/
Author: Шарыгин И.Ф
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа математика учебные пособия и учебники по математике подготовка к экзаменам задачи по математике учебное пособие
ISBN: 5-358-01163-3
Year: 2006
Text
И. Ш А Р Ы Г И Н
Я ПОСТУПАЮЩИХ
В ВУЗЫ
*'•■•%
"V
■%
■>
л Ш
н
1
d рофа
В ПОМОЩЬ АБИТУРИЕНТУ
И.Ф.ШАРЫГИН
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ
В ВУЗЫ
6-е издание, стереотипное
d p о ф а
МОСКВА-2006
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я729
Ш26
Шарыгин, И. Ф.
Ш26 Математика для поступающих в вузы : учеб.
пособие / И. Ф. Шарыгин. — 6-е изд., стереотип. —
М. : Дрофа, 2006. — 479, [1] с. : ил.
ISBN 5-358-01163-3
В пособии рассматриваются разнообразные методы решения
конкурсных задач, которые обычно предлагаются на
вступительных экзаменах по математике в высшие учебные заведения.
Каждая глава пособия («Уравнения», «Неравенства»,
«Планиметрия» и др.) включает многочисленные примеры задач
различного уровня сложности.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я729
ISBN 5-358-01163-3 ©ООО «Дрофа», 2002
Предисловие
Это пособие предназначено ученикам старших
классов, собирающимся после окончания школы поступать в
высшие учебные заведения, в которых предъявляются
достаточно высокие требования к математической
подготовке абитуриентов и студентов. В этих же целях —
подготовка к вступительному экзамену по математике —
это пособие может быть использовано молодыми людьми,
уже окончившими школу. Правда, школьные учебники
оно не заменяет и предполагает определенный уровень
владения математикой в рамках школьной программы.
Заниматься по этому пособию можно как
самостоятельно, так и под руководством преподавателя. Дадим
несколько советов преподавателю, использующему в своей
работе эту книгу. Эти советы будут полезны и молодым
людям, самостоятельно готовящимся к конкурсному
экзамену.
1. Принцип регулярности. Основная работа
происходит не в классе на совместных занятиях, а дома,
индивидуально. Полноценная подготовка невозможна без
достаточно большого количества часов, посвященных
работе над задачей. При этом лучше заниматься
понемногу, но часто, скажем, по часу в день, чем раз в неделю
по многу часов. Хорошо бы еженедельно набирать по
10 часов, включая классные занятия. Заниматься
математикой, думать можно даже гуляя на улице (но не
переходя при этом проезжую часть).
2. Принцип параллельности. Несмотря на то что
учебное пособие разбито на отдельные главы по темам,
было бы совершенно неправильно изучать эти темы
последовательно, одну за другой. Следует постоянно дер-
жать в поле зрения несколько (две-три) тем, постепенно
продвигаясь по ним вперед и вглубь.
3. Принцип опережающей сложности. Не следует
загружать ученика большой по объему, но несложной
работой, так же как и ставить его в положение лисицы
перед виноградом, задавая непосильные задачи. Слишком
легко и слишком трудно — равно плохо. Напомним, что
оптимальными для развития цивилизации оказались
широты, климатические условия которых, не позволяя
человеку расслабиться, в то же время не превращали его
жизнь в сплошную борьбу за существование. На
практике реализовать этот принцип можно, например,
следующим образом. Задавая на дом очередную порцию задач
(от 10 до 15), желательно подобрать их так, чтобы 7—8
из них были доступны практически всем слушателям
факультатива, 3—4 были бы по силам лишь некоторым,
а 1—2 пусть не намного, но превышали бы возможности
даже самых сильных учеников. Ученик имеет право
отложить трудную задачу, если он потрудился над ее
решением определенное время, скажем один час, и она у
него не получилась. В этом случае процесс усвоения
новых идей будет более эффективным. Действие этого
принципа будет тем лучше, чем ближе друг к другу по
уровню математического развития члены факультатива.
Кроме того, данный принцип развивает такие полезные
качества, как сознательность, внутренняя честность,
научное честолюбие.
4. Принцип смены приоритетов.
Приоритет идеи. В период накопления идей, а
также при решении достаточно трудных задач ученику
прощаются небольшие и даже средние огрехи в решении
задачи; главное — правильная идея решения, которая
может быть доведена до числа за разумное время. Именно
так действуют иногда и экзаменационные комиссии
вузов при оценке решений наиболее сложных конкурсных
задач.
Приоритет ответа. При отработке уже известных
идей, а также при решении наиболее простых, стандарт-
ных задач главное — правильный ответ. Никакие
сверхкрасивые и сверхоригинальные идеи не могут
компенсировать наличие неверного ответа.
5. Принцип вариативности. Очень полезно на
примере одной задачи рассмотреть различные приемы и
методы решения, а затем сравнить получившиеся решения с
различных точек зрения: стандартность и
оригинальность, объем вычислительной и объяснительной работы,
эстетическая и практическая ценность.
6. Принцип самоконтроля. Большинство людей
склонны прощать себе небольшие (да и крупные)
ошибки. Школьники не исключение. Проявлением этого
недостатка, имеющего большие последствия на экзамене,
является привычка подгонять под ответ. Решив задачу,
получив ответ и заглянув в конец учебника, обнаружив
некоторые, иногда серьезные, расхождения, ученик
делает кое-какие исправления, в результате которых его
ответ соответствует ответу, данному в учебнике, и
считает, что все в порядке, хотя задача не решена.
Регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач
должен быть непременным элементом самостоятельной
работы.
7. Принцип быстрого повторения. По мере
накопления числа решенных задач следует просматривать и
некоторым образом раскладывать по полочкам
образовавшийся задачный архив примерно по следующей схеме:
эта задача простая — я ее без труда решил в свое время и
сейчас вижу весь путь решения от начала до конца. Эта
задача потруднее — я ее в свое время не решил (решил с
трудом, нашел правильную идею, но запутался в
вычислениях), но хорошо помню ее решение, данное учителем
(товарищем). И наконец, эту задачу я не решил,
объяснение вроде бы понял, но сейчас не могу восстановить в
своей памяти. Надо разобраться в своих записях или же
спросить об этой задаче учителя.
8. Принцип работы с текстом. Школьные учебники
приучили учеников иметь дело с текстами разжеванны-
ми; более или менее сложные места, как правило,
предваряются объяснениями учителя. Учебник читают, а не
изучают с карандашом, бумагой и напряжением мысли.
А ведь работа со сложными научными текстами, понять
которые иногда не проще, чем решить небольшую
проблему, — будни научного работника. В предлагаемом
пособии немало трудных задач, снабженных лишь
краткими указаниями. Понять эти указания, заполнить
логические пробелы, выполнить промежуточные
вычисления, рассмотреть самостоятельно варианты,
сопровождающиеся оборотом «аналогично», — главное
назначение этих задач.
9. Принцип моделирования ситуаций. Полезно
моделировать критические ситуации, которые могут
возникнуть на экзамене, и отрабатывать стереотипы
поведения. Например: идет спокойная работа, получен ответ.
Вдруг выясняется, что по ходу решения допущена
ошибка. Времени в обрез. Постарайтесь спокойно и без
паники исправить ошибку. Или: вам надо решить две задачи.
В принципе каждая из них вам по силам, но времени
маловато. Что лучше? Гнаться за двумя зайцами или
спокойно поймать одного?
И в заключение еще один практический совет.
Начинать работу следует с изучения разделов: «Уравнения и
системы уравнений», «Неравенства», «Планиметрия» и,
лишь освоив их на определенном уровне, переходить к
другим. Перечислим их по значимости:
«Тригонометрия», «Показательная и логарифмическая функции»,
« Стереометрия ».
Раздел 1
УРАВНЕНИЯ
И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
С понятием «уравнение» на уроках математики мы
знакомимся уже в начальной школе, а задача «решить
уравнение», вероятно, наиболее часто встречающаяся
задача. Тем не менее дать точное определение понятия
«уравнение», точно определить, что значит «решить
уравнение», не выходя далеко за рамки курса
элементарной математики, мы не можем. Для этого
необходимо привлекать весьма серьезные логические и даже
философские категории. Нам вполне достаточно
знакомства с этими понятиями на уровне «здравого смысла».
Рассмотрим два уравнения А и В с одним и тем же
неизвестным. Мы будем говорить, что уравнение В
является следствием уравнения А, если любой корень
уравнения А является корнем уравнения В.
Уравнения называются эквивалентными, если
любой корень одного из них является корнем другого, и
наоборот. Таким образом, уравнения эквивалентны, если
каждое из них является следствием другого.
Из данных определений следует, например, что два
уравнения, не имеющие решений, эквивалентны. Если
А не имеет решения, то В является следствием А, каково
бы ни было уравнение В.
Наиболее распространенный (стандартный) путь
решения уравнений состоит в том, что с помощью
стандартных приемов решение данного уравнения сво-
дится к решению нескольких элементарных
уравнений с последующим анализом найденных корней.
Стандартными мы будем называть приемы и
методы решения уравнений, в которых используются
преобразования (раскрытие скобок, освобождение от
знаменателя, приведение подобных членов, возведение в
натуральную степень обеих частей уравнения и т. д.),
разложение на множители (формально этот прием или
метод относится к преобразованиям, но мы его
выделяем, так как в ряде случаев он выступает самостоятельно
и специфически), введение вспомогательных
неизвестных.
Элементарными в этом параграфе являются
уравнения двух видов: двучленные (ахп + Ъ = 0), в частности
линейные (ах + Ъ = 0), и квадратные (ах + Ъх + с = 0).
В этом параграфе мы будем рассматривать, главным
образом, уравнения трех типов: целые алгебраические
уравнения, т. е. уравнения вида Р(х) = 0 (где Р(х) =
= аохп + агхп ~ 1 + ... + апу а0 Ф 0, есть многочлен
степени п); дробные алгебраические уравнения, т. е.
уравнения, содержащие многочлены и алгебраические дроби
Р(х)
(дроби вида п , где Р и Q — многочлены); ирраци-
ональные уравнения, т. е. уравнения, содержащие
радикалы, под которыми располагаются многочлены или
алгебраические дроби. Аналогично классифицируются
рассматриваемые в этой главе системы уравнений.
Обращаем внимание на то, что основные принципы и
методы решения уравнений, которые будут здесь
изложены, носят достаточно общий характер. Ими мы будем
руководствоваться и пользоваться в параграфах, где
рассматриваются показательные, логарифмические,
тригонометрические и иные виды уравнений. Меняются
в основном лишь начальная и конечная стадии. В
частности, иным будет список элементарных уравнений,
расширяется набор преобразований, типы замен. Очень
часто решение соответствующего алгебраического
уравнения (рационального, иррационального) является со-
8
ставной частью решения уравнения логарифмического,
тригонометрического.
Все сказанное здесь относится с некоторыми
уточнениями к системам уравнений.
Во всех примерах мы ограничиваемся нахождением
действительных корней.
Прежде чем перейти к рассмотрению примеров,
сделаем одно замечание. В некоторых местах мы, объясняя
решение, для краткости будем использовать не совсем
аккуратные, но вполне понятные обороты, как,
например, «умножим на...», «сложим два уравнения»,
«перемножим два уравнения» и т. д. Понятно, что
соответствующая операция производится с каждой частью
(частями) уравнения (уравнений), в результате чего
получается новое уравнение.
1.1. Рациональные уравнения,
приводящиеся с помощью преобразований
к линейным и квадратным
Умение решать линейные и квадратные уравнения —
алгебраические уравнения 1-й и 2-й степени —
относится к списку умений, которыми, вне всяких сомнений,
должен обладать каждый выпускник средней школы,
входит в его «прожиточный минимум». Однако и здесь
уравнение уравнению рознь. Одно дело — уравнение
х2 - Зх + 2 = 0 и совсем другое — Ид:2 - 1237* - 1938 = О
или х - (9 - л/3 )х + 14 - Зл/3 = 0. Правда, трудности,
возникающие при решении двух последних уравнений,
не имеют непосредственного отношения к теме
«Квадратные уравнения», а носят «арифметический»
характер. Так, в первом из этих двух уравнений надо
вычислить *JD = V1615441 = 1271, во втором — «увидеть»,
titгк П — 9ft — f\ /Q — (1 /Q — 1 \^
ЧТО i>/ — ^O Oa/O — ^«5л/О Ij .
Рассмотрим теперь несколько примеров, в которых за
счет достаточно простых приемов можно избежать
громоздких преобразований и вычислений.
9
1. Решить уравнение
1 . 2
х-1 х-2 х-3 х+ 6'
Решение. Можно, как говорится, не мудрствуя
лукаво, попросту освободиться в этом уравнении от
знаменателя, раскрыть скобки, привести подобные члены и
получить квадратное уравнение. Но можно попробовать
облегчить себе жизнь: объединить дроби в пары и
произвести сначала действия внутри пар. Удачная
группировка, как это видно из приводимого решения, существенно
упрощает вычисление (приводим его без комментариев):
2 3 6 1
х-2 х-3 х+ 6 х-1'
5х-12 5*-12
Грубой ошибкой было бы сокращение обеих частей на
12
Ъх - 12, так как при этом теряется корень х = -т- •
Запомните: если левая и правая части уравнения имеют общий
множитель, то сокращение на него может привести к
потере корней. (Иное дело — сокращение на общий
множитель числителя и знаменателя алгебраической дроби.
В этом случае корни не теряются.) Уравнение ab = ас
распадается на два: а = 0и6 = с.В нашем случае
получаем два уравнения:
1)5*-12 = 0, ^ = 2,4;
2) (х - 2)(х - 3) = (х + 6)(* - 1), *2=1,2.
Ответ. 1,2; 2,4.
2. Решить уравнение
370 = 2
г+ 1 х+4
Решение. Этот пример сложнее. Решение этого
уравнения «в лоб» приводит к непомерным, не для всех
преодолимым вычислительным трудностям. Однако можно
10
эти трудности обойти. Преобразуем каждую из
входящих в наше уравнение дробь:
24-5х _ 29-5(х+ 1) _ 29 - 5 - 6х _ 29 а
_—___—_ ______________ _______ £j^ ——— Q^
17-7х 31 _______________ 4. Q
х+2 ~*+2 7) х+3 "х+3 +8-
(Это достаточно стандартный прием. Можно провести
аналогию с вьщелением целой части в неправильной
арифметической дроби.) Остальное понятно без комментариев:
5 + 6 + 370 = 29 7 + +81,
х+1 х+4 J U+2 х+3 )
31 • 29 - f---— +—--1 -341 + 370 =
U+l x+4j
= 29 + 29 • 31
ъУ
х+1 jc+4 х+2 х+3'
=
х+1 х+2 х+3 х+4'
(jc + 1)(jc + 2) = (х + 3)(jc + 4),
4jc + 10 = 0, jc = -2,5.
(Как видите, в конце концов все свелось к линейному
уравнению. Это уравнение должно было получиться,
если бы мы обычным путем стали освобождаться от
знаменателя в исходном уравнении.)
Ответ. -2,5.
1.2. Иррациональные уравнения.
Появление лишних корней
При стандартном способе решения уравнения
возникает цепочка той или иной длины, соединяющая исходное
уравнение с уравнением (или уравнениями), которое мы
умеем решать, элементарным. Конечно, было бы очень
хорошо, если бы каждое уравнение цепочки было
эквивалентно предыдущему, а следовательно, и исходному. Но
11
этого не всегда легко добиться, тем более, что
получающаяся цепочка может и разветвляться. Легче следить за
тем, чтобы каждое следующее уравнение было следствием
предыдущего, чтобы корни «по дороге» не терялись. Если
мы не сумеем организовать решение уравнения
указанным образом, то нам необходимо после решения
последнего уравнения (уравнений) найти способ отсеять лишние
корни, отобрать правильные. В частности, это можно
сделать при помощи проверки. В этом случае (и только в
этом!) проверка является элементом решения и
необходима даже тогда, когда лишние корни не появились, но ход
решения был таков, что они могли появиться. С другой
стороны, иногда нам легче сделать проверку, чем
обосновывать то, что в ней нет необходимости. В этом случае
она, по существу, также является элементом решения,
заменяя необходимое обоснование. И наконец, проверка
может быть средством контроля правильности проделанных
вычислений (делается «для себя»).
Рассмотрим несколько примеров.
3. Решить уравнение
Решение. 3 + х = 9 - 6jc + jc2, x 7х + 6 0; хг 1,
х2 = 6. Проверка показывает, что х2 = 6 — лишний
корень (л/9 Ф -3), а х = 1 удовлетворяет уравнению (J\ = 2).
Ответ. 1.
4. Решить уравнение 42х + 1 = 1 - х.
Решение. 2х2 + 1 = 1 - 2х + jc2, х2 + 2х = 0; хг = 0,
х2 = -2. Найденные значения удовлетворяют уравнению.
Ответ. 0; -2.
I 2
5. Решить уравнение л/jc - 1 = х - 2.
о о 5
Решение, х - 1 = х - 4jc + 4, х = j. Найденное
значение — лишний корень.
Ответ. Уравнение не имеет решений. Запомните:
при возведении в квадрат могут появиться лишние
корни (но могут и не появиться).
12
2 - 7х + 6 = 0; хг = 1,
Однако не всегда проверку легко осуществить.
Лишние корни, которые могут появиться вследствие того,
что в процессе решения уравнение возводилось в
квадрат (или в любую четную степень), должны быть
отброшены на основании следующего простого и очевидного
утверждения (настолько простого и очевидного, что оно
не заслуживает звания теоремы).
Если х0 удовлетворяет уравнению (2), полученному
из уравнения (1) возведением в квадрат его правой и
левой частей, то, для того чтобы х0 являлся также и
корнем уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы при
подстановке х0 в уравнение (1) левая и правая части
были бы числами одного знака (безусловно,
предполагается, что при этом обе части имеют смысл).
6. Решить уравнение
Решение. 5 + 2х = х2 - 8х + 16, хс - 10* +11 = 0;
хх = 5 + УН , jc2 = 5 - л/14 , хх = 5 + Vli — лишний
корень, так как 4 - хх < 0, в то время как х2 = 5 - Jl4
удовлетворяет условию (4 - х2 > 0).
Ответ. 5 - Jl4 .
Возведение в квадрат — один из стандартных
способов избавления в уравнении от квадратных радикалов,
но не единственный. Если таких радикалов несколько,
то уравнение приходится возводить в квадрат
неоднократно. (Обычно всякий раз один радикал уединяется,
т. е. его располагают в одной из частей уравнения, а все
остальное переносят в другую часть. Кстати, при этом
нет нужды заботиться о том, чтобы выражение,
находящееся под знаком уединенного радикала, было
неотрицательно.) В этом случае корнями исходного
уравнения будут лишь те корни первого уравнения без
радикалов, которые дают числа одного знака в обеих
частях всех промежуточных уравнений, возводившихся
в квадрат.
13
7. Решить уравнение J3 + 2х + J§ + x = 5.
Решение. JS + 2х = 5 - л/5 + х , (1)
+ 5 + л;,
(2)
500 + 100* = 729 - 54* + х2, л:2 - 154д: + 229 = 0;
хг = 77 - 10^57 , л:2 = 77 4- 10^57 .
Значение х должно удовлетворять ограничениям
5 - л/5+jt > 0, 27 - jc > 0, так как уравнения (1) и (2)
возводились в квадрат. Очевидно, что х2 не
удовлетворяет второму ограничению. Проверьте, что хх
удовлетворяет обоим условиям (некоторые трудности могут
возникнуть при проверке первого).
Ответ. 77- 10 */57 .
Приведем пример, показывающий, как иногда
можно избавляться от квадратных радикалов, не возводя
уравнение в квадрат (или почти не возводя).
8. Решить уравнение
л/*2 + 5jc + 3 - Jx2 + Sx + 2 = 2х + 1.
Решение. Умножим обе части на сумму радикалов,
получим ((а - Ь)(а 4- 6) = а - Ь ):
2jc+ 1 = (2jc + 1)(V*2+ 5jc+ 3 + Jx2 + 3jc + 2).
1)2*+1 = 0, *! = -|;
2) V*2 + 5* + 3 + Jx2 + 3jc + 2 = 1.
Можно во втором уравнении, как обычно, уединить
один радикал, возвести обе части в квадрат и т. д.
А можно поступить иначе. Поскольку мы ищем лишь те
корни этого уравнения, которые являются
одновременно и корнями исходного, то эти корни должны удовлет-
14
ворять уравнению, являющемуся их суммой, т. е. урав-
/~~2 2
нению ых + 5х + 3 = х + 1, откуда х2 = -« .
Проверка показывает, что оба корня подходят.
Ответ. ~« ♦ ~q •
(Проверка здесь необходима, поскольку ни из чего не
следует, что при найденных значениях подкоренные
выражения не будут отрицательными.)
Еще один способ избавления от радикалов —
введение вспомогательных неизвестных — рассматривается в
соответствующих параграфах.
1.3. О понятии области допустимых
значений неизвестного
Областью определения уравнения или областью
допустимых значений (сокращенно ОДЗ) уравнения
называется множество тех значений неизвестного, при
которых имеют смысл его левая и правая части.
Во введении понятия ОДЗ особой необходимости нет,
поскольку, как это следует из самого его определения,
при решении любого уравнения мы не имеем права
рассматривать значения неизвестного, не входящие в ОДЗ.
Уравнение может быть правильно решено, если в
решении отсутствует даже упоминание об ОДЗ. И
наоборот, верно найденная ОДЗ и последующий отбор корней
по нему не гарантируют от ошибок. Универсальных
рецептов здесь нет и быть не может. Более того, любая,
даже в принципе полезная рекомендация, которая
может быть истолкована как универсальная,
превратившись в догму, принесет лишь вред, о чем, в частности,
свидетельствует короткая, но поучительная история
возникновения и распространения понятия ОДЗ.
(Посмотрите с точки зрения полезности нахождения ОДЗ
примеры 1—8. Обратите внимание на то, что в уравнениях
3—7 даже лишние корни входят в ОДЗ.)
15
Разберем еще два примера, показывающих, что в
одних случаях нахождение ОДЗ полезно при решении
уравнения, в других — задача определения ОДЗ
оказывается сложной и абсолютно ненужной.
9. Решить уравнение
Решение. Нахождение ОДЗ в этом уравнении
представляет собой достаточно трудную (проверьте) и
совершенно ненужную задачу. Возведем уравнение в квадрат:
Jx + 4л:,
Jx - 1 • *fx = 0; хх = 1, х2 = 0;
х2 = 0 — лишний корень (проверка).
Ответ. 1.
10. Решить уравнение
Решение. В этом уравнении нахождение ОДЗ
приносит несомненную пользу, поскольку оно состоит из двух
значений: х = 1 и х = 0 (докажите). Проверка
показывает, что корнем уравнения является лишь значение
JC=1.
Ответ. 1.
Конечно, уравнения 9 и 10 специально подобраны и
отражают две крайние ситуации. Истина, как всегда,
находится посередине.
1.4. Замена неизвестного
Введение нового неизвестного, относительно
которого уравнение имеет более простой, легко приводимый к
стандартному вид или даже просто упрощающее вид
уравнения, — важнейший метод решения уравнений
любых видов и типов.
16
Рассмотрим некоторые наиболее часто
встречающиеся замены.
а) Замена у = хп.В частности, с помощью замены у = х2
решаются так называемые биквадратные уравнения,
т. е. уравнения вида ах4 + Ьх2 + с = 0.
б) Замена у = Р(х) или у = kJP(x), где Р(х) —
многочлен. Чаще всего встречаются задачи, в которых делает-
2 I 2
ся замена у = ах + Ьх + с или z/ = л/ajc + 5jc + с .
Р(х)
в) Замена i/ = ^-^ , где Р(лг) и Q(x) — многочлены
например, у = ). В частности, с помощью замены
, 1 *+ 1 А „
I/ = jc -h — = решаются возвратные уравнения 4-и
степени, т. е. уравнения вида ах4 + Ьх3 + ел:2 + for + a = 0.
Делается это следующим образом. Разделим уравнение
на х2 почленно, получим
Поскольку
то относительно z/ = х + - будем иметь уравнение
ау2 + Ьу + с - 2а = 0.
Прежде чем рассмотреть примеры, дадим два совета.
Первый: новое неизвестное следует вводить сразу, при
первой возможности.
Второй: после введения нового неизвестного
получившееся уравнение следует полностью решить с
этим неизвестным у лишние корни отбросить, если
таковые появились, и лишь затем вернуться к
первоначальному неизвестному.
17
11. Решить уравнение
2х2 - 6* + Jx2 - Зх + 6 +2 = 0.
Решение. Сделаем замену у = Jx - Зх + 6. (Можно
за новое неизвестное принять jc2 - Здг, но в этом случае
решение будет несколько сложнее.) Тогда у > О, х - Зх =
= z/ - 6. Получим относительно у уравнение
2у2- 12 + z/ + 2 = 0, 2z/2 + z/- 10 = 0;
i/2 не удовлетворяет условию z/ > 0. Возвращаемся к jc:
Jx2 - Зх + 6 =2;
jcx = 1, х2 = 2.
Ответ. 1; 2.
ton (*2+ 1)*
1Z. Решить уравнение — —
2
Решение. Можно в этом уравнении освободиться от
знаменателя, проделать все необходимые
преобразования и убедиться, что получившееся уравнение 4-й
степени является возвратным. Но можно это сделать быстрее.
Поделим числитель и знаменатель дроби,
расположенной в левой части, на х2. Получим
9 '
= Щ., 10у2 - 29у + 10 = 0;
9
1) х + ! = |, 2х2 - 5х + 2 = 0; xt = 2, х2 = i ;
X о &
X
18
2) х + - = •= , 5jc2 - 2jc + 5 = 0. Это уравнение не имеет
х о
действительных корней.
Ответ. 2; •=.
2
-i о г> 2 , х 40
1о. Решить уравнение х Н ^ = "о" •
Решение. Поскольку в левой части стоит сумма двух
квадратов, естественно попытаться дополнить ее до
квадрата суммы или разности. Во втором случае получим
9 9 9
2 2х , х 40 2х
х — + ^ = тг -—,
- х \2 = 12 _ 2*2 (-L—\2 = 12 _
x+lj ~9 х+1* U+lJ ~9
х2 2 40
4 10
2
2
2) ^-j = -у , Зл:2 + IOjc + 10 = 0. Это уравнение не
имеет действительных корней.
2
Ответ. -^; 2.
14. Решить уравнение xj3-x - Ъх = 1 4- J3- х .
Решение. Обозначим J3 - х = i/, тогда i/>0hjc = 3-i/2;
(3 - z/2)z/ - 5(3 - у2) = 1 + z/, z/3 - 5z/2 - 2z/ + 16 = 0.
Получилось кубическое уравнение, которое мы решать
не умеем. Однако существует метод нахождения
рациональных корней многочленов с целыми коэффициента-
19
ми, после чего можно свести решение данного
уравнения к решению уравнения меньшей степени. Об этом мы
расскажем в следующем пункте, где и окончим решение
этого уравнения.
Рассмотрим еще несколько полезных примеров.
15. Решить уравнение
(х + 1)(х 4- 2)(х 4- 3)(х + 4) = 120.
Решение. Группируя в левой части первый
множитель с последним, а второй с третьим, получим
(х2 4- Ъх 4- 4)(*2 + Ъх + 6) = 120.
Обозначим у = х 4- Ъх 4- 4. Для у имеем уравнение
у2 + 2у - 120 = 0; уг - 10, у2 - -12.
1) х2 4- 5jc 4- 4 = 10; хх = 1, jc2 = -6;
2) jc + 5х 4- 4 = -12; D < 0. Уравнение не имеет
действительных корней.
Ответ. 1; -6.
16. Решить уравнение 6х2 + ixJTTlc = 24(1 4- х).
Решение. Перенесем 24(1 + х) в левую часть и
разделим почленно на (1 + jc). Получим
2
6-^— +7-7-*— -24 = 0.
Теперь естественным образом вводится новое неизвестное
О Q
I/ = , тогда б{/ + 1у - 24 = 0; ух = g » Уг = ~з *
1) л = i • 4jc2 - 9х - 9 = 0; xx = 3, x2 = -|
VI + * 4
3 ^
- j — лишний корень, так как должно быть х > 0 ;
"9
(8 — лишний корень, так как должно быть х < 0).
Ответ. 3; -g.
20
Рассмотренный в этом примере метод применим всег-
да, когда уравнение имеет вид аи - buv + си = О, где и и v
зависят от х. (Это уравнение называется однородным
относительно и и v второй степени, поскольку все его
члены имеют одну и ту же суммарную степень, равную 2.)
Делением на v оно приводится к квадратному
уравнению у = ± .
Подводя итог этому пункту, заметим, что в
рассмотренных примерах были показаны некоторые достаточно
распространенные виды и способы замены неизвестного.
В одних случаях такую замену можно сделать сразу, в
других — после ряда целенаправленных преобразований.
Главное здесь — сделать замену вовремя, не тянуть с
нею до конца, не прозевать нужный момент.
1.5. Нахождение рациональных корней
многочлена с целыми коэффициентами.
Разложение на множители
Разложение левой части уравнения на множители
(правая часть равна нулю) — достаточно
распространенный прием решения самых различных уравнений. Здесь
нет общих рецептов. Многое зависит от вашего умения,
сообразительности, наблюдательности и опыта. Есть,
правда, исключения. Об одном общем методе
разложения на множители некоторых алгебраических
уравнений мы расскажем в этом пункте.
В одних случаях нужное разложение естественным
образом определяется самим уравнением.
17. Решить уравнение хъ - 2х3 - Зх2 + 6 = 0.
Решение. Группируя попарно члены, сразу получаем
нужное разложение:
(х2 - 2)(х3 - 3) = 0.
В других случаях надо быть чрезвычайно
изощренным человеком, чтобы разложить данное уравнение на
21
множители, даже если известно, что такое разложение
возможно. Такое уравнение очень легко составить, но
очень трудно решить. Например, возьмем очень простое
2 2
уравнение (х - Ьх 4- 3)(х 4- Зх - 1) = 0. Раскрыв скобки
и приведя подобные члены, получим х4 - 2х3 - 13х2 +
-н 14х -3 = 0. Как из этого уравнения получить
исходное, трудно сказать. Возможно, кто-нибудь сообразит и
сумеет представить левую часть в виде разности квадра-
2 2 2
тов (х - х 4- 1) - 4(2х - 1) =0. Безусловно, это не
самый лучший способ придумывания трудных задач.
Нахождение рациональных (в частности, целых)
корней алгебраических уравнений с целыми
коэффициентами основано на следующей теореме.
Пусть aQxn 4- аххп ~ 1 4- ... 4- ап = 0 — уравнение с
целыми коэффициентами. Если число х0 = - , где р и q —
целые числа и дробь £ несократима, является корнем
уравнения, то р есть делитель свободного члена ап,
a q — делитель коэффициента при старшем члене а0.
В самом деле, подставим в уравнение вместо х дробь
- и умножим его почленно на qn. Получим
а&а + alPn -lq + ...+an_ xpqn ~ l + anqn = 0.
Левая часть представляет собой алгебраическую сумму
целых чисел. Все слагаемые, кроме последнего, делятся
на р. Значит, anqn также делится на р. А поскольку р и q
взаимно просты, то ап делится нар.
Точно так же аорп делится на q и aQ делится на q.
Замечание. Если уравнение хп 4- аххп ~1 4- ... 4- qnxn = 0
имеет рациональный корень, то этот корень целый. Это
утверждение следует из нашей теоремы, поскольку а0 = 1,
а значит, и q = 1.
22
Зная один корень многочлена, можно его разложить
на множители, а именно, если а — корень многочлена
аохп + а^'1 + ... + ап, то аохп + а^"1 + ... + ап =
Нам нет необходимости доказывать это утверждение
в общем виде. Достаточно уметь разложить на
множители многочлен в каждом конкретном случае.
Доведем теперь до конца решение уравнения 14. Мы
имеем у3 - Ъу2 - 2у + 16 = 0. Поскольку старший
коэффициент равен 1, q = 1 (см. теорему). Свободный член
имеет делители 1, 2, 4, 8, 16. Таким образом, если это
уравнение имеет рациональный корень, то этот корень
непременно целый и находится среди чисел ±1, ±2, ±4,
±8, ±16. Подставляя их в левую часть, найдем ух = 2.
Следовательно, левая часть разлагается на множители,
один из которых (у - 2).
Произвести это разложение можно с помощью
метода, который назовем методом группировки. Суть его в
том, чтобы представить многочлен в виде суммы пар
слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно
было выделить множитель (у - 2). Поскольку первый
член равен /, то в качестве второго слагаемого следует
взять -2у , в результате чего образуется пара у - 2у , в
которой можно вынести множитель (у - 2). Таким обра-
п п
зом, от второго члена мы «заняли» -2у , остается -Зу .
Прибавляем 6у9 получим пару -Зу2 + 6у = -Зу(у - 2)
и т. д. В результате будем иметь
у3 - Ъу2 - 2у + 16 = (I/3 - 2у2) + (-3/ + 6у) + (-8у + 16) =
= (у - 2)(у2 -Зу- 8).
Таким образом, для нахождения остальных корней надо
решить уравнение у - Зу - 8 = 0. Его корни:
3+741 3-741 . Л
У2 = —2 ' ^з = —2— ' но у ' ПОЭТОМУ Уз не
. Возвращаясь к х, найдем ответ.
Ответ. -1; -\ (19 + 3 741).
23
18. Решить уравнение 6л:3 4- х2 - Их - 6 = 0.
Решение. Рациональные корни этого уравнения следует
искать среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, ±|,±|,±|,±|,±|.
Подставляя их поочередно в уравнение, найдем, что
хх = -1, х2 = 2 » хз = ~з УД°влетвоРяют уравнению. Ими
и исчерпываются все корни уравнения.
3 2
Ответ. -1; 2 ; ~з '
1.6. Системы уравнений
Наиболее простым и, вероятно, самым
распространенным методом, применяемым при решении системы
уравнений, является метод последовательного исключения
неизвестных. Любая система линейных уравнений
может быть решена этим методом. Суть его в следующем.
Выражаем одно неизвестное из одного уравнения
через остальные и подставляем в оставшиеся. Получаем
новую систему, в которой число уравнений и
неизвестных уменьшилось на 1. С новой системой поступаем
таким же образом и так до тех пор, пока это возможно.
Если в системе некоторые уравнения не линейны, то
этот метод можно применить не всегда. Однако он может
быть использован как прием, за счет которого можно
решение данной системы свести к решению системы,
состоящей из меньшего числа уравнений и неизвестных.
у
19. Решить систему уравнений } г + у - 2х= 1,
[х* + гу-у=1.
Решение. Выражаем z из второго уравнения 2 =
+ 2х — у и подставляем в первое и третье:
24
= x-x2; x* + 2x(x-x2)-(x-x2)2 = ly x2=l\
Ответ. (1; 0; 3); (-1; -2; 1).
Однако не всегда удается так легко выразить одно
неизвестное через другие.
20. Решить систему уравнений
Зх2 + Ъху - 22у2 = 0,
х2 + х + у2 - 2у = 2ху + 1.
Решение. Первое уравнение этой системы является
однородным относительно х и у (см. уравнение 16 и за-
мечание к нему). Разделив его на у (очевидно, у * 0),
получим квадратное уравнение относительно t = - и
найдем tY = 2, t2 = --=-. Таким образом, имеются две
возможности:
1)х = 2у и 2)х = -±±у.
Подставляя найденные выражения х через у во второе
уравнение, получим соответственно два квадратных
уравнения:
1) у2 = 1 и 2) 196i/2 - 51*/ - 9 = 0.
Ответ. (±2; ±1); (-
187±11Л073
392 ' 392
Этот метод применим во всех случаях, когда одно
уравнение является однородным относительно двух
неизвестных.
21. Решить систему уравнений
2х2 + Зху - у2 = 4,
Зх2 + 2;п/- 2i/2 = 3.
Решение. Умножив первое уравнение на 3, а второе
на (-4) и сложив их, мы получим однородное уравнение
25
2 2
-6х + xi/ 4- 5у = 0. С этим уравнением поступим, как в
предыдущем примере, разделив на у2 и получим
квадратное уравнение относительно t = -:
у
б*2-у-5 = 0; ^ = 1, t2 = -|.
(Доведите решение системы до конца самостоятельно.)
Ответ, (±1; ±1).
Го о
22. Решить систему уравнений \ х ^~ У ~ 9
I x + i/ + 3xi/ = 9.
Решение. Предложенная система является (и
называется) симметричной: замена х на уу a i/ на х не меняет
каждое из уравнений системы. В такого рода системах
очень часто к цели приводит следующая замена
неизвестных: и = х + и, v = ху. Поскольку
х2 + у2 = (х + у)2 - 2ху = и2- 2v,
относительно и и и получим систему
Исключая у, получим для и квадратное уравнение
Зи2 + 2и - 33 = 0; Uj = 3, и2 = -И , иг - 2, «2 = ^ .
Для xvi у соответственно будем иметь две системы:
ху = 2;
*-?■
Вторая система не имеет действительных корней.
Ответ. (1; 2); (2; 1).
Сведение к системе алгебраических уравнений, в
частности к симметричной системе, — достаточно
распространенный метод решения иррациональных уравнений
с одним неизвестным.
26
23. Решить уравнение 3j3 - х 4- 3j6 + x = 2.
Решение. Обозначим \]3 - х = у> 3*/б 4- х = 2. Из опре-
О О
деления у и 2 следует, что i/ +2 = (3 - х) + (6 + х) = 9.
Таким образом, для у и 2 имеем симметричную систему
+ 2 = 3,
3 + г3 = 9.
♦По стандарту» обозначим и = у 4- 2, v = yz, тогда
= (У + 2Х(У + 2)2 - Syz) = и(и2 - Зу).
Таким образом,
[и = 3,
1 и(и2 - 3v) = 9; и = 3, у = 2.
Возвращаясь к i/ и z, найдем у1 = 1, z
2; у2 = 2,
22 = 1. Соответственно имеем два значения jc: 2 и -5.
Ответ. 2; -5.
Рассмотрим еще одну симметричную систему.
24. Решить систему уравнений i _ '
Решение. Попробуем нашу замену: и = х + у, у = xz/.
о о о о
Поскольку у = ху = 1, ах 4-у = u(u - Зу) = и - За, для
о
и получим кубическое уравнение а -За-4 = 0, не
имеющее рациональных корней (проверьте). Тем не
менее данная система достаточно просто решается.
Возведем второе уравнение в куб. Получим
х3 + у3 = 4,
3 3 1
х у = 1,
Q О
т. е. х и у — корни квадратного уравнения
t2 - At 4- 1 = 0; tx = 2 -
= 2 + л/3
Ответ. (3л/2-
27
Заметим, что «попутно» мы решили кубическое
уравнение и — Зи - 4 = 0. Вернее, нашли его корень:
л/2 4- л/3 4- 3л/2 - V3 . (Если же мы умеем находить все
з
три комплексных решения уравнения z = а, то мы
сможем найти выражение для всех трех корней уравнения
u3-3u-4 = 0.)
Достаточно часто встречаются системы, в которых
одно уравнение является квадратным относительного
какого-либо неизвестного или комбинации неизвестных.
25. Решить систему уравнений
4 у
/E+J/ +3
X - у
х2 4- \х + у2 - Зу = 0.
Решение. Обозначим
/£±J/ = f9 тогда
-у = i
t'
Первое уравнение относительно t имеет вид f 4 - =4,
откуда tx = 1, t2 = 3. Система разветвляется на две:
1)
/JC 4
- у
= 1,
х2 + 4jc + / - Зу = 0;
= 3,
х2 + 4х + / - 3i/ = 0;
+ 4л: 4- у2 - Зу = 0;
я2 + 4* + у2 - Зу = 0;
—;
(0; 0) — лишнее решение.
/ А.С\ Q^N
Ответ. (-4; 0); -тт ; -тт I.
28
26. Решить систему уравнений
\х2-6у2-ух-2х+Пу-3 = 09
I Jx - Зу + 2 + л/* + 2# - 5 = х + у - 7.
Решение. Рассмотрим первое уравнение как
квадратное относительно х (можно относительно i/):
x2-(y + 2)x-6y2+lly-3 = 0;
D = (у + 2)2 + 4(6/ - Hi/ + 3) =
= 25i/2-40i/+16 = (5i/-4)2.
Таким образом, имеем две возможности:
1) х = \(у + 2 + 5у - 4) = Зу - 1;
Заменяя во втором уравнении х через у и решая
получившиеся для у уравнения, найдем для каждого случая:
-б = 4i/-9, 5у - 6 = 16у2 - 72г/ Ч- 81,
/ - 77у + 87 = 0; ^ = 3, у2 = ||
(у2 — лишний корень, так как 4у2 - 9 < 0);
2) нет действительных решений.
Ответ. (8; 3).
Рассмотрим еще несколько систем, в которых к цели
приводят другие достаточно распространенные приемы
решений.
27. Решить систему уравнений
2j2x+ Зу + V5 - х-у = 7,
З^Ъ-х-у - J2x + у - 3 = 1.
Решение. Обозначим J2x + Зу = и, J5 - х - у = v,
J2x + у - 3 = w (с подобным способом избавления от
радикалов мы уже встречались). Имеем и = 2х + Зу,
29
п п
v = 5 - х - у, w =2jc + z/-3. Можно проверить, что
о 7 7
и +4u + w = 17. Таким образом, для и> vnw получаем
систему
uf = 17.
Из первых двух уравнении находим и = —^— , и; =
= Sv — 1. Подставляя эти выражения в третье уравнение,
получим для v квадратное уравнение
53у2-38у-15 = 0; 1^ = 1, ^2 = -Ц-
По условию v > 0. Значит, v = 1, и = 3, w = 2; 2х 4- Зу =
= 9, 5 - х - I/ = 1. Из последней системы находим х иу.
Ответ. (3; 1).
В предыдущей системе мы составляли комбинацию
из и2, и2, w2> не зависящую от л: и у. Вообще, составление
комбинаций из данных уравнений, в результате
которых получаются более простые уравнения, достаточно
распространенный прием при решении систем. (С этим
приемом мы уже встречались в решении системы 21.)
28. Решить систему уравнений
6x + y2-z2 = 6,
х2 - у - 4г = -4,
Решение. Умножим уравнения соответственно на 2, 3
и 1 и сложим получившиеся уравнения. (Выбор
множителей 2 и 3 обусловлен естественным желанием
избавиться от констант. После того как мы найдем
комбинацию из первых двух уравнений, нетрудно заметить, что
сложение получившегося уравнения с третьим
уравнением дает возможность избавиться от у.) Получим
24л:2 + 12* - 2z2 - 12z = 22z2,
2(х2 - z2) + (х - z) = 0, (х- z)(2x + 2z + 1) = 0.
30
Возникают два случая: 1) х - z = 0; 2) 2х + 2z + 1 = 0.
Выражаем в каждом случае z через х и подставляем в
первые два уравнения системы (они на вид проще),
третье уравнение можно не рассматривать. Получим
соответственно две системы:
1 ч J 6х + у2 - х2 = 6, 9Ч J 20* + 4у2 - 4л:2 = 25,
■I/ l о '19
[ х2 - I/ - 4х = -4; I х2 - у + 4х = -6.
В первой системе сложим первое уравнение с удво-
2 2
енным вторым, получим х - 2х + у - 2у = -2, откуда
(х - 1) + (i/ - 1) =0; JCj = 1, уг = 1. Подставив эти
значения в уравнения системы 1), убедимся, что найденные
значения удовлетворяют этой системе.
Во второй системе первое уравнение перепишем в ви-
де 4у = (2х - 5) , откуда 2у = ±(2х - 5). Заменяя у через
х во втором уравнении, в случае у = ~ (2* - 5) получим
квадратное уравнение, не имеющее действительных
корней, а в случае у = ~ «^ ~ ^^ найдем х2 3 =
10 +Л1
п /1 1 1ч f-5+ЛТ 10-Vll 4-Л1
Ответ. (1; 1; 1); ' — -^- -
Г-5 - Л1 10 + Л1 4 +
1.7. Уравнения, содержащие
абсолютные величины
Наиболее распространенным методом решения
уравнений и систем уравнений, содержащих абсолютные
величины, является метод, при котором знак абсолютной
величины раскрывается на основании ее определения:
ху если х > 0,
-х, если х < 0.
31
29. Решить уравнение \2х + 1| + |5 - Зх| + 1 - 4х = 0.
Решение. Выражения, стоящие под знаком
абсолютных величин, обращаются в нуль при х = - ~ и х= ~ . Со-
ответственно нам нужно рассмотреть три случая:
Получим три уравнения, в каждом из которых на
неизвестное наложено ограничение.
1) х < -^ • В этом случае 2х + 1 < 0; 5 - Зх > 0.
Следовательно, |2х + 1| = -2х - 1, |5 - Зх| = 5 - Зх. Получаем
-2х - 1 + 5 - Зх + 1 - 4х = 0, -9х + 5 = 0, х = |; | не
удовлетворяет условию х < -~ .
А о э
3) х > |; 2х + 1 + Зх - 5 + 1 - 4х = 0, х = 3.
Во втором и третьем случаях соответствующие
значения х удовлетворяют нужным ограничениям.
7
Ответ. -=; 3.
э
Можно действовать иначе, исходя из того, что
равенство \а\ = b означает, что Ь> 0, а = ±Ь.
30. Решить уравнение |3х2 + 5х - 4| = 2х - 1.
Решение. Этому уравнению соответствуют два
уравнения: Зх2 + 5х - 4 = 2х - 1 и Зх2 + 5х - 4 = -2х + 1, среди
корней которых нужно отобрать удовлетворяющие усло-
^Itt -1 + 75-1-75
вию х > о . Первое имеет корни ^— , —^— ; подхо-
_ -7 + Л09 -7 - Л09
дит первый корень. Корни второго g , g .
Вновь остается первый корень.
-1 + л/5. -7+ л/Г09
2 ' 6
32
Можно, наконец, вообще не решать неравенств, а
рассмотрев весь набор уравнений, который может
получиться при раскрытии знака абсолютной величины и
среди решений которых содержатся все решения
исходного уравнения, решить их и отобрать (например, с
помощью проверки) корни, удовлетворяющие исходному
уравнению.
31. Решить уравнение
||х5 - УЗ* - 11 - 100| - *5 + УЗх-1 - 104.
Решение. Все корни исходного уравнения содержатся
среди корней двух уравнений:
|х5 - Уз*-11 - ЮО - х5 + УЗх-1 - 104,
|х5 - УЗ* - 11 - 100 - -*5 - УЗ* - 1 + 104,
которые можно переписать в виде
- УЗ* - 11 - -х5 - УЗ* - 1 + 204.
Каждое из этих уравнений, в свою очередь, распадается
на два. Таким образом, мы приходим к четырем
уравнениям:
УЗх-1 = 2, х5 - 2, х5 - 102, УЗх-1 = 102,
среди корней которых содержатся все корни исходного
уравнения. Имеем четыре корня:
25, х3
102
Первый корень проверяется легко. Он удовлетворяет
уравнению.
Второй и третий корни не подходят, так как правая
часть исходного уравнения при этих значениях
отрицательна (У3х^~1 < 2, потому что хд < 3).
Четвертый корень также является лишним,
поскольку этот корень должен удовлетворять уравнению
33
/Зх - 1 + 204, а правая часть это-
1 з
го уравнения отрицательна при х = ~ (Ю2 + 1).
Ответ. 3.
Заключение. В этом параграфе были рассмотрены
виды уравнений и методы решения, которые условно
можно назвать стандартными.
Мы не рассматривали здесь уравнения с
параметрами, уравнения, в которых необходимо найти
целочисленные решения, и другие виды уравнений с
«нестандартными» условиями. Точно так же нерассмотренными
оказались многие интересные методы решений:
использование монотонности, экстремальных свойств,
входящих в уравнение функций, логические методы и т. д.
Все эти виды уравнений и методы их решения мы
«объявляем» нестандартными и будем их рассматривать в
соответствующих параграфах. Не следует думать, что
любое нестандартное уравнение труднее для решения, чем
стандартное. Легко привести примеры очень простых
уравнений, решаемых, однако, формально
«нестандартными методами». И наоборот, уже в этом параграфе
можно найти много примеров достаточно трудных
стандартных уравнений и систем уравнений.
1.8. Задачи
Решите уравнения (1—10).
j 3*+ 7 = 2*+ 1
' 5*+ 1 х+ А '
2. *2 +2103*+ 2102 = 0.
3. 118х2 + 1389* - 1507 = 0.
А
к х
х-1 х-Ъ х-3 х-4
2' + * + 2 *2 + х + 6
3*2+ Ъх -14 3*2+ 5* -10
34
6.
x-7 х-Ъ x-6 x-4
7.
Q x + 2*+ 2
о. z т"
6*+ 12
7
20
+
+ 4
+ 4дс + 6
10. (x - I)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8.
11. Найдите сумму наибольших корней уравнений
Решите уравнения (12—119).
12. Jb + 2х = 5 - х. 13. Jl + Зх =.4 - х.
14. J5x - 34 = jc - 7.
16. 7(2/Г +
17. л/5 - х =
- 7х + 1 = 72х2-15х+8.
22. д/5 - х + J8 + 2х = 2.
23. V*2 + х + 1 + А/х2 + |х = 74х2 + Зх .
24. 2х - 7л:3 + 2х2 - Зх = 0.
35
2 + л/4 + х 2-J4-X
Ьх+1 - Jx + 4 = Ах + 3.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
45.
36
745* + 12 - л/15х+2 = Лб(3* + 1).
72* + 3 + 73х-1 = 75* + 2 .
V*2 - 5х + 1 + 7вл: - х2 - 12 = 73х-11.
373л: - 1 = 375* + 2 .
- 7х + 10 + V*2 - 9л: - 36 = 372л:2 - 16л: - 26 .
7л:2 + Зх - 2 - Jx2-x+l = 4х - 3.
72+ 7б-(б72-273)х = 2л: - 72 .
7л:2 - 5л: + 2 - 7л:2 + л: + 1 = 1 - 6л:.
7л: + 1 + 7зс+ 33 = 7лГ+~6 + 7л: + 22 .
2(7*+ 15 - 7*) = з(7*+ з - 7* -1 )•
7эл-2-12л:+ 11 - 7бл:2 - 8л: + 10 = 2х - 1.
2+ х-
3 "
~2
25
9 9
s + 1 = 4* -5
Зл:2+ 2 *2+6
x + 3
44.
46. 237Jc + 6Jx - 10. 47.
48.
V2 - х + 3
=2. 49.
/х + 1 - 2 V* + 1
1 +?.
50. V*2 + * + Jx2 + x+5 = л/2*2+ 2*+ 17.
51. к + -7=* 1 = к--г—.
52.
53.
Л
6* -7x + 2
л 2
54.*2+
(x+3)'
- Ъх.
/1-х
35
56.
ig +4) = 0.
57. ^ + if = 10(f - i) .
(х+ 1) _ 625
59.
(дг-1)
60. (х3 +\)= Б(х + I) . 61. f-2L.f + f-f-f = g .
62. 10х2(х - 2)2 = 9(х2 + (х - 2)2).
63.
64.
24
= 12
2 о 2
х - 2х х - х
- х.
.х + Ьх+ 10
хл+7х+ 12
65. (х2 - 2х + 2)2 + Зх(х2 + 2х + 2) = ЗОх2.
66. х4 + 5х2(х + 1) = 6(х + I)2.
67. (х2 + х + I)2 = х2(3х2 + х + 1).
68. х2 + 2xjx + 2х + Jx = 30.
37
69. 6 = (2 - х)(3 - Jx - 9).
70. Jx + Jx+ 7 + 2л/?+7х = 35 - 2х.
71. 47з373х = 12 + л/23л/з1/г .
72. .£ - 1 + V* + 1
-Л-
73.
74.
/X
+
5
2
5
/х -5 _ Lf1_5\
1 х П *)
Л ■ / 2 , А Л
1 + л/х + 4х-1
75. л/*2 + 5х + 2 + л/лг2 + х + 3 =7.
76.
- 7 .
77. 718^
78. ^г-
- 79-х2 =
^ + ^^-
= 8х -
79. . 2х + ^г^-
80. ^Л
81.
Jx+ 4
. 82. х3 - З*2 - Зх - 1 = 0.
83. 72х2 - 1 + Jx2 - Зх - 2 =
3 +
- x + 2 .
84.
'-т. -./ж+18 +j =1.
85. хТх + л:(л: - 1) = 2(х - I)3.
38
86. (1 + х)(1 + 2х)(1 + Зх) = 4(4 + х)(4 + 2х)(4 + Зх).
87.
88.
89.
90.
92.
94.
96.
98.
100.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
i/l + x + j Ml + x = i/x .
37? - 267x + Л = 2.
2x6Jx~5 + xjx - 437x -2 = 0.
|5-3x| = 2x + l. 91. \2x - 3| = 3 - 2x.
\3x - 8| - |3ж - 2| = 6. 93. |x - 1| + |x - 3| = 2x - 4.
1 + x + \x2 - x - 3| = 0. 95. 2\x2 + 2x - 5| = x - 1.
x2 - 7 = |3x - 7|. 97. x\3x + 5| = 3x2 + 4x + 3.
x|2x + 5| + 2x|x - 3| = 22. 99. ||x2 - 3x| - 5| = x + 1.
||x + 3|-|x-l|| = 2-x2. 101. Jbx - 34 = |x - 3| - 4.
V|5x-7|-27 =x-7.
(1 + x) • |x + 2| + x|x - 3| = 6x + 2.
|2х - 7l - 4х21 = 72 (8х2 - 1).
3 7х+ 1 + |х - 5| = 6.
7х-2 + |х - 5| = 3.
47х+ 2 =|х+ 1| + 4.
4х2 + 47l4 = |х| • V224 + 1.
|х|(3728 + 1) + 2 = х2 + V224 .
13x - 3x2 -
= 3x|4 - x| -
Jx-1 Jx-1
|4-х|
+ 4.
Jx-1
39
112.
/л: 4- 4
4хг + 9|2* - 3| + 12*
/л: + 4
= 27 - 2х|2х - 3| +
113. ||jc3 -
1 - 3| =
- 7.
114. ||*2 - 3*| - х + 1| = 2*2 + х - 1.
115. ||*3 + *2 - 1| - 4| = *3 - *2 + 3.
116. * = 1 - 5(1 - 5*2)2.
117. 2* + 1 + *7*2+ 2 + (* +
118.
2jc+3 = 0.
+ 1 + V4x - 1 = 3 V* .
119. х3 - 1 = л/г (-Зх2 + Ъх - 3).
Решите системы уравнений (120—235).
120.
122.
124.
125.
126.
2х + Зу = 5,
2х2 + Зу2 = 5.
х =
3z/-2 f
121.
123.
11 -2х
л: + 2z/
x-2i
2z/ =
4.
2х-3у Зх-2у 4*
_J 4_=1.
2х-3у Зх-2у
Jx + Зу + 1 = 2,
а/2х - у + 2 = 7у - 6.
х2 + у2 + 2х - у = 5,
х2 + у2 + Зх - у = 6.
40
127.
Jx-y+5 = 3,
Jx + у - 5 = 11 -2x.
128.
3x-y=l,
\x - 2y\ = 2.
130.
. J 3*J/" x2 ~ у2 = 5«
129. I
У
131. I
3-х
1
x-y
= -2.
132. 1
т^— + Jv = 1>
2oc-i/
л/У 6
2дс-у
133.
134. J * +3xy-y =3, 135.
136. JH-1-4x2 + 4x,
x2 + y2- 3xy = 1
2у2
-у2=Л
137.
-xjx,
138. J2*2 + j/2 + x-2i/=1,
5x2 + 2,5y2 + 3x - 4y = 4.
139. J 3*2 + 2И - Зж + 5y = 3,
4,5x2 + 3y2 -3x + 8y = 7.
140. 2^ + /-.
3x2 - 2j/2 - 6л: - 4j/ = 5.
141. J 3*2 + 2У2 + 12х ~4У = ~8>
= -10.
41
142. 1
ху + 24 = — ,
ху
-6 = У-.
143.
= f (x + y)2,
144.
146.
х-у+ Jx2 -4у2 =2,
145.
147.
о.
х2 + у2 + Зху = 4.
x2-xJ\-yA = 1,
хл/l-j/4 + И = 2.
■ (х2 + J/2 - *j/)(x - «/) = 1 + J/3,
' (х2 + у2 + ху)(х + у)=1-у3.
149.
х3 + х2у + ху2 + у
х2 + ху + у2 = 13.
= 40,
151.
Зх2у = Цх + у).
150. J * " У - 3У<
\у = х3-3х.
152. \ху + 3у2-х + 4у = 7,
I 2х{/ + у2 - 2х - 2у = -1.
153. f 2xj/ + j/2 - 4х - 3j/ + 2 = 0,
I ху + Зу2 -2х- Ыу + 11 = 0.
154. J 10х2 + ЬУ2 ~ 2хУ ~ 38х - 6у + 41 = О,
1 Зх2 - 2у2 + Ьху - 17х - 6j/ + 20 = 0.
155. i х* ~ 2хУ + 2У2 + 2х - 8i/ + 10 = О,
156.
42
- 7ху + Зу2 + 13х-4у-7 = 0.
4у-1 = 0,
Зх2 -2ху-1
157. f * - Зжу + 6* - 1 - О,
\у2-ху-2 = 0.
158.
= 2л/2
+ Ту =2.
159.
Jy+7x + Jy+2x = 5,
160. JVsy-x+x-a,
[ J2y- x + x + y =
161.
5- J-6-y = Jx+y,
Jx+ у +2= 7-3 + x.
162.
/2-3x - 1 = Jby-3x,
/l -5i/ + Jby-3x = 5.
163.
л:3 + 4j/ = у3 + 16x,
164.
(У +1) =3
2^2 5 '
t + у
(^2-D =4
165.
166. {
X =
У =
2 =
j/+ 1
3y-5'
32-2
22-3'
3x-l
x-1 "
f xy = 6,
167. ^ i/2 = 12,
I 2X = 8.
43
168. {
У = 2XZ 2
X + 2
_ 2ху
2~ "2~2
х + у
169. {
1 + ху'
= 6yz
1 _|_ '
= 7zx
1 + zx '
х2 + 3
x -
Л \ху\,
170.
171.
172 J '^x + 3xy ~~ %y ~ 6x 4- Зу = 0,
I О
x + 7xi/ + 2i/ - 7x + i/ - 6 = 0.
- ху - Зх + 2 = 0.
173.
174.
2,
/2 2
x-y*Jx -y
I 2 2
~2 2
/2 2 _
y-X*Jx -у = 7
/I 2~~2 4 '
/1z + У
+ (у + 1)х2 + f у + -j д: + 1 = О,
х2у
=1.
175.
176. <
л/х + 1 + X
^ -2jx2-l
У
= о.
44
177.
178.
179.
= 78,
725 - х2 + 725 - у2 = 7l6 + (x + у)2.
х2 + by2 + 4z2 + 4xi/ + 4yz = 125,
x2 + Zy2 - 4z2 + Axy - Ayz = 75,
x - 2i/ + 3z = 9,
x2 + 4y2 + 9z2 = 189,
3xz = Ay2.
xy + 2yz2 - 4z3 = 0,
180. i у - yz - xz = 0,
У2 - 1XZ - 1323 =
0.
xy - xz + 3j/ + 6z = 0,
181. <{ J/2 - yz + 4x - 4z = 0,
xy - z2 - 2x - у = 0.
182.
183.
184.
185. S
187.
X3 - X22 +1/2 = 0,
г + 2x2 + 4xj/ = 0,
3x3 + bx2y - z2
0.
5(xj/ - j/2) - 2x - 2 = 0,
3(хг - 22) - 3x
= 0,
3(x2 - X2) - 4y - 22 = 0.
(x + 1)(3 - Ay) = (6x + 1)(3 - 2y),
(4x - l)(z + 1) = (x + 1)(2 - 1),
(3 - j/)(z - 2) = (1 - 3j/)(z - 6).
yd--
2
5'
1
2'
186.
fx3 +
\2y3-
6i/2 +
-3x3-
3x
= -2,
y= 1.
x-yy
( (x + 2i/)(x + 2z) = 6,
188 \(У + 2x>0/ + 2z>" 3«
I (z + 2y)(z + 2x) = -2.
45
189.
191.
х3
<J/3
23
у2
2
-хуг =
- xyz =
-ху +
- xz +
■1,
-2,
4
Х2 = 22,
22 = У2,
с2 + у2 + г2.
190. <
192 Л
у2
-у2
_ 2
-•"
+ 2 =
_ J_
ху '
_8_
_8_
193.
194.
195.
196. J
У2 + XI/ + X2 = 2,
x2 + zx + z2 = yy
zs - ys = x2 + 2zx + zy.
zy - 2x2 - 2xz - xy = 1,
2 2zy - 4xz = 3,
+ y(x2 + 1) + 2z
- Ixy
22,
j/3 - 8х3 = (27 - х)(г2 - х2).
J/2 - х2 - хг - ху = 2,
У2
- zx = 3,
22 + Zy + X2 - Xy = 6,
> 0, у > 0, 2 > 0.
+ 2 = 2xy
197. <{ у2 + 322 = 28х2,
у3 + 823 = (у - 4х)(1 - 42 + 1ху).
198.
2x3yz =
7х2у3-6x4y2z2 = z2.
199.
2x2j/ - xj/52 =- 22,
X2 + 3vV= °
5i/42
46
200.
201.
203.
205.
206.
207.
X3 - ХУ2
3
у — xyz
23 ~ XyZ
У *
У %
х у
х У
xl+yV
Ху + 2U-
хи + уг-
Зху = х
Зуг = у
\i+yl~
1 -*3 + у*
2(х2у2 +
2у(х2 -.
5 / з
= - Jx3 +
- -ч
г ~3'
\=2.
-2,
= 5,
= 3,
= 3.
+ J/ + 2,
f 2 + 2,
^u + 2,
+ х + 2.
- г3 - xyz
-2г-ХУ2
3 , 3
У +2 ,
3.3
У +2 .
202. <
204. ^
= -4,
= 8,
+ г3 - хуг = -2.
О О 9 9
У Z + 2 X ) + 9ху2
г2) + 3x2 =
= 0,
! +
|Х4-
2х =
2у =
= 0,
1
J/ +
1
2 +
1
X +
со со
II II
2
X
У
7-
\- zx
6
5'
3
4'
2
= 3*
ху,
2
- уг) + Зху = 0.
208.
4-5-7 = 5у,
2 2
X Z
2 2
С У
209.
22.
х + у = 1,
Х2 + уи = 2,
= 5,
= 14.
xz2+
47
[ (X + 1/)(х + 2) = X,
211. ^ (у + *)(у + х) = у,
I (2 + Х)(2 + у) = 2.
=0,
зА-4*у+§-0.
3x2-1/2= 1.
213.
2*?+r =15,
20,
13.
3yf-
X2 + 6l/ - 22 = "6,
214. \ y2 + 4x + 2 = -4,
7x-
22(2+ 1) = 4.
215.
216.
217.
218.
x2-
x(5x
x2 +
xA +
x3-
(y-
[</2 +
,2-
8y
и
(1/
x2
г2
- 5г = 5,
-*2 = 8,
1) - 4i/2 - 35i/ = 35.
+ z2 = 14,
+ г4 = 98.
+ 2)x + 7j/+ 1 = 0,
+ \){y + 3 - x2 - \) +
^ x '
= x2 + 2yz - 2,
22 + X2 = I/2 + 22X - 3,
x2 + y2 = 52i/ - 52X + 2xy - 6.
48
2x2 4- у - 4ху = 1,
219. < Ах22 4- 4у2 - 16xi/2 = 5,
2xz3
1 - 16х/ = 7.
220.
1/2 + X2 = Х2 + I/2 = XI/ 4- 22,
2х
yz + х
+
22
, 2 ,2
xz -\- у ху -\- z
221.
222. {
х\у + г)2 = (1 + х2)у2г2,
Ау\г + xf = (4 + y2)z2x2,
9z\x + у)2 = (9 + z2)x2y2.
3,
±У±- =4
2+ д:
223.
224.
225.
226.
х2 - у2 + г2 = 4х + 2у - 2г - 8,
Зх2 + 2у2 = 25х - 4у - 32,
у2 - 2г2 = -2у + 4z - Зх + 11.
2х
\х
Зх
2х
Зх
4 _
г/г
2 + Зу2
2 "4/
-9и-
?7/ -
82
72
13
= Х1/22,
2 = ~Ху
2>z.
■11,
\- z-
49
227- < 4х2 + х2 + 2х2 = 1,
I Syz + у2 + 222 = 1.
у = 5x + 6y - 42,
228. \ y2 = 3x + by - 2,
- 4y - 2z = xyz2y
- Sy - z = -x2yzy
n
- by - z = -xy z.
229.
he2 = x - 22,
230. j xi/ = Зх + у - 52,
[ X2 = 5x + 2y - 82.
f X + l/ + 2= 1,
231. \ xy + yz + zx = -4,
+ xy + 4x2 - 42 = 0,
+ xy Л
xyz = 8.
(x + y)2-22 = 4,
232. \ y2 + Xy + 4yz - Sz2 = 0,
233.
2x2 + y2 + 22 = 9 + yz,
234. i x2 + 2z/2 + 22 = 6 + X2,
x2 + i/2 + 222 = 3 + xy.
xyz + xz = 2,
235. \ xy + 2xz = -z,
x2yz = -15.
Раздел 2
НЕРАВЕНСТВА
В отличие от уравнений в неравенствах невозможна
проверка (в обычном смысле) найденных решений.
Вследствие этого схема решения, часто применявшаяся при
решении уравнений, заключающаяся в получении
последовательности уравнений-следствий с последующим
отбором корней, при решении неравенств не работает.
Тем не менее многие приемы и методы решения
неравенств совпадают с приемами и методами решения
уравнений (преобразование, разложение на множители,
замена неизвестного). Более того, исходя из идей метода
интервалов, решение любого неравенства (во всяком
случае, тех, которые встречаются в школьной практике
и на конкурсном экзамене) можно свести к решению
одного или нескольких уравнений. Простейшую
модификацию метода интервалов иллюстрирует следующий
пример.
1. Решить неравенство -— —- < О.
ох ~\~ 1
Решение. Отметим на числовой прямой точки, в
которых меняют знак (обращаются в нуль) двучлены х - 1,
х + 2, Зх + 1, соответственно х = 1, х = -2, х = -« (рис. 1).
о
—* 5>
-2
3
Рис. 1
51
При х > 1 каждый из трех двучленов положителен,
следовательно, положительна и вся дробь. Двигаясь вдоль
прямой справа налево, замечаем, что в каждой из
отмеченных точек меняет знак в точности один множитель
деление на Зх + 1 — это умножение на ]. Следо-
вательно, меняет знак и левая часть нашего неравенства.
Ответ, х < -2; -~ < х < 1.
В общем случае метод интервалов основывается на
следующем простом рассуждении. Пусть задана
функция f(x), тогда числовую прямую можно разбить на
четыре множества. А — множество точек, для которых
f(x) > 0; В — множество точек, для которых f(x) = 0;
С — множество точек, для которых f(x) < 0; D —
множество точек, для которых f(x) не определена. Как
правило, каждое из множеств представляет собой объединение
точек, лучей и отрезков (с концами или без). Большей
частью множество В состоит из отдельных точек.
Решение неравенств вида f(x) > 0, f(x) > 0, f(x) < 0,
f(x) < 0 можно разбить на следующие этапы. Сначала
находим граничные точки множеств А, В, С и Z), для чего
решаем соответствующие уравнения (в большинстве
случаев множество В состоит из точек, являющихся
граничными для А и С). Найденные точки разбивают
прямую на лучи и интервалы. Теперь для каждого луча или
интервала определяем, к какому из четырех множеств
относятся принадлежащие ему точки. (Лучше эти
операции осуществлять последовательно. Например, сначала
найти множество D, затем В и т. д.)
/ 9
|О Y Оу 1
2. Решить неравенство < 1.
\ 4+ Зх-х
Решение. Найдем значения х, для которых
обращается в нуль соответственно числитель и знаменатель
данной дроби: хг = -« , х2 = 1, х3 = -1, х4 = 4. Отметим
найденные точки на числовой прямой. В этих точках
52
-1-1
а)
-1 хъ 1 *6 4
б)
Рис. 2
подкоренное выражение меняет знак. Поскольку при
х > 4 оно отрицательно, расставляем знаки, как
показано на рисунке 2, а. Левая часть данного неравенства
определена при -1 < х < -^ 9 1 < х < 4.
о
Теперь решим уравнение
Найдем
5-У
я
^4 +
105
-2*
Зх-
5
-
+
1 _
2
л/105
я
и нанесем эти
значения на числовую прямую. Из нее нас интересуют лишь
оставшиеся два полуинтервала (на рис. 2, б они не
заштрихованы). Эти точки разбили каждый из наших
полуинтервалов на две части: в одной выполняется
искомое неравенство, в другой — нет. (Формально можно
поступить так: обе части данного неравенства возводим в
квадрат, переносим 1 в левую часть, приводим к общему
знаменателю. Тогда найденные значения (:с5 и :с6) есть
нули числителя получившейся дроби. В них происходит
смена знака.) При jc = 1hjc = -;t неравенство выполня-
о
ется.
^ 5-V105 . 1 л^ 5+VI05
Ответ, <jc<--;1<jc< g .
Удобно при решении неравенства методом
интервалов, находя точки, в которых меняет знак какой-либо
53
множитель, отмечать эти точки черточкой. Тогда, если
в какой-то точке меняет знак нечетное число
множителей (стоит нечетное число черточек), знак всего
выражения меняется; если же знак меняет четное число
множителей (стоит четное число черточек), знак
сохраняется.
3. Решить неравенство
(l3s+5|-|5s+3l)(*2-l) ^Л
Решение. Множитель х - 1 = (х - 1)(х + 1)
обращается в нуль и меняет знак в точках ±1. В этих же точках
обращается в нуль и множитель |3:с + 5| - \5х + 3|.
Нетрудно доказать, что он также меняет знак.
Уравнение V5 + 4jc + 2х + 1 = 0 имеет один корень х = -1, при
переходе через который выражение J§ + 4х + 2:с + 1
меняет знак с минуса на плюс, если двигаться слева
направо. (Докажите.) Теперь расставляем знаки (рис. 3).
Рис. 3
Ответ. ~j^x< -1; х = 1.
Как видим, в точке х = 1 меняют знак два
множителя. Поэтому в ней поставлены две черточки. А в точке
х = -1 по аналогичной причине поставлены три
черточки. Понятно, что если в некоторой точке меняет знак
четное число множителей, знак всего выражения не
меняется; если же меняет знак нечетное число
множителей — меняется знак всего выражения. Кроме
того, отмечая точку так: • или так: °, мы указываем,
входит или нет эта точка в область допустимых
значений.
54
2.1. Преобразование неравенств
Многие виды преобразований, которыми мы
пользуемся при решении уравнений, так как они или приводят
к эквивалентному уравнению, или, в крайнем случае,
к уравнению-следствию, оказываются запрещенными при
решении неравенств.
2 2 3
4. Решить неравенство + > .
И х+ 2 Зх-1 2jc-3
Решение. При решении этого неравенства грубой
ошибкой было бы освобождение от знаменателя (с сохранением
знака неравенства). Стандартный путь: перенесем все
в одну часть (левую), приведем к общему знаменателю,
а затем разложим на множители числитель. Получим
>0
(*+ 2)(3*-1)(2*-3)
Получившееся неравенство решается методом интервалов.
1 3
Ответ. -2 < л: < 0; ~ < х < ^; х> 5.
При решении неравенств, содержащих квадратные
радикалы, необходимо твердо запомнить, что возводить их
в квадрат, сохраняя знак неравенства, можно лишь при
условии неотрицательности обеих частей. (Возможна,
правда, более редкая ситуация, когда обе части
неположительны. В этом случае знак неравенства меняется на
противоположный.) В других случаях возможно как
приобретение лишних решений, так и потеря решений. (Ясно,
что если при одном знаке неравенства между левой и
правой частями решения добавляются, то при
противоположном теряются.) Рассмотрим простой пример.
5. Решить неравенство JS + х > 3 - х.
Решение. Самый обычный путь решения состоит в
рассмотрении двух случаев: 3-jc>0h3-jc<0. Если
3 - х > О, х < О, то обе части неотрицательны (при
допустимых х) и можно возводить неравенство в квадрат,
сохраняя знак неравенства. Получим 3 + х > (3 - х) .
Отметим, что здесь нам нет необходимости заботиться о
55
выполнении неравенства 3 - х > О, поскольку это
условие автоматически выполняется для всех х, для которых
3 + х > (3 - х) . Получая квадратное неравенство, в
первом случае решением неравенства будет 1 < х < 3.
Если х > 3, то правая часть неравенства
отрицательна, левая положительна; подходят все х > 3.
Объединяя оба случая, получаем ответ: х> 1.
Очень удобно данное неравенство решать при помощи
замены 73 + х = t,t>O,x = t2-39 которая сразу приводит
нас к квадратному неравенству t2 +1 - 6 > 0 (в системе с
неравенством t > 0), откуда находим t > 2, Js + х > 2, х> 1.
И наконец, третья возможность: исходя из идей
интервалов, решаем уравнение 73 + х = 3 - х. Корень
один: х = 1 и т. д.
Ответ, х > 1.
2.2. Неравенства,
содержащие абсолютные величины
Обычный путь решения неравенств, содержащих
абсолютные величины, состоит в том, что числовая прямая
разбивается на участки, на каждом из которых на
основании определения абсолютной величины знак
модуля можно снять. Например:
6. Решить неравенство \х2 - Зх + 2| + \2х + 1| < 5.
Решение, х - Зх 4- 2 отрицателен при 1 < х < 2 и
неотрицателен при остальных х, 2х + 1 меняет знак при х = — « .
Следовательно, нам надо рассмотреть четыре случая.
1. jc < -i В этом случае х2 - Зх + 2 > 0, 2х + 1 < 0.
Получаем неравенство л: -Зл: + 2-2jc-1 < 5, jc -5jc-4<0.
_ 5-741 . ^ 5+ 741 о
Его решение —=— < л: < 2— * ^ учетом условия
^ 1
х < - g находим
56
1 2
2. -о < jc < 1. Имеем неравенство х - х - 2 < 0.
Его решение -1 < х < 2. Следовательно, весь отрезок
-- < х < 1 удовлетворяет неравенству.
3. 1 < х < 2. Получаем х2 - Ъх + 6 > 0; jc < 2 или jc > 3.
Вновь подходит весь интервал.
4. jc > 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подхо-
ттит лить jc = 2.
Ответ. 5 "/** < х < 2.
Другой подход к неравенствам, содержащим
абсолютные величины, состоит в следующем. Неравенство
\а\ < 6 эквивалентно системе
а<Ь,
а>-Ь,
а неравенство \а\ > Ъ эквивалентно объединению
неравенств
а>Ь9
а < -Ь.
(Напомним, что в системе должны выполняться оба
неравенства. Соответствует союзу «и». Объединение
неравенств означает, что должно выполняться хотя бы одно
из неравенств. Соответствует союзу «или».) В случае
строгих неравенств все неравенства соответственно
заменяются на строгие.
Доказательства обоих утверждений без труда следуют
из определения абсолютной величины. Нагляднее всего
эти доказательства реализовать, интерпретируя
неравенства графически, изобразив на координатной плоскости
в первом случае все точки (а; Ь), для которых \а\ < 6,
а затем — все точки, для которых
\а<Ь9
\а>-Ь,
и показать совпадение этих множеств.
Аналогично для неравенства \а\ > Ь.
При помощи этого приема мы во многих случаях
можем последовательно избавляться от знака абсолютной
величины, уединяя выражения под этим знаком.
57
Решим, например, еще раз неравенство 6. Имеем
|х2-Зх
х2 - Зх + 2 < 5 - |2jc + 1|
х2 - Зх + 2 > -5 + |2х +
|2х+1|<-х2 + Зх + 3,
|2jc + 1| < х2 - Зх + 7
2х + 1 < -
2х + 1 > х2 - Зх - 3,
- х - 2 < О,
2х + 1 < х2 - Зх + 7,
2х + 1 > -х2 + Зх - 7
<=>
х < 2 или х
х — любое
<х<2,
х < 2 или х > 3
<=>
При решении этого неравенства особых преимуществ
по сравнению с первым методом не видно. Однако в
некоторых случаях эти преимущества весьма заметны.
7. Решить неравенство ||х3 + х - 3| - 5| < х3 - х + 8.
Решение. Это неравенство не так просто решить
стандартным путем. В то время как переходя к системе
и т. д., мы решим его без особого труда.
| |х3 + х-3|-5<х3-х + 8, <=>||х3 + х-3|<х3-х+13, ^
I |х3 + х- 3|- 5 > -х3 + х-8 I |х3 + х- 3| > -х3 + х- 3
<=> \
х6 + х - 3 < х - х + 13,
х3 + х-3>-х3 + х- 13,
х3 + х - 3 > -х3 + х - 3,
х3 + х-3<х3-х + 3
-V5 <х<8,
х — любое
Ответ. -2Jb < х < 8.
<=> —^
х<8,
х3 > -5,
х3>0,
х<3
< х< 8.
58
На этом мы закончим рассмотрение примеров к теме
«Неравенства». В конце этого параграфа помещены
задачи с условием «решить неравенство». Однако не стоит
только ими ограничиваться. Полезно наряду с
неравенством, указанным в условии, рассмотреть три других
возможных неравенства. (Например, если стоит знак >,
то рассмотреть также неравенства со знаками >, <, <.)
Полезно также рассмотреть уравнения (с одним
неизвестным) и, заменив знак «=» на знак неравенства,
решить соответствующие неравенства.
2.3. Задачи
Решите неравенства (1—81).
1. Зх2 + 5х > 22. 2. 2х2 - Их < 9.
3. -±->1. 4.
+ 1 х+
к А * + 5*-9
О. О. —5
2
х+ 1 2
7. -х2 + 7х + 10 > 2(х2 -7х- 9)2.
8. 1 + х + jc2 + jc3 + х4 > 0.
9. 1 + х + х2 + jc3 + х4 + х5 > 0.
1Л 2*+ 3 ^ 4jc+ 1 1t 1
10. > . 11.
3+2 +4
> . 11.
3jc+2 jc+4 jc+1
12. х + —— < 3. 13. х6 + xz + x > 3.
X + 1
14. x(x + 1) + (x + 2)(x + 3) < 5.
1fC 3x2-2x-l 2*2-3x + 1
Ю. 5 < 9 "
9v -I- ^v -I- Ч Чу -t- 7r -I- 4
^X i uX i О OX i I X i *±
17. Jx - 3x - 3 < 5 - *.
19. 2x-13<Jl + 7x-x2.
59
20. х - 3 > л/9 - х .
21.
х- 4
< 1.
22. xj5 +2x >Ьх- х2. 23.
24.
26.
< 1.
I- 25. V30-*-*2 > -1.
28. Jx + 2 -
< 3. 29.
27. Jx2+2x-3 <
'2 - x + 4x - 3
30. (x-3)Vx2+3 <x2-9. 31.
32. 74 + x >2 + |. 33.
- 2jx-l>JxTl.
34. V5 + x - Jx-2 > x +1.35. Jx+ 2 + «/3-х < 3.
36. Jx + 2 - Jx-1 > 1. 37. Jx+S - Jx-4 >2.
38. VlT+2x + л/21 -2л: > 8.
39. (9 - x2)Jx + 4 > 0. 40. (x + 2)Jx2 - 2x - 3 > 0.
41. (х-3)л7х2 + х-2 >0. 42. -
- bx + 2
2x +6x
43.
/ 9 / 9
J6+X-X* Л+Х-Х*
2x+ 5
x+4
44. (x2 - 4* + 3)
< x2 - 2x - 3.
45. л/3*2 + 2x + 7l4x2+ 23x+ 8 < »/l7x2 + 25* + 8
46. (J3 + x +x- 3)(л/5+ Ax + x - 4) < 0.
47. л/*2 + 2* - Jx2 + 3x - 4 > x + |.
60
48. |2* + 5|<7-;с.
50. |7лг + 5|-2х>11.
52. 5х-7<|* + 2|.
54. |х-1| + |х + 2|<3.
|2-Зх|>2|.
Э
56.
58.
60.
62.
64.
66. |2х-|х-2|<3.
68. |2ж + 1-|8х+1|
70. л/3+ х >|3-4
49. Зх + |2-х|<5.
51. Зх>2-|3-х|.
53. |х-1|<2х-5.
55. |3лг-1| + |4jc + 3|< з|
|2х-3|< 11.
72. V54x
74. -
75. i
57.
59. |2-5х| + |х
61. |5х-1|-|4х
|Зх-7|>|4х + 1|. 63. х2 + \х - 1| < 5.
2 65. |х2-3| + х2 + л:<7.
67. |Зх + 1| + х+1|>2.
69. |х2-|х2 + х||>11.
71. |2-7хП|>х-2
73. |7х+2 -7х+3|
+ х - 4х + 1 > |х - 2|.
т>0. 76.
|2х+7|-3,-4
х+ 5-|5х-7|
79.
х -4
78. |2х2-х|-3|<2х2
81.
О
(х - Ьх
3| - |3jc +
QQ
- х)(х -
Раздел 3
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Стандартная схема решения текстовых задач состоит
из трех этапов:
1. Выбор неизвестных.
2. Составление уравнений (возможно, неравенств).
3. Решение системы, или, точнее, нахождение
нужного неизвестного или нужной комбинации
неизвестных.
Рассмотрим эту схему поэтапно.
3.1. Выбор неизвестных
Основные рекомендации здесь просты, хотя и
несколько расплывчаты. Неизвестные должны быть
естественными. При этом не следует пытаться обойтись
небольшим числом неизвестных. Наоборот, чем больше
неизвестных, тем лучше, тем легче составлять
уравнения (или неравенства).
Требование «естественности» неизвестных не так
просто сформулировать. В простейших случаях оно
означает, что выбор неизвестных диктуется структурой
задачи, ее типом. Так, в задачах на движение, как
правило, в качестве неизвестных берутся скорости,
расстояния, реже — время. Следует избегать обозначений типа
ui> ^пар» *i» ^1 и т* п* Лучше приучать себя к
стандартному списку jc, у у z, v, и, w, s, t и т. д. Это облегчит в
дальнейшем работу с получившейся системой. В задачах на
работу (они аналогичны задачам на движение) за основу
62
берутся производительность (та же скорость, только
скорость работы), объем работы. Свои стереотипы имеют и
задачи на концентрацию, процентное содержание.
Выбирая неизвестные, мы создаем
математическую модель ситуации, описанной в условии задачи;
точнее, набор неизвестных представляет собой список
параметров, определяющих эту модель. (Обычно
стараются, чтобы эти параметры были независимы. Это
означает, что все соотношения должны следовать лишь из
конкретных условий задачи, а в принципе каждый
параметр может меняться в известном диапазоне,
независимо от значений остальных параметров.)
Если будем считать, что первое прочтение задачи
ознакомительное, то второе имеет своей целью выбор
неизвестных; при этом мы не обращаем внимание на числа
и иные «мелочи». Иногда уже в процессе составления
ограничений приходится для облегчения этого процесса
«добирать» неизвестные.
3.2. Составление уравнений (ограничений)
Выбрав неизвестные, мы в третий раз читаем задачу,
расчленяя ее условие на логические части, каждой из
которых соответствует одно ограничение. Таким
образом, если неизвестных следует брать столько, сколько
потребуется, то ограничений будет столько, сколько
получится. В простейших случаях мы приходим к
системе уравнений, в которых число уравнений совпадает
с числом неизвестных. Но нередки задачи, в которых
это не так. Если у вас число уравнений оказалось
меньше числа неизвестных и при этом вы использовали все
условия задачи (иногда эти условия оказываются
замаскированными), не мучьте себя в поисках
дополнительного уравнения, а внимательно прочтите, что нужно
найти.
Попытайтесь выразить то, что нужно найти, через
введенные неизвестные (если, конечно, требуемое в
задаче не принято за соответствующее неизвестное). Если
все условия задачи использованы, то нужное неиз-
63
вестное или нужная комбинация неизвестных
обязательно найдутся. Об этом позаботились авторы задачи
(за исключением тех редких случаев, когда ошиблись и
они).
Рассмотрим несколько примеров.
1. От пристани А одновременно отправились вниз
по течению катер и плот. Катер спустился вниз по
течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся
в А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде
и скорость течения, если известно, что катер
встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км
от А.
Решение. 1. В качестве неизвестных здесь возьмем:
х (км/ч) — скорость катера в стоячей воде;
у (км/ч) — скорость течения.
2. Составим уравнения. Поскольку скорость катера
при движении по течению (х + у), а против течения —
(х - у)> то на основании того, что сказано во второй фразе
условия, получим
96 96 ЛА 48 , 48 -
14, или + = 7.
х + у х-у х + у х-у
Вторая часть последней фразы условия («катер
встретил...») дает нам
96 , 72 24 4,3 1
Н = — , или
х+ у х-у У х + у х-у У
Таким образом, имеем систему уравнений
48 48
X
X
+
4
+
У
У
+
X
X
—
3
-
У
У
1
У
3. Нам нужно найти х и у. Освобождаясь во втором
уравнении от знаменателя, найдем х = 7у. Подставляя
х = 7у в первое, получим у = 2, затем х = 14.
Ответ. Скорость катера в стоячей воде 14 км/ч,
скорость течения 2 км/ч.
64
2. Три конькобежца, скорости которых в
некотором порядке образуют геометрическую прогрессию,
одновременно стартовали по кругу. Через некоторое
время второй конькобежец обгоняет первого, пробежав на
400 м больше его. Третий конькобежец пробегает то
расстояние, которое пробежал первый к моменту его
обгона вторым, за время на х минуты больше, чем
о
первый. Найти скорость первого конькобежца.
(Конькобежцы стартуют из одной точки и бегут в одном
направлении.)
Решение. 1. За неизвестные примем скорости
соответственно первого, второго и третьего конькобежцев: лс,
у, 2. Удобнее всего измерять скорости в м/мин (см.
условие).
2. В данной задаче расчленение условия на части,
которым соответствуют уравнения, не столь очевидно.
Поскольку второй конькобежец обгоняет первого,
пробежав на 400 м больше, то у > х. Скорость третьего
конькобежца меньше скорости первого (следует из
третьей фразы условия); значит, у > х > 2, т. е.
величины 2, jc, у в указанном порядке образуют геометриче-
скую прогрессию. Таким образом, х = уг.
Второй конькобежец пробежит на 400 м больше пер-
400 _, Л
вого за время t = . Путь первого конькобежца за
У*
, 400*
время t будет xt = .
У-х
По условию xt = г \t 4- г , или = г + 5 •
V З; у-х \у-х о;
Таким образом, получаем систему (второе уравнение
преобразовано):
х2 = уг9
400* = 4002 + | г(у - х).
3. Получена система из двух уравнений с тремя
неизвестными. Но нам не надо находить все неизвестные.
65
Требуется найти х. Выразим из первого уравнения
2
у = — и подставим во второе уравнение. Получим
2
400* = 4002 + | г[— - х ) , 400(х - г) = | jc(jc - 2).
Но jc Ф г; значит, ъ х = 400, jc = 600.
о
Ответ. Скорость первого конькобежца 600 м/мин.
3. Имеется три слитка различных сплавов золота
с серебром. Известно, что количество золота в 2 г
сплава из третьего слитка то же, что во взятых
вместе 1 г аз первого и 1 г из второго слитков. Масса
третьего слитка равна суммарной массе части
первого слитка, содержащей 10 г золота, и части второго
слитка, содержащей 80 г золота. Третий слиток в
4 раза тяжелее первого и содержит 75 г золота.
Сколько граммов золота содержится в первом слитке?
Решение. 1. Не боясь, введем 6 неизвестных:
ху у, г — массы слитков в граммах;
UyVyW — соответственно количества золота в 1 г
каждого слитка.
2. Вторая фраза условия дает нам уравнение:
2w = и + v.
Третья фраза дает уравнение:
2=10+80
и v
(Чтобы получить 10 г золота, надо взять — г первого
слитка и т. д.)
Четвертая фраза дает два уравнения:
г = 4х и 2W = 75.
Таким образом, имеем систему
2w = и + V,
10 , 80
г = — + — ,
и v
2w = 75
66
из четырех уравнений с пятью неизвестными (у нам не
понадобился).
3. Нам надо найти количество граммов в первом
слитке, т. е. хи. Будем исключать неизвестные,
сохраняя х и и. Сначала заменим z на Ах во втором и
четвертом уравнениях. Затем выразим из четвертого w и
подставим в первое и, наконец, из первого уравнения
найдем v. Окончательно после упрощений придем к
уравнению
Цхи)2 - SOxu + 375 = О,
из которого найдем для хи два значения: хи = 7,5 и хи =
= 12,5. Но по условию первый слиток содержит более
10 г золота (его часть содержит 10 г). Таким образом,
первый слиток содержит 12,5 г золота.
Ответ. В первом слитке содержится 12,5 г золота.
Очень полезно при составлении уравнений, особенно
при решении достаточно полных задач на движение,
делать «картинки».
4. Пристани А и В находятся на
противоположных берегах озера. Пароход плывет из А в В и после
десятиминутной стоянки в В возвращается в А,
двигаясь в обоих направлениях с одной и той же
скоростью — 18 км/ч. В момент выхода парохода из А
навстречу ему из В в А отправляется движущаяся с
постоянной скоростью лодка, которая встречается с
пароходом в 11 ч 10 мин. В 11 ч 25 мин лодка
находится на расстоянии 3 км от А. Направляясь из В в А
после стоянки, пароход нагоняет лодку в 11ч 40 мин.
Определить время прибытия лодки в А.
Решение. 1. Обозначим скорость лодки через х (км/ч),
расстояние АВ — через S.
2. Изобразим схему движения, на которой путь
парохода отмечен сплошной линией, лодки — штриховой.
Отметим точки С, D и Е, в которых находилась лодка
соответственно в 11 ч 10 мин, 11 ч 25 мин и 11 ч 40 мин
(рис. 4).
67
Рис. 4
С момента выхода до встречи в С прошло время t =
о
= (ч). Время, через которое встречаются два те-
1о + X
ла, движущиеся навстречу друг другу со скоростями v
и и, находившиеся вначале на расстоянии S друг от
друга, есть . Аналогично, если одно тело, движу-
и + v
щееся со скоростью v, нагоняет другое, скорость
которого и (и < v)9 находившееся вначале на расстоянии S,
то время, через которое первое тело нагонит второе,
S
равно
v - и
. (Мы этим соображением пользовались,
решая задачу 2.) Следовательно, путь парохода будет:
18S Sx
АС = ттг~— у путь лодки — ВС = . По условию
18 + х
18+ х
AD = 3, DC = J х (путь лодки за 15 мин). Таким образом,
Путь СЕ равен « • За полчаса (от 11 ч 10 мин до 11 ч 40 мин)
пароход с учетом 10-минутной стоянки в В прошел 6 км.
Значит, СВ + ВЕ = 6, или 2СВ + СЕ = 6:
2Sx , 1 а
+ * 6
Таким образом, имеем систему:
2Sx
68
3. Для того чтобы ответить на вопрос задачи,
достаточно найти х. Умножим первое уравнение на два и вычтем
Л 2Sx 36S Л о Л
второе, получим 6 - —■ = — - 6, откуда S = о.
18 + х 18 + х
Заменяя S в любом уравнении, найдем х = 6 км/ч.
Поскольку AD = 3, то от D до А лодка прошла « ч, т. е.
прибыла в А в 11 ч 55 мин.
5. Два самолета, следующие по одной трассе из
города А в город С с постоянными скоростями,
пролетают над некоторым пунктом В. Известно, что второй
самолет вылетел из города А на 14 мин позже первого,
а в город С прилетел на 16 мин раньше его. При этом
над пунктом В самолеты пролетели с интервалом не
более 4 мин. Если бы второй самолет вылетел из
города А через 10 мин после вылета первого, уменьшив
свою скорость на 10%, а скорость первого самолета не
изменилась, то над пунктом В самолеты пролетели
бы с интервалом не более 2 мин, а в город С второй са
молет прилетел бы на 10 мин раньше первого. Если бы
скорость второго самолета увеличилась на 40 км/ч, а
скорость первого самолета не изменилась, то второй
7
самолет потратил бы на путь от А до В в -z раза
о
меньше времени, чем первый на весь путь от А до С.
Определить скорость первого самолета.
Несмотря на внешнюю громоздкость, эта задача
вполне вписывается в нашу систему.
Решение. 1. В качестве неизвестных возьмем
скорости самолетов: х и у (км/мин); кроме того, обозначим
через а и b (в км) расстояния АВ и ВС.
2. Вторая фраза условия дает нам уравнение:
а+ Ь а + b
* у
Третья фраза дает неравенство:
30.
а- - (а- + 14 1|< 4.
Четвертая фраза условия дает нам два соотношения:
0,9j/ " ™\ '- х 0,9i/ ' ""•
69
Пятая фраза условия дает уравнение
За+ b
7 х
.Увеличению скорости на 40 км/ч соответствует « км/мин.
Таким образом, получаем систему из трех уравнений
и двух неравенств:
g+ b a+b
х
a+b
х
а
-10
3. Решение системы начнем с уравнений. Вычитая вто-
а+ b
рое уравнение из первого, получим 0 = --
10,
= 90у. Заменим в первом а + b на 90у, получим —- = 120,
4
у = х х. Таким образом, а + b = 120лс. Подставим
выражение для а + Ьиу через х в третье уравнение:
а 3 * 120Ж 2jc + 1
J—^2 = 7X ' п = 240^Г"-
Выразим все неизвестные через ху перейдем к
неравенствам нашей системы. Первое неравенство
преобразуется к виду:
240 2х+ 1 _ 180 2х+ 1
7
-14
х 7 х
|480jc + 240 - 360jc - 180 - 98jc| < 28jc, |22jc + 60| < 28jc.
В последнем неравенстве под знаком абсолютной
величины стоит положительное число; следовательно,
70
будем иметь 22л: + 60 < 28л;, х > 10. Аналогично из
второго неравенства получим, что х < 10. (Сделайте это
самостоятельно.) Таким образом, х = 10 км/мин.
Ответ. Скорость первого самолета 600 км/ч.
3.3. Задачи1
1. Рабочий четвертого разряда зарабатывает на 25%
больше, чем рабочий третьего разряда. На сколько
процентов меньше, чем рабочий четвертого
разряда, зарабатывает рабочий третьего разряда?
2. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих
грибов, содержащих 12% воды. Каков процент
воды в свежих грибах?
3. На овощной базе имелся крыжовник, влажность
которого составляла 99%. За время хранения его
влажность уменьшилась на 1% (стала 98%). На
сколько процентов уменьшилась масса
хранившегося на базе крыжовника?
4. На первом поле 65% площади засеяно овсом. На
втором поле под овес занято 45% площади.
Известно, что на первом и втором полях вместе под овес
занято 53% общей площади. Какую часть всей
засеянной площади составляет первое поле?
5. Число 51,2 трижды увеличивали на одно и то же
число процентов, а затем трижды уменьшали на то
же самое число процентов. В результате
получилось число 21,6. На сколько процентов
увеличивали, а затем уменьшали это число?
6. Кооператив на изготовляемые им изделия
первоначально назначил цену выше государственной на
определенное число процентов. Через некоторое
время кооператив уценил изделия на то же число
процентов, в результате цена изделий стала на 1%
меньше государственной. На какое число
процентов кооперативная цена первоначально превышала
государственную?
Все цены даны на 1984 год.
71
7. Брат и сестра нашли вместе 36 белых грибов.
Известно, что количество процентов, выражающее, на
сколько брат собрал больше, чем сестра, в два раза
больше, чем количество процентов, выражающее,
на сколько сестра собрала меньше, чем брат.
Сколько грибов нашел брат и сколько нашла сестра?
8. Если двузначное число разделить на произведение
его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16.
Если же к квадрату разности цифр этого числа
прибавить произведение его цифр, то получится
данное число. Найдите это число. Решите задачу,
если задано одно лишь первое условие.
9. Масса 52 брикетов пломбира на 10 кг больше, чем
50 стаканчиков фруктового мороженого; масса 4
брикетов пломбира на 0,5 кг меньше, чем 25
стаканчиков. Какова масса брикета пломбира?
10. Букинистический магазин продал книгу со
скидкой в 10% по сравнению с первоначально
назначенной ценой и получил при этом 8% прибыли.
Сколько процентов прибыли первоначально
предполагал получить магазин?
11. В двух мешках вместе находится 140 кг муки.
Если из первого мешка переложить во второй 12,5%
муки, находящейся в первом мешке, то в обоих
мешках будет одинаковое количество муки.
