 =1000.
Ответ: 10”5; 103.
7.083. х10®4 х-2 = 23('og4
Решение.
ОДЗ:0<х*1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 4, имеем
log4 x10g4 х“2 = log4 23(log4 хЧ), (log4 x - 2) log4 x = 3(log4 x -1) log4 2,
О	3	7
log4 x - 2 log4 x = — (log4 x -1), 2 log4 x - 71og4 x + 3 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log4х,найдем
/. ч 1
(log4x),=-,
2
(log4x)2 =3. Следовательно, =42 = 2,х2 =43 =64.
Ответ: 2; 64.
7.084.
2х+ 10	9
4	" 2х-2 ’
Решение.
Из условия
2^10=	9	2^10 = 36>22х+10.2Ж_144 = 0
4 2х -2“2	4 2х
Решая это уравнение как квадратное относительно 2х, найдем 2х = -18,0, или 2х =8,откуда х = 3.
Ответ: 3.
7.085. Ю1+х2 -10b? =99.
Решение.
г2 10	Ov2	г2
Имеем 1010х--------г-99 = 0=>10102х -99 10х -10 = 0. Решив
10х
U	г2 1
это уравнение как квадратное относительно 10 , получим 10 = -—, 0,
г2	7
или 10 =10, откуда х =1,х12=±1.
Ответ: - 1; 1.
'Ч'8А	1 л
7.086. х 3	--= = 0.
V100
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
1— IgA'2	j
Записывая уравнение в виде х 3	=  и логарифмируя обе
V100
части по основанию 10, получаем
i-rig* 1	(	2 А 1	о
Igx 3	= lg-==T, l--lgx lgx = --IglOO, 21g2 x-31gx-2 = 0.
V100 V 3	)	3
Решая это уравнение как квадратное относительно 1g х, находим
(lgx)| =-- или (lgx)2 =2,откуда х( =10 2 х2 = Ю2 =100.
Ответ: -Д=г;100.
V10
7.087. 7*(л/г)2*2"6=0.
Решение,
Из условия
7х-2х2-3 =7х-2"2х =>2хМ =2’2х, х2-3 = -2х, х2+2х-3 = 0, откуда %! = -3 , х2 = 1.
Ответ: -3; 1.
7.088. 3-41ое*2 -46-2log’2'1 =8.
Решение.
ОДЗ: 0 < х Ф 1.
Имеем 3 ♦ 221°8х2 - 23 • 2logx2 -8 = 0. Решая уравнение как квадратное относительно 2108x2, найдем 2108x2 = -у, 0 ; или 2108x2 = 8, откуда log* 2 = 3, х = yfl.
Ответ: у/1.
7.089. 91оВ|/3 (*+l) = 5log|/5	+1)
Решение.
ОДЗ: х + 1>0, х>-1.
Из условия
310g3(x+>r2 =5ЮЬ^+1Г t (x + i)”2 =^x2 +1)->,
1 _ 1 (x + 1)2 2x2+l
Решая это уравнение, имеем х, = 0, х2 = 2 .
Ответ: 0; 2.
7.090. 27lgx-7-9Igx-2L3lgx+27 = 0.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Имеем
331gx -7.32'1?* -21 • 3lgx +27 = 0, ^3lgx +27)-7-3lgx(?lgx +з)=0, (1lgx + 3^2lgx - 3 • 3lgx + 9)- 7 • 3lgx felgx + 3)= 0,
^lgx+3b21gx-10-3lgx+9 = 01
откуда 32 lgx -10 • 3lgx + 9 = 0. Решая это уравнение как квадратное относительно 3lgx, получаем (з1гх ) = 1 или (з1вх = 9, откуда (igx^ = 0 или (igx^ = 2. Отсюда X! = 1, х2 = 100.
Ответ: 1; 100.
7.091. log2^-3x —б)—log2^9x -б)=1.
Решение.
ОДЗ:
4-Зх-6>0, 9х-6 >0.
4.4х—А	4-4х—6
Имеем log2 —z--= 1, —z------ 2 => 32х - 2 • 3х -3 = 0. Решая
32х-6	32х-6
его как квадратное относительно 3х, найдем 3х = -1,0; или 3х = 3, откуда х = 1.
Ответ: 1.
7.092. 21og3(x-2)+log3(x-4)2 =0.
Решение.
ОДЗ: !Л 2 >	2 < х * 4.
|х-4 0,
Из условия 2 log3 (х - 2) 4- 2 log3 |х - 4| = О или log3 (х - 2) 4- log3 |х - 4| = 0. Имеем:
(2<х<4,	|2<х<4,
1) [1 °ёз (* “ 2)+ 1оёз (4 - х) = 0	(log 3 (х - 2Х4 - х) = О
2 < х < 4,
<=М 7
х~ - 6х 4- 9 = О,
откуда X, = 3 ;
2)
х>4,	|х>4,
log3 (х - 2)+ log3 (х - 4) = 0	1 og 3 (х - 2 Хх - 4) = 0
х >4,
х2 — 6х + 7 = 0,
откуда х2 = 34-72.
Ответ: 3;3 4-72.
9
7.093. log3 х • log9 х • log27 х • log81 x = -.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Ill 2
Имеем log3x.-log3x -log3x -log3x = y, log3x = 16, откуда
(log3 x)j = -2 или (log3 x)2 = 2 . Отсюда , x2 = 9.
Ответ: —;9.
7.094. 4log5 ? -4log5X+1 4-41ое5ЛГ_| -1 = 0.
Решение.
ОДЗ: x>0.
Из условия 4'42|°85* -15 -4log5* -4 = 0. Решая это уравнение как
квадратное относительно 41о®5 х, найдем 4108’х = -—, 0; или 4,og5 х = 4, 4
откуда log5 х = 1, х = 5.
Ответ: 5.
7.095. 7logo х + 71о6х а = у •
Решение.
logo х > 0,
ОДЗ: -|0<а*1,
0 < х * 1.
Из условия
A/logox + ;   -^ = 0=»3(viogfl х)2 -Юд/logo X+ 3 = 0. 71оё<»х 3
Решая это уравнение как квадратное относительно -jloga х , получаем (jlpgex| = |, 0°ga *)i = у откуда х, = 94а , или Qlogax)2 = 3, (logo х\ = 9»откуда х2 = а9.
Ответ: >[а;а9, где 0 < а # 1.
7.096. lg(3x2 +12x + 19)-lg(3x + 4)=l.
Решение.
ОДЗ: Зх + 4 > 0, х > ~.
. Зх2+12х + 19 . Зх2+12х+19 л 2 10 о, л
Имеем 1g-------------= 1, ----------~ = 10, Зх -18х-21 = 0
Зх+4	Зх + 4
при Зх + 4 # 0. Отсюда X] = -1, х2 = 7.
Ответ: -1; 7.
7.097. logj (х - З)2 + log3 |х - 3| = 3.
Решение.
ОДЗ: х-3 Ф 0,х ф 3.
Из условия
21og3|x-3| + log3|x-3| = 3, 31og3|x —3| = 3, log3|x-3| = l,
откуда |x-3| = 3. Тогда (х-3)]=-3или (х-3)2 = 3. Отсюда Х]=0, Х2 =6.
Ответ: 0; 6.
7.098. lgVr^3+lgVTb3=2-0,51g625.
Решение.
^ттг» [*“3>0,
ОДЗ:< х>3.
|х+3>0
Имеем
lgVx-3+lgV* + 3 =lglOO-lg25, lg>/x2 -9 = lg4, 7x2 -9 =4, отку-
да x2 = 25,	= -5, x2 = 5, X] = -5 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5.
7.09	9. lg(3-x)-|lg(27-x3) = 0.
Решение.
ОДЗ: 3-х>0, х<3.
Перепишем уравнение в виде
31g(3-x) = lg(27-x3), lg(3-x)3 =lg(27-x3).
Тогда (З-х)3 =27-х3 =>х2-9х = 0, откуда Х[ =0,х2 =9;х2 =9 не подходит по ОДЗ.
Ответ.О.
7.100.	21gx-lg4 = -lg(5-x2).
Решение.
	x>0,
ОДЗ:-	э 0<x<y5. 5-x2>0,
Из условия
lgx2 +lg(5-x2) = lg4, lg(x2(5-x2)) = lg4, x2(5-x2) = 4,
x4-5x2+4 = 0.
Решая это уравнение как биквадратное относительно х, найдем х1 = -1, хг =1, х3.= -2, х4 =2; Xj = -1 и х3 = -2 не подходят по ОДЗ.
Ответ: 1; 2.
7.101.	lg8-lgVx + 6 = lgl6-lg(x-2)
Решение.
(х + 6>0,
°Д [х-2>0, Х>
Имеем
lg—L. = lg2L,	2>/х + 6=х-2, х2-8х-20 = 0,
>/х + 6	х-2 Vx + 6 * _2
откуда Xi = 10, х2 = -2; х2 = -2 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
7.102.	21gV4-x + lg(6-x)=l.
Решение.
[4-х > 0, °Д3:Ъ	х<4~
[6 - х > 0,
Перепишем уравнение в виде lg(4-x)+lg(6-x)=l, lg(4-xX6-x)=l,
откуда (4-хХб-х)=10, х2 +1 Ох-14 = 0.Следовательно,х, =5--ЛТ, х2 = 5 + л/ГТ; х2 = 5 + -УГГ не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5 —>/11.
lg(2x-19)-lg(3x-20)_ / .	* •
Igx
Решение. • (2х-19>0,	19
°да:1з,-20>0, Х>2-Из условия lg(2x -19)- lg(3x - 20)=- 1g х, lg(2x -19)+ 1g x = !g(3x - 20) x(2x-19)=3x-20, x2-llx+10 = 0.
Отсюда %! = 10, х2 = 1; х2 = 1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
7Л04- d^5)=1-
Решение,
ОДЗ:
х * 0,	5
6х - 5 > 0, 6
Имеем 1gх2 = lg(6x - 5), откуда х2 = 6х - 5, х2 - 6х + 5 = 0, отсюда X] = 5 и х2 = 1; х2 = 1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5.
7.105.	loga у + logfl (у + 5)+logo 0,02 = 0.
Решение
у >0,
ОДЗ: 5у + 5>0,
0<а*1
у >0, 0 < а * 1.
Имеем
loga (у(у + 5)’ 0,02) = 0, 0,02/ + ОД у = 1, 0,02/ + 0,1у -1 = 0, откуда = 5 ; у2 = -10 не подходит по ОДЗ.
Ответ: у = 5 при 0 < а *1.
7.106.	log* 42 - log* 42 = log3 27 - log* (2х}
Решение.
ОДЗ: 0<х#1.
Перепишем уравнение в виде
-logx2--log2 2 = 3-logx2-1, log2 2-61ogv 2+8 = 0. 2	4
Решая это уравнение как квадратное относительно log* 2 , найдем log* 2 = 2, log * 2 = 4 , откуда х2 =2 или х4 =2. Тогда Xj=-V2, х2 = 42 , х3 = -42 , х4 = 42 ; = -42 и х3 = -42 не подходят по ОДЗ.
Ответ: 42; 42.
7.107.	(log2 x - 3)log2 x+2(log2 x + l)log2 ^2=0.
Решение.
ОДЗ: x > 0.
Из условия
log2V2 = log22|/3 =|, log2x-31og2x+|log2x+| = 0,
3 log2 x - 7 log2 x+2 = 0.
Решая уравнение как квадратное относительно log2 х, имеем (log2 х\ = или (log2 х\ = 2 , откуда Х1 = V2 , х2 = 4.
Ответ: V2; 4.
7.108.	ОД log2 (х - 4)- Ц log2 (х -4)+ 3,6 = 0.
Решение.
ОДЗ: х-4 >0, х>4.
Решая это уравнение как биквадратное относительно log2 (х - 4), имеем
(log2 (х - 4))j = -2; (10g2 (х - 4))2 = 2 ; (log2 (х - 4)), = -3; (log2 (х - 4))4 = 3 ,
17 о 33
откуда х, = —, х2 = 8, х3 = —, х4 = 12. 4	о
17 33
Ответ: j;y;8;12.
7.109.	5 2x4 + 22х -52х +22х+2 =0.
Решение.
Запишем уравнение в виде
—-52х =-22х-4-22х,	-52х =-5-22х
5	5
Ответ: 1.
13 М. И., Сканави, группа А
7.110.	log2(9-2x)=10l8(3-x).
Решение.
ОДЗ:
9-2л >0,
3 - х > 0,
х < 3.
Имеем log2(9-2x)=3-x, 9-2х=23’х, 22х-9-2х+8 = 0. Решив это уравнение как квадратное относительно 2х, имеем ^2Х ) = 1 или (2х )г = 8 , откуда х{ = 0, х2 = 3; х2 = 3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 0.
7.111.	|lg^271 + 32'/x^+lgl0=2.
Решение.
ОДЗ: х£0.
Изусловия | lg^271 + 32Л )+1 = 2, lg^271 + З2^ )=3.Тогда271+32,/х = = 1000, З2^ = З6, откуда -Jx = 3, х = 9.
Ответ: 9.
7.112.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Перепишем уравнение в виде 3
7
= 34 .Тогда
Зх2 -16х-140 = 0,
,Л 14	14	ЛТТ„
откуда X] = 10 , х2 = —— ; х2 = —— не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
7.113.	xlgx =1000x2.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем lgxlgx = lgl000x2, lgxlgx = lgl000 + lgx2, lg2 x-21gx-3 = 0.Решая это уравнение как квадратное относительно 1g х, получаем (lg х\ = -1 или (ig Д =3 , откуда %| = ОД, х2 = 1000.
Ответ: 0,1; 1000.
7.114.	lg(x(x+9))+lg-^-i^ = 0.
х
Решение.
