Математика в техническом
университете
Выпуск XII
! НЕ БОЛЕЕ »И КНИГИ В
\ ОДНИ РУКИ И 2XS ДВЕ }
КОЛОХЗА

Комплекс учебников из 20 выпусков
Под редакцией В. С. Зарубина и А. П. Крищенко
I. Введение в анализ
II. Дифференциальное исчисление функций
одного переменного
III. Аналитическая геометрия
IV. Линейная алгебра
V. Дифференциальное исчисление функций
многих переменных
VI. Интегральное исчисление функций
одного переменного
VII. Кратные и криволинейные интегралы.
Элемеьты теории поля
VIII. Дифференциальные уравнения
IX. Ряды
X. Теория функций комплексного переменного
XI. Интегральные преобразования
и операционное исчисление
XII. Дифференциальные уравнения
математической физики
XIII. Приближенные методы математической физики
XIV. Методы оптимизации
XV. Вариационное исчисление и оптимальное управление
XVI. Теория вероятностей
XVII. Математическая статистика
XVIII. Случайные процессы
XIX. Дискретная математика
XX. Исследование операций

Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
2-е издание
Под редакцией
д-ра техн. наук, профессора B.C. Зарубина
и д-ра физ.-мат. наук, профессора А.П. Крищенко
Рекомендовано
Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
высших технических учебных заведений
Москва
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2002

УДК 517.946@75.8)
ББК 22.311
М29
Реценземты: Ю.А. Дубинский, Э.М. Карташов
М29 Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные
уравнения математической физики: Учеб. для вузов. 2-е изд. /
Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2002. - 368 с. (Сер. Математика в техниче-
техническом университете; Вып. XII).
ISBN 5-7038-1911-3 (Вып. XII)
ISBN 5-7038-1270-4
Рассмотрены различные постановки задач математической физики
для дифференциальных уравнений в частных производных и основные ана-
аналитические методы их решения, проанализированы свойства полученных
решений. Изложено большое число линейных и нелинейных задач, к реше-
решению которых приводит исследование математических моделей различных
процессов в физике, химии, биологии, экологии и др.
Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы
читают в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов технических университетов. Может быть полезен пре-
преподавателям, аспирантам и инженерам.
Ил. 57. Табл.1. Библиогр. 29 назв.
Выпуск книги финансировал
Московский государственный технический
университет им. Н.Э. Баумана
УДК 517.946@75.8)
ВВК 22.311
© Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов,
1996
© Московский государственный
технический университет
ISBN 5-7038-1911-3 (Вып. XII) имени НЭ' Баумана> 19%
ISBN 5-7038-1270-4 © Издательство МГТУ
имени Н.Э. Баумана, 1996

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый учебник — один из выпусков серии "Ма-
"Математика в техническом университете", ориентированной на
студентов технических университетов. Введение, раздел I и
приложения книги написаны авторами совместно, разделы II и
III - Л.К. Мартинсоном.
Объем знаний, необходимый для понимания содержания
книги, не выходит за рамки стандартов по математической
подготовке в технических вузах и университетах и предполага-
предполагает уверенное владение материалом таких разделов математики,
как векторный анализ и элементы теории поля, ряды Фурье, те-
теория функций комплексного переменного, обыкновенные диф-
дифференциальные уравнения, интегральные преобразования. Для
проверки готовности читателя к изучению данного выпуска ре-
рекомендуется выполнить задания, приведенные в начале книги.
Расположение материала в трех разделах учебника соот-
соответствует трем уровням сложности. Изучение каждого после-
последующего раздела предполагает проработку предыдущего. В
полном объеме материал может быть использован для подго-
подготовки студентов высшего уровня инженерной квалификации и
студентов по специальности "Прикладная математика".
Каждая глава учебнике заканчивается вопросами и зада-
задачами, которые рекомендуется решить самостоятельно для за-
закрепления теоретического материала. В полном объеме работу
на семинарах по курсу можно проводить с использованием по-
пособия Б.М. Будака, А.А. Самарского, А.Н. Тихонова "Сборник
задач по математической физике" (М., 1972).
Ссылки на другие выпуски серии "Математика в техниче-
техническом университетек" в книге даны римскими цифрами. Список
рекомендуемой литературы не претендует на полноту и может
быть полезен для дальнейшего изучения проблем, затронутых
в настоящей книге.
Авторы выражают свою благодарность проф. B.C. Заруби-
Зарубину за редакторскую работу и ценные замечания по структуре
книги, которые были учтены в окончательной редакции.

Предисловие
Задания для самопроверки
х
1. Найдите производную функции у(х) = / sin ^—^ d?. [VII]
О а
2. Для функции и = 1/г, где г = уж2 + у2 + z2 , найдите
вектор gradu в точке Mq[xq, уо, zq). [VII]
3. Для заданных скалярной функции <р(х, у, z) и векторно-
векторного поля ~а?(х, у, z) запишите следующие операции векторной ал-
алгебры: div(y)"^), rot {<p~a?), divgrady), rotrot ^. [VII]
4. Применяя формулу Остроградского, найдите поток век-
вектора Т^ = жг +yj +z к через поверхность сферы х +y2 + z2 =
= Д2. [VII]
5. Найдите решение неоднородного дифференциального
уравнения первого порядка у' + у = f{x), удовлетворяющее на-
начальному условию у@) = уо. [VIII]
6. Найдите решение неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка у" + у = f(x), удовлетворяющее
начальным условиям у@) = yj и у'@) = у!>. [VIII]
7. Найдите решение дифференциального уравнения у" —
— а к = 0, удовлетворяющее граничным условиям у@) = 0 и
уA) = 1. [VIII]
8. Найдите коэффициенты разложения функции и(х) = х
на отрезке [0, 1] в тригонометрический ряд Фурье по косину-
косинусам. [IX]
9. Найдите коэффициенты разложения функции и(х) = 1
на отрезке [0, 1] в тригонометрический ряд Фурье по сину-
синусам. [IX]
10. Является ли функция комплексного переменного f(z) =
= z*, где символом * обозначено комплексное сопряжение, ана-
аналитической функцией? [X]
11. Восстановите функцию u(t), если ее изображение по
Лапласу имеет вид й(р) — —2—-, т = const. [XI]

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Геометрические объекты
и функциональные пространства
?Н — евклидово пространство размерности N 1.1
?г(^) — пространство функций, квадратично интегрируе-
интегрируемых с некоторым весом П2
М — точка пространства JH B1
гмщ — расстояние между точками М и Mq 3.2
V, Q — области в пространстве ?Н (в большинстве случаев
ограниченные) 1.3
Е. дп — границы областей в пространстве ?Н 2.1
D, Q — области в пространстве ?Н 3.3
С, Г — границы областей в ?Н2 3.3
и(М, t) — искомая функция, решение уравнения (задачи) ма-
математической физики В1
||и|| -- норма функции и В1
х. у, z — декартовы координаты В1
г — радиальная координата 3.2
/- — временная переменная В1
Символы обозначения производных
у1 = -~, у" = -— — производные функции у(х) 1.6
да д2и ди ,
их — —, ихх = y-j, щ = -7гт — частные производные функции
и(х, t) B1
L[u] — дифференциальный оператор П2
А — оператор физической величины в квантовой меха-
механике 7.4
Д — оператор Лапласа В1
Д2 — двумерный оператор Лапласа 6.1

Основные обозначения
Д# <р — угловая часть оператора Лапласа в сферических ко-
координатах 7.3
? — оператор Даламбера 6.4
Обозначения специальных функций
i\x) — гамма-функция Эйлера 8.3
В(х, у) — бета-функция 8.4
Jn{x) — функция Бесселя n-го порядка 5.2
Nn(x) — функция Неймана n-го порядка 5.2
Рп(х) — полином Лежандра 4.3
Р(.х) —присоединенные функции Лежандра 7.3
Нп(х) — полином Чебышева - Эрмита 7.2
Ьр(х) — обобщенный полином Чебышева - Лагерра 7.3
YimF,(p) — сферическая функция 7.3
6(х) — обобщенная дельта-функция 1.4
<5д-(М, Mo) — двумерная или трехмерная дельта-функция 3.2
Физические константы
е — 1,6 • 10" Кл — элементарный электрический заряд
с = 2,99 • 108 м/с — скорость света в вакууме
h = 1,05-10" Дж-с — рационализированная постоянная Планка
к = 1,38 • 10 Дж/К -- постоянная Больцмана
ео = 8,85 • 10~ Ф/м — электрическая постоянная
/го = 1,26 ¦ 10~6 Гн/м — магнитная постоянная

ВВЕДЕНИЕ
В1. Задачи математической физики
Исторически большинство математических моделей, в ос-
основе которых лежат дифференциальные уравнения в частных
производных, были разработаны для решения задач, описыва-
описывающих физические процессы прежде всего в гидродинамике, аэ-
аэромеханике и электродинамике. Как удачно пошутил по этому
поводу Дж. Литлвуд, объектами прикладной математики явля-
являются "вода, газ и электричество". Именно поэтому в прило-
приложениях дифференциальные уравнения в частных производных
получили название уравнений математической физики.
В настоящее время с помощью таких уравнений модели-
моделируют процессы различной природы: физические, химические,
биологические, экологические, экономические и др. Широкое
применение методы математической физики находят и при ре-
решении инженерных задач.
Такая информационная емкость, или, как говорил А.Д. Са-
Сахаров, "всесилие", уравнений математической физики обуслов-
обусловлена тем, что в их основе лежат фундаментальные законы при-
природы, такие, например, как законы сохранения, связанные с
симметрией пространства и времени. Именно благодаря этому
такие, на первый взгляд, различные процессы, как распростра-
распространение теплоты в сплошной среде, диффузия химических компо-
компонентов, проникновение магнитного поля в хорошо проводящую
среду и распространение волн эпидемий, можно описать одина-
одинаковыми по форме уравнениями.
Трудно даже сначала представить, что, например, урав-
уравнение Лапласа Аи = 0, занимающее в типографской строчке
меньше места, чем знаменитое 2x2 = 4, позволяет теорети-
теоретически описать практически все многообразие электростатиче-
электростатических полей в природе и исследованию методов решения толь-
только этого уравнения математической физики посвящены многие
монографии.

10 Введение
Дифференциальные уравнения отражают внутренние ме-
механизмы процессов, которые могут протекать в бесчисленном
разнообразии окружающих нас тел, имеющих различные фор-
форму, размеры и свойства. Поэтому любое уравнение математи-
математической физики имеет бесчисленное множество решений. Осо-
Особенности же конкретного процесса устанавливают заданием
(описанием) дополнительных условий, выделяющих конкрет-
конкретный процесс из всех остальных.
Прежде всего в задаче математической физики, или ма-
математического моделирования, выделяют область, в которой
следует решить уравнение. Эта область отражает геометриче-
геометрические размеры и форму тела, в котором протекает исследуемый
процесс.
Кроме того, на границе области выставляют некоторые
граничные условия на искомую функцию, которые учиты-
учитывают взаимодействие (связь) процесса в выделенном теле (си-
(системе) с аналогичным процессом в окружающих телах. В силу
разнообразия форм связи зтих процессов на границе области
могут быть заданы различные граничные условия. Принятая
классификация граничных условий обычно связана с порядком
производных искомой функции, которые присутствуют в гра-
граничном условии и выражают различные условия связи.
Так, однородные граничные условия первого и второго ро-
рода соответствуют равенству нулю искомой функции или ее нор-
нормальной производной на границе области, а условия третьего
рода задают связь между функцией и ее нормальной производ-
производной на границе. Встречаются задачи с "косой" производной,
когда в граничном условии фигурирует производная по напра-
направлению, не совпадающему с направлением нормали к границе.
'Задачи, в которых учитывают граничные условия, назы-
называют краевыми задачами. Если на различных участках гра-
границы заданы граничные условия различных типов, то задачу
называют смешанной краевой задачей. Иногда, отвлекаясь
от влияния на исследуемый процесс формы и размеров тел, за-
задачу решают в безграничном пространстве. Для эволюционных
процессов такие задачи называют задачами Коши.

В1. Задачи математической физики И
В линейных задачах математической физики не только
дифференциальные уравнения являются линейными, но и гра-
граничные условия содержат лишь линейные соотношения между
искомой функцией и ее производными. В современной матема-
математической физике при моделировании широкого класса явлений и
процессов приходится решать задачи, в которых уравнения или
краевые условия являются нелинейными. Нарушение принци-
принципа суперпозиции делает нелинейные задачи значительно более
сложными для решения, чем линейные.
Как в краевых задачах, так и в задачах Коши для уравне-
уравнений, содержащих временную переменную, необходимо задавать
также начальные условия на искомую функцию и ее производ-
производные по времени. Начальные условия описывают состояние си-
системы в момент времени, выбираемый за начало исследуемого
процесса. При этом с помощью уравнения мы можем опреде-
определять состояние системы и в более поздние моменты времени,
т.е. изучать эволюцию системы из ее начального состояния.
В специальных случаях могут рассматриваться задачи без
начальных условий, когда характер эволюции системы посту-
постулируется при постановке задачи. Типичным примером таких
задач являются задачи об установившихся процессах колеба-
колебательного типа.
Итак, формулировка задачи математической физики в об-
общем случае включает в себя задание дифференциального урав-
уравнения в частных производных, описывающего изучаемый про-
процесс, а также граничных и начальных условий, выделяющих
единственным образом конкретный процесс из бесчисленного
множества аналогичных ему.
Ж. Адамаром было введено понятие корректной постанов-
постановки задачи математической физики. Задача для уравнения в
частных производных в рассматриваемой области поставлена
корректно, если решение этой задачи существует, единственно
и устойчиво к малым изменениям исходных данных.
Рассмотрим более подробно каждое из перечисленных усло-
условий корректности постановки задачи математической физики.

12 Введение
Существование и единственность решения задачи есть оче-
очевидное требование однозначности интерпретации решения при
описании детерминированных процессов. Следует, однако, от-
отметить, что вопрос о существовании и единственности решения
предметен только при выборе и указании класса функций, ко-
которые могут считаться решением задачи. Одна и та же задача
может не иметь решения в одном классе и может иметь един-
единственное решение в другом классе функций.
Принято выделять строгое, или классическое, решение
задачи, гладкость которого согласована с дифференциальным
уравнением, граничными и начальными условиями. Такое ре-
решение содержит все производные, предписываемые дифферен-
дифференциальным уравнением, вплоть до границы и гладко примыкает
к начальным данным. Для существования классического реше-
решения на функции, фигурирующие в начальных и граничных усло-
условиях, а также на саму границу области должны быть наложены
достаточно жесткие условия гладкости, которые сформулиро-
сформулированы в соответствующих теоремах существования и единствен-
единственности, доказываемых в теории уравнений в частных производ-
производных. Проверка дифференциальных свойств классических ре-
решений, записанных часто в виде бесконечных функциональных
рядов, также представляет собой во многих случаях технически
сложную задачу.
В современной математической физике с использованием
результатов теории обобщенных функций в качестве решений
задач часто рассматриваются неклассические, или обобщен-
обобщенные, решения. Такие решения в некоторых точках области во-
вообще могут не иметь производных в обычном смысле. В таких
точках области следует говорить лишь об обобщенных произ-
производных.
Кроме того, в таких задачах при записи граничных и
начальных условий можно использовать недифференцируемые,
разрывные и даже особые "странные" функции сосредоточен-
сосредоточенного и мгновенного воздействия, понимая сходимость реше-
решений к таким функциям не как равномерную поточечную схо-
сходимость, а как сходимость в среднем, или слабую сходимость.

B1. Задачи математической физики 13
В частности, в нашем курсе мы будем широко использовать
обобщенную функцию, которая была введена в математическую
физику П. Дираком и получила название дельта-функции. С
помощью такой функции мы будем описывать сосредоточен-
сосредоточенную передачу импульса в задачах о колебаниях тел, мгновенное
сосредоточенное воздействие локального теплового источника
в теории теплопроводности или распределение электрической
плотности точечного заряда в теории электромагнитного поля.
В Приложении 1 приведены основные свойства дельта-функции
Дирака как обобщенной функции сосредоточенного влияния.
Устойчивость решения к малым изменениям исходных дан-
данных для корректности задачи по Адамару означает, что в такой
задаче малые возмущения начального состояния могут приво-
приводить лишь к малым изменениям последующих состояний. Иначе
говоря, решение задачи должно непрерывно зависеть от началь-
начальных данных, т.е. если Цгх1@)-гх2@)|| ^ е, то ||ui(?)— гхгМН ^Ке
для всех t 6 [0, ^о]- При этом для выражения близости элементов
по нормам следует выбрать метрические пространства исход-
исходных данных E) и решений (Н). Одна и та же задача может
оказаться корректной по постановке на одной паре метриче-
метрических пространств 5 и U и некорректной на другой паре.
Требование устойчивости решения соответствует очевид-
очевидному факту, что определение начального состояния системы
всегда связано с процессом измерения, который имеет некото-
некоторую погрешность. Поэтому физически разумной следует при-
признать только такую постановку задачи, когда достаточно малая
погрешность в определении начального состояния системы не
приводит к слишком большим ошибкам в прогнозе последую-
последующих состояний.
Долгое время в математической физике считалось, что лю-
любая задача должна быть поставлена корректно. Однако многие
практически важные задачи являются некорректными по по-
постановке. В частности, некорректными оказываются обратные
задачи определения характеристик явлений по результатам из-
измерений. К таким обратным задачам относится задача опре-
определения теплофизических характеристик материала по резуль-
результатам измерения температуры в некоторых точках, а также

14 Введение
задача гравиметрии по определению формы и размера анома-
аномалии плотности на основании данных измерения силы тяжести
на поверхности Земли.
Школой акад. А.Н. Тихонова были разработаны специаль-
специальные методы регуляризации, позволяющие решать некорректно
поставленные задачи и получать из их решения важную инфор-
информацию. Изложение этих методов можно найти в специальной
литературе.
Из всего сказанного выше, безусловно, вытекает и такой
вывод: неполно, неправильно или неграмотно поставленную за-
задачу не смогут "спасти" ни обобщенные функции, ни методы
регуляризации. Поэтому одной из целей предлагаемого курса
является развитие навыков правильной постановки задач мате-
математической физики.
В2. Классификация дифференциальных уравнений
в частных производных второго порядка
Большое число различных физических задач приводит к
дифференциальным уравнениям в частных производных, кото-
которые представляют собой соотношения между искомой функцией
гх, ее частными производными и независимыми переменными.
Наиболее часто в математической физике встречаются диффе-
дифференциальные уравнения второго порядка. Для двух независи-
независимых переменных х и у такое дифференциальное уравнение пред-
представляют в общем случае соотношением
F{x, у, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0. (Bl)
Если дифференциальное уравнение линейно относительно
старших производных, то его называют квазилинейным урав-
уравнением и записывают в виде
ацихх + 2ai2Uxy + aiyu-yy + F\{x, у, u, ux, uy) = 0, (B2)
где аи, а\2 и 022 ~ некоторые функции независимых пере-
переменных.

B2. Классификация дифференциальных уравнений 15
Дифференциальное уравнение называют линейным, если
оно линейно как относительно искомой функции, так и относи-
относительно ее частных производных. Такое уравнение записывают
в виде
a\\uxx + 2a\-iuXy + a-i2Uyy + b\ux + b2Uy+cu + f{x, у) = 0. (ВЗ)
Если коэффициенты уравнения (ВЗ) не зависят от пере-
переменных х и у, то уравнение (ВЗ) представляет собой линейное
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Уравнениям (В2) и (ВЗ) можно поставить в соответствие
квадратичную форм
9 9
a\\l -+¦ 2a\2lm + a22m
и по аналогии с кривыми второго порядка дать классификацию
типов уравнений по знаку дискриминанта.
Выделим три типа уравнений в форме (В2) или (ВЗ), на-
назвав их уравнениями гиперболического типа, если в некото-
некоторой точке М (или области G) D > 0, параболического типа,
если в точке М D = 0, и эллиптического типа, если в точке
М D < 0. Здесь D — aj2 — аца22 ~ дискримининат уравнения.
Принадлежность уравнения к одному из этих типов опре-
определяет некоторые общие свойства его решений и позволяет вы-
выбрать методы решения задач для такого уравнения.
Уравнения с переменными коэффициентами могут изме-
изменять свой тип в различных точках. Примером такого уравнения
смешанного типа является уравнение Трикоми
ихх + хиуу = О,
представляющее интерес для газовой динамики. Так как дис-
дискриминант этого уравнения D = — х, то уравнение Трикоми
является эллиптическим при х > 0 и гиперболическим при
х <0.

16 Введение
В уравнении (В2) можно произвести замену независимых
переменных
f = <р{х, у), г] = яр(х, у) (В4)
с якобианом преобразования
Пх,у)= Iх 1У
Vx Vy
допускающим обратное преобразование. Тогда в новых пере-
переменных уравнение (В2) примет вид
ц + 2А\2и%п + Ап^щ + Ф(?, г), и, U?, uv) = 0. (В5)
Здесь
An = Olid + 2ai2?z?y + 022^5
An = OllUi +
Так как А\^ — A\\Ai2 = (a^ ~ alla22) I \xi y)i то рассма-
рассматриваемое преобразование независимых переменных не меняет
тип уравнения. Однако функции <р(х, у) и ф(х, у) можно вы-
выбрать такими, чтобы в новых переменных часть коэффициентов
обратилась в нуль, а уравнение (В5) приняло наиболее простой
вид, который называют канонической формой уравнения.
Переход к канонической форме можно осуществить с помо-
помощью общих интегралов дифференциального уравнения
2 ~ 2andxdy + a22{dxJ = О, (В6)
которое называют характеристическим для уравнений (В2) и
(ВЗ), а его интегралы - характеристическими кривыми, или
характеристиками.
Если (р(х, у) = С - общий интеграл характеристического
уравнения (В6), то вдоль характеристической кривой имеем
dy <Рх , <Рх , ,г>,ч
-р- = -1—, или dy = ——dx. (B7)
ах <ру ipy

B2. Классификация дифференциальных уравнений 17
Подставляя уравнение (В7) в (В6), делаем вывод о том, что
функция z = ц>{х, у) является решением дифференциального
уравнения первого порядка
anzx + 2a12zxzy + o22«5 = 0. (В8)
Если в некоторой области G уравнение (В2) является урав-
уравнением гиперболического типа (D = а^2 — а11а22 > 0)> то в
этой области характеристическое уравнение распадается на два
уравнения
dy = an±VD^
ах ац
которые имеют два семейства характеристик: <р\(х, у) = С\ и
V2(xi У) — @2- Тогда с помощью преобразования независимых
переменных
? = <pi(x, у); г) = ч>2{х,у)
приходим к уравнению (В5), в котором с учетом (В8) А\\ = 0 и
А22 — 0. Поэтому, разделив полученное выражение на 2А\2 ф 0,
приводим уравнение (В5) к канонической форме для уравнений
гиперболического типа:
> V, и, U?, uv). (BIO)
Замечание В1. Если новые переменные ^hij имеют вид
е _ <Pl(x, У) + <Р2(х, у) __ yi(x, y)~f2(x, у)
1 ' — 2 '
то для уравнения гиперболического типа можно записать вторую канони-
каноническую форму
м« -¦"•).) =*!(?. V, и> Щ,Щ)- (вп)
Если в области G уравнение (В2) принадлежит к уравнению
параболического типа (D = а^2 — ^11^22 = 0)> то в этой области
характеристическое уравнение (В6) в виде
dy _ an
dx a\\
имеет только одно семейство характеристик: ip(x, у) = С.

18 Введение
Тогда, полагая ? — (р(х, у) и г/ = ф(х, у), где ф - произволь-
произвольная функция, линейно независимая с функцией <р, приходим к
преобразованному уравнению (В5), в котором Ац = 0. Но так
как для уравнения параболического типа А\^ ~ ^11^22 — 0, то,
следовательно, и А\2 = 0. Поэтому после перехода к новым не-
независимым переменным уравнение (В5) примет каноническую
форму для уравнений параболического типа:
«ТО = ф2(?, »?, «, «{, Ui;), $2 = -Ф/Л22- (В12)
Если уравнение (В2) в области C является уравнением эл-
эллиптического типа (D = а\2 — 011^22 < 0); то характеристиче-
характеристическое уравнение (В6) приводит к двум уравнениям в комплексной
форме:
ац ац
апа22 - а{2 > 0.
Эти уравнения имеют два комплексно-сопряженных инте-
интеграла pi{x, у) = С\ и р2{х, у), = С2, где pi{x, у) = ip{x, у) +
+ {ф(х, у), а р2(х, у) - ip(x, у) - iip(x, у), причем функции
<р{х, у) и ф{х, у) являются действительными функциями своих
аргументов.
Функции z\ = р\{х, у) и z2 — р2{х, у) являются решениями
уравнения (В8) в комплексной области. Поэтому, подставляя
их в уравнение (В8), получим тождество
2г [ащрхфх + ап{<рхфу + <руфх) + а221руфу] = 0,
из которого следует, что после преобразования переменных
? — <р(х, у) иг) = ф{х, у) в уравнении (В5) Ац = А22, а А\2 = 0.
Поэтому после преобразования уравнение (В5) можно записать
в канонической форме для эллиптического уравнения:
(В13)

B2. Классификация дифференциальных уравнений 19
Линейное уравнение (ВЗ) с постоянными коэффициентами
имеет одинаковый тип в любой области G. Такому уравнению
соответствует характеристическое уравнение (В6) также с по-
постоянными коэффициентами. Поэтому характеристиками ли-
линейного уравнения с постоянными коэффициентами являются
прямые
у = kx + b,
а\2 ± у/5 2
где А: = ; D = а|2 - аца22-
С помощью указанных выше преобразований переменных
уравнение (ВЗ) гиперболического типа (D > 0) приводится к
одной из следующих форм:
ufr + blu? + Ь1иг) + си + /(?, г?) = 0
или
и# - ищ + Ьщ + Ь2иГ] + си + /(?, г?) = 0.
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами пара-
параболического (D = 0) и эллиптического (D < 0) типов имеют
соответственно канонические формы:
ищ + Ьщ + Ь2иГ] + си + /(?, г?) = 0;
) = 0.
Если теперь ввести новую неизвестную функцию v(?, rj) no
правилу
««, г)) = е^+и»««, г,),
где juhi/- некоторые постоянные, то с помощью подбора значе-
значений этих постоянных канонические формы для линейных урав-
уравнений с постоянными коэффициентами можно привести к виду

20 Введение
для гиперболического, параболического и эллиптического ти-
типов уравнения соответственно.
Аналогичным образом может быть дана классификация
дифференциальных уравнений в частных производных второ-
второго порядка для случая более двух независимых переменных.
Обычно в задачах математической физики число независимых
переменных не превышает четырех, причем одно из них - вре-
время, а три других - пространственные переменные. Поэтому в
достаточно общем случае линейные дифференциальные урав-
уравнения второго порядка гиперболического, параболического и
эллиптического типов с постоянными коэффициентами можно
свести к следующим каноническим формам соответственно:
, x2, x3, t); (B14)
Au-щ = f{x\, x2, хз, t); (B15)
Au + pu = f{xi, хъ х3). (В16)
л д2 д2 д2
Здесь Д = —^ Н J Н о ~ опеРатоР Лапласа по простран-
ОХл ОХеу
ственным переменным.

1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
1. УРАВНЕНИЯ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
1.1. Уравнение колебаний струны
Рассмотрим процесс колебаний тонкой упругой нити, ко-
которая может свободно изгибаться, не оказывая сопротивления
изменению ее формы. В этом случае напряжения (силы натяже-
натяжения), возникающие в упругой нити, направлены по касательной
к ее мгновенному профилю. Такую нить в дальнейшем будем
называть струной.
Пусть в положении равновесия струна расположена вдоль
оси Ох. Будем рассматривать только поперечные колебания
струны, считая, что перемещение частиц струны происходит в
одной плоскости и все точки струны движутся перпендикулярно
оси Ох.
Обозначим через и(х, t) отклонение от положения равно-
равновесия точки струны с абсциссой х в момент времени t. При
фиксированном значении t график функции и(х, t) представля-
представляет собой форму струны в момент времени t (рис. 1.1).
Далее будем рассматривать только малые поперечные ко-
колебания струны, когда смещения и и производные ди/дх столь
малы, что их квадратами и произведениями можно пренебречь
по сравнению с значениями самих величин. В этом случае
ди . , (ди\2 .
=: term » sin rv га rv 1-4-1 I ~ 1:
— = tga « sin a « a; 1+ i я i
dx \oxj
cos a = = « 1.
y/1 + tg2a

22
1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Рис. 1.1
Из предположения о малости колебаний следует, что длина
выделенного участка струны в любой момент времени равна:
?' =
— х\ = ?.
Это означает, что в процессе малых колебаний удлинением
участков струны можно пренебречь. В этом случае, согласно
закону Гука, натяжение Т в каждой точке струны не будет
изменяться.
Покажем, что натяжение Т можно считать не зависящим
от точки приложения х. Действительно, для поперечных коле-
колебаний струны сумма проекций на ось Ох сил натяжения, дей-
действующих на концах участка струны М1М2, равна нулю:
—T(a:i)cosa(a:i) +T{x2) cos 0A2) = О,
где а(х) - угол между касательной к струне и осью Ох в неко-
некоторый момент времени.
Так как для малых колебаний cosa(:ri) « cos 0A2) = 1, то
T(xi) — Т(х2). Таким образом, можно считать, что Т = Tq =
— const для всех значений х и (.
В случае вынужденных колебаний на струну действует
внешняя распределенная сила ?{x, t), направление которой бу-
будем считать перпендикулярным оси Ох.

1.1. Уравнение колебаний струны 23
Распределение масс в струне будем характеризовать ли-
линейной плотностью р(х), которая в общем случае изменяется
вдоль струны. Для однородной струны постоянного сечения
р — pQ — const.
Перейдем к построению математической модели процесса
малых поперечных колебаний струны. В основе этой модели
лежит закон динамики поступательного движения (закон Нью-
Ньютона), который для механической системы имеет вид
где г - импульс системы, равный сумме импульсов всех ее ча-
частиц; F - результирующая внешняя сила.
В качестве такой механической системы рассмотрим вы-
выделенный участок струны х\ <х<Х2- Учитывая, что движение
этой системы происходит в направлении, перпендикулярном оси
Ох, запишем уравнение A.1) в проекции на ось Ои:
Так как проекция суммарного импульса системы
х2
= /,(*)§-**,
XI
то
*2 Х-2
dP d Г ди Г д2и
XI XI
Проекция внешних сил состоит из двух слагаемых. Одно из
них учитывает действие сил натяжения на концах выделенного
участка струны, а другое - суммарную вынуждающую силу,

24 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
действующую на частицы этого участка струны. Эти проекции
определяются (см. рис. 1.1) следующими соотношениями:
- То sinai -To sinax « То -
и
X
Х=Х2
и
X
X=Xi
*2 2
X!
x2
F2 = I 5[x, t)dx.
XI
Подставляя полученные выражения в формулу A.2), запи-
запишем ее в виде следующего интегрального равенства:
х2
A.3)
^ иь- их- j
XI
В силу произвольности выбора отрезка [х\, х2] из уравнения
A.3) следует, что в любой точке струны в любой момент
времени t подынтегральное выражение должно обращаться в
нуль, т.е.
, ч д2и „, д2и „, ,ч ,, ,ч
Полученное соотношение представляет собой дифференци-
дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка от-
относительно искомой функции и(х, t). Оно описывает процесс
малых поперечных колебаний струны, и его называют неодно-
неоднородным одномерным волновым уравнением, или уравнением
плоских волн. Это уравнение гиперболического типа.
В случае постоянной линейной плотности р = pq = const
уравнение колебаний однородной струны принимает вид
(L5)
f[x, t) = J{x, t)/pQ.

1.1. Уравнение колебаний струны
25
Если f(x, t)=0, то однородное уравнение
д2и -)д2и
описывает свободные колебания струны без воздействия выну-
вынуждающей силы.
Уравнения вида A.4) - A.6) описывают не только колеба-
колебания струны, но и ряд других физических процессов, которые
называют волновыми. К ним, в частности, относят следующие:
1. Продольные или крутильные колебания стержня по-
постоянного поперечного сечения (рис. 1.2). Для продольных
колебаний u(x, t) - продольное смещение в момент времени t
элемента стержня с координатой х от своего положения равно-
равновесия, а, а— у/Е/р, где Е - модуль Юнга материала стержня,
р - плотность.
У//////у '////////
Рис. 1.2
Для крутильных колебаний и(х, t) - угол поворота попе-
поперечного сечения стержня с координатой х в момент времени
t, а, а = \fCjl- Здесь С - крутильная жесткость стержня, а
/ - момент инерции единицы длины стержня относительно его
продольной оси. Для стержня кругового сечения радиуса R их
_р4 тг/?
можно рассчитать по формулам C — G ; 1 — р——-. Поэтому
Z it
а = y/G/p, где G - модуль сдвига материала.
2. Плоские акустические (звуковые) волны в жидкостях
и газах (рис. 1.3). В этом процессе волновому уравнению под-
подчиняются возмущения давления р и плотности р среды или по-
потенциал скорости. Для иззнтропических (адиабатических) те-
течений сред с уравнением состояния р = f(p) скорость а рас-
распространения возмущений (скорость звука) определяется вы-
_ В частности, если р —
dp'"
ражением
у
а2 = 7~lp=po =

26
1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
а:
II
II
==
II II
Рис. 1.3
i гДе 7~cp/cv - показатель адиабаты газа, то а =
> гДе РО и РО ~ невозмущенные значения давления и
плотности среды.
3. Распространение электрических возмущений в линии
(рис. 1.4) при отсутствии потерь. Для такого процесса и(х, t)
- напряжение или сила тока в момент времени ( на элементах
проводов, имеющих координату х. Если L и С - распределенные
индуктивность и емкость проводов на единицу длины, то а =
щ
Г\
V7YV7
Рис. 1.4
4. Плоские электромагнитные волны в непроводящих
средах (рис. 1.5). Здесь и(х, t) - напряженность электрическо-
электрического (Е) или магнитного (Я) полей; а = с/y/ijJ, где с - скорость
света в вакууме, е и /х - диэлектрическая и магнитная прони-
проницаемости среды соответственно.
Рис. 1.5

1.2. Задача. Коши для гиперболического уравнения 27
1.2. Задача Коши для
гиперболического уравнения
Формула Даламбера. Рассмотрим свободные колебания
бесконечной струны, т.е. достаточно длинной струны, влиянием
концов которой на процесс колебаний можно пренебречь.
Причинами, вызывающими такие колебания, могут яв-
являться начальные отклонения струны от равновесного положе-
положения или сообщенный струне начальный импульс, обусловлива-
обусловливающий некоторое распределение скоростей частиц струны. По-
Поэтому, описывая свободные колебания бесконечной струны, мы
должны решить однородное уравнение свободных колебаний
A-7)
при начальных условиях
Щ=о = ФУ 7
t=0
A-8)
где функции <р(х) и ip(x) заданы на всей числовой оси.
Начальные условия A.8) вполне однозначно определяют ко-
колебания бесконечной струны. При этом задачу A.7), A.8) на-
называют задачей с начальными условиями, или задачей
Коши.
Решение этой задачи проведем методом Даламбера.
Для этого введем новые независимые переменные
? = х - at; г\ — х + at.
Преобразуя производные к новым переменным, находим:
-ou^ + ou, = а {и,, - г^);
um.
n;

28 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Уравнение A.7) в новых переменных запишется в виде сле-
следующего дифференциального уравнения для функции и(?, г/):
=0.
Непосредственной проверкой можно установить, что этому
уравнению удовлетворяет функция вида
где и\(?) и U2{rj) - произвольные дважды дифференцируемые
функции. Следовательно, функция
и{х, t) = ui(x-at) +U2{x + at) A.9)
удовлетворяет уравнению A.7).
Определим теперь щ и и^ таким образом, чтобы удовле-
удовлетворялись начальные условия A.8). Тогда
u(x,0)=ui(x) + U2(x) = V(x), A.10)
щ(х, 0) = -аи'х{х) + аи'2(х) = ф{х). A.11)
Интегрируя второе равенство в пределах от xq до х, полу-
получаем
х
u2(x)-ui(x) = - [ф{в)йв + С, A.12)
«У
х0
где xq и С - постоянные.
Из системы уравнений A.10) и A.12) имеем
х0
X
х0

1.2. Задача Коши для гиперболического уравнения 29
Подставляя теперь функции щ и щ в уравнение A.9), находим
х—at
u{x, t) = i ф - at) - i- ^ i/>@) d#+
1^ + ^ + 1 I
x0
или
x+at
ip(e)dO. A.13)
x—at
Если функция ip(x) имеет производные до второго порядка
включительно, а функция "ф(х) - до первого порядка, то фор-
формула A.13) определяет решение задачи Коши A.7), A.8). При
этом соотношение A.13) называют формулой Даламбера.
Из формулы Даламбера следует, что задача Коши A.7),
A.8) для волнового уравнения имеет единственное решение, не-
непрерывно зависящее от начальных условий, т.е. если \(р\(х)~
~<Р2(Х)\<$1 и \if>l(x) — il>2{x)\<&2, To \ul(x, Ъ) — Щ(х, *)!<?> при-
причем е —> О при $12 —> 0. Это свойство непрерывной зависимости
решения от начальных условий обеспечивает корректность по-
постановки задачи Коши для гиперболического уравнения, явля-
являющуюся следствием физической детерминированности описы-
описываемого волнового процесса.
Распространение волн отклонения. Пусть в задаче Коши
A.7), A.8) %p(x) = 0, т.е. струна колеблется только в результате
ее начального отклонения, форма которого определяется функ-
функцией <р{х). Решение A.13) принимает в этом случае простой
вид:
u(x, t) = - [ф - at) + ф + at)]. A.14)

30
1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
t'O
Рис. 1.6
Дадим физическую интерпретацию каждого слагаемого в
этой формуле. Для этогорассмотрим сначала функцию
щ(х, t) — f(x - at).
Изобразим график этой функции в различные моменты времени
? = 0, t = ti и t = t2 (<2>*l) (рис. 1.6).
Видно, что функция щ(х, t) представляет собой неизмен-
неизменный профиль f(x), перемещающийся вправо в положительном
направлении оси Ох с конечной скоростью, равной а. При этом
отклонение в точке xi повторяет отклонение в точке х\ лишь
со сдвигом по времени на время запаздывания т = {х2 — х\)/а.
В подвижной системе координат, движущейся вправо со
скоростью а, наблюдатель будет видеть все время один и тот
же как бы "застывший" профиль струны.
Такой процесс распространения отклонений (возмущений)
в струне представляет собой волновой процесс. При этом вол-
волну, бегущую с постоянной скоростью а вправо вдоль оси Ох,
назовем прямой бегущей волной.
Наглядное изображение такого волнового процесса можно
получить, вводя плоскость состояний (z, t) и описывая исследу-
исследуемый процесс в верхней полуплоскости t>0 (рис. 1.7).
Функция и\ (х, t) сохраняет постоянные значения на линиях
x—at = const плоскости (х, t), которые являются характеристи-
характеристиками волнового уравнения A.7).
Предположим теперь, что функция f(x) отлична от нуля
лишь в интервале х\ < х < x<i и равна нулю вне этого интервала.

1.2. Задача Коши для гиперболического уравнения
31
ш
Рис. 1.7
Функцию такого вида называют финитной, а отрезок [х\, Х2]
- носителем этой финитной функции.
Для этого случая на плоскости состояний проведем через
точки (х\, 0) и (^2, 0) характеристики х — at = x\ и х — аЬ=-х%
(см. рис. 1.7). Они разбивают полуплоскость t>0 на три обла-
области. В области / функция щ(х, t) = f(x-at) отлична от нуля,
причем характеристики х—at = x\ и х—at = X2 выделяют перед-
передний и задний фронты распространяющейся направо волны, так
как на плоскости состояний они отделяют область возмущений
I от невозмущенных областей II и III, где функция щ(х, t)
равна нулю.
Замечание 1.1. Функция f(x—at) не только является решением вол-
волнового уравнения A.7), но и удовлетворяет дифференциальному уравнению
в частных производных первого порядка
выделяющему прямые бегущие волны в волновых процессах. #
Очевидно, что функция щ(х, t) = f{x + at) представляет
собой волну, распространяющуюся с постоянной скоростью а
влево в отрицательном направлении оси Ох. Такую волну назо-
назовем обратной бегущей волной.
На плоскости состояний процесс распространения обрат-
обратной волны для финитной функции f(x) можно проиллюстриро-
проиллюстрировать с помощью рис. 1.8. Функция и2 (x, t) — f (x+at) постоянна

32
1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
ш
хг
Рис. 1.8
вдоль характеристик из семейства, описываемого уравнением
x+at = const. Две характеристики x+at = х\ их+at = Х2, про-
проходящие через точки (х\, 0) и (х2, 0), выделяют фронты обрат-
обратной волны.
Таким образом, решение A.14) задачи о распространении
волн отклонения представляет собой суперпозицию (наложение)
прямой и обратной бегущих волн, профиль которых с точно-
точностью до множителя, равного 1/2, совпадает с профилем началь-
начального распределения отклонений струны.
Распространение волн импульса. Пусть теперь в задаче
Коши A.7), A.8) <р(х) = 0, а струна колеблется в результате
сообщения ее частицам в начальный момент времени импульса
(скорости).
Решение Даламбера A.13) в этом случае запишется в виде
x+at
A.15)
x—at
Покажем, что и это решение представляет собой суперпо-
суперпозицию двух бегущих волн, распространяющихся в противопо-
противоположных направлениях со скоростью а. Для этого введем функ-
функцию
х0
являющуюся с точностью до постоянного множителя перво-
первообразной для начального распределения скоростей ф{х).

1.2. Задача Коши для гиперболического уравнения
33
Тогда формуле A.15) можно придать вид
и(х, *) = п №(х + at) ~ ф(ж - at)\-
Такая форма решения показывает, что и в случае сообще-
сообщения частицам струны начального импульса колебания распро-
распространяются в виде прямых и обратных бегущих волн.
Метод характеристик. Каким образом рассчитать воз-
возмущение u(xo,to) в некоторой точке струны с координатой xq
в момент времени <q B общем случае распространения волн от-
отклонения и волн импульса?
Для этого на плоскости состояний (х, t) построим тре-
треугольник (рис. 1.9), проведя через точку Mq(xq, to) две харак-
характеристики x±at=const, которые пересекут ось Ох в точках М\
и Мч с абсциссами х\ =xq—ato и X2 = XQ+atQ. Такой треугольник
назовем характеристическим треугольником.
Me(x0,t0)
xz=x.o+ata
Рис. 1.9
Из формулы Даламбера A.13) следует, что возмущение
точки струны с координатой xq в момент времени to опреде-
определяется только значениями начального отклонения в вершинах
М\ и Мч характеристического треугольника и значениями на-
начальной скорости частиц струны, расположенных на основании
этого треугольника.
Действительно, формула A.13) при х = xq и t = to дает
М2
\ ММ) + <р(М2)} + 11 ${0) 6В.
КОЯОХЗА
\
НЕ БОЛЕЕ 1Й КНИГИ В

34 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Это свойство решения задачи Коши A.7), A.8) обусловлено
конечной скоростью распространения возмущений в процессах,
описываемых волновым уравнением гиперболического типа.
1.3. Обобщенные решения
Формула Даламбера A.13) определяет единственное реше-
решение задачи Коши и в том случае, когда начальный профиль
струны задается кусочно-гладкой функцией <р(х), а начальные
скорости частиц струны описываются кусочно-непрерывной
функцией гр(х).
Такое решение уже не будет классическим решением, так
как формально функция и(х, t) из уравнения A.13) при этом
может не удовлетворять уравнению A.7) в некоторых точках
плоскости состояний (х, t), где соответствующие частные про-
производные функции и(х, t) не определены.
Такое решение задачи математической физики, которое в
некоторых точках не имеет всех производных, предписывае-
предписываемых дифференциальным уравнением, называют обобщенным
решением.
Определение 1.1. Функцию и(х, t) назовем обобщенным
решением задачи Коши A.7), A.8), если существует последо-
последовательность щ(х, t), щ(х, ?),..., ип(х, t),... гладких класси-
классических решений этой задачи, такая, что ||un — и\\ -> 0 при
п —> оо. #
Предельная функция и для последовательности {ип} уже
не обязательно всюду дифференцируема (рис. 1.10, а), а может
быть даже разрывной (рис. 1.10, б).
Поэтому предельный переход последовательности гладких
функций ип(х, t) можно рассматривать не в смысле равномер-
равномерной сходимости, а в смысле сходимости по норме в некотором
классе функций.
Например, в качестве нормы ||un — u|j может быть выбрана
норма в классе функций, интегрируемых с квадратом, т.е.
/ 7 2 1/2
IK - «II = ( тах / («п - и)
-оо

1.3. Обобщенные решения
Рис. 1.10
В этом случае сходимость последовательности функций ип
к и следует понимать как сходимость в среднем.
Поэтому, определяя обобщенное решение задачи матема-
математической физики, мы должны указать класс функций, для ко-
которых вводится такое решение.
С.Л. Соболев дал другое определение обобщенного решения
дифференциального уравнения, которое не прибегает к помощи
предельного перехода в последовательности классических реше-
решений, а использует понятие обобщенных производных функций
различных классов.
Рассмотрим, например, в некоторой области Q, С УК вол-
волновое уравнение
д2и
-••?;=о.
дх2
(х, t) € U.
A.16)
Введем в рассмотрение класс так называемых пробных
функций. Функция r/(x, t) из этого класса имеет в области п
непрерывные производные, по крайней мере, до второго поряд-
порядка включительно. Кроме того, пробная функция обращается в
нуль вне некоторой внутренней части а области П.
Если уравнение A.16) умножить на пробную функцию
т](х, t) и проинтегрировать по области п, то можно записать
следующее интегральное равенство:
'д2и ,aV
dxdt =
A.17)

36 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Дифференциальное уравнение A.16) и интегральное равен-
равенство A.17) эквивалентны в классе функций, имеющих непре-
непрерывные производные до второго порядка включительно. Это
значит, что если функция и(х, t) является классическим реше-
решением дифференциального уравнения A.16), то для нее выполня-
выполняется интегральное равенство A.17), и, наоборот, если для лю-
любой пробной функции т](х, t) выполнено интегральное равенство
A.17), то это возможно только для функции и(х, t), являющейся
решением дифференциального уравнения A.16).
Преобразуем уравнение A.17) двукратным интегрировани-
интегрированием по частям по переменным х и t. Так как пробная функция
г/ и ее производные обращаются в нуль вне области а, то вне-
интегральные члены при интегрировании обратятся в нуль и в
результате получим еще одно интегральное равенство
//•
Назовем обобщенным решением дифференциального урав-
уравнения A.16) в области п функцию и(х, t), удовлетворяющую
интегральному равенству A.18) для любой функции т](х, t) из
класса пробных функций.
Так как в процессе преобразования выражения A.17) в
A.18) производные от функции и "перешли" к пробной функции
г/, в качестве обобщенного решения дифференциального урав-
уравнения A.16) теперь можно рассматривать также и такие функ-
функции, которые не имеют во всех точках области П производных,
предписываемых дифференциальным уравнением A.16).
Обобщенные решения дифференциальных уравнений широ-
широко применяются при решении задач для уравнений в частных
производных, тем самым расширяется класс функций, исполь-
используемых в современной математической физике.
Отметим, что введенное с помощью интегрального равен-
равенства A.18) обобщенное решение дифференциального уравнения
в частных производных тесно связано с понятием обобщен-
обобщенной производной, которое распространяет классическое по-

1.3. Обобщенные решения 37
нятие производной на некоторые классы недифференцируемых
в обычном смысле функций.
Пусть П С 5Н - конечная область iV-мерного евклидова
пространства. Рассмотрим две бесконечно дифференцируе-
дифференцируемые в области П функции и(х) = и(х\, Х2,..., хдг) и v(x) =
= v(x\, X2, ¦ ¦ ¦, %n)- Пусть при этом функция v(x) финитна в Q,
т.е. эта функция равна нулю как на границе области П, так и в
некоторой узкой приграничной полосе достаточно малой шири-
ширины 6 > 0. Тогда с помощью интегрирования по частям приходим
к равенству
П П
где dV = dx\ dx% • • • dxjy - элемент объема пространства 5Н .
Полученное интегральное соотношение можно использо-
использовать для определения обобщенной производной функции и(х)
даже в том случае, если эта функция не дифференцируема в
обычном классическом смысле. Следуя С.Л. Соболеву, рассмо-
рассмотрим интегрируемую в ?2 функцию и(х) и определим обобщен-
обобщенную частную производную этой функции в области П как такую
функцию
для которой справедливо тождество
Juj
u'j(x)v(x)dV = -
если в качестве функции v(x) взять любую финитную бесконеч-
бесконечно дифференцируемую в П функцию.
Замечание 1.2. Определяя обобщенную производную функции и(х)
к-го порядка, финитную функцию v(x) можно считать непрерывно диффе-
дифференцируемой в П лишь к раз. #
Можно показать, что если функция и(х) непрерывна в п
вместе со своими производными (обычными классическими)

38 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
до к-го порядка включительно, то существуют и ее обобщен-
обобщенные производные к-го порядка, которые совпадают при этом с
обычными.
Однако в общем случае из существования у функции и(х)
обобщенных производных к-го порядка не следует существова-
существование у этой функции обобщенных производных более низкого
порядка.
Обобщенная производная в отличие от классической про-
производной имеет некий "интегральный характер," так как в ее
определение входит область П. Правда, если и'Лх) есть обоб-
обобщенная производная функции и(х) в области П, то и'Лх) являет-
является также обобщенной производной функции и(х) в любой под-
подобласти П' области П.
В качестве примера нахождения обобщенной производной
покажем, что на интервале (—1, +1) функция и(х) = \х\ имеет
обобщенную производную и'[х) = sgnx.
Действительно, пусть v(x) - произвольная непрерывно диф-
дифференцируемая на отрезке [—1, +1] функция, причем v(—1) =
= и(+1) = 0. Тогда
+1 0 +1
/, . dv . f dv , f dv ,
\x\ — dx = — I x — dx + / x — dx.
dx J dx J dx
-1 -1 0
Интегрируя по частям, получаем
0 0+1+1
/ x — dx — - I v(x) dx; x — dx = - v(x) dx.
-1-10 0
Поэтому
+1 0 +1
I \x\ — dx = / v(x)dx— I v(x)dx.
-1 -1 0

1.4. Колебания полуограмиченной струиы 39
Это соотношение можно записать как интегральное равенство
+1 +1
/f я
\х\ — dx = — / sgnx • v{x) dx,
-1 -1
из которого следует, что обобщенной производной функции
и(х) = \х\ на интервале (—1, +1) является функция u'{x) = sgnx.
В этом примере интервал (—1, +1) включает в себя точку х = О,
в которой функция и(х) — \х\ не имеет обычной классической
производной.
1.4. Колебания полуограниченной струны
Если при описании процесса колебаний струны учесть вли-
влияние одного из ее концов (х = 0), то можно проанализировать
колебания в полуограниченной струне, вызванные граничным
возмущением, и изучить процесс отражения волн от конца стру-
струны.
Сформулируем следующую начально-краевую задачу для
полуограниченной прямой:
д2и ," -
— уравнение,
и@, t) = /i(t), t > 0
A.19)
— граничное условие и
u(x, 0) = ф), х ^ 0;
zii ix 0) -^ ib (x ^ qi ^ 0
— начальные условия.
Здесь заданная функция fi(t) описывает закон движения
конца струны. В частном случае она может быть периодической
функцией времени.
Учитывая линейность задачи A.19), найдем ее решение в
виде суммы и = w + v решений двух вспомогательных задач,

40
1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
одна из которых соответствует нулевым начальным данным, а
другая - однородному граничному условию:
d2w nd2w
_ 2
Ц0, t) =
w{x, 0) = 0;
[wt[x, 0) =0
dt2 ~Q дх2 ;
«@, t) = 0;
u(x, 0) =<p(x);
vt{x, 0) = ip{x).
A.20)
Решение первой задачи A.20) найдем с помощью приме-
применения преобразования Лапласа [ XI ] по временной переменной
t ^ 0. После такого преобразования w(x, t)= w(x, p), fj,{t)= Д(р)
и первая из задач A.20) сводится к простой задаче для нахо-
нахождения изображения
Общее решение уравнения A.21) имеет вид
_ ?
w{x, p) = С\е а?
4-?
а
A.21)
A.22)
Константу С2 следует положить равной нулю, чтобы для Rep >
0 исключить неограниченно растущие при х —> +оо решения.
Выполняя граничное условие в точке х — 0, получаем
й@, р) = Ci =
Тогда решение A-22) примет вид
-»*
A.23)
A.24)
Из выражения A.24) по теореме запаздывания [ XI ] можно най-
найти оригинал
к '
-х/а), x<at-
0, х > at,
который и является решением первой задачи A.20).
A.25)

1.4. Колебания полуограииченной струны 41
Такое решение имеет простой физический смысл. Так как
возмущения в струне распространяются в виде волн с конеч-
конечной скоростью, равной а, то колебания в точке с абсциссой х
повторяют колебания струны в точке х = 0 с запаздыванием
по времени на величину т = х/a. Кроме того, в любой момент
времени t > 0 существует область х > at, куда возмущения от
конца струны еще не дошли.
Решение второй задачи A.20) проведем методом распро-
распространяющихся волн с продолжением начальных данных на всю
прямую — оо < х < +оо. Для этого докажем сначала, что если в
задаче A.7), A.8) о колебаниях на неограниченной прямой на-
начальные данные являются нечетными функциями относительно
точки х = 0, то в этой точке в любой момент времени решение
равно нулю.
Действительно, если в задаче A.7), A.8) <р(-х) = -<р{х) и
тр(-х) = -ф{х), то по формуле Даламбера A.13) получим
+at
-at
поскольку интеграл от нечетной функции в симметричных от-
относительно начала координат пределах равен нулю.
Доказанное свойство задачи Коши A.7), A.8) позволяет
утверждать, что если во второй задаче A.20) начальные данные
продолжить нечетным образом на область х < 0 и рассмотреть
получившуюся для функции v(x, i) задачу Коши на неограни-
неограниченной прямой с начальными данными
v(x,0) = v*(x) = \'P_{x}_J>°ln.
A.26)
vt(x, 0) = ф*(х) =
то ее решение, найденное по формуле Даламбера,
x+at
<ф*{в)Aе A.27)
x—at

42
1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
для всех t^Oni^O является также решением второй задачи
A.20).
Действительно, эта функция, являющаяся решением вол-
волнового уравнения, равна нулю в точке i = 0b любой момент
времени t ^ 0 из-за нечетности начальных данных A26), а при
t = 0 и х > 0 удовлетворяет начальным условиям второй задачи
A.20)
v{x, 0) =ip*{x> 0) = <р{х), х>0;
vt{x, 0) =ф*{х > 0) = ф{х), х>0.
Таким образом, с учетом начальных данных A.26) решение
A.27) второй задачи A.20) можно окончательно записать в виде
x+at
ip(x — at) + <p{x 4- at) 1
2 + 2^
x—at
x > 0, t < x/a;
at+x
v(x, t) = <
A.28)
ip(x + at) — ip(at — x) 1
Га I
at—x
x>0, t> x/a.
Проанализируем полученное решение. В области х > at
влияние границы не сказывается и решение A.28) здесь пол-
полностью совпадает с решением для бесконечной струны A.13).
В области х < at волна, пришедшая из вспомогательной обла-
области х < 0, реально описывает воздействие волны, отраженной
от закрепленного конца х = 0. Из решения A.28) следует, что
при отражении волны от закрепленного конца знак отклонения
струны изменяется на противоположный.
Замечание 1.3. Вторую задачу A.20) можно решить и для случая
свободного (незакрепленного) конца, когда граничное условие имеет вид
t>x@, t) = 0. При решении такой задачи начальные данные следует продол-
продолжить в область х < 0 четным образом. В такой задаче отражение волны от
свободного конца будет происходить без изменения знака отклонения. #

1.5. Краевые задачи для гиперболического уравнения
43
Как уже указывалось, решение задачи A.19) можно запи-
записать в виде суммы решений A.25) и A.28) вспомогательных
задач A.20):
u(x, t) = <
ip(x — at) + ip{x + at) 1
x+at
h I
x—at
x > 0, t < x/a;
<p{x + at) - <p(at - x) A.29)
at+x
— I ф{в) dO, x>0, t> x/a.
/iOL J
at—x
1.5. Краевые задачи
для гиперболического уравнения
Математическое описание процессов поперечных колеба-
колебаний струны или продольных колебаний стержня конечной дли-
длины должно быть дополнено помимо начальных условий также
граничными условиями. Эти условия показывают, что проис-
происходит на концах струны или стержня в любой момент времени.
Опишем задание различных граничных режимов на концах
струны или стержня, расположенных в точках х = 0 и х = I.
При этом для описания выделим один из концов, например х = I.
Если задан закон движения /i(<) этого конца, то решение
задачи о колебаниях должно удовлетворять при х = I гранич-
граничному условию первого рода
u(x, t)\x=l = n(t).
A.30)
В частности, однородное условие (fj,(t) = 0) задают в случае
жесткого закрепления конца струны или стержня.
Если задан закон изменения силы J(i), приложенной к кон-
концу стержня х = I, то эта сила вызовет упругие напряжения в

44 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
стержне, причем по закону Гука упругая сила на конце стерж-
стержня с площадью поперечного сечения 5 пропорциональна отно-
относительному удлинению ди/дх и равна ES —, где Е - модуль
дх
Юнга материала. Следовательно, на конце стержня х = I долж-
должно выполняться граничное условие второго рода
ди
A.31)
х=1
где j(t) = ^(^/(ES). Если j(t) = 0, то конец стержня является
свободным.
Пусть теперь к концу стержня при х = I прикреплена
пружина, действующая на стержень с силой, пропорциональ-
пропорциональной смещению стержня и(х, t) при х = I. Эта упругая сила
7 = -ku(l, t), где к - коэффициент жесткости пружины, будет
играть роль внешней силы. Поэтому в таком случае на конце
стержня должно выполняться граничное условие третьего рода
ди
дх
(ди
= —hu(l,t), или I — + /ш
х=1 \дх
х=1
= 0, A.32)
где h = k/(ES) - некоторая постоянная.
Естественным обобщением A.32) является условие
ди
— +hu
дх
= g(t). A.33)
х=1
Задачи отыскания решений уравнений колебаний с уче-
учетом начальных и граничных условий будем называть начально-
краевыми, или просто краевыми, задачами для волнового урав-
уравнения.
Краевые задачи, когда в граничных точках заданы условия
первого, второго или третьего рода, назовем соответственно
первой, второй или третьей краевыми задачами. Можно рас-
рассматривать и смешанные краевые задачи, если в граничных
точках заданы условия различного типа.

