Text
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
новосибирский государственный университет
С. К. ГОДУНОВ, Е. В. ЗОЛОТАРЕВА
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Ответственный редактор
академик С. Л. Соболев
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
НОВОСИБИРСК • 1974
УДК 517.916@703)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие i • • * s • » 4
§ 1. Характеристики, соотношение на характеристиках,
приведение к каноническому виду ..... 4
§ 2. Краевые задачи 13
§ 3. Интеграл энергии и диссипатпвные краевые условия 26
§ 4. Уравнение Гамильтона — Якоби, область единствен-
единственности , . 32
§ 5. Преобразование Лапласа и метод Фурье для ги-
гиперболических систем 37
§ 6. Уравнение Лапласа t 45
§ 7. Сферические функции и представления группы
вращений 49
§ 8. Разностные методы 5rt
Ответы ,,.... 60
20203-1581
042@1)-7-l " ^Издательство «Паука», 1974,
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот небольшой сборник, иллюстрирующий книгу
С. К. Годунова «Уравнения математической физики», со-
составлен нами из задач, предлагавшихся студентам Но^
восибирского университета преподавателями, ведущими
семинарские занятия. Задачи разрабатывались А. Б. Ша-
батом, Е. В. Мамонтовым, В. В. Смеловым, Ю. Н. Ва-<
лицким, В. Г. Романовым и нами.
На упражнениях разбирались обычно стандартные
задачи, взятые из задачников М. М. Смирнова «Задачи
по уравнениям математической физики» и Б. М. Буда км,
А. А. Самарского, А. Н. Тихонова «Сборник задач по
математической физике», а также целый ряд задач, пред-*
назначенных для иллюстрации лекционного курса, читаем
мого С. К. Годуновым.
Мы отобрали для этого сборника те из задач, решав^
шихся на упражнениях в 1969—1972 гг., которые по
своему характеру несколько отличаются от задач, вхо-
входящих в распространенные задачники.
Хочется надеяться, что эта книжка окажется полез-
полезным подспорьем как для изучающих основы теории диф-
дифференциальных уравнений с частными производными,
так и для преподающих этот предмет.
Авторы.
§ 1. ХАРАКТЕРИСТИКИ,
СООТНОШЕНИЕ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ,
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
1. Пусть дано уравнение
д2и д*и д-и ди
а (х,у)-^ + 2b (x,y) J— + с (х, у)~щ-> + d(*, у) ^ +
ди
+ e(x,y)-^ + f (xt y)u = h (х, у). A)
Линия ф(лг, у)=С называется характеристикой уравнения A),
если она является решением уравнения
\2
0. B)
Иногда в качестве характеристического уравнения употребляют
следующее выражение:
а(х, y)(dy)*-2b(x, y)dKdy+c(xt y)(dx)^^0. C)
Оно получается из B) с помощью соотношения
дф dip
-Tdx+-wdlJ=0
Если б2—дс>0, то уравнение A) называется гиперболическим;
оно имеет два семейства характеристик» дифференциальные урав
нения которых следующие:
ady — (b + Ybt—Hc) dx = 0;
ady —(b — yW^TTc) dx = 0.
Если b7—ac—0, то уравнение A) называется параболическиv
оно имеет одно семейство характеристик, дифференциальное уран
ненне которого
ady—bdx — 0.
Если б2—яс<0, то уравнение A) называется эллиптическим,
вещественных характеристик у него нет.
2. Пусть дана система уравнений
Л —-i-#-^r-/(*,//,"), D)
где
А = [Jtfi7,|, В = []/;/feJt f ,£ = I, 2, . г, , п — матрицы,
а
u = [ult ...,«„!• / = [/i, ..., fn]—вектора.
Линии, B,?iOvib которых
называются характеристиками системы D).
Требование, чтобы
я /1 И л
дает нам соотношения на характеристиках.
Системы, у которых все характеристики вещественны, называют-
называются гиперболическими. Системы, не имеющие вещественных характе-
характеристик, будем называть эллиптическими.
Если с1е1||ЛЦ=^О, то характеристический определитель E) может
быть переписан в виде
det||C —Щ|=0,
dx
где С=А-1В и k = -jjjj-.
3. Пусть нам дана система уравнений
ди ди ди
где
Л = Ы- В = 1!М- С = Ы-матрицы.
а
w = [м1э ..., ип\> I = [/lf ...i /„] — вектора.
Поверхности ф(лг, г/, /)=с, на которых
или, что то же самое,—
где (S, т|, т) — вектор нормали к поверхности, называется характе-
характеристиками системы G), а само уравнение
O. (8)
называется конусом характеристических нормалей.
4. Пели дана система уравнений второго порядка
л д2и (У1 и _ д-и [ ди ди
где Л, В, С — матрицы, а и и f — вектора, то линия ф(лг, у)~с
( Зф дФ \
называется характеристикой, если l"JJ£~» '"ди') УД0В;1етБ0Ряет урав-
уравнению
Со всеми названными определениями, а также с вопросом приве-
приведения к каноническому виду гиперболической системы первого по-
порядка можно подробнее познакомиться в книгах:
1. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М, «Нау-
«Наука», 1971, гл. I, § б, гл. И, § 9.
2. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производ-
производными. М.—Л., Гостехиздат, 1950, гл. I, § 5—7.
Найти характеристики у следующих уравнений и сие-»
тем:
1. 1их —bvx — cvy = 0,
\иу — avx + bvy = 0
(уравнение Бельтрами);
2. yu^+Uyy^O
(уравнение Трикоми);
3. yuvy—uxx=0;
4. (хихх -f 2xvxx — tiyg — 2vyy = (х+уУ и,
\uxx — vxx — 2uxy + 2vxy + uyy — vyy = 0;
5. tuxx — 2vxy — Uyy = 0,
\vxx + 2uxg ~ Vyy = 0
'(система Бицадзе. Если ввести обозначения w=u-t-iv,
^i z=x—iy, она может быть переписана в форме
6у2и — ifiii О//// —0* 7
(уравнение теплопроводности);
6
9. (l+*2)«,s-(I+</2) «»+*«*+#«,=0.
10. Привести уравнение минимальных поверхностей
дх
ui+ui
о
к квазилинейному виду и найти характеристики.
11. Написать уравнение характеристик
дх
12. Написать уравнение характеристик
дх
= 0.
13. Найти условие гиперболичности системы
f ди , dr/ , л ^у ~
! ^ , _ ди , « dv
14. Найти условие эллиптичности
(РФ) + ^(РФ) О Рр
(уравнение Чаплыгина).
15. Найти условие эллиптичности системы
~ду
р== A — г2—и?)°, а=const.
Проверить эквивалентность условия эллиптичности з
задачах 14 и 15.
Выписать уравнение конуса характеристических нор-
нормалей у следующих систем:
16.
Ё1
дх
dt
1 dp
— 5р - О
Ро Ж
(система, описывающая распространение звуковых воли
р двумерном случае).
17.
дЕ3
JL д!±
Co ' dt
JL 2£l
JL . E£i.
cn ' dt
dz
dz дх
)E2 dEj
дх ду
L1F
dt
ду {
дИх J
' ~~dx "*"
ду
= 0,
= 0,
= 0,
-0,
= 0
(уравнения Максвелла). Есть ли у характеристического
уравнения этой системы кратные корни?
W
I Л Л Mf
(система уравнений Дирака), где
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
. Л
о о о —/
0 0/0
О—/ 0 0
1 О О О
10 0 0
0 10 0
О 0-1 О
О 0 0-1
Исследовать характеристическое уравнение этой сис-
системы на кратность корней.
0
0
1
0
0
0
0
-1
1
0
0
0
0
-1
0
0
;At=
19.
outt = иуу + uzz — vxy —
= vzz +
i = Wxx
Wyy — Uxz — V
yz
(уравнения кристаллооптики, а, х, со — константы)".
Исследовать характеристическое уравнение этой сис-
системы и выяснить, могут ли у него быть кратные корни.
Описать проекции конуса характеристических нормалей
па координатные плоскости,
8
20. Проверить, что гиперповерхность
(/-/оJ- (х-хоJ- (У-УоJ- (z-Zq) 2=0
является характеристической для уравнения
21. Написать уравнение плоскостей, проходящих че-
через прямую x=sy */ = 0, t=2s и являющихся характе-
характеристиками системы
22. Написать уравнение плоскостей, проходящих че-
через прямую jc=5, y=s, /=2s и являющихся характе-
характеристиками системы
at
—
ду
23. Написать уравнение плоскостей, проходящих че^
рез прямую x=s, y=^=2s, /=s и являющихся характе-
характеристиками системы
Их
~ду
24. Написать уразнение плоскостей, проходящих че^
рез прямую *+г/=1, /=0 и являющихся характеристи-
9
ками воллового уравнения
д2и д
ду*'
Найти соотношения на характеристиках для следую-
следующих систем:
25' (£ + 2$+*-0,
26,
U ~ж + "~0;
i
(Pi — приближение метода сферических гармоник для
кинетического уравнения, цилиндрическая симметрия);
х дх
0;
28.
I d(Tsin2Y) д(Р — Tcos
дх + ~ ^
т = т (Р)
= О,
(система уравнений в напряжениях для плоской задачи
теории пластичности);
29, (иу — vx = О,
цс2 — и2) их — ми (иу -г vx) -т (с2 — v2) vy = О
(система, описывающая двумерный стационарный без-
безвихревой поток);
30. ut+Aux=0, где
10 0 0
0 /• 0 0
0 0-1 0 ||;
О 0 0-3/2|;
10
31.
dt ' Ox
dux , JL
d/ "i" 3
"U7 "r T • ox" = u'
'/< '1 J_
^-1
— 0,
du
лг-i j_
r i an
.V—2
2Л-1
N
2iV-i
0
dT
2Л'+1 djc
(система приближения метода сферических гармоник
для односкоростного кинетического уравнения, описыва-
описывающего плоский поток невзаимодействующих частиц).
32. Доказать, что для гиперболической системы без
кратных характеристик нельзя получить на характерис-
характеристиках двух разных соотношений (т. е. требование «ранг
расширенной матрицы равняется рангу характеристиче-
характеристической» однозначно определяет условия на характеристи-
характеристиках). Проиллюстрировать это на примере системы
дп
dt i Ox
Привести к каноническому виду следующие системы:
33.
34.
