СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА — одно из основных
понятий теории вероятностей. Роль понятий С. в. и
ее математического ожидания впервые ясно оценил
П. Л. Чебышев A867, см. [1]). Понимание того факта,
что понятие С. в. есть частный случай общего понятия
функции, пришло значительно позднее. Полное и сво-
свободное от всяких излишних ограничений изложение
основ теории вероятностей на основе теории меры
дано А. Н. Колмогоровым A933, см. [2J); оно сделало
совершенно очевидным, что С. в. есть ни что иное, как
измеримая функция на каком-либо вероятностном про-
пространстве. Это обстоятельство весьма важно учиты-
учитывать даже при первоначальном изложении теории ве-
вероятностей. В учебной литературе эта точка зрения
юследовательно проведена впервые У. Феллером (см.
предисловие к [3], где изложение строится на понятии
пространства элементарных событий и подчеркивается,
что лишь в этом случае представление о С. в. становится
содержательным).
Пусть (Q, Л, Р) — вероятностное пространство.
Однозначную действительную функцию Х — Х (со), оп-
определенную на Q, наз. случайной величи-
величиной, если при любом действительном х множество
{со : X (ы)<Сх] входит в класс Л- Пусть X — какая-
либо С. в. и Лх — класс тех CdR1, для к-рых {со :
X(w)gC}g^; это будет о-алгебра. Класс <ШХ всех
борелевских подмножеств числовой прямой Rt во вся-
всяком случае содержится в Лх- Меру Рх, определенную
на <®х равенством Рх {В) = Р {со : X (со) ?5}, B?<3i,
наз. распределением вероятностей С. в. X. Эта мера
однозначно определяется по распределения функции
С. в. X, т. е. по функции
Значения вероятностей Р {со : X (со) ? С}, С?Лх (т- е-
значения меры, служащей продолжением распреде-
распределения Рх на о-алгебру Лх) по функции распреде-
распределения Fx однозначно, вообще говоря, не определя-
определяются (достаточным для такой однозначности является
т. н. условие совершенности меры Р, см.
Совершенная мера, а также [4]). Указанное обстоя-
обстоятельство надо постоянно иметь в виду (напр., при
доказательстве того, что распределение С. в. однозначно
определяется по его характеристической функции).
Если С. в. X принимает конечное или счетное число
попарно различных значений хг, х2, . . ., хп, ... с
вероятностями pt, ..., рп, ... рп = Р {со : X (со)=жп},
то ее распределение вероятностей (называемое в этом
случае дискретным) задается формулой
Распределение С. в. X наз. непрерывны м, если
существует функция р (х) (плотность вероятности)
такая, что х
для всякого интервала В (или, что то же самое, для
любого борелевского множества В). В обычной терми-
терминологии математич. анализа это означает абсолютную
непрерывность Р^ по отношению к мере Лебега на R1.
Ряд общих свойств распределения вероятностей
С. в. достаточно полно описывается небольшим коли-

чеством числовых характеристик. При этом медиана
и квантили имеют то преимущество, что они определены
для любых распределений, хотя наиболее употреби-
употребительны математическое ожидание ЕХ и дисперсия
DX С. в. X. См. также Вероятностей теория.
Комплексная С. в. X определяется парой действи-
действительных С. в. Х[ и Х2 по формуле
Упорядоченный набор (Хг, . . ., Xs) С. в. можно
рассматривать как случайный век top со
значениями в Rs.
Обобщением понятия С. в. на бесконечномерный
случай служит понятие случайного элемента.
Следует отметить, что в нек-рых задачах математич.
анализа и теории чисел целесообразно рассматривать
участвующие в их формулировках функции как С. в.,
определенные на подходящих вероятностных прост-
пространствах (см., напр., [5]).
Лит.: [1] Ч е б ы ш е в П. Л., О средних величинах, в кн.:
Поли. собр. соч., т. 2, М.— Л., 1947; [2] Колмогорова. Н.,
Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974: [3]
Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения,
пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967; 14] Гнеденко Б. В.,
Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм
независимых случайных величин, М.— Л., 1949; [5] К а ц М.,
Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе
и теории чисел, пер. с англ., М., 1963. Ю. В. Прохоров.
СЛУЧАЙНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, случай-
случайный процесс с дискретным време-
временем, временной р я д,— случайная функция,
заданная на множестве всех целых чисел i=0, ±1, ±2,
. . . или целых положительных чисел <=1, 2, ...
А. М. Яглом.
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ — функция произволь-
произвольного аргумента t (заданная на множестве Т его значе-
значений и принимающая числовые значения или, более
общо, значения из какого-то векторного пространства)
такая, что ее значения определяются с помощью нек-ро-
го испытания и в зависимости от его исхода могут быть
различными, причем для них существует определенное
распределение вероятностей. В теории вероятностей
основное внимание обычно уделяется числовым (т. е.
скалярным) С. ф. X (?); векторные же С. ф. X(t) можно
рассматривать как совокупность скалярных функций
Х<х {t), где а пробегает конечное или счетное множество
А номеров компонент вектора X, т. е. как числовую
С. ф., заданную на новом множестве Ту— T@A nap (t, a),
?T ?A
Если множество Т конечно, то С. ф. X (t) на Т пред-
представляет собой конечный набор случайных величин,
к-рый можно считать одной многомерной (векторной)
случайной величиной, характеризуемой многомерной
функцией распределения. Из числа С. ф. с бесконечным
Т наиболее изучен частный случай, когда t принимает
числовые (действительные) значения; в этом случае
чаще всего t является временем, а С. ф. X (t) наз. слу-
случайным процессом (если же время t пробегает лишь
целочисленные значения, то также и случайной после-
последовательностью, или временным рядо м). Если
значениями аргумента t являются точки нек-рого мно-
многомерного многообразия (напр., fc-мерного евклидова
пространства R*), то С. ф. X (t) наз. случайным полем.
Распределение вероятностей значений С. ф. X (t),
определенной на бесконечном множестве Т, можно

охарактеризовать совокупностью конечномерных рас-
распределений вероятностей для групп случайных величин
X(ti), X (t2), . . ., X (*„), отвечающих всевозможным
конечным подмножествам {t±, t2, . . ., tn} элементов Т,
т. е. совокупностью соответствующих конечномерных
функций распределения Ft t t (xlt x.2, . . ., xn),
5гдовлетворнющих следующим условиям согласован-
согласованности :
h n.n + i B + B
= Ftx tnD,---,xn), A)
I't. t. (xii> •••> xin)==Ftl /„^i- •••> xn)> B)
'l 'n
где ц, . . ., in~ произвольная перестановка индек-
индексов 1, . . ., п. Такое задание распределения вероят-
вероятностей С. ф. X (?) достаточно во всех случаях, когда
интересуются лишь событиями, зависящими от зна-
значений X (t) на конечных множествах значений иргу-
мента t. Однако такое задание С. ф. не позволяет оп-
определить вероятности свойств С. ф., зависящих от ео
значений на непрерывном множестве значений t, типа
вероятности непрерывности или дифференцируемости
С. ф. или вероятности того, что С. ф. X (i) на непрерыв-
непрерывном множестве значений t будет удовлетворять нера-
неравенству X (t)<.a (см. Сепарабельный процесс).
Более общее задание С. ф. связано с ее описанием
как совокупности случайных величин Х = Х (со), за-
заданных на одном и том же вероятностном пространство
(Q, ui, Р) (где Q — непустое множество точек со, ,А —
выделенная о-алгебра подмножеств Q, а Р — заданная
на Jl вероятностная мера) и отвечающих всевозможным
точкам t множества Т. При таком подходе под С. ф.
на множестве Т следует понимать функцию X (t, со)
двух переменных t?T и w^Q, являющуюся ,//-измери-
мой функцией со при каждом фиксированном значении
t (т. е. при фиксированном t обращающуюся в случай-
случайную величину, определенную на вероятностном про-
пространстве (Q, t//, P)). Фиксируя значение аргумента
со=со0 функции X (t, ш), получают числовую функцию
X (t, щ)=х (t) на 1\ называемую реализацией
(или выборочной функцией, или, если t —
это время, т р а с к т о р и е й) С. ф. X (t); о-алгебра Л
и мера Р при этом индуцируют о-алгебру подмножеств
и определенную на ней вероятностную меру в функцио-
функциональном пространстве RT={x(t), t?T} реализацией
x(t), задание к-pofi также можно считать эквивалент-
эквивалентным заданию С. ф. Задание С. ф. как вероятностной
меры, определенной на о-алгебре подмножеств функцио-
функционального пространства RT всевозможных реализаций
x(t), можно рассматривать как частный случай общего
задания С. ф. как функции двух переменных X (/, со)
(где ш принадлежит вероятностному пространству
(Q, (/?, Р)), соответствующий условию, что Q = RT, т. с.
что элементарные события (точки со исходного веро-
вероятностного пространства) с самого начала отождеств-
отождествляются с реализациями x(t) С. ф. X (t); с другой сто-
стороны, можно также показать, что к такому заданию
С. ф. с помощью указания вероятностной меры на Rr
сводятся и все другие способы задания С. ф. X (/).
В частности, задание совокупности всевозможных
конечномерных функций распределения Fti _^ tn(xi>
• • •> хп), удовлетворяющих условиям согласованности
A) и B). в силу фундаментальной теоремы Колмого-
Колмогорова о согласованных распределениях (см. Вероятност-
Вероятностное пространство), определяет вероятностную меру на
ст-алгебре подмножеств функционального пространства
RT={x(t), t g T}, порожденной совокупностью цилинд-
рич. множеств вида {х (t) : [х(Ц), . . ., x(tn)]?Bn}, где
п — произвольное целое положительное число, а В" —
произвольное борелевское множество «-мерного про-
пространства R" векторов |.г(/|), . . ., j(tn)].
Лит. см. при ст. Случайный, процесс. А. М. Яглом.

СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ — специального вида
случайный процесс, к-ръш можно интерпретировать
как модель, описывающую перемещение частицы в
нек-ром фазовом пространстве под воздействием ка-
какого-либо случайного механизма. Фазовым прост-
пространством обычно бывает d-мерное евклидово простран-
пространство или целочисленная решетка в нем. Случайные
механизмы могут быть различными; чаще рассматри-
рассматривают С. б., порожденные суммированием независимых
случайных величин или цепями Маркова. Точного
общепринятого определения С. б. нет.
Траектории простейших С. б. в случае d=l описы-
описываются начальным положением 50=0 и последова-
последовательностью сумм
5п = Х1+... + Хв,я = 1, 2, ..., A)
где Xi независимы и имеют распределение Бернулли
Р{Х^1}=р, Р{Х/ = -1} = в = 1-р, р?@, 1).
Значение Sn можно интерпретировать как выигрыш
одного из двух игроков после п партий в игре, в к-рой
этот игрок в каждой из партий выигрывает один рубль
с вероятностью р и проигрывает его с вероятностью
1—р. Если игра ведется с помощью подбрасывания
симметричной монеты, то следует ноло;::ить р=1/2
(симметричное б л у ж д а н и е, см. Бернулли
блуждание). При допущении, что начальный капитал
1-го игрока равен Ь, а начальный капитал 2-го игрока
равен а, игра закончится, когда блуждающая частица
(с координатами Slt 52, . . .) впервые коснется одного
из уровней а или —6. В этот момент один из игроков
разорится. Эта классич. задача о разорении, в к-рой
барьеры в точках а и —Ъ можно рассматривать как
поглощающие.
В приложениях, связанных с массового обслуживания
теорией, частица вблизи барьеров а и — 6 = 0 может
вести себя иначе: напр., если а=оо, 6=0, то положение
Zn + 1 блуждающей частицы в момент и-f-l в соответ-
соответствии с A) описывается соотношением
, Zn+Xn+1), B)
и барьер в точке 0 можно наз. задерживающим.
Существуют и другие возможности для поведения чл
стицы вблизи барьеров.
Если а=оо, то получают задачи для С. б. с о д н о п
границей. Если а=Ь— со, то получают неогра-
неограниченное С. б. Изучение описанных С. б. про-
происходит обычно с помощью аппарата дискретных
цепей Маркова и, в частности, нутом исследования
соответствующих уравнений в конечных разностях.
Пусть, напр., и if есть вероятность разорения 1-го иг-
игрока в задаче о разорении, если его капитал равен к,
0<:А-<:аН-Ь, a суммарный капитал обоих игроков
фиксирован и равен а-\-Ь. Тогда из формулы полной
вероятности (но первому скачку) следует, что и& удов-
удовлетворяет уравнению
, 0 < к < а + 6,
и граничным условиям иа=0, h_j=1. Отсюда получают
ь
- при р ф q;
Вторая из этих формул показывает, что даже «безо-
«безобидная» игра (и к-рой оба игрока имеют одинаковые
шансы) приводит к разорению с вероятностью, близкой
к 1, если капитал 2-го игрока а велик по сравнению с Ъ
(«„=1 при 1><со).

Задача о разорении можот быть исследована весьма
полно. Ж. <агранжем (J. Lagrangi1) было, напр., уста-
установлено (см. |1J, т.1), что вероятность иа,п разорения
1-го игрока на п-ы шаге равна
п-а п + а
«а,„ = (а + 6)-12"р 2 q 2 X
COS" ~3 —-у SID —-r Sill r ¦
Х2*=Г -
Среднее время та до разорении одного из игроков:
т __? а+Ь 1~{~)
Для С. б. с одной границей (а=оо), описываемых
соотношениями B), существует при p<q и и->-оо ста-
стационарное распределение Zn, совпадающее с распре-
распределением случайной величины S=supSk, при этом
y, i = 0, I C)
Законы, описывающие неограниченное С. б., сле-
следуют из теорем о поведении последовательных сумм
j>>'«I " = li 2, . . . Один из этих законов утверждает, что
для симметричного С. б. (р = 1/г) частица с вероятно-
вероятностью 1 попадет (притом бесконечное число раз) в лю-
любую фиксированную точку а. При р<]/2 блуждание
с вероятностью 1 уходит влево, при этом случайная
величина S (см. C)) с вероятностью 1 конечна.
Для симметричного С. б. время Кп, проведенное
частицей на положительной полуоси (число положи-
положительных членов в последовательности Sv . . ., S,,),
будет с большей вероятностью ближе к 0 или п, чем
к "/2. Это видно из т. н. арксинуса закона, в силу к-рого
при больших п (см. [1], т. 1)
l < х) ~ — arcsin
Отсюда следует, напр., что
и что с вероятностью 0,2 частица проводу \ не менее
97,6% всего времени на одной стороне.
Существуют соотношения, связывающие С. б. при
наличии границ с неограниченным С. б. Напр., если
положить Y(x)=min{k : Sk*?x}, то (см. [2])
Положение Slt блуждающей частицы для неограни-
неограниченного С. б. при больших п описывается больших
чисел законом н центральной предельной теоремой.
Если величины скачков ±1 заменить на ±Д при
малом Д и положить р = —^—, то положение ча-
частицы Zn после и=гД~? скачков будет описывать при-
приближенно (при Д—>-0) поведение в момент времени t
процесса диффузии со сносом а, коэффициентом диф-
диффузии 1 и с соответствующим поведением на границах
а и —b (если таковые для С. б. Zn заданы).
Существует много обобщений рассмотренных С. б.
Простейшие С. б. в пространстве Rd, d>l, опреде-
определяются следующим образом. Частица выходит из на-
начала координат и перемещается за один шаг на рас-
расстояние 1 в одном из 2d направлений, параллельных
осям координат. Таким образом, возможными положе-
положениями блуждающей частицы являются все точки
Rd с целочисленными координатами. Чтобы задать
С. б., надо определить 2d вероятностей, соответству-
соответствующих различным переходам. Получают симметричное

С. б., если каждая из этих вероятностен равна 4.,d.
В многомерном случае задачи с границами для С. б.
значительно сложнее, т. к. при а(>1 существенно ус-
усложняется форма границ. Для неограниченных С. б.
справедлива следующая теорема П о и а (см. [1],
т. 1). Для симметричного С. б. при d<:2 частица с
вероятностью 1 рано или поздно вернется в свое на-
начальное положение (один, а стало быть, и бесконечное
число раз). При d=3 эта вероятность равна прибли-
приближенно всего лишь 0,35 (при d>3 она еще меньше).
Другое возможное обобщение простейших С. б.
состоит в том, чтобы рассматривать в A) произвольно
распределенные независимые случайные величины с,и
|2, ... Основные качественные закономерности для
неограниченных С. б. и для блужданий с границами
при атом сохраняются. Напр., блуждающая частица
с вероятностью 1 достигает одной из границ а или — Ь.
Если ЕХ,<:0, а=оо,-то граница — Ъ будет достигаться
с вероятностью 1. Если |,- целочисленны, Е-У^О, то
частица с вероятностью 1 вернется в исходное поло-
положение. Для произвольно распределенных Xj с ЕХ,=0
это утверждение сохранится лишь в случае, когда
рассматривается возвращение не в точку, а в интер-
интервалы.
Решение задач, связанных с выходом С. б. за границы
интервала (—Ь, а), в общем случае оказывается зна-
значительно более трудным. В то же время эти задачи
имеют многочисленные приложения в математич. ста-
статистике (последовательный анализ), в страховом деле,
в теории массового обслуживания и др. При их ис-
исследовании определяющую роль играет совокупность
функционалов от С. б. {Sn}, ге = 0, 1, . . ., наз. гра-
граничными. К ним относятся S=s\ipSb, время нер-
вого прохождения нулевого уровня (в положительном
направлении) Y + -—min{k : Sk>0}, время первого до-
достижения нулевого уровня (в отрицательном направ-
направлении) y_ = min{A:>l : Ste>0}, величина первой по-
положительной суммы x+ = SY i величина первой не-
неотрицательной суммы %_ = Sy и др. Оказывается,
что распределение скачка X,- связано с распределениями
пазванных функционалов следующим т. н. фактори-
нацнонным тождеством (см. [1], т. 1; [2], [3]). Пусть
Ф(Х) —EeaXl есть характеристич. функция Хх. Тогда
при
1 — 2ф(Х) =fl — Е (eax + zv+; Y+ < оо)]х
X[i-E(efMc-z*-; У- < ее)]. D)
Это тождество обнаруживает связь граничных задач
для С. б. с граничными задачами теории функций коми-
лексного переменного, т. к. компоненты факторизации
в правой части D) однозначно определяются компо-
компонентами канонич. факторизации функции 1—гф(Х)
на оси 1шХ—0, т. е. разложения этой функции в
произведение 1 — гф (K) = AZ + (X) Аг_ (X), Im X = 0,
где Az . (X) аналитичны соответственно в верхней и
нижней полуплоскостях, не имеют там нулей и непре-
непрерывны, включая границу. В тождестве D) при 2—1
вместо первого множителя можно поставить также
i -Р {Y4 < «} _ j Е (^ДХ + . у < оо).
Тождество D) — лишь одно из группы факториза-
ционных тождеств, связывающих распределении раз-
различных граничных функционалов. К ним относится
тождество Поллачека — Спицера
00 7пгРЛЬп _PYr, ,1 4" _ с„iAmax (u. un) I

где 5„=тах @, St, . . ., Sn). Факторизационные тож-
тождества представляют собой мощное средство изучения
граничных задач для С. б. (см. [1], т. 2; [21, [3]).
В настоящее время граничные задачи для С. б. ис-
исследованы весьма полно, включая асимптотический
их анализ (см. [1], т. 2; [4]—[6]).
Аналитически решение граничных задач приводит
к интегрально-разностным уравнениям. Напр., веро-
вероятность ип(х, а, Ъ) того, что частица, вышедшая из
точки х ? (—Ъ, а), покинет за время п интервал (—Ь, а),
удовлетворяет уравнению (формула полной вероят-
вероятности по первому скачку)
_ь_х "«(¦* +У, a, b)dF{y) + i —
— F (a — x)-{-F (—b~x),
где F (х)=Р{Х1<х}. Если перейти к производящим
функциям и (z, х, a, b) = ^^=iznun{x, a, Ъ), то получают
обычные интегральные уравнения. Существует, по
крайней мере, два подхода к исследованию асимпто-
тич. свойств решений этих уравнений. Один из них
основан на изучении аналитич. свойств двойного
преобразования
U {z, к, а, Ь) — С elkxu (z, х, а, Ъ) dx
и последующего его обращения (см. [4] — [6]). Другой
связан с привлечением методов Вишика и Люстерника
решения уравнений с малым параметром (см. [6]).
На втором пути обнаруживаются глубокие связи рас-
рассматриваемых задач с теорией потенциала.
Многое из сказанного выше переносится и на С. б.
с зависимыми скачками, когда случайные величины
Sn связаны в цепь Маркова, а также на многомерные
С. б. в R<*, d>\ (см. [6], [7]).
Лит.: II] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее
приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] Б о р о в-
к о в А. А., Теория вероятностей, М., 1976; [3] е г о же, Ве-
Вероятностные процессы в теории массового обслуживания, М.,
J972; [4] К о р о л ю к В. С., Боровских Ю. В., Анали-
Аналитические проблемы асимптотики вероятностных распределений,
К., 1981; [5] Боровков А- А., «Сиб. матем. ж.», 1962, т. 3,
JM5 5, с. 645—94; [6] Л о т о в В. И., «Теория вероятн. и ее при-
мен.», 1079, т. 24, М 3, с. 475—85; .N5 4, с. 873—79; [7] С п и-
цер Ф., Принципы случайного блуждания, пер. с англ., М.,
1969. А. А. Воровпов.
СЛУЧАЙНОЕ КОДИРОВАНИЕ — один из методов
кодирования (см. Кодирование и декодирование), при
к-ром каждому возможному значению сообщения,
вырабатываемому источником сообщений, ставится в
соответствие случайно выбранное значение сигнала на
входе канала связи. При этом на множестве значений
сигналов на входе канала задается нек-рое распреде-
распределение вероятностей. Часто предполагается, что каждый
элемент кода (т. е. значение сигнала на входе, соот-
соответствующее данному значению сообщения) выбира-
выбирается независимо от других и в соответствии с данным
распределением вероятностей. Иногда С. к. опреде-
определяют так, чтобы каждая реализация С. к. была груп-
групповым кодом.
Важность рассмотрения С. к. связана с тем обстоя-
обстоятельством, что осредненная по всем реализациям
ошибочного декодирования вероятность дает относи-
относительно легко исследуемую оценку сверху для вероят-
вероятности ошибочного декодирования оптимального кода.
Лит.: [1] Шеннон К., Работы по теории информации и
кибернетике, пер. с англ., М., 1963, с. 243—332; [2] Добру-
ш и н Р. Л., «Успехи матем. наук», 1959, т. 14, в. 6, с. 3—104;
[3] Галлагер Р., Теория информации и надежная связь,
пер. с англ., М., 1974. Р. Л. Добрушин, В. В. Прелое.
СЛУЧАЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ а множества Х =
= {1,2, . . ., и} в себя — случайная величина, прини-
принимающая значения из множества У всех однозначных
отображений множества X в себя. С. о. о, для к-рых
вероятность f> {o — s} > 0 только для взаимно одно-
однозначных отображений s?5] » наз- случайными

подстановками степени re. Наиболее полно изу-
изучены С. о., для к-рых Р {a = s)=n~n при всех s?^
Реализация такого С. о. представляет собой резуль-
результат простого случайного выбора из множества^ .
Лит.: [I] Ко л ч и н В. Ф., Случайные отображения, М.,
1984. В. Ф. Иолчин.
СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ, случайный процесс
с многомерным временем, или с много-
многомерным параметром,— случайная функция,
заданная на множестве точек какого-то многомерного
пространства. С. п. представляют собой важный тин
случайных функций, часто встречающийся в различных
приложениях. Примерами С. п., зависящих от трех
пространственных координат х, у, z (а также и от
времени t), могут служить, в частности, поля компо-
компонент скорости, давления и температуры турбулентного
течения жидкости или газа (см. [1]); С. п., зависящим
от двух координат х и у, будет высота z взволнованной
морской поверхности или поверхности какой-либо
шероховатой пластинки (см. [2]); при исследовании
глобальных атмосферных процессов в масштабе всей
Земли поля наземного давления и др. метеорологич.
характеристик иногда рассматриваются как С. п. на
сфере и т. д.
Теория С. п. общего вида фактически не отличается
от общей теории случайных функций; более содержа-
содержательные конкретные результаты удается получить
лишь для ряда специальных классов С. п., обладающих
дополнительными свойствами, облегчающими их изу-
изучение. Одним из таких классов является класс случай-
случайных полей однородных, заданных на однородном про-
пространстве S с группой преобразований G и обладаю-
обладающих тем свойством, что распределения вероятностей
значений поля на произвольной конечной группе точек
пространства 5 или же среднее значение поля и вторые
моменты его значений в парах точек не меняются при
применении к аргументам поля какого-либо преобра-
преобразования из группы G. Однородные С. п. на евклидовом
пространстве R*, k==l, 2, . . . , или на решетке %k
точек R* с целочисленными координатами, отвечаю-
отвечающие выбору в качестве группы G совокупности все-
всевозможных (или всех целочисленных) параллельных
переносов, являются естественным обобщением ста-
стационарных случайных процессов, на к-рое просто пере-
переносится большая часть результатов, доказанных для
таких процессов; большой интерес для приложений
(в частности, для механики турбулентности, ср. [1])
представляют также т. н. однородные и изотропные
ноля на R:! и R2, отвечающие выбору в качестве группы
G совокупности всевозможных изометрич. преобразо-
преобразований соответствующего пространства. Важной осо-
особенностью однородных С. п. является существование
спектральных разложений специального вида как
самих таких нолей, так и их корреляционных функций
(см., напр., [3], [4]).
Другим привлекающим много внимания классом С. п.
является класс марковских случайных
полей, заданных в нек-рой области К пространства
R*. Условие марковости С. гг. U (ре), грубо говоря,
означает, что для достаточно широкой совокупности
открытых множеств Q, имеющих границу Г, фиксация
значений поля в е-окрестности ГЕ границы Г при
любом е>0 делает семейства случайных величин
{U (х), cc?Q\rs } и {U(x), х?Т\,Те }, где Т - до-
дополнение замыкания Q в К, взаимно независимыми (или,
в случае марковости в широком смысле, взаимно не-
некоррелированными; см., напр., [5J). Обобщением по-
понятия марковского С. п. является понятие i-марков-
ского С. ц., для к-рого указанная выше независимость
(или некоррелированность) имеет место лишь при за-
замене границы Г области Q специальным образом ой-

ределенной утолщенной границей Г+L. Теория мар-
марковских С. и. и L-марковских нолей имеет ряд важных
применений в физич. теории квантовых полей и в
статистич. физике (см. [6], [7]). Еще одним классом
G. п., возникшим из задач статистич. физики, является
класс гиббсовских случайных полей, распределения
вероятностей к-рых могут быть выражены через Гиббса
распределение (см. [7], [8]). Удобным способом задания
гиббсовских С. п. оказалось их задание с помощью
совокупности условных распределений вероятностей
значений поля в конечной области, отвечающих фик-
фиксированным всем его значениям вне этой области.
Следует отметить, что С. п. на гладком многообразии S
часто удобно рассматривать как частный случай
случайного поля обобщенного, для которого могут
не существовать значения в одной заданной точке, но
имеют смысл сглаженные значения U (<р), пред-
представляющие собой случайные линейные функционалы,
определенные на нек-ром пространстве D гладких
основных функций ф(ж). Обобщенные С. п. (особенно
обобщенные марковские С. п.) используются в физич.
приложениях; рассматривая лишь функции <р (ж) та-
такие, что
\ф (ж) <te= О,
в рамках теории обобщенных С. п. можно определить
также родственные случайным процессам со стацио-
стационарными приращениями локально однородные (и ло-
локально однородные и локально изотропные) С. п.,
играющие важную роль в статистич. теории турбу-
турбулентности (см., напр., [1], [9]).
Лит.: [1] М о н и н А. С, Я г л о м А. М., Статистическая
гидромеханика, ч. 1—2, М., 1965—67; [2] X у с у А. П., В и-
т е н б е р г Ю. Р., П а л ь м о в В. А., Шероховатость по-
поверхностей (теоретико-вероятностный подход), М., 1975; [3]
X е н н а н Э., Представления групп и прикладная теория ве-
вероятностей, пер. с англ., М., 1970; [4] Я д р е н к о М. И.,
Спектральная теория случайных полей, К., 1980; [5] Роза-
Розанов Ю. А., Марковские случайные поля, М., 1981; [6] С а й-
м о н Б., Модель Р(фJ эвклидовой квантовой теории поля, пер.
с англ., М., 1976; [7] П р е с т о н К., Гиббсовские состояния на
счетных множествах, пер. с англ., М, 1977; [8] Многокомпонент-
Многокомпонентные случайные системы, М., 1978; [9] Гельфанд И. М.,
Виленкин Н. Я, Некоторые применения гармонического
анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961.
А. М. Яглом.
СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ ОБОБЩЕННОЕ, обобщен-
обобщенный случайный процесс,— случайная
функция на гладком многообразии G, типичными реа-
реализациями к-рой являются обобщенные функции,
заданные на этом многообразии G. Точнее, пусть G —
бесконечногладкое многообразие и D (G) — простран-
пространство бесконечно дифференцируемых финитных функ-
функций, определенных на G, с обычной топологией равно-
равномерной сходимости последовательностей равномерно
финитных функций и всех их производных. Тогда на G
определено С. п. о., если задано непрерывное линейное
отображение
D(G)—*L0(Q, 58, ц), ф—*/„, <p?D{G),
пространства D (G) в пространство L0(Q, 58, ц) случай-
случайных величин, определенных на нек-ром вероятностном
пространстве Q с выделенной о-алгеброй ого подмно-
подмножеств 58 и вероятностной мерой \i, определенной на 58;
L0(Q, 58, ц) снабжено топологией сходимости по мере
[7]. В случае когда вероятностным пространством яв-
является пространство D' (G) обобщенных функций на G
с о-алгеброй 580, порожденной цилиндрич. множест-
множествами в D'(G), а отображение задается формулами
= G\ ф),
С. п. о. {/ф, ф?/>' (С)} наз. к а нон ическ и м. Ока-
Оказывается, что любое С. и. о. на конечномерном много-
многообразии G вероятностно изоморфно нек-рому (единст-
(единственному) канонич. случайному полю на G (см. [2]).