ОДЗ: х(х + 9)> 0, хе (-оо; -9)U (0;
Имеем igX(x + 9Xx + 9) _ ц , откуда (х + 9J2 = 1 • Тогда (х + 9\ = -1, х( = -10 или (х + 9^ = 1, х2 = -8; х2 = -8 не подходит по ОДЗ.
Ответ: -10.
7.115.	1g2 (100х)+ 1g2 (10х)= 14 + 1g—. х
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Логарифмируя, имеем
(iglOO+lgx)2 H-GglO + lgx)2 =14-lgx, 21g2 x + 71gx-9 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 1g х, получаем (lgx)i = или (lg х^ = 1, откуда х, =10~9/2, х2 = 10.
Ответ: 10”9^2;10.
7.116.	l + 21ogx21og4(10-x)= ——. log4x
Решение.
Переходя к основанию 2, имеем
1 + 1оё?^0-л) = 4—, log^ x + log2(10-x) = 4, log2 х(10-х)=4 => log2 х log2 X
=>х2 -10х + 16 = 0,
откуда л, = 2, х2 = 8 .
Ответ: 2; 8.
7.117.	210gvv2 •5log?x=400.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Из условия 4log’v .5log,A =400, 20|о8’л = 202, откуда log3x = 2, х = 9-
Ответ: 9.
7.118.	5log2^2-21^0,022 .25~0,5log2 V =1.
Решение.
ОДЗ: К21>0’ х >0,
Записываем
51об2(х2-21) 004------- 1 
25о’51°82 log2(x2 - 21)= 2 + log2 х,
-1 ^log2 (х2-21) _ $2+log2 х log2(x2 -21)=log2 4x,
откуда x2 -21 = 4x, x2 -4x-21 = 0, Xj =7, x2 =-3; x2 =-3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 1.
7.119.	421°8н(2л-2) . 025,og8(2x“3) = V16.
Решение.
[2х-2>0,	3
ОДЗ: i	х>-.
м [2х-3>0,	2
Имеем
421og«(2x-2) 4-1о&(2х-3) = 42/3	421og8(2x-2)-log8(2x-3) = ^2/3
у,	. А 2	,	(2Л--2)2	2	(2л-2)2	.
21og8(2x-2)-log8(2x-3)=-, log82---------— = -, —------— = 4,
3	2х-3	3	2х-3
х2-4х+4 = 0, (х-2)2 =0,
откуда х = 2 • Ответ: 2.
7.120.	log3|r ~|3х+28+-^ j=log5 0,2.
Решение.
Из условия
х2-13х+283х2-13х+28	_£	3х2-1 Зх+28 __J_
9)	’	93’	9’
3х2-13х+28 =3-2> х2 _13х + 28 = -2, х2-13х+30 = 0,
log3 3
откуда Xj = 3 , х2 = 10.
Ответ: 3; 10.
7.121.	log2(4r +4)=x + log2(2T+1 -З)
Решение.
ОДЗ: 2х+1-3>0.
Перепишем уравнение в виде
log2^2x +4)-log2(z-2x ~з)=х, log2 2 +.4 =х, 2-2 -3
7д-4	л
- ..tz_ = 2\ 22х-3-2Х-4 = 0.
2 -2х -3
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 х, получаем 2х = -1,0 ; или 2х = 4, откуда х = 2 .
Ответ: 2.
7.122.	^275^ =3Х(^4)
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Имеем 35Л=Зх^)^5^ = х(^-4) 7х=0, Xj=0, или (л/х)2 - 4>/х- 5 = 0 •
Решая это уравнение как квадратное относительно , получаем у[х = -1,0 ; ИЛИ Vx = 5 , X = 25.
Ответ: 0; 25.
7.123.	log6 7зх(|5’х) + 81og6 2 = 8.
Решение.
Из условия log6 зЛ(15"Л)/7 + iog6 28 = 8, log6 ^х05-*У7 • 28 )= 8. Отсюда 3х(15-хУ7 ,28 =68 3'(15-.г)/7=38 Тогда *(!.^х) = g х2-15Х + 56 = 0 , 7
откуда Xj = 7 , х2 = 8.
Ответ: 7; 8.
7.124.	log5(4x +144)-41og52 = l + log5(r’2 +1)
Решение.
Имеем
,	22х +144 ,	/2х J 22х +144 5&х+4)
log 5-------= log 5 5 —+1 , --------=
5	16	5	4	16	4
Ч 7 22х-20-2х +64 = 0.
• Решая это уравнение как квадратное относительно 2х, получаем =4 или (2*)г =16 , откуда х{ =2, х2 =4 .
Ответ: 2; 4.
7.125.	27x10g2’x =х10/3.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 3, имеем
log3 27xlog27X = log3 х10/3, 3+-^log3 x = ^log3 x,
log3 x-101og3 x + 9 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log 3 х, получаем (log3 x)j = 1 или (log3 х)2 = 9, откуда X! = 3 , х2 = З9.
Ответ: 3; З9.
7.126.	logx 9+logx2 729 = 10.
Решение.
x>0,
°дз: U±i,
0<x*l.
3	r~
Имеем logx 9+—log x 9 = 10, logx 9 = 4, откуда x4 = 9, x = V3 ,
x = —Уз не подходит по ОДЗ.
Ответ: -J1.
7.127.	log2(25x+3 -l)=2 + log2(5x+3 +1)
Решение.
ОДЗ: 25х+3-1>0, 25х+3>25°, х>-3.
Из условия
log2 (Z53 -25х -l)=log2 4(53 -5х +1) 253 -52х -1 = 4-53 -5х +4, 3125-52х-100 5х-1 = 0,
откуда, решая это уравнение как квадратное относительно 5 х, имеем
5х = -0; или 5х = 5"2, откуда х = -2.
Ответ: -2.
Решить системы уравнений (7.128 - 7.149):
7.128.
log? х + log* у = 2, х2 -у = 20.
Решение.
ОДЗ:
0<х*1,
0 < у * 1.
Из первого уравнения имеем:
log„x + -—J--2 = 0, log2 x-21og„x + l = 0,
logy x
(log^x-1)2 =0,
откуда logyx = l, х = у. Из второго уравнения системы имеем у2 - у - 20 = 0, откуда у( = -4 , у2 = 5; У| = -4 не подходит по ОДЗ. Тогда х = у = 5.
Ответ: (5; 5)
7.129.
10i+ig(*+y) _ jo, lg(* ~ у)+lg(* + у)=2 - lg5.
Решение.
ОДЗ:
х-у >0, х + у >0.
Имеем:
lgl01+1^) = ig 50,	fl + lg(x + y)= lg50,
lg(x2 - y2 )= lg20 |x2 - y2 = 20
x + y = 5,	jx + y = 5,
(x-yXx + y) = 20 |x-y = 4,
9	1
откуда x = -, у = -
Ответ:
(91
<2’2
7.130.
lg(x2+y2)=2-lg5, lg(* + y)+ lg(x - y)=lg Ц+1.
Решение.
[x + y >0, ОДЗ: |x-y>0. Из условия lg(x2 + у2 )= lg20, lg(x2-y2)= lgl2
x2+y2 =20, x2-y2=12.
Отсюда х2 = 16, откуда х1>2 = ±4. у2 = 4, у1>2 = ±2. Следовательно,
х( = 4, (х2 =4, .>'1=2; 1>>2=-2.
Остальные решения не удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: (4; 2) (4; - 2)
7.131.
log4 х + log4 у = 1 + log4 9, х + у-20 = 0.
Решение.
ОДЗ:
х >0, у>0.
Имеем	ОТКуДа. х*
|х + у = 20,	3	[у, =18;
х2 =18, Л =2-
Ответ: (2;18)(18;2)
Зу-9х = 81,
7.132.	• , ч,
lg(y + xf -lgx = 21g3.
Решение.
х>0, °^Ux^0.
Из первого уравнения системы 3J+2x = З4, у+2х = 4, у = 4 - 2х.
(у + xY	(у + хУ
Из второго уравнения системы 1g —-— = 1g 9, откуда —-— = 9.
Тогда исходная система приобретает вид
у = 4-2х,	,
 v	=> х2 -17х + 16 = 0,
\у + ху =9х
откуда Х| = 1, х2 = 16. Тогда yt = 2, у2 = -28.
Ответ: (1; 2), (16; - 28)
7.133.	+
ху = 27. Решение.
Из первого уравнения системы имеем: 2 log2 х - 5 log}. х + 2 = 0, откуда, решая это уравнение как квадратное относительно log? х, най
дем (logj, х)( = у или (logy х)2 = 2 . Отсюда х{ = Jy , х2 = у2 .
Из второго уравнения системы найдем у3/2 =21,	= 9. Подстав-
ляя значение х2 = у2, найдем у2 = 27, у2 = 3.
Учитывая ОДЗ, имеем
X! =3,
Ji =9;
_'х2 =9, 72 =3.
Ответ: (3; 9), (9; 3)
7.134. i
32х -2У = 725, 3х -2у12 =25.
Решение.
Перепишем систему уравнений в виде
(зх -2у,2^х +2у/2)= 725, |зг +2У/2 = 29, |зх = 27, 3* -2у/2 =25	** |з* -2у/2' = 25 ** [2у/2 = 2,
[х = 3, откуда i = j Ответ: (3;2) 7.135. И!^!)=2.
log2 X-4 = log2 3-log2 у.
Решение.
|х>0, °дз: Ь>о.
Из первого уравнения системы уравнений имеем х2 + у2 = 100. Из
, х ,	3	х	3
второго уравнения системы найдем log7 — = log2 —, откуда — = —, * 16 у	16	у
'16
м
< У >
48
х~~  Далее получаем
+ у2 -100 = 0,
/-100/+2304 = 0,
откуда Д2 = ±6 ,	= ±8; у2 = -6 и у4 = -8 не подходят по ОДЗ.
Тогда jq = 8, х2 = 6.
Ответ: (8; б), (б; 8)
7.136.
З^’^ =81, igT*? »i+ig3.
Решение.
ОДЗ:
х >0, у >0.
Из первого уравнения системы имеем з^'Т? = 34,2>/х - -Jy = 4,
Ту = 2-Тх -4. Из второго уравнения системы получим Jxy = 30, 4х • Ту = 30. Система принимает вид
Ту =2л/х -4,
Тх • Ту = 30
(Тх)2-2Тх-15 = 0,
откуда Тх = 5 или Тх = -3 (не подходит). Тогда Ту = 6. Следовательно, х = 25, У = 36 .
Ответ: (25; Зб)
7.137.
2 2 +2 v =2,5, lg(2.v ->)+! = lg(y + 2x)+ 1g 6.
Решение.
ОДЗ:
2x-у > О, у + 2х > 0.
( £2?
2 2
Из первого уравнения системы получаем
X-V
-2,5-2~ +1 = 0.
х-у
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 2 , найдем
'	( у-у
2 2	=2“1 или 2 2
= 2, откуда =-2 или (х-^)2 = 2.
к Л	k J2
Из второго уравнения системы получаем lgl0(2x- j)= lg6(y + 2x), от
куда 10(2х - у) = б(у + 2х), х = 2у. Таким образом, исходная система
эквивалентна системам уравнений:
Гх-_у = -2, [х-у = 2,
'>[Х = 2К 4-2,;
откуда:
х, =-4,	(х2 =4, I*] =-4,
1)5	2)5 2	1
|у!=-2;	[у2 =2;	(у, =-2 (не подходит по ОДЗ).
Ответ: (4; 2)
7.138.
х2/-' =5, х<+2 =125.
Решение.
ОДЗ:	0<х*1.
Логарифмируя первое и второе уравнения системы по основанию 5, получаем
log5 х2’’'4 = log5 5, fey2 - l)log5 х = 1,	1
,	=> 1 / ,	\	=> 1оё5 V =--5--•
logs xr'2 “logs 125	[(y2+2)log5X = 3	2у -1
Из второго уравнения системы имеем -Z—tA 2/-1
У = ±1. Тогда log, х = 1, т.е. х = 5 •
Ответ: (5; 1) (5; -1}
,Ъ-№ГУ = О,5?-3, log3 (х -2у)+log3 (Зх + 2у)= 3.
Решение.
fx-2v >0, °ДЗ: [Зх + 2у>0.
Имеем
7.139.
3+2^ = з-Л 2
(x-2/X3x + 2j)=27,
3+— 1 .2 2 =23Л
log3(x-2yX3x+2y) = 3
откуда, учитывая ОДЗ, получаем х = 3, У = -3 •
Ответ: (3; - 3)
7.140.
4Х+' =2У~Х,
4log^x=/-5.
Решение.
ОДЗ: х > 0. Из условия
2^х+2у _ 2У-Х л	—
210foX =/-5
2х+2у = у-х, 4	4 с
х = у -5
=> у = -Зх.
= 3, у2 = 1, откуда
х = -у, у2 =9,
Из второго уравнения х4 = (- Зх)4 - 5
1	3
ОДЗ, получаем х = - , у = - —.
4	1
х = —, откуда, учитывая
Г1._з
Ответ: К ’ 2
7.141.
log4 х - log2 у = 0, х2 -2/-8 = 0.
Решение.
lx >0,
ОДЗ: .п
[/>0.
Перепишем первое уравнение системы в виде
log4 X = log2 у2 => i log2 X = log2 У, log2 X = log2 у2, X = /.
Из второго уравнения системы имеем у4 - 2у2 - 8 = 0, откуда с учетом ОДЗ, у = 2. Тогда х = 4 •
Ответ: (4; 2)
7.142. 1
log2 х + log4 у = 4, log4x + log2 j = 5.
Решение.
Гх >0, 0ДЗ: Uo. Перейдем к основанию 2. Имеем
log2 X+| log2 у = 4,	р log2 х+10g2 у = 8
1.	.	.	|log2 x+21og2 у = 10
-log2x+log2 у = 5	1
log2x2y = 8, х2у = 28, log2 ху2 =10 ху2 = 210.