35,
36.
ди да
~зг ~ и
до ди
~5Г ~ ~ЬИ
Bt-l)ux-Bt+\)vx =0,
дх
ди , Jb ^ __
dt "^ "dx * XU ~~ '
37.
2±i + 4-^-
dt ~ Ox
dv . о ди
dm , q 5©_ _
~дГ + 6 дх ~
'Ux
— 2u —
7w\
38. £« 4.6^+6-?- =
dv
Ox
dx
dx
39. Можно ли привести к каноническому виду систему
du_
ot
ди , р ди __ t
где
f* =
1 О
о-4 .
40. Для системы уравнений акустики
iff jl±.EE.-o
dt "^ р0 djc ~ U>
проиллюстрировать неоднозначность приведения к кано-j
ническому виду.
41. Когда риманов инвариант постоянен вдоль харак-
характеристики? Привести примеры, иллюстрирующие как по-
стоянство, так и переменность римановых инвариантов
вдоль характеристик.
Найти общее решение следующих систем:
42. UX-l)ut-
\
43, lux + vy = 2(ux — vy) —3(vx— uy),
+ uy = 3 {ux — vy ) -V 2 (vx — иу);
12
44.
45.
ди
IT
dv
ди
ди
5 — -О
дх '
4—=0
dcti , дщ
ди2 од"
7
?f£2_6^l4-4^3
dt дх * ох
§ 2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
1; При постановке смешанной задачи для гиперболических сис-
систем необходимо помнить о следующем: а) задание начальных данных
Коши недостаточно для определения решения, если эти данные за-
заданы не на всей оси х\ необходимы краевые или граничные условия?
б) на каждой границе надо ставить столько условий, сколько се-
семейств характеристик уходит от этой границы; в) эти условия
должны быть такими, чтобы их можно было разрешить относитель-
относительно «римановых инвариантов», отвечающих уходящим характеристи-
характеристикам (нельзя, например, задавать соотношение на приходящей харак-
характеристике). Для получения гладких решений нужно заботиться о
согласовании граничных и начальных условий. Более подробно об
этом можно прочитать в книге С. К. Годунова «Уравнения матема-
математической физики» (гл. II, § 13).
2. Для решения задач 46—52 и 85—88 следует найти вначале
их общие решения, а потом входящие туда произвольные функции
определить через известные начальные и краевые условия.
3. Задача называется корректной, если она разрешима при лю-
любых начальных (или граничных) данных, принадлежащих к некото-
некоторому классу, имеет единственное решение и это решение непрерыв-
непрерывно зависит от начальных данных (см. книгу С. К. Годунова «Урав-
«Уравнения математической физики», гл. I, § 8). Задачи 89—93 исследо-
исследовать путем попытки построения примера типа примера Адамара ме-
методом Фурье.
4. Для решения задач 94—98 необходимо использовать формулу
Кирхгофа, дающую решение задачи Коши для волнового уравнения
(см. книгу С. К. Годунова «Уравнения математической физики»,
гл. II, § 18).
46. Найти решение системы
дт 1 до
до dw ~
дх " dt '
Е, р = const,
13
описывающей продольные упругие колебания стержня,
отвечающие начальным данным
w(xf 0)=ф(х), о(х, 0)=$(х).
47. Найти решение типа плоской волны
u=f (t—ax—by—cz)
л сферической волны
II =
у волнового уравнения
Можно ли отыскать у него решения типа цилиндри-
цилиндрической волны
и* — Ф \Х"-гУы) I \t -~ ay х -\-уи) г
Решить задачу Коши у следующих систем:
48. \2at — их — vx = О,
vt— их — vx — О,
и(х, 0)=0, и(х, 0)=2л:,
49. Bи,-B/-1)и*
W(x, 0)=0, y(x, 0)=
^-оо<д:<Соо;
50. 1^ + ^
\ + ^ = 0,
"U, 0)=0f u(x, 0)=
51. Решить задачу Гурса в области
и(х9 —jc)=\b(x)f
14
52. Найти решение системы
(-^ + 6-^+5^- = o,
дх ду ду
да
дх
0,
удовлетворяющее на двух кусках характеристик следую-:
щим условиям:
и(х, х)==х, х>0,
v(x, 5х)=х2,
63. Волновое уравнение
п
с нечетным числом Bп~\-\) пространственных перемен^
ных имеет решение вида
_.„ | , / V 2 1
где ф(тУ — произвольная гладкая функция. Проверить
$то утверждение при п==0, 1, 2 Bп+1==1, 3, 5).
Указать, какие из следующих ниже краевых задач
правильно поставлены;
54,
dv
dt
dv
дх
да
дх
= 0,
= 0,
Начальные данные: и(х, 0)=q>(x), v(x> O)=i|)(jc).
Краевые условия:
1) и@, 0=0, «(/, 0 = 1;
2) и(о, о=о, о(о,о =^2;
3) u(O,t)+v(O,t)=t,v(l,t)=O;
4) в@, 0-о@, 0 =t,v(l, 0=0;
5) ы@,0=0, v{l, t)+2u(l, t)=sint-t
6)
15
7) н@, t)-v(O, 0 =0, u(l, f)+v(l, t) = ?;
8) «@, 0-o@, 0=0, u(l, t)-v(l, 0=0;
10) ы@, t)-v@, 0=0, «(/, 0+&>(/, 0 — 1
55. Гd« L0&
y=0,
dv
ы(^, 0)=ф(л:), v(x,0)=
и@, 0-Зу@, 0=0, иA,
~zr + 8 -з— = до — Mi
Начальные данные; и(х, 0) =ф(л), u(^, 0)=i
X0)=o)W.
Краевые условия:
2) «@, 0=f, o>@, 0=^2. у(/. 0+2и(/, 0=0;
3) «@, 0=^. йу(О, 0='2, V(.U t)-w(l, t)=t;
4) u@, 0-3[o@, t)+w@, 0]=sin/, v(l, 0-
w(l, t)—t, 3o@, 0—8«@, 0=0.
v ■ • it * t. «» П
я^ ~Г я^ —u»
dE3
I, />0.
IS
Начальные данные: Я2(л\0) = h2(x), Е2{х,0)=12(х),
Я3 (х, 0) = А8 (х) , £3 (х, 0) = /3 (х).
Граничные условия:
2)
@,0+ /-^-£, @,/)=1,
3 @, 0 - 2Я2 @, 01 = VI [£, @, 0 -2£8@, 0],
3) (Кц Я2 @, 0 - Кё £3 @, 0=1, /Я2 A /) = О,
1я3@, о-£,(О,о = о, (я3 A,0 = 0.
Привести примеры правильных постановок краевых
задач в указанных областях:
58,
59.
> дм* . о ди*
~ ж +3 ~di ~4 ai -0>
дх
19 ^Wl
г 17
60. (
дГ "г ° ~Щ ~ ' W ~и
}|й + ^-2э^ = 0,
,^i , 9^f2 _ л
ду
; -^— = U,
61.
"" d/ "F + дх1 ~~ 5 J "" °'
• С. К. Годунов. Е. В. Золотарева
17
63.
fj OU\
'1х~"~~
64. (^2 , о dui . 4 du2 _
В области O^x^l, t^O привести примеры правиль-
правильных и неправильных постановок краевых задач для
систем:
65,
66,
67,
dw
' а©
dv
du
It
du
а»
dv
dv
dt ~
, dw
dw
dv
du
^i
дх дх ^ дх
n dv dw
dv
68. Для системы
Ik'''
"^7 *Х7 — ^»
ди\
дх
^
привести примеры правильных постановок смешанных
задач в областях:
а)
б)
в)
г)
Д)
69. Какие граничные условия требуются для системы
0, t>0;
£-B*-!)*-0
в области /^0, O^x^l, если начальные данные зада-
заданы? Указать область, в которой решение определится
начальными данными.
70. Найти характеристики уравнения
^кинетическое уравнение, случай сферической симмет-
симметрии) и исследовать постановки задач в области
— l^pi^l, О^г^/?. Требуются ли граничные условия
при ji=±1?
Исследовать возможные постановки краевых задач
у следующих систем:
71.
х) ut
vt— —vx = 0;
19
72. (х {щ — vx) + t In t (itt — vt) = 0,
U (и, — i>*) ■+ t In < (w* — u,) = 0.
73. В системе
i , du . n dv _
du
dv
подобрать параметры a, ^, ^, б так, чтобы система стала
гиперболической и чтобы
1) краевые условия можно было поставить при *=0,
х=1 (по одному на каждой границе);
2) можно было поставить два краевых условия на
левой границе O^x^l;
3) можно было поставить два краевых условия на
правой границе 0^^1
74 В
74. В системе
du_
dm
ди
1 dx
ди
= 0,
dv . d\
дх
= 0
подобрать параметры ос, (J, 4* 6, e, \i, v так, чтобы сис-
система стала гиперболической и допускала постановку:
1) двух краевых условий при *=0 и одного краевого
условия при х=1;
2) трех краевых условий при х=0\
3) трех краевых условий при #=1;
4) двух краевых условий при х==1 и одного краевого
условия при х=0.
75. Для системы уравнений
дих ди2 одих гди2 Л
дх dt * dt dx -
в области *^гО, /^0 рассматривается задача
, 0 +а2и2 @, /)=/(/),
, /i = 0, 1, 2...
20
В каком случае эта задача имеет непрерывное реше-
решение (разобрать различные значения ось <*2 и ограничения
на фп(*), $п(х))?
76. В области х2-\-у2^1 рассматривается система
^+3^ + 5^ + 5^ = 0,
дх * дх 1 ду v ду *
д7~~дх~~г'ЩГ~~д^~~~и'
Указать, на какой части границы круга можно задать
Граничные условия (и в каком виде), чтобы задача име-
имела единственное решение.
77. Предложить способы свести волновое уравнение
а) к системе трех уравнений первого порядка,
б) к системе двух уравнений первого порядка.
Рассмотреть характеристики полученных систем. Ка-
Какие задачи для этих систем могут считаться эквивалент-
эквивалентными задаче Коши для волнового уравнения?