Сколько килограммов муки в каждом мешке?
12. В 8 ч вечера были зажжены две свечи одинаковой
длины, но разного диаметра. Одна сгорает за 5 ч,
другая — за 4 ч. Через некоторое время свечи были
потушены, причем оказалось, что от первой свечи
остался огарок в 4 раза длиннее, чем от второй.
Когда были потушены свечи?
13. Гонорар за книгу был распространен между тремя
соавторами в отношении 8:6:5. Если бы этот же
гонорар был распределен в отношении 7 : 5 : 4, то один
из соавторов получил бы на 25 р. больше, чем он
получил на самом деле. Чему равна сумма гонорара?
72
14. 36 г цинка в воде весят 31 г, а 23 г свинца в воде
весят 21г. Сплав цинка и свинца массой 292 г в воде
весит 261 г. Сколько цинка и сколько свинца
содержится в сплаве?
15. Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова
может съесть такую же копну за 3 суток, а овца — за
6 суток. За какое время съедят эту копну лошадь,
корова и овца вместе?
16. Известно, что толщина льдины везде одинакова.
Площадь ее поверхности равна 1,5 м2. На льдине
находится человек, масса которого 75 кг. Над
поверхностью воды находится слой льда, толщина
которого составляет 0,05 толщины всей льдины.
Определите толщину льдины, зная, что плотность
о
льда равна 920 кг/м .
17. Машина выезжает из А в Б и, доехав до Б, тут же
возвращается обратно. Через 1 ч после выезда
машина была на расстоянии 80 км от Б, а еще через
3 ч — в 80 км от А. Известно, что на весь путь туда
и обратно машина затратила менее 9 ч. Найдите
расстояние от А до Б.
18. Из городов А и Б навстречу друг другу выехали два
автомобиля и встретились через 8 ч. Если скорость
автомобиля, выехавшего из А, увеличить на 14%,
а скорость автомобиля, выехавшего из Б, увеличить
на 15%, то встреча произошла бы через 7 ч. У какого
автомобиля скорость больше и во сколько раз?
19. Из города А со скоростью 48 км/ч выехал
мотоцикл. Через 50 мин в том же направлении со
скоростью 63 км/ч выехал автомобиль. Через сколько
времени после выезда автомобиля расстояние
между ним и мотоциклом окажется равным 42 км?
20. Две частицы движутся между точками А и Б туда и
обратно. Первая выходит из А и движется со
скоростью 4 м/с. Вторая выходит из Б одновременно с
первой. Известно, что вторично обе частицы оказались
на одинаковом расстоянии от А через 4 с после того,
как это произошло в первый раз. Чему равно
расстояние АВу если: а) скорость второй частицы равна
7 м/с; б) скорость второй частицы равна 9 м/с?
73
21. Из города А в город Б со скоростью 24 км/ч выехал
велосипедист. Через 20 мин в том же направлении
выехал мотоциклист со скоростью 30 км/ч.
Мотоциклист доехал до Б, повернул обратно и встретил
велосипедиста через 1 ч 10 мин после того, как он
обогнал велосипедиста. Чему равно расстояние от
А до Б?
22. Турист прошел 105 км за несколько дней,
преодолевая ежедневно одинаковое расстояние. Если бы
на это путешествие он употребил на два дня
больше, то мог в день проходить на 6 км меньше.
Сколько дней продолжалось путешествие?
23. Из А в Б одновременно выехали два автомобиля.
Вначале скорость второго автомобиля была на
3,8 км/ч больше скорости первого автомобиля.
Второй автомобиль проехал весь путь с постоянной
скоростью, а первый, проехав половину пути,
увеличил скорость на 8 км/ч и прибыл в Б
одновременно со вторым. С какой скоростью проехал весь
путь второй автомобиль?
24. Осенью 1985 г. сотрудники лаборатории
подписались на 6 литературно-художественных журналов.
Общая стоимость подписки составила 72 р. Если бы
число сотрудников лаборатории было на 1 человека
больше, то каждый заплатил бы на 12 к. меньше.
Сколько сотрудников работает в лаборатории?
25. От пристани А вниз по течению отправились катер
и плот. Катер доплыл до Б, повернул обратно и
встретил плот через 4 ч после выхода из А. Сколько
времени катер шел от А до Б?
26. От пристани А вниз по течению отправились катер
и плот. Катер доплыл до Б, повернул обратно,
встретил плот через 2 ч после выхода из А, затем
доплыл до А, вновь повернул обратно и нагнал плот
еще через 2 ч после того, как он его встретил. За
какое время проплывет плот расстояние от А до Б?
27. На складе имелось несколько одинаковых ящиков,
в каждом из которых было равное количество
одинаковых заготовок. Заготовки используются
следующим образом: сначала со склада в цех берут
74
один ящик, заготовки из которого последовательно
поступают в производство, а пустой ящик
возвращается обратно на склад и берется следующий
ящик и т. д. После того как было израсходовано
10
т« всех заготовок, оказалось, что на складе
имеется 7 пустых ящиков. Сколько ящиков с
заготовками было первоначально на складе?
28. Сумма некоторого двузначного числа и числа,
написанного теми же цифрами, но в обратном порядке,
равна 55, а произведение этих же чисел равно 736.
Найдите эти числа. Как изменится ответ на вопрос
задачи: а) если известна лишь сумма указанных чисел
(55); б) если известно лишь их произведение (736)?
29. В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 л
каждый, содержится всего 30 л кислоты. Первый
сосуд доливают доверху водой и полученной
смесью дополняют второй сосуд, затем из второго
сосуда отливают в первый 12 л смеси. Сколько
кислоты было первоначально в первом сосуде, если во
втором сосуде после переливаний оказалось на 2 л
меньше кислоты, чем в первом?
30. У продавца в лотке мороженое двух видов: по 28 к.
(порция массой 200 г) и по 13 к. (порция массой
100 г), а стоимость находящегося на лотке
мороженого равна 28 р. 99 к., общая масса 21,1 кг.
Сколько в лотке порций мороженого?
31. Профсоюзный комитет выделил на покупку 7
путевок в дом отдыха и 20 путевок на турбазу 812 р.
Однако оказалось, что путевки в дом отдыха стоят
на 1 р. дешевле, а на турбазу — на 4 р. дешевле,
чем планировалось. Поэтому удалось купить
дополнительно еще 1 путевку в дом отдыха и 2
путевки на турбазу, причем из выделенных денег
осталось еще 4 р. Сколько стоит путевка в дом отдыха
и сколько на турбазу?
32. Две машинистки вместе напечатали 65 страниц,
причем первая работала на 1 ч больше второй.
Однако вторая машинистка печатает в час на 2 стра-
75
ницы больше первой, и поэтому она напечатала на
5 страниц больше. Сколько страниц в час печатает
каждая машинистка?
33. Бассейн может наполняться водой с помощью двух
насосов разной мощности. Если половину бассейна
наполнить, включив лишь первый насос, а затем,
выключив его, продолжать наполнение с помощью
второго насоса, то весь бассейн наполнится за 2 ч
30 мин. При одновременной работе обоих насосов
бассейн наполняется за 1 ч 12 мин. Какую часть
бассейна наполняет за 20 мин работы насос
меньшей мощности?
34. Расстояние между пунктами А и Б 100 км. Из А в Б
одновременно выезжают два автомобиля. Первый
проезжает за 1 ч на 10 км больше другого и
прибывает в Б на 50 мин раньше. Определите скорость
каждого автомобиля.
35. Из пункта А выехал велосипедист, а через четверть
часа вслед за ним выехал второй, который догнал
первого велосипедиста на расстоянии 10 км от А.
Когда второй велосипедист проезжал отметку
50 км от пункта А, первый отставал от него на
20 км. Найдите скорости велосипедистов.
36. Автомобиль проезжает расстояние от А до Б за 1 ч.
Автомобиль выехал из А, и одновременно из Б
вышел пешеход. Автомобиль встретил пешехода,
довез его до А и затем прибыл в Б, затратив на весь
путь 2 ч 40 мин. За какое время может пройти путь
от Б до А пешеход?
37. За 5 ч мотоциклист проезжает на 259 км больше,
чем велосипедист за 4 ч. За 10 ч велосипедист
проезжает на 56 км больше, чем мотоциклист за 2 ч.
Определите скорость велосипедиста.
38. Два пешехода вышли одновременно из пункта А.
Первый из них встретился с туристом, идущим в
пункт А, через 20 мин после выхода из А, а второй
встретил туриста на 5 мин позже, чем первый.
Через 10 мин после второй встречи турист пришел
в А. Скорости пешеходов и туриста были
постоянными. Найдите отношение скоростей пешеходов.
76
39. Два автомобиля, двигаясь по кольцевой дороге с
постоянными скоростями в одном направлении,
оказываются рядом через каждые 56 мин. При
движении с теми же скоростями в
противоположных направлениях автомобили встречаются через
каждые 8 мин. За какое время проезжает всю
кольцевую трассу каждый автомобиль?
40. Расстояние между городами А и В равно 60 км. Два
поезда выходят одновременно один из А в В,
другой из Б в А. Поезд, идущий из А в Б, пройдя
20 км, стоит полчаса, затем отправляется дальше и
через 4 мин встречает поезд, идущий из Б в А. Оба
поезда прибывают к месту назначения
одновременно. Определите скорости поездов.
41. Три автомобиля едут по шоссе. Первый и третий
удаляются в одном направлении от пункта А,
второй едет навстречу им. В полдень расстояния
первого, второго и третьего автомобилей до А были
равны соответственно 60 км, 270 км и 210 км, а
через час второй автомобиль оказался между первым
и третьим и при этом расстояние от него до А стало
средним геометрическим расстояний первого и
третьего автомобилей до того же пункта. Чему
равны скорости автомобилей, если известно, что у
первого и третьего автомобилей они одинаковы, а у
второго — в полтора раза больше?
42. Из пункта А в пункт В движется с постоянной
скоростью автомобиль. Навстречу автомобилю из
пункта В в пункт А движется с постоянной
скоростью мотоцикл, который выехал из пункта В
одновременно с отправлением автомобиля из пункта А.
Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости
мотоцикла. Через 1 ч 30 мин автомобиль и
мотоцикл встречаются. Найдите расстояние между
пунктами А и Б, если это расстояние автомобиль
проезжает на 1 ч 15 мин быстрее мотоцикла.
43. Человек в лодке начал грести против течения
быстрой реки. Однако через 4 мин лодка оказалась на
80 м ниже по течению. Развернув ее, он перестал
грести, и, пока отдыхал, лодку снесло на 40 м. За-
77
тем он принялся грести по течению, причем лодка
двигалась относительно воды с той же скоростью,
как и в первые 4 мин, и прошла относительно
берега еще 40 м. В целом после разворота лодки
прошло 100 с. Какова скорость течения?
44. Расстояние между городами А и Б равно 188 км.
Между ними на расстоянии 31 км от А расположен
пункт С. Из А в Б выехал велосипедист.
Одновременно из Б в А выехал гоночный автомобиль.
Через час после выезда автомобиль был в 5 раз ближе
к С, чем велосипедист. Еще через •= ч велосипедист
был в 5 раз ближе к С, чем автомобиль. Чему
равны скорости велосипедиста и автомобиля?
45. Из пункта А в пункт Б, расположенный в 24 км от А,
одновременно отправились велосипедист и
пешеход. Велосипедист прибыл в пункт Б на 4 ч раньше
пешехода. Известно, что если бы велосипедист
ехал с меньшей на 4 км/ч скоростью, то на путь из
А в Б он затратил бы вдвое меньше времени, чем
пешеход. Найдите скорость пешехода.
46. Из пункта А в пункт Б, расстояние между
которыми 100 км, выехал мотоциклист, и одновременно с
ним из Б в А выехал велосипедист. Через
некоторое время они встретились в пункте С и,
продолжив свой путь, прибыли в пункты назначения.
На следующий день мотоциклист вернулся в А,
а велосипедист — в Б. При этом мотоциклист дви-
3
гался в g раза быстрее, чем накануне, и поэтому на
весь путь из Б в А затратил на 10 мин меньше, чем
на путь от А до С в первый день. Скорость
велосипедиста во второй день была на 10 км/ч больше,
чем в первый день, и на весь путь из А в Б он
затратил в ~ раза больше времени, чем на путь от Б до С
в первый день. С какой скоростью двигался
мотоциклист в первый день на пути из А в Б?
78
47. Расстояние между пунктами А и Б равно 56,2 км.
Из пункта А в В вышел человек. Через 2 ч навстречу
ему из пункта В вышел другой человек. Через 3 ч
после выхода второго человека расстояние между
ними было 24,3 км, а еще через 3 ч они встретились.
Определите скорости путников, считая их
постоянными.
48. Из пункта А в пункт Б, расстояние между
которыми равно 40 км, одновременно отправились два
туриста: первый — пешком, второй — на велосипеде.
Когда второй турист обогнал первого на 5 км,
первый сел на попутную машину, вследствие чего
скорость его движения возросла в 4 раза. Через 2 ч
после отправления из пункта А первый турист догнал
второго и прибыл в пункт В раньше его. Найдите
скорость туриста, ехавшего на велосипеде, если
первый турист шел пешком со скоростью 6 км/ч.
49. Из пункта А по одному шоссе выезжают
одновременно два автомобиля, а через час вслед за ними
выезжает третий. Еще через час расстояние между
третьим и первым автомобилями уменьшилось в
полтора раза, а между третьим и вторым — в два
раза. Во сколько раз скорость первого автомобиля
больше скорости второго? (Известно, что третий
автомобиль не обогнал первые два.)
50. Пешеход и мотоциклист отправляются из одной
точки по шоссе навстречу велосипедисту, все трое
движутся с постоянной скоростью. В тот момент,
когда велосипедист встретил мотоциклиста,
пешеход отставал от мотоциклиста на 3 км. В тот
момент, когда пешеход встретил велосипедиста,
мотоциклист обгонял пешехода на 6 км. Какое
расстояние было между пешеходом и велосипедистом
в момент отправления пешехода?
51. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу
за 12 дней. Если бы сначала первый сделал половину
работы, а затем другой остальную часть, то вся
работа была бы выполнена за 25 дней. За какое время мог
выполнить эту работу каждый в отдельности?
79
52. Бассейн наполняется водой через две трубы за 6 ч.
Одна первая труба заполняет его на 5 ч скорее, чем
одна вторая. За сколько времени каждая труба,
действуя отдельно, может заполнить бассейн?
53. Теплоход от А до Б по течению реки идет 3 дня.
Путешественник из А в Б спустился на плоту, а
обратно добрался на теплоходе. Скорость плота строго
меньше половины скорости теплохода в стоячей
воде. Вся дорога заняла у путешественника 18 дней.
Сколько времени занял бы тот же путь, если бы
скорость течения была в полтора раза больше?
54. Трактор выехал от станции к деревне на 30 мин
раньше грузовика. Когда грузовик, обогнав
трактор, прибыл в деревню, трактору осталось до
деревни еще 3 км. Найдите скорости трактора и
грузовика, если известно, что скорость грузовика на
20 км/ч больше скорости трактора, а расстояние от
станции до деревни равно 12 км.
55. В 9 ч из некоторого пункта выехал мотоциклист.
Спустя 40 мин вдогонку по той же дороге выехал
автомобилист. Через некоторое время из-за
неисправности в моторе автомобиль остановился. На
устранение неисправности ушло 10 мин, после чего
автомобилист возобновил погоню и в 11 ч отставал
от мотоциклиста на 40 км. Если бы поломки не
было, а мотоциклист ехал бы со скоростью на 18 км/ч
меньше, чем была у него на самом деле, то
автомобилист нагнал бы мотоциклиста в 10 ч 40 мин.
Найдите скорости мотоциклиста и автомобилиста.
56. От пристани А к пристани В вниз по течению реки
отправились одновременно моторная лодка и
байдарка. Скорость течения реки равна 2 км/ч.
Последнюю т-Q часть пути от А до В моторная лодка
плыла с выключенным мотором. На той части
пути, где моторная лодка шла с работающим
мотором, ее скорость была на 8 км/ч больше скорости
байдарки. К пристани В моторная лодка и
байдарка прибыли одновременно. Найдите собственную
скорость (скорость в неподвижной воде) байдарки.
80
57. Из пункта А в пункт В отправился автобус, а из
пункта В в пункт А — поезд. Если поезд отправится на 3 ч
позже автобуса, то они встретятся на середине пути.
А если поезд отправится на 1 ч 12 мин позже
автобуса, то до их встречи автобус успеет пройти ■= всего
о
расстояния от А до В. Определите, через какое
время они встретятся, если отправятся одновременно.
58. Из пункта А, расположенного на кольцевой дороге,
выезжают одновременно в одном и том же
направлении велосипедист и мотоциклист. Пока
велосипедист прошел один круг, мотоциклист прошел три
полных круга и приехал в пункт В, где он обогнал
велосипедиста в первый раз. Во сколько раз скорость
мотоциклиста больше скорости велосипедиста?
59. Три велосипедиста выехали одновременно: первый
и второй — из пункта А, третий — навстречу им из
пункта В. Через 1,5 ч первый велосипедист был на
равном расстоянии от двух других, а через 2 ч
третий велосипедист был на равном расстоянии от
первого и второго. Через сколько часов второй
велосипедист находился на равном расстоянии от
первого и третьего?
60. Из пункта А в пункт В выехал автомобилист и
одновременно из пункта В в пункт А выехал
велосипедист. После встречи они продолжали свой путь.
Автомобилист, доехав до пункта В, тотчас
повернул назад и догнал велосипедиста через 2 ч после
момента первой встречи. Сколько времени после
первой встречи ехал велосипедист до пункта А,
если известно, что к моменту второй встречи он про-
2
ехал •= всего пути от В до А?
э
61. По шоссе навстречу друг другу едут мотоциклист и
велосипедист. Через 2 мин после встречи
мотоциклист поворачивает и едет вслед за велосипедистом
и догоняет его. Если бы после встречи велосипе-
14 -
диет ехал в -jr- раза быстрее, а мотоциклист
повернул бы через 1 мин после встречи, то, для того что-
81
бы догнать велосипедиста, ему потребовалось бы то
же самое время (с момента поворота), что и в
первом случае. Во сколько раз скорость мотоциклиста
больше скорости велосипедиста?
62. Из пункта А в пункт В вниз по течению
одновременно отправились лодка и плот. В тот же самый
момент из пункта В вверх по течению отплыл
катер. Собственная скорость лодки (т. е. скорость в
стоячей воде) 5 км/ч. Расстояние АВ равно 60 км.
Катер встретил лодку и еще через 2 ч — плот.
Найдите собственную скорость катера.
63. От пристани А к пристани Б, расположенной ниже
по течению реки, отправился катер. Одновременно
с ним из Б в А вышла моторная лодка. Дойдя до Б,
катер (не задерживаясь в Б) повернул обратно и
прибыл в А одновременно с моторной лодкой.
Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите
собственную скорость (скорость в неподвижной воде)
катера и моторной лодки, если известно, что у катера
она была на 2 км/ч больше, чем у моторной лодки.
64. Расстояние между пристанями А и Б равно 48 км.
Отчалив от пристани А в 9 ч, пароход проплыл вниз
по течению реки до пристани Б. Простояв у
пристани Б 1ч, пароход отправился в обратный рейс и
прибыл в А в 17 ч того же дня. Скорость течения
реки равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость
(скорость в неподвижной воде) парохода.
65. Из пунктов А и Б выехали одновременно навстречу
друг другу мотоциклист и велосипедист. Они
встретились на расстоянии 4 км от Б, а в момент прибытия
мотоциклиста в Б велосипедист находился на
расстоянии 15 км от А. Определите расстояние от А до Б.
66. Дорога проходит через пункты А и Б. Велосипедист
выехал из А по направлению к Б. Одновременно с
ним из пункта Б вышли с равными скоростями два
пешехода: первый — в пункт А, второй — в
противоположном направлении. Велосипедист встретил
первого пешехода через 0,3 ч после выезда из А, а
второго догнал спустя 1 ч после момента проезда через Б.
Определите время движения велосипедиста от А до Б.
82
67. Три каменщика (разной квалификации) выложили
кирпичную стену, причем первый каменщик
проработал 6 ч, второй — 4 ч и третий — 7 ч. Если бы
первый каменщик работал 4 ч, второй — 2 ч и третий —
2
5 ч, то было бы выполнено лишь -z всей работы. За
о
сколько часов каменщики закончили бы кладку,
если бы они работали все вместе одно и то же время?
68. Экскаватор роет котлован. После того как было вы-
о
нуто 20 м грунта, производительность экскавато-
о
ра снизилась на 5 м /ч. Найдите первоначальную
производительность экскаватора, если через 8 ч пос-
ле работы было вынуто 50 м грунта.
69. Две артели с разным числом мастеров одинаковой
квалификации начали изготавливать шапки,
причем каждый мастер делал по 2 шапки за рабочий
день. Сперва работала только первая артель,
выпустившая 32 шапки. Затем ее сменила вторая,
выпустившая еще 48 шапок. Вся эта работа заняла
4 дня. После этого артели стали работать вместе и
за следующие 6 дней изготовили еще 240 шапок.
Сколько мастеров в каждой артели?
70. Два экскаватора разных марок (один экскаватор
марки А, а другой марки Б), работая одновремен-
о
но, выкапывают котлован вместимостью 20 000 м
за 10 суток. Если бы работал только экскаватор
марки Б, то он выкопал бы этот котлован на 8« су-
ток скорее, чем тот же котлован выкопал бы один
экскаватор марки А. Сколько кубических метров
грунта в сутки вынимает каждый экскаватор?
71. Два экскаватора разной конструкции должны
проложить две траншеи одинакового поперечного
сечения длиной в 960 м и 180 м. Вся работа
продолжалась 22 дня, в течение которых первый
экскаватор прокладывал большую траншею. Второй
же экскаватор начал работать на 6 дней позже
первого, отрыл меньшую траншею, 3 дня
ремонтировался и затем помогал первому. Если бы не нуж-
83
но было тратить время на ремонт, то работа была
бы кончена за 21 день. Сколько метров траншеи
может отрыть в день каждый экскаватор?
72. Три бригады вспахали два поля общей площадью
120 га. Первое поле было вспахано за 3 дня, причем
все три бригады работали вместе. Второе поле было
вспахано за 6 дней первой и второй бригадами.
Если бы все три бригады проработали на втором поле
1 день, то оставшуюся часть второго поля первая
бригада могла бы вспахать за 8 дней. Сколько
гектаров в день вспахивала вторая бригада?
73. Два трактора вспахивают поле, разделенное на две
равные части. Оба трактора начали работу
одновременно, и каждый вспахивает свою половину. Через 5 ч
после того момента, когда они совместно вспахали
половину поля, выяснилось, что первому трактору
1
осталось вспахать т^ часть своего участка, а второ-
4
му — т~ своего участка. Сколько времени
понадобилось бы второму трактору, чтобы вспахать все поле?
74. Колхоз арендовал два экскаватора. Аренда первого
экскаватора стоит 60 р. в день,
производительность его в мягком грунте 250 м в день, в твердом
грунте — 150 м в день. Аренда второго
экскаватора стоит 50 р. в день, его производительность в
мягком грунте 180 м в день, в твердом грунте —
100 м3 в день. Первый экскаватор работал
несколько полных дней и вырыл 720 м3 грунта. Второй за
несколько полных дней вырыл 330 м3 грунта.
Сколько дней работал каждый экскаватор, если
колхоз заплатил за аренду не более 300 р.?
75. Из сосуда с кислотой отлили 1 л кислоты и
добавили 1 л воды, затем отлили 1 л смеси и добавили 1 л
воды и т. д. (п раз), после чего отношение объема
кислоты к объему воды в смеси оказалось равным К.
Сколько было кислоты в сосуде?
76. Имеется два слитка, представляющие собой
сплавы цинка с медью. Масса первого слитка 2 кг, мас-
84
са второго — 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе
с 5 кг сплава цинка с медью, в котором цинка было
45%, и получили сплав цинка с медью, в котором
цинка стало 50%. Если бы процентное содержание
цинка в первом слитке было равно процентному
содержанию цинка во втором, а процентное
содержание цинка во втором такое же, как в первом, то,
сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, в котором
содержится 60% цинка, получили бы сплав, в
котором цинка содержится 55%. Найдите процентное
содержание цинка в первом и втором слитках.
77. Имеется два разных сплава меди со свинцом. Если
взять 1 кг первого сплава и 1 кг второго сплава и
переплавить их, то получится сплав с содержанием
65% меди. Известно, что если взять два куска —
кусок № 1 и кусок № 2 первого и второго сплавов
соответственно, имеющих суммарную массу 7 кг, —
и переплавить их, то получится сплав с
содержанием 60% меди. Какова масса меди, содержащаяся в
сплаве, получающемся при совместной переплавке
куска первого сплава, равного по массе куску № 2,
и куска второго сплава, равного по массе куску № 1?
78. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом
слитке отношение золота к меди равно 1:2, а во
втором 2:3. Если сплавить ~ первого слитка с g
второго, то в получившемся слитке окажется
столько золота, сколько было бы в первом меди, а если ~
о
первого слитка сплавить с половиной второго, то в
получившемся слитке окажется меди на 1 кг
больше, чем было золота во втором слитке. Сколько
золота в каждом слитке?
79. Имеется три сплава. Первый сплав содержит 60%
алюминия, 15% меди и 25% магния, второй —
30% меди и 70% магния, третий — 45%
алюминия, 55% магния. Из них необходимо приготовить
новый сплав, содержащий 20% меди. Какое
наименьшее и какое наибольшее процентное
содержание алюминия может быть в этом новом сплаве?
85
80. Одну и ту же площадку можно покрыть плиткой
трех цветов тремя способами. При первом способе
покрытия потребуется по 100 штук плиток белого,
красного и синего цветов. При втором способе
покрытия потребуется 150 белых, 150 красных и 50
синих плиток, а при третьем способе — 200 белых,
50 красных и 60 синих. Во сколько раз площадь
синей плитки больше площади красной плитки?
81. Пассажирский поезд проходит мимо столба за 6 с.
За какое время пройдут мимо друг друга скорый и
пассажирский поезда, если скорость скорого
поезда в g раза больше скорости пассажирского, а дли-
4
на пассажирского в ~ раза больше длины скорого?
о
82. Из двух портов А и В навстречу друг другу вышли
два парохода. Скорость каждого постоянна. Первый
пароход прибыл в порт В через 16 ч после встречи, а
второй — в порт А через 25 ч после встречи. За
какое время проходит путь от А до В каждый пароход?
83. Теплоход проходит путь от А до В по течению за
3 ч, а возвращается обратно за 4 ч. За какое время
преодолевают путь от А до В плоты?
84. Поезд, следующий из пункта А в пункт В, делает
по пути некоторое количество остановок. На
первой остановке в поезд садятся 5 пассажиров, на
каждой последующей — на 10 пассажиров больше,
чем на предыдущей. На каждой остановке 50
пассажиров выходят из поезда. Возможен ли случай,
когда в пункт В прибудет менее 336 пассажиров,
если из пункта А их выезжает 462?
85. Найдите нечетное трехзначное число по
следующим условиям: сумма квадратов числа сотен и
единиц не превосходит удвоенного числа сотен;
квадрат числа десятков превосходит квадрат суммы
числа сотен и единиц более чем на 60.
86. На заводском складе хранилось более 100
одинаковых коробок с заготовками. Вследствие
потребления количество заготовок через некоторое время
86
уменьшилось. Когда в каждой коробке оставалось
лишь по 7 заготовок, на склад привезли еще 14
полных коробок, после чего общее количество
заготовок оказалось на 3 меньше, чем до потребления.
Сколько коробок с заготовками хранилось на
складе первоначально?
87. В детский сад привезли мороженое четырех видов.
Каждый ребенок должен был получить только одну
порцию мороженого. Ребята сами выбирали
мороженое. Оказалось, что число выбранных порций
каждого вида равно цене в копейках одной порции этого
же вида. Число выбранных порций второго вида
больше числа выбранных порций первого вида на
столько, на сколько число выбранных порций
четвертого вида больше числа выбранных порций
третьего вида. Порций первого и третьего видов вместе
было выбрано на 4 меньше, чем порций второго и
четвертого видов. За выбранное детьми мороженое
уплатили 4 р. 20 к. Сколько ребят в детском саду?
88. В лотерее разыгрывались фотоаппараты, часы,
шариковые авторучки и транзисторные приемники на
общую сумму 240 р. Сумма цен одного
транзисторного приемника и одних часов на 4 р. больше
суммы одного фотоаппарата и одной авторучки,
а сумма цен одних часов и одной авторучки на 24 р.
меньше суммы цен одного фотоаппарата и одного
приемника. Авторучка стоит целое число рублей,
но не больше 6 р. Число выигранных
фотоаппаратов равно цене одного фотоаппарата в рублях,
поделенной на десять; число выигранных часов равно
числу выигранных приемников и равно числу
выигранных фотоаппаратов. Количество выигранных
авторучек в 3 раза больше числа выигранных
фотоаппаратов. Определите, сколько было выиграно
фотоаппаратов, часов, авторучек и приемников.
89. В киоске были проданы одинаковые комплекты,
состоящие только из синих и красных
карандашей, причем в каждом комплекте число синих
карандашей более чем на 3 превосходило число
красных. Если бы в каждом комплекте число си-
87
них карандашей увеличили в 3 раза, а красных —
в 2 раза, то число синих карандашей в одном
комплекте превосходило бы число красных в нем не
более чем на 16, а общее число всех проданных
карандашей равнялось бы 81. Определите, сколько
было продано комплектов и сколько в каждом
комплекте было синих и красных карандашей.
90. К бассейну объемом в 300 м3 подведены три трубы:
через первую и вторую вода поступает, через
третью — выливается. Если все три трубы
включены одновременно, то объем воды в бассейне увели-
чивается ежеминутно на 20 м . Бассейн начали
наполнять водой, включив первую и третью трубы.
Более чем через 12 мин после начала работы в бас-
о
сейне оказалось 100 м воды. В этот момент первую
и третью трубы закрыли и включили вторую трубу,
завершившую наполнение бассейна. Всего на
наполнение бассейна было затрачено 30 мин. Определите,
за какое время наполнился бы бассейн, если бы его с
начала до конца наполняла одна вторая труба.
91. К двум бассейнам подведены две трубы равного
диаметра (к каждому бассейну своя труба). Через
первую трубу налили в первый бассейн определенный
объем воды и сразу после этого во второй бассейн
через вторую трубу налили такой же объем воды,
причем на все это ушло 16 ч. Если бы через первую
трубу вода текла столько времени, сколько через
вторую, а через вторую — столько времени, сколько
через первую, то через первую трубу налили бы во-
о
ды на 320 м меньше, чем через вторую. Если бы
через первую проходило на 10 м3 меньше, а через вто-
о
рую — на 10 м больше воды, то, чтобы налить в
бассейн (сначала в первый, а потом во второй)
первоначальные объемы воды, ушло бы 20 ч. Сколько
времени лилась вода через каждую из труб?
92. Три насоса одновременно начали выкачивать воду,
каждый из своего резервуара. Когда третий насос
выкачал треть объема своего резервуара, второму
оставалось качать столько, сколько выкачал пер-
88
вый; когда третьему оставалось выкачать треть
объема, первому оставалось столько, сколько
выкачал второй. Первый насос опорожняет второй
резервуар за то же время, за какое второй насос
опорожняет первый резервуар. Какой из насосов
работал дольше других и во сколько раз?
93. В сообщении о лыжном кроссе сказано, что
процент числа членов группы, принявших участие в
кроссе, заключен в пределах от 96,8% до 97,2%.
Определите минимально возможное число членов
такой группы.
94. Группа студентов принимала участие в лыжном
кроссе. Число студентов, уложившихся в норматив,
оказалось в интервале от 94,2% до 94,4%. Какое
наименьшее возможное число студентов участвовало в
кроссе?
95. Алик, Боря и Вася покупали блокноты и
трехкопеечные карандаши. Алик купил 4 карандаша и
2 блокнота, Боря — 6 карандашей и блокнот,
Вася — 3 карандаша и блокнот. Оказалось, что
суммы, которые уплатили Алик, Боря и Вася, в
некотором порядке образуют геометрическую
прогрессию. Сколько стоит блокнот?
96. Учебник алгебры, два учебника геометрии и два
учебника информатики стоят вместе 2 р. 10 к., а три
учебника алгебры, учебник геометрии и учебник
информатики стоят вместе 2 р. 30 к. Сколько стоят
учебник геометрии и учебник информатики вместе?
97. С трех полей в течение трех дней скашивали траву.
С первого поля в первый день скосили всю траву за
16 ч. Во второй день со второго поля скосили всю
траву за 11 ч. В третий день с третьего поля
скосили всю траву за 5 ч, причем 4 ч косили вручную,
а 1 ч работала только сенокосилка. За второй и
третий дни вместе скосили в 4 раза больше травы, чем
в первый. Сколько всего часов работала
сенокосилка, если за 1 ч она скашивает в 5 раз больше, чем
при косьбе вручную? Предполагается, что косилка
не работала тогда, когда косили вручную и не было
перерыва в работе.
89
98. Двум бригадам, общей численностью 18 человек,
было поручено организовать в течение трех суток
непрерывное круглосуточное дежурство по одному
человеку. Первые двое суток дежурили члены
первой бригады, распределив между собой это время
поровну. Известно, что во второй бригаде 3
девушки, а остальные юноши, причем девушки дежурили
по 1 ч, а все юноши распределили между собой
остаток дежурства поровну. При подсчете оказалось, что
сумма продолжительностеи дежурств каждого
юноши второй бригады и любого члена первой бригады
меньше 9 ч. Сколько человек в каждой бригаде?
99. Группу людей попытались построить в колонну, по
8 человек в ряд, но 1 ряд оказался неполным.
Тогда ту же группу людей перестроили по 7 человек в
ряд; все ряды оказались полными, а число рядов
оказалось на 2 больше. Если бы тех же людей
попытались построить по 5 человек в ряд, то рядов
было бы еще на 7 больше, причем 1 ряд был бы
неполным. Сколько людей было в группе?
100. Из двух пунктов А и В, расстояние между
которыми 105 км, выехали одновременно навстречу
друг другу два велосипедиста и, встретившись
через 1 ч 45 мин после начала движения, без
остановки продолжали путь каждый в своем направлении.
Через 3 мин после их встречи первый
велосипедист, ехавший со скоростью 40 км/ч, повстречал
третьего велосипедиста, ехавшего ему навстречу
по той же дороге. Третий велосипедист после
встречи с первым велосипедистом без остановки
продолжал ехать в прежнем направлении и догнал
второго велосипедиста в пункте С, в котором
встретились бы первый и второй велосипедисты, если
бы скорость первого была на 20 км/ч меньше, а
второго на 2 км/ч больше первоначальной. С какой
скоростью ехал третий велосипедист?
101. Пункты Аи В находятся на двух шоссе,
пересекающихся друг с другом под углом 120°. Если идти из А
в В сначала по первому шоссе до перекрестка С, а
потом по второму, потребуется 5 ч. Туристы идут из А в
90
Б напрямик, без дороги, и проделывают путь за
6,5 ч. Если туристы пойдут без дороги, напрямик, от
А до середины D отрезка шоссе СВ, то они затратят
на путь AD больше 5 ч. Сколько времени нужно,
чтобы дойти от А по шоссе до перекрестка С, если
скорость ходьбы без дороги в 1,5 раза меньше, чем
скорость ходьбы по шоссе? (Шоссе считать прямым.)
102. Пункты Аи В соединены двумя дорогами, одна из
которых на 3 км короче другой. Из Б в А по более
короткой дороге вышел пешеход, и одновременно
из А по той же дороге выехал велосипедист.
Пешеход и велосипедист одновременно прибыли в А
через 2 ч после начала движения. За это время
пешеход прошел один раз путь от В до А, а велосипедист
проехал 2 раза в одном направлении по
кольцевому маршруту, образованному двумя названными
дорогами. Найдите скорости пешехода и
велосипедиста, если известно, что вторая встреча
произошла на расстоянии 3,5 км от пункта В.
103. Из пункта А кольцевого шоссе одновременно в
одном направлении выехал автомобиль и мотоцикл,
каждый с постоянной скоростью. Автомобиль без
остановок дважды проехал по всему шоссе в одном
направлении. В тот момент, когда автомобиль
догнал мотоциклиста, мотоциклист повернул
обратно, увеличил скорость на 16 км/ч и через 22,5 мин
после разворота одновременно с автомобилем
прибыл в пункт А. Найдите весь путь мотоцикла, если
этот путь на 5,25 км короче всего шоссе.
104. Пункты А и В расположены на одной реке так, что
плот, плывущий из А в Б, проходит путь от А до Б
за 24 ч. Весь путь от А до Б и обратно моторная
лодка проходит менее чем за 10 ч. Если бы
собственная скорость (т. е. скорость в стоячей воде)
моторной лодки увеличилась на 40%, то тот же путь
(т. е. путь от А до Б и обратно) занял бы у лодки не
более 7 ч. Найдите время, за которое моторная
лодка проходит путь из А в Б в случае, когда ее
собственная скорость не увеличена.
91
105. Три гонщика (А, потом Б, затем С) стартуют с
интервалом в 1 мин из одной точки кольцевого шоссе
и двигаются в одном направлении с постоянными
скоростями. Каждый гонщик затрачивает на круг
более 2 мин. Сделав 3 круга, гонщик А в первый
раз догоняет Б у точки старта, а еще через 3 мин он
вторично обгоняет С. Гонщик Б впервые догоняет
С также у точки старта, закончив 4 круга. Сколько
минут тратит на круг гонщик А?
106. В реку впадает приток. Пароход отходит от
пристани А на притоке, идет вниз по течению 80 км до
реки, далее — по реке вверх против течения до
пристани Б, затратив 18 ч на весь путь от А до Б. Затем
пароход возвращается обратно. Время обратного
движения от Б до А по тому же пути равно 15 ч.
Собственная скорость парохода, т. е. скорость
парохода в стоячей воде, равна 18 км/ч. Скорость
течения реки равна 3 км/ч. Какое расстояние
пароход проходит от пристани А до пристани Б и
какова скорость притока?
107. Из города А в город Б, находящийся на расстоянии
105 км от А, с постоянной скоростью v км/ч
выходит автобус. Через 30 мин вслед за ним из А со
скоростью 40 км/ч выезжает автомобиль, который,
догнав в пути автобус, поворачивает обратно и
движется с прежней скоростью. Определите все те
значения у, при которых автомобиль возвращается в А
позже, чем автобус приходит в Б.
108. От пристани А к пристани Б против течения реки
отошел катер, собственная скорость которого
(скорость в стоячей воде) в 7 раз больше скорости
течения реки. Одновременно навстречу ему от
пристани Б, расстояние от которой до А по реке равно
20 км, отошла лодка. На каком расстоянии от Б
произошла встреча катера и лодки, если известно,
что через полчаса после начала движения лодке
оставалось 4 км до места встречи и что катер
затратил на путь до встречи с лодкой на 20 мин больше,
чем на путь от места встречи до пункта Б?
92
109. Две автоколонны, состоящие из одинакового числа
машин, перевозят груз. В каждой из автоколонн
машины имеют одинаковую грузоподъемность и во
время рейсов загружаются полностью.
Грузоподъемность машин в разных колоннах различна, и за
1 рейс первая автоколонна перевозит на 40 т груза
больше, чем вторая автоколонна. Если уменьшить
число машин в первой автоколонне на 2, а во
второй автоколонне — на 10, то первая автоколонна
перевезет 90 т груза за 1 рейс, а вторая
автоколонна перевезет 90 т груза за 3 рейса. Какова
грузоподъемность машин второй автоколонны?
110. Два катера отплывают в условленное время от
пристаней А и В, расположенных на реке, встречаются,
обмениваются почтой и возвращаются обратно. Если
они отплывут от своих пристаней одновременно, то
катер, выходящий из А, затратит на путь в оба конца
3 ч, а второй катер — 1,5 ч. Скорости катеров
относительно воды одинаковы. На сколько позже должен
отплыть катер из А после отплытия катера из В,
чтобы они находились в пути одно и то же время?
111. Пункты А, В и С соединены прямолинейными
дорогами. К отрезку дороги АВ примыкает квадратное
поле со стороной, равной „АВ; к отрезку дороги ВС
примыкает квадратное поле со стороной, равной
ВС, а к отрезку дороги АС примыкает
прямоугольный участок леса с длиной, равной АС, а шириной
4 км. Площадь леса на 20 км больше суммы
площадей квадратных полей. Найдите площадь леса.
112. Резервуар снабжается водой по пяти трубам.
Первая труба наполняет резервуар за 40 мин; вторая,
третья и четвертая, работая одновременно, — за
10 мин; вторая, третья и пятая — за 20 мин и,
наконец, четвертая и пятая — за 30 мин. За какое
время наполняют резервуар все пять труб при
одновременной работе?
113. Две трубы, работая одновременно, подают в бак
100 л жидкости в минуту. Имеются два раствора
93
кислоты — сильный и слабый. Если смешать по
10 л каждого раствора и 20 л воды, то получится
40 л 20% -го раствора. Известно также, что если в
течение часа подавать в первоначально пустой бак
по первой трубе слабый раствор, а по второй —
сильный раствор, то получится 30% -й раствор
кислоты. Какой концентрации получится кислота,
если подавать в первоначально пустой бак по первой
трубе сильный раствор, а по второй — слабый?
114. Автомобиль выезжает из пункта А и едет с
постоянной скоростью v км/ч до пункта Б, отстоящего
от пункта А на расстоянии 24,5 км. В пункте Б
автомобиль переходит на равнозамедленное
движение, причем за каждый час его скорость
уменьшается на 54 км/ч, и движется так до полной
остановки. Затем автомобиль сразу же поворачивает
обратно и возвращается в А с постоянной
скоростью v км/ч. Какова должна быть скорость v,
чтобы автомобиль за наименьшее время проехал путь
от А до полной остановки и обратно до пункта А
указанным выше способом?
115. Лаборатории необходимо заказать некоторое
количество одинаковых сферических колб общей
вместимостью 100 л. Стоимость одной колбы
складывается из стоимости труда мастера,
пропорциональной квадрату площади поверхности колбы, и
стоимости материала, пропорциональной площади
ее поверхности. При этом колбы объемом 1 л
обходятся в 1 р. 25 к., и в этом случае стоимость труда
составляет 20% стоимости колбы (толщину стенок
колбы считать пренебрежимо малой). Хватит ли на
выполнение работы 100 р.?
116. Имеется два картофельных поля. Сначала первое
поле было убрано бригадой А, а затем второе поле
было убрано вместе бригадами А и Б. После того
как была убрана - всей площади, оказалось, что
о
21
время, необходимое на окончание уборки, в — ра-
13
за меньше времени, за которое могла бы убрать оба
94
поля одна бригада А. Известно, кроме того, что
если бы второе поле убирала только бригада Б, то ей
для этого потребовалось бы время, вдвое больше
времени, за которое могла бы убрать оба поля одна
бригада А. Во сколько раз производительность
бригады А больше производительности бригады Б?
117. Самолет совершает посадку и движется по земле в
течение некоторого времени равномерно со
скоростью v. Затем летчик включает тормоз, и движение
самолета становится равнозамедленным, причем в
каждую секунду скорость уменьшается на 2 м/с.
Путь от места приземления до места полной
остановки равен 4 км. Отношение времени, за которое
самолет проходит первые 400 м, ко времени, за
которое самолет проходит весь путь по земле, равно
4 : 65. Определите скорость и.
118. В поле работают тракторные бригады, содержащие
по одинаковому количеству гусеничных и
одинаковому количеству колесных тракторов, причем в
каждой бригаде число всех тракторов меньше 9.
Если в каждой бригаде число колесных тракторов
увеличить в 3 раза, а гусеничных в 2 раза, то общее
число колесных тракторов во всех бригадах будет
на 27 больше общего числа гусеничных тракторов,
а в каждой бригаде число тракторов превысит 20.
Определите количество бригад, работающих в
поле, и число тракторов каждого вида в бригаде.
119. Автобус отправляется из пункта А в пункт Б и
после шестиминутной стоянки в Б возвращается в А,
двигаясь в обоих направлениях с одной и той же
постоянной скоростью. На пути из А в Б в 8 ч 50 мин
автобус догоняет велосипедиста, который
движется из А в Б с постоянной скоростью 15 км/ч.
8 9 ч 02 мин велосипедист находится на
расстоянии 21 км от А. Автобус, возвращаясь из Б в А
после остановки в Б, встречается с велосипедистом в
9 ч 14 мин и затем прибывает в А в то же время,
когда велосипедист приезжает в Б. Определите
время отправления автобуса из А.
95
120. Мотоциклист отправляется из пункта А в пункт В
и после десятиминутной стоянки в Б возвращается
в А, двигаясь в обоих направлениях с одной и той
же скоростью 48 км/ч. В момент отправления
мотоциклиста из А навстречу ему из В выходит турист,
идущий с постоянной скоростью. Турист
встречается с мотоциклистом в 17 ч 15 мин. В 17 ч 25 мин
турист находится на расстоянии 23 км от А.
Направляясь из В в А после стоянки в В, мотоциклист
догоняет туриста в 17 ч 35 мин. Определите время
прибытия туриста в пункт С, находящийся на
полпути между А и В (АС = СВ).
121. Пароход плывет от пристани А к пристани В и
после десятиминутной стоянки в В возвращается в А,
двигаясь в обоих направлениях с одной и той же
постоянной скоростью. На пути из А в В в 8 ч
пароход догоняет лодку, которая движется из А в Б с
постоянной скоростью 3 км/ч. В 8 ч 10 мин лодка
находится на расстоянии 1,5 км от А. Пароход,
направляясь из В в А после стоянки в В, встречается
в 8 ч 20 мин с лодкой и затем прибывает в А в то же
время, когда лодка приходит в В. Определите
время прибытия лодки в В.
122. 24 школьника разбились на две группы. Первая
группа пошла в цирк, а вторая — в кино. При этом
оказалось, что на цирк и кино было затрачено
одинаковое количество денег. Если бы билет в цирк
стоил на 20 к. дешевле, а билет в кино — на 20 к.
дороже, то, истратив на билеты в цирк и на билеты в
кино те же суммы денег, в цирк и в кино смогли бы
пойти вместе 15 школьников. Если бы при прежней
стоимости билетов вторая группа школьников
пошла в цирк, а первая группа — в кино, то на билеты
в цирк ушло бы на 19 р. 20 к. больше, чем на
билеты в кино. Сколько стоили билеты в цирк и в кино?
123. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист,
который сначала двигался равноускоренно с
ускорением 4 км/ч2, а после того, как его скорость возросла
от 0 до у, продолжал двигаться равномерно со
скоростью v. Расстояние между пунктами А и В равно
96
32 км. На первую половину пути велосипедист
затратил в полтора раза больше времени, чем на
вторую. Определите скорость и.
124. На станциях А и В железной дороги стоят два
поезда, которые должны ехать в одном направлении,
причем поезд, отправляющийся со станции А,
должен будет пройти станцию В. Трогаясь с места,
каждый из поездов движется равноускоренно со
своим ускорением, а после того, как его скорость
достигает 60 км/ч, продолжает движение
равномерно с этой же скоростью. Известно, что
ускорение поезда А равно 100 км/ч2 и поезд А переходит
на равномерное движение на 12 мин позднее
поезда В. Расстояние между поездами после того, как
оба поезда перешли на равномерное движение,
составляет 6 км. Минимальное расстояние между
поездами составляло 2 км. Определите, какой из
двух поездов отправился раньше и на сколько.
125. Города А, В, С и D, расположенные так, что
четырехугольник ABCD выпуклый, соединены
прямолинейными дорогами: АВ = 6 км, ВС = 14 км, CD =
= 5 км, AD =15 км, АС =15 км. Из одного города
одновременно вышли три туриста, идущие без
остановки с постоянными скоростями. Маршруты всех
туристов различны, причем каждый из них состоит
из трех дорог и проходит через все города. Первый и
второй туристы перед прохождением третьей дороги
своих маршрутов встретились в одном городе, а
третий закончил маршрут на час раньше туриста,
закончившего маршрут последним. Найдите скорости
туристов, если скорость третьего больше скорости
1
второго и на ~ км/ч меньше скорости первого, при-
чем скорости всех туристов заключены в интервале
от 5 км/ч до 8 км/ч.
126. Автобусный маршрут состоит из 8 остановок (первая
начальная, восьмая конечная). На начальной
станции в автобус село несколько пассажиров, а на
каждой следующей, исключая конечную, в автобус
садилось 10 человек. На второй остановке сошел 1 чело-
97
век, а затем на каждой остановке сходило на 4
человека больше, чем на предыдущей. На конечную
станцию приехал 21 пассажир. Какое наибольшее
число пассажиров ехало в автобусе во время рейса?
127. Две группы людей покупали лотерейные билеты.
Каждый человек из первой группы купил столько
билетов, сколько было людей в его группе. Во
второй группе было меньше человек, и каждый из
членов второй группы купил в 2 раза больше
билетов, чем число людей во второй группе. Если бы
каждый человек первой группы купил столько
билетов, сколько купил один человек из второй
группы и, наоборот, каждый член второй группы купил
бы столько билетов, сколько покупал член первой
группы, то общее число купленных билетов
уменьшилось бы на 3. Сколько было куплено билетов?
128. Три бегуна стартуют одновременно из трех точек
круговой беговой дорожки, являющихся
вершинами правильного треугольника, и бегут в одном
направлении. Первый бегун обгоняет второго через
4 мин после старта, а третьего — через 5 мин после
старта. Известно, что третий бегун бежит быстрее
второго. Через сколько минут после старта третий
бегун нагонит второго?
129. Автобус на пути из А в В делает 5 остановок по
10 мин через каждые 16 км (расстояние от А до В
равно 96 км), скорость автобуса равна 65 км/ч.
Одновременно с автобусом из В навстречу ему выезжает
велосипедист со скоростью 23 км/ч. На каком
расстоянии от А автобус встретился с велосипедистом?
130. Расстояние между городами А и В равно 220 км. Из
А в В со скоростью 42 км/ч идет автобус, который
делает через равные промежутки времени
остановки на 5 мин. Всего он делает 4 остановки.
Одновременно из В в А выходит другой автобус, скорость
которого 69 км/ч, делающий на пути из В в А 3
остановки по 10 мин через равные интервалы. На каком
расстоянии от А произошла встреча автобусов?
98
131. Города А, Б, С и D расположены на одной прямой,
причем АВ : АС : AD = 5 : 7 : 40. Из D в А через
равные интервалы с постоянными скоростями идут
автобусы. Пешеход на пути из А в Б встретил 3
автобуса. На другой день, идя из А в С, пешеход
встретил 2 автобуса. Сколько автобусов встретил
пешеход на третий день, идя из А в D, если
известно, что до встречи с первым и после встречи с
последним он в сумме прошел более -rz пути?
132. Пункт Б находится на расстоянии 4,5 км от пункта
А выше по течению реки. Скорость течения реки
3 км/ч. Двигаясь в стоячей воде, гребец идет со
скоростью 5 км/ч. Гребец вышел из А, доплыл до В
и вернулся обратно в А. Через равные промежутки
времени гребец отдыхал в течение 10 мин, а всего
таких перерывов оказалось 8 (в это время лодка
плыла по течению). Через сколько времени гребец
вернулся обратно в А?
133. Пункты А и Б расположены на берегу реки,
текущей от Б к А. Скорость течения реки 3 км/ч. Гребец
вышел из А, доплыл до Б и вернулся обратно в А.
Через каждые 30 мин он в течение 10 мин отдыхал
(в это время лодка плыла по течению). Вся поездка
заняла 2 ч 55 мин. Скорость лодки в неподвижной
воде равна 5 км/ч. Найдите расстояние от А до Б.
134. Турист плывет из А в Б и обратно. Весь путь у него
занял 4 ч 30 мин. Через каждые 40 мин он 10 мин
отдыхал (в это время лодка плыла по течению).
Известно, что плот спускается по течению от Б до А за
1 ч. За сколько времени проплыл бы турист
расстояние от А до Б, если бы не было течения?
135. Из А в Б выехал товарный поезд, а навстречу ему
одновременно из Б вышли пассажирский и скорый
поезда. Товарный поезд, скорость которого меньше
скорости двух других, встретил скорый поезд в
252 км от А, а пассажирский — в 308 км от А. В тот
момент, когда скорый поезд прибыл в А,
пассажирский находился в 198 км от А. Найдите расстояние
от А до Б.
99
136. Велосипедист едет по кольцевой трассе, состоящей
из ровных участков, спусков и подъемов. При этом
можно считать, что все спуски и подъемы
одинаково наклонены к линии горизонта. Скорость
велосипедиста на ровных участках равна 35 км/ч, при
спуске — 42 км/ч, а на подъемах — 30 км/ч. На весь
путь он затратил 4 ч. Чему равна длина трассы?
137. Расстояние между городами А и В равно 700 км.
Из А в Б со скоростью 40 км/ч выезжает
автомобиль, по истечении каждого часа он увеличивает
скорость на 5 км/ч. Одновременно из В в А
выезжает другой автомобиль, начальная скорость
которого 90 км/ч, и через каждые полчаса она
уменьшается на 5 км/ч. Через какое время после выезда
автомобили встретятся?
138. Человек, идущий вдоль трамвайной линии между
соседними остановками, заметил, что каждые 7 мин
его обгонял трамвай, а через 5 мин он встречал
трамвай. Считая, что трамваи идут с равными
интервалами в обоих направлениях, найдите интервал, с
которым пройдут мимо неподвижного наблюдателя два
трамвая, следующие в одном направлении.
139. Через 40 мин после выезда из пункта А автомобиль
увеличил свою скорость на 20% и прибыл в В. При
этом оказалось, что на вторую половину пути он
затратил на 6 мин меньше времени, чем на первую
половину пути. За какое время автомобиль проехал
путь от А до В?
140. Пункт А расположен на шоссе. На некотором
расстоянии от А шоссе под прямым углом пересекает
проселочная дорога. Мотоциклист едет из А по
шоссе со скоростью 40 км/ч, затем сворачивает на
проселочную дорогу, по которой он едет со
скоростью 30 км/ч. Одновременно с ним из А выезжает
другой мотоциклист, который движется
напрямик в некоторую точку на проселочной дороге, где
догоняет первого мотоциклиста. Какова
наименьшая возможная скорость второго мотоциклиста?
100
141. Войсковая колонна имеет длину 5 км. Связной,
выехав из арьергарда колонны, передал пакет в начало
колонны и вернулся обратно. Колонна за это время
прошла путь в 12 км. Какой путь проехал связной?
142. Три велосипедиста стартуют одновременно по
шоссе в одном направлении. Скорость первого равна
24 км/ч, скорость второго — 25 км/ч, и в момент
старта он находится на 2 км сзади первого; третий
велосипедист в момент старта отстает от второго на
3 км, его скорость равна 27 км/ч. Через какое
время после старта расстояние между
велосипедистом, едущим первым, и велосипедистом, едущим
последним, впервые окажется равным 400 м?
143. Работа началась между 9 и 10 часами, а
закончилась между 15 и 16 часами того же дня.
Определите продолжительность работы, если в момент
начала и в момент окончания работы минутная и
часовая стрелки часов были перпендикулярны.
144. В сосуде находится определенное количество смеси
воды с кислотой. Чтобы уменьшить концентрацию
кислоты на 34% (было р%, стало р - 34%), в сосуд
надо долить 3 л воды, а чтобы уменьшить ее на
17%, надо долить 1 л воды. Какова концентрация
кислоты в сосуде?
145. Имеется три слитка: первый слиток — сплав меди
с никелем, второй — никеля с цинком, третий —
цинка с медью. Если сплавить первый кусок со
вторым, то процент меди в получившемся слитке
будет в 2 раза меньше, чем он был в первом слитке.
Если сплавить второй слиток с третьим, то процент
никеля в получившемся слитке будет в 3 раза
меньше, чем он был во втором слитке. Какой
процент цинка будет содержать слиток,
получающийся при сплаве всех трех слитков, если во втором
слитке было 6% цинка, а в третьем — 11% ?
146. Имеется два различных ковшовых экскаватора.
Первый экскаватор за 3 приема может вынуть
столько же грунта, сколько второй за 5 приемов.
Первый экскаватор может 4 раза взять грунт за то
101
же время, за какое второй экскаватор может это
сделать 7 раз. Два экскаватора вырыли фундамент
для дома за 7 дней, работая вместе по 6 ч
ежедневно. За какое время может вырыть фундамент
такого же дома один экскаватор второго типа?
147. 6 коров за 3 дня съедают траву на участке 0,2 га,
8 коров за 4 дня съедают траву на участке 0,3 га.
Сколько дней смогут пастись 12 коров на участке
площадью 0,6 га? (Прирост травы на участке
пропорционален его площади и времени.)
148. Автомобиль выехал из А в В со скоростью 63 км/ч.
Через некоторое время после выезда его скорость
уменьшилась на 9 км/ч. За первые 3 ч он проехал
на 55 км меньше, чем за последние 4 ч, а на весь
путь затратил 5 ч. Найдите расстояние от А до В.
149. На базе имеется несколько автомашин равной
грузоподъемности. Для перевозки груза каждая
автомашина сделала одно и то же число рейсов, а затем
7 машин сделали еще по 12 рейсов каждая. Если бы
каждая машина сделала на 6 рейсов больше, то для
перевозки в 2 раза меньшего груза потребовалось бы
на 7 машин меньше. Сколько машин было на базе?
150. Один рабочий может изготовить партию деталей за
12 ч. Работу начал один рабочий, через час к нему
присоединился еще один, еще через час — третий
и т. д., пока работа не была выполнена. Сколько
времени проработал первый рабочий?
(Производительность труда всех рабочих одинакова.)
151. Бригада рабочих одинаковой квалификации
должна была изготовить партию деталей. Сначала к
работе приступил один рабочий, через час к нему
присоединился второй, еще через час — третий и т. д.,
до тех пор, пока к работе не приступила вся
бригада. Если бы с самого начала работали все члены
бригады, то работа была бы выполнена на 2 ч
быстрее. Сколько рабочих в бригаде?
152. Несколько насосов одинаковой производительности
начали наполнять бассейн. Насосы включались один
за другим с равными интервалами. К моменту вклю-
102
« 1
чения последнего насоса оказалась заполненной -z
о
бассейна. Какая часть бассейна была бы заполнена
за половину времени, прошедшего с начала работы
первого насоса до заполнения всего бассейна?
153. Человек, спускаясь по двигающемуся эскалатору,
насчитал 48 ступеней, а поднимаясь по
двигающемуся эскалатору, — 33 ступени. Скорость подъема
человека относительно эскалатора в 2 раза меньше
скорости спуска. Скорость эскалатора при спуске и
подъеме одна и та же. Сколько ступеней насчитает
человек, спускаясь по неподвижному эскалатору?
154. Автомобиль, направляясь из А в В, по дороге
задержался на некоторое время. Увеличив скорость,
он прибыл в В. Если бы такая задержка произошла
на 1 км дальше от А, то, увеличив скорость на ту
же величину, он прибыл бы в Б на 12 с позже. Если
бы эта остановка произошла на 20 мин раньше, то,
увеличив скорость на ту же величину, он прибыл
бы в Б на 4 мин раньше. Найдите первоначальную
скорость автомобиля.
155. Расстояние между городами Л и В равно 280 км.
Через некоторое время после выезда автомобиля из А
скорость уменьшилась, и он прибыл в Б с
опозданием на 17 мин 30 с. При этом оказалось, что половину
времени он ехал с одной скоростью, а половину —
с меньшей. Если бы изменение скорости произошло
на половине пути, то опоздание равнялось бы 18 мин
45 с. Найдите начальную скорость автомобиля.
156. Имеется три слитка золота массой 2, 3 и 5 кг с
различным процентным содержанием золота. Каждый
слиток разделен на 3 куска и из 9 получившихся
кусков получили три слитка массой 2, 3 и 5 кг, но уже
с равным процентным содержанием золота. На
какие части следует разделить каждый слиток, чтобы
гарантировать равное процентное содержание
золота в получившихся слитках независимо от его
содержания в исходных слитках?
103
157. У 8 школьников имеется 7 р. 19 к. Известно, что у
любых двух из них различные суммы денег,
причем у одного из двух в целое число раз больше, чем
у другого. Сколько денег у каждого школьника?
158. Три школьника делят между собой орехи. Сначала
первый дал каждому из двух других по одной
четверти имевшихся у него (у первого) орехов и еще
пол-ореха. Затем второй дал каждому из двух
других по одной четвертой части образовавшихся у
него (у второго) орехов и еще пол-ореха. Затем это
сделал третий. В результате у каждого оказалось
30 орехов. Сколько орехов было у каждого
школьника первоначально?
159. Температуру можно измерять по шкале Цельсия,
Реомюра и Фаренгейта. Известно, что 0 градусов по
Цельсию соответствует 0 градусов по Реомюру и
32 градусам по Фаренгейту, а 100 градусов по
Цельсию — 80 градусам по Реомюру и 212 градусам по
Фаренгейту. Сколько градусов по Реомюру будет,
если показания термометров, показывающих
температуру по шкалам Цельсия и Фаренгейта, совпадают?
160. Имеется два сосуда. В одном содержится 3 л
100%-й серной кислоты, а в другом — 2 л воды. Из
первого сосуда во второй перелили один стакан
кислоты, а затем из второго в первый — один
стакан смеси. Эту операцию повторили еще два раза.
В результате во втором сосуде образовалась 42%-я
серная кислота. Сколько серной кислоты (в %)
содержится теперь в первом сосуде?
161. Имеется два куска металла массой 1 и 2 кг. Из
этих кусков сделали два других: первый массой
0,5 кг, содержащий 40% меди, а второй массой
2,5 кг, содержащий 88% меди. Каково процентное
содержание меди в исходных кусках?
162. Расстояние между городами А и В равно 34 км.
Три туриста вышли одновременно из А.
Скорости их передвижения пешком равны 4, 5 и 6 км/ч.
У них есть один велосипед, на котором каждый из
них едет со скоростью 20 км/ч. Один из них поехал
на велосипеде, а двое пошли пешком. Проехав не-
104
которое расстояние, первый оставил велосипед, а
дальше пошел пешком. Турист, первым дошедший
до велосипеда, поехал на нем и через некоторое
время оставил велосипед на шоссе. И наконец,
последний, дойдя до велосипеда, приехал на нем в В.
Все трое прибыли в В одновременно. Сколько
времени заняло путешествие?
163. Расстояние между городами Аи В равно 30 км.
Четыре путешественника одновременно
отправляются из А в В. Скорость их передвижения пешком
равна 5 км/ч. У них имеется мотоцикл, который,
кроме водителя, может везти одного человека.
Скорость мотоцикла 50 км/ч. Путешественники
хотят, пользуясь мотоциклом, прибыть в Б за
наименьшее время. Сколько времени займет
путешествие? (Мотоцикл нельзя оставлять на шоссе.)
164. Обработка детали требует двух операций (в любом
порядке). Рабочий четвертого разряда выполняет
их соответственно за 5 мин и 7 мин, а рабочий
пятого — за 3 мин и 4 мин. За какое наименьшее
время один рабочий четвертого и один пятого
разряда смогут обработать 25 деталей?
165. Автобаза выделила автобусы для перевозки детей
в два лагеря отдыха. Часть этих автобусов
перевезла детей в один лагерь отдыха, а другая часть,
в которой было на 4 автобуса больше, — во второй.
В первом лагере отдыха было 195 детей, а во
втором — 255. Известно, что для любых двух
автобусов, везших детей в один лагерь отдыха,
количество перевезенных детей отличалось не более чем
на 1, а наибольшая разница в количестве
перевезенных детей в двух автобусах для разных лагерей
равна 5. Сколько было автобусов?
166. Двое часов начали бить одновременно. Удары
первых часов следуют друг за другом через 2 с,
а вторых — через 3 с. Слившиеся удары
воспринимаются за один. В котором часу это происходило,
если всего можно было насчитать 18 ударов?
167. Сколько времени в сутки на электронном табло
вокзальных часов светится цифра 2 (хотя бы одна)?
105
168. В кузнечном цехе установлены три паровых
молота. Удары каждого из них следуют один за другим
с интервалами соответственно в 1; 1,5; 2,5
секунды. Все три молота начинают работу
одновременно. Сколько ударов сделает каждый молот, если
всего можно было насчитать 111 ударов
(слившиеся удары молотов воспринимаются за один)?
169. Трое рабочих копали канаву. Сначала первый
рабочий проработал половину времени,
необходимого двум другим для того, чтобы вырыть всю
канаву, затем второй рабочий проработал половину
времени, необходимого двум другим для того,
чтобы вырыть всю канаву, и, наконец, третий рабочий
проработал половину времени, необходимого двум
другим для того, чтобы вырыть всю канаву. В
результате канава была вырыта. Во сколько раз
быстрее была бы вырыта канава, если бы с самого
начала работали все трое рабочих одновременно?
170. Из пункта А в пункт В против течения реки
отправляется пароход. Одновременно из В в А
отправляется лодка и, пройдя «г расстояния от В до А,
встречает пароход. В пункте В пароход мгновенно
поворачивает обратно, обгоняет лодку и прибывает в А в
момент, когда лодка находится на расстоянии
20 км от А. Если бы скорость лодки относительно
воды была в 3 раза больше, то первая встреча
произошла бы на середине пути между А и В.
Определите расстояние между пунктами Аи В.
171. Моторная лодка отправилась вниз по течению реки
из пункта А в пункт В. Когда она прошла j пути,
кончилось горючее, и оставшийся путь пришлось
идти на веслах. Весь путь из А в В занял 1 ч 50 мин.
Если бы горючего хватило лишь на т пути и
оставшийся путь надо было идти на веслах, то весь путь
занял бы 3,5 ч. За какое время лодка проходит
путь от В до А на веслах, если путь из А в В и
обратно с включенным мотором занимает 2 ч 5 мин?
106
172. Русло реки разветвляется на два потока с разными
скоростями течения. На развилке расположен
пункт А. Лодка на путь по первому потоку из
пункта А в пункт В затрачивает на 21 мин меньше, чем
на путь по второму потоку из пункта А в пункт С.
Известно, что расстояние от А до В равно
расстоянию от А до С. На обратный путь из В в А лодка
затрачивает на 1 ч 10 мин больше, чем на путь из С
в А. Если бы скорость лодки в стоячей воде была в
2 раза больше, то на путь из В в А она затратила бы
на 12 мин больше, чем на путь из С в А. За какое
время лодка проплывет от А до В в стоячей воде?
173. На берегу реки расположены два пункта А и В, а на
полпути между ними в реку впадает приток, в устье
которого находится пункт С. Лодка на путь из В в А
затрачивает 3,5 ч, а на обратный путь — 1 ч 25 мин.
Путь из В в С и затем вверх по притоку на такое же
расстояние до пункта D она проходит за 4 ч. За
какое время лодка проплывет из D в В, если этот путь
в стоячей воде занял бы у нее 2 ч? (Скорость течения
реки после впадения притока уменьшается.)
174. Из пункта А по шоссе в одном направлении
одновременно выехали два автомобиля, а спустя
некоторое время из того же пункта вслед за ними
выехал третий автомобиль. Через час после своего
старта третий автомобиль находился на равном
расстоянии от первого и второго, а еще через
полтора часа — в 8 раз ближе к первому автомобилю,
чем ко второму. Определите, на сколько времени
позже двух других выехал третий автомобиль,
если он догнал первый автомобиль через 3 ч после
старта первых двух автомобилей.
175. Два пешехода вышли одновременно: первый — из А
в В, второй — из В в А. В момент их встречи из В в А
вышел третий пешеход. Когда он прошел ~ пути от В
до А, первому пешеходу оставалось идти вдвое
меньше того, что прошел второй. В пункт А второй и
третий пешеходы прибыли одновременно. Определите
отношение скоростей первого и второго пешеходов.
107
176. Два пешехода одновременно отправились от станции
к поселку по одной дороге. Первый из них первую
половину пути прошел со скоростью в 2 раза больше,
чем вторую половину пути. Второй первую половину
времени нахождения в пути шел со скоростью в 2
раза большей, чем вторую половину времени, и
пришел в поселок на 2 мин позже первого. Сколько
минут каждый из пешеходов был в пути, если известно,
что первый обогнал второго, пройдя ^ всего пути?
177. Расстояние между пунктами А и Б,
расположенными на берегу реки, равно 25 км. Из А в Б
отправились одновременно катер и лодка. Катер
безостановочно курсирует между А и Б. Через некоторое
время из Б в А отправилась вторая лодка,
прибывшая в А одновременно с десятым выходом оттуда
катера. При движении от А до Б в девятый раз
катер встретил вторую лодку, пройдя 3 км, а первую
догнал, пройдя 24 км от А. Определите расстояние,
пройденное лодками до их встречи.
178. Катер по реке и автобус по дороге, идущей вдоль
реки, отправляются одновременно из пункта А в
пункт Б и совершают безостановочное движение
между А и Б. Первая встреча их произошла, когда
автобус прошел <г всего расстояния от А до Б,
а вторая встреча — когда автобус после первого
захода в Б проехал ~ пути всего расстояния от Б до
о
А. Первый раз в пункт Б автобус прибыл на 16 мин
позже катера. Через сколько часов после начала
движения автобус и катер первый раз окажутся
одновременно в пункте А?
179. Вдоль дороги последовательно расположены
пункты А, Б, С. Четыре пешехода выходят
одновременно: первый и второй — из А в С, третий — из Б в С,
четвертый из С в А. Второй пешеход обогнал
третьего в том же месте дороги, где встретились
первый и четвертый пешеходы; первый пешеход
обогнал третьего в том же месте, где встретились
108
второй и четвертый пешеходы. Третий пешеход
шел в п раз медленнее четвертого, первый и второй
шли с разными скоростями. Определите
отношение расстояния от А до В к расстоянию от В до С.
180. Пункты А и В расположены на берегу реки. Из А в В
одновременно отправились катер и лодка. Катер
курсирует безостановочно между А и В. Через некоторое
время из А в В выходит вторая лодка и приходит в В
одновременно с десятым прибытием туда катера.
При движении от В до А девятый раз катер встретил
2
вторую лодку, пройдя — расстояния от В до А, а
первую лодку — пройдя ~ расстояния от В до А. Оп-
о
ределите, какую часть расстояния между Аи В
прошли лодки до того момента, когда они поравнялись.
181. Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли
одновременно два поезда. Каждый из них двигался
сначала равноускоренно (начальные скорости поездов
равны нулю, ускорения различны), а затем,
достигнув некоторой скорости, — равномерно. Отношение
5
скоростей равномерного движения поездов равно т .
В некоторый момент времени скорости поездов
оказались равными, а один из них прошел к этому
времени расстояние в 1 j раза больше, чем другой.
В пункты В и А поезда прибыли одновременно.
Какую часть пути прошел каждый из поездов к тому
моменту, когда их скорости оказались равными?
182. Вдоль реки расположены пункты А, В, С (В между А
и С). Катер прошел от А до С за 7 ч. На каждом из
участков АВ и ВС его собственная скорость (скорость
относительно воды) была постоянна, причем на
участке ВС bI^ раза меньше, чем на участке АВ.
Обратный путь от С до А катер прошел за 8 ч, и на всем
пути его собственная скорость была вЬ раза больше,
о
109
чем при движении из А в В. Если бы на обратном
пути собственная скорость катера была такой же, как и
при движении из А в В, то участок от В до А он
прошел бы за 6 ч. Сколько времени катер шел от В до С?
183. Пункт N находится на берегу реки, ширина кото-
рой -z км, а скорость течения 1 км/ч. На 4 км ниже
пункта N по течению на другом берегу реки
расположен пункт М. Из пункта М выходит рыбак и
идет вдоль берега по направлению к N со
скоростью 4 км/ч. Одновременно из N отплывает на
лодке перевозчик, пересекает реку и, дождавшись
рыбака, переправляет его в пункт N. Туда и обратно
лодка двигалась по прямой. Скорость лодки в
стоячей воде равна 3 км/ч. Найдите наименьшее
возможное время от отплытия до возвращения лодки.
184. На одной стороне реки на самом ее берегу
расположен лагерь туристов. На другой стороне реки на
1 км ниже лагеря по течению и в 2 км от берега
находится пункт М. Из лагеря на лодке отплывает
турист, пересекает реку и, оставив лодку на берегу,
идет к пункту М. Прибыв в М, турист сразу
поворачивает обратно и по тому же маршруту
возвращается в лагерь. Лодка по реке и турист по суше
двигаются прямолинейно. Ширина реки 0,5 км, скорость
течения Зт км/ч, скорость лодки в стоячей воде при
движении туда и обратно равна 6^ км/ч, скорость
туриста на суше 4 км/ч. Найдите наименьшее
возможное время, за которое турист, отправившись из
лагеря, посетит пункт М и вернется обратно.
185. Из города А в город В вышел пешеход со скоростью
4 км/ч. Через некоторое время из А вышел другой
пешеход, а еще через такой же промежуток
времени после второго — третий. Третий пешеход
догнал второго на полпути от А к В, и дальше они
прошли вместе со скоростью, равной среднему
арифметическому их прежних скоростей. Все трое
одновременно пришли в В. С какой скоростью пер-
110
воначально шел второй пешеход, если третий шел
первоначально со скоростью 6 км/ч?
186. Две точки движутся с постоянными скоростями по
двум концентрическим окружностям. В момент
начала движения обе точки и центр окружности
лежат на одной прямой, а расстояние между
точками равно -=-. После старта расстояние между точ-
7207
ками уменьшилось, а через 11с составляло —=— .
Кроме того, с интервалом в 11 с было
зафиксировавши
но два момента, когда расстояние равнялось —=— ,
а в промежутке между этими моментами расстоя-
Л58 „ „
ние ни разу не принимало значение —=— . Найдите
минимальное расстояние между точками.
187. Расстояние между городами А и В равно 36 км.
Из города А со скоростью 6 км/ч вышел пешеход.
Одновременно навстречу ему из города В выехал
велосипедист. Велосипедист едет со скоростью от
10 км/ч до 15 км/ч. После встречи велосипедист в
течение 20 мин продолжал движение по
направлению к А, затем развернулся и поехал в В. Найдите
наименьшую возможную разницу во времени
прибытия в В велосипедиста и пешехода.
188. Две бригады рабочих начали работу в 8 ч. Сделав
вместе 72 детали, они стали работать раздельно.
В 15 ч выяснилось, что за время раздельной
работы первая бригада сделала на 8 деталей больше,
чем вторая. На другой цень первая бригада делала
в час на одну деталь больше, а вторая бригада — на
одну деталь меньше. Работу бригады вновь начали
в 8 ч и, сделав 72 детали, начали работать
раздельно. Теперь, за время раздельной работы, первая
бригада сделала на 8 деталей больше уже к 13 ч.
Сколько деталей в час делала каждая бригада?
189. На заводе было несколько одинаковых прессов,
штампующих детали, и завод выпускал 6480 дета-
111
лей в день. После реконструкции все прессы
заменили на более производительные, но также
одинаковые, а их количество увеличилось на 3. Завод
стал выпускать в день 11 200 деталей. Сколько
прессов было первоначально?
190. Автобус проходит путь АЕ, состоящий из участков
АВ, BCt CD, DE длиной 10, 5, 5 и 6 км
соответственно. При этом, согласно расписанию, выезжая
из пункта А в 9 ч, он проходит пункт В в 9; ч,
о
3 2
пункт С — в 9 а ч, пункт D — в 9 о ч. С какой nO-
стоянной скоростью v должен двигаться автобус,
чтобы сумма абсолютных величин отклонений от
расписания прохождения пунктов В, С, D и
времени движения автобуса от А до Е при скорости v не
превосходила 51,7 мин?
191. В магазине имеется три вида наборов игрушек:
металлических, пластмассовых и мягких. Детский сад
купил по одному набору металлических и
пластмассовых игрушек и 4 набора мягких. При этом
количество игрушек совпало с числом детей в детском
саду. Если бы было куплено 4 набора металлических и
один набор мягких игрушек, то 57 детям игрушек
бы не досталось. Количество игрушек,
составляющих 4 набора пластмассовых и один мягких, на 41
меньше числа детей. Сколько детей было в саду,
если, купив по 3 набора игрушек каждого вида,
детский сад не обеспечил бы всех детей игрушками?
192. Из строительных деталей двух видов можно собрать
три типа домов. Для сборки 6-квартирного дома
необходимо 30 деталей первого и 40 деталей второго
вида. Для 10-квартирного дома требуется 40 и 60
деталей, а для 14-квартирного дома нужно 90 и 120
деталей первого и второго видов соответственно. Всего
имеется 600 деталей первого и 800 деталей второго
вида. Сколько и каких домов надо построить, чтобы
общее количество квартир было наибольшим?
112
193. Строительный отряд состоит из 32 бойцов, каждый
из которых владеет одной или двумя
строительными профессиями: каменщик, бетонщик, плотник.
Бойцов, владеющих профессией плотника, в отряде
в 2 раза больше, чем бойцов, владеющих
профессией бетонщика, и в л раз меньше, чем бойцов,
владеющих профессией каменщика, причем 3 < п < 20
(л — целое число). Сколько бойцов в отряде владеет
только одной профессией, если число бойцов,
владеющих двумя профессиями, на 2 больше, чем
число бойцов, владеющих профессией плотника?
194. От пристани А вниз по течению реки одновременно
отплыли пароход и плот. Пароход, доплыв до
пристани В, расположенной в 324 км от пристани А,
простоял там 18 ч и отправился назад в А. В тот
момент, когда он находился в 180 км от А, второй
пароход, отплывший из А на 40 ч позднее первого,
нагнал плот, успевший к этому времени проплыть
144 км. Считая, что скорости пароходов в стоячей
воде равны между собой, определите скорости
пароходов и течения реки.
195. Из города А в город В выехал автомобиль.
Одновременно с ним из пункта С, расположенного между А
и В, в город А выехал второй автомобиль. Первый
прибыл в В одновременно с прибытием второго в А.
Затем автомобили одновременно выехали
навстречу друг другу, встретились в пункте D и
одновременно прибыли: первый в А, второй — в В.
Каждый автомобиль ехал со своей постоянной
скоростью, но второй сделал остановку на пути от С к А,
а первый — остановку той же продолжительности
на пути от В к D. Найдите расстояние между С и £>,
если известно, что расстояние от А до С равно
270 км, а расстояние от С до В равно 180 км.
Раздел 4
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Выделим прежде всего два наиболее часто
встречающихся типа задач, содержащих тригонометрические
функции: преобразование тригонометрических
выражений и решение тригонометрических уравнений или
систем уравнений. Анализ различных сборников задач по
математике показывает, что задачи именно этих двух
типов представляют в них абсолютное большинство. Все
прочие виды задач можно объединить под заглавием
«Разные задачи».
4.1. Некоторые дополнительные
тригонометрические формулы
Одно из важнейших умений, которое необходимо
развить при изучении темы «Тригонометрия», — это
умение выполнять достаточно сложные преобразования
тригонометрических выражений. Для этого следует для
начала расширить, по сравнению со школьным
учебником, запас основных, «рабочих» формул. Приведем
небольшой список таких формул.
(1) cos2 a = i (1 + cos 2а),
(2) sin2a= i(l-cos2a),
(3) sin a + sin p = 2 sin ^-tl cos
114
(4) sin a - sin P = 2 cos —5-^ sin 2 ,
(5) cos a + cos P = 2 cos —r-^ cos 9 ,
(6) cos a - cos P = 2 sin ^y^ sin
(7) sin a cos P = 2 (sin (a + P) + sin (a - P)),
(8) cos a cos P = 9 (cos (a + P) + cos (a ~ P))»
(9) sin a sin P = X (cos (a ~ P) ~ cos (a + P))>
<«> ««i-
Все приведенные здесь формулы доказываются
несложно. Так, для проверки справедливости формул (7)—
(12) достаточно применить к стоящим в правых частях
тригонометрическим функциям соответствующие
формулы, выражающие функцию от суммы или разности
аргументов через функции отдельных аргументов.
Группа формул (3)—(6) получается из группы (7)—(9),
по существу, направлением чтения — справа налево.
Если мы обозначим a + P = ;t, a~P = z/, откуда a = —5-^ ,
Р = ^Цг-^ , и заменим а и Р в формулах (7)—(9) на х и z/, то
получим с точностью до обозначений (вместо а и Р будут
х и у) формулы (3), (5) и (6). Формула (4) получается из
115
формулы (3) заменой (3 на -(3. Обратим внимание также
на то, что формулы (1), (2) являются частным случаем
формул (8), (9) (положим в формулах (8), (9) а = (3).
Начнем наш обзор с решения «разных» задач.
4.2. Разные задачи
А. Вычисление и сравнение
значений тригонометрических функций
В частности, сюда относятся задачи, в которых
требуется определить знак тригонометрического выражения.
При этом следует различать задачи, в которых
тригонометрические функции имеют аргумент, заданный
градусной мерой, и задачи, в которых аргумент — число.
1. Определишь знак числа sin 355.
Решение. Нам надо определить, в какой четверти
расположен угол, соответствующий 355 радианам.
Легко проверить, что 112л < 355 (112л < 112 • 3,15 < 355).
Так же легко проверяется, что 114л > 355. Сложнее
выяснить, что больше: 113л или 355. Нам потребуется в
355
числе л семь знаков после запятой (!). Имеем уу^ =
= 3,1415928... > л (3,1415926 < л < 3,1415927), 113л < 355,
а 113л + % >355.
с*
Таким образом, рассматриваемый угол расположен в
третьей четверти, его синус отрицателен.
2. Что больше: sin 10 или sin 11?
Решение. Стандартный путь состоит в следующем.
Рассмотрим разность sin 11 - sin 10, по формуле (4)
преобразуем ее в произведение 2 sin 0,5 cos 10,5. Поскольку
угол (0,5) находится в первой четверти, то sin 0,5 > 0.
Остается выяснить, где расположен угол 10,5.
Поскольку Зл < 10,5 < Зл + тг, то cos 10,5 < 0. Следователь-
но, sin 11 < sin 10.
116
Если бы речь шла о сравнении разноименных
функций sin а и cos P, то сначала следовало бы одну из них
перевести в другую. Например, следует заменить cos P =
3. Вычислить: a) cos 105°; б) sin 2 arcsin « ; в) sin 18°.
Решение, а) Имеем
cos 105° = cos (60° + 45°) = ~ (Л - 1).
б) Наша задача эквивалентна следующей: найти sin 2a,
если sin а = ~ и -75 < а < ~ , т. е. cos ос > 0.
Имеем
sin 2а = 2 sin а cos а = 2 sin а vl- sin а =
в) Известно, что сторона правильного
десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна
—2—R (задача 34, раздел 6.7). Стороне
десятиугольника соответствуют вписанные углы в 18°. Следовательно,
2R sin 18° = Д^ Я, sin 18° = ^%^ .
Б. Графики периодических функций.
Периодичность и непериодичность
Ограничимся рассмотрением графиков функций,
задаваемых в виде формул, содержащих символы
обратных тригонометрических функций.
4. Построить графики функций: а) у = cos 2 arcsin x;
б) у = arccos cos x.
Решение, а) Заметим, что данная функция определена
при -1 < х < 1. Далее по определению arcsin x: если
обозначить arcsin х = а, то sin а = х, -~ < а < ^ . Таким об-
117
72,
2)
Г
\
-1
Рис. 5
Рис.6
п п
разом, у = cos 2а = 1 - 2 sin а = 1 - 2х . Графиком
функции будет дуга параболы у = 1 - 2х2 при -1 < х < 1
(рис. 5).
б) Данная функция является периодической, ее
значения не меняются при замене х на х + 2я. Построим
сначала ее график для 0 < х < 2л.
Если 0 < х < л, то у = х. Это следует из определения
арккосинуса: если у = arccos cos ху то cos у = cos х и 0 < у < я.
А поскольку на отрезке [0; я] каждое значение косинуса
достигается в одной точке, то у = х.
Пусть л < х < 2я. Поскольку cos # = cos (2я - #), а при
п< х < 2п будем иметь 0 < 271 - х < 7t, то из определения
арккосинуса получим при п < х < 2тг будет z/ = 2тг — я.
Окончательно график изображен на рисунке 6.
5. Доказать периодичность данной функции и
найти наименьший период:
2 3
а) у = cos х + cos 3;t; б) z/ = sin ^ ^ + cos - #.
о О
Решение, а) Нетрудно заметить, что заданная
функция имеет период 2тг. Докажем, что 2тг является
наименьшим периодом. В самом деле, при х = 2nk9 где k —
целое, у = 2, а во всех остальных точках у < 2 (cos x < 1).
На любом периоде данная функция хотя бы один раз
должна принять значение, равное 2. Значит, период не
может быть меньше 2л, поскольку расстояние между
соседними значениями аргумента, в которых у = 2, равно 2л.
118
б) Воспользуемся следующим очевидным
соображением: если некоторая функция имеет период Г, то такой
же период имеет и функция, получающаяся из нее
заменой х на -х (и вообще, заменой х на а ± х). Итак, функ-
2 3 2 3
ции у(х) = sin ~ x + cos ц х и у(-х) = -sin ~ # + cos 7 я,
определенные на всей прямой, имеют одинаковый период.
Понятно, что если две функции имеют одинаковый
период, то и любая их комбинация имеет тот же период
(возможно, не наименьший). Но у(х) + у(-х) = 2 cos -=x.
э
3 5
Любой период функции f(x) = cos -z х равен k • -z • 2л.
О о
Функция cos тл: имеет наименьший период, равный —.
Значит, если Т — наименьший период исходной
функции, то Т = -z-nk, где k — натуральное число.
о
А поскольку Т = -=- nk является периодом для функ-
о
3 2 3
ций cos ■= х и sin « jc Н- cos - ^, то Т — период и для
О о О
2
sin £#. Значит, Т = Зтт. (Наименьший период функции
2 10
sin g;t равен.Зл.) Таким образом, -«- ^ = Зл, 10/г = 9л.
Откуда k = 9р, п = Юр (р — натуральное), Т = ЗОлр.
Наименьший период не меньше 30л. Осталось
проверить, что 30л является периодом данной функции.
6. Доказать непериодичность следующих функций:
а) у = sin Jx ; б) у = cos x + cos л/2~* ; в) z/ = sin я2.
Решение, а) Непериодичность этой функции следует
уже из того, что ее область определения х > 0, в то время
как для периодической функции (по определению
периодической функции) должно выполняться следующее
свойство: если Т — период функции у = f(x), то для
любого х и любого целого п все числа х + пТ одновременно
119
или входят, или не входят в область определения
функции у = f(x).
б) Эта функция при х = О равна 2. Больше ни в одной
точке эта функция не равна 2 из-за иррациональности
J2 . (Если cos х = 1, х = 2nk, то cos J2x < 1.)
в) Если бы функция имела период 7\ то на любом
отрезке длины Т было бы одно и то же число нулей
функции. Но данная функция обращается в нуль в точках
±4пп , п — натуральное или нуль. Пусть хп = 4тпг . Име-
ем хп , л - хп = Jn(n + 1) - л/яп = . . Отсюда
Jn+ i + 7Я
видим, что с ростом гс расстояние между соседними
нулями уменьшается и стремится к нулю. Значит, число
нулей на отрезке длины Т возрастает с удалением его от
начала координат.
4.3. Преобразование
тригонометрических выражений
К этому виду задач мы относим задачи, в которых
требуется доказать неравенство (упростить выражение),
содержащее тригонометрические функции или их
числовые значения. Используется известный по
алгебраическим задачам арсенал формул и методов, пополненный
специфическими тригонометрическими формулами.
Рассмотрим два не совсем стандартных примера.
7. Доказать, что если а, Р, у — углы треугольника,
то ctg а ctg Р + ctg P ctg у + ctg у ctg а = 1.
Решение. На основании формулы (11), а также
формул приведения и сложения имеем
ctg p ctg у + ctg у ctg a = ctg у (ctg а + ctg P) =
t sin(P+a) sin(je-Y) = cosy =
e r sinasinP e r sinasinP sinasinP
_ cos(a 4- P) _ sinasinP - cos a cos P _ 1 _ *■ a
" sinasinP" sinasinP ~l ctg a ctg p,
откуда следует требуемое равенство.
120
8. Доказать равенство
л 2л 7л (\
cos ^ cos- ...cos jg-(jj .
Решение. Умножим обе его части на sin yr . Начнем
постепенно «сворачивать» левую часть. Пара
ля 1 . 2я ,_
sin ут cos ут заменится на ~ sin T5 • Появилась новая
1 . 2л 2л 1 . 4л
пара о sin т-г cos 77 » которую заменим на -5 sin 7т .
Далее,
1 . 4л 4л 1 . 8л 1 . 7л
1 . 7л 7л 1 . 14л 1 . л
И наконец, -j sin - cos ^ = -j sin -^ = -j sin ^ .
m ^ л 2л 4л 7л ДЛ4
Таким образом, cos ут cos ут cos yr cos те = о *
Нам осталось доказать равенство
Зл 5л 6л (1\г
cos у^ cos Тъ cos jg = ^J
5л л 1Л л 2л (1\2
cos J cos cos I I
^ 5л л 1Л л 2л (1\
или I поскольку cos yg = cos g = 2 J cos g cos -g- = I 2 I .
Умножая обе части на sin •= , аналогично предыдуще-
о
МУ будем иметь:
. л л 2л 1 . л
Sill r- COS ■= COS -=- = т Sill з ,
5 5 5 4 5
1 . 2л 2л 1 . л 1 . 4л 1 . п
2 sin т cos т = j sin g , j sin т = j sin g .
Следует заметить, что во многих случаях упрощение
тригонометрических выражений не является
самоцелью, а представляет собой существенный элемент
решения задач иных типов (например,
тригонометрических уравнений).
121
4.4. Тригонометрические уравнения.
Общие положения
Основная схема, которой мы будем руководствоваться
при решении тригонометрических уравнений, совпадает
со схемой, описанной нами ранее (см. раздел 1).
Напомним ее. Решение заданного уравнения сводится к
решению элементарных уравнений. Средства решения —
преобразования, разложение на множители, замена
неизвестного. Ведущий принцип — не терять корней. (Что
с возу упало, то пропало.) Это означает, что при переходе к
следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся
появления лишних (посторонних) корней, а заботимся
лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение
нашей «цепочки» (или совокупность уравнений в случае
ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из
возможных методов отбора корней, отсеивания лишних
является проверка. Сразу заметим, что в случае
тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором
корней, с проверкой, как правило, резко возрастают (по
сравнению с уравнениями алгебраическими). Ведь
проверять приходится серии, состоящие из бесконечного
числа членов.
Элементарные тригонометрические уравнения — это
уравнения вида f(kx + b) = а, где f(x) — одна из
тригонометрических функций: sin x> cos x> tg x, ctg x.
Особо следует сказать о замене неизвестных при
решении тригонометрических уравнений. В большинстве
случаев после нужной замены получается
алгебраическое уравнение. Более того, не так уж редки уравнения,
которые, хотя и являются тригонометрическими по
внешнему виду, по существу таковыми не оказываются,
поскольку уже после первого шага — очевидной замены
неизвестного — превращаются в алгебраические, а
возвращение к тригонометрии происходит лишь на этапе
решения элементарных тригонометрических уравнений.
Еще раз напомним: замену неизвестного следует
делать при первой возможности. Получившееся после
замены уравнение необходимо решить до конца, включая
122
этап отбора корней, а уж затем возвратиться к
первоначальному неизвестному.
Итак, решение алгебраического уравнения — очень
часто встречающийся этап решения уравнений самых
различных видов. Именно поэтому навыки, умения
решать алгебраические уравнения являются
фундаментальными и должны быть отработаны в первую очередь.
Одна из особенностей тригонометрических
уравнений состоит в том, что ответ во многих случаях может
быть записан различными способами. Даже для
уравнения sin х = а (\а\ < 1) ответ может быть записан
следующим образом: 1) в виде двух серий: хх = arcsin a + 2л/г,
х2 = л - arcsin а + 2л/г, k = О, ±1, ±2, ...; 2) в стандартной
форме, представляющей собой объединение указанных
выше серий: х = (-1) arcsin а + л/г, k = 0, ±1, ±2, ....
Отдельно следует запомнить запись ответа для а = О,
а = -1, а = 1. Соответственно будем иметь х = л/г,
х = -^ + 2я/г, х = ^ + 2я/г. В двух последних случаях обе
серии, указанные в пункте 1, совпадают; 3) поскольку
sin х = cos f x - ?J » то ответ можно записать в виде х =
"= ? ± arccos а + 2л/г, /г = 0, ±1, ±2, ... . (В дальнейшем
наличие параметра /г, л или т в записи ответа
автоматически означает, что этот параметр принимает
всевозможные целочисленные значения. Исключения будут
оговариваться.)
Очевидно, что тремя перечисленными случаями не
исчерпываются все возможности для записи ответа
рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).
Например, при \а\ ф 1 справедливо равенство arcsin a =
= arctg a . (Докажите.) Следовательно, в двух
первых случаях, если \а\< 1, мы можем заменить arcsin а на
arctg a .
123
Обычно ответ записывается на основании формулы
пункта 2. Полезно запомнить следующую
рекомендацию: если на решении уравнения sin x = а работа не
заканчивается, необходимо еще произвести исследование,
отбор корней, то наиболее удобна форма записи,
указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует
дать и для уравнения cos x = a.)
Приведенный пример и указанные различные формы
записи ответа могут показаться надуманными. Однако
на практике вполне возможны уравнения (и с такими
примерами нам придется сталкиваться неоднократно),
которые могут быть решены разными способами,
приводящими к различным элементарным уравнениям.
Рассмотрим одно простое, но поучительное уравнение.
9. Решить уравнение tg х = а (а > 0).
Решение. Наиболее очевидным является следующий
путь. Данное уравнение распадается на два: tg x = Ja и
tg х = - Ja . Решая каждое из них и объединяя
полученные ответы, найдем х = ±arctg Ja + nk.
. 2
Другой путь. Поскольку tg2 х = Sm2* , то, заменяя
cos х
9 о
sin х и cos х по формулам (1) и (2) (кстати, эти две
формулы смело можно отнести к категории наиболее
популярных формул в теме «Тригонометрические
уравнения»), найдем после небольших преобразований cos 2x =
1-а ,1 1-а , ,
= , откуда х = ± -z arccos Ь nk.
1 + а * 1 + а
На первый взгляд никаких особых преимуществ у
второй формулы по сравнению с первой нет. Однако
если возьмем, например, а = 7 - 4^/3, то окажется, что
= ~5" , т. е. уравнение tg х = 7 - 4л/3 имеет реше-
1 + а *
ние х = ±т-^ + й, в то время как первый способ приво-
124
дит нас к ответу х = ±arctg J7 - 4л/3 4- nk. «Увидеть» и
доказать равенство arctg *]l - ±J% = у~ наД° еЩе СУ-
меть.
4.5. Преобразование уравнений,
разложение на множители
Сначала рассмотрим несколько несложных
уравнений, иллюстрирующих наиболее распространенные
схемы решений.
10. Решить уравнение
cos х 4- cos 2x 4- cos Sx 4- cos 4x = 0.
Решение. Группируем слагаемые, расположенные в
левой части, в пары. (В данном случае любой способ
группировки приводит к цели.) А затем применяем
формулу (5). Имеем:
2 cos ~ л: cos о + 2 cos ~ х cos 0=0,
Ct Ct La La
COS „ ( COS о X + COS ;гДГ)=О, 2 COS 5 COS « X COS X = 0.
\ L J
Возникают
1) cos « = 0
2) cos | x =
3) cos x = 0,
три
> о
о, \
x3
случая:
к
уХ =
к
~ 2
+ я*.
= +я
+ я*.
хх = я-
А:, х2 =
f 27
п
5 "
ifc;
Ответ. xx = я 4- 2я/г, x2 = з 4- - я/г, x3 = 5 + я^-
Обратим внимание на то, что вторая серия включает в
себя первую. (Если во второй серии взять к = 4 4- 5п, то
получим я 4- 2ял.) Поэтому нельзя сказать, что
правильнее, но, во всяком случае, «культурнее и красивее»
будет выглядеть ответ: хг = -= 4- -й, х2 = « + я^- (Вновь
125
типичная ситуация, приводящая к различным формам
записи ответа.) Первый ответ также верен.
Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма
типичную схему решения — разложение уравнения на
множители за счет попарной группировки и
использования формул (3)—(6).
Другая схема состоит из двух этапов. На первом
произведения преобразуются в суммы (формулы (7)—(9)).
На втором, наоборот, суммы преобразуются в
произведения. Например:
11. Найти решения уравнения
cos 4х cos 5х = cos 6х cos 7x.