28
Из первого уравнения системы у = —у. Из второго уравнения х2
( ?8 Y
— =2*°,х3
kj
Ответ: (4; 1 б)
= 26, откуда х = 4 , У = 16.
7.143.
х+у х+у .2 3 + 2~ =6, х2 + 5у2 = 6ху.
Решение.
Из условия
f х+у Y х+у
2 6	+26 -6 = 0- Решая это уравнение как квад-
< >
х+у	х+у	х+у
ратное относительно 2 6 , имеем 2 6 =-3,0; или 2 6 =2, откуда
6
Из второго уравнения системы х2 -бух + 5>>2 = 0 , решая его как квадратное относительно х, имеем Xj = у, х2 = 5у. Исходная система эквивалентна двум системам:
нН4 2)f«^=6. e 0Ь=3-	2)b=5’
V = 5y	Vi=3;	Ьг=1-
Ответ: (3; 3), (5; 1).
7.144.
2х Зу =6, 3х -4У =12.
Решение.
Разделив второе уравнение заданной системы на первое, получим
3х-4^ _ 12 221-7 V-у-^у
2х-3Л	6’ 2х~1у
Это равенство возможно, когда
{х-у = 0,	, Л
=>х = ь 1 + у-2/ = 0, у = 1.
l + x-2j = 0
Тогда х = у = 1.
Ответ: (1; 1)
7.145.
y = l + log4x, х'=4б.
Решение,
ОДЗ: 0<х*1.
Логарифмируя второе уравнение системы по основанию 4, имеем log4 ху = log4 46, у log4 х = 6. Отсюда
1 , 1 + logj.x’=>(l + log4x)log4x = 6, log4x + log4x-6 = 0, [ylog4x = 6
откуда, решая это уравнение как квадратное относительно log4 х, найдем
(log4 х), = -3, (log4 х)2 = 2, Xj = х2 = 16. Тогда ух = -2, у2 = 3.
64
L (16; 3).
log^toO = 8,
7.146.
log3logi/9- = 0.
Решение.
ОДЗ:
О < х * 1, у >0,
log1/9->0=>0<-<1.
У У
Из первого уравнения системы ху = х4 или с учетом ОДЗ у - х3. Из
X	X	1
второго уравнения имеем logi/9 — = 1, — = —. Исходная система перепи-
У	У 9
сывается в виде 
У = х\	,
х 1
х 1 => —у = ~> откуда с учетом ОДЗ х = 3, у = 27. — = — xJ 9
у 9
Ответ*, (3; 27).
logXJ,(x-y)=l, logXJ,(x + y)=0.
Решение.
x-y >0,
ОДЗ: ^x + y >0,
0<xy*l.
Имеем
lx у xy,	_ J_x-(l-x)-x(l-x)=0, x2+x-l = 0,
[x + y = 1
-1-75	-1 + 75	3 + 75	3-75
откуда x, =—-—, x2=—-—, У1 =	2 , У2=—— •
_	-1 + 7?	3-7?
Тогда с учетом ОДЗ имеем x = —-—, у = —-—.
Ответ:
'-1 + 7?.3-7?'
2	’ 2
7.148.
(х + у)-!’’-2* = 6,25, (х + у)2х-у = 5.
Решение.
ОДЗ:
0<х + у #1, 2х-у *0.
Логарифмируя оба уравнения по основанию 10, имеем
lg(x+у). 2У~2х = Igf—Т,	!в(х+З’)* (У - 2х)182 = 20ё 5 “ 1821
l2J =»• lg(x + yk 1£5
lg(x + y)2x-y =lg5	I. 2x-J
Из второго уравнения системы получаем lg(x + у) = (2х - j)lg5 , тогда (2x-y)lg5 + (y-2x)lg2 = 2(lg5-lg2| (2x-yXlg5-lg2)=2(lg5-lg2} 2х-у = 2.
Исходная система принимает вид (2х-у = 2,	(2х-у = 2,
[lg(x+.y)=21g5, |х + у = 25,
fx=9, откуда |^_16
Ответ: (9;1б)
glog,(x-4y) _ I 7-149. !
_j.2x~2y
= 8.
Решение.
ОДЗ: х - 4у > 0.
Из условия
glog9(x-4y) _ g0
-7-2x-2-F-8 = 0.
Из первого уравнения системы имеем log9(x-4j>) = 0, откуда х -4у = 1. Решая второе уравнение системы как квадратное относительно 2х~1у, получаем 2х~1у = -1,0;	= 23, откуда х -2 у = 3 .
{х-4у = 1, [х = 5, х-2у = 3	[7 = 1-
Ответ: (5; 1)
Решения к главе 8
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
sin2 a + cos2 a = li	(81)
tga= sjna> a*5(2и + П neZ;	(8.2)
cosa 2
cosa	„
ctga =----, a*im, neZ;	(8.3)
sina
tgactga = l, a*-y-, neZ',	(8.4)
l + tg2a = —, а*-^(2и + 1^ neZ;	(8.5)
cos a 2
1 + ctg2 a = —, a * ли, n e Z.	(8.6)
sin2 a
(Здесь и в дальнейшем запись и g Z означает, что и - любое целое число.)
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Для некоторых углов можно записать точные выражения их тригонометрических величин (табл. 8.1), а также знаки функций по четвертям (табл. 8.2).
Таблица 8.1
Аргумент (а, градусы, радианы)			Функция			
			sina	cosa	tga	ctga
0°(0)			0	1	0	оо (не определен)
15'[п]			Уз-i 242	242	2-43	2 + 45
,8“			45-1 4	15 + 45 242	45-1 110+245	110 + 245 4~5-1
Hi)			£ 2	45 2	1 4з	45
[j]			15-45 242	4	110-245 45+1	410-245
«•			1 42	1 42	1	1
54°	[10 J		4	^5-45 242	45+1 J10-245	110-245
6°’ [2]			4з 2	£ 2	45	1 45
75е	(5пу U2.		242	Уз-1 242	2 + 45	2-45
9°- [2]			1	0	оо (не определен)	0
Таблица 8.2
Четверть	Функции			
	sina	cosa	tga	ctg a
I	+	+	+	+
II	+	—	-	—
III	—	-	+	+
IV	—	+	—	—
Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
sin(a+p)=sinacosp + cosasin0;	(8.7)
sin(a - P)=sin acos p - cos asin p ;	(8.8)
cos(a + p)=cos a cos p - sin a smp;	(8.9)
cos(a - p)=cosacosp + sin a sinP;	(8.10)
tg(a + p)= tg(X + te	a,p,a + p*^ + 7cn, neZ- 1-tgatgp	" 2	(8.H)
tg(a-p)=-^^—a,p,a~P*-^ + 7tn, neZ-1 + tgatgp	2	(8.12)
ctg(a + p)= ctSactgP J	a,p,a + p*7w, neZ- ctga + ctgp	(8.13)
ctg(a p)= 8	, a,p,a P*tw, neZ. ctg a-ctg p	(8.14)
Формулы двойных и тройных аргументов sin2a = 2sinacosa;	(8.15)
cos2a = cos2 a-sin2 a = 2cos2 a-1 = 1-2sin2 a J (8.16) . „ 2tga п як , „ я tg2a =--:—, a* —+—,keZ,a^ — + nn,neZ.	ro i 7\
l-tg2a 4 2	2	’	I*-1 '>
ctg 2а =	1, а* — ,ке Z, а* ли, не Z- 2 ctg а	2	’	(8.18)
sin За = 3sina-4sin3 а > cos За = 4 cos3 а - 3 cos а 5	(8.19) (8.20)
_ . 3tga-tg3a	л/_ tg3a = — 	г—, а*-(2и + Цие2. l-3tg а	6	(8.21)
_ 3ctga-ctg3a	ли	„ ctg3a = —2	, a* —-,neZ l-3ctg2a	3	(8.22)
Формулы половинного аргумента
. э a 1-cosa sin — =	; 2	2			(8.23)
		2 a 1+cosa COS — =	; 2	2	’	(8.24)
tg2	a 2	1-cosa =	, а*я(2и + 1}ие Z; 1 + cosa	(8.25) 1
ctg2		> a 1 + cosa	,	„ — =	, а*2ли,neZ; 2 1-cosa	(8.26)
•4		sina 1-cosa	„	(8.27)
		1 + cosa	sina	
. a ctg у		1 + cosa sina	„ 	 —	-	 ry ITm MC / ‘	(8.28)
		sina 1-cosa	
Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
sina+sinP = 2sin^i^cos——- • 2 .	2 ’	(8.29)
. о _ а + Р . а-р sma-sinp = 2cos—-sin—- • 2	2	(8.30)
cosa + cosP = 2cos^-^cos——&; 2	2 ’	(8.31)
о _ . а+В . а-В _ . а+В . В-а cos а - cos р =-2 sin	-sin		 = 2sin -sinr • 2	2	2	2’	(8.32)
cos a + sin a = 41 cos(45° - a);	(8.33)
cosa-sina = %/2 sin(45° -a);	(8.34)
tga + tgp= 8*п(а + Р) а,р*—(2и-Цие Z; 6	H cosacosp	H 2' A tga-tgP= S—“ 21 а,Р* ^(2и-Цие Z; cosacosp	2V	(8.35) (8.36)
ctga+ctgP = —+а,р*яи, neZ; sin a sin p ctg a - ctgP = --P^ a). а,р*ли, neZ; sin a sin p tga+ctgP = cos(a ft\ a* — + nk,ke Z,^^rni,ne Z; cosasinp	2 tg a - ctg p = - cos(a±P), a* —+itk,kGZ,fi*itn,nG Z; cosasinp	2 .	.	2	m tga + ctga = -	, a*—, neZ; sin2a	2	(8.37) (8.38) (8.39) (8.40) (8.41)
tga-ctga = -2ctg2a,	”^Z;	(8.42)
,	2 «
1 + cosa = 2 cos — •
2 ’
1	о • 2«
1-cosa = 2sin —;
2
(8.43)
(8.44)
l+sina = 2cos2^45’-yj;	(8.45)
l-sina = 2sin2^45° -y);	(8.46)
sin(45’+a)	V2sin(45’+a)	л	„
1 + tga = —ь-----'- =-----ia* —+ Jtn, neZ; (8.47)
cos 45’cosa	cosa	2
.	sinks’-a)	>/2sm(45’-a)	я	_	.О.оч
l-tga = —i-------’- =------------a*- + 7tn, neZ; (8.48)
cos 45’cosa	cosa	2
1 + tgatgp =-CO—a —j, a,₽*—+ ЛИ, neZ;	(8.49)
cosacosp	2
l-tgatgP= cos(a + P), a,p# —+ лл, «eZ;	(8.50)
cosacosp	2
ctgactgp +1 = cos(a ~ P) a,p#7tn, neZ; (8.51) sin asm p
. , 2 cos2a	%_
l-tg2a = —-—, a* —+ Jtn, neZ;	(8.52)
cos a	2
1-ctg2 a = -cos^a, a* тог, neZ;	(8.53)
sin2 a
«,₽,! + 1И, ,5Z;	(8.54)
cos acos p	2
c.g^-ae;P = -sin(a^)si^-a>, 0,15^, .sZ;	(8.55)
sin asin p
tg2a-sin2a = tg2asin2a, a^j + яи, neZ; ctg2 a-cos2 a = ctg2 acos2 a, a*m, neZ;
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
sin a sin p = i (cos(a - p)- cos(a + p));
cos acos p = у (cos(a+p)+ cos(a - p)); sin a cos p = ± (sin(a + p)+ sin(a - p));
sinasinpsiny=
= - (sin(a+P -y)+sin(p+y- a)+sin(y+a - p)-sin(a+p+y));
4
sinacospcosy=
=—(sin (a+Р - у)- sin(p+ у - a)+ sin(y+a - р)+ sin(a+p + у)}, 4
sinasinpcosy=
= - (-cos(a+p - y)+cos(p+y- a)+ cos(y+a- p)-cos(a+p + y)); 4
cos acospcos у=
•^x (cos(a+p - y)+cos(p+y- a)+cos(y+a~p)+ cos(a+p+y)).
(8.56)
(8.57)
(8.58)
(8.59)
(8.60)
(8.61)
(8.62)
(8.63)
(8.64)
Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента
2tgy
sina =----—, а*л(2п + 1} neZ;
l + tg2“
1-tg2 у
cosa =-----a*Jt(2n + li neZ;
i+tg2y
(8.65)
(8.66)
2tgy tga =---
а,у*у(2и + 1), neZ;
(8.67)
i 2 &
1-tg у
ctga =-----а* ли, neZ.
2.4
(8.68)
Формулы приведения
sin —±a =cosa, sin (% ± a) = +sin a, I2 )
 (3 M }
sml — л±а =-cosa,
sin(2rc ± а) = ± sin а;
(8.69)
I Л ,	]	, •
cos — ±а = ±sina,
I2 J
(3	}
cos — л±а = ±sina,
I 2
cos(ic±a)=-cosa,
cos(2n±a)=cosa;
(8.70)
tl
+ctga, a*ли, neZ,
tg(x±a)=±tga, a*y(2n+l} neZ, f 3 A
tg-л±а =Tctga, a#ли, neZ,
tg(2n±a)=±tga,
(8.71)
a#j(2n+l| neZ;
ctg -±a = + tga, <2	7
ctgOt±a)=±ctga,
(з
ctg -л±а =Ttga, <2 J
ctg^±a)=±ctga,
а#^(2и+1} hgZ,
a # тот, и g Z, а^^(2и+1) hgZ, a * ли, и g Z.
(8.72)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное входит только под знак тригонометрических функций непосредственно или в виде линейной функции неизвестного, причем над тригонометрическими функциями выполняются только алгебраические действия.
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида
sinx = /и,	(8.73)
cosx = w,	(8.74)
tg x = m,	(8.75)
ctgx = w,	(8.76)
где т - любое действительное число.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение - значит найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.
Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.