Приведенное здесь определение допускает ряд ес-
естественных модификаций: напр., можно рассмотреть
С. п. о. с векторными значениями или вместо прост-
пространства D (G) использовать в определении какое-
нибудь более обширное пространство основных функ-
функций на G (скажем, в случае G=R", re=l, 2, 3, прост-
пространства 5 (R") бесконечно дифференцируемых функ-
функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми
производными, быстрее любой отрицательной степени
|х|*, А=—1, —2, —3, . . ., x?R").
Понятие С. п. о. включает в себя классич. случай-
случайные поля и процессы, реализациями к-рых являются
обычные функции. Это понятие возникло в сер. 50-х гг.
20 в., когда обнаружилось, что многие естественные
стохостпч. образования не могут быть достаточно
просто выражены в терминах классических случайных
полей, а на языке С. и. о. имеют простое и изящное
описание. Так, напр., любая положительно опреде-
определенная билинейная форма на D (R"), ге=1, 2, . . .,
(Фи Фа) = ^ Rn ^ r« W (Хь х*> ф (xi> ф ^ dXl Ах*'
Фъ y-idD (Rn), где W(xt, х2) — положительно опреде-
определенная симметрическая обобщенная функция двух
переменных, однозначно определяет гауссовское С. п. о.
{/ф, <V(zD(R")} на R" (с нулевым средним) так, что
ковариация этого поля
ф/ф/М' = (Ф1. Фа)
(и. — соответствующая этому полю вероятностная мера
в D' (Rn)). Это С. п. о. оказывается классическим лишь
при достаточно хорошей функции W(хх, х2) (напр.,
непрерывной и ограниченной). Другие примеры: С. п. о.
на R" с независимыми значениями (см. [2]) или т. н.
автомодельные случайные поля на R" (см. [6]), среди
к-рых вообще нет классич. полей.
Интерес к исследованию С. п. о. (особенное марков-
марковских случайных полей) возрос в последнее время
из-за обнаруженной в нач. 70-х гг. связи между зада-
задачей построения квантового физич. поля и построением
марковских С. п. о. на R" при п>1 (см. [5]).
Лит.: [1] Гсльфанд И. М., III и л о в Г. Е., Прост-
Пространства основных и обобщенных функций, М., 1958; [2] Г е л ь-
ф а н д И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения
гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства,
М., 1961; [3] Гельфанд И. М., «Докл. АН СССР», 1955,
т. 100, № 5, с. 853—56; [4] К i у о s i I t б, «Mem. Coll. Sci.
Univ. Kyoto. Ser. A», 1954, v. 28. №3, p. 209—23; [5] Сай-
Саймон Б., Модель Р(фJ эвклидовой квантовой теории поля, пер.
с англ., М., 1976; [6] Д о б р у ш и н Р. Л., в сб.: Многокомпо-
Многокомпонентные случайные системы, М.— Л., 1978, с. 179—213; [7]
Добрушин Р. Л., М и н л о с Р. А., «Успехи матем. наук»,
1977, т. 32, в. 2, с. 67—122. Р. А. Миплос.
СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ ОДНОРОДНОЕ — случайное
поле X (s), заданное на однородном пространстве S= {s}
точек s, снабженном транзитивной группой G= {g}
преобразований, переводящих пространство S в себя,
и обладающее тем свойством, что определенные стати-
стич. характеристики значений этого поля не меня-
меняются при применении к аргументам s произвольного
преобразования группы G. Различают два разных
класса С. п. о.: поле X (s) наз. С. п. о. в узком с м ы с-
л е, если при любых п=1,2, ... и g?G конечномерное
распределение вероятностей значений поля в произ-
произвольных п точках %,..., sn совпадает с распределением
вероятностей значений того же поля в точках gsl7
. . ., gsn; если же__Е|Х (s)j2<oo и EX (s)=EX (gs),
EX (s) EX («!)=ЕХ (gs)X (gs) при всех s?S, sx?S
то X (s) наз. С. п. о. в широком смысле.
Важный частный случай — С. п. о. на евклидовом
/с-мерном пространстве R* (или на решетке 2* точек
R* с целочисленными координатами), отвечающее
выбору группы всевозможных параллельных переносов
в качестве группы G; иногда под С. п. о. вообще иони-

Мают лишь поле этого последнего типа. С. п. о. на R*,
отвечающее группе 6' всевозможных изометрич. пре-
преобразований R* (порожденных параллельными пере-
переносами, вращениями и симмотриями), часто наз. о д-
нородным и изотропным случайным
ноле м.
Понятие С. п. о. представляет собой естественное
обобщение понятия стационарного случайного процесса',
как и в случае стационарного процесса и само С. п. о.,
н его ковариационная функция допускают спектраль-
спектральное разложение специального вида (см., ни пр., |1] —
13]). С. п. о. ц нек-рые их обобщения часто возникают
в различных прикладных вопросах. В частности, в
етатистич. теории турбулентности важную роль иг-
играют как однородные и изотропные случайные поля на
R* (скалярные и векторные), так и т. н. локально
однородные и локально изотропные случайные поля
(иначе — поля с однородными и изотропными прира-
приращениями), представляющие собой простое обобщение
однородных и изотропных полей (см., напр.. [4]), а в
современной теории физических квантовых полей и в
статистич. физике применяется теория обобщенных
С. п. о., также включающих С. п. о. в качестве част-
пого случая (см. Случайное поле обобщенное).
Лит.: [1] Y a g 1 о m А. М., в кн.: Ргос. 4-th Berkeley Syrup.
Math. Stai. and Proh., v. 2, Berk.—Los Aug., 1961, p. 593—«22;
12] X e и ii а и 3., Представления групп и прикладная теория
вероятностей, пер. с англ., М., 1970; [3] Ядрен ко М. И.,
("центральная теория случайных полей. К., 1980; [4] М о-
пин А. С, Я г л о м А. М., Статистическая гидромеханика
ч. 2, М., 1967. А. М. Яглом.
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ — любая комбинация ис-
исходов нек-рого опыта, имеющая определенную веро-
вероятность наступления.
Пример 1. При бросании двух игральных костей
каждый из 36 исходов опыта может быть представлен
нарой (i, /), где i — число очков на верхней грани
первой кости, а у — на верхней грани второй. Событие
«сумма выпавших очков равна И» есть ни что иное,
как комбинация двух исходов: E, 6) и F, 5).
Пример 2. При бросании наудачу двух точек на
отрезок [0, 1] совокупность всех исходов опыта можно
представить точками (х, у) (х — координата первой
точки, у — второй) квадрата {(х, у) : 0<а:<1, ()<т/<1 }.
Событие «длина отрезка, соединяющего х и у меньше
а, 0<а<1» есть ни что иное, как множество исходов —
точек квадрата, отстоящих от диагонали, проходящей
через начало координат, на расстоянии, меньшем
В рамках общепринятой аксиоматики теории веро-
вероятностей (см. [1]), где в основе вероятностной модели
лежит вероятностное пространство (Й, ,-/, Р) (Й —
пространство элементарных событий, т. с. совокупность
всех исходов данного опыта, ,А есть а-алгебра подмно-
подмножеств Q и Р — вероятностная мора, определенная
на классе d), случайные события — это множества,
входящие в класс <//.
В первом из приведенных выше примеров простран-
пространство Q — это конечное множество, состоящее из 36 эле-
элементов— пар (г, /), 1<гг, /<:6, ,-1 — класс всех 2зв
подмножеств Q (включая само Q и пустое множество Ф)
и для каждого А ?Л вероятность Р (А) равна т '36,
где т. — число элементов А . Во втором примере Q
есть множество точек единичного квадрата, Jl — класс
его борелевских подмножеств, Р —- обычная мера Ле-
Лебега на t/l (совпадающая для простых фигур с их пло-
площадью).
Класс I событий, связанных с вероятностным про-
странстпом (Q, ,4, Р), является по отношению к опе-
операциям Л+В= (/l\fl)U (Вчч<4 ) (симметрия, разность)
и А -В = А [\В булевым кольцом с единицей Q, т. е.
Нулевой алгеброй. Определенная на этой булевой ал-
алгебре функция Р (А) обладает всеми свойствами нормы,

кроме одного: равенство Р(А)=0 не влечет .4=Ф.
Объявляя события эквивалентными, если Р-иора их
симметрия. разности равна нулю, и рассматривая
и место событий Л классы эквивалентности А, приходя г
к нормированной булевой алгебре
,Л классов А . На этом замечании основан другой воз-
возможный подход к аксиоматике теории вероятностей,
при к-ром исходным является не вероятностное про-
пространство, связанное с данным опытом, а нормирован-
нормированная булева алгебра С. с. (см. [2], [3]).
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., Основные понятия тео-
теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; Г2] Гнеденко Б. В.,
Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Мате-
Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947, М.-- Л., 1948: [3]
Колмогоров А. Н., Algcbres de Bool metriques completes,
в кн.: VI Zjazd Mathematyk<5w Polskich, KrakOw, 1950; [4J
X а л м о ш П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953.
Ю. В. Прохоров.
СЛУЧАЙНЫЕ И ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ЧИСЛА -
числа с„ (или цифры ап), последовательность появления
к-рых обладает томи или иными статистич. закономер-
закономерностями (см. Вероятностей теория). Различают с л у-
чайные числа (с. ч.), генерируемые каким-либо
стохастич. устройством, и псевдослучайные
числа (п. ч.), конструируемые с помощью арифметич.
алгоритмов. При этом обычно (с большим или меньшим
основанием) принимают, что полученная (или пост-
построенная) последовательность обладает комплексом
частотных свойств, «типичным» для последователь-
последовательности независимых реализаций какой-либо случайной
величины ? с функцией распределения F (z), и говорят
о (независимых) с. ч., распределенных по закону F(z).
Наиболее употребительны равномерно распределенные
на отрезке [O,1J с. ч. |„ (р. р. с. ч.), РЩп<х}=х, а
также равновероятные двоичные случайные знаки
«« (р. Д- с. з.), Р{а„—0}=Р{а„=1}=1/2, и нормаль-
нормальные с. ч. т)„ (н. р. с. ч.), распределенные по нормаль-
нормальному закону со средним 0 и дисперсией 1. С. ч. с про-
произвольной функцией распределения F (г) могут быть
построены по последовательности р. р. с. ч. %п как
Z,n — F~l(\n), т. е. найдены из уравнения %,n=F(Z,n),
» = J, 2, ... . Существуют и др. приемы построения;
так, н. р. с. ч. аналитически проще получать из р. р. с. ч.
парами:
Разряды двоичной записи р. р. с. ч. являются р. д. с. з.;
наоборот, группируя р. д. с. з. в последовательность
бесконечных последовательностей, получают р. р. с. ч.
С. и п. ч. используются на практике в игр теории,
математической статистике, статистических испы-
испытаний методе и криптографии для конкретной реа-
реализации недетерминированных алгоритмов и поведе-
поведения, предсказуемого лишь «в среднем». Напр., если
очередное а„—0, то игрок выбирает первую стратегию,
а если ссп—1, то — вторую.
Придать строгий математич. смысл ионятию с. ч.
удается только в рамках алгоритмич. теории вероят-
вероятностей А. Н. Колмогорова [2] — П. Мартин-Лёфа [5].
Пусть Н— Х™=1{гга : 0<т„<:1} — единичный счетно-
морный гиперкуб с лебеговой мерой X на нем. В //
существует наибольшее конструктивно описываемое
измеримое множество G нулевой меры. Тогда любую
последовательность {г„}<?6' можно считать типичной
и принять за последовательность р. р. с. ч. Аналогично
может быть введено понятие конструктивной (е, I)-
типичности ^-последовательности двоичных знаков
aj, /=1. • • •> N, относительно системы всех событий
BCZ {(); 1 }'v меры не более е и длины описания не более I.
Как видно из определения, типичная последователь-
последовательность р. р. с. ч. сама не может быть конструктивной,
и даже построение (е, I(-типичной последовательности

случайных знаков требует чрезвычайно большого
перебора. Поэтому на практике используют более
просто устроенные алгоритмы, проверяя их статистич.
«качества» небольшим количеством тестов. Так, кон-
конструируя р. р. с. ч., обязательно тестируют равномер-
равномерную распределенность последовательности (см. [3]).
В простых задачах выполнение нескольких тестов уже
может гарантировать применимость последователь-
последовательности. Иногда более эффективно использование корре-
коррелированных с. ч., как правило, их строят по последо-
последовательности р. р. с. ч.
Созданы также таблицы с. ч. и случайных знаков.
Однако, по-видимому, нельзя гарантировать, что они
удовлетворяют всем разумным статистич, тестам на
некоррелированность.
Лит.: [11 Ермаков СМ., Метод Монте-Карло и смежные
«опросы, 2 изд., М., 1975; [2] К о 1 m о g о го v A. N.,«Sankhya»,
ser. A. 1963, v. 25 р. 369—76; [3] Коробов Н. М., «Изв.
АН СССР. Сер. матем.», 1950, т. 14, JV8 3, с. 215—38; [4]
Кнут Д., Искусство программирования для ЭВМ, пер. с
англ., т. 2, М., 1977; l5]Martin-L0f P., IEEE Transaction
IT, 1968. v. 14, p. 662—64; [6] Ч е н ц о в Н. Н., «Ж. вычисл.
матем. и матем. физики», 1967, т. 7, JMi .'!, с. 632—43; [7J
Шень А., «Семиотика и информатика», 1982, в. 18, с. 14—42.
Н. Н. Ченцов.
СЛУЧАЙНЫЕ РАЗМЕЩЕНИЯ — вероятностная
схема, в к-рой п частиц случайно размещаются в N
ячейках. В наиболее простой схеме равновероятных
размещений каждая из п частиц независимо от других
частиц может попасть в любую фиксированную ячейку
с вероятностью UN. Пусть [xr=u,r (n, N)—число
ячеек, в к-рых после такого размещения оказалось
ровно г частиц и пусть 0<:r1<ra<. . .<.rs. Произво-
Производящая функция
,ч , , VI* Х^* 1Яппп
Ф(г;хи .... *,)=2B=02ft,,= 0—Х
имеет следующий вид:
Ф(г; хъ ..., xs) =
Производящая функция A) позволяет вычислять мо-
моменты ]ХГ п изучать асимптотич. свойства распределе-
распределений \х,г при re, N —*¦ оо. Эти асимптотич. свойства в
значительной степени определяются поведением пара-
параметра a=n/N — среднего числа частиц на одну ячейку.
Если п, N -»- оо и a = o(N), то при фиксированных г
и t
Ецг ~ Npr (a), Cov (цг, iit) ~ Nart (а), B)
art (а) = рг (а) [в,,-р4 (а)-pt (а)
brt— символ Кронекера. ЛГожно выделить пять раз-
различных типов областей, в к-рых аспмитотич. поведе-
поведение \.ir различны.
Центральной областью наз. тикая об-
область изменения п, N -*¦ оо, для к-рой a — njN^-i.
Область п,' N —*- со, в к-рой
а —s- оо, Ецг —>• Я, 0 < Я < оо,
наз. правой r-о бластью. Правой проме-
промежуточной областью наз. область изменения
п, N -»- оо, в к-рой
а —>¦ оо, ЕЦ/- —>¦ оо.
Для г5?2 лево п r-о бластью наз. область из-
изменений н, N -*¦ со, для к-рой
а —»¦ О, E|V —* К 0 < К < оо.

JI_e во it промежуточной r-o б л а с т ь ю наз.
область, в к-рой
а —> 0, ецг —' оо.
Левые и левые промежуточные r-области для г=0,1
считают совпадающими с соответствующими 2-обла-
стями.
В равновероятной схеме размещения в 1гравой г-
области р,r имеет асимптотически пуассоновское рас-
распределение. В левой r-области цг имеет при г^2 также
в проделе пуассоновское распределение; при г—0 и
г=1 предельные пуассоновские распределения имеют
ц0—N-]-n и (п—(-4) /2. В левых и правых промежуточ-
промежуточных r-областях цг имеют асимптотически нормальное
распределение. В центральной области доказана мно-
многомерная нормальная теорема для \xri, u,rj, . . ., цг •
параметры предельного нормального распределения
определяются асимптотич. формулами B) (см. [1]).
Размещение, в к-ром п частиц независимо друг от
друга распределяются по N ячейкам и вероятность
каждой из частиц попасть в /-ю ячейку равна ау, V'. а,-=
= 1, наз. полиномиальным. Для полиноми-
полиномиального размещения также можно ввести центральную,
правые и левые области изменений п, N и ai, для к-ры.\
доказаны предельные нормальные и пуассоновские
теоремы (см. [1], [3]). Пользуясь этими теоремами,
можно рассчитать мощность пустых ящиков критерия.
Пусть имеются независимые случайные величины ?,.
. . ., ?2, каждая из к-рых имеет непрерывную функцию
распределения F (х) (гипотеза Ло). Конкурирующая
гипотеза II х соответствует другой функции распреде-
распределения Ь\(х). Точки zo= — oo<Zj<z2<. . .гдг_1<гдг=оо
выбирают так, чтобы F (zk)—F (zjl_x)=ilN, A=l, . . .,
TV. Критерий пустых ящиков строится на основе ста-
статистики и0, равной числу полуинтервалов {^k-\zk\-
в к-рые не попало ни одного значения ?,-. Критерий
пустых ящиков определяется критпч. множеством
ио>6', при к-ром гипотеза Нв отвергается. Поскольку
ц„ имеет при основной гипотезе Но распределение,
определяемое равномерным размещением, а при кон-
конкурирующей гипотезе ffj— распределение, определя-
определяемое полиномиальным размещением, то можно вос-
воспользоваться предельными теоремами для ц0 при рас-
расчете мощности Р{цо>С///]} итого критерия (см. [2]).
В схеме размещения частиц комплектами предпо-
предполагается, что частицы размещаются в N ячейках ком-
комплектами но т частиц, причем частицы одного ком-
комплекта могут располагаться в ячейках только по
одной, а расположения комплектов независимы. Если
все t'iv расположения комплектов равновероятны, а
число комплектов п—>¦ оо, то при ограниченных
или слабо растущих т сохраняются свойства аспмпто-
тич. нормальности и предельной пуассоновости слу-
случайных величин цг.
Возможны различные обобщения схем размещения
(см. |1]), связанные с целым рядом комбинаторных
задач теории вероятностей (случайные подстановки,
отображения, деревья и т. п.).
Лит.: [1] К о л ч и и В. Ф., Севастьянов Б. А.,
Чистяков В. П. Случайные размещения, М., 1976; 12]
Севастьянов В. А., «Труды ин-та прикладной математи-
математики Тбилисского ун-та», 1961). т. 2, о. 229—S3; [3] Михай-
Михайлов В. Г., «Труды Матем. ин-та АН СССР», 1981, т. 157, с. 138—
152. Б. Л. Севйстълпои.
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС, с т о х а с т и ч с с к н и
процесс, вероятностный процесс,
случайная функция времени,— про-
процесс (т. е. изменение во времени состояния нек-рой
системы), течение к-рого зависит от случая и для к-рого
определена вероятность того или иного его течения.
Типичным примером С. п. может служить броуновского
движения процесс. Другими практически важными

примерами С. п. являются: процесс протекания тока
в электрич. цепи, сопровождающийся неупорядочен-
неупорядоченными флуктуациями силы тока и напряжения (шу-
(шумами); распространение радиоволя при наличии слу-
случайных замираний радиосигналов (федингов), созда-
создаваемых метеорологическими или иными помехами, и
турбулентные течения жидкости или газа. К числу
С. п. могут быть причислены и многие производствен-
производственные процессы, сопровождающиеся случайными флук-
флуктуациями, а также процессы, встречающиеся в гео-
геофизике (напр., вариации земного магнитного поля,
морское волнение, или микросейсмы,— высокочастот-
высокочастотные беспорядочные колебания уровня земной поверх-
поверхности), биофизике (напр., изменения биоэлектрич.
потенциалов мозга, регистрируемые на электроэнце-
электроэнцефалограмме) и экономике.
Математич. теория С. п. рассматривает мгновенное
состояние системы, о к-рой идет речь, как точку нек-рого
фазового пространства (пространства состояний) R;
при этом С. п. представляется функцией X (t) времени
/ со значениями из R. Обычно считается, что R — век-
горное пространство, причем наиболее изученным (и в
то же время наиболее важным с точки зрения при-
приложений) является еще более узкий случай, когда
точки R задаются одним или несколькими числовыми
параметрами (обобщенными координатами системы),
т. е. С. п. можно рассматривать или просто как чис-
числовую функцию времени X (t), в зависимости от случая
принимающую различные значения, т. е. допускающую
различные реализации i(l) (одномерный С. п.),
или как подобную же векторную функцию X (t)=
={Х1 (t), . . ., Хь (t)} (многомерны й, или век-
векторный, С. п.). Изучение многомерных С. п. можно
свести к изучению одномерных С. п. с помощью пере-
перехода от X(t) к вспомогательному процессу
где <*= (alt . . ., aft) — произвольный fc-мернып век-
вектор; поэтому центральное место в теории С. п. зани-
занимает исследование одномерных процессов X (t). Пара-
Параметр t обычно принимает произвольные действительные
значения или же значения из какого-то интервала дей-
действительной оси R1 (когда хотят подчеркнуть это обстоя-
обстоятельство, то говорят о С. п. с непрерывным
в р е м е н е м), но он может пробегать и только цело-
целочисленные значения — тогда t наз. С. п. с диск-
дискретным временем (или случайной по-
последовательностью, или временным
р я д о м).
Задание распределения вероятностей в бесконечно-
бесконечномерном пространстве всевозможных вариантов проте-
протекания С. п. X (t) (т. е. в пространство реализаций x(t))
не укладывается в рамки классич. методов теории ве-
вероятностей и требует привлечения специального ма-
математич. аппарата. Исключением являются лишь част-
частные классы С. п., вероятностный характер к-рых пол-
полностью определяется зависимостью функции X (t)=
=Х (t; Y) от нек-рого конечномерного случайного
вектора ЗГ= (Ух, . . .,У #), т. к. в данном случае веро-
вероятность того или иного протекания X(t) зависит толь-
только от конечномерного распределения вероятностей
вектора Y. Практически важным примером С. п.
такого рода может служить случайное гармонич. ко-
колебание вида
где ш — фиксированное число, А и Ф — независимые
случайные величины, часто используемое при исследо-
исследовании амплитудно-фазовой модуляции в радиотехнике.
Широкий класс распределений вероятностей для
С. п. может быть охарактеризован бесконечной сово-

купностью согласованных друг с другом конечномер-
конечномерных распределений вероятностей случайных векторов
{X (*!), X (t2), . . ., X (tn)}, отвечающих всевозможным
конечным подмножествам (tt, t2, . . ., tn) значений
аргумента t (см. Случайная функция). Однако задание
всех этих распределений все же недостаточно для
определения вероятностей событий, зависящих от
значений X (t) на бесконечном множестве значений t,
т. е. не определяет однозначно С. п. X (t).
Пример. Пусть X (i)=cos (wi + Ф), 0«:г<1,— гар-
монич. колебание со случайной фазой Ф, Z — случай-
случайная величина, равномерно распределенная на отрезке
[О, 1], а С. п. Xt(t), 0«:г<1, задается равенствами
Xl(t) = X (t) при t ф Z, Х1 @ = X @ +3 при t = Z.
Так как P{Z=tx, или Z==t2, . . ., или Z=tn}—0
для любой фиксированной конечной группы точек
(t1: t.z, . . ., tn), то все конечномерные распределения
С. п. X (t) и Xi (t) являются одинаковыми. В то же
время процессы X (t) и Xi (t) различаются между собой:
в частности, все реализации процесса X (t) непрерывны
(имеют форму синусоиды), в то время как все реали-
реализации Xt (t) имеют точку разрыва; все реализации X (?)
не превосходят числа 1, но ни одна реализация X1(t)
этим свойством не обладает. Отсюда следует, что за-
заданной системе конечномерных распределений вероят-
вероятностей могут отвечать различные модификации С. п.
и по одним только конечномерным распределениям
нельзя вычислить ни вероятность того, что реалива-
ция С. п. будет непрерывной, ни того, что она будет
ограничена нек-рой фиксированной постоянной.
Задание совокупности конечномерных распределений
вероятностей часто позволяет, однако, выяснить, су-
существует ли хоть один С. п. X (t), имеющий эти ко-
конечномерные распределения, и такой, что его реали-
реализации являются непрерывными (или, напр., диффе-
дифференцируемыми, или нигде не превосходящими заданной
постоянной В) функциями с вероятностью 1, или же
таких С. п. X (t) вообще не существует. Типичным
примером общего условия, гарантирующего сущест-
существование С. п. X (t) с непрерывными с вероятностью 1
реализациями, имеющего заданные конечномерные рас-
распределения, является условие Колмогоро-
в а: если конечномерные распределения вероятно-
вероятностей С. п. X (t), определенного на интервале [а, Ь], та-
таковы, что при нек-рых а>0, Ь>0 и С<оо для всех
достаточно малых h выполняется неравенство
?\X{t + h)-X{t)\a <C\h\1+t> (I)
(очевидно, накладывающее ограничения лишь на дву-
двумерные распределения X (t)), то С. п. X (t) имеет моди-
модификацию с непрорывными с вероятностью 1 реализа-
реализациями (см., напр., [1] — [6]). В частном случае гаус-
совского процесса X (t) условие A) может быть заме-
заменено более слабым условием:
^<Cl\h\6t B)
для нек-рых aj>0, 6j>0, Сх>0; при а.х = 2, бг== 1
условие B) выполняется, напр., для винеровского про-
процесса и Орнштейна — Уленбека процесса. В случаях
когда при заданных конечномерных распределениях
вероятностей существует модификация С. п. X (t)
такая, что ее реализации непрерывны (или, напр.,
дифференцируемы, или ограничены постоянной В)
с вероятностью 1, все другие модификации этого же
процесса обычно можно исключить из рассмотрения,
потребовав, чтобы С. п. X (t) удовлетворял нек-рому
очень общему условию регулярности, к-рое в приклад-
прикладных задачах практически всегда можно считать выпол-
выполняющимся (см. Сепарабелъпый процесс).
Вместо того чтобы задавать бесконечную совокуп-
совокупность конечномерных распределений вероятностей С. п.

X(t), можно также определить С. п., указав значение
соответствующего характеристического функционала
где I [X (t)] пробегает достаточно широкий класс ли-
линейных функционалов, зависящих от X (t). Если X (t),
а^ё-t^b,— непрерывный по вероятности С. п. (т. е.
Р{|АГ (Н-Л)—X (*)|>е}-+- 0 при h -*¦ 0 для любого
е>0), a g(t) — функция ограниченной вариации на
[а, Ь], то
будет случайной величиной; при этом можно считать,
что 1[Х] — 1^)[Х] в формуле C-) (причем ij)[l(?>] здесь
удобно обозначить символом^[g]). Во многих случаях
можно также еще сузить класс рассматриваемых
линейных функционалов 1[Х], ограничившись лить
функционалами вида
где ф (t) — финитная бесконечно дифференцируемая
функция t (интервал [а, Ъ] при этом может быть и бес-
бесконечным). Значения ij'[^]=i|3[<p] при широких ус-
условиях регулярности однозначно определяют все ко-
конечномерные распределения вероятностей С. п. X (t),
так как
где i))tij tn^b ¦ ¦ •> "л) — характеристич. функция
случайного вектора {X (ti), . . ., X (tn)}, при
ф (t) — 9x6 (t-h) + ... +ens (t~ta)
(здесь б (t) есть б-функция Дирака, а сходимость по-
понимается в смысле сходимости обобщенных функций).
Если же при таком предельном переходе функционал
\р[ц>] не стремится к конечному пределу, то это озна-
означает, что для С. п. X не существует конечных значений
в фиксированной точке, а имеют смысл лишь сглажен-
сглаженные значения /ф[Х], т. е. что характеристич. функцио-
функционал о|)[ф] задает не обыкновенный («классический»)
С. п. X (t), а случайный процесс обобщенный Х = Х (ф).
Задание совокупности конечномерных распределений
вероятностей С. п. X (t) упрощается в тех случаях,
когда все они однозначно определяются распределе-
распределениями лишь немногих низших порядков. Важнейшим
классом С. п., для к-рых все многомерные распреде-
распределения могут быть определены по значениям одномер-
одномерных распределений случайных величин X (t), являются
последовательности независимых случайных величин
(представляющие собой специальные С. п. с дискрет-
дискретным временем). Такие весьма частные С. п. могут
изучаться в рамках классич. теории вероятностей, но
существенно, что нек-рые важные классы С. п. могут
быть эффективно заданы в виде функции от последо-
последовательности Y(t), ?=0,±1, ±2, . . ., независимых слу-
случайных величин. Так, напр., значительный интерес
представляют С. п.
(см. Скользящего среднего процесс) и
где hj(t), /=1, 2, . . .,— заданная система функций
на интервале [а, Ь] (см. Спектральное разложение
случайной функции).

Весьма важны следующие три класса С. п., все
конечномерные распределения к-рых определяются
одномерными распределениями значений X (t) и дву-
двумерными распределениями пар {X Aг), X (t2)}.
1) Класс случайных процессов с независимыми прира-
приращениями X (t), для к-рых X (t2)—X (*х) и X (f4)—X (*з)
при <1<г2<:?з<<4являются независимыми величинами.
Здесь для задания С. п. X (*) на интервале [а, Ъ] удобно
использовать функции распределения F а (х) и <f>t,, ta (z)>
где a<f1«2<b, случайных величин Х(а) и Х(г2)—Х(гх),
причем функция Ф<,,^B)> очевидно, должна удов-
удовлетворять функциональному уравнению
»ф<" *• {z~~u) йФи- *¦(u)=cI)fi-ь B)> D)
Используя D), можно показать, что если С. п. X (t)
непрерывен по вероятности, то его характеристич.
функционал г|1 [g] может быть представлен в виде
"Н* J*
J -ж J
1+y2
где 7 (t) —• непрерывная функция, P (t) — неубывающая
непрерывная функция и П^ (dy) — возрастающая не-
непрерывная по t мера, определяющие процесс с неза-
независимыми приращениями X (t).
2) Класс марковских процессов X (?), для к-рых в слу-
случае, когда t1<^t2, условное распределение вероятностей
X (<а) при условии, что заданы все значения X (t) при
<«!, зависит только от X(t1). Для задания марков-
марковского процесса X (t), a<i<:b, удобно использовать
функцию распределения Fa (x) значений X (а) и пере-
переходную функцию Ф^,, *я(а:, z), где *x<t2, равную ус-
условной вероятности того, что X (<2)<2 ПРИ условии,
что X (<])=!. Функция Ф*,,/, (я» г) должна удовле-
удовлетворять родственному D) функциональному Колмого-
Колмогорова — Чепмена уравнению, позволяющему при оп-
определенных условиях получить для нее более простые
прямое и обратное Колмогорова уравнения и в ряде
случаев дающему возможность определить эту функцию.
3) Класс гауссовских процессов X (t), для к-рых все
многомерные распределения вероятностей векторов
{X(tj),. . ., X (tn)} являются гауссовскими (нормаль-
(нормальными) распределениями. Так как нормальное распре-
распределение однозначно определяется своими первым и вто-
вторым моментами, то для задания гауссовского процесса
X (t) достаточно указать значения функций
EX(t)X(s) = B(t, s),
где В (t, s) должно быть неотрицательно определенным
ядром таким, что и
Ь (t, s) = B (t, s) — m(t) rn{s)
также является неотрицательно определенным ядром.
Характеристич. функционал ty[g] гауссовского процесса
X (t) имеет вид
4) Еще одним важным классом С. п. является класс
стационарных случайных процессов X (?), статистич.

