Text
                    В. С. ВЛАДИМИРОВ
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
СТ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1967


517.2 В 57 УДК 517.91 (075.8) Уравнения математической фи* зики. Владимиров В. С., 1967 г. Широко используется концепция обоб¬ щенного решения. Дана специальная глава, посвященная теории обобщенных функций. Аппарат теории обобщенных функций поз¬ воляет строго определить понятие фунда¬ ментального решения, что дает возможность проще и физически нагляднее исследовать и решать краевые задачи. Василий Сергеевич Владимиров Уравнения математической физики М., 1967 г., 436 стр. с илл. Редактор В, В, Абгарян Техн, редактор А. А. Благовещенская Корректор С. Н. Емельянова Сдано в набор 13/VH 1967 г. Подписано к печати 20/ХГ1967 г. Бумага 84х108‘/з2. Физ. печ. л. 13,625. Условн. печ. л. 22,89. Уч.-изд. л. 23,09. Тираж 40 000 экз, Т-12599. Цена книги 93 коп. Заказ № 796. Издательство «Наука» Глазная редакция физико-математической литературы Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29, 2-2-3 185-67
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 9 Глава 1 Постановка краевых задач математической физики § 1. Некоторые понятия и предложения теории множеств, теории функций и теории операторов 11 1. Точечные множества в Rn (11). 2. Классы функций С? (G) и С& (G) (13). 3. Пространство непрерывных функций С (Г) (14). 4. Интеграл Лебега (16). 5. Пространство функций (б) (22). 6. Ортонормальные системы (2Г>). 7. Полные ортонормальные си¬ стемы (28). 8. Линейные операторы и функционалы (31). 9. Ли¬ нейные уравнения (34). 10. Эрмитовы операторы (36). § 2. Основные уравнения математической физики .... 38 1. Уравнение колебаний (38). 2. Уравнение диффузии (42). 3. Стационарное уравнение (44). 4. Уравнение переноса (45). 5. Уравнения гидродинамики (46). 6. Уравнения Максвелла (47). 7. Уравнение Шредингера (48). 8. Уравнение Клейна — Гордона и уравнение Дирака (48). § 3. Классификация линейных дифференциальных урав¬ нений второго порядка 49 1. Классификация уравнений в точке (49). 2. Выражение опе¬ ратора Лапласа в сферических и цилиндрических координа¬ тах (52). 3. Характеристические поверхности (характери¬ стики) (53). 4. Канонический вид уравнений с двумя независи¬ мыми переменными (55). 5. Пример. Уравнение Трикомн (60). § 4. Постановка основных краевых задач для дифферен¬ циального уравнения второго порядка 62 1. Классификация краевых задач (62). 2. Задача Коши (63). 3. Роль характеристик в постановке задачи Коши (65). 4. Крае¬ вая задача для уравнений эллиптического типа (66). 5. Смешан¬ ная задача (67). 6. Корректность постановки задач математиче¬ ской физики (68). 7. Теорема Ковалевской (69). 8. Пример Адамара (70). 9. Классические и обобщенные решения (71). 1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава II Обобщенные функции § 5. Основные и обобщенные функции 73 1. Введение (73). 2. Пространство основных функций <0 (75). 3. Пространство обобщенных функций S)' (79). 4. Носитель обобщенной функции (80). 5. Регулярные обобщенные функ¬ ции (82). 6. Сингулярные обобщенные функции (84). 7. Фор¬ мулы Сохоцкого (8’5). 8. Линейная замена переменных в обоб¬ щенных функциях (87). 9. Умножение обобщенных функ¬ ций (88). 10. Упражнения (89). § 6. Дифференцирование обобщенных функций 89 1. Производные обобщенной функции (89). 2. Свойства обоб¬ щенных производных (90). 3. Примеры, п — 1 (92). 4. Упраж¬ нения (97). 5. Примеры, п > 2 (97). § 7. Прямое произведение и свертка обобщенных функ¬ ций 106 1. Определение прямого произведения (106). 2. Коммутатив¬ ность прямого произведения (НО). 3. Дальнейшие свойства пря¬ мого произведения (112). 4. Свертка обобщенных функций (113). 5. Условие существования свертки (116). 6. Дифференцирование свертки (118). 7. Регуляризация обобщенных функций (119). 8. Примеры сверток. Ньютонов потенциал (120). 9. Упражне¬ ния (123). § 8. Обобщенные функции медленного роста 124 1. Пространство основных функций <з/ (124). 2. Пространство обобщенных функций медленного роста о/' (125). 3. Примеры обобщенных функций медленного роста (126). 4. Структура обобщенных функций с точечным носителем (128). 5. Прямое произведение обобщенных функций медленного роста (130). 6. Свертка обобщенных функций медленного роста (132). § 9. Преобразование Фурье обобщенных функций мед¬ ленного роста 132 1. Преобразование Фурье основных функций из е7 (132). 2. Преобразование Фурье обобщенных функций из е/' (134). 3. Свойства преобразования Фурье (136). 4. Преобразование Фурье обобщенных функций с компактным носителем (138). 5. Преобразование Фурье свертки (139). 6. Примеры, п = 1 (140). 7. Упражнения (144). 8. Примеры, /2 > 2 (145). Глава III Задача Коши § 10. Фундаментальные решения линейных дифферен¬ циальных операторов 150 1. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравне¬ ний (150). 2. Фундаментальные решения (152). 3. Уравнения
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 с правой частью (154). 4. Метод спуска (155). 5. Фундаменталь¬ ное решение линейного дифференциального оператора с обык¬ новенными производными (159). 6. Фундаментальное решение оператора теплопроводности (159). 7. Фундаментальное реше¬ ние волнового оператора (160). 8. Фундаментальное решение оператора Лапласа (163). 9. Фундаментальное решение опера¬ тора Г'ельмгольца (165). 10. Фундаментальное решение опера¬ тора Коши —Римана (166). И. Фундаментальное решение опе¬ ратора переноса (166). 12. Упражнения (167). § 11. Запаздывающий потенциал . * 168 1. Свойства фундаментального решения волнового опера¬ тора (168). 2. Дополнительные сведения о свертках (171). 3. Запаздывающий потенциал (174). 4. Поверхностные запазды¬ вающие потенциалы (178). § 12. Задача Коши для волнового уравнения 183 1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциаль¬ ного уравнения (183). 2. Постановка обобщенной задачи Коши для волнового уравнения (184). 3. Решение обобщенной задачи Коши (186). 4. Решение классической задачи Коши (188). 5. Упражнения (190). § 13. Распространение волн 191 1. Распространение воли в пространстве (191). 2. Распростране¬ ние волн па плоскости (193). 3. Распространение волн на пря¬ мой (195). 4. Метод распространяющихся волн (198). 5. Метод отражений. Полу бесконечная струна (201). 6. Метод отраже¬ ний. Конечная струна (203). § 14. Задача Коши для уравнения теплопроводности . . . 206 1. Тепловой потенциал (2-Х'). 2. Поверхностный тепловой потен¬ циал (208). 3. Постановка обобщенной задачи Коши для урав¬ нения теплопроводности (209). 4. Решение задачи Коши (211). 5. Упражнения (212). Глава IV Интегральные уравнения § 15. Метод последовательных приближений. . . . . . . 215 1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром (215). 2. Повторные ядра. Резольвента (219). 3. Интегральные урав¬ нения Вольтерра (222). 4. Интегральные уравнения с полярным ядром (223). 5. Упражнения (230). § 16. Теоремы Фредгольма 232 1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром (232). 2. Тео¬ ремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром (235). 3. Теоремы Фредгольма для интегральных уравне¬ ний с непрерывным ядром (238). 4. Следствия пз теорем Фредгольма (242). 5. Теоремы Фредгольма тля интегральных уравнений с полярным ядром (244). 6. Упражнения (247).
6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 17. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром .... 247 ]. Интегральные операторы с эрмитовым непрерывным яд¬ ром (248). 2. Лемма Арчела (249). 3. Интегральные уравнения с эрмитовым непрерывным ядром (250). 4. Интегральные урав¬ нения с эрмитовым полярным ядром (253). § 18. Теорема Гильберта — Шмидта и ее следствия . . . 254 1. Теорема Гильберта — Шмидта для эрмитова непрерывного ядра (254). 2. Билинейное разложение повторных ядер (258). 3. Билинейное разложение эрмитова непрерывного ядра (259). 4. Решение неоднородного интегрального уравнения с эрмито¬ вым непрерывным ядром (261). 5. Положительные ядра (263). 6. Распространение теории Гильберта — Шмидта на интеграль¬ ные уравнения с эрмитовым полярным ядром (264). 7. Теорема Елтча (266). 8. Метод Келлога (268). 9. Упражнения (272). Глава V Краевые задачи для эллиптических уравнений § 19. Задача на собственные значения 273 1. Постановка задачи на собственные значения (273). 2. Формулы Грина (274). 3. Свойства оператора L (275). 4. Свойства соб¬ ственных значений и собственных функций оператора L (277). 5. Метод Фурье (разделение переменных) (281). 6. Примеры (233). 7. Физический смысл собственных значений и собственных функ¬ ций (287). 8. Единственность решения неоднородной краевой задачи (287). 9. Упражнения (288). § 20. Задача Штурма — Лиувилля 288 1. Функция Грина (289). 2. Сведение задачи Штурма — Лну- вилля к интегральному уравнению (292). 3. Свойства собствен¬ ных значений и собственных функций (294). 4. Нахождение собственных значений и собственных функций (295). § 21. Гармонические функции 296 1. Формула Грина (297). 2. Распространение формул Грина (299). 3. Теорема о среднем арифметическом (301). 4. Принцип макси¬ мума (301). 5. Следствия из принципа максимума (303). 6. Сти¬ рание особенностей гармонической функции (304). 7. Обоб¬ щенно-гармонические функции (305). 8.' Дальнейшие свойства гармонических функций (306). 9. Аналог теоремы Лиу¬ вилля (307). 10. Упражнения (308). § 22. Ньютонов потенциал 308 1. Объемный потенциал (309). 2. Потенциалы простого и двой¬ ного слоя (310). 3. Физический смысл ньютоновых потенциа¬ лов (313). 4. Поверхности Ляпунова (314). 5. Свойства потен¬ циалов простого и двойного слоя на поверхности 5 (317). 6. Разрыв потенциала двойного слоя (319). 7. Разрыв нормаль¬ ной производной потенциала простого слоя (322). 8. Упражне¬ ния (324).
ОГЛАВЛЕНИЕ 7 § 23. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве . . . . 324 ]. Постановка основных краевых задач (324). 2. Поведение гар¬ монической функции на бесконечности (325). 3. Теоремы един¬ ственности решения краевых задач (327). 4. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям (329). 5. Исследование инте¬ гральных уравнений теории потенциала (332). § 24. Функция Грина задачи Дирихле 336 1. Определение и свойства функции Грина (336). 2. Примеры построения функции Грина (метод отражений) (339). 3. Реше¬ ние краевой задачи с помощью функции Грина (342). 4. Фор¬ мула Пуассона (343). 5. Сведение краевой задачи к интеграль¬ ному уравнению (344). 6. Свойства собственных значений и собственных функций (347). 7. Упражнения (349). § 25. Сферические функции , 35Э 1. Определение сферической функции (350). 2. Дифференциаль¬ ное уравнение для сферических функций (351). 3. Полиномы Лежандра (353). 4. Производящая функция (354). 5. Присоеди¬ ненные функции Лежандра (357). 6. Сферические функции (358). 7. Формула Лапласа (360). 8. Разделение переменных в урав¬ нении Лапласа (361). 9. Решение задач Дирихле и Неймана для шара (363). § 26. Краевые задачи для уравнения Лапласа на пло¬ скости 365 1. Поведение гармонической функции на бесконечности (365). 2. Постановка и единственность решения основных краевых задач (367). 3. Логарифмический потенциал (368). 4. Разреши¬ мость поставленных краевых задач (371). 5. Решение краевых задач для круга (374). 6. Функция Грина задачи Дирихле (376). 7. Решение задачи Дирихле для односвязной области (378). 8. Упражнения (379). § 27. Уравнение Гельмгольца 38Э 1. Условия излучения Зоммерфельда (381). 2. Однородное урав¬ нение Гельмгольца (382). 3. Потенциалы (384). 4. Принцип пре¬ дельного поглощения (386). 5. Принцип предельной ампли¬ туды (387). 6. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца (388). 7. Упражнения (390). Глава VI Смешанная задача § 28. Метод Фурье 392 1. Однородное гиперболическое уравнение (393). 2. Неоднород* ное гиперболическое уравнение (395). 3. Параболическое уравне¬ ние (397). 4. Уравнение Шредингера (398). 5. Эллиптическое уравнение (398). 6. Примеры (400). 7. Упражнения (406).
8 ОГЛАВЛЕНИЕ § 29. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа 407 ]. Классическое решение. Интеграл энергии (407). 2. Един¬ ственность и непрерывная зависимость классического реше¬ ния (409). 3. Функции, непрерывные в (G) (413). 4. Обоб¬ щенное решение (416). 5. Единственность и’ непрерывная зави¬ симость обобщенного решения (419). 6. Существование обоб¬ щенного решения (420). 7. Упражнения (422). § 30. Смешанная задача для уравнения параболического типа 423 1. Классические решения. Принцип максимума (423). 2. Един¬ ственность и непрерывная зависимость классического реше¬ ния (425). 3. Обобщенное решение (427). 4. Единственность и непрерывная зависимость обобщенного решения (428). 5. Суще¬ ствование обобщенного решения (429)'. Литература 431 Предметный указатель 433
ПРЕДИСЛОВИЕ В этой книге рассматриваются классические краевые за¬ дачи для дифференциальных уравнений математической физики. В отличие от традиционных способов изложения здесь широко используется концепция обобщенного решения. Обобщенные решения возникают при решении интегральных соотношений типа локального баланса, и учет этих решений приводит к обобщенным постановкам задач математической физики. Точное определение обобщенного решения опирается на понятие обобщенной производной и вообще обобщенной функ¬ ции. Аппарат теории обобщенных функций служит удобным средством для исследования краевых задач математической физики в обобщенной (и классической) постановке. Поэтому специальная глава в этой книге посвящена изложению теории обобщенных функций. В книге принята следующая схема расположения мате¬ риала. В глазе I излагается постановка и классификация краевых задач математической физики, а также приводятся некоторые необходимые для дальнейшего сведения из ана¬ лиза. Глава II содержит элементы теории обобщенных функ¬ ций. В главе III исследуется обобщенная задача Коши для волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Особен¬ ность изложения состоит в том, что начальные условия вклю¬ чаются в источники, действующие мгновенно. Глава IV со¬ держит теорию интегральных уравнений с полярным ядром. Доказываются теоремы Фредгольма, Гильберта — Шмидта, Ентча и Келлога. В главе V рассматриваются краевые задачи Для эллиптических уравнений. Излагается теория сферических функций. В главе VI изучаются смешанные задачи для гипер¬ болических и параболических уравнений. Дается обоснование метода Фурье. Многие параграфы содержат задачи для упражнений. Ряд задач сформулирован в виде теорем, которые являются
ПРЕДИСЛОВИЕ i U существенным дополнением к основному материалу. Для упраж¬ нений можно также рекомендовать задачники Б. М. Будака, А. Л. Самарского, А. Н. Тихонова [1] и М. М. Смирнова [1]. Эта книга является расширенным изложением лекций по уравнениям математической физики, читанных мною в течение ряда лет студентам Московского Физико-технического инсти¬ тута. Она рассчитана на студентов, физиков и математиков, владеющих основами математического анализа в объеме пер¬ вых двух курсов университета. Пользуясь случаем, благодарю сотрудников и студентов кафедры Высшей математики Московского Физико-техниче¬ ского института и отдела Квантовой теории поля Математи¬ ческого института им. В. А. Стеклова АН СССР за ряд замечаний и бесед, способствовавших улучшению книги. В особенности я благодарен Н. Н. Боголюбову, С. Я. Собо¬ леву, В. П. Михайлову, Л. Д. Кудрявцеву, Б. М. Степанову, X. X. Каримовой, Ю. Н. Дрожжинову. Еще я хочу поблагодарить Н. Я. Владимирову, Н. Г. До¬ рохину и А. С. Стоцкую за помощь при оформлении руко¬ писи. Май 1967 г. В. Владами ров
Г лава I ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Некоторые понятия и предложения теории множеств, теории функций и теории операторов Пусть А — произвольное множество. Если элемент а со¬ держится (не содержится) в множестве А, то это будехМ запи¬ сывать так: а£А(а^А). Пусть В — другое множество. Обо¬ значаем АсВ— содержание А в В, А = В — совпадение А с В, A U В — объединение А и В, А П В — пересече¬ ние А и В, А \ В — допол¬ нение В до А (рис. 1), А X В—произведение А и В (множество пар (а, Ь), а £ А, b £ В), 0 — пустое множе¬ ство. 1. Точечные множества в Ra. Обозначим /г-мерное вещественное евклидово пространство через Rn, а его точки через х = (хр л*2, ...» хп), у, £ и т. д., где xz, i = 1, 2, . .., п,— координаты точки х. Символами (х, у) и | х | обозначим скалярное произведение и длину (норму) в Rn (X, у) = Х}уj Х2У2 + • • • + хлУ/г Iх I = У(х> х) = У xi + х2 -И • • • + хп- Таким образом, число | х — у| есть евклидово расстояние между точками х и у. Множество точек х из Rn, удовлетворяющих неравенству Iх — хо I < Я» называется открытым шаром радиуса R
12 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I с центром в точке х0. Этот шар будем обозначать U (х0; /?); UR = U (0; R). Последовательность точек xk==(xlk, х2к, . . хл/г), k = Ь 2, . . ., называется сходящейся к точке х в Rn, хк —> х, & —> со, если | хк — х |~> 0, к — >ос. Последовательность хк, k=\, 2, ..,, называется сходящейся в себе в Rn, если | хк—хр |—> О, k—>оо, р —>оо. Следующее предложение выражает свойство полноты пространства Rn (принцип сходимости Коти). Для того чтобы последовательность точек сходилась в Rn, не¬ обходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе в R'1. Множество называется ограниченным в Rn, если суще¬ ствует шар, содержащий это множество. Следующее предложение выражает свойство компактности пространства Rn (теорема Больцано — ВейерштрасСа). Из всякого бесконечного ограниченного множества в R‘l молено выбрать сходящуюся подпоследовательность. Точка х0 называется внутренней точкой множества, если существует шар U (х0; R), содержащийся в этом множестве» Множество называется открытым, если все его точки вну¬ тренние. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить ломакой линией, лежащей в этом множестве. Связное открытое множество называется областью. Точка х0 называется предельной точкой множества А, если существует последовательность хк, k=\, 2, такая, что хк£А, хк —>х0, k ->оо. Если к множеству А добавить все его предельные точки, то полученное множество называется замыканием множества А и обозначается А; ясно, что ХсА. Если множество совпадает со своим замыканием, то оно называется замкнутым. Замкнутое ограниченное множество называется компактом. Окрестностью множества А назы¬ вается всякое открытое множество, содержащее А; Е-окрест- ностыо Ае множества А называется объединение шаров U (х; е), когда х пробегает А: А£ = |J U (х; е). А Функция /л(х), равная 1 при х£А и 0 при х^А, назы¬ вается характеристической функцией множества А. Справедливо следующее предложение о покрытии (лемма 1 ейне — Еореля). Если компакт К покрыт системой от-
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 13 § 11 крытых шаров, то из этого покрытия можно выбрать конечную подсистему, покрывающую К. Пусть О — область. Точки замыкания G, не принадлежа¬ щие G, образуют замкнутое множество 3, называемое грани¬ цей области G, так что 3 = G \ G. Например, границей от¬ крытого шара U (xQ; R) является сфера | х — х0 | = R. Эту сферу будем обозначать S(x0: /?); 3^ = S(0; R). Будем говорить, что поверхность 3 принадлежит классу Ср, р 1, если в некоторой окрестности каждой точки х0 6 она представляется уравнением o)Xo(x) = O, причем grad соА-о (х) Ф О и функция 0Го(х) непрерывна вместе со всеми производными до порядка р включительно в упомянутой окрестности. По¬ верхность S называется кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа поверхностей класса С1. Впредь мы будем рассматривать только области с кусочно¬ гладкими границами; через п — пх обозначим единичный век¬ тор внешней нормали к границе 3 в точке х£3. Пусть точка х0 лежит на кусочно-гладкой поверхности 3. Окрест¬ ностью точки xQ на поверхности 3 называется та связная часть множества S [\U (х0; /?), которая содержит точку х0. Ограниченная область G' называется подобластью, строго лежащей в области G, если G'czG; при этом пишут G'tsG. В силу леммы Гейне — Бореля, существует такое число г > О, что Gg^G. 2. Классы функций C'°(G) и Ср (G). Пусть а = — (Ср а2, . . ., а„) — целочисленный вектор с неотрицательными составляющими ау«. Через D^f(x) обозначаем производную функции f (х) порядка | а | = ах + «2 + . . . 4~ал» Daf (х) = —'Г'*"/2’ "ДГ-- . (х) = f (х). дхх 1 дх22 ... дхпп Мы будем пользоваться также следующими сокращенными обозначениями: ха = х°рх*2 ... х% а! = а.!а0! ... а !. 12 П 12 П. Множество (комплексных) функций /, непрерывных вместе с производными Daf{x), | а | <; р (0<1р<^оо), в области G, образует класс функций Ср (G). Функции / класса Ср (G),
14 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ (ГЛ. I у которых все производные Daf(x\ | а | р, допускают непрерывное продолжение на замыкание О, образуют класс функций Ср (СТ). Таким образом, классы C°(G) и C°(G) представляют собой множества всех непрерывных функций в G и на G соответ* ственно. Для сокращения записи обозначаем С (G) = С° (G), С (G) = С° (G). Иногда аргумент G или G у класса Ср будем опускать. Введенные классы функций представляют собой линейные множества, т. е. из принадлежности функций f и g какому- либо из этих классов следует принадлежность этом}' же классу и любой их линейной комбинации X/ + г^е и В— произ¬ вольные комплексные числа. Пусть ф£С(/?"). Носителем кусочно-непрерывной функ¬ ции <р называется замыкание множества тех точек, где ф(х)=#0; носитель ф обозначаем Биррф. Если эиррф—ограниченное множество, то функция ф называется финитной. Обозначим через 3(G) множество финитных функций клас¬ са С°° (G) с носителелМ в области G. 3. Пространство непрерывных функций С (Т). Пусть Т — замкнутое множество, например замыкание G или гра¬ ница S области G. Обозначим через С(Т) класс непрерывных и ограниченных на Т функций. Снабдим класс С (Т) нормой, положив II/Нс = шах| f(x) |, /СС(7’). (1) Этим самым мы превращаем класс С (Т) в (линейное) норми¬ рованное пространство. Норма (1) обладает следующими тремя характерными для нормы свойствами: a) ll/i!c>°; || f Ис = О тогда и т-олько тогда, когда / = 0; b) II Vile =| III/Ис» где — любое комплексное число; c) II f 4~ S' Ис < II / lie + II £* lie (неравенство треугольника). Вообще всякое линейное множество, снабженное нормой, обладающей свойствами а) — с), называется линейным нор¬ мированным пространством. Последовательность функций Д, k = 1, 2, .... из С (Т) называется сходящейся к функции f£C(T) в простран-
§ |] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 15 стве С(Т), в С (Г), если || Д — / 1|с ~> /г—>оо. Очевидно, сходимость Д—>/, k —>оо в С (Т) экви¬ валентна равномерной сходимости последовательности функ¬ ций fk(x\ k=\, 2, к функции f(х) на множестве Т\ х'СТ д(х)=>/(х), & —> оо. Последовательность функций fk, /е=1, 2, . . ., из С (Т) называется сходящейся в себе в С (Т)У если || Д— fp ;1С —> О, k—>оэ, р—>эо. Следующее предложение выражает свойство полноты про¬ странства С (Т) (теорема Коши). Для- того чтобы после¬ довательность функций из С (Т) сходилась в С (Г), необ¬ ходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе в С (Г). Справедливы следующие полезные предложения. Теорема Вейерштрасса. Если G — ограниченная область и f £СР (G), то для любого е>0 существует полином Р такой, что || Daf — DaP ||G < е при всех | а | р. Лемма Дини*). Если монотонная последователь¬ ность непрерывных функций на компакте К сходится в каждой точке к непрерывной функции на К, то она сходится равномерно на К. Ряд, составленный из функций uk£C(T), называется регу¬ лярно сходящимся на Т, если ряд из абсолютных величин | uk (х) | сходится в С (Т), т. е. сходится равномерно на Т. Множество о/Цс~С (Т) называется равностепенно-непре¬ рывным на Т, если для любого г > 0 существует такое число де, что при всех f имеет место неравенство —/о 2) | < е, как только |-^1—лг2|<де, хр х2£Т. Функция f£C(T) называется непрерывной по Гё льде.ру на Т, если существуют такие числа С > О и а, 0 < а<И, что при всех Xj £ Т и х2 £ Т справедливо неравенство I f Ui) — f (*2) К с I х\ — х2 Г; если а=1, то функция f (х) называется непрерывной по Липшицу на Т. *) См., например, В. И. Смирнов [2], гл. I.
16 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. г 4. Интеграл Лебега. Говорят, что множество AczRn имеет меру нуль, если для любого г > 0 оно может быть покрыто открытыми шарами суммарного объема < е. Из этого определения вытекает, что всякое подмножество множества меры нуль имеет меру нуль и объединение не более чем счетного числа множеств меры нуль также имеет меру нуль. Например, всякое счетное множество и всякая кусочно-гладкая поверхность имеют меру нуль, Говорят, что некоторое свойство выполняется почти везде в области GaRn, если множество точек области G, которые не обладают этим свойством, имеет меру нуль; при этом вместо «почти везде в Rn» будем говорить просто «почти везде». Считаем, что все функции заданы во всем пространстве Rn. Функция f называется измеримой, если она совпадает почти везде с пределом почти везде сходящейся последова¬ тельности кусочно-непрерывных функций. Множество AcRn называется измеримым, если его харак¬ теристическая функция %А(х) (см. § 1.1) измерима. Из этого определения следует: если функции / и g изме¬ римы, то функции f +•§•, fg, тах(/, g), g), | f i и f/g, если g =£ 0, также измеримы; всякая функция, совпа¬ дающая почти везде с пределом почти везде сходящейся последовательности измеримых функций, измерима. Неизмеримые функции (и множества) устроены весьма неправильно, и ни одна из них не построена в явном виде; можно только теоретически доказать их существование, ис¬ пользуя так называемую аксиому выбора. Это говорит о том, что все функции и множества, которые нам могут встретиться, будут измеримы. Поэтому в дальнейшем будем предполагать, не оговаривая этого каждый раз, что все рассматриваемые множества измеримы, а функции измеримы и почти везде конечны. Пусть f(x)— кусочно-непрерывная финитная функция. Элемент объема в Rn обозначим через dx = dxx дх2 . . - dxn, так что n-кратный интеграл Римана функции f по R” сокра¬ щенно запишем в виде J f (^) ^х == J* У • • ' У / (Ai> х2, ...» хпdx-i dx2 . . . Rn
S П НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 17 Неотрицательная (измеримая и почти везде конечная) функция f (х) называется интегрируемой по Лебегу {сумми¬ руемой), если она совпадает почти везде с пределом неубы¬ вающей последовательности финитных кусочно-непрерывных функций fk{x), /г=1, 2, .... с ограниченной последователь¬ ностью интегралов j fk{x)dx, /г=1, 2, ... Предел неубы¬ вающей ограниченной последовательности этих интегралов называется интегралом Лебега функции f и обозначается символом J f{x)dxt так что J f(x)dx— lim fk(x)dx. Прежде всего, докажем, что lim f fk (х) dx 0. k ->оо Для доказательства возьмем произвольное е > 0. Пусть sw::\) R и Д (х) — /VI, так что Д(х)^>0, | х | > 7? и Jь(х) — 7V1, k—\, 2, . . . Отнесем к множеству /10 точки разрыва всех функций Д и точки, в которых последователь¬ ность (Д) не стремится к /. Множество Ло имеет меру нуль и, значит, его можно покрыть шарами, сумма объемов кото¬ рых < е. На множестве Л1 — Rn \ Ло Д (х) —> / (х) .> 0, к—>оо, и потому для любой точки х найдется такой номер N = NX, что fN(x)>—8. Но множество А1 состоит из точек непрерывности функций Д. Поэтому неравенство Лу(*/)>—е сохранится и в некотором шаре U (х; г х). Таким образом, компакт U R покрыт системой открытых ша¬ ров. По лемме Гейне—Бореля (см. § 1.1) из этого покры¬ тия извлечем конечное покрытие, и пусть NQ — наибольший из соответствующих номеров Nx. Так как функции Д не убывают, то, в силу выбора номера N$, /no (х) f n (х) — е> х € -^1 П &R- Пои ому при всех k > No J //,ix)<7x>j fN,(x)dx^- [ /№(x)rfx>—j dx\ Ur V UR 1 откуда и вытекает требуемое неравенство. 2 В. С. Владимиров
18 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I Интеграл Лебега функции f О не зависит от по¬ следовательности {/*}. Действительно, если {g*}—другая такая последователь¬ ность, то из неравенства 1ип[Д(х) — g-y(x)l = /(х) — gy(x)> 0 (почти везде) А’ -> со следует неравенство lim f IA (*) — gj (x)}dx = A^oo = lim f fk (x) dx — I (x) dx > 0, j = 1, 2, , . ., k ->OOJ J j и потому lim I gj (x)dx <Jim | fk(x)dx. Меняя ролями последовательности {Д} и [g^j, получим об¬ ратное неравенство и, следовательно, справедливо равенство lim Г g\(x)dx = lim | fk(x)dx — f (x)dx, k->co A->oo J что и утверждалось. Для того чтобы функция f(x)^0 была равна нулю почти везде, необходимо и достаточно, чтобы j /(x)dx=0. Действительно, если /(х) = 0 почти везде, то при Д = 0 получим f /(x)dx = lim f Д(х)^х = 0. J А->оо Обратно, если функция /(х)^>0 почти везде совпадает с пределом неубывающей последовательности финитных ку¬ сочно-непрерывных функций Д(х), 6=1, 2, ..., то А А) = max (Д, 0) —> f (х), k -> оо (почти везде) и, следовательно, lim Г /а (x)dx = I f (х) dx = 0. А->оо Отсюда, поскольку /а (х)^0, выводим /а(х) = 0. Поэтому /(х) = 0 почти везде.
$ 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 19 Пусть f (х) — произвольная вещественная (измеримая) функция. Введем неотрицательные функции /+ (х) = max [f (х), 0], /’ (х) = max [— / (х), 0]. Очевидно, / (*) = /+ О') — /" О)- I f (х) | = /+ (X) + f~ (X). Вещественная функция f (х) называется интегрируемой по Лебегу (суммируемой), если функции /+(х) и (х) интегрируемы по Лебегу; число J /+ (x)dx— f f~(x)dx — J* f(x)dx называется интегралом Лебега функции f. Комплексная функция /(х) называется интегрируемой по Лебегу, если функции Re f (х) и Im/(x) интегрируемы по Лебегу; число | Re f (х) dx -]-■ I j* Im f (x) dx — f f (x) dx называется интегралом Лебега функции f. Будем говорить, что функция f (х) интегрируема по Ле¬ бегу па измеримохм множестве А если функция f (х)хл(х) интегрируема по Лебегу; число / / О) Хл О) </х = J / (х) dx Л называется интегралом Лебега функции f по множе¬ ству А. Функция f (х) называется локально интегрируемой по Лебегу в области G, если она интегрируема по Лебегу на любой подобласти G'^G. В соответствии с определением, всякая кусочно-непре¬ рывная финитная функция интегрируема по Лебегу и ее ин¬ тегралы Римана и Лебега совпадают. С другой стороны, су¬ ществуют функции, интегрируемые по Лебегу и неинтегри- руемые по Риману, например функция Дирихле: ( 0, /оо)=( J х иррационально, х рационально. Интеграл Лебега функции f$(x) по любому конечному ин¬ тервалу (а, Ь) равен 0, поскольку можно взять /л(х) = 0. 2*
20 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I Из определений непосредственно вытекают следующие свойства интеграла Лебега. a) Функции f и |/| одновременно интегрируемы по Лебегу, причем || f (x)dx |< J | /(х) | dx. b) Интеграл Лебега линеен относительно f: если функ¬ ции f и g интегрируемы по Лебегу и Z и ц — комплексные числа, то функция К/-1- pg также интегрируема по Лебегу и справедливо равенство J [л/ (х) -Г !'§■ О)] rfx = Z J f (х) dx 4- |Л J g (х) dx. с) Замена переменных в интеграле Лебега. Пусть преобразование х = х(у)— класса C!(G), т. е. xk = хь (Ур 5’2’ • • ” У Л k= 1, 2, . , ., п, xk£Cl (G), взаимно однозначно отображает область G на область Gl и D — якобиан этого преобразования. Для того чтобы функция /(%) была интегрируема по Лебегу на области G, необходимо и достаточно, чтобы функция f [-х (у)] | D j | была интегрируема по Лебегу на области Gx. При этом справедливо равенство J f (х) dx = j f [х (у)] | D (у) | dy. G 0, Это утверждение верно для кусочно-непрерывных функ¬ ций. Для функций, интегрируемых по Лебегу, оно доказы¬ вается с помощью перехода к кусочно-непрерывным функциям в соответствии с определением интеграла Лебега. Следующие свойства интеграла Лебега примем без до¬ казательства *). d) Если функции /(х) и |/(х)| интегрируемы по Ри¬ ману {возможно, в несобственном смысле), то они ин¬ тегрируемы и по Лебегу и оба интеграла совпадают. *) Доказательства этих утверждений можно найти, например, в книгах А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [1], вып. II, Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надь [1], гл. II и Г. Е. Шилова [1].
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 21 § П Учитывая это свойство интеграла Лебега, впредь будем называть интегрируемые по Лебегу функции просто интегри¬ руемыми функциями. е) Теорема Лебега (о переходе к пределу под зна¬ ком интеграла Лебега). Пусть последовательность (изме¬ римых) функций fk(x), /г=1, 2, сходится почти везде к функции f (х). Если существует такая интегри¬ руемая функция g(x), что при всех /г=1, 2, ... I fk (х) i ь U') почта везде, то функция f (х) также интегрируема и lim fk(x)dx— f(x)dx, k~^oo J J В частности, если функция g(x) интегрируема и | f (х) | ^,g(x) почти везде, то функция f (х) также интегрируема и справедливо неравенство J |/(х) J g(x)dx. Отсюда следует, что всякая ограниченная функция ин¬ тегрируема по любому ограниченному (измеримому) мно¬ жеству А. В частности, интеграл J dx = j tA(x)dx А существует; он называется мерой Лебега множества А. Очевидно, мера ограниченной области с кусочно-гладкой гра¬ ницей совпадает с ее объемом. О Теорема Фу б ин и (о перемене порядка интегри¬ рования). Если функция f(x, у), заданная в х £ Rnt y£R'n, измерима и существует повторный интеграл функции |/(х, у) | J [ / I/O. < СО, то f (х, у) интегрируема, интегралы J / (*. У) dx, J f (х, у) dy
22 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I существуют, почти везде и интегрируемы, причем, спра¬ ведливы равенства Отметим, что если функция /(/, у) нсинтегрируема, то повторные интегралы могут и не существовать или не быть равными, например: 1 о л Т’ J dx г 1 Г Х*-У2 J (*2 + у2)2 - о Замечание. Интеграл Лебега по кусочно-гладкой по¬ верхности S строится аналогично. При этом для функций /(х, у), заданных па Rn X S, сохраняется соответствующая теорема Фубини. 5. Пространство функций <3^ (<?)• Совокупность всех функций /, для которых функция | f (х) |2 интегрируема на области G, обозначим через Множество функций «5^(0)— линейное. Действительно, если /^2(^) и g то из ие" равенства |V4-PS-p<2| ZPI/P-+ 2 I И|2|^|2 вытекает, что и их любая линейная комбинация л/ -ф- pg* также принадлежит Установим важное неравенство {неравенство Коши — Бу- няковского)'. если / и g то / f(x)S(x)dx <1/J |/О')Г2^1 f J\g(x')^dx. (2) Q У G У G
§ И НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 23 Действительно, поскольку / и g то при всех действительных X |/1 ■+X | £*| £ •2*2(Ф» а потому о < | (1 f О) | -т л I g (х) I )2 dx = G = / I f (*) I2 dx + 2Х J I f (x) g (x) I dx 4- V j I g (x) |2 dx. a g g Следовательно, дискриминант этой квадратичной формы не¬ положителен, т. е. / | f(x) g (х) I dx 2—J |/(x)|2rfx j I g (x) I2 dx < 0, G J G G откуда и вытекает требуемое неравенство (2). Отметим дискретный аналог неравенства Коши — Буня- ковского: если комплексные числа ak и bk, k=it 2, ...» со оо таковы, что 2 I ak Р < 00 и 2 I bk |2 < оо, то /г = 1 k = 1 оо X alfik 7? = 1 /оо Г оо 21М21/ 2IM2. k = 1 г k«1 (3) Если и G — ограниченная область, то функ¬ ция f (х) интегрируема на G. Действительно, применяя неравенство Коши — Бупяков- ского при получим 1/(01 |/(О1 dx < со. На множестве функций Д?2(^) введем скалярное произ¬ ведение и норму по формулам (/, g) = j’ f (х) g (х) dx, д II/11=/(Л /) = превращая тем самым „S’2(G) в (линейное) нормированное пространство. Здесь g (х)— функция, комплексно сопряжен¬ ная к g(x).
24 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I Очевидно, введенное скалярное произведение обладает свойствами: (/. £) = (£. /)■ (V+И^. /г) = М/. + li). (5) Кроме того, в терминах нормы и скалярного произведения неравенство Коши — Буняковского принимает’вид к/, к/inis-и- /. (6) Из этого неравенства вытекает следующее неравенство Мин¬ ковского: ii/+s-ikii/ihiis-ii. /. ^е^2(о. (7) Действительно, II f+g II2=(/+£. /+^)-(/. /)+(/. g)+(g, /)+ +te> g)<ll/ll2+к/, g)I + KS-. /)1+1И12< <ll/il2+ll/IIUII+l|g'llll/ll+lls-||2 = (ll/ll+nil)2. Таким образом, мы видим, что норма (4) удовлетворяет условиям а) — с) § 1.3. Последовательность функций Д, k= 1, 2, .... из е>§?2(^) называется сходящейся к функции в простран¬ стве ^2(^) (илн в среднем в G), если \\fk—f\\—>0, k —>00; при этом будем писать Д->/, /е—>оо в (G). Следующее предложение выражает свойство полноты пространства (теорема Рис с а — Фишера*): если последовательность функций fk, k = 1. 2, .... из -S^G) сходится в себе в е- Wfk—Д||—>0, /г—>со, р->оо, то существует функция f £J3?2(G) та¬ кая, что ||Д— /||->0, £->оо, Пространство от¬ носится к классу так называемых гильбертовых прост¬ ранств. Множество функций о^се572(^) называется плотным в 3?2(G), если для любой f существует последо¬ вательность функций из сходящаяся к / в (G). На¬ пример, множество полиномов плотно в J?2(G), если G — ог¬ раниченная область, в силу теоремы Вейерштрасса (см. § 1.3). Лемма. Множество 35(G) плотно в ^2(G), *) См. Ф. Рисе и Б. Секефальви-Надь [1], гл. II.
§ п НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 25 Доказательство. Пусть f^^2(G) и е>0 — лю¬ бое число. Найдется такая ограниченная область (jjCzG, что J |/(х) \2dx<^. о\о, Так как множество полиномов шествует полином Р такой, что j’|/(x)-P(x)|2rfx <4- (9) Теперь выберем подобласть настолько близкую к области (рис. 2), чтобы J|P(x)|2rfX<-J-. (10) Ot\O' Возьмем функцию т| из S6 (Gj) т|(х) = 1, х £ G'. (В § 5.2 будет показано, ции существуют.) Тогда Pv\£&(G) и, в (8)-(Ю), || / - Р>] ||2 = J | / - |2 dx = J I / - J’O |2 dx 4- G G( (8) плотно в ^2(ОТ), то су- что О г] 1, что такие функ- силу неравенств Здесь неоднократно использовалось неравенство Минков¬ ского (7). Лемма доказана. 6. Ортонормальные системы. Функции / и g из ^2 (G) называются ортогональными, если (/, g) = 0; функция / из ^2(О) называется нормированной, если ||/||=1. Си¬ стема функций (ср/г) из е^2(^) называется ортонормальной и J?2(G), если (фл, q?z) = где bki— символ Кронекера: 6л; = о, k=f=i, б,7=1.
26 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I Примером ортонормальной системы в л) является тригонометрическая система Фа(х) = е‘кх> А = Всякая ортонормальная система {ф*} состоит из линейно независимых функций. Действительно, в противном случае при некоторых (комп* лексных) числах (rj, из которых только конечное число отлично от нуля, мы имели бы равенство = от- k куда, в силу ортонормальности системы {ф*}, получаем 0 = ( 2 <>Фа> фД = 2 (<Wa- <Pz> = S fk (ф*- Ф/) = Q- \ k / k к Всякая система линейно независимых функций фр ф2» • • *' из (О) преобразуется в ортонормальную систему фр ф2, • •» следующим процессом ортогонализации Шмидта: „ = Ф1 (П = Ф2~ (Ф2» <Р1) Ф1 И 1141 II ’ Р2 № — (Ф'2> ф1)ф1!1 ’ ’ ‘ . сг ЧУе — (Фл?> 1) Ф/г-1 — ••• — (Ф^Ф1)ф1 ) lk ПЧл — (fe Ф/г-1)<Р/?-1 — ••• — (Фь Ф1) Ф1 II Пример. Если в пространстве —Ь О ортогона- лизовать по Шмидту систему степеней 1, х, х2, .... то по¬ лучится система нормированных полиномов Лежандра. Пусть система функций срл, /г=1, 2, ортонормальна в J^2(G) и Числа (/, фА) называются коэффи* циентами Фурье, а формальный ряд оо 2 (Л Фа) Фа (12) k = l — рядом Фурье функции f по системе [ф/г]. Если система функций ф/г, £=1, 2 ортонор* мальна в fno каждой f а любых (комплексных) чисел ал, а2, aN, Д/=1, 2, спра* ведливо равенство N 2 f — 2 «*Ф* I Й = 1 I
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 27 Действительно, обозначая N = (/’ ф*)ф*’ А = 1 ck — (/’ Фл) а/Г (В) получим при i= 1, 2, ...» N (fv> = Следовательно, 2 N / — 2 <ч$к к = \ I N II2 f N + 2 e аФА’ I A'—-1 II /V — \fN 4~ 2^ саФа» f N + 2^ — (Л\г’ f N> + N N N + 2 (Zn* гаФ/?)+ 2 (c№k' Av) + 2 (глгФа?* с/Ф/) = /? = 1 A = 1 к, / = 1 = II Av II2 + 2 гА’С/(ф/г’ ф/) — II fiN II2 + 2 I ск !2 ’ ' * k = 1 откуда, в силу (14), вытекает равенство (13). Из равенства (13) вытекает неравенство 2 f — 2 (/> w)ф* < /—2 ak(Pk | • 7V '2 /? = i (15) N N N А = 1 Далее, полагая в (13) ak = 0, k=lt 2, .... N, равенство получаем /-i(/. ф*)ф* i"=i!/n2-2i(/• ф*ж об) A = 1 I A = 1 Из равенства (16) вытекает неравенство 5 к/. Ф.)12<11/и2. А’ = 1 называемое неравенством Бесселя. (17)
28 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. t Кроме того, из равенства (16) и из теоремы Рисса—Фи¬ шера (см. § 1.5) вытекает такое предложение. Для того чтобы ряд Фурье (12) сходился к функции f в необходимо и достаточно, чтобы было выполнено ра¬ венство Парсеваля (уравнение замкнутости) оо 5 I (A <pft) I2 = il / II2- (18) /?=1 7. Полные ортонормальные системы. Пусть система функций (рр ср2, . . . ортопормальна в JJ’^G). Если для лю¬ бой /£„2^(0) ее Ряд Фурье по системе (cpzJ сходится к f в ^2^)* т0 эта система называется полной (замкнутой) в J?z (O). Примером полной ортонормальной системы в J?2(0, 2л) служит тригонометрическая система. Теорема. Для того чтобы ортонормальная си¬ стема {ср/г} была'полной в ^\(G). необходимо и доста¬ точно, чтобы каждую функцию f из множества плотного в ^2(О), можно было сколь угодно точно при¬ близить в ^2(^) линейными комбинациями функций этой системы. Необходимость условия очевидна; докажем его достаточ¬ ность. Пусть f ^^^(О) и 8>0 — любое число. Так как о/Ц плотно в J?2(G), то существует такая, что ||/-/о11<|. (19) По условию функция /0 сколь угодно точно приближается в J?%(G) линейными комбинациями функций системы {<рл}. Поэтому найдутся такие числа т, с2» •••» спг чт0 т Л = 1 Отсюда и из (19), в силу неравенства Минковского, полу¬ чаем т А = 1 I! ТП || А || f /оII + ;|/о — 'Х ck(Pit || < ‘2 “Ь 2 ~ 8* II Л=1 I
29 НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ § I] Но тогда, в силу неравенства (15), и подавно I N II / —• S (/• Фа) Фа < е, N > т, I л-■= 1 II что и требовалось установить. Следствие. Если G — ограниченная область, то в Д?2(Ф существует счетная полная ортонормальная система полиномов. Действительно, множество полиномов плотно в ^2(0) (см. § 1.5), счетно и „его можно сделать ортонормальным, используя процесс ортогонализации Шмидта (см. § 1.6). Ле м м а. Пусть области G с: R!1 и D с: Rrn ограничены, система функций фу (у), J=h 2, ..., ортонормальна и полна в ^2(О) 11 пРи каждом J=l, 2, ... система функций <р/гу(х), k—\, 2, ..., ортонормальна и полна в J?2(G). Тогда система функций ХаД*- АО^ФаДЖДУ). /г, /=1,2 (20) ортонормальна и полна в J^^G D). Доказательство. Ортонормальность системы {%/гу} в о2^2(б?Х^) устанавливается легко, а именно: (Хаг Хат) = f 7.k^j'dxdy = GxD = J Фа/Фа'г dx ,f <*У = (ФаГ Фат) (Ч> Ъ') = G I) = (Фаг Фа'У')6/Т=(^’ = Докажем полноту этой системы в ^(GXD). Так как C(G\D) плотно в ^2(G X D) (см. § 1.5), то, по теореме § 1.7, для этого достаточно установить справедливость ра¬ венства Парсеваля для всех f £ С (G X Пусть f £С (G X £>)• Так как система {фу} полна в tS’2(D), то при каждом х £ G справедливо равенство Парсеваля (см. § 1.6) (21) где (22) D
30 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I В силу ограниченности области Dt функции фу интегрируемы на D (см. § 1.5) и потому, по теореме Лебега (см. § 1.4), Яу£С(О). Так как при каждом /=1, 2, ... система {cpfty| полна в „2^2 (^)» то справедливо равенство Парсеваля (см. § 1.6) оо XI I2 = J I ai I2 dx> (23) к = 1 G = J f(x, dx dy — GXD = ( fikjdx dy = U’ T.kj')- (24) Ox D По лемме Дини (см. § 1.3), ряд (21) сходится равно¬ мерно на G. Интегрируя этот ряд почленно по области G и пользуясь равенствами (23) и (24), для функции / получаем требуемое равенство Парсеваля оо со оо 2 Ж12= 2 К/. ха?12= / = 1 k~\ j, Ы = / J |/(*> 3’) I2<^у = II/II2- G D Лемма доказана. Замечание. Все сказанное о пространстве. пс" реносится и на пространства р) или J?2(S) со ска¬ лярными произведениями (/• 2% = / р(х) f (х) g (х) dx, f, g^^2 (G; p); G if. g)= J f(x)g(x)dS, s ft g £ (•$)»
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И Г1РЕДЛО/КЕНИЯ 31 § П где вес р££(^), р(х) > 0, х £ G и S — кусочно-гладкая поверхность. 8. Линейные операторы и функционалы. Пусть о/Я и — линейные множества. Оператор А, преобразующий элементы множества о/Я в элементы множества назы¬ вается линейным, если для любых элементов / и g из о/Я и комплексных чисел L и ц справедливо равенство L (Lf + ug) = лА/ 4- pZ,g\ При этом множество 'о/Я = о/Я tL называется областью опре¬ деления оператора L. Если Lf — f при всех то опе¬ ратор L называется тождественным {единичным} операто¬ ром. Единичный оператор будем обозначать через /. Пусть на линейных множествах с/Я и определена схо¬ димость элементов. Линейный оператор L, переводящий о/Я в о//Л, называется непрерывным из в о//°, если из схо¬ димости Д—>/, k —> об в следует сходимость Lfk~>Lf, & —> оо в о/К*. Пусть о/Я и q//3 — линейные нормированные пространства с нормами || |(^ и || Ц^,. соответственно (например, о// = С(Т), &Я = ^2(0)). Линейный оператор L, переводящий о/Я в q#3 называется ограниченным из о/Я в если существует такое число С > 0, что для любого f ^о/Я справедливо не¬ равенство (25) Из этих определений вытекает: если линейный опера¬ тор L ограничен из о/Я в то он и непрерывен из о/Я в о/Г. Действительно, если k —> оо в т. е. О, /г->оо, то, в силу линейности и ограничен¬ ности оператора L, II Lfk - Lf ||^ = || L (j„ - /) < С || fh - f ||^ и потому Lf k —> Lf, /г —> оо в е//\ Это и значит, что опе¬ ратор L непрерывен из о/Я в Множество 3S линейного нормированного пространства о/Я называется ограниченным в о/Я, если существует такое число А, что Ц/11^ < А при всех
32 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I Пусть линейный оператор L переводит о/Я в Q/f/9i и ли¬ нейный оператор К переводит в о/У\ Линейный опе¬ ратор KLf = К (Lf\ переводящий о/Я в G/X, называется произведением KL опе¬ раторов К п £; в частности, Kl>f = К (/<*"*”1 /) = КР~А (Kf), Ю=К, /<° = Л Частным случаем линейных операторов являются линей¬ ные функционалы. Если линейный оператор I преобразует множество элементов о/Я в множество комплексных чисел Z/, /^оЯ1, то I называется линейным функционалом на мно¬ жестве о/Я. Значение функционала I на элементе f — ком¬ плексное число If — будем обозначать через (Z, /). Таким образом, непрерывность линейного функционала I обозначает следующее: если fk—> f, /г—>оо в о/Я, то последовательность комплексных чисел (Z, Д), >со, стремится к (Z, /). Линейный функционал I на множестве &Я зэ о/Я называется продолжением линейного функционала на о/Я, если (Л /) = (Z, /), /СоУЛ Примеры линейных операторов и ф у н к ц и о- м а л о в а) Линейный оператор вида Kf = j е/Г(х, y)f(y)dy, x£G, (26) G называется линейным интегральным оператором, а функция е^(х, у) — его ядром. Если ядро СX G), [ 1е/Г(х, у) |2 dx dy = C2< оо. (27) G х G то оператор К ограничен (и, следовательно, непрерывен) из •Z2(O) = <^ в ^2(G) = G/r. Действительно, применяя неравенство Коши — Буняков- ского, теорему Фубини (см. § 1.4) и пользуясь (27), при
§ 1) НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 33 всех получим неравенство / еТ(*, У)/(У)^У G 2 dx < < J И I aT(*. У)|2^У / I f (У) I2 dx = С2 Ц /1|2, G \G G / и/ik и/lb /e^2(0). (28) которое и обозначает, что оператор К ограничен из (0 в ^2(<5)« Ь) Линейный оператор вида Lf = 2 аа(х) Daf (х), 2 IMX)I^0’ т>0 (29) I a i < m I a I«m называется линейным дифференциальным оператором по¬ рядка nt, а функции aa*(x)~—его коэффициентами. Если коэффициенты аа(х)— непрерывные функции в области ОсЦп, то оператор L переводит C!n(G) = o/% в C(G) = f^. Однако оператор L не является непрерывным из Ст (G) в C(G). В самом деле, последовательность Д(х) = |г«л^->0, /г—>со в С (О), в то время как последовательность не имеет предела в С (G). Отметим попутно, что оператор L определен не па всем пространстве С (G), а лишь на его части — на множестве функций Ст (G). с) Линейный оператор j :J'„ (*• у) Daf (у) dy + аи (х) Daf (х) G (30) называется линейным интегро-дифференциальным опера¬ тором. б) Примером линейного непрерывного функционала I на *^2(О) служит скалярное произведение {I, = g), где 3 В. С. Владимиров
34 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I g — фиксированная функция из Линейность этого функционала выражается свойством (5), а в силу неравенства Коши — Буняковского (6), он ограничен |(/. 7)| = |(/. £)|< 1ИН1/И и, следовательно, непрерывен. 9. Линейные уравнения. Пусть L — линейный оператор с областью определения <ML. Уравнение Lu—F (31) называется линейным (неоднородным) уравнением. В уравне¬ нии (31) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из —ре¬ шением этого уравнения. Если в уравнении (31) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение Lu=0 (32) называется линейным однородным уравнением, соответствую¬ щим уравнению (31). В силу линейности оператора L, совокупность решений однородного уравнения (32) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого урав¬ нения. Всякое решение и линейного неоднородного уравне¬ ния (31) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения uQ этого уравнения и общего решения и соответствующего линейного однородного уравнения (32), и = и$-\-и. (33) Действительно, если и — произвольное решение уравне¬ ния (31), Lu = F, u^q/Hl, а и§—частное решение этого уравнения, LuQ=F, u^<ML, то, в силу линейности опера¬ тора L, их разность и — и^ = и и удовлетворяет одно¬ родному уравнению (32): Lu = L(u — и0) — Lu — Luq = F — F = 0. Этим доказано представление (33) для решения и. Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы ре¬ шение уравнения (31) было единственным в необхо-
л п НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 35 § 1J димо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (32) имело только нулевое решение. Пусть однородное уравнение (32) имеет только нулевое решение в о/%L. Обозначим через eftL — область значений оператора L, т. е. (линейное) множество элементов вида {А/}, где / пробегает a/HL. Тогда для любого F£<$L уравне¬ ние (31) имеет единственное решение таким обра¬ зом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из элемент и из — решение уравнения (31). Этот оператор называется обратным оператором к опера¬ тору L и обозначается через Л"1, так что u — L~'F. (34) Оператор Z,-1, очевидно, является линейным и преобразует & L на q/Hl. Непосредственно из определения оператора а также из соотношений (31) и (34), вытекает LLMf—F, F^^l\ L~xLu = u, т. e. LL~'=I и L~'L=I. Рассмотрим линейное однородное уравнение Lu = Ku, (35) где X— комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех X. Может случиться, что при некоторых X оно имеет ненулевые решения из q41l. Те комплексные зна¬ чения X, при которых уравнение (35) имеет ненулевые реше¬ ния из o/ftL, называются собственными значениями опера¬ тора L, а соответствующие решения — собственными эле¬ ментами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число г (1 г оо) линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собствен¬ ному значению X, называется кратностью этого собствен¬ ного значения; если кратность г = 1, то X называется про¬ стым собственным значением. Если кратность г собственного значения X оператора L конечна и их, и2, .... иг — соответствующие линейно незави¬ симые собственные элементы, то любая их линейная комбинация по — схих с2и2 4- ... схиг (36) 3*
36 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и эта комбинация дает общее решение уравнения (35). Отсюда и из формулы (33) выте¬ кает: если решение уравнения Lu = lu-i-f (3Z) существует, то его общее решение представляется фор¬ мулой к = «* + S ckuk, (38) /г = 1 где и*— частное решение этого уравнения и ck, k=\, 2, .... г,—произвольные постоянные. 10. Эрмитовы операторы. Линейный оператор L, пере¬ водящий q41l с: в называется эрмитовым (или самосопряженным по Лагранжу}, если для любых / и g из справедливо равенство (Lf, g) = (f,Lg). (39) Выражения (Л/, g) и (Lf, f) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными опе¬ ратором L. Для того чтобы оператор L был эрмитовым, необ¬ ходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадра¬ тичная форма (Lf, f), ffz&$L принимала только веще¬ ственные значения. Действительно, если оператор L эрмитов, то, в силу (5) и (39), (Lf, f} = (fTLf) = (LfTf), f £ &1tL, так что квадратичная форма (Lf, f) принимает только веще¬ ственные значения. Обратно, если квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные значения, то при всех f и g из имеем Re[(Z,g, f) — (Lf, £■)] = = Rel[(A(/ + /g), /_]_^)_(£/, /)_(£§-, g)] = 0, lm[(Ag-, /) + (£/. g)] = = Im((Z,(/ + g). f-\-g) — (Lf, f)-(Lg, g)] = 0
§ П НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 37 и, стало быть, (£/, g) = Re(Z,/, £) + ^т(ЛЛ «■)= = Re(Ag-, f) — ilm(Lg, f) = (Lg, /) — (/, Lg), так что оператор L эрмитов. Линейный оператор называется положительным, если порожденная им квадратичная форма (Л/, /), f при¬ нимает только неотрицательные значения. Из доказанного утверждения следует, что всякий поло¬ жительный оператор эрмитов. Теорема. Если оператор L эрмитов {положитель¬ ный), то все его собственные значения вещественны {неотрицательны), а собственные функции, соответ¬ ствующие различным собственным значениям, ортого¬ нальны. Доказательство. Пусть Хо — собственное значение и zz0 — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L, Lu0 = )^Uq. Умножая скалярно это равенство на uQ, получим (Azz0, uQ) = (Xozzo, zz0) = Z0(zz0, uQ) = Xo || uQ !j2 = ?v0. (40) Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма {Lf, f) принимает только вещественные (неотрицатель¬ ные) значения и, стало быть, в силу (40), Zo— вещественное (неотрицательное) число. Докажем, что любые собственные функции иЛ и и2, соот¬ ветствующие различным собственным значениям и Х2, орто¬ гональны. Действительно, из соотношений Lux = /IjZZj Lu2 — \2и2 и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств ^i(z/p zz2) = (Z1zz1, zz2) = (Azz1, zz2) = (zzp Lu2) = = {u}, k2u2) = X2{ul, u2), ^{ult u2) = K2{ul, u2). Отсюда, поскольку Zq ф X2, вытекает, что (zzp zz2) = 0. Тео¬ рема доказана. Предположим, что множество собственных функций эрми- Ова оператора L не более чем счетно. Перенумеруем все
38 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I его собственные значения: •••» повторяя. Ъ/г столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через ult zz2» •••» так что каждому соб¬ ственному значению соответствует только одна собственная функция uk, Luk = hkuk, /г—1, 2, ... (41) Собственные функции, соответствующие одном}'' и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта (см. § 1.6). При этом опять получатся собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По теореме § 1.10, собственные функции, соответствующие различным собствен¬ ным значениям, ортогональны. Таким образом, если система собственных функций [uk\ эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной (Luk, ul) = ’Kk{uk, = (42) § 2. Основные уравнения математической физики Математическое описание многих физических процессов приводит к линейным дифференциальным и интегральным уравнениям или даже к интегро-дифференциальным уравне¬ ниям. Весьма широкий класс физических задач сводится к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка (см. § 1.8) п п I, ; = 1 М В этом параграфе мы рассмотрим характерные физические задачи, приводящие к различным уравнениям математической физики. 1. Уравнение колебаний. Многие задачи механики (коле¬ бания струн, стержней, мембран и трехмерных объемов) и физики (электромагнитные колебания) приводят к уравнению колебаний вида Р^-= div (р grad и) — qu + F(x, t), (2)
39 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 2] где неизвестная функция и(х, /) зависит от п (/1=1, 2, 3), пространственных координат х = (хр х2, хп) и вре¬ мени t\ коэффициенты р, р и q определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс; свободный член F(x, t) выражает интенсивность внешнего возмущения. В уравнении (2) в соответствии с определением операто* ров div и grad div (р grad = Z = 1 Продемонстрируем вывод уравнения (2) на примере малых поперечных колебаний струны. Струной называется упругая нить, не сопротивляющаяся изгибу. Пусть в плоскости (х, и) струна совершает малые попе¬ речные колебания около своего положения равновесия, сов¬ падающего с осью х. Величину отклонения струны от поло¬ жения равновесия в точке х в момент времени t обозначим через и(х, так что и = и (х, /) есть уравнение струны в момент времени t. Ограничиваясь рассмотрением лишь малых колебаний струны, мы будем пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению с tga=^-. Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяже¬ ние Т(х, t) в точке х в момент времени t направлено по касательной к струне в точке х (рис. 3). Любой участок
40 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I струны (а, Ъ) после отклонения от положения равновесия в рамках нашего приближения не изменит своей длины а и, следовательно, в соответствии с законом Гука, величина натяжения | Т(х, t) | будет оставаться постоянной, не завися¬ щей от х и /, | Т(х, t)\ = TQ. Обозначим через F(x, t) плотность внешних сил, действующих на струну в точке х в момент времени t и направленных перпендикулярно оси х. Наконец, пусть р(х) обозначает линейную плотность струны в точке х, так что p(x)dx — масса элемента струны (х, x-^dx}. Составим теперь уравнение движения струны. На ее эле¬ мент (х, x-\-dx) действуют силы натяжения Т (х dx, t), — Т(х, f) (рис. 3) и внешняя сила, сумма которых, согласно законам Ньютона, должна быть равна произведению массы этого элемента на его ускорение. Проектируя это векторное равенство на ось и, на основании всего сказанного получим равенство 7’osina|x+rfx —T’osina|x + F(x, t) dx = p(x) dx. (3) Но в рамках нашего приближения s i n a tga /1 а потому из (3) имеем д?и (х, t) т 1 Г ди (х dx, t) ди (х, t) ] , р Р dt2 0 dx [ дх дх J dx 0. т. е. д и Гт, ?~№=То д'и дх2 F. (4) Это и есть уравнение малых поперечных колебаний струны. Если плотность р постоянна, р(х) = р, то уравнение колебаний струны принимает вид д2и dt2 (5)
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 41 § 2] где обозначено а2 = -^, /=-£-• Уравнение (5) мы будем также называть одномерным волновым уравнением. Из физических соображений следует, что для однознач¬ ного описания процесса колебаний струны необходимо допол- ди нительно задать величины смещения и и скорости струны в начальный момент времени {начальные условия) и режим на концах струны {граничные условия). Примеры гранич¬ ных условий: и |v=x = 0, если конец струны х0 закреплен; =0, если конец xQ свободен, в силу равенства дх 1х=Хо Т{х0, t) = 0. Уравнение вида (2) описывает также малые продольные колебания упругого стержня <е> где S{x) — площадь поперечного сечения стержня и Е{х) — модуль Юнга в точке х. Аналогично выводится уравнение малых поперечных ко¬ лебаний мембраны Если плотность р постоянна, то уравнение колебаний мембраны принимает вид ди (8) Уравнение (8) мы будем называть двумерным волновым урав пением. Трехмерное волновое уравнение д2и ~д? д2и дх?2 (9) описывает процессы распространения звука в однородной среде и электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому уравнению удовлетворяют плотность газа, его Давление и потенциал скоростей, а также составляющие
42 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ (ГЛ. I напряженности электрического и магнитного полей и соот¬ ветствующие потенциалы (см. § 2.6). Мы будем записывать волновые уравнения (5), (8) и Х9) единой формулой: □ = (10) где —волновой оператор {оператор Даламбера) и А - оператор Лапласа 2. Уравнение диффузии. Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описываются следующим общим уравнением диффузии'. р-^~ = div (р grad и)— qu-\-F(x, f). (И) Выведем уравнение распространения тепла. Обозначим через и(х, t) температуру среды в точке х = (хр х2, х3) в момент времени t. Считая среду изотропной, обозначим через р(х), с(х) и k(x) — соответственно ее плотность, удельную теплоемкость и коэффициент теплопроводности в точке х. Обозначим через Л(х, /) интенсивность источ¬ ников тепла в точке х в момент времени t. Подсчитаем баланс тепла в произвольном объеме V за промежуток вре¬ мени (Л t A-dt). Обозначим через S границу V, и пусть п — внешняя нормаль к ней. Согласно закону Фурье, через поверхность S в объем V поступает количество тепла Qi = j k dS dt = J (k grad z/, njdSdt, s s равное, в силу формулы Гаусса — Остроградского, Qj = | div (k grad и) dx dt. v
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 43 § 2] За счет тепловых источников в объеме V возникает коли¬ чество тепла Q2 = J ^(х, t)dxdt. v Так как температура в объеме V за промежуток времени, t-\-dt) выросла на величину и(х, t-\-dt)— и(х, t)~^-dtt то для этого необходимо затратить количество тепла <?з = J dt‘ V С другой стороны, Q3 = Q1-|-Q2 и потому div (Jz grad и) F — ср dx dt = О, v откуда, в силу произвольности объема V, получаем уравне¬ ние распространения тепла ср — = div (Zj grad «)-]- F (xt t). (12) Если среда однородна, т. е. с, р и k — постоянные, то уравнение (12) принимает вид ди 9 . . . (13) где ср J ср Уравнение (13) называется уравнением теплопроводности. ИСЛ° п пространственных переменных xlt х2, ...» хп в этом Уравнении может быть любым. Как и в случае уравнения колебаний, для полного описа¬ ния процесса распространения тепла необходимо задать началь- е Распределение температуры и в среде (начальное условие) Режим на границе этой среды (граничное условие).
44 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ (ГЛ. I Примеры граничных условий, а) Если на гра¬ нице S поддерживается заданное распределение темпера¬ туры zz0, то = (14) Ь) Если на S поддерживается заданный поток тепла ult то (15) с) Если на S происходит теплообмен согласно закону Ньютона, то A-^ + A(«-«o)|s = O. (16) где h — коэффициент теплообмена и uQ— температура окру¬ жающей среды. Аналогично выводится и уравнение диффузии частиц. При этом вместо закона Фурье нужно пользоваться законом Нэрнста для потока частиц через элемент поверхности dS за- еди¬ ницу времени: dQ — — где ® (х) — коэффициент диффузии и и(х, t)— плотность частиц в точке х в момент времени t. Уравнение для плотности и будет иметь вид (11), где р обозначает коэффициент пористости, р = D и q харак¬ теризует поглощение среды. . 3, Стационарное уравнение. Для стационарных про¬ цессов F(x, t)=F(x), и(х, t) = u(x) и уравнения колеба¬ ний (2) и диффузии (И) принимают вид — div(pgradzz) + 7'/ = Р (х). (17) При р — const и 7 = 0 уравнение (17) называется уравне¬ нием Пуассона bu = — f, (18) при f = 0 уравнение (18) называется уравнением Лапласа Aw = 0. (19) Пусть в волновом уравнении (10) внешнее возмущение /(х, t) периодическое с частотой со и амплитудой /0(х), /(х, t) = fQ(x)ei^.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 45 § 2] Если искать периодические решения zz(x, t) с той же часто¬ той и неизвестной амплитудой z/0(x'). и (х, /) = а0(х) еш, то для функции zz0(x) получим уравнение Ди0 + /г2«0 = -Д^Д-, /г2=~, (20) называемое уравнением Гельмгольца. 4. Уравнение переноса. Если длина свободного пробега частиц значительно больше их размеров, то для описания процесса рас¬ пространения частиц вместо уравнения диффузии используется более точное уравнение, так называемое уравнение переноса (ки¬ нетическое уравнение). Выпишем уравнение переноса при следу¬ ющих предположениях: 1) Скорости всех частиц одинаковы и равны и. 2) Столкновения частиц между собой пренебрежимо редки. 3) Частицы сталкиваются с неподвижными ядрами среды; I (х) — их средняя длина свободного пробега в точке х. 4) При столкновении частицы с неподвижным ядром в точке х происходит одно из следующих трех случайных событий: а) с вероятностью р{ (х) частица рассеи¬ вается на ядре, отскакивая от пего как упругий шарик; Ь) с веро¬ ятностью р2 (х) частица захватывается ядром; с) с вероятностью рз = 1 — Pi — р2 частица делит ядро, в результате чего появляется v (х) > 1 таких же частиц (при зтОлМ считается, что частица, разде¬ лившая ядро, исчезает). 5) Распределение частиц по направлениям как после рассеяния, так и после деления равномерное (изотропное). Обозначим через п (х, s, t) плотность частиц в точке х, летящих в направлении s= (sH s2, s3), | s| = 1, в момент времени t и через Г (х, s, t)— плотность источников. Тогда функция ф = vn — поток частиц — удовлетворяет следующему интегро-дифференциальному уравнению: v IT + (S' grad 1|:) + mi; = ah / (х’ sZ' ds' + F’ (21> •s. где a = -^-, h = pi-J-vjPs, Это есть односкоростное уравнение пере¬ носа для „процессов с изотропным рассеянием. Вывод более общих Уравнений переноса и их исследование см. Г. И. Марчук [1] и С. Владимиров [1]. Если процесс переноса стационарный, Г (х, s, t) = Г (х, $), ф (х, 5, t) ~ ф (х, s), То Уравнение переноса (21) принимает вид , (5, grad ф) 4- аф = а/г J ф (х, s') ds' 4- (22)
46 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I Для полного описания процесса переноса частиц необходимо задать начальное распределение потока частиц ф в среде (началь¬ ное условие) и режим на границе этой среды (граничное условие). Например, если область G, где происходит процесс переноса, выпуклая, то граничное условие вида ф (х. s, t) — О, х£ S, (5, пх) < 0, (23) выражает отсутствие падающего потока частиц на область G извне (рис. 4). Наконец, отметим, что уравнение переноса (22) описывает процессы переноса нейтронов в ядерном реакторе, переноса лучистой энергии, прохождения у-кван- воряют следующей (нелинейной) уравнениями гид родинамикис тов через вещество, движения газов и другие. 5. Уравнения гидродина¬ мики. Рассмотрим движение идеальной жидкости (газа), т. е. жидкости, в которой отсутствуют силы вязкости. Пусть V (х, f) = (t'b v2, v3) — вектор скорости движения жидкости, р (х, t) — ее плот¬ ность, р (х, t) — давление, f (х, t) — интенсивность источ¬ ников и F(x, t) = (Ль Л2, Л3)— интенсивность массовых сил. Тогда эти величины удовлет- системе уравнений, называемых др ~dt -|- div (рУ) = /, (24) dV 1 ?Г + (И, gradr)+-^-gradp = F. (25) Уравнения (24) и (25) называются соответственно у равнением неразрывности и уравнением движения Эйлера. Чтобы замкнуть эту систему уравнений, необходимо еще задать связь между давле¬ нием и плотностью: Ф (р, Р) = 0, (26) так называемое уравнение состояния. Например, для несжимаемой жидкости уравнение состояния имеет вид р = const, а для адиаба¬ тического движения газа -х х ср РР = const, х = , cv где ср и cv— теплоемкости газа при постоянном давлении и посто¬ янном объеме соответственно.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 47 § 2] В частности, если жидкость несжимаема (р = const) и ее дви¬ жение потенциально (И = —grad«), то из уравнения неразрыв¬ ности (24) следует, что потенциал и удовлетворяет уравнению Пуассона (18). • 6. Уравнения Максвелла. Пусть в некоторой среде имеется переменное электромагнитное поле. Обозначим: Е(х, t)=(Eit Е2, Е3)~ напряженность электрического поля, //(х, /)=(//ь /72, Н3)—напря¬ женность магнитного поля, р (х)— плотность зарядов, с — диэлект¬ рическая постоянная среды, р— коэффициент магнитной проница¬ емости среды, / (х, 0 = (/ь /2, Л) — ток проводимости. Тогда эти величины удовлетворяют следующей (линейной) системе дифферен¬ циальных уравнений, называемых уравнениями Максвелла'. div (е£) = 4лр, rot Е = - с div (р//) = О, д (р//) dt ’ rot Н = — С д(гН) dt 4л с /, (27) (28) (29) где с == 3 • 1010 см-сек— скорость света в пустоте. Уравнение (28) выражает закон Фарадея, а уравнение (29) — закон Био и Савара. Отметим частные случаи уравнения Максвелла. а) р = О, е = const, р = const и / = ЛЕ (закон Ома), X = const. Применяя к уравнениям (28) и (29) оператор rot и пользуясь урав¬ нениями (27), для компонент векторов Е и Н получим так называе¬ мое телеграфное уравнение ELM 4лА ди с dt (30) ■Кец Ь) / = 0, е = const и ц — const. Вводя четырехкомпонентпый электромагнитный потенциал (ф0, <р), <р = ((рь ф2, <Рз), представим решение уравнений Максвелла в виде £ = grad<p0 я = J_rot<p. (31) При этом компоненты электромагнитного потенциала должны удо¬ влетворять волновым уравнениям и условию □а<Ро = Лоренца 4яс2 е2р Не дфр с dt Р> ПаФ = 0 div <р = 0. (32) (33) с) Если вращаются в процесс стационарный, то уравнения Максвелла пре- уравнения электростатики div (е£) = 4яр, rot Е = 0 (34)
48 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 1ГЛ. 1 и в уравнения магнитостатики 4.1Т div (р/7) = 0, rot Н = -у- L (35) При е = const электростатический потенциал' <р0 удовлетворяет, в силу (32), уравнению Пуассона (18) при f — При преобразовании уравнений Максвелла мы пользовались следующими формулами векторного анализа: div grad = Д, rot rot = grad div — Д, rot grad = div rot = 0. 7. Уравнение Шредингера. Пусть квантовая частица массы т движется во внешнем силовом поле с потенциалом V(л). Обозначим через ф (а, I) волновую функцию этой частицы, так что | ф (х, /)|2 dx есть вероятность того, что частица будет находиться в окрест¬ ности d (х) точки х в момент времени t\ здесь dx — объем d (х). Тогда функция ф удовлетворяет уравнению Шредингера № 2 т Дф ь П-, (37) где й = 1,054 • 19~27 эрг * сек — постоянная Планка (см. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц [1], гл. Ш). 8. Уравнение Клейна — Гордона и уравнение Дирак?. Вол¬ новая функция <р(х0, л). х0 — ci, х~(х{> х2. х3), где с — =• 3 • 1010 см сек — скорость света, описывающая свободную реля¬ тивистскую (псевдо) скалярную частицу массы т, удовлетворяет у равнению Илей на— Г ордона (□+т2)ср = 0. (38) Для описания свободной релятивистской частицы массы т со спином 1/2 (эчектрон. протон, нейтрон, нейтрино и др.) служит четырехкомпопентная волновая функция (спинор) Т (х0, X) = (фь ф2, Фз, >г4). Она удовлетворяет уравнению Лирика, системе четырех линейных дифференциальных уравнении первого порядка:
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 49 где I — единичная матрица и — матрицы Дирака, 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 V1 = 0 0 1 0. 0 0 —1 0 0 4 0 0 0 0 0 —1 —1 0 0 0, 0 0 0 — i 0 0 1 0 0 с 1 i 0 0 0 0 —1 0 i 0 0 . Y3 = —1 0 0 0 — 1 0 0 0 0 1 0 (\ Матрицы Дирака удовлетворяют соотношению (40) (см. Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков [1], § 6). § 3. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка Прежде чем формулировать математические постановки решения различных физических задач, сводящихся к линей¬ ным дифференциальным уравнениям второго порядка, необ¬ ходимо классифицировать эти уравнения. 1. Классификация уравнений в точке. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка п S аЧ^ + grad«) = O (1) J = ! с непрерывными коэффициентами а^(х). Выясним прежде всего, по какому закону преобразуются коэффициенты a,-j при произвольной неособенной замене независимых перемен¬ ных у = у (х), т. е. У/ = У((Х1’ х2 хп>> ' = 1> 2> «: Z)(у-Уг- (2) Так как D Ф 0, то в некоторой окрестности можно выра¬ зить переменные х через переменные у, х — х (у). Обозначим 4 В. С. Владимиров
50 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I и (х (у)) = w (У); тогда zz(y(x)) = и(х). Считая ди __ ул dxi 2d 1~\ yt £ С2, имеем ду[ д-и dxi ’ dxi dxj п = у dyidyk k, Z=1 д2и dxi dxj ' (3) Подставляя V ду{дук к, 1=1 __ д ( ди \ ~ dxj \ dxt J п с>У1 дук + V ди dxi дх; ' ~ду> z=i выражения (3) в уравнение (1), получим V „ йу1_ дук I V Д У л д-У1 I Li dxt dxi'Z^dyi ЛЛ u‘i dxidxj^ i, j-1 Z = 1 i, Н + Ф*(у, ut gradz/) = O. (4) Обозначая теперь через alk новые коэффициенты при вторых производных (5) перепишем уравнение (4) в виде (1): п ~ X (у) ^7+Ф а gfad ~и) в °- (6) k, Z = 1 Фиксируем точку х0; обозначим у0 = у(х0), аи = — Тогда формула (5) в точке х0 запишется в виде а1к (уо)=1 ^аи (х0) UiPkj- (7) Полученная формула преобразования коэффициентов в точке х0 совпадает с формулой преобразования коэффи¬ циентов квадратичной формы 2 ait(.xo)pip} (8) i, /=i 7 при неособенном линейном преобразовании Pi =- 2 det (а„) ф 0, (9)
§ 3] КЛ ACCIIФ И КА ЦИ я УРАВНЕН И П 51 переводящим форму (8) в форму п S (Ю) к, 1 = 1 Итак, чтобы упростить уравнение (1) в точке х0 с по¬ мощью замены переменных (2), достаточно упростить в этой точке квадратичную форму (8) с помощью неособенного линейного преобразования (9). Но в курсе линейной алгебры доказывается, что всегда существует неособенное преобразо¬ вание (9), при котором квадратичная форма (8) принимает следующий канонический вид: г т я] — 2 Яг т^п; (И) 1=1 1 = Г |-1 кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм, целые числа г и т не зависят от преобразования (9) *). Это позволяет классифицировать дифференциальные уравнения (1) в зависимости от значений, принимаемых коэффициентами а^ в точке х0. Если в квадратичной форме (11) т = п и все слагаемые одного знака (т. е, либо г = т, либо г = 0), то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа-, если т — п, но имеются слагаемые разных знаков (т. е. 1 г /г — 1), то уравнение (1)—гиперболического типа (при г=1 или г = п— 1—нормально-гиперболического типа)-, наконец, если т < /г, то это уравнение (1) — параболического типа (при. г = п— 1 —нормально-параболического типа). Подчеркнем, что .приведенная классификация зависит от точки х0, так как числа г и т зависят от х0. Например, Уравнение Трикоми д-и ! д'2 и дх2 ду2 0 (12) •—смешанного типа-, при у < 0 — гиперболического типа, при у>0— эллиптического типа, а при у = 0—параболи¬ ческого типа. Пусть коэффициенты а^ в уравнении (1) постоянны, т. е. не зависят от х, и пусть преобразование (9) приводит квад¬ ратичную форму (8) к каноническому виду (11). Тогда *) См., например, А. И. Мальцев [1], гл. VI. 4*
52 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I У ~ линейная замена независимых переменных п У'1 = 2 «гЛ / = 1 преобразует уравнение (1) к следующему каноническому виду: т ~ — -У + gradH) = 0. °У ‘ Примеры. Уравнение Лапласа — эллиптического типа, волновое уравнение — гиперболического типа и уравнение теплопроводности — параболического типа. 2. Выражение оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координатах. Для иллюстрации преобра¬ зований § 3.1 найдем выражение трехмерного оператора Лапласа (лг =• 3, atj = blJt Ф = 0) в сферических и цилиндри ческих координатах. а) Сферические координаты (рис. 5) х1 = г sin 0 coscp, х2 = г sin 0 sin ср, х3 = г cos 0. Имеем *1 1, 2, 3, \г = ~; Г дО cos 0 sin (р ’ дх2 г ' лд _ c°s о . ’ 0 г2 sin0 ’ -22^, Дф = о. г sin 0 дх3
§ з] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 53 Подставляя эти выражения в формулу (4) при п = 3, и ф=0 и собирая подобные члены, получим . 1 д / о д \ . 1 д ( . п д \ - д = 7^ О?) + тоТ1П М + , 1 дР . г2 sin2 0 <др2 ’ * ' Ь) Цилиндрические (полярные) координаты (рис. 6) = г coscp, х2 = г sin ср, Производя аналогичные, более простые, выкладки, получим L А г дг + _К_Д_+ДД 1 г2 (Др- дг- (15) 3. Характеристические поверхности (характеристики). Пусть функция <о(х), х = (хР х2, х/?), /7^2, класса С1 такова, что на поверхности со(х) = О grad со (х) #= 0 и dxi dxj (16) Тогда поверхность со (х) = 0 называется характеристиче¬ ской поверхностью (или характеристикой) линейного диф¬ ференциального уравнения (1), а уравнение (16) — характе¬ ристическим уравнением. При п = 2 характеристическая поверхность называется характеристической линией. Предположим, что каждая поверхность семейства со (х)— — С = 0, а < С < Ь, есть характеристика уравнения (1). Поскольку на каждой характеристике grad(o=^=0, то это семейство заполняет некоторую, достаточно малую, область G, через каждую точку которой проходит одна и только одна характеристика. Пусть co£C2(G). Тогда, если в преобразо¬ вании (2) взять у1=(о(х), то, в силу (5) и (16), коэффи¬ циент обратится в нуль в соответствующей области G. Поэтому знание одного или нескольких семейств характе¬ ристик дифференциального уравнения дает возможность при¬ вести это уравнение к более простому виду.