Решение. «(cos 9х + cos x)= -z (cos 13х + cos х),
cos 9x - cos 13х = 0, 2 sin llx sin 2x = 0.
1) sin 2х = 0, хг = \ k; 2) sin Их = 0, х2 = уу /г.
Ответ, -zk, уу k.
12. Решить уравнение
о О 1
cos Зх cos х + sin Sx sin x = « cos 6x.
Решение. Преобразуем первое слагаемое левой части:
cos Зх cos3 х = cos Зх cos x (cos2 х) =
= j (cos 4x + cos 2x)(l + cos 2x) =
1 2
= j (cos 2x + cos 4x + cos 2x + cos 2x cos Ax).
Можно и дальше преобразовывать, освобождаясь от
произведений. А лучше остановиться и преобразовать
второе слагаемое. Оно примет вид:
1 2
2 (cos 2х - cos 4х - cos 2х + cos 2x cos 4x),
а все уравнение приведется к
cos 2x + cos 2x cos 4x = cos 6x.
126
Теперь второй этап — разложение на множители.
Имеем цепочку:
cos 2х - cos 6х 4- cos 2x cos 4х = О,
2 sin 4х sin 2x + cos 2x cos 4х = О,
4 sin 2х cos 2x sin 2х 4- cos 2x cos 4x = О,
cos 2х (4 sin2 2л: + cos 4х) = 0.
1) cos 2х = 0, х= ^ + ^/г;
2) 4 sin2 2х + cos 4х = 0, 2 - 2 cos 4х + cos 4х = 0,
cos 4х = 2. Это уравнение не имеет решений.
Ответ. -? + ~ /г.
Нередко в практике конкурсного экзамена возникает
необходимость преобразовать выражения вида a cos x +
+ b sin x. Стандартным является следующий прием:
пусть ф — угол, задаваемый равенствами cos ф :
b
sin ф =
. Для любых а и b такой угол ф
существует. Это следует из того, что любые числа тип, такие,
что т2 + п2 = 1, можно рассматривать как косинус и
синус некоторого угла.
Таким образом,
a cos х + b sin x =
cos х +
sin x
2 2
= *Ja + b (cos ф cos x 4- sin ф sin x)
I 2 2
I a 4- b cos (x - ф).
Итак, получим формулу:
(14) a cos х 4- 6 sin x = *]а 4-6 cos (х - ф),
где cos ф =
, sin ф =
127
В зависимости от знаков а и Ъ можно взять угол ф
равным arctg - или я + arctg - . ( Если а > О, Ь > 0 или а > О,
b < О, ф = arctg - , в других случаях ф = п + arctg - .
13. Решить уравнение
3 cos х + 4 sin x = 5 sin 5х.
Решение. Преобразуем левую часть:
3 cos х + 4 sin х = 5(з cos Jt + г sin x ] = 5 cos (x - ф),
VO О )
x 4
где ф = arctg g .
Получаем уравнение
cos (x - ф) - sin 5x = 0.
Заменим sin 5x на cos [ r - 5x ], теперь можно приме-
нить формулу (6). (Обратите внимание на этот прием. Он
встречается часто.)
cos (х - ф) - cos [ ■; - 5х ] =0,
2eing-l-2x) -«in^+l-S
Возникли два случая:
Л71фо ,
0, j -|-2х = я/г, x=
4 2 "
Лучше заменить -k на k. Получаемая при этом
совокупность решений не изменится. Таким образом,
я 1 , 4 , я ,
^=8-4arctg3+2fe-
2) sin Г | + | - 3x J = 0, X2= Y2+\ +\k-
л л 1 . 4 , я , я , 1 ,4,7t.
Ответ, g - 5 arctg § + ^А, п + g arctg 3 + g*.
128
4.6. Замена неизвестного
Большей частью замена неизвестного в
тригонометрических уравнениях делается с целью сведения
данного тригонометрического уравнения к уравнению
алгебраическому, в частности к квадратному.
Так, если уравнение имеет вид
a cos 2х + b sin х + с cos х + d sin x + в = О,
то замена у = sin х приводит его к квадратному,
поскольку cos 2х = 1 - 2 sin2 х, cos2 х = 1 - sin2 x.
Если же вместо слагаемого d sin x будет d cos x, то
нужная замена будет у = cos x.
При помощи замены i/ = tg x могут быть сведены к
алгебраическим уравнения, однородные относительно
sin х и cos х, или уравнения, приводящиеся к
однородным. Приведем пример.
п
14. Решить уравнение 3 cos 2x + sin x + sin 2x = 1.
Решение. Перенесем 1 в левую часть, заменив ее на
2 2
sin х + cos x, cos 2x и sin 2x выразим через cos x и sin x.
Получим (после упрощений)
3 sin2 х - 2 sin x cos x - 2 cos2 x = 0.
Разделив почленно на cos2 x (cos x * 0), сделаем
замену у = tg х: Зу2 - 2у - 2 = 0, i/ = ^^ .
1 + л/7
Возвращаясь к х, найдем х = arctg —^ Ь л&.
о
Полезно запомнить следующие формулы,
позволяющие сделать замену у = tg x без предварительных
преобразований. Эти формулы особенно удобны при решении
уравнений, в которых необходимые преобразования не
столь просты, как в уравнении 14:
(15)
sin
sin
2x =
tg2*
i + tgV
2tgx
о »
1 + tg x
cos2
COS
X =
2x =
1
1
1
Ь tg2x
-tg2x
+ tg2*
129
Замечание. При применении этих формул надо иметь
в виду, что левые части определены при всех значениях ху
а правые — при х Ф -z + nk9 следовательно, есть
опасность потери корней. (Очень часто две последние
формулы записывают, взяв в качестве аргумента слева х, тогда
- х
справа будет ~ , и называют их «универсальной» заме-
ной.)
При помощи формул (15) теоретически почти любое
тригонометрическое уравнение может быть сведено к
алгебраическому. Однако практическая значимость этих
формул зачастую невелика из-за возникновения
алгебраических уравнений высоких степеней при их
использовании.
Уравнение 14 может быть решено и иначе — без
замены неизвестного, при помощи приема, описанного в
предыдущем пункте (формула (14)).
.,_, .21- cos2x
Поскольку sin х = -z , то наше уравнение при-
z
водится к виду:
5 cos 2x + 2 sin 2x = 1
или
5 2 1
-= cos 2х + -= sin 2х = -= .
729 729 729
2
Обозначим ф = arctg -= .
Имеем
cos (2х - ф) = -= , 2х = ф ± arccos -= 4- 2nk>
1 4. 2 , 1 1 , .
x = « arctg и ± о arccos -7= + nk.
2 5 2 J29
(Сравните с ответом, найденным выше.)
Если в уравнения входят лишь выражения sin х + cos x
(или sin х - cos x) и sin 2xt то к цели может привести
замена у = sin х + cos х (у = sin x - cos x). Например:
130
15. Решить уравнение 3 sin 2x + 2(sin x - cos jc) = 2.
Решение. Обозначим у = sin jc - cos jc. Тогда
oo 9
z/ = sin jc - 2 sin jc cos jc + cos jc = 1 - sin 2jc,
T. e. sin 2jc = 1 - y2.
2 1
Получаем уравнение 3z/ - 2z/ - 1 = 0; yx = 1, z/2 = -g .
1) sin jc - cos x = 1, sin jc - sin f| - jc j = 1,
2 cos ^ sin ^ - jj = 1, sin [* - jj = -g".
2) sin jc - cos jc = -5 , sin jc - 7 = p ,
jc9 = 7 - (-1)A arcsin —■= + 7C&.
Ответ. хх = | + (-1)A ^ + rcfc,
jc9 = 7 - (-1)* arcsin —p + тс/г.
2 4 3д/2
16. Найти решение уравнения
-9ctg2JC-l.
Схема решения выглядит довольно просто: раскроем
tg f x + jj по формуле тангенса суммы, а затем введем
новое неизвестное у = tg jc. Но здесь есть одно «но».
Применяя формулу тангенса суммы, мы сужаем область
определения данного уравнения, исключая из нее
значения jc = « + яЛ (сравните с замечанием к формулам (15)).
Значит, нам надо проверить, не являются ли значения
х = - + nk корнями уравнения. Оказывается, являются.
131
Теперь, выделив найденные корни, можно закончить
решение по приведенной схеме.
Можно обойти эту опасность иначе, например
выразив левую часть через ctg х:
При этом область определения уравнения не меняется,
поскольку в нем присутствует ctg x.
Ответ. ^ + nk, arctg 3 + nk, arctg -z + nk.
4.7. Отбор корней
в тригонометрических уравнениях
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней
при решении тригонометрических уравнений весьма
специфична и обычно оказывается более сложной, чем
это имело место для уравнений алгебраических.
Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные
случаи появления лишних (посторонних) корней и
методы «борьбы» с ними.
Лишние корни могут появиться вследствие того, что
в процессе решения произошло расширение области
определения уравнения. Приведем пример.
17. Решить уравнение
sin4x - sin2л: - cos3jc + 2simc - 1
= 0.
2sin2jc- J3
Решение. Приравняем к нулю числитель (при этом
происходит расширение области определения уравнения —
добавляются значения х, обращающие в нуль
знаменатель) и постараемся разложить его на множители.
Имеем
2 cos Зх sin х - cos Зх 4- 2 sin x - 1 = 0.
(cos Зх + 1)(2 sin х - 1) = 0.
Получаем два уравнения:
1)cos3jc+1 = 0, х=£ + Щк.
о о
132
(* = 0)
= 2)
Рис. 7
Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего
заметим, что левая часть нашего уравнения представляет
собой периодическую функцию с периодом 2я.
Следовательно, достаточно найти решение уравнения,
удовлетворяющее условию 0 < х < 2я (один раз «обойти» круг),
затем к найденным значениям прибавить 2nk.
Неравенству 0 < х < 2я удовлетворяют три числа
(полезно изобразить соответствующие точки на единичной
окружности, рис. 7): з » я» ~з~'
Первое не подходит, поскольку sin 2« = -тг ,
знаменатель обращается в нуль.
Ответ для первого случая. хх = п + 2я&, х2 = -~- + 2nk
(можно х2 = -« + 2nk).
2) sin х = ^ •
Найдем решения этого уравнения, удовлетворяющие
условию 0 < х < 2я. Их два: g , -g-. Подходит второе
значение.
Ответ, п + 2тг/г, ^ + 2тг£, ^ + 2nk.
о О
С появлением лишних корней вследствие возведения
обеих частей в квадрат мы часто встречались при
решении алгебраических уравнений. Вот пример уравнения
тригонометрического:
133
18. Найти корни уравнения
Vcos 2x + sin 3x = J2 cos x.
Решение этого уравнения распадается на два этапа:
1) решение уравнения, получающегося из данного
возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней,
которые удовлетворяют условию cos x > 0. При этом
(как и в случае алгебраических уравнений) заботиться
об условии cos 2x + sin Зх > 0 нет необходимости. Все
значения &, удовлетворяющие возведенному в квадрат
уравнению, этому условию удовлетворяют.
Первый шаг приводит нас к уравнению sin Зх = 1,
п . 2ки
откуда х = g 4- —«.
Теперь надо определить, при каких k будет иметь
место cos [ -z + -zr k ] > 0. Для этого достаточно для k pac-
Vo б )
смотреть значения 0, 1, 2, т. е. как обычно «обойти один
раз круг», поскольку дальше значения косинуса начнут
повторяться, получающиеся углы будут отличаться от
уже рассмотренных на величину, кратную 2п.
Ответ, -z + 2nky -zn + 2nk.
о z
19. Решить уравнение tg x = tg llx.
Решение. Из равенства tg a = tg Р следует, что а - Р = nk.
(Функция у = tg х периодическая с периодом я, каждое
значение на периоде принимается один раз.)
Значит, Их - х = nk, x= rrzk.
Обратно: если а - Р = nk, то tg а и tg P или равны, или
не существуют. Следовательно, мы должны из
найденных значений х выкинуть х, равные -z + пп.
Найдем соответствующие k: jz = -z +тт,& = 5 + 10л.
nk
Ответ, х = rrz , где k Ф 5 + Юл.
134
Итак, основная схема отбора корней состоит в
следующем. Находится наименьший общий период всех
тригонометрических функций, входящих в уравнение.
На этом периоде отбираются корни, а затем оставшиеся
корни периодически продолжаются. В частности, если
период равен 2я, то основная рекомендация — «обойти»
тригонометрический круг.
Несколько иной прием был использован при решении
уравнения 19; найдена общая формула для
запрещенных значений х, после чего эти значения удаляются из
выписанной серии.
Рассмотрим решения еще двух уравнений, в которых
отбор корней делается иначе.
20. Решить уравнение
Jcos 1555 " \ + Jcosx Л = Jcos 1555 + cosx " 1'
Решение. После возведения уравнения в квадрат и
очевидных упрощений получим две возможности:
= I; 2)cosx=|.
В первом случае х = ±( 663я 4- х ] + 3980л;/г. Однако
V «V
все эти значения не удовлетворяют условию cos х - -г > 0,
поскольку для них cos х = -~ .
Во втором случае имеем х = ±х + 2nk. Среди этих зна-
о
х 1
чений надо отобрать те, для которых cos Tqqq ~ о ^ ^'
хо
Понятно, что если х0 удовлетворяет условию cos
- 2 ^ 0, то и х0 + 3980яп удовлетворяет этому условию
при любом целом п. (Наименьший период функции
cos j^ равен 3980я.)
135
Пусть -тс < " < тс. Для таких х0 из неравенства
1УУи
COS
— - - > 0 получим-£
1990 2 '" """ 3 1990 " 3"
Пусть х0 = ^ + 2л/е. Получаем:
-663л - 5 < 5 + 2nk < 663л + 2 ,
3 3 3
-663 - 1 < 2k < 663, -331-| <fe<33li
3 6 2
Таким образом, -331 < ft < 331.
Те же значения k получим и в случае, если х0 = - ^ + 2nk.
Ответ. (±| + 2nk) + 3980тт, где ft = 0, ±1, ±2, ...,
±331, /i = 0, ±1, ±2
21. Решить уравнение tg — = ctg тех.
Решение. Имеем
tg — = tg (^ - ях) .
JC
Следовательно, — -\\ -тех) = ftic,
l)x + 4 0, x
Теперь самое главное — отбор корней. Первое уело-
вие — дискриминант неотрицателен: (2k +1) - 32 > 0.
Поскольку (2ft + 1) — число целое и нечетное, а первый
квадрат нечетного числа, больший 32, есть 49 = 7 , то
2ft 4- 1 > 7 или 2ft + 1 < -7, откуда ft > 3 или ft < -4.
Далее необходимо «выкинуть» те х, при которых не
существуют одновременно левая и правая части
исходного уравнения. (См. решение уравнения 18.)
Но ctg тех не существует, если х = пу где п — целое.
При п целых tg — не существует, если п = ±4. Следова-
п
тельно, из найденных корней надо «выкинуть» х = ±4.
136
Подставляя х = 4 в квадратное уравнение, опреде-
п
ляющее х, найдем 2 • 4 - (2k + 1)4 + 4 = 0, k = 4.
При fc = 4 уравнение 2х - 9х + 4 = 0 имеет два корня:
х1 = 4, лг2 = « • Второй корень удовлетворяет уравнению.
Аналогично корень х = -4 будет при k = -5, второй
корень при этом будет х2 = -« .
- 2fc+ l±J*k + 4fc-31 , .о , , , . .
Ответ. , k > 3, л ^ 4 или л < -4,
Кроме того, есть еще два корня: « и - « .
4.8. Системы тригонометрических уравнений.
Запись ответа в системах
тригонометрических уравнений
22. Решить систему уравнений
\ sin (2х + Зу) = О,
1 cos (Зх - 2у) = 1.
Решение. Из первого уравнения находим 2х + Зу = я&,
а из второго Зх - 2у = 2пп.
Получаем систему \ 6у — ппу
\3х-2у = 2пп.
Ответ, х = т« (2k + 6/г), z/ = -г= (3k - 4п).
Как видим, в ответе фигурируют два параметра кип,
независимо друг от друга «пробегающие» множества
целых чисел. Нетрудно убедиться, что использование
одного и того же параметра (например, k) при решении
уравнений системы 22 приведет к потере решений. (Каких?)
Это явление характерно для систем
тригонометрических уравнений. Вообще, если система
тригонометрических уравнений свелась к системе, состоящей из
элементарных тригонометрических уравнений (т. е. к системе,
137
в которой все уравнения имеют вид f(u) = а, где f(u) есть
sin и, cos u> tg и или ctg и), то при решении каждого из
этих элементарных уравнений необходимо использовать
свой целочисленный параметр. Для сравнения напомним,
что при решении тригонометрических уравнений с одним
неизвестным мы, как правило, обходились одним
параметром. Точнее, если уравнение распадалось на
элементарные (возникало объединение элементарных
уравнений, а не пересечение — система; соединяющим был союз
«или», а не «и»), то при решении каждого из них мы
использовали один и тот же параметр. Возможно, не стоило
бы уделять этой детали столько внимания, поскольку
математическая сторона здесь довольно прозрачна, если бы
не многочисленные и типичные ошибки, допускаемые при
решении несложных систем тригонометрических
уравнений, ошибки тем более обидные, что допускаются они
очень часто на заключительной стадии — записи ответа.
Проблемы, связанные с записью ответа в системах
тригонометрических уравнений, не исчерпываются их
многопараметричностью.
23. Решить систему
2 sin х sin у + cos x = О,
о
1 + sin у cos х = 2 cos у sin x.
Решение. Путь решения достаточно очевиден:
выразим из первого уравнения sin у и подставим во второе
(cos2 у = 1 - sin2 z/), получим уравнение с одним
неизвестным х, найдем лг, а затем у. Имеем из первого урав-
lcosx g Лч _
нения sin у = ~о~— (понятно, что sin x Ф О). После
подстановки во второе и упрощений получим для х уравне-
1
ние sin х = « •
Прежде чем решать это уравнение, подумаем, в какой
форме нам лучше всего записать ответ. Общая форма
неудобна, поскольку для определения у нам надо найти
л/3 л/3
cos jc, a cos х может принимать два значения: "о" и ~"о" •
138
Поэтому запишем для х две серии:
хл = £ + 2я£, х2 = « я +
Для первой:
cos х = -г- » sin i/ = --г- , ух = (~1)д « + пп.
Для второй: у2 = (—1) « + яп.
о
Ответ. \'£ + 2nk, (-1)л+ « + п
24. Решить систему
1J2 cos х = 1 + cos у,
^ sin x = sin z/.
Решение. Почленно возведя уравнения в квадрат и
сложив их, получим после очевидных преобразований
cos у = 0, откуда у = « + я&. Для этих z/ будет sin у = (-1)*.
Поэтому удобно рассмотреть два случая:
/о /о _
1) k = 2п, тогда cos x = -5-, sin x = -5-, т. e. ^ = т + 2ят.
2) ft = 2n +1, тогда cos л: = -у , sin л: = -^- , л: = - j + 2ят.
Ответ. (5 + 2ят, ^ + 2яп ]; [ -? + 2ят, « я + 2яп ].
4.9. Несколько стандартных приемов
решения систем
тригонометрических уравнений
Основные методы решения систем
тригонометрических уравнений те же, что и алгебраических систем
(раздел 1). Прежде всего это — исключение неизвест-
139
ных и замена неизвестных. Исключать неизвестные, как
мы уже знаем, можно при помощи двух основных
приемов. Можно из одного уравнения выразить какое-то
неизвестное (функцию от него) и подставить в остальные. Так
была решена система 23. Можно преобразовывать
данные уравнения и составлять затем комбинации, в
которых число неизвестных уменьшается, как это было
сделано при решении системы 24.
25. Решить систему
\ cos Зх - 4 sin 2z/ + cos x = О,
1 cos 2x - 2 cos x(2 cos у - sin у) + 1 - 2 sin 2z/ = О.
Решение. Рассмотрим второе уравнение как
квадратное относительно t = cos x. (С этим приемом мы уже
встречались в разделе 1.)
Имеем t - t(2 cos у - sin у) - 2 sin у cos у = 0.
Корнями этого уравнения являются tx = 2 cos у, t2 = -sin у.
Рассмотрим первый случай: cos х = 2 cos у. Первое
уравнение преобразуем к виду 2 cos 2лг cos х - 8 sin z/ cos i/ =
= 0 или (2 cos x - 1) cos ;t - 4 sin z/ cos i/ = 0.
Заменив cos x на 2 cos у, получим
n
cos 1/(8 cos z/ - 1 - 2 sin y) = 0,
cos t/(8 sin2 zy + 2 sin z/ - 7) = 0,
откуда:
а) cos у = 0, cos a: = 0; y^-^+nk, x = ^ + ял;
б) 8 sin2 z/ + 2 sin у - 7 = 0.
Корнями соответствующего квадратного уравнения
будут
-1-757 -1 + 757 -1-757
—g— и g .Но—g— <-l.
„ . -1 + 757
Если же sin у = г , то
|cos x\ = 2|cos z/| = 2 J1 -
140
Рассмотрим второй случай: cos x = -sin у.
Преобразовав первое уравнение, будем иметь после замены cos x на
-sin у
о
sin y(2 cos у - 4 cos у - 1) = О,
откуда:
а) sin у = О, cos х = 0; i/ = nk, x = « + ял;
б) 2 cos2 i/ - 4 cos у - 1 = 0, cos i/ = —=jj— .
тт 2-Л 2-Л
Нам подходит один корень —=— » т- е- cos У = —о— •
Z Z
Запишем решение последнего уравнения в виде двух серий:
I/ = arccos —2— + 2я^ = я - arccos ^-g— + 2nk;
= -тс 4- arccos
Для первой серии у находится во второй четверти,
\ "г" 2
sin у > 0 и cos jc = -sin у = - /l -f—5—] = ~о ^^ ~ ^ »
х = ±arccos \ 74^6- 6 + я(2п + 1).
Для второй серии jc = ±arccos « *J4*f6 - 6 + я(2п + 1).
Ответ. (2 +пп, «
±arccos I J4+/6-6 + тг(2п + 1), -arccos
~
" 2
±arccos I л/4л/6-6 + 2яп, arccos 2" 2 + я(2Л +1)1.
Замечание. В ответе объединены пункты а) обоих
случаев. Можно было бы объединить и два других мно-
г> (ъ тс . Л
жества и записать ответ более компактно: I -z + тт, « « I»
±arccos | 74^6-6 + яп, (-1)л arccos ^"^
141
26. Решить систему
sin (4х - 2у) + л/2 sin (Зх - z/) = О,
л/2 sin (2х - у) + sin (Зх - 2z/) = О.
Решение. В каждом из уравнений перенесем второе
слагаемое в правую часть и перемножим соответственно
правые и левые части получившихся уравнений.
Получим:
sin (4х - 2у) sin (2х - у) = sin (Зх - у) sin (Зх - 2у),
откуда
cos (2х -у)- cos (6х - Зу) = cos у - cos (6х - Зу).
Далее имеем 2 sin x sin (х - у) = 0.
Возникают два случая:
1) х = пк: а) к — четное, к = 2п.
Подставив х = 2пп в любое из уравнений, получим
sin 2у - л/2 sin у = 0. Это уравнение легко решается.
Итак, в случае х = 2пп будет у = пт или у = ±Ц+ 2пт;
4
б) х = тг(2д + 1), тогда у = пт или z/ = ±-^ + 2пт.
Объединив пункты а) и б), получим ответ: (пк> пт);
п(2к + 1), ±^ + 2пт) .
4 ^
2) sin (х - у) = 0, х - у = пк.
В этом случае sin (2х - у) = ±sin x, sin (Зх - 2z/) = sin x,
и из второго уравнения системы найдем х = пп.
Нетрудно видеть, что получившаяся серия совпадает с первой
серией ответов, полученных в пункте а).
Ответ, (пк, пт); ( 2пк9 ±? + 2пт ) ;
\ 4 у
2*+ 1), ±^ +2тшг).
Замечание. Вторую и третью серии можно объединить
волну: (тг/г, ±| + п(2т + /г)) .
142
Сравните решения систем 24 и 26. В системе 24 мы
возводили уравнения в квадрат и складывали, с тем что-
р р
бы, используя тождество cos x + sin х = 1, уменьшить
число неизвестных. (В других случаях этот прием
применяется после предварительных преобразований.) В
системе 26 перемножались нужным образом преобразованные
уравнения, после чего полученное уравнение вновь
преобразовывалось при помощи формул перехода от
произведения тригонометрических функций к сумме и
наоборот.
В большинстве случаев замена неизвестных в
системах тригонометрических уравнений делается с целью
свести данную тригонометрическую систему к
алгебраической. Например:
27. Решить систему
\ 5sin2xtgy = 12,
1 5 sin 2y tg x = 6.
Решение. Обозначим tg х = и, tg у = и.
Выразив sin 2x и sin 2y через и и ut получим систему
10uv= 12 + 12u2,
Wuv = 6 + 6v2.
Разделим обе части первого уравнения на 2 и вычтем
р р
одно из другого. Получим: бы + 5ии - 6v = 0.
Это — известное нам (раздел 1) однородное уравнение.
р
Разделив обе части уравнения на v , будем иметь
квадратное уравнение относительно t = - , из которого
найдем *х=|, *2 = -§.
Далее находим и и v: (±2, ±3). ( В случае - = -- ре-
шений нет.) Затем возвращаемся к исходным
неизвестным.
Ответ. (±arctg 2 4- nk, ±arctg 3 + пп).
143
4.10. Нестандартные
тригонометрические уравнения
В практике конкурсного экзамена не так уж редко
встречаются уравнения, решение которых
основывается на ограниченности функций sin x и cos х. Например:
28. Решить уравнение sin Ьх - 2 cos 2х = 3.
Решение. Поскольку sin Ъх < 1, -cos 2x < 1, то левая
часть не превосходит 3 и равна 3, если
sin Ъх = 1,
cos 2x = -1.
Для нахождения значений х, удовлетворяющих
обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим
одно из них. Затем среди найденных значений отберем
те, которые удовлетворяют и другому.
Начнем со второго: cos 2х = -1, х = « + nk.
Ct
Тогда Ъх = -у 4- 57tfc, sin 5х = sin (;: я + 5я^ ) = sin (| + ** ) •
Понятно, что лишь для четных k будет sin Ъх = 1.
Ответ. « + 2тт.
z
Другая идея реализуется при решении следующего
уравнения.
29. Решить уравнение sin8 х - cos5 х = 1.
Решение этого уравнения основывается на
следующем простом соображении: если 0 < а < 1, то а1 убывает
с ростом t.
Значит, sin8 х < sin2 x, -cos5 х < cos2 x.
Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:
sin8 х - cos5 x < sin2 x + cos2 x = 1.
Следовательно, левая часть данного уравнения равна 1
тогда (и только тогда), когда выполняются два равенства:
sin8 х = sin2 jc, -cos5 x = cos2 x,
т. e. sin x может принимать значения -1, 0, 1, a cos x
может принимать значения -1,0.
Ответ. « + nk\ n + 2nk.
144
Для полноты картины рассмотрим еще два примера.
30. Решить уравнение
3 sin х + 4 cos 3jc cos x + 2 sin 5jc = 7.
Решение. Ранее была выведена формула (14):
/ о 9
a sin jc + 6 cos jc = va +6 cos (jc - cp).
Из этого равенства, в частности, следует, что a sin x +
/ 2 2
+ b cos jc < л/a +6 , причем а и 6 могут зависеть от х.
Применив это неравенство к первым двум слагаемым
в левой части нашего уравнения и учтя, что |cos Зх| < 1,
2 sin Ъх < 2, получим: вся левая часть не превосходит 7.
Для того чтобы выполнялось равенство, необходимо
(но не достаточно), чтобы |cos Зх| = 1, sin Ъх = 1.
Последние два уравнения несовместимы. (Докажите!)
Следовательно, данное уравнение не имеет решений.
31. Решить уравнение
4 cos2 х - 4 cos2 3jc cos x + cos2 Здг = О.
Решение. Будем рассматривать левую часть данного
уравнения как квадратный трехчлен относительно cos jc.
Пусть D — дискриминант этого трехчлена:
\ D = 4(cos4 3jc - cos2 Зх).
Из неравенства D > 0 следует cos2 3jc < 0 или cos2 Sx > 1.
Значит, возникают две возможности: cos 3jc = 0 и cos Sx =
= ±1.
Если cos Sx = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0,
л .
откуда х = 5 + ял.
Эти значения jc удовлетворяют уравнению.
Если |cos Зх| = 1, то из уравнения cos х = « находим jc =
= ±о + 2nk. Эти значения также удовлетворяют уравнению.
Ответ. £ + rcfc; ± jj 4- 2я/г.
4 О
145
4.11. Задачи
1. Определите знак числа:
a) sin 1000°; б) cos 1989°; в) tg 901° ctg 1078°;
г) sin 8; д) sin 22; е) tg 5; ж) sin 3142.
2. Вычислите без помощи таблиц и калькуляторов:
a) tg 570° 4- cos 210°; б) cos ^ - cos у + cos ^ ;
в) cos2 73° + cos2 47° 4- cos 73° cos 47°; г) sin 15°;
д) cos 67°30/; e) tg 75°.
3. Что больше:
a) sin 7 или sin 8; 6) sin 3 или cos 5;
в) cos 6 или sin 1,5; r) JctgT - 2sin-^ или \[b ;
д) sin 121° или 0,85; e) sin 22 или -0,01?
4. Найдите:
arccos о); б) cos (arctg (-2));
в) sin 2f arccos « ]; r) cos 3[ arccos •=].
5. Найдите:
a) arcsin (sin 5); 6) arccos (sin (-3)); в) arctg (tg (-7)).
Докажите тождество (6—18).
JScoeg-x)
6. 1 + tg X + tg^ X + tgd X
3
COS X
2
- 1 - 2 sin a = 1 - tga
1 + sin2a 1 + tga"
8. sin a 4- 2 sin 3a 4- sin 5a = 4 sin 3a cos2 a.
Л sin2x - sin3x 4 sin4x , o
9. — = tg 3x.
cos2x - cos3x 4 cos4x
-i/\ tg2xtgx . rt
10. —s — = sin 2jc.
tg2x-tgx
146
11. ctg a - tg a - 2 tg 2a - 4 tg 4a = 8 ctg 8a.
ч rt л/l+cosa 4 Vl - cos a , fa , л\ .
12. , * = ctg 5 + j L (7i< a
VI + cosa - VI - cosa ^ *
л~ 3 -4cos2a4 cos4a 4
3 4 4cos2a4 cos4a
HA V2-sina-cosa , (a n\
14. : =tg к ~ q •
sina- cosa V2 8^
slnU"2j
лп cos6a- cos7a-cos8a + cos9a , 15
16. -—= r-z r~z 7-r- = ctg -5- a.
sin6a - sin7a - sin8a + sin9a ^
/ctga + Vtja
лп Vctga + Vtga (ъ \
17. f —7= = ctg т - a ,
Vctga - Vtga И >/
18. л/tgjc-hsinjc 4- Jtgx- sinjc = -2 VtgJt cos (j ~ i)»
19. Вычислите sin —=-^ и cos —=-^ , если sin a + sin (3 =
55» cosa + cosp = gg, 2^<а<3я, -g <P<0.
20. Найдите cos 2a, если известно, что
2 ctg2 a + 7ctga+3 = 0
иа)? <a<^; 6)^ < a < 2я.
Докажите, что если а, Р, у — углы треугольника, то
выполняется равенство (21—24):
21. sin a 4- sin (3 4- sin у = 4 cos « cos | cos |.
147
23. ctg | + ctg | + ctg I - ctg | ctg | ctg 1 .
Q Q О
24. 1 - cos a - cos P - cos у - 2 cos a cos (3 cos у = 0.
25. Докажите, что если cos x = cos a cos p, то
(Если все функции определены.)
26. Найдите tg3 х + ctg3 х, если sin х -h cos х = a.
Докажите равенство (27—48).
27. arctg i + 2 arcsin -L = ?.
7 Ло 4
28. sin (2 arctg |) + tg (| arcsin Щ) = 1.
29. arccos (cos (2 arctg (72 - 1))) = -A .
4
30. tg (2 arccos -JL- arcsin ±§) =-^.
31. tg 142°30' = 2+72-73-76.
32. arcsin x + arccos x = ^ .
33. 2 arcsin |x| = arccos (1 - 2x2).
34 1 - ^ = 4
' sin 10° cos 10°
35. arctg i + arctg \ + arctg i + arctg 5=7.
3 5 7 8 4
36. arcsin - + arcsin — 4- arcsin -- = £ .
5 13 65 2
37. ^ L i i
+
. я . 2я .471
Slni5 Sml5 Sml5
148
39. sin п + sin Yg +sm Yg + sin jg - g'
.л ч . я . Зя 1 -ч . Зя .я 1
40. a) sin Jo sln To = 4; 6)sin TO "Sin 10 = 2"
.. 2я , 4п , 6я 1
41. cos -у* + cos -у + cos "7" = ~2 •
42. tg 10° tg 50° tg 70° = -j=.
V3
^o . я , , *2я , , 4я о . 2я rz
43. tg q + tg у + tg у - 8 sin -g- = V3 .
44. tg 10° + tg 40° + tg 70° + tg 100° + tg 130° + tg 160° =
лк я 2я Зя 17я П\17
45. cos 35 cos 35 cos 35 .- cos ж = Щ .
46. tg ^ + 4 sin g = № •
47. arctg 5 = arctg т - arctg -—-
k(k+l)+x2 k k"rl
(x>0,k> 0).
48. arctg Ц-—т = arctg (1 + k + k2) - arctg (1 - k + fc2).
49. Постройте график функции (изобразите на
координатной плоскости множество точек, координаты
которых удовлетворяют соотношению):
а) у = sin 2х; б) у = cos « ;
о
в) у = tg (Зх + gj ; г) 1/ = tg jc ctg jc;
tg3x ч 2tg:c
ж) i/ = sin x + |sin jc|; 3) 1/ = sin x + sin |jc|;
и) у = tg |x| + |tg x|; к) у = |cos x\ tg x;
149
ч 1 f|sinx| , sinx л ч | . | и
Л^У = 2 ( cosx [cosxj)' M^y = 'Sin 'x»;
н) У = \у ~ sin *l"» °) sin * + sin У = 0;
п) sin х 4- cos у = 2; р) У = arcsin x;
с) у = cos arcsin x; т) i/ = arcsin sin x;
у) sin x 4- cos */ = Г"[ "*" П ' Ф)^ = s^n ^ arctg x;
ч • / • ч , 2 arccos х
х) I/ = arcsin (arcsin x) + arccos — .
я - 2
50. Для каждой из следующих функций найдите
наименьший период или докажите ее
непериодичность:
а) у = sin 2тгх; б) у = cos (1-х);
в) у = sin - + cos - ; г) у = cos |x|;
д) у = cos 2х + cos Зх; е) у = sin | + sin | + sin |;
ж) у = sin 2х + cos Зх; з) у = sin sin x;
и) i/ = cos cos x; к) i/ = arcsin (1 4- |sin x|);
л) у = sin х 4- cos л/2 х; м) i/ = sin |x|;
н) i/ = cos х2; о) у = cos V^ .
Решите уравнение (51—236).
К1 2 о 24 Уз
51. cos 2х = —j*— .
со о 4 X . 4 X
52. sin 2х = cos « - sin „ .
53. (1 + cos 4x) sin 2x = cos2 2x.
( X X\2
54. 1 - sin 3x = sin ^ - cos « .
55. sin x sin 3x + sin 4x sin 8x = 0.
56. sin x cos x cos 2x cos 8x = 7 sin 12x.
4
57. 3 sin2 2x + 7 cos 2x - 3 = 0.
150
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
cos 2x - 5 sin x - 3 = 0.
2 cos2 x + 5 sin x - 4 = 0.
cos 2x= J2 (cos x - sin x).
3 cos 2x + 2 cos x = 5.
• 2
(2 sin x - cos x)(l + cos x) = sin x.
1 + sin x cos 2x = sin x + cos 2x.
sin x + cos x = 1.
cosx + 2 cos 2x= 1.
4 sin4 x + 12 cos2 x = 7.
67. 5 tg4 x \- = 29.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
COS X
3 sin2 x - 2 sin x cos x - cos2 x = 0.
1 - sin 2x = cos x - sin x.
sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0.
cos 3x + sin x sin 2x = 0.
cos2 2x + cos2 3x = 1.
О О О О
cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 2.
cos 3x = sin 5x.
75. sin (3x + g) + cos (5* + !) = 0.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
. 4 4 5
sm x + cos x = g .
sin4 x + cos4 x = sin 2x - т .
sin 3jc + sin jc = —г- sin 2x.
4
sin2 jc tg x + cos2 jc ctg jc + sin 2jc = 4.
cos (5jc + 516°) - cos (Sx + 172°) = cos (4* + 254°).
cos 7x (sin 5x - 1) = 0.
151
82. sin 4x + 2 sin2 Ix = 1.
83. 3 + 2 sin Sx sin x = 3 cos 2x.
84. cos 2x + 4л/2 sin x = 2.
85. cos x + cos 2x + cos 4x = 0.
86.
COS -
opt 3x jc i 1-73
87. cos -=- cos g - 1 = —5— cos x-
88. 3 tg2 x + 7
2
sin 2x
2
ол cos 2jc я
89. = cos x - cos т .
COSJC + COS-
4
90. cos2 I + cos2 y - sin2 2x - sin2 4*
91. cos 3jc sin jc + 2 cos2 (^ - x j = 1.
92. ^y^ sin 2jc = (73 - 1) cos2 jc + 1.
93. sin (5 - jc 1 + cos ^ - jc j = 73 .
94. sin ( 2jc+ -zti ] - 3 cos ( jc- -zn ) = 1 + 2 sin jc.
.8 8
sin x cos x
+
2 + 2 ~ 4 *
cos x sin x
96. 31 + tg* =2cos2x-l.
1-tgx
97. sin7 x cos3 x - cos7 x sin3 x = cos 2x.
98. sin 3x = 8 sin3 x.
152
99. 4 cos Sx = 15 sin 2jc.
100. 3 cos x = 13 sin y + 17 cos |.
101. 72 cos x + cos 2jc + cos 4x = 0.
102. tg x + tg 2jc + tg 3jc + tg 4jc = 0.
103. sin 2x = sin4 x + cos4 jc.
104. tg x + 2 tg 2x + 3 ctg 3jc + 4 ctg 4* = 0.
105. cos 3jc tg 5jc = sin 7jc.
106. sin x tg jc = cos x + tg jc.
=1.
cos2jc + 3sinjc - 2 л
5 5- — U.
12jc -8nx+n
1ЛЛ COS3JC ,
109. -— = tg jc.
sin3x - 2sinjc
110. sin jc + cos jc = -= sin 2jc.
Л
Л
111. tg(x+=)ct,(8x-=)-§.
112. tg [jc - g + 8 ctg jc + tg (jc + J) = 0.
113. 8 cos3 jc - 6 cos jc + J2 = 0.
114. cos 2jc + sin 2jc + cos jc - sin jc = 1.
115. ctg 2jc - ctg jc = 2 ctg 4jc.
116. (1 - tg jc)(1 + sin 2jc) = 1 + tg jc.
117. 2 ctg 2jc - ctg jc = sin 2jc + 3 sin jc.
118. cos2 jc - 2 cos jc = 4 sin jc - sin 2jc.
119. V8 cosjc- 1 =
12°- T^oZ = ctS 2jc + ctg 3jc.
153
121. 4 sin 2jc + ctg2 (x + j] = 4.
122. cos 4jc + sin2 Sx = 1.
123. cos2 f7 + 5jc ) = sin2 jc cos 9x + cos2 f5 + 4jc
124. tg x - ctg 3jc + ctg 4jc = 0.
125. cos x (tg jc + tg Sx) = 4 sin Sx sin 4jc.
126. 4 sin 2x sin 5jc sin 7x = sin 4jc.
127. (sin x + cos jc)4 + (sin x - cos x)4 = S- sin 4jc
128. sin2 2x + sin2 3* + sin2 4* + sin2 5* = 2.
129. sin4 jc + sin4 (*+£)+ sin4 (jc - fj = |.
130. cos2 7jc + sin2 6jc = 0.
132. tg jc = tg 3jc.
133. tg jc = tg 5jc.
135. 3(cos jc - sin jc) = 1 + cos 2jc - sin 2jc.
136. 1 + sin 2jc = cos jc - sin jc.
137. cos 2jc + 2 sin 2jc = 2 72 cos x.
IQft sinx sin3x = 2tgx
1 - cosjc 1-cos3jc 1 + tg2x
140. —-— + —-— + —-— = 0
sin2x sin4x sin8:r
154
141. -^ Л- = -Дг- • 142.
sin ж sin2x sin3x' ' sinx sin2x sin4x "
145. 2 cos 3jc = 3 sin jc + cos jc.
лап 3V3cos2jc+ 3sin2x A
146. -^-7= =4cosjc-
V3cosjc + sinx
147. 4 tg 4jc - 4 tg 3jc - tg 2jc = tg 2jc tg 3jc tg 4jc.
148. tg2 jc tg2 3jc tg 4jc = tg2 jc - tg2 3jc + tg 4jc.
ci т"ъ f? J^r oi v« j\ s^p л•% v% С} j^^ ^^
150. J
sinx cos2xsin3x cosx sinxcos2x'
152. 2СО8Х+2ВШХ-1 tg Г5 - x ) - V3 + 2.
2cosjt-2sinjt-l б V4 )
153. 1 + cos x + 2 cos jc cos2 5jc = sin 5jc.
154. V2 cos ( Sx - jl = cos 3jc ctg 3jc (ctg Sx + 1).
155. 2 cos 13jc + 3 cos Sx + 3 cos 5jc - 8 cos jc cos3 4jc = 0.
156. tg(2x+ f) =2ctg2x+ | ctgi|=.
157. ctg Ц5 =
6
158. 3 ctg jc - tg 3jc = 3 ctg 2jc + 6 ctg 4jc.
155
159. sin jc 4- sin jc cos jc 4- sin2 jc cos2 jc 4- sin jc cos3 jc +
4- cos4 jc = 1.
160. cos6 jc 4- sin6 jc = -zr cos 2x - z .
о Z
161. 2(sin6 jc 4- cos6 jc) - 3(sin4 jc 4- cos4 jc) = cos 2x.
162. sin8 jc - cos8 jc = z cos2 2x - z cos 2jc.
q q 3
163. sin jc cos 3jc 4- cos jc sin 3jc 4- z =0.
о
164. л/2 (cos 8jc + 2 cos2 2jc)Vl + cos 4jc 4- cos IOjc +
4- cos 6jc + 4 cos3 2x = 0.
165. 2 cos jc 4- л/5 sin jc = cos 5jc 4- 2 л/2 sin 5jc.
166. cos 3jc - cos 2jc = sin 3jc.
167.
2
cos 2x
- 1.
168. Icos jc| = cos f x 4- •= |.
169. V-cosjc = л/2 cos ^.
Ct
170. л/cosjc = л/2 sin о •
171. л/fcosjcj = л/2 sin \.
172. Vl + sinjc + cos jc = 0.
-—o л/l - COS2JC /p: ( _.
173. :L—г—■— = 72 cos jc - z .
sinx
174. tg jc 4- z ctg x =
*V cos jc
175. cos jc - 2 sin 2jc - cos 3jc
156
- 2 sin jc - cos 2jc|.
176. sin jc 4- cos jc = л/1 + tgjc .
177. J5sinx+ cos2x + 2 cos x = 0.
178. Vl + sinx - Jl - sinx = 1 + cos x.
179. Vl-2sin4x + 7б cos 2x = 0.
180. a/5cosjc - cos2jc 4- 2 sin jc = 0.
181.
l-4cos3*
8cos 2x--z-
182. /t - sin jc 4- cosf jc 4- ^ I = cos jc 4- £ .
183. 2 sin Гзд: 4- ^ = Jl 4- 8sin2jccos22jc .
184. (1 + cos
rt - 2 4- sin jc = 2 cos jc.
185. Vcos 2jc 4- Vl + sin 2jc = 2 Vsin jc + cos jc .
186. л/sin 3jc 4- cos jc — sin jc = a/cos jc - sin 2jc .
187. jcos 3jc 4- л/3 sin 3jc - 3 cos jc 4- cos jc + -r- =
= л/3 sin jc + « •
188. /197z - 5sin( jc + т I +2 sin jc = -^ 2 cos jc.
189. 73 (2 - cos jc) + 4 sin 2jc = sin jc.
190. л/3 (3 - 2 cos jc) - 2(3 sin 2jc - sin jc) = 0.
191. 20 cos2 jc = 5 + sin jc + 73 cos jc.
192. 2 sin 3jc + sin jc + л/3 (cos jc - sin 2jc) = cos 2jc.
157
193. 5 sin x + 6 sin 2x + 5 sin Sx + sin 4jc = 0.
72
194. cos x sin 2jc cos 4jc + sin x sin 2jc cos 4jc = — .
о
195. 2(tg jc - sin x) + 3(ctg jc - cos x) + 5 = 0.
196. 1 + sin 2x + 2л/2 cos 3jc sin f jc + 51 =
= 2 sin jc + 2 cos 3jc + cos 2jc.
197. Л cos (| - i) - 76 sin (f - i) -
198. ctg jc + ctg 2jc + ctg 3jc = -r^ .
cos2jc - cos4jc - 4sin3x - 2sinjc + 4
~—; "
2sinjc- 1
1 + 2sin x - 3A/2sinjc + sin2x _ 1
:—~ " — 1.
sm2x- 1
ол- 1 - sinjc + 73sin2x 1 , .
201. t=— = « + sin jc.
2V3cosjc-3 *
202.^-+ l l
— 0.
cosjc cos:csin2jc sin* cos2jccos3jc '
sin3jcsin6:c sin!2jc _ -
sin4jcsin8:c
sinjcsin2jc sin2jcsin4:c sin4jcsin8:c
204. cos 2jc + cos Щ = 2. 205. 2 cos | + 3 cos 3jc = 5.
206. 8 tg 8jc + 4 tg 4jc + 2 tg 2jc + tg jc = 16 4- ctg jc.
207. 2 sin 3jc + cos jc cos 2jc = (cos x + cos 3jcXtg2 jc + tg 2jc).
208. 4 cos jc + 1 + 4 cos 3jc cos jc = cos 4jc.
209. p + cos jc 4- cos 2jc + cos 3jc + cos 4jc = 0.
210. sin3 jc + sin3 2jc + sin3 3jc = 3 sin jc sin 2jc sin 3jc.
158
211. sin3 2x + sin3 f| - 2x W sin3 [2x - |я) = 0.
212. Jrtgx-2ctgx(x+jj)+tg(x+§{[)=0.
213. cos2 Sx + 7 cos2 jc = cos 3jc cos4 x.
4
214. 1 + cos 2x cos 3jc = ъ sin2 3jc.
z
215. cos2 jc + cos ^ cos2 x - cos ~ - 1 = 2\ sin - - cos x )
216. sinjc(cos| -2sinjcJ +cosjcfl + sin^ -2cosjc| =0.
217. cos2 x + cos2 2jc - 2 cos x cos 2x cos 4jc = -g .
218. (1 + cos jc)(1 + cos 2jc)(1 + cos 3jc) = |.
I 2 / о
219. sin jc + л/2 - sin jc + sin jc v2 - sin jc = 3.
220. cos jc cos 2jc cos 4jc cos 8jc = g cos 15jc.
221. 7 sin jc + 6 sin 3jc + 5 sin 5jc + 4 sin 7jc = 0.
222. 3 sin jc + 4 sin 3jc + 2 sin 5jc + sin 7jc = 0.
223. |sin 3jc|tg 5x = 1. 224. |sin jc|tg x + |cos jc|tg x -
225. cos
226. 5 sin5 jc - 3 cos3 jc = 5.
227. sin f g cos 2jc J = cos ( « n sin jc j .
228. sin (sin jc) = cos (—.— |.
v ' \smx)
229. 2sin2jc + sinjc2 = l.
159
230. sin (2x2 + x) cos x2 - sin (x2 + x) cos 2x2 = 0.
231. sin(3Vx + 2x)cos(x-2Vx)-
- sin 2(x + Jx) cos (3 Vx - x) = 0.
232. \ cos (x2 + x) + sin f x2 - -) cos x = 0.
233. sin (x2 - £) cos x + ^ cos (x2 - x) = 0.
234. tg V*+ 16 = tg 7x.
235. sin n Jx = cos я л/2-х .
236. tg ^ = ctg Зях.
237. Найдите все решения уравнения 2 cos 2x - 4 cos x = 1,
удовлетворяющие неравенству sin x > 0.
238. Найдите все решения уравнения
по п
sin х 4- sin 2x = sin Зх,
удовлетворяющие неравенству cos х < - - .
239. Найдите все решения уравнения
(1 + tg2 x) sin х - tg2 x + 1 = 0,
удовлетворяющие неравенству tg x < 0.
240. Найдите все решения уравнения
sin х cos ^ - cos x sin -^ = - - ,
удовлетворяющие условию -п < х < -^ .
241. Найдите решения уравнения
(1 + 2 cos 2x) sin х + (1 - 2 cos 2x) cos x =* 0,
удовлетворяющие неравенству п <
2х-5
3 '
242. Найдите решения уравнения
О г— О 9 V
2 4- cos - х + л/3 sin - х = 4sin - ,
160
удовлетворяющие неравенству sin f « + т ] > 0.
243. Найдите решения уравнения
(3 , п\ . (9 . пл о . /3 п\ . (Ъ 3
008 U* + +costX+j2smlXjSml7l
2
удовлетворяющие неравенству sin -z x < 0.
244. Среди корней уравнения = 0 найдите тот,
1 + tgux
который имеет наименьшее расстояние от числа
УГЗ на числовой прямой.
245. Найдите наибольшее значение х из промежутка
Го, 3gl, удовлетворяющее уравнению
*e(*+i) -ctgx-1.
246. Найдите сумму корней уравнения
расположенных на отрезке [1, 10].
247. Найдите решения уравнения tg пх = tg 2nx2, удов-
i i 5
летворяющие условию \х\ < т .
248. Найдите решения уравнения |sin (2х - 1)| = cos jc,
удовлетворяющие условию |х| < 2я.
249. Найдите решения уравнения Jsinx = Vcos(2 -h x),
удовлетворяющие условию 0 < х < 2я.
250. Докажите, что числа cos2 x , cos2 -^-, cos2 -g-
удовлетворяют уравнению 64х3 - 96jc2 -h 36x -1 = 0.
251. Найдите число корней уравнения
tg njx+ 90 = tg Ял/jc .
161
252. Найдите все значения х, удовлетворяющие
одновременно условиям: cos 13х = cos х, cos 2х + sin Ъх = 1,
Н<з.
253. Найдите общие корни уравнений
, о . 14я 1 Л . ях 14я . 14я , 1 Л
cos пх + 2 sin « = 0, sin -z— cos sin 1- -z = 0.
X с> & X X &
254. Найдите общие корни уравнений
. Зя Зя о к Л
sin cos 2 cos 5ях = 0,
л/3 sin Юях - 3 cos Юпх - sin — = 0.
255. Сколько решений в зависимости от а имеет
уравнение tg (х + a) tg (х + 2а) tg (х + За) = 1, 0 < х < я,
0 < а < я?
256. При каких значениях а уравнение
8 cos х cos a cos (x - а) + 1 = 0
имеет решения?
257. Докажите, что если некоторое значение х
удовлетворяет уравнениям
х2 cos a cos Р + x(sin а + sin Р) + 1 = 0
и х cos P cos у + x(sin P + sin у) + 1 = 0,
то это же значение х удовлетворяет также и урав-
нению х cos у cos a + x(sin у + sin а) + 1 = 0.
Решите уравнения (258—270).
258. 2 arcsin х • arccos х = 3 arccos -= • arcsin -7= .
Jx Jx
259. cos 2 arcsin x = x2 + 2 + 6x tg у .
260. 2 arcsin x = arccos Sx.
261. arctg (x - 1) = 3 arctg (x + 1).
262. arcsin x • arccos jt = -l.
263. cos 2 arccos x = arcsin cos x.
(2 \ ^2
- arccos x = arcsin - arcsin
я ; V^
162
265. arcsin (1 + |sin x\) = arccos f 1 + cos jg J.
266. arctg ^ - arctg
267. arcsin x = 2 arctg x.
268. arcsin2 x + arccos x=jn.
269. 2 arcsin x + arccos 2x = = тс.
л-л , xcosct , х-since л ^ тс
27°- агс*вГ^^ "arctg~^T ^a« 0<a< 2-
Решите систему уравнений (271—310).
|2sinx-3cosi/=72. sin
273.
73
1
s*~~2' 274.
COS X = 1.
— =23734,
st/ '
cost/
cosy
sin2 2x - (3 - Jl) tg by = ^ (3 72 - 1),
275.
tg2 5i/ + (3 - J2 ) sin (-2x) = \ (3 Л - 1).
276.
278.
i, ^ Linxsin^,
cos x cos i/ = \ . I 3 tg x = ctg i/.
cos 2x = tg Г у + 51. f tg x + tg i/ = 2,
27Q i 1
л # a" [ COS X COS I/
cos 2i/ = tg Г x + 5 j.
280.
COS X COS
. 2 /" 7C^ 2
xsm Ix- gl =i/cos
2 f 7СЛ .2
x cos x - ^ =i/ sin
163
281.
282.
283.
284.
285.
286.
287.
288.
289.
290.
291.
292.
293.
tg У ~ tg x = 1 + tg x tg y,
cos 2y + л/3 cos 2x = -1.
sin (2x + y) + sin (2x - y)
tg f л: + 5 ] + cos у = tg2 y.
cos i/,
f 6 cos x 4 4 cos у = 5,
I 3 sin x 4 2 sin у = 0.
f 4 tg 3x = 3 tg 2i/,
[ 2 sin x cos (x - y) = sin i/.
f ctg x 4 sin 2i/ = sin 2x,
1 2 sin x sin (x 4 y) = cos i/.
4 sin у - 6 л/2 cos x = 5 4- 4 cos2 i/,
cos 2x = 0.
sin x 4 cos x = 2 4 sin у 4 cos y,
2 sin 2x 4 sin 2y = 0.
sin (2x 4 y) = 2 sin i/,
sin (x 4 2y) = 3 sin x.
cos i/4 3 sin x sin i/ = 0,
21 cos 2x - cos 2y = 10.
1
cosx"^il =cosy-
J tg (y + x) = 4 sin x + 2 cos x,
I tg (i/ - x) = 4 sin x - 2 cos x.
f sin (x - y) = 2 cos x sin i/,
I cos (2x + y) + cos (x + y) cos x = 0.
cosx
sin(:r + y)
cosy
sin(:r + y)
2
3'
164
' [ 4 sin (2x 4 3y) 4 sin у = 0.
f a cos (2x 4 y) = cos i/,
^De I a cos (x 4 2y) = cos x, a > 1.
cos у = л/2 cos (x 4- 2y),
72 sin x = sin (2x 4 3y).
297.
3 tg | + 6 sin x = 2 sin (i/ - x),
tg | - 2 sin x = 6 sin (y + x).
298. | 3 cos (4л: - 2y) = V2 cos (2x -
72 sin (x + y) = 3 sin (i/ - x).
299.
5 sin x sin у + « cos x cos i/ = 2,
^ О ч x ч я,
о 6 0 < у < 71.
COS X Sill I/ - 2 Sill X COS I/ = - ,
Э
300
[l о Г ^,i
о - cos 2i/ = sin у - о (1 4 sin 2x),
tg2 x + ctg2 x = 6 tg2 y.
. I cos 2y + I = (cos у - |j (1 + 2 sin 2x),
301
sin у (tg3 x 4 ctg3 x) = 3 ctg y.
2 cos 2x = (1 - tg x)(l 4 sin у 4 sin 2x),
Q Q О
I 8 cos 2x(cos x - sin x) 4 1 = 25 cos y.
оло f cos x cos 2y - sin i/ cos 2x 4 2 cos x = 1,
1 cos 2x 4 3 cos 2y 4 8 sin i/ = 8 4 4 sin x sin y.
19 9 9
sin x 4 sin i/ 4 sin 2 = 2,
sin x 4 sin у 4 sin z = -1,
X 4 I/ 4 2 = 71.
165
12 cos x = 3 tg у,
2 cos у = 3 tg 2,
2 cos 2 = 3 tg x.
18 cos (x - y) + 4 cos (x + y) = 3,
8 cos (y - z) + 4 cos (i/ + z) = 3,
2 cos (z - x) + 10 cos (z + x) = -3.
307. I tgxtgy- Sin* +3,
, sin* -
gtg2 5
coszsinx
f sin x + sin у = sin a,
1 cos x + cos у = cos a.
g f sin x + sin i/ = sin a,
' I sin 3x + sin 3y = sin 3a.
310. J sin x + sin у = sin a,
I sin 2x + sin 2y = sin 2a.
Решите неравенства, полученные из уравнений 51—
150, заменой знака «=» на соответствующий знак
неравенства по следующему правилу: для номеров 51, 55,
59, ..., т. е. для номеров вида 4k + 3, ставится знак «>»;
для номеров 52, 56, 60, ..., т. е. для номеров вида 4k,
ставится знак «<»; для номеров 53, 57, 61, ..., т. е. для
номеров вида 4k + 1, ставится знак «>»; для номеров 54,
58, 62, ..., т. е. для номеров вида 4k + 2, ставится знак
Раздел 5
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
5.1. Определение. Разные задачи
Равенство
log J?
а а =Ь, (1)
где а > О, а ф 1 (а — основание логарифма}, Ъ > О,
определяет число loga b.
Зная одно лишь это определение, уже можно решать
не очень сложные задачи. Например:
1. Вычислить: a) log8 16; б) [^J
Решение, а) Если log8 16 = х, то по определению
логарифма 8х = 16, или 23дс = 24; х = |.
о
3
б) Поскольку ^ = 2 2 = 42 = 4 4 , то
I J V27
Каждая из функций у = ах и у = loga x(a> 0, а^1)
является обратной по отношению к другой.
167
Напомним, что функция у = ф(х) является обратной
по отношению к функции у = /(х), если областью
определения функции у = ф(х) является область значений
функции у = f(x) и для любых а и b таких, что b = /(a),
справедливо равенство а = ф(6). Для того чтобы функция
У = f(x) имела обратную (являлась обратимой),
необходимо и достаточно, чтобы каждое свое значение она
принимала ровно один раз. В частности, достаточно, чтобы
у = f(x) являлась строго монотонной функцией. Если
у = f(x) и у = ф(х) две взаимно обратные функции, то их
графики симметричны относительно биссектрисы 1-го и
3-го координатных углов. Ясно, что, во-первых, и само
понятие обратной функции симметрично (т. е. функция
у = f(x) является обратной по отношению к функции
у = ф(х), если у = ф(х) обратная к у = /(*)), во-вторых, не
любая функция имеет обратную и, в-третьих, для пары
взаимно обратных функций областью определения
одной из них является область изменения другой и
наоборот.
Формулируя свойства логарифма (часто словесно),
мы обычно для краткости опускаем слова, указывающие
на область применимости (например: «Логарифм
произведения равен сумме логарифмов...»). К сожалению,
подобная неаккуратность иногда переносится и на задачу,
что приводит к печальным последствиям (в частности,
к потере корней при решении уравнений).
Известные школьные свойства логарифма полезно
пополнить еще одной формулой.
Прологарифмируем равенство (1) по основанию с (О О,
с Ф 1). По правилу логарифмирования степени будем
иметь loga b • logc a = logc 6, откуда
\ogcb
В частности, если с = 6, то log b =
\ogba'
Обратим внимание в связи с этим на одно забавное
«мнемоническое» правило, используя которое можно ус-
168
корить процесс упрощения выражений, содержащих
произведения и частные логарифмов. Если поставить в
соответствие логарифму logfl Ь дробь - и то же сделать
для других логарифмов, то равенству loga b • logc a = logc b
b a b
можно поставить в соответствие равенство - • - = - ,
которое означает обычное сокращение на а. Аналогично
можно подойти и к равенству (2). (Заметим, что это
сходство с дробями дальше не распространяется.)
Рассмотрим пример.
2. Упростить выражение
log2 3 • log3 4 • log4 5 • log5 6 • log6 7 • log7 8.
Решение. На основании нашего правила после всех
сокращении получим дробь -г, которой соответствует
log2 8 = 3.
Еще раз решите эту задачу, преобразуя каждый из
заданных логарифмов по формуле (2), взяв с = 2, иными
словами, перейдя во всех логарифмах к одному
основанию 2.
Вообще при решении любых задач, содержащих
логарифмы по различным основаниям, следует запомнить
одну рекомендацию, почти не имеющую исключений:
необходимо перейти во всех логарифмах к одному
основанию.
Сформулировав это « почти» общее правило,
рассмотрим, однако, два примера, в которых осуществляется
это «почти», т. е. переход к одному основанию в них
ничего не дает.
3. Сравнить: а) log2 3 и log3 5; б) log10 11 и logn 12.
Решение, а) Попытаемся подобрать такое
рациональное число г, которое разделило бы данные числа, т. е.
было бы больше одного из них, но меньше другого.
Заметим, что оба логарифма больше 1, но меньше 2.
169
3 3
Попробуем сравнить ихст. Оказывается, log2 3 > -z ,
з
так как 3 > 22 , З2 > 23, a log3 5 < |, так как 52 < З3.
Таким образом, log2 3 > log3 5.
Предложенный метод сравнения можно назвать
методом « вставки» (между двумя сравниваемыми
«плохими» числами вставляется «хорошее» число) или
методом «разделения» (находится число, разделяющее два
данных числа). Иногда этот метод реализуют в иной
форме: ищут такое натуральное число k, при умножении
на которое сравниваемых чисел а и Ь получают такие
числа ha и kb9 что между ними находится хотя бы одно
целое число. Этот метод имеет весьма широкую область
применения.
Однако он с трудом реализуется, если сравниваемые
числа очень близки друг к другу, как это, в частности,
имеет место в пункте б). При решении этого примера
срабатывает один любопытный прием. Вычтем из
рассматриваемых чисел по 1. Тогда получим:
+ То) > 1о^и i1 + То) > 1о^и i1 + и) "
= logn 12-1.
В первом неравенстве мы пользовались тем, что если
с > а > 1, b > 1, то loga b > logc b (т. е. тем, что при b > 1,
х> 1 функция у = log^. b = | убывает), во втором —
монотонность функции у = loga х.
Подоплека этого приема запрятана достаточно
глубоко. Дело в том, что оба сравниваемых числа очень
близки к 1. Вычитая 1, мы получаем числа, близкие к нулю,
более удобные для сравнения (так как возрастает
относительная разность).
170
5.2. Показательные
и логарифмические уравнения
Специфика решения уравнений рассматриваемого
класса по сравнению с алгебраическими состоит в
расширении методов и формул преобразований, в
частности, добавляются две взаимно обратные операции —
логарифмирование и потенцирование; в пополнении
списка замен, целью которых, как правило, является
сведение данного уравнения к алгебраическому; и,
наконец, в добавлении двух элементарных уравнений:
ах = b (х = \oga b) и loga x = b (x — ab).
Рассмотрим несколько упражнений.
4. Решить уравнение V8 • 3х + 2 - 23 = 2 - 3х + \
Решение. Сделаем замену у = 3*. Получим уравнение
*J72y - 23 = 2 - Зу. После возведения в квадрат и
упрощений приходим к квадратному уравнению
Зу2 - 28у + 9 = 0.
Корни последнего 7 и9.
о
Второй корень является посторонним (если у = 9, то
2 - Зу = 2 - 27 = -25 < 0). Таким образом, у = i .
Возвращаясь к неизвестному х, получаем 3х = З"1, х = -1.
Ответ. -1.
При решении этого уравнения имеет место
достаточно типичная ситуация: уже после первого шага —
замены неизвестного — мы получаем алгебраическое
уравнение и вновь возвращаемся к показательной функции
уже в самом конце и на уровне элементарного
уравнения. По существу, это уравнение если и относится к
категории показательных, то лишь по внешним,
несущественным признакам.
171
5. Найти корни уравнения (-J • /- = -(V3)3* 4.
Решение. Группируем отдельно степени с основанием 2 и
Ux-2)
с основанием 3. Получим 3 = 2 , откуда
22
= 1, х = 2.
Ответ. 2.
6. Решить уравнение log2 (х - 4jc) = 2 log2 (18 -
Решение. Грубой ошибкой, о которой мы уже
предупреждали читателя, было бы преобразование левой части
на основании равенства log2 a = 2 log2 а, верного лишь
при а > 0.
Потенцируя данное равенство, будем иметь уравне-
о о о
ние (х - Ах) = (18 - Ъх) , среди решений которого надо
отобрать те, для которых 18 - Ъх > 0, т. е. х < 3,6.
Полученное уравнение распадается на два:
х2-4х= 18 - 5л: и х2 - 4х = -18 + Ъх.
—1 — а/73 —1 ■+■ а/73
Корни первого ^— и -^— , корни второго 3 и 6.
Подходят -1~2^ и 3. (Докажите, что -1 ^^ > 3,6.)
Ответ. 3;
7. Решить уравнение (^2 + 7з )х + (^2 - 7з )х = 4.
Решение. Сделаем замену у = (J2 + J3)x. Поскольку
(2 + V3 ) • (2 - а/3 ) = 1, то второе слагаемое в левой части
уравнения равно - . Получаем у + - =4, откуда
1/ У
ух = 2 + л/8 ; i/2 = 2-V3.
Ответ.-2; 2.
172
8. Решить уравнение
о o
logx + 19 (2х2 + Звх + 1) = log4 8 + cos2 ±^ .
Решение, Правая часть уравнения равна 2. Имеем:
2х2 + 36* + 1 = (х + 19)2; х2 - 2х - 360 = 0.
Корни этого уравнения -18 и 20.
Первый корень не удовлетворяет исходному
уравнению, поскольку при х = -18 основание логарифма
становится равным 1.
Ответ. 20.
х-1
9. Решить уравнение 5* • 8 = 500.
Решение, Прологарифмируем данное уравнение по
основанию 5 (или 2). Вообще говоря, можно
логарифмировать по любому основанию, но не совсем удачный выбор
основания может привести к громоздким
преобразованиям.
Имеем
log5 2 = 3 + 2 log5 2,
) - 3 log5 2
= -log52.
х2 + x(log5 2 - 3) - 3 log5 2 = 0,
Ответ. -log5 2; 3.
10. Решить уравнение
3 logx 4 + 2 log4jc 4 + 3 log16x 4 = 0.
Решение, Перейдем во всех логарифмах к одному осно-
/ I°g24 2 Л
ванию 2 так, например, log,- 4 = : гг~ = ■ и
^ г °1одс iog2i6x 4 + log2x;
сделаем замену у = log2 jc.
Получим - + + = 0. Корни этого
уравнения-3 и-1.
п 11
Ответ, g ; ^ •
173
Аналогичное преобразование — переход к одному
основанию — можно осуществлять и для функций
показательных. Например:
log 2дг Iog25
11. Решить уравнение 5 + 2х = 15.
Решение. Преобразуем
l0g25 _ /Kl0g5*
X — {D )
Уравнение имеет вид:
Iog25
= 5
log 2ДГ
5 * +2 • 5 =15, 5 =5,
log2x=l, x = 2.
Ответ. 2.
При решении уравнений, содержащих
логарифмические и тригонометрические функции, как правило,
наиболее трудной задачей является отбор корней.
12. Решить уравнение
log • [cos х - г ] + logsin „ f sin x - 7l ] = log • 0,03.
Решение. Из данного уравнения следует, что
(cos х - 51 f sin x - =1 = 0,03.
(Понятно, что на sin x и cos x наложены ограничения:
sin х > « , cos x > -z . Ясно также, что sin x Ф 1.)
Откуда sin x cos х - х (sin х 4- cos х) + 0,22 = 0.
Сделаем замену у = sin x + cos x> тогда
п
у = 1 + 2 sin х cos х и sin jc cos x =
Получаем относительно у уравнение
2
0,22 = 0, i/2 -у- 0,56 = 0,
(/! = 1,4, у2 = -0А.
174
Второй корень не подходит, так как должно
выполняться неравенство sin x + cos x > 1 (это следует из
ограничений). Получаем уравнение sin x + cos x = 1,4.
Перейдем к тангенсам половинного угла: z = tg « • Будем
2
иметь —2-= + ^5 = I»4» откУДа 2,4z2 - 2z + 0,4 = 0,
1 + z2 1 + z2
1 = 1
zi 2 • 22 з "
х 1 4
Теперь найдем sin х и cos х. Если tg ~ = о ♦ то s*n х = 5 '
3 х х 1 3 4
cos х = g ; если же tg « = о , то, наоборот, sin х = ^ , cos x = g .
4 Ч
Ответ, arcsin •= + 27сЛ; arcsin ■= 4- 27сЛ.
э э
Мы не будем здесь рассматривать примеры систем
уравнений, содержащих показательные и
логарифмические функции, поскольку никакие новые идеи по
сравнению с уже рассмотренными в нашем пособии не
включаются в стандартную схему.
5.3. Показательные
и логарифмические неравенства
Решение показательных и логарифмических
неравенств основано на монотонности показательной и
логарифмической функций. В общем случае, если функция
у = f(x) монотонно возрастает, то из неравенства
f(a) > f(b) следует, что а > Ь. Подчеркнем: именно из
первого следует второе, поскольку обратное
утверждение: «Если а > Ь, то f(a) > /(Ь)» — может оказаться и
неверным, так как аиЬ (вместе или порознь) могут не
принадлежать области определения функции у = f(x).
Если же у = f(x) монотонно возрастает (или
убывает) и определена при всех х, то неравенства f(a) > f(b)
и а > b (a < b) оказываются эквивалентными. Именно
это имеет место для показательной функции.
Рассмотрим решения нескольких неравенств.
175
13. Решить неравенство
7l-3x2-5x + 7-3x2-5x <g m 76(jt + l)
Решение. Имеем
у . у-Здс2 - 5дг у-Здс2 - 5дг < g -6(х + 1) у-Здс2 - 5дг _6х + 6
Функция у = 7* монотонно возрастает, значит,
-Зх2 - 5х < 6х + 6.
2
Ответ, х < -3; -« < х.
14. Решить неравенство log0 5 (х2 + 2х - 8) > -4.
Решение. Функция i/ = log0 5 ^ монотонно убывает,
следовательно, потенцируя, меняем в неравенстве знак
на противоположный. Получаем х + 2х - 8 < 0,5~4.
К этому неравенству надо добавить х + 2х - 8 > 0
(область определения).
Решая систему неравенств, получаем -6 < х < -4,
2<х<4.
Ответ. -6 < х < -4; 2 < х < 4.
Если в неравенстве фигурирует логарифмическая
функция, содержащая неизвестное в основании, то
обычно рассматриваются два случая: основание больше
1 и основание меньше 1 (но больше нуля).
15. Решить неравенство log г(5дг+ 6) > 1.
Решение. Рассмотрим два случая:
2 2
1) Ах > 1. Тогда 5х + 6 > Ах (при потенцировании
сохраняем знак неравенства). Решая систему из двух нера-
3 11
венств, находим -т < х < -х , -^ <х <2.
п о
2) 4jc < 1. Тогда Ъх + 6 < Ах (знак неравенства
меняется).
К этим двум неравенствам следует добавить еще два:
х > 0 (т. е. х Ф 0) и 5х + 6 > 0 (область определения). За-
176
метим, что в первом случае нет необходимости в
добавлении аналогичных неравенств.
3 11
Ответ. ~7 < * < 2 ' 2 < * < ^"
Обратите внимание, что в этом неравенстве правильный
ответ можно получить, не рассматривая второй случай.
Ясно, однако, что его отсутствие является грубой ошибкой.
При использовании для решения рассматриваемых
неравенств метода интервалов полезно запомнить две
следующие рекомендации:
Выражение аь - а при а > 1 имеет тот же знак, что
(Ь- с), и противоположный, если 0 < а < 1. Оба варианта
можно объединить в один: выражения аь -а и (а - 1)(Ь - с)
имеют один знак.
Аналогично logfl Ъ и (а - 1)(Ь - 1) также имеют один
знак (докажите самостоятельно). Правда, формальная
замена множителя loga Ъ выражением (а - 1)(Ь - 1)
приводит к расширению области определения, и об этом
нельзя забывать.
( 4х2 ]3х2~х (х*+
16. Решить неравенство —А > т-
U +lj I 4x2
(x+iY r*+iY
Решение. Имеем ^г ~ з~ < 0. Ле-
l 4x2 J I 4x2 J
вую часть неравенства заменим на
АО О
Получаем (х - Ах + 1)(3х - 2) < 0 (не забудем и про
условие х Ф 0).
Последнее неравенство решается методом интервалов.
Ответ. -J2 4-
177
<*<-/§; ~л/2 - 73 < х < 0;
\3
17. Решить неравенство
\og2x(bx-l)\og3x(7x-l)
Решение. Заменяя каждый множитель на выражение
того же знака, приходим к неравенству
(2s-l)(5s-2)(3s-l)(7s-2) >Q
15х2+2-11х
1 1 1 _
при условии х>-=ухФ^уХ^^. Разложив на множите-
Э Z о
ли знаменатель, получим неравенство
(2x-l)(5x-2)(3s-l)(7s-2) >
(Зх-1)(5х-2) ^ "
12 1
Ответ. ■? <х<=; * > <> •
5.4. Задачи
1. Вычислите:
~51о8ч 2 " log272 log ге 4 - log5 2 + 21og,5 3
а) 27 3 3 ; б) 5 Л ;
ж) lg (sin2 10° + sin2 80°) + lg (sin2 20° + sin2 70°) +
+ lg (sin2 30° + sin2 60°) + lg (sin2 40° + sin2 50°);
3)lgtgl° • Igtg2° • Igtg3° • ... • Igtg88° • Igtg89°;
и) lg tg 1° + lg tg 2° + lg tg 3° + ... + lg tg 88° + lg tg 89°;
к) log15 20 log16 15 log17 16 log18 17 log19 18 log20 19.
178
2. Определите знак числа:
б) (1 - 0,87557) log0 5 (1 - log59 0,95);
в)
(0,3 Х -0,3 yy)log0570,75
log0 99(0,7"1(log25-l))
Г> ! 99 Л01 •
0,99-0,99
3. Сравните два числа:
2 1
a) log5 3 и д ; б) log2 5и2^;
1 f- 21og9 5 + logn с 9
L0 и-2±; г) 7§ и 2 2 °5 ;
з
logo 5 logo 2
д) 2 и 5 ; е) log8 5 и log6 5;
ж) log2 5 и log5 32; з) log7 8 и log8 9.
4. Найдите lg 56, если lg 2 = a, log2 7 = b.
5. Найдите log30 8, если log30 3 = a, log30 5 = b.
6. Найдите log6 16, если log12 27 = а.
7. Найдите log5 3,38, если lg 2 = a, lg 13 = b.
[з #-\
—j=- , если logab а = п.
9. Найдите область определения функции:
а) у = Jx2 - 25 log0fl (42 + х - х2);
2 ,ч
x -1);
г) у = lg (1 - log! (x + 5)); д) у = logx_ х f-p=] ;
г W9 - х2;
I 2
ч л , л 2ч /1 + Iff X л
e) i/ = lg (4 - лс^2) \- - 1 .
179
10. Постройте график функции:
а) у = 2х ;
Д) У = log* 2;
log2log2 х
log, х
9 3 ;
е) у = log2 sin x;
ж) у = х
\og2x
ж) у-№4; к>„-:
Решите уравнение (11—128).
2
11.
ч 2
8)
= 4. 12. (0,5)*2 • 22ж + 2=^.
13. 72=4* ~4х -9-20-75.
14. л/г'2"2
15. х~\1^
-t /J лг 1 ~ "Х
ХО. ZD
17. (ff + 2'
18. 2*2 + x"
19. *] 3
20. 3I + 1-
21. (0,81)*
22. З7* - f
23. 3 • б*'
180
*-10=7зз
+3 • *2-\ll
= 54-6,
— Iе) 01
6 _ 2х + х ~
-7 • Тз*1
5* + 3*-х-
^-(О.Э)2*-
2-2- 54^
+ Л28 -1.
252(х-1)=,+
9 =56.
58 =162.
ъх-х = ъх-г_
-3^+1+5-
с-5 = 0.
\J25x+i.
Зх~2.
5-9-(0,1)2*~2 = 0
Д+2 _з^+2
24. (0,1)' + * + (0,01)х = 0,02.
25.
4дг + Jx - 2 _ g ш 2x-\ + Jx-2 = g
2х + 2 + 8х = 5 • 4х.
9х + 1-3 • Зх + 3-27 • 3х"2 + 27 = 0.
22х + 1 - 5 • 6х + 32х + х = 0.
- 6х + 3
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36. (6 - 735 )х + (6 + V35 )х = 142.
37. 8(4Х + 4"х) - 54(2Х - 2"х) + 101 = 0.
QQ оЗх 8 „( ох 1 ^ I
оо. 2 ^ - 6| 2 —г ] = 1.
Зх+л/зх+2- 7х =3 •
О2х2 - 6х + 3 . сх2 - Зх + О
О + О = Z
8х + 18х - 2 • 27х = 0.
3 • 4х + (Зх - 10) • 2х + 3 - х = 0.
• 4х+ 5 • 2х + 1
39. |*-3|
41. 2|х + 21-
42.
у -8х+ 15
х-2
2х+ 4.
1.
40.
! • 3х - 2
=9
х-1
25 х + 8 + 16 • 25х 1 + 4 • 25*
181
43.
45.
46.
48.
4cos2x
4sin x -
2 sin2*
Icosxl
-
3
+
sin
.2sin;
2
2cosx
2x-l,5!
-3 = 0.
* + cos* +
= 3.
sinx + 0,5
44.
2 • 4
47.
4'-
COS X _
aCos 2x
+
0.
+
2cos2x
2
4COS x
= 8
= 3
49. 0,5 lg (x + 3) - 2 lg 2 = 1 - lg V25x+375 .
50. 21g2 x + lg x2 = 272 + 72 lg x2.
51. 21glgx = lg(3-21gx).
52. log2 log2 (5x - 4) = 1 + log2 log2 x.
53. lg (Юх) lg (O.lx) = lg ж3 - 3.
54. lg2 (100*) + lg2 (10x) + lg2 x = 14.
55. 37log3x - log3 (3x) = 1.
58. log5 _ x (2x2 -5x + 31) = 2.
59. log 2 (3x2 + x - 4) = log8 16 - log27 3.
60. log 2 (x3 - 3x2 - 3x + 1) = 2.
x -4x+ 1
61. log3 (3* - 8) = 2 - x.
62. 2* + 1 = 2 log2 (9* + 32* " l - 2х + 3>5).
63. x(l-lg5) = lg(2x + x-l).
64. 2(lg2-l) + lg(5^ +l) = lg(51"V* +5).
65. log3 (3X - 1) • log3 (3X + x - 3) = 6.
182
66. х + lg (1 + 2х) = x lg 5 + lg 6.
67. log6
68. I
1 - 3) = log6 log 93 - Y lo^6 4-
+ 1 _ о clg^"! io n\g x - 1
— О " 0 lo * I
69. 531вх=12,5х.
71. (0,4)x2"2 • (0,5)' '3
2x- 1 x
x-l
70. 16 x ■ 5* = 100.
72. 6 x • (0,75)*+1 =6л/2 • 313.
73. З'"3=5х -7х+12. 74.
75.
(J?)
= 710. 76. ж 4 =10lgx + 1.
77.
79.
14
10827 =1. 78.10
•we..«, о logn X logo 3
81. jc = jc • 3 - x
82.
1 2
\ogz{x
-1)
l ^
83. g) - V2(x-1).
84. log4 jc + log 2 2 = 1. 85. logx 2 • log2x 2 = log4 2.
86. \og\ (Ax) + log2 (у) + 7 = 0.
2
log9x logR(4x)
183
89. J\ogxj3x • log3jc
91. 3x log3 x + 2 = log27 x3 + 6x.
92. (log4 (2x + 9) + 1) • log(x + 2) 2 = 1.
х \
93. log
гх \r
1-2* 4 4iog2(i_2x)
94. log 2 (2 - x2 - x4) = 2 1 r .
2-2* Iog4(2-2x2)
3
95. log2 x • log2 (x - 3) + 1 = log2 (x2 - 3x).
96. lg2 (x + 1) = lg (x + 1) • lg (x - 1) + 2 lg2 (x - 1).
97. x2 log6 7бх2 - 2x - 3 - x log j (5x2 - 2x - 3) = x2 + 2x.
98. x2 log2 {^\ - x2 logi (2 + 3x) =
10
99. log3 log ~ x + 2 log^ogg 2x - q = 0.
9 V ;
100. 2 log log ! (2 + x) + log2 logx f 2jc + yl = 0.
101. \ Iog9(j21x-x2 - V26 -2)-
184
102.
103.
104.
105.
107.
108.
Iog2(7-4x-Iog210) + log05(9V3 - 2x -5 + Iog0520) = 0.
log3 2 + log3 log3 (4 - x) = log3 log3 (19 - 6x).
+\Jx -I|) = log
J\ogxjbx = -log, 5. 106. 3 log2 x2 - log2 (-x) = 5.
721og8(-x) - log8 Jx2 = 0.
2Vx-l =logi(*-l).
2
log3;c + 7 (9 + 12* + 4*2) + log2x + з (6x2 + 23x + 21) = 4.
109
110. log2;t + j (5 + Sx - 4x2) + log5 _,
111. log^^^-Sx+lJ-logj.g
112
4x + 4x2) = 4.
- 4x + 1) = 2.
logx + x (1 - 3x) = log /—- (1 - 2x - 3x') - 1.
V 1 ~ о X
1 , 1 .
^ + loggSinX ^ + log 2 COS X
2-62 =22
3 log! sin ж + log2 (1 - cos 2;c) = 2.
2 log3 ctg x = log2 cos x.
cosx
113.
114.
115.
116.
117.
118. 5-
lg(0,5+ cos x)
119. logcin ,„ (cos x - cos
esin ox ^
12°- logsin ж 2 + logcos x 2 + logsin x 2 logcos x 2 = 0.
121. (logt x cos x + 2) log^ x cos x = 2 - logct x cos
122. 9 loe.:. „_ (4 cos2
8 loe2 cos жsin
185
123. logc
124. It
125. log,
126. log
+ cos x - sin2 x - Л sin
in x ] = 2.
logo 5 logo 2
-2)= 2 3 -5 3
- 1 ) = cos2
_
log2x
127. V4 - x • 4 + log3 (x - 2) = 9, x — целое число.
128. 77-2* • 410*4 X + log, ( 2 - %) = 2V8-x , x — це-
129.
131.
4" 2,
лое число.
Решите систему уравнений (129—153).
2 = 4х + 8, 130. i 3х -5^ = 75,
\х + 1 + у + 1 = 0. 1 3* • 5х = 45.
133.
134.
2х . ^ = 8.
(х-у) • (0,5У'х = 5 • 2Х-*,
(х-у) 7 =125.
4х + 2У = 12,
132. i7' 2x + 6j/ = 2,
3 • 2х + 1 - Ъу = 93.
/Зх - 2{/ = 75 + х - 3{/.
135. b + 2x = j/ + 2J', 136.
I х2 + xj/ + у2 = 12.
137. | (4^2 ~ У + 6) ' 2* = 20^«
' 1 ж + log2 у = 2.
log^ (х - у) = 1,
logI{, (х + у) = 0.
138.
186
139.
log, i/ - logtf x = 2 •
140. J
141.
142.
\lg(2x-y)-lg(2x + y
logi (ху) + у + 2 = 0,
3
xy
log.
2 I—
x Jy
log8 x ■ log2 (y + I)2
143.
144.
log3j/-log3*=l.
log2 x = log4 у + log4 (4 - x),
log3
y) =
145. J !g2 ^ = !g2 У + !g2 (xy),
146.
147.
148.
149.
lg2 (^ - y) + lg * lg у = 0.
2*-»-2 • 6*"»-6-^-0,
log2 (65 - 22 +
bg2 (.2Л1У* 1 = l°g2 (* " 1) " bg2 (2 - x).
2{y-2x+6
log2 (x2 + y2) - log2 x = log2 (3y + x) - 1,
= 7,
187
|о*ух 2.5
150. \v* = * .
\log4y • logy(y-3x) = l.
151.
log2 x • log3 (x + y) = 3 log3
log2 x + log4 у + log4 2 = 2,
153. log3 у + log9 г + log9 x = 2,
log4 z + log16 x + log16 у = 2.
Решите неравенство (154—224).
154.
156.
157.
158.
155 W
155. Щ
+2<9
1 2
<3~
160.
8 <71-х . (8Д}* +6
+ 4 + 22x + 1-22x*3>2x + 2 + 0,5x~x-2x +
-2 /1\*-1
5.
4 • 9X-11 • 3X -5
161.
5 • 3X - 3
163. 2k + 2|>16.
165. 3|ж + 2| + 3|ж
L. 162. |3*-2|<1.
164. 54x + 2|<0,2.
166. 9 • 2X73+ x + 9x • 2х + 3 > 27 • 2х +
188
+ х.
167.
+2
>4.
x-1
168. (Л +2)Х~1>(Л ~ 2)x+1.
169. log5 (x2 - Ах + 4) < 2. 170. log3 4x2 + х - 2 < 1.
171. 1с
172. log п (х - Зх + 2) > 2.
sm5
173.
175. =
< 1. 174. 5
log
»-2
3 х
logJ-2(17-x)
3
177. i
log3logi^2-|)
179. (0,4)
180. (2х + 3
181. (3* + 2 + 3~*)31g*~
Зх)
182. log22 (2 - х) - 8 log0 25 (2 - x) > 5.
2 + 2)3
183. logg (x - x* + 2) + log0 5 (* ~ * + 2> + 2 < °-
184. 7log9(3x2-4^+ 2) + 1 > log3 (3x2 - 4x + 2).
-i oe /i (c*x — oX ~b ЗЛ ^ , /^2x — 3x 4" ЗЛ
loo. A/log т + 1 > log2 r .
186. Iog3.2x|>l. 187. logx_25<l.
189
log, 2 • log2, 2 • log2 (16x) > 1.
log2
x-l
3-2x
1-х
log3 (3х - logj (2x -\x + 1|)) > x.
2
188.
189.
190.
191.
193.
194.
195.
196.
198.
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
208. log, + l (xz + x - 6f > 4. 209. log
2 3^
192. log, (|ж - 2| - 1) <
197. log 2 (x - 4) > 0.
x - ox + о
log ^r (3x3 + 2x2 - 6) > 3.
Iogx + 1(x3 + 3x2 + 2x)<2.
log 2 (x2 + x - 1) < 0.
x
log, (10x + 3) log10, (3x + 10) > 0.
log2_,(x + 2) log, + 3(3-x)<0.
log
•JzS-
7x+6
log, + 2 (x(x + l)(x + 3)(x + 4)) > 2.
logI_3(^2-4x)2<4.
+ 1
190
210.
log
+2)
< 2.
211. log 2 (x2 - 16) + log 2 (x2 - 16) <
* -8x+16 x +8*+16
212.
- 16
2
!<***-1в<* -8х+1в)
6 l + log2(2+x)
2х+ 1 > х
215. (х + 1) log8 (х2 + 2х - 2) < 0.
216. (х2 - 5х + 3) lg (l - |j > lg fj^j.
217. log5 л/Зх + 4 • log^ 5 > 1.
218. Iog2;c_12<log2;c + 14.
219. log5 (x2 - 9x + 20) • log5 _ , 25 >
log3x 6
<
220.
J3-X+ 2x
< о.
221.
(x2 - 3x + 2)(7x2+ 3 - 2x)
|-x-2)f
222.
223.
)
logx(4+ x)+ 1
o* +
i _ 2W
0.
Iog2|x-
0.
224. x2log0 5 (2x - 3) - 2 log0 5 (x + 3) >
> x2 log0 5 (x + 3) - 2 log0 5 (2x - 3).
191
Раздел 6
ПЛАНИМЕТРИЯ
6.1. Построение чертежа
Решение любой геометрической задачи начинается с
чертежа. Умение построить хороший грамотный
чертеж, помогающий решению задачи, является
важнейшим элементом геометрической культуры.
Можно выделить некоторые, к сожалению, трудно
формализуемые принципы, которыми следует
руководствоваться при построении чертежа. (Подчеркнем, что
речь идет о построении чертежа на этапе собственно
решения задачи, а не об оформлении решения на чистовике.)
Прежде всего чертеж должен быть «большим и
красивым». Это вовсе не означает, что чертеж должен
выполняться по всем правилам черчения, с использованием
соответствующих инструментов. При небольшом навыке
чертеж может быть хорошо сделан и от руки.
Важнейшим требованием к чертежу является
требование лаконичности. Следует изображать лишь
«функционирующие» части геометрических фигур. Так,
например, если в задаче надо найти радиус окружности,
вписанной в треугольник, то в большинстве случаев
саму эту окружность не следует изображать. Если же в
условии задачи фигурируют точки этой окружности, т. е.
окружность «функционирует» в условии, то ее
изображение может оказаться полезным для решения задачи.
При этом даже такой пустяк, как «что раньше
изобразить: окружность или треугольник?», может
существенно сказаться на качестве чертежа, а в результате — и на
192
решении. К сожалению, учебные пособия часто дают
нам примеры чертежей, перегруженных ненужными
деталями, служащих скорее иллюстрацией к задаче, чем
элементом ее решения.
Не следует думать, что на начальном этапе решения
задачи заканчиваются проблемы, связанные с
построением чертежа. Имеется немало задач, процесс решения
которых состоит в последовательном уточнении
особенностей рассматриваемой конфигурации с
соответствующими переделками чертежа, так что окончательный вид
чертеж принимает лишь одновременно с окончанием
решения. В этом смысле в учебных пособиях иногда
приводятся чертежи, построить которые можно, лишь
полностью решив задачу. Полезно было бы давать не
итоговый чертеж, а нечто вроде мультфильма,
показывающего, как изменяется чертеж в процессе решения
задачи, но эту идею трудно реализовать в книге.
Необходимо избегать чрезмерного усложнения
чертежа. Этого можно добиться, в частности, за счет
выносных картинок, изображающих фрагменты общей
конфигурации. С другой стороны, стоит непосредственно на
чертеже указывать числовые или буквенные значения
линейных или угловых величин, заданных в условии
или полученных (введенных) в процессе решения.
Говорят, что геометрия есть искусство правильно
рассуждать на неправильном чертеже. В этих словах есть
доля истины. Очень часто решение задачи не зависит от
числовых данных, указанных в условии. Более того,
формально логическая структура решения не должна
опираться на чертеж; как говорят, решение не должно
апеллировать к чертежу. И все же легче и лучше
правильно рассуждать на правильном чертеже, на котором
прямой угол выглядит как прямой, соблюдены
пропорции и соотношения, заданные в условии, и не
приходится напрягать воображение, чтобы узнать в кособоком
овале окружность. Правильный чертеж поможет
увидеть особенности геометрической фигуры, необходимые
или полезные для решения задачи. Например, может
«подсказать», что какие-то точки расположены на одной
193
прямой или одной окружности или что прямые
пересекаются в одной точке. Конечно же эти особенности в
дальнейшем должны быть обоснованы без ссылок на
чертеж. При этом иногда приходится делать два
чертежа. Первый, правильный, с помощью которого можно
сделать геометрические «открытия», и второй, заведомо
неправильный, для проведения доказательства.
С другой стороны, если в задаче идет речь о фигуре
общего вида, например о произвольном треугольнике
или четырехугольнике, то необходимо, чтобы фигура,
изображенная на чертеже, не имела характерных
особенностей, присущих «хорошим» фигурам; в частности,
треугольник не должен быть прямоугольным или
равнобедренным, а тем более правильным, четырехугольник —
быть похожим на параллелограмм и т. д.
Ограничимся пока общими рекомендациями по
построению чертежа, поскольку уровень сложности задач,
содержательно иллюстрирующих эту тему, превышает
начальный. Кроме того, умение строить нужный
чертеж, понимание, где надо постараться и выполнить
чертеж поточнее, а где можно обойтись не очень точной
схематической картинкой, приходит с опытом. В
дальнейшем мы еще не раз будем возвращаться к этой теме
и при этом рассмотрим отдельные специальные
приемы, используемые при решении некоторых типов
задач. Пока же главное — выработать некоторые
минимальные практические навыки, а также привычку
начинать решение любой геометрической задачи с
чертежа.
6.2. Выявление характерных особенностей
заданной конфигурации
В простейших случаях ход решения задачи виден
сразу после ее прочтения или же построения чертежа.
Остается лишь реализовать это решение технически —
произвести необходимые доказательства, сделать
вычисления. В других, более сложных случаях технической
стадии предшествует несколько этапов, один из которых
194
состоит в выявлении характерных особенностей
конфигурации, рассматриваемой в задаче.
Эти особенности, в частности, могут быть следствием
специального подбора числовых данных задачи. В этом,
кстати, одна из причин, почему при построении чертежа
надо стараться выдерживать заданные пропорции. При
этом конечно же нельзя забывать о том, что выявленные
особенности требуется строго доказать. Иногда для
этого, как уже отмечалось, полезно сделать новый,
намеренно неправильный чертеж.
Вообще роль числовых данных в задаче может быть
самой различной. В одних случаях задача не решается в
общем виде, и лишь специальный выбор числовых
данных делает ее корректной, как это имеет место в
следующей задаче.
1. Дан прямоугольный треугольник ABC с
катетами AC = 3u ВС = 4и две точки М и К такие, что
МК = 8, AM = 1, ВК = 2. Найти площадь
треугольника СМК.
Решение. Особенность этой задачи, определенная
подбором числовых данных, состоит в том, что точки М, А,
В и К лежат на одной прямой, располагаясь на ней в
указанном порядке, поскольку
МК = 8=1 + 5 + 2 = МА+АВ + ВК
(рис. 8). Таким образом, для завершения решения нам
осталось лишь найти высоту прямоугольного
треугольника ABC, опущенную на гипотенузу
12
АВ. Эта высота равна -=-, искомая / к
48
площадь равна -=-.
В других случаях специально
подобранные числовые данные
превращают достаточно сложную в общем виде
задачу в существенно более простую,
как это имеет место в двух следующих
примерах. Рис-8
В
195
2. В треугольнике ABC со сторонами АВ = 5, ВС =
= Jll, СА = 4 на стороне СА взята точка М так, что
СМ = 1. Найти расстояние между центрами
окружностей, описанных около треугольников АВМ и ВСМ.
Решение. Для решения этой
задачи существенным оказывается тот
факт, что М есть основание высоты,
опущенной из вершины Б на сторону
АС. В самом деле, проведем высоту
ВМХ (рис. 9 намеренно
неправильный!) и обозначим СМ1 через х. Тог-
М С да AMl = 4 - х. Выражая ВМ1 по
теореме Пифагора из треугольников
АВМ1 и ВСМ1У получим
откуда
АВ2 -АМ\ = ВМ\, СВ2 - СМ\ = ВМ\,
25-(4-*)2= 17-jc2, *=
т. е. Мj совпадает с М. Но центр окружности, описанной
около прямоугольного треугольника, совпадает с
серединой его гипотенузы. (Это утверждение мы относим к
категории так называемых опорных задач, о которых
несколько подробнее будем говорить позже.) Таким
образом, искомое расстояние равно длине средней линии
данного треугольника ABC, параллельной стороне АС,
т. е. равно 2.
3. В трапеции ABCD известны основания AD = 30,
ВС = 20 и боковые стороны АВ = 6, CD = 8. Найти
радиус окружности, проходящей через точки А и В и
касающейся прямой CD.
Решение. Характерной особенностью данной
трапеции, существенным образом облегчающей решение
поставленной задачи, является то, что угол между ее
боковыми сторонами равен 90°. Докажем это. Проведем
через точку В прямую, параллельную CD, и обозначим ее
точку пересечения с AD через Dx (рис. 10, а). В треуголь-
196
в
A Dx D a
а)
Рис. 10
нике ABDX имеем АВ = 6, BDX = 8 (ACDDl —
параллелограмм), ADX = AD- DDX = 30 - 20 = 10. Таким образом,
AD\ = 102 = б2 + 82 = АВ2 + BD\,
откуда следует, что угол ABD^ равен 90°. Продолжим
теперь стороны АВ и CD трапеции и обозначим через Е их
точку пересечения (рис. 10, б). Пусть К — середина
отрезка АВ, О — центр искомой окружности, L — точка ее
касания с прямой CD (OL перпендикулярна CD). Фигура
OKEL — прямоугольник; следовательно, радиус
искомой окружности, равный OL, равен
ЕК = ЕВ + KB = ЕВ + I АВ.
