A.. M. Васильев

ТЕОРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
СТРУКТУР

Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР и качестве
учебного пособия для студентов вузов, обучаю*
щвхся по специальности «Математика»

ИЗДАТЕЛЬСТВО
московского
УНИВЕРСИТЕТА
1987
УДК. 513.7; 514.7

Васильев А. М. Теория дифференциально-геометрических структур: Учеб,
пособие. — М.: Изд-ио МГУ, 1987.— 190 с.

Пособие посвящено современным методам дифференциально-геометриче-
ских исследований, основу которых составляет систематическое использова-
ние расслоений над многообразиями и внешнего дифференциального исчис-
ления в расслоениях. Систематически и в доступной форме излагаются ос-
новные понятия дифференциального исчисления на многообразиях, основы
теории расслоений, теория струй, внешнее дифференциальное исчис-
ление в терминах внешних дифференциальных алгебр, реали-
зуемых в расслоениях, ряд понятий обобщенной тензорной алгебры, необхо-
димых для описания методов дифференциальной геометрии. В качестве при-
меров рассмотрены основы римановой геометрии, некоторые классы систем
дифференциальных уравнений с частными производными, кратные интегралы,
заиисящие от параметров.

Библиогр. 60 назв.

Рецензенты:

кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики БГУ;
проф. Ю. Г. Лумисте

1702050000—140	.	„„

В -----------------'117—07

077(02)—87

© Издательство Московского
университета, 1987 г.
Оглавление

Предисловие	5

Глава I. Начальные понятия дифференциального исчисления иа
многообразиях	у

§ 1.	Гладкие многообразия,	гладкие	отображения	7

§ 2.	Касательные	расслоения	и	касательные	отображения	10

§ 3.	Тензорные расслоения и тензорные поля. Простейшие диф-
ференциальные операции	13

Глава	II. Расслоенные пространства	1®

§ 1.	Гладкие расслоения общего типа н локально тривиальные
расслоения	19

§ 2.	Гладкие расслоения со структурной группой Ли	21

§ 3.	Морфизмы расслоений. Псевдогруппы локальных автомор-
физмов	23

Глава III. Теория струй. Продолжении расслоений. Дифферен-
циально-геометрические структуры	28

§ 1.	Порядок касания гладких отображений. Понятие струи отоб-
ражения	г	28

§ 2.	Расслоение струй отображений	30

§ 3.	Расслоение касательных реперов высших порядкои. Диффе-
ренциально-геометрические объекты. Дифференциально-геомет-
рические структуры	34

$ 4.	Струи сечений и многообразия адаптированных реперов в
расслоениях	36

Глава IV. Внешнее дифференциальное исчисление и теории диффе-
ренциально-геометрических структур	40

§ 1.	Основы внешнего дифференциального исчисления иа много-'
образин	40

§ 2.	Инволютивные распределения на многообразиях	44

§ 3.	Контактные распределения иа расслоениях струй	сечений	46

§ 4.	Внешнее дифференциальное исчисление и группы	Ли	48

§ 5.	Внешние дифференциальные алгебры и группы Ли преоб-
разований	50

§ 6.	Продолжение расслоений и внешних дифференциальных ал-
гебр. Алгебраические модели дифференциально-геометрических
структур	60

Глава V. Геометрические объекты тензорного типа и соответствую-
щие дифференциально-геометрические	структуры	76

§ 1.	Основные понятия	76

§ 2.	Пространства объектов	тензорного	типа	80
Глава VI. Вопросы общей теории систем дифференциальных урав-
нений

§ 1.	Основные понятия	§7

§ 2.	Распределения н их интегральные мг. '(/разня	89

$ 3.	Инволютивные внешние модули	97

§ 4.	Продолжения дифференциальных алгебр	105

§ 5.	Приложения алгебраической теории внешних дифференциаль-
ных алгебр к теории дифференциально-геометрических струк- ,
тур	Ю9

§ 6.	О теоремах конечности н особых решениях	П5

Глава VII. Строение дифференциально-геометрических структур Ц8
§ 1.	Структуры с расслоенной базой	118

§ 2.	Дифференциально-геометрические структуры главного рас-
слоения и его базы	122

$ 3. Дифференциально-геометрические, структуры на подмного-
образиях	125

§ 4.	Локальные автоморфизмы дифференциально-геометрических

структур. Инфинитезимальные симметрии	128

§ 5.	Проекции структур с расслоенной базой н структуры, инду-
цируемые в слоях	136

$ 6.	Структуры с эквивалентными Слоями. Связности и расслое-
ниях	137

§ 7.	Л-структуры	141

§ 8.	Локально транзитивные структуры и однородные простран-
ства	149

§ 9.	Линейные дифференциальные системы и их геометрические
приложения	153

Глава	VIII. Примеры	155

$ 1.	Три-ткани кривых	в	трехмерном	многообразии	155

$ 2.	Интегралы, зависящие	от	параметров	162

§ 3.	Квазилинейные системы двух уравнений с частными произ- *
водными первого порядка при двух независимых переменных
и двух искомых	функциях	165

$ 4.	Внешние дифференциальные системы. Преобразования
Беклунда	171

§ 5.	Другие классы	дифференциально-геометрических структур	173

Заключение	183

Литература	188
Предисловие

Этот курс знакомит читателя с современными аналитиче-
скими - методами дифференциально-геометрических исследова-
ний, При этом последовательно имеется в виду установившаяся
точка зрения, согласно которой применение дифференциально-
геометрических методов равнозначно существенному использо-
ванию дифференциального исчисления. Дифференциальное ис-
числение, нашего века мало похоже на классическое, излагае-
мое в основных курсах математического анализа, и гораздо эф-
фективнее его. Пока оно недостаточно широко используется в
математике и смежных областях знаний, а главное — далеко
не с той полнотой, которая возможна.

Следует объяснить, как изложенная программа согласуется
с названием курса. Образцовое изложение математической тео-
рии начинается с определения основных объектов, например
группы — в .теории групп, топологического пространства — в
топологии и т. д. Затем следуют определения основных отноше-
ний между объектами, а дальше изучаются комбинации этих
отношений. Содержание настоящего курса хорошо укладывает-
ся в эту схему, если в качестве основных объектов взять диф-
' ференци а льно-геометрические структуры на многообразиях.
Правда, соответствующие определения находятся лишь в конце
третьей главы. Им предшествует целенаправленное изложение
основ теории гладких расслоений, так как эти расслоения иг-
рают фундаментальную роль в современном дифференциальном
исчислении.

Излагаемые методы ведут начало от работ Э. Картана и ис-
пользуют созданное им внешнее дифференциальное исчисление.
В нашей стране их систематическое Применение и развитие бы-
ло начато Финиковым [1—3] и значительно продолжено его
-учениками и последователями [1 — 14]. В настоящее время эф-
фективность методов, использующих внешнее дифференциаль-
ное исчисление, является общепризнанной.

Важно, чтобы при изучении курса были ясно усвоены сле-
дующие принципиальные особенности излагаемого метода:

а)	Дифференциально-геометрическая структура иа многооб-
разии М задается функциями и дифференциальными формами,
внутренним образом заданными не на М или на его областях,
а в некоторых расслоениях, глобально определенных над М,
В процессе исследования эти расслоения могут меняться.
б)	Существенной частью метода является специальное ал-
гебраическое разрешение системы уравнений, наложенных на
внешние формы, называемое в курсе «мономорфизмом F-моду-
ля в свободный F-модуль», или, короче, «свободным разреше-
нием» системы. Эта операция вводит новые формы или функ- ,
цни в расслоениях и является алгебраической моделью привле-
чения частных производных более высокого порядка, чем ра-
нее, к рассмотрению дифференциально-геометрической структу-
ры. Операция неоднозначна, и ее умелое использование может
существенно упростить исследования.

В курсе широко применяется алгебраическая терминология,
впрочем, довольно известная: алгебры, модули, идеалы, гомо-
морфизмы и т. д. Однако это сделано лишь с целью оформле-
ния математического языка, на котором используемое исчисле-
ние выражает геометрические факты. По существу, алгебраиче-
ский характер носят лишь исследования, изложенные в § 3 и 4
шестой главы. Можно пропустить детальное изучение этих' па-
раграфов, усвоив лишь смысл окончательных результатов. Тех-
ника их использования более элементарно изложена в самом
конце книги.

Курс не содержит систематического изложения геометрии
многообразий с классическими структурами — римановых, поч-
ти комплексных, многообразий с аффинной связностью и т. д.
Вместо этого рассматривается ряд примеров, связанных с
изучением дифференциальных уравнений с частными производ-
ными, интегральных преобразований, геометрии тканей. Эти при-
меры иллюстрируют универсальность метода.

Седьмая глава книги посвящена рассмотрению общих кон-
струкций, связывающих одни дифференциально-геометрические
структуры с другими.

Особую роль играет пятая глава. В форме, близкой к об-
зорной, она содержит рассмотрение конструкций линейной ал-
гебры, используемых в дифференциальной геометрии.

Я хочу выразить здесь благодарность М. В. Васильевой за
большую помощь на всех этапах Работы над книгой, а также
профессорам Ю. Г. Лумнсте и А. Т. Феденко, прочитавшим ру-
копись и сделавшим полезные замечания, и А. А. Локшину,
чья помощь при окончательном оформлении рукописи была
весьма значительной и нестандартной.

27.07.85 г.

А. Васильев
Глава I

НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ НА
МНОГООБРАЗИЯХ

$ 1. ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ, ГЛАДКИЕ
ОТОБРАЖЕНИЯ

Дифференцируемые многообразия — основной класс про-
странств, в которых строится дифференциальное и интегральное
исчисление, понимаемое в классическом смысле. 

Вспомним относящиеся к многообразиям основные понятия.
Мы постоянно будем пользоваться ими в дальнейшем [15,
16, 17].

Топологическим пространством называется множество М, в
котором задана система %м подмножеств, называемых откры-
тыми, причем выполнены следующие условия:

1.	Пересечение двух открытых множеств открыто.

2.	Объединение любой подсистемы открытых множеств —
открытое множество.

3.	Пустое множество и само М — открыты.

, Задание в М системы открытых множеств называется вве-
дением топологии. Всякое подмножество NczM наделено так
называемой индуцированной топологией, для которой системой
открытых множеств Я у является совокупность всех Пересече-
ний Uf\N, где U& Жм.

При отображении пространств <p:Afi-*-Af2 прообразом qr’fAf)
подмножества NazMi называется совокупность всех точек а&
таких, что y(a)eN. Отображение <р топологических про-
странств называется непрерывным, если прообраз любого от-
крытого множества нз М2 является открытым множеством в Ми
Взаимно-однозначное соответствие между двумя топологически-
ми пространствами называется гомеоморфизмом, если оно не-
прерывно как отображение и в одну, и в другую сторону, т. е.
открытые множества соответствуют открытым.

Через R*» мы обозначаем совокупность всевозможных упо-
рядоченных наборов п вещественных чисел {и1, и2, .... и"),
w‘eR.

Rn хорошо известным образом наделяется топологией, после
чего постоянно используется в задачах математического анали-
за. Мы будем обозначать символами Vn, Ап, Еп соответственно
векторное, аффинное и евклидово n-мерное пространство. Все
они гомеоморфны R”, но отличаются от него и друг от друга до-
пустимыми группами преобразований.
Окрестностью точки а^М топологического пространства М
мы будем называть здесь любое открытое множество UczM, со-
держащее а.

Топологическим п-мерным многообразием Мп называется то-
пологическое пространство, каждая точка которого обладает
окрестностью, гомеоморфной открытому множеству в R”. Бо-
лее подробно: п-мерной картой в топологическом пространстве
М называется совокупность (U, <р), где U — открытое множест-
во в М, а ф — гомеоморфизм U на открытое множество DcRn.
Карта позволяет задавать точки P&U координатами и', .... и”
соответствующих, точек из D. В силу этого U принято называть
координатной окрестностью в М, и1 — локальными координата-
ми ее точек. Некоторая совокупность n-мерных карт (Ua, фа)
называется п-мерным координатным атласом в М, если объеди-
нение подмножеств Ua совпадает со всем М. Теперь топологи-
ческим п-мерным многообразием можно назвать топологиче-
ское пространство, обладающее л-мерным координатным атла-
сом.

Мы будем, как обычно, рассматривать многообразия, удов-
летворяющие требованиям отделимости и существования счет-
ной базы. Первое означает, что для любых двух различных то-
чек Р, Q^Mn существуют их окрестности, не пересекающиеся
между собой, а второе — что на Мп существует координатный
атлас, состоящий из счетного множества карт.

Пусть (Ua, фа) н (D,, ф>) — две карты многообразия Мп,
причем С/аП^к не пусто. На DaRD» определены две системы ко-
ординат и1, .... ип и о1, ..., t>n при помощи отображений
Фа' Dа Ва с R" и фр: 1/р -► Dp с: Rn. Введем обозначения

Dap=Фа (De R Dp) <= De,	= фр (De П Dp) c Dp.

Взаимно-обратные гомеоморфизмы

Фр°Ф~1 ^p-^Dpa И фвоф-‘:Рра-*Овр

задаются системами уравнений

«‘(о*....vn).

Правые участи уравнений — непрерывные функции на Dat и
на Dea соответственно. Эти функции называются функциями
перехода, а (1.1) — формулами перехода, связывающими меж-
ду собой координаты точек PeDeRD> в двух системах локаль-
ных координат.

Переходим к понятию дифференцируемого многообразия. Бу-
дем говорить, что координатный атлас A{(Ua, ф»)} имеет класс
гладкости С\ 3—1, 2, .... если все функции перехода для его
карт непрерывно дифференцируемы не менее з раз. Аналогично
определяются атласы классов С" и С* (бесконечно дифферен-
цируемые и вещественно аналитические). Два атласа класса С'
называются эквивалентными, если объединение карт того и дру-
гого атласа также является атласом класса Cs на Л1п (анало-
гично для классов С°° и С“). Атласы классов гладкости Cs,
или С“ называют гладкими атласами на Мп.

Определение. Всякий гладкий атлас задает иа много-
образии Мп гладкую, или дифференцируемую, структуру. При
этом считается, что эквивалентные атласы задают одну и ту же
гладкую структуру.

Определение. Гладким, илн дифференцируемым, назы-
вается многообразие Мп, на котором задана некоторая глад-
кая структура.

Известно, что среди эквивалентных между собой гладких ат-
ласов на гладком многообразии Мп всегда существуют атласы
классов С°° и С*. Содержание этой книги таково, что нам иет
смысла налагать условия на гладкость используемых коорди-
натных атласов. Поэтому всюду в дальнейшем, без упоминания
об этом, используются атлары класса С°°, а во многих, огова-
риваемых особо, случаях — класса С*.

Rn канонически, т. е. однозначно заданным образом, наде-
ляется гладкой структурой, а именно при помощи атласа, со-
стоящего из одной карты (Rn, id). В том же смысле всякое
открытое множество в Rn является гладким л-мерным многооб-
разием.

Пусть Мп и Np — два многообразия размерностей п и р, а
f:Np-+Mn — непрерывное отображение. Для произвольной точ-
ки Q^Np н точки f(Q)eMn возьмем карты .(№, Ф) и (U, <р)
(QeWdNP, f(Q)^UczMn) с локальными координатами

.... tP) и (и1, .... ип).

В силу непрерывности f,	есть открытое множество

в Np, содержащее точку Q. Отображение f точек открытого мно-
жества f~'(t/)n№ задается уравнениями

«•==«'(/'..tP),	(1.2)

где функции, стоящие справа, непрерывны. Формулы (1.2) на-
зываются локальной записью отображения f. Локальная запись
существует в окрестности любой точки QeAT₽.

Пусть Np и Мп — гладкие многообразия.

Определение. Говорят, что непрерывное отображение
f:NP-*-Mn гладких многообразий принадлежит классу С*, если
для всякой его локальной записи правые части (1.2) — функции
класса гладкости ие менее з. Аналогично определяются отобра-
жения класса С“.

Это определение корректно, так как при переходе от одного
бесконечно дифференцируемого ,атласа к другому класс гладко-
сти функций (1.2) не меняется. В дальнейшем мы обычно поль-
зуемся термином «гладкое отображение», предполагая, что в
каждом случае необходимый класс гладкости очевиден по смыс-
лу рассмотрения.
Гладкие в обе стороны гомеоморфизмы гладких многообра-
зий называют диффеоморфизмами.

§2. КАСАТЕЛЬНЫЕ РАССЛОЕНИЯ И КАСАТЕЛЬНЫЕ
ОТОБРАЖЕНИЯ

Мы начнем с формального введения геометрических понятий
дифференциального исчисления, оставляя вопрос об их целесо-
образности на последующие части параграфа.

Отметим прежде всего, что для карт гладкого атласа яко-
биевы матрицы (ди‘/дик) и (du‘/dvk) отображений (1.1) взаим-
но-обратны и, следовательно, иевырождены.

Определение. Касательным вектором X к гладкому мно-
гообразию Мп в точке Q называется объект, который для каж-
дой карты (U, <р), Q^U задается п числами (компонентами,
координатами) £*, ..., £п, причем компоненты ..., |п и
V. ..., '£п одного и того же касательного вектора относительно
любых двух карт с локальными координатами (и1, .... ип) и
(о1....оп) связаны между собой формулами

1,А=1, 2, .... п,	(2.1)

где якобиева матрица берется в точке задания вектора.

Здесь, как и всюду в дальнейшем, присутствие одного и то-
го же индекса («Л») среди верхних и нижних индексов в форму-
ле означает суммирование по k от 1 до п.

Определение корректно, так как для любых трех карт с ло-
кальными координатами (и‘), (у1), (иИ) в окрестности точки Q
формулы (2.1) и формулы

"I1 = lk dwllduk, "% = dtfldv1

согласуются между собой в силу формул перехода (1.1), ра-
венств wl—wl{uk), w‘—w‘(vk) и тождеств

dm* .  дш1 dv1
дик dtf дик

Множество TQM* всех касательных векторов в одной точке
Q многообразия Мп образует л-мерное векторное пространство,
если сложение векторов и умножение на числа производить по-
компонентно, относительно некоторой карты. Так как формулы
(2.1) линейны и однородны относительно эти операции
не зависят от выбора карты.

Определение. Будем называть касательным расслоением
над гладким многообразием Мп совокупность ТМп всех каса-
тельных векторов во всех точках Мп.

В ТМп каноническим образом вводится структура гладкого
2л-мериого многообразия. Именно определено отображение
!0
(«проекция») р:ТМп-+Мп, ставящее каждому касательному
вектору в соответствие точку, в которой он задан. Для каждой
картй (Ua, фа) некоторого гладкого атласа на Мп определим
отображение Фа: С'а-’-Да, где Ua=p~l(Ua)czTMn, Aa=DaXRncz
c±R"XRn=R2n, Да=фа(С/а)czRn, ставящее в соответствие векто-
ру X^TQMnc:Oa набор 2п чисел а1, .... ип, g*, .... £п, т. е.
координат точки Q и координат вектора X, соответствующих
карте (Ua, фа). На пересечении РаП^ имеют место формулы
(1.1), (2.1), связывающие координаты в Aa?=DasXR" и Дра=
=D(>aXRn. Так как правые части в (1.1), (2.1). — бесконечно
дифференцируемые функции, можно корректным образом вве-
сти в ТМп топологию, объявив открытыми те и только те под-
множества W, для которых все Фа(^П^а) — открытые множе-
ства в AaCzR2”. Очевидно, в такой топологии ТМ обладает счет-
ной базой. Предоставляем читателю доказать также, что оио от-
делимо.

Далее, пары (0а, Фа) можно рассматривать как 2п-мериые
карты в ТМ, которые в совокупности образуют гладкий атлас,
т. е. определяют гладкую структуру иа ТМ.

Особенностью таким образом построенных атласов является
то, что последние п локальных координат являются одновре-
менно линейными координатами в векторных пространствах
TQMn. В этом смысле на якобиевы матрицы (2.1) моЖио смот-
реть как на матрицы переходов от одного векторного базиса в
TqM” к другому. Таким образом, пользуясь этими атласами,
можно совместить рассмотрение аналитических конструкций в
расслоении ТМп и алгебраических — в его слоях ТоМп. Отме-
тим также, что проекция р является гладким отображением
ТМп на Мп, локальные записи (1.2) которого сводятся, в соот-
ветствующих картах, к тождественным равенствам nW.

Представление о геометрическом смысле касательного векто-
ра дают следующие соображения. Смещение из точки Q в близ-
кую точку Р задается в карте (Ua, фа) приращениями коорди-
нат Ди‘‘, а в карте (U>, фр) — приращениями &v‘. Они связаны
между собой формулами

*

Ди' = (	\ Ди* + а‘р,

\ дик }q

где р=У2(Ди*)2, а а‘->-0 при р-Н).

Сравнивая эТо с (2.1), заключаем, что смещения из данной
точки Q гладкого многообразия «в главном» ведут себя как
векторы некоторого n-мерного векторного пространства, а
именно пространства TqM1*. Это, как известно, выражает глав-
ную идею дифференциального исчисления.

Гладкой параметризованной кривой в многообразии Мп на-
зывается гладкое отображение у:/->Л1п, где /czR — числовой
интервал a<t<b (одномерное гладкое многообразие с задан-
ной картой). Локальные записи (1.2) в окрестности точки Qe
eUa(\Ut, Q=yUo), to^I имеют вид u‘=u'(t), и'=и‘(1), причем
в силу (1.1) v‘(t) szv‘(и'(t), .... un(t)) и, следовательно,

/ dv* \	/ dt'1 \ / duk \

\ dt Jt, \ duk )q\ dt Jt,

Сравнивая это с (2.1), приходим к выводу, что гладкая пара-
метризованная кривая в каждой своей точке t^-l имеет каса-
тельный вектор dyldt^TM" компоненты которого относнтель-
но каждой карты (Ua, <р«), у(/0)ЕUu, равны I -^-1 .

Этот факт имеет широкое обобщение. Рассмотрим гладкое
отображение f:Np-+Mn. Для всякой гладкой параметризованной
кривой y:l-+Np, /={AeR, а<А<Р) определена гладкая пара-
метризованная кривая f°y	Локальные записи для у, / и

f°y имеют вид -/“(А), и‘ -u‘(ta}, и‘ -- и‘ (А) - ы'(<а (А)).
Дифференцируя, получим уравнения

/ЛЦ zjj-x /х> .»,<=/.

\ dA /х.	\ dta /f(V(Xj) \ dA /х,

которые каждому касательному вектору к параметризованной
кривой у в точке Q=y(Ao)eWp сопоставляют касательный век-
тор к соответствующей кривой /°у в точке f(Q)^Mn. Это соот-
ветствие не зависит от выбора локальных координат в окрест-
ности точек Q и f(Q). С другой стороны, мы видим, что это
соответствие однозначно определяется формулами

5'=(дц^/а)<?т]а.	(2.2)

которые задают линейное отображение векторных пространств
TQNp-+Tl{Q}M*. Таким образом, это отображение также не. за-
висит от выбора локальных координат, и мы приходим к сле-
дующему выводу.

Предложение. Всякое гладкое отображение f:Np-+M"
гладких многообразий однозначно определяет гладкое отобра-
жение f,’.TNp-+TMn, называемое касательным к f. Каждое ка-
сательное пространство TqNp при помощи f, линейно отобра-
жается в пространство Tf(Q}Mn,

Сравнивая (2.2) с формулами

Ди' == (du‘/dta)Q Ыа + а'р,

где рвУ2(Д/°)2, а‘->0 при р-*-0, видим, что гладкое отображе-
ние f <в главном» характеризуется касательным отображением
f. (2.2).

Отметим два частных случая.

Поле вещественных чисел R^R1 является одномерным
гладким многообразием с канонически заданной картой и в то
же время одномерным векторным пространством с заданным
базисным вектором 1. В силу этого все касательные простран-
12
< гва к R1 отождествляются между собой и с R1, т. е. FR'^R'X
XR1. Гладкая функция на гладком многообразии Л4П — это
гладкое отображение f:Mn->Rl, a f.: 7'Mn->-7’R’s*R1XR1 распа-
дается на два отображения, одно из которых равно fop, а дру-
гое обозначается через df и называется дифференциалом функ-
ции f. Значение df для вектора ХеТМп называется производ-
ной функции f по вектору X и обозначается через Xf. В согла-
сии с (2.2) будем иметь

Xf--^-g'	(2.3)

ди1

в каждой карте.

У числового интервала /cR1 также все касательные прост-
ранства тождественны между собой и с R1. Для гладкой пара-
метризованной кривой у:1-+Мп у* Для каждой точки t^I
определяется вектором у.(1), который в силу (2.1) имеет в
каждой системе координат, определяемой картой (С/а, фа),
у(/о)е(/а компоненты du‘ldtt т. е. является касательным век-
тором к кривой.

Важным свойством касательного отображения является его
наследственность, или «функториальность»’. для двух гладких
отображений f:№-+Mn и	и их композиции F*

-+S9 будем иметь	Предоставляем читателю до-

казать это самостоятельно, используя локальные записи отобра-
жений f, F, F*f в окрестностях точек Qe№, f(Q)eMn,
F(f(Q))eS’ и формулы дифференцирования сложных функций.

| 3. ТЕНЗОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ Н ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ.
ПРОСТЕЙШИЕ дифференциальные
ОПЕРАЦИИ

Мы видим, что дифференциальное исчисление на многооб-
разии с первых шагов связано с рассмотрением линейных про-
странств и их линейных отображений. Поэтому все основные
объекты и конструкции линейной алгебры с необходимостью
переносятся в дифференциальное исчисление. Только рассмат-
ривать их приходится не в одном векторном пространстве, а,
при возможности, сразу во всех касательных пространствах к
многообразию.

Мы хотим рассмотреть ряд примеров. При этом будем в
более отчетливой форме, чем ранее, использовать тот факт, что
всякая карта ((7а, <ра) на многообразии Мп, вводящая локаль-
ные координаты и', определяет в каждом касательном простран-
стве TqMn, QeUa лниейиый базис, относительно которого ка-
сательные векторы имеют введенные выше компоненты Век-
торы этого базиса обычно обозначаются через д!ди'.
На t/аП^о в согласии с (2.1) выполняются уравнения

д______ди*	д

дч‘	dvl	ди*

(3.1)

В двойственном к Tq пространстве (TwM)qM существует
двойственный базис, образованный линейными функциями О',
удовлетворяющими условиям

(ed-M =61-

\ I ди* )	*

Вследствие (2.3) для дифференциала df функции f на 1/«
имеем

\ I ди* / ди* ди*

В частности, (du‘ | —— 'l =	— 61, т. е. 0*=rfu<

\	| ди* ) дик я

Вспомним некоторые понятия линейной алгебры. Линейная
функция со иа векторном пространстве Vя сопоставляет всяко-
му вектору Хе Vя число (w|X)eR, причем

(ш|ХХ+рУ)-Л(©|Х)+р(©|У)> УХ.ГеУ", VZ,MeR. (3.2)

Если в Vя задан базис e/eVn, i—1, .... п, то в силу свой-
ства линейности (3.2) для X=g'e, будет (© |Х) = (© |е(), так
что о» однозначно определяется числами (компонентами) а,=
=»(t)|e,). Аналогично, для р-линейной функции 0, т. е. для
функции от р аргументов из Vя, линейной по каждому аргу-
менту, будем иметь

(ОIX.....Х)=(0|6‘.е/......=	. 54

(I)	О» (1)	(Р) р	₽(1)	(р)

где X — l‘aei , а = 1, ... ,р, ie=l.п и а,=(0|etl,... ,е{р).

(а) (а) ®	р

Следовательно, 0 однозначно определяется числами d,t.По-
лилинейные функции называют также тензорами типа (0, р) иа
Vя, а числа — компонентами тензора относительно ба-
зиса е(еУя. При замене базиса

'е<-А*ек	(3.3)

новые компоненты а<„..,р = (0Г......'е^	выражаются через

старые по формулам

=а*,..лрА*‘ ,.А*р.	(3.4)

Совокупность тензоров типа (0, р) иа Vn образует, в смысле
сложения функций и умножения их иа число, линейное про-
странство Vn, в котором будут, координатами отно-
сительно базиса, соответствующего базису e^Vn.
Пространства 7*‘°> Va включаются в более широкий класс ли-
нейных пространств Т<«Vn (р, <?=0, 1, 2, ...p+q>0), инвари-
антно связанных с V", называемых пространствами типа (р, <?)
и допускающих следующее формальное определение.

Определение. Тензором типа (q, р), p+q>G на вектор-
ном пространстве Уп называется объект Й, для каждого бази-
са e^Vn задаваемый числами (компонентами)
ia,^=1, ..., п, причем компоненты одного и того же тензора
относительно двух базисов е(- и 'ei связаны между собой форму-
лами

a?* -."‘я А'1 ...	...Акя,	(3.5)

1 р 1 р <1	ip	q

где (Л?) — матрица из (3.2), а (А?) — обратная матрица. Тен-
зорами типа (0, 0) принято называть числа основного поля R.

Нетрудно проверить, что полилинейные функции от аргумен-
тов из некоторых пространств Vn со значениями также в
некотором пространстве сами являются тензорами типа
(а, Ь), а и b определяются типами аргументов и значений*
функции.

Теперь становится обоснованным следующее определение.

Определение. Тензором типа (q, р) в точке QeM” назы-
вается объект Й, для каждой карты (Ua, <р«), Qe(/a задавае-
мый пр+<г числами (компонентами)	причем компоненты

одного и того же тензора относительно двух карт связаны меж-
ду собой формулами

ди1 ди'р до*1 до 4

4 . >, • • ’	, ’i	.~m, • ’ ' , m •

р	р до до Р ди	ди я

(3.6)

Очевидно, касательные векторы являются тензорами типа
(1, 0). Для совокупности Т*р>(ТцМп) тензоров типа (q, р)
в точке QeM” принято более короткое обозначение

Определение. Тензорным расслоением типа (q, р) над
многообразием Мп называется совокупность	всех

тензоров типа (q, р) во всех точках многообразия Мп.

Совершенно так же, как для касательного расслоения
ТМа ж Мп, в Т^Мп вводится структура гладкого много-
образия, гладкий атлас которого можно построить над любым
гладким атласом ((7а, <ра) многообразия Мп, сопоставляя каж-
дой карте (7ec:Mn, <pa:t/a-*Dac:Rn с локальными координатами
и‘ карту + ((Ujp, (Ф)’), (Ujp = р-' (Ua) с 7>«", (4>а)| =
-► DaR"₽+eс Rn+n₽+’с локальными координатами и‘,и
формулами перехода (1.1), (3.6). Здесь р:Т^М"-+М1’—
гладкая проекция, ставящая в соответствие каждому тензору
точку, в которой он задан. Построенные таким образом карты в
Т(р)М" являются привилегированными, так как характеризуют
слои p~'(Q) как линейные пространства тензоров, со всеми их
алгебраическими свойствами.

Имеет смысл рассмотреть еще одно построение, аналогичное
предшествующи^ Как известно, базисом, или репером, в век-
торном пространстве Vn называют п линейно независимых век-
торов.

Определение. Расслоением касательных реперов 1-го по-
рядка над гладким многообразием Мп называют совокупность
Н'Мп всех базисов во всех касательных пространствах много-
образия Мп.

Мы знаем, что карта (U4, <рв) определяет в каждой точке
Qe(7o касательный репер {д/ди1}, называемый натуральным ре-
пером. Векторы любого другого репера выражаются формула-
ми е(-—	СЛ=1, ..., п, причем матрица (и?) удовлетво-

ряет лишь условию невырожденности

det (u*‘) 4*0.

На пересечении двух координатных окрестностей будем
иметь также равенства	^et (Vi<) *0. Пользуясь

(3.1), отсюда получаем

Отсюда, рассуждая, как выше для касательного или для тен-
зорных расслоений, приходим к выводу, что НхМп обладает
структурой гладкого многообразия размерности п+п2, опреде-
ляемой для каждого атласа (£/», <ра) на МЛ гладким атласом
(t?«. Ф«), где

Uа = Я-» Ua а Н1М", фв: Ua -* Deх Aac:Rn х Rn2 ~ Rn+n2.

Здесь л:Н'Мп-*-Мп — естественная проекция, D[1=<pa((70l)c:Rn,
а Да выделяется в Rn* с координатами и? неравенством
det (и?) 4*0. На пересечении двух координатных окрестностей
DaflC/p ' локальные координаты (и{, и*1) и (и*, и*') связаны
между собой формулами (1.1) и (3.7).

Известные алгебраические операции над тензорами линей-
ных пространств полностью переносятся на тензорные расслое-'
иия. Обратимся к дифференциальным операциям.

Говорят, что на многообразии задано векторное поле, если в
каждой точке QeMn задан . касательный вектор X^TqM*.
В каждой координатной окрестности Ua поле задается п функ-
циями

H'ju1,...,#»),	(3-8)
связанными на пересечениях двух окрестностей (7ОП^ соотно-
шениями (2.1), (1.1). Поле имеет гладкость Cs, если все функ-
ции (3.8) непрерывно дифференцируемы не менее s раз. Мы
можем все эти понятия выразить более кратко.

Определение. Векторным полем класса Cs называется
отображение Х:Мп-+ТМп класса гладкости ‘С* и такое, что
р°Х:Мп-+Мп является тождественным отображением.

Аналогично определяется тензорное поле произвольного ти-
па (<?, р).

Простейшими дифференциальными операциями над тензор-
ными полями являются рассмотренные выше: операция диффе-
ренцирования функции, сопоставляющая функции f — тензор-
ному полю типа (0, 0) — тензорное пЬле df типа (0, 1) с ком-
понентами at=df/dul в каждой карте, и операция Xf, сопостав-
ляющая функции f и векторному полю X новую функцию
на Мп.

Отметим свойства этих операций

d(f+<p)=df+d<p, d(f-q>)—fdrp+q>df,

X (f+ф) =Х/+Хф, X (f • (f) =f • Х(р+ц> • Xf,

(X+Y)f=Xf+Yf.

Следующими по значению являются операции коммутирова-
ния двух векторных полей и внешнего дифференцирования ко-
векторного поля (тензорного поля типа (0, 1)).

В каждой карте компоненты коммутатора [X, У] двух век-
торных полей с компонентами Х{£*} и У{т]4} равны по определе-
нию

? =J?aL =хп'-П'.	(3.9)

ди* ди*

Для доказательства корректности такого определения за-
метим, что на пересечении двух координатных окрестностей

' V = Х'ц‘ —Y'g = (Xtf -Y&)	+

оия

+ -------------

Д дикди1	дикди1 )

Но вторые слагаемые равны нулю в силу независимости вто-
рых производных от порядка дифференцирования. Следова-
тельно, fS‘) и {$*} связаны между собой по закону (2.1).

Значение операции коммутирования отчасти выясняет тож-
дество

[X, Y]f=X(Yf)—Y(Xf),	(3.10)

справедливое для любой функции f на Мп. Из (3.9) и (3.10)
вытекают равенства

2 Зак. 523

17
[Xi+Xu У]-[Х, П+(Х, 11. [X П-П. X.

t/.X, <p-y]=f-(X<p)-y-<p. (y/)-X+f-4>[X, У],

[[X, У], ZJ+НУ, Z], X] + [[Z, X], У]=0,
связывающие любые векторные поля и функции на Мп.

О внешнем дифференцировании см. гл. IV, § 1.

Тензорные поля принадлежат к простейшим дифференци-
ально-геометрическим структурам на многообразиях. Приведен-
ные примеры лишь в малой степени открывают перспективы для
решения поставленной задачи — определения достаточно об-
хцих и эффективных методов изучения дифференциально-геомет-
рических структур с помощью дифференциального и интеграль-
ного исчисления. В последующих главах вводятся общие поня-
тия и конструкции, постепенно подводящие к намеченной цели.
Глава II

РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ ОБЩЕГО ТИПА И
ЛОКАЛЬНО ТРИВИАЛЬНЫЕ РАССЛОЕНИЯ

Термин «расслоение» не случайно встречался в предшест-
вующем тексте. Мы приступаем к рассмотрению класса много-
образий, объединяемых этим понятием и играющих основную
роль в дифференциальном исчислении иа многообразиях.

Пусть р:Е-+М — гладкое отображение (п+т)-мерного мно-
гообразия Е на все многообразие М размерности п. будем, для
наглядности, предполагать т>0, хотя случай т^=0 тоже мож-
но было бы охватить последующими рассмотрениями. Пусть

i=l....п,

и'=иг(од),	(1.1)

А—1,..., п+т,

локальная запись отображения р в окрестности точек SeE и*
Q=p(S)eM. Будем называть отображение р регулярной суб-
мерсией, если якобиева матрица (duVdv4) имеет максимальны#
ранг п для любой локальной записи отображения р. Это опре-
деление корректно, так как при переходе к другим локальным
координатам в Е и в М матрица умножается слева и справа
на невырожденные якобиевы матрицы порядков п и п+т.

Определение; Гладким расслоением общего типа будем
называть многообразие .Е(М, р) с заданной регулярной суб-
мерсией р иа' многообразие М. М называется базой расслое-
ния, множества p~i(Q), Q&M, — его слоями.

По теореме о неявных функциях в некоторой окрестности
точки 3 уравнения (1.1) можно разрешить относительно каких-
то п аргументов v{ среди vA, т. е. существуют функции

и“),	(1.2)

гладкие в некоторой области VcR»XR* измеиеиия перемен-
ных uk, va, где а пробегает значения, дополнительные к значе-
ниям i среди 1, ..., т+п. Иначе говоря, формулы (1.Г), (1.2)
задают диффеоморфиое соответствие между (п + т)-мерными об-
ластями измеиеиия переменных о1, о* и и1, va. Это значит, что в
некоторой'окрестности W точки SeE существуют локальные
координаты, часть которых (i?) является локальными коорди-
натами области p(W)aM, а само отображение р определяется
равенством этих координат у прообраза и образа. Такие ло-
кальные координаты, как и сами иводящие их'карты, иазывают-
2*	1»
ся адаптированными к расслоению. Мы видим, что общее глад-
кое расслоение обладает атласом из адаптированных карт, оп-
ределяющим ту же гладкую структуру на Е, что и исходный
атлас. В дальнейшем адаптированные координаты будем обо-
значать одинаковыми буквами (uf, м“) или (и', иа) и считать,
что i=l, ..., п, а=п+1, ..., п+т, причем первые п координат
являются одновременно локальными координатами на Мп. На
пересечении двух координатных окрестностей для двух адапти-
рованных карт формулы перехода (1.1.1) имеют вид

uft).	(1.3)

В окрестности точки SeE(Af, р) пересечение слоя р^,(Р(5)) с
координатной окрестностью адаптированной карты задается
уравнениями u'=uo', а м“ являются локальными координатами
некоторой /n-мерной карты на слое. На пересечении двух таких
координатных окрестностей формулы перехода задаются обра-
тимыми уравнениями va=ua(u\ uok). Таким образом, на каж-
дом слое p~'(Q), Q&M, индуцируется структура гладкого
/n-мерного многообразия. ,

Переходя к понятию локально тривиального расслоения, на-
до помнить, что на декартовом произведении MXF двух глад-
ких многообразий размерностей пит канонически определяет-
ся структура гладкого многообразия, если гладким атласам на
М и на F сопоставить гладкий атлас на MXF, координатные
окрестности которого являются всевозможными' декартовыми
произведениями координатных окрестностей в М и в F, а отоб-
ражения в Rn+m образованы отображениями сомножителей в
R" и Rm и перемножением образов, индуцированным перемно-
жением R’»XR’B=Rn+m.

MXF, в силу канонических проекций pi иа М и рг на F,
двумя способами можно рассматривать как расслоения с база-
ми М и Г. Такие расслоения называются тривиальными.

Пусть Е(М, р) — гладкое расслоение общего типа, а F —
гладкое m-мерное, многообразие. F-картой (U, Ф) в расслоении
Е будем называть диффеоморфизм p~l(U) на UxF, где U —
открытое множество в М и коммутативна диаграмма гладких
отображений

ф

р~' (U)-^UxF

kc/л.1

Последнее означает, что отображение Ф слои над точками
QeU при отображениях р и pi диффеоморфно отображает друг
на друга.

Гладким F-атласом на Е(М, р) называется набор F-карт
((7a, Фа) такой, что (J Ua=M.

a
Определение. Гладкое расслоение Е(М, р) называется
гладким локально тривиальным расслоением с типовым слоем
F, если на нем существует гладкий F-атлас.

Такие расслоения обозначаются символом Е(М, F, р).

Пусть (Ua, Фв) и (Uf, Ф>) — две F-карты в Е(М, F, р),
причём UaftUt не пусто. Мы будем иметь два диффеоморфизма

ф

|-S(t/anUp)xF

р-‘ (1/аПЦО

U*(t/«nt/p)xF.

фр

В силу того что Р1°Фа==Р1°Ф(1, диффеоморфизм Ф^-Ф^Фв-1
пространства (Ua,(\Ut)XF на себя является послойным, т. е.
переводит каждую точку в точку, имеющую ту же проекцию pi
в UaftUfi. Иначе говоря, Фрв определяет отображение фра^аП
nt/p->Diff F и само определяется этим отображением. Здесь
Diff У7 — группа всех диффеоморфизмов многообразия F.

Отображения Фро, определяемые данным F-атласом расслое-
ния, удовлетворяют следующим очевидным равенствам:

О Фаа~	2) Фар = (Фра)-1;

3) Фу0 ° Ф[$а = Фуа иа ^аП^рП^у»

Т. е. Фау° фур ° фра — id(l/ani/pni/v)XF-

Аналогичным тождествам

Taa^idp, фар = (фра)-1 > фау'фур'фра =	(1.4)

удовлетворяют отображения фар, причем место композиций отоб-
ражения и обратного отображения занимают операции умно-
жения и переходы к обратному элементу в группе DiffF.

§ 2. ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ СО СТРУКТУРНОЙ
ГРУППОЙ ЛИ

В геометрии главным образом рассматриваются локально
тривиальные расслоения, задаваемые F-атласами, для которых
значения всех функций фвр принадлежат заданной подгруппе
Gar Diff F, являющейся группой Ли преобразований многообра-
зия F.

В этом случае будем говорить о локально тривиальном рас-
слоении Е(М, F, G, р) с базой М, проекцией р, типовым слоем
F и структурной группой Ли G преобразований слоя, а коро-
че — о расслоении со структурной группой G.

Вспомним основные понятия, относящиеся к группам Ли.

Группа G называется группой Ли, если она является глад-
ким многообразием некоторой размерности г, а операции умно-
жения и перехода к обратному элементу у, и /о
ц: (GXG)->G,

J0:G->G,

ц(а,Ь)=аЬ, J0(a)=a~,t Va,be^

являются гладкими отображениями.

Группа Ли преобразований многообразия F задается глад-
ким отображением

/:GxF-*F	(2.1)

((a,х) -+t(a,x) = tax, Va&G.x&F),

где G — группа Ли, удовлетворяющим следующим условиям:

1)	При любом фиксированном а х-*4ах является диффео-
морфизмом.

2)	Для любых a.'beG, xeF, tbtax=tbax. При этом говорят,
что группа G действует на F слева. Если вместо этого имеем

2') tbtaX=tabX, группа G действует справа.

Группа G действует на F точно, если условию tax—x, Vxe
@ F удовлетворяет лишь а=е (единичный элемент).
В дальнейшем, если не оговорено противное, будем иметь в ви-
ду лишь точные левые действия групп Ли.

Как известно, классической областью геометрических ис-
следований являются свойства пространств, инвариантные от-
носительно той или иной группы их преобразований, как пра-
вило, группы Ли. Так что слои расслоения со структурной груп-
пой несут заданную геометрию, не зависящую от выбора г-ат-
ласа в расслоении.

Для расслоений со структурной группой G диффеоморфиз-
мы Ф«хР задают отображения q>es:(7en{7s->-G, являющиеся глад-
кими. Для них выполняются свойства (1.4), где вместо idp мож-
но писать eeG.

Примерами расслоений со структурными группами являют-
ся касательные, тензорные расслоения и расслоения реперов,
рассмотренные в I главе. Действительно, каждую карту коор-
динатного атласа (Оа, Фо) касательного расслоения присоеди-
ненного к атласу (Ua, <pa) многообразия Мп можно одновре-
менно рассматривать как г-карту расслоения ТМп с базой Мп,
проекцией р, типовым слоем Vn=Rn и группой GL(n) всех ли-
нейных преобразований Vn, изоморфной группе всех невырож-
денных квадратных матриц (Л?) порядка п. При этом роль
функций перехода фор иа {7о(](7р выполняют якобиевы матрицы

.....и»),	(2.2)

* ди1

Свойства (1.4) выражаются равенствами
дик у, / ди1 \	/ д& 1

ди! l' \ дик )	\ дик J

VU„и,.£/,<=«”.
ди* ди1 ди1
Тензорные расслоения 7^’|Afn имеют ту же структурную груп-
пу GL(n) и те же функции перехода (2.2), а типовым слоем
является векторное пространство с действием GL(n) по
закону. (1.3.5). В расслоении Н'Мп структурная группа та же, а
типовым слоем является сама группа GL(n), на которой дейст-
вие определяется левыми сдвигами tab=ab, a, freGL(n), т. е.
по формулам

§ 3. МОРФИЗМЫ РАССЛОЕНИИ. ПСЕВДОГРУППЫ
ЛОКАЛЬНЫХ АВТОМОРФИЗМОВ

Среди гладких отображений одного расслоения в другое вы-
деляются отображения, согласованные с той или иной рассло-
енной структурой в них. Такне отображения называются мор-
физмами расслоений.

Определение. Морфизмом общего гладкого расслоения
pi) в общее гладкое расслоение Е2(М2, р2) называется
гладкое отображение %:Ei-*-E2, при котором точки, принадле-
жащие одному слою pi~*(Q), Q&Mi, всегда отображаются в
точки, принадлежащие одному слою р2~1(Р), Р&М2. Тем самым
определяется отображение xo:Afi->^f2, такое, что Хо°Р1“Р2°Х-
В атласах, адаптированных к расслоениям Et и Е2, локальные
записи морфизма имеют вид

ue=u“(F, ta),

(ЗЛ)
u‘=u‘(/e),

где ta — локальные координаты на Мь а и1 — на М2.

Отсюда следует, что отображение Хо ймеет класс гладкости, не
меньший чем х-

Определение. Морфизмом гладких тривиальных расслое-
ний Ei==MiXF1-»-E2=Af2XF2 называется гладкое отображение
Х==х'°Хо, где хо:Л11ХЕ1-*-Л12ХЕ|, x'^XF^MjXFs, причем хо
гладко отображает Mi в М2 и тождественно на F'i, a х' тожде-
ственно на М2 и гладко отображает Fi в F2.

Определение. Морфизмом х локально тривиальных рас-
слоений Ei(Mi, Ft, pi)-*E2(M2, F2, p2) называется морфизм рас-
слоений, для которого определено гладкое отображение типо-
вых слоев х' Pi-*-Fi> причем для любой точки SeEi и любой
Fi-карты ((7а,, Фа,), S<= р~' (Ua,) расслоения Ei найдется
Ег-карта (Vj,, <Dj.) расслоения Е2, такая, что х (s) е и наД
некоторыми окрестностями точек pi(S) н рг(х(^))

(x'0Xo)0®a.=®e,0X

в смысле предыдущего определения. Здесь xo*^i-*-Af2 индуци-
ровано морфизмом х*
Прежде чем охарактеризовать морфизмы расслоений со
структурными группами, дадим следующее

Определение. Морфизмом пространств, преобразуемых
группами Ли, называется совокупность гладкого отображения
0:Fi->-F2 и гомоморфизма групп Ли /i:Gi-*G2, таких, что

Здесь /1: FiXGi-»-/7!. h'- F2XG2-+F2 определяют действия групп.

Определение. Морфизмом	Flt Gi, р)->-

->£2(Л!2, £2, G2, Р2) гладких расслоений со структурными груп-
пами называется морфизм локально тривиальных расслоений
с соответствующими отображениями	и х/:£1-*£2»

для которого определен гомоморфизм Ax:Gi->G2 так, что х'
является морфизмом многообразий, преобразуемых группами
Ли.

Для морфизмов перечисленных классов естественно опреде-
лены их композиции, не выводящие из заданного класса мор-
физмов. Представляет интерес выделять другие подклассы мор-
физмов, замкнутые относительно композиции .(подкатегории
морфизмов). В первую очередь нас будут интересовать авто-
морфизмы расслоений различных классов, т. е. взаимно-одно-
значные морфизмы на себя.

Автоморфизмами общего гладкого расслоения Е(М, р) бу-
дут диффеоморфизмы, перестановочные с проекцией р, т. е.
отображающие слои на слои и индуцирующие диффеоморфиз-
мы хо базисного многообразия. Автоморфизмы образуют груп-
пу (Aut£, М, р), содержащую нормальную подгруппу
Aut0(£, М, р) морфизмов, тождественно действующих на ба-
зе М.

Тривиализацией локально тривиального расслоения
Е(М, F, р) называется взаимно-однозначный морфизм его на
тривиальное расслоение MxF. Тривиализация позволяет вся-
кий автоморфизм расслоения задать с помощью диффеомор-
физма хо базы и отображения Af->DiffF.

Чтобы это был автоморфизм гладкого расслоения со струк-
турной группой, надо, чтобы диффеоморфизмы слоев перево-
дили левый сдвиг в F снова в левый сдвиг, т. е. чтобы они
принадлежали нормализатору JV(G) группы G в группе DiffF.
Если расслоение Е(М, F, G, р) тривиализовано, то автомор-
физм задается диффеоморфизмом базы М и гладким отображе-
нием М в N(G)cDiff F. В группе автоморфизмов тривиализо-
ванного расслоения со структурной группой содержится под-
группа, определяемая отображениями не в N(G), а в группу
внутренних автоморфизмов G. Эта подгруппа удобна тем, что
она одинакова для всех ассоциированных между собой рассло-
ений (см. ниже).

Для целей локального исследования дифференциально-гео-
метрических структур требуется привлекать локальные авто-
морфизмы расслоений.
Определение. Локальным диффеоморфизмом расслоения
Е(М, р) называется диффеоморфизм его открытых мно-
жеств U, переводящий точки, принадлежащие одному
' слою, в точки, также принадлежащие одному слою над М.
Тем самым определяется диффеоморфизм открытых множеств
fo’-p(U)-*-p(V), такой, что fo°p=p°f.

Для локально тривиальных расслоений представляют инте-
рес локальные автоморфизмы более частного характера.

Определение. Локальным автоморфизмом локально три-
виального расслоения Е(М, F, р) называется диффеоморфизм-
%:р—* (С/1)—*-Р“* (С/2), согласованный с диффеоморфизмом
%0‘Ui-*-U2, где Uit U2 — открытые множества в М.

Пусть (Vb Ф1), (V2, Ф2) — F-карты в Е(М, F, р), такие,,
что Se(7i("|Vb

На p~l(W), lV'=171nVIrixo_I(172nV2) отображение х опре-
деляется послойным диффеоморфизмом Ф2°Х°Фг1:^Х^->-
-►Xo(^)XF и, тем самым, диффеоморфизмом хо и отображени-
ем	F. Пару (хо, хЭ можно назвать локальной

записью локального автоморфизма в окрестности точки Sc
czE(M, F, р). Очевидно, локальная запись существует для лю-
бой точки Sep-1 (С71). Локальные автоморфизмы расслоений
Е(М, F, G, р) со структурной группой определяются аналогич-
но, при условии, что F-карты принадлежат атласу, адаптиро-
ванному к структуре расслоения, и что отображения х' прини-
мают значения в группе GcDiff F.

Полезно еще следующее относящееся к расслоениям поня-
тие. Универсальной картой локально тривиального расслоения
(U, Ф) называется диффеоморфизм p~l(U) на DxF, где D —
область в Rn. При этом определен диффеоморфизм Фо:(7-»-2>
такой, что Фо°р=Р1°Ф на p~'(U). Здесь рь как всегда, проек-
ция DxF на D.

Теперь рассмотрим вопрос об определимости расслоения
Е(М, F, G, р) со структурной группой заданием функций пере-
хода <pa₽:t7af|t7₽-+-G и точного действия t группы G в F.

Теорема. Пусть заданы точное действие

t:GxF~*F

группы Ли G на многообразии F, покрытие многообразия М от-
крытыми множествами Ua и гладкие отображения $aj>: 17Bnt7s-*
-+-G, VGB, Uf, удовлетворяющие условиям (1.4), где под
idf надо понимать единицу группы G. Тогда существует глад-
кое расслоение Е(М, F, G, р) с данными М, F, G и данными
функциями перехода фар. Два расслоения, определяемые этими
условиями, связаны сзаимло-однозначным морфизмом Н рас-
слоений со структурной группой, тождественно действующим
на М.

Подробное доказательство этой теоремы приведено в ряде
основных монографий по дифференциальной геометрии и топо-
логий [16, 17, 18]. Мы приведём здесь основные этапы дока-
зательства.

1.	Рассматриваются совокупность тривиальных расслоений
Ea=UaXF и их объединение £=(U^a)XF, где пространства
Ua объединены свободно, т. е. без учета их пересечений в М.
Е несет структуру расслоения £(Uf4, F, G, р) со структурной
группой G.

2.	Определяется отношение между точками из Е по правилу
(Р, х) ~ (Q, у), если: a)	Qet/P определяют одну и ту

же точку в t/an£/feA4 и б) У—^а&(Р)х- Проверяется, что ус-
ловия (1.4) в точности означают, что это отношение удовлетво-
ряет условиям рефлексивности, симметричности и транзитивно-
сти, т. е. является отношением эквивалентности и определяет
множество классов эквивалентности Е с естественной проекцией
q: £-*£.

3.	Проверяется, что р и q однозначно определяют отображе-
ние р'.Е-ь-М. Отображение q определяет взаимно-однозначиое
-соответствие Фо-’: Ua X F-^p-1 UaczE.

Если открытыми множествами в Е объявить те и только те,
пересечение которых с каждым подмножеством p~lUa соответ-
ствует открытому множеству в UaxF, Е становится топологи-
ческим пространством, в котором образы карт многообразий
UaXF задают гладкий атлас и гладкую структуру.

Отображения Фв определяют на Е F-атлас.

4.	Проверяется, что для этого атласа функции перехода

Фа₽ = ^<рлр.

т. е. Е действительно является расслоением с искомыми свой-
ствами.