78. Для системы
да dv __ Л
dt дх '
dv_ ди_ _ п
dt дх
с начальными условиями и(х9 0)=0, v(x, 0) ==лг2( 1—х),
0^*^l найти параметры аи bu а2, b2i обеспечивающие
непрерывность функций и, v вместе с их первыми произ-
производными у следующих граничных условий;
A) u(Q, t)=ax+bxt,v(\,t)=a2+b2t;
B) и@, t)=ai+b{t, u(lt t)=a2+b2t;
C) w@, t)+v(O, t)=ai+b\t, v(l, t)=a2+b2t;
D) «@, t)=ax+bxt% v{\, 0+2w(l, t)=a2+b2t;
E) u@, t)—v{0, t)=ax+bxtt u(ly t)+v(l} t)=a2+b2t;
F) u@t t)—v(Ot t)=c
79. Для системы
1ди_ , ди 1_ dv_ __
dt + дх 4 дх "" 0>
— 4- 2 — 4-3— = 0
dt * дх ' дх
21
с начальными условиями и{ху 0)=*, v(x, 0)==/~.r,
0^x^.1 поставить какую-нибудь разумную краевую за-
задачу, обеспечивающую непрерывность решения вместе
с первыми производными.
80. Система уравнений
\ИГ ~~0х = '
ь dt dx ~~
дополнена граничными условиями
щ@, t)=t, Wi(l, t)+2u2(l t)=e-x
и начальными данными
Ul(x, 0)=xy u2(x, 0) =3jcA—л:).
Существует ли решение с непрерывными первыми про-
производными в области O^x^l, 0^/^l?
81. Для системы уравнений
dtii dii-i . ди.\ г fin* Л
dt dt dx dx
поставить в области х^О, t^Q разумную краевую за-
задачу, имеющую в этой области дважды непрерывно диф-
дифференцируемое решение. Каким условиям должны удов-
удовлетворять начальные данные при заданных краевых ус-
условиях?
82. Для системы уравнений
поставить в области у^2ху у^—х разумную краевую
задачу, имеющую дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируемое решение. Каким условиям должны удовлетворять
начальные данные?
22
83. Подобрать коэффициенты а, Ь, с так, чтобы реше-
решение системы
ди , до . дна , ,
О,
ди
определенное при t^O, Os^xss:l и удовлетворяющее
начальным и граничным условиям
u(x,
v(x,
w(x,
0)
0)
0)
■= X2,
= 0,
■» X,
"@,
0A,
w@,
/) =
t) =
0 =
0,
at,
имело непрерывные вторые производные.
84. Для системы
+2+у
dv .п ди
с граничными условиями
^ dx
указать условия на начальные функции, которые бы
обеспечивали существование дважды непрерывно диффе*
ренцируемого решения.
85. Найти решение уравнения
д*и ЬЧ
W ^ дх*
в области t<kx} если известны
Фх
0;
Каким условиям должны удовлетворять функции
W» ^Wi чтобы решение было непрерывным?
23
86. Найти решение системы
5 +
области х^О, f^O, удовлетворяющее условиям
, 0) =0, v(x9 0) = х, и@, 0 =t.
Будет ли оно один раз непрерывно дифференци-
дифференцируемым?
87. Для системы
дх ' дх di
о ^«i , о ди2 , а«!
о ^— 4- о -г— + г?— ■
. дх ' дх { ду
2 — = 0
в области л^О, /^0 привести пример разумной краевой
задачи, имеющей в этой области один раз непрерывно
дифференцируемое решение и найти его.
88. Для системы
в области л'^0, t^O привести пример разумной краевой
задачи, имеющей в этой области один раз непрерывно
дифференцируемое решение и найти его.
Для следующих систем проверить, является ли кор-
корректной задача Коши с данными при /=0:
89, (utt + vx = 0, 90. ju(t — ux-~vx=0t
\vtt — ux = 0; [vu + ux — v* = 0.
9b (uff + ux + vx*=0t
W ~~ ^ + v* = 0.
92. Показать, что задача
u(x, у, 0)-=ф(л:, у), ut(x9 у, 0)=i|?(*f у)]
некорректна,
24
93. Показать, что гфи любом комплексном а задача
Коши с данными при /=0 для уравнения
ии—аия
некорректна.
94. Решение волнового уравнения
д*и _ 2 1дЧ &и , д*и\
при /=0 удовлетворяет начальным условиям
U |;=0 = О,
где
при г
э(г) при
при г>2я.
Определить те интервалы времени, при которых оно
может быть получено решением «одномерного» уравне-
уравнения
д*и *д2и
95. Решение волнового уравнения
а/2 ""
при /==0 удовлетворяет начальным условиям
г/ 1^о = 0,
0 при |г|>2,
) при |г|>1,
где ф(р)=О при |р-2|>1, р=1/х2+у2.
Изучая это решение на плоскости 2=0, определить
те интервалы времени, при которых оно может быть по-
получено решением «двумерного» уравнения
25
dt2 ~~ с \дх2 ^ ду* у
При каких t заведомо и@, 0, 0, f)=0?.
98. Решение волнового уравнения
д*и 2 (д*и , дЧ , дЧ
W в с (а? + W2 + д
при £=0 удовлетворяет начальным данным
|(+Hh
Вывести формулу этого решения.
97. Дать физическую интерпретацию формулы Кирх-
Кирхгофа для волнового уравнения, если начальные данные
отличны от нуля в ограниченной области. Почему у «сфе-
«сферической» волны есть передний и задний фронт, а у «ци-
«цилиндрической» волны задний фронт отсутствует?
98. Решение волнового уравнения
д2и __^ 2 [дги i д2«
!)t* [Ш* ' ду*
при 7=0 удовлетворяет начальным условиям
— оо<д:<оо.
Вывести формулу этого решения. Сравнить получен-
полученное решение с решением задачи Коши для «одномерного»
уравнения
д*и
_ 2 д
ди
■ ♦м-
§ 3. ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ
И ДИССИПАТИВНЫЕ КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
1. Пусть дана система уравнений
ди ди ди
где Л, В, С — симметричные матрицы.
Умножим систему (9) скалярно на вектор 2и и проинтегрируем
по некоторой области О, ограниченной поверхностью S. Используя
Теорему Гаусса — Остроградского, получим интегральное тождество
2(f,u)]dxdydi.
A0)
где (т 5 х\) — единичный вектор внешней нормали к поверхности
S,a
^A + ^B C(Q + Q*)
Тождество A0) называется интегралом энергии для симметрической
системы.
В частности, если число переменных равно двум и гиперболиче-
гиперболическая система не симметрическая, то мы можем привести ее к кано-
каноническому виду и для него выписать интеграл энергии.
2. Пусть гиперболическая система уравнений задана нам в ка-
каноническом виде
(П)
в полосе 0^*^/ для
Рассмотрим для системы A1) следующие граничные условия!
п
«* = 2 ttnUi при х = 0 A = 1,2,..., л0);
I
««i при ^ = / (/ = /io
я),
Граничные условия A2) называются диссипативными, если в
точках границы выполнено неравенство
-2**«? + 21V? <° сз)
во приходящим i по уходящим i
(«по приходящим I* означает суммирование по всем тем /, для ко-
которых соответствующая характеристика — приходящая, аналогично
«по уходящим /»).
Со всеми вышеприведенными определениями можно познако-
познакомиться более подробно в книге С. К. Годунова «Уравнение матема-
математической физики», гл. II, § 9, 13, 14.
99. Для системы
(На
dt
' dv
до
Ж
ди
исследовать вопрос о диссипативности следующих крае-
краевых условий:
A) ii@, 0=0, иA, /)=0;
B) u@,/)=0, v(/,0=0;
C) и@,0=0@, 0. v(l9 0=0;
|D) и@, 0=0, v(l, t)+2u(lt 0=0;
Х5) и@, 0=*@, 0. «(U)+u(U)=0;
[F) и@, 0=^@, 0. и(I, ()+3v(lf 0-0.
100. Для системы
4 W • "~u
выписать какой-нибудь интеграл энергии и проверить,
диссипативны ли граничные условия
и@, 0=3^@, 0, иA9 0+7оA, 0=0
и как можно добиться их диссипативности?
101. Для системы
да ^dw
I do
Е> р = const
проиллюстрировать неоднозначность интеграла энергии.
102. Для системы
dt
а/ дх ~ "'
dt ' дх ~
проиллюстрировать неоднозначность интеграла энергии.
23
103. Написать интеграл анергии для уравнений
dt "I" dx
W + ~dx
приведя систему предварительно к симметричному виду
выбором новых неизвестных функций.
104. Для системы уравнения Максвелла
8 . .
дН2 ,
дН3
dt
дЕ3
dt
Ох
дх
dx
Ох
О,
= 0,
в области
с начальными данными
,0)=1ь(х), Е3(х,0)=е,(х)
получить оценку интеграла
1
dx
через /@), если заданы следующие граничные условия:
Я, @./)-
Я,
Я,
= 0.
105. Привести для системы
dx
dv
дх
с граничными условиями и{—I, 7)=2о(—I, t), v(\, t)=?
= u(\, t) диссипирующийся интеграл энергии и получить
оценку
f (и2 + v2) dx |_, через f (u4v2))dx\t=0.
U
Для задач 106—109 проделать то же самое, что в за-
задаче 105.
106.
ди , ди
dv r> d
107.
(ди , R ди
— ЕЕ. —
Г ~~ ~дх ~
u=v при ,*=—I, u = v при x=—1,
За = м при x=h o = 9w при дг=1.
908.
а/ ^ дх
109.
i/==2u при х=—I,
w = y при х= 1.
110. Привести систему
ди
— -7— - о
« = 4и при л:== — I,
u = v при jc= I.
с граничными условиями w@, 0=5^@, /), оA, /)=*
= 3иA, /) к диссипативному виду и оценить интеграл
энергии.
111. При каких значениях параметров а, р у системы
I t'C # t/C/ ~
a, 6 = const
80
граничные условия
u = av при х = — 1,
v = $и при х = 1,
а, р=const
будут диссипативными? Оценить интеграл энергии, если
начальные данные
и(х, 0)=0, v(xt 0)=х*-1.
112. Вывести закон сохранения энергии
для решений и(х, t) уравнения utt—ихх~0, удовлетво-
удовлетворяющих граничным условиям w@, 0=0, и(л, 0=0.