Задача свелась к нахождению отрезка ЕВ. Из подо-
вс
бия треугольников ВЕС и ABDX найдем BE = AB-rjr- =
= 12. Таким образом, радиус равен 15.
Замечание. При решении этой задачи мы
использовали три характерных приема: провели через вершину
трапеции прямую, параллельную другой боковой
стороне', на втором чертеже продолжили до пересечения
боковые стороны трапеции и не стали изображать саму
окружность, а ограничились изображением ее центра,
проекцией центра на одну боковую сторону и точки
касания с другой стороной. Эти приемы достаточно
стандартны. Изучение этих и подобных приемов полезно
проводить на простых модельных задачах, в которых
наиболее выпукло «работает» один такой прием. Эти
задачи мы также будем относить к категории опорных.
197
Конечно, числовые данные далеко не всегда играют
столь существенную роль, как в рассмотренных
примерах. Нередки случаи, когда характерные особенности
задачи инвариантны по отношению к числовым данным,
конкретный набор которых имеет целью лишь облегчить
вычисления, сделать ответ более «приятным». Следует
упомянуть также о категории задач, которые удобнее
решать в общем виде, подставляя числа, если таковые
имеются, в полученное в результате решения буквенное
выражение.
4. Три окружности с радиусами 1, 2 и 3 попарно
касаются друг друга внешним образом. Найти радиус
окружности, проходящей через три точки попарного
касания данных окружностей.
Решение. Обозначим центры дан-
3 ных окружностей через Ov О2, О3
(рис. 11). Суть решения сводится к
тому, чтобы «увидеть» и соответственно
доказать, что искомая окружность
совпадает с окружностью, вписанной в
треугольник О1О2Ог. При этом указан-
О2 Oj ная особенность имеет место, каковы
Рис. 11 бы ни были радиусы исходных
окружностей, хотя конечно же задача
нахождения радиуса окружности, вписанной в треугольник со
сторонами 3, 4 и 5, т. е. в прямоугольный треугольник,
как в нашем случае, существенно проще, чем такая же
задача для треугольника со сторонами 4, 5 и 6, не говоря
уже о решении в общем виде.
Для доказательства отмеченного выше факта можно
поступить следующим образом. Впишем в треугольник
О1О2О3 окружность. Выразим отрезки, соединяющие его
вершины с точками касания (учитывая равенство
касательных, выходящих из одной точки), через стороны
треугольника. Каждая из этих касательных будет
равной радиусу соответствующей окружности. (Проведите
доказательство самостоятельно.)
Ответ. 1.
198
Рассмотрим еще два примера, в которых этап анализа
конфигурации играет ведущую роль.
5. Треугольник ABC равнобедренный с основанием АС.
Окружность радиуса R с центром в точке О проходит
через А и В и пересекает прямую ВС в точке М,
отличной от В и С. Найти расстояние от точки О до
центра окружности, описанной около треугольника
АСЫ.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка М
расположена на стороне ВС. Обозначим через Ох центр
окружности, описанной около треугольника АСМ (рис. 12).
Тогда
ZAOXM = 2 ZACM = 2 ZACB = 180° - Z СВА = 180° - ZABM.
А это означает (вновь опорный факт!), что точки М,
А, В и Ох лежат на одной окружности, значит, искомое
расстояние равно R. Для завершения решения
необходимо рассмотреть другие случаи расположения точки М и
доказать, что во всех случаях Ох лежит на данной
окружности.
Теперь несколько слов о том, как можно было бы
догадаться, что центр Ох должен лежать на окружности с
центром О.
Во-первых, подобная гипотеза выглядит достаточно
естественной. Если предположить, что ответ есть число
f(R) (а не интервал), то прежде всего следовало бы
рассмотреть возможность равенства f(R) = R.
Во-вторых, в подобного рода задачах, когда не видно
общего решения, полезно рассмотреть какой-либо част-
Рис. 12
199
ный случай, поскольку условие задачи позволяет
рассчитывать на то, что ответ, полученный для частного
случая, останется верен и в общем случае. (Конечно,
правильный ответ, полученный при рассмотрении
одного частного случая, не означает, что задача решена
верно.) В данной задаче можно, например, рассмотреть
ситуацию, когда точка О совпадает с серединой отрезка
АВ. Тогда М есть основание высоты, опущенной на ВС, а
О — середина АС и т. д.
Дадим еще одно решение предложенной задачи,
возможно, несколько более длинное, но основанное на
одном полезном общем факте. (Вновь опорная задача.)
Сформулируем его.
Пусть ABC — произвольный треугольник (не
обязательно равнобедренный), М — произвольная точка на
прямой ВС, О и Ох — центры окружностей, описанных
соответственно около треугольников АВМ и АСМ. Тогда
треугольник АООХ подобен треугольнику ABC.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда точка М
на стороне ВС и Z АВМ > 90°. В этом случае точки О и Ог
расположены так, как показано на рисунке 12. Имеем
ZAOXC< 2 ZAMC,
ZAOB = 360° - 2 ZAMB = 360° - 2(180° - ZAMC) = 2 ZAMC.
Значит, треугольники АОВ и АОХС — подобные
равнобедренные треугольники. Из этого на основании первого
( О А О \^\
признака подобия [Z ОАОХ = Z ВАС, — = -г^г) следует
подобие треугольников АООХ и ABC.
На основании доказанной теоремы легко решается
задача 5. Если АВ = ВС, то OOl = OA = R.
6. Окружности с радиусами г и R касаются друг
друга внешним образом и касаются прямой в точках А
и В. Пусть Аг — точка первой окружности,
диаметрально противоположная точке А. Отрезок АХВ
пересекается с первой окружностью в точке М. Найти
отношение А-^М и MB.
200
Рис. 13
Решение. Аккуратно выполненный чертеж и
некоторые трудно формализуемые соображения, которые
можно объединить под названием «геометрическая
интуиция», позволяют сделать предположение, что точка М
совпадает с точкой касания окружностей. Докажем это.
Обозначим центры окружностей через О1 и О2, а точку
их касания — через Mv Точка Мх лежит на отрезке
ОгО2 (рис. 13). Прямые ААг и ВО2 параллельны.
Следовательно, ZAlOlMl = ZMlO2B. Таким образом,
равнобедренные треугольники AlOlMl и МгО2В подобны и
ZA1MlOl = A BM<fi2, т. е. точки Av M^ и В лежат на
одной прямой и точка Мг совпадает с точкой М. Искомое
отношение равно г : R.
6.3. Опорные задачи
В предыдущем пункте неоднократно упоминались
так называемые опорные задачи. Поговорим о них
несколько подробнее.
Теоретическая часть школьного курса содержит в
основном теоремы, которые будут необходимы в
дальнейшем для развития этой теории. Из нее исключены многие
факты, стоящие как бы сами по себе, не работающие на
теорию. Но школьная геометрия — это не только
аксиомы и теоремы, изложенные в учебнике. Школьная гео-
201
метрия — это также (а может, и прежде всего) искусство
решать геометрические задачи. Искусство же решать
задачи основывается на хорошем знании теоретической
части курса, знании достаточного количества
геометрических фактов, не вошедших в этот курс, и владении
определенным арсеналом приемов и методов решения
геометрических задач. Поэтому представляется полезным
выделить некоторюе множество задач (будем называть их
опорными), в которых формулируется некий факт,
достаточно часто используемый в задачах, либо
иллюстрируется какой-либо метод или прием решения задач.
Соответственно, мы будем различать две разновидности опорных
задач: задача-факт (задача-теорема) и задача-метод.
В качестве примеров, иллюстрирующих понятие
«опорная задача-факт», можно привести многие теоремы
элементарной геометрии, не вошедшие в действующий
курс, такие, как теорема о биссектрисе внутреннего угла
треугольника (задача 19, пункт 6.7) теорема о
касательной и секущей к окружности, проведенных из одной
точки (задача 17). Или же, например, следующая задача.
7. Доказать, что прямая, проходящая через точку
пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения
продолжений ее боковых сторон, проходит через
середины оснований трапеции.
Доказательство. Пусть М — точка пересечения
диагоналей трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, a /iT —
точка пересечения продолжений ее боковых сторон
(рис. 14). Обозначим через Р и L середины AD и ВС.
Ввиду параллельности AD и ВС любая прямая, проходящая
через К, делит основания трапеции в одном и том же
отношении (считая от вершин А и В). Отсюда следует, что
точки К, Р и L лежат на одной прямой. Точно также
прямая, проходящая через М, делит AD и ВС в одном
отношении (считая от вершин А и С). Значит, точки М, Р и
L — тоже на одной прямой. Таким образом, четыре
точки — М, К у Р и L — лежат на одной прямой.
Опорная задача-метод, как уже отмечалось,
иллюстрирует какой-либо метод решения геометрических
задач, часто встречающийся прием или конструкцию. При
202
этом речь в основном идет о методах, не требующих
специальных теоретических обоснований. Таким образом,
задача-метод рассматривается вместе с решением, с тем
решением, которое навязывается учебником. Это
означает, что, если в процессе работы над соответствующей
задачей учащиеся решили ее иначе, решение,
предлагаемое учебником, должно быть подробно изучено и
соответствующим образом прокомментировано. В качестве
примера рассмотрим следующую задачу.
8. В треугольнике ABC на стороне АС взята точка
2
М такая, что AM = тАС, а на стороне ВС — точка К
э
такая, что ВК = -zBC. В каком отношении отрезок
ВМ делит отрезок АК?
Решение. Проведем через А прямую, параллельную
ВС, и обозначим через L точку ее пересечения с прямой
ВМ (рис. 15). Пусть ВК = а, тогда ВС = За. Из подобия
треугольников AML и СМ В найдем
AL AM
ВС МС
>AL = 2a.
Теперь из подобия треугольников LAN и BKN найдем
4^ о
NK ~z'
Заметим, что предложенный метод решения этой
задачи далеко не единственный. Задача может быть
решена, например, и векторным методом. Однако подобный
прием очень часто бывает эффективен в сходных
задачах, и хорошее владение им, безусловно, полезно.
203
Рассмотрим еще одну задачу.
9. Прямая, параллельная стороне АС треугольника
ABC, пересекает АВ в точке Cv а ВС — в точке Av
Прямая, проходящая через В и точку пересечения ААХ и CCV
пересекает АС в точке М. В каком отношении делит
сторону ВС прямая, проходящая через А и середину ВМ?
Решение. Эта задача очевидным
В L образом использует результат
задачи 7 и прием, рассмотренный в
задаче 8. Из результата задачи 7 следует,
что М — середина АС. Проведя
через вершину В прямую,
параллельную АС, до пересечения с прямой АК
(К — середина ВМ9 рис. 16) в точке
L, получим BL = AM. Теперь легко
найти искомое отношение. Оно
равно 0,5, считая от вершины В.
Конечно, приведенный пример носит несколько
стилизованный характер. В действительности извлечь из
архивов своей памяти нужный факт и нужный прием не
всегда возможно столь легко и быстро.
6.4. Геометрические методы
решения задач
Говоря о методах решения задач, следует отметить
некоторые специфические особенности этих методов:
большое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность
формального описания, отсутствие четких границ
области применения. Кроме того, очень часто при решении
некоторых достаточно сложных задач приходится
прибегать к использованию комбинаций методов и приемов.
Уже на первом этапе решения — построение
чертежа — можно говорить о наличии некоторых
специальных приемов. С одним из таких приемов мы уже
встречались при решении задач 3 и 4. Суть его в том, что при
решении задач, в которых фигурирует одна или
несколько окружностей, очень часто сами эти окружности
204
не следует изображать, ограничиваясь указанием их
центров, точек касания или пересечения с прямыми и
друг с другом и проведением соответствующих отрезков
прямых. Факт касания окружности с прямой означает
равенство соответствующего угла 90°. Касание
окружностей друг с другом означает, что расстояние между их
центрами равно сумме радиусов окружностей в случае
внешнего касания и равно разности радиусов
окружностей в случае касания внутреннего. Такого рода чертежи
без окружностей к задачам про окружности мы будем
называть «скелетными». Рассмотрим задачу.
10. В окружности радиуса R проведены два
взаимно перпендикулярных радиуса ОА и ОВ. Вторая
окружность такого же радиуса R имеет центр в точке В.
Найти радиус третьей окружности, касающейся
радиуса ОА, первой окружности внутренним образом
точка касания расположена на дуге АВ, равной «) ы
второй окружности внешним образом.
Решение. В соответствии с указанным выше
правилом для решения этой задачи следует рассмотреть
чертеж, на котором изображены треугольник ОВОг (О1 —
центр третьей окружности), отрезок ОА, точка М на ОА
(рис. 17). При этом, если х — радиус искомой
окружности, то ООХ = R - х, ВОг = R + х, ОгМ = х {ОХМ 1 ОА).
Теперь у нас все подготовлено к решению этой
задачи при помощи аналитических методов (составление
уравнения относительно jc). Решение
этой задачи закончим в следующем
пункте.
Рассмотрим еще несколько
методов решения геометрических задач.
Мы уже встречались в предыдущих
пунктах с некоторыми
стандартными дополнительными построениями
(задачи 3, 8, 9). Так, оказывается,
в трапеции бывает полезно провес- О R В
ти через одну вершину прямую, Рис 17
R + х
205
параллельную противоположной боковой стороне
(задача 3). Если же в условии задачи говорится о
диагоналях трапеции, то стандартным будет дополнительное
построение, состоящее в проведении через одну из ее
вершин прямой, параллельной диагонали. (С такого
рода построением мы еще не встречались.) В задачах 8 и 9
мы проводили через одну из вершин треугольника
прямую, параллельную его противоположной стороне,
благодаря чему у нас образовывалось несколько пар
подобных треугольников, после чего отношения одних
отрезков заменялись отношениями других. С некоторой
натяжкой можно говорить, что мы имели дело с одной
из модификаций метода подобия.
Отметим еще несколько стандартных приемов. Если
в условии есть медиана треугольника, то стоит
попытаться продолжить эту медиану на такое же
расстояние. При этом получим параллелограмм, стороны и
одна диагональ которого равны сторонам треугольника,
а вторая диагональ равна удвоенной медиане. Таким
образом, если бы нам требовалось найти площадь
треугольника по двум сторонам и медиане, заключенной
между ними, то с помощью только что указанного
приема легко убедиться, что треугольник этот равновелик
треугольнику, две стороны которого равны
соответствующим сторонам исходного, а третья равна удвоенной
медиане.
Другой прием иллюстрирует задача 11.
11. Расстояние между серединами двух сторон
четырехугольника равно полусумме двух других его
сторон. Доказать, что этот четырехугольник — трапеция.
Решение. Пусть М — середина стороны АВ, а К —
середина стороны CD четырехугольника ABCD, причем
МК= \(СВ + AD).
с,
Обозначим через N середину
диагонали BD (рис. 18). Отрезок NK —
средняя линия в треугольнике BCD,
D Л NK параллельна ВС и равна «ВС.
Рис. 18 2
206
Точно также NM параллельна AD и равна „AD. Таким
образом, МК = MN + NK, т. е. N лежит на отрезке МК.
Значит, ВС и AD параллельны друг другу, поскольку
они обе параллельны МК. (Если считать, что
параллелограмм не является трапецией, то в условии задачи
следует добавить слова «или параллелограмм».)
Совет, который можно дать на основании этой и
сходных задач, состоит в следующем. Если в условии задачи
фигурирует середина одной или нескольких сторон
четырехугольника, то стоит добавить середины каких-
то других сторон или диагоналей и рассмотреть
средние линии соответствующих треугольников. Этот
прием иногда называют методом «средней линии». (См. в
этой связи также задачи № 39, 145, пункт 6.7.)
Таким образом, мы выделили три разновидности
дополнительных построений:
1) продолжение отрезка (отрезков) на определенное
расстояние или до пересечения с заданной прямой;
2) проведение прямой через две заданные точки;
3) проведение через заданную точку прямой,
параллельной данной прямой, или перпендикулярной данной
прямой.
Необходимость в использовании геометрических
преобразований возникает, как правило, при решении
достаточно сложных геометрических задач (здесь речь
идет, во-первых, о задачах, в условии которых
геометрические преобразования не фигурируют, и, во-вторых,
о задачах, которые трудно решить без использования
геометрических преобразований); поэтому мы
ограничимся одной иллюстрацией без каких-либо
рекомендаций.
12. Два равнобедренных треугольника АВМ и CDM с
гипотенузами АВ и CD расположены так, что ABCD —
четырехугольник. Одна диагональ этого
четырехугольника равна d. Найти его площадь.
Решение. Повернем треугольник АМС вокруг точки
М в соответствующем направлении на 90° (рис. 19). При
207
этом точка А перейдет в точку В,
а С — в D, т. е. АС перейдет в BD.
Таким образом, в четырехугольнике
ABCD диагонали равны и перпенди-
1 2
кулярны. Его площадь равна -zd
(использовалась формула, выражаю-
D щая площадь четырехугольника че-
Рис. 19 рез его диагонали и угол между
ними; задача 24, пункт 6.7).
Следующий пример иллюстрирует метод подобия.
13. Трапеция разделена на три трапеции прямыми,
параллельными основаниям. Известно, что в каждую
из трех получившихся трапеций можно вписать
окружность. Найти радиус окружности, вписанной в
среднюю трапецию, если радиусы окружностей,
вписанных в две оставшиеся, равны R и г.
Решение. Обозначения понятны из рисунка 20. Пусть
радиус средней окружности равен х. Рассмотрим два
подобных между собой треугольника AKD и LKP. Любые
пары сходственных линейных величин в подобных
треугольниках относятся одинаково. Паре окружностей с
радиусами R и г в треугольнике AKD соответствует в
треугольнике LKP пара окружностей с радиусами х и г.
Следовательно,
| = £ , откуда х = jRr.
Метод площадей имеет много разновидностей.
Рассмотрим одну из них. Основная идея сводится к замене
отношения отрезков, расположенных на одной
прямой, отношением площадей треугольников с общей
вершиной, основаниями которых являются
рассматриваемые отрезки. Покажем, как работает этот прием, на
примере известной теоремы.
14. Доказать, что биссектриса угла В
треугольника ABC пересекает АС в такой точке М, для которой
справедливо равенство AM : МС = АВ : ВС.
208
D
P С
Рис. 20
К
Доказательство (рис. 21).
AM
\аМ • ВМ
2
М
Рис. 21
АБ
1
Относя этот прием к геометрическим, мы делаем
довольно серьезную натяжку. Доводы «за» следующие.
Во-первых, в основе метода лежит чисто
геометрическое соображение. Во-вторых, этот метод достаточно
обособлен от других, как геометрических, так и
алгебраических. Учитывая же разнообразие и пестроту
методов, рассматриваемых в этом пункте, и, наоборот,
некоторое единообразие методов, описываемых в
следующих пунктах, мы предпочли рассмотреть его именно
здесь.
Одним из наиболее красивых
элементарно-геометрических методов является так называемый метод
«вспомогательной окружности». Обычно этот метод
характеризуется в решении следующими оборотами: «Заметим,
что тонки X, Y, ... лежат на одной окружности...»,
или «Проведем окружность (ти) через точки X,
У,...», или другими, с ними сходными. Приведем
несколько примеров.
15. Через точку О проведены три прямые,
попарные углы между которыми равны 60°. Доказать, что
основания перпендикуляров, опущенных из
произвольной точки А на эти прямые, служат вершинами
правильного треугольника.
209
Рис. 22
Рис. 23
Решение. Пусть К, L, М — основания
перпендикуляров (рис. 22). Заметим, что точки О, А, К> L, М лежат
на одной окружности с диаметром ОА. Значит,
Z KLM = Z КОМ = 60°, Z KML = Z KOL = 60°,
т. е. треугольник KLM равносторонний.
16. В остроугольном треугольнике ABC проведены
высоты AAV BBV CCV Доказать, что эти высоты
являются биссектрисами углов треугольника А^^у
Решение. Пусть Н — точка пересечения высот
треугольника ABC (см. задачу 30, пункт 6.7). Заметим, что
точки С, Н, Av By лежат на одной окружности с
диаметром СН (рис. 23). Следовательно,
Z АгВгН = Z АХСН = Z ВССг = 90° - Z В.
Точно так же на одной окружности располагаются точки
Z НВ1С1
90° - ZB.
Таким образом,
То же верно и для других углов.
17. На плоскости расположены два квадрата ABCD
и BKLN так, что точка К лежит на продолжении АВ
за точку В, N лежит на луче ВС. Найти угол между
прямыми DL и AN.
210
к
Рис. 24
Решение. Пусть для определенности ВС > BN.
Опишем около квадратов окружности и обозначим через М
точку пересечения этих окружностей, отличную от В
(рис. 24). Имеем
Z BML = Z BNL = 90°,
ZBMD = Z BCD = 90°.
Следовательно, точки D, М и L лежат на одной прямой.
Далее
Z DMA = Z ZXL4 = 45°,
Z LMN = 180° - Z NBL = 135°.
Таким образом, М есть точка пересечения прямых
AN и DL, а угол между этими прямыми равен 45°.
Случай ВС < BN рассматривается аналогично.
Мы специально привели три задачи, решение
которых основывалось на идее вспомогательной окружности.
Дело в том, что этот метод не только эффектен, но и
эффективен, и возможности для его применения
встречаются гораздо чаще, чем это может показаться на первый
взгляд.
В завершение этого пункта продемонстрируем одну
весьма трудную задачу, точнее, ее решение, основанное
на умении «видеть геометрию». (Применяемый метод? —
«Геометрическое зрение»!)
18. В треугольнике ABC угол В равен 120°. AAV
BBV CCl — биссектрисы внутренних углов этого
треугольника. Доказать, что угол AlBlCl равен 90°.
211
в
л в, с
Рис. 25
Решение (рис. 25). Заметим, что ВАХ — биссектриса
угла, смежного с углом АВВХ (Z ВХВАХ = ZAXBM = 60°),
а ААХ — биссектриса угла ВАС; следовательно, точка Ах
равноудалена от прямых АВ и BBV а также от прямых
АВ и АС, т. е. Ах равноудалена от прямых ВВХ и £ХС,
т. е. В1А1 — биссектриса угла ВВХС. Точно так же
СХВХ — биссектриса угла ВВХА. Таким образом,
Z СХВХАХ
Z СХВХВ + Z ВВХАХ
= ^ (Z АВХВ + Z ВВХС) = 90°.
Обратите внимание, что для решения этой задачи нам
не потребовались ни дополнительные построения, ни
вычисления. Все основывается на умении увидеть и
сопоставить простые геометрические факты. Пример этот
приведен не для того, чтобы задать верхний уровень
задач, рассматриваемых в пособии. Не всякий, даже
опытный, хорошо решающий геометрические задачи человек
найдет подобное решение. Этой задачей мы хотели бы
подчеркнуть одну из важнейших целей геометрической
подготовки — развитие геометрической интуиции,
геометрического мышления, геометрического зрения.
6.5. Аналитические методы
Один из недостатков элементарно-геометрических
методов состоит в необходимости зачастую перебора
различных вариантов расположения точек, прямых и т. д. Этот
212
недостаток, как правило, исчезает при переходе к
алгебраическим методам, методу координат, векторному
методу. Хотя очень часто при этом исчезает и сама геометрия.
Говоря об алгебраическом методе решения
геометрических задач, выделим прежде всего две его
разновидности: а) метод поэтапного решения; б) метод
составления уравнений.
Сущность первого (метода поэтапного решения)
коротко состоит в следующем. Величины, заданные в
условии задачи, и те, которые нужно найти, мы связываем
цепочкой промежуточных величин, каждая из которых
последовательно определяется через предыдущие.
Полезно при этом сначала составить план решения задачи,
другими словами, выписать цепочку элементов, которые
можно последовательно вычислить, соединяющую то,
что дано, и то, что нужно найти.
Рассмотрим пример.
19. В параллелограмме со сторонами а и b и углом а
проведены биссектрисы четырех углов. Найти
площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.
Решение (рис. 26). Прежде всего заметим, что MNPQ —
параллелограмм, поскольку биссектрисы
противоположных углов параллелограмма параллельны.
Следовательно, нам достаточно найти стороны MN и MQ и угол
QMN.
Для определения угла QMN имеем цепочку: Z ВАМ,
ZABM и, наконец, ZAMB = ZQMN. Для определения
сторон MN и MQ находим последовательно BQ (из ABCQ
по теореме синусов), ВМ и AM (из АВМА)> AN (из ANAD),
и, наконец, MN = \AN- AM|, MQ = \BQ - ВМ\.
Теперь полученный план решения реализуется:
Z ВАМ = \ ,
ZABM- | ZABC= i
ZQMN = ZAMB =
= 180° - Z BAM- ZABM =
A D
= 180° - | - | (180° - a) - 90°, Рис. 26
213
т. е. MNPQ — прямоугольник. Далее (ВС = а, АВ = Ь)
BQ = a sin ^ , ВМ = b sin |, MQ = \BQ - ВМ| = \а - b\ sin |
1 2
и т. д. Ответ получается следующий: S = -^(а- b) sin a.
Сделаем одно замечание к нашему решению. Трудно
гарантировать, что полученная таким образом схема
соответствует оптимальному решению. Можно показать,
что диагонали четырехугольника MNPQ равны
разности сторон параллелограмма ABCD и параллельны
соответствующим сторонам. Возможно, этот путь короче и
изящнее.
При решении более сложных задач не всегда
возможно увидеть весь путь решения от начала до конца.
Поэтому поиск этого пути можно вести с двух сторон — с
начала (что можем найти?) и с конца (что нужно найти?).
Правда, как правило, с конца делается небольшое число
шагов — один, два. Например, если требуется найти
радиус окружности, описанной около какого-либо
треугольника, то задача будет решена, если мы найдем
какую-либо его сторону и синус противолежащего угла
(см. задачу 13, пункт 6.7). Для определения радиуса
вписанной окружности можно воспользоваться формулой
г = - (см. задачу 23), т. е. соответствующая задача
сводится к нахождению периметра и площади треугольника.
Бывают и такие ситуации, когда конфигурация,
данная в задаче, не определена. В этих случаях можно,
введя необходимое число дополнительных элементов,
доопределяющих конфигурацию, попытаться реализовать
схему поэтапного решения. При этом введенные
параметры должны в итоге сократиться. Например:
20. Окружности радиусов R и г (R > г) касаются
внутренним образом в точке А. Хорда CD большей
окружности перпендикулярна диаметру АВ меньшей
окружности. Е — одна из точек пересечения CD с
меньшей окружностью. Найти радиус окружности,
описанной около треугольника АЕС.
214
Решение. Пусть F — точка
пересечения CD с АВ (рис. 27).
Предположим для определенности, что
точки Е и С лежат по одну сторону
от АВ. Поскольку положение CD не
определено, то обозначим AF = а.
Для определения радиуса
окружности, описанной около АЕС, нам
достаточно найти АС и sin АЕС. Из
прямоугольного треугольника АСМ,
в котором нам известны AM и AF, найдем АС (можно
воспользоваться утверждением задачи 6, пункт 6.7):
АС = JAM • AF = j2Ra.
Аналогично из треугольника АЕВ найдем АЕ = J2ra .
Значит,
sin АЕС = sin AEF
41 = ГЦ
АЕ а/2г'
Таким образом, радиус окружности, описанной около
треугольника АЕС, будет равен:
АС
_
2sinA£C
Приведем теперь несколько задач, решаемых при
помощи составления уравнений. Начнем с того, что
закончим решение задачи 10 (см. рис. 27). Проведем высоту
OxiV, тогда ON = х. Выражая О^ из треугольников
OOXN и BOXN по теореме Пифагора и приравнивая эти
выражения, получим для х уравнение
(R - xf - х2 = (R + xf -(R- xf <=> 6Rx = Д2, x = |.
Говоря о решении геометрических задач при помощи
составления уравнений, можно в известной мере
провести аналогию с текстовыми задачами на составление
уравнений. (Аналогия для поэтапного решения —
арифметические задачи, решаемые по действиям.) Так же
как и там, не следует бояться числа неизвестных, хотя
215
дать четкие рекомендации по их рациональному и тем
более оптимальному выбору вряд ли возможно. (Очень
часто при выборе неизвестных следует
руководствоваться правилом: неизвестные должны полностью
определять рассматриваемую в задаче геометрическую
фигуру.) Так же как и там, надо посмотреть, что нужно
найти, и искать именно это, а не стремиться всякий раз к
полному решению полученной системы уравнений. Так
же как и там, приведенные только что рекомендации —
рекомендации, и ничего больше.
Для получения уравнения обычно величину какого-
либо элемента конфигурации — угол или его
тригонометрическую функцию, длину отрезка, площадь
фигуры — выражают дважды различными способами через
введенные неизвестные. В частности, она может быть
задана в условии задачи.
Противопоставляя друг другу два алгебраических
метода, оговоримся, что далеко не всегда их можно выделить,
так сказать, в чистом виде. Так, например, в любом
решении задачи на вычисление присутствуют элементы
поэтапного решения. С другой стороны, вполне возможны
случаи, когда составление уравнения является лишь частью
общего решения задачи. Кроме того, как правило, в
алгебраических решениях встречаются различные
дополнительные построения, элементы геометрических методов.
21. На сторонах AD и CD квадрата ABCD со
стороной 3 взяты две точки М и N так, что MD + DN = 3.
Прямые ВМ и CD пересекаются в точке Е. Найти
длину отрезка NE, если ME = 4.
Решение (рис. 28). Пусть MD = дс,
DE = у. Из подобия треугольников ВАМ
и EDM получим = - . Второе урав-
О X %
нение дает нам теорема Пифагора для
треугольника MDE: х2 + у2 = 16. Таким
образом, имеем систему:
Зх - Зу + ху = О,
х2 + у2 = 16.
216
Нам нужно найти NE = ND + DE = 3 - х + у, т. е. найти
у - х. Пусть у - х = и. Из первого уравнения дсу = За.
Второе уравнение перепишем в виде (у - х) + 2ху =16 или
ы2 + 6а - 16 = 0, откуда и = 2 (а = -8 не подходит), ЛЛЕ = 5.
22. В прямоугольном треугольнике ABC катет АВ
равен 3, катет АС равен 6. Центры окружностей
радиусов 1, 2 а 3 находятся соответственно в точках А,
В и С. Найти радиус окружности, касающейся каждой
из трех данных окружностей внешним образом.
Решение. Сделаем в
соответствии с рекомендацией
предыдущего пункта скелетный чертеж.
Нам достаточно провести
отрезки ОА> ОВ> ОС у где О — чертеж
искомой окружности (рис. 29).
Если радиус четвертой
окружности равен xt то ОА = 1 + х> с А
ОВ = 2 + х, ОС = 3 + х. Введем Рис. 29
еще одно неизвестное: Z ОАС = ф,
тогда Z ОАВ = 90° - ф. Запишем теорему косинусов для
треугольников АОС иАОВ. Получим систему уравнений
(х + З)2 = (х + I)2 + 36 - 12(jc + 1) cos ф,
(х + 2)2 = (х + I)2 + 9 - 6(х + 1) sin ф.
Выразим из первого уравнения cos ф, а из второго sin ф.
Используя соотношение cos ф + sin ф = 1, получим
уравнение, содержащее лишь одно неизвестное х; решив
это уравнение, получим ответ.
^ 8Л1-19
Ответ, х = = .
Заметим, что использование теоремы косинусов или ее
частного случая — теоремы Пифагора — для составления
уравнений — один из наиболее часто встречающихся
приемов. Важную роль играет также правильный выбор
неизвестных. Так, в задачах 10 и 21 все неизвестные —
линейные величины, в задаче 22 — линейная и угловая.
Приведем пример, в котором решение задачи сводится к
решению чисто тригонометрического уравнения.
217
23. В равнобочной трапеции основание AD равно
диагонали АС. Известно, что Z CAD = Z CDM, где М —
середина ВС. Найти углы трапеции.
Решение (рис. 30). Пусть Z CAD = ф, тогда Z ADC =
= Z ACD = 90° - ^. Поскольку по условию Z MDC =
= Z CAD = ф, то
М С Z CMZ) + Z MDA =
В
Рис. 30
D
ZADC-ZMDC = 90°- -ф,
Z MCZ) = 90° + £ .
По теореме синусов для
треугольника MCD найдем
MD
CD
sin(90° -I- |
sin(
MZ) = CZ)
Ф
COSI
COS-ф
Но М — середина ВС. Следовательно, проекция MD на
AD равна - AD> т. е.
AD = 2MD • cos (90° " | ф) = 2CD
Ф . 3
cos I sin-ф
COS-ф
Из равнобедренного треугольника ACD найдем AD =
CD
2 sin?
. Приравнивая два выражения для AD> получим
уравнение
Ф . 3
cos| • sin-ф
COS-ф
2sin?
Прежде чем приступить к решению этого уравнения,
заметим, что мы сознательно избрали прямолинейный
путь, не пытались делать по ходу какие-либо упрощения
218
(что в общем-то практически неверно), отнеся все эти
проблемы к тригонометрии.
Вернемся к нашему уравнению. Сначала его надо
упростить. Можно доказать, что
cos 9 Ф = cos о ^ cos ^ ~ *)•
3 ф
2 sin -z ф • sin ^ = cos ф - cos 2ф.
Сократив теперь в числителе и знаменателе левой
части уравнения cos \ , освободившись от знаменателя, при-
дем к уравнению (проверьте!) 2 cos 2ф = 1, т. е. 2ф = 60°,
ф = 30°. Таким образом, два угла трапеции равны 75°,
два оставшихся 105°.
Замечание. Эту задачу можно решить при помощи
вспомогательной окружности; в данном случае в
качестве таковой можно взять окружность, проходящую через
точки A, D, М и середину АВ (рис. 30). (Если Р —
середина АВУ то
Z PMD = ZAKD = 180° - ф - (90° - |ф) = 90° + |,
Ct С*
Z PAD = Z CDA = 90° - |,
т. е.
Z PMD + Z PAD = 180°.
Значит, точки А, Р, М и D лежат на одной окружности.)
Следовательно, Z AMD = ZAPD = 90°, AMD —
равнобедренный прямоугольный треугольник; высота,
опущенная из точки С на AD, равна высоте, опущенной из
точки М на AD, и равна «AD = „АС, т. е. sin ф = г,
и т. д.
24. Биссектрисы AM и ВМ треугольника ABC
пересекаются в точке О. Известно, что АО = V3MO,
NO = (д/з - 1)ВО. Найти углы треугольника.
219
Решение. Казалось бы, условие
задачи требует введения
неизвестных углов треугольника, после
чего нужные уравнения получаются
при помощи теоремы синусов.
(Попытайтесь реализовать этот путь
А В самостоятельно и сравните с ниже-
Рис. 31 приведенным решением.) Мы,
однако, введем другие неизвестные (рис. 31):
у
По теореме о биссектрисе (задача 14)
ВМ АВ г
МС АС у'
Но ВМ + МС = xt значит, ВМ = . Аналогично AN =
У+ z
'J Z
-— . Теперь, рассмотрев треугольники ВМА и BNA с
биссектрисами ВО и АО и применив к ним ту же
теорему, получим в соответствии с условием задачи систему
уравнений
У_ = /о _ 1 \-х( 73 - 1) + у = 2( V3 - 1)
Далее, выразим все неизвестные через одно, например
через z: х = */3z, у = 2z. Теперь по теореме косинусов
можно найти углы треугольника: Z А = 60°, Z В = 90°,
ZC = 30°.
Приведем пример, в котором в качестве неизвестных
удобно взять площади. Кроме того, принципы
составления уравнений в этом примере несколько отличаются от
стандартной схемы.
25. В выпуклом четырехугольнике, площадь
которого равна S, проведены диагонали, разбивающие
четырехугольник на четыре треугольника. Площади двух
треугольников, прилежащих к противоположным
сторонам, равны Sx и S2. Найти площади двух
оставшихся треугольников.
220
Решение. Обозначим площади В
оставшихся треугольников
через х и у. Первое уравнение
очевидно: х + у = S- Sx- S2. Второе
уравнение будет ху = SXS2.
Докажем это. Пусть в четырех- а
угольнике ABCD диагонали пе- Рис. 32
ресекаются в точке О (рис. 32) и Z.AOB = а. Тогда
saob ' scod = | АО • ОБ sin a • | СО • OZ) sin а =
^ОС sin (я - а) • | DO • ОА sin (п - а) = SBOC • SDOA.
Имеем систему
х + у = S - St - S2,
т. е. jc, i/ — корни квадратного уравнения
z2 -(S-S1- S2)z + Sx • S2 = О,
решив которое получим ответ:
| (S - Sx - S2 ± J(S-Sl-S2)2-4S1S2 ).
Следует отметить, что многие задачи, решаемые
алгебраическим методом, могут иметь два варианта
решения — поэтапный и составлением уравнений. Например:
26. Внутри угла величины а с вершиной в точке О
взята точка А. Расстояние от точки А до одной из
сторон угла равно а, а проекция ОА на другую его
сторону равна Ь. Найти ОА.
Решение. Пусть проекция А на одну сторону — точка
В, а на другую — точка С, АВ = а, ОС = Ъ (рис. 33, а).
Продолжим СА до пересечения с прямой ОВ в точке М.
Последовательно находим
ОМ = -^- = -^— , ВМ - АВ tg a = a tg a,
cosa cos а - ь ь
&tga.
cosa ь cosa
221
Рис. 33
Значит,
oa= Job2 + ВА2 = Ifb ~ a sin af + a2 =
Ц\ COS (X У
1 V /
1 / 2 2
= л/а +6 -2abcosa.
cos a
Это поэтапный метод. Приведем другое решение при
помощи составления уравнений. Введем неизвестные:
Z АОС = ф, О А = jc. Без труда получаем
( х cos ф = 6,
1 jc sin (a - ф) = a.
Для решения полученной системы можно раскрыть
во втором уравнении sin (a - ф) по формуле синуса
разности и разделить второе уравнение на первое, после
чего получим уравнение, из которого найдем tg ф, и т. д.
Итак, задача решена? Все было бы хорошо, если бы
в условии было сказано, что a — острый угол. А если a =
= 90° или a > 90°?
Сразу видно, что при a = 90° должно быть а = 6, тогда
ОА > а. Если же а Ф Ъ и a = 90°, условия задачи
противоречивы. Посмотрим, что будет при a > 90°.
222
Недостаточно просто поставить в правой части
выражения для ОА знак абсолютной величины:
/2 2
~. _ л/а + b - 2absina
|cosa|
Оказывается, возможны три случая расположения
точки относительно сторон угла (рис. 33, б, в и г). При
этом рисунки 33, б и 33, г дают ответ, а рисунок 33, в
дает нам
= л/a2 + Ь2 + 2absina
-cosa
Систему уравнений при a > 90° также необходимо
уточнить, поставив слева в первом уравнении знак
абсолютной величины. Поскольку sin (a - ф) > 0, то второе
уравнение остается прежним. Теперь наша система
уравнений распадается на две, отличающиеся знаком в
первом уравнении.
Ответ. Если 0 < a < 90°, то ОА = ^ + ** " 2a6sina ;
cos ос
J?
если 90° < a < 180°, то ОА = ^ +b ±2absina; еСли
cosa
a = 90°, то при а = Ъ будет ОА > а, при а Ф Ъ решения нет.
Исследование, анализ решения, рассмотрение
различных случаев, необходимость которых возникла в
этой задаче, существенно повысили уровень ее
сложности. Один из выводов состоит в том, что, окончив
решение, получив ответ, не спешите, подумайте, не упущены
ли какие-то случаи, нюансы и т. д.
Обратим внимание также на некоторую
некорректность, содержащуюся в формулировке условия задачи 26.
Под расстоянием от точки до стороны угла и проекцией
на сторону понимается соответственно расстояние от
точки до прямой, на которой лежит эта сторона угла, и
проекция на эту прямую, что не является само собой
разумеющимся.
Возможно и такое — третье — решение. Возьмем
точку Сх так, что ОСАСХ — прямоугольник (рис. 33, д). Тог-
223
да ОА — диаметр окружности, описанной около
треугольника BACV BCX находится по теореме косинусов
для треугольника ВАСХ:
ВСЛ ВСЛ
ОА =
sin ВАС х |cosa| "
На этом мы закончим рассмотрение примеров,
иллюстрирующих алгебраические методы решения
геометрических задач. Если еще раз внимательно просмотреть
примеры, приведенные в этом пункте, то можно
заметить, что почти во всех примерах делались некоторые
дополнительные построения, использовался ряд
геометрических соображений. Итак, решая геометрическую
задачу алгебраическим методом, все же не следует
забывать, что это задача по геометрии, а не по алгебре.
Старайтесь не проходить мимо простейших геометрических
фактов, упрощающих решение. В противном случае вы
можете превратить пустяковую геометрическую задачу
в чрезвычайно сложную алгебраическую, что нередко
происходит не только со школьниками, но и с более
опытными людьми.
6.6. Метод координат.
Векторный метод
Метод координат является самым универсальным
методом геометрии. Бытует расхожее мнение, что любая
геометрическая задача может быть решена методом
координат. В принципе это верно, так же верно, как и то,
что человек может все. Однако школьный курс и
практика вступительных экзаменов дают не так много примеров
задач, в которых метод координат предпочтительнее
иных методов. Разумеется, речь идет о тех задачах,
условие которых не содержит упоминания о координатах.
Главное при решении геометрических задач
координатным методом — удачный выбор системы координат:
выбор начала координат и направления осей. Обычно в
качестве осей координат выбираются прямые, фигурирую-
224
щие в условии задачи, а также оси симметрии (если
таковые имеются) фигур, рассматриваемых в задаче. Можно
сказать, что желательно, чтобы система координат
естественным образом определялась условием задачи.
2П. В круге с центром О
проведены два взаимно
перпендикулярных диаметра АВ и CD. На
радиусе ОВ взята точка К так, что
1
ОК = ъ ОВ, а на радиусе OD —
о
точка М так, что ОМ = ~ OD.
Доказать, что точка пересечения
прямых СК и AM расположена на Рис- 34
данной окружности (рис. 34).
Решение. Задача естественным образом решается
координатным методом. За оси координат выбираем
прямые АВ и CD. Можно считать, что данная
окружность имеет радиус, равный 1. Точка К имеет координаты
[« ; О], М — [0; -«]. Уравнение прямой, проходящей
через точки С(0; 1) и К\ « ; 0 ], есть у = 1 - Зх. Уравнение
прямой, проходящей через А(-1; 0) и М[ 0; -;>), есть
прямая z/ = -л - л • Решая систему уравнений
найдем, что координаты точки пересечения прямых СК
и AM есть [-= ; --= ]. А поскольку (^) + [ - г ] = 1, то
найденная точка лежит на окружности.
Нетрудно решить координатным методом, например,
задачу 17, пункт 6.4, взяв за оси координат прямые АВ и
AD. При этом может возникнуть вопрос: зачем нам все
225
эти красивости со вспомогательной окружностью, если
существует достаточно простое, рутинное решение этой
задачи методом координат? Помимо доводов,
апеллирующих к эстетике решения геометрических задач,
вполне понятных и очевидных доводов за
«вспомогательную окружность», мы приведем иной довод, как ни
странно, исходящий из степени общности метода.
Оказывается, утверждение задачи 17 остается верным, если
точки К и N не расположены на прямых АВ и ВС (в
самом деле, в решении это обстоятельство никак не
использовалось), достаточно лишь совпадения вершины
двух квадратов. Более того, прямая С К также проходит
через точку М перпендикулярно прямой AN. Все это
получается в приведенном нами решении, как говорится,
даром, в то время как доказательство такого обобщения
методом координат довольно затруднительно. Задача
допускает и дальнейшие обобщения, например на
правильные многоугольники. (Сделайте это самостоятельно.)
Почти все сказанное о методе координат можно
отнести с некоторыми видоизменениями к векторному методу.
Рассмотрим два примера.
28. На стороне ВС треугольника ABC взята точка
М так, что ВМ = 2СМ. Точки К и L выбраны на
сторонах АС и АВ соответственно так, что АК = 2СК,
BL = 3AL. В каком отношении прямая KL делит
отрезок AM (рис. 35)?
Решение. Обозначим векторы АВ и АС через а и Ъ
для краткости. Пусть АЕ = хАМ, LE = yLK . Имеем
х_ , 2хГ
С другой стороны,
АЕ =AL + уТк = ^5 +
Ввиду единственности разложения вектора по двум не-
коллинеарным векторам получим систему уравнений
2дг
3
откуда х
- . Искомое отношение равно: АЕ : ЕМ = 3:4.
29. В окружность радиуса R вписан
равносторонний треугольник ABC. Пусть М — произвольная точ-
2 2 2
ка окружности. Чему равна сумма MA + MB + МС ?
Решение. Прежде всего заметим
(рис. 36), что если О — центр
окружности, то О А + О В + ОС = 0. Таким
образом,
AM2 + ВМ2 + СМ2 =
= (ОМ
+ ОС)2 = ЗМО2 + ОА2 + ОВ2 +
2 = ЗМО2 + ОА2 + ОВ2 + ОС2
м
+ 20М • (ОА +С)В +ОС) = 6Д2. Рис 36
Данная задача допускает всевозможные обобщения,
например на правильные многоугольники. При этом для
точки М может быть указано лишь расстояние от центра
окружности.
Подводя итог нашему небольшому обзору методов
решения и методов поиска решения геометрических задач,
заметим, что не все этапы в равной степени обязательно
присутствуют в решении любой задачи. Мы видели
примеры, показывающие, что не всегда приходится
выявлять характерные особенности конфигурации и,
наоборот, некоторые решения одним этим этапом, по сути, и
исчерпывались. Отдельно следует сказать об анализе
полученного решения. В полной мере этот анализ мы были
вынуждены проделать лишь в одной задаче. Как
показывает пример этой задачи, основная функция анализа —
227
контроль правильности полученного решения,
выявление других возможностей, отличных от рассмотренных,
оценка полноты решения. Иногда в ходе анализа
необходимо провести исследование, существует ли полученная
конфигурация, не относится ли она к разряду
невозможных, при каких условиях возможно ее существование.
Возникает вопрос: всегда ли подобное исследование
нужно делать? Все зависит от конкретной задачи. Чтобы
не вдаваться в детали, не рассматривать различные
примеры, дадим следующий совет: ученику не следует
делать больше того, чем это требуется по условию задачи.
И еще одно, последнее замечание. Каждая из
рассмотренных нами задач, как правило, сопровождалась лишь
одним решением, иллюстрировавшим тот или иной
прием, тот или иной метод решения. Возможно, что при этом
предлагался для данной конкретной задачи не самый
лучший метод. В частности, в задаче 22, вероятно, удобнее
было бы воспользоваться методом координат, а в
задаче 27, наоборот, вместо метода координат —
тригонометрическим методом, а именно: зная тангенсы углов
КСО и МАО (они равны « и = ], доказать, что тангенс их
V 6 &)
суммы равен 1 и т. д. Бесспорно, изучение методов
решения геометрических задач будет более эффективным,
если рассматривать на примере одной задачи возможности
использования различных геометрических и
алгебраических методов. Поэтому советуем еще раз посмотреть
разобранные задачи и попытаться решить их по-другому.
6.7. Задачи
Предлагаемый здесь начальный список опорных
задач носит рекомендательный характер. В дальнейшем,
по мере усложнения решаемых задач, расширения и
углубления применяемых методов, этот список должен
пополняться.
1. Докажите, что дуги окружности, заключенные
между двумя параллельными хордами, равны.
228
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD сумма углов
BAD и BCD равна 180°. Докажите, что около ABCD
можно описать окружность.
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD угол ABD
равен углу ACD. Докажите, что около ABCD можно
описать окружность.
4. Докажите, что медиана в прямоугольном
треугольнике, выходящая из прямого угла, равна половине
гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное
утверждение.
5. Пусть две стороны и угол одного треугольника
соответственно равны двум сторонам и углу другого
треугольника. Следует ли из этого, что
треугольники равны?
6. В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузу
АВ опущена высота CD. Докажите, что CD2 =AD • DB,
ВС2 = ВА • BD.
7. В прямоугольном треугольнике биссектриса
прямого угла делит пополам угол между медианой и
высотой, выходящими из той же вершины.
8. В треугольнике ABC проведена высота BN. Точка
О — центр описанной около ABC окружности.
Докажите, что Z ОВС = Z NBA.
9. В треугольнике ABC проведены высоты ВВХ и AAV
О — центр описанной около ABC окружности.
Докажите, что прямые А1В1 и СО перпендикулярны.
10. Докажите, что для произвольного треугольника
.В.с
a sin^sin-
выполняется равенство г = — , где г — pa-
cos-
диус вписанной окружности; А, В, С — углы
треугольника; а = ВС.
11. Докажите, что медианы в треугольнике
пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2.
229
12. Докажите, что медианы делят треугольник на
шесть равновеликих частей.
13. Докажите, что диаметр окружности, описанной
около треугольника, равен отношению его стороны
к синусу противолежащего угла.
14. Пусть вершина угла находится вне круга и
стороны угла пересекают окружность. Докажите, что
величина угла измеряется полуразностью дуг,
высекаемых его сторонами на окружности и
расположенных внутри угла.
15. Пусть вершина угла находится внутри круга.
Докажите, что величина угла измеряется
полусуммой дуг, заключенных между его сторонами и их
продолжениями за вершину угла.
16. Пусть АВ — хорда окружности, I — касательная к
окружности (А — точка касания). Докажите, что
каждый из двух углов между АВ и I измеряется
половиной дуги окружности, заключенной внутри
рассматриваемого угла.
17. Через точку М, находящуюся на расстоянии а от
центра окружности радиуса R (а > R), проведена
секущая, пересекающая окружность в точках А и В.
Докажите, что МА • MB постоянно для всех
секущих и равно а2 - R2 (квадрату длины касательной).
18. В окружности радиуса R через точку М,
находящуюся на расстоянии а от ее центра (а < R),
проведена хорда АВ. Докажите, что AM • MB постоянно
для всех хорд и равно R - а .
19. Пусть AM — биссектриса треугольника ABC.
Докажите, что ВМ : СМ = АВ : АС. То же верно для
биссектрисы внешнего угла треугольника. В этом
случае М лежит на продолжении стороны ВС.
20. Докажите, что сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов катетов его
сторон.
230
21. Стороны треугольника равны а, Ь и с. Докажите,
что медиана, проведенная к стороне а, вычисляет-
1 / 2 2 2
ся по формуле та = ^ V26 + 2с -а .
22. Даны два треугольника, у которых одна вершина А
общая, а другие вершины расположены на двух
прямых, проходящих через А. Докажите, что
отношение площадей этих треугольников равно
отношению произведений двух сторон каждого
треугольника, содержащих вершину А.
23. Докажите, что площадь описанного
многоугольника равна гру где г — радиус вписанной
окружности; р — его полупериметр (в частности, эта
формула справедлива для треугольника).
24. Докажите, что площадь четырехугольника равна
полупроизведению диагоналей на синус угла
между ними.
25. Докажите справедливость следующих формул для
площади треугольника:
2
о a sinBsinC ~ пг>2 • ,. • т> ^
= —2 sin А— ' = S1 Sin Sln '
где А, Ву С — углы треугольника; а — сторона,
лежащая против угла A; R — радиус описанной
окружности.
26. Докажите, что радиус окружности, вписанной в
прямоугольный треугольник, вычисляется по
формуле г = « (а + ^ ~ с)» гДе а и ^ — катеты; с —
гипотенуза.
27. Докажите, что если а и Ъ — две стороны
треугольника, а — угол между ними и I — биссектриса это-
2aocos-
го угла, то / = — .
а + о
231
28. Докажите, что расстояния от вершины А
треугольника ABC до точек касания вписанной окружности
со сторонами АВ и АС равны р - а, где р —
полупериметр треугольника АБС, а = ВС.
29. Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике
ABCD выполняется соотношение АВ + CD =AD + ВС,
то существует окружность, касающаяся всех его
сторон.
30. Докажите, что: а) высоты в треугольнике
пересекаются в одной точке и б) расстояние от вершины
треугольника до точки пересечения высот вдвое
больше, чем расстояние от центра описанного
круга до противоположной стороны.
31. Докажите, что сумма расстояний от любой точки
основания равнобедренного треугольника до
боковых сторон равна высоте этого треугольника,
проведенной к боковой стороне.
32. Докажите, что сумма расстояний от любой точки
внутри правильного треугольника до его сторон
равна высоте этого треугольника.
33. В треугольнике ABC угол ABC равен а. Найдите
угол АОСу где О — центр вписанной окружности.
34. Сторону правильного десятиугольника выразите
через R — радиус описанной окружности.
35. Для всякого ли треугольника из его: а) медиан;
б) высот — можно составить еще один треугольник?
36. В треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.
Докажите, что треугольники BMN иАВС подобны.
Чему равен угол ABC, если АС = 2MN?
37. Окружности радиусов R и г касаются друг друга
внешним образом. Найдите радиус третьей
окружности, касающейся двух данных и их общей
внешней касательной.
38. Найдите длину общей внешней касательной к двум
окружностям с радиусами йиг, если расстояние
между их центрами равно а. Найдите длину общей
внутренней касательной к этим же окружностям.
232
39. Докажите, что четырехугольник с вершинами в
серединах сторон данного четырехугольника является
параллелограммом. При каком условии этот
параллелограмм будет: а) прямоугольником; б) ромбом;
в) квадратом?
40. Основания трапеции а и Ь. Найдите длину отрезка,
высекаемого диагоналями на средней линии.
41. Найдите площадь трапеции с основаниями 7 и 11
и боковыми сторонами 3 и 5.
42. Найдите площадь трапеции с основаниями 6 и 7
и диагоналями 5 и 12.
43. Основания трапеции а и Ь. Найдите длину отрезка,
параллельного основаниям, с концами на боковых
сторонах трапеции, делящего площадь трапеции
пополам.
44. Основания трапеции аиб. Найдите длину отрезка,
проходящего через точку пересечения диагоналей
трапеции параллельно основаниям трапеции с
концами на боковых сторонах трапеции.
* * *
45. Определите вид треугольника (остроугольный,
прямоугольный, тупоугольный) и найдите косинус
наибольшего угла треугольника, если его стороны
равны: а) 6, 7, 9; б) 7, 24, 25; в) 23, 25, 34.
46. В треугольнике ABC отрезок, соединяющий
середины АВ и ВС у равен 3, сторона АВ равна 7, угол С
равен 60°. Найдите сторону ВС.
47. В треугольнике ABC известны стороны АС = 2,
АВ = 3, ВС = 4. Пусть BD — высота этого
треугольника (D — на прямой АС). Найдите длину отрезка CD.
48. В треугольнике со сторонами 3, 4 и 6 проведена
медиана к большей стороне. Определите косинус
угла, образованного медианой с меньшей стороной
треугольника.
233
49. Чему равен острый угол между биссектрисами
острых углов прямоугольного треугольника?
50. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15.
Чему равно расстояние от вершины прямого угла
до центра вписанной в этот треугольник
окружности?
51. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4.
Чему равен радиус окружности, проходящей через
вершину прямого угла, середину большего катета
и противолежащий острый угол?
52. Один катет прямоугольного треугольника равен 6,
медиана, опущенная на этот катет, равна 5.
Найдите гипотенузу этого треугольника.
53. Один катет прямоугольного треугольника равен 5,
а проекция другого катета на гипотенузу равна 2,25.
Найдите гипотенузу этого треугольника.
54. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник, равен полуразности его катетов.
Найдите отношение большего катета к меньшему.
55. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного
треугольника, делит треугольник на два. Радиусы
окружностей, вписанных в эти два треугольника,
равны 1 и 2. Найдите радиус окружности,
вписанной в исходный треугольник.
56. Найдите радиус окружности, описанной около
треугольника со сторонами 5, Jl, 2 Js .
57. Одна сторона треугольника равна 2, прилежащие
углы равны 30° и 45°. Найдите две оставшиеся
стороны этого треугольника.
58. Пусть основание равнобедренного треугольника
равно а, боковые стороны равны Ьу высота,
опущенная на основание, равна Л. Выразите радиус
описанной около этого треугольника окружности
через любые две из трех величин: а, Ъ и Л.
234
59. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4.
Найдите радиус окружности, проходящей через
вершины острых углов этого треугольника и
середину большего катета.
60. Стороны треугольника равны 2, 3 и 4. Найдите
радиус окружности, проходящей через концы
большей стороны и середину меньшей стороны.
61. На основании ВС равнобедренного треугольника
ABC взята произвольная точка Z). Докажите, что
радиусы окружностей, описанных соответственно
около треугольников ABD и ACD, равны.
62. В окружности радиуса J2 проведена хорда АВ,
равная 2. Пусть М — некоторая точка
окружности. Чему равен угол АМВ?
63. Хорда АВ видна из центра окружности под углом 48°.
Пусть М — некоторая точка окружности. Чему
равен угол АМВ?
64. Дан квадрат со стороной 1. Найдите радиус
окружности, проходящей через одну из вершин
квадрата, середину одной из сторон, не содержащих этой
вершины, и центр квадрата.
65. Найдите углы, образованные медианой BBV
выходящей из вершины В треугольника ABC, со
сторонами АВ и ВС, если АВ = 6, ВС = 8, ВВХ = 5.
66. Докажите, что медиана треугольника меньше
полусуммы сторон, ее заключающих.
67. Найдите расстояния от точки пересечения медиан
треугольника до его вершин, если стороны
треугольника равны 5, 6 и 8.
68. Пусть S — сумма квадратов сторон треугольника,
a Q — сумма квадратов расстояний от точки
пересечения медиан до вершин этого треугольника.
Найдите отношение ^.
69. Пусть М — точка пересечения медиан
треугольника ABC. В каком отношении делит медиану, выхо-
235
дящую из вершины В, прямая, проходящая через
С и середину отрезка AM?
70. В треугольнике ABC проведены высоты ААХ и BBV
Найдите АС, если: а) ААХ = 4, ВВХ = 5, ВС = 6;
б) АХС = 8, ВВХ = 12, ВХС = 5.
71. В треугольнике ABC стороны АВ и АС равны
соответственно 7 и 8, угол А равен 120°. Найдите
расстояние от основания высоты, опущенной на
сторону АС у до середины стороны ВС.
72. Докажите, что радиусы окружностей, описанных
около треугольников ABC и АВНУ где Н — точка
пересечения высот треугольника ABC, равны.
73. Найдите длину биссектрисы прямого угла
прямоугольного треугольника с острым углом в 30° и
меньшим катетом, равным 1.
74. Стороны треугольника равны 2, 3 и 4. Найдите:
а) длины отрезков, на которые разделена средняя
сторона треугольника биссектрисой
противоположного угла; б) длину биссектрисы к средней
стороне этого треугольника.
75. Найдите углы треугольника, если известно, что
две его стороны видны из центра вписанной
окружности под углами 102° и 126°.
76. В треугольнике ABC проведена биссектриса BBV
Найдите углы этого треугольника, если известно,
что АВ = ВВХ = ВХС.
77. Один из углов треугольника равен 60°,
противоположная сторона равна 4, один из отрезков, на
которые эта сторона разделена опущенной на нее
биссектрисой, равен 1. Найдите две оставшиеся
стороны треугольника.
78. Угол В треугольника ABC равен 60°, радиус
окружности, описанной около ABC, равен 2. Найдите
радиус окружности, проходящей через точки А и С
и центр окружности, вписанной в ABC.
236
79. Стороны треугольника равны 5, б и 7. Найдите
отношение отрезков, на которые биссектриса
большего угла этого треугольника разделена центром
окружности, вписанной в треугольник.
80. Выразите сторону правильного треугольника и
радиус описанной около него окружности через г —
радиус вписанной окружности.
81. Найдите стороны треугольника, если известен
радиус вписанной в него окружности г и углы аир,
под которыми видны из центра этой окружности
две стороны треугольника.
82. Две стороны треугольника равны 3 и 4, площадь
равна Зл/З . Найдите третью сторону треугольника.
83. Найдите радиус окружности, вписанной в
треугольник, если его стороны равны 2, 3 и 4.
84. Площадь треугольника равна 5, две стороны равны
3 и 4. Найдите площади треугольников, на
которые он делится биссектрисой угла между данными
сторонами.
85. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC взяты
точки К, L, М так, что АК = 2KB, 2BL = 3LC,
ЗСМ = 4МА. Площадь треугольника ABC равна 1.
Найдите площади треугольников АКМ, BKL, CLM,
KLM.
86. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите
площадь треугольника с вершинами в основаниях
биссектрис данного треугольника.
87. Найдите площадь трапеции, основания которой
равны 2 и 1, а углы, прилегающие к большему
основанию, равны 30° и 60°.
88. Пусть а и b — основания трапеции. Докажите, что
отрезок, соединяющий середины ее диагоналей,
равен \ \а - Ь\.
237
89. На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взя-
пж кт AM AN 1 тт «
ты точки М и N так, что -rjr = -г= = « . Найдите
площадь четырехугольника AMCN, если площадь
параллелограмма равна 6.
90. ABCD — прямоугольник, в котором АВ = 1, ВС = 2.
На сторонах ВС и DA взяты точки М и N так, что
BMDN — ромб. Найдите сторону ромба.
91. Площадь трапеции равна 3, основания 1 и 2.
Найдите площади треугольников, на которые
трапеция разделена диагоналями.
92. Пусть точка М — середина стороны ВС
параллелограмма ABCD, N — точка на середине AD такая,
что AN = 2ND. В каком отношении отрезок MN
делит диагональ АС?
93. Найдите отношение оснований трапеции, если
известно, что средняя линия делится диагоналями на
три равные части.
94. В треугольнике ABC угол А равен 32°, угол С равен
24°. Окружность с центром в точке В проходит
через А, пересекает АС в точке М, ВС — в точке N.
Чему равен угол AN Ml
95. В треугольнике ABC известны стороны АВ = 2,
ВС = 4, СА = 3. Окружность, проходящая через
точки В и Су пересекает прямую АС в точке М,
а прямую АВ в точке N. Известно, что AM = 1,
СМ = 4. Найдите NM и AN.
96. Диагонали четырехугольника ABCZ), вписанного в
окружность, пересекаются в точке М, прямые АВ
и CD пересекаются в точке N. Найдите ZABD и
ZBDC.
97. Около треугольника со сторонами 5, 6 и 7 описана
окружность. Найдите длину хорды этой
окружности, отличной от стороны треугольника,
проходящей через одну его вершину и делящей пополам
среднюю по длине сторону треугольника.
238
98. В четырехугольнике ABCD известны углы Z ADC =
= 96°, Z ВАС = 54°, ZACB = 42°. Чему равен Z BDC?
99. Пусть М — точка на диаметре АВ окружности с
центром в О, С и D — точки окружности,
расположенные по одну сторону от АВ, причем Z СМ А =
= Z DMB9 Z CMD = а. Чему равен угол COD?
100. Пусть АВ — диаметр окружности, С — некоторая
точка плоскости. Прямые АС и ВС вторично
пересекают окружность в точках М и N
соответственно. Прямые MB и NA пересекаются в точке К.
Чему равен угол между прямыми СК и АВ?
101. Около окружности описана равнобочная трапеция
с основаниями 5 и 3. Найдите радиус окружности.
102. Из точки, расположенной вне окружности,
проведены касательная и секущая. Длина касательной
равна 6. Секущая высекает на окружности хорду
длиной 5. Найдите длину отрезка секущей,
расположенного вне окружности.
103. Через вершины В и С треугольника ABC проходит
окружность, пересекающая стороны АВ и АС
соответственно в точках К и М. Докажите, что
треугольники ABC и AM К подобны. Найдите МК и
AM, если АВ = 2, ВС = 4, СА = 5, АК = 1.
104. Окружность высекает на сторонах
четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот
четырехугольник можно вписать окружность.
105. Около окружности радиуса 1 описана равнобочная
трапеция с боковой стороной, равной 3. Найдите
площадь трапеции.
106. Около окружности описана трапеция. Докажите,
что концы боковой стороны трапеции и центр
окружности являются вершинами прямоугольного
треугольника. Докажите, что произведение
отрезков боковой стороны, на которые она разделена
точкой касания, равно квадрату радиуса
окружности.
239
107. К окружности проведены касательные,
касающиеся ее в концах диаметра АВ. Произвольная
касательная к окружности пересекает эти касательные
соответственно в точках К и М (АК и ВМ —
касательные к окружности). Докажите, что
произведение АК • ВМ постоянно.
108. На сторонах АВ и АС квадрата ABCD взяты точки
К и М так, что ЗАК = 4АМ = АВ. Докажите, что
прямая КМ касается окружности, вписанной в
квадрат.
109. Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 и
острым углом 30°. Найдите площадь общей части
двух кругов, проходящих через вершину прямого
угла с центрами в вершинах острых углов
треугольника.
110. На катетах прямоугольного треугольника как на
диаметрах построены круги. Докажите, что сумма
площадей частей этих кругов, расположенных вне
описанного около этого треугольника круга, равна
площади этого треугольника.
111. Найдите площадь прямоугольного треугольника,
один катет которого равен 13, а высота, опущенная
на гипотенузу, равна 12.
112. На катете ВС прямоугольного треугольника ABC
как на диаметре построена окружность,
пересекающая гипотенузу АВ в точке К. Найдите
площадь треугольника ВСК, если ВС = а, СА = Ь.
113. В четырехугольнике ABCD известно, что Z CBD =
= 58°, ZABD = 44°, ZADC= 78°. Найдите угол CAD.
114. Длина окружности, описанной около
равнобедренного треугольника, в три раза больше длины
окружности, в него вписанной. Найдите углы при
основании этого треугольника.
115. Найдите площадь равнобедренного треугольника,
если высота, опущенная на основание, равна 10,
а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.
240
116. В треугольнике ABC угол А равен 60°, АВ = 1, ВС = а.
Найдите АС.
117. Найдите диаметр правильного треугольника,
вписанного в окружность, если известно, что хорда
этой окружности длиной 2 удалена от ее центра на
расстояние 3.
118. Дан угол величиной а с вершиной в точке А.
Расстояние между основаниями перпендикуляров,
опущенных из некоторой точки В на стороны угла,
равно а. Найдите АВ.
119. Найдите площадь треугольника, две стороны
которого равны 6 и 8, а медиана, заключенная между
ними, равна 5.
120. Сторона ромба ABCD равна 6, Z BAD = -= . На сто-
о
роне ВС взята точка Е так, что СЕ = 2. Найдите
расстояние от точки Е до центра ромба.
121. Дан треугольник ABC. Сколько найдется таких
точек М, что треугольники АВМ> ВСМ и САМ будут
равновелики?
122. На стороне ВС треугольника ABC взята точка М
так, что SBM = МС. В каком отношении прямая
AM делит медиану, выходящую из вершины В?
123. Найдите отношение радиусов двух окружностей,
касающихся между собой, если каждая из них
касается сторон угла, величина которого равна а.
124. В треугольник ABC вписана окружность, которая
касается сторон АВ, ВС, АС соответственно в точках
М, D, N. Известно, что NA = 2, NC = 3, Z ВСА = £ .
о
Найдите MD.
125. О прямоугольнике ABCD известно, что АВ = 2,
ВС = л/3 . Точка М делит отрезок CD в отношении
1 : 2, считая от точки С, К — середина AD. Какой
из отрезков больше: ВК или AM?
241
126. В треугольнике ABC сторона АС равна 3, Z ВАС = ^ ,
радиус описанной окружности равен 2. Докажите,
что площадь треугольника ABC меньше 3.
127. В треугольнике ABC проведены медиана ВМ и
высота АН. Известно, что ВМ = АН. Найдите угол
МВС.
128. Основания трапеции равны 1 и 4, одна боковая
сторона л/2 . Найдите боковую сторону, если известно,
что диагонали трапеции перпендикулярны.
129. На стороне ВС треугольника ABC взята точка М, а на
стороне АВ — точка N. Известно, что ВМ : МС =1:2,
BN : NA = 3:2. В каком отношении прямая MN
делит отрезок ВК, где К точка на АС, такая, что
АК : КС = 4 : 3?
130. Каждая сторона первого треугольника больше
любой стороны второго. Верно ли, что: a) Sx > S2;
б) Rx > R2; в) rx > r2 (Sv S2, Rv R2, rv r2 —
соответственно площади, радиус описанной и радиус
вписанной окружностей)?
131. Медианы треугольника равны 3, 4, 5. Какой это
треугольник: прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный?
132. Высоты треугольника равны 3, 4, 5. Какой это
треугольник: прямоугольный, остроугольный,
тупоугольный?
133. Углы треугольника удовлетворяют условию А > В >
> С. Какая из вершин треугольника находится
ближе всего к центру вписанной окружности?
134. Существует ли треугольник, у которого две высоты
больше 1 м, а площадь меньше 1 см ?
135. Существует ли треугольник, у которого все высоты
меньше 1 см, а площадь больше 1м?
242
136. Центры вписанной и описанной окружностей
треугольника ABC лежат по разные стороны от
прямой АВ. Сторона АВ равна радиусу описанной
окружности. О — центр вписанной окружности.
Найдите угол АОВ.
137. На одной стороне прямого угла с вершиной в точке О
взяты две точки А и Б, причем ОА = a, OB = b.
Найдите радиус окружности, проходящей через точки
А и В и касающейся другой стороны угла.
138. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, а
один из острых углов равен 30°. Найдите радиус
окружности с центром в вершине угла в 30°, делящей
данный треугольник на две равновеликие части.
139. В прямоугольном треугольнике даны катеты аи Ь.
Найдите расстояние от вершины прямого угла до
ближайшей к ней точки вписанной окружности.
140. В прямоугольном треугольнике медиана равна т и
делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите
площадь треугольника.
141. В треугольнике ABC даны стороны ВС = а, СА = Ьу
АВ = с. Найдите отношение, в котором точка
пересечения биссектрис делит биссектрису угла В.
142. В равнобедренном треугольнике ABC на основании
АС взята точка М так, что AM = а, МС = Ь. В
треугольники АВМ и СВМ вписаны окружности.
Найдите расстояние между точками касания этих
окружностей со стороной ВМ.
143. В ромб с высотой h и острым углом а вписана
окружность. Найдите радиус наибольшей из двух
возможных окружностей, каждая из которых
касается данной окружности и двух сторон ромба.
144. Определите острый угол ромба, в котором сторона
есть среднее геометрическое его диагоналей.
145. Диагонали выпуклого четырехугольника равны а
и Ьу а отрезки, соединяющие середины
противоположных сторон, равны. Найдите площадь
четырехугольника.
243
146. Сторона AD прямоугольника ABCD в три раза
больше стороны АВ, точки М и N делят AD на три
равные части. Найдите ZAMB + ZANB + Z ADB.
147. Две окружности пересекаются в точках Аи В. Через
точку А проведены хорды АС и AD, касающиеся
данных окружностей. Докажите, что АС2 • BD =AD2 • ВС.
148. На окружности радиуса г выбраны три точки
таким образом, что окружность оказалась
разделенной на три дуги, длины которых относятся как
3:4:5. В точках деления к окружности
проведены касательные. Найдите площадь треугольника,
образованного этими касательными.
149. Около окружности описана равнобочная трапеция
с боковой стороной Z, одно из оснований которой
равно а. Найдите площадь трапеции.
150. Две прямые, параллельные основаниям трапеции,
делят каждую из боковых сторон на три равные
части. Вся трапеция разделена ими на три части.
Найдите площадь средней части, если площади
крайних Sx и S2.
151. О трапеции ABCD известно, что АВ = а, ВС = Ь(аФ Ь).
Определите, что пересекает биссектриса угла А:
основание ВС или боковую сторону CD.
152. Диагонали трапеции делят ее на четыре
треугольника. Докажите, что площади двух
треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны.
153. В равнобочной трапеции, описанной около
окружности, отношение параллельных сторон равно к.
Найдите угол при основании.
154. В трапеции ABCD основание АВ равно а, основание
CD равно Ъ. Найдите площадь трапеции, если
известно, что диагонали трапеции являются
биссектрисами углов DAB и ABC.
155. В равнобочной трапеции средняя линия равна а,
а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите
площадь трапеции.
244
156. Площадь равнобочной трапеции, описанной около
окружности, равна S, а высота трапеции в два раза
меньше ее боковой стороны. Определите радиус
вписанной в трапецию окружности.
157. Площади треугольников, образованных отрезками
диагоналей трапеции и ее основаниями, равны Sx
и S2. Найдите площадь трапеции.
158. В прямоугольном треугольнике проведена
биссектриса прямого угла. Найдите расстояние между
точками пересечения высот двух получившихся
треугольников, если катеты данного треугольника
равны anb.
159. Прямая, перпендикулярная двум сторонам
параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую
из которых можно вписать окружность. Найдите
острый угол параллелограмма, если его стороны
равны аиЬ(а < Ь).
160. Дан полукруг с диаметром АВ. Через середину
полуокружности проведены две прямые, делящие
полукруг на три равновеликие части. В каком
отношении эти прямые делят диаметр АВ?
161. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна а, и
построены две окружности. Первая окружность
целиком расположена внутри квадрата ABCD,
касается стороны АВ в точке Е> а также касается
стороны ВС и диагонали АС. Вторая окружность с
центром в точке А проходит через точку Е.
Найдите площадь общей части двух кругов,
ограниченных этими окружностями.
162. Вершины правильного шестиугольника со
стороной а являются центрами окружностей, радиусы
которых равны -j= . Найдите площадь части шести-
угольника, расположенной вне окружностей.
163. Вне окружности радиуса R взята точка А, из
которой проведены две секущие: одна проходит через
245
R TT „
центр, а другая — на расстоянии тт от центра.
Найдите площадь части круга, расположенной между
этими секущими.
164. В четырехугольнике ABCD известны углы: Z DAB =
= 90°, Z DBC = 90°. Кроме того, DB = a, DC = &.
Найдите расстояние между центрами двух
окружностей, одна из которых проходит через точки £>, А
и В, а. другая — через точки В, С и D.
165. На сторонах АВ и AD ромба ABCD взяты две точки
М и ЛГ так, что МС и NC делят ромб на три
равновеликие части. Найдите MN, если BD = d.
166. На стороне АВ треугольника ABC взяты точки М и
N так, что AM : MiV : NB = 1:2:3. Через точки М
и N проведены прямые, параллельные стороне ВС.
Найдите площадь части треугольника,
заключенной между этими прямыми, если площадь
треугольника ABC равна S.
167. Дана окружность и точка А вне ее. АВ и АС —
касательные к окружности (Б и С — точка касания).
Докажите, что центр окружности, вписанной в
треугольник ABC, лежит на данной окружности.
168. Вокруг равностороннего треугольника ABC
описана окружность и на дуге ВС взята произвольная
точка М. Докажите, что AM = ВМ + СМ.
169. Пусть Н — точка пересечения высот
треугольника ABC. Найдите углы треугольника ABC, если
ZBAH = a9 ZABH = $.
170. Площадь ромба равна S, сумма его диагоналей — т.
Найдите сторону ромба.
171. Квадрат со стороной а вписан в окружность.
Найдите сторону квадрата, вписанного в один из
полученных сегментов.
172. В сегмент с дугой 120° и высотой h вписан
прямоугольник ABCD так, что АВ : ВС =1:4 (ВС лежит
на хорде). Найдите площадь прямоугольника.
246
173. Площадь кругового кольца равна S. Радиус
большей окружности равен длине меньшей. Найдите
радиус меньшей окружности.
174. К окружности радиуса R из внешней точки М
проведены касательные МА и MB, образующие угол а.
Определите площадь фигуры, ограниченной
касательными и меньшей дугой окружности.
175. Дан квадрат ABCD со стороной а. Найдите радиус
окружности, проходящей через середину стороны
АВ, центр квадрата и вершину С.
176. Дан ромб со стороной а и острым углом а. Найдите
радиус окружности, проходящей через две
соседние вершины ромба и касающейся
противоположной стороны ромба или ее продолжения.
177. Даны три попарно касающиеся окружности
радиуса г. Найдите площадь треугольника,
образованного тремя прямыми, каждая из которых касается
двух окружностей и не пересекает третью.
178. Окружность радиуса г касается некоторой прямой
в точке М. На этой прямой по разные стороны от М
взяты точки Аи В так, что MA = MB = а. Найдите
радиус окружности, проходящей через точки А и В
и касающейся данной окружности.
179. Дан квадрат ABCD со стороной а. На стороне ВС
взяты точка М так, что ВМ = ЗМС, а на стороне
CD — точка N так, что 2CN = ND. Найдите радиус
окружности, вписанной в треугольник AMN.
180. Дан квадрат ABCD со стороной а. Определите
расстояние между серединой отрезка AM, где М —
середина ВС, и точкой N на стороне CD, делящей ее
так, что CN : ND = 3 : 1.
181. В прямоугольном треугольнике ABC катет СА
равен Ь. Катет С В равен а, СН — высота, AM —
медиана. Найдите площадь треугольника ВМН.
182. В равнобедренном треугольнике ABC известно, что
Z А = а > 90° и ВС = а. Найдите расстояние между
247
точкой пересечения высот и центром описанной
окружности.
183. Вокруг треугольника ABC, в котором ВС = a, Z В = а,
Z С = Р, описана окружность. Биссектриса угла А
пересекает окружность в точке К. Найдите АК.
184. В окружности радиуса R проведен диаметр и на
нем взята точка А на расстоянии а от центра.
Найдите радиус второй окружности, которая касается
диаметра в точке А и изнутри касается данной
окружности.
185. В окружности проведены три попарно
пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками
пересечения на три равные части. Найдите радиус
окружности, если одна из хорд равна а.
186. Один правильный шестиугольник вписан в
окружность, а другой описан около нее. Найдите радиус
окружности, если разность периметров этих
шестиугольников равна а.
187. В правильном треугольнике ABC, сторона которого
равна а, проведена высота ВК. В треугольники
АВК и ВСК вписано по окружности и к ним
проведена общая внешняя касательная, отличная от
стороны АС. Найдите площадь треугольника,
отсекаемого этой касательной от треугольника ABC.
188. Во вписанном четырехугольнике ABCD известны
углы: Z DAB = a, Z ABC = (3, Z ВКС = у. где К —
точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.
189. Во вписанном четырехугольнике ABCD, диагонали
которого пересекаются в точке К, известно, что
АВ = а, ВК = 6, АК = c,CD = d. Найдите АС.
190. Вокруг трапеции описана окружность. Основание
трапеции составляет с боковой стороной угол а, а с
диагональю — угол р. Найдите отношение
площади круга к площади трапеции.
191. В равнобочной трапеции ABCD основание AD
равно а, основание ВС равно 6, АВ = d. Через вершину
248
В проведена прямая, делящая пополам диагональ
АС и пересекающая AD в точке К. Найдите
площадь треугольника BDK.
192. Найдите сумму квадратов расстояний от точки М,
взятой на диаметре некоторой окружности, до
концов любой из параллельных этому диаметру хорд,
если радиус окружности равен R, а расстояние от
точки М до центра окружности равно а.
193. Общая хорда двух пересекающихся окружностей
видна из их центров под углами 90° и 60°. Найдите
радиусы окружностей, если расстояние между их
центрами равно а.
194. Дан правильный треугольник ABC. Точка К делит
сторону АС в отношении 2 : 1, а точка М делит
сторону АВ в отношении 1 : 2 (считая в обоих случаях
от вершины А). Докажите, что длина отрезка КМ
равна радиусу окружности, описанной около
треугольника ABC.
ту
195. Окружности радиусов R и - касаются друг друга
внешним образом. Один из концов отрезка длиной
2Ry образующего с линией центров угол, равный
30°, совпадает с центром окружности меньшего
радиуса. Какая часть отрезка лежит вне обеих
окружностей? (Отрезок пересекает обе окружности.)
196. В треугольнике ABC проведены ВК — медиана,
BE — биссектриса, AD — высота. Найдите сторону
ACt если известно, что прямые ВК и BE делят
отрезок AD на три равные части и АВ = 4.
197. Отношение радиуса окружности, вписанной в
равнобедренный треугольник, к радиусу окружности,
описанной около этого треугольника, равно k.
Найдите угол при основании треугольника.
198. Найдите косинус угла при основании
равнобедренного треугольника, если точка пересечения его
высот лежит на вписанной в треугольник
окружности.
249
199. Найдите площадь пятиугольника, ограниченного
прямыми ВС, CD, AN, AM и BD> где Ау В и D —
три вершины квадрата ABCD; N — середина
стороны ВС; М делит сторону CD в отношении 2 : 1
(считая от вершины С), если сторона квадрата ABCD
равна а.
200. В треугольнике ABC даны: Z ВАС = а, А АВС = (3.
Окружность с центром в В проходит через точку А
и пересекает прямую АС в точке К, отличной от А,
а прямую ВС — в точках Е и F. Найдите углы
треугольника EKF.
201. Дан квадрат со стороной а. Найдите площадь
правильного треугольника, одна вершина которого
совпадает с серединой одной из сторон квадрата, а две
другие расположены на диагоналях квадрата.
202. На сторонах квадрата ABCD взяты точки М, N и К,
где М — середина АВ; N лежит на стороне ВС,
причем 2BN = NC; К лежит на DA, причем 2DK = КА.
Найдите синус угла между прямыми МС и NK.
203. Через вершины Аи В треугольника ABC проходит
окружность радиуса г, пересекающая сторону ВС в
точке D. Найдите радиус окружности, проходящей
через точки A, D и С, если АВ = с, АС = Ь.
204. В треугольнике ABC сторона АВ равна 3, а высота
CD, опущенная на сторону АВ, равна л/3 .
Основание D высоты CD лежит на стороне АВ, отрезок AD
равен стороне ВС. Найдите АС.
205. В окружность радиуса R вписан правильный
шестиугольник ABCDEF. Найдите радиус
окружности, вписанной в треугольник ACD.
206. Сторона АВ квадрата ABCD равна 1 и является
хордой некоторой окружности, причем остальные
стороны квадрата лежат вне этой окружности.
Длина касательной СК, проведенной из вершины С
к той же окружности, равна 2. Чему равен диаметр
окружности?
250
207. В прямоугольном треугольнике меньший угол
равен а. Перпендикулярно гипотенузе проведена
прямая, делящая треугольник на две
равновеликие части. Определите, в каком отношении эта
прямая делит гипотенузу.
208. Внутри правильного треугольника со стороной 1
помещены две касающиеся друг друга окружности,
каждая из которых касается двух сторон
треугольника (каждая сторона треугольника касается хотя
бы одной окружности). Докажите, что сумма ради-
л/3- 1
усов этих окружностей не меньше чем-^—— .
209. В прямоугольном треугольнике ABC с острым
углом А, равным 30°, проведена биссектриса BD
другого острого угла. Найдите расстояние между
центрами двух окружностей, вписанных в
треугольники ABD и CBD, если меньший катет равен 1.
210. В трапеции ABCD углы Аи D при основании AD
соответственно равны 60° и 30°. Точка N лежит на
основании ВС у причем BN : NC = 2. Точка М
лежит на основании AD, прямая MN
перпендикулярна основаниям и делит площадь трапеции
пополам. Найдите AM : MD.
211. В треугольнике ABC заданы ВС = a, Z А = а, Z В = (3.
Найдите радиус окружности, касающейся стороны
АС в точке А и касающейся стороны ВС.
212. В треугольнике ABC известно: АВ = с, ВС = а,
Z В = (3. На стороне АВ взята точка М так, что
2ЛМ = ЗМВ. Найдите расстояние от точки М до
стороны АС.
213. На стороне АВ треугольника ABC взята точка М,
а на стороне ВС — точка N, причем AM = 3МБ,
a 2AN = NC. Найдите площадь четырехугольника
MBCNy если площадь треугольника ABC равна S.
214. Даны две концентрические окружности радиусов
R и г (R > г) с общим центром О. Третья
окружность касается их обеих. Найдите тангенс угла
251
между касательными к третьей окружности,
выходящими из точки О.
215. В параллелограмме ABCD известно: АВ = a, AD = Ъ
(Ь > а), Z BAD = а (а < 90°). На сторонах AD и ВС
взяты точки К и М так, что BKDM — ромб.
Найдите сторону ромба.
216. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с.
Q
Центры трех окружностей радиуса -= находятся в
э
его вершинах. Найдите радиус четвертой
окружности, которая касается трех данных и не
содержит их внутри себя.
217. Найдите радиус окружности, которая высекает на
обеих сторонах угла величины а хорды длины а,
если известно, что расстояние между ближайшими
концами этих хорд равно Ь.
218. На стороне ВС треугольника ABC как на диаметре
построена окружность, пересекающая стороны АВ
и АС в точках М hN. Найдите площадь
треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна S,
a Z ВАС = а.
219. В окружности радиуса R проведены две взаимно
перпендикулярные хорды MN и PQ. Найдите
расстояние между точками МиР, если NQ = а.
220. В треугольнике ABC на наибольшей стороне ВС,
равной Ь, выбирается точка М. Найдите
наименьшее расстояние между центрами окружностей,
описанных около треугольников ВАМ иАСМ.
221. В параллелограмме ABCD известны АВ = а, ВС = 6,
Z ABC = а. Найдите расстояние между центрами
окружностей, описанных около треугольников BCD и
DAB.
222. В треугольнике ABC известно: Z.A = а, ВА = а,
АС = Ь. На сторонах АС и АВ взяты точки М и N,
где М — середина АС. Найдите длину отрезка MN,
252
если известно, что площадь треугольника AMN
составляет -z площади треугольника ABC.
о
223. Найдите углы ромба, если площадь вписанного в
него круга вдвое меньше площади ромба.
224. Найдите площадь общей части двух квадратов,
если у каждого сторона равна а и один получается из
другого поворотом вокруг вершины на угол 45°.
225. Во вписанном в окружность четырехугольнике две
противоположные стороны взаимно
перпендикулярны, одна из них равна а, прилежащий к ней
угол делится диагональю на части а и (3 (угол а
прилежит к данной стороне). Определите
диагонали четырехугольника.
226. Дан параллелограмм ABCD с острым углом DAB,
равным а, в котором АВ = а, AD = b (a < b). Пусть
К — основание перпендикуляра, опущенного из
вершины В на AD, a M — основание
перпендикуляра, опущенного из точки К на продолжение
стороны CD. Найдите площадь треугольника ВКМ.
22П. В треугольнике ABC из вершины С проведены два
луча, делящие угол АСБ на три равные части.
Найдите отношение отрезков этих лучей, зак л юченных
внутри треугольника, если ВС = ЗАС, ZACB = а.
228. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС)
проведена биссектриса AD. Площади
треугольников ABD nADC равны соответственно Sx и S2.
Найдите АС.
229. Окружность радиуса Rx вписана в угол величины а.
Другая окружность радиуса R2 касается одной
стороны угла в той же точке, что и прямая, и
пересекает вторую сторону угла в точках А и Б. Найдите АВ.
230. На прямой, проходящей через центр О окружности
радиуса 12, взяты точки А и Б так, что О А = 15,
АВ = 5. Из точек А и Б проведены касательные к
окружности, точки касания которых лежат по од-
253
ну сторону от прямой ОВ. Найдите площадь
треугольника ABC, где С — точка пересечениях этих
касательных.
231. В треугольнике ABC известно: ВС = a, ZA = а,
Z В = р. Найдите радиус окружности,
пересекающей все его стороны и высекающей на каждой из
них хорды длины d.
232. В выпуклом четырехугольнике отрезки,
соединяющие середины противоположных сторон, равны
соответственно а и Ь и пересекаются под углом 60°.
Найдите диагонали четырехугольника.
233. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М
таким образом, что расстояние от вершины В до
центра тяжести треугольника АМС равно
расстоянию от вершины С до центра тяжести
треугольника AM В. Докажите, что вершины ВМ = DC, где
D — основание высоты, опущенной на ВС из
вершины А.
234. В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса
BE прямого угла В делится центром О вписанной
окружности так, что ВО : ОЕ = Js : J2 . Найдите
острые углы треугольника.
235. На отрезке АВ длины R как на диаметре построена
окружность. Вторая окружность такого же
радиуса, как и первая, имеет центр в точке А. Третья
окружность касается первой окружности
внутренним образом, второй окружности — внешним
образом, а также касается отрезка АВ. Найдите радиус
третьей окружности.
236. Дан треугольник АБС. Известно, что АВ = 4, АС = 2,
ВС = 3. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС
в точке К. Прямая, проходящая через точку В
параллельно АС, пересекает продолжение
биссектрисы АК в точке М. Найдите КМ.
237. Окружность в центром, расположенным внутри
прямого угла, касается одной стороны угла, пересекает
254
ДРУГУ10 сторону в точках А и В и пересекает
биссектрису угла в точках С и D. Хорда АВ равна */б ,
хорда CD равна Jl. Найдите радиус окружности.
238. В параллелограмме лежат две окружности радиуса
1, касающиеся друг друга и трех сторон
параллелограмма каждая. Известно также, что один из
отрезков стороны параллелограмма от вершины до
точки касания равен */3 . Найдите площадь
параллелограмма.
239. Окружность радиуса R проходит через вершины А
и В треугольника ABC и касается прямой АС в
точке А. Найдите площадь треугольника ABC, зная,
что Z А = a, Z В = р.
240. В треугольнике ABC биссектриса АК
перпендикулярна медиане ВМ, а угол В равен 120°. Найдите
отношение площади треугольника ABC к площади
описанного около этого треугольника круга.
241. В прямоугольном треугольнике ABC через
середины сторон АВ и АС проведена окружность,
касающаяся стороны ВС. Найдите ту часть гипотенузы
АС, которая лежит внутри этой окружности, если
АВ = 3, ВС = 4.
242. Дан отрезок а. Три окружности радиуса R имеют
центры в концах отрезка и в его середине. Найдите
радиус четвертой окружности, касающейся трех
данных.
243. Найдите угол общей внешней касательной и общей
внутренней касательной к двум окружностям,
если их радиусы равны R и г, а расстояние между их
центрами равно *J2(R + г ) (R> г).
244. Отрезок АВ есть диаметр круга, точка С лежит вне
этого круга. Отрезки АС и ВС пересекаются с
окружностью в точках D и Е соответственно.
Найдите угол CBD, если площади треугольников DCE и
ABC относятся как 1:4.
255
245. В ромбе ABCD со стороной а угол при вершине А
равен 120°. Точки Е nF лежат на сторонах ВС иАХ>
соответственно, отрезок BF и диагональ ромба АС
пересекаются в точке М. Площади
четырехугольников BEFA и ECDF относятся как 1:2. Найдите
ЕМ, если AM : МС = 1 : 3.
246. Дана окружность радиуса R с центром в точке О.
Из конца отрезка ОА, пересекающегося с
окружностью в точке М, проведена касательная АК
к окружности. Найдите радиус окружности,
касающейся отрезков АК, AM и дуги МК, если
ZOAK = 60°.
247. В окружность вписан равнобедренный
треугольник ABC, в котором АВ = ВС и Z В = (3. Средняя
линия треугольника продолжена до пересечения с
окружностью в точках D и Е (DE || АС). Найдите
отношение площадей треугольников ABC и DBE.
248. Дан угол а (а < 90°) с вершиной О. На одной его
стороне взята точка М и восставлен
перпендикуляр в этой точке до пересечения с другой стороной
в точке N. Точно так же в точке К на другой
стороне восставлен перпендикуляр до пересечения с
первой стороной в точке Р. Пусть В — точка
пересечения прямых MN и КР, а А — точка
пересечения прямых ОВ и NP. Найдите ОА, если ОМ = а,
ОР = Ь.
249. Две окружности радиусов R и г касаются сторон
данного угла и друг друга. Найдите радиус третьей
окружности, касающейся сторон того же угла,
центр которой находится в точке касания данных
окружностей между собой.
250. В треугольнике ABC биссектриса угла ABC
пересекает сторону АС в точке К. Известно, что ВС = 2,
3 /2
КС = 1, ВК = -у- . Найдите площадь треугольника
ABC.
256
251. В треугольнике ABC высота BD равна 6, медиана
СЕ равна 5. Расстояние от точки пересечения
отрезков BD и СЕ до стороны АС равно 1. Найдите
сторону АВ.
252. В трапеции PQRS основание PS равно 5, диагональ
PR равна 7, Z PRQ = 45°. Что больше: сторона RS
или диагональ SQ?
253. Докажите, что прямая, проходящая через точки
пересечения двух окружностей, делит пополам
общую касательную к ним.
254. Две окружности пересекаются в точках А и В.
Прямая, параллельная линии центров, пересекает
отрезок АВ и пересекает окружность в точках М, N,
Р и Q (N и Р — на отрезке MQ). Докажите, что
величина MQ — NP не зависит от положения прямой.
255. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее
боковой стороны AD, AD = DC. Диагональ АС равна а,
боковая сторона ВС равна Ь. Найдите площадь
трапеции.
256. Найдите углы треугольника, если известно, что
центры вписанной и описанной окружности
симметричны относительно одной из его сторон.
257. В треугольнике ABC проведена биссектриса ВК.
Известно, что центр окружности, вписанной в
треугольник АВК, совпадает с центром окружности,
описанной около треугольника ABC. Найдите углы
треугольника ABC.
258. В выпуклом четырехугольнике ABCD известны
углы: Z А = a, Z С = (3, АВ > ВС. На стороне АВ взята
точка К так, что ВК = ВС, а на отрезке С К — точка
М так, что DM = DC. Найдите Z MDA.
259. В трапеции ABCD даны основания: AD = 12 и ВС = 3.
На продолжении стороны ВС выбрана такая точка
М, что прямая AM отсекает от трапеции
треугольник, площадь которого составляет 0,75 площади
трапеции. Найдите СМ.
257
260. В треугольнике ABC из вершин А и С на стороны
ВС и АВ опущены высоты АР и СК. Найдите
сторону АС, если известно, что периметр треугольника
ABC равен 15, периметр треугольника ВРК равен 9,
а радиус окружности, описанной около
треугольника ВРК у равен 1,8.
261. В треугольнике через одну вершину проведена
прямая, разбивающая его на два подобных
треугольника. Найдите наибольший угол исходного
треугольника.
262. Биссектриса внешнего угла при вершине В
треугольника ABC равна биссектрисе внешнего угла
при вершине А и равна стороне АВ. Найдите углы
треугольника ABC. (Биссектриса внешнего угла
при вершине В есть отрезок биссектрисы угла,
смежного с Bt ограниченный точкой В и точкой
пересечения с прямой АС.)
263. В треугольнике ABC сторона АВ равна 3, высота
CD равна 2 Js , AD = ВС. Найдите АС.
264. На сторонах четырехугольника с диагоналями а
и Ь лежат вершины ромба. Стороны ромба
параллельны диагоналям четырехугольника. Найдите
сторону ромба.
265. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с.
В каких пределах может меняться площадь
треугольника?
266. В шестиугольнике, описанном около окружности,
даны пять последовательных сторон — а, Ь, с, d, e.
Найдите шестую сторону.
267. Окружность касается сторон АВ и ВС треугольника
ABC в точках D и Е. Найдите высоту треугольника
ABC у опущенную из точки А, если АВ = 5, АС = 2,
а точки A, D, Е и С лежат на одной окружности.
268. В треугольнике ABC ZABC = 60°, АВ = 6, ВС = 4.
Найдите площадь полукруга с диаметром на
прямой АС у касающейся сторон АВ и ВС.
258
269. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К
так, что АК : В К = 1 : 2, а на стороне ВС взята
точка L так, что CL : BL = 2:1. Пусть Q — точка
пересечения прямых AL и СК. Найдите площадь
треугольника ABC у если площадь треугольника BQC
равна 1.
270. В трапеции АВСЕ основание АЕ равно 16, СЕ = 8л/3 .
Окружность, проходящая через точки А, В, С,
вторично пересекает прямую АЕ в точке Н, / АНВ =
= 60°. Найдите АС.
271. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали
пересекаются в точке Е. Известно, что площадь
каждого из треугольников ABE и DCE равна 7,
а площадь всего четырехугольника не
превосходит 28, AD = л/5 . Найдите ВС.
272. Продолжение медианы треугольника ABC,
проведенной из вершины А, пересекает описанную
около треугольника ABC окружность в точке D.
Найдите ВС, если АС = DC = 1.
273. В треугольнике ABC известно, что /.ВАС = 75°,
АВ = с, АС = Ь. На стороне ВС выбрана точка М
так, что / ВАМ = 30°. Прямая AM пересекает
окружность, описанную около ABC, в точке N>
отличной от А. Найдите AN.
274. Сторона ВС треугольника ABC равна 4, сторона АВ
равна 2^/19 . Известно, что центр окружности,
проходящей через середины сторон треугольника,
лежит на биссектрисе угла С. Найдите АС.
275. В треугольнике ABC высота, опущенная на сторону
АС, равна 1, /ABC = 140°. Найдите площадь
общей части треугольника и круга с центром В и
радиуса 72 .
276. Угол А треугольника ABC равен а, АВ < АС; точка
D взята на стороне АС так, что CD =АВ, М —
середина AD, N — середина ВС. Найдите угол NMC.