51 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I Примеры характеристик. а) В о л н о в о е у р а в и е н и е (см. (10) § 2.1). Его харак¬ теристическое уравнение имеет вид Поверхность п / = 1 a (t — /0)2 — I х — хо |2 = 0, (17) называемая характеристическ lm конусом с вершиной в точке (х0, /0), есть характеристика волнового уравнения. Характеристический конус (17) является границей конусов Г+ (х0, /0) = [a (t —10) > I х — х0 I ] И Г’ (х0, /0) = [— a (t —10) > I х — х0 I ], называемых соответственно будущим и прошедшим свето¬ выми конусами с вершиной в точке (х0, £0) (рис. 7). Обозначаем Г* = Г* (0, 0). Волновое уравнение имеет и другое семейство харак¬ теристических поверхно¬ стей— семейство плоско¬ стей вида atf-|-(x, Ь) = с, (18) где b = (bv b2, ...» bk и с—любые вещественные числа, причем | b |= 1. Ь) Уравнение теп¬ лопроводности (см. (13) § 2.2). Его характеристиками, очевидно, является се¬ мейство плоскостей t = С. с) Уравнение Пуассона (см. (18) § 2.3). Оно не имеет (вещественных) характеристик, ибо из характеристи¬ ческого уравнения Ж)!=« ™ “=» / = 1 вытекает, что grad(D = 0 на со = 0, что невозможно.
§ 31 КЛАССИФИКАЦИЯ 55 4. Канонический вид уравнений с двумя независи¬ мыми переменными. В § 3.1 рассмотрен способ приведения линейного дифференциального уравнения второго порядка к каноническому виду в каждой отдельной точке, где задано это уравнение. В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли > одним и тем же преобразованием (2) привести уравнение (1) к каноническому виду (13) в достаточно малой окрестности каждой точки? Чтобы это приведение можно было сделать для любого уравнения, необходимо, чтобы число условий alk = 0, I Ф k, /, k = 1, 2, ..., n; д 11, / — 2, 3,...,/zj fl и 9 * где ez = 0, 1, не превосходило числа неизвестных функ¬ ций yz, I = 1, 2, . . ., п: ———-~\~п—1 т. с. п < 2. •Покажем, что для п = 2 (и, очевидно, для /г = 1) это при¬ ведение всегда можно сделать. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вто рого порядка с двумя независимыми переменными а дпи дх2 2Ь д2и дх ду д?и ду2 ди дх ’ ^) = о. (19) I Т причем предполагаем, что коэффициенты а, b и с принадле¬ жат классу С2 в некоторой окрестности и нигде в ней не обращаются в нуль одновременно. Для определенности можно считать, что а 0 в этой окрестности. Действительно, в про¬ тивном случае может оказаться, что с 0. Но тогда, меняя местами х и у, получим уравнение, у которого а 0. Если же а и с обращаются в нуль одновременно в какой-либо точке, то b 0 в окрестности этой точки. В таком случае замена переменных х' = х-]-у, у' = х— у приводит к уравнению, У которого а 0. Переходя к новым переменным = у), Т] = Г)(Х, у), г\£С'2, + 0, (20) приведем уравнение (19) к виду и, ди дй\ п (21)
56 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I где £(х, у) и т](х, у) обращали т. е., в силу (22), удовлетво- Потребуем, чтобы функции в нуль коэффициенты-а и г, ряли уравнениям (23) Так как а О, то уразнения (23) эквивалентны линейным уравнениЯхМ где дх + М(х, 1 *1 — b — Vd а ’ л2 — а £ + Мх.^ = о .. _ 1. + 1Л7 A q , а d = b- — ас. (24) (25) Согласно классификации, изложенной в § 3.1, возможны следующие три типа уравнений (19): I. Гиперболический тип, если d > 0. II. Параболический тип, если d = Q. III. Эллиптический тип, если d < 0. Рассмотрим отдельно все эти три случая. I. Гиперболический тип, d > 0. В этом случае уравнение (19) приводится к каноническому виду |_ф = о. (26) Л] 1 Отметим, что замена переменных р = £,-|-г], ° —£ — Л приводит уравнение (19) к другому, эквивалентному, канопи- ческому виду д и' д*и' -U ф. = о др2 до2 1 1 (27)
§ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИИ 57 Для доказательства представления (26) установим суще¬ ствование хотя бы одной пары решений т] уравнений (24), удовлетворяющих условиям (20). Установим сначала связь этих решений с характеристиками уравнения (19). Предположим, что существуют решения уравнений (24) такие, что grad £ =£ 0 и grad т| =# 0 в рассматриваемой окрест¬ ности. Тогда, по определению (см. § 3.3), кривые &(•*- у) = Сх, т)(х, у) = С2 (28) определяют два семейства характеристик уравнения (19). Для дальнейшего нам понадобится следующая Лемма. Пусть функция со(х, у) класса С1 такова, что 0* Г1гого чпг°бы семейство кривых со(х, у) = С давало характеристики уравнения (19), необходимо и достаточно, чтобы выражение со(х, у) = С было общим интегралом одного из обыкновенных дифференциальных уравнений (29) Уравнения (29) называются дифференциальными уравне¬ ниями характеристик уравнения (19). Доказательство. Пусть ’ со(х, у) = С— семейство характеристик уравнения (19). Из условия =/= 0 следует, что кривые (о(х, у) = С заполняют всю рассматриваемую окрестность. Поэтому функция со удовлетворяет в этой окрест¬ ности одному из уравнений (24), например уравнению -ЭГ + ^1(Х, = (24') Далее, на каждой характеристике со (аг, у) = С справедливо соотношение <зо) Отсюда и из (24') заключаем, в силу условия =£ 0, что w(x, у) = С есть общий интеграл первого из уравнений (29). Обратно, если со(х, ,у) = С есть общий интеграл одного Из Уравнений (29), например уравнения у'= у), то, в силу (30), на каждой линии со(х, у) = С выполняется соотно¬ шение (24z). Но по теореме существования и единственности
58 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. г для обыкновенных дифференциальных уравнений через каж¬ дую точку из рассматриваемой окрестности проходит одна интегральная кривая со(х, у) = С уравнения = Поэтому уравнение (24х) удовлетворяется во всех точках этой окрест¬ ности. Отсюда заключаем, поскольку со^С1, =£ 0, что кривые со(а", у) = С являются характеристиками уравнения (19). Лемма доказана. На основании доказанной леммы общие интегралы урав¬ нений (29): £(х, y) = Cj и г) (х, у) = С2 такие, что £ и ЧбС'- Ту *° " ределяют два семейства харак¬ теристик уравнения (19). Как следует из общей теории обык- уравнений *), такие интегралы меньшей окрестности. При этом, новенных дифференциальных существуют в, возможно, поскольку XZ£C2, то £ и 1] £ С2 и, в силу (29) и (25), D 41 \ х. у / дх ду d'i dll _ Ц п ду дх ду ду ' "2 — 2 а ду ду ¥=0. (31) Таким образом, семейства характеристик (28) образуют семейства координатных линий (рис. 8) и функции £(х, у) и 1](х, у) можно принять за новые переменные. При этом в уравнении (21) будет и, в силу (22) и (29), b = (^i + М Ч- с 1 л о ду ду а ду ду Разделив уравнение (21) на коэффициент 2Ь 0, получим уравнение в канонической форме (26). II. Параболический тин. Пусть d^Q в некоторой окрестности. Тогда уравнение (19) приводится к канониче¬ скому виду $+ф==0- <32) *) См., например, Л. С. Понтрягин [1], гл. IV.
§ 3] КЛАССИФ11КАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 59 В этом случае, в силу (25), Х1 = Х2=~, так чт0 Диф¬ ференциальные уравнения (24) совпадают и сводятся к одному уравнению | 1А = 0 дх * а ду (33) Поэтому имеется одно семейство £(х, y) = Cj характеристик уравнения (19), определяемое, в силу леммы, общим инте¬ гралом уравнения у' = таким, что Ф 0; при этом t, £ С2. В качестве второго семейства координатных линий выберем прямые х = С2. В результате 1=1(Х, у), т\ = х. дает, в силу (22) и (33) замена переменных ¥=0 а = 0, Ь = а 4- + #4^- = О, с = а, дх 1 ду Разделив уравнение (21) на коэффициент с = а =/= 0, получим уравнение в канонической форме (32). III. Эллиптический тип, d < 0. Пусть коэффи¬ циенты а. b и с уравнения (19) — аналитические функции переменных (х, у) в окрестности некоторой точки (см. § 4.7). Тогда это уравнение приводится к каноническому виду *) д2а (34) В этом случае, в силу (25), коэффициенты Xj и Х2 урав¬ нений (24) — аналитические функции, причем при веществен¬ ных (х, у) = Х2. Из теоремы Ковалевской вытекает (см. § 4.7), что в достаточно малой окрестности существует ана¬ литическое решение со(х, у) уравнения 5 + М(х.^ = 0. (24') ) Это утверждение справедливо и без предположения об ана¬ литичности коэффициентов а, b и с, см. И. Н. Векуа [1]. Предло¬ жение об аналитичности коэффициентов позволяет использовать ны°РемУ Ковалевской о разрешимости уравнения (24') с комплекс¬ ами коэффициентами (при d < 0 это уравнение называется урав¬ няем Бельтрами),
60 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I да , /ч удовлетворяющее условию #= 0. Положим со (х, у) + о (х, у) 2 со (х, у) — о (х, у) 2/ (35) где о = £—/Г| — функция, комплексно сопряженная к co=£-|-Zr|; она удовлетворяет второму из уравнений (24): dco t ~дх' y)-g~==o. Функции £ и т[^С°°, в силу (35) и (31), их якобиан отличен от нуля: D (-^Л = D ( D = \х, у / \со, со/ \х, у/ 1 Vd да да У — d I дсо р 2/ а ду ду а | ду | Поэтому функции £> и т] можно взять за новые переменные. Посмотрим, какой вид примет уравнение (19) в этих пере¬ менных. По построению функция со удовлетворяет уравнению а \дх ) 1 дх оу Отделяя здесь вещественную и мнимую части и пользуясь (35), получим а 41 41+b (4141+45 41 \+с 41.41=0. дх дх \дх ду ду дх ) 1 ду ду Принимая во внимание формулы (22), заключаем отсюда, что а = с и 0 = 0 в переменных £, т|. Далее, так как d < 0 и -у 0, то а = с Ф 0. Разделив уравнение (21) на а = с#=0, приведем его к каноническому виду (34). 5. Пример. Уравнение Трикоми. Как отмечалось в § 3.1, уравнение Трикоми (12) д и , д2и У дх2 ' ду2 (12)
КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 61 принадлежит к смешанному типу: при у<0 оно гиперболи* ческого типа, а при у >0—эллиптического типа, ибо d =— у< Уравнение Трикоми представляет интерес для газовой динамики. При у < 0 уравнения характеристик (29) принимают вид yz = ± -y-L- . Поэтому кривые (рис. 9) Т —у являются вание характеристиками уравнения Трикоми. Преобразо- &=4 х+уз, л=4 х—у— № приводит уравнение Трикоми к каноническому виду дЫ 1 / ди ди\ ~ £ 6(>—Г]) "сМ ~ ъ Если же у > 0, то, в соответствии с теорией § 3.4, ®~~2Х— У3 и подстановка (35) &=4х' г>=—у № приводит уравнение Трикоми к каноническому виду . д2и . 1 ди дс2 •’ drj2 * 31] дц П < о.
62 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I § 4. Постановка основных краевых задач для дифференциального уравнения второго порядка 1. Классификация краевых задач. Как было показано в § 2, линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка р-^г = div (р grad м) — qu + F (х. f) (1) описывает процессы колебаний, уравнение р-^-= div (р grad «) — qu-\-F(x,t) (2) описывает процессы диффузии и, наконец, уравнение — div (р grad и) -\-qu = F (х) (3) описывает соответствующие стационарные процессы. Пусть G с: R'1 — область, где происходит процесс, и 5 — ее граница, которую считаем кусочно-гладкой поверх¬ ностью. Таким образом, G есть область изменения аргументов х в уравнении (3) — область задания уравнения (3). Об¬ ластью задания уравнений (1) и (2) будем считать цилиндр ЦТ — G X (О» Т) высоты Т и с основанием G. Его граница состоит из боковой поверхно¬ сти S X (О, Т) и двух основа¬ ний: нижнего С? X {0} и верх¬ него G X {Т} (рис. 10). Будем предполагать, что коэффициенты р, р и q уравне¬ ний (1) — (3) не зависят от времени t\ далее, в соответст¬ вии с их физическим смыслом, будем считать, что р(х)>0, р(х)>0, 7(х)^>0, х £ G. Наконец, в соответствии с мате¬ матическим смыслом уравнений (.1) — (3), необходимо считать, что pCC(G), p^C^G) и q£C(G). При этих предположениях, согласно классификации § 3, уравнение колебаний (1) — гиперболического типа, урав- нение диффузии (2) — параболического типа и стационар¬
§4] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 63 ное уравнение (3) — эллиптического типа. Таким образом, различие в типах рассматриваемых уравнений тесно связано с различием физических процессов, описываемых этими урав¬ нениями. Как отмечалось в § 2, чтобы полностью описать тот или иной физический процесс, необходимо, кроме самого урав¬ нения, описывающего этот процесс, задать начальное состоя¬ ние этого процесса {начальные условия) и режим на границе той области, в которой происходит этот процесс {граничные условия). Математически это связано с неединственностью решения дифференциальных уравнений. Действительно, даже для обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка общее решение зависит от п произвольных постоянных. Для уравнений же в частных производных решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций; например, общее решение уравнения -^— = 0 имеет вид u{xt у) — f {х) g (у), где f и g— произвольные функции класса С2. Поэтому, чтобы выделить решение, описывающее реальный физический про¬ цесс, необходимо задать дополнительные условия. Такими дополнительными условиями и являются краевые условия'. начальные и граничные - условия. Соответствующая задача называется краевой задачей. Различают, таким образом, следующие три типа краевых задач для дифференциальных уравнений. a) Задача Коти для уравнений гиперболического и пара¬ болического типов: задаются начальные условия, область G совпадает со всем пространством Rn, граничные условия отсутствуют. b) Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе 5, начальные усло¬ вия, естественно, отсутствуют. c) Сметанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные и граничные Условия, G =# RTl. Опишем подробнее постановку каждой из перечисленных краевых задач для рассматриваемых уравнений (1) — (3). 2. Задача Коши. Для уравнения колебаний (1) (гппер- °лический тип) задача Коши ставится следующим образом: найти функцию u{xt t) класса C2{t > 0) П С1 {t 0), удовле- в°ряющую уравнению (1) в полупространстве t > 0 и
64 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I начальным условиям при / = 0: Н=+о = «оОД 4г[=+о==“1 (х)' При этом необходимо FCC(/>0), zz^ С (/?"). Для уравнения диффузии (2) (параболический тип) за¬ дача Коши ставится так: найти функцию zz(x, t) класса t О х Рис. 11. С2(/ > 0) Г) С (t 0), удовлетворяющую уравнению (2) в полу¬ пространстве Z>0 и начальному условию при £ = -|-0: и |z = +0 = zz0(x). (5) При этом необходимо, чтобы /?£C(Y>0), u0QC(R"). Приведенная постановка задачи Коши допускает следующее обобщение. Пусть даны дифференциальное уравнение 2-го порядка п п д-и V д2и , ЧГ1 д2и . дР ~ Ai аЧ Ixi дх] _|" Zi Ох,- dt ' • i, ; = 1 i = \ (6) кусочно-гладкая поверхность 2 = [t = о(х)] и функции z/0 и zzj на 2. Задача Коши для уравнения (6) состоит в нахо¬ ждении в некоторой части области t > о(х), примыкающей к поверхности 2. решения z/(x, /), удовлетворяющего на 2 краевым условиям I ди I «12 = «о. -^|s=“p (7)
§ 4] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 65 где п — нормаль к S, направленная в сторону возрастающих t (рис. 11). 3. Роль характеристик в постановке задачи Коши. Предположим, что поверхность S принадлежит классу С2 (см. § 1.1) и ни в какой своей точке не касается характе¬ ристической поверхности (см. § 3.3) уравнения (6), т. е. на S выполнено неравенство а п I, ; = 1 да п f = l (8) Преобразуем задачу Коши (6) —(7) к задаче Коши, в которой начальные данные заданы на плоскости т = 0. Для этого вместо переменной t введем новую переменную x = t— о(х). При этой замене переменной уравнение (6) для функции zz(x, х)~и(х, т-(-а(х)) (9) в окрестности поверхности S принимает вид (см. § 3.1) поскольку, в силу (8), а00 0 на S. При этом поверхность S переходит в плоскость т = принимают вид = 0, а краевые условия (7), в силу (9), “ir=o==zzk = / \ du 1 ди I . 11ч = «о(х), -^-|t_0=aH2- (И) Осталось найти на S. Дифференцируя первое из крае¬ вых условий (7), uQ(x) = и(х, о(х)), по получим п соот¬ ношений на S duQ ди да , ди . . ~ dxt dt dxi ~dxi ’ 1 ’ ’ Дифференцируя функцию и(хУ t) по нормали « = (4-. — 4-grad0)' Д= у 1-к | grad 012 О В. С, Владимиров (12)
66 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I и учитывая второе из краевых условий (7), получим еще одно соотношение на 2 п ди 1 1 Y ди до 111~~дГТ~Т 2л~дх~7)х^' 1 = 1 (13) Система линейных алгебраических уравнений (12) — (13) ди . 1 однозначно разрешима относительно величин /=1, точке поверхности S, так как ее в каждой определитель О до дх{ А О 1 до ~К"дх~{ 1 1 до А дхп = (— 1)"Д у=0. для уравнений эллиптического уравнения (3) (эллиптический тип) 4. Краевая задача типа. Краевая задача для состоит в нахождении функции и (х) класса C2(G)f)C1(G), удовлетворяющей в области G уравнению (3) и граничному условию на S вида (н) где а, (3 и v — заданные непрерывные функции на 5, причем а>0, р>0, «4-р>0. Выделяют следующие типы граничных условий (14): Граничное условие I рода (a = 1, (3 = 0) «Is = "о- (15) Граничное условие II рода (о = 0, (3=1) (16) Граничное условие III рода ([3=1, а 0) аи (17)
§4] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 67 Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами I, II и III рода. Для уравнений Лапласа и Пуассона (см. § 2.3) краевая задача I рода ka = — f, u\s = u0 (18) называется задачей Дирихле\ краевая задача II рода Au = — f. (19) называется задачей Неймана. 5. Смешанная задача. Для уравнения колебаний (I) (гиперболический тип) смешанная задача ставится следующим образом: найти функцию и(х, t) класса С2 (Ц^) П С1 удовлетворяющую уравнению (1) в цилиндре начальным условиям (4) при t = 0, х £ G (на нижнем основании цилин¬ дра и граничному условию (14) при x£S, (на боковой поверхности цилиндра При этом .необходимо должны быть выполнены условия гладкости г>еС(5Х[0, ОО)) и условие согласованности а«оЧ-0-^г|5 = ^1/=о- Аналогично для уравнения диффузии (2) (параболический тип) смешанная задача ставится так: найти функцию и(х, t) класса С2 (£/cj Q С gradxw£C (Д^), удовлетворяющую уравнению (2) в Ц^, начальному, условию (5) и граничному условию (14). Замечание. Решения поставленных краевых задач с гладкостью С1 вплоть до границы области задания уравне¬ ния существуют не всегда. Поэтому иногда приходится отка¬ зываться от требования такой гладкости и требовать, напри- МеР> чтобы решение было только непрерывным вплоть до границы области. Эта постановка является естественной в за¬ дачах, не содержащих первых производных в краевых усло¬ виях, например, для уравнений (2) и (3) с граничным усло¬ вием I рода. Если же в краевые условия входят первые лР°изводные, то в каждом конкретном случае необходимо 5*
68 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. I указывать смысл, в котором должны быть выполнены эти краевые условия. Например, для смешанной задачи для урав¬ нения (1) выполнения второго из начальных условий (4) можно требовать в смысле <5?2((j): ||^_И1||_>0, /-> + 0; (20) для задачи Неймана для уравнения Лапласа выполнения гра¬ ничного условия (16) можно требовать в следующем смысле: (х), х'—>х, х' £G, х’ £ — пх. (21) 6. Корректность постановки задач математической физики. Поскольку задачи математической физики описывают реальные физические процессы, то математическая постановка этих задач должна удовлетворять следующим естественным требованиям: a) Решение должно существовать в каком-то классе функций b) Решение должно быть единственным в некотором классе функций c) Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и граничных данных, свободного члена, коэффи¬ циентов уравнения и т. д.). Непрерывная зависимость реше¬ ния и от данного задачи и обозначает следующее: пусть последовательность данных uk, Z?=l, 2, ..., в каком-то смысле стремится к и и uk, k = 1, 2 и — соответствую¬ щие решения задачи; тогда ик—>иу >оо в смысле сходи¬ мости, выбранной надлежащим образом. Например, пусть задача приводится к уравнению Lu = F, где L — линейный оператор, переводящий о/Я в где о/Я и — линейные нормированные пространства. В этом случае непрерывная зависимость решения и от свободного члена F будет обе¬ спечена, если оператор А"1 существует и ограничен из qAF в о/Я (см. §§ 1.8 и 1.9). Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что данные физической задачи, как правило, определяются из экспери¬ мента, приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том. что решение задачи не будет существенно зависеть от погреш¬ ностей измерений.
§ 1] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 69 Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям а)— с), называется корректно поставленной, а соответ¬ ствующее множество функций [\о/Я2— классом коррект¬ ности. Нахождение корректных постановок задач математической физики и методов построения их решений (точных или при¬ ближенных) и составляет основное содержание предмета уравнений математической физики. 7. Теорема Ковалевской. В этом пункте мы выделим довольно общий класс задач Коши, для которых решение существует и единственно. Прежде всего введем два опре¬ деления *). 1) Система AZ дифференциальных уравнений с N неиз¬ вестными функциями z/2» z<v -^- = ф/х, t, uv u2 «v, . . -4- Daxuh ..(22) dt i \ dt Q / i= 1, 2, . . W, называется нормальной относительно переменной t, если правые части Ф, не содержат производных порядка выше /?z и производных по t порядка выше —1, т. е. «0 4“ а1 4“ • • • 4“ «л а0 'С 1 • Например, волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности нормальны относительно каждой переменной х; волновое уравнение, кроме того, нормально относительно t, 2) Функция f (х), х = (хР х2, . хп), называется ана¬ литической в точке х0, если в некоторой окрестности этой точки она представляется в виде равномерно сходящегося степенного ряда У са(х —Х0)°= V (х __ хо)а !а I > о I а1 > О (точка xQ может быть и комплексной). Если функция /(х) аналитична в каждой точке области (7, то говорят, что она аналитична в области G. *) Используемые ниже обозначения введены в § 1.2.
70 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. [ Для нормальной относительно t системы уравнений (22) по¬ ставим следующую задачу Коши: найти решение и2> ..., uN этой системы, удовлетворяющее начальным условиям при / — /0: 4^1 =<Р,Дх). * = о,1 <=1, 2, .... N, (23) dt L=/„ где q:/A, (х)— заданные функции в некоторой области GczRn. Теорема Ковалевской. Если все функции ср//г(х) аналитичны в некоторой окрестности точки х0 и все функции ФДх, /, ...» ... ап< • < •) аналитичны, в не¬ которой окрестности точки (А'о- Ч D^iM' •••)’ то задача Коти (22) — (23) имеет аналитическое реше¬ ние в некоторой окрестности точки (х0, /0) и притом единственное в классе аналитических функций. Для доказательства этой теоремы решение zzp zz2» ♦ • •» un в окрестности точки (х0, /0) ищется в виде степенных рядов Из начальных условий (23) и из уравнений (22) последова- с)а° а тельно определяются все производные —DXU{ в точке (х0, /0). dt 0 Равномерная сходимость рядов (24) в некоторой окрестности точки (х0, /0) доказывается методом мажорант. Единственность построенного решения в классе аналитических функций сле¬ дует из теоремы единственности для аналитических функций. Подробные доказательства теоремы Ковалевской содер¬ жатся, например, в книгах И. Г. Петровского [1], Р. Ку¬ ранта [1] и Г. Н. Положего [1]. 8. Пример Адамара. Теорема Ковалевской, несмотря на ее общий' характер, полностью не решает вопроса о коррект¬ ности постановки задачи Коши для нормальной системы диф¬ ференциальных уравнений. Действительно, эта теорема гаран¬ тирует существование и единственность решения лишь в до¬ статочно малой окрестности или, как говорят, в малом;
§4] ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 71 обычно же эти факты требуется установить в наперед задан¬ ных (и отнюдь не малых) областях или, как говорят, в целом. Далее, начальные данные и свободный член уравнения, как правило, оказываются неаналитическими функциями. Наконец, может вовсе не быть непрерывной зависимости решения от начальных данных. Это показывает пример, впервые построен¬ ный Адамаром. Решение задачи Коши и __ dt 4- sin kx k для уравнения Лапласа д2и д2и 'W=~'dx^ есть / sh kt . , ик(х, t) = —^—sin&x. 1 Если k—.co, to -T-sin^x =~> 0; тем не менее при х -=£ уд, / = 0, ±1, . . ик (х, /) = —^-sin/гху* 0, /г—>со. Таким образом, задача Коши для уравнения Лапласа поста¬ влена некорректно (в смысле определения § 4.6). Тем не менее возможны корректные постановки этой задачи. Например, в классе функций, ограниченных фиксированной постоянной, эта задача поставлена корректно при условии, что ее решение существует (последнее требование приводит к вполне опре¬ деленным ограничениям на множество допустимых начальных Данных и и^). О корректных постановках задачи Коши для уравнения Лапласа и методах их решения см. М. М. Лаврентьев [1]. 9. Классические и обобщенные решения. Изложенные в предыдущих пунктах постановки краевых задач характери¬ зуются тем, что решения их предполагаются достаточно глад¬ кими и удовлетворяют уравнению в каждой точке внутри области задания этого уравнения. Такие решения мы будем называть классическими, а постановку соответствующей краевой задачи—классической постановкой. Таким обра¬ зом, классическая постановка задачи уже предполагает,
72 ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [ГЛ. 1 например, непрерывность правой части уравнения внутри его области задания. Однако в наиболее интересных задачах эти правые части (напомним, что они характеризуют интенсивность внешних воздействий) имеют довольно сильные особенности. Поэтому для таких задач классические постановки уже ока¬ зываются недостаточными. Чтобы поставить такие задачи, приходится отказываться (частично или полностью) от тре¬ бования гладкости решения внутри области, вводить так называемые обобщенные решения. Но тогда встает вопрос о том, какие функции можно называть решениями уравнения. Чтобы сделать это, необходимо существенно обобщить поня¬ тие производной и вообще понятие функции, т. е. ввести так называемые обобщенные функции. Изучению этого вопроса целиком посвящается следующая глава.
Глава П ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Обобщенные функции впервые в науку были введены П. Дираком в его квантовомеханических исследованиях, в ко¬ торых систематически использовалась так называемая д-функ- ция. Основы математической теории обобщенных функций были заложены С. Л. Соболевым ([2], 1936 г.) и Л. Швар¬ цем ([2], 1950—1951 гг.). В дальнейшем теория обобщенных функций интенсивно развивалась многими математиками. Быст¬ рое развитие теории обобщенных функций стимулировалось главным образом потребностями математической физики, в осо¬ бенности теории дифференциальных уравнений и квантовой теории поля. В настоящее время теория обобщенных функций далеко продвинута вперед, имеет многочисленные применения в физике и математике и все больше входит в обиход физика, математика и инженера. § 5. Основные и обобщенные функции 1. Введение. Обобщенная функция является обобщением классического понятия функции. Это обобщение, с одной стороны, дает возможность выразить в математической форме такие идеализированные понятия, как, например, плотность материальной точки, плотность точечного заряда или диполя, плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгно¬ венного точечного источника, интенсивность силы, приложен¬ ной в точке, и т. д. С другой стороны, в понятии обобщенной Функции находит отражение тот факт, что реально нельзя, например, измерить плотность вещества в точке, а можно измерить лишь его среднюю плотность в достаточно малой окрестности этой точки и объявить это плотностью в данной
74 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II точке; грубо говоря, обобщенная функция определяется своими «средними значениями» в окрестностях каждой точки. Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим подробнее вопрос о плотности, создаваемой материальной точкой массы 1. Счи¬ таем, что эта точка совпадает с началом координат. Обозначим эту плотность через д(х). Чтобы определить эту плотность, распределим (или, как говорят, размажем) массу 1 равномерно внутри шара U В результате получим среднюю плотность А (*) = 3 4Л£3 ’ О, | А71 < е, I х | > е. Примем сначала в качестве плотности д(х) поточечный предел последовательности средних плотностей /е(х), т. е. f ~h б (х) = lim /е (х) = е->0 I U, если х = О, если х =# 0. (D От плотности б естественно требовать, чтобы интеграл от нее по любому объему G давал бы массу этого объема, т. е. если 0 £ G, если 0 С О. Но, в силу (1), левая часть этого равенства всегда равна нулю, если интеграл понимать как несобственный. Полученное противоречие показывает, что поточечный предел последова¬ тельности /е(х), е —> 0, не может быть принят в качестве плотности б(х). Вычислим теперь слабый предел последовательности функ¬ ций /е(х), е—>0, т. е. для любой непрерывной функции ср найдем предел числовой последовательности /еф dx при E —> 0. Покажем, что lim I /е(х)ср(х)^х=ф(0). е->0 Действительно, по непрерывности функции ф(х) для лю¬ бого q>0 существует такое е0 > 0, что | ср (х)—ср (0) | < ц,
§ 5) ОСНОВНЫЕ II ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 75 коль скоро | х | < е0. Отсюда при всех е е0 получаем IJ АМфМ^-ф(О) J |<p(x)-<p(0)|tf.r<1] 4^г J = |.г|<е |лЦ <& что и утверждалось. Таким образом, слабым пределом последовательности функций /е(х), 8 —> О, является функционал ср (0), сопоста¬ вляющий каждой непрерывной функции ср(х) число <р (0)—зна¬ чение ее в точке х = 0. Вот этот-то функционал’и прини¬ мается за определение плотности б(х); это и есть известная б-функция Дирака. Итак, /е(х) —>б(х), е—>0, в Т0хМ смысле, что для любой непрерывной функции ф(х) справедливо предельное соот¬ ношение J /е(х)ф(х)с/х->(б, ср), 8—>0, где символ (б, ср) обозначает число ср (0) — значение функ¬ ционала б на функции ср. Чтобы восстановить теперь полную массу, нужно подей¬ ствовать функционалохм (плотностью) б (х) на функцию <Р(х)=1, (б, 1)=1. Если в точке х = 0 сосредоточена масса /п, то соответ¬ ствующую плотность следует считать равной тб(х). Если масса т сосредоточена в точке х0, то ее плотность естественно считать равной /?гб(х— х0), где (тб(х— х0), ср) = тер (х0). И вообще, если в различных точках х/г, k=\, 2, АЛ сосредоточены массы mk, то соответствующая плотность равна N /? = 1 2. Пространство основных функций 35. Уже на примере ^-функции видно, что она определяется посредством непре¬ рывных функций как линейный непрерывный функционал на Этих функциях (см. § 1.8). Непрерывные функции, как говорят, являются основными функциями для б-функции. Эта точка зрения и берется за основу определения произвольной
76 ОБОБЩЕННЫЕ- ФУНКЦИИ [ГЛ. II обобщенной функции как линейного непрерывного функционала на пространстве достаточно «хороших» (основных) функций. Ясно, что чем уже пространство основных функций, тем больше существует линейных непрерывных функционалов на нем. С другой стороны, запас основных - функций должен быть достаточно велик. В этом пункте будет введено важное пространство основных функций S. Прежде всего, введем некоторые определения. Отнесем к множеству основных функций S) = S (Я") все финитные бесконечно дифференцируемые в Rn функции. Сходимость в S определим следующим образом: последова¬ тельность. функций ф2, . . . из S сходится к функции ф (из S), если: а) существует такое число R > 0, что Бцррф^сгб^; Ь) при каждом а=(ар а2, .... ад) Оаф/г (х) -с- R Паф (х), k -> ое. В этом случае будем писать: фд,->ф, k—>co в S. Очевидно, S—линейное пространство (см. § 1.2). Операция дифференцирования D%(x) непрерывна из S в 3) (см. § 1.8). Действительно, из определения сходимости в S вытекает, что если ф* —> ф, £ —> сю в S, то и /Ар* -> Z31 ф, k —> сю в S. Аналогично операции неособенной линейной замены пере¬ менных ф(Ду--|-А) и умножения на функцию a^C^(Rn)y я(х)ф(х), непрерывны из 3) в 3. Совокупность основных функций, носители которых со¬ держатся в данной области G, обозначена через S (G) (см. § 1.2); таким образом, S(G)czS(/?,2) = S. В связи с приведенным определением возникает вопрос: существуют ли основные функции, отличные от тождественного нуля? Ясно, что такие функции не могут быть аналитическими в R'1 (см. § 4.7). Примером основной функции, отличной от нулевой, является «шапочка» (рис. 12) I О, I X К е, | х О е.
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 77 $ 51 Постоянную Се выберем так, чтобы J о>£ (х) dx = 1, т. е. 1 С£ел J е ^=1. г/. Следующая лемма дает другие многочисленные примеры основных функций. Лемма 1. Для любых области G и числа е > 0 суще¬ ствует функция такая, что 0 < n (*) < 1; т)(х)==1, X^GZ\ Ti(*) = 0, х£О3е- Доказательство. Пусть %(х)— характеристическая Функция множества G2£: % (х) = 1, х g G2z\ /(х) = 0, х g G2f>. Тогда функция П(*)= J х(у)сое(х — у) dy обладает требуемыми свойствами. Действительно, так как °е € 0 сое (х), supp о)е = £/е, J сое (х) dx = 1, то
78 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II (рис. 13) Х ? ^Зе. / ®е(х —y)dy= J oe(t)d|= 1. х£Ое; = и (х; е) . о, Лемма доказана. Из доказанной леммы вытекает: а) если область G огра¬ ничена, то существует функция такая, что т| (х) = 1, х £ Ge; b) если G' G, то существует функция г| £ 2) (G) такая, что г)(х) = 1, x£G'. Лемма 2 (разложение единицы). Пусть но.са- тель основной функции ф покрыт конечным числом окрестностей U (xk\ /7), k= 1, 2, . . ., N. Тог¬ да существуют такие функции что N ф (%) = Ф (*) hk (х)> (2) supp/zftct/(xA; rft). Доказательство. Возьмем у м е н ь ш е н н ы с окрестности U (xk; г'). r'<rft,A=l,2, ...,Д (рис. 14). По лемме 1 § 5.2 покрывающие компакт Биррф существуют основные функции ek(x) такие, что x^U(xh- /■£), suppeftct/(xA; rft). Обозначим
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 79 § N По построению /г(х)^> 1, S hk(x) = 1 в окрестности supp ф, /? = 1 а потому hk^3. supp Z^czf/(хл; rk) и справедливо равен¬ ство (2). Лемма доказана. 3. Пространство обобщенных функций ЗУ. Обобщен¬ ной функцией в смысле Соболева—Шварца называется всякий линейный непрерывный функционал на простран¬ стве основных функций 36. В соответствии с обозначе¬ ниями § 1.8, значение функционала (обобщенной функции) f на основной функции ф будем записывать (/, ф). Обобщенную функцию f будем также формально записывать в виде f (х)9 подразумевая под х аргумент основных функций, на которые действует функционал /. Расшифруем определение обобщенной функции f. 1) Обобщенная функция f есть функционал на 3), т. е. каждой ф£^ сопоставляется (комплексное) число (/, ф). 2) Обобщенная функция f есть линейный функционал на 36. т. е. если ф£<25, и Z, р— комплексные числа, то (/. + РФ) = (/, ф) + Р (/. Ф). 3) Обобщенная функция / есть непрерывный функционал на 36. т. е. если ф^—>ф, /г—>оо в 36. то (/’ ф)> Обозначим через ЗУ = ЗУ(Н11) множество всех обобщен¬ ных функций.
80 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ II Множество ЗУ'—линейное, если линейную комбинацию X/ -1- pg обобщенных функций f и g определить как функ¬ ционал, действующий по формуле (V + |ig- ф) = к (/, ср) + р (g, ср), ср £ 36. Проверим, что функционал ?./-(-pg— линейный и непре¬ рывный на ЗУ т. е. принадлежит ЗУ. Действительно, если cp£j24 и а, р — любые комплексные числа, то, по определению, (X/ 4 - «Ф 4- РФ) = (f> аф 4- РФ) 4- и (.£• аф 4- РФ) = = а[Х(/, ф) -нх(£-, Ф)]4-Р1МЛ Ф) + м4£. Ф)1 = = а (X/ + pg, ср) -I- Р (X/ 4- pg, ф) и потому этот функционал — линейный. Непрерывность его следует из непрерывности функционалов f и g: если —><р» k —>оо в ЗУ то (V + pg, <р/г) = А (/, <р/г) + р (g, фл) -> Z (/, ср) -4- р (g, Ф) = = (V + p^. до¬ определим сходимость в следующим образом: после¬ довательность обобщенных функций /р /2» • • • из $У схо" дится к обобщенной функции /£ЗУ, если для любой ф£..2> (Д, гр) —>(У» ф), k—>oQ. В этом случае мы будем писать —>оо в ЗУ. Введенная сходимость называется сла¬ бой сходимостью. Линейное множество ЗУ с введенной в нем сходимостью называется пространством обобщенных функ¬ ций ЗУ. Замечание. Пространство $)' — полное, т. е. если после¬ довательность /ь /2, • • • ”3 др такова, что для любой основной функции существует предел числовой последовательности (Л, Ф), (А, ф), •*., то найдется такая (очевидно, единственная) обобщенная функция что Нт (А, ф) = (А ф), к ->оо Доказательство этой теоремы можно найти, например, в книге Г. Е. Шилова [2], § 9. В дальнейшем полнота пространства £/ использована не будет. 4. Носитель обобщенной функции. Из определения видно, что обобщенные функции, вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить об обращении в нуль обобщенной функции в области.
§ 5] ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 8i Обобщенная функция f обращается в нуль в области G, если (/, ф) = 0 для всех <р £ <S>‘ (О); этот факт будем запи¬ сывать так: / = 0, x£G. В соответствии с этим определе¬ нием, обобщенные функции / и g называются равными 8 области G, если f — g = 0, x£G; при этом пишем: f = g, х £ G. В частности, обобщенные функции f и g называются равными, если для всех ср£^ (/, ср) = (gt ср). Будем говорить, что обобщенная функция f принадлежит классу Ср (G), если в области G она совпадает с функ¬ цией Д(х) класса Ср (G), т. е. для любой cp^^(G) (/. ф) = / /о (*) Ф (х)dx- (3) Лемма. Пусть пространство R'1 покрыто счетной системой окрестностей U (xk; г/г), k — 1, 2, ..., и в каждой окрестности U (xk; rk) обобщенная функция f совпадает с обобщенной функцией fk. Тогда f однозначно опреде¬ ляется своими локальными элементами fk. Доказательство. Пусть (р£<®. По лемме Гейне — Бореля (см. § 1.1), компакт suppcp покрывается конечным числом окрестностей U (х/г; rk), /г = 1, 2, . . /V, W = /V((p). По лемме 2 § 5.2 существуют такие функции <p^€^» что N Ф (*) = 2 Ф* о), supp ФЛ с и (хА; гк). А’ = 1 Следовательно, N N (/• Ф) = 2 (/. ф») = 2 (Л- Фл). (4) & = 1 Л = 1 т. е. обобщенная функция f определяется своими локальными элементами Д. Докажем единственность /. Пусть существует Другая обобщенная функция g с теми же самыми локальными элементами Д. Тогда, в силу (4), для любой cp£j2? N (/• ф)= 2 (Л- Фл)=(^. ф) /? = 1 И потому f = g. Лемма доказана. Из доказанной леммы вытекает такое следствие: для того чтобы обобщенная функция / обращалась в нуль 6 В. С. Владимиров
82 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II в области G, необходимо и достаточно, чтобы она обра¬ щалась в нуль в окрестности каждой точки этой области. Носителем обобщенной функции f называется множество всех тех точек, что ни в какой окрестности каждой точки этого множества //= 0; носитель f обозначаем supp/. Оче¬ видно, supp f — замкнутое множество. Если supp / — огра¬ ниченное множество, то обобщенная функция / называется финитной. Отсюда следует, что в любой области, лежащей вне supp/, обобщенная функция / обращается в нуль, т. е. (/, ф) = 0, ф^-®. supp/п supp Ф = 0. (5) Действительно, если точка xogsupp/, то найдется такая окрестность этой точки, что / = 0 в этой окрестности. По следствию из леммы § 5.4, / = 0 и в любой области, состоящей из таких окрестностей. 5. Регулярные обобщенные функции. Простейшим при¬ мером обобщенной функции является функционал, порождае¬ мый локально интегрируемой в R" функцией / (х): (/. ф) = J f О) Ф (*) dx, ф € 3. (6) Из свойства линейности интеграла следует линейность этого функционала: (/. М + нФ) = J f (О [Хф (х) + цф (х)] dx = = X J f (х) Ф (х) dx + ц | / (х) ф (х) dx = л(/, ф) + ц (/. ф). а из теоремы о предельном переходе над знаком интеграла следует его непрерывность в ЗУ. (/.Фй)= / fa)<fk(x)dx->^ /(х)ф(х)б?х = (/,ф), £->оо, Ur если Ф*—>(p, k—>оо в 36. Таким образом, функционал (6) определяет обобщенную функцию из 3)'. Обобщенные функции, определяемые локально интегри¬ руемыми в Rn функциями по формуле (6), называются регу¬ лярными обобщенными функциями. Остальные обобщенные функции называются сингулярными обобщенными функ¬ циями.
§5) ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 83 Лемма (дю Б у а - Р е й м о н д). Для того чтобы ло¬ кально интегрируемая в G функция f (х) обращалась в нуль в области G в смысле обобщенных функций, не¬ обходимо и достаточно, чтобы /(х) = 0 почти везде в G. Доказательство. Достаточность условия очевидна. Докажем его необходимость. Пусть а — произвольная точка области G. Найдется такой замкнутый шар U (а; е), который целиком содержится в области G и в котором, следовательно, f = 0 в смысле § 5.4. Так как при каждом k = k2, . . ., ktl) функция — (1г, х) Ф/г (*) = 6 <ое (х — а\ где сое — «шапочка» (см. § 5.2), принадлежит 3) (О), то - (А г) (/■ '!’*) = J — а)е* dx = 0. Таким образом, все коэффициенты Фурье по тригонометри- ческой системе | функции /(х)сое(х — а), интегри¬ руемой на шаре U (ск, е), равны нулю. Отсюда следует*), что эта функция равна нулю почти везде и, стало быть, •/(х) = 0 почти везде в этом шаре. Так как а — произволь¬ ная точка области G, то /-(х) = 0 почти везде в G. Лемма доказана. Всякая локально интегрируемая функция в Rn определяет по формуле (6) регулярную обобщенную функцию. Из леммы дю Буа-Реймонда следует, что всякая регулярная обобщенная функция определяется единственной**) локально интегрируе¬ мой в Rn функцией. Следовательно, между локально интегри¬ руемыми в Rn функциями и регулярными обобщенными функ¬ циями существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому мы будем отождествлять локально интегрируемую функ¬ цию / (х) и порождаемую ею по формуле (6) обобщенную • Функцию — функционал (/, ср). В этом смысле «обычные», т- е. локально интегрируемые в Rn функции, являются (ре¬ гулярными) обобщенными функциями. *) См., например, Г. М. Фихтенгольц [1], т. III, гл. XX 1 • Е. Шилов [1], гл. VII. **) С точностью до значений на множестве меры нуль. 6*
84 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ. II Из леммы дю Буа-Реймонда вытекает также, что оба определения носителя кусочно-непрерывной функции, данные в § 1.2 и § 5.4, совпадают. Наконец, отметим, что если последовательность Д(х), k = 1, 2, . . ., — локально интегрируемых функций в Rn схо¬ дится равномерно к функции /(х) на каждом компакте KczRn, то она сходится к /(х) в ЗУ (Rn). Действительно, для любой имеем (А- ф) = J А (*) ф (X) dx -> J f (х) ф (Л-) dx = (f, ф), k -> со. 6. Сингулярные обобщенные функции. В соответствии с определением, данным в предыдущем пункте, сингулярную обобщенную функцию нельзя отождествить ни с какой ло¬ кально интегрируемой функцией. Простейшим примером син¬ гулярной обобщенной функции является 6-функция Дирака (см. § 5.1) (6, ф) = ср(О), Очевидно, 6£^', 6(х) = 0, х 0, так что supp6= (0). Докажем, что 6 (х)—сингулярная обобщенная функция. Пусть, напротив, существует локально интегрируемая в Rn функ¬ ция /(х) такая, что для любой функции j / (х)ср(х) б/х =<р(0). (7) Так как xfl>(x) если то из (7) вытекает / /(х)х1ф(х)</х = х1ф(х) |д.=0 = 0 = (Х,/. ф) при всех здесь Xj — первая координата х. Таким образом, локально интегрируемая в Rn функция xxf (х) равна нулю в смысле обобщенных функций. По лемме дю Буа- Реймонда, х1/(х) = 0 почти везде и, стало быть, f(x) = 0 почти везде. Но это противоречит равенству (7). Полученное противоречие и доказывает сингулярность 6-функции. Пусть ое(х) — «шапочка» (см. § 5.2). Докажем, что (х)->6(х), е -> -|- 0 в ЗУ. (8)
ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 85 § Действительно, по определению сходимости в 3' соот¬ ношение (8) эквивалентно равенству lim (ое(х)ф(х)^х = <р(0), £->4-0 По непрерывности функции ф(х) для любого т| > 0 суще¬ ствует такое е0 > 0, что |ф(х) — ф(0)|<г|, коль скоро | х | < е0. Отсюда, пользуясь свойствами «шапочки» <о8(х) при всех £ е0, получаем что и утверждалось. Обобщением б-функции является простой слой на поверх¬ ности. Пусть 5 — кусочно-гладкая поверхность и р(х) — ку¬ сочно-непрерывная функция, заданная на S. Введем обобщен¬ ную функцию ц(\, действующую по правилу: ср) = J р, (х) <р (х) dS, ср £ 35. Очевидно, цб5(х) = 0, х £ S, так что supppx\czS. Обобщенная функция называется простым слоем на поверхности 5 с плотностью ц. Замечание. Локально интегрируемые функции и д-функции описывают распределения (плотности) масс, зарядов, сил и т. д. (см. § 5.1). Поэтому обобщенные функции называются также рас¬ пределениями (distributions, см. Л. Шварц [1,2]). Если, например, обобщенная функция f есть плотность масс или зарядов, то выра¬ жение (/, 1) есть полная масса или заряд соответственно (если f имеет смысл на функции, тождественно равной 1; эта функция не принадлежит ^!); в частности, (5, 1) = 1; (/, 1) = J f (х) dx, если f—абсолютно интегрируемая функция в Rn. 7. Формулы Сохоцкого. Введем линейный функцио¬ нал ~, действующий по формуле - (^7- <P) = VP J ф 3). х
86 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II R X<f'^dx х — R x'£(--R, Я), Так как для любой (р£<®, ср(х) = 0, | х | > R справедливо неравенство |(^L,(p)l = |Vp R < | ср'(х') | dx <; 2R max | ср'(х)|, Л то Обобщенная функция совпадает (в смысле § 5.4) с функцией при х =£ 0. Она называется конечной частью (partie finie) или главным значением интеграла от Установим теперь равенство lim [ -ф dx = — Zncp(0)-pVp [— — dxt cp£<££. (9) E->+(P X-\-lZ J X Действительно, если ср (x) = 0 при | х | > /?, то R к = lim | ср (х) dx = £->+0^ Л'2 + е2 R ХгД dx + 1 i m I X~i\ [ф (X)-Ф (0)] dx = »+e2 1 f^+0jP-+e2T 0) lim arctg*+ fm=^rfx = E->+0 6 J X — R = _/яф(0) + Ур Соотношение (9) обозначает, что существует предел по 1 следовательности ——— х —' /яд (х) -\-е7> ~ . Итак, , е->-|-0 в 3 и этот предел равен Аналогично ТрО = — глд(х) + ^4- (10) “•0 =<лд(х)Н-^4- <10^
§5] ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 87 Формулы (10) и (10z) называются формулами Сохоцкого. Эти формулы используются в квантовой физике. 8. Линейная замена переменных в обобщенных функ¬ циях. Пусть / (х) — локально интегрируемая в Rn функция и x = Ay-\-b, det А #= Q,—неособенное линейное преобра¬ зование пространства Rn на себя. Тогда для любой ср £ D получим (/ (И v + &)• ф) = J f И У + £)ф (У) dy = = def л] J — = = фН_1(х-Ш Это равенство мы и примем за определение обобщенной функции f(Ay-]-b) для любой f(x)£33: (f (Ay + b), Ф) = (/, ~ &)1) , Фб^- (И) Так как операция ф[Д“1(х— #)] линейна и непрерывна из 36 в 36 (см. § 5.2), то функционал f {Ау определяемый правой частью равенства (11), принадлежит 36'. В частности, если А — вращение, т. е. А' = Д”1, и b =0, то V(^v), (Р) = (/, ф(Д7х)); если А — растяжение (или отражение), А = с/, и £ = 0, то <г)=-г^т(/. ф(^-)); если А = [, то (/(У’ + ^)> ф) = (/, <р (* — £)). Обобщенная функция f(x-\-b) называется сдвигом обобщен¬ ной функции / (х) на вектор Ь. Например, б (х — х0) — сдвиг б(х) на вектор —х0 — действует по формуле (б (х — х0), (р) = (б, ф (х + х0)) = ф (х0). Изложенное позволяет определить сферически-симметрич- НЬ1е» центрально-симметричные, однородные, инвариантные относительно сдвигов, лорснцеинвариантные и т. д. обоб¬ щенные функции.
88 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II 9. Умножение обобщенных функций. Пусть f (х)— ло¬ кально интегрируемая в R'1 функция и а (х) £ С°° (Rn). Тогда для любой ср £<52 справедливо равенство (а/, <р) = (/, аф), ф£^. (12) Так как операция умножения на функцию (Rn) линейна и непрерывна из 3) в 3) (см. § 5.2), то функционал а/, определяемый правой частью равенства (12), принадлежит ЗУ. Если 1710 справедливо равенство f = (13) где г| — любая функция класса С™ (Rn), равная 1 в окрест¬ ности носителя f. Действительно, для любой ф£<® носители / и (1—т])ф не имееют общих точек, а потому, в силу (5), (/ — пЛ ф) = (/. (1 — Т1)Ф) = О. При м е р ы: a) а(х)д(х) = я(0)д(х), так как при всех ф£<® (ад, ф) = (б, шр) = а(0)ф(0) = (а(0)д, ф). b) xSP — = 1, X так как при всех ф£^(/?!) хф) = Ур = cp(x)flfx = (l, ф). Возникает вопрос: нельзя ли определить произведение любых обобщенных функций так, чтобы это произведение опять было обобщенной функцией? Для локально интегри¬ руемых функций их произведение не обязано быть таковым (например, х | 2) =|х|"”1 в У?1). Подобное имеет место и для обобщенных функций: Л. Шварцем показано, что такое произведение, которое было бы ассоциативно и коммутативно, определить нельзя. Действительно, если бы оно существовало.
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 89 то, пользуясь примерами а) и Ь), мы имели бы противоре¬ чивую цепочку равенств: О = ОоР -i- = (xb (х) ~ — (б (х) х) <£? ~ = 6(х)(х<^ у) = д(х). Чтобы определить произведение обобщенных функций f и g, нужно, чтобы они обладали свойствами: насколько f «нерегулярна» в окрестности произвольной точки, настолько g должна быть «регулярной» в этой окрестности. Например, б(х— а)Ь(х— #) = 0, если а^Ь, 10. Упражнения, а) Доказать, что функции X2 1 ~ 4ле —7=^ е 2 1 е л л2-|-£2 стремятся к д(х) при е->-|~0. Ь) Пользуясь формулами Сохоцкого, доказать предельные соот ношения при t 4~ со: pixt -> 2 л/6 (л), х — /0 ' 7 e~ixt х~/0 ->0, еш х zo >о, е~м х 4~ /о -> — 2л/6 (х)- х £ § 6. Дифференцирование обобщенных функций Обобщенные функции обладают рядом удобных свойств. Например, при надлежащем обобщении понятия производной любая обобщенная функция оказывается бесконечно диффе¬ ренцируемой, сходящиеся ряды из обобщенных функций можно почленно дифференцировать бесконечное число раз. 1. Производные обобщенной функции. Пусть f £СР (Rn). Тогда при всех а, | а | р, и ср£<^ справедлива формула интегрирования по частям (^а/, ф) = (* Daf (х) ф (х) dx = = (— 1)1 а 1 J / (х) Da(p (х) </х = (-1“ ! (/, £>а<р) •
90 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II Это равенство мы и примем за определение (обобщенной) производной Daf обобщенной функции f (о“/. ф) = (-1)!а|(/. оаф), <р€^- (О Проверим, что Daf . Действительно, поскольку / £2^, то функционал Daf, определяемый правой частью равен¬ ства (1), линейный: (Daf, Хф + (1ф) = = (-1)'а 1 (/, Da (Хф + цф)) = (-1)' “1 (/, 1Яаф + Ио“ф) = = Х(-1)|а|(/, £)аф) + Н(—1)1а| (/• Оаф) = = Цо7. ф)+н(о7. ф). и непрерывный: (Daf, ф/;) = (-!)' а|(/, £>Ч)->(~ 1 )'“'(/• £°ф) = Ф7. Ф). ибо если (р7. —>ср, >оо в 2J, то и Daq>b > Dacp, k~>оо в 3 (см. § 5.2). Обозначим {Daf (х)} — классическую производную (там, где она существует). Из определения обобщенной производ¬ ной вытекает, что если обобщенная функция Ср (G), то Daf = {Daf(x')}. x£G, |a|</>. 2. Свойства обобщенных производных. Справедливы сле¬ дующие свойства операции дифференцирования обобщенных функций. а) Любая обобщенная функция бесконечно дифферен¬ цируема. Действительно, если /£2'/, то -^—£2/; в свою очередь Ь) Результат дифференцирования не зависит от по¬ рядка дифференцирования,
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 91 В самом деле, для любой ср^^ получаем <0"' ') = (/. 77 = (£ (Я) ■ ') = (£ (J£). '). откуда и вытекает равенство (2) (см. § 5.4). И вообще Da+$f = Da (tff) = 7 (£)“/). (3) с) Если f £3' и а (Rri), то справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения af (см. § 5. 9). Например: dxt д (af) (4) Действительно, если ф — любая основная функция, то (A77=-k7)=~77b' =- ~ -f)=- (/■ -7)+(/• Я ф)= = ' Н + (Д f' ф)= (а этг ’ ф) + f’ ф) = ( д/ , да г \ откуда и вытекает равенство (4) (см. § 5.4). d) Если обобщенная функция / — О, х £ G, то и Daf = 0, x£Gt так что supp Da/czsupp/. В самом деле, если (p^^(G), то Da(p ^3 (G), а потому (£)7.<р) = (-1£“ф) = о, что и обозначает Daf = Q, x£G. e) Операция дифференцирования непрерывна из ЗУ в ЗУ, т, е. если k—>oo в 3', то E)afk—>Duf, в 3'. Действительно, по определению сходимости в простран¬ стве ЗУ (см. § 5.3) при всех q^3 имеем (о% <₽)==(_!)'“1(д, /Ар)->(_1Da<p) = (D7, <р). k —> сю, что и обозначает Dafk -> Da/, /г —> оэ в 3'.
92 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. И f) Если ряд 2 (*)=5 (*). /г = 1 составленный из локально интегрируемых функций uk(x\ сходится равномерно на каждом компакте, то его можно почленно дифференцировать любое число раз и получен¬ ные ряды будут сходиться в ЗУ. В самом деле, поскольку при любом R > О su (х) = 2 чк {х) S (х), р -> со, /? = 1 то Sp—>S, р ->оо в ЗУ (см. § 5.5). Но тогда, в силу е), DaS, = У Daub -> DaS, р->оо в ЗУ, что и утверждалось. Отсюда, в частности, вытекает: если \ak\^A\k\m+B, (5) то тригонометрический ряд оо 2 akeikx (6) /?<= -оо сходится в ЗУ (У?1). Действительно, в силу (5), ряд .> °° йрх'” 1 ~ |_ ’V' ak ihx (/я+2)! 1 jU (ik)"l+2 к = — co к =#0 сходится равномерно в У?1; следовательно, его производная порядка т-\~2 сходится в (У?1) и совпадает с рядом (6). 3. Примеры, п—1. а) Пусть функция f (х) такова, что / С С1 (х ^о) и / С (х хо)- Покажем, что f' = {f'(x')}-\-\f]Xob(x — х0), (7) где обозначено [/] — / (х0 -f- 0) — f (х0 — 0).
§ 61 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 93 Действительно, если то (/'. ф) = — (/• ф') = — J / (х) ф' О) dx = == (/ (*о + °) —■ / (хо — °)1 Ф (хо) + f If' (*)) Ф О) dx — = (l/U06(.x —Xo) + U'WV ф). В частности, О'(х) = д(х), где 0 — функция Хевисайда: 0(х)=1, х > 0; 0(х) = О, х < 0. Если же функция f (х) имеет изолированные разрывы 1-го рода в точках (х/г), то формула (7) естественно обоб¬ щается /' = (/'W]+2[/l 6(х-хД (8) k « В частности, если /0(х) = -^ у х£[0, 2л], —2л-пери- одическая функция (рис. 15), то со Л = --£г + б(х-2М (9) 1? = —со Формулу (8) удобно получать локально, в окрестности каждой точки xk, с использованием формулы (7). Таким образом, обобщенные и классические производные, вообще говоря, не совпадают Ь) Вычислим плотность зарядов, соответствующих диполю с электрическим моментом -4-1 в точке х = 0 на прямой.
94 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II Этому диполю приближенно соответствует плотность за рядов —е) —-i-d(x), е > 0. Переходя здесь к пределу при е —>1— 0 ’ (т6 —е)—т 6 <р)= = у [ср (е) — Ф (0)] -> ф' (0) = (д, ф') — — (б', ф), заключаем, что искомая плотность равна —д'(х). Проверим, что полный заряд диполя равен 0: (- д', 1) = (д, 1') = (д, 0) = 0, а его момент равен 1: (—д', х) = (Ъ, х') = (д, 1)=1. с) Докажем формулу со оо А- е1кх = б(х —2/гл). (10) А = — оо /? = — со Для этого разложим 2л-периодическую функцию /о(х)~ (см> § 6'3, аО в ряд фУРье оо k = — СО k =^=0 В силу результатов § 6.2, f), этот ряд можно почленно диф¬ ференцировать в ЗУ любое число раз. Учитывая (9), по¬ лучим СО оо ^o = -i+ S = 2F 2 eikX' k = — oo A’ = —oo что и требовалось.
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 95 (11) d) Покажем, что общее решение уравнения хта = О в 3l (Z?1) дается формулой т-\ и= ск^(х\ (12) где ck — произвольные постоянные. Поскольку при всех ср £ 3 и k = 0, 1, .... т — 1 (хЛ6(Ч ф) = (б(/г), х'пф) = (_1/(б, (хтф)('г)) = = (—1)Л (х"'ф)<*> L = O = 0’ то xradw(x)=:0, /г —О, 1 т — 1, и, следовательно, обобщенная функция (12) удовлетворяет уравнению (11). Докажем, что формула (12) дает общее решение в 3' этого уравнения. Пусть г|(х)— основная функция, равная 1 в окрестности точки х = 0. (По лемме 1 § 5.2 такая функ¬ ция существует.) Тогда для любой q£3 функция т — 1 <Р (*) — n (*) 2 /г = 0 <р<'г?(0) k\ 6^ (13) Следовательно, если и.^3)'— решение уравнения (11), то / m-i (/г) \ (“• <р) = ^«, 1](х) х"'1|>(х)) = т — \ = S <Р fe!(0) Л (*)**) “ИЛ Ч>) = /? = 0 т — 1 т — 1 /? = 0 й=0 что и требовалось установить. Здесь 1н") произвольные постоянные.
96 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. и Замечание. Полученный результат непосредственно следует из более общего утверждения о том, что всякая обобщенная функция, у которой носитель есть точка, пред¬ ставляется в виде линейной комбинации 6-функции и ее про¬ изводных в этой точке (см. § 8.4). Отметим, что в классе локально интегрируемых функций уравнение (11) имеет единственное решение и = 0. е) Общее решение дифференциального уравнения G в 3/ (Z?1) есть произвольный полином степени т—1. Это утверждение достаточно доказать для т=\: если обобщенная функция и удовлетворяет условию (и, ср') = 0, ср £3, (14) то и — const. Действительно, пусть (х) — «шапочка». Тогда для любой ср£^ функция Ф (*) = [ [ф(О -- «I (О / Ф(I) dt£35 и, следовательно, в силу (14), о = («. ф') = (zz, ф — И, J Ф (I) rfs) = (и, ф)—(и, W1) J ф (£) d%. Отсюда, обозначая (и, <00 = С, получаем (ZZ, ф) = С J Ф (£) de, = (С, ф), что и утверждалось. 1) Проверим, что функция &3 (/) = 0 (/) Z (I}, где Z (/) есть решение однородного дифференциального уравнения LZ £= Z(m) + (О Z("'_1) Н-- ... + ат (f) Z = 0, удовлетворяющее условиям Z(0) = Z'(0) = ... =z(m~2\o') = o, Z(™~”(0) = l, удовлетворяет уравнению Л§э = 6(/). Действительно, пользуясь формулой (7), получаем cf' (/) = о (Z) z' (f), (t) = 9 (О Z('n_1> (О. (0 = б (О + 9 (0 Z(m) (О. откуда £^ = 0(0 LZ + 6(0 = 6(0.
97 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ § 6] 4. Упражнения, а) Доказать, что _1_ х d 1 dx х ± /.) Т /яб' (х) — -L, v 7 х2 где <Р W — <Р (0) х2 Ь) Показать, что стоящие справа обобщенные функции являются общими решениями в (Я1) уравнений: хи' = 1, хи' — & , X и = С[ 4- С20 (х) + In | X |, и — с} с20 (х) — ’ w == С] -{* (-*0 4* (х) — & » х-и' — 1, где Обратим внимание, что классические решения дифференциаль¬ ных уравнений первого порядка содержат лишь одну произвольную постоянную! 5. Примеры, п ^>2. а) Пусть область G ограничена кусочно-гладкой поверхностью S и функция C](G) П С1 ((70, где G1==/^\G. Тогда = + ‘ = г 2 «• О5) где п = пх — внешняя нормаль к S в точке x£S и [/]5 — скачок функции f при переходе извне через поверхность S: iim /(*') — liin /(х') = [/]5(х), x£S. *’ ->Х, х’ £ G, х*x'£<3 7 В. С. Владимиров
98 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. И Для получения формулы (15) воспользуемся формулой Грина и определением простого слоя (см. § 5.6): Ь) Обобщением — -Ъ'(х) является двойной слой на по¬ верхности. Пусть S — кусочно-гладкая двусторонняя поверх¬ ность, п — нормаль к 5 и v(x) — кусочно-непрерывная функ¬ ция, заданная на S, Введем обобщенную функцию — действующую по правилу (- 4 *) = J* v (х) ~-дгГ dS- ч £ s Очевидно, — supp[— -^-(v6s)] <=S. Обобщенная функция —называется двойным слоем на поверхности S с плотностью v(x), ориентированным по нормали п. Эта обобщенная функция описывает плотность зарядов, соответствующую распределению диполей на поверх¬ ности S с поверхностной плотностью момента v(x) и ориен¬ тированных вдоль заданного направления нормали п на S (ср. § 6.3, Ь) и § 5.6). с) Пусть в условиях примера а) функция / £ C2(G) П C2(G^. Тогда = { dSr } + (l/ls cos (nxMs) + (16) Для получения формулы (16) продифференцируем равен¬ ство (15) по Xj и при дифференцировании функции ( dJLS^ I I дХ; I
§6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 99 воспользуемся формулой (15): dxj { дх{ } — { dxjdxi } + [{ dxt }]s cos (П.Ъ)б5. Полагая в (16) l = j и суммируя no Z=l, 2, .. получаем . .. ii, Д/ = (А/] -|- ([/]s cos (nXj) ds) -ф- /=i п +S [ {} Lcos /=1 (17) Принимая во внимание равенства S i; (cos <raxi) 6s)=-str([/|s 1 = 1 (18) /=1 (19) перепишехМ формулу (17) в виде л/ = {д/) -+- [ дп ]s<\s + дп ([/Is 6$). (20) Докажем формулу (18). При всех имеем (S Д (cos(nxt)ср ) = — ([/]$ cos(пх,)6S, = 4-1 1 J i = \ ' 1 = — J 1/1$ cos dS = = — J cos (ЯХ;) = 5 i = 1 = -J'l/ls-S-^ = (^(l/ls«s>. ф)- 5 Формула (19) устанавливается 7* аналогично.
100 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II Полагая в формуле (20) / = 0, х£Ор получим (2» Это есть вторая формула Грина, записанная в терминах обобщенных функций. Применяя обе части равенства (21) к основной функции ср, получим эту формулу в обычной записи: |(.Мф — bfq)dx = j* — Ф ^}dS- (22) G S Если G — ограниченная область, то формула (22) справедлива для всех <р£С2(О). d) Пусть п = 2. Вычислим Д In | х |. Функция In | х | ло¬ кально интегрируема в R2. Если х #= 0, то 1п|х|£С°°, а поэтому Da In | х | = [Da In | х |} (см. § 6.1). Следова¬ тельно, переходя к полярным координатам (см. (15), § 3.2), получаем m (23) Пусть ф£<^, supp ср с: Тогда (Д In | х |, ср) = (In | х |, Дф) = j In | х | Дер (x) dx = = lim In | x | Дер (x) dx. e-*+0 e<|x|<j? Применяя формулу (22) при f = In | x | и G = [е < j х | < /?] (рис. 16) и учитывая (23), получим, далее, (Д In | х |, ф) = lim е-> +0 / ’ j Д In | х |ф dx + \-s’e Sr J f (—In I x I |■ -|- cp ~ ) dS = lim — f cc dS = J \ 1 1 F |x| I e4,+0 s J de se J [ф(х)-ф(0)]</5+2лф(0)1 = 2лф(0) = (2лд.<1<).
§ б] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 101 Таким образом, A In | х | = 2nd (.v)« (24) Аналогично при получим Л Т~^2- = — (« — 2) опб (х), (25) I х I где о/г — площадь поверхности единичной сферы в /?л. Г—эйлеров интеграл первого рода, Г (z) = е"У"’с/Л 6 е) Проверим, что функции р1Ь\х\ — при п — 3 удовлетворяют уравнению Л^ + Ж = б(х). (26) (27) Действительно, так как функции cos k | х | и | х р1 sin k | х | бесконечно дифференцируемы, то при дифференцировании функции | х 'х 1 можно пользоваться фор¬ мулой Лейбница (см. § 6.2, с)). Учи¬ тывая равенства д 1 xj "Й" ~~ Т* |у ’ beik и пользуясь формулой (25) при п — 3, получаем выражение |Х| = |х| = «><•*1*1 д—L л- |Л-| 1 I 4 л | х |
102 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ It к eil? |х /г2 + -Ц- \eik > i + ei!! I -v i = — 4 ле'* Ix 16 (x) + 1 |x| |x| \ / I I (_ ^lk I ~ |_ k~ \ eik I x I — — 4 (x\ 4 И 4 M2 .1*1 + I* J W’ что и утверждалось. f) Пусть I A'I2 0(0 C-^F (2dK^)" Г(Х, о Докажем, что —а2Д^=д(х. t). (28) Функция (х, t) локально интегрируема в У?"41, поскольку g° = 0, t < 0; ^>0, t^0 и при t > 0 ]?(л, ,)<,* = —= 1 (29) i ■■= 1 т Если У > 0, то ^^С00, а поэтому д% / | х !2 \ 4я2^ дЬ д<£ dt X- г -‘-ал 2аЧ dxi 5—!4M/S Пусть <p £ 3) (/?n+1). Учитывая равенство (30), получаем \ М (30) а1 Д^, <р) = — + а1 Дф) = СО =—J j (х* + а1 Аф) dxdt ~ о со = — lim j J (х, t) + a1 by^dx dt =
§ 5] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 103 tStf^qdxdt — так как, в силу (29), | J ё3 (х, е) [ср (х, е) — ср (х, 0)] dx | Кг J (х, е) dx = Кг. Докажем теперь соотношение 1 М2 ^(Х’ = ~>6(х)’ /~>+°в ^/(/Г)- <32) Действительно, пусть ф(х)£<2?. Тогда, учитывая, что и (х, t) [гр (х) — <р (0)1 dx < К (4лаЧ)п/2 ■ М1 е ia2‘ | х | dx — J К’Оп (faiatt)"12 г2 - '^rrndr = 2K'on о СО У1а j е~и" du = C \rt , о (^(х, /)ср) = J получаем при /->-[-0 соотношение (32): (*» О Т (*) dx = ф (0) J (х, /) dx + + J (х, 0 [ср (х) — ф (0)] dx -> ф (0) = (д, ср). Формула (28) следует из соотношений (31) и (32). g) Пусть (х, t) = 0 {at — | х |), х = хР Докажем, что □^1==б(х, О- (33)
104 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ |ГЛ. If Функция локально интегрируема в R2 и обращается в нуль вне замыкания будущего светового конуса Г+ (рис. 17). Пусть (р£<®. Тогда (□Л ф) = (еЛ. Пл)= J ^(X, /)Паф(х: f)dxdt = -оо О 1 f d<f (at, t) 1 f dtp (- at, t) _ — 2 J dt al 2 J dt ~ 0 0 = 4 ф(о. о)-Цф(О, о)=(б, ф), что и доказывает равенство (33). h) Пусть — простой слой на сфере | х | — г (см. § 5.6). Установим справедливость соотношения (формула Пицетти) -Ц— ~г6$ —Ад. г—>0 в ЗУ. г1 \<V г } 2п (34)
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ 105 Uz+f Действительно, при всех при г -> 0 имеем 1 Ч“7г6’ф) = J* [<p(rs)—<р(0)]</5 = п 1 г2 sr — 1 f Гг Vd<f < — <j„r2 J дл S, L Ы п Здесь В — эйлеров интеграл второго рода, 1 в (/>. q) = J (1 - t)p-Xtq~X = . о i) Пусть n = 2, z — х-\- iyt z = x—zy, dz = dx Ц- i dy. Дифференциальный оператор A_lML + ijn dz 2 \dx dy / называется оператором Коши — Римана. Пусть f £ С1 (О) и /(х, у) = 0, z£Gx. Используя формулу (15), выводим ДЕ ==/-^-1 —Z [cos(/ix)4-jcos(»y)]ds. (35) dz ( dz ) 2 Применяя обе части равенства (35) к основной функции ср,
106 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II получаем формулу, аналогичную формуле (22): ^4- <р) dx dy = -1 J /ф [cos (fix) + = у J /‘Р (dy —1 dx> = 5 J (/ф) dx dy = — у J /ф dz. G S I cos (ny)] dS = У J fqdz, s (36) j) Докажем, что Al = ni(x, у). (37) dz z Функция у локально интегрируема в R2, Поэтому, поль¬ зуясь формулой (36) при / = уи G = [e < | z | < /?] (рис. 16), при всех ср £<25, supp^cURt получаем 1 дер z dz dx dy — = лер (0) = (яд, ср), что и требовалось. § 7. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 1. Определение прямого произведения. Пусть f (х) и g (у)— локально интегрируемые функции в пространствах R'1 и Rm соответственно. Функция f (х) g (у) также будет локально интегрируемой в Rn*m. Она определяет (регуляр-
§ 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 107 ную) обобщенную функцию, действующую на основные функ¬ ции ф(х, у)£3 по формулам (/ (х) g (у). ф) = j f (X) J g (у) Ф (х, у) dy dx = = (/(х). (g(y). ф(х, у))). (1) (g (у) / (х), Ф) = J g (у) / / (х) Ф (х, у) dx dy = = (^(У). (/(х). Ф(х, у))). (1') Эти равенства выражают теорему Фубини (см. § 1.4) о со¬ впадении повторных интегралов с кратным. Равенство (1) мы и примем за определение прямого произведения /(x)-g(y) обобщенных функций / (х) £ 3' (Rn) и g (у) £3' (Rrn): (/(x)-g(y). Ф) = (/(Х), (g(y), ф(х, у))), Фе^(«"+'’). (2) Проверим, что это определение корректно, т. е. что пра¬ вая часть равенства (2) определяет линейный непрерывный функционал над 3 (Rn+rn). Предварительно докажем следующую лемму. Л е м м а. Для любых g £3' (Rm) и ср £3 (/?л+т) функция Ф (х) = (g (у), Ф (х, у)) С 3 (/?"), причем при всех а ОД(х) = (НУ). Я“ф(х, у)). (3) Далее, если фй—>ф, /г->со в 3>{Ra+nr), то •’I’* (х) = (g (У), Фй(х, у))->ф(х), k->co в £S(Rn). Доказательство. Так как при каждом х £ R'1, Ф(х, у) £3 (Rm), то функция ф(х) определена в Rn. Дока¬ жем, что она непрерывна в Rn, Фиксируем точку х, и пусть xk~> х, k—>оо. Тогда ф(хл, у) —>ф(х, у), £->оэ в 3 (Rni), (4) так как, в силу ф £ 3 (Rn+m), носители ф(х$, у) ограничены в Rm независимо от k (рис. 18) и (xfi, у) £)уф (х, у), k —> оо.
108 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ И Поскольку функционал g (у) непрерывен в 3)(Rm)t то из (4) вытекает непрерывность функции ф(Х) в точке х: Ф (хь) = (>)> Ф (•*■*• У)) (£ (Д’). <Р (*> У)) = Ф xk х- Докажем теперь формулу (3). Фиксируем точку х и обо¬ значим Zzz = (0, ...» /г, ...» 0). Тогда xj,z) (у) = J 1<Р (х + hit у) — ф (х, у)] • (5) h -> 0 в 3) (Rm), так как, в силу ср £ (/?л f'")» носители ограничены в R™ независимо от h и ЯР'/Г(У) = I [Ф(* + hh у) - £)Рф (х, у)] , Поскольку g£.2H(Z?"z), го, пользуясь (5), получаем Ч'(Л + = 1 [(§■ (у), ф (х4-/гг, у))- (g (у), ф (X, у))]= = (.Ф (у). Ф (X + ltj. У) — Ф (х, у) h <?Ф(х, у)\ dxi I h —> 0, откуда л вытекает справедливость формулы (3) при а— (0, . . 1, . .0): i дф (х, у) \ dxi Г Г=1, 2, п.
§ 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА Ю9 Применяя снова эти рассуждения к полученной формуле, убеждаемся в справедливости формулы (3) при всех а. Так как, вместе с ср, £)аф D(/?w то из формулы (3) заклю¬ чаем по доказанному, что Паф(х)— непрерывная функция в Rn при всех а. Таким образом, ф £С°° (Rn). Далее, функ¬ ция ф(х) финитна в Rn, ибо ср (х, у) = 0, | х | > R (рис. 18), а потому ф(х) = (^, 0) = 0 при этих х. Следовательно, Ф 6^rn- Пусть ф^(х, у) —>ф(х, у), k—> оо в 35(Rn+m'). Докажем, что фЛ (х) -> ф (х), k —> оо в 35 (Rn). Так как носители фЛ (х, у) ограничены в Rn+m независимо от kt то, как мы видели выше, носители фЛ (х) также ограничены в Rn независимо от k, Поэтому осталось доказать, что при всех а х r R^ Da [ф (х) — фд, (х)] ==~> 0, k —> со. Пусть это не так. Тогда найдутся такие число е0>0, индекс а0 и последовательность точек xk> что I №(хЛ) - фй(х*)11 > е0. А=1, 2, ... (6) Так как носители ф — ф/г ограничены в Rn независимо от к, то из (6) следует, что последовательность хЛ, k= 1, 2, . . ., также ограничена в Rn. Поэтому по теореме Больцано — Вейерштрасса из нее можно выбрать сходящуюся подпосле¬ довательность xk —> х0, Z—>оо. Но тогда ФЛ.(*Л? у) -> ->Ф(х0, у), Z—>оо в 35 (Rm). Отсюда, в силу непрерывности функционала g в 35 (Rm), из формулы (3) получаем D<X-(Ч)= (у)- 5%'у)) “* (g (у), (Хо, у)) = (х0), Z —> со, что противоречит неравенствам (6). Полученное противоречие и доказывает лемму. Вернемся к определению прямого произведения. По лемме, ф(х) = (£(у), ф(х, у))С^(^,г) для всех ^£3)(Rn+m). Сле¬ довательно, правая часть равенства (2), равная (/, ф), имеет смысл для любых обобщенных функций f и g и, таким об¬ разом, определяет функционал на Далее, из ли¬ нейности функционалов /ng следует линейность этого Функционала.
по ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ И Докажем, что построенный функционал непрерывен в 3(Rn + m). Пусть фА->ф, /г->оо в 55(/?я+'п). Тогда по лемме (g(j)< Фй(*. У) )~>(g (у)- Ф(х. у)), А->оо в 3) (R"), а потому, в силу непрерывности функционала / в 3(Rn), (/(*)• (g(y)- фДх, у)))->(/(х), (g(y).„<P(x, у))). Й--ХСО, что и обозначает непрерывность в 3(Rn+m) линейного функ- ционала, стоящего в правой части равенства (2). Таким образом, функционал f (х) • g (у) £ 3 (R”^"1), т. с. является обобщенной функцией. 2. Коммутативность прямого произведения. Пусть даны обобщенные функции f £3r (Rn) и g £3' (Rm). На¬ ряду с прямым произведением /(x)«g(y), в соответствии с формулой (2), определяется прямое произведение g (у) • f (х): (g (у) • f (х). ф) == (g (у), (/(х), Ф (х, у))), ф € 3 (Rn+m). (2') Оказывается, что f(x)-g(y) = g(y).f(x), (7) т. е. операция прямого произведения коммутативна. Действительно, на основных функциях ср £ 3 (Rn+m) bi-iaj N ср(х, v) = S МХ)М-У)> Vt£3(Rm) (8) Z = 1 равенство (7) вытекает из определений (2) и (2'): / N \ N (./(x)-g(y), Ф)= /, 2 «;(§■• =2 (/. Ui)(g- vt) = \ 1=1 / 1=1 / N g< 2 ^z (/- “z) Z = 1 Чтобы распространить равенство (7) на любые основные функции, докажем лемму о том, что множество основных функций вида (8) плотно в 3 (Rn+m). Лемма. Для любой функции ср £ 3 (Rn+m) существует последовательность основных функций qk (х, у), k = 1,2, вида (8), сходящаяся к ср в 3(R/llrn). = (g (>’)•/«, сГ).