113. Доказать, что если и(х, t)—гладкое решение
уравнения ut = uXXi удовлетворяющее граничным услови-
условиям и.(О, 0=0, и (я, 0=0, то
d Г? t/ Л
■-77 I I м (^» О "t \ ^ 0.
d/ Lu J
114. Оценить
/ @ = J [w2 (*f 0 + «I (j:, /) + uf (x, 0] dx
0
для решения смешанной задачи
и{х, О)=ф(дг), ^(дг, 0)=\|)(х),
а@, /)=«(/, 0=0,
у волнового уравнения utt—«^=0.
115. Доказать единственность задачи Гурса и(х, у, /]1
при t^l/x2-{-y2 для уравнения ин—и^—иуу=0^
В качестве граничного условия полагается
и [х9 у} Vх2 + У2) = Ф (х> У)>
§4. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА -ЯКОБИ,
ОБЛАСТЬ ЕДИНСТВЕННОСТИ
Пусть нам задана система уравнений
А dt +B дх +с ду = '• A4)
где матрицы Л, В, С — симметричные и матрица А — положительно
определенная. Равенство
называется конусом характеристических нормалей. Он делит все
пространство на несколько частей. Рассмотрим ту часть, которая
содержит вектор A,0,0). Пусть граница этой части пространства
описывается уравнением
т+ЯF, ti)=0, A5);
которое называется уравнением Гамильтона — Якоби.
С помощью этого уравнения можно описывать области единст-
единственности у систем A4). Пусть начальные данные заданы в области
Фо(*э #)^0. В какой области решение системы A4) по этим началь-
начальным данным можно однозначно определить? Обозначим границу
эгой области единственности ф(*, у, t)=0, причем выберем так,
чтобы внутри области q>(xt у, /)<0. Оказывается, ф(*, yt t) есть ре-
решение уравнения Гамильтона — Якоби
удовлетворяющее начальным данным ф(лс, у, О)=фо(л:, у).
Более подробно с этими вопросами, а также с методами инте-
интегрирования уравнения Гамильтона —- Якоби можно познакомиться я
книге С. К. Годунова «Уравнения математической физики», гл. II.
§ 11. 12.
116. При каких а плоскость
t=l—ax+ay
может служить верхней границей области единственно-
единственности для системы
32
Описать область единственности, если начальные зна-
значения искомых функций заданы при /=0 в указанных
областях:
117,
118.
,^, jj? = °« У>3\х\;
119.
-о, y-x>2U\:
120.
121.
ди
dv
' С. К. Годунов, Е. В. Золотарева
123.
^££2,
2 -r- -+* V2 = 0)
dv.
124, Для системы
dt
описать область единственности, если начальные данные
заданы в следующих областях:
а) х>0, {/>0, х+у<\;
б) х>0,у<0, л:-у>1;
в) х<0, у>0, -х+у<\\
г) х-<0,у<0, х+у>-\;
д) д:>0,
Ж)
з) x<O,y<O,x*+y*<i.
125. Для системы
описать область единственности, если начальные данные
заданы в следующих областях:
а)
б)
126. |О ^_
Ро dt ~ дх "г ду 9
0v __ до21 ,
ро а/ "" "аГ "•"'
а/
a/
(нестационарные уравнения линейной теории упругости:
ро — плотность среды; (и, у)—скорость деформации;
oik — тензор напряжений F21=012); k — модуль всесто-
всестороннего сжатия*; \х — модуль сдвига;-напряжения и де-
деформация вдоль прямых, параллельных оси z, посто-
постоянны).
Описать область единственности, если начальные дан-
данные заданы в области ^^2
Зб
Построить из бихарактеристик характеристические
поверхности для заданных систем. Эти характеристики
должны проходить через указанные прямые.
127,
dv
dt
dw
* dx
ди
ди
= 0,
О,
dv , dw
прямая x=0, y=tm
128.
dt
dt
дх
2| + 3# + 4-0,
ду
прямая у—О, 4л;+3/=0.
129. Для системы уравнений
а/
dw
dv
начальные данные, заданные при /==0 и всех х, у, от-
отличны от нуля лишь в полосе О^л:+у^1. В какой об-
области полупространства х, у, />>0 решение так постав-
поставленной задачи будет нулевым?
130. Для системы уравнений
du . du .
dv dv . dw
+
dt дх ' di
начальные данные Коши, заданные при f=0 и всех х, //,
таковы: u=v~w=zQ при х-\-2у<0, u=-v = w=l при
х+2у>1. В полосе 0<Ar+2f/<l начальные значения
нам неизвестны. Для каких />0 можно определить
[иG, 0, /), v G, 0, 0, w{7, 0, /)] по этим данным?
36
§ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
И МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. Пусть функция «(/), определенная при 0^/<оо, удовлетво-;
ряет неравенствам
\u(t)\<Mekt;
\uf (/)| < Mekt;
\и' (/,) - и' (t2)\ <N(T). Y\h—h\ при 0 < tt < 2Т.
Определим преобразование Лапласа v (X) формулой
=| u(t)e-}idt.
(Иногда v(X) называют «образом» функции //(/).)
Тогда при O^to^t^T справедливо неравенство
a-\- ib
J
I a-\- ib
a>k,
т. е. u(t) можно восстановить по v(X) с помощью обратного пре-
преобразования Лапласа.
Применение преобразования Лапласа бывает иногда удобным
как при решении обыкновенных дифференциальных уравнений
и систем,,так и для уравнений и систем с частными производными.
В первом случае, т. е. когда задано обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение, воспользовавшись тем, что
v (X)
и' @ е~
и т. д. для производных более высокого порядка, для нахождения
«образа» функции v(X) надо решить алгебраическое уравнение.
Во втором случае, т. е. для уравнений с частными производны-
производными, задача нахождения «образа» функции сводится к решению
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Иными словами, задача нахождения «образа» функции являет-
является более простой по сравнению с исходной задачей. Далее, зная
«образ» функции, можно с помощью обратного преобразования Лап-
Лапласа восстановить решение исходной задачи.
2. Способ отыскания решения краевой задачи в виде суперпози-
суперпозиции частных решений вида е^и(х), называемых «стоячими» волна-
волнами, носит название метода Фурье.
Рассмотрим гиперболическую систему двух уравнений, записан-
записанных в каноническом виде
те"+тп {х) Ul
|±- Н *&. + т21 (*) и,
=0|
ти (х) и, = 0.
37
Предполагается, что &i>0, &2>0, т. е. характеристики имеют раз*
ный наклон. Система A6) дополнена граничными
= 0,
IPiM'.O + PiM/. 0 = 0
и начальными условиями
«I (*, 0) = ф! (ДГ) , 1/2 (X, 0) = ф2 (ДГ) . A8)
Если все коэффициенты cti, «2, Pi, P2 отличны от нуля, то реше-
решение можно строить как для *^0, так и для t^Q. Такие краевые
задачи для гиперболических систем называются обратимыми.
Ищем частное решение системы A6) вида
удовлетворяющее граничным условиям A7). Тогда вектор-функция
[й{(х), U2(x)] должна являться решением следующей задачи:
-р- + т1Хих -г
= 0;
dx
+ a2w2@) = 0,
0
Те значения А,, при которых возможно нетривиальное решение
задачи A9)—B0), называются собственными значениями, а соответ-
соответствующее решение — собственной вектор-функцией.
Для обратимой гиперболической системы доказана возможность
аппроксимации решения задачи A6) — A8) суммой «стоячих» волн
<2„
где суммирование производится по всевозможным собственным зна-
значениям.
Рассмотрим систему
1 W J^. + вм (х) 2%. -г Ъп Эъ+Ъ^-с (х) в1 = 0 B2)
и краевые условия A7). (Матрицы А = |]яг7г (д-)|, В = ||b,.fe|| симмет-
симметричны и Л положительно определенная матрица.) Гиперболическая
система называется консервативной, если интеграл энергии не меня-
меняется со временем. Для этого достаточно краевые условия выбрать
так, чтобы квадратичная форма Ьп и\ + 2&12«1«2 + &22«2 обраща-
обращалась в нуль при х—0 и x=*l\ bib здесь предполагаются постоянными,
38
В случае консервативной гиперболической системы собственные
вектор-функции
Ч
\ukv Hk2] и и, = [ «,р «л2] •
соответствующие различным собственным значениям, ортогональна
в таком скалярном произведении:
иЛ, 7ip) = f
О
Это дает возможность для задачи B2), A7), A8)"подбирать коэф-
коэффициенты ck решения B1) так, чтобы удовлетворились и начальные
условия. (ck суть коэффициенты Фурье при разложении начальной
вектор-функции [(pi(.v), фг(*)] в РЯД Фурье по собственным вектор-
функциям.)
Более подробно с преобразованиями Лапласа и методом Фурье
для гиперболических систем можно ознакомиться в книгах:
1. Годунов С. К. Уравнения математической физики, гл. IV.
2. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. Изд. 2-е. М., Физматгнз, 1958, гл. VI.
С помощью преобразования Лапласа решить следую-
следующие задачи:
131. х"'--2х"+х'=4,
д-@) = 1, л''@)=2, л*"@)=-2;
132. х"+п2х=а sin (nt+a),
133.
134.
= х-у+ 2г9
х' = 2х —
t/ =3х — 2у - Зг,
zf = 2z-x + у,
*@) = 1,0@) =г@) =0;
135. ix' — x — 2y =
39
136. Построить с помощью интеграла Дюамеля реше-
решение задачи
(х' = Зх + 2у + 4e5t,
\t/ « * + 2у,
Выведите асимптотические формулы для собственных
значений следующих систем. Сравните с точными форму-
формулами собственных значении, если удастся их найти.
137. Ua. , /
138.
139.
ы@)=0, ыA)=0,
+ B-х)~. + х*и~0,
\lv + B-х) -^ - хЬ) - О,
•-£ -5i> = 0,
w@)— 2i>@)=0,
НО. f^,, , Л> , о.
ц@)—3f@)==0,
—0,
Зй@)—w@)=»0, 4u(l)-f»(l)=0,
Выписать и решить дифференциальные уравнения для
преобразования Лапласа. С помощью формулы обраще-
40
Ния разложить решение по собственным функциям,
Н2. (j j!
dt ^ dx
да
~дх
и@, /)=«A, 0=0, "(*• 0}=0, i>(*, 0)=cosjca-;
н@, 0=, 0=0; и{х, 0)=sinnx, v(x, 0)=0;
144. ^L + 4$L = o,
dt * dx '
dt ^ dx U>
w@, t)=u(\t 0=0, «[*, 0)=sinnA:, и (л:, 0)=0.