характеристики к-рых не меняются с течением времени,
т. е. инвариантны относительно преобразования X (t) -*•
-*¦ X (t-+-a), где а — произвольное фиксированное чис-
число. Многомерные распределения вероятностей общего
стационарного С. п. X (t) не могут быть просто опи-
описаны, но для многих задач, касающихся таких про-
процессов, достаточно знать лишь значения первых двух
моментов EX(t) = m и EX (t)X (t+s) = B(s) (так что
здесь оказывается нужным лишь предположение о
стационарности в широком смысле, т. е. о том, что от t
не зависят моменты ?Х (t) и EX (t)X (H-s))- Сущест-
Существенно, что любой стационарный (или хотя бы стацио-
стационарный в широком смысле) С. п. допускает спектраль-
спектральное разложение вида
^), E)
где Z(K) — случайный процесс с некоррелированными
приращениями; отсюда, в частности, следует, что
где F (X) — монотонно неубывающая спектральная
функция С. п. X(t). Спектральные разложения E)
и F) лежат в основе решения задач о наилучшей (в
смысле минимума среднеквадратическои ошибки) ли-
линейной экстраполяции, интерполяции и фильтрации
стационарных случайных процессов.
Математич. теория в. п. включает также большое
число результатов, относящихся к ряду подклассов
или, наоборот, обобщении перечисленных выше клас-
классов С. п. (в частности, к Маркова цепям, диффузион-
диффузионным процессам, ветвящимся процессам, мартингалам,
случайным процессам, со стационарными приращениями
нек-рого порядка и др.).
Лит.: [lJ Слуцкий Е. Е., Избр. труды, М., 19G0,
с. 2U9—80; L2] Д у 0 Дж., Вероятностные процессы, пер. с
англ., М., 1956; Ы Г и х м а н И. И., Скороход Л. В.,
Введение в теорию случайных процессов, 2 изд., М., 1977; 14]
их же, Теория случайных процессов, т. 1—3, М., 1971—75;
15] Крамер Г., Л и д б е т т е р М., Стационарные случай-
случайные процессы, пер. с англ., М., 19A9; [В] В е н т ц е л ь А. Д.,
Курс теории случайных процессов, М., 1975; 1.71 Роза нон
Ю. А., Случайные процессы, 2 изд., М., 1979; [8] И то К.,
Вероятностные процессы, тер. с япон., в. 1—2, М., 1960—63;
[У] С I.'и [I и х од л. 1!., Случайные процессы с независимыми
приращениями, М., ими; [l'o] Д ы п к я п Е. В., Марковские
процессы, М., 1903, L111 И Г> р а г и м о в И. А., Роза-
Розанов К). А., Гаусеовекие случайные процессы, М., 1970; [12]
Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М.,
196.9. ¦ Л. М. Яглом.
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС ДИФФЕРЕНЦИРУЕ-
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЙ — случайный процесс A' (t) такой, что существует
предел
,. X (t + At)-X(t) .,,
lim —; tz ——А'(О,
Д(-»0
называемый производной случайного
процесса X (t); в зависимости от того, в каком
смысле понимается этот предел, различают диффе-
дифференцирование с вероятностью 1 и
дифференцирование в среднем квад-
квадратичном. Условия дифференцируемое™ в сред-
среднем квадратичном естественно выражаются в терминах
корреляционной функции
а именно X'(t) существует тогда и только тогда, когда
существует предел
B"{tu *s) =
Ad—0 A(» A' =
Случайный процесс, пмеющпа среднеквадратичную

производную, является абсолютно непрерывным, точ-
точнее, при каждом t с вероятностью I
Л''(•')<*¦«, '~>'о-
Достаточным условием того, чтобы существовал экви-
эквивалентный данному процесс с непрерывно диффе-
дифференцируемыми траекториями, может служить условие
непрерывности его среднеквадратичной производной
X'(t), имеющей своей корреляционной функцией
B'ihiti)- Для гауссовских процессов ото условие
является также необходимым.
Лит.: Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Введение
в теорию случайных процессов, 2 изд., М., 1!O7. Ю. А. Розанов.
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС ОБНОВЛЯЮЩИЙ — слу-
случайный процесс с достаточно «простой» структурой,
построенный по исходному процессу и содержащий
всю требуемую информацию об этом процессе. С. п. о.
использовались в задаче линейного прогноза стацио-
стационарных случайных последовательностей, в нелинейных
задачах статистики случайных процессов и т. д. (см.
И]-[3]).
Понятие С. п. о. по-разному вводится в линейной и
нелинейной теориях случайных процессов. В линейной
теории (см. [41) векторный случайный процесс а-( нал.
обновляющим процессом для случайного
процесса g/ с Е | If | 2<эо, если г, имеет некоррелирован-
некоррелированные компоненты с некоррелированными приращениями
и
Ht(l) = Ht(x) для всех t,
где //?(!), Hf(x) — замкнутые в среднем квадратичном
линейные оболочки всех значений \s, xs, s«. Число
компонент TV, N <:оо, процесса з% наз. кратностью
обновляющего процесса и определяется
однозначно по процессу |j. В случае дискретного вре-
времени N=i, а в случае непрерывного времени JV<oo
только при нек-рых специальных предположениях
относительно корреляционной функции процесса Jf
(см. I'll, |!ij'i). В приложениях используется возмож-
возможность представления \f в виде линейной комбинации
значении xs, s</.
В нелинейной теории (см. |5|, [6]) обычно обнов-
л я ю щ и м случайным и р о ц е с с о м наз.
винеровский процесс j-f такой, что
гДе aF7i JFf СУТЬ а-алгебры событий, порожденные
значениями ?f, :rs, s<t. В случае когда 'i,,, 0«t<:7\
является Ито процессом со стохастнч. дифференциалом
dlt = a(t)dt-\-dmt,
винеровский процесс wt, определяемый равенством
является С. п. о. для ?}, если, напр.,
Е [\2(s)ds< оо
и процессы а и w образуют гауссовскую систему
(см. [6]).
Лит.: [1] К о л м о г о р о в А. Н., «Изв. АН СССР. Сер.
матем.», 1941, т. Г>, № 1, с. 3—14; [2] Ширяев А. Н.,
«Пробл. передачи информации», 1980, т. 2, № 3, с. 3—22; 13]
К a i I a t h Т., «ГЕЕЕ Ttans. Inform. Theory», 1974, v. IT—20,
.№> 2, p. 146—81; [4] Розанов Ю. А., Теория обновляющих
процессов, М., 1974; [5] Ш и р я е в А. Н., в кн.: Тр. Школы-
семинара по тгории случайных процессов (Друскиниикай, 1974),
ч. 2, Вильнюс, 1975, с. 235—87; 1«] Липцер Р. Ш., Ши-
Ширяев А. Н. , Статистика случайных процессов, М., 1974.
А. А. Новиков.
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС ОБОБЩЕННЫЙ — слу-
случайный процесс А', зависящий от непрерывного вре-
временного аргумента t п такой, что его значения в фик-

сированныо моменты времени, вообще говоря, яе су-
существуют, а существуют только «сглаженные значения
процесса» X (<р), описывающие результаты измерений
значений этого процесса при помощи всевозможных
линейных измерительных приборов, имеющих доста-
достаточно гладкую весовую (т. е. импульсную переходную)
функцию <р (t). С. п. о. Х(ф) представляет собой непре-
непрерывное линейное отображение пространства D беско-
бесконечно дифференцируемых финитных функций <р (или
какого-либо другого пространства основных функций,
используемого в теории обобщенных функций) в про-
пространство Lo случайных величин X, определенных на
нек-ром вероятностном пространстве; его реализации
х(<р) являются обычными обобщенными функциями
аргумента t. Классические (т. е. обыкновенные) слу-
случайные процессы X {t) также можно рассматривать как'
специальные С. п. о., для к-рых
такое рассмотрение может быть полезным, в частности,
в связи с тем, что для С. п. о. Л' всегда существуют
производные Xw любого порядка п, к-рые можно
определить с помощью равенства
Х<я>(ф) = (—1)" А' (ф<">)
(см., напр., Случайный процесс со стационарными
приращениями). Важнейший пример С. п. о., не яв-
являющийся классическим случайным процессом,— про-
процесс белого шума; обобщением понятия С. и. о. явля-
является понятие обобщенного случайного поля.
Лит. см. при сг. Случайное поле обобщенное, А. М. Яглвм.
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС С НЕЗАВИСИМЫМИ
ПРИРАЩЕНИЯМИ — случайный процесс X (t) такой,
что для любого натурального п и любых действитель-
действительных 0<а1<р1<а2<Р2<- • . <«n<Pn приращения
А'^-ХЫ, Хф2)~Х(а2), ..., Хф„)-Х(а„)
являются взаимно независимыми случайными вели-
величинами. С. п. с н. п. наз. однородным, если рас-
распределение вероятностей дли приращений Л'(а+Л) —
X (а), 0<:а, 0<А, зависит только от Л (но не от а).
Так как добавление к X (t) любой неслучайной функ-
функции A (t) приводит снова к С. и. с н. п., то реализации
С. ц. с н. п. могут быть, вообще говоря, сколь угодно
иррегулярными. Однако, «центрируя» процесс надле-
надлежащим образом (вычитая, напр., из процесса X (t)
функцию f(t), определяемую соотношением Earctg(A'(i)—
/(())="), можно высказать о структуре «центрирован-
«центрированного» процесса более определенные суждения. У него
имеется не более чем счетное множество (неслучайное)
точек t/, в к-рых X (t) имеет случайные скачки
а разность
t <tX,
является стохастически непрерывным С. п. с н. п.:
при любом е>0 и t' -*¦ t
Р{|У(*')_У@|>в} —0.
Винероеский процесс и пуассоновский процесс служат
примерами стохастически непрерывных С. п. с н. п.
(при этом реализации первого непрерывны с вероят-
вероятностью единица, а реализации второго суть кусочно
постоянные функции со скачками, равными единице).
Важным примером С. п. с н. п. служат устойчивые
процессы. Реализации стохастически непрерывного
С. п. с н. п. с вероятностью единица могут иметь раз-
разрывы только 1-го рода. Распределение у такого про-
процесса при любом t является безгранично делимым (см.
Безгранично делимое распределение). При изучении
С. п. с н. п. применяют метод характеристических

функций. Задачи о вероятности достижения процессом
каких-либо границ и о распределении вероятностей
времени достижения решаются с привлечением т. н.
фактор иаационшлх тождеств.
Лит.: [1] Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Теория
случайных процессов, т. 2, М., 1973; [2] С к о р о х о д А. В.,
Случайные процессы с независимыми приращениями, М., 1964.
Ю. В. Прохоров.
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС СО СТАЦИОНАРНЫМИ
ПРИРАЩЕНИЯМИ — случайный процесс X (t) с,
дискретным пли непрерывным временем t такой, что
статистич. характеристики его приращений нек-рого
фиксированного порядка не меняются во времени (т. е.
инвариантны относительно временных сдвигов t-+t-\-a).
Как и в случае стационарных случайных процессов,
различают два типа С. п. со с. п., а именно — С. п.
со с. п. в узко м с м ы с, л е, для к-рого все конеч-
конечномерные распределения вероятностей приращений
А" (О заданного порядка в точках /,, . . ., tn и точках
/,+«, . . ., «„+« при любом а совпадают друг с другом,
и С. п. со с. п. в m и р о к о м с м ы с л е, для к-рых
средние значения приращения в момент t и вторые
моменты приращений в моменты t и t-\-s не зависят
от t.
В случае процессов X (t) с дискретным временем t=0,
— 1, ... всегда можно перейти от рассмотрения слу-
случайного процесса A' (t) к рассмотрению нового случай-
случайного процесса
Д<»> А' (/) = X {/) ~С\Х (t - 1)+...+ (-1)" CanX (t-n),
где С п— биномиальные коэффициенты. Если X U) —
С. п. со с. п. п-го порядка, то процесс Д(п) A' (t) будет
уже стационарным в обычном смысле; поэтому в случае
дискретного времени теория С. п. со с. а. сводится к
теории более частных стационарных случайных про-
процессов. Однако с точки зрения приложений исполь-
использование понятия С. п. со с. п. и дискретным временем t
часто оказывается весьма удобным, т. к. для многих
встречающихся на практике явно нестационарных
временных рядов x(t), t~\, 2, . . ., ряды их прираще-
приращений Д(п> x(t) нек-рого порядки л уже можно считать
реализациями стационарного случайного процесса
Д" A' (t). В частности, Дж. Бокс (G. Box) и Г. Дженкинс
(G. Jenkins) (см. [1]) указали, что при решении многих
практич. задач реальные временные ряды часто можно
считать реализациями т. н. процесса авторегрессии —
проинтегрированного скользящего среднего, представ-
представляющего собой специальный С. п. со с. п. и дискрет-
дискретным временем (см. также [2] — [4]).
Примерами С. и. со с. п. 1-го порядка (в узком смысле)
с непрерывным временем t являются, в частности,
винеровский процесс и пуассоновский процесс; оба эти
процесса принадлежат также и к более узкому классу
процессов с независимыми стационарными прираще-
приращениями 1-го порядка. В случае непрерывного t теория
С. п. со с. п. уже не сводится непосредственно к теории
более простых стационарных процессов. Корреляцион-
Корреляционная теория (т. е. теория соответствующих процессов
в широком смысле) С. п. со с. п. 1-го порядка была
развита А. Н. Колмогоровым [5] (см. также [6]); по-
подобная же теория С. п. со с. п. n-го порядка, где п —
произвольное целое положительное число, рассмат-
рассматривалась в работах [7] — [9]. Центральное место в
корреляционной теории С. п. со с. п. занимает вывод
спектрального разложения таких процессов и их
моментов 2-го порядка. Использование понятия обоб-
обобщенного случайного процесса позволяет заметно уп-
упростить теорию С. л. со с. п.; так как н рамках теории
обобщенных случайных процессов любой случайный
процесс A' (t) имеет производные всех порядков (яв-
(являющиеся, вообще говоря, обобщенными случайными
процессами), то С. п. со с. п. /?-го порядка можно
также определить как случайный процесс X (t), в-я

производная которого Xim является (вообще гово-
говоря, обобщенным) стационарным случайным процессом
(см. [9]).
Лит.: [1] Б о к с Д т., Дженкинс Г., Анализ времен-
временных рядов. Прогноз и управление, пер. с англ., в. 1—2, М., 1974;
[2] Nelson С. R., Applied time series analysis for manage-
managerial foreca ting, S. F., 1973; [3] Anderson O. D., Time se-
series analysis and forecasting. The Box—Jenkins approach, L.—
Boston, 1976; [4] Robinson E. A., S i 1 v a M. Т., Digital
foundations of time eries analysis: the Box — Jenkins approach,
S. P., 1979; [5] Колмогоров А. Н., «Докл. АН СССР»,
1940, т. 26, J\r» 1, с G—9; [6] Д у б Д ж., Вероятностные процес-
процессы пер. с англ., М., 1956; [7] Я г л о м А. М. «Матем. сб.»,
1955, т. 37, № 1, с. 141—96; [8] П и н с к е Р М. С, «Изв. АН
СССР. Сер. матем.», 1955, т. 19, с. 319—45; [9] И т о К., «Мате-
«Математика», 1957, т. 1, № 3, с. 139—51. А. М. Яглом.
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС СОГЛАСОВАННЫЙ — ее
мейство случайных величин Х= (Xf(a>))i>0, заданных
на измеримом пространстве (Q, JF), с выделенным на
нем неубывающим семейством F= (<jft)t>o под-а-
алгебр JFjczjp таких, что Xf являются ^(-измеримыми
при каждом t^O. Чтобы подчеркнуть свойство согла-
согласованности для таких процессов, часто используют
запись
и говорят, что X является F-адаптированным или
адаптированным относительно семейства F=(aFt)<>o
или что X есть стохастич. процесс. Соответствующие
определения даются и в случае дискретного времени,
при атом термин «процесс» заменяется термином «по-
«последовательность».
Лит.: [1] Деллашери К., Емкости и случайные про-
процессы, пер. с франц., М., 1975. А. Н. Ширяев.
СЛУЧАЙНЫЙ ТОЧЕЧНЫЙ ПРОЦЕСС — случай-
случайный' процесс, соответствующий на прямой R1 после-
последовательности случайных величин {</}, .. ., i_i<io<:0<
<<i<'ia<v- . • • Каждому значению t; ставится в соот-
соответствие случайная величина Ф{г,-}=1, 2, . . ., назы-
называемая кратностью. В теории массового обслуживания
С. т. п. порождается моментами поступления заявок
на обслуживание, в биологии — моментами импульсов
в нервных волокнах и т. п.
Пусть X — полное сепарабельное метрич. простран-
пространство, ЗЗо — класс ограниченных борелевских множеств
ВсХ, N= {ф} — совокупность мер, принимающая
целые значения, <рE)=?<оо, 9J — минимальная а-
алгебра, порожденная подмножествами мер {ф : ф (В)—-
- l)z:N, С?33О, 1—0, 1, 2, ... Задание вероятностной
меры Р в измеримом пространстве (N, 91) определяет
С. т. п. Ф с фазовым пространством X, реализациями
к-рого являются целозначные меры из N. Значения
х^Х, для к-рых Ф{я}>0, наз. точками С. т. и.
Величина Ф(В) равна сумме кратностей точек С. т. п.,
попавших в В. С. т. п. Ф наз. простым, если Ф{т}<:
<:1 для любого х?Х. С. т. п. наз. ординарным,
если для любых ??*В0ие>0 найдется такое разбиение
g= (zj, . . ., zn) множества В, что
Ординарные С. т. п. являются простыми. В]ажну1О
роль играют факториальные моментные меры
Ак(В) = ЕрФ(ВIФ(В)-1] ... [Ф(В)-
и их обобщения (Ер — математич. ожидание, Лх E)
наз. мерой интенсивностеп). Если Л2„ (S)<
<оо, то
2*" "р1
ЛоE) = 1.

Особую роль в теории С. т. п. играют пуассоновские
С. т. п. Ф, для к-рых: а) значения Ф E,) на непересе-
непересекающихся Bifz^o являются взаимно независимыми
случайными величинами (свойство отсутствия после-
последействия), б)
Р {Ф E,) = l} = y±jpt exp {- А, (В)}.
Для простого С. т. п.
где inf берется по всем разбиениям ? множества В.
Соотношение (*) дает возможность находить яъные
выражения меры интенсивностей для многих классов
С. т. п., порожденных случайными процессами или
полями.
Обобщением С. т. п. являются т. н. маркиро-
маркированные С. т. п., в к-рых точкам х, Ф{х}>0, сопо-
сопоставляются метки к (х) из нек-рого измеримого про-
пространства [К, 91]. Продолжительности обслуживания
заявок, поступающих в систему массового обслужи-
обслуживания, можно рассматривать как метки.
В теории С. т. п. важное значение имеют соотноше-
соотношения, связывающие специальным образом заданные
условные вероятности различных событий (пальмовские
вероятности). Получены предельные теоремы для су-
суперпозиции (суммирования), прореживания и др.
операций над последовательностями С. т. п. В прило-
приложениях широко используются различные обобщения
пуассоновских С. т. п.
Лит.: [1] X и н ч и н А. Я., Работы по математической тео-
теории массового обслуживания, М., 1963; 12] С о х D. R., 1 sham
V., Point processes L., 1980; [3] К е р с т а н Й., М а т т е с К.,
Мекке Й., Безгранично делимые точечные процессы, пер. с
англ., М., 1982; ШБеляевЮ, К., Элементы общей теории
случайных процессов, в кн.: Крамер Г.,Лидбеттер М.,
Стационарные случайные процессы, пер. с англ., М., 1969,
с. 358—72. Ю. Н. Беляев.
СЛУЧАЙНЫЙ ТОЧЕЧНЫЙ ПРОЦЕСС С ОГРАНИ-
ОГРАНИЧЕННЫМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ — случайный точеч-
точечный процесс, задаваемый последовательностью случай-
случайных величин {?;}
...< t_f < «0<0 < ti < t2 <...,
в к-рой интервалы s,=i;+1—1[ являются взаимно
независимыми случайными величинами. С. т. п. с о. п.
тесно связаны с процессами восстановления (см. Вос-
Восстановления теория), в к-рых s,- являются независи-
независимыми одинаково распределенными (при ?=^0) случай-
случайными величинами. Ю. К. Беляев.
СЛУЧАЙНЫЙ ЭЛЕМЕНТ — обобщение понятия
случайной величины. Термин «С. э.>> был введен, по-
видимому, М. Фреше [1], отмечавшим, что развитие
теории вероятностей и расширение области ее при-
приложений привело к необходимости перейти от схем,
где (случайные) исходы опыта могут быть описаны
числом или конечным набором чисел, к схемам, где
исходы опыта представляют собой, напр., ряды, функ-
функции, кривые, преобразования и т. п.
Впоследствии термин «С. э.>> стал употребляться в
основном применительно к выбранным «случайным
образом» элементам какого-либо линейного тоиологич.
пространства, в первую очередь гильбертовых и ба-
банаховых пространств. Точное определение, напр.,
С. э. X в банаховом пространстве 36, напоминает оп-
определение случайной величины. Пусть (Q, </l, P) —
нек-рое вероятностное пространство, 36 — банахово
пространство, Зс* — сопряженное к 36 пространство.
Отображение Х = Х(и>) пространства Q элементарных
событий а в 1 наз. случайным элемен-
элементом, если всякий непрерывный линейный функцио-
функционал х* (X (а)) оказывается при этом случайной величи-
величиной, т. е. ^/-измеримой функцией.

Пусть JP—наименьшая а-алгебра. относительно к-рой
измеримы все непрерывные линейные функционалы.
X есть С. п. в том и только в том случае, когда полные
прообразы всех множеств из X tf-измеримы. В случае
когда J сепарабеяьно, X совпадает с а-алгеброй бо-
релевских подмножеств ЭЕ.
На С. э. могут быть распространены основные по-
понятия теории вероятностей, такие, как характеристич.
функция, математпч. ожидание, ковариация и т. п.;
С. э. X наз. нормальным (гауссовы м),
если распределение вероятностеГ! любого непрерывного
линейного функционала .т*(Х) является нормальным.
На последовательности независимых С. п. могут быть
распространены закон больших чисел, усиленный закон
больших чисел, закон повторного логарифма, цент-
центральная предельная теорема и др. вероятностные ут-
утверждения. Возможность перенесения этих теорем в
их классич. форме на случай банаховых пространств
тесно связана с геометрией пространства. Важно от-
отметить, что эта связь носит взаимный характер, так
как вероятностные свойства часто оказываются на
самом деле вероятностно-геометрическими — их спра-
нед.'швость в данном банаховом пространстве не только
определяется геометрич. свойствами пространства, но
и сама определяет эти свойства.
Так, напр., для того чтобы для любой последователь-
последовательности независимых одинаково распределенных С. :>.
.\(. V. со значениями и X с нулевыми математич.
II^II2
ожиданиями и eII^/II2<°° распределение нормиро-
нормированных сумм —'-^-^=—- слабо сходилось к раепреде-
I 71
лению нормального С. э., необходимо и достаточно,
чтобы J было т. н. пространством типа 2 (см. [4]).
Лит.: [1] Free he t M., «Ann. inst. H. Poincare», 1348,
v. 10, p. 215—310; [2l M о u r 1 с г Е., Elements al&itoires dans
un espace de Banach (These), P., 1953; [3] В а х- а и и я Н. Н.,
Вероятностные распределения в линейных пространствах,
Тбилиси, 1971; [4] Hoffmann-JergensenJ., Pi-
si сг G., «Ann. Probab.», 197U, v. 4, p. 587— 89.
Ю. В. Прохоров.
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПРЕОБРАЗОВАНИЕ —
отыскаине функций от каких-либо случайных неличин,
распределения вероятностей к-рых обладают заданными
свойствами.
Пример 1. Пусть X — случайная величина, име-
имеющая непрерывную и строго возрастающую функцию
распределения F(x). Тогда случайная величина У —
— F(X) имеет равномерное на отрезке [0, 1] распре-
распределение, а случайная величина Z=ф-i{F(X)) (где
Ф (.г) — стандартная нормальная функция распреде-
распределения) имеет нормальное распределение с параметрами
О и 1. Обратно, формула X — Р~х (Ф (Z)) позволяет из
случайной величины Z со стандартным нормальным
распределением получить случайную величину А',
имеющую заданную функцию распределения F(.r).
С. в. и. часто используются в связи с предельными
теоремами теории вероятностей. Пусть, напр., после-
последовательность случайных величин Zn асимптотически
нормальна с параметрами @, 1). Ставится задача по-
построения простых (и просто обратимых) функций /„
таких, чтобы случайные величины Vn~Zn \-fn(Zn)
были «более нормальны», чем Z,,.
П р и м е р 2. Пусть случайные величины Х1} Х2,
. . ., Xп, ... независимы и имеют каждая равномер-
равномерное распределение на | — 1, 1J и пусть
Z
По центральной предельной теореме
Р{2„< <}-ФМ-
Полагая

получают
Пример 3. Случайные воличнпы %?,, V 2%„ и
f1
f1* асимптотически нормальны ири п ->- сю (см.
«Хи-квадрат» распределение). Равномерное отклонение
соответствующих функций распределения от их нор-
нормальных аппроксимаций становится меньше 0,01 для
X?! при /1^354, для У 2%п (преобразование
Ф и ш е р а) при п^23, для (%?г/п) '¦' (преобразо-
(преобразование Вилсона— Хил ферт и) при п > 3
это отклонение не превосходит 0,007.
С. в. и. издавна применялись и применяются в за-
задачах математич. статистики как основа построения
простых асимптотич. формул высокой точности. С. в. п.
используют и в теории случайных процессов (напр.,
метод «одного вероятностного пространства»).
Лит.: [1] Большев Л. Н., «Теория вероятн. и ее при-
мен.», 1959 т. 4, № 2, с. 136—49' 12] его же, там же, I9u;i
т. 8, .N1 2, с. 129—55; [3] Б о л ь ш е в Л. И., Смирнов Н. В.,
Таблицы математической статистики, [3 изд.], М., 1983.
В. И. Паацрова, Ю. В. Прохоров.
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ —
задача об оценке значений случайного процесса X {I)
на нек-рол! интервале a<Ct<b по его наблюдаемым зна-
значениям вне этого интервала. Обычно имеют в виду
интерполяционную оценку X (t), для к-рой средне-
среднеквадратичная ошибка интерполяции является мини-
минимальной в сравнении со всеми другими оценками:
Е | X (t)~X (Z)|2
интерполяция наз. линейной, если ограничиваются
линейными оценками. Одной из первых была постав-
поставлена и решена задача линейной интерполяции значения
X @) стационарной последовательности, имеющая сле-
следующий аналог-, в пространстве L3 интегрируемых в
квадрате функций на отрезке —я«Л<я найти проек-
проекцию функции ф (X)?L2 на подпространство, порожден-
порожденное функциями e'^cp(X), fc=ztl, ±2, . . .; эта задача
получила широкое обобщение в теории стационарных
случайных процессов (см. [1], [2]). Примером для при-
приложений может служить задача интерполяции случай-
случайного процесса, возникающего в системе
LX(t)-,Y(t), t>tQ,
с линейным дифференциальным оператором L порядка
I и белым шумом Y(t), t>t0, в правой части; здесь при
независимых от белого гаума начальных значенияч
Х(*'(г0), Аг=О, . . ., I—1, наилучшая интерполяцион-
интерполяционная оценка X (<), a<t<b, есть решение соответству-
соответствующей краевой задачи
L*LX @ = 0, а < t <Ъ,
с формально-сопряженным оператором L* и гранич-
граничными условиями
X<ft>(s) = X<*>(s), k=0, ..., I,
в граничных точках s=a, b. Для систем стохастических
дифференциальных уравнений задача интерполяции
одних компонент по значениям других наблюдаемых
компонент приводит к соответствующим уравнениям
интерполяции (см. [3]).
Лит.: Ill Колмогоров А. Н., «Бюлл. МГУ», Ш1,
секи. А, т. 2, п. G, с. 1 — 40; [21 Р о я а н и н К). А., Стационар-
Стационарные случайные процессы, М., IHtili; Uil Л а и н е р Р. Ш., III и-
р я е в А. Л., Статистика случайных процессов, М., 1974.
Ю. А. Розанов.
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ,
случайных процессов якстраполя-
ц и я,— задача об оценке значений случайного про-
процесса X (t) в будущем ?>.<( по его наблюдаемым зна-
значениям до текущего момента времени .5. Обычно имеют
в виду экстраполяционную оценку X (t), t>s, для к-рой

среднеквадратичная ошибка E|.V (t)—Л" (/)['- являртгя
.мпннмалы101 п сравнении со всеми другими оценками,
составленными но значениям рассматриваемого про-
процесса в прошлом до момента s (прогнозирование на.ч.
линейным, если ограничиваются линейными оцен-
оценками).
Одной из первых была поставлена и решена задача
линейного прогнозирования стационарной последова-
последовательности, имеющая следующий аналог: н пространстве
L2 интегрируемых в квадрате функций на отрезке
—жЛ<л найти проекцию функции ср (k)?L2 на под-
подпространство, порожденное функциями е'^ф(Х), к=0,
- 1, —2, . . .; эта задача получила широкое обобщение
в теории стационарных случайных процессов. Примером
для приложений может служить задача прогнозирова-
прогнозирования случайного процесса, возникающего в системе
LX(t) = Y(t), t>t0,
с линейным дифференциальным оператором L порядка I
и белым шумом Y (t), t>t0 в правой части; здесь наи-
наилучший прогноз A' (I), ?>s по значениям в моменты
^0<f<s при независимых от белого шума начальных
значениях ,Ylft) (t0), к^О, . . ., I—1, может быть дан
с помощью решения соответствующего уравнения
LX (I) 0, / > .5,
с начальными условиями
Для систем стохастических дифференциальных урав-
уравнений задача прогнозирования одних компонент по
значениям других наблюдаемых компонент приводит
к соответствующим стохастич. уравнениям экстрапо-
экстраполяции.
Лит. см. при ст. Случайных процессов интерполяция.
Ю. А. Розанов.
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИЯ — за
дача об оценке значения случайного процесса Z (t)
в текущий момент t по каким-либо значениям другого,
связанного с ним случайного процесса. Напр., речь
может идти об оценке стационарного процесса Z (t)
но значениям X (s), s<t, стационарно с ним связанного
стационарного процесса (см., напр., [1]). Обычно
имеют в виду оценку 2 (t) с наименьшей среднеквад-
среднеквадратичной ошибкой ?\Z(t)—Z(t)\2. Употребление тер-
термина «фильтрация» восходит к задаче о выделении
сигнала из «смеси» сигнала и случайного шума, одна
из важных модификаций к-рой есть задача оптималь-
оптимальной фильтрации в схеме, когда связь Z (t) и X (t) опи-
описывается стохастическим дифференциальным уравне-
уравнением
dX{t) = Z(t)dt + dY(t), t > t0,
где независимый от Z (() шум представлен стандартным
винеровским процессом Y(t).
Широкое распространение в приложениях получил
метод фильтрации (метод Калмана — Бью-
с и), применимый к процессам Z(t), к-рые описываются
линейными стохастическими дифференциальными урав-
уравнениями. Напр., если в указанной выше схеме
dX(t) = a(t)Z(t)dt-\-dY(i)
при нулевых начальных условиях, то
Z(t)=V c(t, s)dX(t),
J 'о
где весовая функция c(t, s) находится из уравнений:
±c(t, s)^[a(t)-b(t)]c(t, s), t > s,
c(s, s)^-b(s),
j-tb{t) = 2a(t)h(t)-~[b(t)}*-\-{, t>t0, b (*„)=-0;

обобщение итого метода на нрлинешше уравнение
приводит к общим стохастич. ураннениям фильтрации
(см. |2|).
В случае когда
зависит от неизвестных параметров сх, . . ., сп, интер-
интерполяционную оценку Z (t) можно дать, оценивая эти
параметры по X (s), .?<:?,— здесь применим метод
наименьших квадратов и его обобщения (см., напр.,
[3]).
Лит.: Ill P о я а м о в ТО. А., Стационарные случайные про-
процессы, М., 1963; [li] Липцср Р. III., Ширяев Л. П.,
Статистика случайных процессов, М., 1971; [3] II П р а г и-
мов П. А Розанов Ю. А., Гауссовские случайные
процессы, М., 1970. }(). А. 1'илаи.оч.
СМЕЖНЫЙ КЛАСС группы G по под г р у и-
н е II (л е в ы ft) — множество элементов группы G,
равное
аН {ah\
где а — нек-рый фиксированный элемент из G. С. к. над.
также левосторонним С. к. группы G по подгруппе //,
определяемым элементом а. Всякий левый С. к. опре-
определяется любым из своих элементов. аП-~П тогда
и только тогда, когда а?7/. Дли любых a, b?G С. к.
all и ЪН либо совпадают, либо по пересекаются. Таким
образом, группа G распадается на непересекающиеся
левые С. к. по подгруппе // — это разложение наз.
левосторонним разложением груп-
группы С но п о д г р у п п е Н. Аналогично определяются
правые смежные классы (множества Па,
a?G) и правостороннее разложепие
группы G по подгруппе Н. Оба разложе-
разложения — правостороннее и левостороннее — группы G
по // состоят из одного и того же числа классов (в
бесконечном случае совпадают мощности множеств
этих классов). Это число (мощность) наз. индексом
подгруппы // в группе G. Для нормальных де-
делителей левостороннее и правостороннее разложения
совпадают, и в этом случае говорят просто о разло-
разложении группы по ее нормальному
делителю. О. А. Иванова.
СМЕШАННАЯ ГРУППА — группа, к-рая содержит
как элементы бесконечного порядка, так и отличные
от единицы элементы конечных порядков (см. Поря-
Порядок элемента группы). О. А. Иванова.
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА — задача для дифференци-
дифференциальных уравнений и систем с частными производными,
содержащая начальное условия и краевые условия, а
также задача с носителем данных, состоящем как из
характеристич., так и нехарактеристических опреде-
определенным образом ориентированных многообразии (см.
Смешанная и краевая задачи для гиперболических
уравнений и систем, Смешанная и краевая задачи для
параболических уравнений и систем, Смешанного типа
уравнение). С. з. наз. и краевые задачи для ил.чиптич.
уравнений, когда па различных частях границы за-
заданы условия разного рода (см. Краевая заоача для
эллиптического уравнения). а. м науушев.
СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИ-
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ — за-
задачи отыскания решений уравнений и систем с част-
частными производными гиперболич. типа, удовлетворя-
удовлетворяющих на границе области их задании (или ее части)
определенным условиям (см. Краевые условия, Началь-
Начальные условия).
Краевая задача для гиперболич. уравнений и си-
систем, заданных в нек-рой области D евклидова про-
пространства R" г1, наз. смешанно й, или началь-
начально-краевой, если искомое решение, наряду с
краевыми условиями, должно удовлетворять и началь-
начальным или если носитель dD граничных данных состоит

как из характеристических, так и нехарактеристиче-
нехарактеристических определенным образом ориентированных много-
многообразий.
Для гиперболич. уравнений 2-го порядка носителем
начальных данных при постановке смешанно]"! задачи
является пространственно ориентированная часть гра-
границы 0D. На временным образом ориентированной
части 0D, как правило, задаются краевые условия
такого ;ке типа, как и для параболич. уравнений (см.
Смешанная и краевая задачи для параболических урав-
уравнений и систем).
Пусть Q — область пространства R" точек х~ (хг,
х2, . . ., .г,,) с, достаточно гладкой границей ОН, а
D = {(x,.ra);x?Q, 0 < то< Г},
, 0 <хо< Т),
В области D задано линейное гиперболич. уравнение
2-го порядка
+ а°(х, xo)uXt-\-a(x, xa) и -f{x,x0), A)
где подразумевается суммирование от 1 до п по повто-
повторяющимся индексам i, j и форма a'J (x, aro)|j-|y поло-
положительно определена.
Основные смешанные задачи для уравнения A)
охватываются следующей постановкой: в области D
найти решение и=иE, ха) уравнения A), удовлетво-
удовлетворяющее на Qo начальным условиям
а на S — одному из краевых условий
u|s = (pi (х, х0); C)
du/dN\s = <p2(x,x0); D)
(du/ON + а(х, х0) и) \s = ф3 (х, ха), E)
где N — конормаль относительного оператора a'J^-^— .
Задачи B), C); B), D) и B), E) принято соответственно
называть первой, второй и третьей сме-
смешанной задачей для уравнения A).
Для уравнения A) при довольно общих предположе-
предположениях относительно его коэффициентов и границы 0D,
а также для заданных функций доказаны существо-
существование и единственность как регулярных, так и обоб-
обобщенных решений всех трех смешанных задач, исследо-
исследованы структурные и дифференциальные свойства атих
решений в замкнутой области D в зависимости от
гладкости ее границы [8]. При п=\ решение смешан-
смешанных задач выписывается в явном виде.
Смешанные задачи исследованы для широкого клас-
класса линейных и нелинейных гиперболич. уравнений и
систем (см. Квазилинейные гиперболические уравнения
и системы). Построена удовлетворительная теория
сметанных задач для строго гииерболич. уравнений
и систем вида
их„х0 ' ^ . - I - - а« f-r' ro)
с начальными данными на (пространственно ориенти-
ориентированной) части границы области D, лежащей на
плоскости .го--О. Определенный успех достигнут и
при изучении смешанных задач для гиперболич. урав-
уравнений и систем в случае, когда носители начальных
или краевых условий представляют собой поверх-
поверхности вырождения типа или порядка этих уравнений
(см. Вырожденное уравнение с частными производными).