259
277. В треугольнике ABC проведены высота ВМ,
биссектриса BN и медиана BL. Известно, что AM =
= MN = NL. Найдите тангенс угла А этого
треугольника.
278. В остроугольном треугольнике ABC проведены
высоты AM и CN. О — центр описанной около ABC
окружности. Известно, что Z ABC = (3, а площадь
четырехугольника NOMB равна S. Найдите АС.
279. В остроугольном треугольнике ABC сторона АС
равна 3; высота, опущенная на АС, равна 4. В ABC
вписан прямоугольник так, что одна его сторона
расположена на АС, а две вершины — на АВ и ВС.
Диагональ прямоугольника равна 3,48. Найдите
площадь прямоугольника.
280. АВ — хорда окружности, I — касательная к
окружности, С — точка касания. Расстояния от А и В
до I равны соответственно а и Ь. Найдите
расстояние от С до АВ.
281. Из точки М, расположенной внутри треугольника
ABC, опущены перпендикуляры на его стороны.
Длины сторон и опущенных на них
перпендикуляров соответственно равны а и к, Ъ и т, с и п.
Вычислите отношение площади треугольника ABC к
площади треугольника, вершинами которого
служат основания перпендикуляров.
282. В окружность радиуса 10 вписан четырехугольник,
диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и
Юл/3 . Найдите стороны четырехугольника.
283. В треугольниках ABC и А'В'С АВ = ХВ', АС = АС,
Z ВАС = 60°, Z В'А'С = 120°, В'С : ВС = Jn (n —
целое число). Найдите АВ : АС. При каких п задача
имеет хотя бы одно решение?
284. Около окружности описана равнобочная трапеция
ABCD. Боковые стороны АВ и CD касаются
окружности в точках М и N, К — середина AD. В каком
отношении прямая ВК делит отрезок MN1
260
285. В треугольнике ABC с периметром 2р сторона АС
равна а, угол ABC равен а. Вписанная в
треугольник ABC окружность с центром О касается
стороны ВС в точке К. Найдите площадь треугольника
ВОК.
286. Расстояния от точки М до трех вершин
прямоугольника равны (последовательно) 3,5,4.
Найдите площадь прямоугольника.
287. Медиана в треугольнике, выходящая из одной
вершины, равна высоте, опущенной из другой
вершины, и равна 1. Высота, опущенная из третьей
вершины, равна л/3 . Найдите площадь треугольника.
288. В окружность радиуса R вписан треугольник.
Вторая окружность, концентрическая с первой,
касается одной стороны треугольника и делит каждую
из двух сторон на три равные части. Радиус второй
окружности г. Найдите ^ •
289. На отрезке АВ лежат точки С и £>, причем С — между
А и £>. Точка М взята так, что Z AMD = Z СМВ =
= 90°. Найдите площадь треугольника AM В, если
известно, что Z CMD = а, а площади
треугольников AMD и СМВ равны соответственно Sx и S2.
290. Расстояние между центрами непересекающихся
окружностей равно а. Докажите, что четыре точки
пересечения общих внешних касательных с
общими внутренними касательными лежат на одной
окружности. Найдите радиус этой окружности.
291. Докажите, что отрезок общей внешней
касательной к двум окружностям, заключенный между
общими внутренними касательными, равен длине
общей внутренней касательной.
292. В окружности с центром О проведены два взаимно
перпендикулярных радиуса О А и ОВ, точка С —
точка на дуге АВ такая, что ZAOC = 60° (Z ВОС =
= 30°). Окружность с центром А и радиусом АВ пе-
261
ресекает продолжение ОС за точку С в точке D.
Докажите, что отрезок CD равен стороне правильного
десятиугольника, вписанного в окружность.
Возьмем теперь точку М, диаметрально
противоположную точке С. Отрезок М£>, увеличенный на •= своей
о
длины, принимается приближенно равным
полуокружности. Оцените погрешность этого
приближенного равенства.
293. Дан прямоугольник со сторонами 7 и 8. Одна
вершина правильного треугольника совпадает с
вершиной прямоугольника, а две другие находятся на
его сторонах, не содержащих этой вершины.
Найдите площадь правильного треугольника.
294. Найдите радиус наименьшей окружности,
содержащей равнобочную трапецию с основаниями 15 и
4 и боковыми сторонами, равными 9.
295. ABCD — прямоугольник, в котором АВ = 9, ВС = 7.
На стороне CD взята точка М так, что СМ = 3, а на
стороне AD — точка N так, что AN = 2,5. Найдите
радиус наибольшей окружности, которая
помещается внутри пятиугольника ABCMN.
296. Найдите наибольший угол треугольника, если
известно, что радиус окружности, вписанной в
треугольник с вершинами в основаниях высот данного
треугольника, в два раза меньше наименьшей
высоты данного треугольника.
297. В треугольнике ABC биссектриса угла С
перпендикулярна медиане, выходящей из вершины В.
Центр вписанной окружности лежит на
окружности, проходящей через точки А, С и центр
описанной окружности. Найдите АВ, если ВС = 1.
298. Точка М удалена от сторон правильного
треугольника (от прямых, на которых расположены его
стороны) на расстояния 2, 3 и 6. Найдите сторону
правильного треугольника, если известно, что его
площадь меньше 14.
262
299. Точка М удалена от сторон угла в 60° на
расстояния л/3 и Зл/3 (основания перпендикуляров,
опущенных из М на стороны угла, лежат на сторонах,
а не на их продолжениях). Прямая, проходящая
через М, пересекает стороны угла и отсекает
треугольник периметра 12. Найдите площадь этого
треугольника.
300. Дан прямоугольник ABCD, в котором АВ = 4, ВС = 3.
Найдите сторону ромба, одна вершина которого
совпадает с точкой А, а три другие лежат по одной
на отрезках АВ, ВС и BD.
301. Дан квадрат ABCD со стороной 1. Найдите сторону
ромба, одна вершина которого совпадает с точкой
А, противоположная вершина лежит на прямой
BD, а две оставшиеся — на прямых ВС и CD.
302. В параллелограмме ABCD острый угол равен а.
Окружность радиуса г проходит через вершины А, В и
С и пересекает прямые AD и CD в точках М и N.
Найдите площадь треугольника BMN.
303. Окружность, проходящая через вершины А, Б и С
параллелограмма ABCD, пересекает прямые AD и
CD в точках М и N. Точка М удалена от вершин В,
С и D соответственно на расстояния 4, 3 и 2.
Найдите MN.
304. О треугольнике ABC известно, что Z ВАС = « .
Окружность с центром в А и радиусом, равным
высоте, опущенной на ВС, делит площадь треугольника
пополам. Найдите наибольший угол треугольника
ABC.
305. О равнобедренном треугольнике ABC известно, что
Z ВАС = 120°. Найдите общую хорду окружности,
описанной около треугольника ABC, и окружности,
проходящей через центр вписанной окружности и
основания биссектрис углов А и С, если АС = 1.
263
306. В треугольнике ABC сторона ВС равна а, радиус
вписанной окружности равен г. Определите
радиусы двух равных окружностей, касающихся друг
друга, причем одна из них касается сторон ВС и
ВА> а другая — ВС и СА.
307. В окружность радиуса R вписана трапеция.
Прямые, проходящие через концы одного основания
параллельно боковым сторонам, пересекаются в
центре окружности. Боковая сторона видна из
центра под углом а. Найдите площадь трапеции.
308. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с.
В каких пределах может меняться расстояние
между центром вписанной окружности и точкой
пересечения медиан?
309. Стороны параллелограмма равны а и b (а Ф Ь). В
каких пределах может меняться косинус острого
угла между диагоналями?
310. Через точку М внутри треугольника ABC
проведены три прямые, параллельные сторонам
треугольника. Отрезки прямых, заключенные внутри
треугольника, равны между собой. Найдите длины
этих отрезков, если стороны треугольника равны
а, & и с.
311. В треугольнике ABC помещены три равные
окружности, каждая из которых касается двух сторон
треугольника. Найдите радиусы этих
окружностей, если радиусы вписанной и описанной
окружностей треугольника ABC равны г и Д.
312. В треугольнике ABC проведены медиана AD,
Z DAC + Z ABC = 90°. Найдите Z ВАС, если
известно, чтоАВ ФАС.
313. В равнобедренный треугольник вписан квадрат
единичной площади, сторона которого лежит на
основании треугольника. Найдите площадь
треугольника, если известно, что центры тяжести
треугольника и квадрата совпадают.
264
314. В равностороннем треугольнике ABC сторона
равна а. На стороне ВС лежит точка D, а на АВ —
точка Е так, что BD = ^ , АЕ = DE. Найдите СЕ.
о
315. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины
прямого угла С проведены биссектриса CL (CL = а)
и медиана СМ (СМ = Ь). Найдите площадь
треугольника ABC.
316. В трапецию вписана окружность. Найдите
площадь трапеции, если известны длина а одного из
оснований и отрезки b и d, на которые разделена
точкой касания одна из боковых сторон (отрезок Ь
примыкает к данному основанию а).
Раздел 7
СТЕРЕОМЕТРИЯ
При решении стереометрических задач требования к
качеству чертежа, его наглядности значительно
возрастают. Мы не научимся решать сколько-нибудь
содержательные стереометрические задачи, если не освоим
принципы и технику построения пространственного
чертежа. Сюда входит: выбор оптимального положения
изображаемого тела (в частности, выбор ориентации — верх
и низ, право и лево), выбор ракурса и проекции, умение
минимизировать количество изображенных линий
(напомним, что видимые и невидимые линии должны
изображаться различным образом), умение строить сечение
и проекции на плоскость, умение выделить на
построенном чертеже и соответственно изобразить плоскую
конфигурацию, дающую ключ к решению задачи, умение
перевести условие задачи на графический язык.
Пространственные тела можно разделить на две
группы: удобные для пространственного изображения и
неудобные. К первой группе мы отнесем следующие
многогранники: параллелепипед (и прежде всего прямоугольный),
треугольную призму, треугольную пирамиду (или
тетраэдр) и четырехугольную пирамиду. Все остальные —
неудобные. Конечно, такое разделение носит условный
характер. В частности, цилиндр и конус достаточно
хорошо и наглядно смотрятся на проекционном чертеже. Тем
не менее практика показывает, что в большинстве задач,
в условии которых не фигурируют «удобные»
многогранники, можно или вычленить в рассматриваемом
теле один из вышеперечисленных «удобных» многогран-
266
ников, или каким-то способом «привязать» заданную
конфигурацию к одному из них.
Следует упомянуть также о возможности в
некоторых случаях вообще не строить пространственное
изображение, а обойтись одним или несколькими плоскими
чертежами, представляющими собой какие-либо сечения
или проекции заданного тела, заданной конфигурации.
Важную роль играет выбор правильного ракурса. В
качестве небольшой иллюстрации приведем рисунок 37, а,
бу в, г, на котором изображен куб и его сечение,
проходящее через два противоположных параллельных ребра.
Понятно, что рисунок 37, б совсем плох; 37, а получше,
но в нем один небольшой недостаток — диагональ задней
грани куба «почти» проходит (в проекции) через вершину
куба; наиболее удачными для изображения
рассматриваемой ситуации представляются рисунки 37, в и 37, г.
(Рассмотрите другие возможности изображения этого
сечения.)
В данном пособии мы рассматриваем некоторые виды
стереометрических задач и методы их решения. При
этом в разделах, относящихся к методам решения,
большей частью мы ограничиваемся объявлением метода и
одной-двумя задачами, иллюстрирующими «работу»
этого метода.
Ведущие принципы решения геометрических задач,
объявленные ранее в разделе 6, остаются прежними.
Напомним их.
Основным средством решения является
аналитический метод. В нем мы выделяем две разновидности:
метод поэтапного решения и составление уравнений.
Аналитический метод имеет различные формы
реализации: выделение стандартных фигур и конфигураций
б) в)
Рис. 37
267
(прямоугольный треугольник, правильная треугольная
пирамида, треугольник и в нем биссектриса, окружность
и две хорды и т. д.) и применение к ним
соответствующих теорем и формул, метод координат, векторный
метод и др. К этому основному магистральному пути
добавляются различные геометрические методы и приемы.
Важнейшую роль играют опорные задачи, набор которых
представляет собой своеобразный арсенал используемого
оружия: теорем, формул, стандартных ситуаций,
стандартных схем реализации того или иного метода.
7.1. Многогранники
Выделим два основных типа задач в связи с
многогранниками. Первый тип: задачи на вычисление
элементов — длин, площадей, объемов, линейных и
двугранных углов — указанных многогранников. Второй тип:
задачи на сечения. Начнем с задач первого типа.
Перечислим основные элементы правильных призм и
пирамид. Линейные: сторона основания, боковое ребро,
апофема боковой грани (для пирамид), радиусы
окружностей, вписанных или описанных по отношению к
основанию, радиус описанного около многогранника шара,
радиус вписанного шара (для призм этот шар не всегда
существует) и т. д. Площади: основания (или
оснований), боковой поверхности, полной поверхности. Объем
многогранника. Угловые: линейные углы при вершине,
двугранные при основании или между боковыми
гранями. Правильная призма или пирамида задается
величинами двух независимых элементов. (В частности, эти два
элемента не могут быть углами.) Таким образом,
возникает достаточно обширная серия простейших задач: по
двум данным величинам найти третью. Например:
1. Найти объем правильной треугольной призмы,
полная поверхность которой равна 8л/3, а боковое
ребро равно л/3 .
268
Решение. Если а — сторона основания призмы, то пло-
2
а
щадь одного основания будет
-27з
а полная поверхность
7з
^Ц Ь За л/3 . Получаем для а уравнение —~ 1- За л/3 =
= 8л/3 , из которого найдем а = 2. Объем призмы равен 3.
2. Найти объем правильной четырехугольной
пирамиды, сторона основания которой равна а, а
двугранный угол между соседними боковыми гранями равен а.
Решение. Дана правильная
четырехугольная пирамида SABCD
(рис. 38). Построим линейный
угол двугранного угла между
соседними боковыми гранями.
Опустим из вершин В и D
перпендикуляры на ребро SC. Поскольку
пирамида правильная, то
основания этих перпендикуляров совпа- /■
дут (точка К). Угол DKB является
линейным углом между
плоскостями SDC и SBC, Z DKB = а.
Теперь составим план решения. Последовательно
находим DB, ОК (из равнобедренного треугольника DKB),
К
Рис. 38
OK
sm<P= ОС '
sincp sincp
-tg(p
л/1 - sin ф
(из прямоугольного треугольника SOC) и, наконец,
находим объем пирамиды.
Теперь реализуем этот план:
DB-аЛ ,
I = *£ ctg |, sincp= g§ =ctg |,
sina
Ответ.
a72sina
(внимание: должно быть a > 90°).
269
3. Найти радиус вписанного и радиус описанного
шара для правильной треугольной пирамиды со
стороной основания а и высотой Л.
Решение. Пусть О — центр основания ABC
правильной треугольной пирамиды SABC, М — середина ВС
(рис. 39, a), AM — высота в треугольнике ABC, АО =
= —~— , ОМ = -jr- . Очевидно, что центры обоих шаров
находятся на прямой SO. Найдем сначала радиус описанного
шара. Для этого продолжим SO до пересечения с
описанным шаром в точке D (рис. 39, б). Очевидно, SD —
диаметр этого шара, Z SAD = 90°. В прямоугольном
треугольнике SAD известны высота АО, опущенная на гипотенузу,
2 2
и отрезок гипотенузы SO. Отсюда найдем OD = -=тг- = ~т
(см. задачу 6, пункт 6.7). Таким образом, если R — радиус
2 2 2
а ЗЛ + а
описанного шара, то 2R=SD = SO + OD = h+ ^т =—тг—•
ЗЛ ЗЛ
Для нахождения г — радиуса вписанного шара
рассмотрим треугольник SOM (рис. 39, в). Если Q — центр
вписанного шара, то QM — биссектриса угла SMO и QO = г.
В прямоугольном треугольнике SMO известны катеты
SO = Л и ОМ = —g— . Находим гипотенузу SM = Jh + 79-
По теореме о биссектрисе внутреннего угла (задача 19,
пункт 6.7) имеем:
OQ ОМ г а^З ah
■*А-г~
2 2
^ ™ ЗЛ +а
Ответ. Радиус описанного шара равен ——— , ра-
аЛ
диус вписанного шара равен ==
/ 2 2
а + *J12h + a
Уже на этих примерах, особенно на последнем, мы
видим, что решение стереометрических задач очень
часто (практически всегда) сводится к решению одной или
нескольких планиметрических задач.
270
б)
в)
Q
О
D
О
Рис. 39
Следующий тип задач — задачи на сечение. В основе
этих задач лежит умение построить сечение
многогранника плоскостью и определить вид этого сечения. Здесь
мы рассмотрим лишь задачи, в которых сечение задано
или тремя точками, или точкой и прямой, или двумя
пересекающимися (параллельными) прямыми, или двумя
точками и прямой, параллельной плоскости сечения,
или точкой и параллельной плоскостью. В принципе
возможны и нередко встречаются задачи, в которых
сечение задано иным, более «хитрым» способом.
4. Построить сечение куба плоскостью, проходящее
через середины двух смежных ребер куба и наиболее
удаленную от соединяющей их прямой вершину куба.
Найти площадь этого сечения, если ребро куба равно 1.
Решение. Основная схема, которой обычно следует
придерживаться при построении сечения, состоит в
последовательном построении прямых, по которым
плоскость сечения пересекается с плоскостями граней
данного многогранника или же с какими-то
вспомогательными плоскостями.
Пусть точки К и L —
середины ребер D.C* и С.В, куба
ABCDAlBlClD1 (рис. 40).
Наиболее удаленной от прямой KL
вершиной является, очевидно,
вершина А. Плоскость сечения
пересекается с плоскостью A1B1C1D1
по прямой KL. Продолжим KL до
пересечения с прямыми A^D^ и
А1В1 в точках Е и F. (В этом про-
Рис. 40
271
должении все дело. Прием этот стандартный. Запомните
его.) Точка Е принадлежит плоскости ADD^AV В этой
же плоскости расположена еще одна точка сечения —
точка А. Следовательно, плоскость сечения пересекается
с плоскостью ADD 1А1 по прямой АЕ. Обозначим через N
точку пересечения этой прямой с ребром DDV Вновь
имеем в плоскости грани, на сей раз грани DCC^D^ две
точки, принадлежащие сечению, — К и N. Строим
отрезок KN, являющийся стороной многоугольника
сечения. Аналогично находится точка М.
Окончательно получаем, что сечением является
пятиугольник KLMAN. Найдем его площадь. Эту площадь
можно представить в виде разности площадей: из
площади треугольника AEF вычитаются площади двух,
очевидно равных, треугольников NKE и MLF. Более того,
два последних треугольника подобны треугольнику AEF
1 ГЕК LF 1\ о
с коэффициентом -z -=-z = тг? = о • Значит, их пло-
О \tut hit OJ
щадь в девять раз меньше площади треугольника AEF,
7
а площадь искомого пятиугольника составляет <г
площади треугольника AEF.
Осталось найти площадь треугольника AEF.
Последовательно найдем:
\ г X |, EF = | J2 ,
AE=AF=J | |Л
Таким образом, AEF — равнобедренный треугольник
Q
с основанием EF = •= *& и боковыми сторонами АЕ = AF =
-I Q
= тг л/13 . Его площадь равна £ л/17 .
Z о
Ответ. Площадь сечения равна ^т
(Чтобы не удлинять решение, мы опустили многие
элементы полного обоснования. Например, почему
треугольники ENK и EAF подобны.)
272
7.2. Круглые тела. Цилиндр, конус, шар
По сравнению с многогранниками круглые тела
труднее поддаются изображению. Особенно это относится к
шару. В самом деле, изображением шара (в
ортогональной проекции) будет круг, «увидеть» в котором
пространственное тело при отсутствии каких-то
пространственных связей нелегко. Поэтому шар, а тем более шары
при решении стереометрических задач обычно не
изображают. Скажем даже, что мы не знаем ни одной
задачи, в которой фигурируют два или более шаров и в
которой хороший чертеж, служащий подспорьем в решении,
а не затрудняющий решение, требовал бы изображения
этих шаров. С другой стороны, многие задачи на
перечисленные в заглавии круглые тела очевидным образом
и сразу сводятся к планиметрическим задачам. Так,
например, определение радиуса шара, вписанного в
заданный конус или описанного около него, сводится к
определению радиуса окружности, соответственно
вписанной в равнобедренный треугольник или описанной
около этого треугольника.
Напомним основные понятия и параметры,
связанные с цилиндром. Основные понятия: основание, радиус
основания, ось, высота, образующая, осевое сечение,
боковая и полная поверхности. Соответственно
параметры: радиус основания, площадь основания, высота
(равна образующей), площадь осевого сечения, площадь
боковой и полной поверхностей, объем цилиндра. Любые
два из перечисленных параметров, кроме пар: радиус
основания и площадь основания, площадь осевого сечения
и площадь боковой поверхности, задают цилиндр.
Для конуса добавляются: угол наклона образующей
конуса к плоскости основания и угол при вершине
осевого сечения, т. е. угол между двумя диаметрально
противоположными образующими. Поскольку два указанных
угла являются углами равнобедренного треугольника,
получающегося в осевом сечении конуса, между ними
имеет место очевидная связь. (Какая?) Как и цилиндр,
конус задается двумя независимыми параметрами.
273
5. Цилиндр и конус имеют равные основания,
равные площади полной поверхности и равные объемы.
Найти отношение их боковых поверхностей.
Решение. Обозначим радиус и высоту цилиндра через
г и Л. По условию радиус основания и высота конуса г и ЗЛ.
(То, что высота конуса в три раза больше высоты
цилиндра, следует из равенства площадей оснований и
объемов конуса и цилиндра.) Если I — образующая конуса,
9 9 9
то I = г + 9Л . Боковая и полная поверхности цилиндра:
S6ok.u = 2ЯГЛ- «пол.ц = 27lr2 + 2nrfl' КОНУСа 5бок.к
По условию SnQJl ц = Sn0JI к, откуда г + 2h = I. Подставим
9 9 9
вместо I выражение г + 2Л в соотношение I = г 4- 9Л . Пос-
ле возведения в квадрат и упрощении получим п = -=г. Да-
о
, 13 _ 8 2 с, 13 2
лее находим 1= уг, S^ ц= gnr , S^ K= -g-яг .
О
Ответ. Отношение равно т« .
6. Образующая конуса наклонена к плоскости
основания под углом а. Через вершину конуса проведена
плоскость, образующая с плоскостью основания угол р.
Найти площадь получившегося сечения, если площадь
осевого сечения равна S.
Решение. На рисунке 41, а, б, в изображены: общий
вид конуса с проведенным сечением SBC, осевое сечение
и основание конуса. D — середина хорды ВС. По
условию Z SDO = р.
Пусть I — образующая конуса. Тогда площадь осевого
12 12
сечения равна -z I sin (180° - 2а) = -zl sin 2а.
По условию ^ I2 sin 2а = S, I2 =
Далее, SO = I sin a, OC = OB = l cos a,
274
в)
Sce4 = i ВС • SD = BD ■ SD = SD • Job2 - OD2
/ * i
sinp
2Ssina
sin2asinp
cos2c
л/cOS
I ~ £
2
a -
>in с
- sin
2
a
ctg2P
• ctg2
CO.
/2.2, 2n
V cos a - sin a • ctg p .
cosa • sinp
Полученное выражение можно преобразовать к виду
Vsin(P 4- a)sin(P - a).
cosa • sin p
7. Через ось конуса проведены две
перпендикулярные между собой плоскости. Найти радиус шара,
вписанного в одну из четырех образовавшихся частей,
если радиус основания конуса равен г, а угол наклона
образующих к плоскости основания равен а.
Решение. Если х — радиус искомого шара, то
расстояние от его центра до центра основания конуса равно
Хл/З. В самом деле, пусть проведенные плоскости и
плоскость основания конуса являются координатными
плоскостями (осями являются линии пересечения этих
плоскостей). При соответствующем выборе
направления осей центр шара Q будет иметь координаты (х, х, х),
значит, OQ = Хл/З . Проведем сечение через центр шара и
ось конуса (рис. 42, а, б).
275
6) S
о
D
Рис. 42
На рисунке 42, б изображен треугольник SOA,
представляющий собой «половину» этого сечения. D — точка
касания шара с плоскостью основания,
Z QAD = |, DA = х ctg |, OD = х 72 .
Поскольку OD + DA = г, то .
г
+ ctg ~z
г.
Ответ.
■fr + ctg|
7.3. Прямые и плоскости в пространстве
В задачах на взаимное расположение прямых и
плоскостей в пространстве при построении чертежа очень
важно суметь «привязать» заданную конфигурацию к
какому-либо многограннику. Запомните: прямые не
должны просто «висеть» в пространстве. Удачная
интерпретация — половина успеха, а то и более. Например:
8. Дан двугранный угол величиной а. В плоскости
одной из его граней проведена прямая,
перпендикулярная ребру этого двугранного угла, а в плоскости другой
его грани — прямая, образующая угол Р с ребром.
Найти угол между этими прямыми.
Решение. Можно считать, что обе прямые проходят
через одну точку на ребре двугранного угла. Рассмотрим
прямую треугольную призму АВСА1В1С1 (рис. 43). Пусть
276
АА1^1Б и AAjCjC образуют грани
данного двугранного угла, А1С1 — первая
из указанных в условии прямых,
АХВ — вторая, Z ВАС = a, ZAAXB = |3.
Мы еще располагаем определенной
свободой и можем выбрать вид
треугольников, лежащих в основании
призмы, — равнобедренные или
прямоугольные.
Пусть Z ВСА = Z В^^ = 90°. Тогда Z ВСХАХ = 90°
(по теореме о трех перпендикулярах). Обозначим АгСг = а,
тогда АВ =АгВг = —— , А,В = -г—^ = . Таким
1 г cosct I sinp cosot . sinp
AlCl
образом, cos Z BA1C1 = . R = cos a • sin (3.
Ответ, arccos (cos a sin (3).
9. В пространстве заданы три прямые и
плоскость. Известно, что все углы между двумя прямыми
и между одной прямой и плоскостью равны между
собой. Найти эти углы.
Решение. Будем считать, что все прямые проходят
через одну точку. Тогда нужную интерпретацию мы
получим, рассмотрев треугольную пирамиду, у которой
боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним
и тем же углом ф, а каждый из плоских углов при
вершине равен ф или п - ф. Соответственно возникают
четыре случая: все плоские углы при вершине равны ф; два
угла равны ф, а один равен п — ф и т. д.
Начнем со второго случая. Пусть в треугольной
пирамиде ABCD ребра DA, DB и DC образуют .угол ф с
плоскостью ABC, ZADB = Z BDC = ф, ZADC = п - ф. Проведем
высоту DO (рис. 44, а). Все боковые ребра ДА, DB и DC
равны между собой. Пусть они равны 1. Тогда АВ = ВС =
= 2 sin |, АС = 2 cos |. О — центр описанной около ABC
окружности, радиус этой окружности равен cos ф. Получи-
ли треугольник со сторонами 2 sin ^ , 2 sin ^ , 2 cos ^ и
радиусом описанной окружности, равным cos ф.
277
б)
Рис. 44
Проведем в равнобедренном треугольнике ABC
(рис. 44, б) высоту BE = *JAB2 - BE2 = /4sin ^ - cos 2
^/ 2 2
По теореме синусов (Д = 2 . , ) имеем:
ВС ВС • АБ
4 sin |-cos
Получаем уравнение для ф:
cos ф-
2Ф 2Ф n • 2 Ф
^ - cos ^ = 2 sin I.
Пусть cos ф = у. Имеем уравнение у л2 - 2у -^— =
= 1-1/, откуда 5i/3 - у2 - 4у + 2 = 0.
Получившееся уравнение не имеет положительных
корней. Это можно, например, доказать, представив
левую часть в виде суммы
Первый из квадратных трехчленов, заключенных в
скобки, неотрицателен, а второй положителен.
К такому же уравнению мы придем, рассматривая
вариант, когда два плоских угла при вершине равны п - ф,
а один равен ф.
Если все плоские углы при вершине ф, то
рассматриваемая пирамида является правильной. Уравнение для
7з . ф т,
ф имеет вид -^- cos ф = sin ^ . Из этого уравнения можно
278
V7-1 .*,
найти, что cos ф = —~— • (Можно решать как квадрат -
ное относительно sin ^ , а можно возвести в квадрат и ре-
шать относительно cos ф.)
Последний случай (все плоские углы при вершине п - ф)
оказывается невозможным, полученное уравнение не
имеет решений, для которых cos ф > 0.
Ответ, arccos —~— •
Замечание. В данной задаче все варианты, кроме
простейшего, оказываются невозможными. Тем не менее их
наличие придает задаче значительную глубину, а
любители проверять себя ответом получают очередное
предупреждение.
В двух рассмотренных примерах интерпретация
условия, привязывание плоскостей и прямых к
«удобному» многограннику затруднений не вызывали.
Рассмотрим задачу, в которой найти удачную
интерпретацию не так просто.
10. На плоское зеркало под углом а падает луч
света. Зеркало поворачивается на угол (3 вокруг проекции
луча на зеркало. На какой угол отклонится
отраженный луч?
Решение. Обозначим через А какую-то точку на
падающем луче, В — точка падения луча на зеркало, Сг —
проекция А на зеркало, находящееся в исходном
положении, Ах и А2 — точки, симметричные А относительно
зеркала, исходного и повернутого соответственно, С2 —
середина АА2 (рис. 45).
Поскольку отраженные лучи пред- ^
ставляют собой соответственно
продолжения АХВ и А2В, то искомый угол
равен углу А^ВА2. АС^ иАС2
перпендикулярны данному зеркалу и поверну-
тому. Значит, Z СХАС2 = ZAXAA2 = |3. B^V /А
По условию ZABCX = а. Если АВ = >v /
= АХВ = А2В = а, то АСг = a sin а, СХС2 = А
= АСХ • sin Р = а sin а sin р (Z АС2СХ = 90°, 1
так как СгС2 принадлежит повернуто- Рис. 45
279
му зеркалу, а С2 — проекция А на него). Значит, АгА2 =
= 2СХС2 = 2а sin a sin (3. Теперь в равнобедренном
треугольнике АгВА2 мы знаем все стороны и легко найдем
уголА1БА2.
Ответ. 2 arcsin (sin a sin (3).
7.4. Проектирование.
Нахождение расстояния и угла
между скрещивающимися прямыми
Проектирование и проведение сечений — два
наиболее распространенных приема, при помощи которых
пространственная задача сводится к одной или
нескольким планиметрическим задачам.
Вспомогательными сечениями мы уже неоднократно
пользовались в предыдущих параграфах. Типичными
здесь являются задачи на нахождение радиусов
вписанных и описанных шаров для правильных пирамид,
конусов и т. д.
Большей частью метод сечений играет роль
вспомогательного графического приема, облегчающего решение
или поиск решения задачи. Рассмотрим метод
проектирования, а точнее, один класс задач, где этот прием
может быть эффективно использован.
Как известно, при проектировании сохраняется
отношение отрезков, расположенных на одной прямой или
параллельных. Именно это свойство проектирования
обычно и используется.
Как полноценный метод проектирование
(ортогональное) выступает при решении задач, в которых требуется
определить расстояние или угол между
скрещивающимися прямыми. В основе лежит следующее утверждение:
Расстояние между скрещивающимися прямыми
равно расстоянию от точки, являющейся проекцией одной
из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость,
до проекции другой прямой на эту же плоскость.
Другими словами, если ^ и 12 — две скрещивающиеся
прямые (рис. 46), L — плоскость, перпендикулярная
одной из них, например lv точка А — проекция прямой 1^ на
280
плоскость L, прямая Z2 — проекция
прямой Z2 на плоскость L, то рас-1
стояние между прямыми 1Х и Z2 равно |
расстоянию от точки А до прямой Z2.
При этом общий перпендикуляр
между прямыми 1Х и Z2 проектируется в
перпендикуляр, проведенный из точки А на прямую 1'2.
Высказанное утверждение достаточно очевидно. Чтобы
убедиться в его справедливости, можно, например,
провести через прямую Z2 плоскость я, параллельную прямой lv
Тогда прямая Z2 есть линия пересечения плоскостей L и я.
Предложенная конструкция позволяет находить и
угол между скрещивающимися прямыми: если а — угол
между прямыми 1Х и Z2, a (3 — угол между прямой Z2 и
плоскостью L рис. 46, а < « , р < « , то а = « -р.
Таким образом, взяв на прямой Z отрезок длиной d и
найдя d' — длину его проекции на плоскость L, получим
df
sin a = -т .
Решим две задачи.
11. Найти расстояние между скрещивающимися
диагоналями двух соседних граней куба с ребром 1.
Решение. Рассмотрим куб ABCDAlBlClDv Будем
искать расстояние между прямыми АХВ и ВХС (рис. 47, а).
Спроектируем куб на плоскость, проходящую через точку
В и перпендикулярную диагонали АХВ (рис. 47, б,
проекции вершин куба на этом рисунке обозначены так же, как
и его соответствующие вершины, но с добавлением
штриха). Задача сводится к нахождению расстояния от точки В'
до прямой В/С. Поскольку плоскость ABjCjZ)
перпендикулярна прямой Aj£, то прямоугольник AfB[C[Df равен
прямоугольнику ABjCjD. Но В' — середина отрезка A'B'V
следовательно, в прямоугольном треугольнике В'В'ХС ка-
теты В'В[ и В'С равны соответственно ^у и 1, В[ С = /|.
281
а)
Рис. 47
Если В'М — высота, проведенная к гипотенузе В[С\ то
В'В\ • В'С 1
В'М = - = -^ .
В\С Л
Замечание. Если мы проведем общий перпендикуляр
между прямыми АгВ и ВгС, то он спроектируется в В'М.
Поскольку при проектировании отношение отрезков,
расположенных на одной прямой, сохраняется, то общий
перпендикуляр между прямыми АгВ и ВгС делит отрезок ВХС
в отношении
В\М
~МС'''
Последнее отношение легко вычисляется, оно равно ~ .
В таком же отношении делится общим
перпендикуляром и диагональ BAV
12. В основании пирамиды SABC лежит
равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого
равна 4^2 . Боковое ребро SC перпендикулярно
плоскости основания и имеет длину 2. Найти величину угла
и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна
из которых проходит через точку S и середину ребра
ВС, а другая — через точку С и середину ребра АВ.
Решение. На рисунке 48, а изображена данная
пирамида, D и Е соответственно середины ребер АВ и ВС.
Спроектируем пирамиду на плоскость,
перпендикулярную CD (рис. 48, б): можно считать, что она содержит
ребро АВ. При этом CD спроектируется в точку £>', точка
Е — в Е' — середину отрезка B'D'. Очевидно,
282
о) S
б)
B'D' = \В'А =\ВА = 2Л> S'D' 1А'В' и S'D' = SC = 2.
Искомое расстояние равно расстоянию от точки D' до
прямой SE'y т. е. равно высоте в прямоугольном
треугольнике S'D'E'у проведенной к гипотенузе S'E'. Имеем
E'D' = Л , S'E' = J(S'D')2 + (E'D')2 = Л -
Итак, искомое расстояние равно
S'D' • E'D' 2л/2 2
s7^ =~j% = 7Г
Поскольку S£ = JSC + СЕ = Vl2 , то можем найти
а — искомый угол между прямыми SE и CD:
SfE' Л Л я
sin а
SE
2 '
7.5. Развертка
К двум упомянутым ранее приемам, при помощи
которых стереометрические задачи сводятся к плоским
(проектирование, проведение сечений), можно добавить еще
один — развертку. Вот один из известных примеров:
13. Доказать, что если у тетраэдра суммы
плоских углов при трех вершинах равны 180°, то все его
грани — равные треугольники.
Решение. Понятно, что и у четвертой вершины сумма
плоских углов равна 180°. Обозначим данный тетраэдр
ABCD и сделаем развертку этого тетраэдра, разрезав его
поверхность по ребрам DA> DB> DC (рис. 49). Поскольку
суммы плоских углов при вершинах А, В и С равны 180°,
283
в
D, то ПРИ развертке получим
треугольник DXD2DV в котором А, В и С —
середины сторон. Следовательно, на
самом деле все грани тетраэдра ABCD
равны между собой.
Метод развертки очень удобен
при решении задач, в которых требу-
Рис. 49 ется найти кратчайший путь между
двумя точками по поверхности
многогранника, цилиндра или конуса. Например:
14. Пусть ABCDAlB1C1Dl — прямоугольный
параллелепипед, в котором АВ = ААг = 12, AD = 30. Точка М
расположена в грани АВВ]А1 на расстоянии 1 от
середины АВ и на равных расстояниях от А и В. Точка N
принадлежит грани DCClDl и расположена
симметрично точке М относительно центра
параллелепипеда. Найти длину кратчайшего пути по поверхности
параллелепипеда между точками М и N.
Решение. Рассмотрим следующие варианты:
1) Путь пересекает АХВХ и DlCl (рис. 50, а). Длина
кратчайшего пути в этом случае находится легко. Она
равна 11 + 30+1 = 42.
2) Путь последовательно пересекает ребра BBV BXC19
CXDV Сделаем развертку. Для упрощения будем
обозначать точки на развертке так же, как и на
параллелепипеде (рис. 50, б). По теореме Пифагора
MN--
JMK2 + NK2 - V372+ 172 = Л658.
a) Dx
б) D
N
К
'11
В
Рис. 50
e) CD
D С С)
м
ВЛ
В
К
284
3) Путь пересекает последовательно ребра АВ, ВС,
B1CV CXDV Сделаем развертку (рис. 50, в). Длина
кратчайшего пути в этом случае будет равной
MN = JMK2 + NK2 = л/242 + 322 = 40.
Удивительно, но именно этот парадоксальный путь и
оказывается кратчайшим. Его длина 40. Других
вариантов (кроме, очевидно, плохих) не осталось.
7.6. Достраивание тетраэдра
Суть метода в том, что рассматриваемый тетраэдр
достраивается до параллелепипеда, призмы. Чаще всего
используется следующий способ. Через каждое ребро
тетраэдра проведем плоскость, параллельную
противоположному. Получим три пары параллельных плоскостей,
образующих параллелепипед. Ребра
исходного тетраэдра являются
диагоналями граней получившегося
параллелепипеда (рис. 51). При построении
чертежа лучше начинать с
изображения параллелепипеда. Ограничимся
одним типичным примером. •
15. Противоположные ребра тетраэдра попарно
равны. В основании лежит треугольник со сторонами
a, b и с. Найти объем тетраэдра.
Решение. Достроим тетраэдр описанным выше
способом до параллелепипеда (рис. 51). В получившемся
параллелепипеде диагонали противоположных граней равны.
Следовательно, все грани — прямоугольники, а
получившийся параллелепипед прямоугольный. Объем данного
тетраэдра составляет « объема параллелепипеда (от
параллелепипеда отрезаются 4 треугольные пирамиды, объем
каждой пирамиды равен ~ объема параллелепипеда).
Обозначим ребра параллелепипеда через х, у и г. Получаем
систему уравнений: х2 + у2 = а2, у2 + г2 = Ь2, г2 + х2 = с2.
Сложив эти уравнения, получим х2 + у2 + г2 = «(а2 + Ь2 4- с2).
285
Таким образом,
Х2=\(а2-Ъ2 + х\ У2=\(а2 + Ь2-с\ z2 = \(-а2 + Ь2 + с2).
Теперь находим объем параллелепипеда, а затем и
тетраэдра.
г\ 1 Д/ 2 . ,2 2Ч/ 2 Гг~ 2^ 2 . . 2 , 2^
Ответ. ^ J;^ + & ~с)(а ~ & + с )(~а + Ь + с ).
7.7. Задачи
Как и в планиметрии, раздел «Задачи» мы начинаем
со списка опорных задач. Из числа задач, рассмотренных
нами во вводной части этого параграфа, к числу опорных
следует отнести следующие: 2, 3, 4, 7, 8, 11, 13, 15.
Опорные задачи (1—20)
1. Дан правильный тетраэдр с ребром а (треугольная
пирамида, все ребра которой равны а). Найдите его
полную поверхность, объем, расстояние между
противоположными ребрами, радиус описанного шара,
радиус вписанного шара.
2. Докажите, что в правильной треугольной
пирамиде противоположные ребра попарно
перпендикулярны.
3. Докажите, что если боковые ребра пирамиды равны
между собой, то в основании пирамиды лежит
многоугольник, около которого можно описать
окружность, и вершина пирамиды проектируется в центр
этой окружности.
4. Докажите, что если все двугранные углы при
основании пирамиды равны между собой, то в
основании пирамиды лежит многоугольник, в который
можно вписать окружность, и вершина пирамиды
проектируется в центр этой окружности. Как
следует изменить утверждение, если вместо слов «все
двугранные углы...» будет «углы наклона боковых
граней к плоскости основания»?
286
5. Докажите, что площадь проекции
многоугольника, расположенного в плоскости а, на плоскость Р
равна S cos ф, где S — площадь многоугольника,
ф — угол между плоскостями а и р.
6. Даны три прямые, проходящие через одну точку А.
Пусть Вх и В2 — две точки на одной прямой, Сх и
С2 — на другой, Dx и D2 — на третьей. Докажите, что
vab1c1d1 _ АВХ • АСХ
vab2c2d2 AB2 • АС2 • AD2 '
7. Пусть а, Р и у — углы, образованные произвольной
прямой с тремя попарно перпендикулярными пря-
о о о
мыми. Докажите, что cos a + cos Р + cos у = 1.
8. Пусть S и Р — площади двух граней тетраэдра,
а — длина их общего ребра, а — двугранный угол
между ними. Докажите, что объем тетраэдра V мо-
* - ^ тг 2SPsina
жет быть найден по формуле V = « •
9. Докажите, что для объема произвольного
тетраэдра V справедлива формула V = - abd sin ф, где а и
Ъ — два противоположных ребра тетраэдра, d —
расстояние между ними, ф — угол между ними.
10. Докажите, что плоскость, делящая пополам
двугранный угол при каком-либо ребре тетраэдра,
делит противоположное ребро на части,
пропорциональные площадям граней, заключающих этот
угол.
11. Докажите, что для объема V многогранника,
описанного около сферы радиусом Л, справедливо
равенство V = - SR, где Sn — полная поверхность
о
многогранника.
12. Дан выпуклый многогранник, все вершины
которого расположены в двух параллельных
плоскостях. Докажите, что его объем можно вычислять
287
по формуле V = - (Sj + S2 + 4S), где St — площадь
грани, расположенной в одной плоскости, S2 —
площадь грани, расположенной в другой
плоскости, S — площадь сечения многогранника
плоскостью, равноудаленной от двух данных, h —
расстояние между данными плоскостями.
13. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины
тетраэдра с точками пересечения медиан
противоположных граней, пересекаются в одной точке (центре
тяжести тетраэдра) и делятся в ней в отношении 3 : 1
(считая от вершин). Докажите также, что в этой же
точке пересекаются и делятся пополам отрезки,
соединяющие середины противоположных ребер.
14. Докажите, что если отрезки, соединяющие середины
противоположных ребер тетраэдра, равны между
собой, то противоположные ребра попарно
перпендикулярны.
15. Докажите, что сумма плоских углов трехгранного
угла меньше 2я, а сумма двугранных углов больше я.
16. Пусть плоские углы трехгранного угла равны а, Р
и у, а противолежащие им двугранные углы — А, В
и С. Докажите, что справедливы следующие
равенства:
... since sin В sinv ,
J) ii^A = ЖВ = Шс <те°Рема синусов для трех-
гранного угла);
2) cos a = cos P cos у + sin P sin у cos A (1-я теорема
косинусов для трехгранного угла);
3)cosA = -cos В • cos С + sin Б • sin С cos a (2-я
теорема косинусов для трехгранного угла).
17. Найдите геометрическое место середин отрезков,
параллельных данной плоскости, концы которых
находятся на двух скрещивающихся прямых.
18. Три шара радиусом R касаются одной плоскости и
попарно касаются друг друга. Найдите радиус
четвертого шара, касающегося трех данных и той же
плоскости.
288
19. Докажите, что площадь поверхности сферы,
заключенной между двумя параллельными
плоскостями, пересекающими сферу, можно найти по
формуле S = 2nRh, где R — радиус сферы, h —
расстояние между плоскостями.
20. Докажите, что объем тела, получающегося при
вращении кругового сегмента вокруг диаметра, его не
пересекающего, можно вычислять по формуле V =
1 2
= -па Л, где а— длина хорды этого сегмента,
b
а Л — проекция этой хорды на диаметр.
21. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны 4, 5
и 6. Найдите площадь наибольшего сечения,
проходящего через два параллельных не лежащих в
одной грани ребра параллелепипеда.
22. В правильной треугольной пирамиде известна
сторона а основания и плоский угол при вершине а.
Найдите ее объем, двугранный угол при
основании, двугранный угол между боковыми гранями,
радиус вписанного и описанного шаров.
23. Решите предыдущую задачу для четырехугольной
пирамиды.
24. Через середину бокового ребра правильной
треугольной пирамиды проведено сечение,
параллельное двум скрещивающимся ребрам этой
пирамиды. Найдите площадь этого сечения, если сторона
основания равна а, а боковое ребро равно Ь.
25. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром а. Постройте
сечение куба плоскостью и найдите площадь
сечения, если:
а) плоскость проходит через вершины А и Dl и
середину ребра ВВг;
б) плоскость проходит через вершину А и
параллельна плоскости DBCX;
в) плоскость проходит через середины ребер А£,
289
26. Докажите, что плоскость, пересекающая боковую
поверхность цилиндра, но не пересекающая его
основания, делит ось цилиндра, боковую
поверхность и объем в одинаковом отношении.
27. В конус вписан цилиндр — основание цилиндра
лежит на основании конуса, а другое основание
цилиндра совпадает с сечением конуса плоскостью,
параллельной основанию. Радиус основания цилиндра
в два раза меньше радиуса основания конуса.
Найдите отношение объемов цилиндра и конуса.
28. Через центр шара проведены три попарно
перпендикулярные плоскости, разделившие шар на
восемь частей. В каждую из этих частей вписано по
шару.
а) Найдите отношение объема вписанного в одну из
частей шара к объему исходного шара.
б) Центры вписанных шаров являются вершинами
многогранника. Что это за многогранник? Найдите
отношение объемов полученного многогранника и
данного шара.
29. Найдите объем тела, получающегося при
вращении прямоугольного треугольника с катетами а и Ъ
вокруг его гипотенузы.
30. Основания цилиндра и конуса расположены в одной
плоскости, а шар касается этой же плоскости,
причем высота цилиндра равна высоте конуса и равна
диаметру шара. Объемы всех трех тел равны между
собой. Как относятся их полные поверхности?
31. Найдите объем конуса, разверткой боковой
поверхности которого является полукруг радиусом R.
32. Из круга вырезан сектор с центральным углом в
90°. Из двух получившихся частей склеены два
конуса (боковые поверхности). Найдите отношение
объемов получившихся конусов.
33. Найдите угол: а) между двумя диагоналями куба;
б) между диагональю куба и непересекающейся с
ней диагональю грани.
290
34. Найдите объем многогранника, вершинами
которого являются середины ребер треугольной
пирамиды объемом V.
35. Определите вид многоугольника, являющегося
ортогональной проекцией куба на плоскость:
а) перпендикулярную диагонали его грани;
б) перпендикулярную диагонали куба. Найдите
площадь этой проекции, если ребро куба равно а.
36. Все ребра правильной треугольной призмы равны
между собой. Найдите угол между плоскостью
основания этой призмы и плоскостью, проходящей
через противоположные вершины боковой грани и
середину противолежащего этой грани бокового
ребра.
37. Сторона основания правильной треугольной
призмы равна 6, боковое ребро равно 4. Найдите
площадь сечения, проходящего через две вершины
одного основания призмы и середину стороны
другого основания (не совпадающего с боковой гранью
призмы).
38. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды
равны 2. Найдите объем этой пирамиды, а также
радиусы вписанного и описанного шаров.
39. В основании правильной треугольной призмы
лежит правильный треугольник со стороной 6.
Найдите объем этой призмы, если известно, что в нее
можно вписать шар.
40. Основания двух правильных треугольных пирамид
расположены в одной плоскости. Сторона
основания и высота одной равны 3 и 2, другой, наоборот,
2 и 3. Плоскость, параллельная основаниям,
пересекает эти пирамиды по равным треугольникам.
Найдите площади этих сечений.
41. Внутри куба с ребром а расположены два равных
касающихся между собой шара. При этом один
шар касается трех граней куба, имеющих общую
291
вершину, а другой касается трех оставшихся
граней куба. Найдите радиусы этих шаров.
42. Угол при вершине осевого сечения конуса равен
150°. Через вершину конуса проведено сечение,
являющееся прямоугольным треугольником. Найдите
угол между плоскостью сечения и плоскостью
основания конуса.
43. Найдите объем треугольной пирамиды, в
основании которой лежит треугольник со сторонами 3,
4 и 5, а двугранные углы при основании равны
60°.
44. Найдите отношение объемов цилиндра и конуса,
вписанных в один и тот же шар, если высота и
цилиндра и конуса равна радиусу шара.
45. Осевое сечение конуса является правильным
треугольником. Через ось конуса проведены две
взаимно перпендикулярные плоскости. Рассмотрим
два шара, каждый из которых касается этих двух
плоскостей, плоскости основания конуса и его
боковой поверхности, только один касается ее
изнутри, а другой — снаружи. Найдите отношение
радиусов этих шаров.
46. Осевым сечением цилиндра является квадрат, а
осевым сечением конуса — правильный треугольник,
равновеликий квадрату. Найдите отношение
объемов цилиндра и конуса.
47. Внутри треугольной пирамиды, все ребра которой
равны а, расположены четыре равных шара.
Каждый шар касается трех других, а также трех
граней пирамиды. Найдите радиусы этих шаров.
48. Радиус основания цилиндра равен 1, а высота
равна д/2 . Две вершины правильного треугольника
расположены на грани одного основания
цилиндра, а одна вершина — на грани другого основания.
Найдите сторону правильного треугольника.
292
Рис. 52
Рис. 53
49. Докажите, что рисунок 52, изображающий
треугольную пирамиду, в которой проведено сечение,
неверен.
50. На каждом из рисунков 53, а и 53, б изображена
проекция (ортогональная) какого-то
многогранника (вид сверху, невидимые ребра отсутствуют).
Докажите, что многогранники, проекции которых
изображены, невозможны.
51. Сколько осей симметрии имеет: а) правильный
тетраэдр; б) куб; в) цилиндр; г) конус?
52. Проекцией куба является правильный
шестиугольник со стороной а. Найдите объем куба.
53. Сторона основания правильной треугольной
пирамиды равна 2, радиус вписанного шара — т> •
Найдите величину двугранного угла между боковыми
гранями пирамиды.
54. Найдите величину двугранного угла между
соседними боковыми гранями правильной
четырехугольной пирамиды, если известно, что радиус
вписанного в нее шара в три раза меньше стороны
основания.
55. Ребро куба равно 1. Найдите объем треугольной
пирамиды, вершины которой находятся в центрах
трех смежных граней и в вершине, не
принадлежащей этим граням.
293
56. Найдите радиус шара, вписанного в треугольную
пирамиду, пять ребер которой равны 2, а одно
ребро равно 1.
57. ABCD — правильный тетраэдр с ребром 1. Найдите
радиус шара, касающегося ребра АВ в его
середине, а также ребер АС и CD.
58. В каком отношении плоскость, проходящая через
вершину А, середину ребра C^D^ и центр грани
ВСС1В1 делит объем куба ABCDA^^^J
59. В каком отношении делит объем треугольной
пирамиды ABCD плоскость, проходящая через
вершину А и середины медиан треугольников ABC и
ABD, выходящих из вершины В?
60. Дан куб ABCDAjBjCjDj с ребром 1. Найдите объем
общей части двух треугольных пирамид ACB^D^ и
61. Высота конуса равна диаметру его основания. В
конус вписан куб, четыре вершины которого
расположены на основании конуса, а четыре — на его
боковой поверхности. Найдите отношение объемов куба и
конуса.
62. Полная поверхность треугольной пирамиды в 5 раз
больше поверхности вписанного в нее шара. Найдите
отношение объема пирамиды к объему вписанного в
нее шара.
63. В основании пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD у в котором АВ = 3. Высота пирамиды
равна 4 и проходит через середину AD. Найдите
AD, если известно, что в эту пирамиду можно
вписать шар.
64. В основании пирамиды SABCD лежит
прямоугольник ABCD, в котором АВ = 3, ВС = 4. Высота
пирамиды равна 3 и проходит через середину ВС.
Найдите радиус наибольшего шара, который может
поместиться внутри этой пирамиды.
294
65. ABCDA1B1C1Dl — параллелепипед. В каком
отношении плоскость, проходящая через D> Cx и
середину A1BV делит диагональ DXB?
66. SABCD — правильная четырехугольная пирамида,
все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от
середины ребра АВ до плоскости, проходящей
через С и середины ребер SB и SD.
67. Из круга вырезан сектор с центральным углом ф.
Из полученного сектора и оставшейся части
свернуты два конуса. Высота первого конуса в два раза
больше высоты второго конуса. Найдите величину
угла ф.
68. Внутри конуса находятся четыре шара равного
радиуса. Три шара касаются его основания, каждый
шар касается боковой поверхности конуса, кроме
того, каждый шар касается трех других. Найдите
угол при вершине осевого сечения конуса.
69. Радиус шара, описанного около правильной
четырехугольной пирамиды, равен 1, радиус
вписанного шара —5— • Найдите объем пирамиды.
70. Дан куб ABCDAlBlClDl с ребром 1. Найдите
радиус шара, проходящего через вершины С, Сх и
касающегося прямых АВ и AD.
71. Чему равна длина кратчайшего пути по
поверхности куба, соединяющего центр какой-либо грани
куба с одной из вершин противоположной грани,
если ребро куба равно 1?
72. В основании четырехугольной пирамиды SABCD
лежит параллелограмм ABCD. На ребре SA взята
точка М так, что SM = 2АМ. Через М и середины
ребер SB и SD проведена плоскость. В каком
отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
73. В основании треугольной пирамиды лежит
треугольник, одна сторона которого равна 1,04, все
295
боковые ребра равны 2. Около пирамиды описан
конус так, что вершины основания лежат на
окружности основания конуса, а вершина конуса
совпадает с вершиной пирамиды. Найдите угол в
осевом сечении конуса, если площадь осевого сечения
равна 1.
74. Дан куб ABCDAlBlClDv Через середину DlCl
проведена прямая Z, пересекающая прямые ВАХ иАОг
Какой угол образует Z с ВАг?
75. Три шара касаются попарно между собой,
плоскости основания конуса и боковой поверхности
конуса. Центры шаров находятся вне конуса. Найдите
угол в осевом сечении конуса, если известно, что
точка касания каждого шара с поверхностью
конуса делит соответствующую образующую пополам.
76. ABCD — прямоугольник. В вершинах Л, В и С к
плоскости прямоугольника восставлены
перпендикуляры и на них взяты точки К, М и Р так, что АК =
= 7, ВМ = 5, СР = 3, причем точки К и М
находятся по одну сторону от плоскости ABCD, a P — по
другую. Плоскость, проходящая через К> М и Р,
пересекает перпендикуляр, восставленный к
плоскости ABCD в вершине D, в точке S. Найдите DS.
77. Найдите объем тела, получающегося при
вращении прямоугольника со сторонами 1 и 2 вокруг его
диагонали.
78. ABCD — правильная пирамида, в основании
которой лежит правильный треугольник ABC со
стороной 2. Боковые ребра пирамиды равны 3. Найдите
площадь равнобедренного треугольника, одна
вершина которого совпадает с А, другая — с
серединой CD, а третья лежит на отрезке ВС.
79. Радиус основания и высота конуса равны 1. Внутри
конуса находятся три шара равного радиуса.
Каждый шар касается двух других, основания конуса и
боковой поверхности конуса. Найдите радиусы этих
шаров.
296
80. В основании пирамиды SABC лежит треугольник
ABC, у которого АВ = АС = 2, Z ВАС = 30°. Ребро
SA перпендикулярно плоскости ABC. Известно,
что существует конус, вершина которого совпадает
с точкой А, а основание вписано в треугольник
SBC. Найдите объем пирамиды.
81. ABCD — правильный тетраэдр с ребром 1. М —
середина АВ, К — точка на ВС такая, что ВК = 2СК.
Найдите расстояние от точки К до середины DM.
82. Найдите радиус шара, касающегося всех ребер
правильной треугольной пирамиды, у которой
сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3.
83. Дана правильная треугольная призма со стороной
основания, равной 6, и боковым ребром, равным 5.
Через сторону основания проведено сечение,
образующее угол 45° с плоскостью основания. Найдите
площадь сечения.
84. В правильной четырехугольной призме, высота
которой равна 5, а сторона основания 2, проведено
сечение плоскостью, проходящей через вершину
основания параллельно диагонали основания и
образующей угол 60° с плоскостью основания. Найдите
площадь сечения.
85. ABCDA1B1ClDl — прямоугольный
параллелепипед, в котором АВ = 2, AD = ААХ = 1. Найдите угол
между диагональю BDX и плоскостью, проходящей
через!), Сх иАг
86. SABC и DABC — две правильные треугольные
пирамиды с основанием ABC, причем вторая внутри
первой. Все плоские углы при вершине S равны
60°, а при вершине D — 90°. Ребра DA, DB и DC
продолжены до пересечения с боковыми гранями
пирамиды SABC в точках К, М и Р. Найдите
отношение площадей треугольников КМР и ABC.
87. В каком отношении делит объем куба плоскость,
проходящая через центры трех смежных граней куба?
297
88. В каком отношении делит объем куба плоскость,
проходящая через одну вершину куба и центры
двух граней, не содержащих эту вершину?
89. Три диагонали параллелепипеда попарно
перпендикулярны, их длины равны а, бис. Найдите
длину четвертой диагонали.
90. Радиус шара, описанного около правильной
шестиугольной пирамиды, равен 2. Боковое ребро
пирамиды равно 1. Найдите объем пирамиды.
91. Прямоугольный треугольник повернут вокруг
биссектрисы прямого угла на угол 45°. На какой угол
повернулись его катеты?
92. В основании треугольной пирамиды лежит
правильный треугольник со стороной 1. Боковые
грани наклонены к плоскости основания под равными
углами. Одно боковое ребро равно Jl, а два других
меньше его. Найдите объем пирамиды.
93. Две противоположные вершины куба совпадают с
центрами оснований цилиндра, а остальные лежат
на боковой поверхности цилиндра. Найдите
отношение объемов цилиндра и куба.
94. В основании пирамиды лежит равнобедренный
прямоугольный треугольник с катетами, равными
1. Найдите объем пирамиды, если известно, что ее
боковые ребра равны, а боковые грани
равновелики.
95. В каком отношении делит объем тетраэдра ABCD
плоскость, проходящая через точку М на ребре АВ
такую, что AM = ~ АВ, и через середины медиан
треугольников ABC и ABD, выходящих из
вершины Л?
96. ABC — правильный треугольник со стороной 3; М
и К — точки на ВА и СА такие, что ВМ = СК = 1.
Найдите объем тела, полученного при вращении
треугольника ABC вокруг прямой МК.
298
97. Во всяком ли тетраэдре высоты пересекаются в
одной точке?
98. Существует ли такая треугольная пирамида, что
основания всех ее высот лежат вне
соответствующих граней?
99. Докажите, что прямая, образующая равные углы с
тремя пересекающимися прямыми плоскости,
перпендикулярна плоскости.
100. Какие правильные многоугольники могут
получаться при пересечении куба плоскостью?
101. Любой ли трехгранный угол можно пересечь
плоскостью таким образом, что в сечении получится
правильный треугольник?
102. Докажите, что если все плоские углы трехгранного
угла равны 90°, то любое сечение этого
трехгранного угла является остроугольным треугольником.
103. Дан куб с ребром а. Две вершины правильного
тетраэдра лежат на его диагонали, а две
оставшиеся — на диагонали его грани. Найдите объем
тетраэдра.
104. В основании четырехугольной пирамиды лежит
прямоугольник, высота пирамиды h. Найдите
объем пирамиды, если известно, что все ее пять
граней равновелики.
105. Среди пирамид, все ребра которых равны а,
найдите объем той пирамиды, которая имеет наибольшее
число ребер.
106. Вокруг шара описана правильная усеченная
четырехугольная пирамида, апофема которой равна а.
Найдите ее боковую поверхность.
107. Определите угол при вершине осевого сечения
конуса, если его объем в три раза больше объема
вписанного в него шара.
108. Три шара касаются плоскости данного
треугольника в вершинах треугольника и между собой. Най-
299
дите радиусы этих шаров, если стороны
треугольника равны а, бис.
109. Докажите, что отношение объемов сферы и
описанного около нее усеченного конуса равно
отношению их полных поверхностей.
110. Докажите, что прямые, соединяющие середину
высоты правильного тетраэдра с вершинами той
грани, на которую эта высота опущена, попарно
перпендикулярны.
111. Дан куб ABCDAlBlClDl с ребром а, К — середина
ребра DDV Найдите угол и расстояние между
прямыми СК и AjD.
112. Найдите угол и расстояние между
скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного
тетраэдра с ребром а.
113. В основании пирамиды SABCD лежит
четырехугольник ABCD. Ребро SD является высотой
пирамиды. Найдите объем пирамиды, если известно, что
= 2 + 75.
114. В основании пирамиды лежит правильный
треугольник со стороной а, боковые ребра имеют
длину Ь. Найдите радиус шара, касающегося всех
ребер пирамиды или их продолжений.
115. Сфера проходит через вершины одной грани куба и
касается сторон противоположной грани куба.
Найдите отношение объемов шара и куба.
116. Ребро куба ABCDAlBlC1Dl равно а. Найдите
радиус сферы, проходящей через середины ребер AAV
ВВХ и через вершины А и Сг
117. В основании прямоугольного параллелепипеда
лежит квадрат со стороной а, высота
параллелепипеда равна Ъ. Найдите радиус сферы, проходящей
через концы стороны АВ основания и касающейся
граней параллелепипеда, параллельных АВ.
300
118. В сферу радиусом R вписана правильная
треугольная призма со стороной основания а. Найдите
площадь сечения призмы плоскостью, проходящей
через центр сферы и сторону основания призмы.
119. Два шара одного радиуса и два другого
расположены так, что каждый шар касается трех других и
данной плоскости. Найдите отношение радиуса
большего шара к меньшему.
120. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром а.
Найдите радиус сферы, проходящей через вершины С
и D и середины ребер АВ и АС.
121. Одна грань куба лежит в плоскости основания
правильной треугольной пирамиды, на одной из
боковых граней пирамиды лежат две вершины куба, а на
двух других — по одной. Найдите ребро куба, если
сторона основания пирамиды равна а, а высота
пирамиды Л.
122. В треугольной призме АВСА1В1С1 проведены две
плоскости: одна проходит через вершины А, В и
Ср а другая — через вершины Av Bx и С. Эти
плоскости разделили призму на четыре части. Объем
меньшей из этих частей равен V. Найдите объем
призмы.
123. В основании правильной треугольной призмы
лежит треугольник ABC со стороной а. На боковых
ребрах взяты точки Av Bx и Cv удаленные от
плоскости основания соответственно на расстоя-
а 3 „ „
нии ~ , а, ~а. Найдите угол между плоскостями
ABCnAlBlCv
124. Сторона основания правильной четырехугольной
пирамиды равна апофеме боковой грани. Через
сторону основания проведено сечение, делящее
пополам поверхность пирамиды. Найдите угол
между плоскостью сечения и плоскостью основания
пирамиды.
301
125. В правильной четырехугольной пирамиде
плоский угол при вершине равен углу между боковым
ребром и плоскостью основания. Определите
двугранные углы между соседними боковыми
гранями этой пирамиды.
126. В основании треугольной пирамиды, все боковые
ребра которой попарно перпендикулярны, лежит
треугольник площадью S. Площадь одной из
боковых граней Q. Найдите площадь проекции этой
грани на основание.
127. В правильной четырехугольной пирамиде угол
между боковым ребром и плоскостью основания
равен углу между боковым ребром и плоскостью
боковой грани, не содержащей это ребро. Найдите
этот угол.
128. Найдите двугранный угол между основанием и
боковой гранью правильной треугольной усеченной
пирамиды, если известно, что в нее можно вписать
шар и, кроме того, существует шар, касающийся
всех ее ребер.
129. Известны стороны АВ = a, AD = Ь, ААг = с
прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1ClDv
Найдите угол между плоскостями ABlDl и A1C1D.
130. В основании пирамиды ABCDM лежит квадрат
ABCD со стороной а, боковые ребра AM и ВМ
также равны а, боковые ребра СМ и DM имеют длину
Ь. На грани CDM как на основании во внешнюю
сторону построена треугольная пирамида CDMN,
боковые ребра которой имеют длину а. Найдите
расстояние между прямыми AD и MN.
131. Дан куб ABCDA1B1C1D1; через ребро ААХ проведена
плоскость, образующая равные углы с прямыми
ВС и BXD. Найдите эти углы.
132. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно
перпендикулярны, причем одно из них равно а и
равно сумме двух других. Найдите радиус шара,
302
касающегося основания пирамиды и продолжений
ее боковых граней.
133. В основании треугольной пирамиды SABC лежит
правильный треугольник ABC со стороной 3, ребро
SA равно 5. Найдите объем пирамиды, если
известно, что боковые грани пирамиды равновелики.
134. Пусть точка К — середина ребра ААг куба
ABCDAlB1ClDv точка L лежит на ребре ВС.
Отрезок KL касается шара, вписанного в куб. В каком
отношении отрезок KL делится точкой касания?
135. В тетраэдре ABCD дано: Z ABC = Z BAD = 90°, АВ =
= a, DC = by угол между ребрами AD и ВС равен а.
Найдите радиус описанного шара.
136. Ребро куба и ребро правильного тетраэдра лежат
на одной прямой, середины противоположных им
ребер куба и тетраэдра совпадают. Найдите объем
общей части куба и тетраэдра, если ребро куба
равно а.
137. В каком отношении делит объем треугольной
пирамиды плоскость, параллельная двум ее
скрещивающимся ребрам и делящая одно из других ребер
в отношении 2:1?
138. В правильной четырехугольной усеченной
пирамиде проведено сечение через диагонали оснований и
сечение, проходящее через сторону нижнего
основания и противоположную сторону верхнего
основания. Угол между секущими плоскостями равен
а. Найдите отношение площадей сечений.
139. В правильную шестиугольную пирамиду вписан
конус и около нее описан конус. Найдите разность
объемов описанного и вписанного конусов, если
высота пирамиды Н> радиус основания описанного
конуса R.
140. В тетраэдре два противоположных ребра
перпендикулярны, их длины а и bt расстояние между ними с.
В тетраэдр вписан куб, четыре ребра которого пер-
303
пендикулярны этим двум ребрам тетраэдра, и на
каждой грани тетраэдра лежат в точности две
вершины куба. Найдите ребро куба.
141. Два равных треугольника KLM и KLN имеют
общую сторону KL,
Z KLM = Z LKN = 5 , KL = ay LM = KN = 6а.
о
Плоскости KLM и KLN взаимно
перпендикулярны. Шар касается отрезков LM и KN в их
серединах. Найдите радиус шара.
142. В тетраэдре три двугранных угла прямые. Один из
отрезков, соединяющих середины
противоположных ребер тетраэдра, равен а, а другой Ъ (Ъ > а).
Найдите длину наибольшего ребра тетраэдра.
143. Отрезок АВ единичной длины, являющийся
хордой сферы радиусом 1, расположен под углом ^ к
о
диаметру CD этой сферы. Расстояние от конца С
диаметра до ближайшего к нему конца А хорды АВ
равно л/2 . Определите величину отрезка BD.
144. В треугольной пирамиде ABCD грани ABC и ABD
имеют площади р и q> образуют между собой угол
а. Найдите площадь сечения пирамиды,
проходящего через ребро АВ и центр вписанного в
пирамиду шара.
145. ABCD — правильный тетраэдр с ребром а. Пусть
М — центр грани ADCy N — середина ребра ВС.
Найдите радиус шара, вписанного в трехгранный
угол А и касающегося прямой MN.
146. В треугольной пирамиде SABC известно, что АС =
= АВ, а ребро SA наклонено к плоскостям граней
ABC и SBC под углом 45°. Известно, что вершина А
и середины всех ребер пирамиды, кроме SA, лежат
на сфере радиусом 1. Докажите, что центр сферы
расположен на ребре SA, и найдите площадь грани
ASC.
304
147. Шар касается плоскости основания ABCD
правильной четырехугольной пирамиды SABCD в точке А
и, кроме того, касается вписанного в пирамиду
шара. Через центр первого шара и сторону основания
ВС проведена секущая плоскость. Найдите угол
наклона этой плоскости к плоскости основания,
если диагонали сечения перпендикулярны ребрам
SA и SD.
148. Длина ребра куба ABCDAlB1ClDl равна а. Точки Р,
К, L — середины ребер AAV AXDV BlCl
соответственно, точка Q — центр грани CCXDXD. Отрезок
MN с концами на прямых AD и KL пересекает
прямую PQ и перпендикулярен ей. Найдите длину
этого отрезка.
149. Внутри правильного тетраэдра ABCD расположены
два шара радиусами 2R и 3i?, касающиеся друг
друга внешним образом, причем один шар вписан в
трехгранный угол тетраэдра с вершиной в точке А,
а другой — в трехгранный угол с вершиной в точке
В. Найдите длину ребра этого тетраэдра.
150. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD
(где ABCD — основание) сторона основания равна а,
а угол между боковым ребром и плоскостью
основания равен а. Плоскость, параллельная диагонали
основания АС и боковому ребру BS, пересекает
пирамиду так, что в сечение можно вписать
окружность. Определите радиус этой окружности.
151. В правильном тетраэдре точки М и ЛГ являются
серединами противоположных ребер. Проекция
тетраэдра на плоскость, параллельную MN, представляет
собой четырехугольник площадью S, один из углов
которого 60°. Найдите площадь поверхности
тетраэдра.
152. В кубе ABCDA1BlC1Dl на АС взята точка М, а на
диагонали BDX куба взята точка N так, что Z NMC =
305
= 60°, Z MNB = 45°. В каком отношении точки М
и N делят отрезки АС и BD1
153. Сторона основания ABC правильной треугольной
призмы АВСА1В1С1 равна а. Точки М и N
являются соответственно серединами ребер А1Б1 и AAV
Проекция отрезка ВМ на прямую CXN равна —-=■ -
Определите высоту призмы.
154. Два шара касаются между собой и граней
двугранного угла, величина которого а. Пусть А и Б — две
точки касания этих шаров с гранями (Аи В
принадлежат разным шарам и разным граням). В каком
отношении отрезок АВ делится точками
пересечения с поверхностями этих шаров?
155. Основанием пирамиды ABCD является правильный
треугольник ABC со стороной 12. Ребро BD
перпендикулярно плоскости основания и равно Юл/3 . Все
вершины этой пирамиды лежат на боковой
поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого
пересекает ребро BD и плоскость ABC. Определите
радиус цилиндра.
156. Основанием пирамиды служит квадрат ABCD со
стороной а, боковое ребро SC перпендикулярно
плоскости основания и равно b. M — точка на
ребре AS. Точки М, В и D лежат на боковой
поверхности прямого кругового конуса с вершиной в точке
А, а точка С — в плоскости основания этого
конуса. Определите площадь боковой поверхности
конуса.
157. Внутри прямого кругового конуса расположен куб
так, что одно ребро куба лежит на диаметре
основания конуса, вершины куба, не принадлежащие
этому ребру, лежат на боковой поверхности
конуса, центр куба лежит на высоте конуса. Найдите
отношение объема конуса к объему куба.
306
158. В треугольной призме ABCAlBlCl проведены два
сечения. Первое сечение проходит через ребро АВ
и середину ребра CCV а второе — через ребро А1Б1
и середину ребра СВ. Найдите отношение длины
отрезка линии пересечения этих сечений,
заключенного внутри призмы, к длине ребра АВ.
159. В правильной четырехугольной усеченной
пирамиде с боковыми ребрами AAV BBV CCV DD1 сторона
верхнего основания равна 1, а сторона нижнего
основания равна 7. Плоскость, проходящая через
ребро В1С1 перпендикулярно к плоскости ADjC,
делит пирамиду на две части равного объема.
Найдите объем пирамиды.
160. Основанием призмы АВСА1Б1С1 является
правильный треугольник ABC со стороной а. Проекцией
призмы на плоскость основания является
трапеция с боковой стороной АВ и площадью, в два раза
большей площади основания. Радиус сферы,
проходящей через вершины А, Б, А19 Cv равен а.
Найдите объем призмы.
161. В плоскости дан квадрат ABCD со стороной а и
точка М на расстоянии b от его центра. Найдите
сумму объемов тел, получающихся при вращении
треугольников АВМу ВСМ, CDM и DAM
соответственно вокруг прямых АВ, ВС у CD и DA.
162. Центры трех сфер, радиусы которых равны 3, 4 и
6, расположены в вершинах правильного
треугольника со стороной 11. Сколько существует
плоскостей, касающихся одновременно всех трех сфер?
163. Все ребра треугольной пирамиды ABCD касаются
некоторого шара. Три отрезка, соединяющие
середины скрещивающихся ребер, равны. Угол ABC
равен 100°. Найдите отношение высот пирамиды,
опущенных из вершин А и Б.
164. В треугольной пирамиде SABC с основанием ABC и
равными боковыми ребрами сумма двугранных уг-
307
лов с ребрами SA и SC равна 180°. Известно, что
АВ = а, ВС = Ь. Найдите длину бокового ребра.
165. На поверхности сферы радиусом 2 расположены три
попарно касающиеся друг друга окружности
радиусами J2 . Часть поверхности сферы,
расположенная вне окружностей, представляет собой два
криволинейных треугольника. Найдите площади этих
треугольников.
166. Три двугранных тетраэдра, не принадлежащие
одной вершине, равны ^. Оставшиеся три двугран-
ных угла равны между собой. Найдите эти углы.
167. Определите полную поверхность призмы, описанной
около шара, если площадь ее основания равна S.
168. Центр сферы а лежит на поверхности сферы р.
Отношение поверхности сферы р, лежащей внутри
сферы а, ко всей поверхности сферы а равно - .
ъ
Найдите отношение радиусов сфер аир.
169. Через вершину прямого кругового конуса
проведено сечение максимальной площади. Известно, что
площадь этого сечения в два раза больше площади
осевого сечения. Найдите угол при вершине
осевого сечения конуса.
170. Найдите объем тела, полученного при вращении
правильного треугольника со стороной а вокруг
прямой, параллельной его плоскости и такой, что
проекция этой прямой на плоскость треугольника
содержит какую-либо высоту треугольника.
171. Дана треугольная пирамида SABC. Шар радиусом
R касается плоскости ABC в точке С и ребра SA в
точке S. Прямая BS вторично пересекает шар в
точке, диаметрально противоположной точке С.
Найдите объем пирамиды SABC, если ВС = a, SA = Ь.
172. Внутри правильной треугольной пирамиды
расположена вершина трехгранного угла, все плоские
308
углы которого прямые, а биссектрисы плоских
углов проходят через вершины основания. В каком
отношении поверхность этого угла делит объем
пирамиды, если каждая грань пирамиды разделена
ею на две равновеликие части?
173. Правильный тетраэдр объемом V повернут около
прямой, соединяющей середины его
скрещивающихся ребер, на угол а. Найдите объем общей
части данного тетраэдра и повернутого (0 < а < п).
174. Дан куб ABCDA1BlC1Dv М — центр грани ABBXAV
N — точка на ребре BXCV L — середина АгВ19 К —
основание перпендикуляра, опущенного из N на
BCV В каком отношении точка N делит ребро BXCV
если Z LMK = Z MKN1
175. В правильной четырехугольной пирамиде центр
описанного шара лежит на поверхности
вписанного шара. Найдите величину плоского угла при
вершине пирамиды.
176. В правильной шестиугольной пирамиде центр
описанной сферы лежит на поверхности вписанной.
Найдите отношения радиусов описанной и
вписанной сфер.
177. п равных конусов имеют общую вершину. Каждый
касается двух других по образующей, а все
касаются одной плоскости. Найдите угол при вершине
осевого сечения этих конусов.
178. Высота усеченной пирамиды равна Л, площадь
среднего сечения равна S. В каких пределах может
меняться объем этой пирамиды?
179. Найдите наибольшее значение объема тетраэдра,
вписанного в цилиндр, радиус основания которого
R, высота h.
180. Квадрат ABCD является основанием
прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1DV Найдите
309
наибольшую возможную величину угла между
прямой BDX и плоскостью BDCV
181. Высота правильной четырехугольной призмы
ABCDAlBlClDl в два раза меньше стороны
основания. Найдите наибольшее значение угла AXMCV
где М — точка на ребре АВ.
182. Все ребра правильной треугольной призмы
ABCAlBlCl имеют длину а. Рассматриваются
отрезки с концами на диагоналях ВСг и САг боковых
граней, параллельные плоскости ABBlA1. Найдите
наименьшую длину таких отрезков.
183. Какое наименьшее значение может принимать
отношение объема конуса к объему цилиндра,
описанных около одного и того же шара?
184. Два конуса имеют общее основание и расположены
по разные стороны от него. Радиус основания г,
высота одного конуса Л, другого Н (h < Н).
Найдите наибольшее расстояние между двумя
образующими этих конусов.
185. Длины ребер прямоугольного параллелепипеда
равны a, b и с. Чему равно наибольшее значение
площади прямоугольной проекции этого
параллелепипеда на плоскость?
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Раздел 1.
Уравнения и системы уравнений
1-3; -|. 2.-1;-2102. 3.1;-^
4. 0; 7 - 2л/3 ; 7 + 2 J3 . Указание. Перепишите уравнение в
х+1 х+ 3 х + 4 х + 5
виде = , после чего сделайте вычита-
х — 1 х — 3 х — 4 х — Ъ
ние дробей в левой и правой частях.
5. -4; 2. Указание. Если а и 6 — числитель и знаменатель
дроби, стоящей в левой части, то £ = ^—■, откуда а = Ь.
о о+4
6. -g-; «(И — V5). Указание. Сложите сначала первую
дробь с последней, а вторую — с третьей.
7. -5. Указание. См. уравнение 2.
8. 0; -1 . Указание. 1±И±1 - <£±_1)1±2 . х
2 х+ 1 л:+ 1
х + j + .
х+ 1 л:+ 1 л:+ 1
Также преобразуйте каждую дробь. Получившееся уравнение
перепишите в виде = , после чего сде-
х + 4 лг+3 х+2 х+1
лайте действия в левой и правой частях.
11.7. Указание. Первое уравнение имеет корни: (4 - J2 );
(1 + л/2 ), второе — (3 + V2 ); (1 - V2 ).
12.2. 13.ii^l. 14.1^2. 15.-1.
16. 0. Указание. Докажите, что
311
17.2. 18.7. 19. -2; 3. 20.3. 21.481. 22. Нет решений.
23.-4. 24. 0;3. 25. 0;-1. 26.-i 27.2^3. 28.6.
з
29. -- . Указание. Умножим обе части уравнения на
Jbx + 7 + Jx + 4 , получим
4х + 3 = (4х + 3)( 7бх+ 7 + V*+ 4 ),
_ _3
откуда или jcx = —- , или Jbx + 1 + Jx + 4 = I. Последнее
уравнение не имеет решения, поскольку при х > -- будет Jx + 4
5
30. - - — . Указание. Умножим обе части на J^5x + 12 +
3 5
+ Jl5x+2 . Поскольку 15* + 2 > 0, то Зх + 1 > 0. После
сокращения на Зх + 1 получим уравнение J45x +12-1- Jl5x + 2 =
, которое решается возведением обеих частей в квадрат.
31. i . 32. 6; 5+У
3 2
33. - § ; I; -? . 34. 2; 5; -3; 12; 4 -
2 3 5
; ;
2 3 5
4 + V29 . 35. |; i (7 - ЛЗ ). 36. ^ . 37. i .
4 6 2 6
38. 3. Указание. Умножив и разделив левую часть на
разность радикалов Jx + 33 - Jx + 1 , преобразуем ее к виду
:. Правая часть таким же образом приводится к
32
, после чего все уравнение можно преобразовать
Jx + 33 - V* + 1
16
Jx+ 22 - V* + 6
к виду Jx + 33 - Jx + 1 = 2(V* + 22 - Jx + 6 ). Получившееся
уравнение вычтем из исходного, тогда избавимся от V* + 33 и
получим
2jx+ I =3V*+ 6 - V*+ 22. (*)
Далее 2( Jx+ 1 - Jx + 6 ) = V* + 6 - V* + 22 . Умножим и
разделим левую и правую части на суммы соответствующих
радикалов. После упрощения будем иметь 5 Jx + 22 - 3 л/х + 6 =
= 8 Jx + 1 . Выразим из уравнения (*) Jx+22 и заменим в
получившемся уравнении, получим 2jx +6=3, откуда х = 3.
312
39.1. 40. \.
41. 7* 7. Указание. Имеем 3У2 + х (2 + х) = 2*Т/х , отку-
28-38
8
7 «:
42. ± , 5 . 43. ±72. 44. i(l ± 75); i(l ± 713). 45. 1.
'5 <S О
/1 + 53
6
46. 26. 47. З5. 48.1. 49.8. 50. | (-1 ± Jl7 ). 51. 4 + 27з.
52.0.
53. о (5 ± ТЗЗ ). Указание. Левая часть уравнения преобра-
о
2 л 2 г-
зуется к виду —= » после чего замена у = 4х - эх.
8х-10х + 3
54. 1 ± 77 . 55. |; |; -i Jl^49 + 5л/73) • Указание.
Возведем уравнение в квадрат и обозначим у = —. .
56. | (-2 - 7б ± 7б+ 47б ).
57. 3 ± 721 ; -2; 6. Указание. У=\ ~ \ .
58. 7; ^ . Указание, у = х + - .
59. 2; |; 2 ± 73 . Указание, у = х + i .
60. 72 ± 1; -72 ± 1. 61. ±3; ± Д .
62. -1; 3. Указание, у = х2 - 2х.
63. -1; 3. Указание. Поскольку
24 12 12
х2-2х х2-х (х
уравнение преобразуется к виду 12 = х(х - 2)(х - 1) . Далее
замена у = х2 - 2х.
313
64. -7; 2. Указание.
(х2 + Зх + 2)(х2 + 7х + 12) = (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) =
= (х + 1)(х + 4)(х + 2)(х + 3) = (х2 + 5х + 4)(х2 + 5х + 6).
Далее замена у = х2 + 5х.
65. -2 ± 72 ; i (5 ± Jl7). Указание. Делим на jc2 и обозна-
о
чим у = х +
66. i(l ± V5); -3 ± */3 . Указание. Однородное уравнение
2
относительно х2 и х + 1. Замена у = —-— .
х + 1
67. i (I ± Jb ). Указание. Однородное уравнение
относительно х2 + х + 1 и х2у поскольку правая часть есть 2х4 + х2(х2 + х + 1).
68. | (11 - V21). Указание. у = х+ Jx.
69. 1 ± 79 + SjlS . Указание. Уравнение перепишем в виде
Г~2
Зх = -(2 - х)л/х - 9 . После возведения в квадрат и преобра-
п о 2 2
зований получим 9(х + (2 - х) ) = (2 - х) х . Делаем замену
у = х2 - 2х.
70. — . Указание. Уравнение можно преобразовать к виду
144
7х + Jx + 7 + х + 2 7* Jx + 7 + х + 7 = 42, затем сделать
замену у = Jx 4- Jx + 7.
71. 212 • З20. 72. 1; -2 + 75 - 73. 5(72 + 1). 74. 1. 75. 2;
-239.76.6.
45
77.3(72 - 1). Указание. (JlS + Зх -
- 67л:(л:-Ь 6) + (х + 6) = 0, (3 -
78. | ± i /i(1 + ТЗЗ) • Указание. Левая часть преобразует-
2 2
ся к виду — = , а правая — к виду
8х - Юх + 3 2(2х-1) -(2х-1)
2(2х-1)2 + (2х-1).
314
79. 1; 2; -2 ± J2 . Указание. В каждой из первых двух
дробей разделим числитель и знаменатель на х, затем
обозначим у = х + - .
80. 2л/3 . Указание. Освободимся от знаменателя и
перепишем уравнение в виде
V2V2x+ 6)= 7бл/*+ 4 - Jxj2x+ 6.
Каждую часть умножим и разделим на соответствующие
суммы. Получим
(УЗ+ 1)(х2- 12) = -2(х2- 12)
Jxjx+A +■ J2j2x + 6 J6jx + А + Jx*J2x + 6
И Т. Д.
81. 1. Указание, х > 1. Если х > 1, левая часть больше
единицы, правая меньше.
82. —^— . Указание. Левая часть есть 2х3 - (х + I)3.
V2-1
83.-2.
84. 3 + 7б ; | (-5 + л/ТЗ). Указание. ^Зх + 19 - | = 1 +
+ /х + 18 + |. Возведем в квадрат: х - - = /х+18+|. Еще
( з^2
раз — в квадрат и преобразуем левую часть, получим ( х — -1 =
= (х + -) - 12. Затем сделаем замену у = х + - .
85. i (3 + л/б). Указание. Разделим почленно на (х - I)3 и
обозначим у = -z2- . Получим у + у2 - 2 = 0 или (у - 1) х
х (у2 + у + 2) = 0 и т. д.
86. - - ; ~15± ^89 . Указание. Левую часть можно предста-
з 4
вить в виде (1 + Зх)(1 + Зх + 2х2) = (1 + Зх)2 + 2х2(1 + Зх),
а правую — в виде (16 + 12х) + 2х (16 + 12х). После
перенесения в одну часть выделяется множитель (16 + 12х) - (1 + Зх) =
= 15 + 9х.
315
87. Уравнение не имеет решений. 88. 4. 89. 373 . 90. - ; 6.
5
91. х < ? . 92. х < \ . 93. х > 3. 94. -JU ; 1 - 75 . 95. - ; - (-5 +
2 3 2 4
+ ЛТЗ). 96. 3; -|(3 + 7б5). 97.3. 98. 2. 99. 2; 2 + 716 ;
1 + 75 . 100. 0; 1 - 75 . 101. i (19 + 729). 102. I (19 + 729 ).
103. -2 < х < 3.
104. -z— ; i (~72 + 7б ). Указание. Левая часть
преобразуется к — \х + а/1 - х |. Поскольку 1 - 2х2 > 0, то 7l ~ ^ > |х|.
V2
Значит, х + «]1 - х > 0, т. е. уравнение приводится к виду
х+ VI -х
_
72
1 - 2х2, при условии х2 < i Правую часть предста-
2 / 2 I 2
вим в виде 1 - 2х = (х + л/1-х )(-* + л/1-х ).
105. -^; i(76 + 72). 106. -1. 107.6; 2. 108. -1; 7.
109. ±± ; ±i (47l4 - 1). 110. ±2; ±(3728 - 1). 111. I < х < 4.
112.-4<х<|. 113.3. 114. 1;-|(5+ 733). 115. 0;1;2.
116. -^ (-1 ± 721 ); ^ (1 ± 717 ). Указание. Пусть у = 1 - 5х2.
2 2
Имеем систему у=1-5х ,х=1-5у . Вычитая уравнения,
найдем у - х = 5(у - х)(у + х). Имеем два случая: 1) у = х; 2) 5у + 5х = 1.
117. -i . Указание. Пусть u = Jx2 + 2 , у = 7*2 + 2х + 3 .
Тогда у2 - и2 = 2х + 1, х = i (v2 - и2 - 1). Получим
v2 - и2 + | (у2 - и2 - 1)и + | (у2 - и2 + l)i> = О,
(и - u)(2v + 2и (и + и)2 + 1) = О,
откуда v = и.
118. i . Указание. Разделим почленно на \[х и обозначим
о
4/13 + 1 = и, 4/4 - - = v. Получим систему и + v = 3, и4 + и4 = 17
и т. д.
316
119. i(3 - л/б). Указание. Перенеся все в одну часть,
проверьте, что уравнение представляется в виде
(х + Jx - I)3 = 0.
120.(1; 1). 121.(1; -1); (1; 2). 122.(5; 1); (-5; -И)
123. (51 ; -i?) . 124. (2 ± 2^3 ; 1 ± 4=) • 125- (4; 2>- 126- (0; 1).
127. (5; 1). 128. (0; -1); [\ ; 1) . 129. (2; 2).
130. (±3; ±2); (±2; ±3). Указание. Замена х2 + у2 = и, ху = у.
131. (±72 ; 1 ± л/2 ). 132. (11 ; 9) . 133. (±1; ±2); (±2; ±1).
135. (±|(л/3 + 1); ±|(л/3 - 1)). Указание. Возведем обе
части второго уравнения в квадрат, после чего вычтем удвоен-
ное первое, получим х - 3jc z/ - 2х у - Зху + у =0. Это
уравнение разделим на х2у2у учитывая, что ^2+^2=(-+-) ~2,
будем иметь (*. + У] - з(- + У] -4 = 0. Заменяя z = - + У,
\у х' ^у х/ ух
найдем zx = -1, z2 = 4. В первом случае решений нет. Из
уравнения - + У = 4 найдем - = 2 ± Л . Поскольку из второго
уравнения системы следует, что х2 > у2, то - =2+^3 и т. д.
136.(0; ±1); (-|; 0). 137. (4; 1). 138. (-1; 2); (I ; Ш) .
139. (2; -1); (^ ; -1) . 140. (-1 ± V2 ; -1). 141. (-2; 1 ± Л )•
142. (±4; ±2). Указание. Перемножьте данные уравнения.
143.(0; 0); (±2; ±1); (±1; ±2). 144. (±3; ±5); (±5; ±^) .
145. (0; ±2); (-2; 0). 146. (4; 2); (| ; -|) . 147. Система не имеет
решений.
148. (1; 0). Указание. Перемножим уравнения, получим
х6 = 1 и т. д.
317
149. (i (-2 + ЛЗ ± Jl2jTi-2 ); | (-2 + JU + JllJU - 2));
150. (0;0);(±V2 ;+V2 );(±-/2 ;±V2 ); (| (±1 + V5 ); \ (±1- л/б"));
(±l-75);|(±l+-/5)).
151.(0; 0); (±2; ±1); (±2; ±2^2); \±-M=; ±-=L= , где
+ 1
а = i (-7 + л/33 ). Указание. Из системы следует, что
или
Цх + у)(х3 + у3) = 27*У,
у2)(х2 - ху + у2) =
Разделим обе части на х2у2 и обозначим - + ^ = ^ и т. д.
152. (2; -3); (с; 1); с — любое число. Указание. Удвоим
первое уравнение и вычтем второе.
153.(0; !);(-?; 4).
2
154. (2; 1). Указание. Вычтем из первого уравнения
удвоенное второе, получим (-2х + Зу + I)2 = 0.
155. (2; 3). Указание. Первое уравнение есть (х - у + I)2 +
+ (у - З)2 = 0.
156.(1; 1); (^(2л/6 - 3); -i(9 + 4^6)); (-i(3 + 2^6);
i (4д/б - 9)) . Указание. Сложим уравнения, получим 3(х - у)2 -
- 2(у - I)2 = 0.
157.(1;2); (-|(5 + 3 -/З ); \ (Л -1)); (|(373 -5); -1(1 +
. Указание. Сложим уравнения, получим (2х - у) -
- 3(х - I)2 = 0.
158.(1; 1). 159.(1; 2). 160.(1; 1). 161.(19; -15).
162. (1(14л/П -58); 1(2Л1 -11)).
318
163. (0; ±2); (1; -3). Указание. Из второго уравнения у = 4 +
+ 5х2; значит, у3 = 4у + Ъх у. Заменим в первом уравнении у .
Если х = 0, то у = ±2. Если х * 0, то выразим у = + х и
подох
ставим во второе уравнение.
164. (3; 1); [\ ; -1) . Указание. Умножим первое уравнение
на х, второе — на (-у) и сложим, получим Зх - 4у = 5. Выразим
х через у и подставим в первое уравнение.
165. (-1; -2); (-2; -1). 166. (3; 2; 4); (0; -1; 1).
167. (±2; ±3; ±4).
168.(1; 1; 1); (1; -1; -1); (-1; 1; -1); (-1; -1; 1). Указание.
Подставим выражение для х во второе и третье. Получим
ЧУ2 + г2) - (у2 + г2)2 = 4у2, Цу2 + г2) - (у2 + г2)2 = 4г2,
т.е. z = ±у.
169. (iis/l ; 1; 2 ± 73 ); (5-^ ; 1; 2 ± 73 ); (0; 0; 0).
Возможна любая комбинация знаков. Всего имеется 9 решений.
Указание. Освободимся в первом уравнении от знаменателя и
поделим на хуу рассмотрев случай ху = 0 отдельно, получим
х + - +у+- =5. Аналогично поступим с другими
уравнениями. Затем сделаем замену х + - = и, у + - = v, z + - = w.
170. (73; 2);(-73;-2).
171. (| ; |) . Указание. Умножим первое уравнение на 2 и
вычтем второе. Получившееся уравнение разложится на
множители (х - 2у)(2х + у + 3) = 0.
172. (-|; -|) ; (3 - 2t; t). t — любое число. Указание.
Каждое уравнение раскладывается на множители
(2х - у)(х + 2у - 3) = 0, (Зх + у + 2)(х + 2у-3) = 0.
Для этого можно рассмотреть каждое из уравнений как
квадратное относительно х или у.
173. (8 + - 7Гб ) ; (7 + 2 УГб ). Указание. Возведем каждое
из уравнений в квадрат и вычтем одно из другого. Получим
319
х2 - у2 = i|. Теперь для нахождения хиу будем иметь систему
|
174. (-1; 1). Указание. Рассмотрим первое уравнение как
адратное относительно у. Найдем: 1) у = -х; 2) у = ~1 и т. д.
X + X
175. (0; -1). Указание. Преобразуем второе уравнение:
/ 2
исключим Цх + 1 из обоих уравнений. Получим
х2 - 2х(у - у2) + у4 - 2у3 - 3/ = 0.
Решая последнее уравнение относительно х, найдем: 1) х = у - у2;
2)х = 3у- у2.
177. (±|V2;+| V2)
-2 V2 - л/3 ). Указание. Возведем оба уравнения в квадрат и
сложим их. Обозначим и = х2 + y2f v = (х + у)2. Получим 2и + и = 76.
Кроме того, уединяя в первом уравнении корень и еще раз возво-
о
дя в квадрат, получим после упрощения 736 — 16u + v - 2uv = 0.
Решив систему для и, v, найдем их = 37, vx = 2; и2 = 22, и2 = 32.
17R (±- Я- IV Г32 --1 • -7V Г32 • -31 • 23V Г52 --41 • Щ
178.(4,3,1), ^т, -, з>1у т'тМу T'tJ-
179. (12; 3; 1); (3; 3; 4). Указание. Вычтем из второго
уравнения первое, возведенное в квадрат, заменим 6x2 на 8у2,
сократим, получим у(х -2у + Зг) = 27. Таким образом, у = 3.
180. {-2а; 2±-; а) , а * 1; (-2а2 + 2а; 2а2; а), а — любое
v а - 1 J
число. Указание. Умножим второе уравнение на 2г и прибавим
к первому. Получим (х + 2г) • (у - 2z2) = 0.
181. (0; 0; 0); (О; -£ ; §1; Г-|; |; -|) . У/саза«ие. Умножим
уравнения соответственно на 2, 3, 6, и сложим, полученное
уравнение приводится к виду (у - г)(2х + Зу + 6г) = 0.
320
182. (0; 0; 0); (1 ; -1; 1); (-И ; Ц ; -1|1) . Указание.
Умножим первое уравнение на 2, второе — на х и сложим, получим
(х + 2у)(г + 2х2) = 0.
183. (0; 0; 0); (2; 1; 1); (-А ; -L ; -L). Указание. Умножим
^ 13 13 13'
уравнения соответственно на 6 -4, -3 и сложим, получим
(х - г)(30у - 12z - 9х) = 0. Если х = z, то х = у = z = 0. Во втором
случае выразим i/ через z и х и подставим во второе и третье,
исключив (х - г). Получим однородное уравнение
относительно X И 2.
184. (0; 0; 0); [Щ ; f ; f) .
185. (1; 2). Указание. Разность дробей, обратных левым
частям, есть ^—^ . Таким образом, ^—^ = — - . Отсюда выражаем у
ху ху 2
через х и подставляем в одно из уравнений.
186. \-\j2 ; — . Указание. Сложим уравнения, затем вы-
V *J)
чтем их. Получим (х - I)3 4- 2(у + I)3 = 0 и (х + I)3 - 2(у - I)3 = 0.