§ Л ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 111 Доказательство. Пусть носитель ф(х, у) содер¬ жится в шаре U$ (рис. 19). По теореме Вейерштрасса (см. § 1.3), существуют полиномы е7\(х, у), /г=1, 2, такие, что Daq — при всех | а | < k и ! х |2 ; у 2 8/?2. (9) Пусть е(х) и Л (у) — основные функции, равные 1 в шаре радиуса /? и О вне шара радиуса 2/?. Тогда последователь¬ ность основных функций фА(х> >’) = г (х) Л (у) (*• У)’ k = 1, 2, . . ., обладает требуемыми свой¬ ствами. • Действительно, фЛ имеют вид (8), их носители содержатся в шаре |xj2-|- +1 У |2 8/?2 и, в силу (9), при любых а и k'^\a\ \D\-D\„\ = \D\- -Da(eh^k)\^, И2 + |УГ<8^, где са — некоторые числа, не зависящие от k, Это значит, что ф/г—>ф, /г—>оо в S)(Rn+m). Лемма доказана. Пусть ср — произвольная основная функция из 3£> В силу доказанной леммы, существует последовательность Фр ф2, ... основных функций вида (8), сходящаяся к ф в 35(R/l 'tn). Отсюда, пользуясь непрерывностью в £3 (Rn+,n) функционалов f (х) • g (у) и g (у) • f (х) (см. § 7.1) и дока¬ занным равенством (7) на функциях (8), получшм равенство (7) в общем случае: W • g (у). <Р) = lim (/ (х) • g (у), фА) = k -><х> = lim (g(y) • f(x), <рА)= (g(y) ■ f(x), <p). k -> oo
112 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ и 3. Дальнейшие свойства прямого произведения a) Непрерывность прямого произведения: если Д—>/, k -> оо в 3' (/?"), то fk (х) • g (y)->f (х) *g (у), в ЗУ (Rn ' fn). В самом деле, если ср ^3) (Rn'rn), то,’ по лемме § 7.lt \[:(x) = (g(y), ср(х, у)) (/?"), а поэтому ф) = (ЛИ. U(y), ф(*> У))) = (Л- Ф)~> ->(/. 4) = (/(*), teG’)» Ф(*> У))) = (/(*)•£’(У), <Р). b) Ассоциативность прямого произведения: если / £3)' (/?"), g £3j' (Rm) и h £3' (Rk). то / (х) • (g (у) • h (z)) = (/ (x) • g (у)) • h (z). (10) Действительно, если cp (A!"~mi ft), to (/ (x) • (g (У) ■ h (z)), <p) = (f (x), (g (y) • h (z), cp)) = = (/(x), (g(y)> (h.(z), ф))) = — (/ (*) ■ g (У)> (h. (z), <p)) = ((/ (x) • g (y)) • h (2), q>). c) Д и ф ф e p e н ц и p о в а н и е прямого пр о из в е- ©7/(x)>g(y)) = ©“/(x)-g(y). (И) В самом деле, если ф£55(/?'1+'”)> то (/ (х) • g (у)), <р) = (- 1)'0• (/ (х) • g (у). ©“ <р) = = (- 1)' “1 <g (У)> (/ (х), D“ ф (х, у))) = = (g (У). (Daf (х). Ф)) = (©7 (х) • g (у), ф). d) Умножение прямого произведения: если д^С°° (/?"), то a(x)(/(x).g(y)) = fl(x)/(x)-g(y). (12) Действительно, если (f>£3 (Rn+m), то (д (х) (/ (х) • g (у)), ф) = (f (х) • g (у), дер) = = (/(х), (£(у), д(х)ф(х, у))) = —(/ (х), д (х) (g (у), ф (X, у)) )=(д (х) / (X), (g (у), ср (х, у)))-— = (fl(x)/(x)-g(y). ф)-
§7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 113 e) Сдвиг прямого произведения: (/•^(х + /2, У) = /(х + Л) •£(>')• (13) В самом деле, если ср £ 3 (Rn 1 ,п), то ((/ • ^)(х + /г, А’)> <р) = (/(х) • £(у), ср(х—•//, у)) = = (^(v)> (/(х), <р(х — /г, ?))) = = (£ (f (* + Л), Ф (х, у))) = (/ (х 4- /г) • g (у), <р). f) Говорят, что обобщенная функция вида / (х) • 1 (у) не зависит от у. Она действует по правилу: если ср £ 3 (Rn*m), то (/ (х) • 1 (у)- ф) = (/ (*)> J <р (х, у) dy) — (l (у) ■ f (х), ф) == = J (/W. ф(х, У))^у. В частности, получено равенство = j (/(х), ф(х, у))й?у, (14) справедливое для всех f £3' (Rn) и ср £ 3 (Rn+m). 4. Свертка обобщенных функций. Пусть f (х) и g (х)— локально интегрируемые функции в Rn, причем функция л (х) = | I g (у) f (х — у) I dy также локально интегрируема в Rn. Сверткой f * g этих функций называется функция (/ * g) (X) = j f (у) g (X — у) dy = ■-= [ g (У) f (х — у) dy = (g * f ) (x). (15) Эта функция локально интегрируема в Rn. Поэтому она определяет (регулярную) обобщенную функцию, действующую на основные функции y£3(Rn) по правилу: (/*g. ф) = )(/*т)Ф(ё)^ = = f[J £(у)/(£-уМу|ф(^ = — J g (У) ] / (£ — У) ф © di dy = = J g (у) J f (X) ф (X 4- y) dx dy 8 В. С. Владимиров
114 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. 1Г (в силу теоремы Фубини), т. е. (/ * g. ф) = | / (х) g (у) ф (X + у) dx dy, Ф £ 3) (Rn). (16) Отметим три случая, когда условие локальной интегри¬ руемости функции /г (х) выполнено и, стало быть, свертка f*g существует и. определяется формулой (15). 1) Одна из функций f или g финитна, например suppg- с URl: С h(x)dx — | I g (у) I J |/(х —y)|rfxrfy< UR UR < J |S(У)\dy J со. UR, UR+R, 2) Функции f и g обращаются в нуль при х<0 (п=1): R R х | /г (х) dx = J J | g (у) 11 f (х — у) | dy dx = -R 6 6 R R = J I g (У) I J I f (x — y) | dx dy < б' у R R < [ k(Wy / l/(B)l^<oo. б 0 3) Функции f и g интегрируемы на Rn: J h (x) dx — [ | g (у) I J | / (x — y) | dx dy = = / | S’(У) | ^У | 1/ШО- В этом случае свертка f*g интегрируема на Rn. Будем говорить, что последовательность {и*} основных функций из 3 (Rn) сходится к 1 в Rn, если т|/г (х) = 1 при | х | & и равномерно ограничены в R'1 вместе со всеми про¬ изводными, | Dav\k (х) | < са, x£R\ k—\, 2, ... Отметим, что такие последовательности всегда суще¬ ствуют, например: Ла (*) = Л (у) » где ЛС^> Л(х)=1 в
§ Т] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 115 Докажем, что равенство (16) можно переписать в виде (/*£*> ср)= lim (f(x)g(y), т|Дх; у) сР (х + у) ), (16') /г -> оо * ф£^ (/?"), где т|л(х; у), 6=1,2, ... —любая последовательность, схо¬ дящаяся к 1 в R2n. Действительно, по доказанному функция со I f (х) £ (У) ф (х + У) I интегрируема на R211 и I / W g (У) У) ф (х + У) К со 1 f (*) £ (У) ф (х + у) 6=1, 2, ... Далее, f (х) g (У) Дг (х; у) ф (х + у) -> / (х) g (у) <р (х + у), 6 —> оо почти везде в R2'1. Применяя теорему Лебега (см. § 1.4), получим равенство [ f (х) g (у) Ф (X + у) dx dy = = lim f f(x)g(y) ПА(х; У) ff(xy) dx dy, &->oo J что, в силу (16), эквивалентно равенству (16х). Исходя из равенств (16) и (16х), примем следующее определение свертки. Пусть пара обобщенных функций f и g из ЗУ (Rri) такова, что их прямое произведение f (х) • g (у) допускает продолжение (см. § 1.8) (/ (х) • g (у), сР(х-|-у)) на функции вида ф(х-Ц-у), где ф— любая функция из 2(R/!), в следующем смысле: какова бы ни была последователь¬ ность {Л/г} функций из 3 (R2'7), сходящаяся к 1 в R2n, существует предел числовой последовательности I im (/ (х) • g (у), л* (х; у) ф (х-|-у) )=(/ (х) ■ g (у), ф (x-f-y)) k -> оо и этот предел не зависит от последовательности (р/г). От¬ метим, что при каждом 6 гр, (х; у) ф (х -j- у) £ 3) (R2a)t так что числовая последовательность определена. 8*
116 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II Сверткой f * g называется функционал (/ » £. ф) = (/ W • g (у), ф (х -г у)) = = lim (/(x).g(y), 11Н*; У)Ф(Х-ЬУ)), Фб^(«"). (17) /г -> оо ♦ если он непрерывен в 3 (R'1)- Очевидно,' этот функционал— линейный в 3 (Rn) и, таким образом, свертка f*g £3' (Rn). Заметим, что, поскольку ф(хЧ~У) не принадлежит 3 (R2n) (она не финитна в /?2/21), правая часть равенства (17) суще¬ ствует не для любых пар обобщенных функций f и g и, таким образом, свертка существует не всегда. Если свертка f *g существует, то существует и свертка g* f и они равны, f*g = g*f. (18) т. е. операция свертки коммутативна. Это утверждение вытекает из коммутативности прямого произведения (см. § 7.2) и из определения свертки: (f*g, ф) = (/(х) • g(y), ф(х + у)) = = (/ W • g (У)> Па (*; У) ф (х + у)) = = litMgCy) •/(х). Пл(х; У)ф(х-|-у)) = — (^ (У) • / (х), Ф(х+у)) = (§■*/, ф), ф^^_ Замечание. Условие непрерывности в функционала f * g в определении свертки вытекает из его существования, в силу полноты пространства (см. § 5.3, замечание). Поскольку полнота Qp здесь не доказывается, то непрерывность этого функ¬ ционала всякий раз следует проверять непосредственно. 5. Условие существования свертки. Установим усло¬ вие, при котором свертка f*g заведомо существует. Теорема. Пусть f — произвольная и g — финитная обобщенные функции. Тогда свертка f*g существует в 3' и представляется в виде <J*g> ф) = (/(х) • g(y), Н(У)ф(х + у)). фС<®, (19) где т|— любая основная функция, равная 1 в окрест¬ ности носителя g. При этом свертка непрерывна отно¬ сительно f и g в отдельности'. 1) если /?—>ос в 3)', то fk*g-+f ф g, k со в 36 , 2) если g~ х g, /г—>оо в 3' и при некотором R supp gk с: UR, то f * gk—* f * k—>■ OQ В 3'.
§ 71 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 117 Доказательство. Пусть и т|—функ¬ ция из (Rn)> равная 1 в окрестности supp g и suppler (По лемме 1 § 5.2 такие функции существуют.) Пусть, далее, <р — произвольная функция из 3 (Rn), suppcpczl/^ и ПИ*; У)> k=\t 2 — последовательность функций из 3 (R2n), сходящаяся к 1 в R'2” (см. § 7.4). Тогда при всех достаточно больших k у) ф (* + >’) = = п (У) Ф (* + >’)• (20) Для доказательства ра¬ венства (20) достаточно установить, что функция пООфО+^С^СЯ2")- Но бесконечно дифференцируема и это следует из того, что она ее носитель содержится в ограниченном множестве (рис. 20): [(х, у): I X 4- у К А, I у К /?] cz UA+R X U к. Учитывая теперь соотношение (20) и равенство g -- r|g (см. (13) § 5.9), убеждаемся в справедливости формулы (19): (/*£\ ф) = Um (f(x)-g(y), х\к(х-, у)ф(х + у)) = k -> сю = lim (/(х) • q(y)g(y), >1Ил'; у)ф(-^ + у)) = k -> оо = Jim (/(x)-g(y), Т1(У)ЫХ; у)ф(* + у)) = = (/ (X) ■ g (у). 1] (у) <Р (х + у)), ср £ S>. Докажем, что правая часть равенства (19) определяет непрерывный функционал на <2*, т. е. свертка f*g^3f. Пусть ф£->ф, &->оо в 3 (Rn). Тогда, поскольку т](у)ф(-«4-у)€"® (^2Л), П(У)фй(^ + У)->11(У)ф(^ + У). k-+zx> в и потому (f*g, Фл) =(/(*)•£■ (у). ПООфЛ^ + У))-* (f (х) ■ g (у). т](У)ф(* +->’)) = (/ * g^ ф). что и утверждалось.
118 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II Непрерывность свертки f*g относительно f и g выте¬ кает из представления (19) и из непрерывности прямого произведения f (х) • g (у) относительно f и g (см. § 7.3, а)). При этом в случае Ь) условие suppg^cz/7^ дает возмож¬ ность выбрать вспомогательную функцию • т], не зависящую от k. Теорема доказана. Следствие. Свертка любой обобщенной функции f с Ъ-функцией существует и равна f = = (21) Действительно, в силу (19), при всех ср £ 3 имеем (/ * б, <р) = (/ (х) • б (у), г| (у) ф (х 4- у)) = = (/(*), (б(У), П(>’)ф(* + У))) = (/, ф), что и требовалось. 6. Дифференцирование свертки. Если свертка f * g существует, то существуют свертки Daf * g и f*Dag, причем Daf * g = Da (f * g) = f * Dag. (22) Это утверждение достаточно доказать для каждой, первой производной^-, 7=1, 2, .... п. Пусть ф£^(/?") и т|^(х; у), /г=1, 2, ..., — последовательность функций из 3(R2'1), сходящаяся к 1 в Тогда последовательность -1- -1- , &=1, 2, . .., функций из 3 (R2n) также схо¬ дится кУ1 в R2'\ Отсюда, пользуясь существованием свертки f * g, получим следующую цепочку равенств: (/. g, <„)=_(/.,. (/ w. s (у). = — Hm (/(x)-g(y). ЛИ*; У) = = — Um (х) • g (у), <р (х у)) = = lim ад(х + у))-Н + Jiт° (/ (х) • g (у). (»1а + Ф О + У)) — — Urn (/(x).g(y), 1Ъф(% + у)) = /г -> со = * g' ч5) + (/ *g- ч>) — О *g’ ф) = 4 *g’ ф)’
§ 7] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 119 откуда и следует первое равенство (22) для . Второе ра¬ венство (22) следует из первого и из коммутативности свертки (см. § 7.4): дх7- *f=f* dg dxj' Из равенств (21) и (22) вытекают равенства Daf = Dab*f = b * Daf, f e 35'. (23) Отметим, что существования сверток Da f * g и f * Dng не достаточно для существования свертки / * g, в частности, эти свертки не обязаны быть равными; например, О'*1=д*1 = 1, но 0* Г = 0^0 = 0. 7. Регуляризация обобщенных функций. Пусть / — обобщенная функция и ф— основная функция. Поскольку ф финитна, то свертка f * ф существует. Докажем, что /*ф = (/(у), ф(х — у)) (/?"). (24) Действительно, в силу (19), при всех <f£35 имеем (/ * ’I’. ф) = (/ (У) • Ф (£)> П (ё) Ф (У + ё)) = — (/(У)> J Ф (ё) П (В) ф (У + ё) ^ё) — = (/ (у>. J Ф (I) Ф (У + D сГ& = (/ (у), j ф (х) ф (х — у) dx), где вспомогательная функция т\£35 и равна 1 в окрестно¬ сти носителя ф. Замечая теперь, что функция ср (х) ф (х — у) принадлежит 35 (R2n), и пользуясь равенством (14) (см. § 7.3), получаехМ равенство (24): (/ * ф, ф) = J ф (X) (/ (у). Ф (х — у) )(!х = = ((/(у). ф(-к — У)), ф). ф(>®- Бесконечная дифференцируемость правой части равенства (24) устанавливается как и при доказательстве леммы § 7.1.
120 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ (ГЛ И Пусть сое(х)— «шапочка» (см. § 5.2). Тогда бесконечно дифференцируемая функция /е (*) = /* we = (/ (у). <0е (х — у) ) называется регуляризацией обобщенной функции /. В § 5.6 было доказано, что сое(х) —> 6 (х), е —>4-0 в 3'. Отсюда, пользуясь непрерывностью свертки f * сое от¬ носительно о)е (см. теорему § 7.5), получаем Л О)->/(*)• е—>4-0 в 3)'. (25) Итак, всякая обобщенная функция есть слабый предел своих регуляризаций. Пользуясь этим утверждением, установим более сильный результат. Теорема. Всякая обобщенная функция f есть сла¬ бый предел основных функций, т. е. множество 3 плотно в ЗУ. Доказательство. Пусть /е(х)— регуляризация / и т)е(х), е—>4~0 — последовательность основных функций, равных 1 в шаре U i. Тогда последовательность основных Т функций г|е(х)/е(х), е->4-0 стремится к f в ЗУ, поскольку для любой в силу (25), имеем lim (ПеА- ф)= Iim (/е- Пеф) = lim (/е, <?)=(/, <р), е-> + 0 е-> + 0 е-> + 0 что и утверждалось. 8. Примеры сверток. Ньютонов потенциал, а) Пусть f (х)— кусочно-непрерывная функция в Rn и pds(x)— про¬ стой слой па ограниченной кусочно-гладкой поверхности S с кусочно-непрерывной плотностью ц (см. § 5.6). Их свертка — локально интегрируемая функция в Rn — выражается интегралом /*РЛ= j \-3y)f(x—y)dSy. s (26)
Ф (х) j pt (у) / (х — у) dSy dx, ср е S5- § 71 ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 121 Это утверждение вытекает из представления (19) (/ * |ids, ср) = (ц (у) • / (0, 1] (У) ср (у + f)) = = (|x6s(y). П(У)(/(У. ф(У + £))) = = J |1(У)П(У) //©Ф(У + ё)^^у = = / И (У) J7 (х - У) ф (х) dx dSy = =J s b) Пусть p — обобщенная функция. Свертка Vn *= | Л р-2' *Р' «>3; У2 = 1пр-рр, га = 2 (27) называется ньютоновым (при п = 2 логарифмическим') потен¬ циалом с плотностью р. Если р — финитная обобщенная функция, то потен¬ циал V п существует в ЗУ и удовлетворяет уравнению Пуассона ^Vn = — (п—2)о„р, /г>3; ДУ2=—2кр. (28) Существование потенциала V п вытекает из теоремы § 7.5. Пользуясь (22) § 7.6 и (25) § 6.5, заключаем, что при п^ 3 потенциал Vп удовлетворяет уравнению Пуассона (28): Д1/Л — Д ( | Л|Л-2 * р) — Д | Хр-2 * р — — — (п — 2) о/г д * р = — (п — 2) о„р; аналогично поступаем и в случае п = 2. c) Если р — финитная интегрируемая функция в Rn, то соответствующий ньютонов (логарифмический) потенциал Vп называется объемным потенциалом (потенциалом пло¬ щади). Объемный потенциал V п— локально интегрируемая функ¬ ция в Rn— выражается интегралами v„(*) = / |Л1ур-2'rfy- п> 3; U) = J р (У) 1П dy. (29)
122 О БОБ ЩЕ11IIЫ Е ФУНКЦИИ [ГЛ. И Это утверждение вытекает из формулы (15) для свертки финитной интегрируемой функции р с локально интегрируе¬ мой функцией |х|2_п, и —1п|х|, п = 2. d) Пусть 5 — ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали п на ней и р и v — кусочно-непрерывные функции на 5. Пусть (165 11 — — простой и двойной слои на S с поверхностными плотно¬ стями р и v (см. § 5.6 и § 6.5, Ь)). Порождаемые ими нью¬ тоновы (логарифмические) потенциалы V<„8) = п>3; Vf’ = ln (30) n>3; ^1,==-|nirr*i(v65) (3,) называются соответственно поверхностными потенциалами простого и двойного слоя с плотностями р и v. Поверхностные потенциалы VQn и 1/^ — локально интег¬ рируемые функции в Rn и выражаются формулами 140) (х) = J (1 (у) In , х 2 , dsy' (32> S (X) = j V(у) Тл_' дТг-dSy, П>Ъ-, ^’«= (33) Формулы (32) являются частными случаями формулы (26). Докажем для определенности формулу (33) для потенциала Vi0, /г>3. Пользуясь представлениехМ (19) для свертки и
§ т] ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 123 определением двойного слоя, при всех получаем = - (/« <v (у)}’ 11 (у) ф (у+В)} = = - (i(v ъ$ (у) )• п (У) (^|U Л (Ж))) = = Jv 1И11 (у) I dSy= S S = / V (у) | ф (X) |^—dx dSy = s = j <p(x) f v (y) |-7~ p-г dSy dx, s откуда и следует требуемая формула (33). Дифференциро¬ вание под знаком интеграла и вания в этом выводе законны, перемена порядка интегриро- так как интеграл 1 сходится равномерно no y£S. 9. Упражнения. Доказать равенства: а) ' л’0(Хп)' = 6 (*i) & U2)_. ■ • 6 (х„) = 6 (х); ла 1 а > 0.
124 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. И § 8. Обобщенные функции медленного роста Одним из мощных средств для решения задач математи¬ ческой физики является метод преобразования Фурье. Здесь будет изложена теория преобразования Фурье для так назы¬ ваемых обобщенных функций медленного роста (tempered distributions). Замечательное свойство класса обобщен¬ ных функций медленного роста состоит в том, что опера¬ ция преобразования Фурье не выводит за пределы этого класса. 1. Пространство основных функций &А Отнесем к множеству основных функций & = все функции класса С™ (Rn), убывающие при |х| —>оо вместе со всеми производными быстрее любой степени (хр1. Сходимость в & определим следующим образом: последовательность функций ф2, ... из & сходится к функции ф£(^, фл~>ф, k -> сю в если для всех аир хр£/афл (х)~~=^> х^/Лр (х), k —> сю. (1) Очевидно, — линейное пространство. Кроме того, <®с:с^ и из сходимости в 3 следует сходимость в . Действительно, если ф*-->ф, >сю в 3, то, поскольку носители фл ограничены независимо от k, справедливо пре¬ дельное соотношение (1) при всех аир, которое и обо¬ значает, что Фд—>Ф» £->сю в &А Однако & не совпадает с 3\ например, функция принадлежит , во не принадлежит <2*. Тем не менее 3 плотно в , т. е. для любой ф£сб^ существует последовательность qk^3< k=\, 2, .... такая, ЧТО фд» —> ф, k —> сю в Действительно, последовательность функций из 3 Ф* (*) = ф(Оп(у)- k= 1, 2, » где v\£3 и г|(х) = 1, |х| < 1, сходится к ф в Операции дифференцирования /Лр(х) и неособенной линейной замены переменных ф(Ду + ^) непрерывны из в £7- Это вытекает непосредственно из определения схо¬ димости в пространстве
§8] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 125 С другой стороны, умножение на бесконечно дифферен¬ цируемую функцию может вывести за пределы множества S3, например = 1 £S3- Пусть функция л^С°°(/?л) растет на бесконечности вместе со всеми производными не быстрее полинома, I а (х) | Са (1 -ф- [ х | )'"«. (2) Множество таких функций обозначим через 0Л1. Операция умножения на функцию а £ 0л1 непрерывна из S3 в S3. Действительно, из неравенства (2) вытекает: если <р£^, то аср£с£Л и если (pft—><р, k—.>со в &Л то при всех а и р x$Da (яфд.) =zzz$> xpZ)a (лер), т. е. лер^ —> л<р, >со в S3. 2. Пространство обобщенных функций медленного роста S3'. Обобщенной функцией медленного роста на¬ зывается всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций S3. Обозначим через gJ?77 = с#*27 (/?") множество всех обобщенных функций мед¬ ленного роста. Очевидно, S3'— линейное множество (ср. § 5.3). Сходимость в S3' определим как слабую сходимость последовательности функционалов: последовательность обоб¬ щенных функций Д, /2, ... из S3' сходится к обобщенной функции f £S3', fk~*f' k в S3', если для любой Ф (Л- ф)->,(/. ф). k —>оо, Линейное множество S3' с введенной в нем сходимостью называется пространством обобщенных функций медленного роста S3'. Из этих определений непосредственно вытекает, что S3'f и из сходимости в S3' следует сходимость в ЗУ. Действительно, если / £ то так как 3)^1 S3 и из сходимости в 36 вытекает сходимость в S3 (см. § 8.1). Далее, если fk — >/, k—>оо в S3' то (Д, ср)—>(/, (р), /г—>оо при всех <р из 36<z.S3 и, стало быть, Д—>/, k —> оо в 36. Теорема (Л. Шварц). Для того чтобы линейный функционал f над S3 принадлежал S3' (т. е. был не¬ прерывным в S3), необходимо и достаточно, чтобы су¬ ществовали такие числа С>0 и р>0, р—целое, что
126 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II для любой ф£ справедливо неравенство |(Л ф)|<Чф|1р. (3) где 1|ф|!р= SUP (1 + Iх i)p 1^аф(х)|- \d\^p,x^Rn Доказательство. Достаточность. Пусть линейный функционал f над удовлетворяет неравенству (3) при некоторых С>0 и р 0. Докажем, что Пусть Фл—>ф, >оо в Тогда ||ф*—ф||р->0, £->оо, а по¬ тому (/, (£&)—>(/. ср)’ >ое. Это значит, что f — непре¬ рывный функционал над £7. Необходимость. Пусть ф . Докажем, что существуют числа С>0 и р 0 такие, что для. любой ф^^ справед¬ ливо неравенство (3). Пусть, напротив, указанных чисел С и р не существует. Тогда найдется последовательность функ¬ ций ф/г, k = 1, 2, . . ., из £7 таких, что |(/. <Р/г)| >MI<₽ftllft- (4) Последовательность функций Фл О) Ф*(*) /М Ф* lift э 6=1, 2, . . стремится к 0 в ибо при k | а | и k Ф>> | р | _ |лРоа<рИМ1 < 1_ /М Ф/г II ft Vk Отсюда и из непрерывности функционала / в следует, что (/, Ф/г)—^’ >оо. С другой стороны, неравенство (4) дает (/. 4'ft) 1 /М Ф/г II ft I (/• Ф*) l> Vk- Полученное противоречие и доказывает теорему. Смысл доказанной теоремы состоит в том, что всякая обобщенная функция медленного роста является непрерывным функционалом относительно некоторой нормы || ||р (как го¬ ворят, имеет конечный порядок). 3. Примеры обобщенных функций медленного роста, а) Если f (х) — локально интегрируемая функция степен¬ ного (медленного) роста на бесконечности, т, е. при
§ 8] ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 127 некотором тб^О f I / (-*0 I (1 Ч-1 I) т 00 » то она определяет регулярный функционал f из по формуле (6) § 5.5, (/, ф)^ j/(х)ф(х)Лр, (5) Однако не всякая локально интегрируемая функция опре¬ деляет обобщенную функцию медленного роста, например, ex^&'(R'). С другой стороны, не всякая локально интегрируемая функция, принадлежащая , имеет степенной рост. Напри¬ мер, функция (cos^y = — exsinex растет быстрее любого полинома, но тем не менее она определяет обобщенную функ¬ цию из по формуле ((coseV, ф) =—J cos еху' (х) dx> ф£с^. Замечали е. Пользуясь теоремой Л. Шварца (см. § 8.2), можно доказать *), что всякая обобщенная функция из является производной от непрерывной функции степенного роста. Этим объясняется название — пространство обобщенных функций медленного роста. Ь) Если f — финитная обобщенная функция из ЗУ, то она единственным образом продолжается на как элемент из по формуле (/. ф) = (/. пф). ф€<^. (6) где у\^36 и г| = 1 в окрестности носителя f. Действительно, линейный функционал (/, т|<р), стоящий в правой части равенства (6), непрерывен в £f\ если Ф& —>(р> k->OO В ТО ЛФ/г->11ф’ /с —> со в 36 и потому (Л 11ф)> /г->оо. Единственность продолжения функционала f на сле¬ дует из плотности 36 в УУ (см. § 8.1). В частности, про¬ должение (6) не зависит от вспомогательной функции л. *) См. Л. Шварц [2], гл. VII и И. ГслыЬанд и Г. Е. Шилов UL вып. 2, гл. II.
128 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. !Г c) Если f , то и каждая производная D*f££P'. Действительно, поскольку операция дифференцирова¬ ния Лаф непрерывна из ё? в £7 (см. § 8.1), то правая часть равенства (D7. <р) = (-1£>°<р) есть линейный непрерывный функционал на (ср. § 6.1). d) Если и det A 0, то f (Ду Ь) £ . В самом деле, поскольку операция преобразования (р[4“1(х — &)] непрерывна из & в & (см. § 8.1), то пра¬ вая часть равенства ф-'7тл7>)|) есть линейный непрерывный функционал на £7 (ср. § 5.8). e) Если f и a£QM, то af . Действительно, поскольку операция умножения на функ¬ цию а из 0Л1 непрерывна из <£? в £7 (см. § 8.1), то правая часть равенства (я/, ср) = (/, дер) есть линейный непрерывный функционал на £7 (ср. § 5.9). 4. Структура обобщенных функций с точечным носи¬ телем. Теорема. Если носитель обобщенной функции f есть точка {0}, то она единственным способом предста¬ вляется в виде /(*) = 1 CaD°6(.v). (7) |a| = 0 Доказательство. Так как обобщенная функция f имеет носитель (0), то (см. § 8.3) и, в силу (13) § 5.9, при всех k > О / = П(Лх)/, (8) где 1](х)—основная функция, равная 1 в окрестности точки О и равная 0 при j х | > 1. Далее, по теореме Л. Шварца (см. § 8.2) справедливо неравенство к/. ф)КС||ф!и. (9) при некоторых т^О и С > 0, не зависящих от ср.
§ 81 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 129 Пусть ф — произвольная функция из Положим Фй (*) = т |(Xj=O г] (kx). (10) Применяя неравенство что 7)рт] (£х) = О (k *) (9) к функции фд, и пользуясь при &->оо, получаем тем, Но, в силу (8), (/, ф^) не зависит от k. Следовательно, (/, ф^ = (/, фй) = 0. Отсюда, пользуясь (8) и (10) при k=\, получаем представление (7): т ф,+ s |а|=0 л«т]М| = т *,)+ 1а1=0 где обозначено а! (/, х“п). Докажем единственность представления (7). Пусть ■—другое представление /, так что S (Са-С„)оаб(х) —0. I а |=0 9 В. С. Владимиров
130 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. И Применяя это равенство к моному хР» получаем т 0=5 (Са—С')(О°д, Х₽) = 1а| = 0 т = 2 (- 1)'а|(са-c')(6. DV)=(- 1)|р|р!(Ср-Ср), |а|=0 т. е. Ср = Ср. Теорема доказана. 5. Прямое произведение обобщенных функций мед¬ ленного роста. Пусть f (х) £ (Rn) и g (у) (Rni)> Поскольку ^'cz^7, то прямое произведение f (х) • g (у) £ £ 3)' (Rn+,n) (см. § 7.1). Докажем, что /(х)-^(у)^ По определению функционала f (х) • g (у) (см. § 7.1) (fM-g(yl ф) = (/(*), (£’(У). ф(*, У)))- (И) Докажем, что правая часть равенства (11) есть линейный непрерывный функционал над S?(Rn+m)- Для этого установим следующую лемму, аналогичную лемме § 7.1. Л е м хМ а. Для любых g £ ^'{Rm) и ср £ ^(/?,г+т) функция Ш = Ф(*. и справедливо равенство £)“ф (х) = (§• (у), у)). (12) Кроме того, если ср/г—>ср, k —>оо в ^{Rtlvtll\ то Ы*) = фИ*> У))^ф(х), в (Rn). (13) Доказательство. Как и при доказательстве леммы § 7.1, устанавливаются справедливость равенства (12) при всех а и непрерывность его правой части. Следовательно, ф£С°°(/?"). Докажем, что Так как g(y)C и ПРИ каждом х £ Rn <р(х, у) (Rm), то, по теореме Л. Шварца (см. § 8.2), найдутся такие числа С > 0 и р^О, что для любых ср £ (/?/7+ш), а и x£Rn справед¬ ливо неравенство К^(у). О“ф(х, у))|<С sup (l+|y|)p|£))’D“(p(x, у)|- yZRm, IYKP
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МЕДЛЕННОГО РОСТА 131 § S] Отсюда, в силу (12), получаем неравенство | х+аф (х) | < С sup (1+| у |)/’|x|3Z?JZ)“cp(x, у)|. IvKp x£Rn. (14) Так как ср £ (Rn+m), то из неравенства (14) вытекает, что Ф€<^(ЯЛ). Докажем теперь предельное соотношение (13), Пусть (р^—><р, /г—>со в Отсюда, применяя неравенство (14) к последовательности ср — срл, k->cot получаехМ |Zoa(<p-ih)|< <+ sup (1 +1 у |)Р I x^DjDx (<p — cpft)[ xx-R $ 0, &->oo, y£Rni> lvf<P t. e. грл->гр, &_>oo в S? (Rn). Лемма доказана. Из доказанной леммы вытекает, что правая часть равен¬ ства (11), равная (/, гр), где гр(х) — (g(у), ф(х, у)), есть линейный и непрерывный функционал на так что ш-g (у) (ср. § 7,1). Прямое произведение обобщенных функций медленного роста коммутативно и ассоциативно в £f'\ f(x)-g (У) = g (У) • f (X), f (х) • (g (у) • h (z)) = = (/(x).g(y)).A(z). Эти утверждения вытекают из соответствующих свойств прямого произведения в 2' (см. § 7.2 и § 7.3, Ь)) и из того факта, что 2 плотно в (см. § 8.2). В частности, равенство f (х) • 1 (у) — 1 (у) • /00» г^е f (R!1), обозначает, что (/• / ф + У+у)= J (/> ф(*. у))+’. ф€а?’Ф'!+"')- (15) Наконец, прямое произведение f{x)>g(y) обобщенных функций f (R"} и g (Rni) непрерывно в (Rn+m) относительно / или g: если k->ca в (Rn)f то fk (х) • g (у) -> / (x) • g (у), k -> оо в &>' (fin+m). Доказательство аналогично соответствующему доказатель¬ ству для пространства 2' (см. § 7.3, а)). 9*
132 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II 6. Свертка обобщенных функций медленного роста. Пусть и S — финитная обобщенная функция. Тогда свертка f * g существует в 3' (см. § 7.5). Докажем, что f * g принадлежит и представляется в виде (f *g- ?) = (/(*)•g(y), п(у)ф(*+у)). ф€<^. (16) где 11 — любая функция из 3, равная 1 в окрестности носителя g. Действительно, по теореме § 7.5, формула (16) справед¬ лива на основных функциях ср из 3. Докажем, что правая часть равенства (16) определяет линейный непрерывный функ¬ ционал на Пусть (Rn\ Тогда, в силу финитности функции 1], Л (У) Ф (* + У) € &(R2n)> и так как /(x)-g(y)— линейный функционал на ^(Л2л),. то правая часть (16) — линейный функционал на (JRn). Пусть теперь ф*-хр, k —>оо в Тогда при любых а, р, у л у Dy [г| (у)ср* (х + 5’)] } =bxay^Dy[r\(y)<f(x-lry)], k —> оо и потому 11(У)Фл (* + у)-*11(3')<Р(*-|-У). А->сов Поскольку f (х) * g (у) £ (£3 (R2n) (см. § 8.5), то отсюда сле¬ дует непрерывность правой части (16) в (Rn)\ (f W • g (У)> Л (У) Фл (x + A’)) ->(/W-g(y). W)<p(*4-y)), &->oo. Итак, f * g£ , § 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста 1. Преобразование Фурье основных функций из Поскольку основные функции из <3 абсолютно интегрируемы на Rn, то на них определена операция преобразования Фурье F: F 1ф] (D = J ф О) е1(^’ х) dx> ф € При этом функция F [<р] (£) — преобразование Фурье функ¬ ции ф(х) — ограничена и непрерывна в Rn. Основная функ¬
§ 9] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 133 ция ср(х) убывает на бесконечности быстрее любой степени (хр1. Поэтому ее преобразование Фурье можно дифферен¬ цировать под знаком интеграла любое число раз, DaF [<р] (У = j (гх)“ ф (х) х) dx = р [(Zx)a ф] (у> (1) откуда следует, что F [ср] £ (Rn). Далее, такими же свой¬ ствами обладает каждая производная /Лр, а потому F [О“ф] (|) = J П“ф (|) el х} dx = (- /£)° F [<р] (У. (2) Наконец, из формул (1) и (2) получаем ^DaF [ф] (£) = [(Zx)“ ф] (£) = /1“| + [Ор (х°ф)] ф. (3) Из равенства (3) вытекает, что при всех а и [3 величины ^DaF [<р] (£) равномерно ограничены по £ £ Rn> | $DaF [ф] а) I < J I(хаф) I dx. (4) Это значит, что F[(p\^^ (см. § 8.1). Итак, преобразова¬ ние Фурье переводит пространство в себя. ' Отметим, что пространство основных функций 3) преоб¬ разование Фурье в себя не переводит (так как преобразо¬ вание Фурье финитной функции есть аналитическая функция и, стало быть, либо не финитна, либо нуль). Так как преобразование Фурье F [ср] функции ср из есть интегрируемая и непрерывно дифференцируемая функция на R\ то, как это следует из общей теории преобразова¬ ния Фурье*), функция ср(х) выражается через ее преобра¬ зование Фурье F [ср] (£) с помощью операции обратного преобразования Фурье F”1: ф(л:) = Г_1[/:,[ф]] = Г[^_1 [ф1]. (5) где 1*1 W = gipr J *й> г‘ " <4 = г 1*1 (- *) = - J * <- »‘‘ F » »• <•> *) См., например, Л. Д. Кудрявцев [1].
134 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II Из формул (5) и (6) следует, что всякая функция ф из £? есть преобразование Фурье функции [ф] из £7, Ф=/7[ф], и если F [<р] — 0, то и ф = 0. Это значит, что преобразование Фурье F преобразует £7 на и притом взаимно однозначно. Лемма. Операция преобразования Фурье F непре¬ рывна из £7 в £7, Доказательство. Пусть фл—>ф, >оо в Тогда, применяя неравенство (4) к функциям фл—ф, при всех а и р получим I [<Ра — ф! (DI < j* I £>Р |ха (Фл — ф)] | dx < < sup I О15 [ха (<pft - ср)] I (1 +1 x I )n+1 J (1 + Ix| ■ x £ R откуда следует, что | ^DaF [<pft] - ^DaF [<p] | 0, А->сю. t. e. F [фА] —> F [ф], k—>oo в £7 (см. § 8.1). Лемма до¬ казана. Аналогичными свойствами обладает и операция обратного преобразования Фурье F~l. 2. Преобразование Фурье обобщенных функций из £7'. Пусть сперва f (х) — интегрируемая функция на Rn. Тогда ее преобразование Фурье F[f]®= f(x)e‘^dx. | р/(х)|^<оо, является непрерывной ограниченной в Rn функцией и, сле¬ довательно, определяет обобщенную функцию из £7', (F [Л ф) = J F 1/1 (I) ф (&) ф С Пользуясь теоремой Фубини (см. § 1.4) о перемене порядка интегрирования, преобразуем последний интеграл: f F [Л (I) Ф J / (х) е1 К- dx] <р (|) d* = = J / (х) | ф (У е‘ •*) d* dx = J f (x) F [ф] (x) dx, t. e. (ИЛ ф) = (/. F 1Ф1). ф€^-
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 135 § 9] Это равенство мы и примем за определение преобразо¬ вания Фурье F ]/] любой обобщенной функции медленного роста /: (F[/l, <р) = (/, F [ср]), /6^', (7) Проверим, что правая часть этого равенства определяет линейный непрерывный функционал на т. е. что F [/] Действительно, так как F [ф] £ при всех ф£^.(см. § 9.1), то (/, ^[ср]) есть функционал (очевидно, линейный) на &. Пусть фЛ —>ф, k —>со в По лемме § 9.1, F [ф#] —> F [ф], к—>сю в и потому, в силу (/> Иф*1 )->(/. Пф]). /г—>оо, так что функционал (/, ^[ф])— непрерывный в &F. Таким образом, операция преобразования Фурье F пере¬ водит пространство в £fr. Докажем, что F— непрерывная операция из в £ff. Действительно, пусть //г—>/, k —> оо в qF'. Тогда, в силу (7), при всех ф £ FF получим ’ ф) = (Л« F [Ф1) (Л F [Ф1) = (F [/!’ Ф)’ k -> Это и обозначает, что F [ф/г] — > F [ф], к—>сю в т. е. операция F непрерывна из в £fr. Введем в еще одну операцию преобразования Фурье, которую обозначим через F-1: (-*)!. /СсГ. (8) Докажем, что операция F~x является обратной к опера¬ ции преобразования Фурье F, т. е. р к-1 [/]]=/. (9) Действительно, в силу (5)—(8), при всех ф £ получаем равенства (^'ЧЛЛЬ ф) = -(2^(ПП/](-0]. ф) = = -^yr (F [/] (-1). F №1) = -^уг (F [/]• Р [ф] (- У) = = (Л/1. р-1 [ф]) = (/. /7[Г-1[ф]]) = (/, ф) = =(/. /7~1[/7[ф]])=(/7_1[л. пф1)=№_1[Л]. ф), откуда и вытекают формулы (9).
13(5 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. И Из формул (9) следует, что всякая обобщенная функ¬ ция / из есть преобразование Фурье обобщенной функ¬ ции = из > f = F\g\, и если F [/] = 0, то и / = 0. Это значит, что преобразования Фурье F и F~x преобразуют на взаимно однозначно (и к тому же взаимно непрерывно). Пусть /(х, у) £ £Pr "*), гл-е x£R\ y£Rm- Введем преобразование Фурье Fx [/] по переменным х = (хр х2, . . . ..., хп), положив для любой ср(>, у)^^(/?я+от) (Fx[f], <р) = (/, [ср]). (10) Как и в лемме § 9.1, устанавливается, что А 1ф1 (*. у) = J ф у) <ь е (ял+'") и операция F^ [ср] непрерывна из ^(Rn+m) в ^(/?я+/я), так что формула (10), действительно, определяет обобщенную функцию Fx [/] (£, у) из &>' (/?я+'я). 3. Свойства преобразования Фурье, а) Дифферен¬ цирование преобразования Фурье. Если F DaF\f\ = F\(ix)a f\. (И) Действительно, пользуясь формулой (2), при всех ср £ получим (/ЭаЛ[/Ь ф)=Д-1)|а!(Ш]. £>йф) = (-1)|о1(л Ноаф]) = = (—1)|а| (/. (— ixf F [<р]) = ((/х)а /, F [ф]) = (F [(zx)“/] • ф)> откуда и следует формула (11). Ь) Преобразования Фурье производной. Если то F[Daf]=(-FOa F [f], (12) В самом деле, пользуясь формулой (1), при всех ср £ получим (Р[ра/]> ф) = (£>7. Лф|) = (-!)'“'(/. О“Пф]) = =(-1)|а|(л Н(Ф“ф]=ч-1)'0|(л/]. (ф“ф)= = ((-Л)“НЛ ф). откуда и следует формула (12).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 137 § 91 c) Преобразование Фурье сдвига. Если то Л[/(х— х0)] = ей^Л[/], (13) • Действительно, при всех ср £ £7 имеем (Л [/ (х — х0)], ср) = (/ (х — х0), F [ср]) = (/, F [Ф] (х 4- х0)) = = (/, Z7 [cp^Z ^ ^]) = (Т7 [/], ei (*о, Цр) = (gM*o, fc)/7 [У], ф), откуда и следует формула (13). d) Сдвиг преобразования Фурье. Если / £ то + = (14) В самом деле, пользуясь формулой (13), при всех cp£<^ получим с/71/J а+?0)> ф)=с/7 t/ь ф а - £0))=(/’ [ф а - ил) = = (/, е': X)F [ср]) = (el &>>*)/, F [ср]) = (F [el x)f], ф), откуда и следует формула (14). e) Преобразование Фурье прямого произ¬ ведения. Если (Rn) и g (Rrn), то /•’ [f W • g (у)] = Fx [f (x) • F [g] (n)] = = Fy IF If] (D • g (y)J = F [f] (>) . F [g] (n). (15) Действительно, при всех ср (g, т|) £ ff (Rn+m) имеем (F \f (x) • g (y)], cp) = (/ (x) • g (y), F [cp]) = = (/(*). (g(y), ЛА1Ф1 )) = (/(*)> (W Fz [cp])) = = (/ W • F [g] (n), F^ [cp]) = (Fx [f (x) • F [g] (n)], ф) = = (F [gj (n), (/ (x), F^ [cp] )) = (F [g] (T]), (F [/] (£), ф)) = = (H/1 (&) ^И(ПЬФ). откуда и следуют равенства (15). f) Аналогичные формулы справедливы и для преобразо¬ вания Фурье Fx, например: если f (х, у) £ ff (/?Л+,Я). то Daxtf’yFx [/] = Fx [(zx7 [%f\. Fx [OX/1 = (- ‘V H/l- (16)
138 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II 4. Преобразование Фурье обобщенных функций с ком¬ пактным носителем. Теорема. Если f—финитная обобщенная функция, то ее преобразование Фурье принадлежит классу и представляется формулой F [/](□ = (/(*)> n(x)eZ(^)), (П) где 1] — любая функция из 3, равная 1 в окрестности носителя f. Доказательство. Учитывая равенства (6) § 8.3 и (12) § 9.3, при всех Ф £ получаем 6>aF [/], ср) = (-1)|а| (F (/], Оаф) = (-1)'“'(/, F [Оаср] ) = = (-1)' “' (/• П (х) (- ix)a F [ср]) = = (/(х), J Г] (х) (ix)a <р (ё) е‘11 ’х) . Замечая теперь, что п(х) (Zx)a ср © х) С и пользуясь формулой (15) § 8.5: (/ (х). J n (X) (Zx)a ср а) е‘(’’х} = = J(/> i)(x)(Zx)%^’x))<P(sM. из предыдущих равенств выводим равенство (D“F [/], ср) = j (/. 1] (х) (Zx)“ е‘ х)) ср (|) dl, из которого вытекает, что DaF [/] (£) = (/. п (х) (Zx)° е1 & л)). (18) Отсюда при а = 0 следует формула (17). Из представления (18), как и при доказательстве леммы §7.1, выводим, что DaF [/] £ С (R"), так что F [/] £ С°°(Rn). Далее, по теореме Л. Шварца (см. § 8.2), существуют такие числа С > О и р ^>0 (р — целое), при которых справедливо неравенство (3) § 8.2. Применяя это неравенство к правой
§ 9] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 139 части равенства (18), получаем оценку I DaF [/] (|) | = | (/. П (х) (М“ е1 <•’х)) | < < С || т] (х) (1х)а е‘ <’•х> И, = = С sup (1 +| х |)р1 D₽ [n(x)xV(',x)] | < IP |<Р> Rn из которой и вытекает, что F [/] £ Ол1 (см. § 8.1). Теорема доказана. Из формулы (17), в частности, получаем F [б (х — х0)] = (б (х — х0), т)(х) е'1 & Л')) = — Л (х0) е1 Л'о) = е1 (*» Л'о), т. е. F[d(x —х0)] = Л[б]=1. (19) Из (19) выводим б = Z7 [ 1 ] = (2л)" 111 ’ так что F [1] = (2лГб®. (20) Наконец, пользуясь формулами (11), (12), (19) и (20), по¬ лучаем F [ О%] = (- /£)“ F [д] — (— <, (21) F [х“] =(— с)1 а 1 ОаЛ [ 1 ] — (2 л)" (— /)|а|($,). (22) 5. Преобразование Фурье свертки. Пусть и g—финитная обобщенная функция. Тогда F[f*g] = F[g\F[f\. (23) Действительно, в силу § 8.6, свертка f*g££?f и пред¬ ставляется в виде (J*g. ф) = (/ (х), (g (У). П (У) ф (* + У)) )• ф € где 1'1=1 в окрестности supp g. Учитывая это пред¬ ставление, при всех получаехм (^ [/*£■]. ф) = (/*£■• ^[ф]) = ■= (/ (х), (у), л (у) J ср © е‘ «х+^> ).
140 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II Принимая во внимание, что, по теореме § 9.4, С 0лР и пользуясь формулами (15) § 8.5 и (17), преобразуем полу¬ ченное равенство (F !/*£■], ф) = (/, J (g, п(3')е/,$’)'))е''^г’фа)^ = ==(/. J F [£•] (ё) Ф (I) е‘Ч- *' d*) = (/, Р [F [£|ф|) = = (П/Ь F ИФ) = /=Ч/Ь Ф). откуда и вытекает формула (23). 6. Примеры, п=1. R a) F [О (R — | х |)] — j* elx* dx = 2 — R b) F [е~^2] = . sin /?£ ~т~ (24) (25) Действительно, F[e -а2 ч- ii-o е а е~&х2+Гс>х do = Осталось доказать, что линия интегрирования Im£ = ™ в по- б ЧТ Q л г; с” -Д’ 0 к Рис. 21. лученном интеграле может быть сдвинута на веществен¬ ную ось, т. е. что при всех а J = Im £ = а = J е~°2 do = Yя. (26) — оо По теореме Коши при любом /? > 0 имеем
§ 9] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 141 где контур Cr= c'rU c'r\J Ir [J Ir изображен на рис. 21. Но на отрезках Ir =[0 ^а, a=±R] | е-У | = | е-^+v-2/at | = е—к‘+гг о, R оо. а потому откуда, пользуясь (27), получаем равенство (26): Действительно, из сходимости несобственного интеграла (интеграла Френеля) 00 _ J е^У2 dy = У я е 4 — 00 вытекает равномерная сходимость по £ на каждом конечном интервале несобственного интеграла
142 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ И Пользуясь этим результатом, при всех ср suppcpci(— /?, /?) получаем (Р[^*2], <р) = (е'*2, F[cp]) = j* eix2F [ср] (х) dx — N->00 Л1->оо Я JV [ ф(£) J eix~+ ix* dx dl = -*/? -ai 7V->oo Л1->со R f cp(£) lim Jra ;V->oo R 7U->oo откуда заключаем о справедливости равенства (28) на основ¬ ных функциях из <25. Но 2) плотно в (см. § 8.1). По¬ этому это равенство справедливо на основных функциях из &. d) F[0] =лб® (29) F [0 (— ,v)] = лба) — у. (29') Действительно, при всех а > 0 имеем со F[0 (х) e_ov] = j (30) О Так как 0 (х) е ~ ах —> 0 (х), а > 4- 0 в £f!, то, переходя к пределу при а—.>Д-0 в формуле (30) и поль¬ зуясь непрерывностью в преобразования Фурье (см. § 9.2), выводим ^181 = 470- <31> Применяя теперь формул) Сохоцкого (10) § 5.7, получаем равенство (29). Равенство (29z) устанавливается аналогично. e) л[^4т] = -2С-21п^1’ (32)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 143 где C — постоянная Эйлера, 1 c= j\L-.S0S 0 и обобщенная функция определена в § 6.4, Ь). Iх I Действительно, при всех ср £ имеем - '■> 2 = 2 2 I -V I > 1 1 со J / ф (£) ■C0SXj~1 rfs dx + 2 J J <p (>) dl dx = б 1 1 co j <P (D J -0S%j~1 dx dt - 2 J J q/ (£) dl dx == 0 1 IU J Ф (D J —du dl - 2 J* q/ (Ю J dx di =-- 0 1 - Ill f zo4 \ COS W — 1 J T(6> | L о и co r , д Г sin xc , 6"'+sf J ~^dx 1 откуда и вытекает формула (32). f) В § 6.3, с) было установлено равенство оо co 6 (x 2nk) = 2л S e hX’ к ——co (33) к = -со
144 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II Нетрудно видеть, что ряды в равенстве (33) сходятся в . Пользуясь формулой (19), перепишем равенство (33) в виде 2л У б(х — 2л/г) = У, F[d(x-—£)]. А = — СС к = — СО Применяя это равенство к фС^> получим 2л[ — 2л£), ср j = 2л zu (6(х— 2л/г), ср) = \А=-'> / к = — со = 2л 5 Ф (2л/г) = ( 2 Р[Ъ(х — £)], ср) = к = — ОО \А = — ОО = S (6(х — k), Г[ф]) = 2 F [<р] (/г), А = — оо к = — оо т. е. 2л 2 Ф (2л£) = 2 ? [ф] (&)• (34) А = — оо А = — оо Равенство (34) называется формулой суммирования Пуассона. Полагая в формуле (34) 2ч Ул — Ф(х) = е f[<f)ia) = ^L^Le t , />0, получим 00 у 00 А2 л2 S е~‘к2 = /т 2е' 1 ■ <35> А = — оо k — —со Формула (35) имеет применение в теории эллиптических функций. 7. Упражнения. Пользуясь формулами (29) и (29') и равен¬ ством & , показать, что 1) F [sign х] = 2Zc^ у, F = /л sign 2) /ф-Д] = -л|и Л[|х|] = -2^-Д; 3) F [О (X) л] = — /яд' (|) — <? -Д. ¥
§ 9] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 145 8. Примеры, а) Пусть квадратичная форма 2 a;рсрс • = (Ах, х), A = (aif) i,j = l вещественна и положительно определенна, (Дх, л*)>о| х |2, о > 0. Тогда „п/2 _ JL 6 д- U) В [е~<Ах’ •*’] = -Д.^- е 4 . (36) /det A v Для получения формулы (36) с помощью неособенного вещественного преобразования х = Ву приведем квадратич¬ ную форму (Ах, х) к диагональной форме (Ах, х) = (АВу, By) = (В'АВу, у) == | у1|, так что А~' = ВВ', det A (det В)2 = 1. Отсюда, пользуясь формулой (26), получаем р [е-(Аг, .г)] _ j" е-:Ах, х) + < (5, Х)Дх — = | det В | е~(Аву, By)+i (s, в у) dy _ = | е-| у|2+<(£Ч>у)^у — /det Л J = ? fl- f ... Уdet A J-y J jyldy 1’ = 1 /det А л"/2 -4(1. ВВ'1)__ л'Ч2 _l(g, Д“‘О ~ /det А ~ /ЗёГЛ b) Аналогично, пользуясь формулой (28), получим ~nj2 [ пп L (t A_It) F [е‘ 1Ах-')] = ■ ■ е 4 е 4 U /det А c) Пусть ds#(x)— простой слой в У?3. Тогда F К] = ^IJi ■ (37) (38) 10 В. С. Владимиров
146 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II Действительно, так как 6$ —финитная обобщенная функ¬ ция, то, применяя формулу (17), получим 151 d) Пусть п = 2. Введем обобщенную функцию & f f -'ЙМ- |х|<1 |Х|>1 фСс^. Тогда F = — 2л In 111 — 2лС0, (39) где Со = / du - J A W du О 1 и /0— функция Бесселя. Действительно, при всех ср £ £? справедлива цепочка ра¬ венств |Т|т] ■ ф) = (> ■ г и) = f F[<₽](x)-A[q>](0) , f F[<₽](x) J UT 1 J |-<|2 |Ж|<1 |Л'|>1 - .1 7^.1 |А-| < 1 <р(ё)(^- 1)^ dx--[- + I тгр J <р(£) eixl dc,dx = m > 1
§ 9] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 147 du d^ = откуда и вытекает равенство (39). е) (40) Применяя к обеим частям равенства (37) § 6.5 преобра¬ зование Фурье, получим 1 Так как ——локально интегрируемая функция в У?2, то по¬ следнее зультате £ о равенство можно разделить на с, в (R2), В ре- получим формулу (40). 0 (41) 10*
148 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. II Действительно, * о Здесь мы воспользовались формулой 6.554, 2) из ника И. С. Градштейна и И. М. Рыжика [1]. 2л2 о справоч- g) (42) Учитывая, что функция |х| 2 локально интегрируема в /?3, при всех ф £ получаем следующую цепочку равенств: (F ItM ’ 1 F [ф])= / F W dx = R = J dx = R Г Г =AmJ -1^-^= R л 2л Г Г Г Г рИИрсозо = lim J ф (^) J J j ^2 p26/ipsin0 dQ dpd^ — R 1 = 2л lim J ф(£) I | e* I £ I pm-dp dpd£ = R->qo J o-l Р2 = 4л lim ff Sln^|p (43) /?->ooV Ibl J P
§ 9] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 149 Так как III J sin Is Ip p J cos | s I P R dp oo R 2 R то возможен предельный переход при R —> оо под знаком интеграла в последнем члене равенств (43). В результате получим сю ИгУ- <р)=4"М161 О откуда и следует формула (42).
Глава III ЗАДАЧА КОШИ В этой главе теория обобщенных функций применяется к решению задачи Коши для волнового уравнения и для уравнения теплопроводности. При этом задача Коши рас¬ сматривается в обобщенной постановке, что позволяет вклю¬ чить начальные условия в мгновенно действующие источники (типа простого и двойного слоя на поверхности / = 0). Таким путем задача Коши сводится к задаче о нахождении такого (обобщенного) решения данного уравнения (с изменен¬ ной правой частью), которое обращается в нуль при t < 0. Последняя задача решается стандартным методом — методом суммирования возмущений, порождаемых каждой точкой источника, так что решение ее представляется в виде свертки фундаментального решения с правой частью. § 10. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов Для построения фундаментальных решений линейных диф¬ ференциальных операторов с постоянными коэффициентами применяется метод преобразования Фурье. Этим методом, естественно, могут быть получены только фундаментальные решения медленного роста. 1. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений. Пусть tn 2 аа(х) Dau = f(x), CD I а 1-0 — линейное дифференциальное уравнение порядка т с коэф¬
§ 10] Ф У Н ДАМЕ НТ А Л Ь Н Ы Е РЕШЕНИЯ 151 фициентами аа£С™(Rn). Вводя дифференциальный оператор т L(x, D) = V cza(x)D“, 1а|=0 дхп ) перепишем это уравнение в виде Z(x, В) и = f (х). (1') Обобщенным решением уравнения (1) в области G назы¬ вается всякая обобщенная функция а £ <25', удовлетворяющая этому уравнению в области G в обобщенном смысле, т. е. для любой ср£^, suppcpczO (L(x, D)u, ср) = (/, ср). (2) Равенство (2) равносильно равенству (1/, L*(x, Z))cp) = (/, ср), cp£^(G), (2Z) где L\x, /Э)Ф= 2 (~1)|а,оа(ад>). (3) 1а|=0 Действительно, (т \ т 2 o-aDau, ср = 2 (flaDau, ср) = I« i = 0 / |а|=0 т = 2 (Dau, | а I = 0 т «аф) = 2 (—1)|а1(«. ^“(«а(Р)) = |а 1 = 0 т \ 2 (-1)|а1па(зд) =(«, Г(х, D)<P). ]а|=0 / Ясно, что всякое классическое решение является и обоб¬ щенным решением. Обратное утверждение сформулируем в виде следующей леммы. Лемма. Если обобщенное решение и(х) уравнения (1) в области G принадлежит классу Ст (G) и f (G),mo оно является и классическим решением этого уравнения в области G. Доказательство. Так как и£ЗУ [\Ст (G), то клас¬ сические и обобщенные производные функции и до порядка т включительно совпадают в области G (см. § 6.1). Поскольку
ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III 152 и — обобщенное решение уравнения (1) в области G, то непре¬ рывная в G функция £(х, О') и — f обращается в нуль в обла¬ сти G в смысле обобщенных функций. По лемме дю Буа-Рей- монда (см. §5.5), L(x, D)u{x)— /(х) = 0' во всех точках области О, так что и удовлетворяет уравнению (1) в обла¬ сти G в классическом смысле. Лемма доказана. 2, Фундаментальные решения. Пусть L — оператор с постоянными коэффициентами, аи{х) = аа\ L(D) = 2 L\D) = L(—D). (4) la 1= ; Фундам.ентальным решением {функцией влияния} диф¬ ференциального оператора L (D) называется обобщенная функция С удовлетворяющая в Rn уравнению L{D)tf = b{x). (5) Фундаментальное решение {х) оператора L{D\ вообще говоря, не единственно; оно определяется с точностью до слагаемого {х), являющегося произвольным решением однородного уравнения L {В) <^0 = 0. Действительно, обобщенная функция (х) Ц-6% (х) также является фундаментальном решением оператора L{D), L {О) (б о) === (^) ~4~ £ (^5) <9°о = 6 (х). Лемма. Для того чтобы обобщенная функция <f была фундаментальным решением оператора L(D), необ¬ ходимо и достаточно, чтобы ее преобразование Фурье F [<И удовлетворяло уравнению = (6) где т |a|=o Доказательство. Пусть £ £?'—фундаментальное решение оператора L{D). Применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства (5), получим F[A(^)if] = /? 16] =1. (7)
§ ю] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 153 Принимая во внимание формулу (12) § 9.3, имеем Г т F [L (D) g5] = F 5 aaDa& L I a 1-0 rn = 2 aaF[DfI<r] = I a |=!) m = 2 = (8) I a 1 = 3 отсюда и из (7) вытекает, что F[^j удовлетворяет уравне¬ нию (6). Обратно, если (f £ удовлетворяет уравнению (6), то, в силу (8), удовлетворяет уравнению (7), откуда следует, что сГ удовлетворяет уравнению (5), т. е. является фунда¬ ментальным решением оператора L(D). Лемма доказана. Доказанная лемма сводит задачу построения фундамен¬ тальных решений медленного роста линейных дифференциаль¬ ных операторов с постоянными коэффициентами к решению в <^?/ алгебраических уравнений вида = (9) где Р — произвольный полином. Как видно из уравнения (9), всякое его решение из $)г (если таковое существует) должно совпадать с функцией вне множества Np нулей полинома Р(с,)> Отсюда следует, что если Np ¥= </>» то решение уравнения (9) не единственно: разные решения отличаются друг от друга на обобщенную функцию с носителем в Np. Например, раз¬ личными решениями уравнения = 1 являются обобщенные функции отличающиеся друг от друга на выражение вида const д(>) (см. формулы Сохоцкого (10) и (10z) § 5.7). Если функция локально интегрируема в Rn, то она (точнее, определяемый ею регулярный функционал) решением в ^z уравнения (9). Если же функция является
151 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III является локально интегрируемой в Rn, то возникает нетри¬ виальная задача о построении в ^z решения уравнения (9). Л. Хёрмандером [2] доказано, что уравнение (9) всегда раз¬ решимо в Обозначим через reg -н L • какое-либо решение из ^z уравнения (9). Построение этого решения существенно зави¬ сит от структуры множества N р и может быть проведено для каждого конкретного полинома Р. Таким образом, уравнение (6) всегда разрешимо в , mi = regT7=Ly. Следовательно, всякий линейный дифференциальный оператор L (D) с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение медленного роста, и это реше¬ ние дается формулой (Ю) 3. Уравнения с правой частью. С помощью фундамен¬ тального решения <?(х) оператора можно построить решение уравнения /,(£))// = /(х) (11) с произвольной правой частью /. Точнее, справедлива сле¬ дующая Теорема. Пусть f £ЗУ такова, что свертка * f существует в ЗУ. Тогда решение уравнения (11) сущест¬ вует в ЗУ и дается формулой и = сУ* /. (12) Это решение единственно в классе тех обобщенных функций из 3', для которых существует свертка с Доказательство. Пользуясь формулой дифференци¬ рования свертки (см. (22) § 7.6) и учитывая равенство (5), получим т I «1=0 [а|=0 /
§ 10] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 155 Поэтому формула и = & * f действительно дает решение урав¬ нения (11). Докажем единственность решения уравнения (11) в классе тех обобщенных функций из ЗУ, для которых свертка с существует в ЗУ. Для этого достаточно установить, что соответствующее однородное уравнение L (£)) и = 0 имеет только нулевое решение в этом классе (см. § 1.9). Но это действительно так, в силу u = u*b = u*L (D) = L (D) и * & = 0. Теорема доказана. Следствие. Если и £ ЗУ и свертка и*& существует в ЗУ, то справедливо равенство u = L{D)u*tf. (13) Физический смысл решения и = (У *f. Представим источник f (х) в виде «суммы» точечных источников жм. /(х) = д./= J/(s)6(x-y dl. В силу (5), каждый точечный источник /(^)д(х— £) опре¬ деляет влияние /(£>)^(х— £). Поэтому решение di есть наложение {суперпозиция) этих влияний. 4. Метод спуска. Рассмотрим линейное дифференциаль¬ ное уравнение с постоянными коэффициентами в простран¬ стве Rrl+1 переменных (х, f) = (xp х2, .... хл, t) l(d, j]u=Hx)6(t), (14) где -a~) = £»rMo) + MO) <7 = 1 и Lq{D)—дифференциальные операторы по переменным х.
156 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ill Пусть обобщенная функция и из допускает продолжение на функции вида ср(х) 1 (/), где y£3(Rn), в следующем смысле: какова бы ни была последовательность основных функций ^(Z), k=\, 2, . .., из 3 (7?1), сходя¬ щаяся к 1 в Z?1 (см. § 7.4), существует предел lim (zz, cp(x)i]A(Z)) = (zz, ср(х) 1 (/)) (15) £->оо и этот предел не зависит от последовательности {т]/г}. Обозначим функционал (15) через zz0, (rz0, ф) = («, ф(х) 1 (7)) = lim {и, <р (х) Т]А (0). ф € 26 (/?"). (16) k ->оо Предположим, далее, что функционал zz0 непрерывен *) в 3 (Rn). Отсюда, в силу линейности функционала zz0, сле¬ дует, что uQ£3' (Rfl). Приведем два примера на построение продолжения и0. а) Пусть функция и (х, /) такова, что функция J |zz(x, t)\dt локально интегрируема в Rn. Тогда zz0(x)— локально интегрируемая функция в Rn и представляется интегралом оо zz0(x)-~ J u(x,t)dt. (17) — оо Действительно, в этом случае функция zz(x, /) локально интегрируема в Rn~'A и, в силу теоремы Лебега (см. § 1.4), предел (15) lim (zz, ср (х) г|/г (/)) = lim f и (х, /)ср (х) т]/г (/) dx dt = k -> оо /? -> СО 1 оо = J и (х, /) ср (х) dx dt = j ср (х) J и (х, /) dt dx — оо при всех ср^<^(/?'г) существует, не зависит от последова¬ тельности {г|л} и определяет непрерывный функционал над 3{Rn). Отсюда, в силу (16), и вытекает формула (17). *) Непрерывность функционала и0 вытекает из полноты про¬ странства Q)' (см. § 5.3). Поскольку полнота & здесь не доказы¬ вается, то непрерывность этого функционала всякий раз следует проверять непосредственно.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 157 § ю] b) Пусть z/ = /(x) • д(/), где f^3)f(Rn). Тогда «0 = /, в силу («о* ф) = Jim (zz, ф (х) т]л (0) == Jim (/ (х) • д (/), ф (х) т]* (0) = = lim (/(х), ф (х) т\к (0)) = (/, ф), ф6^(^л)- /?->оо Для того чтобы функционал uQ существовал в ЗУ (Rn), необходимо и достаточно, чтобы свертка zz * д (х) • 1 (0 существовала в 3) ')» пР11 этом и*Ъ(х) • 1 (Z) = zz0(x) • 1 (0. (18) Действительно, пусть свертка zz*6(x)*l(0 существует в 3)'(Rn + l) и лН*’ У> г)> &=1, 2, ..., —последова¬ тельность функций из ^(/?2л+2), сходящаяся к 1 в /?2л + 2. Тогда, пользуясь определением свертки (см. § 7.4), при всех ф£«2>’(/?л + 1) получим (и * д (х) • 1 (/), ф) = = lim (и (х, t) • d(y). 1 (г), т]И*> У> т)ф(хД-у» * + *)) = k ->оо = lim (zz(x, /), j т]л(х, t\ 0, т)ф(х, t-1-t)z/t) = — lim [и(х, f), [ ЛН*» О» т — /)ф(х, t)z/tV (19) £->оо\ J / Так как носитель функции т]л (х, /; 0, т — t) ограничен в Rn^2, а носитель ф(х, т) ограничен в Rn+\ то для каждого k найдется такой номер jk, что ПИ*’ т —0ф(*, т) = %(0ф(х, Т). Отсюда, продолжая цепочку равенств (19) и пользуясь (16), выводим равенство (18): (и * д (х) • 1 (/), ф) = lim (и (х, Z), т|* (0 f Ф (*» т) dr) = = («о(4 / Ч>(*> T)drj = («0(x) • 1(0, ф). Применяя равенство (18) к основным функциям ф(х, t) = — ф(х)®1(0, где ф£^(/?”) и ©1(0 — «шапочка» в /?1
158 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III (см. § 5.2), получихм равенство (« * 6 (х) • 1 (0. Ф (X) ©! (/) ) = («0, ф). из которого следует, что rz0£ Обратно, пусть функционал zz0 существует в ЗУ Тогда uQ(x) • 1 (см- § 7.1). Рассуждая в обрат¬ ном порядке, как и выше, убедимся в справедливости равен¬ ства (18) и, стало быть, в существовании свертки и * б(х)-1 (/) в 55/(^'г+1)- Теорема. Если решение и0£&' (Rn+r) уравнения (14) допускает продолжение (16), то обобщенная функция uQ из ЗУ (Rn) удовлетворяет уравнению Lq(D) uQ = f (х). (20) Доказательство. Применяя оператор к обеим частям равенства (18) и пользуясь правилами диф¬ ференцирования свертки (см. § 7.6) и прямого произведения (см. § 7.3), получим l(d, -^-](«*d(x). l(0) = i(o, -^-]«*6(х). 1 (0 = = /(х).д(/)*д(х). 1(0 = /(х). 1(0 = = £ (о, 4) («о (х) • 1 (0) = Lo (£>) «0 (х) • 1 (0. L0(D)u0(x). 1(/) = /(х). 1(0. откуда и вытекает равенство (20). Теорема доказана. Изложенный метод получения решения uQ(x) уравне¬ ния (20) с п переменными через решение и(х, f) уравне¬ ния (14) с /г —1 переменными называется методом спуска по переменной t. Метод спуска особенно удобно использовать для построе¬ ния фундаментальных решений. Действительно, применяя доказанную теорему при f = 6(х), получаем: если If (х, t) — фундаментальное решение оператора L^D, — допу¬ скает продолжение (16), то обобщенная функция (^о> ф) = (^ ф(*)1(0)> ф£^(Ю> (21)
§ ю] Ф У Н Д AM Е НТ А Л ЬН Ы Е РЕШЕНИЯ 159 есть фундаментальное решение оператора Z,0(D); в част¬ ности, если функция J |cf(x, t)\dt локально интегри¬ руема в R'1, то tf0(x)= J &(х, t)dt. (22) — СО Фундаментальное решение ^0(х), в силу (18)> удовле¬ творяет соотношению ^0(х). 1 (О = Й° * б(х) • 1(/). Физический СМЫСЛ ЭТОЙ формулы СОСТОИТ В ТОМ, ЧТО §°0(x) есть (не зависящее от /) возмущение от источника d(x)-l(f), сосредоточенного на оси t (ср. § 10.3). 5. Фундаментальное решение линейного дифферен¬ циального оператора с обыкновенными производными. + ••• +«„(0^ = 6(0- В § 6.3, f) было показано, что фундаментальное решение этого оператора выражается формулой ^(/) = 0(/)Z(O, где Z(/) удовлетворяет однородному уравнению LZ. = 0 и начальным условиям Z(0) = Z' (0)= ... = Z(""2)(0) = 0, Z(/!_1)(0) = 1. В частности, функции (/) = 0 (/) e-at, ^2 V) = 0 (О (23) ЯВЛЯЮТСЯ раторов соответственно фундаментальными решениями опе- d . d- , 9 ~dF~ra'~ 6. Фундаментальное решение оператора теплопровод¬ ности. = б(х, 0. (24)
160 ЗАДАЧА КОШИ (ГЛ III В § 6.5, f) было показано, что решение уравнения (24) выражается формулой (25) и, следовательно, эта функция является фундаментальным решением оператора теплопроводности. Выведем формулу (25) методом преобразования Фурье. Для этого применим преобразование Фурье Fx (см. § 9.2) к равенству (24): = 01. и воспользуемся формулами (15) и (16) § 9.3: f х к (х, о)=(*) • * (oj=f [6] а) • 6 (о = 1 а) • s ю> г* [#]=4F*F* =-ц I2 д, ш В результате для обобщенной функции & (£, /) = Fx (£, t) получаем уравнение dgS’- + fl2i^2^(^ 0=1(^)-6(0. (26) Пользуясь формулой (23) для (/) с заменой а на а2| £ |2, заключаем, что решением в уравнения (26) является функция ?(£, t) = 0 (0 е~а2 Н12 *, Отсюда, применяя обратное преобразование Фурье F^} и пользуясь формулой (36) § 9.8, получаем равенство (25): (2а^л()п 7. Фундаментальное решение волнового оператора. □^/г=6(х, /). (27) Применяя к равенству (27) преобразование Фурье Fx и дей¬ ствуя, как в предыдущем пункте, вместо уравнения (26) для
§ 10] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 161 обобщенной функции Fx [^„j = <?„ (g, t) получаем уравнение ~+ а21 ё 12^« & 0 = 1 (I) • б (О- (28) является Пользуясь формулой (23) для ^2(0 с заменой а на а|£|, заключаем, что решением в уравнения (28) является функция Следовательно, (X, О = /ч1(t 01 = 9 (0 Рк 1 [-^|JZ] • <29) Пусть /z = 3. Тогда из . формулы (38) § 9.8 выводим /7“ 1 Г Sin Д lb Ю 1 g / х L 1£| ]—4^4/W’ откуда и из (29) получаем причем обобщенная функция cf3 действует по правилу: оо (4f Ф)4 = о оо = i I 7 / (₽ 0 dSx dP Ф € («')• 0 Sat Аналогично, пользуясь формулами (24) § 9.6 и § 9.8, получим (ср. § 6.5, g)) (х, /) = 0 {at — | х |), /ч 0 И — I -И ) ° 2 2ла — | л |2 (30) (31) (41) (32) 2ла еГзОс /) Для получения фундаментального решения (f2(x, О» ■ = (хр х2) воспользуемся методом спуска по переменной х3 11 В. С. Владимиров
162 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III (см. § 10.4). Для этого нужно показать, что &3(xt х3, t) допускает продолжение (16) на функции вида ср(х, t) 1 (х3), где ср£<^(У?3), и что функционал (^з(Х, х3> t), ф(х, t) 1(Х3)), ф^<^(/?3) непрерывен в Sb (У?3). Пусть Ла(хз) стремится к 1 в У?1. Тогда, пользуясь (31), при всех ср £ Sb (R3) получим lim (cf3, ср(х, У) nft(x3)) = k->co со = ftlil^o4^J 7 0пДх3)</5Л = 0 sat ОО = J 7 J <₽<*• f)dSdt = ^, <р(х, t) 1(х3)), так что этот предел существует, не зависит от последова¬ Рис. 22. тельности {т|^} и определяет не¬ прерывный функционал на ^(У?3). Отсюда, применяя формулу (21), заключаем, что (cf2, ср) = (cf3, ср (х, У) 1 (х3)) — оо ,}dSdt- 0 Sat фЕЩ/?3). Преобразуем последний интеграл. Так как ср не зависит от х3, то, заменяя поверхностный интеграл по сфере Sat = — [Iх 12+хз = д<^2] иа удвоенный интеграл по кругу | х (рис. 22), получим / ОО оо (^2- <Р) = 0 ■ , (р (х’ - dx dt = Vа№ — | х I2 | X | < at J 1 2па (i (at — | х |) У а2<2 — | х |2 <р (х, t)dxdt, откуда и следует формула (32) для
§ 10] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 163 Аналогично, пользуясь формулой (22), получаем методом спуска по х2 формулу (32) для фундаментального решения (х, /): оо ^(х, 0= *2. t)dx2== — оо оо — оо 0 {at — | x |) 0 (at — У**2+ *2) У — X2 — xl dx2 = dx2 У (Pt2 — X2 — X2 0 {at — | x |) ла 1 / 0 8. Фундаментальное решение оператора Лапласа. Д^„ = б(х). (33) В § 6.5, d) было показано, что функции еГ2(л') = In | х |. = | Л|—»>3, (34) являются фундаментальными решениями оператора Лапласа. Вычислим эти фундаментальные решения методом преобра¬ зования Фурье. Применяя преобразование к равенству (33), получим = (35) Пусть id2 п = 2. Проверим, что обобщенная функция (см. § 9.8, d)) удовлетворяет уравнению (35). Действительно,
164 ЗАДАЧА КОШИ ГГЛ. ИГ Следовательно, в соответствии со схемой § 10.2, можно положить Отсюда, пользуясь формулой (39) § 9.8, получаем = 2^1пМ + §- (36) Так как постоянная удовлетворяет однородному уравне- (j пию Лапласа, то, отбрасывая в (36) слагаемое , убеждаемся, что фундаментальное решение можно выбрать равным £Г1пИ- Пусть теперь я^>3. В этом случае функция —|£| 2 локально интегрируема в Rn и потому, в соответствии с § 10.2, [^л1 = --|ТрГ . — F [тур]- Отсюда при д = 3, пользуясь формулой (42) § 9.8, получаем = <37> Аналогично вычисляется и <fn(x) при л > 3. Особенно просто (х), п^>3, строится методом спуска по переменной t (см. § 10.4) из фундаментальных решений оператора теплопроводности или волнового оператора. На¬ пример, пользуясь формулой (22), из (25) при а=\ полу¬ чаем формулу (34):
§ Ю] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 165 9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца. (38) (/\ &2) &°/г — б (х). В § 6.5, е) было показано, что 4nW“ ’ (х) = 4НТП- — фундаментальные решения оператора Гельмгольца при м=3. Формулы (39) справедливы и при комплексных k. Вычислим §°2(х) методом преобразования Фурье. Из (38) имеем 3(л;) ^з(х) = (39) (-isi2+*2)mi = i- Возьмем решение уравнения (40) в виде 1 1 (40) Дто й, + (.е_|.|2 — ft2 + /0_||)2 и, следовательно, в силу непрерывности преобразования Фурье, О) = R|“ ] = 1 Г е-1(^х) Здесь использовалась формула 6.532, 4) из справочника И. С. Градштейна и И. М. Рыжика [Г]; J=l, 2,— функции Ханкеля. Итак, функции ^2(*) = -pW|*l). = (41) — фундаментальные решения оператора Гельмгольца при п == 2.