1.	sinx = т. Если |лп| < 1, то решения данного уравнения определяются формулой
х = (-1)" arcsin т + т, п е Z.	(8.77)
Если |ди| > 1, то уравнение (8.73) решений не имеет.
2.	cos х = т. Если |m| < 1, то решения этого уравнения определяются формулой
х = ±arccosт + 2ли, neZ.	(8.78)
Если |ди| > 1, то уравнение (8.74) решений не имеет.
3.	tgx = n?. При любом действительном ди
х = arctgди + ли, пе Z.	(8.79)
4.	ctgx = m. При любом действительном ди
х = arcctg ди + ли, и g Z.	(8.80)
В частных случаях при ди = -1, ди = 0, ди = 1 получаются следующие формулы:
Л _	'	„ шх = -1; х =— + 2ли, hgZ; 2	(8.81)
sinх = 0; х = пп, neZ;	(8.82)
sin х -1; х = — + 2ли, и g Z; 2	(8.83)
cosx = -l; х = л + 2ли, hgZ;	(8.84)
л cosx = 0; x = — + лн, hgZ; 2	(8.85)
cos x = 1; x = 2ли, n g Z;	(8.86)
tgx = -l; x = -— + ли, hgZ;	(8.87)
tgx = 0; х = ли, hgZ;	(8.88)
tgx = l; x = —+ лл, weZ;	(8.89)
4
ctgx = -l; x = -—4-тел, neZ;	(8.90)
4
ctgx = 0; х = у + ли, weZ;	(8.91)
ctgx = l; x = — + 7W, neZ.	(8.92)
4
Тригонометрические уравнения вида sin (ax + b) = m, cos(ax + b) = m, tg(ax + b) = t, ctg(ax + b) = 1, где ax + b — линейная функция, |w| < 1, a * 0, x, b —любые действительные числа, также относятся к простейшим и приводятся к уравнениям (8.73) - (8.76) заменой ах + b = у.
Тригонометрические уравнения, содержащие тригонометрические функции одинакового аргумента
Рассмотрим тригонометрические уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций.
Пусть имеем
7?(sin х, cos х) = 0,	(8.93)
где R - рациональная функция относительно sin х и cos х .
Данное уравнение приводится к алгебраическому относительно тригонометрической функции одинакового аргумента. Затем, решая получившееся алгебраическое уравнение относительно этой функции, приводят данное уравнение к нескольким простейшим тригонометрическим уравнениям, из которых находят значения неизвестного и проверяют, какие из них являются решениями данного уравнения.
Если х # (2и + 1)л, где ц е Z, то каждое тригонометрическое уравнение вида (8.93) можно привести к рациональному уравнению отно-сительно неизвестного с помощью формул (8.65) - (8.68). Решая уравнение таким методом, можно потерять корни вида х = (2 п + 1)л, где
neZ, для которых tgy не имеет смысла. Поэтому необходимо проверить, являются ли числа х = (2л + 1)я, где ле Z, корнями исходного уравнения.
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему при замене х на я - х не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному относительно sin х.
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему не изменяется при замене х на -х , то его имеет смысл приводить к рациональному относительно cosx.
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему при замене х на я + х не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному относительно tg х.
Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
Тригонометрическое уравнение вида
а0 cos” x + tfj cos'1”1 xsinx + a2 cos"’2 xsin2 х + ... + ял sin" x = 0, (8.94)
где л0, ax,..., an — данные числа, ал — натуральное число, называется однородным уравнением относительно функций sin х и cos х . Сумма показателей у sinx и cosx во всех членах такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородности уравнения или показателем однородности.
Уравнение (8.94) являетсяластным случаем уравнения (8.93) и делением обеих своих частей на cos'1 х ф 0 (или на sin" х * 0) приводится к целому рациональному относительно tg х (или ctg х):
а0 tg" х + ах tg"-1x + a2 tg"’2 х + ... +=0
или	_1
а0 ctg" х + ах tg" х + а2 tg" х + ... + ал =0;
при этом область определения уравнения сужается на значения х = у(2л + 1) (илина х = ял), где ле Z.
Умножением на тригонометрическую единицу (sin2 x + cos2 , где ке N , можно привести к однородному некоторые уравнения, не
являющиеся однородными. Так, к уравнению вида (8.94) сводится уравнение
а0 cos2" x + aj cos2""1 xsinx + fl2 cos""2 xsin2 x + ... + an sin" x = b.
Для этого нужно умножить Ь на тригонометрическую единицу:
b = Z>(sin2 х + cos2 xf, ке Z.
Уравнение вида a sin сох + b cos сох = с [а2 +Ь2 * о)
Это уравнение является частным случаем уравнения (8.93), следовательно, его можно решать с помощью универсальной подстановки, а также приводить к однородному.
Укажем еще один способ решения этого уравнения, так называемый способ введения вспомогательного угла. Пусть
asincox + Z>coscox = c ^z2+/>2*o).	(8.95)
Разделим обе его части на -Ja2 + Ь2 > тогда а	b	с
.  sin (ОХ + .  cos сох = , 	.
777F
Пусть <р — одно из решений системы
а
COS<P = -/ , —> у/a2 +Ь2 b sm ф = —=_____
JJTb2
Воспользовавшись этими равенствами, запишем уравнение в виде с sin сох cos ср + cos сох sm ср =	-.
4а2 + Ь2
Применив формулу sin (а + р) = sin а cos р + cos а sin р, получим урав-
нение sin(cox + <p) = .. Л.. =•, которое, как видно из проделанных yla2 +Ь2
выкладок, равносильно исходному уравнению. Если
а2 + Ь2 > с2, то уравнение имеет решение
сох + ф = (-1)" arcsin . С.	+ ял
у/a2 + Ь2
или
Если
ф ял со со
с у]а2 + Ь2
1, т.е. а2 + Ь2 < с2, то уравнение решений не имеет.
ле Z.
Уравнения, рациональные относительно выражений sinx±cosx и sinxcosx
Если левая часть тригонометрического уравнения /(х) = 0 содержит лишь одно из выражений sin х + cos х или sin х - cos х и функцию sin 2х (или произведение sin х cos х), то, вводя новое неизвестное t = sin х + cos х или t = sin х - cos х и учитывая, что sin 2х = (sin х + cos х)2 -1, sin 2х =
-1 - (sin х - cos х)2, приходим к уравнению относительно t.
СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
При решении систем тригонометрических уравнений пользуются способом подстановки или сводят системы тригонометрических уравнений к системам алгебраических уравнений. В ряде случаев для решения системы тригонометрических уравнений ее преобразуют с помощью почленного сложения, вычитания, умножения, деления уравнений с целью, например, исключить одно из неизвестных, разложить полученное уравнение на множители и т.д. Решения системы записываются в виде упорядоченных пар (х; у).
Решить уравнения (8.001 - 8.175):
8.001. cos3x-sinx = V3(cosx-sin3x)
Решение.
1	л/з"
cos Зх - v3 cos х = sin х - V3 sin Зх, <=> — cos Зх+—sin Зх =
2	2
1 .	, V3	. л . , . я
=—smx+—cosx,<=> cos 3x cos—+sm3xsm— = 2	2	3	3
я . я .	л A ( tC\
= cos—cos x + sin—sinx, <=>cos3x— =cos x —
6	6 I 3 J < 6
- K I I Л ] Л О • <=>cos Зх— -cos x— = 0, <=>-2sin
I 3J
О я . K 3x---x + -xsin---------—
2
Тогда:
1) sin| 2x--^ |=0, I 4 I
-1я. 71
3*-3+*~6x 2
Л
— = 0<=>sin| 2x~—|sin[ x—— |=0. I 4 I I 12 J
2x]	= vk,
x!=£+^=£(4*+a kez-, о Z о
%
6
2) sinfx ——— |=0, x2—— = im, x2 = —+ nn =—(12л+11 neZ.
12 J 2 12	2 12	12v ' A
Ответ: x( =^(4Л + 1)х2 =-^-(12и + 1| k,neZ. o	12
8.002. 7 + 4sinxcosx + l^(tgx + ctgx)=0.
Решение.
ОДЗ-
sin x 0, cosx *0.
sinx j cosx^j q
cosx sinx J • 2	2
sm x+cos x
sinx cosx
7 + 4sinxcosx + l,5
<=> 7+4sinxcosx + l,5
L5	3
«=> 7+4sinxcosx + -— --= 0<=> 7+2sin2x+—---= 0.
smxcosx	sin2x
Отсюда получаем уравнение 2 sin2 2х + 7 sin 2х + 3 = 0, квадратное относительно sin2x  Таким образом, sin2x = -3,0, или sin2x = ~, откуда 2х = (-1)*f-^+кк, ке Z, х = (-1)*+1-^ + ^, ке Z.
6 )	12	2
Ответ: х = (-1)*+1 — + —, к е Z.
V 7 12 2
8.003. 4Ctg* 4-sin2 2x4-1 = 0.
14-ctg2x	z
Решение.
ОДЗ: sinx^O.
Из условия
4cosx
——4-sin2 2x4-1 = 0, <=> sin2 2x4-2sin2x4-l = 0 <=>
, cos2 x
1 + —~ sin X <=>(sin2x4-l)2 =0, sin2x = -l.
Тогда 2x = -— + 2idc, ke Z, x = -- + itk = -(4k-l\ keZ.
2	4	4.
Ответ: x = (4k -1} к e Z. 4
8.004.
sin2 2x-4sin2 x . - 2 —----------------+ l = 2tg x.
sin 2x4-4sin x-4
Решение.
ОДЗ: cosx * 0. Имеем
sin2 2x-4sin2 x +sin2 2x4-4sin2 х-4	_ 2
----------------------------------= 2 tg2 x <=> sin 2x4-4sin x-4
2sin22x-4 o 2 sin22x-2 + 2
—=----------5------= 2 tg2 x, —5------------= tg2 x <=>
sin 2x4-4sin x-4	sin 2x4-4sin x-4
sin22x-2 l-cos2x
<=>----------------=--------<=>
sin2 2x + 4sin2 x-4 l + cos2x
1-cos2 2x-2	l-cos2x 3- 2O л
1-cos2 2x + 2-2cos2x-4 l + cos2x cos2 2x(cos2x +1)= 0.
Отсюда:
1)cos22x = 0, cos2x = 0, 2x= — + nk, ke Z,
x =l + ^. = ^.(2k+l\ keZ;
1 4 2 4V A
2) cos2x+l = 0, cos2x = -l, 2x = it+2im, neZ,
x2 = — + JW = — (2и+Ц neZ.
я лет Ял,	„
Объединяя решения, получаем x = — +	+ Ц ш e Z.
Ответ: x = 4(2m +1) me Z.
4
8.005. sinzsin(60° -z)sin(60’ +z)=-.
8
Решение.
Из условия
sinz^sin(60° -z)sin(60° +z))=-^,<=>sinz^os2z-cosl20’>)=^<=>
<=> 2 sin z cos 2z + sin z = —, <=> - sin z + sin 3z + sin z = —, sin 3z =—.
2	2	2
Тогда 3z = (-!)*• 30°+1804, keZ, z = (-l)* 10° +604, ktZ.
Ответ: z = (-1)* 10° + 60°k, keZ.
-9	8
8.006. cos 2f-sin 2/ = -.
3
Решение.
ОДЗ:
cos2z 0, sin2z 0.
Перепишем уравнение в виде
1	1	8	_ cos2 2t-sin2 2t	8	n
--;-------j-----= 0, ----;----------+ —= 0, <=>
cos2 2/	sin2 2/	3 sin2 2/cos2 2/	3
cos4t 2	. cos4t	2..	2 . ,	. _ л
<=>—-— + —= 0, ------z— + — = 0, 2cos 4t-3cos4t-2 = 0.
sin2 2/ 3 l-cos24t 3
Решив это уравнение как квадратное относительно cos 4г, найдем cos4t =2,0;cos4/ = --^-,откуда 4t = ±-л+2лА:, keZ, t = +— +—, 2	3	6	2
ке Z.
тг тт]с
Ответ: t = + — +—, keZ.
8.007. tg3t-tgt-4sint = 0.
Решение.
fcos3t*0, ОДЗ;
[cost *0.
,	.	. о sin(a-B)
Использовав формулу tga - tgp = —-—, перепишем уравнение в cosacosp
sin2t	л™, о 2sintcost . Л - . fl-2cos3t3
виде—;-------4sinr = 0,-----------4smt = 0, <=> 2sintl---- = 0.
cos 3t cost	cos 3t cost	cos3t )
1 %
Отсюда sin t = 0,^=7^, ke Z ,или1-2со53г =0, cos3r = —, 3r = ±y+ 2яи ?
. я 2тсл
=± — +----, n e Z .
2	9	3
, п 2т ,	_
Ответ: t, = лк; t2 = ±- + -у, к, п G Z.
8.008. cos“l 3z-6cos3z = 4sin3/.
Решение.
ОДЗ: cos3z * 0.
Из условия
l-6cos2 3/-4cos3rsin3z = 0, cos2 3z + sin2 3/-6cos2 3r-4cos3rsin3z = 0, 5 cos2 3/ — sin2 3r+4cos3rsin3r = 0.
Разделив уравнение на-cos2 3z 0,имеем tg2 3z-4tg3z-5 = 0.Решив
это уравнение как квадратное относительно tg3z, получим (tg3/)] =-1 или (tg3/)2 =5, откуда 3/|=—+	+	=	keZ’’
,	<	. arctg5 ли _
3z2 = arctg5 + ли, t2 =—-— + —, neZ.
Ответ: /, =^(4Л-1}/2	+ k,neZ.
8.009. ctgt-sinz = 2sin2 —. 2
Решение.
ОДЗ: sin Г * 0.
COS t	л	. 2
-------sin t = 1 - cos t => cos t - sin t = sin t - sin t cos /, sin/
(cos t + sin t cos/)- ^in2 t + sin /)= 0, cos /(1 + sin t)-sin /(1 + sin /)= 0,
(1 + sin t Xcos t - sin t) = 0.