1.5. Краевые задачи для гиперболического уравнения 45
Метод разделения переменных, или метод Фурье,
является одним из основных методов решения задач матема-
математической физики в ограниченных областях. Изложим этот ме-
метод для задачи о свободных колебаниях ограниченной струны
с закрепленными концами, которая формулируется следующим
образом: найти решение однородного волнового уравнения
^ g «>0, <><*<*. A.34)
удовлетворяющее начальным условиям
= ф{х), O^x^l, A.35)
u\t=0=<p(x), —
и однородным граничным условиям
A.36)
Идея метода Фурье основана на линейности и однородно-
однородности уравнения и граничных условий. В этом случае справедлив
принцип суперпозиции для любых частных решений щ и ui
уравнения A.34), удовлетворяющих условиям A.36), т.е. функ-
функция и = С\и\ + С2Щ1 где Cit2 = const, также удовлетворяет
уравнению A.34) и граничным условиям A.36). Оказывается,
что с помощью суперпозиции линейно независимых частных ре-
решений можно выполнить также и начальные условия A.35).
Будем искать нетривиальное решение уравнения A.34) в
виде произведения двух функций
u(x,t) = X(x)T(t), A.37)
одна из которых зависит только от переменного х, а другая -
только от t.
Дифференцируя дважды выражение A.37) по а; и по t, после
подстановки его в уравнение A.34) получим
t) = a2X"{x)T{t),

46 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
1 T"(t) X"(x)
Равенство A.38) должно соблюдаться при всех значениях
хЕ (О, I) и t > 0. Особенностью равенства A.38) является разде-
разделение переменных в нем, т.е. его левая часть зависит только от
t, а правая - только от х. Поэтому, если, например, зафиксиро-
зафиксировать х, правая часть, а вместе с ней и левая должны сохранять
постоянное значение при различных значениях t. Аналогично
левая часть, а следовательно, и правая часть равенства при фик-
фиксированном t не должны изменяться при изменении х. Но тогда
однозначно вытекает вывод о том, что равенство A.38) будет
справедливо лишь в том случае, если обе его части вообще не
зависят ни от х, ни от ?, т.е. являются постоянной величи-
величиной. Обозначив эту постоянную разделения буквой Л со знаком
минус, запишем A.38) в виде
«2 T(t) ~ X{x) ~ А' {1'6Щ
Отсюда следует, что функции T(t) и Х(х) можно опреде-
определить из решения обыкновенных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
T"{t) + A a2T{t) = 0; ^'(ж) + Л Х{х) = 0.
Чтобы такие частные решения вида A.37) удовлетворяли
граничным условиям A.36) для любого t ^ 0, необходимо по-
потребовать выполнения условий Х@) = 0 и ХA) = 0.
Таким образом, для отыскания координатной функции
Х(х) приходим к следующей задаче. Найти такие решения ли-
линейного однородного дифференциального уравнения второго
порядка
Х"{х) + А Х(х) = 0, 0 < х < I, A.40)
которые в граничных точках х = 0 и х = I удовлетворяют
условиям
Х{0) = 0, Х{1) = 0. A.41)

1.5. Краевые задачи для гиперболического уравнения 47
При любом Л = const эта задача имеет тривиальное ре-
решение Х(х) = 0. Однако ниже будет показано, что при неко-
некоторых положительных значениях постоянной Л задача A.40),
A.41) имеет и нетривиальные решения. Такие "особенные"
значения Л называют собственными значениями, а соот-
соответствующие им нетривиальные решения Х(х) - собствен-
собственными функциями задачи A.40), A.41). Задачу отыска-
отыскания собственных значений и собственных функций называют
задачей Штурма - Лиувилля. Общая постановка такой за-
задачи дана в Приложении 2.
Возвращаясь к задаче A.40) и A.41), рассмотрим отдельно
случаи, когда константа разделения Л равна нулю, отрицатель-
отрицательна или положительна.
При Л = 0 общее решение уравнения A.40) есть линейная
функция Х{х) = С1 + С2Х, которая может удовлетворить обоим
условиям A.41) лишь при С\ = С2 = 0. Таким образом, при
Л = 0 задача A40), A.41) имеет только тривиальное решение
Х(х) = 0.
Если Л < 0, то общее решение уравнения A.40)
Х(х) = Cich(y/\X\x) + C2sh(V\M x)
при подстановке в граничные условия A.41) дает
С\ + С2 ¦ 0 = 0;
Cich{y/\X\ I) + C2sh(^0 = 0.
Так как определитель этой однородной системы
D = sh(^/[X[/) при любом значении Л < 0 не равен нулю, то
единственным ее решением является решение С\ = Сч = 0. Сле-
Следовательно, у задачи A.40), A.41) нет неположительных соб-
собственных значений.
Остается рассмотреть случай Л > 0, когда общее решение
уравнения A.40)
Х(х) = С\ cos(\/Aa;) + C2 sin(\/Az)

48 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
может удовлетворить граничным условиям
0
при С\ = 0, но Сч — С ф 0, если определитель системы A.42)
D — sin(vA0 = 0, что выполняется при vA/ = птг, п = 1, 2,...
Таким образом, только при собственных значениях
A-43)
задача A.40), A.41) имеет в качестве нетривиальных решений
систему собственных функций
r n='l,2,..., A.44)
ортогональных на отрезке [0, /].
Каждому собственному значению Лп будет соответство-
соответствовать функция Tn(t), которую находим из решения уравнения
^) a2Tn(t) = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tn{t) = an cos (~tj +bnsin(^*J, A.45)
где ап и Ьп - произвольные постоянные.
Подставив выражения A.44) и A.45) в формулу A.37), най-
найдем частные решения уравнения A.34), удовлетворяющие гра-
граничным условиям A.36). При этом каждому п — 1, 2,... будет
отвечать решение
, s Г {пжа \ , . / пжа \] птгх , .
ип(х, t) = ancos( —j—tj +bnsml ——1\ sin——. A.46)

1.5. Краевые задачи для гиперболического уравнения 49
Суперпозиция всех решений вида A.46)
. . v""* Г {nira \ , . /nira \1 . пттх . „.
tt(x, *) = > ancos —r-t) +bnsm[ —rt) sin-у- A.47)
n=\\- \ ' / \ ' /J '
будет также решением A.34), удовлетворяющим граничным
условиям A.36), если ряд A.47) для любого ж€ @, /) при t ^ О
является сходящимся рядом и его можно дважды почленно диф-
дифференцировать.
В этом случае можно подобрать постоянные ап и Ьп в урав-
уравнении A.47) так, чтобы функция, представленная рядом A.47),
удовлетворяла начальным условиям A.35). Для этого продиф-
продифференцируем почленно ряд A.47) по t:
du v~» пжа Г ¦ (пжа \ , (пжа X] . пттх
— = > —— -ansm ——t\ +bncos[ —— t\\ sin——
ot ~± ' L \ ' / V ' /J '
и при t = 0 удовлетворим начальным условиям
00
Е. пжх
ansm— =<р(х), O^x^i,
Z\ fi7ra . итгх .
n** 41 n = tht rl П <! т <^ /
. un &iii — vyj-), и ^ x %; t.
Равенства A.48) представляют собой разложение заданных
функций <р(х) и "ф(х) в ряды Фурье [IX] по ортогональной
в интервале @, /) системе тригонометрических функций
{пжх 1 °° _ птта ,
sin —— > . Поэтому коэффициенты ап и —-— оп этих раз-
N п=1 /
ложений являются коэффициентами Фурье <рп и фп функций
<р(х) и ф{х). Определяя эти коэффициенты по формулам Эйле-
Эйлера - Фурье, получаем
2 / пжх
ап = <рп = т / <р[х) sin —— dx;
° , A-49)
1 , 2 f ,, ч • П7ГЖ j
bn = Wn = / Ф\х) sin —— dx.
пжа пжа J I
0
du

50 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Таким образом, ряд A.47) с коэффициентами ап и Ьп, вы-
вычисленными по формулам A.49), окончательно определяет ре-
решение исходной краевой задачи A.34) - A.36).
Решение A-47) можно преобразовать к следующему виду:
оо оо
и{х, t) = Y^ un{x, t) = Y^,<Xn cos(wnf - Sn) sin -j-, A.50)
n=l n=l
где an = y/a\ + b\\ шп = nna/l; tg5n = bn/an.
Каждое из слагаемых ип(х, t) в уравнении A.50) описывает
движение струны в виде стоячей волны, которая образуется
в результате наложения прямой и обратной бегущих волн при
отражении их от концов струны. Эти стоячие волны называют
простыми тонами, или гармониками.
В стоячей волне все частицы струны колеблются с одина-
одинаковой частотой
(л еи\
yW. A.51)
Эти частоты cjn, п = 1, 2,..., называют собственными часто-
частотами колебаний ограниченной струны. Самая низкая частота
ш\ соответствует основному тону струны, а более высокие ча-
частоты, кратные ш\, соответствуют обертонам. Изменяя длину
струны или силу ее натяжения Тд, можно изменять частоты
колебаний и>п.
Для n-й стоячей волны точки струны с координатами
хт = ml/n, т = 0, 1, ..., п, в которых sin(n7rxm/Z) = 0, оста-
остаются все время неподвижными. Их называют узлами стоячей
волны (рис. 1.11, темные точки). Точки струны с координатами
2т- И
Хт = —„ , m = 1, 2,... п, совершают колебания с макси-
мальной амплитудой, равной ап. Такие точки носят названия
пучностей стоячей волны (рис. 1.11, светлые точки).
Установим теперь ограничения на функции <р(х) и ф{х),
при выполнении которых возможно двукратное почленное диф-
дифференцирование ряда A.47) для функции и(х, t).

1.5. Краевые задачи для гиперболического уравнения
51
Оснобноп тон
ПерВьш обертон
Рис. 1.11
1. Пусть функция <р(х) непрерывна вместе со своими про-
производными до второго порядка включительно, а третья про-
производная кусочно-непрерывна на отрезке [О, I] и, кроме того,
Заметим, что эти требования предполагают, в частности,
согласование начальных и граничных условий, когда и началь-
начальное распределение отклонений в струне учитывает отсутствие
смещений закрепленных концов струны.
2. Функция "ф(х) непрерывна вместе со своей первой про-
производной и имеет кусочно-непрерывную вторую производную
и, кроме того, ф@) — фA) = 0.
Тогда при выполнении этих условий из теории рядов Фу-
Фурье, согласно формулам A.49), следует, что коэффициенты an
и bn имеют порядок малости ОA/п ) по индексу п. Поэтому
числовой ряд
оо
п=\
сходится и с некоторой константой А является мажорантным
рядом для функциональных рядов
д2и /тг\ v~^ of fnira \ , . fnira \~\ . nirx
дх^ = ~{т) 22п1а"со8{—*)+ь"8т[-гг)\8т-г->
\2 оо г /
жа \ V—v о / Га
fnira
jn sra | —— i ) I sin
пттх
I

52 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Следовательно, эти ряды при t ^ 0 и х 6 [О, 1} равномерно схо-
сходятся и ряд A.47) с коэффициентами A.49) при выполнении
условий 1 и 2 определяет классическое решение краевой задачи
A.34)-A.36).
Условия 1 и 2 могут быть ослаблены. В этом случае ряд
A.47) является обобщенным решением краевой задачи и сходи-
сходимость ряда и его производных следует понимать в более ши-
широком смысле, например как сходимость в среднем или слабую
сходимость.
Решения задач о свободных колебаниях ограниченной стру-
струны или стержня с однородными граничными условиями вто-
второго или третьего рода могут быть также построены в виде
бесконечных функциональных рядов аналогичной структуры,
отличающихся лишь собственными значениями и собственны-
собственными функциями соответствующей задачи Штурма - Лиувилля. В
Приложении 2 приведены примеры решения задач на собствен-
собственные значения для уравнения A40) с различными условиями в
граничных точках х — 0 и х = I.
1.6. Краевые задами
для неоднородного уравнения
Вынужденные колебания струны. Изложенный выше ме-
метод Фурье (разделения переменных) позволяет также решать
краевые задачи для неоднородного волнового уравнения.
Сформулируем, например, задачу о вынужденных колеба-
колебаниях струны, закрепленной на концах:
,.| _ т(~\ _ _ J,(r\ П <Г -г <Г /• И *>1\
UH=Q ~ (P\x)t ^7 ~ Y\x)i U 5j Z 5j t, ^l.OOJ
at t=Q
u\x=0 = 0, u\x=l = 0, t^ 0. A.54)
Рассматривая в искомом решении и(х, t) этой задачи пе-
переменное t как неотрицательный параметр, будем искать это

1.6. Краевые задачи для неоднородного уравнения 53
решение в форме разложения в ряд Фурье по ортогональной на
отрезке [0, 1} системе собственных функций < sin —— [ , най-
V. I ) 71=21
денных в задаче о свободных колебаниях ограниченной струны
и удовлетворяющих граничным условиям A.54). Тогда
оо
u(x t) = N Vn(t) sin A.55)
n=l
где коэффициенты разложения Vn(t) следует определять как
функции времени t так, чтобы ряд A.55) удовлетворял уравне-
уравнению A.52) и начальным условиям A.53). Для этого представим
функции f(x, 0) <р(х) и ф(х) в виде следующих тригонометри-
тригонометрических рядов Фурье:
00
sm —, <Pn
= j <p{€) sin -— d^; A.56)
4 l
00
2 Г птг(,
Фп = т / Ф(О sin —— d?.
-1 'I l
Подставив ряды A.55) и A.56) в уравнение A.52) и началь-
начальные условия A.53), получим следующие соотношения:
оо г / \ 2 1 оо
. ПЖХ уг-^ , , . ПТГХ
sm—:— =
оо г / \ 2 т
EL,.. . (пжа\ тг . . .
\Vn(t) +[ — ) Vn(t)\sm
n=l *¦ \ / J
;
J n=i
00 00
Y <Pnsin
71=1 71=1
OO OO '
• П1ГХ
Vn{O)sm-Y- = 22 <Pnsin—, A.57)
^n(O) sin — = 2^ фп sin —.
l l
n=l

54 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
С учетом полноты ортогональной системы собственных
функций (см. Приложение 2) приравняем в разложениях A57)
коэффициенты при одинаковых собственных функциях. Тогда
получим следующую задачу Коши для обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения второго порядка:
п
) Vn(t) = fn(t); A.58)
Vn@) = <рп, V» = фп- A-59)
Общее решение уравнения A.58) может быть найдено ме-
методом Лагранжа вариации постоянных [VIII]. Удовлетворяя на-
начальным условиям A.59), представим решение задачи A.58),
A.59) в виде
„ . . ( птка \ I . fn-na \
Vn{t) = <Pn cos —- t + Vn sm —— t +
\ I ) n-na \ I )
r^^ldr. A.60)
nna
0
Тогда, подставив найденное выражение для Vn{t) в ряд
A.55), получим решение исходной задачи A.52) - A.54) в сле-
следующей форме:
nna \ I Iпжа \ . ппх
t\ Vnsm t)
*,*) = !, [^cos ^—f) + ^^sm ^—') Isin—+
oo r * . .
t—\ с / , . nna it — T)
n=l
Функция источника. При нулевых начальных условиях,
когда <р(х) = 0 и ф(х) = 0, первое слагаемое в A.61) равно
нулю. В этом случае функция
E^ If.,-., nna (t — t) 1 П7гж
//„тип ^ idT 8m— 1.62
_ П7га [у I J I
П-i. Q

2.6. Краевые задачи для неоднородного уравнения 55
описывает вынужденные колебания ограниченной струны, ко-
которые совершаются только под действием внешней распреде-
распределенной по струне вынуждающей силы при отсутствии началь-
начальных возмущений струны.
Преобразуем формулу A.62), заменяя в ней /п(т) выраже-
выражением из A.56) и меняя порядок суммирования и интегрирова-
интегрирования. После этих преобразований получим
t I
ui(x,t)= f I G(x,t,t-T)f(t,T)d?dT, A.63)
0 0
где
G(x, ?, t-r) =
2 v^ 1 • пжх ¦ П7Г? • n7ra (t —т) , г. ч
= — > - sin —-— sin —— sin -. A.64)
71=1
Выясним смысл функции G. Для этого положим функцию
/(z, t) равной
/(#, t) = 8(х — Xq) 8(t — to), xq € @, 1), tQ > 0,
где 6(? — ?o) ~ обобщенная дельта-функция, описывающая
сосредоточенное воздействие при ? = ?q (см. Приложение 1).
Такая неоднородность в уравнении A.52) соответствует за-
заданию сосредоточенной в точке xq внешней возбуждающей си-
силы, мгновенно действующей в момент времени Iq. Такая сила
мгновенно передает струне сосредоточенный импульс, численно
равный линейной плотности струны ро-
Используя свойства дельта-функции (см. Приложение 1), с
помощью формулы A.63) находим закон колебаний струны в
таком режиме возбуждения в виде
ГО, если t < tQ]
. t) = <
[G(x,xo,t-to), e
если t >

56 i, УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Естественно поэтому функцию G(x, ?, t — т), определенную
формулой A.64), назвать функцией источника, или функци-
функцией влияния мгновенного сосредоточенного импульса на ограни-
ограниченном отрезке [О, I]. Формула же A.63) при этом показывает,
что действие любой непрерывно распределенной вынуждающей
силы, зависящей от времени, можно представить в виде суммы
(интеграла) импульсных воздействий, и для нахождения закона
колебания струны под действием произвольной распределенной
силы 7(х, t) = pof(x, t) достаточно знать воздействие мгновен-
мгновенной сосредоточенной силы.
Первая краевая задача в общей постановке. Рассмотрим
общую постановку задачи о вынужденных колебаниях струны
с заданными законами колебаний ее концов:
^ 2^ /(х, *), t> 0, 0<х</; A.65)
4=0 = VO1)' тгг = Ф{х), 0 ^ x ^ I; A.66)
at t=0
u\x=Q = /j,(t), u\x=l = г/@, * ^ 0. A.67)
Для решения этой задачи введем вспомогательную функ-
функцию W(x, 0 таким образом, чтобы она удовлетворяла условиям
A.67), т.е.
В качестве одной из таких функций можно выбрать
W{x, 0 = /i(t) + у [i/@ - /*@], 0 «: х ^ I.
Тогда с помощью подстановки
и(х, 0 = W(x, t)+v(x, 0
для новой неизвестной функции v(x, t) получим следующую кра-
краевую задачу:
— Л2 , f i ±\ а ^ г> п х т х /. (л ао\
— a r^,) -\-Jl\x, Z), ъ ?¦ и, и <^ х <^ {, ^х.оо;
A.69)

1.6. Краевые задачи для неоднородного уравнения 57
где новые функции /i(x, t), <p\ix) и ^>i(z) определены форму-
лами
, t) = f{x, t)-~- = f{x, t) - {л"(t) + j у [t) - //'(*)]};
) = <pix) - W(x, 0) = <p(x) -
Таким образом, первая краевая задача для неоднородного
уравнения в общей постановке сведена к изученной ранее зада-
задаче вида A.52) - A.54) о вынужденных колебаниях ограниченной
струны с закрепленными концами.
Можно выделить класс задач со стационарными неодно-
родностями, когда вынуждающая сила и условия закрепления
концов струны не зависят от времени:
^ 2^/(*), t>0, 0<х<1;
и(х, 0) = ?>(х), щ{х, 0) = ф{х);
Здесь Н\ и Щ - некоторые заданные константы.
Решение задачи A.71) можно найти, выделяя стационар-
стационарную часть решения:
u(x, t) = udx) + и(ж, t).
В модели струны функция udx) описывает стационарный
профиль, соответствующий статическому прогибу струны под
действием распределенной силы fix).
Стационарное решение udx) находим из решения задачи
для обыкновенного дифференциального уравнения

58 i. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Интегрируя уравнение A.72) и выполняя граничные усло-
условия, получаем
ис(х) =Н1 + (Я2 -j
is x i
+ -tffdzJf{T,)dri-lIJdtJf(T,)dTi. A.73)
0 0 0 0
С учетом соотношений A.71) и A.72) находим, что функция
v(x, t) удовлетворяет однородному волновому уравнению
d^v -yd v
2 *>0 0<1
с начальными условиями
v(x, 0) = (р(х) - ис(х);
Поэтому эту функцию можно найти по формулам A.47) и A.49),
заменив в формуле A.49) ip(x) на <р(х) — ис(х).
Вопросы и задачи
1.1. Привести уравнение ихх +уиуу + -иу = 0 к канонической форме
в области его гиперболичности.
Ответ: В области у < 0 уравнение приводится к виду и^п = 0.
1.2. Найти продольные смещения частиц полуограниченного стержня
со свободным концом х = 0, если в начальный момент времени частицам
стержня сообщается скорость, заданная функцией гр(х).
Ответ:
и(х, t) = i
hi
z+at
г[>{в)Aв, х > at;
x-at
at — x at+x
x < at.
i [ Me)de + ± f

Вопросы и задачи 59
1.3. Решить задачу о свободных колебаниях ограниченной струны
длиной I с закрепленными концами, если в начальный момент времени ча-
частицам струны, находящимся в интервале хо — е < х < хц + е, сообщается
постоянная скорость vo- Начальное отклонение струны равно нулю. Рас-
Рассмотреть предельный случай, когда е —» 0, a 2pot'o? = /о = const, где /о -
переданный струне импульс.
ОО
„ , .. 4vol v~* I • nnat . nnxo . nne . nnx
Ответ: u(x, t) = —— >^ — sin —-— sin —-— sin —— sin —y—.
n = l
1.4. Решить предыдущую задачу в предельном случае е-t О, используя
дельта-функцию сосредоточенного влияния, т.е. считая ф{х) = —о{х).
ОО
_ , . 27о V—* 1 . nnat . nnxo . ппх
Ответ: и{х, t) = > — sin sin sin .
npoa *-~i n I II
n = l
1.5. Закрепленная на концах струна оттянута в точке х = хо на вели-
величину Н. Считая профиль струны слева и справа от точки х = хо линейным,
найти колебания струны, вызванные таким начальным отклонением. На-
Начальная скорость равна нулю.
_ , . 2Н12 ^—» 1 nnat . nnxo . nnx
Ответ: u[x, t) = —г ; > —- cos sin —;— sin .
TT2X0(l - X0) ^ П2 I I I
n = l
1.6. Решить задачу о продольных колебаниях стержня длиной I, один
конец х = 0 которого жестко закреплен, если стержень был подвергнут
растяжению действием постоянной силы Fo, приложенной к концу х = I.
В начальный момент времени действие силы i*o мгновенно прекращается
и конец стержня х = I остается свободным. Модуль Юнга стержня равен
Е, а площадь поперечного сечения - S.
п , л 8F0/ ^> A)+1 Bn-l)nat . Bп - 1) пх
Ответ: п(х, 0 = ^^ ^ J^ZJy cos j/ МП 2/ '
n = l
1.7. Горизонтальная струна длиной / с закрепленными концами нахо-
находится в поле силы тяжести. В начальный момент времени струну отпус-
отпускают, не сообщая скорости ее частицам. Описать закон колебаний струны
под действием силы тяжести. Скорость распространения возмущений в
струне равна а. Определить статический прогиб струны.
Ответ: u(x, t) = — -^-^ х (I - х)+
l2 -А 1 Bп - 1) nat . Bn - 1) пх

2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
2.1. Одномерный нестационарный процесс
распространения теплоты
Уравнение теплопроводности. Процесс передачи тепло-
теплоты от более нагретых частей тела к менее нагретым связан с
изменением температуры и в различных частях тела. Поэтому
описание такого процесса в макроскопической теории в общем
случае сводится к определению нестационарного температур-
температурного поля в теле.
Рассмотрим одномерный процесс передачи теплоты тепло-
теплопроводностью в плоском слое изотропного материала (рис. 2.1),
считая, что температура и = и(х, t) является функцией лишь
одного пространственного переменного х.
Плотность р материала, его
удельную массовую теплоемкость
с и коэффициент теплопроводно-
теплопроводности к в общем случае неоднород-
неоднородной среды будем считать также
зависящими только от одной прос-
пространственной координаты х.
При построении математиче-
математической модели процесса будем пред-
предполагать, что среда неподвижна, а
изменение объема материала,
связанное с изменением темпера-
температуры, пренебрежимо мало. В этом
случае можно считать, что про-
процесс теплопроводности не связан
с совершением механической ра-
работы.
В рассматриваемом слое материала в качестве некоторой
термодинамической системы выделим объем V в виде цилиндра
с площадью основания AS и осью, параллельной координатной
оси Ох (см. рис. 2.1).
Рис. 2.1

2.1. Одномерный процесс распространения теплоты 61
Из первого закона термодинамики, записанного для выде-
выделенного объема V, следует, что
~ = ~Qi+Q2, B.1)
at
где U - внутренняя энергия системы, которая может быть най-
найдена интегрированием объемной плотности внутренней энергии
е(х, t) по объему цилиндра, т.е.
U f f f f
2
= f f fedV = AS f edx.
v
Поэтому изменение внутренней энергии системы за единицу
времени
Тепловой поток Q\ через всю замкнутую поверхность ?
выделенного цилиндра, т.е. количество теплоты, отдаваемое
через эту поверхность за единицу времени, можно найти, инте-
интегрируя по поверхности ? нормальную составляющую плотности
теплового потока if. Поэтому
Е
где W - единичная внешняя нормаль к Е.
Согласно физическому закону Фурье, при передаче тепло-
теплоты теплопроводностью if = — fcgradu. Так как в рассматрива-
рассматриваемом случае вектор плотности теплового потока if имеет лишь
udu
одну составляющую qx = — к —, то тепловой поток от выделен-
ох
ного объема проходит лишь через основания цилиндра, причем
(
= AS(
ди\
дх)
-AS
( ди\
К дх)
Х=Х2
Х2

62 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Внутри выделенного объема вследствие протекания эндо- или
экзотермических реакций, прохождения электрического тока,
испарения влаги в пористом материале и других причин может
выделяться или поглощаться теплота. Если под 3(х, t) пони-
понимать объемную плотность (удельную мощность) тепловых ис-
источников, то за единицу времени в рассматриваемом объеме
выделится G > 0) или поглотится C < 0) количество теплоты
Q2 = (И -JdV = AS I 3{x, t)dx. B.4)
V ari
Подставив выражения B.2) - B.4) в уравнение B.1), получим
[§1A)Н <2-5)
хх
В силу произвольности выбора координат х\ и x<i основа-
оснований цилиндра равенство нулю интеграла в уравнении B.5) воз-
возможно лишь при равенстве нулю подынтегральной функции.
Таким образом, в описываемом процессе передачи теплоты
локально, т.е. в каждой точке пространства, должно выполнять-
выполняться следующее дифференциальное соотношение:
Заметим, что объемная плотность внутренней энергии рас-
рассматриваемой несжимаемой среды е = е(и) зависит от темпе-
de ,
ратуры, а производная — = с, определяет объемную теплоем-
теплоемкость "с. = рс материала. Поэтому
де _ de ди ди
~di = d^Ht = pC~di'
Тогда из выражения B.6) получаем дифференциальное уравне-
уравнение

2.1. Одномерный процесс распространения теплоты 63
Для однородного материала с независящими от температу-
температуры теплофизическими характеристиками р, с и к уравнение B.7)
можно записать в виде
B-8)
где a = к/(рс) - постоянная, которую называют коэффициен-
коэффициентом температуропроводности материала; f(x, t) = —7(х, t).
Уравнения B.7) и B.8) являются дифференциальными урав-
уравнениями в частных производных параболического типа. Они
лежат в основе математических моделей, описывающих процесс
передачи теплоты в неоднородных и однородных телах с одно-
одномерным температурным полем. Будем называть эти уравнения
уравнениями теплопроводности.
Замечание 2.1. Уравнения B.7) и B.8) описывают эволюцию темпе-
температурного поля в стержне постоянного поперечного сечения, выполненном
из неоднородного или однородного материала, если боковая поверхность
стержня теплоизолирована, площадь поперечного сечения достаточно ма-
мала и можно пренебречь распределением температуры по сечению, считая
ее зависящей только от осевой координаты. #
Уравнения вида B.7) и B.8) описывают не только процесс
теплопроводности, но и ряд других физических процессов диф-
диффузионного типа. К ним, в частности, относятся следующие.
1. Диффузионный процесс переноса массы. В таком про-
процессе функция и(х, t) описывает нестационарное поле объемной
концентрации диффундирующего вещества в неподвижной сре-
среде, с - коэффициент пористости, а к - коэффициент диффузии.
Параметр р в этом случае следует формально считать равным
единице.
2. Диффузия частиц (например, нейтронов) в веществе.
При описании такого процесса и(х, t) - концентрация частиц в
точке среды с координатой х в момент времени t, к - коэффици-
коэффициент диффузии частиц, а рс = 1. Для такого процесса удельная
мощность источников 7 обычно зависит от концентрации ча-

64 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
стиц, причем Э~(и) = аи—0и, где а - коэффициент размножения
частиц, а /? - коэффициент поглощения.
3. Проникновение (диффузия) магнитного поля в про-
проводящую среду, когда можно пренебречь токами смещения
по сравнению с токами проводимости. Для такого процес-
процесса и(х, t) - напряженность магнитного поля, а — (a/i/io),
а - удельная электропроводность материала, \i - его магнит-
магнитная проницаемость, /i(j ~ магнитная постоянная в СИ.
Начальные и граничные условия. Чтобы с помощью урав-
уравнения теплопроводности описать эволюцию температурного по-
поля в теле, необходимо знать распределение температуры в на-
начальный момент времени, т.е. задать начальное условие. Для
рассматриваемого одномерного процесса начальное условие
и(х, 0) = <р(х), O^x^l, B.9)
задается в виде известной зависимости ip{x).
Кроме того, требуется знать тепловой режим на поверхно-
поверхности тела S, т.е. задать граничные условия во всех точках поверх-
поверхности тела в любой момент времени. В одномерном процессе
соответствующие граничные условия задаются на граничных
поверхностях слоя х = 0 и х = I.
Граничные условия в задачах теплопроводности могут
быть заданы различными способами.
1. Граничное условие первого рода, когда в каждой точке
поверхности тела задают температуру
u\s = ф{Р, t), Р е 5, t > 0. B.10)
Здесь ip(P, t) - известная функция точки Р поверхности S и
времени t.
2. Граничное условие второго рода, когда на поверхности
S тела задают тепловой поток qn = if-lt, где if - вектор плот-
плотности теплового потока, a it - единичная внешняя нормаль к
ди
поверхности S. По закону Фурье qn = — к (grad и ¦ it) = —к — •
on

2.1. Одномерный процесс распространения теплоты 65
Следовательно, граничное условие второго рода задает на по-
поверхности S нормальную производную температуры и может
быть записано в виде
а..
^ = в(Р,0, Pes, *>o, B.П)
где @(Р, t) = —qn/k - известная функция.
В случае теплоизолированной поверхности &(Р, t) = 0 и
мы имеем однородное условие —— = 0 на всей поверхности Ь.
п _ on
3.1 раничное условие третьего рода описывает тепловой ре-
режим на поверхности тела, соответствующий конвективному те-
теплообмену по закону Ньютона с окружающей внешней средой,
имеющей температуру и*(Р, t). По закону Ньютона плотность
теплового потока на границе тела пропорциональна разности
температур тела и окружающей среды, т.е. qn = if • it =
= ат(и — и*).
Коэффициент теплообмена (теплоотдачи) ат зависит от
свойств среды, а в общем случае и от разности температур
(и - и*). В большинстве задач, однако, мы будем считать ко-
коэффициент ат постоянным, не зависящим от температуры и
одинаковым на всей поверхности тела.
Итак, граничное условие третьего рода дает связь между
- ди
температурой и и ее нормальной производной —— в любой точке
поверхности тела
-^ + hu = hu*(P,t), PeS, <> 0, B.12)
on
где h — ат/к.
Замечание 2.2. Условия первого, второго и третьего рода можно
формально объединить в виде обобщенного граничного условия
a^+pu = t(P, t), P€S, <> 0, B.13)
on
где а и Р - некоторые константы; ~у(Р, t) - заданная на поверхности тела
функция. #

66 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Полагая в условии B.13) а = О, 0 = 1, а *у(Р, t) = ф(Р, t),
получим условие первого рода B.10). Если же а = 1, /3 = 0, a
7(jP, t) = 0(jP, t), то условие B.13) переходит в условие второго
рода B.11). И наконец, полагая а = 1, /3 = h, a i(P, t) =
= hu*(P, t), имеем граничное условие третьего рода B.12).
4. Нелинейное граничное условие. Если основным механиз-
механизмом уноса энергии с поверхности тела является излучение, то
по закону Стефана - Больцмана
-fc|^ = 60a0u4, PeS, t>0. B.14)
on
Здесь 6q - степень черноты материала, которая в общем случае
зависит от температуры; сто - постоянная Стефана- Больцма-
Больцмана.
Правая часть условия B.14) степенным образом, т.е. нели-
нелинейно, зависит от температуры.
5. При описании температурных полей в многослойных те-
телах и оболочках на поверхности контакта двух тел используют
граничные условия сопряжения, или, как их иногда называют,
граничные условия четвертого рода.
Для идеального теплового контакта эти условия
= u2(P,t), FGE, *>0;
B.15)
f?S *>0 V
означают равенство температур и тепловых потоков на кон-
контактной поверхности S.
Для неидеального теплового контакта с термическим соп-
сопротивлением Л на поверхности контакта тел имеет место ра-
равенство тепловых потоков, но появляется пропорциональная им
разность температур тел, т.е. выполняется условие
^ ^ ^ Pez, t>o, B.16)
где т^ - внешняя нормаль относительно первого тела к контакт-
контактной поверхности S.

2.2. Краевые задачи для уравнения теплопроводности 67
2.2. Краевые задачи
для уравнения теплопроводности
Решение краевых задач методом Фурье. Сформулиру-
Сформулируем задачу об отыскании нестационарного температурного поля
u(x, t) в плоском слое конечной толщины /, имеющем в началь-
начальный момент времени температуру <р(х), если на поверхностях
х = 0 и х = I этого слоя происходит теплообмен с окружаю-
окружающей средой, имеющей нулевую температуру. Требуется найти
решение линейного однородного параболического уравнения
^ 2^ 0<х</, t>0, B.17)
удовлетворяющее при t = 0 начальному условию
и(х, 0) = <р{х), O^x^l, B.18)
и однородным граничным условиям третьего рода
=0, *>0;
=u B.19)
= 0, О 0.
x=l
Следуя методу Фурье разделения переменных, нетривиаль-
нетривиальные решения уравнения B.17), удовлетворяющие граничным
условиям B.19), будем искать в виде
„/«. f\ \('r\'T(t\ z? ft (О Oft\
Подставив предполагаемую форму решения B.20) в уравнение
B.17) и разделив переменные, получим
1 T'(t) X"(x)
~2 ~*7К = ТГТ = ~А = const-
а* 1 (t) л (х)
Поэтому функции T(t) и Х(х) должны быть определены как
решения дифференциальных уравнений
T'(t) + \a?T(t) = 0; B.21)
Х"{х) + ХХ{х) = 0. B.22)

68 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Граничные условия B.19) с учетом B.20) дают условия для
функции Х(х) в виде
-a1X'@)+filX@) = 0;
а2Х'A) + EгХ{1) = 0. 1 ' '
Как показано в Приложении 2, задача Штурма - Лиувилля
B.22), B.23) имеет нетривиальные решения только при опреде-
определенных, собственных значениях Ап = ( -уМ , п = 1, 2,...,
рые можно выразить через неотрицательные корни цп транс-
трансцендентного уравнения
кото-
B 24)
( ]
а соответствующие им собственные функции Хп(х) имеют вид
Хп{х) = sin(v/A^x + вп), вп =
п
Квадраты норм этих функций .
2 * f, ,
1 \1
При А = Ап для выражения B.21) запишем общее решение
Tn{t) = Cn e~Xna2t, Cn = const. B.25)
Подставив найденные функции Хп(х) и Tn(t) в выражение
B.20), получим частные решения уравнения B.17), удовлетво-
удовлетворяющие граничным условиям B.19):
х, t) = lfi[t) лп[х) =; L/n e sin^у An х + ynj.
Составим формально ряд, членами которого являются фун-
функции ип(х, t):
00 2
и(х, t) = 2^С„е"Л"а 'sin(V%»x + 0n). B.26)
n=l

2.2. Краевые задачи для уравнения теплопроводности 69
Функция u(x, t) удовлетворяет граничным условиям B.19), так
как этим условиям удовлетворяет каждый член ряда B.26).
Определим коэффициенты Сп так, чтобы выполнялось на-
начальное условие. Подставляя ряд B.26) в B.18), получаем
ОО
и(х, 0) = 53 Сп пп{у/Кх + 9П) = ф). B.27)
Это соотношение по теореме Стеклова (см. Приложение 2) пред-
представляет собой разложение функции <р{х) в ряд Фурье по систе-
системе ортогональных на отрезке 0 ^ х ^ I собственных функций
Xn(x) = sin(\/An х + $n), n = 1, 2,..., а коэффициенты Сп явля-
являются коэффициентами Фурье и определяются по формуле
Сп = —^1ф)Хп(х)с1х. B.28)
Покажем, что если функция ф{х) кусочно-непрерывная на
отрезке [0, I], то ряд B.26) с коэффициентами Сп, определяемы-
определяемыми по формуле B.28), удовлетворяет уравнению B.17) в области
0 < х < I, t > 0, т.е. этот ряд сходится и его можно дифферен-
дифференцировать почленно дважды по х и один раз по t. Для этого
достаточно установить, что ряды
ОО л ОО
Е ^Г = - Е a2c*xn e"Ana sin(v^* + *n);
П1 nt B-29)
я2 t
E ^ = - E C«A« е"Лпа'
n=l n=l
сходятся равномерно на отрезке [0, I] при * > Т > 0.
Рассмотрим числовой ряд
2
М \п е~Хпа т, М- const, B.30)

70 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
который согласно признаку Даламбера сходится. Так как для
ограниченной кусочно-непрерывной функции ip(x) коэффициен-
коэффициенты Фурье ограничены по модулю, то для общих членов рядов
B.29) справедливы оценки
дип
dt
д2ип
Са2\Сп\Хпе
< \Сп\ К е~ХпаЧ < М2Хп е~Хпа2т, О Т > 0.
дх2
Это означает, что при М > М\, М > М2 ряд B.30) являет-
является мажорантным для рядов B.29). Поэтому эти ряды сходятся
равномерно при t > Т > 0. Так как Т - произвольное число, то
равномерная сходимость рядов B.29) имеет место при любом
t > 0.
Таким образом, на основании принципа суперпозиции част-
частных решений ип(х, t) заключаем, что функция и(х, t), опреде-
определяемая рядом B.26), удовлетворяет уравнению B.17) в области
0 < х < I, t > 0.
Рассмотрим теперь частные случаи задачи B.17) - B.19).
1. При значениях параметров а\ = а2 = 0, Р\ = fo = 1
граничные условия принимают вид
и@, t) = 0, u(l, t)=0 B.31)
и краевая задача B.17), B.18), B.31) описывает процесс осты-
остывания плоского слоя конечной толщиной I (или стержня конеч-
конечной длиной I с идеально теплоизолированной боковой поверх-
поверхностью), с температурным профилем <р(х) в начальный момент
времени, если граничные плоскости х = 0 и х = I (торцы стерж-
стержня) поддерживаются при постоянной нулевой температуре.
В этом случае собственные значения Ап = (—) , п =
= 1, 2, ..., а соответствующие собственные функции
= sin

2.2. Краевые задачи для уравнения теплопроводности 71
Поэтому решение первой краевой задачи B.17), B.18), B.31)
принимает вид
ОО /71ЛЛ2 2
,.(-. f\ — \ Г] ?>~\~Т~> a oin О <V)\
n=l
где
*-* л / . . ТьТГ 3/ . _. .
0
Пусть функция <^(:с) непрерывна на отрезке [0, /] и имеет
кусочно-непрерывную производную. Кроме того, пусть <р{0) =
= <рA) = 0, т.е. имеет место согласование начальных и гранич-
граничных условий. Тогда коэффициенты Сп тригонометрического
ряда Фурье, определяемые выражением B.33), имеют порядок
малости ОI —^ ). В этом случае числовой ряд \^ \СП\ сходится
и является мажорантным для ряда B.32) при i^OnO^i^/.
Следовательно, ряд B.32) сходится к функции г*(ж, t) равномер-
равномерно при t ^ 0, 0^ж^/,ииз непрерывности членов этого ряда
вытекает непрерывность суммы u(x, t).
2. Если оц = «2 = 1, a 0i = 02 =г 0> то граничные условия
B.19) принимают вид однородных условий второго рода
du
х=0
du
Тх
х=1
= 0. B.34)
Краевая задача B.17), B.18), B.34) описывает процесс вы-
выравнивания температуры в плоском слое (стержне), в котором
в начальный момент времени задан температурный профиль
<р(х), а граничные плоскости х = 0 и х = I (торцы стержня)
идеально теплоизолированы.
Для этого случая
), 1, 2,...; Xn(x) =cos-y-;
1/2, п ф 0.

72 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Поэтому решение второй краевой задачи имеет вид
«(х, t) = f; Cn е~(™ )Л cos ^, B.35)
n=0
где
/ /
1 f 2 f пжх
Cq — т / f(x) dx; Cn = - I <p(x) cos —— dx. B.36)
0 0
Отметим, что при t —*• oo температура всех слоев вырав-
выравнивается и стремится к стационарному распределению us{x) =
= Cq = const.
3. Пусть сц = 0, C\ = <*2 = 1, fo = h > 0. В этом случае
получаем граничные условия
и@, t) = 0, (^ + hu
= 0. B.37)
x=l
Смешанная краевая задача B.17), B.18), B.37) описывает
эволюцию температурного поля в плоском слое 0 ^ х ^ I мате-
материала, начальное распределение температуры в котором задано
функцией ф(х), если на поверхности х = 0 слоя поддерживает-
поддерживается постоянная нулевая температура, а на другой поверхности
х = I происходит конвективный теплообмен с окружающей сре-
средой, имеющей нулевую температуру.
Для этого случая находим собственные функции в виде
Хп(х) = sin-y-,
квадрат нормы которых
При этом значения /лп являются действительными положитель-
положительными корнями трансцендентного уравнения tg/л = — /л/(hi). Это

2.2. Краевые задачи для уравнения теплопроводности
73
Рис. 2.2
уравнение имеет бесчисленное множество вещественных поло-
положительных корней, в чем нетрудно убедиться, построив графи-
графики кривых у = tg/x и у = -ц/р, где р = hi (рис. 2.2). На ри-
рисунке видно, что положительные корни цп лежат в интервалах
[Bп — 1) 7г/2, гот], п = 1, 2,..., и при возрастании п приближа-
приближаются к значениям, равным Bп — 1) тг/2.
Таким образом, решение смешанной краевой задачи B.17),
B.18), B.37) можно представить в виде
B.38)
71=1
где
I
B.39)
Функция источника. Преобразуем полученное решение
B.26) задачи B.17) - B.19), заменив в нем коэффициенты Сп
по формуле B.28):
u(x, t) =
00
П=11||Л„||

74 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Изменив порядок суммирования и интегрирования, получим
«(*,*)=/?
1 e-A»oat
71
e " x
g П=1 II "II
x sin(v%TC + #n) sin(\/An x + 0n) ?>(?) <#. B.40)
Такая операция справедлива, так как ряд в квадратных скоб-
скобках при фиксированном х сходится равномерно в области t ^
^Т>0, 0^?^f. Действительно, числовой сходящийся
оо
Е—Л а Т
Me является мажорантным для ряда, стоящего
¦п=1
в квадратных скобках в формуле B.40).
Обозначим сумму этого ряда через
G(x, С, t) =
~ 1 -¦
п=1 \\Хп\\
n=\ WXn\\
Тогда решение задачи B.17) - B.19) можно представить в виде
B.42)
Выясним физический смысл функции G(x, ?, t). Пусть на-
начальное распределение температуры <р(х) создано сосредото-
сосредоточенным тепловым источником, т.е.
<р(х)=<^6(х-х0), х06@,0.

2.3. Свойства решений уравнения теплопроводности 75
В этом случае по свойству дельта-функции из формулы B.42)
следует
I
u(z, *) =~ / G{x, Ь t) 5Ц - х0) di = ^ G(x, x0) t).
О
Это означает, что функция G(x, ?, t) определяет темпера-
температуру в любой точке х в момент времени t, вызванную действи-
действием сосредоточенного в плоскости х = ? теплового источника,
выделяющего в начальный момент времени мгновенно количе-
количество теплоты на единицу площади, равное Qq = рс. Поэтому
функцию G(x, ?, t), определяемую формулой B.41), называют
функцией мгновенного сосредоточенного источника (функцией
источника) для общей задачи B.17) - B.19).
В частных случаях для первой и второй краевых задач
функции источника соответственно имеют вид
х> ?> ч — j 2^ie s
n=l
х, ^, *) = - + -2_^е V^^ cos—j— cos——. B.44)
i l ll
n=l
Решения этих задач с помощью функций источника G\(x, ?, t)
и Сг(х, ?, f) также можно представить в виде B.42).
2.3. Свойства решений краевых задач
для уравнения теплопроводности
Принцип максимального значения. Пусть Qr = {(х> Ч:
О ^ х ^ I, 0 ^. t ^ Т} - прямоугольная область на плоско-
плоскости состояний (х, t) (рис. 2.3). Обозначим через Fi, Г2, Г3 и
Г4 участки границы этой области и выделим часть границы

76
2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
т
0
Рис.
2.3
1
Теорема 2.1. Если функция и(х, t) определена и непре-
непрерывна в замкнутой области Qt и удовлетворяет уравнению те-
теплопроводности
ди _ 2д2и
~dt~a
_ 2
~a
B.45)
в точках области Qt \J Г4, то максимальное (минимальное) зна-
значение фукция и(х, t) принимает на Г, т.е. в начальный момент
времени, или в граничных точках х = 0 и х = I.
•^ Пусть Мр - наибольшее значение функции и(х, t) на
участке Г границы области Qy, а /л - наибольшее значение
функции и(х, t) в области Qt- Очевидно, что Мр ^ М- Утвер-
Утверждение теоремы состоит в том, что Мр = \х. Допустим против-
противное: пусть Мр < /х, причем \i = Мр + е, где е = const > 0.
Построим вспомогательную функцию
v(x, t) = u(x, t) + ^ (Т - t).
Эта функция непрерывна в замкнутой области Qt, поэтому
она в этой области достигает наибольшего значения в некото-
некоторой точке (xq, to) G Qt- Покажем, что эта точка не может
принадлежать Г. Действительно,
v{x, 0) = и(х, 0) + | ^ Мр + | < /i;
1/@, *) = «@, t) + ^ (Т - t) ^ Мг + ?- < ц;
v(l, t) = u(l, t)
(T - t) ^ Mr + E-
/л,

2.3. Свойства решений уравнения теплопроводности 77
но v(xq, t$) ^ М) так как в Qt справедливо очевидное неравен-
неравенство v(x, t) ^ u(x, t).
Отсюда следует, что точка (х$, to) либо является точкой
области Qt, либо лежит на участке границы Г4 = {(x, t) :
0<x<l,t = T}.
В точке (xq, to) должны выполняться необходимые условия
максимума функции v(х, t):
dv dv cftv
^ 0 ^
причем знак неравенства при оценке производной функции v по
времени учитывает возможность нахождения точки (xq, to) на
участке границы Г4, где t = T.
Замечая, что vt = щ — е/BТ), a vxx = uxx, получаем сле-
следующие оценки для производных в точке (xq, tQ):
) = Vt(XQ, tQ) + — > 0,
0) = VXX[XQ, t0) ^ 0.
Следовательно,
o) - a2uxx(x0, t0) > 0,
т.е. функция u(x, t) в точке (xq, <q) не удовлетворяет урав-
уравнению B.45). Это противоречие позволяет утверждать, что
Мр = ц. Это утверждение называют принципом максиму-
максимума для уравнения теплопроводности. >
Аналогично может быть доказана вторая часть теоремы о
минимальном значении функции и(х, t), так как если функция
и(х, t), указанная в условиях теоремы, в некоторой точке дости-
достигает минимума, то в этой точке достигает максимума функция
—и(х, t), также удовлетворяющая условиям теоремы.
Согласно физическим законам термодинамики принцип
максимума для уравнения теплопроводности соответствует
свойству самопроизвольной передачи теплоты лишь от более

78 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
нагретых частей тела к менее нагретым. Поэтому при отсут-
отсутствии объемных тепловых источников увеличить температуру
в любой точке внутри тела можно, только обеспечив большую
температуру на поверхности тела.
Единственность решения первой краевой задачи. Дока-
Доказанный принцип максимума позволяет доказать единственность
классического решения первой краевой задачи для уравнения
теплопроводности.
Теорема 2.2. Решение краевой задачи
( ди ?д2и
> t>0> 0<ж-</;
u(x, 0) = <p{x),
непрерывное в замкнутой области Qt = {(x, t): 0 < х < I,
О ^ t 4: Т}, единственно.
•^ Для доказательства теоремы рассмотрим две функции
и\(х, t) и щ(х, t), определенные и непрерывные в QT и явля-
являющиеся решениями задачи B.46). Пусть w(x, t) = ui{x, t) —
—u\(x, t). Функция го как разность непрерывных функций не-
непрерывна в Qrp. Кроме того, эта функция удовлетворяет урав-
уравнению
dw од2™
_=а2_ <>0, 0<х</,
и однородным начальному и граничным условиям
w{x, 0) = 0, 0 < х ^ I;
w@, t) = w(l, t) = 0, t? 0.
В силу принципа максимума как наибольшее, так и наи-
наименьшее значения функции w(x, t) равны нулю. В таком слу-
случае w(x, t) = 0 и оба решения задачи B.46) iti(:c, t) и i«2(a;, t)
совпадают. >

2Л- Неоднородное уравнение теплопроводности 79
2.4. Неоднородное уравнение теплопроводности
Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения тепло-
теплопроводности
-Q- = a2JT5 + f(x> Oi *>°> 0<ж</, B.47)
с начальным условием
и{х, 0) = ф), 0 < х < /, B.48)
и граничными условиями
Ll*+r"' B-49>
V ох
Решение этой задачи будем искать в виде ряда Фурье по
системе собственных функций Хп(х) ¦= sin(\/A^i + вп) задачи
на собственные значения B.22), B.23), т.е. в форме разложения
оо оо
п=1 п=1
считая при этом t параметром.
Ряд B.50) удовлетворяет граничным условиям B.49). По-
Поэтому функции Vn(t) следует определить так, чтобы ряд B.50)
удовлетворял уравнению B.47) и начальному условию B.48).
Учитывая полноту системы собственных функций, пред-
представим функции f(x, t) и <р(х) в виде следующих рядов Фурье:
оо оо
fix, t) = ]Г fn(t) Xn{x) = Y^ fn(t) sin(v^a; + 9n),
n=1 B.51)
оо оо
п=1 п=1

80 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
где fn(t) и tpn - коэффициенты Фурье, определяемые по фор-
формулам
I
Ш = -±-2 [f(x,t)Xn(x)dx =
\\Лп\\ J
I
1 Г г—
= о / fix, t) sinf-v/An x + 9n) dx:
\\xn\\2J vv
, ° B-52)
1 r
Pn~ \\xn\\2 J ipx
2
\\Xn\\ ^
Подставляя предполагаемую форму решения B.50) и раз-
разложение B.51) для функции/(жг t) в уравнение B.47) и заменяя
при этом X'jKx) на — ХпХп(х), получаем
00
?[^п(*) + Xna2Vn(t) - /„(*)] Хп{х) = 0.
Это соотношение, а значит, и уравнение B.47) будут удовле-
удовлетворены, если все коэффициенты разложения равны нулю, т.е.
Vn(t) + Xna2Vn(t) = fn(t). B.53)
Из начального условия B.48) с учетом B.50) и B.51) нахо-
находим
00 00
п=\ п=1
откуда
Vn@) = ч>п- B.54)

2.4. Неоднородное уравнение теплопроводности 81
Таким образом, для нахождения искомой функции Vn(t)
приходим к задаче Коши B.53), B.54) для обыкновенного ли-
линейного неоднородного дифференциального уравнения первого
порядка. Решение этой задачи может быть найдено методом
Лагранжа вариации постоянной [VIII]. Оно имеет вид
t
Vn(t) = 1рпе-ХпаЧ + /'/п(т) e-bna2(t-r) dT
О
Подставляя функции Vn(t), n = 1,2,..., в разложение
B.50), находим решение исходной задачи B.47) - B.49) в сле-
следующей форме:
оо
u(x, t) =
t
T f
n=l Ln
оо
г=1-0
B.55)
, упе~Ап°2< sin(л/А^х + 0п) +
п=1
оо
п=1
где ipn и /п(т) определены формулами B.52).
Первое слагаемое в выражении B.55) представляет собой
решение краевой задачи для однородного уравнения [f(x, t) =
= 0]. Как было показано выше [см. формулу B.42)], его можно
представить в виде
I
щ(х, t) = G(x, (, t)(p(()d(, B.56)
0
где функция источника G(x, ?, t) определена формулой B.41).

00 Г Г 1 Л
,t) = J2{ fn(r) e~Xna С") dr \ si
п=1 Ч J
82 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Второе слагаемое в формуле B.55)
t
sm(y/Xnx + 9n) B.57)
О
представляет собой решение краевой задачи для неоднородно-
неоднородного уравнения теплопроводности с нулевым начальным условием
<р{х) = 0.
Преобразовав B.57), подставим вместо /п(т) их значения
B.52) и изменим в уравнении B.57) порядок суммирования и
интегрирования. В результате получим
t I
и2(х, t) = J Jg(x, e,
, т) d? dr.
Это решение с помощью функции источника можно записать в
виде
I
— т)
0 0
Таким образом, окончательно решение краевой задачи
B.47) - B.49) для неоднородного уравнения теплопроводности
можно записать с помощью функции источника как
I t I
и(х, t) = / G(x, ?, t) (p(?) d? + G(x, ?, t — r) /(^, r) d? dr.
0 0 0
При решении задачи B.47) - B.49) со стационарной неодно-
неоднородностью в уравнении, когда функция / = f(x) не зависит от
времени, рекомендуется сначала найти стационарное решение,
т.е. такую функцию us(x), которая удовлетворяет уравнению

2.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности 83
и граничным условиям B.49). Тогда, представив решение иско-
искомой задачи B.47) - B.49) в виде
u(x, t) = щ(х) + v(x, t),
для функции v(x, t) получим краевую задачу для однородного
уравнения вида B.17) - B.19) с начальным условием
v{x, 0) = (р(х) - щ(х).
Эта задача была решена в 2.2.
2.5. Задача Коши для уравнения
теплопроводности
Задана о влиянии мгновенного сосредоточенного источ-
источника. Пусть в безграничной теплопроводящей среде в плоско-
плоскости х = 0 в начальный момент времени t = 0 мгновенно вы-
выделяется количество теплоты Qq на единицу площади. Задача
о нахождении нестационарного температурного поля u(x, t) во
всем пространстве от такого источника имеет вид
du ?d2u . /п „ч
— =az--2, i>0, -оо<ж<+оо; B.58)
at ox*
и(х, 0) = Q6(x), B.59)
где Q = Qo/(pc); 5(x) - дельта-функция, описывающая влияние
сосредоточенного источника теплоты.
Из физической постановки задачи следует, что на доста-
достаточно большом удалении от теплового источника температура
и тепловой поток будут пренебрежимо малы, т.е.
и -> 0, — -» 0 при |а;| -* оо. B.60)
ох
Интегрируя уравнение B.58) по i в пределах от — оо до
+оо, с учетом B.60) получаем
+O0
d f , ч(ди
— / и(х, t)dx -a I —
dt J \дх
—oo
z=+oo
du
~dx
x=—oo
= 0.

84 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Отсюда для любого t > О
+00
u{x,t)dx = Q. B.61)
+
/
так как при t = 0 постоянная интегрирования из начального
условия B.59) равна Q. Формула B.61) определяет закон со-
сохранения тепловой (внутренней) энергии среды в любой момент
времени, и решение задачи B.58), B.59) должно удовлетворять
условию B.61).
ОС
Введем безразмерную переменную ц = и в соответ-
va2t
ствии с теорией размерности (см. Приложение 3) будем искать
решение задачи B.58), B.59) в следующей форме:
u(x,t) = -^=6G,), B.62)
где 9(?7) - новая неизвестная функция, такая, что @(т}) —> 0 и
dQ/drj —> 0 при |?7| —>• оо. Из B.62) находим
ди_ Q [0G?) х dQ] _ Q [©(т?) г? del
~ 2 +2d^;
Подставив найденные значения производных в уравнение B.58),
получим для функции Q(r]) линейное дифференциальное урав-
уравнение второго порядка
d2e г) d& 1
! в 0
или

2.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности 8о
Интегрируя это уравнение, находим
f + Це-а B.63)
При этом постоянную интегрирования полагаем равной нулю в
силу условий B.60).
Общее решение уравнения B.63) имеет вид
ТГ. B.64)
Подставляя решение B.64) в уравнение B.62) и переходя к пе-
переменным х и t, получаем
Q —4-
ц(х, t) = А е ^о2*.
2
Постоянную А найдем из интегрального условия B.61), ко-
которое приводит к соотношению
+00 +00 „
f Of-*
I u(x, t)dx = A —~ I e ^?~tdx = Q. B.65)
J Va2t J
00 00
Vat
-00 -00
Сделаем замену переменного ? = —r^, dx = 2%/a^d?. Тогда
2Va2t
B.65) примет вид
+00
2А / е~« d? = 1.
— 00
Отсюда с учетом значения интеграла Пуассона
+ 00
I
— 00
находим А = 1/Bу/тт).