187. (0; 0); (-1; -l) . Указание. Умножим первое уравнение
на 9 и вычтем второе. Получим (2х - у)(2у - х) = 3(2х - у)ит. д.
188. (±1(77 +5); ±1(77 -4);±|(77 -1)); (±|(77 -5);
±1(77 4- 4); ±1(77 + 1)). Указание. Обозначим х 4- 2у = и,
з з '
у + 2z = и, г 4- 2х 4- и;, х 4-1/ 4- z = s. Получим систему u(2s - u) = 6,
- l>) = 3, w(2s - w) = -2, u 4- у 4- w = 3s. Выражая из первых
Г2
трех уравнений u, vf w через s, например и = s± л/s -6,и под-
Чтобы последнее уравнение имело решение, знаки перед
a/s - 6 и л/s - 3 должны быть противоположны знаку при
Js 4- 2 . Затем найдем s2 = 7 и т. д.
321
189. ( 3/3 ; 37i ; з/f); (з/| ; з/|; -2зШ . Указание. В каждом
уравнении перенесем в правую часть xyzy получившиеся
уравнения перемножим и получим уравнение, квадратное
относительно и = хуг.
190. (2; 2; 2); (2; -2; -2); (-2; 2; -2); (-2; -2; 2). Указание.
Сложим уравнения, получим (х + у + г) = -?- (х 4- i/ 4- г).
Возможны два случая: 1) х 4- i/ + г = 0, xi/z = 8. В первом случае
нет решений.
191. (0; 0; 0); (0; -1; 1). Указание. Сложим, затем вычтем
первые два уравнения.
192. (1; 1; -1); (1; -1; 1); (-1; 1; 1); (-1; -1; -1). 193. (0; 0; 0);
194. (0; 1; 1); (-1; 3; 0); (-1; 0; |) ; (-|; 2; I) . Указание.
Из второго уравнения вычтем удвоенное первое, получим
(у 4- 2х)2 = 1. Третье уравнение преобразуется к виду
(2z 4- у - 3)(х2 + 1) = 0.
195. (0; 0; 0); (8; 24; ±24); (а; 2а; ±а); а — любое число. Ука-
зание. Исключив из первых двух г , получим уравнение,
однородное относительно х, у.
196. (0; 1; 2). Указание. Вычитая первое уравнение из
второго, найдем (у 4- х)2 = 1. Вычитая первое уравнение из
третьего, получим (г 4- х)2 = 4; сложив второе и третье, будем
иметь (у 4- х) = 9.
197. (1 ; -i ; -) ; (а; 4а; -2а), где а — любое число.
V6 6 2^
198.(0; 0; 0); (1; 1; 1); fl; I; 1) . Указание. Первые два
уравнения однородные относительно у и г; исключив нулевое
решение, обозначим t = - . Из первых двух уравнений найдем
3 4
tx = 1, t2 = 3 • 2 ; хх = 1, х2 = 2 . Подставляя найденные
значения в третье, найдем у и г. В случае х2, t2 решений нет.
322
199. (0; а; 0, а - любое); (1; 1; -2), (-§ ; 1; §) ; 1; (i) ;
А1 5 5» (те! » 25(lVl • Указание. Первые два уравнения
нородные относительно х и z.
200.(0; 0; 0); (2; 1; 3); (J з/g ; -|з/Ц; |з/Ц). Указание.
7 3 3 3
х 4- у 4- z . Сложим все три
уравнения, получим v2 - Зц = Зи. Перенесем в каждом уравнении
хуг = ы вправо и перемножим уравнения. Получим
откуда найдем ^ . В итоге получим их = 0, vx = 0; и2 = 6, v2 = 6;
= _73 21 =12
"з 36 " 108f з 36 *
[3 3 3^
2 ' 2 ' г)" Указание- Перепишем второе уравнение в
виде | 4- -—- = 3, обозначим ^ = t. Из первого уравнения на-
X
или
3_1
ходим ^ +| =3-- = 3 - j . Следовательно, t 4- —^ = 3,
(t - I)3 = 0.
202. (1; 2; 3). Указание. Перепишем систему в виде
xy + yz=\(x + y + z)y yz 4- ух = | (х 4- у 4- z),
2Х 4- 21/ = | (X 4- у 4- 2).
Сложив эти уравнения, получим ху 4- yz 4- гх = -g- (х + i/ + 2).
Таким образом, yz = х 4- у 4- 2, xz = ^ (х 4-1/ 4- 2), ху = | (х + у 4- г).
Деля полученные уравнения попарно одно на другое, найдем
У = 2х, 2 = Зх.
323
203. (±1; ±1; ±1; ±2); (±1; ±1; ±2; ±1); (± JL ; ±j= ; ±JL ; ±±) ;
( ±-^r; + -= ; ±-7= ; i-p) . Указание. Вычтем четвертое из третье-
v Л Л Л Л}
го. Возникнут два случая: 1) х = г; 2) у = и. В каждом из этих
случаев разность левых частей второго и первого уравнений
приравняем левой части третьего.
204. (-1 ± 2л/2; -1 ± 2V2; ^(~13 ± 16^2 )). Указание.
Умножим второе уравнение на i/3, а третье — на (-х2) и
сложим их. Из получившегося уравнения найдем: 1) х = у или
2) 3(у 4- х) = 2x1/. Во втором случае решений нет.
205. (а; а ; а; JLtJLj f а * i . Указание. Выразим из пер-
^ За — 1 За — I' «
вого уравнения х через z/ и подставим в четвертое. Найдем у = и
и т. д.
206. (2; V3 ; 37§ ); (зД ; -з/|; з/|) . Указание. Обозначим и =
ч^2 \ 2 \ 2'
= х3 + у3 + г3, v = хуг. Сложив уравнения, получим и - 3v = 2.
Перепишем первое уравнение в виде 2z = и - v 4- 4. Заменим
и через у, z3 = v 4- 3. Аналогично из второго и третьего
уравнений найдем у3 = у - 3, х3 = и + 2. Перемножив эти равенства,
получим для v квадратное уравнение 2v — 9v - 18 = 0.
207. (0; 0; с); (0; с; 0); (с; 0; 0), с — любое число; (-2; 1; 1);
(-2; -1; -1); (2; 1; -1); (2; -1; 1). Указание. Найдем решения,
не содержащие нулей. Вычтем из первого уравнения второе и
третье, умноженные соответственно на у и 2. Получим после
сокращения х = -2уг. Заменим теперь х во втором и третьем
уравнениях.
208. (± ^ у ± — I ±2 V2 ) • Указание. Поделим первое
уравнение на второе, получим ^LL = У , откуда у = х.
209. (I ; |; 1; 3); dill3;1)- Указание. Выразим х через z
и и сначала из первого и второго уравнений, затем из второго и
третьего и, наконец, из третьего и четвертого. Приравнивая
выражения для х, получим систему для и и г.
324
210. (±1; 0; ±1); Г ±|; ±|; ±|) . Указание. Сложив все
уравнения, получим (х 4- у 4- г)2 = 4. Вычтя из первого уравнения
третье, будем иметь (х - z)(x + z - 2у) = 0. Таким образом,
получаются четыре варианта: 1) х + у + z = 29 х = г\ 2) х + у + z = -2,
х = z и т. д.
211. (0; 0; 0); (0; 0; 1); (0; 1; 0); (1; 0; 0); g ; \ ; ±) .
Указание. Сложите первое и второе уравнения, затем — первое и
третье уравнения, затем — второе и третье.
212- (Т • Т •&)■>{-% • -Т • Ш] ■ У*«««««- Первое урав-
нение можно преобразовать к виду
z(2x - у)(9х2 4- Зху + у2) - 13ху = 0.
Учитывая, что z(2x - у) = 1, получим у2 - Юху 4- 9х2 = 0,
откуда: 1) у = х; 2) у = 9jc.
213. (±3; ±2; ±1), где возможен любой выбор знаков,
удовлетворяющий условию xyz > 0. Указание. Поделим первое
уравнение на второе и первое на третье. Получим после
упрощения х2у2 + 9у2г2 - 8zV = 0, 13х2у2 - 45i/V - 32zV = 0.
Исключая z2x2у найдем х = ±3z, затем у = ±2z и т. д.
214. (-1; -1; -1); (| (-4 ± VH ); \ (5 ± Jli ); \ (-10 ± JU )).
Указание. Сложим уравнения, умноженные соответственно на
2, -1 и 1. Получим 2х - х - 2у 4- у = 0. Возникают два случая:
1) х = у; 2) 2х 4- 2i/ = 1. В первом случае из второго уравнения
z = -х2 - 4х - 4. Перепишем первое уравнение (х - z)(x + z) 4-
4- 6(х 4- 1) = 0. Заменяя 2, преобразуем уравнение к виду
(х + 1)2(х2 4- 6х 4- 10) = 0.
Во втором случае у = ^(1 ~ 2х). Подставляя в первое
уравнение, получим после преобразований (х - З)2 = z2 и т. д.
215. (1; -1; -1); (6 ± Л ; 3 ± Л ; -2 + Л ). Указание.
Умножим уравнение соответственно на 1, -5, 1 и сложим.
216. (1; -2; 3); (1; 3; -2); (-2; 3; 1); (-2; 1; 3); (3; 1; -2); (3; -2; 1).
Указание. Имеем х4 4- у4 = (х2 4- у2) - | ((х 4-1/)2 - (х2 4- у2))2.
Заменяя х 4- I/, х2 4- i/2 и х4 4- у4, получим для z кубическое
уравнение z3 - 2z2 - bz 4- 6 = 0, корни которого 1, -2, 3.
325
217.(1; 0). Указание. Первое уравнение рассматривается
как квадратное относительно и = Jy 4- 1 , хи2 -и4-х-х3 = 0.
Его корни: 1) и = х; и = 1 - х.
218. (±|; ±2; ±|) . Указание. Преобразуем уравнения
v 2 2^
(х 4- у - z)(x - у 4- z) = 2, (i/ 4- z - x)(i/ - z + х) = 3,
(у - x)(5z 4- х - i/) = 6.
Поделим второе уравнение на первое, получим z = Ъу - 5х и т. д.
219. Q ; |; 1) ; Ц ; |; 3). Указание. Выразим х из каждого
уравнения. После упрощения получим
2 3
У t n i л \ 9 9*
Затем 5 4- 2zi/ = 2z 4- 4i/, 7 4- z2y 4- 2zi/2 = z2 4- 2zi/ 4- 4i/2. Обозна-
чим yz — ut2y-\-2 — v. Будем иметь 5 4- 2u = 2v, 7 4- uv = v - 2u,
откуда u = |; у = 4.
з
220. (±1; ±1; ±1); {±\J2 ; ±\J2 ; 0); (±i/2 ; 0; ±\J2 );
(0;±V2; ±V2).
221. (±||; ±|i; ±||) ; (c; 0; 0;); (0; c; 0); (0; 0; с), где с -
любое число. Указание. Исключив решения, содержащие 0,
ill
переидите к новым неизвестным: u=-,y=-,Hi=-.
х у г
222.(±10Д;±14Д;±2Д).
223. (2; 1; -1); (2; -3; -1); (3; -4; 1); (3; -4; -3); (3; 2; 1);
(3; 2; -3). Указание. Сложим уравнения, умноженные
соответственно на 4, 1, 2. Получим уравнение с одним х.
224. (±173;±|73;±
225. (-1; -1; 1); (5; -1; 1); (-1; 3; 1); (5; 3; 1); (0; 1 ± Л ; -1);
(4; 1 ± V2 ; -1). Указание. Сложим уравнения, умноженные
соответственно на 1, -7, -1, и найдем 2.
326
226. (0; 0; 0); (--L ; -Щ \ —) ; (-— ; — ; —5-) • Указа
ние. Сложим первые два уравнения и из суммы вычтем третье.
Возникнут два случая: 1) х - у - г = 0; 2) хуг = -2. В первом
случае заменим х = у + гъ первом и третьем уравнениях.
Получим -3i/ - 5z = (i/ 4- z)i/z2, 6i/ + lOz = (y 4- z)i/2z, откуда 2(i/ +
+ z)i/z2 = -(y + z)i/2z.
227. (1; -1; 0); (-1; 1; 0). Указание. Сложим первое, третье и
удвоенное второе уравнения. Получим (у 4- х 4- 2z) = 0.
Выражаем I/ через х и z и т. д.
228. (0; 0; 0); (7; 7; 7); (5 ; 5; у) . Указание. Сложим первое
и третье и вычтем удвоенное второе уравнение.
229. (0; 0; 0); fi- ; Щ ; -—1 ; [-*- ; — ; --^-1 . Указание.
V3/2 3/2^ V3/70 3/70 W
Сложим первые два и вычтем третье уравнение.
230. (0; 0; 0); (-1; -1; -1); (-5; -10; -15). Указание. Вычтем
из третьего уравнения первое и второе. Возникнут два случая:
l)* = -l;2)x + z/-z = 0.
231.(2; -2; 1); (2; 1; -2); (1; -2; 2); (1; 2; -2); (-2; 1; 2);
(-2; 2; 1). Указание. Используя тождество
(X + I/ 4- 2)3 - (JC3 + Z/3 4- Z3) - 3(Х 4- у + 2) • (1/Х + Z/Z 4- 2Х) = ~Зх1/2,
найдем хуг = -4. Таким образом, х, z/, z — корни уравнения
г3 - £2 - 4t 4- 4 = 0, левая часть которого (t - l)(t2 - 4).
232. (-2; -4; 1); (| 3j9 ; | У§ ; 3/9 ) . Указание. Сложив
первые два уравнения, получим (х + у)2 4- 4(х 4- y)z - 12z2 = 0, или
(х л- у - 2г)(х 4- у 4- 6z) = 0. Выражая z через х и z/ и заменяя в
первом уравнении, получим относительно х и у однородное
уравнение.
233. (±1; ±1; ±|) . Указание. Разложим на множители
левые части, разделим первое уравнение на второе, затем —
первое на третье. Из двух получившихся уравнений выразим у
и х через г.
234. (2; 1; 0); (-2; -1; 0). Указание. Вычтем второе уравнение
из первого, получим после преобразований (х - у%х 4- у 4- г) = 3.
Вычтем третье уравнение из второго, будем иметь (у - г)(х 4-1/4-
+ г) = 3. Таким образом, х - у = у - гу х = 2у - г.
327
235. (-f ;-12 72; 2V2); (-f ; f Л ; -2^2 ); (-3; -§; l);
( -3; |; -lj . Указание. Выразим х и ху через z из первых двух
уравнений и подставим в третье.
Раздел 2. Неравенства
1. х < -И , х > 2. 2. -1 < х < 9. 3. х < -1. 4. -К х < -1,
3 2 2
х > 1. 5. х < -ilill, -к х < о, х > dLLj/H . 6. -4 < х < 1.
2 2
7. Lz^I < х < -1, 8 < х < I±^/|Z . 8. х — любое. 9. х > -1.
10. -4 < х < -1, -\ < х < 1. 11. х < -1, х = 0. 12. х < -1, х = 1.
13. х > 1. 14. ±Ц^ < х < -3^ 15.-2 < х < -1, -К х < 1.
2 2 2 3
16. х ^ 2. 17. х < 2^1, 1±Ж < х < 4. 18. | < х < 2.
19. ll^/H < х < 7. 20. х = 3. 21. | < х < 4, х > 9. 22.-5 < х < О,
2 3 2
х>2. 23.-6<х<0, 3<х<4. 24. Решений нет. 25.-6 < х < 5.
26. -i < х < 0, х > 1. 27. х > 1. 28. -2 < х < 14. 29. х < О,
з
2. ЗО.х<-1,х>3. 31.1| <х<1. 32.х = 0. 33.1<х<5,
25 2 4
х > ®5 . 34. х = 2. 35. -2 < х < -1, 2 < х < 3. 36. 1 < х < 2.
16
37. 4 < х < 8. 38. х = |. 39. х = -4, -3 < х < 3. 40. -2 < х < -1,
х > 3. 41. х = -2, х = 1, х > 3. 42. -3 < х < 0, х = 1, х = 2.
43. х е [-2; -1], х = 3. 44. х = -1, х = 3. 45. х = -§ , х = 0.
46. х = 1. 47. х < -4, 1 < х < ||. 48. -12 < х < |. 49. х < |.
56 6 &
5О.*<-^,*>5. 51.x>-i. 52.x<?. 53.х>4. 54.-2<х<1.
9 э 2 4
55.x = -2. 56.х*-1. 57.-2<х<2|. 58.x>-i 59. х < О,
4 5 5 с
328
х > - . 60. х < 1, х > 2. 61. х — любое. 62. х < 2± х > 3.
5 5
63. 1—Ш < х < 2. 64. х < i-^I, х > И-Ё± . 65. -5 < х < 2.
2 2 2 2
66. -I <x<5. 67.х<-1,х>0. 68.х>-§. 69.х<-11,х>11.
3 3 3
70. К х < 6. 71. -2 < х < 2. 72. О < х < 4. 73. х > -2. 74. х >
> 3/3 . 75. х*-1, х* 1. 76. х < -2. 77. х < i . 78. х > -4. 79. х <
о
< -37б . 80. х = -1. 81. -5 < х < -1, х = О, 1 < х < 4, х > 4.
Раздел 3. Текстовые задачи
1. На 20%. 2. 90%. 3. На 50%. 4. |. 5. На 50%. 6. 10%.
7. 24 и 12.
8. 37 или 48. Указание. Пусть 10х + у — данное число.
Первое условие дает нам 10х 4- у = ху 4- 16, откуда у = 10 - —— .
Значит, х - 1 — делитель 6. Возможны три значения для х:
2, 3 и 4. При х = 2 будет у = 4. Остаток от деления на ху = 8 не
может равняться 16. Два других значения дают нам два числа:
37 и 48. Следовательно, второе условие является лишним.
9. 0,25 кг. 10. 20%. 11. 80 кг и 60 кг. 12. 23 ч 45 мин.
13.1520 р. 14. 108 г цинка и 184 г свинца. 15.3а 1 сутки.
16. 16б| см. 17. 120 км. 18. Скорость первого автомобиля боль-
3
ше скорости второго в 2,5 раза. 19. Через 5 ч 28 мин.
20. а) 22 м; б) 32,5 м. Указание. Покажите, что в случае а) к
моменту второй встречи каждая частица по одному разу
прошла путь от А до В, а в случае б) вторая частица догнала
первую, когда та еще не дошла до В.
21. 71,5 км. 22. 5 дней. 23. 79,8 км/ч. 24. 24 человека.
25. 2 ч. Указание. На пути от А до В катер удаляется от
плота со скоростью, равной скорости катера в стоячей воде, а на
пути от В до встречи с плотом катер приближается к плоту с
той же скоростью. Следовательно, время катера от А до В
равно времени от В до встречи с плотом и равно 2 ч.
26. 4 ч. Указание. Время катера от А до В равно 1 ч (см.
решение предыдущей задачи). Время катера от В до первой
встречи с плотом также 1 ч. По тем же соображениям время
329
катера на путь от точки встречи с плотом до А равно его
времени от А до точки, где он нагнал плот, и равно также 1 ч;
значит, время катера от В до А равно 2 ч. За 1 ч по течению катер
проходит весь путь от А до В, а против течения — - этого пути.
Следовательно, за 1 ч плот (течение) проходит £ (* ~ 2) = 4
этого пути, а весь путь от А до В плот проплывает за 4 ч.
27. 10 ящиков. Указание. Если х — число ящиков, то из
условия 7 < i| х < 8, откуда 9,1 < х < 10,4.
28. 23 и 32. Указание. Если известна лишь сумма, то
имеются две возможности: 23 и 32, 14 и 41. Если же задано
произведение, то ответ не изменится: будет 23 и 32. Значит, одно
условие в задаче является лишним. В самом деле, пусть данное
число Юх + у. По условию (10* + у)(Юу + х) = 736 = 25 • 23.
Следовательно, один из сомножителей делится на 23, т. е. он
равняется одному из чисел 23, 46, 92. Проверка показывает,
что подходит лишь 23.
29. 20 л. Указание. После доливания в первом сосуде х л
кислоты на 30 л смеси, т. е. на 1 л смеси приходится ^ л кис-
лоты. Во втором сосуде (30 - х) л кислоты. После переливания
2
х л смеси в первом сосуде останется Г х - |^J л кислоты, а во
2
втором будет ( 30 - х + |^ J л кислоты на 30 л смеси, т. е. на 1 л
смеси приходится ^ Г 30 - х + |gJ л кислоты. После второго пе-
2 2
реливания получим в первом сосуде Гх - |g + ^J30 - х + |g)~| л
2
кислоты, а во втором — ^ ( 30 - х -f |gJ л кислоты. По условию
* - й + i(30 - х + й) - i(30 " * + й) + 2-Решая это ypflB-
нение, получим хх = 20, х2 = 10. Второй корень не подходит,
так как в этом случае невозможно второе переливание 12 л из
второго сосуда в первый, поскольку в этот момент в первом
будет 20 л смеси.
330
30. 133 порции. 31. 35 р. и 24 p. 32. 5 с и 7 с. 33. i .
34. 30 км/ч и 40 км/ч. 35. 20 км/ч и 40 км/ч.
36. За 5 ч. Указание. Автомобиль потерял 1 ч 40 мин =
= 100 мин; значит, он встретил пешехода через 50 «мин после
выезда, проехав | пути от А до В. Следовательно, пешеход за
б
50 мин прошел \ от Л до В.
о
37. 19 км/ч. 38. ^ . 39. 14 мин, 18? мин. 40. 60 км/ч,
о о
40 км/ч. 41. 60 км/ч, 90 км/ч, 60 км/ч. 42.150 км. 43. 40 м/мин.
44. 21 км/ч, 155 км/ч. Указание. Если х и у — скорости
велосипедиста и автомобиля, то имеем систему |31 - х\ = 5|157 - у\,
31 - |
5
5
. Разбирая различные случаи, нужно
оставить те, для которых ^ у < 188.
5
45. 4 км/ч. 46. 50 км/ч. 47. 3,8 км/ч, 4,3 км/ч. 48. 9 км/ч.
49. В | раза. 50. 6 км. 51. 20 дней и 30 дней. 52. 10 ч и 15 ч.
о
53. 16 дней. 54. 10 км/ч и 30 км/ч. 55. 90 км/ч, 120 км/ч.
56. 8 км/ч. 57. Через 4 ч.
58. В (2 + J2 ) раза. Указание. Пусть скорости
велосипедиста и мотоциклиста и и vy S — длина дороги, xS — расстояние
от А до В. Тогда s + xS = £^ , 3S + xS = § . Сначала, разделив
V U V U
одно уравнение на другое, находим х = J2 - 1, затем - .
59. Через 3 ч. Указание. Пусть ху уу 2, S — скорости
велосипедистов и расстояние между А и Б. Из условия следует,
что через 1,5 ч первый находится между вторым и третьим,
а через 2 ч третий — между первым и вторым, причем | (х - у) =
= S - | (х + г), 2(х + г) - S = S - 2(у + 2). Нужно найти ty при
котором t(x - у) = t(y + z) - S. z и S выражаются через х и у:
г = 4х - 5z/, S = 9(х - у). Затем находится t.
331
60.8? ч. 61. В ^ раза. 62. 10 км/ч. 63. 9 км/ч, 7 км/ч.
64. 14 км/ч. 65. 20 км. 66. 0,5 ч. 67. 6 ч. 68.10 м3/ч. 69. 8 и 12.
70. 800 м3 и 1200 м3. 71. 40 м и 20 м.
72. 5 га. Указание. Пусть S и Q — площади полей; х, yt г —
производительности бригад. Имеем Q + S = 120, S = 3(х + у + z),
Q = 6(х + у), Q = x + i/ + z + 8х. Приравнивая правые части
двух последних уравнений, найдем z = Ъу - Зх. Затем выразим
S и Q через х и у и подставим в первое уравнение.
73. 50 ч.
74. 3 дня и 2 дня. Указание. Первый экскаватор работал
или 3 дня, или 4 дня, так как при двух днях работы он вырыл
бы не более 500 м3, а при пяти — не менее 750 м3. Аналогично
число дней работы второго экскаватора — 2 или 3.
75. 1 . На первом этапе в сосуде х кислоты, 0 воды;
( РМ
после первого переливания х( 1 - i) кислоты, 1 воды; после
второго переливания x(l - ij кислоты; после л-го будет x(l - i)
кислоты.
76. 40% и 65%.
77. 4,9 кг. Указание, хиу — процентное содержание меди в
первом и втором сплавах, и и v — массы первого и второго ку-
сков. Имеем ^ + JL - L_*>, u + „ - 7, - + JgL
или х + у = 130, их + vy = 420. Нам нужно найти ^ + ^ .
Перемножая первое и второе уравнения и вычитая третье,
найдем иу + их = 490.
78. 1,2 кг, 2,4 кг.
79. От 15% до 40%. Указание. Пусть мы взяли х, уу г
каждого сплава так, что х + у Л- г = 1,ив полученном сплаве 20%
меди и г% алюминия. Имеем систему (после упрощений)
Зх + 6у = 4, 4х + 3z = ^- , х + у + z = 1. Найдем х = if?! - 2) ,
венств х>0, у >0, z>0 найдем границы изменения г.
332
80. В 2,5 раза. 81.4,2 с. 82.36 ч, 45 ч. 83.24 ч. 84. Нет.
85. 191.
86. 115. Указание, п — число коробок, х — количество
заготовок в коробке. Из условия следует In + 14х = nx - 3.
Преобразуем уравнение к виду (п - 14)(х - 7) = 101, лих —
натуральные числа, п > 100; значит, п - 14 = 101, п = 115.
87. 36 чел. Указание, х, у, г, и — количество каждого вида.
Имеем у - х = и- zt x + z = i/ + u-4, x2 + у2 + z2 + и2 = 420.
Из первых двух уравнений найдем х = у - 2, z = и- 2.
Подставляя в третье и преобразуя, получим (у - I)2 + (и - I)2 = 208.
208 можно представить в виде суммы двух квадратов
натуральных чисел единственным образом: 208 = 8 + 12 . Самое
простое, вероятно, вычитать из 208 квадраты чисел от 2 до 10 и
найти те, для которых разность есть точный квадрат.
88. 3, 3, 9, 3. Указание. Из условий следует, что количество
фотоаппаратов, часов, авторучек и приемников можно
обозначить через х, х, Зх, х, а стоимости — соответственно 10х, у,
z, и. Имеем систему у + и = 10х + z + 4, у + z = 10х + у - 24,
10х2 + ху + 3xz + xu = 240, z < 6. Из первых двух уравнений
найдем у = 10х - 10, и = z + 14. Подставляя в третье, получим
после преобразований х(5х + z + 1) = 60, т. е. х — делитель 60,
х < 3, так как 5х2 < 60. Но z < 6, значит, х = 3.
89. Было продано 3 комплекта, в каждом 7 синих и 3
красных карандаша. Указание, п — число комплектов, х — число
синих, у — число красных карандашей в комплекте; л, х,
у — натуральные числа. По условию х - у > 3, Зх - 2у < 16,
п(3х + 2у) = 81. Из первого неравенства следует, что х > 3, Зх > 9.
81
Следовательно, Зх + 2у > 9, п — делитель 81, п = —- < 9; зна-
ох + <£у
чит, п = 1 или п = 3. При п = 3 имеем Зх + 2у = 27, Зх - 2у < 16,
х - у > 3. Выразив у через х в уравнении и подставив в
неравенства, получим 6х < 43, 5х > 33, откуда х = 7, у = 3. При п = 1
решений нет.
90. 22,5 мин. 91. 10 ч, 6 ч.
92. Дольше других работал первый насос, в 2 раза меньше
работал третий насос и в 4 раза меньше времени, чем первый,
работал второй насос. Указание, и, v, w — объемы
резервуаров; х, у, z — производительности насосов. Имеем v - ^ = ^ ,
333
2wu 2wx v и тл
-=-* = и - -5— , - = - . Разделим первое уравнение почленно
О2 О 2 X у
на х, второе — на i/, и, сложив их, получим с учетом третьего
после сокращения ^ - 2- =1, откуда у = 2х, затем и = 2v и т. д.
93. 32 чел. Указание. Если л — число людей, не
участвовавших в кроссе, а N — число членов группы, то п * < N <
< п о I00 . При л = 1 имеем iV > 31,2, т. е. N > 32. Осталось про-
с ,о
верить, что 32 < ^-g .
94. 35 чел. Указание. Решение аналогично предыдущей
задаче. Наименьшее число людей, не уложившихся в норматив,
равно 2.
95.18к. 96.80к.
97. 12 ч. Указание. В первый день х ч работали вручную,
(16-х) — косилка, во второй — соответственно у и 11 - у. Тог-
да у + 4 + 5 + 5(11 - у) = 4(х + 5(16 - *)), откуда i/ = 4(х - 16).
Но у > 0, х < 16. Значит, х = 16, у = 0.
98. 9 чел., 9 чел. Указание, х — число членов первой
бригады. Получаем неравенство — -\ < 9, после преобразова-
* 15 х
ний (х - 9)2 - 1 < 0. Поскольку х — целое, х = 9.
99. 119 чел. Указание, х — число рядов по 8 чел. 8х > 7(х + 2),
5(х + 9) > 7(х + 2), т. е. 14 < х < 15^ , х = 15. Число людей
7(х + 2)= 119.
100. 23^ км/ч. 101. 2| ч. 102. 3 км/ч, 15 км/ч.
1У о
103. 21 км. Указание. 2S — путь мотоцикла, х км/ч и
у км/ч — скорости автомобиля и мотоцикла, 2S + 5^ — длина
шоссе. Из условий получаем систему уравнений —-— =
3 2S+5i 3
S 3 4 3
— = q , = q . Выражая из второго и третьего уравне-
у + 1о о х о
ний х и у через S и подставляя в первое уравнение, получим
для S квадратное уравнение.
104. 4 ч.
334
105. 3 мин. Указание. х, у, z — время на круг гонщиков А,
В, С. Система Зх = 2у + 1, (Зх + 3)± = (Зх + l)i + 2, 4z/ = 3z + 1.
Каждый обгон означает, что соответствующий гонщик прошел
на круг больше.
106. 210 км, 2 км/ч.
107. 30 < и < 33,6. Указание. Неравенство и < 33,6 следует
из условия, что, когда автомобиль догнал автобус, его путь был
меньше 105 км.
108. 8 км. Указание, х км/ч — скорость течения, у км/ч —
скорость лодки. Система
20 _ 1 + 20(у+ х)
3
или (у + х)(7х + у) = 16(2i/ - х), х(7х + у) = 10(5х - у). Разделим
одно уравнение на другое и т. д.
109. 3 т.
110. 45 мин. Указание. Время, требующееся на
преодоление любого пути в обоих направлениях, пропорционально
длине пути. Значит, точка встречи при одновременном выходе в
2 раза ближе к В, чем к А. Следовательно, скорость по течению
в 2 раза больше, чем против течения. На весь путь от А к В и
обратно надо 4,5 ч, на полпути — 2,25 ч, из которых 0,75 ч —
время на путь по течению, 1,5 ч — против течения. Значит,
одному катеру до середины надо 1,5 ч, а другому — 0,75 ч.
2
111. 40 км2. Указание. АВ = х, ВС = z/, AC = z, 4z - (?L +
+ у2) = 20, z = f! + JL + 5. Ho z < x + у; £ + «L + 5 < x + у,
' lo 4 lb 4
(| -2)2 +(| -l)2 <0; x = 8, i/= 2,z=10.
112. - ч. Указание. Эта задача, взятая из реального
экзамена, сформулирована не совсем корректно. Из условия следует,
что через пятую трубу вода не вливается, а вытекает из
бассейна. (Докажите.)
113. 50%. Указание, х л/мин, у л/мин — скорости подачи
воды, р и q — концентрации; х + у = 100, р + q = 0,8, рх + qy =
~ 30. Первые два уравнения надо перемножить и вычесть
третье.
335
114. 42 км/ч. Указание. tx = -^ __ время на путь АВ,
V 54*2 U2
t2 = ^ — время от В до остановки, S = vt2 £~ = 7о8 — ПУТЬ
от В до остановки, t3 = —^- + ~g — время на обратный путь,
49
115. Не хватит. Указание. Из условия следует, что сто-
2 4
3 13
имость одной колбы объема v равна v + ^ у . Если мы изго-
100
товили N колб объема -г=- , то стоимость этих колб будет N
N
2 4Ч 2 Г 1 2
03
Ш* + ifl£9f U юо
^з
3 + 100°
100. Равенство будет,
— о
если N = i^2_ > дг = 122 = 12,5, что невозможно.
116. В 6 раз. Указание. Пусть S и Р — площади полей. Надо
разобрать два случая: 1) S < | (S + Р), т. е. S < | Р; 2) S > | Р.
117. 100 м/с. Указание. Надо рассмотреть два случая:
1) первые 400 м самолет движется со скоростью и; 2) самолет
начал замедляться, не пройдя 400 м. Второй случай невозможен.
Докажем это. Пусть Т — время прохождения 400 м. Тогда все
время — 5р Т. Последние 3600 м пройдены за ^ Т - Т = ^ Т.
На этом отрезке движение равнозамедленное с замедлением
2 м/с; значит, (Ц- т] = 3600, Г= ^ с. Скорость в момент Т
равна -у Т = 120 м/с. Путь, пройденный за первые Т с не
меньше чем 1207 = 120 • ^ > 400 м.
ы
118. Три бригады: 3 гусеничных и 5 колесных тракторов в
бригаде. 119. 8 ч 32 мин. 120.19 ч. 121. 8 ч 30 мин.
336
122. 1 p., 20 к. Указание, х — число посетивших цирк, и —
стоимость билета в цирк, v — в кино; хи = (24 - x)vt xu +
4- хи = 15 (здесь мы использовали то, что хи = (24 - x)v)t
v + 0,2
(24 - х)и - xv = 19,2. Из первого и третьего уравнений
выражаем и и v через х: и = °'4<24 ~*> у v = 0>4лс . Подставим во второе:
12 - х 12 - х
9'4(24-*> ( 12"* + 12~* ) = 15. После сокращения в ле-
12-х W,2-0,2x 2,4 + 0,2^
вой части на (12 - х) и упрощений приходим к квадратному
уравнению х2 - 24х + 80 = 0, откуда х = 4.
123. 8 км/ч.
124. Поезд из А вышел на 6 мин раньше. Указание.
Первый способ. Обозначим Q — расстояние АВ, х (ч) — интервал
между отправлениями поездов; х > 0, если раньше вышел
поезд Ау х < 0 — в противоположном случае. Поезд А не обгонял
поезд В. Ускорение поезда В равно ^- = 300 . Путь поезда А
^ 2 5 х
э
при 0 < К | будет SAt) = 50t2. Путь поезда В при х < t < | бу-
5 5
2
дет: S9(0 = 150('~х) , Sof?) = 12 - ЗОх. В момент t = | поезд А
2 - 5х zv5/ 5
прошел Sx (|) = 18, поезд В прошел S2 (|) + 12 = 24 - ЗОх. По
условию 24 - ЗОх + Q - 18 = 6, Q = ЗОх. Кроме того, при х < t < \
5
2
имеем ЗОх + -—^ ~ х' - 50t > 2; причем равенство достигает-
ся, так как на отрезке | < t < | скорость поезда В больше ско-
рости А и расстояние между ними возрастает. После упрощений
приходим к неравенству 50£2(1 + 5х) - 300xt + 70х - 4 > 0,
которое обращается в равенство при одном t; следовательно,
дискриминант квадратного трехчлена относительно t равен 0;
таким образом, 50х2 - 25* + 2 = 0; хх = -^ , х2 = |. Второй
корень, очевидно, не подходит. Осталось проверить, что при
х = — соответствующее t находится в интервале от -i- до \ .
1U 10 э
Второй способ. Пусть расстояние АВ равно Q, путь поезда А —
337
Sx(t), поезда В — S2(t). Поскольку А не обгонял В, расстояние
между ними Q + S2(t) - Sx(t). Если в момент tQ это расстояние
минимально, то v2(tQ) = vx(tQ) и v2(tQ) < у1(^0) при t < tQ. Из этого
и условий задачи следует, что поезд Л вышел раньше поезда В.
Пусть х — интервал между их выходами, t = 0 соответствует
о
моменту выхода поезда А; тогда и1(0 = 100f, если 0 < t < ^ ,
а их(г) = 60, если t > |; v2(t) = ^~ (t - х) при х < t < |, v2(t) = 60
2 Зх
при f > - ; vx(t) = у2(*) при t0 = -—— . Имеем
s2fi) = S2ffl +\ • 60 = 12 - ЗОх + 12 = 24 - ЗОх;
41
Из уравнения (*) находим Q = ЗОх. В уравнении (**) Sx(tJ = 50^,
. *„ = r^r- ■ После
получим для х уравнение 50х — 25дс + 2 = 0. Такое же, как в
первом случае.
125. 7 км/ч, 6д км/ч, 6 g км/ч. Указание. Обозначим
скорости туристов х + g » J/> *• Существует по четыре маршрута,
выходящих из В и D, и по два маршрута, выходящих из А и С.
Возможны маршруты BACD, BADC, BCAD, BCDA. У второго и
четвертого маршрутов совпадает пункт D. Поскольку BCD
короче, чем BAD, первый турист шел по маршруту BADC,
19 21
второй — по BCDA; — = г. Очевидно, второй закончил
У +
44
путь последним, его время — . Если третий шел по BCAD,
то — = — + 1. Вместе с предыдущим уравнением получаем
систему, не имеющую решений. Если же третий шел по пути
338
BACD, то j = Щ + 1. Исключая из системы j = -^ , у =
х+ 2
= — + 1 неизвестное z/, получим для х уравнение 38х2 - 521х +
+ 494 = 0, один корень которого меньше 5, а другой больше 8.
Это следует из того, что при х = 5 или х = 8 правая часть
отрицательна. Аналогично разбираются пути, идущие из D. Будем
19 21
иметь маршрут первого — DABC, второго — DCBA; — = г .
Поскольку путь первого 35 км, а второго — 25, то, учитывая
35 25
имеющееся равенство, j > — , т. е. первый закончил путь
х+2
последним; таким образом, третий шел по пути DCAB, так как
DACB имеет длину 44 км; — 4- 1 = -^у , хх = б|, х2 = 2.
х+2
126. 42 чел.
127. 33 билета. Указание, х и у — число людей
соответственно в первой и второй группах. Из условия задачи следует, что
х2 + 2у2 - 3 = 3xi/, откуда (х - у)(х - 2у) = 3. Поскольку х и у —
натуральные числа и х > уу то х - у = 3, х - 2z/ = 1; х = 5, у = 2.
128. 3^ мин.
129. 64 км. Указание. Покажите, что в момент прибытия
автобуса на третью остановку велосипедист до нее не доехал, а
в момент отправления автобуса уже проехал.
130. 88 км. Указание. Встреча произошла во время второй
остановки первого автобуса.
131. 16. Указание. Пусть путь, пройденный пешеходом
между двумя автобусами, равен 1, АВ = 5х, АС = 7х, AD = 40х.
7 о
Имеем 2 < 5х < 4, 1 < 7х < 3; значит, - < х < = . Пусть на пути
О I
AD встречено п автобусов, а — суммарный путь до встречи
и последнего; ^
40х = п - 1 + а,
первого и после встречи последнего; ^ * < а < 2. Имеем
= 17,
п>40х-1>40 • \ -1 = 15.
э
339
132. 5 ч 50 мин. Указание. Докажем, что гребец 7 раз
отдыхал на пути от А до В и 1 раз — на обратном пути. Если бы на
обратном пути таких перерывов было не менее двух, то за
время между перерывами он проплыл бы не менее 3,5 км, т. е. он
греб без отдыха заведомо меньше, чем 0,5 ч. При таком
режиме гребли он не может добраться до В, сделав 5 перерывов на
отдых. Если же на обратном пути перерывов на отдых не было,
то это означало бы, что гребец не отдыхал в течение более чем
45 мин, так как последние 500 м от А до В он также греб.
В этом случае на пути от А до Б он сделал бы не более
3 перерывов.
133. 2,5 км.
134. 40 мин. Указание. Все время разбивается на 5 отрезков
по 50 мин и один в 20 мин. 50-минутные отрезки состоят из
отрезков в 40 мин и 10 мин. Гребец должен повернуть назад не
ранее чем на четвертом переходе. Пусть на четвертом отрезке
он t минут двигался против течения, а (40 - t) — по течению;
х и у — скорости лодки и течения. Тогда, приравнивая пути
туда и обратно, получим
3 • 40(х - у) - 3 • 10у + t(x - у) = (40 - t)(x + у) + 20z/ + 60(х + у).
Отсюда t = 135f/"10x . С другой стороны, АВ = 60уу т. е.
120(х -у)- ЗОу + t(x -y) = 60уу t = 21Оу"120 .
х-у
Таким образом, имеем уравнение 22х - 13ху - 27у2 = 0. Но
t < 40, 1гЪу~ 1Ох < 40. Значит, если 2=^,toz>|^h 22z2 -
- 13z - 27 = 0. Легко видеть, что положительный корень
последнего уравнения меньше 2. Аналогично разбирается
случай, когда поворот сделан на пятом переходе. Точно также,
вводя ty приравнивая два выражения для ty получим уравнение
22х2 - 15xi/ - 27у2 = 0, откуда х = | уу t = 40. Время же, за
которое турист проплывает от А до В без течения, также будет
40 мин.
135. 693 км. Указание. S — расстояние, х, уу 2 — скорости
поездов; ™ = ^252 S^308 . 308 S . 5^198 Перемножая
х z у х z у
эти уравнения, получим для S квадратное уравнение.
136. 140 км. 137. 6,1 ч. 138. 5 мин 50 с.
340
139. 70 мин. Указание, t и t - 6 — время на первую и
вторую половину пути: 1) t > 40, 40 + (t - 40)| = (t - 6)|. Это
невозможно. 2) t < 40, t = 40 - t + (2f - 46)|, t = 38.
140. 24 км/ч. Указание, x и у — пути по шоссе и
проселочной дороге, w — скорость второго мотоциклиста, и = 30 км/ч,
t» = 40 км/ч;
2 2j U-
Для того чтобы при заданных и, и, ш, х можно было бы найти у,
необходимо и достаточно выполнение неравенства
141. 18 км.
142. 1 ч 36 мин. Указание. Через 1,5 ч третий догонит
второго и расстояние до первого будет 500 м.
143.6 ч. 144.68%. 145.7%.
146. 82 ч. Указание. Ъх — объем ковша первого
экскаватора, Зх — второго, Ау — столько раз берет грунт в час первый
экскаватор, 1у — второй. Объем фундамента
(5* • 4у + 3* • 7у) • 7 • 6 = 41 • 42л:у.
Время, необходимое для работы второму экскаватору, будет
147. 12 дней. Указание, х — количество травы, съедаемое
одной коровой в день; у — начальное количество травы на 1 га;
z — прирост травы на 1 га в день. Отсюда 6 • Зх = 0,2у + 0,2 • 3z;
8 • 4jc = 0,3i/ + 0,3 • 4z, откуда x = ^ у, г = ^ У- Надо найти t
из равенства 12tx = 0,6у + 0,6*z.
148. 307 км. Указание. Если бы изменение скорости
произошло в течение первых 4 ч, то за последние 4 ч автомобиль
проехал бы больше, чем за первые 3 ч, на величину, не
превосходящую 54 км. Отсюда следует, что изменение скорости
произошло на последнем часу, причем за последний час
автомобиль проехал 55 км.
149. 14 машин. Указание, х — количество машин, у —
число рейсов; ху + 7 • 12 = 2(z/ + 6)(х - 7), откуда (х - 14) х
х(у + 12) = 0.
341
150. 4 ч 24 мин. 151. 5 чел.
152. у2 • Указание, п — число насосов; за единицу времени
приняли интервал между включениями двух насосов; единица
объема — количество воды, перекачиваемой в единицу
времени; V— объем бассейна. Имеем п(п~ 1) = £, \v = | п(п - 1).
Время работы всех насосов будет 2^— = ~2— * ^се вРемя
работы (п - 1) Н—^—- = ^ (л - 1). За половину времени будет
заполнено g +nh(nl)(nl) = + =
7 Л V V HV
h(n-l)-(n-l) = ^ + ^ = -^ •
153. 88. Указание, х — число ступеней неподвижного
эскалатора, у — скорость эскалатора, г — скорость человека при
подъеме, скорости измеряются в ступенях за единицу времени.
Тогда -^- = 48, -^- = 33, откуда £ - £ = 1.
154. 60 км/ч. 155. 64 км/ч.
156. Первый слиток делится на части с массами 0,4 кг;
0,6 кг, 1 кг; второй — на части 0,6 кг, 0,9 кг, 1,5 кг; третий —
на части 1 кг, 1,5 кг, 2,5 кг.
157. 1 к., 2 к., 4 к., 8 к., 96 к., 1 р. 92 к., 3 р. 84 к.
Указание. Пусть хх — наименьшая сумма, хгх2 — вторая по
величине, ..., ххх2 • ... • xg — наибольшая; х. * 1 при i > 1, хх + ххх2 +
+ ... + x1x2...xs = 719, 719— простое число, следовательно,
хх = 1. Далее имеем х2 + х2х3 + ... + x2...xs = 718 = 2 • 359.
Таким образом, х2 = 2. Затем получим х3 = х4 = 2 и хъ + *5х6 +
+ *5х6х7 + х5х6х7хв = 88; х5 — делитель 88, если хъ = 2, то х6 +
+ х6х7 + *6*7х8 = 43; 43 — число простое, а х6 Ф 1, значит, хъ Ф 2;
если х5 = 4, то найдем дс6 = 3, х7 = х8 = 2, другие значения х5 не
подойдут.
158. 14, 26, 50. Указание. Задачу будем решать с конца:
найдем количество орехов у каждого на предпоследнем этапе
и т. д. (30, 30, 30) <г- (14, 14, 62) <- (6, 30, 54) <- (14, 26, 50).
159.-53i 160.72%.
о
161. 40% и 100%. Указание. Один из исходных кусков
содержит р% меди (р < 40), другой — q% (88 < q < 100). Тогда
342
кусок массой 2,5 кг содержит не более чем 0,5^ + 2у^ + 2 =
- 2,5^ . Значит, р = 40, q = 100.
162. 5,06 ч. Указание, t — время путешествия, х, у, г —
время, которое ехали на велосипеде соответственно первый,
второй и третий:
20* + 4(t -х) = 34, 20у + 5(f - у) = 34,
20z + (t - 2)6 = 34, 20(х + у + г) = 34.
Выражая х> у, г через t и подставляя в последнее уравнение,
найдем t.
163.2,04 ч. Указание. Один путешественник все время
ездит на мотоцикле; х — время, которое каждый из трех
оставшихся идет пешком; у — время, которое они едут; г — время
возвращения мотоцикла за очередным пассажиром. Имеем
Ъх + 50у = 30, 3 • 50у - 2 • 50z = 30, 5(у + г) + 50z = 50у9
откуда у = 0,44; х = 1,6.
164. 110 мин. Указание. Пусть t— время работы. Задача
сводится к определению наименьшего tf при котором система
неравенств Ъх + ly < tf 3(25 - х) + 4(25 - у) < t имеет целые
решения, удовлетворяющие неравенствам 0<дс<25, 0<у<25.
Умножим первое неравенство на 3, второе — на 5 и сложим.
Получим у + 875 < 8f. Но t — число целое, значит, t > 110.
Если мы возьмем х = 22, у = 0, t = 110, то все неравенства
выполняются.
165. 18 автобусов. Указание, дс, х + 4 — количество
автобусов для каждого лагеря. В первом лагере в каждом автобусе
195 195
было не менее — - 1 человек и не более — + 1. Для второго
255 255
лагеря соответственно - 1, + 1. Если в каждом авто-
х + 4 х + 4
бусе второго лагеря человек больше, чем в автобусе первого ла-
255 195
откуда 3 < < 7. Это неравенство не имеет целых ре-
х + 4 х
шений. В другом случае имеем
3<1£5 _ _255^ < 7> зд:2 + 72д: - 780 < 0, 7х2 + 88* - 780 > 0.
х х + 4
Поскольку х — целое, получим для х три значения: 6, 7, 8.
Подходит х = 7.
343
166.11ч. 167.10,5 ч. 168.76,51,31.
169. В 2,5 раза. Указание. Если бы все время копали все
трое, то они выкопали бы 1 + 3 • 0,5 = 2,5 канавы.
170. 120 км. 171. 6,5 ч.
172. 7 ч. Указание. АВ = АС = S; х, у, z — скорости течения
на АВ и АС и скорость лодки. Имеем
— +21=—, —-70=—, —^ 12=--^—.
z+x z+y z-x z-y 2z-x 2z-y
Преобразуем:
S(x - у) = 21(x + z)(z + у),
S(x - у) = 70(2 - y)(z - x), S(x - y) = 12(22 - x)(2z - y).
Приравнивая правые части первого уравнения правым частям
второго и третьего уравнений, получим
7г2 - 13z(x + у) + 7ху = 0, 9z2 - 15z(x + у) - Зху = 0.
12
Исключая ху, найдем z = -у (х + у) и т. д. В конце получим
х = | у, z = 4y, S = 1680у.
о
173. Ь ч. Указание. АС = СВ = CD = S; х, у, и — скорости
о
течения на отрезках AC, CB, CD; z — скорость лодки. Имеем
Z+X Z + I/ 1^ 2-Х 2-1/ ^ Z-y Z-U
В первых двух, заменяя S на г, можно найти, аналогично то-
му, как это делалось в предыдущей задаче: z = ^ (х + у), х = ^ У»
о
г = Зу, и = jry и т. д.
174. 1 ч. Указание, х, у, z — скорости; t — время, на
которое третий выехал позже; (1 + t)x - z = z - (1 + t)y. Для второго
уравнения есть два варианта: а) если третий автомобиль через
2,5 ч не обогнал первый, то -^г - (-^ + Л у = 8ц^ + 0 * ~ <j z ) '
б) если обогнал, то | г - (| + Л у = вГ| г - (| + Л xl. Третье
уравнение (3 - t)z = Зх. Перепишем первое и второе уравнения:
2г = (1 + t)(x + у); а) 45г = (5 + 2t)(Sx + у); б) 35г = (5 + 20(8* - у).
Деля на третье уравнение, получим J* = i + ^;
344
а) 135 = 8 + И ; б) i^ = 8 - У-. Вычитая полу-
; (3-0(5+20 * (3-0(5+20 *
ченные уравнения в случае а) и в случае б) складывая их,
будем иметь: а) (Ш2 + It + 11)* = 0; б) (2f2 + t - 3)f = 0.
175. 3 : 2. Указание. х9 yf z — скорости пешеходов, t —
время, через которое встретились первый и второй;
176. 7,2 мин, 9,2 мин. Указание. S — расстояние; х, 2х —
скорости первого; 2у, у — второго. Второй со скоростью 2у про-
?S is
шел | S; ? • § + 2 - | • - , А+^=|-+:?-.Из второго
3 4 х 3 у 2х Збдс 2у у *
уравнения у = || х.
177. 13,5 км, 11,5 км. Указание, х, у — время, за которое
проходит 1 км катер соответственно на пути от А до В и обратно;
z, и — время, за которое проходят 1 км соответственно первая
и вторая лодка; t — разница во времени отправления. Имеем
9(25* + 25у) = 25u + t,
8(25* + 25у) + Зх = 22u + tf
8(25* + 25у) + 24* = 24z.
Если S — путь, пройденный первой лодкой до встречи, то Sz =
= (25 - S)u + t, S = 25ц + х. Исключая из системы * и у, найдем
2 + U
It = 27z - 23u; подставляя в выражение для S, получим S = 13,5.
178. Через 6 ч. Указание, х — время, за которое катер
проходит путь от А до В; у — путь от В до A; z — время,
затраченное автобусом на этот путь. Имеем ^z = х + \уу \z = ^ х + у,
9 9 8 о
2 = * + 16, откуда * = 8, у = 12, z = 24.
179. —— . Указание. *, у, z, и — скорости пешеходов; АВ = а,
л — 1
ВС = Ъ. Имеем
_££_ = Ь _ (а+Ь)и ^ _az_ =ь_ (а+Ь)и ^ и = п2
у - г х + и х - г у + и
Упрощая, получим
Ьху - (а + b)xz - nayz = 0, bxy - (а + b)yz - naxz = 0.
Вычитая одно из другого и учитывая, что * * у, найдем
(л - 1)а = Ь.
345
180. Ye • Указание. (См. задачу 158.) х — время катера на
пути АВ, t — его же время на пути ДА, z и у — время лодок на
пути АВ, t — разница во времени отправления. Имеем
10* + 9у = и + t,
9х + 8у + yi У = п и + '• 9* + 8i/ + | у = § z.
Из первых двух найдем х = и - t9 у = {lit - 9и). Подставив в
третье, будем иметь 16f = 9(г - и). С другой стороны, если X —
часть пройденного пути к моменту, когда лодки поравнялись,
то Хг = Хи + t, X = —— = ^ .
z-а 16
1 2
181. g и 5 • Указание. Рассмотрим графики, изображающие
зависимость скорости от времени, для каждого поезда
(рис. 54). Для одного поезда графиком является ломаная
ОКМ, для другого — 0KlMv Длина пройденного пути равна
v i
к
р
У
У
1
2
/
'l
16
т
3
16
3
4
м
о
L
Рис. 54
N
площади соответствующей фигуры. По условию площади
трапеций 0KMN и 0KlMlNl равны; значит, равновелики и
фигуры ОКР и РК^^. Площадь OKPL равна ^ площади OPL.
Если площадь OPL равна 1, то площадь ОКР есть ^ ; площадь
РКХТ равна ^ , поскольку КгТ = \PL. Затем легко
определяем площади остальных частей.
182. 4 ч.
346
183. 1 ч 20 мин. Указание. Для того чтобы вернуться из
пункта L, расположенного на х км ниже N и на противополож-
1t I9Т2\
ном берегу, нужно время Jx + ,J9x +25). (См. решение
задачи 10 вводной части.) Рыбаку, чтобы добраться до L,
нужно —j-^ ч. Предполагая, что лодка прибывает в L раньше
рыбака, получим, что время от отплытия до возвращения равно:
if 8 - х + fox2 + 25) . Приравнивая нулю производную, имеем
9х 1 1
===== = 1, х = •= . Осталось проверить, что х = ■= есть точка
минимума и что лодка прибывает в L раньше рыбака.
184. 1 ч 18 мин. Указание. Задача с точностью до чисел
совпадает с задачей 10 вводной части.
185. Зл/2 км/ч. Указание. АВ = 2S; х — скорость второго,
S S 2S
время первого на весь путь t, = 75, второго t9 = - + ,
1 Z *• X х + О
с 2S
третьего t3 = ^ Н . По условию tг - t2 = t2 - t3.
12
186. у . Указание. R и г— радиусы окружностей, R > г.
Можно считать, что одна из точек неподвижна; (р — угол, на
который поворачивается движущаяся точка за 11 с. Имеем
Вычитая третье уравнение из второго, получим
2i*rf cos (p +cos |) = I-
Заменив во втором
Я2 + г2 = (Д + г)2 - 2Дг = ^ - 2Яг,
будем иметь 2Дг(1 - cos ф) = 1. Значит, cos ф + cos | = 1 - cos ф,
cos
х, cos ф = 2*2 - 1, х = |, cos ф = |, R = 2, г = |, R - г =
= Y — минимальное расстояние между точками.
347
187. 40 мин. Указание. Пусть до встречи велосипедист ехал
со средней скоростью v и встретил пешехода на расстоянии S
от В. Тогда S = ^ = 36 (1 - -5-J > 36 ( 1 - ±) = 22,5 км. Ве-
V + 6 V V + 6' V 16^
лосипедист проедет путь S быстрее, чем этот путь пройдет
пешеход, не менее чем на § - \ > ^1 = 1,5 ч = 90 мин. В точку
6 10 15
встречи велосипедист возвращается не позднее чем через
50 мин; причем 50 мин ему потребуется, если он в течение
20 мин удаляется от этой точки со скоростью 15 км/ч, а
возвращается в нее со скоростью 10 км/ч. Следовательно,
наименьшая разница во времени прибытия в пункт В равна:
90 - 50 = 40 мин.
188.13, 11.
189. 5. Указание. Было х прессов, стало х + 3; х — делитель
6480 = 24 • З4 • 5; х + 3 — делитель 11 200 = 26 • 52 • 7; х не
может делиться на 3, так как иначе х + 3 делилось бы на 3, а
11 200 на 3 не делится. Если х четное, то х + 3 нечетное, т. е.
х + 3 может принимать значения: 5, 7, 52, 5 • 7, 52 • 7. Находя
соответственно ху увидим, что только х = 2их = 4 — делители
числа 6480. Если же х нечетное, то х = 5. Из возможных
значений для х подходит 5, так как при х = 2 и х = 4
производительность новых прессов оказывается меньше, чем старых.
190. 50 км/ч. Указание. Пусть х (ч) — время, за которое
автобус при скорости v проходит один километр. Должно
выполняться IOjc - i + 15дс - - + 20* - § + 26* < |^ .
5 8 3 600
График левой части есть ломаная линия с вершинами при хх =
= JL f х2 = — , jc3 = ~jr. Можно убедиться, что наименьшее
значение этой функции достигается при х = ^- и равно —— .
50 600
191. 84. Указание. х> у> г — количество игрушек в одном
комплекте соответственно металлических, пластмассовых и
мягких. Легко получить систему ограничений Зг + у - Зх = 57,
Зг + х - Зу = 41, 2 > 2х + 2у. Вычитая уравнения, получим
j/-jt = 4,i/ = jt + 4. Подставляя в первое, будем иметь 3z - 2jc = 53.
Пусть г - х = и, тогда
г + 2(z - х) = 53, 2 = 53- 2ы,
х = 2 - и = 53 - Зи, у = х + 4 = 57 - Зи.
348
Подставляя выражения xf у, г через и в неравенство, получим
10и > 167; так как и — целое число, то и > 17. Но х = 53 - Зи > О,
и< 17, т. е. и = 17.
192. 2 дома на 6 квартир и 12 домов на 10 квартир.
Указание. xfy,z — количество 6-, 10- и 14-квартирных домов. Из
условия следует, что Зх + 4у + 9г < 60, 4х + 6у 4- 12z < 80, число
квартир будет: N = 6х + 10у + 14г. Умножая второе неравенство
на 5 и заменяя ЗОу = 3(N - 6х - 14z), получим 3N + 2х + 18z <
< 400, откуда, поскольку N — число четное, N < 132. Но при
у = 12, х = 2, г = 0 имеем ЛГ = 132.
193. 26. Указание. 2пх; х9 2х — число владеющих
профессиями каменщика, бетонщика и плотника. Поскольку никто
не владеет тремя профессиями, то число владеющих двумя
есть 2пх + х + 2х - 32. Таким образом, 2пх + Зх - 32 = 2х + 2,
(2л + 1)х = 34. Значит, 2л + 1 = 17 и т. д.
194. 15 км/ч, Зкм/ч.
195. 20 км. Указание. Пусть BD = х. Если бы автомобили
ехали без остановок, то они встретились бы в D. Поскольку
отношения путей, пройденных за одно и то же время, равны
отношении, скоростей, „ g±f§ - g; £±f - «Ll£.
откуда х = 200.
Раздел 4. Тригонометрия
1. а) «-»; б) «->; в) «->; г) « + >; д) «->; е) «-»; ж)
2. а) -^ ; б) 0; в) \ ; г) sin 15° = sin (45° - 30°) = \ (J6 - Л );
д) cos 67°30' = J1+с^135° = | J2-J2 ; е) 2 + Л .
3. a) sin 7 < sin 8; б) sin 3 < cos 5; в) cos 6 < sin 1,5;
г) Jctg^-2sin^ = Л > V5; д) sin 121° > 0,85. Указание.
Рассмотрим график функции у = sin x (x в градусной мере) на
отрезке 120° < х < 135°. Проведем хорду, соединяющую концы
получившейся дуги. Значения функции у = sin x на
рассматриваемом отрезке больше соответствующих значений на хорде.
При х = 121° значение у на полученной прямой равно ~ -
- 3~0 . Докажем, что ^ - $0 > О»85- 3™ неравенство
эквивалентно неравенству 28 Л +2Л >51.Но28л/3 +2*/2 >
349
> 28 • 1,73 + 2 • 1,4 > 51; e) sin 22 > -0,01. Указание.
Воспользуйтесь неравенством sin х < xf верным для любых х > 0. (|sin x\
есть кратчайшее расстояние от конца подвижного радиуса
единичной окружности до оси абсцисс, ах — длина дуги от точки
на оси абсцисс до конца этого радиуса.) Кроме того,
22 - 0,01 < 7 • 3,1415 < 7я< 7 • 3,142 < 22.
Значит, -sin 22 = sin (22 - In) <22-7n< 0,01.
4.а)^;б) j=;B)i^;r)-^. 5. а) 5 - 2я; б) § те — 3; в)2я- 7.
19. —pL= ; —Д= . 20. а) -1; б) |.
ЛЗО ЛЗО ' 5» ' 5
22. Левая часть равна:
-l-t&f tg | + tg| tg£ =1.
23. Данное равенство сводится к предыдущему.
25. Докажем сначала, что из равенства
следует равенство cos x = cos a cos p. Имеем
cosct - cosx I - cosP
cosa + cosx 1 + cosP "
Освобождаясь от знаменателя и приводя подобные члены,
получаем cos х = cos a cos p. Теперь легко проделать все
преобразования в обратной последовательности.
9А 2(1 + 6а2- За4)
26
31. Воспользуемся формулой tg a = si^sa . В нашем случае
1-cos285° = 1-sin 15° = 1 - sin(45° - 30°) = 4
sin285° -cosl5° -cos(45°-30°) Л
"Т
76-72-4 _(Уб-72-4)(7б-72) _о , /о /о /Н
= ^?оТ^ i 2+72-V3-76
350
«- _1 73 = cos 10° -УЗ sin 10° = 4sin(30°- 10°) = .
sin 10° cos 10° sinl0ocosl0° sin20°
35. Обозначим слагаемые левой части через а, р, у, б. Имеем
8151
Поскольку 0<а + Р + у + 5<л, то а+Р+у+5=^.
36. Обозначим слагаемые в левой части через a, P, у* Имеем
V2 3 12
1 - sin а = ■= , cos P = т^ . Далее,
Э Id
cos(ct + P)=jT 'Y3~l ' Тз = Is
Учитывая, что а, Р, у — острые углы, сделаем вывод, что
37.
. 4Л . 71 . Л . 7С А г: 2ТС
1 1 Sml5-SInl5 4cOS6Smi0 4^COST
si"
л 1
COS5"2
Аналогично
часть равна
sin 2"
15
. Таким образом, левая
^cos^+ 2cos£-2cos— -1
5 5 5 5
2-2(cos5-cosf)
5 5 5 5
При решении задачи 7 вводной части мы доказали, что
cos £ cos -£ = 7 • Из этого также следует, что cos £ - cos -£ = « •
Таким образом, левая часть равна 4л/3 .
351
38. Обозначим А = cos ^ cos -£ cos -у ,
С = cos I cos ^ + cos ^ cos Ц + cos ^ cos £ .
Докажем, что А = g,B = O, С = -^.По формулам приведения и
синуса двойного угла
А =-^ (sin = cos £ cos f cosf) =
Б = 2 cos ~ cos ^ + cos у = cos ~ - cos Ц = 0.
В выражении для С перейдем к сумме, после чего по формулам
1/3 Л 3
приведения докажем, что С e g( ~"г ~^J =~i*^ Данном
выражении для каждого слагаемого в левой части воспользуемся
равенством tg2 а = cos . После сложения получившихся
1 + cos2a
3--+ -
дробей получим слева \'^^ = —\Л = 9-
1 + 8 4
41. Умножим обе части данного равенства на sin ^ и
преобразуем получившиеся слева произведения в разности синусов.
42. Стандартный путь состоит в следующем: заменить
каждый тангенс отношением синуса к косинусу, а затем
преобразовать числитель и знаменатель получившейся дроби, переходя
от произведений к суммам и разностям. Предложим другой
путь. Обозначим х = tg 10°. Тогда
2 » 3
1 4- /о 1ло\ tg20o+tgl0° 1-tg 10° Зх-х
~~= — tg ^o * 1U ) = '■ = n == 5 .
v3 l~tgl0°tg20° 2t^ 10° 1 - 4r
1- S g tglO°
С другой стороны,
tg 50° = tg (60° - 10°) = JUZ* f tg 70° = J* + x
1 + *J3x 1 ~ *J3x
и данное в условии произведение будет равно
J3-X л J3 + х = Зх-х3 = _1_
1 + J3x \-j3x 1-Зх2 J*"
352
43. Найдем сначала сумму тангенсов. Имеем
я 2л 4л я , 71 4я
соз - cos — cos — cos - + cos - cos —
osT+sinT+sinT + sin§
4л п 5я
cos— cos- cos-g
■ 8 sin Щ + 73 .
44. Сложим сначала пары тангенсов, равноудаленных от
концов. Получим
Sin 10° [cos 10°cos 160° + cos40ocosl30° + cos70°cos 100°J *
Первое слагаемое в скобках равно
2 = 4
cosl50°+ cosl70° V3+2coslO°'
2 2 4
второе - . Qno = Tjrz, третье - -=. . Сумма первого
^ sm80° cos 10°' ^ 73-2 cos 10°
и третьего равна
16 cos 10° 16 cos 10°
3-4cos210° l-2cos20° '
Сумма всех трех равна
-2 + 4cos20° + 16cos210° = -2 + 4cos20° + 8cos20° + 8 _
cosl0o-2cos20°cosl0° -cos30°
= -873 (^cos20°+ i].
Вся левая часть равна
-8^3 (sin 10° cos 20° + \ sin 10°) =
= -873 (| sin 30° - \ sin 10° + \ sin 10°) = -2^3 .
45. Можно, как это мы делали при решении задачи 7
(вводная часть), умножить обе части на sin ^ , после чего
«сворачивать» произведение, используя формулу sin 2a. При этом,
353
однако, неясно, «свернется» ли у нас все произведение сразу,
или же эту операцию надо будет делать повторно. Мы
поступим несколько иначе. Левая часть равна
. 2я . 4я . 34я
- sin — sin — sin
. я . 2я """ . 17я "
8Ш35 8Ш35 """as"
Рассмотрим один множитель знаменателя: sin g^,fc=l,...,17.
Если k четно, то найдется такой же множитель в числителе.
Если k нечетно, то sin ^ = sin ■—ок » а множитель sin -—~ 'п
«3D ОЭ «5Э
также есть в числителе. Следовательно, равенство доказано.
46. Умножим обе части на cos yy , возведем равенство в
квадрат, а затем преобразуем произведения в суммы. Будем
иметь
о . Зл . 2я Зя л . 6я . 2я о 4я о 8я
8 Sin yy Sin yy COS Yi = 4 Sin yy Sin yy = 2 COS yy - 2 COS yy ,
16sin2 g cos2 g =4(1 -cos g) (l + cos g) =
= 4 - 4 cos yy + 4 cos fy - 2 cos fy - 2 cos fy ,
11 cos2 — = — + — cos —
11 COS n 2^2 C0S 11 •
Перенеся косинусы в левую часть, а константы в правую,
придем к равенству
2 COS yy + 2 COS yy + 2 COS yy + 2 COS yy + 2 COS ^ = -1.
Теперь умножим обе части на sin yy и заменим произведения
на разности синусов.
47. Обозначим углы через а, Р, у. Тогда
х х
1 + f._^_
k k+ l
49. а) Получается из графика функции i/ = sin x сжатием в
два раза вдоль оси абсцисс, б) Получается из графика функции
у = cos х растяжением в три раза вдоль оси абсцисс, в) Полу-
354
чается из графика функции у = tg x при помощи двух
последовательных операций: 1) сдвиг влево вдоль оси абсцисс на £
О
(можно сказать, сдвиг на -%) \ 2) сжатие получившегося гра-
фика в три раза вдоль оси абсцисс. Или в другом порядке:
1) сжатие графика функции у — tg x в три раза; 2) сдвиг влево на
ж) Если 0 < х < я, у — 2 sin х; если я < х < 2я, у = 0. Далее
периодически повторяется, з) у = 0, если х < 0; у = 2 sin 2*, если х > 0.
и) Рис. 55. к) Если -^ < х < |, z/ = sin x; если |<JC<|TC»i/ =
= -sin х. Далее периодически повторяется, л) Если 0 < х < ^ ,
у = tg х; если ^ < х < я, z/ = 0; если к < х < |Л»У = ~tg x; если
| я < х < 2я, у = 0. Далее периодически повторяется, м) у =
= |sin x|. н) Рис. 56. о) Множество точек состоит из двух
семейств параллельных прямых: х + у = 2я£, х - у = я 4-
п) Множество точек с координатами (J 4- 2я&, 2пп). р) Рис. 57.
График симметричен графику у = sin х, -2 < х < -,
относительно биссектрисы I и III координатных углов (у = х).
с) у = Jl - х2 или у2 4 х2 = 1, у > 0. т) Если -2 < х < |, у = х;
если £ <х<-я, у — п - х. Далее периодически повторяется.
У <
_ я 1л я Зя
2 I 2 Т
-я 0
-1
Рис. 55
я 2я Зя х
Рис. 56
0 1
71
2
Рис. 57
355
у) В первой четверти (х > 0, у > 0) имеем множество точек (^ +
+ 2nkt 2пп), в третьей четверти (х < 0, у < 0) также множество
точек ( -| + 2nk; л + 2ли1. В остальных двух четвертях части
2*
прямых: х - у = - j + 2яЛ их + у= f л + 2лЛ. ф) у = 2* 2 .
х) Данная функция определена при единственном значении
х = sin 1. График состоит из одной точки ( sin 1, ^ . В самом
деле, из определения arcsin а следует, что arcsin x < 1, значит,
х < sin 1. Аналогично 2 arcc°s * < 1, arccos х < | - 1, х > cos Ц -
= sin 1. (arccos x — убывающая функция.) Значит, х = sin 1.
50. а) 1; б) 2я; в) 2л2; г) 2л; д) 2л; е) 60л; ж) 2л; з) 2л; и) л;
к) л. В пунктах л), м), н), о) указаны функции, не являющиеся
периодическими.
51.±gj +£*. 52.^ +яМ1)*£ +** 53 +!М1)*£ +
54.я*, £ +!*. 55. ^fe, ^ft. 56.|fe.57.^ + ^
59. (-1)*^ + nk. 60. j + л£. 61. 2лАг. 62. л
63. ^ + 2лЛ, nk. 64. ^fe. 65.Л + 2лЛ, ±arccos | + 2лЛ. 66. \ + |Л.
67. ± j + nk. 68. j + nk, -arctg i + life. 69. \ + лЛ, 2лЛ, -\ + 2лЛ.
70. | +я*, |яЛ. 71 .| +яЛ, \ +\k. 72. ^ +^fe.73. | + |fe,
77. \ + icfe. 78. j fe, ±g + 2яЛ. 79. \ ±\ + icfe. 80. 4° + 45°fe,
(-l)A30° + 8° + 180°fe. 81. д + ^fe, i + ? я*. 82. ^ + ^ fev
-gg + gfe. 83.^.84.(-l)Aarcsin|(2V2 - 7б) + яЛ. 85. \ + nfe,
gfe. 83.^.84.(l)arcsin|(2V2 7б) + яЛ. 85. \
~ +2яЛ.87.±|
356
\ +nk ±1
89. ±5 +*k,±l +nk. 90.? + |ft. ? + S*. S + 25*. 91. S*.
5 + nk. 92. 2 + яЛ, g + nk. 9S.2nk. 94. nk, (-l)*g + яЛ.
95. 5 + £*• 96.-j + яЛ. 97.^ +5Л. 98.яА,±£ + яЛ. 99. | ,
(-1)* arcsin g + nk. 100. |ic + Зя£. 101. 2 + яЛ, ±\ + |яЛ.
102. ^ Л, ±5 arccos l±/^ + яЛ. 103. (-l)*i arcsin (7з - 1) + £ *.
104. ±| arccos \ + ic*. 105. яй, ^ + ^ л. 1Oe. (-1)* + *g + я*.
107. ±g +2яй. 108. \ ^ ^ \
110. j + 2яА, \ ± arccos ^ - l) + 2яЛ. 111. g + (-1)*| arcsin i +
+ 5Л. 112. ^+яЛ. 113.±^+|я/г. 114. ^ +яй,(-1)Л + 1^ +тсЛ.
115. ±g +nk. 116.-^ +яА. яй. 117. ±|я+2яА. 118.-arctg | +
+ nk. 119. ±\ +2nk. 120. ±arctg J7 +3^ + яЛ. 121. j + я:*,
(-1)л + 4 arcsin § + g *. 122. яй, ±i + 5 Л. i23. jg + 5 Л, я*.
(Серия -j + nk содержится в первой.) 124. £ + \k, ±g + яЛ.
125.(-1)А^ + g*f 5П, n*4m + 2. 126. | *f ^ + ^ k. 127. jg +
+ jfe. 128. £ + £*, j + \k. (Серия g + nk содержится в
первой.) 129. ±| arccos ^-^ + \k. 130. \ + wife. 131. g k, k Ф
*Sm + 1, ft ^ 8m + 3. 132.яЛ. 133. \k9 k * 5m + 3. 134. -^ +
+ я£ fe^5m + 3
у ^ +яА. 136.2яЛ,-^ + 2яА. 137. (-1)л^ +
+ я/г, -2 - 2 arctg i + 2яй. 138. я + 2яЛ. 139. \ +§*>§ +
+ ^ п, л * 9т + 4. 140. %k,k* In. 141. 2 + Щ k, k * lm + 3.
357
\
142. 5 + Ц- k, k * 1m + 3. 143. \ + 2я£. 144. \ + лЛ, £ + \ k.
11 4 о \с Z
145. -5 + nky ±\ arccos -Ц - 5 + nk.
146. j + nky nk. Указание. Уравнение можно преобразовать
к виду
( 1C\ COSJC
Затем заменим sin Г 2х + ^ =2 sin ( x + ^1 cos ( x + ^ и т. д.
147. nk, ±\ arccos i + nk. Указание. Имеем
4(tg 4x - tg 3x) = tg 2x(l + tg 3x tg 4x),
4sinx _ sin2x a cosjc
cos4xcos3x cos2x cos3xcos4x *
148. j ky k Ф 4n + 2. Указание. Имеем
(tg2 x - tg2 3x) + tg 4x(l - tg2 x tg2 3x) = 0.
Затем
tg2 x - tg2 3* = (tg x - tg 3x)(tg x + tg 3x) = -sinfsin24* ,
COS JCCOS 3JC
l-tg2:ttg23*= COS24'COS22" и т.д.
COS JCCOS 3X
149. tb + 5 Л. Указание. Заметим, что
Id о
sin2:c "ws *
Затем преобразуем пару sin4x ~ ctg 2x = -ctg 4x и
окончательно получим ctg 8x = 0.
150. -^ + ^ fe, k*3n + l. Указание. Имеем
1 1 sinx - sin3x
cos2jcsin3:c sin x cos 2 х cos 2 x sinx sin 3x
_ 2cos2jcsinjc _ 2
cos2xsinxsin3x sin3:c *
Затем освобождаемся от знаменателя.
358
151. |£ (14fc + 5), k Ф 23m - 2; Щ (14л + 9), n * bm - 1. Ука-
CO Э
зание. Остановимся на отборе корней. Заметим, что
знаменатели обеих дробей при найденных значениях или одновременно
равны нулю, или одновременно отличны от нуля.
Пусть х = f£(14fe + 5). sin (| х - |) = -1, если \х = 2тт,
т. е. |? (14fc + 5) = 2ял, 14fc + 5 = 23л.
со
Понятно, что если при каком-то k0 выражение 14ft0 + 5
делится на 23, то оно делится на 23 при k = kQ + 23m. Легко
подобрать k0 = -2.
152. -g + 2nky ^ + Yk- Указание. Заменим tg № - x\ =
. Преобразуем левую часть, получим уравнение
з + 2. Освободимся от знаменателя и пе-
cosx + sinx
2 cos 2 x - cosx + sinx
2 cos 2 x - cosjc - sinx
ренесем все в одну часть, будем иметь:
2(73 + I)cos2x-(V3 + l)cosx- -/3(7з + 1) sin x = О,
cos 2х - ^ cos 2х - ~ sin x = О,
cos 2дс - cos Гх - jl =0 и т. д.
153. я + 2rcfe, ^ + nk. Указание. Заменим sin2 5х = 1 - cos2 5x.
После преобразований получим уравнение
cos2 х + 2 cos x cos2 5x + cos2 5x = 0.
Рассматривая это уравнение как квадратное относительно
1 2 2
cos х, найдем jD = cos 5x (cos 5x - 1). Поскольку
оказывается, что D < 0, то D = 0. Значит, cos 5x = 0 или cos2 5x = 1,
откуда (из уравнения) cos x = 0 или cos x = -1.
155. ^2 *• Указание. 8 cos x cos3 4дс = 3 cos Зх + 3 cos 5x +
cos 11дс + cos 13х.
156.1 + Ik,-\ arctg & + р. 157. l+nk,-arctg ^^ + nk.
359
158. £fe, k * 3m; ±iarccos - + nk. Указание. 3 ctg 2x -
3 2 5
- 3 ctg x = --тЛг- • Затем
sin2x
6 ctg 4x - -L_ = 3cos4* -
sin2:c cos 2 x sin 2 x
sin2:c cos 2 x sin 2 x sin2x
_ 3(cos4jc - cos2x) _ _6sin3xsinjc _ _ 3sin3x
cos 2 x sin 2 x cos2xsin2x cos 2 x cos x '
Получаем уравнение tg 3x - 3^in3:r = 0 и т. д.
cos2xcosjc
159. Ik. 160. ±1 +nk. 161. I + nk. 162. £ + S*, £ +
2 6 2 4 2 2
1) £ + k. 164.^ +7t^<x< ^ +яЛ,±^ +лЛ,±£ +
24 4 4 4 8 6
165. i ( arctg ^ + arctg 272 ) + 5 Л, I ( arctg 272 - arctg U)
166. -5 + nk, 2nky -2 + 2тсЛ, ±arccos J_ + ^ + 2тсЛ.
. Замените
cos 3x = 2 cos 2x cos x - cos x,
sin 3x = 2 cos 2x sin x + sin x.
После перенесения всех членов уравнения в одну часть можно
будет вынести множитель cos х + sin x.
167. | *. | + | *. 168. -i + 2nk, -- * + ft*. 169. ±f
170. (-1) £ + 2nk. 171. (-1) £ + 27tfe. 172. л + 2nfe, -2 +
3 3 2
173. -^2 + 2яАг. Указание. Jl - cos2x = 72 |sin x|. Если
з
sin x > 0, то решений нет.
174. -arctg i + nky -arctg I + nk. 175. nk, \ + 2nky -2 + Hfe.
3 6 2 о
176. 2яЛ, 2 + 2nk, -2 + я*. 177. | я
4 4 о
178. arccos (75 - 2) + 2nk, я + 2nk. Указание. Возведем обе
части в квадрат. Заметим, что в исходном уравнении правая
часть неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть.
Таким образом, возникает условие sin x > 0. После возведения
в квадрат получаем уравнение cos2 х + 2 cos х + 2 |cos х| - 1 = 0.
360
179. | я + яЛ, -i arctg 5 + 5 + тс*. 180. -2 + 2яЛ.
8 2 2 о
181. я&. Указание. Возведем обе части в квадрат (условие
cos (2х - 2) > О] и освободимся от знаменателя. Справа будет
8cos2 (2х- =) cos (2x- f) = 4 cos (2x- g cos (4x - §*) =
= 2 cos Г 2х - | я) - 2 cos 6x.
Слева будет -1-2 cos 6* и т. д.
182. -5 + 2тг£. 183. JL + 2я/г, 5| + (2k + 1)я.
184. 2 + 2я/г. Указание. Замена: /tg| =уЛу> 0).
2 ^/ 2
185.-2 +тсЛ, 2яЛ.
4
186. 2я/г, ^ + 2яЛ. Указание. При отборе корней следует
о
ограничиться проверкой одного неравенства cos x - sin 2x > 0.
187. 2 + 2nk, ^ + 2nk, ^ + яЛ.
4 4 6
188. | я + 2яЛ. Указание. Сделайте замену неизвестного
у = cos х + sin x. Тогда уравнение примет вид
189. | я + яЛ, (-1)* arcsin i - 2 + nk. Указание. Преобразу-
о 4 о
ем уравнение:
4(4 + sin 2x1 - 2(4- cos x + i sin x) = 0,
4 sin (х + 2) cos [х - 2) - cos (х - 2) = 0 и т. д.
190. 2 + nk, (~l)k + 1 arcsin i + 2 + nk. Указание. Уравнение
3 3 6
можно преобразовать к виду
3cos(2+*)sin(2-*)-cos(2+*)=0.
361
191. | я + nk, tarccos ^ - 5 + 2яЛ.
о 1U о
192. ^ я + яЛ, g ± g + 2я&. Указание. Преобразуем
уравнение:
sin
in Зх + (^ cos х + i sin x) - (| cos 2x + ^ sin 2x1 = 0,
cos (5 - 3x) 4- cos (x - jj) - cos (2* - jj) =0,
2 cos fg - x\ cos ( 2x - gj - cos Г 2x - ?\ = о и т. д.
193. lk,±Y
194. | nk + \ , Л ?ft 9л; ^ +|ft. У/сазание. Имеем
(cos x + sin x) sin 2x cos 4x = V »
о
cos Г j - xl sin 2x cos 4x = g .
Обозначим 5 - x = y, x = ^ -z/. Получаем cos z/ cos 2z/ cos 4z/ = -5 .
4 4 о
Умножим обе части на 8 sin у (при этом появляются лишние
корни у = ял). Приходим к уравнению sin Sy + sin у = 0.
195. -arctg | + яЛ, j ± arccos fy - ll 4- 2яЛ. Указание.
Умножим уравнение на sin x cos x, получим:
2 sin2 х - 2 sin2 x cos x + 3 cos2 x - 3 cos2 x sin x + 5 cos x sin x = 0,
(2 sin2 x - 2 sin2 x cos x + 2 cos x sin x) +
+ (3 cos2 x - 3 cos2 x sin x + 3 cos x sin x) = 0,
(2 sin x + 3 cos xXsin x - sin x cos x + cos x) = 0.
Возникают два случая:
1) 2 sin x + 3 cos x = 0;
2) sin x - sin x cos x + cos x = 0.
Во втором случае делаем замену у = sin x + cos x, откуда
1 2
sin xcosx = 2 (У - !)•
362
196. 5 + nkt ^ + £ fc, 5 ± 7 + 2лЛ. Указание. Преобразуем
4 о л 4 4
уравнение:
1 + sin 2х + 2 cos 3* sin х + 2 cos Зх cos x =
= 2 sin х + 2 cos Зх + cos 2x,
1 + sin 2x + sin 4x - sin 2x + cos 4x + cos 2x =
= 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x,
(1 + cos 4x) 4- sin 4x = 2 cos f| - x\ +2 cos 3x,
2 cos 2x (cos 2x + sin 2x) = 4 cos Г^ + xj cos f j - 2xJ,
V2 cos 2x cos Г j - 2x) =2 cos ^ + xj cos (j - 2x j и т. д.
197. | nk 4- 5я/г, -|| я ± | я + 5rcfc. Указание. Уравнение
преобразуется к виду
198. ±g + Kk, ±arctg Jb + nk. Указание. Имеем ctg x -
'-** Х' (Д°кажите!> Затем ct& 2x - tg X
Уравнение теперь примет вид со^3^2х + s^n3x = Оф Возника"
ют два случая:
1) cos Зх = 0, х = 5 + 5 Л, Л ?t л + 1;
о о
cos3x I 1 _ л sh*2xcosx+ cos2:csinx 1 _ п tgx
+ ! ° +1-0, jjgi
cos x sin 2 х • cos x sin 2 x
откуда найдем tg x — ± Jb .
199. | я + 2nk. 200. |я + 2nk. 201. -\
202. j^ + nk, y^ + nk. Указание. Уравнение приводится к
виду tg Зх = 1. Затем отбор корней. Примерный путь: левая
часть преобразуется к виду ^Ц» затем переносим все в одну
часть (в левую) и приводим к общему знаменателю.
203. £ fc, k Ф 9п. 204. Snk. 205. 4nk.
363
206. - jtj 4- Ye *• Указание- Перенесем ctg x в левую часть и,
используя равенство tg а - ctg а = -2 ctg 2а, преобразуем
уравнение к виду -16 ctg 16х = 16.
207. arctg l±2 + nk- Указание. Преобразуем уравнение к
виду
2 sin 2х cos х 4- 2 cos 2х sin х -I- cos x cos 2х =
= 2 cos 2х cos x (tg2 x 4- tg 2x),
а затем разделим почленно на cos 2х cos х.
208. ^ 4- rcfc, я 4- 2лДг.
2 х
209. д rcfe, fc * 9л. Указание. Умножим уравнение на sin ^
(при этом появляются лишние корни: х = 2пп). После чего
уравнение преобразуется к виду sin ^ * = 0.
210. g ^, ig71 + ^я^* Указание- Докажите, что из равенства
а3 4- Ь3 + с3 - ЗаЬс = 0 следует, что а 4- Ь + с = 0, если только а, 6
и с не все равны между собой.
211.=*.= +=*.= +=*.
212. ^ + Ttfc, arctg (! (л/3 - 4 ± л/43 + 16./3 )) + j + яЛ.
У/саза нив. Заменим х = z/ + ^ , получим относительно z/ уравнение
~?= tg (у + |1 + 2 tg i/ + tg f i/ 4- -£\ = 0. Раскрывая тангенсы по
?=
формуле сложения, переходим к неизвестной z = tg у.
213. т| 4- яЛ. Указание. Можно рассмотреть уравнение как
квадратное относительно cos Зх. Можно преобразовать его к
cos Зх - £ cos xj 4--(cos x - cos x) = 0. Отсюда
следует, что каждое из слагаемых равно нулю.
214. л 4- 2nk.
215. 2л 4- Snk. Указание. Преобразуем уравнение к виду
-sin2 х Г 1 4- cos |] = 2 f sin | - cos xl .
364
Левая часть неположительна, правая неотрицательна.
Следовательно, они обе равны нулю.
216. 2л 4- Snk. Указание. Уравнение приводится к виду
cos х 4- sin -^x = 2.
217. £z + f£fc» ft * 6 + 13m; | яп, я * Зт. Указание. Умно-
жим обе части на sin х. Тогда все уравнение можно
преобразовать к виду sin 5х - sin 8х = 0.
218. ^ 4- |ft, ±^ 4- 2nft. Указание. Каждый множитель
преобразуем по формуле 1 4- cos a = 2 cos ^ . Уравнение
распадается на два: cos | cos x cos ^ х = ±^ . Преобразуем левую часть,
а затем сделаем замену z/ = cos x. Получаем два уравнения:
1) 4у3 4- 2у2 - 2у - 1 = 0, (2у2 - 1)(2у + 1) = 0;
2) 4у3 Ч- 2i/2 - 2i/ Ч- 1 = 0.
Докажем, что во втором случае уравнение не имеет
решений, удовлетворяющих неравенствам -1 < у < 1. Если у > 0, то
z/3 > 0 и 2у2 - 2у + 1 > 0. Если -1 < i/ < 0, то левую часть
преобразуем к виду 4у(у2 - 1) + (2у2 4- 2z/ + 1). Вновь первое
слагаемое неотрицательно, а второе положительно.
219. | + 2nk. Указание. Сделайте замену у = sin x +
+ v2 - sin x . Тогда z/2 = 2 + 2 sin x v2 - sin2x .
220. Y^k, k* 14л. Указание. Умножьте обе части на sin x.
221. nk. Указание. Преобразуем левую часть:
4(sin 7х - sin 5х) + 9(sin 5х - sin Зх) + 15(sin Зх - sin x) + 22 sin x =
= 8 cos 6x sin х + 18 cos 4x sin x 4- 30 cos 2x sin x + 22 sin x =
= 2 sin х (4 cos 6x + 9 cos 4x + 15 cos 2x + 11).
Докажем, что выражение в скобках всегда положительно.
Выразим его через у = cos 2х, получим 16у3 4- 18z/2 + Зу + 2. Ясно,
что при у > 0 этот многочлен положителен. Пусть -1 < у < 0.
Имеем 16у\у + 1) + {2у2 + Зу 4- 2). Первое слагаемое
неотрицательно, а второе положительно.
222. nk, \ 4- nk. 223. I + £ ft, ft * 3m + 1; £ п, и * 5m.
365
224. arctg 2 4- nk. Указание. Рассмотрите три случая: tg x = 2,
tg x > 2, tg x < 2. Покажите, что во втором и третьем случаях
решений нет. Левая часть соответственно меньше или больше 1.
225.-^ +2nk, Y^K + 2nk.
226. ^ + 2nk. Указание. Оценим левую часть:
5 sin5 х + (-3 cos3 x) < 5 sin2 x + 3 cos2 x = 5 - 2 cos2 jc < 5.
Равенство имеет место, если sin x — lf cos х = 0.
227. ^ + nk, ± arcsin (2 - */3) + rcfc. Указание. Перепишем
уравнение в виде sin f^ cos 2х J = sin (^ ~ 3 я s*n х) *
Возникают два случая:
1) г cos 2х = ^ - ^ я sin х + 2nk;
2) 5 cos 2* = я - [\ -\п sin х"| + 2nk.
Рассмотрим первый случай. Обозначив у = sin x, получим
уравнение | (1 - 2z/2) = | - | у + 2fc или у2 - Ay + 6fc 4- 1 = 0. Это
уравнение имеет решение, удовлетворяющее условию -1 < у < 1
при целых Л, если k = 0 или fe = -1. Если /г = 0, у = 2- */3 ; если
fc = -l,z/ = -l. Аналогично разбирается второй случай.
228. (-1)л arcsin -A
(-1)л arcsin fj(4* + l)- //^(4^+ I)2- 1 I + ял, k > 1;
-1)л arcsin fj(4* + l)+ ^(4^4- 1)2+ 1 +nntk<-l;
2
2
(-1)л arcsin fj(4fe + l)- а/^(4&+ 1)2+ 1 4- ял, k > 0.
229. ±1 ± ^1 - \ + 2nk, k > 0, возможны любые
комбинации знаков. 230. ±Jnk ,к>0;^ + nk. 231. я2*2, £ + ^ л, л > 0.
232. ±Jnk,k>0; I +nk. 233. ±Jnk,k>0; ^п + пИ.
366
2 2
234. -—~л * . Указание. Из уравнения следует, что
471
7х+ 16 -Л = nk. Но 0 < 7* + 16 - Jx = 16 < 4.
7* + 16 + 7*
Следовательно, возможно одно значение: k = 1.
235. 1 + 4^ •
236. JL(2fc + I ±J(2k+ I)2-192), k< -8или£> 7, Л ^ -25,
& * -10, /г * 9, /г * 24. Кроме того, уравнение имеет еще четыре
корня: -i; -i; i; i. Указание. См. решение уравнения 20
2 6 6 2
вводной части.
237. ^ + 2я/г. 238. я + 2я/г, я ± 5 + 2nk. 239. -2 + 2я/г.
о о о
24°- -я • -8 *- i *• 24Ь ~и *• ifл- 242- лл + 47tfc-1л + 4лЛ-
-±к + 4я». 243. |я+ }«*.-= + }ж*.-§ + Jk». 244. Н.
245. ^ . Указание. Задача сводится к доказательству
неравенства я + arctg i > 3i или tg (з\ - пх) < - . Но 3\ - я < -£-
3 3 ^3 '3 3 12
(докажите!), a tg iL = tg (| - 5) = 2 - 73 < |.
1 /я
246. 10^ я + 3 arctg ^ . Указание. Корни уравнения образу-
2 5
ют две серии: £ + я& и arctg ^£ + я^. Для первой серии Л = 0, 1,
2 5
2; для второй серии k = 1, 2, 3, поскольку
arctg зр 4- Зя< 2 + Зя< 10.
5 6
П- -Ц. 1-717. 1 - ТЗЗ 9y4ft л+2 2 - Зтс 2-л Зл+2
. U, ±1, _j_ , —г- . Z4». -j- , —— , -j- , —g— ,
ili2,?!l2. 249. 5 ic-1.
6 6 4
250. Рассмотрим уравнение cos За = -- или 8 cos3 а - 6 cos а +
1=0. Ясно, что при а, равном — , -£ , ^ , имеет место равен-
У У У
367
ство. Положим х = 1 "*" ^osct. При рассматриваемых значениях а
х принимает значения cos2 £ , cos2 ^ , cos2 ^ . В уравнении
У У У
для а заменим cos а = 2х - 1. После преобразования получим
данное уравнение.
251. 3 корня. Указание. Из уравнения следует, что Jx + 90 —
- Jx = k> где k = 1, 2, ..., 9. Но лишь для k = 4, 7, 8 полученные
значения х входят в область определения исходного
уравнения.
252. 0, ^ , | тс. Указание. Первое уравнение имеет следую-
6 о
щие решения, удовлетворяющие неравенству |х| < 3: х = ^k,
о
где -Ь < k < Ьу и х = jk, где -6 < k < 6. Нетрудно среди первой
группы отобрать решения, удовлетворяющие второму
уравнению.
Докажем, что среди второй группы ни одно решение, кроме
х = 0, не удовлетворяет второму уравнению. Преобразуем
второе уравнение:
2х + cos (| - 5jc) =1,2 cos (2 - | х) cos (I x - £) =1.
cos
Подставим х = 2 *. Получим 2 cos (2 - ЭД cos f^ - ^] =1.
При целых h cos (^ - -) = ±^ . Следовательно, должно
выполняться равенство cos (2 - ^) = ±^ , т. е. ^ = | л, Л = | п;
значит, п = Зт, Л = 7т, а поскольку \k\ < 7, то т = 0.
253. - ^ , I • Указание. Выразим из второго уравнения sin ^ .
3 3 2t
Заменим в первом cos кх = 1 - 2 sin2 ^ и подставим вместо
sin ^y найденное выражение. Получим после преобразований
(2sin±l2 -l)(cos!iZE -l) =0ит. д.
368
2 11
254. -x, -rr, о- Указание. На основании первого урав-
о 15 о
нения найдем 4 cos2 5лх = (sin -^ - cos -£\ , откуда sin -^ =
= -2 cos Юлх - 1. Заменим во втором sin -^ . Получим
уравнение cos ( 10лх +^j = \ , откуда: 1) 10лх = 2яЛ, х = |; 2) Юлх =
= 2nk —^ , х = 15 . 1) Заменив во втором уравнении 10ях на
2л£, получим sin -^ = -3, что невозможно. 2) В этом случае
sin — = 0, откуда х = - . Приравняем значения х: ,, = - ,
X Л ID Л
90
. Знаменатель этой дроби не делится на 3. Следова-
ЗА-1
тельно, 3k - 1 может равняться делителю 90, не кратному 3,
т. е. 3k - 1 может принимать следующие значения: ±1, ±2,
±5, ±10. Найдем, для каких из этих чисел k — число целое.
Получим -1 [k = 0, х = -i) , 2 (fc = 1, х = ^) , 5 [k = 2, х = |) ,
-10 ffe = -3, х = -gl. Подставим эти значения х в первое
уравнение. Подойдут все, кроме х = т-г .
255. При 0<а< ^»а=^» 4Я^а<я решение одно; при
остальных а три решения. Указание. Пусть а Ф ^ . Обозначим
у = tg (х + 2а), а = tg а. Уравнение примет вид У ~fl у У "*" а = 1
1 + at/ I - ay
или (z/ - l)(z/2 + (1 + a2)y + 1) = 0. Дискриминант квадратного
уравнения равен D = a4 + 2a2 - 3 = (a2 - l)(a2 + 3). D > 0, если
a > 1 или a < -1. Случаи а = ±1иа= ^ рассматриваются
отдельно.
256. ±? + яЛ. Указание. Преобразуем уравнение
о
4(cos (x + a) + cos (x - a)) cos (x - a) + 1 = 0,
(2 cos (x - a) + cos (x + a))2 + 1 - cos2 (x + a) = 0.
369
Таким образом, cos2 (х + а) = 1; х + а = 2яЛ или х 4- а = я(2Л + 1).
В первом случае
cos (х - а) = -i х - а = ±^ + 2тт,
а = ±| 4- n(k - л), х = +1 4- n(k 4- л).