5.	Пусть два расслоения Е(М, F, G, р) и Е'(М, F, G, р')
определяются F-картами (t/B, Фв) и (Uat Фв') соответственно,
с теми же открытыми множествами Ua и функциями перехода
Фа»=Фа°Ф₽-1, ФВ(/=ФВ'° (Ф/)-1, определяющими те’же функ-
ции <poS:	Для каждой Ua определим послойный диф-

феоморфизм ЯО=(ФО')-1°ФО: p~lUa-*-(p')~lUa. На пересечении
Ua(\Ut определено также Я₽“(Ф/)-1°Ф(1. В силу определения
фра = фр 0 Ф„ 1. Нр = (Фа)—1 ° Фар ° фра° С$а^-1<,^ар(Р)°^’1’ра(Р)0®а=
“(Фа)”1 °Фа=Яа наД всякой точкой PeGB(it/₽. Тем са-
мым однозначно определяется послойный диффеоморфизм
Е(М, F, D, р) на Е'(м, F, G, р'), равный На на каждом p~lUa,
что заканчивает доказательство теоремы.

Доказанная теорема играет существенную роль в геометрии.

Следствие — определение. Пусть нам дано некоторое
расслоение Е(М, F, G, р) со структурной группой G. Тогда для
всякого левого действия s:GxF'-+F' группы G на многообра-
зии F'. определено расслоение Е'(М, F', G, р') с той же базой,
что у исходного, и теми же функциями перехода <рв₽ на соответ-
26
ствующем покрытии {Ua]czM. Это расслоение называется ас-
социированным с исходным.

Понятие ассоциированности имеет естественный геометриче-
ский смысл. Ведь если задано одно точное действие группы Ли
G на многообразии F, другие пространства, на которых дейст-
вует G, как правило, реализуется в виде многообразий некото-
рых геометрических объектов в пространстве F. Расслоение с
типовым слоем F определяет и расслоение этих объектов, вве-
денных во всех слоях данного расслоения.

Среди левых действий данной группы Ли G особую роль иг-
рает действие ее иа самой себе с помощью левых сдвигов, кото-
рое получим, если в отображении, дающем умножение ц:бх
XG-*G ((a, b)-*-ab), будем считать левый прямой множи-
тель действующей группой, а правый множитель и образ — пре-
образуемым многообразием.

Соответствующее расслоение Е(М, G, G, р) называют глав-
ным расслоением с заданной группой G. Для него принято
особое обозначение Н(М, G, я), где я-=р.

Таким образом, всякое расслоение со структурной группой
ассоциировано некоторому главному.
Глава III

ТЕОРИЯ СТРУИ. ПРОДОЛЖЕНИЯ
РАССЛОЕНИИ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
СТРУКТУРЫ

§ 1. ПОРЯДОК КАСАНИЯ ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИИ.
ПОНЯТИЕ СТРУИ ОТОБРАЖЕНИЯ

В основе дифференциального исчисления на гладком мно-
гообразии лежит понятие порядка касания гладких отобра-
жений.

В пространстве Rn рассматриваем метрику

p(Pv ^)=пл. pji=

i=l

(«4/»,(«*)SR".

Определение. Пусть даны два отображения fk (6=1, 2)
класса Cs, s>l, fk'.U-+V, U — открытое множество в Rm, V —
открытое множество в R", /:(Р)=/2(Р)=ТеУ, P^U. Говорят,
что fi и fz имеют касание порядка hcs в точке Р, если
/.(Q)M=<HIpTQII‘ н а->0 при Q^P, Q<=U.

Лемма. Пусть fi, fz, U, V, Р, Т — те же, что и в определе-
нии, и пусть даны отображения Fit Fz'V->-R4, Г|(Г)=Г2(Т) =
= Z, /уеС*', причем fk имеют касание порядка h. в
точке Р, a Fk — касание порядка h в точке Т. Тогда отображе-
ния Fk°fk: t/-*R’ имеют касание порядка h в точке Р.

Доказательство. В обозначениях определения будем
иметь

IIFl(MQ)). f8(/8(Q))II=₽IIT,7(Q)||\

(1.1>

где ₽~>0 при fz(Q)-*-T, в частности при Q-+P.

FM fi(f8(Q))=^«»fi(MQ).f8(Q))+Yll/i(Q). /8(0)11,
где Ну11->0 при b(Q)->fi(Q), в частности при Q-*P, a Dmq) “
производная отображения Fi в точке fi(Q)eR”. Как известно,
существует A=const такое, что HPmqFHaMK А-1|X||, VXSR".
Следовательно,

11Л(/1(0)). Л(/8(0))Н=II/W1 f8(Q)) -ь

+YIIM0), f8(Q)ll<H^.<^i(/i(Q). /8(0))П +
28
+ IIyII-II(/i(Q). f8(Q))ll<H + |lYll)H/JQ), /,(0)11 =

=6(A + HyII)IIP. Qll*.	(1.2)

где S->0 при Q-+P.
Аналогично,

(Т/, (Q)) =DPf, (pTQ) 4-a || P^Q ||

«	_____>	(1-3)

l|7’/8(Q)||< И + ||a||) IIP, Q||,

где ||a||->-0 при Q->-P.

Из неравенства треугольника для левых частей (1.1), (1.2)
с учетом (1.3) будем иметь

ИЛ(/1(0)), ^8(/8(Q))ll<(I₽1 |(Л + II<хII)I + |6|(А +

+ IIYID) 11Л ОН*.

что и доказывает лемму.

Следствие. Пусть fh f2, U, V, Р, Т — те же, что в опре-
делении, fk имеют касание порядка h в точке Р. Если F: У->
-*1FcRn — диффеоморфизм областей V и ТГ, то отображения
Fofk'.U^-W имеют касание порядка h в точке Р. Если <p:Z-»-
— диффеоморфизм области ZcrRm на U, то отображения
/*»<p:Z->Rn имеют касание порядка h в точке <р_| (P)eZ.

Действительно, мы имеем здесь частные случаи леммы, при
которых отображения F* либо отображения fk совпадают меж-
ду собой.

Следствие — определение. Пусть fi, f2 — два глад-
ких отображения многообразия Nm в многообразие Мп. Будем
говорить, что fk (fe=l, 2) имеют касание порядка h в точке Р&.

если fi (Р) =,% (Р) =SeMn и локальные записи этих отоб-
ражений в картах (U, <р) на Nm и (V, Ф) на Мп, PeU, SeV
таковы, что отображения	DeRm, AeR”, <p(P)eDc:

c:<p((/), Ф(Т)еДс:Ф(У), /й=Фо/л°<р_1(1>) имеют касание по-
рядка h в точке <р(Р).

Действительно, из следствия леммы вытекает, что указанное
свойство отображений не зависит от выбора карт в окрестно-
сти точек Р и S.

Наряду с отображениями гладких многообразий друг в дру-
га мы часто в дальнейшем будем говорить о локальных отоб-
ражениях ДО”1 в Мп, т. е. об отображениях открытых множеств
многообразия Nm в Мп. Принципиально ничего нового это не
дает, так как открытое множество в гладком многообразии са-
мо является гладким многообразием. Но использование этого
Понятия упрощает многие рассмотрения.
Теорема анализа о локальной аппроксимации отображений
из R" в Rn с помощью формулы Тейлора утверждает, что среди
локальных отображений из Rm в Rn:

i=l, .... п; а-=1, .... т,	(1.4)

имеющих касание порядка h с данным отображением в данной
точке P(/o“)eRm, имеется ровно одно, задаваемое формулами
и1—ио1=и1 (t0—toa), i=l.....п; а=1,...,т,

в которых правые части — многочлены степени h без свобод-
ного члена. При этом коэффициенты многочленов — это, с точ-
ностью до фиксированных множителей, все частные производ-
ные функций (1.4) в точке Р до порядка h включительно.

Использование разложений Тейлора для локальных записей
позволяет тотчас же выяснить, что отношение между локаль-
ными отображениями из Nm в Мп, выражаемое условием
«имеют касание порядка h в точке PeWm>, обладает не толь-
ко свойствами рефлексивности и симметричности, ио и свойст-
вом транзитивности.

Определение. Струей порядка h из гладкого многообра-
зия Nm в гладкое многообразие Мп называется класс всех ло-
кальных отображений из Nm в Мп, имеющих в заданной точке
Р касание порядка h. Точка Р называется основанием струи,
точка SeMn, в которую Р переводится всеми отображениями
класса, — ее вершиной.

§ 2. РАССЛОЕНИЯ СТРУЙ ОТОБРАЖЕНИИ

Множество всех струй порядка h из N в М называется рас-
слоением струй порядка h и обозначается как Jh(N, М). Наша
очередная задача — показать, что Jk(N, М) действительно об-
ладает структурой гладкого расслоения с базой NXM.

Естественно определяется проекция ря° Jh(N, М) на NxM,
ставящая каждой струе в соответствие ее основание и вершину.

Рассмотрим для ясности случай h—\. Пусть (и, <р) и
(V, Ф) — карты в N и в М соответственно. Всякая струя отоб-
ражения, имеющего в окрестности точки P(tol, ..., tom)eU
локальную запись (1.4), определяется координатами точки Зе
eV, S(ul(toa)) и значениями первых частных производных
pi	Наоборот, для любых чисел ta, и1, ра1,

° \
о

е(/, {u'JeV найдутся функции (1.4), принимающие в данной
точке toa данные значения и0‘ и имеющие произвольно задан-
ные значения первых частных производных. Таким образом,
определено взаимно-однозначное отображение [<р, Ф11:
: (Р1°)“'(^Х l/)->-DxAXR'nncRmxRnXRm"=R'n+”+'nn, где Z>=
=<p(t/), Д=Ф(У). В дальнейшем поступаем, как при построе-
нии расслоений ТМ, М, Н1М в. гл. I.
Рассмотрим гладкие атласы (t/e, <ра) для N и (У>, Ф{)
для М.

Определим в Г (N, М) топологию, объявив открытыми те и
только те множества, пересечения которых со ' всеми
(pi°)-1(l/eX Vt) дают при отображениях [фа, Ф4р открытые
множества в R»»+’»+m’». В смысле этой топологии пары
((UxXVt)» (<Р«» $«]’) образуют атлас в P(N, М), как в много-
образии размерности т+п+тп. На пересечении двух коорди-
натных окрестностей (pi°)~l(Uax Vt) и (Pi0)-1 (t/PX Vn) с коор-
динатами (ta, и‘, ра‘) и (z°, v‘, qa{) соответственно будем иметь
2°=2°(/fe), Vi=Vi(uk)l

qi^pk^L^L	(2,1).

Ча Кь ди* д&	v '

,	.	dv1 дик dvl dtb \

(последнее - в силу формул

На пересечении любых трех координатных окрестностей фор-
мулы перехода (2.1) между любыми парами соответствующих
локальных координат будут согласованы между собой.

Тем самым P(N, М) получает структуру гладкого расслое-
ния с базой NXM и атласом, адаптированным к последова-
тельности отображений

рО f Л

P(N, М) —WxM

Ря

Построения для произвольного h ведутся аналогично. Над
каждой парой карт (Ua, <pe), (Vs, Ф1) струя порядка h с осно-
ванием в Ua и вершиной в задается набором чисел

Г, и‘, а, Л = 1.........й,	(2.2>

где ta соответствуют точкам из Ua, и1 — точкам из У{, а
Pai...aK симметричны по нижним индексам, а в остальном про-
извольны. Таким образом, определяются отображения
(рЛ°) -1 (Uа X Vj) на D х А X Rm(C»+*~,> с Rn+mC'>+*. На пересечении
двух множеств (рн°)~'(иаХVt) и (рь°)~1(С/|>Х V,) координаты
(2.2) и vl, z“, связаны между собой формулами (2.1) и
формулами, связывающими между собой частные производные
(до порядка h включительно) функций (1.4) при замене зави-
симых и независимых переменных (2.1). Поскольку все эти
функции перехода бесконечно дифференцируемы, то, рассуж-
дая, как в случае й=1, приходим к желаемому результату.

Теорема. Пространство Jh(N, М) струй порядка h отоб-
ражений из N в М представляет собой гладкое расслоение над
NxM, причем канонически определена последовательность
гладких отображений

рЛ-1	р1

Jh (N, М) -5—►	(N, М) ... —J1 (N, М) ->

р° ~ t

~-*-N х М

Р^Р°°Р2° •°р№0Р%-'>	(2.3)

в которой каждое предыдущее многообразие являетря гладким
расслоением над каждым из последующих. Построенный нами
атлас ((рл0)-1 (t/aX Vt), [фа, ФеР) адаптирован ко всем рас-
слоениям последовательности (2.3).

Рассмотрим более подробно последнюю часть доказательст-
ва теоремы, связанную с формулами преобразования координат
струи.

Согласно лемме композиции отображений fk:U-+V и
Fk:V-*-W, £=1,2, UciRm, VeRn, имеющих касания порядка
А, сами имеют порядок касания h в соответствующих точках.
Сравнение этого со способом, которым мы определили струи
отображений N-+M, приводит к заключению:

. Предложение. Для любых трех гладких многообразий
N, М, L канонически определена композиция

Kh (N, М, L) : (АГ, М) X mJ” (Af, L) (N, L),	(2.4)

ставящая а- соответствие каждой струе j\p, (N, М) с осно-
ванием в точке PaN и вершиной в точке S^M и каждой струе

 j\s,T) с основанием в точке S и вершиной в точке T^L
струю jh(p,T) с основанием в точке Р и вершиной в точке Т.

Эта операция индуцируется композициями гладких локаль-
ных отображений из N в М и из М в L.

Чтобы определить, каким образом выражается операция Kh
в построенных выше адаптированных координатных атласах
расслоений Jh(N, Л1), вспомним, что эти координаты являются
частными производными локальных записей отображений, при-
надлежащих соответствующему классу эквивалентности, т. е.,
с точностью до известных постоянных множителей, являются
коэффициентами многочлена степени h без свободного члена,
выражающего приращения локальных координат образа через
приращения локальных координат прообраза в окрестности
точки Р. Таким образом, координаты струи, соответствующей
композиции струй и j\s,T), находятся через координаты
компонент как коэффициенты q многочленов от пг аргументов'
без свободных членов, полученных подстановкой в q многочле-
нов без свободных членов степени h (относительно п аргумен-
тов) п многочленов степени h без свободных членов от m неза- ,
. висимых переменных и отбрасыванием в композиции членов сте-
пени выше h. Это правило по существу совпадаете правилом вы-
числения частных производных от композиции векторных функ-
ций при подстановке в функции от п аргументов функций от
т аргументов.

Отметим свойство ассоциативности операции Kh, вытекаю-
щее из свойств композиции отображений: для четырех много-
образий N, М, L, Н

Kh(Kh(Jh{N, М), Р(М, £)), JA(L, Н))==

ssKh(Jh(N, М),	L), Jh(L, Я))).	(2.5)

В расслоениях струй имеются важные классы подрас-
слоений.

Зафиксируем точку Q в многообразии М и рассмотрим огра-
ничение расслоения Jh(N, М) над многообразием (MxQ)c:
cz(NXM). Мы получим расслоение над N. Атлас на N и карта
(U, ср) на М (Q^U) определяют стандартным образом атлас
на Jh(N, М). Для другой точки QtsM и карты (Uit <pi), Qiet/i
имеем расслоение J(N, М) |Ql. Установив локальный диффео-
морфизм х класса Сж между областями Uo и Я0]| лежащими в
U и в l/i соответственно и переводящими Qi в Q, получим соот-
ветствие между локальными диффеоморфизмами открытых мно-
жеств многообразия N в Uq и в UOi и тем самым изоморфизм
между расслоениями

J'(N, M)|Q и Jh(N, M)9l.

Локальную запись этого изоморфизма получим при помощи
композиции между струями отображений из N в Uo, Uoi и ло-
кального диффеоморфизма х-

То же самое будем иметь, если точку Qi и карту (l/lt <₽i)
взять не в М, а в многообразии той же размерности п, что
и М. Поэтому расслоение этого вида определяют с помощью
некоторой стандартизации.

Аналогично, если зафиксировать в Jh(N, М) точку P&N,
ограничение Jh(N, М)|р будет представлять собой расслоение
над М, атлас в котором стандартным для Jh(N, М) образом
определяется картой (V, ф), PeVcM и атласом в М. Если
вместо N взять другое многообразие той же размерности т,
получим изоморфные расслоения. Поэтому целесообразно про-
вести стандартизацию: '

Определение. Расслоением m-скоростей в многообразии
М называется расслоение Т^М струй /А(0, Q) порядка h ло-
кальных отображений с основанием в нулевой точке OeRm и
вершиной в произвольной точке QeAf.

Например, векторные расслоения ТМ являются расслоения-
ми TilM в этом смысле.
§ 3. РАССЛОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ РЕПЕРОВ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
СТРУКТУРЫ

Наиболее интересным является случай, когда т=п.

В этом случае средн струй отображений выделяются струн
диффеоморфизмов.

Определение. Расслоением касательных реперов поряд-
ка h в многообразии Мп называется расслоение HhMn струй
/(О, Р) порядка h локальных диффеоморфизмов из окрестно-
стей нуля в R" на области в Мп, переводящие О в любые точ-
ки Р^Мп.

Как и в общем случае Т^Мп, касательные реперы выс-
ших порядков задаются относительно некоторой карты (U, <р)
с координатами v‘, P(vol, vn‘)e.U значениями производных
до порядка h включительно от функций, дающих локальные
записи

о‘=о*(и1, ип)

или обратнее соответствия

и‘=и*(о\ ..., ип),

—— )^0 (условие диффеоморфизма).
ди* /

Переход от одного репера к другому в той же точке инду-
цируется двумя локальными диффеоморфизмами окрестности
Р на окрестность OeRn. Эта пара диффеоморфизмов опреде-
ляет локальный автоморфизм R", сохраняющий нуль.

Если имеем три диффеоморфизма, то они определяют два
локальных автоморфизма и их композицию — третий авто-
морфизм.

Координаты третьего репера выражаются через координаты
первых двух по формулам композиции струй (2.4), которые в
данном случае имеют групповой характер, так как наряду с»
свойствами ассоциативности удовлетворяют условиям однознач-
ной обратимости.

Таким образом, слой расслоения fP'M является группой Ли
£>nh, называемой дифференциальной группой порядка h в «-мер-
ном многообразии.

Более того, HhM является главным расслоением
Н(М, Dnh, л). Действительно, каждый репер, как мы видели,
относительно каждой карты иа М задается своими компонен-
тами (частными производными функций u‘(vk)),a при переходе
к другой карте с координатами wk эти компоненты преобразу-
34
ются по формулам перехода, получаемым дифференцировани-
ем тождеств

ui—ui(wk)=ui(vt(wk))

до порядка h включительно.

П р едложение. НкМ является главным расслоением
Hh(M, Dnh, пн) над М с группой Ли Dnh. Имеет место последо-
вательность гладких морфизмов расслоений со структурными
группами

Н— 1	1

-* HhM ----->- Hh~'M	Н'М М, (3.1)

nh = Л О л! о . . . О Л*-? О Л*—1,
•*	х	ft—1 Л ’

в которой каждый предыдущий член является расслоением над
всеми последующими, с соответствующей последовательностью
гомоморфизмов групп Ли

+ PiT1 -> ...	= GL(n)-»-1.

Все рассмотренные нами до сих пор примеры расслоений, ка-
ноническим образом возникающих над многообразием М, были
расслоениями ТМ, Т^М, Т^М, ассоциированными с расслое-
ниями HhM, что естественно, так как каноническое присоедине-
ние означает инвариантность относительно локальных диффео-
морфизмов многообразия М, а группа Dnh как раз задает глав-
ные части диффеоморфизмов.

Это оправдывает основные в дифференциальном исчислении
на многообразии определения:

Определение. Расслоением дифференциально-геометриче-
ских объектов порядка h над п-мерным многообразием М на-
зывается всякое расслоение, ассоциированное с расслоением
И*Мп.

С этим согласуется

Определение. Дифференциально-геометрическим объек-
том порядка h называется элемент всякого многообразия F с
заданным действием на нем группы Dnh.

Одновременно дифференциально-геометрическим объектом
называется и всякий элемент-расслоения Е(Мп, F, Dn\ р).

Определение. Гладким сечением расслоения Е(М, р) с
базой М и проекцией р называется гладкое отображение
-*-Е(М, р), для которого p°<j=idM, т. е. для каждой точки Qe
еМ, o(Q}^.prl(Q). В дальнейшем говорим просто «сечение»,
всегда предполагая гладкость.

Определение. Дифференциально-геометрической струк-
турой порядка h, типа F на многообразии М называется глад-
кое сечение расслоения Е(М, F, Dnh, р) дифференциально-гео-
метрических объектов порядка h.

3*	35
§ 4. СТРУИ СЕЧЕНИИ И МНОГООБРАЗИЯ
АДАПТИРОВАННЫХ РЕПЕРОВ В РАССЛОЕНИЯХ

Пусть имеем расслоение Е(М, р) общего типа с базой М
и проекцией р. Поскольку сечения о:М-+Е(М, р), ро<з=ЦМ
являются частными классами отображений из М в Е(М, р),
совокупность струй сечений JhE(M, р) — это подпространство
в Jh(M, Е(М, р)). Для его изучения удобно пользоваться атла-
сом в Е(М, р), адаптированным к расслоению. В таком атла-
се, как известно, всякая карта (V, Ф) с локальными коорди-
натами и', иа задает одновременно карту (U, <р) в Л! с коорди-
натами и1, а сечения, проходящие через точку SeVcz£(Af, р),
имеют локальную запись

к“=ма(и'), 1=1, п; а=п+1, п+т.	(4.1)

Два сечения имеют в точке S(mo‘, «о“) касание порядка h
тогда и только тогда, когда правые части уравнений (4.1) для
них имеют в точке «о‘ одинаковые частные производные до по-
рядка h включительно. Следовательно, как и в случае общих
отображений из N в М, всякий адаптированный атлас в
Е(М, р) продолжается до адаптированного атласа в Jh(M, р)
с локальными координатами и1, иа, р*, ..., р® в каждой
карте, где симметричны ' по нижним индексам, а в
остальном произвольны. Значения этих координат для струи се-
чения, задаваемого уравнениями (4.1), равны частным произ-
водным'до порядка h включительно. На пересечении двух адап-
тированных карт эти координаты преобразуются между собой
по закону, по которому частные, производные функций, задаю-
щих одно и то же сечение, преобразуются при замене адапти-
рованных координат по формулам (П.1.4). Рассуждая в осталь-
ном так же, как для случая Jh(N, Af). приходим к результату:

Предложение. Множество JhE(М, р) (или, более кратко,
JhE) струй сечений порядка h имеет структуру гладкого рас-
слоенного многообразия над базой М, Более того, имеет место
последовательность гладких отображений

^j*E-?^-*-Jh~lE-*-...—-+JlE—-*-E(M, р)^М, (4.2)
в которой каждое предыдущее, многообразие есть расслоение
над каждым последующим.

На расслоении Ё(М, р) среди касательных реперов высших
порядков выделяются главные подрасслоеиия адаптированных
реперов.

Определение. Адаптированным репером порядка h в
точке 3&Е(М, р) к расслоению Е(М, р)' размерности п+т с
n-мерной базой М назовем струю порядка h локального диф-
феоморфизма из Rn+m с координатами а1, ..., ип+т в Е(М, р),
отображающего окрестность нуля на окрестность точки S та-
36
ким образом, что плоскости M‘=Mo‘=const, i=l, ..., п отобра-
жаются в слои расслоения, а нулевая точка — в точку S.

Два морфизма такого рода переводятся друг в друга одно-
значно определенным в окрестности нуля OeRn+m локальным
автоморфизмом расслоения Rn+m со слоями M‘=const, i=l, ...
..., п, которому соответствует и локальный автоморфизм рас-
слоения Е, сохраняющий точку S. В силу этого адаптирован-
ные касательные реперы порядка h в точке S образуют группу
Ли Dhn,mc:Dhn+m — дифференциальную группу порядка h рас-
слоения с n-мерной базой и m-мерными слоями.

В точках адаптированной к Е(М, Р) координатной окрест-
ности с координатами и1, иа адаптированный репер порядка h
задается числами и1, иа,	р .,.рл> А—-1, .... й,

ц = 1, ..., Л, |i симметричными по всем индексам k и
всем индексам ₽ и удовлетворяющими неравенствам det (v?) =#=(),
det (ар“) =#=0. Для каждого локальнрго морфизма указанного в
определении вида координаты v — частные производные соот-
ветствующих формул вида (II.1.4), задающих локальный мор-
физм.

В силу неоднократно приводившихся соображений приходим
к выводу:

Предложение. Множество Hhn,mE(M, р) адаптирован-
ных к расслоению Е(М, р) касательных реперов порядка h
представляет собой главное расслоение с базой Е(М, р) и
группой Dhn,m. Имеет место последовательность морфизмов
главных расслоений

л*-1	л°

->	5— Н^Е Н'птЕ -U Е (М, п) (4.3)

и соответствующая ей последовательность сюръективных гомо-
морфизмов групп Ли

“*	Dn,m —*... “+• Dn.m-

Заметим, что расслоение Hhn,mE(M, р) канонически отобра-
жается на расслоение HnhM, а группа Dhn,m — гомоморфно на
Dhn, образуя коммутативную диаграмму с (3.1) и (4.3).

Над йронзвольным гладким главным расслоением Н(М, G,
л) определяется последовательность продолженных главных
расслоений несколько иного типа.

Обозначим через ®п,о множество всех локальных морфиз-
мов х тривиального расслоения RnxG, имеющих вид

X: (AiXG)-*(A2XG), xU а) = (х'(*). x"W а)-

Здесь G — группа Ли, Дь Д2 — области в Rn, xeAi, aeG, а
Х'(*)»	— гладкие отображения Ai на Д2 и в группу G

соответственно.
Так как

Х(х, Ь) = (х'(х), x"(x)-b) = tf(x), [(х"(х)-а) • (а-'Ь)]),
то знание струи порядка h морфизма % в точке (х0, а0) одно-
значно определяет струи того же порядка в точках (х0, Ьо).
Это позволяет определить стандартную струю порядка h ло-
кального морфизма х в точке xeRn как класс локальных мор-
физмов, имеющих касание порядка h в точке (х, e)^RnXG.
Множество стандартных струй с фиксированными Хо и х'(*о)^
eR« имеет строение ZNXG. Здесь ZA'czRiV — область, коорди-
натами в которой являются значения частных производных до
порядка Л функций х'(х), х"(х) относительно координат в R”
и локальных координат в G. Область выделяется лишь услови-
ем невырожденности х'(х) (отличием от нуля соответствующего
якобиана).

Множество ®Я(0 обладает псевдогрупповыми свойствами:
тождественные локальные морфизмы принадлежат ®я,о, х при-
надлежит ®я,о_в месте с х-1> J1 Для ДВУХ морфизмов %: (AiXG)->-
-НДгХ/?) и_х: (AiXG)->-(A2XG) отображение х°Х:Х"'(А2П
ПА.)->х(А2, А.) также принадлежит ®я,о. Отсюда следует, что
совокупность стандартных струй порядка h в точке xosRn всех
локальных морфизмов, переводящих множество (х0, G) в себя,
образует группу Ли Dho,n- Имеет место последовательность го-
моморфизмов

G^-Dc.n-*-Dc,n• • • •	#	(4.4)

Определение. Универсальной картой главного расслое-
ния Н(М, G, л) будем называть обратимый морфизм Ф рас-
слоений л-1 ((7)->DxG с группой G, где U — открытое множе-
ство в М, D — открытое множество в Rn.

Для всякого главного расслоения по определению существу-
ют атлас G-карт (Vt, Ф^), VtezM, Ф^:л-1(У^)-»-У^ХО и коор-
динатный атлас (Ua, фо) на базе М. Над каждым пересечением
ViClGa объединение координатного отображения <ра и отображе-
ния Ф6 определяет универсальную карту. Отсюда следует суще-
ствование универсального атласа на Н(М, G, л), т. е. набора
универсальных карт, для которых множества U покрывают
все М.

Для расслоения Н(М, G, л) и точки Р^М стандартным ло-
кальным морфизмом будем называть морфизм Ф расслоений
вида DxG->n-1(t/), где D — окрестность нулевой точки OeR”,
U — открытое множество в М, Ф(ОхО)=л-1(Р).

Определение. Стандартным касательным репером по-
рядка h для слоя л-1Р, РеМ называется класс стандартных ло-
кальных морфизмов, имеющих касание порядка h в какой-либо
точке 5ел-1(Р)сгЯ(Л1, G, л).

Обозначим через Hh(M, Н, nh) совокупность всех стандарт-
ных касательных реперов порядка h главного расслоения
38
H(М, G, л). Ввиду очевидной связи между понятиями стандарт-
ного касательного репера в Н(М, G, л) и стандартной струи
порядка h локального морфизма в RnX'G всякая универсаль-
ная карта в Н(М, G, л) определяет взаимно-однозначное соот-
ветствие между (nft)~I(G)c2//ft(Af, Н, nft) и ZNxGxU=D,'o ПХ
XG.

Для двух универсальных карт (СЛ, и (U2, Фа) имеем
два послойных отображения (1ЛП^2) на ZNX Gx
При этом диффеоморфизмы слоев осуществляются левыми
сдвигами на элементы из Dho,n, определяемые функциями пе-
рехода для универсальных карт (Uit Ф^, (U2, Ф2) на
Н(М, G, л). Окончательно, имеем

Предложение. Множество Hh(М, Н, nh) стандартных
касательных реперов порядка h главного расслоения
Н (Af, G, л) несет структуру главного расслоения
Dha,n, ah). При этом определена последовательность
морфизмов, согласованная с последовательностью (4.4)

Н(М, G, п)^-Нн(М, D^n,	D^,n, я*)*-.,.

Заметим в заключение, что расслоение струй отображений
Jh(N, М) является ассоциированным к главному расслоению
HhNX№M над MxN, а расслоение струй сечений JhE(M, р)
является ассоциированным к расслоению HhE(M, р) касатель-
ных адаптированных реперов порядка h расслоения Е(М, р).

Мы можем теперь ввести понятие дифференциально-геомет-
рической структуры главного расслоения Н(М, G, л) как обоб-
щение понятия дифференциально-геометрической структуры на
многообразии.

Определение. Дифференциально-геометрической струк-
турой порядка h главного расслоенного пространства
Н(М, G, л) называется гладкое сечение Gh(F) расслоения
Е(М, Н, F, Dha.n, р), ассоциированного к главному расслоению
Hh(M, Н, Dha,n, nh) стандартных касательных реперов расслое-
ния Н(М, G, л).

Сами расслоения Е(М, Н, F, Dha,n, Р) называются расслое-
ниями дифференциально-геометрических структур порядка h
главного расслоения Н(М, G, л).

Пользуясь такими определениями, следует опасаться недо-
разумений, ибо главное расслоение Н(М, G, л) является много-
образием, в нем могут существовать дифференциально-геомет-
рические структуры в смысле данного выше определения
структуры в многообразии. Так что следует различать диффе-
ренциально-геометрические структуры главного расслоения и в
главном расслоении.

Смысл рассматриваемых задач обычно исключает возмож-
ность путаницы. Дифференциально-геометрические структуры
главных расслоений тесно связаны с дифференциально-геомет-
рическими структурами на базах этих расслоений.
Глава IV

ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ В ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
СТРУКТУР

Изучение дифференциально-геометрических структур с по-
мощью адаптированных координат, т. е. по существу с помо-
щью классического аппарата дифференциального исчисления,
оказывается весьма сложным, причем сложности быстро возра-
стают с увеличением порядка структуры или порядка продол-
жения, с точностью до которого ведется изучение.

Весьма значительные облегчения достигаются с ^помощью
аппарата, возникшего уже в нашем веке, в частности с помощью
внешнего дифференциального исчисления. Для успешного поль-
зования этим аппаратом необходимо овладеть рядом егб мало-
известных деталей. Имеет смысл начать с изложения основных
вопросов.

§ 1. ОСНОВЫ ВНЕШНЕГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИИ

Внешним произведением двух антисимметричных тензоров
Q и Q типов (0, р) и (0, q) в векторном пространстве Vn назы-
вается антисимметричный тензор ЙЛ® типа (0, p+q), который,
как полилинейная функция от p+q аргументов ХеУп, опреде-
ляется равенством

(ЙА®|Х.........X )-

(I)	(p+q)

=-7Т У. е(<т)(Й|Х, ...» Х)(0| X................ X),

Р<Г Ы	0(1) о(р) o(p+D о(р+«)

’6Sp+«

(1.1)

где Sp+q — группа всех перестановок из p+q элементов, знак
подстановки е(о) равен 1 или —1 в зависимости от четности
или нечетности о.

В заданном базисе ei^Vn, i=l, .... п компонентами тензо-
ра Й являются числа	).

Определим антисимметричные тензоры <о*‘*’"*р1 где все
различны, Ic^cn, как тензоры с компонентами, равными
е(?	или 0 в зависимости от того, совпадают или нет

\*1 ...Лр/

множества чисел {й, .... /р) и {k\, .... kp}.
Подставляя в левые и правые части всевозможные наборы
базисных аргументов, проверяем, что для любого тензора й ти-
па (0, р) с компонентами	будем иметь

Ss £	'₽.	(1.2)

J «,<...

Аналогичным способом проверяются равенства

.... (О

(о'‘- 'рЛ®'р+г =	,	U-3)

в зависимости от того, имеются или нет в множествах чисел
{й, ..., ip} и {ip+i.ip+q},	равные элементы.

Из (1.3) следует, что всегда

-	Д((01р+1‘ *₽+? Д (o'p+P+l' -'p+P+s) ss

= ((о‘* '1р /\ ш1р+1' "1р*я) Д ®(р+<?+1' £р+<?+5,

а отсюда, с учетом (1.2), получаем, что операция внешнего ум-
ножения ассоциативна.

Применяя индукцию по р, получаем равенства

сА- кр =©** Д ... Д <йкР'

где для ®*, как для частного случая akt "kp, имеем ((0*1^) =
==б<*. Кроме того, будем иметь

ш'Д®*=—со*Л®‘.	(1.4)

Равенство (1.2) теперь запишется в виде

©'• Д ... Д <о1Р,	(1.5)

1 «,<...<ip<n

и внешнее умножение выполняется по правилу перемножения*
однородных многочленов вида (1.5) с последующим приведени-
ем подобных членов и с учетом (1.4). Выражения (1.5) приня-
то называть внешними формами.

Антисимметричное тензорное поле й типа (0, р) на много-
образии Л(п в каждой координатной окрестности U задается
компонентами Ь^.,.1 (и1, ..., ип) относительно базиса д!ди1
касательных векторов в каждой точке U. В частности, в каж-
дой карте выполняются формулы (1.5), где <о{ — базисные ко-
векторные (типа (0, 1)) поля с компонентами ац^бк1.

Но этим свойством обладают дифференциалы du{ коорди-
натных функций и1 на U. Действительно, мы видели, что для
произвольной гладкой функции f(ul, .... un) ковекторное поле
df имеет компоненты ak=df/duk, Тогда (1.5) перепишется в
виде

А» £	fti,..., du'*A ... Adu'p.	(1.6)

Выражение вида (1.6) называется внешней дифференциаль-
ной формой. По этой причине антисимметричные тензорные по-
ля типа (0, р) на многообразии в настоящее время также на-
зываются внешними дифференциальными формами степени р
(Р-0.....п).

Всякое гладкое отображение многообразий <p:N-+M и вся-
кое тензорное поле й типа (0, р) на М индуцирует тензор-
ное поле ф*й того же типа на N, которое, как полилинейная
функция на TqN, определено равенством

def

(ф*Й|Х, ...» Х)=(Й|Ф.Х.....Ф.Х), VX(=TnN,

(1)	(Р)	(1)	(Р)	(а)

а=1, р. В силу этого определения и (1.1) для внешних диф-
ференциальных форм будем иметь

Ф* (йх + Qj) = ф*йх + ф*й2,

Ф‘ (Й Л ©) = (<Р*Й) Л (ф*в).

В частности, в координатных окрестностях, где ф имеет ло-
кальную запись

•	(/*,..., f"), i=l..п,	(1.7)

будем иметь

du^—df*,	(1.8)

dta	'

и выражение вида (1.6) для ф*й получится, если в (1.6) под-
ставим (1.7) и (1.8), а затем приведем подобные члены.

Предложение. Для гладких внешних дифференциаль-
ных форм на многообразии М однозначно определена операция
внешнего дифференцирования d, обладающая следующими
-свойствами:

1)	если форма й — степени р, то dQ — степени р+1,

2)	^(Й1+Йг) —<1Й1+ЙЙ2,

3)	если й — степени р, то

</(ЙЛв) = (<Ю)Лв+(-1)р$Л<№,

4)	d(cK2)=0,

5)	для функций, как для форм степени 0, операция d сов-
падает с ранее введенным дифференциалом функций', т. е.
(df\X)=Xf для всякого вектора Х^ТМ. В каждой карте

df^-^-du1.

' ди1

Доказательство. Если требовать выполнения свойств
1)—5), то для каждой формы Q в каждой карте будем иметь
(1.6) и

d£i= £	...	(1.9)

Обратно, операция, однозначно определяемая в каждой кар-
те формулой (1.9), удовлетворяет свойствам 1)—5). Свойства
1), 5) доказательства не требуют, свойства 2) и 4) очевидны,
3) легко проверить, если й и 0 являются одночленами, после
чего общий случай следует из свойства 2).

Докажем, что операция d не зависит от выбора карты в
окрестности данной точки QeM. Для функций инвариантность
операции df нам известна. Выражение для формы Q в других
координатах v‘, dvl на пересечении двух координатных окрест-
ностей имеет вид

Q = S	(1.Ю)

где функции и формы со знаками получены из функций и форм
заменой и‘ на ul(vk) и du‘ на ^-rdv11. Но в силу свойств

ОТ*

1)—5) и инвариантности дифференциала df будем иметь

duz=d(uz). d(du‘)—Q, d(bii..,t^=dbil...ip,

откуда

d(Й)= 2(dbi,...^)

что и требовалось доказать.

Совершенно аналогично доказывается

Предложение. Для всякого гладкого отображения мно-
гообразий	и внешних форм й на М имеет место

d(<p*fi)=<p* (dfi)

(инвариантность операции внешнего дифференцирования отно-
сительно отображений <р*).

Внешнее дифференциальное исчисление обобщается на век-
торнозначные функции и формы.

Для векторного пространства Vn и векторного пространства
Wm можно рассматривать р-линейные антисимметричные функ-
ции от аргументов из Vn со значениями в ТР", которые обра-
зуют векторное пространство A₽(Vn; Wm) размерности mCnp.
Будем такие функции называть внешними формами степени
р со значениями в Wm. Для №п-значной формы 0 и R-значной
формы Q внешнее произведение определяется по формуле (1.1)
и является (p+q) -линейной ^"-значндй формой.

Вводя базис Ea^Wm и базис e^Vn и рассуждая, как выше,
убеждаемся, что в пространстве Ap(Vn; Wm) базис образуют
формы Еаы‘1'"'р,	. .<1р<.п, значения которых для

базисных аргументов ..., ekp равны нулю, если {ц ...

=^{£1... kp] и равны е 'ip^Ea в противном случае. Ис-
пользуя эти базисы и аналогичные базисы в ApVn, убеждаем-
ся, что множества A(V”; Wm) всех ^"-значных внешних форм
верх степеней есть левый модуль над алгеброй AVn, т. е.
(Qj А О2) А 0 fij Л (й2 А 6) = А А © VQP й2еЛГ,
0еЛ(А Wm) и что всякая форма 0 однозначно записыва-
ется в виде (1.5), где — векторы нз Wm.

Аналогично случаю скалярнозначных форм определяются
1Р"-значные дифференциальные формы на многообразиях и их
внешние дифференциалы,, удовлетворяющие условиям 1)—5),
а также теореме об инвариантности внешнего дифференциро-
вания при отображениях многообразий.

§ 2. ИНВОЛЮТИВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА
МНОГООБРАЗИЯХ

Кратко напомним одно из основных приложений операции
внешнего дифференцирования.

Известно, что множество всех //-мерных линейных подпро-
странств «-мерного векторного пространства Vn (n>q) обра-
зует гладкое многообразие Gni<z (грассманово пространство)
размерности q(n—q), на котором естественным образом гладка
действует группа GL(/t) всех линейных преобразований про-
странства Vn. Так как Dnlsa=GL(n), в соответствии е результа-
тами гл. II, определено ассоциированное с Н)Мп гладкое рас-
слоение Gn,qMn — грассманово расслоение с типовым слоем:
Gn,q, т. е. совокупность всех ^-мерных линейных подпространств
в T<?Af, VQeAl. Гладкое сечение Д расслоения Gn,qM определит
дифференциально-геометрическую структуру, называемую
q-мерным распределением на Мп. В теории распределений упот-
ребляются следующие основные понятия.

Векторное поле X на М называется принадлежащим распре-
делению Д, если в каждой точке Р вектор Х|Р принадлежит
подпространству Д|рстТРЛ4.

Линейная дифференциальная форма 6 (ковекторное поле}
на М аннулируется на Д, если (0| У)=0 для всякого вектора г,
принадлежащего подмногообразию ДсТМ.

Наиболее часто распределение задается п—q линейными
формами 0“, линейно независимыми в каждой точке и аннули-
44
рующимися на Д. В этом случае принято говорить, что Д за-
дается системой уравнений Пфаффа 8“=0. При рассмотрении
распределения в целом иа многообразии в общем случае име-
ется необходимость покрывать М областями, на каждой из ко-
торых Д задается своей системой Пфаффа. Другой, двойствен-
ный способ задания Д — при помощи q линейно независимых
в каждой точке векторных полей Хк, принадлежащих распреде-
лению.

Несколько ниже мы увидим, что прибегать к заданию рас-
пределения системами форм или векторных полей вовсе не обя-
зательно для их изучения.

Интегральным многообразием распределения называется
подмногообразие	такое, что cp.TWczA, т. е. все про-

странства <р*ТqNc.T9(q)M. принадлежат Д.

Слоение Fq размерности q на многообразии М,. по опреде-
лению, задается адаптированным к нему атласом, т. е. набо-
ром карт (Ua, fa), где Uac:M — открытые множества, a fa'.Ua-+
->DaczR’XRn_’=Rn — диффеоморфизмы такие, что:

1)	Ut4=Af,

2)	гладкие отображения

/r/а': /а(^аП^)->/Э(^аП^)

задаются уравнениями

tP=xtP(ub)t- t>6=u«(ub, и”),

(2.1)

a, b=q+l, q + 2......п, 5,	•••. Я-

Фиксация иа либо va выделяет в R" </ мерные параллельные
плоскости R’(uo“), а в Ua - 9-мерные подмногообразия

(fa (</а) ПК’(«?)).

В силу (2.1) на пересечениях IZJW» каждое ЕЛ совпадает
с некоторым F», и такие склейки согласованы между собой
для всякой тройки областей Ua, Ut, Это позволяет начиная
из произвольной точки РеМп однозначно построить проходя*
щее через Р максимальное связное 9-мерное подмногообразие
в М, состоящее из подмножеств, тождественных некоторым
для данного атласа.

Такие ^-мерные многообразия, принадлежащие М, назы-
ваются слоями слоения Fq, определяемого адаптированным ат-
ласом.

Примерами слоений являются гладкие расслоения Е(М, р)
общего типа, и адаптированный атлас расслоения является ча-
стным случаем адаптированного атласа слоения. Но в общем
случае для слоеиия Fqc:M не существует гладкого регулярного
отображения	такого, чтобы слои совпадали с прооб-

разами f-'MitzM точек Р^М.
Всякое слоение Fq на многообразии М определяет в нем
9-мерное распределение, образованное подпространствами, ка-
сательными к подмногообразиям Fa, а .значит, и к слоям слое-
ния. Слои являются ^-мерными интегральными многообразия-
ми этого распределения.

Легко привести примеры, показывающие, что в общем слу-
чае гладкое распределение А размерности q вообще не допус-
кает 9-мерных интегральных многообразий.

Определение. Гладкое 9-мерное распределение А на
л-мерном многообразии М, q<n, называется инволютивным, ес-
ли оно порождено некоторым 9-мерным слоением А на М.

Определение. Системы Пфаффа, определяющие инволю-
тивные распределения, называются вполне интегрируемыми.

Имеются аналитические критерии инволютивности, равно-
сильные между собой и объединяемые под названием теоремы
Фробениуса. Мы приведем их без доказательства, так как по-
следние можно найти во многих книгах (см. [1, 15, 16, 19]).

Теорема Фробениуса. Для того чтобы гладкое рас-
пределение А было инволютивным, необходимо и достаточно,
чтобы для любой гладкой формы в, аннулирующейся на А,
форма dQ также аннулировалась на А, т. е. (dQ[X, У)=0 для:
любых X,Y<=&qc:TqM, VQ<=M.

Теорема Фробениуса в двойственной форме. Для то-
го чтобы, распределение А было инволютивным, необходимо и
достаточно, чтобы коммутатор любых двух векторных полей,
принадлежащих А, также принадлежал А.

Равносильность двух теорем легко выводится из тождества

(dco|X, У)=Х(ш|У)-У(ш|Х)-(со| [ХУ]),	(2.2)

справедливого для любых двух векторных полей и любой ли-
нейной дифференциальной формы на многообразии.

Доказательство формулы (2.2) достаточно провести для про-
извольной координатной окрестности в М. Пусть X, У и со име-
ют компоненты %‘(ик), 1\1(ик) и а, (и*) соответственно. Тогда
(w|X) = а£1, (© | У) ==а(т]' и (см. 1.2.3)

X (со | Y) -Y (® (X) = g*	(аД1‘) -П*	(а£) -

0ик	VIIя

\ ди1 duk /	\ дик дик ;

что (см. (1.3.9)) и дает (2.2).

§ 3. КОНТАКТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА
РАССЛОЕНИЯХ СТРУИ СЕЧЕНИИ

Пусть Е(М, р) — расслоение общего типа, (V, Ф) — адап-
тированная карта, и1, иа — адаптированные локальные коорди-
наты, и1, иа, pta — соответствующие адаптированные координа-
46
ты в расслоении струй сечений 1-го порядка ЛЕ, du*, dua —
соответствующие линейные координаты в Т$Е, a du1, dua,
dpi* — в Тз,ЛЕ, p1(S1)=S.

Каждое локальное сечение о: и“—«“(«')» проходящее через
точку S, поднимается до сечения сг.иа=иа(и‘), р,а=диа/ди1 в
pi~1(V)czJ1£(M, р). В TsE касательное подпространства
o*Tp(.s)MczTsE задается уравнениями

dua—pfdul—O.	'	(3.1)

Тем самым устанавливается взаимно-однозначное соответ-
ствие между струями сечений js.c: р^'ЕаЛЕ и «-мерными
подпространствами Vh (/^) в TSE, дополнительными к подпро-
странству duf=O, касательному к слою p-1(p(S)), проходяще-
му через точку Sb Уравнения (3.1) в точке S определяют се-
мейство всех указанных «-плоскостей. Но в каждой точке Sjcz
czpi-'(S), S\(ul, иа, pf) эти уравнения определяют единствен-
ное подпространство V? в Тз,ЛЕ размерности п+шп, характе-
ризуемое условием piVi = Vh (js,), т. е. состоящее из касатель-
ных векторов, проекции которых в ТВЕ принадлежат горизон-
тальному подпространству Vh(jst), соответствующему точке
Si, в которой взято подпространство Vih. Таким образом, в
ЛЕ канонически определено распределение Д'Е размерности
п+тп—п (1+/п), задаваемое в каждой системе адаптированных
координат уравнениями (3.1).

Интегральные многообразия системы А1, являющиеся сече-
ниями расслоения ЛЕ над М, задаются в окрестности S урав-
нениями

u“=u“(u*), Pia=pat(uk).	(3.2)

. Дифференцируя, получим dua — ——du‘, откуда в силу не-
ди*

зависимости du* получим р? = „ , т. е. сечение должно быть
1 ди*

поднятием 01 расслоения а в Е(М, р). Обратное также верно..
Далее, всякое сечение <Ji в ЛЕ, являющееся поднятием рас-

слоения о в Е(М, р):

„ п f п ди?
U^U^U*), р»=-—,

имеет в TSlJlE касательную плоскость, задаваемую уравне-
ниями

dua _djL_ du1 ~p?du‘, dpf — / “ duk — p?A duk.	(3.3)

du1	1	‘ du1 du1*

Во всякой точке S2e(p2-'(Si)) с адаптированными коорди-
натами ul, ua, pai, patk определено подпространство У2Л каса-
тельного пространства

dua—piadul=Q,	dpia—paikduk—O,	(3.4)
векторы которого проектируются в Ts.J1^ в подпространство
VV'i соответствующее струе сечения fs. Поднятые сечения
<J2<zJ2E сечений осЕ — единственные сечения J3E над М, явля-
ющиеся интегральными многообразиями распределения Д2£с
c.TJ2E, задаваемого уравнениями (3.4) в каждой адаптирован-
ной системе координат. Действительно, уравнения (3.3) пока-
зывают, что сечения

(и*), р? =-- pf (ufe), p?k pfk («')

являются интегральными для (3.4) лишь при

диа	&иа

‘ ди1 ’	ди‘ duk '

Аналогичное построение продолжается неограниченно.

Предложение. В расслоении JhE струй сечений порядка
h расслоения Е(М, р) однозначно определено распределение
AhE, в каждой адаптированной системе координат задаваемое
системой Пфаффа

dua~ppdul=Q,

dpta~-paifcduk=‘O,	(3.5)

“Р“../А.иЛ,А^0*

При отображениях

(лЛ—1<*	(оЬ*

ТРЕ —------► TJh~'E * ... —TJlE

распределения bhE отображаются друг на друеа. Интегральные
многообразия распределения bhE, являющиеся локальными се-
чениями IhE над М, являются поднятиями сечений Е(М, р)
над М и только ими.

Распределения №Е называются контактными распределе-
ниями, или контактными системами Пфаффа в JhE.

Как частный случай аналогичные системы определены в рас*
слоениях Jh(N, М) струй отображений N-+M.

f 4. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И ГРУППЫ ЛИ

Вспомним, что левым сдвигом La на элемент а в группе G
является взаимно-однозначНое отображение, переводящее вся-
кий элемент xeG в ах. Всякий элемент х единственным левым
сдвигом Lyx-\ переводится в любой другой элемент yeG.

Если G — группа Ли, то La являются диффеоморфизмами
G, гладко зависящими от параметра а.
‘ (Lyx—i), линейно и взаимно-однозначно отображает TXG на
TyG. Таким образом однозначно устанавливается левый парал-
лелизм в G, т. е. линейный изоморфизм между всеми касатель-
ными пространствами к G, гладко зависящий от точки xeG.
Действительно, для элемента zeG будем иметь соответствия:
(Ьгх_1), между TXG и TZG и (£ад_1). между TyG и TZG.
Но (L2X-i), ={Lzy-i),°(LyX-i),, так что параллелизм не зависит
от выбора начальной точки xi и сохраняется при всех левых
сдвигах на G. Обычно за начальное принимают пространство
G=TeG и называют его алгеброй Ли группы Ли G. Всякий век-
тор X^G с помощью левых сдвигов образует гладкое левоин-
вариантное поле на G, так что левоинвариантные поля образу-
ют векторное пространство, канонически изоморфное G. Мы
видели, что коммутатор двух векторных полей - инвариантная
операция, не зависящая от выбора локальных координат на
многообразии. Это равносильно утверждению, что коммутатор
инвариантен относительно диффеоморфизмов	одного

многообразия на другое или на себя, т, е.

[ф.х, ф.у]-ф.[Х, У].

Действительно, локальная запись диффеоморфизма не от-
личается от замены локальных координат на многообразии.
Следовательно, коммутатор левоинвариантных полей вновь яв-
ляется левоинвариантным векторным полем. Тем самым мы
получаем билинейную операцию

GXG-+G, (X, У)->[Х, У]

на векторном пространстве G, антикоммутативную и удовлет-
воряющую тождеству Якоби

[[%; У]2]+[[У, Z]X]+f[Z, Х]У]=-0.

Изоморфизм векторных пространств И1п-*-Игп порождает
взаимно-однозначное линейное соответствие между пространст-
вами Т(р) У1п,и Tty) V2n тензоров типа (q, р). В силу этого всякий
тензор OeTjp) G порождает гладкое левоинвариантное тензор-
ное поле на G, и наоборот. В частности, левойнвариантные тен-
зорные поля типа (0, р) характеризуются как р-Линейиые функ-
ции от касательных векторов, подстановка в которые любых ле-
воинвариантных векторных полей X, а=1, ..., р дает значе-
(а)

ния, постоянные иа G.

Из доказанных выше теорем следует, что совокупность ле-
воиивариантных внешних дифференциальных форм на группе
Ли замкнута относительно внешнего умножения и внешнего
дифференцирования.

Всякому базису Ха (а==1, .... r==dim G) левоинвариантных
векторных полей на G, или, что то же самое, базису алгебры
Ли G, соответствует двойственный базис ®в левоинвариаитных

4 Зак. 523	49
линейных дифференциальных форм на G, (®° |Хь) =б»а. Всякая
внешняя дифференциальная форма Q на G однозначно запи-

сывается в виде

й =	£	6O»...ap<»e‘A • • . A®0",

15ga,c...<ap<r

причем $2 левоинвариантна тогда и только тогда, когда
6а,...ар — константы. Значит, внешний дифференциал любой
левоинвариантной формы можно найти, если известны внешние
дифференциалы форм ©°.

Очевидно, будем* иметь равенства

Ньаа<иьА®4,
ls£b<ds£r

где Hbda — некоторые константы.

Пусть коммутирование в алгебре Ли G определяется фор-
мулами [Ха, Х6] =CabdXd, где cabd — так называемые структур-
ные константы алгебры Ли относительно данного базиса. Ис-
пользуя равенство (2.2) для любых троек ша, Хь, Xd получаем»
что

Habd = — (Pbd.

Равенства

называются структурными уравнениями Маурера—Картона.

§ 5. ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ К
ГРУППЫ ЛИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ '

Здесь уместно ввести ряд понятий алгебраического харак-
тера.

Известно, что алгебры Ли можно рассматривать с чисто
алгебраической стороны исходя из соответствующих определе-
ний и аксиом. Именно алгеброй Ли называется линейное про-
странство V над полем К (мы будем' иметь в виду поле R)»
в котором определена билинейная операция коммутирования
[, ]: VX V-+V, удовлетворяющая условиям:

1)	[X, У]=—[У, X]
и

2)	[[X, Y]Z] + [[У, Z], X] + {{Z, X], У]=0, VX, У, ZeV.

Группам Ли, как мы видели, соответствуют конечномерные
алгебры Ли.

Аналогично, алгебраические системы, моделирующие внеш-
нее дифференциальное исчисление, определяются следующим
образом.

Определение. Векторное пространство А называется
градуированным, если задано разложение его в прямую сумму
50
векторных пространств Л=фрЛ(₽>, где р — целые числа.

Это значит, что всякий элемент ЯеЛ однозначно представ-
ляется в виде суммы

Q = V Q, Q е
~ и» от

в которой лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.
Элемент Q, для которого лишь одно слагаемое О отлично от

_	й)

нуля, называется однородным степени q.