Наиболее существенные результаты полутоны для
линейных уравнении 2-го порядка вида
ох.
Ха +с(х, х0) и = / (ж, х0)
с коэффициентами, удовлетворяющими условию
где Хо и [х0 — нек-рые положительные постоянные,
и особенно для уравнении вида
У>1хх — иуу-'га(х< У) ux + b (х, у)иу +
+ с(х, у)и~1{х, у), ,rL -ж, ,r0 = y5s0, m —const. F)
К смешанным задачам с внутренними или внешними
краевыми условиями (см. Внешняя и внутренняя
краевые задачи) редуцируются математич. модели мно-
многих процессом теории рассеяния волн на препятст-
препятствиях. Напр., к условию излучения Зомиерфельда (см.
Излучения условия) приводит задача отыскания ре-
решения и волнового уравнения
? и ^ «W, - «V..V, - ... - их&х<1 = О
для всех точек x^lR™, лежащих вне ограниченной
области QcR", если известно, что производная и
по направлению внешней нормали и дп обращается в
нуль для любого момента времени хо^0, а начальные
условия соответствуют плоской волне, идущей из
бесконечности в направлении оси хх.
Основными краевыми задачами для гиперболич.
уравнений и систем являются Гурса, Дарбу — Пикара
И их многомерные аналоги (см. Гурса задача, Ноши
характеристическая задача, а также [1]).
Задачи Гурса, Дарбу — Пикара и их различные
обобщения хорошо исследованы для гиперболич. урав-
уравнений и систем 2-го порядка с расщепленными глав-
главными частями вида
ихх — иуу + а (*. У) их + Ь (х, у) Uy + c (x, y)u = f(x, у),
где a, b и с — заданные действительные (тХт)-матри-
цы, / — заданный, аи — искомый m-мерные векторы.
Существенные результаты получены и для довольно ши-
широкого класса гиперболич. систем уравнений 2-го по-
порядка с нерасщепленными главными частями при отсут-
отсутствии параболич. вырождения. Обнаружен факт неедин-
неединственности решения характеристич. задачи Гурса
щ(х, x) = <pi(x), и; (х, —x)=yt(x), z5sO, s = l, 2,
для гиперболич. системы
дги. дги. д2и .
с двумя независимыми переменными х, у и найден
эффект влияния младших членов на корректность
этой задачи [3]. Достаточно полно изучен вопрос
влияния характера параболич. вырождений на кор-
корректность как локальных, так и нелокальных краевых
задач для вырождающихся гиперболич. уравнений и
систем K]. В частности, исследованы основные (ло-
(локальные) краевые задачи для линейных вырождаю-
вырождающихся гиперболич. уравнений вида
иуу~к (*' У) ихх + а (х, у)их-\-Ъ (х, у) иу-\-
+ с(х, у) u = f(x, у)
в ограниченных областях с произвольной кусочно
гладкой границей, установлен факт влияния порядка
нехарактеристич. вырождения на корректность задачи
Дарбу и неравноправия характеристик как носителей
краевых условий [10].
В связи с проблемой поиска многомерных аналогов
задач Дарбу и Трикоми (см. Смешанного типа урав-

пения) начались интенсивные исследования нелокаль-
нелокальных краевых надач и особенно задачи со смещением
(см. [9]) для гинерболич. уравнений, когда на харак-
теристич. частях границы задано условие, поточечно
связывающее значения искомого решения" или его
(дробных) производных или интегралов определенного
порядка.
Многие краевые задачи со смещением, изучаемые
с большой полнотой и общностью в случае уравнения
A), охватываются следующей постановкой. В области,
ограниченной характеристиками
IV * Цг/(т+2)/2 = 0, IV * + _!_ (т+гуг^
и m-i-2 J ' l ' т + 2 "
и отрезком / : 0<г<1 прямой г/ = 0, найти (достаточно
гладкое) решение и(х, у) уравнения A), удовлетво-
удовлетворяющее на 1 локальному условию
^^ ^ ^ G)
а на l'otlli — нелокальному условию
Вг (х) D*x и [в. (х)] + В2 (х) DVX и [9, (*)] +
+ lira Q [а, (.г) ^ + а2 (*) §| + а3 (х) и^ ^
^Н3(х),х?1. (8)
Здесь А;. И,, а; — заданные функции, Z)?v — опе-
оператор дробного интегро-дифференцирования порядка
|р|, задаваемый формулой
если е<0. и
еслие>0, где V (г) — гамма-функция, [е] — целая часть
f; 0/ (.г-) — точна пересечения характеристики, выходя-
jneii u:i точки .rg/. с характеристикой Г;- уравнения A):
и [Bj-(x)]t=u (ReQj, ImBy).
Подробно изучены краевые задачи со смещением
для уравнения вида A), к-рые в характеристич. коор-
координатах I и 1) редуцируются к уравнению Эйлера —
Дарбу — Пуассона
Частным случаем задачи G) — (8) является з а-
д а ч а Дарбу, к-рая состоит в отыскании (доста-
(достаточно гладкого) решения и (х, у) уравнения F), удов-
удовлетворяющего (локальным) краевым условиям
и [60 (*)]=1|> И, и(х, 0) = т(я), х?1;
или
и[61(а:)] = ф(г), Kj,(z, 0)=v(i), г?/.
Условие т<2 или а (л:, г/)==0 A)ур, p>ml2—\, m>2
(условие Г е л л е р с т е д т а), является сущест-
существенным для корректности задачи Дарбу (см. [3], [10]).
Качественно новым многомерным аналогом задачи
Дарбу является задача Бицадзе, к-рая в слу-
случае волнового уравнения \~Ju=f(x, х0) ставится сле-
следующим образом (см. [1]). В конечной области DczR" + 1,
ограниченной частью So плоскости х„ = 0 и двумя
характеристич. поверхностями
ретпение уравнения, удовлетворяющее усло-
условиям h!So=---0, u|'s2=0 или uXn\so-=U> ",iV'--'

Изучены и другие многомерные аналоги как задачи
Дарбу, так и нелокальных краевых задач (типа |2|.
[3]) для гиперболич. уравнении и специальных обла-
областях, нехарактеристич. часть границы к-рых, как пра-
правило, представляет собой пространственно ориенти-
ориентированную поверхность. Наиболее полные результаты
получены в случае уравнения Эйлер;) - Дарбу —
Пуассона ,г0П" = '''"v0-
Для уравнения вида
иху \- А (т. ,,) их-\~В (х, у) иу-\~с (х, у) и -/ (x, у) (9)
весьма полно исследована нелокальная задача в сле-
следующей постановке. В области {(х, у) : 0<_x<h, ()<!/<
<Т) найти (достаточно гладкое) решение и (г, у)
уравнения (9), если для всех г/?[0, Т] известно, что
и(х, 0)-==ф(г), 0<x<fe, щ{х^и(х, y)dx = x{y),
и(х, О)^ф.(.г) щ^=у;
где х0, Xl, . . ., Xq — заданные точки из сегмента [О, Л].
В теорию краевых задач вносится новый аспект при
переходе к гиперболич. уравнениям 3-го порядка вида
ихху+А (*> У)ихх-\-а(х, у)их^Ъ(х,у)иу+с(х,у)и—1 (х, у),
A0)
к-рые лежат в основе математич. моделей многих
процессов и явлений теории тепломассообмена в по-
пористых средах. Построена содержательная теория как
локальных, так и нелокальных линейных краевых
задач для гиперболич. уравнений вида A0), в част-
частности создан аналог метода Римана.
Для линейных симметрических гиперболич. систем
1-го порядка (см. Линейное гиперболическое уравнение
и система) в рамках теории систем уравнений 1-го
порядка изучены краевые задачи с допустимыми (см.
[6]) краевыми условиями на <5Q.
Задача Дирихле, вообще говоря, не является кор-
корректной для гиперболич. уравнений и систем в произ-
произвольных областях. Методами энергетпч. оценок и
интегральных уравнений установлена корректность
этой задачи для широкого класса гиперболяч. урав-
уравнений 2-го порядка в специальных цилиндрич. обла-
областях.
Лит.: [1] Бицадзе А. В., Некоторые классы уравнений
в частных производных, М., 1981; [2] Владимиров В. С,
Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [3] Gcl-
lerstedt S., «Arli. mat., astr., tya.», 1937, bd 25A, As 29,
s. 1 — 23; L4] Годунов С. К., Уг> внения математической фи-
физики, 2 изд., М., 1979; [5J Д ж у р а е в Т. Д., Краевые задачи
для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, Таш-
Ташкент, 1979; 16] Д е з и н А. А., Общие вопросы теории гранич-
граничных задач, М., 1980; 17] Л а в р е и т ь е в М. М., Ром а-
н о в В. Г., Васильев В. Г., Многомерные обратные зада-
задачи для дифференциальных уравнений, Новосиб., 1969; [8] Л а-
д ы ;к е н с к а я О. А., Смешанная задача для гиперболическо-
гиперболического уравнения, М., 19Г>3; [9.1 Нахушев А. М., «Дифферен-
«Дифференциальные уравнения», 19t!9, т. ^, Ло 1, с. 44—59; [10] его ж е,
там же, 1971, т. 7, Л» 1, с. 49—56; [11] С а л а х и т д п-
н о в М. С, Уравнения смешанно-составного типа, Ташкент.
1974; [12] Т и х о if о в А. П., С а м а р с к и й А. А., Уравне-
Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; f 13J Ш х а и у-
к о в М. X., <.Дифференциальные уравнения», 1982, т. 18, № 4,
с. 689—99. А. М. Нахушев.
СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРА-
ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ — задачи
отыскания решении
и{х, <) = («! (я, t), ..., ит(х, t))
в области D евклидова пространства R" + ] ((x, t) —
= (л-j, . . ., хп, t) — точка пространства Rn + l) парабо-
лич. системы уравнений или при т — 1 параболич.
уравнения, удовлетворяющих нек-рым дополнитель-
дополнительным условиям на границе ill) (или на ее части) обла-
области D.

Пусть Q — область пространства R" с достаточно
гладкой границей OQ, a D — цилиндр {.г?Я, 0<i<71}
с боковой поверхностью I'— {.r^oii. 0<?<Г}, нижним
основанием Q0={.t?Q, г=0} и верхним основанием
Qr= {x?Q, t—T). Смешанные задачи для линейной
параболической по Петровскому системы
f(x, t)^Uiix, П, ¦¦¦, tm(x, t)),
в цилиндре D заключаются в отыскании решений этой
системы, удовлетворяющих начальному условию
и |Q(] — ц> (ж), B)
ф(аг)= («Pxtej), - . ., Фга(г.)), 11 краевому условию
/, JL\ и |г = Ф(^. О, C)
где i|;(z, /)= (I)-, (.г. /). . . ., ур(х, t)), а
прямоугольная .мат|шца с элементами
t, ±) -у . ьк'
i — 1. • . ., т; / —-1, ..., р.
Пусть рассматриваемая система равномерно парабо-
лична.
Классич. решением смешанной задачи A) — C) на.!,
вектор-функция и (.г, г), принадлежащая
где q—max<j7j при 1 <:j<:m, 1 <:/<p, и удовлетворяющая
в D системе'A), а на Qo и Г — условиям B) и C) со-
соответственно. Иногда рассматриваются обобщения по-
понятия классич. решения; в частности, при определении
классич. решения можно отказаться от требования
непрерывности в точках из ГП^0, заменив его ус-
условием ограниченности решения в D.
Если для рассматриваемой задачи выполнено до-
дополнительности условие (условие Лопатинского), то
(пусть для простоты область Q ограничена) при до-
достаточной гладкости данных задачи (коэффициентов
в A) и C) и вектор-функций /, (р и гр) и выполнения
согласований условий существует и единственно клас-
классич. решение.
Основными сметанными задачами для общего линей-
линейного равномерно параболич. уравнения 2-го порядка
Щ — Ьи^щ — 2" 5=1 (а'7(г> 1)их)х]~
а;;(х, t)-=dj ;(x, t), i = \, ..., п; 7' = 1, ..., re,
являются задачи отыскания решений этого уравнения,
удовлетворяющих начальному условию
«|ао-ФМ B')
и одному из краевых условий
«|Г--Ф(.г, О D)
— первая смешанная на д а ч а, или
i) U г.
и v г ~ " ¦ ' *''
— вторая с м с Mi а н н а я з а д а ч а, »л"н
f~-]-a (.r, I) iA\ ^\p(x,t) F)
— третья смешанная з ада ч а, где N —
конорчаль иллиитач. оператора L.

Каждая из этих задач удовлетворяет дополнитель-
дополнительности условию и, следовательно, при достаточной
гладкости данных задачи и выполнении условий согла-
согласования имеет класеич. решение; это решение может
быть получено с помощью метода потенциала, метода
конечных разностей, Галеркина метода, а в случае,
когда функции а;, у, i=l, . . ., re, ;=1, . . ., п, с, о,
не зависят от t, Ь[=0, г=1, . . ., п, и с помощью Фурье
метода. Для разрешимости, напр., первой смешанной
задачи для уравнения A) достаточно потребовать,
чтобы коэффициенты уравнения принадлежали про-
пространству Гёльдера Са (D) при нек-ром а>0 и, кроме
того, коэффициенты aitj{x, t) имели принадлежащие
— да • •
Ca(D) производные -42^- , i=l> . . ., п, ; = 1, . . ., га,
oxi
функция f(x, t) принадлежала Ca(D), функции <р и \\>
были непрерывны соответственно на il0 и Г и Ф^д —
—ty(x, 0). При этом достаточно, чтобы граница Oil
области Q удовлетворяла следующему условию: для
любой точки x°?dQ .существует замкнутый шар S,
имеющий единственную общую точку с Q — точку
ха : 5Г)?3=г0. Аналогичное утверждение при нек-рых
условиях на боковую поверхность (пусть боковая
поверхность не содержит характеристич. точек — точек
касания с плоскостями t= const) справедливо и в
случае нецилиндрич. области D.
Теоремы существования основных сметанных задач
для уравнения A') справедливы и при других требова-
требованиях на заданные функции и область Q. Напр., реше-
решение первой смешанной задачи в цилиндрич. области D
для однородного теплопроводности уравнения с не-
непрерывными функциями ф и t|), удовлетворяющими ус-
условию согласования ф|а?2='ф(х, 0), существует, если
область Q такова, что Дирихле задача для Лапласа
уравнения разрешима в Q (существует классич. реше-
решение) при произвольной непрерывной граничной функ-
функции.
Пусть коэффициенты а,-у, Ь,-, с измеримы и ограни-
ограничены в D, а функция о измерима и ограничена на Г,
f?L2(E>), ф^Л0 (Q), функция-if) п случае первой смешан-
смешанной задачи является следом на Г нек-рой функции из
Соболева пространства W\'° (D), а и случае третьей
(и второй) смешанной задачи принадлежат Ь2(Г).
Принадлежащая пространству W\'u {D) функция и(х,
t), след к-рой на Г равен г);: «|r~i|;, наз. обобщен-
обобщенным решением п е р в о ii смешанной
задачи (Г), B'), D), если она удовлетворяет ин-
интегральному тождеству
\Q ч>и dx
при всех v из пространства Соболева W\(D). удовле-
удовлетворяющих условиям с р — 0, г|а =0.
Принадлежащая пространству W\'a (D) функция
и (х, t) нпз. о б о б щ е н н ы м решение м трет ь-
е й (в т о р о ii, если о—О) с м i- in а н н о ii зада ч и
A), B). ((I), если она удонлетворяет интегральному
тождеству
j 1) |_ '
'EL i '''¦"«,+cu)v]dx dt+\rauu dS ~

при всех v in W\(D), удовлетворяющих условию
v\QT -~ 0.
Обобщенное решение каждой из этих задач сущест-
существует, единственно и, если/?ЛрA>) при достаточно
большом р, непрерывно в D и даже удовлетворяет
условию Гёльдера с нек-рым показателем а>0. При
увеличении гладкости заданных функций и границы
области и при выполнении условий согласования
увеличивается гладкость обобщенного решения. Так,
напр., пусть для уравнения теплопроводности ср=О
и "ф=0 и dQ является достаточно гладкой поверхно-
поверхностью; обобщенное решение первой сметанной задачи
принадлежит Wf(s+1)> s+1 (?>), если /?Wf's(D) и вы-
выполнены условия согласования
я*-1-1
ЭЙ о
В частности, если/??2(О), то решение принадлежит
WZ'г (D), для (х, t)?D удовлетворяет уравнению тепло-
теплопроводности и его след на Qo равен нулю; если /? WT~s
при достаточно большом s и выполнены условия со-
согласования G), то в силу вложения теорем обобщенное
решение является классическим. Аналогичное утверж-
утверждение справедливо и для обобщенных решений основ-
основных смешанных задач для уравнения A') при доста-
достаточной гладкости коэффициентов.
Пусть Q = R«; задача отыскания решения в полосе
?> = R"X @, Т) параболич. системы уравнений A),
удовлетворяющих на характеристике Qo= {x?Rn, t—0]
начальному условию B), наз. Коши задачей для урав-
уравнения A). Классич. решением задачи Коши A),
B) наз. вектор-функция и (х, t), принадлежащая
С2?'1 (D)(]C (D(JQ0) и удовлетворяющая в D системе
A), а на Qo — начальному условию B). Если правая
часть / (х, t) принадлежит пространству Гёльдера
Са (D) при нек-ром а>0, а коэффициенты — доста-
достаточно гладкие в D, ограниченные вместе со своими
производными функции, то для любой непрерывной
и ограниченной в R" начальной вектор-функции
Ф (х) существует ограниченное в D решение задачи
Коши и ограниченное решение задачи Коши един-
единственно.
Условие ограниченности может быть заменено ус-
условием «не слишком быстрого роста». Напр., для
уравнения 2-го порядка справедливо следующее ут-
утверждение. Пусть коэффициенты уравнения A')
да; ¦ (х, О
a-i,j(x, t), °i(x, t), c{x, t) и ''Jdx
принадлежат пространству Гёльдера Са (D) при нек-ром
a>0, а непрерывная в R" функция ср \х) и непрерыв-
непрерывная в D и локально непрерывная по Гёльдеру по пере-
переменным х равномерно по ??[0, Т] (с нек-рым показа-
показателем а>0) функция /(ж, t) удовлетворяют неравен-
неравенствам
\<p(x)\<Cehlxl\ .r?R",
I/(я, 0 К Се'1'*'*, (х, t)?D.
Тогда в полосе D — R"X @, Т) при достаточно малом
(зависящем от h) T существует решение задачи Коши
(Г), B'); оно представляется в виде
где Г (х, t; 5, т) — фундаментальное решение урав-
уравнения (Г), и удовлетворяет оценке
u(x, OKC/I'I1 (8)

с нек-puMii по.чожптрльными и постоянными С\ и к.
Условие (8) гарантирует единственность решения
ладачи Коши.
В случаи уравнения с постоянными коэффициентами
можно указать условие типа (8) на рост решения, не-
необходимое и достаточное для единственности решения
задачи Коши. Напр., для того чтобы в классе функции,
удовлетворяющих неравенству
\и(х, г)|<Се1ж|'1(<х1\
где h(\x\)— положительная непрерывная на [0. ос)
функция, решение задачи Коши для уравнения теп-
теплопроводности было единственно, необходимо и до-
статочно, чтооы расходился интеграл \ г~- .
J о "С'
Для параболич. уравнений можно рассматривать и
задачи без начальных условий (задача Фурье). Напр.,
для однородного уравнения типлопроводности — зада-
задачу отыскания решения этого уравнения в цилиндре
D-{x?Q, —оо <(<-[-оо }, где Q —ограниченная об-
область с достаточно гладкой границей dQ, удовлетво-
удовлетворяющего краевому условию
Если функция ty непрерывна и ограничена, то сущест-
существует ограниченное решение задачи Фурье; ограничен-
ограниченное решение задачи Фурье единственно.
Для параболич. уравнений и систем можно рас-
рассматривать первую смешанную задачу в нецилиндрич.
области Dub случае, когда боковая поверхность
содержит характеристич. точки (точки касания с пло-
плоскостями t= const). В частности, можно рассматривать
Дирихле задачу — краевые условия задаются на всей
границе 3D. При определенных условиях на множе-
множество характеристич. точек и на порядок касания г,
характеристич. точках границы 0D с характеристич.
плоскостью задача Дирихле однозначно разрешена (и
пространстве Wf°). Напр., пусть (для простоты)
DcR2 — строго выпуклая плоская область и пусть
уравнение границы в окрестности верхней характе-
характеристич. точки (х°, t°) имеет вид х—a-°=cp1 (t) при х*?х°
и х—x°=-q>2(t) при х^х°, t°—6<t«°. Тогда условие
(¦с
расходимости обоих интегралов \ о j<p,- (t)\ ~"РШ,
i~ 1,2, гарантирует существование и единственность
решения задачи Дирихле для параболич. уравнения
2-го порядка. Это условие является и необходимым г.
данном классе уравнений.
Лит.: 11] Владимиров В. С. Уравнения математи-
математической физики, 4 изд., М., 1981; [2] И л ь и н В. А., «Успехи
матем. наук», 1980, т. 15, в. 2, с. 97 — 154; [3] Ильин A.M.,
К а л а ш н и к о в А. С. О л е й н и к О. А., «Успехи матем.
наук», 1962, т. 17, №3, с. 3—146; [4] К р у ж к о в С. Н.,
«Матем. сб.», 1964, т. 65, Л'. 4, с. 522—70; [5] Ладыженс-
Ладыженская О. А., Соло и никое В. А., Уральцева Н. Н.,
Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа,
М., 1967; [61 Ладыженская О. А., Краевые задачи ма-
математической физики, М. 1973; [7] ее же, «Математ. сО...
1950, т. 27, № 2, с. 175—84; [8] М и х а й л о в В. П., «Матем
сб.», 1963, т. 61, „Nil, с. 40—64- [9] его же, «Матом. сб.>.,
1903, т. 62 ,№ 2 с. 140—59; [10] Нош Д ж., «Математика»,
1960, т. 4, Л» 1, с. 31 — 52; [1 1] П е т р о в с к и й И. Г., Лекции
об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [12J
его же, «Бюлл. Моск. ун-та (А)» 1938, т. 1, в. 7, с. 1— 72-
[13] его же, «Сотр. malh.», 1934, .№ 1, с.[;Ш—419; [14] Со-
Соболев С. Д., Уравнения математической физики, 4 изд.,
М., 1966; [15] Со л о и ников В. А., «Тр. матем. ин-та At!
СССР», 1965, т. 83, с. 3 — 163; [16] Тихонов А. II., Са-
Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд.,
М., 1977; [171 Тихонов А, Н., «Бюлл. Моск. ун-та (А)»,
1938, т. 1, в. !), с. 1 — 43; L18] его же, «Матем. со.»,1935, т. 42,
.№ 2, с. 199—216; [19] Фридман А., Уравнения с частными
проязводными параболического типа, пер. с англ., М., 1968;
[20] Эйдельман С. Д., Параболические системы, М.,
1984. В. П. Михайлов.
СМЕШАННОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ — дифферен-
дифференцированное уравнение с частными производными,
к-роо в области задания принадлежит различным ти-

пам (эллиптическому, гиперболическому или парабо-
параболическому).
Линейное (или квазилинейное) дифференциальное
уравнение 2-го порядка с двумя неизвестными пере-
переменными
Auxx-\-2Rxy + Cugy = f(x, у, и, их, иу) A)
и с непрерывными коэффициентами в области задания
Q является С. т. у., если в этой области дискриминант
А—АС—В'2 характеристич. формы
Ady* 4- 2В dx dy + C dx2 s= Q
обращается в нуль, не будучи там тождественно рав-
равным пулю.
Кривая б, определяемая уравнением Д = 0, наз.
и а р а б о л н ческой лини е й уравнения A),
или линией вырождения (и вменения)
типа уравнения.
Если дискриминант А в области Q не меняет знака
при переходе точки (.г, у) через параболич. линию б,
то уравнение A) относится к вырожденным уравне-
уравнениям э л л и и т и к о - п а р а б о л и ч е с к о г о (Л^
^0) или гиперболо-параболического
(А<:0) типа (см. Вырожденное уравнение с частными
производными).
При нек-рых условиях гладкости коэффициентов
А, В, С а параболич. линии 6 существуют неособое
действительное преобразование независимых перемен-
переменных, приводящее уравнение A) со знакопеременным
дискриминантом А (в окрестности выбранной точки
линии б, где А2-{-BiJ\-С2ф0) к одному из следующих
канонич. видов (обозначения для независимых пере-
переменных сохранены):
y"'m^1uxx+uyy = F (x, у, и, их, иу), B)
uxx + y~m + :'^yy:=F (•*, У, и, их, "-у)- C)
Уравнения B) и C) являются С. т. у. (эллиптико-па-
раболич. типа) в любой области, содержащей внутри
себя интервал линии вырождения у~0.
Область Q задания С. т. у. принято называть с м е-
ш а н и о и областью, а краевые задачи в сме-
смешанных областях — смешанными краевы-
краевыми задачами. Часть Q+ (Я~) смешанной области
Q, где уравнение принадлежит эллиптическому (ги-
(гиперболическому) типу, наз. областью эллип-
ти чности (г и перболи чности).
К отысканию определенных решений С. т. у. сво-
сводятся многие проблемы прикладного характера, в
частности проблемы околозвукового течения сжима-
сжимаемой среды и безмоментной теории оболочек.
С. т. у. A) наз. уравнением первого рода
(второго рода), если всюду вдоль параболич.
линии характеристич. форма Q^Q (Q~^)- Уравне-
Уравнение Чаплыгина
к (у) uxx-\-Uyj. — Q, D)
где к (у) — непрерывно дифференцируемая монотонная
функция такая, что ук(у)>() при уфО,— типичный
пример С. т. у. 1-го рода. При к(у) = у уравнение D)
принято называть Трикоми уравнением.
Важной моделью С. т. у. (с разрывными коэффици-
коэффициентами при старших производных) является у р а в-
н е и и е Л аврептьсва — 1> и ц а д я е
Одной из основных краевых задач для С. т. у. (пер-
(первого рода) является задача Трикоми, к-рая
для уравнения вида B) ставится следующим образом.
Пусть О — конечная односвязная область евклидовой
плоскости независимых переменных жиг/, ограничен-
ограниченная простой жордановой кривой о с концами в точках
А @, 0), В A, 0), лежащей в полуплоскости г/>0, и

частями АС и ВС характеристик уравнения B), вы-
выходящими из точки С(Ч%, ус), (/("<(). Задача Трикоми
заключается в отыскании решения и (.г, у) уравнения
B), непрерывного в замыкании Q области Q и прини-
принимающего наперед заданные значения на кривой а[)АС.
В теории задачи Трикоми существенную роль иг-
играет принцип экстремума Бицадзе,
к-рый в случае уравнения E) гласит: решение и (х, у)
уравнения E) из класса C(Q)[]C1(Q), обращающееся
в нуль на характеристике АС : х-{-у—0, 2<ж<'/2,
в замыкании Й+ области эллиптичности Q + = Qf| {г/>0}
своего экстремума достигает на кривой а.
Этот принцип, из к-рого следует единственность п
устойчивость решения задачи Трикоми, а также обо-
обоснование альтернирующего метода его отыскания, рас-
распространен на весьма широкий класс линейных и
квазилинейных С. т. у. В частности, этому классу
принадлежат уравнения Чаплыгина (и Трикоми),
если к (у) дважды непрерывно дифференцируема и
5к'2^Акк' при !/<0. Принцип экстремума Бицадзе
остается в силе и для уравнения
signy-\ у\аихх-\-и1/у = 0, a = const > 0. (G)
Решение задачи Трикоми для уравнения F) в соот-
соответствующей смешанной области Q выписывается в
явном виде, если эллиптич. часть а границы этой
области совпадает с т. н. нормальным кон-
контуром а0:
В общем случае при определенных условиях на кри-
кривую о и на класс искомых решений задача Трикоми
для уравнения F) эквивалентно редуцируется к син-
сингулярному интегральному уравнению, безусловная
разрешимость к-рого следует из единственности реше-
решения. Метод интегральных уравнений успешно приме-
применяется и при доказательстве существования решения
задачи Трикоми и др. смешанных задач для более
общих уравнений вида
sign y-\y \auxx-\-uyy=--F (х, у, и, их, иу)
со степенным вырождением порядка а.
Методы теории функций и функционального ана-
анализа, особенно метод априорных оценок, позволили
значительно расширить класс С. т. у. и смешанных
областей, для к-рых имеет место единственность и
существование (обобщенного) решения как задачи
Трикоми, так и ряда др. смешанных задач.
Существенным обобщением задачи Трикоми яв-
является общая смешанная задача Б и-
ц а д з е, к-рая в случае уравнения E) ставится сле-
следующим образом. Пусть Q — односвязная смешанная
область, ограниченная лежащей в полуплоскости г/>0
простой жордановои кривой а с концами в точках А @,
0), В ({, 0) и выходящими из этих точек (гладкими)
монотонными кривыми Го и 1\, к-рые пересекаются в
точке 6'(.г1? г/i), г/1<0. Предполагается, что кривые
Го и 1\ принадлежат области, ограниченной харак-
характеристиками х-\-у=0, х—у~{ и отрезком АВ : 0-<г<:1
прямой г/=0. Через Во и В1 обозначены точки пересе-
пересечения характеристик х—у---х0 и х-\-у = х0 с кривыми
Го и 1\, где ,г0 — любая фиксированная точка из по-
полуинтервала ,тг 1-у1<х1^.х1—у1, а через у0 и уг — части
кривых Го и Гь лежащих между точками А, Во и В, В1
соответственно. Общая смешанная задача Бицадзе
заключается в отыскании регулярного (при у?=0,
х±уФхо) решения уравнения E) в области Q, крое
непрерывно в ?2, имеет непрерывные первые произ-
производные в И при х±у^=х0 и удовлетворяет заданным
краевым условиям на кривых о, у0 и у1ш Единствен-

ность и существование решения этой задачи как для
уравнения E), таи и для более общих уравнении до-
доказаны при нек-рых условиях геометрич. характера
на границу области Q, особенно на кривую а. Общую
смешанную задачу Бицадзе можно считать полностью
исследованной в частном случае, когда кривая 1\
совпадает (j-0=1) с выходящей из точки В характери-
характеристикой ВС. Важным следствием корректности общей
смешанной задачи Пицадзе, напр, для уравнения E),
является тот факт, что для смешанных областей вида Q
Дирихле -задача некорректна независимо от величины
и формы области гиперболичности Q -.
Для довольно широкого класса линейных уравнений
И?)и.«4"!/1, I аих-\-Ъиу-\-си = !
установлено, что на корректность задачи Дирих-
Дирихле в соответствующих смешанных областях вида Q
существенное влияние может оказать коэффициент
Смешанной задачей нового типа является задача
Ф р а н к л я. Пусть односвязная область Q ограни-
ограничена: отрезком А'А, —1<:г/<:1, прямой ж=0; гладкой
кривой о" с концами в точках А @, 1) и 5 (а, 0), распо-
расположенной в квадранте х>0, г/>0; отрезком С В : о^
<:.г<:а прямой у=0 и проходящей через точки А' @,
— 1), С (в], 0) характеристикой рассматриваемого Ст.у.,
нагтр. уравнения D). Задача Франкля состоит в оты-
отыскании решения и (.г, у) С. т. у. в области И, когда на
а[]СВ задаются значении и'(х, у), а на А 'А — ус-
условие
Ц = 0, и@, г/)-"(<>, -У) = 1(У). -Кг/<1, J--0.
Эта задача исследована в основном для модельных
С. т. у. Задача Франкля весьма полно решена для
уравнения E), если кривая а : х~х (s), y = y(s) такова,
что dy/ds^O, где s — длина а, отсчитываемая от точки
В (а, 0).
Сформулированные основные краевые задачи для
С. т. у. 1-го рода с соответствующими изменениями
перенесены на С. т. у. 2-го рода. Эти изменения вы-
вызваны тем, что задача Дирихле для эллиптич. урав-
уравнений с характеристич. вырождением на части границы
не всегда является корректно поставленной.
В постановке краевых задач для уравнения A) в
смешанных областях вносится новый аспект, если
линия б изменения типа одновременно представляет
собой линию вырождения порядка уравнения, напр, в
случае уравнения
y-puxx + yuyy + $uy = Q, G)
где р — натуральное число, а Р — постоянная, удов-
удовлетворяющая неравенству 1—2р<2р"<1.
Для уравнений E), F), G), помимо указанных за-
задач, исследован также ряд принципиально новых
краевых задач, к-рые в основном характеризуются
тем, что вся граница a\JAC\JBC области Q (где ста-
ставится задача Трикоми) является носителем краевых
условий: на кривой а задано, напр., условие Дирихле,
а на AC\JBC — нек-рое нелокальное условие, пото-
поточечно связывающее значения искомого решения или
его (дробной) производной определенного порядка.
В частности, лги задачи включают простой пример
корректной самосопряженной смешанной краевой за-
задачи.
Изучаются краевые задачи для С. т. у. и систем в
областях, содержащих внутри себя части нескольких
линий вырождения типа или одну замкнутую парабо-
лич. линию.
Аналоги задачи Трикоми рассматривались и для
нек-рого класса С. т. у. и систем с двумя независи-
независимыми переменными и уравнении высокого порядка.