86
2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Таким образом, функция
и(х, t) =
B.66)
является решением уравнения B.58) при t > О и —оо < х < +оо.
Кроме того, и(х, 0) = Q6(x) при ? = 0, так как, устремляя
t к нулю по последовательности tn = —т-ч, получаем последо-
4о п
ТЬ 2
вательность функций ип(х) = Q—=e~n x, слабо сходящуюся
/-K
/
(см. Приложение 1) к функции Q6(x).
Опишем теперь свойства решения B.66) задачи B.58),
B.59) о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового ис-
источника.
1. График функции и(х, t) при любом фиксированном t > 0
соответствует кривой Гаусса. Он симметричен относительно
прямой ж = 0 (рис. 2.4) и при х = 0 достигает максимума,
Q
равного
2. Площадь под кривыми и(х, t^) одинакова и равна Q.
и
X

2.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности
87
Рис. 2.5
3. В каждой фиксированной точке х ф О функция u(x, t)
как функция времени сначала возрастает от нуля при t = 0 до
значения um — (\/2тге |rzr|) х при t — tm = x2/Ba2), а затем
монотонно убывает, стремясь к нулю при t —> +оо (рис. 2.5).
Фундаментальное решение. Фундаментальным решени-
решением G(x, xq, t) уравнения теплопроводности на бесконечной пря-
прямой назовем решение следующей задачи Коши:
B.67)
G{x, xq, 0) = 6{х - xq).
С учетом формулы B.66) решение задачи B.67) запишем в виде
(х-х J
G(x, xq, t) = —===е~^Г. B.68)
Эту функцию называют также функцией Грина для одномер-
одномерного уравнения теплопроводности. Отметим следующие свой-

88 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
ства этой функции:
G(x, ?, t) = G(?, x, t);
+00
G{x,?,t)dx=l;
—00
„ dG
G, — > 0 при a; -> 00;
ox
G, —- -> 0 при |C| -)• oo.
Формула Пуассона. Рассмотрим задачу Когии для од-
однородного уравнения теплопроводности:
B-69)
и(х, 0) = (р(х), ж€ Л1. B.70)
Покажем, что для любой ограниченной функции у?(:г) реше-
решение задачи B.69), B.70) с помощью функции Грина представимо
в виде
+оо
u(x,t)= f <p(OG{x,t,t)dt. B.71)
—oo
Сначала установим, что несобственный интеграл в фор-
формуле B.71) сходится. Пусть |у(з;)| ^ М. Произведем в инте-
? ~ х
грале B.71) замену переменного интегрирования z =
dz = —Др. Тогда
+00
1 С I 2
u{x,t) = —F= / <p(x + 2Va2t z)e~z dz.
-A J
—oo

2.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности 89
Отсюда
+ ОО
М Г
\u{x, t)\^^j= /
V7* J
2
e~z dz = М.
—оо
Таким образом, интеграл B.71) сходится, притом равномерно
для t > 0 и — оо < х < +оо. При t = 0 функция и(х, ?), определя-
определяемая соотношением B.71), удовлетворяет начальному условию
B.70). Действительно,
+О0 +О0
и(х, 0) = / <?>(?) G(a;, ?
—оо —оо
При выводе формулы B.71) заменим в задаче Коши B.69),
B.70) переменные з:и?на?ити введем в рассмотрение функ-
функцию G* = G(x, ?, t — т). Тогда функции и(?, т) и G* будут
удовлетворять уравнениям в частных производных
ит = а2щ{, т > 0, ? 6 9Ч1;
Умножим первое уравнение на G*, а второе на и и сложим их.
Получим равенство
Э
Проинтегрируем это равенство по ? в пределах от —сю до +оо
и по т в пределах от 0 до t. Тогда после интегрирования по
частям получим
dr. B.72)

90 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Если предполагать, что функция и(?, т) и ее производная
ди
— ограничены при |?| —> оо, то в силу свойств функции 1 рина
интеграл в правой части равен нулю. Отсюда
+О0 +О0
*(?, t) G{x, ?, 0)d?= f u{?, 0) G{x, ?, t) d?. B.73)
—oo —oo
Заменив в B.73) G{x, ?, 0) = G{?, x, 0) на 6(? - x), a u{?, 0) на
получим соотношение
+ OO +OO
u(Z,tN(S-x)dt= J 4>@G(x,t,t)d?,
-oo -oo
или
+00
u{x, t)= J
-oo
Формулу
+00
u(x, t) = —±== f v@ e'l^r d?, B.74)
определяющую решение задачи Коши B.69), B,70) для уравне-
уравнения теплопроводности, называют формулой (интегралом)
Пуассона.
Из формулы Пуассона, в частности, следует, что если
функция р{х) финитна, т.е. равна нулю вне некоторого отрезка
[а, Ь], что соответствует локализованному тепловому возмуще-
возмущению в начальный момент времени, то в любой сколь угодно
отдаленной от отрезка [о, Ь] точке с координатой х функция и
будет отлична от нуля для сколь угодно малых моментов вре-
времени. Этот вывод линейной теории теплопроводности следует
интерпретировать как бесконечную скорость распространения
тепловых (температурных) возмущений.

2.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности 91
Неоднородное уравнение теплопроводности. Рассмотрим
задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности
с нулевым начальным условием
B.75)
u{x, 0) = 0,
считая функцию f(x, t) при t > 0 абсолютно интегрируемой в
интервале —со < х < +со.
Применим к и(х, t) и f(x, t) преобразование Фурье [XI]:
+оо
1
и{х, t)=u(X, t) = -==
у2т\
Т B-76)
+00 V '
f(x, t)=](X, t) = -±= [ /(?, t)e-iXtd?.
V2tt J
—oo
Тогда с учетом того, что ихх(х, t) = — X и(Х, t), из уравнения
B.75) для изображения и(Х, t) получаем задачу
й(Х, 0) =0,
решение которой имеет вид
t
о
Применяя обратное преобразование Фурье, получаем
« +0О
7(A, Tje-^^J^rf

92 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Подставим вместо функции /(А, г) ее выражение из B.76).
Тогда
и{х, t) =
t +ОО +ОО
= JL I dT f f{?, r)d? f e-AV('-T) e'^C^-O dX. B.77)
0 —oo —oo
На основании формулы Эйлера
ei\[x-{) = cos цх -?)+i Sin x(x - 0
соотношение B.77) можно представить в виде
и(х, t) = Reu(a;f) + ilmu(x, t).
Так как решение задачи B.75) мы ищем в классе вещественных
функций, то lmu(x, t) = 0, и уравнение B.77) принимает вид
и(х, t) —
t +00 +00
е-А2а (t-r) cog цх _ ^ dx ^2.78)
О —oo —00
Вычислим внутренний интеграл в выражении B.78). Для
этого рассмотрим функцию 1(а, C) для двух параметров с* и C,
определив ее как
+00
/2x2
е cos pXdX.
—00
Дифференцируя этот несобственный интеграл по параметру /?,
получаем
+00
dl
sin
= _ Г
—oo

2.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности
93
или
dl 1
dp 2с*2
2a2
+0О
f sm
sin
2a2
A=+oo
A=—oo
+00
/2
^
+0O
"Q Л cos pXdX =
-oo
2az
Таким образом, для функции I(a, /?) получено дифферен-
дифференциальное соотношение
dl__ p_
Щ ~ ~2a*
Кроме того, функция I(a, P) удовлетворяет условию
B.79)
+0O
(a,0)=/e-2
B.80)
Интегрируя уравнение B.79) с учетом условия B.80), получаем
+ 0O
I(a, P)= I e~a2
cos
<x
Следовательно,
+ 00
I e~x a {t~T)
— 00
аЦ1-г)
(a:, ?, < - r).

94 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Подставляя значение этого интеграла в формулу B.78), по-
получаем решение задачи в виде
t +оо
и(х, t)= Г Г /(?, т) G(x, i,t-T)d? dr. B.81)
О -со
Используя свойство линейности, теперь можно утверждать, что
суперпозиция решений B.71) и B.81)
+СО
и(х, t) =
—со
t +СО
f{?, t)G{x, i, t-T)d?dT B.82)
0 -co
является решением задачи Коши для неоднородного уравнения
теплопроводности с неоднородным начальным условием
ди_ 2д^и !
~д1~а~дх*+ ^' '' Ь> ' Х€ ' B.83)
и(х, 0) = ip(x), х G 9Ч1.
Вопросы и задачи
2.1. Привести к канонической форме уравнение с постоянными коэф-
коэффициентами
д2и „ д2и д2и ди
а+2++ °
t +О
Ответ: дЛ = ^]й>? = У-х'11 = х, «(С. '/) = ei/c v{?, 77).
2.2. Найти иестационариое распределение температуры в слое
0 < х < I, первоначально нагретом до температуры Uo = const, если начи-
начиная с момента времени t = 0 температура граничных поверхностей х = 0
и х = / поддерживается равной нулю.

Вопросы и задачи 95
„ , , -ж^и х" 1 I Bfc + 1) тг а < I . Bк + 1)тгх
Ответ: и(х, t) — > — ехр< — > sin г-'—.
тг *-^ 2к +1 [ I2 J I
2.3. Описать процесс выравнивания концентрации вещества в раст-
растворе, заключенном в плоскую кювету, ограниченную плоскостями х = 0 и
х = /, непроницаемыми для вещества. В начальный момент времени все
вещество равномерно распределено в слое 0 < я < Л, h < I с концентрацией
Со = const. Коэффициент диффузии вещества равен D.
оо • пж^
_ . . _ Г/i 2 v^ Sm I -(a?-JDt пя
Ответ: u(x, I =Co т + - > — e v / / cos —-
( 7Г *—l П I
L n=l
2.4. Найти нестационарное температурное поле в плоском слое конеч-
конечной толщиной /, если начальное распределение температуры в слое описы-
описывается функцией
Г Ui = const, 0 < х < h\
tt(x, 0) = <
^ U2 = const, h < x < i.
Рассмотреть два случая граничных условий: а) граничные плоскости х = 0
и х = I при t > 0 поддерживаются при нулевой температуре; б) граничные
плоскости теплоизолированы.
Ответ:
а)и(я, t) =
„ °° sl/l — ( —1)™1/2 — (C/l — t/г) COS —;— > / \2
= iV^U: . LJ-g-lT1 j °
7Г ?-> П
n=l
6)u(x, <) =
„ /rr rr v • П7Г'1
cos
2.5. Дан тонкий однородный стержень с теплоизолированной боковой
поверхностью длиной /, начальная температура которого равна и{х, 0) =
= Ах/1 для 0 < х < I. На конце стержня х - 0 температура поддержи-
поддерживается равной нулю, а температура конца стержня х = / изменяется по
закону и(/, t) = Ае~\ А = const. Найти нестационарное распределение
температуры в стержне.

962. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
л , ,. Ах _(
Ответ: и(х, t) = —- е +
I
е + > sin .
I 7Г ^^ П(П27Г2О2 — Р) I
п = 1
2.6. Описать процесс разогрева неограниченной пластнны толщиной
21 одинаковыми постоянными тепловыми потоками, поступающими через
граничные поверхности х = — I и х = +1. Начальную температуру пласти-
пластины принять равной нулю.
Указание. Учитывая симметрию задачи, рассмотреть ее в области
О ^ х ^ I, записав условие отсутствия теплового потока через плоскость
х = 0.
Ответ:
, ,. qaH ql\3x2-l2 2 ^ (-1)" / nVa2
kl к \ 6Р
где к - коэффициент теплопроводности материала; q - плотность тепловых
потоков на граничных поверхностях.
2.7. Неограниченная пластина толщиной I нагревается постоянным
тепловым потоком плотностью д, поступающим через плоскость х = I.
Плоскость х = О поддерживается при нулевой температуре. Найти неста-
нестационарное температурное поле в пластине.
Ответ:
8ql -A (-1)" Г Bп + l)Va2<
. qx 8ql ^ (
exp "
2.8. Поверхность неограниченного тонкого стержня теплоизолирова-
теплоизолирована. В начальный момент времени температура стержня отлична от нуля
лишь в области — I < х < +1, где она постоянна и равна С/о = const. Найти
распределение температуры в стержне в любой момент времени t > 0.
С/оГ ( х + 1\ ( х-1\\ 2 Г _ ^
Ответ: и(х, t) = у |ф( ^у== ) - Ф ( ^-у= ) |, где Ф(*) = -р= / e"« ^
- интеграл ошибок.

3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
3.1. Задачи, приводящие
к уравнениям эллиптического типа
Потенциальное движение несжимаемой жидкости. Пусть
жидкость движется со скоростью if = if (х, у, z, t). Рассмо-
Рассмотрим некоторый произвольный фиксированный объем V жид-
жидкости, ограниченный поверхностью 5. Масса т жидкости, за-
заключенной в этом объеме, связана с плотностью р(х, у, z, t) со-
соотношением
т = JJJp(x,y,z,t)dV. C.1)
V
Эта масса может изменяться за счет потока жидкости че-
через поверхность S, причем
C.2)
где it - внешняя нормаль к S. Тогда из уравнений C.1) и C.2)
получаем
JJJ^dV=-(flip-It itdS. C.3)
V S
Преобразуя поверхностный интеграл по формуле Остро-
Остроградского, запишем формулу C.3) в виде
um
V
Отсюда в силу произвольности выделенного объема V следует
dp . v _
dt

98 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Это уравнение называют уравнением неразрывности
сплошной среды. Для несжимаемой жидкости плотность р =
= const, и из уравнения неразрывности следует, что
divl? = 0. C.4)
Рассмотрим установившееся течение несжимаемой жидко-
жидкости, для которого if = if (x, у, z). Если это течение безвихре-
безвихревое, то существует потенциал скоростей и(х, у, z), такой, что
. C.5)
Подставив выражение C.5) в C.4), получим
div grad и = О, .
или
Аи = 0.
т.е. потенциал скоростей удовлетворяет уравнению Лапласа.
Уравнение потенциала электростатического поля. Элек-
Электрическое поле в среде с диэлектрической проницаемостью ха-
характеризуют напряженностью этого поля Е (х, у, z). Запишем
теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме
ff)tj}dS= — fff p dV. C.6)
S V
Здесь eg - электрическая постоянная в системе СИ; р(х, у, z) -
объемная плотность электрических зарядов; V - некоторый
объем пространства, ограниченный замкнутой поверхностью
S. С помощью теоремы Остроградского соотношение C.6) пре-
преобразуем к дифференциальной форме
^ C.7)

3.1. Задачи для уравнений эллиптического типа 99
Учитывая связь Е = —grad u напряженности поля с потен-
потенциалом и(х, у, z) этого поля, из C.7) получим уравнение для
потенциала электростатического поля
C.8)
?0
Неоднородное уравнение C.8), где f(x, у, z) - заданная
функция, называют уравнением Пуассона.
Уравнение магнитостатического поля. Если в среде с по-
постоянной магнитной проницаемостью напряженность Н(х, у, z)
магнитного поля не зависит от времени, то для этого поля име-
имеют место следующие уравнения магнитостатики:
div#" = 0;
¦ 1* 4 C-9)
rot H = ] ,
где j (х, у, z) - плотность тока проводимости.
Введем векторный потенциал ~А(х, у, z), связанный с на-
напряженностью Н(х, у, z) соотношением Я = rot А с дополни-
дополнительным условием калибровки векторного потенциала div А =
= 0. В этом случае первое из уравнений C.9) выполняется то-
тождественно, так как div Н = div rot A = 0, а из второго нахо-
находим
rotrot^ = "/. C.10)
По известной формуле векторного анализа rot rot A =
= grad div A - А Л [ VII ] с учетом условия div А — 0 из C.10)
получаем уравнение для векторного потенциала
- -jx(x, у, z);
А~Х = - j , или ААу = -jy{x, у, г);
= -jz(x, у, z).

100 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Таким образом, компоненты вектора А(Ах, Ау, Az) удо-
удовлетворяют уравнениям Пуассона, где jx{x, У, z), jy(x, у, z),
jz(x, у, z) - заданные функции.
Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона являются диф-
дифференциальными уравнениями в частных производных второго
порядка и принадлежат к уравнениям эллиптического типа.
К таким уравнениям приводят также задачи о стационар-
стационарных тепловых состояниях однородных тел, об установившихся
диффузионных процессах, о потенциале поля тяготения и др.
3.2. Фундаментальные решения
уравнения Лапласа
Рассмотрим уравнение Лапласа
Аи = 0,
где оператор Лапласа в декартовой, цилиндрической и сфе-
сферической системах координат определяется соответственно
д ( д\ 1 д2 д2
{)+ + (ЗЛ2)
. 1 д ( 2 д\ 1 д
А = ^(Г д-г) + ^Гвдв{51ПвдвГ
+ Дд^. C.13)
г2 sin2 в ду1
Важную роль при решении задач для уравнений Лапласа и
Пуассона представляют решения уравнения Лапласа, обладаю-
обладающие сферической или цилиндрической симметрией.
Найдем решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее
условию сферической симметрии, когда функция и зависит
только от расстояния г = у/х2 + у2 + z2 точки М(х, у, z) до

3.2. Фундаментальные решения уравнения Лапласа 101
начала координат. В этом случае уравнение Лапласа в сфери-
сферической системе координат имеет вид
Интегрируя уравнение C.14), получим
2 du du й Ci
dr dr rl r
При С\ = — 1 и С = 0 получаем функцию
«(г) = 1/г, C.15)
которая удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки
г = 0, где она обращается в бесконечность. Такую функцию на-
называют фундаментальным решением уравнения Лапла-
Лапласа в пространстве.
В задаче с осевой симметрией, когда функция и в цилин-
цилиндрической системе координат не зависит от р и z, уравнение
Лапласа имеет вид
Интегрируя уравнение C.16), находим
rdu= du = C1 u{r) = Cllnr + C2.
dr dr r
Полагая C\ — — 1 и С2 = 0, будем иметь
u(r) = ln-, r^O. C.17)
г
Эту функцию называют фундаментальным решением
уравнения Лапласа на плоскости.
Дадим физическую интерпретацию фундаментальных ре-
решений уравнения Лапласа.

102 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
С точки зрения электростатической аналогии решение
C.15) описывает распределение потенциала поля в вакууме, со-
создаваемое точечным зарядом, помещенным в начало коорди-
координат. Действительно, если точечный заряд q — 4тг?о поместить
в пространстве в начало координат, то потенциал электроста-
электростатического поля будет определяться формулой
u(r) = -S— = -. C.18)
А-KEQr Г
В такой физической модели плотность р точечного сосредото-
сосредоточенного заряда должна описываться дельта-функцией в про-
пространстве: р = qS$(M) (см. Приложение 1). Тогда из уравнения
C.8) для потенциала электростатического поля следует, что
Д(-J =-4nS3(M).
Таким образом, фундаментальное решение и = \/г урав-
уравнения Лапласа в пространстве г > 0 является обобщенным
решением уравнения Пуассона
Аи = -4тп53(М) C.19)
во всем пространстве г ^ 0.
Аналогично фундаментальное решение C.17) описывает
распределение потенциала электростатического поля в вакууме,
создаваемого равномерно заряженной бесконечно протяженной
нитью с линейной плотностью электрического заряда Л = 2/пе$.
Следовательно, функция и — 1пA/г) является обобщенным ре-
решением, уравнения Пуассона
А2и = -2п62{М), г ^ 0.
Замечание 3.1. Непосредственной проверкой можно установить, что
функция
= sj{x - х0J + (у- уоJ + (z- z0J

3.3. Интегральная формула Грина. ЮЗ
удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки Мо(хо, у0, zo), в
которой она обращается в бесконечность. Но тогда эту функцию следует
считать обобщенным решением уравнения
Аи = -4пд3(М,М0) C.20)
во всем пространстве. #
3.3. Интегральная формула Грина
Применим формулу Остроградского
¦ltdS= IIISvt-ctdV C.21)
E п
к векторному полю
~с?(х, у, z) — ugradи — иgradu, C.22)
где и(х, у, z)n v(x, у, z) - функции, непрерывные вместе со сво-
своими частными производными до второго порядка в замкнутой
области П.
В этом случае
~d • it = и (gradw • it) — v (gradu • it) = и — v ——. C.23)
an on
Используя формулу векторного анализа div (у? А) = у?div Л +
+ А grady? [VII], находим, что
div it = div (и grad v — v grad и) = и div grad v +
+ grad и grad v — v div grad и — grad v grad и = uAv — vAu. C.24)
Подставив соотношения C.23) и C.24) в формулу C.21), полу-
получим выражение
j - vAu) dV, C.25)
E ft
которое называют формулой Грина.

104 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Пусть теперь функция и есть решение уравнения Пуассона
Аи = -f(M), М(х, у, z) € П, C.26)
а функция v = 1/гщм - фундаментальное решение уравнения
Лапласа, являющееся обобщенным решением уравнения
Ди = — 4тг$з(Л/, Mq),
где Mq{xq, уо, zq) ~ некоторая точка, принадлежащая обла-
области п.
Тогда из формулы Грина C.25) получаем
\u
E
\-4iru(MN3(M, Mo)
P{x, y, z) e E, M(x, y, z) ? П.
Используя свойство дельта-функции (см. Приложение 1)
JJJu(MN3{M, Mo) dV = u{M0),
п
преобразуем полученное соотношение к следующему виду:
' +
C.27)
Соотношение C.27) устанавливает связь между значением
функции и в любой точке Mq G ^ и значениями функции и

3.3. Интегральная формула Грина 105
и ее нормальной производной du/дп на поверхности Е. Это
соотношение называют интегральной формулой Грина.
Если обозначить через v(P) и ц{Р) значения и и ди/дп на
поверхности S, то интегральной формуле Грина можно придать
вид суммы трех слагаемых:
и{М0) = <р(М0) + щЩо) + <р2{М0). Cl28)
Здесь
JJ rM p
Е
Е
Функции ip(Mo), (fi(Mo), <P2{Mq) называют соответственно
объемным потенциалом, потенциалом простого слоя
и потенциалом двойного слоя.
Аналогично для решения уравнения Пуассона на плоскости
в области D, ограниченной контуром С, имеет место интеграль-
интегральная формула Грина
и(М0) = i- fff(M) In — dS
Z-ъ J J гмом
D
+ ^<НЬ—E-u^(ln—)|сй, C.29)
С
в которой функцию
= ~ f[f(M)\n — dS (З.зо)
называют логарифмическим потенциалом.

106 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
3.4. Свойства объемного потенциала
Пусть функция f(Q) определена в области П, ограниченной
замкнутой поверхностью S. Рассмотрим объемный потенциал
C.28) с плотностью f(Q):
п
где М(х, у, z) может означать любую точку про-
пространства; Q(?, ??, С) ~ внутренняя точка области П;
= у (? - хJ + (г? - уJ + (С - zJ. Если точка М принад-
принадлежит области П, то интеграл в формуле C.31) является не-
несобственным, так как подынтегральная функция имеет особен-
особенность при Q = М.
Определение 3.1. Пусть функция g(Q, M) непрерывна
всюду в области Q за исключением точки Q — М, где она обра-
обращается в бесконечность. Будем называть несобственный инте-
интеграл
JIJg(Q,M)dVQ
п
равномерно сходящимся в «^-окрестности точки Mq, если для
любого е > 0 можно указать такое 6(е) > 0, что для всякой
области и>$ С П, содержащей точку Mq и имеющей диаметр
d ^ S, справедливо неравенство
JJJg(Q,M)dVQ
< е
для всех точек М, отстоящих от точки Mq на расстоянии
Тмом < &• #
Рассмотрим простейшие свойства объемного потенциала.
1. Если f(Q) непрерывна и ограничена в Л, то объемный
потенциал ip{M) непрерывен во всем пространстве.

ЗА. Свойства, объемного потенциала
107
В случае, когда точка Mq не принадлежит области П, инте-
интеграл <p{Mq) не является несобственным, и непрерывность <р(М)
в точке Mq вытекает из непрерывности в этой точке подынте-
подынтегральной функции.
Пусть теперь точка Mq G п. Обозначим через ш^ окрест-
окрестность точки Mq, а через Q$ - шаровую область с центром в
точке Mq радиуса <5, целиком содержащую область и>$. Для не-
непрерывности <р{М) в точке Mq достаточно установить в ней
равномерную сходимость интеграла
/// Z—dVQ-
C.32)
Так как функция f(Q) ограничена в П, т.е. |/(Q)|
справедлива оценка
Л, то
m2S
где Шгя - шар радиуса 26 с центром в точке М. Перейдем в
последнем интеграле к сферическим координатам с центром в
точке М, полагая при этом tmq = ?'¦
2тг тг 26
fff^Q.= Гдр [8-твсЮ frdr
m2S 0 0 0
Поэтому
f(Q)
dV,
Q

108 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Таким образом, при 5 < у/е/(8тгА)
JJJ

<?,
т.е. интеграл C.32) сходится равномерно.
2. Если f{Q) непрерывна и ограничена в Q, то объемный
потенциал <р{М) имеет непрерывные частные производные пер-
первого порядка во всем пространстве.
Продифференцируем формально интеграл C.31) по пере-
переменным х, у, z под знаком интеграла:
Если точка Mq не принадлежит области П, то интеграл
<р(Мо) не является несобственным. В этом случае подын-
подынтегральная функция в уравнении C.31) как функция точки
М(х, у, z) имеет в точке Mq непрерывные частные производ-
производные первого порядка. Поэтому интеграл <р{М) также имеет в
точке Mq непрерывные частные производные первого порядка,
причем эти производные вычисляются путем дифференцирова-
дифференцирования под знаком интеграла.
В случае, когда точка Mq ? П, требуется доказать равно-
равномерную сходимость несобственных интегралов в правых частях
формул C.33) в окрестности точки Mq.
Рассмотрим несобственный интеграл
!Vq. C.34)
ft "MQ

ЗА. Свойства, объемного потенциала 1Q9
В силу того, что |/(Q)| ^ А, |? — х\ ^ rMQ, справедлива оценка
rMQ
2n 7Г 25
= A I d<p ( sin QdQ f dr = 8жА5.
oo о
Отсюда при 5 < (е/8тгА)
- x) f(Q)
~Тз dVQ
MQ
т.е. интеграл C.34) сходится равномерно в окрестности точ-
точки Mq и, следовательно, существует непрерывная производная
dtp/dx в точке Mq.
Аналогично можно доказать непрерывность производных
df/dy и df/dz.
3. Если f(Q) непрерывна и ограничена в области Q, то вне
области П объемный потенциал C.31) удовлетворяет уравнению
Лапласа
= 0,
а внутри области Q - уравнению Пуассона
?нр(М) = -/(М).
Действительно, формально находим
1 Г Г Г / 1 \
,. C.35)
п

110 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Если М & п, то интеграл C.31) не является несобственным,
но тогда при Q Ф М
mq/
Следовательно, из уравнения C.35) вытекает
= 0, М(х, у, г) $ п. C.36)
Если М G П, то при Q = М интеграл C.31) имеет особен-
особенность. Но согласно C.20) в этом случае
ь(—) =-4n6z{Q,M).
Поэтому из формулы C.35) получаем .
f(QN3(Q, M)dVQ.
= -JJJ
п
Отсюда в силу свойств дельта-функции следует
= -/(М), М(х, у, z) G п. C.37)
Замечание 3.2. В любой внутренней точке области п объемный по-
потенциал C.31) является частным решением уравнения C37). #
Рассмотрим неоднородное уравнение
Аи = -/(М), Mefi. C.38)
Введем новую неизвестную функцию v(M), такую, что
и = ip + v,
где <р(М) - объемный потенциал C.31). Тогда функция v(M)
должна удовлетворять в области П уравнению Лапласа
Ди = 0.

3.5. Свойства гармонических функций 111
Следовательно, решение краевой задачи для неоднородного
уравнения C.38) можно свести к решению аналогичной зада-
задачи для уравнения Лапласа.
Аналогично можно установить, что если функция f(x, у)
непрерывна и ограничена в области D, то логарифмический
потенциал C.30) с плотностью f(x, у)
*(х'у) = к IIm>v) ln iu Л, ъ *dr> C-39)
удовлетворяет внутри области D уравнению Пуассона
_
а вне области D - уравнению Лапласа
дх2 + ду2 ~
3.5. Свойства гармонических функций
Функцию, непрерывную в некоторой области вместе со сво-
своими частными производными до второго порядка включитель-
включительно и удовлетворяющую уравнению Лапласа, называют гармо-
гармонической.
На основе интегральных формул Грина установим некото-
некоторые свойства гармонических функций.
1. Если функция и(х, у, z) - гармоническая в области П, то
#^dS = 0, C.40)
on
Е
где ? - замкнутая поверхность, ограничивающая область Q;
it - внешняя нормаль к S.
Действительно, так как и гармоническая в п, то Аи = 0.
Пусть функция v = 1. Тогда из формулы Грина C.25) следует
утверждение C.40).

112 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
2. Формула среднего значения. Запишем интегральную
формулу Грина C.27) для гармонической в области П функции
и(х, у, z). Полагая в уравнении C.27) / = О, получаем
4тг2г [гмор дп дп
Е
Пусть поверхность S = Ед представляет собой поверх-
поверхность шара ?Ir радиуса R с центром в точке Mq(xq, уо, zq).
Введем сферическую систему координат с центром в точке
и положим тщм — "Г- Тогда на сфере будем иметь
r=R~ dr\r)\rssR~ R2
В этом случае формула C.41) принимает вид
1A
Отсюда с учетом свойства C.40) для гармонической функции
получаем
^fji C.42)
Правая часть формулы C.42) представляет собой среднее
значение функции и(х, у, z) на сфере Ед. Из формулы C.42)
следует, что это среднее значение равно значению гармониче-
гармонической функции в центре шаровой области О,ц.
Формулу C.42) называют формулой среднего значения гар-
гармонической функции.
3. Принцип максимального значения. Если функция
и(х, у, z) непрерывна в замкнутой области О, = О, + S и гар-
гармоническая внутри ?1, то она достигает своего наибольшего
(наименьшего) значения на поверхности S. В случае, когда
и — const, это утверждение очевидно.

3.5. Свойства гармонических функций 113
Пусть теперь и не равна тождественно постоянной. В силу
свойств непрерывных функций в замкнутой области функция и
достигает своего наибольшего значения внутри области П либо
на поверхности Е.
Предположим противное утверждение, а именно, что наи-
наибольшего значения m эта функция достигает во внутренней
точке области Q. Обозначим через через и> множество всех то-
точек области Q, для которых и — т. Так как и Ф const, то
множество ш не совпадает с Q и , следовательно, в ш существу-
существует граничная точка Mq, являющаяся внутренней для п. Тогда
из непрерывности функции и следует, что u(Mq) = т.
Построим сферу Еа с центром в точке Mq радиуса а, та-
такую, чтобы на этой сфере имелась хотя бы одна точка Р, не
принадлежащая множеству ш. Поэтому и(Р) < u(Mq) — m,
а из непрерывности функции и следует, что существует часть
сферы Еа, в точках которой и < т. Но тогда, с одной стороны,
u(P)dS< (ff)mdS = 4Tra2m, C.43)
а с другой - для гармонической функции из формулы C.42)
имеем
ёи{Р) dS = 4тга2и(М0) = 4тга2т,
что противоречит C.43), откуда вытекает справедливость
принципа максимального значения.
Доказательство этого принципа для наименьшего значения
следует из того, что гармоническая функция —и достигает сво-
своего наибольшего значения там, где функция и достигает своего
наименьшего значения.
Отсюда вытекают еще три свойства гармонической функ-
функции.
4. Если гармоническая в области Q функция и удовлетворя-
удовлетворяет на границе области условию А ^ и ^ В, то она удовлетворяет
этому условию и внутри области п.

114 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
5. Если гармоническая в области Q функция и принимает
на границе области постоянное значение, то она постоянна и во
всей области Q. В частности, если и\% = 0, то и = 0 в П.
6. Если функции и и и гармоничны в области Q, то выпол-
выполнимость на границе области неравенства и ^ v, влечет за собой
выполнимость этого неравенства и внутри области П.
3.6. Краевые задачи для уравнения Лапласа
Как было показано ранее, различные физические процес-
процессы описываются уравнениями Лапласа и Пуассона. В каждой
задаче, связанной с этими уравнениями, искомое решение долж-
должно удовлетворять уравнению в области П, а также некоторому
дополнительному условию на границе Е области Q.
В зависимости от вида граничного условия будем разли-
различать следующие основные виды граничных задач:
и\^ — 7{Р) — первая краевая задача;
ди
дп
= д(Р) - вторая краевая задача;
Е
ди „ М , _.
а ——Ьри]\ — ^{Р) - третья краевая задача.
дп y|s
Здесь Э"(Р), g{P) wy(P) - определенные на поверхности Е функ-
функции; it - внешняя нормаль к Е; а + /3 ^0.
Если решение задачи ищут в области Л, внутренней (внеш-
(внешней) по отношению к поверхности Е, то соответствующую за-
задачу называют внутренней (внешней) краевой задачей.
Первую краевую задачу для уравнения Лапласа называют
задачей Дирихле, вторую - задачей Неймана.
Пусть дана область Q, ограниченная замкнутой поверхно-
поверхностью Е, на которой задана непрерывная функция Э"(Р). Сфор-
Сформулируем внутреннюю задачу Дирихле.
Найти такую функцию и(М), которая непрерывна в за-
замкнутой области ?1 = Q + Е, удовлетворяет в области ?1 урав-
уравнению Лапласа и принимает на поверхности S заданные значе-

3.6. Краевые задачи для уравнения Лапласа 115
ния ^(Р), т.е.
Аи = 0, М{х, у, z) e П;
ti|s = 5(Р), Р(х, у, г) G Е. l ' j
Теорема 3.1. Решение внутренней задачи Дирихле C.44),
непрерывное в замкнутой области Q = П + Е, единственно.
¦^ Пусть две функции щ и U2 являются решением этой за-
задачи. Тогда их разность v = и\ — ич удовлетворяет уравнению
Лапласа в области Q, а на границе S принимает значение, рав-
равное нулю. В силу свойства 5 гармонической функции имеем,
что v = 0 всюду в Q. >
Внутренняя задача Неймана формулируется следующим
образом: найти внутри области Q решение и(М) уравнения Ла-
Лапласа
Аи = 0, М(х, у, z) e п, C.45)
непрерывное в замкнутой области Q — Q+Y, и удовлетворяющее
на поверхности ? условию
=g(P), P(x,y,z)eZ. C.46)
Покажем, что решение задачи C.45), C.46) определяется с
точностью до произвольной постоянной. Доказательство про-
проведем при дополнительном условии непрерывности производ-
производных функции и первого порядка в области П.
Пусть две непрерывно дифференцируемые функции щ и щ
в области Q = Q + E удовлетворяют уравнению C.45) в области
Q и условию C.46) на Е. Тогда для функции v — и\ — щ будем
иметь
dv
Av = 0 в П,
dn
= 0. C.47)
Положим в формуле Остроградского C.21) lit = w grad г».
Так как 1? ¦ it = i>(gradi> • it) = v(dv/dn), div (v gradv) =
= (gradi>) + vAv, то эта формула примет вид
[(grad vJ + v Av} dV = (fhv-^- dS. C.48)
П Я

116 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Учитывая теперь C.47), из уравнения C.48) находим
(gra,dv)zdV = 0.
j
n
Отсюда gradv = 0 всюду в п. Но тогда в силу непрерывности
функции и и ее частных производных следует, что
dv _ dv _ dv _
дх ду dz '
т.е. v = и\ — u<i = const.
Замечание 3.3. Задача Неймана может иметь решение не при всякой
непрерывной функции д{Р). Из свойства 1 для гармонической функции и
граничного условия C.46) вытекает условие разрешимости задачи Неймана
д(Р) dS = 0. C.49)
Для единственности внешних краевых задач необходимо потребовать
дополнительного условия его поведения на бесконечности, а именно и{М)
равномерно стремится к нулю при М —> оо. #
3.7. Метод функции Грина
Функцией Грина для задачи Дирихле C.44) назовем функ-
функцию G(M, Mq), которая является обобщенным решением следу-
следующей краевой задачи:
= -4nS3(М,М0), М0(х0, уо, zq) e п;
Так как функция Грина G(M, Mq) имеет особенность вида
1
-, то ее можно представить в виде
гмом

3.7. Метод функции Грина. 117
где v(M) - гармоническая функция, являющаяся решением кра-
краевой задачи
Av = О, М(х, у, г) е ft;
Запишем формулу Грина C.25), в которой функция и
есть искомое решение задачи Дирихле C.44), а функция v —
= G(M, Mo):
п
Учитывая, что G\^ = 0, u|s = 7(P), а в области п Аи = 0 и
AG = —4тг6з(М, Mq), из формулы C.51) получаем
, М0) dV.
^ d5 = -4тг /77" и
Отсюда, используя свойство дельта-функции, находим
• Л ГС
и{М0) = -— Ш{Р) — d5. C.52)
47Г хГ c*n
Е
Эта формула дает решение задачи Дирихле C.34) в любой
точке Mq G ft, если известна функция Грина G(M, Mq) для этой
задачи.
Используя определение функции Грина C.50), дадим следу-
следующую электростатическую интерпретацию функции Грина для
задачи Дирихле.
Пусть точечный заряд q помещен в точку Mq внутри прово-
проводящей заземленной поверхности S (рис. 3.1). Функцию Грина
G(M, Mq) можно интерпретировать как потенциал поля, со-
создаваемого точечным зарядом q — Aiteq, помещенным в точку
Mq внутри поверхности S. Потенциал этого поля складывает-
складывается из потенциала поля точечного заряда q и потенциала поля,

118
3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Рис. 3.1
создаваемого индуцированными (наведенными) на поверхности
S зарядами противоположного знака. Такая электростатиче-
электростатическая аналогия позволяет построить функцию Грина для обла-
областей простой формы (полупространство, шар, слой), используя
решение задач электростатики.
Приведем примеры решения задачи Дирихле методом
функции Грина.
Задача Дирихле для полупространства. Найти решение
краевой задачи
(Аи = 0, -оо < х, у < +оо, z > 0;
\ и{х, у, 0) = 7{х, у), -оо < х, у < +оо.
C.53)
В этой задаче поверхность S представляет собой плоскость
z — 0, которую можно замкнуть в бесконечности. Для нахожде-
нахождения функции Грина воспользуемся электростатической анало-
аналогией. Если вблизи заземленной проводящей плоскости z = 0
расположен заряд q, то потенциал электростатического поля в
области z > 0 можно найти, поместив в точку Mq(xq, yo, —zq)
отрицательный заряд —q. Поскольку потенциал искомого по-
поля будет равен сумме потенциалов, создаваемых этими двумя
зарядами, функцию Грина определим как
C.54)

3.7. Метод функции Грина.
119
М,
где г = гщм = yj{x - х0J + (у - у0J + (z ~ 2оJ; П = rM(J»M =
= у(х - xqJ + (у - уоJ + {z + zqJ. Очевидно, что г\ — г на
поверхности S, а поэтому G|^ = 0.
Найдем производную функции G(M, Mo) по внешней нор-
нормали к поверхности S (рис. 3.2.):
дп
dG_
' dz
2zQ
Тогда согласно C.52) решение задачи Дирихле для полупрос-
полупространства примет вид
+0О+0О
u{xq, УО, -го) =
2тг
(х, y)dxdy
- х0J
ТГ- C-55)
[{х - xq)
Интеграл в правой части уравнения C.55) называют ин-
интегралом Пуассона для полупространства.
Задача Дирихле для шара. Рассмотрим краевую задачу
Аи = о, Me fta;
C.56)
Здесь ?1а - шар радиуса а с центром в начале координат; Еа --
поверхность этого шара.

120
3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Рис. 3.3
Для построения функции Грина воспользуемся известным
решением задачи электростатики о потенциале поля, созданном
точечным зарядом q, помещенным внутрь заземленной проводя-
проводящей сферической оболочки в точке Мо (рис. 3.3), находящейся
на расстоянии ро от центра шара. Для вычисления потенци-
потенциала внутри проводящей сферы с центром в начале координат
поместим в сопряженную точку Mq, находящуюся на рассто-
расстоянии Pq от центра шара (poPq = о2), отрицательный заряд
qa
q = . Такие два заряда q и q* создают электростатиче-
РО
ское поле, потенциал которого на поверхности SQ равен нулю.
Поэтому функцию Грина в этой задаче следует представить в
виде
G(M, Мо) = ----, C.57)
г ро т\
где г = гМом; П = гм*м.
Совместим теперь точку М с точкой Р на поверхности
сферы (рис. 3.4). Так как на поверхности сферы G(P, Mq) = О,
то для точки Р справедливо равенство г\ = — г.
РО
Найдем производную функции G по внешней нормали к
поверхности Sa:
dn
dn
a_d_
P0 dn

3.7. Метод функции Грина
121
Далее определим
-(-
dn \r
д_
дп
Рис. 3.4
= grad - • it
г
1
rt-lt
Поэтому
dn
• ft a ft • it
+ —
PO
cos a\ a cos 02
о I о ,
rl po r[
где ai = C^T^);  =
По теореме косинусов из треугольников OMqP и OMqP
вычисляем
+ г2 -
2ar
r\-
2a П
Тогда
dG_
dn
2a r3 po 2a r?

122 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
аг . а2
Так как г\ = —, р! = —, г = \/az + рк — 2аросовф, то
PO PO v
дп
9 9 9
— aZ On — <Г
Sa "' a (a2 +Pq- 2apQ cos i
Окончательно в соответствии с формулой C.52) получаем
решение задачи Дирихле C.56) в виде
1 ГГ а2 - о2
и(М0) = —ё ПР) тг dS. C.58)
? (а2 + Р2^
Введем сферическую систему координат:
х = psinO cosip; у = р sin в sin tp; z = pcosO.
Тогда Mq(pq, 9q, ipo), а на сфере So будем иметь
P = P(a,6,<p); Эг(Р) = Эг{в,(р); dS = a2 sin 6 d6 d<p.
Выразим cos ф через сферические координаты точек Mq и Р:
1Щ[
—, —, — I = (sm&o cosyjQ, sin&o smtpo, cos0q),
PO PO PO)
= (sin# cos<p, sin в simp, cos в),
]Щ U' a ' a
совф = cos(OmJ, UP) = _2^° 4L
sin# cos(<p — щ) + cos#o cos в.
Итак, после преобразования координат решение C.58) за-
задачи Дирихле для шара будет иметь вид
a f } 7F, tp) {a2-ph sin6 d9d<p
и(ро, в0, V0) = -r / 'УМ ^ тг^. C-59)
4П{ { (Р2о + а2-2ар0 cos ф)Ъ
а2-2ар0 cos

3.8. Метод разделения переменных 123
Интеграл в правой части формулы C.59) называют интегра-
интегралом Пуассона для шара.
3.8. Решение краевых задач для уравнения
Лапласа методом разделения переменных
Третья краевая задача. Рассмотрим внутреннюю краевую
задачу для уравнения Лапласа с граничным условием третьего
рода
Д2« = 0, М е D;
C.60)
= у(Р), Ре с,
с
где а, /3 = const > 0; а2 + /З2 ф 0.
Пусть область D представляет собой круг радиуса а, огра-
ограниченный окружностью С. Тогда задача C.60) в полярных ко-
координатах будет иметь вид
C.62)
Решение этой задачи будем искать методом разделения пе-
переменных в виде
и(г,?) = Я(г)Ф(?)^0. C.63)
Подставляя предполагаемую форму решения C.63) в урав-
уравнение C.61) и разделяя переменные, получаем
d ( dR
) ф"м .
= А = const.
Отсюда следует, что функция R{r) должна быть найдена из
решения уравнения
^(^)Лй(г)=0' <М4)

124 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
а для функции Ф(<р) получаем задачу на собственные значения
C.65)
\ ФМ = Ф(</? + 2тг).
Здесь условие периодичности функции Ф(<р) является следстви-
следствием периодичности искомого решения u(r, ip) по угловой пере-
переменной с периодом 27Г.
Задача C.65) имеет нетривиальные периодические реше-
решения только при А = Ап = п2, п = О, 1, 2,... Эти решения имеют
вид
Фп(у>) = Ancosnip + Bnsmrvp, C.66)
где Ап и Вп - произвольные постоянные.
Из C.64) для функции R(r) при А = о2 получаем уравнение
Будем искать частные решения этого уравнения в виде степен-
степенной функции R(r) = г , к = const. Подставив эту функцию в
уравнение C.67):
г2к {к - 1) гк~2 + гк г* - п2гк = О,
устанавливаем, что показатель степени к определяется из урав-
уравнения к — п = 0, т.е. к = ±п.
Следовательно, уравнение C.67) имеет следующие два ли-
линейно независимых решения: гп и г~п.
Решение внутренней задачи Дирихле должно быть ограни-
ограничено в центре круга при г = 0. Поэтому из двух найденных
решений следует взять лишь Rn(r) = rn, n — 0, 1, 2,...
Таким образом, согласно C.63) частные решения уравнения
C.61) можно записать так:
ип{г, (р) — г11 (AncosTi(p + Bnsinn(p), n = 0, 1, 2, ...

3.8. Метод разделения переменных 125
В силу линейности и однородности уравнения C.61) суперпози-
суперпозиция частных решений
сю сю
u(r, ip) = ^ un(r, ip) = У^ г" (An cos nip + Bn sin nip) C.68)
n=0 n=0
также будет удовлетворять этому уравнению.
Выполняя граничные условия C.62), получаем
сю
а ^ nan~1 (An cos nip + Bnsmntp) +
n oo
+ P ^2 °n (An cos rvp + Bn sin ntp) = 'y(tp)
n=0
или
2PAO °°
2 „=i
x (Ancosnip + Bnsinnip) — 7(<p). C.69)
Разложим функцию j(ip) в интервале @, 2п) в тригономе-
тригонометрический ряд Фурье:
сю
7(v) = ~7? + z_](Cn cosnV + ^" sinnyj);
n=l
2тг
cn = - j(ip) cos nip dip, n = 0,1,2,...; n 7n\
0
2?r
1 /
dn = — j{<p) sinmpdtp, n — 1, 2, ...
7Г У
0
Приравняв коэффициенты в рядах Фурье C.69) и C.70), нахо-
находим
ana"-1 +Pan'

126 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Таким образом, решение третьей краевой задачи для урав-
уравнения Лапласа в круге представимо в виде ряда C.68) с коэф-
коэффициентами, определяемыми формулами C.71).
Задачи Дирихле и Неймана в круге. Из найденного ре-
решения третьей краевой задачи могут быть получены решения
задач Дирихле и Неймана.
Если положить а = 0, а /3 = 1, то краевая задача C.60)
переходит в задачу Дирихле, а ее решение представимо рядом
C.68) с коэффициентами
Это решение можно записать в форме
оо
и{г, 1р) = ^+ У2рп(сп cos ntp+ dn sin пер), р=-<1. C.72)
1 п=\ а
Если же в задаче C.60) положить а = 1, /3 = 0, то получим
задачу Неймана для круга. В этом случае
л сп д Aп 1 0
пап l na71
а формула C.71) для коэффициента А$ устанавливает условие
C.49) разрешимости задачи Неймана
2тг
CQ = - / y(tp) dip = 0.
7Г J
0
Поэтому решение задачи Неймана имеет вид
оо
и(г, <р) = у - рп (сп cos тир + dn smn<p) + const. C.73)
п=1
Замечание 3.4. Если в формулах C.72) и C.73) значение р считать
равным а/г, то онн будут определять решения внешних для круга задач
Дирихле и Неймана. #

3.8. Метод разделения переменных 127
Интеграл Пуассона. Получим иную форму записи реше-
решения задачи Дирихле для круга. Для этого преобразуем решение
C.72), подставляя в него значения коэффициентов Сп и dn,
2тг
и(г, ср) = ~ I i{4>) I 2
0
оо 1
рп (cos гмр cos пф + sin n<p sin пф) йф =
п=\ J
1 2г п
У (V) U + Е ^ cos n(V "
тг У '^' |2
О
Замечая, что
находим
. ОО
— 2 Z^ •
1 1 °°
~ 2 + 2 ^
1 "
2 ' 71=1 Ч ' П-\
Так как |ре±г^~^)| = р < 1, то, вычислив суммы геометриче-
геометрических прогрессий, получим
2
1 1 - р2 1 а2 -г2
2 1 - 2р cos(<^ -ф) + р2 2 a2 — 2ar cos(<^ -?/») + г
2'

128 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Подставляя найденное значение / в уравнение C.74), получаем
решение задачи Дирихле для круга в форме
2тг
u(r, ф) = — [чШ-ъ <!lJZL лл (з.75)
О
Интеграл в правой части формулы C.75) называют инте-
интегралом Пуассона для круга.
Задача Дирихле в кольце. Приведем теперь решение зада-
задачи Дирихле в кольце, внутренняя граница которого есть окруж-
окружность радиуса а, а внешняя - окружность радиуса Ъ. Эту задачу
можно записать следующим образом:
r; (з7б)
u(a, y>) = 3ifoO, "(Ь, v) = ЫФ), 0^<р^2тг. C.77)
Представляя решение уравнения C.76) в форме C.63), при-
придем к задаче на собственные значения C.65) для функции Ф(<^)
и к решению в интервале а < г < b уравнения C.67).
Общее решение уравнения C.67) имеет вид
Г Яо(г) = Ло + 5о In г при п = О,
\Rn{r) = Anrn + Bnr-n при п=1, 2, ...
Здесь в отличие от задачи для круга нужно сохранить оба сла-
слагаемых, так как точка г = 0 находится вне кольца.
Поэтому с учетом формул C.66) и C.78) частные решения
уравнения C.76) можно записать в виде
f uo(r, ч>) = R0(r) Ф0М = А$ + В$ In г, п = 0;
| un(r, <p) = Rn{r) Фп{<р) =
= {A+rn + B+r~n) cos rup+
+ (A~rn + B~r~n) sin nip, n = l, 2, ...

3.8. Метод разделения переменных 129
Здесь Л+ = ~АПАП; В+ = ВПАП\ А~ = А~ПВП\ В~ = ~ВПВП -
произвольные постоянные.
Функция u(r, ф), определенная как суперпозиция этих част-
частных решений:
«(г, Ч>) = \ « + В0Ыг) + Е
+ (а~гп + B~r-nj sin n J , C.79)
будет удовлетворять линейному однородному уравнению C.76).
Подставив C.79) в граничные условия C.77), получим
1 Г/ \
- (А$ + В$ In a) + Y, [(Л+а" + B+a~n)j cosn<p+
an) sinrnpl =
- (Л+ + В+ In 6) + ^ f Л+Ьп + B+6-n
cos
Эти соотношения представляют собой разложения задан-
заданных функций 3*i(«p) и ^2 (у) в тригонометрические ряды Фурье
Вычислим коэффициенты Фурье этих функций:
2тг
<?'2) = ~ [ flMv) cosn<^d<^, n = 0, 1,2,...;
О
2^
, n = 0, 1,2,...

130 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Тогда из уравнений C.80) находим
+ В
++В+
Так как In Ъ — In а ф 0 и {а/Ь)п — {Ь/а)п ф 0, то эти системы
однозначно разрешимы:
п " а2и - б2" ! п " а2» - б2"
Л В
Л" ~ а2п _ 62п 5 Вп - а2п _ Ь2п
Подставляя значения этих коэффициентов в уравнение
C.79), получаем решение задачи Дирихле в кольце.
Вопросы и задами
3.1. В области эллиптичности привести уравнение
ихх + ху иуу = 0
к канонической форме.
Ответ: щ^ + uvv + — щ uv = 0.
\

Вопросы и задачи 131
3.2. Внутри круга 0 ^ г < а найти гармоническую функцию u(r, <р),
принимающую на границе круга значения 2 sin2 tp + sin lip.
Ответ: u(r, >p) = 1 - (-) (cos2y> — sin2y>).
3.3. Найти ограниченное решение внешней задачи Дирихле
{Ди = О, а < г < оо, 0 $ у ^ 2тг;
и(а, у?) = sin|, 0^у>^2тг.
Ответ:
..41 v- / а ^ cosrufi \
: «(г, ^) = - [- - g ^- j j^-yj .
3.4. Найти значение параметра а, при котором разрешима внутрен-
внутренняя задача Неймана
Ди = 0, 0 ^ г < а, 0
и решить эту задачу.
Ответ: u(r, tp) = const — a
п' \а
п=1
3.5. Решить третью краевую задачу
Ди = 0, 0 ^ г < а, 0 ^ <р ^ 2тг;
1 ,„
_ , . 2 4а v^ / г \ cos n<^
Ответ: u(r, Ф) — =¦ > 1-1 —г-, —г.
v ' Y> 3 тг2 ?-*>\ а) п2(п + а)
п=1 ч '
3.6. Решить задачу Дирихле в кольце а < г < Ь, если искомая функ-
функция u(r, ip) на внутренней границе равна нулю, а на внешней принимает
значения 1 + cos ip.
r\ is ab (r a\ ln(r/a)
Ответ: u(r, tp) = — cos^+ )' '
b2 — a2 у a rj ln(o/a)

132 3. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
3.7. Найти стационарную температуру и(хо, уо, го) в однородном по-
полупространстве z > О, если на границе z = 0 полупространства распре^/.
ление температуры равно
fl, \х\<1, -оо<у<оо;
¦?{х> У) = \
[ О, |х| > I, -оо < у < оо.
\ ( I- Хо . I + Хо
Ответ: и = — axctg + arctg
ж \ z0 го
3.8. Поверхность бесконечного цилиндра радиуса а имеет потенциал
0, тг < <р < 2тг.
Найти поле потенциала внутри и вне цилиндра.
п . . 1 2г^ 2n-is'nBn — l)v> * , _ ^
Ответ: и(г, у) = - + — >^ р —^ , где р = г/а, если 0 ^ г < а,
п=1
и р = а/г, если а < г < оо.
3.9. Найти потенциал скоростей жидкости, обтекающей неподвиж-
неподвижный бесконечный цилиндр радиуса а, если на бесконечности скорость жид-
жидкости равна Vo. ~~—
Указание. Сделать подстановку и = ио + v, где зд = —Vox - потен-
потенциал однородного потока жидкости, движущейся вдоль оси Ох.
Ответ: u(r, ip) = —Vo (г + а2/г) costp.

2. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
КАК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
4.1. Применение конформных отображений
для решения задач электростатики
Как было показано в 3.1, потенциал (р электростатического
поля в вакууме удовлетворяет уравнению Пуассона
D.1)
Поэтому расчет электростатического поля в общем случае при-
приводит к решению задач для уравнения D.1).
В отсутствие объемно распределенных электрических за-
зарядов, т.е. при р = 0, расчет электростатического поля сво-
сводится к решению задач для уравнения Лапласа
А<р = 0. D.2)
При этом одной из основных задач электростатики являет-
является задача отыскания поля, создаваемого системой заряженных
проводников, на поверхности которых задано значение потен-
потенциала, одинаковое по всей поверхности проводника.
Такую задачу для уравнения Лапласа на плоскости можно
эффективно решить с помощью методов теории функции ком-
комплексного переменного [X].
Обозначим через z = х + гу комплексное независимое пере-
переменное, где х и у - соответственно его действительная и мнимая

134 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
части. Область изменения этого переменного - вся координат-
координатная плоскость (ж, у), которую кратко будем называть плоско-
плоскостью Z.
Пусть го = f(z) = ip + iip - некоторая функция комплекс-
комплексного переменного z. Как действительная, так и мнимая части
комплексного числа го являются вещественными функциями пе-
переменных х и у, т.е.
ф = ф(х,у); <р = <р{х,у).
Комплексное число го можно представить точкой на неко-
некоторой плоскости го с координатными осями ф и (р.
Таким образом, зависимость w — f(z) устанавливает связь
между точками плоскости z и точками плоскости го, т.е. ото-
отображает одну плоскость (или ее часть) на другую. В дальней-
дальнейшем будем рассматривать только такие преобразования, для
которых функция го = f(z) однозначна и дифференцируема в
некоторой области. В теории функций комплексного перемен-
переменного такую функцию, для которой во всех точках некоторой
области существует производная dw/dz = / (z), называют ана-
аналитической в этой области функцией. При этом необходимыми
и достаточными условиями аналитичности функции го = f(z)
являются условия Коши - Римана
_ = ^ = _± 4
дх ду* дх ду' ( '
Покажем, что действительная и мнимая части любой ана-
аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа на
плоскости. Учитывая, что для аналитической функции ее дей-
действительная гр(х, у) и мнимая (р(х, у) части имеют непрерывные
производные второго порядка по х и по у, продифференциру-
продифференцируем первое условие D.3) по ж, а второе - по у. Тогда, сложив
полученные выражения, найдем
дх2 ду2

4.1. Применение конформных отображений 135
Аналогично, изменив порядок дифференцирования, из условий
D.3) получим
+ =o
дх2 ду2
Такие гармонические функции ф(х, у) и (р{х, у), удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям D.3), называют сопряженными гармоническими
функциями.
Пусть аналитическая функция w = f(z) взаимно однознач-
однозначно отображает область П плоскости z на область П плоскости
w, причем f'{z) ф 0 всюду в области П. Такое отображение со-
сохраняет подобие малых геометрических фигур, и его называют
конформным.
При конформном отображении пересекающиеся на плоско-
плоскости z кривые после отображения пересекаются на плоскости го
под таким же углом, а элементарный треугольник с вершиной
в точке zq отображается в подобный треугольник с вершиной
в точке wq = f{zo). Рассмотрим преобразования
ф = ф(х,у), ifi = ifi(x,y);
х=х{ф,(р), y = y(xp,tp),
связанные с конформным отображением области П плоскости
(х, у) на область П плоскости (ф, (р), которое осуществляется
аналитической функцией го = f(z).
Пусть W(x, у) - некоторая дважды непрерывно дифферен-
дифференцируемая функция, a W(i/>, ф) = W[x(xp, tp), y(tp, tp)] - соответ-
соответствующая функция, полученная с помощью конформных пре-
преобразований D.4). Запишем выражения для производных:
Wx = %г/,х + Щ<рх; Wy =
Wxx = 2 l
xx
Отсюда получаем
Wxx + Wyy =
рх + фу<ру) + У/ф{фхх + фуу) + Щ{<рхх + <рУу). D.5)

136 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
Так как функции ip(x, у) и р(х, у) являются сопряженными гар-
гармоническими, то из условий Коши - Римана легко получить сле-
следующие соотношения:
Фх<Рх + Фуфу = О,
где f'(z) = фх+ i<px, причем \f'(z)\ ф 0.
Поэтому формула D.5) принимает вид
Отсюда, в частности, следует, что если функция W(x, у) удо-
удовлетворяет уравнению Лапласа в области П, то в результате
конформного преобразования w = f(z) функция W(ip, ф) будет
также удовлетворять уравнению Лапласа в области П. Поэто-
Поэтому с помощью конформного отображения простое по структуре
плоское электростатическое поле, например поле плоского или
цилиндрического конденсатора, можно преобразовать в слож-
сложное по структуре электростатическое поле, получив при этом
аналитическое выражение'для распределения потенциала.
Действительно, пусть требуется определить потенциал
ip = p(x, у) плоского электростатического поля, создаваемого
системой двух бесконечно протяженных проводников (электро-
(электродов), перпендикулярных плоскости (х, у) и имеющих потенци-
потенциалы tpi и ч?2- На плоскости (х, у) электродам соответствуют
две эквипотенциальные линии С\ и C<i (рис. 4.1, а), уравнения
которых р(х, у) = ipi — const и ip(x, у) — ip2 = const.
Если найти такое конформное преобразование f(z) =
= ф(х, у) + i<p(x, у), при котором линии С\ и Ci на плоско-
плоскости (х, у) перейдут в прямые линии C\(ip = ip\) и C2W — f2)
на плоскости (ip, tp) (рис. 4.1, б), то распределение потенциала в
плоскости (х, у) можно записать так:
4> = 4>{х, у) =Im/(z). D.6)

4.1. Применение конформных отображений
137
¦н-н-
! I I I
%
Рис. 4.1
При этом семейство эквипонтециальных линий на плоскости
(х, у) можно задать уравнениями <?>(х, у) = А, где tpi < А < ip2
- некоторая константа, принимающая различные значения для
различных эквипотенциальных линий.
Зная потенциал, можно определить вектор напряженности
~Е{ЕХ, Еу} электростатического поля с компонентами
ох
ду
и модулем
д-ф dip
+ г
= \f'(z)\.
При этом уравнение силовой линии на плоскости (х, у) имеет
вид
dx dy
— = —
Ex Ey
или
dx dy
=
Так как из условий Коши-Римана <рх = —фу, a ipy = фх,
то вдоль силовой линии фх dx + фydy = dф = 0. Следова-
Следовательно, на плоскости (х, у) линии, удовлетворяющие условию

138 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
ф(х, у) = const, ортогональны эквипотенциалям и являются си-
силовыми линиями электростатического поля. На рисунках элек-
электростатических полей эти линии изображаются штриховыми
линиями.
Комплексную функцию
f(z) = ф(х, у) + i(p(x, у),
позволяющую аналитически описать электростатическое поле
на плоскости (х, у), называют комплексным потенциалом.
Можно отметить, что комплексный потенциал описыва-
описывает также сопряженное электростатическое поле, для которого
уравнение эквипотенциальных линий имеет вид ф(х, у) — const,
а уравнение силовых линий <р(х, у) — const.
Используя комплексный потенциал, можно определить
плотность о электрических зарядов на электродах, так как по
формуле электростатики
D.7)
= ?0\ -j- + Г =
Так же просто можно рассчитать заряд q на электроде между
двумя точками а и Ь. Так как на электроде ip = const, то вдоль
электрода изменяется только действительная часть ф комплекс-
комплексного потенциала f(z). Поэтому на электроде
\f'(z)\ = дф/dl,
где I - единичный орт в направлении касательной к линии С\
(или Сг) в сторону возрастания ф. Поэтому
-ф(а)}. D.8)

4.1. Применение конформных отображений 139
Пример 4.1. Исследуем конформное преобразование
z
w — arch —, или z = kchw, D.9)
К
где к > О - некоторая постоянная.
Представив это преобразование через действительные и
мнимые части
х + i у = к ch (ф + i ip)
и воспользовавшись формулой
ch (ф + г ip) = ch ф cos ip + i sh ф sin (p,
находим
x = к ch ф cos tp; у — к sh ф sin (p. D-10)
Отсюда
i
к ch ?/; к sh ?/;
Возведя эти выражения в квадрат и сложив полученные выра-
выражения, приходим к уравнению для силовой линии электроста-
электростатического поля в плоскости (х, у):
Это уравнение есть уравнение эллипса с фокусным расстоянием
/ = у/к2сЪ2ф-к28Ъ2ф = к.
Различным значениям ф соответствует система конфокальных
эллипсов.
Разрешая выражения D.10) относительно sh?/; и сЪф:
; сЪф = -
7г; сЪф = ,
к sm ip к cos ip
получаем после возведения в квадрат и вычитания уравнение
для эквипотенциальных линий в плоскости (х, у):
х2 у2 = L
к2 cos2 <p к2 sin2 tp

140
4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
Это уравнение для различных значений ip описывает семей-
семейство конфокальных гипербол. #
Таким образом, с помощью конформного отображения
D.9) можно аналитически описать следующие электростатиче-
электростатические поля:
а) поле двух разноименно заряженных проводящих полу-
полуплоскостей, лежащих в одной плоскости и отстоящих одна от
другой на некотором расстоянии (рис. 4.2). Такая конфигура-
конфигурация электродов представляет собой простейшую модель элек-
электростатической линзы;
Рис. 4.2
б) поле бесконечно протяженной-заряженной проводящей
ленты (рис. 4.3). Для такого сопряженного электростатическо-
электростатического поля можно считать, что второй цилиндрический электрод,
имеющий нулевой потенциал, находится на достаточно большом
расстоянии.
\
\
Рис. 4.3

4.1. Применение конформных отображений
141
Пример 4.2. Рассчитаем поле вблизи края полубесконеч-
полубесконечного конденсатора, пластины которого (электроды), имеющие
потенциалы ±V, представляют собой две полуплоскости, рас-
расположенные одна над другой на расстоянии 2d (рис. 4.4, а).
У,
с 7$
2d
С
\в1
>4
A <f=+V
A'
В
Д1
г
Рис. 4.4
Для этого покажем, что конформное преобразование w =
= f(z), задаваемое неявной зависимостью
nw
-—
V
D.11)
отображает полубесконечные электроды в плоскости (х, у) на
прямые линии ц) = +V и ц) = —V плоскости (ip, <p), преобразуя
при этом поле полуограниченного конденсатора в однородное
поле неограниченного плоского конденсатора (рис. 4.4, 6).
Действительно, полагая z = x + iyHw = ip + i(p, из урав-
уравнения D.11) находим
d
d
D.12)
Так как при у = +V
d / 21^ пф , ,
7Г V V

142 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
то, двигаясь на плоскости (ф, ф) по прямой <р = +V в сторону
возрастания ф от —оо до +оо, на плоскости (х, у) мы дважды
пройдем луч {х ^ 0, у = +d}: сначала от Л к В, а затем в
противоположном направлении от В к С (см. рис. 4.4).
Аналогично, прямая <р = — V на плоскости (ф, ф) отобра-
отображается в луч {х ^ 0, у = —d} на плоскости (х, у). #
С помощью зависимостей D.11) и D.12) перейдем к ис-
исследованию поля полуограниченного плоского конденсатора. В
частности, из соотношений D.12) следует, что при достаточно
больших отрицательных значениях ф, когда ф —> —оо, х « — ф,
и поэтому силовые линии ф = const на плоскости (я, у) внутри
конденсатора вдали от края представляют собой прямые линии
х = const, перпендикулярные электродам. Физически это озна-
означает, что внутри конденсатора вдали от края электрическое
поле является однородным.
Для достаточно больших положительных значений ф, когда
ф —> +оо, т.е. вне конденсатора вдали от его края, из D.12)
получаем
d 5t (ртг
х « — е V cos ~rr; ~~~~
7Г V
d -Ц± (ртг
у та -ev sin—.
7Г V
Из этих соотношений следует, что
x2 + v2 = —
J, -г у — 2
т.е. вне конденсатора на достаточно большом расстоянии от
края силовые линии (ф = const) по форме близки к окружностям
с центром в точке @, 0) на плоскости (я, у).
Для исследования напряженности электрического поля Е
найдем производную
dw\~ d {ж ™ 7г
ь) -H

4.1. Применение конформных отображений
143
Отсюда
На оси конденсатора <р = 0, поэтому w — -ф и
Е = Ti
dw
dz
V
d
1
nw
eV + 1
D.13)
где Eq = V/d - напряженность поля неограниченного плоского
конденсатора.
Проследим изменение напряженности поля Е = Е(х), дви-
двигаясь вдоль оси конденсатора у = 0 (рис. 4.5). Из формулы
D.13) следует, что внутри конденсатора (пгр/V <S —1), т.е. да-
далеко от края, Е — Eq. Это также подтверждает вывод о том,
что внутри конденсатора можно пренебречь краевым эффек-
эффектом и считать поле однородным, как и для неограниченного
конденсатора.
Силовая линия гр = 0 пересекает ось конденсатора у = 0 в
2
точке х = х*, где х* = — d « 0,64d. В этой точке Е = 0,5-Бо)
т.е. напряженность электрического поля убывает вдвое.
Вне конденсатора, там где ф принимает большие положи-
положительные значения, из формул D.12) можно найти связь между
•ф и х для у = 0 (<р = 0) в виде
X
d *± d
- ef » -.
7Г 7Г

144 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
С учетом этого из выражения D.13) получаем
Е = Е0 —.
пх
Это соотношение показывает, что вне конденсатора вдали от
его края напряженность электрического поля по модулю убыва-
убывает обратно пропорционально расстоянию до края конденсатора.
4.2. Мультипольное разложение потенциала
Пусть система неподвижных электрических зарядов, т.е.
некоторое заряженное тело, занимает ограниченный объем в
некоторой области пространства fi, а распределение электриче-
электрического заряда в теле задано объемной плотностью заряда p(N),
N G fi. Введем систему координат с началом в точке О вну-
внутри Q и обозначим через 7* радиус-вектЪр точки N, а через К
радиус-вектор, определяющий положение некоторой точки М
вне заряженного тела (рис. 4.6).
Рис. 4.6
Найдем потенциал электростатического поля в точке М,
считая, что R 2> г, т.е. на достаточно большом расстоянии от
заряженного тела.
Как было показано в 3.4, потенциал (р в точке М можно
выразить в виде объемного потенциала:
D.14)
47ге0

4.2. Мультипольяое разложение потенциала 145
Учитывая, что точка М выбрана так, что R 2> г, представим
(р(М) в виде разложения по степеням \/R:
+¦
Такое разложение потенциала назовем разложением по
мультиполям, а каждый коэффициент q(n> этого разложения -
электрическим моментом n-го порядка данной системы зарядов
заряженного тела. Физически такое разложение соответству-
соответствует возможности представления электрического поля любого за-
заряженного тела на больших расстояниях от него в виде поля
точечного заряда, описываемого первым членом в разложении
D.15).
Определим коэффициенты q^n> разложения D.15). Для это-
этого введем угол в = ("т*, К) между векторами "г^ и К и малый
параметр задачи S = r/R. Если обозначить х = cos#, то по
теореме косинусов можно записать
= \R2 + г2 - 2Rrcos9\-ll2 = ВГ\\ + S2 - 28х)~1/2.
\R -
Разложим выражение в круглых скобках в правой части этого
равенства в степенной ряд по малому параметру 8:
6226У /
оо
A-62-26х /2 J2
71=0
Коэффициенты этого ряда Тейлора определяются известным
соотношением
n! д5п
5=0
Непосредственным вычислением устанавливаем, что Рп{х) при
п = 0, 1, 2,... являются полиномами п -й степени. В частности,
Р0(х) = 1, Pi(z) = z, P2{x) = \x2-1-. D.16)

146 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
Таким образом,
|> |> U) D17)
и, используя уравнения D.14), для мулътиполъного разло-
разложения потенциала получаем
Здесь д(°) = /// pdV - полный заряд системы;
п
= / / / pr cos в dV - дипольный момент системы зарядов; q{> =
п
= / / / -— C cos в - 1) dV - квадрупольный момент системы
п
зарядов; q^n> = /// prn Pn(cos6)dV - электрический момент
n -го порядка.
Определим теперь дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяет полином Рп(х). Для этого используем тот факт,
что
1 1
является фундаментальным решением уравнения Лапласа, т.е.
где Ддг - оператор Лапласа по координатам точки N.
Подставив выражение для \R — ~r*\~ из уравнения D.17) в
D.19), запишем полученное выражение в виде
оо
Е -^ТТ Д*[Pn(cos0) r"] - 0. D.20)

4.2. Мультилольное разложение потенциала 147
Так как это равенство справедливо для любых значений R, то
из него следует
AN[Pn(cose)rn} = 0. D.21)
Выбрав сферическую систему координат с центром в точке
О и направив полярную ось в направлении К, запишем уравне-
уравнение D.21) в этой системе координат
Учитывая, что
1 d i 9w \ , . ., n_2
i
преобразуем D.22) к виду
rn~2 \n{n + l)Pn(cose) +
Это уравнение должно выполняться для любого г ф 0. По-
Поэтому, возвращаясь к обозначениям х = cos в, 1 — х — sin 0,
tfx = — s'mOdO, запишем уравнение D.23) для переменного
х G (—1, +1) в дифференциальном виде
Тх [A"х<2) d-^k
Это уравнение называют уравнением Лежандра, а его ре-
решения Рп(х) для п = 0, 1, 2,... - полиномами Лежандра.
Для полиномов Лежандра справедлива рекуррентная фор-
формула
{п + 1) Pn+i{x) - Bп + \)хРп{х) + nPn_i(x) = 0,

148
4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
которая связывает три последовательных полинома Лежандра.
По этой формуле можно вычислить полином Лежандра лю-
любой степени по первым двум, которые определены формула-
формулами D.16).
4.3. Расчет поля электростатического подвеса
Одним из возможных технических решений проблемы
уменьшения трейия в гироскопических системах является ис-
использование электростатического поля для компенсации силы
тяжести. Такие системы называют гироскопами с электроста-
электростатическим подвесом.
Простейшая модель такого гироскопа представляет собой
проводящий шар радиуса г\ (ротор гироскопа), который на-
находится в поле двух полусферических электродов радиусов Г2,
разделенных между собой узким промежутком и имеющих по-
потенциалы +Vb и —Vq (рис. 4.7).
Рис. 4.7
Расчет электростатического поля в зазоре между шаром и
электродами г\ < г < Г2 проведем для случая, когда центры
шара и электродов совпадают и потенциал шара равен нулю
(незаряженный шар). В этом случае нахождение потенциала

4.3. Расчет поля электростатического подвеса 149
ip = yj(r, в) электростатического поля в зазоре сводится к ре-
решению краевой задачи для уравнения Лапласа, которая с учетом
осевой симметрии поля может быть записана в следующем виде:
дг У дг)^ гЧтв дв \ Эв)~ ' D.25)
П < г < г2, 0 ^ в ^ 7г;
0)=O; D.26)
= U {в) = { п г D.27)
Используя метод разделения переменных, когда у?(г, в) =
= R(r) Ф(в), получаем
d ( 2dR
dr
R(r)
Отсюда для нахождения функций R(r) и Ф{в) получаем уравне-
уравнения
j.L2~\-\R^Q- D.29)
1 d
sin (9 d
Если в уравнении D.30) сделать замену переменного
cos# = х и положить Ф@) = Х(х), то оно примет вид
Задача отыскания ограниченного решения уравнения D.31),
удовлетворяющего условиям |А"(±1)| < оо, соответствует за-
задаче Штурма - Лиувилля, рассмотренной в Приложении 2. Эта

150 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
задача имеет нетривиальные решения Хп (х) лишь при А = \п =
= п (п + 1). Эти решения (собственные функции) являются
полиномами Лежандра п-го порядка, т.е. Хп(х) = Рп(х)
или Ф(в) = Pn(cos в) для п = 0, 1, 2,...
Как собственные функции задачи Штурма - Лиувилля по-
полиномы Лежандра удовлетворяют следующему условию ортого-
ортогональности:
+1
Pn{x)Pm{x)dx =
-1
* ( 0, п ф го;
= / Pn(cos6l)Pm(cos(9) sin 6» cf(9 = < 2 D-32)
./ 7: г, П — т.
0 К2п + 1
При А = Хп = п (п + 1) из уравнения D.29) находим
+1
I
^ или
где р = r/r\\ An, Bn = const.
Используя принцип суперпозиции решений для линейного
уравнения D.25), представим его решение рядом
°° В \
( ^ТГ) P"(cos0)' D.33)
1<р<7, 0^(9<тг,
где р = r/ri; 7 = J/ri > 1.
Удовлетворяя при р = 1 граничному условию D.26), полу-
получаем Ап + Вп = 0, т.е.
Pn(cos0). D.34)
V II" ' ~ I
n=0
Теперь с учетом граничного условия D.27) получаем соот-
соотношение
-. D.35)
п=0 Г"'

4.3. Расчет поля электростатического подвеса 151
Равенство D.35) представляет собой разложение функции
U(в), заданной формулой D.27), в ряд Фурье по полиномам
Лежандра. Возможность такого разложения по собственным
функциям задачи Штурма - Лиувилля D.31) следует из теоре-
теоремы Стеклова (см. Приложение 2). С учетом условия ортого-
ортогональности D.32) находим коэффициенты этого разложения
AnYn = —-— / и{в)Рп (cos в) sin0d0 =
+1
2n
- JlJ(x)Pn(x)dx, D.36)
2
-1
где
Uix) = <
\ +V0, 0<z<+1.
Учитывая правила изменения знака аргумента для полиномов
Лежандра
Рп(-х) = (-1)п Рп(х),
из D.36) для искомых коэффициентов Ап разложения D.33) по-
получим формулы
Ап — 0 для п — 2к;
1
Ап = Vo П+ / Pn(x)dx для п = 2к + 1.
О
Используя известные для полиномов Лежандра формулы
Р„A) = 1; Pn+i@) =^
n
можно вычислить квадратуру
1
п\Х) ах — —— /jj—ци;.
«I ~~Т~ -*¦

152 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
Здесь
Таким образом, окончательно, решение краевой задачи
D.25) - D.27), описывающее распределение потенциала в элек-
электростатическом подвесе, запишем в виде
2(,
1 ^ p = r/r\ ^7, 0 ^ в ^ 7Г.
Используя известную формулу электростатики
е0 (dipy
r=r\
с помощью решения D.37) можно определить распределение ин-
индуцированных зарядов на поверхности шара.
4.4. Электрическое поле в плазме
Рассмотрим полностью ионизированный газ, находящий-
находящийся в состоянии термодинамического равновесия при темпе-
температуре Т. Такой газ состоит из положительно заряженных
частиц (ионов) и отрицательно заряженных частиц (электро-
(электронов). Ограничимся случаем однократной ионизации атомов.
Тогда в отсутствие внешних силовых полей вследствие хаоти-
хаотического теплового движения частиц в любой точке простран-
пространства выполняется локальное условие нейтральности газа: п+ =
= п_ = по, где по - объемная концентрация заряженных ча-
частиц. При этом в случае однократной ионизации q+ = +q, a
q- = —q, где q = 1,6 • 10 Кл - элементарный электрический
заряд.

4.4. Электрическое поде в плазме 153
Внесем в такой ионизирован-
ионизированный газ точечный положительный _fL3E3L?
заряд Q, поместив его в точку Mq. -St.'+LpZ ± ±.x
Под действием поля этого заряда
вблизи точки Mq нарушается уело-
вие нейтральности газа, причем кон- Л
++"+Л Мл
центрация отрицательно заряжен- +-4-^~
ных частиц в некоторой области +."t^^4s_:__^Z.±."t_+
вблизи точки Mq будет превышать —г-
концентрацию положительно заря- 3E~.±jE.±~
женных частиц (рис. 4.8).
Рассчитаем потенциал макро-
макроскопического электрического поля в ионизированном газе, обу-
обусловленный точечным зарядом Q. Для этого запишем для по-
потенциала ф(М) уравнение Пуассона
Здесь плотность электрического заряда
р(М) = QS3{M, Мо) + р+{М)
D.39)
учитывает наличие точечного заряда Q и объемно распределен-
распределенного заряда, обусловленного заряженными частицами ионизи-
ионизированного газа.
Уравнение D.38) следует решать при условии, что на бес-
бесконечности искомый потенциал обращается в нуль, т.е.
Ч> -> 0 при гММо -> с».
D.40)
Ллотности электрических зарядов в ионизированном газе
p+(M) и р-(М) в произвольной точке М(х, у, z) выразим через
концентрации заряженных частиц:
р+(М) = +qn+(M),

154 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
Концентрации п+(М) и п-(М) найдем, используя распре-
распределение Больцмана для концентрации частиц в силовом потен-
потенциальном поле:
Здесь W+ = qip(M), W- = -q<p(M) - потенциальные энергии
соответственно ионов и электронов, находящихся вблизи точки
М; к - постоянная Больцмана.
Следовательно,
p+{M) = +qnoe "И1
р-(М) = -qnoe
Таким образом, задача отыскания потенциала <р{М) элек-
электростатического поля в ионизированном газе принимает вид
-» 0 при гМм0 -> оо.
С учетом свойств дельта-функции S^(M, Mq) запишем задачу
D.42), исключив из рассмотрения точку М = Mq пространства:
D.43)
0 при гмм0 -> оо.
Чтобы задача D.43) была эквивалентна задаче D.42), асим-
асимптотика решения задачи D.43) при Гмщ —» 0 должна иметь вид
Q 1
Задача D.43) нелинейна, так как правая часть уравнения
нелинейно зависит от искомой функции <р{М). Однако эту за-
задачу можно линеаризовать, если ограничиться исследованием

4.4. Электрическое поле в плазме 155
случаев достаточно высоких температур, когда kT 3> q<p. Это
условие означает, что кинетическая энергия теплового движе-
движения частиц ионизированного газа значительно больше их по-
потенциальной энергии электростатического взаимодействия. В
этом случае
*hW~~ кт ¦
и линеаризованная задача D.43) будет иметь вид
А(Р = ^тЗ? *>(М)> М * M0i D-44)
tp(M) -> 0 при гмщ -> оо; D.45)
(р(М) ~ при гмм -> 0. D.46)
4тге0 гМщ
Введем сферическую систему координат с центром в точ-
точке Mq. В силу центральной симметрии задачи искомый по-
потенциал ip будет зависеть только от радиальной координаты
г = гмм0- Тогда уравнение D.44) перейдет в обыкновенное
дифференциальное уравнение для функции <р(г):
Параметр задачи
имеющий размерность длины, называют дебаевским радиусом
экранирования, поскольку в 1923 г. П. Дебай впервые ввел та-
такой параметр в теории электролитов, которую он разработ;и
совместно с Э. Хюккелем.
Сделав замену искомой функции ф = rip, преобразуем урав-
уравнение D.47) к виду

156 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
Общее решение этого уравнения
содержит две произвольные константы А и В.
Возвращаясь к функции <р(г), находим общее решение урав-
уравнения D.47)
Из условия D.46) убывания потенциала на бесконечности
следует, что константа В равна нулю, а выражение для потен-
потенциала имеет вид
Разлагая экспоненту в ряд по степеням r/D, получаем
2
Jx . . . _.
- = -+Ar). D-49)
Здесь v(r) представляет собой потенциал поля, создаваемого
заряженными частицами ионизированного газа в точке М, на-
находящейся на расстоянии г от точечного заряда Q.
Учитывая асимптотику D.46) функции <р(г) при г -* О,
определяем константу
л-г-
Таким образом, потенциал электрического поля точечного
заряда Q, помещенного в ионизированный газ,
^^- D-50)
При по —» 0, т.е. в отсутствие заряженных частиц ионизиро-
ионизированного газа, из выражения D.48) следует, что D —> оо, и из
формулы D.50) получаем формулу потенциала поля точечного

4.4. Электрическое поле в плазме
157
заряда Q в вакууме
Mr) = j^—- D.51)
Зависимости D.50) и D.51) описывают качественно различ-
различные по характеру убывания потенциалы короткодействующего
и дальнодействующего полей (рис. 4.9).
Рис. 4.9
Замечание 4.1. В теоретической физике потенциал D.50) называют
потенциалом Юкавы. С помощью такой зависимости X. Юкава в 1935 г.
описал короткодействующие ядерные силы между составными частицами
ядра - нуклонами. #
Анализ решения D.50) показывает, что электрическое по-
поле заряда Q проникает в ионизированный газ лишь на рассто-
расстояния порядка дебаевского радиуса экранирования D. Такой
короткодействующий характер электрического поля в ионизи-
ионизированном газе вызван экранированием (компенсацией) поля по-
положительного заряда Q "облаком" отрицательно заряженных
частиц, окружающих этот заряд (см. рис.4.8).
Дебаевский радиус D характеризует также эффективный
размер пространственной области, где нарушается локальное
условие нейтральности, т.е. размер области нескомпенсирован-
ных объемных зарядов, где п_ > п+.
Если нарушение нейтральности под действием электриче-
электрического поля происходит в малой по размерам области простран-
пространства, то ионизированный газ называют плазмой. Это означает,

158 4. УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА И ЛАПЛАСА
что для плазмы выполняется условие квазинейтральности
D «: L = \/v,
где L - характерный размер области, занятой плазмой; V -
объем этой области.
Теперь с помощью полученных соотношений для электри-
электрического поля в плазме рассчитаем вклад во внутреннюю энер-
энергию плазмы энергии электрического взаимодействия заряжен-
заряженных частиц. Для этого будем считать, что каждая заряженная
частица в плазме окружена дебаевским "облаком" частиц с про-
противоположным знаком заряда. Тогда среднюю электрическую
энергию заряженных частиц в единице объема однократно ио-
ионизированной плазмы можно рассчитать по формуле
O-Qv(-ho}- D-52)
Здесь суммирование проводится по всем заряженным части-
частицам плазмы в единице объема, v(i) - потенциал, создаваемый
заряженными частицами дебаевского "облака" в точке, где на-
находится заряд qi. Из уравнения D.49) находим
«И =+7-7-R = +
Теперь из формулы D.52) получим выражение для энергии
электрического взаимодействия заряженных частиц в единице
объема плазмы:
?S D-53)
Отрицательный знак этой энергии означает преобладание
сил электрического притяжения между заряженными частица-
частицами плазмы, поскольку каждый заряд в плазме окружен "обла-
"облаком" зарядов противоположного знака.

Вопросы и задачи 159
Вопросы и задачи
4.1. Покажите, что функция комплексного переменного
z — а
w =
г- а*
отображает верхнюю полуплоскость на круг. Чему равен радиус R этого
круга?
Ответ: R = 1.
4.2. В какую область переходит единичный круг с центром в точке
z = О при конформном отображении
z — a „
Ответ: В круг единичного радиуса.
4.3. Постройте семейство эквипотенциальных линий электростатиче-
электростатического поля, задаваемого комплексным потенциалом /(г) = -.
Ответ: Это семейство окружностей с центрами на оси Оу, которые про-
проходят через начало координат и касаются оси х.
4.4. Используя уравнение D.24), вычислите норму полиномов Лежан-
Ответ: ||р„|| =
4.5. Оцените дебаевский радиус экранирования при температуре
Т = 104 К для однократно ионизированного газа с концентрацией заряжен-
заряженных частиц 7(о = Ю13 м~3.
Ответ: Z) = 1,5 • 10~3 м.

5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
5.1. Моделирование диффузионных
процессов переноса в движущихся средах
К диффузионным процессам переноса относятся такие
процессы, в которых возникновение потоков энергии или массы
не связано с макроскопическим движением среды, а обусловле-
обусловлено микроскопическим движением частиц (молекул), участвую-
участвующих в тепловом хаотическом движении. К таким процессам, в
частности, относятся диффузия, сопровождающаяся переносом
массы, и теплопроводность, обусловливающая перенос энергии.
В движущихся средах эти процессы следует рассматривать с
учетом конвективного переноса энергии или массы.
В основе математических моделей диффузионных процес-
процессов переноса лежат фундаментальные законы сохранения энер-
энергии и массы, которые для произвольного неподвижного отно-
относительно выбранной системы координат объема V, окруженно-
окруженного замкнутой поверхностью S, можно записать в интегральной
форме:
J)dV. E.1)
V S V
Здесь д - объемная плотность энергии или массы; П - плот-
плотность потока энергии или массы; r(M, t) - объемная плотность
внутренних источников энергии или массы.
Соотношение E.1) в математической форме утверждает,
что причиной изменения интегральной энергии (массы) в объ-
объеме V являются потоки энергии (массы) через поверхность S,
окружающую объем V, а также процессы генерации или погло-
поглощения энергии (массы) за счет источников внутри объема V.
Учитывая независимость области интегрирования в E.1)
от времени t, внесем производную по времени под знак инте-
интеграла. Кроме того, по формуле Остроградского преобразуем
поверхностный интеграл в объемный, записав поток через по-

5.1. Моделирование в движущихся средах 161
верхность S как
#lfS3= divltdV.
JJJ
S V
Тогда закон сохранения E.1) примет вид
U t)\dV = 0.
V
В силу произвольности выбранного объема V получаем закон
сохранения энергии или массы в дифференциальной форме:
-^ = -div if + F(M, t). E.2)
Если описывать диффузионный процесс переноса в движу-
движущейся среде, вектор скорости if (M, t) которой в каждой точке
пространства считать известным, то плотность потока энер-
энергии (массы) ТТ = Пд + Пк будет содержать кроме диффузи-
диффузионной составляющей П д также и конвективную составляющую
Пк = g~$j связанную с переносом энергии или массы вместе с
движущейся средой. Тогда с учетом макроскопического дви-
движения среды уравнение E.2) примет вид
^+dW(glt) = -divTifi + F(M,t). E.3)
Для несжимаемой среды вектор скорости if удовлетворяет
условию div if = 0. Поэтому
div (<?lf) = д div if + if grad g — if grad g,
а дифференциальный закон сохранения энергии или массы в
движущейся несжимаемой среде можно записать в виде урав-
уравнения
^| + If grad 5 =-div it,+ F(M, t). E.4)
Процесс теплопроводности. Пусть u(M, t) - температу-
температура среды, д = g(u) - объемная плотность внутренней энергии.

162 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Тогда
дд _ dg ди _^ди _ ди
~dt~du~dt~C~dt~pC~dt
и d
grad о = — grad и = с grad и = рс grad и.
аи
Здесь сие- соответственно объемная и массовая удельные
теплоемкости среды; р - ее плотность.
Физический закон Фурье утверждает, что в изотропной
среде с коэффициентом теплопроводности к тепловой поток
пропорционален градиенту температуры, т.е.
Пд = —к grad и.
Тогда уравнение E.4) примет вид
рс( -^ + ^ grad и) = div (к gr&d и)+ F(M,t). E.5)
\ot J
Для однородной среды с постоянными теплофизическими харак-
характеристиками р, с и к уравнение E.5) запишется в форме
-^ + ^gradu = a2Au + /(M, t), E.6)
где а2 = к/(рс) - коэффициент температуропроводности среды;
А - оператор Лапласа; /(М, t) = {pc)*1 F(M, t).
Уравнения E.5) и E.6) называют дифференциальными
уравнениями нестационарной теплопроводности в несжимае-
несжимаемых движущихся средах. Для неподвижной среды it = 0, и
из E.6) получаем уравнение теплопроводности
^ = а2Ди + /(М, 0, E.7)
которое обобщает уравнение B.8) на случай трех простран-
пространственных переменных.
Процесс диффузии. Если и(М, t) - абсолютная концен-
концентрация диффундирующего вещества, то g = и, а диффузионный
поток массы определяется законом Фика: П д = —D grad и, где
D - коэффициент диффузии.

5.2. Краевые задачи остывания нагретых тел 163
Тогда из закона сохранения массы E.4) получаем нестаци-
нестационарное уравнение диффузии в движущейся среде
-^+l?gradu = div(Dgradu)+F(MJ t). E.8)
Для постоянного коэффициента диффузии D = const, уравне-
уравнение E.8) примет вид
-7Г + 1? gradu = DAu + F(M, t). E.9)
eft
Из выражения E.9) следует, что в неподвижной среде процесс
диффузии описывается уравнением
^ ), E.10)
аналогичным уравнению теплопроводности E.7).
5.2. Краевые задачи остывания нагретых тел
Одним из важных классов нестационарных задач теплопро-
теплопроводности являются задачи остывания нагретых тел. В этих за-
задачах изучают эволюцию температурного поля в ограниченном
теле, занимающем некоторую область пространства fl С fH ,
если в момент времени t = 0 задано начальное распределение
температуры в теле, а температуру граничной поверхности те-
тела ? при t ^ 0 поддерживают постоянной. Без ограничения
общности температуру поверхности тела можно выбрать рав-
равной нулю.
Из физической постановки такой задачи следует, что в от-
отсутствие объемных тепловых источников будет происходить
остывание тела, т.е. и(М, t) —> 0 при t —» оо в любой точке
М G fl = fljJS. Характерное время остывания должно зави-
зависеть от формы тела, его размеров и теплофизических характе-
характеристик материала.
Математическая модель процесса остывания тела из одно-
однородного материала, основанная на уравнении теплопроводно-
теплопроводности E.7) при / = 0, может быть записана в виде следующей
краевой задачи для нахождения температурного поля и(М, t) в

164 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
остывающем теле:
-^=а2Аи, *>0, МеП; E.11)
at
«(М, 0) = U(M), Мей; E.12)
и(Р, t) = 0, P e ?, О 0. E.13)
Задачу E.11) - E.13) можно решать методом Фурье (раз-
(разделения переменных), представляя частное решение уравнения
E.11), удовлетворяющее граничному условию E.13), в виде про-
произведения
u{M,t)=v{M)T{t). E.14)
Подставляя E.14) в уравнение E.11), после разделения пе-
переменных получим
1 Т' Av . ,г 1Г.
^2— = — =-А = const. E.15)
Отсюда находим уравнение для функции T(t)
T'(t) + Xa2T(t)=0, E.16)
общее решение которого
T{t) = С е~Ха2\ С = const.
Для функции v(M) из уравнения E.15) с учетом однород-
однородного граничного условия E.13) получим задачу на собственные
значения
Av + Av = 0, Мей;
»(/>)= 0, Р6Е. <М7)
Как указано в Приложении 2, задача E.17) имеет дискрет-
дискретный набор (спектр) собственных значений Ai, A2,..., Ап,... и
собственных функций v\, V2, ¦.., vn,... В классе функций, обра-
обращающихся в нуль на Е, система собственных функций {vn}^=i
образует полную ортогональную систему функций.
Таким образом, можно построить набор частных решений
вида E.14)
un(M, t) = Cnvn(M) e-Xnah, n = 1, 2,...,

5.2. Краевые задачи остывания нагретых тел 165
суперпозиция которых образует ряд
00 2
u(M, t) = }2 Cnvn(M) e~Xna ', E.18)
n=l
который представляет собой решение уравнения E.11), удовле-
удовлетворяющее граничному условию E.13).
Выберем теперь постоянные Сп в E.18) так, чтобы удо-
удовлетворить начальному условию E.12). Полагая в E.18) t — О,
получаем
00
Y, Cnvn(M) = U(M), M e U. E.19)
п=1
В соответствии с теоремой Стеклова (см. Приложение 2),
в этом разложении функции tyj(M) в ряд по собственным функ-
функциям задачи E.17) коэффициенты Сп могут быть найдены по
формулам
Сп = т—^ /// U(M) vn{M) (IV, E.20)
IPnll JJJ
//
где норма собственных функций
Каждый член ряда E.18) экспоненциально убывает со вре-
временем, причем для достаточно больших значений t первый член
ряда преобладает над суммой остальных членов, так как соб-
собственные значения Ап растут с увеличением номера п. Поэтому
для остывающего тела через некоторое время устанавливает-
устанавливается регулярный режим, который хорошо описывается первым
членом разложения E.18). При этом в качестве характерного
времени остывания тела, характеризующего темп охлаждения,
можно выбрать величину т = (Aja )~ , где \\ - первое мини-
минимальное собственное значение задачи E.17).
Ниже рассмотрены примеры решения задач остывания тел
правильной формы, когда задача E.17) может быть решена точ-
точно в аналитическом виде. В этих задачах собственные значения
и собственные функции зависят от нескольких целочисленных

166 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
параметров. Поэтому суммирование в формулах E.18) и E.19)
следует понимать как суммирование по всем этим параметрам.
Пример 5.1. Пусть тело представляет собой прямоуголь-
прямоугольный параллелепипед со сторонами l\, li и /з, занимающий в
пространстве область П = {(х, у, z): 0 < х < 1\, 0 < у < fa,
О < z < /з}. Тогда задача E.17) для функции v(x, у, z) примет
вид
d2v d2v d2v s
v\y=0 = 0, v\y=h=0; E.22)
v\z=0 = 0, v\z=h = 0.
Собственные функции этой задачи будем искать методом
разделения переменных, представляя эти функции в виде про-
произведения:
v(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z). E.23)
Подставляя E.23) в уравнение E.21), получаем
X" Y" Z"
— + — + — =-Л = const,
откуда с учетом граничных условий приходим к трем задачам
Штурма - Лиувилля на собственные значения:
\ \ 0; \ Z@) = Z(Z3) = 0.
Эти задачи имеют следующие нетривиальные решения:
Xn(x)=sin,
=(jf)\ У»(у) = sin

5.2. Краевые задачи остывания нагретых тел 167
В итоге для задачи E.21), E.22) находим собственные значения
2/n2 т2 к2
/*n + fm + Wjt = 1Г I "Л" + 2" + 72"
V 'i »2 '3 '
и соответствующие им собственные функции
. ппх . ттгу . A-yrz 2
"тип* (я, У, «) = sm~j— sm-y— Sln~' IKmfell = g•
Поскольку собственные функции зависят от трех целочи-
целочисленных параметров п, тп и к, функция и(х, у, z, t), записанная
в виде тройного тригонометрического ряда
и{х, у, z, t) =
00 ОО ОО ,
z пх mny . knz
± sin
Vt—> т—> ^. —\ .n^t . mix . limy . khz ,__,,.
, > > Сптпк e A»»»*a l sin —r- sin —r-2- sin -г— E.24)
n=lm=lfc=l Ч 2 J
с коэффициентами
h h h
0 0 0 ,
. nnx . mny . knz
x sin —-— sin—— sin axayaz, E.25)
h h h
в силу E.18)-E.20) является решением задачи остывания пря-
прямоугольного параллелепипеда (пластины) конечных размеров.
Пример 5.2. Рассмотрим задачу остывания цилиндра ра-
радиуса го и высотой Я, т.е. тела, занимающего область Q =
= {(г, <р, z): 0 ^ г < го, 0 ^ <р < 2тг, 0<-г<Я}. Предполагаем,
что начальное распределение температуры U(r, z) не зависит
от угловой переменной tp. Тогда в любой момент времени t > 0
решение задачи u(r, z, t) будет обладать осевой симметрией.
Поэтому задача E.17) на собственные значения примет вид
d2v I dv d2v .
г or
О ^ г < г0, 0 < z < Я; E.26)
|и@, г)\ < оо, v(r0, z) = 0, 0 ^ г ^ Я;
I и(г, 0) = 0, и(г, Я) = 0, 0 ^ г ^ г0.

168 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Бели искать ее решение в виде
v(r, г) = R(r) Z(z),
то для функции Z(z) получим задачу Штурма - Лиувилля
[Z" + UZ = O, 0<z<H;
\ Z@) = Z(H) = О, V " '
которая имеет дискретный набор собственных значений
и собственных функций
Zn(z) =sin^, ||Zn||2 = |. E.29)
Для функции R(r) соответствующая задача на собственные
значения примет вид
d2R . 1 dR ^
E.30)
|Д@)|<оо, R(r0)=0.
Здесь ш = Л — ип - некоторая пока еще неизвестная постоянная.
Если ввести новое переменное х = у/шг и обозначить
у(х) = R(x/y/uj), то для определения функции у(х) получим
дифференциальное уравнение Бесселя нулевого порядка
у" + ^у' + у = О. E.31)
Его общее решение
у(х) = A J0(x) + В N0(x) E.32)
содержит функции Бесселя Jq(x) и Неймана Nq(x) нулевого
порядка, представляющие собой фундаментальную систему ли-
линейно независимых решений уравнения Бесселя нулевого поряд-
порядка. На рис. 5.1 приведены качественные графики этих функций.

5.2. Краевые задачи остывания нагретых тел
169
Рис. 5.1
Как следует из графиков, функция Бесселя ограничена при
х = 0, точнее Jo{O) = 1, а функция Неймана неограниченно
растет по модулю при х —» 0.
Заменяя х на г, запишем общее решение уравнения E.32)
как
R(r) = A i7o(v"wr) + BNQ(y/ujr). E.33)
Условие ограниченности функции R(r) при г = 0 дает
В = 0. Полагая затем в уравнении E.33) г = го, получаем
Ми) = 0,
E.34)
Это трансцендентное уравнение при А ф 0 имеет счетное мно-
множество положительных корней щ, ^! • • • > ^т) •: ч которые явля-
являются нулями функции Jq{x) (см. рис. 5.1). Приведем несколь-
несколько первых значений цт: щ = 2,405, ^2 = 5,520, ^з = 8,654,
^4 = 11,792. Таблицы нулей функций Бесселя можно найти в
справочной литературе.

170 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Отметим, что с возрастанием номера m разность значений
двух соседних корней (Mm+i — Mm) стремится к тг. Действитель-
Действительно, например, щ — ц§ = 3,1405. Это свойство корней функции
Бесселя Jq{x) вытекает из асимптотической формулы
Таким образом, задача E.30) имеет бесчисленное множе-
множество собственных значений
w = wm = ( — 1 , m= I, 2,...,
которым соответствуют собственные функции
Дт(г) = МЦт— У
Докажем, что эти функции ортогональны на отрезке [0, го]
с некоторым весом р(г) = г. Для этого запишем уравнения, ко-
которым удовлетворяют две собственные функции Rm{r) и Яд.(г):
Умножим первое из уравнений на ¦ftjfc(r), а второе - на
Rm{f)- Тогда после вычитания второго соотношения из пер-
первого получим
Интегрируя это равенство по г в пределах от 0 до г, будем иметь
/•

5.2. Краевые задачи остывания нагретых тел 171
Так как Rk(r) = Jo(ockr), a Rm(r) = Jo(otmr), то по свойству
бесселевых функций
к = <*Jfc Л(а&г) = -afc Ji(akr);
dr
= -am Ji(amr),
dr
где J\(x) = — J'q(x) - функция Бесселя первого порядка.
Следовательно,
г
rRmRkdr =
о
Г<2т <?о(акг) J\{amf)
= Г 2~
L ат
Если верхний предел интегрирования выбрать равным го,
то, учитывая, что Jb(aJfcro) = *7о(атН)) = 0> из уравнения E.35)
при ат ф ак получаем условие ортогональности
го
/
rRm(r)Rk(r)dr = 0, тфк,
которое согласуется с выводами теории задачи Штурма - Лиу-
вилля (см. Приложение 2).
Совершим теперь в уравнении E.35) предельный переход
ат —> ак. Правая часть равенства E.35) при этом дает неопре-
неопределенность 0/0. Раскрывая ее дифференцированием по ат и
последующей подстановкой ак = ат, получаем
г
rRfn(r)dr = —\J0{amr)Ji(amr) +
О
+ amrjo(amr) Ji(amr) + omr^(amr) I. E.36)

172 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Так как Jb(amro) = 0» TOi положив в уравнении E.36) г = го,
получаем выражение для квадрата нормы
г° 2 2
ЦДЛ2 = JrR2m(r)dr = rf J2(amr0) = Ц J?(Mm). E.37)
Таким образом, доказано, что нетривиальные решения за-
задачи E.26) существуют только при
^) +^г, n,m = 1,2,...
Этим собственым значениям соответствуют собственные функ-
функции
т ( r i ^ttz II ц2
г, г) = »Л) I Mm — 1 sin , «nm = t^
\ r0/ Я 4
n=12 m=12
В итоге с учетом соотношений E.18) и E.20) получим решение
задачи об остывании ограниченного цилиндра в виде двойного
ряда
ОО ОО у ч
«(г, z, t) = е 53 c«m ^bUm ~) sinir e~Anraa * E-38)
с коэффициентами
Я го
( -) sin "Цгr dr dz> E-39)
которые определяются заданным начальным распределением
температуры.

5.3. Распространение теплоты в неограниченном пространстве 173
Регулярный режим остывания для достаточно больших
значений t описывается одним членом ряда E.38):
Щ(г, z, t) = Cu
V г0/ н
где т = [^ХпГ1 = [а2(тг2/Я2 + ^/rg)]; Ml = 2,405; а2 -
коэффициент температуропроводности материала, из которого
выполнен цилиндр; Н и го - геометрические размеры цилиндра.
5.3. Распространение теплоты
в неограниченном пространстве
Если отвлечься от влияния на температурное поле формы
и размеров тела, то можно рассмотреть задачу об эволюции
температурного поля в безграничном пространстве, заполнен-
заполненном однородным и изотропным материалом с известным коэф-
коэффициентом температуропроводности а2. Такой процесс можно
описать математически, решая следующую задачу Коши для
параболического уравнения теплопроводности:
— = а2Аи, t > 0, М6<Н3; E.40)
at
и{М, 0) = tp(M), M e SH3. E.41)
Здесь и(х, у, z, t)- температура в точке трехмерного евклидова
пространства М = М(х, у, z) в момент времени t; <p(x, у, z) -
заданное начальное распределение температуры во всем прос-
пространстве.
Решим сначала задачу о влиянии мгновенного точечного
источника теплоты, действующего в точке Mq(xq, y$, zq) в на-
начальный момент времени. Для такой задачи
tp(M) = Q63(M, М0), Q = Q0/(pc), E.42)
где 5%(М, Mo) - трехмерная дельта-функция, свойства которой
описаны в Приложении 1; Qq - количество теплоты, мгновенно
сообщенное среде в начальный момент времени в точке Mq\
рс - объемная теплоемкость материала.

174 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Из физической постановки задачи для мгновенного точеч-
точечного теплового источника следует, что точка Mq в любой мо-
момент времени будет соответствовать центру симметрии. По-
Поэтому удобно выбрать сферическую систему координат с цен-
центром в точке Mq и записать уравнение E.40) для функции
и = u(r, t) в виде
1 ди д2и 2 ди
+ *>0 °^<
В любой момент времени t ^ О тепловые возмущения от
мгновенного точечного источника на бесконечном расстоянии
от него будут пренебрежимо малы. Это значит, что
и-* О и — 1 О при г -^ оо. E.44)
Кроме того, из закона сохранения энергии с учетом E.42) мож-
можно записать следующее интегральное соотношение:
оо
i(r,tLnr dr = Q. E.45)
О
Из определяющих параметров задачи Q и а , единицы из-
измерения которых соответственно равны Км и м2>с~г, и пе-
переменных г и t можно составить единственную безразмерную
комбинацию
оо
и характерную величину, имеющую размерность температуры:
г—°
Поэтому в соответствии с П-теоремой теории размерностей
(см. Приложение 3) решение задачи о влиянии мгновенного то-
точечного источника теплоты следует искать в виде
^ E.46)

5.3. Распространение теплоты в неограниченном пространстве 175
где функция 6(tj) с учетом соотношения E.45) удовлетворяет
интегральному условию
00
4тг fe{r])r}2dr}= 1. E.47)
О
Подставив E.46) в уравнение E.43), получим дифференци-
дифференциальное уравнение
3 1 de_^e 2de
2 2V dr) ~ drf2 + r} drj'
которое можно преобразовать к виду
§(в+)(в+). E.48)
2 V V drjj 2 dr) V т? Л? /
Если обозначить д = 0Н —, то уравнение E.48) примет
г) drj
вид
-3<? = ^. E.49)
Интегрируя E.49), получаем д = Сг/~3, С = const. Поэтому
e + HfE = cv3. E-50)
Покажем, что константу С в уравнении E.50) следует по-
положить равной нулю. Действительно, так как из E.44) следует,
что в —t 0 при г/ —»• с», то из E.50) при С Ф 0 для достаточно
больших значений г; получаем
const
г/3
Для функции Q(r]) с такой асимптотикой на бесконечности усло-
условие E.47) не может быть выполнено, так как интеграл в левой
части E.47) расходится.

176 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Полагая в уравнении E.50) константу С равной нулю, по-
получаем
6 + -^ = 0. E.51)
Разделив переменные и интегрируя, находим
2
Q = de~rT, Ci = const. E.52)
Постоянную С\ определим из условия E.47), записав его в
виде
00
I ^2 ^ E.53)
Теперь, вычислив
оо
I = е * г)
0
dr
оо
0
оо
/ш tf. 2
1 J
0
несобственный
оо
0
оо
0
dr) = —.
4тг
интеграл
оо
0
оо
0
из E.53) получаем
1 1
E.54)
Таким образом, с учетом формул E.46), E.52) и E.54) мож-
можно записать решение задачи E.40), E.42) о влиянии мгновенного
точечного теплового источника. Это решение имеет вид
о --4-
u(r,t) = 7=-re 4^1. E.55)
Возвращаясь к переменным х, у, z и полагая Q = 1, из решения
E.55) получаем функцию температурного влияния мгновенного
точечного источника теплоты, или фундаментальное решение

5.3. Распространение теплоты в неограниченном пространстве 177
уравнения теплопроводности во всем пространстве
G{x, у, z, х', у', z', t) =
/ I \3 (x-x'J+(y-y'J+(z-z'J
= (—==) е 4& . E.56)
Эта функция описывает температурное поле в различных точ-
точках пространства в любой момент времени, если в начальный
момент времени в точке М'(х', у', z1) мгновенно выделилось ко-
количество теплоты <3о = рс.
Функция E.56) является фундаментальным решением, так
как с помощью нее можно построить решения других задач для
уравнения E.40). В частности, решение задачи Коши E.40),
E.41) с помощью функции G может быть записано в виде
и{х, у, z, t) =
Щф', У', z')G(x, у, z, х', у', z', t)dx'dy'dz' =
—оо
хе 4Л dx'dy'dz'. E.57)
Действительно, чтобы при t = 0 мгновенно увеличить
температуру в объеме dx' dy' dz' вблизи точки М' от нуля до
<р(х', у', z'), необходимо в этот объем подвести количество те-
теплоты dQo = pcip(x', y',z') dx' dy' dz'. По смыслу функции G та-
такое тепловое воздействие создаст в точке М(х, у, z) в момент
времени t > 0 температурное возмущение
= ф', у', z')G{x, у, z, x\ y\ z')dx'dy'dz'.
Суммируя в точке М воздействия от всех источников, свя-
связанных с начальным температурным полем, т.е. интегрируя
по переменным х', у', z', получим для температуры в точке
М(ж, у, z) в момент времени t > 0 выражение E.57).

178 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
С помощью функции влияния мгновенного точечного ис-
источника можно также построить решение задачи Коши для не-
неоднородного уравнения теплопроводности
О, t>0, МЕЖ3;
и(м, о) = о, ме ж3.
В такой задаче количество теплоты, выделяющееся в момент
времени t = т в элементе объема dx' dy' dz' эа время dr и равное
dQ = pcf(x', у, z\ T)dx'dy'dz'dr,
вызовет в точке М(х, у, z) в момент времени t > т темпера-
температурное возмущение
— G{x, у, z, х', у', z', t-r) =
рс
= f(x', у', z', т) G{x, у, z, х', у', z', t - т) dx' dy dz' dr.
Суммируя возмущения, вызванные такими элементарными
тепловыми источниками, расположенными в различных точках
пространства, и действующие в различные моменты времени,
получаем решение задачи E.58) в виде
t +оо
и{х, у, z, t) = I III f{x', у', z', т)х
0 -оо
х G{x, у, z, х', у', z', t - т) dx' dy' dz' dr. E.59)
Суперпозиция решений E.57) и E.59)
и(х, у, z, t) =
+ОО
tp(x', у', z')G(x, у, z, х', у, z', t)dx' dy',dz' +
—оо
t +ОО
+ f fjl fix1, у', z', т) G(x, y, z, x', y', z', t - t) dx1 dy1 dz1 dr
0 -oo

5.3. Распространение теплоты в неограниченном пространстве 179
является решением задачи Коши для неоднородного уравнения
в общей постановке:
), О О,
и(м, о) = <^(М), м е *н3.
С помощью фундаментального решения,E.56) можно опре-
определить температурное поле от непрерывно действующего то-
точечного источника теплоты постоянной мощностью q, который
начинает действовать в момент времени t — 0 и движется с по-
постоянной скоростью и, например, в направлении оси Ох. Такое
решение находит приложение в теории сварочных процессов.
Тепловое воздействие непрерывно действующего движуще-
движущегося источника эквивалентно суммарному воздействию бесчи-
бесчисленного множества мгновенных точечных источников мощно-
мощностью q, расположенных в тех точках пространства, где в теку-
текущий момент времени находился движущийся источник. Выде-
Выделим один из таких элементарных тепловых источников, кото-
который действовал в течение промежутка времени от т до т + dr,
находясь в точке с координатами х' = v т, у1 — 0, z' = 0. Этот
источник выделил количество теплоты dQ = q dr и вызвал тем-
температурное возмущение в точке М(х, у, z) в момент времени
t > т, которое можно рассчитать по формуле E.55). Имеем
A dQ Г (x-VTJ + y2 + Z2}
du = r-^- exp - —s- , t>r.
Суммируя возмущения от всех элементарных тепловых ис-
источников, получаем
и(х, у, z, t) =

180 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
При описании температурного поля в рассматриваемой за-
задаче удобнее перейти в систему отсчета, связанную с дви-
движущимся источником, т.е. перейти к новым координатам
х* = х - vt, у* = у, z* = z. В новой системе координат рассма-
рассматриваемая задача трансформируется в задачу о неподвижном
непрерывно действующем с момента времени t = 0 точечном
тепловом источнике, помещенном в движущуюся с постоянной
скоростью v в отрицательном направлении оси Ох* среду.
Переходя в систему координат ж*, у*, г*, запишем выраже-
выражение E.61) в следующем виде:
и(х*, у*, z*, t) =
Обозначив R = x\ + yl + z\ и сделав замену
2a y/t — r' Aa{t-
после преобразований E.62) получим
u(xt, у*, г*, t) =
Здесь к = рса2 - коэффициент теплопроводности среды.
При t —>¦ оо интеграл в уравнении E.63) можно вычислить
точно:
л v r

5.3. Распространение теплоты в неограниченном пространстве 181
и мы приходим к формуле
я
и(ж*, у*, я*) =
ехр -
E.64)
описывающей стационарное (в системе координат, движущейся
вместе с тепловым источником) температурное поле вокруг ис-
источника постоянной мощности q, которое устанавливается по
истечении достаточно большого промежутка времени. Каче-
Качественный вид этого стационарного температурного поля пред-
представлен на рис. 5.2, где в плоскости (ж*, уш) по уравнению E.64)
при гш = 0 построены изотермы й(ж*, у*, 0) = const.
Рис. 5.2
Для неподвижного источника v — 0 и формула E.63) упро-
упрощается:
и{х*, у*, z*, t) =
4nkR
(мв>
Здесь Ф(?) - специальная функция, которую называют инте-
интегралом ошибок.
Из уравнения E.65) при t —>¦ со приходим к простой фор-
формуле
4nkR'
E.66)

182 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
описывающей установившееся температурное поле вокруг не-
неподвижного непрерывно действующего теплового источника.
Этому температурному полю соответствуют сферические изо-
изотермические поверхности R = const.
Формула E.66) с точностью до размерной постоянной со-
соответствует фундаментальному решению уравнения Лапласа
(см. 3.2). Этот результат является естественным следстви-
следствием уравнения E.7), из которого вытекает, что стационарное
ди А
¦д- = О I распределение температуры удовлетворяет уравне-
нию Лапласа во всех точках пространства, где отсутствуют
тепловые источники.
5.4. Диффузионный процесс
в активной среде с размножением
Большой интерес представляют процессы, в которых воз-
возможна объемная генерация диффундирующего вещества (ча-
(частиц) со скоростью, пропорциональной концентрации. В част-
частности, такой процесс с размножением наблюдается при проте-
протекании реакции деления тяжелых ядер B35U, 239Pu и др.), ко-
когда при взаимодействии с нейтронами некоторые тяжелые ядра
атомов могут испытывать деления на более легкие ядра с испус-
испусканием нескольких новых нейтронов и выделением значитель-
значительной ядерной энергии. При наличии такого процесса количество
нейтронов будет увеличиваться, и при некоторых условиях мож-
можно ожидать протекание процесса в виде цепной реакции взрыв-
взрывного типа. Большой вклад в развитие теории цепных реакций
внесли работы Н.Н. Семенова, Я.Б. Зельдовича и Ю.Б. Хари-
тона.
В диффузионном приближении процесс распространения
нейтронов в активной среде описывается уравнением вида
E.10), в котором u(M, t) - концентрация нейтронов, D - эффек-
эффективный коэффициент диффузии нейтронов, F = аи — /Зи — ju,
где а - коэффициент рождения, /3 - коэффициент поглощения,
7 = а — /3 - коэффициент размножения нейтронов. Если 7 > 0,

5.4. Диффузионный процесс в активной среде с размножением 183
то процесс объемной генерации нейтронов преобладает над их
поглощением, и именно в этом случае можно ожидать возник-
возникновения цепной реакции.
Таким образом, в основе математической модели цепной
реакции лежит диффузионное уравнение.
Используя уравнение E.67), опишем процесс эволюции ней-
нейтронов в активной среде G ф 0), представляющей собой шар
радиуса tq, если начальное распределение нейтронов в этом ша-
шаре задано сферически симметричной функцией uq (г) . Тогда для
определения концентрации нейтронов u(r, t) в любой момент
времени получаем задачу
(du D d f0du\ ......
и(г, 0) = tzo(r), 0 ^ г ^ г0; E.69)
u(r0, t)=0, t>0. E.70)
Граничное условие E.70) соответствует предположению о
быстром уходе нейтронов, вылетевших с поверхности шара, что
позволяет считать концентрацию нейтронов на этой поверхно-
поверхности практически равной нулю в любой момент времени.
Для решения задачи E.68) - E.70) сделаем подстановку
u{r, t) =v{r, *)e7'. E.71)
Тогда, учитывая, что
после подстановки E.71) в уравнения E.68) - E.70) получим
краевую задачу для функции v:
1 dv d2v 2 dv
l > °» 0 < r- < r-o;
E2)
2 dv
D at or1 r or
v(r, О) = «о(г), O
I v{r0, 0=0, t > 0.