Определение. Внешней алгеброй будем называть граду-
ированное пространство Л, в котором все А(р) с отрицательными
р — нулевые и в котором задана билинейная операция Д,
удовлетворяющая условиям:

1)	если QsA(p), 0sA(<?),

то:	(5.1)

а)ОД0сЛР+’, б) ОД0=(— 1)"еЛВ;

2)	операция Д ассоциативна.

Среди гомоморфизмов внешних алгебр друг в друга наибо-
лее употребительны градуированные гомоморфизмы, которые
переводят однородные элементы в однородные той же степени.
Соответственно этому определяется понятие градуированной
подалгебры внешней алгебры как подалгебры, порожденной
однородными элементами.

Аналогично, градуированный идеал определяется как граду-
ированная подалгебра МсЛ такая, что ЙД0еЛ! для любых
QeM, 0еЛ.

Определение. Внешняя алгебра Л называется диффе-
ренциальной, если в ней задан линейный оператор d: Л->Л,
удовлетворяющий условиям:

1)	если йеЛ(р), то dQeA(p+,);

2)	если QeA(p), то d(QA0) = (dQ)AO+ (—l)pQAd0;

3)	d(dQ) =0.	(5.2)

Для внешних дифференциальных алгебр дифференциальные
гомоморфизмы определяются тем условием, что они переста-
новочны с оператором d.

Соответственно определяются дифференциальные подалгеб-
ры и дифференциальные идеалы.

В смысле введенных операций совокупность всех бесконечно
дифференцируемых внешних дифференциальных форм иа мно-
гообразии М образует внешнюю дифференциальную алгебру
Л(М).

Гладкое отображение ф: N-+M определяет дифференциаль-
ный гомоморфизм ф*: A(M)-+A(N).

Определение. Гладкой реализацией внешней алгебры
называется ее градуированный мономорфизм в некоторую ал-
гебру A(Af). Различают дифференциальные и недиффереици-
4*	51
альные гладкие реализаций внешних дифференциальных ал-
гебр.

В интересах дифференциального исчисления иметь наиболее
эффективные описания гладких отображений, в частности,
пользоваться дифференциальными алгебрами с конечным чис-
лом образующих элементов.

Определение. Внешняя дифференциальная алгебра А
называется квазилинейной, если она имеет конечное число об-
разующих элементов нулевой и первой степени, а также со-
держит единицу 1еА<0), dl=0, и ее независимые определяю-
щие соотношения либо связывают элементы из А<0), либо линей-
ны относительно элементов из А(,) с коэффициентами из А<0).

Определение. Квазилинейная дифференциальная под-
алгебра АсЛ(Мя) называется полной, если для любой точки
РеМп существуют п элементов Q'cAO, дающих линейно неза-
висимые элементы в (ТрМ)* = (TWWM)P.

Определение. Гладкое отображение многообразий
<р : N-+M называется квазиалгебраическим, если существуют
полные квазилинейные алгебры AczAAf, ВсЛУ такие, что
<р*Ас±В.

Совокупность левоинвариантных дифференциальных форм
на группе Ли G образует внешнюю дифференциальную алгебру
А~, гладко реализующуюся как дифференциальная подал-
гебра алгебры AG. Знацие этой алгебры равносильно знанию
алгебры Ли G. Она позволяет установить все локальные свой-
ства группы Ли.

В частности, гомоморфизм групп Ли а: H-+G является
гладким отображением, при котором левые сдвиги на Н инду-
цируют левые сдвиги в G на элементы подгруппы а(Я)с=Сг.
Поэтому левоинвариантные формы на G отображаются в лево-
ннвариантные формы на И, определяющие дифференциальный
гомоморфизм алгебр аГ-.А^-* А^. Очевидно, а* порождается
соответствующим отображением А~ в

ЯДро этого отображения G Ад? порождает при левых
сдвигах распределение Д'а на G. Это распределение инволютнв-
но, так как если формы при дифференциальном гомоморфизме
обращаются в нуль, то и их дифференциалы — тоже.

С другой стороны, элемента! a*Ag- G А~ порождают диффе-
ренциальную подалгебру и, следовательно, подпространство
(A"a)ocz/?, на котором они обращаются в нуль, также порож-
дает инволютивное распределение Д"а на Н. В первом случае
.слой слоения Д'в, проходящий через нуль, — связная компонен-
та единицы в образе гомоморфизма а, во втором — это связ-
ная компонента ядра.

Описание с помощью внешнего дифференциального исчисле-
ния свойств пространств, на которых действует группа Ли, хотя
и сложнее, но значительно богаче содержанием.
Пусть мы имеем левое действие группы Ли иа многообразии
F, изображаемое диаграммой

t:GXF-*-F.	(5.3)

Для многообразия GxF определены три субмерсии: проекции
pi и р2 на сомножители G и F и отображение t. Сдои соответ-
ствующих расслоений, проходящие через точку (До, x0)eGXF,
состоят из подмногообразий: 1) (а, х0), аеб; 2) (а0. х), xeF
и 3) (ооб-1. tbXo), b^G. Определим в GXF левое действие е
группы G, преобразующее множитель G левыми сдвигами, а
на F действующее тождественно. Это действие согласовано
с действием t группы G на F.

В самом деле, действие е переводит всякое множество
(ab_|, tbX), Vb^G в (cab~l, hx). Образы этих множеств при
отображении t — это tax и tcax соответственно. Но

tcaX = tc (taX).

Для дальнейшего введем еще одно естественное алгебраи-
ческое понятие. Пусть А и В — некоторые внешние алгебры
с единицами 1д н 1в. Их внешним произведением А/\В называ-
ется внешняя алгебра, обладающая следующими свойствами:

1)	определены изоморфизмы а: А-+АДВ и р : В-+А/\В;

2)	образы а (А) и р(В) порождают А/\В. Они не связаны
друг с другом никакими соотношениями, кроме вытекающих из
условий (5.1) и а(1л) =р(1в) = 1лАв. В дальнейшем а(А) и
р(В) обозначаются просто А н В. Понятие внешнего произведе-
ния внешних алгебр является незначительной модификацией
понятия тензорного произведения алгебр иад одним и тем же
нолем. Внешнее произведение внешних дифференциальных ал-
гебр очевидным образом наделяется структурой внешней диф-
ференциальной алгебры.

Нетрудно показать, что алгебра A(MxN) = (АМ)Д(АА)
для любых гладких многообразий М и N, а также, что
А^^ = (А~) /\ (Ар) для любых групп Ли G и Н.

Предложение. Алгебра всех дифференциальных форм
на GXF, инвариантных относительно действия е группы G на
нем, является алгеброй (А$) Д (AF).

Достаточно доказать это для подмногообразия GxU, где
U — некоторая координатная окрестность в F. Действительно,
такие подмногообразия сами инвариантны относительно е и
покрывают все GXF. В GxU всякая внешняя дифференциаль-
ная форма степени р однозначно описывается как сумма внеш-
них произведений форм du1 и с коэффициентами — функци-
ями на GXU. Здесь и1 — локальные координаты на U. Лево-
инвариаитиые формы характеризуются тем, что для иих эти
коэффициенты — функции только на U. Но это и означает, что
сумма принадлежит (Ag-)A(AG).
Пусть 0‘=i4*iduft+i4o‘(oa — базисные формы системы Пфаф-
фа, задающей в Gy.U инволютивное распределение, определяе-
мое слоями расслоения GxF (5.3) с базой F н проекцией t.

По свойствам отображения t при фиксации точки аоеG
подмногообразие prlao=ao')<F взаимно-однозначно отобража-
ется на F, т. е. является секущей поверхностью над F и, в ча-
стности, над taJU. Следовательно, при. ограничении на а0ХС7
формы 0Z[а,хи остаются независимыми в каждой точке, хотя
на них (о“=0. Следовательно, всюду det(Л?)^М) и система 0г=О
равносильна системе вида

du‘ + ga‘(oa = 0.	(5.4)

Но эта система инвариантна относительно преобразований е,
как и формы du1. Следовательно, каждая из форм (5.4) инва-
риантна относительно е, т. е. £а'=£а‘(иА).

Если /(GxG)=F, т. е. сдвинутые преобразованиями группы
области taO покрывают все F, то знание инволютивной системы
(5.4) позволяет в принципе восстановить отображение t, т. е.
действие группы G на F.

Этот факт и лежит в основе построения алгебраических мо-
делей групп Ли преобразований. Впрочем, он допускает зна-
чительные обобщения и детализации. Прежде всего, если об-
ласти taU, VaeG не покрывают всего F, их объединение явля-
ется открытым подмногообразием в F, инвариантным относи-
тельно действия группы G, т. е. также пространством, на кото-
ром действует группа G.

Кроме того, наше построение обобщается следующим обра-
зом.

Предложение. Пусть в многообразии GXV задано ин-
волютивное распределение системой Пфаффа 0'=О, i=l, ..., пг,
составленной-из независимых в каждой точке линейных диффе-
ренциальных форм, инвариантных относительно действия груп-
пы Ли, по закону ea(b, x)~(ab, х), Va, beG, xeV. И пусть
слоение, определяемое системой, является расслоением с базой
F, т. е. множество слоев слоения несет структуру гладкого мно-
гообразия размерности q. Тогда и отображение GxV-»-F, сопо-
ставляющее точке (a, x)eGXV проходящий через нее слой,
является гладким. Тогда на F определено гладкое действие
группы G.

Доказательство. Очевидно, что группа G, сохраняю-
щая слоение, действует на множестве его слоев.

Используя адаптированный атлас с локальными координата-
ми (и‘, иа), (»', о“), видим, что гладкое действие группы на
расслоении индуцируе'г гладкое действие на его базе.

Таким образом, знаниев дифференциальной алгебре A.V X
форм 0г таких, что система 0'=О вполне интегрируема, а соот-
ветствующее слоение является расслоением с базой F, и опре-
деляет в F- гладкое действие группы G.	'
В силу теоремы Фробениуса алгебраическая сторона опи-
сания действий группы Ли G на многообразиях сводится
к отысканию дифференциальных идеалов, порожденных неза-
висимыми в каждой точке линейными дифференциальными фор-
мами 0г в алгебрах A(V)AAg- или же в дифференциальных
подалгебрах А/\А~, AczA(V).

Идеал, порожденный в алгебре данными элементами 0‘, по
определению состоит из элементов вида 2О,Д0‘.

Очевидно, что идеал будет дифференциальным тогда и толь-
ко тогда, когда

rf0'=0ft'A6ft

для некоторых форм 0*‘.

Следует повторить, что не всякая вполне интегрируемая
система определяет расслоение. Впрочем, локальные свойства
слоений и расслоений одинаковы. Всякая точка многообразия
со слоением обладает окрестностью, на которой слоение явля-
ется расслоением. База последнего называется локальной базой
слоения.

Приложения этих фактов становятся эффективными, когда
базисные инвариантные формы 0‘ принадлежат внешней диффе-
ренциальной алгебре с конечным числом образующих.

Определение. Действие группы Ли G в многообразии
F называется квазиалгебраическим, если существуют многооб-
разие V и полная квазилинейная дифференциальная алгебра
AcAV такие, что в многообразии GXV существует вполне ин-
тегрируемая система 0‘=О, O'eAxAg-, определяющая GXV
как расслоение с базой F. ,

Практически все рассматриваемые в геометрии группы Ли
преобразований являются квазиалгебраическими.

Рассмотрим некоторые примеры описания групп Ли преоб-
разований с помощью внешнего дифференциального исчисления.

Пусть F=Vn — л-мерное векторное пространство, G=
= GL(n) — группа всех линейных преобразований пространства
Vя. Задание базиса	устанавливает взаимно-однознач-

ное соответствие между элементами группы GL(n) и всевоз-
можными базисами в пространстве Vя: каждому базису ei
ставится в соответствие линейное преобразование, переводящее
(вг)о в et. Элементы матрицы разложения

e,=u,ft(eft)o,	(5.5)

det (и*1) =/=0, становятся координатами на группе GL(n) и тем
самым ei — гладкими функциями на GL(n) со значениями в
Vя. Левое действие в GL(n) индуцируется обычными компо-
зициями невырожденных линейных преобразований в Vя. Диф-
ференциалы функций ei являются линейными дифференциаль-
ными формами на GL(n) со значениями в Vя. Разлагая значе-
ния dei в произвольной точке GL(n), соответствующей базису
ei, по этому же самому базису, приходим к равенствам

det ——Ш1кек.	(5.6)

Здесь и? — линейные дифференциальные формы иа GL(n)
со скалярными значениями. Разрешая уравнения (5.5) относи-
тельно (е*)о, дифференцируя (5.5), исключая (е*)о и сравнивая
с (5.6), получим, что

со? = uikduil,	(5.7)

где (Ui1) — матрица, обратная к (и?). Следовательно, формы
со? линейно независимы. Они являются левоинварйантными на
GL(n). В этом можно убедиться непосредственно, вычисляя по
формулам (5.5), (5.7), как меняются матрицы (ик‘), («*'),
(du*1) при фиксированном левом сдвиге (движении простран-
ства Vn). Но, можно ограничиться доводом, что при одновремен-
ном сдвиге векторов данного базиса и векторов смещенного,
разложения приращений векторов базиса по самим векторам ие
изменятся, значит, ие изменятся и разложения их главных ли-
нейных частей, т. е. дифференциалов.

Внешнее дифференцирование векторнозначных форм, вхо-
дящих в (5.6), дает

O=dek/\Mik+daikek,

а после подстановки’ dek из (5.6) и в силу независимости

d(o<*=(iHfcAwiz.	(5.8)

Левое действие е группы GL(n) в GL(n)XVn, согласованное
с обычным левым действием t в Vn, надо понимать так: элемент
(a, X)eGL(n) X V" есть базис а в V" и вектор X, имеющий
данные координаты х1 относительно а. ел (a, X) — (ba, X) — это
базис, соответствующий элементу 6aeGL(n), и вектор, имею-
щий относительно него прежние координаты х‘. Для фиксиро-
ванного вектора ХоеУл имеем множество t~l (Хо) = (ab~\ /лАо)
представлений координатами х{ во всевозможных базисах е/.

Дифференцируя равенство

Хо»х‘в1 = const,

получим

dx‘ei+xldei= (dx'—хг*и?)е<=0,	(5.9)

т. е.

O'erix'—х*ш*‘=0.

Эта вполне интегрируемая система в GL(n) X Vn=GL(/i) X R”
определяет расслоение в GL(n)XRrt с базой Vn и тем самым
действие группы.

56
Левые части (5.9) образуют идеал в алгебре Д^^ Д Д[р(п)]-,
где первый множитель — алгебра левоинвариантных форм на
GL(n) с образующими ©?, а второй — свободная внешняя
дифференциальная алгебра с образующими 1, х‘, dx‘, т. е. ал-
гебра форм вида

ait...ipdx^A ... Adx'p,

где коэффициенты — многочлены от х'.

В различных геометрических ситуациях можно упрощать
это алгебраическое описание действия GL(n) в Vя, выбирая то
или иное подрасслоение GL(n) X VcGL^XR" с той же про-
екцией t в Vя. Например, полагая в (5.9) хя=1, будем иметь
формы

0' —dx‘ — х* ©А —©' ,
k п

— Оя = х*©~-|-©л (i, k = 2, 3, ... , п)

в алгебре Д Д[р(я_П1<, а полагая Xя = 1, х~=0 — идеал
с образующими 0г=©я‘ в алгебре Д>^.

В обоих случаях 0' выполняют ту же роль, что и формы
(5.9), но уже для действия GL(n) в инвариантном подмногооб-
разии (Vn)+czV,! ненулевых векторов. Действительно, нулевые
векторы и только они ни в каком базисе ие имеют координаты
(х1, ... хя-1, 1) либо (0, 0.О, 1). В последнем случае отоб-

ражение t просто ставит всякому базису пространства Vя
в соответствие его базисный вектЬр еп.

Теперь нетрудно найти аналогичные внешние формы, харак-
теризующие действие группы GL(n) в пространствах тензоров
Т(р)<’5Уя. Прежде всего, в каждом базисе etsVn линейная функ-
ция © на Vя, ©еТ(1)(0)Уяв (Vя)* задается значениями в,=
= (©|вг). Фиксированная линейная функция ш характеризуется
тем, что ее значения для любого фиксированного вектора Хо=
=х‘е, постоянны, т. е.

d (© | Хо) = d (а{х1) = dot#+aidx‘=0.

В случае (5.9) имеем ((/аг4-а4©г*)х‘=0 тождественно по
х£, т. е.

0гв(/аг+а*©?=О.	1	(5.10)

Формы в Д^^Д Д[р(п)]'определяют действие GL(n) в V*.
Аналогично всякий тензор Q типа (q, р) может быть определен
как полилинейная функция от q ковекторов и р векторов, т. е.
коэффициентов многочленов
(Я |Х, ... , X, (О,	ш) = bp'fi х1'.. .xlpakl ...ak,	(5.11)

(1)	(р) (0	(4)	,,ЯР(1)	(р) (П («г

ХеVя, сое (Vn)* = T$Vn, а=1........р, Х=1.......q.

(а)	(К)

Если аргументы X, со постоянны, то значения (5.11) также
(а) (X)

постоянны. Поэтому, требуя, чтобы дифференциал (5.11) рав-
нялся нулю для любых х‘“, а\ удовлетворяющих (5.9),
(а)	(X)

(5.10),	приходим к дифференциальным уравнениям

•••

—	— ... — Ь^-кя-^ = 0.	(5.12)

Левые* части уравнений (5.12) и задают базис дифференци-
ального идеала в алгебре А,^ Л В, определяющего действие

GL(n) в T$Vn.

Итак, мы установили, что всякое многообразие F, на кото-
ром гладко действует слева группа Ли G, можно рассматри-
вать как базу расслоения (GXV)(F, t), инвариантного относи-
тельно действия группы G в GXV: левого на G и тривиального
на V.

Таким расслоениям сопоставляются дифференциальные иде-
алы в дифференциальных алгебрах вида А А с конечной
системой образующих элементов 1-й степени. Здесь А — неко-
торая дифференциальная алгебра, гладко и полно реализован-
ная на многообразии V.

Чтобы с помощью этих конструкций описать отношения
между пространствами действия группы Ли, уточним введенные
понятия.

Определение. Алгебраическую систему, состоящую из:
1) внешних произведений A^f\B двух дифференциальных
алгебр, первая из которых — конечномерная G — алгебра
внешних форм на алгебре G с дифференциалами (4.1), и
2) дифференциального идеала / в, Ag- А В, порожденного эле-
ментами 1-й степени, назовем внешней дифференциальной
тройкой.

Определение. Морфизмом одной внешней дифференци-
альной тройки (Ag-ABp А) в другую (Ag7\Bit /2) называется
дифференциальный гомоморфизм Ag;АВх в А$АВ2, отображаю-
щий А^ в Ag-t и Bi в В2 (согласно гомоморфизму G^Gi).,

Определение. Геометрической тройкой называется рас-
слоение t:GXV->-F, инвариантное относительно левого дейст-
вия группы

G в G X V и F.
Морфизмом геометрических троек называется морфизм рас-
слоений ((GiXVi), Fu Ti)->•(((?2XУг). F2, тг), при котором Gi
гомоморфно отображается в G2, a Vi — в V2.

Определение. Геометрическая тройка ((GXV), F) реа-
лизует внешнюю дифференциальную тройку (А~/\В, 7), если Ag
канонически реализована на G, В полно реализована в V, а
отображение т определено идеалом 7 в том смысле, что прооб-
разами точек отображения GxV-*-/7 являются интегральные
многообразия системы Пфаффа 7=0 и только они.

Знание алгебраической тройки Ag, В, реализуемой некото-
рой геометрической тройкой (G, F, t), позволяет локально вос-
становить эту тройку, т. е. две геометрические реализации одной
и той же алгебраической тройки локально изоморфны. Действи-
тельно, реализация алгебраической тройки задает, в частности,
три инволютивных распределения, определяемых системами
Пфаффа	=0 и /<"=0, а тем самым отображе-

ния на базы этих расслоений, что и позволяет восстановить
геометрическую тройку.

Аналогично, морфизм алгебраических троек, реализованных
на геометрических тройках, позволяет локально восстановить
соответствующие морфизмы геометрических троек.

Если морфизм геометрических троек определяет морфизм
дифференциально-алгебраических троек, то по нему можно вос-
становить (локально) геометрическую тройку (при условии,
что дифференциально-алгебраическая тройка реализована пол-
но).

Таким образом, отношения между геометрическими объекта-
ми, инвариантные относительно действующих на иих групп, ал-
гебраически моделируются морфизмами между дифференциаль-
но-алгебраическими тройками.

Конечно, это надо рассматривать лишь как основу алгебраи-
ческого аппарата изучения геометрических объектов, так как
соответствие между геометрическими объектами и дифферен-
циально-алгебраическими тройками не взаимно-однозначное.

Рассмотрим, в частности, важный вопрос о классификации
для данной тройки (Ag/\B, 7) идеалов в В<0) по их отноше-
нию к идеалу 7.

Пусть Ь — идеал в коммутативной алгебре В<°> элементов
нулевой степени, порождаемой конечным числом элементов р».
Идеал b можно однозначно расширить до дифференциального
идеала Ь', присоединяя к нему элементы dPaCzBO.

Факторалгебра В=В1Ь' по дифференциальному идеалу сама
является дифференциальной, так же как и Ag Л&=(Ag Д B)lb'.
Мы получаем тройку (Аа/\'В, 7), 7=im7.

Возможны два случая:

1)	Между образующими элементами 7 возникает зависи-
мость, линейная с коэффициентами из В(0>, которой не было
в прообразе. Идеал b называется классифицирующим по сле-
дующей причине. Если мы имеем реализацию тройки в
(GxV, F), то В реализуется на подмногообразии С, определяе-
мом уравнениями ра=0, а проекция CXG в F является подмно-
гообразием Fi, инвариантным относительно действия группы.
Действие, на Fi определяется тройкой (А~, В, /).

2)	Между элементами 1 не возникает зависимостей^ Тогда
идеал Ь называется канонизирующим и тройка (Ag-, В, Т) по-
прежнему определена действием G иа F. Примеры подобных
канонизаций приводились выше при рассмотрении действий
группы GL(n).

§ 6. ПРОДОЛЖЕНИЕ РАССЛОЕНИИ И ВНЕШНИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБР.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
СТРУКТУР

Следующая наша задача — так расширить класс операций
внешнего дифференциального исчисления, чтобы он инвариант-
но, без использования локальных координат, описывал строе-
ние гладких расслоений и дифференциально-геометрических
структур на многообразиях.

Рассмотрим вначале некоторые простые алгебраические
вопросы.

Пусть мы имеем прямую сумму двух векторных пространств
Vя-}-Vm с проекциями pt и рз на Vя и Ут. Всякая вйешняя
форма Я на Vя определяет форму Я на V“-j-Vm по правилу

Я(Х , ..., Х)-Я(Р1Х, ..., Р1Х).
(I)	(Р>	О)  от

То же самое относится к формам на Vm. Формы на Vn-i-Vmr
полученные таким образом, можно назвать 1-чистыми и 2-чис-
тыми. Введение базисов ^eV” и ea&Vm и соответствующих
кобазисов и>‘ и со0 задает базис и кобазис в Vя4- Vn. Пользуясь
разложениями по формулам вида (1-5), убеждаемся, что вся-
кую внешнюю форму Я степени р иа Vn-i-Vm моркно предста-
вить в виде

Я “ Яв + Of Л Я^ Д (а1 Л +

1<к

+ ... +	£	Л ... Л +

+ ... +	Д <•)'* Л... Л +
+	£	... л«4	'

ic«t<...<(p<n	(О-Ч

1<Л<р— 1,

где Йо. й>, ... Ц,...гх — 2-чистые формы, а

Лемма. Для заданного прямого разложения Vn-£Vm, за-
данного базиса ei^Vn и внешней р-формы й в Vn-i-Vm, 2-чис-
туе формы Йо, ... , й(1...(х	1) и числа ail...ip опреде-

лены однозначно.

Действительно, для'данного базиса ea^Vm однозначная оп-
ределенность перечисленных форм следует из однозначности
представления (1.5). При замене базиса в Vm с сохранением
базиса et в Vя перечисленные формы сохраняются.

При сохранеини подпространства Vm, переходе к другому до-
полнительному подпространству Г” и соответствующей замене
базиса

ёа=еа, ei=ei—hiaea,	=f£>a

для нового разложения (6.1) той же формы й будем иметь
3|‘Л...Л«,х'=в,1Л...Л»,х. а коэффициенты новых 2-чистых
форм будут выражаться линейно через коэффициенты
форм	. £2о и полиномиально через Л,°. На-

пример, для р=*2 будем иметь

й == £ «я»®0 Л со* + (flac®0) Л <о' + д*(со* Л со' =
Ж6	.*«	\

= £ ввХ Л со” + (аа(—аа4Л?) ®° Л +
а<ь

+ £] (а-М — &aih% + ва*Л? +	СО* Л со'.

(6.2)

I

Обозначим через G°(V'n, Уя+т) многообразие всех подпрост-
ранств y«c:Vn+m, дополнительных к ymc:Vn+m.

Для двух подпространств Vn, Р"с:О0(УЯ1, Уп+т) однозначно
определено разложение

е=ё+Це),	(6.3)

где ееVя, ёеРп, l(e)eV" и Це) линейно зависит от е. Обрат-
но, всякое линейное отображение I: Vn-+Vm однозначно опреде-
ляет подпространство Ря по формуде (6.3). Действительно,
G°(ym, yn+mj несет структуру аффинного пространства размер-
ности пт, ассоциированного с векторным пространством
L(Vn, Vm) всех линейных отображений из V" в Vm. Рассмотрен-
ное нами разложение внешних форм приводит к заключению:
Предложение. Пусть в векторном пространстве Vn+m
задано подпространство Vm, т. е. определена точная последова-
тельность векторных пространств

О ym yn-f-m ууп — уп+т /ут —Q,

и в Wn задан базис е,. Тогда всякая внешняя форма Q^ApVn+in
определяет гладкие отображения

й0, Q,-,

~ n	1...X,

* к " Чо<Х<р-1,

пространства G°(Vm, Vn+m) в пространства APVm, AP~lVm, ...
.... Ap~xVm, .... A'Vm, A°Vm = R, задаваемые для каждого
Vn^G° разложением (6.1) и естественным отображением бази-
са в Wn на базис в Vn.

Применим изложенные построения к введению внутренним
образом последовательности внешних дифференциальных форм
на расслоениях реперов высших порядков «-мерного многооб-
разия М.

Каждому базису p(eh .... еп)&НР1М, е^ТРМ в точке
РеЛТ и каждому вектору Х^ТРМ поставлено в соответствие п
чисел — координат X относительно е,-, Х=х‘е,-. Тем самым мож-
но определить л дифференциальных форм <о‘ на главном рас-
слоении Н'М(М, GL(«), л), линейно независимых в каждой
точке pef/W. А именно всякому касательному вектору Ze
сопоставлена его проекция n*ZeT„(P)Af. Определим
значения (со‘| Z) по правилу

n.Z= Z)ei,

где е,- — базисные векторы, соответствующие точке реН1М.
Функции (a>‘|Z) линейны относительно Z в каждом простран-
стве ТрН1М. Действительно, вектор X, касательный к Л! в точке
Р, имеет в каждой карте (U, <p), P^U координаты V, являю-
щиеся значениями координатных форм du‘ относительно базиса

Относительно произвольного базиса р(^, .... ея),
ди* у

et е ТрМ, =	det(u*)=#O, X будет иметь координаты

Л'=м*г5*» где М — матрица, обратная к («*')• ТГ являются
значениями дифференциальных форм

а>{=ик‘(1ик.	х	(6.4)

Очевидно, это и будет локальной записью определенных нами
форм о*' на ТРМ, в карте (U, Ф) с координатами и1, ukl,
det(u?)=#0, адаптированной к карте (U, <р) на М. Ведь если
координаты вектора ZeTsH'M, n(S) —P относительно карты
62
(U, Ф) будут £‘=(с!и‘[г), &‘= (du/i^Z), то проекция ntZ будет
иметь те же координаты g1.

Мы видим, что ®‘ являются бесконечно дифференцируемыми
формами на НХМ.

Вспомним теперь, что расслоение Н2М касательных реперов
второго порядка на М является, как расслоение над Н1М, под-
расслоением в J’(№Af), т. е. семейством n-мерных линейных
подпространств в пространствах TsffxM. Эти подпространства
определяются в каждой карте, адаптированной к карте в М,
уравнениями

du^-u^du^O, Uki^uik1.

Следовательно, они характеризуются двумя условиями:

1) являются дополнительными к подпространству du1 — О,
касательному к слою, и 2) на них обращаются в нуль формы

Формы dm1 вместе с <о‘ определены в НХМ, но вместе с тем
и на Н2М в силу регулярного сюръективного отображения

л2': Н2М-+НХМ.

Используя результаты, полученные в начале этого парагра-
фа, можно утверждать, что каждый элемент h^H'M определя-
ет представление da‘ в виде

(d©‘)s = йг' + й* Л со* + £ Л «А
l<k

(ср. (6.2)), где Q' и Q? — 2-чистые формы, т. е. равные нулю,,
если хотя бы один аргумент принадлежит горизонтальному
подпространству. С другой стороны, в силу теоремы Фробе-
ниуса da‘ должны обращаться в нуль на вертикальном под-
пространстве (касательном к слою над РеЛТ).. Следовательно.
£2* тождественно равны нулю. Далее, на подпространствах, со-
ответствующих элементам hetPM, da‘=0, что вместе с Q*‘=0'
дает о/?=0, и мы получим равенства

(^со‘)5=£2?Дсо*.	(6.5)

В каждом TSHXM и для каждого горизонтального подпрост-
ранства, соответствующего h^H2M, являются 2-чистыми
формами. Как видно из (6.2), эти формы гладко и даже линей-
но завйсят от выбора элемента h, т. е. от параметров ЛА £2*‘
в следующем смысле определяют линейные дифференциальные
формы на Н2М, т. е. линейные функции от касательных
к Н2М векторов: для всякого ZeTs№Af вектор (pi).Zs Tpi^fPM
однозначно разлагается на две составляющие — проекции р2
й pit одна из которых лежит в вертикальном подпространстве,
а вторая — в горизонтальном, соответствующем элементу Se
e№Af, в котором взят вектор Z. Тогда положим

и в силу (6.5) будем иметь на Н2М\

<1а‘=ы^/\ак-	•	(6.6)

Очевидно, а>к‘ будут бесконечно дифференцируемыми формами.

В силу инвариантного введения их ограничения иа слое
над РеЛ4 соответствуют левоинвариантиым формам на группе
GL(n). Более того, они будут совпадать с формами ©?, введен;
ными в § 2 с помощью формул (5.7), и, следовательно, состав-
лять канонический базис всех левоинвариаитных форм на
GL(n).

Действительно, дифференцирование формул (6.4) дает,

d(l>* = dM*' AdMfc= (tZfe'du?) A (uhkduh) =Ultlduii/\(Ak,

= H^dut1+£*?©'.

Далее, на №Af наряду с формами ы‘, определены также
форМЫ d(Ak‘.

Дифференцирование (6.6) после преобразований дает

(d©«.‘—©?А©*0 A©*=0.	(6.7)

Рассуждая, как выше, находим, что на	имеют место

формулы

Ao*— ©/ Д ©1 = o'* + ©« Д ©‘ 4- £ Vkmtoy" А ©',	(6.8)

т<1

где формы Q*‘, ©*? являются 2-чистыми для каждого разложе-
ния TS2H2M на составляющие, одна из которых вертикальна,,
т. е. касательиа к слоям расслоения иад Af, а вторая определя-
ется точкой S^J'H2M (на первой ю'=0; иа второй, если она
определяется точкой из Se/fWar/'/PAf, ©j?=0, d©*‘=0). Фор-
мы ©jt? — 2-чистые и потому не могут быть связанными
с 1-чистЫми а>‘ алгебраическими зависимостями. Следовательно,
подстановка (6.8) в (6.7) дает Й*=0, ©*/«©», t4*n+Vm/*-l-
+ Vttm 7= 0- Из формул

©*=Ukduj + Uk/dj1, ик1 == uik

следует, что в ©*? независимо входят du*?, так что уравнения
wjt?=O, ©jt*=O однозначно определяют горизонтальное подпро-
странство ТН2М. Так как каждое такое подпространство явля-
ется касательным к некоторому сечению в Н2М, индуцирован-
ному сечением в №Af, ни на одном из них формы ©‘ не могут
быть связаны алгебраическими соотношениями. Следовательно,
viUm = 0 и имеют место структурные уравнения '

(6.9)

где a>ki‘ — однозначно определенные формы иа Н3М, удовлетво-
ряющие единственным соотношениям

Тем самым формы со', и>ь‘, ш»? являются координатными
формами в касательном пространстве TsH'lM относительно се-
мейства реперов, определенных точками расслоения над
точкой S.

Дальнейшее продолжение этих построений повторяется
с помощью совершенно таких же рассуждений. Их результат
можно сформулировать следующим образом.

Теорема. На последовательности расслоений реперов
высших порядков на п-мерном многообразии М

«Л+1	”л"1 я2 П •

.., №+'М —*Н*М —► ... —► Н'М —*М	(6.10)

определена последовательность линейных дифференциальных
форм

<о(, <о*', W, ...»	.... (6.11)

не связанных никакими алгебраическими условиями, кроме
полной симметрии по нижним индексам. Здесь а1 — формы
смещения, построенные выше, а остальные формы вместе с а>‘
играют аналогичную роль для семейства реперов

(*, ер, е *«*.-,	(6.12)

(имеет место симметрия по верхним индексам), где е, лежат в
горизонтальных подпространствах, соответствующих элементам
из Hh+iM, а остальные фиксированы в вертикальном подпрост-
ранстве. При проекции (л,?1-1)* векторы е,, ер, .... е*’"**-1
отображаются в одноименные из

Имеют место структурные уравнения (6.6) и

dw*,...*» — й*,...*, + Л w*x+1,	1> ... > h, (6.13)

Л	Л	Л Л+-1

где 2-чистые формы второй степени й»,.,.^ выражаются через
<4, ... ,(0*,.,.*х с постоянными коэффициентами и получаются,
как в случаях’ (6.6), (6.9), последовательным дифференцирова-
нием уравнений (6.13) с меньшим на едцницу значением X,
применением леммы § 1 и приравниванием нулю коэффициен-
тов при Полагая в уравнениях (6.13) ®'=0, получим
структурные уравнения (4.1) групп Dnh, реализующихся в слоях
расслоения HhM (ср. [14, с. 49]).

Для каждого Л=1, 2, ... определяется реализованная на
Hh^M внешняя дифференциальная алгебра Anh с образующими

5 Зак. 523	65
элементами и’, со**, .... ш*,...йа , da^t^.kh , связанными между
собой лишь условиями симметрии по нижним индексам и урав-
нениями (Ав*,—*А<>1—О*»...лА ж) Л = полученными- диффе-
ренцированием (6.13) при K=h.

Уравнения (6.6), (6.13) играют основную роль в последую-
щих частях этого курса. Целесообразно рассмотреть аналогич-
ные конструкции для продолжений расслоений Н(М, G, п).
Е(М, р), Е(М, G, F, р), которые, впрочем, частично пересека-
ются с вышеизложенными.

. Для главного расслоения Н(М, G, п) будем рассматривать
расслоения HGh касательных реперов различных порядков, т. е.
струй в точке Р^М универсальных карт, точнее — локальных
диффеоморфизмов Ф: n.~l(U)-*-DxG, DczR", являющихся ло-
кальными морфизмами расслоений, т. е. согласованными с диф-
феоморфизмами

Ф : U-+D, ф(Р) =0еРсКя.

Струей нулевого Порядка будем считать класс локальных
морфизмов, задающих одно и то же соответствие между л-1(Р)
и 0XG = G.

Струя первого порядка рн(м,а,Я) задается, кроме того, каса-
тельным репером 1-го порядка многообразия М в точке Р и
полем горизонтальных площадок h в TSH(M, G, л)=*Т$Н,
л($)=чР, соответствующих горизонтальным площадкам триви-
ального расслоения DxG

^>-\s)(dxG)=t;.1(S) (dx.g) (dxG)=

=	+ ^р2°ф_1(5) D = G + R”.

В силу регулярной субмерсии HalH-*-HlM формы со1 с Н1М
поднимаются в На1. Кроме того, имеет место •

Пр^дло жен не. В На1 определены формы со“, соответ-
ствующие одноименным базисным левоинвариантным формам
ь>“ группы G (см. § 1):

Ограничения w“ форм и“ на слое лгхР, Р^М соответствуют
в силу сюръекции лг1Р-^л~1Р формам определенным на
п~1Р в силу соответствия его с типовым слоем G (с точностью
до левых сдвигов). Как следствие, формы ©“ удовлетворяют
структурным уравнениям (4.1).

Доказательство. Формы вводятся с помощью кон-
струкции, уже применявшейся выше в частном случае. Как мы
видели, элемент ЗеЯс1 определяет, в частности, горизонталь-
ное подпространство в T^sH. В силу отображения Л1: Hq1-*H
всякий вектор Z^TgHa1 определяет вектор 2= (ni).ZeTn sH.
Разложим его на две составляющие — 2° и Zh, первая из кото-
рых вертикальна, а вторая лежит в горизонтальном подпрост-
ранстве, соответствующем точке Se/Л?1. Значение (©“ | Z) опре-
деляем равенством

(©a|Z) = (©°|Z°).

При этом свойства ©а, указанные в предложении, удовлетворя-
ются в силу того, что для вектора Z, касательного к ni_,Pf
не имеется горизонтальной компоненты н равенство (©°|Z) =
= (®°|Z) = (©°|Z) выполняется автоматически. Так как формы
а>“ образуют базис в касательном пространстве к л-1Р в каж-
дой точке, формы wa, ©' образуют базис форм в касательном
пространстве TsH.

Всякая точка S^Hg2 определяет касательный репер второго
порядка в М. и струю сечения второго порядка в Н (М, G, л) и
тем самым струю сечения 1-го порядка /з2 в Нах, на которой
©° = 0. Следовательно, в ТНа* имеет место разложение

daa — Q“ + и? Л а>‘' + £ t&©4 Л ©',	(6,14)

kci

где Qa, ©,a — 2-чйстые формы по отношению к /з2. На лг’^Р),
т. е. при ©‘=0, (6.14) превращается в (4.1), откуда

йа = — £ Cdfcco4 Л (о6.
d<b

Далее, для всякой струн сечения второго порядка /52 можно
найти универсальную карту в окрестности л-1(Р), определяю-
щую сечение с данной струей, что возможно лишь тогда, когда
все Vkta равны нулю. Итак, формы юа, ©' удовлетворяют урав-
нениям (6.6) н

daa — — £ смаа Д в»6 + «“ Л ©‘,	(6.15)

d<b

где ©,“ — дифференциальные формы, определенные на рассло-
ении На2 универсальных реперов второго порядка расслоения
Н = Н(М, G, л).

Дифференцируя (6.15), получим уравнения

(d©i°—Qf°)A©f=O,	(6.16)

где Qfa — 2-чистая форма, а точнее — выражающаяся с посто-
янными коэффициентами через ©°, ©A

Следовательно, всякий элемент /а3Е//3с,п как подрасслоени"
расслоения РНа2 определяет разложение

— О? = О? + ©« Л ©Л + J vukal Л ©*,	(6.17)

l<k

где Q;a, аига — 2-чистые формы, т. е. равные нулю на горизон-
тальном подпространстве, соответствующем струе /с3. Подста-

5»	67
новка- (6.17) в (6.16) с учетом того, что ©‘ — 1-чистые формы,
как и на предшествующей ступени продолжения, дает Й»в«=0,
Существование сечений, реализующих любую струю
/о8, на которой всегда соа==0, w<e«=0, ©<*“=0, дает па»л«0 и
уравнения

4©<в—Я<в-©»л“Л©*,	(6.18)

где, как легко проверить,
 ©*%©?—Cd6e©dA©?.

Докажем, наконец, что формы

со', (0е, ©Л ©/*“ (l<k) и©*'	(6.19)

независимы между собой и образуют базис форм в THq* отно-
сительно реперов, определяемых струями. Действительно, пере-
ход от одного фиксированного горизонтального подпространства
в ТзНо', определяемого элементом Js2, к другому такому же
индуцирует замену форм

©(W®(e+ft(*e©A	(6.20)

такую, что для u>ia и выполняются уравнения (6.15) при
одних и тех же ©“, ©'. Это дает единственные условия =
«Л*?, и данные величины можно считать координатами струй
универсальных сечений, которые следует добавить к координа-
там, задающим струю 1-го порядка в Н(М, G, л) и струю 2-го
порядка в М, чтобы получить полную систему координат в не-
которой области расслоения Но2.

Нетрудно заметить, что при дифференцировании (6.20) и
разложении (6.18) каждое нз ©/*“ будет содержать слагаемое
dhif и больше никуда эти дифференциалы не войдут. Это и до-
казывает полноту и независимость системы.форм (6.19).

Очевидно, что приведенные построения допускают бесконеч-
ное индуктивное продолжение. Мы приходим к теореме.

Теорема. На последовательности продолжений главного
расслоенного пространства Но*=Н(М, G, л)

.Явн-Й(Л1, PL, я1)*--+&№,	л*)*----

Ки	-<—-*—• (621)

где Hoh — расслоение универсальных реперов порядка h рас-
слоения Но^Н(М, G, я), D0,nh — соответствующая дифферен-
циальная группа расслоения, определена последовательность
линейных дифференциальных форм

at1, ©°, со*, ©?, ©*/, со**, .... ©л,...*Л, ©*,...*Л, ....	(6.22)

симметричных по нижним индексам, а в остальном независи-
мых, причем формы а1, ©*', .... ©*,...совпадают с заданными
на Hh+lM и поднятыми на Но* в силу (6.21), а вместе с ыа,
в>1а, .... ©	, заданными на Hch+l> составляют базисные

формы, соответствующие реперам в TsHoh, определяемым
элементами Hoh+i. Имеют место структурные уравнения

4®“..ла = й?1...<аН-®“...<л+1Л®/а+1, Л-1.Л-1	(6.23)

и (6.6), (6.13), где выражаются через ®“,	©«“, ...

•	»?,...ih, a*,..,ih	с постоянными коэффициентами.

Вид определяется индуктивно начиная с уравнений
(6.6), (6.15) последовательным дифференцированием, разложе-
нием по лемме из § I и приравниванием нулю членов с ю'Дш*.
Подставляя в (6.13), (6.23) уравнения ®- = 0, получим структур-
ные уравнения группы Ли Dho,n. Формы (6.22), d®*,...^, ^®“...<Л.
удовлетворяющие уравнениям (6.6), (6.13), (6.23),
— О*,...*А) А®*Ав 0, (d®“...<A—П?,...^) Л оА-0, образуют внеш-
нюю дифференциальную алгебру, обозначаемую символом
ЛАо,я,

Рассмотрим еще одно построение аналогичного характера.

На расслоении Е(М, р) общего вида определена последова-
тельность главных расслоений Н^тЕ адаптированных каса-
тельных реперов высших порядков со структурными группами
Dhn,mi где п — размерность базы, т — размерность слоев,
h — порядок репера. При этом всякий адаптированный репер
проектируется в касательный репер того же порядка на базе.
Как и в предыдущих случаях, слой расслоения иад точ-
кой расслоения Н\тЕ представляет собой некоторое семейство
струй сечений первого порядка, т. е. представлений TsHhn,mE
в виде прямой суммы вертикального подпространства (каса-
тельного к слою) и горизонтального подпространства — струи
сечения.

Начиная с форм смещения ша, заданных в Н'п,тЕ, с по-
мощью выражений дифференциалов форм черед 1-чистые и
2-чистые формы получаем новые формы, образующие, вместе
с уже найденными, базисные формы для касательных реперов
высших порядков. На Н^тЕ заданы формы а', ©1, .... (4,...*^,
а", а*. а*, ....	где 1<Л</1,	и формы

симметричны относительно нижних индексов. Структурные
уравнения имеют вид

da'dafle©4>aAab-l-©(“Л©',

d®*,. . kK =	+ ®L. • *x*x+1	m*x+1 ’	(6.24)

69
где Q выражаются через те же формы, кроме и‘, ша.

Они получаются последовательным дифференцированием
введенных форм и уравнений, представлением дифференциалов
через 1-чистые и 2-чистые формы и отбрасыванием членов, не
содержащих новых 2-чистых форм выше нулевой степени.
Формы со1,	индуцированы соответствующими формами,

определенными на расслоениях НЧМ над базой.

По аналогии с Anh, AhQin определяются и реализуются внеш-
ние дифференциальные алгебры А'лп,т с образующими (oz, we,
b ьк,	du£t...kb bh, X=1....Л; p =

= 0, 1....h.

Перейдем к рассмотрению расслоений и полей дифференци-
ально-геометрических объектов. Согласно изложенной выше
методике, алгебраическое описание пространств геометрических
объектов, т. е. многообразий F с заданной на них группой Ли
преобразований G, сводится к заданию полной гладкой реали-
зации внешней дифференциальной алгебры В на многообразии
V и заданию во внешней дифференциальной алгебре В Л А$
дифференциального идеала I, порожденного независимыми эле-
ментами первой степени 9х.

Дифференциальность идеала означает существование эле-
ментов 0/е(ВДДо )* таких, что Й6Х=9/Л9Ц.

Через А~ обозначена внешняя дифференциальная алгебра
левоинвариантных форм иа группе G.

Далее, существенно, чтобы слоение в VX.G, определяемое
системой Пфаффа 0*=О, было расслоением (GxV)(F, t) с ба-
зой F и проекцией t. Тогда левое действие на G вместе с три-
виальным действием иа V определяет действие на GxV, ин-
дуцирующее гладкое левое действие G иа F.

Пусть мы имеем главное расслоение Н(М, G, л) и левое
действие группы G на многообразии F. Тогда определено рас-
слоение Е(М, F, G, р), ассоциированное с ЩМ, G, п). Задание
многообразия V, дифференциальной алгебры ВсЛУ и идеала
/, определяющих F, позволяет глобально определить расслоение
касательных реперов на Е. Действительно, рассмотрим много-
образие VxH(M, G, л). G-карта (U, Ф), U^M, Ф:л~*(О)-+-
-+QXU определяет отображение УХл-1(О) иа многообразие

VxGxU; УХлгЦ^ч-УХОхУ,
в котором очевидным образом задана гладкая реализация ал-
гебры В/\Аб и идеала I. В другой карте (W, Ф) : УХя~‘(1Г)-*
-*-УХОХ№ задана аналогичная реализация алгебры ВДЛ^
и идеала I.

На Пересечении, иад каждым слоем л-1(Р),	реа-

лизации совпадают в силу того, что множитель У не меняется,
70
а отображения в типовой слой отличаются на левый сдвиг и
не меняют реализации алгебры Ag, а также идеала / в силу
его левоинвариантности. Следовательно, послойные проекции
VXG-+F определяют глобальное гладкое отображение
VxH(M, G, я) на ассоциированное расслоение Е{М, F, G, р).
I Мы знаем, далее, что в главном расслоении HG1(M,Dla,n, л1)
определена реализация алгебры Ag, ,на слоях совпадающая
с канонической реализацией с помощью карт. Тем самым в
уХНаЦМ, Dla,n, л1) определена реализация алгебры В ДЛ-,
а также идеала /. Если в идеале / заданы левоиивариантные
образующие 0х, они являются координатными формами в каса-
тельном пространстве к F относительно некоторого гладкого
многообразия касательных реперов. Соответствующие форм!'
в VXHal(M, D1а,п, л1) определяют вместе с <о‘ семейство каса-
тельных реперов к расслоению E(Af, F, G, р), т. е. подрасслое-
ние в расслоении адаптированных касательных реперов Н1Е.
Итак, имеем

Предложение. Пусть отображение расслоения t: VX
XG-+F, VczF определяет левое действие группы Ли в много-
образии F. Пусть внешняя дифференциальная алгебра В
полным образом гладко реализована в V, Л- — канонически
реализована на G, а независимые линейные формы б’1 образуют
дифференциальный идеал в B/\Ag и их реализация в VxG
определяет вполне интегрируемую систему Пфаффа 0х=О, мак-
симальные интегральные многообразия которой являются слоя-
ми расслоения t.

Тогда при канонической реализации алгебры B/\Ag
в VXHal(M, Dl0,n, л1) формы 0х, ш‘ образуют вполне интегри-
руемую систему уравнений на ВхН(М, G, л), определяющую
структуру расслоения с базой Е(М, F, G, р), т. е. ассоцииро-
ванным с Н(М, G, я) расслоением с типовым слоем F. 0х, ш‘
являются координатными формами некоторого подрасслоения
адаптированных касательных реперов к Е(М, F, G, р).

Рассмотрим теперь вновь вопрос о расслоении JhE струй
сечений расслоения Е(М, р). Мы видели, что. над расслоением
определена последовательность главных расслоений Hhn.,mE
касательных адаптированных реперов высших порядков. Гео-
метрически очевидно, что расслоение JhE ассоциировано с глав-
ным расслоением Hhn,mE. Изучим аналитический аппарат, выра-
жающий это отношение. На последовательности главных рас-
слоений Hhn,mE определена последовательность внешних диф-
ференциальных алгебр с образующими и',	©*в, ....

Удовлетворяющая индуктивно опреде-
ленным структурным уравнениям (6.24).

Пусть задано сечение расслоения. Вдоль него выполняются
уравнения

(6.25)
В каждой точке* сечения в каждом касательном репере с ко-
ординатными формами юа, эти уравнения задают касатель-
ную плоскость к сечению, т. е. струю сечения. Так как <о“, а1
образуют дифференциальный идеал в алгебрах Ahn,m, диффе-1
ренцируя (6.25), получим	|

ДЛ?Дю'=0, Mif-dhP+hfpt*—hibtaba+aia.	(6.26)

Продолжая эти уравнения, получим

ДЛ(а=Л(*асо*, hika=hkia.	(6.27)

Мы видим, что при фиксации струи ее координаты, как функ-
ции от репера, удовлетворяют уравнениям Д/и°=0. Значит,
формы ДЛ;“ образуют базис идеала в алгебре В (hi, dh“) А А^,
определяющего действие группы Dln,m иа струях первого по-
рядка. Отсюда уже следует, что формы <о‘, <оа, ДЛ;° образуют
дифференциальный идеал в алгебре В (Ла йЛ/в)ЛЛ1я,т. В силу
этого дифференцирование уравнений (6.27) приводит к урав-
нениям вида

△ЛвйшЛви4Ш,) Лам—Ла»*.	(6.28)

При а*—О, ша=0 дифференциальные уравнения

ДЛ,а—О, ДЛм--0	(6.29)

описывают закон, по" которому меняются координаты струи
второго порядка относительно адаптированного касательного
репера второго порядка расслоения. В частности, отсюда еле*
дует, что формы ДЛа ДЛ<А (iA со' порождают дифференциаль-
ный идеал в алгебре

B(hta, hlka, dhta, dhif)/\А*п.т-

Продолжая эти построения, приходим к такому утвержде-
нию.

Предложение. В последовательности уравнений (6.25),
(6.27), (6.28) и далее

Makl...kh = h^...^^, '	(6.30)

дифференциальные формы ДЛ*,_..ьк, К X < Л вместе с форма-
ми а“, порождают дифференциальный идеал в дифференци-
альной алгебре Bhn,mf\An,m, где Bhn,m свободно порождена эм-
ментами Л*,...^, 4Л*,...*х, а Л£,т— алгебра базисных форм
(6.11) и форм	расслоения HhE(M, р) адаптиро-

ванных реперов порядка h расслоения Е(М, р) с п-мерной
базой и m-мерными слоями. Система Пфаффа ю(=0, ш°=0,
ДЛ*„..*К =0, 1 < Л <Л определяет слои расслоения RNX
XHhE(M, р) над расслоением ассоциированного с НКЕ(М, р)
72
расслоения JhE струй сечений порядка h расслоения Е(М, р).
В частности, при со' = 0, соа = 0 формы	образуют иде-

ал в алгебре Bn,m/\A h , соответствующий пространству
&п,т

струй сечений в точке S^E(M, р).

Здесь Rv имеет координаты hkt...kK, 1^Х^Л, симметрич-
ные по нижним индексам, /га= 1, .... п; а=п-Н, ..., п+т.

В частности, соответствующие результаты справедливы для
случая, когда Е(М, р) является расслоением Е(М, F, G, р) со-
структурной группой, и в еще более специальном случае рас-
слоения Е(м, F, DnQ, р) дифференциально-геометрических
объектов типа F порядка Л на многообразии М. Только в этих
случаях первые уравнения имеют вид

0*=W,	(6.31)

где 0\ со' образуют базис идеала в алгебре ВДЛ1о,л, определя-
ющего расслоение Е(М, F, G, р) как ассоциированное
с Н(М, G, п) (соответственно с Н«М(М, DJ, п’)). Роль алгеб-
ры Ahn,m играет алгебра Aho,n базисных форм расслоения
Нон (М, Dho,nt nh) (соответственно алгебра Xn,+h).

В соответствии с этим имеем

Предложение. Если расслоение Е(М, F, G, р), ассоци-
ированное с главным расслоением Н(М, G, л), определяется
дифференциальным идеалом I с образующими со', 0* в алгебре
В/\Аа,п, реализованной в Vf\H(M, G, л), то расслоение
1*Е1*Е(Мг F, G, р) струй порядка h сечений расслоения Е яв-
ляется расслоением, ассоциированным с главным расслоением
Hoh(M, Dha.n, nh) струй порядка h универсальных карт
в Н(М, G, л). JhE определяется дифференциальным идеалом
F1 в алгебре B/\Bhnm/\Aha,n, реализованной в расслоении
VxRNXH^n(M, Dha,n, nh). Здесь RN — совокупность наборов
чисел (hi\ ..., Л^...(Л), симметричных по нижним индексам,
Bhn,m — свободная внешняя дифференциальная алгебра, порож-
денная элементами h1},	dlfi, .а

идеал Ih порожден элементами со', 0\ АЛЛ khik\ .... Aft^...,h,
где Ыгк..л , «= 1, ...» fi— левые части уравнений

bhi^hikW,

(6.32)

полученных последовательными продолжениями уравнений
(6.31).
Предложение. Если Е(М, F, Dnl, р1) — расслоение!
дифференциально-геометрических объектов порядка I многооб-)
разил М, ассоциированное с главным расслоением Hl(M, Dnl,nly
касательных реперов порядка I многообразия М и определяе-
мое дифференциальным идеалом I с образующими 0\ со* в ал-
гебре В/\Ап1, реализованной в VxH‘(M, Dn‘, л‘), то расслоение
JhE струй сечений порядка h расслоения E(M,F1Dnl,pi) является
расслоением дифференциально-геометрических объектов поряд-
ка l+h многообразия М, определяемого дифференциальным
идеалом Ih во внешней дифференциальной алгебре B/\Bhn,m/\
/\Ant+h. Здесь, как и в предыдущем предложении, идеал Ih по-
рожден элементами со*, в*-, АЛД ...,	..ih, стоящими в левых

частях уравнений (6.32), получаемых продолжением уравнений
сечения (6.31).