166 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ III При п = 1 фундаментальные решения удобно взять в виде (см. § 10.5) со/ч 0 (х) . , Sin kx , COS kx 1 ;b|r| 10. Фундаментальное решение оператора Коши — Ри¬ мана. (42) = у). В § 6.5, j) было показано, что (43) (44) 11. Фундаментальное решение оператора переноса. 4"7г + (51 grad^P + °^ = 6(-v' 0- (45)' Применяя к равенству (45) преобразование Фурье Fx для обобщенной функции Fx [£\] = cf5(£, /), получаем уравнение +[a_Z(5_ /)= 1(g). 6(0. (46) Отсюда, пользуясь первой из формул (23), заключаем, что решением из уравнения (46) является функция /) = ^0(/)г1Н^)-а1^. Применяя теперь обратное преобразование Фурье /V1, еГДх, 0 = №гё%(£. 01 = fe(/)e-“’/r1[eie’J”‘'] и пользуясь формулой (19) § 9.4 при x§ = vts, 5)1"]=б(х-^). получаем фундаментальное решение оператора переноса (х, t) = хЮ (0 e~avt d (х — vis). (47) Для вычисления фундаментального решения (х) ста¬ ционарного оператора переноса (s, grad <?5) —czdf$ = d (x) (48)
§ 10] ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ 1G7 воспользуемся методом спуска по переменной t (см. § 10.4). В результате, в силу (47), при всех cp£<f$(/?3) получим со (^, ср (х) 1 (/)) — v J e~avt (д (х — vts), ср (х)) dt — о СО оо = v J e~avtcp (vts) dt = J £“awcp (zzs) du = откуда, в силу (21), вытекает, что cpOz ч _ х / х (X) — -Цр- 6 (s — . Из (49), в частности, имеем 4л J ^(х)й?5— 4jl|xj2 • 12. Упражнения, а) Пользуясь формулой (29), показать, что обобщенные функции (49) (50) ‘<?« (х, t) = /г-3 2 6(^2-|х|2). л>3-нечетное, п У К2'1 (п-\\ ( 2а Я 2 г1 2 ) е(а/-|х|) п-\ * (а,Ч2 — |х|-') 2 // й 2 — четное, (51) являются фундаментальными решениями волнового оператора Г]й при п 2. Ь) Доказать, что фундаментальными решениями оператора Клейна — Гордона □4~,7г2 (см. § 2.8) являются обобщенные функции *)=-^Мл-2-И2)- m of- I -П а(«/^-1^12) и Da (л'о, х) = DT (-— х0, х); здесь — функция Бесселя. я
168 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III с) Доказать, что обобщенные функции о > (*<>• *) = F [° &)6 $ -1 е I2 - ™2)L О-(х0, •*)=-/7[°(-So)6(so-|^2|-"i2)1 (53) удовлетворяют уравнению Клейна — Гордона и соотношению D + 4-D" = Dr — Da, Обобщенные функции Dr, D\ D н и D играют важную роль в квантовой теории поля (см. Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков [1], гл. II). d) Пользуясь формулой (40) § 2.8, показать, что матрица чет¬ вертого порядка t (х0, х) - — I i V уИ jL ml I Dr (ха, х), (54) \ /г = 0 ? / где Dr определена в (52), есть фундаментальное решение опера¬ тора Дирака (см. § 2.8), д dxk <5 — б (х0, х) 1. е) Пользуясь формулой (37) § 9.8, показать, что функция 6 ' ’ ’ h 2лМ ) является фундаментальным решением '/г йг+ 2^д’ оператора Шредингера п = 3. (55) §11. Запаздывающий потенциал 1. Свойства фундаментального решения волнового опе¬ ратора. Фундаментальными решениями волнового оператора при п=1, 2 и 3 являются (обобщенные) функции (см. фор¬ мулы (32) и (30) § 10.7): cf! (х, t) = — 0 (at — | х |), 2a 6p2(x. /) = 0 (at — | л' I) 2лл Ya2i'2 — | x I2 » 0 = 6S„ W = 6 - IX I»).
ЗАПАЗДЫВАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ 169 § hi Функции и 2 локально интегрируемы, а обобщенная функция действует на основные функции ср £ 3) (Z?4) по формуле (31) § 10.7: 00 , <р(х ' = J-- |\ч“ " *at V (О Носители функций §Э1 и совпадают с замыканием буду¬ щего светового конуса Г+ (рис. 17), а носитель обобщенной Рис. 24. Рис. 23. функции с?з совпадает с границей \at = |х |] этого конуса, изображены графики фунда- На рис. 23 — 25 схематически ментальны?: решений р <^2 и в момент времени t. Пусть f (х, t) £ и cp(x)6Wn ВведехМ обобщенную функ¬ цию (f(x, О. ф(^))С^/(^1)» действующую по формуле ((/(*, /), ф(х)), Ф) = СЛ фФ). ф(0£^(/П (2) Рис. 25. Из этого определения вытекает следующая формула
170 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III Действительно, при всех имеем ((ДгД- i’)=(^' ч*)=(-■>*(/• f-39= = (—!)*((/(*. 0- ф(*)). = fW)’ ф)’ откуда и следуют равенства (3). Будем говорить, что обобщенная функция f (х, t) при¬ надлежит классу Ср, О^р^сю, по переменной t в про¬ межутке (а, Ь), если для любой (р^^(/?л) обобщенная функция (/(х, /), <р (а:) ) £ (я, Ь) (см. § 5.4). Лемма. Фундаментальные решения <fn(x, t), п = = 1, 2, 3, принадлежат классу по переменной t в (О, сю) и удовлетворяют предельным соотношениям при / -> + 0 ' ^„(х, О->0. >б(х). ° ->0 в (4) Доказательство. Пусть п = 3 и ср £ 3 (R3). Из (1) вытекает, что (^з (х, /), ср (х)) = 1 <р (х) dS = J ср (ats) ds. (5) sal S1 Так как правая часть равенства (5) бесконечно дифферен¬ цируема no t в (0, сю), то, следовательно, принадлежит классу С'л по t в (0, сю). Кроме того, из (5) вытекает, что (<^з(х» 0» ф W) -> 0, t—>-|-0. (6) Далее, пользуясь формулой (3) при / = ^3 и k=\, 2, получим при О (ДНуД, ф(х))= L -1 =3-/ч>(^)*+3 d r '■ ' 4л 5,
§ И] ЗАПАЗДЫВАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ 171 ибо функция J ср (ats) ds = j У. ср (— at s') ds — четная бесконечно дифференцируемая по t, а потому ее первая производная при t — 0 равна нулю. В силу произ¬ вольности ср £ (AJ3), предельные соотношения (6) — (8) эк¬ вивалентны соотношениям (7) при /г = 3. Пусть теперь п = 2, 1 и ср £ <2* (Я"). Тогда при />0 Отсюда, как и при п = 3, вытекают все утверждения леммы. 2. Дополнительные сведения о свертках. Установим еще один признак существования свертки. Теорема. Пусть обобщенные функции fug из Зб'таковы, что f(x, /) = 0, /<0 и supp Тогда свертка f*g существует в 3) и предста¬ вляется в виде (f * ф) = =(/ ?') • g (У> г), т] (V) 1] (т) 1] (я2т2—| у |2) ср (fe-4-у, т'4-т)), <Р6.25(Л"+1). (И) где т](т) — любая функция класса С°° (Z?1), равная 0 при t < — б и 1 при t > — е (б и е — любые числа, б > £ > 0). При этом свертка f*g обращается в нуль при /<0 и непрерывна относительно f и g в отдельности: 1) если f k-> f, k —> со в 3)'{Rn^\ fk = 0, t < 0, то fk*g->f*g, k—>oo в 3) (/?,г+1); 2) если gk-+g, &->оо в 3>'(Rn^\ suppgftczr+, то f * gk-> f * g, k->oo в 3/(Rn+1). Доказательство. Пусть ср (x, /) —произвольная функ¬ ция из Зб' {R!1^}, supp cpcz/7А и т|й (£, т'; у, т), k=l, 2, . . ..— последовательность функций из 3 (/?2п+2), сходящаяся к 1
172 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ ПГ в R?n+2 (см. § 7.4). Тогда при всех достаточно больших /г Т'; у, т)<р+ у, т' + т)= == П СИ п (т) i] O'V — |y|2)<P(s + y. т'+т) = ф. (12) Для доказательства равенства (12) достаточно установить, что функция ф £ 3) (R2n +2). Но это следует из того, что она бесконечно дифференцируема, а множество [(£, т', у, т): т' — б, т > — б, я2т2 — | у |2 > — б, |у + ^2 + (т'+т)2<Л2], в котором содержится ее носитель, ограничено, поскольку оно содержится в ограниченном множестве [~е<т'<Л, —£<т<Д |£|< V^2^—j— е —|” Л] (рис. 26). Далее, по построению, г|(т,)=1 в окрестности носителя / (£, т') и п (т) т[ (а2т2 — I У |2) = 1 в окрестности носителя g(y, т). Следовательно (см. (13) § 5.9), /(fe. r') = T](T')/(g, т'), g(y, т) = г)(т)л(«2т2—|у|2)^(У. т). Учитывая теперь эти равенства и равенство (12), убеж¬ даемся в справедливости формулы (11): (J*g. <p)==1hn (f (i, x')-g (у, т), я» (s. И у, т) ср тЦ-т))= = lim(/(£, т') • g (у, т), фА) = (/(^.т/) • g(y, т). ф), <р 6 ^(Д'+1). А->оо
§ И] ЗАПАЗДЫВАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ 173 Докажем, что правая часть равенства (11) определяет непрерывный функционал на Действительно, пусть Ф^->Ф» k—>оо в Тогда Фа = П &) П СО П — I УI2) Фа (g + У. т' + т) -> ф, k -> оо в 3) (/?2л+2), а потому (/*£*. Фа) = (/(£> т') * £(У> т), ф*)-> —>(/(&> т')-£ЧУ, г), ф) = (/ * g, ср), /г->сю, что и утверждалось. Таким образом, f * g £ 3) (Rn H1). Докажем, что f * g = 0, t < 0. Пусть ср (at, /) и supp фс[/ < 0]. Так как носитель <р—компакт в /?л+1, то найдется такое число di > 0, что supp ср с: [t < —dj. А тогда, выбирая б > ёр получим т] (V) т] (т) л (а2т2 — | у |2) ср (£ + у, т' -ф- т) = О, откуда, в силу (11), (J * g, ф) = 0, что и утверждалось. Непрерывность свертки f * g относительно f и g сле¬ дует из представления (11) и из непрерывности прямого про¬ изведения /(о,, т') • g(y, т) относительно / и g (см. § 7.3, а)). При этом вспомогательную функцию 1] можно выбрать не зависящей от /г. Теорема доказана. При п = 0 доказанная теорема принимает следующий вид: если обобщенные функции f (t) и g (t) обращаются в нуль при t < 0, то их свертка f * g существует в ЗУ (7?1), обращается в нуль при t <0 и выражается формулой (J * g- ф) = (/ СО • g (т), г) (V) п (т) ф (У + т)). ф G $ (в1). (13) Докажем формулу: если g(x, (/?nrI), supp gcT ь и и(х)£ ЗУ (Rn), то g * и(х) - 6(0 = g (х, 1)*и(х), (14) причем обобщенная функция g(x, t)*u(x) действуе т по правилу (g(x, t)*u(x), ср) = = («■0. О •«(£). л{a2t2—I у I2)ФСНУ, 0). фб^(/?п + 1)- (15)
174 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III Действительно, полагая в формуле (И) f = и (х) • 6 (/), при всех ср £ <25 (/?'z+1) получим (g * и (х) • 6 (/), <р) = =(g (У> т) • и (£) < 6 (т7), л (т) л (т') л (а2т2—| у |2) <р (у+%, ?+?'))= =(Я (У> ^ (£)> П (t)W2t2— |у|2) (6(0, л (Оф (у+Ь тЯ-О))= =(£ (У> т) • и (£), л (т) л (а2т2 — | у |2) Ф (у + £, т)). (16) Поскольку носитель g (у, т) содержится в полупространстве т^>0, то, в силу (13) § 5.9, £’ = л(т)£\ Далее, функция 1] (а2т2 — | у |2) ф (у +т) £ 3 (R2" и). Поэтому, продолжая равенства (16) и учитывая (15), полу¬ чим равенство (14): (g»«(x) -6(7), Ф) = = (П СО g (У- О • « (D. П (а2т2 — | у |2) ф (у 4- т)) = = (£’ (У. Т) • «(I). Л (а2т2 — | у |2) ф (у +т)) = = (g (х< t) * « (*). ф). Пользуясь теперь полученной формулой (14) и правилами дифференцирования прямого произведения (см. § 7.3, с)) и свертки (см. § 7.6), при всех k=l, 2, ... получаем равенства g * и (х) • д(*> (0 = [g- (х. t) * и (х)] = t}- * и (х). (17) 3. Запаздывающий потенциал. Пусть обобщенная функ¬ ция f (х, £)£<25 (Af,H1) обращается в нуль в полупростран¬ стве t < 0. Обобщенная функция где % п — фундаментальное решение волнового оператора, называется запаздывающим потенциалом с плотностью f. Так как supp <^/z с: Г+, то, по теореме § 11.2, запазды¬ вающий потенциал V п существует в 3)' (/?,г+1) и представ¬ ляется в виде <Уп> = 4 • /(£■ <)> iicc»nc<)ii(«2T2—|у|2)ф(у+£> т+т/))> (18) где л(т) — любая функция класса С°° (Z?1), равная 0 при т <—6 и 1 при т>—£; 6 и е — любые, 6>е>0. Кроме
§ П] ЗАПАЗДЫВАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ 175 того, по той же теореме, запаздывающий потенциал Vп (х, /) обращается в нуль при t < 0 и непрерывно зависит от плот¬ ности f в 3^ (Я"4'1). Наконец, по теореме § 10.3, этот по¬ тенциал удовлетворяет волновому уравнению Дальнейшие свойства запаздывающего потенциала V tl существенно зависят от свойств плотности /. Если f — локально интегрируемая функция в Rn 1, то Vп — локально интегрируемая функция в Rn ‘ и выражается формулами V3(x, t) 1 4лл2 Г J U (йг; at} I-* —si d; (20) Шп=/' 0 S(x;a(t-x)) f(i,x)dc,dx V a? (^ — T)2 — [Л- — si2’ (20') t x-\-a (t- c) V1(*-O = ^J J At x)didx. (20") 0 Докажем формулу (20). Пусть ф£<^(/?4). Так как / — локально интегрируемая функция в /?4, то из представления (18) получаелМ (^з, Ф) = =<^з(у. т), я (т) 11 (я2т2—I yj2)J/(£, T')il(t')<pG'+s. T+t')rfgdT')= =(2з (У. Т), 1] (Т) 1) («2т2 _ | у 12) J / (X — у, t — X) ф (А-, о dx dt). Отсюда, пользуясь формулой (1) и учитывая, что f = 0, t < 0, выводим 4ла2 ф(х»0 dydxdt, q£D(R*).
176 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ III Это значит, что потенциал У3 — локально интегрируемая функция в /?4 и представляется в виде р / (х —у, £ —1X-U »= в -—<2|> Совершая в этом интеграле замену переменных х—У = %, получаем формулу (20). Аналогично, с соответствующими упрощениями, выво¬ дятся формулы (20х) и (20") для потенциалов V2 и Сопоставим каждой точ¬ ке (х, t), t > 0, откры¬ тый конус Г.Г (х, /) = = Г- (х, t) л [0 < т < t] с вершиной (х, /), основа¬ нием U (х; at) и боко¬ вой поверхностью В (х, t) (рис. 27); здесь Г" (х, t) — прошедший световой конус (см. § 3.3). Теорем а. Если f £ С2(£ 0) при п=3 и 2, f £ С1 (/^0) при п=\, то потенциал ^л^С2(/^0) удовлетворяет оценке |V3(x, ОКу max | f (|, т)|, (22) I vn (*• О К -у _max I / (£, т) I, п = 1, 2 г0“ (•»-. 0 и начальным условиям v„| =0, =0. (23) 1/=о 01 и=э Доказательство, Докажем теорему при п = 3. За¬ мена переменных у = atx\, t > 0 преобразует формулу (21) к виду + (24) 1Л 1
§ и] ЗАПАЗДЫВАЮЩИЙ ПОТЕН Ц И А Л 177 Так как f£C2(t^ty и подынтегральное выражение в (24) имеет интегрируемую особенность, то ^3 £ С2 (/;> 0). Из представления (24) следует также оценка (22) для потен¬ циала V 3: Так как V3£C2 (f > 0), то из оценки (22) вытекают началь¬ ные условия (23). Пусть теперь п — 2. Замена переменных £ = х-4-Д^Ъ x = t— at, t>0, преобразует представление (2(У) для по¬ тенциала V2 к виду из которого непосредственно и вытекают требуемые свой¬ ства этого потенциала. Свойства потенциала V1 следуют из представления (20"). Теорема доказана. Замечание. Из формулы (20) видно, что потенциал V3 в точке х в момент времени t > 0 определяется значениями источника /(£, т) на боковой поверхности В(х, /) = [(£, т), Ц — x\ = a(t — т), 0 т t\ конуса ГТ (x, t). Другими словами, запаздывающий потенциал У3(х, /) полностью определяется значениями источника f (£, т) в шаре U (х; at), взятыми в ранние моменты времени x = t—!, причем время запаздывания ~1Х~ £|—это то время, которое необходимо для прихода возмущения из точки £ в точку х. С другой стороны, из формул (20х) и (20") следует, что значения потенциалов V2 и в точке (х, /), t > 0, опре¬ деляются значениями источника f (£, т) в самом замкнутом конусе Ге? (х, t). Эти особенности структуры запаздываю¬ щих потенциалов и определяют различия в характере рас¬ пространения возмущений в пространстве, на плоскости и на прямой (см. § 13). Пусть источник f сосредоточен на замкнутом множестве Г cz Rn ь . В силу сказанного, при п = 3 возмущение от Т 12 В. С. Владимиров
178 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III распространится на объединение границ a(t— т) = | х — £| будущих световых конусов Г ь (£, т), когда их вершины (д, т) пробегают множество Т (рис. 28); при п = 2 и 1 это возмущение распространится на объединение самих замкнутых конусов т), (д, т)£Т (рис. 29). Полученное такшм путем множество М(Т) называется областью влияния множества Г, Ясно, что вне Al (Т) будет покой. 4. Поверхностные запаздывающие потенциалы. Если f == их (х) • д (/) или f — uQ (х) • д' (/), где и иг— произ¬ вольные обобщенные функции из 2И (/?'*), то соответствующие
§ 11] ЗАПАЗДЫВАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ 179 запаздывающие потенциалы «=1. 2, 3, называются поверхностными запаздывающими потенциа¬ лами (простого и двойного слоя с плотностями их и z/0 соответственно). В силу формул (14) и (17) § 11.2, запаздывающие по¬ тенциалы и представляются в виде ^ = ^(х,О*й1(4 (25) V(i) = д$п(х, t) * Uq (х) = _д_ (х> * Uq (х)ь (2б) причем обобщенная функция (х, t) ❖ и (х) действует в соот¬ ветствии с формулой (15). Лемма. Поверхностные запаздывающие потенциалы и У^п принадлежат, классу С°° по переменной t в (0, оо) и удовлетворяют начальным условиям при Z->4-0 V{n (х, 0->°. dV'1 Qt' Z) ~>Ц1О) в ^'(/?"), (27) О->«о(4 ->0 в 3)' (/?"). (28) Доказательство. По лемме § 11.1 обобщенная функция & п (х, t) принадлежит классу С°° по переменной t в (0, со). Далее, при каждом /> 0 носитель (х, /) содер¬ жится в шаре Uat и, следовательно, равномерно ограничен в Rn при /->/о^О. Поэтому, пользуясь теоремой § 7.5 о непрерывности свертки в заключаем, что при всех Фе<2>(/Г) дк?п (*> 0 \ ъи^х), <p(x)J£C(O, оо), 6 = 0, 1, ... Отсюда, в силу равенств (3) и (17),
180 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ill выводим, что (%>п(х, f)*ux(x), ср)£С°°(О, оо). Это и зна¬ чит, в силу (25), что потенциал 0лО)(х, t) принадлежит классу С°° по t в (0, оо). Заменяя их на zz0, выводим из (26), что таким же свойством обладает и потенциал V^. Докажем предельные соотношения (27). Учитывая пре¬ дельные соотношения (4) и пользуясь непрерывностью свертки £\(x, /) * zzj (х) в <2У(/?Л), получаем при Аналогично устанавливаются и предельные соотношения (28). Лемма доказана. Дальнейшие свойства поверхностных запаздывающих по¬ тенциалов Ул0) и существенно зависят от плотностей их и zz0. Если их — локально интегрируемая функция в Rnt то поверхностный потенциал —локально интегрируемая функция в Rn [i и выражается формулами'. V^\x, t) = S (x; at} (29) _ 9 (0 f “1 (g) rfS (29') 2lM v Ja/) / aW-\x-^ ' V(i\x, t)- x + af (29") x-ai Установим формулу (29). Так как функция их—локально интегрируемая в А!3, то, пользуясь формулами (25), (15) и (1)
§ И] ЗАПАЗДЫВАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ 181 при всех ф £ 3) (R4), получаем (V30. ф) = (£4 (*• 0 * “1(*). ф) = = (^3 (у. t), Т] (а2/2 — I у I2) J ил (|) ф (у +1, t) л) = оо = 4^/^ / J И1 (х ~ У) Ф (х> t)dxdSydt = 0 Sat К' ф (*, О t откуда следует, что Уз0) локально интегрируема в R4 и пред ставляется в виде (ср. с формулой (26) § 7.8) Совершая в этом интеграле замену переменных х— у = д, получим формулу (29). Аналогично, с соответствующими упрощениями, выводятся формулы (29z) и (29/z) для потен- циалов 140) и V\0). Теорема. Если uQ £ С3 (/?zz), £ С2 (Rn) при п — 3 и 2; wo€^2(J^1)’ при /7=1, то потенциалы uV® принадлежат классу удовлетворяют оценкам', |Уз0)(х. /)|<^ max IMDI; (30) <S (X‘t at) IVn^x, /)|</ max 1 «1 (fc)I. /г =1,2; (30') U(x; at) J V^1’(лг, OK max | u0 (£) | -4- at max | grad u0 (|) |, (31) S (x; at) S (.v; at) I Уг1’ (х> О | К _max | uQ (£) | + at jnax | grad u0 (£);, (3 Г) U (x; at) U (x-, at) I У’’ (*- ОI < _max | U0 (1) | U (x; at) (31")
182 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III и начальным условиям'. И„0) = 0, /=-1-0 дИ,г0) ~дГ = их (х), /= + о Ч= + 0 dt = 0. / = -!-0 (32) (33) Доказательство. Пусть п — Ъ. Совершая в фор¬ муле (29) замену переменных х — t> = ats, t > 0, получим представление V^0)(x, /) = —4^’ j ux(x— ats)ds. (34) из которого следует, что И>0) е с2 (/> 0), если и^С2^3). и удовлетворяет оценке (30). Дифференцируя формулу (34) по I и пользуясь (26), получим представление для потен¬ циала VS>: V>.“(X, /) = М- JJ *.•%;-'*> & s. si откуда вытекает, что VT £ С2(Г> 0), если ^о6^3(^3)« и удовлетворяет оценке (31): V*} (х, /) | <1 шах | а0 (х — ats) I -ф- at max I I |5] = i Pl=i« 03 I <; шах | uQ (g) | + at max | grad uQ (x) |. S (x; at) S (x; at) При n = 2 замена переменных £ = x — atri при Z>0 преобразует представление (29х) для потенциала lA0) к виду И0) (X, t) _ 0(i)i f u^x — ati]) . “ 2л j 1 откуда и из (26) вытекают требуемые свойства гладкости и оценки (30') и (31') для потенциалов VS>0) и V‘P. Соответствующие свойства потенциалов Vi0) и Vi!) следуют из представлений (29") и (26). Теперь установим справедливость начальных условий (32) и (33). В силу (27) и (28), эти условия выполнены в смысле
§ 12] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 183 сходимости в пространстве (Rn). Но по доказанному функ¬ ции И„0) (х, /) и V^(x, t) принадлежат классу С2 (t 0). Следовательно, эти функции удовлетворяют условиям (32) и (33) в обычном смысле. Теорема доказана. Замечание. Формулы (29), (29') и (29") формально следуют из формул (20), (20') и (20"), если в них положить f (g, т) = (g)-6 (т) и «проинтегрировать» 6 (т). § 12. Задача Коши для волнового уравнения Прежде всего, применим теорию обобщенных функций к решению задачи Коши для обыкновенного линейного диф¬ ференциального уравнения. 1. Задача Коши для обыкновенного линейного диф¬ ференциального уравнения. Имея в виду изложение идеи метода, ограничимся рассмотрением простейших дифферен¬ циальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим задачу Коши и"а~и = f (t), u\l=+0 = u0, (1) где C(/^>0). Продолжим решение и (t) этой задачи и функцию f (0 нулем при t < 0; продолженные функции обо¬ значим через и и f соответственно. Тогда (см. § 6.3, а)) и' = {и'} 4~ (О’ и" — [и"\ 4- (О + (О и> стало быть, функция и удовлетворяет в R1 уравнению и" 4- ай = f(t) 4- uQ6' (0 4- zzjd (/). (2) Построим решение уравнения (2). Так как фундаменталь¬ ное решение (t) — 0 (/) —оператора и" 4~ а2 и (см. § 10.5) обращается в нуль при t < 0, то свертка его с правой частью уравнения (2) существует в ЗУ (Rx), обращается в нуль яри t <0 (см. § 11.2). Следовательно, по теореме § 10.3, реше¬ ние уравнения (2) существует и единственно в классе обоб¬ щенных функций из ЗУ (Z?1), обращающихся в нуль при / < 0, причем это решение выражается сверткой И = (У * (/ 4~ ^0^' 4“ == 4~ • СО
184 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. II! Принимая во внимание формулу (15) § 7.4, перепишем полу¬ ченное решение (3) в виде t и (О = ± j f (т) sin a (t — т) dx 4- (t) + (Z). (4) о Так как решение задачи Коши (1), продолженное нулем при t < 0, удовлетворяет уравнению (2), а такое решение этого уравнения единственно, то формула (4) при t > О, действительно, дает решение задачи Коши (1): t. u(f) = — f(x)sina(t— т) dx -4- uQ cos at 4~ ux -s—-. (5) a J a о Аналогично решается задача Коши и'4-шг = /(/), и|/=+0 = и0. (Г) Соответствующее уравнение (2) принимает вид uf -i- аи = f (О 4- uQb (Z). (2Z) Решение этого уравнения единственно и дается формулой и = (э * (f uQ6) = * / 4~ > (3х) где (t) = 0 (/) e~at — фундаментальное решение оператора и ' Л-а и (см. § 10.5). Таким образом, решение задачи Коши (lz) представляется фо р м у л о й t f f (т) e~a г)(7т (5Z) б аналогичной формуле (5). 2. Постановка обобщенной задачи Коши для волно¬ вого уравнения. Схема решения задачи Коши, изложенная в предыдущем пункте для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, применяется для решения задачи Коши для волнового уравне¬ ния: □«« = /(*. О- «|/=-(о = «о(*)> ,_0=м1 W- Считаем, что f £C(t 0), «0 £ С1 (/?") и и1 £ С (Rn). (6) (Д
§ 12] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 185 Предположим, что существует классическое решение и (х, /) задачи Коши (6) — (7). Это значит, что функция и класса С2а>0)ПСг (/ 0) удовлетворяет уравнению (6) при t > 0 и начальным условиям (7) при (см. § 4.2). Продолжим функции и и f нулем при t < 0, положив и, />0, ~ | />0, 0, t <0, 0, t <0. Покажем, что функция и (х, t) удовлетворяет в Rfl + } вол¬ новому уравнению □ J=/(x, /)4-rzo(x).6'(/) + M*)* W (8) Действительно, при всех ф £ .5) (/?л + 1) имеем цепочку равенств оо (□а«, <P) = (U, na<p) = J J u[Ja(pdxdt = и Rn dx dt = = lim e-> +o p oo j / a2 M(p dx dt - -e Rn — / (^’ e) и (x, e) dx 4- J q> (x, e) —dx = Rn Rn — J J /<p dx dt — J и (x, 0) dx 4- 0 Rn Rn -f- f Ф(х, 0) dx= j* f dxdt — Rn Rd + ' — j «0 (*) d(f °- dx + f «I (x) <P (x< °) dx = Rn RH = (7 + «о (X) • 6' (t) + U1 (X) • 6 (0> Ф). откуда и вытекает равенство (8).
186 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III Таким образом, начальные возмущения uQ и ил для функ¬ ции и (х, t) играют роль источника zz0 (х) • д' (/) + «1 (*) • д (/), действующего мгновенно при / = 0. (При этом, начальному возмущению uQ соответствует двойной слой и0 (х) • д' (/), а начальному возмущению z/j — простой слой ил (х) • д (t) на плоскости t — 0.) Далее, классические решения задачи Коши (6) — (7) содержатся среди тех решений уравнения (8), кото¬ рые обращаются в нуль при t < 0. Это дает основание на¬ звать задачу об отыскании (обобщенных) решений уравне¬ ния (8), обращающихся в нуль при t < 0, обобщенной задачей Коши для волнового уравнения. Но в таком случае в уравне¬ нии (8) /, Uq и их можно считать обобщенными функциями. Итак, введем следующее определение. Обобщенной зада¬ чей Коши для волнового уравнения с источником / £ <2^ (/?/м !) и начальными возмущениями zz0 £ ЗУ (Rn) и их£ЗУ (Rn) назо¬ вем задачу о нахождении обобщенной функции и £ ЗУ (/?л+1), обращающейся в нуль при t < 0 и удовлетворяющей волно¬ вому уравнению = f О’ 0 + ^0 W • (0 + М • 6 (0. (Я) Уравнение (9) эквивалентно следующему (см. § 10.1): для любой ср £ 3 (R'lr!) справедливо равенство («> □аф) = (/> ф) —(«0. + 0))- (9/) Из уравнения (9) следует, что необходимым условием разрешимости обобщенной задачи Коши является обращение в нуль f при t < 0. Сейчас будет показано, что это условие является и достаточным. 3. Решение обобщенной задачи Коши. Теорема. Пусть f (/?'!+1), и0 £ (/?") и £ £>' (/?"), причем / = 0 при / < 0. Тогда решение соответствующей обобщенной задачи Коши существует, единственно и представляется в виде суммы трех запаздывающих по¬ тенциалов u = Vn + V^ + V^. (10) где Vn = * /, И„0’ = Яп (х, 0 * М1 (х). V'1’ - * Ио (л.)_ Это решение непрерывно зависит от f, zz0 и их в 3'.
§ 12] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 187 Доказательство. Г1о условию правая часть уравне¬ ния (9) /(х, + + обращается в нуль при t < 0. Поэтому по теореме § 11.2 свертка ее с фундаментальным решением & п волнового опера¬ тора существует в 3)' (/?п+1) и обращается в нуль при t < 0. По теореме § 10.3, решение уравнения (9) существует и единственно в классе обобщенных функций из 3)' (У?/г+1), обращающихся в нуль при t < 0, причем это решение выра¬ жается сверткой и = (э п * [f + uQ (х) • 6х (/) Д- «J (х) • б (/)] — = ?n*f+?n*»0 (*) • b' (t) + * и, (X) . б (0. (1 1) Отсюда, пользуясь формулами (25) и (26) из § 11.4, и полу¬ чаем представление (10) для искомого решения обобщенной задачи Коши. Докажем непрерывную зависимость построенного реше¬ ния и от /, и0 и их в 3' (/?л+1). Если //г = 0, t < 0 и fk —> /, k—>оо в <^z(/?n+1), tiOk—.>zz0, >z/p k—.>oo в 3'(R”), то, в силу непрерывности прямого произведения (см. § 7.3, а)), fk + (*) ‘ & (0 + uik (*) ’ (О f + Uq (*) • б' (0+41 W -6(0, /г —> оо в Поэтому, пользуясь непрерывностью свертки (см. теорему § 11.2), из (11) получаем uk — п * к + uQk (х) • (f) + + (х) ’ 6 (01 —> п * If + и0 W • 6Z (0 + Щ (х) • б (01 = & —> оо в ^Z(/?zz + 1). Теорема доказана. Следствие 1. Если u£C2(t^0) и и(х, f) = 0 при £ < 0, то справедлива следующая формула'. и(х, f) = Vn(x, 0 + ^/2+ 0 + ^/2+ 0» (12) где Vп — запаздывающий потенциал с плотностью {Па^}, V™ и V<’> — поверхностные запаздывающие потенциалы
188 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ III . ди (л, 4- 0) простого и двойного слоя с плотностями — —- и и (х, + 0) соответственно. Действительно, функция и (х, t) есть решение следующей обобщенной задачи Коши: □а« =(□*«)+«(*•+ 0) • у (0 + . б (/) (см. § 12.2) и, следовательно, по теореме § 12.3, предста¬ вляется в виде суммы (12) трех запаздывающих потенциалов с указанными плотностями. Следствие 2. При f = Q решение u(xt t) обобщен¬ ной задачи Коши принадлежит классу С°° по перемен¬ ной t в (0, оо) и удовлетворяет начальным условиям (7) в смысле слабой сходимости: и(х, t)->u0(x), -^^L->ux(x), /->4-0 в & (R"). (13) Действительно, по лемме § 11.4, потенциалы и принадлежат классу С™ по t в (0, оо) и удовлетворяют на¬ чальным условиям (27) и (28) из § 11.4. Следовательно, их сумма И?, + 41). являющаяся, в силу (10), решением обоб¬ щенной задачи Коши при f = 0, принадлежит классу С°° по t в (0, оо) и удовлетворяет начальным условиям (13). 4. Решение классической задачи Коши. Из теорем §§ 11.3, 11.4 и 12.3 вытекают следующие утверждения о разрешимости классической задачи Коши для волнового уравнения. Пусть /£С2а>0), "оЕсз<7?") и u^C^R") при л = 3, 2; "оС^/?1) и ПРИ ^=1- Тогда классическое решение задачи Коши (6) — (7) существует, единственно и выражается Формулой Кирхгофа при п = 3 щ I— ' 4яа2^
§ 121 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 189 f (В, т) dl dx Формулой Пуассона при п = 2 e(x0=_Lf f _ -2яа J U(х, а' (Г-г)) Уа2 « - Т)2 - I Х - £ I2 4 ■ 1 f и. (s) dj _1~ 2ла . J , Кa2t2 — I x — £ I» g) di "Т" 2яа dt J У <z2/2 —|x —g|2 ’ ‘ U{x\ at) 1 ъ 1 Формулой Даламбера при п = 1 t x+a\t-x) x+at = J fa,T)didt + ± j* 0 x-a(t-r) x-at “by lzzo(x 4“ + wo(x — a0b (14") Это решение непрерывно зависит от данных /, и uv задачи Коши в следующем смысле: если эти данные изме¬ няются так, что “о| < %’ Hi—M<ei’ |^rad(?o—^о)| < ео (последнее неравенство нужно только при п = 3 и 2), то соответствующие решения и и и в любой полосе 0 t Т удовлетворяют оценкам: j и (х, t) — и(х, | -g-£-(-T&J-|-% И-лТе^, п=3, 2; | и (х, /) — и(х, О I ”2~ е Ч~-*-е1 Ч-ео» я=1. Резюмируя, можно сказать, что задача Коши для волно¬ вого уравнения поставлена корректно (см. § 4.6), причем С2 (/• > 0) р С1 (Z 0) — класс корректности классической задачи Коши и — класс корректности обобщенной задачи Коши (см. теорему § 12.3). Замечание. Изложенный метод решения задачи Коши для волнового уравнения без существенных изменений переносится на случай любого числа пространственных переменных и, а также па задачи, у которых данные Коши заданы на произвольной
190 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ III пространственно-подобной поверхности *) (см. § 4.3). Более того, этот метод применим к задаче Коши для произвольных уравнений гипер¬ болического типа с постоянными коэффициентами. Такое уравнение характеризуется тем, что оно обладает фундаментальным решением с носителем, заключенным в выпуклом конусе, не содержащим целой прямой (см. Л. Хёрмандер, [1], гл. V). Впервые в явной форме этот метод был применен С. Л. Соболевым [2] (1936 г.) для решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка. 5. Упражнения, а) Пользуясь фундаментальным решением оператора Дирака (см. § 10.12, d)), показать, что решение задачи Коши для уравнения Дирака (см. § 2.8) \ л=о / ¥|Хо=+О = Ч'о(\), ^0 == (Фо1* Ф02> Ф'03> ФоД выражается формулой = — °г (х°’ * у0<1,° Свертка матрицы с вектором определяется по обычным правилам с заменой операции умножения на операцию свертки *. b) Пользуясь фундаментальным решением оператора Клейна — Гордона (см. § 10.12, Ь)), показать, что решение задачи Коши для уравнения Клейна — Гордона (см. § 2.8) выражается формулой Ч = D' (х0, х) * и, (х)+ д°Г^ Х} » «0 (А-). c) Показать, что решение смешанной задачи □ои=0, 4z=+0 = 5-| = °- м1л-+0 =1Н0. 0<л, Z < оо, 1/=4-0 является функция “(X, = = здесь ф £ С ([0, оо)), ф = 0, t < 0. d) Исходя из формул (20) и (20х) § 11.3, показать, что запазды¬ вающие потенциалы 1\(х, /), п = 3, 2, принадлежат классу С2 (t > 0), если плотность f (/^>0). *) Гладкая поверхность Х = [^ = о(л)] называется простран¬ ственно-подобной, если в каждой ее точке (л, t) нормаль п лежит в конусе Г+ (х, t) (см. § 3.3).
§ 13] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 191 § 13. Распространение волн В этом параграфе будет дана физическая интерпретация решения волнового уравнения, полученного в § 12. Пусть uQ и их—достаточно гладкие функции. Тогда на¬ чальное возмущение zz0(x) ‘ ^(O + ^W • 6(0 порождает при />0 возмущение zz (аг, t), выражающееся формулами (14), (14z) и (14") § 12.4 при / = 0. Эти формулы перепишем в единой форме U (х, () = (g\ (х -l.t), ил (У) + 0 ’ ио • (!) Из формулы (1) видно, что возмущение и в точке х в мо¬ мент времени t > 0 является наложением (суперпозицией) элементарных возмущений Ms) ^(*-4-0 и 0 . порождаемых соответственно начальными возмущениями «1(&)6(АТ —&) • 6(/) И zZ0(D6Gv-^).dZ(0, сосредоточенными в отдельной точке £ (при этом точка £ естественно пробегает множество, где сосредоточено началь¬ ное возмущение). В этом состоит принцип суперпозиции, волн (см. также § 10.3). Конкретная реализация принципа суперпозиции сущест¬ венно зависит от структуры фундаментального решения £%(x, t) и, стало быть, от числа п пространственных пере¬ менных. Это в свою очередь определяет особенности в ха¬ рактере распространения волн в пространстве, на плоскости и на прямой. 1. Распространение волн в пространстве. Из выражения для фундаментального решения трехмерного волнового опе¬ ратора ММ = x=(xlt х2, х3), вытекает, что возмущение ^3(х, t) от точечного, мгновенного действующего источника б(х)-б(?) к моменту времени t > 0 займет сферу радиуса at с центром в точке х = 0 (рис. 30 и 25). Это значит, что такое возмущение распростра¬ няется в виде сферической волны \x\ = at> движущейся
192 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ III со скоростью я, причем после прохождения этой волны опять наступает покой. В этом случае говорят, что в пространстве имеет место принцип Гюйгенса. Отсюда, в силу принципа суперпозиции, вытекает, что возмущение и (х, /) при t > О от произвольного начального возмущения zz0 (х) * Н~ + (*) • 6 (/) полностью оп¬ ределяется значениями uQ(g) и их (£) на сфере 5 (х; at), т. е. в точках границы осно¬ вания конуса Го" (х, /) (см. § 11.3 и рис. 27). Пусть теперь начальное возмущение сосредоточено на компакте К. В силу ска¬ занного, в точку х£К воз¬ мущение придет в момент г d * времени tQ = — и будет действовать в этой точке в течение времени D — d и D — минимальное и максимальное до точек множества К (рис. 31). При / > -у = Л в точ¬ ке х снова наступает покой. Таким образом, в момент времени tQ через точку х проходит передний фронт волны, а в момент време¬ ни через эту точку про¬ ходит задний фронт вол¬ ны. При этом в момент вре¬ мени t передний фронт будет внешней огибающей сфер S (£; где d от точки х расстояния at), когда £ пробегает К, а*задний фронт — внутренней огибающей этих сфер (рис. 32). Другими словами, в момент времени t возмущение рас¬ пространится на область, заключенную между передним и задним фронтами волны. Рассматривая эту картину при всех / > 0, заключаем, что в пространстве четырех переменных
§ 13] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 193 (х, t) возмущение от К будет иметь место лишь на объеди¬ нении границ |х — = будущих световых конусов Г+ (£, 0), когда их вершины (£, 0) пробегают компакт /С в плоскости Рпс. 32. т = 0. Полученное множество в Z?4 есть область влияния М(К) компакта К (см. § 11.3 и рис. 28). 2. Распространение волн на плоскости. Из формулы для фундаментального решения двумерного волнового оператора (^2 О 0 (at — | х |) 2тш УаЧ2 — | х |2 х = (хЛ, х2), вытекает, что возмущение ^2(x, О от точечного, мгновенно действующего источника б(х) • б(/) к моменту времени t > 0 займет круг U at (рис. 33 и 34). Таким образом, наблюдается передний фронт волны Sat, движущийся на плоскости со ско¬ ростью а. Однако в отличие от пространственного случая за передним фронтом возмущение наблюдается во все по¬ следующие моменты времени, так что задний фронт волны отсутствует. В этом случае говорят, что на плоскости имеет место диффузия волн. При этом принцип Гюйгенса нару¬ шается. Чтобы понять, почему происходит диффузия волн на плоскости, заметим, что фундаментальное решение &2(х, t), рассматриваемое как функция четырех переменных (х, х3, /)> представляет собой возмущение от мгновенного источника 6(х) • 1 (х3) • б(/), сосредоточенного на оси х3(см. §§ 10.4 и 10.7). От такого источника в R3 возмущение распростра- 13 В. С. Владимиров
194 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III няется в виде цилиндрической волны, х\-\-х\^ аН\ перед¬ ний фронт которой х2 + = а2/2 движется со скоростью а перпендикулярно оси х3 (рис. 34). После прохождения пе¬ реднего фронта возмущение сохраняется бесконечно долго. в данную точку (х0, 0) £ R3 в момент времени t > 0 возму¬ щение от источника д(х) • 1 (х3) • 6(/) будет приходить из тех точек сферы | х — xQ |2-f- х% = л2/2, которые лежат на оси х3, т. е. из точек (рис. 34) ± Aat = I0’ ± Vа2(2 — I х I2 }• Отсюда следует, что при t < -Ц-— = tQ в точке (х0, 0) будет покой; в момент времени /0 через эту точку пройдет передний фронт волны (возмущение придет из точки х = 0); во все последующие моменты времени t > t0 в эту точку будут приходить одинаковые возмущения из точек ± И, стало быть, в ней будет наблюдаться отличное от нуля сум¬ марное возмущение (задний фронт волны отсутствует). Из наличия диффузии волн на плоскости в случае точеч¬ ного начального возмущения d(x)*d(Z) следует, что диффу¬ зия волн наблюдается и для произвольного начального воз¬ мущения uQ (х) . д' (/) щ (х) • д (/). Действительно, соответствующее возмущение и (х, f) при /> 0, в силу принципа суперпозиции, полностью опреде¬ ляется значениями я0(|) и ui(& в круге U (х; at), т. е. на
§ 13] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 195 основании конуса Г~ (х, /) (рис. 27). Поэтому если началь* ное возмущение сосредоточено, скажем, на компакте /С, то в момент времени t > 0 возмущение и (х, t) распространится на область, представляющую собой объединение кругов U (£; at), когда их центры £ пробегают К (рис. 35). Таким образом, здесь на¬ блюдается передний и отсутствует задний волны. В соответствии с областью влияния компакта К является динение замкнутых будущих световых конусов Г+ (£, 0), когда их вершины (£, 0) пробегают К в плоскости т = 0 (рис. 29). 3. Распространение волн на ментального решения одномерного волнового оператора (х, t) = в (at — | х |), х = хр фронт фронт этим, /И (К) объе- u&at) Рис. 35. прямой. Из вида фунда- вытекает, что возмущение (х, t) от точечного, мгновенно действующего источника д(х) • 6(t) к моменту времени t > 0 займет отрезок —at х at (рис. 23). В этом случае на¬ блюдаются два передних фронта x = at и х =— at, движу¬ щихся на прямой со скоростью а направо и налево соот¬ ветственно. Как и в плоском случае, за фронтом волны наблюдается возмущение (в данном случае оно постоянно и равно , т. е. имеет место диффузия волн. Чтобы понять это явление, дадим трехмерную интерпре¬ тацию фундаментальному решению т (х, t). Это решение представляет собой возмущение от мгновенного источника d(Xj)- 1 (х2, х3)-б(/), сосредоточенного на плоскости Xj = 0. От такого источника в /?3 возмущение распространяется в виде плоской волны, | хх |<;at, передний фронт которой | Xj | = at движется со скоростью а, перпендикулярно плоскости х1 = 0. 13*
196 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III Отметим, что в этом случае передний фронт состоит из двух плоскостей Xj = at и хх =— at, движущихся со скоростью а направо и налево соответственно относительно плоскости х1 = 0 (рис. 36). После прохождения переднего фронта волны возмущение сохранится бесконечно долго. Действительно, в силу принципа Гюйгенса, в данную точку (х0, 0, 0) £ /?3 в момент времени t > 0 возмущение х3) • 6 (0 будет приходить из тех точек сферы | хт — х012 + -|- х2 + х2 = а2/2, которые лежат на плоскости хх = 0, т. е. из точек окружности (рис. 36), ~~х' = a2t2 — х2, Xj = 0]. Отсюда следует, что при / < = tQ в точке (х0, от источника 6 (Xj) • 1 (х2, Рис. 36. 0, 0) будет покой; в момент времени tQ через эту точку пройдет передний фронт волны (возмущение придет из точки (0)); во все последующие моменты времени t > tQ в эту точку будут приходить оди¬ наковые возмущения из точек окружности Aai и, стало быть, в ней будет наблюдаться отличное от нуля суммарное возму¬ щение (задний фронт волны отсутствует). Из наличия диффузии волн на прямой в случае точечного начального возмущения б(х) • д(/) следует, что диффузия волн наблюдается и для произвольного начального возмущения (х) • д (/). Рассмотрим теперь мгновенный точечный источник вида д(х)-д'(/). По теореме § 12.3 этот источник порождает возмущение -Д / ZN ^С-1 (X, t) С , X б 1 (Л-, О = « д (х) (X, t) dt 2^-^-0(aZ—|x|) = yd(a/ —|x|). (2) Отсюда видно, что возмущение (х, t) в момент времени t будет находиться только в двух точках х= ± at, так что
§ 13] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 197 после прохождения фронта волны | х | = at снова наступает покой. В этом случае имеет место принцип Гюйгенса. Для произвольного начального возмущения вида zz0(x)-d'(Z) возмущение и(х, t) при Z>0 полностью определяется значениями я0(£) в точках х ± at, т. е. в точках границы основания конуса Го (х, Z) (рис. 27). Это возмущение, в силу теоремы § 12.3, дается формулой и = - ■ * Uo (х) = (Х, f) * UQ (х). Отсюда, учитывая равенства (2), получаем при t > О и (х, t) = yd (at — | х |) * я0 (х) = = у —h #/) "т* (3) t > 0 ri, что на- бы распа- области влияния отрезка Физический смысл формулы (3) состоит чальное возмущение и0(х) • д'(t) при дается на два подобных возмущения у uQ (х ± at) каждое с половинной ин¬ тенсивностью (рис. 37). На¬ пример, распад разрыва сту¬ пеньки uQ = 0 (х), в силу формулы (3), происходит так, как это изображено на рис. 38. В соответствии со сказанным, К = р, для начальных возмущений (х) д(/) и а0(х) • д'(t) имеют вид, указанный на рис. 39 и 40 соответственно.
198 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III Таким образом, на прямой для начального возмущения W](x)-d(£) имеет место диффузия волн, а для начального возмущения и0(х) • д' (£)— принцип Гюйгенса. 4. Метод распространяющихся волн. Основываясь на методе характеристик, изложим другой метод — метод рас¬ пространяющихся волн—решения классической задачи Коши для одномерного однородного волнового уравнения □а« = 0. (4) “!;_о=М4 w| =«iW. (5) 1 ‘ 01 1/=н-о Прежде всего докажем следующую лемму. Лемма. Для того чтобы функция и Ос, t) класса С2 была решением волнового уравнения (4) в некоторой об¬ ласти, необходимо и достаточно, чтобы в этой области она представлялась в виде и (ус, t) = f (х — at) + g (х + at), (6) где /(£) и g(T]) — функции класса С2 в соответствующих интервалах изменения переменных | и т].
§ 13] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 199 Доказательство. Функция (6) удовлетворяет урав¬ нению (4), так как —- — а2}" (х — at) 4- a2g" (х at) — а2 . Обратно, пусть функция и(х, t) класса С2 удовлетворяет уравнению (4) в некоторой области. Представим уравнение (4) в каноническом виде. В соответствии со сказанным в § 3.4, его дифференциальные уравнения характеристик имеют вид dx dx и, следовательно, замена переменных 1 = х — at, 1] = х4-а/ приводит уравнение (4) к каноническому виду (7) Интегрируя это уравнение по £, получим где % — некоторая функция класса С1. Интегрируя теперь полученное уравнение по т], запишем функцию и в виде «(L Vt) = J X (п') + /(1) = / (I) + g (п)- (8) где / и g — некоторые функции класса С2. Переходя к ста¬ рым переменным х и t по формулам (7), выводим из (8) представление (6) для решения и (х, t). Лемма доказана. Физическая интерпретация решения (6). Функ¬ ция f (х — at) описывает возмущение, которое из точки xQ в момент времени t = Q приходит в точку х = х04~^ в момент времени t (рис. 41). Поэтому эта функция пред¬ ставляет собой волну, двигающуюся направо со скоростью а. Аналогично функция g(x-\-at) представляет собой волну, двигающуюся налево со скоростью а (рис. 41). Общее ре¬ шение (6) волнового уравнения (4) есть суперпозиция этих двух волн.
200 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III С помощью представления (6) общего решения волнового уравнения (4) классическое решение задачи Коши (4) — (5) строится следующим образом. Предположим, что решение и(х, f) этой задачи суще¬ ствует. Тогда, по лемме § 13.4, это решение представляется в виде (6), с функциями f и g из класса C2(R}). Для того чтобы решение и(х, t) удовлетворяло начальным условияхМ (5), необходимо, чтобы функции f и g удовлетворяли соотно¬ шениям / (х) + g (х) = и0 (х), — af (х) + ag! (х) = их (х), т. е. f (I) + g © = «о Й). g (В) - f (В) = I / «I (В') dV + С, (9) о где С — некоторая постоянная. Решая уравнения (9) относи¬ тельно неизвестных функций f и g, /(В)=|«о(В)-^/«1(В')^В'--|-' о л g (П) = 4 «о 01) + i J «1 (Г) dt,'+4. и подставляя полученные выражения для f и g в формулу (6), получаем формулу Даламбера (см. § 12.4) x+at U(x, I) = У [«о О + at) 4-и0(х—а/)Л- ]* »i(B)dB- (Ю) x-at
§ 13] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 201 Непосредственной проверкой убеждаемся, что формула Даламбера (10) действительно дает классическое решение задачи Коши (4) — (5), если zz0 £ С2 (R1) и их £ С1 (Z?1). Это решение единственно (см. § 12.4). 5. Метод отражений. Полубесконечная струна. Изло¬ женный в предыдущем пункте метод распространяющихся волн решения задачи Коши для уравнения (4) позволяет решать некоторые смешанные задачи для этого уравнения. Для опре¬ деленности рассмотрим смешанную задачу (см. § 4.5), опи¬ сывающую колебание полубескоиечной струны х 0 с за¬ крепленным левым концом <=о = О- (И) Предварительно докажем, что всякое классическое ре¬ шение и (х, /) волнового уравнения (4) в квадранте х > 0, t > 0, удовлетворяющее условию (11), представляется в виде и(х, t) = g(х4-at) — g(— x + at), g£C2(Rl). (12) Действительно, по лемме. § 13.4, решение u(x, t) пред¬ ставляется в виде (6), где /(^)С^(^1) и S 01) € ^2(Л > 0). Отсюда, учитывая условие (11), получим 0 = /(— ^) + ^П)> откуда и следует представление (12). Физическая интерпретация решения (12). Это решение представляет собой суперпозицию двух волн: волны g(x-\-at), движущейся со скоростью а влево, и волны — S (—x-\-at), движущейся с той же скоростью вправо. Пусть волна g(x-\-at) движется по полубескоиечной струне х 0, закрепленной в точке х = 0. Тогда волна — g(—x-\-at) будет двигаться по полуоси х<;0 навстречу волне g(x-{-at) (рис. 42). В некоторый момент времени эти волны встретятся в точке х = 0 и, накладываясь друг на друга, дадут нулевое возмущение в этой точке. При даль¬ нейшем движении волна g(x-{-af) окажется за пределами струны, в то время как волна —g(—x-\~at) перейдет на саму струну. В результате на струне будет наблюдаться отражение волны g (х 4- at) от конца струны х = 0 с изменением знака (рис. 43).
202 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. ПГ Построим теперь решение смешанной задачи (4)-(5)-(11). Всякое классическое решение и (х, t) этой задачи, в силу (12), допускает нечетное продолжение и(х, t) по х класса С2(/?2) и это продолжение удовлетворяет уравнению (4) в R2. Отсюде и из условий (5) вытекает, что решение и(х, t) удовлетво¬ ряет начальным условиям " L=+o = |/ = +0 = “l(x)’ (13) где Uq и zzj — нечетные продолжения функций uQ и их соот¬ ветственно. Но решение такой задачи Коши единственно и представляется формулой Даламбера (10) с заменой uQ на ito и z/j на zzp если zz б?2 (Z?1). и Эти последни- условия выполнены, если zz0eC2(x>0), «1СО(х>0), «о(О) = «;(О) = И1(О) = О. (14) Итак, если выполнены условия (14), то решение смешан¬ ной задачи (4)-(5)-(11) существует, единственно и задается формулой и (х, /) = £- [zz0 (х at) + uQ (х — at)] -|- x-'rat J x>°- <15) x-at Пусть x— Тогда zz0 (x — at) = u0 (x — at), zzx (£) = ux (£), £ > x — at > 0,
§ 13] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 203 и формула (15) принимает вид 0 = + + —^01 + x + at + 27 J «1(ь)^- x>at. (16) x-at Пусть теперь х — at^Q. В этом случае ио (х aQ = — (— х Ч~ #/), ui (У = — ui (— D* х — at £, 0, и формула (15) принимает вид и(х, 0=4 [u^x-Vat) — zz0(^ —х)] + x+at + i J 0<x<a(. (17) at-x Как видно из формулы (17), в точку (х, f), O^x^at, приходят две волны: прямая волна из точки (x-]-ai, 0) и один раз отраженная волна из точки (at — х, 0) (совпа¬ дающая с прямой волной из фиктивной точки (х — at, 0), см. рис. 44). Аналогично рассматри¬ вается смешанная задача для полубесконечной струны х 0 со свободным концом: Рис. 44. да I = 0. Здесь также имеет место отражение волн от конца струны х = 0, но уже без изменения знака. 6. Метод отражений. Конечная струна. Применим метод отражений, изложенный в предыдущем пункте, для решения смешанной задачи для конечной струны 0 х I с закреп¬ ленными концами zz|x=o = zz|x=z = O, (18)
204 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. Ill Сначала докажем, что всякое классическое решение и(х, t) волнового уравнения (4) в полуполосе 0 < х </, t > 0, удовлетворяющее условиям (18), представляется в виде и (х, /) = g (х 4- at) — g (— X + at), ga+2/)=ga), (19) Действительно, по лемме § 13.4, решение u(x, t) пред¬ ставляется в виде (6), где f(l)£C2(£ < I) и g (n) £ C2(r\ > 0). Отсюда, учитывая условия (18), получим £•(□ = -/ (~У, f (/ -Ч) = - g (/ + D- (20) Эти соотношения определяют продолжение функций f и g на вСю ось с сохранением класса С2. В самом деле, равен¬ ство g(£) =— f(—£) распространяет функцию g на интервал (— I, сю). А тогда второе из равенств (20), записан¬ ное в виде /(т|) = — g(2l— г|), рас¬ пространяет функцию f на интервал (—со, 3/). И т. д. В результате та¬ кого продолжения функции f и g будут принадлежать классу C2(Rl) и удовлетворять соотношениям (20). От¬ сюда вытекает представление (19) и 2/-периодичность функции g: — g* G + D = / (^ — £>) = = -g(-i + l). Решение (19) показывает, что имеет место отражение волн от обоих концов х = 0 и х = 1 с изменением знака. Отсюда следует, что движение струны — периодическое по времени 2/ с периодом — (рис. 45). Теперь построшм решение смешанной задачи (4)-(5)-( 18). Если классическое решение и(х, t) этой задачи существует, то, в силу (19), оно допускает нечетное продолжение и(х, t) по х относительно точек х = 0 и х = I и это продолжение принадлежит классу С2(/?2) и удовлетворяет уравнению (4) в R2. Отсюда и из условий (5) вытекает, что функция и (х, t) удовлетворяет начальным условиям (13), в которых функции
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН 205 § 13] Uq и и{— соответственно нечетные продолжения функций uQ и относительно точек х = 0 и х = 1. Рассуждая теперь, как и в предыдущем пункте, заключаем, что если функции uQ и их удовлетворяют условиям «0 с С2 ([0, I]), «0 (0) = (0) = Uo (Z) = и" (/) = 0, «^([О, /]), «1(0) = м1(/)=0, (21) то решение смешанной задачи (4)-(5)-(18) существует, един¬ ственно и дается формулой x+at и{х, 0 = 4[«(х + аО + «(х — а/)1+ J x-at 0<х</. (22) Пусть точка (х, Z) расположена так, как показано на рис. 46. Тогда формула (22) в этой точке принимает вид V и(х, 0=4[«o(Y)-«o(P)]-i (23) р Действительно, пользуясь правилом отражений, имеем «о (*) = “о (V) • «о (е) = — «о Ф). J /71 (£) j U, (□ dl + [ и, © dl = bbl I р р =J J «i&m= J u^di,
206 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III откуда и из (22) вытекает формула (23). Она показывает, что в точку (х, t) приходят две волны: один раз отражен* ная волна от конца х = I — из точки р и по одному разу отраженная волна от концов х = I и х = 0 — из точки у (рис. 46). § 14. Задача Коши для уравнения теплопроводности Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности строится методом, аналогичным методу, изложенному в § 12 для решения этой задачи для волнового уравнения. 1. Тепловой потенциал. В § 10.6 было показано, что функция М2 е ef(x, /) 0(0_ (2а Vnt У1 является фундаментальным решением оператора теплопровод¬ ности. Эта функция неотрицательна, обращается в нуль при t < 0, бесконечно дифференцируема при (х, t) (0, 0) и локально интегрируема в Rn+\ Более того (см. § 6.5, f)), J ^(х, f)dx= 1, / > 0; (1) ef (х, Z->4-0 в ^'(/?"). (2) Фундаментальное решение (х, t) дает распределение температуры от точечного мгновенного источника д(х)-д(/). Поскольку cf (х, t) > 0 при всех f>0 и x£Rn, то, стало быть, тепло распространяется с бесконечной скоростью. Но это противоречит опыту. Следовательно, уравнение тепло¬ проводности недостаточно точно описывает процессы пере¬ носа тепла. Более точное описание процессов переноса (тепла, частиц) дается уравнениями переноса (см. § 2.4). Пусть обобщенная функция / £ <2/(/?,z+1) обращается в нуль при t < 0. Обобщенная функция V = где — фундаментальное решение оператора теплопроводности, называется тепловым потенциалом с плотностью f. Если тепловой потенциал V существует в <2/(/?л+1), то, в силу теоремы § 10.3, он удовлетворяет уравнению тепло¬ проводности dV a2 AV -f- f (x, ty dt (3)
§ И] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 207 Из теоремы § 7.5 следует, что если f — финитная обоб¬ щенная функция и обращается в нуль при t < 0, то тепло¬ вой потенциал заведомо существует в 3)' (/?rt+1). Выделим еще один класс плотностей /, для которых тепловой потенциал существует. Пусть а/Ц — класс функций, обращающихся в нуль при t < 0 и ограниченных в каждой полосе 0 t Т. Теорема. Если f то тепловой потенциал V с плотностью f существует в о/И и выражается формулой (4) Потенциал V удовлетворяет оценке (5) и начальному условию (6) Доказательство. Так как функции и f локально интегрируемы в то их свертка e?*/=J J/(|, т)^(х-Ч. t — x)dt,dx 0 существует и является локально интегрируемой функцией в если функция t h{x, t) = J J 1/(1, Т)|^(х —t — x^d^dx 0 fifl локально интегрируема в Rn+1 (см. § 7.4). Проверим, что это условие выполнено. Так как h = 0 при < 0, то доста¬ точно установить, что функция h удовлетворяет оценке (5)
208 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III при £ > 0. Это следует из равенства (1), в силу теоремы Фубини, t h(x,t'K sup !/(£., т)| f [ <f(x — t — t) dldr = 0<т</ J J i 0 = t sup |/(s, r)|, t>0. (7) 0 < r < t Таким образом, тепловой потенциал V =(f * f предста¬ вляется формулой (4). Так как | V | /г, то этот потенциал обращается в нуль при t < 0 и, в силу (7), удовлетворяет оценке (5). Это значит, что V Из оценки (5) следует, что V удовлетворяет начальному условию (6). Теорема доказана. 2. Поверхностный тепловой потенциал. Тепловой потен¬ циал К(о) с плотностью f = Uq (х) • б (0 называется поверх¬ ностным тепловым потенциалом (простого слоя с плот¬ ностью я0), V(0) = g3 * zz0 (х) • б (0 = g3 (х, /) * zz0 (х). Если и0 финитна в Rn, то поверхностный тепловой по¬ тенциал 0О) заведомо существует в 3)' (см. § 7.5). Следующая теорема дает еще один признак существования поверхностного теплового потенциала и его свойства. Теорема. Если uQ(x)— ограниченная функция в Rflt то поверхностный тепловой потенциал И0) существует в п/Ц, принадлежит классу Ссо(/>0), представляется интегралом Пуассона И0) (х, О = - - ° | »0 (I) (2а V nt) J и удовлетворяет неравенству I ^<0) (X, /) I < sup I w0 (□ |, t > 0. & Если к тому же функция и$(х) непрерывна в потенциал V(0) удовлетворяет начальному условию', при каждом х £Rn V()(x, /)—> и^ (х), t—>—0. (1Q) (8) (9) Rnt то
§ 14] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 209 Доказательство. Так как функция Л(Х. /) = f)d* ращается в нуль при t < 0, а при t > 0, в силу (1), удо- 1етворяет оценке (9): h (х, t) < sup | к0 ® I f 0 = sup | uQ (£) |, % J £ то эта функция локально интегрируема в Следователь¬ но, поверхностный тепловой потенциал 1/(0) = §°(х, /)*к0(х) представляется формулой (8) (см. § 7.4): И0) (х, t) = j «0 (□ ef (х - £, t) dl, (S') обращается в нуль при t < 0 и, в силу неравенства |И0)|<^/г, удовлетворяет оценке (9). Это значит, что и0)е<^. Далее, из формулы (8) следует, что V(0)£ Ст (t > 0). Пусть теперь к0 — непрерывная ограниченная функция в R". Учитывая предельное соотношение (2)*), из формулы (87) выводим начальное условие (10) для потенциала 0О): V(0) (X, t) = (X — £,/), «о Ф) -> -> (д (х - £), «о (ё)) = «о (х). t -> + 0. Теорема доказана. Замечание. Формула (8) формально вытекает из фор¬ мулы (4), если в ней положить f g, т) = (g)-д (т) и «проинтегри¬ ровать» 5 (т). 3. Постановка обобщенной задачи Коши для уравне¬ ния теплопроводности. Схема решения задачи Коши, изло¬ женная в § 12.1 для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, применяется и для решения *) Соотношение (2), доказанное на функциях из @ (R'1) (см. § 6.5, f)), справедливо и на непрерывных ограниченных функ¬ циях в Rn. 14 В. С. Владимиров
210 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III задачи Коши для уравнения теплопроводности -g- = fl2A« + /(x, 0. (Н) U 1/=4-0 = Г/0 (*)• (12) Считаем f £С (t ^>0) и u0£C(Rn). Предположим, что суще¬ ствует классическое решение и(х, t) этой задачи. Это зна¬ чит, что и £C2(t > 0) П C(t 0), удовлетворены уравне¬ ние (11) при Z>0 и начальное условие (12) при О (см. § 4.2). Продолжая функции и и f нулем при t < 0, как и в § 12.2, заключаем, что продолженные функции и и f удовлетво¬ ряют в уравнению теплопроводности = л2Ди + /(х, 0 + «о(*) • 6(0- (13) Таким образом, начальное распределение uQ для функ¬ ции и(х, t) играет роль мгновенно действующего источника /z0(x)-d(x) (типа простого слоя на плоскости t = 0) и клас¬ сические решения задачи Коши (И) — (12) содержатся среди тех решений уравнения (13), которые обращаются в нуль при t < 0. Это дает основание ввести следующее обобще¬ ние задачи Коши для уравнения теплопроводности. Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопровод¬ ности с источником f £31' (/?rt+1) и начальным распределением назовем задачу о нахождении обобщенной функ¬ ции и обращающейся в нуль при < 0 и удо¬ влетворяющей уравнению теплопроводности ~-= а2&иf (х, 0 + «oW-6(0- (И) Уравнение (14) эквивалентно следующему (см. § 10.1): для любой ф £ 2) справедливо равенство — («> 4r) = fl2(zz’ Д(Р) + (/- ф) + («о> <Р(*> 0))- (14х) Из уравнения (14) следует, что необходимым условием раз¬ решимости обобщенной задачи Коши является обращение в нуль / при t < 0.
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 211 § И] 4. Решение задачи Коши. Теорема. Пусть f и uQ — ограниченная функ¬ ция в R'\ Тогда решение соответствующей обобщенной задачи Коши существует и единственно в классе oAt и представляется в виде суммы двух тепловых потен¬ циалов и(х, f) = V (х, /)-|-^(0) (*> 0» (15) где потенциалы V и И0) выражаются формулами (4) и (8). Решение и непрерывно зависит от f и uQ в следующем смысле: если I/ — 7|<е, |«о —^оКео» то соответствующие решения и и, и в любой полосе О < t удовлетворяют оценке |и(х, t) — и(х, t) | Т& + е0. (16) Если к тому же uQ £ С (/?л), то построенное реше¬ ние и(х, t) удовлетворяет начальному условию: при ка- ждом х £ R'1 и(х, t)->uQ(x)t t—(17) Доказательство. В силу условий теоремы, свертка с правой частью уравнения (14) существует в оА1 (см. §§ 14.1 и 14.2) и представляется в виде суммы (15) двух тепловых потенциалов V и 0О) и эти потенциалы выражаются форму¬ лами (4) и (8) соответственно. Таким образом, по теореме § 10.3, формула (15) дает решение обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности и это решение единственно в классе оА£. Непрерывная зависимость решения и от данных задачи f и zz0 вытекает из оценок (5) и (9). Начальное усло¬ вие (17) следует из (6) и (10). Теорема доказана. Замечания. 1) При / = 0 решение (15) выражается интегралом Пуассона = (18> 14*
212 ЗАДАЧА КОШИ [ГЛ. III Это решение принадлежит классу С°°(/>0) и, следова¬ тельно, удовлетворяет однородному уравнению теплопровод¬ ности при ^>0 в классическом смысле (см. § 10.1). Если функция и0 непрерывна и ограничена в Rn, то, пользуясь формулой (18), нетрудно убедиться, что и£С (/>0). Далее, по теореме § 14.4, это решение единственно, при¬ надлежит классу удовлетворяет начальному условию (12) и непрерывно зависит от д0. Таким образом, в этом случае интеграл Пуассона (18) дает классическое решение задачи Коши для уравнения теплопроводности и имеет место кор¬ ректность классической постановки этой задачи, причем пересечение С°° (t > 0) Г) С (I 0) П о/Ц — класс корректности (см. § 4.6). 2) Корректность решения задачи Коши для уравнения тепло¬ проводности можно установить в более широком классе, а именно, — в классе функций, удовлетворяющих в любой полосе оценке | u (а:, t) К Стб т Этот результат принадлежит А. И. Тихонову [1]. 5. Упражнения, а) Показать, что решением смешанной задачи = «lz = +o = M*). «1ж-+о = Ч’(О является функция и (х, О = г (х, i) » и0 (х) — 2<г2 — * ф (/) = 1 2а Ynt U-H)21 4а2/ U+ Здесь £ С ([0, со)) ограничена и — ее нечетное продолжение Ф6С([О, со)), ф = 0, t < 0. b) Пользуясь фундаментальным решением оператора Шредин¬ гера (см. § 10.12, е)), показать, что задача Коши для уравнения
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 213 Шредингера (см. § 2.7) сводится к интегральному уравнению ф (х, 0 = Л Т,\ Ф (£. т) + (/ —т)’’ b . | х-tf | е 2h(t-x) с) Пользуясь фундаментальным решением оператора переноса (см. § 10.11), показать, что задача Коши для уравнения переноса (см. § 2.4) сводится к интегральному уравнению t ф (х, s, /) = a/w j* j* ф [х — v (t — т) s, s', т] е~аъ ^~x\ds' dx + о s’, t + J F [а* — v (t — т) s, s, т] e~av dx -|- Фо (х — v/s, s) e~avt. о
Глава IV ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Интегральными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла. Многие задачи математической физики сводятся к линей¬ ным интегральным уравнениям вида /еГ(х, у)ф(у)йу = /(х), (1) G Ф (х) = X [ (X, у) ф (у) dy + f (х) (2) G относительно неизвестной функции ф(х) в области GczRn. Уравнения (1) и (2) называются интегральными уравне¬ ниями Фредгольма первого и второго родов соответственно. Известные функции (х, у) и f (х) называются ядром и свободным членом интегрального уравнения; X — комплекс¬ ный параметр. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода здесь рассматриваться не будут. Интегральное уравнение (2) при f = О ф (х) = X J аТ (X, У) ф (у) dy (3) G называется однородным интегральным уравнением Фредгольма второго рода, соответствующим уравнению (2). Интеграль¬ ные уравнения Фредгольма второго рода ф (х) = X J аТ' (х, у) ф (у) dy + g (х), (2*) G Ф(х) = х |^(х, у)ф(у)</у, G (3*)
§ 15] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 215 где е^Г*(х, У) — g/Г (У> х)> называются союзными к уравне¬ ниям (2) и (3) соответственно. Ядро з^*(х, у) называется эрмитово сопряженным ядром к ядру е^(х, у). Мы будем записывать интегральные уравнения (2), (3), (2*) и (3*) сокращенно, в операторной форме: Ф = ХКср + /. Ф = Жф, ф = л/<*ф g, ф = МСф, где интегральные операторы К и К* определяются ядрами о7Г(х, у) и а/Г*(х, у) соответственно (см. § 1.8): (К/)(х) = j е^(х, y)f(y)dy, G (/С/)(х)=/еГЦх. у)Шау. G К интегральным операторам и уравнениям применимы все определения и факты, изложенные в §§ 1.8—1.10. Кроме того, оказывается полезным следующее определение: то ком¬ плексное значение К, при котором однородное интегральное уравнение (3) имеет ненулевые решения из J?2(^), называется характеристическим числом ядра е^(х, у), а соответ¬ ствующие решения — собственными функциями этого ядра, соответствующими этому характеристическому числу. Таким образом, характеристические числа ядра (х, у) и соб¬ ственные значения оператора К взаимно обратны, а их соб¬ ственные функции совпадают. § 15. Метод последовательных приближений 1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром. Предположим, что в интегральнОхМ уравнении (2) область G ограничена в Rn, функция f непрерывна в замкнутой об¬ ласти G и ядро е2Г(х, у) непрерывно в G X G (такие ядра будем называть непрерывными'). Напомним определение норм в пространствах и С (G) (см. §§ 1.3 и 1.5): 11/11= |/Л / I/W12^- ||/||с = тах|/(х)|, x^G /e^(Gy,
216 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Для того чтобы интегральный оператор К с непре¬ рывным ядром о7Г(х, у) был нулевым в ^2(Р\ необхо¬ димо и достаточно, чтобы (2/f(x,y) = O, x£G, y£G. Достаточность условия очевидна, а необходимость выте¬ кает из леммы дю Буа-Реймонда (см. § 5.5): если при всех ге^2(О) (Kf) (х) = f з/г (X, У) / (У) dy = 0, х 6 G, G ТО У) = 0, x£G, y£G. Лемма. Интегральный оператор К с непрерывным ядром ^{х, у) переводит в С (0 (и, следова- те ль но, С (G) в С (G) и (G) в ^2(G)) и ограничен, причем ИЛсС'ИуУн/и, /€-^2 (О). (4) ||/</||c<AlV||/|!c- /6С(О). (5) И/ц<^11/Ц. /6^2(0). (6) где Ai max J о%> (х, у) |, V = f dy, A'£G, VcG q Доказательство. Пусть Тогда f — абсо¬ лютно интегрируемая функция на G (см. § 1.5) и, поскольку ядро е^(х, у) непрерывно в G X О, функция (Kf)(x) не¬ прерывна на G. Поэтому оператор К переводит .S^tP) в С (G) и, в силу неравенства Коши — Буняковского, огра¬ ничен II {</ Нс = ma* I (АГ/) (X) I = max х уG x£G / y)f(y)dy G < Аналогично, проще, доказываются неравенства (5) и (6)» Лемма доказана.
§ 15] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ 217 Будем искать решение уравнения (2) методом последо¬ вательных приближений, положив ср(0) (х) = / (х), Ф(р) (х) = Л J <4Г(х, у) фО*-1» (у) rfy-f-/ = (7) о р = 1. 2, ... Докажем, что р —0, 1 (8) /г=0 где Kk — степени оператора К (см. § 1.8). Действительно, при р = 0 формула (8) верна: <р(0) = f. Предполагая эту формулу верной при р и заменяя в рекур¬ рентной последовательности (7) р на получаем фор¬ мулу (8) при р -ф- 1: р ф(/>+1) = + f = кк 5 кккк/+/ = л=о р р+1 =/+2Х+1 /е = 0 /г = 0 Таким образом, формула (8) верна при всех р. Функции (Kpf)(x), р = 0, 1, ..., называются итера¬ циями функции /. По лемме § 15.1, итерации / непрерывны в G и, в силу (5), удовлетворяют неравенству KPf lie = k (КР_1 /) lie < IIKp-Xf Ис < <(ЖУ)2|кр-2/1|с< ... <(Wll/llc. II Kpf Нс < (MV/II/Ис. р = о. 1. ... (9) Из этой оценки следует, что ряд 2^*(К7)(*). о, (Ю) ьо называемый рядом Неймана, мажорируется числовым рядом
218 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV сходящимся в круге | X | < . Поэтому при этих X ряд (10) сходится равномерно по х определяя тем самым непре¬ рывную в G функцию ср(х). Это значит, в силу (8), что последовательные приближения ср(Р) (х) при р—>оо равно¬ мерно стремятся к функции ср(х): — оо (х) ср (х) = 2 (К*/) (*). р-><х>, (12) причем, в силу (И), справедлива оценка IIфИс 1 — I A,f AfV' ■ Докажем, что функция ср (х) удовлетворяет интегральному уравнению (2). Действительно, переходя к пределу при р—>оо в рекуррентном соотношении (7) и пользуясь равномерной сходимостью последовательности <р(р) (х) к <р(х) на О, по¬ лучаем <р(х) = limcp(/7) (x) = Z f e/f(x, у) lim cp(p_1) (у) dy f (x) — p->co £ p->co = X j y)cp(y)rfy + /(x). G Докажем единственность решения уравнения (2) в классе если I М < • Для этого достаточно показать, что однородное уравнение (3) имеет только нулевое реше¬ ние в этом классе (см. § 1.9). Действительно, если ср0 С(^)— решение уравнения (3), ср0 = ХА7<р0, то, по лемме § 15.1, ср0 £ С (G) и II Фо 11с < IMVII <Го 1!с> откуда благодаря неравенству | К | MV < 1 следует || ср0 |1С = 0, т. е. сро(х) = О, x£G, что и требовалось установить. Резюмируем полученные результаты в следующей теореме. Теорема. Всякое интегральное уравнение Фред¬ гольма (2) с непрерывным ядром o/Ffx, у) при | X | <
§ 15] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 219 имеет единственное решение ср в классе С (G) для любого свободного члена f (G). Это решение представляется в виде регулярно сходящегося в G ряда Неймана (12) и удовлетворяет оценке (13). Другими словами, в круге | | < ■ существует и ограничен обратный оператор Замечание. Методом последовательных приближений можно пользоваться для приближенного решения, интеграль¬ ных уравнений (2) при достаточно малых | X |. 2. Повторные ядра. Резольвента. Предварительно убе¬ димся в справедливости равенства (О £•) = (/. О). f и gf^2(G). (И) Действительно, если /и£'£^2(^). то, по лемме § 15.1, К/ и K*g £ J?2 (О) и поэтому (Kf, g) = | Kfg dx = J J eT (x, y) f (y) dy g(x)dx = G G |_G G LG w Лемма. Если Khi=l, 2,—интегральные операторы с непрерывными ядрами о%\(х, у) соответственно, то оператор К? = К?К\ — интегральный с непрерывным ядром е/Гз(х. У)-J<^2(X, y^sT^y', y)rfy'. (15) G При этом справедлива формула ^ = (/С2/<1) =К,Кг. Доказательство. При всех /^„2’2(О) имеем (^/)(х) = (^/)(х) = = J еГ2(х, /) J зГ1(у'. У) f(f)dydy' = G G = / Г J сГ2 (х, у') гГг (/. у) / (У) dy, G (16) _G
220 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV откуда и вытекает формула (14). Очевидно, ядро о%\(х, у) непрерывно при x£G, y£G, Принимая во внимание равенство (14), при всех / и получаем (/. = g) = (/, Кк-К^ = 0, и, следовательно, Kzg = K\K*'2.g, что и эквивалентно равен¬ ству (16). Лемма доказана. Из доказанной леммы следует, что операторы Кр = = К {Кр~х} = {КР'^К, р = 2, 3, ...—интегральные и их ядра е2Гр(х, у) непрерывны и удовлетворяют рекуррентным соотношениям: о%\(х, у) = о/Г (х, у), е?ГР(х, у)=^(х, у'У^р^Су', y)dy' = = / /)еГ(/. y-)dy'. (17) G Ядра е/Гр(х, у) называются повторными ядрами ядра еТ(х, у). Из рекуррентных соотношений (17) вытекает, что повтор¬ ные ядра удовлетворяют неравенству \<Wp(x, y)\^MpVp~\ р=1,2,... (18) Из оценки (18) следует, что ряд f; (х, у), хе о, уео, аэ) /?=о мажорируется числовым рядом 21 х \kMk+ivk, л=о сходящимся в круге | X | < . Поэтому ряд (19) сходится равномерно при x£G, y£G, | X | -~у е при любОхМ
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ 221 § 15] е > 0. Следовательно, его сумма непрерывна в G\G % U ] ~MV и аналитична по X в круге |Х| < • Обозначим сумму ряда (19) через с$(х, у; X): <$(х, у; И)= 2 ^е2Г*+1(х> У)’ k=0 Функция <$(х, у; %) называется резольвентой ядра е2Г(х, у). Теорема. Решение ср интегрального уравнения (2) с непрерывным ядром у) единственно в классе С (G) при | X | < и для любого f (G) представляется через резольвенту <$(х, у; X) ядра о/Р(х, у) по формуле y(x) = f(x) + K^<$(x,y-,'k')f(y')dy. (20) G Другими словами, справедливо операторное равенство + (21) где R — интегральный оператор с ядром $(х, у; ^). Доказательство. По теореме § 15.1, решение ф уравнения (2) единственно в классе С (G) при | X | < ~^у- и для любой f (С?) представляется в виде равномерно сходящегося ряда Неймана (12). Подставляя в этот ряд выра¬ жения итераций Kkf через повторные ядра о%\(х, у) и пользуясь равномерной сходимостью ряда (19) для резоль¬ венты (х, у; X), получаем формулу (20): <р (х) = J G оо + У) k=0 /(v’W+ /(*) = = Z j <$(x, у; A.) / (y)dy+ f (x). G Теорема доказана. Докажем, что повторные ядра (е2Г*)р(х, у) и резоль¬ вента (х, у; Z) эрмитово сопряженного ядра е2Г*(х, у)
222 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV выражаются через повторные ядра е2Гр(х, у) и резольвенту исходного ядра q%*(x, у) по формулам: (^*)Р(Х, у) = еГ;(х. у), р = 1, 2, .... (22) ^(х, у, 1) = ^(у, х; Г), |Х| <т^г. (23) Равенство (22) следует из формулы (16), согласно кото¬ рой (К*У = (Кр)\ р = 1, 2, ... Так как \о?Г*(х> у) | = \о%°(у, х) |<; Л4, то по доказан* ному ряд (19) для резольвенты <$4i(x, у; А) ядра о/Г*(х, у) сходится при x£G, y£G> | X [ < -д^у ■. Отсюда, пользуясь равенством (22), получаем формулу (23): <(*. у; ?0=5 У) = /?=0 = 3 (X, у)= 2 №к+г (У> X) = /г = 0 £ = 0 = 2^+1(У- х) = М(у, х; X). Л=0. Из (23) получаем ^(х, у; £) = <^(у. х; Ь)=<@*(х, у; X), |Х| <7^г и, следовательно, по теореме, справедлива формула IM<7Tr- (21*> 3 а м е ч а и и е. Можно доказать, что резольвента 5? (х, у; X) непрерывного ядра (х, у) допускает мероморфное продолжение на всю плоскость комплексного переменного А, причем полюсами ее являются характеристические числа ядра $£ (х, у). Это предло¬ жение ниже будет доказано для вырожденных и для эрмитовых ядер. 3. Интегральные уравнения Вольтерра. Пусть лг = 1, область G есть интервал (0, а) и ядро о7Г(х, у) обращается в нуль в треугольнике 0 < х < у < а. Такое ядро назы¬ вается ядром Вольтерра. Интегральные уравнения (1) и (2)
§ 15] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 223 с ядром Вольтерра принимают вид / еТ(х, У)Ф(У)^=/(Х), О <р(х) = Х J е^(х, y)<p(y)rfy4-/(x) (24) О и называются интегральными уравнениями Вольтерра пер¬ вого и второго родов соответственно. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода диффе¬ ренцированием сводятся к уравнениям второго рода х (х, х) ф (х) + J <р (у) dy = f (х), о если е/?Г(х, у) и непрерывны при 0 у х at е%*(х, х) Ф 0, х£[0, а], /^СЩО, #]) и /(0) = 0. Инте¬ гральные уравнения Вольтерра первого рода здесь рассма¬ триваться не будут. Предположим, что в интегральном уравнении (24) £ С ([О, а]) и ядро о/£(х, у) непрерывно в замкнутом треуголь¬ нике В таком случае |е/Г(х, у) | <^ -М и интегральный оператор X (К/)(х)=/^(х, y)f(y)dy О переводит С([0, а]) в С([0, а]). Как и для уравнения Фредгольма (см. § 15.1), определим последовательные приближения по формуле: <р(0) — /, ф(р)=2^7 = + A P = h 2, ... (25) л=о Итерации Kpf£C([0, я]) и удовлетворяют оценке I (Кр/) (*) | < II / ||с . *€10. а], р = 0, 1, ... (26)
224 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Докажем оценку (26) по индукции по р. Для р = О оценка (26) верна. Предполагая ее верной при р — 1, дока- жехМ ее для р: х \(.Kpf){x)\ = \K(Kp-lfy\= ^(х, у)(Кр-'/)(у)ау < О Из оценки (26) вытекает, что ряд Неймана (10) мажори¬ руется на [0, а] сходящимся числовым рядом оо 11/11с2^Г-т- = 11/1!с«|х|ш (27) й = 0 и потому сходится равномерно по х в [0, а] при любОхМ К определяя непрерывную функцию <р(х). Таким образом, в силу (25), последовательные приближения при р ->оо равномерно стремятся к функции гр: ОО ф(Р) (х) <р (х) == 2 }.'г р—>т. (28) Л=0 При этом, в силу (27), справедлива оценка НФ lie <11/1ИМ Ма- (29) Переходя к пределу при р—>оо в рекуррентном соотно¬ шении (25) и пользуясь равномерной сходимостью последо¬ вательности (р(Р) к <р на [0, а], получаем, что построенная функция ф(х) удовлетворяет интегральному уравнению (24). Докажем единственность решения уравнения (24) в классе С ([О, я]) при любом X. Для этого достаточно показать, что соответствующее однородное уравнение имеет в этом классе только нулевое решение. Действительно, если ср0—решение однородного уравнения (24), ср0 = Х/<ср0, то ср0 = IK (Wo) = ^2Фо = ••• = P = h 2, ... Применяя к этим равенствахМ оценку (26), l<P0(x)|=|W<p0|<|X|qi<p0||c-^-. p = i, 2, ....