Во втором
cos (х - а) = ^ х - а = ±£ + 2яп,
4 О
ЖЛ-п), x-g Т
257. Рассмотрим два уравнения:
х2 cos a cos Р 4- x(sin а 4- sin Р) + 1 = 0 (1)
х2 cos P cos у + *(sin P + sin у) + 1 = 0, (2)
cos а ф cos у» cos P ф 0.
Найдем, при каком необходимом и достаточном условии
эти два уравнения имеют общий корень. Вычтем почленно
одно из другого и сократим на х (х Ф 0). Получим линейное
уравнение х cos P (cos а - cos у) 4- (sin а - sin у) = 0
или
х cos p sin Ц1- cos S^-0. (П
Умножим теперь почленно уравнение (1) на cosy»
уравнение (2) на cos а и вычтем почленно одно из другого. Получим
после преобразований уравнение
x(cos ^ + sin P sin Zj^j + sin ^ = 0. (2')
Можно доказать, что если уравнения (1) и (2) имеют общий
корень, то и уравнения (1') и (2') также. И наоборот, если
уравнения (Г) и (2') имеют общий корень, то и уравнения (1) и (2)
имеют общий (тот же) корень. Для того чтобы уравнения (1') и
(2') имели общий корень, необходимо и достаточно выполнение
равенства
cos Р sin2 Ц1+совЦ1 (cos 2£* + sin р sin SL+Jf) = 0>
ИЛИ
cos P - cos P cos (a + y) + cos a 4- cos у + sin P sin (a + y) = 0,
cos a + cos P 4- cos у - cos (a 4- p 4- y) = 0.
370
Из симметрии этого равенства относительно а, Р и у
следует, что любые из трех рассматриваемых в условии квадратных
уравнений имеют общий корень. Осталось доказать, что этот
корень один и тот же для всех трех. Для этого нам достаточно
доказать, что если между а, Р, у имеет место найденное
соотношение, то общий корень первого и второго уравнений
совпадает с общим корнем первого и третьего. Из соотношения (1') сле-
сс + у
COS 2
дует, что общий корень первого и второго равен
cos р sin——L
В+ V
COS 2
Общий корень первого и третьего равен г— . Надо дока-
зать, что = . Освободившись от знамена-
Q.a+Y -P+Y
cos p sin——- cosasinr '
теля и преобразовав произведения в суммы или разности,
получим:
8п
= sin Ш +sin ^ +sin ^I±
Перенесем все в одну часть и вновь преобразуем разности в
произведения:
sin ^-^ cos (a + P + Y) + sin (P - a) cos ^-^ + sin ^-^ cos у = 0,
откуда sin 5L_E (cos (a + p -f y) - cos a - cos P - cos y) = 0.
258. 1. 259. 73 - I л/5 . 260. ^^ .
261. -л/2 . Указание. Перепишем уравнение в виде
arctg (x - 1) - arctg {x + 1) = 2 arctg (x + 1).
Найдем тангенс левой и правой частей. Получим:
(х- 1)-(х+ 1) _ 2(х+ 1)
откуда х = 2. х = V2 не подходит, потому что
3 arctg (72 + 1) > \ (даже > я).
371
(/ 2 \
*п +—— . Указание. Воспользуйтесь
тождеством arcsin х + arccos x = - .
263. ±i (л/9+ 4 тс - 1). 264.0; 1. 265.10л + 20тс£. 266. ±(л/3 + 1).
267. -1;0; 1. 268.-1.
269. Уравнение не имеет решений. Указание. Если 0 < х < i ,
то 2 arcsin х < - , arccos 2х < $ . Если -^ < х < 0, то 2 arcsin л: < 0,
3 2 4
arccos 2х < ? л. Если -i < х < -— , то 2 arcsin х < -- , arccos 2x < к.
о £ 4 о
f Неравенство 2 arcsin х < -£, если х < -— , следует из того,
^ 6 4
что sin JL =i(V6 -J2)<&)
270.0; 1. 271. ((-l)*j + тсЛ, | + тел). 272. ((-l)Ag + я/г,
±2? +2тсл); f(-l)A + 1^ +7сЛ, ±5 +2тсл).273. Г±|те Н- i)
3 ' ^ о 3^ ^6
274. f arctg (V34 ± j5) + nk, tarccos + 2кп) . Ука-
к *м±л
зание. Докажите, что V34 - Jb > 1.
275. ((-1)Л + 1| + \ky -I arctg ^ + 2 Л) . 276. (±2Е + я(Л + л),
±2 + л(/г - /I)) . 277. (±2 + K(k + л), ±2 + n(k - п)) . 278. (Лтс, дтс);
6 ^ ^ о о ^
Г-2 + Лте, -2 + пп) ; f2 + kn, 2 + Л7с] . 279. f2 + л(/г + /i),
44 4 ^ ^2 2 / Ч4
2 +
280. (0, 0); (2 + ±k, 2 + 2j /г) . Указание. Если л: = 0, то
у = 0. Пусть ху * 0. Поменяем во втором уравнении левую и
правую части и перемножим почленно уравнения. Получим
372
• 2 / п\2 . 2 ( . п\ 2 ( , ЯЛ 2 ( П\
sin Ijc - gl sin [ i/ + gl = cos \y + gl cos I x - gl, или
cos (( x -!)+(»+ =)) cos (( x - I) - („ + I)) = 0. Значит, или
(*-1) + (* + i) -1 +лЛ'или (*-8 - (* + i) = 1 + 71*-Ho
в обоих случаях будет sin Гх - gl = cos2 (У + g) » значит, # = у.
(Следует из системы.)
281. f-jg + я/г, -g + яд) . 282. Г| + я/г, я + 2ял) ; (g -I- яА,
±arccos
283. (±arccos - 4- 2яЛ, +arccos g + 2ял1 . Указание. Из
системы получаем 4 cos у = 5 - 6 cos x, 4 sin у = -6 sin x. Почленно
возводим эти уравнения в квадрат и складываем.
284. (я/г, я/1). 285. (| + |fe; ян); ^ + nky \ + ял).
286. (±^ + 2я/г, (-1)л • g + яд) .
287. f j ± 2 + 2яЛ, |я ± 5 + 2ял) . Выбор знаков любой.
Указание. Сделайте замену и = sin x + cos x> v = sin у + cos у.
288. (я/г, яп); (±arctg | + я/г, ±arctg | + яд) . Указание.
Применим к левым частям формулу синуса суммы, а затем
перейдем к новым неизвестным и = tg xy и = tg у.
Предварительно надо убедиться, что х Ф ^ + л^» У * £ + лл*
289. ((-1)*£ +яЛ,(-1
+ пп\. Указание. Сделайте замену а = sin xy v = sin у.
290. (±5 + 2nk, T^ + 2ял) ; (±^ + 2nk, + 2 + 2ял) . У«:а-
зание. Почленно возведем оба уравнения в квадрат и сложим.
373
291. ((-l)*g + теЛ, \ + ял) ; (J + я/г, | + (-1)* arctg 4 + ял) .
Указание. Вычтем почленно одно уравнение из другого.
Получим после преобразования — sm = 2 cos x. Пусть cos x * 0.
Выразим cos 2y = sin x - cos 2дг. Перемножим почленно
уравнения: cos *—£2!_£ = I6sin2 x - 4 cos2 x. Заменив cos 2w, после
cos2x+ cos2i/ *
преобразований получим уравнение
или
20 sin3 х + 4 sin2 * - 3 sin * - 2 = 0,
(2 sin x - 1)(10 sin2 x + 7 sin x + 2) = 0.
292. g + лЛ, « + ЯЛ) ; g + I Л> arctg | + | <* + 2л)) . У/са-
зание. Пусть х Ф ^ + яЛ, i/ ^ ^ 4- ял. Из первого уравнения
следует sin х cos i/ = 3 cos x sin i/ или tg у = ^ tg x. Затем
преобразуем второе уравнение, применив формулу косинуса суммы,
разделим его почленно на cos у и заменим tg у.
293. f-arcsin |^ + 2лЛ, arcsin || + 2лд) ; Г я + arcsin |i + 2nky
я - arcsin ^g 4- 2nn J. Указание. Разделив почленно одно
уравнение на другое, найдем cos x = 2 cos у. Раскроем во втором
sin (х + у) и заменим cos х на 2 cos у, затем найдем sin х = - -
- 2 sin i/ и т. д.
294. (яЛ, ял); (±| arccos i + я£, ±i arccos i + ял);
Г ±2 arccos j 4- g 4- я£, ±2 arccos j 4 ^ 4 ял) . Указание. Из
системы следует уравнение
sin (Зх 4- 2у) sin i/ = sin (2x 4 Зу) sin xy
откуда после обычных преобразований получим равенство
sin (2х + 2у) sin (х - у) = 0.
Если 2х-\-2у = nky то sin х = 0, sin у = 0. Если у = х + nk, то,
заменив в первом уравнении у> получим 4 sin Ъх 4- sin x = 0 или
sin х (8 cos 4x 4 8 cos 2x 4 5) = 0.
374
295. (±| arccos ^ + яЛ, ±| arccos Ц± + ян) ; (| + яЛ,
- 4- ял). Указание. См. решение 294.
296. f±j + я£ + 2ял, яЛ); (±(^ + arctg 2) + 2ял + яЛ,
Tarctg 2 +
297. [-arccos ± + 2яА, у + 2ял); [arccos ± + 2яА, -Щ + 2ял) ;
(я/г, 2ял). Указание. Перемножим почленно данные уравнения.
После преобразований получим уравнение с одним у> из
которого найдем: 1) cos у = 1; 2) cos у = -g .
Второй случай в свою очередь разбивается на два: а) у = у +
+ 2ял;б)у = -у + 2ял.
Рассмотрим случай а). Подставим у = -^ + 2пп в оба
уравнения. Получим (после преобразований):
J л/3 cos х - 5 sin x = 3 л/3 ,
{ Зл/3 cos jc - sin x = 73 .
1 4л/3
Из этой системы найдем cos х = ^ , sin х = —у- .
Аналогично рассматривается случай б).
Замечание. Проверьте, что при подстановке найденного у
лишь в одно из уравнений будут лишние корни.
298. (±(5 - | arccos ^) + яЛ, +§ arccos ^ + ял) .
Указание. Перемножьте почленно данные уравнения.
299. Г arccos g , я - arccos ^) ; Г я - arccos g , я) . Указание.
Выразим cos jc и sin jc через i/:
cos x = | (2 cos у + 3 sin y), sin x = | (2 sin у - 3 cos y).
Далее почленно возводим эти равенства в квадрат и
складываем.
375
300. (2 + nk, (-1)л 5 + яд) ; (-2 + я/г, ±2 + тел) . Указание.
Первое уравнение можно преобразовать к виду
2 (sin у - 1) (sin у + I) = (sin у - 1) (1 + sin 2х).
301. (2 + я/г, ±2 + 2m) ; ((-1)*| arcsin J + 2 *, tarccos J +
+ 2ял) ; ((-1)* + * i arcsin /| + 2 /г, ± arccos /| + я + 2яп) .
Указание. Из первого уравнения следует, что или cos у = i , или
cos у = sin 2х.
302. (2 + nk, tarccos i + m) ; f±i + тг/г, 2 ± « + 2яд) ;
V4 5 / ^ 1Z 2 6 ^
(2 ± ~ 4- я/г, -2 ± 2 + 2nn) . Указание. Из первого уравнения
следует, что или tg лс = 1, или sin у = cos 2x.
303. (-2 + 2я/г, 2 + 2ял) . Указание. Второе уравнение пре-
ч. 2 2 '
образуется к виду
(sin х + sin у)2 + 2(sin у - I)2 = 0.
304. (2 + я(2/г + 1), - + я/i, - - (2k + 1)я - я/i) . Возможны
V2 4 4 /
любые перестановки указанных троек. Указание. Преобразуем
первое уравнение:
-1 (cos 2л: + cos 2у) - cos2 (х + у) = О,
cos (х + у) cos х cos у = 0, или cos х cos i/ cos г = 0.
305. f2 + 2nk, 2 + 2яд, 2 + 2nm) ; f| n + 2я/г, | я + 2m, | тс +
V6 6 6 / ^6 6 6
+ 2тст) ; (2 + 2я/г, ^ + 2mf -2 + 2ят) ; № + 2яА, -2 + 2я/1,
/\6 о 6 ^^6 6
- я + 2ят) . Возможны также любые циклические перестанов-
6 *
ки третьей и четвертой троек. (Это означает, что если (а, 6,
с) — решение системы, то (6, с, а); (с, а, Ь) также решения).
Указание. Из первых двух уравнений найдем sin у = cos x tg z,
cos у = | tg z. Почленно возводя эти уравнения в квадрат и
376
складывая, получаем уравнение, не содержащее у. Заменяя в
(2 ч
tg2 z = " C°2S г cos z на ~ tg х, получим урав-
cos г ) *
нение относительно х.
306. (J + 2кк, I tarccos & + 2ял, g + 2ят) ; (-g
1 ± arccos Y + 2тш, -\ 4 2ят ; [% я + 2яЛ, ^ ± arccos ^ + 2ял,
6 4 о ) \6 О 4
- я 4- 2ят711; I — ~ я 4 2я/е, —-г- ± arccos —г- 4 2ял, — - 4- 2кт 1.
з ) \ о ь 4 6 )
Указание. Вычтем почленно второе уравнение из первого.
Получим (после преобразований)
sin ^у^ (2 sin х + 2~ У 4 sin х + г* У\ = 0.
Возникают два случая:
1) sin ^у^ = 0, х - z = 2я/г. На основании третьего
уравнения найдем х = ±g 4- 2rc/i, z = ±^ 4 2rcm (знаки одинаковые).
Затем подставляем в первое (или во второе).
2) 2 sin (x~y^ - yl 4 sin f^y-^ + у) =0, откуда
2 sin ^y^ cos у - 2 cos x-^ sin у 4 sin x-^- cos у 4 cos ^y-^ sin у = 0,
3 sin ^y^ cos у = cos ^y^ sin y, tg у = 3 tg x-^-.
Преобразуем теперь первое уравнение:
12 cos x cos у 4 4 sin x sin у = 3.
Почленно поделим это уравнение на cos у и возведем в квадрат,
а затем сделаем замену: tg у = 3 tg ^-y^ ; получим
16(cos х 4 tg ^ sin х) 2 = 1 + 9 tg2 ^ ,
или
16 Г cos ^y-^ cos jc 4- sin ^y-^ sin xl 2 = cos2 x~y^ 4 9 sin2 ^-y^ ,
^y^ = cos2 ^y^ + 9 sin2 ^y^ ,
16 + 16 cos (jc - z) = 1 + cos (x + z) + 9 - 9 cos (x + z),
8 cos (x - z) + 4 cos (jc + z) = -3.
377
Учитывая третье уравнение, получим
cos (х- z) = cos (х + z) = - ^ .
Вновь возможны два случая. Рассмотрим один: х = 2яЛ,
г = ±arccos ( ~т) + 2яп. Заменив х и z в первом и втором
уравнениях, получим для у два уравнения, не имеющие общих
решений.
Аналогично рассматривается другой случай.
307. Г±g + я/г, ±g + лт, 4^ 4 ял) , где к + m + д — четное
число. Указание. В каждом уравнении перенесем константы в
левую часть и попарно перемножим (почленно). Например,
рассмотрим первое и второе. Получим:
tg х tg2 у tg z - 3 tg i/ tgz + 5 tg x tg i/ - 15 = tg x tg z—^y •
cos у
Ho —Ц- = 1 + tg2y. Обозначим tg x tg у = a, tgi/tgz = fr,
cos у
tg z tg x = с. Получим из первых двух уравнений 5а - ЗЬ - с = 15.
Аналогично, рассматривая другие пары, найдем:
За - Ъ - Зс = 9, -а + ЗЬ + 5с = -15.
Из системы для ау Ьис найдем а = 1,& = -3,с = -1. Затем
найдем tg х = ±-7= , tgy = ±73 , tg z = Тл/З и т. д.
308. (a ± 5 + 2лЛ» a + ? + 2ял). 309. ((-1)*а + яА, я/i);
о о
(nky (-1)ла + яп).
310. (а + 2яЛ, ял); (nk, а + 2ял); ^±Ц- - а + 2я£, + ^ " а + 2
Указание. Будем преобразовывать второе уравнение, учитывая
первое уравнение, имеем
sin х cos x + sin у cos у = (sin x + sin у) cos a,
sin x (cos x - cos a) + sin у (cos i/ - cos a) = 0,
(sin a - sin y)(cos x - cos a) 4- (sin a - sin x)(cos у - cos a) = 0,
(sin a cos x + cos a sin x) + (sin у cos a 4- cos у sin a) -
- (sin у cos x 4 cos у sin x) - 2 sin a cos a = 0,
sin (a + x) 4 sin (a 4 y) - sin (x 4 y) - sin 2a = 0,
) 0,
(^)^^=0 ит.д.
378
В следующих далее ответах на неравенства указывается
номер соответствующего уравнения, затем в скобках — знак
неравенства, заменивший знак равенства. В самом ответе для
краткости указывается период решения и решение на одном
периоде. Включается или нет конец интервала в решение,
указывается направлением квадратной скобки. Изолированные
точки решения обозначаются фигурными скобами.
Например, запись ответа в виде Т = л, \ £ I, |"£ , £) означает,
[6J 1_3 2/
что решение состоит из изолированных значений х = £ + nk и
б
системы интервалов £ + nk < х < £ 4- кк.
3
А,5|];{^[. 54. (<) Т = 2*; (0; |); (*? , п);
(?.?)■ вв. (»Г-«;(0.=); (=.}«); (|Я. |Я);(}«,$Я);
6О.(<) Т= 2я; [-25, I]. в1.(>)х = 2я*. 62. (<) Г =
(| я, я); (л; ^ я). 63. (>) х * nk; х ф 2 + 2яА. 64. (<) х —
v о / ^ о / 2
бое. 65. (>) Г = 2я; [-arccos |, arccos | ] ; {я}. 66. (<) Т = я; (|
лю-
69.(>)Г = 2я; [-|.О]; [\,Ц]- 70. (<)Г-2л; (-|я, 0); (|я,
I):(J«.K);(f,. |к). 71.(» Г -2«:(-|. =);(=.§);
(?.?)• 72. «)T-«;[i.S];{=};[g.S].78.(»T-,c;
379
л тс "I . Г тс Зл 1 . I тс I . Г 7тс Зл "I ПА /^ч гр о_. (к п \.
io'ioj' Li'То Игр Llo'Tj- 74. (<) г= 2тг; (—,-);
lie' TeJ' lie"' 15-J' IT' Та)' lie"' irJ- 75-(>)Г-2*>
! 31 29 J.fll 89 _Vfl49_ 209 _Л.(269_ 71_V/'329_
=2; [|,|]. 77.(>)ж-любое.78.(<)7'=2я;
(-5-°)'(I-D5 («•!«)• 79-
5
80. (<) Т = 360°; [4°, 38°]; [49°, 94°]; [139°, 158°]; [184°, 229°];
[274°, 319°]. 81.(>) i + |nfe < ж < |Д + | nfe; ж = JL + |я*.
14 7 14 7 10 5
Замечание. Часть указанных изолированных точек
принадлежит также и интервалам. 82. (<) Т = я; (-± , JL ); (|Д , |5 );
83. (>) ж * яЛ. 84. (<) Г = 2я; [т: - arcsin | (2^/2 - «/б), 2я
+ arcsini (2-У2 - 76)]. 85.(>)Т=2я; [-|я, |я]; [Jjt, |
1Л'ТЯ]; [i^T71]' 8в.(<)Г-2я;(-|я, Jn). 87. (>) Г = 2п
iarecoe^Lj>0l;f0,Iarecoe^
2 4J^2 4
89.(»Г=2я; [-=. =]; [!. 2jE); (ijE. J]; [J. §
(§.?.]. 9О.«)Г=2я; (?. |); (=. ^); (|я. |я); (f я.я
. 94.(<)Т=2я;
97.(>) Г = л; [|, ^]. 98.(<) Г = 2я; (-5, о);
380
я, I я). 99.(>) Т = 2я; (-2, arcsin 1); (2, я - arcsin I
00.(<)Г = 6л; [-§я, |я]. 101.(>)Г = 2я; [-2, 2]; [§,§
, I
103. (>) Г = л; (i arcsin(73 - 1), | - | arcsin(73 - 1)).
1О4.(<) Г = я; [-| arccosl, О); [| arccos I, |); (=, |),
к 11я]. Г 13я 7я\. ГЗя 17л "| . ( 9 _ 19 1 . Г_ 21 _1 .
U' lo-J* Llo' ToJ* Lt* lo-J* Vlo71' го"]1 Ln> го71]'
107. (>) T = 2л; (-2 , 0); (о, П ]. 108. (<) Если 0 < jc < 2я, то
решением неравенства будет 0<jc<-,- <д:<-,5я<х< 2л.
6 6 2 6
Если 2лЛ < х < 2л(Л + 1), k * 0, то 2лЛ < х < 2 + 2лЛ, | л +
о о
< х < 2я(* + 1). 109. (>) Г = я; (о, |); (|, =]; (|, ^
НО. (<) Т = 2я; (^ - arccos (l - U) , ^ + arccos (l - £)).
lll.(>) Г = я; (i. | + I arcsin I); (^ - i arcsin \, »,).
U2.«) Г = я; (|, |]; (|я. я). 113.(» Т - |я; [-=. =].
114. (<) Г = 2я; (5, Ip); (^, ill). 115. (>) Г = я; (2, 2);
381
(I-?)' (tn'n)- "в.(<)Г-л; [-2, |). 117.(»Г=2я;
(|. Ц ] : (*• I71] : (§"• 2я). 118.(<)Г = 2я; (-arctg I .я-arctg \ ).
119. (>) Г - 2я; (-2 . 5). 120. (<) Г = я; (-5 , -arctg J^^I ] ;
(-?,<>);(?,arctg J^]. 121.(»Г-«;(-=.-1«г»1п|];
r= _. fn tcV (5л 7л V (n 11л V Г 13л 5л А .
i Я> V18 ' б)1 ^ 18 ' 18^ V2' 18 Г Vis"» "6"J'
124. (<) Г- л, (0, gJ, [g, jj, ^5, T J, ^, TJ.
[5л 7л "I -юс
-,TJ. 125.
17л
)(!и ^n](lli eVT— 52EVT— 1£ze
8 f 24 J ' V 24 ' 8 J * V 24 ' 2 У' V 24 ' 8 J ' V 24 * 24
— —
8 ' 24
[Й- if ]; [Т- ТТ ]• 129. (»T = ,; [I arccosl (76 -2).
я - | arccos | (76 - 2)1 . 130. (<) Нет решений. 131. (>) T = п;
(п я Vf я я V Гя 137rV Г3я 11" V Гя 21л V (Ъп 17л V
VU> 24^424* 8^ U' l0"> VT' "24" J' \2' ~40 J' \Т ' ~2Л )'
-«;(А. =);(fg, =);(g, ?-];(§.,]. 184.
188.
= 21л; если 0 < х < 2 , неравенство выполняется. Знак меняет-
382
ся в точках -£■ + Ц-пку |л + \nk, £ + \nk. При этом х =
10 5 о 3 2 2
= ?А!Е + 21л£ принадлежит всем трем сериям, т. е. знак в этих
точках меняется. 135. (>) Т = 2л; (--к, -). 136. (<) Т = 2л;
V4 4 /
(-S. 0). 137.(>)Г= 2л; Ы; Г^, Zi - 2 arctg i 1. 138. (<)
^ I ' ^4Jl_44 2 J
T = 2л; (|, 2lE); Гя, | л); (|л, 2л). 139. (>) Г = 2л. Если
О < х < ^ , то левая часть меньше правой (знак <). Знак
меняется в точках - (1 + 2k), - k, - + - ky - + - k. (В точках nk знак
9 5 о о 4 с,
меняется.) 140. (<) Г = л; (|, |); (|, ^ ); (^ , ^ ); (5 , ^ );
fS. ^); ft", я); Г??. ^Ь Гтг. Н2!; (т. ^1- i42.(<)
»Г-2«; (0, 5);
144. (О Г - 2я; (О, JL); (|, |); (£*. ,); (
^]; [к + arctg Uzl, 2л- arctg ^f^ ] • 146. (<) Г = 2я; Ы;
(1«т); ["• |"); (|я'2я]- 147.(>)Г = 71.Если0<х<|,
неравенство справедливо. Знак меняется в точках —, - ± - + nk,
8 2 3
±| arccos i + nk (| < I arccos | < I). 148. (<) T - я; (о. |);
383
§=[-tb-°)- 150«>
Раздел 5. Показательная
и логарифмическая функции
1. а)1; 6)24; в) 8; г) lg 2; д) 10; е) 7; ж) 0; з) 0; и) 0.
Указание. Группируем первое слагаемое с последним, второе —
с предпоследним и т. д.; к) 1.
2. а), б) в) минус; г) плюс.
3. a) log5 3 > |; б) log2 5 < 2|; в)
> -2|; г) 78 >
21og25 + log0 59
> 2 " ; д) равны; е) log8 5 < log6 5; ж) log2 5 >
> log5 32; з) log7 8 > log8 9.
4. За + ab. 5. 3(1 - а - b). 6. 4(3"а). 7. 2b + a~2 . 8. tLzl.
3-ь а 1 -а 6
9. a) -6 < х < -5; 5 < х < 7; б) -3 < х < -2; -2 < х < -1; х> 1;
> 0,5; г) х > -4,5; д) 1 < х < 2;
з
2 < х < 3; е) 1 < х < 2.
10. а) Рис. 58; б) у = log2 |*|; в) z/ = 1 - х2, 1 - х2 > 0; г) у = jc2,
х > 0; д) рис. 59; е) рис. 60; ж) у = log2 x, log2 x > 0; з) рис. 61;
и) рис. 62; к) у = 0, х > 0, х * 1.
11.9. 12.-2; 4. 13.-5; 5.
в) -5 < х < -4; -4 < х < -|;
з
Рис. 58
Рис. 59
384
Г=2я
Рис. 61
Рис. 62
14. -3; 5. Указание. 33 + Д28 = (J32 + I)2.
15.5. 16.0,6. 17.0,25. 18. -4; 3. 19.66. 20.2.21.1,5.
22. Решения нет. 23. 3. 24. 1. 25. 1,5. 26. -2; 3. 27. 0; 2. 28. -1; 2.
29. -1; 0. 30. 0. 31. 1; 2. 32. 0. 33. -log2 3; 1. 34. 1; 4. 35. 2; 9.
36.-2; 2.
37. -2; -1; 1; 2. Указание. Замена у = 2х - 2х.
38. 1.39.4; 5. 40. 1. 41.-2.
42. Решения нет. Указание. После замены у = -
Ъ~х + 4 • 5*
получаем ±у2 - у + Ш - Ш. - 0,01 = 0. Так как свободный
член этого квадратного уравнения отрицательный, то корни
имеют разные знаки. Сумма корней i , значит,
положительный корень больше i , а по замене 0 < у < i .
43. nk. 44. £ + 2 /г. 45. I + я/г; jj + 2я/г; я + 2я/г. 46. jj /г.
47.^ + ±k. 48.(-1)А • ^ + я*; я*. 49.1. 50.0,1; 10^.
51.10. 52.4. 53. 10; 100. 54.0,001; 10. 55. 3; 81. 56.4.
57.-17. 58.-3;-2. 59.-2. 60.5. 61.2. 62.1,5.63.1. 64.9.
65. Iog310; Iog328 - 3. 66.1. 67.1. 68.100. 69.10.
; 1. 72.
2 73. 3; 4
70. -21og52;2. 71. ; 1. 72.
ь l-log25 l-51og23
+ Iog53. 74.0,1; 1; 10. 75.0,1; 10. 76.0,0001; 10. 77.7; 14.
385
78. 104. 79.2.80.10. 81.2. 82. i ; 6. 83.3. 84.2. 85. I; 2.
о 4
86. i; ±.87. JL; 2. 88.1. 89. 1. 90.^. 91. 1; 9. 92.8.
lo 4 Id 9 5 6
93. I. 94.-i;i. 95.5. 96. 72 ; 3. 97. -±2 ; -2; 3. 98. 1; 2.
2, Z 2, 5
99.5. 100.-5. 101.17. 102.-^1. 103.-1. 104.0 < x < 1; 4.
3 3 4
105. J-. 106.-32;-2. 107.-64;-1.
25
108. |. Указание. Jx±2jx-l = |V*-1 ± l|.
109. -1. Указание. 6x2 + 23jc + 21 = (3x + 7)(2x + 3). После
замены у = log3x + 7 (2x + 3) уравнение принимает вид 2y + i =3.
110. I; 1. 111. 1. 112. -? . 113. JL + 2яЛ.
2 4 3 12
114. (-1)* • I +nk.
6
115. ^ + 2nk. Указание. Замена у = log2 cos jc, тогда cos x = 2y,
2
ctg2 x = Зу. Так как ctg2 jc = CQS x , то получаем уравнение
l - cos x
Зу = —— или (-) = Зу + 1, которое решаем графически.
1 - 4У Ч4У
116. 2 + я/г. 117. 5 + 2я/г. 118. 5 + яЛ. 119. 5 + 2я*. 120. П +
4 3 3 4 4
+ 2яЛ. 121. arcsin ^_li + 2я/г; arccos ^l + 2я/г.
122. arccos (J2 - 1) + 2яЛ. Указание. Замена z/ = log(2 cos x) sin jc.
123. -П + 2яЛ. 124. ||. 125. ||. 126. 1.
127. 3. Указание. Проверить все целые числа из области
определения.
128.2. 129.(0; -3). 130.(1; 2). 131.(3; 0). 132.(3; -9).
133. (13; 8). 134. (1,5; 2).
135. (-2; -2); (2; 2). Указание. Первое уравнение имеет вид
f(x) = f(y), где функция f(t) монотонно возрастает, значит,
принимает каждое свое значение один раз, откуда х = у.
386
136. (^_Ll; 1^). 137.(1; 2). 138.(2; 2). 139. (|;1).
140. (4; 2). 141. (-1;-2). 142. (J2 ; 15); (2; 3). 143. (i;|);
(3;9). 144. (|;|). 145. ( Л ; j= ) ; (2; 1).
146. (-1 ; i j . Указание. Умножим первое уравнение на
2'Х + у т д2у^ ВЫразим 2х ~ у и подставим во второе. Получим
однородное уравнение 32у - 4 • 3х + у + 3 • З2* = 0.
147. (с; -2); (1,5; 4), где К с < 2. 148. (2; 1); (с; с), где с —
любое действительное положительное число. 149.(125; 4);
(625; 3).
150. (4; 16). Указание. Прологарифмировать первое
уравнение по основанию у.
151. (2; 6); (6; 2). 152.(-1;-3); (3;-3).
/О nrj op \
153. [ -; -±; 2± ) . Указание. В каждом уравнении перехо-
дим к одному основанию и потенцируем. Получаем xjyz = 4,
yjxz =9>zjxy = 16, откуда xyz = 24.
154. -73 < х < л/3 . 155. -2 < х < 2. 156. -3 < jc < -2л/2 ;
2^2 < х < 3. 157. x<4-2V2;*>4 + 2V2. 158. д: > -2.
159. х > \ . 160. х < log3 |; log2 | < х < log3 | • 161. log^ <
5
< x < 1. 162. 0 < x < 1. 163. x < -6; x > 2. 164. jc < -3; x > -1.
165. x < -2; x > 1. 166. x > 1. 167. 1 < x < 2.
168. -2<х<-1;х>1. Указание. Домножить на (Jb -2)xl.
169. -3 < x < 2; 2 < x < 7. 170. -l£±± < x <-2\ К х <
< 3^o+ 1 . 171.-| <х<-5+У^; ^-5<x<0. 172.1 <x<l;
2 3 6 6 2
2 < x < |. 173. | < x < 1. 174. x > 2. 175.1 < x < 4. 176. 2 < x < 5;
5 < x < 15. 177. -^ < x < -1; 1 < x < 2^1. 178. 1 < x < 10.
179. 0<x< l;x>243.
з
180. x > 3. Указание. 2х + 3 • 2"x > 1.
387
181. О < х < 3. 182. х < 0; l|i < х < 2. 183.0 < х < 1. 184. -1 <
<x<l;Kx<l. 185. -l<jc<i;l<x<|. 186. К х < \ .
о о с с, о
187. 2 < х < 3; х > 7. 188. х > 1. 189. i <х<±;1<х<4.
190. х < -2. 191. -\ < х < 1; х > 1. 192. -1 < х < 1; 3 < х < 5.
193. -| < х < 0. 194. \ < х < |; х> \ . 195. * > 2. 196. х > 0.
197. 4<x<3+V2;x>5. 198. х > 7з . 199. О < jc < ^_l! .
200. -2 < х < -^-у^ . 201. О < х < ОД; х > 1. 202. -2 < х < -1;
К х < 2. 203.1<х<|;2<х<|;х>3. 204. i ; \ < х < \ .
205. х < -2 - </з+ л/5 ; -3 < х < -2 - J3 - Jb ; -2 + л/з - л/5 <
< х < -1; х > -2 + 7з + л/5 . Указание. Замена: z/ = х + 2.
206. -2 + л/З-л/5 < х < -1; х > -2 + л/з + л/5 . 207. 3 < х <
< LL^ ; 4 < х < |. 208. О < х < 1. 209. О < х < 1; х > 1.
2
210. 0<х<1;х>1. Указание. Перейти к основанию -^
211.x < -9+/^; -5 < х < -4; 4 < х < 5; х >
*<+2
9+л/ЗЗ
212. х < -1±^И ; -5 < х < -л/17 ; -л/17 <х<-4;4<х<л/Г7;
213. -g < х < 0. Указание. Рассмотреть графики функций
ух = —^— , у 2 = 1 + log2 х и доказать, что при - - <х<0их>0
будет ух > у2.
214. | < х < 1. 215. х < -3; -1 + л/3 < х < 1. 216. х < 0; К
< х < 3. 217. 1 < х < 4. 218. | <х<1;х>|. 219. х < 3.
220. 1. 221. х < 1; К х < 2. 222. -4 < х < 1. 223. х < 0; \ < х < 1;
К х < 2; х > 3. 224. | < х < 6.
388
Раздел 6. Планиметрия
Рис. 63
2. Указание. Докажем это утверждение
методом «от противного». Предположим,
что окружность, описанная около
треугольника BAD, не содержит точку С.
Обозначим через Сх точку пересечения этой
окружности с прямой ВС (рис. 63). Тогда
ZADCj = ZADC, так как каждый из них
дополняет до 180° угол ABC, что
невозможно.
4. Указание. Продолжим медиану на такое же расстояние.
Вершины треугольника и полученная точка являются
вершинами прямоугольника. Теперь утверждение задачи будет
следовать из равенства диагоналей прямоугольника.
5. Не следует. Указание. Если в треугольнике ABC сторона
АВ меньше стороны АС и угол ABC не равен 90°, то окружность с
центром в А и радиуса АВ вторично пересекает луч С В в точке В^.
При этом треугольники АСВ иАСВг не равны, хотя две
стороны и угол одного из них равны соответственно двум сторонам и
углу другого (рис. 64). Заметим, что в этих треугольниках
углы при вершинах В и В1 в сумме составляют 180°.
6. Указание. Первое равенство следует из подобия
треугольников ACD и BCD (сходственными являются вершины А и С, С
и В), второе — из подобия треугольников ABC и CBD.
8. Указание. Пусть угол А меньше 90° (рис. 65). Имеем
ZNBA
90° - ZAy ZOBC = |(180° - ZBOC) = 90° - Z A.
Таким образом, Z ОВС :
случай ZA> 90°.
Z NBA. Аналогично рассматривается
В
Рис. 64
389
Рис. 66 Рис. 67 Рис. 68
9. Указание. Рассмотрим случай остроугольного
треугольника ABC (рис. 66). Точки А, В, А1 и Вх расположены на одной
окружности диаметра АВ. Следовательно, ZCAXBX = ZA.
С другой стороны, ZOCB = |(180° - ZCOB) = 90° - ZA.
Таким образом, Z CAlBl + Z ОСВ = 90°. А это означает
перпендикулярность прямых AjBj и СО.
10. Пусть О — центр окружности, вписанной в
треугольник ABC (рис. 67). По теореме синусов для треугольника ВОС
(z ВОС =180°-
Следовательно,
В
2
Г А
ОП° 4-
2 90 + 2
asin|
ПС —
sinf90°+-
г = ОС sin | =
)
. В
asm-
1) cosl
в.с
a sin "5 sin—
^ 2
А
cos-
17. Указание. Пусть МС — касательная к окружности
(рис. 68). Треугольники MAC и МСВ подобны (угол М общий,
Z MCA = Z МВСУ так как оба измеряются половиной дуги
АС у см. задачу 16). Следовательно, -^ = jfi-д , или МА • MB =
18. Указание. Проведем через М диаметр CD (рис. 69).
Треугольники MAC и MBD подобны (Z СМ А = Z DMB, Z САМ =
= Z MDBy так как оба измеряются половиной дуги СВ),
следовательно, ^ = ^ , или AM • MB = CM • MD = F?-a2.
390
В М A D
Рис. 69 Рис. 70 Рис. 71
19. Указание. В случае, когда AM — биссектриса
внутреннего угла, наше утверждение было доказано в теоретическом
разделе (см. задачу 14). Точно так же можно доказать наше
утверждение и для биссектрисы внешнего угла. Дадим еще одно
доказательство для биссектрисы внешнего угла. Аналогичное
доказательство возможно и для биссектрисы угла внутреннего.
Пусть для определенности АВ < АС. В случае равенства АВ = АС
утверждение теряет смысл, так как биссектриса внешнего угла Л
будет параллельна стороне ВС. Возьмем на стороне АС точку Вх
так, что АВХ = АВ (рис. 70). Докажем, что прямая ВВХ
параллельна биссектрисе AM. В самом деле, Z. МАК = 90° - ^ ZA,
Z ВВХА = 90° - | ZA.T.e.Z МАК = Z ВВ^А. Из параллельное-
пжл тътъ MB АВ\ АВ
ти МА и ВВХ следует, что -^ = -^ = -^ .
20. Пусть угол BAD параллелограмма ABCD равен ф, тогда
Z ABC = 180° - ф (рис. 71). По теореме косинусов для
треугольников DAB и ABC будем иметь
DB2 = AD2 + АВ2 - 2AD • АВ cos ф,
АС2 = АВ2 + ВС2 + 2АВ • ВС cos ф.
Сложив эти равенства и учитывая, что AD = ВС, получим
DB2 + АС2 = 2(АБ2 + ВС2).
21. Указание. Пусть в треугольнике ABC точка М —
середина ВС, ВС = а, СА = Ь, АВ = с, AM = ma. Продолжим AM на
такое же расстояние. Получим точку D такую, что ABCD —
параллелограмм (рис. 72). Из предыдущей задачи следует, что
AD2 + ВС2 = 2(АС2 + АВ2), или 4/nf + а2 = 2(Ь2 + с2), откуда
вытекает равенство гп2=^ (2Ь2 + 2с2 - а2).
391
fM
m
В
/В
Рис. 72
Рис. 73
Рис. 74
22. Указание. Пусть ABC и АВгСх — два треугольника,
расположенные указанным в условии образом (рис. 73). Тогда
1 АС Sin ВАС' SA
SABC =1
AB С
\АВ\
Но sin ВАС = sin BlACv поскольку эти углы или равны, или
дополняют друг друга до 180°. Деля указанные выражения для
площадей треугольников ABC и АВ1С1 друг на друга, получим
равенство -^*L = АВ ^ .
SABlCl АВг • АСг
23. Указание. Соединим центр вписанного круга со всеми
вершинами многоугольника. Многоугольник разобьется на
треугольники, в каждом из которых одна сторона есть сторона
многоугольника, а высота, на нее опущенная, равна радиусу
вписанной окружности. Сложив площади всех треугольников,
придем к требуемому равенству S = рг.
24. Указание. Пусть М — точка пересечения диагоналей
четырехугольника ABCD (рис. 74). Обозначим угол АМВ через ср.
Тогда высота треугольника ABC, проведенная к стороне ACt
равна ВМ • sincp и, следовательно, SABC = \АС • ВМ sin ср.
Аналогично S
ACD
MD sin ср. Сложив площади
треугольников ABC и ACD, получим
^ABCD ^ABC '
Sacd = \
+ MD) sin ф = i AC • BD sin cp,
что и требовалось. Заметим, что утверждение задачи верно и
для невыпуклого четырехугольника.
392
25. Указание. По теореме синусов (см. также задачу 13)
b - п*™а » а = 2-R sin А. Следовательно,
sin A sin В sin С.
S = \ ab sin С
26. Указание. Пусть О — центр окружности, вписанной в
прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С; К, L,
М — точки касания вписанной окружности с катетами и
гипотенузой (рис. 75); CKOL — квадрат со стороной, равной г. Из
равенства касательных, проведенных из одной точки к
окружности, следует
с = АВ=АМ + MB = AL + ВК = (Ь - г) + (а - г) = а + Ъ - 2г,
откуда г = g (а + b - с).
27. Указание. Биссектриса разбивает треугольник на два.
» 52 = g bl sin |, площадь всего треугольника
- S2 = S или al sin ^ + bl sin ^ = a6 sin a,
2afecos|
a + 6
| ab sin а. Но
откуда i =
afrsina
28. Указание. Пусть К, L и М — точки касания вписанной
окружности (рис. 76); АК =AL = x. Тогда
откуда получаем х= 2
А
(с - х) + (Ь - х) = b + с - 2х,
-a (сравните с задачей 26).
В
К
С м В A Dx D
Рис. 76 Рис. 77
393
29. Указание. Известно, что если ABCD описанный
четырехугольник, то АВ + CD = AD + ВС. Пусть выполняется это
равенство, но четырехугольник не является описанным.
Рассмотрим окружность, касающуюся сторон АВ, ВС и AD
данного четырехугольника (ее центр — в точке пересечения
биссектрис углов А и В; рис. 77). По предположению эта окружность
не касается стороны CD. Пусть, для определенности,
окружность целиком расположена внутри четырехугольника ABCD.
Проведем через вершину С касательную к окружности,
отличную от СВ, и обозначим через Dx ее точку пересечения со
стороной AD. Поскольку АВ + CD=AD + ВС и АВ + CDX = ADX + ВС
(первое — по условию, второе — поскольку ABCDX —
описанный четырехугольник), то, вычитая эти равенства, получим
CD - CDl = DDV что невозможно. Значит, D и Dx совпадают.
30. Указание. Проведем через вершины треугольника ABC
прямые, параллельные противолежащим сторонам
треугольника. Эти прямые образуют треугольник AlBlCl (рис. 78).
Стороны исходного треугольника являются средними линиями
треугольника AlBlCv Таким образом, высоты треугольника
ABC являются срединными перпендикулярами к сторонам
треугольника A^fi^ т. е. эти высоты пересекаются в центре
окружности, описанной около треугольника А1В1С1 (пункт а
доказан), б) Треугольники ABC и А1В1С1 подобны. Все линейные
элементы треугольника AlBlCl в два раза больше
соответствующих элементов треугольника ABC. Если О — центр
окружности, описанной около треугольника ABC, H — точка
пересечения его высот, то по доказанному в пункте а) Н — центр
окружности, описанной около треугольника А^^С^ а отрезки
НА, НВ и НС — расстояния до соответствующих сторон
треугольника AlBlCv Значит, эти расстояния в два раза больше
расстояний от точки О до соответствующих сторон
треугольника ABC. Замечание к пункту а). Эта известная теорема
элементарной геометрии имеет довольно много различных
доказательств. Наиболее коротким, вероятно, является следующее
векторное доказательство. Пусть Н — точка пересечения двух
высот, проведенных из вершин А и В. Нам надо доказать, что
точка Н принадлежит третьей высоте, т.е. что СН _L АВ.
Имеем АН • ВС = 0, КН • СА = 0, поскольку ВС = ВН + ПС =
= ВН - СН, СА = СН - АН, то АН(ВН - СН) = 0,
394
М
R-a
Рис. 78
ВН(СН - АН) = 0. Складывая эти равенства, получим
СН • (ВН - АН) = 0, т. е. СН • ВА = 0. Можно
воспользоваться также методом вспомогательной окружности. Если ААХ и
ВВХ — высоты, то точки А, В, Av Вх лежат на одной окружности
(диаметр АВ), а также точки А19 С, Bl9 H лежат на одной
окружности (диаметр СН). Имеем ААА^В = /.АХВХН = /.АХСН.
Теперь из перпендикулярности АХА и ВС следует
перпендикулярность СН и АВ.
31. Указание. Пусть М — точка на основании ВС
равнобедренного треугольника ABC (рис. 79); боковая сторона
треугольника равна а; высота, проведенная к боковой стороне, равна h;
расстояния от М до АВ и АС равны х и z/. Выражая в равенстве
"^авс = "^авм + SACm все пл°щади по соответствующим
формулам, получим g аЛ = g ajc + g ay, x + у = Л.
32. Указание. Задача аналогична задаче 31.
33. 90° + ^ . Указание. ZAOC = 180° - (Z ОАС + Z ОСА) =
= 180° - \ (Z ВАС + Z ВСА) = 180° - i (180° - а).
34.
V5-1
. Указание. Пусть АВ = а — сторона правильного
десятиугольника, О — центр окружности (рис. 80). В
треугольнике АВО угол при вершине О равен 36°, а два оставшихся —
по 72°. Проведем AM — биссектрису угла А треугольника АВО.
Легко убедиться, что треугольник АВМ равнобедренный тре-
395
N
М
а) б)
Рис. 81
Рис. 82
угольник, подобный треугольнику АВО, и, кроме того, в
треугольнике АМО равны стороны AM и МО, поскольку равны
соответствующие углы. Таким образом, АВ = AM = МО = а,
MB = R- а. Выражая в пропорции -^ = ^ все отрезки через
R и а, получим после преобразований уравнение а2 + aR - Д2 = О,
V5-1
откуда а =
- R. Заметим, что поскольку а = 2R sin 18°, то
sin 18'
1= 75-1
35. Указание, а) Пусть М — точка пересечения медиан
треугольника ABC (см. задачу 11), N — середина ВС, D —
середина ВМ, DN — средняя линия в треугольнике ВМС (рис. 81, а).
Отсюда и из результатов задачи 11 следует, что стороны
треугольника MDN в три раза меньше соответствующих медиан
треугольника ABC. Таким образом, из медиан любого
треугольника можно составить треугольник, б) Нетрудно
привести примеры треугольников, из высот которых можно
составить треугольник. Например, правильный треугольник. Точно
так же легко увидеть, что не для всякого треугольника это
возможно. Например, возьмем равнобедренный треугольник с
достаточно маленьким по сравнению с боковой стороной
основанием (рис. 81, б). У такого треугольника две высоты малы, а
третья может быть сколь угодно большой, в частности быть
больше суммы двух других. Замечание. Если Ла, Ль, hc —
высоты некоторого треугольника, d — произвольный отрезок, то из
.2 ,2 ,2
отрезков г- t I" t т- можно составить треугольник, причем этот
Па ПЬ Пс
треугольник будет подобен исходному. Это следует из третьего
признака подобия.
396
36.60° или 120°. Указание. Обозначим ZABC = ф. Если
Ф < 90°, то (рис. 82) ВМ = ВА cos ф, BN = ВС cos ф. Значит,
треугольники ABC и MBN подобны, поскольку они имеют общий
угол, равный ф, а стороны, его заключающие,
пропорциональны (сходственными являются АВ и ВМ, ВС и BN).
Коэффициент подобия равен cos ф. Точно так же рассматривается случай
Ф > 90°. Коэффициент подобия здесь будет (-cos ф). Объединяя
оба случая, получим, что треугольники ABC и MBN подобны с
коэффициентом подобия |cos <р|. Если MN = | АС, то угол ABC
равен 60° или 120°.
37. ———г . Указание. На рисун-
ке 83 («скелетный» чертеж) Ot и О2 —
центры данных окружностей; АВ —
отрезок общей касательной к ним; О3 —
центр третьей окружности, радиус
которой обозначим через х; О^Л и KL
параллельны АВ. Касание окружностей между
собой и с прямой АВ означает, что ОХО2 = R + г, ОХО3 = R + х,
°2^з = г + х; °г^ = R> О^ = г» ^зс = х- Из треугольников ОХ
, O2O3L соответственно находим
r)2-(R-r)2 = 2N/^:, O3/i:= 27Йх, OSL
Равенство О2М = OSK + O3L приводит нас к уравнению JWr =
= jRx + V^ , откуда Л* - -7^7 , ж = ^—г -
/2 2
38. Длина общей внешней касательной равна *Ja - (R- г) ,
/ 2 2
длина общей внутренней касательной равна »Ja -(R + г) .
Указание. Проведем через центр одной окружности прямую,
параллельную соответствующей касательной (в одном случае —
внешней касательной, в другом — внутренней), до
пересечения этой прямой с радиусом или продолжением радиуса
второй окружности, проходящим через точку касания. Теперь по
теореме Пифагора из образовавшегося прямоугольного
треугольника найдем длину касательной.
397
39. Указание. Стороны четырехугольника с вершинами в
серединах сторон данного четырехугольника соответственно
параллельны диагоналям исходного четырехугольника и
равны половинам этих диагоналей. Ответы на поставленные
вопросы будут следующими: а) диагонали исходного
четырехугольника перпендикулярны; б) диагонали исходного
четырехугольника равны; в) диагонали исходного
четырехугольника равны и перпендикулярны.
40. - \а - b\. Указание. Средняя линия трапеции
параллельна ее основаниям и делит каждую из диагоналей пополам.
Значит, отрезок средней линии от боковой стороны до точки
пересечения с диагональю равен половине соответствующего
основания трапеции.
41. 27. Указание. Пусть в трапеции ABCD основания AD =
= 11, ВС = 7; боковые стороны АВ = 3, CD = 5. Проведем через
вершину В прямую BDV параллельную CD (рис. 84). В
треугольнике ABDX известны все его стороны: АВ = 3, BDX = 5,
ADX = 11-7 = 4. Найдя площадь треугольника ABDV находим
высоту, опущенную на сторону ADV равную высоте трапеции;
найдем затем площадь трапеции. В данном случае вычисления
облегчает тот факт, что треугольник ABDX прямоугольный с
прямым углом BADV т. е. высота трапеции равна 3.
42. 30. Указание. Проведем через вершину В трапеции
ABCD прямую, параллельную диагонали АС, до пересечения с
продолжением основания AD в точке Ах (рис. 85). Треугольник
AXBD равновелик трапеции ABCD. Все стороны этого
треугольника известны (5, 12 и 6 + 7 = 13; этот треугольник
прямоугольный).
В С В 6 С
A ^ Dl D Ax AID
Рис. 84 Рис. 85
398
м
I
\
Рис.86
Рис.87
/I 2 2
43. ^(а + b ). Указание. Обозначим через М точку
пересечения продолжений непараллельных сторон трапеции
ABCD (рис. 86, КР — искомый отрезок), AD = а, ВС = Ь,
ДР = х. Из подобия треугольников МКР и МВС следует, что
) & &с a из п°Д°бия треугольников МКР и MAD
[q\ 2
х) "
* Равновеликость трапеций AKPD и
КВСР означает, что SMjn> - SMBC = SMAD - SMKP. Заменяя
площадь треугольников МВС и MAD через площадь треугольника
МКР, получим 1 - g)2 = g)2 - 1, откуда х = J\(a2 + Ь2).
44. —^— . На рисунке 87 hv Л2, h = Лх + h2 — высоты
соответственно трапеций КВСР, AKPD и ABCD; AD = а, ВС = Ь,
КО = х. Из подобия треугольников iiTBO и ABD имеем - = -г •
а п
Из подобия треугольников АЙГО и ABC имеем | = у . Таким
образом, ^ + г = ! . 2 , х = -^т . Таким же будет отрезок OJP,
а+ Ь
lab
а КР = . Заметим, что на основе равенства КО = ОР можно
а + о
доказать утверждение задачи 7 вводной части.
45. а) Остроугольный, cos а = -^ ; б) прямоугольный; в) ту-
2
поугольный, cos а = ~-г^ .
399
46. 3+ л/22. 47.2.48.^. 49.45°. 50. 3^2. 51. \
52. 2 ЛЗ . 53. б\ . 54. 73 . 55. 75 . 56. Jl. 57. (7б - Л ) и
2(73 - 1). 58. Й. ' *Ц«=. 59.^1. 60. ЦЦ.
V4o -a
62. 45° или 135°. 63. 156°. 64. ^|. 65. arccos 0,6; arccos 0,8.
67.^2, Мш Ш. 68.3. 69.8:1. 70. a) f ; б) ^.
71. \ Л59 . 73. ^Д- . 74. а) 1 и 2; б) Л . 75. 24°, 72°, 84°.
76. 72°, 72°, 36°. 77.у, ±1. 78. 2. 79. 11 : 7. 80. 2г^3 , 2г.
81.-r(tga + tgP), r(tg(a + Р) - tga), r(tg(a + P) - tg P).
82 /ТЧ R4 ^ 84 15 20 8^ 2 X 8 2 88 210^
82. V13 . 83. -g- . 84. у , у . 85. ^ , 5 , 35 , ^ . 86. ^3- .
87.^?. 89.2.90.5. 91. |, |, | ,|. 92.4:3. 93.2:1.
94. 58°. 95. 2, 1. 96. 66°, 42°. 97. -Ц= . 98. 54°. 99. a. 100. 90°.
2 2J7
101. -i= . 102. 4. 103. I, § . 105. 6. 109. ^ - 73 . 111. 202,8.
112.
9 n •
2(a + 6 )
113. 58°. Указание. Около ABCD можно описать
окружность, поскольку ZABC + ZABC = ZABD + Z CBD + ZADC =
= 58° + 44° + 78° = 180°. Следовательно, Z CAD = Z CBD = 58°.
114. arccos ^^ . 115.75.
/3 /3
116. Если а < ^-, задача не имеет решения; при а = ^
задача имеет одно решение: АС = ^ I при ^- < а < 1 задача
имеет два решения: АС =^(1±д/4а -3); при а > 1 — одно реше-
117.3V30. 118.^. 119.24. 120.
400
а)
Рис. 88
м
к
б)
в
121. Таких точек четыре: Мх — точка пересечения медиан
треугольника ABC: М2, М3, М4 — соответственно такие, что
АВСМ2* ВСАМ3у САВМА — параллелограммы.
122.2: 3, считая от вершины В. 123.
125. ВК < AM.
sinf
. 124. 5/|.
126. Указание. Из условия следует, что ВС = 2R sin ^ = 2.
о
Значит, высота hb, опущенная на АС, меньше 2 (hb ф 2, так как
ZACB ф 90°, поскольку — = - ф tg 30°). Следовательно,
лС о
SABC=\AC ' hb<3'
127. 30° или 150°. Указание. Проведем перпендикуляр МК
на ВС (рис. 88, а, б). Поскольку МК = i АН, то из равенства
ВМ = Aff следует, что sin МВС = ^ = \ . Таким образом,
угол МВС может принимать два значения: 30° или 150°.
128. л/1б . Указание. Первый способ. Пусть диагонали АВ и
BD трапеции ABCD пересекаются в М, AD = 4, ВС = 1, CD = J2 .
Обозначим ВМ = jc, CM = у. Из подобия треугольников AMD и
ВМС следует, что DM = 4jc, AM = 4y. По теореме Пифагора для
треугольников ВМС и CMD получаем систему уравнений х +
о 0 0 0 1 0 1 у!
+ у = 1, 16х + у = 2, из которой находим jc = -f- , у = f|, а за-
15 15
V2 2 /—
х + 16 у =лД5. Второй способ. Докажем, что ес-
401
ли у четырехугольника ABCD диагонали перпендикулярны, то
АВ2 - ВС2 = AD2 - DC2 (при этом не требуется, чтобы ABCD
являлся трапецией). В самом деле, если М — точка пересечения
диагоналей, то ВС2 - СМ2 = ВМ2 = АВ2 -AM2. Таким образом,
АВ2 - ВС2 = AM2 - СМ2. Точно так же AD2 - DC2 = AM2 - МС2.
Утверждение доказано. Для нашей трапеции будем иметь
АВ2 = ВС2 + AD2 - DC2 = 1 + 16 - 2 = 15, АВ = 7l5 . Таким
образом, условие, что ABCD — трапеция, является лишним.
129. 7 : 10 (считая от точки В). Указание. См. решение
задачи 28 вводной части.
130. Указание, а) Утверждение неверно, т. е. существуют
пары треугольников, удовлетворяющие условию задачи, для
которых Sl < S2- Например, если первый треугольник
является правильным со стороной, равной 1, а второй имеет одну
сторону, равную 2, а две оставшиеся равны 1,001. Утверждения
пунктов б) и в) неверны в том же смысле, что и пункт а).
(Примеры, опровергающие утверждения этих пунктов, постройте
самостоятельно.)
131. Остроугольный. Указание. Используя формулы
задачи 21, найдем стороны треугольника. Они будут равны
±Щ± , ±^2., ±^ . Поскольку квадрат наибольшей стороны мень-
3 3 3
ше суммы квадратов двух других сторон, то исходный
треугольник является остроугольным.
132. Тупоугольный. Указание. Треугольник со сторонами
i , - у - подобен исходному. Поскольку -i- > 4- + Д-, исход-
3 4 5 з2 42 52
ный треугольник тупоугольный.
133. Вершина А. Указание. Это следует из того, что в
треугольниках АОС и АОВ, где О — центр вписанной окружности,
углы, прилежащие к вершине А, наибольшие.
134. Указание. Если две высоты треугольника больше 1 м,
то любая из его сторон также больше 1 м; следовательно, его
площадь больше 0,5 м2.
135. Существует. Указание. Например, равнобедренный
треугольник с основанием, равным 1000 м, и высотой, на него
опущенной, равной 0,5 см = 0,005 м.
136. 165°. Указание. Из условия следует, что ZACB = 150°.
Следовательно (см. задачу 33), ZAOB = 165°.
137. ^ .
402
138. | /2^L§ . Указание. Площадь треугольника равна ^- .
Значит, площадь сектора искомой окружности радиуса г с
с2 Л
центральным углом в 30° равна —^- ; г находим из уравнения
яг2 _ с273
12 16 '
/5 _ 1 / 2 2
139. ^-g— (а + Ъ - л/а +6 ). Указание. Если г — радиус
окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник,
то расстояние от вершины прямого угла до центра окружности
равно г»/! , а расстояние от вершины прямого угла
соответственно до ближайшей точки окружности равно rj2 - г.
Задача свелась к нахождению радиуса окружности, вписанной в
прямоугольный треугольник, если известны катеты этого
треугольника (см. задачу 26).
140. —■£— . Указание. Острые углы данного треугольника
равны 30° и 60°, гипотенуза равна 2тп.
141. (а + с): Ъ. Указание. Пусть О — точка пересечения
биссектрис, ВМ — одна из биссектрис. Используя свойство
биссектрис (см. задачу 19), найдем AM = —~ . Применяя ту же
а + с
теорему к треугольнику ВАМ (АО — биссектриса), найдем
ВО:ОМ= ^-^ .
142. \\а - Ъ\. Указание. Обозначим ВМ = х, ВА = ВС = у.
Пусть Кх — точка касания со стороной ВМ окружности,
вписанной в треугольник ВАМ; К2 — точка касания со стороной
ВМ окружности, вписанной в треугольник ВСМ. По формуле
задачи 28 найдем ВКХ = | (у + х - а), ВК2 = | (у + х - Ь). Таким
образом, КХК2 = \ВКХ - ВК2\ =\\а- б|.
143. g tg —т—. Указание. Можно воспользоваться
результатом задачи 57.
403
С D
1
1/
\
м \
к
В A F
Рис. 89
Рис.90
Рис. 91
144. 30°. Указание. Если а — острый угол ромба, а — его
сторона, то одна из диагоналей равна 2а sin ^ , другая 2а cos ^ .
Из условия задачи получаем для а уравнение 4а sin ^ cos ^ = 1.
145. у . Указание. Из условия следует, что диагонали
данного четырехугольника перпендикулярны (см. задачу 39).
146. 90°. Указание. Очевидно, что ZAMB = 45°. Докажем,
что ZANB + ZADB = 45°. Первый способ. Пусть ZANB = ее,
ZADB = Р, tg а = ± , tg P = |. Найдем
»«•♦»-ffiJS
1,
1.1
2 3
т. е. а + Р = 45°. Второй способ. Обозначения понятны из
рисунка 89: Z BKD = 90°, так как треугольник FBK равен
треугольнику EKD, и Z BKF + Z DKE = Z BKF + Z KBF = 90°.
Таким образом, треугольник BKD прямоугольный
равнобедренный. Следовательно, ZANB + ZADB = Z MDK + ZADB =
= Z KDB = 45°.
147. Треугольники ABC и DBA подобны, так как ZACB =
= Z BAD, Z ВАС = Z BDA (рис. 90). Из подобия следует
т£ = fi = 41 > или АС • BD = AD • АВ, AD • ВС = АС • АВ.
Умножая первое равенство на АС, а второе — на AD, получим
АС2 • BD = AC AD • АВ, AZ)2 • ВС = АС • AZ) • АВ,
т. е. АС2 • BD = AD2 • ВС, что и требовалось.
404
148. г2(2л/3 + 3). Указание. Обозначим дуги через Зх, 4х,
5х, Зх + 4х + 5х = 360°; следовательно, центральные углы,
соответствующие полученным дугам, равны 90°, 120°, 150°
(рис. 91). Углы получившегося треугольника будут
соответственно равны 180° - 90° = 90°, 180° - 120° = 60°, 180° - 150° = 30°.
Таким образом, нам надо найти площадь прямоугольного
треугольника с острым углом 30°, если радиус вписанной в него
окружности равен г.
149. lja(2l - а). Указание. В описанном четырехугольнике
суммы противоположных сторон равны. Значит, второе
основание трапеции будет 21 - а. Теперь надо найти площадь
равнобочной трапеции с боковой стороной, равной /, и основаниями
а и 2/ - а.
150. 0,5^ + S2). Указание. Очевидно, что вся трапеция
разделена проведенными линиями на три трапеции с равными
высотами. Средняя из этих трех трапеций имеет площадь в три
раза меньше, чем площадь всей трапеции (средняя линия
средней трапеции равна средней линии всей трапеции, а высота в
три раза меньше). Следовательно, если х — площадь всей
трапеции, то х = i (Sl + S2 + х), откуда х = i (Sx + S2).
151. Указание. Пусть К — точка пере- в КС
сечения биссектрисы угла А с прямой ВС
(рис.92). Поскольку Z ВКА = Z KAD =
= Z КАВу то треугольник АВК
равнобедренный, ВК = АВ = а. Таким образом,
если а < Ьу то биссектриса угла А пересекает
основание ВС; если же а > Ьу то — боко- ^
вую сторону CD. Рис* 92
152. Указание. Пусть основания трапеции AD и ВС, М —
точка пересечения диагоналей. Треугольники ABD и ACD
равновелики. Следовательно, равновелики и треугольники AM В и
CMDy поскольку их площади меньше площадей
соответственно треугольников ABD и ACD на величину SAMD.
153. arccos i—- . Указание. Обозначим основания трапеции
через х и kxy через у — ее боковую сторону. По свойству
описанного четырехугольника 2у = (1 + k)xy откуда - = --— . Не-
у 1 + я
трудно косинус угла при основании равнобочной трапеции
выразить через основания и боковую сторону. В данном случае
x-kx
это приведет нас к равенству cos ф
2у '
405
в
b-x
154. ^-£— *J3b + 2ab - a . Указание. Из того, что АС —
биссектриса угла BAD, следует, что треугольник ADC
равнобедренный, AD = DC = b (см. также решение задачи 151).
Точно так же ВС = CD = b. Таким образом, данная трапеция
равнобочная, причем ее боковые стороны равны основанию CD.
155. а2. 156. ^ .
157. {Js[ + JS^f- Указание. Первый способ. Обозначим
основания трапеции ABCD (рис. 93) через а и 6, х и у — высоты
треугольников AOD и ВОС, х + у — высота трапеции. Из
подобия треугольников AOD и ВОС следует, что т = - = 1-^-. Пло-
щадь трапеции ABCD равна
Второй способ. Треугольники АОВ и COD равновелики (см.
задачу 152). Обозначим их площади через х. Как было
доказано при решении задачи 25 (вступительная часть), SAOB • SCOD =
= &
вос
- Следовательно, х = JS^S^ , а площадь всей
трапеции равна Sx + S2 + 2 Js~[s~2 = (Js[ + Js~2 f.
158.
а + о
. Указание. Первый способ. При реше-
нии задачи используем следующее утверждение. Если отрезок
длины d расположен на прямой, образующей угол (р с прямой /,
то проекция отрезка на / равна d cos (p. Пусть ABC прямоуголь-
406
ный треугольник с катетами ВС = а, АС = Ъ (Ъ < а); CD —
биссектриса этого треугольника; Мх и М2 — основания
перпендикуляров, опущенных из точек А и Б на CD; Нх и Н2 — точки
пересечения высот треугольников ACD и BCD (рис. 94). Если
Z ADC = 45° + a, Z HXCD = 45° - а. МХМ2 является проекцией
на CD как отрезка ЛБ, так и НХН2. Следовательно,
МХМ2 = АВ cos (45° + а) = Ja2 + Ь2 cos (45° + а),
мхм2
НХН2 cos (45° - а).
Учитывая, что tg а = - , найдем
а
Н.Н, = Ja2 + Ь2 СОЗ(45° + а) =
1 2 cos(45°-a)
7a6
1 + tga
Второй способ. Пусть О — центр окружности, описанной
около треугольника BCD. Тогда DOB равнобедренный
прямоугольный треугольник. Расстояние от О до DB равно 0,5DB.
На основании утверждения задачи 30 б) будем иметь СН2 = DB.
Аналогично СНХ + DA. Следовательно, НХН2 = \DB - DA\.
Отрезки DB и DA находятся при помощи теоремы о
биссектрисе внутреннего угла треугольника (задача 19):
а+ b
а + b
AD =
а + b
159. arcsin f- - l) . Указание. Очевидно, прямая, о которой
говорится в условии, должна пересекать сторону Ь. Ясно
также, что эта прямая должна делить эти стороны так, как
показано на рисунке 95. Условие описанности каждого из двух
получившихся четырехугольников приводит нас к равенству у =
= Ъ-а.
160. (6 - я): 2я : (6 - я). Указание. Пусть АВ = 2R;
проведенные прямые делят АВ на части ху 2R - 2х и х (рис. 96). По
условию площадь образовавшегося
треугольника равна \ площади полу-
з
круга, т. е.
2Я-2*
Рис. 96
В
407
Рис. 97
Рис. 98
161. 2-(2 л/2 - 1)[(2V2 - 1)я - 4]. Указание. На рисунке 97
о
О — центр первой окружности, К — точка касания ее с АС.
Радиус этой окружности легко находится (радиус окружности,
вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник с
= „2-72
катетами, равными а): г = а-
•. Радиус второй окружности
будет R = АК = ^- . Общая часть двух пересекающихся кругов
представляет собой объединение двух сегментов этих кругов.
Соответственно ее площадь можно искать как сумму площадей
этих сегментов. В свою очередь, площадь сегмента удобно
находить как разность площадей соответствующего сектора и
треугольника. В данном случае эта общая часть (полезно
сделать отдельный чертеж) есть объединение сегмента круга
радиуса г, которому соответствует центральный угол ЕОК = 135°
[ сегмента круга
площадь этого сегмента равна | пг - г ^f
^ о
радиуса R, которому соответствует центральный угол ЕАК =
= 45° (его площадь равна ^- — Д — J . Складывая площади
этих сегментов и заменяя г и R их выражениями через а,
получим ответ.
2
162. ^-(6л/3 - 6 - я). Указание. Пусть О— центр
шестиугольника; А и В — две соседние его вершины (рис. 98); М —
точка пересечения двух окружностей с центрами А и В,
расположенная внутри треугольника АОВ; К и L — точки
пересечения этих окружностей с ОА и ОВ. Искомая площадь в 6 раз
больше площади криволинейного четырехугольника OKML.
Площадь последнего можно представить как разность площа-
408
дей: площадь треугольника АОВ минус площадь
прямоугольного равнобедренного треугольника АМВ (AM = ВМ = -^ ,
АВ = а) и минус площади двух секторов КАМ и MBLy радиусы
которых равны -j=, а центральные углы равны 15°.
163. ^-fg + 2 ) * Указание. Если хорда удалена от центра
окружности на расстояние ^ , то центральный угол, ей
соответствующий, равен 120°. Отсюда следует, что искомая площадь
равна разности площади полукруга и площади сегмента,
соответствующего углу 120°.
164. 0,5V& -а - Указание. Центр первой окружности —
середина DJ3, второй — середина DC. Расстояние между их
/ 2 9
центрами равно 0, ЪВС = 0,5 *Jb -a .
165. g . Указание. Из условия следует, что площади
треугольников МВС и NDC составляют « площади ромба. Значит,
MB = ND= |aB.
2
166. g S. Указание. Обозначим через М' и N' точки
пересечения проведенных прямых со стороной АС. Из подобия
треугольников АММ' и ABC следует, что
\2 _ 1 _
Точно так же S^^^ = -S. Искомая площадь равна разности
площадей треугольников ANN' иАММ'.
167. Указание. Если О — середина дуги А
ВС (рис. 99), то
Z ОВА = Z ОСВ = Z ОВС. / Ол
(Эти равенства следуют из того, что вписан-
ный угол измеряется половиной дуги, на
которую он опирается, и из утверждения,
сформулированного в задаче 16.) Точно так
же Z ОСА = Z ОСВ. Значит, О — точка
пересечения биссектрис треугольника ABC. Pnc. 99
409
м
Рис. 101
Рис. 102
168. Указание. Возьмем на отрезке AM точку К так, что
МК = MB (рис. 100). Треугольник МКВ правильный, так как
МК = MB и ZKMB = ZACB = 60°. Докажем, что треугольник
АВК равен треугольнику СВМ. В самом деле, АВ = СВУ KB = MB,
Z АВК = Z СВМ у поскольку оба эти угла дополняются до 60°
углом КВС. Таким образом, АК = СМ, а значит, AM = АК +
+ КМ = СМ + MB. Замечание. Утверждение задачи несложно
доказывается и алгебраически. Например: пусть сторона
треугольника равна a, AM = Ъ. Обозначим СМ и MB через хх и х2.
На основании теоремы косинусов, записанной для
треугольников MAC и МАВ относительно углов АМС и АМВ, можно
заключить, что хх и х2 — корни квадратного уравнения х - Ъх +
+ Ъ2 - а2 = 0. Теперь по теореме Виета получаем, что хх + х2 = Ь.
169. Если а < 90°, р < 90°, то углы треугольника ABC равны
90° - а, 90° - Р, а + Р; если а > 90°, Р < 90°, то а - 90°, 90° + Р,
180 - а - Р; если а < 90°, Р > 90° то 90° + а, Р - 90°, 180° - а - р.
Указание. Заметим, что по отношению к треугольнику ВАН
точка С есть точка пересечения высот. Задача распадается на
несколько случаев. Первый случай: а < 90°, Р < 90° (рис. 101),
Z СВА = 90° - Z НАВ = 90° - а, Z CAB = 90° - Z НВА = 90° - р.
Аналогично рассматриваются другие случаи. Заметим, что а и
Р не могут равняться 90°.
1 I 2
170. g vт - 4S . Указание. Пусть х и у — диагонали
ромба. Из условия задачи следуют уравнения ху = 2S, х + у = т.
171. |. Указание. На рисунке 102 АВ — сторона квадрата,
о
вписанного в окружность, центр которой О. Из условия
следует, что радиус этой окружности равен -= ; KLMN — квадрат,
2
410
вписанный в один из сегментов; Р — середина LM. Если х —
сторона квадрата KLMN, то РМ = \, ОР = | + х, ОМ = ~.
Записав теорему Пифагора для треугольника ОРМ, получим
2 2 2
для дс уравнение ^ + (! + * ) = T '
172. 25 Л . Указание. Зная высоту сегмента,
соответствующего центральному углу 120°, можно легко найти радиус
окружности: R = 2Л. Дальше решение такое же, как и в предыдущей
задаче. Обозначим АВ = xt AD = 4дс. Пусть М — середина AD.
Записав теорему Пифагора для треугольника OMDt получим
для х уравнение (h + х)2 + 4х2 = 4Л2.
. Указание. Если Я и г — радиусы окружнос-
- г2) = S, Д = 2пг.
174. Л2 fctg | - |(7С - а)1 . Указание. Если О — центр
окружности, то искомая площадь есть разность площадей
четырехугольника МАОВ и сектора АОВ. Центральный угол
сектора равен п - а.
175. ^— . Указание. Наша задача — найти радиус
окружности, описанной около треугольника СМО (М — середина АВ,
О — центр квадрата). Для этого достаточно найти одну
сторону этого треугольника и синус противолежащего угла (см. за-
дачу 13). Поскольку Z СОМ = 135°, а СМ = Ja2 4- ^ = а^-, то
R~ 2 sin 135° "4 V1°*
176. ^sinot— * Указание- Задача сводится к нахождению
радиуса окружности, описанной около равнобедренного
треугольника с основанием, равным а, и высотой h = a sin а,
опущенной на основание. (Основание этого треугольника —
сторона ромба, противоположная вершина треугольника — точка
касания с противоположной стороной ромба.)
411
К М
Рис. 103
177. 2г2(2 73 + 3). Указание. Центры
данных окружностей образуют
правильный треугольник ОХО2О3 со
стороной 2г. Касательные к окружностям
образуют правильный треугольник ABC
со сторонами, параллельными
соответствующим сторонам треугольника 0^20^
В (рис. 103). Поскольку стороны
треугольника ABC удалены от параллельных им
сторон ОХО2О3 на расстояние, равное г,
TOAD = АА -г AiW + IVLiS = Г*JO ~r Zr + r*Jo = Z/\l + /70 ).
2 2
178. а ^г г . Указание. Если С — точка касания
окружностей, то СМ — диаметр данной окружности. Следовательно,
надо найти радиус окружности, описанной около
равнобедренного треугольника АВС9 в котором основание АВ = 2а, и высота,
опущенная на основание, СМ = 2г.
179. ~ g—— . Указание. На основании утверждения,
сформулированного в задаче 23, достаточно найти площадь и
периметр треугольника AMN. Площадь этого треугольника удобно
искать как разность площади квадрата и суммы площадей
трех треугольников: ABM, CMNf ADN.
183.
. Указание. Из треугольника ABC по теореме
sin(a+
синусов определяем АС. Затем находим углы треугольника
АСК [z СКА = Z СВА = a, Z САК = \ Z CAB = 90° - ^ ) и по
теореме синусов для этого треугольника находим АК.
184.
2
• Указание. Если ОиО, — центры соответственно
данной и искомой окружностей, то треугольник QAOj
прямоугольный с гипотенузой ОО1 = R- хи катетами ОА = а, АОХ = дс,
где дс — радиус искомой окружности.
185. ^j= . Указание. Прежде всего заметим, что все три
хорды равны между собой. В самом деле, если одна хорда равна Здг,
412
Рис. 104
а другая — Зу (рис. 104), то х • 2х = у • 2у (см. задачу 18),
откуда х = у. Очевидно, что данная окружность концентрична
окружности, описанной около правильного треугольника ABC со
стороной ^ . Найдя радиус окружности, вписанной в
треугольник ABC Гон равен -^= \ получим, что в данной окружности
v 6V3 /
хорда длиной а удалена от центра на расстояние -^р . Таким
6 «/3
образом, ее радиус равен J-j- + у^ = а-^-р •
188.
. Указание. Обозначим ZAOD = ф (рис. 105).
(f +i). 187.
Поскольку углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то
последовательно получаем Z ABD = Z ACD = ф, Z CAD = Z CBD = Р - ф,
Z CDB = Z CAB = а - Р + ф. Но в треугольнике CKD сумма
углов при вершинах С и D равна внешнему углу при вершине К,
т. е. у = Ф + ct - Р + ф, откуда ф = ^ (Р + Y ~~ °0-
189. ^SJt—2 # Указание. Докажите, что треугольники ВАК
и CDK подобны.
190. ^ . Указание. Если вокруг трапеции ABCD с
2sin asin2p
боковыми сторонами АВ и CD можно описать окружность, то
АВ = CD. Обозначим диагональ АС через а. Окружность,
описанная около трапеции, совпадает с окружностью, описанной
около треугольника ACDf т. е. ее радиус будет R =
2 sin a
(см. за-
413
в
Рис. 106
Рис. 107
дачу 13). С другой стороны, если СК — высота трапеции, то
СК = a sin Р, АК = a cos p. АК равна средней линии трапеции.
(Докажите.) Значит, площадь трапеции равна АК • СК.
191. 4 *J4d -(b-a) . Указание. АВСК—
параллелограмм.
192. 2(Д2 + а2). Указание. Пусть О — центр окружности;
АВ — некоторая хорда, параллельная ОМ (рис. 106).
Обозначим Z ВОМ = ф. Тогда ZAOM = 180° - ф. По теореме
косинусов ВМ2 = Д2 + а2 - 2Ra cos ф, AM2 = R2 + а2 + 2Ra cos ф.
Сложив эти равенства, найдем AM2 + ВМ2 = 2(F? + a2).
193. а(7з - 1), а^(7з - 1) или а(7з + 1), а^(7з + 1).
Указание. Обозначим центр окружностей через Ох и О2, АВ —
их общая хорда. Возможны два случая: центры О1 и О2 — по
разные стороны от АВ (рис. 107, а) и центры — по одну
сторону от АВ (рис. 107, б). В первом случае в треугольнике AOfi2
углы при вершинах Ох и О2 равны соответственно 45° и 30°, во
втором — эти углы равны 135° и 30°. В обоих случаях ОХО2 = а.
По теореме синусов найдем радиусы: RY = АОХ и R2 = АО2 —
для каждого случая.
3-77
195.
Указание. Пусть луч, выходящий из точки
О2 — центра меньшей окружности и образующий угол 30° с
прямой 0^2, пересекает окружности последовательно в
точках А, В и С (рис. 108). То, что этот луч пересекает большую
окружность, следует из того, что расстояние от Ох до него
равно ОгО2 sin 30° = | R < R. Обозначим О2С = х. Запишем для
414
треугольника Ofi2C теорему косину- в
сов относительно угла СО2ОХ: Rr =
= ? R2 + х2 - Зл/З ^ . Из этого
уравнения найдем х = ^ R (второй
корень дает О2В). Значит, точка С
лежит внутри нашего отрезка,
поскольку О2С = 3 * R < 2R. Рис. 108
Поскольку ВС = ^"Я, то часть отрезка, расположенная вне
окружностей, равна
2r-\r-\Jir 3-77
196. л/13 . Указание. Докажем сначала, что в треугольнике
ABC угол С тупой, т. е. точка D лежит на продолжении ВС за
точку С. Допустим, что D лежит на стороне ВС (рис. 109, а).
В треугольнике ABD (Z ADB = 90°) сторона BD меньше АВ.
Значит, биссектриса угла В пересекает AD в точке М, такой, что
MD < AM (см. задачу 19). Далее, обозначим через N точку на
ВК такую, что ND параллельна АС. Поскольку ND < КС = АЙГ,
то LD < AL, что противоречит условию (один из отрезков —
2
MD или LD — должен равняться ^AD). Точка D не может
располагаться на продолжении ВС за точку В, так как в этом
случае прямые ВК и BE не пересекают отрезок AD. Итак, точка
D — на продолжении стороны ВС за точку С (рис. 109, б).
Поскольку точки L и М делят AD на три равные части и ВМ —
биссектриса угла В, то (см. задачу 19) §^ = ^§ = 1, откуда
В
L M D
б)
Рис. 109
415
BD = | AB = 2. Проведем через точку С прямую, параллельную
AD; F — точка пересечения этой прямой с ВК. Из равенства
АК = КС следует, что FC=AL= i LD. Таким образом, ВС = CD =
= 1, AC
+ DC2 = ЛЗ .
197. arccos 1 *—— • Указание. Если ф — угол при
основании равнобедренного треугольника, 2а — его основание, то
& 2 sin2tp
. По условию -^ = k. Получим для ф урав-
R
нения tg 5? si
2
sin-
= /г, —- 2 sin ф cos ф = /г, 4 sin £ cos Ф
ф 2
ф
cos|
2(1 - cos ф) cos ц> = k.
198. |. Указание. Пусть Н — точка пересечения высот рав-
з
нобедренного треугольника ABC с основанием ВС (рис. 110).
Обозначим через ф угол при основании, ВС = 2а. Если О —
центр вписанной окружности, то г = OD = a tg |. По условию
Н£> = 2г; значит, 2г = a tg //JBZ) = a ctg ф. Таким образом,
получаем для ф уравнение 2 tg £ = ctg ф, откуда cos ф = |.
2 3
199. | а2.
о
200. « |а + g - I
' 2
a +
Ё - I
. Указание. Поскольку
EF — диаметр, то Z EKF = ^ (рис. 111). Для определенности
A M В
Рис. 112
416
рассмотрим случай, когда ВС < АВ, т. е. Z АСЕ = 7t-a-p>a.
В этом случае А ВСК = а + Р, А ВКА = а, Z СЕК = п - 2а - Р,
A £Ftf =
= 2-a"i-
27з — з 2
201. -^— а . Указание. Обозначения понятны из рисунка
112. Записав для треугольника АМК теорему косинусов
относительно угла А, получим для х уравнение
Решение будет неполным, если мы не рассмотрим второй случай:
на рисунке — треугольник MKlLv обозначенный тонкими ли-
1-1
ниями. Его сторона будет равна
а> ^а = MD, т. е. точки
х и Lj расположены на продолжениях диагоналей АС и BD.
7
203. — . Указание. Радиусы окружностей, описанных около
треугольников ABD и ACD, относятся как стороны АВ и АС,
поскольку синусы углов ADB и ADC равны.
204. Jl. Указание. Если AD = ВС = *, то DB = 3 - *. По
теореме Пифагора х2 = 3 + (3 - х)2.
205. f (73 -1).
206. л/10 . Указание. Пусть прямая СВ
вторично пересекает окружность в точке
М (рис. 113). Если ВМ = х, то по теоре-
ме, сформулированной в задаче 17, имеем
4 = (1 + х) • 1, откуда х = 3.
77
207. ^^ - 1. Указание. Если гипотенуза равна 1, а отрезок
Рис. 113
от вершины угла а до основания перпендикуляра равен ху то
площадь треугольника будет ^ cos a sin а, а площадь отсекае-
2
мого у tg a.
208. Указание. На рисунке 114 Ох и О2 — центры
окружностей, радиусы которых jRx и Д2; Кги К2 — точки касания со
стороной АВ треугольника ABC; ОХО2 = Rx + R2. Поскольку
АОХ и ВО2 — биссектрисы углов А и В, то АК1 = Лх 7з , ЯйГ2 =
417
А Кх К2 В С В А М D
Рис. 114
= Д2л/3 ; KJC2 — проекция ОХО2. Значит, KJC2 < ОХО2 = Дг + Д2,
= 1,
-1).
209. i У96 - 54 л/2 . Указание. На рисунке 115 ABC —
о
данный треугольник, BD — биссектриса, Ох и О2 — центры
вписанных окружностей, М — середина АВ. Радиус
окружности, вписанной в BCD, легко находится (см. задачу 26). Он
равен 3 ~У . Следовательно, О9В = g ." 7~а. Далее, треугольник
0 Л OSinlD
ABD равнобедренный. Значит, М — точка касания
окружности, вписанной в ABD. Следовательно, ОЛВ = —\—-. Теперь
1 cos 15
ОХО2 находим из треугольника ОХВО2 по теореме косинусов:
ОлОо = " ^ 1 + —-— - 2 ——^- • —-— cos 30° =
1 г ^esinlS0^ cosl5° 6sinl5° cosl5°
= 1(96-54 73).
210. 3 : 4. Указание. Пусть NC = a, BN = 2а, MN = Л
(рис. 116). Поскольку трапеции ABNM и NCDM равновелики,
то в них равны суммы оснований: BN -f AM = NC + MD или
4а + 4= = 2а + Л 73 , откуда h = а л/3 .
Уз
211. аЦ^- ctg ^-£-!-. Указание. ОС— биссектриса угла С
sin a 2
(О — центр искомой окружности). Значит, R = ОА = AC tg ^ .
418
1 I 2 2
212. Yq л/25а + с 4- lOaccosp. Указание. Сначала по
теореме косинусов находим АС, затем cos А, поскольку все
стороны треугольника ABC известны. И наконец, находим MN из
треугольника AMN (N — середина АС).
213. 5 S. 214.
• 215.
6Rr-R -г
2(Ь - a cos а)
217.
2cos|
in^. Указание. Задача сводится
к нахождению радиуса окружности, описанной около
равнобочной трапеции, меньшее основание которой равно bf боковые
стороны равны а, угол при большем основании равен 90° - тт •
218. S cos2 a.
219. JaR2 - a2 . Указание. Докажем, что МР2 + QN2 = 4Д2
(рис. 117). В самом деле, сумма дуг МР и QN равна я (см.
задачу 15). Если отложить на продолжении дуги QN дугу NL,
равную МРУ то получим дугу QNLy равную полуокружности.
Значит, Z QNL = 90° и LN2 + NQ2 = 4Д2. Но LN = МР. Таким
образом, МР2 + QN2 = 4Д2.
220. g • Указание. Из условия следует, что углы В и С
треугольника ABC острые. Если Ох и О2 — центры описанных
окружностей треугольников АМС иАМВ (рис. 118), то проекция
отрезка ОгО2 на ВС равна ^ » т. е. ОХО2 > ^ J ^1^2 = 2 • если
М — основание высоты, опущенной из А на ВС.
419
Рис. 119
221. л/b2 + а2 + 2absina |ctg a|.
/i 9 А 9 9
222. ^д*> 4- ga - jj
9 О
g jj • 223. arcsin - и я - arcsin - .
224. а2(л/2 - 1). Указание. Общая часть изображена на
рисунке 119. Она представляет собой четырехугольник KLPQ.
Его площадь равна разности двух равнобедренных
прямоугольных треугольников — KLM (с катетами, равными а) и
QMP (с катетами, равными (л/2 - 1)а).
225_асоз(а+Р) °sin(a+P) указание. Обозначения понят-
cos(2a+P) cos(2a+P)
ны из рисунка 120. По условию A AMD = 90°. Но этот угол
измеряется полуразностью дуг AD и ВС (см. задачу 14),
^ВС = 2а; значит, ^AD = л + 2a (ABCZ) = л - 2а). Поскольку
^>CD = 2Р, то ^>АВ = л - 4а - 2(5. Зная хорду АВ и стягиваемую
ею дугу, найдем радиус окружности (см. задачу 13). Далее,
наоборот, зная радиус окружности и дуги, соответствующие
диаметрам, найдем диагонали.
226. 0,5a(b - a cos a) sin3 a. Указание. Имеем АК = a cos a,
ВК = a sin a, KD = AD - AK = b - a cos a, KM = (b-a cos a) sin a,
Z BKM = 180° - a.
227.
6cos^+ 1
о
. Указание. Обозначим через К и М точки
пересечения проведенных лучей со стороной АВ (рис. 121).
Поскольку СК — биссектриса треугольника АСМ, а СМ —
биссектриса треугольника КСВ, то (см. задачу 27) х
2bycos|
—
0+1/
36+ х
420
228.
•. Указание. Обозначим АС = х, АВ = ВС =
= у. Площадь равнобедренного треугольника ABC равна
2. Но ~ = jr^ = \ (см. задачу 19).
229. 4 cos ^ \(R2 - R1)(R2sin ^ + i^cos^j. Указание. Для
того чтобы найти длину хорды окружности, радиус которой
известен, достаточно найти расстояние от центра окружности до
этой хорды. На рисунке 122 Ох и О2 — центры окружностей;
ОХМ = OXN = Rv ОХО2 = R2 - Rx; К — проекция О2 на вторую
сторону угла; О2К = LN = \Rl - (R2 - Rx) cos cc|. Следовательно,
искомая хорда будет равна
2jR22-O2K2 = 4 cos I
l +
230. —. Указание. Первый способ. Обозначим через С
точку пересечения касательных (рис. 123). Имеем sin CAO =
= \у cos CAO = \ , sin CBO = \ , cos CBO = \ . Затем найдем
о о о о
sin АСВ = sin (Z CAO - Z CBO) = ^ ипо формуле задачи 25 —
площадь треугольника ABC. Второй способ. Пусть К и М —
точки касания АС и ВС с окружностью. По теореме задачи 17
АК2 = (ОА + Д)(ОА - R) = (15 + 12) • (15 - 12) = 81, АК = 9.
Аналогично находим ВЫ =16. Пусть СМ = СК = х. Поскольку
СО — биссектриса внешнего угла треугольника ABC, то (см. зада-
м
Рис. 122
Рис. 123
421
чу
Ш = Ш ' или TiHlc = М ' откуда * = Т * ТепеРь
-AC)- if.
. Указание. Из условия следует,
что центр искомой окружности равноудален от всех сторон
треугольника ABC, т. е. ее центр совпадает с центром вписан-
I 2 2
ной окружности, а радиус равен л/г + 0,25d . Для
определения г можно воспользоваться формулой задачи 10.
232. д/а2 + Ь2 - ab , Ja2 + б2 + аЬ . Указание. См. задачу 39.
233. Указание. Пусть Jif — середина AM, Рх и Р2 — точки
пересечения медиан треугольников АВМ иАСМ (рис. 124). Имеем
ВР1Р2С — трапеция. По условию диагонали ВР2 и СРХ этой
трапеции равны. Следовательно, ВРХ = СР2. (Докажите.) Значит,
ВК = СК. Таким образом, точка К проектируется на ВС в
середину ВС. Из этого следует равенство МО = ODy а затем и ВЫ = DC.
234. 15°, 75°. Указание. Пусть катеты треугольника равны
а и Ьу а гипотенуза с. Из результата задачи 141 следует, что
ВО = а±Ь Таким образом, с V3 =
UE с
= (а + b)j2. Обозначим через ср
наименьший угол треугольника.
Тогда (cos ф + sin ср)л/2 = */3 ,
откуда ^ cos Ф 4- & sin Ф = ^ ,
cos (45° - Ф) = & .
235.
Я./3
236. 2л/б. Указание. Находим последовательно cos ВАС,
cos i ВАС, АЙГ (задача 27), BJf и JTC (задача 19), а затем КМ из
подобия треугольников АКС и ВКМ.
237. л/2 . Указание. Пусть центр окружности — точка О —
удалена от одной стороны угла на расстояние R {R — радиус
окружности) и на расстояние у от другой его стороны (рис. 125,
422
D
Рис. 125
Рис. 126
окружность можно было не изображать). Из условия следует,
что >JR -у = i 7б . (Хорда АВ длиной */б удалена от центра
окружности радиуса R на расстояние у.) Найдем расстояние от
О до биссектрисы прямого угла. Треугольник КМО
прямоугольный равнобедренный с гипотенузой КО> равной R - у.
Следовательно, ОМ
72
. Получаем второе уравнение
*JR - 0,5(Д- у) = 0,5л/7. Задача свелась к решению
системы уравнений R2 - у2 = |, R2 - у2 + 2Ry = - . Вычитая из
второго уравнения первое, получим Ry = 1 и т. д.
238. 4<2Тз+ 3) указани€т Пусть АВ — сторона параллело-
з
грамма ABCD, которой касается одна окружность, О — центр
этой окружности (рис. 126, сами окружности можно не
изображать, а указать лишь их центры, точки касания со сторонами
параллелограмма, провести соответствующие отрезки). Тогда
треугольник АВО прямоугольный (докажите), в котором
высота, опущенная на гипотенузу АВ, равна 1, а один из отрезков, на
которые высота делит гипотенузу, равен л/3 . Теперь легко
определить все элементы треугольника АВО, а затем и
параллелограмма: ABCD :AB=A,
Уз
J_, Z BAD = 60°.
7з
2 3
239. 2R sin asinP . Указание. Если О — центр окружности,
sin(a + р)
то из условия следует, что в треугольнике АОВ ОА = OB = R>
ZAOB = ZOBA =
£ - a . Далее находим АВ и затем площадь
треугольника ABC по формуле задачи 25.
423
б) О
Рис. 127
240.
3271
А С В А М С
Рис. 128
■. Указание. Из условия следует, что тре-
угольник АВМ равнобедренный; АВ = АМ> поскольку
биссектриса угла А этого треугольника перпендикулярна стороне ВМ.
Обозначим АВ = а. Тогда AM = МС = а. Если ВС = ху то,
записав теорему косинусов для треугольника ABC относительно
заданного угла, получим соотношение, с помощью которого
выразим х через а.
241. 1,1. Указание. На рисунке 127 Вх и Ct — середины АС и
АВ, М — точка касания построенной окружности с ВС.
Поскольку ВХСХ параллельна ВС, то перпендикуляр, опущенный из М на
BlCv проходит через середину B]CV т. е. ВМ = В]С1: 2 = ВС: 4 = 1.
На основании теоремы, сформулированной в задаче 17, имеем
СМ2 = СВу • СВ2, или 9 = |(! + *) (В1В2 = х).
2
242. Если | < R < |, задача имеет одно решение: ^^ ; если
а2 а2
0 < Д < 7 или R> % у задача имеет два решения: r^j— и J^ . Ука-
зание. Заметим, что четвертая окружность не может касаться
трех данных одинаковым образом, так как в противном случае
расстояния от точки О (центр четвертой окружности) до трех
точек, расположенных на одной прямой, были бы равны.
Пусть х — радиус четвертой окружности, С — середина АВ.
Расстояние от О до А, Б и С равны R + х или \R - x\. Рассмотрим
первый случай. Два расстояния равны R + х, одно равно \R — х\.
Легко видеть, что в данном случае ОА = ОВ — R + х, ОС = \R - х\
(рис. 128, а). По теореме Пифагора для треугольника АОС име-
424
а)
б)
Рис. 129
2 а2 а2
ем {R + х) - {R - х) = ^-, откуда х = ^г^ . Второй случай: два
расстояния из трех возможных равны \R - х|, одно равно R + х.
Имеем две эквивалентные возможности: ОА = ОС = \R - х|,
ОВ = R + х (рис. 128, б) или ОС = OB = \R - х\у ОА = R + х. На
рисунке 128, б точка М — середина АС. Выразив ОМ по
теореме Пифагора из треугольников АОМ и ВОМУ получим уравне-
2 2 2
ние (R + х)2 —j^r = (R - х)2 - Yg » откуда х = |^ . Во втором
случае для х имеет место ограничение: |#- х\ > |. Следовательно,
2 2 2
1я °2
Г~8Д
2 2
243.^ и arccos —2—^ (= 2arctg^J. Указание. Первый
способ. При помощи дополнительного построения, указанного
в решении задачи 38, найдем, что углы а и Р, образованные
соответственно общей внешней и общей внутренней касательной
с линией центров (рис. 129, а), удовлетворяют равенствам
R-r ._ о R+ г
sin a
и sin p =
+ г2)
. Теперь найдем cos а и
R2-r2
cos р, а затем cos (а 4- Р) = 0 и cos (а - Р) = —^ ^ • Второй способ.
R + г
Обозначения понятны из рисунка 129, б. Пусть ОХМ — R> О^Я = г,
= х, AN — у. Поскольку О^А и О%А — биссектрисы смежных
2 - г2.
углов, то ОХАО2 = 90°, ОХО\ = ОХА +
Таким образом, 2(R? + г2) - Я2 + г2 + х" + у" или /Г - х" = у
Но треугольники АОХМ и OgAA^ подобны. Пусть у = &R, г = Лх.
425
о
Рис. 131
Имеем Я2 - х2 = k2(F? - х2). Следовательно, либо R = х ( в этом
случае tg | = 1, <х = | 1, либо k = 1 в этом случае tg ^ = - = ^ ,
г R2 - г2
а = 2 arctg Б = arccos -5 5
R R2+ г
244.=.
245. ^р . Указание. Пусть AF = х. Из условия AM : МС =
= 1 : 3 и подобия треугольников AMF и СМЕ (рис. 130) найдем
ЕС = Зх. Четырехугольники ABEF и BCDF представляют
собой трапеции с равными высотами. Значит, их площади
относятся как суммы оснований. Таким образом, т— ,—о = о •
(а — х) + Зх *
Затем находим МС и по теореме косинусов из треугольника
ЕМС находим ЕМ.
R(3 — 2a/2)
246. ——о }. Указание. Обозначим через х радиус искомой
о
окружности. Пусть Ох — центр этой окружности (рис. 131). Рас-
2 R
смотрим треугольник OAOV в котором ООХ = R + х> АО = —= ,
J3
Z ОАОХ = 30°; высота, опущенная из Ох на АОУ равна х.