Аналогично убеждаемся, что справедливо следующее ;

Предложение. Для каждого расслоения дифференци-
ально-геометрических объектов порядка I в главном расслоении
Н(М, G, л), т. е. расслоения Е(М, F, Dla,n, р1), ассоциирован-
ного с	DlG.n,n‘), расслоение JhE струй сечений порядка

h является расслоением дифференциально-геометрических объ-
ектов порядка l+h в главном расслоении Н(М, G, л), опреде-
ляющий идеал которого Ih может быть найден исходя из опре-
деляющего идеала I расслоения Е при помощи последователь-
ности уравнений (6.32) продолжения сечений расслоения Е.

Наконец, дифференциально-геометрические структуры по-
рядка h в многообразиях и в расслоениях, т. е. сечения рассло-
ений дифференциально-геометрических структур порядка h,
описываются последовательностями дифференциальных алгебр,
которые получаются исходя из последовательностей дифферен-
циальных алгебр Ап1 либо А'с,п (/=1, 2, ...) введением алгебр
B/\Anh либо ВДААс,л, указанием в них идеалов I с базисами ’
0\ со*, определяющих ассоциированные расслоения, а затем ис-
пользованием продолжений уравнений сечения (6.32)" введением
новых элементов Ьц..л , а=1, ..., h, их дифференциалов
dhfrt...Ca, а затем факторизацией по дифференциальному иде-
алу ЛЛ порожденному элементами

0*.—ftjw, AftJ'—ftjfeco*. ...

(6.33)

АЛ£...,а Д соЧ

Полученные дифференциальные алгебры A0(f), А^ъ имеют
строение B/\BN /\Anh+i, соответственно В /\BN Д А^п, где BN
порождено элементами h%, ..., Лл л., dht дифференциа-
4	4	ft » ft

лы элементов h(, ... , Лс,...^ выражаются уравнениями
74.
i—ht I, a/a+i = O, a= 1, ..., ft— 1,

и имеют место соотношения

AAt. , Awift = 0.
п

Увеличивая h, получим бесконечную последовательность диф-
ференциальных алгебр, связанных между собой последователь-
ностью дифференциальных гомоморфизмов.

Настоящие предложения и их следствия составляют основу
инвариантного аналитического аппарата исследования диффе-
ренциально-геометрических структур. Следует сразу же доба-
вить, что, как правило, используются не сами построенные диф-
ференциальные алгебры, а их сокращения, полученные факто-
ризацией по канонизирующим идеалам. Не меняя геометриче-
ского содержания вычислений, оно весьма существенно их уп-
рощает. Все это иллюстрируется примерами, содержащимися
в последующих главах. Кроме сокращенных алгебр, постоянно
приходится пользоваться алгебрами, факторизованными по
классифицирующим идеалам и моделирующими специальные
классы структур данного типа. Но этому важному вопросу пос-
вящена шестая глава книги.
Глава V

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

ТЕНЗОРНОГО ТИПА И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

СТРУКТУРЫ

Построенный в предыдущей главе аппарат годится для изу-
чения семейств произвольных дифференциально-геометрических
объектов, т. е. элементов пространств, в которых действуют
группы Dnh. Но таких пространств как для группы ОД так и
для любых групп Ли преобразований много. Поэтому следует
выделить класс объектов, для которых приведенный метод
можно уточнить так, чтобы ои становился более конкретным и
максимально эффективным. (Все основные классы дифферен-
циально-геометрических структур, изучавшиеся до сих пор, отно-
сятся к этому типу.) По существу, речь будет идти о методах
линейной алгебры и аналитической геометрии, но в значительно
более общей ситуации, чем те, которые можно найти в руко-
водствах по этим наукам. Такая общность оказывается необхо-
димой именно в задачах*дифференциального исчисления и диф-
ференциальной геометрии. Так как алгебраические вопросы для
иас являются вспомогательными, изложение материала этой
главы будет носить более конспективный характер.

f 1. ОСНОВНЫЕ понятия

Пусть мы имеем некоторое число конечномерных векторных
пространств над одним и тем же полем К, под которым всюду
в дальнейшем можно понимать поле вещественных чисел R.
Само К имеет смысл рассматривать как одномерное векторное
пространство с базисным вектором Г.

К данным пространствам канонически присоединяется серия
новых пространств иа основе следующего принципа. Пусть

.............V<₽); W)...(1.1)
обозначает совокупность всех полилинейных (линейных по
каждому аргументу) функций от р аргументов из векторных
пространств V(a), a=l...р со значениями в векторном прост-

ранстве W, причем среди пространств V(a), могут быть
и тождественные между собой. Очевидно, (1.1) также явля-
ется векторным пространством. Более того, задание базисов в
пространствах W однозначно определяет некоторый базис
в пространстве (1.1). Базисным элементом здесь по определе-
нию является функция, значение которой для некоторого набо-
ра базисных аргументов из V<a) равно некоторому базисному
76
вектору из W, а для остальных наборов базисных аргументов
равно нулю. Так что. размерность пространства (1.1) равна про-
изведению размерностей всех У(в) и W.

Пространство H(V; К) называется сопряженным к V и обо-
значается V*. Для пространства Я(У*, IF*; К) принято обо-
значение VQW и название тензорного произведения прост-
ранств V и IF. Сравнение соответствующих базисов позволяет
установить тождество (У*)*виУ, а также тождественность
пространств

H(V-, H(W, Z,	IF; H(Z‘, K))-tf(V, IF, Z; K).

Уточнение этого факта формулируется следующим образом:
Предложение. Операция тензорного умножения вектор-
ных пространств обладает свойством ассоциативности.

Пространство (1.1) теперь можно обозначать как

V(i)*®V(8)*®...®V(p)*®lF или (® Va*)®W.

a=l

Каждый элемент пространства V*®1F определяет, наряду
с линейным отображением <р: У->1У, сопряженное отображение
<р* ; 1F*-»V*.

Операция V®1F тензорного умножения пространств опреде-
ляет и билинейную операцию над элементами этих пространств
® : VX1F->(V®IF), которую также называют тензорным ум-
ножением (иногда — просто умножением тензоров). Именно
любым элементам aeV, XelF как линейным функциям на V*
и 1F* ставится в соответствие билинейная функция (а®Х)е
eV®	IF*; К), значение которой для аргументов

aeV*, gslF* равно произведению a(a)-X(g). Рекомендуем
читателю проверить, что если а и X имеют в некоторых базисах
координаты а1 и Xх, то а®Х в соответствующем базисе имеет
координаты с,х=а'жх.

В пространстве У*®У имеется особый элемент Е, соответ-
ствующий тождественному отображению id: V-+V или же
билинейной функции от элементов ueV‘, XeV, равной со(Х) =
= (ш|Х) (ведь V* и определено как пространство линейных
функций иа V). Сопоставляя каждому числу Хе К элемент
ЛЕ, определяем линейное отображение 5 : Л->У*® V. Сопряжен-
ное отображение б*: V® V*-*K*^K называется операцией
взята# следа, или операцией свертывания, и часто обозначается
символом Sp.

Полезно проверить, что для элемента QgV®V*, имеющего
координаты a?, J, Л=1, .... п относительно базиса, соответст-
вующего в) s V, Sp Q = а‘.

i

Операция б порождает мономорфное отображение каждого
пространства V(d*®. ..®У(р>* в V(d*®. ..®У(р)*®V*®V и соп-
ряженный эпиморфизм Sp:
V(D®...® V(P)® V® V*->V(1)®..,® v(p),
называемый «свертыванием no последним индексам».

В пространстве Н (V, .... V; F) полилинейных функций о
р аргументов из одного пространства V каждой перестанови
а из р элементов, oeSp, соответствует линейный оператор I
такой, что

def

М/(О1......ap))=f(aoW, ..., ааМ)

для любых f^H и любых aa^V. Линейные комбинации оперз
торов ha называются операторами симметрии в H(V,..., V; W
Аналогичные операции определяются в любом тензорном прои;
ведении, в котором имеются тождественные между собой сомнс
жители.

Обозначим через

T(Vm, ..., V(P))	(1.2

совокупность линейных пространств, являющихся тензорным
произведениями пространств У(а), У(а)*, а=1, .... р в конечно!
числе, с возможными повторениями. Для пространств из (1.2
будем употреблять обозначения щ. Элементы пространств i
будем называть тензорами, а конечные наборы тензоров -
тензорными объектами. Соответственно этому конечный набо
пространств из (1.2)

(^„ тх„ ..., ть..)	(1J

назовем семейством тензорных объектов данного типа.

Тензорной назовем операцию, которая данному набору (1.3
ставит в соответствие новое пространство из (1.2) с помощи
конечного числа операций тензорного умножения, операци
свертывания и операций симметрии.

С помощью замены ® на ® тензорные операции над npoci
ранствами определяют соответствующие операции над элемег
тами этих пространств. Если прибавить к ним операции состав
ления линейных комбинаций с заданными коэффициентами и
элементов одного линейного пространства, получим по опред<
лению тензорные операции над тензорными объектами.

Будем говорить, что некоторая совокупность тензорных обт
ектов из одного семейства (1.3) обладает определенным ceol
ством, если указан ряд тензорных операций, которые отобр;
жают объекты в нуль, а также ряд тензорных операций, кот<
рые переводят их в элементы, заведомо отличные от нуля. Есл
наложенные условия принадлежат лишь к первому роду, буде
говорить о положительном свойстве, если только ко второму
об отрицательном. Вместо понятия «свойство» употребляете
также термин «отношение между тензорами, составляющим
объект».

Совокупность тензорных объектов, составленных из тенз<
ров, принадлежащих пространствам (1.2), вместе со всево:
78
можными тензорными операциями над ними образует по опре-
делению тензорную алгебру

Л(У(1), .... У(Р)).	(1.4)

Семейство тензорных объектов данного типа (1.3) вместе со
всеми объектами, полученными из них с помощью тензорных
операций, также образует тензорную алгебру — подалгебру
предыдущей.

Тензорные алгебры представляют собой сложные алгебраи-
ческие системы. Но именно они являются основными моделями
для изучения геометрических объектов алгебраическими мето-
дами. Заметим сразу, что изучение геометрии векторного про-
странства Vn не ограничивается рассмотрением тензорной алгеб-
ры, порожденной векторными пространствами Vя и (Vя)*. На-
пример, задание подпространства V'nc:Vn описывается элемен-
том ae(V'”)*®Vn, обладающим отрицательным свойством, вы-
ражающим максимальность ранга отображения а: Vm~^Vn.

Аналогично, «пучки тензоров», постоянно встречающиеся
в задачах геометрии и линейной алгебры, определяются эле-
ментами пространств (®РУЯ) (®р( Vя)*) ®W'и т. д.

Имеет смысл выделить некоторые вопросы тензорной алгеб-
ры. Типичной для геометрических приложений является следу-
ющая задача. Пусть даны тензорные операции, выделяющие
множество тензорных объектов в (1.3), обладающих данными
свойствами. Требуется описать определяемые данными опера-
циями свойства подобъектов, образованных данной частью^
тензоров, входящих в {тка}. Обычно это называют задачей
о решений систем тензорных уравнений либо уравнений и нера-
венств.

Использование базисов, соответствующих базисам образую-
щих пространств V(a), сводит задачу к решению систем алгеб-
раических уравнений либо уравнений и неравенств относительно-
части входящих в ьих переменных.

Как известно, множество решений распадается на конечное
число классов, характеризуемых различными свойствами, как
положительными, так и отрицательными, и находящихся в со-
ответствии с классами, к которым относятся тензорные объек-
ты, дополняющие выделенные подобъекты {tJ до полного се-
мейства тензоров (1.3).

Например, если {tJ состоит из одного пространства то, а
заданные свойства {тхо} определяются уравнениями, линей-
ными относительно координат (компонент) объекта то, ус-
ловие Кронекера — Капелли разбивает дополнительное множе-
ство {тьо)\т0 на ряд классов, характеризуемых как уравнения-
ми, так и неравенствами. Для каждого класса множество объ-
ектов то, определяемых объектом {т?.а}\т0 и данной системой
тензорных уравнений, образует векторное пространство. Тем
самым дальнейшие свойства объекта то исследуются с помощью
основных операций тензорной алгебры. Примерами такого рас-
ширения тензорной алгебры являются известные задачи обра-
щения невырожденного линейного оператора, определения би-
линейной формы,двойственной к данной, определения линейного
оператора конечным множеством векторов и их образов и т. д.

9 2. ПРОСТРАНСТВА ОБЪЕКТОВ ТЕНЗОРНОГО ТИПА

Тензорная алгебра вводит в рассмотрение много прост-
ранств, на которых действуют группы Ли, и позволяет описать
отношения между такими пространствами.'

Каждое пространство тензоров (1.1), как и семейство тен-
зорных объектов (1.2), представляет собой многообразие, на
котором действует группа Ли

(j^GL(/ii) xGL(m) X.. .xGL(np) xGL(m),

m = dim W, nti - dim V\a).

Каждая тензорная операция по построению инвариантна от-
носительно автоморфизмов образующих линейных пространств,
т. е. перестановочна с действием группы G в образе и прооб-
разе. Следовательно, каждое подмножество в пространстве
(1.3), выделяемое тензорными свойствами, является множест-
вом, на котором действует, точно или неточно, та же группа
Ли G. Оно представляет собой совокупность областей в алгеб-
раическом многообразии, которое, /как известно, распадается
на конечное множество неприводимых алгебраических много-
образий. Каждое неприводимое алгебраическое многообразие
содержит область регулярных (неособых) точек, представляю-
щую собой аналитическое многообразие. На каждом из таких
многообразий также определено гладкое действие группы G,
так же как на их областях, инвариантных относительно этого
действия.

Пространства действия группы Ли G, полученные таким
образом, будем называть пространствами тензорного типа, а их
элементы — геометрическими объектами тензорного типа. Тен-
зорные операции позволяют описывать инвариантные отноше-
ния между геометрическими объектами.

Следует добавить, что сами группы Ли GL(n), как и их
прямые произведения, очевидным образом являются простран-
ствами тензорного типа. Такими же являются подгруппы групп
G, состоящие из всех преобразований, сохраняющих неподвиж-
ным некоторый объект тензорного типа. К таким группам, как
известно, принадлежит большая часть групп Ли, играющих
значительную роль в геометрии и алгебре.

Среди необозримого множества многообразий тензорного
типа следует выделить некоторые подклассы, наиболее инте-
ресные для дифференциальной геометрии.

зо
Понятие факторпространства Vn= Vm+n/V'n векторного про
странства Vn+m по подпространству Vm на языке тензорной
алгебры выглядит следующим образом.

Имеются тензоры Xe(VK)*0Vrt+m, Ве(Vn+m)*@Vn, обла-
дающие положительным свойством В°Д = 0 и отрицательным
свойством (ранг А=т), (ранг В = п). Здесь В°Д задается
отображением из (Ут)*0 Vm+n@ (Vn+m)*®Vn в (Vm)*®Vn,
определяемым сверткой, а (ранг А = т) — отображением
0m((Vm)*0 Vm+n)->-0rn(Vn+m), определяемым операцией аль-
тернирования.

Пусть a: V(i)X...XV(p)->V“ — некоторая тензорная опера-
ция, В — отображение пространства Vn+,n на Vn с ядром Vm.
Рассмотрим совокупность W всех пар элементов (X, а), Х^.

V(i)0-•-0 V(p>, ael"1+m, удовлетворяющих тензорному урав-
нению В (а) = а(Х). W является гладким многообразием —
семейством объектов тензорного типа, на котором действует
группа Ли G тензорного типа. Выбрав базисы в VM, сг=1, ...
..., р и базис в Vn+m, адаптированный к подпространству Vm,
получим диффеоморфизм W на R"1”’''прт. При переходе
к другим базисам такого же типа координаты X меняются по
тензорному закону, а новые координаты а(Х) являются целыми
рациональными функциями от старых. В силу этого элементы
W называют целыми объектами тензорного типа. Впрочем,
этот класс объектов можно расширить. Пусть операторы

С;	и о  ys+t_^yt

определяют V‘ как факторпространство Vs+/ по подпространст-
ву Vs. Пусть некоторая тензорная операция 0 отображает
V(i)X..-X V(p)X Vm+n в V‘. Тогда совокупность троек элементов
(а, а, £), где X, а — прежние, a удовлетворяют тензор-
ному уравнению

₽(X,a)=D(g),

вновь диффеоморфна R"1 'прт4 и, в адаптированных базисах,
задается координатами, преобразующимися- целым рациональ-
ным образом. Эту конструкцию можно повторить любое число
раз.

Все объекты тензорного типа, получаемые на этом пути,
также имеет смысл объединить под названием целых объектов
тензорного типа. Этот класс объектов инвариантен относительно
перечисленных выше операций тензорного умножения, сверты-
вания, операций симметрии. Наряду с ними очень употребитель-
на операция проектирования. Для описанных выше случаев эта
операция просто ставит элементу (X, а) в соответствие элемент
а(Х), а элементу (X, a, g) — элементы 0(Х, а) и а(Х), но
в комбинации с другими тензорными операциями вводит наи-
более интересные для геометрии операции.

6 Зак. 523

81
Рассмотрим важный для дифференциального исчисления
случай.

В алгебре Р(п) многочленов от п переменных рассмотрим
идеал образованный многочленами без свободного члена,
и последовательность идеалов lh, h = l, 2,	, состоящих из

многочленов без членов степени ниже h каждый. Пусть имеем
другое кольцо многочленов Р(т) и аналогично образованные
идеалы 7=7', 7Л, ft=l,2, ... .Всякий гомоморфизм кольца Р(п)
в кольцо Р(т), переводящий 7 в 7, будет, очевидно, отображать
каждый идеал lh в Th. Факторалгебра ///ft однозначно и гомо-
морфно отображается в каждую из факторалгебр 7/72, 7/73, ...
..., 7/7л. При этом отображение <pi: 7//2->7/72 может быть про-
извольным линейным отображением этих векторных прост-
ранств.

Рассмотрим отображение фг: 7/73 в 7/73. Это будет линейное
отображение, ио не произвольное. В пространстве {q>2}=
= (7//3)*® (7/73) выделено линейное подпространство {фг0} эле-
ментов, отображающих /2//3 в нуль. Элементы факторпростран-
ства также не произвольны, а получаются из элементов прост-
ранства {(pj тензорной операцией второй степени. Подтвердим
это вычислениями. Гомоморфизм Р(п) (с образующими х*)
в Р(т) (с образующими /а), переводящий I в 7, задается с точ-
ностью до членов порядка выше 2 формулами xi-*-aaita+
+ aab‘tatb, j=l, ..., га; а, b = l, .... гаг. При этом элемент Д<х‘+
+Aikxixk^I/F переходит в

(Ла?) ta+ (Д1аа61’ + Д1>а?аь*)/',^е7/73.

Подпространство фг° выделяется уравнениями а?=0, и отобра-
жение ф2 подпространства 72/73 (Дг=б) определено отображе-
нием ф1 : х‘->ао'/а.

Итак, во всем пространстве V линейных отображений ///*
в 7/73 отображения, являющиеся гомоморфизмами факторал-
гебр, выделяются тем, что фиксируется подпространство фо, а
элементы факторпространства получены из элементов простран-
ства {ф1} отображением

Оа'-^'/г ((Ха‘(Хь* + ао*а?).

Гомоморфизмы являются целыми объектами тензорного типа,
роль У(а) (см. выше) играет пространство {ф1}, роль Vn+m —
пространство всех линейных отображений из I/F в 7/73, роль
Vm — пространство отображений, переводящих /2/Р в нуль.

Эти построения очевидным образом обобщаются иа гомо-
морфизмы ///* в 7/7h и 7/7к, k<h. Всякий раз совокупность го-
моморфизмов является целым семейством объектов тензорного
типа, погруженным в пространства всех линейных отображений
из 7/Р в 7/7*, k^h.

Связь этих конструкций с теорией струй очевидна. Струй
порядка h гладкого отображения гаг-мерного многообразия
82
в n-мерное, относительно карт в окрестности основания и вер-
шины задается гомоморфизмом алгебр многочленов Р(п)->-
определенным с точностью до порядка h, т. е. как раз
гомоморфизмом	Так что' струи отображений явля-

ются целыми объектами тензорного типа. Как частные случаи
сюда включаются струи сечений, касательные реперы высших
порядков расслоений, m-скорости и т. д.

Частные классы таких объектов образуют также линейные
дифференциальные операторы различных типов и порядков.
Мы видим также, что струи сечений расслоений дифференци-
ально-геометрических объектов тензорного типа сами являются
объектами тензорного типа.

Посмотрим теперь, как используется внешняя алгебра при
изучении полей объектов тензорного типа.

Аналогично тензорам в одном векторном пространстве (см.
(IV.5.12)) действие группы G[t] = GL(ni) X.. .XGL(np) в
Va,®...®Vap =т задается в алгебре А1х] =АП1.П1.....ПрЛАоцп,)А
.. -ЛАндпр) идеалом fa с базисом

dat,‘\'lp—а1*ч'"1р&\\——... —

л  	ip

is, ls = 1, • • • , ns, s= 1,2 ... , p.

Здесь Ал,.п,.....Пр— внешняя дифференциальная алгебра со
свободными образующими 1, а1,"лр, dal " ‘p,	— алгебра

левоинвариантных форм на GL(na) (свободная внешняя алгеб-
ра с образующими 1, й/“).

В пространстве tiX...Xts действует группа G[T,jX ... xGjXsj,
и действие определяется идеалом 7[X1J (J 7(X,j U • • • U 7jXsj в А1Х1!Л
Л A[T1jA .. .AAjTsj.

Пусть подмножество IFcztiX-..Xts объектов тензорного ти-
па выделяется системой тензорных уравнений Su = 0 и является
алгебраическим подмногообразием в векторном пространстве.
Если это подмногообразие неприводимо, задача выделения
гладкого подмногообразия в W, состоящего из регулярных то-
чек, в силу инвариантности системы Su=0 сводится к дополни-
тельным условиям отрицательного типа, выражающим макси-
мальность ранга системы уравнений dSu=0. относительно
йа1"'лр.

Точки W, где эти неравенства выполнены, образуют гладкое
многообразие, преобразуемое группой Ли G[X1J х ... X GjXsj,
причем действие описывается образом 1 дифференциального
идеала 7[x,j II • • • U Ars! дифференциальной алгебры А, получен-
ной из AfrjA.. .AA(rsl факторизацией по дифференциальному
• идеалу, порожденному Su, dSu.

Расширение алгебры А введением обратных элементов к не-
которым элементам, заведомо отличным от нуля в силу нало-
6*	83
жениых условий отрицательного типа, позволяет включить ба-
зис идеала 1 в систему образующих расширенной алгебры А.

Таким образом, действия группы Ли на гладких семействах
объектов тензорного типа всегда могут быть1 описаны естест-
венно соответствующими дифференциальными идеалами в ал-
гебрах с конечным числом образующих нулевой и первой сте-
пени.

В геометрических приложениях групп Ли, использующих
внешнее дифференциальное исчисление, особенно часто встреча-
ется следующее построение. '

Пусть Gi — замкнутая нормальная подгруппа 'Ли группы
Ли G, a G2 — соответствующая факторгруппа. Базисные линей-
ные левоинвариантные формы группы G можно рад^ить на две
части <о“, ю' так, что <о( будут одновременно базисными иивари-,
антиыми формами на G2. Пусть действие группы G в много-
образии F таково, что орбиты действия подгруппы G являются
слоями расслоения F с базисным многообразием Г2. Тогда
группа G2 гладко действует на F2. Пусть действие группы G
иа F задается дифференциальным идеалом / rfo внешней диф-
ференциальной алгебре ВДД^ и 0х=,Л8х(х)<р4+Лв*’(х)<ов4-
+Л/(х)(о‘ — базис этого идеала. Здесь х и <р{ — образующие
элементы алгебры В нулевой и первой степени соответственно.
Тогда действие G2 на F2 определяется идеалом 12 в подалгеб-
ре ВЛД^. Базис этого идеала можно образовать исключением
из форм 9* всех форм в“.

В случае пространства объектов тензорного типа эти-исклю-
чения также проводятся методами тензорной алгебры.

Пример. Рассмотрим пространство (У,П)*®УП линейных
отображений из пространства Vm в пространство Vя. Если
— базисные формы группы GL(mk а — группы GL.(n),
действие GL(m)®GL(n) в (Vй*)*® Vя описывается идеалом
с базисом

дд|=^+Ф*-дЯ>'

в алгебре В (Д”,(£4”)ЛД.—. ДД —. .
GL(n) OL(m) I

Если т<п, миноры максимального порядка т матрицы
(Д(’) удовлетворяют по модулю ДД? дифференциальным урав-
нениям

4Дг‘6” ‘ е<" — Д”6* ’	—... — Д**- •	+ д^-•	= 0.

Если миноры не все равны нулю, дифференциалы их отноше-
ний к одному в силу ДД?=0 удовлетворяют уравнениям, не со-
держащим <i>ik. Левые части этих уравнений являются базис-
ными формами, характеризующими действие группы GL(n)
на проекциях объектов (Д?) в Vя, т. е. в данном случае на
84
’Я	•
m-мерных подпространствах в многообразии V". Матрицы
Д”*",”'п являются, как известно, грассмановыми координатами
в этом многообразии.

Канонизация в многообразии невырожденных элементов
пространства (Vm)*® V" : Д/=6г при k^m, Д?=0 при g>m
превращает формы АД? в <о,*—□,*, ДА“ в ыа, а=т+1, ..., п;
i, Л=1,..., т.

Мы получаем в качестве форм проекции канонические ба-
зисные формы он0 грассманова многообразия Gn,m-
Глава VI

ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ
’ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

Как мы знаем, исследование дифференциально-геометричес-
ких структур, т. е. полей дифференциально-геометрических объ-
ектов, заключается в описании различных классов структур
данного типа и всевозможных отношений между структурами,
в основном на одном и том же многообразии. Впрочем, вторая
задача сводится к первой, так как два дифференциально-гео-
метрических объекта — это тоже объект и пара структур, свя-
занных определенным отношением, — это то же самое, что
некоторый специальный класс структур, полученных объедине-
нием объектов первой и второй структуры. При этом классы
структур характеризуются не только свойствами исходных объ-
ектов поля, но, как известно, и свойствами продолженных объ-
ектов — струй сечений исходного поля. Если исследование
данного объекта есть задача теории групп Лн преобразований,
алгебраизуемая, как правило, с помощью указанных в преды-
дущей главе методов, то описание классов дифференциально-гео-
метрических структур с заданным свойством продолженного
объекта этими методами ограничиться не может. Ведь мы тре-
буем выполнения данных свойств во всех точках базисного
многообразия одновременно, тем самым налагая на компоненты
исходного объекта поля систему дифференциальных уравнений.

Вопрос о существовании полей данного класса сводится к
существованию решений этой системы. Дифференциальные
уравнения, возникающие на этом пути, бывают самой различ-
ной структуры. С другой стороны, все встречающиеся в прило-
жениях системы дифференциальных уравнений равносильны .
системам, задающим некоторые классы дифференциально-гео-
метрических структур на многообразиях.

По этой причине методы исследования систем дифференци-
альных уравнений общего вида естественно входят в число ос-
новных вопросов* теории дифференциально-геометрических
структур.

Трудности начинаются на формальном уровне. Ведь задание
свойства объекта, полученного продолжением порядка h дан-
ной структуры, влечет за собой, при дальнейшем продолжении,
свойства продолженных объектов порядка выше h. Но так как
продолженный объект по определению включает в себя продол-
женные объекты низших порядков, в том числе и исходный
86
объект структуры, то новые свойства продолженного объекта
могут наложить условия и на продолжения низших порядков
и даже привести к противоречию, что означает несуществова-
ние достаточно гладких структур заданного класса.

Дадим предварительную постановку основной начальной
задачи:

Найти условия, при которых данная система дифференци-
альных уравнений данного порядка h при продолжениях, полу-
ченных дифференцированием левых частей уравнений, не будет
давать новых уравнений иа переменные, входящие в предшест-
вующие продолжения.

Знание таких условий «формальной интегрируемости» при-
дает исследованиям дифференциально-геометрических структур
с помощью дифференциального исчисления некоторую закон-
ченность, так как известно, что формально интегрируемые сис-
темы дифференциальных уравнений с аналитическими левыми
частями имеют решения хотя бы в достаточно ограниченных
областях изменения независимых переменных.

§ 1.	ОСНОВНЫЕ ПРИЯТИЯ

Пусть Е(М, р)—расслоение общего типа.

Определение. Системой дифференциальных уравнений
порядка h называется подмногообразие ZhczJhE.

Для краткости вместо «системы дифференциальных уравне-
ний» часто говорят просто «дифференциальные уравнения». Мы
тоже иногда будем так поступать.

Определение. Решением дифференциального уравнения
2* называется локальное сечение o :U-*~E, UczM такое, что
ohc:/',£ принадлежит S'1.

Дифференциальные уравнения, как и большинство других
отношений между многообразиями, встречающимися в диффе-
ренциальном исчислении, рассматриваются при известных огра-
ничениях регулярности. Прежде всего, будем требовать, чтобы
Sft было подрасслоением расслоения /Л£ над М.

Всякое решение, как сечение расслоения S\ определяет се-
чение (o'1)1 расслоения /'S'1. С другой стороны, струи (о*)'с
czP^E) сечения oh по определению образуют ah+1 и принад-
лежат Jh+lE. Так как /',+1£с:/1 (JhE) и /’Sbc:/1 (/*£), струи
первого порядка решений системы Sh должны принадлежать
подмножеству ((AS*) (У*+,£)с/1 (/*£). Если это подмножество
является подрасслоением в /*+’£, оно называется продолжени-
ем системы S* и обозначается (S'1)1. Очевидно, для формальной
интегрируемости S* необходимо, чтобы phn+i: JK^iE-^JhE отоб-
ражало (S'1)1 на S*.

Рассмотрим внимательнее геометрическую картину приве-
денных построений.

Отнесем Е(М, р), ]hE ,к адаптированным координатам
и1, иа, pia, ...,pZ...ih, симметричным по нижним индексам.
Система Бй в этих координатах описывается уравнениями
...,р“..лА)=0, 5 = 1.................q.	(1.1)

Наложенные условия регулярности означают, что система
гладко разрешима в окрестности каждой точки относительно q
координат среди и“, р?, ...	’

На JhE инвариантно определено распределение Дй при по-
мощи системы Пфаффа

dua—p“d«z=О, ,

—p^du!1 =0,	(1.2)

Локальные сечения расслоения JhE, являющиеся решениями
(1.2), и только они являются поднятиями ой сечений в Е.

Решения (1.2) должны также удовлетворять их дифферен-
циальным следствиям:

dpt.-c^du^O.	(1.3)

Уравнения (1.2) вместе с уравнениями

— * + —du« + ... + __rfA,. ,t=0	(1.4)

определяют подпространство касательного пространства к Б*
в каждой его точке. Второе условие регулярности, которое
требуется от Sft, состоит в том, чтобы эта система подпрост-
ранств имела постоянную размерность, т. е. определяла распре-
деление Д2* на Б", и чтобы на этом распределении формы
du1 оставались независимыми, так как касательные плоскости
к искомым сечениям ой должны принадлежать ДА Ерли пос-
леднее условие не выполняется, можно дополнить систему Sft
новыми уравнениями, устраняющими возникающее препятствие,
и начинать исследование заново. Решения новой системы будут
и решениями исходной.

Если препятствий не возникает, а на Бй получаем индуциро-
ванное распределение, множество струй решений порядка Л+1
ищется при помощи уравнений

dp“...iA=p“..jAzA+1^‘A+1.	(1.5)

(1.1),	(1.2), (1.3) и (1.4) при условии независимости du1. Мы
получаем на	систему линейных неоднородных алгеб-

раических уравнений. Уравнение Бй обладает продолжением
88
(S'1)1 в том и только том случае,.если эта система во всех точ-
ках совместна.

Естественно также потребовать выполнения третьего усло-
вия регулярности: чтобы ранг этой системы всюду был один
и тот же. В этом случае (S'1)1 будет расслоением над со
слоями, несущими структуру аффинных пространств.

Впрочем, .основным является тот факт, что отыскание ре-
шений системы сводится к отысканию интегральных много-
образий распределения Д2Й в расслоении 2? с базой М, кото-
рые являются локальными сечениями расслоения. Поэтому об-
ратимся к более детальному рассмотрению распределений.

§ 2.	РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
МНОГООБРАЗИЯ

Распределение размерности р в n-мерном многообразии М
будет первой дифференциально-геометрической структурой,
к которой мы применим развитый в гл. IV и V аппарат.

На расслоении Н1М касательных реперов 1-го порядка за-
даны формы смещения ю‘. На Н2М, кроме того, заданы формы
со?, а на №Л4 — формы он;' = ыг?, удовлетворяющие структур-
ным уравнениям

dco‘=(o?A(o*,

(2.1)

dti>kl — Ч>1* Д (О? + (О/грДсО*.

Как мы знаем, всякое пространство дифференциально-гео-
метрических объектов 1-го порядка, т. е. многообразие, на ко-
тором действует группа Dnl =GL(n), можно определить диффе-
ренциальным идеалом с образующими 1-го порядка во внеш-
ней дифференциальной алгебре ВДЛоцп).

Возьмем в качестве В тривиальную алгебру B<°> = R, В<>) = 0
при i>0, т. е. ВДЯсС.(п)=ДоС,(п) с образующими io?, dco? =
= со?Лсо?. Разобьем индексы i, k на две группы: X, ц=1, ..., р
и а, Ь=£+1, ..., п. Будем иметь с/соха = (о1/‘Д(о?+сог>аД(о?, т. е.
формы (ох“ порождают дифференциальный идеал в ДОь7л), а бу-
дучи приравнены нулю, определяют подгруппу И в группе
GL(n). Дифференциалы базисных векторов пространства V",
реализующих GL(n) как многообразие реперов, удовлетворяют,
уравнениям de, = —со?е*. Следовательно, подгруппа Н характе-
ризуется условиями dex=—(охцец, т. е. реализуется семейством
реперов, векторы которых принадлежат фиксированному
р-мерному подпространству Vpc:V4 Значит, подгруппа И явля-
ется подгруппой стационарности подпространства Vp, а идеалу
с базисом сох“ соответствует грассманово многообразие Gn,p
всех р-мерных подпространств в V".
Соответствующее расслоение дифференциально-геометриче-
ских объектов называется грассмановым расслоением на М,
его обозначение — Gn,pM. Относительно выбранного нами се-
мейства касательных реперов базисными формами на Gn,pM
будут (о\ (0а, й»*а.

Сечеиие этого расслоения — гладкое р-мериое распределение
на М — задается уравнениями

(0ца=/1х6а(06+/1хц“(0,‘	(2.2)

и определяет главное подрасслоение в НХМ, образованное ка-
сательными реперами, векторы ех которых являются базисными
для фиксированного подпространства VpczTqM в каждом каса-
тельном пространстве.

Подставив уравнения (2.2) в (2.1), получим

d(o“=«»&“ Д а6 + /1х6“(оьД(о*-|- /^“й^Д йЛ

Так как семейство касательных реперов к PPM, составляю-
щее многообразие Н2М, выдерживает произвольное преобразо-
вание ei^ei+hukek‘, huk=hnk,	т. е. (о<*->-(о?—пцка>1,

среди этих реперов найдется подрасслоение Д2М, на
котором

^(оа==(о&“Д<оь + Яхиа(о,'Л(о“, Н)^а+Н1Ла=0,

(2-3)

dwP — О)/ Д(0'‘ + (Оак Д(0а.

Дифференцируя (2.3), получим

Д(о£ Д (о4 +'ДЯ“И Д (0х А (О’* —0,
где

ДНа — dНа — Hb ffla _ь Иа J_ На av

= duflb —	Л (o' + ЯДи,(о£ a (0\

т. e. в некотором подрасслоении расслоения реперов главного
расслоения Й2М

Дю£ =(0^ Aw5—(2.4)

Я^ + Якх + Я^ = °-

Из (2.4) следует, что Н^а — функции на В'М. Всякий репер
вк, еаеВ1М определяет репер в факторпростраистве Ыап~р—
•=TqM/Vp. Формулы	(X, У) ставят двум векто-

рам У{т]ц} из Vp в соответствие вектор из Nqn~p, и, как
следует из (2.4), это соответствие не зависит от репера ех, еа,
а однозначно определено в каждой точке QsAf.
Геометрический смысл тензора Н{Н^а}, называемого тензо-
ром неголономности распределения, следует из теоремы Фро-
бениуса: условия ЯХ|1а=0 характеризуют вполне интегрируемые
распределения, т. е. определяющие р-мерное слоение на М (см.

Обозначим через KerQH подпространство в VpdTQM, харак-
теризуемое условием {ХеКегд Н: Н(Х, У)=0, УУеУ₽}.

Пусть поле подпространств Кег0Я определяет в М распре-
деление размерности q, O^q^p. Распределение Ker Н назы-
вается характеристическим для данного распределения. Чаще
употребляют термин «характеристическая система», имея в
виду системы уравнений Пфаффа, определяющие характери-
стическое распределение. Относительно нашего расслоения ре-
перов характеристическая система, очевидно, определяется
уравнениями

<ов=0, Яхив<»“=0.

Теорема. Характеристическая система распределения в
М является вполне интегрируемой.

Доказательство. Выберем подрасслоение реперов
в /TAf так, чтобы векторы еа принадлежали КегЯ, et допол-
няли их до базиса Vp, а еа выполняли прежнюю роль. Уравне-
ния (2.3) примут вид

daf = &ab Л а>ь -г Л (o’1,

dafi Л + со! Л	Л

I	С*	' ОЬр

, dco“ = д <о₽ + Л Л со0,

где Н^а=—Н^а,	н система уравнений ЯиаХ{=0

(а=р+1, ..., л; g, т)=<7+1, ..., р) равносильна Х*=0.

Дифференцируя уравнения первой строки, получим уравне-
ния вида

Дсо£ Л со4 + ДЯ^ Л со6 Л со’1 + £|рсо“ Л <о₽ Л соч =0,
которые в силу независимости со4, со® могут удовлетворяться
лишь при #{11eLa?=0,	•••> Р> а^р+1, .... л. Следова-

тельно, £aSE=0, и по теореме Фробениуса система со°=О, ш|=0,
вполне интегрируема.

Чтобы понять роль характеристической системы, надо
вспомнить, что всякое распределение Д на.базе М расслоения
Е(М, р) определяет распределение иа Е, образованное подпро-
странствами — прообразами р«-*Д при отображении р»: ТЕ-+
-*ТМ подпространств, составляющих Д. Если слои слоеиня
Ker Н являются слоями расслоения	то данная систе-

ма индуцирована системой ша=0 на Если слоение Ker Н
не является расслоением в целом, оно выполняет аналогичную
роль локально в подходящих окрестностях точек М.
Поэтому при рассмотрении вопросов локального характера
следует предполагать, что уже произведена соответствующая
редукция и характеристическая система данного распределения
содержит все базисные формы многообразия. ,

Перейдем к основному вопросу об интегральных многообра-
зиях распределения [16]'. Если некоторое подмногообразие N
данной размерности q<p является интегральным, то на нем
одновременно с ша обращаются в ьТуль формы daa, т. е.

Иначе говоря, на касательном подмногообразии
TqN тензор {Н^а}, как билинейная функция со значениями
в TQM/VP, обратится в нуль. Поэтому ^-мерные подпростран-
ства в Vp, на которых тензор И обращается в нуль, называ-
ются q-мерными интегральными элементами.

Будем рассматривать на интегральном ..подмногообразии N
расслоения касательных реперов HlN, H2N, ... с формами
0е, 09“, .... В каждой точ,ке QeN определены как слои рассло-
ений Н'М, Я2М, Я3М......так и слои H'N, H2N, ... .. На них

выполнены уравнения

иа='О, их==р,/9а,	(2.5)

(М = Е ••• .<?)•	(2.6)

Будем временно рассматривать уравнения (2.6), отвлекаясь
от (2-5).

Если <7=1, уравнения (2.6) удовлетворяются тождественно.
Если <7=2, возникает задача: какова размерность пространства
двумерных интегральных элементов, проходящих через задан-
ный одномерный элемент распределения. Для решения надо
рассматривать уравнения (2.6) как систему линейных однород-
ных уравнений

Н?„(Ра Рл — Ра Pr ) ~0	(2-7)

ОЬо “ р о Г Г Ро'	' *

на при фиксированных <х0, ₽о, переменном X и ^заданных
р% . Ранг системы зависит как от Н^а, т. е. от выбора точки
Q^M, так и от выбора линейного элемента р^.

Предполагаем, что в многообразии всех линейных элементов
распределения множество ' элементов на которых сис-
тема (2.7) относительно имеет максимальный ранг Si,
является открытым множеством mi, проектирующимся на все
М. Элементы mi будем называть регулярными Линейными эле-
ментами, а двумерные интегральные элементы^ содержащие
хотя бы один регулярный линейный элемент, — ординарными.

Трехмерные интегральные элементы, лррходящие через
данный ординарный двумерный элемент, определяются с по-
мощью линейной однородной системы
92	'
а0- ₽o,Yo= const	'	(2.8)

относительно неизвестных рр, где р^ определяют заданный ре-
гулярный линейный элемент, а p^t и р^ задают ординарный
двумерный элемент.

В множестве ординарных двумерных интегральных элемен-
тов на М подмножество т2, для которого ранг si+sj системы
(2.8) . максимальный, называется множество^ регулярных ДВУ*
мерных интегральных элементов. Трехмерный интегральный
элемент называется ординарным, если он содержит хотя бы
один регулярный двумерный элемент.

Это построение регулярной цепи интегральных элементов
по возможности продолжается. В частности, интегральный эле-
мент q измерений Eq будет одинарным, если он содержит хотя
бы один регулярный интегральный элемент этот послед-
ний содержит хотя бы один регулярный элемент Eq-2, и т. д.,
вплоть до регулярного линейного элемента Е\.

Ранг Системы, полученной из (2.6) и служащей для опре-
деления ординарного элемента Eq,' проходящего через регуляр-
ный £<r-i, обозначается через si + sj-b-•- + s^; через So обознача-
ется п—р, т. е. коразмерность распределения д = {Vp}- Числа
«о, Si, ..., sp называются характерами распределения. Наиболь-
шее натуральнее число h, для которого называется жан-
ром распределения.

Теорема, доказанная Э. Картавом [16], утверждает, что
вещественное аналитическое распределение жанра h имеет
аналитические интегральные подмногообразия любой размер-
ности до h включительно, проходящие через наперед задан-
ный ординарный интегральный элемент соответствук?щей раз-
мерности.	-	'•

Требование существования ординарных интегральных эле-
ментов данной размерности является существенным. Как пока-
зывают примеры, даже в аналитическом случае система, не об-
ладающая этим свойством, может не иметь решений данной
размерности.

Чтобы применить эти результаты к общей теории систем
дифференциальных уравнений, будем теперь рассматривать
распределения в общем расслоении Е{Мп, р) и искать их ин-
тегральные многообразия, являющиеся локальными лечениями
расслоения. ,

Естественно требовать, чтобы плоскости распределения име-
ли размерность п+р, 0<p<m (m+n=dim Е) и пересекались
с «-плоскостями T’svE, касательными к слоям, по р-мерным
подпространствам.

Отнесем расслоение с распределением к подрассл<оению ре-
перов еа, ei, адаптированных к расслоению и к распреде-
лению (i=l, ..., л; %=л+1, ..., л+р; а=п+р+1,  п+т).
Именно, ек, ei составляют базисы подпространств Vn+p, образу-
ющих распределение, а ек, еа — базисы подпространств, каса-
тельных к слоям.

В касательном пространстве в точке SeE(M, р) будут
иметь место уравнения

det = — aikek—deK =—

dea — —е>аьеь—в>авк,

т. е. на подрасслоении реперов Н1Е(М, р) и его продолжении
ЕРЕ формы &ia, о>*а, a>?, а><? будут выражаться через <в‘, <ва, сД
Будем иметь структурные уравнения

da1 —(лск Д с>зк,

doik = оЛ Л ш' +	/\	4- со£ Д ®а,	,	(2.9}

dcoa = со“ Л а6 4- Нр.а>^ Д сД + Я“	Л а>' + Н“ <ак /\ со'.

О	|ЛЛ	RI

Дифференцирование последней группы этих уравнений дает
уравнения вида

Д®? Л со6 + ДЯ“ Да^ДаЛ + ЛЯ“. Д ®и Д а>‘ + ДЯ“ Дю*Д ©‘ — О,
о	|Л/ь	Ki

(2.Ю)
где

АЯмх = dH^~ Н№ь + НаЛ + W

Н>аь +	+ 'W’

ДЯ“ = dH“ — Нь..а>'} +	+ Наь.<й1. + Я“ ©4 — Я“Ь®У.

kl kt ki О 1 It k 1 kl i 1	|Л( k Цй I

В силу (2.10) ДЯ|йа, ДЯ^0 и l±Hkia являются линейными
комбинациями сД ша. Сравнивая с (2.3), видим, что «тен-
зор неголономности» нашего распределения {Н^0, Н^а, Ныа}
содержит два самостоятельных «подтензора» с компонентами
{ЯцД} и {Н^, Н^а} соответственно.

Смысл обращения в нуль тензора {Н^0} состоит в том, что
распределение ®а=0, ®<=0, образованное пересечениями плос-
костей нашего распределения с плоскостями, касательными
к слоям, вполне интегрируемо (инволютивно).

Обращение в нуль тензора {ЯиХа, Яи<а) означает, что характе-
ристическое распределение в нашем случае принадлежит рас-
пределению {©“«О,. ®z=0). Для иас этот случай интереса не
представляет, так как интегральные сечения здесь будут суще-
ствовать лишь, когда Яй(а=0, т. е. исходное распределение
инволютивно.

Вдоль сечения расслоения Е(М, р) выполняются уравнения
©a=ftia®<,	(®г. — линейно независимы).
Если сечение интегрально, то на нем ®а=0, da>°=0, т. е.

*? = 0,	+	+	<2.11>

i, k=l, ..., п.

В каждой точке уравнения (2.11) определяют совокупность
n-мерных горизонтальных, т. е. касательных к сечениям, интег-
ральных элементов (струй сечения 1-го порядка).

Если система уравнений (2.11) относительно неизвестных
Л? в общей точке несовместна, интегральные сечения могут
существовать лишь на некотором подмногообразии расслоения
Е(М,р).

Если система совместна и регулярна, т. е. определяет под-
расслоение Si расслоения JE над М, являющееся одновременна
расслоением над Е, на Si определено распределение Ai систе-
мой Пфаффа

(oe = 0, to*—(2.12)
Оно называется продолжением исходного расслоения А.

Исходная и продолженная системы равносильны в смысле
задачи определения интегральных сечений, т. е. интегральные
сечения одной дают интегральные сечения другой, и наоборот.

Роль форм а>а для распределения Ai будут играть формы
ш*—йгш(, а роль системы	co‘=O — система wa = 0,

со*—Й£(о'=0, (о‘ = 0. Но эта система заведомо инволютивная, ее
слои — это слои расслоения Si над Е. Следовательно, Ai при-
надлежит к классу распределений, для которых тензор
равен нулю.

Учитывая это, мы в дальнейшем будем рассматривать лишь
распределения А в расслоениях, для которых Н>^а=0.

Предполагая существование нетривиальной продолженной
системы Д|, мы можем ограничиться подрасслоением адаптиро-
ванных реперов в Е, для которых векторы et принадлежат ин-
тегральным элементам, т. е. в которых Нм.а=§.

Тогда структурные уравнения примут вид

dd>e = Д и6 + Л ,

= Л <*>' + Л + юд Л (•>“,	(2.13)

Д ш4,
Л ’
где ш? удовлетворяют некоторым соотношениям.

Для интегральных элементов будем иметь

ша = 0, HA'-fW=0.	(2.14)

Последовательность регулярных интегральных элементов,
с помощью которой строится n-мерный интегральный элемент,
должна изоморфно проектироваться на ТрМ, т. е. можно пред-
прлагать, что она строится над последовательностью базисных
элементов вг......еп.

А 

95
Пусть линейный интегральный элемент . Ei определяется
координатами Л/. Тогда двумерный элемент должен удовлетво-
рять системе

НМ-Н^ = 0.	(2.15)

Линейный элемент, определяемый величинами й/, будет ре-
гулярным относительно распределения, если система (2.15)
свободно разрешается относительно й2\ т. е. ранг Si расширен-
ной матрицы системы (2.15) равен рангу матрицы из коэффи-
циентов при неизвестных й/. При этом ранг Si для данного эле-
менту h* равен максимально возможному рангу этой системы.
В этом случае элементы {й^}, {h^} определяют ординарный
двумерный интегральный элемент распределения.

Трехмерный интегральный элемент, проходящий через орди-
нарный двумерный элемент Е2, определяется системой

Я“й*—Я“й* = 0, .	(2.16)

Я«й*-Я“Д=.-0
ЛХ О	Ло Z

относительно неизвестных hf при условии, что линейные эле-
менты Ei и {й/} связаны условиями (2.15) и линейно незави-
симы, причем Ei регулярен.

Ординарный интегральный элемент Е2 будет регулярным,
если расширенная матрица системы (2.16) относительно неиз-
вестных имеет максимально возможный для элементов Е2
ранг и если этот ранг совпадает с рангом матрицы коэффици-
ентов при неизвестных h2\ Этот ранг обозначается через Si + s2.

Построение аналогично продолжается далее, причем мак-
симальные ранги систем, определяющих ординарные интеграль-
ные элементы, обозначаются через 31+«2+«з> S1+S2+S3+S4
и т. д. до 31+зг+.• .+Sn-i, если существуют ординарные л-мер-
ные интегральные элементы, являющиеся струями первого по-
рядка сечений расслоения Е(М, р), В этом случае последова-
тельность систем, с помощью которых строится регулярная
цепь интегральных элементов, совпадает со всей системой
(2.14), определяющей совокупность n-мерных интегральных
элементов, являющихся струями сечений, т. е. продолжение
исходного распределения. Таким образом, если у распределения
Существуют ординарные интегральные элементы этого типа, то
они образуют область в многообразии Использование при-
веденной выше теоремы Картана о существовании интегральных
многообразий распределения позволяет утверждать, что анали-
тические распределения, обладающие перечисленными свойст-
вами, обладают интегральными сечениями, проходящими через
любой ординарный л-мерный интегральный элемент. ,

Дифференциальные системы, равносильные распределениям
этого типа, называются системами в инволюции (не следует
путать с инволютивными распределениями, т. е. определяющи-
ми слоеиия в многообразиях). Знание характеров s0, Si, sn-i
распределения, определенных выше (s0=m—р — коразмерность
распределения Д), позволяет судить о произволе выбора анали-
тических интегральных сечений, например о возможности про-
вести интегральное сечение через интегральное подмногообра-
зие данной размерности q<n в Е(М, р).

Приведем критерий для систем в инволюции в более четкой
форме, выражающей результаты проведенных рассмотрений.

Теорема (критерий Картана). Пусть уравнения (2.14) от-
носительно неизвестных р? в каждой точке расслоения Е с
распределением. Д, эквивалентным данной системе S дифферен-
циальных уравнений, определяют в каждой точке расслоения
неприводимое алгебраическое многообразие V размерности N.
Для того чтобы S была системой в инволюции, необходимо
и достаточно, чтобы

N=np—(n—l)si—(n—2)s2—...—2sn-2—Sn-i,	(2.17)

где п+р — размерность распределения, п — размерность базы,
sE — характеры системы.

Действительно, правая часть (2.17) представляет собой
размерность многообразия VQ ординарных л-мериых интеграль-
ных элементов, вычисленную при построении регулярной цепи.
Но системы в инволюции — это те, для которых Уо есть откры-
тое подмногообразие в V.

Замечание. Введем обозначение: sn=p—Si—s2—...—Sn-i,
т. e. sn — размерность пространства n-мерных ординарных ин-
тегральных элементов, проходящих через данный регулярный
(л—1)-мерный интегральный элемент. Тогда равенство (2.17)
запишется в более простом виде

АГ=$1 + 2s2+3$з+... + (п—1) Sn—1 + nsn.	(2.18)

Если система в инволюции является ие аналитической, а
лишь бесконечно дифференцируемой, она может не иметь ре-
шений, но тем не менее будет формально интегрируемой, т. е.
будут существовать ее продолжения любого порядка.

§ 3.	ИНВОЛЮТИВНЫЕ ВНЕШНИЕ МОДУЛИ

Понятию инволютивности для систем уравнений

(3.1)

определенных величинами H\i, ввиду его важности и существо-
вания столь же важных обобщений следует придать более чет-
кую алгебраическую форму. При этом естественно вначале ог-
раничиться случаем, когда Нам — константы.

Рассмотрим понятие внешнего модуля над внешней алгеб-
рой.

7 Зак. 523

97
Определение. Левым внешним модулем М над внешней
алгеброй А называется градуированное векторное простран-
ство (см. гл. IV, § 5), в котором задано действие р внешней
алгебры

ц: МХА-+М, ц(а, а)=аа, а&М, аеД

для любых а, ЬеЛТ, а, (ЗеЛ, удовлетворяющее равенствам:

1)	a(a + b) =aa+ab,

2)	(а + р)а = аа + Ва,

3)	а(0а) = (аДР)а,

4)	если аеЛ(р), а^М<ч\ то ааеЛКР+Д

Правые внешние модули получаются заменой 3) на

3') а(ра) = (РДа)а.

Гомоморфизмом одного левого внешнего модуля в другой
над этой же алгеброй А является линейное отображение одно-
го модуля в другой, сохраняющее градуировку и перестановоч-
ное с действиями алгебры А.

Как частный случай имеем понятие подмодуля внешнего
модуля.

Так как подмодуль внешнего модуля, очевидно, порожден
однородными элементами и в силу условия аД|3=(—1)р9РДаг
УаеД(р), реЛ(<7) всякий левый внешний подмодуль является в
то же время и правым, то различие между правыми и левыми
внешними модулями для нас существенного значения пе имеет
и мы о нем упоминать не будем.

Мы будем рассматривать лишь конечномерные внешние мо-
дули.