§ 15] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ. ПРИБЛИЖЕНИЙ 225 и устремляя р к оо, получаем (ро(х) = О, х£[0, а], что и утверждалось. Сформулируем полученные результаты в виде следующей теоремы. Теорема. Всякое интегральное уравнение Волыперра (24) с непрерывным ядром о7Г(х, у) при любом К имеет единственное решение <р в классе С ([О, а]) для любого свободного члена f £ С ([0, а]). Это решение предста¬ вляется равномерно сходящимся рядом Неймана (28) и удовлетворяет оценке (29). Следствие. Непрерывное ядро Волыперра не имеет характеристических чисел. 4. Интегральные уравнения с полярным ядром. Ядро у)= ■ «<«. I X — у |а где S^)(xt y)£C(GXG), называется полярным ядром\ если а<у, то ?JC(x, у) называется слабо полярным ядром. Для того чтобы ядро e7f(x, у) было полярным, необ¬ ходимо и достаточно, чтобы оно было непрерывным при х ф у, х £0, у £G и удовлетворяло оценке |sT(x. у)|<-—^—7- «<«• x£G, y£G. I х — у |а Действительно, необходимость условия очевидна, а доста¬ точность следует из представления еГ(х, осго-а, I х — у 1а'е где функция &в(х, у)=е^(Х, у)|х — у|а+е непрерывна на G X G. Л е м м а 1. Интегральный оператор К с полярным ядром о/Г(х, у) переводит С (G) в С (О), (^) в J?2(O) и огра¬ ничен'. imc<Wllc. WKf l'^VNN* II/||. /ето), 15 В- С. Владимиров (30) (31)
226 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV где N = max [ |е^(х, у)|^у, N* = max Г |е2Г(х, У)|^у. G х£О Q Доказательство. Пусть f£C(p). В силу равномер¬ ной по х £ G сходимости интеграла / (У) аУ = J (*> У) f (У) аУ = т (*)’ а *х У а оператор К переводит С (G) в С (G) и справедливо неравен¬ ство (30): ||Л7||с = шах x£G / y)f(y)dy Q <||/||cmax fje^Cx, y)]dy = N||/||c. x£G J Пусть Пользуясь неравенством Коши — Буня- ковского, получаем И/ II2 = / I Kf I2 dx = J J зГ (X, у) f (у) dy |2 dx < G G G < / [ /|еГ(х. У)\У\Ж(х, y)\\f(y)\dydx^ G G </ y')\dyf (x, y)||/(y)|2dydx< Q G G < W4 j|/(y)frfy = w*||/ll2. G откуда следует, что оператор К переводит О572(^) в <2,2 (О)* и справедливо неравенство (31). Лемма доказана. Пользуясь леммой 1 § 15.4 и повторяя рассуждения § 15.1, заключаем, что теорема § 15,1 остается справедли¬ вой и для интегрального уравнения (2) с полярным ядром о/С (х, у) с заменой MV на N'. если | X | < то в классе С (G) существует единственное решение для любой f £С (G) и это решение представляется рядом Неймана, регу¬ лярно сходящимся в G.
§ 151 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 227 Лемма 2. Если у)— полярные ядра |еГг(х, у)|< az < я, Z=l, 2, |х-у| ‘ то ядро <Жз(х, у) = [ <^2(х, У)еТ1(/. У)Лу' G — также полярное, причем |еТ3(*. У) К . если «i + a2>«; |х —у | 1 2 1е^з(х’ У)|<Л11пк—У н + л5> если di + a2 = «; . (32) е2Г3(х, у)— непрерывно на G X О, если a1-]-a2<n. Доказательство. Представляя полярные ядра (х, у) в виде еГI (X, У) = Xve ' 0 < е < Я - a(, \х — у I 1 где (х, у) — непрерывные функции на G X перепи¬ шем ядро о/Г3 (х, у) в виде еТз (х, у) = | G (х, уг)^{ (у', у) dy'. Из равномерной сходимости этого интеграла по х £ G, y£G, | х — у|^>д при любом д>0 заключаем, что ядро е/Г3 (х, у) непрерывно при х =/= у, x£G, y£G. Если же a1-|~a2<n, то при 8<~(м— «!—а2), е > 0, этот интеграл сходится равномерно по х £ G, y£G и, следовательно, ядро е2Г3(х, у) непрерывно на GXG, Таким образом, для доказательства леммы осталось уста¬ новить оценки (32) при + Принимая во внимание оценки для ядер e2Tz(x, у), имеем f dy' I еГз(х, У)|< А,А2 ' ■ a ; , т-. х С О, у 6 О. J |л — у'| 2 |у'—у| 1 15*
228 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Обозначая интегриро- интегриро- вания на большую — шар U D, где D — диаметр области G (рис. 47), выводим оценку аТзСх, У)|< заменяя полученную область Переходя в этом интеграле к новым переменным вания т] = х i и совершая грирования в последнехМ интеграле замену переменных инте- т] = г£, dx\ = rndc>, получаем dl dt, В силу |^|=1, интеграл в первом слагаемом представляет собой ограниченную величину dj l£la2|s —ё1“‘ (34) Учитывая неравенство при ||| >2
§ 15] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 229 оценим второй интеграл < I? i“J Is-Н“* I £|“,+a2 p«-i-ai-a2 dp<C < 2a,on 1 если если «i + «2 > n\ ai + «2 = «‘ (35) J 1 СЦ —|— (Z2 — D Из оценок (33) — (35) и вытекают оценки (32). Лемма доказана. Из леммы 2 § 15.4 следует, что все повторные ядра е/Гр(х, у) полярного ядра о/Г(х, у) — полярные и удовлет¬ воряют оценкам J,I если ра — (р — 1)и > 0; Лр|1п|х — у |\-\-Вр, если ра — (р — 1) п = 0. \^Р(Х, у)|< Начиная же с номера р0 = a ] + 1 повторные ядра <гхГр(х, у) непрерывны. (Здесь [/] обозначает целую часть числа t 0.) Отсюда, пользуясь леммой 1 § 15.4 и рассуждая, как в § 15.2, выводим, что резольвента полярного ядра <2/Г(х,у) оо <й(х. у; Х) = 2^+1(^ У) = = у; 2v)—с^2(^» у; М (37) представляет собой сумму двух слагаемых: полярного сла¬ гаемого Го-2 ^1(х, у; Х)= 2 А.*еТл<-1(х. у) л=о
230 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV н непрерывного слагаемого оо <%г(х, >>;%)= 2 Мк+1(Х, у). (38) При этом ряд (38) сходится равномерно при х £ G, у £G, РЧ < "ТТ" —е» ПРИ любом с < 0, определяя непрерывную функцию <^2 (х> У’ ПРИ у£@> I I < и анали¬ тическую по X в круге | X | < Из сказанного следует, что теорема § 15.2 остается, справедливой для интегрального уравнения (2) с поляр¬ ным ядром о%Г(х, у) при условии, что |Х | < . Далее, формулы (22), (23) и (21*) для (о/Г’р) (х, у), у; X) и (7 — М<*у\ очевидно, также сохраняются, если | % | < и 1М<^- 5. Упражнения, а) Доказать, что резольвента 5? (х, у; л) не¬ прерывного ядра $£ (х, у) удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма при | MV < 1: X (х, у; Л) = X [ (х, у') Я (у', у; Л) dy' + &£ (х, у). G b) Пусть ядро (х, у) интегрального уравнения Фредгольма (2) принадлежит Пользуясь оценкой (28) § 1.8, дока¬ зать сходимость в ДХХ (G) метода последовательных приближений для любой f (G), если | Л | С <1. c) Доказать, что резольвента ядра Вольтерра аналитична во всей плоскости комплексного переменного Л (целая функция). d) Пусть £ С (х > 0), (х) = 0, х < 0. Доказать, что обоб¬ щенная функция Ч (х) = 6 (х) + Я (х), Я = 2 <%•*<%•*•••*<%•, ^ = 1 k раз есть фундаментальное решение оператора Вольтерра второго рода с ядром q^{x — у): V -Ж * V = 6.
§ 151 МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 231 sin При этОхМ ряд для 5? (х) сходится равномерно в каждом конечнОхМ промежутке и удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра х Я (х) = J (х — у) Я (у) dy + (х), х > 0. о Функция 5? (х— у) является резольвентой ядра & (х— у)' при А = 1. e) Пользуясь упражнением с) § 7.9 при я = 0 и Р = 1 — а, проверить, что функция g' (У) dy (х —у),_“ удовлетворяет интегральному уравнению Абеля Г f (у) . dy = g (х), £(0) = 0, ^еС‘(х>0), 0 < а < 1. J (х —у)а f) Пользуясь фундаментальными решениями (23) § 10.5, уста¬ новить, что задачи Коши и/ait = pit, и 1/=.}.о = ^о, р£С(/>0); zz —а~it — {iz, it I_ _i_q — w0, и, |^_ _j_o эквивалентны соответственно следующим интегральным уравнениям Вольтерра второго рода t u(t) = J г~а(/~т)р(т)и(т) dx-\-u^~at, t^O; о t и (t) = — sin a (t — т) p (т) u (t) dx -|- uo cos at -|- — sin at, ./>0 a j a о g) Доказать, что при [ A | < 1 интегральное уравнение Милна со оо <P(x)=aJ ж (х - У) Vl(y) <Ь>, <^(S)=4 / о III имеет единственное решение ср = 0 в классе ограниченных функций на [0, ос).
232 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV § 16. Теоремы Фредгольма В этОхМ параграфе для интегрального уравнения Фредгольма ср = Шр + / (1) с непрерывным ядром ©2Г(х, у) и союзного к нему уравне¬ ния Ф = + (1*) будут доказаны теоремы разрешимости Фредгольма. 1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Ядро N (2) Z=1 где f и g(zC(G), называется вырожденным ядром. Без ограничения общности можно считать, что системы функций {/z, и [gi, линейно незави¬ симы. Действительно, если это не так, то, например, fN (*) = <\fx (X) + ... + cN_JN_x (х) и ядро &/Г(х, у), в силу (2), принимает вид N-l N—1 <f%\x, у) = 2 2 С/Л(*)^(У) = 1 = 1 1 = 1 АГ-1 = 2 £ = 1 Действуя подобным образом, через конечное число шагов добьемся того, что в представлении (2) окажутся линейно независимые системы функций {/J и {^}. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма с вырож¬ денным ядром (2) N <p(x) = Z^/,.(x) J^(y)<p(y)dy + /(x) (3) / = 1 G и союзное к нему уравнение N 4’(x) = X^it (x) J fl (у)4?(у)dy + g(х). (3*) i = l G
§ 16] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 233 Решения ср и тр интегральных уравнений (3) и (3*) будем искать в классе С (G). Покажем, что эти уравнения сводятся к системам линей¬ ных алгебраических уравнений и потому могут быть иссле¬ дованы и решены известными методами линейной алгебры. Перепишем уравнение (3) в виде N Ф W = ?• 2 Cifi (х) + / (х), (4) 1 = 1 где Ci = | Ф (У) gi (?) dy = (ф, gz) (5) G — неизвестные числа. Умножая равенство (4) на gk (х), интегрируя по области G и пользуясь (5), получаем следую¬ щую систему линейных алгебраических уравнений для опре¬ деления чисел ck\ N ctl = 'K^ici j J gk(x)f(x) dx. (6) j = l G G Обозначая «л/ = J gk (*) fi (*) dx, ak = j / (x) gk (x)dx = (f, gk), G G (7) перепишем систему (6) N Ck = ^'^iakici + ak’ k = l,2,...,N. (8) Вводя матрицу А и векторы с и а, Д = (ал/), c = (cv с2, ..., c2V), a = (alt а2, aN)t представим систему (8) в матричной форме с = ЪАс-\- а. , (9) Докажем, что интегральное уравнение (3) и алгебраиче¬ ское уравнение (9) эквивалентны. Действительно, если — решение уравнения (3), то, как мы только что
234 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV показали, числа fz=(q)t g^, Z=l, 2, .... AZ, удовлетво¬ ряют системе (8). Обратно, если числа cz, 1= 1, 2, ...» А/, удовлетворяют системе (8), то функция <р(х), построенная по формуле (4), непрерывна в G и, в силу (7), удовлетворяет уравнению (3): <р (х) — Л (*) J gi(y)<p(3»)dy— f (х) = Z = 1 G N N = h 2 cifi w + f <x) —^^fi (x) f Si (y) X Z = 1 Z = 1 G Г N -i X Ъ dy — f(x) = k = l N / N \ = 2 A X 2 — <0=0. i = l \ k=l / Обозначим через 0(20 определитель системы (9), О (20 = det (/ — М), (10) и через Mki (20 — алгебраические дополнения матрицы I — XА. Ясно, что 0(20 и Л4Н(20— полиномы по 2., причем О (20 ф О, ибо O(0) = det/=1. Пусть (комплексное) число 2. таково, что 0(20 =7=0. По теореме Крамера решение алгебраической системы (9) един¬ ственно и выражается формулой N = k=i, 2, .. (И) Z = 1 Подставляя найденное решение (11) в формулу (4) и вспоминая определение чисел ak> получим решение интеграль¬ ного уравнения (3) при 0(20=7=0 в виде ф= "WT S j Ыу)/(у)^+/(•<)• (12) Z, /« = 1 G С другой стороны, по теореме § 15.2, при достаточно малых А (и тогда 0(20^0) это решение выражается через
§ 16] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 235 резольвенту <$(х, у; Z) по формуле (20) § 15.2. Следо¬ вательно, N ^>(х, у; = (x)gk(y)- (I3) /, k = l Таким образом, резольвента у; л) вырожденного ядра есть рациональная функция и, следовательно, допускает мероморфное продолжение на всю плоскость комплексного переменного к (см. § 15.2, замечание). 2. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром. В предыдущем пункте мы построили в явном виде решение интегрального уравнения с вырожден¬ ным ядром. Здесь мы продолжим исследование таких урав¬ нений и установим условия их разрешимости. Как и уравнение (3), приведем союзное к нему уравне¬ ние (3*) к эквивалентной системе линейных алгебраических уравнений. Имеем _ N _ (х) = Л 2 digi (х) + g (х), (4*) / = 1 где di = (^, — неизвестные числа. Соответствующая си¬ стема линейных алгебраических уравнений, эквивалентная уравнению (3*), имеет вид _ N dk = л 2 htdi + bk. k = 1, 2 N, (8*) f = l где P«= J fk(x) (x')dx = bk — (g, ft). (7*) G Таким образом, система (8*) — союзная к системе (8): d=KA*d+b, (9*) где А* = (₽«) = («/*) = d = (dv d2 dN), 6 = (A- b2 bN). Из курса линейной алгебры известно, что определители и ранги матрицы и ее транспонированной совпадают. Поэтому,
236 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV в силу (10), det (/ — U*) = det (/ — М7) = det (/ —Z/T) = £(Г), (14) rang (/ — М*) = rang (/ — АЛ') = rang (/ — M) — q. Могут представиться два случая. I. £)(Z)=^0. Тогда q = N и системы (9) и (9*) одно¬ значно разрешимы при любых а и Ь. Следовательно, урав¬ нения (3) и (3*) также однозначно разрешимы при любых f и g и эти решения даются формулами (4) и (4*) соответ¬ ственно. II. /)(А) = 0. Тогда q N и, в силу (14), однородные системы (9) и (9*) имеют ровно по М— q линейно незави¬ симых решений: г> = (4Л .... = .... s= 1, 2, ...» N— q. Однородные интегральные уравнения (3) и (3*) будут также иметь ровно по N — q линейно независимых решений, опре¬ деляемых формулами (4) и (4*) соответственно: n _ N _ <р5 (х) == X 2 (*). = s (х), (15) Z = 1 i = 1 s = 1, 2, . . ., N — q. Докажем линейную независимость полученных систем решений (<р5, 1<О<С^—q} и {ф5, 1 5 <; N— q]. Пусть найдутся такие числа ps, 5=1, 2, ..., N— q, что N-q 2 PsVs (*) = 0, X G G, 5 = 1 т. e., в силу (15), TV N-q 2 ft (*) 2 = 0, x G o. Z = 1 5=1 Отсюда, в силу линейной независимости системы функций {//» 1<О’<>^), вытекают равенства N-q S c^ps = 0t Z=l, 2, N. 5=1
§ 1б] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 237 Поскольку система векторов l<Cs<C^— g} линейно независима в RN, то из последних равенств вытекает ps = 0t $=1, 2, М— q, что и доказывает линейную незави¬ симость системы решений {ср5}. Аналогично устанавливается линейная независимость системы решений {ф5}. Далее, для разрешимости системы (9) при £)(Х) = 0 не¬ обходимо и достаточно выполнение следующих условий орто¬ гональности: N _ (a, 2 a,4s> = 0, s=l, 2 N — q. (16) /=1 Условия (16) эквивалентны условиям (/. = ( f (х) % (х) dx = 0, 5=1, 2, .... N—q, G поскольку, в силу (15) и (7), N / / (X) Ф, (х) dx = X J f (х) g. (х) dxd<N - О i = l G N = X atd^ = X {a, d(s)). i = l Итак, доказаны следующие теоремы, называемые тео¬ ремами Фредгольма. Теорема 1. Если D (X) 0, то уравнение (3) и союз¬ ное к нему уравнение (3*) однозначно разрешимы при любых свободных членах fug. Теорема 2. Если D(K) = §, то однородные уравне¬ ния (3) и (3*) имеют одинаковое число линейно незави¬ симых решений, равное N — q, где q—ранг матрицы I — КА. Теорема 3. Если D(K) = 0, то для разрешимости уравнения (3) необходимо и достаточно, чтобы свобод¬ ный член f был ортогонален ко всем решениям ф5, 5=1, 2, N — q, союзного однородного уравнения (3*). Из теорем 1 и 2 следует, что характеристические числа вырожденного ядра совпадают с корнями полинома D (X) и, следовательно, — их конечное число. Далее, из формулы (13) для резольвенты вытекает, что характеристические числа
238 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV вырожденного ядра совпадают с полюсами его резольвенты (см. § 15.2, замечание). Замечание. Может оказаться, что функции ft и gt в представлении (2) вырожденного ядра зависят от комплекс¬ ного параметра X, а именно: пусть /z(x; X) и gz(x; X) не¬ прерывны по (х, X) в G X и аналитичны по X в круге 7/ог В этом случае теоремы Фредгольма 1—3 остаются справедливыми при условии, что | X | < со. Докажем, что определитель £)(Х) — аналитическая функция в круге | X |<со. Действительно, элементы матрицы А, вычисляемые по формуле (7), ам(У)= J gk(x; K)ft(x; K)dx G — аналитические функции в круге | X | < со. Поэтому, в силу (10), D(X)— аналитическая функция в этом круге, причем £)(Х)^0. 3. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным ядром. Доказанные в предыдущем пункте теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с выро¬ жденным ядром допускают распространение на интегральные уравнения с произвольным непрерывным ядром. Идея дока¬ зательства состоит в том, что непрерывное ядро предста¬ вляется в виде суммы вырожденного ядра и достаточно малого непрерывного ядра. Это дает возможность, пользуясь резуль¬ татами § 15 о разрешимости интегральных уравнений с малым ядром, свести соответствующее интегральное уравнение к ин¬ тегральному уравнению с вырожденным ядром, для которого теоремы Фредгольма уже установлены. Отсюда будет следо¬ вать вывод о справедливости теорем Фредгольма для инте¬ гральных уравнений с непрерывным ядром. Итак, пусть ядро у) непрерывно на G X G. По теореме Вейерштрасса (см. § 1.3) его можно приблизить сколь угодно точно полиномами, т. е. для любого е > 0 существует такой полином <^(х, у)= 2 (17) |а+Р1<Х р ЧТО | «Т (х, у) — «5° (х, у) I < е, х £ О. у£ G.
§ 16] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 239 Таким образом, ядро о%*(х, у) представляется в виде еТ(*, >>) = <^,(х, У) + Т1(Х, У), (18) где S?(x, у) — вырожденное ядро (полином) и г| (х, у) — малое непрерывное ядро, | г](х, у) | < е, x£G, y£G. В силу (18), интегральное уравнение Фредгольма прини¬ мает вид Ф = ХРф + Иф + /. (19) где Р и 1] — интегральные операторы с ядрами (х, у) и г](х, у) соответственно, причем Р-1-т] = К, Покажем, что при | X | < в классе 0(G) интеграль¬ ное уравнение (19) эквивалентно интегральному уравнению с вырожденным ядром. Для этого введем новую неизвестную функцию Ф(х) по формуле Ф = ф — Хт|ф. (20) По теореме § 15.2, функция ф взаимно однозначно выра¬ жается через Ф по формуле Ф = (/ — Ь])"1 Ф = (/ + Ф> (21) где R — интегральный оператор с ядром с$(х, у; X) — резоль¬ вентой ядра т](х, у). В силу (20) и (21), уравнение (19) принимает следующий эквивалентный вид: ф = ХР(/4-Х/?)Ф + / = ХГФЦ-/, (22) где Т = Р^-1РР. (23) Вспомним, что резольвента <$(х, у; X) непрерывна по (х, у; X) в G X G X 1 и аналитична по К в круге | К | < ЁУ < ург (см. § 15.2). Отсюда, принимая во внимание лемму § 15.2, заключаем, что оператор Т — интегральный с непре¬ рывным ядром <Т(х, у; %) = ^(х, уН-Х J <^(х, y')<W. у; K)dy'. Q
240 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Далее, из (17) вытекает, что ядро </(х, у; М — вырожден¬ ное и аналитическое по X в круге Теперь преобразуем союзное интегральное уравнение (1 *), В силу (18), К* = Р’ +1]* и поэтому уравнение (1*) при¬ нимает вид (f —Ilf) ф = IK^ + g. (19*) Применяя оператор (/ — 2jf)_i к уравнению (19*) и поль¬ зуясь равенством (21*) § 15.2, приведем его к эквивалентному уравнению Ф = (/ — (М>Ч+_£) = (/ + W) (ЛР*ф + g) = = к (Р*+ZA>7>*) ф + (/ + ZP*) g. (24) Обозначая Q = (/ + W) g, g = (/ -^n*) Q (25) и учитывая, что, согласно формулам (16) § 15.2 и (23), р* _ф_ z/? *р* = (Р + лР/?)* = Т\ перепишем уравнение (24) в виде ф^ХГф + Q. (22*) Таким образом, при R I < в классе С (G) интеграль¬ ное уравнение (1) эквивалентно интегральному уравнению (22) с вырожденным ядром д' (х, у; X), аналитическим в круге j X | <-^> з союзное к нему уравнение (1*) эквивалентно уравнению (22*), союзному к уравнению (22). Но для урав¬ нений (22) и (22*) справедливы теоремы Фредгольма 1— 3 и определитель 7)(20— аналитическая функция в круге I I < (см. § 16.2, замечание). Отсюда, пользуясь экви¬ валентностью этих уравнений исходным уравнениям (1) и(1*), получаем следующие теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным ядром. Совокупность этих теорем называется альтернативой Фредгольма.
§ 16] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 241 Альтернатива Фредгольма. Если интегральное уравнение (1) с непрерывным ядром разрешимо в С (G) при любом свободном члене f £C(G), то и союзное к нему уравнение (1*) разрешимо в С (G) при любом свободном члене g(zC(G)> причем решения эти единственны (пер¬ вая теорема Фредгольма). , Если интегральное уравнение (1) разрешимо в С (G) не при любом свободном члене f, то 1) однородные уравнения (1) и (1*) имеют одинаковое и притом конечное число линейно независимых решений (вторая теорема Фредгольма); 2) для разрешимости уравнения (1) необходимо и до¬ статочно, чтобы свободный член f был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (2*) (третья теорема Фредгольма). Доказательство. При Z = 0 альтернатива Фредгольма, очевидно, справедлива. Поэтому считаем Z 0 и в преды- дущих построениях выоерем е < ■ . 1^1’/ — Пусть уравнение (1) разрешимо в С (G) при любом /£С(О). Тогда эквивалентное ему уравнение (22) с выро¬ жденным ядром также будет разрешимо в С (G) при любом /. Отсюда, применяя теорему 3 § 16.2, заключаем, что £)(Х)-#0. А тогда, по теореме 1 § 16.2, уравнение (22) и союзное к нему уравнение (22*) однозначно разрешимы при любых f и Q из С (G). Но функции Q и g взаимно однозначно выра¬ жаются по формулам (25). Следовательно, эквивалентные уравнения (1) и (1*) однозначно разрешимы в С (G) при любых f и g. Первая теорема Фредгольма доказана. Если уравнение (1) разрешимо в С (G) не при любом /, то и эквивалентное ему уравнение (22) с вырожденным ядром также разрешимо в С (G) не при любом /. Отсюда, по тео¬ реме 1 § 16.2, заключаем, что D(Z) = 0. Но тогда; по тео¬ реме 2 § 16.2, однородные уравнения (22) и (22*) имеют одинаковое и притом конечное число линейно независимых решений в С (G). Следовательно, и эквивалентные им одно¬ родные уравнения (1) и (Г*) имеют одинаковое и притом конечное число линейно независимых решений в С (G). Вто¬ рая теорема Фредгольма доказана. 16 В. С. Владимиров
242 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Далее, по теореме 3 § 16.2, для разрешимости уравне¬ ния (22) при £)(Х) = 0 необходимо и достаточно, чтобы сво¬ бодный член f был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (22*). Но решения ф эквивалентных, однородных уравнений (1*) и (22*), равно как и правые части f эквивалентных уравнений (1) и (22), одни и те же. Следовательно, для разрешимости уравнения (1) в рассма¬ триваемом случае необходимо и достаточно, чтобы свободный член / был ортогонален ко всем решениям союзного одно¬ родного уравнения'(1*). Третья теорема Фредгольма доказана. Докажем теперь четвертую теорему Фредгольма: В каждом круге | X | <; /? может находиться лить конечное число характеристических чисел ядра (х, у). Доказательство. Выберем £ = (£-|- 1)V' ^огда ПРИ | К | < R + 1 будет | X | < . Поэтому при | % |</?+ 1 одно¬ родные уравнения (1) и (22) эквивалентны. Следовательно, в круге | X | < /?+ 1 характеристические числа ядра о/Г(х, у) совпадают с корнями уравнения D(Z) = 0 (см. § 16.2). По¬ скольку ядро (х, у; X) аналитично по Z в круге | К | < < /? —|— 1, то 73(Z)— аналитическая функция в этом круге (см. § 16.2, замечание). Отсюда по свойству единственности аналитических функций заключаем, что в круге | X | R может находиться лишь конечное число корней уравнения D(ty = 0> а значит, и ядро о7Г(х, у) может иметь только конечное число характеристических чисел. Теорема доказана. 4. Следствия из теорем Фредгольма. Из четвертой тео¬ ремы Фредгольма следует, что множество характеристи¬ ческих чисел непрерывного ядра не более чем счетно и не имеет конечных предельных точек. (Это множество может быть и пустым, как, например, для ядра Вольтерра, см. § 15.3.) Далее, из второй теоремы Фредгольма вытекает, что кратность каждого характеристического числа конечна. Следовательно, все характеристические числа ядра (х, у) можно перенумеровать в порядке возрастания их модуля |^1|<1М< •••. (26) повторяя в этом ряде столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через (рр
§ 16] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 243 <р2, • • •» так что каждому характеристическому числу Kk из (26) соответствует одна, и только одна, собственная функ¬ ция <рл, = k=l, 2, ... (27) По второй теореме Фредгольма, Х2, ...—все характе¬ ристические числа ядра о7Г*(х, у), причем кратности и одинаковы. Соответствующие собственные функции обозначим через ф/г, = W 2, ... (27*) Собственные функции ср/г и ф/г непрерывны в G. Докажем, что если =# Xz, то (<Р»> Фг) = 0- (28) Принимая во внимание равенство (14) § 15.2, из (27) и (27*) получаем (ф/;- Фг) = (<Ра- = К (А'ф*- ф;) = (ф*. ф/), откуда, в силу и следуют равенства (28). Отметим, что KPk и /г=1, 2, ...,—характеристи¬ ческие числа и соответствующие собственные функции повторного ядра о2Гр(х, у). Это утверждение вытекает из равенств (27), согласно ко¬ торым = 6=1, 2, ... (29) Обратно, если р, и ср — характеристическое число и соответствующая собственная функция повторного ядра ^Гр{х, у), то по крайней мере один из корней .Ху«, J=\, 2, ...,р, уравнения \р — р является характери¬ стическим числом исходного ядра &Р(х> у). Это утверждение следует из равенства (ixie—/)<р=(— о'-’ал—л(мс—о... ^Рк—/)<р=о. (30) Действительно, если Ф = (Х2К-/)... (V<-/)<₽=£о, (31) 16*
244 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV то, в силу (30), — /)ф = 0, и потому Zj—характери¬ стическое число ядра о7Г(х, у). Если же ф = 0, т. е.» в силу (31), (Z2K —/) ... {1рК — /)ср = О, то, повторяя предыдущее рассуждение, получим: либо 12 — характеристическое число ядра &%\х, у), либо (Х3К — /) ... (Хр/<— /)ф = 0 и т. д. Переформулируем теперь альтернативу Фредгольма в тер¬ минах характеристических чисел и собственных функций. Если X =/= k = 1, 2, . . ., то интегральные уравне¬ ния (1) и (1*) однозначно разрешимы при любых свобод¬ ных членах. Если Х = ХЙ, то для разрешимости уравнения (1) не¬ обходимо и достаточно, чтобы ^/г + 1) = 0> Z = 0, 1, ..., г*- 1, (32) где ф^, .... Фл+Г _j — собственные функции, соответ¬ ствующие характеристическому числу ядра о%*(х, у) и rk — кратность к/г и hk. Замечание. Изложенный процесс сведения интеграль¬ ного уравнения (1) к интегральному уравнению (22) с вы¬ рожденным ядром указывает на следующий способ прибли¬ женного решения уравнения (1) при любых к: 1) ядро о7Г(х, у) приближается полиномом $^(х, у) (или другим каким-либо вырожденныхМ ядром), 2) для малого ядра т] (х, у) = о/Г(х, у) — — & (х, у) методом § 15.2 приближенно строится резоль¬ вента с%*(х, у; X), 3) составляется интегральное уравнение (22) с вырожденным ядром (х, у; X), 4) методом § 16.1 строится решение Ф уравнения (22) и, наконец, 5) по формуле (21) находится решение ср уравнения (1). 5. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с полярным ядром. Распространим теоремы Фредгольма на интегральные уравнения с полярным ядром (см. § 15.4) У)= «<«• I х — у где е%?(х, у) — непрерывное ядро.
§ 16] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 245 Докажем, что для любого е > О существует такое вы¬ рожденное ядро 3? (х, у), что max f |е/Г(х, у) — (х, у) | dy < г, (33) д-f G Q max f y)—c9°*(x, y) | dy < e. (33*) X<G q Действительно, ядро [ eT(x, У), |х —у|>~, ^(х,у)=--{ ■ I е%?(х, y)Na, |х — у|<77 непрерывно и при достаточно большом N J \<г7Г(х, у) — .S’ (х, у) I dy — G иЫ-') и аналогично j \е7Г(х, у)-^*(х. у)| dy = G = j | еТ (у, X) — S’(у, X) I dy < у, X € О. G Далее, приблизим непрерывное ядро (х, у) вырожденным
246 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV ядром <9°(х, у) (см. § 16.3) |^(х, у)-^(х, у)| x£G, y£G. Отсюда следует возможность аппроксимации полярного ядра е/Г(х, у) вырожденными ядрами в смысле (33) — (33:}:): max I |o/f(x, у) —<^(х, у)|б/у< <тах f | g/T (х, у) — (х, у) |^у + -f-max j* | ^{x, y) — <^(x, y) |<Zy < y +2У J dy = &. G G Аналогично устанавливается и оценка (33*)- Итак, для любого е > 0 полярное ядро (х, у) предста¬ вимо в виде (х, у) = <^(х, у) + л(х’ У)> где & (х’ У) — вырожденное ядро и т|(х, у) — малое полярное ядро, удов¬ летворяющее, в силу (33) — (33*)> оценкам шах Г | л (х, у) | tfy < е, шах | | л* (х, у) | dy < е. б л£С? G Повторяя теперь рассуждения §§ 16.3 и 16.4 и пользуясь результатами § 15.4 о разрешимости интегральных уравнений с малым полярным ядром, заключаем, что все теоремы Фредгольма и их следствия переносятся и на интеграль¬ ные уравнения с полярным ядром. Отметим, что все собственные функции полярного ядра о/Г(х, у), принадлежащие ^2(^)* принадлежат C(G). Действительно, если ср0 = Х0/С<р0, Фо С-2*2 (Q> то Фо = = ^Л/ф0. Но при достаточно большом р ядро е/Гр(х, у) интегрального оператора Кр непрерывно (см. § 15.4). А тогда по лемме § 15.1 ф0 = 2^/</7ф0 £ С (G), что и утверждалось. Замечание. Теоремы Фредгольма остаются справедливыми и для интегральных уравнений с полярным .ядром на ограниченной кусочно-гладкой поверхности S: ^(х) = л f ф (у) iiS +/(л'). I-* — Я“
§ 17] УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ядром 247 где ядро (х, у) равномерно непрерывно на S X и показатель а меньше размерности поверхности S (см. И. Г. Петровский [2], § 8). 6. Упражнения, а) Доказать, что если (t) — непрерывная 2л-периодическая функция и л J &С (О elkt dt 0, k — целое, -л то ЛА = —- 1 и qk(x)=--e~ikx J <%• (0 eiM dt — Л — характеристическое число и соответствующая собственная функ¬ ция ядра Ж* (х — у), — л < х, у < л. Ь) Доказать, что если (/) — абсолютно интегрируемая функ¬ ция в 7?1 и Л [&] (ц) =/= 0, то [?К] (И) ср (х) = е — характеристическое число и соответствующая собственная функ¬ ция ядра ffC (х — — оо < х, у < оо. с) Доказать, что X = характеристическое число ядра cos ху, 0 < х, у < оо, нему соответствуют собственные функции оо Ф (*) = / (•*) + "j/"~ j cos xyf (у) dy, О где f (х) — любая функция из Отметим, что для интегральных уравнений с ядрами примеров Ь) и с) ’теоремы Фредгольма несправедливы (области интегриро¬ вания в них неограниченны!). § 17. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром Ядро у) называется эрмитовым, если оно совпадает со своим эрмитово сопряженным ядром, (2?Г(х, у) у). Соответствующее интегральное уравнение ср(х) = Х J у) Ф (у) dy + f (х) (1) G при вещественных К совпадает со своим союзным, ибо К* = К. Это уравнение удобно рассматривать в пространстве ~2?2(Р)-
248 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV 1. Интегральные операторы с эрмитовым непрерывным ядром. Пусть К — интегральный оператор с эрмитовым не¬ прерывным ядром у). Этот оператор переводит в (см- § 15.1) и эрмитов (см. § 15.2 и § 1.10), (X/, ^) = (Л Kg), /, (2) Обратно, если интегральный оператор К с непрерыв¬ ным ядром q77(x, у) эрмитов, то это ядро эрмитово. Действительно, из равенства (2) следует эрмитовость ядра о7Г(х, y)=o7f* (х, у) (см. § 15.2). Из формулы (22) § 15.2 следует, что все повторные ядра е/Гр(х, у) эрмитова непрерывного ядра о7Г(х, у) эр¬ митовы, 77Гр(х, у) = (^*)р(х, у)=^р(х, у). Лемма. Интегральный оператор К с непрерывным ядром о7Г(х, у) переводит веяное ограниченное множество из ^2(О) в множество, ограниченное в С (G) и состоящее из равностепенно-непрерывных*) функций на G. ' Доказательство. Пусть В — ограниченное множество из <3\(Gy ||/11<А /££. По лемме § 15.1 оператор К переводит множество В в множество, ограниченное в С (G): И/||с < / V A, f £В. Далее, так как ядро о7Г(х, у) равно¬ мерно непрерывно на G X G, то для любого е > 0 суще¬ ствует такое число б > 0, что I s/f (х'. у) - <Ж(Х", у) I < . как только | х' — х" | < б, зуясь неравенством (4) § e/f^x', у)—о%\х", у), при хг, х” и у£О. Отсюда, поль- 15.1 с заменой o7f(x, у) на всех f £В получаем \(Kf)(x') -(1(f) (П / 1^(х', уу-^^х", y)]f(y)dy о < /V ||/11<е- *) Определение множества равностепенно-непрерывных функ¬ ций содержится в § 1.3.
§ 17] УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ЯДРОМ 249 как только | х' — х" | < б, xr, x"£G. Это значит, что мно¬ жество {(/С/)(х), f£B\ состоит из равностепенно-непрерыв¬ ных функций на G. Лемма доказана. 2. Лемма Арчела. Если множество В ограничено в С (К), где К — компакт, и состоит из равностепенно- непрерывных функций на К, то из него можно выбрать сходящуюся в С (К) последовательность. Доказательство. Как известно, множество точек с рациональными координатами счетно. Поэтому все такие точки множества К можно перенумеровать: хр х2, • • • Так как по условию множество чисел {/(Х]), f£B] ограничено, то, пользуясь теоремой Больцано — Вейерштрасса (см. § 1.1), из пего выберем сходящуюся последовательность Л=1, 2, ... Далее, поскольку множество чисел (x9j| ограничено, то из него выберем сходящуюся подпоследова¬ тельность Д2)(а:2), k = 1, 2, ... и т. д. Рассмотрим теперь диагональную последовательность fk (х) = JW (х), k = 1, 2, ..., функций множества В. Для любой точки xL числовая последовательность fk (х^, k = = 1, 2, .... сходится, ибо по построению при k^l эта последовательность содержится в сходящейся последователь¬ ности k=\, 2, ... Докажем теперь, что последовательность Д, k = 1, 2, . . ., сходится равномерно на К. Пусть е > 0. Поскольку эта по¬ следовательность состоит из равномерно-непрерывных функ¬ ций на К, то найдется такое число б, что при &= 1, 2, . . . (3) коль скоро | х — х' | < б, х и х'£К. Так как К — ограни¬ ченное множество, то из множества точек хР х2, ... можно выбрать конечное число их: хр х2, . . ., xz, 1 = 1 (е), так чтобы для любой точки х£К нашлась точка xz, 1 <3 <С Z» такая, что |х— xz | < б. Вспоминая, что последовательность Д(х), k = 1, 2, . . ., сходится на точках хр х2, . . ., xz, заключаем, что найдется такое число W = /V(e), что IA(^)-/p(xz)|<|, k. P>N, i—1,2 I. (4) Пусть теперь х— произвольная точка множества /<. Выбирая
250 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV точку xt, 1 <С такую, что |х — xt | < 6, в силу (3) и (4), получаем I f k (х) — fp W I I fk (Х) fk (Xi) 1 + I fk CXi) — f p (X/) I + +1 f p (xi) f p (x) 1<з- + у + у = 8’ причем N не зависит от х. Это значит, что последователь¬ ность Д, &=1, 2, сходится в себе в С(/<). По тео¬ реме Коши (см. § 1.3) эта последовательность сходится в С (К) к некоторой функции из С (/<). Лемма доказана. Замена и и е. Лемма Арчела выражает свойство компакт¬ но сти любого ограниченного в С (/<) множества, состоящего из равностепенно-непрерывных па К функций. Лемма § 17.1 утвер¬ ждает, что интегральный оператор с непрерывным ядром переводит всякое ограниченное множество из ^2 (G) в множество, компакт¬ ное в С ((/)• Всякий оператор, обладающий таким свойством, на¬ зывается вполне непрерывным из (G) в С ((J). 3. Интегральные уравнения с эрмитовым непрерывным ядром. Не всякое ядро, отличное от тождественного нуля, имеет характеристические числа; например, как было пока¬ зано в § 15.3, непрерывные ядра Вольтерра не имеют тако¬ вых. Тем не менее справедлива следующая Теорема. Всякое эрмитово непрерывное ядро о%\х, у) ф 0 имеет по крайней мере одно характери¬ стическое число, и наименьшее по модулю.характери¬ стическое число удовлетворяет вариационному прин¬ ципу 1 |М sup /С ^2(G) 1|/</ II 11/11 (5) Доказательство. Обозначим через v точную верх¬ нюю грань функционала jj Kf || на множестве функций f из (G) с единичной нормой, V= sup || Kf\\. (6) \\f\\ = 1 Из оценки (6) § 15.1 вытекает, что на функциях этого мно¬ жества ||/С/1| 441/, а потому v<^44IA Кроме того, оче¬ видно, v^>0. Докажем, что v > 0. Действительно, при v = О, в силу (6), мы имели бы ||/С/|| = 0, т. е. Kf = 0 при всех и потому е^(х, у) = 0, x£G, y£G (см. § 15.1), вопреки предположению.
§ 17] УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ядром 251 Из определения точной верхней грани v вытекает суще¬ ствование последовательности Д, &=1, 2 || fk ||=1 такой, что /г->со; (7) кроме того, справедливо неравенство H2/il = ||/<(^)||ll^ll<v||/</||, /£-F2(G). (8) Докажем теперь, что №/* —v2//;—>0, fe—>оо в J?2(g)- (9) Действительно, пользуясь (2), (8) и (7), получаем II КУк - ^fk II2 = (К2Л - v2/t, №//; - V2/,) = = (№Л- №Л)-Н4(Л. A)-v2(/a, /<2Л)-^(/с2Л. Л) = = II K2fk II2 + V4 - 2V2 (Kfk, Kfk) < < V2 II Kf„ II2 + V4 - 2v2 II Kfk II2 = V - V2 II Kfk II2 -> 0, k —> OO, что и эквивалентно предельному соотношению (9). По лемме § 17.1, последовательность функций Kfk, k=\, 2, ..., ограничена в С (G) й состоит из равносте¬ пенно-непрерывных функций на G. А тогда, по лемме Арчела (см. § 17.2), существует подпоследовательность = Kf i = 1, 2, . . ., сходящаяся в С (G) к функции гр £ С (G), ||ф— ф/ ||с —> 0. Z—>оо. Отсюда, пользуясь оценками (4) и (5) § 15.1 и соотношением (9), получаем || Д-2^ _ v21|) ||с || (ф _ ф.) ||с _|_ v2 || ф _ ф. ||с +1| - v24z ||с < MV и (4 - 4Z) ||с+v21| 4 - 4/ I !с + +1| К (Wfki - ||с < (MV2 + v2) 14 - 4, ||с + + М yv^fk- v2/ftJI—>0, /->сю и, следовательно, №ф = v2x|). Итак, построенная функция ф является собственной функ¬ цией ядра о/Г2(х> У)» соответствующей характеристическому числу . А тогда по крайней мере одно из чисел ± —
252 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV является характеристическим числом ядра о?Г(х, у) (см. § 16.4). Таким образом, построенное характеристическое число по модулю равно ~ и, стало быть, в силу (6), удовлетворяет вариационному принципу (5). Осталось установить, что Zj— наименьшее по модулю характеристическое число ядра (х, у). Действительно, если Хо и ф0 — характеристическое число и соответствующая собственная функция, 2v0K(p0 = (p0, то, в силу (5), 1 ,11П WK/W |1/<Ф0|| 1 Ei I ’ /сл-ио) Н/И 11<М Hol и потому |Х1|<^|Х0|. Теорема доказана. Как было установлено в § 17.1, интегральный опера¬ тор К с эрмитовым непрерывным ядрохМ о/Г(х, у) эрмитов. По теореме § 1.10 характеристические числа ядра gzT(x, у) вещественны, а собственные функции, соответствующие раз¬ личным характеристическим числам, ортогональны. Кроме того, по четвертой теореме Фредгольма множество характе¬ ристических чисел не более чем счетно, а по второй теореме Фредгольма кратность каждого характеристического числа конечна. Поэтому система собственных функций оператора К не более чем счетна и эту систему можно выбрать ортонор¬ мальной (см. § 1.10). Принимая еще во внимание доказанную теорему и тео¬ ремы Фредгольма (см. § 16.3), для интегральных уравнений с эрмитовым непрерывным ядром а2Г(х, у) ф 0 получаем следующие утверждения: Множество характеристических чисел не пусто, расположено на вещественной оси, не более чем счетно и не имеет конечных предельных точек; каждое харак¬ теристическое число имеет конечную кратность; система собственных функций {q^} может быть выбрана орто¬ нормальной, <P/)=AZ. (Ю) Если \=f=Xk, k=\, 2, ..., то уравнение (1) однозначно разрешимо при любом свободном члене f£C(G). Если K = Kk, то для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы (/, <pft+z) = 0. / = 0,1 rk— 1, (11)
17] УРАВНЕНИЯ С ЭРМИТОВЫМ ЯДРОМ 253 где Фл+1» •••♦ _1—собственные функции, соот¬ ветствующие характеристическому числу Kk и rk — крат¬ ность Kk. 4. Интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром. Все результаты, установленные в § 17.3 для инте¬ гральных уравнений с эрмитовым непрерывным ядром, остаются справедливыми и для интегральных уравнений с эрмитовым полярным ядром. Действительно, для таких интегральных уравнений спра¬ ведливы теоремы Фредгольма и их следствия (см. § 16.5). Далее, для эрмитова полярного ядра е2Г(х, у) все пов¬ торные ядра о/ГЛх, у) эрмитовы и полярные, причем при р р0 = п - 4-1 эти ядра непрерывны (см. § 15.4). Осталось распространить на эрмитовы полярные ядра е%^(х, у) ф 0‘ теорему § 17.3. Обозначим sup \\Kf\\. (12) Тогда, в силу о?Г(х, у)^0 и неравенства (31) § 15.4, О < v N = Л/*. Как и при доказательстве теоремы § 17.3, из (12) вытекает существование последовательности /А, k=l, 2, ..., || fk ||=1 такой, что K2fk — v2fk->0, k->oo в ^2(G). Отсюда, применяя (31) § 15.4, при р=1, 2, ... получаем lk27ft—v27ftl= = ll(e2/”2+v2e2/,-4+ ... +v2p_2/)^7ft— < (^-2 + v2N2p-4 + v2P-2^ || _ v2fk || Q> k —> oo, Kipfk - v2'7ft — 0, • k -> оо в _^2 (G). (13) Но при 2p^>pQ ядро c2^2p(x’ У) непрерывно. Поэтому, как и при доказательстве теоремы § 17.3, из предельного соотношения (13) вытекает, что — характеристическое число ядра у). А тогда, поскольку ядро сйГ(х, у) эрмитово и, значит, все его характеристические числа
254 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV вещественны, по крайней мере одно из чисел ± является характеристическим числом этого ядра (см. § 16.4). Отсюда и из (12) вытекает справедливость вариационного принципа (5) для характеристического числа Очевидно, — наимень¬ шее по модулю характеристическое число ядра о/Г(х, у). Этим завершается распространение теоремы § 17.3 на эрми¬ товы полярные ядра. § 18. Теорема Гильберта — Шмидта и ее следствия 1. Теорема Гильберта — Шмидта для эрмитова непре¬ рывного ядра. Пусть 2-2, ... —характеристические числа эрмитова непрерывного ядра о/f (х, у) ф О, расположенные в порядке возрастания их модуля, | Хх | | Х21 . и срт, ср.2, ... — соответствующие ортонормальные собственные функ- ции, (фй> Ф,:) = 6Ь-. Как мы знаем, характеристические числа вещественны, а собственные функции срДх) непрерывны на О; при этом множество {Хл) либо конечно, либо счетно; в последнем случае |Х^|—>оо, /г—>оо. Далее, в силу теоремы § 17.3, справедливо неравенство И/И<-pjjII/II- /6^2(0). (1) Отметим еще неравенство *) (Ниже, в § 18.2, будет показано, что в неравенстве (2) фак¬ тически имеет место знак равенства.) Неравенство (2) при фиксированном х £ G представляет собой неравенство Бесселя (см. § 1.6) для функции е%*(х, у), коэффициенты Фурье которой по ортонормальной системе {Фл(У)} Равны (sT. Ф*) = J е2Г (х, у) ф/г (з») dy Kqk = ф* (х). G *) Если ядро (х, у) имеет конечное число характеристиче¬ ских чисел Лр Л2, ...» то будем считать = со, k > N.
§ 18] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА 255 Введем последовательность эрмитовых непрерывных ядер сй^Чх, у)=е%\х, , р= 1, 2, ... (3) Соответствующие интегральные эрмитовы операторы действуют по формуле fesw). (4) Z = 1 Докажем, что Хр+1, Zp+2’ ••• « Фр+и Фр+2> • •• обра¬ зуют все характеристические числа и собственные функ¬ ции ядра о%*р)(х, у). В самом деле, в силу (4), имеем K(P4k = K<fk — (<Р^-Фг)-Фг = /<Фйу; Фй' так что Kk и <рл, —действительно характеристи¬ ческие числа и собственные функции ядра (х, у). Обратно, пусть Zo и ф0 — характеристическое число и соответствующая собственная функция ядра у), т. е., в силу (4), Фо = = ^О^Фо ^0 S ф/> (5) t = l 4 Отсюда при fe=l, 2, ...» р получаем (Фо- Фй) = h(Кфо. Фй) — ^0Т А- = /=1 4 = h (Фо. *Фй) - h S = = ^(фо. Фй)— (Фо- Фй) =°< а потому, в силу (5), Фо = ^ЛФо- Таким образом, Хо и ф0 — характеристическое число и соответствующая собственная функция ядра е?Г(х, у). Поскольку ф0 ортогональна ко всем
256 И НТЕ ГР А Л Ь Н Ы Е УРАВНЕН И Я [ГЛ. IV собственным функциям фр ср2, <рр, то, следовательно, Zo совпадает с одним из характеристических чисел Хр+1, Zp+2’ • • • и Фо можно считать равной ср^. Таким образом, А,р+1— наименьшее по модулю характе¬ ристическое число ядра у). Применяя неравенство (1) к этому ядру и учитывая (4), получаем неравенство И(/,7||= р= 1, 2, . . . (6) Пусть ядро я/Г (х, у) имеет конечное число характеристи¬ ческих чисел: Х2, ..., KN. По доказанному ядро оЯГ(;У) (*» У) не имеет характеристических чисел, а потому, по теореме § 17.3, ezT(7V)(-£, У) = 0, так что, в силу (3), (7) /=1 1 т. е. ядро gzT (х, у) вырожденное. Отсюда, вспоминая, что вырожденное ядро всегда имеет конечное число характеристических чисел (см. § 16.2), вы¬ водим такой результат: для того чтобы эрмитово непре¬ рывное ядро было вырожденным, необходимо и доста¬ точно, чтобы оно имело конечное число характеристи¬ ческих чисел. Будем говорить, что функция f (х) истокообразно пред¬ ставима через ядро е^(х, у), если существует функция h^^^G) такая, что / (X) = j eT (х, у) h (у) dy, х£0. (8) G Теорема Гильберта — Шмидта. Если функ¬ ция f (х) истокообразно представима через эрмитово не¬ прерывное ядро о%\х, у), f = Kh, то ее ряд Фурье по собственным функциям ядра о%\х, у) сходится регу¬ лярно (и, значит, равномерно) на G к этой функции,
§ 181 ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА 257 Доказательство. Так как f = Kh, h£'S?2\G)> то» по лемхме § 15.1, f £ С (G) и коэффициенты Фурье функ¬ ций f и h ио собственным функциям (<р/г) ядра е%*(х, у) связаны соотношением (/• Фл) = </<Л. Ф/Д = (Л. = • (10) д/г Если ядро у) имеет конечное число характеристи¬ ческих чисел, то, в силу (7), /М = «4^4и /г =* 1 ? и теорема Гильберта — Шмидта доказана. Пусть теперь ядро о7Г(х, у) имеет бесконечное число характеристических чисел. В этом случае | \k | -> со, k— >со. Поэтому, в силу (6) и (10), ряд (9) сходится к f в J?2(G}: р / - Ф*) <Ps ы р (Л. <Pft) А* Ф/г ->0, р — > оо. Осталось доказать, что ряд (9) сходится регулярно на G. Пользуясь неравенством ством (2), при всех Коши — Буняковского q получаем и неравен- Р и 1 1 , x£G. (И) 17 В. С. Владимиров 2
258 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV В силу неравенства Бесселя 21 О, q>) 12<1К k=l правая часть неравенства (11) стремится к 0 при р, q—хуэ. Это и значит, что ряд (9) сходится регулярно на G, Тео¬ рема доказана. Приведем некоторые следствия из теоремы Гильберта — Шмидта. 2. Билинейное разложение повторных ядер. Докажем, что повторное ядро о?Гр(х, у) эрмитова непрерывного ядра &7Г(х, у) разлагается в билинейный ряд по соб¬ ственным функциям этого ядра <Жр(х, у) = 2 й = 1 ф/г (Х) Ф> (У) (12) > р — 2, 3, ..., регулярно сходящийся на G %G. В силу формулы (17) § 15.2, при каждохм y£G ядро е2Гр(х, У) истокообразно представимо через ядро о&(х, у), а потому, по теореме Гильберта — Шмидта, оно разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функ¬ циям этого ядра, оо sTp(x, у) = 2 (.вТр(х, У)> ФА)Фл(*)- Й = 1 Так как ядро o7fp(xt у) эрмитово, то (аТр (х, у), fpA) = | еУГр (х, у) (pft (х) dx = G — / eTp (У> х) ~рк (х) dx = (Кр<рк) (у) G Р>1. (13) Таким образом, равенство (12) доказано и ряд в (12) схо¬ дится регулярно по x£G при каждом y£G.
§ 18] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА 259 В частности, полагая в формуле (12) р = 2, х = у и учитывая, что, в силу (17) § 15.2, <=Т2(Х, *)= j еГ(х, x)dy = G = / еГ (х. у') еТ (х, у') dy' = _[ | гГ (х, у) р dy, G G получаем равенство j* I ®Г(х, у)|2^у. G (И) Из леммы Дини дится равномерно на ши — Буняковского (см. § 1.3) следует, что ряд (14) exo- о. Отсюда, используя неравенство Ко- I О) (У) I 1 < заключаем, что ряд (12) сходится регулярно на G X G. Интегрируя равномерно сходящийся ряд (14) почленно и учитывая нормировку собственных функций, получаем фор¬ мулу J /\^С(х, y)\2dxdy. J? = l G G (15) 3. Билинейное разложение эрмитова непрерывного ядра. Исследуем сходимость ряда (12) при р=\, а именно, докажем, что' эрмитово непрерывное ядро у) раз¬ лагается в билинейный ряд по своим собственным функ¬ циям (16) сходящийся в равномерно по y£G, т. е. Лх, У)-£ k = \ <P/f (X) <Р/г (у) Ад, v-с 0, р->оо. (17) 17*
260 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Равенство (13) при р — 1 показывает, что при каждом у£О коэффициенты Фурье ядра (х, у) по ортонормаль¬ ной системе (ф/г (х)) равны —. Поэтому, применяя фор¬ мулу (16) § 1.6, получаем равенство Ф/г (X) (у) y£G, откуда, в силу равномерной сходимости ряда (14), заключаем о сходимости билинейного ряда (16) к ядру о2Г(х, у) в смысле (17). Из (17) следует, в частности, что ряд (16) сходится к ядру у) в Х(°Х°). т. е. dxdy —>0, /7->оэ. (18) Для билинейной формы (/</, g) докажем формулу со (Kf, g) = 2 -(/’ -- ■ /• 5-6^2 (О). (19) &=1 г Действительно, поскольку f £ то, по теореме Гильберта — Шмидта, оо (К/) (X) = У Ф* W’ k=l причем этот ряд сходится равномерно на G. Умножая этот ряд на функцию g из (и> следовательно, абсолютно интегрируемую на G, см. § 1.5) и почленно интегрируя его по области Gt получаем формулу (19):
§ 18} ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА 261 Полагая в формуле (19) f — g, получим представление квадратичной формы (К/, /) в виде (Kf, f) = . f е <3? (О). (20) k=l Формула (20) представляет собой обобщение формулы приведения к главным осям квадратичной формы от конеч¬ ного числа переменных. 4. Решение неоднородного интегрального уравнения с эрмитовым непрерывным ядром. ВыведохМ формулу Шмидта для решения неоднородного интегрального уравнения ср = А/Сср -ф- f (21) с эрмитовььм непрерывным ядром <?%\х, у). Если /г=1, 2, . .., и f (О), то (единствен¬ ное) решение ср интегрального уравнения (21) предста¬ вляется в виде равномерно сходящегося на G ряда (фор¬ мулой Шмидта) со ф (X) = л 2 <T/f (*) + / (*)• (22) Действительно, при X =£ А.*, /?=1, 2, решение инте¬ грального уравнения (21) существует и единственно в C(G) при любом свободном члене f^C(G) (см. § 16.3). По тео¬ реме Гильберта—Шмидта функция Ку разлагается в равно¬ мерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ядра е%\х> у). Поэтому оо ср = л/<ср 4~ f = X -- срл 4~ /• (23) Й = 1 Вычислим коэффициенты Фурье (ср, cpj. Из уравнения (21) имеем (ср, ср*) = А (/<ср, ср*) 4- (/, ср*) = А (ср, Лфл) + (/. <Н) = = -ц(ф> + Фд)
262 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV и, следовательно, (ф> Фй) = й = Г 2, .. откуда, в силу (23), и вытекает формула Шмидта (22). По теореме Гильберта — Шмидта со («/)(*) = V фИх), k = I причем ряд сходится равномерно на G. Поэтому формула Шмидта (22) принимает вид CQ СО <р(х) = х2 W + стЙ)Фа(х) + /(х) = /? = 1 Л = 1 = Х J аТ(х, у) / (у) dy + V 2 (*) + /(*)■ (24) О /г = 1 Далее, из равномерной сходимости билинейного ряда (12) при р = 2 следует равномерная сходимость билинейного ряда V (^k — л) £ = i и его сумма есть непрерывная функция по x£G, y£G, k = 1, 2, .... и мероморфная по X с простыми полю¬ сами \k. Следовательно, при Х=/=Хл, k=\, 2, .... в фор¬ муле (24) можно поменять порядок суммирования и интегри¬ рования, в результате чего получим <Pfe (*) (У) (^k — М q>(.v) = X J G (х, У) ~~Ь /г=>1 f (У) dy + f (X). (25) С другой стороны, по теореме § 15.2, при малых X реше¬ ние уравнения (21) выражается через резольвенту с/?(х, у; X) ядра о/Г(х, у) по формуле (20) § 15.2. Следовательно, &(х, у, Х) = ^(х. y) + xj k=i <Pft (х) <f>k (у) (26)
§ 18] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА 263 ТакИхМ образом, резольвента <^(х, у; X) эрмитова непре¬ рывного ядра (х, у) допускает мероморфное продолжение на всю плоскость комплексного переменного X с простыми полюсами Kk и вычетами — 2 <P* + i WTa hG’). (27) z=o гдеср^, ср/г + 1 фл+ —собственные функции ядра^/Г (х, у)» соответствующие hk, и г/г — кратность kk (см. § 15.2, заме¬ чание). Пользуясь равенством (16), перепишем формулу (26) в виде ^(х, у; = £ k = i fPft Ср/г G) Ал# (28) причем билинейный ряд сходится в (см. § 18.3). Замечание. Формула (22) остается справедливой и при Х = Ху, если, в соответствии с третьей теоремой Фредгольма, (/- = 0. ' = 0. 1- •••> О—1- В этом случае решение уравнения (21) не единственно и его общее решение, согласно формуле (38) § 1.9, дается фор¬ мулой оо г;~1 ф(х) = Х,;^ фА (х) + /(*)+ (29) л=1 г J i=0 где ct — произвольные постоянные. 5. Положительные ядра. Ядро е2Г(х, у) называется положительным, если соответствующий оператор К положи¬ телен (см. § 1.10), т. е. (К/, /)>0, /6^2(С). Всякое положительное ядро о/Г(х, у) эрмитово. Действительно, поскольку оператор К эрмитов (см. § 1.10), то и его ядро о/Г(х, у) эрмитово (см. § 17.1). Для того чтобы эрмитово непрерывное ядро еУ£(х, у) было положительным, необходимо и достаточно, чтобы все его характеристические числа Kk были положитель¬ ными.
264 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ '[ГЛ. IV Действительно, если Kk > 0, то, в силу (20), (/</, /) ^> 0, /£ так что ЯДР0 У) положительное. Обратно, если ядро &Г (х, у) положительное, то Д- = (Кфл, <pft) > о, т. е. Кк > 0. Если &/Г(х, у) — положительное непрерывное ядро, то справедлив следующий вариационный принцип'. -у-= sup ПТ]А> А==1> 2 (30) ЛЛ я ^2 (О) Ь/п (/, <Pz)=0, Z=l, 2, k-l причем supremum в (30) достигается на любой собствен¬ ной функции, соответствующей характеристическому числу Действительно, пользуясь формулой (20) и учитывая нера¬ венства AzZ^2vZ,>0, i^k, при всех / £ (^) таких, что (/, <р.) = 0, i = 1, 2, . . ., k — 1, получаем (*/./)_ 1 V к/-Др / 1 И/И2 11/1 2а ы/112 Z = 1 оо SI (/. <р/) I2 i = k и, стало быть, в силу неравенства Бесселя, справедливо не¬ равенство (К/. /) II/»2 (31) С другой стороны, при / = <Рй имеем ИМ2 h' (32) Неравенство (31) и равенство (32) устанавливают справедли вость вариационного принципа (30). Полагая в (30) £=1, получаем 1 sup (О) (/</, /) II/II2 ’ (33) 6. Распространение теории Гильберта—Шмидта на интегральные уравнения с эрмитовым полярным ядром. Теорема Гильберта — Шмидта и следствия из нее, уста¬ новленные в этом параграфе для интегральных уравнений
§ 18] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА 265 с эрмитовЫхМ непрерывным ядром, переносятся и на инте¬ гральные уравнения с эрмитовым слабо полярным ядром (см. § 15.4) е%\х, У) = • « < V■ у)=&> (X, у). | х — у р 2 Действительно, для таких ядер справедливы результаты § 17. Поэтому, как показывает анализ доказательства теоремы Гильберта — Шмидта, для распространения этой..теоремы на слабо полярные ядра достаточно установить следующую лемму. Лемма. Интегральный оператор К со слабо поляр¬ ным ядром qJC (х, у) переводит 6 С (Ф и ограничен где И/ Нс 11/11. 04) £2 = max I" |s/T(x, у) |2 dy. x^o о Доказательство. Пусть /^.2’2(G). Пользуясь нера¬ венством Коши — Буняковского, при всех х £ G имеем II (К/) (011 = / sT(x, у) f (у) dy < Q _1_ <Г Jl^(x, у) |2^12 ||/||<L\\f\\. _G (35) Докажем, что функция непрерывна на G. Зададим е > 0. Существует функция (О) такая, что II/-/еИ< Т (см. § 1.5); по лемме 1 § 15.4, Kf&£C(G) и, в силу нера¬ венства (35), I (К/) (х) - (AVe) (*) | = | к {/ - /е) I < LII / - /ЕII < L Л- = е, x£G. Таким образом, функция Kf с любой степенью точности равномерно приближается непрерывными функциями на G.
266 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV Следовательно, Kf^C(G'). Поэтому оператор К перево¬ дит J?2(G) в С (G)- При этом неравенство (34) следует из неравенства (35). Лемма доказана. Пусть теперь эрмитово ядро о7Г(х, у)— полярное, а < п. Для таких ядер справедливы результаты § 17. Поэтому, как это следует из доказательства теоремы Гильберта — Шмидта, ряд (9) сходится в (G). Учитывая теперь, что при и слабо полярные (см. §§ 15.4 и 17.4), заключаем, что били¬ нейные ряды (12) сходятся равномерно при р 2рР Далее, формулы (19) и (20), а следовательно, и все результаты § 18.5 сохраняются. Формула Шмидта (22) остается справедливой с заменой равномерной сходимости на схо¬ димость в ^^(G). 3 а м е ч а н и е. Рассмотрим интегральное уравнение <p(x)=A j* p(y)sT(x, у)<р(у)</у + /(х), (3-6) G где ядро е2Г(х, у) эрмитово и вес р(у)— положительная и непрерывная функция на G. Замена неизвестной функции ф = У р(р преобразует уравнение (36) к эквивалентному инте¬ гральному уравнению Ф (х) = К J (х) р (у)ЛС (х, у) ф (у) dy + Ур (х) f (х) G с эрмитовым ядром ]/*р (х) р (у) (х, у). Переходя к исход¬ ному уравнению (36), убеждаемся, что теория Гильберта — Шмидта без изменений переносится и на интегральное уравне¬ ние (36) с неэрмитовым ядром р (у) (х, у), если его рас¬ сматривать в пространстве ^^(G', р) со скалярным произве¬ дением (/, g)p (см. § 1.7, замечание). 7. Теорема Ентча. Многие задачи математической физики сводятся к интегральным уравнениям с вещественным эрми¬ товым ядром. Такие ядра называются симметричными', они удовлетворяют соотношению (х, у) = ?7С (у, х). Собственные функции симметричного ядра 77С (х, У) можно выбрать вещественными.
§ 18] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА 267 Действительно, если ср0 = ф1-ф-/ф2— собственная функция ядра (х, у), соответствующая характеристическому числу Zo, Фо = Ф1 4- *Ф1 = Ш = Wi + *М<ф2. то, в силу вещественности (х, у) и Zo, заключаем отсюда, что отличные от нуля вещественная и мнимая части cpj и <р2 функции ф9 также являются собственными функциями, соот¬ ветствующими Хо, Ф1 = Х0А7<Р1, Ф2 = M^P2- Ядро о2Г(х, у) назовем ядром положительного типа*), если о7Г(х, у) > О, x£G, у£О. Очевидно, если ядро о2Г(х, у) положительного типа, то и все его повторные ядра о7Гр(х, у) положительного типа. Теорема Ентча. Если симметричное полярное ядро &7f(x, у) положительного типа, то его наименьшее по модулю характеристическое число — положительное и простое', соответствующая собственная- функция cpj (х) положительна в G. Доказательство. Пусть Xj — наименьшее по модулю (вещественное) характеристическое число симметричного (по¬ лярного) ядра а/Г(х, у) и q)j — произвольная (вещественная) собственная функция, соответствующая <pj = Х/Сфр Тогда Х-1 — наименьшее характеристическое .число положительного полярного ядра о/Г2(х, У) и Ф1— собственная функция, соот¬ ветствующая X2, ф1=Х2/С2ф1. Докажем, что Ф! (х) — не может менять знак в об¬ ласти G, т. е. |Ф10)Ф1(У)| = Ф1 (*)Ф1(У). x£G, y£G. Действительно, в противном случае, в силу непрерывности функции ф] (х), см. § 16.5, нашлись бы такие окрестности U (х'; r)czG и U (у'; p)czG, что IФ1 (*) I |Ф1 (У) I > Ф1О)Ф1 (у). x£U(x';r), у£[7(У;р), *) В отличие от положительного ядра (см. § 18.5).
268 И НТЕ ГР А Л Ь И Ы Е У РАВ НЕНИЯ [ГЛ. IV И потому, В силу условия е2Г2(Х, у) > О, ■К м |р‘1} йЛ7 J J '''2(х’ у) 1 <Р1 (х)!'fpl (у)'dx dy > ' 1 1 G (J >й / [*”• G G что противоречит вариационному принципу (33). Докажем, что функция срх (х) не может обращаться, в нуль в области G и, стало быть, может быть выбрана положительной в G. Действительно, в противном случае найдется точка х £ G, что <Р1 (V) = Ц j sT2 (*', у) Ф1 (У) dy = О, G откуда, в силу условия е/Г2(х, У) > 0» следует противоречие: Ф1(У) = 0, y£G. Из положительности (х) следует положительность Zlt Ибо ^f(x, у) > О и 7.J = 4rL> °- Докажем, что Zj — простое характеристическое число. Действительно, если бы существовала линейно независимая с (pj вещественная собственная функция ср2, соответствую¬ щая /я, то при всех вещественных с их линейная комбинация qq 4- сср2 — также вещественная собственная функция, соот¬ ветствующая Zp и, следовательно, по доказанному она не может обращаться в нуль в области G, что ввиду произ¬ вольности с невозможно. Теорема доказана. 3 а м е ч а и и е. Теорема Ентча справедлива для любого поляр¬ ного ядра положительного типа (без предположения его симметрии). Соответствующая теорема справедлива и для матриц с положи¬ тельными элементами; в этом случае она называется теоремой Перрона. 8. Метод Келлога. Для приближенного нахождения наи¬ меньшего по модулю характеристического числа Zj и соот¬ ветствующих собственных функций эрмитова полярного ядра еЗГ(х, у) применяется метод последовательных приближений Келлога. Пусть функция ф<°) из ^2\(G) не ортогональна ко
§ 18] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА 269 всем собственным функциям, соответствующим 2^. Составам п оследовательности где <р(^=А7р<р(0) — итерации функции ср(0) (см. § 15.1). Члены и ф(Р) (х) этих последовательностей и принимаются за при¬ ближения к | Xj | и соответствующей собственной функции <Р1 (х). Дадим обоснование метода Келлога для интегральных урав- нений с симметричным слабо полярным ядром положитель- I ного типа. По теореме Ентча для таких ядер Xj — положи- ( тельное и простое, так что О<А}< |Х2| ..^соответствующая \ собственная функция <рх (х) положительна при х £ G; собст- ) венные функции ср^ (х) вещественны (см. § 18.7). Теорема. Пусть е2Г(х, у) — симметричное слабо полярное ядро положительного типа. Тогда для любой функции (р(0) (х) О, ||ф(°)||= 1 последовательность {Iqo} сходится, монотонно убывая, к и последовательность {<Р(г,)} сходится к <px в и 6 причем справедливы оценки X М \2p-2 1_с2 -V’ Р = 2'ъ'---< <38) . /х у /ГД7 ' 1 . Р=1. 2, (39) /л.у /ГДТ Цф(Р)-ф1|1с<^2 V 2 р=2, з (40) \ *2 / С1 где ^1 = (ф(0)> Ф1). A2=max f |оТ(х, y)|2dy. Доказательство. По теореме Гильберта — Шмидта (см. § 18.1 и 18.6) имеем оо ф(₽)(х) = К^(0)==У>фН*)- Р = 1, 2, .... (41) Л-1 “Л
270 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IV где, в силу неравенства Бесселя, оо S 4 <11ф(0)Н2= 1. ^ = (ф(0). фй). <ч>0, (42) и ряды (41) сходятся равномерно при х £ G. Из равенств (41), в силу (фр cpz,) = bik, вытекают равенства оо 2 ||(₽(р)||2=(ср(Р)1 = р=1, 2. ... (43) Л = 1 А/? Докажем, что последовательность р=1, 2, монотонно убывает и Действительно, пользуясь неравенством Коши—Буняков- ского, получаем || ф(р) ||2 = (ф(р), ср(^)) = <рМ) = (ф^“]\ 7Сф(^)) = = (ф(р-1}. ф^^ХИф^-^Н |1ф(р+1)||, откуда и из (37) следуют неравенства Далее, из вариационного принципа (5) § 17.3 (см. также § 17.4) выводим {р}~ 11^’11 11/11 II к/ и р= 1, 2, ,. что и утверждалось. Принимая во внимание равенства (43), получаем
§ 18] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА 271 Отметим неравенства, справедливые при 1/'^-^- — 1 <-(•*—У). 1+-1±-£ -1—^х. (45) F 1 + у 2 1+у П+у Применяя первое из неравенств (45) при -ШАГ " ГШ' й=2 /? = 2 к правой части равенств (44) и пользуясь (42), получим не¬ равенства (38): У 00 / z, \2 / 1 \2p-2 / а2 \ Г7)< <т!"!s!-4 S /? = 2 2р-2 !_с2 о Докажем оценки ГМММФ р= 1, 2, . . 77 у /1-4 AM ci ’ # = 0,1, . . . Пользуясь формулами (41) и (43), получаем II2 М<Г+?,11_ ф1| ~ (46) — 1 4" 2 1 Ж- ~ с2 V4 ck (y+Al’T'TI у||ф(₽+^|| _/ ci 1 = УГ*||<ГМ1 / 4 fe=2 оо Г оо ■+ШГГ1 V -+ШГГ’ *=2 * 6=2 С1 А- = 2 1 °° Л;«иф1р+«В! 2 (47)
272 И НТЕ Г Р АЛ Ь Н Ы Е У РА В В Е НИ Я [ГЛ. IV Применяя второе из неравенств (45) при к правой части равенств (47) и учитывая (42), получаем не¬ равенства (46): < М2'vМ .1215* U W с) Неравенства (39) вытекают из неравенств (46) при д=0, в силу (37). Докажем неравенства (40), Применяя неравен¬ ство (34) § 18.6, получаем Применяя к правой части полученного неравенства неравен¬ ство (46) при 7—1 с заменой р на р — 1, получим оценки (40). Теорема доказана. Замечание. Доказанная теорема о сходимости метода Келлога справедлива и для симметричных полярных ядер положительного типа. При этом оценки (40) имеют место при р^2рх (см. § 18.6). 9. Упражнения.^) Доказать: если ядро (х, у) полярное и эрмитово и f (G), то метод последовательных приближений § 15.1 сходится в С (G) при i А | < | Aj | с погрешностью О ( |у |Pj. b) Доказать теорему Мерсера: если непрерывное ядро е^* (х, у) положительное, то его билинейный ряд сходится регу¬ лярно на G X G. c) Для интегрального уравнения Пайерлса <₽(х)=Х. | ^(|x-y|)q>(y)rfy. О доказать оценку Ач (1 —e~D) 1, где D — диаметр области G cz R\
Глава V КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В этой главе изучаются краевые задачи для уравнений эллиптического типа. Если не оговорено особо, то область G предполагается ограниченной, а ее границаS—кусочно-гладкой поверхностью. § 19. Задача на собственные значения 1. Постановка задачи на собственные значения. Рас¬ смотрим следующую линейную однородную краевую задачу для уравнения эллиптического типа (см. § 4.4): — div (р grad и) -j- Qlt — (1) (2) Предполагаем (см. § 4.1 и § 4.4) p£C’(G), q£C(G), р (х) > О, ^(х)>0, х£О; аеС(5), 0GC(S), а(х)>0. 0(х)>О. (3) а (х) 4- 0 (х) > 0. х С 5. Пусть So— та часть S, где а. (х) > 0 и [3(х)>0 одновре¬ менно. Задача (1) — (2) состоит в нахождении функции и(х) класса C2(G) (] С1 (G), удовлетворяющей уравнению (1) в об¬ ласти G и граничным условиям (2) на границе 5. Очевидно, задача (1) — (2) всегда имеет нулевое решение. Это решение не представляет интереса. Поэтому задачу (1) — (2) необхо¬ димо рассматривать как задачу на собственные значения (см. § 1.9) для оператора L = — div (р grad) q. 18 В. С. Владимиров
274 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V К области определения q/Hl оператора L (см. § 1.8) отнесем все функции /(я) класса C2(G) П С1 (G), удовлетворяющие граничному условию (2) и условию Lf Итак, задача (1) — (2) состоит в нахождении тех значе¬ ний X (собственных значений оператора Л), при которых уравнение Lu = Lu (4) имеет ненулевые решения и(х) из области определения o/HL (собственные функции, соответствующие этому собственному 2. Формулы Грина. Если и £ С1 (G) f) С1 (G) и v£C}(G), то справедлива первая формула Грина J vLudx= f p^^-^-dx-f pv^dS^^quvdx. G G 1 = 1 5 G (5) Для доказательства формулы (5) возьмем произвольную область Gr с кусочно-гладкой границей 5', строго лежащую в области G (рис. 48). Так как zz£C2(G), то u^C2(Gr) и, следовательно, [* vLu dx= v [— div (р grad и) -ф- qu] dx = G' G' = — / div (/w grad и) dx-]- J dx -|- J qtiv dx. G' G' / = 1 1 Gf Пользуясь теперь формулой Гаусса —Остроградского, получаем J vLudx = ^p^^-^-dx- J pv^-dS'+ ^quvdx. G' G' Z-l S' Gf Устремляя в полученном равенстве Gr к G и пользуясь тем, что и и v £ С1 (G), заключаем, что предел правой части существует и, следовательно, существует предел левой части и справедливо равенство (5). При этом интеграл слева в (5) необходимо понимать как несобственный.