Записав теорему косинусов для треугольника ОАОХ относительно
2
угла А (АОХ = 2jc), получим уравнение относительно х: {R + х) =
= 4х2 + Щ- - 4Rxy x<R.
о
247. 4 Z1 " cosP . Указание. На рисунке 132 А, и С, - середи-
\3-cosP А А
ны соответствующих сторон. Пусть боковые стороны
треугольника ABC равны а. Находим последовательно АС = 2а sin |,
426
Рис. 132
Рис. 133
АХСХ = a sin f- . На основании равенства АСХ • С^В = DCl • СХЕ
(см. задачу 18) получим уравнение — = Jt(asin | + х), где
х = DCl = EAV Далее находим х и DE. Поскольку высота,
опущенная из В на DE, вдвое меньше высоты, опущенной на АС,
sabc _ 2AC
то
SL
248.
gfetga
4а tg a + (a - b)
. Указание. В — точка пересечения
высот треугольника ONP (задача 30), ОА — высота этого
треугольника. Теперь последовательно находим ON,
sonp =\ON • OP sin a, NP = Ja2tg2a + (a - b)2 ,
ОА (из равенства NP • OA = 2S0Np).
249. Обозначения: Ov O2 — центры данных окружностей;
Mp М2 — их точки касания с одной стороной угла; О и М —
центр и точка касания третьей окружности (рис. 133). По
условию, ООХ = О1М1 = г, ОО2 = О2М2 = R. Проведем через О1
прямую, параллельную МХМ2, и обозначим через L и К ее точки
пересечения с ОМ и О2М2. Из подобия треугольников OfiL
и О,О Ж находим OL = г^д ~ г), а затем — искомый радиус
1 А R+ г
R+ г
г =
250.
LM= r(R~r)
R+ г
. Указание. Обозначим АВ = х, АК = у. На
основании утверждения задачи 19 имеем | = ^ . Второе уравнение
получим следующим образом. Из треугольника ВКС по теоре-
427
A MB
Рис. 134 Рис. 135
ме косинусов найдем cos ВКС, после чего запишем теорему
косинусов для треугольника АВК относительно угла АКВ.
251. 2^45 . Указание. Отрезок BD делится медианой СЕ в от-
з
ношении 5 : 1 (считая от вершины В). С помощью приема,
рассмотренного при решении задачи 8 вводной части (проведем
через В прямую, параллельную АС, до пересечения с прямой СЕ
и т. д.), найдем отношение AD : DC = 4:1. Обозначим DC = ху
AD = 4х. Выразим АВ и ВС через х (по теореме Пифагора). На
основании формулы, выражающей длину медианы через стороны
треугольника (задача 21), получим уравнение относительно х.
252. SQ > RS. Указание. Пусть М — основание
перпендикуляра, опущенного из S на PR. Поскольку Z RPS = Z QRP = 45°,
то SM = РМ = ^ . Нетрудно проверить, что SM = 5^? > MR =
= 7 _ 5^2 таким образом, tg MRS > 1, a Z MRS > 45°. Значит,
в треугольнике QRS угол QRS тупой, т. е. SQ > RS.
253. Указание. Воспользуйтесь утверждением задачи 17.
254. Указание. Проведем через А прямую KL>
параллельную MQ (рис. 134); LR параллельна МК. Докажем, что
треугольники ANP и LRQ равны. Поскольку трапеции МКАР
и NALQ равнобочные, то NA = LQ, АР = МК = LR, Z LRQ =
= Z КМР = Z APN, Z LQR = Z AN Р. Из этого следует
равенство углов NAP и QLR. Таким образом, треугольники NAP и QLR
равны, а значит, MQ - NP = MQ - PQ = KL. (Рассмотрите
самостоятельно случай, когда точка А лежит вне отрезка KL.)
255. ^^ . Указание. Проведем через С прямую СМ> парал-
4
лельную AD (рис. 135). Из условия следует, что AM = MB =
= МС. Значит, М — центр окружности, описанной около
треугольника ABC. Таким образом, Z.ACB = 90°. Кроме того,
треугольник ACD равен треугольнику АМСУ а его площадь равна
половине площади треугольника АСВ, т. е. площадь трапеции
ABCD составляет | площади треугольника ABC.
428
м
в к
Рис. 137
Рис. 138
256. 108°, 36°, 36°. Указание. Воспользуйтесь результатом
задачи 33.
257. Z АСВ = Z ABC = 72°, Z ВАС = 36°. Указание. Пусть О —
центр окружности, описанной около треугольника ABC, и по
условию центр окружности, вписанной в треугольник АВК (рис.
136); Z АСВ = а. Тогда Z АОВ = 2а, Z ОАВ = Z ОВА = 90° - а,
Z БАЙТ = 2 Z ВАО = 180° - 2а, Z ABC = 4 Z ABO = 360° - 4а.
Из условия а + (180° - 2а) + (360° - 4а) = 180° найдем а = 72°.
258. р - а. Указание. Обозначим Z ABC = ф (рис. 137). Тогда
Z ADC = 360° - a - P - ф. Далее имеем Z ВСК = 90° -
2,
2 '
Z CMD = р - 90° + |, Z CMD = 180° - 2 Z СМ£> = 360° - 2р - ср
и, наконец, Z MDA = Z ADC - Z CDM = (360° - а - Р - ф) -
- (360° - 2Р - Ф) = р - а.
259. 0,8. Указание. Пусть прямая AM пересекает сторону
CD трапеции в точке К (рис. 138). Если h — высота трапеции,
а х — высота треугольника АКТ), опущенная на сторону AD, то
из условия следует соотношение 15 Л • § = 6х, откуда х = 1| Л.
2 4 16
Таким образом, СК : KD = 1 : 15, СМ = 0,8.
260. 4,8. Указание. Треугольники ABC и RBK подобны.
Коэффициент подобия равен |cos p| (см. задачу 36).
261.90°. Указание. Докажите, что проведенная прямая
перпендикулярна одной из сторон, а исходный треугольник
является прямоугольным.
262. 1) Z А = ZB = 36°, ZC= 108°; 2) ZA = 132°, Z В = 12°
(или ZA= 12°, ZB = 132°), ZC = 36°. Указание. Возможны
два случая. Первый случай: обе биссектрисы пересекают
продолжения сторон АС и ВС за точку С (рис. 139, а). Обозначим
Z CAB = ф. Тогда Z AM В = Z МАВ = ф, Z МБС = Z МБР = 2ф,
Z ВЯА = Z /ГВА = 180° - 4ф, Z КАС = Z ЯАЛГ = 360° - 8Ф. Сло-
429
N
а)
жив три угла с вершиной А, получим 2(360° - 8(р) + ф = 180°,
Ф = 36°. Второй случай (рис. 139, б): с точностью до
перестановки А и В. Обозначив Z CAB = ф, последовательно
находим Z БАМ = Z ВМА = 180° - ф, Z ABM = Z МВР = 2ф - 180°,
Z СВА = Z ВЯА = 540° - 4ф, Z АА# = Z iiTAC = 1080° - 8ф и,
наконец, из уравнения 2(1080° - 8ф) + ф = 180° находим ф = 132°.
Формально следовало бы рассмотреть и третий случай, когда обе
биссектрисы пересекают продолжения СА и СВ соответственно
за точки А и В. Нетрудно показать, что этот случай невозможен.
263. 0,5л/97 . Указание. Можно показать, что угол A He^o-
жет быть тупым. Обозначив AD = СВ = х> DB = 3 - х и записав
теорему Пифагора для треугольника CBD, получим для х
уравнение.
264. -£-- . Указание. Пусть одна из сторон четырехугольни-
а + о
ка разделена вершиной ромба в отношении х : у (рис. 140). Из
подобия соответствующих треугольников найдем, что сторона
ромба, выраженная через диагональ Ь, равна —— , а ее выраже-
ха тт xb цп
ние через диагональ а будет . Из равенства = -2— .
найдем - = |, а затем определим сторону ромба.
2
265. О < S < ^-. Указание. Пусть х и у — катеты
треугольника. Нам надо определить, в каких пределах может меняться
S = g ХУ ПРИ условии х2 + у2 = с2, х > 0, у > 0. Из неравенства
2
х2 + у2 > 2ху = 4S следует, что S < j .
266. a-b + c-d + e. Указание. Используя равенство
касательных, проведенных к данной окружности из одной точки так
430
же, как это делалось для описанного четырехугольника, можно
доказать, что в описанном шестиугольнике (и вообще, в
описанном 2п-угольнике) суммы сторон, взятых через одну, разны.
267. 0,87б . Указание. Докажите, что из условия (точки A, D,
Е и С лежат на одной окружности) следует равенство АВ = ВС.
268. 1,2 л/3 . Указание. Если R — искомый радиус, то SABC =
= 0,5(АВ + BC)R.
269. \ . Указание. Сначала найдем отношение ^ (см. зада-
4 QC
чу 8 вводной части). Затем найдем площадь треугольника К ВС
и, наконец, площадь ABC.
270. 8. Указания. АВСН равнобочная трапеция.
Следовательно, ВН = АС и Z САЕ = 60°. Записав теорему косинусов
для треугольника САБ, получим уравнение, из которого
найдем АС.
271. д/5 . Указание. Произведение площадей треугольников
ABE и CDE равно произведению площадей треугольников ВСЕ
и ADE (см. решение задачи 25 вводной части). Следовательно,
если х и у — площади треугольников ВСЕ и ADE, то ху = 49,
х + у < 14. Из этой системы получим х = у = 7, т. е. ABCD —
параллелограмм.
272. J2 . Указание. Пусть М— середина ВС (рис.141).
Имеем Z CAD = Z CD A = Z СВА. Таким образом, треугольники
MAC и ABC подобны. Из подобия находим С В : С А = С А : СМ>
а поскольку СМ = \ СБ, то С В2 = 2СА2 = 2.
273. (73 - 1)(с + -j=). Указание. Пусть Z ВСА = ср,
Л — радиус описанной окружности, ZACN = ср 4- 30°. Тогда
431
AN = 2Д sin (ф + 30°) = с
sin(cp+ 30°)
sincp
л
с(г
в
Рис. 143
- Найдем
СК АС — А.К
ctg ф. Проведем высоту ВК (рис. 142): ctg ф = ^ = —^—
6-ccos75° = fr-ccos(45° + 30°)
csin75° csin(45° + 30°)
274. 10. Указание. Пусть Av BltC1 — середины сторон
треугольника ABC; О — центр окружности, описанной около
треугольника Л1Б1С1 (рис. 143). В треугольниках СОАХ и СОВ1
сторона СО общая, ОАХ = OBV Z ОСАХ = Z ОСВХ (по условию).
Из решения задачи 5 следует, что или эти треугольники равны,
или углы САХО и СВХО в сумме составляют 180°. В первом
случае будет АС = С В = 4, что невозможно, поскольку 4 + 4 < 2 л/19 .
Во втором случае четырехугольник СА1ОВ1 является
вписанным. Но ААХОВХ = 2 ААХСХВХ = 2 ZACB. Значит, ZACB = 60°,
поскольку ZACB + ZAlOBl = 180°. Далее, как обычно, с
помощью теоремы косинусов, получаем уравнение, из которого
находим АС.
275. 1 + у^ . Указание. Пусть ВМ — высота треугольника
(рис. 144). Из условия следует, что каждый из углов АВМ и
СВМ больше 45°. В самом деле, если один из них меньше 45°,
то второй будет больше 95°, что невозможно, так как оба
они — углы в прямоугольных треугольниках. Таким образом,
окружность с центром в Б и радиусом J2 пересекает отрезки
МА и МС, а общая часть круга и треугольника представляет
собой объединение равнобедренного прямоугольного
треугольника КВР с катетами, равными J2 , и двух секторов круга
радиуса л/2 , сумма центральных углов которых равна 50°.
432
h
А В
Рис. 145
276. |. Указание. Пусть К — середина АС (рис. 145), NK =
= i АВ, Z NKC = а, МК = МС - KC=\(CD + СА)-\СА= \CD =
2 2 2 £
= i АВ = ЛТК". Таким образом, треугольник NKM
равнобедренный и Z NMC = ± Z NJTC = % .
277. Jl.
278. 27StgP . Указание. Заметим, что треугольник BMN
подобен треугольнику ABC с коэффициентом cos p (см. задачу 36),
a MN перпендикулярна ОБ (задача 9). Таким образом, если R —
радиус описанной около ABC окружности, то S = - R - MNy
MN = AC cos p, R =
АС =
АС
2sin[3
. Из этих соотношений следует, что
279.
. Указание. Пусть х и у — стороны прямоуголь-
ника (рис. 146, а). Нетрудно получить систему уравнений
- = ^—У- ух2 + у2= (ЦП . Выражая из первого у через х и подстав-
3 4 ^25^
ляя во второе уравнение, получим для х квадратное уравнение
?1 х2 - Ц х + 16 - (||) = 0. Если D — дискриминант этого урав-
9 3 ^ 25^
= (j-j . Получаем хх = -5- и х2 = |-- . Второе не подходит, так
433
а)
б)
В
Рис. 147
как х2 > 3. Замечание. Можно существенно облегчить
вычисления за счет некоторых геометрических соображений. Заметим,
что ответ в нашей задаче одинаков для любых треугольников
со стороной 3 и высотой, опущенной на эту сторону, равной 4,
если основание высоты не выходит за сторону (углы,
прилежащие к этой стороне, не тупые). Рассмотрим прямоугольный
треугольник с катетами 3 и 4 (рис. 146, б). Вершина
прямоугольника, противолежащая С, есть точка пересечения
окружности радиуса 3,48 с гипотенузой АВ — точка М. Поскольку
12
3 < 3,48 < 4, то такая точка одна. Высота CD равна -=- . Значит,
о
87 12V87 Щ /27 147
Теперь нетрудно найти AM и МБ, а затем площадь
прямоугольника.
280. Jab . Указание. Пусть М — точка пересечения прямой
АВ и касательной (рис. 147), а — угол между ними. Имеем
MB • MA = МС2 (задача 17). Умножим это равенство на sin2 a,
получим (MB sin а) • (MA sin а) = (МС sin а)2. Но MA sin а = а,
MB sin а = by a MC sin а есть искомое расстояние.
281.
. Указание. Обозначения понятны из ри-
mna + nkb + kmc
сунка 148. Если а — величина угла ВАС, то Z СХМВХ = 180° - а.
Следовательно, Sc мв = ^ sin а = ^ &авс Аналогично
8СгМАх " 7tSABC> SAXMBX = %Sabc Сложив эти три равен-
а1в1с1 - [-ь7 + 7Z + 7ь J ' Sabc-
434
BbPbC
Рис. 148
282. 7240 + 720 , ^240 -720,780+7б0,780-7б0.
Указание. На рисунке 149 АС = 107з , BD = 12, ОР и ОК—
расстояние от О до диагоналей АС и BD — легко находятся:
OP = JlOO - 75 = 5, <Ж = л/ЮО - 36 = 8. Поскольку Р и Я —
середины диагоналей АС и BD, нетрудно найти отрезки АМ> МС,
ВМ и BDy нетрудно найти отрезки AM, MCt BM и М£), а затем и
стороны четырехугольника ABCD. Заметим, что ответы могут
быть записаны и иначе. Например, JSO - 7бО = л/140 - 80л/3 .
283. п = 2, 3. Если п = 3, отношение равно 1; если л = 2, воз-
можны два значения отношения:
75 3-75 ,т
^— и —5— " Указание-
Пусть АВ = АВ' = jc, АС = А'С = у, ВА = 2, Б'С = zjnyn*l.
Записав теорему косинусов для каждого треугольника, получим
х2 + у2 - ху, пг2
х2 + у2 4- ху. Умножая первое уравнение
на п и вычитая из второго, будем иметь (1 — п)х + (1 4- п)ху +
+ (1 - п)у = 0. Разделив это уравнение на у , получим квадратное
уравнение относительно - . Условие неотрицательности
дискриминанта даст нам неравенство Зд — 10п + 3 < 0, откуда п = 2, 3.
284. 1 : 3. Указание. На рисунке 150 Р — середина ВС.
Докажем, что Е — середина MF. Пусть AM = АК = а, ВМ = ВР = Ъ. Из
подобия треугольников ВМЕ и ВАК найдем ME = -^—- . Из по-
а + о
добия треугольников EFK и ВРК> учитывая, что тгр = ттъ = г »
найдем EF = —— . Равенство ME = EF доказано.
а + Ь
285. i (p - a)2 ig ^ . Указание. См. задачу 28.
435
286.12. Указание. Если ABCD — прямоугольник, то для
произвольной точки М выполняется равенство МА + МС =
= MB2 + MD2. Для доказательства можно поступить,
например, следующим образом. Пусть х, у, z,t — расстояния от М до
прямых АВ, ВС, CD и DA соответственно. Имеем МА2 + МС2 =
= (х2 +
+ (i/2 +
+ z2) = МБ2 + MD2. Из
= (хл + у") +
сформулированного выше утверждения будет следовать, что
если МА = 3, MB = 5, МС = 4, то MD = 0, т. е. точка М
совпадает с вершиной D прямоугольника.
287. — или */3 . Указание. Пусть в треугольнике ABC
медиана AM равна 1, высота, опущенная из вершины Б, также равна
1, а высота, опущенная из вершины С, равна */3 . Тогда расстоя-
1 Л
ния от М до сторон АС и АВ равны соответственно - и ^- , а это
означает, что sin MAC = \ , sin МАВ = ^ . Таким образом, угол
MAC равен 30° или 150°, а угол МАВ равен 60° или 120°.
Перебирая варианты, легко убедиться, что существуют две
возможности. Первая (рис. 151, a): Z MAC = 30°, Z МАВ = 60°. Вторая:
Z MAC = 30°, Z МАВ = 120° (рис. 151, б). В первом случае
треугольник ABC прямоугольный, его площадь равна ^-. Во
втором случае продолжим AM за точку М и возьмем на
продолжении точку Ах так, что AM = MAV ABA^ — параллелограмм.
Треугольник АСА1 равновелик треугольнику ABC. В
треугольнике АСА1 ААг =АХС = 2, Z ААХС = 120°, площадь треугольника
равна V3 .
288. - . Указание. Пусть окружность радиуса г касается
стороны АС треугольника ABC в точке D (рис. 152). Поскольку эта
436
A D С А С D В
Рис. 152 Рис. 153
Рис. 154
окружность концентрична с окружностью, описанной около
ABC у то D — середина АС. Теперь из условия (окружность
радиуса г делит стороны АВ и ВС на три равные части) на основании
теоремы, сформулированной в задаче 17, будет следовать
равенство АВ = ВС. Используя эту же теорему, получим, что g АВ2 =
= AD2 = Я2 - г2. С другой стороны, AD2 =АВ2 - BD2 =AB? - (Д + г)2.
Из этих соотношений получим Л2 - г2 = ^ (Л2 - г2) - (R + г)2, от-
куда £ = |.
289. ^ (^ + S2) + Ji(si + S2^ ~ SxS2sin2a . Указание (рис.
153). Обозначим площади треугольников AM В и CMD
соответственно х и у. Поскольку SAMD + SCMB = S^j, + SCMD, то х + у =
= SX + S2. Далее, ху = (|aM • MZ>) • (| CM • Mfi] sin2 a =
= SjS2 sin2 a. Таким образом, х и у — корни квадратного
уравнения t2 - (Sx - S2)t + SjS2 sin a = 0, причем x — его больший
корень.
290. о • Указание. Если М — точка пересечения прямых / и
р общей внешней и общей внутренней касательной, а О1 и О2 —
центры окружностей, то МОХ и МО2 биссектрисы двух
смежных углов, образованных прямыми / ир, а из этого следует, что
Z О1МО2 = 90°. Таким образом, все точки, о которых
говорится в условии, лежат на одной окружности с диаметром ОХО2.
291. Указание. Обозначения понятны из рисунка 154.
Учитывая равенство касательных, проведенных из одной точки к
окружности, имеем КМ = KB, LA = LN или КЕ = ЕМ = KL + LB,
LK + К А = LF + FN. Вычитая эти равенства одно из другого,
получим (поскольку КЕ = КАУ LF = LBy EM = FN) EM - LK =
= LK - ЕМ, откуда ЕМ = LK.
437
Рис. 156
292. Указание. Пусть 0D = х. Записывая для треугольника
DOA теорему косинусов, получим для х уравнение х2 - xR - Л2 =
= 0, откуда х = +2 R. Следовательно, CD = ~ R и равен сто-
диуса R (см. задачу 34). Теперь найдем MD
■ R. Нам надо
роне правильного десятиугольника, вписанного в окружность ра-
V5 -t- з
2
оценить разность 1,2MZ) — TiR. Приближенные вычисления
(можно с использованием микрокалькуляторов) дают
неравенство 3(л/1* 3) - п < 0,00005 (75 = 2,236068; точнее, 75
отличается от указанного значения на величину, меньшую чем 10 ).
Таким образом, погрешность приближенного равенства, о
котором говорится в задаче, не превосходит 0,00005 радиуса.
293. ПЗТЗ - 168. Указание. Если сторона правильного
треугольника равна х, а меньший из углов, образуемых
сторонами треугольника со стороной прямоугольника, равной 7,
есть ф (рис. 155), то х cos ф = 7, х cos (30° - ф) = 8. Раскрывая
во втором уравнении cos (30° - ф) по формуле косинуса разнос-
16-773
ти и деля второе уравнение на первое, найдем tg ф = ^-2L-.
2 49
Затем из равенства х =
2
cos (р
= 49(tg2 ф + 1) находим х2.
294. 7,5. Указание. Большое основание трапеции видно из
концов меньшего основания под тупыми углами. (Докажите.)
Из этого следует, что окружность, построенная на большем
основании как на диаметре, содержит трапецию. Очевидно, это и
есть наименьшая окружность.
438
295. Зу£ • Указание. Обозначим через Р и Q точки
пересечения MN с прямыми АВ и ВС. Искомый радиус равен
наименьшему из двух: радиусу окружности, касающейся сторон АВ и
CD (он равен 3,5), и радиусу окружности, вписанной в
треугольник BPQ. При нахождении последнего можно
воспользоваться формулой, данной в задаче 26.
296. 120°. Указание. Пусть AAV BBV CCX — высоты
треугольника ABC; H — точка их пересечения. Известно (см.
задачу 16 вводной части), что для остроугольного треугольника
ABC точка Н есть точка пересечения биссектрис треугольника
AlBlCv т. е. центр вписанной в него окружности.
Предположим, что данный треугольник является остроугольным. Пусть
В — наибольший угол, Z.B > 60° (рис. 156). Из того, что точки
Б, С, Вх и Сх лежат на одной окружности (с диаметром ВС),
следует, что Z АВ1С1 = ABC, а значит, Z СХВХН = 90° - ZABC < 30°.
Поскольку ВВХ — наименьшая высота треугольника ABC, то
радиус окружности, вписанной в треугольник AyBfi^ будет
г = НВХ sin СХВХН < ВВХ sin 30° = | BBV Если в треугольнике
ABC угол В тупой (легко проверить, что этот треугольник не
может быть прямоугольным), то аналогично тому, как
решалась задача 16 вводной части, можно доказать, что В —
центр окружности, вписанной в треугольник AlBlCv При этом
Z BBXAX = ZABC - 90°. Из равенства 0,55В! = ВВХ sin BB^ =
= -ВВг cos ABC найдем cos ABC = -0,5.
297. +2 — . Указание. Если N — середина АС9 то из
перпендикулярности ВМ и биссектрисы угла ВСМ будет следовать
равнобедренность треугольника ВСМ (ВС = СМ), т. е. АС = 2.
Пусть О и D — соответственно центры описанной и вписанной
окружностей треугольника ABC. По условию О, D, С и А лежат
на одной окружности. Возможны два случая. Первый случай:
О и D — по одну сторону от АС. Если Z ABC = ф, то Z АОС = 2ф,
Z ADC = 90° + | ( см. задачу 33). Значит, 90° + | = 2ф, ф = 60°.
Второй случай: О и D — по разные стороны от АС. Докажите,
что в этом случае точки О, D, С и А не могут лежать на одной
окружности.
2 а/3
298. -7J- . Указание. Пусть ABC правильный треугольник со
«5
стороной а. Возможны три случая расположения точки М. Пер-
439
,м
Рис. 157
вый случай: М — внутри ABC. Тогда (см. задачу 32) высота
22
треугольника ABC равна 11, а = -= , а его площадь больше 14.
V3
Второй случай: М — вне треугольника ABC и внутри угла ВСА
(или другого угла треугольника, рис. 157, а). Пусть расстояния
от М до прямых АВУ ВС у С А соответственно равны xv х2, х3.
Имеем S^c = ^ = SCBM + SACM - SBAM - 5 <*2 - *L + *8>- Но
xi» Х2» хз в некот°Р°м порядке равны числам 2, 3 и 6.
Следовательно, так как х2 — х^ + х3 > 0, х2 - х^ + х3 > 5, а > -= , 5д£С > 14.
«/3
Третий случай: М — внутри одного из трех углов,
вертикальных по отношению к углам треугольника ABC (рис. 157, б). Из
равенства SABC = S^g - S^q - SBMC и условия задачи будет
следовать, что а = -р .
299. 4 Уз . Указание. Возможны два случая: М — внутри
данного угла (рис. 158, а) и М — вне угла (рис. 158, б). Рассмотрим
первый случай. Возьмем на сторонах угла точки К и Р так, что
ОКМР — параллелограмм. Если расстояние от М до прямой ОК
равно 73 , то КМ = 2, МР = 6. Обозначим ОА = х,ОВ = у. Из
подобия треугольников АМК и АВО получим ^— = - . Второе
уравнение получаем из условия, что периметр треугольника
I 2 2
ОАВ равен 12: х + у + л/х + у - ху = 12. Получившаяся систе,-
ма не имеет решения. Во втором случае для тех же неизвестных
(\ — т (\ /о о
будем иметь систему —g— = —^ , х + у + д/х + у - ху = 12.
Эта система имеет решение х = у — 4. (В первом уравнении
освобождаемся от знаменателя, во втором уединяем корень,
возводим обе части в квадрат и т. д.)
440
А N В
Рис. 159
300. 16(49 • Указание. Пусть AKMN — ромб, о котором
говорится в условии задачи (рис. 159). Обозначим его сторону
через х. Из подобия треугольников BCD и ВМК найдем
KB = ^ х. Записав теорему косинусов для треугольника АВК
( cos АВК = - V получим уравнение, из которого определим х.
301. ~ . Указание. Докажите, что вершина ромба,
противоположная А, совпадает с серединой BD.
302. 2г2 sin2 a sin 2а. Указание. В треугольнике BMN
сторона ВМ = 2г sin BA/Vf = 2г sin а (рис. 160, а), такой же будет и
сторона ВЛГ. Угол между этими сторонами равен углу DCM =
= 180° - 2а (следует рассмотреть также другие возможности
расположения точек, например, как показано на рисунке 160, б)-
о
303. 2д . Указание. Докажите подобие треугольников DCM
и MBN (рис. 160, а, б).
304. || + | arccos Г| - Ц- ). Указание. Надо рассмотреть
два случая. Первый случай: треугольник ABC остроугольный.
В этом случае задача не имеет решения. Второй случай: один из
углов при вершинах В и С тупой. Пусть тупым будет угол ABC,
N
Рис. 160
441
Q
AD — высота треугольника (рис. 161). Обозначим Z BAD = ф,
AD = h. Тогда Sabc =
о
= T (<* (ф+ g ) -tg<p).ILio-
щадь сектора с радиусом h и центральным углом ^ равна ^у •
Получаем для ф уравнение tg (ср + g 1 - tg ф = ^ .
305. Vl2 (2 - 73). Указание. На рисунке 162 AM и СК —
биссектрисы треугольника ABC; О, / и Q — центры
соответственно окружностей: описанной около ABC, вписанной в ABC и
проходящей через точки К, М, /. Радиус описанной окружности
равен -= . Докажем, что ВЫ = BQ. Точки О, /, В и Q лежат на
одной прямой. Поскольку Q — центр окружности, описанной
около треугольника KIM, то ZIQM = 2 Z MKI = 2 Z КСА = 30°.
Значит, Z BMQ = Z MBI - Z MQB = 30° = Z BQM. Таким
образом, BQ = £М. Следовательно, расстояние между центрами
рассматриваемых окружностей равно OQ = ОВ + ВЫ = -= + -= =
<уз «уз + з
з + /
=
•. (Для нахождения ВЫ можно воспользоваться
теоремой о биссектрисе внутреннего угла — задача 19.) Радиус
окружности, описанной около треугольника KIM, равен КМ =
_ вм я АГ = Уз-:
вс ^ 2
. Таким образом, мы знаем радиусы окруж-
ностей (-= и —g— 1 и расстояние между их центрами —^— ;
надо определить длину общей хорды. Задача сводится к нахожде-
, опу-
/о /о 1
нию высоты в треугольнике со сторонами ^~
щенной на сторону
442
2 • 6
. Хорда в два раза больше этой высоты.
Рис. 164
306.
. Указание. На рисунке 163 О — центр вписан-
а+ 2г
ной в треугольник ABC окружности; М и К — центры
окружностей, указанных в условии. Поскольку прямая МК
параллельна ВС у то треугольники ОМК и ОВС подобны. Если х —
радиусы окружностей с центрами в М и К9 то МК = 2х; высота
треугольника OBCt опущенная на сторону ВС, равна г;
соответствующая высота треугольника ОМК равна г - х. Следователь-
г - х 2х
НО, —- = —■ .
307. Если а < ^ , то два решения: Я2 sin ос (1 ± sin 11; если
^ < а < л, то одно решение: R2 sin а ( 1 + sin ^ \ Указание.
Возможны два случая, изображенные на рисунке 164.
В первом случае ВС — меньшее основание трапеции и СО
параллельна АВУ а ВО параллельна CD. Во втором случае
параллельными являются прямые АВ и OD, CD и ОА. В первом
случае Z ВОС = Z ОВА =\ - \ , и, если а > \ , Z.AOD = | (л - а)
f если а < ^ , то О — вне трапеции и угол AOD равен -z a 4- £ V
V о & с )
Таким образом,
Q =Q -I-Q -I-Q =
°ABCD °ABO ^ °COi> ^ °AOi>
2 2
= i*2sinct+ y cos | - ^ cos |a = Д2 sin a (l +sin |).
Во втором случае Z ВОС = Z BOD - Z COD
Этот случай возможен, если \ -тгСОО, сс
443
308. §(Зл/2 - 4) < d < £ , где d — расстояние между центром
б з
вписанного круга и точкой пересечения медиан. Указание. Пусть
О — центр окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник ABC с гипотенузой АВ\ М — середина АВ (рис. 165). Если А
и В фиксированы, а С меняется, то О движется по дуге
окружности; концами этой дуги являются точки А и В, a Z.AOB = 135°
(см. задачу 33). Точка пересечения медиан треугольника ABC
(точка Н) описывает полуокружность с центром в точке М и
радиусом § . Если Q — центр окружности, описанной около тре-
6
угольника АОВ, то расстояние между точкой О и точкой
пересечения медиан треугольника ABC не может быть меньше, чем
отрезок прямой QMy заключенный между двумя указанными
дугами; КР = QK - РМ - MQ = QA- с- - MQ = с- J2 - с- - £ =
6 2 6 2
= §(Зл/2 - 4). С другой стороны, угол СОН тупой, поскольку
о
перпендикуляр к СО в точке О (СО проходит через Q) пересекает
отрезок СН. Следовательно, ОН < СН = - . Если С приближается
з
к А (или В), то СН становится близким к § .
3
309. ——— < cos ф < 1. Указание. Пусть диагонали парал-
Ь2+ а
лелограмма равны 2т и 2л, ф — острый угол между ними. Для
определенности будем считать, что Ь> а. По теореме косинусов
о о о о о о
m + п - 2тп cos ф = а , m + л cos ф + 2тл cos ф = b .
Складывая и вычитая эти равенства, получим 2(т2 + л2) = а2 + б2,
4тл cos ф = б2 - а2. Таким образом,
Ь2-а2
Атп
2тп
так как
444
310. — . Указание. Обозначения понятны на рисунке
ab+ be + са
166. Пусть коэффициенты подобия треугольников ABXCV
А2ВС2у А3В3С по отношению к треугольнику ABC равны
соответственно х, z/, 2. Имеем АВХ = хАВ, А2В = уАВ> АВ + A^j =
= АВХ +А2В = хАВ + уАВ. Таким образом, А2Вг = (х + у - 1)АВ.
Но треугольник А2ВХМ также подобен треугольнику ABC, его
коэффициент подобия будет х + у - 1. Рассмотрим теперь
сторону АС, АА3 = А2М = (х + у - 1)ЛС, А3С = гАС. Значит,
АС=АА3+А3С = (х + у - 1)ЛС + 2АС = (х + у + г - 1)ЛС, откуда
х + у Л- 2 = 2. По условию BjCj = А2С2 = А3В3 = т, или ха = yb =
= 2С = т. В соответствии с только что доказанным х + у + г =
jti.tn.iti л 2abc
а Ь с '
311. ~^- . Указание. Пусть Ор О2, О3 — центры
окружностей, указанных в условии (рис. 167). Поскольку каждая из
окружностей касается соответствующих сторон треугольника, то
AOV BO2, СО3 — биссектрисы соответствующих углов. Значит,
прямые AOV BO2y СО3 пересекаются в точке О — центре
окружности, вписанной в треугольник ABC. Треугольники ABC и
О1О2О3 подобны, их стороны соответственно параллельны,
у них общий центр вписанной окружности. Если х — радиусы
окружностей с центрами Ог, О2 и О3, то радиус окружности,
вписанной в треугольник OXO2OV равен г - х. С другой
стороны, радиус окружности, описанной около треугольника
ОхО2О3у равен х (по условию окружности с центрами в Ov O2 и О3
и радиусами г имеют общую точку). Следовательно, ^—- = £ .
312. Z ВАС = 90°. Указание. Восстановим к ВС в точке D
перпендикуляр и обозначим через Ах его точку пересечения с
прямой ВА (рис. 168). Поскольку ВА Ф АС, то точка Ах отлична
от A: Z DAC = Z DAfi, так как Z DAC =
= 90° - ZABC (по условию), и Z DAXC =
= 90° - Z.AXCD = 90° - ZABC.
Следовательно, точки С, Z), А и Ах лежат на одной
окружности. Так как Z.CDAX = 90°, то
САХ — диаметр этой окружности.
313.2^.314. i|
445
в
ь
\
Ра
\/
-Ь
С
\£
315.
316.
4*а
/о о
~г я *Jа + оо ).
а^ ~ ^ л/б5 . Указание.
а-Ь
Пусть О — центр окружности,
вписанной в трапецию ABCD; M, P, L
Л d к D и К — точки касания (рис. 169);
Рис 169 ВС = а' ВМ = Ь' ^^ = d; во * АО —
биссектрисы углов В и А трапеции,
сумма этих углов равна 180°, значит, Z.ABO + Z BOA = 90° и
треугольник ВАО прямоугольный; ОМ — радиус окружности,
ОМ — высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на
гипотенузу. Следовательно, радиус R окружности равен Jbd .
Затем находим последовательно длины отрезков: ВР = 6, PC =
= а - bt CL = СР = а - b. Треугольник COD также прямоуголь-
2
ный. Найдем LD = Ц^- = -^- . Таким образом, мы определили
CL а - ь
все стороны трапеции и радиус вписанной окружности. Теперь
можно найти ее площадь (см. задачу 23).
Раздел 7. Стереометрия
2. Вершина пирамиды проектируется в центр основания,
следовательно, проекция бокового ребра на основание
перпендикулярна противоположной стороне основания. По теореме о
трех перпендикулярах (обратное утверждение) боковое ребро
перпендикулярно противоположной стороне основания.
3. Проекции боковых ребер равны, значит, вершина
пирамиды проектируется в точку, равноудаленную от'вершин
основания.
4. Из условия следует, что вершина должна
проектироваться вовнутрь основания в точку, равноудаленную от его сторон.
Если вместо равенства двугранных углов дано равенство
углов наклона, то вершина может спроектироваться и во вне
основания, но при этом ее проекция по-прежнему равноудалена от
прямых, образующих стороны основания, т. е. вершина
проектируется в центр окружности, касающейся сторон многоугольника,
расположенного в основании, или продолжений этих сторон.
В частности, вершина треугольной пирамиды может
спроектироваться в центр так называемой вневписанной окружности.
446
5. Утверждение задачи очевидно для треугольника, одна
сторона которого принадлежит линии пересечения плоскостей
а и р. Если одна вершина лежит на этой прямой, то,
продолжив противоположную сторону этого треугольника, можно
представить площадь данного треугольника и его проекции
как разность (или сумму) площадей треугольников и их
проекций рассмотренного вида. Таким образом, доказываемая
формула верна для треугольников. Далее она распространяется на
произвольные многоугольники.
6. Примем за основания пирамиды
соответственно АВ1С1 и АВ2С2, hl и Л2 —
высоты, опущенные на эти грани из вершин
Dx и D2 (рис. 170). Имеем
VABlClDl SABlCl hx АВХ • АСХ ADX
VAB2C2D2 ~ SAB2C2 Ч~ АВ2- АС2 Щ^'
7. Рассмотрите прямоугольный
параллелепипед с одной из вершин в начале
координат, три ребра которого идут по осям ис'
координат, а диагональ расположена на данной прямой.
8. Пусть d — высота грани площадью Р, опущенная на
сторону а. Тогда если h — высота тетраэдра, опущенная на грань
площадью S, то h = d sin а. Имеем
V= \ Sh = \ Sd sin а = ± S • — sin a.
6 6 6 a
9. Достройте тетраэдр до параллелепипеда так, как это
делалось при решении задачи 15 (см. вводную часть). Данный
тетраэдр составляет ~ от объема полученного параллелепи-
о
педа. S = g ab sin ф — площадь граней параллелепипеда,
содержащих ребра а и 6, d — расстояние между этими гранями.
10. Легко видеть, что каждое из этих отношений (площадей
граней и отрезков ребра) равно отношению объемов двух
тетраэдров, на которые разделила данный тетраэдр биссекторная
плоскость.
11. Соединив центр сферы с вершинами многогранника,
разобьем его на пирамиды, основаниями которых являются
грани многогранника, а высоты равны радиусу сферы.
12. Легко проверить справедливость данной формулы для
тетраэдра. При этом надо рассмотреть два случая: 1) три
вершины тетраэдра расположены в одной плоскости и одна
вершина — в другой; 2) две вершины тетраэдра расположены в
447
6) Q
G M
Рис. 171
одной плоскости, две — в другой. Во втором случае для объема
тетраэдра воспользуемся формулой задачи 9.
Произвольный выпуклый (и не только выпуклый)
многогранник указанного в условии вида можно разбить на
тетраэдры с вершинами в данных плоскостях. Примем этот факт за
очевидный. (К сожалению, простого доказательства этого
очевидного факта мы не знаем.)
13. Пусть М — середина ВС в тетраэдре ABCD (рис. 171, а).
Рассмотрим треугольник ADM (рис. 171, б), К — середина AD>
G — точка пересечения медиан треугольника ABC, AG = 2GM,
Q — точка на прямой МК такая, что QD \\ AM. Поскольку АК =
= KD, то QD=AM. Далее, % = Ш = Ш = *' ПРовеДя чеРез
М прямую, параллельную AD, до пересечения с прямой DG,
докажем, что КР = РМ. Итак, мы доказали, что один отрезок,
соединяющий середины ВС и AD, пересекает DG в такой точке Р,
что DP = 3PG, МР = РК. Отсюда следует, что все отрезки, о
которых говорится в условии задачи, пересекаются в одной точке
Р и делятся в ней в указанном отношении.
Замечание. Точка Р является центром масс (центром
тяжести) тетраэдра. В этой точке будет находиться центр масс
равных грузов, расположенных в вершинах тетраэдра.
14. Достройте тетраэдр до параллелепипеда так, как это
делалось при решении задачи 15 (вводная часть). Ребра этого
параллелепипеда равны расстояниям между серединами
скрещивающихся ребер тетраэдра. Из условия следует, что все грани
параллелепипеда — ромбы. Диагонали граней
перпендикулярны. Значит, перпендикулярны противоположные ребра
тетраэдра данного вида.
Замечание. Утверждение этой задачи является обобщением
задачи 2.
448
15. Отложим на ребрах трехгранного угла от вершины S
равные отрезки SA, SB> SC. Обозначим через О проекцию S на
плоскость ABC. Треугольники ASB и АОВ равнобедренные с
общим основанием АВ, причем боковые стороны треугольника
АОВ меньше боковых сторон треугольника ASB.
Следовательно, ZAOB > ZASB. Аналогичные неравенства верны и
для других углов. Таким образом, ZASB + Z BSC + Z CSA <
< ZAOB + Z ВОС + Z СОА < 2л. (Последняя сумма равна 2л,
если О внутри Л ABC, и меньше 2л, если О вне Л ABC.)
Для доказательства второй части возьмем произвольную
точку внутри данного угла и опустим из нее перпендикуляры
на грани данного угла. Эти перпендикуляры будут являться
ребрами другого трехгранного угла. (Полученный угол
называется дополнительным к данному трехгранному углу. Этот
прием является стандартным приемом в геометрии трехгранных
углов.) Двугранные углы данного трехгранного угла
дополняются до л плоскими углами дополнительного трехгранного
угла, и наоборот. Если а, Р, у — двугранные углы данного
трехгранного угла, то, используя вышедоказанное неравенство для
плоских углов, будем иметь (л - а) + (л - Р) + (л - у) < 2л,
откуда следует, что а + Р + у > л.
16. 1) Пусть S — вершина угла, М — точка на ребре, Мх и
М2 — проекции М на два других ребра, N — проекция М на
противоположную грань (рис. 172, а). Предположим, что
ребро SM соответствует двугранному углу С. Если SM = а, то,
находя последовательно SMV а затем MN (из Л MMXN) или
по-другому — сначала SMV а затем MN (из Л MM2N), придем
к равенству MN = a sin a sin В = a sin P sin А, т. е. ^^
sinij
2) Обозначим через a, b и с единичные векторы,
направленные по ребрам трехгранного_угла (рис. 172, б) (а противолежит
плоскому углу величиной a, b — Р, с — у). Вектор b можно пред-
Рис. 172
449
ставить в виде b = a cos у + т\, где \т\ | = sin у, Л — вектор,
перпендикулярный а; аналогично с = a cos Р + 4, где |41 = sin P, 4
перпендикулярен а.
-> *
Угол между векторами т\ и £ равен А.
Перемножая скалярно бис, получим be = cos a = (а cos у +
+ г\ Ха cos Р + \) = cos P cos у + sin P sin у cos А, что и требовалось.
3) Опустим из точки внутри угла перпендикуляры на грани
данного угла. Получим, как известно (см. задачу 15),
трехгранный угол, дополнительный к данному. Плоские углы данного
трехгранного угла дополняют до п двугранные углы
дополнительного и наоборот. Применяя к дополнительному
трехгранному углу первую теорему косинусов, получим наше утверждение.
17. Обозначим данные прямые через /1 и 12. Проведем через /1
плоскость pv параллельную /2, а через 12 плоскость р2,
параллельную lv Очевидно, что середины отрезков с концами на 1г и 12
принадлежат плоскости р, параллельной рх ир2 и
равноудаленной от рх и р2. (Можно показать, что, если рассматривать
всевозможные такие отрезки, их середины целиком заполнят
плоскость р.) Спроектируем теперь эти отрезки на плоскость р
параллельно заданной плоскости. Их концы теперь будут
лежать на двух прямых, являющихся проекциями прямых 1ги12,
а сами проекции окажутся параллельными заданной прямой
плоскости р, представляющей собой линию пересечения
плоскости р и заданной плоскости. Из этого следует, что искомое
геометрическое место точек есть прямая.
18. - . Указание. Пусть Ор О2 и О3 — центры данных
шаров, Kv К29 К3 — точки их касания с плоскостью, О — центр
четвертого шара радиусом х. Тогда К1К2К3О1О2О3 —
правильная призма со стороной основания 2R и боковым ребром R9
расстояние от О до плоскости KJC^^ равно х, до вершин Ov
О2, О3 равно R + х (рис. 173). Высота призмы R равна сумме
высот правильной пирамиды ООхО2Оу опущенной на ОгО2О3
I 2 (2R\2 (2 F?\
равна I(R + x) "["7=1 = *JX + 2Лх --g- L и радиуса x.
[~2 ^
Получаем уравнение Jx + 2Дх - — + x = R.
3
450
Рис. 173
Рис. 174
19. Докажем сначала следующее вспомогательное
утверждение. Отрезок АВ вращается вокруг прямой Z (/ не пересекает
отрезок АВ). АВ и / расположены в одной плоскости.
Перпендикуляр, восставленный к АВ в точке С — середине АВ,
пересекает прямую / в точке О, МN — проекция АВ на прямую /
(рис. 174). Тогда площадь поверхности, полученной при
вращении АВ вокруг /, равна 2пСО • MN,
Поверхность, полученная при вращении АВ, представляет
собой боковую поверхность усеченного конуса с радиусами
оснований BN и AM у высотой MN и образующей АВ. Проведем
через А прямую, параллельную /, и обозначим через L точку ее
пересечения с перпендикуляром BN> опущенным из В на Z,
MN = AL. Обозначим через К проекцию Сна/. Заметим, что
треугольники ABL и СОК подобны. Учитывая это, получим,
что боковая поверхность усеченного конуса равна
BN + AM
2п-
АВ = 2кСК • АВ = 2пСО • AL = 2пСО • MN.
Теперь с помощью предельного перехода нетрудно
получить утверждение нашей задачи. (Если рассматриваемый
шаровой пояс получается от вращения некоторой дуги АВ
окружности вокруг ее диаметра, то площадь поверхности этого пояса
равна пределу площади поверхности, получающейся при
вращении вокруг этого же диаметра ломаной ALlL2...LnBy все
вершины которой лежат на АВ, при условии, что длина
наибольшего звена ломаной стремится к нулю.)
20. Пусть АВ — хорда данного сегмента, О — центр круга.
Обозначим через х расстояние от О до АВ, а через R радиус
окружности. Тогда объем тела, получающегося при вращении
сектора АОВ вокруг диаметра, будет равен произведению площади
451
поверхности, получающейся от вращения дуги на -~ (см. зада-
чу 19), т. е. этот объем равен
Но второе слагаемое равно объему тела, получающегося
при вращении треугольника АОВ вокруг диаметра. Значит,
первое слагаемое и есть объем тела, получающегося при
вращении данного сегмента.
21.6741 . 22. aVl + 2™за, arccos (^ tg \ ), 2 arcsin —M ,
. 23. a Vcosa , arccos (tg ? ],
2arcsin(—i—],—±!™«— , 2 . 24.^. 25.a)?a2;
lV2cos|J 2^g|) 4i|V^ 4 8
б> "Г" ; B) "4~ •
26. Пусть плоскость L пересекает ось в точке А. Рассмотрим
плоскость Lv проходящую через А перпендикулярно оси.
Докажите, что L и Lx делят боковую поверхность и объем
цилиндра на одинаковые по величине части.
27. 1. 28. а) 1—= ; б) —=- . 29. -^££= .
8 'lO+бТЗ 4(5+373) bJJTV2
. 31. Ц^. 32.3j|. 33. а) arccos \ ;
6)90°. 34. |. З5.а)а2 72;б)а273.36.45°. 37.^. 38. | Л ,
^7= , V2 . 39. 54. 40. ^ .
1 + 7з 25
41. —jd- . Указание. Центры шаров располагаются на
одной диагонали куба. Пусть это диагональ MN, Ох и О2 —
центры шаров, их радиусы — г. Тогда MN = aj3 , МОХ = г*/3 ,
O^g = 2г, О2ЛГ = гТЗ . Получаем а 73 = 2г7§ + 2г.
452
42. g arccos (V§ - 1). Указание. R9h,l — радиус основания,
высота и образующая конуса: h = I - п, 21 + / л/3 = 4JT.
(Из условия, что угол в осевом сечении 150°.) Высота сечения
л/2
равна 1^ • Значит, если ф — угол наклона сечения, то
sin2<p= 24
г
4
г
43.2^3. 44. |.
9+4«/б
45.
зУз
. Указание. См. задачу 7 вводной части. 46. —^- .
47. 10~ • Указание. Центры шаров образуют
правильный тетраэдр с ребром 2г (г — радиус каждого шара), грани
этого тетраэдра параллельны граням данного тетраэдра и
удалены от них на расстояние, равное г. Радиус шара, вписанного
в данный тетраэдр, на г больше радиуса шара, вписанного во
второй тетраэдр с ребром 2г, т. е. (см. задачу 1)
^~ = -~—h г.
48. 2; 2л/3 . Пусть две вершины Л и В правильного
треугольника ABC принадлежат нижнему основанию цилиндра.
Обозначим его сторону через 2х. Спроектируем треугольник на
нижнее основание. Получим равнобедренный треугольник
АВСг (рис. 175), в котором АВ = 2х, АСХ = ВСг = л/4*2 - 2 . По
теореме синусов найдем радиус окружности, описанной около
треугольника ABCг (через х), получим R •■
4*2-2
= 1.
49. Противоположные стороны сечения (рис. 52) при
продолжении пересекают продолжение переднего ребра тетраэдра
в двух различных точках. Этого не
может быть.
50. Обозначим вершины внешнего
четырехугольника, начиная с левой
нижней и по часовой стрелке, через А> В, С и
Dy а соответствующие вершины
внутреннего через Av Bv Сх и Dv
а) Получается, что вершина Вх
дальше, чем Av удалена от плоскости ABCD рис
В
453
(Вх «выше» Aj). Чтобы в этом убедиться, достаточно провести
через Ах прямую, параллельную АВ. Далее Сх «выше» Bv Dx
«выше» Ci и, наконец, Ах «выше» Dv Противоречие.
б) Обозначим через К, L, М и N точки пересечения
соответственно АВ и AXBV ВС и BXCV CD и CXDV DA и DXAV Если бы
нужный многогранник существовал, точки К, L, М и N лежал
бы на одной прямой. Но это не так.
Замечание. Рассуждения пункта б) применимы и в пункте а).
51. а) 3. Осями являются прямые, проходящие через
середины противоположных ребер тетраэдра.
б) 9. Куб имеет осями три прямые, проходящие через
центры его противоположных граней, и шесть прямых,
проходящих через середины противоположных ребер.
в) Бесконечно много, г) 1.
57. -Л= • 58.1: 1. 59.1 : 8. 60. i 61. 12(5л^"7). 62. 5.
63. 2 V2 . Указание. Радиус вписанного шара равен радиусу
окружности, вписанной в треугольник, являющийся сечением
нашей пирамиды плоскостью, проходящей через S
перпендикулярно AD. Этот треугольник прямоугольный с катетами 3 и
4, радиус вписанной окружности равен 1. Таким же должен
быть радиус окружности, вписанной в треугольник SAD.
с о /о
64. —j2— . Указание. Радиус искомого шара равен
наименьшему из двух радиусов окружностей, вписанных в
треугольники SBC и SKM, где К и М — середины ВС и AD. Пер-
р ' /» О /о
вый радиус равен ^ (V13 - 2), второй —^— .
65.2:3. в6.^р. 67. 2"(4-Т13) eg.areeos.
69. о или 4 - 2 л/3 . Указание. Пусть а — сторона основа-
ния, h — высота пирамиды. Радиус описанного шара равен
2 2 2 2
2/14+а . (Докажите!) Значит, 2/|^а = 1, а2 = 4Л - 2Л2. Пусть
г — радиус окружности, вписанной в равнобедренный
треугольник с основанием а и высотой h (равен радиусу вписанного
шара). Проведем в нем высоту к основанию. Рассмотрим один из
454
получившихся прямоугольных треугольников с катетами h и |.
Центр окружности делит высоту на отрезки гик- г. По теореме о
биссектрисе внутреннего угла треугольника (задача 19, пункт 6.7)
имеем —— = а , т. е. ha2 - 4hr2 - 2ra2 = 0. Заменив г и а2,
h JJT7?
получим для h квадратное уравнение h -(л/3+1)Л+л/3=0,
откуда hx = 1, Л2 = л/3 .
70. ^25±16^ 71. ^ . 72. 2 : 13.
2 2
73. 150°. Указание. Из условия следует, что sin а = | (а —
угол при вершине осевого сечения). Возникают две возможности:
а = 30° или а = 150°. Если а = 30°, то диаметр основания будет
4 sin 15° = J6 - J2 . Докажем, что J& - J2 < 1,04. Легко
проверить, что */б < 2,45, J2 > 1,41. Значит, 7б - J2 < 2,45 - 1,41 =
= 1,04.
74. 45°. Указание. Докажите, что / проходит через вершину В.
75. 60°. Указание. На рисунке 176 изображено: SO — ось
конуса, SA — образующая, которой касается шар с центром Ov M
и К — точки касания этого шара с SA и плоскостью основания,
М — середина SA. Поскольку шары равны и попарно касаются
друг друга, то их центры образуют правильный треугольник со
стороной 2г (г— радиусы шаров, ОК равняется радиусу
окружности, описанной около правильного треугольника со
стороной 2г: ОК = Щ . Пусть Z ОХАК = Z О]АМ = ф, ctg <p = х.
Имеем АК = хг, SA = 2ЛМ = 2ЛК = 2хг, ОА = SA cos (180° -
- 2ф) = -2xr
= 2xr
1 + X
. Получаем для х уравнение
А,
Л
2 2_
Сделаем замену у = х*/3. Для у будет
уравнение
у3 + 2у2 - 9у + 6 = О,
(у3 - у2) + (Зу2 - Зу) - {6у - 6) = О,
(У ~ 1)(у2 + 3t/ - 6) = О.
По условию ф > 45°, т. е.
о <ctgy < 1, о < у < 7з.
Ол
Рис. 176
455
А В
Рис. 178
Уравнение у2 + Зу - 6 = 0 не имеет корней 0 < у < л/3 .
Значит, у= 1, ф = 60°.
76. 1. Указание. Середины отрезков КР и MS совпадают.
Обозначим эту точку через Q, О — центр ABCD. Тогда
QO = g (АЙГ - СР) = 2, причем Q по ту же сторону от плоскости
ABCD, что и К. Далее рассмотрим трапецию с вершинами В,
М, D и S, порядок обхода вершин будет BMDS.
77. 240 я ^ • Указание. Объем тела можно получить как
сумму объемов двух тел, получающихся при вращении
треугольников ABC и ADC вокруг АС, минус объем тела, получающегося
при вращении треугольника АМС (рис. 177, точка DY
симметрична D относительно АС). Получаем формулу для объема
V=\AC(2BK2-MN2).
78. ^g— или ^~ • Указание. Обозначим искомый
треугольник AMN, М — середина CD, N на ВС. Возможны случаи:
1)AN = NM. Этот случай дает первый ответ.
2) AM = MN. В этом случае N совпадает с В. Соответствует
второму ответу.
3) Если AM = AN, то эти стороны равны ^- • Но
> 2,
т. е. N на продолжении ВС. То же имеет место для других
возможностей.
79 Уз ^ 4 + 2./3 81 755
82. -== . Указание. Искомый шар касается сторон основания
«/23
в серединах. Используя равенство касательных, проведенных из
одной точки, найдем положение точек касания боковых ребер.
456
83. «(90 - 25л/3)л/2. Указание. Докажите, что плоскость
о
пересекает второе основание и в сечении имеем трапецию.
84. 8. Указание. Докажите, что в сечении получается ромб.
85. arcsin /|. 86. ~ . 87. 1 : 5. 88. 1 : 2.
7 2 2 2
а + b + с . Указание. На рисунке 178 изображена
одна грань параллелепипеда ABCD и точка пересечения
диагоналей О. Пусть ОА = |, ОВ = |, ОС = |, OD = |. Имеем АВ2 =
Далее по формуле задачи 21 (пункт 6.7) OQ2 = i (2OD2 + 2ОВ2 -
(а2 + с2)= 1^ +*! -DB2),^ ^
- Ь2 + 2DB2. Но £>В2 + АС2 = 2(АВ2 + ВС2) (см. задачу 20, пункт
2 2 2,2,22 2 2
2^|!^^^ 2^2^
Значит, х2 = а2 + Ь2 + с2.
l. arccos (2 + 4 )* Указание-
Ририс
сунке 179 изображена пирамида, в кото-
рой АС перпендикулярна плоскости BCD,
ZBCD = 45°. АСВ и ACD —
равнобедренные прямоугольные треугольники.
Можно считать, что АВ — катет исходного
прямоугольного треугольника, АС — биссектриса, С —
проекция В на биссектрису. Требуется найти угол BAD.
92. ^ . Указание. Докажите, что вершина пирамиды
проектируется вне основания в точку, равноудаленную от
прямых, образующих основание (центр вписанной окружности,
см. задачу 4).
од ?7С q4 J_
95. 1:2. Указание. Докажите, что плоскость сечения
проходит через точки С и D.
96. Зя. 97. Нет, не во всяком.
457
98. Указанным свойством обладает пирамида, у которой
два противоположных двугранных угла тупые.
99. Докажите, что если прямая не перпендикулярна
плоскости и образует равные углы с двумя пересекающимися
прямыми этой плоскости, то проекция этой прямой на плоскость
также образует равные углы с теми же прямыми, т. е.
параллельна биссектрисе какого-то из двух углов, ими
образованных.
100. Треугольник, четырехугольник и шестиугольник.
Сечение куба не может быть правильным пятиугольником,
поскольку у сечения, имеющего более трех сторон, найдется хотя
бы одна пара параллельных сторон, а у правильного
пятиугольника параллельных сторон нет.
101. Нет, не любой. Например, если один плоский угол
трехгранного угла достаточно мал, а два других плоских угла
прямые, то легко убедиться, что никакое сечение этого
трехгранного угла не является правильным треугольником.
102. Обозначим через хуууг отрезки ребер трехгранного угла
от вершины до плоского сечения. Тогда стороны, получающиеся
€\ 9 9 9 9 9
в сечении треугольника, будут равны а = х + i/ , Ь = у + z ,
с2 = 22 + х2. Теперь проверяем, что квадрат любой стороны
меньше суммы квадратов двух других сторон.
103. -j^jr . Указание. Расстояние между диагональю куба и
1 /2
непересекающейся с ней диагональю его грани равно ~ J« о»
Таким же должно быть и расстояние между ребрами правильного
тетраэдра, лежащими на этих диагоналях. Но для правильного
тетраэдра с ребром Ъ расстояние между противоположными
ребрами равно ъЦ- (см. задачу 1), т. е. Ь^ = | J| a,b= -j=.
4Л3
104. -^g-. Указание. Из условия следует, что данная пирамида
является правильной. Если х — сторона основания, то площадь
основания будет х2, а площадь боковой грани 7j.Fr + h2 .
105. *4 а3. Указание. Данная пирамида является
правильной пятиугольной пирамидой. Для вычислений
воспользуйтесь равенством sin 18° = ^-j— .
106. 4а2. Указание. Пусть одно основание усеченной
пирамиды имеет сторону х, а другое у. Боковая поверхность равна
458
2(х + у)а. В сечении пирамиды плоскостью, проходящей через
центр шара перпендикулярно основаниям пирамиды, будет
равнобочная трапеция с основаниями хиу9 боковой стороной а,
в которую можно вписать окружность. Значит, х + у = 2а.
5±273
107. я - 2 arccos
13
108. |^ , 2^ , ||. Указание. Обозначим радиусы шаров через
ху у у 2. Пусть радиусы шаров, касающихся плоскости
треугольника в концах стороны а, равны х и у. Центры этих
шаров и концы стороны служат вершинами прямоугольной
трапеции с основаниями х и у, перпендикулярной им боковой
стороной, равной а, и другой боковой стороной, равной (х + у).
Легко получить уравнение (х + у)2 - (х - у)2 = а2, или 4ху = а2.
а2 Ь2 с2
Получаем систему ху = ^-, уг = -^ , гх = ^-. Перемножив эти
уравнения, найдем xi/z = ^р и т. д.
109. Докажите, что для вычисления объема усеченного
конуса можно воспользоваться формулой задачи 11.
110. Пусть ребро тетраэдра ABCD равно а. Высота АО равна
а/| . Если М — середина АО, то MB = >JbO2 + ОМ2 = Jy + у =
= ^j-. Значит, треугольник ВМС равнобедренный,
прямоугольный.
111. arccos -j= у |. Указание. Решим эту задачу иначе, чем
мы это делали во вводной части (см. задачи 11, 12). Если М —
середина BBV то АХМ || СК (рис. 180). Следовательно, искомый
угол равен углу MAXD. С другой стороны, плоскость AXDM
параллельна СКу значит, расстояние между СК и AXD равно
расстоянию от точки К до плоскости AXDM. Обозначим искомое
расстояние через Ху а искомый угол через ф. Тогда
1 1 3
Отсюда х = j^ . Найдем стороны AAXMD:
AXD = a*J2 у АХМ = ^j- , DM = ^ о,. По теореме
косинусов cos ф = -=. у SA MD = ^ а2 у х = |.
459
1 /~2~ 2 а/10
112. arccds g , a /~ и arccos ^ , a^j- • Указание. Будем
решать эту задачу методом, рассмотренным во вводной части (см.
задачи 11, 12). Пусть ABCD — данный тетраэдр, К — середина
АВ, М — середина АС. Спроектируем тетраэдр на плоскость,
проходящую через АВ перпендикулярно СК. Тетраэдр спроек-
тируется в треугольник ABDV где Dx — проекция D. Если
Мх — проекция М (Мх — середина АК)У то расстояние между
прямыми СК и DM равно расстоянию от точки К до прямой
DXMv Это расстояние легко найти, поскольку DXKMX —
прямоугольный треугольник, в котором катеты DXK и КМХ равны
соответственно а /| (высота тетраэдра) и |.
Задача имеет два решения. Второе мы получим, если
рассмотрим медианы СК и BN, где N — середина DC.
/3
113. ~ . Указание. Рассмотрим сначала пирамиду, соответст-
о
вующую рисунку 181, а. Из условия следует, что ВК = V5-1 =
= 2, KD = л/2- 1 = 1. Значит, BD = 3, но по условию SA + SB =
= 2+л/5<3+л/2= DB + DA, т. е. сумма проекций отрезков
больше их суммы. Этого не может быть. Рассмотрим теперь
пирамиду, как на рисунке 181, б.
Если SD = Л, то SA = >Jh2 + 2 , SB = Jh2 + 1 (BD = 1). Полу-
/ 2 / 2 /—
чаем уравнение *Jh + 2 + *Jh + 1 = 2 + Jb . Из этого
уравнения Л2 = 3.
Замечание. Данная задача юридически не совсем законна,
поскольку в школе мы не рассматриваем невыпуклые
многогранники, хотя математически она абсолютно верна.
Рис. 181
460
114. . д г. Указание. Докажите, что искомый шар ка-
22
2«/За2-а2
сается сторон основания в их серединах. При этом возникают
две возможности: шар касается боковых ребер во внутренних
точках и шар касается продолжений боковых ребер.
119. 2 + л/3 . Указание. Рассмотрим тетраэдр OXO2QXQ2, где
Ох и О2 — центры шаров радиусами Ry Q1 и Q2 — центры
шаров радиусами r(r<R).
Из условия следует, что ОХО2 = 2Л, QXQ2 = 2г, все остальные
ребра этого тетраэдра равны R + г. Теперь можно найти
расстояние между ребрами ОуО2 и (^(^ равное расстоянию
между их серединами. С другой стороны, из условия следует, что
это расстояние равно R- г.
120. ^Р . 121. — ■=- . 122. 12V. 123. ? .
124. arctg (2 - 73 ). 125. arccos (2 - Jb ).
2
126. ^-. Указание. Если а — угол между
рассматриваемыми гранями, то надо найти Q cos а (см. задачу 5). С другой
стороны, грань площадью Q является проекцией грани площадью
S, т. е. Q = S cos a, cos а = ^ .
о
. arctg J.
127
128. 2 arctg (л/3 - J2 ). Указание. Продолжим боковые
грани до пересечения. При этом мы получим две подобные
пирамиды, основаниями которых являются большее и меньшее
основания данной усеченной пирамиды. Пусть а — сторона
большего основания усеченной пирамиды, а — двугранный угол
при этом основании. Можно найти высоту большей пирамиды
h = ^г- tg а, радиус вписанного в нее шара г = ^- tg ^ ,
высоту меньшей пирамиды hx = h - 2r = ^ f tg a - 2 tg | \ сторо-
h tga-2tg|
ну меньшего основания ах = -^ a = a—^— , боковое ребро
461
большей пирамиды I = ~- л/tg а + 4 , боковое ребро меньшей
Л1
пирамиды 1Х = 1-£. После этого воспользуемся условием
существования шара, касающегося всех ребер усеченной
пирамиды. Это условие эквивалентно существованию окружности,
вписанной в боковую грань, т. е. должно выполняться равенство
2(1 - /j) = а + av Выразив /, lv ах через а и а, получим уравнение
129. arccos
tg| -tga-tgf. Отсюда ig\ =Л - J2 .
2,2 ,2 2_ 2 2
-^ ^—С~Т~г • Указание. Пусть М — центр гра-
а
а & + Ь с + с а
ни AlBlClDv К — центр грани ADDXAV Данные плоскости
пересекаются по прямой МК. Рассмотрим тетраэдр AXDXMK. Его
объем равен ^ объема параллелепипеда, т. е. он равен ^ а^с-
Площади граней DlMK и А^МК соответственно в четыре
раза меньше площадей треугольников D]ABl nAlDCv
Площади двух последних можно выразить через a, b и с. Затем
воспользуемся формулой задачи 8 и найдем синус искомого угла.
h I 2 2
130. ^ л/4а - b . Указание. Многогранник ABMDCN
является треугольной призмой с основанием АВМ и боковыми
ребрами AD, ВС, MN.
131. arcsin ~ . Указание. Возьмем на продолжении ребра
о
ССХ точку К так, что ВХК || BCV а через ребро ВВХ проведем
плоскость, параллельную данной (рис. 182). Эта плоскость должна
проходить или через внутреннюю, или через внешнюю
биссектрису угла DBXK. Поскольку отношение, в котором плоскость,
проходящая через BBV делит DK,
равно отношению, в котором она
делит DC, то возможны два случая:
плоскость проходит через точку N
на ребре DC такую, что DN : NC =
= л/3 : V2 , или же она проходит
через точку М на его продолжении и
опять DM : МС = 73 : 72 . Найдем
расстояние от точки К до первой
плоскости. Оно равно расстоянию от
точки С до прямой BN. Если это рас-
462
стояние x,tox=%F= aJ~]
BN 7
sin ф = g^ = g"1 , где ф — угол между плоскостью BBXN и
прямыми BXD и JBjJJT. Точно так же находится другой угол.
132. |. Указание. Пусть ABCD — данная пирамида,
боковые ребра которой DA = a, DB = х, DC = у; по условию эти
ребра перпендикулярны и х + у = а. Нетрудно найти, что SABC =
= i Ja2(x2 + i/2) + x2i/2 , V^^ = i аху. С другой стороны, если
R — радиус искомого шара, то VABCD = f (SDAB + SDBC +
7 4 2 2 2 Л
a + 2xya + x у ) = -^xy. Приравнивая два выражения
для VABCD% найдем R = |.
133. - V66 и 3^3. Указание. Возможны две пирамиды:
правильная, ее объем равен ^ */б6 ; пирамида, вершина
которой проектируется в центр вневписанной окружности
основания (причем два боковых ребра равны 5), ее объем равен 3 Js .
134. ^ , считая от точки 4. Указание. Пусть BL = х, ребро
куба равно 2. Тогда в треугольнике KLO, где О — центр куба,
будем иметь КО = Л , KL JaK2 + АВ2 + BL2 Jb 4 х2
LO = 4{х - 1) +2=vx -2х+3. Высота в этом треугольнике,
опущенная на KL> равна 1. Пусть М — основание высоты. Имеем
- ОМ2 = 1, ML = *JbO2 - ОМ2 = a/jc2 - 2х + 2 .
КМ
Получаем уравнение a/jc - 2х + 2 -I- 1 = V5 -I- х , т. е. х = ^ .
1 / 2 2 2
135. 2sina Vb - a cos a. Указание. Возьмем CL так, что
ABCCl — прямоугольник (рис. 183). Dx — середина ACV Ov
О2 — соответственно центры окружностей, описанных около
463
Рис. 183
Рис. 184
треугольников ACXD, ABC, О — центр сферы, описанной около
ABCD. Очевидно, О2 — середина АС, АВ и СХС
перпендикулярны AD и ACV следовательно, плоскости ADC1 иАВССх
перпендикулярны, а ОХВХО2О — прямоугольник.
I 2 2 /2 2
Таким образом, DCX = ^DC - C^C = >Jb -a . Радиус
окружности, описанной около DC.А, будет равен R. = =—.—У1АП =
1 А ZSinZ.i^>lCj
/&2_а2
= -=—: . А радиус сферы R = ОА можно найти из
прямоугольного треугольника АОХО (на рисунке этот треугольник не
изображен):
1
а2 =
2 sin a
72 2 2
6 - а cos а .
136.
12
:. Указание. Пусть ЯГ — середина ребра АВ куба
ABCDAlBlClDv М — середина ребра DlCv К и М
одновременно являются серединами ребер PQ и RS правильного тетраэдра
PQRS. DXCX лежит на RS. Если ребро тетраэдра равно Ь, то
/о г
МК = b^ = aJ2 . Значит, b = 2а. Спроектируем тетраэдр на
плоскость ABCD (рис. 184). Pv Qv Rv Sx — проекции Pt Q, Ry S.
Поскольку PQ составляет с этой плоскостью угол 45°, то длина
PlQl будет a J2 . Пусть L — точка пересечения прямой АВ и
прямой PXRV Из подобия треугольников PXLK и PXRXMX
найдем LK =
rlM\
а г < % . Значит, ребро тетраэдра PR
+ /2 z
(а следовательно, и другие ребра PS, QR и QS) пересекают куб.
Для вычисления объема получившегося тела удобно это тело
рассматривать как тетраэдр со срезанными углами.
464
20
137. у . Указание. Обозначим длины этих скрещивающихся
ребер через а и Ь, расстояние между ними через d, угол через ф,
по формуле задачи 12 найдем объемы получившихся частей:
Vx = gj abd sin ф, V2 = -^ abd sin ф.
138. 2 cos а. Указание. Площадь проекции второго сечения
на первую плоскость вдвое меньше площади первого сечения.
С другой стороны, отношение площади проекции второго
сечения к площади самого сечения равно cos a (задача 5).
139. ^2 ъ&Н.
140. L в с я Указание. Пусть общий перпендикуляр к
ab + be + са
данным ребрам делится кубом на отрезки х, у и z, х + у + z = с
(х — ребро куба, у примыкает к ребру а). Грани куба,
параллельные данным ребрам, пересекают тетраэдр по двум
прямоугольникам, у первого стороны ^-^г~а» ~г » У второго — ^ , ^-—^ Ь, при
этом меньшие стороны этих прямоугольников равны ребру
куба, т. е. ^ = х, ™ = х, откуда У = у > z = ~f » у "|~Х~*"^Г =с*
х= аЬс
ab + be + са'
141. | /-|- . Указание. Пусть Ох и О2 — проекции центра
шара О на плоскости KLM и KLN, P — середина ML. Проекции
Ох и О2 на KL должны совпадать. Можно доказать, что эти
проекции попадают в середину KL — точку Q (рис. 185). Поскольку
двугранный угол между плоскостями KLM и KLN равен 90°, ра-
I 2 2 / 2 2
диус искомой сферы будет ^jPOl + 0^0 = ^РО^ + O^Q . Если
мы продолжим ОХР до пересечения с прямой
KL в точке R, то из прямоугольного
треугольника PLR найдем RL = 6a9RP = 3aj3. Затем
найдем RQ = у a, OXQ = ±^ а, ROX = ^ а,
РОХ = ib^ а - За 73 = ^ а. Следовательно,
радиус сферы равен J~- + Ща2 = | Jip .
465
Рис. 187
7 2 2
b + За . Указание. Данные три угла не могут
прилегать к одной грани; далее, они не могут прилегать к одной
вершине, поскольку в этом случае все отрезки, соединяющие
середины противоположных ребер, будут равны.
Остается случай, когда три ребра, соответствующие прямым
углам, образуют незамкнутую ломаную. Пусть это будут ребра
АВ, ВС и CD (рис. 186). Обозначим DB = х,ВС = у, СА = г. Тогда
расстояние между серединами DB и С А будет л-^ + у + -^ , а меж-
1 I 2 2
ду АВ и CD (или AD и ВС) ^ чх + z . Наибольшим будет ребро
AD-
' + У + 2
143. 1. Указание. Проведем через С прямую, параллельную
АВ, и возьмем на ней точку Е так, что СЕ = АВ, АВЕС —
параллелограмм (рис. 187). Если О — центр сферы, то,
поскольку Z ОСЕ = ^ и СЕ = 1 (следует из условия), Л ОСЕ
правильный. Значит, точка О равноудалена от всех вершин
параллелограмма АВЕС. Отсюда следует, что АВЕС — прямоугольник,
проекция О на плоскость АВЕС — точка К — центр АВЕС и
п2 _ IfjC2 = 1.
144.
Р + Я
. Указание. Если х — площадь искомого сече-
ния, АВ = а, то, воспользовавшись для объема пирамиды
ABCD и ее частей формулой задачи 8, получим
2 я pqsina
т. е. х ■■
Р+ Я
466
145.
48
'■ а. Указание. При пересечении шара
плоскостью AMN получим окружность, вписанную в треугольник
AMN. В этом треугольнике AN = ^- a, AM = -g- а, MN = ^
(находится из Л СМВ). Следовательно, если L — точка касания
анж лт AN + AM-MN
искомого шара с AM, то AL = ^ =
Шар, вписанный в ABCD, имеет радиус г = 1]ъа и касается
плоскости ACD в точке М. Таким образом, если х — радиус ис-
х AL 5 - 73
комого шара, то - = -^ = —■£— .
146. 73 . Указание. На рисунке 188
точки К, L, М, N и Р — середины
соответствующих ребер, AKPL — ромб
(следует из условия), точки А, К у L и Р на
одной окружности, значит, AKLP —
квадрат. Так как К, L, М и N лежат на одной
окружности и KLMN —
параллелограмм, то KLMN — прямоугольник.
Следовательно, SA 1 ВС и проекция SA на
ВС есть точка Р — середина ВС. По
условию Z PAS = Z PSA = 45°. Таким образом, SP = PA, Z SPA = 90°,
Л ВАС = Л BSC, а треугольники ABS и ACS правильные.
Середина AS равноудалена от точек А, К у L, М, ЛГ и Р.
147. arctg —р . Указание. На рисунке 189, а О — центр шара,
Q — центр вписанного шара, М — середина ВС. Обозначим
через Ry г, а и h соответственно радиусы шара с центром О,
вписанного шара, сторону основания и высоту пирамиды. Отношение
R (
- равно тангенсу искомого угла. Из Л SPM SM
Рис. 188
PQ РМ /гллж ~ v
имеем ^ = £г^ (QM — биссектриса) или
(1)
В прямоугольном треугольнике OLQ (рис. 189, б) имеем OQ =
= R + г (по условию), OL = R- г, LQ = АР = а ^-.
467
Рис. 189
По теореме Пифагора получаем:
8Дг = а2. (2)
И наконец, поскольку ОС 1 AS (рис. 189, в), то tg ф = £ J2
(из Л APS) и tg ф = | 72 (из Л ОАС), т. е.
/с
hR = а2. (3)
Из (2) и (3) имеем h = 8г. Подставляя в (1), найдем г = ^аит.д.
148. | -/14 . Указание. Заметим, что отрезок MN своей точкой
пересечения с прямой PQ делится пополам. Спроектируем этот
отрезок на плоскость ABCD. Если Nx — проекция N, Кх —
середина AD, Qx — середина DC (Kx nQx — проекции К и Q), то NXM
перпендикулярен AQX и делится точкой пересечения пополам.
Значит, Z NXAD = 2 Z QXAD. Отсюда найдем NlKv затем NXM.
149. (5л/б -I- 722 )R. Указание. На рисунке 190 О — центр
шара, вписанного в ABCD, О1 и О2 — центры данных шаров,
К — середина АВ. Зная, как выражается радиус шара,
вписанного в правильный тетраэдр, через ребро и расстояние между
противоположными ребрами (задача 1), выразим АК = г-Уб ,
ОК = г*/3 , где г — радиус шара, вписанного в тетраэдр ABCD.
Следовательно, АКХ = 2Д7б , ВИГ2 = ЗДТб ,
- о^ = зд 7з - 2Д 7з
ОХО2 = 5Д,
ОХМ = л/25Д2 - ЗД2 = Д 722
468
к
о
Указание. Если плоскость пересекает ребра AD и CD, то в
сечении будет треугольник, при этом радиус вписанной окружности
будет меняться от 0 до
V2(2cosot +
. Пусть теперь
плоскость пересекает ребра АВ и ВС в точках Р и N> SA и SC в
точках Q и Я, SZ) в точке /Г и продолжения AD и CD в точках L и
М (рис. 191). Поскольку прямые PQ и NR параллельны и
касаются окружности, вписанной в наше сечение, то PN есть диаметр
этой окружности. Обозначим PN = 2г, тогда ML = 2aj2- 2r,
2
(аЛ-r)
2 cos a
Таким образом (из равенства S =рг), получаем
aj2-r
г =
откуда г =
2cosot+ V4cos'a+ I 1 + 2cosa+ V4cos2a+ 1
151. 3S«/2 . Указание. Пусть х — ребро тетраэдра, MN = у=.
Если ребро, середина которого М, образует с данной плоскостью
угол а, то противоположное образует угол ^ - а. Проекция
тетраэдра на эту плоскость представляет собой равнобочную
трапецию с основаниями х cos а и х sin a и расстоянием между осно-
2
ваниями, равным у=. Таким образом, S = -^-= (cos a -I- sin a).
Кроме того, по условию угол при большем основании 60°, откуда
|cos a - sin a| = В .
469
152. AM : MC = 2 - 7з , BN : Wi^ = 2. Указание. Пусть ребро
куба равно 1. Обозначим через О центр грани ABCD. Из того, что
Z NMC = 60° и Z NOC = 90°, следует, что О между М и С.
Обозначим ОМ = x,NB = у. Тогда MN = 2х, АГО = хЛ , MB = Jf + x2 .
Применив теорему косинусов к треугольникам MNB и ON В, по-
лучим:
1 2
Отсюда найдем х = -= , i/ = -^= .
153. -~ или а. Указание. Пусть высота призмы равна х.
Возьмем на продолжении ребра ВХВ точку К так, что ВК = g х»
ВХК = 2 х- Поскольку KN параллельна ВМ и KN = 2БМ,
проекция KN и СЛГ вдвое больше проекции ВМ на СЛГ, т. е. она
/ 2 ^
равна -^. В Л CNK имеем СЛГ = ]а2 + ?j , NK = Ja2 + 4x2 ,
/ 2 25 2
СЛГ = Ja + -£Х .В зависимости от того, острый или тупой угол
CXNK, будем иметь два уравнения:
(«-» для острого угла, «-I-» для тупого).
154. Отрезок АВ разделен в отношении cos ^ : sin | : cos ^ .
Указание. Обозначим через Ах и Bj две другие точки касания, R и
г — радиусы шаров. В трапеции ААХВВХ найдем основания ААу =
= 2R cos |, ВВХ = 2г cos ^ и боковые стороны АВХ = АХВ =
затем диагонали АВ =А1В1 = 2 \rA I -I- cos 11 . Если шар,
проходящий через А и Av пересекает АВ в точке К, то АХВ2 = ВК • BAt
АВ
1 + cos 2
Так же находятся другие части отрезка АВ.
470
б)
вл
Рис. 192
155. -7г- или ,— . Указание. Можно доказать, что ось ци-
* V17
линдра должна проходить через середину ребра BD и
принадлежать плоскости BDLy где L — середина АС. Пусть ось цилиндра
образует с BD острый угол а (рис. 192, а). Спроектируем
пирамиду на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, получим
вписанный четырехугольник AlB1ClDl (рис. 192, б), в котором А1С1 =
= АС = 12. Диагонали AjCj и B1Dl перпендикулярны, точка
пересечения диагоналей делит А1С1 пополам, а диагональ DlBl
делится точкой Lj на отрезки 6-УЗ cos а и 10-УЗ sin а - 6 */3 cos а.
Из условия AXLX • LXCX = BlLl • LlDl получим для а уравнение
sin2 а - 5 sin а • cos а + 4 cos2 а = 0, откуда найдем tg ax = 1,
tg а2 = 4. Но BXDX = 10*/3 sin а и равняется диаметру основания
цилиндра. Получим два значения для радиуса основания ци-
20-Уз
—=
линдра:
7б
— или —=^ .
156.
:. Указание. Возьмем на ребре
AS точку К так, что АК = а. Тогда точки В, D и К принадлежат
сечению конуса плоскостью, параллельной основанию конуса
(АВ = AD = АК). Из того, что С лежит в плоскости основания,
следует, что плоскость BDK делит пополам высоту конуса.
Таким образом, поверхность нашего конуса в четыре раза больше
поверхности конуса, радиус основания которого равен радиус
окружности, описанной около A BDK> с образующей, равной а.
157.
я 72(53-773)
48
. Указание. Пусть радиус основания
конуса равен Rt высота Л, ребро куба а. Сечение конуса плоскостью,
параллельной основанию и проходящей через центр куба, есть
471
окружность радиусом R2h of , в которую вписан прямо-
2Л
угольник (сечение куба) со сторонами а и aj2 , т. е.
2
а «у 2) / -I \
■5 • (1)
Сечение конуса, параллельное основанию конуса и
проходящее через ребро куба, противоположное ребру, лежащему в
основании, есть окружность радиусом Rh ~g^2 .
Л
Л
С другой стороны, диаметр этой окружности равен а, т. е.
(2)
) a, R
а.
Из (1) и (2) найдем h =
158. |.
QQ /с
159. ^~- . Указание. Пусть плоскость, проходящая через
ъ
BjCj, пересекает АВ и DC в точках К тл L (рис. 193). По условию
объемы многогранников AKLDAlB1ClDl и КВСЬВгСх равны.
Применим к ним формулу Симпсона (задача 12), обозначив АК =
= DL = а. Поскольку высоты этих многогранников равны,
получим для а уравнение 7а + 1 + 4^_±-^ • ^ * ^ = (7 - а)7 +
Обозначим высоту пирамиды через h. Введем систему
координат, взяв ее начало в центре ABCD, оси х и у параллельными АВ
и ВС. Точки А, С nDx будут иметь координаты
(i.-I-o), (l.Z.o), (-}.}.*).
Нетрудно найти уравнение
плоскости ACDX:
hx - Ну + z = 0.
Плоскость KLC1Bl будет иметь
уравнение
10hx - Sz + ЗЛ = 0.
Нормальный вектор к первой
плоскости Я (Л, -Л, 1), ко второй пг (ЮЛ, 0, -8).
Условие их перпендикулярности
Рис. 193
даст нам ЮЛ
8 = 0, h= ^..
5
472
3 3 j=
160. -f- или ^-4— . Указание. Возможны два случая:
о 4
1) Боковыми сторонами трапеции являются проекции
ребер АВ и BXCV Можно доказать, что в этом случае центр сферы
находится в точке С. Объем призмы будет равен -~ .
2) Боковыми сторонами трапеции являются проекции
ребер АВ и AXCV В этом случае центр сферы проектируется в
центр окружности, описанной около трапеции АВС^А^, высота
призмы равна а I- , объм призмы равен а -^ .
161. I а(а2 + 2Ь2).
162. 6. Указание. Любая касательная плоскость делит
пространство на две части, при этом либо все три сферы
расположены в одной части, либо две — в одной, а одна — в другой.
Очевидно, что если некоторая плоскость касается сфер, то и
плоскость, ей симметричная относительно плоскости,
проходящей через центры сфер, также является касательной.
Покажем, что не существует плоскости, касающейся данных сфер
так, что сферы радиусами 3 и 4 находятся по одну сторону от
нее, а сфера радиусом 6 — по другую.
Пусть центры сфер радиусами 3, 4 и 6 находятся в точках
А, Б и С. Плоскость, касающаяся данных сфер указанным
выше образом, разделит стороны АС и ВС в отношениях 1:2,
2:3, т. е. пройдет через точки К и L на АС и ВС такие, что
22 33
СК = -g-, CL = -g-. Нетрудно найти расстояние от С до KL. Оно
I о
равно 33 /—■ < 6. Отсюда следует, что через KL нельзя
провести плоскость, касающуюся сферы радиусом 6 с центром в С.
Можно показать, что все другие касательные плоскости
существуют, а всего их будет 6.
163. V3 tg 50°. Указание. Из того, что ребра пирамиды
ABCD касаются шара, следует, что суммы противоположных
ребер пирамиды равны. Достроим пирамиду ABCD до
параллелепипеда, проведя через каждое ребро пирамиды плоскость,
параллельную противоположному ребру (см. вводную часть).
Ребра пирамиды будут являться диагоналями граней
параллелепипеда (рис. 194), а ребра параллелепипеда равны
расстояниям между серединами противоположных ребер пирамиды.
473
Пусть AD = а, ВС = Ь, тогда любые
два противоположных ребра
пирамиды будут равны а и Ь. Докажем это.
Пусть AB = xyDC = y. Тогда х + у = а + Ьу
х2 + у2 = а2 + Ь2. (Последнее
равенство следует из того, что все грани па-
рнс 194 раллелепипеда — ромбы с равными
сторонами.) Отсюда следует, что х = а,
у = Ь или х = Ьуу = а. Значит, в Л ABC по крайней мере две
стороны равны между собой. Но ZABC = 100°, следовательно,
АВ = х = ВС = ЬУ АС = a, DB = Ъу DC = а.
Из Л ABC найдем a = 2b sin 50°,
„ _ 1 Q , _ 1 a2j3 . _ 1 Q - _ 1 b2 sin 100° ,
VABCD S^ADC nB 3 4 nB S^DBC nA 3 ' 2 A»
откуда ^ = 2a ^ = 73 tg 50°.
ЛВ 2Ь sin 100°
2 2
+ Ь • Указание. Продолжим ребро SA за точку S и
возьмем на продолжении точку Аг так, что SAX = SA. В SAXBC
двугранные углы при ребрах SAX и SC будут равны, а поскольку
SAX = SC, то АХБ = СБ = Ь. Треугольник АВА1 прямоугольный с
I 2 2
катетами аиЬ. Следовательно, гипотенуза ААХ = 2AS = *Ja + b .
165.71(3^2 - 4) и я(9 Jl - 4). Указание. Рассмотрим куб с
ребром 2 J2. Сфера с центром в центре куба, касающаяся его
ребер, имеет радиус 2. Поверхность сферы разбивается
поверхностью куба на шесть сегментов и восемь криволинейных
треугольников, равных меньшему из искомых треугольников.
166. arccos ^3-^ •
167. 6S. Указание. Каждая грань призмы представляет
собой параллелограмм. Если мы соединим точку касания этой
грани и вписанного шара со всеми вершинами этого
параллелограмма, то наша грань разобьется на четыре треугольника,
причем сумма площадей двух из них, прилежащих к сторонам
оснований, равна сумме площадей двух других. Площади
треугольников первого типа для всех боковых граней дадут в
сумме 2S. Значит, боковая поверхность равна 4S, а вся
поверхность пирамиды 6S.
168. 4% . Указание. Если бы сферы а и Р пересекались, то
площади поверхности части сферы Р, расположенной внутри
474
сферы а, составляла бы ^ всей поверхности сферы а. Г Эта
часть представляла бы сегмент высотой ^, где г — радиус
сферы a, R — радиус сферы р. Следовательно, его поверхность
2 .
будет 2kR • 2д = пг • J Значит, сфера а содержит внутри себя
сферу Р и отношение радиусов равно Jb .
169. g7i. Указание. Любое из рассматриваемых сечений
представляет собой равнобедренный треугольник, боковые
стороны которого равны образующей конуса. Следовательно,
наибольшую площадь имеет то сечение, у которого наибольшее
значение принимает синус угла при вершине. Если угол при
вершине осевого сечения конуса острый, то осевое сечение
имеет наибольшую площадь. Если этот угол тупой, то наибольшую
площадь имеет прямоугольный треугольник.
170. "в . Указание, Легко видеть, что сечение данного
с,**.
тела плоскостью, перпендикулярной оси вращения,
представляет собой кольцо, площадь которого не зависит от расстояния
от оси вращения до плоскости треугольника.
Указание. Пусть
О — центр шара, CD — диаметр, М —
середина ВС (рис. 195). Докажем, что АВ =
= АС. Для этого достаточно доказать, что
AM J_ ВС. По условию SA1 OS, кроме
того, SM 1 OS (треугольники CSD, CSB,
BCD прямоугольные, О и М — середины
CD и С В). Следовательно, плоскость
AMS перпендикулярна OSt AM I OS. Но
AM J_ CDy значит, AM перпендикулярна
плоскости BCDy таким образом, AM 1 ВС.
172. Объем части пирамиды, расположенной вне
трехгранного угла, к объему части внутри него относится как 3:11.
Указание. На рисунке 196, a SABC — данная пирамида, SO —
ее высота, G — вершина трехгранного угла. Из условия
следует, что G находится на SO. Кроме того, грани трехгранного
угла при пересечении с плоскостью основания ABC образуют
правильный треугольник, стороны которого параллельны
сторонам А АВС и проходят через его вершины. Следовательно,
если одно из ребер трехгранного угла пересекает плоскость
475
а)
ABC в точке Е> а грань С SB — в точке F> то F лежит на апофеме
SD боковой грани CSB и ED = DA. По условию SF = FD.
Проведем через S прямую, параллельную ЕО> и обозначим через К
точку пересечения этой прямой с прямой EF (рис. 196, б). Имеем
SK = ED. Значит, ^ = |£ = §£ = £. Таким образом, объем
пирамиды GABC составляет ^ объема пирамиды SABC. С
другой стороны, построенный трехгранный угол делит часть
пирамиды SABCy расположенную над пирамидой GABC, пополам.
173.
1 + tg;r
V. Указание. Пусть ребро правильного
тетраэдра ABCD равно а, К и L — середины ребер CD и АВ (рис. 197).
Возьмем на ребре СВ точку М, проведем через М сечение,
перпендикулярное KL. Обозначим СМ = х и определим величину х,
при которой прямоугольник, получившийся в нашем сечении,
будет иметь угол между диагоналями, равный а. Поскольку
стороны получившегося прямоугольника равны х и а - х> величину
х можно найти из уравнения —— = tg ^ ,
а — х &
atg2
Если мы
возьмем на ребре ВС еще и точку N так, что BN = СМ = х, и
проведем через нее сечение, перпендикулярное KLy мы получим
второй прямоугольник с углом между диагоналями, равным а.
Из этого следует, что плоскость BCD после поворота вокруг KL
на угол а против часовой стрелки будет проходить через точки
К у Р и N. Таким образом, после поворота плоскость BCD
отсечет от тетраэдра ABCD пирамиду KPNCy объем которой равен
КС
CD
СР
СА
V
СВ ABCD
V. Те же рассуж-
476
дения будут верны для любой грани тетраэдра. Следовательно,
объем общей части будет равен
174. -jjpr = л/2 + 1. Указание. Пусть ребро куба равно а,
NCX = х. Найдем: LM = \ , NK= j=y
2
LAT2 = ZJB2 + Б^2 = ^- + (a - x)2 = \ a2 - lax + x2,
LiiT2 = LB\ + Б^2 = LB\ + BXN2 + ЛГАГ2 + 25^ • NK^ =
2 2 2
-i- +(a-jc)2+|- +(a-*)*=5a2-aa:+|-.
MN2 = MBf + BjJV2 = | a2 - 2ax + x2,
MiiT2 = MB2 + B#2 - МБ • BK = I a2 - | ax + у .
Если Z LMiiT = Z MKN = ф, то по теореме косинусов для
треугольников LMK и MKN получим:
LJiT2 = LM2 + M#2 - 2LM • MiiT cos cp,
MN2 = M#2 + JiTiV2 - 2MK • #iV cos ср.
Исключая из этих уравнений cos ф, получим:
LK2 • KN - МАГ2 • LM = (LM - KN)(LM • KN - МК2).
Выражая входящие в это равенство отрезки по найденным выше
2 2 2
формулам, получаем [Ц- - ах + \ ) -| - [Ц- - 2ах + ж2) \ =
2
1 ~ ^ ) (о? ~ 2 д2 + 2 ajc ~ У )" Из этого Уравнения найдем
175. 5 или |. 176.
О О
Sh до | Sh. 179. | Д2/». 180. arcsin |. 181. \ . 182. -^ . 183. |.
477
Оглавление
Предисловие 3
Раздел 1. Уравнения и системы уравнений 7
1.1. Рациональные уравнения, приводящиеся с помощью
преобразований к линейным и квадратным 9
1.2. Иррациональные уравнения. Появление лишних
корней 11
1.3. О понятии области допустимых значений
неизвестного 15
1.4. Замена неизвестного 16
1.5. Нахождение рациональных корней многочлена
с целыми коэффициентами. Разложение
на множители 21
1.6. Системы уравнений 24
1.7. Уравнения, содержащие абсолютные величины .... 31
1.8. Задачи 34
Раздел 2. Неравенства 51
2.1. Преобразование неравенств 55
2.2. Неравенства, содержащие абсолютные величины ... 56
2.3. Задачи 59
Раздел 3. Текстовые задачи 62
3.1. Выбор неизвестных 62
3.2. Составление уравнений (ограничений) 63
3.3. Задачи 71
Раздел 4. Тригонометрия 114
4.1. Некоторые дополнительные тригонометрические
формулы 114
4.2. Разные задачи 116
4.3. Преобразование тригонометрических выражений .. 120
4.4. Тригонометрические уравнения. Общие положения 122
4.5. Преобразование уравнений, разложение
на множители 125
478
4.6. Замена неизвестного 129
4.7. Отбор корней в тригонометрических уравнениях ... 132
4.8. Системы тригонометрических уравнений. Запись
ответа в системах тригонометрических уравнений . . 137
4.9. Несколько стандартных приемов решения систем
тригонометрических уравнений 139
4.10. Нестандартные тригонометрические уравнения . . . 144
4.11. Задачи 146
Раздел 5. Показательная и логарифмическая
функции 167
5.1. Определение. Разные задачи 167
5.2. Показательные и логарифмические уравнения 171
5.3. Показательные и логарифмические неравенства .... 175
5.4. Задачи 178
Раздел 6. Планиметрия 192
6.1. Построение чертежа 192
6.2. Выявление характерных особенностей заданной
конфигурации 194
6.3. Опорные задачи 201
6.4. Геометрические методы решения задач 204
6.5. Аналитические методы 212
6.6. Метод координат. Векторный метод 224
6.7. Задачи 228
Раздел 7. Стереометрия 266
7.1. Многогранники 268
7.2. Круглые тела. Цилиндр, конус, шар 273
7.3. Прямые и плоскости в пространстве 276
7.4. Проектирование. Нахождение расстояния и угла
между скрещивающимися прямыми 280
7.5. Развертка 283
7.6. Достраивание тетраэдра 285
7.7. Задачи 286
Ответы, указания, решения 311
Раздел 1. Уравнения и системы уравнений 311
Раздел 2. Неравенства 328
Раздел 3. Текстовые задачи 329
Раздел 4. Тригонометрия 349
Раздел 5. Показательная и логарифмическая функции . . 384
Раздел 6. Планиметрия 389
Раздел 7. Стереометрия 446
479
Учебное издание
Шарыгин Игорь Федорович
МАТЕМАТИКА
Для поступающих в вузы
Редактор Г. Н. Хромова
Технический редактор Е. Д. Захарова
Компьютерная верстка Н. И. Салюк, К. В. Пирязев
Корректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.03.953.Д.004992.08.05 от 16.08.2005.
Подписано к печати 19.05.06. Формат 84x108 1/32.
Бумага типографская. Гарнитура «Школьная».
Печать офсетная. Усл. печ. л. 35,28.
Тираж 4000 экз. Заказ № 3735.
ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги
просим направлять в редакцию общего образования
издательства «Дрофа»: 127018, Москва, а/я 79.
Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: chief@drofa.ru
По вопросам приобретения продукции
издательства «Дрофа» обращаться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Сеть магазинов «Переплетные птицы».
Тел.: (495) 912-45-76.
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Можайский полиграфический комбинат».
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
Многие
абитуриенты
успешно сдают
вступительные экзамены
по математике
в высшие учебные заведения
самого широкого профиля
благодаря пособиям
известного ученого и педагога
И. Ф. ШАРЫГИНА.
Его книги, несомненно, помогут
и старшеклассникам -
при подготовке
к школьным выпускным
экзаменам.