Отсюда 1) l + sin/ = 0 или2) cos/-sin/ = 0.Тогда:
l)sin/ = -l, /j = -— + 2tc£ = y(4£-l), fceZ;
2) cos/ = sin/<=>tg/ = l, /2 =“ + тш = — (4/1 + 1), ne Z.
Ответ: /j =~(4А-1^/2 = ^(4и + 1} k.neZ. 2	4
Решение.
Имеем
4 cos z (:os 2z+cos 120°)+1 = 0, 4 cos z cos 2z - 2 cos z +1 = 0 <=»
1	2
<=> 2 cos z + 2 cos 3z - 2 cos z +1 = 0, cos 3z = —, 3z = ±—л + 27^,
2	3
. 2 2nk . _ z = ±—Л +--, keZ.
9	3
,2 2тсЛ . _ Ответ: z = ±—тс + ——, keZ. 9	3
2
Решение.
ОДЗ: sin3x * 0. Из условия
cos2xctg3x-sin2x-72cos5x = 0 <=> (cos2xcos3x . _ ) [т ,
<=> ---:------sin2x -V2cos5x = 0,
cos2xcos3x-sin2xsin3x /т , Л
-------------------V2cos5x = 0<=>
sin3x
O^.^cos5x=0, c°^4-^sin3x) = [)
sin3x	sin3x
Отсюда:
l)cos5x = 0, 5x = —+ 7tZc, Xj = — + — = —(2&+1), keZ, 2	1 10 5	10 Л
или
2) I-V2sin3x = 0, sin3x = ^, 3x = (-1)" —+ ли, x2=(-l)"—+ —
2	4	12 3
ne Z.
Ответ: x} =— (2& + 1}x2 = (-1)”— + —, k, n& Z, 1 10	2	12	3
7C
8.012. sinxcos2x +cosxcos4x = sin —+ 2x 4
.	71	_
sin —3x 4
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
71
-sinx + sin3x+cos3x + cos5x = cos5x-cos —х <=>
I2 >
<=>sin3x+cos3x = 0, sin3x = -cos3x, tg3x = -l,
откуда Зх =	+ Tin, х = ——+ —= —(4л-1)> weZ-
4	12	3	12
Ответ: х = —- (4и -1), п е Z.
. -	4 X . 4 X
8.013. sin2x = cos —sm —. 2	2
Решение. Имеем
( 2* -2*Y 2 X . 2 л
2sinxcosx- cos —- + sin — I cos — — sin •— = 0,
I 2	2 A 2	2 J
2sinxcosx-cosx = 0 <=> cosx(2sinx-l)=0.
Тогда:
1) cosx = 0, Xj =y + ял = у(2и + 1), ne Z; или
2)2sinx-l = 0, sinx = —, x2 = (-1)*+ nk, keZ. 2	6
Ответ:	=-^(2n+l}x2 =(-1)* y + n,keZ.
2	6
8.014. (1 + cos 4x)sin 2x = cos2 2x.
Решение.
Из условия
(14-1 —2sin2 2x)sin2x = l-sin2 2x, 2 sin3 2x-sin2 2x-2sin2x+l = 0, sin2 2x(2 sin 2x -1)- (2 sin 2x -1)= 0, (2 sin 2x -l)(sin2 2x -1)= 0.
Отсюда или
1) 2sin2x-l = 0, sin2x = —, 2x = (-l)fe —+ Я&, Xj = (-1)*+ 2	6	12 2
fceZ,
или
2) sin2 2x-1 = 0, sin2x = ±l, 2х = у + дл, x2 = ^ + ^ = ^(2и + Ц
ne Z.
Ответ: x} = (-1)*	x2 = у (2и +1} k,neZ.
12 2	4
8.015. sin2 2z + sin2 3z + sin2 4z + sin2 5z = 2.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
(1 - cos 4z)+ j (1 -cos 6z)+(1 - cos 8z)+ у (1 - cos 1 Oz)=2,
(cos 4z + cos 6z)+ (cos 8z + cos 1 Oz)=0, <=► 2 cos 5zcos z+2 cos 9zcos z = 0,
2 cos z(cos 5z +cos 9z)=0.
Тогда:
1) cosz = 0,z! =y+Jtfc =y(2£ + l} keZ, или
2) cos5z+cos9z = 0, 2cos7zcos2z = 0, cos7z = 0, 7z = — + m,
2
z2 =77 + -т = гт(2п + Ц weZ; cos2z = 0, 2z = - + rcm,
14 7	14	2
it m n( x
z3 = —+-^- =—(2m+Ц me Z; zx входит в z2.
Ответ: z, = -Д- (2n + l)t z2 = (2m +1} n, m € Z.
14	4
8.016. ctg4 2z + sin-4 2z = 25.
Решение.
ОДЗ: sin2z*0.
Из условия
°08* 2z +—J---25 = 0 <=> cos4 2z+l-25sin4 2z = 0 «=>
sin4 2z sin4 2z
<=>(cos22z)2 +1-25sin4 2z = 0, (1 -sin2 2zf +1-25sin4 2z = 0«=> «=>12sin4 2z + sin2 2z-l = 0.
Решив уравнение как биквадратное относительно sin2z, получим sin2z = ±i откуда 2z = ±~ + iik, z = +^- + ^- = -^-(6k + l\ ke Z.
2	6	12	2	12
Ответ: z = -jy fck ± 1), к e Z.
8.017. tg2xcos3x + sin3x + V2sin5x = 0.
Решение.
ОДЗ:	cos2x * 0.
Перепишем уравнение в виде
sin2xcos3x . ~ /г . - л ----------+ sin3x + V2sin5x = 0<=>
sin2xcos3x+cos2xsin3x /т . -<=>----------------------+ V2 sin 5x = 0,
cos2x sin5x /г . c л ------+ V2 sin 5x = 0, cos2x
= 0.
cos2x
Отсюда или
l)sin5x = 0, 5x = Tcfc, X|=—, keZ,
ИЛИ
2) 1 + V2cos2x = 0, cos2x =-, 2x = ±—я+2ли,
2	4
x2 = ±—n+ял = —(8« ± 3), n € Z. О	о
Ответ: x{ =^-;x2 =^fan±3\ k,neZ.
5 о
8.018. ctS^“ + x j- tg2 x = (cos2x - l)cos“2 x. Решение, ОДЗ: cosx^O.
Имеем
A x 2 cos2x-1 sinx sin2x l-cos2x -tgx-tg2x =------—, -----+ ——  ----------<=>
cos x cosx cos X COS X
sinxcosx+sin2x l-bcos2x-ll . /	\ „ . 2 Л
<=>-------5-----= —E—5-------smx(cosx+sinx)-2sm x = 0,
cos x	cos x
sinx(cosx+sinx-2sinx)= 0, sinx(cosx-sinx)=0.
Тогда:
l)sinx = 0, х^тсЛ, fceZ, или
2) cosx-sinx = 0<=>tgx = l, x2 =—= —(4л+1| ле Z. 4	4
Ответ:	= лЛ; x2 = ^(4л + 1} к. пе Z.
8.019. cos—cos---sinxsin3x-sin2xsin3x = 0.
2	2
Решение.
Перепишем уравнение в виде
cos х+cos2x - cos2x + cos4x - cos x+cos 5x = 0 <=>
<=> cos4x+cos5x = 0, <=> 2cos—cos— = 0. 2	2
Тогда или
9x Л 9x л . л 2тсЛс я л,.	_
1) cos— = 0, — = —+ rcfc, Xi= — +--------= —(2Л + Ц keZ.
4	2	22	1 9	9	9 Л
или
2) cos у = 0,
— = —+ лл, x2 = л + 2ли = л(2и + 11 neZ 2 2
х2 вхо-
дит В Xj .
[X	x
8.020. 1 - sin 3x = sin — cos—
2	2
2
Ответ: х = (2Л +1)> ке Z.
\2
7
Решение.
Имеем
1	•	. 2 X _ . X X 2 X . -	.
1 ~ sin Зх = sin — 2 sin—cos — + cos; —, sm Зх - sin x = 0 <=> 2	2	2	2
<=> 2sinxcos2x = 0.
Тогда или
l)sinx = 0, Xj=7i«} neZ, или
2)cos2x = 0, 2x = —+ л£, x2 =^ + —= ^(2^ + 1), keZ. '	2	4 2	4
Ответ:
Xj = nn; x2 = (?k +1}
n,ke Z.
8.021. 2ctg2 xcos2 x + 4cos2 x-ctg2 x-2 = 0.
Решение.
ОДЗ: sinx^O.
Из условия 2cos2x(ctg2x + 2)-(ctg2x + 2)=0, или (ctg2x + 2zj>
x(jcos2 x-l = o), (ctg2x + 2)cos2x = 0. Так как ctg2x + 2*0,TO
cos2x = 0, 2x = — + idc, x = ^ + —= ^(2Л + 11 ke Z.
2	4	2	4
Ответ: x = (2fc + Ц к e Z.
4
8.022. 2sin3 x+2sin2 xcosx-sinxcos2 x-cos3 x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
2sin2 x(sinx+cosx)-cos2 x(sinx+cosx)=0,«
«(sinx + cosx)^sin2 x-cos2 x)=0.
Тогда:
1) sinx+cosx = 0, или
2) 2sin2 x - cos2 x = 0.
Имеем:
1) tgx = -l или
2) tg2x = -,откуда X) =“ + лл= = 21(4л-1) neZ;
72
x23 = ± arctg+ ide, keZ.
Ответ: x, = (4л -1} x2 3 = ± arctg+ nk, n,ke Z.
8.023. sin 7x + sin 9x = 2 cos2 — - x - cos21 — + 2x
14 I 14
Решение.
Из условия
2sin8xcosx = l + cos—2х —I—cosl —+4х <=>
I2 J \2 J
<=> 2sin8xcosx = sin2x + sin4x <=>
<=> 2 sin 8х cos х - 2 sin Зх cos x = 0, <=> cos x(sin 8x - sin 3x) = 0. Тогда:
I) cosx = 0 или
2) sin8x-sin3x = 0,
откуда 1)х1 =~ + 1& = ^(2£ + 1) ке Z,2)2sin|-xcosy х = 0, sin-|x - 0,
5	2	11 л 11 я , я 2 ,
—х = яи , х-, = — тт, ns Z • cos—х = 0, —х = — + я/, х, =—+ — я/ =
2	’ 2 5	2	’ 2	2	’ 3 11 11
= уу(2/+1} IeZ.
Ответ: A'i = y(2fc + l}x2 = -пп;х3 = уу(2/ + Ц k,n,lsZ.
8.024. tg х + tg 2х - tg Зх = 0.
Решение.
cosx * о, ОДЗ: xcos2x * 0, cos3x * 0.
Используя формулу tg а - tg р = -8*-(а—, перепишем уравнение в виде cosacosp
sin3x sin3x _q<=> sin3x(cos3x-cosxcos2x)_ cosxcos2x cos3x	cosxcos2xcos3x
откуда:
1) sin3x = 0 или2) cos3x-cosxcos2x = 0.
Тогда:
1)3х = ли, X, =~> neZ;
2) 4cos3 x -3cosx - cosx(?cos2 x-l)=0 , cosx(:os2 x-l)= 0, cosx * 0,=> cosx = ±1, x2 = пк, ke Z; x2 входит в X!.
8.025. sin(150 +x)+sin(45° -x)=l.
Решение.
Имеем:
п . 15°+x+45’~x	15°+x-45°+x 1	( 1CO\ ,
2 sin------------cos-------------= 1, coslx -15 1=1.
2	2	v 7
Тогда x-15° =360%, x = 15°+360%, ktZ.
Ответ: x = 15° + 360°k, ke Z.
8.026. cos х + ctg Зх = ctg у -.
Решение.
ОДЗ:
cosx * 0, sin3x * 0,
• Зх Л sin— *0.
.	2
Из условия
if	3x 1	1
---+1 ctg 3x-ctg— 1=0 <=> cosx I	2
•	I a	3	I
sin 3x — x
Г	2	J
cosx	.	,	.3
sin 3x sm — x
2
. 3 sin —х
2
cos х . _ . 3 sin3xsin —х
2
= 0,
-1----b=o,
cos x sin 3x
sin3x-cosx _q cosx sin 3x
1
sin3x-cosx = 0,<=>sin3x-sin — -x |=0<=> 2
_ я	_ я
Зх+—x	Зх —+x
<=> 2 cos-----sin-------= 0,
2	2
( ТС I	I 7C ]
откуда: 1) cos x+4 = 0;2) sin 2x-- =0
Тогда:
1)х + —= —+ лЛ, Х| = — + пк = — (4А: +1), keZ;
4 2	4	4
2) 2x — = ля, x, = — + — = — (4n +11 и e Z.
'	4	2 8 2	8
Ответ: х, = у (4к + 1); х2 = (4и +1} к, п е Z. 4	о
8,027. sinxsin3x + sin4xsin8x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
— (cos(x - Зх)~ cos(x + Зх))+ — (cos(4x - 8х)- cos(4x + 8х)) = 0, 2	2
о	л ~ . 2х+12х . 12х-2х л
cos 2х - cos 12х = 0 <=> 2 sin-sin----= 0,
sin7xsin5x = 0.
Отсюда:
1) sin7x = 0,
2) sin5x = 0,
7x = ЯЛ,
5x = лк,
x. =—, ne Z;
1	7
я£ i
x? =—, ke Z .
2	5
m лк
Ответ: -*i = —; x2 = —,
л, к g Z.
8.028. 2 tg3 x -2 tg2 x + 3 tg x - 3 = 0.
Решение.
ОДЗ: cosx * 0.
Из условия 2tg2 x(tgx-l)+3(tgx-l) = 0, (tgx-l)(2tg2 х + з)=0 .