Свободным внешним модулем называется тензорное произ-
ведение A®Z градуированного‘пространства Z и внешней ал-
гебры А с индуцированной градуировкой: для аеД(₽), aeZ(9)

а®ае(Л®2) <р+’>.

Действие алгебры А на элементы а®а определяется по
правилу р(а®а) = (рДа) ®а (все другие элементы из A®Z
являются линейными комбинациями элементов такого вида).

В дальнейшем все внешние модули рассматриваются над
свободной внешней алгеброй F.c п образующими первой
степени и единицей 1 (нулевой степени).

Сама алгебра F является свободным модулем K®R над со-
бой.

Произведением гомоморфизма х: M-+-F на aeF называется
гомоморфизм ах : а->аДх(а), VasAf.

Модулем Af(*>, сопряженным к внешнему модулю М, назы-
вается совокупность гомоморфизмов М в F.

Если М — левый модуль, то Af<*> будет правым.

Для свободного модуля F®Z сопряженным будет модуль
F®Z*, где Z* — пространство, сопряженное к Z в обычном
98
смысле (над полем R). В самом деле, F®Z обладает базисом
из элементов ^®ЕК, где — линейный базис в F, Ех — базис
в Z, a F®Z* — соответствующим базисом из элементов-6^® 5 й»
где <§geZ*, <£ и, Е^=^.

Тогда гомоморфизм <p:f®Z-»-F однозначно определяется
значениями

<р(1®Ех)=ЯМ,

В то же время всякий элемент х из F®Z* вида /M0S® <§х
определяет гомоморфизм ф* : F®Z~+F по формуле

Фх (0П ® ej - Л Ф. (1 ® Еу) - еп Л 6^	=еп л (Н[ et),

так что фх = ф. В частности, отсюда следует, что

(F®Z) <*><*)=F®Z.

Отображение, которое каждому элементу а^М и элементу
хеМ*> ставит в соответствие элемент х(а)еЛ будем, как и в
случае, когда алгебра является полем, называть скалярным
произведением и обозначать (х, а)р.

Для подмодуля MczF®Z определен ортогональный под-
модуль McF$Z*, M±={x^F®Z*, (х, M.)f=0}. Очевидно,
фактормодуль (FQZ*)/^ является модулем сопряжен-
ным к М.

Лемма. Для подмодуля MczF®Z имеет место равенство

Доказательство. Известный линейный базис {Q*} ал-
гебры Г, состбящий из элементов

1	е Лвд, ®z е Я0, ... ,аФДй/» А... Де>‘₽(1<^<..

е=FW, ... ,'

Й =со1 Д ш2 Д . t. Д шп s £(«>,

обладает тем свойством, что равно нулю произведение каждого
базисного элемента на все другие, кроме одного, произведение
на который равно ±й. Следовательно, для всякого градуиро-
ванного идеала Ie.F и ортогонального идеала I^F подпрост-
ранства /(₽>czF^p) и /х<я-р>с:Г(п“р) дополнительны по размерно-
сти и однозначно определяют друг друга. Аналогично, если

— базис градуированного пространства Z, а — двой-
ственный базис в Z*, то й*®Ех и йл® образуют взаимно
ортогональные базисы для скалярного произведения F®Z на
F®Z* (со значениями в F). Этим и доказывается взаимность
подмодулей MaF®Z и M±czF®Z*, а также дополнительность
их размерностей по отношению к размерности F®Z.

7*	99
Следствие. Отношение сопряженности подмодулей сим-
метрично, т. е.

Пусть <р: F®K-+F®L — гомоморфизм каких-либо свобод-
ных градуированных модулей. Тогда условием

(<p(a), х}р={а, <^(х)), Va^F®K, Vx^F®L*

определен сопряженный гомоморфизм <р<*>: F®L*->F®/(*. Для
подмодуля MaF®K будем иметь ф*Цф(М))х)=Мх, чем инду-
цируется сопряженный гомоморфизм <р* :	В ча-

стности,

{Кег ф) ±=(Im<p)± = Ker <p*czF® Т*.

Вернемся к условиям, характеризующем системы в инво-
люции.

Алгебраическая сторона вопроса сводится к возможности
регулярного разрешения уравнений (3.1), возникающих при
подстановке

g>z=/ia4ox	(3.2)

в уравнения

//ах1шх'Л<о‘=0, i, k= l,...,n; Х=п-Ь 1,..., n-Fp.	(3.3)

Целесообразной оказывается следующая алгебраическая
трактовка задачи. Имеется свободная внешняя алгебра F с
образующими 1, и', свободный модуль F®Ko, где Ко — градуи-
рованное пространство с базисом а>к^Ков), подмодуль
MczF®Ko с образующими — левыми частями уравнений (3.3).
Уравнения (3.2) определяют гомоморфизм Д свободного моду-
ля F®Ko в свободный модуль F®Ki, где Ki — градуированное
пространство с базисом hkK^Kim- При этом требуется, чтобы
подмодуль М отображался в нуль, и других условий не накла-
дывается. Иначе говоря, уравнения (3.2) и

Н\^-Н\^=0	(3.4)

определяют гомоморфизм Д модуля N= (F®Ko)JM в свобод-
ный модуль F®Ki-

Условиям регулярного разрешения системы (3.4) можно
придать следующий смысл. Сопряженным к F®Ko будет мо-
дуль F®Ko*- Пусть — базис Ко*, двойственный к шК т. е.
{<§*> (оц) = бх^, ё^(К*о)^. Будем искать элементы простран-
ства (F®/(o*)(O)> ортогональные к модулю М; Так как
(К®/<о*)(О> образовано элементами w‘® <g»., то скалярное произ-
ведение 0=p/®ft® <gx на базисные элементы модуля М дает

Наиркка>к/\а1 = 0,

т. е. уравнения (3.4) для коэффициентов р;к.
Обозначим через <рр (р=1, 2,...,л) идеал алгебры F, по-
рожденный элементами ир, (ор+1,..., и". Через Ср обозначим
подмодуль модуля F®/Co*, образованный элементами aeFQKo
такими, что (а, М)Р&рр.

В частности, элементы Q=pkK&k® принадлежащие Ср&\
характеризуются уравнениями (3.4) на коэффициенты рД в
которых i, k пробегают лишь значения от 1 до р—1, т, е. теми
уравнениями, которые участвуют в построении (р—1)-мерного
ординарного интегрального элемента распределения в расслое-
нии. Теперь видно, что алгебраический смысл существования
регулярной цепи интегральных элементов можно сформулиро-
вать следующим образом.

В каждой точке расслоения Е(М, р) существуют касатель-
ные реперы с формами со*, (оЛ такие, что F-модуль MaF®Ko,
определяемый левыми частями уравнений (3.3), удовлетворяет
условию: для каждого р=1, 2, ...,п подмодуль CpaF®Ka*
удовлетворяет условию

(Ср)<0)= (Л4и(фр®Яо*))(О).

Как мы увидим ниже, из этого условия чисто алгебраически
вытекают основные свойства систем в инволюции. Однако ап-
парат теории дифференциально-геометрических структур опира-
ется на обобщение этих конструкций, к рассмотрению которых
мы переходим.

Определение. Пусть N — градуированный (конечномер-
ный) модуль над свободной внешней алгеброй F с образующи-
ми leF(0> и	t=l, 2,...,п. Инъективным продолжением

модуля N называется градуированный мономорфизм N-»~F&K
в свободный модуль. Одновременно инъективным продолже-
нием называется также и модуль

= Coker Д= (F®K)/im Д.

Определение. Проективным продолжением градуирован-
ного модуля М называется градуированный эпиморфизм
б: F&L-+M. Одновременно, проективным продолжением моду-
ля М называется также и модуль

Л4 = Кег 6czF®L.

Очевидно, если б — проективное продолжение, то сопряжен-
ный гомоморфизм б<*>: MW->~F®L* определяет инъективное
продолжение модуля Л4(*> и наоборот. При этом
= (Кегб)х и (ЛК*))^^)^).

Определение. Пусть Afc(F®Lo) — подмодуль. Обоз-
начим через Cpc:(F®Lo) подмодуль, определяемый условием

{аеСр:(а, Л1х)ге<рр), Afj.eF®Lo*.

ют
Определение. Подмодуль М называется инволютивным
в степени h в проективном смысле, если: 1) La не имеет цеиу-
левых элементов степени выше h—1 и 2)

(CP)W=(AfU(<pP®Lo))W	(3.5)

для всех р= 1, 2,...,п.

Определение. Модуль Af= (F®Ko)/Q называется инво-
лютивным в степени I в инъективном смысле, если сопряжен-
ный подмодуль N^aF^K.0*, Af(*)==Qx ииволютивен в степени
—I в проективном смысле.

Сокращением проективного продолжения б называется эндо-
морфизм e:F®L->F®£ ((F®£)c:(F®L)) такой, что бе = б.
Очевидно, в этом случае гомоморфизм 6: F&C-+M, индуциро-
ванный 6, также определяет проективное продолжение М.

Сокращение инъективного продолжения Д — это операция,
двойственная к сокращению проективного продолжения Д<*> и
определяемая индуцированным мономорфизмом модуля Af в
свободный подмодуль (F®K') aF®K.

Всякий конечномерный модуль обладает проективным про-
должением. Действительно, отображение р: MXF-+M, опреде-
ляющее структуру модуля, продолжается до стандартного эпи-
морфизма 8»: M®F-+M по правилу би(х®а) = р.(х, а), хеМ,
c^F. Сопряженный гомоморфизм имеет вид Ди:

(слева стоит сопряженный модуль, а справа — линейное про-
странство М*, сопряженное с М над полем R). Ди дает инъек-
тивное продолжение модуля ЛГ<*>. В силу равенства (ЛН*))(*) =
= Af заключаем, что всякий модуль имеет инъективное продол-
жение. Явный вид продолжения дают формулы (IV.6.1) для
каждого образующего элемента QeAf<*>. Соответствующие фор-
мы	являются образующими градуированного

пространства М*. Если модуль Af(*> свободный, они независимы.
Если нет, то они связаны линейными соотношениями с постоян-
ными коэффициентами. В рассматриваемом нами исчислении
употребляются в основном лишь продолжения типа Ди или их
сокращения. Будем называть такие продолжения натуральны-
ми. Всюду далее, когда говорится о продолжениях некоторых
уравнений, речь по существу идет о натуральных инъективных
продолжениях некоторых F-модулей и об их реализациях иа
многообразиях.

Центральное место занимает следующий алгебраический ре-
зультат.

Теорема. Пусть б:	— проективное продолжение

подмодуля MaF®L0, инволютивное в степени h. Тогда каждое
проективное продолжение 6i: F®L2-+MX продолженного подмо-
дуля Af^Ker бсГ®!] сократимо до продолжения, инволютив-
ного в степени Л+1.

Доказательство разобьем иа несколько этапов.
Лемма 1. Подмодуль MaF&Lo, инволютивный в степени
h, инволютивен и в любой степени h + s, s>0 относительно того
же базиса etM

Достаточно доказать лемму для случая s=l. Пусть ае
еСр<л+1), тогда ае(<р,®£о)(Л+1‘* для некоторого q. Если. ,q>-p,
условие (3.5) для данного р выполнено. Пусть q<.p. Сущест-
вует представление a=b-<aq+ai, b^(F<8Lo)<h\ at& (<р<ж®
®Lo)(h+1). Тогда из (a, Af1)F==(6, Mj_}F/\aq }-{alt M±)Fcz<pp
получим ({b, M±)F A «’) с ф?-м, t. e. {b,

В силу (3.5) будем иметь

Ь=Ьг + Ьг, bl^.M(h\ &2<= (Ф,® L0)(h), b^a" <= MIJ1+r>,

b2-aqf= (ф?+1 ® £0)(Л+1), а = 61-и? + аг,

а2(=КФ,+1®£0)ПСр]‘*+1).

Если p>q+\, поступаем с а2 так же, как до этого с а, и т. д.,
пока не придем к разложению а=а'+а", а'^М^+1\ а"^.
^(<рр®£о)(Л+1), что и доказывает лемму.

Лемма 2. Пусть 8-.F^Lx-^-M задает проективное продол-
жение М. Тогда для всякого р = 1, 2, ... , п и для всякого а: {а е
е (F®	бае(ф_®Л0), s>l} имеет место разложение

а=а'+а", 8а' = 0, а" ее (фр® LiYH+s'>.

Действительно, 8a — b-<ap+B, Be(%+i ® L0)(h+s), {8а, M±)F = 0.
Значит, ((6, А (о₽) с: фР+1, т. е. (b, Mj_)Ft=. <fp. Следователь-
но, b eC<pft+s~'> и в силу леммы 1 Ь—Ьг+Ь2, Ьге M<h+S-1>, 62е
е(фрХL0)(h+s-1)> т е. 8a~b^ap+ Blt Вхе (фр+1 ®L0)(ft+s)._TaK
как б—эпиморфизм, найдется (F®Li)(ft+s__1> такое,_что 8Ьг =
=Ьг и б (а—61-а/’) е (фр+1®£0)<й+3>. Поступая с а—так
же, как ранее с а, и продолжая это построение, придем к элементу
а'— а—Ь1-ар—62-юр+1—...— Ьп-Р+\-вР такому, что ба'=0.
Это и доказывает лемму 2.

Докажем теперь, что при условиях теоремы 1 всякое проек-
тивное продолжение модуля М сократимо до продолжения
8': F&Li'-*-M, у которого L/ не имеет элементов .степени выше
Л. Действительно, пусть б: Р®Ц-*-М задает проективное про-
должение, и пусть h + s0, s0>0 — наивысшая степень элемен-
тов пространства Li = F<0)®LiC:F®Li. Пусть элементы а® обра-
зуют базис пространства L<h+S«\ В силу леммы 2 найдутся раз-
ложения аа= (а“)'+ (аа)", б(а“)'=0, {аа)"&$Ра®Ц, т. е. (а“)"
выражаются через элементы L\ степени ниже Л+so. Определим
эндоморфизм F0Li требованием/чтобы он все элементы L
степени ниже h+so оставлял на месте, а элементы аа перево-
дил в (аа)". По построению, этот эндоморфизм определяет сок-
ращение б до продолжения FQL\-+M. с образующими сте-
пени ниже /i + sq. Повторяя это построение, придем к сокраще-
нию 8': F®L\^>-M с образующими L/ степени не выше h.
Покажем, наконец, что подмодуль CipcFQLi, определенный
условием: {a^Cip: 6ae<pp®L0}, совпадает с подмодулем
Cip: {a^Cip : (a, AIix)Fc:<pp}, где Л1) = Кегб.

Действительно, в силу равенства (ба, g)F=(a, 6(*^)F,
VaeFQLi,	и невырожденности скалярного произ-

ведения свободных сопряженных модулей М\ характеризуется
условием {aeAIi: {а,	Следовательно, Л41х = Im 6(*’.

Далее, условие (6, Im6(*>)Fc<pp равносильно (66, F®Lo*)c<pp.
Но условие (a, F®Z.0*)c<pp равносильно ae(<pp®L0). Это и до-
казывает тождественность модулей CiP и CiP, а вместе с тем и
теорему 1.

Проективное продолжение б подмодуля М свободного мо-
дуля F&L определяет подмодуль Л11 = Кегб свободного модуля
r®Li. Проективное продолжение 6] подмодуля	оп-

ределяет подмодуль Af2==Ker 6|CF®L2 и так далее. В результа-
те получается точная последовательность гомоморфизмов сво-
бодных модулей, вообще говоря, бесконечная:

в	в,	в,

F®Z.0-*-F®	12-*-... .	(3.6)

Точность означает, что образ предшествующего гомомор-
физма совпадает с ядром последующего. Такая точная после-
довательность называется проективной резольвентой модуля
Л1 = 1тб.

Так что из теоремы 1 вытекает

Следствие. Проективная резольвента модуля Af<zF®L0,
инволютивного в степени h, сокращается до проективной ре-
зольвенты, в которой каждый модуль Ala = Ini6a инволютивен
в степени h + а, а=1, 2,.... Такую последовательность продол-
жений также будем называть инволютивной.

Установленная двойственность между проективными и инъ-
ективными продолжениями имеет следствием следующее ут-
верждение:

Теорема 1*. Пусть ^:N->-F^Ki — инъективное продол-
жение модуля N— (F®/G>)/Q, инволютивное в степени пг в инъ-
ективном смысле. Тогда всякое инъективное продолжение Ai
модуля„Coker А = ^®/С1)/1тдУ сократимо до продолжения, ин-
волютивного в степени m—1 в инъективном смысле.

Всякой точной последовательности (3.6) соответствует точ-
ная последовательность сопряженных гомоморфизмов

в(,)	в}*)

F®L'o-+ Fi^L'i F®L*2-+... ,	(3.7)

называемая инъективной резольвентой модуля N=Coker б*.

Резольвенту, двойственную к инволютивной в проективном
смысле, естественно назвать инволютивной в инъективном
смысле.

Замечание. Сокращения продолжений имеет смысл при-
менять не только с целью получения инволютивных резольвент.
104
Приведенное доказательство теоремы 1 показывает, что если
проективное продолжение MicFQLi инволютивного модуля яв-
ляется инволютивным в степени Л+1, его дальнейшие возмож-
ные сокращения не нарушают свойства инволютивности. Как
мы увидим далее, такие сокращения, в частности, соответ-
ствуют канонизирующим гомоморфизмам внешних дифференци-
альных алгебр, моделирующих дифференциально-геометриче-
ские структуры.

§ 4. ПРОДОЛЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБР

Применим полученные результаты к продолжениям внешних
дифференциальных алгебр — аппарату, точно моделирующему
локальные свойства дифференциально-геометрических струк-
тур.

Всякое градуированное векторное пространство Z с элемен-
тами неотрицательных степеней порождает свободную внеш-
нюю алгебру [Z], элементами которой являются формально
введенные линейные комбинации внешних произведений набо-
ров элементов из Z, а их градуировка определяется тем, что
внешнее произведение однородных элементов a, 0eZ степеней
р и q является элементом aA0e[Z] степени p + q. Внешнее
умножение должно подчиняться условиям билинейности и ас-
социативности, а кроме того — лишь условиям аД0 =
= (—l)p,PAa для всех однородных элементов. Кроме того, мы
будем предполагать, что к так образованной алгебре дополнена
единица leZ(0).

В частности, свободный модуль F®Z порождает свободную
внешнюю алгебру FA[Z], которая сама является свободным
F-модулем, содержащим F®Z в качестве подмодуля.

Пусть I — внешний подмодуль в F®Z. Как всякое подмно-
жество в ГД [2], он порождает в ГД [Z] подалгебру А и идеал
{/}. Факторалгебра (FA[Z])/{/} является внешней алгеброй и
выделяется теми же определяющими соотношениями ({/} = 0)
на образующие элементы алгебры FA[Z], что и фактормодуль
К= {F®Z)jI, где эти соотношения накладываются на элементы
свободного модуля. Поэтому мы будем обозначать (ГД [Z])/{/}
через А (К). Все эти алгебры также являются F-модулями,
причем Г канонически вложен в А (К) в качестве F-подмодуля.

Обозначим через ®F совокупность внешних алгебр, содер-
жащих фиксированную подалгебру F, и будем называть мор-
физмами элементов из ®F гомоморфизмы, отображающие от-
меченные подалгебры F согласованно друг на друга. Через-
9lFcz BF обозначим совокупность внешних алгебр вида F/\A.

Предложение. Гомоморфизм A: F® Ko-+F ® /G, опреде-
ляющий инъективное продолжение модуля N= (F®Ko)/M, за-
дает морфизм Д алгебры Л (У) в алгебру ГД'[К1], обладающий
свойством универсальности: для каждого морфизма До :>4 (7V)—>-
-+В, B^W существует морфизм До0:	такой, что

До=(Доо)°Д.

Действительно, все эти морфизмы являются одиовремеиио
гомоморфизмами F-модулей. Так как гомоморфизм Д является
мономорфизмом, искомый гомоморфизм До0 можно получить
следующим образом: выбрать образующие элементы и® в N,
найти их образы	и выбрать в линейное под-

пространство е, дополнительное, к A(V). Тогда искомый мор-
физм До0 определится тем, что он элементы
sFAf^i] переводит в Д0(«в), а подпространство е — в нуль.

Обозначим через совокупность внешних дифференци-
альных алгебр, принадлежащих ®F. Морфизмами в ®dF будем
считать дифференциальные гомоморфизмы, сохраняющие под-
алгебру F. Аналогично определяется 9lF.

Определение. Дифференциальным продолжением ал-
гебры В<= fbdF называется последовательность морфизмов

ф v

В->А-^ВХ	(4.1)

такая, что: 1) Ле 9lF; 2) Bje и морфизм V°<p — диффе-
ренциальный и

3)	каждая тройка

фо Vo

В+А^Вм	(4.2)

включается в коммутативную диаграмму морфизмов

Ф v

—А —Вх

J К ho	'	(4.3)

i Фо _ Vo

* А) ^10 .

где <ро° — F-гомоморфизм, а Vo° — дифференциальный F-гомо-
морфизм.

Теорема. Пусть алгебра В^ ®dF имеет строение В =
= C/\D, причем D=A(N) — квазилинейная алгебра (см. гл. IV,
§ 5), V=(F®/(o)/A Пусть	— инъективное продол-

жение, a Ki порождается элементами неотрицательных степе-
ней. Тогда В обладает дифференциальным продолжением

ф	v	~

В ->-А = С A [KJAF+B, =С A [Ki] А А (А\),	(4.4)

где пространство Ki изоморфно Кд в силу изо-
морфизма d, повышающего степени всех элементов на единицу,
a If — образ Im Д при соответствующем изоморфизме

F®Ko—F®Ko-
Доказательство. Гомоморфизм <р определим так, чтобы
«го действие на N<^D совпадало с гомоморфизмом Д:А->-
-►FOAiCzFA [Ai]cA, а подалгебра СсгВ тождественно отоб-
ражалась на СсА. Можно ф определить также следующим об-
разом.

Рассмотрим алгебру ВД [Ai] = СД£>Д[ Ai] и обозначим че-
рез /о идеал, порожденный элементами а—Да, ueNcD, счи-
тая, что F® А1<=ВД[А1]сВД[А1]. Так как D порождена эле-
ментами из и из F и так как /оП(ГД[А1]) =0, факторалгеб-
ра ВД [Ai]//o изоморфна СД[А1]ДВ=А, а ограничение соот-
ветствующего эпиморфизма ВД[А1]->А на подалгебре ВсВД
Л[Лл] совпадает с <р.

Расширим теперь подалгебру [Ai] свободным образом до
дифференциальной. Для этого возьмем пространство Ai, изо-
морфное Ki в силу изоморфизма d, повышающего степени всех
однородных элементов на единицу. Определим в алгебре
[Ai]A[Ai] дифференциал так, чтобы он совпал с d на Kia
c[Ai] и равнялся нулю на [А>]. Рассмотрим дифференциал^
ную алгебру G = B/\[Ai]Д[Ai] и в ней дифференциальный
идеал Id, полученный расширением идеала /осгВД[А1] до идеа-
ла 7ocrG, а затем до дифференциального идеала. Очевидно, Id
порожден элементами а—Да, da—d(Aa), ае^Всб, Дас
czF® AjcrFAf At]cG. Ha подмодуле F®K\aG оператор d
можно'разложить в сумму линейных операторов d=do+db по-
ложив для (а, а) =аДа, ае.К\{р\ aaFi

d0(a/\a) =da/\a, di(a/\a) = (—1)раДс?а.

Тем самым отображение 6:A-»-G, 6a=da—dka, a^N, рас-
падается в сумму

6 = й0 + 6Х, 60а = —d0Aa, б^а — da —drKa.

Так как для любых a^N<p\ aeF

d{a Да)—</Д (ад а)= (da—с?Да) Да+(— 1)₽ (а—Да) Ada,
комбинация 6,_6О, 6Х с эпиморфизмом <р : G G//o ~ А Л [А] =
= С Д [Ai] Л JAJ Д F порождает /^-гомоморфизмы модулей Д, До,
Дх:	А Л [AJ, причем Дх (А) с С Д [AJ Л F = А.

Заметим теперь, что алгебраические свойства градуирован-
ного модуля не изменятся, если' степени всех его однородных
элементов изменить на одно и то же число, Результаты § 3
сохранятся, если вместо гомоморфизмов модулей, сохраняющих
степени, рассматривать гомоморфизмы, изменяющие все степе-
ни на фиксированное чйсло. В частности, из свойства универ-
сальности инъективных продолжений следует, что существуют
гомоморфизмы F-модулей Д°: F® А1-*АД(А1],

Д?: F® Аг* АД [AJ, Д?: F® Ах-> С Д [AJ Д F а А Д [Ах]
такие, что Л° =Д° } А?, А =Д°оД, A0 = AqO A, Aj =Д°рД. Роль A®
играет отображение	=F®^i. Алгебра Bx = GIId

изоморфна_АА[Я1]/7</, где Id — идеал, порожденный элемен-
тами 6JV=A<>A1V.

Определим теперь эндоморфизм алгебры АД так, что-
бы он подалгебру А оставлял на месте, а всякий элемент
ае[Я] переводил в До(Доо)-1а = а-1-Д1о(Доо)_1а. Так как второе
слагаемое принадлежит А, этот эндоморфизм является авто-
морфизмом, при котором изоморфно отображается _на под-
пространство £cAAl^i]> [Ki] — на [£]] и АД[К1] — на
ЛД[К,].

По построению идеал Id порожден образом
сД0[^] модуля М при гомоморфизме Д°Д, так что Bj имеет
требуемую структуру (4.4).

Докажем, что В, действительно является дифференциаль-
ным продолжением алгебры В. Во всякой последовательности
(4.1) <ро задает гомоморфизм F-модуля NczD в свободный
F-модуль Аоа 9lF. Следовательно, существует гомоморфизм
модулей До0: F®Fi—>Ао такой, что фо(У) =До°Д- Зададим гомо-
морфизм фО°:А-»-Ао так, чтобы ф0°(С), Са:А, равнялся фо(С),
Сс^В, а фо°(Д1) =До°(Д1), /С1<г[/С1]сА. Определим гомомор-
физм Vo°: В1->Вю, требуя, чтобы V0°Va = V<^o°a, Vo°dVa=
= dVoq>ooa для всех аеА. Так как В} порождена элементами
подалгебры CA[/Ci]AF=VA и их дифференциалами, гомо-
морфизм Vo° определен. По построению диаграмма (4.3) ком-
мутативна, а гомоморфизм Vo° дифференциальный. Теорема
доказана.

Теорема имеет следствия, играющие основную роль в общей
теории дифференциальных уравнений и теории дифференциаль-
но-геометрических структур.

Следствие. Пусть в условиях теоремы инъективное про-
должение А является инволютивным в нулевой степени в инъ-
ективном смысле относительно некоторого базиса в F. Тогда
дифференциальное продолжение Bh в свою очередь, обладает
дифференциальным продолжением B2=CARG]A[K2]A-4('Af2)r
где модуль А72 инволютивен в нулевой степени и его образую-
щие элементы имеют ненулевую степень. Повторяя построения,
придем к бесконечной последовательности дифференциальных
алгебр Bh=-Dh/\A(fih), связанных дифференциальными гомо-
морфизмами Вл->-Вл+ь изоморфно вкладывающими Du
в Da+1.

Действительно, для инволютивного в нулевой степени про-
должения модуля N по доказанному в § 3 существует продол-
жение Ai: N^-F^fa модуля Ni, инволютивное в степени —1,
и, следовательно, инволютивное в нулевой степени продолжение
Ai модуля Алгебра Bt = Gt/\A(J^i) вместе с этим продол-
жением модуля будет удовлетворять всем условиям теоремы.
108
Определение. Внешние дифференциальные алгебры
«троения, описанного в условиях теоремы, с инволютивным в
нулевой степени продолжением модуля N будем называть инво-
лютивными.

§ 5. ПРИЛОЖЕНИЯ алгебраической теории
ВНЕШНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБР К
ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
СТРУКТУР

В четвертой главе мы определили ряд последовательностей
внешних дифференциальных алгебр, реализующихся на рас-
слоениях касательных реперов высших порядков многообразия
или главного расслоения; либо адаптированных реперов общего
расслоения, а также на расслоениях и многообразиях, снабжен-
ных дифференциально-геометрическими структурами. При обос-
новании законов продолжения мы пользовались геометрически-
ми свойствами указанных расслоений, в частности теорией
струй сечений. Теперь мы можем убедиться, что эти основные
алгебры можно строить иа чисто алгебраическом пути, который,
конечно, естественно связан с геометрией.

Алгебры Апл с базисными формами со',	feft»

симметричными по нижним индексам, можно получить следую-
щим образом. Возьмем свободную внешнюю алгебру F с обра-
зующими 1еА°> и и'еЯ1) и расширим ее до свободной диффе-
ренциальной алгебры Fd, введя новые элементы dco'eF/2).
Рассматривая Fd как свободный модуль K0®F над F, где

— образующие пространства Ко, введем подмодуль М с об-
разующими элементами

dm'AQ, Q=i(o,Afi)2A...Afi)n

и будем строить инъективное продолжение модуля N = Fd/M

K:N^-F®K.\.

Такое продолжение, очевидно, строится по формулам

d^( = «Й А + £ Utt©' А «« + u^i =0,

l<k

где Ын1, ulik — образующие пространства Кд, имеющие степе-
ни 1 и 0.

Это продолжение очевидным образом сокращается до про-
должения (IV.6.6):

в свободный подмодуль FQA’i, где имеет образующие

(Ofc = ш + — Uud>1.
Но нам в данном случае интересно доказать возможность
сокращения из общих соображений. ,

Рассмотрим модуль F®Ko*, сопряженный к F®Ko, с обра-
зующими <gt степени —2,	d(o*) = 6A Тогда модуль Мх

будет, очевидно, образован элементами i, k = l, 2,...,п.

будет инволютивным в степени —1 в проективном смысле.
Действительно, (Мх)(-1> образован всеми элементами и,
следовательно, совпадает со всем (F®Ko*)(-1), так же как и
(Ср)(_,) для любого р,

Следовательно, по общей теории, развитой в § 3, модуль
N обладает продолжением, инволютивным в степени 1, а диф-
ференциальная алгебра Fd/M имеет бесконечную последова-
тельность дифференциальных продолжений с образующими эле-
ментами первой степени, строящуюся индуктивно при помощи
продолжений и дифференциальных расширений. Очевидно, это
и будут алгебры Anh.

Аналогично, последовательность алгебр Ahc,n строится исхо-
дя из дифференциальной алгебры А°с>п с образующими а‘, ш“,
da‘, daa, i=\,...,n\ a=n+l n + r и соотношениями

da>' AQ = 0,	(5.1)

где Q = (o1A ... Л«". A(o“ =dci>a+£ cadtfs>d Aw*, cdb — структур-
d<J>

ные константы алгебры G в базисе, двойственном к ®fl. Как и
в предшествующем случае, левые части (5.1) — образующие
подмодуля в свободном F-модуле F®Ko, где dw‘, Лю0 — обра-
зующие Ко- Совершенно аналогично предыдущему доказыва-
ется, что модуль N= (F®Ko)IM инволютивен в первой степени.
Следовательно, определена последовательность дифференциаль-
ных продолжений алгебры А°с,п с образующими первой степе*
ни. Это и будет последовательность алгебр Ahc,n, й=0,1,2,....

Последовательность строится продолжением. по алгеб-
ре Fn+m с образующими и', (оа, 1=1,...,п; а=п + 1,...,п+т
исходя из алгебры А°„,т с образующими <о‘, со0, d<o‘, daa и оп-
ределяющими соотношениями

^<о'АЙ = О, d(oaAQA^ = 0,	(5.2)

где

Q = (o1A-Am", П = (оп+1Л-Л<о"+"1-

Модулем, сопряженным к модулю F®Ko с образующими
da1, daa пространства Ко, будет F®Ko* с образующими <§(,
(§<х-	'

Для подмодуля М с образующими — левыми частями (5.2)
ортогональным будет М—М± с образующими

<ga(oP. Здесь также (Ср)(_1>= (Ko*®Fn+m)(_,)= (М)^> для любого
р, и имеет место инволютивность модуля У= (Ko®Fn+m)/M в пер-
вой степени. Но N — это есть дифференциальная алгебра
Ас'п,т, которая в силу инволютивности порождает последова-
тельность дифференциальных алгебр Ah„,m с образующими
о	первой степени.

Последовательности алгебр A^f), Лс.0(Г), описывающие
дифференциально-геометрические структуры на многообразиях
или в расслоениях, также строятся как последовательности
дифференциальных продолжений инволютивных алгебр. А имен-
но дифференциальная алгебра Апм, как мы знаем, имеет обра-
зующие’элементы <в‘, со‘л,...,	связанные соот-

ношениями

AcoL.^Aco^yO,	(5.3)

левые части которых образуют подмодуль М в свободном F-мо-
ду ле F®K0, где

— образующие пространства Ко, ^k,...kl+1 — формы второй
степени относительно со*, ... ,	Модуль N=(F®Ko)tM

инволютивен в первой степени и служит для дальнейшего про-
должения серии дифференциальных алгебр An‘+h.

Пусть дифференциально-геометрический объект порядка I
поля F характеризуется дифференциальным идеалом I с обра-
зующими 0х первой степени в алгебре В A A$i.
п

Рассмотрим во внешней дифференциальной алгебре ВДАП'+1
дифференциальный идеал If, порожденный элементами

0лДП,	(5.4)

где й = й1Д...Д<1)л, а 0х получаются из 0х заменой входящих
в них элементов алгебры A-qi на соответствующие элементы
п

алгебры Апм.

Обозначим через А^(Л факторалгебру алгебры B/\Anl+1 по
дифференциальному идеалу If- Алгебра AS<n имеет строение
СДА(А/\), где С — свободная, внешняя алгебра, a A(N\) по-
рождена F-модулем	Ni='Ni + "Ni, 'Ni= (F®Kq)/M, "Ni —

= (F®R0)IIf, где Ro порождено элементами 0\ Оба модуля
Wi и "Ni инволютивны: один — в первой степени, другой — в
нулевой степени в инъективном смысле. Следовательно, алгеб-
ра С ДА (A/i) путем дифференциальных продолжений порождает
последовательность внешних дифференциальных алгебр Ao(F),
/i = 0, 1, 2,... с образующими coz, со*, ..., А и hi, hik, -  
•	симметричными по нижним индексам. Очевидно, это и

будут построенные выше дифференциальные алгебры, характе-
111
ризующие продолжения дифференциально-геометрических
структур типа F, порядка I на n-мерном многообразии.

Совершенно так же с заменой алгебр Ап1 на А‘с,п строятся
внешние дифференциальные алгебры	моделирующие

дифференциально-геометрические структуры в главных расслое-
ниях.

В отличие от последовательностей А*, Ас,п, Ап.т последо-
вательности алгебр A„(F), A^f) допускают упрощения — фак-
торизации по канонизирующим идеалам, которые реализуются
на подрасслоениях касательных реперов, инвариантно присое-
диненных к структуре. Такого рода факторизации не изменяют
алгебраических свойств модулей, определяющих характер диф-
ференциального продолжения алгебр. В частности, инволютив-
ные продолжения остаются инволютивными.

В отличие от факторизации по канонизирующим идеалам
факторизация по классифицирующим идеалам дает алгебры,
характеризующие специальные классы структур. Исследование
инволютивности таких алгебр позволяет решать различные
вопросы геометрии структур.

Необходимо рассмотреть ряд примеров, иллюстрирующих
использование внешних дифференциальных алгебр для описа-
ния структур.

Рассмотрим векторное поле на многообразии Af. Как мы
зиаем, векторы пространства Vn сопоставляются слоям расслое-
ния t: RnXGL(n)-> Vn, являющимся решениями системы Пфаф-
фа 9‘ = d£‘—£*<со*' = О, где — координаты в R", а со*' — базис-
ные фррмы группы GL(n). Мы знаем, что формы шц', опре-
деленные на Н2М, в слоях над точками базы М превращаются
в формы 0, со*‘, канонически заданные на слоях Н1М в силу их
диффеоморфизмов на GL(n). Следовательно, дифференциаль-
ная алгебра Д^(Н, моделирующая векторное поле, получает-
ся расширением алгебры Ап1 с образующими <о‘, со*', dco*', диф-
ференциалом

dco' = co*'A<oft, d(co*‘) = dco*', d(dco*') =0
и соотношениями.

(dco*'—co/'AW) Дсо*=0	(5.5)

до алгебры (Ип)йДЛп1 с образующими g', dg‘, со', со*', dco*' и
факторизацией по идеалу с образующими (d£'—g*ico*') Д£2, где
0=<в1Д...Дсоя.

Дифференциальное продолжение ведет к уравнениям и соот-
ношениям

dco* = со} Д со* + со*/ Д со',

d£' —£*со* = B*coft, СО*/ = CO/*,

Aco*/Д co'=0, Д£*Дсо* = О,
Дс>)£{— Асо;* = О,

Aco*/ —datii + и₽ Л Mt! 4- юр/ Л ©л + <<>*₽ Л <*> z,

А&=сЙ—£z<o* + £*ь>/—£*<>>/*.	-	(5.6)

Эти соотношения характеризуют внешнюю дифференциаль-
ную алгебру А^у’,, инволютивную в нулевой степени и допус-
кающую последующие продолжения.

Однако, предположив, что на нашем многообразии вектор-
ное поле нигде не обращается в нуль, мы можем профактори-
зовать алгебру А^Н по канонизирующему дифференциальному
идеалу с образующими — 1,	(Г=2, 3, ... , п).

Геометрически это означает переход к подрасслоению каса-
тельных реперов, векторы ei которых совпадают с векторами
поля X.

С алгебраической точки зрения, внесение в алгебру А^у",
соотношений ig* = l,	=0, d%‘ =0 дает алгебру А^у", с

образующими <о‘, datk1 и соотношениями

со?Лш?) Л«* = 0,

(5-7)
сщ'ЛЙ=0,

левые части которых по-прежиему независимы и порождают
дифференциальный идеал, инволютивный в нулевой степени.

Дифференциальные продолжения алгебры А^у”» при помо-
щи инволютивного идеала приводят к последовательности диф-
ференциальных алгебр A^v”), задаваемых последовательностью
уравнений, определяющих алгебры Ап‘, и уравнений вида

+6*,...*,+ <01* k,	(5.8)

4	»	* t	•	• »+Л	*

где	выражаются через	lead—1 с коэф-

фициентами — многочленами без свободных членов от .

Заметим, что элементы <oi*t...*p, 1 <£ < I, dcoi*,...*, обра-
зуют дифференциальный идеал в каждой точке алгебры Ап1.
Следовательно, определена последовательность канонизирую-
щих идеалов ItCzA^v") с образующими: £?,... «^ и левыми
частями (5.8). Факторизация по этим идеалам приводит к по-
следовательности дифференциальных алгебр, строящихся инво-
лютивно исходя из продолжений структурных уравнений

das1 =«-?' Л ,

Л ~	?, £=2, ... , п.	(5.9)

dco1 =соЛ Л со* .

k ' '

8 Зак. 523	ИЗ
Эта последовательность алгебр простейшим образом харак-
теризует локальные свойства ненулевого векторного поля на
многообразии. А именно, уравнения (5.9) совпадают со струк-
турными уравнениями главного расслоенного пространства

R, л) с (п—1)-мерной базой и одномерной группой Ли
R, а наша последовательность алгебр есть Ак,п-1.

Как известно, ненулевое векторное поле локально эквива-
лентно такой структуре.

Рассмотрим теперь применения аппарата внешнего диффе-
ренциального исчисления к римановой геометрии.

Тензорное поле типа (0, 2) на n-мерном многообразии ха-
рактеризуется в соответствии с общей теорией внешней диффе-
ренциальной алгеброй с образующими <о‘, со*', gtk (gtk=
= gki), dgik и соотношениями

da‘ — co£ A ®k,	(5.10>

Дсо£Дсо*=О, Д^Л9=0,
где

Дю* = da* —со* Л Д. &gik —dgtk glkal. + gita‘.

Риманова геометрия определяется положительно определен-
ным тензорным полем типа (0, 2). Условие положительной оп-
ределенности некоторыми неравенствами выделяет область V
в R«(«+i>/2) инвариантную относительно группы GL(n). В част-
ности, в ней содержится точка Q с координатами =

Следовательно, риманову геометрию можно описать зада-
нием подрасслоения ортонормированных относительно данного
тензорного поля касательных реперов ОМаН'М.

В (5.10) вместо Дя<лЛ£2 = 0 получаем

(<о* + ю‘)ЛЙ=0.	(5.11)

Разрешая (5.11), получим

и* =0* + #!»сог, 0*+0*=О,

da1' = 0ft Д co* + £ Л ш*,
'	i<k

где 0ft‘, glni, hhn^—h'ki — элементы, реализуемые дифферен-
циальными формами и функциями в расслоении (л2)-1(ОЛ1)с:
сН2М. Определив элементы GV по формулам

й! =0* +ры®1, pkt— —Ри — -у-(^ft +Л«—hit),
получим

dco'— Qft Д co*, Qi + Q? = 0,

(dQl-Q‘/AQl)Aco* = O.	(5.12)
Внешняя дифференциальная алгебра Лв1ет,п с образую-
щими а>‘, Qk‘ и соотношениями (5.12) характеризует риманову
геометрию в той же мере, что и (5.10). Дифференциальное
продолжение этой алгебры следует искать в виде

dQk =й/ Д йл + Ф* + Qki А <вг +	Rk.pi^ Л «в*.

p<i

где Ф1, Qlki, Rfk.pi—образующие новой алгебры второй, первой и
нулевой степени, связанные условиями Ф1+Ф{=0, йм + йи = 0,
Rk.pi — Ri.pi = —Rk.ip-

Подстановка в (5.12) дает соотношения

Ф* — 0, Й« = й^, Rk,pi + Rpjfe + Rli,kp = 0,

откуда следует й‘\(=0. Итак, продолженная алгебра образова-
на элементами со€, й?, R^ip и характеризуется соотношениями

dtf =й* Д со*, dQk =й) Л Й* + У Rk.pif»p

p<i	(5.13)

kRk.pi Л со₽ д <вг = 0, й* -+• Qk — 0, Rk.ip + Rfi.pk + RpM=0,
где

kRk.pl ~dRk.pl + Rq.pfi^k + Rk.ql®p + Rk.pq^l—Rk.pltoq.

Так как дифференциалы базисных форм со1, й? выражают-
ся через них же, подрасслоение расслоения Н2М, на котором
они реализуются, является сечением расслоения (л2)-1СШ.
Можно считать, что они реализованы в самом ОМ. Как мы
увидим ниже, уравнения (5.13) характеризуют связности в
главны* расслоениях с базой .VI. Типовым слоем будет в нашем
случае группа О(п) ортогональных преобразований евклидова
векторного пространства. Дальнейшие продолжения алгебры
вводят лишь элементы нулевой степени, реализующиеся иа том
же расслоении ОМ.

Мы приходим к основному результату римановой геометрии:

Все локальные свойства риманова пространства характера-
зуются алгебраическими свойствами его тензора кривизны
{Rk.pi} и его последовательных ковариантных производных
{Rk.pl.ql...qi^,

kRk.pl,qt...qa — Rk.pl.qi-..q(^q„.^^t^+1* <Z = 0, 1, 2, ... .

§ 6. О ТЕОРЕМАХ КОНЕЧНОСТИ И ОСОБЫХ РЕШЕНИЯХ

В случаях, когда требуется изучать специальные классы
дифференциально-геометрических структур или отношений меж-
ду ними, мы должны рассматривать факторалгебры построен-
ных выше дифференциальных алгебр по классифицирующим
8*	ПБ
дифференциальным идеалам. Как мы уже выясняли, это, в
общем случае, равносильно изучению структур, удовлетворяю-
щих системам дифференциальных уравнений с частными про-
изводными, т. е. в конечном счете рассмотрению внешних диф-
ференциальных алгебр, задающих некоторое распределение в
расслоении (см. § 2). Мы выяснили, что вопрос о существова-
нии решений сводится к существованию регулярных цепей ин-
тегральных элементов, т. е. алгебраическим свойствам объекта
неголономности Haki. Мы выяснили также, что эти свойства
выражаются свойством инволютивности некоторого модуля над
алгеброй Fen образующими <ог. В дальнейшем мы предпола-
гали, что алгебры и модули рассматриваются над числовым
полем R, т. е. в нашем случае — при HaXl=const. Однако не-
трудно видеть, что в случае переменных коэффициентов иссле-
дование ведется тем же способом — рассмотрением линейных
алгебраических уравнений с коэффициентами, выражающимися
через Только надо иметь в виду,’что на некоторых под-
многообразиях расслоения ранги этих линейных систем могут
снижаться и эти случаи нужно исследовать отдельно — они
могут давать «особые решения» системы дифференциальных
уравнений, в частности — особые классы дифференциально-
геометрических структур.

Если данное распределение, к которому свелась дифферен-
циальная система, не дает ответа на вопрос о ее формальной
интегрируемости, следует перейти к рассмотрению продолжен-
ного распределения.

Если данное распределение задавалось уравнениями (2.13),
(2.14), то продолженное распределение Д1 рассматривается в
расслоении Ei интегральных элементов данного расслоения,
т. е. имеет те же уравнения (2.12), (2.14), в которых на ЛЛ
следует уже смотреть как на адаптированные координаты в
расслоении интегральных элементов.

В результате внешнего дифференцирования уравнений (2.14)
приходим к уравнениям

&hiK/\(£>‘ = 0, HakiAhkK—Haki(^hi>,+Qaik = 0,	(6.1)

которые надо рассматривать вместе с (2.14). Здесь №/•=
=dhiK+<(>i\ а q>? и Qatk не содержат dh?. Чтобы продолженная
система имела решения, необходимо, чтобы можно было
свести к нулю за счет изменения <рЛ В противном случае к
системе надо присоединить новые уравнения и начинать иссле-
дование снова.

Если же 0“(й=О, то, как мы видим, исследование продол-
женной системы на существование регулярной цепи интеграль-
ных элементов вновь полностью определяется коэффициента-
ми Наи.

Таким образом, при исследовании внешних дифференциаль-
ных алгебр, моделирующих специальные классы дифферен-
циально-геометрических структур, могут встретиться случаи:
1)	Требование существования достаточно гладких структур
данного типа налагает новые соотношения на элементы алгеб-
ры, и исследование надо возобновлять с учетом этих соотно-
шений.

2)	Задача сводится к распределению в некотором расслое-
нии, иначе — к системе Пфаффа, находящейся в инволюции
(возможно, при наложении некоторых неравенств на коэффи-
циенты). Тогда задача имеет решение, по крайней мере в ана-
литическом случае.

3)	Задача сводится к распределению в расслоении, не нахо-
дящемуся в инволюции, т. е. не допускающему построения ре-
гулярного интегрального элемента, являющегося струей сече-
ния. В этом случае нужно перейти к построению и рассмотре-
нию продолженного распределения, причем вновь возникают
возможности 1), 2) или 3).

«Теорема о приведении в инволюцию», первая формулиров-
ка и доказательство которой принадлежат Э. Картану (см.
[1, 20, 21]), утверждает, что случай 3) не может повторяться
при продолжениях неограниченное число раз: после конечного
числа продолжений либо получим систему в инволюции, либо
наложатся новые уравнения на переменные, введенные на пре-
дыдущих шагах продолжения.

В случае дифференциально-геометрических структур тензор-
ного типа имеет точный смысл вопрос о конечности числа ша-
гов 1) либо 3), достаточных для описания всех дифференци-
ально-геометрических структур заданного класса. Ответ на этот
вопрос также оказывается положительным, ио в детали таких
исследований мы входить ие будем (см. [22]).

/
Глава VII

СТРОЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР

Подобно другим системам математических объектбв (напри-
мер, таких как группы, кольца, модули, поля, многообразия,
топологические пространства, дифференциальные уравнения),
дифференциально-геометрические структуры допускают ряд
классов «морфизмов» — отображений друг в друга, продолже-
ний и т. д.

Наличие морфизмов ставит естественные задачи о выделе-
нии «более простых» структур либо наиболее простым, образом
конструируемых из наиболее простых с помощью тех или иных
операций.

Мы имеем теперь для этого достаточно удобный аппарат —
инволютивные внешние дифференциальные алгебры. Точнее,
мы можем классам дифференциально-геометрических структур
сопоставлять внешние дифференциальные алгебры, гладким ото-
бражениям — их дифференциальные гомоморфизмы, продол-
жениям расслоений — соответствующие операции продолжений
алгебр и т. д.	'

При этом надо помнить, что соответствие между дифферен-
циально-геометрическими структурам», и внешними дифферен-
циальными алгебрами не взаимно-однозначное. Для одной и
той же структуры можно указать различные инвариантно при-
соединенные к ней расслоения касательных реперов и соответ-
ствующие им дифференциальные алгебры. В частности, для
отношений между структурами существуют дифференциальные
алгебры, в которых эти отношения выражаются наиболее
просто.

Обращаясь к классификации структур, сразу следует заме-
тить, что интересных в тех или иных отношениях структур су-
ществует очень много и говорить о сколько-нибудь системати-
зированной классификации преждевременно. Мы выделим не-
которые классы, с которыми приходится иметь дело при изуче-
нии структур почти всех типов.

§ 1. СТРУКТУРЫ С РАССЛОЕННОЙ БАЗОЙ

Расслоение Е(М, р) общего типа по самому своему опреде-
лению несет дифференциально-геометрическую структуру —
слоение, определяемое регулярной субмерсией. Если расслое-
118
ние Е несет дополнительно еще какие-то поля дифференциаль-
но-геометрических объектов, удобно говорить о структурах с
расслоенной базой.

Среди таких структур естественно выделить сводящиеся в
той или иной степени к структурам на базе расслоения либо в
подходяще определенном типовом слое. Структурная группа
Dhn,m расслоения адаптированных реперов есть подгруппа груп-
пы Dkn+m, выделяемая фиксацией расслоения. Dhn,m содержит
в качестве факторгруппы группу Dnh — дифференциальную
группу базы М; всякий дифференциально-геометрический объ-
ект в точке Р базы задает по определению и некоторый диффе-
ренциально-геометрический объект в каждой точке прообраза
р~1(Р), и всякая дифференциально-геометрическая структура
на базе М есть дифференциально-геометрическая структура на
многообразии Е.

Более сложным будет случай, когда каждой точке расслое-
ния Е(М, р) сопоставлен дифференциально-геометрический
объект данного типа F в соответствующей точке базы, но раз-
личным точкам слоя сопоставлены, вообще говоря, различные
объекты на базе.

Наиболее известные структуры такого рода — это сами рас-
слоения Е(М, F, Dnh, р) дифференциально-геометрических объ-
ектов типа F на многообразии М.

Рассмотрим простейшие примеры.

Для касательного расслоения ТМ базисными формами будут
и = —|*ico**, заданные на расслоении НЛХН2Л4 и опре-
деляющие каноническое отображение ЦпХН1М-+ТМ. Они удов-
летворяют структурным уравнениям

da‘ = со]- А <о*, dco£ - со* Л со* + со* { Л ©*,

<$* =СО* Л 0* —£*С0^ Л со*, со« = со».

С другой стороны, -рассмотрим в расслоении Е(М, р) с
л-мерной базой и n-мерными слоями дифференциально-геомет-
рическую структуру, ставящую каждой точке S^E в соответ-
ствие касательный вектор к М в соответствующей точке p(S).
Структурные уравнения (IV.6.24) Е(М, р) в адаптированных
реперах будут

dco' = ©*A°A *Ц==Ш/АЧ + Ч/Л со*,

d0* =- 6* Л б* + со* А со*, сон = сое*,

а дифференциальные уравнения структуры имеют вид

d?*-£*со* =&*со* + тДО*.	(1.3)

Дифференцирование и продолжение приводят к уравнениям

+ £fco*—£*со( -Ь лк0* + ^*<*>с* —	+ В^б*,
dflk + т]/0£ —— B/ftCo' + Ckfi1,	(1-4)

•4« — Л*/, Си = C\k.

Из (1.2) видно, что вектор, касательный к расслоению Е,
имеет относительно адаптированных реперов координаты £‘,
Х‘, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям

<£'-СЧ=о, о' -о, dx'-x*el-c4=o, ш'=о.

В частности, векторы, касательные к слою, характеризуются
условием С‘ = 0.

Уравнения (1.4) показывают, что величины т]*‘ являются
элементами матрицы определенного в каждой точке линейного
отображения, ставящего каждому вектору, касательному к
слою, в соответствие вектор, касательный к базе. Действи-
тельно,

— 01&*) ь>£г= О

при iw'=0, 0‘=О, £А = 0.

Если тензор t]*‘=0, наша структура просто задается вектор-
ным полем на базе М.

Рассмотрим противоположный случай, когда матрица (t]*‘)
имеет ранг п. В подходящем подрасслоении реперов она имеет
диагональный вид т]*£==^*£> и уравнения (1.3), (1.4) примут
вид

d?£ —+ О'\

d^k + SztOft —S*®z + o>k —££ь>ц = Akita1 + Blkfil,	(1.5)

9* —'®k — Ви#)1 + С«0£.

Структурные уравнения (1.2) ие меняются при замене адап-
тированных реперов из НЦЁ, р) вида

+ plki4>', 0*|->- О* + ри®1,

-* Wft + pft,0', pkt — p\k 

Так как вектор {g‘} ненулевой, эта подстановка позволяет
найти подрасслоение реперов, для которого g*‘=0, и оконча-
тельно будем иметь уравнения •

(Rf —= О',

ш* —	— Лио? + B«0£,

О*—a»* =B/ft®/+ Cft/O1, Aki=Ajk, Cki — C‘tk,

подстановка которых в (1.2) приводит к уравнениям (1.1),
т. е. имеет место
Предложение. В случае, когда тензор {т)**} имеет мак-
симальный ранг, дифференциально-геометрическая структура &
2п-мерном расслоении Е(М, р)с п-мерной базой, сопоставляю-
щая каждой точке S касательный вектор к базе в точке p(S),
локально эквивалентна касательному расслоению ТМ.

Заметим теперь, что поле тензора {*)**} в 2п-мерном расслое-
нии Е(М, р), задающего невырожденные линейные отображе-
ния пространства TVSE на TP(S)M, в общем случае ие индуци-
ровано структурой, эквивалентной касательной к М. В самом
деле, легко проверить, что в уравнениях

d^k + Л/О.ь —Лл®/ =В\ьФ1 + Cm6z

величины C‘ki—C'tk являются компонентами тензорного поля, в
общем случае не равного нулю. Поле объекта {т)?} называется
почти касательной структурой в расслоенном многообразии.