Значительные затруднения возникают прп отыска-
отыскании правильно поставленных задач для С. т. у. с мно-
многими независимыми переменными. Тем не менее в этом
направлении получен ряд важных результатов. Ус-
Установлено, что для уравнения
sign !'»ит"и + »гг = /(^ У, z), (8)
к-рое представляет собой простую модель С. т. у. с
временным образом ориентированной плоскостью z —О
вырождения типа, корректно поставленной является
следующая задача. Пусть Q — конечная односвязная
трехмерная область, ограниченная нек-роп кусочно
гладкой поверхностью г--/(.г, ;/)^0 и характеристи-
характеристиками St : х \-хо-~ Уу--\-г2, S., : х - ,г0 V у--\-z- урав-
уравнения (8). Требуется найти непрерывную в Q функцию
и (х, у, z) с непрерывными в Q производными 1-го
порядка, удовлетворяющую уравнению (8) в области Q
при г=?М) и обращающуюся в нуль на а и па одной из
характеристик 5Х или S2. Доказаны существование
слабого и единственность сильного решения этой
задачи п для более общего уравнения
где ЛЛ. — оператор Лапласа по переменным хг, . . ., хп.
Для уравнения
x2omAxu~xouXoXe +(m-1/2) «*0 = 0 (9)
с пространственно ориентированной гиперплоскостью
,г0 —О вырождения типа и порядка в смешанной обла-
области Q специального вида поставлены и исследованы
краевые задачи, в к-рых часть границы dQ, лежащая
в полупространстве .то<О, является носителем данных
и(х0, х), а лежащая в полупространстве яо>О часть
границы дп (характеристич. коноид уравнения (9)) —
носителем нек-рых интегральных средних для и (х0, х).
Исследовались и другие модельные С. т. у. в трех-
трехмерных ограниченных и неограниченных областях, и
т. ч. уравнения
Найден также критерий единственности решения за-
задачи Дирихле для широкого класса самосопряженных
С. т. у. в цилиндрич. областях.
Лит.: [1] Б ере Л., Математические вопросы дозвуковой
и околозвуковой газовой динамики, пер. с англ., М., 1961; [2]
Бицадзе А. В., Уравнения смешанного типа, М., 1959;
[3] его ж е, К теории уравнений смешанного типа, порядок
которых вырождается вдоль линии изменения типа, в сб.: Меха-
Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа, М.,
1972; [4] Б и и а д з е А. В., Н а х у ш е в А. М., «Докл. АН
СССР», 1972, т. 205, Н 1; [5] В е к у а И. Н., Обобщенные ана-
аналитические функции, М., 1959; [6] К а р а т о п р а к л и е в
Г. Д. «Дифференциальные уравнения» 1969, т. а, Л'.' 1, с. 199—
205; [7] К е л д ы ш М. В., «Докл. АН СССР», 1951, т. 77, .№ 2,
с. 181—83; [8] С а л а х и г д и н о в М. С., «Изв. АН УзГ).
ССР. Серия физ.-мат. наук», 1969, Н; 1, с. 27—33; [9] С м и р-
II о в М. М., Уравнения смешанного типа, М., 1970; [10] С о л-
датов А. П., «Дифференциальные уравнения», 1973, т. 9,
Ks 2, с. 325—32; [llj T р и к о м и Ф., О линейных уравнениях
в частных производных второго порядка смешанного типа, пер.
с итал., М.— Л., 1947; [12] Франкль Ф. И., Избранные
труды по газовой динамике, М., 1973; [13]F г 1 е d т i с h s К. О.,
«Communication Pure and Appl. Math.», 1958, v. 11, № 3, i>.
333—418- [14] G e 1 1 с r s t e d t S. «Ark. mat., astr., fys.»,
1936, bd 26A, № 3, s. 1 — 32; [15] Germain P., Bader R.,
«C.r. Acad. sci.», 1951, t. 232, p. 463—65. A. M. Нахушев.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ (a, ft, с) в е к т о-
р о в «, Ь, с — скалярное произведение вектора а на
векторное произведение векторов ft и с:
(«, 6, е) = (я, [ft, с]).
См. Векторная алгебра.
СМЕШАННЫЙ ПРОЦЕСС АВТОРЕГРЕССИИ-
СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО, АРСС-процесс —
стационарный в широком смысле случайный процесс

X (I) с дискретным временрм /=0, ±1 значения
к-рого удовлетворяют разносшому \ [шипению
X(t) + ulX (* —1)+... -fapX(t -/;) =
= Y(t) + b1Y(t- -1)+...+6?У (/-</), A)
где Е>" (') — •% Е^'@^(*') = °2^/^' fys --символ Кро-
некера (т. е. Y(t) — процесс белого шума со спект-
спектральной плотностью а'-/2л), р и <7 — нек-рые неотри-
неотрицательные целые числа, а ал, . . ., ар, Ьи . . ., hq —
пос:оянные коэффициенты. Если все корни уравнения
по модулю отличны от единицы, то стационарный
С. п. а.-с. с. A' (t) существует и имеет спектральную
плотность
/ (Я,) = (Оа/2я) | * (в'»-) I* 1 Ф {в'* ) | -»,
где я|) (z)-—l-\-b1z-\-. . .-\-bqZ<i. Однако для того, чтобы
решение уравнения A) при фиксированных начальных
значениях X (ta— 1). . . ., X (t0—р) стремились при
t—fo—»" °° к стационарному процессу X (t), необходимо,
чтобы все корни уравнения ф(г) = 0 располагались вне
единичного круга |z|<:l (см., напр., [1], [2]).
Класс гауссовских С. п. а.-с. с. совпадает с клас-
классом стационарных процессов, имеющих спектральную
плотность и являющихся одномерной компонентой
многомерного марковского процесса (см. [3]). Част-
Частными случаями С. п. а.-с. с. являются авторегресси-
авторегрессионные процессы (при д=0) и скользящего среднего про-
процессы (при р = 0). Обобщением С. п. а.-с. с. являются
введенные в рассмотрение Дж. Боксом (G. Box) и
Г. Дженкинсом (G. Jenkins) (см. [1]) и часто исполь-
используемые в прикладных задачах процессы авторегрес-
авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего — не-
нестационарные процессы со стационарными прираще-
приращениями такие, что их приращения нек-рого фиксиро-
фиксированного порядка образуют С. п. а.-с. с.
Лит.: [1] Бокс Д ж., Д ж е н к и н с Г., Анализ вре-
временных рядов. Прогноз и управление, пер. с англ., в. 1—2, М.,
1974; [2] Андерсон Т., Статистический анализ временных
рядов, пер. с англ., М., 1976; [3] D о о b J. L., «Ann. Math.
Stat.», 1944, v. 15, p. 229 — 82. A. M. Яглом.
СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ТЕОРИЯ — раздел тео-
теории выпуклых тел, изучающий функционалы, возни-
возникающие при рассмотрении линейных комбинаций тел
(см. Сложение множеств).
Объем V линейной комбинации ^(-_.jА.,-/?,- выпук-
выпуклых тел А',- в евклидовом пространстве R" с коуф-
|Ьиццентами Х;^0 является однородным многочленом
степени и относительно Xlt . . ., kr:
Коэффициенты \'г г предполагаются симметричными
относительно перестановок индексов и обозначаются
F(A'; Ki ), поскольку они зависят только от
тел А; . . . ., Ki ; эти коэффициенты наз. смешан-
н ы м и о б ъ е м а м и (с. о.) тел К, t.
Значение С. о. т. связано с универсальностью по-
понятия с. о.: при подстановке в 1" (К, Кх, . . ., К„_х)
конкретных тел Klt . . ., Kn_L получаются многие
величины, связанные с телом К. В их числе: объем,
площадь поверхности, интеграл по поверхности от
элементарной симметрич. функции главных кривизн
(в случае ("-гладкого тела), а также соответствующие
характеристики проекции тела на s-мерную пло-
плоскость, ()<!'</(. Частным случаем разложения (:-.-)
является р а я л о ж е н и е Штейне р а для объ-
объемов параллельных тел в R3:

где V — объем, Л1 — площадь поверхности, R — ин-
интегральная средняя кривизна исходного тела, V& —
объем его е-окрестности. С. о. V (Кг, . . ., Л'„) инвари-
инвариантен относительно параллельных переносов любого
тела Ki, монотонен (по включению тел), непрерывен и
неотрицателен;V(К1, . . ., Кп)>0 тогда и только тогда,
когда в каждом К; можно провести но отрезку так,
чтобы эти отрезки были линейнонезависимы (см. |1]).
Если К' — проекция К на гиперплоскость, ортого-
ортогональную единичному отрезку е, то
V(Klt ..., А'„_,, e)=nV(K\, ...,Кп_х).
Объем проекции тела К на /ьмерное подпространство
наз. р-п внешней поперечной мерой.
Соотношения между средними значениями Wp(K)
этих мер — один из объектов интегральной геометрии.
Функционалы Wр (К) с точностью до множителя сов-
совпадают с />-ми интегралами кривизны:
Vp(K) = V(K, ..._К, U ...,JJ),
Р п—р
где Г — единичный шар. Для 6'2-гладких строго выпук-
выпуклых тел с. о. Vp(K), 0<рО, равен интегралу от р-й
элементарной симметрич. функции Dр главных радиусов
кривизны, рассматриваемой как функция нормали на
сфере S"-1. В случае общих выпуклых тел Vp(K) есть
полное значение определяемой ниже меры \1р(а>) на
S"~J, называемой функцией кривизны. (В
гладком случае Dр есть плотность \ip.) Подобно тому
как объем тела К есть — интеграла от его опорной
функции К (и) по его поверхностной функ-
ц и и, т. е. но площади поверхности, перенесенной на
S"~1 сферическим отображением, так и с. о. п тел пред-
представим интегралом от опорной функции К± (и) одного
из них по нек-рой мере |х (ш)--и. (К.,,. . ., Кп, ш) на
Sn~l, зависящей от остальных тел и называемой сме-
смеша и н и ii п о в о р х н о с т н о к функцией
тел К.2, . . ., Кп:
Функция кривизны ||р(ы) определяется равенством
цр(о>)^ц(К, .... К, U, .... U,jti).
р п—р—1
Основным содержанием С. о. т. являются неравен-
неравенства между с. о. (см. [2], |3]). В их числе — н е р а-
в е н с т в о М и н к о в с к о г о
V (К, L, . . ., L) ii V(K) Г» -' (L)
и квадратичное неравенство М и н-
ковского
V2{K, L, ..., L)^V(L) V(K, К, L, ..., L).
Ути неравенства тесно связаны с Крупна — Минкивско-
го теоремой, справедливой не только для выпуклых
тел. Обобщает эти неравенства Александрова —
Фенхеля неравенство, допускающее сле-
следующую модификацию (см. [2]):
р»(л\, ..., к,п, ц ?„_„);&
п:
(Кi, . . ., К}
В частности,
Полная система неравенств, характеризующая с. о.
Г(Л',,. . ., КИ), получена для двух тел, в связи с этим
установлены нек-рыс более общие неравенства (см.
[4]).

Многие геометрпч. неравенства, напр, изопериметрч-
ческое неравенство классическое и ряд его уточнений,
являются для выпуклых тел частными случаями не-
неравенств для с. о.; экстремум одного из функционалов
Vp(K) при фиксации другого из них достигается для
шара. Неравенства С о. т. использованы при доказа-
доказательстве единственности решения обобщенной проблемы
Минковского (см. B]), устойчивости в проблемах Мин-
ковского (см. [5]) и Вейля (см. [6]), при решении проб-
проблемы Ван дер Вардена о перманенте (см. [7]). Бесконеч-
Бесконечномерный аналог понятий С. о. т. нашел применение в
теории гауссовских случайных процессов (см. [7]).
С. о. т. оказалась глубоко связанной с алгебраич.
геометрией. Многочлену /(zlt. . ., zn) от п комплексных
переменных сопоставляют многогранник Ньютона
Nw(f). Для этого каждому одночлену z"'. . .z'^", входя-
входящему в / с ненулевым коэффициентом, сопоставляется
точка (й!,. . ., anN^"i многогранник Nw(f) есть вы-
выпуклая оболочка этих точек. Типичное число решений
системы полиномиальных уравнений Д=. . . = /п=0
|«вно доленному на п! с. о. многогранника Nw(f).
Эта связь позволила, в частности, дать алгебраич.
доказательство неравенства Александрова — Фенхеля
(см. [10]).
В С. о. т. выпуклое тело отождествляют с ого опор-
опорной функцией; допускается распространение на раз-
разности этих функций, а затем — на произвольные не-
непрерывные функции на сфере (см. [2], [9]). Из аналогич-
аналогичного разложения для вектора центра тяжести тела
Si— /liKi> умноженного на объем этого тела, определя-
определяются т. н. смешанные направляющие
векторы, являющиеся векторным аналогом смешан-
смешанных объемов. Центры тяжести функций кривизны тела
А' с точностью до постоянного множителя совпадают со
смешанными направляющими векторами К и шара U
(см. [И]).
Лит.: [1] Minkowski H., Gesam. Abh., Bd 2, Lpz.—
В., 1911; [2] А л е к с а н д р о в А. Д., «Матем. сб.», 1937,
t. 2, Лг 5, с. 947—72, № 6, с. 1205—38; 1938, t. 3, № 1, с. 27 — 46,
Л» 2, с. 227—51; [3] Буземан Г., Выпуклые поверхности,
пер. с англ. М. 1964; [4] Shephard G., «Mathematika»,
1960, v. 7, Л1» 14, p. 125—38; [5] Д и с к а н т В. П.. «СиП. ма-
-см. ж.», 1973, -г. 14, М!, с. 669—73; Lli] Волков Ю. А.,
«Укр. геометр, сб.», 1968, № 5—6, с. 44—69; L7] Е г о р ы ч е в
Г. П., Решение проблемы Ван-дер-Вардена для перманентов,
Красноярск, 1980; [8] Судаков В. Н., «Докл. АН СССР»,
1971 т. 197 Л"° 1 с. 43—45; [9]Busemann И., Е w a I d G.,
Я hep hard G., «Math. Ann.», 1963, Bd 151, ЛЬ 1, S. J —41;
[10] Хованский А. Г., «Успехи матем. наук», 1979, т. 34,
Ti. 4 с 160—61; till Schneider R., «Abh. math. Semin.
Univ. Hamburg», 1972, Bd 37, S. 112 — 32. 10. Д. Бцраго.
СМЕЩЕННАЯ ОЦЕНКА — статистическая оценка,
математич. ожидание к-рой не совпадает с оцениваемой
величиной.
Пусть X — случайная величина, принимающая
значения в выборочном пространстве (Э?, Si, Ре),
0? в, и пусть Г — Т (X)— точечная статистич. оценка
функции /(()). заданно]"! на параметрич. множестве в.
Предполагается, что математич. ожидание Ее {Т}
оценки Т существует. Если в этих условиях функция
b(Q) = ?e{T}-f @) =- Е6 {Т- f F)}
не равна тождественно нулю, т. е. если Ь F)^0, то Т
наз. смещенной оценкой функции /F), а
сама функция Ь @) наз. смещением или систе-
систематической о ш и б к о й оценки Т.
Пример. Пусть А'ь. . ., Х„ — взаимно незави-
независимые одинаково нормально Л\ (а, а2) распределенные
случайные величины и пусть
В таком случае статистика

является С. о. дисперсии гт2, так как
{6,} = о- =а2 — — ,
т. е. оцонк;1 S'n имеет смещение Ь(ог) = —а*/п, при этом
квадратичный риск отой С. о. равен
Наилучшей несмещенной оценкой параметра а2 явля-
является статистика
квадратичный риск к-рой равен
В данном случае при п>2 квадратичный риск С. о.
Sn меньше квадратичного риска наилучшей несмещен-
несмещенной оценки s^.
Существуют ситуации, когда несмещенные оценки
не существуют. Так, напр., не существует несмещен-
несмещенной оценки для абсолютной величины \а\ математич.
ожидания а нормального закона Nt (а, а2), т. е. для | а |
можно построить только Со.
Лит.: [1] К р а м с р Г., Mai-ематич. методы статистики, пер.
с англ., 2 изд., М., 1975. М. С. Никулин.
СМИРНОВА КЛАСС Ep(G) — совокупность функций
/(z), голоморфных в односвязной области GcC с жор-
дановой спрямляемой границей Г и таких, что для каж-
каждой из этих функций существует последовательность
замкнутых жордановых спрямляемых кривых Г„ (f)czG,
п=1,2,. . ., со свойствами: 1) Г„ (/) при п->-оо стремится
к Г в том смысле, что если Gn (/) — ограниченная об-
область с границей Г„(/), то
2) sup {[ ,.,|/(z) |P|dz|}<oo (p>0 задано).
Это определение, предложенное М. В. Келдышем и
М. А. Лаврентьевым [2], эквивалентно определению
В. И. Смирнова [1], в к-ром вместо Г„ (/) фигурируют
кривые v(p), являющиеся образами соответствующих
окружностей |ш|==р<1 при нек-ром однолистном кон-
конформном отображении z = (f (w) круга | u; | <1 на область
G, а супремум берется по р? @, 1).
Классы Еp{G) являются наиболее известным и изу-
изученным обобщением Харди классов Нр и связаны с ними
следующим соотношением: /?? (С) тогда и только тог-
тогда, когда
„ ()
классам Нр в случае Смирнова областей G. Изучалось
обобщение С. к. на случай произвольных областей G
с границами конечной длины по Хаусдорфу. См. также
Граничные свойства аналитических функций.
Лит.: [1] Смирнов В. И., «Изв. АН СССР. Отд. матем.
и естеств. наук», 1 932, Мв 3, с. 337 —72; [2] Келдыш М. В.,
Лаврентьев М. A., «Ann. sci Ecole Norm, super.», 1937,
t. 54, p. 1 — 38; [3] Привалов И. И., Граничные свойства
аналитических фуньций, 2 изд., м.— Л., 1950; U] Г о л у з и н
Г. М., Геометрическая теория функции комплексного перемен-
переменного, 2 изд., М., 19E6; [5] D u r e n P. L., Theory of H^-spaces,
N.Y.— L., 1970. E. П. Долженко.
СМИРНОВА КРИТЕРИЙ — непараметрический ста-
тистич. критерий, применяемый для проверки гипотезы
об однородности двух выборок.
Пусть Xj,. . ., Хп и Ylt . . ., Ym — взаимно незави-
независимые случайные величины, причем каждая выборка
состоит и:1 одинаково непрерывно распределенных эле-
элементов, II пусть надлежит проверить ишотену У/о,

согласно к-рой обе выборки извлечены из одной и той
же совокупности. Если
и
— вариационные ряды, отвечающие данным выборкам,
a Fn(x) и Gm(x) ---соответствующие им функции ум-
нирич. распределения, то гипотезу Но можно запи-
записать в виде следующего тождества
Далее, пусть в качестве возможных альтернатив к 110
рассматриваются гипотезы
tf+=sup ?[Gm(x) — Fn{x)]>0,
|х|<сс
II J = inf B[Gm(x)-Fn(x)] <0,
I X I < oo
Я,= suV\E[Gm{x)-Fn(x)]\>0.
| x I < со
Для проверки гипотезы II0 против односторонних
альтернатив 11 у и //Г, а также против двусторонней
11-у, Н. В. Смирновым предложены статистич. критерии,
иостроенпые на статистиках
1)+ -sup [Ся(а;)-^„(х)]= max (А -/'„ (Х(
| X |
= max
Dm,n= sup |GmW-^(x)| = max(?»+ „, О" )
| Ж |< СО
соответственно, причем, как следует из определений
статистик />ш,„ и />ш, п> при справедливости проверяе-
проверяемой гипотезы //„, статистики ?>т, пи Вт, п распределены
одинаково. В основе этих критериев лежит следующая
георема: если min (m, п)—>-оо так, что отношение т/п
остается постоянным, то при справедливости гипотезы
Яо для любого 0
где if (;/) —функция распределения Колмогорова. Были
получены (см. [4] — [6]) асимптотич. разложения для
функций распределения статистик fl^ л и Dт^ „.
Согласно С. к. с уровнем значимости Q гипотеза Но
отвергается в пользу одной из рассматриваемых альтер-
альтернатив Я]", Hi, H, если статистика, соответствующая
выбранной альтернативе, превосходит Q — критиче-
критическое значение критерия, для вычисления к-рого реко-
рекомендуется пользоваться аппроксимациями, получен-
полученными Л. Н. Больгаевым [2] с помощью асимптотич.
преобразований Пирсона.
См. также Колмогорова критерий, Колмогорова —
Смирнова критерий.
Лит.: [1] Смирнов Н. В., «Бюлл. МГУ», 1939, г. 2,
в. 2, с. 3—14; [2] Б о л ь ш е в Л. Н., «Теория вероятн. и
ее примен.», 1963, т. 8, в. 2, с. 129—55; [3] Б о л ь ш е в Л. Н.,
Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд.,
М., 1968; [4] Короток В. С, «Теория вероятн. и ее примен.»,
1959, т. 4, в. 4, с. 309—97; [ft] Ч ж й н Л и - ц я н ь, «Матема-
«Математика», 1960, т. 4, Л! 2, с. 135 — 59; [6] Боровков А. Д.,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1962, т. 26, № 4, с. 805 — 24.
М. С. Никулин.
СМИРНОВА ОБЛАСТЬ, область типа С,
область типа S,— ограниченная односвязная
область G с жордановон спрямляемой границей на
комплексной плоскости С со свойством: существует та-
такое однолистное конформное отображение z=<p(w)

круга |ю|<1на область 6\ что гармонич. функции
In | ф' (w) | при |w|<l представима интегралом Пу-
Пуассона по своим угловым граничным значениям
In |ф' (ге'е)| =
2л 1-"" In I ф' (e't) I dt.
0 l + r*-2rcoe(t—6) I Y v y I
Эти области введены В. И. Смирновым [1] в 1928 при
исследовании полноты системы многочленов в Смирнова
классе E2(G). Проблема существования несмирновских
областей с жордановыми спрямляемыми границами
была решена М. В. Келдышем и М. А. Лаврентьевым
12], давшими тонкую и сложную конструкцию таких
областей и соответствующих отображающих функций
Ф с дополнительным свойством:| ф' (el9) |— 1 почти для
всех е'9. Основные граничные свойства аналитических
функций в круге присущи и функциям, аналитическим
в С. о., причем многие из таких свойств справедливы в
С. о. и только в них. Примеры С. о. дают жордановы
области, границы к-рых суть кривые Ляпунова или
кусочно ляпуновские кривые с ненулевыми углами.
Лит.: [1] Смирнов В. И., «Ж. Ленингр. физ.-матем. об-
ва», 1928. т. 2, № 1, с. 155 — 79; I'il К е л д ы ш М. В., Лаврен-
т ь е в М. A., «Ann. sci. Ecole norm, super», 1937, t. 54, p. 1 —
38; l3j II p и в а л о в И. И., Граничные свойства аналитиче-
аналитических функций, 2 изд., М.— Л., 1950; [4] Л о в а т е р А., в кн.:
Итоги науки. Математический анализ, т. 10, М., 1973, с. 99—
259; [5] Т у ы а р к и н Г. Ц., «Вестн. Ленингр. ун-та», 19С2,
№ 13, с. 47—55. Е. П. Долженко.
СНЕДЕКОРА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — см. Фишера
F-распределение.
СНОБОЛ — алгоритмический язык, предназначенный
для программирования задач обработки символьной
информации, т. е. представленной словами в нек-ром
алфавите. В литературе по программированию такие
слова наз. строками, или цепочками, а об-
образующие их буквы — литерами. На основе на-
начального варианта С, разработанного в нач. 1960-х гг.,
было создано несколько версий языка, из к-рых наи-
наиболее стабильной оказалась версия С.-4. Аналогично
рефалу, С. имеет своей теоретич. предпосылкой нормаль-
нормальные алгорифмы А. А. Маркова, в к-рых основной
вычислительной операцией является обнаружение в
слове А вхождения заданного подслова В с последую-
последующей заменой этого вхождения на другое слово С.
Общая структура программ на С. типична для алго-
ритмич. языков. Программа имеет вид последователь-
последовательности операторов (инструкций) присваивания,
сопоставления с образцом, замещения, передачи управ-
управления, ввода, вывода и останова. В выражениях могут
употребляться как примитивные операции, предикаты
и функции, так и функции, определяемые программистом
(в т. ч. и рекурсивные). Любая инструкция может быть
помочена. Метка в С. может трактоваться как строко-
строковая неременная, значением к-рой является инструкция,
помеченная этой меткой. Основными типами данных
являются строки, целые и действительные числа, име-
имена, образцы. Базисным типом является строка, все
остальные данные имеют строковое представление, сов-
совпадающее с их способом записи в программе. Однород-
Однородные данные могут объединяться в массивы и таблицы,
произвольные данные объединяются в наборы заданной
длины и с заданными именами для каждой позиции
(п о л я) набора. Имена обозначают переменные, метки,
формальные параметры и функции. Строки в С. могут
быть любой длины. Переменные не имеют постоянно
приписываемого им типа, однако операнды каждой
операции или примитивной функции о ж и д а ю т
данных определенного типа, преобразуя аргументы к
ожидаемому типу либо выдавая сообщение об ошибке.
Наиболее характерной операцией С. является сопо-
сопоставление строки с образцом. Обра ,ч е ц — ;>то осо-
особое выражение С, создающее в иск-рой последователь-

ности группу контрольных строк и опреде-
определенную дисциплину движения слева направо (с к а н и-
р о в а н и я) вдоль сопоставляемой строки, называе-
называемой с у б ъ е к т о м. Сопоставление — это последо-
последовательность элементарных проверок. Элементарная
проверка устанавливает, является ли очередная конт-
контрольная строка подстрокой остатка (справа от точки
сканирования) субъекта. В зависимости от успеха пли
неуспеха элементарной проверки происходит либо
выработка сообщения об успехе или неуспехе сопостав-
сопоставления в целом, либо переход к следующей контрольной
строке образца и перенос точки сканирования. В ре-
результате успешного сопоставления в субъекте выделя-
выделяется последовательность нек-рых подстрок. Эти под-
подстроки могут быть присвоены указанным переменным
либо замещены на другие подстроки.
Примитивным образцом является выражение, значе-
значение к-рого есть строка, а успехом сопоставления с ней
является вхождение этой строки в субъект. К о н-
катенация А В образцов А и В создает образец,
успех в сопоставлении с к-рым требует успеха в сопо-
сопоставлении с А, а затем — успеха в сопоставлении
остатка субъекта с образцом В. Альтернация
А \В образцов А и В создает образец, сопоставление с
к-рым успешно при сопоставимости либо с А, либо с В.
Если А — образец и X — переменная, то конструкция
А, X означает образец, успешное сопоставление с к-
рым сохраняет в качестве значения X ту контрольную
строку, вхождение к-рой в субъект привело к успех \.
Инструкция сопоставления с образцом имеет вид ГЛ,
где V — переменная-субъект и А — образец. Условная
передача управления изображается инструкцией VA :
F (M1)S (М2), где Ml и М2 — метки перехода в случае
неудачи и удачи сопоставления соответственно. Ин-
Инструкция замещения имеет вид УА----Е, где Е — стро-
строковое выражение, значение к-рого при успешном со-
сопоставлении замещает в V выделенную подстроку.
С. имеет развитую библиотеку примитивных функ-
функции, к-рые в сочетании с операциями конкатенации и
альтернации позволяют создать емкие образцы и ком-
компактно записывать в виде инструкции замещения весь-
весьма сложные правила анализа и преобразования строк.
Программы на С. обрабатываются программирующим
процессором интерпретационного типа. Программа тран-
транслируется в промежуточную форму, к-рая исполняется
с помощью интерпретатора. С. реализован для всех
главных архитектур современных ЭВМ. Реализация
этого языка содействовала разработке эффективных
алгоритмов манипулирования в памяти ЭВМ строками
переменной длины.
Лит.: [1] F а г Ь с г D. J., G г i s w о 1 d П. Е., Р о 1 с>-
n sky ]. Р., «Т. Assoc. Сотри t. Mach.», 10(i4, v. II, Л>« ).
li. 21—30: [2] О г i s w о I d R- E., String and list processing in
SNOBOL 4. Techniques and applications, Englewood Cliffs (N. Y.),
1975; [3] Г р и с у о л д Р., И о у д ж Д ж., П о л о н с к и и..
Язык программирования СНОБОЛ-4, пер. с англ., М., 1U80.
А. П. Ершон.
СОБОЛЕВА КЛАСС функций — другое назва-
название Соболева пространства.
СОБОЛЕВА ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — ло-
локально суммируемая обобщенная производная от лока-
локально суммируемой функции (см. Обобщенная функция).
Подробнее, если Q есть открытое множество в п-
мерном пространстве R" и F (х) и f(x) — заданные на Q
локально суммируемые функции, то f(x) есть обоб-
обобщенная частная производная uoiyiio
Соболеву от функции F (х) на Q:
!? = /(*), *€«. 1 = i, 2, .-., п,
если выполняется равенство
для любых бесконечно дифференцируемых финитных в

Q функций <р (х); эта производная -- С. о. п.— опре-
определена только почти всюду на Q.
Другое аквивалентное определение С. о. п.: пусть
локально суммируемую на У функцию F (х) можно
видоизменить на лгаожестве «-мирной меры нуль так,
что она будет локально абсолютно непрерывной по х;-
для почти всех в смысле («— 1)-мерной меры точек
(хг,. . .,ху_]. х/ + х ,. . ., ,г„). Тогда функция /•' будет
иметь обычную частную производную xj почти для всех
x?Q. Если она локально суммируема, то она и наз.
С. о. п.
Третье эквивалентное определение С. о. п.: пусть
для определенных на il функций /¦' (.г) и / (х) можно по-
подобрать последовательность непрерывно дифференци-
дифференцируемых на И функций {A'fc (.'¦)} таких, что для любой
области со, замыкание к-рой принадлежит Q, имеет
место
Г | Fn(x) — F (x) \dx -->0,
0Fh (л-)
дх ¦
d.c -,<), к --оо;
тогда /(.<¦) есть С. о. п. от У (.г) на И.
По индукции определяются С. о. п. на И от F (если
они существуют) более высокого порядка:
d2F 0:<F
Они не зависят от порядка дифференцирования, напр.
d2F d'F
dXfdXj ~~ dxjdxi
почти всюду на Q.
Лит.: [J] С обо л е и Г.. Л., Некоторые применения функ-
функционального анализа к математической физике, [2 изд-J, Ново-
сиб., 1962; [2] Н и к о л ь с к и и С. М., Курс математического
анализа, 2 изд., т. 2, М., 197Г). С. М. Никольский.
СОБОЛЕВА ПРОСТРАНСТВО — пространство
WP(Q) функций f=f(x)=-f(x1,. . ., хп), определенных
на множестве QcR" (обычно открытом) м интегрируе-
интегрируемых с /j-ii степенью их модуля вместе со своими обобщен-
обобщенными производными до порядка I включительно A <:
<:/; < оо).
Норма функции /? Wp(i2) определяется при помощи
равенства
Здесь
ел-*1... e.v*»
есть обобщенная частная производная oi / порядка !А| -•=
= 2j'=.i(j и н0Рма
При р—оо ота норма равна существенному максимуму:
И lly. (Q)= sup vrai | г)з (ж) | (p=cc),
т.е. нижней грани чисел А, для к-рых неравспстпо
|
имеет место на множестве меры нуль.
Пространство Соболева Wp{ii) определено и ши-рыме
применено в теории краевых задач математич. физики
в [1], [2].
Благодаря тому что в определении С. и. участвуют
не обычные, а обобщенные производные, оно является
полным, т. е. банаховым пространством.
Наряду с Wp(il) рассматривается его линейное под-
подпространство, обозначенное Wpc(il) и состоящее из