Отсюда tgx-l = 0, tgx = l, х = ^ + im = ^(4n + l\ пе Z. 4	4
Ответ: х = ~ (4и + 1)^ п 6 Z.
л‘ (п . (к А . (Зя . ] f 7я _
8.029. cosxcos2x = sin —+ х sin —+ 4х +sin — + 4х cos--5х
14 I I 4 I 14 J I 4
Решение.
Перепишем уравнение в виде
(cos(x - 2х)+cos(x + 2х))=
=2 2
л л
(л	Я . 1 п . л . .
cos —+ х--4х |-cos —+ %+—+4х
14	4
4 ' ' 4 '.Гз, .
7я
2
. (Зя . 7я с ] . (Зя 7я , и sin —+4х-+ 5х +sin —+4х+-5х <=>
4	4
4
4
<	=> cos x+cos 3x = cos 3x - cos^y+5x	sin(jt - 9x)+ s*n^'| л - x J <=>
<	=> cos x = sin 5x - sin 9x+cos x, sin 9x - sin 5x = 0 <=>
.	9x+5x . 9x-5x
<	=> 2 cos-sm—-—
2	2
= 0,
откуда:
l)sin2x = 0, 2x = ltk, X|=—, keZ-
2)cos7x = 0, 7x = —+ лл, x2 = — + — = —(2л+ 1) «eZ.
2	14	7	14
Ответ: x( = x2 = •£• (2л + Ц к, n € Z. 2	14
8.030. 2 + tgxctgy + ctgxtg — = 0.
Решение.
cosx * 0, sinx * 0,
ОДЗ:
sin— *0, 2
cos— * 0. 2
_ .	x a l + cosa . a sina
По формулам половинного аргумента ctg у =	, tg — = ] + cosa >
поэтому
A sinx 1+cosx cosx sinx л „ 1+cosx cosx л 2+------------+-------------= 0 => 2+------+--------= 0,
cosx sinx sinx 1+cosx	cosx 1+cosx
4cos2 x+4cosx+l = 0, (2COSX+1)2 =0,
откуда cosx =-у, х = ±^л+2л£ = у^(3&±1} ke.Z.
Ответ: x =	(3k± 1), keZ.
8.031. sin2x + sin(rc-8x)= V2cos3x.
Решение.
Из условия
sin 2х+sin 8х - л/2 cos Зх = 0 <=> 2 sin	cos	_ ^2 cos Зх = 0,
2	2
2 sin 5хcos Зх - >/2 cos Зх = 0, cosЗх(г sin 5х - >/2 )= 0.
Отсюда:
l)cos3x = 0, Зх = —+ л£, X) = — + — = — (2fc + l) £eZ;
2	6	3	6
2) 2sin5x-V2 =0,sin5x = ^-,5x = (-l)" -4-лл, 2	4
=(->) Kz.
Ответ: *i = y(2fc + 0x2 = (-1)"+ ^-, k,ne Z. 6	20	5
8.032. 0,5(cos5x + cos7x)-cos2 2x + sin2 3x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
cos 5х * cos -х •	(1 + cos4x)+(1 - cos 6х)= 0 <=>
<=> 2 cos 6х cos х -1 - cos 4х+1 - cos 6х = 0, 2 cos 6х cos х -
i л	\ Л . -I 4х+6х	4х-6х Л
-(cos4x+cos6x)=0«=>2cos6xcosx-2cos—-—cos—-— = 0, cos 6хcosх -cos 5xcos x = 0 <=» cos x(cos 6x - cos 5x) = 0.
Отсюда:
l)cosx = 0, Xj =y(2fc+0 k&Z;
2) cos6x -cos5x = 0, -2sin 6* + 5x	5x ~ 6x _
2
2
2лл ~ . х х , х? =-----, п е Z : sin — = 0, — = я/,
2	11	’	22
• И а И Тогда sin—x = 0, —x = m,
x3 = 2я/, I € Z; x3 входит в x2.
Ответ: xi = у(2& + 0x2 = k,n^Z.
8.033. 2(cos4x-sinxcos3x)= sin4x + sin2x.
Решение.
Имеем
2 cos 4x - 2 sin x cos 3x - sin 4x - sin 2x = 0, 2 cos 4x - sin (x - 3x)-- sin(x + 3x)- sin 4x - sin2x = 0, 2 cos 4x+sin 2x - sin 4x - sin 4x --sin2x = 0, 2cos4x-2sin4x = 0<=> tg4x = l,
откуда 4х = —+я&, x = —+— =—(4Л + 1), keZ.
4	16 4	16
Ответ: х = £(4Л+1} keZ.
16
8.034. sinxcosxcos2xcos8x = — sin!2x.
4 Решение.
Из условия
2(2sinxcosx)cos2xcos8x = sinl2x <=>2sin2xcos2xcos8x = sinl2x <=> <=> sin 4x cos 8x - sin 12x = 0	(sin(4x - 8x)+ sin(4x+8x ))- sin 12x = 0,
- sin 4x + sin 12x - 2 sin 12x = 0, sin 12x + sin 4x = 0 <=>
- . 12x+4x	12x-4x	. Л
<=> 2sin-----cos--------= 0, sin8xcos4x = 0.
2
2
Отсюда:
1) sin8x = 0,
2) cos4x = 0, ДИТ В X!.
8x = nfc, x, =—, keZ: 1	8
л ТС	7C 7Ut 7U	„
4x = — + im, x2 = — + — =—(2n+l| neZ;x2Bxo-
2	о	4	о
ilk
Ответ: x = —, к g Z. о
8.035. 3sin2 2x + 7cos2x-3 = 0.
Решение.
Имеем
з(1 - cos2 2x)+ 7 cos 2x - 3 = 0 <=> 3 cos2 2x - 7 cos 2x = 0, cos2x(3cos2x-7)=0.
Отсюда:
I)cos2x = 0, 2x = y + rcfc, Xj = -^ + -^ = ^(2fc + l) £gZ;
7
2) 3cos2x-7 = 0, cos2x = — >1-0.
Ответ: х = ^(2Л + 1) keZ.
4
8.036. sin2xsin6x-cos2xcos6x = y[2 sin3xcos8x.
Решение,
Из условия
(cos 2x cos 6x - sin 2x sin 6x)+ 72 sin 3x cos 8x = 0 <=>
<=> cos 8x + 72 sin 3x cos 8x = 0, cos8x|j + 41 sin 3x)= 0.
Отсюда:
1) cos8x = 0, 8x = — + ли, Xi = — + — = —(2и + 11 neZ;
7	2	1 16 8	16v л
2) 1+72 sin3x = 0, sin3x = -—, 3x = (-l)fef-— + я& = (-1/+1—+ rcfc.
2	I 4 J	4
X2 = (-1/** —+ —, keZ.
2	1 12	3
Ответ: X] =^(2л + 1}х2	+ n,keZ.
16	12	3
8.037. sin3xcos3x = sin2x.
Решение, Имеем
2sin3xcos3x-2sin2x = 0, <=> sin 6x-2sin2x = 0, sin 3(2x)- 2 sin 2x = 0, <=> 3 sin 2x - 4 sin3 2x - 2 sin 2x = 0, 4sin3 2x-sin2x = 0, sin2x(4sin2 2x-l)=0.
Отсюда:
itn l)sin2x = 0, 2х = яи, xt=—, wgZ;
2) 4sin22x-l = 0, sin22x = —, sin2x = ±—, 2x = ±—+ 7tfc, 7	4	2	6
x23 =±—+ —= —(6Л + Ц ke Z.
23	12	2	12v h
Ответ:	= -у; х2,з =	(6^ ± k € z-
8.038. cos2x-5sinx-3 = 0.
Решение.
Из условия l-2sin2x-5sinx-3 =0, 2sin2x + 5sinx+2 = 0. Решая это уравнение как квадратное относительно sinx, имеем
sinx =-2,0 ; или sinx = “, откуда х = (-1Уг+| — + л£, ке Z.
2	6
Ответ: х = (-1/+1 у + лЛ, к е Z. 6
8.039. 3sin2x+2cos2x = 3.
Решение.
Имеем
6sinxcosx+2(cos2 x-sin2 х)=з(со$2 x+sin2 х), 5sin2 x-6sinxcosx+cos2 x = 0,<=>5tg2 x-6tgx+l = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно tgx, найдем
(tg*)i
= -^ mni(tgx)2 =1,откудах( = arctg+ пк = arcctg5+пк, ке Z; э
х2 =—+ пп = — (4л + 1), neZ. 4	4
Ответ: х, = arcctg 5 + пк; х2 = — (4л+1), к, п е Z. 4
оллл . (Зл 'I t 2 . l + cos2x л
8.040. ctg--х I- ctg x +--------= 0.
(2 j	sin2 x
Решение.
[cosx*0,
ОДЗ: .
(sin x * 0.
Перепишем заданное уравнение в виде
х А 2	1 + 2COS2 Х-1 „	2	~	2
tgx-ctg х +------------= 0, <=> tgx-ctg x+2ctg х =0,
sin2 х
ctg2 х+—-— = 0, ctg3x = -l, ctgx = -l. ctgx
Тогда x = —л + я& = —(4£ + 3)> keZ.
4	4
Ответ: x = — (4k + 3) к e Z.
4
8.041. cos 9x - cos 7x + cos 3x - cos x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
_ . 9x + 7x . 9x-7x	. Зх + х {. Зх-х л
- 2 sin------sin--------2 sin----sin-------= 0 <=>
2	2	2	2
<=> sin8xsinx + sin2xsinx = 0 <=> sinx(sin8x + sin2x)=0.
Отсюда:
l)sinx = 0, Xj =ли, weZ;
. _ л . 8x + 2x 8x-2x л 2) sin 8x + sin 2x = 0 <=> 2 sin-cos--= 0,
7	2	2
sin 5x cos Зх = 0
_ izk Тогда или sin5x = 0, 5x = nk, x2=—, £€7,или cos3x = 0,
3x = ^ + iun, x3 =- + —= -(2zn + l), meZ , x} входит в x2. 2	6	3	6
Ответ:	x2 = •— (2m + 1) k,me Z.
t i
8.042. 2 tg—1 =cosz. 2
Решение.
ОДЗ: cos|- * 0-Имеем
2-
. t sin-
——-1 t cos — 2
2 t . 2 f | л cos —sin - = 0<=>
2
J . t	t \
2 sin—cos-	z	4
I 2	2] ( t .
—*--------z- cos—sin— X
r	2	2
cos - V	J
2

2
(	'	• ' I л I • '	'
х cos- + sin- =0<=> sin—cos —
2	2	2	2
t
2
t cos-
. t t +sm-+cos-2
2
, t	t 2t
sin—cos— 2 + sin—cos—+ cos —
2	2 JI 2	2	2
t cos—
Отсюда:
1) sin—-cos —= 0; 2) 2+sin—cos—+ cos2 —= 0,0.
2	2	7	2	2	2
Из первого уравнения получим
tg— = 1, — = —+ ли, t = — + 2nn =—(4и + 1), n&Z,
*2	2 4	2	2
Решение,
Из условия
72	72 7з	7з
sin 3z-----cos 3z------ — <=> sin 3z cos 45° - cos 3z sin 45° = — <=>
2	2
<=> sin(3z - 45°) =
откуда 3z-45° = 60°+ 360% или 3z-45° = 120° + 360%. Отсюда zj = 35° + 120%, z2 = 55° + 120%, к e Z.
Ответ: zj = 35° + 120%,z2 = 55° + 120%,£ gZ.
8.044. V3sin2x + cos5x-cos9x = 0.
Решение,
Перепишем заданное уравнение в виде
гт . о ~ . 5х + 9х . 5х-9х Л
V3 sin 2х - 2 sm---sin-------= 0 <=>
2	2
<=> 7з sin 2х + 2 sin 7х sin 2х = 0 <=> sin 2х(Тз + 2 sin 7х) = 0. Отсюда:
1) sin2x = 0, 2х = яи, Xj =—, п eZ;
2) 7з+2sin7x = 0, sin7x = -—, 7х = (-1)*+| - + кк.
2	3
( iV+i Л . life ,	„
x2=H) Yi keZ' ли z u+i n itk .	_
Ответ: xl=—;x2=(-\J' ^[ + ~’ n>keZ-8.045. 2 cos2 x + 5 sin x - 4 = 0.
Решение.
Имеем2^-sin2 x)+5sinx-4 = 0 или 2sin2 x-5sinx + 2 = 0.Решив это уравнение как квадратное относительно sin х, получим sin х = 2, 0 ,
или sinx = —, x = (_ 1)* — +	ktZ,
2	6
Ответ: x = (-1)* — + кк, ke Z. . z	3z	1- n . 3z	z
8.046. sin - cos-sin 2z = sin—cos—.
2	2 V3	2	2
Решение. Перепишем уравнение в виде
If . (z 3z ] . I — sin------+sin
2	*	*
z 3z n sin2z
2 2 I Л
2 2
1 f . ( 3z z A . (3z z H n — sin------+sm—+— =0<=>
2^ ^2 2)	|^2 2))
. „ 2sin2z	• а л
<=>-sinz+sm2z---=----sinz-sin2z = 0 <=>
V3
sin z(>/3 + 2 cos z)= 0.
Отсюда:
1) sin z = 0, z, = wi, ne Z;
г-	у(3	5
2) V3+2cosz = 0, cosz =---, z2=±—n + 2nk, keZ.
2	6
Ответ: z, = iui;z2 = ±—л+2кк, n,keZ.
8.047. sin3 z cos z-sin z cos3 z =—.
8
Решение.
Из условия
- sin z cos zlcos2 z - sin2 z )= — <=> 2 sin z cos zlcos2 z - sin2 z )=---<=>
\	7	8	Г	/	4
<=> sin2zcos2z = —— <=> 2sin2zcos2z =-, sin4z = ——,
4	2	2
откуда 4z = (-1)*+1 + nk, z = (-1)*+1 ~ + “r> keZ. 4	16	4
Ответ: z = (-1)*+1	, keZ.