Дифференциально-геометрические свойства кокасательного
расслоения Т*М (расслоения линейных форм) иа многообразии-
М выражаются еще более простым способом. Всякий касатель-
ный к Т*М вектор X имеет проекцию р*Х^ТМ, где р — проек-
ция Т*М на М. Вследствие этого на Т*М канонически опреде-
лена линейная дифференциальная форма <о, значение (со|Х)
которой для всякого вектора X^Ts(T*M), SeT*M равно
(®з|р.Х). Здесь tog — линейная форма в Тр<з)Л1, соответствую-
щая по определению точке S^T*M. Так как действие GL(n) =
= Dnl в (Vn)* определяется формами dbi + bk<t>tk, характеризу-
ющими отображение R"XGL(n)-*-(V,")*1 базисными формами
для Т*М будут <о‘, 6I=d&i+&4(o?, заданные на RnxH2M и удов-
летворяющие структурным уравнениям

df0l =<в£ Л <в*, d<o* =<о| Л Л

d6t ^0* A —6А®н A

Координаты вектора X, касательного к Т*М, удовлетворяют
дифференциальным уравнениям

dgi =.О, dq, +	=0, ®z — Of = °-

Компонентами р*(Х) будут а компонентами формы —
bi, так что (®|Х)=6/|'. А это значит, что форма ю имеет вид
ы = Ь1Ы1. Форма dco, также заданная на Т*М, будет иметь вид
(dbi+b*co?) Д<о‘=е, Дко‘.

Многообразия размерности 2л, иа которых задано поле зам-
кнутой внешней 2-формы максимального ранга 2л, называются
симплектическими. Мы видим, что Т*М несет каноническую
симплектическую структуру. Как известно, она играет важную-
роль в классической механике.

Аналогичными способами определяются канонические тен-
зорные поля на расслоениях тензоров типа (0, q) на мно-
гообразии М. Нетрудно найти канонические тензорные поля и
на любом тензорном расслоении Т'^М.

Канонической дифференциально-геометрической структурой
на расслоении Н'М являются п линейно независимых диффе-
ренциальных форм со', которыми мы постоянно пользуемся.

Каноническая структура на расслоении JhE (М, р) струй се-
чений порядка h расслоения Е(М, р) определена вместе со
структурой расслоения контактным распределением, которое мы
также рассматривали в этой книге (гл. IV, § 3).

Понятие продолжения данного многообразия М как расслое-
ния дифференциально-геометрических объектов над М можно
естественным образом обобщить.

Пусть на М задана некоторая дифференциально-геометри-
ческая структура а как сечение расслоения дифференциально-
геометрических объектов Е(М, Fi, pi), и пусть Ег(М, Ft, рг)—
расслоение дифференциально-геометрических объектов типа F2
над М. Тогда на Е% определена дифференциально-геометриче-
ская структура как поле объекта, ставящего в соответствие
каждой точке S&E2 дифференциально-геометрический объект
типа Ft в точке Q=Pz(S), соответствующей этой точке S, и,
кроме того, объект типа Ег в* той же точке, принадлежащий
полю о.

Дальнейшее обобщение понятия продолжения получим, если
в Ez будем выделять подмножества Q^czEz объектов, находя-
щиеся с объектом из о (в соответствующей точке) или с его
продолженным объектом в заданном отношении, характеризуе-
мом условиями положительного и отрицательного типа.

Если <§2 является подрасслоением в Е2, его также можно
назвать продолженным расслоением, присоединенным к струк-
туре а.

В процессе дифференциально-геометрических исследований
задачи, связанные с такогр рода продолжениями, занимают
значительное место, как это мы увидим далее (см., например,
ниже § 4).

Прежде чем рассматривать структуры в расслоениях, у ко-
торых индуцированные структуры в слоях эквивалентны, сле-
дует .подробнее рассмотреть вопросы о дифференциальных
структурах расслоений, о геометрии общих отображений много-
образий со структурами, об автоморфизмах структур. Конечно,
каждый из этих вопросов имеет вполне самостоятельное зна-
чение,

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
СТРУКТУРЫ ГЛАВНОГО РАССЛОЕНИЯ И ЕГО
БАЗЫ

Мы уже говорили о связях между теми и другими. Группа
Dha,n имеет нормальную подгруппу Dha,n,o струй локальных ав-
томорфизмов главного расслоения, оставляющих неподвижными
122
все точки базы М. Факторгруппой по этой подгруппе будет
дифференциальная группа Dnh касательных реперов порядка
А базисного многообразия М.

Тем самым естественной следует считать ситуацию, когда
пространство F дифференциально-геометрических объектов по-
рядка А представляет собой расслоение с базой Го, слои кото-
рого являются орбитами группы Dha,n.o. На Го определено дей-
ствие группы Dnh. Тем самым всякая дифференциально-геомет-
рическая структура типа F расслоения Н индуцирует диф-
ференциально-геометрическую структуру of, типа Го на базе
М расслоения.

Многие дифференциально-геометрические структуры иа мно-
гообразии М удобно рассматривать как индуцированные неко-
торыми, более простыми с алгебраической точки зрения, струк-
турами главных расслоений иад М. Мы уже использовали та-
кой подход при рассмотрении распределений в многообразиях.
Рассмотрим классический пример.

Конформная структура на л-мерном многообразии М опре-
деляется заданием в каждой точке многообразия семейства про-
порциональных между собой симметричных положительно опре-
деленных тензоров типа (0,-2). Действительно, углы между
касательными векторами не меняются при замене метрического
тензора на пропорциональный.

С нашей точки зрения, так определенная структура является
структурой главного расслоения над М. Действительно, рас-
смотрим над М главное расслоение Н(М, R, л) с одномерной
группой Ли R. Рассмотрим продолжения расслоения

Я1 (М, Н, Нг (M, Н, D^n, л2), № (М, Н, D3^, л3).

На них определены последовательно: формы ©‘, 0, затем формы
W, Qi и формы (о‘н = (о'/*, Qik=6ki, удовлетворяющие структур-
ным уравнениям

(W == Д со*,	dQ = 9,- Л ®',

А + (o^z Л (oz, dQi	А Ц + 6tfc А (•>*,

Дсо*( Д а1 = 0,	Д6М А = 0.

Рассматривая R как аддитивную группу вещественных чи-
сел, определим действие группы GL (n) X R, а тем самым и дей-
ствие группы для которой GL(n)XR является фактор-
группой, на пространстве симметричных положительно опреде-
ленных тензоров типа (0, 2). Именно пусть действие GL(n)
совпадает с каноническим, а всякое число aeR умножает тен-
зор на еса, c^const^O. Легко проверить, что формами на
VxGL(n)XR, задающими действие группы, будут
dgik +gii^i +
где (о?, 0 можно рассматривать как ограничения форм 0„
заданных в № (Af, Н, Ь^.п, л2), иа слой над точкой базы.
Здесь V — область в R«(»+O/2 с координатами gik=gki, выде-
ленная условием положительной определенности тензоров.

Следовательно, соответствующая дифференциально-геомет-
рическая структура первого порядка расслоения Н(М, R, л) за-
даётся уравнениями

dgik + gik^‘i+ g^lk— cSi^^gik.^	(2.1)

на функции gtk, заданные на V X Н1 (М, Н, Dr,„, л1).

Так как группа GL(n)XR транзитивно действует на множе-
стве положительно определенных метрических тензоров, мы
можем ограничить расслоение V X Н1 (Af, Н, Ок.,п, лг) подрас-
слоеиием стандартных реперов, относительно которых объект
имеет компоненты gtk=f>ik- Тогда (2.1) даст

<о* + (oz —c6ifc0 ^gik^.	(2.2)

т. е.

2(о‘—c0=gt, (oz, i = l, 2, ... , п (ие суммировать!)
и

(о* — Qf + g^id)1, О/ 4“ Й*, i &

Исключая из (2.2) 0 и полагая (oj = Й + ^(о* (ие сумми-
ровать!), получим уравнения индуцированной структуры иа
многообразии (конформной структуры) в виде

d<a‘ = й Л (о' + О* Л + hik6il Д (о*.	(2.3)

Допустимая замена касательного репера, сохраняющая вид
уравнений (2.3)

й т*-й + р,(о*, Qfe-*-й£ + p«(oz, рм + pk—О,
позволяет, как и в случае римановой структуры, выбрать под-
расслоение реперов второго порядка таким, чтобы

d(o* = й Л (о1 ] й^ Д (о*, й^ + й* =• 0 (i	k).

Дифференцирование дает

dQ Д + (4й* — О/ Л й1) Л (о* = 0.

Свободное разрешение этих уравнений дает

dQ=ЙЛ Л <»* +	Л

dQk—Qp Д й* =й4 Д toz — Qt Д (о* + tibqptf Л (ор,

~Ь ^Q,pk “Ь ^p,kq ~Ь &kUqp ~Ь	~
С последующим сокращением за счет допустимой замены
получим

Q*,

dQl Д Q£ + Qk л ш1— Q( Л <»* + Л пР,	(2.4)

Ck,qp + Cq.kp + Cp.kq = 0, Ck,ip =0.

Дифференцирование и продолжение при л>2 дает

ACk.qp = Ck.qpfb1,

~ Ck,ip<j)‘ Л <ор,

где

—dC^qp +	+ CgjpQj + Ck,qlQp — Ck,qp$,

ДЙ& = dQk—А Й—: Qt /\ Ul.

Итак, при n>2 к конформной структуре однозначно при-
соединяется главное подрасслоеиие Н(М, G, л) расслоения

Группа G имеет структурные уравнения

dQ=O, dQk^i^QL, dQi=Qi /\Q + Qk £4 + ^=0,
t. e. изоморфна группе движений и подобий евклидова прост-
ранства.

В Н (М, G, л) определена связность, в силу которой даль-
нейшие продолжения структуры не требуют введения расслое-
ний более высокого порядка, а лишь продолжения полей объ-
ектов тензорного типа с компонентами Ckqp, С{,Чр.

Можно заметить, что при л=3 С*>р(7 тождественно
равны нулю, и свойства структуры характеризуются тензором
Gk,iP и его продолжениями.

Более детальное исследование следующего продолжения по-
казывает, что при и>3, наоборот, объект Ск,1Р выражается че-
рез продолжение тензора конформной кривизны С‘к,9р и са-
мостоятельной роли не играет.

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
СТРУКТУРЫ НА ПОДМНОГООБРАЗИЯХ

Соответствия между дифференциально-геометрическими
структурами расслоений и их базисных многообразий постоянно
приходится рассматривать при изучении отображений одного
многообразия со структурой или без иее в другое, в частно-
сти — в дифференциальной геометрии подмногообразий.

Мы знаем, что с каждым отображением а многообразия #
размерности р в многообразие М размерности п связана после-
довательность отображений многообразия N в расслоения струй
отображений Jh(N-, М), й=1, 2....

Расслоения Jh(N-, М) являются, как известно, ассоциирован-
ными с главными расслоениями HhNxHhM с базой NXM.
Отображение а определяет над ограничениями этих расслоений
на подмногообразие (N, a(A))czAxAf сечения расслоений
Jh(N; М), т. е. последовательность дифференциально-геометри-
ческих структур типа jhN,M в главных расслоениях с базой А,
группой DphxDnl1.

Аналогично дело обстоит в случаях, когда на многообразиях
заданы дифференциально-геометрические структуры. Тогда мы
будем иметь дифференциально-геометрические структуры над
А, каждая из которых является объединением: поля объектов
на N, ограничения поля объектов на М и поля струй отображе-
ния а. Эти структуры играют основную роль в теории подмно-
гообразий.

Известно, например, что для подмногообразий в однородных
пространствах G/Н и вообще в случае, когда структура в М,
вместе с ее продолжениями, описывается одной дифференци-
альной алгеброй с конечным числом образующих, с некоторого
момента структуры над N, описывающие отображение, стано-
вятся продолжениями одной фиксированной структуры.

Иначе говоря, геометрия подмногообразия N однородного
пространства сводится к изучению некоторой дифференциально-
геометрической структуры главного расслоения над N. Геомет-
ров интересует, в какой степени теория подмногообразий сво-
дится к рассмотрению дифференциально-геометрических струк-
тур не главных расслоений над N, а структур на самом Много-
образии N. Ответы на эти вопросы оказываются удовлетвори-
тельными, если индуцированные структуры достаточно регу- •
лярны, т. е. более или менее однотипны во всех точках.

С алгебраической точки зрения процесс изучения отображе-
ний методами дифференциального исчисления сводится к ин-
дуктивному построению по двум дифференциальным алгебрам,
моделирующим структуры в N и в М, третьей алгебры, модели?
рующей отображение.

Этот вопрос лучше рассмотреть на примерах, начиная с бо-
лее известных.

На евклидовом пространстве EQ=M размерности Q транзи- .
тивно действует группа G евклидовых движений с инвариант-
ными формами ю', ©к', .wKf + <£>fK = 0 и структурными уравне-
ниями

d/mf =(£>к А

— <о£ А	/, /С, L = 1, ... , Q.

При этом касательные пространства к f0 в каждой точке отож-
дествляются друг с другом и с векторным евклидовым прост-
ранством Veq- Формы смещения ©' являются координатами ка-
126
сательных векторов k EQ относительно семейства ортонормиро-
ванных реперов в Уд13.

Пусть N — р-мерное v многообразие, 0', 0л, ... ,	—

элементы дифференциальных алгебр, заданных в расслоениях
HhN. Отображение а задает отображение а*: TN-^TEQ урав-
нениями

ш =h‘kQk.	(3.1)

hk‘ задают струю отображения первого порядка. Продолжая,
получим уравнения

dhk+h!fik—hkdii—hkiQ1, hki—hik,	(3.2)

из которых видно, что {/i*7} в данном случае — тензор. Пред-
положим, что p<Q и отображение регулярное, т. е. ранг мат-
рицы {hk1} максимален (равен р).

Тогда в некотором подрасслоении касательных реперов к N
и Е® в точках a(W) матрица {hk1} приводится к диагональному
виду, что дает вместо (3.1), (3.2) уравнения

(о“ — 0, со'- 0!, со“ —0/—со* =hbfol, а=р + \......Q,

(3.3)
откуда

(fc)z — (Ok Л wfe, da>k =(oz'A (Ok +^k,i</(ot A (oq,

d(ob = (0bc/\(0a + Rb,kl(0k A (O',	(3.4)

где

flU = £ -hak<tft), i&lk = J (h^k-hbkhaqiY
a	ч

Дальнейшее дифференцирование (3.3) дает

^+^(o' + /i“(ol-/i?^-A?,z(o'. haikl ---_hailk.	(3.5)

На уравнения (3.3), (3.4), (3.5) естественно смотреть следую-
щим образом: формы со*, >(о'к в данном случае являются фор-
мами на подрасслоении ортонормированных касательных репе-
ров к многообразию N и определяют в нем, как мы знаем, ри-
манову структуру, индуцированную евклидовой (плоской рима-
новой) структурой объемлющего евклидова пространства.

Формы ш£, io*', (оаь являются формами главного расслоения
H(N, O(p)'X.O(Q—р), л) над N, слои которого — множества
касательных к N и нормальных (лежащих в нормальной плос-
кости к N) ортонормированных реперов в EQ.

Функции haik являются компонентами дифференциально-гео-
метрического объекта расслоения H(N, O(p)XO(Q—р), л).

Таким образом, над подмногообразием евклидова простран-
ства возникает главное расслоение й дифференциально-геомет-
рическая структура, определяющая свойства подмногообразия.

Все дальнейшие локальные свойства подмногообразия могут
быть получены дифференцированием уравнений (3.4), (3,5), от-
куда следует, что данная структура в расслоении описывает
всю дифференциальную геометрию подмногообразия.

Заметим, что кроме -стандартных структур — метрической
касательной и метрической нормальной — в описании свойств
подмногообразия участвует лишь поле {haik} второго основного
тензора подмногообразия, которое вместе с его продолжениями
и определяет свойства подмногообразия.

Итак, геометрия подмногообразия описывается дифферен-
циальной алгеброй с образующими <о‘, со‘\, и>аь, haik и ее про-
должениями, не вводящими новых элементов выше нулевой
степени.

§ 4. ЛОКАЛЬНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
СТРУКТУР. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ

Среди отображений дифференциально-геометрических струк-
тур особую роль играют автоморфизмы и локальные автомор-
физмы многообразий со структурами.

Наш подход к этой задаче, в соответствии со всем пред-
шествующим, будет основан на том, что диффеоморфизм мно-
гообразий порождает диффеоморфные морфизмы расслоений
HhM, расслоений Е(М, F, Dnh, р) дифференциально-геометриче-
ских объектов над этими многообразиями, а также произведе-
ний VxHhM при условии, что многообразие V тождественно
отображается на себя.

При этом должны отображаться друг на друга дифферен-
циальные формы и функции, канонически определенные в этих
многообразиях, а также реализации внешних дифференциаль-
ных алгебр, определенных на продолженных расслоениях. Об-
ратно, как мы знаем, в аналитическом случае сохранения диф-
ференциальных алгебр, моделирующих структуры, достаточно
для локальной изоморфности структур.

Следовательно, задача сводится к изучению изоморфизмов
инволютивных дифференциальных алгебр, реализующих струк-
туры.	/

Зная дифференциальную алгебру С, реализующую струк-
туру, мы должны взять второй экземпляр ее С и писать усло-
вия изоморфизма этих алгебр при условии, что базисные формы
переходят в базисные, а дополнительные подалгебры В, реали-
зуемые на V (если они имеются), отображаются на себя тож-
дественно. Задачу следует считать решенной, если полученные
уравнения задачи описываются инволютивными алгебрами.
В процессе исследования полезна канонизация, соответствую-
щая допустимым сужениям используемых расслоений касатель-
ных реперов.
Рассмотрим пример.

Пусть на двумерном многообразии заданы векторное X и
ковекторное поле и, находящиеся в общем положении, т. е.
(ю|Х)=^0. Структура моделируется формами ш‘, ©*' и функция-
ми a,, gfc*‘, aik на Н2М, удовлетворяющими условиям

d©‘ = /\ ©4, (d©' —©j Л ©ftz) Д (ок — О,
dai + акак ^aik<»k,

+ £j©£ —	+ I* (<Ц{ —Л (•>*) = О,

(dalft + aZfe©' + a1Z©') Д ©4 — ак (d©4—©4 Д Ч-) = °-

При самом общем подходе преобразования следует искать,
связывая элементы ©', ©1,	а{, удовлетворяющие точно та-

ким же уравнениям (4.1), отношениями

=Л1©4, det (hi) * 0, 1‘ =lkhi, а{	(4.2)

и получающимися из них при помощи дифференцирований.

Но, налагая условия на расслоения касательных реперов, мы
всегда можем потребовать, чтобы соответствие а между точка-
ми многообразий распространялось на соответствие а* между
касательными реперами. Уравнения (4.2) примут вид

©г =©', at =ае,	(4.3)

дифференцирование их дает

(©1 -©*) Л ©4 = О, - (&-<£) -- (U-5/)

ak ($ —©*) = (a,ft—а1к) ю4,	(4.4)

и после продолжения получаем

©£—©*=ft*z©z> hki~hik,

— £*/dz = (lz—£z).	ац—ац.

Можно подсчитать, что характеры системы (4.3), (4.4) зависят
от значений ам, a*z, Ы, it1, в общем случае к инволютивной
системе не приводят и требуют дальнейшего продолжения урав-
нений.

Задачу можно упростить, если с самого начала специализи-
ровать расслоение касательных реперов многообразия. А имен-
но, подрасслоение реперов (в|, ег) в Н1М можно выбрать так,
чтобы

X—ev (©|е2)=0, (®[е1)=а,
т. е.

^ = 1, £2 = 0, аг—а, а2 = 0.

9 Зак. S23	129
Из (4.1) будем иметь

®} — —5л®* > ®i = —51й*,

da—«и®*, ®'=a2ft®\

т. е., в подходящих обозначениях,

dco1 =6®* Л (ог, dco1 = со2 Д ®2,	(4.5)

da = Л1со1 + Д2со2.

Уравнениями автоморфизма будут

со1»®1, <о2=со2, а = а,	(4.6)

откуда

Ь~Ь, 41 — Л =АЯ, (®2—©а) Л ®* = 0.	(4.7)

Дифференцируя (4.5) и продолжая, получаем

db + 6®2 = b^1 + 62®2,

d4j + Д2®2 =Д1а®1 +Д^®2, dAj =Ди®г +Д12®2.

Орбиты группы автоморфизмов структуры должны принад-
лежать подмногообразиям базы, определяемым условиями

a=const, 4i=const, 42/6«const (при Ь¥=0).

Отсюда следует, что группа автоморфизмов может быть транзи-
тивной на М2 лишь при А |=0, Д2=0. Здесь возможны два слу-
чая:

1)	6=0. Структура описывается уравнениями

d®1=0, d®2=®2A®2, da =s0,

а автоморфизмы — уравнениями

ш1 «я®1, ю2 =®2, (®1—®2) Л ®а =0.

Эта система инволютивна и определяет преобразования с функ-
циональным произволом. На расслоении адаптированных к
структуре реперов с базисными формами ®’, ®2, ®22 можно вы-
брать локальные координаты так, что

©'«du1, ®2=e*du2, ®22=dz.

Поле X в этих координатах имеет коо{рдинаты (1, 0)', форма
® — компоненты (а, 0), автоморфизмы задаются формулами

й'—и’+г, й2=/(и2), z = «—Inf'(u2).

130
2)	6=#0. Репер можно канонизировать так, чтобы

6 = 1,	= bjti)1 + Ьла>2,-

det1 = шх Л ©*> da>3 =bla1 Л ш4.

Группа автоморфизмов такой структуры будет транзитивной
лишь при 6i=const и является двупараметрической некоммута-
тивной группой Ли.

Если автоморфизмы действуют на М2 интразитивным обра-
зом, то при 6 = 0, Лг=0, Ai#=0 группа автоморфизмов по-преж-
нему будет иметь функциональный произвол и имеет в подхо-
дящих координатах вид

й1=и1, U2=f(u2).

В других случаях автоморфизмы могут принадлежать одно-
параметрической группе.

Другая методика позволяет определить множество локаль-
ных инфинитезимальных автоморфизмов структуры. В его ос-
нове лежит тот известный факт, что всякое векторное поле X
на многообразии М определяет псевдогруппу локальных диф-
феоморфизмов на открытом множестве Мх, состоящем из то-
чек, в которых поле не равно нулю. Действительно, на Мх по-
ле определяет гладкое слоение размерности 1, с адаптирован-
ными картами, относительно каждой из которых векторы поля
X имеют компоненты ^#=0, £2=£3=... =£п=0.

Переход от этих локальных координат й1, й2,..., йп к новым

и‘=“‘ о о

приводит к адаптированной карте, в которой 6*“1, ^2=...=^п=
= 0.

В таких 'координатах линия поля X, проходящая через точку
(и0‘). задается уравнениями «‘ — «оЧЧ u2=Uo2,..., ип = иоп,
а преобразования псевдогруппы по определению переводят вся-
кую область данной координатной окрестности в другую по
формулам

Р{и’....«л}-*-фХ,д« (Р) {и1 + Д/, и2,..., и”}

(если это преобразование не выводит из координатной окрест-
ности) .

На пересечении двух аналогичным образом адаптированных
к полю карт диффеоморфизмы с одинаковым Д# действуют сог-
ласованно, и в целом однозначно порождается псевдогруппа
на Мх.

9*

131
Определение. Производной Ли Lx<a дифференциальной
формы со на многообразии М относительно векторного поля X
называется форма, в каждой точке Р^МХ равная

(ы —Ф’ “)

lim------——

дг->0 Л/
и равная нулю в остальных точках.

Предложение. Имеет место равенство

Lxa=d(ti)\X) + (d(1)\X),	(4.8)

где (Q|X) означает форму, полученную из Q подстановкой в
нее векторного поля X в качестве первого аргумента.

Докажем формулу для линейных дифференциальных форм.
Для других случаев она доказывается аналогично.

Пусть в окрестности точки Р^.МХ в карте, адаптированной
к полю X, форма со имеет компоненты а,(и1,...,и”). Тогда фх.дг
имеет компоненты а,-(а1—А/, а2, ..., a”), a Lxm — компоненты
дафди1. С другой стороны, (со |Х)=аь

(да- а \	da,. \

—------—~\du1/\duh + -4--------Mdu* Ada*,

dul ди* )	\ ди* du* J

d (со |X) =-.-^21- da1 +	da'*',

dul	du*

(dwrX)=f-^-— —t-'lda*, £, Л—2.......n,

\ du dJ* J

откуда и следует (4.8).

Так как во всяком открытом множестве, на котором X тож-
дественно равно нулю, формула (4.8) также выполняется, то
для достаточно гладких полей X и форм со она выполняется
всюду.

Заметим также, что для форм нулевой степени, т. е. функ-
ций f на многообразии, имеется равенство

Lxf^Xf.

Наша задача — перенести понятие производной Ли по век-
торному полю X на любые дифференциально-геометрические
структуры на многообразии. Это построение содержит два эта-
па.

Во-первых, так как всякое расслоение дифференциально-гео-
метрических объектов однозначно определено над многообра-
зием, всякий локальный диффеоморфизм U-*-V, U, VcAl, одно-
значно определяет локальный диффеоморфизм p-lU->p~lV для
произвольного расслоения дифференциально-геометрических
объектов Е(М, F, Dnh, р). Отсюда очевидным образом следует,
132
что всякое достаточно гладкое векторное поле X однозначно
продолжается до векторного поля X на Е, так что локальные
диффеоморфизмы определяемых ими псевдогрупп соответствуют
друг другу.

Во-вторых, пусть в общем расслоении Е(М, р) заданы век-
торное поле Y и сечение о. Тогда в каждой точке Sea в TsE
определено разложение Уз= Уз", где Ysh^Tso, YSV^TVE.

Тождественное обращение в нуль векторов необходимо
и достаточно для того, чтобы локальные диффеоморфизмы, оп-
ределенные полем У и переводящие точку Sea в точку Siea,
переводили и соседние точки сечения а в точки того же сече-
ния.

Для расслоения дифференциально-геометрических объектов
Е(М, F, Dnh, р) совокупность всех вертикальных касательных
векторов во всех его точках будет также расслоением диффе-
ренциально-геометрических объектов Е'(М, TF, Dnh, р').

Из вышеизложенного следует, каким образом всякое век-
торное поле X на М и всякая дифференциально-геометрическая
структура ор типа F определяют дифференциально-геометриче-
скую структуру Lxop типа TF — производную Ли структуры
Of по полю X.

Очевидно, инфинитезимальными симметриями структуры Ор
следует считать те и только те векторные поля X на М, для
которых LrOF=0.

Множество векторных полей, являющихся инфинитезималь-
ными симметриями данной структуры ор, состоит из решений
системы линейных дифференциальных уравнений Lxof=0 поряд-
ка h, т. е. подрасслоения 1>арс: JhTM. является типич-
ным примером дифференциально-геометрической структуры на
расслоении, сводящейся в определенном смысле к структуре на
базе расслоения, т. е. к of на М.

Опишем теперь аналитический метод определения продол-
жений векторного поля X на М в расслоения дифференциаль-
но-геометрических объектов Е(М, F, Dnh, р) и производных Ли
дифференциально-геометрических структур of.

Прежде всего, определим продолжения поля X в главные
расслоения HhM. Для этого сравним последовательность струк-
турных уравнений (IV. 6.6), (IV. 6.13) для форм

<о‘, а1к, ... ,aikl...kh	(4.9)

последовательности алгебр Апк с формулами последовательно-
сти продолжений векторного поля X на М, имеющего компо-
ненты относительно базиса ы‘. Как мы знаем (гл. IV, § 5),
исходные уравнения имеют вид

Продолжения дают уравнения

<«S+W-W+t4=Si“'.
<	%н +	~ W + №pl + ^kp-^l-^klp

(4.10)

<	С.. .*„ + 9*,.. .kh = &.. .^^+1й)*лн,
• ••••••••.........................................« » '

где 0*,...kh—линейны как относительно ... ,&..**» так и отно-
сительно <»*,...,<0*,...^.

С другой стороны, продолжения поля X в расслоения HhM,
h — l,2, ... , имеют компоненты fl, !«,...,*А, ... относи-
тельно базиса <4, ..., ®L т. е.

Л=1.2........................ (4.11)

Так как формы <4.....*А инвариантно определены на пос-

ледовательности расслоений HhM, для продолженного поля X долж-
ны ВЫПОЛНЯТЬСЯ условия	=0, h — \, 2, ... . Используя

последовательно формулу (4.8) и формулы (IV.6.6), (IV.6.13) и
(4.10), однозначно приходим к равенствам fl1...*A=(— l)*”1^,...^.

Действительно,

L^‘=d (со‘ |Х) + (Ао‘ |Х) =dg'	— В*(4 =0,

откуда

<	4 =d (a'k | X) + (<&41X) =

— d-lk +	&4 + iiW —^<»m =0,	(4.12)

откуда

^kl — ^kl
и т. д.

В многообразия VxHhM векторные поля на М продолжа-
ются в множители HhM, как выше, а в множитель V — триви-
ально.

Если в V реализована алгебра В с образующими. ха, dxa, то
для продолженного в VxAfhAf поля будет

4...*JX) »(-1)^и...Ч, (d^|X) =0.

Если, как всегда, базисные формы в Е(М, F, Dah, р)
определяются как базис инвариантного отображения VxHhM-+
•+Е(М, F, Dnh, р), то

О*'® 4aK(*) <о“+Л/(х) dr®,
где через ©а для краткости обозначены формы ©£, .

©£ к . Всякий вектор Хо из T(VxHhM) с координатами
?]“= (ща|Х0), т)а= (dxa|X0), т]‘= (<ог|Хо) проектируется в ТЕ(М,
F, Dnh,p) в вектор с координатами т)х=Лах(х)т)в4-Лвх(х)т)в,
Так как продолжение X векторного поля X на М в Е(М, F, Dnh,
р) есть проекция продолжения X в VxHhM, компонентами
продолженного поля X относительно базиса 0‘, ©' будут £х=
=Лвх(х)£“, где g“= ±ga из формул (4.12).

Теперь можно выписать и компоненты производной Ли

Если структура <jf задается уравнениями 0x = /iix©‘, то ком-
понентами LxQf будут, очевидно, функции

С помощью аналогичных соображений находятся компонен-
ты продолженных полей и производных Ли при использовании
Сокращенных подрасслоений реперов и сокращенных дифферен-
циальных алгебр.

В качестве примера рассмотрим ту же структуру на М2, оп-
ределенную уравнениями

d©1 =6©1A©2, d©a =©|Лаа,

da + Лаиа,

d©| = <i)a2/\<i)a, ab + б©| — bjO)1 + Ьлаа,	(4.13)

dAr =Л11©1 + Ли(оа,

Л4, 4- Л,©2 — Л,!©14- Лааша.

Пусть векторное поле X задается относительно данного рас-
слоения реперов компонентами g1, £2, а его поднятие в рас-
слоение реперов имеет еще компоненту £22= (Х|а22).

Производной Ли функции а будет

Lxa=A^+A^.

Далее,

Lx©1 = d (и1 [ X) 4- (da11X) = dg1 4- b^W —^©\

Lx©a=d^a-^M + ^a.

Дифференцируя первое и второе из уравнений

А?+л^=о,

dp+btW-btW^Q,	(4.14)

dsa-^44-gi©a=o,
получим

(А^-м^+л^о,

Г61+1Ч-«8=О,

откуда сразу следует, что при Л2#=0 либо Ь¥=0 структура не мо-
жет допускать более чем двумерную алгебру Ли инфинитези-
мальных автоморфизмов. •

Наоборот, при Л2 = 0, Ь = 0 система (4.13), (4.14) принимает
вид

dco1 ~ 0, dco2 — со|Л<о2, da -= Л^1,

dco2 =(о22Дсо2, dAx —Ли®1,

Л^=0, с^=0, №-¥(£ + ^ = 0

и имеет инволютивное продолжение и при А] = 0, и при Лi=#0.

§ 5.	ПРОЕКЦИИ СТРУКТУР С РАССЛОЕННОЙ БАЗОЙ И
СТРУКТУРЫ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ В СЛОЯХ

Дифференциально-геометрический объект в точке Р базы
расслоенного многообразия является дифференциально-геомет-
рическим объектом и в каждой точке S слоя р-1(Р). Аналогич-
но, дифференциально-геометрический объект слоя р~г{Р) в
точке S является и дифференциально-геометрическим объектом
всего расслоения.

Обратно, если задан дифференциально-геометрический
объект в точке 5 расслоения, то среди объектов, получаемых из
него теми или иными стандартными операциями (например, для
объектов тензорного типа, — операциями тензорной алгебры,
включая решение тензорных уравнений), можно выделить как
объекты, определяемые соответствующими объектами на базе,
так и объекты, являющиеся в то же время дифференци-
ально-геометрическими объектами слоя. Так как объединение
конечного числа независимых дифференциально-геометрических
объектов само является дифференциально-геометрическим объ-
ектом, можно сказать, что поле о дифференциально-геометриче-
ского объекта в расслоении определяет гладкое семейство р(о)
дифференциально-геометрических объектов на базе и поля диф-
ференциально-геометрических объектов в слоях расслоения (ин-
дуцированные поля).

Рассмотренные выше классы дифференциально-геометриче-
ских структур в расслоениях показывают, что наиболее инте-
ресными являются структуры, у которых семейство р(о) в
каждой точке базы есть слой некоторого расслоения дифферен-
циально-геометрических объектов на базе, в широком или
136
узком смысле. Последнее означает, что на базе задана диффе-
ренциально-геометрическая структура £ типа F, а р(ст) |Р,
Р^М, представляет собой многообразие дифференциально-гео-
метрических объектов, находящихся с объектом структуры
в заданном стандартном отношении.

Конечно, наиболее простым и интересным является случай,
когда р(ст) само является полем дифференциально-геометриче-
ских объектов на базе, т. е. проекции объектов поля ст на базу
вдоль каждого слоя р~{(Р ) совпадают между собой.

Заметим теперь, что проекцию р(ст) поля дифференциально-
геометрических объектов ст еще нельзя рассматривать как про-
екцию дифференциально-геометрической структуры ст на рас-
слоении. Ведь наряду с исходным полем, дифференциально-
геометрическая структура определяет последовательность про-
долженных полей o'* (струй сечения, задающего данное поле).
Проекции ph(ah) продолженных полей могут иметь большую
размерность, чем р(ст). Например, для того, чтобы утверждать,
что структура ст порождает дифференциально-геометрическую
структуру р(ст) на базе, надо знать, что проекция o'* всегда
будет совпадать с продолжением (р(ст))й структуры-проекции.
Критерий для этого можно получить с помощью понятия инво-
лютивности — нужно, чтобы инволютивное продолжение алгеб-
ры, моделирующей о, одновременно давало инволютивное про-
должение алгебры, моделирующей р(о).

В дальнейших частях этой главы и в гл. VIII рассматрива-
ются примеры как проекций р(ст) структур с расслоенной ба-
зой, так и структуры, индуцированные в слоях.

§ 6.	СТРУКТУРЫ с эквивалентными слоями.
СВЯЗНОСТИ В РАССЛОЕНИЯХ

Соотношения между дифференциально-геометрической
структурой в расслоении и геометрией в слоях не менее слож-
ны. Мы видели, что поле ст индуцирует поле дифференциально-
геометрического объекта iP(o) в каждом слое р~1(Р), Р^М.
Но поле каждого продолженного объекта стй индуцирует в
слоях все более сложные структуры ip (о1*), т. е- в общем слу-
чае ip(oft) не может быть получено продолжением в слое струк-
туры iP (ст'*-1).

Определение. Дифференциально-геометрическая струк-
тура ст в расслоении называется структурой с индуцированными
структурами в слоях, если с некоторого номера h структуры
i(CTft+1) определяются продолжением структуры i(oft).

Среди структур, обладающих этим свойством, наиболее хо-
рошо известны структуры с эквивалентными слоями, т. е. та-
кие, слои которых можно диффеоморфно отобразить друг на
друга и на типовой слой F с соответствием индуцированных
структур. В силу гладкости поля индуцированных структур на
всем расслоении мы имеем дело с локально тривиальным рас-
слоением, обладающим F-атласом.

Если группа всех автоморфизмов данной структуры в типо-
вом слое есть группа Ли G, мы имеем дело с расслоением
Е(М, F, G, р) со структурной группой.

Возникает вопрос: какие структуры в расслоении Е(М, F,
G, р) не индуцируют в слоях никаких новых полей дифферен-
циально-геометрических объектов, отличных от имеющихся в
типовом слое F. Примерами таких структур являются расслое-
ния дифференциально-геометрических объектов в многообра-
зиях и в расслоениях, а также структуры, определяемые зада-
нием произвольной дифференциально-геометрической структуры
на базе М расслоения Е(М, F, G, р).

Много приложений находят связности в расслоениях со
структурными группами.

Прежде всего, рассмотрим понятие связности в главном рас-
слоении Н(М, G, л). В гл. III мы ввели понятие универсальной
карты расслоения и стандартных струй расслоения различных
порядков. При этом множество всех стандартных струй поряд-
ка h над точкой базы Р имеет строение группы Dha,n — диффе-
ренциальной группы порядка h главного расслоения с группой
G и n-мерной базой. Так как универсальная карта определяет-
ся заданием G-карты расслоения и координатной карты базы,
стандартная струя порядка h определяется заданием касатель-
ного репера порядка h на базе и другим объектом — классом
эквивалентности G-карт, имеющих иад точкой РеМ касание
порядка h. Этот объект называется струей G-карт, или объек-
том связности порядка h, и определяется заданием во всех
точках слоя л-1(Р) струй порядка h сечений расслоения Н(М,
G, л), являющихся прообразами слоев (axG)cr(GxI/),
VaeG при отображении Ф:n~l(U)-+GxU, задающем некото-
рую G-карту. Здесь U — открытое множество в М, P^U.
Б частном случае /i=l объект связности представляет собой
совокупность специально согласованных между собой горизон-
тальных плоскостей касательных пространств в точках слоя
л'*(Р). Очевидно, группа Dha,n транзитивно действует на мно-
жестве Ch объектов связности порядка h над точкой Р, причем
стационарная группа является прямым произведением группы
G и группы Dnh. Таким образом, множество всех объектов связ-
ности на всем расслоении является расслоением дифференци-
ально-геометрических объектов Е(М, Dha.n, Ch, ph), ассоцииро-
ванным с расслоением Hh(M, Dha,n, nh).

Определение. Связностью порядка h в главном расслое-
нии Н(М, G, л) называется дифференциально-геометрическая
-структура типа Ch в расслоении п(м, G, л), т. е. гладкое сече-
ниерасслоения Е(М, DhG.n, Ch, б*).

По определению, всякой G-карте в главном расслоении
Н(М, G, л) соответствует F-карта в ассоциированном расслое-
, нии Е(М, F, G, р). В силу гладкости действия группы G на F
138
порядок касания G-карт в Н(М, G, л) и соответствующих
г-карт в Е(М, F, G, р) одинаковый. Следовательно, можно оп-
ределить объекты связности порядка Л в Е(М, F, G, р) (и рас-
слоение таких объектов), находящиеся, при точном действии G
в F, во взаимно-однозначном соответствии с объектами связно-
сти порядка Л в главном расслоении. Тем самым всякая связ-
ность порядка h в главном расслоении индуцирует связность
того же порядка в ассоциированных расслоениях.

Заметим, что связность, будучи дифференциально-геометри-
ческой структурой в расслоении, в то же время определяет
дифференциально-геометрическую структуру в многообразиях
Н(М, G, л) и Е(М, F, G, р) — специального типа поля струй
сечений этих расслоений. Эти поля и их продолжения не инду-
цируют в слоях расслоения новых полей объектов.

Перейдем к аналитическому аппарату теории связностей.

Вначале рассмотрим связности первого порядка, которые в
основном и используются в дифференциальной геометрии и ее
приложениях. Мы знаем, что последовательность расслоений

Н(М, G, л)+-Н'(М, D'G,nt	D2o,n, л2)<~...	(6.1)

моделируется последовательностью дифференциальных алгебр
с базисными элементами

<OZ, (йа (ifi (£>“, . . ., Ш* . , (О?	. .

’	’ Р i’ '	Ч..Д’

симметричными по нижним индексам н удовлетворяющими
структурным уравнениям

ска1 = Д о/, dxuP = -
dco* = и* Део* + (О* А©',

_1_

2

cj^co1* Дсоь + со“Ла>',

(6.2)

Ato* + <о£Дсо* + <o£ Део*,

При этом co', ша определены на Нг(М, DxG,n, л1) и являются
координатами относительно стандартных реперов в ТН(М, G, л);

©г® определены на Нг(М, D2o,n, л2) и являются вместе
с со’, со® координатами в ТН1{М, D'G.n, л1) относительно их
стандартных реперов и т. д.

Структурные уравнения группы О’с.п имеют вид

Ло® = —с^о/Дсо6, dco' = Д coz,	J

(6.3)

cfco® = —5" ^Дсо” + со» Део*,
л»

откуда видно, что система уравнений ш(а=0 вполне интегрируй
ема и определяет подгруппу g в DlG,n, изоморфную GXGL(n) =
~GXDn\
Вспоминая рассмотренное в гл. IV строение стандартных
касательных реперов в Н(М, G, л), видим, что уравнения ыдп = 0
фиксируют именно объект связности первого порядка над точ-
кой. Вполне интегрируемая система форм со*, ю<а — это глав-
ные формы на расслоении Е(М, С1, D'a,n, р1) объектов связнос-
ти первого порядка в главном расслоении Н\М, G, л), которые
являются дифференциально-геометрическими объектами рас-
слоения Hl(M, D'a.n, л1). Очевидно, связность Г в Н(М, G, л)
как сечение расслоения Е(М, С1, £>‘0,п, р1) определяется урав-
нениями (i)ia=pif;a(i)k. Подставляя это в (6.2), будем иметь
уравнения

dbA‘ —	d(i>a	c^b<od/\ьль +	w',

(6.4)

Й -у <Р?.—PS.>.

дифференцирование которых дает уравнения

(*Ц—ы‘Л®£)Л®* = 0,

(6.5}

(dR?k 4- Ralk^ + R^ + ^4^)Л^ - 0.

Эти уравнения вместе с (6.4) определяют дифференциальную
алгебру Л (Г) с образующими элементами Rika нулевой степени,
<£>‘, <£>а, (Hk', dRika — первой степени и dm? — второй степени,
реализованную на расслоении Н2(М, Dn2, л2)ХН(М, G, л) над
Л4, слоем которой является группа Dn2XG, а базой — многооб-
разие М.

Из (6.4) видно, что система уравнений соа = 0 однозначно
определена на расслоении Н(М, G, л). С другой стороны, соот-
ветствующее распределение на Н(М, G, л) и есть связность Г.
Поэтому свойства связности полностью моделируются алгеб-
рой Д(Г) и ее продолжениями. Продолжение по базису дает
уравнения

dalk

dRdk + RbikCd№d + Rlk^i + R^i^k =

(6.6)
^Rfkli + Rlik — 0, Riki =Rk:l,

AwLA^ = o, A/?“wA®'=0,

определяющие внешнюю дифференциальную алгебру Д'(Г) с
образующими ®', о0, со*’, и*/', Rkia, Raktp, ARaiki, реализу-
ющуюся на расслоении №*(Л4, Dn3, л3) ХмН(Л4, G, л).
Уравнения (6.6) показывают, что Rika являются компонента-
ми дифференциально-геометрического объекта в расслоении
Н1МхмН(М, G, л) — компонентами тензорного поля R(Г)
типа A2(V")*®G, называемого тензором кривизны связности Г.

Из уравнений (6.4) видно, что в каждой точке расслоения
Н (М, G, п) тензор кривизны совпадает с объектом неголоном-
ности распределения юа=0, заданного связностью.

Обращение тензора кривизны в нуль в некоторой области
UaM характеризует поля Г объектов связности, касательных
к заданной G-карте n^U-^-UXG, т. е. тривиализации расслое-
ния Н (М, G, л) над областью U.

Одновременно над U тривиализуются все расслоения диф-
ференциально-геометрических объектов расслоения Н(М, G, л).

Случай, когда группа G является коммутативной, следует
выделить отдельно. Так как в этом случае Саьа=0, формулы
(6.4), (6.5), (6.6) показывают, что тензор кривизны является
полем дифференциально-геометрического объекта на базисном
многообразии М, а именно линейным семейством замкнутых
внешних форм caRikaa‘/\(>ik, са=const. Так что мы имеем дело
со случаем однозначного расширения структуры, состоящей
из структуры в слоях и структуры на базе расслоенного мно-
гообразия.

Аналогично строится аппарат для изучения связностей выс-
ших порядков. Объект связности порядка h фиксируется урав-
нениями

= со?. =0, ..., а»? к =0	(6.7)

относительно базисных форм алгебры А л , выделяющими

DG,n

подгруппу стационарности этого объекта. Таким образом, на
расслоении Е(М, Ch, Dh0,n, р) объектов связности порядка h
главными формами будут (6.7) и со', а связность этого порядка
в расслоении определяется уравнениями

.....

Из коэффициентов р строятся объекты тензорного типа,
характеризующие свойства связности.

§ 7.	g-СТРУКТУРЫ

g-структуры представляют собой класс дифференциально-
геометрических структур на многообразиях. Изучение этого
класса допускает существенные упрощения и детализацию по
сравнению с общим случаем.

Пусть g-замкнутая подгруппа Ли группы GL(n) =Dnl- Тог-
да, как известно, пространство GL (n)/g левых смежных клас-
сов в группе GL(n) по подгруппе g несет структуру гладкого
многообразия F, на котором транзитивно действует группа
GL(n), а стационарная подгруппа каждой точки сопряжена
группе g. Обратно, всякое многообразие, на котором транзитив-
но действует группа Ли, однозначно характеризуется стацио-
нарной подгруппой одной из своих точек. Тем самым определе-
но гладкое расслоение Е(М, F, GL(n), р) — расслоение диф-
ференциально-геометрических объектов типа F, ассоциирован-
ное с главным расслоением Н'М.

Уточним простейшее аналитическое описание этого расслое-
ния и соответствующих дифференциально-геометрических
структур (g-структур ag).

Пусть А,—„— дифференциальная алгебра левоинвариант-
ОД(п)

ных форм на группе GL(n) со стандартным базисом о?, i, ,k =
= 1, 2, .... п (см. гл. IV, § 4). Пусть подалгебра Ли gcGL(n)
выделяется уравнениями вида

ш?=До/0°,	‘	(7.1)

где 4aift=const, 0“ — некоторые левоинвариантные формы на
GL(n), независимые и базисные на g. Пусть исключение 9“ из
(7.1) дает уравнения

соЕ=В*Е‘со(* = 0,	(7.2)

BfeEf=const. Левоинвариантное распределение на группе GL(n),
определяемое уравнениями (7.2), задает слоение, слоями кото-
рого являются группа g и ее левые смежные классы. Так как
g — замкнутая подгруппа, это слоение является расслоением
с базой F.

В согласии с общим методом построения базисных форм над
ассоциированным расслоением, отображение GL(n) на F, оп-
ределяющее действие группы, задает отображение Н1М на
Е(М, F, GL(n), р) как на базу расслоения.

На Н2М определены формы со1, со*1’, а следовательно, и фор-
мы ы5, 0“, связанные с ы/? уравнениями (7.1), (7.2). Над слоя*
ми расслоения НХМ с базой Е(М, F, GL(n), р) формы о)1, со1
будут равны нулю, и выполняются уравнения со‘=0 и (7.1).

g-структуру <jg обычно отождествляют с главным подрассло-
ением HgMc.HxM, HgM=Pg~x(ag). Здесь pg — проекция Н1М
на базу Е(М, F, GL(n), р). На (пг1)~1(Н8М) аНгМ будут вы-
полняться уравнения

<ве = <7(еи‘, <в?=Лай»0“+риг<вг,

что в силу б/й)' = и*'Л<в* равносильно уравнениям

Ло' =	0“Ag? + £ Я/{*(о'Л<о‘.	(7.3)

l<k

Здесь яг1, как обычно, проекция Н2М на НХМ. (л21)1(НвМ)
представляет собой некоторое расслоение касательных реперов
142
к НеМ, для которых а‘, 0“ являются базисными координатными
формами.

Уравнения (7.3) можно рассматривать как задающие моно-
морфизм F-модуля iXJj с образующими da>‘ и соотношениями

Bkiidwk/\wi = 0	(7.4)

в свободный F-модуль с образующими 0а, Hik‘ = —Н^, и одно-
временно задающие гомоморфизм внешней дифференциальной
алгебры с образующими ы‘, duL и соотношениями (7.4)
в F-свободную внешнюю алгебру с образующими ы1, 0“, Н1к‘.
При этом формы ыг, входящие в (7.4), Имеют вид

wi= (—IJ'-'w'A- •	• •A«n-

Как всякий модуль с образующими выше первой степени,
[Д^в] инволютивен в нулевой степени. Следовательно, сущест-
вуют последовательности натуральных продолжений модуля
[Да*], порождающие последовательности дифференциальных
продолжений дифференциальных алгебр

Да ч- Да ч— Да <- . . . ч— Да ч-. . .,
i i &	 е

инволютивных в нулевой степени и реализующихся на после-
довательностях подрасслоений Н1^'М о: 77м '7И, h - 0, 1,2, ....

Рассмотрим подробнее первый шаг продолжений. Алгебра
образуется элементами w‘, 0“, 77/ft‘ =—77*/’, d0“, dHki‘,
связанными соотношениями

AU Д6аАо? + £ ДЯйДш'Дш* -О,	(7.5)

полученными дифференцированием (7.3). Здесь A0“ = d0“+...,
A77/*‘=d77/*‘+ ... ; невыписанные слагаемые целым рациональ-
ным образом выражаются через 0“, 77/*‘, <й‘. Алгебра Д^й
имеет строение Cgl/\A(Ng'), где Cg' — свободная внешняя
алгебра с образующими 0“, 77/*’, a Ng' есть F-модуль с образу-
ющими Д0“, AHik1 и соотношениями (7.5).

Сокращения этого продолжения в первую очередь могут
быть получены за счет того, что 0“, Hik‘ допускают преобразо-
вания

0“г*0а+/1;аШг,	(7.6)

Мы можем потребовать, чтобы 77/*’ удовлетворяли некоторым
наперед заданным линейным соотношениям с постоянными ко-
эффициентами йри условии, что этих соотношений можно дос-
тигнуть за счет преобразований (7.6), отправляясь от любого

143
начального значения (/Л?) о- Результат сокращения можно
представить в виде

В11кк=—В'-мъ. — известные постоянные, у’’ — независимые пара-
метры. Тогда (7.5), (7.3) примут вид

d®' =Д^0“Л®* +В»к^о,Л<»*,

(7.7)

Alak Д0“Дш4 + в‘*х ДгЛДсо'Дй? = 0.

Продолжение этой сокращенной алгебры с образующими
<о‘, 0е, у\ Д0“, Дг/* определяется формулами

Д0“6/“Дсо' + /“/й>рД и', АуК = <рх + Ур(йр,

(7.8)

-<4a[fe^Zj 'I' ВиьщУр] —О.

Разрешая уравнения для ОД ф\ получим

Д0“ = (D$X6 + Е$(р<₽) Д со' + /X Д со',

д^=г|х5 + с/>.

Здесь Dua, Evia, Zi — константы, %* — независимые формы,
через которые выражаются ср* в силу (7.8), а р’ задают общее
решение алгебраической системы

Лвк£0«“-Ла/'0Д=О.

Среди всевозможных сокращений этого типа существуют
такие, которые налагают на Hik1 максимальное число зависи-
мостей. Этот случай характеризуется тем, что уравнения (7.8),
третьей строки, имеют следствием ср*=О и, далее, %*=0. Будем
алгебры Дав> полученные в результате таких продолжений, на-
зывать минимальными. Легко убедиться, что все они изоморф-
ны, отличаясь лишь заменой образующих элементов р’, ур\ tpia.
Формулы (7.8) в этом случае дают

Дрх = dyK + Т^у^ЬЛ — у pdf, 7^а = const,

т. е. уК являются компонентами поля объекта тензорного типа
на М — первого структурного тензора ^-структуры.

Для минимальных алгебр A$g существенным явлйется воп-
рос об инволютивности в первой степени модуля, определяемого
соотношениями

Xa?A0aAcofe = O	(7.9)
на образующие Д0“. Если инволютивность имеет место, замена

Р(₽->р<₽+Л?ш₽,	+

приводит tpf-, с учетом уравнений (7.8), к нулю, и все новые
элементы нулевой степени алгебры Aeg2 — это ур\ Для алгеб-
ры AOg3 роль соотношений (7.9) играют уравнения

£фг“Др’Д(йг = 0,	(7.10)

которые, как продолжение (7.9), также будут инволютивными.
Продолжая дальше, видим, что при последовательных мини-
мальных продолжениях все элементы нулевой степени выража-
ются через у*- и величины, возникающие при их последователь-
ном дифференцировании. Если (7.9) — не инволютивный в пер-
вой степени модуль, в минимальную алгебру A^g могут вхо-
дить элементы tPia нулевой степени, не выражающиеся через
у\ ур-. Но элементы первой степени минимальной алгебры
•^g будут вводиться по закону продолжения модуля, опреде-
ляемого соотношениями (7.10), и аналогично при последующих
продолжениях. После конечного числа продолжений последо-
вательность (7.9), (7.10) приведет к модулю, инволютивному
в первой степени. Начиная с этого момента все новые элементы
нулевой степени алгебр A%g будут возникать лишь в правых
частях уравнений, выражающих дифференциалы ранее введен-
ных элементов нулевой степени через ранее введенные элемен-
ты первой степени.

В приложениях g-структуры обычно связываются с более
конкретными классами дифференциально-геометрических струк-
тур. А именно, g-структуры естественно присоединяются к диф-
ференциально-геометрическим структурам первого порядка,
объекты которых во всех точках эквивалентны друг другу в
силу линейных отображений касательных пространств в различ-
ных точках многообразия. Например, риманово пространство
задается полем положительно определенных симметричных тен-
зоров типа (0, 2), которые все эквивалентны между собой и
допускают подгруппу инвариантности O(n)c:GL(n). Поэтому
с римановым пространством ассоциирована О (п) -структура,
реализуемая как подрасслоение ортонормированных реперов
относительно заданных метрик в пространствах ТРМ, Р^-М.
Пользуясь именно этой g-структурой, мы пришли к описанию
римановой геометрии структурными уравнениями (VI. 5.13).
Пользуясь не ортонормированными реперами, а подрасслоением
других реперов, относительно которых метрический тензор име-
ет фиксированные компоненты (&&)о, мы пришли бы к струк-
турным уравнениям, задающим ту же дифференциальную ал-
гебру, но с помощью других, образующих элементов.