§ 19] ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 275 Если и и v £ C2(G) П С1 (G), то справедлива вторая фор¬ мула Грина J (vLu — uLv)dx = J р[и -^L — v-^L^dS. (6) G S Для доказательства формулы (6) в первой формуле Грина (5) поменяем местами и и V, J uLv dx = G Г V dv ~ J Р dxt dxt dx G t = l — J pu^-dS-\- j quvdx, s G и вычтем полученное равенство из равенства (5). В резуль¬ тате получим вторую формулу Грина (6). В частности, при р = \, q = 0 формулы Грина (5) и (6) превращаются в следующие (ср. с формулой (22) § 6.5): $vbudx = - J 2-g--g_dx + J v~dS. (7) G G i = 1 5 ^v\u-u\v)dx= ^-u^—u^dS. (8) G S 3. Свойства оператора L, Оператор L эрмитов (само¬ сопряженный no Лагранжу), (Lf, g) = (g,Lf), f< g^a^L._ (9) Действительно, так как функции f и g принадлежат области to Lf £^2(6) и Lg = Lg € (G) и вторая формула Грина (6) при u = f и v = g принимает вид J (gLf - /Z£) dx = (Л/, g) - (f. Lg) = <■«> 18*
276 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Далее, функции f и g удовлетворяют граничному усло¬ вию (2): a^+p-fi-|s==0’ ^+₽<L=°- (11) По предположению (3), a -1- (3 > 0 на 5. Поэтому однород¬ ная система линейных алгебраических уравнений (И) имеет ненулевое решение (а, р) и, значит, ее определитель равен нулю, т. е. df дп дп / Учитывая полученное равенство, из формулы (10) получаем равенство (9), которое и обозначает, что оператор L эрмитов (см. § 1.10). Пусть f Полагая в первой формуле Грина (5) u=f nv = f и учитывая, что Lf получаем (Lf, f)= J p|grad/|2Jx—j* pf ff-dS + J q\f\2dx. G S G (12) Из граничного условия (2) следует, что -^- = —у/, если Р(х)>о, x£S; / = 0, если p(x) = 0, Подставляя эти соотношения в равенство (12), получаем выражение для квадратичной формы (Z,/, f)= J (p|grad f I2 + q\f j2) dx 4~ G P^\f\2dS,f£<ML, (13) где So— та часть S, где a(x)>0 и p(x)>0. Квадратичная форма {Lf, /), называется интег¬ ралом энергии.
§ 19) ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 277 В силу предположений (3), в правой части (13) все три слагаемые неотрицательны. Поэтому, отбрасывая второе и третье слагаемые и оценивая снизу первое слагаемое, полу¬ чаем неравенство (£/, /)> f p|grad/|2dx> min р(х) j | grad f |2dx, а (Lf> Л>А)||| grad/Hi2, f^rp}tL, (14) где p0=min/?(x); в силу непрерывности и положитель¬ ности функции р на G, р0 > 0. Из неравенства (14) вытекает, что оператор L — поло- жительниц (см. § 1.10), т. е. (/:/,/)> о, /с^£. (15) Отсюда, в частности, опять следует эрмитовость оператора Л (см. § 1.10). 4. Свойства собственных значений и собственных функций оператора L. Все собственные значения оператора L неотрица¬ тельны. Это утверждение вытекает из положительности операто¬ ра (см. § 1.10). Собственные функции оператора Л, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Это утверждение вытекает из эрмитовости оператора (см. § 1.10). Собственные функции оператора L можно выбрать вещественными. Это утверждение вытекает из вещественности оператора L (ср. § 18.7). Действительно, пусть собственное значение и и^ — соответствующая собственная функция оператора Л, £ио = Хоио, (1G) Тогда, отделяя в равенстве (16) вещественную и мнимую части, получаем, что отличные от нуля вещественная и мнимая части собственной функции uQ = их 1и2 также являются собственными функциями, соответствующими собственному значению Ло, Lu^^KqU^ j=\> 2.
278 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Лемма. Для того чтобы Х = 0 было собственным значением оператора L, необходимо и достаточно, чтобы q = Q и a = Q. При этом Х=0 — простое собственное значение и Uq = const — соответствующая собственная функция. Доказательство. Необходимость. Пусть А, = 0—соб¬ ственное значение оператора L и zz0— соответствующая соб¬ ственная функция, так что Л«о=О, Uq£q41l. Применяя к функции rz0 формулу (13), получаем О = (L«o. «0) = j (р I grad и0 |2 4- q | и0 |2) dx -j- | р j j ti0 |2 dS, О s. откуда, учитывая предположения (3), выводим р grad Uq = 0, quQ = Q, x£G, т, е. и^ = const и # = 0. Из граничного условия (2) для собственной функции uQ = const следует, что а = 0. Необ¬ ходимость условий доказана. При этом установлено, что Uq — const—единственная собственная функция, соответствую¬ щая собственному значению Z = 0, т. е. это собственное значение — простое. Достаточность. Если q = Q и а = 0, то, в силу (3), (3 > 0 и задача (1) — (2) превращается в следующую: — div (р grad и) = Хи, =0, для которой Uq — const есть собственная функция, соответ¬ ствующая собственному значению Х = 0. Лемма доказана. Будем считать, что в граничном условии (2) либо £ = 0, либо р=1, т, е. это условие имеет вид либо и |$ = 0, либо 'f^_Fazz| ==0, «^>0. (17) Тогда, если граница S области G — достаточно гладкая поверхность и коэффициенты р > 0, и a 0— доста¬ точно гладкие функции, справедлива следующая Теорема 1. Множество собственных значений опе¬ ратора L счетно и не имеет конечных предельных точек; каждое собственное значение имеет конечную кратность. Всякая функция из <ML разлагается в регулярно схо-
§ 19] ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 279 дящийся ряд Фурье по собственным функциям опера¬ тора L. I Эта теорема будет доказана для двух частных случаев: 1) для задачи Штурма — Лиувилля (см. § 20) и 2) для задачи Дирихле (см. § 24). Доказательство этой теоремы в ее об¬ щем виде содержится в книге Миранды [1]. На основании теоремы 1 § 19,4 и предыдущих утвер¬ ждений все собственные значения оператора L можно пере¬ нумеровать в порядке возрастания их величины 0<Л<Д2< • • kk—>оо, £->оо, (18) повторяя в этом ряде столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и}, иъ так что в ряде (18) каждому собственному значе¬ нию Xk соответствует одна, и только одна, собственная функ¬ ция uk, Luk=\kUk, k=\, 2, ...» При этом собственные функции {zz^} можно выбрать веще¬ ственными и ортонормальными (см. § 1.10), так что (А^, zzz) = ^(zzA, zzz) = A/ed/?z. (19) Далее, всякая функция / из o/HL разлагается в ряд Фурье по ортонормальной системе (zz/<;), /(х)=2(/,а4)Ш (20) k = l и этот ряд сходится регулярно на G. Но по лемме § 1.5 множество o4tL плотно в J?2((j). Отсюда и из теоремы § 1.7 вытекает следующая Теорема 2. Система собственных функций опера¬ тора L полна в (G). Умножая ряд (20) скалярно слева на А/, при всех / из получаем формулу для интеграла энергии со оо (V. /) = 2 (/. «р а/. "к> = 2 (/. (f, = k = 1 k = 1 оо = S4I (/.«/:) I2- (21)
280 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИИ [ГЛ. V W. *=Ь 2. ... Теперь установим следующий вариационный принцип (ср. § 18.5): Ч = inf (/, «z)=0, / = 1, 2, причем infimum в (22) достигается на любой собственной функции, соответствующей собственному значению kk. Действительно, пользуясь формулой (21) для квадратич¬ ной формы (£/, /) и учитывая неравенства (18): i k, при всех f £ таких, что (/, z/z) = 0, / = 1, 2, . . . . , ., k — 1, получаехМ оо (22) оо / = /г Но, в силу севаля (см. теоремы § 1.6) оо 2|(/. г = 1 2 § 19.4, справедливо равенство Пар- и потому X .< /) /г" II/II2 ■ С другой стороны, при f = uk, в силу (19), имеем (Днь up)_ = z az) = 0. Z= 1. 2 А—1. Этим установлена справедливость вариационного принципа (22). Полагая в (22) /г=1, получаем, в частности, ? _ inf ДАЛ Применяя формулу (21) к Пр = f — 2 (/. t = l функциям «/)«£. Р = 1, 2 из о#£ и учитывая, что / ' \ [ 0, Л=1,2 р, (V «») = (/-= t = p + 1, ....
§ 19] ЗАДАЧА ИА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 281 получаем (Z,T]p. лр)= 2 ЧК/> w*)l2- k=p+l Отсюда и из сходимости ряда (21) следует, что (/V Лр)->0. р->сю. (23) Применяя неравенство (14) к функциям г1р и учитывая (23), получаем при р —> оо grad/ —J](/, Z = 1 Полученное соотношение обозначает, что оо grad / (х) = 2 (Л uk) grad uk (*). (24) £ = 1 причем ряд (24) сходится к grad f в ^2 (Q- Итак, получена следующая Теорема 3. Если то ряд (20) можно диф¬ ференцировать почленно по /=1, 2, ...» /г, один раз и полученные ряды (24) будут сходиться к в Замечание. Полученные результаты распространяются и на краевую задачу на собственные значения Lu = X-pzz, = 0, где вес р (х) > 0 — непрерывная функция на G, если эту задачу рассматривать в пространстве *S\(G\ Р) (СР* § замечание). 5. Метод Фурье (разделение переменных). Для опре¬ деления собственных значений и собственных функций мно¬ гомерных эллиптических операторов, допускающих разделе¬ ние переменных, Применяется метод Фурье. Сущность этого метода состоит в следующем. Разобьем независимые пере¬ менные на две группы х = (хр х2, . . ., хп) и у—(ур у2, .... угп), и пусть GcR'1— область изменения х и DcRm—область изменения у. Обозначим через S и Г границы областей G и D
282 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V соответственно. Тогда (S X £)) (J (Г X С) есть граница области G X DcRntm> В области G X D рассмотрим следующую краевую задачу на собственные значения для уравнения эллиптического типа Lu + Ми = Lu, * (25) °- Y" + 6-g| _=0, (26) Г X Q где L и М— эллиптические операторы, не зависящие от у и х соответственно; функции а, 0 не зависят от у и функ¬ ции у, б не зависят от х. Будем искать собственные функции задачи (25) — (26) в виде произведения X (х) Y (у), и(х, у) = %(х)И(у). (27) Подставляя это выражение в уравнение (25), получаем Y (у) LX (х) X (х) MY (у) = LX (х) Y (у), откуда LX (х) MY (у) Х(х) — Л W Левая часть равенства (28) не зависит от у, а правая—от х. Следовательно, эти выражения не зависят ни от х, ни от у, т. е. равны постоянной. Обозначая эту постоянную через р и полагая v = L — р, из (28) получаем два уравнения: LX = pX, MY = vY. (29) (30) Таким образом, уравнение (25) расщепилось на два урав¬ нения (29) и (30) или, как говорят, переменные разделились} при этом дополнительно возник неизвестный параметр р. Для вывода граничных условий для функций X (х) и Y (у) подставим произведение X (х) Y (у) в граничные условия (26). В результате, после сокращений, получим “* + !’-& s = °- <31> •<v+^,rs^ <32> Итак, краевая задача на собственные значения (25)—(26) распалась на две краевые задачи на собственные значения
§ 10] ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 283 (29) — (31) и (30) — (32) с меньшилМ числом независимых переменных. Обозначим через Xk (х), k=l, 2, и Vy, Ку (у), 7=1» 2, все собственные значения и собствен¬ ные функции операторов L и М соответственно. В силу (27), hj = Ш + V ukj (х, у) = Xk (х) Yj (у), k, j = 1, 2 (33) суть собственные значения и собственные функции исходной краевой задачи (25) — (26). Замечание. Пусть ортонормальные системы собствен¬ ных функций {Xk] и {Ку) полны в и -2^2(^) соот¬ ветственно (см. § 19.4). Тогда по лемме § 1.7 система соб¬ ственных функций [XkYj] ортонормальна и полна в Jg^GX^). В этом случае формулы (33) дают все собственные значения и собственные функции краевой задачи (25) — (26). ' 6. Примеры, а) Рассмотрим краевую задачу на собственные т ~ значения для прямоугольника П = (0, Z) X (0, in) с границей L D п L (рис. 49) д2п д2п дх2 ду2 u\L = b. О (34) G I х Рис. 49. В соответствии со схемой, изложенной в § 19.5, эта задача распадается на две одномерные краевые задачи: — X" = рАл, X (0) = X (Z) = 0; (35) — Y" = vK, Y (0) = Y (in) = 0. (36) Собственные значения и собственные функции этих краевых задач легко вычисляются. Сделаем это для задачи (35). Выпишем общее решение дифференциального уравнения (35) X (х) = с1 sin Уцх + с2 cos VИ* и подберем произвольные постоянные Cj и с2 и параметр ц так, чтобы удовлетворить граничным условиям (35) и усло¬ вию нормировки || АГ ||= 1. Для этого нужно положить с2 — 0
284 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V и ]/р,/=/гл, k=±l, ±2, ..., так что X (х) = q sin —~. Условие нормировки i 1 1 — j X2(x}dx = с2 J sin2 dx = ~ с2 о о даст сх — 1/ — и, следовательно, /е==1, 2. ... (37) Из построения следует, что других собственных функций задача (35) не имеет. Система собственных функций (37) полна в ,2\ (0, /) (см. § 20.3). Аналогично для задачи (36) имеем Из (37) и (38), в соответствии с формулами (33), полу¬ чаем следующие собственные значения и собственные функ¬ ции краевой задачи (34): k, у=1, 2, ... (39) В силу замечания § 19.5, других собственных значений и собственных функций задача (34) не имеет. Отметим, что собственные значения Xkj могут повторяться, т. е. = при некотором наборе номеров (/г, /). Количество таких повторений, равное числу решений в целых числах урав¬ нения I2 ""Г" т2 I2 т2 ’ дает кратность собственного значения ^0;0. Ь) Рассмотрим краевую задачу на собственные значения для круга UR (рис. 50): — &и — Хи, и |$ = 0. (40)
§ 19] ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 285 Эту задачу удобно решать в полярных координатах x = r costp, у = г sin ср, 0 <></?, 0<ф<;2л. В этих координатах задача (40) для функции z/(r, ф) = ^(гсоэф, rsincp) прини¬ мает вид (см. § 3.2) г дг \ дг ) г2 д2и д(р2 = X//, u(Rt ф) = 0. (41) 1 К граничному условию при г = R необходимо еще доба¬ вить граничное условие при г = 0. Это условие состоит в том, что функция и должна быть ограниченной в окрест¬ ности точки г = 0. Далее, функция и. очевидно, должна быть 2л-периодической отно¬ сительно ф. Применяя к задаче (41) ме¬ тод Фурье (см. § 19.5), для функции и {г, ф) = с/? (г) Ф (ф) получаем две одномерные за¬ дачи: — ф"=иф, Ф(ф) = Ф(ф + 2л); (42) r(r^')z + (Xr2 — В)с^ = О, |^(0)|¥=oo, ^(/?) = 0. (43) Собственные значения'и собственные функции задачи (42) легко вычисляются, Далее, уравнение (43) есть уравнение Бесселя. Ограни¬ ченное в нуле решение <Й. (г) этого уравнения при выражается функцией Бесселя*) УЛ(]/Хг). Чтобы получить собственные значения X, нужно воспользоваться вторым гра¬ ничным условием (43), Jk (]/"Х/?) = 0, т. е. ]Лх7? = где /==1, 2, ..., — положительные корни функции Бесселя *) Элементы теории функций Бесселя можно найти в книгах: В. И. Смирнова [3], гл. VI, А, Н. Тихонова и А. А. Самарского [1], дополнение, В. Я. Арсенина [1], гл. XL
286 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V 7*(ц). Отсюда следует, что где 1 J=l, 2, ..., (45) /2 я |4 (Ml суть собственные значения и собственные функции краевой задачи (43) при р, = /г2. Из (44) и (45), в соответствии с формулами (33), полу¬ чаем следующие собственные значения и собственные функ¬ ции краевой задачи (41), а значит, и (40)*): uki (х) = Л. , г , 7=1. 2. ... /е = 0, 1, . . (46) При каждОлМ фиксированном /г = 0, 1, ... собственные значения 7=1* 2, ..., различны. Поэтому собственные функции ukp 7=1, 2, .... ортогональны в «Л?2(^я) (см. § 19.4). Отсюда следует ортогональность системы функций Бесселя (45) в пространстве Д?2((0, /?); г). Далее, при каждом k = 0, 1, ... система функций (45) полна в Я); И**)- Отсюда, по лемме § 1.7, сле¬ дует, что система собственных функций определяемая формулой (46), полна в Поэтому других собствен¬ ных значений и собственных функций задача (40) не имеет. *) Строго говоря, пока установлено лишь, что функции удовлетворяют уравнению (40) при Л = hkj в круге | х | < R с вы¬ ключенной точкой (0). Но из равенства со / пр f Iх • \~Р J'‘\R'4#)e ~Ц 2/? ) Г(р + Л + 1)Г(р+1) p = 0 следует, что Ukj^C^ (U^) и потому удовлетворяют уравнению (40) и в точке х = 0. **) См. А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [1], дополнение.
§ 19] ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 287 Аналогичные результаты справедливы и для краевой за¬ дачи — &и = ки, + = 0. а^О. дп 'Sr 7. Физический смысл собственных значений и соб¬ ственных функций. При р = 1 и р = 0 задача на собствен¬ ные значения (1) — (2) принимает вид — Az/ Q (*) 11 — u\s = ^‘ (47) Как известно *), собственные значения задачи (47) опре¬ деляют- уровни энергйи квантовой частицы, движущейся во внешнем силовом поле с потенциалом У (х) = q(x), х£О, -[-оо, х £ G, Соответствующие собственные функции являются волновыми функциями стационарного оператора Шредингера (см. § 2.7), — Аг/ 4~ V (х) а = ки. (48) Как будет показано в § 28, собственные значения опе¬ ратора L определяют собственные частоты колебаний огра¬ ниченных областей (объемов, мембран, струн, стержней и т. д.), а соответствующие собственные функции — амплитуды гармо¬ нических колебаний. Наименьшее собственное значение стационарного опера¬ тора переноса (см. § 2.4) определяет также критичность ядер - ного реактора, а соответствующая собственная функция — плотность нейтронов в реакторе в критическом состоянии, 8. Единственность решения неоднородной краевой задачи. Рассмотрим неоднородную краевую задачу Lu = f, аи + р = v (49) в классе C2(G) П С1 (О). Если q yh 0 или а 0, то решение краевой задачи (49) единственно в классе C2(G)nC1(G). Действительно, если и £ С2 (G) П С1 (G)— другое решение задачи (49), то их разность т| = и — и принадлежит и *) См., например, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц [1], гл. III.
288 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР НИН [ГЛ. V удовлетворяет, однородному уравнению Аг| — 0, т. е. является собственной функцией оператора А, соответствующей соб¬ ственному значению л = 0. Но тогда, по лемме. § 19.4, q^O и оеееО. вопреки предположению. Следовательно, = и — и = 0, что и утверждалось. 9. Упражнения, а) Доказать следующий принцип максимума: если функция и (х) класса C2(G)[\C (G) удовлетворяет в области G дифференциальному неравенству — ;\и Д- q (х) и < 0, q 0, то либо н<0 в G, либо и (х) принимает свой (положительный) максимум в G на границе S. b) Пользуясь а), доказать: если функция и £ С2 (G) f| С (G) есть решение краевой задачи — + q W « = р (х), " 15 — V (х). (50) то справедливо неравенство ИНС(5) 1111 Ис (б) < —+!l v 1'с ($Г Чо = П1Й2Д W- 7 х СО c) Пользуясь Ь), ^доказать единственность решения задачи (50) в классе С2(С)ПС(С) и его непрерывную зависимость от F и v в норме С, § 20. Задача Штурма — Лиувилля При п=\ задача на собственные значения (I)—(2) § 19.1 называется задачей Штурма—Лиувилля. Lu = —(puf)' -\-qu = Хи. 0 < х < Z, (1) /zpz (0) — h2u' (0) = 0, Нхи (Z) + Н2и' (Z) = 0. (2) В соответствии с условиями (3) § 19.1, считаем рбСЩО, /]), 7СС([0. ZJ), p(x)>0, Л!>0, /г2>0, ///>0, Я2>0, /?1 + h2 > 0, Нл^-Н.2->0. Напомним, что область определения оператора L состоит из функций а(х) класса С2(0, /)Г|С1([0, /]), (z"£J?2(0, /), удовлетворяющих граничным условиям (2).
§ 20] ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ 289 Выражение (13) § 19.3 для квадратичной формы (Л/, /), принимает следующий вид: (£/, /)= J (р | f |2 + <71 f I2) dx + Ч-^-р(0)| 7(0) |2+^-р (/)|7(012 (последние слагаемые равны 0 при Л2 = 0 или Я2 = 0 соот¬ ветственно). L Функция Грина. Предположим, что Л = 0 не есть собственное значение оператора А; это значит, в силу леммы § 19.4, что либо q =& 0, либо /гх =£ 0, либо Нх =# 0. Рассмотрим краевую задачу LiiE=E — (puy-\-qu = f(x)> (3) где f (0, Z) 0^2(0 > Z). Так как Z, = 0 не есть собствен¬ ное значение оператора А, то решение краевой задачи (3) в классе о^£ единственно. Построим решение этой задачи. Пусть vl и v2— ненулевые (вещественные) решения одно¬ родного уравнения Lv = 0, удовлетворяющие условиям (0) - h2v\ (0) = 0, ад (Z) + (Z) = 0. (4) Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений сле¬ дует, что такие решения всегда существуют и принадлежат классу С2([0, Z]). Решения vx и v2 линейно независимы. Действительно, в противном случае vx (х) — cv2 (х) и, следо¬ вательно, в силу (4), решение vx удовлетворяет и второму граничному условию (2), Это значит, что их является соб¬ ственной функцией оператора Л, соответствующей собствен¬ ному значению = 0, вопреки предположению. Поэтому определитель Вронского w(x) — t’l (*) <(7 г>2 (х) ■и'(х) Ф 0, х £ [0, /]. Кроме того, имеет место тождество Оетроградского—Лиувилля р (х) w (х) = р (0) w (0), х£[0, /] (5) (см,, например, Л. С. Понтрягин [1], гл. 3). 19 В. С. Владимиров
290 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V БудехМ искать решение задачи (3) методом вариации про¬ извольных постоянных, (6) В соответствии с этим методом, функции Сх и С2 должны удовлетворять системе линейных дифференциальных, уравнений с определителем ^(х)¥=0. Решая эту систему и пользуясь тождеством (5), получим О f_ Р _ f М ^2 (-у) p(0)w(0) ’ (8) О f w f (x)v{ (х) p(G) w(0) • 1 Р Чтобы удовлетворить граничным условиям (2), положим С2 (0) = 0, Cj(/) = O, поскольку, в силу (4) и (7), Л, [С, (0) v, (0) + с2 (0) V2 (0)]- /г2 [С, (0) (0) + С2(0) v'2 (0)] = = С, (0) [AjV, (0) — й2г-; (0)] + С2 (0) (0) — h2v'2 (0)] = о, и аналогично для конца х — 1. Интегрируя (8) при условиях С, (/) = 0, С2 (0) := 0, имеем 1 Сг (х) - - J f (у) X X О Подставляя полученные выражения в (6), находим искомое решение задачи (3) в виде X и(х) р (0) w (0) v2(*)J f(j)Vy (у) dy + 1 О I 4-^1 О) / /(y)^2(y)rfy X
§ 20] ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ 291 или z « (X) = J &(х, у) f (у) (iy, (9) о где <^(х, у) = 1 [ (*)v2(y\ p(O)w(P) I v2(x)^(y), 0< х < у, у X х х I. (Ю) Функция & (х, у) называется функцией Грина краевой задачи (3) или оператора L. Итак, доказан следующий результат. Лемма. Если 2^ — 0 не есть собственное значение опе¬ ратора £, то решение краевой единственно и выражается фор¬ мулой (9). Перечислим свойства функции Грина <£?(х, у), вытекаюшие не¬ посредственно из формулы (10). 1) Вещественна и непрерывна в замкнутом квадрате II = [0, Z] X X [0, I] и принадлежит клас¬ су С2 в замкнутых треугольниках 10 < х< у < Z] и [0<y<x<. I] (рис. 51). 2) Симметрична (х, у) = & (у, х), (х, у) £ П. 3) На диагонали х = у скачок задачи (3) существует 1 Р (У) ’ т. е. д& (у + 0, у) д& (у — 0, у) . 1 v Г ГО Л 5^ д^с — ~ ТО) ’ У tom 4) Вне диагонали х = у удовлетворяет однородному урав¬ нению (х, у) = 0, х =£ У. (х, у) g II. 5) На боковых сторонах квадрата П удовлетворяет гра¬ ничным условиям (2): (0, у) - = 01 у€Ю, /]. 19*
292 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Замечание. Из свойств 1), 3) и 4) вытекает, что при каждом у £ (О, Z) функция Грина & (х, у) удовлетворяет в обобщенном смысле (см. § 10.1) уравнению Лл.<^(х, у) = 6(х —у), х£(0, Z). Поэтому (х, у) есть возмущение, порождаемое точечным источником интенсивности 1, находящимся в точке у. Таким образом, функция Грина & (х, у) является естественным обоб¬ щением фундаментального решения (см. § 10.2) на уравнения с переменными коэффициентами при наличии граничных условий. Пример. Функция Грина краевой задачи — и" = f (х), и (0) = и (1) = 0 имеет вид <^(х, х(1 — у), (1 — ЛГ)у, о х у, у < 1. 2. Сведение задачи Штурма — Лиувилля к интеграль¬ ному уравнению. Покажем, что задача Штурма — Лиувилля сводится к интегральному уравнению Фредгольма с веще¬ ственным, симметричным и непрерывным ядром <£?(х, у). Теорема. Краевая задача Lu = Xa + f, u^L, /gC(0, Z)n^2(0, Z) (11) при условии, что Z = 0, не есть собственное значение оператора L, эквивалентна интегральному уравнению i i и(х) = Х J <?(х, y)u(y)dy-\- J <£?(х, у) f (y)dy, (12) о о и с С([0, Z]), где $(х, у) — функция Грина оператора L. Доказательство. Если и(х)— решение, краевой задачи (И), то, применяя лемму § 20.1 с заменой f на Ku /. получим i и (х) = J (X, у) [Х« (у) + / (у)] dy, о т. е. функция и (х) удовлетворяет интегральному уравне¬ нию (12).
§ 20] ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ 293 Обратно, пусть функция н0 € С ([0* Л) удовлетворяет интегральному уравнению (12), Рассмотрим краевую задачу Lu = Kuq -4- /, и £ аМL. По лемме § 20.1 единственное решение этой задачи дается формулой и (х) — [ (х, У) [Хи0 (у) 4- f (у)) dy — и0 (х), откуда следует, что Uq£q/Kl и удовлетворяет уравнению А//0 = Хг/04~/, т. е. «о есть решение краевой задачи (11). Теорема доказана. При / = 0 краевая задача (11) превращается в задачу Штурма — Лиувилля и, следовательно, задача Штурма — Лиу- вилля (1)—(2) эквивалентна задаче на собственные значения однородного интегрального уравнения i и (я) = X j <£? (х, у) и (у) dy (13) о при условии, что X = 0 не есть собственное значение опе¬ ратора L. Теперь освободимся от предположения, что X = 0 не есть собственное значение оператора L. Для этого заметим, что, в силу леммы § 19.4, ц = 0 не есть собственное значение задачи Штурма — Лиувилля —(р«'У4-(?+1)м = р«, (14) hxu (0) — h2u' (0) = Иги (I) + Н2и' (/) = 0. (15) Но и поэтом}7 задача (14) — (15) превращается в задачу (1) — (2) при р = Х4-1. Следовательно, задача Штурма — Лиувилля (1) — (2) эквивалентна интегральному уравнению t и(х) = (Х 4-1) J У)^(у)<У, (16) где о9](х, у)— функция Грина оператора Lv
294 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИИ [ГЛ. V 3. Свойства собственных значений и собственных функций. Таким образом, установлена эквивалентность задачи Штурма — Лиувилля (1)— (2) задаче на собственные значе¬ ния для однородного интегрального уравнения (16) с сим¬ метричным (и, стало быть, эрмитовым) непрерывным ядром ^(х, у). При этом собственные значения X задачи (1) — (2) связаны с характеристическими числами ц ядра (х, у) соотношением ц = Х4-1, а соответствующие им собственные функции совпадают. Поэтому для задачи Штурма — Лиувилля справедливы все положения теории интегральных уравнений с симметричным непрерывным ядром, развитые в §§ 17 и 18. В частности, множество собственных значений {Хл} этой задачи не пусто, не более чем счетно и не имеет конеч¬ ных предельных точек-, собственные значения вещественны и конечной кратности-, собственные функции можно вы¬ брать вещественными и ортонормальными. Но задача Штурма — Лиувилля имеет ряд специфических свойств. Отметим некоторые из них. Собственные значения неотрицательны. Это утверждение доказано в § 19.4. Множество собственных значений счетно. Действительно, если бы это множество было конечным (Хр Z2, . . ., Хдг}, то ядро (х, у) имело бы представление (см. § 18.1) (17) л-1 Но uk £ С2 ([0, /]) и поэтому представление (17) противо¬ речит свойству 2) функции Грина $х(х, у). Полученное про¬ тиворечие и доказывает наше утверждение. Каждое собственное значение — простое. В самом деле, пусть их и и2— собственные функции, соот¬ ветствующие собственному значению %0. Это значит, что эти функции удовлетворяют уравнению (1) при X = Z0 и гранич¬ ным условиям (2). Из первого граничного условия (2) hlu1 (0) — /z2zz' (0) = 0, hAu2 (0) — h2u'2 (0) = 0 вытекает, в силу предположения hx-\-h2^>^, что М0) -//(0) И1 (0) «2 (0) «ДО) — «'(0) «ДО) «ДО)
ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ 295 § 20] т. е. определитель Вронского для решений их (х) и и2(х) уравнения (1) при X = Хо в точке х — 0 обращается в нуль. Поэтому эти решения линейно зависимы. Это и значит, что Хо— простое собственное значение задачи Штурма — Лиу- вилля (1)—(2). Т е о р е м а (В. А. Стеклов). Всякая функция f из q/Hl разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по соб¬ ственным функциям [ult] задачи Штурма—Лиувилля, оо f(x) = 2 (/. uk)uk (х). (18) /? = 1 Доказательство. Так как то Ai/ = Л/-Н/ = /г С<^(0, О П^2(0, /). Очевидно — и ^потому f б^о/Иье Таким образом, функция / является решением краевой задачи Lxf = h, причем, по лемме § чение оператора Грина оператора Lv 19.4, л = 0 не есть собственное зна- Обозначим через &х (х, у) функцию По лемме § 20.1, функция f выра¬ жается интегралом i f (*) = J <£?1(х, y)h(y)dy, о т. е. истокообразно представляется через эрмитово непре¬ рывное ядро По теореме Гильберта—Шмидта (см. § 18.1), функция f разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ядра (х, у). Но соб¬ ственные функции ядра d?! (х, у) совпадают с собственными функциями оператора Lx, которые в свою очередь совпадают с собственными функциями оператора L, Теорема доказана. Таким образом, для задачи Штурма — Лиувилля верна теорема I § 19.4 и следствия из нее. В частности, система соб¬ ственных функций задачи Штурма—Лиувилля полна в /). 4. Нахождение собственных значений и собственных функций. Изложим процесс вычисления собственных значе¬ ний и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля
296 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V (1) — (2). Пусть z/j (а;; X) и и2(х; X)— решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным условиям: ^(0; X)=l, zz'(O; Х) = 0; zz2(0;Z) = 0, zz'(O; Х)=1« Тогда функция и(х\ Z) = h2u1(x', X) 4~hxu2{x\ X) (19) удовлетворяет уравнению (1) и первому из граничных усло¬ вий (2). Чтобы удовлетворить второму из граничных усло¬ вий (2), необходимо удовлетворить следующему условию «квантования»: Н^и^ + + Х) = 0. Корни лр Х2, * • • полученного трансцендентного уравнения и дадут все собственные значения задачи Штурма — Лиувилля (1) — (2). Соответствующие собственные функции uk опре¬ деляются по формуле (19) при K = Kk, uk(x) = и(х} 2^) = htfi^x; 2^)4-//р/2(х; М» &=1, 2, ... § 21. Гармонические функции В этом параграфе изучаются основные свойства гармони¬ ческих функций. Вещественно-значная функция и(х) класса C2(G) назы¬ вается гармонической в области G, если она удовлетво¬ ряет уравнению Лапласа Azz — 0 в этой области. При п = 1 гармонические функции сводятся к линейным функциями и потому их теория интереса не представляет. Поэтому в дальнейшем будем считать п ^>2. Нетривиальным примером гармонической функции при х=А0 является фундаментальное решение оператора Лапласа (см. § Ю.8) (f'2 О) — 4 1п I Х I ’ П~ 2; g’ntx')— ^п_2)оп I х I 4 '•
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 297 1. Формула Грина. Если и£С2(О) и u(x) = 0, x£G, то при х £ 5 справедлива следующая формула Грина'. . . 1 Г Ди (у) U(X ~ (п —2)<т„ J |х —yi" G 1 Г г 1 д 1 дпу |х_у|«-2]ЙОУ- (1) и(х) = — о- Г [in -i г ——и (У) 1п т г dSyt п = 2. 1 2л J L I х —- у | дп dtiy [ х — у | J у s Другими словами, функция и представляется в виде суммы трех ньютоновых (логарифмических) потенциалов и 00 = v п 00 + 00 vV 00» где (считаем для определенности п 3) ’ (n-2)a„ 1 |Х_у|«-2 дп — объемный потенциал с плотностью = -—L— Г \дп / (n — 2)a„J ■— потенциал простого слоя на S с 1 ди ностью — («б5) = —1 f / 1 (2) d-^dSv поверхностной плот- 1 dSy — потенциал двойного слоя на 5 с поверхностной плот¬ ностью —„ и. (« — 2) а„
298 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Докажем формулу Грина (1) при /г^>3. В § 6.5, с) была выведена формула (21) А« = (Ди) — ds — JL (иб5). (3) Так как функция и финитна, то ее свертка с фунда¬ ментальным решением & п оператора Лапласа существует (см. § 7.5). Поэтому, применяя формулу (13) § 10.3 и поль¬ зуясь равенством (3), для функции и получаем представление Отсюда, пользуясь определением ньютоновых потенциалов и формулами (29), (32) и (33) § 7.8, получаем формулу Грина (1) при zi^>3. Случай п = 2 рассматривается анало¬ гично. Формула Грина (1) справедлива и для функций и класса C2(G) П С1 (G), если в ней интеграл по области G понимать как несобственный (ср. § 19.2). (Этот интеграл может схо¬ диться не абсолютно и, стало быть, может не быть объемным потенциалом V п.) Для доказательства применим формулу Грина (1) ко вся¬ кой подобласти Gf G с кусочно-гладкой границей и пе¬ рейдем к пределу при G'->G. Пользуясь предположенной гладкостью функции и, убедимся в справедливости формулы Грина (1) и в этом случае. _ Для гармонической в области G функции и класса С} (G) формула Грина (1) принимает следующий вид: и (х) = 1 Г Г 1 ди (у) (п — 2)ая J LI х — У I"-2 дп - ч (У) ЧгтЯ dS п 3; (5) дпу |х — у |л ZJ и (X) = 5' 1 ди- (уД | х — у | дп 1 |*-у|
§ 21] ГАРМОНИЧНО киЕ ФУНКЦИИ 299 Поверхностные потенциалы VSz0)(x) и /^(х) можно непре¬ рывно дифференцировать вне S под знаком интеграла бес¬ конечное число раз, и эти потенциалы — гармонические функции вне S. Отсюда и из формулы (5) вытекает, что всякая гармоническая функция бесконечно дифференци¬ руема *)• Замечание. Формула Грина (5) выражает значения гармонической функции в области через ее значения и зна¬ чения ее нормальной производной на границе этой области. Эта формула аналогична формуле Коши для аналитических функций. Легко заметить также аналогию между формулой Грина в форме (2) и сходной формулой (12) § 12.3 для волнового уравнения. 2. Распространение формул Грина, области G — поверхность класса С1 (см. ция u£Cx(G). Будем говорить, что функция и имеет пра¬ вильную нормальную производную на S, если предел нормальной Пусть граница S § 1.1) и функ-' мерно по всем х £ S водной —- при Xх £ G, х' £ — пх, и . ди дел обозначаем -3— — —5. дп дпх Из этого определения сле¬ дует, что правильная нормаль¬ ная производная непрерывна на S, если она существует. Пусть S—поверхность клас¬ са С2 (см. § 1.1). В каждой точке x£S отложим по вну¬ тренней нормали — пх отрезок ство концов хх этих отрезков существует Xх—> х, этот пре- du Ш равно- произ- постоянной длины б. Множе- описывается уравнением Xх = х —Ъпх' (6) При достаточно малом б это множество образует некоторую замкнутую поверхность класса С1, которую обозначим через и назовем поверхностью, -параллельной поверхности S (рис. 52). *) И даже аналитическая.
300 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИИ [ГЛ. V Нормаль пХ' в точке х'= х— bnx£S6 направлена вдоль нормали пх, x£S. Это утверждение следует из того факта, что поверх¬ ность есть огибающая семейства сфер | Л- - х' р = - Х'У + (Х2 - х'$ (Х„ - ху = 62. (7) когда их центры х пробегают поверхность S. Докажем этот факт. Пусть некоторый кусок U поверхности 5 задается уравнением xn — z(xv . . ., Дифференцируя уравнение семейства (7) по параметрам хР ...» хп_х, для определения огибающей этого семейства на куске U получим условия: —4 + —хл)-^- = °> ^=1- 2, .... /г-1. (8) дг ~дхп_х Замечая теперь, что на U вектор пх пропорционален век- / дг водим уравнение поверхности в форме (6). Лемма. Пусть граница S области G — поверхность класса С2 и функция и из С1 (О) имеет правильную нор¬ мальную производную на S. Тогда для любой f£C(G) справедливо равенство 6-»0 / опх’ , 1j, из уравнений (8) и (7) вы- dSx.= { fW^p-dSx, (9) S л где S6— поверхности, параллельные S. Доказательство. Так как нормали пх и пХ’ в точ¬ ках х £S и х' = х — Ъпх £ направлены одинаково, то ди (х') дпх’ ди (х') °"х f(x) ди (х) дпх (Ю) » х' -> X, х' £ — пх, в силу определения правильной нормальной производной и непрерывности функции f на G. Из предельного соотноше¬ ния (10) и вытекает равенство (9). Лемма доказана. Из леммы вытекает, что формулы Грина (7), (8) § 19.2 и (1) § 21.1 остаются справедливыми, если S — поверх-
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 301 ноешь класса С2, а функции zz, v £ C2(G) П С (G), имеют правильные нормальные производные на S и Azz, Действительно, применим перечисленные формулы Грина к любой подобласти, ограниченной поверхностью S6, парал¬ лельной S. Переходя в этих формулах к пределу при д->0 и пользуясь предельным соотношением (9), убедимся в спра¬ ведливости формул Грина при сформулированных предполо¬ жениях. 3. Теорема о среднем арифметическом. Предварительно докажем следующее утверждение: если функция и£С} (G) — гармоническая в области G, то f^ = 0- С» 5 Равенство (И) вытекает из первой формулы Грина (7) § 19.2 при v = 1. Теорема о среднем арифметическом. Если функция и (х) — гармоническая в шаре UR и непрерывная в UR, то ее значение в центре этого шара равно сред¬ нему значению по сфере SR, Доказательство. Применяя формулу Грина (5) для точки х = 0 к любому шару | х | < р, р < /?, и пользуясь формулой (11), при п 3 получим равенство (12): Так как функция zz(x) непрерывна в замкнутом шаре URt то равенство (12) сохраняется и при р->/?. Случай п = 2 рассматривается аналогично. Теорема доказана. 4. Принцип максимума. Пользуясь теоремой о среднем арифметическом, установим следующий принцип макси¬ мума для гармонических функций.
302 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-ИИП [ГЛ. V Теорема. Если функция и(х)=£ const — гармони¬ ческая в области G и непрерывна в G, то она не может принимать свои минимальное и максимальное значения в области G, т. е. min г/(х) < zz (х) < max zz (х), х £ G, (13) x£S Доказательство. Пусть, напротив, функция а (х) принимает свое максимальное значение А1 в некоторой точке х0 £ (7, М = и (х0) = max и (х). (14) x^G Так как х0 — внутренняя точка области (7, то существует Рис. 53 шар U (х0; г0) наибольшего радиуса г0, содержащийся в G (рис. 53). Докажем, что zz(x) = H4, х £ U (х0; г0). (15) Из (14) следует и (х)<; Л4 = и (х0), x^U^Xq, Го). (16) Если бы в некоторой точке х'£U (х0; г0) было и(х') < /VI. то, по непрерывности, неравенство zz(x)< М имело бы место и в некоторой окрестности этой точки. Но тогда, применяя к сфере 5 (х0; р), где р = I х' — х0 |, формулу среднего ариф¬ метического (12) и пользуясь неравенством (16), получаем = j f -IS = M- s (x0; p) 5 p) что противоречит (14). Итак, тождество (15) установлено. Возьмем теперь произвольную точку £ (7, лежащую на границе шара U (х0; г0) (рис. 53). По доказанному и(х1) = /VI. Применяя предыдущие рассуждения к точке хр заключаем, что и(х)=М в наибольшем шаре U (хр, cz G и т. д. Таким путем исчерпывается вся область G и, значит, я(х)=Л4, x£G, вопреки предположению. Полученное противоречие показывает, что первоначальное предположение неверно; поэтому функция и (ус) не может при¬
§ 211 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 303 нимать свое максимальное значение в области G. Отсюда, заменяя и на —и. заключаем, что функция и(х) не может принимать также и свое минимальное значение в области G. Теорема доказана. 5. Следствия из принципа максимума. a) Если функция u£C(G) — гармоническая в G, то | и (х) | max | и (х) |, х £ G. (17) X с S В частности, если и |5 = 0, то z/(x) = 0, х £ G. Это утверждение следует из неравенства (13),- — max | и (х) | min и (х) и (х) max и (х) < х е s х е s х г s max | и (х) |, х £ G. х с s b) Если функция u£C(Gx) — гармоническая в области G1 = Rri\G и w(x)->0 при |х|-->оо, то I и (х) | <; max I и (х) |, x£Gx. (18) х £S содержит область (рис. G- 54). _ .... гар- в G. равномерно В частности, если и 15 = 0 и г/(х)—>0 при | х | —> до, то и (х)нее 0, х £ Действительно, пусть шар U R Тогда есть граница области QR = GX(\U R Применяя к этой области неравен¬ ство (17), получаем I и (х) i тах 111 (*) I» х С Qr• (19) х { s U SR Но по условию /z(x)->0, |х|—>оо, т. е. max) и (х) | -> 0, R xisR Поэтому, переходя в неравенстве (19) к пределу при R—>oo. получим неравенство (18). с) Если последовательность функций монических в области G и непрерывных сходится на границе S. то она равномерно сходится и на G.
304 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Это утверждение вытекает из неравенства (17): 1 (*) — (*) I < max | ир (х) — и (х) | -> 0, х (- S р, q -> оо, х £ О. Аналогичное утверждение справедливо и . для области — Rn \ G при условии, что uk(x)~>0, |х|->оэ. 6. Стирание особенностей гармонической функции. Для гармонических функций справедлива следующая теорема о стирании особенностей, аналогичная соответствующей тео¬ реме для аналитических функций. Теорема. Если функция и (х) — гармоническая в области G \ {0} и удовлетворяет условию «(х) = о(|Г„(х)|). х—>0, (20) то она гармонически продолжается в точку [0]. Доказательство. Пусть U R<^G. Введем функ¬ цию zz(x), равную и(х) в UR и 0 вне U R. Эта функция локально интегрируема и, в силу (3) § 21.1, функционал 4- +A (21) обращается в нуль на всех основных функциях, равных нулю в окрестности точки {0}. Это значит, что обобщенная функ¬ ция (21) либо равна 0, либо ее носитель есть точка {0}. Тогда, по теореме § 8.4, эта обобщенная функция предста¬ вляется в виде конечной комбинации производных от 6(х), т. е. т 42 = - > - я* (“М+ 2 <2-2) |а|-0 Так как функция и финитна, то ее свертка с фунда¬ ментальным решением существует (см. § 7.5). Поэтому, применяя формулу (13) § 10.3, из (22) получаем предста¬ вление - Ms ч)-?. • | + + J] J caDag„(x). lal-0 |а|-0 (23)
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 305 § 21] Так как поверхностные потенциалы и V^n—гармони¬ ческие функции в шаре UR (см. § 21.1), то из (23) и из условия (20) вытекает, что все са — 0, так что функция «(x) = Vg,,(x) + V!l1)(x) — гармоническая в шаре UR. Теорема доказана. 7. Обобщенно-гармонические функции. Вещественно¬ значная функция u£C(G) называется об об именно-гармони¬ ческой в области G, если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа, т. е. (Az/, <р)= J и(х') Дф(х)б?х = 0, ф£35(О). (24) Очевидно, всякая гармоническая функция является обоб¬ щенно-гармонической. Справедлива и обратная Теорема. Всякая обобщенно-гармоническая функ¬ ция и(х) в области G бесконечно дифференцируема а. следовательно, гармонична в этой области. Доказательство. Ввиду локального характера тео¬ ремы можно считать, что u£C(G). Продолжим функцию и нулем вне G, и пусть и—продолженная функция. Применяя формулу (13) § 10.3, получим представление // = А//*^ЭЛ, (25) где <э п — фундаментальное решение оператора Лапласа. Так как A// = A/z = 0, x£G и Az/ = A0 = 0, то suppAzzczS. Поэтому, по теореме § 7.5, для свертки Azz*^°rt имеет место представление (Д« * £>„, ф) = (Д« (у) . (£), п (у) ф (у +1)) = = (Да (У). П (у) / <?п © <р (У -Н) = = ^Ди (у), r|(y) J (х — у) ф (х) rfxj, фС-®. (26) где 1] — произвольная функция из с носителем в окрест¬ ности S. Пусть G't^G. Выберем в (26) вспомогательную функцию т] такую, что supp г| fl G'= ^> (рис. 55). Поскольку фундамен- 20 В- С. Владимиров
306 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V тальное решение &п (х— у)— бесконечно дифференцируемая функция при х #= у, то при выбранной г) и всех <p£&(G') Л(У)^(х-у)<р(х)С^(/?2л). Применяя теперь к правой части равенств (26) формулу (14) § 7.3, f), получаем (&и*£п, ф)= j <р(х)(Дй(у), л(у)^„(х-у))с?х, <p^55(G/), откуда, в силу (25), следует равенство и (х) = (Д« (у), П (у) (х — у)), х^ О'. Из этого представления, как и при доказательстве леммы §7.1, выводим, что w^CDO(Gz). Отсюда ввиду произволь¬ ности области G' G вы¬ текает, что tf£C°°(G). По¬ этому функция и (х) удовле¬ творяет уравнению Лапласа в области G в классическом смысле (см. § 10.1), т. е. является гармонической в G. Теорема доказана. 8. Дальнейшие свой¬ ства гармонических функ¬ ций. Отметим два следствия, вытекающих из установленной в § 21.7 эквивалентности по¬ нятий обобщенной гармоничности и гармоничности. а) Если последовательность uv и2, ... гармонических в области G функций слабо (в частности, равномерно на каждом компакте KczG, или монотонно') сходится к функции u£C(G), т. е. | uk(x)q(x) dx -> и (х) ср (х) dx, k->oQ, cp£^(G), (27) то и — гармоническая функция в G. Действительно, каждая функция последовательности \uk} удовлетворяет интегральному соотношению (24). Но тогда, в силу (27), и предельная функция и (х) из С (G) также будет удовлетворять равенству (24), т. е. является обобщенно-гар¬ монической и, следовательно, гармонической функцией в области G.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 307 § 21] Ь) Если функция u£C(G) такова, что для каждой точки x£G существует такое число rQ — г0(х)> 0, что при всех г < г0 выполнено условие среднего арифмети¬ ческого Ч О) = g Д_, j U (X — у) dsr (28) то и(х)—гармоническая функция в области G. При доказательстве можно считать, что и £ С (G); пусть и — продолженная нулем вне G функция и. Возьмем G't^G. По лемме Гейне—Бореля (см. § 1.1), найдется такое число r0 = r0 (G') > 0, что при всех x£Gf и г < г0 для функ¬ ции и (х) будет выполнено равенство (28). Составим свертку М*) = (^Ч-7г4Н <29> где 6sr—простой слой на сфере Sr (см. § 5.6). Используя формулу (26) § 7.8, а), перепишем свертку (29) в виде ин¬ теграла Ш = 77+т j* u(x — y)dSy — Sr Отсюда, в силу (28), следует, что при всех г < r0 /rW=0, x£G'. С другой стороны, пользуясь предельным соотноше¬ нием (34) § 6.5 и непрерывностью свертки (см. § 7.5), из (29) получаем fr -> г_>0 в следовательно, l\u = &и. = 0, x£G'. Отсюда ввиду произ¬ вольности G' G заключаем, что функция и (х) — обобщенно¬ гармоническая и, значит, гармоническая в области G, 9, Аналог теоремы Лиувилля. Для гармонических функ¬ ций во всем пространстве Rn справедлива следующая теорема, аналогичная теореме Лиувилля для аналитических функций. Теорема. Если и££Р' удовлетворяет уравнению Лапласа во всем пространстве R", то и — полином. 20*
308 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Доказательство. Применяя к равенству Д& = 0 пре¬ образование Фурье, получим (см. § 9.3, Ь)) —| £ |2 F [и] (£) — 0, откуда вытекает, что F [и] = 0, £ =£ 0, т. е. либо F [п] = 0, либо носитель F [и] есть точка [0}. По теореме § 8.4, F[u] представляется в виде т /Ш)= 2 саоаъ(£), |а|=0 откуда следует, что и — полином. Теорема доказана. Следствие. Если функция и — гармоническая в Rn и удовлетворяет неравенству \и (х) |< С (1 +| X |)m, x£Rn, т^О, то и — (гармонический) полином степени т. 10. Упражнения, а) Пользуясь теоремой о среднем арифме¬ тическом (см. § 21.3), доказать следующую модификацию этой тео¬ ремы: если функция и (х) — гармоническая в шаре U D и к непрерывная в Uто « (0) = “ (х) dx' UR b) Пользуясь а), доказать теорему Л иу в и л л я: если функция и (х) гармоническая в Rn и ограничена сверху (или снизу), то и (х) = const. c) Пользуясь утверждением Ь) § 21.8, доказать следующий Римана — Шварца: пусть аналог принципа симметрии граница области G содержит открытое множество 2, лежащее в плоскости хп = 0, функция и (х) гармоническая в G и обращается в нуль на 2; тогда нечетное продолжение функции и (л) в область G, симметричную к G относительно плоскости хп ~ 0, есть гармони¬ ческая функция в области G |J S U С (рис. 56). § 22. Ньютонов потенциал Этот параграф посвящен более детальному изучению свойств ньютонова потенциала в трехмерном пространстве (см. § 7.8). Этот потенциал определяется как свертка про¬ извольной финитной обобщенной функции р (плотности)
§ 22] НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 309 с функцией | х | \ V = -j-L-*p = —4л^3*р. (1) Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона А1/ == — 4лр. (2) Основы классической теории потенциала заложены А. М. Ляпуновым в конце прошлого века. 1. Объемный потенциал. Если р — интегрируемая функ¬ ция на G и р(х) = 0, x£G1 = R3\G. то ньютонов потен¬ циал V, называемый объемным потенциалом, выражается интегралом v« = (3) а и представляет собой локально интегрируемую функцию в Rrt (см. § 7.8, с))._ Если p£C(G), то объемный потенциал V принадлежит классу СД/?3), гармоничен в Gx и V (х)~.> 0, |х|->оо. Действительно, так как G — ограниченная область и p£C(G), то интеграл в (3) сходится равномерно по х, определяя непрерывную в /?3 функцию V (х) (см. лемму 1 § 15.4). Далее, потенциал V (х) допускает непрерывное однократ¬ ное дифференцирование под знаком интеграла по всем аргу¬ ментам и потому V (R3). При x£G потенциал V (х) допускает непрерывное диф¬ ференцирование под знаком интеграла в (3) бесконечное число раз, так что V^C00^). Отсюда и из уравнения (2) вытекает, что AV = p = 0, x£Gv т. е. потенциал V — гар¬ моническая функция в области Из ограниченности области G и из (3) следует, что V (х) —> 0, | х | —> оо. Если р £ С1 (G) П С (G), то V £ С2 (G). Для доказательства возьмем подобласть G' с кусочно¬ гладкой границей 5', строго лежащую в области О. Разобьем плотность р на сумму двух слагаемых, р = р1-ф-Р2» где Pi=p, x£R3\G' и pj — 0, х£О'. При этом потенциал И
310 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V разобьется па сумму двух объемных потенциалов V\ и V2, V = V1-]-V2, с плотностями pj и р2 соответственно, V2(x)= [ G' Pz (у) l-v-yl dy. По доказанному V1^Cm(G'), Уг^СЦ/?3). Дифференцируя потенциал V2 как свертку, получим grad V2 (х) = grad (-Др *р2) = ~* grad р.2. (4) Так как р26^1(^,)> то» по формуле (15) § 6.5, grad р2 = {grad р2) — рп'д<>'. Подставляя полученное выражение в (4) и пользуясь фор¬ мулами (3) § 22.1 для объемного потенциала и (32) § 7.8 для потенциала простого слоя, получим grad V2 (х) = -Др *■ {grad р2} — -Др * ря'д$' = Г grad р (у) J 1х-у| J 5' Р (У) 1* — У I dSy. (5) Первое слагаемое в правой части (5), как объемный потен¬ циал с плотностью gradp£C(Gz), принадлежит классу С1 (/<3), а второе — классу C°°(GZ). Следовательно, grad V2 £ С1 (G')t т. е. V2£C2(GZ). Но тогда и И = V\ -|- V2 £ С2 (Gz) и, ввиду произвольности Gz G, V £ C2(G), что и требовалось доказать. 2. Потенциалы простого и двойного слоя. Пусть S — ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя *) поверх¬ ность, п — выбранное направление нормали на ней и ц и v — непрерывные функции на 5. Ньютоновы потенциалы V(0)=-r-Ц-* и V(1) == Д*4~(А), называемые потенциалами простого и двойного слоя соот- *) Та сторона поверхности S, к которой примыкает нормаль п, считается положительной, а противоположная сторона — отрица¬ тельной (рис. 57).
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 311 Бедственно, выражаются интегралами «5) 1 1*-у| dSy (7) и представляют собой локально интегрируемые функции в (см. § 7.8, d)). Эти потенциалы удовлетворяют уравне¬ нию Пуассона AV<0) = — 4npds. (8) Фиксируем точку х0 на 3, и пусть п0 — внешняя нормаль при х g 3 по в ней к 5. Дифференцируя формулу (6) направлению nQ и поль¬ зуясь равенством 1 д 1 __ / 1 X — у I X 1 1 / |/ +• + + 3 у V . . / \ У'1 ~Х'1 (^'0'**/) | Х у |3 Z=1 5/ < — cos ф„., ъ |х-уГ w где г|\у — угол между X вектором у — х и нор¬ Рис. 57. малью nQ (рис. 57), по- лучаем выражение для нормальной производной потенциала простого слоя дИ0) (х) Г д 1 f C0S Фгм Н (У) "д i г dSy — Н (У) т тг V» J r dnQ | х —* у | У J |х —у|3 r s 5 xgS. (10) dnQ Аналогично, в силу равенства d 1 V / д Х1~У1 C0SfPxy -7 : = 7 . COS (ПХ:) -7 ~ дп I X — у I v х/ I х — у |3 I х — у Н 4=1 (11)
312 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V где срлу — угол между вектором х — у и нормалью п (рис. 57), формула (7) для потенциала двойного слоя 7(1) принимает вид ^(O(x)=.Jv(y)]^v_rf>Sy. (12) 5 Потенциалы, V(o) и V(1)—гармонические функции вне поверхности S и V(0)(x)—>0 и И^х)->0 при | х >оо; кроме того, У(0)£С(/?3). Эти свойства потенциалов V(o) и V(1) выводятся из пред¬ ставлений (6) и (12) и из уравнений (8), подобно тому как это делалось для объемного потенциала (см. § 22.1). Лемма. Если x^S, то потенциал двойного слоя V(1)(x) с плотностью veehI равен телесному углу cos(x),. под которым поверхность S видна из точки х, т. cos не имеющий с е. /7(х; г0), J |x —у|2 dSy ~ (%)' д Доказательство. как х S, то существует S общих точек. Обозначим через о стереографическую проекцию поверхности S из центра х на сферу 5 (х; г0), и пусть D — область, ограниченная поверх¬ ностями S, а и конической боковой поверхностью Г с вер¬ шиной в точке х (рис. 58). Считаем, что £)=£</>. В против- Н0хМ случае со5(х) = О и cosq\ry = 0 на 5, так что равенство (13) будет тривиально удовлетворено. Поскольку функция | х — у |“1 гармоническая при у х, то, применяя к области D формулу (11) § 21.3, получаем (13) Так шар
§ 221 НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 313 Учитывая, что, в силу (11), д 1 cos cpAV 1 из формулы (14) выводим у(’) (Х) = f А 1 dSy = - -1- f dS = о5 (х), J дп \х — у\ rQ J откуда, в силу (12), и следует формула (13). Лемма до¬ казана. Из доказанной леммы вытекает: если поверхность S есть граница области G, то 3. Физический смысл ньютоновых потенциалов. По¬ тенциал V =-гЦ- * Р с произвольной (финитной) плотностью р удовлетворяет уравнению Пуассона ДУ = — 4лр. Поэтому V есть ньютонов или кулонов потенциал, создаваемый массами или зарядами, распределенными в пространстве с плот¬ ностью р. В частности, непрерывное распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если же массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают (нью¬ тонов или кулонов) потенциал простого слоя, если на по¬ верхности сосредоточены диполи, то создаваемый ими куло¬ нов потенциал есть потенциал двойного слоя. Для примера вычислим (кулонов) потенциал У(1) (х; Z), создаваемый диполем с моментом + 1 в точке 0, ориенти¬ рованным в направлении I, 111= 1. Этот потенциал создается распределением (см. § 6.3, Ь)) е-> , (рис. 59) и поэтому
314 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИИ [ГЛ. V т. е. д 1 д1 | х | V(1) (х; Z) = — cos ср "W (16) где ср — угол между векторами х и I. На рис. 60 изобра¬ жены поверхности уровня потенциала I/(1) (х; Z) (эквипотен¬ циальные поверхности). Из формул (12) и (16) следует, что потенциал двойного слоя представляет собой «сумму» элементарных потенциалов V (У) l/(1) (X — у- П) = У (у) создаваемых диполями на поверхности S с плотностью мо¬ мента v(y) и ориентированных по нормали и. 4. Поверхности Ляпунова. Дальнейшие свойства потен¬ циалов простого и двойного слоя устанавливаются в предпо¬ ложении, что S— поверхность Ляпунова. Замкнутая ограниченная поверхность S называется по¬ верхностью Ляпунова, если она удовлетворяет следующим условиям: a) в каждой точке S существует касательная плоскость; b) существует такое число г0 > 0, что для любой точки х £ S множество S Q U (х; г0) связное*) и оно пересекается прямыми, параллельными нормали пх, не более чем в одной точке; *) Зто значит, что множество 5П^7(х;г0) есть окрестность точки х на поверхности S (см. § 1.1),
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 315 с) нормаль пх непрерывна по Гельдеру на S, т. е. су¬ ществуют числа С > 0 и а > о, а < 1 такие, что У|°> х, y£S. (17) Из этого определения вытекает, что поверхности Ляпу¬ нова содержатся в классе поверхностей гладкости С1; с дру¬ гой стороны, всякая ограниченная замкнутая поверхность класса С2 есть поверхность Ляпунова (при а=1). Лемма. Если S — поверхность Ляпунова, то суще- ствуют такие постоянные а и Ь, что | cos<pxy|<a| х — у |а, х, у Е S, (18) | cos<b-> + cos | < b | х' — у |а, х, у £ S, х' (19) где —Угол между вектором у — х' и нормалью пх. Доказательство. Оценки (18) и (19), очевидно, до¬ статочно установить для малых |х— у| и | xf—у |. Выберем число г > 0 так, что / / г1 < г0 и Сг« < у, и по¬ / / / /V кроем (ограниченную) по¬ . / / X Ji'S} J верхность S конечным / z / i ^х j числом окрестностей их — / /\ = S [\U (х; rj). Оценки (18) и (19) достаточно д У \ X \ доказать для каждой та¬ X \ X \ “1 \у\ кой окрестности. X \ х X По условию а) в точ¬ X X ке х существует нормаль X \ п0 к поверхности S. Вы¬ X берем локальную систему Рис. 61 прямоугольных коорди¬ нат с началом в точке х, направив ось Уз по нормали п0; пусть i и j — единичные орты положительных направлений осей У5 и у2 соответственно (рис. 61). По условию Ь) ку¬ сок их поверхности 5 задается уравнением у3 — f (уР 3’2), /ЕС1 (a), r^e 0 — проекция их на плоскость (ур у2). Нако¬ нец, из условия с) имеем
316 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Из (20) при всех у£их вытекают следующие оценки: |(». г) 1 = 1 (П —я0, О + (я0, OKI» —«оКАуГ К», У)| = |(« —»0- /) + («О- ЛК1» — «о К Я У Г» (21) | (я, я0) | = I (я — п0, я0) (я0, я0) I > >1- |я-я0|>1-С|у|“>|. Учитывая, что на поверхности ах справедливы соотно¬ шения Ф (я, 1) df (я, J) (п, пй) ’ ду2 (.п, пй) ’ из (21) выводим неравенства 1 Ф 1 1 <tyi 1 1 (Я, 1) I ■ 1 (я, Яо) 1 1<2С|у|“. I df 1 дУг 1 <2С|у|а, у£я).. (22) Далее, на поверхности их при некотором k > 0 справедлива оценка |у3|<йр, = + (23) Подставляя оценку (23) в оценки (22), получаем | | < 2С (Р2 + <2 < 1 < Ф“. (У!. у2) € а, откуда следует оценка |^1 <1 grad/| = /( (2D Поскольку / = 0 при р —0, то из (24) имеем р f JV J ф о и потому |Уз1 = |/1 = -^р-Ра+!<^|т1У|а+1> У€«х- Учитывая эту оценку и оценку (20), при всех у£их полу¬ чаем, наконец, неравенство (18): I “4 1 = | (»■ ifl) | | А) + ("“• ITT) I < < I» — »о I+у < (с+IУ Г=о I у Г-
§ 22] НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 317 Докажем теперь оценку (19) на их. Пользуясь формулами (9) и (11) и неравенством Коши — Буняковского, при всех у£их и xf£R3 получаем оценку cos<px,y+ cos^,y| = 3 — X = \х~ у j [cos — C0S i = l 1 I2 [cos(n0yz)- cos (яу,-)12 j- £ = {(«. 02 + (я, /)2 + [1 - (я, я0)]2}2 и, следовательно, в силу (21), |cos<Px-y4-cosi|>x,y|</3 С | у |“, Отсюда, пользуясь неравенством (23), при всех у£их и получаем оценку (19): I COS фл-'у + COS Фх-у К |Лз” с (Р2 + У2)2 < £р“ < [У? + У^ + (Уз~ *з)2]“ = г’1-*' — У|“- Лемма доказана. 5. Свойства потенциалов простого и двойного слоя на поверхности S, Предполагая границу S области G по¬ верхностью Ляпунова, установим некоторые свойства потен¬ циалов V(0) и на S. Имеют место равенства cos <рху I X—у I2 dSy = — 4л, — 2л, x£G, x£St x^Gy (25) О , Для доказательства равенств (25), в силу (15), достаточно рассмотреть случай х £ S. Выбрасывая из S окрестность их точки х, получим cos Фху |х —у|2 COS фл-у 1-^ — у I2 dSy. (26)
318 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НПП [ГЛ. V Так как х £ S \ их, то, в силу (13), первый интеграл справа в (26) есть телесный угол (х), под которым видна по-* ■верхность S\ux из точки х. Поэтому при стягивании z/v в точку х этот интеграл стремится к — 2л (рис. 62). Второй интеграл справа лютно и потому в (26), в силу оценки (18), сходится абсо- стремится к 0 при их —> х. Поэтому, пере¬ ходя в (26) к пределу при их—>х, получим формулу (25) при х £ S. Потенциал двойного слоя V(1)(x)— непрерывная функция на S. Действительно, в силу неравен¬ ства (18), справедливого на поверх¬ ности Ляпунова S, потенциал V^(x), определяемый формулой (12), есть интегральный оператор с полярным ядром cos Ф-ry rQ г с - [Г- I * — У г а потому, по лемме 1 § 15.4, переводит всякую функцию v£C(S) в функцию V(1)£C(S). Докажем теперь, что интеграл .1 (27; где флу — угол между вектором у — х и нормалью пх, есть непрерывная функция х на S, Действительно, замечая, что = х> y£S (28> (рис. 63), из (18) выводим оценку |cos\|\y|<a| х —у|а, х, (29) из которой, как и для потенциала следует непрерывность интеграла (27) на S.
§ 22] НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 319 В соответствии с формулой (10), обозначим интеграл (27) через д0О) (х) дп dV^(x) _ дп Г cos lb г v Г д 1 = .1 11W 110'U, “sr x£S. (30) dV^(x) Функция т- называется прямым значением нормальной производной потенциала простого слоя по доказанному она непрерывна на S. Отлетим еще, что потенциал про¬ стого слоя Vm(x) — непрерывная функция на S, поскольку И0)£С(/?3) (см. § 22.2). 6. Разрыв потенциала двойного слоя. Будем говорить, что поверхность Ляпунова <$ удовлетворяет условию (А), если существует такое число К > 0, что | COS фл.у ! I-* —у i2 dSy^K, x£R3. (А) '•'словие (А) заведомо выполнено для выпуклых поверхно¬ стей Ляпунова при К = 4л. _ Действительно, в этом случае coscpxy^O при х £ G, y£S (рис. 63), и поэтому, в силу (25), J I cos <jp.Vy I |х —У i2 COS <Рд.у I* —y|2 4л, 2л, х £S. Пусть теперь x£Gv Так как всякий луч, выходящий из точки х, пересекает S не более чем в двух точках, то, в силу (13), Г I COSfp.vy | .1 \х-У ;2 S COS Фгм л л-_у г dSy = 2о\ (*) < 4л. Поверхность изображена на рис. 64. Теорема. Если поверхность Ляпунова S удовлетво¬ ряет условию (А) и v £ C(S). то потенциал двойного
320 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V слоя непрерывен на G и на Gx и его предельные зна¬ чения V? и VT на S извне и изнутри S выражаются формулами'. + W =2nv (х) + У(1) (х) = 2nv (х) 4- | v (у) ■ dSy, s (31) V('2 (x) = — 2m (x) 4- V(1) (x) = f COS(pru = _ 2m (x) 4- J v(y) dSy. (31') Доказательство. Введем функцию IF (x\ x) = j* [v (y) — v(x)J dSy, x' £ R3, xg S. Функция W (x', x) при xr — x £ S, в силу равенств (25), равна Г COS<Pvv Г (X,X) = j V(у) |л_у[2 dSy+ ' • 4- 2т (х) = 2т (х) 4- У(1) (х). (32) Функция W (х, х) непрерывна на 5, в силу непрерывности плотности v и потенциала V(1) на 5 (см. § 22.5). Докажем, что W(x't х) U7 (х, х), х'->х£5. (33) как функция v равномерно непрерыв-на на 5, то существует такое число 5 = бе > 0, что при всех х £ 5 имеет место неравенство |v(y) — v(x)| y£ux = S(]U(x; d), (34) где К — число, входящее в условие (А). Оценим разность ^(х', х) — 1Г(х,х)|< <|j+ j v(x)| \«.r 5^"л7 COS фл/у I x' — у I2 COS <pxy |x-y|2
§ 22] НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 321 В силу (34) и (А), первый интеграл справа в (35) не пре¬ восходит е/2, Далее, подынтегральная функция в (35), как функция пере¬ менных (х, хг, у), равномерно непрерывна при | х —xf | А , x£S, y£S\rzx и обращается в нуль при х' — х. По¬ этому найдется такое число = что при всех хт (х; 6') второй интеграл справа в (35) будет меньше у. Следовательно, IW(x', х)_ Г(х, х)| <^- + у = е, х’(х-, x^S, что и доказывает предельное соотношение (32). Считая х' £ и пользуясь формулой (25), представим потенциал 1/(1)(х') в виде V(1,(x') = J [ v (у) — v(х) 1 jdSy + $ + vW J 7^-~у|2 dSy = w(х'- х)- (36) Переходя в этом равенстве к пределу при xz —>x£S, x'^Gj и учитывая предельное соотношение (33), получаем V(1)(x')==^U7(x, x) = V(+’(x), откуда следует, что ^(I,€c(Oi) и, в силу (32), справедливо равенство (31). Другой случай рассматривается аналогично. Теорема до¬ казана. Из формул (31) и (31z) следует соотношение 4nv (х) = И.}? (х) — V(.P(x)» x£S. (37) 21 В. С. Владимиров
322 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-ПИЙ [ГЛ. V Замечание. Формулы (31) и (31') аналогичны форму¬ лам Сохоцкого (10) и (10') § 5.7. 7. Разрыв нормальной производной потенциала про¬ стого слоя. Теорема. Если поверхность Ляпунова S удовлетво¬ ряет условию (А) и ц £ С (5), то потенциал простого слоя У(0) имеет правильные нормальные производные -j / \ и v дп J на $ извне и изнутри S, причем = 2.4HW+ J ц(у) . dSy. (38) ( dV® \ . , о , ч , дИ0) (х) (т)_ <Х) = 2Я^ (%) + • дп = = 2лИ(х) + / М-01) 7_^г dSy. (380 Доказательство. Пусть 1/(1) — потенциал двойного слоя на S с плотностью ц. Введем функцию W1(x', X)^= dv^n{xx'}- + Vm (xz). х£5, и докажем, что при х'—>x£St х'£пх W^x', xy^^W^x, х) = + 01)(х)- (39) По доказанному (см. § 22.5) функция W\ (х, х) непрерывна на S. Пользуясь формулами (10) и (12), представим функцию W\ в виде интеграла W^x', х) = J М(У) С05^+^Г—
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 323 е > 0. Оценим разность х) —^(х, х)|< 5J + \"л- 5\“г/ dSy, Зададим | Wx (х', ux — S(]U(x; d). (40) -а COS + cos (P. I — у I2 В силу оценок (18), (19) и (29), первый интеграл справа в (40) не превосходит (абсолютно) сходящегося интеграла .[ I Н (У) I ( | Л.,_у|2-О. + |л_у |2-« ) dSy их и потому может быть сделан < при достаточно малом д = де. Далее, подынтегральная функция в (40), как функция переменных (х, xf, у), равномерно непрерывна при | х — хг | у, x£S, y£S\zzv и обращается в нуль при х'=х. Поэтому найдется такое число д' = де<Су, что при всех х' £ U (х; д') второй интеграл справа в (40) будет меньше у. Следовательно, |№\(х', х) — (х, х)|<8, xr (х; д'), x'£nx, x£S, что и доказывает предельное соотношение (39). По теореме § 22.6, V(1) £ С (G) и (х) = 2лц(х)-|-^(1)(^)- Поэтому предельное соотношение (39) при x'->x£S, х' £пх принимает вид — (Х(— =>- w + (*> х> = о z ч , dV<® (х) = -2лИ(х)Ч откуда заключаем, что правильная нормальная производная д^(0) j па S извне существует (см. § 21.2) и, с учетом формулы (30), выражается равенствами (38),
324 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Другой случай рассматривается аналогично. Теорема до¬ казана. Из формул (38) и (387) следует соотношение = (*)> OP Замечание. Можно доказать, что если плотность р, непрерывна по Гельдеру на S, то потенциал 1/(0^ принадлежит классам С] (G) и С1 (ОД (см., например, С. Л. Соболев [1], л. XV). 8. Упражнения, а) Показать, что потенциал простого слоя для сферы S# с плотностью ц = 1 равен ( 4jtZ?2 . . D “1 Г~ ’ А' > /?; IZ(O) (x)={ I-«I ( 4л/?, I x | < R. b) Пользуясь а), показать, что объемный потенциал для шара U с плотностью о=1 равен I 4л/?3 . „ ,. § 23. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве 1. Постановка основных краевых задач. Будем изучать следующие четыре краевые задачи I и II родов для трехмерного уравнения. Лапласа (см. § 4.4). Считаем область Q такой, что Gj — R3 \ G есть область. Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в об¬ ласти G функцию и (G), принимающую на S заданные (не¬ прерывные) значения ий. Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в об¬ ласти Gj функцию и £ С (Gj), принимающую на S заданные (непрерывные) значения uq и стремящуюся к 0 на бесконеч¬ ности. Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области G функцию u^C(G\ имеющую на S заданную (непрерывную) правильную нормальную производную и\ •
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 325 § 23] Внешняя задача Неймана', найти гармоническую в об¬ ласти Gx функцию и £ С (Gx), имеющую на 5 заданную (непре¬ рывную) правильную нормальную производную z/f* и стре¬ мящуюся к 0 на бесконечности. Аналогичные краевые задачи ставятся и для уравнения Пуассона Azz = —/, _ (1) приче^м требуется, чтобы и £ С2 (G) (] С (G) для внутренних задач и u£C2(Gx) П С (Gx), и(х)—>0, |х|—>оо для внеш¬ них задач. Подстановка u = v + V, (2) G сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуассона к соответствующим внутренним краевым задачам для урав¬ нения Лапласа, если / £ С1 (G) f] С (G). Действительно, в этом случае объемный потенциал V£C2(G) П С1 (G) и удовлетворяет уравнению Пуассона (1) (см. § 22.1). А тогда, в силу (2), & функция v должна удовлетворять / уравнению Лапласа и соответст- / вующему граничному условию. / Для внешних краевых задач / поступаем аналогично. f 2. Поведение гармонической / .Z \ функции на бесконечности. | J Пусть точка х лежит вне шара U R. \ # / Совершим преобразование ин- \ U* ySR версии * /?2 /?2 х = х=-у-^х\ (3) Рис. 65. Точки х и х* называется симметричными относительно сферы SR. Симметричные точки удовлетворяют соотношению \x\\x*\=R2 (4) и потому преобразование инверсии взаимно однозначно пре¬ образует внешность шара UR на UR \ {0} (рис. 65).
326 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-ПИП [Г'Л. V Пусть функция и (х)— гармоническая вне шара U R. Функ¬ ция (xF) = yyq- и (-j-yrp X*} (5) называется преобразованием Кельвина функции z/(x). Докажем, что при преобразовании Кельвина гармо¬ ничность сохраняется, т. е. функция и* (х*) гармонична в^\(0). Для этого перейдем к сферическим координатам (см. § 3.2). Пусть х = (г, 0, ср) и и(х) = и(г, 0, ср). Тогда, в силу (3) R2 и (4), х* = (р, 0, ср), р = — и, в силу (5), Д«*(х*)=-Д-Ам(х), (7) откуда и следует требуемое утверждение. Теорема. Пусть функция и(х) — гармоническая вне шара UR и и (х) —> 0, | х | —> оо. Тогда при | х | —> оо И(Х) = °(-|Т[)- grad «(л:) = о (q-2_). (8) Доказательство. Совершая преобразование Кель¬ вина (5), получим функцию zz*(x*), гармоническую в {0} и удовлетворяющую при х*—>0 условию и* 0 = 0 (т?т)= 0 (I По теореме о стирании особенностей.гармонической функ¬ ции (см. § 21.6) заключаем, что функция и*(х*)— гармони¬
§ 23] УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 327 ческая в шаре U R. Совершая обратное преобразование Кель вина, для функции и получим представление откуда и вытекают оценки (8). Теорема доказана, Преобразование Кельвина позволяет внешние краевые за¬ дачи сводить к внутренним и наоборот. 3. Теоремы единственности решения краевых задач. Докажем теоремы единственности решения краевых задач, по¬ ставленных в § 23.1, Будем говорить, что обобщенная функция и (х) стре¬ мится, к 0 на бесконечности, если она непрерывна вне некоторого шара и и(х) —>0, |х|—>со. Теорема 1. Решение уравнения Пуассона единственно в классе обобщенных функций, стремящихся к 0 на бес¬ конечности. Доказательство. Достаточно установить, что урав¬ нение Лапласа имеет только нулевое решение в классе обоб¬ щенных функций, стремящихся к 0 при |х| —->оо. Но это вытекает из аналога теоремы Лиувилля (см. § 21.9). Теорема 2. Решение внутренней или внешней задачи Дирихле единственно и непрерывно зависит от гранич¬ ного значения Uq или u'q соответственно в следующем смысле’, если | uq—на S, то соответствующие решения и и и удовлетворяют оценке | и (х)— zz(x)|-^e, x£G (x^Gt). (9) Доказательство. Применяя неравенства (17) и (18) § 21.5 к гармонической функции и — и, | и (х) — и (х) | шах | uq (х) — //о' (*) | , х £ О (х £ G0, получим все утверждения теоремы. Будем говорить, что поверхность Ляпунова S — доста¬ точно гладкая поверхность, если она удовлетворяет усло¬ вию (А) § 22.6 и справедливы формулы Грина (7), (8) § 19.2 и (1) § 21.1 для функций и и v класса С2 (G) Q С (G), имею¬ щих правильную нормальную производную на S и Д/гг
328 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Можно доказать, что для ограниченных замкнутых поверх¬ ностей класса Сi 2 условие (А) всегда выполнено, так что, в силу сказанного в § 21.2, такие поверхности—достаточно гладкие. Теорема 3. Если S — достаточно гладкая поверх¬ ность, то решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до произвольной постоянной. Необходимым условием разрешимости этой задачи является равенство U\ (х) dS —j— § f (х) clх =■ 0. (10) 5 G Доказательство. Если и и и — два решения внут¬ ренней задачи Неймана, то их разность 1]£C(G)— гармони¬ ческая функция в О и имеет нулевую правильную нормальную производную на S. Применяя формулу Грина (7) § 19.2 при и = v = 1], получим j | grad т| |2 dx = J л dS = 0, G S откуда следует, что grad т| = 0, x£G, так что т\ = и— и const. Необходимость условия (10) разрешимости внутренней задачи Неймана вытекает из формулы (8) § 19.2 при v == 1, согласно которой i иТ dS = j -^dS = J dx = — | / dx, S S G G если и—решение этой задачи. Теорема доказана. Ф и з и ч е с к и й с м ы с л у с л о в и я (10) состоит в том, что стационарный поток тепла (несжимаемой жидкости, напряжен¬ ности электрического и магнитного полей, см. § 2) через замкнутую поверхность S равен суммарной величине всех источников (зарядов), находящихся внутри S (закон сохра¬ нения). Теорема 4. Если S — достаточно гладкая поверх¬ ность, то решение внешней задачи Неймана единственно. Доказательство. Пусть и и и — два решения внеш¬ ней задачи Неймана. Тогда их разность i]^C(G)— гармони¬ ческая функция в Gp имеет нулевую правильную нормаль-
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Н ПУАССОНА 329 ную производную на S и стремится к 0 при | х| ->оо. По теореме § 23.2 функция q удовлетворяет неравенствам l11W| < yq-. |gradT](x)| |х|->оо. (11) Применяя формулу Грина (7) § 19.2 при u=v = y\ к об¬ ласти QR (рис. 54), получим j |gradn|2rfx=J dS + J dS= j^dS. (12) s s* sfi Но из оценок (11) вытекает, что при R—> оо 5/? 5/? Поэтому, устремляя в равенстве (12) /? к оо, 'получаем J| grad tj |2 dx — О, Gi откуда следует grad q —О, т. е. q(x) = const, Так как q —>0 при |х|->оэ, то q = и — zzeeezO, х£ОР Теорема доказана. 4. Сведение краевых задач к интегральным уравне¬ ниям. Выпишем формулу Грина (5) § 21.1 при п = 3 и (х) = (у) дпу -А—г] dSv, x£G. X —y|J > < (13) Формула (13) справедлива для функций и £ С (G), гармони¬ ческих в G и имеющих правильную нормальную производную на S, если 5 — достаточно гладкая поверхность (см. § 23.3). Из теорем единственности для задач Дирихле и Неймана (см. § 23.3) следует, что, вообще говоря, не существует гармонической функции и с произвольно заданными значе¬ ниями и и на S. Поэтому формулу Грина (13) нельзя непосредственно использовать для решения поставленных крае¬ вых задач, подобно тому как мы это делали для решения задачи Коши. В этом состоит существенное различие между краевой задачей для эллиптических уравнений и задачей Коши.