16	4
8.048. sinl -7 + 5x I 4
.In 1. % , sm — + x sm — - 6x
4	4
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
if . (я , л „	. (п . л „
— sm —+5х--2х +sin —+5х + —+2х
2|14	4	)	^4	4
If (л	л , 1 f Л
— cos —+х—+6х -cos — 2	4	4	4
<=> sin Зх +
(тс ।	(тс 1
+ sin —+ 7х -cos7x+cos—5х =0<=>sin3x+cos7x-cos7x +
U	2
5х + 3х 5х — Зх + sin 5х = 0, sin Зх + sin 5х = 0 <=> 2 sin-cos— -= 0,
sin4xcosx = 0.
Отсюда:
l)sin4x = 0, 4х = тсл, х, =—, neZ; 1	4
2) cosх = 0, х2 = — + nk, ке Z ; х2 входит в х.
Ответ: х = —, п € Z. 4
f 3л
8.049. cos3x = 2sin — + x 2
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде 4cos3 х - 3cos х = -2 cos х, <=> 4 cos3 х - cos х = 0 <=>
<=^cosxi
Отсюда:
l)cosx = 0, Xj = +	= у(2Л + 1) fceZ;
7	1	я
2) 4cos x-l = 0, cosx = +—, x7 =±— + nn, neZ.
'	2	2	3 •
Ответ: Xj = ^(2Л +1} x2 = ±y + itn, k,ne Z.
8.050. 5(1 + cos x) = 2 + sin4 x - cos4 x.
Решение.
Из условия
5+5 cosx - 2 +(cos2 x - sin2 x)(cos2 x+sin2 x)= 0,
2cos2 x+5cosx+2 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно cosx , получим 1	2
со8х = -2,0;или cosx = откуда х = ±-л + 2л&, ке Z . 2	3
•2
2
Ответ: х = ±—я + 2л&, keZ. 3
8.051. l + sin2x = (cos3x + sin3x)2.
Решение.
Имеем
1 + sin 2х = cos2 Зх + 2 sin Зх cos Зх + sin2 Зх, 1 + sin 2х = 1 + sin 6х, . ,	. л	6х + 2х . 6х-2х л	_	..
sin 6х - sin 2х = 0 <=> 2 cos-sm------= 0, cos 4х sm 2х = 0,
2	2
откуда:
1) cos4x = 0, 4x = y + Ttfc,
я	keZ
8	4	8 V A
2)sin2x = 0, 2х = тсл, х2=^р neZ.
Ответ:	= ^(2£ +1) x2 - k,neZ.
o	2
8.052. sin3x = 2cos — -х 2
Решение.
Перепишем уравнение в виде
3sinx-4sin3х =2sinx, 4sin3 x-sinx = 0, sinx^sin2} откуда:
l)sinx = 0, xl=itn, neZ;
2) 4sin2x-l = 0, sinx = ±—, x23=±— + ick, keZ.
2	’	6
Ответ: x, = itn; x2 3 = ±-^ + nk, n,k&Z.
6
8.053. cos4x + 2 sin2 x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде 2cos2 2x-l + l-cos2x = 0, cos 2x(2 cos 2x -1) = 0, откуда:
1) cos2x = 0, 2x = y+7t£,
2 cos2 2x -cos 2x = 0,
X'=7+V = Z(2*+1* keZ'> 4	2	4
2) 2cos2x-l = 0,cos2x =—, 2x = ± — + 2пп,x2 = ± — + itn,neZ. 2	3	2	6
Ответ: x, = — (2fc + l)x2 =±—+nn, k,neZ. 4	6
8.054. sin x + sin 7x - cos 5x + cos(3x - 2л) = 0. Решение, Из условия
(sin x+sin 7x)- (cos 5x - cos3x)= 0 фф 2 sin * +^X- cos *
_ . 5х + 3х . 5х-3х _ ' . л . . л
+ 2 sin------sm------= 0 <=> sm 4х cos х + sin 4х sin х = О,
2	2
sin 4x(cos Зх+sin х) = О,
откуда:
Ttlc
l)sin4x = 0, 4х = яЛ, х(=—, keZ;
2) cos3x+sinx = 0, 2cos[ х+— cos|2x-— =0.
I 4 J I 4 J
Полученное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
\ I 7С j Л ТС ТС	ТС	«—
a)	cos х + — =0, х+— = —+ 7си, х2 = —+ лл, neZ;
4	4 2	2 4
б)	cosl 2х-^-1=0, 2х--^ = у + л/и, х3 =-^(4/и+3} те Z .
Решения х2 входят в X].
Ответ: х, =	, х2 = (4и + 3) к, п е Z.
.	,	25
8.055. cos 2x + 6cos 2х =— 16
Решение.
Имеем 16cos4 2х + 96cos2 2х - 25 = 0. Решив это уравнение как биквадратное относительно cos2х , получим cos2х = -, 2х = ± у + тсА:}
л лк
- + —,где ке Z. 6 2
Л	. л лк . _
Ответ: х = ±— + —, keZ. 6	2
8.056. 1 + cos/+ cos 2/+ cos Зг = 0.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде l+cosz+2cos2 r-l + 4cos3 r-3cos/ = 0, 4 cos31 + 2 cos21 - 2 cos t = 0 <=> 2 cos cos21 + cos t -1)= 0.
Отсюда:
l)cos/ = 0, lt =у + л& = -^-(2&+1} keZ-,
2) 2cos21+cosz-l = 0.
Решив уравнение как квадратное относительно cos Г, получим (cos/)j =-!, t2 = л + 2ли, ле Z; (cos/)3 =i,	=±у + 2пт, те Z.
Объединив решения t2 и z3, получим t2 = у (2л + Ц п е Z .
Ответ:	=y(2A:+l)/2 =у(2л+1| k,neZ.
8.057. cos2x = (cosx — sinx)
Решение.
Из условия
cos2 x - sin2 x - >/2 (cos x - sin x)=0 фф
<=> (cosx-sinx)(:osx + sinx--j2}= 0.
Тогда:
1)	cosx-sinx = 0,
2)	cosx + sinx-72 =0.
Из первого уравнения tgx = 1, х, = — + пк ,к е Z .Из второго уравнения 4
•J2	у/2 ,	я . я
cosx----+sinx-----= 1 <=> cos х cos— + smxsm—
2	2	4	4
(	i
<=>cos х— =1,
I 4 .
откуда х - = 2тт, х2 = + 2 т, neZ . Объединив решения х} и х2, получим х = + пк, keZ .
Ответ: х = - + лА:, keZ, 4
8.058. l + cos7x= sin-cos—
I 2	2
Решение.
Имеем
.	_	. 2 Зх - . Зх Зх 2 Зх t	_
l + cos/x = sin-2sin—cos— + cos —, l + cos7x = l-sm3x,
2	2	2	2
f \	7x + —-3x
f Л I	7
cos 7x + sin 3x = 0, cos lx+cos — 3x = 0 <=> 2 cos---x
2	2
7x— + 3x /	\	\
2	/ч	71 I (r я I Л
xcos---------= 0, cos 2x + — cos 5x — = 0.
2 I 4 J I 4 J
Отсюда:
t\	I л	7C7C	л Л
I) cos 2x4-— = 0, 2x4-—= —4-яи, 2x = — 4- m ,
4 I 4 2	4
Л TZH Л /.	- \
Xj =-+ —= -(4и+Ц neZ;
o	2.	о
2) cos|5x-—|=0, 5x-— =—+itk 5x = —л + яЛ,
'	4J	42	’	4
x2 = — n + — = — (4k + 3\keZ
2 20	5	20
Ответ:
xi =7(4«+>^2 =^r(4k + 3\n,ke Z. o	ZU
8.059. 2 tg4 Зх - 3 tg2 Зх +1 = 0.
Решение.
ОДЗ: cos3x *0.
Решив это уравнение как биквадратное относительно tg3x, полу-у/2 гг	± arctg —
чим: 1) tg3x = ±—, х12 =-------—-4-—, keZ;2) tg3x = ±l,
2	3	3
, Л
Хз’4-±12+-3~ ’ пе^' .1	, -J1 пк . п пп ,	„
Ответ: х12 =±-arctg—+ у;х3>4 =+—+ у, k,n<=Z.
( Зл
8.060. sin 2х - sin Зх + sin 8х = cos 7х + — 2
2х + 3х
Решение.
Из условия 2x —Зх (sin2x-sin3x)+(sin8x-sin7x)=0,<=>2sin---cos
А
- . 8x-7x	8x + 7x	_ .x	5x	. x	15x	_
+2sin------cos------= 0, -sm—cos—+sm—cos-------= 0 <=>
2	2	2	2	2	2
. x( 5x 15xЛ <=>-sm— cos---cos--- =0<=>
2^	2	2 J
5x 15x	15x 5x
—— sin —-----— = 0 <=>
2	2
5.	n 2
4=>sin — -2sin— 2
X	j
<=> sin—sin 5x sin—x = 0. 2
Тогда:
1)	sin— = 0, — = ли, x. = 2itn, ne Z;
2	2
2)	sin5x = 0, 5х = лА:, x2 = —, AreZ;
5	5	2
3)	sin—x = 0, — x = таи, x3 = —	Z; Xj и х3 входят в x2.
2	2-	5
Ответ: x = —, keZ. 5
8.061. 4 tg2 3x - cos'2 3x = 2.
Решение.
ОДЗ: cos3x *0.
Имеем
----------1	2 = 0«4z£^)-1---2 = o, cos2 3x cos2 3x------------------------cos2 3x cos2 3x
4^-cos2 3x)-l-2cos2 3x = 0, cos23x = ^.
Отсюда cos3x = ±—3x = ±— + як, x = +—+—, k&Z.
2	4	12 3
л	. it nk
Ответ: x = ±—+—, *G z
8.062. cos3 x + cos2 x - 4 cos2 — = 0.
2
Решение.
Из условия
cos3x + cos2 x-4 — (l + cosx)=0, cos3 x+cos2 x-2cosx-2 = 0, <=> 2
« cos2 x(cos x +1)- 2(cos x +1)=0, <=> (cos x + l/cos2 x - 2 )= 0.
Тогда cosx + l = 0,cosx = -l,Xj =л+2ли =	Z ; cos2 x-2 ^0.
Ответ: x = я(2л + 1} n e Z.
8.063. sin 9x = 2 sin 3x.
Решение.
Переписав уравнение в виде sin 3(3х)~ 2 sin Зх = 0 и воспользовав-
шись формулой sin За = 3 sin а - 4 sin3 а, имеем 3sin3x-4sin3 3x-2sin3x =0, 4sin3 3x-sin3x =0, sin3x(4sin2 3x-l)=0.
Тогда
1) sin3x = 0, Зх = ли, Xi = —, ne Z;
1	3
2)4sin2 3x-l = 0,sin3x = ±-, Зх = ±- + л*5х2 =±—+ — keZ.
2	О	1 о 5
8.064. (sin ^H-cos 1 z)(sinz + cosz)+2 = 0.
Решение.
ОДЗ:
sinz^O, cosz * 0.
Перепишем уравнение в виде
1	1	/.	\ _ Л smz + cosz (.	\ и л
----+-----Msinz+cosz)+2 = 0,	(sinz + cosz)+2 = 0. sinz cosz )	sin z cosz
Отсюда
(sinz+cosz)2 + 2sinzcosz - 0, sin2 z + 2sinzcosz+cos2 z + 2sinzcosz =
= 0,4sinzcosz = -l, sin2z =	.
Тогда 2z = (-1)*+1 -+jtf, z = (-1)*+1—+—, к e Z. 6 v 7	12 2
Ответ-. z = (-l)*+l—+—, к eZ. 12 2
8.065» sin2z + cos2z = >/2sin3z.
Решение.
„ .	ГТ (Я
По формуле cos a + sm a = <2 cos — - a получаем
V-	( Я	|	Г"	( Я	|
2cos---2z = V2sin3zocos —2z -sin3z = 0o
И	J	И	)
<=> cos — - 2z j - cosl — - 3z I = 0, U )	12	)
Я ~ Я	о । о
---------------2z +-----------3z —2z — + 3z - 2 sin--------2-sin—-------2-----_ q
2	2
Тогда:
= 0.
. (5z	Зя^	Л 5z	Зя	5z	Зя
l)sm------=0,------------= яи, — = —
V 2	8 J 2	8	2	8
Z1 =
—я + —яи = —(8и+3), n eZ; 20	5	20
. (z	яА	Л z	я	. z	п	.
2) sin---=0,-----= яЛ, — = — + пк,
12	8J 2	8	2	8
г2=~ + 2яЛ = -(8* + 1),^€2;
4	4
Ответ*. z1 =t^(8>i + 3);z2 =^-(8£ + l), nJceZ.
8.066. 6sin2x + 2sin22x = 5.
Решение.
Перепишем это уравнение в виде
6~(l-cos2x) + 2(l-cos2 2х)-5 = 0 о 2cos2 2x+3cos2x = 0, cos 2х(2 cos 2х + 3) = 0.
Тогда
cos2x = 0, 2х = — + пп, л. =—+ — =—(2л+1), ne Z;
2	’*424
2cos2x + 3*0.
Ответ: х = -^ (2л + Ц л е Z.
8.067. sin Зх + sin 5х = 2(cos2 2х - sin2 Зх).
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
2
_ . Зх + 5х Зх-5х	1	. \
2 sin—-—cos-------= 2 — (1+cos 4x1-
2	2	^2
2 sin 4x cos x = cos 4x+cos 6x <=>
_ . A - 4x + 6x	4x-6x
» 2 sm 4x cos x - 2 cos-cos---
2	2
<=> sin 4x cos x - cos 5x cos x = 0, cos x(sin 4x - cos 5x)=0.