Аналогично, распределения на многообразии мы рассматри-
вали с помощью подраСслоения касательных реперов, часть
векторов которых образует базис выделенного подпространства
в TqM. Это подрасслоение связано с группой gczGL(/i), сохра-
няющей подпространство и переводящей каждый репер под-
расслоения в любой другой репер этого семейства в дайной
точке. Уравнения (VJ.2.3), которыми мы пользовались при изу-
чении распределений, связаны с этой ^-структурой.

Геометрический смысл первого структурного тензора
g-структуры выясняется, в частности, при поиске условий, ха-
рактеризующих плоские, или интегрируемые, g-структуры.

Всякая подгруппа gczGL(n) определяет в группе САп аф-
финных преобразований аффинного пространства Ап подгруппу
порожденную всеми параллельными переносами и преобра-
зованиями, фиксирующими точку и принадлежащими ge
gGL(/i). Левоинвариантные формы со‘, со? группы всех аффин-
ных преобразований удовлетворяют структурным уравнениям

da1 =<BfeAw*, da»*

Уравнения <в*‘ = 0 выделяют параллельные переносы, а <в‘=0 —
стационарную подгруппу некоторой точки. Поэтому подгруппа
g имеет структурные уравнения

</ш'=Л^6“А©‘, d6“-c^6₽A6v,	(7-11>

причем сРт“ однозначно определяются из уравнений

AalAfik —AfllAak = AykCafl.	(7.12}

Так как касательные реперы к аффинному пространству
совпадают с обычными аффинными реперами, то, действуя
всеми элементами подгруппы § на один аффинный репер, по-
лучаем в аффинном пространстве g-структуру, называемую
плоской, или интегрируемой. Соответствующее подрасслоенне
реперов обозначим через Н-^.

Две g-структуры oi>g, O2,g на многообразиях Afi и М2 назы-
ваются эквивалентными,. если существует диффеоморфизм
<р: Af2->Afi, в силу которого подрасслоение HgM2, определяемое
02,g, отобразится на подрасслоенне HgMlt определяемое oi,g.

Пусть g-структура ог характеризуется дифференциальными
алгебрами Aag, для которых выполнены уравнения (7.7), (7.8)
и которые реализованы в подрасслоеииях

/7а МС2 Н2М, Н^МсНШ, ....
ё	6

Если эта структура эквивалентна плоской, соответствие
между и Н~ равносильно выполнению уравнений

Д^(0“-О“)Аю*-В^ю'А<о* = О.	(7.13>
В силу линейной независимости со‘ и минимальности про-
должения A„g отсюда следует ук=0, т. е. необходимым усло-
вием интегрируемости g-структуры является обращение в нуль
первого структурного тензора. Если модуль (7.9) инволютивен
в первой степени, то распределение, заданное уравнениями
(7.13) и у*- — 0, на многообразии H~xHOg будет инволютивным
в нулевой степени, т. е. в аналитическом случае будет иметь
n-мерные решения, на которых со' независимы. В этом случае
структура Gg будет локально интегрируемой, т. е. у каждой
точки РеМ найдется окрестность, на которой og эквивалентна
плоской структуре в области аффинного пространства.

Если инволютивность (7.9) не имеет места, минимальная
продолженная алгебра может при yk=-Q иметь элементы
ненулевой степени WA, через которые линейно выражаются ко-
эффициенты tPia. Дифференцирование уравнений

да‘=А‘акЪа/\шк,

с учетом (7.12), дает уравнения

+ £“(Р<₽А<о' 4- C“lAWAu>p/\b>1.	(7.14)

Продолжение уравнений (7.13) при ук=0 дает

Qa-Qa=Eavlh^,	(7.15)

где Лф — произвольные параметры.

Дифференцирование (7.14), при условии минимальности
। продолжения, показывает, что WA являются компонентами
поля объекта тензорного типа — второго структурного тензора
g-структуры. Дифференцирование (7.15), с учетом (7.11),
(7.14) и минимальности продолжения, приводит к условиям
WA = 0, т. е. у плоских g-структур второй структурный тензор
также равен нулю.

Повторение аналогичных построений для следующих про-
должений возможно до момента, когда очередное продолжение
модуля (7.11) станет инволютивным в первой степени. На
этом шаге мы получим не только необходимые, но и достаточ-
ные признаки интегрируемых g-структур (в аналитическом
случае), в виде равенства нулю последовательности структур-
ных тензоров.

g-структуры, у которых равен нулю первый структурный
тензор, называются почти плоскими-, g-структуры, у которых
равны нулю первый и второй структурные тензоры, — почти
плоскими второго порядка и т. д.

Рассмотрим вновь известные нам примеры. Для римановой
геометрии с присоединенной к ней О (п) -структурой — расслое-
нием ортонормированных реперов — структурные уравнения
10*	147
(7.7) Для минимального продолжения имеют вид

da'—а>й’Ла>*=0, со^+юй^О,

т. е. первый структурный тензор всегда равен нулю.

Следующее продолжение (7.14) имеет вид (1V.5.13), т. е.
второй структурный тензор О (п)-структуры — это тензор
кривизны соответствующей римановой связности.

Следующее продолжение является тривиальным в том
смысле, что не вводит новых элементов первой степени. Это со-
ответствует известной теореме о том, что равенство нулю тен-
зора кривизны необходимо и достаточно для локальной евкли-
довости римановой геометрии.

В случае распределения на многообразии структурные урав-
нения (7.7) имеют вид (VI.2.3), т. е. структурным тензором яв-
ляется объект неголономности /7,*° распределения. Система

0*аЛ<а6 = О,

где порядок 0*“ равен двум, инволютивна в первой степени.
Это соответствует тому факту, что равенство нулю объекта
неголономности необходимо и достаточно, чтобы распределе-
ние определяло слоение на многообразии. Но слоение по само-
му своему определению локально эквивалентно плоской струк-
туре.

Другие примеры будут рассмотрены ниже.

В заключение заметим, что замена подгруппы gczGL(n)
на сопряженную хотя и меняет константы Ааь‘ и все последу-
ющие, входящие в структурные уравнения, но оставляет неиз-
менной’ последовательность внешних дифференциальных ал-
гебр, моделирующих данную абстрактную структуру, меняя
лишь образующие элементы в них.

g-структуры имеют естественное обобщение — g-структуры
высших порядков. Теория таких структур в самом деле очень
близка к теории g-структур первого порядка, основы которой
мы рассмотрели.

Замкнутая подгруппа gc=Dn'1 определяет однородное про-
странство F = Dnhlg, на котором действует группа Dnh. Сечение
ag соответствующего расслоения Е{М, F, Dnh, р), ассоцииро-
ванного с HhM, естественно назвать g-структурой порядка h.
Она реализуется с помощью главных подрасслоений расслое-
ния HhM реперов высших порядков. Структурные уравнения,
использующие уравнения, задающие подалгебру g в алгебре
Ли Dnh или соответствующий идеал во внешней алгебре A-h,

Dn
определяют внешнюю алгебру, продолжающуюся при помощи
инъективной резольвенты F-модулей над полем вещественных
чисел.

. Как и для g-структур первого порядка, определена конечная
последовательность объектов тензорного типа, обращение ко-
торых в нуль выделяет плоские g-структуры высших порядков.
Эти объекты вместе с их продолжениями характеризуют все
геометрические свойства структуры.
§ 8. ЛОКАЛЬНО ТРАНЗИТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ И
ОДНОРОДНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Дифференциально-геометрическая структура о на многооб-
разии М называется локально транзитивной, если для любых
двух точек Р, Q^M найдутся в М окрестности U^P, VsQ и
диффеоморфизм <р : U-+V, отображающий' структуру о|и в
структуру о |у.

Нам известны аналитические критерии эквивалентности
структур. По существу, они состоят в том, что системы Пфаф-
фа, выражающие равенство между собой образующих элемен-
тов последовательности продолжаемых внешних дифферен-
циальных алгебр, которые моделируют структуры и реализу-
ются на расслоениях касательных реперов возрастающих по-
рядков над многообразием М, не приводят к противоречиям и
на некотором шаге становятся инволютивными. На следующих
продолжениях противоречий возникнуть уже ие может и
структуры «формально эквивалентны», а в случае их аналитич-
ности и действительно локально эквивалентны.

При таком исследовании допустимо одновременное сокра-
щение дифференциальных алгебр за счет наложения соотноше-
ний на элементы нулевой степени, соответствующих сокращени-
ям последовательности продолжаемых модулей. Геометрически
это означает выделение подрасслоений касательных реперов,
относительно которых компоненты объектов, образующих
структуру, либо их продолжений удовлетворяют заданным
условиям, не налагающим ограничения на сами объекты.

Для локально транзитивных структур возможно такое сок-
ращение, при котором компоненты объекта относительно неко-
торого подрасслоения реперов постоянны на всем многообра-
зии. Действительно, в противном случае дифференциальные
алгебры, моделирующие структуру, в окрестности разных точек
не были бы изоморфны.

Таким образом, задачу всегда можно свести к рассмотре-
нию внешних дифференциальных алгебр, не имеющих образую-
щих элементов нулевой степени кроме констант.

Всякий раз, когда мы выделяем класс дифференциально-
геометрических структур о данного типа F, моделируемый
внешней дифференциальной алгеброй Aah без элементов нуле-
вой степени (кроме констант), инволютивность Aah в нулевой
степени еще не гарантирует локальной транзитивности струк-
тур. При продолжении алгебры могут возникнуть не устрани-
мые за счет сокращений элементы нулевой степени (дифферен-
циальные инварианты структуры). Необходимым и достаточ-
ным условием локальной транзитивности аналитической струк-
туры является инволютивность в первой степени алгебры Aah
или ее некоторого продолжения, также не имеющего нетриви-
альных элементов нулевой степени. Как и в случае локально
плоских g-структур, уравнения, решениями которых являются
локальные автоморфизмы структуры, будут в этом случае ин-
волютивными в первой степени, так как они характеризуются
тем же F-модулем, что и сама алгебра Aah, но с образующими
не второй, а первой степени^

Локальные автоморфизмы локально транзитивной структу-
ры образуют псевдогруппу Г, т. е. удовлетворяют следующим
условиям:

1.	Если <реГ, <р:	то сужение <р на произвольное от-
крытое подмножество принадлежит Г.	4

2.	Если <р: U-+V — локальный диффеоморфизм, U —
= U Ui — открыты, и сужения <р на Ui принадлежат Г, то

Г.

3,	Для каждого открытого множества тождественное отоб-
ражение на себя принадлежит Г.

4.	Если <реГ, то и ф-1еГ.

5.	Если <р, <р'еГ; <р : U-+V, <р': U7-»-Z, то

<р'о<р : <р-1 (VnUZ)-xp'(VQU/) <=Г.

Следует выделить случай, когда после конечного числа сок-
ращенных продолжений дальнейшее продолжение — нулевое,
и структура описывается свободной дифференциальной алгеб-
рой с конечным числом образующих первой степени. Мы
знаем, что такая алгебра взаимно-однозначно соответствует
конечномерной алгебре Ли G и реализуется как алгебра лево-
инвариантных форм на некоторой группе Ли G. Уравнения
<о'=0 выделяют в этой группе подгруппу Н. Если она замкну-
тая, то на однородном пространстве G/Н индуцируется инвари-
антная g-структура некоторого порядка, и всякая g-структура,
характеризуемая той же алгеброй G и подалгеброй /?, локаль-
но эквивалентна этой структуре.

В силу этого локально транзитивные g-структуры, характе-
ризуемые конечными внешними дифференциальными алгебра-
ми, называются локально однородными.

Заметим, что локально однородные структуры в определен-
ном смысле существуют и в случае, когда не существует соот-
ветствующей группы Ли G, для которой подгруппа Н замкнута.

Рассмотрим пример. Пусть дифференциально-геометричес-
кую структуру о составляют два двумерных неголономных рас-
пределения .Ai и Д2 на трехмерном многообразии А13, причем
плоскости Д1(Р) и Д2(Р) не совпадают ни в одной точке РеЛР.
Присоединим к о g-структуру как подрасслоение HgM3c:HlM3
всех касательных реперов с базисными векторами £i, е2, ез,
причем

1 (Р) ПА2 (Р), <?if=Ai(P), е2с=Д2(Р).

В каждой точке Р будем иметь

de^ — —со}^—й>1в8, de2 = —ш2е2—coleg, ^з ~
Рассуждая, как в гл. VI, § 2 (см. также гл. IV § 5), видим,
что на л21 (HgM3) czH2M3 формы ®i2, ®21, ©з1. ©з2 выражаются
через ©’, со2, со3. После сокращения за счет преобразований
©i'->©i1 + Bi®i, (о22-*(1»22+т|<®‘ получим уравнения (7.7) g-струк-
туры в виде

dm1 = со‘Ди1 4-с©2Д©3,

d©2 =©2 Д ю2 + Ь©1 Д©3,

(8.1)

d©8 = ю3Л©1 +©3Д©2 +©3Д©8.

Распределения Д1 и Д2 задаются уравнениями Пфаффа ®2=
= 0 и ©‘=0 соответственно. Следовательно, а и Ь будут объек-
тами иеголономиости этих распределений и не равны нулю.
Преобразования реперов ei-*-aei, е2->ре2, вз-*Чез, «> ₽» у^О,
переводят HgM3 в себя, причем, как легко проверить,

а->аа/Ру, Ь->рЬ/ау, ab-^ab/y2,
т. е. наши структуры инвариантно распадаются на два класса
в зависимости от знака ab. Рассмотрим класс ab>0. Можно ог-
раничиться подрасслоением H~M3aHgM3, на котором а=1,
Ь=1. Дифференцируя (8.1) при этих условиях, получим

(</©} +ам3Д©2) Дш1 + (©2 +©|—©}) Д©2Л©8 =0,

(d®2 + 6®3Дш1) Д©2 + (©[ +©3—ю2)Дю1Д©3 —0.

Продолжение (свободное разрешение) этих уравнений дает,
в частности,

®3 = D(-©‘, ©}=© + (?,©', ©2=ю—С,©', 1 = 1, 2, 3,

где © — некоторая форма иа л* (Я~Л43) с Н2М3. Подставим
это в (8.1) (а, Ь = 1) и, произведя сокращения за счет допус-
тимых преобразований ю->®+/ъ©‘, ©i3-»-®!3-)-^»©1, ®23->©23+
4-sad1, получим структурные уравнения (7.7) для Hg M3 в виде

d©1 — (© + с©3) Д©1 + ю2 Д©3,

d©2 -(©—с©8) Д©2 + ю1Д©3,	(8.2)

d©3 =©3 Д©1+©3Дю2

(с=с3).  Дифференцирование дает

(d© 4-б/сД©3 +(с©3 -Ь©3)Д©2) Д©1 =0,

(d©—dt^©3 + (—с©3 + юр Д©Х)Д©2 =0,	(8-3)

(d© 4-.. ,)Д(юх—®2) 4-£1сЛ®3Л(®1 +®2) =0,

откуда следует, что dc = Ci®‘, т. е. с — функция на М3. Значит,

151
для всякой локально транзитивной структуры о должны быть
с = const.

Покажем, что условие с = const и достаточно для локальной
транзитивности а. Заметим, что при dc=0 уравнения (8.3) пос-
ле допустимой замены ®i3, ©г3 дают

d® = (с®3 —и3) Л®1 —(с®3 4- и3) Л®2.	(8.4)

Произведем замену образующих форм:

й1 = со1 + Х1®3, йа — и14- Х2®а, й' — со —рсо3, йг = ® 4- р®3,

йц — (с—р) ®i —®1, Й22 = (с 4- р) ®1 —®2,
X^2)/2, ®а=(Й1—Й2)/2с,

®3 = (Ог —й*)/2р, ® — (й/ 4* йг)/2,

где

Л1=<?4-/сг+Т, Л2=с—р = /?П.

Уравнения (8.2), (8.4) примут вид

с/й1—й'дй1, с/йа = й!лй2,	(8.5)

с/Й^й'пДЙ1, dQl = Й22ДЙ2.	(8-6)

Уравнения (8.5) представляют собой структурные уравнения
(7.7) плоской go-структуры Hg„M\ присоединенной к диффе-
ренциально-геометрической структуре на двумерном многообра-
зии Л42, образованной двумя одномерными слоениями й'=0,
й2=0. Уравнения (8.6) являются минимальными продолжения-
ми уравнений (8.5) и соответствующих дифференциальных ал-
гебр.

В каждой точке QeM2 подрасслоение Hg, М2аН1М2. выде-
ляет семейство реперов {Elt £2), базисные векторы которых ка-
сательны к слоям слоений

dEr — — Qi-Ej, dE2 — —йг£2, d 4" ^2) ~

^-.__L (q} + q2) (£1 + £2) 4-1_(й!-йЬ (£x—£a) =
«М	<6

= — ® (E1 + Ei) -;-p®3(£1— £2).

Последние уравнения показывают, что многообразие М3, на ко-
тором реализована структура о, в данном случае представляет
собой продолжение двумерной структуры во на Л42, а именно —
многообразие всех касательных линейных элементов, ие при-
надлежащих выделенным й' = 0, й2—0. На М3 локально тран-
зитивно действует псевдогруппа инвариантности структуры
Не,М2.
152
Всякое уравнение Q1—£Q2=0, g = const=H=0 определяет на
М3 двумерное неголономное распределение, как видно из урав-
нения	'

d (£У -5Q’-) = Q}A(Qi -£Q2) + £ (Q1 —йг)АЙ2.

Наши распределения ю^О, <о2=0 выделяются условиями £г = 1,
51==А,1/А2.

§ 9. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И
ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Относящиеся сюда понятия следует рассмотреть отдельно,,
ввиду их разностороннего использования при изучении диффе-
ренциально-геометрических структур (ср. [23]).

Пусть V — линейное m-мерное пространство, на котором
группа Ли G гладко действует линейными преобразованиями,
т. е. задан изоморфизм G в GL(m). Тогда с главным расслое-
нием Н(М, G, п) ' ассоциировано расслоение Е(М, V, G, р)г
называемое векторным, или линейным, расслоением. Впрочем,
чаще векторные расслоения определяются непосредственно.

Определение. Конечномерным гладким векторным рас-
слоением Е(М, V, G, р) называется гладкое расслоение со
структурной группой Ли G, типовой слой которого V несет
структуру /n-мерного векторного пространства, сохраняющуюся
при действии группы G.

Сечения векторного расслоения сами образуют векторное
пространство в смысле сложения и умножения на числа их
элементов над каждой точкой многообразия М. Более точно,
для двух локальных сечений векторного расслоения с носите-
лями U, WcM на пересечении UftW определены линейные
комбинации этих сечений.

В свете этих понятий совокупность локальных сечеиий, за-
данных в окрестности данной точки Р^М и имеющих в ней
касание порядка h, образует линейное подпространство прост-
ранства всех локальных сечений. Как следствие, приходим к
следующему заключению.

Предложение. Совокупность струй сечений порядка h
векторного расслоения Е(М, V, G, р) образует векторное рас-
слоение JhE со структурной группой Dhc,n-

Линейной системой дифференциальных уравнений по-
рядка h называется векторное подрасслоение расслоения
Решения линейной системы на всем М образуют векторное
пространство.

То же верно для локальных решений, определенных над од-
ной окрестностью UaM.

Линейная система является типичным примером не диффе-
ренциально-геометрической структуры в многообразии, а диф-
ференциально-геометрической структуры главного расслоения.
Действительно, совокупность линейных подпространств данной
размерности / в типовом слое расслоения JhE является много-
образием, на котором гладко действует группа Dhc,n- Тем са-
мым определено соответствующее ассоциированное расслоение
Е(М, Gn,i, DhG,n, р), гладким сечением которого и является
система S(h).

Как обычно, геометрия структуры S(h) в основном опреде-
ляется дифференциально-геометрической структурой на много-
образии М — проекцией структуры S(h).

Продолжения 2(Л+т) линейных систем также являются ли-
нейными системами. Возникающие в процессе продолжения
уравнения на производные низшего порядка также являются
линейными.

Все это существенно упрощает задачу определения всех воз-
можных решений системы, а главное — дает классификацию
индуцированных структур иа многообразии М.

Типичные примеры исследований такого рода дает рассмот-
ренная в § 4 задача об определении инфинитезимальных сим-
метрий дифференциально-геометрических структур, сводящаяся
к линейной системе S(h) в касательном расслоении ТМ много-
образия М. Здесь h — порядок дифференциально-геометричес-
кой1 структуры, симметрии которой ищутся.

В следующей главе мы будем иметь дело с другими важны-
ми линейными системами, инвариантно присоединенными к тем
или иным структурам.

Отметим отдельно случай, когда множество решений систе-
мы является конечномерным. Линейное пространство Wr
решений естественным образом линейно отображается в слой
V<?=p-1(Q) расслоения Е(М, V, G, р), на котором задана сис-
тема. В регулярном случае ядро такого отображения для всех
точек многообразия М имеет одинаковую размерность q. Тем
самым получается гладкое отображение многообразия М в
грассманово многообразие Gr>q всех ^-мерных подпространств
г-мерногб векторного пространства W’.

Еще интереснее случай, когда размерность множества ре-
шений зависит от свойств структуры на базе, к которой инва-
риантно присоединена система. Тогда мы получаем принцип
классификации структур, который можно назвать «обобщенной
задачей о ранге» (частные случаи такой задачи рассматрива-
лись В. Бляшке и его учениками при изучении геометрии тка-
ней; см. [24], а также § 5 гл. VIII).
Глава VIII

ПРИМЕРЫ

В предшествующих главах изложен достаточно обширный
материал, относящийся к аналитическим методам изучения
дифференциально-геометрических структур. Примеров, иллюст-
рирующих эти методы, было немного. Так получилось потому,
что различные вопросы, касающиеся этих методов, в процессе
рассмотрения конкретных задач тесно связаны между собой и
с трудом поддаются расчленению. Тем большее значение имеет
рассмотрение в этой заключительной главе ряда дифференци-
ально-геометрических структур, связанных с различными раз-
делами математических исследований.

§ 1. ТРИ-ТКАНИ КРИВЫХ В ТРЕХМЕРНОМ
МНОГООБРАЗИИ

Для начала возьмем простую геометрическую структуру, на
примере которой можно иллюстрировать ряд изложенных выше
конструкций и понятий.

Определение. Три-тканью общего типа на 3-мерном
многообразии М3 называется совокупность трех одномерных
распределений (слоений), находящихся в общем положении,
т. е. таких, что их касательные не компланарны между собой
ни в каком касательном пространстве к М3.

В § 2 гл. VI мы видели, что распределение на многообра-
зии М является дифференциально-геометрической структурой
тензорного типа в расслоении над М, которая сводится к
g-структуре на М. Аналогично, три-ткань в М3 сводится к
g-структуре, а именно к главному подрасслоению в Н1М, обра-
зованному касательными реперами, векторы е, которых направ-
лены по трем прямым распределений. Так как формы со? в
структурных уравнениях

d(i)‘ = <o*lAwft	(11)

при ограничении на слой лг'М совпадают с формами инфини-
тезимального перемещения репера (IV.5.6)

</в,-=—

то подгруппа g выделяется уравнениями

w?=0, i, k=l, 2, 3; i^k,
а подрасслоение ag (g-структура) — уравнениями

Uih=Bukto‘, i, k, 1=1, 2, 3; i^k.

Подставляя это в (1.1), получим уравнения

d<j)‘ —	+£ В1и^1/\а>к, В«+В« = 0,	(1-2)

l<k

которые после линейной канонизации, соответствующей подста-
новке со/-хо?—Вц1®1, приводят к уравнениям

do1 — й'Ла1 +ВЙ(о2Д(о®,

d<>)2 =<02 Л и2 +В11<о3 Дю1,	(1.3)

dco3 =(о|Д(о3 +B12W1 Дш2.

Уравнения (1.2) соответствуют уравнениям (VII.7.3)
g-структуры, а (1.3) — минимально сокращенным уравнениям
(VII.7.7), так что Вы’, — это компоненты первого струк-
турного тензора три-ткани. Минимальная внешняя дифферен-
циальная алгебра, моделирующая эту структуру, определяется
уравнениями (1.3) и

do»} Дю1 + (dB-b + В23 (со! ®з—<•>!)) Д<о2Л<о3 = О,

<йо|Д(о2+ (dfili +B1i ((oi + co]—(О2))Д(о3Д(о1 =0,	(1.4)

d(0^(03 + (</В?2 + В?2 (®! 4” ®2—<0з))Д(01Д(02 = 0.

Продолжение приводит к уравнениям

dBki + Bki (со* + со* —(of) = Bkip(dp, i, k, I = 1, 2, 3,

(1.5)

d(Or =wfiA®'—Blkn(dk Дю',

Уравнения показывают, что структурный тензор состоит из
трех относительных инвариантов (тензоров одномерных про-
странств V1). Обращение в нуль каждого из них имеет инва-
риантный смысл для структуры. А именно, условие Вгз1 = 0
характеризует три-ткани, для которых линии ткани, определяе-
мые системами

((о1 = 0, и | со1 = 0,

|(о2 = 0	|(о3 = 0,

лежат на поверхностях двумерного слоения ®' = 0. В случае,
когда все Вн'=0, ткань локально эквивалентна плоской, т. е.
трем семействам координатных линий системы координат
х, у, z, и ее локальные автоморфизмы существуют с тем же
произволом, что и преобразования, сохраняющие эти коорди-
натные линии.
В подходящих локальных координатах автоморфизмы име-
ют вид

x=fi(x), y=fi(y), z=f3(z),

Общий случай, когда все В*?=?Ц), изучался В. Бляшке и его
учениками [24]; случай, когда один относительный инвариант
обращается в нуль, — Т. Ж. Назировым [25, 26].

Рассмотрим теперь случай, когда два инварианта равны
нулю, а третий, например В123, отличен от нуля. Уравнения
(1.5) показывают, что при фиксации точки базы (®'=0) полу-
чим уравнения

d®?=0, dBi23+В123 (и 11 + юг2—из3) =0.	(

При переходе от одного репера структуры к другим

в[ Ai (в()о,
будем иметь

dA‘- dB3xi dA\ dA2
т. е.

А3

и условие Bi23= 1 выделяет двупараметрическую подгруппу из
группы geGL(n).

Подстановка в (1.3), (1.5) приводит к уравнениям

d®1 _и! Л®1. d®2 — иг2Л®2, d®3 =®зЛ®3+ ®*A®2.

(1-6)

(1)1 + 0)2—®3 ~ Вдг!®1»

что после линейной канонизации

®}->-®}—В?210)1, ©г-*"®2—В122®2

Дает для суженной g-структуры структурные уравнения

d®1 —®}Д®1, dw2=®2A®2, d®3 =(®{+®i)A®3+ ®1Л®2. (1-7)

Дифференцирование дает уравнения

d®'iA®1 = 0, d®2A®2 =0. (d©!+d®2)A®3 — 0,	(1.8)

продолжение которых имеет вид

d®} —Ли2 А и1 + Ви’Л®1,

(1-9)

d®| ^АМ®2 +Сш3Л®2,
а следующее дифференцирование дает

(dA+А (©} + ©1))Л®2Л©1 + (dB + В (2©1 + ©|)) A®*A®X = О,

(1.10)

(dA + А (©! +©2))Л(|)1Л©2 +{dC + С(©! +2©2))Л®3Л©2 = 0.

Определение, g-структуры, дифференциальные алгебры
которых, после конечного числа продолжений, приводят к ал-
гебрам с образующими не выше первой степени и, следователь-
но, при дальнейших продолжениях могут вводить новые эле-
менты лишь нулевой степени, называются структурами конеч-
ного типа.

Мы видим, что суженная g-структура, определяемая три-
тканями нашего класса, моделируется дифференциальной ал-
геброй, определяемой уравнениями (1.7), (1.9), (1.10), и, сле-
довательно, имеет конечный тип.

Сравнивая уравнения (1.7), (1.9) с уравнениями (VII.6.4)
связности в главном расслоении, видим, что в главном подрас-
слоеиии, образующем данную g-структуру, инвариантно опре-
делена связность, тензор кривизны которой состоит из трех са-
мостоятельных одиокомпонеитиых тензоров А, В, С.

Простейшими три-тканями нашего класса, видимо, будут те,
кривизна которых равна нулю. В этом случае многообразие
структуры локально эквивалентно группе Ли со структурными
уравнениями (1.7) и

d©[ = 0, d©2 -= 0.

Это значит, что локальные автоморфизмы ткани определя-
ются с произволом пяти постоянных.

Таким структурным уравнениям удовлетворяют, например,
формы

©*eJ^ ©1=-^-, ©1=Л^х, ©2 = Д^,
А1	А2

®8 = Д{ Дг dz	(xdy — ydx)j.

Отсюда, интегрируя уравнения

| с? = 0, (ю1 = 0, (©2 = 0,
(ю2=0, (©’ = 0, (©’ = 0,
получаем, что наша ткань эквивалентна трем двупараметри-
ческим семействам прямых в трехмерном аффинном простран-
стве с координатами х, у, z:

1) х = С1, 2)х=Ох,	3)(/ = Р,

g = C2, z + -^-D1i/+D2 = 0,	г—l>£ix + £2 = 0.
Нетрудно найти и уравнения пятипараметрической подгруп-
пы аффинной группы, сохраняющей эту ткань.

Среди других три-тканей этого типа интересными будут те,
которые в том или. ниом смысле являются продолжениями
структур на базах расслоений, определяемых линиями тканей.

Поскольку семейства ©2=0, ш3=0 и ©'=0, ©3=0 играют
в три-ткани одинаковую роль, следует рассмотреть лишь два
случая, когда слоями являются линии со3 = 0, а)1 = 0 и когда —
ЛИНИИ ©2 = 0, (О1—0.

Соответственно этому сначала рассмотрим случай, когда
в формы кривизны (1.9) не входит ©2, т. е. Л=0, С = 0.

В силу (1.10)

dB -|- В (2wi1 + ©22) = В 1(0* + Вз(о3.

Уравнение d©22 = 0 имеет интересный смысл: наше расслоение
реперов, образующее g-структуру, инвариантным образом рас-
слаивается на подрасслоения — интегральные многообразия
уравнения ©22 = 0. Каждое из этих подрасслоений само явля-
ется g-структурой на М3, с одномерными слоями. Однопарамет-
рическая группа с базисной формой ©г2 действует на этом се-
мействе структур, переводя их друг в. друга.

Рассмотрим одну из структур этого семейства, положив
©22 —0.

Будем иметь уравнения

сйо1 = (о! Л®1, Л1)2 = 0, (/й)3 = (1)|Л®34 ®1 Л и2,

da J =В(!)3Л»', dB 4 2Ва\ — Bja1 + В3а3.

В некоторой окрестности дайной точки базы будем иметь
a2 — dp, где р — некоторая функция на структуре. Введя фор-
му (о3=(1)3—ра1, получим уравнения

Ло1= (о^Л®1, da3 = (i)‘iA(i)s,

dffl'i — Ва3/\а1, dB + 2Ва\ — В^а1 + В3а3.

Эти структурные уравнения хорошо известны. Они описывают
g-структуру на двумерном многообразии М2, группа g кото-
рой — однопараметрическая группа гомотетий ^инфинитези-
мальными преобразованиями de\ ——cfes=—©1'ез- Если на
Мг заданы три семейства кривых, не касающихся друг друга,
к ней однозначно присоединяется такая g-структура из усло-
вия, что одно семейство задается дифференциальным уравне-
нием ©'=0, другое — уравнением ©3=0, а третье — уравне-
нием ©'—©3=0. В то же время инвариантно определено любое
дифференциальное уравнение

©3—с©' = 0, с—const,
как уравнение линий, касательные направления к которым
в каждой точке образуют постоянное двойное отношение с ка-

169
сательными к заданным трем семействам кривых. Таким об-
разом, устанавливается абсолютный параллелизм направлений
на многообразии М2: каждому одномерному подпространству
в касательном пространстве к М2 в некоторой точке соответст-
вует определенное направление в каждой точке, и эти соответ-
ствия индуцируются линейными изоморфизмами между каса-
тельными пространствами, определенными с точностью до го-
мотетии.

Из установленного соответствия между о»1, о»2, <о3 и со1, и2,
<о3, в частности — из геометрического смысла р, вытекает сле-
дующая интерпретация на М2 нашей ткани в М3.

В М2 заданы абсолютный параллелизм направлений и одно
семейство параллельных в этом смысле кривых, определяемое
уравнением со1 =0. М3 реализуется как множество всех линей-
ных элементов «точка+направление (одномерное подпростран-
ство касательного пространства) в нем».

При этом множество точек в М3, принадлежащих двумерно-
му интегральному многообразию уравнения (1)'=0 в М3. есть
совокупность линейных элементов в М2, точки которых принад-
лежат одному решению уравнения «о1 =0 в М2, а направления
произвольны.

Множество точек в М3, являющееся интегральным многооб-
разием уравнения ы2 —0 в М3, является совокупностью линей-
ных элементов в М2, точки которых произвольны, а направле-
ния абсолютно параллельны.

Точки в М3, принадлежащие линии ткаии <о'=0, (о3 = 0, изоб-
ражаются множеством линейных элементов в М2, точка кото-
рых фиксирована; а направление произвольно. Линии ткани
<1)3 = 0, w2 = 0 — это совокупность линейных элементов, каса-
тельных к некоторой кривой, удовлетворяющей уравнению
<о3—рш1 =0, р=ро = const.

Наконец, линии семейства <о'=0, g>2 = 0 — это совокупности
линейных элементов, точки которых принадлежат кривым вы-
деленного семейства g)1=0, а направления абсолютно парал-
лельны, но не касательны к линиям со1 =0.

Структуры, соответствующие другому решению уравнения
<О22 = 0, те же самые, отличающиеся лишь на автоморфизм,
определяемый преобразованием параметра р-+Ср, C = const,
т. е. перемешиванием параллельных семейств, не меняющим
самого параллелизма и семейства а>'=0.

Рассмотрим теперь второй случай и потребуем, чтобы
в формы кривизны не входила форма <о3. Получим уравнения
dcoi1 =Л(1)2Д(1)1, dti>22=A(t>l/\to2,
т. е.

d(<i)i' + (O22) =0.

Здесь вновь g-структура расслаивается на g-структуры с од-
номерными слоями, которые преобразуются друг в друга одно-
параметрической группой автоморфизмов.
Выбирая одну из этих структур, т. е. полагая

<011 + «22 = 0, (01 '=«, (О22 = —(О,

получим из (1.7), (1.9), (1.10) структурные уравнения

(/©^(оДсо1, d(o2 = —(оДю2,

г/(о=Л<о2Д(о1, (/(о3=(о*Д(о2,	(111)

dA — Xito1 + А 2<о2.

За исключением уравнения для da3, уравнения (1.11) явля-
ются структурными уравнениями псевдоримановой структуры
на М2, отнесенной к изотропным направлениям. Действительно,
дифференциальные уравнения преобразования компонент мет-
рического тензора в многообразии реперов имеют вид (ср.
(IV.5.12)):

dgik + gik<iiil + giitoiil = O-	(1.12)

Если в двумерном пространстве ограничиться семейством
реперов, в которых метрический тензор имеет компоненты
£п = 0, £12=1, £22=0, получим из (1.12)

<Л>12 = 0, (О21 = 0, (011 4- (О22 = 0,
что и приводит для g-структуры таких реперов к уравнениям
(1.11). В них и — форма римановой связности пространства,
А — его кривизна, а замкнутая форма ы'Ды2 — форма эле-
мента площади. Локально эта форма является внешним диффе-
ренциалом некоторой линейной формы <р на М2.

Пусть мы имеем теперь расслоение М3 над М2, локально
представимое в виде A42X/?', 0 — форма на R1, инвариантная
относительно группы сдвигов z-+z+c, г, ceR1. Тогда форма
<о3=0 + ф является формой на М3, независимой от ©*, ю2 в каж-
дрй точке и удовлетворяющей (1.11). В целом уравнения (1.11)
описывают связность в главном расслоении с одномерным сло-
ем, двумерной базой с псевдоримановой метрикой на ней и
формой кривизны и1 Ди2,, индуцированной формой элемента
площади на М2. Мы уже говорили в гл. VII о связностях в
главных расслоениях с коммутативной структурной группой.
Их тензор кривизны, по существу, является дифференциально-
геометрической структурой на базе, и связность однозначно,
с точностью до эквивалентности, восстанавливается по струк-
туре кривизны.

Рассмотрим реализацию три-ткани нашего класса на рас-
слоенном многообразии с такой связностью.

Решения вполне интегрируемых уравнений со* = 0 и (о2 = 0
являются прообразами изотропных линий псевдоримановой
связности, линии ю‘ = 0, (о2 = 0— их пересечениями, т. е. слоями
расслоения М3 над М2. Линии (о3 = 0, <о' = О являются поднятия-
ми (лифтами) изотропных линий М2 в многообразие М3 со
связностью, т. е. линиями, отображающимися в одну точку
слоя при перенесении вдоль изотропных линий на базе. Линии
(о3=0, <о2=О играют ту же роль для второго семейства изотроп-
ных линий на М2.

§ 2. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ

Линейные интегральные преобразования и линейные интег-
ральные уравнения различных типов играют важную роль в
математике и ее приложениях. Однако до недавних пор но
было сколько-нибудь систематического исследования локаль-
ных свойств полей дифференциально-геометрических объектов,,
задающих ядра этих операторов или уравнений.

Но, как мы увидим далее, локальные свойства четко выде-
ляют наиболее употребительные ядра. Это делает перспектив-
ным более глубокое изучение таких структур.

Изложим результаты на эту тему, содержащиеся в диссер-
тации С. X. Арутюняна [27].

Как известно, подынтегральное выражение кратного, а в ча-
стности, и одномерного интеграла является внешней формой,,
порядок которой равен размерности области интегрирования.
Поэтому задание интеграла ..., хп, у\, ..., уп) dxl... dxn,
зависящего от параметров равносильно заданию в произве-
дении многообразий MnxNn внешней формы порядка,п, равной
нулю при подстановке в нее векторов, касательных к слоям
Р = const, Р^Мп.

•Пусть (о‘, со*1, (о«‘... — канонические формы в расслоениях
HhM, a 0f, 0ft‘, Qki1, ... — в расслоениях HhN, удовлетворяющие
структурным уравнениям (IV.6.6), (IV.6.13). Изучаемая форма
может быть представлена в виде

Q=Axo*A®2A- • -А®"-

Дифференцируя,’ получим

dQ= (dA,+A,((oi1-|-. • • + ®л")) A®*A- • -А®"-

Поскольку внешний дифференциал формы, заданной на мно-
гообразии, есть также форма иа этом многообразии, dk+XSco?
должно выражаться через главные формы со1', 0‘ на MnxNn.

Исключая случай А,=0, запишем

d In X 4-=	4-	(2.1)-

и

б/Й=Хг0гАЯ-	(2-2)

Касательное пространство к MXN в каждой точке разло-
жено в прямую сумму подпространств, касательных к слоям,
на одном из которых равны нулю все формы со*, на другом —
162
все формы 0‘‘. Следовательно, форма (2.1) однозначно предста-
вима в виде суммы форм

<р=Л,/0‘ и	(2.3)

Дифференцируя (2.2), получим с?фДй = 0, а дифференцируя
Ф, будем иметь

с7ф= (dki + Xfe0,A) Д0‘.

Тогда из

(а.+Лл0,*)Л0'АЙ=О

очевидно, что

dki + kkQik =	+Xi/sCi)*, kik =kki

и	(2.4)

Лр=Х,*о>*Л0‘.

Ранг формы dtf является первой характеристикой интеграла,
зависящего от параметров. В основном в приложениях встре-
чаются интегралы, для которых этот ранг максимален, т. е.
равен 2п.

Будем в дальнейшем рассматривать этот случай. Ограничим-
ся подрасслоением реперов, в которых форма dtf, после смены
обозначений базисных форм, имеет вид

с?Ф = 0,Л(ог, i=l, ..., п.	(2.5)

В новых обозначениях будем иметь

Ф = Л'0(-, dk‘—	= kikQk + o',

da‘ = и* Л о/, dd; = 0ЙЛ«>*.	(2.6)

Дифференцируя уравнения (2.6) и продолжая их, приходим
к равенствам

Ло* —(о* А®' = HtfO-Aco',

(2.7)

Внешней форме dtf соответствует симметричная форма
с теми же коэффициентами относительно базиса ы‘, 0,. Формы
и? — это формы соответствующей псевдоримановой связности.
Пространства такого рода впервые рассматривались П. К. Ра-
шевским [28] без связи с кратными интегралами. Впоследст-
вии такие пространства стали называться псёвдокелеровыми.

Исследуем произвол, с которым по форме dtf восстанавли-
вается форма й. Прежде всего, форма ф, как известно, локаль-
но восстанавливается по dtf с точностью до дифференциала df
функции на #ХМ. Однако для того, чтобы ф • по-прежнему
11*	163
имела вид (2.3), необходимо и достаточно, чтобы f была функ-
цией только на N. С другой стороны, из формул (2.1), (2.2)
видно, что <р не изменяется при умножении £2 на функцию,
заданную на М, и только в этом случае. Итак, по форме dtp
форма й восстанавливается с точностью до умножения ее на
функции, являющиеся произведениями функций, одна из кото-
рых задана на М, а другая — на N. Такой произвол как раз
соответствует требованиям, предъявляемым к ядрам интеграль-
ных операторов.

Форма объема в этой метрике имеет вид

Ф = (о,Л(о2Л.. .Л(ОПЛ01Л.. .ДОп

и может быть однозначно представлена в виде

ф-QAQ,

—	/_I \п

где Q = —в1ЛваЛ.. . Лвп— форма на N", зависящая от

параметров из Мп.

Для этой формы будем иметь

dQ——г (d In Л 4- Sи;*') /\й = ф/\й.

Таким образом, din7.4-2ы? = ф—ф, и для того, чтобы формы
dtp и dtp отличались постоянным множителем, т. е. формы Q и
О определяли одну и ту же геометрию Рашевского, необходимо
и достаточно, чтобы

dS(i)?=0,

т. е., в силу (2.7), чтобы Н^ — Нп^^О.

Hi* — это компоненты тензора Риччи псевдориманова про-
странства.

Пространства, для которых он равен нулю, называются
эйнштейновыми. Мы видим, что эйнштейновы пространства об-
ладают готовым аппаратом для обращения интегральных пре-
образований — двойственными интегралами й и й.	х

Рассмотрим простейший случай — псевдоевклидово прост-
ранство, для которого Я,*/р=0.

В этом случае мы можем ограничиться постоянным бази-
сом, т. е. положить

ю*'=0,	—	Qi — dyi, Q~Kdxl/\. ../\dxn.

Тогда будем иметь

<й1=-^-ла,

л

———dy(, d(p = \-—^-dKl/\dyi.

dyt- ' dy(dx‘
Чтобы метрика с коэффициентами gtfc=0, g‘k=0, g\

ду,дх1

была псевдоевклидовой с соответствующими плоскими коорди-
натами х‘, у к, надо, чтобы ------т- = с°1< что Дает In л = схч/,-,

ду(дх*

£l = f (*') Ф (Ук) е<:^‘Х dx1 А • •  /\dxn.

Мы имеем ядра Фурье (в случае мнимого с) или их обобще-
ния.

Рассмотрим далее, для простоты, случай п=1. Будем иметь

Й = А®1, dlnX= VOj-f-Xj®1,

<p = X191, j<p==91A(o1,

da1 = ыДю1, d9j=—®A9P

dw = K91A®1, dK=K1a1 + K1Q1.

Полагая и1 = A dx , 9t = c2 dy , получим
x — у	x —у

X—у

т. е. псевдорим а ново пространство постоянной кривизны. Для
него получим

Ф = C1C2ffy , In X = — ас2 In (х— У) +1° f (•*)»

й = f (х) F (у) (х —y)-<l+c^dy.

Таким образом, пространствам постоянной ненулевой кри-
визны соответствуют ядра Коши — Гильберта, играющие фун-
даментальную роль, например, в теории функций комплексного
переменного.

§ 3. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДВУХ

УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПРИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ И ДВУХ ИСКОМЫХ ФУНКЦИЯХ
[29, 30]

В 4-мерном векторном пространстве V4 рассмотрим пучок
внешних форм второй степени, порожденный двумя образую-
щими формами:

ф1=а(*хгДх*,
i,k=\,2,3,4.

Ф2=Ь^х'Дх*,
Рангом билинейной функции <р(Х, У) в У” называется раз-
ность между п и размерностью подпространства векторов X, та-
ких, что <р(Х, У)=0, ¥УеУп. Ранг формы равен рангу матри-
цы ее коэффициентов.

Известно, что ранг антисимметричной формы всегда четный,
так что формы ранга 2 в пучке X<pi+p,<p2 следует искать, решая
уравнение

det	=0.

Известно, что этот однородный многочлен 4-й степени отно-
сительно X, ц .всегда является квадратом многочлена второй
степени, откуда следует, что в пучке имеются либо две вырож-
денные формы, либо одна, либо ни одной, либо все формы пуч-
ка вырожденные (гиперболический, параболический, эллипти-
ческий и вырожденный случаи). Нетрудно показать, что в ги-
перболическом случае существует базис е,, относительно кото-
рого вырожденные формы имеют вид х3Л*‘ н х*/\х2. Пусть те-
перь в 4-мёрном многообразии М4 определен дифференциаль-
ный идеал 1 алгебры ЛЛ4 всех внешних форм на М, порожден-
ный двумя гладкими формами второй степени, определяющими
гиперболический пучок в каждом касательном пространстве.

Двумерный пучок тензоров типа (0, 2) является дифферен-
циально-геометрической структурой первого порядка главного
расслоения Н(М, GL(2), л) над многообразием М со струк-
турной группой GL(2) линейных преобразований двумерного
линейного пространства. Структурные уравнения расслоения
Н(М, GL(2), л) имеют вид

</(о*=(о*гЛшк,	i, £=1,2,3,4,

dO₽a=0SA01'a+0,,a. A(ni>	И, р=5, 6,

где (о‘, 0af заданы в расслоении Н1ац2>(М, D*gl(2),4> л1), а
6ра, — в H2GU2)(M, D2gl'(2m, л2). Дифференциальные уравнения
пучка форм в V4 имеют вид

&aaik=dtf\k+aaikah+aaii(j)lk—atik№f=O,	(3.1)

а соответствующей структуры над М4 — вид

Да“и=а“Ш(ог.	(3.2)

На подрасслоенин реперов, в которых вырожденные формы
пучка приобретают вид и3Л«‘ и (о4Л®2, будем иметь a53i = l.
а642=1, остальные компоненты — нули, что сводит уравнения
(3.1), (3.2) к равенству нулю, по модулю форм (о‘, дифференци-
альных форм

(Оз -j-(o} — Оз, (о|, <Й4, (02, (04, (02 + ®4-®6> ®1> ®3> ®1 >
Уравнения проекции этой структуры главного расслоения на
дифференциально-геометрическую структуру на многообразии
получатся, если мы оставим лишь уравнения, налагающиеся на
формы со,*, ы‘. Подставляя их в структурные уравнения, полу-
чим

da1 = со J Л®1 4- ®зД®3 -I- Л«®*Д®Г,

da?= со3 Део1 + ®зЛ®34- Аы<йк/\<й1,

da>2 = ®2 Л ®2 4- ®<Л®4 4-Л^й/Дй/,

dco4 = (ОгЛсо2 -I- ®1Л®4 4- Л*до* Д®г.

Это уравнения g-структуры на Л44, образованной подрасслое-
нием Н0'М касательных реперов, векторы еь ез которых лежат
в нулевом подпространстве со2=0, со4=0 формы со4Дсо2, а век-
торы вг, е4 — в аналогичном подпространстве формы со3Д®’.

Далее, производя подстановки со?-*-со?4-й*(((ог, можно вы-
брать минимальное подрасслоение Н02М касательных реперов
второго порядка Н2М, в котором уравнения для dcof имеют вид

dco1 = со! Дсо14-©з Део3 4-Л^Дсо2,

d®8 = со? Д®1 + ®зД®34- Л3со4Дсо2,

(3.3)

dco2 = со2 Л®2 4- ®2Л®4 4- Л2со8Д®1,

dco4 = со4 Л®2 4- ®4 Л®4 4- Л4®3 Д и1.

Дифференцируя эти уравнения, получим

AcolA®1 4- А®зА®8 4- АЛ1 Д(о4Д(о2 = 0,

Асо3 Д®14- А®зЛ®3 4- АЛ8Д(о4Д(о2 = О,

(3.4)

А®гЛ®2 4-А®1Л®4 4-АЛ2Д®8Л®1=0,

А®гА®2 4-А®1Л®44-АЛ4Д®3А®1 = О,
где

А®1 =dcoj—®зА®ь A(O3 = d(o|—®3Дсоз,

Асоз = d(0s4- ®зЛ(®}— ®з) 4-Л1 (Л2со4—Л4®2)Део1,

Асо? —dco?4- ®?Д(®33—®i)—Л3(Л2со4—Л4(о2)Д(о8,

АЛ1 —dA1—Л1 (®! — coj— ®1)—Л3(Оз,

АЛа^Л3— Л1©?—Л3((о1— ®1—®2), -

а остальные формы получаются из этих заменой 1*-*2, 3*-»-4.

167
Продолжая (3.4), получим, в частности,
i, £=1,2,3,4.	(3.5)

Это означает, что структурный тензор представляет собой сово-
купность двух объектов тензорного типа — «относительных
векторов», с компонентами {Л1, Л3} и {А2, Л4} соответственно. •

Обращение в нуль первого из них характеризует инволютив-
ность слоения, образованного нулевыми подпространствами
формы (о3Л(о1, а второго — соответственно для и4 Ди2.

Двумерные интегральные элементы внешней дифференци-
альной системы ^ДюМ, со4Дш2=О определяются системами
уравнений вида А.®34-|х®1в0, |со4+т)(о2=0, т. е. являются плос-
костями, пересекающими как плоскость ю3=0, и1—О, так и
плоскость <о4=0, (о2=0 по прямым.

Через всякий линейный элемент (одномерное подпространст-
во), не принадлежащий плоскостям V2<i>: со3=0, w'=0 и V2(2):
:со4=0, (о2=0, проходит единственный двумерный интегральный
элемент. Через линейный элемент, принадлежащий или
1^(2), проходит целый пучок двумерных интегральных элементов,
т. е. они являются особыми, или, как говорят, характеристически-
ми, элементами. Как следует из приведенной в гл. VI теоремы
Картана — Келера, в аналитическом случае через кривую, не ка-
сающуюся характеристических элементов, проходит единствен1
ное решение системы. Системы дифференциальных уравнений с
частными производными, соответствующие нашей системе внеш-
них дифференциальных уравнений, называются квазилинейны-
ми. Это объясняется тем, что существуют локальные коорди-
наты и1 в окрестности каждой точки Р, в которых соответству-
ющая система в частных производных линейна относительно
йи* йи* dip йи* -		.	Л „

~ди*’ ~дй*’ И °°Ратное тоже верно (для решении, на
которых it1 и и2 независимы).

В случае, когда Л3=0, Л1—0, одно из уравнений системы,
<о3Дсо,=0, можно локально рассматривать как уравнение над
областью базы М2 расслоения ш8-0, со^О с базисными форма-
ми со®, со1, где его решением является произвольная кривая у.
На прообразе М3 кривой у в Л!4 оставшееся уравнение со4Дсо2=
—О также определено на базе расслоения М3 с одномерными
слоями — решениями у системы ю4=0, (о2=0, а в М4 решение
дается произвольным однопараметрическим семейством кривых
у. Так что решение нашей системы сводится к решению систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, задающих ука-
занные слоения.

В случае, когда А4, А2 также равны нулю, существуют ло-
кальные координаты, в которых одно двумерное слоение за-
дается уравнениями и’—Ио’, u3*=Uo3, второе —уравнениями
n2—Uo2-, и4=ио4 и всякое решение задается произвольными урав-
нениями /(«*,- и3)=0, <р(и2, и4)—0, а сама система приводится
к виду ди3/ди2=0, диЦди^О.
Рассмотрим теперь детальнее общий случай {Л1, Л3}¥=0^
{А2, Л4}¥=0.

Можно ограннчнться« подрасслоением реперов, для которых
относительные векторы имеют координаты Л'=0, Л2=0, Л3=
-1, Л4=1. Уравнения (3.5) в этом случае показывают, что под-
расслоение выделяется уравнениями, выражающими ®i'—®44+
+®з3, ©г2— <йз3+<1)44, <йз', о>42 через главные формы «'^Подстанов-
ка в (3.3), после дополнительной канонизации при помощи за-
мены (Оз-*"®!—X®1—Ц®3, ®4->-®4—Н®2—Л®4. ®i ->®i — X®3,
®2 ->-®2—б®4, приводит к структурным уравнениям

d®1 --- («1 —®з)А®4 4- В1«4Д<й3 + С1®2 Л со3 + DWA®1,

d«3 = wiA®1 +®зА®3 +®4A®2,

d®2=(®3—(o4)A®2 + B2®8A®4+ CWA®4 + D2w3A®2,

d®4 = ®гА®2 +®1Л®4+®3A®1.	(3.6)

Внешнее дифференцирование и продолжение приводит к
уравнениям

dB1 + 2ВЧ& ==...,	dB2 + 2В2®1

dC1 + С1 (3®1 — 2ш) + B1^ = ... , dC2 + С2 (3®J -2®|) 4-

+ В2®? = ... ,

(3.7>

dD^WliB1^- ... ,	dD2 + D2®1 + B2®J = ...,

d®i ='®iA(®4—2®з) +®iiA®1 + О1®! Л®4—D2w?A®3 4"...,

d®2 ==®2Л(®з—2<й4) +®22Л®2 4_02®2Л®8—ОЬогЛ®4 4*... >

(3.8)

d(o3 = В1©? Д®4 4- С1®8 А®2 —О2®? Л®14- В2®* Д®3 4- • •. >

d(o4 = B2®2A®84- С2®* Л®1—/АогЛ®2 4-В1®8 А®4 + • • •>

где не выписаны члены, содержащие лишь главные формы а1.

Рассмотрим геометрический смысл тензорных объектов ’(3.7).
Наряду с подпространствами V2(i>, У2^) в- каждом пространст-
ве TqM теперь выделены одномерные подпространства Уц),
У'<2), по которым направлены векторы ез и наших реперов и
определяемые системами дифференциальных уравнений ы’=0,
®2=0, (i)4=0 и ®*==0, ®2=0, ®3=0 соответственно.