330 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Пользуясь теорией ньютонова потенциала, сведем задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям Фредгольма с полярным ядром. Далее, используя теорию интегральных уравнений, докажем разрешимость этих краевых задач. Пусть S— достаточно гладкая поверхность. Ищем реше¬ ние задач Дирихле (внутренней и внешней) в виде потенциала двойного слоя V(1)(x) = J\(y) где v — неизвестная непрерывная плотность на S. Функ¬ ция — гармоническая в G и непрерывная на G, Gr и S и стремится к нулю при |х|—>оо (см. §§ 22.2 и 22.6). Поэтому, чтобы потенциал И(1) давал решение внутренней или внешней задач Дирихле, необходимо и достаточно, чтобы соответственно были выполнены равенства ГУ’(х) = Uo (х), x£S. (14) где 0Л — предельные значения V(1) изнутри и извне S. По тео- реме о разрыве потенциала двойного слоя (см. § 22.6) ра¬ венства (14) принимают вид f cos (pvv _ + 2nv(x) + J v(у) YJ—уу dSy = Uo (x), x£S. (15) s Равенства (15) представляют собой интегральные уравнения Фредгольма относительно неизвестной плотности V. Вводя вещественный параметр X и ядро 1 cos cprv у)^ — ^——(16) перепишем интегральные уравнения (15) в единой форме: v(x) = Z f ^(х, y)v(y)rfSy + /(x), x£S. (17) 5 При этом для внутренней задачи Дирихле Z=1 и / = ио = 2й" ’ а Для внешней задачи Дирихле X = —1 и f — < 2л
§ 23] УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 001 Аналогично решение задач Неймана (внутренней и внеш¬ ней) ищем в виде потенциала простого слоя И0)(х) = J I x — У I y где p — неизвестная непрерывная плотность на S. Функция — гармоническая в G и Gp непрерывная в /?3, имеет /dV^ \ с правильные нормальные производные I ■ I на о изнутри и извне S и стремится к 0 при |xi—>оэ (см. §§ 22.2 и 22.7). Поэтому, чтобы потенциал У(()) давал решение внутренней или внешней задач Дирихле, необходимо и достаточно, чтобы соответственно были выполнены равенства = <18) По теореме о разрыве нормальной производной потенциала простого слоя (см. § 22.7) равенства (18) превращаются в интегральные уравнения Фредгольма Г cos'll?™ ± 2лц(х) + J ц(у) у- _2 у-12- = «Г (х), x^S, (19) относительно .неизвестной плотности ц. Из равенства = <рух, х, у £S (см. § 22.5), и из (16) следует, что ядро интегральных уравнений (19) равно <oz^(y, х)— = о%**(х, У), так что уравнения (15) и (19) — союзные друг другу. Вводя параметр X, перепишем интегральные уравнения (19) в единой форме: p(x) = Xj е^*(х, + (*)• (17*) 5 При этом для внутренней задачи Неймана Z = —1 и g = = а для внешней задачи Неймана 7=1 и g = Для поверхности Ляпунова 5 функция cos(pzy непрерывна на и, в силу леммы § 22.4, удовлетворяет оценке I cos Флгу | а I х — У Г’ а >
332 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ {ГЛ. V Поэтому, в силу (16), ядро У) непрерывно при х £ S, у £S, хфу и удовлетворяет оценке I еТ У) I < 2л | х — у |2 и, следовательно, является полярным ядром (см. § 15.4). Таким образом, для интегрального уравнения (17) и союз¬ ного к нему уравнения (17*) применимы все положения тео¬ рии Фредгольма (см. замечание § 16.5). 5. Исследование интегральных уравнений теории по¬ тенциала. Докажем сначала, что К = 1 не есть характери¬ стическое число ядра у). Пусть, напротив, Z=1 — характеристическое число этого ядра и р,* — соответствую¬ щая ему собственная функция, 1 Г cos "Фги еГ* у) |Г (у) dSy = X J ц* (у) dSy, S S x£S. (20) Собственная функция p,*£C(S) (см. § 16.5). Построим по¬ тенциал простого слоя 0О) с плотностью р*. Функция И0) гармонична вне 5, непрерывна в R3 и стремится к нулю при | х| —>оо (см. § 22.2). Далее, в силу формулы (38) § 22.7 и уравнения (20), ее правильная нормальная производная на 5 извне равна нулю. Отсюда, по теореме 4 § 23.3 о един¬ ственности решения внешней задачи Неймана, заключаем, что V(0)(x) = 0, x£Gx и, в частности, 0О)(с = О. Но тогда, по теореме 2 § 23.3 о единственности решения внутренней задачи Дирихле, 0О) (х) = 0, х £ G. Итак, 0О) (х) s 0, х £ R3. Отсюда, пользуясь формулой (41) § 22.7, заключаем, что р*(х)==0, х£5. Таким образом, Х=1 не есть характеристическое число ядра е2Г*(х, у). Отсюда по второй теореме Фредгольма X = 1 также не есть характеристическое число ядра (х, у). А тогда по третьей и первой теоремам Фредгольма инте¬ гральные уравнения (17) и (17*) при Х=1 однозначно раз¬ решимы при любых непрерывных f и g. Следовательно, справедлива Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле и внешняя задача Неймана разрешимы при любых непрерывных дан¬ ных и~ ц и их решения представляются потенциа¬ лами двойного и простого слоя соответственно.
§ 23] УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 333 Теперь из формулы (25) § 22.5. 1 f cos(pvv „ Г -J = - J 5 S следует, что л = — 1 есть характеристическое число ядра е7Г(х, у) и vezz=1 —соответствующая ему собственная функ¬ ция. Докажем, что это—простое характеристическое число. Для этого, в силу второй теоремы Фредгольма, достаточно показать, что X — —1—простое характеристическое число ядра о%™(х, у). Пусть р0— соответствующая собственная функция, Ро (*) = — [ (X, у) Jio (у) dSy = S 1 Г cos фг v = — 2я J I А- —у I2 Cv) dSy (21) s Собственная функция р0 £ С (S) (см. § 16.5). Составим потенциал простого слоя с плотностью р.о, 1/(П> W = (22) Функция гармонична вне 5, непрерывна в /?3 и стремится к 0 при |х| —> оо (см. § 22.2). Далее, в силу формулы (38') § 22.7 и уравнения (21), ее правильная нормальная произ¬ водная на S изнутри равна нулю. Отсюда, по теореме 3 § 23.3 о единственности решения внутренней задачи Неймана, за¬ ключаем, что 0О)(х) = С = const, x£G. Докажем, что С=#0. Пусть, напротив, Ио) (х) = 0, x£G и, в частности, Ио)|$ = О. Но тогда, по теореме 2 § 23.3 о единственности решения внешней задачи Дирихле, (х)е^еО, x£Gp Итак, (х) нн 0, х £ R3. Отсюда, поль¬ зуясь формулой (41) § 22.7, заключаем, что цо(х) = О, x£S, что невозможно. Пусть р0— другая собственная функция ядра <э%*(х, у), соответствующая характеристическому числу X = — 1. По до¬ казанному потенциал простого слоя с плотностью р.о ра¬ вен постоянной С 0 на G. Но тогда потенциал простого
334 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V слоя с плотностью -£Ио—ц0 равен нулю на G, откуда следует, что эта плотность тождественно равна нулю на 5, т, е. Поэтому Х =—1—простое характеристическое число ядра еХГ*(х, у) и, стало быть, ядра у). Нормируем собственную функцию р0 так, чтобы V(Oi 1- Х^О- (23) Потенциал простого слоя V(0) с плотностью н0 называется потенциалом Робена. Физический смысл потенциала Робена: это есть потенциал, создаваемый зарядами на проводящей поверх¬ ности 5, а его плотность Ро W 1 4 л есть плотность зарядов, которая устанавливается па этой по¬ верхности. Вернемся к уравнениям (17) и (17’) при X = — 1. По третьей теореме Фредгольма интегральное уравнение (17*) при К——1 разрешимо тогда и только тогда, когда свободный член g ортогонален к 1. Итак, справедлива Теорема 2. Внутренняя задача Неймана разрешима при любой непрерывной функции и\ , удовлетворяющей условию ортогональности j Ui (х) dS = 0, (24) и ее решение представляется потенциалом простого слоя. Далее, для разрешимости уравнения (17) при Х = — 1 необходимо и достаточно, чтобы свободный член f был орто¬ гонален к Таким образом, внешняя задача Дирихле имеет решение, представимое потенциалом двойного слоял
§ 23, УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 335 при любой непрерывной функции и$ , ортогональной к плот¬ ности pg потенциала Робена j Uq (х) ц0 (х) dS = 0. (25) 5 Условие разрешимости (25) возникло за счет того, что решение внешней задачи Дирихле искалось в виде потен¬ циала двойного слоя и, следовательно, от решения заранее требовалось убывание О(|,г|“2) при |х|—>сю. Однако в по¬ становке этой задачи требуется лишь, чтобы решение стре¬ милось к 0 при |х|—>со. Чтобы учесть и такие решения и тем самым избавиться от условия (25), поступаем следую¬ щим образом. Считаем 0 £ G. Ищем решение внешней задачи Дирихле в виде суммы потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью v на S и ньютонова потенциала от заряда в точке х = 0 неизвестной величины а, „ W = !/<“ w + ~ = J v(у) 1Sy + . (26) Соответствующее интегральное уравнение (17) принимает вид '■« = - / ж Й ’ <Й + 4т2 - 21ТЙ • (27) По доказанному для разрешимости интегрального уравне¬ ния (27) необходимо и достаточно, чтобы _L J (х)__±_] (х) dS = 0. (28) 3' Так как 0 £ (7, то, в силу (23), J_Mylrf5 = y(°)(0)==i, а поэтому условие разрешимости (28) принимает вид а = [ и+ (х) ji0 (x)dS. S Таким образом, справедлива следующая
836 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Теорема 3. Внешняя задача Дирихле разрешима при любой непрерывной функции и ее решение предста¬ вляется в виде суммы потенциала двойного слоя и по¬ тенциала -j4|- / «оН (*)Но<>И5- § 24. Функция Грина задачи Дирихле 1. Определение и свойства функции Грина. Функцией Гринр задачи Дирихле для области G называется функция с? (х, у), х £ G, y£G, удовлетворяющая следующим свой¬ ствам: 1) При каждом y£G представляется в виде (X’ 3’) = ~4^ТТ-~-~у | + S (Х’ 'V)1 (1) где функция g(x, у)— гармоническая в G и непрерывная в G по х. 2) При каждом у £ G удовлетворяет граничному условию У)1х€5 = °- (2) Из условий 1) и 2) вытекает, что функция <£? (х, у) — гармоническая по х в области G \ {yj, непрерывная в G \ {у}, обращается в нуль на 5 и стремится к -j-00 при х~>У- Отсюда, в силу принципа максимума (см. § 21.4), вытекает, что <£?(х, у) > 0, х £ О, y£G. Далее, гармоническая функ¬ ция g(x, у) удовлетворяет граничному условию ^--4-^lTzryp (3) откуда следует, что g(x, у) < 0, x£S, у £ G. Но тогда, в силу принципа максимума, это неравенство сохранится и в области О, т. е. g (х, у) < 0, х £ О> у £ G. Итак, в силу (1), функция Грина удовлетворяет неравенствам 0<^(х, у) < 4-1-J—Г> х^°' <4) Из единственности решения задачи Дирихле (см. § 23.3) вытекает, что функция Грина <£? (х, у) единственна, если она существует.
§ 24] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 337 Физический смысл функции Грина. Из опреде¬ ления функции Грина & (х, у) следует, что при каждом у £G она удовлетворяет в обобщенном смысле уравнению Пуассона (х, J’) = — б (х — у), х £ G и обращается в нуль на границе S. Поэтому функцию <£?(х, у) можно интерпретировать как кулонов потен¬ циал (см. § 22.3), порождаемый вну¬ три заземленной проводящей поверх¬ ности 5 зарядом находя¬ щимся в точке у £ G (рис. 66). Функция g(x, у) непрерывна по совокупности переменных (х, у) в G X G. Пусть х0£О, y0£G и (х, у)->(х0, у0), х £ G, y£G. Пользуясь непрерывностью функции g{x, у) по х, принци¬ пом максимума и равенством (3), получаем gG^ Уо) —£■(*> У) К <|^(ХО. Уо> — 8(х> Уо) 14- l£(*- Уо)- 8 (х- У)|< < Ig’Oo- Уо)~ -g(x, у0) I + 1 1 1 1 1 1 А x,es 4л | |х' — у0| |х' — у| | что и доказывает непрерывность функции g в точке (х0, у0). Теорема. Если S — достаточно гладкая поверхность, то функция, Грина &(х, у) существует, имеет правиль¬ ную нормальную производную на $ пРи всех у £G и симметрична: &(х, у) = &(у, х), x£G, y£G. (5) Доказательство. Достаточно установить существо - вание симметричной функции g(x, у), обладающей при ка¬ ждом у £ G следующими свойствами по х: гармоническая 22 В. С. Владимиров
338 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V в G, непрерывная в G, удовлетворяет граничному условию (3) и имеет правильную нормальную производную на 5. Фиксируем y£G. Функция—"^l х — У Г*» есть» очевидно, решение внешней задачи Неймана с граничной функцией (х, у) = — -—-—г, х £ S. (6) 1 4 4л дпх [ х — у | 4 7 С другой стороны, по теореме 1 § 23.5 это решение пред¬ ставляется в виде потенциала простого слоя S с непрерывной плотностью p(yz, у) по у' Поэтому, в силу единственности решения (см. § 23.3), ^”(^>-) = -«тХ7Г' л'е°" (7) Потенциал 0О) гармоничен в G и непрерывен в /?3 (см. § 22.2) и, в силу (7), удовлетворяет граничному условию (3). По¬ этому g(X, у) = И0)(х, x£G. (8) Отсюда по теореме § 22.7 следует, что функция g(x, у) имеет правильную нормальную производную (изнутри) на S и эта производная, в силу формул (41) § 22.7 и (6) § 24.1, равна dg (*, У) дпх Осталось доказать симметрию функции g(x, у), Применяя формулу Грина (13) § 23.4 к функции g(x, у) и пользуясь граничными условиями (3) и (9) и формулой (8), при всех
§ 24] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 332 x£G и у £ О получаем g(X, у) = = д_ f Г ! <?'■ у) „ (-/ 1 1 4л J [ | х — у' | дпу, ь \У < У) | л _ у/1 = {[?</. у) — 4 л j g (у', у) у (у1. x)dSy = s «= J [£(/- \’)Д§'<У. x) — g(y', x)Ag<y, >’)ЫУ+ + J'^^.=,<y.x>. s 4л|х(У, = дп , Теорема доказана. Из симметрии функции полнительные свойства ее: при каждом x£G — гармоническая по у в G, принимает значение — '’Г* пРи и имеет правильную нормальную производную на $- 2. Примеры построения функции Грина (метод отра¬ жений). Для построения функции Грина для области с до¬ статочно широкой группой симметрии весьма оказывается метод отражений. Этот метод стрируем на ряде примеров а) Шар, U R, Пусть y£UR, у =# 0 и / = у4т. |у11У| = «4 — симметричная точка относительно сферы SR зовании инверсии (см. § 23.2). g (х, у) вытекают следующие до- непрерывная по (х, у) в G XG, эффективным мы проиллю- (10) при преобра- 22*
340 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Ищем функцию Грина в виде с/ >) 4Я | х — у | 4л | х — у* I ’ неизвестный заряд в симметричной а (И) а ГДе “4? Функция точке у*. £*(*■ У) а — гармоническая в UR и принадлежит классу С°° (UR). Под¬ берем величину а так, чтобы функция <^(х, у) обратилась в нуль на границе SR. Для этого заметим, что при | х | = R треугольники (0, х, у*) и (0, х, у) подобны: один угол у них общий, а прилегающие стороны, в силу (10), пропорцио¬ нальны (рис. 67). Поэтому при | x\=R справедливо соотношение R _ | аг — у* | I У I ~ I * — У I D и, следовательно, в силу (11), необходимо положить а = у^-. Итак, со. / v .л 1 R ’ '' 4л | х — у | 4л | у 11 х — у* | 3 _ 1 Я|у| 4л | х — у | 4л | х | у [2 — yR21 (12)
§ 21] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 341 есть функция Грина для шара. Формула (12) сохраняет силу и при у = 0. Ь) Полупространство, х3 > 0. Пусть точка у — = (ур Уг» Уз) лежит в этом полупространстве, у3 > 0. Точка у = (уР у2, —у3) называется симметричной с точкой у от¬ носительно плоскости х3 = 0 (рис. 68). Нетрудно видеть, что функция Грина для полупространства х3 > 0 определяется формулой &(х, у) 1 4 л. | х — у | 1 4л | х — у | (13) с) Полу шар, | х | < /?, х3 > 0. Пусть точка у лежит в этом полу шаре;* у* — точка, симметричная с у относительно сферы S#; у и у*— точки, симметричные су и у* относи¬ тельно плоскости х3 = 0 (рис. 69). Функция Грина выра¬ жается формулой (х, у) 4Л | х — у | 4л | у 11 х — у* | + (14) 4л 1 х — у | 4л | у 11 х — у* | d) Д в у г р а н н ы й угол, х2 > 0, х3 > 0. Пусть точка у = (ур у2, у3) лежит в этом двугранном угле, у2 > 0, у3 > 0; у и уг — точки, симметричные с у относительно плоскости
342 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V х3=0 и х2 = 0 соответственно; у'— точка, симметричная с у относительно плоскости х3 = 0 (рис. 70). Функция Грина имеет вид &(х, у) = 1 4л | х — у | 1 4л |х — у | для двугранного Аналогично строится функция Грина и угла раствора , где п— целое, п^З. У' Г' I I I -I- I I I I—_ <7' о I I I -4 I у 1 I I I I I J Рис. 70. 3. Решение краевой задачи с помощью функции Грина. Впредь в этом параграфе будем считать, что S— достаточно гладкая поверхность (см. § 23.3). Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона Д« = —/(х), и \s = uQ(x), w£C2(G)|"|C (G), (16) где f £ С (G) fl (G) и «0£C(S). Как установлено в § 23.3, решение этой задачи единственно. Теорема. Если решение и.(х) задачи (16) имеет пра¬ вильную нормальную производную на S, то оно предста¬ вляется формулой И(4 = — [ Му44+ 8 ' У + f&(x, y)f(y)dy, x£G. (17) G
§ 24] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 343 Доказательство. По условию решение zz£C2(G) имеет правильную нормальную производную на 5 и Д// = — /, Применяя к функции и (х) формулу Грина (1) §21.1 при п = 3 и учитывая (16), получим и (*) = JL f Гди (у) 4л J L дПу S у Iл 1 >• I — "»^7 Д?г]+ + <Нг^27Т‘,)' л'е°’ (18) G Далее, при каждом х £ S функция g(x> у) гармоническая по у в (7, непрерывная по у на G и имеет правильную нор- dg (*, у) о т-r и мальную производную ——— на о. Применяя к функциям О tty и (у) и £(.х> У) формулу Грина (8) § 19.2, выводим равенство °=П 4)g’(x,-v)' 5 + J /6’)£'О- У)‘1У- х^С/. G Прибавляя это равенство к равенству (18) и пользуясь (1) и (3), получаем формулу (17). Теорема доказана. 4. Формула Пуассона. Вычислим правильную нормаль¬ ную производную функции Грина для шара UR на сфере SR. Пользуясь выражением (12) для этой функции, получим (х, у) I = д Г 1 /? | у I 11 _ дпу кд <ИУ| L4a|x — у| 4л| л|у|2 —у/?2| Л(уНА> _ 1 |“ 1 4л др I ]/1 х 12 — 9 | х | р cos у 'К/?4 + | х |2 р2 — 2R21 х | р cos у J |р=/? | х|2 —/?2 = ' \x\2 — R2 I 4л/? (/?2 + I х |2 — 2R | х | cos у)3 2 4л/? [ х — у |3 |5/? Поэтому формула (17) для шара UR при f = 0 принимает вид
344 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИИ [ГЛ. V Это и есть формула {интеграл) Пуассона. Она аналогична формуле Коши для аналитических функций. Докажем, что формула Пуассона (19) дает решение внутренней задачи Дирихле для шара U /\и = 0, и = и(} (20) для любой непрерывной на SR функции и0. Действительно, решение и(х) этой задачи существует для любой непрерывной функции и0 и единственно (см. § 23). Во всяком меньшем шаре Uo, р < R, функция и(х) является решением задачи Дирихле страничной функцией u\s# и при¬ надлежит классу С°°((/ ). Поэтому, по теореме § 24,3, это решение представляется интегралом Пуассона (19), т. е. J Н U^dSy' 1*1 <р- I У 1=Р Переходя в этой формуле к пределу при р—>/? и пользуясь непрерывностью и(х) в UR и граничным условием (20), по¬ лучаем представление (19). 5. Сведение краевой задачи к интегральному уравне¬ нию. Рассмотрим в области Q краевую задачу для уравне¬ ния Пуассона 1\и--= — /(х), z/|s = o, z/gC2(O)nC(G). (21) ' Предварительно докажем следующую лемму. Лемма. Если f£C(G), то функция V(x) = $ g(x, y)f(y)dy (22) G — гармоническая в области G. Доказательство. Так как функция g(x, у) непре¬ рывна по (х, у) в G%G и гармонична по х в G (см. § 24.1), то V£C(G) и для любой <р £ (О) справедливо равенство J V (х) Дф (х) dx — | [ g (х, у) f (у) Аф (х) dx = = / /(>’)[ [ g(x’ у)Дф(х)</х]</у =
§ 2-4] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 345 Поэтому функция V (х)— обобщенно-гармоническая и, значит, гармоническая в области G (см. § 21.7). Лемма доказана. Теорема. Если f £ С1 (G) f]C (G), то (единстве иное} решение задачи (21) выражается формулой и(х) = [ <^(х, y)f(y)dy (23) а и имеет правильную нормальную производную на S. Доказательство. Докажем, решение задачи (21). Пользуясь (1), суммы двух слагаемых и (х) = V (х) -|_ Р (х), (24) что формула (23) перепишем (23) в дает виде где V — объемный потенциал с плотностью и функция V оп¬ ределена равенством (22). По предположению / £ CJ(G) П Г) С (G). Поэтому объемный по¬ тенциал V £ C'2(G) П С1 (G) и удо¬ влетворяет уравнению Пуассона (21) (см. § 22.1). По лемме § 24.5, функция V (х) — гармоническая в области G. Итак, в силу (24), в области G удовлетворяет уравнению Докажем, что и£С (G) и обращается в нуль на S. Для этого достаточно показать, что функция и £ С2 (G) и Пуассона (21). | и(х') |z=zz^0, Xх—>х, хх £ G, (25) Пусть е > 0. В силу оценок (4), найдется такая подоб¬ ласть Gx G (рис. 71), что ■ G\O' «-Й- f G\G' x’^G. (26)
346 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [Г'Л. V Но функция g (xz, у) равномерно непрерывна по (х\ у) на G X G' (см. § 24.1) и потому, в силу (1), функция Грина <£?(xz, у) равномерно непрерывна по (xz, у) на (G \G")XO'> где G" — любая подобласть такая, что G' G" G (рис. 71). Поэтому, учитывая, что функция <£? (xz, у) обращается в нуль при xz£S, y£Gz, заключаем, что найдется такая достаточно близкая к G подобласть G" <s G, что J <£?(*'. У)/(У)йу G' xz £ G \ G”, откуда и из (26) вытекает неравенство и (х')|= j y)f(y)dy с G + j y)/(yW <т + G\G' е Г ~2 = справедливое при всех xz £ G \ G". Это и доказывает пре¬ дельное соотношение (25). Докажем, что функция z/(x) имеет правильную нормаль¬ ную производную на S. Так как V £ С1 (/?3) (см. § 22.1), то, в силу (24), для этого достаточно установить, что функ¬ ция V (х) имеет правильную нормальную производную на S. По доказанному V £ С (G)— гармоническая в G и удовлетво¬ ряет граничному условию V |s = — V |5. Построим потенциал простого слоя 0О) с непрерывной плотностью, решающий внешнюю задачу Неймана с и+= 1 (см. § 23.5). Объемный потенциал — V (х) также является решением этой задачи (см. § 22.1). Поэтому, в силу единственности реше¬ ния внешней задачи Неймана (см. § 23.3), заключаем, что V(0) (х) = — V (х), x£GP В частности, V(0) |s —— V |s. От¬ сюда, по теореме о единственности решения внутренней за¬ дачи Дирихле (см. § 23.3), получаем, что V (х) = И0) (х), х £ G. Поскольку потенциал простого слоя имеет пра¬ вильную нормальную производную (изнутри) на S (см. § 22.7), то, следовательно, и функция V обладает таким же свой¬ ством. Теорема доказана.
§ 2!] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 347 Теперь установим, что краевая задача -\u = lu-\-f(x), zz|5 = O, zz (= С2 (G) fl С (G) (27) эквивалентна интегральному уравнению и (х) = (х, ,v) [\и (у) + f (у)] dy, и^С (О), (28) G если f £ С1 (G) Г) С (G). Действительно, пусть функция и £ С (G) есть решение интегрального уравнения (28), т. е., в силу (1), "W=1H G + J g{x, y)[W)-h/G')W (28') G Первое слагаемое справа в (28z) есть объемный потенциал и потому принадлежит классу С1 (/?3) (см. § 22.1), а второе слагаемое есть гармоническая функция в области G (см. лемму § 24.5). Поэтому иС1 (G) и, следовательно, Xzz-Д- £ С1 (G) fl С (G). По теореме § 24.5, функция и (х) есть решение краевой задачи (27). Обратно, если функция их (х) есть решение краевой за¬ дачи (27), то она является (единственным) решением краевой задачи (21) с заменой / на XzzjТак как '^u1-\-f^ £ C1(G)nC(G), то, по теореме § 24.5, это решение выра¬ жается интегралом (23) с заменой f па т. е. функ¬ ция иЛ удовлетворяет интегральному уравнению (28). Этим доказана эквивалентность задач (27) и (28). 6. Свойства собственных значений и собственных функций. Рассмотрим однородную краевую задачу на соб¬ ственные значения (внутреннюю задачу Дирихле) A« + Xzz = O, zz|s=O, zz £ С2 (G) П С (G). (29) В § 24.5 было показано, что задача (29) эквивалентна задаче па собственные значения для однородного интеграль¬ ного уравнения zz(a:) = Z J <£?(*, y)u(y)dy, u£C(G) G (30)
348 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V с симметричным (и, стало быть, эрмитовым) ядром & (х, v) (см. § 24.1). Докажем, что ядро <£?(х, у) слабо полярное (см. § 15.4). Для этого функцию g(x, у), заданную и непрерывную па (GX G) U (^ X G) (см. § 24.1), продолжим на G X О, полагая, в соответствии с (3), S(x, xCS, При таком продолжении функция g(x, у) непрерывна на Gy^G, кроме тех точек, где х = у, y^S. А тогда, в силу (1), функция Грина $ (х, у) непрерывна при x£G, y£G, x^y и, стало быть, в силу (4), ядро <£?(х, у) слабо полярное (а = 1, п = 3). Поэтому для уравнения (30) справедливы все положения теории интегральных уравнений с симметричным слабо поляр¬ ным ядром, доказанные в §§ 17 и 18. Но собственные зна¬ чения и собственные функции краевой задачи (29) совпадают с характеристическими числами и соответствующими собствен¬ ными функциями ядра (х, у). Это дает возможность для краевой задачи (29) полностью доказать теорему 1 § 19.4, а также установить и некоторые другие свойства этой задачи. Теорема. Множество собственных значений {7с/г} краевой задачи (29) счетно и не имеет конечных предель¬ ных точек, причем > 0; каждое собственное значе¬ ние имеет конечную кратность. Наименьшее собственное значение — простое, а соответствующая ему собствен¬ ная функция их (х) > 0, x£G. Собственные функции [uk] можно выбрать вещественными и ортонормальными} они имеют правильную нормальную производную на S. Всякая функция f из *) разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям {д//г}. Доказательство. Отсутствие конечных предельных точек у множества {А*} и конечная кратность каждого соб¬ ственного значения Ал, следуют из теорем Фредгольма (см. § 16.5). Из вещественности и эрмитовости ядра <£?(х, у) вытекает, что собственные функции можно выбрать вещественными и ортонормальными (см. §§ 17.4 и 18.7). *) То есть / С С2 (G)fiC1 (G), (G) и f |5 = 0 (см. § 19.1).
§ 24] ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 349 Собственная функция ufl £ С2 (G) р С (G) и является реше¬ нием при К — краевой задачи (29) и интегрального уравне¬ ния (30). Поэтому, по теореме § 24.5, uk (х) имеет правиль¬ ную нормальную производную на 5. Отсюда и из формулы Грина (7) § 19.2 при u = v — uk вытекает, что К. = h (uk> uk) = — "л) = / I £rad l2f/x > 0- G Простота Xj и положительность и1 (x) в G вытекают из теоремы Ентча (см. § 18.7), так как, в силу (4), ядро &(х, у) положительного типа. Пусть /£Л4Л. Тогда функция f (х) является (единствен¬ ным) решением краевой задачи д/ = -л, п = о, где h —— А/£ C(G) П J?2(Cj). По теореме § 24.3, функ¬ ция / (х) истокообразно представима через ядро & (х, у) и, следовательно, по теореме Гильберта—Шмидта (см. § 18.6), она разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по соб¬ ственным функциям (г//г). Теорема доказана. Таким образом, для краевой задачи (29) верны теорема 1 § 19.4 и следствия из нее. В частности, система собственных функций {z/д} этой задачи полна в Замечание. Пользуясь замечанием § 22.7, можно дока¬ зать, что собственные функции кроме того, (см. § 27). 7. Упражнения, а) Пользуясь формулой Пуассона (19), доказать неравенство Гарнака R(R-\x\} (Я + Ы)2 М(О) R(R + \x\) (R-\x\)2 и (0), \x\<R, справедливое для любой функции и(л)>0, гармонической в шаре U& и непрерывной в U b) Пользуясь неравенством Гарнака, доказать теорему: всякая возрастающая последовательность гармонических функций в об¬ ласти G сходится или к фоо (равномерно на каждом компакте К CZ G), или к гармонической в С7 функции. c) Доказать равенство
350 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V d) Пользуясь с), доказать, что интеграл Пуассона 1 Г I х |2 - /?2 4nR J |л — у |3 I У\ = Я I X I > /?, «о (У) дает решение внешней задачи Дирихле для шара U & е) Показать, что /2-мерный интеграл Пуассона Г /?2 —|x|2 , . у|=Я дает решение внутренней задачи Дирихле для шара UR cz Rn. f) Показать, что решения задач Дирихле и Неймана для полу¬ пространства х3 > 0 представляются соответственно формулами — f 2л J у3^0 “о (у) I* — у I3 dSy, 1 f (У) 2л J |х — у| 5'з = 0 dSy. § 25. Сферические функции 1. Определение сферической функции. Сферической функцией (сферической гармоникой) порядка I = 0, 1, . . . называется всякий однородный гармонический полином сте¬ пени /, рассматриваемый на единичной сфере SlaRn. Таким образом, между сферическими функциями Yt(s)t s^S1 по¬ рядка I и однородными гармоническими полиномами ut(x), x£Ra равенство устанавливает взаимно однозначное соответствие. Сферические функции Yt и Yt> различных порядков ортогональны в ^2(^1)’ (Гг, Кг) = J Yt (s) Yv (s) ds = 0. I ¥= (2) Действительно, применяя формулу Грина (8) § 19.2 для шара Ux к гармоническим полиномам М*) = ИгГг(^|). (л) = |х|г Ye
§ 25] СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 351 получаем что и требовалось установить. Для примера вычислим все сферические функции Yt, 1 = 0, 1, . .., на окружности Sl(n = 2). Это удобно делать в по¬ лярных координатах (г, ср), 0 < г < оо, 0<др<^2л. Приме¬ няя к гармоническому полиному til (*) = rlYt (ср) (3) оператор Лапласа (см. § 3.2), для сферической функции Yt получаем дифференциальное уравнение y'; + pYi = o, откуда Yt (ф) = at cos Лр—Z>zsin /ф, 1 = 0, 1,... (4) Итак, сферические функции на окружности — это тригономе¬ трические функции. При этом, в силу (3) и (4), формула uL (х) = rl(at cos /ф bt sin /ф) = at Re zl -f- bt Im zL, z == x^ ix2 дает общий вид гармонического полинома степени I в R2. Наша задача — вычислить все сферические функции Yt, 1 = 0, 1, ..., на сфере Si при п=3. 2. Дифференциальное уравнение для сферических функций. Найдем дифференциальное уравнение для сфери¬ ческих функций на сфере Sj при п=3. Это удобно делать в сферических координатах (г, 0, ф), 0 < г < оо, 0 0 л, О ф 2л. Применяя к гармоническому полиному «z(x) = r%(9, <р) (5) оператор Лапласа (см. § 3.2), для сферической функции Yt получаем дифференциальное уравнение -Дг 4-(sin о® н—4«--?t- + /G4-1)^ = o. (6) sin 0 д0 \ сЮ ) 1 sin2 0 dtp2 1 v 1 7 1 v Решения уравнения (6) будем искать в классе функций 0е0 (S^.
352 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИГ1 [ГЛ. V Для того чтобы функция Yt была сферической функ¬ цией порядка /, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала классу и удовлетворяла уравне¬ нию (6). Необходимость условий уже доказана. Докажем их доста¬ точность. Пусть функция Y (Sx) есть решение уравне¬ ния (6). Тогда функция ut, построенная по формуле (5), удо¬ влетворяет уравнению Лапласа в сферических координатах и, значит, гармонична в /?3\{0}. Кроме того, эта функция ограничена в окрестности точки х —0. По теореме о стира¬ нии особенностей гармонической функции (см. § 21.6), функ¬ ция ut— гармоническая в /?3. Далее, эта функция — однород¬ ная степени /. Отсюда, используя аналог теоремы Лиувилля (см. § 21.9), заключаем, что ut (х) — однородный гармониче¬ ский полином степени I. Это и значит, что функция Yt есть сферическая функция порядка /. Для , нахождения решений уравнения (6) применим метод разделения переменных (см. § 19.5). В соответствии с общей схемой этого метода, ищем решение Yt уравнения (6) в виде произведения УДО, cp) = ^(cos0)O((p). (7) Подставляя это выражение в уравнение (6), для функций Ф и получаем уравнения Ф" + мФ = 0, 1 sin 0 (cos 0) ^0 + р (/ 4“ 1) gin2 Q (cos 9) — 0, (B) (9) где v — неизвестный параметр. Чтобы функция (7) была однозначно определена на сфере SP необходимо, чтобы Ф была 2л-периодической функцией. Но такие решения уравнение (8) имеет лишь при v = т2, т = 0, 1, , . ., причем ф(ф) = ^^ф. (10) Таким образом, задача нахождения сферических функций свелась к уравнению (9) при у=т2, ni = 0, 1. Совершая в этом уравнении замену переменной |.i = cosO, для функции
§ 25] СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 353 ^°(ц) получаем уравнение — = (И) Решения уравнения (11) в точках ±1 должны принимать конечные значения, | SP (± 1) | < сю. 3. Полиномы Лежандра. При /п = 0 уравнение (11) при¬ нимает вид [(1-н2) ^1'4-/(/ + 1)^ = 0. (12) Проверим, что полиномы / = °’ 1 (13) называемые полиномами Лежандра, удовлетворяют уравне¬ нию (12). Действительно, полагая U7z==(p2—l)z и дифференцируя тождество (р2— i)r;— 2/prz = 0 /4-1 раз, получаем (ц2 — 1) И+2) + 2цИ+1) — / (/ ч- 1) И’ 0. Таким образом, функция и, следовательно, полином удовлетворяют уравнению (12). Выпишем. первые четыре полинома Лежандра: <^0(р,)==1, ^>1(ц) = р, <^2(|1) = 4’ ^,з(н)=4|13—4 й- Из формулы (13) непосредственно следует, что ^(1)= 1. (14) Полином Лежандра — единственное линейно неза¬ висимое решение уравнения (12) в классе С2([—1, 1]). Действительно, для всякого решения е7°£С2([—1, 1]) уравнения (12) справедливо соотношение 23 В. С. Владимиров
354 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЯ [ГЛ. V Поэтому определитель Вронского для решений и об¬ ращается в нуль в точке р = 1 и, следовательно, решения и еР линейно зависимы. Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему в -5*2 (-1. 1). В самом деле, так как полином Лежандра с7\(ц) удовле¬ творяет уравнению (И) при т = 0, то, в силу (10) и (7), c^z (cos 0) ^ С°°(S}) и удовлетворяет уравнению (6). Следова¬ тельно, (cos 0) — сферическая функция порядка I (см. § 25.2). Но сферические функции различных порядков ортогональны в (SJ (см. § 25.1). Поэтому 1 2я J (p)dp = — i л2л = J J (cos 0)^р (cos 0) sin 0 dQ dy = 0, l Ф lr. о о 4. Производящая функция. Пусть х = (г, 0, ф) и у —(0, 0, 1). Разложим функцию 1 1 1 1^ —У| уi_2r cos 0 + г2 ]/(1_/7?tf)(i — re~iQ) в ряд по степеням г, 1 X1 — 2r cos О + Г2 ^z(cos 0) rz. (16) z=o Ряд (16) сходится при | г | < 1 и 0£[0, л], и его можно почленно дифференцировать по г и 0 бесконечное число раз, причем полученные ряды будут сходиться равномерно по (г, 0) в [—''о* fol X [0» л] при любОхМ r0< 1. Применяя к равен¬ ству (16) почленно оператор Лапласа и учитывая, что функ¬ ция (15) гармонична в шаре | х | < 1, при всех r£(0, 1) получаем 0 ~ Д (cos 0) rl\ =
§25] сферические ФУНКЦИИ 355 Отсюда следует, что каждое слагаемое обращается в нуль и, следовательно, функции az (р) удовлетворяют уравнению (12). Поэтому tzz(p) = Czo7°z(p) (см. § 25.3) и разложение (16) принимает вид - —л_- - = 'V CL<?} (cos 0) г1. (17) /1—2rcos0 + r2 1 м } ' 7 г 1 z=o Для определения постоянных Сг положим в (17) 0 = 0 и воспользуемся равенством <^z(l) = 1. В результате получим со оо z=o z=o откуда следует, что Cz=l. Итак, справедливо разложение 1 . = У^°г(|г)Д, |г|<1. (18) Т 1 — 2гц + г2 & Функция (1—2гр-ф-г2) 2 называется производящей фушс* цией для полиномов Лежандра. Из формулы (18) легко получить рекуррентные соотноше¬ ния между полиномами Лежандра: (/ + 1)е7°Z+1 (р) — (2/ + 1) р#*z (р) + z_} (р) = 0, (19) (2Z + 1) (р) = (р) - ^z'-i (р). (20) Для этого, дифференцируя тождество (18) по г и р и умножая затем на 1—2гр4-/'2. получшм тождества (н—г) 2 <^(н)г' = (1 — 2гц4-г2) 2 z=o z=o Г 2 (и) г1 = (1 — 2гц + г2) 2 (и) г\ 1 = 0 1=0 Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, полу¬ чаем соотношения (19) и (и) = s^'i-1 (|1) — (р) 4- ! (и). 23* (21)
356 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИИ [ГЛ. V Дифференцируя равенства (19), имеем (Z 4- 1) л (м) - (2Z + 1)^(И) - - (2/ + 1) (Ц) + (М) - о. Исключая из этого соотношения и соотношения (21) произ¬ ведение р#*' (р), получим равенства (20). Докажем формулу 1 li^(||2== J^(M)^=2TTT- (22) -1 Для этого один из множителей подынтегральной функции выразим через и^_2 по формуле (19). Поль¬ зуясь ортогональностью полиномов <£7^ и получим 1 1 -1 -1 1 Выражая произведение р#*г по формуле (19) и пользуясь ортогональностью полиномов и получим IP=--7-l J (-эД ff‘^ + йтт откуда и вытекает формула (22) Система полиномов Лежандра q7\, 1 = 0, 1,..., полна в J?2(—I* О- Это утверждение вытекает из теоремы § 1.7 и из теоремы Вейерштрасса (см. § 1.3), согласно которой множество поли¬ номов, а следовательно, и множество линейных комбинаций полиномов Лежандра, плотно в С([—1, 1]) и, значит, в ^2(—1, 1).
§ 25] СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 357 Таким образом, всякая функция f —1, 1) разла¬ гается в ряд Фурье по полиномам Лежандра оо / = и сходящийся В J?2( 1» 1) (см- § I-7)- 5. Присоединенные функции Лежандра. Проверим, что функции &'i (И) = (1 —112)~ <^(/п) (И), I = 0, 1 т = 0, 1 I, (23) называемые присоединенными функциями Лежандра, удо¬ влетворяют уравнению (И). Действительно, производя в уравнении (11) замену т <^z(p)=(l-|i2P г(р), для функции z получим уравнение (1 — р2) z" — 2р (т + 1) zr + (Z2 +1 — т? — in) z = 0. (24) С другой стороны, дифференцируя уравнение (12) т раз, убедимся, что производная удовлетворяет уравнению (24). Следовательно, присоединенные функции Лежандра е/3/1 удо¬ влетворяют уравнению (И). Умножая уравнение (24) на (1—ji2)m, перепишем его для z = ^\tn} в виде [(1_и2)'я+>/'"+1Т= = — (/_от)(/ + „г4_1)(1 (25) При каждом m^Q система присоединенных функций Ле- жандраоР™, l = m,tn-\~\, ортогональна в —1,1), причем || ^т]|2_ G +W)! 2 И / II -7^0Т-2Гн ’ (26) Это утверждение верно при zn = 0, для полиномов Ле¬ жандра (см. §§ 25.3 и 25.4). Отсюда, пользуясь
358 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИП [ГЛ. V определением функций £?Т и формулой (25) с заменой т на т— 1, получаем 1 I -’1 -1 = (1 |У - | [(1 -n2)m^(/n)Yd^ - -1 = (I — т — 1) (/ т) [ (1 — ц2)'"-1 rfjt = = (/ + m)(/ + m— 1)(/ — m+ 1)(/ — /п-1- 2) X Х(<^/"~2. ^г~2) __ (1 + т)1 (I — т) ! ^/') = G + 2 л (Z — т) ! 2Z + lU/zs (27) что и требовалось установить. При каждом т^О система присоединенных функций Лежандра l = mt т-[-\, полна в J?2(—Ь 1)- Действительно, возьмем произвольную функцию f из класса ^(—1, 1), плотного в —1» О (см. § 1-5)- Тогда W)=/(н)(1 - н2) 2 €^(-1. !)• По теореме Вейерштрасса (см. § 1.3) функцию ф можно сколь угодно точно приблизить в С([—1, 1]) полиномами и, следовательно, линейными комбинациями производных 1 = т, т-\-\ Отсюда следует, что функцию f можно сколь угодно точно приблизить в ~2%(—1» 0 линейными комбинациями функций системы 1 = т, т-\- 1, . . ., что, в силу теоремы § 1.7, и доказывает полноту этой системы. 6. Сферические функции. В силу (7), (10) и (23), по¬ лучена следующая совокупность решений уравнения (6): гг (0. <р) = f (cos 0) cos жр, nt = 0, 1, . . ., Z; = 1 <^°/т ' (cos 0) sin|/n|(p, т =—1,—2 —I, (28) I 1 = 0, 1, ...
§ 25] СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 359 Эти функции, очевидно, принадлежат классу С03^). По¬ этому И” (0. ф)—сферические функции (см. § 25.2). Сферические функции Y”\ т — 0, ±1, ... ±Z, порядка I линейно независимы, и их линейные комбинации Ч(*) = 2 a(r'YT(s) (29) m = -l с произвольными коэффициентами а\,п} также являются сфе¬ рическими функциями порядка Z. Сферические функции [И”} образуют ортогональную и полную систему в ^2(^1)’ причем ут№ у 1 Ч~ &0tn (Z 4~ I т I) • 1 |! ~ 2/ + 1 (/ — I т I) ! • (30) Действительно, тригонометрическая система т = 0, 1, ...) ортогональна и полна в 2л) и при каждом = 0, 1, ... система присоединенных функций Лежандра = /п, т-\- 1, ...} ортогональна и полна в (—С О (см. § 25.5). Поэтому, по лемме § 1.7, система функций {<£?Т(м) cos//цр, *(p)sin| т | ср, Z = 0, 1, ..., m = 0, 1, .... Z) ортогональна и полна в [(—Ь 1) X (0, 2л)], и, следова¬ тельно, система сферических функций [К/г(0, ср)} ортого¬ нальна и полна в Формула (30) вытекает из (26): 1 + ^от (Z I m I) ■ 2Z + 1 (Z — | т I)! ’ Полнота ортогональной системы сферических функций {У™} обозначает, что всякая функция f £ (^1) разлагается в ряд Фурье по этим функциям: со I со f(S) =2 2 4(s). (3i) l =- 0 m = -1 Z = 0 сходящийся в JX2 C$i)- В соответствии с (30), коэффициенты
360 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИИ [ГЛ, V а[п) ряда (31) вычисляются по формуле л 2л 2Z -|~ 1 (/ —} tn 2F(T+-6-) (7+йГПГ.( J /(M)lT(O,<P)sinOd0rf<p. 0 0 (32) Пусть Qt (s') — произвольная сферическая функция порядка I. Тогда (Qit Кг) = 0, 1^1' (см. § 25.1), и в разложении (31) для функции Qt остается только одно слагаемое так что Qt — Kz. Итак, доказано: Сферические функции (К'"} исчерпывают все линейно независимые сферические функции; формула (29) дает общее выражение для сферической функции порядка I. Замечание. Сферические функции К™, т=0, ±1, ..., ±/, являются собственными функциями оператора Бельтрами 1 д ( . adY\ 1 д2У v/z-^oo/e х —n "vT ршО-^тт- £ С (Si), sin 0 \ (Ю / sin2 0 сАр2 41 соответствующими собственному значению X = /(/-{- 1) крат¬ ности 2/4-1. 7. Формула Лапласа. Пусть Y}(s)— сферическая функ¬ ция порядка /. Применяя формулу Грина (13) § 23.4 для ша¬ ра Ul к гармоническому полиному rzKz(s), получим при г < 1 причем ряды (34) и (35) сходятся равномерно по (s, s') при каж¬ дом г < 1 (см, § 25.4). Подставляя выражения (34) и (35) в
§ 251 С Ф Е РИ Ч Е С К И Е ФУНК Ц И И 361 формулу (33) и .производя почленное интегрирование, получаем Отсюда ввиду произвольности г вытекает следующая важная интегральная формула для сферических функций *): J Vi (s') &k (($, s')) ds' = 2^- Yt ($) (36) Заменим в равенстве (31) s на s'. Умножая это равен¬ ство на ^л((5, s'У), интегрируя его почленно по /£5^ и пользуясь формулой (36), получаем формулу = I f(s')^k((s, s')) ds'. s\ (37) Формула (37) сразу дает все коэффициенты в сферической функции Yk, участвующей в разложении (31) произвольной функции f Она называется формулой Лапласа. 8. Разделение переменных в уравнении Лапласа. По¬ строим решения уравнения Лапласа Ди = 0 в А?3 методом разделения переменных в сферических координатах (г, 0, ср). В этих координатах уравнение Лапласа имеет вид (см. § 3.2) Л * t 9 II 1 I . А I I * и гх ~ U г2 dr v dr ) г г2 sin 0 сЮ \П дО ) г2 sin2 0 ду2 ’ (3S) где и (г, 0, ср) = и (г sin 0 cos ср, г sin 0 sin ср, rcos0). *) Эквивалентная формула сложения для полиномов Лежандра имеет вид: tn — -I
362 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ V В соответствии с общей схемой метода разделения пере¬ менных (см. § 19.5), ищем решение и уравнения (38) в виде произведения г7(г, 0, ф) = ^(г)Г(0, ср). (39) Подставляя это выражение в уравнение (38), для функций и Y получаем уравнения (гМ')' — р^ = 0, (40) 1 д ( . о дУ \ . 1 д2У . v п sine де (sin0 де)+ sin2 о д^ — о. (41) где |i—неизвестный параметр. При этом K£C°°(Si). - При р=/(/-|-1)1 2 = 0, 1 уравнение (41) имеет решения класса С00^) и этими решениями являются сфери¬ ческие функции К™, /п = 0, ±1, ..., ±/ (см. § 25.6). Уравнение (40) при = Z (Z1) имеет два линейно незави¬ симых решения г1 и г~1~х. Таким образом, в силу (39), уравнение Лапласа имеет следующий набор линейно независимых решений; г%(0, ср), ср), 1 = 0, 1 ' (42) где г1Уг — гармонический полином степени I и r~l~yYt—rap- моническая функция в /?3 \{0}. Пример. Найдем собственные значения и собственные функции краевой задачи — \и = )л1, u\s# = 0 (43) для шара UR. Собственные функции этой задачи в сфериче¬ ских координатах ищем в виде произведения (39). Разделяя переменные, для функции $ получаем краевую задачу + (лг2 — р) Ж = 0, | (0) | < оо, cS? (/?) = 0. (44) а для функции Y — уравнение (41). При ц = /(/-|-1), Z == 0, 1, уравнение (41) имеет решения Y™, m — ±1, ..., ±/ (см. § 25.6). При р = /(/-|--1) ограниченным в нуле решением уравнения (44) является функция $(г) = -Ь ,(]Дг). V г п 2 (45)
§ 25] СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 363 Чтобы удовлетворить краевому условию на конце r — R, необходимо положить в (45) R = р/у-, где pZy-— поло¬ жительные корни функции Бесселя J ]. Итак, Ъ/ = > I4mj (X) - clmj ~ J , Ly -Ц Y? (9, ср), (46) R2 У r l+^\ R) Z = О, 1, . . ., tn — 0, ± 1, .... ±Z, y = l, 2, . . ., — собственные значения и собственные функции краевой за¬ дачи. Как и в § 19.6, устанавливается, что система собст¬ венных функций (46) полна в и поэтому других собственных значений и собственных функций задача (43) не имеет. 9. Решение задач Дирихле и Неймана для шара. Применим сферические функции к построению решения задач Дирихле и Неймана (внутренней и внешней) для шара U# (см. § 23.1). Пусть f — заданная непрерывная функция на сфере SR. Тогда f (Rs) разлагается в ряд Фурье по сферическим функ¬ циям со Ж=2Ш (47) z=o где, в силу (37), <$1 Ряд (47) сходится в (см. § 25.6). Предположим, что этот ряд сходится в C(SR).
364 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ.,У Тогда со и (г, О, Ф) = 2 (•£■)* П(°> ф)> '•</?, (48) /=о х — решение внутренней задачи Дирихле с uq CD И(Г, 0, <р) = 2^.(_£рг(0, ф) + С, r<R, (49) /=1 — решение внутренней задачи Неймана с z/Г = / при усло¬ вии, что = / f(Rs')ds' = J/(x)rfS=0; (50) СО а (г, Q, <P) = 2(t)U1 Г'(()’ ф)’ Г>Я' (50 1 = 0 Х — решение внешней задачи Дирихле с zzq = со и(г, 0, <р) = _2-ттрт-(^)'+1 Ф). r>R’ (52) 1=0 — решение внешней задачи Неймана с zzf = f. Действительно, ряд (48) состоит из гармонических поли¬ номов и по предположению сходится в С (S^). Поэтому этот ряд сходится в С (UR) (см. § 21.5), определяя функцию zz, гармоническую в UR (см. § 21.8, а)), непрерывную в UR и принимающую, в силу (47), значения f на SR. Это и зна¬ чит, что ряд (48) дает решение внутренней задачи Дирихле для шара U R с uq = /. На основании признака Абеля ряд СО 1 Z-1 сходится вместе с рядом (47) в С (SR). Отсюда, повторяя предыдущие рассуждения, заключаем, что ряд (49) сходится в C(UR) и определяет функцию zz, гармоническую в UR и
§ 261 УРАВНЕНИЕ Л’ЛПЛЛСА НА ПЛОСКОСТИ 365 непрерывную в U R. Д ференцировать по г, ди. (г, 0, (р) дг алее, этот ряд можно почленно диф- оо Ф). (53) /=1 поскольку ряд (53), в силу признака Абеля, сходится в C(UR). Наконец, сумма ряда (53) на SRt согласно (47), совпадает с /, если функция f удовлетворяет условию (50) разреши¬ мости внутренней задачи Неймана (см. § 23.5). Это и значит, что ряд (49) дает решение внутренней задачи Неймана для шара UR с U{ — f при выполнении условия разрешимости (50). Аналогично доказывается, что ряды (51) и (52) опреде¬ ляют решения соответствующих внешних краевых задач. § 26. Краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости Для точки (х, плоскости /?2 удобно употреблять обо¬ значения z — x-+-iy или z = x— iy. Считаем: G — ограни¬ ченная область с кусочно-гладкой границей 5. Большинство результатов, полученных в §§ 22, 23 и 24 для краевых задач трех переменных, переносится и на дву¬ мерные краевые задачи с заменой фундаментального решения cf3 (х) — — | | на фундаментальное решение 2 (г) = = In | z Однако в постановках и решениях этих задач возникают некоторые различия, связанные с особенностью поведения фундаментального решения на бесконечности. 1. Поведение гармонической функции на бесконечно¬ сти. Как и в § 23.2, преобразование инверсии относительно окружности SR выражается формулой /?2 7 W М2~ z ' (О Пусть функция и (х, у) : и (г) — гармоническая вне круга UR, Ее преобразование Кельвина (ср. § 23.2) определяется фор- (2)
366 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-ПИП [ГЛ. V При преобразовании Кельвина гармоничность сохра¬ няется, т. е. функция и*(г*) гармонична в U R\ (0). Действительно, в полярных координатах (см. § 3.2) пре-» образование Кельвина (2) принимает вид и потому Д * / 1 д ( ди? \ . 1 д2и? д“ (г)~ -j7 ф (Р-ф-J + р-— __ г1 Г 1 д / ди\ . 1 д2й I IV [г дг \ дг) ' г2 d(f2 J 1 д2й1_ г4 д , . г2 Af2 ] /?’ откуда и следует требуемое утверждение. Теорема. Пусть функция и (г) — гармоническая в области G} = R2\ G, непрерывна в Gx и ограничена вина (2), перейдет при |z| — >оо. Тогда справедливы следующие утверждения'. | и (г) I max | и (г) |, z£Gx\ (3) z^S Iim и (z) = а, |z|—>оо; (4) | grad и (z)\ = O ’ (5) I z | —> oo. Доказательство. Пусть круг UR лежит вне области G^ и G* \ {0} и S* — образы Gi и 5 при преобра¬ зовании инверсии (1) (рис. 72). Оче¬ видно, S*—граница области G*. При этом функция zz(z), в соот¬ ветствии с преобразованием Кель- в функцию u*(z*), гармоническую в G* \ {0}, непрерывную в G*\ {0} и ограниченную в окрест¬ ности точки 0. По теореме о стирании особенностей гармо¬ нической функции (см. § 21.6) заключаем, что функция zz*(z*)— гармоническая в области О* и непрерывная в G*. Так как Gi — ограниченная область (она лежит в круге UR), то но принципу максимума (см. § 21.5) zz*(z*)l< max |zz*(z*)l. *£<S* (6)
§ 26] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 367 Совершая обратное преобразование Кельвина, получим = z}' откуда и из (6) вытекают все утверждения теоремы. 2. Постановка и единственность решения основных краевых задач. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости ставятся так же, как и соответствующие задачи в пространстве (см. § 23.1), за исключением того, что для внешних задач от решения требуется лишь ограничен¬ ность при | ^ | —> оо (а не стремление к 0). Предполагаем, что G1 = /?2\G — область. Линия Ляпунова и достаточно гладкая линия определяются так же, как и в случае пространства (см. § 22.4 и § 23.3); условие (Л) в этом случае имеет вид: г £/?2. И) 5 Справедливы следующие теоремы единственности для ос¬ новных краевых задач. Решение внутренней ила внешней задачи Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных значе¬ ний и~ или zz+ соответственно. Если S—достаточно гладкая линия, то решение внутренней или внешней задачи Неймана определено с точностью до произвольной постоянной, причем | и~ (г) dS = 0 или J zz+(г) z/S = 0 (7) — необходимое условие разрешимости соответствующей задачи. Доказательство этих утверждений подобно доказательствам теорем 2, 3 и 4 § 23.3, при этом используется теорема § 26.1. Некоторое отличие возникает в связи с появлением необхо¬ димого условия разрешимости (7) внешней задачи Неймана. Докажем это. Пусть u(z) — решение внешней задачи Неймана с граничной функцией и+ на 3. Так как u£C(G^, гармо¬ нична в Gr и имеет на 3 правильную нормальную производную,
368 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИИ [ГЛ. V равную —и+, то, применяя формулу (8) § 19.2 при v ~ 1 к области Qr (рис. 54), получим — J«,b(2)jS+ j ~dS = 0. S Sr Переходя в этом равенстве к пределу при R -> со и пользуясь оценкой (5), получаем условие (7). 3. Логарифмический потенциал. Логарифмический по¬ тенциал определяется как свертка финитной обобщенной функции р с функцией — In | z | (см. § 7.8): V = — In | z | * р = — 2л$°2 * Р- (8) Логарифмический потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона AV = — 2 др. (9) Частными случаями логарифмического потенциала являются: потенциал площади У(г)= £ = £ + (10) G потенциал простого слоя У(П)(г) = 1пру* | Ц(£)1п (11) и потенциал двойного слоя vC‘)(2)==_in^*_L(V6s) = Г д 1 л С COS (Dr = J In |г —g| d5t== J — dSt- (12) Эти потенциалы обладают следующими свойствами: Если р £ С (G), то потенциал площади V £ С1 (/?2), гармоничен в Gx и при | z | -> оо G Если, кроме того, то V £C2(G). (13)
§ 26] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 369 Если |i £ С (S), то потенциал простого слоя V(0) £ С (R2), гармоничен вне S и при | z | — > оо V«W = 1n^T]'H©^ + 0(JT). Если линия Ляпунова S удовлетворяет условию (А), то потенциал У(0) (г) имеет правильные нормальные произ- , !dv^\ jdv^\ Q Q водные u ita"I на извне u изнутри о, причем IdV^ \ , 4 4 . dV<0) (г) hH+ ~ = J* COS Ф (15) (-i-) (г)=np (z)+(*) + J 11 (0 -jv=ir^- (15') гар- (14) дп Если моничен Если v£C (S), то потенциал вне S и '"'«“С)' S — линия Ляпунова, то двойного слоя (16) х £G, x£S, (17) Если линия Ляпунова S удовлетворяет условию (А), то потенциал V(1)(г) непрерывен в G и Gx и его предель¬ ные значения и И? на S извне и изнутри S выра¬ жаются формулами + v(0 (18) V<2? (г) = - яу (г) V1” (г) = - лу (г) + ( v (С) dSt. (18') 24 В. С. Владимиров
370 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРЧ1ИЙ [ГЛ. V Доказательство этих свойств аналогично соответствующим доказательствам для трехмерного случая (см. § 22). Некото¬ рое различие имеется лишь при доказательстве оценок (13) и (14). Докажем оценку (13). Оценка (14) доказывается аналогично. Пользуясь (10), имеем V(z)-ln^ (19) Пусть область G лежит в шаре U R и | z | > R. Тогда при всех Q£G справедливы неравенства И I z | — | z I ’ откуда и из (19) следует оценка (13): V — 1п]ТТ J dx\ Физический смысл фундаментального реше¬ ния §э2(-г)- Электростатический потенциал, создаваемый заря¬ дами, лежащими на отрезке | х31 N оси х3 с линейной плотностью 4^-,—т. е. распределением р(г, х3) = — -^d(z) • О (А/ — | х3|). dx3 — на плоскости х3 = 0 равен (*. 0) =- _J • 0 (К-\ x3 I) 4- 1п (2ЛГ) = /V = L f М/и2+4 2л = ~~ 2?Г 111 (Хз + И z 12+ хз) |0 *+ 1 . I I , 1 = In Z + — 2л 2л
§ 26] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 371 Переходя в этом равенстве к пределу при N ->оо, получаем lim VN(z, 0) —-Д-1п| z | = ^2(г). Ar->oo Таким образом, фундаментальное решение ^2(^) есть электро¬ статический потенциал, создаваемый зарядами, лежащими на оси а'з с линейной плотностью т. е, распределением р(г, Хз) = _ J-6(2). 1 (х3) (ср. § 10.4). 4. Разрешимость поставленных краевых задач. Пред¬ положим, что граница S области Q — достаточно гладкая линия и Gj — R2 \ G— область. Как и в § 23.4, решение внутренней задачи. Дирихле ищем в виде потенциала двойного слоя у(” (г) = | V (О dSt, v С С (S)j (20) решение внешней задачи Дирихле — в виде суммы потенциала двойного слоя V(1) и неизвестной постоянной а; решение задачи Неймана (внутренней или внешней) — в виде потен¬ циала простого слоя V(0)(z) = ] м.(С)1п77±и^, ИеС(5). (21) Для неизвестных плотностей у и р и числа а, в силу фор¬ мул (15), (15')> (18) и (18х), получаем интегральные уравнения V(2) = X C)v(C)rf5£ + /(2), z£S, (22) s = % jeSTC?. £)p(O^ + g-(z), z£S, (22*) 5 с полярными (союзными друг другу) ядрами 1 л l*~g| * 1 COS ф ? (23) 24*
372 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-ПИЙ [ГЛ. V При этОхМ Х=1, / — соответствует внутренней и — а к = —1, f— —■—внешней задачам Дирихле; X = —1, g = — внутренней и X —-1, g — - внешней задачам Неймана. Пусть р— непрерывное решение уравнения (22*) при и\ Х=1 и g = — . Интегрируя это уравнение по поверх¬ ности 5 и пользуясь (23) и (17), получаем | ц (z) = -1 J | ц (5) dSz dSz— 2- J «+ (2) dS = 5 5 5. 5 If f COS Фг 1 f = т J1‘® J nr=if dS- - J <-’>dS = 5 5 5 = — j p (C) dS и + (г) dS, 5 t. e. J |i (г) dS = — -2- j м+ (г) dS. (24) 5 5 Докажем, что X = 1 не есть характеристическое число ядра о/Г*(^> С)- Пусть, напротив, Z= 1 —характеристическое число этого ядра и р*— соответствующая ему собственная функция f 'If cos ф К(г) = J №(z, О|Х*©dSt = Д- j .1*©dS., z£S. 5 5 (25) Тогда р* £ С (S) и, в соответствии с (24), [ц* (z) dS = 0. (26) 5 Построим теперь потенциал простого слоя 0О) с плотностью р*. Функция 0О)£С(/?2) гармонична вне S и, в силу (26) и (14), И0)(г) ->0 при |г|->оо. Далее, в силу (15) и (25), ее
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 373 § 26] правильная нормальная производная на S извне равна 0. Отсюда, пользуясь единственностью решения внешней задачи Неймана и внутренней задачи Дирихле (см. § 26.2), как и в § 23.5, заключаем, что V(0)(z)ee0, z£R2> и, следова¬ тельно, р*(г) = 0, z£S. По тсоремагл Фредгольма уравнения (22) и (22*) при X = 1 однозначно разрешимы в C(S) при любых непрерывных f и g. При этохМ для решения р уравнения (22*) при X — 1 ил и g = — справедливо соотношение (24). Поэтому если выполнено условие (7), то, в силу (14), потенциал V(0)(z)—>0 при |z|—>оо. Итак, доказана Теорема 1. Внутренняя задача Дирихле разрешима при любой u~(^C(S). Внешняя задача Неймана разре¬ шима при любой u+£C(S), удовлетворяющей условию разрешимости (7). Из формулы (17) вытекает, что Х =— 1 есть характери¬ стическое число ядра е2Г(г, £) и v=l—соответствующая ему собственная функция. По второй теореме Фредгольма Х = — 1—характеристическое число союзного ядра o/f'* (г, £). Пусть р0 — соответствующая собственная функция, Мо (О = — J еТ* (z, 'Q Цо (О dSt = 5 1 Г cos = |7=lTMo(S)rf • (27) s Мы'знаем, что р0£С(£) (см- § 16.5). Докажем, что [ go(OdS = C^O. (28) s Пусть, напротив, С = 0. Составим потенциал простого слоя с плотностью р0 (потенциал Робена) V(0) (z) = j Ио (0 In dSt. (29) Функция И0) £ С (У?2), гармонична вне S и, в силу условия С = 0, ограничена при | z | —> оо (см. § 26.3). Далее, из (15х) и (27) вытекает, что ее правильная нормальная производная
374 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V на 5* изнутри равна нулю. Отсюда, в силу единственности решения внутренней задачи Неймана, заключаем, что V^(z) = = const = Clt z £ G. Но тогда, в силу единственности решения внешней задачи Дирихле (см. § 26.2), 0О)(z) = Cv z£Gv и, следовательно, ро(г) = О, z£S, что невозможно. Таким образом, С =£ 0. Отсюда, рассуждаякак и в § 23.5, заключаем, что Х = —1—простое характеристическое число ядра ezT*(^ 0 и, стало быть, ядра ^(z, Q. Нормируем собственную функцию р0 так, чтобы С=1, По доказанному соответствующий потенциал Робена 0О) (г) = ~ const, z £G. По третьей теореме Фредгольма интегральные уравне¬ ния (22) и (22*) при К =—1 разрешимы тогда и только тогда, когда их свободные члены f и g ортогональны к соб¬ ственным функциям р,0 и 1 соответ¬ ственно. Для внешней задачи Ди¬ рихле это условие принимает вид f [«0+ <г) — а] Но Щ dS = 0. S т. е., в силу (28), оно всегда мо¬ жет быть удовлетворено за счет над¬ лежащего выбора постоянной а, а= J и0 СОНоОП5- (30) 5 Итак, справедлива следующая Теорема 2. Внешняя задача Дирихле разрешима при любой u+£C(S). Внутренняя задача Неймана разрешима при любой u~£C(S)t удовлетворяющей условию разре¬ шимости (7). 5. Решение краевых задач для круга. Для окруж¬ ности SR интегральные уравнения (22) и (22*) легко решаются, и это дает возможность построить решения краевых задач для крута UR в явном виде. Действительно, в силу соотношения (см. рис. 73) I z Р = | z — t> R2 -\-2R\z - С |costo = (31)
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 375 § 26] получаем = = = г. Поэтому интегральные уравнения (22) и (22*) принимают единый вид: v (^) = 2^* J v(0^ + /(^)> | z | =/?» (32) |£1=я Решая это уравнение (см. § 16.1), получим *(*) = — + J uo&dS (33) l£l=* при ?.= !,/ uQ (внутренняя задача Дирихле); __ 1 а~ 2л/? 2л2/? J ио & dS' К1-Я (34) а при л л (внешняя задача Дирихле); n(z) = ±-u-(£-), если j и- (?) dS = 0 (35) К1-Я и1_ при К =—1, / = —■ (внутренняя задача Неймана); р(г) = (z), если | u+(^)dS = 0 (36) IU=* при X=l, f = — u+ (внешняя задача Неймана). Подставляя выражение (33) для плотности у (г) в потен¬ циал двойного слоя (20) и пользуясь формулами (17) и (31),
376 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ (ГЛ. V 4л2/? получим решение внутренней задачи Дирихле: u\z)— J Г ~ ио (С)~Ь 4л2/? С |г — 1 f -^d 2/?c°s<p^ I. Г coscp^, \ ~ 2n/? J "о(Ч( R_S| +2я J |^_sqrfS£jrf5— KI-/? v IS'l-z? ' 1 f — 2y4 z~ Hcoscp^ — |z — £|2 JC = -^R J "o’© —TP dS^ т. e. это решение представляется формулой (интегралом) Пуассона «Ч) = ~ J И<я- (37) Аналогично, подставляя выражения (34) для плотности v(z) и постоянной а в сумму ^1)(г)Н“а’ получим решение внеш¬ ней задачи Дирихле: u^ = ^R J “о И>Я- (38) |И=/? Наконец, подставляя выражения (35) и (36) для плотно¬ сти ц(г) в потенциал простого слоя (21), получим соответ¬ ственно решения внутренней и внешней задач Неймана: «Сг)=4 J цГ<О'п |г1^| + | Z I < R, (39) Ki-/? «О)-4 J «+(?)1п|г —C|rfS£4-C, И>£. (40) lll = R 6. Функция Грина задачи Дирихле. Функцией Грина задачи Дирихле для области G называется функция <£?(z, £), обладающая свойствами (ср. с § 24.1): при каждом c£G представляется в виде
§ 26] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 377 где функция g(z, £)—гармоническая в G по z, и удовлетворяет граничному в G и непрерывная условию <^(г, Из принципа максимума вытекает, что функция Грина удовлетворяет оценке 0<^(г, 0<2^ln z£G, ^G, (43) где D — диаметр области G. Функция Грина £?(г, 0 обла¬ дает и всеми остальными свойствами, изложенными в § 24.1. Пусть теперь G — односвязная область, ограниченная ку¬ сочно-гладкой кривой S, и •w = tw(z)— функция, дающая конформное отображение области G на единичный круг jw|< 1. Тогда функция «(г, С) w (г) — w (£) (44) 1 — ш (О W (г) конформно отображает область G на единичный круг | со | < 1, причем точка ^^G переходит в 0. Поэтому эта функция при каждом Z£G представляется в виде со (г, С) = (г_£)ф(г, Q, (45) где функция ф(г, С) — аналитическая в области G, ф(г, С)=И=О, z£G и ф£С(б) (см., например, М. А. Евграфов [1], гл. V и IX). Проверим, что функция О = —Ql== — Re In «(г, о (46) есть функция Грина задачи Дирихле для области G. Действительно, из (45) вытекает, что функция (46) пред¬ ставляется в виде (41), причем функция g(z, С) = — ^1п|1|-(г, 0| = — 2^ Re In ф (г, О- как вещественная часть аналитической функции In ф (z, £), ф(2г, С) ¥= 0, гармонична в G и непрерывна в G. Далее, в силу равенства [со (г, £)|=1, z£S, функция (46) удовле¬ творяет и условию (42).
378 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V Для примера построим функцию Грина для круга | z | < /?. Функция со (г, отображает круг | z | < /? на единичный круг- | со I < 1, при¬ чем точка $ переходит в 0. Поэтому, в силу (46), О=2^1п I R2 - г'С I А* (г — t) R2 — zC, R(z — ’Q 07) есть функция Грина для круга | z |< R. 7. Решение задачи Дирихле для односвязной области. Метод конформных отображений позволяет получить пред¬ ставление для решения задачи Дирихле для любой односвяз¬ ной области. Это представление является обобщением фор¬ мулы Пуассона. Сначала, пользуясь равенством Re ?! = /?, представим формулу Пуассона (37) в виде “W=Reffi J (48) Пусть функция uQ непрерывна на границе 5 односвязной области G. Пусть, далее, функция z=z(w) конформно отображает круг |w|< 1 на область G и w = w(z)— об¬ ратное отображение. Тогда z^CtUJ; предположим, что w £ С1 (G). При этом отображении функция и0 (z) перейдет в функцию и0 [z (w)], непрерывную на окружности | w | = 1. По формуле (48) построим решение задачи Дирихле для круга |w|<l с граничной функцией zz0[^(-w)]: U = Re V / "о Sv ПГ * |0| = 1 Переходя в этой формуле к старым переменным z и Е» w = w(z), co = w(£), получим искомое решение задачи
§ 26] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА НА ПЛОСКОСТИ 379 Дирихле для области G с граничной функцией uQ: 26О. т Замена н и е. Как известно, вещественная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями. Обратно, если функция и (г) — гармоническая, то, построив сопряженную функцию = J [— ^7“ rfll] + £ = £ + "1> получим аналитическую функцию f (z) = и (z) -J- iv (z), у ко¬ торой вещественная часть есть функция u(z). Это дает воз¬ можность использовать аппарат теории аналитических функ¬ ций при решении и исследовании краевых задач для гармо¬ нических функций (см. М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат [1]). 8. Упражнения, а) Пользуясь формулой (35) § 6.5 и фунда¬ ментальным решением -^-оператора Коши — Римана (см. § 10.10), вывести аналог формулы Грина: если и £ С1 (G) f] С (G), то справедливо представление z^G. b) Пользуясь а), доказать: если и £ С1 (G) f] С (G) и удовлетво¬ ряет условию Коши — Римана, -^ = 0, z£G, то и (z) — аиалити- dz ческая функция в области G и справедлива формула Коши “(г)=-М 5 (О £- z£G. c) Пользуясь методом § 21.9, доказать теорему Лиувилля для аналитических функций. d) Показать, что потенциал простого слоя для окружности | z ] = /? с плотностью ц = 1 равен Г<°)(г)=— [ 1п| г — C|rfS£ = ( 2л/?1п/?, R |< R, \z\>R-
380 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V е) Пользуясь d), показать, что логарифмический потенциал площади для круга | z | < Л с плотностью р = 1 равен И(г) = — л7?21п|г[, |г|>Я. f) Показать, что следующие функции являются функциями Грина: I I для полуплоскости у > 0; для полукруга | z | < /?, у > 0; для четверти плоскости х > 0, у > 0; е2~^ — 1 для полосы 0 < у < л. g) Показать, что решения задач Дирихле и Неймана для полу¬ плоскости у > 0 представляются соответственно формулами оо — со di ОО j «. (I) In [(-* - У2 + у2] dg. — ОО § 27. Уравнение Гельмгольца Уравнением Гельмгольца называется уравнение (см. § 2.3) A/z — — f (х)‘ (1) При k = 0 оно совпадает с уравнением Пуассона. Теория уравнения Гельмгольца близка к теории уравнения Пуассона, однако имеются некоторые особенности, связанные с един¬ ственностью решения (при /г2 > 0). Уравнение (1) будем рассматривать в трехмерном про¬ странстве, п = 3. Соответствующие фундаментальные реше¬ ния выражаются формулами (см. § 10.9) е i 'l I v I 4 л I х I ^(х) = ^(х) = - 4л [ х | В дальнейшем считаем k > 0.
УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 381 1. Условия излучения Зоммерфельда. Как было пока¬ зано в § 23.3, решение уравнения Пуассона во всем про¬ странстве единственно в классе (обобщенных) функций, стре¬ мящихся к нулю на бесконечности. Для уравнения Гельм¬ гольца это утверждение уже не имеет места, поскольку соот¬ ветствующее однородное уравнение \и + k2u = О (2) имеет в R3 ненулевое, решение Im (х) == — sin k | х | 4л | x i стремящееся к 0 при |х|—>со (как Чтобы выделить класс единственности решения для урав¬ нения Гельмгольца в неограниченных областях, являющихся внешностью ограниченных областей, нужно потребовать до¬ полнительных ограничений на поведение решения на беско¬ нечности. Такими ограничениями являются условия излуче¬ ния Зоммерфельда: и{Х) = О{\х\ *), — Zfe«(x)= о(| х | ’), | х | -> со (3) ИЛИ «(А-) = О(\х Г’), + iku (х) = о (I х Г1), I х I -> оо. (3) В дальнейшем (см. § 27.5) будет выяснен физический смысл условий излучения: условия (3) соответствуют расхо¬ дящимся волнам (уходящим в бесконечность), а условия (3)— сходящимся волнам (приходящим из бесконечности). Нетрудно проверить, что фундаментальные решения (х) и (х) удо¬ влетворяют условиям излучения (3) и (3) соответственно. Заметим, что для гармонических функций (k = Q) условия излучения вытекают только из одного требования: и (х) = о (1), |х|—>оо (см. § 23.2). С другой стороны, можно показать*), что при k > 0 всякое решение однородного уравнения Гельм¬ гольца, удовлетворяющее второму из условий излучения (3) или (3), удовлетворяет и первому условию: и(х) = = o(l*r’)- *) См. И. Н. Векуа [2].
382 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-ИИИ [ГЛ. V 2. Однородное уравнение Гельмгольца. Решения одно¬ родного уравнения Гельмгольца (2) обладают свойствами, аналогичными свойствам гармонических функций, Отметим некоторые из них. a) Если функция u£C(G) удовлетворяет в области О уравнению (2) в обобщенном смысле, то uQC^(G). Это утверждение доказывается так же, как и для гармо¬ нических функций (см. § 21.7). b) Пусть граница S области G — достаточно гладкая по¬ верхность (в смысле § 23.3). Если функция u£C(G) удо¬ влетворяет в области G уравнению (2) и имеет правиль¬ ную нормальную производную на S, то справедливы фор¬ мулы. и W — 4л J [ | х _ у | дп S eik |х-у I -1 I ■« — У I .1 (4) ' 4л J L I х — у | дп s dSy, Доказательство этих формул аналогично доказательству формулы Грина (5) § 21.1 для гармонических функций. с) Если обобщенная функция и из удовлетворяет во всем пространстве однородному уравнению Гельм¬ гольца, то u£QM. Действительно, применяя к уравнению (2) преобразование Фурье, получим (-11 Р + ^) Л[//] =0, откуда следует, что F [zz] = 0 при | £, | #= k, т. е. F[u]—фи¬ нитная обобщенная функция. Но тогда, по теореме § 9.4, d) Будем говорить, что обобщенная функция и удовле¬ творяет условиям излучения (3) или (3), если существует такое число У? =/? (zz) > 0, что и£Сх (R?\U£ и удовле¬ творяет условиям (3) или (3). Если обобщенная функция и удовлетворяет в /?3 однородному уравнению Гельмгольца и условиям излуче¬ ния (3) или (3), то zz(x)=tlO, х£А!3.