Отсюда:
l)cosx = 0, х, = — + ли = — (2м+ 11 weZ; 2	2
4x-— + 5x	4x + —-5x
7	2
2) sin 4x - cos 5x = 0 <=> 2 sin---cos-------= 0,
2	2
9x Л ( sin--------cos
2 4
=0.
2 4
. f 9x %	Л	9x %	,	9x л .	я
Тогда или	sin ———	= 0,	——— = л£,	— = т + лк,	^2=77 +
12	4	1	2	4	2	4	1о
2 » л /.. «\ » п	(х л j _ х л я . х Зл
+-л/с = — (4fc +1), ke Z, или cos-------=0,---------=—+я/, — = — +
9	18	’	(2 4 J 2 4 2	2 4
3
+ л 9 х3 = —л+2л/, /е Z; х3 входит в х,.
Ответ:	= ^(2л+l) х2 = (4Л+Ц п,к e Z.
2	1 о
п ) э • -2
8.068. lS г+х hctgzx-sm
x(l + cos2x)=0.
Решение.
ОДЗ: sinx^O.
Из условия
-ctgх-ctg2 х + ^+^-С-^ Х—- = 0, -ctgх-ctg2 х + 2ctg2 x = О, sin2 x
ctg2 x-ctgx = 0, ctgx(ctgx-l)=O.
Отсюда:
l)ctgx = O, Xj =у + л/с = у(2Л + Ц keZ;
2)ctgx-l = 0, ctgx = l, x2 = —+ яи = —(4n + l| wgZ.
Ответ:	= ~ (2fc +1); x2 = (4л +1), к, n g Z.
8.069. 2sin3 x-cos2x-sinx = 0.
Решение.
Имеем
2sin3 x-l + 2sin2 x-sinx = 0, 2sin3 x+2sin2 x-sinx-1 = 0, 2sin2 x(sinx + l)-{sinx + l) = 0, (sinx+l)^sin2 x-l)=0.
Отсюда:
l)sinx + l = 0, sinx = -l, Xj =-~ + 2як = j(4fc-l| fceZ;
2) 2sin2x-l = 0, sinx = ±—; x2	—(2и+1) hgZ.
2	4 2	4
Ответ: x, =--(4Л-1)х2 = — (2и+Ц k,ns Z. 2	4
8.070. 3sin5z-2cos5z = 3.
Решение.
Из условия
3sin2| — z |-2cos2| — z |-3| cos2 —z+sin2 — z |=0<=> I 2 I 2 I I 2	2
15 M. И. Сканави, группа A
449
, . 5	5	7 5	. 7 5 ।	5
<=>6sin—zcos—z-2 cos — z-sin — z -3 cos —z+sin —z = 0<=>
2	2^2	2 J (	2	2 J
. 7 5	, . 5	5	.	2 5	„
<=>sin_ — z—6sin—zcos—z + 5cos —z = 0.
2	2	2	2
2 5
Разделив это уравнение на cos —z * 0, получим tg2|z-6tg|z + 5 = 0.
„	5
Решив уравнение как квадратное относительно tg—z, найдем
5	,5	л	, л 2
tg~^ = l, -г = - + л*, Z) = —+-лЛ, ке Z, 2	2	4	10 5
или
5.5 с	2 с 2
tg-z = 5 , —z = arctg5 + 7w , z2 =-arctg5+ -ли, weZ.
2	2	5	5
я 2 t 2	_ 2	.	_
Ответ: ^ = — + у я*; z2 = yarctg 5 + у ял, к, п е Z.
8.071. 4sin3z + —cos3z = 3. 3
Решение,
Перепишем уравнение в виде
. 3z 3z о 3z . 2 3z 2 3z A . 2 3z Л 24 sin—cos — + cos--sin----9 cos----9 sin — = 0 <=>
2	2	2	2	2	2
<=> lOsin2 — -24sin—cos — + 8cos2 — = 0.
2	2	2	2
3z Разделив это уравнение на 2 cos2 — ф 0, получим 5tg2y-12tg^ + 4 = 0;
3z	3z 2
решив уравнение как квадратное относительно tg —, найдем tg — = у,
3^	2	2	2	2	3~	3
— = arctg — + пп, Z| =-arctg—+ —ли, neZ; tg-^ = 2, —x = arctg2 +
2	5	3	5	3	2	2
2	2
=-arctg2 + -nfc, ke Z .
z 3	3
2_____2.2
(✓ZAIOC/Z*. ~1	3---C,	- 3
2	2 2	2
Ответ: zi = “ arctg у+у ял; z2 = у arctg 2 + у я*, к. п е Z.
8.072. (cos 6x - l)ctg 3x = sin 3x.
Решение.
ОДЗ: sin Зх * 0.
Имеем
(cos2(3x)-l)cos3x . , L 2, -Л ->	• 2i л
------—'— -------sin 3x = 0, 12 cos 3x - 2 Icos 3x - sin 3x = 0, sin 3x
-2^-cos2 3x)cos3x-sin2 3x = 0, 2sin2 3xcos3x + sin2 3x = 0, sin2 3x(2cos3x + l)=0.
1	2
Так как sin3x*0,TO 2cos3x + l = 0, cos3x = --, Зх = ±утс+2тс/:1 2	2
Х = ±9Я+3^’ keZ' 2	2
Ответ: х = +-к + -кк, keZ.
Решение.
ОДЗ:
cos —+ х h*0,
I4 J
(n л
cos —x pO. 14	)
Перепишем уравнение в виде
<=> l+cos2x-3(cos2x+0)=0,
„ 1 cos2x = —, 2
2x =+—+2nn, x = +— + nn, ne Z.
3	6
Ответ: x = ±—+л и, n e Z.
6
8.074. 1-cos^r + x)-sin^^X =0.
Решение.
Имеем
1 + cosa* + cos — = 0 <=> l + 2cos2 —-1 + cos — = 0, 2	2	2
-	2 X X л x(X Л л
2cos — + cos— = 0, cos— 2 cos — + 1 =0.
2	2	2^	2 J
Отсюда:
1) cos— = 0,
— = — + nk, Xi = л+ 2nk = л(2£ + 11 keZ: 2 2	1
>v	x 1 x 2	4
2	) 2cos — + 1=0, cos —= —, — = ± — л + 2ли, x2 =± —л + 4ли, 2	2	2	2	3	2	3
ne Z
Ответ: *i = nfa + Oi x2 = ± j л + 4ли, к, n e Z. 2
8	.075. 9C0SX =9sin Y . jcosx	,
ОДЗ: cos x * 0.
Решение.
Из условия
2	2sinjf| 2
32cosx =32sinx.3cosx <=>32cosx=3 S,nx+Cosx 2 COS X = 2 sin X +.
COSX
Отсюда
cos2 x-sinxcosx-l = 0, sinxcosx + l-cos2 x = 0, sin xcos x + sin2 x = 0, sin x(cosx + sin x) = 0.
Тогда:
1) sinx = 0, Xj = nn , ne Z;
.	л
2) cosx + sinx = 0 <=> tgx = l, x2 =~—+ лАг, ke Z
Ответ:
л .	. _
Xj = ли; x2 =	+ лк, и, к e Z.
8.076. sin x - sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0.
Решение.
Имеем
(sinx-sin2x)+(sinx+sin8x)=0 <=> 2sin—cos—-— +
- . 5x + 8x 5x-8x л „ . x Зх - . 13x +2sm------cos------= 0 <=> -2 sin—cos—+2sm--x
2	2	2	2	2
Зх л „	3x( . x . 13xA л 3x
xcos— = 0<=>-2cos— sin—sin---- =0<=>cos—x
2	2	2	2 J 2
x 13x	x 13x
9	7	9	9	3x	7x
x2sin—--— cos—---— = 0 <=> cos—sin3xcos— = 0.
2	2	2	2
Отсюда:
Зх . Зх n , n 2 , n fa,	„
1) cos— = 0, — = —+nk, x, =—+—nk = — Qk+l\ keZ-
'	2	2 2	* 3 3 3V
2) sin 3x = 0, Зх = ял, x7 = —, 3
ле Z ;
3)cos—= 0,	=	x3=^ + ^ = ^(2/+ll /6Z;
2	2	2	7	7	7
X] входит в x2.
Ответ:
X|=y;*2=y(M n,leZ.
2
8.077. 2sinz-cosz = -.
Решение.
Переходя к половинному аргументу, находим
«2 Z	2 Z • 2 I	2	*2^1 л
20sm—cos—5 cos —sin — -2 cos — + sin — 1=0, 22^	2	2J<	2.2)
3sin2 —+20sin—cos—-7cos2 — = 0« 3tg2 —+20tg—-7 = 0, 2	2	2	2	2	62
z	z
решив это уравнение как квадратное относительно tg —, найдем tg — = -7,
- = -arctg7 + jtfc, zx =-2arctg7 + 2rc& , fceZ; ^f=3’ 7 = arctSy +
+z/, z2 =2arctgj+2Tt/ = 2arcctg3+2jc/, IeZ .
Ответ: zx =-2arctg7 + 2TtA:; z2 =2arcctg3 + 2n/, Z,
8.078. cos —+ 5x +siiix = 2cos3x.
I2 J
Решение.
Из условия
(sin5x-sinx)+2cos3x = 0 <=» 2cos—-——sin---— + 2cos3x = 0,
7	2	2
2sin2xcos3x + 2cos3x = 0, 2cos3x(sin2x + l)=0.
Отсюда:
l)cos3x = 0, Зх = —+ я£, X, = — + — = — (2^ + 1) ZceZ;
7	2	1 6	3	6 V Л
7C	7C
2)sin2x + l = 0, sin2x = -l, 2x = —+2ял, x3 =—+itn =
2	2	4
= ^(4и-1) n&Z.
Ответ: *1 = ^$k + l); x2 =-^(4л-1) к,ne Z. 6	4
/ K x \
8.079. (l + sinx)tg-----=cos-1 x-cosx.
4 2 I
Решение,
cosx^O, ОДЗ: cos
--- Uo. 4 2
Имеем
(1+sinx
• i я sin —
1 ------cosx, cosx
(1 + sin хХ1 - sin х) _ 1-cos2 x cosx	cosx
Отсюда 1 - sin2 х = 1 - cos2 х, sin2 х = cos2 х <=> tg2 х = 1, откуда
ТС	Я
tgx = ±1, т.е. xj = —+ л£ , ке Z, х2 =	+ тси, ne Z. Объединив Xj
л пк И/., а
и х2,получим х = — + — = — (2х + 1), ке Z.
4 2	4
Ответ: х = —(2А + 1} keZ.
4
8.080. cos х - л/з sin х = cos Зх.
Решение,
Из условия
(cosx-cos3x)-V3 sinx = 0 <=>-2sin	sin——— - л/з sinx =0,
2	2
2 sin 2х sin х - л/з sin x = 0, sin x(i sin 2x - VI )= 0.
Отсюда:
l)sinX = 0, Xj=TCH, hgZ;
2)	2sin2x-7з =0, 2sin2x = — 2x = (-l)* -^ + тсЛ, 2	3
(л\к тс Ttk .	_
-1Г — +—, ke Z '62
Ответ:
Xj = тси;х2 = (-1)* +
8.081. 6sin2 x + sinxcosx-cos2 x = 2.
Решение.
Имеем
6sin2 x + sinxcosx-cos2 x-2^in2 x + cos2 x)=0, 4sin2 x + sinxcosx-3cos2 x = 0 <=> 4tg2 x + tgx-3 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно tg х, получим тс	3	3
tgx = -l, X. =—- + idc, ке Z; tgx = -, х2 = arctg-+тг, neZ-4	4	4
я	,	3	,	„
, Ответ: х( = — + юс; х2 = arctg—+пп, к,пе Z.
4	4
8.082. cos7x + sin8x = cos3x-sin2x.
Решение.
Имеем
(cos 7х - cos Зх) + (sin8x + sin 2x) = 0 <=> -2 sin
7x + 3x . 7x-3x
+ 2 sin +	cos ——— = 0,-2 sin 5x sin 2x + 2 sin 5x cos 3x = 0,
2	2
-2 sin 5x(sin 2x - cos 3x) = 0.
Отсюда:
l)sin5x = 0, 5x = ял, xj = n g Z;
2) sin 2x - cos 3x = 0 <=> sin 2x - sinI у - Зх I <=>
2x4- —-Зх	2x- —4-Зх	/_	/г
л о	( Я	х ]	.	( 5	я	л
<=> 2 cos-*--sin-----= 0, 2 cos-sin — х — = 0.
2	2	И	2J	U	4J
Отсюда:
ч (п х^ Гх я^ л х я я .	3
a)cos-----= cos-= 0,--= —4-я£, х9 = — it + 2nk =
U 2J 124)242	2 2
= -y+2rot = y(4*-l),*eZ;
б)	sin|—Х-— | = 0, — Х-— = nl, х3 =—+ —л/ = —(4/ + 1), I е Z.
<2 4J 2	4	3 10 5	10
Ответ: Х} = ™;х2 = ^(4к -1); х3 = ^(4/ +1), п, kJ е Z.
8.083. sin2x-2sinxcosx = 3cos2x
Решение.
Разделив обе части уравнения на cos2 х # 0, имеем tg2 х - 2 tg х - 3 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно tg х, найдем
я
(tgx)j = -1, X] = — + пк, к e Z;(tg х)2 = 3; х2 = arctg 3 + лл, п 6 Z.
Ответ: Xj =	+пк, х2 = arctg 3 + пл, к, п е Z.
8.084. cos5x+cos7x = cos(n+6x) Решение.
Из условия _ 5х + 7х	5х-7х
2 cos-----cos-------
2	2
cos 6х(2 cos х +1)=0. Отсюда:
+ cos6x = 0, 2cos6xcosx+cos6x = 0,
Я l)cos6x = 0, 6х = —+ ТСЛ, Xj =
ТС ТС Л	ТС . \ п
—+