184 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Введем теперь в рассмотрение функцию w = rv. Замечая,
что
d2w д ( dv\ fd2v 2dv
запишем для определения функции w(r, t) следующую задачу:
dw
0<r<r0;
г«(г, 0) = г uo(r), 0 ^ г ^ го;
. w{0, t) = w{r0, t) = 0, < > 0.
E.73)
Дополнительное краевое условие для функции w в точке г = О
является следствием ограниченности функции v при г = 0.
Задача E.73) уже была нами решена [см. B.32)]. Ее реше-
решение имеет вид
00 /Т11Г 2
ш(г, t)= > one v го ; sin , E-74)
n=l
где
го
2
ап
0
Возвращаясь к функции и, запишем решение исходной за-
9 Г чттгг
= — / ruo(r) sin dr. E.75)
» j г0
функ1
дачи E.68) - E.70) в виде
. пят
Г /г"' - E.76)
. п-кг
п=1пПе
Анализ E.76) показывает, что если 7 < —«р, то ПРИ л1°б°м
начальном распределении концентрации нейтронов в шаре ug(r)
число нейтронов в любой точке будет уменьшаться, стремясь к
нулю при t —>¦ со. Цепная реакция в этом случае не протекает
при любом начальном фоне нейтронов.

5.4. Диффузионный процесс в активной среде с размножением 185
Однако для достаточно больших значений коэффициента
тг2?>
размножения, когда 7 > —sr~> х°тя бы один из показателей
Ч
экспонент в разложении E.76) становится положительным. Это
означает, что концентрация нейтронов начинает очень быстро
по экспоненциальному закону нарастать с течением времени,
реализуя режим цепной реакции.
Следовательно, для заданных значений Си) существу-
существуют критический радиус шара и соответствующая критическая
масса активного вещества, которые можно рассчитать по фор-
формулам
[ 4 •>
; кр = р - ят? E.77)
7 J
В шаре из активной среды с размножением, масса которой мень-
меньше критической, цепная реакция не возникает. Если же масса
активного вещества с размножением нейтронов превышает кри-
критическую, то самопроизвольно начинает развиваться процесс
лавинообразного нарастания концентрации нейтронов и выде-
выделяется значительная энергия от деления тяжелых ядер. Проис-
Происходит ядерный (атомный) взрыв.
Первые расчеты физиков с учетом экспериментальных дан-
данных для обогащенного урана G = 10 с , D = 6,5 • 102 м2/с,
р = 18,7-Ю3 кг/м3) дали значения гкр = 8-10~2 м и ткр = 40 кг.
Можно рекомендовать читателю самостоятельно решить
задачу о цепной реакции в общем случае, когда активное веще-
вещество занимает некоторую произвольную по форме область U,
ограниченную поверхностью Е. Решение этой задачи может
быть записано в виде
оо
n=l
где Ап и vn(M) - соответственно собственные значения и соб-
собственные функции задачи E.17).
Условие, определяющее протекание цепной реакции, в этом
случае будет таким:
7 > Ail?, E.78)

186 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
где Ai - первое (минимальное) собственное значение задачи
E.17), определяемое формой и размером области п.
Согласно теории размерности (см. Приложение 3) из усло-
условия E.78) следует формула для определения характерного кри-
критического размера области
где S - некоторый числовой коэффициент, зависящий от формы
области п.
5.5. Задача экологического прогнозирования
Расчет загрязнений среды продуктами деятельности про-
промышленных предприятий является важной задачей охраны окру-
окружающей среды. Рассмотрим задачу экологического прогнози-
прогнозирования, в основе математической модели которой лежит урав-
уравнение диффузии в движущейся среде E.9).
Пусть в некоторой области и) С ?Н расположены источ-
источники вещества, загрязняющего окружающую среду. Мощцость
таких распределенных источников будем характеризовать для
М е lo и t > О заданной функцией Q(M, t). В частном случае
N локальных сосредоточенных источников, расположенных в
точках Mj = Mj(xj, yj), j — 1,2,... N, имеют мощность
N
где ifj(t) - мощность выброса загрязняющего вещества от
j-ro источника, заданная для t > 0 как функция времени;
S2(M, Mj) — 6(х — xj)S(y — у,-) - двумерная дельта-функция,
характеризующая влияние сосредоточенного источника загряз-
загрязняющей субстанции (см. Приложение 1).
Будем считать, что перенос вещества в среде осуществля-
осуществляется как диффузией, так и конвективным механизмом переноса,

5.5. Задача экологического прогнозирования 187
связанным с движением несжимаемой среды, скорость которой
if {vi, v2} задана и не зависит от времени и пространственных
координат, причем v\ = v$ cos /3, a v2 = v$ sin /3.
Введем в рассмотрение область экологического прогнози-
прогнозирования ft = {(х, у): 0 < х < L, 0 < у < L}, такую, что wCil.
Будем при этом полагать, что размер L области ft достаточно
велик, и поэтому на ее границе c?ft, удаленной от источников
загрязнения, концентрацию загрязняющего вещества практи-
практически можно положить равной нулю.
В диффузионном приближении нестационарное распреде-
распределение концентрации u(M, t) загрязняющего вещества опреде-
определим из решения следующей краевой задачи:
du »
-5- + v gradu = DA2U — pu + Q(M, t),
at
t>0, M € ft; E.79)
u{M, 0) = 0, M e ft;
u{P, 0 = 0, Pedu, t>0.
Здесь D - коэффициент турбулентной диффузии; р > 0 - не-
некоторая константа, определяющая интенсивность поглощения
вещества в процессе его распространения, обусловленного про-
протеканием химических реакций, осаждением и уносом вещества
в другие слои.
Полагая
u{M, t) = w{M, t)elXU>2V, E.80)
получим для функции w(M, t) задачу
-^ = DA2w -kw + F{M, t), t>0, M€ ft;
w{M, 0) = 0, M e ft; E'81)
Iw{P, 0 = 0, Pedu, t>0,
где k = p + »j|/DD); F(M, t) = Q(M, t)

188 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Теперь с помощью подстановки
w(M, t) = g{M, t) e~kt E.82)
приходим к следующей задаче:
r, t), t>0,
g(M, 0) = 0, M ЕП-
где/(М, t) =
Решение задачи E.83) будем искать в форме разложения в
двойной тригонометрический ряд Фурье:
оо оо
g(x, y,t)=Y,Yl 9™^) Sin ^Г Sin ИГ' E-84)
п—1 т=1
Подставляя E.84) в уравнение E.83) и разлагая функцию
f(M, t) в двойной ряд Фурье
оо оо
, V,t)= 2^ 2^ fnrn{t) Sin — sm -j-
n=l m=l
с коэффициентами
L L
r ,±\ ^ f f nnx , mny
fnm(t) = ?2 / / f(x, y, t) sm -j- sin —— dxdy,
0 0
получаем уравнение для определения gnm{t)'-
dgnm
dt
где anm = -pr {n + "
OLnm gnm = fnm(t), E.85)

Вопросы и задачи 189
Решение неоднородного уравнения E.85) с учетом началь-
начального условия дПт@) = 0 можно записать в виде
t
9nm{t) = I /пт(т) е-опт**-"-) dr. E.86)
О
В частном случае одиночного источника постоянной мощ-
мощности, когда Q(M, t) = Qq62(M, Mo), где Qq = const > 0, a
Mq = Mq(xq, yo), имеем
4Q0
fnm{t) = -jj- eKl e 27? Sm —— sm
sm ;
9nm(t) = ^f (ekt - е-а™*) e" iD
• птгхо •
Sin —-— sin
DtT .о 2ч Vl
где Anm = anrn + k~ -jj- {nT + m*) + -^ + p.
Поэтому распределение концентрации загрязняющего ве-
вещества в движущейся среде вблизи такого активно действую-
действующего источника загрязнений можно представить в виде следу-
следующего двойного тригонометрического ряда Фурье:
u(x,y,t) =
±J-
n=lm=l
sin —г- sin —^ sm —-^ sin —т^
х ? ?- ^ ^-. E.87)
В пределе t —» оо из формулы E.87) можно найти стационарное
поле концентрации вблизи постоянно действующего источника.
Вопросы и задачи
5.1. Начальная температура бесконечного круглого цилиндра радиу-
радиуса го равна нулю. Найдите нестационарное температурное поле в цилин-
цилиндре, если при t > 0 через его поверхность поступает постоянный тепловой
поток плотностью q.

190 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
, ч qro\2ah rg-2r2 ^2J°( W ^1
Ответ: u(r, t = 2— -3 °—5 ^ 2 ^ ' e ro , где
Hn - положительные корни трансцендентного уравнения J7i {/*) = 0.
5.2. Начальная температура шара радиуса го равна нулю. Найдите
нестационарное температурное поле в шаре, если при t > 0 через его по-
поверхность поступает тепловой поток плотностью q.
sin 7^ ^
. „ 9го ГЗЛ 3rg-5r2 2г„^ 7^ ^1
Ответ: u(r, t) = i— —5 ^-—5 > -= 2— е го , где
^п - положительные корни уравнения tg/i = ft.
5.3. Определите температуру бесконечного круглого цилиндра ради-
радиуса го, если его начальная температура
а на поверхности поддерживается нулевая температура.
Ответ: u(r, t) = 8l/o YJ ¦ 3 е г° > гДе /*n ~ положительные кор-
корни трансцендентного уравнения Jo(fi) = 0.
5.4. Определите критический размер куба из активного вещества, ес-
если коэффициент размножения 7 > 0, а концентрация вещества на всех гра-
гранях поддерживается равной нулю.
Ответ: 1кр =
5.5. Определите критический размер бесконечного круглого цилин-
цилиндра из активного вещества, если коэффициент размножения у > 0, а кон-
концентрация вещества на поверхности поддерживается равной нулю.
Ответ: RKp = ^i\j —, где \i\ = 2,40 - первый положительный корень
уравнения JbO») = 0.

6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
ДЛЯ АКУСТИЧЕСКИХ И
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
6.1. Дифференциальное уравнение
поперечных колебаний мембраны
Рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях мем-
мембраны, которая является обобщением на двумерный случай за-
задачи о колебаниях струны, рассмотренной в 1.1. Колеблющиеся
мембраны являются основным типом излучателей акустических
волн. Поэтому расчет колебаний мембран является важной за-
задачей акустики.
В дальнейшем будем называть мембраной упругую пленку,
не сопротивляющуюся изгибу или сдвигу. Рассмотрим такую
мембрану, ограниченную контуром Г и находящуюся в равно-
равновесном состоянии в плоскости (х, у) (рис. 6.1). Мембрана жест-
жестко закреплена по контуру Г и находится в напряженном со-
состоянии. Это означает, что если мысленно провести разрез по
произвольной линии #, то на края разреза перпендикулярно у
будет действовать распределенная сила натяжения, модуль ко-
которой на единицу длины линии равен Го-
Выведем мембрану из положения равновесия, отклонив ее
в вертикальном направлении. Обозначив через и(х, у, t) вер-
Рис. 6.1

192 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
тикальное смещение элемента мембраны с координатами х, у,
будем считать поперечное перемещение элементов мембраны
достаточно малым, так что можно пренебречь квадратами пер-
2 2
вых производных — I и — I по сравнению с единицей.
\ох ) \оу )
Малость поперечных перемещений элементов мембраны
означает малость угла а между нормалью к поверхности мем-
мембраны и вертикальным направлением, перпендикулярным плос-
плоскости (х, у). Поэтому следует считать
cos а =
//**-*
S
Последнее соотношение означает, что площадь любого элемен-
элемента мембраны при его поперечном перемещении не изменяется.
Поэтому при малых поперечных колебаниях мембраны не проис-
происходит деформации ее материала, и по закону Гука модуль силы
натяжения не изменяется со временем и всегда равенЩ = const.
Опишем динамику движения мембраны. Для этого опреде-
определим вертикальную составляющую результирующей силы, дей-
действующей на выделенный элемент S мембраны, ограниченный
контуром С. Она будет складываться из вертикальной соста-
составляющей сил натяжения
Fi = - Ф Го sinadl =
= - * Tolgradu\ dl = * T0(gradu-lt)dl F.1)

6.1. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний 193
и результирующей поперечно действующей вынуждающей си-
силы, распределенной по поверхности мембраны с некоторой по-
поверхностной плотностью 7(х, у, t),
= Ц
7{x,y,t)dxdy. F.2)
5
Здесь it - единичная внешняя нормаль к контуру С.
С помощью формулы Остроградского для плоскости нахо-
находим
Fi= f T0(gradu-lt)dl =
= / / Tn div grad и dx dy = TnAoudxdy,
JJ JJ
S S
a2 d2
где Дг = -z-x + тго ~ двумерный оператор Лапласа.
ox* oyL
Введя поверхностную плотность мембраны р(х, у), запи-
запишем выражение для вертикальной проекции импульса движу-
движущегося участка (элемента) мембраны
/ / п J~ J,, /С Q\
— IIP f\ "^ "У* 1^'"/
S
Теперь по закону Ньютона
или
- И p — dxdy= jj T0A2udx dy + II J{x, y, t) dx dy. F.4)
s s s
Внося производную по времени под знак интеграла, получаем

194 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
или
F.5)
/Л*
В силу дроизвольности выбора элемента мембраны, т.е.
произвольности области интегрирования S, из интегрального
равенства F.5) следует равенство нулю подынтегрального вы-
выражения. Таким образом, мы приходим к дифференциальному
уравнению в частных производных гиперболического типа, ко-
которое описывает малые поперечные колебания мембраны,
д2и
TA+7{x,y,t). F.6)
Для однородной мембраны уравнение F.6) можно записать
в виде
-^ = a2A2u + f(x,y,t), F.7)
где а = у/То/ро = const; Д2 = д2/дх2 + д2/ду2; f{x, у, t) =
= 3(х, у, t)/pQ - плотность вынуждающей силы, рассчитанная
на единицу массы мембраны.
Уравнение F.7) называют двумерным волновым уравнени-
уравнением, поскольку ниже будет показано, что произвольное движение
мембраны можно представить как совокупность распространя-
распространяющихся по мембране колебаний, т.е. механических волн.
Законы механики сплошной среды (гидродинамики, аэ-
аэромеханики и теории упругости) позволяют вывести уравне-
уравнение, которому удовлетворяют малые по амплитуде возмущения
и(М, t), M G 9v в однородной среде. При наличии объемно
распределенной вынуждающей силы это неоднородное уравне-
уравнение гиперболического типа
обобщает волновое уравнение на случай трех пространствен-
пространственных переменных. Оно описывает процесс распространения ме-
механических возмущений в сплошной среде, причем параметр а

6.1. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний 195
в формуле F.8) есть скорость распространения малых механи-
механических возмущений, т.е. скорость звука в среде.
Для жидкостей и газов функцию u(M, t) можно интерпре-
интерпретировать как возмущение плотности или давления, а для твер-
твердого тела - как потенциал смещений отдельных частиц среды.
Уравнение F.8) лежит в основе линейной акустики и, в
частности, ультразвуковой технологии. С помощью этого урав-
уравнения решаются задачи о распространении звуковых возмуще-
возмущений в сплошной среде при различных условиях их возбуждения.
Отметим еще раз, что для процессов, описываемых урав-
уравнениями F.7) и F.8), имеет место конечная скорость распро-
распространения возмущений. Поэтому для этих уравнений в про-
пространстве состояний (М, t) можно ввести в рассмотрение ха-
характеристический конус с вершиной в точке (Mq, i). Для
двумерного волнового уравнения этот характеристический ко-
конус изображен на рис. 6.2.
Рис. 6.2
Поверхность верхней полости конуса, определяемая урав-
уравнением Гмом = a{t — t())> t > ^Oi соответствует точкам фазового
пространства, в которые в момент времени t > Iq приходит
сигнал, испущенный в момент времени ?q источником возмуще-
возмущений, расположенным в точке Mq. Каждое сечение этой поверх-
поверхности плоскостью t = const выделяет фронт волны возмущения

196 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
(окружность для N = 2 и сферу для N — 3) от источника в
момент времени t > t$. Поверхность нижней полости конуса
гмам = а(*о — *)i * < *0 определяет геометрическое место то-
точек, из которых сигналы приходят в точку Mq пространства в
момент времени ?q.
6.2. Колебания прямоугольной мембраны
Рассмотрим мембрану прямоугольной формы со сторонами
1\ и 12, жестко закрепленную по периметру. Опишем процесс
малых поперечных колебаний такой мембраны, инициирован-
инициированный начальным отклонением и начальной скоростью.
Математическая модель процесса свободных колебаний та-
такой мембраны имеет вид краевой задачи для функции и(х, у, (),
характеризующей отклонения различных элементов мембраны
от положения равновесия. Эта краевая задача включает в себя
уравнение
1 д2и _ д2и д2и
^^~^ + ^ > ' {x'y>eU' F.9)
п = {(х, у): 0<x<h,0<y< l2},
начальные условия возбуждения колебаний
u(l, у, 0) = Л(х, у); F.10)
5*^ =«<«,») ("I)
и граничные условия, заданные на контуре Г в области П,
u(O,y,t) = O, u(l1,y,t)=0; F.12)
и(х, 0, t) - 0, и(х, /2, t) = 0. F.13)
Решение задачи F.9) - F.13) будем искать методом разде-
разделения переменных, находя частные решения вида
u(x,y,t) = v{x,y)T(t). F.14)

6.2. Колебания прямоугольной мембраны 197
Подставляя решения F.14) в уравнение F.9), получаем
1 Т = Дги = _Л = congt
a* I v
Отсюда следуют уравнение для функции T(t)
T"{t)+a2XT = 0 F.16)
и задача на собственные значения
Д2и + Аи = 0, (х, у) <Е fi;
v\r =0.
F.17)
Полагая v(x, у) = X(x)Y(y) и проведя еще раз разделе-
разделение переменных, получим две идентичные задачи Штурма -
Лиувиллл
(х"(х) + иХ(х) = 0; ГУ" + ^У(у)=О;
\Х@)=ХA1)=0, И \Y(Q)=YA2) = O,
где v и ц - собственные значения, связанные с А соотношением
V + ц = А.
Для задач F.18) наборы собственных значений и соответ-
соответствующих им собственных функций имеют вид
= ( у- 1 , п= 1, 2,...;
. ппх
Хп(х) = sin -г—
«1
и F.19)
(тЛ2
v I \ ¦ тпУ
Ут(у) =sin——.

198 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Но тогда задача на собственные значения F.17) имеет в каче-
качестве собственных чисел
Anm=(^)%(^), п,т = 1,2,..., F.20)
каждому из которых соответствует собственная функция
vnm{x, У) - sm —— sin ——. F.21)
Теперь с учетом F.16) находим частные решения уравнения
F.9), удовлетворяющие граничным условиям F.12), F.13):
Unm(l, У) t) = {Anm cosunmt +
+ Впт smwnmt) vnm{x, у), F.22)
где ипт = а \/Лпт — атг А/ , -- ¦ , , ¦ .
Л/ \'2/
Окончательно искомое решение краевой задачи F.9) -F.13)
представим в виде суперпозиции частных решений вида F.22),
т.е. в виде двойного ряда
00 ОО
и(х, у, t) = 2J 2_J (Anm coswnmt +
n=l m=l
_ . . nnx . гажу
+ Bnm smujnmt) sin sin . F.2o)
«1 h
Коэффициенты Апт и Впт найдем, выполняя начальные усло-
условия F.10) и F.11):
00 ОО
М. V—v ^—v . . ПЖХ
х, у) — у > лш sin —-— sin
n=lm=l "A l<1
оо оо
. гажу
9(х, У) = У. /. ипт Впт sin —— sin
, , '1 '2
n=l m—1

6.2. Колебания прямоугольной мембраны 199
Эти равенства следует рассматривать как разложения
функций h(x, у) и д(х, у) в двойные тригонометрические ря-
ряды Фурье. Поэтому для коэффициентов Апт и Впт получаем
h h
Апт = ГГ кУХ1 У) Sln-J— sm—,— dxdy;
<•¦*>
4
Bnm =
Г Г . пжх . mny
I I g[x, y) sin —— sin —— dxdy.
J J *1 '2
0 0
Проведем анализ решения F.23), преобразовав его к виду
00 ОО
х, У, t) = Yl Yl Unm(x' У' *) =
П=1 771=1
ОО 00
/ с- П7ГХ ТПЖу
anm cos[LJnmt - Snm) sin —— sin ——. F.25)
' ;2
Здесь
+ Blm, tg8nrn = BnmjAnm. F.26)
Решение F.25), F.26), описывающее свободные колебания
мембраны, представлено как сумма двумерных стоячих волн
unm(x, у, t) с амплитудами оспт и собственными частотами
ujnm- Пространственные профили формы этих стоячих волн
определяются собственными функциями vnm(x, у). При этом
геометрическое место точек на мембране, в которых собствен-
собственные функции обращаются в нуль, называют узловыми линиями
собственных форм колебаний.
Из выражений F.24) следует, что при специальной форме
начальных возмущений Л(х, у) и д(х, у), когда Апт и Впт не
равны нулю только при п = п\ и т — т\, можно возбудить
колебания в мембране в виде отдельной стоячей волны ujnimi ¦
В общем же случае возбуждается множество таких стоячих
волн с разными частотами колебаний. Интерференция этих сто-
стоячих волн приводит к сложной картине колебаний мембраны.

200 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
6.3. Колебания круглой мембраны
Математическая модель свободных колебаний круглой
мембраны радиуса го с закрепленным краем имеет вид следу-
следующей краевой задачи для определения поперечного смещения
u(r, tp, i) мембраны:
1 д2и 1 д ( ди\ 1 д2и Л , ч л ,„ ич
)+t0A)G{627)
u(r, tp, 0) = Л(г, V), Э"(Г^'0)=у(г,у), F.28)
u(r0) У, t) = 0, u(r, у», t) = u(r, <^ + 2тг, t). F.29)
Здесь G = {(г, ч>)\ 0 ^ г < г0, 0 ^ у ^ 2тг}; Л(г, <р) и у(г, у?) -
заданные смещения и скорость различных участков мембраны
в начальный момент времени соответственно.
Так как точка г = 0 является особой точкой уравнения
F.27), то следует потребовать также ограниченности функции
и в этой точке в любой момент времени.
Представляя частное решение уравнения F.27) в виде
u(r, tp, t) = v(r, tp)T{t),
после разделения переменных получаем уравнение для функции
T(t)
T"(t)+a2XT{t)=0 F.30)
и следующую задачу на собственные значения для функции
и(г, tp):
д ( dv\ 1 d2v Л
4J + W+ °;
(ro,4>) = O, \v@,tp)\<oo;
v(r, <p) - v(r, (р + 2тг).-
Представив v(r, ip) в виде
«(г, tp) = R(r)9(tp),

6.3. Колебания круглой мембраны 201
приходим к задаче Штурма - Лиувилля с условием периодично-
периодичности
\
2тг),
которая имеет нетривиальное решение только при i/2 = п2, где
п - целое число. Этим собственным значениям соответствуют
собственные функции вида
Фп(^) = <Jn cosn</? + 6„ siring. F.32)
Для определения функции R(r) получаем уравнение
d2R I dR
F.33)
г йг \ г* ' '
которое следует решать с граничными условиями
Д(г0) = О, |Д@)| < оо. F.34)
Если ввести новую переменную х = vA г, то для функции у(х) =
= R(x/yX) получим дифференциальное уравнение Бесселя п-го
порядка
„ 1
х "
общее решение которого
у(х) = A Jn(x) + ВNn(x) F,35)
содержит линейно независимые функции Бесселя Уп(х) и Ней-
Неймана Nn(x) п-го порядка. Так как функция Неймана Nn(x)
неограниченно возрастает по модулю при х -> 0, из условия
ограниченности в нуле функции у константу В в решении F.35)
следует положить равной нулю.

202
б. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Теперь, выполняя краевое условие у(хо) = 0, где xq =
= л/А го, получаем трансцендентное уравнение
) = 0
для определения собственных значений Л задачи F.31).
Если через ^пт обозначить m-й корень уравнения
Jn(fi) = 0, то
F.36)
Некоторые значения корней \inm уравнения Jn(fi) — 0 приведе-
приведены в таблице.
Значения цпт
п
0
1
2
3
т
1
2,405
3,832
5,135
6,380
2
5,520
7,016
8,417
9,761
3
8,654
10,173
11,620
13,015
4
11,794
13,324
14,796
16,223
5
14,931
16,471
17,960
19,409
6
18,071
19,616
21,117
22,583
Каждому собственному значению Хпт из F.36) при п > 0
соответствуют две линейно независимые собственые функции
задачи F.31):
Vnm(r, ф) = Jn ( -^^- I cos тр, п = 0, 1, 2,...;
smnip, n=l, 2,...,
[

6.3. Колебания круглой мембраны 203
для которых справедливы следующие условия ортогональности:
2тг г0
0
/ / «пт(г, Ч>) Vn'm' (»%
0 0
0 0 ( _ . / . /
[ 0 при Bjt n или т 7: m ;
||«пт||2 при п = п' и т = т';
2?г
/ / vnm(r, y)vnim,(r, <p)rdrdip =
Г 0 при пфп или т ф т';
при п = v! и т = т';
г> «/) un'm'(^ v) rdrdip = 0.
о о
Здесь
_ ГО / 2 _ Г 2, п = 0;
2 тгеп „ /хПт 1 1, п > 0;
Определив спектр собственных значений Anm, запишем те-
теперь общее решение уравнения F.30):
Tnm(t) = Лпт co8unmt + Bnm sinunmt, F.37)
где ипт = ayj\nm = —^^ - собственные частоты колебаний
г
0
круглой мембраны с закрепленным краем.
Таким образом, частные решения уравнения F.27), удовле-
удовлетворяющие условиям F.29), имеют вид
r, <P, t) = vnm(r, <p) (Anm cosunmt + Bnm
+ vnm{r, ч>) (Спт cosunmt + Dnm si

204 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Взяв суперпозицию таких решений:
оо оо
u(r, (f, t) = у ^ у. unm\ri V) Ч =
71=0 771=1
ОО ОО
= Х^ X) Vnm(r, ф) (Апт COSU)nmt + Впт 8Шиш<) +
71=0 771=1
оо оо
+ X) 5^ ^nm(r> V) (Cnm COSLJnmt + Dnm 8ШШШ<), F.38)
71=0 771=1
выбором коэффициентов Апт, Впт, СПт и Dnm можно удо-
удовлетворить начальным условиям F.28), которые примут форму
равенств
оо оо
h(r, ф) = 2__, X/ {AnmVnmi'T, Ф) + CnmVnmir, Ф)}', F.39)
п=0 т=1
оо оо
9(Г, ф) = Х^ XI ^"li5" %m(r, V) + Aim W(r, <^)}. F.40)
71=0 771=1
Умножив F.39) и F.40) на unm(r, ф) и ипт^ у) и проин-
проинтегрировав полученные соотношения по области G, с учетом
условий ортогональности для «nm^i Ф) и Vnm(r> Ф) получим:
2тг г0
»
Л(г, ф) vnm(r, ip)rdrdip = Апт \\vnm\\2;
о о
2тг го
h(r, ф) vnm(r, ф) rdrdip = Спт
о о
2тг го
9(г, ф) vnm(r, ip)rdrdip = ш„т 5nm Hunmll2;
0 0
2тг го
у (Г, у>) Unm(r, у») rdrd(p = LJnm Dnm
0 0
Z7T ГО
Я-
2тг го
2тг го

6.4. Волновое уравнение для электромагнитных волн 205
Отсюда находим значения коэффициентов
2тг г0
\\Vnm\\
2тг г0
Лптп = — ^о / / Л(Г' V)vnm{r, ip)rdrdip;
\\Vnm\\ J J
2тг го
1 Г Г
Впт = — []2 / / #(г> ?>)«пт(»", ip) Г dr dip;
пт пт Q o
2л- го
Спт = 7= ;г / / Мг> V)«nm(r, (p)rdrd(p;
\\vnm\\ J J
2тг r0
~—To / / 9{r, v)Znm(r, ip)rdrdtp,
vnm\r J J
Wnm||unm||
при которых формула F.38) определяет решение u(r, ip, t) зада-
задачи F.27) - F.29) о колебаниях круглой мембраны с закреплен-
закрепленным краем.
6.4. Волновое уравнение
для электромагнитных волн
Электромагнитное поле характеризуется напряженностя-
ми Е(х, у, z, t) электрического и Н (х, у, z, t) магнитного по-
полей. В средах, обладающих диэлектрической е и магнитной \i
проницаемостями, для описания электромагнитного поля мож-
можно ввести также вектор электрического смещения и = ??qE
и вектор магнитной индукции В = ццоп. Здесь ?q и /xq -
электрическая и магнитная постоянные в единицах СИ.
Уравнения электромагнитного поля в проводящей среде,
удельная электропроводность (проводимость) которой равна а,

206 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
в отсутствие объемных электрических зарядов и сторонних то-
токов соответствуют четырем уравнениям Максвелла:
div ^ = 0;
div ^ = 0;
rotE- = -d—;
rot3 = <^ + —.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением однородных
сред с постоянными е, /л и а, причем вакуум будет соответство-
соответствовать случаю е = /х = 1исг = 0.
Применив к третьему и четвертому уравнениям F.41) опе-
операцию ротора, получим
rot rot ~Ё = -ЦЦ0 — (rot Я*);
6 д F-42)
rot rot Я = a rot E + eeo-^- (rot -^)-
от
Используя формулу векторного анализа rot rot 1^ = grad div it —
— Д7^ [VII], из уравнений F.42) с учетом уравнений F.41) по-
получаем
dt
от <п- F43)
at
Из выражений F.43) следует, что каждая из шести компонент
напряженностей электрического и магнитного полей удовлетво-
удовлетворяет уравнению
где а = c/y/Fjl; с = 1/^/еоМ) = 3 • 108 м/с; Ь = ощщ. Уравнение
F.44) называют многомерным телеграфным уравнением.

6.4. Волновое уравнение для электромагнитных волн
207
В непроводящей среде (сг = 0) формулы F.43) принимают
вид
АЕ = -о
а2 0*2
или
или D Я = О,
F.45)
где ? = А ~ —к - оператор Даламбера.
az ot*
Таким образом, для каждой компоненты электромагнит-
электромагнитного поля в непроводящей среде получено волновое уравнение
?w — Du = 0- F-46)
Как было показано в 1.2, в случае зависимости и от од-
одной пространственной координаты х, уравнение F.46) имеет
решение в виде плоской монохроматической волны
u(x, t) = щ cos(u>t — kx),
или в комплексной форме (и = Re и)
= а
Здесь величина а = ш/к = с/у/ёЦ представляет собой фазовую
скорость электромагнитной волны в идеальном изоляторе.
В проводящей среде [а ф 0) непосредственной проверкой
можно убедиться, что уравнение F.44) имеет решение в виде
затухающей волны
и(х, t) = щ е~Чх е"*М-/Ч F.47)
Подставляя решение F.47) в уравнение F.44), получаем
( = о>\
2а2
7 = <
Hff-
2а2
F.48)

208 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Таким образом, проводимость среды приводит к затуха-
затуханию электромагнитной волны и к изменению ее фазовой скоро-
скорости распространения.
Исследуем два предельных случая.
1. Проводимость достаточно велика
V )
плотность тока проводимости j = аЕ много больше плотности
дЕ
тока смещения jCm = ??0 ~к~- Из формул F.48) в этом прибли-
ot
жении "хорошего проводника" имеем
(Ьа2 а \
( — = > 1 , и
V и esqijj )
Следовательно, электромагнитное поле проникает в среду с
достаточно большой проводимостью лишь на глубину 8 « 7 •
Расстояние 8 называют скиновой глубиной проникновения элек-
электромагнитного поля в проводник. Оно зависит от частоты из-
изменения электромагнитного поля, уменьшаясь с ростом ш.
Если полностью пренебречь плотностью тока смещения,
уравнение F.44) переходит в уравнение параболического типа
ди
Аи = awo—.
2. Плотность тока проводимости в среде значительно мень-
меньше плотности тока смещения ( — = « 1 . Из F.48)
V о» eeQij )
находим
7- 2 VWo/(??o),
0*Tt/l + T
of 4 \eeowj [ 8 \eeow J J a
Таким образом, электромагнитная волна слабо затухает
при распространении, а ее фазовая скорость
V p °[1 + 8
несколько меньше, чем в идеальном изоляторе.

6.5. Потенциалы электромагнитного поля 209
При полном пренебрежении током проводимости (а = 0)
уравнение F.44) переходит в волновое уравнение F.46).
Отметим, что параметр р — , входящий в крите-
рий сравнения токов проводимости и токов смещения, содержит
частоту электромагнитной волны. Следовательно, при низких
частотах материал может вести себя как проводник, а при вы-
высоких - как изолятор. Именно так ведут себя слабопроводящие
среды, такие, как почва (а ~ 10~^ См/м) или морская вода
(а ~ 1 См/м).
6.5. Потенциалы электромагнитного поля
Электромагнитное поле можно задавать не только напря-
женностями Е и Н, но и двумя потенциалами. Векторный А
и скалярный <р потенциалы электромагнитного поля вводятся
формулами
~Ё = rot^;
dt F-49)
-_
с дополнительным условием связи
+ -» -кг + »№<Р = 0, F.50)
oz at
которое называют условием калибровки Лоренца.
С учетом F.49) второе и третье уравнения F.41) выпол-
выполняются тождественно. Два других уравнения Максвелла, запи-
записанных для однородной среды,
div'E = р/(ее0)- F.51)
rot "^ = ii^at + -к -з- + /W^ F-52)
oz at
в общем случае содержат в качестве заданных источников объ-
объемную плотность электрических зарядов р(х, у, z, t) и плот-

210 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
ность тока j {х, у, z, t), обусловленную заданным распреде-
распределением полей сторонних сил (источников ЭДС).
Чтобы удовлетворить этим двум уравнениям, подставим
F.49) в F.51) и F.52). Тогда с учетом формулы rot rot l^ =
= graddivl? — Al? и условия Лоренца F.50) после несложных
преобразований получим уравнения для </? и А:
F-53)
Легко видеть, что скалярный потенциал и все три компоненты
векторного потенциала удовлетворяют одинаковым дифферен-
дифференциальным уравнениям вида
1 д и ди
~^~дР~ ^т° ~dt = ^Х' У' 2' *)" ^6>54^
В случае непроводящей среды (а — 0) эти уравнения пере-
переходят в неоднородные волновые уравнения вида
или
Du = /(x, у, z, t).
Условие Лоренца F.50) для такой среды будет таким:
div^ + ^^ = 0. F.56)
az at
В некоторых задачах электродинамики, описывающих про-
процесс распространения электромагнитных волн в непроводя-
непроводящих средах, удобно ввести поляризационный потенциал

6.5. Потенциалы электромагнитного поля 211
П = U(x, у, z, t), который называют также вектором Герца,
полагая
1 г\ r-t
Условие Лоренца F.56) при этом выполняется тождественно,
так как
Найдем уравнение для поляризационного потенциала П в
непроводящей среде при отсутствии сторонних зарядов и токов
(распределенных источников ЭДС), т.е. когда уравнение F.53)
для векторного потенциала имеет вид волнового уравнения
Подставляя сюда А из F.57), получаем
а2
вй\ 1 а2 /
et
Отсюда с точностью до постоянной составляющей, которую мы
положим равной нулю, получаем
0 <"«
или
Таким образом, каждая из трех составляющих вектора П
удовлетворяет волновому уравнению.

212 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Векторы Е ил выражаются через поляризационный по-
потенциал с помощью соотношений
1 а2г!
= rot rot it + ( ДГ?--^ —-у ) = rot rot it; F.59)
= rot^ = 9 rot-—- = ee0^-(rot^)- F-60)
Аналогичным образом можно записать магнитный вектор
Герца Пм, считая, что
Е = -ддо Б1rot Пм; Я = rot rot if M.
Подставив эти соотношения в уравнение Максвелла, можно по-
показать, что в непроводящей среде, когда р = j^c' = 0, вектор
Пм также удовлетворяет волновому уравнению, аналогичному
F.58). Объединяя эти результаты, будем считать, что с помо-
помощью вектора Герца ГГ, удовлетворяющего волновому уравнению
можно получить различные решения уравнений Максвелла:
^ = rot rot it;
или
= ee° diT°
if.
F'61а)
= rot rot

6.6. Электромагнитное излучение дипольного осциллятора 213
6.6. Электромагнитное излучение
дипольного осциллятора
Перейдем к расчету электромагнитных волн, излучаемых
диполем Герца, который представляет собой два небольших ме-
металлических шарика, периодически перезаряжающихся через
соединяющий их проводник длиной I. Такой осциллятор пред-
представляет собой электрический диполь с периодически изменя-
изменяющимся электрическим моментом
где Уд = — I ; Зо ~ амплитуда тока в проводнике; ш - круговая
частота колебаний; / - вектор, направленный вдоль оси диполя
от отрицательного заряда к положительному.
Проведем расчет электромагнитного поля в окружающем
такой диполь пространстве, считая его заполненным однород-
однородной непроводящей средой, скорость распространения электро-
электромагнитных возмущений в которой близка к скорости света в
вакууме. Выберем сферическую систему координат, направив
полярную ось Oz вдоль оси диполя (рис. 6.3).
M(r,B,tf)
А
Рис. 6.3

214 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Электромагнитное поле, излучаемое диполем, найдем из
сферически симметричного решения волнового уравнения для
вектора Герца
** = ?ж-
Каждая компонента потенциала П в сферически симметричном
случае удовлетворяет уравнению
Введем новую функцию v = ги. Тогда из уравнения F.63)
для функции v получим одномерное волновое уравнение
d2v 1 d2v п
0 <0
общее решение которого [см. формулу A.9)] имеет вид
Следовательно, уравнение F.63) имеет решения
и u2{r,t) =
которые называют соответственно расходящейся и сходящейся
сферическими волнами.
По физическому смыслу рассматриваемой задачи об излу-
излучающем диполе следует выделить лишь расходящуюся сфериче-
сферическую волну, записав решение уравнения F.63) в виде

6.6. Электромагнитное излучение дипольного осциллятора. 215
или для монохроматической волны
, ч Щ e-Mt-r/c)
u(r, «) = ¦ •
Такое решение соответствует запаздывающему потенци-
потенциалу, когда возмущение в некоторой точке пространства, от-
отстоящей от источника на расстоянии г, запаздывает на время
г = г/с, необходимое для того, чтобы электромагнитные воз-
возмущения преодолели расстояние г.
Поэтому сферически симметричное решение уравнения
F.62) запишем в виде запаздывающего потенциала
й е_М«_г/с)
г ' F'64)
выбрав постоянный сомножитель из соображений размерности.
Если ввести обозначения ir, ig и i^ для единичных ортов
сферической системы координат, то вектор П, параллельный
вектору р$, может быть представлен в виде
П = ir По cos 9 — г# По sin в,
где П0 - П0 (г, t) = -P .
47Г?0 Г
Используя выражение дифференциального оператора rot M
в сферической системе координат
дМг д ]^ 1\д
dip or r J r [or
получаем
rot!t =; [д-г{гПб) ~ ж] v = (-т + ^JПо s

216 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Из соотношений F.59) и F.60) следует, что
~Ё = rot rot it; ~Й = е0 — тоьТ1.
at
По этим формулам находим напряженности электрического и
магнитного полей вокруг диполя:
? = 2cos0 (%--) П0 V +
\г2 г )
+ sme[-2- — -kzjYloie; F.65)
Я = ceosinfl I fc
Здесь к = ш/с = 27г/А - волновое число.
Анализ полученных выражений показывает, что характер
электромагнитного поля вокруг диполя качественно отличается
на малых и больших расстояниях. Наибольший интерес пред-
представляет дальнее поле, которое наблюдается на больших рассто-
расстояниях от излучателя диполя. Эту зону, где кг 3> 1 или г ^> А,
называют волновой зоной дипольного осциллятора. В этой зоне
Ег = Еф = 0; Ев = -k2U0 sin в;
Нг = Нв = 0; Яу, = -е0ск2 Щ sin0.
Переходя от комплексных экспонент к тригонометриче-
тригонометрическим функциям, запишем окончательно электромагнитное поле
в волновой зоне:
ш Ро л ( г\
Еа-- -о sin в cos ш [t ;
сг4пепг \ с)
F.66)
Н^ — sin в cos ш I t .
с4лт \ с I

6.6. Электромагнитное излучение дипольного осциллятора 217
Найденное поле в волновой зоне имеет характерные при-
признаки сферической волны:
1) векторы Е и Н перпендикулярны радиальному напра-
направлению распространения волны (поперечная волна) и ортого-
ортогональны между собой;
2) волны электрического и магнитного полей имеют оди-
одинаковые фазы, амплитуды этих волн убывают обратно пропор-
пропорционально расстоянию до источника, причем существует связь
между амплитудами волн: \Е\ = zc\H\, где zc = y/fio/^o =
= CfiQ = 1207Г Ом - волновое сопротивление свободного прос-
пространства.
Плотность потока энергии электромагнитного поля, пере-
переносимого в радиальном направлении, найдем, вычислив модуль
вектора Пойнтинга
S —
16тг2еос3г2
2 2 / Т
sin в cos u> I t
с
F.67)
Усреднив плотность потока энергии по времени, найдем
интенсивность излучения сферической электромагнитной вол-
волны
sin2 в.
I=(S) =
32тг2еос3г2
Зависимость интенсивности от угла в наглядно показыва-
показывает диаграмма направленности (рис. 6.4), которую строят так,
чтобы длина отрезка, отсекаемого на луче, проведенном из цен-
центра диполя, была пропорциональна интенсивности излучения /
под углом в.
Рис. 6.4

218 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Суммарную среднюю (за один период колебаний) мощность
излучения дипольного излучателя определим, проинтегриро-
проинтегрировав интенсивность / по сфере достаточно большого радиуса
(г ^> А). Получим
2тг тг
2.
-II
I гг ыпв йв dy =
О О
. F.68)
32тг2еос3 3 12тгеос
Преобразуем формулу мощности излучения, выразив ди-
польный момент излучателя ро через эффективное значение си-
силы тока 3 в нем:
3o
Ро = — =
Тогда из выражения F.68) следует
Формулу F.69) можно использовать в инженерных расче-
расчетах мощности излучения антенн. Если F.69) записать в стан-
стандартной форме Р = д Лизл) то можно определить сопротивле-
сопротивление излучения антенны
Дизл = SOn' I - 1 (I « A),
которое пропорционально квадрату отношения длины антенны
к длине излучаемой волны.

6.7. Распространение электромагнитных воли 219
6.7. Распространение электромагнитных
волн в цилиндрическом волноводе
В различных радиотехнических устройствах приходится
решать задачу о передаче энергии с помощью электромаг-
электромагнитных СВЧ-волн, распространяющихся в полых металли-
металлических трубах - волноводах.
Рассмотрим электромагнитную волну, распространяющу-
распространяющуюся вдоль цилиндрического волновода с идеально проводящи-
проводящими стенками, заполненного непроводящей средой, для которой
е = ц = 1, т.е. а = с = 3 • 108 м/с.
Введем следующие обозначения: z - направление вдоль вол-
волновода, Е - поверхность волновода, 5 - поперечное сечение, Г
- контур, ограничивающий сечение.
Математическая теория распространения электромагнит-
электромагнитных волн в волноводе может быть построена на решении вол-
волнового уравнения для поляризационного потенциала
Считая, что вектор Герца ТГ имеет только компоненту Пг,
преобразуем уравнение F.70) для этой компоненты примени-
применительно к случаю монохроматической волны с частотой и>, т.е.
когда
nz = U(x,ytz)e-iut. F.71)
Подставляя F.71) в уравнение F.70), получаем
ДП + А;2П = 0, jfc = ш/с,
или
я2тт
Д2П + -^ + fc2n = 0, F.72)
где Дг - двумерный оператор Лапласа.
Как отмечалось выше [см. формулы F.61)], с помощью век-
вектора Герца П можно описать два типа электромагнитных волн.

220 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Для электрической .Е-волны типа ТМ (поперечная магнитная)
компоненты электромагнитного поля выражаются через П по
формулам F.61 а). В такой волне отсутствует продольная со-
составляющая магнитного поля (Hz = 0), т.е. магнитное поле
поперечное (англ. transverse). Формулы F.61 б) определяют
компоненты электромагнитного поля в магнитной Н-волне ти-
типа ТЕ (поперечная электрическая), для которой отсутствует
продольная составляющая электрического поля (Ez = 0). Элек-
Электрическое поле в такой волне поперечно.
Ограничимся рассмотрением электромагнитных ТМ-волн
в волноводе. Для волн такого типа условие отсутствия танген-
тангенциальной составляющей электрического поля на идеально про-
проводящей поверхности волновода задают как условие равенства
нулю продольной составляющей вектора П:
П|Е = 0. F.73)
Решение уравнения F.72) ищем в виде
n(x,y,z) = U(x,y)f(z). F.74)
Подставляя F.74) в уравнение F.72), после разделения перемен-
переменных получаем
= A = const. F.75)
и f
Отсюда с учетом условия F.73) получаем задачу на собственные
значения
[Д2С/ + АС/ = 0, (x,y)eS;
F.76)
1 ЩГ = 0.
Задача F.76) аналогична задаче о собственных колебаниях
упругой мембраны, закрепленной по контуру Г. Это позволяет
использовать результаты ее решения для определения собствен-
собственных значений, зависящих от двух целочисленных параметров п
и т, и соответствующих им собственных функций Unm(x, у)
задачи F.76) для контуров правильной формы.

6.7. Распространение электромагнитных волн 221
Например, для волновода прямоугольного сечения со сто-
сторонами 1\ и ^2
/п2 т2\
Anm = тг ( ~2 + ~2 ). т = 1, 2,...; п = 1,2,...;
1 2 F.77)
гг , > . . ППХ . 7П7П/
UnmVX-, У) = -A Sin sin —-—, Л = Const.
h h
Для волновода круглого сечения радиуса tq при соответ-
соответствующем выборе полярного угла <р
p n = 0,1,2,...; m = l, 2,...;
Г° 7 x F-78)
Unm{r, Ч>) = Л Jn /inm- COS ny?, Л = Const.
V r0/
Здесь /znm представляет собой т-тл корень уравнения Jn{pi) = 0.
Формула F.78) выделяет четные по углу </з электромаг-
электромагнитные возмущения. В общем случае эта формула может быть
записана как суперпозиция четных (cos гкр) и нечетных (sin ntp)
возмущений.
Теперь из формулы F.75) для функции f(z) получаем диф-
дифференциальное уравнение
*2" + inmJ = 0, 1пт — у К — лПт i
общее решение которого
f{z) = Ce^nmZ + De~^nmZ
соответствует двум волнам, бегущим в положительном или от-
отрицательном направлениях оси Oz.
Выделяя для определенности волну, бегущую в положитель-
положительном направлении оси Oz, запишем выражение для z-й составля-
составляющей вектора Герца
Пг(х, у, z, t) = Unmix, У) е-'М-Ъ'»2), о, > Cv/W F.79)

222 6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Соотношение F.79) соответствует бегущей электромаг-
электромагнитной ТМпт-волне с частотой ш, распространяющейся с
фазовой скоростью Уф = ш/'Упт и имеющей длину волны
Л = 2тг/7пт = 2пс/у/ш2 - с2Хпт.
При ш < Су/Хпт (к2 < Хпт) величина 7пт = гбпт, где
5пт = \/Хпт - к2 , становится чисто мнимой. Соответствую-
Соответствующее решение
Пг(х, у, z, t) = Unm(x, у) e~SnmZ е~ш
описывает затухающую волну.
Таким образом, бегущая ТМптп-волна, распространяюща-
распространяющаяся в волноводе, не может иметь частоту, меньшую некоторой
критической, равной ш*т = су/Хптп. Так как первое собствен-
собственное значение задачи F.76) является минимальнымч:обственным,
в волноводе не могут распространяться электромагнитные вол-
волны с частотами, меньшими ш* = с-\/Хт\п. Для волноводов с
прямоугольным и круглым сечениями критические часто'.кы со-
соответственно равны:
Ш* = СП
2,405
где с = 3 • 108 м/с.
Из этих формул следует, что передавать энергию по волно-
волноводу, поперечный размер которого составляет несколько сан-
сантиметров, можно только с помощью электромагнитных волн
высокой частоты (СВЧ-волны).
Выражение F.79) для осевой составляющей вектора Герца
позволяет с помощью формул F.61 а) найти компоненты элек-
электрического и магнитных полей в волноводе при распростране-
распространении в нем электромагнитной ТМ-волны. Так, для волновода с

6.7. Распространение электромагнитных волн 223
круглым сечением, используя выражение для дифференциаль-
дифференциального оператора rot M в цилиндрической системе координат
^ A
rot M = -
\
AдМх dMv\
\г dip oz )
(дмг дмл^ [1 д Л/г 1 дмг
\ az дг J Y |_r "r r "V
получаем
^ 1 dUz -r> dUz -^
rot П = - -5— ir — ip;
r o<p or
rot rot П =
dzdr r dipdz
Теперь с учетом F.79) при помощи формул F.61 а) находим:
Г nnm
r0 v г0
v = А ^^ JnLnm I-) Bi
m
2
т
Нг = ?0А — Л^пт -
Г \ ГО
Я„ = е0А ^^
Го
Переход к действительным выражениям в этих формулах сле-
следует осуществлять с помощью замены комплексных экспонент
вида е IU на cos a.
При расчетах частота волны задается частотой генера-
генератора, возбуждающего электромагнитную волну в волноводе, а

224
6. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
|
Рис. 6.5
постоянная А определяется передаваемой мощностью, которая
пропорциональна А2. Величину /xnm находим как т-и нуль
функции Бесселя n-го порядка.
Для наглядности на рис. 6.5 изображена пространственная
структура силовых линий электрического поля для ТМ-волн
двух типов в круглом волноводе.
Вопросы и задачи
6.1. Найдите поперечные колебания прямоугольной мембраны
О ^ х ^ li, 0 ^ 5 ^ !i с закрепленным краем, вызванные начальным
отклонением
и(х, у, 0) = Аху (h — х) A-2 — у).
оо оо
— cos(a<\/7m +7n), где
Ответ: и(х, у, t) = — ^ ^2
Щ = 0 71=0
_ Bт + 1)тг _ Bп + 1)тг
V3 -V3
/m Jn
_
7m —
6.2. Найдите поперечные колебания прямоугольной мембраны
О ^ х <С h, 0 ^ у ^ /-2 с закрепленным краем, вызванные сосредоточен-
сосредоточенным импульсом К, сообщенным мембране в точке (хо, уо)-

Вопросы и задачи 225
Ответ:
... оооо, . . ,
, .х 4л v^ V~* sm ото io smdma; smdnj/o sinony
U(T' У' *) = 7ТГГ /^ /^ /.. x
с 7717Г _ 717Г
где dm = -7—; On = -T--
«1 «2
6.3. Найдите поперечные колебания круглой мембраны радиуса го с
закрепленным краем, вызванные равномерно распределенным давлением
ро, действующим на одну сторону мембраны с момента времени t = 0.
Начальное отклонение мембраны считать равным нулю.
[о о °° *^0 II 1
Го -Г „2 V* \Го/ Writ
л 2г° Z^ t\i \ cos •где ^п "
положительные корни уравнения Jo(aO = 0.
6.4. Опишите вынужденные колебания круглой мембраны радиуса го
с закрепленным краем, вызванные равномерно распределенным давлением
р = Ро sin uit, действующим с момента времени t = 0 на одну сторону мем-
мембраны, в отсутствие резонанса. Начальное отклонение мембраны считать
равным нулю.
Ответ:
— 1 > sinwf+
ро
sincjnt,
где цп - положительные корни уравнения ,7о(аО = 0, а w / wn = _if!L
го
6.5. Определите критическую частоту волновода прямоугольного се-
сечения со сторонами U и h для ТЕ-полн, когда вместо условия F.73) следует
0П
выполнить условие
= 0.
Ответ: ш* = —, где 1т = тах{/ь

7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
ДЛЯ ОПИСАНИЯ
КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ ЧАСТИЦ
7.1. Волновая функция
В нерелятивистской квантовой механике состояние части-
частицы определяется заданием волновой функции Ф(а:, у, z, t), за-
зависящей от пространственных координат и времени. В общем
случае волновая функция является комплексной функцией дей-
действительных аргументов, а ее квадрат модуля в любой момент
времени определяет плотность вероятности ш = dP/dV нахо-
нахождения частицы в данной точке пространства:
^ = \Щх, у, *, t)\\ G.1)
Из этого определения следует, что вероятность Р обна-
обнаружить частицу в некотором объеме пространства V в любой
момент времени t можно рассчитать по формуле
P = JJjMx,y,z,t)\2dV. G.2)
V
Учитывая, что |Ф| = ФФ*, где Ф* - функция, комплексно
сопряженная к Ф, соотношение G.2) можно записать так:
р=
V
Отсюда вытекает условие нормировки волновой функции
G.3)
Волновая функция должна удовлетворять некоторым усло-
условиям регулярности, вытекающим из ее физического смысла.