Изучить применимость метода Фурье к системам:
145.
146.
е*
ди . dv
dt
«(о, о=о, o(it /)=о,
—+ — =0
a/ + дх -и,
и@, 0=0, иA, /)=0,
В каком скалярном произведении ортогональны соб-
собственные вектор-функции?
147. _ __
dt
/ii \ ди i до . dv Л
148.
I/O И * Д. ^" Y*n — П
•v ' dt dx
41
Найти собственные функции следующих краевых
задач:
149.
ди Ov
1F~ дх
да ди
йГ ~ *
150.
и@, 0=0, 0@,0=0,
«(О, 0-ао@, 0=0,
иA, 0+^A. 0=0,
Выписать асимптотику собственных значений и фор-
формулы вычисления коэффициентов Фурье у следующих
систем:
151. ( I ди , n ду
u@, 0 = 0, uU-,t) =
= 0, 0<-v<4";
152. ди
'*.-!£ +e-xu = Qt
u(Q, t)+v{0, 0=0, «A, t)+v(lt /)=0,
153. Указать граничные условия для системы
v*2r, ^_ Л
ди
ди
ду . ди^ , ду
dt дх ~^~ дх
dv , ди о di
дх
на отрезке О^д:^/, при которых она будет консерватив-
консервативной. Выписать формулы для вычисления коэффициентов
Фурье,
42
154. То же самое сделать для системы
155. Указать граничные условия для системы
I ду т 9 с^ц Gр _ п
"' Z дх Ox ~ U
на отрезке О^лс^1, при которых она будет консерва-
консервативной. Определить собственные значения и собственные
функции.
156. То же самое сделать для системы
idv «_ r> £f£_ _^_ _п
1"я7 Г ^ д„ л„ V*
Вычислить преобразование Лапласа для решения сле-
следующих задач:
157. (ди+9 * Q
1 а/ ' дх *
и@, 0=0(я, 0=0,
W(*, 0)=л:2, у (а:, 0)=0,
158.
а/ ах ~~
dw , г5ш
I " -4— - —-
I ot дх
0,
и(д:, 0) =0, v(xt 0) =0э w(x, 0) =х2,
«@,0—30@, 0=0,
«;@, 0=0, иA, 0=0,
43
dt
u(x, 0)=0, v(xt 0)=sin2A:,
160. Разобрать вопрос о представлении решений сис-
системы
(да
dv
•22 + 27^ + и - 0 и <0' 0 +и<°> ') =0'
f /" f u(ly t)-v(\, 0=0,
ди
через стоячие волны. Выписать асимптотическую формул
лу для собственных значений.
То же самое сделать для следующих систем:
161. (ди
II +
1- • -о,
162.
и@, t)=v(l,
^ -г 5J + х w т" v1 — х ) v = и,
и@, 0=0,мA, 0-яA. 0=0,
Решить методом Фурье следующие системы:
163. tdu , 9dv n
и@, 0=0, оA, 0=0, и(х, 0)=х, v(x, 0)=0,
164. ди _odv — i\
dt *Тх~К}>
dt 6дх~{}'
«(О, 0=0, 0A, 0=0, и(х, 0)=0, v(x, 0)=x,
44
165'
167.
166, /ft*,
dt
0, uA. 0=0.
.v, u(x, 0)==0,
Tt~°dx
= 0,
0.
и@,/)«0, o(l,0=0,
u{x,0)=x, v{x, O)=O,
0,
o@,/)=0f t>(l,/)=0,
§ 6. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
1. Для решения задач № 168—173 и 179—184 необходимо зна-
яяе материала гл. III § 20—23 книги С. К. Годунова «Уравнения
математической физики».
2. Функция Грина для уравнения Лапласа первой краевой за-
задачи (задачи Дирихле) определяется следующими условиями:
а) в трехмерном случае
+(A^P>- B3)
где сг=У (jc— £J+ (#—тО2+ B—SJ — расстояние между точками
М(*, #, г) и P(g, tj, J), а »(М, Р) —функция регулярная и гармо-
гармоническая всюду в рассматриваемой области Т с границей а. На гра-
границе о функция G удовлетворяет условию
О|а=0;
б) в двумерном случае
G(M, Р) = ~ \п-у
v(M,
B4)
Если функция Грина известна, то решение первой краевой за-
задачи для уравнения Лапласа
45
задастся формулой
-do,
B5)
50 fc г
гле • *)„' "— производная функции О на границе о\ взятая по направ-
лению внешней нормали к а.
В качестве литературы по эгому вопросу можно порекомендо-
порекомендовать книгу А. Н. Тихонова, А. А. Самарского «Уравнения матема-
математической физики» (Изд. 3-е. М, «Наука», 19E6, гл. IV, § 4).
168. Доказать разрешимость задачи Дирихле для сос-
составной области, предполагая ее разрешимость у исход-
1
1
J
г о
"У
«зг
I
ных. областей. Дать оценки скорости сходимости альтер-
альтернирующего процесса Шварца:
169. Пусть и(х$ у) внутри квадрата 0<х<1,
0<^/<1 удовлетворяет следующим условиям:
Wja+«w=0, и(х, у) ^-—2, а в центре квадрата «G2, 7г) ^
<1. Оценить: а) |^| в точке (%, 3/в); 0) оценить сверху
иG8, 7s).
170. Пусть и(х, у) —гармоническая внутри равносто-
равностороннего треугольника ЛВС; и(Р)<\% где Р —центр тя-
.43
жести треугольника. Оценить сверху «(Q), если точка Q
лежит на отрезке АР и AQ = -? QP.
171. Пусть и(х, у)—гармоническая внутри области
D
D
Оценить lu^yl в точке Q(V3, 7з).
172. Пусть и(х9 у)—гармоническая внутри области
Оценить ]^| в точке Q(V2, V2).
173. Пусть и(х, у) —гармоническая и положительна
внутри квадрата 0<дг<6, 0<у<1 и, кроме того,
]]uHx,y)d
00
Оценить сверху u(xt у) в точке РE,2). Можно ли
оценить \их\ и \иу\ в той же точке?
174. Построить функцию Грина и решить задачу Ди-;
рихле для уравнения Лапласа в полупространстве 2^0.
Какие ограничения надо наложить на решение, чтобы
обеспечить его единственность?
175. Решить с помощью функции Грина задачу Ди-
Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости (/>0,
[О при
при х > 0.
176. Построить функцию Грина для следующих об-.
ластей:
а) слой пространства 0^z^:h;
б) двугранный угол величины а = ~, где п — нату-
натуральное число.
177. Построить функцию Грина для шара радиуса а.
С помощью функции Грина решить внутреннюю задачу
Дирихле.
178. Построить функцию Грина для следующих об-
областей:
а) внутри полукруга \
б) внутри сферического слоя с радиусом а и Ь.
47
179. Сделать два приближения по методу Шварца
для задачи Ди=0 внутри области
"(О, f/)=0,
и(х,0)-0,
и (х9 1/2) = sin 2пх, 1/2 < х < 1,
и A/2, */) = — sin 2ш/, 1/2 < у < 1,
О
(У
2
и(ху 1) = 0,
180. Можно ли получить с помощью вариационного
принципа Дирихле решение задачи Дирихле в круге
?, если:
0 при 0<Ф<у,
а) и
б) и(Я,
п=1
о
00
при у <ф<2л;
при
при
ъ) и (/?, ф) == | sin 2ф |; г) u(R9 ф) = I sin ф|.
181. На двух концентрических окружностях заданы,
соответственно, значения функции и(г0, ф)—0 й
и(ги ф) = 1. Показать, что функция и допускает кусочно-
гладкое продолжение внутрь кольца с конечным интег-
интегралом Дирихле.
182. В условиях предыдущей задачи показать, что
г
интеграл Дирихле от гармонической функции и ~ -?~
не превосходит интеграла Дирихле от функции
11 *** Ггг — гош Решить задачу непосредственным сравнением
интегралов Дирихле от функций и и и.
183. На контуре прямоугольника
заданы краевые условия
и(у т- ( х ПРИ 0<*<1,
u(x,U)~ \2-х при 1<л-<2;
43
Показать, что можно найти кусочно-гладкую функ-
функцию, определенную во всем прямоугольнике, удовлетво-
удовлетворяющую краевым условиям, для которой интеграл Дири-
Дирихле будет конечен.
184. Можно ли показать то же, что и в предыдущей
задаче, для следующих^краевых условий:
и(х, 0)=и@, 0)=О;
и (х, Ь) = j, и (а, у) = |;
185. Разрешима ли задача Гильберта для уравнений
Их — vy = О,
в круге A'2-f*/2<l с граничным условием
[5coscp-f-sin 2(p]u(cos(pt sin ф) — [5sin <р—-cos2q)]X
(cos ф, sin ф) =0?
§ 7. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
Этот параграф иллюстрирует основные положения теории пред-
представлений группы вращений и вытекающие по этой теории свойства
сферических функций.
По этим вопросам можно рекомендовать следующую литературу:
1. Любарский Г. Я. Теория групп и ее применение в физике. М.,
Физматгиз, 1957.
2. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представле-
Представления группы вращений to группы Лоренца, их применения. М.,
Физматгиз, 1958.
3. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. М.,
Физматгиз, 1958.
4. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представле-
представлений групп. М., «Наука», 1965.
186. Доказать, что любых два однородных гармони-
гармонических полинома, один из которых 3-й степени, а дру-
другой— 5-й, ортогональны в смысле скалярного произве-
произведения:
?7 f Я
4 С. К. Годунов, Е. В, Золотарева 49
187. То же самое сделать для полиномов 2-й и 5-й
степени, если скалярное произведение брать в виде
(Р> Q) = Ш Vx* + y* + z*P (*, У, г) Q (х} у,г)Х>
X dxdydz.
188. То же самое сделать для полиномов 5-й и 7-й
степени, если скалярное произведение брать в виде
(Р, Q) = f f f e-*'-v'-*' p (x, у, г) Q (*, у, г
о о о
189. Представить функцию хъ в виде
x*=Pz(xf у, z) + (x*+if+z*)Pl (х, у, г),
где Pi и Рз —гармонические полиномы 1-й и 3-й степени.
190. Пусть О —мультипликативная группа отличных
от нуля комплексных чисел. Доказать, что существует
представление G матрицами 2-го порядка с веществен-
вещественными элементами.