функций, имеющих равномерно непрерывные на Q
частные производные 1-го порядка. Подпространство
Wpc(Q) имеет преимущества перед WP(Q), однако оно
но замкнуто в метрике WP(Q) и само по себе не яв-
является полным пространством, но для широкого клас-
класса областей (с линшициевой границей, см. ниже) при
1<р<оо пространство Wpc(ii) плотно в WP(Q), т. е.
для таких областей пространство WP(Q), кроме полно-
полноты, приобретает новое свойство, заключающееся в
том, что каждая принадлежащая к нему функция мо-
может быть как угодно хорошо приближена в .метрике
ll-p(Q) функциями из W'pc(il).
Выражение (I) для нормы функции /? WP{Q) удобно
заменить на следующее выражение:
Норма A') эквивалентна норме A) (т. е. Cj||/||<:|j/ir<:
<с2||/||, где Cj, c2>0 не зависят от /). При р-—2 норма
A') гильбертова, и это широко используется в при-
приложениях.
Граница Г ограниченной области Q наз. л и п ш и-
це в ой. если, какова бы ни была точка ж°?Г, най-
найдется прямоугольная система координат ?=(ii,. . .
. . ., 5„) с началом в этой точке и прямоугольник
Д = {|:||| < 6, / = 1 п-1, | Бя | < 6}
такой, что пересечение ГД описывается функцией
6' = (Ei,--.,S»-i) € A' = {S':|E/I <б, ; = 1 n-i),
удовлетворяющей на Д' (проекции Д на плоскость
5н=0) условию Липшица
где константа М не зависит от указанных точек |р
|г ч I I l2==S;=iS/> Гладкие и многие кусочно гладкие
Г:';1ницы охватываются понятием липшицевой границы.
Для области с липшицевой границей норма A) эк-
эквивалентна следующей:
II/1!^(й) HI/
,i,e полунорма
Можно рассматривать более общие анизотропные
пространства (классы) WP(Q), где I,—(llt. . ., ln) —
положительны!! вектор (см. Вложения теоремы). Для
каждого такого вектора I эффективно и в известной
мерс исчерпывающе определяется класс областей $Ш' ',
обладающих тем свойством, что если Qcffll*'*, то любую
функцию /? W1 (Q) можно продолжить на R" с сохра-
сохранением класса. Точнее, можно определить на R" функ-
функцию / (х) со свойствами
где с не зависит от / (см. [3]).
Благодаря этому свойству неравенства тина теорем
вложения для функций f?Wlp{R") автоматически
переносятся на функции ffWp(Q), ?2?Щ1"\
Для векторов нида 1—A1,. . ., 1п) области QgDJl"'
имеют липшицевы границы. Для них W' (S2)= Wp (i> i.
Исследование пространств (классов) Wlp (il) (il ^Ш^")
ведется на основе специальных интегральных пред-

ставленип функции, принадлежащих ;>тим классам.
Первое такое представление получено (см. |1], |2])
для изотропного пространства WP(Q) области У, звезд-
звездной относительно нек-рого шара. Дальнейшей развитие
этого метода см., напр., в [3].
Классы Wp и Wp получили обобщенно на случал
дробных чисел или векторов I— (Is /„) с дробными
компонентами /,-.
j ?
Пространство WP(Q) рассматриваю! и для отрица-
отрицательных целыл /. Элементами его ян.шются, вообще
говоря, обобщенные функции /, т. о. линейные функ-
функционалы (/, ф) над финитными в И бесконечно диффе-
дифференцируемыми функциями ф.
По определении), обобщенная функция / принадлежит
классу Wpl(Q) при натуральном I -1, 2, 3,. . ., евли
конечна верхняя грань:
распространенная на указанные функции ф с нормой
в метрике Wq(Q), не превышающей единицу (!//>+
+ 1/<7—1). Можно еще сказать, что функции /? W'^iii),
/=1,2,..., образуй)! пространство, сопряженное к
банахову пространству WQ(Q).
Лит.: [1] С о б о л е в С. Л,, «Матем. сб.», 1938, т. 4, с. 471 —
97; [2] его же, Некоторые применения функционального ана-
анализа в математической физике, [2 изд.] Новосиб., 1982; I'nJ
Бесов О. В., И л ь и н В. П., И и к о л ь с к и я С. М.,
Интегральные представления функций и теоремы вложении,
М., 1974; [4] Ник о л ь с к и й С. М., Приближение функций
многих переменных и теоремы вложения, М., 1969.
С. М. Никольский.
СОБСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ — собственный вектор
оператора, действующего в функциональном простран-
пространстве, в. С. Шулъман.
СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ оператора
(преобразования) А векторного пространства
Л над полем !>¦ -- элемент ~k?k такой, что существует
ненулевой вектор .с?Л, удовлетворяющий условию
кх — \х.
Вектор х в утом равенстве наз. собственным вектором
оператора А, принадлежащим С. з. К. В случае, когда
оператор А линеен, С. з.— ато такой элемент Х?/г,
что оператор А — XI (где I — тождественный оператор)
не инъективен. Если пространство L конечномерно, то
С. з. совпадают с корнями характеристического много-
многочлена det|H—ХЕ\\ (из поля к), где А — матрица линей-
линейного преобразования А в нек-ром базисе, а Е — еди-
единичная матрица. Кратность С. з. как корня итого много-
многочлена наз. алгебраической кратность ю.
Для любого линейного преобразования конечномер-
конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем
к множество С. з. непусто. Оба условия — конечномер-
конечномерность и алгебраич. замкнутость — существенны.
Напр., поворот евклидовой плоскости (/c=R) на любой
угол, не кратный я, не имеет С. з. С другой стороны,
для оператора в гильбертовом пространстве, сопря-
сопряженного сдвигу, каждое число из открытого единич-
единичного круга — С. з.
Совокупность всех С. з. линейного преобразования
конечномерного пространства наз. спек т р о м
линейного преобразования. Линейное
преобразование я-мерного пространства диагоналшш-
руемо (т. е. существует базис, в котором матрица
преобразования диагональна) тогда и только тогда,
когда алгебраическая кратность каждого С. з. равна
его г е о м е т р и ч е с к о й кратности — раз-
размерности собственного подпространства (см. Совет-
кпныи вектор), соответствующего данному С. з. В
частности, для диагонализируемости линейного пре-
преобразования достаточно, чтобы оно имело п различ-
различных С. з.

Собственное значение квадратной
матрицы А над полем к (или характеристический
корень) — корень ее характеристического многочлена.
Лцт. см. при статьях Линейное преобразование, Матрица.
Т. С. Пиголкина, В. С. Щульман.
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ; численные методы на-
нахождения — методы вычисления собственных
значений и соответствующих собственных функции диф-
дифференциальных операторов. Колебания упругих огра-
ограниченных тел описываются уравнением
где ?ф — нек-рое дифференциальное выражение. Если
решение уравнения A) искать в виде
то относительно функции и получается уравнение
Z,(u) + Xu = 0 B)
внутри ограниченной области при нек-рых однородных
условиях на ее границе. Значения параметра >., при
к-рых существуют отличные от тождественного нуля ре-
решения уравнения B), удовлетворяющие однородным
краевым условиям, наз. собственными зна-
значениями (числами), а их соответствующие
решения — собственными функциями.
Возникающая при этом дифференциальная задача на
собственные значения состоит в нахождении собствен-
собственных значений X и соответствующих им собственных
функций.
Численное решение дифференциальной задачи на соб-
собственные значения проводится в три этапа:
1) сведение задачи к более простой, напр, к алгеб-
алгебраической (дискретной);
2) выяснение точности дискретной задачи;
3) вычисление собственных значений дискретной
задачи (см. Линейная алгебра; численные методы).
Сведение к дискретной задаче. Сведение задачи B)
к ее дискретной модели производится в основном сеток
методом и проекционными методами. При этом естест-
естественно требовать, чтобы основные свойства исходной
задачи сохранялись в ее дискретном аналоге. В част-
частности, должна сохраняться самосопряженность соот-
соответствующих дискретных операторов в пространстве
функций дискретного аргумента.
Одним из методов такого сведения является и н т с-
г р о-и нтерполяционный метод. Напр.,
пусть поставлена задача
dx
и@) = 0, иA) = 0. D)
Эта задача возникает, напр., при изучении поперечных
колебаний неоднородной струны и продольных колеба-
колебаний неоднородного стержня.
На отрезке [0, 1] вводится разностная сетка со с
узлами ,1[= ih, i=-0,[,. . ., Л\ h-—i/N. Каждому узлу
xi, 1=1,. . ., jV — 1, ставится в соответствие элементар-
элементарная область 8;{х[ — h/2<^.x<.x[-rh/2}. Интегрирование
по областям S{ уравнения C) приводит к выражению
Пусть
и — const — и,-, xi — й/2 <t< xi -{- /г/2,
w~ const — Wi — ii-i, ж; — l <S :c s^ X[.

Тогда
При подстановке F) в E) получается уравнение
~Т [ al + 1h ^Г~/ ==>Л'''' ' = 1> 2 N~i'
где v — искомая сеточная функция. Краевые условия
уо=О, улг=0 приводят к алгебраич. задаче на собствен-
собственные значения
Ai>^XhP, G)
где А — трехдиагональная симметрич. матрица поряд-
порядка n=N~ 1 (см. [10]).
В а р и а ц и о н н о-р аз постны и метод
сведения к дискретной задаче используется, когда зада-
задача на собственные значения может быть сформулиро-
сформулирована как вариационная. Напр., собственные значения
задачи C), D) являются стационарными значениями
функционала
„ :и: , D \и] — \ —— f j^Vto II \и] — Г и-йх.
Н W ' Jo ?(*) \dxj l j0
При замене интегралов квадратурными суммами, а про-
производных — разностными отношениями, дискретный
аналог функционала имеет вид
нЛ [v]
'Уft;
J '
где ai — разностный аналог коэффициента р (.г), |;-рый
может быть вычислен по формуле (8). Дискретный
аналог задачи C), D) получается из необходимого усло-
условия экстремума
^])=0, i = l, 2, ...,7V —1.
Дифференцирование приводит снова к задаче G) (см.
[9]).
Проекционн о-р азяоетный метод
сведения к дискретной задаче состоит в следующем.
Выбирается линейно независимая координатная система
функций а,-, г=1, 2,. . ., п, и линейно независимая про-
проекционная система функций ру, ; = 1, 2,. . ., п. Прибли-
Приближенные собственные функции ищутся в виде
Коэффициерты разложения с,- и приближешше собствен-
собственные значения определяются из условия
(Lu+кп, Р/)-=0, / = 1, 2, ..., н, (S)
где ( , ) — скалярное произведение в гильбертовом
пространстве. [При совпадении координатной и проек-
проекционной систем говорят о методе Бубнова -- Галеркина.
Если, кроме того, оператор дифференциальной задачи
самосопряженный, то метод наз. методом Рэлея —
Ритца (см. [4]). ] В частности, для задачи C), D), если
всеа,-=р/ удовлетворяют D), условие (8) принимает вид
; = 1, ..., «• (9)
Чтобы упростить получение алгебраич. задачи, систему
функций а,- выбирают почти ортогональной.

Взяв в качестве координатной и проекционной си-
систем функции вида
щ (х)
zif=ih из (9) получают
¦Z/-L
aih
1 Г*,' rfa-
о.; ~ —г \ .
' Л J *,•_! P U) '
а,-а/ + 1 сЦ', p/ = f 4|'+l a? dx.
x
где
Таким образом, вместе с краевыми условиями получа-
получается обобщенная задача на собственные значения:
Au^XhDv, h-i/N.
Здесь А и D — трохдиагональныо симметрич. матрицы
порядка п=N — 1.
Перечисленными .методами получаются дискретные
модели в случае и др. уравнений. Напр., для стержня:
d2u\ ,
) кги
ДЛЯ
для
мембраны
а (
пластины:
о- / а
-j-
— (
дУг
\ . а
tl2 —
д2и
Собственные векторы, соответствующие Х^, удовлет-
удовлетворяют однородной системе алгебраич. уравненш'):
Задача нахождения всех собственных значений я соб-
собственных векторов матрицы А наз. полной, проблемой
собственных значений. Задача нахождения нескольких
собственных значений матрицы А наз. частичной проб-
проблемой собственных значений. В случае алгебраич.
систем, соответствующих рассматриваемой задаче, наи-
наиболее часто возникает частичная проблема собственных
значений. Применение традиционных методов ее реше-
решения требует весьма значительного объема вычислений
вииду плохой разделенности собственных значении мат-
матрицы А . В этом случае наиболее эффективны модифици-
модифицированные градиентные методы с использованием спект-
спектрально уквивалентных операторов (см. [16]) и много-
сеточные методы (см. [17]).
Лит.: II] Бублик Б. П., Численное решение задач ди-
динамики пластин и оболочек, К., 19(i9; [2] В о е в о д и и В. В.,
Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, М., П'66;
[3J Гулд С, Вариационные методы в задачах о собственных
значениях, пер. с англ., М., 1970; [4] К о л .ч а т ц Л., Задачи
на собственные значения, пер. с нем., М., 1968; [5] П р и к а з-
чинов В. Г., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1965, т. 5,
№ 4, с. 648—57; [6J е г о же, там же, 1960, т. 9, № 2, с. 315—
336; [71 Самарский А. А., Введение в теорию разностных
схем, М., 1971; [8] Самокиш Б. А., «Изв. высш. учебн. за-
заведений. Математика», 1958, №5F), с. 105—21; [91 С а у л ь-
с ii В. К., «Вычисл. математика», 1957, .№1, с. 87—115; [10]
Т п х о н о и А. Н., Самарски й А. А., «Ж. пычисл. ма-
матем. н матем. физ.», 1961, т. 1, JV5 5, с. 781- -an.'i: l! \i У л .i к и н-
с о и Д т., Алгебраическая проблема собственных значении,

пер. с англ., М., 1970; [12] Фаддеев Д. К., Фаддее-
в а В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд.,
М.— Л., 1963; 113] X а о Ш о у, «Ж. пычисл. матем. и матем.
физ.», 1963, т. з, № 6, с. 1014—31; [14] СтренгГ,, Фикс
Д ж., Теории метода конечных элементов, пер. с англ., М.,
1977; [15] С ь н р л с Ф., Метод конечных элементов для эллип-
эллиптических задач, пер. с англ., М., 1980; [16] Д ь я к о н о в Б. Г.,
Орехов М. Ю., «Матем. заметки», 1980, т. 27, JM» 5, с. 795—
812; [17] Hackbusch W., «SIAM. J. Numer. Analysis»
1979, v. 16, № 2, p. 201 — 15. В. Г. Приказчиков.
СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ОПЕРАТОРОВ, численные методы нахож-
нахождения — методы вычисления полного спектра ин-
интегрального оператора или его части (чаще всего ста-
ставится задача отыскания одного — двух минимальных
или максимальных по модулю собственных значений).
Сопутствующей задачей часто бывает задача прибли-
приближенного численного нахождения собственных или, бо-
более общо, корневых функций данного интегрального
оператора, соответствующих искомым собственным зна-
значениям. Наибольшее значение имеет задача нахожде-
нахождения собственных значений (и функций) линейного
интегрального оператора Фредгольма.
Численные методы нахождения собственных значе-
значений интегральных операторов Фредгольма. Задача
о собственных значениях и собственных функциях
интегрального оператора Фредгольма заключается в
нахождении таких комплексных чисел Я, для к-рых
существует нетривиальное (в данном функциональном
классе) решение интегрального уравнения
Ыср = Я С К (х, s)<p(s)ds^(f>{x). A)
В уравнении A) К (х, s) —функция (или матрица-
функция) двух групп переменных х и s такая, что ин-
интегральный оператор с ядром К — фредгольмов в
рассматриваемом функциональном' классе; D — об-
область в евклидовом пространстве Rm. Функциональным
классом может быть пространство С (D) непрерывных
функций на D, или L^{D) — квадратично интегрируе-
интегрируемых функций на D, или другие функциональные про-
пространства.
Основным приближенным способом решения задачи
на собственные значения A) является следующий.
Выбирается нек-рая аппроксимация интегрального
оператора в правой части A) (см. Фредгольма уравнение;
численные методы), напр., интеграл заменяется квадра-
квадратурной формулой:
sx^=xa\N)K(x, i7)cf (б()_.4ф, B)
где s; — узлы квадратурной формулы, а; ' -- ее веса
(см. [3] - [5]).
Вместо задачи A) рассматривается задача иа нахожде-
нахождение собственных значений и соответствующих корневых
многообразий нек-рой матрицы, естественным образом
связанной с аппроксимацией B). Именно,
Я 2f= , a\N) к (sj- -"-У) Ф (•'/) -= Ф <*/). / - 1, • ¦ •, А'- C)
Для решения задачи C) можно воспользоваться лю-
любыми методами нахождения собственных значений и
векторов (более общо — корневых многообразий), раз-
разработанных в линейной алгебре (см. Линейная алгебра;
численные методы). Найденные собственные значения и
векторы алгебраич. задачи C) будут близки к нек-рым
собственным значениям и элементам основной задачи
A), если в определенном смысле близки операторы А
и А. Вместо B) можно использовать и иные аппрокси-
аппроксимации интегрального оператора. Основная задача
A) при этом редуцируется к алгебраич. задаче, анало-
аналогичной задаче (.'!). Исследование близости решений
задач A) и C) проводится методами функционального
анализа и рампах общей теории приближенных методов.

При этом задача на собственные значения A) интерпре-
интерпретируется как задача нахождения собственных значений
нек-рого вполне непрерывного оператора А, действую-
действующего в банаховом пространстве Ф:
А 4ф = ф. D)
Задача C) интерпретируется как задача на собственные
значения оператора ,1. близкого к А , но действующего,
вообще говоря, в другом пространстве Ф (связанном с
Ф):
КЛц=ц. E)
В общей теории приближенных методов доказываются
различные теоремы о близости решении задач D) и
E). В качестве примера подобных утверждений можно
привести следующее. Пусть А„ — последовательность
(итераторов действующих в Ф и
Тогда
где о(-) — спектр соответствующих операторов. В этом
случае каждое Ф совпадает с Ф.
Большинство общих оценок близости собственных
значений и элементов приближенной задачи E) к соб-
собственным значениям (элементам) в задаче D) не явля-
являются эффективными: эти оценки содержат постоян-
постоянные, значения к-рых обычно не известны. Для контро-
контроля точности в таком случае можно использовать после-
последовательность приближенных собственных значений
(элементов), приближающуюся к искомому собствен-
собственному значению (элементу) в A) [или D)]. Такую последо-
последовательность целесообразно строить, не используя
непосредственно последовательность задач типа EJ
с последовательно уточняющимся оператором А, т. к.
тот путь приводит к весьма громоздким вычислениям.
Вместо этого можно применять различные алгоритмы
уточнения (напр., основанные на теории возмущений).
Обобщенные задачи о собственных значениях. В при-
приложениях исследуются и более общие, чем D) задачи
о нахождении критнч. параметров пша собственных
значений. В абстрактной форме подобные задачи могут
быть сформулированы следующим образом.
Требуется найти, при каких значениях параметра
А уравнение
А (X, ф)-=ф F)
имеет более одного решения относительно <| (.1 - не-
некоторый нелинейный интегральный оператор в ба-
банаховом пространстве Ф, зависящий от комплексного
параметра к).
В задаче F) могут быть дополнительные ограничения
на ||ф|| и на А (напр., ищутся только такие А, к-рые удов-
удовлетворяют условию |А|<Я, Я задано и ||ф||<Л).
С задачей F) тесно связаны различные задачи о
точках бифуркации в нелинейных интегральных урав-
уравнениях. Представляет интерес задача F), в к-рой опе-
оператор А (а, ф) линеен относительно ф, но параметр
А входит не мультипликативно. Общая задача о точках
бифуркации может быть редуцирована к такой форме.
К'роме того, задача об отыскании собственных значений
линейного оператора A). лежащих в круге |A|«i?,
R — фиксирована, сводится к более общей задаче F),
в к-рой однако линейный но ф оператор А (X, ц>) имеет
конечномерную область значений. Действительно,
пусть А — интегральный оператор с вырожденным
ядром, по норме близкий к А, причем \\А—4||<6.
Соотношение A), определяющее собственные значения,
может быть записано в виде:

Если | Я |<1/б, то оператор Е-\-К(А—А ) обратим; сои-
ственные значении X, удовлетворяющие неравенству
| А | <1/6 могут быть найдены из соотношения
Л))-12, G)
где Z^[E-1-Х (А—Л)]ф. Уравнение G) эквивалентно
(относительно Z) нск-рой системе линейных алгебраич.
уравнении. Приравнивание к нулю ее определителя
дает уравнение, корни к-рого являются собственными
значениями интегрального оператора A). Эго рассуж-
рассуждение справедливо вообще для произвольного вполне
непрерывного оператора А в банаховом пространстве
Ф, если этот оператор допускает аппроксимацию по
норме операторами с конечномерной областью значений.
Конструкция G) может быть использована для уточне-
уточнения приближенно найденного собственного значения
(и собственной функции).
Общая задача F) может быть приближенно (аппрок-
(аппроксимацией оператора А) сведена к конечномерной задаче
типа F). В случае более сложных задач рассматривае-
рассматриваемого тина для отыскания собственных значений исполь-
используется метод Монте-Карло (см. [7]).
Лит.: [1] К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И.,
Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.— Л., 1962;
[2] К р а с н о с е л ь с к и й М. А. [и др.), Приближенное ре-
решение операторных уравнений, М., 1969; [3] Б е р е з и и И. С,
Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962;
[4] Крылов В. И., Бобков В. В., М о н а с т ы р-
и ы ii П. И., Вычислительные методы, т. 2, М., 1977; [5]
Мыс омских И. П., «Методы вычислений», 1973, в. 8,
с. 3—10; [6] М а р ч у к Г. И., Лебедев В. И., Численные
методы в теории переноса нейтронов, 2 изд., М., 1981; [7] Вла-
Владимиров В. С, Соболь И. М., (.Вычислительная мате-
математика» 1958, М 3, с. 130 — 37. А. Б. Бакушинский.
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, свободные
колебания,— колебания, совершающиеся в ди-
намич. системе при отсутствии внешнего воздействия
при сообщении ей в начальный момент внешнего возму-
возмущения, выводящего систему из состояния равновесия.
Характер С. к. в основном определяется внутренними
силами, обусловленными физич. строением системы.
Энергия, необходимая для движения, поступает в си-
систему от внешнего воздействия в начальный момеш
движения.
Примером С. к. могут служить малые колебания кон-
консервативной системы с п степенями свободы около устой-
устойчивого состояния равновесия. Уравнения движения
имеют вид
2"=1 lasMi + csiQi) = 0, s-1, ••-,«, A)
где (/,¦ — обобщенные координаты, asi, cs; — постоянные
коэффициенты. Общее решение системы A) состоит иа
суммы п. гармонич. колебаний:
Ч; -~-У"^1 Aj>\;(k4) Sin (kjt-l -P,-), /-Л, .... п,
где А /, Ру— постоянные интегрирования, kj— с о б с т-
венные час т о т ы — корни уравнения частот
— Чцк- . . . clH —aUlk-
¦ ¦ ¦ ¦ ¦ =0 (-)
i — anik2 ... спп — аппк'г
(предполагается, что нет нулевых и кратных частот),
Д/ ('<¦/) — минор, соответствующий i-му столбцу и послед-
последней строке определителя B). Величины Ajk((kj), kjt-\-
"ЬР/i Р/— соответственно амплитуда, фаза и начальная
фаза /-гармоники. Из рассмотренного примера следует:
гармонич. колебания одной и той же частоты для всех
координат происходят в фазе или противофазе; распре-
распределение амплитуд колебаний данной собственной часто-
частоты по координатам определяется физич. устройством
системы.
Лит.: [1] Б а б а к о в И. М., Теория колебания, 2 изд.,
М., 1965; [2] Б у т с м и и Н. В., Теория колебаний, М., 19fl:j;
[3] С т р е л к о в С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд.,

M., 1964; [4] Андронов Л. А., В и т т А. А., Хай-
к и н С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959.
Н. В. Вутенин.
СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР оператора А, дей-
действующего в векторном пространстве Л над полем к —
ненулевой вектор x^L, к-рый переводится данным
оператором в пропорциональный ему вектор, т. о.
Ах-^Хх, X ? к.
Коэффициент Х?к иаз. собственным значением онера-
тора А.
Если оператор А линеен, то множество L?. всех С. в.,
отвечающих собственному значению X вместо с нулевым
вектором, является линейным подпространством. Оно
наз. собственным подпространством
оператора А, отвечающим собственному значению
X, и совпадает с ядром Кег(А—XI) оператора А— XI
(т. е. с множеством векторов, переводимых этим опера-
оператором в 0). Если L — топология, векторное простран-
пространство и А — непрерывный оператор, то L% замкнуто
для любого X. Вообще говоря, собственное подпростран-
подпространство не обязано быть конечномерным, но если А вполне
непрерывен (компактен), то L^ конечномерно для лю-
любого ненулевого X.
В сущности, наличие С. в. у операторов в беско-
бесконечномерных пространствах — явление довольно ред-
редкое, хотя важные для приложений операторы специаль-
специальных классов (интегральные, дифференциальные и т. п.)
часто обладают обширными наборами С. п.
Обобщением понятий С. в. и собственного подпрост-
подпространства являются понятия корневого вектора и корне-
корневого подпространства. У нормальных (в частности,
самосопряженных или унитарных) операторов все кор-
корневые векторы являются собственными, и собственные
подпространства, отвечающие различным' С. в.. вза-
взаимно ортогональны.
Лит.: [1] И о с и д а К., Функциональный анализ, пер. с
англ., М., 1967; [21 Л ю с т е р и и к Л- А., С о о о л с в В. II.,
Элементы функционального анализа, 2 изд., М., ИН>5; 1^.1 К а н-
т о р о в и ч Л. В., А к и л о в Г. П., Функциональный ана-
анализ, 2 изд., М., 1977. Т. С. Пиголкина, В. С. Шульмач.
СОБСТВЕННЫЙ МОРФИЗМ — морфизм схем, от-
отделимый, универсально замкнутый и имеющий конеч-
конечный тип. Морфизм схем / : Х->- У наз. замкнутым,
если для любого замкнутого ZaX множество /(Z) замк-
замкнуто в У, и универсал ь но за м к и у т. ы м,
если для любой замены базы У -*¦ Y замкнут морфизм
XXyY' -*¦ Y'. Свойство быть С. м. сохраняется ири
композиции морфизмов, замене базы и для декартова
произведения морфизмов. С. м. близки к проективным
морфизмам: любой проективный морфизм собственный,
собственный и квазипроективнып морфизм проективен.
Любой С. м. доминируется проективным (л е м м а
Ч ж о у). См. также Полное алгебраическое многообра-
многообразие, Проективная схема.
С. м. обладают рядом хороших когомологич. свойств.
1) Если морфизм f : X -*¦ Y собственный и F — коге-
когерентный пучок О^-модулей, то для любого д^О пучки
Ojz-модулей R4j%(F) когерентны (теорема ко-
конечности). Аналогичный факт имеет место и для
этальных когомологий. В частности, если X — полная
схема над полем к, то пространства когомологий Hi (X,
F) конечномерны. 2) Для любой точки y?Y пополнение
Оу, ^/-модуля Rift: (F)y совпадает с
lim//« (f~4y), F/
где / — идеал подсхемы f (у) в X (теорема о
сравнении). 3) Если X — собственная схема
над полным локальным кольцом А, то категории коге-
когерентных пучков на X и на ее формальном пополнении X
эквивалентны (теорема алгебраизуемо-
сти). Существуют аналитич. аналоги первого и третье-

го свойств. Напр. (см. [3]): для полной С-схемы X
любой аналитический когерентный пучок на X (С)
алгебраизуем и
Я" (X, F) = Hi (X (С), Рал).
4) Пусть / : X —>- Y — С. м., F — пучок конечных
абелевых групп в этальной топологии X, | — геомет-
рич. точка схемы У; тогда слой пучка Rif^ (F) в точке
\ изоморфен Я*(/-1(^), F\f-\-? (теорема о за-
замене базы, сдг. [2]).
Лит.: [1 ] Giot. hendieckA., Dieudonnu .Т.,
Elements de geometric algebrique, t. 2—3, P., 1961—63; [21 The-
oric des topos et cohomologic itnlc des schfimas, t. ) — 3, Я. — fa.
i).], 1972—73; [3] Revetements etales et кгоире fondaraenlal, }). -
Lh. o.J, 1971; [4] X a p т с x о р н Р., Алгебраическая геометрия,
пер. с англ., М., 1981. В. И. Данилов.
СОВЕРШЕННАЯ ГРУППА — группа G такая, что
ее центр есть единичная подгруппа (т. е. G — т. н.
группа без центра) и любой ее автоморфизм
является внутренним (см. Внутренний автоморфизм).
Группа автоморфизмов С. г. С изоморфна самой груп-
группе G (с чем и связан термин «совершенная»). Примера-
Примерами С. г. являются симметрические группы Sn при пф2,(>.
Если нек-рая группа Г содержит нормальный долитый.,
являющийся С. г., то Т разлагается в прямое произ-
произведение нек-рых своих подгрупп Т—ВХК такое, что
К — централизатор В в Т.
Лит.: [1J К а р г а п о л о в М. И., Мерзляков К). 11.,
Основы теории групп, 3 изд., М., 1982; [2] Холл М., Теории
групп, пер. с англ., М., 1962. Н. Н. Вильяме.
СОВЕРШЕННАЯ МЕРА понятие, введенное
Б. В. Гнеденко и А. II. Колмогоровым в [1] с целью
«достижения полной гармонии между абстрактной
теорией меры и теорией меры в метрических простран-
пространствах». Дальнейшее развитие теории обнаружило дру-
другие аспекты ценности этого понятия: с одной стороны,
класс С. м. весьма широк, с другой — в рамках С м.
не возможен ряд неприятных технич. осложнений,
возможных в общей теории меры.
Конечная мора п, на а-алгебре S подмножеств мно-
множества X наз. совершенно]], если для любой
действительной измеримой функции / на X и любого
множества A'czR такого, что f~L (fi)cS
inf{(x(/-i(C)):6'Z5/?, 6'? Щ,
где (й — класс открытых подмножеств R. Для совер-
совершенности и, достаточно, чтобы для любой действитель-
действительной измеримой функции / на X существовало борелев-
ское множество Ва^ такое, что м. (/~1 (В))—и.(Х), и
необходимо, чтобы для любой действительной измери-
измеримой функции /на Ii любого множества EcR, для
к-рого /~1(ii)^5, существовало бы такое борелевское
множество ВсЕ, что
Всякая дискретная мера совершенна. Мера, заданная
на а-алгебре подмножеств сепарабельиого метрлч. про-
пространства, содержащей все открытые множества, совер-
совершенна тогда и только тогда, когда мера любого измери-
измеримого множества есть верхняя грань мер лежащих в нем
компактов. Ограничение С. м. \i на любую а-подалгебру
а-алгебры S совершенно. Мера, индуцированная С. м. ц
на всяком подмножестве X±^S с \х (Х^Х), совершенна.
Образ См. ц цри измеримом отображении (X, S) в
другое измеримое пространство совершенен. Мера
совершенна тогда и только тогда, когда совершенно ее
пополнение. Для того чтобы всякая мера на любой о-
подалгебре а-алгебры S подмножеств множества X
была совершенна, необходимо и достаточно, чтобы для
любой действительной измеримой функции / множество
/(X) было абсолютно измеримым (т. е. принадлежало
области определения пополнения всякой борелевской
меры на R). Если ХщЧ и S есть а-алгебра борелевских
подмножеств X, то всякая мера на S совершенна тогда
и только тогда, когда X абсолютно измеримо.