§ 27] УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 383 Действительно, пусть решение и уравнения (2) удовле¬ творяет условиям (3). Тогда и, в силу с), ufC'^(/У). Применяя формулу (4) к шару UR произвольного радиуса R, при | х | < R получаем и (х) = 1 4я J L |x-yl SR ди (У) <?1 У I 1 Г eik |х->" Гди (у) 4я J | х — у | L д | у | SR iku (у)iku (у) 1 R — |л| cos у i х — уТ” + «(У) R — | л | cos у 1*->Т z Ч д Принимая во внимание условия (3) !“(>’>!<£. Ы = «. где т|(/?)—>0 при 7?->оо, и неравенства R— | х | < | у— х|</? + |х|, | х|</?> | y\ = R, оценим последний интеграл при больших R: 1 Гп_(Я) i /?-|л| L R 'r SR Устремляя в правой части полученного неравенства R к сю, заключаем: и(х) — 0, что и требовалось установить. Аналогично рассматривается и случай условий (3). Замечание. Справедливо более общее утверждение *)•: если граница S области G — достаточно гладкая поверхность, функция и£С (CzO удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца в области Gi — R3\G> имеет правильную нормальную производную на S, удовлетворяет условиям излучения (3) или (3) и граничным условияхМ и |5 = 0 или ~ = 0, то и (х) = 0, х Q Gv *) См. И. Н. Векуа [2], В. И. Смирнов [2], гл. IV, § 2.
384 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V 3. Потенциалы. Пусть р— финитная обобщенная функ¬ ция. Свертки .//г |х| _ _ V = —|* р = — 4л/*р, V = —:—;— * р = — 4л/ * р I X I I х | являются аналогами ньютоновых потенциалов. Эти потен¬ циалы принадлежат (см. 8.6) и удовлетворяют уравнению Гельмгольца (см. § 10.3): Ди + k2u = — 4лр. Таким образом, решения уравнения Гельмгольца (1) суще¬ ствуют в для любой финитной обобщенной функции / и представляются потенциалами и = — / * /, и = — (f * f. (5) При этом решение единственно в классе об об [ценных функций, удовлетворяющих условиям излучения (3) или (3) (см. § 27.2, d)). Если p£C(G) и р(х) = 0, х £ Gj —/?3 \ G, то потен¬ циалы V и V выражаются интегралами /• pik lx-y| _ Г e-ik |х-у| V " J ~|+—~уТ Р dy’ V (Х) J ~"|х-у| Р dy' 6 а Эти потенциалы принадлежат классу С1 (/?3) Q С°° (О^, удовлетворяют в области Gx однородному уравнению (2) и условиям (3) и (3) соответственно. Это утверждение доказывается так же, как и для объем¬ ного ньютонова потенциала (см. § 22.1). В проверке нуж¬ даются лишь условия излучения. Считаем | х | > R и, следовательно, I X | — /?<| X | — I у |<| X — у |<| X | + | у |<| X Ц-/? (6) при всех у £ G. Поэтому |V(X)|< j IРЖ + < , х .L д- / I Р(У) Иу = О (| а: Г1) о G и первое из условий (3) установлено. Чтобы установить второе из условий (3), выделим зависимость потенциала V (х)
§ 27] УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 385 V(|x|s) = Г р(у) от | х полагая х — | х | | $ | — 1: eik р-2 I лг I |у| cos у У | х|2-Н у |2 — 2 | а:| | у | cos у «»v=(». ifl). Тогда дУ (х) <4*1 ikV (х) = J р(у) G |х у| Г IXI — I у I cos Y , I* —У|2 L I-« — У I i” + ik (I x | — | у | cos у — | x — у и потому, в силу неравенств (6), тпт—'«'«к ' |\ - ?|1 14' >’I ''И -'- --! v- У I’) rfy G < (|Х|1Й), (ккт + 2Ы?) I i ” WI = » (I * Г’). Аналогично рассматривается и потенциал V. Если р = ц65 или р =— -^-(vds), где Н и v £ С (\S), то соответствующие потенциалы V и V представляют собой аналоги поверхностных потенциалов простого и двойного слоя и выражаются интегралами: Г lx-yi /• и0)(*) = J dSy, H0)(x) = J *|х_-у|-ц(уМ$у. s s т/d)/ . f z ч d eik v 7 J dnv | a: — у I У’ s 77(1)/ ч Г / ч d _ P ’ (x) = V (y) : j— dSv. v 7 J дпу |x — у I у s Свойства потенциалов И0), И0), У(1) и V(1) аналогичны свойствам соответствующих ньютоновых потенциалов (см. § 22). Вне поверхности S эти потенциалы, бесконечно диффе¬ ренцируемы, удовлетворяют однородному уравнению (2) 25 В- С- Владимиров
386 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V и условиям излучения (3) или (3) соответственно, при- чем V(0) и Г(0)еС(/?3). Если S — поверхность Ляпунова и удовлетворяет условию (Л) § 22.6, то потенциалы, И0) и У(0) имеют правильную нормальную производную на S извне и изнутри S и эти производные равны соответ¬ ственно I dV^\ Г д eik\x~y[ \-dir) + <*) = + 2янW + I НdSy' <4 * * 7> s Нг)+(х)==+ W(x)+j ^^-^-iT^yrdSy> <7> потенциалы двойного слоя V(1) и И1} принадлежат классу С (G) П С (Gj) П С (5) и их предельные значения на S извне и изнутри S равны соответственно m ■ Г д eik V(± (X) = ± 2nv (X) + J v (у) — dSy, (8) 5' —m . f д e~Ut - V+ (x) = ± 2nv(x) + j v (y) |x_y1 dSy. (8) 4. Принцип предельного поглощения. Добавим к левой части уравнения Гельмгольца член teu: + (^2 + z£) иг = — f (*)• (9) При е =£ 0 для любой финитной обобщенной функции f уравнение (9) имеет единственное решение в -классе и это решение выражается сверткой 0°) Действительно, свертка (10) существует в (см. § 8.6) и удовлетворяет уравнению (9), ибо функция 4л | х | есть соответствующее фундаментальное решение (см. § 10.9). Единственность решения уравнения (9) в классе eZz вытекает
§ 27] УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 387 из единственности решения однородного уравнения Az/ + (^ + fe)zz = O, т. е. уравнения (-Ш2 + *2 + /е)И"1 = 0. Пусть f£C(G), /(х) = 0, x£Gv В этом случае реше¬ ние (10) уравнения (9) записывается в виде интеграла Л f 4л J ei Vk2+ Ze | x-y| |x-y| (11) f (У) tfy- G Переходя в формуле (11) к пределу при е 0 или е —> — 0 и полагая Уk? ± Z0 = ± k, получим, в силу (5), решения и или и уравнения (1), удовлетворяющие условиям (3) или (3) соответственно, 1 Г eik lim «е(х)=^~ -г——-r-f(y)dy = u(x), e-> 4-0 •' Iл У I G ] f e-ik | x-y| _ ^mo “e(X)==4^J 'lx —y| /(y)^ = «W. Таким образом, имеет место следующее утверждение, называемое принципом предельного поглощения', решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (3) или (3), есть предел единственного решения уравнения (9) при е —> ± 0 соответственно. Принцип предельного поглощения позволяет выделить единственное решение уравнения Гельмгольца, не заботясь о его поведении на бесконечности; при этом полученное решение автоматически будет удовлетворять условиям излу¬ чения (3) или (3). 5. Принцип предельной амплитуды. Этот принцип состоит в том, что решения и и и уравнения (1), удовлетворяющие условиям (3) или (3), являются соответственно пределами и(х) — lim eiktv+(x, f), (12) t ->oo w(x)= lim e'iktv_ (x, t) = lim eikiv_ (x, —t), (12) Z->co Z-> -oo 25*
388 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V где v±(xt t)—решение {обобщенной) задачи Коши для волнового уравнения с правой частью Q (t) eTiktf (х) и с нулевыми начальными данными'. □ v± — Q(t)e^lktf (х), v±(x, t) = 0, t<0. (13) Действительно, пусть функция f£C(G), f(x) = 0, x£GP Тогда единственное (обобщенное) решение задачи Коши (13) выражается с помощью запаздывающего потенциала (см. § 12.3): / -и+ (Х, О U (х; t) eik l-r-yl 1Х~У| f (У) dy. (14) Пусть OcUR. Тогда |х— у|<^|х|+^ и, следовательно, Iх — у|<^/ при всех если t | х | -1- R (рис. 74). Поэтому формула (14) в области t^>\x\-\-R принимает вид v+ (х, t) = -ikt р ik |х-у| = -srJ G т. е., в силу (5), v+ (х, t) = e~iktu(x), откуда и вытекает предельное соотношение (12) для и{х). Ана¬ логично рассматривается и случай решения и (х). Таким образом, решение урав¬ нения Гельмгольца (1), удовле¬ творяющее условиям излучения (3) или (3), можно рассматривать как амплитуду установив¬ шегося колебания, полученную с помощью предельного пере¬ хода из неустановившихся колебаний, вызванных периодиче¬ ским внешним возмущением с частотой k и амплитудой /(х). При этом предельная амплитуда и(х) соответствует расхо¬ дящейся волне, а амплитуда и (х) — сходящейся волне. 6. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца. Пусть граница 3 области G — достаточно гладкая поверхность, a Gx = R3 \ G — область. Задачи Дирихле и Неймана (внутрен¬ ние и внешние) для уравнения Гельмгольца ставятся так же, как и
§ 27] УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 389 для уравнения Пуассона (см. § 23.1). При этом для внешних задач требуется, чтобы на бесконечности решение удовлетво¬ ряло условиям излучения (3) или (3). Если X — k2 не есть собственное значение внутренней задачи Дирихле или Неймана для уравнения Лапласа, то реше¬ ние соответствующей внутренней краевой задачи для уравне¬ ния Гельмгольца единственно. Отметим, что множество исключительных значений k, при которых нарушается единственность решения внутренних краевых задач, счетно (см. §§ 19.4 и 24.6). Решения поставленных краевых задач для однородного уравнения Гельмгольца строятся методом теории потенциала, подобно тому, как это делалось в § 23 для уравнения Лапласа. Решение задачи Дирихле (внутренней и внешней, удовле¬ творяющей условию (3)) ищется в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью v £ С (S). В силу (8), функция у должна удовлетворять интегральному уравнению v(x) = X J <^(х, y) v(y)</Sy + /(x), (15) 5 где е/Г (х, у) = 1 д 2л дпу eik 1х-у| l-г —у I = (1 — ik \ х — у I) cos Срд-у I — у |2 eik l-r-yl. При этом 1=1 и / = соответствуют внутренней за- даче Дирихле и X =—1 и f = —-— внешней. Решение задачи Неймана (внутренней и внешней, удовле¬ творяющей условию (3)) ищется в виде потенциала простого слоя с неизвестной плотностью p£C(S). В силу (7), функция ц должна удовлетворять интегральному уравнению, союзному к уравнению (15), р,(х) = А. j еТ*(х, У) И О’) dSy + £<х)- x^S, (15*) 5
390 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УР-НИЙ [ГЛ. V U, причем Х = —1 и g— — соответствуют внутренней задаче ил Неймана и 2. = 1 и g — — внешней. Применяя теоремы Фредгольма к интегральным уравне¬ ниям (15) и (15*) и пользуясь теоремой единственности (см. § 27.2, замечание), как и для уравнения Лапласа (см. § 23.5), получим следующую теорему. Теорема. Если k = k2 не есть собственное значение внутренних задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа, то краевые задачи {внутренние и внешние) для однородного уравнения Гельмгольца однозначно разре¬ шимы в виде соответствующих потенциалов при любых непрерывных граничных значениях *). Замечание. К краевым задачам для уравнения Гельм¬ гольца приводят задачи на рассеяние. Например, пусть дана входящая плоская волна eik х\ | а |= 1, которая подвер¬ гается изменению из-за наличия некоторого препятствия, порождающего рассеянную волну их (х). Препятствие можно п ди I А задавать с помощью граничного условия: и = 0 или = 0. Тогда рассеянная волна их должна удовлетворять граничному условию Wjlo = — eik(a,x)\ или _ deik(a, х) I 1 16 16 дп |s дп |$ и условию излучения (3), т. е. должна быть расходящейся волной. 7. Упражнения, а) Пусть р— финитная обобщенная функция. Доказать, что потенциалы V и V с плотностью р удовлетворяют условиям излучения (3) и (3). b) Пусть функция и (х) класса С (&#) удовлетворяет одно¬ родному уравнению Гельмгольца в шаре Доказать аналог тео¬ ремы о среднем арифметическом: и (°) = 1hD f и (^s) ds- 4л sin kR J v 7 c) Пусть k2 лежит в плоскости комплексного переменного z с разрезом: 1тг = 0, Иег^О. Доказать, что решение уравнения Гельмгольца единственно в классе <^z. *) Разрешимость внешних краевых задач имеет место при всех значениях параметра k2 (см. И. Н. Векуа [2]).
§ 27] УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 391 d) Показать, что в л-мерном случае условия излучения Зом- мерфельда и (х) = О ( I х | 2 ) , + ku (х) = о ( | х | 2 ) , | х | -> оо (7 | X | обеспечивают единственность решения внешних краевых задач для уравнения Гельмгольца. e) Доказать следующий принцип положительного максимума: решение однородного уравнения Гельмгольца при k2 < 0 не может принимать положительного максимального значения во внутренних точках области, где это решение определено. f) Пользуясь е), доказать единственность решения краевых задач для уравнения Гельмгольца при k2 < 0 (для внешних задач — в классе функций, стремящихся к 0 на бесконечности) и его не¬ прерывную зависимость от данных задачи. g) Построить теорию потенциала для уравнения Гельмгольца при k2 < О- h) Доказать: если (Rn) удовлетворяет однородному урав¬ нению Гельмгольца в области (7, то f £С°° (G); k2 — любое (ком¬ плексное) число.
Глава VI СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА В этой главе будет рассмотрена смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов. § 28. Метод Фурье Одним из наиболее эффективных методов решения много¬ мерных краевых задач является метод Фурье (разделения переменных). В § 19 этот метод был применен к краевым задачам на собственные значения. В этом параграфе метод Фурье формально применяется к решению краевых задач для уравнений различных типов. Обоснование метода Фурье для решения смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типов будет дано в следующих параграфах этой главы. Пусть оператор L определяется дифференциальным выра¬ жением Lu = — div (р grad и) -ф- qu, х £ G и граничным условием а"+₽’£’ И- причем функции р (х), ^(х), а(х) и (3(х) удовлетворяют условиям (3) § 19.1. Предполагаем, что собственные значения {%й} оператора L положительны, 0 < Х2 • • • • а соответствующие соб¬ ственные функции {АЛ}, LX^^X*, Xk^L, А-1,2,
§ 28] МЕТОД ФУРЬЕ 393 вещественны и образуют полную ортонормальную систему в пространстве J?2(G; Р) со скалярным произведением (/, g)p с весом р(х) > О, x£G, p£C(G). (Достаточные условия, при которых реализуются эти предположения, даны в § 19.4.) 1. Однородное гиперболическое уравнение. Рассмотрим в цилиндре Ц^ = G X (0» оо) смешанную задачу для одно¬ родного уравнения гиперболического типа (см. § 4.5) р-^- = —Ли; (1) «L+0 = M*)> -JI x£G; (2) (XZZ + P'|^"| —0’ > 0. (3) Сущность метода Фурье состоит в следующем: построим достаточное количество решений уравнения (1), представляе¬ мых произведением Т(/)Х(х) (4) и удовлетворяющих граничному условию (3); из этих реше¬ ний составим линейную комбинацию, удовлетворяющую началь¬ ным условиям (2); при некоторых условиях естественно ожи¬ дать, что полученная линейная комбинация будет удовлетворять уравнению (1) и граничному условию (3), т. е. будет реше¬ нием задачи (1)-(2)-(3). Итак, ищем решение уравнения (1) в виде произведе¬ ния (4), причем от функции X (х) потребуем, чтобы она удовлетворяла граничному условию (3). Подставляя выраже¬ ние (4) в уравнение (1) и деля его на рТX, получим Т" (t) _ LX (х) Т (0 р (х) X (х) • Левая часть равенства (5) не зависит от х, а правая —от Л Следовательно, каждая из этих величин не зависит ни от х, ни от /, т. е. является постоянной величиной. Обозначая эту постоянную через —X (ср. § 19.5), из равенства (5) для неизвестных функций Т и X и параметра X получим урав¬ нения Т" + IT = 0. (6) (7)
394 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI Следовательно, уравнение (1) распалось на два уравнения (6) и (7) с меньшим числом независимых переменных, т. е., как говорят, переменные разделились. Решения X (х) уравнения (6) должны удовлетворять гра¬ ничному условию (3). Поэтому в качестве X и X можно взять собственные4 функции Хк и собственные значения оператора L. Общее решение уравнения (6) при Z = Zft>0 имеет вид Tk{t)=^akcosyrkt^-bk^YKkt. (8) где ak и bk — произвольные постоянные. Таким образом, в силу (4) и (8), построено счетное число частных (линейно независимых) решений уравнения (1) (*)■ (9) k=\, 2 удовлетворяющих граничному условию (3) и содержащих произвольные постоянные ak и bk. Всякая конечная сумма решений (9), естественно, опять будет удовлетворять уравне¬ нию (1) и граничному условию (3). Составим формальный ряд оо оо S Tk(t)Xk(x) = 5 COS /Х7t + bl{ sin У Vki)Xk(x). (10) Ь1 fc = l Коэффициенты ak и bk выберем такими, чтобы ряд (10) фор¬ мально удовлетворял начальным условиям (2): 2 «Л(*)=«оС4 S fc-1 ы т. е., в силу полноты ортонормальной системы {Xk] в Р)« = xk)p = ^pu0Xkdx, bk = -~(uv Xk)p. (И) Итак, для решения и(х, t) смешанной задачи (1)-(2)-(3) получено формальное разложение по собственным функ¬ циям {XJ оператора L, а (х, ^) = JS (ak cos Уt -}-bk sin t) Xk (x). (12) ы'
§ 28] МЕТОД ФУРЬЕ 395 Этот ряд назовем формальным решением смешанной задачи (1)-(2)-(3); &-й член ряда (12), равный (о xk (х) — nk (*) s’n (V t+ где Nk = Val + l>l sina* = 5j> cosaft = ^7- представляет собой так называемое гармоническое колеба¬ ние с собственной частотой y\k и амплитудой NkXk(x). 2. Неоднородное гиперболическое уравнение. Изложим другой, более общий, вариант метода Фурье, пригодный для построения формального решения смешанной задачи для не¬ однородного уравнения гиперболического типа p$- = -A« + F(x, t). (13) При каждом t > 0 разложим решение и (х, t) задачи (13)-(2)-(3) в ряд Фурье по собственнььм функциям {Л^} оператора Л, и (х, t)=%Tk (0 Xk (х), Tk (0 = («, Xk)p. (14) /? = 1 В силу (2), (14) и (И), неизвестные функции Тk(t) должны удовлетворять начальным условиям: Л(°)=/ р (*)«(*. 0) Xh (х)dx = (и0, Хк)р = аь, ° ’ (15) Т'к (0) = J р(х) xk (х) dx = (м1( XЛ)р = /bk. G Составим дифференциальное уравнение для функций Tk. Умножая скалярно уравнение (13) на Xk и производя фор¬ мальные выкладки, получим ^P^-Xkdx=-^ ^puXkdx = -^-(u, Xk)p = G G = — (Lu, A\)-|-(F, Xk)==
396 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI т. е., в силу (14), функции Tk удовлетворяют уравнению T"k + ^Tk = ck(t\ k=l, 2, .... (16) где = = j F(x, t) Xk(x) dx. (17) G Решая задачу Коши для уравнения (16) с начальными условиями (15), имеем (см. § 12.1) 7 k (0 = ak cos t + bk siп V^k t + t + ck(F)smVrk(t-x)dx. (18) ' k о Подставляя выражение (18) в ряд (14), получим формальное решение смешанной задачи (13)-(2)-(3) Отметим, что первые два слагаемых в ряде (19), в силу (12), дают формальное решение смешанной задачи при F = 0; третье слагаемое есть решение этой задачи при uQ = zzj = O. Пусть uQ = zzj = 0 и F(x, /) = С sinw/p(x) ^(х). (20) Тогда ak = bk = °’ ck(t) = C3\na)t{Xi, Xk)() = Cbiksm&t и, следовательно, в силу (18), t Tk(t) = ~т==- [ sinsin V(t — T) dx = = ——lk— I—sin — sin G)^ . w2-Az \j/\ 1 1 I
§ 28] МЕТОД ФУРЬЕ 397 Поэтому формальный ряд (19) сводится к единственному слагаемому «(х’ = sin sinW/L)Xi(2 которое является фактическим решением задачи. При со решение (21) принимает вид « (х, t) = (-Sin^- f — * cos VXL(x). (22) Из формулы (22) следует, что под действием периодическо¬ го внешнего возмущения (20) с частотой, равной одной из соб¬ ственных частот амплитуда колебаний неограниченно возрастает при t—->оо, т. е., как говорят, имеет место явле¬ ние резонанса. 3. Параболическое уравнение. Рассмотрим в цилиндре U^ = G X (0, сю) смешанную задачу для уравнения парабо¬ лического типа (см. § 4.5) p^ = -Lu + F(x,t)-, (23) «L+o=MoW> *6°; (24) azz+p'£|s=°’ *>°- (25) Для построения формального решения смешанной задачи (23)-(24)-(25) используем метод Фурье в форме, данной в § 28.2. В соответствии с этим методом, решение zz(x, t) ищется Коши: в виде ряда (14). Для функций Tk(t) получим задачу T'k + \T = ciM Tk^ = ak> * = h 2, (26) где ck(t) и ak определяются равенствами (17) и (15) соот¬ ветственно. Решая задачу Коши (26), получим (см. § 12.1) t Tk + j ск(х)е~г’к(‘~х'> dx, О (27)
398 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА (ГЛ. VI и, следовательно, формальное решение смешанной задачи (23)-(24)-(25) выражается рядом И (X, 0 = 2 £=1 + f X}dx о (28) 4. Уравнение Шредингера. Смешанная задача для урав¬ нения Шредингера (см. § 2.7) ZA-3L==-£A1I’+V(x)'l’: (29) Н-+о ='Фо(х)> х€°; (3°) ait + P-^-|s = °. ^>0 (31) рассматривается так же, как и смешанная задача (23)-(24)-(25). Для функций Tk имеем следующую задачу Коши: ihl\ - \Ть = 0. Tk (0) = = (%• Xk}> (32) откуда Tk(t) = ake hKk‘ • (33) и, следовательно, формальное решение смешанной задачи (29)-(30)-(31) выражается рядом °° к t ф(х, 0=2 ake 11 k (34) *=i А 2 где Xk — собственные функции оператора L при р = и q = V. 5. Эллиптическое уравнение. Рассмотрим в конечном цилиндре Z/z = О X (0» 0 краевую задачу для уравнения эллиптического типа p^L = Lu+F(x, (35) u\t_o = uo(x), «|^z=«z(x). x£G; (36) a« + P^| =0. Q<t<l. (37)
§ 28] МЕТОД ФУРЬЕ 399 Формальное решение этой задачи ищем в виде ряда (14). Неизвестные функции Тk (t) должны удовлетворять уравнению T"k-hTk = c^ А = 2, .... (38) и граничным условиям kt®) = (и0> ^л)р.==аЛ» —(и1' ^)р=^л’> (39) функции ck(t) определяются равенством (17). Построим решение краевой задачи (38) — (39). Функция удовлетворяет уравнению (38) и граничным условиям t^(0) = = ^(/) = 0. Поэтому эта функция выражается формулой (см. § 20.2) i vk (0 = — J* &k (!• 0 ck (0 dx> (40) 0 где T) _ 1 _ I sh /Msh^MZ-T). 0<f<r, k ’ |%shKW | sh /X7(/ — 0sh/Vr, I, — функция Грина краевой задачи (см. § 20.1) -v" + Kkv = -ck(t), v(Q) = v(T) = 0. Следовательно, Tk У) = ак sh sh b sh/ZfeZ к sh I J^(C0 0 cA(0dT. (41) Таким образом, формальное решение граничной задачи (35)-(36)-(37) выражается рядом оо и(х, 0 = fc-1 sh K^(Z — 0 sh , _shJ<M_ * sh I — J &k(t,x)ck(x)dx 0 I T XA(0- (42)
400 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI (43) задача (44) 6. Примеры, а) Колебание закрепленной струны. Эта задача сводится к решению смешанной задачи в полу¬ полосе (0, /)Х(0, °°) Для одномерного волнового уравнения (см. § 2.1) □ а« = о, О = «О(Х), -^-1 —«!(%), ‘ 1/=4-о Ч-о = Ч-/=°- Соответствующая задача на собственные значения есть Штурма — Лиувилля: = X(0) = X(Z) = 0. Поэтому (см. § 19.6) Ч = = 4 = 1.2, и формальное решение задачи (43) выражается рядом оо , 2 yV kna , . , . kna .\ . knx и(х, 0 = — Jj («s cos —— 14- bk sin —-j- t\ sin —y— , fe = l где i i C / 4 . клх , , Z f / \ • клх , = J «о (*) sin ~j— dx, bk = J «1 (x) sin —— dx. 0 0 Каждое гармоническое колебание = |sin AlSsin(-^-rH-a*), k = \, 2 образует стоячую волну с собственной частотой и ам. плитудой Лт т /~ 2 . клх М;у Tsin-7— Нули — Z, п = 0, 1, ..., k, амплитуды называются узлами, а ее точки экстремума —Z, n = 0, 1 k—1,— пучностями этой стоячей волны (рис. 75).
§ -'81 МЕТОД ФУРЬЕ 401 к=3 Гармоническое колебание Т1Х1 с наименьшей собственной частотой называется основным тоном; остальные гармонические колебания Т2Х2, Т3Х3, . . . с собственными частотами _ г«— 2ла -.Га— Зла V ^2 = —’ V Лз = —j~ » • • • образуют ряд последовательных обертонов. Решение (44) складывается из отдельных тонов (основного тона и обертонов), и их суммарное действие приводит к созданию тембра зву¬ ка, издаваемого закрепленной струной. b) Распространение тепла в ограниченном стержне. Рас¬ смотрим смешанную задачу для одно¬ мерного уравнения теплопроводности: ди 9 д2и . . . > = BUo=“oW' “Lo = «L/=°- <45) Формальное решение задачи (45) выра¬ жается рядом и (х, t) =^j- ake 12 Zsin-^-.(46) fe=i c) Колебания закрепленной сводится к решению смешанной задачи нового уравнения □ аи = о, и\ _.o=«oU)> 4г| =«l(x), и|5 = 0. (47) Соответствующая задача на собственные значения принимает вид — а^ЬХ^КХ, %|s = 0. Рис. 75: мембраны. Задача для двумерного вол- Для прямоугольника (0, Z)X(0> w) (см. § 19.6) 26 В. С. Владимиров У) 2 V 1т sin sin Z k, /= 1, 2
402 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI 72 и формальное решение задачи (47) выражается двойным рядом и (X, у, f) = 2 [akj cos ла у ~ t 4- k, / = 1 /2 sin^, (48) т 7 где kjix . /лу , , sin —т— sin —— dx dy, I m / m bk! — z ■ — f f u, (x, y) sin --)1— sin dx dy. k’ лаУ^т? + )^ J J 1 I m ' 7 и и Для круга UR (см. § 19.6) = V-Ы ' XKi^X' А= Я Р'ф’ fe = 0, 1. .. ., 7 = 1.2 где Щу — положительные корни уравнения Уй(ц) = О. Фор¬ мальное решение задачи (47) выражается двойным рядОхМ 1 V V / ^kJa * 2j I cos R f + A = 0 ; = i 4 \ ( Й/?/ ~p ) + bkJ sin Ц (49) R ! [А (*ца;)] и (х, у, t) где 1т А/ R 2л j* j Ui(x, y)Jk(vkJ -^e-^rdrdcp. о о d) Формальное решение смешанной задачи для двумерного уравнения теплопроводности, $-=Я'Ам’ 11 I/-+U = «0 (*)> bki R a\kkj 1 (50)
§ 28| МЕТОД ФУРЬЕ 403 имеет вид: для прямоугольника (0, I) X (0. w) для круга UR со со /2=0 J = 1 [4(м]2 (52) e) Колебание шарового объема. Рассмотрим в цилиндре £/#Х(0« °°) смешанную задачу (47) для трех¬ мерного волнового уравнения. Соответствующие собственные значения и собственные функции вычислены в § 25.8: где pZ;- — положительные корни уравнения J i (it) = 0. Фор- мальное решение задачи выражается рядом “<-'>=^7si r 1=q у = 1 т = ~1 t + 2/ + 1 (/-|СТ|)! 1+6о,п G + M)! [<+. <■“«)]’ 26*
404 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI R л 2л J / “iW-Vi-l(,л""£’) ^(0. <p)/-’/2rf/-sin0d0rf(₽. ' lj Q 0 0 2 f) Формальное решение смешанной задачи (50) для трех¬ мерного уравнения теплопроводности в цилиндре t/R X (0, сю) выражается рядом и (х, t) = !—— л/?2/г g) Рассмотрим в цилиндре U R X (0» сю) смешанную за¬ дачу для уравнения Шредингера ihW==~ 2^-0 д,1’ + у(1х1)ф- Ф1/=+о = ФоМ- 4’|5л,=0. (55) с потенциалом V, зависящим только от | х |. Соответствую¬ щая задача на собственные значения принимает вид /г2 2т0 или, в сферических координатах, /г2 Г 1 д / 2 дХ \ 1 д / . п дХ \ . 2m0 [г2 dr у dr ) * r2sin20 dO \ 1П dO + жж] + 1'(г)Х = ’'л' 1'Y(0' X(/?, 0, cp) = O. (56) Собственные значения и собственные функции краевой за¬ дачи (56) определяются методом разделения переменных. По- лагая и = Y (0, <р)
§ 28] МЕТОД ФУРЬЕ 405 и действуя как и в § 25.8, получИхМ /п = 0, ±1, ...» ±1, j= 1, 2, . . / = 0, 1, ...» где и с^/;. (г)=1, 2, . . . —собственные значения и соб¬ ственные функции одномерной краевой задачи — <%" + + 2-'^ (V — л) = о, ^(0)=^(/?) = 0. Формальное решение задачи (55) выражается рядом оо оо Z = 0 / = 1 т = — 1 ср), (57) где R Л 2л aijm = J J J (И УТ (0, q) г dr sinOtfOdcp. ООО Собственные значения X,. определяют уровни энергии квантовой частицы; индексы I и т называются соответст¬ венно орбитальным (азимутальным) и магнитным квантовыми числами. h) Формальное решение задачи Дирихле Д// = 0, и |х=0 = и |= 0, и |у=0 = «о (*), и |yeZ = О) (58) в прямоугольнике (0, а) X (0. О выражается рядом где ak = J M*)sin -^-dx, о 27 И- С. Владимиров
406 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI i) Рассмотрим задачу Дирихле в трехмерном цилиндре UR X (0. Ну. Д« = 0, u\Sr = u0(z), « U_o = " L_a = °- (60) В цилиндрических координатах для функции и (г, z) — = и(х, у, z) эта задача принимает вид 1 д ( ди \ . д^и А ~ ~дг\г + ^ = 0> z7(/?, z) = uQ(z), u(rt ty = u(r, /z) = 0. (61) Решая краевую задачу (61) методом разделения переменных, и (г, z) = $ (г) Z (z), для функций и Z получим краевые задачи Z" + ZZ = 0, Z (0) = Z (/г) = 0, <Г' + -^ —1^ = 0, 1^(0) |< со. Решения этих краевых задач легко находятся, Ч = zH^) = ]/4sinA^, ^(/-) = ^о(*Яу). где /0 — функция Бесселя мнимого аргумента, /0(х) = JQ (Zx). Формальное решение задачи (61) и, стало быть, задачи (60) выражается рядом оэ Г ( Ьтг _f А /? = 1 где А о 7. Упражнения, а) Доказать: если zzo(O) = = uo(/) = zzq(O) = <(/) = 0, <6^2(0, Z), zh(O) = W1(Z) = O, то ряд (44) представляет классическое решение задачи (43). Ь) Доказать: если u'q Z), w0 (0) = uQ (Z) = 0, то ряд (46) представляет классическое решение задачи (45).
§ 29] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 407 с) Доказать: если и0 и £ С2 (G), uQ |$ = и11 = 0, то ряд оо Sil Kt, 0—Я +1 % sh/Л*/ sh/XftZ U Xk (х) k = \ дает решение следующей задачи Дирихле для уравнения Лапласа в цилиндре G X (0, 0: О2 и w|y=0 = M*)> wly=/ = Mx), wls = o. § 29. Смешанная задача для уравнения гиперболического типа В этом параграфе будет рассмотрена смешанная задача для уравнения гиперболического типа (см. § 4.5): р ~д~ = div (р grad и) — qu-\- F(x, /) = — Lu -4- F (x, t), (x, Oe^ = GX(0, oo); (1) “l/.+o = “oW’ I = “i(x), x£G\ (2) + 01 '/-TO aU ~dn Is ~ ’ (3) Предполагаем, что функции p, p, q, а и [3 не зависят от t и удовлетворяют условиям § 28; G — ограниченная область и ее граница 5 — кусочно-гладкая поверхность, So— та часть S, где а(х)>0 и (3(х)>0 одновременно. 1. Классическое решение. Интеграл энергии. Класси¬ ческим решением смешанной задачи (1)-(2)-(3) называется функция и (х, t) класса С2(Ц^ Q С1 удовлетворяющая уравнению (1) в цилиндре начальным условиям (2) на нижнем основании и граничному условию (3) на боковой по¬ верхности этого цилиндра. Необходимыми условиями существования классического решения задачи (1)-(2)-(3) являются следующие условия глад¬ кости: «о (О), и условие согласованности ««0 ТР-^-|5 = О. 27*
408 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI При изучении краевых задач для гиперболических урав¬ нений весьма эффективным оказывается метод интегралов энергии. Пусть и(х, t)— классическое решение задачи (1)- (2)-(3). Интегралом энергии называется величина ■/2(0 = у J [р(4г)'“^Р |grad« |2 + ^2]rfx 4-yj р jU2dS, a s0 представляющая собой сумму кинетической и потенциальной энергий колеблющейся системы в момент времени t. Пусть и(х, t) — классическое решение задачи (1)-(2)-(3) и Тогда справедливо соотношение t J2(z)==j2(0)+ j* J F{x, Z>0, (4) 6 G где J- (°) = 4 j (p«l + PI £rad u0 i2 + ?wo) dx + 4 J* p T dS' G SQ Для доказательства возьмем произвольные число е > 0 и область G'<^G с кусочно-гладкой границей S' (рис. 76). Умножая уравнение (1) на интегрируя по цилиндру G'X(e- 71) и пользуясь первой формулой Грина (см. § 19.2), получим 8
§ 29] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 409 Переходя здесь к пределу при е —> 0 и G' -> G и пользуясь тем, что и£Сг(Цт) и получаем равенство у / [р (#)’ + Р ISrad и I2 + <7“2] G Т dx — о (5) -J\p^ridSdt= $pwdxdt- 0 5 Цт Из граничного условия (3) вытекают соотношения на 5: Следствие. При F=0 равенство (4) принимает вид j2(/) = y2(0)} (6) Физический смысл равенства (6) состоит в том, что полная энергия колеблющейся системы при отсутствии внешних возмущений не меняется со временем (закон сохра¬ нения энергии). 2. Единственность и непрерывная зависимость класси¬ ческого решения. Применим метод интегралов энергии для доказательства единственности и непрерывной зависимости классического решения смешанной задачи (1)-(2)-(3).
410 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА !гл. VI Дифференцируя равенство (4) по Л получим 2J(0 J' (0 = J F G, t) dx, t > 0. (7) G Применяя к правой части равенства (7) неравенство Коши — Буняковского, выводим неравенство 2Jr<||F||||47||. (8) Учитывая теперь, что р(х) > 0, р£С(О) и, стало быть, р(х)$>Ро пРи некотором р0 > 0, получаем цепочку неравенств II ди 112 . 1 Г /ди\2 .2 II dt || <'Ро J dx< PoJ G т. e. Аналогично убеждаемся в справедливости оценки |i|grad«| ||< (ю) где p0=minp(x), x£Gt pQ > 0. Подставляя неравенство (9) в неравенство (8) и сокращая на J, выводим неравенство /(0<7^лп. о». Интегрируя полученное дифференциальное неравенство, для функции J получаехМ оценку t J(O<^(0) + y^/||F||dT. (11) Из оценок (9), (10) и (11) выводим оценки t '>0; <12> о t (I | grad « |iK 1/— Л0) + -Д- f || F || dx, (13) т Ро У РоРо
§29] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ДЦ Теперь оценим функцию ||я||. Дифференцируя равенство 1М12= J й2(х, t)dx о по f, пользуясь неравенством Коши — Буняковского и учи¬ тывая неравенство (12), получаем 2|М||И1' = 2|« J.rfx<2||«||j^-|< t Vt. + iрил . 0 J т. е., после сокращения на 2 || и ||, t 7(0)+^J||F|,dT’ />о- 0 о Интегрируя это дифференциальное неравенство, имеем , t f ilu II II u llo + j/*+ ~ J j II F H dx dtr, oo где || w ||0 — значение функции ||a|| в точке / = 0, т. е. IMIo = J «2 <+ °) dx = [ «0 (x)dx = || «0II2- G Q Меняя порядок интегрирования в последнем интеграле, полу¬ чим искомую оценку II и II < II «о 11 + ]/ J(°)Z+ -^ J (t-т)|| F||rfr, f>0. (14) 0 6 Теперь, пользуясь оценками (12), (13) и (14), докажем следующую теорему. Теорема. Классическое решение задачи (1)-(2)-(3) единственно и непрерывно зависит от iiQ, их и F в том
412 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI смысле. что если Р£С(ЦТ), F£C{UT) и ||Л-Л||<г, И)-"о!!с<го. |i |grad zz0 — grad z701|| < е', j и{ — их || < е,, (15) то соответствующие {классические} и и(х, /) удовлетворяют неравенствам решения и(х. t) при 0 t Т\ II11 —111! с "Ь ^ео ^ei Н—е) ’ 0 6) lilgrad/z —gradZz ПКС^ + е' + е^Ге), (17) ^l!<c(eo+eo+ei'+(18> причем число С не зависит от uQ, их. F, t и Т. Доказательство. Для доказательства единственности достаточно установить, что классическое решение u(x,t) однородной задачи (1)-(2)-(3) (при и() = и1 —0 и F = 0) един¬ ственно, т. е. и(х, t) — 0, (х, I) £ (см. § 1.9). Но это вытекает из неравенства (14), поскольку ||//о|| = О, 7(0) = 0 и F = 0. Для доказательства непрерывной зависимости составим разность т] — и — и. Функция т| является классическим реше¬ нием задачи (1)-(2)-(3) с заменой Ft uQ и и{ на F—F. //0— wo и соответственно. Пользуясь неравенствами (15), для решения т] оценим величину интеграла энергии 72(0), J (Р («1 — «1)2 + РI grad и0 — grad и0 |2 + q | и0 — и0 |21 dx + О + J S() л £ So 4- lzma_x?(x)-|-amax (х) е2 < С2(е2 + е'2 е2) < . х^а л€$0 1 J •С (ео + ео + ei)2. где V — объем области Ot о—площадь куска So и Cl— число большее, чем числа шах р, max р n V шах 7 4" 0 niax Р а т
§ 29] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 413 Таким образом, получена оценка + (19) Применяя теперь к решению г] неравенство (14), / II Л I! < h ио ~ ио II + }/ ~ -f- — j* (t т) || Л — Г =j dx, о и пользуясь неравенствами (15) и (19), получим при всех 10, Г] оценку (16) INK j/~ J («0 —«о)2^Кр=<Кео + ео+е1У+ t + ~ “ Т | ‘ V Ci :1 ■ + Д тг < с ('»+е"7'+ ’'от + е‘т + -Г г) при надлежащем выборе постоянной С. Аналогично, с помощью неравенств (12), (13) и (19), уста¬ навливаются и неравенства (17) и (18). Теорема доказана. Доказательство существования классического решения задачи (1)-(2)-(3) представляет значительные трудности. Чтобы обойти эти трудности, как и для задачи Коши, вводится понятие обобщенного решения этой задачи; существование же обобщенного решения устанавливается более простыми сред¬ ствами. Прежде чем приступить к этой программе, изучим более подробно функции из ^2(О), зависящие от параметра. 3. Функции, непрерывные в «5^(0). Пусть лри каждом t £ [а, функция //(х, /) принадлежит ^2((3). Функ¬ ция «(л*. /) называется непрерывной в ^2(^) по перемен¬ ной t в [а, Ь]У если для любого t£[a> b] tl(x, t), t' ->t В «5^2 (^)- Из этого определения вытекает: если функция и(х, f) непрерывна в ^2(О) по в 1а> ^1» то норма || и (х, Z)l! не¬ прерывна по t в [а, #]; для любой /^^^(О) скалярное произведение (и (х, Z), /) непрерывно по t в [a, b]; и g ^2 (ОХ X (tz, b)), если интервал (я, Ь) конечен.
414 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI Действительно, непрерывность ||я|| следует из неравенства III «К /')II — II "К 0111 <||«К /') — «(*■ 01|. вытекающего из неравенства Минковского. Непрерыв¬ ность (и, /) следует из неравенства Коши — Буняковского |(д(х, t'\ f) — (u(x, ty /)|<||zz(x, O-zz(x, ОН II/II- Принадлежность и к «5% X (#> /)) следует из конеч¬ ности (a, b)t непрерывности ||zz[| и равенства ь ь | [ | и (х, t) |2 dx dt = J 1| и (x, f) ||2 dt. a G a Последовательность функций uk(x, f), k=\, 2, .... называется сходящейся к функции и(х, t) в e572(G) равно¬ мерно no t в [а. 2>], если || uk(x, f)— и(х, /) 11====.^ О, £->оо; при этом будем писать uk -ф ZZ, k->&0 в ^2(С). Из этого определения следует, что uk->u, k->oo в J?2(O X (а, 6)), II и* (*• Г) II /€|а' II и (Х, t) ||. k -> оо. Лемма 1. Если последовательность функций ик (х, /), А=1, 2, .... непрерывных в по t 6 \а* схо¬ дится к функции и(х, I) в eS?2(G) равномерно по t в \а, #], то и(х, 0 — непрерывная в о2^2РУП0 I в \.а> функция. Доказательство. Возьмем произвольное е > 0. Суще¬ ствует такое число т — т&, что II ит(х- Г)—и К ОII<у. t € [«. И- По условию функция ит(х, t) непрерывна в по t £ [а, д]. Поэтому существует такое число 6 = бе, что ||z/m(x, t') — um(x, о IK-у. П' —0<6> *'• £)•
§ 291 УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 415 Следовательно, пользуясь неравенством Минковского, получаем II «(х, — f)||<||«(x, t') — um(x, t') i| + |j um(X, t') — -um(x, OiH-||«m(x, t) — u(x, f)||<| + |-|-| = e при всех |/ — t' | < d, t', t£[a, />]. Лемма доказана. Последовательность функций uk(xt t), k—\, 2, называется сходящейся в себе в росномерно по t в [а, Ь], если Uk—11 р 0» р->ЭО в ^2(^)- Лемма 2. Если последовательность функций ик(х, f), k=\, 2, сходится в себе в равномерно по t в \а, Z?], то существует функция и(х, /), непрерывная в J?2(d) по t в [а, Ь] такая, что tc fa, ы Uk $ U, k~>00 в Доказательство. По теореме Рисса - (см. § 1.5) при каждом [а, Ь] существует и(х, OCJ?2(G) такая, что — Фишера функция uk->u, >оо в Jg^G). (20) Далее, можно выбрать подпоследовательность 1 = 1, 2, . . ., такую, что ||«*i+1(x’ 0 —«*,(*> 0|| < 4-. ь\. U!t.(x, f), (21) Но, в силу (20), при каждом t £ [а, Ь\ и= lim uk = uk+(uk — — иц ) 4- ... p->co 1 и потому, в силу (21), IIй — «й;1|<|и*,+1 — ч1Ж1“*/+2 ~ ч+Ж • • • ••• <^ + ^г+ ••• = ^Г- '=!■ 2 откуда следует, что подпоследовательность {///<.J сходится к и в ^2(О) равномерно по t£[a, £]. А тогда из нера¬ венства II «л—«н<И~ М+1%- Mil
416 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI заключаем, что последовательность [ик] сходится к функ¬ ции и в равномерно по t в [а, />]. По лемме 1 § 29.3 функция zz(x, t) непрерывна в ^2 (О) п0 в [#* ^1* Иемма доказана. 4. Обобщенное решение. Пусть существуют последова¬ тельности функций zz^^C^G) и zz/?1 £ С (G), Л=1, 2, такие, что при k —> оо Fk • ю_[0, F в <5?2(G) при любом Т > 0; zz/?0->tf0 в с(6), grad ukQ-> grad uQ в ^2(O); в ^2(G), и при каждом k = lt 2, ... существует классическое реше¬ ние uk (х, t) смешанной задачи Р-3^-=-^ + ^(х.О. (Iх) "»l(.+o = «4oW> ’ir|/=4 0==“A1(X)’ (2/) а“* + РЧи'|5==0, (3/) Докажем, что существует функция и(х, F), непрерывная в JZ72(G) по t в [0, со) такая, что при любом 7 > 0 /£[0, Г] uk—— ^и, £->oo в Д?2(О). (23) Функция и(х, f) называется обобщенным решением задачи (1)-(2)-(3). ' Действительно, применяя неравенство (16) теоремы § 29.2 к разности uk — ир, при всех t £ [0, 7] и Т > 0 получаем li Llk~~llp\\£ [(1 + ^)!lzz/e0~ zzp0 Hc+^lll zz2?0~brad UpQ 11| Д- + ^llzzA’l — up\ II + "2” II ?k — p'\I’ откуда, в силу (22), следует, что последовательность {ик} сходится в себе в (G) равномерно по t в [0, Т]. По лемме 2 § 29.3 существует функция и(х, t), непрерывная в Д?%(^) по t в [0, сю) такая, что при любом Г > 0 спра¬ ведливо предельное соотношение (23). Из определения обобщенного решения вытекает, что всякое классическое решение задачи (1)-(2)-(3) является и обобщен-
§ 29] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 417 ним решением ее и для существования обобщенного реше¬ ния необходимо выполнение условий: F непрерывна в J?2(G) по t в [0, oo)t /z0£C(G), grad zz0 £J?2(G) и h^J^G). Установим теперь дополнительные свойства обобщенных решений. а) Обобщенное решение и(х, t) задачи (1)-(2)-(3) удов¬ летворяет уравнению (1) в обобщенном смысле, т. е. для любой (р^<^(Цсо) выполнено интегральное соотношение J и (х, /) + ^ф) dxdt = J F (х, 0 ф dx dt. (24) Действительно, пусть ср £^(7/^); тогда suppcpc=ZZr при некотором 7 > 0. Умножая уравнение (1') на функцию ф и интегрируя по цилиндру ЦТ, получим Fkq dx dt. В интеграле, стоящем в левой части этого равенства, интегрированием по частям перебросим операцию дифферен¬ цирования на основную функцию ср. Поскольку ср обращается в нуль в окрестности границы цилиндра Цт, внеинтегральные члены при этом исчезнут и в результате получим J«4p^-div(pgradfp)+wlrfx^== I 7)ср dx dt, k=\, 2, ... Учитывая теперь, что, в силу (23) и (22), uk ->и и Fk—>F, k->co в (Яу). и переходя в последнелМ равенстве к пределу при k—>оо, получим интегральное соотношение (24). Ь) Обобщенное решение и(х, t) обладает первыми (обобщенными) производными , grad и, непрерывными в ^2(^) по * в [0» со)» причем при всех 7> 0 ^gradzz, &->оо в ^2(G). (25)
418 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI duk дир ~di dt Действительно, применяя неравенство (18) теоремы § 29.2 к разности uk— ир, при всех t £ [О, Г] и Т > 0 получим < с (I! «ао - Чро lie + III Srad «и — grad«p0||| + + 11«а1-«Р111 + 7’Иа -^ID- откуда, в силу (22), следует, что последовательность произ¬ водных » /г= 1, 2, . . ., сходится в себе в равно¬ мерно по t в [О, Г] при всех Т > 0. По лемме 2 § 29.3 существует функция и(х, t), непрерывная в ^2(О) 110 в [0, со), такая, что при всех Т > 0 1 1°>/г _> оо в (G). (26) С другой стороны, из (23) следует, что uk—>u, k—>oo в 3)' (функции uk и и считаем продолженными нулем вне ци¬ линдра Яоо)- Отсюда, пользуясь непрерывностью в ЗУ опе¬ рации обобщенного дифференцирования (см. § 6.2, е)), заключаем, что дик ди , k->oo в 3) . dt dt Применяя полученное соотношение к основным функциям ср из ^(Ц^) и учитывая (26), получим //ср dx dt <- J ср dx dt —> , ср), k -> оо, откуда вытекает равенство (см. § 5.4) -$- = «• Таким образом, в силу (26), доказано первое предельное соотношение (25). Второе соотношение (25) доказывается аналогично. с) Обобщенное решение и(х> t) удовлетворяет началь¬ ным условиям (2) в смысле J?2(O), т- е- ||и(х, t)- z/0(x)||—>0, | — «1 /~>оо. (27)
§ 291 УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 419 Для доказательства перейдем к пределу при k —> оо в неравенстве |[и(х, 0) —zz0(x)||<||w(x, 0) — uk(x, O)|| + ||zzAO(x)—zz0(x)||, используя предельные соотношения uk(x, 0)—>z/(x, 0) и zzz,0 (x)—>zz0 (х) R «5^2 (Q- В результате получим zz (at, O)=/zo (а:). Отсюда, в силу непрерывности функции и(х, t) в (Р) по / £ [О, оо), убеждаемся в справедливости первого предель¬ ного соотношения (27). Аналогично, используя свойство Ь), получим и второе соотношение (27). Вопрос о том, в каком смысле обобщенное решение zz(x, t) удовлетворяет граничному условию (3), подлежит дальнейшему выяснению и уточнению. 5. Единственность и непрерывная зависимость обоб¬ щенного решения. Докажем, что оценки (12), (13) и (14) остаются справедливыми и для обобщенного решения и(х, f) задачи (1)-(2)-(3). Действительно, пусть uk(x, /), k=l, 2, ..., — последо¬ вательность классических решений задачи (1Z)-(2Z)-(3Z), схо¬ дящаяся к обобщенному решению zz(x, t) в смысле (23). Применяя к решениям uk неравенство (14), получим t II«Л<II«йо 11 + ]/^A(O)^ + -^Ja-T)||Fft||dT, />0. 0 0 б (28) где 4 (0) = у j + р | grad им |2 + ?zz20) dx + G + у f Pjru^dS- (29) •So Пользуясь тем, что, в силу (23) и (22) (см. § 29.4), II uk || || И|[, |IFJ|=^>||F||. Т> 0 —любое; II«йо — «оНс->III grad «ЙО III->III grad «о III; II «й1 II -> II «11|. сю. и переходя к пределу в (28) и (29), убедимся в справедли¬ вости оценки (14).
420 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI Оценки (12) и (13) устанавливаются аналогично, если воспользоваться предельными соотношениями (25). Из оценок (12), (13) и (14), как и для классического решения, вытекают единственность обобщенного решения задачи (1)-(2)-(3) и его непрерывная зависимость от zz0, z/j и F в смысле теоремы § 29.2. 6. Существование обобщенного решения. В § 28.2 было построено формальное решение задачи (1)-(2)-(3) в виде ряда Фурье по собственным функциям {XJ оператора Л, оо «(х,Г) = 2ТД0^(4 (30) где Тj (/) = aj cos t -ф- bj sin ]/\j t + t aj= (u0, Xj)p< bj=^=-(ux, Xj)p, Cj(t) = (F, Xj). (32) Пусть граница S области G и коэффициенты pt q, а и p таковы, что справедлива теорема 1 § 19.4. Предположим, далее, что Uq£o/%l, и ? непрерывна в e2?2(G) по t в [0, оо). Докажем, что при этих условиях ряд (30), представляющий формальное решение задачи (1)-(2)-(3), схо¬ дится в «5*2(0) равномерно по t в [0, Т] при всех Т > 0 и определяет обобщенное решение и(х, I) этой задачи. Действительно, пользуясь теоремами разложения 1, 2 иЗ § 19.4 (см. замечание), представим функции zz0, grad zz0, и} и ~~ в виде рядов Фурье, по собственным функциям оператора L, оо «ow = 2 ajXj м> >1 оо grad и0 (х) = 2 as grad хj (•*)• j-i (33) ОО F(x. 0 = р (х) 2 (0 У/(х)> j-i (35)
§ 29] УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 421 где bj и Cj(t) определены формулами (32), причем функ¬ ции Cj(t) непрерывны в [0, оо) (см. § 29.3). При этом ряд (33) сходится в С (G), а ряды (34) сходятся в «^(G). Докажем, что ряд (35) сходится в J?2(G) равномерно по t в [О, Т] при любом Т > 0. Действительно, при каждом р (х f) t £ [0, оо) для функции • справедливо равенство Пар- севаля (см. § 1.6) оо и Р2 U О Р (*) dx. (36) Каждый член ряда (36) представляет собой неотрицательную непрерывную функцию с2. (t) и этот ряд сходится к непре¬ рывной функции (см. § 29.3). По лемме Дини (см. § 1.3), ряд (36) сходится равномерно в любом конечном промежутке [0, Т]. Отсюда, оценивая остаток ряда (35) в ^2(G), со 112 р (*) 5сj (О х i (*) < тах р (*) М II xtG оо П2 S ^(O/pW^Gv) = j-k II оо оо = С с. (t) с( (t) (Xf xz)p = c 2 C2 (/), заключаем, что этот ряд сходится в ^2(G) равномерно по t С [0, Т] при любом Т > 0. Обозначим через uk, ukQt и Fk k-e частные суммы рядов (30), (33), (34) и (35) соответственно, например: k uk (х, о = S Т i (() X j 0*0- k=\, 2, ... 7=1 Так как Т] (t) = - XT. (t) 4- с . (О, Т, е С2 ([0, со)), LX^KjpXj, Х}£СЦО)ПС'(О), 28 В. С. Владимиров
422 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI то функции uk £ С2 (Ц^) П с1 Woo) удовлетворяют уравне¬ нию (Г) ;=i k k ■ = (-ХурТуХу+рС/^ + ^jpTjXj) =р V c.x-Fk{Xt 0> ;=1 ;=1 граничному условию (3Z) и начальным условиям (2Z) k Uк !/=ч 0 = 5 ajxj (х) = и,л (х), 7-1 k "л <■'>=“*■«■ 7 = 1 Таким образом, построена последовательность uk (х, t\ k=\, 2, ...» классических решений задачи (1 Z)-(2Z)-(3Z) таких, что справедливы предельные соотношения (22). В § 29.4 было доказано, что эта последовательность (и, стало быть, формальный ряд (30)) сходится в J^W) равномерно по t в [0, Г] при всех Т > 0 к обобщенному решению и(х, f) задачи (1)-(2)-(3). Построенное обобщенное решение и(х> t) обладает свойствами а), Ь) и с), установленными в § 29.4. Итак, доказана следующая Теорема. Если u^oML, и F непрерывна в ^2(^) 110 t 8 [0> °°)’ то обобщенное решение задачи (1)-(2)-(3) существует и представляется рядом (30) — формальным решением этой задачи. Если наложить более жесткие требования на данные за¬ дачи (1)-(2)-(3), то можно доказать, что формальное реше¬ ние (30) определяет функцию w(x, f) класса С2 (Ц^) Q С1 (Ц^) и, такИлМ образом, представляет классическое решение этой задачи (см. упражнения, § 29.7). 7. Упражнения, а) Доказать: если ряд (30) и ряды, получен¬ ные однократным дифференцированием по всем аргументам, схо¬ дятся равномерно в любом цилиндре ЦТ, а ряды, полученные двухкратным дифференцированием, сходятся равномерно па любом компакте К с Цт, то ряд (30) определяет классическое решение задачи (1)-(2)-(3),
§ 301 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 423 Рассмотрим в полуполосе задачу д?и _ д р ~д^~~дх ц|/=д0= "О W- ^ОО=(0, /)Х(0, «.) смешанную (37) (38) (39) b) Доказать: если £ и С (0, /), то ряд (30) для задачи (37)-(38)-(39) сходится равномерно в и, стало быть, обобщенное решение и£С (Ц^). c) Доказать: если wo^C3([O, I]), иг Q С2 ([0, Z] ) и z/0, и'^ и иг удовлетворяют граничным условиям (39), то ряд (30) представляет классическое решение задачи (37)-(38)-(39). (Указание: воспользо¬ ваться упражнением а) и теоремой Мерсера, см. упражне¬ ние Ь) § 18.9.) § 30. Смешанная задача для уравнения параболического типа В этом параграфе будет рассмотрена смешанная задача для уравнения параболического типа (см. § 4.5) р-—^ = div (р grad и) — qu-\-F(x> t) —— Lu-\-F(x, f)> (1) (*, = (0, co); zzL+o = zzo(x). (2) zz Is = v (*’ (*> 0 C 5 X (0, co) (3) при условиях § 28. 1. Классические решения. Принцип максимума. Клас¬ сическим решением смешанной задачи (1)-(2)-(3) называется функция и(хУ i) класса С2 (Z/^) Q С удовлетворяющая уравнению (1) в цилиндре начальному условию (2) и граничному условию (3). Необходимыми условиями существования классического решения задачи (1)-(2)-(3) являются следующие условия гладкости: F£C(LIJ, a0£C(G), vCC(SX[0. оо)) и условие согласованности «о Is = v (х> °)- 28*
424 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI При изучении краевых задач для уравнения параболи¬ ческого типа весьма полезным является следующий Принцип максимума, Пусть функция и(х, t) класса С\Ц удовлетворяет уравнению (1) в LTM. Тогда, если F(x, Z) О в цилиндре ЦТ, то либо «<0 в ЦТ, либо функция и(х, t) принимает свой (положи¬ тельный) максимум в цилиндре ЦТ на нижнем основа¬ нии G X (0) или на боковой поверхности S X [0« его* п1- е- и(х, t) max ГО, max и(х, t), max и(х, /)"|, (4) L хсо,xes, J (x, /)£ДГ. Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть функция u(xt t) принимает положительные значения в некоторых точках цилиндра ЦТ, но не достигает своего (положительного) максимума ни на его нижнем основании G X (0), ни на боковой поверхности SX [0» ^1- Это значит, что найдется точка (х0, /0), xQ£Gt 0 такая, что «(*0’ ^о)> > max ГО, max и(х, t), max u(xt f)l = M 0. (5) L x^G, /-o xcs, J Обозначив e = и (xQ, to) — M > 0, (6) построим функцию v(xt t) = u(xt 0 + Тогда v (x, t) < U (X, t) + у , (X, t) £ Цт и, в силу (6), при всех (х, t) из G X {0} или 5 X [0. Г] имеем г’(х0, /0) w(Xq> to) = £-|~М е4“#(х, t)^ Z) — У = У + г»(z, t). Отсюда следует, что функция v также принимает свое (положительное) максимальное значение в Цт в некоторой
§ 30] УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 425 точке (х7, t'), х' 0 <tf Л причем v(x'> /0)^>е + ^'>е- (П Выпишем необходимые условия максимума функции v в точке (х', ty. dv ~dt 0, grad v — 0, Д*и 0. Из этих условий, в этой точке а также из неравенства (7) вытекает, что P-^—div(P Srad «)+?« — F = = Р> —P&v—(grad р, grad v)+qv— F(-£- — q > +t (f - *4^) = <f f1 - t7~)+> > °’ что противоречит уравнению (1). Это значит, что неравен¬ ство (5) неверно и, следовательно, справедливо противо¬ положное неравенство (4), что и требовалось установить Заменяя и на —//, из принципа максимума получим Принцип минимума. Если функция удовлетворяет уравнению (1) в и F' > 0 в Щ,.* то справедливо неравенство u(xt ^)^>min[0, min u(xt /), min и(х, /П, (4') L x£G, t--=0 x.-S, ' J (x, оеДт- 2. Единственность и непрерывная зависимость клас¬ сического решения. Применим принцип максимума и мини¬ мума для установления единственности и непрерывной зави¬ симости классического решения смешанной задачи (1)-(2)-(3). Пусть и(х, t)— классическое решение задачи (1)-(2)-(3) и F £С(Яоо)- Фиксируем Т > 0 и обозначим ~ || ? 11с (цт у ~ И V Ис (5х]0, Г])’ ^0 = II rZ0 lie (G)’
426 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI Составим функцию /(х, /) = zz(x, t) А р0 = min р(х) > 0. (8) Ро Функция % является классическим решением смешанной за¬ дачи (1)-(2)-(3) с заменой F и v на F --М — Mt Ро Ро и v t соответственно. Учитывая, что Ро (х, Ро Но Ро (х, /) CSX [0, Т\ и пользуясь неравенством (4), получаем оценку X<max(M0, TKj), т. е., в силу (8), и(х, т + max (Л40, /Mj), (х. 1)£ЦГ. Ро Аналогично, вводя функцию М Xi(x, f) — u(x, — t и пользуясь неравенством (4'), получим противоположную оценку м — и (X, /) > — — t — max (/Ио, Mj), (х, f) £ Цт. Ро Итак, если и(х, f) — классическое решение задачи (1)-(2)-(3) и F£C(JJ,^t mo при любом Г>0 справедлива оценка II UWc (цг) max [ll Ис (G)’ II ^IIcgSx’O, Г|)] + Ис (Цт )• (9) Пользуясь полученной оценкой, докажем следующую теорему. Теорема. Классическое решение задачи (1)-(2)-(3) единственно и непрерывно зависит от uQ, v и F в том ■смысле, что если II F Нс (ЦТ) е’ И и0 Нс (G) е0’ II V Ис ($Х[0, Г]) ^еР (10)
§ 30] УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 427 то соответствующие {классические) решения и (.v, t) удовлетворяют неравенству I!и — “ Ис (ЦТ) < тах <е0’ е1) + £ Е- и (х, t ) и (И) Доказательство. Единственность решения вытекает из того, что, в силу оценки (9), однородная задача (1)-(2)-(3) (при zz0 = 0, 77 = 0 и F = 0) имеет только нулевое класси¬ ческое решение (см. § 1.9). Для доказательства непрерывной зависимости составим разность т| = и — и. Функция г| является классическим реше¬ нием задачи (1)-(2)-(3) с заменой Л, zz0 и v на F—F, zz0— uQ и v — v соответственно. Применяя неравенство (9) к функции Т| и пользуясь оценками (10), получим оценку (11). Теорема доказана. 3. Обобщенное решение. Как и для волнового уравне¬ ния, введем понятие обобщенного решения. Пусть существуют последовательности функций Fk £ £С(Цт), ®fteC(SX[0, <Ю)) И uh^C(G), k=l, 2 такие, что при k—>оо Fk—>F в С{ЦТ), vk->v в C(SX[0, Т]) при любом Т > 0; ukQ->uQ в С (О) (12) и при каждом £=1, 2, ... существует классическое реше¬ ние смешанной задачи = + 0. (13 «Д=+о =ило(*). (2') uk\s = vb(X’ О- <3') Докажем, что существует функция и(х, /), непрерывная в цилиндре и такая, что при любом Т > 0 uk~>u, /г—>оо в С(ЦТ). (13) Функция и{х, f) называется обобщенным решением задачи (1)-(2)-(3).
428 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI Действительно, применяя неравенство (11) теоремы § 30.2 к разности uk— ир. при всех Т > 0 получаем UP^C(JlT^ шах \-ukQ UpQ 1!с , ;• v}, vp ||С(5 х р, 7'j)] -*- | — IjR — Л П - Ро 11 к Р“С(ЦТ) ’ откуда, в силу (12), следует, что последовательность [uk\ сходится в себе в С (Цт). Поэтому существует функция и(х, t), непрерывная в и такая, что последовательность {uk} сходится к и в С (Цр) при любом Т > 0 (см. § 1.3). Из определения обобщенного решения задачи (1)-(2)-(3) вытекает (ср. § 29.4): всякое классическое решение этой задачи является обобщенным решением ее; для существо¬ вания обобщенного решения необходимо выполнение условий: 6 С (S X [0, оо)), u0£C(G), v(x, О) = «о|5; обобщенное решение удовлетворяет начальному условию (2) и граничному условию (3) в каждой точке; обобщенное решение удовлетворяет уравнению (1) в обобщеннохм смысле, т. е. для любой ср £ S) выполнено интегральное соотношение F(x, t)qdxdt. (14) 4. Единственность и непрерывная зависимость обоб¬ щенного решения. Докажем, что оценка (9) остается спра¬ ведливой и для обобщенного решения и(х. /) задачи (1)-(2)-(3). Действительно, пусть uk (х, t), k=\, 2, —последо¬ вательность классических решений задачи (1)-(2)-(3), равно¬ мерно сходящаяся к обобщенному решению и(х. t) в любом цилиндре Цт. Применяя к решениям ик оценку (9), при всех Т > 0 получаем rnax [II lie (G)’ Нс (5 X [0, гр] “Ь <15> Учитывая предельные соотношения (12) и (13) и переходя к пределу в неравенстве (15) при убедимся в спра¬ ведливости оценки (9).
§ 301 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 429 Из оценки (9) вытекают единственность обобщенного решения задачи (1)-(2)-(3) и его непрерывная зависимость от и^ v и F в смысле теоремы § 30.2. 5. Существование обобщенного решения. Существо¬ вание обобщенного решения докажем для смешанной задачи (1)-(2)-(3) при Л = 0 и ^ = 0: Р-^= — Lu, «|z= + o=MoW- «1$ = °- (16) В § 28.3 было построено формальное решение задачи (16) в виде ряда Фурье по собственным функциям {Ху} опе¬ ратора Л, оо и(хЛ)=Д A'y(,v), а7 = (я0, Л'Рр. (17) Пусть граница S области G и коэффициенты р, р и q таковы, что справедлива теорема 1 § 19.4. Предположим, далее, что u^q/Hl. Докажем, что при этих условиях ряд (17), представляющий формальное решение задачи (16), сходится равномерно в любом цилиндре ЦТ и определяет обобщенное решение zz(x, t) этой задачи. Действительно, пользуясь теоремой разложения 1 § 19.4 (см. замечание), представим функцию zz0 в виде равномерно сходящегося в G ряда Фурье по собственным функциям опе¬ ратора А, оо z/0(a') = S a-jX^x). (18) ; = 0 Обозначим через ик и ukQ k-e частные суммы рядов (17) и (18) соответственно. Функции ик, k—\, 2, являются клас¬ сическими решениями задачи (16) с заменой zz0 на z/z<?0, при¬ чем zzft0—>zz0, /г—>оо в С (G). В § 30.3 было доказано, что последовательность [ик,} (и, стало быть, формальный ряд (17)) сходится равномерно в каждом цилиндре ЦГ к обобщенному решению zz(x, /) задачи (16). Итак, установлена Теорема. Если u^q41l, то обобщенное решение за¬ дачи (16) существует и представляется рядом (17) — фор¬ мальным решением этой задачи.
430 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА [ГЛ. VI Замечание. Пользуясь тем, что фундаментальное ре¬ шение ^(х, 0 уравнения теплопроводности бесконечно диф¬ ференцируемо при (х,/) ¥= (0, 0) (см. § 14.1), и действуя так же, как и в случае гармонических функций (см. §21.7), можно показать, что всякая непрерывная функция, удовлетво¬ ряющая уравнению теплопроводности в обобщенном смысле в некоторой области, бесконечно дифференцируема в этой области (см. также С. Л. Соболев [1], л. XXII; ср. с заме¬ чанием 1 § 14.4). Отсюда следует, что при условиях тео¬ ремы § 30.5 обобщенное решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности принадлежит классу С°°(ЦОО) и, следовательно, является классическим решением этой задачи.
ЛИТЕРАТУРА B. И. Смирнов 1. Курс высшей математики, т. II, «Наука», 1965. 2. Курс высшей математики, т. IV, Физматгиз, 1958. 3. Курс высшей математики, т. III, ч. 2, Физматгиз, 1958. C. Л. Соболев 1. Уравнения математической физики, «Наука», 1966. 2. Methode nouvelle a resoudre Ie probleme de Cauchy pour les equations lineaires hyperboliques normales, Матем. сб. 1 (43) (1936), 39—72. И. Г. Петровский 1. Лекции об уравнениях с частными производными, Физматгиз, 1961. 2. Лекции по теории интегральных уравнений, «Наука», 1965. Л. Шварц 1. Математические методы для физических наук, «Мир», 1965. 2. Theorle des distributions, t. I—II, Paris, 1950—1951. К. Миранда 1. Уравнения с частными производными эллиптического типа, ИЛ, 1957. A. Н. Т и х о н о в и А. А. С а м а р с к и й 1. Уравнения математической физики, «Наука», 1966. Р. К у р а н т 1. Уравнения с частными производными, «Мир», 1964. Г. М. Фихтенгольц 1. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. I—III, «Наука», 1966. И. Н. В е к у а 1. Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, 1959. 2. О метагармонических функциях, Труды Тбилисского Матем. ин-та, XII (1943), 105—174. Г. Н. П о л о ж и й 1. Уравнения математической физики, «Высшая школа», 1964. B. Я. Арсенин 1. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции, «Наука», 1966. Н. С. Кошляков, Э. Б. Г л и н е р, М. М. С м и р н о в 1. Основные дифференциальные уравнения математической физики, Физматгиз, 1962.
432 ЛИТЕРАТУРА Л. Херман дер 1. Линейные дифференциальные операторы с частными произ¬ водными, «Мир», 1965. 2. О делении обобщенных функций на полиномы, сб. «Мате¬ матика», 3 :5 (1959), 117—130. Л. С. Г1 о н т р я г и и 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения, «Наука». 1965. Л. Д. Кудрявцев 1. Основы математического анализа, «Высшая школа», 1968. И. М. Г е л ь ф а н д и Г. Е. Ш и л о в 1 .Обобщенные функции, вып. 1, 2, Физматгиз, 1958. Г. Е. Шилов 1. Математический анализ, Специальный курс, Физматгиз, 1961. 2. Математический анализ, Второй специальный курс, «Наука», 1965. А. Н. К о л м о г о р о в и С. В. Фомин 1. Элементы теории функций и функционального анализа, Изд-во МГУ, вып. I, 1954; вып. II, 1960. М. М. Лаврентьев 1. О некоторых некорректных задачах математической физики, Изд-во СОАН, 1962. A. И. Мальцев 1. Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1956. М. А. Евграфов 1. Аналитические функции, «Наука», 1965. Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков 1. Введение в теорию квантованных полей, Гостехиздат, 1957. Л. Д. Ландау и Е. N\. Лифшиц 1. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Физматгиз, 1963. Г. И. М а р ч у к 1. Методы расчета ядерных реакторов, Госатомиздат, 1961. B. С. Влад и м иров 1. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц, Труды Матем. ин-та АН СССР, 61 (1961). Б. М. Б у д а к, А. А. С а м а р с к и й, А. Н. Т и х о и о в 1. Сборник задач по математической физике, Гостехиздат, 1956. М. М. Смирнов 1. Задачи по уравнениям математической физики, Физматгиз, 1961. И. С. Г р а д ш т е й н и И. М. Рыж и к 1. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Физматгиз, 1963. Ф. Р и с с и Б. С е к е ф а л ь в и - Н а д ь 1. Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954. A. Tychonoff 1. Theoremes d’anicite pour I’equation de la chaleur, Матем. сб., 42 (1935), 199—216. M. А. Л а в p e н т ь e в и Б. В. Ш а б а т 1. Методы теории функций комплексного переменного, Физ¬ матгиз, 1958.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Адамара пример 70 Арчела лемма 249 Бесселя неравенство 27 Билинейная форма 36 Билинейное разложение повтор¬ ных ядер 258 — — эрмитова непрерывного яд¬ ра 259 Больцано—Вейерштрасса теоре¬ ма 12 Вейерштрасса теорема 15 Влияния функция 152 Внутренняя точка множества 12 Волновое уравнение 41 Гармоническая функция 296 Гейне—Борел я лемма 12 Гельмгольца уравнение 45, 380 однородное 382 Гидродинамики уравнения 46 Гильберта — Шмидта теорема 254, 256, 264, 266 Гиперболического типа уравне¬ ние 51, 56 Г иперболическое неоднородное уравнение 395 — однородное уравнение 393 Грина формула 297 вторая 274 — — первая 274 — функция задачи Дирихле 336, 376 — , построение 339 краевой задачи 291 оператора 291 Гюйгенса принцип 192 Даламбера формула 189 Двойной слой 98 Дини лемма 15 Дирака уравнение 48 — 0-функция 75 Дирихле задача внешняя 324 — — внутренняя 324 Дифференциальные уравнения характеристики 57 Диффузии уравнение 42 Диффузия волн 194 Достаточно гладкая поверхность 327 Дю Буа-Реймонда лемма 83 Ентча теорема 267 Замкнутости уравнение 28 Замыкание множества 12 Зоммерфельда условия излуче¬ ния 381 Измеримая функция 16 Интегральное уравнение 214 Вольтерра 223 -с вырожденным ядром 232 полярным ядром 225 — — — эрмитовым ядром 247 Интегральные уравнения Фред¬ гольма 214 — однородные 214 — союзные 215 Интегрируемая по Лебегу функ¬ ция 17, 19 Итерации функции 217 Квадратичная форма 36 «Квантования» условие 296
431 предметный указатель Келлога метод 268 Кельвина преобразование 326 Кирхгофа формула 188 Клейна — Гордона уравнение 48 Ковалевской теорема 70 Колебание закрепленной мем¬ браны 401 струны 400 — шарового объема 403 Колебаний уравнения 38 Компакт 12 Корректность постановки задач математической физики 68 Коши — Буняковского неравен¬ ство 22 Коши задача 63 — принцип сходимости 12 — теорема 15 Краевая задача 63 — — для уравнений эллиптиче¬ ского типа 66 Кратность собственного значе¬ ния 35 Лапласа уравнение 44 — формула 361 Лебега интеграл 17, 19 — теорема 21 Лежандра полиномы 353 Линейное нормированное про¬ странство 14 Ляпунова поверхность 314 Максвелла уравнения 47 Малые поперечные, колебания струны 40 мембраны 41 — продольные колебания упру¬ гого стержня 41 Максимума принцип 301, 302, 424 Минимума принцип 424 Множество замкнутое 12 — измеримое 16 — меры нуль 16 — ограниченное 31 — открытое 12 — равностепенно-непрерывных функций 15 — связное 12 — функций, плотное в 24 Неймана задача внешняя 325 внутренняя 324 — ряд 217 Непрерывная по Гёльдсру функ¬ ция 15 Липшицу функция 15 Неразрывности уравнение 46 Норма функции 14 Нормально-гиперболического типа уравнения 51 Нормально-параболического типа уравнения 51 Нормированная функция 25 Носитель кусочно-непрерывной функции 14 — обобщенной функции 82 Область 12 Обобщенная задача Коши для волнового уравнения 186 уравнения тепло¬ проводности 210 — функция 79 медленного роста 125 регулярная 82 сингулярная 82 Обобщенное решение линейного дифференциального уравне¬ ния 151 Обобщенно-гармоническая функ¬ ция 305 Оператор волновой (Даламбера □а) 42 — Коши — Римана 105 — Лапласа А 42 — линейный 31 дифференциальный поряд¬ ка т 33 интегральный 32 интегро-дифференциаль¬ ный 33 — непрерывный (из Л4 в АГ) 31 — обратный 35 — ограниченный (из М в W) 31 — положительный 37 — эрмитов (самосопряженный по Лагранжу) 36 Ортогональные функции 25 Ортонормальная система функ¬ ций 25 Основные функции 75, 76, 124
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 435 О среднем арифметическом тео¬ рема "301 Отражений метод 339 • , конечная струна 203 , полубесконечная струна 203 Параболического типа уравне¬ ния 51, 58, 397 Парсеваля равенство 28 Переноса (кинетическое) урав¬ нение 45 Полная (замкнутая) система функций 28 Последовательность сходящая- ( ся 12 в себе 12 — функций, сходящаяся в сред¬ нем 24 Потенциал двойного слоя 122, 311, 317, 319 — запаздывающий 174 поверхностный 179 — логарифмический 121, 368 — ньютонов 121, 308 , физический смысл 313 — объемный 121, 309 — простого слоя 122, 311, 317, 322 — Робена 334 , физический смысл 334 — тепловой с плотностью f 206 поверхностный 208 Потенциалы 384 Почти всюду выполнимое свой¬ ство 16 Предельного поглощения прин¬ цип 387 Предельной амплитуды принцип 387 Преобразование Фурье обобщен¬ ной функции из 134 • свертки 139 функции из cZ 132 Присоединенные функции Ле¬ жандра 357 Продолжение линейного функ¬ ционала 32 Производная обобщенной функ¬ ции 90 правильная нормальная 299 Производящая функция для по¬ линомов Лежандра 355 Пространство Ср, р>1 13 — Cp(G) 13 — Cp(G) 14 — С(Т), Т замкнутое 14 — 0 76 — 79 — ^(6) 14 — & 124 — 125 — ^2(G) 22 Прямое произведение обобщен¬ ных функций 107 медленного роста 130 Пуассона уравнение 44, 54 — формула 189, 343, 344 Разложение единицы 78 Распределения 85 Распространение тепла в огра¬ ниченном стержне 401 Распространяющихся волн ме¬ тод 198 Регуляризация обобщенных функций 120 Резольвента 221 Рисса — Фишера теорема 24 Свертка обобщенных функций 113, 116 медленного роста 132 Слабая сходимость 80 Смешанная задача 63, 67 Смешанного типа уравнения 51 Собственное значение оператора 35 Собственные функции ядра 215 —- элементы оператора 35 Состояния уравнение 46 Сохоцкого формулы 85—87 Спуска метод 155 Стеклова теорема 295 Суммируемая функция 17, 19 Суперпозиции волн принцип 191 Сферическая функция 350, 358, 359 Телеграфное уравнение 47 Теплопроводности уравнение 43, 54
436 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Типы уравнений 51 Трикоми уравнение 51, 60 Характеристическое уравнение 53 Финитная функция 14 Фредгольма альтернатива 241 — теоремы 237, 241, 244, 246 Фубинп теорема 21 Фундаментальное решение 152, 159 — — волнового 160-163 оператора 165 оператора Гельмгольца — — — Коши — Римана 166 — Лапласа 163 переноса 166 теплопроводности 159 Функционал линейный 32 Фурье коэффициенты 26 — метод 281, 392 — ряд 26 Характеристическая поверхность 53 — функция множества 12 Характеристические числа ядра 215 Характеристический конус 54 Шварца теорема 125 Шмидта процесс ортогонализа¬ ции 26 — формула 261. Шредингера уравнение 48, 398 Штурма — Лиувилля задача 288 Эйлера уравнения движения 46 Эллиптического типа уравнение 51, 59 Эллиптическое уравнение 398 Энергии интеграл 276, 408 Ядра повторные 220 — симметричные 266 — эрмитово сопряженные 215 Ядро 32 — Вольтерра 222 — вырожденное 232 — интегрального уравнения 214 — непрерывное 215 — положительного типа 267 — положительное 263 — полярное 225 — слабо полярное 225 — эрмитово 247