191. Доказать, что все конечно-мерные представления
какой-либо группы G, эквивалентные данному, эквива-
эквивалентны между собой.
192. Доказать, что если во всех матрицах конечно-
конечномерного представления некоторой группы совершить од-
одну и ту же перестановку строк и столбцов, то получен-
полученные после такой перестановки матрицы образуют пред-
представление, эквивалентное исходному.
193. Пусть G=[a] — бесконечная циклическая груп-
группа. Рассмотрим отображение
(п = 0, ±1, ±2, ...)
Доказать, что Т — приводимое представление. Найти
соответствующие инвариантные подпространства. Будет
ли Т вполне приводимым?
194. Пусть Г<(/=1, 2,...,&)—представления группы
квадратными матрицами порядков ть Обозначим через
Т следующее отображение группы G в группу квадрат-
квадратных невырожденных матриц порядка n=m\-{-...-\-mk.
Каждому элементу geG сопоставляется клеточно-диа-
гональная матрица T(g) с диагональными клетками
T\(g)j ..., Tk(g). Доказать, что Г —представление мат-
матрицами порядка п.
60
195. Найги все неприводимые конечно-мерные пред-
представления аддитивной группы вещественных чисел, все
неприводимые унитарные представления.
196. Найти все неприводимые конечномерные унитар-
унитарные представления группы вращений плоскости, или, что
то же самое, группы ортогональных матриц с определи-
определителем -fl (группа SOB))
{ cos ф —- sin ф
sin ф cos ф
197. Рассматривая тождественное отображение
как представление группы 50B), разложить
его на одномерные.
198. Выписать базис в пространстве однородных гар-
гармонических полиномов 4-й степени от двух независимых
переменных. Ввести какое-нибудь скалярное произведе-
произведение и подсчитать норму векторов базиса.
199. Выписать базис в пространстве однородных гар-
гармонических полиномов 3-й степени от трех независимых
переменных. Определить инфинитезимальные операторы
поворотов вокруг координатных осей и привести соот-
соответствующие им матрицы в выбранном базисе.
200. Доказать, что гармонический полином, равный
нулю на сфере
тождественно равен нулю.
201. Коэффициенты aijk полинома
2
1+/+Л-4
при повороте системы координат преобразуются по неко-
некоторому представлению группы вращений. На какие не-
неприводимые это предстаъление раскладывается?
202. Выписать явный вид полиномов £,7"\ Е%9 обра-
образующих базис в пространстве гармонических полиномов
2-й степени и матрицы представления, отвечающие пово-
поворотам на я/4 вокруг осей z n у. Полиномы Е^т, £,?
определяются так:
£т
• 5...BH-l)B|m)+l)
2 • 4 ... B И - 2) 2 И
51
2л-3
X ££-2 (л > m + 2).
203. Доказать, что если Р(х9 у, г) —однородный rap-»
моническнй полином степени п, то
204. Проверить, что для группы вращений трехмер-*
ного пространства
где ^ф-^ матрица поворота на угол ф вокруг оси г; ge —
матрица поворота на угол 6 вокруг оси у.
205. Проверить, что для операторов
л д д D д д п д д
А==гТу-УТг> вв*5-гЗ? С = УТх-хТу
действительно выполнены соотношения коммутации
АВ—ВА^С, BC—CB=At CA—AC=B.
206. Для неприводимых представлений группы вра-»
щений в четно-мерном пространстве имеем
Tg (<й+2я) = — Tg (©),
где #(ф) -^вращение на угол со вокруг оси 2. Доказать,
что это равенство верно для вращения вокруг любой осиф
Рассмотреть аналогичные тождества для неприводимых
представлений в нечетно-мерном пространстве.
207. Представление группы вращений в пространстве
всех однородных полиномов степени п разложить на не*
приводимые.
208. То же сделать для неоднородных полиномов сте-
степени п. Показать неоднозначность разложения.
209. Вращения сферы допускают представление дроб-
дробно-линейными преобразованиями плоскости с матрицами
62
При этом вращению g*(o)) вокруг оси z на угол со coot-»
tO) Q) ДО
ветствует a=£T,p=0;g*(co) аналогичноа — соз^, p^/sin^.
Найти аир, соответствующие gy((o).
210. Доказать, что операторы Л, i3, С из 205 задачи
удовлетворяют тождеству
\AА + В){1А - В) + ~{iA - В)ЦА + В) + (/СJ -
- - (Л2 + В2 + С2).
Показать, что оператор А2-\-В2-[-С2 перестановочен с
А, В, С.
211. Доказать, что
(см. задачи 205, 210).
212. Выписать матричные элементы сиинорного пред-
представления, если в качестве базиса взять элементы
(n-m)\(n + m)l l W ф
Сделать это прил = 2" и ПРИ л=1- Спинорное представ-:
ление в пространстве однородных полиномов
/П—/1
задается как представление группы SUB) матриц вида
а
с определителем, равным 1, порожденным преобразова-
преобразованием независимых переменных
if = at + pw,
213. Представление SUB) задается формулой
Й « — pwt + ait
53
в пространстве четырехмерных полиномов
Определить инфинитезимальные операторы этого
представления.
214. На какие неприводимые представления раскла-
раскладывается представление группы SUB) из задачи 213?
215. Для решения задачи Дирихле
сю
и (-vf у% *) = Qo + 2 ЗГ Qk (*' у' г)>
где
Qk (х9 у, z) = ji- Г Г </* (х, у, г, g, т|, ч) / (9, ф) sin
о о
выполняются оценки
1
R
Qk (x, у, z)
const -V .
Доказать, что всякую непрерывную функцию на сфере
можно как угодно точно приблизить конечной линейной
комбинацией гармонических полиномов (теорема о пол-
полноте множества гармонических полиномов на сфере).
216. Пусть
/(/,^)== S flm/n+m 0,11-111 (/1=0, j, I, I,..-
m=—л \
— однородный полином (целый) степени 2п. Вводим ска-
скалярное произведение
2Л П
X sin4» 4- sin &Шср.
Оно инвариантно относительно преобразования
[(спинорного представления группы вращений), где мат-
матрица
а
64
унитарна я ее определитель равен 1. Его можно записать
в виде
Показать, что оно же равно
2Л оо оо
f№ ' /1+|г|2 м1 + И2)*'
217. Инфинитезимальные операторы поворотов
рассмотреть в сферических координатах, полупить
218. Применяя операторы iAdtB, iC к базисным по-
полиномам, получить рекурентные соотношения для них.
219. Мы имеем С£„ « const £n+i + const £™_г Какие
рекурентные соотношения между полиномами Лежандра
отсюда следуют? (Определение Е% см. в задаче 202).
220. Пусть в пространстве L со скалярным произве-
произведением (х, у) действует представление Т конечной груп-
группы G={e, gu t4t, gN}. Доказать, что билинейная форма
есть новое скалярное произведение, относительно кото-
которого <все операторы представления унитарны.
221. Доказать, что любое представление конечной
группы имеет эквивалентное унитарное представление.
222. Выписать матрицы инфинитезимальных операто-
операторов поворотов вокруг оси (х=0, у=2г) и их коммутато-
коммутаторов. Как восстановить по ним матрицы однопараметриче-
ских подгрупп поворотов вокруг этой оси?
55
§ 8. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
Семейство функции {ип (*)} называется равномерно ограни-
ограниченным, если найдется такая постоянная М, что
\ип(х)\<М
для всех л.
Семейство функций [ип (х)} 'называется равностепенно непре-
непрерывным, если для любого б>0 найдется такое 6(е), что, как только
причем б не зависит от х и п.
Для решения задач № 223—233 необходимо знание материала
гл. II § 15—17 книги С. К Годунова «Уравнения математической
физики». Задачи № 234—244 основаны на'материале гл. V той же
книги.
223. Будет ли система функции un(x)—s\nnx равно-
равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной на
интервале [—я, я]?
224. Будет ли система функций
, ч 2я +1 t п
равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной
в квадрате O^x^l, O^f/^1?
Оценить 8-энтропию множества вектор-функций
[и(х)$ v(x)], O^x^l, удовлетворяющих неравенствам:
225. \bux-ZvK\
226. \ux + vx\ + \ux-vx\ + \и@)| + [vA)|
227. f [ul + lOOvl) dx + и2 @) + v* @)< 1;
6
l
228. f (iQOul + vl + ir + lOOOOu2) dx < 1;
6
229. $
о
56
230. Является ли семейство всех дифференцируемых
функций {и(х)} вещественного переменного 0<л:<оо,
каждая из которых удовлетворяет неравенствам
равномерно ограниченным и равностепенно непре«<
рывным? Компактно ли оно относительно равномерной
сходимости?
231. Является ли семейство всех функций {^(л:)} ве«
щественного переменного —оо<л:<<сх>, каждая из кото-
которых удовлетворяет неравенствам
со
1 и (Xl) - и (*2)| < V\xt - х2|, J и* (х) d* < 1,
— 00
равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным?
Компактно ли оно относительно равномерной сходи-
сходимости?
232. Доказать компактность (относительно равномер-
равномерной сходимости) семейства {и(х)} функций одного пере-,
менного Q^Xj^l, каждая из которых удовлетворяет не-,
равенствам
\и (хх) - и (х2) |< ^-^1, J и2 (х) d* < 1.
о
233. Доказать компактность (относительно равномер-
равномерной сходимости) семейства {и(х)} функций одного пере-
переменного O^*fS:i, каждая из которых удовлетворяет не-
неравенствам
6
234. Рассматривается явная конечно-разностная схема
Ukt /41 = Uk, i + «? -р- (и*-1. / — 2uk, i + Uk+u j) 4- fk, /т;
«*о=Фл» wOj=Hj, WnJ==vi,
отвечающая задаче
и(х, О)=ф(л'), и @, /)=|
67
Предполагается, что начальные данные конечно-раз-
конечно-разностной задачи взяты неточно Ньо—Фа+Л*, где ДЛ — по-
погрешность. Исследовать эволюцию погрешности, допу-
допущенную в начальных данных, методом разделения пере-
переменных в конечно-разностной схеме. Рассмотреть случай,
когда г==а2^г<-2"» г>—•
235. Как и в предыдущей задаче, исследовать эволю-
эволюцию погрешности, допущенную в начальных данных, для
случая неявной схемы:
«л. ж = мм + я2 jz (ы*-1. ж — 2"/г, ж + ил-и. ж) -!- /*/т-
236. Тот же самый вопрос для следующей схемы
(рассматривается уравнение теплопроводности):
Uk, /+2 = Ukj +a2 J? (ttft-i, ж — 2u
На скольких временных слоях здесь надо задавать
начальные значения? Как Вы предложите их определить
по начальным данным решаемой задачи?