Всякое пространство (X, S, и) с С. м. такое, что S
имеет счотноо число образующих {S[}, отделяющих
точки X (т. е. для любых х, у^_Х, хфу найдется
i:x ? S;, у ? S; или х (fc S,-, у ? 5,-),
почти изоморфно нек-рому пространству (L, X, X),
образованному мерой Лебега на конечном отрезке и не
более, чем счетной последовательностью точек положи-
положительной массы (существуют N?S с ц (JV)=O и взаимно-
взаимнооднозначное отображение ф X\N на L такие, что <р и
ф-1 измеримы и Л=(хф~1).
Пусть / — произвольное множество индексов и каж-
каждому ??/ соответствует пространство с С. м. (.Y,-, 5,-,
j.t,); A' = ni6 jX',-, и пусть „#— алгебра, порожденная
классом множеств вида {х?Х : х[?А ?S[}. Если на ,Л
задана конечно аддитивная мера и,' такая, что и.' ({х?Х :
х;?А }) = ц;(А ) для любых i?I и A ?<S,-, то: 1) и/ счетно
аддитивна на е/, 2) продолжение j.i меры ц.' на а-ал-
гебру S, порожденную алгеброй J[, совершенно.
Пусть (X, S, Р) — пространство с совершенной
вероятностной мерой и S1, S 2 — две а-подалгебры о-
алгебры 5, причем 5j имеет счетное число образующих.
Тогда существует регулярная условная вероятность
на 5j при условии S2, т. е. существует функция р(-, •)
на IX5j такая, что: 1) при фиксированном х р (х, ¦)
есть вероятностная мера на St; 2) при фиксированном Е
р (¦, Е) измерима относительно S2; 3) ( р р (х, Е)Р (dx) =
=-- P(E[)F) для всех E?Sl и F?S2. 15олее того,
функцию /)(-, •) можно выбрать так, что меры р (х, ¦)
будут совершенными. Пусть (X, S), (Y, $~) — два
измеримых пространства и д(-, ¦) — переходная веро-
вероятность на ХХ<??~, т. е. q(-, E) измерима относительно
S и q(x, ¦) есть вероятностная мера на ?Г для любых
х?Х, Е^_?Г. Если q(x, ¦) дискретны и Р — совершен-
совершенная вероятностная мера на S, то мера \q(x, -)P (dx)
совершенна.
С. м. тесно связаны с компактными мерами. Класс
подмножеств SK наз. компактным, если К^УС',
i=l, 2,. . ., [\Т=\К[фф влечет П f=iЛ"(-= 0 для нек-
Tioro п. Конечная мера (j, на (X, S) наз. к о м п а к т-
н о и, если существует компактный класс Ж таком,
что для любых е>0 и E?S можно выбрать К?_Ж и
E-i^S так, чтобы Е^Кс Е и \х(Е\Ег)<,г. Всякая
компактная мера совершенна. Для того чтобы мера
была совершенной, необходимо и достаточно, чтобы ее
ограниченно на любую а-подалгебру со счетным числом
образующих было компактным.
Лит.: [11 Г и е д е и к о Б. В., К о л м ог о р о в А. Н.,
Предельные распределения для сумм независимых случайных ве-
величин, М.— Л., 1049; [2] М а г с 7. е w s k i E., «Fundam.
math.», 1053, v. ',(), p. 113-24; 13] R у 1 1 - N a r d z с w s-
ki С, там же, р. 125—30: [4] Сазонов В. В., «Изв. АН
СССР. Сер. матем.», 191S2, т. 26, с. ЗУ 1 — 414; [5j R а га а с h а п-
d г а и D., Perfect measures, pt 1— Basic theory, pt 2—Spe-
2—Special topics, Delhi, 197!) (ISI lecture notes, № 5, 7). В. В. Салонов.
СОВЕРШЕННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА — совер-
совершенная дизъюнктивная или совершенная конъюнктив-
конъюнктивная нормальная форма (см. Булевых функций нормаль-
нормальные формы).
СОВЕРШЕННО НОРМАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО —
нормальное пространство, каждое замкнутое подмноже-
подмножество к-рого н:.ч'от тип G(,.
СОВЕРШЕННОЕ БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕ-
РАСШИРЕНИЕ — расширение Y вполне регулярного пространства
X такое, что шмыкание в Y границы любого открытого
множества 1'аХ служит границей O(U), где O(U) —
максимально открытое в V" множество, для к-рого
О (U)f\X- = U. Эквивалентные требования: а) О (U\J V) =
= 0 (U)\J() (\ ) для любой нары непересекающихся
открытых множеств U, V; б) если замкнутое множество
F 1),!;ю1гвает Л' на открытые множества U и V, то аамы-

кание F в У разбивает Y на О (U) и 0G); в) пи в
одной из своих точек Y\X но разбивает У локально.
С. б. р. характеризуется также как монотонный образ
Стоуна — Чеха бикомпактного расширения EХ, причем
рХ в том и только в том случае является единственным
С. б. р. X, когда X=A\JM, где А —бикомпакт, а
dim M = 0. Локальная связность X влечет локальную
связность любого совершенного расширения Y с 1-й
аксиомой счетности (а также расширений, предшествую-
предшествующих У). Среди всех С. б. р. X минимальное С. б. р.
цХ существует тогда и только тогда, когда у X имеется
хотя бы одно расширение с пунктиформным наростом.
Нарост в цХ пунктиформен, причем цХ является при
этом максимальным среди всех расширений с пункти-
формными наростами. Всякий гомеоморфизм X распро-
распространяется до гомеоморфизма fiX, а всякое совершенное
отображение I на I' продолжается до отображения
цХ на цХ" (при условии, что \хХ' существует).
М. И. Войцеховский.
СОВЕРШЕННОЕ КОЛЬЦО левое — ассоциатив-
ассоциативное кольцо, каждый левый модуль над к-рым обладает
проективным накрытием. Правое совершен-
совершенное кольцо определяется аналогично. Левое С. к.
может и не быть правым С. к.
Эквивалентны следующие свойства кольца Л: A) Л —
левое С. к.; B) каждое множество попарно ортогональ-
ортогональных идемпотентов кольца Л конечно и каждый ненуле-
ненулевой правый Л-модуль имеет ненулевой цоколь; C) Л
удовлетворяет условию минимальности для главных
правых идеалов; D) Л удовлетворяет условию мини-
минимальности для конечно порожденных правых идеалов;
E) каждый правый Л-модуль удовлетворяет условию
минимальности для конечно порожденных подмоду-
подмодулей; F) радикал Джекобсона / кольца В исчезает спра-
справа (т. е. для любой последовательности аь а2,. . . эле-
элементов из / найдется такой номер п, что произведение
а1. . . а„=0) и факторкольцо B/J классически полу-
полупросто; G) каждый плоский левый Л-модуль проекти-
вен; (8) Я содержит такие идемпотенты ех,. . ., еп, что
2]е, = 1, е/еу=О при i=jbj и е,Л<?,- — локальное кольцо
для каждого г; (9) каждый левый Л-модуль удовлетво-
удовлетворяет условию максимальности для циклич. подмодулей;
A0) для каждого п каждый левый Л-модуль удовлетво-
удовлетворяет условию максимальности для n-порожденных под-
подмодулей; A1) каждый проективный левый Л-модуль
допускает разложение, относительно к-рого дополняе-
дополняемы все прямые слагаемые (см. Крулля — Ремака —
Шмидта теорема).
Кольцо матриц над С. к. является С. к. Идемпотент-
ные идеалы С. к. порождаются идемнотентами, цент-
центральными по модулю радикала. Групповое кольцо RG
является С. к. тогда и только тогда, когда Л — С. к.,
а группа G конечна. Кольцо всех эндоморфизмов або-
левой группы А оказывается С. к. в том и только в
том случае, когда А разлагается впрямую сумму конеч-
конечной группы и конечного числа экземпляров аддитивной
группы рациональных чисел. Локальные С. к. харак-
характеризуются возможностью дополнения до базы каждой
линейно независимой подсистемы любого свободного
левого модуля. Эквивалентны также следующие свой-
свойства: A) // — С. к. и все его факторкольца самоинъек-
тивны; B) все факторкольца кольца Л квазифробениу-
совы; C) все факторкольца кольца Л кообразующие;
D) Л — однорядное кольцо.
Лит.- [1] Каш Ф., Модули и кольца, пер. с нем., М.,
1981: [2] Ф е й с К., Алгебра: кольца, модули и категории, пор.
с англ., т. 1--2, М., 1977 — 79; 1.3) Итоги науки и техники. Ал-
Алгебра. Топологии. Геометрия, т. 19. М., 1981, с. 31 —134 (см.
также указанные тнм предыдущие обворы по теории модулей).
Л. А. Скорняков.
СОВЕРШЕННОЕ МНОЖЕСТВО — множество F то-
пологич. пространства X, являющееся замкнутым мно-
множеством и одновременно плотным а себе (т. е. не имею-

щим изолированных точек). Другими словами, F сов-
совпадает со своим производным множеством. Примеры
См.: R", С", канторово множество. М. И. Войцеховский.
СОВЕРШЕННОЕ НЕПРИВОДИМОЕ ОТОБРАЖЕ-
ОТОБРАЖЕНИЕ — совершенное отображение / пространства X
на пространство У, являющееся неприводимым (т. е.
Y не является образом никакого замкнутого в X множе-
множества, ОТЛИЧНОГО ОТ X). М. И. Войцеховский.
СОВЕРШЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — непрерывное
замкнутое отображение топологич. пространств, при
к-ро.м прообразы всех точек бикомпактны. С. о. во мно-
многом аналогичны непрерывным отображениям бикомпак-
бикомпактов в хаусдорфовы пространства (каждое такое отобра-
отображение совершенно), но сферой действия имеют класс
¦.сох топологич. пространств. В классе вполне регуляр-
регулярных пространств С. о. характеризуются существова-
существованием у них непрерывного продолжения на нек-рые
бикомпактные расширения, при к-ром наросты расши-
расширений отображаются в наросты. С. о. сохраняет метри-
метризуемость, паракомпактность, вес, полноту по Чеху в
сторону образа; другие инварианты (напр., характер
пространства) оно преобразует правильным образом.
Класс С. о. замкнут относительно операций произведе-
произведения и композиции. Сужение С. о. на замкнутое подпро-
подпространство является С. о. (не так обстоит дело для фак-
факторных и открытых отображений).
Названные свойства С. о. привели к тому, что класс
этих отображений стал играть стержневую роль в клас-
классификации топологич. пространств. Прообразы мотрич.
пространств при С. о. охарактеризованы как цараком-
пактные перистые (р)-иространства. Класс паракомпакт-
ных ^-пространств замкнут уже в обе стороны относи-
относительно С. о. Важным свойством С. о. является возмож-
возможность сузить каждое из них на нек-рое замкнутое
подпространство, по уменьшая образа, так, чтобы по-
получившееся отображение было неприводимым — не до-
допускало дальнейшего сужения на замкнутое подпрост-
подпространство без уменьшения образа. Неприводимые С. о.
являются отправной точкой построения теории абсо-
абсолютов топологич. пространств. При неприводимом С. о.
л-вес образа всегда равен л-вееу отображаемого прост-
пространства и число Суслина образа равно числу Суслина
отображаемого пространства. Если вполне регулярное
Ггпространство X отображается на вполне регулярное
7\-пространетво Y посредством С. о., то X гомеоморф-
но замкнутому подпространству топологич. произведе-
произведения пространства Y на нек-рый бикомпакт. Диагональ-
Диагональное произведение С. о. и непрорывного отображения
всегда является С. о., в частности диагональное произве-
произведение С. о. и уплотнения является гомеоморфизмом,
и если топологической пространетЕ-о совершенно от-
отображается и уплотняется на нек-рое (вообще говоря,
другое) метрическое пространство, то оно само мот-
ризуемо.
Лит.: [1] Архангельский А. В., II оном а-
р с в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях,
М., 1974; [2] Б у р б а и и Н., ООщап топология. Основные
структуры, пер. с франц., М., 1968. А. В. Архангельский.
СОВЕРШЕННОЕ ПОЛЕ — ноле /с, любой многочлен
над к-рым сепарабелен. Иначе говоря, любое алгебраич.
расширение поля к — сепарабельное расширение. Все
остальные поля наз. несовершенными. Все
поля характеристики 0 совершенны. Поле к коночной
характеристики р совершенно тогда и только тогда,
когда к=кР, т. е. возведение в степень р является
автоморфизмом поля к. Конечные поля и алгебраически
замкнутые поля совершенны. Пример несовершенного
поля — поле Fq(X) рациональных функций над полом
Fq, где Fq — поле из q=pn элементов. С. п. к совпадает
с полом инвариантов группы всех fe-автоморфизмов
алгебраич. замыкания к поля к. Любое алгебраич.
расширение С. п. снова совершенно.

Для произвольного поля к характеристики />>0 с
алгебраич. замыканием к поле
является наименьшим С. п., содержащим к. Оно наз.
совершенным замыканием п о л я к в к.
Лит..: [1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля.
Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] 3 а р и с-
ский О., Самюпль П., Коммутативная алгебра, пер. с
англ., т. 1, М., 1963. Л. В. Кузьмин.
СОВЕРШЕННОЕ ЧИСЛО — целое положительное
число, обладающее свойством, что оно совпадает с сум-
суммой всех своих положительных делителей, отличных от
самого этого числа.
Таким образом, целое число п^=1 является С. ч.,
если
п= У 1
-*-J0 < d < п. din
С. ч. являются, напр., числа б, 28, 496, 8128,33550336,...
С. ч. тесно связаны с простыми Мерсенна числами,
т. е. с простыми числами вида 2т— 1. Еще Евклид
установил, что число
является совершенным, если 2т — 1 — простое число.
JJ. Эйлер (L. Euler) показал, что этими числами исчер-
исчерпываются все четные С. ч.
До сих пор A983) неизвестно, будет ли конечным
или бесконечным множество четных С. ч., т. е. неизвест-
неизвестно, будет ли конечным или бесконечным множество про-
простых чисел Мерсенна 2т — 1. Неизвестно также, суще-
существуют ли нечетные С. ч.
До 1983 найдено 27 четных С. ч. Первые 23 из них
соответствуют следующим значениям т : 2, 3, 5, 7, 13,
17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281,
3217, 4219, 4423, 9689, 9941, 11213. Список'С. ч. с 12-го
по 24-е указан в [2]. Четные С. ч. с 25-го по 27-е соответ-
соответствуют следующим значениям т : 21701, 23209, 44497
(см. [3]). Показано (см. [4]), что нечетных С. ч. нет в
интервале от 1 до 1050.
Лит.: [1] D ickson L. E., History of the theory of num-
numbers, v. 1, Wash. 1919 repr. N.—Y., 1952; [2] N a n k a r M. L.,
«Ganita Bharatf», 1979, v. 1, N 1—2, p. 7—8; [3] Slio wi n s k i D.,
«J. Recreational Math.», 1979, v. 11, p. 258—61; [4] H a g i s P.,
«Math. Сотр.» 1973, v. 27, p. 951 — 53. С. А. Степанов.
СОВМЕСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — общий термин,
относящийся к распределению нескольких случайных
величин, ладанных на одном и том же вероятностном
пространстве. Пусть случайные величины Xj,. . ., Хп
определены на вероятностном пространстве {Q, А, Р }
и принимают значения в измеримых пространствах
(ЗЁ Совместным распределением этих ве-
веф Р (B В)
ь /i) р
личин наз. функция Рх х (Bi,. . ., Вп), определенная
на множествах Вг ^<SX,. . ., Bn(^3in как
px,...xn(Bi' •••- ?„) = р{х, € ви ..., *„? вп].
В связи с С. р. говоряго совместной функ-
функции распределения носов местной
плотности вероятности.
Если Хх,. . ., Хп— обычные действительные случай-
случайные величины, то С. р. есть распределение случайного
вектора (Хг,. . ., Хп) в пространстве R" (см. Много-
Многомерное распределение). Если X (t), t?T,— случайный
процесс, то С. р. значений X (^),. . ., X (*„) при tu . . .,
tn?T наз. конечномерными распреде-
распределениями случайного процесса X(t).
Лит.: [1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Тео-
Теория вероятностей, 'Z изд., М. 1973. А. В. Прохоров.
СОВМЕСТНОСТЬ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ —
свойство методов суммирования, состоящее в непроти-
непротиворечивости результатов применения этих методов.
Методы А и В совместны, если они не могут суммиро-
суммировать одну и ту же последовательность или ряд к различ-
различным ироделам, в противном случае они паз. н е с о в-

местными методами суммирования.
Точнее, пусть А ч В — методы суммирования, напр,
последовательностей, А* и В* —поля суммируемости
этих методов. Методы А ж В совместны, если
~А(х)=--В(х) (*)
для любого х?А*[\В*, где А (,<•) и В (х) — числа, к
к-рым суммируется последовательность х соответст-
соответственно методами А и В. Напр., все 'Гезаро методы сум-
суммирования (Ох к) при А> —1 совместны, все регулярные
Вороного метоОы суммирования совместны.
Если U — нек-рое множество /гос.чедовательностей и
А (х)=В (х) для любого х^А* (]B*f)U, то говорят,
что методы А и В совместны на множестве U. Методы
А и В вполне с о в м е с т н ы (для действитель-
действительных последовательностей), если равенство (*) справед-
справедливо и в том случае, когда в поля суммируемости мето-
методов включены последовательности, суммируемые этими
методами к -|- оо и — оо.
Лит.: [1] Хард и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М., 1951; [2] Кун Р., Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер. с англ., М., 1960. ИГ. И. Волков.
СОВПАДЕНИЕ, с в я з ь,— группа наблюдений в вы-
выборке, имеющих равные значения. Пусть независимые
случайные величины Xlt. . ., Хп подчиняются одному
и тому же абсолютно непрерывному вероятностному
закону, плотность вероятности к-рого есть р(,г). В та-
таком случае, с вероятностью 1 среди наблюдений Х1}
Хг,. . ., Хп не будет равных, т. е. Х,ф X j если %ф),
и, следовательно, каждый член ,Y(,-) вариационного ряда
Х<1) < *B) <•••< Х{п), (*)
построенного по выборке Хг,. . ., .Y,,, будет строго
больше ему предшествующего X(,_]).
Однако на практике в силу ошибок округлении при
вычислении случайных величин Хг, . . ., Хп могут
появиться несколько групп наблюдений, в каждой из
К-рых наблюдения равны между собой. Каждая такая
группа совпавших наблюдений паз. совладея и-
е м. Таким образом, в общем случае вместо (*) экспе-
экспериментатор может наблюдать вариационный ряд
ХП) =. ... =~ X{Xi) < X(Xt+ l}=...= X{Ti +Tj) < ...
где все т,-^ 1, Tj+. . .-|-т^ —«, вследствие чего, если
присутствуют С, т. е. если существуют Ty>2, возни-
возникают трудности при определении вектора рангов, к-рый
играет основную роль при построении ранговых стати-
статистик. Еще нет четких рекомендаций для определения
рангов совпавших наблюдений. Наиболее распростране-
распространены два подхода к решению этой задачи. Первый заклю-
заключается в применении рандомизации. Согласно этому
подходу в качестве рангов элементов
образующих 7-ю группу, можно взять любую переста-
перестановку чисел
Ti4-Ta+...+T,-_i-[-l, т,-r-T2+..-+T/_i-t-2, ...
..., т1+т2+ • --+V
с вероятностью 1/ту-!. Достоинство этого подхода заклю-
заключается в ого простоте, но при нек-рых альтернативах
относительно закона распределения случайной вели-
величины Xi на результатах статистич. выводов может
сказаться примененная рандомизация.
При втором подходе рекомендуется всем совпавшим
наблюдениям
Х{Т,+ . . . +Ту._1+ 1 ) == • • — Х(Т,|- . . . +Ту),

ооразующим /-ю группу, приписать один и тот же т. и.
средний ранг
х,+1
равный среднему арифметическому чисел п-(¦¦•¦•
.. ¦ Н-ту-_1-|-1, т, + ¦ ¦ ¦ Ьт/_]+2,. . ., Та+...-lv
Естественно, что такая процедур" тоже еказываокч
на свойствах ранговых статистик, что следует учитывать
на практике. Например, при построении статистики W
Вилкоксона критерия при наличии С. рекомендуется
пользоваться именно средними рангами, при этом мате-
матич. ожидание ЕЙ7 статистики W остается таким же,
как и в случае отсутствия С, а дисперсия DW уменьша-
уменьшается за счет усреднения рангов и становится равной
оцг тп(т + п-1I i 1 „ft т(т2-
12 у (m + n)[(m + n)»-l]2jy=l ^ /
что следует учитывать при нормализации статистики W.
Лит.: [1] Гаек Я., Ш и д а к 3., Теория ранговых кри-
критериев, пер. с англ., М., 1971; [2] Большей Л. Н., С м и р-
II о в Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М.,
1968. М. С. Никулин.
СОГЛАСИЯ КРИТЕРИЙ — статистический крите-
критерии, применяемый в задаче проверки согласия, суть
к-poii заключается в следующем. Пусть Хх, Хъ. . .,
Хп — независимые случайные величины, подчиняющие-
подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, функция
распределения к-рого F (х) неизвестна. В таком случае
задача статистич. проверки гипотезы //„, согласно к-рой
/•" (х)=А0(х), где Fo (х)— нек-рая заданная функция
распределения, наз. задачей проверки сог-
согласия. Напр., если Fa (x) — непрерывная функция
распределения, то в качестве С. к. для проверки Но
можно воспользоваться Колмогорова критерием.
См. также Непараметрическив методы статистики.
М. С. Никулин.
СОГЛАСОВАННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, вероят-
вероятностные меры,— понятие теории вероятностей и
теории меры. О С. р. для наиболее важного и часто
встречающегося в приложениях случая произведения
пространств см. в ст. Мера. Нижи дается более общая
конструкция. Пусть / множество индексов с отноше-
отношением предпорядка<, фильтрующееся вправо. И пусть
имеется проективная система множеств: для каждого
г?/ задано множество X; и для всякой пары индексов
;<;/ имеется отображение я,-/ множества Xj в Х(,
причем если i<:/<:A:, то я,-^=л,узя/^ и я,-,- для вся-
всякого i?f есть тождественное отображение X; на X;.
Предполагается, что для всякого i?/ задана а-алгебра
S( подмножеств X; так, что если ;«:/, то отображение
Kij(Xj, Sj) в (X;, S[) измеримо. Пусть, наконец, для
каждого г?/ задано распределение (или, более общо,
мера) ft,-на 5,-. Система распределений (мер) {ц,-} наз.
согласованной (или проективной си-
системой распределений (ме р)), если ?<:/
влечет [x,i=\iJnijl. При определенных дополнительных
условиях на проективном пределе X = \im(Xi, tl{j) су-
существует мера ji (проективный предел проективной сис-
системы {|х,-у}) такая, что если щ — каноническая проекция
X на Х(, то |л,-=|.1Л~* для всех i?I.
Лит.: [1] К о л м о г о р о в А. Н. Основные понятия тео-
теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [21 В о с h n e r S., Harmo-
Harmonic analysis and the theory of probability, Berkeley — Los Ange-
Angeles, 1955; [;tl M с I i v i с г М., «A'in. mat. pura ed appl.», 19B3,
t. 03, p. 225—352; Ul Бурбаки Н., Интегрирование. Ме-
Меры на локально компактных пространствах. Продолжение ме-
меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах,
пер. с франц., М., 1У77. В. В. Сазонов.
СОЕДИНЕНИЕ, д ж о и н, топологических прост-
пространств X и У — топологическое пространство, обоз-
обозначаемое X*Y и определяемое как факторпространство
произведения 1Х)'Х[0, 1] по разбиению, элементами
к-рого служат множества ,xXYxO (х?Х) и XXyXl

(у€У) и отдельные точки множества XXУХ [0, 1]\
\(XxYxO\jX::)>:l).
Пример ы: если X состоит из одной точки, то Х*У
есть конус над Y; S"*Y гомеоморфно («+1)-кратной над-
надстройке над V". В частности, S"*Sm^Sn^rn + l. Опе-
Операция С. коммутативна и ассоциативна. Для вычисле-
вычисления гомологии С. (с коэффициентами из области глав-
главных идеалов) используется аналог формулы Кюннета •
Нг + 1 (X » Y) « 2- Ч
фУ Тог(/7,-(Х), Н ;(?)).
Соединение r-связного пространства и s-связного прост-
пространства является (r-\-s ' 2)-связным. Операция С. лежит
в основе конструкции Милнора универсального глав-
главного расслоения. М. Ш. Фарбер.
СОИЗМЕРИМЫЕ И НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ВЕЛИЧИ-
ВЕЛИЧИНЫ — две однородные величины (напр., длины или
площади), обладающие или соответственно не обладаю-
обладающие т. н. о б щ е и мерой (так называют величину
той же природы, что и рассматриваемые, и содержа-
содержащуюся целое число раз в каждой из них). Примерами
несоизмеримых величин могут служить длины диаго-
диагонали и стороны квадрата или площади круга и квадра-
квадрата, построенного на радиусе. Если величины соизмери-
соизмеримы, -то их отношение выражается рациональным числом,
отношение же несоизмеримых величин — иррациональ-
иррациональным. По материалам одноиме}той статьи из БСЭ-.1.
СОКРАЩЕННАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА б у л е-
вой функции — дизъюнктивная нормальная
форма (д. н. ф.), представляющая собой дизъюнкцию
всех простых имнликант данной функции. Конъюнкция
31 наз. импликантой булевой функции /, если
справедливо соотношение 31 ->- /-=1. Импликанта наз.
простой, если после вычеркивания из нее любой
буквы она перестает быть импликантой. Построение
С. н. ф. является первым этапом булевых функций ми-
минимизации, поскольку минимальная д. н. ф. получается
из сокращенной удалением нек-рых импликант. Число
конъюнкций в С. н. ф. характеризует трудоемкость
выполнения этого этапа. Оценки этой величины (см.
Булевых функций нормальные формы) показывают, что
вообще говоря, С. н. ф. сложнее исходного задания
функции; при переходе к С. н. ф. от совершенной со-
сокращаются только длины конъюнкций, число же их
значительно увеличивается. Кроме того, у «почти всех»
булевых функций в С. н. ф. нет конъюнкций, состоя-
состоящих менее чем из п—log2re букв; подавляющая часть
конъюнкций состоит из п—log2log2?i букв.
В. В. Глаголев.
СОЛВМНОГООБРАЗИЕ, р а з р е ш и м о е м н о-
г о о б р а з и е,— однородное пространство М связной
разрешимой группы Ли G; его можно отождествить с
пространством смежных классов G/H, где // — стацио-
стационарная подгруппа нек-рой точки многообразия М.
Примеры: R", тор Т", многообразие Ивасавы
Nil (где N — группа всех верхних треугольных матриц
с единицами на диагонали в GL C, R), / — подгруппа
всех целых точек в N), К2 (бутылка Клейна), Mb (лист
Мёбиуса).
Первым среди С. был изучен более узкий класс
нильмногообразий, т. е. однородных пространств
нильпотентных групп Ли (таковы R", Т", Nil, a К2 и
Mb нильмногообразиями не являются). Для них
А. И. Мальцевым были доказаны следующие утверж-
утверждения (см. [5]). 1) Всякое ни ль многообразие M=G/H
диффеоморфно /?*xR", где М* — компактное ниль-
многообразие. 2) Если М компактно и действие G на М
эффективно, то стационарная подгруппа // является
дискретной подгруппой. 3) Нилыютентная группа Ли G
может транзитивно и локально эффективно действовать

на нок-ром компактном многоооразии тогда и только
тогда, когда ео алгебра Ли (S) имеет С-форму. При этом
если G односвязна, то она изоморфна унипотентной
алгебраич. группе, определенной над С, и Н является
арифметич. подгруппой в G. 4) Фундаментальная
группа Л] (М) компактного нильмногообразия М (изо-
(изоморфная II, если G односвязна и ее действие на М
локально эффективно) определяет его однозначно с
точностью до диффеоморфизма. Фигурирующие здесь
группы л1 (М) — это в точности всевозможные конечно
порожденные нильпотентные группы без кручения.
Эти результаты отчасти обобщаются на произволь-
произвольные С. Так, для произвольного С. М существует С. М',
конечнолистно накрывающее его и диффеоморфное М*Х
X R", где М* -- нек-рое компактное С. Произвольное
С. не всегда разлагается в прямое произведение М*Х
X R", но диффеоморфно (см. [1], [4J) пространству век-
векторного расслоения над нек-ры.м компактным С. (для
Mb соответствующим расслоением является нетривиаль-
нетривиальное линейное расслоение над S1). Фундаментальная
группа л1 (М) произвольного С. М нолициклична и,
если М компактно, определяет многообразие однознач-
однозначно с точностью до диффеоморфизма. Группа л изоморф-
изоморфна лг (М) для нек-рого компактного С. М тогда и только
тогда, когда она включается в точную последователь-
последовательность вида
{е} --> Д —> я —+Ъ$ —> {«} ,
где Д — нек-рая конечно порожденная нилыютентная
группа без кручения. В каждой иолициклич. группе
существует подгруппа конечного индекса, изоморфная
л1 (М) для нек-рого компактного С. М. Если разреши-
разрешимая группа Ли G действует на компактном С, M = G/H
транзитивно и локально эффективно, то М расслаива-
расслаивается над тором со слоем Nlll[)N, где N — нильрадикал
в С. Компактность С. M=G/II эквивалентна наличию
на Л/б'-пнварпантной меры, относительно к-рой объем
М конечен.
Каждое С. М а с ф о р и ч н о (т. о. гомотопич.
группы л/ (У1/)--0 при г^3=2). Среди «сох компакт-
компактных однородных пространств компактные С. характе-
характеризуются асферичностью и разрешимостью группы
щ(М) (см. |3|).
Лит.: Ш Аи slander L., «Bull. Anicr. MaLh. Soc»,
1973, v. 71), Л-J 2, ]). 227—85; [2] А и s 1 a n d с r L., S z с z a r-
b a R., «Amer. ,J. math.», 1975, v. 07, № 1, i>. 2H0—81; l.'ij Г о р-
бацевич В. В., «Изв. АН СССР. Сер. матсм.», 1977, т. 41,
№2, с. 285—307; [4] MostowG., «Ашсг. J. math.,»; 19-71,
v. ЯЗ, № 1, р. 11—32; [5] Р а г у н а т а и М., Дискретные под-
подгруппы групп Ли, пер. с англ., М., 1977. В. В. Горбацевич.
СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ПОЛЕ, трубчатое
п о л е,— векторное ноле, не имеющее ни источников,
ни стоков, т. е. дивергенция к-рого равна нулю во всех
его точках. Поток С. п. через любую замкнутую ку-
кусочно гладкую ориентированную границу любой об-
области равен нулю. С. л. .характеризуется т. п. вектор-
векторным потенциалом — функцией А (М) такой, что '//,—-
= rot/l {M). Примеры С. п.: поле скоростей несжимае-
несжимаемой жидкости, магнитное ноле внутри бесконочного
соленоида. А. Б. Иванов.
СОЛ ИТОН — решение нелинейного эволюционного
уравнения, к-рое в каждый момент времени локализо-
локализовано в нек-рой области пространства, причем размеры
области с течением времени остаются ограниченными, а
движение центра области можно интерпретировать как
движение частицы. С. уравнения Кортевога — де Фриса
описывает уединенную волну
us (х, г)-^3и/еп2 [vll2 (x — vl
и однозначно определяется двумя параметрами: ско-
скоростью i;>0 и положением максимума в фиксированный
момент времени /--0, л—хв. Это уравнение обладает

также п-с о л п т о tf u ы м и решения м и, к-рые
при больших временах (t->-±oo) можно приближенно
записать в виде суммы и слагаемых us(x, t), каждое
из к-рых характеризуется сноой скоростью о,- и поло-
положением центра х^. Для к-солитонного решения набор
скоростей до столкновения (t~>—со) и ноеле столкнове-
столкновения A->- -\- оо) остается неиа.ченпым, возникают толь-
только сдвиги центров С. хы Ф x^i- Найдено много нели-
нелинейных эволюционных уравнений с двумя независи-
независимыми переменными, к-рые обладают решениями с t/ри-
веденными выше свойствами. Так, С. нелинейного
уравнения Шрёдингера
однозначно определяется четырьмя параметрами; С.
синус Гордона уравнения
определяется двумя параметрами i>, x0
ф^^-4 arctglcxp ± (x — vl—x9)lY"\~^7-),
и существует двоншш С, к-рый определяется четырьмя
параметрами; аналогичная ситуация для уравнения
Буссинеска
Чхх — ftt + (Ф2).« "Г" Ухххх - °-
для уравнения Хироты
Ф, + !За|ф|2фх + рфхл.+ ioyxxx-{-6 ф|2ф = 0, ар = сгб,
и т. д. Существуют физически интересные уравнения
и с большим числом независимых переменных, к-рые
имеют солитошгые решения с приведенными выше свой-
свойствами. Напр., С. уравнения Кадомцева — Петвиашви-
ли
(и, -f 6иих + иххх)х = и!/и,
локализованньп! но х и у, равен
и(х, у, t) = 2~la (^ + |х+лч/-3^
В физич. литературе термин «С.» означает частице-
подобное решение нелинейных уравнений классич.
теории ноля, для к-рого плотности энергии и импульса
остаются локализованными • в окрестности нек-рой
точки пространства в любой момент времени. В ряде
случаев локализация может иметь место вблизи замк-
замкнутых линии, поверхностей. Такие локализованные ре-
решения наз. также к и и к а м и, нопоиопя м и.
Нри отыскании таких решений играют роль топологич.
соображения, в частности для ряда моделей удается
построить ток Jp.(x), дивергенция к-рого равна нулю
независимо от уравнений движения, а соответствующий
интеграл движения (топологич. заряд) Q= \jo(x)cPx
оценивает спину функционал анергии.
Лит.: Ill Г, к о т т А., Ч )н у Ф., М а к л а ф л и н Д.,
ьТЛИЭР», 197.1, т. lii, .V ](), с. 7Н--124; [2] К а р и м а и В. И.
Нелинейные волны л диспергирующих средах, М., 1973; |3]
Д у б р о в и н Б. А., Матвеев В. В., Н о в и к о в С. II.,
«Успехи матсм. наук», 197В, т. 31, в. 1, с. 55—136.
П. П. Кулиш.
СОНИНА ИНТЕГРАЛ — представление цилиндрич.
функции интегралом по контуру
Г/ic v — произвольно, Rez>0 или — — <arg г<-^- Ин-
Интеграл этого тина рассмотрен II. Я. Сониным A870).
Иногда С. и. называют интеграл вида:
+u at,
111, II > — 1 .