Одновременно определяются трехмерные распределения
плоскостей У*(1)иИ*<1) и	задаваемые с помощью урав-

нений Пфаффа «'“О и ы2=0 соответственно, а также двумер-
,ное распределение V'ajU У*(2), определяемое системой Пфаффа
®'=“0, <й2==0.
Мы знаем, что всякое распределение обладает характеристи-
ческой системой, задающей инволютивное подрасслоение такое,
что данное распределение является поднятием некоторого рас-
пределения, заданного на базе характеристического подрас-
слоения. Как видно из уравнений (3.6), характеристическая си-
стема распределения (о'=0 состоит из уравнений со^О, В1со3=О,
С(о3=0, В1,со44-С1со2=О. При В1=0, С'=/=0 эта система совпада-
ет с определяющей распределение V‘(2), а при В'=0, С=0
распределение ш'=0 является инволютивным. Его слоям при-
надлежит одно семейство характеристик нашей системы со3Д
Лсо'=0, со4Дсо2=О, а именно линий, являющихся интегральны-
ми для распределения У2а>. Аналогичный смысл имеет обраще-
ние в нуль объектов В2 и {В2, С2}. Если В1 и В2 обращаются
в нуль одновременно, система <о'=О, со2=О вполне интегрируе-
ма, интегралы этой системы и1, и2, т. е. локальные координаты
на базе расслоения образуют инвариантно определенную систе-
му независимых переменных для системы уравнений с част-
ными производными, равносильной системе со3Дсо1=О, со4Дсо2=
=0. Наконец, если В1, В2, С1, С2 обращаются в нуль, характе-
ристики системы проектируются на пространство независимых
переменных в два однопараметричёских семейства линий, при
подходящем выборе координат определяемых уравнениями «'=
=ио‘ и и2=«о2 соответственно.

Рассмотрим, наконец, случай, когда все коэффициенты А,
В, С равны нулю. Структурные уравнения примут вид

dco1—((04—(ol)Aco1,

dco2 = (cof—(ot)A(o2,

dco3 = co? Д co1 + col Д co3 + co4 Д co2,

(/(О4 = (02 Д (02 + (O4 Д (04 + (О3 Д (O1

с продолжением

dco? —co? Д ((04—2(Og) 4- (Ou Л (o1 + (1 — q) (о2 Д (o3 —sco4 Д (o3,
(Йо* = (02 Д ((o| —2(oJ) 4- (O22 A co2 4- (. 1 — p) co1 A co4—tco3 Д (o4,
dco| = pea1 /\ (о2 4-sco1 Д (o4 4- tco2 Д (o3 4- /со8 Д (o4,
dco 4 —qco1 Д (o2 4- sco1 Д co4 4- tco2 A co3 4- /со3 Д co4.

Дальнейшее продолжение дает уравнения, выражающие
формы

df 4-/(®з +©4)» ds4-s(2col—col) 4- /со?,

dt 4-Ц2(о1—(0$)—/col, dp—SCO2—fro?,	(3.9)

dq—SC02 — tcoi
через главные формы а>‘. Отметим, что на базе расслоения и1 =
==0, и2=0 индуцируется псевдориманова структура, определяе-
мая формами со1, со2, со.»4—юз3. В силу уравнения

d (<О44—шз3) — (p—q) ы1/\<а2

кривизна этой геометрии равна р—q.

Как видно из (3.9), лишь при f=0, s=0, t=0 ни одну из
форм о?, <О24 нельзя сделать главной за счет канонизации ре-
пера, присоединенного к структуре. Очевидно, линеаризуемые
дифференциальные уравнения должны относиться к этому ти-
пу, так как линейные дифференциальные уравнения допускают
группу, свободно действующую на слоях подрасслоения струй
сечений задающего уравнения.

Уточняя уравнения (3.9), убеждаемся, что р и q являются
функциями на базе, так что свойства системы полностью ха-
рактеризуются двумерным псевдоримановым многообразием и
заданной на нем функцией.

§ 4. ВНЕШНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЕКЛУНДА

Мы свели изучение систем дифференциальных уравнений с
частными производными к задаче отыскания интегральных
многообразий распределения на некотором многообразии, рас-
слоенном или нет. Эту задачу можно сформулировать также
следующим образом: в алгебре всех бесконечно дифференци-
руемых внешних дифференциальных форм на многообразии
Afn задан дифференциальный идеал /, порожденный элемен-
тами <о°, d(oa, а=1, ..., р<п, причем соа — формы первой сте-
пени. Ищутся подмногообразия, на которых все формы идеа-
ла обращаются в нуль.

В предыдущем параграфе рассматривался класс систем
дифференциальных уравнений, для которого более простым яв-
ляется сведение его к дифференциальному идеалу с образующи-
ми не первой, а второй степени.

В общем случае, задача об отыскании подмногообразий, ан-
нулирующих дифференциальный идеал произвольного вида,
сводится к решению системы уравнений с частными производ-
ными.

Но для изучения геометрических и аналитических свойств
системы дифференциальных уравнений часто оказывается более
удобным обратное сведение — к внешнему дифференциально-
му идеалу. В частности, это относится к большинству основ-
ных дифференциальных уравнений физики. Например, волновое
д*и д2и д*и п	,

уравнение	-----равносильно дифференци-

альному идеалу с образующими

bu^du—pdx—qdy—isdt,
Q2—dp/\dx+dq/\dy+ds/\dt,

Q3=dp/\dy/\dt—dq/\dx/\dt—ds/\dx/\dy

в тривиальном расслоении R3xR4 с координатами х, у, t и и, рг
q, s соответственно.

Задача отыскания подмногообразий данной размерности, ан-
нулирующих дифференциальный идеал, называется задачей ре-
шения системы внешних дифференциальных уравнений.

Теория Картана систем Пфаффа была полностью обобщена
Э. Келером на внешние дифференциальные системы. Здесь так-
же вводится понятие регулярной цепи интегральных элементов,
имеют место критерий существования решений и критерий ин-
волютивности (VI.2.18), использующий характеры системы. Тео-
рия внешних дифференциальных алгебр, изложенная в § 3, 4
гл. VI, равно моделирует как теорию Картана, так и теорию
Келера.

При естественных условиях регулярности, дифференциаль-
ный идеал можно рассматривать как дифференциально-геомет-
рическую структуру тензорного типа в многообразии М, инду-
цированную дифференциально-геометрической структурой не-
которого главного расслоения над Af.

А именно, предположим, что в каждой точке Q многообра-
зия формы идеала I выделяют градуированное подпространство
Zi.qczAqM пространства AqM всех антисимметричных ковари-
антных тензоров. Пусть подпространства 2aqC Aq’М, р -1,
2, ... , п имеют одинаковую размерность пгр во всех точках
QeM и гладко зависят от точки Q.

Чтобы показать, что такие поля пучков тензоров образуют
структуру тензорного типа, можно было бы, например, рас-
смотреть над М главное расслоение Н(М, G, л), где

G=GL(mt)xGL(m2)X...XGL(/nn),

и дифференциально-геометрическую структуру — сечение рас-
слоения £(Af, Н, F, D'a.n, р), где

F cz [(Vm«)* ® Л1 (V")] х [(Vm«)* ® Л2 (Vя)] х ... х ® Ля (Vя))
— область, состоящая из наборов невырожденных линейных
отображений из Vmp в ЛР(УП).

На практике столь сложные конструкции обычно сильно
упрощаются, как мы видели в предыдущем параграфе.

В общем случае, сечения такого рода подрасслоений 2с
czAM образуют лишь модуль над алгеброй функций Класса С°°
на М, обладающий конечным числом образующих. Чтобы это
был модуль или дифференциальный модуль над алгеброй всех
гладких внешних форм, нужны дополнительные условия на
структуру алгебраического или дифференциального характера.
Но в любом случае число образующих является конечным.
Пусть даны гладкое отображение <p:Af-^V и дифференци-
альный идеал / на Л\ Тогда формы <p*io, ше/, порождают диф-
ференциальный идеал ф*/ на М. Подмногообразие PczM будет
интегральным для <р*/ тогда к только тогда, когда <р(Р) будет,
интегральным для I. Для выделения таких «индуцированных»
дифференциальных идеалов <р*/ служит понятие характеристи-
ческой системы. А именно, рассмотрим в каждой точке QeM
подпространство Ker IczTqM., образованное всеми векторами X
такими, что (й|Л}е/ для любой внешней формы й идеала.
Если подпространства Кег/ образуют "гладкое распределение,
оно называется характеристическим, как и соответствующая
система Пфаффа,

Предложение. Характеристическая система дифферен-
циального идеала вполне интегрируема.

Доказательство. Выделим подрасслоение Йс.Н{М ка-
сательных реперов еа, еЛ таким образом, чтобы ех составляли
базис Ker I. Будем иметь структурные уравнения (VI.2.3)

дшп=ыьа/\<ль+На^<ак/\ы,‘,

dwx=W / Л (Оц+юахЛ (Оа •

Векторное поле X на М есть линейная комбинация Х=х*-ех4-хае0,
причем (/|Х)с:/ равносильно х°=0. Подпространство /?? —
==(/® С°°Д) сЛ/7 является Х.М®С°°Я — модулем, имеющим
базис Йо1, выражающийся через формы wa, io\ Так как
(йоЕ|еХо)^/^,' А^{1, ...,р}, то элементы Qi5=Qol-w’,°A "
Л(йо5|е*0) также образуют базис в /д, но в его выражения Л
через <оа, о/ не входит шЧ Повторяя это преобразование для
всех Л, приходим к базису

а,<...<аМ)

выражающемуся лишь через ш“. Требование (й5|Х)е/?? приво-
дит к системе 2 линейных однородных уравнений на х“, имею-
щей лишь нулевое решение. Дифференцируя й5 по формулам
(V1.2.3) и требуя, чтобы для любых фиксированных Хо, ро
((rfQ®|eK) |ец)е/ й, видим, что	должны удовлетворять

той же системе S, что и х“. Следовательно //охц=0, что и дока-
зывает предложение.

Если слоение, определяемое характеристической системой,
является расслоением q:	с базой Л40, использование

адаптированных координат позволяет показать, что / порожда-
ется идеалом IoCzXMq.

Геометрические и аналитические свойства идеала I, т. е.
строение множества решений соответствующей внешней диф-
ференциальной системы, определяется алгебраической структу-
рой идеала, т. е. существованием достаточно просто устроен-
ных дифференциальных идеалов, содержащихся в / либо со-
держащих его. Надо помнить, что если Л с/, то всякое реше-
ние I есть решение Л. Поэтому если решения 1\ мы можем
найти, то имеет смысл задача: найти все решения /, определя-
ющие заданное решение Ц.

Решение Ц есть подмногообразие Nc.M, на котором идеал /
индуцирует дифференциальный идеал In, который, вообще го-
воря, устроен проще, чем /. Это хорошо известный в теории
дифференциальных уравнений процесс использования «проме-
жуточных интегралов». Простейший пример его содержится в
предшествующем параграфе.

Просто устроенные идеалы Id', содержащие данный идеал,
выделяют специальные классы решений данной системы диффе-
ренциальных уравнений.

Мы рассмотрим сейчас один класс конструкции указанного
вида, нашедший достаточно много приложений в современной
математической физике. Речь будет идти о преобразовании Бе-
клунда и других построениях, связанных с представлениями
данной дифференциальной системы в виде «уравнений нулевой
кривизны».

Пусть на расслоении Ет+п(Мп, р) задано m-мерное распре-
деление А, трансверсальное к слоям расслоения. Такая струк-
тура называется общей инфинитезимальной связностью на
Е(М, р) (связности в главных и ассоциированных расслоениях
являются частными случаями таких структур). Распределение
А может быть задано внешним идеалом /(А), состоящим из
форм на Е, обращающихся в нуль на А. Обозначим через /rf(А)
дифференциальное расширение идеала /(А). По теореме Фро-
бениуса для того, чтобы распределение было вполне интегри-
руемым (инволютивным), необходимо и достаточно, чтобы
/d(A)=/(A). Пусть /о — внешний дифференциальный идеал в
М. Обозначим через /(А, /0) внешний дифференциальный идеал
в Е, для которого выполнены равенства

/(A, /o)=/d(A)Up*/o=/(A)Up*/o.

Всякое решение NaE идеала /(А, /о) является решением
/d(A), т. е. интегральным многообразием распределения А, а
p(N) — решением идеала /о. Но в данном случае, все решения
идеала /(А, /0), проектирующиеся в данное решение Nq идеа-
ла /о, являются решениями вполне интегрируемой системы
на P~l(No)c^E, определяются с произволом m по-
стоянных и исследуются методами теории обыкновенных диф-
ференциальных. уравнений.

Представление дифференциальной системы в виде идеала /о
для некоторого идеала I, определяющего общую инфийитези-
мальную связность, называется представлением системы в ви-
де уравнения нулевой кривизны.

Достраивание дифференциального идеала /о, заданного в
многообразии М, до идеала I в расслоении Е над М при помо-
174
щи некоторой общей инфинитезимальной связности называет-
ся задачей определения псевдопотенциалов данной системы In.

Название объясняется связями с задачей о законах сохра-
нения, или потенциалах, дачной дифференциальной системы.
Одномерным потенциалом для /о называется линейная диффе-
ренциальная форма ф такая, что dtpeln- Знание потенциала
определяет в многообразии AfxR связность с формой связно-
сти 0=<p+c/z и кривизной dQ=dq>^I0, что можно рассматривать
как наиболее простое решение задачи о псевдопотенциале.
Здесь z — абсцисса на числовой прямой R.

Пусть для дифференциального идеала I на Е существуют
два представления 1=1 (А, /0)=/(А, /о') с одним и тем же рас-
пределением А на Е, двумя субмерсиями р'.Е—>~М и р'".Е^-М'
и двумя дифференциальными идеалами: /о на М и In па М'.
Такая структура ичопределяет преобразования Беклунда реше-
ний идеала 10 или In- Всякое решение N идеала /0 поднимает-
ся в m-параметрическое семейство решений идеала / на Е, про-
екции которых в М' являются решениями идеала 10'. Каждое
из этих решений также поднимается в m-параметрическое се-
мейство решений идеала I, определяя тем самым семейство ре-
шений идеала In, зависящее от 2пг параметров (или меньше).

Этот процесс можно продолжить неограниченно, получая с
помощью интегрирования обыкновенных дифференциальных
уравнений все новые решения систем In и In уравнений с част-
ными производными.

Таким образом, задача отыскания преобразований Беклун-
да состоит из двух этапов, первый из которых — отыскание
псевдопотенциалов данной системы, а второй — отыскание вто-
рого разложения идеала в виде

/=/(А, /о).

Ниже предпринято исследование общей дифференциально-
геометрической структуры, с помощью которой осуществляют-
ся преобразования Беклунда.

Пусть многообразие Еп+т дважды расслоено с п-мериыми
базами Af, М' и несет распределение А, трансверсальное к
слоям двух расслоений. Предположим, что т<п, и выберем в
расслоении реперов Н'Е подрасслоенне ЕРЕ, адаптированное к
двум расслоениям и распределению так, чтобы векторы еа ка-
сались одного расслоения, е- — другого, а векторы е^, еа+е-
составляли базис подпространства распределения A: AqCzTqE,
а—1, ..., m; 1=т+1, .... п.

Дифференциалы векторов подрасслоеиия ЕРЕ в точке Qe
должны удовлетворять уравнениям

dea = a^eb, de- = Ыав^,

de^a^ + ык (еа+е~).
Следовательно, формы (о,*, заданные на Н2Е, на подрасслое-
нии (ял2)-1 (Я'£) удовлетворяют уравнениям, выражающим
формы

(О*, (Oj, (Од, (0^, (Ох— (0£, <0- —(Од
Я	/

через главные формы <оа, <о“,

Подстановка этого в уравнения

d(o' (о* Л <о\ i, k - 1, ... , п -Ь т,

К
дает

do>a - (о“ Л	+ <о“ Л юх + ... ,

(4.1)

dwP - (о? Л <0х Д <ох -.. ,

d(ox - (Оц Д (ou | ... .

где невыписанные части выражаются через главные формы
<оа, wa, (0х. Соответствующие коэффициенты должны удовлет-
ворять условиям полной интегрируемости систем

f (оа 0, ' ( <оа - О,

I (0х ..-О (оА—О,

определяющих слои расслоений Е над М и над М'.

Кроме того, расслоение (я2)-1 (/?’Е)с№£ можно сузить,
пользуясь тем, что невыписанные коэффициенты уравнений
(4.1) линейно преобразуются при допустимой замене репера
второго порядка, определяемой формулами

(Од	(Од + /4®С +	+ /£х(0Х,

(Ох	(Ох + h°c<£>c +	4- Йхц<ОИ,

(Оц -> (Оц 4-	+ Лц-(ОС’ +	.

В частности, всегда можно ограничиться подрасслоением ре-
перов FPEczEPE, для которых

(1ыа -- (0ft Д (й^ + (Ох Д (0* + Льло* Л <ог -}-Л*х (w6 + <о^) Л <ох-г

4- Лцх<оц Л <ох,

фоа —(о? Л (о*4-(ОхЛ<ох I- ЛйеСо^Д (ос—Лбх(<оь 4-(о*) Д —
. — Л£»,®*Л®\	(4.2)

da* =со£ Л + Наьо)а A co*.

Эти уравнения являются основными для нашей задачи.

Дифференцируя (4.2) и производя подходящую группиров-
ку, придем к уравнениям

Асо? Л со* 4- Асо? Д со* 4- ДЛ?е Л	Л ®с + АЛм, Д (со* 4- со*) Д со* 4-

+ ДЛцл, Д со*1 Д о)х - О,

А®? Д со* + Асо? Д со* 4- АЛьс Л со* Д <ос— АЛм, Д (со6 4- со*) Д со*—

— АЛЦх Д со*1 А со* — О,	(4.3)

Асо* Д со** + АН^ A ®“ A ®* = О,

где

Асо? = dti>b—~ со? Л со? + ... ,

Ай)? с/®*—СО* Л СО?—со? Л ®%+ ... .

AAfc —dAbc + AfcO>l + Abfd>c—AL®/ + ... ,

АЛ?С = dAbc + AfcCOft + Ajjcot—Л^со* 4- ... ,

АЛ*х= dA°x 4- АсхО)ь 4- Л?исо?— Л?х®? 4- (Л?с—Л&.) co? 4- • • • >

АЛцх = dA^i 4- Л?^с0ц 4- Лц^соХ—Лц^со? 4- Л^соц —Лцьсо£ 4- • • • »

Дсоц = <fo£—со$ А ®£—ЯгХ А ®7 + Я^®и А ®а 4-...,

А//^ь = dHab 4- Я^сод 4- Я^со%— /ffc'coji 4~... .

Не выписаны члены — внешние произведения главных форм -
с коэффициентами — многочленами второй степени относитель-
но коэффициентов уравнений (4.1).

Свободное разрешение (4.3) по базису со“, соа, со* дает

АЯв\-=Я^+Я^4-ЯХ®^

А®н = ®uv A ®v—Я^цсоа Д со*,

Асо? =	Дс^4-К?ех®'Л®*4-	Л ®^ 4- Кыщ®* Л ®*\

Асо? =	A corf 4-СХ Л ®г +	Л ®г-

— Kw (®ь—и5) Л шЧ ®?и А и*1,
12 Зак. S23	177
l^Abc = 4“cjft)d + 4“cdft)5 + AbcMifi,

(4.4)

AAbc = Abcd^ + Abcdd^ + A^oA

АЛ?х = Abfafi>c + Ab&af 4- Л“хц<оц,

АЛ’х =Лцхл (ft)*—о?) + Л^оЛ,

где коэффициенты К и Л с тремя нижними индексами .связаны
между собой некоторыми линейными соотношениями.

Отсюда видно, что системы величин

{Нкаь\ {X}, {X}, {А$с-АаЬс, Ah},

{Аьс—Аьс, Ah, Л“4

являются компонентами тензорных полей, характеризующих
свойства нашей структуры. В частности, первый тензор являет-
ся тензором неголономности распределения ft)x=0, а послед-
ний — тензором неголономности распределения А: ыа—<оа=0.

Тензор неголономности пересечения <оа—<оа=0, о>*=О имеет
компоненты {Л“с—Л?*, Ни—н\}.

Интересный случай выделяют условия АаЬс = 0, Л?с=0, Ньё —
— Н°ь = §, когда вполне интегрируема любая система

о/=0, (оа—С(оа=0, c==const.

Среди других свойств структуры, выявленных уравнениями
(4.2), (4.3), (4.4), заметим, что каждый из слоев расслоения
(о“=0, о/=0 несет структуру пространства аффинной связности
с абсолютным параллелизмом, т. е. с нулевым тензором кри- *
визны и тензором кручения Ааьс-

То же относится к слоям расслоения <оа=О, <о*=0, где тен-
зором кручения будет Ааьс-

Перейдем к вопросу о том, когда данная структура действи-
тельно осуществляет преобразование Беклунда внешних диф-
ференциальных систем. Для этого необходимо, чтобы диффе-
ренциальный идеал на Я’Д, алгебраически порожденный эле-
ментами (оа—(о“ и некоторым дифференциальным идеалом /о на
базе М расслоения со слоями (оа=*0, (о’,==0, в то же время ал-
гебраически порождался элементами ыа и дифференциаль-
ным идеалом 1о' на базе АГ расслоения со слоями (оа=0, о/—0.
Иначе говоря, необходимо, чтобы элементы

Qa = « - ASC) в* A	+ 4Л\о)6 А <оЧ 24“ Xft/ A .

полученные исключением <i>* из d((o°—ft)a), принадлежали идеа-
лу, порожденному Io, а элементы
Q“ = «—A abc) о? Д O)7 + 4Л^о/ A 0? + 2Л“х<оц A o?

принадлежали идеалу, порожденному Io'.

Наиболее интересный случай будем иметь, когда дифферен-
циальный идеал, порожденной элементами Qa, порождается
дифференциальным идеалом на М, а дифференциальный идеал,
порождаемый элементами Qa, порождается дифференциальным
идеалом на М'.

Производя выкладки, убеждаемся, что для выполнения этих
условий необходимо, чтобы величины

Abed — Abed, Ab^d—Abcd, Аь\с, Ab\c, АрМ,
из уравнений (4.4) выражались алгебраически через коэффи-
циенты уравнений (4.1). Внешние дифференциальные алгебры,
полученные таким образом, не являются инволютивными и тре-
буют сложного анализа.

Примерами такого анализа при п=5, т=1 служат работы
М. Ю. Звягина [31].

§ 5. ДРУГИЕ КЛАССЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР

В заключение перечислим ряд исследований, сходных с
рассмотренными и проведенных участниками семинара по тео-
рии дифференциально-геометрических структур в Московском
государственном университете. Они опубликованы с разной сте-
пенью полноты. Поэтому знакомство с ними может служить и
для упрочения знаний об изложенном в этой книге методе, и
в качестве полезного упражнения — если требуется восстано-
вить пропущенные вычисления.

Одной из первых была работа [7] о геометрии трех урав-
нений с частными производными первого порядка (при двух
независимых переменных), сводящихся к,системе трех внешних
дифференциальных уравнений второй степени в пятимерном
многообразии. В ней рассматривается более широкий круг во-
просов, чем в приведенной в § 3 части работ С. И. Билчева
[29, 30]. Следует отметить описание промежуточных интегра-
лов, инвариантные признаки лииеаризуемости системы, методы
отыскания законов сохранения и использования их для сведе-
ния систем к более простым, а также иллюстрации всего это-
го с помощью классических систем механики сплошных сред.
Значительная часть этих результатов обобщена X. О. Кильп
[32] на квазилинейные системы п уравнений с п неизвестными
и двумя независимыми переменными. Соответствующие струк-
туры уже не являются g-структурами, как в случаях п—2,3.
Однако, как было выяснено, Метод их исследования не слож-
нее, чем для g-структур. X. О. Кильп изучала также системы
трех уравнений с частными производными первого порядка без
дополнительных условий [33] и ряд специальных задач, отио-
12»	179
сящихся к частным классам квазилинейных систем [34] и Др.
В работах Э. М. Кан (Шварцбурд) [35, 36] детально рассмот-
рен случай квазилинейной системы четырех уравнений с попар-
но совпадающими характеристиками, а в работе Л. Н. Орло-
вой [37] — случай системы двух уравнений, одно из’ которых
содержит частные производные первого порядка, а другое —
первого и второго порядка.

Случай двух независимых переменных в определенной смыс-
ле принципиально проще общего случая ввиду распадения ха-
рактеристического конуса. Этого уже нельзя сказать о случае
п=3. Г. М. Кузьмина [38] изучала системы двух уравнений с
двумя неизвестными ц тремя йезависимыми переменными. Ха-
рактеристики такой системы огибают конусы второго порядка
в касательных пространствах. Г. М. Кузьминой рассматрива-
лись случаи сводимости таких систем к одному уравнению вто-
рого порядка и наоборот [39]. Этим, по существу, впервые
рассматривались классы преобразований Беклунда уравнений
более чем с двумя независимыми переменными. Изучались
также аналитические и геометрические признаки систем, обла-
дающих подсистемами функционально-инвариантных решений
в смысле С. Л. Соболева [40]. Строились представления ли-
нейных систем изучаемого вида в виде аналогов уравнений Ди-
рака иа спинорные поля [41].

Другой цикл работ относится к геометрии тканей, т. е. мно-
гообразий с заданными на них несколькими слоениями. Как
всегда, эти структуры рассматривались при определенных усло-
виях регулярности. Нетрудно заметить, что ткани, с локальной
точки зрения, эквивалентны гладким алгебраическим системам,
т. е. гладким операциям над точками гладких многообразий.

В работах Ю. И. Михайлова [42, 43] впервые рассматри-
вались в общей форме два-ткани, т. е. два слоения размерно-
стей m и п на многообразии размерности р>т+п. Такие струк-
туры моделируют бинарные отношения гладких многообразий.
Инвариантно присоединенное к ткани расслоение касательных
реперов дает g-структуру со структурными уравнениями

d<DZ = И* Л о/ + Ид Л

= О^+йаЛоЛ

d©e = и? Д и6 + а“х,и' Д

i=l, ... , п,

1= п -[• 1, ... , п -hffl,

а==п + т+ 1, ... ,р.

Здесь {а0,*} — структурный тензор структуры. В случае р=
•=m+n+mn и невырожденности матрицы (аа,*) (нижний индекс
двойной) выделяется подструктура реперов, для которых мат-
рица является единичной, а группа gi~GL(/n) xGL(n). В слу-
чае, когда структура проектируется на базу одного из слоений
в go-структуру, последняя оказывается так называемой почти
грассмановой структурой, go=gi. Если это имеет место для
обоих слоений, исходная структура локально эквивалентна
многообразию пар вложенных п- и (п+1)-плоскостей проектив-
ного пространства размерности п+пг. Слои одного семейства
получаются, если фиксировать одну плоскость пары, другого —
если вторую. Это выражает частный случай общего правила,
что наиболее простые гладкие алгебраические системы связаны
с линейными операциями. Ряд закономерностей такого рода
выделяется в работах Г. С. Аракеляна [44], который рассмат-
ривал многомерные три-трани со слоями размерностей р, q, г
(r<q) в (p+q)-мерном многообразии, при условии, что первые
два слоения трансверсальны друг к другу, а слои третьего при-
надлежат слоям второго. При этом специальные классы ткайей
соответствуют не только алгебраическим, но и дифференциаль-
но-геометрическим образам в проективных пространствах. Ис-
следованиям Г. С. Аракеляна предшествовали работы
В. Г. Иванова [45, 46, 47], который изучал обобщенный парал-
лелизм на n-мерном многообразии Af, т. е. закон, который каж-
дой точке Р^М и одномерному подпространству IczTpM (ли-
нейному элементу) ставит гладким образом в соответствие ли-. ,
нейный элемент в каждой точке многообразия. На (2n—1) -мер-
ном многообразии LM всех линейных элементов многообразия
М этот параллелизм можно рассматривать как три-ткань с од-
номерными, (n—1) -мерными и n-мерными слоями. А именно,
(n—1)-мерные слои — это совокупности всех линейных элемен-
тов в одной точке многообразия, п-мерные — совокупности эле-
ментов, параллельных между собой, а одномерные определяют-
ся интегральными кривыми дифференциальных уравнений, со-
ответствующих каждому семейству параллельных элементов на
М. С помощью структурных уравнений найдены признаки наи-
более интересных параллелизмов: линейного, при котором
между линейными элементами двух любых точек возникает
проективное соответствие, и параллелизмов в проективном про-
странстве, определяемых гиперповерхностью: линейные элемен-
ты считаются параллельными, если определяемые ими прямые
пересекаются в точке гиперповерхности. Если гиперповерхность
является гиперквадрикой, получается параллелизм в смысле
Лобачевского. Изучались методы построения одних паралле-
лизмов из других.

Классы три-тканей со слоями размерностей р, р, q в много-
образии размерности p+q естественно соответствуют семейст-
вам диффеоморфизмов «/-мерного многообразия, зависящим от
р параметров. Н. X. Селиванова (Азизова) [48] детально изу-
чала случай р=1, q=2, вкратце рассматривавшийся еще
В. Бляшке и Г. Болом [24]. Наиболее интересным является
введение в изучение систем импримитивности, обобщающих
соответствующее понятие для групп преобразований, а также
изучение интразивного случая, который В. Бляшке ошибочно
считал тривиальным. Ю. А. Апресян [49, 50] рассматривал
случаи р=2 и р=3 при <7=1. Выделен ряд случаев, связанных
с интересными геометрическими структурами. Решена трудная
задача об определении тканей этого типа, несущих много плос-
ких подтканей.

Интегралом слоения называется гладкая функция, постоян-
ная на каждом из слоев. Задачей о ранге ткани на многообра-
зии М называется задача определения интегралов различных
ее слоений, связанных наперед заданными линейными зависи-
мостями. Задача приводит к системе линейных уравнений в не-
котором векторном расслоении над М. Если множество реше-
ний конечномерно, оно определяет инвариантным образом гео-
метрическую реализацию ткани в линейном или проективном
пространстве. Наибольшую роль задача о ранге играет в рабо-
тах Е. И. Индрупской [51, 52, 53], которая рассматривала в
(2и+1) -мерном многообразии три-ткани из n-мерных слоений,
причем касательные плоскости к слоям в каждой точке при-
надлежат 2и-мерному подпространству касательного простран-
ства. В случае максимальности класса определенного таким
образом 2и-мерного распределения ткани максимального ранга
реализуются тройками коллинеарных точек (п+1)-мерного не-
евклидова или евклидова пространства, расстояния между ко-
торыми постоянны. Исследовались также случаи, когда класс
распределения снижается, а также другие вырождения.

Как впервые заметил Т. Ж. Назиров [26], в случае, когда
ранг ткани в смысле Бляшке оказывается бесконечным, в про-
странстве решений соответствующей системы можно выделить
подпространство конечной коразмерности, которую можно на-
звать обобщенным рангом. В этом случае также определяется
инвариантная реализация ткани. Т. Ж. Назиров нашел такую
реализацию для специальных три-тканей кривых в Af3 (ср. § 1),
имеющих максимальный обобщенный ранг. Е. И. Индрупская
решила ту же задачу в более сложном случае три-тканей в Af4.

Г. С. Стоев [54] изучал геометрию n-ткаией кривых в «-мер-
ном многообразии. Структурный тензор этой ^-структуры со-
стоит из большого, числа однокомпонентных тензоров (относи-
тельных инвариантов). Г. С. Стоев изучал геометрию тех клас-
сов тканей, у которых число отличных от нуля относительных
инвариантов этого типа минимально, при условии, что п-ткань
все же не представима в виде произведения таких же тканей
меньшей размерности. Ткани такого типа отличаются разно-
образием, но всегда связаны с другими интересными структу-
рами.

Методы, развиваемые в данной книге, нашли также непо-
средственное применение в циклах работ: М. В. Васильевой —
по финслеровой геометрии и ее обобщениям, Н. В. Степанова
и его учеников — по геометрии обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, В. ф. Кириченко — по геометрии почти эрмито-
вых структур. Изложение этих результатов содержится в рабо-
тах [55, 56, 57, 58, 59, 60].
Заключение

Подытожим изложенные в курсе сведения о методах изу-
чения дифференциально-геометрических структур с помощью
внешнего дифференциального исчисления.

Первые три главы носят подготовительный характер.

В четвертой главе даны способы присоединения внешних
дифференциальных алгебр последовательно к многообразиям
с заданным на них действием группы Ли (многообразиям гео-
метрических объектов), к расслоениям со структурными груп-
пами Ли, к расслоениям дифференциально-геометрических объ-
ектов над многообразиями и над главными расслоениями и,
наконец, к дифференциально-геометрическим структурам в
многообразиях и расслоениях.

Каждая внешняя дифференциальная алгебра А, присоеди-
ненная к совокупности ”:1фференциально-геометрических струк-
тур о заданного рода iu многообразии Af, характеризует их ло-
кальные свойства с точностью до некоторого порядка k, т. е.,
свойства струй порядка k сечений о расслоения дифференци-
ально-геометрических объектов данного рода. Для каждой
структуры а на многообразии М алгебра А реализуется функ-
циями и формами на некотором расслоении Е над М. При этом
определена последовательность расслоений

Е-+Н-+М,

где Н — некоторое подрасслоение расслоения касательных ре-
перов порядка h+k многообразия М (h — порядок структу-
ры а).

Соответствие между родами дифференциально-геометриче-
ских структур и внешними дифференциальными алгебрами не
взаимно-однозначное. Если связать элементы нулевой степени
алгебры А соотношениями иа=0, <х=1, ..., s, между элемента-
ми нулевой степени, а также соотношениями dua=0, получим
новую внешнюю дифференциальную алгебру А — факторалгеб-
ру алгебры А по дифференциальному идеалу Id, порожденному
элементами иа, dua. Если при этом элементы иа, dua независи-
мы в алгебре А, идеал Id называется канонизирующим. В этом
случае алгебра Д характеризует тот же род структур а, что и А,
и реализуется на подрасслоеииях Е<^Е,ЙаН коразмерностей s.
Таким образом, две дифференциальные алгебры А к А' харак-
теризуют структуры одного рода с одинаковым порядком k,
если существует третья -алгебра А", выполняющая те же функ-
ции, из которой А и А' получаются факторизацией по канони-
зирующим идеалам.

В пятой главе применение этого аппарата конкретизируется
для случая дифференциально-геометрических структур тензор-
ного типа. Все серьезно изучавшиеся до сих пор структуры от-
носятся к этому типу.

Аналитическое описание структур некоторого рода следует
считать полным, если задано правило построения бесконечной
последовательности внешних дифференциальных алгебр А,-,
' связанных дифференциальными гомоморфизмами <р,-:

<Р1

(1)
и способных характеризовать структуру с точностью до произ-
вольно высокого порядка.

Уже в четвертой главе для некоторых «основных» внешних
дифференциальных алгебр А, характеризующих структуры, да-
ны построения последовательности (1) продолженных диффе-
ренциальных алгебр. .Для всех остальных внешних дифферен-
циальных алгебр, выполняющих ту же роль, более общий про-
цесс продолжения описывается в шестой главе. Одновременно
излагается метод решения типичных для дифференциальной
геометрии и ее приложений задач о существовании классов
дифференциально-геометрических структур данного рода, обла-
дающих заданными локальными свойствами.	'

Так как в § 3, 4 гл. VI процесс решения этих задач изло-
жни в специальных алгебраических терминах, повторим его
здесь в более элементарной форме.

Рассматриваемые внешние дифференциальные алгебры име-
ют специальное строение. Из них одна часть задается в виде
внешних произведений своих подалгебр С и A(N): A=Cf\A(N).
Это означает, что алгебра А порождена элементами двух дан-
ных подалгебр, причем элементы из различных подалгебр не
связаны между собой никакими соотношениями, кроме выте-
кающих из общих аксиом, которыми определяются внешние
алгебры. Подалгебра С имеет образующие элементы лишь ну-
левой и первой степеней, базисные определяющие соотношения
между которыми связывают элементы, принадлежащие подал-
гебре С(0) всех элементов нулевой степени, либо являются ли-
нейными соотношениями между элементами первой степени с
коэффициентами из С<0). Алгебра А (V) имеет кроме' констант
лишь образующие первой и второй степени. Она содержит под-
алгебру F с образующими со1, ..., соп первой степени и едини-
цей. Алгебра F является внешней свободной, т. е. <о* связаны
лишь соотношениями, которые следуют из общих законов внеш-
него умножения. Кроме них в A(N) можно выделить систему
образующих элементов 0“ первой степени и Q6 - второй степе-
ни таким образом, чтобы все базисные определяющие соотно-
184	4
шения между со', 0“, Q6 были линейными однородными относи-
тельно 0“, Q5 с коэффициентами — элементами подалгебры F.
Иначе говоря, 0“, Q5 порождают внешний градуированный мо-
дуль N над алгеброй F, а алгебра 4(Af) порождена модулем
М в том смысле, что в ней нет нетривиальных соотношении
между элементами, не следующих из соотношений, задаю-
щих N.

Остальные алгебры А, соответствующие классам дифферен-
циально-геометрических структур, имеют несколько более об-
щее строение Д=СДХЛ(У), отличающееся от предыдущего тем,
что N — модуль не над F, а над v./\F=v.®F, где х<=4(0> — ком-
мутативная алгебра, дифференциалы элементов которой принад-
лежат хДС=х®С.

Продолженная алгебра 41, характеризующая свойства диф-
ференциально-геометрических структур с порядком на единицу
больше, чем алгебра А, получается из 4=СД4(У) операцией
«дифференциального продолжения». Основной этап этой опе-
рации составляет натуральный инъективный гомоморфизм Л
модуля N в свободный F-модуль F®L, где L — векторное про-
странство, градуированное неотрицательными степенями. При
этом натуральность означает, что в L нет градуированного под-
пространства L' такого, что A(Af)<=F®L'. Натуральный инъек-
тивный гомоморфизм определяется неоднозначно. Например,
для данного &:N-+F®L может существовать свободный под-
модуль F®£<=F®£ такой, что Д(У)с£®£. Соответствующий
гомоморфизм Д называется сокращением Д. Чтобы найти явные
формулы для натуральных инъективных гомоморфизмов, вспом-
ним, что N получается наложением однородных соотношений
вида

й6Л<»?+6вЛ<»ах=0,	Л=1, ..., т	(2>

иа элементы модуля F®£0. Здесь £0 — градуированное прост-
ранство с базисом 0“, Qs, a <о6х, Будем иметь

Дй* =й£ + й|Л со1' + У gW Л
k<t

Д0а=02 + р^,	(3>

где Й&е£<2>, й|, OjeLW, <f[k,

Д будет натуральным инъективным тогда и только тогда,
когда как элементы ЙОЕ, так и элементы й?, 0О“ или элементы
q*ik, pai будут связаны между собой лишь линейными однород-
ными уравнениями с постоянными коэффициентами, выражаю-
щими, что

(Дй6) Ли{х+ (Д0“) Л®а^0

как элементы свободного модуля FQL, т. е. без существования
каких-либо нетривиальных соотношений между <o'c=F и эле-
ментами из L. Беря общие решения этих уравнений, получим
выражения

ДО* = 4*0“ + В^б1 Ай1' + £ С1^ашк Л со1,
k<i

(4)

Здесь 46u, B\i, С*аы, D\, Eaai — константы, Q“, 0х, qa - базис-
ные элементы пространства L соответственно второй, первой , и
нулевой степеней.

Не входя в детали, заметим, что для алгебр, характеризую-
щих дифференциально-геометрические структуры, должно иметь
место 41?=0, т. е. L=L(1)-t-L(0), что мы и будем предполагать
в дальнейшем.

Возможные сокращения данного продолжения можно полу-
чить за счет допустимых замен образующего пространства L в
F®L на другое, с базисными элементами qa и 0x=0x+/txai<7a(b‘.
При этом коэффициенты в (4) будут варьироваться по форму-
лам

Cafti= Cafei —B^t7lafc,
f***a	ra

За счет этого можно добиться, чтобы в (4) входили существен-
но не все qa, а лишь их линейные комбинации ts=Hasqa, Has—
=const. Тогда Д отображает N в F®£aF®L, где £ — про-
странство с базисом 0х, ts.

Гомоморфизм модулей Д порождает гомоморфизм Д' алгебр

4—СA[L] Л В.

Здесь [£] — внешняя алгебра, свободно порожденная элемента-
ми 0х первой степени и ts — нулевой степени, С и F отобража-
ются тождественно, а 4 (W) — с помощью гомоморфизма Д.
Этот гомоморфизм внешних алгебр можно расширить до диф-
ференциального гомоморфизма, если расширить алгебру СД
Д[£]ДВ элементами d&, dts второй и первой степеней, а затем
достроить гомоморфизм Д' до дифференциального гомоморфиз-
ма Д/ алгебры 4 в факторалгебру 41 алгебры СД[£]Д[^£]Д
ДВ по идеалу, порожденному элементами

d(A'a)-AZ(da), NaeN.	(5)

В (5) элементы d0x, dts входят линейно, с коэффициентами из
подалгебры В. Алгебра 41 и будет дифференциальным продол-
жением алгебры 4. Дифференциальное продолжение называет-
ся правильным, если (5) можно сделать линейными однород-
ными относительно г/0М-Ф\ dM+cps при подходящем выборе
элементов Ф\ <ps, не содержащих db\ dts. В этом случае Ai бу-
дет иметь строение А^СчЛА^), где C^CAff], а образую-
щими модуля Ni являются dO’’+Ф’', dts+<ps. Гомоморфизм Д'<<
при этом будет инъективным.

Рассматриваемое в гл. VI понятие ннволютивности Г-модуля
N является критерием того, что алгебра А допускает бесконеч-
ную последовательность правильных дифференциальных про-
должений.

В случае, когда A=C/\„A(N), построение продолжений идет
теми же путями, с тем существенным отличием, что системы
линейных алгебраических уравнений, которые при этом прихо-
дится решать, имеют коэффициентами не константы, а элемен-
ты из алгебры я. «Общие решения» таких систем строятся, во-
обще говоря, неоднозначно. Это соответствует возможности су-
ществования «особых решений» у систем дифференциальных
уравнений общего вида.

Седьмая глава посвящена рассмотрению дифференциально-
геометрических структур специального строения, в частности,
способов конструирования одних структур из других, более
простых. Основная мысль здесь заключается в том, что геомет-
рическим отношениям между структурами соответствуют Опре-
деленные алгебраические отношения между характеризующими
их внешними дифференциальными алгебрами. Точнее будет ска-
зать, что, когда структура получена с помощью некоторых кон-
струкций из других структур, среди характеризующих ее диф-
ференциальных алгебр существует такая, которая достаточно
простым способом конструируется из дифференциальных ал-
гебр, характеризующих структуры-компоненты.

Действие методов, перечисленных в этом заключении, полез-
но еще раз проследить на примерах, содержащихся в седьмой
и восьмой главах.
Литература

1.	Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. М.-Л., 1948.

2.	Фиников С. П. Теория конгруенцнй. М.-Л., 1950.

&	Фиников С. П. Теория пар конгруенцнй. М., 1956.

4.	Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных много-
образий // Гр. Моск, матем. о-ва. 1953. № 2. С. 275—382.

5.	Остиану Н. М., Рыжков В. В., Швейкин П. И. Очерк науч-
ных исследований Гермаиа Федоровича Лаптева // Труды геометрического
семинара. Т. IV. М.: ВИНИТИ, 1973. С. 7—70.

6.	Васильев А. М. Инвариантные аналитические методы в диффе-
ренциальной геометрии // ДАН СССР. 1951. Т. 79, № 1. С. 5—7.

7.	Васильев А. М. Системы трех дифференциальных уравнений с
частными производными первого порядка при трех неизвестных функциях и
двух независимых переменных (локальная теория) // Матем. сборник. 1966.
Т. 70, вып. 4. С. 457—480.

8.	Васильев А. М. Дифференциальная алгебра как аппарат диффе-
ренциальной геометрии // Труды геометрического семинара. Т. I. М.г
ВИНИТИ, 1966. С. 33—62.

9.	Васильев А. М. Инволютивные дифференциальные алгебры //
Сибирский матем. журнал. 1968. Т. IX. № 4. С. 757—772.

10.	Васильев А. М. Инволютивные модули и инволютивные диффе-
ренциальные алгебры // Труды геометрического семинара. Т. IV. М.:
ВИНИТИ, 1973. С. 205—216.

11.	Васильев А. М. Дифференциальные алгебры и дифференциально-
геометрические структуры // Труды геометрического семинара. Т. IV. М.:
ВИНИТИ, 1973. С. 217—230.

12.	Васильев А. М. Алгебраические вопросы дифференциальной гео-
метрии. О продолжениях дифференциальных алгебр // Математика. Извес-
тия высш, учебн. заведений. 1974. №'5 (144). С. 40—46.

13.	Васильев А. М. Дифференциальная алгебра. Контравариантные
аналитические методы в дифференциальной геометрии // Проблемы геомет-
рии. Т. 10. М.: ВИНИТИ, 1978. С. 5—24.

14.	Евтушйк Л. Е., Л у мисте Ю. Г., Остиаиу Н. М., Широ-
ков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях //*
Проблемы геометрии. Т. 9. М.: ВИНИТИ, 1979. С. 7—246.

15.	Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.„
1970.

16.	Зулаике Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и рас-
слоения. М., 1975.

17.	Кобаяси Ш, Номидзу К. Основы дифференциальной геомет-
рии. Т. 1, И. М., 1981.

18.	Стин род Н. Топология косых произведений. М., 1953.

19.	К а р т а и Э. Внешние дифференциальные системы и их геометриче-
ские приложения. М„ 1962.

20.	Рашевский П. К. Геометрическая, теории дифференциальных:
уравнений с частными производными. М.-Л., 1947.

21.	Помаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псев-
догруппы Ли. М., 1983.
22.	Капланский И. Введение в дифференциальную алгебру. М.»

23.	Васильев А. М. Линейные дифференциальные системы и инва-
риантные реализации дифференцнально-геометрическвх структур // Матема-
тика. Известии высш, учебн. заведений. 1984. № 7. С. 22—34.

24.	Б л и ш к е В. Введение в геометрию тканей. М., 1959.

25.	Н а з н р о в Т. Ж. О 3-тканях кривых // Вест. Моск, ун-та. Сер.
матем., механ. 1965. № 1. С. 37—51.

26.	Назиров Т. Ж. О максимальном ранге 3>-ткаией кривых в прост-
ранстве // Вест. Моск, ун-та. Сер. матем., механ. 1965. № 5. С. 27—34.

27.	Арутюнян С. X. Геометрия n-кратиого интеграла, зависящего от
п параметров // Докл. АН АрмССР. Т. 611, № 1. С. 7—14.

28.	Рашевский П. К. Скалярное поле в расслоенном пространстве //
Труды семинара по вект. н тензорному анализу. Т. VI. М.-Л., 1948. С. 225—
248.

29.	Билчев С. И. Системы из двух дифференциальных уравнений с
частными производными первого порядка (локальная теория) Ц Матема-
тика. Известия высш, учеби. заведений. 1970. № 1 (94). С. 14—21',.

30.	Б н л ч е в С. И. Системы из двух дифференциальных уравнений с
частными производными первого порядка (о законах сохраиеиня) // Мате-
матика. Известия высш, учеби. заведений. 1970. № 6. С. 28—34.

31.	Зв яги и М. Ю. О вариационных преобразованиях Беклунда // Ма-
тематика. Известия высш, учеби. заведений. 1984. № 7. С. 44—49.

32.	Кнльп X. О. Квазилинейные системы дифференциальных уравне-
ний с частными производными первого порядка при т неизвестных функ-
циях двух независимых переменных и с несовпадающими характеристиками
(геометрическая теория) Ц Уч. зап. Тартуск. гос. ун-та. 1,971. Вып. 281.
С. 63—85.

.33	. К и л ь п X. О. К геометрии системы трех дифференциальных уравне-
ний с частными производными первого порядка // Уч. зап. Тартуск. гос.
ун-та. 1971. Вып. 277. С. 78—97.

34.	К и л ь п X. О. Две квазилинейные системы типа S'sxd из механики
с шестиугольной три-тканью характеристик (геометрическая теория) // Уч.
зап. Тартуск. гос. ун-та. 1975. Вып. 374. С. 63—78.

35.	III в а р ц б у р д Э. М. Структурные уравнения системы четырех
дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка Ц
Уч. зап. Моск. гос. ии-та им. В. И. Ленина. 1965. № 243. С. 192—199.

36.	Каи Э. М. О законах сохраиеиня дли квазилинейных систем четы-
рех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка//
Математика. Известия высш, учеби. заведений. 1968'. № 1 (68). С. 78—80.

37.	Орлова Л. Н. Система двух дифференциальных уравнений с част-
ными производными 1-го н 2-го порядка прн двух функциях от двух неза-
висимых переменных // Уч. зап. Моск. гос. пед. нн-та нм. В. И. Ленина.
1967. №,271. С. 103—112.

38.	Кузьмина Г. М. О геометрии системы двух дифференциальных
уравнений в частных производных // Уч. зап. Моск. гос. пед. ии-та
им. В. И. Ленина. 1965. № 243. С. 99—108.

39.	Кузьмина Г. М. О возможности сведения системы двух уравне-
ний с частными производными первого порядка к одному уравнению второго
порядка // Уч. зап. Моск. гос. пед. ии-та им. В. И. Ленина. 1967. № 271.
С. 67—76.

40.	Кузьмина Г. М. Фуикцноиальио-нивариаитные законы сохранения
некоторых систем дифференциальных уравнений // Сибирский матем. жур-
нал. 1968. Т. 9, № 6. С. 1307—1321.

41.	Кузьмина Г. М. Линейные системы S'm как аналог уравнений
Дирака II Математика. Известия высш, учебн. заведений. 1967. № 10 (65).
С. 56—61.

42.	М и х а й л о в Ю. И. Об одном классе многомерных два-ткаией //
Математика. Известия высш, учебн. заведений. 1975. № 7 (158). С. 64—75.
43.	Михайлов Ю. И. О структуре почти грассмановых многообра-
зий // Математика. Известия высш, учеби. заведений. 1978. № 2 (189).
С. 62—72.

44.	Аракелян Г. С. Некоторые классы многомерных три-ткаией, у
которых поверхности одного из семейств принадлежат поверхностям другого
семейства // Вести. Моск, ун-та. Сер. матем., мехаи. 1981. № 2. С. 3—7.

45.	И в а и о в В. Г. Пространства с обобщенным параллелизмом //
Геометрия погоужеииых многообразий: Сборник научных трудов. Моск. гос.
пед. ни-т нм. В. И. Ленина. М„ 1978. С. 47—54.

46.	Иванов В. Г. Линейный обобщенный параллелизм // Геометрия
погруженных многообразий. Сборник научных трудов. Моск. гос. пед. ии-г
им. В. И. Ленина. М., 1979. С. 51—56.

47.	Иванов В. Г. Обобщенный парвллелизм в проективном простран-
стве // Математика. Известия высш, учеби. заведений. 1980. № 8 (219).
С. 27—31.

48.	Азизова Н. X. О тканях кривых и поверхностей // Уч. зап. Моск,
гос. пед. ии-та им. В. И. Ленина. 19/0. № 374, С. 7—17.

49.	Апресяи Ю. А. О многомерных три-ткаиях, образованных двумя
семействами гиперповерхностей и одним семейством кривых // Математика.
Известия высш, учеби. заведений. 1977. № 4 (179). С. 132—135.

50.	Апресяи Ю. А. Три-ткани кривых и гиперповерхностей и семей-
ства диффеоморфизмов одномерных многообразий // Дифференциальная
геометрия. Калинин, 1977. С. 10—22.

51.	Верба Е. И. Три-ткани из кривых, удовлетворяющих одному урав-
нению Пфаффа // Геометрии однородных пространств. Сборник научных
трудов. Моск. гос. пед. ин-т им. В. И. Ленина. М., 1976. С. 82—88.

52.	Верба Е. И. Неголоиомиые три-ткани // Геометрия погруженных
многообразий. Сборник научных трудов. Моск. гос. пед. ии-т им. В. И. Ле-
нина. М., 1978. С. 18—25.

53.	Ии др упекая Е. И. Неголоиомиые три-ткаии максимального ран-
га // Геометрия погруженных многообразий. Сборник научных трудов. Моск,
гос. пед. ни-т им. В. И. Ленина. М., 1979. С. 57—61.

54.	Стоев Г. С. Неразложимые с минимальной степенью иеголоиом-
ности я-ткаии кривых на я-мериом многообразии // Вест. Моск, ун-та. Сер.
матем., мехаи. 1971. № 5. С. 16—24.

55.	Васильева М. В. Бесконечные группы Ли и их геометрические
приложении. М., 1975.

56.	Васильева М. В. Структура я-мёрного финслерова простран-
ства // Геометрия погруженных многообразий. Сборник трудов. Моск. гос.
пед. ии-т им. В. И. Ленина. М., 1978. С. 10—17.

57.	Васильева М. В. Группы голоиомии я-мериого финслерова про-
странства // Геометрия погруженных многообразий. Сборник научных тру-
дов. Моск. гос. пед. ии-т им. В. И. Ленина. М., 1979. С. 14—21.

58.	Степанов Н. В. Дифференциально-геометрическаи теория Урав-
нения у(“>=/(х, У< У'...у(п-1)) // Проблемы геометрии. Т. 7. М.: ВИНИТИ,

1977. С. 47—66.

59.	Степанов Н. В. Геометрия дифференциальных уравнений //
Проблемы геометрии. Т. 12. М.: ВИНИТИ, 1981. С. 127—164.

60.	Кириченко В. Ф. Дифференциальная геометрия К-простраиств //
Проблемы геометрии. Т. 8. М.: ВИНИТИ, 1977. С. 139—162.
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Основным магазином по распространению книг
Издательства Московского университета является
книжный магазин № ПО «Университетская книжная
лавка».

При отсутствии необходимой литературы в мест-
ных книжных магазинах иногородние покупатели мо-
гут оформить предварительный заказ через магазин
№ 93 «Книга — почтой».

Заказы на книги отправляйте по адресам:
117296, Москва, Ломоносовский проспект, 18, мага-
зин № ПО «Университетская книжная лавка» (для
москвичей).

117168, Москва, ул. Кржижановского, 14, магазин
№ 93 «Книга — почтой» (для иногородних).
к

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Анатолий Михайлович Васильев

ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
СТРУКТУР

Заведующий редакцией С. И. Зеленский

Редакторы А. А. Локшин, О. В. Семененко

Художественный редактор Е. М. Демина

Технические редакторы Н. И. Матюшина,

К. С. Чистякова

Корректоры Л. А. Айдарбекова, Л. А. Костылева

ИБ № 2613

Сдано в набор 28.10.86. Подписано в печать 20.05.87.

Л-621129. Формат 60x90Vie-	Бумага офсетная № 2.

Гарнитура литературная. Офсетная печать. Усл. печ. л. 12.0.

Уч.-нзд. л. 12.09. Тираж 4360 экз. Заказ 523, Изд. № 4338.
Цена 40 коп.

Ордена «Знак Почета» издательство Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.

Типография ордена «Знак Почета» нзд-ва МГУ.

1Г9899, Москва, Ленинские горы