237. Процесс Дугласа — Рэкфорда. Укажите, какие
параметры и сколько итераций в цикле следует взять
при решении задачи Дирихле:
а) на квадрате 0^х^5, 0<;#^5 с квадратной сет-.
кой 3000X3000 точек;
б) на квадрате 0^x^:2, 0^у^2 с квадратной сет-»
кой 11 000ХП000 точек;
в) на квадрате 0^л:^8, 0<г/<8 с квадратной сет-
сеткой 4000X4000 точек;
г) на квадрате 0^л:^7, 0^t/^7 с квадратной сет^
кой 2000X2000 точек.
238. Выписать расчетные формулы какой-либо неяв-
неявной разностной схемы для решения уравнения
и@, 0=0, иA, /)=sin/, u(x, 0)=0,
и обсудить условия ее применимости.
239. То же самое проделать для системы
ди , /л п ч ди
= о,
и (о, о=о, «A, 0=0,
и (х, 0) = ф (х), v (х9 0) = ф (л:),
240. То же самое проделать для уравнения
Л ~~ * дх •
i/C, 0=0, и(х, 0)=ф(*), 0<л:<3.
241. Построить разностную схему решения задачи
Дирихле
Дать обоснование этой схемы расчета гладких реше-
решений (апроксимация и устойчивость), аналогичные обос-
обоснованию такой же схемы для уравнения Лапласа.
242. Построить разностную схему и привести все рас-
расчетные формулы для следующей задачи:
и @, 0 = sin U ди{^° + и (л, 0 = cos /,
(схему желательно построить неявную и дать оценки
обусловленности прогонки).
243. Поставить разумную смешанную задачу в облас-
области />0, 0<#<3 для системы
дх
Выписать расчетные формулы какой-либо неявной
разностной схемы и предложить способ решения разно-
разностных уравнений.
244. При проведении процесса Дугласа — Рэкфорда
(разностная задача Дирихле в квадрате O^jc^I, 0^C
^;/^1) значение итерационного параметра было фик-
фиксировано (а не менялось циклически). Сколько должно
потребоваться итераций для уменьшения погрешности в
500 раз на сетке NX# точек,
59
ОТВЕТЫ
1. Характеристики, соотношение на характеристиках,
приведение к каноническому виду
I. 4==2£E 4 р
при #>0 вещественных характеристик нет.
3. 2\у — ±х-\-С при г/>0; при у<0 воинственных характеристик
нет.
4. 2хЧ*+у=С1\ —2л:'/2+Х/=С2; х+у = С*
5. Вещественных характеристик нет.
6. y = CiX, ху=С2. 7. х±у=С.
8. у=С. 9. arcsin Xrfcarcsin у —С.
10. Вещественных характеристик нет.
II. -^" = - 2ихиу ±
-о,
15. т [т2 —c^(S24- Л
t7. J!f.T2 (Ji|-T2— |2 —tl2 — S2J = 0. Указание: при вычислении
Характеристического определителя удобно пользоваться формулой
если С4=*ЛС, где А, В„ С, D— матрицы.
18. (т2 — £2 — т],2 — С2J == 0. См. указание к предыдущей задаче.
19. г2 {кссот4 — т2 [ко (I2 + rf) ■+ хсо (п2 + £2) + аш (J
+ (£2 + Л2 + J2) (ol2 + XII5 + ©С2)! = 0.
21. Три плоскости:
2
: 1) // = 0; 2) -2*+(--L +1/Л-^)^+/ = °*
\ О * OU /
22. Три плоскости: 1) х—у; 2) л:+3</-~2/==0; 3) Зх+37#—20/=-0.
23. Пучок плоскостей х+а^— (I +2а)/ = 0.
24. Две плоскости:х + У + Y^t — 1 =0, * + у —У1/ — 1=0.
25. dv+udt**0 на a:+/=Ci; du+vJt = 0 на д:—2/=С2.
20. ± J^i 4ф, + -j-JqH + tf/ f~ ^o + "Т" + «оТо
= 0, если r= ±~bt.
27. Если д*+/»*гСь то «2=^2; если дг=С3/, то
+2«A*2rf/ = 0
28. 2TrfT ± dP К,— = 0, если f »
29. 1) если u2+v2<.c2 (дозвуковой поток), то система эллипти-
эллиптическая, вещественных характеристик нет;
2) если м2+02>£2 (сверхзвуковой поток), то система гипербо-
гиперболическая.
Тогда dv (с2 — v2) + du I— ии Т Ус2 (и2 + v2 — с2)) = 0 вдоль
характеристик (с2— и2) dx =[— uv TT/g2(w2 + y2~ c2)l ^»
30. «i = Ci, если x—t~c2\ «2=^3, еслид:— — =С4;м3в=С5, если
С6; м4=С7, если jc+/3=C8.
61
31. Характеристический определитель
— Я. 1 О О ....
J- -Л ± О
3
о.
. 0
3
к
2k -г 1
к -(
2*
- 1
- 1
0 .
. . 0
о ;V ~
Д' J
О
2ЛГ
2Л' - 1
связан с полиномами Лежандра, А именно Ik — o^P^^A), где
a^=const. Так как полиномы Лежандра имеют все корни различ-
различные и вещественные, то система гиперболическая.
Соотношение на характеристиках:
вдоль характеристики
х— Kkt = Cfe, где
33.
34.
35.
36.
корень
PN {lk) uN = С
= 0.
%-*Lt. = O, где Ml-11-17, iit««i + o.
^ + 2/ ^1 = 0, где ttl = u + y, We = и - v.
"ЗГ"
ди2
.^1 - A + x) 3. + «, = 0, где и, = н + о, и2 = и - v.
1 ди! д:3 + х — 1
* (Hi — t'i)
х3 + х + 1
2A + л;2)
dt
= 0,
х3 + х 4- 1 л3 -|- jc — 1
2A+х2) + 2A+х»)
■ = о.
где U\ = и + "^1 + л:2 у, и% — и — У\ + х2 у.
62
37.
dt дх
диъ , * ди<>
Г" ~дх
где
38.
*,.+ „£._„+„,
39. Нет.
42. (u = g(t + 2x)
-— 4u+5v+9w.
43. fn = (/5 + 1) / Cx— Vby) + (УЪ - \)gCx + Vby)>
\v = (/5 + 3) / (to- Vby) 4- (/5 - 3) g C* +
Bt + jr).
-L
45. («x = / (.v — 0 — h (x + 2t) + 3g {x — 30»
§ 2. Краевые задачи
46.
G3
m{x,t).
f')-♦(-•»
_
2/рЯ
47. При плоской волне пг-1-63+С3=—-; при сферической вол-
А
не а = j- —~>; цилиндрической волны нет.
А
48. и = /, v = 2x+t. 49. и»-~
50. u = —t, v=x+2t.
[x + t\ [x — t\
61. ивф^-^ + ф^—J_,p(O).
62. «/i=
/ — jg 25
25
54. 1, 4, 5, 7, 10 — правильно (при согласовании с начальными
условиями), 2, 3, 6, 8, 9 — ненраьилыю.
55. Правильно (при согласовании с начальными условиями).
56. 2, 3, 4 — правильно, 1 —неправильно.
57. 1,2 — неправильно, 3 — правильно.
69. Область ограничена линиями *=/, я=1--/2.
70. г2A — j.i2) =С2, не требуется.
73. Для гиперболичности системы надо, чтобы'
1) a6 — YP=<0; 2) a6-YP>0, a+6>0;
3) a6 — YP>0, a+6<0.
74, Для гиперболичности системы надо, чтобы (а ~~ ^)а + уР > 0:
4
или аб— ур>0, а+б>0, v<0;
2) аб — ру>0, а+б>0, v>0;
3) аб —Py>0, а+б<0, v<0;
4) аб—Py<0, v<0, или
аб-ру>0, а+б<0, v>0.
75. Фп(л)=фя-1(/2)
76. АС:х+у == 0,
BD
64
Одно краевое условие можно задавать на kjAC (нельзя зада-
задавать 7w2—3wi), второе краевое условие можно задавать на BD
(нельзя задавать u2+8ui).
77,
78. A)
B)
C)
D)
E)
F)
\диг _
dt
дих
ai =
дх ду
= w-;
^ = ^ = ^ = 0;
«1 = ^ = 0, 62 =
неправильно поставлена;
2=61==0, 62=;—2;
^«bjreO, 62=— 1;
2=fe1=0> 62« — 1.
а»
1
80. Нет. 83. а= —2, 6 = 0, с=, - — ,
84. Если ы(*, 0) = ф(х), v(x, 0) = \р(.^ йу(л?, 0) в о (х), пв
<р@) = 0, t|?(l) = 0, ю@) = 0, (О'@)= 0, 1
1 г= со A) — 8ф' A), 16ф" @) — 3©* @) — 9ф' @) = 0;
1 = 9а>" @) — Зф' @), 0 = ф A) — 3(о' A) - 8ф' A) +
|>" A)+8со" A).
85.
2
при
2)
J
1+i
при x<t<kx\
б С. К. Годунов, Е, 6, Золотарева
С5
6 5
S6. 1) « = - — t, o= * —— t при 0</<дс)
13 19
ы = — -y- x + t> v = — -y- x + 3/ при О < x < t;
2) нет.
89. Некорректна. 90. Некорректна. 91. Некорректна.
94. Пусть ]/*о + #о + *о ^ го- Если го<а и с/<а—-г0, то ре-
решение зависит только от л:. Если а<го<2а и с/>го+а, то решение
равно нулю. Если го>2д, то решение равно нулю при с£<Сго — 2а
и с/>го+2а.