7.1. Волновая функция 227
Она должна быть однозначной функцией своих переменных, не-
непрерывной вместе со своими частными производными по про-
пространственным переменным и квадратично интегрируемой в
любой области пространства. Последнее условие, в частности,
требует стремления волновой функции к нулю на бесконечно-
бесконечности.
Эволюция во времени волновой функции, которая описыва-
описывает квантовое состояние частицы массой т, движущейся в сило-
силовом поле F = -gradt/, задаваемом потенциалом U, определя-
определяется дифференциальным уравнением Шредингера в частных
производных
<7-4»
Здесь i = у/—\ - мнимая единица; h = h/Bn) - рационализиро-
рационализированная постоянная Планка; Д - оператор Лапласа.
Вследствие наличия мнимой единицы в уравнении Шредин-
Шредингера, т.е. в связи с комплекснозначностыо волновой функции,
уравнение G.4) фактически представляет собой систему двух
уравнений для действительной и мнимой частей волновой функ-
функции.
В стационарных задачах квантовой механики, когда потен-
потенциал не зависит от времени и функция U(x, у, z) определяет
потенциальную энергию частицы в данной точке стационарно-
стационарного силового поля, полная энергия частицы Е не изменяется со
временем. В таких задачах волновая функция всегда имеет вид
Ф(з, у, z, t) = е~г-тгф(х, у, z). G.5)
При этом координатную часть волновой функции
ф(х, у, z), которую в стационарных задачах часто называют
волновой функцией, следует находить, решая уравнение Шре-
Шредингера для стационарных состояний:
^ G.6)
Это уравнение можно записать также в форме
G.7)

228 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Волновая функция должна удовлетворять указанным выше
условиям регулярности. Эти условия обычно выступают в ка-
качестве граничных условий при формулировке задач для уравне-
уравнения Шредингера. Несколько примеров решения стационарных
задач квантовой механики приведены ниже.
7.2. Задача о гармоническом
осцилляторе в квантовой механике
Одномерным линейным гармоническим осциллятором на-
назовем частицу массой т, на которую действует квазиупругая
сила Fx = — кх, где к = const > 0 - коэффициент упругости
(жесткости).
Потенциальная энергия частицы в таком силовом поле
В классической механике осциллятор совершает гармони-
гармонические колебания
x(t) = A cqs(wZ 4- а)
с частотой ш = у/к/т.
Полная энергия Е осциллятора в классической механике
определяется амплитудой А колебаний и может принимать лю-
любые значения Е = к А /2. Говорят, что спектр энергии класси-
классического осциллятора непрерывен.
В квантовой механике для определения квантовых состо-
состояний одномерного осциллятора необходимо решить уравнение
Шредингера для стационарных состояний G.7) в виде
сРф 2т Г mw2!2
Решение этого уравнения ф = ф(х) будем искать в классе
дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетво-
удовлетворяющих условию
ф -у 0 при |ж| -»• со. G.9)

7.2. Задана о гармоническом осцилляторе в квантовой механике 229
Для решения уравнения G.8) введем безразмерные величи-
величины ? и ?, такие, что ? — x/xq, xq = ^h/(mw), е = 2Е/(Нш). То-
Тогда после элементарных преобразований для функции ф == ф(?)
получим уравнение
^ (e-e2)V> = 0, -oo<e<+oo. G.10)
Сделаем теперь подстановку
? G.11)
Подставив G.11) в уравнение G.10), приходим к уравнению для
функции /(?)
= 0, G.12)
где 2п = е — 1.
Будем искать решение этого уравнения в виде ряда
оо
до = ?«*?*• GЛЗ)
Jfc=0
Формально дифференцируя ряд G.13), находим
Jt=o
C fc=0
2) (Л
Подставляя эти ряды в уравнение G.12), получаем
00
У~][(к + 1)(к + 2) ак+2 + 2(п - к) ак] ?к = 0. G.14)
fc=0

230 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Для тождественного выполнения этого равенства необхо-
необходимо, чтобы коэффициенты при ? обращались в нуль. Отсюда
получаем рекуррентное соотношение
— Г%" * = 012 <>
которое связывает коэффициенты ряда G.13) при степенях оди-
одинаковой четности.
Анализ показывает, что бесконечный ряд G.13), коэффици-
коэффициенты которого удовлетворяют соотношению G.15), при ? -»• оо
,2
ведет себя как экспоненциально растущая функция е^ .
Действительно, для достаточно больших значений А; из со-
соотношения G.15) следует, что
ак+2/ак - Ук-
Но именно такая связь имеет место между коэффициентами
разложения в степенной ряд Тейлора функции
2 °° e2s °°
s=0 S' fc=O
Для этого разложения при больших значениях индекса А;
Таким образом, с учетом подстановки G.11) получен вывод
о том, что условие G.9) может быть выполнено только тогда,
когда ряд G.13) будет содержать конечное число членов. В
таком случае ряд G.13) как полином конечной степени будет
иметь лишь степенной рост на бесконечности, и функция ф(€),
определяемая формулой G.11), будет обращаться в нуль при
lei -»• оо.
Ряд G.13) становится полиномом конечной степени, если
параметр задачи
? 1 Е 1

7.2. Задача о гармоническом осцилляторе в квантовой механике 231
принимает только целые неотрицательные значения
п = О, 1, 2,... В этом случае из G.15) следует, что для к > п все
aft = 0, и ряд G.13) представляет собой полином n-й степени.
Отсюда получаем условие квантования энергии осциллятора
En = hu(n +1/2), п = 0, 1, 2,... G.16)
Полученный вывод согласуется с теорией специальных
функций, где показано, что уравнение
имеет нетривиальные решения Яп(?), обращающиеся в беско-
бесконечность не быстрее конечной степени, только при целых зна-
значениях параметра п = 0, 1, 2,... Эти решения, являющиеся соб-
собственными функциями задачи Штурма - Лиувилля для самосо-
самосопряженного дифференциального оператора (см. Приложение 2),
называют полиномами Чебышева- Эрмита.
Полиномы Чебышева - Эрмита можно находить из соотно-
соотношения
или по рекуррентной формуле
Нп+1 @ ~ 2( Яп(?) + 2п Яп_1 (О = 0.
Эти полиномы удовлетворяют следующему условию ортого-
ортогональности:
f 0 при тфп\
||ЯП||2 = 2ny/iFn\ при т = п.
-00
Итак, решения уравнения G.10), обращающиеся в нуль при
|?| -» оо, существуют лишь при е = 2п + 1, где п = 0, 1, 2,...
Их можно записать в виде
fe-V. G.18)

232 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Коэффициенты Сп найдем из условия нормировки волновой
функции
+ОО
которое после перехода к безразмерной координате ? = x/xq
примет вид
+ОО
Г 2
/ "Фп
—оо
Подставляя сюда фп@ в форме G.18), находим
1 / \ /*
= ( — ) ¦ G.19)
Vй/
Пользуясь формулами G.18) и G.19), выпишем несколь-
несколько нормированных волновых функций, описывающих состояния
одномерного квантового осциллятора:
„2
¦ф0{х) =
<2хй>/ж хй
fa(x) = -fJ= (^ - 2^ е 2«g.
Качественный вид этих волновых функций изображен на
рис. 7.1.
Рассмотрим теперь трехмерный осциллятор, у которого
собственные частоты и>\, а>2 и а>з в трех взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных направлениях различны. Потенциальная энергия частицы
в такой задаче имеет вид
"/ # ЯЛ I J 4 Г* '9 Ш МЛ t
U у»! У) z) —

7.2. Задача о гармоническом осцилляторе в квантовой механике 233
X
Рис. 7.1
Запишем уравнение Шредингера в такой стационарной за-
задаче для волновой функции ф = ф(х, у, z), описывающей кван-
квантовое состояние трехмерного осциллятора:
m
+ —
2) ф = Еф. G.20)
Будем искать решение этого уравнения в виде произведения
трех функций, каждая из которых зависит от одной координа-
координаты:
Ф(х,у,г)=ф1(х)ф2(у)ф3(г). G.21)
Подставляя G.21) в уравнение G.20) и разделяя перемен-
переменные, получаем
G22)
где xi = х, х2 = у, х$ = z, Е = Ei + Е2 + Е3.
Сравнив уравнения G.22) и G.8), замечаем, что для каждо-
каждого значения индекса г = 1, 2, 3 задача свелась к одномерной,

234 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
решенной выше. Поэтому с учетом G.18) волновую функцию
G.21) можно записать в виде
, Х2,Х3) =
G.23)
где ?;j = \j жг\ Три квантовых числа щ, п2, и п3, каждое
h
из которых может принимать любое значение из ряда целых
неотрицательных чисел, определяют квантовое состояние трех-
трехмерного осциллятора.
Константу С в выражении G.23) найдем из условия нор-
нормировки волновых функций
+0О
Фп1,п2,п3(х1> х2, x3)dx\dx2dx3 — 1. G.24)
—оо
Подставив сюда волновую функцию из формулы G.23), после
несложных вычислений получим
ni!n2!n3!
Полная энергия частицы в рассматриваемом квантовом со-
состоянии
Е = йш! (ni + 1/2) + Пш2 (п2 + 1/2) + Ы3 (п3 + 1/2). G.25)
Эта формула определяет дискретный энергетический спектр
трехмерного квантового осциллятора.
7.3. Квантовые состояния атома водорода
В атоме водорода отрицательно заряженный электрон мас-
массой ц движется в кулоновском поле положительно заряженного
ядра протона. В таком электростатическом поле потенциаль-

7.3. Квантовые состояния атома водорода 235
ная энергия электрона зависит от расстояния г электрона от
ядра (протона) и равна
е2
U(r) = -
Предполагая ядро атома неподвижным, свяжем с ним
центр сферической системы координат (г, в,'(р). Тогда уравне-
уравнение Шредингера, описывающее квантовое состояние электрона
в поле ядра, будет иметь вид
!> = 0. G.26)
Здесь Ад р - угловая часть оператора Лапласа, определяемая
соотношением
А , 1 д ( . пдф\ 1 д2ф
Наша задача состоит в отыскании во всей области изме-
изменения переменных 0 ^ г < оо, 0 ^ 0 ^ 7Г, 0 ^ tp ^. 2тт таких
однозначных и непрерывных решений ф = ф(г, в, ф) уравнения
G.26), которые удовлетворяют условию нормировки
оо тг 2тг
№(г, В, tp)\2dV=l, G.27)
0 0 0
где dV = г dr sin OdOdip - элемент объема в сферической си-
системе координат.
Искомое решение определим методом разделения перемен-
переменных, полагая
После подстановки этого выражения в уравнение Шредингера
G.26) получим
R

236 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Отсюда вытекают следующие два уравнения:
Д^У + XY = 0; G.28)
В теории специальных функций решение уравнения G.28),
удовлетворяющее условию ограниченности во всей области из-
изменения угловых переменных и условию периодичности
YF, ip + 2n) = Y (в, ф) по циклической переменной (р, называ-
называют сферическими или шаровыми функциями. Такие решения
Yjm@, ф) существуют у уравнения G.28) только при опреде-
определенных собственных значениях параметра Л — 1A + 1), при-
причем в квантовой теории атома водорода неотрицательное целое
число / = 0, 1, 2,... называют азимутальным квантовым чи-
числом.
Каждому значению I соответствует 21 + 1 сферических
функций
?1т(в, <р) = СРг|т|(со80)е^, G.30)
каждая из которых определяется значением магнитного кван-
квантового числа т = 0, ±1, ±2,..., ±1.
Входящий в выражение G.30) для сферических функций со-
сомножитель PJ (cos#) называют присоединенной функцией
Лежандра т-го порядка. Эта специальная функция является
ограниченным в точках в = 0 и в = ж решением дифференци-
дифференциального уравнения
1 d ( . dP™
— sineb
sin0 6B \ d9
sin2 9\ ) -v -v
Здесь I = 0, 1, 2,... ; m = 0, 1,..., /.

7.3. Квантовые состояния атома водорода 237
Бели ввести новую переменную х = cos в, то уравнение
G.31) можно записать для функции Р™(з:) в виде
[2
1A + 1)-^-2\РГ(х)=0, -1<х<1. G.32)
Присоединенные функции Лежандра PJn[x) выражаются
через полиномы Лежандра Р/(х) по формуле
Отсюда, в частности, находим Ff{x) = Pi(x).
Присоединенные функции Лежандра образуют ортогональ-
ортогональную систему функций, т.е.
I
Pln{x)P™{x)dx = 0 при пфЦ
-1
f
-1
Коэффициент С в формуле G.30) можно выбрать равным
Bl + l)(l-\m\)\
У 4(г ||)!
чтобы сферические функции Y[mF,ip) были ортонормирова-
ны на поверхности шара, т.е. удовлетворяли условию
0 0 t
J 0 при / ф I или т фт;
1 1 при l' = I и т! = т.

238 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Приведем явные формулы для нескольких первых норми-
нормированных сферических функций:
оз20- 1); Y2,±i = \/^-si
Y2,±2 = y^ sin2 0e±i2^; Г3,0 = yQ^ cos в Ecos2 0 - 3),
Найдем теперь решение дифференциального уравнения для
радиальной части R(r) волновой функции. Полагая в уравнении
G.29) А = I (I + 1), где I — 0, 1, 2,..., запишем его в виде
^ + |(В+^)л^л,0. G.33)
Перейдем в уравнении G.33) к безразмерным величинам
р = г/а, е = -E/W (е > 0), G.34)
выбрав в качестве характерного размера радиус первой боров-
ской орбиты электрона
4тГ?()/г2
а — п—¦,
а в качестве характерной энергии - величину
1 е2 h2 ue4
2
-0
Тогда уравнение G.33) примет вид
d2R 2 dR B
dp2 p dp \p
R = 0. G.36)
Решение уравнения G.36) следует искать в форме произве-
произведения двух функций:
e-PPu(p), /3 = v/?. G.37)

7.3. Квантовые состояния атома водорода. 239
Подставив R(p) из G.37) в уравнение G.36), находим урав-
уравнение для новой искомой функции и(р). После несложных вы-
вычислений получаем
d2u . 2 du,. _ Г2A-0) ii. , ~, , „ ,_О{Л
iv I V " г / ' I v
apz p ap IP P
Решение этого уравнения ищем в виде ряда
00 00
Для нахождения коэффициентов ряда а д. подставим G.39) в
G.38) и соберем члены с одинаковой степенью р. Такая под-
подстановка дает
00
5^to+i[(* + l + 2)(k +1 + 1)-1A + 1)] +
к=0
+ a/fc[2-2/?(A; + J + l)]}p/c = 0. G.40)
Чтобы ряд G.39) был решением уравнения G.38) для лю-
любого значения р, коэффициенты при каждой степени р в урав-
уравнении G.40) должны быть равны нулю. Это дает следующее
рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда G.39):
2C(к + 1 + 1)-2
(* + i + 2) (А; + I + 1) - I (I + 1) аь G.41)
* = 0, 1, 2,...
Однородность уравнения G.38) позволяет первый коэффи-
коэффициент uq выбрать произвольным. Затем по формуле G.41) вы-
вычислить ai, no ai найти а.2 и т.д. Вычисляя таким образом все
коэффициенты ак, получаем искомое решение уравнения G.38)
в виде ряда G.39) по степеням р.

240 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Из G.41) следует, что для достаточно больших значений к
2/3
связь между коэффициентами ряда имеет вид a^i ~ — ад.. Но
к
именно такая связь существует между коэффициентами ряда
представляющего разложение в ряд Тейлора экспоненты
Следовательно, бесконечный ряд G.39) с коэффициентами,
удовлетворяющими рекуррентным соотношениям G.41), при
достаточно больших значениях р ведет себя как функция е @Р.
Но тогда из G.37) следует, что функция R(p) неограниченно
растет при р —> оо. Такое решение не может быть радиальной
частью волновой функции, так как условие нормировки G.27)
для такой функции не выполнимо.
Однако функция Щр) будет стремиться к нулю при
р —> оо, обеспечивая выполнение условия G.27), если ряд G.39)
оборвется на каком-либо члене, т.е. будет многочленом конеч-
конечной степени. Из соотношения G.41) следует, что обрыв ряда
G.39) на номере пг произойдет, если
2/3(пг + / + 1)-2 = 0. G.42)'
Тогда все коэффициенты ряда G.39) начиная с аПг+\ будут рав-
равны нулю.
Таким образом, соотношение G.42) представляет собой не-
необходимое и достаточное условие, при выполнении которого
функция R{p), определяемая формулами G.37) и G.39), являет-
является радиальной частью волновой функции ф электрона в атоме
водорода.
Обозначим целое число пг+1 + 1 = п, назвав пг радиальным
квантовым числом, an- главным квантовым числом. Очевид-
Очевид^ I + 1, т.е. I ^ п — 1.
Условие G.42) теперь примет вид /Зп = 1 или е = 1/п2.
С учетом соотношений G.34) его можно записать как условие
квантования полной энергии электрона в атоме водорода

7.3. Квантовые состояния атома, водорода 241
Полная энергия связанного электрона отрицательна и опре-
определяется значением главного квантового числа п.
Найденный энергетический спектр электрона в атоме во-
водорода позволяет найти частоты шпт оптического спектра во-
водорода из соотношения
Тшпт = Еп~ Ет, п> т.
С учетом соотношения G.43) получаем формулу Бальмера
*«4
Итак, радиальная часть волновой функции электрона в ато-
атоме водорода может быть записана в виде
ПГ
Rraip) = const р1е~п^ ak p\ G.45)
fc=0
где nr = n- (I + 1), n ^ I + 1.
Заметим, что выражение для Rni{p) может быть записано
и в форме
Л-М-4-(!)'.-!xjljbd), P.46)
где Lp - обобщенные полиномы Чебышева -Лагерра, кото-
которые являются многочленами р-й степени и определяются фор-
формулой
Ls(x) - —x~sex —
В частности, Lq(x) = 1; L\(x) = 1 + 5 — x.
Для обобщенных полиномов Чебышева - Лагерра с целыми
индексами р и s справедливы следующие интегральные соотно-
соотношения:
00
= JLsp(x)Lsp(x)e-xxsdx= — ,
О
s
I2(p, s) = J L°p(x)Lp{x) e~x ss+1 dx = ^^ p]
0

242
7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Коэффициенты Ani в формуле G.46) определим из условия
нормировки радиальной части волновой функции
оо
= l или
оо
f
=^. G.47)
О О
Подставляя выражение G.46) в G.47), получаем
1
Отсюда
С учетом соотношений G.46), G.48) выпишем выражения
для некоторых нормированных радиальных составляющих вол-
волновых функций:
i?32 =
Итак, окончательно квантовое состояние электрона в ато-
атоме водорода описывается волновой функцией, зависящей от трех

7.4. Операторы физических величии в квантовой механике 243
квантовых чисел п, I и т, которые принимают следующие зна-
значения: п = 1, 2,...; I - 0, 1,..., (п - 1); m = 0, ±1, ±2,..., ±1.
Эта нормированная волновая функция найдена из решения
уравнения Шредингера G.26) и имеет вид
Фп1тп{г, в, <р) =
Здесь
Энергия электрона в квантовом состоянии зависит от зна-
значения главного квантового числа п и определяется форму-
формулой G.43), которую после подстановки значений физических
констант можно записать в виде Еп = — 13,55/п эВ A эВ=
=1,6-10 Дж). Каждому значению энергии Еп соответствует
71-1
53 B? + 1) = п различных квантовых состояний.
1=0
7.4. Операторы физических величин
в квантовой механике
В квантовой механике каждой физической величине / ста-
ставится в соответствие линейный самосопряженный оператор
F, Соотношения между квантово-механическими операторами
формально имеют ту же структуру, что и соотношения между
физическими величинами в классической механике.
Приведем выражения для операторов основных физических
величин в квантовой механике, определяя операции, которые
следует произвести над волновой функцией при действии на
нее соответствующих операторов.

244 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
1. Операторы координат x = x,y = y,n~z = z являются
операторами умножения на соответствующие координаты, т.е.
хф = хф; уф = уф; 'гф = гф.
Эти три оператора можно объединить, вводя векторный опера-
тор г {х, у, г}, имеющий в качестве компонент в декартовой
системе координат операторы i, у и г.
2. Операторы проекций импульса определяются с помощью
дифференциальных операторов по правилам
р _п д в _лд. в_лд
1 га " i oy i oz
Эти формулы можно объединить, вводя векторный оператор
импульса
г
определенный с помощью оператора градиента V = grad. Опе-
Оператор квадрата импульса Р2 = РХРХ + РуРу + PzPz можно за-'
писать через оператор Лапласа
Р2 = -Н2А.
3. Векторный оператор момента импульса формально мож-
можно определить операторным соотношением L = [!*, ~Р]. Отсю-
Отсюда получаем:
Zdy
в ( д д
-уРх = т I х—- у—
i \ ду дх

7.4. Операторы физических величии в квантовой механике 245
Оператор квадрата момента импульса можно построить по
правилу ^ ^ ^ ^ ^
Li = Lixi-ix ~\~ LiyLiy -\- LizLiz-
Переходя от декартовой системы координат к сферической
х = г sin в cos </?, у = г sin в sin </?, z = r cos в,
можно получить следующие формулы:
•? Ь( ¦ д „ д
L {+te
-Ь_д_ G.50)
z " г V
t2 Г 1 д ( . . д \ 1 д2 1 о
4. Если частица массой m находится в силовом поле с по-
потенциалом U(x, у, z), то оператор потенциальной энергии U
представляет собой оператор умножения на функцию U, т.е.
Оператор кинетической энергии Т можно определить через
оператор квадрата импульса по формуле Т = Р2/Bт). Отсюда
Оператор полной энергии (гамильтониан) Я можно запи-
записать как сумму операторов кинетической и потенциальной энер-
энергии:

246 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Замечание 7.1. С помощью гамильтониана Н временное уравнение
Шредиигера G.4) можно записать в комплексной форме
Уравнение Шредингера для стационарных состояний G.6) также можно
записать в операторной форме
Нф = Еф. #
Если два квантово-механических оператора А и В комму-
коммутируют, т.е.
АВ - В А = О,
то соответствующие физические величины а и b могут быть од-
одновременно точно измерены. Если же коммутатор операторов
АиВ
К = АВ-ВАфО,
то соответствующие физические величины не могут быть од-
одновременно точно измерены.
В качестве примера некоммутирующих операторов можно
привести операторы х и Рх. Действительно,
Рх(хф) = —tft д- (хф) = -ihx — ih-ф.
Поэтому для таких операторов
К = хРх - Рхх = ih^0.
Вытекающий отсюда вывод о невозможности одновремен-
одновременного точного измерения координаты частицы и соответствую-
соответствующей проекции ее импульса составляет существо одного из важ-
важных положений квантовой механики - соотношения неопреде-
неопределенностей, установленного в 1927 г. В. Гейзенбергом.
Один из постулатов квантовой механики утверждает, что
результатом измерения физической величины / в квантово-

7.4. Операторы физических величин в квантовой механике 247
механической системе могут быть только собственные значения
соответствующего оператора F. Именно поэтому проблема соб-
собственных значений эрмитовых операторов играет важную роль
в математическом аппарате квантовой механики.
Для оператора F его собственные значения и собствен-
собственные функции находят как нетривиальные решения оператор-
операторного уравнения
удовлетворяющие условиям регулярности волновой функции.
Спектр собственных значений операторов в квантовой ме-
механике может быть как непрерывным, так и дискретным. Учи-
Учитывая связь проблемы квантования физических величин с дис-
дискретностью спектров соответствующих им операторов, огра-
ограничимся ниже обсуждением случаев, когда существует счетное
множество собственных значений /п и собственных функций
фп, являющихся решением уравнения
F-фп = /пФп, п = 1, 2, ... G.51)
Многие физически важные свойства собственных значений
связаны с самосопряженностью операторов физических вели-
величин в квантовой механике.
Напомним, что каждому линейному оператору F можно по-
поставить в соответствие другой оператор F+, который называ-
называют оператором, сопряженным к данному, или эрмитово сопря-
сопряженным. Сопряженный оператор F+ определяется с помощью
интегрального соотношения
I dV. G.52)
Здесь ipi и г/>2 - две любые волновые функции, интегрирование
которых ведут по всей области изменения пространственных
переменных; dV - элемент объема пространства размерностью
iV, причем dV = dx для N - 1, dV = dx\ dxi для N = 2,
dV = dx\ dxi dxj, для N = 3.

248 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Если оператор F совпадает со своим сопряженным опера-
оператором F+, т.е. F = F+, то такой оператор называют эрмито-
эрмитовым, или самосопряженным. С учетом формулы G.52) са-
самосопряженность оператора F означает выполнение интеграль-
интегрального равенства
ifii(Fih)dV= I ЫРФ\)* dV. G.53)
В качестве примера докажем самосопряженность операто-
оператора проекции импульса Рх. Для этого рассмотрим две волновые
функции ф\{х) и ф2{х) {N = 1), удовлетворяющие условиям ре-
регулярности, в частности условиям ф\^(—оо) = ф\ 2(+°°) = 0.
Тогда
+0О +0О
J xft(Pxxh)dx = J
dx =
Ч Ox J
—оо
+0О +°°
—оо
—оо
+О0 , . +0О
) dx= J
—оо —оо
В соответствии с равенством G.53) это означает самосо-
самосопряженность оператора
Докажем теперь, что собственные значения эрмитова опе-
оператора вещественны. Для этого умножим уравнение G.51) для
собственных значений слева на i/>n и проинтегрируем получен-
полученное равенство по всей области изменения переменных. В ре-
результате получим
J i>*n{Fipn) dV = fn J ф*п фп dV. G.54)

7.4. Операторы физических величии в квантовой механике 249
С учетом нормировки волновой функции
Г * И -
из равенства G.54) находим
fn =
Применив теперь операцию комплексного сопряжения к ле-
левой и правой частям полученного равенства, имеем
/» =
1
Но, как следует из уравнения G.53), для эрмитова оператора
J
поэтому /п = /п> т-е- эрмитов оператор имеет только действи-
действительные собственные значения.
Перейдем теперь к доказательству ортогональности соб-
собственных функций линейного эрмитова оператора. Для этого
запишем уравнения для собственных функций фп и фт эрмито-
эрмитова оператора F:
Рфп = 1пФп, Рфт = 1тфт- G.55)
Применив операцию комплексного сопряжения к левой и
правой частям второго уравнения G.55), получим
= &Ф*т = 1тФ*т. G.56)

250 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Умножая первое уравнение G.55) на ф^, а равенство G.56) на
фп и интегрируя полученные соотношения, находим
/ фпФфт)* dV = fm j ф^ф-ndV.
Так как для эрмитова оператора
ф*тп(Fфп)dV=
из уравнений G.57) находим
Г ф*тпфпdV,
или
Un-fm) j ф*тпфпdV = 0. G.58),
Если п ф т, т.е. fn ф /т, то из G.58) получаем
ф*тфп4У = Ъ, G.59)
что и доказывает ортогональность собственных функций эр-
эрмитова оператора.
Принимая во внимание условие нормировки для волновой
функции, уравнение G.59) можно записать как условие орто-
нормированности собственных функций эрмитова оператора:
ф*тпфпdV = 6пт = \1' П т' G.60)
{ 0, п ф т,
Snm - символ Кронекера.

7.4. Операторы физических величии в квантовой механике 251
Замечание 7.2. В случае вырождения спектра оператора Ф каждому
собственному значению /„ может соответствовать несколько собственных
функций ф„1, ф„г,... ,ф„а, где s - кратность вырождения. Условие G.60)
для вырожденного спектра будет иметь вид
Г 1, п = тик = I;
Фтк Фп1 dV = < #
I 0, пф т или к ф I.
Система собственных функций эрмитова оператора явля-
является полной системой ортонормированных функций. Это озна-
означает, что произвольную функцию ф(х) (х € !iH , N = 1, 2, 3),
удовлетворяющую условиям регулярности, можно разложить в
ряд по системе собственных функций
оо
Ф(х) = Yl Cn^nix), On = const. G.61)
Коэффициенты сп разложения G.61) можно определить,
воспользовавшись ортогональностью собственных функций.
Для этого умножим ряд G.61) на ipmix) и проинтегрируем по
всей области изменения переменных. Тогда, изменив порядок
суммирования и интегрирования, получим
ф*т(х) ф(х) dV = f; en I ф*т(х) фп(х) dV. G.62)
В силу ортогональности собственных функций отличным
от нуля членом суммы, стоящей в правой части равенства G.62),
будет только член с п = т. Поэтому получаем
ст= I ф*тn(x)ф(x)dV. G.63)
Заметим, что подставляя G.63) в ряд G.61) и снова изменяя
порядок суммирования и интегрирования, получаем
ф(х)= I ф{х') [^ф*п(х')фп(х)) dV.
ж" n=1

252 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Для произвольной непрерывной функции ф(х) это равен-
равенство выполнено, если
оо
5>;(х'Ш*) = Мя-А G-64)
п=1
где 6pf(x — х') - N-мерная дельта-функция Дирака.
Соотношение G.64) выражает условие полноты системы
собственных функций эрмитова оператора.
Пример 7.1. Определить систему собственных функций
оператора Lz (оператора проекции момента импульса на вы-
выделенное направление z).
~~ h d
Из формул G.50) находим, что Lz = - — • Поэтому задачу
г о<р
на собственные значения оператора Lz можно записать в виде
следующего дифференциального уравнения:
т|г G-66)
при условии периодичности
которое является следствием условий регулярности волновой
функции.
Решая уравнение G.65), находим
где А = А(г, 9) - произвольная функция координат г и в.
Условие периодичности приводит к равенству
i\2n
e-s-=i.
Это равенство выполняется при условии
2тгА
h
= 2пт, т = 0, ±1, ±2, ...

Вопросы и задачи 253
Отсюда определяем дискретный спектр собственных значений
оператора Lz
Xm = mh, m = 0, ±1,... G.66)
и систему нормированных собственных функций
¦фт = Атеы^, Am = l/V2^. G.67)
Поэтому в соответствии с постулатом квантовой механики
проекция момента импульса квантовой частицы на некоторое
выделенное направление z может иметь только следующие зна-
значения:
Lz = mh,
где m - магнитное квантовое число.
Используя результаты, полученные при описании кванто-
квантовых состояний атома водорода, можно также утверждать, что
задача на собственные значения оператора квадрата момента
импульса
12ф = Ь2ф, или -Н2Авг1рф = Ь2ф G.68)
имеет дискретный спектр собственных значений
L2 = h2l(l + 1), / = 0,1,2,..., G.69)
и соответствующую систему собственных функций
bm = Ylm{0,4>), m = 0,±l,...,±l. G.70)
Спектр оператора L2 является вырожденным с кратностью
вырождения, равной 21 + 1. Каждому собственному значению
уравнения G.69) соответствует 21 + 1 собственных функций,
представляющих собой сферические функции У}т@, <р)-
Вопросы и задачи
7.1. Найдите сферически-симметричное решение стационарного урав-
уравнения Шредингера, описывающее квантовые состояния частицы в сфери-
сферической потенциальной яме радиуса го с непроницаемыми стенками, считая,
что внутри ямы потенциальная энергия частицы равна нулю.

254 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
. пят
. sin
Ответ ф(г) =-~= ^-, п = 1, 2,...
у2тгго г
7.2. Вычислите вероятность нахождения вне классических границ
движения одномерного гармонического осциллятора с наименьшим значе-
значением полной энергии.
Ответ. Р = 0,16.
7.3. С учетом вероятностного смысла волновой функции определите
среднее значение потенциальной энергии электрона в атоме водорода для
произвольного квантового состояния.
2
Ответ (U) = -^
7.4. Проверьте следующие правила коммутации для операторов про-
проекций момента импульса:
LxLy — LyLx = ihLz] LyLz — LzLy = ihLx.
7.5. Докажите следующее правило коммутации операторов проекций
импульса и момента импульса:
LXPV -PVLX = ihPt.

3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
8.1. Теория нелинейной теплопроводности
Одним из актуальных направлений современной матема-
математической физики является изучение нелинейных математиче-
математических моделей различных физико-химических явлений и процес-
процессов. Появление таких моделей обусловлено использованием в со-
современной физике и технике воздействий на вещество электри-
электрических полей большой интенсивности, пучков частиц высокой
энергии, мощного лазерного когерентного излучения, ударных
волн высокой интенсивности, мощных тепловых потоков.
Линейные математические модели являются всегда лишь
определенными приближениями при описании различных про-
процессов. Их можно использовать только в тех случаях, когда
исследуемые физические величины в рассматриваемом процес-
процессе изменяются не в очень широком диапазоне значений.
Нелинейные модели позволяют описать процессы в более
широком диапазоне изменения параметров. При этом нелиней-
нелинейности изменяют не только количественные характеристики про-
процессов, но и качественную картину их протекания. В основе не-
нелинейных моделей лежат нелинейные дифференциальные урав-
уравнения в частных производных, законченной теории и общих ме-
методов решения задач для которых в настоящее время не раз-
разработано. Однако для ряда нелинейных задач математической
физики удается найти точные аналитические решения, анализ
свойств которых позволяет выявить качественно новые нелиней-
нелинейные эффекты в исследуемых процессах. В частности, при ис-
исследовании высокотемпературных тепловых процессов с учетом

256 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
действия таких механизмов переноса энергии, как электронная
или лучистая теплопроводности, необходимо учитывать зави-
зависимость плотности р, удельной теплоемкости с и коэффициента
теплопроводности среды А; от температуры.
Мощность тепловых источников, распределенных в объеме
среды, также может зависеть от температуры, если учитывать
процессы диссоциации и ионизации молекул, фазовые перехо-
переходы, излучение, горение, химические реакции и другие экзо- и
эндотермические процессы, протекающие в нагретой среде.
Уравнение теплопроводности, учитывающее зависимость
свойств среды от температуры и нелинейную зависимость от
температуры мощности распределенных в объеме тепловых ис-
источников, является квазилинейным параболическим уравнени-
уравнением вида
р(и) с{и) -? = div (fc(u) grad u) + J(u, х, у, z, t). (8.1)
at
Нелинейность задачи теплопроводности может быть также
обусловлена нелинейностью граничного условия. Такие задачи,
в отличие от задач с внутренней нелинейностью, обусловленной
нелинейностью уравнения, часто называют задачами с внешней
нелинейностью.
Нелинейное граничное условие на поверхности S тела мо-
может иметь вид
^ = e(u,P,t), PeS, (8.2)
on
где функция в нелинейным образом зависит от температуры.
К таким условиям, например, относится условие B.14) на
поверхности излучающего тела или условие конвективного те-
теплообмена B.12), в котором коэффициент теплообмена ат за-
зависит от температуры поверхности тела.
Задача теплопроводности становится нелинейной, если
учитывать фазовые переходы в среде, такие, как плавление, ис-
испарение, конденсация, кристаллизация, происходящие при опре-
определенной температуре и сопровождающиеся выделением или по-
поглощением теплоты.

8.1. Теория нелинейной теплопроводности 257
В среде с фазовым переходом появляется поверхность Е
раздела фаз, которую называют фронтом фазового перехода.
Эта поверхность перемещается с конечной скоростью. Баланс
тепловой энергии на фронте фазового перехода с температурой
и* позволяет записать на движущейся поверхности Е фронта
кроме условия
ui(P)=u2(P)=u*. P6E, (8.3)
другое граничное условие:
дщ &U2
= q*pv, (8.4)
РбЕ
где к\, &2 и щ, «2 ~" коэффициенты теплопроводности и темпера-
температуры двух соприкасающихся фаз соответственно; q* - удельная
массовая теплота фазового перехода; v - мгновенная скорость
перемещения фронта фазового перехода в направлении нормали
it к поверхности Е.
Так как скорость перемещения фронта v заранее не извест-
известна и должна быть найдена в процессе решения задачи тепло-
теплопроводности, то граничное условие (8.4), называемое условием
Стефана, делает задачу нелинейной.
Возможен и другой подход к моделированию процесса фа-
фазового перехода без явного выделения фронта фазового пере-
перехода при постановке задачи. Этот подход связан с переходом
в класс обобщенных функций. Действительно, теплоту фазово-
фазового перехода, выделяющуюся на фронте, можно учесть, считая
внутреннюю энергию среды разрывной функцией температуры
и вводя сосредоточенную теплоемкость среды. При этом вну-
внутренняя энергия единицы объема среды е, как функция темпе-
температуры, при и = и* скачком изменяется на величину теплоты
фазового перехода, т.е.
и
е= I c(u)du + Q*r](u-u*). (8.5)

258 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Здесь с(и) = р(и) с(и) - теплоемкость единицы объема среды;
Q = pq' ; щи — и ) = < ~ * - импульсная функция
Хевисайда, производная которой drj/du есть дельта-функция
д(и — и*) (см. Приложение 1).
Дифференцируя теперь внутреннюю энергию (8.5) по тем-
температуре, получим выражение для эффективной объемной те-
теплоемкости среды с учетом теплоты фазового перехода
сэф=Ъ(и)+С}*6(и-и*).
Второе слагаемое, записанное через дельта-функцию, пред-
представляет собой сосредоточенную теплоемкость, которую следу-
следует понимать как обобщенную функцию температуры.
При таком описании фазового перехода уравнение тепло-
теплопроводности в отсутствие объемных тепловых источников при-
примет вид
-?r = div(A;(u)gradu). (8.6)
ot
Здесь
fci, u<u*\ (р1,и<и*; (к1,и<и*;
\с2, и>и*; \р2,и>и*; \к2,и>и*.
Фронт фазового перехода в такой постановке задачи находится
как изотермическая поверхность и = и* = const, положение
которой в пространстве, а в общем случае и форма, изменяются
с течением времени.
Нелинейности изменяют не только количественные харак-
характеристики тепловых процессов, но и качественную картину их
протекания. Они значительно усложняют математические мо-
модели тепловых процессов, причем во многом эти трудности
связаны с невозможностью применения для нелинейных задач
принципа суперпозиции решений. Число найденных точных

8.2. Задача Стефана о фазовом переходе 259
аналитических решений таких нелинейных задач теплопровод-
теплопроводности крайне ограничено, но именно анализ этих решений поз-
позволяет выявить качественно новые нелинейные эффекты при
распространении теплоты. Некоторые такие решения нелиней-
нелинейных задач теплопроводности рассмотрены ниже.
Квазилинейные параболические уравнения второго поряд-
порядка лежат в основе математических моделей разнообразных явле-
явлений и процессов в механике, физике, биологии, экологии, техно-
технологии и других отраслей знаний. В частности, уравнение нели-
нелинейной теплопроводности (8.1) при определенных условиях опи-
описывает фильтрацию жидкостей и газов в пористых материалах,
диффузию нейтронов, нелинейный скин-эффект при проникно-
проникновении магнитного поля в проводящие среды. Это уравнение
применимо при математическом описании процессов горения
и детонации, химической кинетики, процесса роста и мигра-
миграции биологических популяций, распространении загрязнений
в окружающей среде. Такой диапазон приложений уравнения
(8.1) обусловлен тем, что в его основе лежат фундаментальные
законы сохранения энергии, массы или числа частиц.
8.2. Задача Стефана о фазовом переходе
Найдем аналитическое решение одномерной нелинейной за-
задачи теории теплопроводности, которую называют задачей
Стефана в честь И. Стефана, поставившего и решившего в
1889 г. задачу о фазовом переходе. Фазовый переход может
быть связан с кристаллизацией жидкости при ее охлаждении.
В этом случае задачу обычно называют задачей о промерзании,
имея в виду, что процесс замерзания воды при ее охлаждении
относится к процессам такого класса.
Пусть жидкая среда занимает полупространство х > 0 и
пусть при t < 0 температура всех слоев жидкости одинакова и
равна uq > и*, где и* - температура отвердевания жидкости.
Без ограничения общности мы будем считать и* = 0.

260 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА .
С момента времени t = 0 на границе х = 0 поддержива-
поддерживается постоянная температура ис < 0 ниже температуры кри-
кристаллизации и*. В этом случае при t > 0 вблизи граничной
поверхности возникает слой твердой фазы, толщина которого
с течением времени увеличивается (рис. 8.1). Фронт кристал-
кристаллизации х = ?(t) в любой момент времени отделяет твердую
фазу от жидкой, двигаясь с некоторой скоростью v = d^/dt в
направлении жидкой фазы. По постановке задачи ?@) = 0.
"о
Рис. 8.1
Теплота фазового перехода, выделяющаяся при кристалли-
кристаллизации жидкости, отводится вследствие теплопроводности твер-
твердой фазы через граничную поверхность х = 0.
Явно выделяя движущийся фронт кристаллизации, обозна-
обозначим индексом " величины, относящиеся к твердой фазе, а ин-
индексом " - к жидкой фазе. Тогда, считая, что свойства среды
при фазовом переходе изменяются скачком, запишем уравнение
теплопроводности для двух фаз:
_ 2
Ж'4
г>о,
*>о,
< х < оо,
(8.7)
(8.8)
где а\ и U2 - коэффициенты температуропроводности твердой
и жидкой фаз соответственно.

8.2. Задача Стефана о фазовом переходе 261
Учитывая, что в начальный момент времени существует
только жидкая фаза, начальное условие для задачи запишем в
виде
и2(х, 0) = щ = const, х > 0. (8.9)
Краевые условия задачи сформулируем следующим обра-
образом:
а) на границах области
щ = ис = const < 0 при х = 0;
(8.10)
Щ ~~* Щ — const > 0 при х -> оо;
б) на фронте фазового перехода
"llx=€-0 = «2lx=f+0 = °". (8Л1)
dU2 - - -• - (8.12)
dx
dx
где q - скрытая теплота кристаллизации, отнесенная к единице
массы твердой фазы.
X
С помощью автомодельной переменной т/ = —-=. (преобра-
t
зование Больцмана) приведем уравнения (8.7) и (8.8) к обык-
обыкновенным дифференциальным уравнениям для функций и\{г\)
и и2(т)):
fill '
Полагая го,- = —~, запишем уравнение (8.13) в виде
Щ dq 2a?
Интегрируя выражение (8.14), получаем
--^2 ), B{= const. (8.15)

262 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Интегрируя (8.15) еще один раз, находим общее решение урав-
уравнений (8.13) для г = 1 и i = 2:
щ(т,) = At + BiJeKP(^) di = At + В,фЫ,
о а*
2 [
Ф(г) = —=
л/к J
2 [ _f
где Ф(г) = —= е к d?; Ai, В{ = const.
/к J
О
Функцию Ф(г) = erf (z) называют интегралом ошибок
(также функцией ошибок). Она часто встречается в задачах ма-
математической физики и поэтому затабулирована, как и ее про-
производные и интеграл от нее. В частности Ф@) = 0, Ф(оо) = 1.
Для малых z имеет место разложение
г-
1! • 3 2! ¦ 5
а при больших z справедлива асимптотическая формула
*/ ч , 1 е~** Л 1 1-3 1-3-5
A z \
_ + —__ _ + ... .
2z2 Bz2J Bz2f )
Возвращаясь к переменным х и ?, запишем найденные ре-
решения уравнений (8.7) и (8.8) в виде
t>0,
О 0,
х {
г)А2 + В2ф1
\2a2V
Выполняя теперь граничные условия (8.10), находим
А1=«с, А2 + В2=щ. (8.17)
При этом замечаем, что начальное условие (8.9) также будет
выполнено.

8.2. Задача Стефана о фазовом переходе 263
Из условия (8.11) на фронте фазового перехода, т.е. при
х = ?(?), следует, что
4S)ft (8i8)
Каждое из этих условий может быть выполнено для любого
t > О только в том случае, если аргументы функции Ф(г) в
этих равенствах не зависят от времени. Но это возможно, если
?(t)/\/i = a = const.
Таким образом, с точностью до некоторой константы a
определены закон движения фронта фазового перехода
(8.19)
и его скорость
I& (8-20)
которая уменьшается со временем, т.е. по мере утолщения слоя
твердой фазы.
Подставляя (8.19) в соотношения (8.18), получаем
Теперь из равенств (8.17) и (8.21) находим все четыре констан-
константы:
М = ис;
а
)
В2 =
Чтобы определить константу а, надо воспользоваться усло-
условием Стефана (8.12) на фронте фазового перехода. Так как
С?Ф 2 -2
— = —е
dz

264 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
то с учетом формул (8.16), (8.20) и (8.22) условие (8.12) приво-
дит к уравнению
кг ис e-°2/D«?
=—y piq • ^ '
Анализ трансцендентного уравнения (8.23) показывает,
что существует единственное положительное значение параме-
параметра а, удовлетворяющее этому уравнению. Приближенное зна-
значение корня этого уравнения может быть найдено численными
методами.
В случае, когда начальная температура всех слоев жид-
жидкости равна температуре фазового перехода, т.е. щ = 0, из
равенств (8.22) следует, что
М = ис; Bl =
\2аг)
Л2 = 0; В2 = 0,
и трансцендентное уравнение (8.23) принимает более простой
вид
/?Ф(/?)ехр{/?2} = ЛГ, (8.24)
где /? = a/Boi); N = \ис\ ci/(y/iFq*).
В общем случае приближенное решение уравнения (8.24)
можно найти графическим способом или с применением чи-
численных методов решения трансцендентных уравнений. Если
же параметры задачи соответствуют малым значениям N, то,
2
воспользовавшись асимптотическими формулами Ф(/?) ^ —т=Р,
у/ж
ехр{/?2} ~ 1, справедливыми для малых значений C, из уравне-
уравнения (8.24) получим

8.3. Тепловые возмущения в нелинейных средах 265
Отметим, что нелинейные задачи теплопроводности с фа-
фазовыми переходами широко используются для моделирования
технологических процессов зонной плавки, направленной кри-
кристаллизации, выращивания монокристаллов и получения задан-
заданных структур полупроводниковых материалов. С помощью ма-
математических моделей может быть проведена оптимизация та-
таких процессов по различным факторам.
8.3. Распространение тепловых
возмущений в нелинейных средах
В работах Г.И. Баренблатта, Я.Б. Зельдовича, СП. Кур-
дюмова, Л.К. Мартинсона, А.А. Самарского и других найдены
точные аналитические решения некоторых задач нелинейной
теплопроводности. Анализ свойств этих решений позволяет об-
обнаружить ряд важных нелинейных эффектов при распростра-
распространении тепловых возмущений в средах, коэффициент теплопро-
теплопроводности которых зависит от температуры.
Рассмотрим среду, коэффициент теплопроводности к кото-
которой изменяется в зависимости от температуры и по степенному
закону
k = kou<J, (8.25)
где a = const > 0 - параметр нелинейности среды. Плотность
среды р и ее теплоемкость будем считать постоянными, не за-
зависящими от температуры. Такую среду, в отличие от среды
с постоянным коэффициентом теплопроводности (ст = 0), на-
назовем нелинейной, так как процесс теплопроводности в такой
среде в отсутствие объемных тепловых источников описывает-
описывается нелинейным, точнее, квазилинейным параболическим урав-
уравнением
-^ = a2div(u<Jgra.du), (8.26)
ot
где а2 = ко/(рс) - характерный коэффициент температуропро-
температуропроводности.

266 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА.
При моделировании тепловых процессов в нелинейной сре-
среде необходимо использовать такие решения уравнения (8.26),
которые удовлетворяют условиям непрерывности температуры
и теплового потока. Но так как плотность теплового потока
if = — к$иа gradu в такой среде зависит не только от градиента
температуры, но и от значения самой температуры, то решения
уравнения нелинейной теплопроводности (8.26) следует искать
в классе обобщенных функций, допускающих разрывы произ-
производных по пространственным переменным там, где функция и
обращается в нуль и уравнение (8.26) вырождается.
Задача о влиянии мгновенного сосредоточенного тепло-
теплового источника. Пусть в нелинейной среде в начальный момент
времени t = О в плоскости х = О мгновенно выделяется на еди-
единицу площади количество теплоты Qq. От такого мгновенно-
мгновенного сосредоточенного источника тепловые возмущения начнут
распространяться симметрично по обе стороны от плоскости
х = 0. Математическая модель такого процесса запишется в
виде следующей задачи Коши для квазилинейного параболиче-
параболического уравнения:
(8 27)
Здесь Q = Qq/(pc), a одномерная дельта-функция 5(х) характе-
характеризует температурное воздействие плоского сосредоточенного
источника.
Сходимость решения и(х, t) при t -» 0 к начальному рас-
распределению следует понимать как слабую сходимость
(см. Приложение 1), т.е. для любой непрерывной функции f(x)
необходимо выполнение интегрального соотношения
+ 00
ди
dt ~~
и(х,
а
0)
2 д ( а
= Q6(x).
ди
дх
lim f f(x)u{x, t)dx = Qf(O).

8.3. Тепловые возмущения в нелинейных средах 267
Физическая постановка задачи позволяет утверждать, что
на бесконечности тепловые возмущения будут пренебрежимо
малы в любой момент времени, т.е.
du
и -> 0, ua - > 0 при |4 -> оо. (8.28)
ох
Интегрируя уравнение в (8.27) по переменному х в пределах
от —оо до +оо, получаем
+ 00
ох
ai J i ox
-*
•
—оо
х=+00
х=_00
= о.
Отсюда с учетом начального условия следует, что
+00
u(x, t)dx = Q = const, V t ^ 0. (8.29)
00
+0
/
Соотношение (8.29) отражает физический закон сохранения
полной тепловой (внутренней) энергии среды в любой момент
времени.
Единицы измерения определяющих параметров Q и а за-
задачи (8.27) в СИ определяются как Км и м •с~1К~сг соответ-
соответственно.
Из этих параметров и переменных х и t можно составить
лишь одну безразмерную комбинацию, определяющую автомо-
автомодельную переменную задачи,
х 1
(Qaa2t)v' C7 + 2
и комбинацию, имеющую размерность температуры,

268 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Поэтому согласно выводам теории размерности и подобия
(см. Приложение 3) искомое решение задачи (8.27) должно
иметь вид
и{х, t) = (%-) 6(»j). (8.30)
Подставив функцию и в форме (8.30) в уравнение (8.27),
получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функ-
функции 6G7):
Уравнение (8.31) преобразуется к виду
-"*>>=! (О <832»
Интегрируя (8.32) один раз, получаем
_yr?6 = 6*^, или ^- = --^—г1, (8.33)
' dr) dq (а + 2) ' '
причем константу интегрирования полагаем равной нулю в силу
условий (8.28).
После интегрирования (8.33), учитывая, что уравнение
(8.31) имеет также особое решение в = 0, запишем решение
уравнения (8.31), удовлетворяющее условиям (8.28), в следую-
следующей форме:
(8.34)
Здесь 77о > 0 — некоторая постоянная, причем в области \г)\ > щ
функция в(»7) тождественно равна нулю.
Постоянную /70 можно найти из условия (8.29), которое с
учетом соотношений (8.30) и (8.34) запишем в виде
+оо +V0
в(т7.) rf»? = J 6(»7)*7 = 1. (8.35)
-оо

8.3. Тепловые возмущения в нелинейных средах 269
Отсюда получаем
' l^-^'*1'1- (8-36)
Сделав замену ? = rj/щ в интеграле, запишем соотношение
(8.36) в виде
[§FT2)]"O?J2/(") = 1- (8-37)
Здесь
T(z) - гамма-функция Эйлера.
Теперь из (8.37) находим постоянную
(8.38)
Возвращаясь к переменным х и t, с учетом формул (8.30)
и (8.34) запишем решение исходной задачи (8.27) в виде
Здесь
u(t) = 4
(8.41)

270 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
U i
[
( [ \
t-i
\
t'tj>tz
+xo(t3) х
Рис. 8.2
Решение (8.39) имеет вид фронтового решения, описыва-
описывающего распространение тепловой волны от мгновенного со-
сосредоточенного теплового источника, помещенного в плоскости
х = 0. Качественный вид температурного профиля такой те-
тепловой волны в различные моменты времени (<з > ti > t\ > 0)
приведен на рис. 8.2.
Фронты тепловой волны, положения которых в любой мо-
момент времени определяются равенствами х = ±xo(t), отделяют
в пространстве область возмущений, где и > 0, от невозмущен-
невозмущенной области \х\ > xo(t), куда тепловые возмущения от источ-
источника еще не проникли и где и = 0. Фронты тепловой волны
движутся с конечной скоростью
v(t) =
dt
t
(8.42)
Скорость движения фронтов уменьшается с течением времени,
однако тепловые возмущения проникают в нелинейную среду
неограниченно далеко, так как xg(t) -> оо при t -> оо.
Заметим, что если а > 1, то фронты тепловой волны
являются крутыми, так как в этом случае \ди/дх\ —>¦ оо при
х -> ±xq T 0. Однако, несмотря на неограниченный рост гра-
градиента температуры на крутом фронте тепловой волны, плот-
_ ди
ность теплового потока q = —kqu — при приближении к фрон-
их

8.3. Тепловые возмущения в нелинейных средах 271
ту из области возмущений стремится к нулю, обеспечивая вы-
выполнение на фронте физического условия непрерывности те-
теплового потока при любых значениях параметра нелинейности
a > 0. При этом формулу (8.39) следует рассматривать как
обобщенное решение задачи (8.27).
Формулы (8.34), (8.38) и (8.39) допускают предельный пе-
переход ст -> 0, соответствующий переходу к среде с постоянным
коэффициентом теплопроводности, равным к§. В этом случае
?70 -> оо и из решения (8.39) при ст —> О можно получить распре-
распределение температуры
u(x, t) = lim
7>0
совпадающее с нестационарным температурным полем в задаче
о влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника
в линейной теории теплопроводности [см. уравнение B.66)].
Таким образом, тепловые возмущения в нелинейной среде
с коэффициентом теплопроводности, изменяющимся в зависи-
зависимости от температуры по степенному закону, распространяют-
распространяются по нулевому невозмущенному фону с конечной скоростью,
в отличие от среды с постоянным коэффициентом теплопро-
теплопроводности, где скорость распространения тепловых возмущений
бесконечна.
Этот вывод подтверждается еще одним точным решением
задачи нелинейной теплопроводности. Пусть первоначально не-
ненагретая нелинейная среда занимает полупространство х > О и
с момента t — О температура на границе х — О начинает увели-
увеличиваться по степенному закону с показателем степени, связан-
связанным с параметром нелинейности среды ст. Процесс разогрева
среды в этом случае описывается следующей нелинейной зада-
задачей:
dt dx\ dxj (8.43)
u(x, 0)=0, u{Q,t) = uQt«.

272 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Непосредственной проверкой можно убедиться, что задача
(8.43) имеет фронтовое решение
о ^ х < хо(«);
X
(8.44)
xo
Здесь xQ(t) - vQt; vq =
Анализ решения (8.44) показывает, что от нагретой гра-
границы в глубь среды по невозмущенному нулевому фону рас-
распространяется тепловая (температурная) волна, фронт которой
движется с постоянной скоростью, равной vq. Скорость vq за-
зависит от "амплитуды" щ теплового возмущения на стенке.
Качественный вид температурных полей в тепловых вол-
волнах (8.44) для различных значений параметра нелинейности а
показан на рис. 8.3.
d=7
t-t
0 xo(tz) x 0
Рис. 8.3
xa(t3) x
Как и в предыдущей задаче, при значениях параметра не-
нелинейности а > 1 фронт тепловой волны (8.44) оказывается
крутым, так как при этом \ди/дх\ —» оо при х —» in — 0. Од-
Однако можно проверить, что тепловой поток непрерывен во всех
точках пространства и обращается в нуль при приближении к

8.3. Тепловые возмущения в нелинейных средах 273
фронтовой точке х = xo(t) из области возмущений. Действи-
Действительно, вычисляя плотность теплового потока
q(x, t) = -kQ ua — = У— [t
дх gvq \ vq
и подставляя сюда х = г;д?, получаем, что <л ?о(О> и = 0 для
любого а > 0.
Итак, конечная скорость распространения тепловых воз-
возмущений указывает на появление в нелинейных средах свое-
своеобразного свойства "инерции" тепловых процессов, которое ка-
качественно изменяет характер протекания тепловых процессов
в нелинейных средах по сравнению с аналогичными процессами
в средах с постоянным коэффициентом теплопроводности, где
тепловые возмущения распространяются мгновенно.
Пространственная локализация тепловых возмущений.
Еще один интересный нелинейный эффект можно обнаружить
при рассмотрении процесса распространения тепловых возму-
возмущений в нелинейных средах с объемным поглощением теплоты.
Рассмотрим задачу о влиянии мгновенного плоского сосре-
сосредоточенного теплового источника в нелинейной среде с коэф-
коэффициентом теплопроводности, изменяющимся в зависимости от
температуры по степенному закону, если в нагретой среде про-
происходит объемное поглощение теплоты, удельная мощность ко-
которого в каждой точке среды пропорциональна значению тем-
температуры в данный момент времени. Математическая модель
такого процесса соответствует задаче Коши для квазилинейно-
квазилинейного уравнения теплопроводности с младшим членом
ди о д ( „ ди\ 1
«-*(" ИГ11 (>°' Х€И; (8.45)
и{х, 0) = QS{x).
Здесь р = const ^ 0 - коэффициент поглощения. При р = 0
задача (8.45) переходит в рассмотренную выше задачу (8.27).

274 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Поглощение энергии в объеме нелинейной среды приводит
к уменьшению интегральной тепловой (внутренней) энергии
среды. Поэтому при интегрировании (8.45) по пространствен-
пространственному переменному х в пределах от —оо до +оо находим
+О0
где J(t) = / и(х, t) dx.
—оо
Так как
+ОО +ОО
J@) = I u(x, 0)dx = Q I 5{x) dx = Q,
—оо —оо
то, интегрируя уравнение (8.46), получаем
Для решения задачи (8.45) перейдем с помощью преобра-
преобразования
и{х, t) = v{x, t) e~pt (8.47)
к новой функции v(x, t). Тогда уравнение для v принимает вид
Вводя новое независимое переменное (преобразованное время)
по правилу
те
pa L per
получаем для функции v(x, т) задачу
г 1 \
0, —), (8.48)
L per/
{to=a2±(v"*L\ о<т<^- хеш1-
1дт дх\ дх)' pa' ' (8.49)
[v{x, 0) = QS(x).

8.3. Тепловые возмущения в нелинейных средах 275
С точностью до обозначения временного переменного за-
задача (8.49) соответствует решенной выше задаче (8.27) о влия-
влиянии мгновенного сосредоточенного теплового источника в не-
нелинейной среде без объемного поглощения. Единственное от-
отличие состоит в том, что задача (8.49) сформулирована на ко-
конечном "временном" интервале. Поэтому, использовав соотно-
соотношение (8.39) и проведя обратное преобразование переменных,
можно записать решение исходной задачи (8.45) в виде
u{x,t)=v{x,T{t))e~pt, (8.50)
где
1*1<*о(т); (8.51)
\х\>хо{т).
Зависимости U(t) и xq(t) в (8.51) определены формулами
(8.40) и (8.41), в которых время t следует заменить наг, понимая
под т = r(t) преобразованное по закону
—, (8.52)
pa
временное переменное. При этом существенно, что преобразо-
преобразование t —У т отображает полубесконечный интервал [0, +оо) по
переменному t в ограниченный отрезок [0, тт) по переменно-
переменному т.
Финитное решение (8.50) задачи (8.45) представляет собой
фронтовое решение, описывающее распространение тепловой
волны от мгновенного сосредоточенного источника с конечной
скоростью перемещения фронтов х = ±жо(т(^)). Но главную
особенность этого решения можно обнаружить, если проанали-
проанализировать законы движения фронтов тепловой волны. Из этого
анализа следует, что функция u(x, t) в любой момент времени
t > 0 равна нулю вне области \х\ < L(t), где
^ (8.53)
(8.54)

276 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Так как L(t) -» Lm < оо при t -» оо, то тепловые возмуще-
возмущения от источника проникают в нелинейную среду с объемным
поглощением лишь на конечную глубину даже за бесконечный
промежуток времени. Тепловые возмущения оказываются лока-
локализованными в ограниченной пространственной области. Как
видно на рис. 8.4, на плоскости состояний (х, t) заштрихованная
область возмущений, где и > 0, заключена в полуполосе, конеч-
конечная ширина которой 2Lm. При этом величина Lm, определяю-
определяющая размер области локализации тепловых возмущений, зави-
зависит от определяющих параметров задачи в соответствии с вы-
выражением (8.54). В частности, размер области пространствен-
пространственной локализации увеличивается с ростом мощности теплового
источника Q и уменьшается с
увеличением коэффициента по-
поглощения р.
Эффект пространственной
локализации тепловых возму-
возмущений в рассмотренной задаче
обусловлен объемным поглоще-
поглощением тепловой энергии. Дей-
Действительно, если р —У 0, То
тт —У оо и, как следует из вы-
*¦ ражения (8.54), Lm —> оо, т.е. в
-L
'77?
О
Рис. 8.4
среду без объемного поглоще-
поглощения тепловые возмущения про-
проникают неограниченно далеко.
Возможность создания условий, когда удержание разогре-
разогретой среды в ограниченной области пространства можно осу-
осуществить за счет внутренних механизмов нелинейного процес-
процесса теплопроводности, является принципиально новым выводом,
вытекающим из анализа математической модели (8.45) нели-
нелинейного процесса теплопроводности. Реализация таких условий
является, в частности, одной из практически важных задач в
проблеме управляемого термоядерного синтеза.