95. 1) пусть ]/"*о + у1 = го- Если го>3 и г0 — 3<с/<
—ЗJ, то решение зависит только от х, у. Если го<1 и
1—го<^<У2-—го, то решение также зависит только от xt y\
2) при ct<\ и при
96. и=-2-
1 г+<
7 J
§ 3. Интеграл энергии и диссипативные краевые условия
99. Все диссипативны. ^ _
100. Не диссипативны. Замена: и = еау и, с/ = е"*~ау с,где
# = х — -у и а < — — B In 3 + In 2).
103. Замена: их + Зм2 = t>i> W2 = ^21 «3 = vz*
v I —2—^T +1 w« -N+(<' +'2) «w^»i) r, ps=o,
где (т, 5, ■*!) — вектор нормали к S.
105. Замена: Ъ = e* и, % = e^xvj(() < I @) e4r
106. Граничные условия диссипативны; /(/)^/@).
107. Замена: 1/ = е^м, 7J = e~~*v; /(/)</ @) e
108. /(/)</ @) e6/. 109. /(/)</ @) eut.
ПО. Замена: jc — -y = y, и = e~~2y~u> v = e2y
66
114. Г \и2 {х, t) + ul {x> t) -f u\ (x, t)\ dj, <
I
< I (ф2 (x) + 4>'x2 (x) + 4>* (*)) dx.
0
116. Указание: воспользоваться интегралом энергии
dt [[ dt ) + [ dx j + ( ду ) J ~ ^7 [г dt ' ~дх~\ ~
~ dy [^ a/ * dy J - °*
§ 4. Уравнение Гамильтона — Якоби, область единственности
ll6.a=±J=.
117. Если *>0, то |/12 М- 3jb - р < 0;
если *<0, то—Т/_
8
118. Если { _ то
\>0
( < 0, \Yly + 2>t < О,
если < то <
(х < 0, \Yly
< Л то <
119. Если д: > 0, то 9* + Зх — г/ < 0;
если х < 0, т
120. Если л то W о
1^ > 0, [/ ~ 2у < 0.
5
121. ЕСЛИ X — y>-J-> ТО Х + У-Ы < (д;_^_
5
если \х — у\ < -^-, то 2^ + х + ^<(а;~ f/Jj
5
если jc — у < — -у, то х + y — 3t < (х— у + О3.
67
122.
t —
123. Bf —*<0,
h — y< 0,
{t — x < 0, it — x < О,
* —y<0, 6) ly<Ot
— t+x + y—1^01 U — У + ^ < 15
(x < 0, fx<0,
B)|f —0<O, r)|^<0,
l— л; + у — 1 + / < о; I— * — У -г 2* - 1 < 0;
Д)
{
з)
125. а) 0_
6) /(x~
О;
4/ - 1 < 0.
126. AT —
127. 5x-
Po
0,
Po
128. 4x + 3^ + f- 1 ± l^i) у = 0.
4 /
129. 1)
< 0; 2) * + 0 — ^ — 1 > 0;
4)
y-t <0.
130. 0</<20,
63
§ 5. Преобразование Лапласа
и метод Фурье для гиперболических систем
131. x(t)=:4t + 3 — 2Л
132. x(t) = -Tj^t [sin nt cos a — nt cos (nt + a)].
133.
L (/) = -** + *',
134.
г @ = 1 — «'•
135.
c (О —
28
-г
1@—г^—г-4' + Л
Ё
139. ^ = Сп(«-4-) + -Г
140. Я,и = 1я[«-—1+-2"
2я— 1
In 7 + In 2 - In(9 - 4 V2) + In (l + /5) -
.
142. и = sinnxsin п/, о = cos nxcos я<.
143. и = sin ядгсозЗл/, v= — -5-cos ял sin Зл/.
144. « = cos 2л/ sin лх, v— — -y sin2fl/ cos nx.
\n\\
145. Метод Фурье применим. 146. Применим.
1
4лт С f **" i "" I / I \ /""* | "" \) j
147а I \ LLи U -г- VuV *т* X iUu -f* Vu I U -т- V ] \ и
Jlep1 К р ' \Л' «/\Р PJ I
о
148.J [A + х) ukZp + икЪр + upvk + B - х) vkvp]
2n + 1 2лг + 1
149. ил = / sin —2— ял;« °л = cos —2— пх'
*~-z-* 2 *~-тг* 1 /' 2а ^ V
150. иь = е 2 , cfe = -^T6 ^ +—h ' ]-
где Кк — корень DW = IГ +ТГ"")РвА' + f' "'" '
lei. К =
где
152' ^/г=1 -Гя/4-1" °( "R")' Коэффициенты Фурье
вычисляют-
вычисляются по следующей формуле.
1
где uk, Vfr —нормированные собственные функции, а ф(#У, *фСаг) —=^
начальные условия.
153. Граничные условия должны иметь вид а—р = 0 или
ы-{-Зу=0. Коэффициенты Фурье вычисляются по следующей
формуле:
г
ck = J BсрмЛ
где uk> vk =— нормированные собственные функции, а <р(*) и
начальные условия,
70
154. Граничные, условия должны иметь вид и + B -f V§) v = 0
или и-\-B — У5)у=0. Коэффициенты Фурье вычисляются по следую-
следующей формуле:
ск = J [5ф • иЛ + sin * (ср5Л + фиЛ) -f 2\|rjfe] d*.
157. и = 6 •
я 3
18
18
ch-^-л
158.
159.
з f* . з гъ1х~1)\ъ
2х 2
+
16
1 е-^+*
.+ 1
+ 16] Я
сп —
- sin 2jf,
ch
А.+
V =s — ;
IJ + 16J
*VJch-
cos 2* 4
2 О
160.
161, Хп=*\ + *~" 2 '7"щ +
162. ^ = B/i^l)m-ln3~y+O^j.
т.(и) = ^-(-1)к
sin(y+
— /TOcos (у + kn) x sin /T5 fу + kn\ t
164.
f 4 /я \ . /я \ ^
— 77gsinhr -rknjxvnhcr +kn\y6t
2 cos [у + £я| Ajcosjy + Лл|/б/
166.
2 /я \ .-/я \
" 3/?C°S\ + kn)Х Sin /б[Т + Ы) 1
/я \ .-/я N
2 sin I у + ^я I х cos |/ 61 у + «я 1 ^
оо
2у (-ofe ..
sin
cos /15 (у +
/5 /я \ А— / я \
-j- cos I у + ^я I х sin К 15 I у + /гп J ^
167. uslv u^O.
174.
175.
§ 6. Уравнение Лапласа
2z
и{х, y)=v(\-^ arctgjj.
73
и».
\ /
где
- Bл/
(У -
Bд/ -
б) указание — перейти к цилиндрическим координатам, направив оя)
г вдоль ребра двугранного угла:
ft—1
где
• 2pscos [Ф -
(г -
! — 2ps cos [ф — Ba& — ty)] -f (г — i
2л я л2 __ n2
«77. «(po, 90, Фо) = ^
X /@, ф) sin BrfO,
где cos 7 — cos 9 • cosOq -f- -Ь sin 9 • sin 9q • cos (ф — фо).
178. a) G(p, ф, po, Фо) = g(p, ф, Po» Фо) — 5Г(P» Ф. Ро» 2л — Фо)>
& ~ 2к ln oa^ ^а *~ РадиУс кРУга» /"о =
где rn=
и*
при л = 2ks
при rt = 2k + U .
180. а) да; б) нет; в) да; г) да. 185. Разрешима.
т) г7
при
73
§ 7. Сферические функции
и представления группы вращений
[3 13
*3 — х (х2 + у* + *а) х \ + х (х2 + 0* + *а) *<
5 J 5
193. Не будет вполне приводимым: нетривиальное инвариантное
подпространство состоит из векторов вида @, х).
195. Представления, не являющиеся: 1) приводимыми —/?э^->
— elkk (одномерно); 2) вполне приводимыми — R&h->elK (произ-
(произвольной размерности), где жорданова нормальная форма /С есть
1
Неприводимые унитарные представления — #Д -> eikK (одно-
(одномерно).
196. ^(ф)-*в^тф, где т—целое. Все они одномерны.
197. Состоит из векторов пропорциональных A, =fc/).
201. На девяти-, пяти- и одномерное.
207. Пусть Р{х, у, г)—однородный полином степени л, тогда
[51
Р = 2 (*2 + У2 *+" *2)* ^п—2fe» гДе ^ "" гармонические однородные
полиномы степени /. Представление разлагается в сумму ly +1
Г л 1
представлений: B«+1)-мерного, Bм—3)-мерного,..., Bд+1) —4 у -
мерного.
208. Разложим полином сначала на однородные полиномы, даль-
дальнейшее сделаем по предыдущей задаче.
§ 8. Разностные методы
223. Равномерно ограничена, но не равностепенно непрерывна,
224. Да. 230. Нет при 0<*<оо. 231. Да.
т 1
234. Если л = а2д2 <y» T<> разностная схема устойчива; если
1
t > ~2> то неустойчива.
235. Устойчива всегда. 236.. Устойчива всегда.
74
Сергей Константинович Годунов
Елена Владимировна Золотарева
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Ответственный редактор Сергей Львович Соболев
Редактор 7\ М. Иазарянц
Художественный редактор В. И. Шумакоа
Художник В. М, Амельченко
Технический редактор А. В. Семкова
Корректор Я. Я. Тясто
Сдано в набор 11 января 1974 г. Подписано в печать 12 апреля 1974 г.
МН 02118. Бумага машиномелованная 84Х1087з2. 2,375 печ. л., 4 усл. печ. л.,
3,7 уч.-изд. л. Тираж 21 000 экз. Заказ 255. Цена 13 коп.
Издательство сНаука», Сибирское отделение. 630099, Новосибирск, 99,
Советская, 18.
4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станислав-
Станиславского, 25.
В СИБИРСКОМ ОТДЕЛЕНИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВА «НАУКА»
готовятся к выпуску следующие книги:
Кутателадзе С, С, Рубинов А. М. Двойственность
Минковского и ее приложения.
Савельев Л. Я. Комбинаторика и вероятность.
Ильин В. П. Численные методы решения задач элект-
электрооптики.
Воронин Ю. A., Era нов Э. А. Методологические
вопросы применения математических методов в гео-
геологии.
Лазерные допплеровские измерители скорости.
Сенин А. Г. Распознавание случайных сигналов.
К у р к и н Ю. Л., Уточкин Б. А. Элементы и узлы
транзисторных скоростных осциллографов.
Книги высылаются наложенным платежом. Заказы
направляйте по адресу: 630090, Новосибирск-90, Морской
проспект, 22. Магазин «Наука».