8.3. Тепловые возмущения в нелинейных средах
277
Отметим, что своеобразный режим метастабильной лока-
локализации тепловых возмущений может наблюдаться и в отсут-
отсутствие в среде объемного поглощения теплоты. В этом режиме
локализации фронт тепловой волны остается неподвижным в
течение некоторого конечного промежутка времени. Такая ло-
локализация тепловых возмущений наблюдается при нагреве не-
нелинейной среды в режиме с "обострением", когда температура
граничной поверхности растет неограниченно за конечный про-
промежуток времени. Такую локализацию теплового воздействия в
режиме с обострением иллюстрирует следующая краевая задача
нелинейной теплопроводности в полупространстве:
u{x, 0) =
I u@, t) =
, x > 0;
(8.55)
0<t<T.
л ¦ п т2А%а2(о + 2)л1М
Здесь Aq = const > 0; xq = —-
L a J
Параметр Т в задаче (8.55) назовем временем обострения
учитывая
что
процесса разогрева нелинейной среды,
u@, t) -> оо при t -> Т.
Задача (8.55) имеет простое по форме решение в разделя-
разделяющихся переменных:
u(x, t) = <
х0,
(8.56)
[о,
Так как u(x, t) = 0 при всех t 6 [0, Т) для любого х ^ xq, to
фронт теплового возмущения х = xq, на котором равны нулю
температура и тепловой поток, отделяет нагретую среду от
холодной. Фронт неподвижен, несмотря на неограниченный

278 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
t-tz>t1
х0 х
Рис. 8.5
рост температуры в области тепловых возмущений при t —> Т.
В течение промежутка времени [О, Т) тепловые возмущения от
нагретой стенки локализованы в пространственной области 0 <
< х < xq конечных размеров.
Решение (8.56) можно назвать остановившейся на конеч-
конечное время тепловой волной. Качественный вид локализованных
температурных профилей такой тепловой структуры в различ-
различные моменты времени интервала [О, Т) для среды с показателем
нелинейности а = 2 представлен на рис. 8.5.
8.4. Задача нелинейной теплопроводности
с объемным поглощением
Рассмотрим еще одну задачу нелинейной теплопроводно-
теплопроводности, имеющую точное решение в аналитической форме. Пусть
в нелинейной среде происходят эндотермические процессы,
удельная мощность которых зависит от температуры степен-
степенным образом. Нестационарный процесс теплопроводности в
такой среде с объемным поглощением теплоты описывается ква-
квазилинейным уравнением
ог
0,
(8.57)

8.4. Задача теплопроводности с объемным поглощением 279
Здесь u(M, t) - температура; р = const > 0 - параметр поглоще-
поглощения, а значение N = 1, 2, 3 определяет размерность простран-
пространства, в котором происходит исследуемый процесс.
Запишем модель задачи о влиянии мгновенного сосредото-
сосредоточенного теплового источника в среде с поглощением, если a < 1,
а показатель степени v = 1 — а. Учитывая симметрию такой
задачи (плоскую для iV = 1, осевую для N = 2 и центральную
для N = 3), сформулируем соответствующую задачу Коши для
квазилинейного уравнения теплопроводности:
(8 58)
где радиальная пространственная координата г ^ 0 для случаев
N = 2nN = 3nr=\x\ для N = 1. Параметр а в уравнении мы
положили равным единице, что всегда можно сделать соответ-
соответствующим выбором масштабов времени или пространственного
переменного.
С учетом конечной скорости распространения тепловых
возмущений в нелинейной среде будем искать решение задачи
(8.58) в виде фронтового решения
О, r2>l(t),
где A(t) и l(t) - функции, подлежащие определению.
Подставив предполагаемую форму решения (8.59) в урав-
уравнение (8.58), получим
-г2] ""* = 0. (8.60)

280 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
Можно заметить, что это соотношение приводится к виду
S(t)[l(t)-r2Y = 0, (8.61)
если предположить, что
С-1А | + р А1-° - 4а~2 А1+°г2 = 4а Al+° [l(t) - г2},
т.е.
а^А^+рА1-" = Аа~2А1+(Т1. (8.62)
at
Тогда
S{t) = ^ + la'2 {No + 2) А1+<т. (8.63)
at
Так как условие (8.61) должно выполняться для любых г и t, то
это возможно лишь при S(t) = 0. С учетом формулы (8.63) это
условие приводит к дифференциальному уравнению для опре-
определения функции A(t):
Ц- + 2а~2 {Na + 2) А1+(Г = 0. (8.64)
(XX
Для обеспечения слабой сходимости решения в форме (8.59)
при t -+ 0 к дельтаобразному начальному распределению необ-
необходимо, чтобы l(t) —> 0, a A(t) —^ оо при t —> 0.
Разделяя переменные в уравнении (8.64), интегрируя и по-
полагая константу интегрирования равной нулю, находим реше-
решение
v°' (8-65>
неограниченно возрастающее при t —» 0.
Теперь, используя соотношение (8.62), для функции l(t)
приходим к следующему дифференциальному уравнению:
^ - 2 (Na + 2Г1 ГЧ = -2р {Na + 2) t. (8.66)
at

8.4. Задача теплопроводности с объемным поглощением 281
Общее решение этого неоднородного дифференциального урав-
уравнения первого порядка находим как сумму общего решения од-
однородного уравнения и частного решения неоднородного урав-
уравнения. В результате получаем
/(*) = Ct^+2 - (NJ + 2) p12, С = const. (8.67)
N a + 1
Таким образом, с учетом уравнений (8.59), (8.65) и (8.67)
решение исходной задачи (8.58) можно записать в форме фрон-
фронтового решения
'' (8.68)
О, г > r+{t),
где
(8.70)
Значение константы С в формуле (8.70) можно найти из соот-
соотношения
МО
Km Г u{r,t)K{N)rN-1dr = Q,
K{N) = I 2тг при N = 2;
47Г при N = 3,
являющегося следствием начального условия задачи Коши
(8.58). С учетом выражений (8.68) - (8.70) соотношение (8.71)

282 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
преобразуется к виду
! Na+2
1
xK(N) J(l-Z2)hN-1d? = Q. (8.72)
О
Учитывая, что
а значение интеграла
о
выражается через бета-функцию
из выражения (8.72) находим значение константы
Таким образом, точное решение задачи (8.58) имеет вид
(8.68), где U(t) иг+(?) определены соотношениями (8.69) и (8.70)
с константой С, которая находится по формуле (8.73). Найден-
Найденное решение допускает предельный переход р -» 0. Полагая
в уравнении (8.70) р = 0, получаем решение задачи о влиянии
мгновенного сосредоточенного теплового источника в нелиней-
нелинейной среде без объемного поглощения. Для N — 1 это решение
было построено нами ранее [см. формулы (8.39) - (8.41)].

8.4. Задача, теплопроводности с объемным поглощением
283
Дадим физическую интерпретацию решения (8.68). Оно
описывает эволюцию тепловой структуры конечных простран-
пространственных размеров, которую мы будем называть тепловым им-
импульсом. В любой момент времени t > О существует фронт
теплового импульса г = r+(t), отделяющий область тепловых
возмущений от невозмущенной области, куда тепловые возму-
возмущения еще не дошли и где и = 0.
Проанализируем характер движения фронта теплового им-
импульса. Для этого запишем уравнение (8.70) в виде
- 7- - *G[°'*™b (8-74)
\tm/ j
2Na
2 ' tm ~ Ь
\\
ГДе 6 " Na + 2 ' tm ~ \.2p(Na + 2)
зависимости (8.74) представлен на рис. 8.6.
Р-0
1* v
. Качественный вид
1
Рис. 8.6
На начальной стадии эволюции теплового импульса меха-
механизм тепловой диффузии является определяющим и простран-
пространственный размер теплового импульса увеличивается с течением
времени. В среде распространяется волна разогрева. Затем
скорость движения фронта теплового импульса уменьшается, и
при t = ?*, где
U =
С6

284 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
фронт останавливается, проникнув в нелинейную среду с объ-
объемным поглощением лишь на конечную глубину.
При t > t* объемное поглощение тепловой энергии ста-
становится доминирующим фактором в балансе энергии, и вол-
волна разогрева сменяется волной охлаждения, когда ширина
теплового импульса уменьшается. Фронт теплового импульса
изменяет направление движения, и в момент времени t = tm
тепловой импульс стягивается в точку, прекращая свое суще-
существование. Тепловой импульс в среде с объемным поглощением
тепловой энергии существует конечное время, т.е. для t > tm в
любой точке пространства и = 0. Такую локализацию тепловых
возмущений с конечным временем их существования в нелиней-
нелинейной среде с поглощением естественно назвать пространственно-
временной локализацией.
При р — 0, т.е. в отсутствие объемного поглощения те-
теплоты, из уравнения (8.70) следует монотонный степенной рост
ширины теплового импульса (штриховая линия на рис. 8.6). Те-
Тепловые возмущения в этом случае проникают в среду неогра-
неограниченно далеко.
Полученные соотношения можно рассматривать и при
р < 0, когда в объеме среды протекают экзотермические про-
процессы, приводящие к выделению тепловой энергии. В такой
нелинейной среде с объемными тепловыми источниками фронт
теплового импульса распространяется с конечной скоростью,
однако ширина теплового импульса в соответствии с соотноше-
соотношением (8.70) при р < 0 увеличивается.
8.5. Уравнение типа "реакция - диффузия"
Моделирование ряда процессов в физических, химических
и биологических системах приводит к решению краевых задач
для систем квазилинейных уравнений вида
-^ = div \J2 Dij graduj-j + fi(ui, u2,... ,u/, M, t), (8.75)
где i = 1, 2,..., /; t > 0; M G *KN; N = 1, 2, 3.

8.5. Уравнение типа "реакция - диффузия" 285
Уравнения такого типа описывают нестационарные диф-
диффузионно-кинетические процессы в многокомпонентных распре-
распределенных системах, т.е. эволюцию широкого класса нелиней-
нелинейных активных систем с диффузией. Математические модели,
в основе которых лежат уравнения вида (8.75), широко исполь-
используются в биологии, экологии, экономике. Такими уравнениями
описывают распространение нервных импульсов, волн эпиде-
эпидемий, распространение популяций растений и животных, а так-
также другие эволюционные процессы.
Особенно широко системы уравнений вида (8.75) использу-
используют в химической кинетике при описании процессов типа "ре-
"реакция - диффузия". Поэтому коэффициенты D{j в уравнениях
(8.75) называют коэффициентами собственной (г = j) и взаим-
взаимной (г ф j) диффузии. Младшие члены уравнений при этом опи-
описывают кинетические процессы в системе, т.е. взаимодействие
(реакции) всех / компонентов такой системы со скоростью, за-
зависящей от концентрации компонентов. Простейшим примером
функций /j, описывающих кинетику процессов, являются
fi = k{ u°n u?i2 ¦ ¦ ¦ uaju, aij = const > 0. (8.76)
Именно таким образом выражаются скорости химических ре-
реакций через концентрации реагирующих веществ по закону дей-
действующих масс. При этом коэффициенты fcj являются констан-
константами скоростей реакций, а а^ - стехиометрическими коэффи-
коэффициентами.
Точные решения задач для уравнений вида (8.75) в общем
случае найти не удается из-за нелинейностей, обусловленных
младшими членами уравнений. Однако в частном случае двух-
компонентной системы реагирующих веществ (/ = 2), когда
D\ =?>2 = ^ > 0, к\ = — /с2 = А:>0 и an =ai2 = «21 = 022 = 1) т.е.
для нелинейной системы уравнений
' дщ д2
D
и\
dU2

286 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
можно найти точное аналитическое решение в области
*Н^_ = {(х, t): — оо < х < +оо, t > 0}. Это решение соот-
соответствует волнам концентраций со стационарными профилями,
распространяющимися с одинаковой скоростью.
Действительно, будем искать решение системы (8.77) в ви-
виде щ — щ(?) и щ = иг(?), где ? = x + vt, a v = const > 0. Тогда
система (8.77) преобразуется к виду
du\
du2
В области — оо < ? < +оо рассмотрим функцию
/ X -Г U11 2
7@= '
(8.78)
зависящую от параметра а = const > 0. Дифференцируя эту
функцию, находим, что
= -*-» G*-1)
Следовательно,
V -г- — .
з^з
Если теперь параметр v, определяющий скорость волн, вы-
выбрать равным v — 5aD, то при этом получим А = 1 и

8.5. Уравнение типа, "реакция - диффузия" 287
Из этого соотношения следует, что если параметр а выбрать из
условия 6a2D = k, т.е. считать, что a= y/k/FD) и и =by/k~Djb,
то система (8.78) имеет решение щ = 7@ и щ = 1 — 7@-
Возвращаясь к переменным х и t, запишем найденное ре-
решение системы уравнений "реакция - диффузия" (8.77) в виде
(8.79)
щ(х, t) = 1-щ(х, t).
Это решение описывает стационарные волны концентраций
компонентов, распространяющиеся с постоянной скоростью
v = 5\/kD/6. При этом пространственная область, занятая
первым веществом, увеличивается, а область, занятая вторым
веществом, - уменьшается. Это согласуется с физической мо-
моделью процесса (8.77), ибо кинетика процесса такова, что про-
происходит рождение первой компоненты и уничтожение второй
при их взаимодействии.
Рассмотрим теперь один из приближенных аналитических
методов решения краевой задачи в области Q = {(x, t): O^x^l,
t ^ 0}, когда требуется найти решение системы / одномерных
квазилинейных уравнений
—г— = LJ\ г.—\- J\ \и\, U2,..., uj, х, t);
cjb их
ди2 г. 92U2
duj
дит
дГ = I~dxT+
удовлетворяющее начальным условиям
щ(х, 0) = Ui{x), O^x^l, 1 = 1,2,...,/ (8.81)

288 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
и граничным условиям
^ ^ - = ^ = 0 при * = 0;
дх дх дх (8.82)
дил дио дит
Задачу (8.80) - (8.82) можно интерпретировать, в частно-
частности, как задачу, моделирующую нестационарный процесс в
химическом реакторе с непроницаемыми стенками. Ее при-
приближенное решение найдем, проведя дискретизацию уравнений
(8.80) по временному переменному. Такой метод с переходом к
конечным разностям в уравнении лишь по одному переменно-
переменному называют методом прямых, или методом Роте. Схо-
Сходимость этого метода доказана в различных классах гладких
и обобщенных решений для широкого класса нелинеиностеи в
уравнениях системы (8.80).
Опуская доказательство сходимости и оценки погрешности
метода, изложим саму схему построения достаточно просто-
простого алгоритма приближенного аналитического решения задачи
(8.80) - (8.82). Основная идея метода прямых состоит в том,
чтобы заменить оператор дифференцирования по временному
переменному разностным отношением, считая
дщ
~dt
t=tk
Подставляя (8.83) в систему (8.80) и отбрасывая чле-
члены более высокого порядка малости, получаем полудискрет-
полудискретный аналог задачи (8.80) - (8.82) в виде последовательности
(к = 1,2,...) дифференциально-разностных уравнений для
1=1,2,...,/:
D, ^J - г"' „«(*) = -T-i „<*-¦>(*) " F?> (x) (8.84)

8.5. Уравнение типа, "реакция - диффузия" 289
с граничными условиями
du)
(к)
dx
du)
(к)
х=0
dx
х=1
= 0. (8.85)
При этом на каждом временном слое в младших членах /j урав-
уравнений (8.80) значения функций щ, U2, ¦ ¦ ¦, U[ взяты с предыду-
предыдущего временного слоя, т.е.
-'Hx), 4k-1)(x),...,uf-1)(x), х, ifc_
Итак, с помощью уравнений (8.84) с учетом условия (8.85)
(к), ,
можно последовательно находить функции иг- ух) для
к — 1,2,..., являющиеся приближениями искомых решений
Uj(a;, t) задачи (8.80) - (8.82) на временных слоях t = tj.. При
этом для каждого значения индекса г задачу (8.84), (8.85) мож-
можно решать независимо. На первом шаге при вычислении F. (х)
в качестве uj (x) следует взять начальные распределения С/г(х).
Для каждого значения г решение дифференциального урав-
уравнения (8.84), удовлетворяющее граничным условиям (8.85), бу-
будем искать в форме разложения в тригонометрический ряд Фу-
Фурье по системе ортогональных на интервале 0 < х < I функций
717Г0С
Zn{x) = cos-j-, n = 0, 1, 2,...
Записав зто разложение в виде
1^
(к)
укажем способ нахождения коэффициентов ain ¦ Для этого
(к)
функцию iy (x), входящую в уравнение (8.84), разложим в три-
тригонометрический ряд Фурье
^ (а87)
71=1

290 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
с коэффициентами, вычисляемыми по формуле Эйлера - Фурье,
о
Подставляя разложения (8.86) и (8.87) в уравнение (8.84),
получаем
п /птг\2 (fc) 1 (fc) 1 (fc-1) (к)
Di\T) uin +~ain ~~ain +У4Л
откуда находим искомые коэффициенты
(fc-1) (к)
ain ~ 2 2 ' Т~2 ¦ («-о»;
-р- + 1 rDi —p- + 1
Таким образом, приближенное решение задачи (8.80) -
(8.82) на временных слоях t = t^ = кт, к = 1,2,... найдено
(к)
в форме разложения функций и^ (х) ~ щ(х, t^) в тригономе-
(к)
трические ряды Фурье (8.86) с коэффициентами а]п , которые
определены соотношениями (8.88).
Реализация алгоритма (8.86) - (8.88) связана с нахождени-
нахождением)
ем коэффициентов Фурье функций iy (x), пересчитываемых
на каждом шаге по к. Эта задача может быть решена на ЭВМ
с использованием стандартных программ нахождения коэффи-
коэффициентов Фурье заданных функций.
С помощью предложенного алгоритма проведем расчет и
проанализируем некоторые свойства решения задачи (8.80) -
(8.82) для 1 = 2, если
2 (8.89)
h = /i(«i, щ) = А-(В + 1) ui + и\щ;
где А и В - некоторые положительные константы.

8.5. Уравнение типа "реакция - диффузия" 291
Такая диффузионно-кинетическая модель была предложе-
предложена брюссельской школой И. Пригожина и получила название
"брюсселятор". Эта модель описывает превращение двух ком-
компонентов X и Y в некотором химическом реакторе с непрони-
непроницаемыми стенками, если рождение и уничтожение компонентов
в реакторе происходит по следующей схеме:
2X + Y %ЪХ + С\ X Д. Е,
где значения констант скоростей реакций указаны над стрел-
стрелками процессов. При этом предполагается, что концентрации
веществ А и В в реакторе поддерживаются постоянными, а ве-
вещества D, С и Е некоторым образом удаляются. Кроме того,
считается, что скорости обратных реакций значительно мень-
меньше скоростей прямых. При этих предположениях кинетические
процессы в системе описываются уравнениями (8.89), где и\ и
U2 - концентрации веществ X и Y соответственно.
Приведем некоторые результаты расчетов нестационар-
нестационарных процессов с использованием модели брюсселятора. Если
значение константы В, пропорциональное концентрации этого
вещества, не очень велико, то по истечении некоторого вре-
времени установления система выходит на пространственно одно-
однородные, т.е. не зависящие от пространственной координаты,
стационарные решения щ = п[ = А и ^2 = Щ = В/А, для
которых /i(uT, щ) = /2(пГ, Щ) = 0.
Однако начиная с некоторого критического значения В —
— Bf~ пространственно однородные решения щ и щ становятся
неустойчивыми. Поэтому при В > В^ по истечении определен-
определенного времени релаксации система выходит на немонотонные
пространственно-периодические стационарные структуры, ко-
которые называются диссипативными структурами.
Пример диссипативных структур приведен на рис. 8.7, где
представлены результаты расчетов по алгоритму (8.86) - (8.88)
при следующих значениях определяющих параметров: D\ —

292 g. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
= 4,4 • Ю-3; D2 = 2,2 • 10~3; I = 1; А = 2,1; В = 5,2. В каче-
качестве начальных распределений были выбраны пространственно
однородные решения U\ = 2 и Щ = 2,3. При расчетах удер-
удерживалось JV = 21 членов ряда (8.86). Для временного шага
т = 0,1 выход на стационарное решение в виде диссипативных
структур наблюдался при к > 120.
V
А
иг
и'Г\\
1 1 ^^ ^
1 М
J
i
U 0,2 0,h 0,6 0,8 &
Рис. 8.7
Другой интересной особенностью модели (8.80) - (8.82) яв-
является возможность возникновения периодических колебаний
концентраций веществ. Такие автоколебания в химических си-
системах наблюдаются и экспериментально. В частности, одну
из первых описанных в литературе автоколебательных хими-
химических реакций называют реакцией Белоусова - Жаботинско-
го, которые наблюдали и объяснили периодическое изменение
окраски раствора протеканием в нем химических реакций.
Итак, исследования математических моделей диффузионно-
кинетических процессов показывают, что из-за нелинейности
в многокомпонентных системах реагирующих веществ могут
появляться упорядоченные, структурно-организованные состо-
состояния, а также состояния, изменяющиеся с определенной зако-
закономерностью и периодичностью. Эти состояния являются не-

Вопросы и задачи 293
равновесными и лежат вне термодинамической ветви, для ко-
которой характерны лишь стационарные бесструктурные состоя-
состояния "тепловой смерти", соответствующие максимуму энтропии
системы. Образование диссипативных структур относится к
процессам упорядоченности и самоорганизации в неравновес-
неравновесных открытых физико-химических системах, которые предста-
представляют собой предмет изучения теории самоорганизации, или
синергетики.
Вопросы'и задачи
8.1. Сформулируйте постановку одномерной задачи о плавлении
твердой фазы, занимающей полупространство х > О, при наличии тепло-
теплового потока, поступающего через поверхность х = 0.
8.2. Покажите, что задачу нелинейной теплопроводности в среде со
степенными зависимостями теплоемкости и коэффициента теплопроводно-
теплопроводности от температуры можно свести к задаче для уравнения вида (8.26).
8.3. Используя теорию размерности и подобия, определите структуру
решения сферически-симметричной задачи о влиянии мгновенного точеч-
точечного источника, сообщающего нелинейной среде количество теплоты Qo-
(П2\ 2ТЗ^ г
Ответ: u(r, t) = — I 0(j?), t) = j—, где Q - Qo/(pc).
8.4. Используя предельный переход в формуле (8.74), найдите ско-
скорость движения фронта сферической тепловой волны от мгновенного то-
точечного теплового источника в нелинейной среде без объемного поглоще-
поглощения тепловой энергии.
Ответ: v{t) = const • t
8.5. Составьте программу для ПЭВМ, реализующую алгоритм
(8.86) - (8.88) для двухкомпонентной среды (г = 1, 2).

9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
9.1. Уравнение
Колмогорова — Петровского - Пискунова
Исследуя математическую модель процесса эволюции био-
биологического вида в рамках предложенной Р. Фишером теории
генотипов, А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский и Н.С. Пискунов
в работе "Исследование уравнения диффузии, соединенной с
возрастанием количества вещества, и его применение к одной
биологической проблеме" A937 г.) показали, что задача вытес-
вытеснения одного биологического вида другим доминантным видом
на некоторой территории может быть сведена к решению па-
параболического уравнения с нелинейным младшим членом:
N(x, t)
Здесь u(x, t) — ——-— - безразмерная концентрация (плот-
ность) особей популяции, причем 0 ^ и ^ 1; к = const > 0 -
некоторый параметр задачи, который в биологической модели"
является мальтузианским параметром популяции.
Уравнение (9.1) называют уравнением Колмогорова -
Петровского -Пискунова (или КПП). Это уравнение явля-
является частным случаем полулинейного уравнения вида
В уравнении (9.2) нелинейный младший член описывает
объемные процессы генерации (F > 0) или поглощения (F < 0)
в рассматриваемой системе. Если F(u) > 0 при 0 < и < 1,
F@) = F(l) = 0, F'@) > 0, a F'(l) < 0, уравнение (9.2) на-
называют уравнением типа КПП, ибо частным случаем такой за-
зависимости, когда F'@) = k > 0, является логистический закон
генерации F(u) = ku(l — и), соответствующий (9.1).

9.1. Уравнение Колмогорова - Петровского - Писку нова 295
В биологической модели логистический закон можно объ-
объяснить следующим образом. В простой модели Мальтуса счи-
считалось, что темп роста численности популяции пропорционален
числу особей в популяции в данный момент времени, т.е.
dN
—г- = bN, b = const > 0.
at
Такой закон приводит к неограниченному экспоненциальному
росту численности: N(t) = AToexp(bi). В естественных усло-
условиях ограничение природных ресурсов (пищи, воды) приводит
к тому, что существует некоторое критическое значение чи-
численности Nm, которое может обеспечить окружающая среда.
Наличие такого механизма регуляции, зависящего от плотно-
плотности, можно учесть, считая
TT-^-nZ
В этом случае при приближении к критическому значению
наступает насыщение, и рост численности популяции прекра-
прекращается. В безразмерной форме для u = N/Nm такой закон
соответствует логистическому закону генерации в уравнении
(9.1). Диффузионное слагаемое в уравнении (9.1) учитывает
возможность миграции биологических особей в пространстве.
Полулинейное уравнение (9.2) называют уравнением
Зельдовича, если F{u) > 0 при 0 < и < 1, F@) = F(l) = 0,
F'(l) < 0, но F'@) = 0. Частным случаем такого уравнения
является уравнение (9.2) с F(u) = u2(l — и), которое использу-
используется в теории горения для описания распространения пламени.
Если же функция F(u) имеет три нуля на отрезке [0, 1],
т.е. F@) = F{a) = F(l) = 0, где a G @, 1), причем F'@) < 0,
F'(a) > 0, a F'(l) < 0, то уравнение (9.2) называют уравнени-
уравнением Семенова. Такое уравнение широко используется в мате-
математических моделях при описании автокаталитических цепных
реакций.
Проведем анализ свойств решения уравнения (9.1) для сле-
следующей постановки задачи. Пусть в начальный момент време-

296 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
ни t = О функция и = О при х < а и достигает своего макси-
максимального значения и = 1 при а; > b > а. В частном случае b = a
такое начальное распределение концентрации представляет со-
собой ступенчатую функцию Хевисайда.
\t-0
Рис. 9.1
Из такой постановки задачи очевидно, что вследствие про-
процессов генерации и диффузии область плотностей, близких к
единице, будет распространяться справа налево (рис. 9.1), уве-
увеличивая территорию, занятую доминантными особями. О та-
таком нестационарном процессе можно говорить как о распростра-
распространении волны концентрации. При этом следует ожидать, что не-
нелинейная генерация при наличии диффузии по истечении доста-
достаточно большого промежутка времени сформирует некоторый
стационарный профиль волны в переходной зоне, где 0 < и < 1.
Форма этого стационарного профиля не зависит от начального'
распределения концентрации в переходной зоне, и он перемеща-
перемещается из области с большей концентрацией в область с меньшей
концентрацией с некоторой характерной скоростью v*.
Для того чтобы определить этот стационарный профиль
нелинейной волны и ее скорость распространения, перейдем в
движущуюся систему отсчета и будем искать решение уравне-
уравнения (9.1) в форме простой бегущей волны
u(x,t) = Q(x + vt), v = const > 0. (9.3)
Тогда для функции в = 6(?), зависящей от переменного
? = х + vt специального вида, после подстановки (9.3) в (9.1)
получим обыкновенное дифференциальное уравнение
у — = -р+квA-е), (ке<1. ' (9.4)

9.2. Уравнение Колмогорова - Петровского - Писку нова 297
Это уравнение следует решать при выполнении физически
очевидных условий
9-+0, <Ю/#-+0 при ?-+-оо;
6 -> 1, dS/dt -* 0 при ? -> +оо, ' ¦ '
вытекающих из постановки задачи.
Задача (9.4), (9.5) имеет бесчисленное множество решений
с непрерывным спектром скоростей v, ограниченным снизу зна-
значением и* = 2у/к.
Для доказательства этого утверждения следует понизить
порядок уравнения с помощью подстановки р = d@/d?. Урав-
Уравнение (9.4) при этом представляют в виде системы
(м)
Учитывая, что
dp dp dQ dp
d( = d§~di=Pd§'
второе уравнение системы (9.6) можно записать в виде
Р^=ьр-кЭA-в), (9.7)
удобном для исследования на фазовой плоскости (в, р).
Таким образом, с учетом условий (9.5), решению урав-
уравнения Колмогорова - Петровского - Пискунова типа (9.3) соот-
соответствует траектория р = р@) на фазовой плоскости, которая
является интегральной кривой уравнения
dp vp — kO(l — @) .„ .
-f = -Z ^ '- 9.8
ав р
и проходит 4ejH3 особые точки этого уравнения @, 0) и A, 0).
При этом интегральная кривая должна лежать в полосе 0^ в ^ 1
и не пересекать ось абсцисс вне концевых точек (рис. 9.2).
Покажем, что такая интегральная кривая может существо-
существовать только при v > v* = 2ук. Действительно, с одной сторо-

298 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Рис. 9.2
ны, вблизи точки @, 0), т.е. для 0 < 1, искомую интегральную
кривую можно аппроксимировать уравнением прямой р = aQ,
где а = const > 0. С другой стороны, при 9 « 1 уравнение
(9.8) можно линеаризовать, если пренебречь квадратичными по
G членами по сравнению с линейными. Тогда оно примет вид
dp vp — kQ
Подставляя сюда р = ав, получаем для а квадратное уравнение
а1 — va + к = 0.
Отсюда
Следовательно, условие существования вещественного а имеет
вид
v > v* = 2у/к. (9.9)
К такому же выводу можно прийти, исследуя особую точку
@, 0) уравнения при различных значениях параметров задачи
v и к. Для этого линеаризуем систему (9.6) вблизи точки @, 0).
Тогда она примет вид линейной системы с постоянными коэф-
коэффициентами:
e
vp.
Определитель матрицы коэффициентов такой системы
6i = 0 1
—к v

9.2. Уравнение Колмогорова - Петровского - Лискунова
299
Находя собственные значения этой матрицы из условия
а\ — А
1 — А
-А
1
—к v — А
приходим к характеристическому уравнению
А2 - vX + к = 0.
Решая его, находим собственные значения
= 0,
Особая точка @, 0) фазовой плоскости является неустой-
неустойчивым узлом (рис. 9.3, а), если собственные значения Ai и Аг
вещественны и имеют один знак, т.е. когда v ^ 2\/F. Только
из особой точки такого типа может выходить искомая инте-
интегральная кривая.
При 0 < v < 2\/к~, когда Ai и Аг комплексны и не чи-
чисто мнимы, особая точка @, 0) является неустойчивым фоку-
фокусом (рис. 9.3, б). Выходящая из такой точки траектория обя-
обязательно пересечет ось абсцисс вблизи особой точки и попа-
попадет в область отрицательных значений G, т.е. покинет полосу
0 ^ 0 ^ 1. Такая траектория не может быть искомой инте-
интегральной кривой.

300 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Исследование точки A,0) фазовой плоскости показывает,
что при v ^ 2\/к эта точка является седловой особой точкой
(рис. 9.3, е), в которую под некоторым углом входит искомая
интегральная кривая.
Докажем теперь, что для интегральной кривой рассматри-
рассматриваемого вида при v ^ 2\/к выполняются условия (9.5). Действи-
Действительно, для этой кривой справедливы следующие асимптотики:
р = ав + О(в) при 9->0;
в) при 9->1, [' '
где а и с - некоторые положительные константы.
Вспомним, что р = d@/d? или d? = d9/p(G). Интегрируя
последнее соотношение, находим
0
/dO
—. о<ео<1.
Р(ву
во
Отсюда с учетом уравнения (9.7) следует, что ? —> —со при
9 -> 0 и ? -> +оо при 9-^1.
Как было показано А.Н. Колмогоровым, И.Г. Петровским
и Н.С. Пискуновым, волна, распространяющаяся с минимальной
скоростью v = и* = 2\fk, обладает важным свойством устойчи-'
вости. Это свойство состоит в том, что любой начальный про-
профиль и{х, 0) = /(ж), где 0 < f{x) < 1, /(+оо) = 1, /(-оо) = 0, а
f'{x) ^ 0, по истечении достаточно большого промежутка вре-
времени всегда принимает форму стационарного профиля, движу-
движущегося со скоростью и* = 2\/к. Форму этого устойчивого ста-
стационарного профиля можно определить из решения уравнения
(9.4) с v = и*, удовлетворяющего условиям (9.5). Аналитиче-
Аналитического решения этой задачи при v = v* не найдено, однако она
достаточно просто может быть решена численными методами.
Следовательно, для оценки скорости распространения не-
нелинейных волн в процессах, описываемых уравнением (9.1), не-
необходимо использовать значение и* = 1\/к. Примером таких
волн могут служить волны распространения популяций расте-
растений и животных или волны эпидемий.

9.1. Уравнение Колмогорова - Петровского - Писку нова 301
Важно отметить, что при одном значении v, близком к v*,
когда v = 5\/k/6 и l,02v*, точное решение уравнения (9.4),
удовлетворяющее условиям (9.5), может быть найдено в анали-
аналитическом виде.
Действительно, введем в рассмотрение функцию
+ е
которая при а > 0 и v > 0 удовлетворяет условиям (9.5).
Дифференцированием находим, что
и-о
= a u (и + 1)ш ш^ —1) (о>" ).
Поэтому при действии на функцию ш оператором
- d s
L = vTCde
получим
Lu> = — a2u (и + 1)и> (и* — 1J (и* + А),
Где А = ^Т1) - VT~Y
Пусть А = 1, т.е. v = B^ + 1) а. Тогда имеем
Ьш — a v {у + 1)ш 11 — и» ).
В частном случае, когда и = 2 и v = 5а,
Ьш = 6а ш A — ш).
Отсюда следует, что функция в(?) = и(?; \/к/6, 2) явля-
является решением задачи (9.4), (9.5) при v = 5 у/к/6.
Можно заметить также, что если А = 0, т.е. v = ua, то
о
= a
ш * A—

302 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Следовательно, в частном случае, функция
[к
где ? = х + \ I — t, является решением уравнения Зельдовича
ди д2и ,2/ ч
—¦ = —-х + к гГ A - и), к = const.
ot дхг
Это решение представляет собой бегущую волну со стационар-
стационарным профилем, распространяющуюся с постоянной скоростью
v = \Jkj2. При этом вследствие объемной генерации возмуще-
возмущений область, где и > 0, расширяется с течением времени.
Отметим, что с помощью решений вида (9.3) уравнений (9.1)
или (9.2) можно находить и исследовать асимптотические реше-
решения других нелинейных уравнений математической физики.
9.2. Уравнение Бюргерса
Волновые процессы являются эффективным средством пе-
передачи энергии и информации. Они широко используются в
науке и технике. Поэтому исследование закономерностей рас-
распространения волн различной природы является важной и ак-
актуальной задачей.
При изучении процесса распространения плоских волн раз-
различной природы в качестве исходного соотношения выберем
закон сохранения, записанный в универсальной форме
Здесь и(х, t) - некоторая характеристика состояния среды,
например плотность массы, импульса или энергии, a q - плот-
плотность потока, связанная с и и их некоторым функциональным
соотношением q = q(u, ux), конкретный вид которого зависит
от выбора физического механизма переноса массы, импульса
или энергии.

9.2. Уравнение Бюргерса 303
В случае линейного конвективного механизма переноса
q = аи, где а - некоторая постоянная. При этом уравнение
(9.11) приводится к линейному дифференциальному уравнению
в частных производных первого порядка
| + а^ = 0, (9.12)
at дх
решение которого
u{x,t) = f{x-at) (9.13)
описывает волну неизменного профиля, распространяющуюся
со скоростью а в положительном направлении оси Ох.
Если же q = q{u), то мы переходим в область нелинейных
волн, причем в первом приближении нелинейность конвектив-
конвективного механизма переноса можно учесть, считая
q = au+-bu2, а, Ь = const. (9-14)
Подставив выражение (9.14) в (9.11), получим обобщенное урав-
уравнение (9.12) в виде
ди ди , ди
+ 0+Ьи—= 0. (9.15)
at ах ах
Переходя к новым переменным х' = х — at и t' = bt, преобразуя
производные
ди ди дх' ди dt' ди ,®и
+ +
ди ди дх' ди
дх ~ а~%1~дх ~ дх1'
и опуская штрихи у новых переменных, получаем нелинейное
уравнение Римана

304 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Это уравнение имеет решение, по форме аналогичное ре-
решению (9.13), если константу а в нем формально заменить
на и. Такое решение
u{x,t) = f{x-ut) (9.17)
описывает эволюцию нелинейной волны, профиль которой в на-
начальный момент времени задан в виде и(х, 0) = f{x).
Доказательство того, что формула (9.17) определяет ре-
решение нелинейного уравнения (9.16), можно провести прямыми
вычислениями производных
ди ( ди\ . ди
ди ди
t
Поэтому
ди
ди ti ti ®и г' ti (^и
Отсюда
' ди
или
ди ди
Формула (9.17) представляет собой неявное выражение
для и. Анализ этой формулы позволяет выявить характерные
свойства нелинейной волны, одним из которых является измене-
изменение формы волны при ее распространении. Действительно, как
следует из (9.17), точки профиля волны, имеющие большие зна-
значения ординаты, движутся с большими скоростями (рис. 9.4, а).
Поэтому "вершина" волны начинает обгонять остальные участ-
участки. В результате профиль нелинейной волны при распростране-
распространении искажается так, что крутизна правого "склона " увеличи-
увеличивается (рис. 9.4, б). Наконец, наступает такой момент времени,
когда происходит "опрокидывание " волны. После этого мо-
момента времени профиль волны, описываемый формулой (9.17),

9.2. Уравнение Бюргерса
305
становится многозначным, когда некоторым значениям коор-
координаты соответствуют три значения функции и (рис. 9.4, в).
и i
t-t,
О
a
Рис. 9.4
Такая многозначность функции и в большинстве физиче-
физических моделей не может быть обоснована. Чтобы придать та-
такому решению физический смысл, можно поступить следую-
следующим образом. Многозначный непрерывный профиль нелиней-
нелинейной волны заменим профилем с разрывом (рис. 9.5), определяя
его положение х = s{t) так, чтобы разрыв отсекал области с
равными площадями (заштрихованы на рисунке).
x=s(t)
x=s(t)
Рис. 9.5
Такое разрывное решение моделирует ударную волну,
распространяющуюся в сплошной среде, если под и понимать,
например, плотность среды. При переходе через фронт ударной
волны в направлении его движения плотность среды изменяет-
изменяется скачком от ui до щ. Здесь и далее с учетом направления
движения разрыва будем обозначать индексом " величины до
точки разрыва, а индексом " - после точки разрыва. Будем
считать также, что вне точки разрыва х = s(t) функция и(х, t)
непрерывна вместе со своими первыми производными.

jt fu{x,
306 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Проинтегрируем уравнение (9.13) по х от точки x<i до точки
х\ (х2 < х\). Тогда после интегрирования получим
f ^\22 ] =0- (9.18)
Если точка разрыва х = s(t) попадает в интервал (х2, х\), то
уравнение (9.18) следует записать, выделив точку разрыва. В
этом случае
d if ? 1
— / u(z, t)dx + / u(z, t)dx\ =
*2 s{t)
= i[«2(x2,f)-«2(xbf)]. (9.19)
Проведя в уравнении (9.19) дифференцирование интегралов с
переменными пределами, получим
«@ xi
u(s->t)V+ I ^dx-u(s+,t)V+ J ^dx =
X2 S(t)
= \[u2{x2, t)-u2(xu t)], (9.20)
где u(s~, t) = щ и u(s+, t) = u\ - предельные значения функ-
функции и слева и справа от точки разрыва; V = ds/dt - скорость
распространения разрыва.
Устремим теперь точки Х2 и х\ слева и справа к точке
разрыва х — s{t). Поскольку производная du/dt ограничена в
каждом из интервалов непрерывности, то при Х2 —> s~ и х\ —>
s+ интегралы в (9.20) обратятся в нуль. Тогда из уравнения
(9.20) получим (^2 — щ) V = - (и2, — и2), или
У=1-{щ + щ). (9.21)
Формула (9.21) определяет скорость распространения разрыва
в некоторых относительных единицах измерения через значе-
значения плотности и слева и справа от точки разрыва.

9.2. Уравнение Бюргерса
307
uz
x = Vt
a
Рис. 9.6
Распространяющийся с конечной скоростью разрыв мож-
можно рассматривать как фронт ударной волны. Простейшим
разрывным решением уравнения (9.16) является ударная волна
сжатия («г > щ), имеющая форму прямоугольной ступеньки
(рис. 9.6, а)
!*(*, t) = { Щ
= const, x > Vt;
const, x < Vt,
(9.22)
фронт которой распространяется с постоянной скоростью V =
= (ui+u2)/2.
Если в механизме переноса кроме конвективной составляю-
составляющей учесть и диффузионную составляющую плотности потока
ди , п
qA = -Ст-, с = const > (J, т.е. положить в законе сохранения
(9.11)
1,2 ди
q = au+~bu -с-,
то после несложных преобразований получим нелинейное урав-
уравнение
ди ди д^и
Это уравнение в математической физике называют уравнени-
уравнением Бюргерса.
При моделировании ударных волн, распространяющихся в
сплошной среде, диффузионный член в правой части уравнения
(9.23) появляется, если учесть эффекты вязкости при движении
среды. Поэтому, исследуя свойства решения уравнения Бюр-
Бюргерса (9.23), мы можем качественно изучать влияние вязкости
среды на структуру ударной волны.

308 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Прежде всего найдем решение нелинейного уравнения
Бюргерса (9.23) в виде бегущей волны с неизменным профилем,
т.е. такое решение и — и(?), которое зависит от переменного
? = х — Vt, содержащего некоторую постоянную V, имеющую
смысл скорости распространения волны.
Потребуем выполнения следующих условий:
du
и -* Щ, -?7 -> 0 при ? ->• -оо;
U.C
у (9.24)
du
и—t щ, — —> О при ? —> +оо.
Такая постановка задачи позволяет исследовать структуру
ударной волны сжатия (9.22) вблизи ее фронта с учетом влияния
диффузионного механизма переноса (вязкости). При этом сле-
следует ожидать, что наличие диффузионного слагаемого в урав-
уравнении Бюргерса приведет к сглаживанию разрыва, и только
при v -» 0 решение будет трансформироваться к виду (9.22) с
крутым фронтом.
Действительно, профиль стационарной волны и(?) удовле-
удовлетворяет уравнению
, du du d?u
Интегрируя (9.25) один раз, имеем
-Vu + lu2 + C = v^-. (9.26)
2 di K '
Здесь С - постоянная интегрирования.
Выполняя условия (9.24), получаем
1 2 г _
- Vu2 + - и\ + С = 0.
Отсюда находим
У = -{и2+щ); С=-щи2. (9.27)

9.2. Уравнение Бюргерса 309
Из выражений (9.21) и (9.27) следует, что диффузионный меха-
механизм переноса, т.е. вязкость среды, не изменяет стационарной
скорости распространения ударной волны сжатия.
С учетом формул (9.27) запишем теперь уравнение (9.26)
в виде
(u-ui){u-U2) = 2i/—.
Отсюда, разделяя переменные, получаем
d? du
2v (u — u\)(u — щ)
Используя разложение на простые дроби
1 1 Г 1 1
(9.28)
{u-u\){u-U2) щ — щ [и - щ щ — и]'
проинтегрируем уравнение (9.28), записав его решение в виде
1v w> — и
? = In -= , u2 < и < щ. (9.29)
u<i — щ и — щ
Разрешая полученное соотношение относительно и, получаем
1 i = x-Vt. (9.30)
Решение (9.30) уравнения Бюргерса (9.23) описывает структу-
2v
ру ударной волны с шириной переходной области I =
и2 -щ
(рис. 9.6, б). При v —> 0 ширина переходной области стремит-
стремится к нулю и стационарный профиль волны (9.30) переходит в
ступенчатый профиль (9.22).
Решение (9.30) можно записать также в виде
(9-31)
щ + щ щ-щ
где V = —-—; А = — .

310 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Важный результат для уравнения Бюргерса был получен
Коулом и Хопфом, которые показали, что нелинейное уравнение
Бюргерса (9.23) с помощью замены
и = _2v д^_ ^ _^ д
ip дх дх
сводится к линейному уравнению теплопроводности
*Г-и*? (9 33)
dt~V дх2' { '
Действительно, если в уравнении (9.33) перейти от функ-
функции ip к функции ф — — 2v \тр, то с учетом преобразований
_ Ф dip 1 _ Ф дф
дх2 Av2 \дх) 2v дх2
из (9.33) получим уравнение для функции ф:
дф 1 /дф\2 _ <Рф_
dt + 2 \дх) ~U~dx^'
Продифференцировав зто уравнение по х, запишем его в виде
д_(дф\ дф_д_(дф\_ д2 (дф
dt \дх) + дх дх \дх) ~ VЪх1 [ite
дф
Теперь, обозначив производную — через и, для функции
ох
получим уравнение Бюргерса
ди ди д2и

9.2. Уравнение Бюргерса 311
Таким образом, с помощью замены Коула-Хопфа (9.32)
каждое решение <р(х, t) линейного уравнения теплопроводности
(9.33) порождает решение u(x, t) нелинейного уравнения Бюр-
Бюргерса (9.23).
Если начальное условие для уравнения теплопроводности
(9.33) выбрать в форме
ф, 0) = Ф(я) = ехр -— / F(O di , (9.34)
0
то для уравнения Бюргерса (9.23) соответствующее начальное
условие будет иметь вид
и{х, 0) = F{x), -оо < х < +оо. (9.35)
Решение уравнения теплопроводности (9.33) с начальным
условием (9.34) может быть записано в форме интеграла Пуас-
Пуассона [см. формулу B.74)]
ш(х *\ — / фГп) ехп —- —\dn С9 361
ш А -Л. й I ^ ч j^ I
После подстановки Ф(т?) из уравнения (9.34) в уравнение (9.36)
получаем
-оо
откуда
+00
gy= (-1)
дх \J \~Kvt
—оо

312 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Тогда в силу соотношения (9.32) для и(х, t) имеем формулу
+оо
edTJ
> (9-37)
dr,
—оо
где 5(т/, х, t) =
It
О
Итак, с помощью замены Коула - Хопфа найдено в виде
(9.37) нестационарное решение нелинейного уравнения Бюр-
герса (9.23), удовлетворяющее при t = О начальному условию
(9.35). Это решение описывает эволюцию профиля нестацио-
нестационарной волны, распространение которой обусловлено нелиней-
нелинейным механизмом конвективного переноса и диффузией.
9.3. Уравнение Кортевега - де Фриза
Пусть процесс распространения одномерных волн описыва-
описывается линейным дифференциальным уравнением в частных про-
производных по пространственной переменной х и времени t, име-
имеющим вид
Lu = О, (9.38)
где L - линейный дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами; и(х, t) - функция, описывающая некоторую
характеристику волны, например плотность среды, давление
или потенциал скоростей.
Будем искать решение уравнения (9.38) в форме монохро-
монохроматической волны
u{x,t) = aexp[-i(ut-kx)]. (9.39)

9.3. Уравнение Кортевега - де Фриза 313
После подстановки выражения (9.39) в (9.38) получим некото-
некоторое соотношение D{uj, k) = 0 между частотой ш и волновым
числом к, которое называют дисперсионным соотношени-
соотношением. Очевидно, что существует однозначная связь между диф-
дифференциальным уравнением (9.38) и порожденным им дисперси-
дисперсионным соотношением. В ряде случаев дисперсионное соотноше-
соотношение можно разрешить относительно частоты волны и записать
его в виде ш = ш(к).
Заметим, что наличие мнимой части у ш физически со-
соответствует изменению амплитуды волны (9.39). В случае
Imw < 0, когда амплитуда волны уменьшается, говорят о сре-
среде с диссипацией энергии волн. Если же 1тш = 0, то среду
называют недиссипирующей. При рассмотрении процесса рас-
распространения волн в активных средах, например электромаг-
электромагнитных волн в рабочих телах лазеров, возможна реализация
условия 1тш > О, когда происходит усиление волны и ее ампли-
амплитуда с течением времени увеличивается.
Если —я- ф О, то фазовая скорость волны v§ = ш/к не
совпадает с групповой vr = duj/dk. Такую среду (а иногда и са-
саму волну) называют средой с дисперсией, или диспергирующей
средой. При наличии дисперсии монохроматические волны раз-
разных частот распространяются с разными скоростями. Так как
любую сложную по форме немонохроматическую волну с про-
произвольным профилем можно представить с помощью разложе-
разложения в ряд или интеграла Фурье как сумму монохроматических
волн, то в диспергирующей среде, где эти монохроматические
составляющие распространяются с различными скоростями, их
сумма в различные моменты времени будет давать различные
профили немонохроматической волны. Дисперсия, как и нели-
нелинейность, приводит к искажению профиля распространяющей-
распространяющейся волны.
Простейшее дисперсионное соотношение ш = vqk соответ-
соответствует линейному дифференциальному уравнению
-кг + Щ ^- = 0, vq = const, (9.40)
at ox

314 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
решения которого и(х, t) = f(x — VQt) для различных / описы-
описывают распространение недиспергирующих волн.
Более сложное дисперсионное соотношение и = vok — (Зк
соответствует линейному уравнению с дисперсией
~Ы +V° Ъ~ + ^fl~3 = °' и0 = const; /3 = const. (9.41)
Одновременный учет дисперсии и нелинейности приводит к
уравнению
ди ди дРи
которое называют уравнением Кортевега - де Фриза (или
КдФ).
Впервые уравнение (9.42) было получено Кортевегом и его
учеником де Фризом в 1895 г. при описании распространения
длинных волн на воде в прямоугольном канале со свободной по-
поверхностью. В такой гидродинамической модели под и следу-
следует понимать смещение поверхности жидкости от равновесного
уровня.
В настоящее время уравнение КдФ стало универсальным
уравнением математической физики при моделировании волно-
волновых процессов различной физической природы с учетом диспе-
дисперсии и слабой нелинейности.
Замечание 9.1. Путем простых масштабных преобразований коор-
координаты, времени или искомой функции уравнение КдФ можно записать
также в следующей форме:
ди ди д3и „
-S7 + аи - + я""? = °' а = const-
dt ох д3
В литературе используются различные нормировки, отвечающие значени-
значениям <х = 1, <т = 6и<7= -6. #
Важной особенностью уравнения (9.42) в классе быстро-
убывающих на бесконечности функций является существование
бесконечного набора сохраняющихся величин вида
+оо
In= wn{v,Vx,---)dx, n = l, 2,...,
-оо

9.3. Уравнение Кортевега - де Фриза 315
где wn(r), r]xi . ..) - плотность сохраняющейся величины, завися-
зависящая от и и ее производных по х\ rj = C~ и. Приведем несколько
первых плотностей:
1 4 о 2 9 2
и>4 = - г] - Зщ + - г)
4 о 2 2
= - г] - Зщх + - г)хх.
Наличие бесконечного числа законов сохранения позволяет сде-
сделать вывод об интегрируемости уравнения КдФ в явном виде.
Приступая к поиску волновых решений уравнения КдФ,
можно ожидать, что искажение профиля волны вследствие кон-
конвективной нелинейности может быть скомпенсировано измене-
изменением профиля распространяющейся волны, вызванным эффек-
эффектами дисперсии. Предполагая возможность такой компенсации,
будем искать решение уравнения КдФ в виде бегущей волны со
стационарным профилем. Для этого произведем замену пере-
переменного ? = х — vt и преобразуем уравнение (9.42) в уравнение
для функции и = и(?):
du du d и
" O (M3)
где v — const; /3 = const.
Это уравнение можно проинтегрировать, понизив его по-
порядок. В результате интегрирования получим
1 2 od2u
—vu -\— и + р —2 = а, а = const.
Умножая это уравнение на du/d? и интегрируя полученное со-
соотношение, находим
~и2 + -и3 + - ( -^ ) =au + b, b = const. (9.44)
2 6 2 \dtJ
Уравнение (9.44) можно привести к следующей форме:
3/?U:J =F(u)) (9-45)
где F(u) = -u3 + Sv u2 + 6au + 66.

316 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Кубический трехчлен F(u) целесообразно записать в виде
F(u) = (щ — и) (щ — и) (щ — и), обозначив через щ, щ и и^
корни уравнения F(u) — 0. При этом
щ + U2 + Щ UiUQ + г12ОД-. "j-i ,
ъ ; а = ъ ; ь==
6
Полагая, что все три корня действительны, причем
иЗ ^ и2 ^ иь запишем уравнение (9.45) в виде
30 {щ) =("l-u)(-")(-")- (9.46)
Поскольку выражение в левой части (9.46) положитель-
положительно при /3 > 0, то функция и может изменяться в интервале
и2 ^ и ^ и1-
Предположим сначала, что u<i = ^з = 0, а щ = 3v > 0. В
этом случае из (9.46) следует уравнение
из которого, разделяя переменные и интегрируя, находим
- U
Вычисляя квадратуру, получаем
(9.47)
Константу ^о положим равной нулю. В этом случае точка ? = 0
будет соответствовать максимуму функции и, так как и@) = щ
при ^о = 0- Тогда из уравнения (9.47) находим
щ ~ \ 2 V 3/3 )

9.3. Уравнение Кортевега - де Фриза
317
или
(9.48)
Возвращаясь к переменным х и t, запишем найденное реше-
решение уравнения КдФ в виде нелинейной волны неизменной фор-
формы
ф, t) =
(9.49)
Здесь А — щ - амплитуда волны; v = А/3 - скорость волны;
Д = у/12C/А - параметр, характеризующий эффективный раз-
размер области возмущения, где и > О, ЪА.
Такое решение (9.49) уравнения КдФ называют уединен-
уединенной волной, или солитоном. Профиль уединенной волны
изображен на рис. 9.7.
Такое возмущение колоколообразной формы, не изменяю-
изменяющейся со временем, распространяется в виде солитона с конеч-
конечной скоростью v — А/3, значение которой зависит от амплиту-
амплитуды солитона. Чем больше амплитуда солитона, тем с большей
скоростью он движется. Зависимость скорости распростране-
распространения от амплитуды характерна для всех нелинейных волн, в том
числе и для нелинейной уединенной волны (9.49). Эффективная
ширина Д солитона уменьшается с ростом его амплитуды.
Учитывая, что уравнение (9.43) инвариантно относительно
замены
и —> и + uq, v —»¦ v + uq, iiq = const,

318 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
можно записать также решение уравнения КдФ в виде уеди-
уединенной волны, бегущей по ненулевому фону:
„(x,t)=»0+.4ch->U [»-(«.+ J)t] • (9.50)
В более общем случае, когда все три корня уравнения
F(u) = 0 отличны от нуля, после интегрирования уравнения
(9.46) получаем
и(О = и2 + (щ - и2) en2 (tj\~, *), (9.51)
2 Щ - U2
где параметр s определяется выражением s = .
щ -щ
Специальную функцию w = cn(z, s) называют эллипти-
эллиптической функцией Якоби или эллиптическим косинусом.
Эта функция определяется неявным образом с помощью элли-
эллиптического интеграла первого рода
= г
W
d(p
о vT-^^V
Решение (9.51) называют кноидалъной волной. Эта
волна является пространственно периодической структурой
(рис. 9.8), и ее период по пространственному переменному, т.е.
длина волны,
у «1 - из
Здесь К(s) - полный эллиптический интеграл первого рода,
я/2
dip
о

9.4. Многосолнтонные решения уравнения Кортевега - де Фриза 319
U
О 4
Рис. 9.8
В предельном случае, когда из и г*2 стремятся к нулю, па-
параметр s стремится к единице, а так как при s —> 1
1
16
1
,
то расстояние между соседними максимумами кноидальнои вол-
волны неограниченно возрастает (Л —»¦ оо) и каждый из них пре-
превращается в одиночный солитон.
9.4. Многосолитонные решения
уравнения Кортевега - де Фриза
В численном эксперименте с применением ЭВМ, выпол-
выполненном в 1965 г. М. Крускалом и М. Забуски, было исследова-
исследовано "столкновение" двух солитонов с разными амплитудами, ко-
когда быстрый солитон обгоняет медленный. Оказалось, что по
мере сближения в результате взаимодействия солитоны начи-
начинают обмениваться амплитудами и скоростями. При этом при
столкновении не наблюдается неупругих эффектов. Быстрый
солитон как бы проходит сквозь медленный без нарушения их
формы. После столкновения возникают точно такие же по фор-
форме солитоны, что и до столкновения. Это свойство солитонов
сохранять свою форму при взаимодействиях позволяет назвать
солитон "частицеподобным" решением уравнения КдФ.

320 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Удивительно, но процесс взаимодействия солитонов удает-
удается описать точным аналитическим решением уравнения КдФ
ди ди л д и
— + и — + C -х-* = 0.
от ох ох6
Сделаем подстановку
являющуюся определенным обобщением подстановки (9.32) Ко-
ула - Хопфа.
Тогда после преобразований получим для функции F(x, t)
сложное нелинейное дифференциальное уравнение в частных
производных четвертого порядка
Эх \dt +fj Эх*)
2 dF dF] , пл
Особенность уравнения (9.53) состоит в том, что оно имеет
характерную форму, содержащую оператор
д Йд3
dt +Р
Поэтому можно заметить, что простая функция с зкспонентой
F{x, *) = l+/ = l+exp(-0), (9.54)
удовлетворяет уравнениям
9L я—-п fd2F\2 dF d3F
dt+fjdx3~' \дх2) ~дх~дх3''
где в = а (х — s) — a Ct; a, s = const. Поэтому функция (9.54)
является также решением уравнения (9.53). Если теперь в со-
соответствии с формулой преобразования (9.52) найти решение

9.4. Многосолитонные решения уравнения Кортевега - де Фриза 321
уравнения КдФ, порожденное функцией F(x, t) из (9.54), то
его можно представить простой формулой
-30С {^)
которая при 3/?а2 = А = const описывает одиночный солитон
(9.55)
где v = (За = А/3; Д = у/12C/А, сдвинутый вперед на величи-
величину s относительно "стандартного" солитона (9.49). Величина s
представляет собой координату центра (максимума) солитона
при t — 0. Ее часто называют фазой солитона. Амплитуда А
и фаза s полностью определяют солитон. Поэтому в дальней-
дальнейшем мы будем использовать символ Sol(_A, s) для обозначения
уединенной волны. (9.55).
Для нахождения более сложного по структуре решения
уравнения КдФ, описывающего взаимодействие двух солито-
нов, воспользуемся методом возмущений в теории взаимодей-
взаимодействия. Для этого представим функцию F в виде разложения в
Ряд
F = 1 + eF^ + e2F^ + ... (9.56)
по некоторому формально введенному параметру е, который
после преобразований можно положить равным единице.
Подставляя (9.56) в (9.53) и собирая члены при одинаковых
степенях е, получаем цепочку уравнений
(9-57)
д
дх\ dt
и т.д.

322 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Если в качестве F^' выбрать сумму двух экспонент, поро-
порождающих солитон, т.е. считать, что
F{1) = /1 + /2, fj = exp[-aj(x - Sj) + apt], j = 1, 2,
то уравнение (9.57) тождественно выполняется, так как каждое
из fj является его решением.
Второе соотношение (9.58) этой цепочки дает уравнение
для определения функции F^ '. Оно имеет вид
{ + Р) ЗМ(JЛ/2. (9.59)
Будем искать его решение в виде F^ > = -6/1/2, гДе В -
некоторая постоянная, которую требуется определить. Диф-
Дифференцируя, находим
= a\0Bf\h +
д
дх\ at ^
= [-(a? + а]) + (a! + a2K] (ai + a2) /ЗБ/1/2 =
= 3/3aia2 (a\ + a2) -B/i/2-
Тогда с учетом (9.59) получаем
в= (а2-с*1J
В остальных уравнениях цепочки для функций F^ при
к > 2 правые части обращаются в нуль, давая результат
= 0 для всех к > 0. Поэтому функция
(9.60)

9.4. Многосолитонные решения уравнения Кортевега, - де Фриза 323
является точным решением уравнения (9.53).
Теперь, используя преобразование (9.52), находим соответ-
соответствующее точное решение уравнения КдФ в виде
u ?/i + i/2 Bi)/i/2
Здесь
f^] j = 1, 2; В =
Проведем анализ полученного решения. Покажем, что это
решение близко к уединенной волне (9.55) с a = а j в тех обла-
областях плоскости состояний (х, t), где fj « 1, а /j (г ф j) либо
велико, либо мало. Действительно, проводя предельные перехо-
переходы в (9.61), получаем:
а) если /j « 1, а /i < 1, то
Это решение соответствует солитону Sol(.4j,
б) если fj к 1, а /; » 1, то
а2/,-
Такое решение описывает сдвинутый по фазе солитон
sj), где
s, = Sj -\ In В.
ay
ay
В области, где /j й 1 и /г й 1, происходит взаимодействие
солитонов и функция u(x, t) сложным образом зависит от х и t в

324 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
соответствии с выражением (9.61). В области плоскости (х, t),
где /i и /г обе малы или велики, имеем и ~ 0.
Опишем теперь с помощью уравнения (9.61) взаимодей-
взаимодействие уединенных волн. Пусть для определенности а2 > а\ > 0,
a si > S2, так что "быстрый" солитон с большей амплитудой
находится сначала левее "медленного" солитона, догоняя его.
При t —> —оо область взаимодействия солитонов отсут-
отсутствует (рис. 9.9, а), и уравнение (9.61) описывает две волны.
Центр уединенной волны с амплитудой А\ находится в точке
х — s\ + a\(lt, вблизи которой /i ~ 1, а /г < 1. Центр уединен-
уединенной волны с амплитудой A<i > A\ находится левее в точке
п
х = s2 In — + al/3t,
а2 \a2-ai/
вблизи которой /2 ~ I, a /i ~3> 1. В остальных точках и « 0.
Hf-
и
t=r
Рис. 9.9

9.4. Многосолитонные решения уравнения Кортевега, - де Фриза 325
При t ->¦ +00 имеем следующую картину (рис. 9.9, в): центр
уединенной волны с амплитудой А\ находится в точке
вблизи которой /i ~ 1, а /2 » 1; центр уединенной волны с
амплитудой Лг находится правее в точке х =¦ S2 + c\^t, вблизи
которой Д < 1, а /г « 1. В остальных точках и яз 0.
Взаимодействие солитонов (рис. 9.8, б) происходит в окре-
окрестности точки
_ a\s\ \
Х ~~ 2
s\ - S2
в момент времени t = т, где т = я
/3(|
/(|f)
После столкновения образуются снова два солитона с теми
же амплитудами и скоростями, что и до столкновения. Изме-
Изменяются лишь фазы этих солитонов. "Быстрый" солитон в ре-
результате столкновения получает дополнительный сдвиг вперед
на величину
а "медленный" солитон сдвигается назад на величину
Более общий метод решения уравнения КдФ, который на-
называют методом обратной задачи рассеяния, основан на исполь-
использовании свойств решения линейного уравнения Шредингера
+ [А - и(х, t)]ip = Q, A = const,
в котором в качестве потенциала силового поля выступает
функция и(х, t), являющаяся решением уравнения КдФ.

326 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Методом обратной задачи рассеяния показано, что
ЛГ-солитонное решение уравнения КдФ, описывающее взаимо-
взаимодействие N солитонов, может быть также найдено по формуле
(9.52), где
и выражается через определитель матрицы размером N х N с
матричными элементами
Fran —
2аг
Im-
Здесь Smn - символ Кронекера, соответствующий единичной
матрице, a fm = exp[-am (x - sm) + о^/З*].
В частном случае N = 2 имеем
det Fmn =
2q2
«2
a\ + Q2
/2 1 + /2
•Л
= 1 + /l + /2 + /l/2 -
/l/2 = l + /l + /2+r . aithf2,
(q2
что совпадает с решением (9.60) для двух солитонов.
Асимптотически ЛГ-солитонное решение при |t| —>¦ 00 рас-
распадается на сумму N солитонов, расположенных при t —>¦ — 00
в порядке убывания их амплитуд и скоростей, а при t —>¦ +00
- в порядке возрастания амплитуд и скоростей.
Первое качественное описание уединенной волны на по-
поверхности неглубокого канала было дано в 1844 г. морским ин-
инженером Скотт-Расселем. В 1958 г. Р. Сагдеев показал, что
в плазме также могут распространяться возмущения в виде
уединенных волн. Солитоны описывают решения нелинейных
уравнений во многих задачах физики плазмы, физики твердо-
твердого тела, гидродинамики, квантовой теории поля, биофизики,
химической кинетики и др.

9.4. Многосолитонные решения уравнения Кортевега - де Фриза 327
Именно устойчивость солитонов по отношению к измене-
изменению формы позволила специалистам по волоконной оптике пред-
предложить использовать нелинейные эффекты для подавления дис-
дисперсии волн и получения коротких солитонных импульсов в
оптических линиях связи. Расчеты показали, что это позволяет
увеличить скорость передачи информации по линиям оптиче-
оптической связи на несколько порядков. Есть основания даже утвер-
утверждать, что природа давно выбрала такой способ передачи ин-
информации с помощью импульсов-солитонов в нервных волокнах.
Решения в виде уединенных волн были обнаружены для
большого числа других физически интересных нелинейных
уравнений математической физики. Среди них можно отме-
отметить нелинейное уравнение Шредингера (или НУШ), которое в
безразмерной форме имеет вид
| 0J|^.-O. (9.62,
Это уравнение описывает распространение модулированных
волн в кристаллах и оптических волокнах, ленгмюровских волн
в плазме, тепловых волн в твердых телах, волн возбуждения в
молекулярных цепях и другие процессы.
Решения в виде уединенных волн обнаружены также и у не-
нелинейного уравнения синус-Гордона (уравнение sin-Гордон)
д2и &и
+i;0' (9-63)
описывающего, например, протекание тока Джозефсона че-
через участок между двумя сверхпроводниками, распространение
волн намагниченности в ферромагнетиках или движение дис-
дислокаций в кристаллах.
Все это позволяет сделать вывод о том, что теория нели-
нелинейных волновых процессов, рассматривающая взаимодействие
волн различной природы, является актуальным направлением
математической физики.

328 9. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Вопросы и задачи
9.1. Опишите механизм "опрокидывания" волн в условиях нелинейно-
нелинейного конвективного переноса.
9.2. Для диспергирующей волны, описываемой дисперсионным соот-
соотношением ш = vok — /ЗА;3, определите разность фазовой и групповой скоро-
скоростей.
Ответ: 1>ф - игр = 2/3/с2.
9.3. Преобразуйте уравнение Кортевега- де Фриза (9.42) к виду
ди ди д3и
от дх дх3
9.4. Покажите, что модифицированное уравнение Кортевега -
де Фриза
ди 2 ди д3и
от дх дх3
имеет солитонное решение
и(х, t) = \/бс ch~1[y/c(x — ct)), с = const.
9.5. Используя соотношение (9.61), составьте программу для ПЭВМ,
позволяющую наблюдать на дисплее взаимодействие двух сталкивающихся
солитонов.

Приложение 1. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
И ЕЕ СВОЙСТВА
Дельта-функция 6(х) была введена в математическую фи-
физику П. Дираком для описания сосредоточенных воздействий.
В нестрогой форме она определялась как "странная" функция,
равная нулю всюду, кроме одной точки, где она равна беско-
бесконечности, причем интеграл от этой функции равен единице.
Позже в работах С.Л. Соболева, Л. Шварца, И.М. Гельфан-
да и других авторов была разработана теория обобщенных
функций. В этой теории было показано, что дельта-функция
не может быть определена как классическая функция, однако
как обобщенную функцию ее можно определить строго мате-
математически.
В частности, к понятию дельта-функции как обобщенной
функции можно прийти, рассматривая ее в качестве предела
функциональных последовательностей, обладающих определен-
определенными свойствами.
Рассмотрим, например, последовательность {дп} = S\(x),
д2{х),... ,6п(х),... кусочно-постоянных функций, определен-
определенных в интервале -сю < х < +сю по правилу
= {
п/2, если
0, если х\
\х < 1/п;
> 1/п.
1
л
С
1 +
п
X
Можно заметить, что при любом значении п функция дп(х)
обладает рядом свойств.

330 Приложение 1. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
1. Условие четности:
8п{х) = ёп(-х).
2. Условие нормировки:
+0О
/ Sn(x)dx = 1.
—оо
3. Для любой непрерывной функции f(x)
+00
f{xNn(x)dx='f(x)t
—00
Действительно, с использованием теоремы о среднем зна-
значении получаем
+00
1 Г
—оо
-1/п
Здесь х - некоторая точка внутри интервала (—, +— ), такая,
_ \ п п/
что х ->¦ 0 при п -> оо.
4. Справедливо соотношение
п
где
X
Г
—оо
' 0, х < -1/п;
1
2 '
1, х > 1/п.

331
Следует отметить, что при п -? со функция Фп(х) стре-
стремится в пределе к ступенчатой функции Хевисаида ^(х), т.е.
Свойствами 1 - 3 обладают также другие последовательно-
последовательности функций 6п(х), которые можно назвать локализованными
вблизи точки х = 0 нормированными последовательностями:
6п(х) =
п — п\х\, \х\ < 1/п;
О, |х| > 1/п;
6п(х) =
п
— A + cosnirx),
\х\ < 1/п;
[ 0, |*| > 1/п;
п * я
А
п
- схэ < х < +оо;

332 Приложение 1. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
njYx
— 00 < X < +ОО.
Бели у рассмотренных выше локализованных нормирован-
нормированных последовательностей функций 5п(х) устремить п к беско-
бесконечности, то мы придем к соотношению
lim 5n(x) =
n-*oo ^ oo, re = 0,
которое показывает, что предельный элемент этих функци-
функциональных последовательностей не является, вообще говоря,
функцией в классическом понимании. Поэтому предел при
п -» со следует понимать не в смысле равномерной сходимо-
сходимости, а в смысле слабой сходимости последовательности.
Говорят, что последовательность {0п(а:)} сходится слабо
на интервале (о, Ь), если для любой непрерывной функции f(x)
существует предел
lim / f(x)en(x)dx= f f{x)S(x)dx,
n—юо J J
который и определяет предельный элемент в(а:) слабо сходя-
сходящейся последовательности {вп(х)}, даже если этот предельный
элемент не является функцией в классическом смысле.
Итак, назовем предельный элемент, к которому в случае
слабой сходимости сходятся рассмотренные выше локализован-
локализованные нормированные последовательности {5п(х)}, обобщенной
дельта-функцией и обозначим ее символом 6(х).

333
Свойства 1-3 функций 6п(х) не зависят от значения п. По-
Поэтому эти свойства можно приписать и предельному элементу,
т.е. считать, что
6(х) = 6(—х)\
= 1 (П1)
—оо
или для произвольного интервала (о, 6)
6
/0, о6>0;
й(х) dx — <
v ' \ 1, о < 0 < Ъ.
а
f
/
При этом для любой непрерывной функции /(х) выполняется
интегральное соотношение
+ 00
J f(xN(x)dx = f@). (П2)
—оо
Формулу (Ш) можно рассматривать как следствие форму-
формулы (П2) при /(х) = 1. Поэтому интегральное соотношение (П2)
следует выделить как основное свойство дельта-функции, рас-
рассматривая фактически формулу (П2) как определение дельта-
функции в случае слабой сходимости и понимая ее как
+00
lim [ f(xNn(x)dx = f{0).
I—ЮО J
n-too
— 00
Благодаря необычным для классической функции свой-
свойствам, дельта-функция выделяет окрестность точки х = 0.
Именно как предельный элемент последовательности сосредо-
сосредоточенных вблизи точки х = 0 функций, эффективная "ширина"
которых А -> 0, а "высота" h -> с», дельта-функцию можно

334 Приложение 1. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
представить в виде, изображенном на
рис. Ш.
Учитывая свойство 4 рассмотрен-
рассмотренной последовательности кусочно-пос-
кусочно-постоянных функций и проводя предель-
предельный переход п -» оо, можно получить
формулу
1
Л
\
1
0
Рис.
ТТ1
X
= —, ф)
_ Г О, х < 0;
11, х>0,
которая определяет обобщенную дельта-функцию как произ-
производную разрывной функции Хевисайда. Естественно, что и эту
формулу следует понимать как предельную в смысле слабой схо-
сходимости.
Наряду с дельта-функцией 5(х) для описания сосредоточен-
сосредоточенного воздействия в точке х — xq вводят дельта-функцию вида
5(х — xq), определяемую интегральным соотношением
+00
f(xN(x-xo)dx = f(xo), (ПЗ)
— 00
где f(x)- любая непрерывная функция.
Заменой переменного в уравнении (ПЗ) можно показать
справедливость формулы
6(ах — Ь) = -5(х ), о = const, b = const; а ф 0.
а V а/
Аналогично вводится пространственная дельта-функция
6(М, Mq), M, Mq 6 iH . Основным свойством, определяющим
такую обобщенную функцию, является интегральное соотно-
соотношение
fff
JJJ
п
//(A^b), Af0 6 П;
10, Mq &П,

335
где /(М) - непрерывная в области П функция. При этом
область П может совпадать со всем пространством ?Н .
Для /(М) = 1 имеем
Г 1, Мо 6 П;
/ о(М, Mo)dV = <
J [0, Mq # П.
п
При записи дельта-функции в ЛГ-мерном пространстве
(N = 2, 3) будем использовать обозначения ?дг(М, Mq) и ^дг(М),
если точка Мо находится в центре выбранной системы коорди-
координат.
В прямоугольных декартовых координатах справедливы
следующие представления двумерной и трехмерной дельта-
функции через одномерные:
62(М, Мо) = 6(х - х0) 6(у - уо);
= 6(х - xq) 5(у - уо) 5(z - zq).
Напомним, что в классе функций, которые на отрезке
[—I, +1] можно разложить в тригонометрический ряд Фурье
°0 V4 ( П1ГХ . П1ГХ\
9{х) = Т + 2^ Pn cos ~7~ + bn sm~r '
1 п=Л ' ' '
коэффициенты разложения ап и bn определяются по формулам
Эйлера - Фурье
+/
1 /" П7ГХ
ап = - I д{х) cos—j-dx;
, пжх
sin -у- dx.

336 Приложение 1. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
Действуя формально, положим в выражениях (П4) д(х) =
= 6(х — xq), где хо ? (—/, +/). Тогда для коэффициентов разло-
разложения дельта-функции получим
+1
1 Г с, ч ПЖХ , 1 П7ГХ0
On = у / о{х — xq) cos —г— ах = - cos —-—;
-/
+1
1 [ г/ ч . пжх 1 .
S(x- Xq) Sin -y- dx=j Sin у
Таким образом, с учетом этих формул можно записать сле-
следующее разложение на отрезке [—I, +1] дельта-функции
5(х — xq) в тригонометрический ряд Фурье:
.. .11 v~* / П7ГХ0 ПЖХ . ПЖХП . ПЖХ\
д(х — Хп) = (-7 ) COS COS —: h Sin 81П —-— 1 =
v Ul 21 I *¦* \ I I I I )
n=l
1 1 Y~* П7г(х - xq) . . .
= 2i + l^C°S 1 ' IflGD+1)- (П5)
В комплексной форме это разложение можно представить в виде
л +ОО
Аналогичным образом на отрезке [О, I] можно записать раз-
разложение дельта-функции в тригонометрические ряды по коси-
косинусам или синусам:
. 12 ^—ч П7ГХ0 ПЖХ . . /тт_.
6(х - х$] = у + 7 i_j cos —/— cos ~T~' x° e ' ' '• ( '
n=l
-, xo 6@,0. (П8)
71=1 ' '

337
Соотношения (П5) - (П8) следует рассматривать как равен-
равенства в классе слабо сходящихся функций, т.е. в соответствии с
интегральным соотношением (ПЗ). Покажем, например, что
для обобщенной функции, представленной рядом (П8), выпол-
выполняется интегральное соотношение (ПЗ). Для этого рассмотрим
непрерывную функцию f(x), которую можно на отрезке [О, I]
разложить в тригонометрический ряд Фурье
00
>= xe«U),
2 f .. . . птгх , _
где fn = у / /(х) sm —у— ах. Тогда с помощью
О
тегрирования ряда находим, что
2 V^ • ппхО ¦ П7ГХ
sm an
mf an
n=1
ЕГ2 [ . ПТГХ 1 . П7ГХ0
у / f(x)sm — dx\ sm—— =
П=1 n
n=l
П7ГХ0
Но это и означает эквивалентность левой и правой частей
равенства (П8) в смысле выполнения определяющего дельта-
функцию интегрального соотношения
I
/(я) 5{х - xQ) dx = /(х0), xq e @, I).
О
Переходя в уравнениях (П5) и (П6) к пределу при I -> оо, можно
получить разложение дельта-функции в интеграл Фурье
оо
/¦
х -
— — / cosш(х - xq) du,
Я" У

338 Приложение 1. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
или
+ОО
(х - х0) - —
—оо
В классе слабосходящихся функций следует также рассма-
рассматривать и разложение дельта-функции в ряд Фурье по полной
и ортогональной на некотором отрезке [а, Ь] системе функций
{Фп (х)} ¦ Коэффициенты такого разложения вычисляют по фор-
формуле
/ *()^@* ^ е (а, 6).
ГГ772 / *(я-яо)^п(а0(*я = 777^">
\Ы\ { \\Фп\\
Поэтому в соответствии с теоремой Стеклова можно записать
следующее разложение:
оо оо / ч / ч
71—1 Л=1 11 т Я11
Разложения (П5) - (П8) и (П9) используют при решении за-
задач математической физики.

Приложение 2. ЗАДАЧА
ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
При решении краевых задач математической физики мето-
методом разделения переменных отыскание координатных функций
сводится к задачам на собственные значения с соответствующи-
соответствующими граничными условиями. Поэтому изложим некоторые общие
сведения о свойствах решений таких задач.
Пусть задан линейный дифференциальный оператор L,
действующий на функцию у(х) по правилу
где р(х) > О, q(x) ^ 0 - непрерывные на отрезке [а, Ь] функции.
Обозначим через Ъ класс функций, которые непрерывны
на отрезке а ^ х ^ Ь вместе со своими производными вплоть до
второго порядка включительно и удовлетворяют в граничных
точках х — а и х = Ь условиям вида
Г -ац/(а)+/?1У(а)=0;
\
где ai>2, /3i_2 = const ^ 0, причем а\ + 0{ ^ 0 и а\ + fi\ ф 0.
Установим некоторые свойства оператора L. Пусть
6
(Ly,z) = Jb[y(x)}z(x)dx, (П10)
a
где функции у(х) и z(x) взяты из класса Ъ. Интегрируя дважды
по частям, получаем
(Ly, z) = (у, Lz) + \p(x) (yz' - zy')\ \ (П11)
a

340 Приложение 2. ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
Непосредственной проверкой можно установить, что из
граничных условий для функций у(х) и z(x) следуют соотно-
соотношения
у(а) z'(a) - z{a) y'(a) = 0, у(Ь) z'(b) - z(b) y'(b) = 0.
Но тогда из уравнения (П11) вытекает, что для любых функций
у(х) и z(x) из класса Ъ справедливо равенство
(Ly, z) = (у, Lz), (П12)
означающее, что оператор L для функций из класса Ъ является
самосопряженным оператором.
Аналогично устанавливается также, что для функций у(х)
из этого класса (Ly, у) ^ 0. При этом знак равенства имеет
место, когда q(x) = 0 и C\ = /Зг = 0.
Будем искать решения линейного дифференциального урав-
уравнения второго порядка
L[X(x)] = Хр(х) Х(х), а<х<Ь, (П13)
удовлетворяющее однородным краевым условиям
л , (П14)
\a2X'(b)+foX(b) = 0. '
Здесь А - некоторая постоянная; р(х) > 0 - заданная непрерыв-
непрерывная функция, которую будем называть весовой функцией.
Задача (П13), (П14) при любых значениях А имеет реше-
решение Х(х) = 0. Однако существуют значения параметра А, при
которых эта задача имеет нетривиальные решения. Такие зна-
значения параметра А называют собственными значениями задачи,
а соответствующие им нетривиальные решения - собственными
функциями. При этом однородную задачу (П13), (П14) наотыс-
каяие собственных значений и собственных функций называют
задачей Штурма - Лиувилля.

341
Перечислим основные свойства собственных значений и
собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.
1. Существует счетное множество Ai, A2, -.., АП)... соб-
собственных значений и соответствующих им линейно независи-
независимых собственных функций Xi(x), Хг(ж), • • •, Хп(х),... задачи
(П13), (П14). При этом собственные функции определены с точ-
точностью до произвольной константы.
2. Все собственные значения задачи (П13), (П14) неотри-
неотрицательны.
Для доказательства этого свойства умножим обе части то-
тождества
Z/[Xn(x)] = Хпр(х)Хп(х)
на Хп(х) и проинтегрируем результат по х в пределах от а до
6. Тогда с учетом обозначения (П10) получим
6
(LXn, Xn) = \njp{x)X2n{x)dx.
а
Поскольку (LXn, Xn) ^ 0, а интеграл в правой части положи-
положителен, то An ^ 0.
Замечание П2.1. Для граничных условий первого и третьего рода
все собственные значения всегда положительны. Для условий второго рода
@1 = /32 = 0) при q(x) = 0 число Л = 0 является собственным значением
задачи Штурма - Лиувилля (П13), (П14), а Хо = 1 - отвечающей ему соб-
собственной функцией. #
3. Собственные функции Хп(х) и Хт(х), отвечающие раз-
различным собственным значениям Ап и Ат, ортогональны на от-
отрезке а ^ х ^ Ь с весом р(х), т.е.
Ь
/ р(х) Хп(х) Хт(х) dx - 0.
а
Для доказательства этого свойства рассмотрим два тожде-
тождества
Сп(х)} = Хп р(х) Хп(х);
L[Xm(x)] = Xmp{x)Xm(x).

342 Приложение 2. ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
Умножим первое из них на Хт(х), а второе на Хп{х) и вычтем
из первого результата второй:
L[Xn(x))Xm(x)-L[Xm(x))Xn(x) = (Хп-Хт)р(х)Хп(х)Хт(х).
Интегрируя полученное равенство по ж в пределах от о до Ь и
учитывая обозначение (П10), получаем
(LXn, Хт) - (Хп, LXm) = (Ап - \m)Jp(x) Xn(x) Xm{x) dx.
В силу свойства (П12) самосопряженности оператора L ле-
левая часть этого равенства равна нулю, а так как Ап ф Хт, то
равен нулю интеграл в правой части.
Таким образом, если Х\(х), Л^ж),..., Хп(х), ... - система
собственных функций задачи Штурма - Лиувилля (П13), (П14),
то
{О, тфщ
2
11М
Здесь величина
о
есть норма собственной функции Хп(х).
4. Всякая функция из класса Ъ разлагается в ряд Фурье по
собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля, абсолютно
и равномерно сходящийся на отрезке [а, Ъ] (теорема разло-
разложимости Стеклова). При этом рядом Фурье функции f(x)
по системе собственных функций задачи (П13), (П14) называ-
называется ряд
00
n=l

343
в котором коэффициенты Фурье сп вычисляются по формулам
Ь
С" = iiv ц2 / P(x)f(x)xn(x)dx.
\\Xn\\ Ja
5. Система собственных функций является полной в клас-
классе ?2.
Обозначим через ?2 класс функций, интегрируемых с ква-
квадратом с некоторым весом р(х) на отрезке [а, Ь]. Тогда если
д(х) G ?г, то
Ь
р(х)д (x)dx < +оо.
а
о
/¦
Ортогональную на отрезке [а, Ь] с весом р(х) систему функ-
функций tpi (х), <Р2(Х), ¦ ¦ ¦ > Уп^)) • • • назовем полной в классе ?2) если
оо
для любой функции д(х) из класса ?2 найдется ряд \] CnVnl^)
п=1
с некоторыми коэффициентами сп, сходящийся к д(х) на [а, Ь]
в среднем, т.е.
TV
I
n=l
V
Г г " , 2
р(х)\д(х) - ^>2 Спipn(x)\ dx -> 0 при iV -> 00.
Докажем, что система собственных функций \ Хп(х) >
задачи Штурма - Лиувилля (П13), (П14) будет полной в ?2.
Из свойств пространства ?2 следует, что для любой функции
д(х) G ?2 и любого е > 0 найдется такая функция f(x) € Ъ,
что
Ь
р(х) \g(x)-f(x)

344
Приложение 2. ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУБИЛЛЯ
А так как функция f(x) по теореме Стеклова разлагается
в равномерно сходящийся на отрезке а ^ х ^ Ь ряд Фурье
оо
f(x) =
п=1
то для всякого ei > 0 найдется такое iVi(ei), что при N ^ N\
N
Тогда
Ь
f(x) ~ Л Сп Хп
N
1' Х € 1а'
Jр{х) [д(х) - J2 спХп(х)]\х = Jр{х) {[д(х) - f(x)}
a n=1 о
N
7V
2Jp(x) [f(x) - ]Гсп*„(*)]2 do: < | +2e\f p{x)dx.
1
Если теперь е\ положить равным —
2
р(х) dx\ , то
? TV 2
J p(x)[g(x)-Y,CnXn(x)} dx
< е.
Г 1 °°
Это означает, что система функций < Хп{х) \ полна в ?г-
L J n=l
Приведем некоторые примеры собственных значений и соб-
собственных функций задачи Штурма - Лиувилля (П13), (Ш4) для
различных значений параметров.

Рис. П2
Пример П2.1. Пусть р(х) ~ 1, q(x) = 0, р(х) = 1, а = О,
Ъ = I. Соответствующая задача Штурма - Лиувилля запишется
в виде
Х"(х) + \Х(х) = 0;
a2X'(l)+{32X(l) = 0.
Собственные значения Ап = (-тМ этой задачи выражают-
выражаются через неотрицательные корни /in трансцендентного уравне-
уравнения (рис. П2)
а1а2ц2 -
Ctg/i =
а соответствующие им собственные функции имеют вид
Хп{х)=втA-т-+еп), 0n = arctg
Квадрат нормы этих собственных функций равен
II v 1|2 * Г, , (/-*па1а2 ¦
" "" = 2 1 + 7Т~2

346 Приложение 2. ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУБИЛЛЯ
В частных случаях:
а) для граничных условий первого рода (ai = ai = 0, fi\
= 02 = 1)
Хп=(-г), п = 1,2,...; Хп{х) = sin——; ||ХП||2 = -
б) для граничных условий второго рода (а\ =аг = 1, Pi
= 02 = 0)
An= (yj , n = 0, 1,2,...;
Г I, n = 0;
Z I 2' П7^0;
в) для смешанных граничных условий (ai = /% = 0, аг
|Л;
г) для смешанных граничных условий (ai = 0, a<i = Pi ='1,
02 = /1 > 0)
^n = ( -r- j ) n = 1, 2,...;
где /jn - положительные корни трансцендентного уравнения
Пример П2.2. В задаче Штурма - Лиувилля в качестве
граничных условий могут выступать также условия периодич-
периодичности
Х(а) = Х(Ь), Х'{а) = Х'(Ь)

347
или для циклической переменной х = (р
Х(<р) = Х{ч> + 2тг).
В частности, для задачи
X"(tp) + \Х(<р) = 0;
Х{ч>) = X{tp + 2тг)
собственные значения Лп = п2, где п = 0, 1, 2,..., причем ка-
каждому собственному значению соответствуют две линейно не-
независимые собственные функции cos тир и sin тир. Поэтому мож-
можно считать, что
Хп{ф) = а-п cosrvp + bn sinrvp. (П15)
Замечание П2.2. Собственные функции (П15) можно записать в ви-
виде комплексных функций действительного аргумента
А'„Ы = с„е'^, п = 0, ±1, ±2,... #
Пример П2.3.* Пусть р(х) = х, q(x) = m2/x, p(x) - х,
а = 0, Ь = i?, аг = 0, /?2 = 1, m - целое число. Соответ-
Соответствующая задача Штурма - Лиувилля формулируется следую-
следующим образом:
{- — (х-г-)+~Х = \хХ, Q<x<R;
dx\ dx) х (П16)
\ХЩ < +оо, X(R) = 0.
В этом н последующих примерах рассматриваются уравнения для спе-
специальных функций. В этих задачах Штурма - Лиувилля коэффициент р(х)
обращается в нуль в граничных точках отрезка [а, Ь]. Для таких гранич-
граничных точек условия формулируются как условия ограниченности собствен-
собственных функций. Более подробные сведения о свойствах специальных функ-
функций, являющихся собственными функциями, можно найти в монографиях.

348 Приложение 2. ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУБИЛЛЯ
Собственные значения этой задачи Ап связаны с положи-
положительными корнями цтп, п = 1, 2,..., уравнения Jm{n) = 0, где
Jm(%) ~ функция Бесселя т-го порядка, простым соотношени-
соотношением
Собственные функции задачи (П16), ортогональные на от-
отрезке [О, R] с весом р(х) = х, определяются формулой
-п{х) — jm
(
\ I,
\ К J
а квадрат их нормы равен
2 j?{)
Напомним, что функция у = Jm{x) является ограничен-
ограниченным в точке х = 0 решением уравнения Бесселя т-го порядка
/
У
Пример П2.4. Пусть р(х) = 1 — х2, q(x) = 0, /э(ж) = 1,
а = —1, Ь = +1. Тогда для соответствующей задачи Штурма-
Лиувилля
собственные значения An = n (n +1), n = 0, 1, 2,..., а собствен-
собственные функции
2п+Г

349
где полиномы n-й степени
называют полиномами Лежандра. На отрезке -1 ^ х ^ +1
эти полиномы ортогональны с весом р(х) = 1.
Первые полиномы Лежандра равны
Pq(x) = 1- P1(x) = x;
p /«ч _ _ /К/рЗ _ о^ч. рл(<г\ — — (V^r^ — ЧПт^ -1- 4V
Р5(ж) = 1F3х5-7Ож3 + 15х).
о
т2
Пример П2.5. Если р(х) = 1 - х2, q{x) = ^> р{х) = 1>
а = — 1, 6 = +1, то соответствующая задача Штурма - Лиувил-
ля формулируется как краевая задача
с условиями ограниченности собственных функций на концах
отрезка [-1, +1]. Для такой задачи т = 1, 2,..., Ап = п (п +1),
V (Х) - рт(г) IIX II2 -
Хп(х) - Рп (х), \\Хп\\ -
Здесь специальные функции

350 Приложение 2. ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУБИЛЛЯ
носят название присоединенных функций (многочленов) Лежан-
дра m-го порядка. В частности:
Р\{х) = A -z2)^2; Pl{x) = 3A - z2)^z;
Р22(х) = 3A -х2); Pi = | A - х2IЛ(&г2 - 1);
Р32(*) = 15A - х2) х; Р$(х) - 15 A - х2K^2.
Пример П2.6. Пусть параметры задачи (П13), (Ш4) зада-
2 2
ны в виде р(х) = e~z , q(x) = 0, р(ж) = е~х , а = — оо, Ь — +оо.
Соответствующая задача Штурма - Лиувилля
-— е г -— =Ае гХ, -оо < х < +оо;
^ dx V tte У (П17)
{ |X(±oo)| < Mxs, M, s = const > О
рассматривается на неограниченной прямой, причем так как
коэффициент р(х) обращается в нуль при х -> ±оо, то на беско-
бесконечности ставится условие ограниченного (степенного) роста
собственных функций задачи.
Задача (П17) имеет собственные функции
Хп(х) = Нп(х); ||Хп||2 = ^-2".п!
только при А = Ап = 2п, п = 0, 1, 2,... Здесь полиномы степе-
степени п
называют полиномами Чебышева - Эрмита. Для них справед-
справедлива рекуррентная формула
Hn+i(x) - 2хНп{х)+2пНп_1(х) = О,
позволяющая определять Нп для всех п, зная Щ(х) = 1 и
Н\(х) = 2х. Например, Н2{х) - 2хНх - 2Я0 = 4х2 - 2,
Н3(х) = 2хН2- 4Я: = 8х3 - \2х и т.д. #

351
Задача на собственные значения может быть сформулиро-
сформулирована и в более общей постановке как задача отыскания нетриви-
нетривиальных решений уравнений в частных производных, решаемых
в некоторой области п С 9\N (N = 2, 3).
В частности, для задачи (к > 0, q ^ 0, р > 0)
{div (к grad v) - qv + Xpv = 0, M G п С SHJ
uL = О
(П18)
существует счетное множество положительных собственных
значений Ai < Л2 < ... < An ..., которым соответствуют соб-
собственные функции v\(М), г»г(М),... ,г)п(М),..., удовлетворяю-
удовлетворяющие условию ортогональности в области Q:
fff Г 0, тфп\
/// p(M)vn(M)vm(M)dV = { j
J J J \\vn , т = п.
Здесь dV - элемент объема пространства 94^.
Может быть также доказана теорема разложимости функ-
функции /(М), имеющей непрерывные частные производные до вто-
второго порядка в области $1 и удовлетворяющие условию / = 0 на
границе Е, в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по соб-
собственным функциям задачи (П18)
Мей (П19)
п=1
с коэффициентами
Сп = 1Г712 fffp(M)f(M)vn(M)dV.
IMI jU
При более слабых условиях, накладываемых на функцию /,
ряд (П19) может сходиться к функции /(М) в среднем.
Другой интересный класс задач на собственные значения
в приложении к задачам технической механики можно найти в
монографии Л. Коллатца.

Приложение 3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ
РАЗМЕРНОСТИ И ПОДОБИЯ
Во многих случаях при решении задач математической фи-
физики первая информация о свойствах решения может быть полу-
получена с помощью подхода, основанного на теории размерности и
подобия, которая играет важную роль при моделировании раз-
различных физических процессов. Методами теории размерности
и подобия была решена, например, практически важная газо-
газодинамическая задача о сильном взрыве (Л.И. Седов, 1946 г.), а
также задача о влиянии мгновенного сосредоточенного тепло-
теплового источника в нелинейной теплопроводности (Я.Б. Зельдо-
Зельдович, А.С. Компанеец, 1950 г.) и ряд других.
Пусть в некоторой системе единиц измерения физических
величин установлены некоторые основные единицы «ft, <?2> • • •»
qn для измерения основных физических величин. Так, в Между-
Международной системе единиц (СИ) такими основными единицами
являются килограмм, метр, секунда, ампер, градус Кельвина,
свеча и моль.
Тогда единицы измерения других производных величин,
определяемых с помощью физических формул и законов, вы-
выражаются через основные единицы. Поэтому при изменении
масштаба единиц измерения qi в Oj раз числовое значение про-
производной величины а изменится в R раз. Тогда, если
т> _ пЬ\ Ь2 . Ьп
IX — Cx-i Сел • CXyj ,
говорят, что величина а имеет размерность
[а] = ##-&. (П20)
Символ размерности обычно берется в прямые скобки или
используется обозначение dim а (от англ. dimension - размер,
размерность).

353
Формула размерности (П20) показывает, как мера величи-
величины а зависит от мер основных величин. Если же в (П20) все
показатели размерности Ьг- для i = 1, 2, ..., п равны нулю, то
величину а называют безразмерной, приписывая ей размер-
размерность 1.
Вычисление размерностей облегчается правилами размер-
размерности произведения (отношения) двух физических величин. По
этому правилу если а = А • В, то [а] = [А] ¦ [В], а если а = А/В,
то [а] = [А]/[В].
Пример П3.1. Записать размерности скорости v, кинети-
кинетической энергии Wk и удельной массовой теплоемкости с в СИ.
1. Так как по определению и = AS/At, то
1 2
2. В соответствии с определяющей формулой W^ = - mv
имеем
№1 = [\] ММ2 = 1 ¦ м(lt-1J = ml2т-2.
Такую же размерность имеют потенциальная энергия, работа
и количество теплоты.
ДО
3. По определению с = —тт^т, где ДО - количество те-
тпАТ0
плоты, необходимое для нагревания массы m вещества на ДТ°.
Поэтому
[AQ] =ML2T~2=2
J Н[дт°] ме
=2 2 t
=
Н[дт°] ме
Здесь L, М, Т и G - символы размерности длины, массы, вре-
времени и температуры - основных физических величин соответ-
соответственно. #
Замечание П3.1. Иногда в формулах размерностей используют сим-
символы не самих основных величин, а их единиц измерения. Например,
М = мс-1, [W*] =кг-м2чГ2. #

354 Приложение 3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ И ПОДОБИЯ
Теория размерности накладывает определенные ограниче-
ограничения на возможные функциональные зависимости между размер-
размерными величинами. Так если две величины а\ и аг связаны ра-
равенством а\ — й2, то [а\] = [аг]. Равенство размерностей озна-
означает сохранение равенства величин при изменении масштабов
основных единиц измерения.
Аналогично если величины а\, ai и аз связаны равенством
а1 — а2 + аЗ) то размерности всех трех величин должны быть
одинаковы, т.е. [а\] = [аг] = [аз].
Запомним, что все члены в уравнениях, связывающих физи-
физические величины, должны иметь одну и ту же размерность. Это
свойство физических и соответственно математических фор-
формул называется свойством однородности.
В более общем случае задачи математической физики ис-
искомая величина и функционально зависит от некоторых опре-
определяющих параметров х\, Х2, ..., хт, представляющих собой
размерные величины. Так, если исследуемое явление изучается
при помощи дифференциального уравнения, то определяющие
параметры появляются: 1) в виде коэффициентов дифференци-
дифференциального уравнения, 2) в виде величин, входящих в начальные и
граничные условия, 3) в виде геометрических параметров обла-
области решения - размеров, углов.
Решая задачу математической физики, мы должны уста-
установить функциональную связь
u = /(si,s2, ¦¦¦,хт). (П21)
Оказывается, что теория размерности налагает опреде-
определенные ограничения на структуру функциональной связи (П21).
Поэтому использование этой теории позволяет предсказать оп-
определенные свойства и структуру этой связи, не решая всей
задачи.
Пусть среди т определяющих размерных параметров зада-
задачи х\, Х2, •.., хт первые к (к ^ т) имеют независимые размер-
размерности, т.е. размерность любой величины не может быть пред-
представлена в виде степенного одночлена из размерностей других

355
величин. Например, размерности длины L, массы М и скоро-
скорости LT~l независимы, а размерности длины L, скорости LT
и ускорения LT~2 - зависимы.
В этом случае размерности т—к+1 величин и, жд.+ь ..., хт
можно выразить через размерности величин х\, Х2, • • -, х^, т.е.
[**]
'*;
Здесь все показатели размерностей г;, pj, ..., Sj для г =
= 1, 2, ..., к могут быть определены по правилу размерностей.
Следовательно, в рассматриваемой задаче можно опреде-
определить т — к + 1 безразмерных параметров или критериев:
п =
г2
Х1 Х2 " " -^fc
Одна из центральных теорем теории размерности и подо-
подобия, так называемая П-теорема, утверждает, что соотношение
между размерными физическими величинами, не зависящее от
выбора масштаба основных единиц измерения, всегда можно
сформулировать как соотношение между меньшим числом со-
соответствующих безразмерных величин. В частности, функци-
функциональную связь (П21) всегда можно привести к эквивалентной
зависимости между безразмерными величинами
n = F(ni,n2,...inm_Jfc). (П22)
В математической физике, например, любое дифференциальное
уравнение можно привести к безразмерной форме.

356 Приложение 3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ И ПОДОБИЯ
Заметим, что преимущество зависимости (П22) перед (П21)
состоит прежде всего в уменьшении числа независимых пере-
переменных на к.
Соотношение (П22) можно записать также, выделив мно-
множитель, имеющий размерность величины и. Тогда из (П22)
получим
и = х\1хг22
(П23)
Чем меньше число определяющих параметров задачи и чем
больше среди них величин с независимыми размерностями, тем
более жестко ограничена функциональная связь между размер-
размерными величинами. Действительно, пусть к =¦ т, т.е. все опре-
определяющие параметры задачи имеют независимые размерности.
Тогда из этих величин х\, Х2, ¦ ¦ ¦, жд. нельзя образовать ни од-
одной безразмерной комбинации и соотношение (П23) запишется
в виде
и - Сх\1 хг22 ¦ ¦ ¦ xrkk, C = const. (П24)
Так как показатели г^, г2, ¦ ¦ ¦, г д. находят по размерности
величины и, то в случае к = т связь величины и с определяю-
определяющими параметрами задачи содержит неопределенность только
в виде константы.
Пример П3.2. Пусть задан прямоугольный треугольник
(рис. ПЗ), который полностью определяется заданием длины ги-
гипотенузы с и угла а. Поэтому и его площадь S зависит от этих
определяющих парметров, т.е.
5 = 5(с,а).

357
Размерность площади [S] = L2, а определяющие параметры
имеют размерности [с] = L и [а] = 1. Поэтому из П-теоремы
вытекает, что S — crF(a), где F(a) - некоторая функция без-
безразмерного угла а, измеренного в радианах.
Но то же самое относится к площадям двух прямоугольных
треугольников ABD и BCD (см. рис. ПЗ), для которых роль
гипотенуз играют катеты исходного треугольника ABC. По-
Поэтому S\ = a2F(a) и 5г = b2F{a). Но так как S = Si + S2,
то
c2F(a) = a2F(a)
b2F{a),
или
Теорема Пифагора доказана методом теории размерности.
Сам Пифагор, правда, не знал, что доказанная им теорема явля-
является следствием П-теоремы.
Рис. П4
Пример ПЗ.З. Пусть поток несжимаемой идеальной жид-
жидкости обтекает шар радиуса R (рис. П4). Вдали от шара да-
давление будем считать равным нулю, а скорость однородного
потока - равной v. Требуется определить давление р в лобовой
точке О.
Замечание П3.2. Мы исключили давление на бесконечности ро из
определяющих параметров задачи, так как жидкость несжимаема и изме-
изменение давления ро в ней не может сказаться на поле скоростей. В нашей
задаче учесть это статическое давление ро можно, понимая под давлением
р не динамическое давление, а разность (р — ро). #

358 Приложение 3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ И ПОДОБИЯ
Определяющими параметрами задачи в силу симметрич-
симметричного расположения точки О относительно набегающего потока
являются лишь плотность жидкости р, скорость потока v и ра-
радиус шара R. Поэтому
р = f{p, и, R).
Так как
[p] = ML-\ [v} = LT~\ [R] = L,
то размерности всех трех определяющих параметров задачи
оказались независимы и к = т = 3.
Следовательно, из П-теоремы в соответствии с формулой
(П24) находим, что
p = CpTl vr2 Лгз, С = const. (П25)
Так как размерность давления [р] = ML~ T, то из уравнения
(П25) получаем
ML-lT-2 31
Отсюда находим, что г\ = 1, ri = 2, а гз = 0. Таким обра-
образом, искомое давление в точке О не зависит от радиуса шара и
определяется формулой
су
р = Cpv , С — const.
Значение константы С можно определить, привлекая полную
систему гидродинамических уравнений и решая соответствую-
соответствующую задачу. #
Следствием теории размерности является понятие подоб-
подобных явлений или процессов. Два явления считаются подобными,
если по найденным характеристикам одного простым пересче-
пересчетом можно получить характеристики другого. С учетом П-те-
П-теоремы это означает, что подобные явления отличаются только
значениями определяющих параметров, но так, что составлен-
составленные с их помощью соответствующие безразмерные критерии

359
IIi, П2, .., Пт_д. совпадают. Равенство всех безразмерных
критериев для процессов в двух системах является необходи-
необходимым и достаточным условием подобия этих систем. Поэтому
безразмерные критерии называют критериями подобия.
Размерные физические параметры, входящие в критерии
подобия, могут принимать для подобных систем сильно раз-
различающиеся значения как, например, размеры лабораторных
моделей и натурных конструкций. Но сами безразмерные кри-
критерии подобия в таких системах должны быть одинаковыми.
Это свойство подобных систем используется при эксперимен-
экспериментальном моделировании процессов в лабораторных условиях.
Если в рассматриваемом физическом процессе в двух си-
системах выполнено равенство не всех, а лишь части критериев
подобия, то говорят о частичном подобии. В этом случае су-
существенно, чтобы влияние критериев, равенство которых не
соблюдается, на протекание процесса в системе было незначи-
незначительным.
В теории упругости при изучении напряжений и деформа-
деформаций в конструкциях под воздействием внешних сил критериями
подобия являются коэффициент Пуассона а и критерии pgl/E
и F/(El'2), где р - плотность материала конструкции; д - уско-
ускорение силы тяжести; I - характерный размер конструкции; Е -
модуль Юнга; F - характерная внешняя сила.
В гидроаэромеханике важнейшими критериями подобия
являются число Рейнольдса Re = vl/u, число Маха М = v/a,
и число Фруда Рг = v /{gl), где v - характерная скорость тече-
течения; I - характерный размер; и - кинематическая вязкость; а -
местная скорость распространения звука.
В теории теплопроводности и теплопередачи характерны-
характерными критериями подобия являются число Фурье Fo = a?t/l , чи-
число Нуссельта Nu = a?l/\, число Био Bi = al/X, число Пекле
Ре = vl/a?, число Прандтля Рг = и/с?. Здесь а - коэффициент
температуропроводности, I - характерный размер, А - коэф-
коэффициент теплопроводности, а - коэффициент теплоотдачи, v -
характерная скорость потока, v - кинематическая вязкость.

360 Приложение 3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТИ И ПОДОБИЯ
С понятием подобия тесно связано свойство автомодельно-
сти (от греч. autos - сам и франц. modele - образец), т.е. само-
самоподобия нестационарного процесса в системе, когда процесс в
различные моменты времени остается подобным самому себе,
испытывая лишь сжатие или растяжение по пространственным
переменным.
Обычно автомодельность нестационарного процесса при-
приводит к тому, что его характеристики оказываются зависящи-
зависящими от комбинаций координат и времени специального вида
которые называют автомодельными переменными.
Для автомодельности процесса достаточно, чтобы система
определяющих его параметров содержала не более двух пара-
параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и
времени. Поэтому условием автомодельности является отсут-
отсутствие характерного размера и характерной временной величи-
величины для процесса. При описании такого автомодельного процес-
процесса обычно удается перейти от дифференциальных уравнений
в частных производных к обыкновенным дифференциальным
уравнениям.

список
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Учебные издания
Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики.
- М.: Наука, 1964.
Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специ-
специальные функции. - М.: Наука, 1968.
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. - М.: Высшая школа,
1961.
Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука,
1988.
Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных
производных математической физики. - М.: Высшая школа, 1970.
Курант Р. Уравнения с частными производными: Пер. с англ. - М.:
Мир, 1964.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М.:
Наука, 1982.
Ли Цэун-дао. Математические методы в физике: Пер. с англ. - М.:
Мир, 1965.
Михлин С.Г. Курс математической физики. - М.: Наука, 1968.
Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики: Пер.
с англ. - М.: Мир, 1982.
Савельев И.В. Курс общей физики: Учебник для вузов: В 3 т. - М.:
Наука, 1986.
Соболев С.Л. Уравнения математической физики. - М.: Наука. 1966.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
- М.: Наука, 1972.
Монографии по специальным курсам
Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -
М.: Наука, 1979.
Коллатц Л. Задачи на собственные значения: Пер. с нем. - М.:
Наука, 1968.
Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. - М.; Л.: Фиэ-
матгиз, 1963.
Масло в В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделиро-
моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипативных структур.
- М.: Наука, 1987.

362 Список рекомендуемой литературы
Николе Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах:
Пер. с англ. - М.: Мир, 1979.
Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике: Пер. с англ. - М.: Мир,
1989.
Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических
уравнений/ А.А. Самарский, В.А. Галактионов, СП. Курдюмов, А.П. Ми-
Михайлов. - М.: Наука, 1987.
Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М.: Наука,
1981.
Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в ма-
математической физике. - Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
Теория солитонов: Метод обратной задачи / В.Б. Захаров, СВ. Ма-
наков, СП. Новиков, Л.П. Питаевский. - М.: Наука, 1980.
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.
- М.: Наука, 1979.
Уиэем Дж. Линейные и нелинейные волны: Пер. с англ. - М.: Мир,
1977.
Хакен Г. Синергетика: Пер. с англ. - М.: Мир, 1980.
Справочные издания
Градштейн И.С, Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. - М.: Физматгиэ, 1963.
Математическая энциклопедия: В 5 т. - М.: Сов. эицикл., 1977 -
1985.
Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: Пер. с нем. - М.:
Наука, 1977.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Бета-функция 282
Волна тепловая 270
- разогрева 283
- ударная 305
- уединенная 317
- электромагнитная 219
Волны импульса 32
- кноидальные 318
- отклонения 29
- стоячие 50
Гамма-функция Эйлера 269
Дельта-функция 55, 329
Задача Дирихле 114, 118, 126
- Коши для гиперболического урав-
уравнения 27
- - - уравнения теплопроводности
88, 173
- краевая 56, 67, 123
- Неймана 114
- Штурма - Лиувилля 47, 339
- экологического прогнозирования
186
Значения собственные 47, 68, 167,
172, 197, 220, 252, 340
Интеграл ошибок 262
- Пуассона 119, 123, 128
Конус характеристический 195
Кривая характеристическая 16
Метод Даламбера 27
- прямых (Роте) 288
Метод функции Грина 118
- Фурье 45, 67
- характеристик 33
Носитель функцци 31
Оператор Даламбера 207
- Лапласа 100
- самосопряженный (эрмитовый)
248
Операторы физических величин 243
Отображение конформное 135
Переменные автомодельные 360
Полиномы Лежандра 150, 349
- Чебышева - Лагерра 241
- Чебышева - Эрмита 231, 350
Потенциал векторный 99, 209
- двойного слоя 105
- комплексный 138
- логарифмический 105
- объемный 105
- поляризационный 210
- простого слоя 105
- скалярный 209
Преобразование конформное 135
- Коула - Хопфа 310
Принцип максимума для гармониче-
гармонической функции 112
параболического уравнения 77
Производная обобщенная 36
потенциала мульти-
Разложенне
польное 144
Решение обобщенное 12, 34

364
Предметный указатель
- строгое 12
- фундаментальное для уравнения
Лапласа 101
- уравнения теплопроводности 87,
177
Солитон 317
Соотношение дисперсионное 313
Теорема Стеклова 342
Уравнение Бюргерса 307
- волновое 24, 194
- гиперболического типа 15,21
- диффузии 163
- Зельдовича 295
- Колмогорова - Петровского - Пис-
кунова 294
- Кортевега - де Фриза 314
- Лапласа 98, 133
- Лежандра 147
- Максвелла 206
- параболического типа 15, 60
- Пуассона 99, 133
- Римана 303
- Семенова 295
- синус-Гордона 327
Уравнение теплопроводности 63, 162
- типа "реакция - диффузия" 284
- Шредингера 227, 327
- эллиптического типа 15, 97
Условие калибровки Лоренца 209
Условия граничные 10, 43, 64, 114
- начальные 11
Форма каноническая уравнения 16,
20
Формула Грина 103
- Даламбера 29
- Пуассона 90
Функции Лежандра присоединенные
236, 350
- собственные 47, 68, 167, 172, 197,
247, 252, 340
- сферические 237
Функция Бесселя 168, 201
- волновая 226
- гармоническая 111
- Грина 87, 116
- источника 56, 75
- Неймана 168, 201
- пробная 35
- финитная 31
- Якоби 318

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Основные обозначения 7
Введение 9
81. Задачи математической физики 9
82. Классификация дифференциальных уравнений в частных
производных второго порядка 14
Раздел I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 21
1. Уравнение гиперболического типа 21
1.1. Уравнения колебаний струны 21
1.2. Задача Коши для гиперболического уравнения 27
1.3. Обобщенные решения 34
1.4. Колебания полуограниченной струны 39
1.5. Краевые задачи для гиперболического уравнения 43
1.6. Краевые задачи для неоднородного уравнения 52
Вопросы и задачи 58
2. Уравнения параболического типа 60
2.1. Одномерный нестационарный процесс распространения те-
теплоты 60
2.2. Краевые задачи для уравнения теплопроводности 67
2.3. Свойства решений краевых задач для уравнения теплопро-
теплопроводности 75
2.4. Неоднородное уравнение теплопроводности 79
2.5. Задача Коши для уравнения теплопроводности 83
Вопросы и задачи 94
3. Уравнения эллиптического типа 97
3.1. Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа . . 97
3.2. Фундаментальные решения уравнения Лапласа 100
3.3. Интегральная формула Грнна 103
3.4. Свойства объемного потенциала 106
3.5. Свойства гармонических функций 111
3.6. Краевые задачи для уравнения Лапласа 114
3.7. Метод функций Грина 116
3.8. Решение краевых задач для уравнения Лапласа методом раз-
разделения переменных 123
Вопросы и задачи 130

366 Оглавление
РазделП. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 133
4. Уравнения Пуассона и Лапласа как математические мо-
модели электростатических полей 133
4.1. Применение конформных отображений для решения задач
электростатики 133
4.2. Мультипольное разложение потенциала 144
4.3. Расчет поля электростатического подвеса 148
4.4. Электрическое поле в плазме 152
Вопросы и задачи 159
5. Математическое моделирование диффузионных процес-
процессов переноса 160
5.1. Моделирование диффузионных процессов переноса в движу-
движущихся средах 160
5.2. Краевые задачи остывания нагретых тел 163
5.3. Распространение теплоты в неограниченном пространстве 173
5.4. Диффузионный процесс в активной среде с размножением . 182
5.5. Задача экологического прогнозирования 186
Вопросы и задачи 189
в. Волновое уравнение для акустических и электромагнит-
электромагнитных волн 191
6.1. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний мем-
мембраны 191
6.2. Колебания прямоугольной мембраны 196
6.3. Колебания круглой мембраны , 200
6.4. Волновое уравнение для электромагнитных волн 205
6.5. Потенциалы электромагнитного поля 209
6.6. Электромагнитное излучение дипольного осциллятора . . . 213
6.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом
волноводе 219
Вопросы и задачи 224
7. Уравнение Шредингера для описания квантовых состоя-
состояний частиц 226
7.1. Волновая функция 226
7.2. Задача о гармоническом осцилляторе в квантовой механике 228
7.3. Квантовые состояния атома водорода , 234
7.4. Операторы физических величин в квантовой механике . . . 243
Вопросы и задачи 253

367
Раздел III. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 255
8. Нелинейные модели диффузионных процессов переноса 255
8.1. Теория нелинейной теплопроводности 255
8.2. Задача Стефана о фазовом переходе 259
8.3. Распространение тепловых возмущений в нелинейных средах 265
8.4. Задача нелинейной теплопроводности с объемным поглоще-
поглощением 278
8.5. Уравнения типа "реакция - диффузия" 284
Вопросы и задачи 293
9. Нелинейные уравнения волновых процессов 294
9.1. Уравнение Колмогорова - Петровского - Пискунова 294
9.2. Уравнение Бюргерса 302
9.3. Уравнение Кортевега - де Фриза 312
9.4. Многосолитонные решения уравнения Кортевега - де Фриза 319
Вопросы и задачи 328
Приложение 1. Дельта-функция и ее свойства 329
Приложение 2. Задача Штурма - Лиувилля 339
Приложение 3. Методы теории размерности и подобия 352
Список рекомендуемой литературы 361
Предметный указатель 363

Учебное издание
Математика в техническом университете
Выпуск XII
Мартинсон Леонид Карлович
Малов Юрий Иванович
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Редактор К.II. Стапицкал
Художник (i.C Нодчиц
Корректор Е.В. Авилова
Изд. лиц. № 020523 от 25.04.97 г.
Подписано в печать 18.12.2001. Формат 60x88>/ie.
Печать офсетная. Бумага офсетная № 1.
Усл. печ. л. 23,0. Уч.-изд. л. 24,15.
Тираж 3000 экз. Заказ № 8874.
Издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана,
107005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
Отпечатано с готового оригинала-макета
в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ,
140010, г. Люберцы Московской обл., Октябрьский пр-т, 403.
Тел. 554-21-86.
ISBN 5-7038-1911-3
985703и819111