Лит.: IU Л а в р с in ь с л М. Л., La ;i о а г Б. В., Ме-
Методы теории функции комплексно! (I переменного, 4 изд., М., i!O.'S;
12J Яякс Е., Эыде Ф., Л еш <]>., Специальные функции.
Формулы, i-рафики, таблицы, 2 изд., пер. с нем., М., 1%8.
СООБЩЕНИЙ КВАНТОВАНИЕ — разбиение ыпо~
жеетпа возможных сообщений, вырабатываемых истчч-
ииком сообщений, на конечное (иногда счетное) число не-
неперекрывающихся подмножеств At так, чтобы сообще-
сообщения каждого класса могли быть представлены с задан-
заданной сообщений точностью воспроизведения нск-рьш
специально выбранным элементом этого подмножества
а;?А;. Заданному С. к. соответствует способ кодиро-
кодирования источника сообщении, задаваемый кодирующей
функцией ф(г) = я/, если z?/S,-. Квантование позволяет
заменить передачу непрерывного сигнала дискретным
сигналом без нарушения условий точности воспроизве-
воспроизведения сообщени й.
Лит.: ft] X а р к е В и ч А. А., Борьба с помехами, 2 изд.,
М., 1965; [2] Шеннон К., Работы по теории информации и
кибернетике, пер, с англ., М., 1DB3; [3] Г а л л а г е р Р., Тео-
Теория информации и надежная связь, пер. с англ., М., 1974; [4]
В erg с г Т., Hate distortion theory, N. Y., 1971.
P. Л. Добрушун, В. В. Прелое.
СООБЩЕНИЙ СКОРОСТЬ СОЗДАНИЯ — величина,
характеризующая информации количество, создаваемое
за единицу времени источником сообщений. С. с. с.
источника сообщений и с дискретным временем, выра-
вырабатывающего сообщение ? = (. . ., g_b g0, g,,. . .),
образовапное последовательностью случайных величин
{gk, /с=. . ., —1, 0, 1,. . .}, принимающих значение из
нек-рого дискретного множества X, определяется ра-
равенством
Н(и)= Пт ~-нЯAЧ), (*)
п— k~*-m
если такой предел существует. Здесь Н (|?) — энтропия
случайной величины |2= Eл>- • ¦> in)- Величину II (и),
определяемую равенством (*), называют также антро-
niieii (на символ) источника сообщений.
Доказать существование предела (*) л явно его вы-
вычислить удается, напр., для стационарных источников;
явные формулы для // (и) получены для стационарных
марковских источников и rayccoBCFdix источников.
Лонятие С. с. с. Н (и) тесно связано с понятием избы-
избыточности источника сообщений.
Если и — стационарный эргодич. источник сообще-
сообщений с конечным числом состояний, то справедливо
следующее свойство асимптотичес к о й
равнораспределенности (теорема
М а к м и л л а н а, [1]). Пусть Р (xL)^=P{lL- rL },
где xL= {xx,. . ., xi) суть значения ^ = (§1; . . ., Ъ.,) -
отрезка сообщений длины L. Для произвольных е>(),
6>0 существует Lo (е, б) такое, что при всех L^L0 (ч, 6)
Р
-U (и)
Лит.: [1] В о л ь ф о в и ц Д ж., Теоремы кодирования тео-
теории информации, пер. с англ., М., 1907; 12J Г а л л а г е р Р.,
Теория информации и надежная связь, пер. с англ., М., 1974;
[3] Файнотейн А., Основы теории информации, пер. с
англ., М., 1960. Р. Л. Добрушгм, В. В. Прелое.
СООБЩЕНИЙ ТОЧНОСТЬ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ —
мера качества передачи сообщений от источника сооб-
сообщений к получателю (адресату) по каналу связи. Тре-
Требования, предъявляемые к С. т. в. в теории передачи
информации, обычно трактуют статистически, выделяя
класс W допустимых совместных распределений для
пары (§, |) в множестве всех вероятностных мер в про-
произведении ($Xj., SsXSg), где (Зё, Sx ) — измери-
измеримое пространство значений сообщения |, вырабатывае-
вырабатываемого источником, a (?t\ S$) — измеримое пространство
значений воспроизводимою пи мщения 5: получаемого
адресатом. Ст. в. часю задают при помощи меры иска-

женин р (х, х), л:?ЗЕ, х?$, являющейся неотрицатель-
неотрицательной измеримой функцией от х и х. При этом множество
допустимых сообщений W выделяют формулой
Ер(|, 1)<в, A)
где е>0 — нек-рое число.
В частности, когда (I, S* )= (Хп, S „), (I, 5Т)=-
— (X", S *.„), часто рассматривают покомпонентное
условие С. т. в., при к-ром
где х«= (х15. . ., хп)?Х, х"= (хг,. . ., ж„)_?Хп, ^gX,
Xfr^X, k=-{,. . ., п, а р0 (ж, ж), х^Х, .г?Х,— снова
неотрицательная измеримая функция. В этом случае
вместо условия A) иногда также рассматривают сле-
следующее условие
Ер0 (gft, У<е для всех к-= 1, ..., п. B)
В случае, когда Х — Х и
I 0, если х — х,
ро(ж, ж) —\
( 1, если х фх,
условия A) и B) переходят соответственно в ограниче-
ограничения на среднюю ошибочного декодирования вероятность
или максимальную вероятность ошибочного декодиро-
декодирования отдельных компонент сообщения. В случае
источников с непрерывными пространствами (напр.,
гауссовских) часто полагают р0 (х, х)= (х—хJ.
Лит.: [1] Г а л л а г е р Р., Теория информации и надеж-
надежная связь, пер. с англ., М., 1974; 12] В crger Т., Rate distor-
distortion theory, N. Y., 1971. P. Л. Добрушин, В. В. Прелое.
СООТВЕТСТВИЕ — понятие, распространяющее на
случай двух, вообще говоря, различных множеств
или однотипных математич. структур понятие бинарного
отношения. С. широко используют в математике, а
также в различных прикладных областях: теоретич.
программировании, теории графов, теории систем,
матсматич. лингвистике и т. д.
Соответствием между множествами А и В
наз. любое подмножество R декартова произведения
АХВ. Другими словами, С. между А и В состоит из
нек-рых упорядоченных пар (а, 6), где а?А, Ъ?В.
Как правило, С. обозначают тройкой (R, А, В) и,
наряду с записью (a, b)?R, пишут также aRb или
R (а, Ь). Иногда вместо «соответствие» говорят «би-
«бинарное отношение» (в широком смысле, но предполагая,
что множества А ж В совпадают).
Для коночных множеств широко используются мат-
матричное и графовое представлепия С. Пусть в множестве
А имеется п элементов, в множестве В имеется т эле-
элементов и (R, А , В) — нек-рое С. Этому С. сопоставля-
сопоставляется матрица размером пХт, строки к-рой помечены
элементами из А, столбцы — элементами из В и в
к-рой на пересечении я-й строки и Ь-го столбца стоит 1,
если (a, b)?R, и 0 в противном случае. Обратно, каж-
каждая («X т)-матрица, состоящая из нулей и единиц,
описывает вполне определенное С. между А и В. При
графовом представлении элементы множеств А и В
изображаются точками на плоскости. Обычно эти точ-
точки обозначаются томи же буквами, что и соответствую-
соответствующие элементы. Точки а и 6 соединяются дугой, идущей
от а к Ь, если (a, b)?R. Таким образом, С. представля-
представляется ориентированным графом.
Все С. между множествами А и В образуют полную
булеву алгебру, нулем к-рой служит пустое С, а еди-
единицей -- т. и. полное соответствие, состоя-
состоящее из всех imp (a, b), a?A, b?B. Пусть RczAxU.

Множество
DR = {a? A]3b (a, b) ? R)
наз. областью определения С. Л, а множе-
множество
BR = {b ? В\за (а, Ъ) g Л}
— областью значений, или образом, это-
этого С. Соответствие Л всюду определено, если Dr=A ;
С. R сюръективно, если BR—B. Для каждого а?А
множество
lmRa = {b ? В\ (a, b) ? R}
наз. образом элемента а относительно R;
для каждого Ь?В множество
CoimR6 = {a ? А\ (а, Ъ) ? Л}
паз. прообразом элемента Ъ относительно
R. При этом
Всякое С. Л устанавливает Галуа соответствие между
подмножествами множества А и подмножествами мно-
множества В. Именно, каждому подмножеству Х^А сопо-
сопоставляется подмножество Х'=- f\a&xlmpagzВ. Вместе
с дуальным С, к-рое каждому Y<=zB сопоставляет
множесгво У'= П h€ jrCoim^6, соответствие Галуа задает
на каждом из множеств А и В оператор замыкания.
Инволюция R* или Л С. (Л, А, В) определяется
равенством
Л* = {(Ь, а)\(а, Ъ) ? Л}.
Инволюция устанавливает биекцпю между С. (Л, А, В)
и С. (S, В, А), к-рая является изоморфизмом булевых
алгебр. Для С. (Л, А, В) и (S, В, С) произведе-
произведение, или композиция, определяется равенством
(RS, А, С) = {(а, с)\ЗЬ (а, Ъ) ? Л Л (Ь, с) ? S}.
Умножение С. ассоциативно. Единицами для этого ум-
умножения служат диагональные бинарные отношения.
Кроме того, (RS)* = S*R* и из R^Rz следует Rx*^
^Л?. Поэтому все С. менаду нек-рой совокупностью*
множеств образуют упорядоченную категорию с инво-
инволюцией. Умножение и инволюция позволяют выражать
свойства С. с помощью алгебраич. соотношений. Напр.,
С. (Л, А, В) всюду определено, если RR#=HEa (Ед —
диагональ множества А); С. ^функционально,
т. е. является графиком функции из Л в Л, если
RR*^EA и R*R<=EB.
Для всякого С. Л существуют такие функциональ-
функциональные С. F и G, что R=F*G. Кроме того, для всякого С.
Л справедливо включение RgRR*R. Соответствие
Л наз. дифункциональным, если R = RR*R.
Всякое дифункциональное С. индуцирует на области
определения и на образе отношения эквивалентности,
фактормножества по к-рьш равномощны. Такое описа-
описание справедливо только для дифункциональных С.
Пусть У1 — класс однотипных математич. структур,
замкнутый относительно конечных декартовых произ-
произведений. Под С. между структурами А и В из 3t пони-
понимают подструктуру Л произведения А X В. Так вводятся
групповые С, модульные С, кольцевые С. и т. п. Такие
С. часто допускают полезные описания своего строения.
Пусть, напр., А и В — группы и Л — подгруппа
прямого произведения Ах В. Множества
KR = {a? Л |(о, 1)? Л}, IR = {b ?Л |A, Ь) g Л}
наз. ядром и неопределенностью С. Л.
При атом 7v'/v> — нормальный делитель в Dr, Ir —
нормальный делитель в Лд и факторгруппы DR/KR и

fg изоморфны. Из этого описания, в частности,
следует, что все групповые С. дифункциональны.
Лит.: [1] Курош А. Г., Общая алгебра. Лекции 1НК9—
1070 учебного года, М., 1974; [21 Мальцев А. И., Алгебраи-
Алгебраические системы, М., ИO0; U1 Ц а л с н к о М. Ш., «Тр. Моск.
матем. об-ва», 1980, т. 41, с. 241—85. М. Щ. Цал'еико.
СООТВЕТСТВИЕ ГРАНИЦ при конформном отобра-
отображении — свойство однолигшого конформного отобра-
отображения / конечносвн;1нои области G на область D и,чч.
скости г, состоящее в том, что отображение / можно
продолжить до гомеоморфизма между теми или иными
бикомпактными расширениями G и D областей С, п D,
то есть / индуцирует гомеоморфизм границ (• SG и
D\D. Для обычных (евклидовых) границ oG и 0D
областей G и D ато свойство йо всегда имеет место.
Напр., конформное отображение круга К индуцирует
гомеоморфизм евклидовых границ дК и д!>, если &D
гомеоморфна окружности.
Известно несколько бикомпактных расширении од-
носвязной области со свойством С. г. нри конформ-
конформном отображении. Исторически первым из них было
расширение Каратеодори (см. [ 1 ]. а
также [2]). Оно наиболее наглядно и часто ж1 полиру-
полируется при изучении конформных и других отображении.
Элементы получающейся при этом границы К. Кара-
Каратеодори назвал простыми концами (см. Граничные эле-
элементы). Выла построена теория С. г. при перемен-
переменном конформном: отображении односвязных областей
(см. [3J).
Лит.: Ш В я ш к и с А. Д., Суворов Г. Д., «Докл.
АН СССР», 1973 т. 212, № 4 с. 822—24; [2] Caratheodo-
гу С, «Math. Ann.», 1913, Bd 73, S. 323—70; Ш С у в 0-
р о в Г. Д., «Матсм. сб.», 1953, т. 33 G5), № 1, с. 73—100; [4]
М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций,
2 изд., т. 2, М., 1968; [5] Коллингвуд Э. Ф., Л о в а-
т е р А. Д ж., Теория предельных множеств, пер. с англ., М.,
1971; [6] С у в о р о в Г. Д., Семейства плоских топологиче-
топологических отображений, Новосиб., 1965; [7] С у в о р о в Г. Д.,
Метрическая теория простых концов и граничные свойства плос-
плоских отображений с ограниченными интегралами Дирихле, К.,
1981; [81 Иваново. В., С, у в о р о в Г. Д., Полные ре-
решетки конформно-инвариантных компактификаций области, К.
1982. Б. П. Куфарев.
СООТВЕТСТВИЯ ГРАНИЦ ПРИНЦИП — принцип,
формулируемый следующим образом. Говорят, что для
отображения / имеет место С. г. п., если из того, что /
есть непрерывное отображение замыкания G области G
на замыкание D области /) н / есть гомеоморфизм С^С
на D\D, следует, что / есть топология, отображение
G на D. Таким образом, С. г. п.— свойство, в нек-ром
смысле обратное свойству соответствия границ.
Если G и D — плоские области, их евклидовы гра-
границы гомеоморфны окружности и 1) ограничена, то
для функций /, аналитических в G, выполняется
С. г. п., то есть / — конформное отображение G на Д.
Кроме этой, в практике конформных отображений
используются и другие формы С. г. п. (см. [1]). С. г. н.
доказан для ориентируемых отобрагкений в евклидовом
пространство (см. [2]).
Лит.: [1] Лаврентьевы. А., Шаба т Б. В., Ме-
Методы теории!Функций комплексного переменного, 3 изд. М., 1965;
12] К у д р я в ц с в Л. Д., «Докл. АН СССР», 1954, т. 14, Mi 5,
с. 921—23; [3] П и н ч у к С. И., «Матем. сб.», 1980, т. 111, № 1,
с. 67—94. Б. II. Куфарев.
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ КВАДРИКА — поверхность
2-го порядка, имеющая с поверхностью в данной ее точке
касание 2-го порядка. Примерами С. к. являются Дарбу
квадрика, Ли квадрика. В. С. Малаховский.
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ОКРУЖНОСТЬ в точке
М кривой I — окружность, имеющая с I в точке М
касание порядка п^2 (см. Соприкосновение). Если кри-
кривизна кривой I в точке М равна нулю, то С. о. вырож-
даетеяв прямую. Радиус С. о. наз. р ад и у с о м к р и-
в и з н ы кривой I п точке N, а центр С. о.-- цен т-
р о м к ]) и в и ;: н ы (см. рис.). Если кривая I плоская

п задана
то радиус
формулой
уравнением ?/=/(.>¦).
С. о. определяется
Р ~
i'A'AW кривая I пространствегщнл
и задана уравнениями
х=х(м), у--=у{
то радиус С. о. ипределяется формулой
р = .
пара-
i; p у-
1/
y + (z'x"-x'z"y + (x'y"-y'x")"-
(здесь штрихи означают дифференцирование по
метру и).
Иногда С. о. наз. соприкасающимся
Г О М. /;,
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ в г о ч к е
кривой I - плоскость, имеющая с I в точке М
касание порядка и^2 (см. Со-
Соприкосновение). С. и. может быть
также определена как предел
переменной плоскости, проходя-
проходящей через три точки кривой I,
у' ^^ когда эти точки стремятся к точ-
точке М. Обычно кривая, кроме
исключительных случаев, цро-
шглываит свою С. п. в точке соприкосновения (см.
рис.). Если кривая /задана уравнениями
х—х (и), у = у(и), z = z(n),
то уравнение С. п. имеет вид
Х—хY—yЪ—z
х' у' г'
х" у" z"
= 0,
где Д', Y, Z — текущие координаты, а х, г/, г, х', у',
г', х", у", z" вычисляются в точке соприкосновения;
если все три коэффициента при X, Y, 2 в уравнении
С. п. исчезают, то С. п. делается неопределенной (мо-
(может совпадать с любой плоскостью, проходящей через
касательную). ЕСЭ з
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ СФЕРА в точке М к р и-
в о И I — сфера, имеющая с I и точке М касание поряд-
порядка п^З (см. Соприкосновение). С. с. может быть также
определена как предел неременной сферы, проходящей
через четыре точки кривой I, когда эти точки стремятся
к точке М. Если радиус кривизны кривой I в точке М
равен р, а а — кручение, то формула для вычисления
радиуса С. с. имеет вид
R =
ds
где ds — дифференциал дуги кривой /. БСэ-з
СОПРИКАСАЮЩИЙСЯ ПАРАБОЛОИД поверх1
н о с т и в точке М — параболоид, воспроизводя-
воспроизводящий форму поверхности вбли-
вблизи этой точки с точностью до
величин 2-го порядка малости
относительно расстояния от
точки Р. Пусть Ф — параболо-
параболоид (см. рис.) с вершиной Р,
касающийся поверхности и
этой точке, hud — расстоя-
расстояние произвольной точки Q
поверхности соответственно от
параболоида и отточки Р. Пара-
болоидФназ. С. п., если отношение hid1 -+¦ 0 при <?-*- Р.
При этом не исключается вырождение параболоида в иа-
рабодич. цилиндр иди шшскость. В каждой точке ри-

гулярной поверхности существует и притом единст-
единственный-С. и. С помощью С. и. производится классифи-
классификация точек поверхности (см. Эллиптическая точка,
Гиперболическая точка, Параболическая точка, Уп-
Уплощения точка). Д. Д. Соколов.
СОПРИКОСНОВЕНИЕ кривой g с кривой!
в данной т о ч к е М — геометрическое понятие,
означающее, что q имеет с I п точке М касание мак-
максимального порядка по сравнению с любой кривой из
нек-рого заранее данного семейства кривых {<?}, вклю-
включающего д. Порядок каса-
касания кривых д и I считается
равным ге, если отрезок QL
есть величина ге-|-1 порядка
малости но отношению к от-
отрезку МК (см. рис., где от-
отрезок QL перпендикулярен к общей касательной кри-
кривых д и / в точке М). Таким образом, среди всех кривых
семейства {д} С. с кривой / имеет та кривая, к-рая наи-
наиболее тесно прилегает к I (для нее отрезок QL имеет
максимальный лорядок малости). Кривая семейства
{д}, к-рая имеет С. с кривой I в данной ее точке М,
наз. соприкасающейся кривой данного
семейства в указанной точке кривой I. Напр., соприка-
соприкасающейся окружностью в точке М кривой I является
окружность, к-рая в этой точке имеет с I максималь-
максимальный порядок касания по сравнению с любой другой
окружностью.
Аналогично вышеизложенному определяется понятие
соприкосновения поверхности S, принадлежащей дан-
данному семейству поверхностей {S}, с какой-нибудь
кривой I (или с поверхностью) в нек-рой ее точке М
(в этих случаях порядок касания определяется также
аналогично предыдущему; следует только вместо каса-
касательной прямой МК, изображенной на рис., рассматри-
рассматривать касательную плоскость поверхности S в точке М).
Лит.: [1] Ильин В. А., П о з и я к Э. Г.. Основы ма-
математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Р а ш е в-
ский П. К., Курс дифференциальной геометрии, h изд., М.,
1956; [3] Ф а в а р Ж., Курс локальной дифференциальной гео-
геометрии, пер. с франц., М., I960; [4] 3 а л г а л л е р В. А.,
Теория огибающих, М., 1975. БСЭ-З.
СОПРЯЖЕННАЯ МАТРИЦА, эрмитово со-
сопряженная матрица, с данной (прямоуголь-
(прямоугольной или квадратной) матрицей Л —||а,-^|| над полем С
комплексных чисел — матрица А*, каждый элемент
aik к-рой комплексно сопряжен с элементом а/,; мат-
матрицы А, то есть a\k=aki. С. м. совпадает с комплексно
сопряженной транспонированной матрицей: А*=(А').
Свойства С. м.:
(ХА)*=--1.А*,
С. м. соответствуют сопряженным между собой ли-
линейным отображениям унитарных- пространств в орто-
нормированных базисах.
Лит. см. при ст. Матрица. Т. С. Пиголкипа.
СОПРЯЖЕННАЯ СЕТЬ — сеть линий на поверхно-
поверхности, образованная двумя семействами линий такими, что
в каждой точке поверхности линии сети различных
семейств имеют сопряженные направления. Если коор-
координатная сеть является С. с, то коэффициент М второй
квадратичной формы поверхности тождественно равен
нулю. В окрестности каждой точки поверхности, не
являющейся точкой уплощения, может быть введена
параметризация так, чтобы координатные линии обра-
образовывали С. с. При этом одно семейство координатных
линий можно взять произвольно, лишь бы линии этого
семейства не имели асимпто?тич. направлений. Важ-
Важными примерами С. с. являются асимлтотич. сеть и сеть
линий кривизны.
Лит.: ГI Логорелов А. В., Дифференциальная гео-
геометрия, 5 над., М., 1969. Е. В, Шикин.

СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ — понятие теории
функции, являющееся конкретным отражением нек-рого
инволютивного оператора для соответствующего класса
функций.
1) С. ф. к комилекснозначной функции / наз. функ-
функцию /, значения к-рой являются комплексно сопряжен-
сопряженными к значениям /.
2) С. ф. к гармонической функции — см. Сопряжен-
Сопряженные гармонические функции.
3) С. ф. к 2л-периодической суммируемой на [—я,
л] функции /(а) наз. функцию
7(*)= lim —L
0 "
tg -|-
она существует почти всюду и почти всюду совпадает с
{С, а)-суммой, а>0, или суммой Абеля — Пуассона
сопряженного тригонометрического ft яда.
4) С. ф. к функции / : А -»- R", определенной на век-
векторном пространстве Л', находящемся в двойственности
(относительно билинейной формы -О, г/>) с векторным
пространством У — функция на У, задаваемая соот-
соотношением
1*(у)= sup «з, г/>—/(ж)). (*)
xiX
Для функции, заданной на Y, сопряженная функция
определяется аналогично.
I х IР
С. ф. к функции одного переменного jp(x) = —— ,
1</> < со, будет функция
1р'\У) р' i p ' р' '
(х х)
С. ф. к функция / (х) —. г, в гильбертовом про-
пространстве X со скалярным произведением <•, ¦> бу-
будет функция <г/, jy>/2. С. ф. к норме N (х)— \\x\\ в нор-
нормированном пространстве будет функция N*(y), рав-
равная нулю, если ||л||<:1, и равная -j-oo, если ||ж||>1.
Если / — гладкая растущая на бесконечности быстрее
линейной функция, то /* — не что инре, как Лежандра
преобразование функции /. Для одномерных строго
выпуклых функций определение, равносильное (¦*¦},
было дано У. Юнгом [1], в других терминах. У. Юнг
определял С. ф. к функции
где ср непрерывна и строго возрастает, соотношением
где ijs — функция, обратная к ср. Определение («)
для одномерных функций было впервые предложено
С. Мандельбройтом (S. Mandelbrojt), в конечномерном
случае — В. Фенхелем 12], в бесконечномерном —
Ж. Моро [3]и А. Брёнстедом [4]. Для выпуклой функции
и сопряженной с пей выполнено неравеиство
Юнга
<.r, yXf(x) + f*(y).
С. ф.— выпуклая замкнутая функция. Оператор
сопряжения*: / -*¦ /* однозначно отображает совокуп-
совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на X
на совокупность собственных выпуклых замкнутых
функций на У (теорема Фенхеля — Моро).
Подробнее см. 15] и |6].
См. также Выпуклый анализ, Опорная функция, Двой-
Двойственность в акстремальных задачах и выпуклом ана-
анализе.

Лит.: til J oung W. H., «Proc. Roy. Soc. A», 1912 v. 87,
p. 225—29; [2] Fen с he I W., «Canail. .1. Math.», H>49, v. 1,
p. 73—77; [3] M о r e a u J. J., Fonctions convcxcs on dualite,
Montpellier, 1962; [4] В г о n d s t с d A., «Malh. Pys. Medd.
Danske vid. Selsk.», 1964, bd 34, № 2, p. 1—2(i; l.'ij 1' о"к а Ф ел-
л а р Р., Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 19 7 :J; lo] Алек.
с е с в В. М., Тихомиров В. М., Фомине. В., Оп-
Оптимальное управление, М., 1979. В. М. Тихомиров.
СОПРЯЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВ-
УРАВНЕНИЕ к линейному обыкновенному дифференциаль-
дифференциальному уравнению Цу)=0 — линейное обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение 2* (|)=0, где
yin~ft>+. • - + а„ (О у A)
Т), ак(-)?С"-Н1),
Ч (П Ф 0, t ё /;
Ст (I) — пространство т раз непрерывно дифференци-
дифференцируемых комплекспозначных функций на /— (а, Р)) и
...+^Д, I ?СпA) B)
(черта означает операцию комплексного сопряжения).
Из определения следует, что
где к — скаляр. Сопряженным к уравнению /*(?;) —О
является уравнение 1(у)—-0. Для любых п раз непрерыв-
непрерывно дифференцируемых функций у (t) и | {{) справедливо
тождество Лагранжа:
из к-рого следует формула Грина:
Если y{t), \,(t) ¦—произвольные решения уравнений
I (г/)=0 и Z*(|)==0, то
~S\ ]V (—1)./' (a,,_ft ё)<у) y<-ft~i~l) = const, ? ? /.
Знание m(<:n) линейно независимых решений уравне-
уравнения J*(|) = 0 позволяет 1юнизить порядок уравнения
i(i/) —0 на m единиц (см. [1] — [3]).
Для системы дифференциальных уравнений
с непрерывной комплекснозначно11(пХ п)-матрицейу4 (t),
сопряженная система определяется равен-
равенством
L* (ip) = — ¦ф + Л* (i) ip = 0, ig/
(см. [1], [4]); ядесь A* (t) —- эрмитово сопряженная мат-
матрица к матрице Л (г). Тождество Лагранжа и формула
Грина приобретают гшд
t =.?'
здесь (•, ¦) — скалярное произведение (сумма произве-
произведений одноименных координат). Если x(t), ty(t) — про-
произвольные решения уравнений L (x) — 0, L* ("ф) = 0, то
(if (О, х (О) ^ const, t ? I.
Понятие С. д. у. тесно связано с общим понятием
сопряженного оператора. Если, напр., I — линейный
дифференциальный оператор, действующий из простран-
пространства С" {1) в пространство С {!) по формуле A), то со-

пряженный дифференциальный оператор I* действует
из пространства С*A). сопряженного к СA), в простран-
пространство Сп* (У), сопряженное к С" (/). Сужение оператора
I* на пространство С" (I) определяется формулой B)
(см. [5]).
С. д. у. определяется, кроме того, для линейного
дифференциального уравнения с частными производ-
производными (см. [6], [5]).'
Пусть Д = [г0, ijjc/ и Uь — линейные и линейно
независимые функционалы на пространстве С" (А).
Тогда сопряженная краевая задача к
линейной краевой задаче
г (У)-0, t ? Л, Uk(y)-0. /.-=1, ..., т, т < 2п, B)
определяется равенствами
г*Ш-о, г/;(i)-o, j-i, ..., 2п-т. C)
Здесь Uj — линейные функционалы на пространстве
С" (А), описывающие сопряженные краевые
условия, т. е. определяемые так, чтобы равенство
(см. Грина формулы)
выполнялось для любой пары функций у (¦), §(•)?
?С"(Л), удовлетворяющей условиям 1'ь(у) 0, fr—1,...,
т, ?// (s)----O, у-^1, . . ., 2п — т.
Если
— линейные формы переменных
то I// (|) — тоже линейные формы переменных
^-"(/„), l{P-u(ti), P = l, ..., «•
Пример. Для задачи
с действительными a (t), a, P, у, б, сопряженная крае-
краевая задача имеет вид
Если задача B) имеет к линейно независимых реше-
решений (в этом случае ранг краевой задачи г=п—к), то
задача C) имеет т — п-\ к линейно независимых решений
(ее ранг г' = 2п — т—к). При т=ге задачи B), C) имеют
одинаковое число линейно независимых решений;
поэтому при т=п задача B) не имеет решений, кроме
тривиального, в том и только в том случае, когда ;>tiui
свойством обладает сопряженная краевая задача C).
Справедлива альтернатива Ф р е д г о л ь м а:
полуоднородная краевая задача
»(») = /(«)> Uk(y) = 0, * = 1, ..., п,
имеет решение, если функция f(t) ортогональна ко всем
нетривиальным решениям | (t) сопряженной краевой
задачи C), т. е.
(см. [1] - [3], [7]).
Для задачи о собственных значениях

сопряженной задачей о собственных значениях наз.
задача
P(?)=HS, tf/(g) = 0, / = 1, .... п. E)
Если Я — собственное значение задачи D), то и,=Х —
собственное значение задачи E). Собственные функции
y(t), i,(t), отвечающие собственным значениям К и ц
задач D) и E) соответственно, ортогональны, если Xfc
(см. [1] -- l.'ij):
Для линейной краевой задачи
L(x) = x + A(t)?-=O, U(x) — 0,t?A, (G)
где V есть то-воктор-функционал на пространстве
С „(А) непрерывно дифференцируемых комплексно-
значных «-вектор-функций, го<2я, сопряженная крае-
краевая задача определяется равенствами
/,*0ф)=О, ?/*(т|з) = О, l?A G)
(см. [1J); здесь U* есть Bге^-т)-вектор-функционал,
определяемый так, чтобы равенство
ОНО,
=0
выполнялось для любой пары функции r(-),
^Сп(А), удовлетворяющей условиям
Задачи F), G) обладают свойствами, аналогичными
перечисленным выше (см. [1]).
Понятие сопряженной краевой задачи тесно связано
с понятием сопряженного оператора [5]. Сопряженная
краевая задача определяется также для линейной крае-
краевой задачи для уравнения с частными производными
(см. [6], [7]).
Лит.: [1] Камке Э., Справочник по обыкновенным диф-
дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [2]
Н а й м а р к М. А., Линейные дифференциальные операторы,
Ы., 1969; [3] К о д д и н г т о н Э. А., Л е в и н с о н Н., Тео-
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ.,
М., 1958; [4] X а р т м а н Ф., Обыкновенные дифференциаль-
пък уравнения, пер. с англ., М., 1VH0; Ы Данфорд Н.,
Шварц Д ж. Т., Линейные операторы. Спектральная тео-
теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве,
пер. с англ., ч. 2, М., 1966; [6] М и х а й л о в В. П., Диффе-
Дифференциальные уравЕ1ения в частных производных, М., 1976; [7]
Владимиров В. С, Уравнения математической физики,
Д изд., М., 1981. Е. Л. Тонкое.
СОПРЯЖЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
к линейному преобразованию А —
линейное преобразование А* евклидова (или унитар-
унитарного) пространства L такое, что для любых векторов х
и if из L имеет место равенство скалярных произведе-
произведений
(А.т, у)--~-(х, А*у).
С. л. п.— частный случай понятия сопряженного ли-
линейного отображения. Преобразование А* определяется
по А единственным образом. Если L конечномерно,
то для всякого А существует С. л. и. А*, причем его
матрица В в базисе е1,. . ., еп связана с матрицей А
линейного преобразования А в том же базисе соотноше-
соотношением _ _
7i = 6'-M*G,
где Л*— сопряженная с А матрица, a G — Грама мат-
матрица базиса еъ. . ., еп.
В евклидовом пространстве линейное преобразова-
преобразование А и его сопряженное А* имеют одинаковые харак-
теристич. многочлены, равные определители, следы,
одинаковые собственные значения. В унитарном про-
пространстве их характеристич. многочлены, определите-
определители, следы, собственные значения комплексно сопряже-
сопряжены, -г. С- Лиголкина.

СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО к тополог н-
чо с к ом у векторному пространству
Е — векторное пространство Е*, состоящее из непре-
непрерывных линейных функционалов на Е. Если Е — ло-
локально выпуклое пространство, то функционалы f?E*
разделяют точки Е (теорема Хана — Бана-
х а). Если Е — нормированное пространство, то Е*
является банаховым пространством относительно нор-
нормы
ll— чип
II— sup
и х и
Наряду с сильной топологией, определенной нормой
11/11, в Е* рассматривают и слабую .^-топологию.
Лит.: [1] Райков Д. А., Векторные пространства, М.,
1Я62. В. И. Ломоносов.
СОПРЯЖЕННЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
гармонически сопряженные ф у н к-
ции,— пара действительных гармонич. функций (г. ф.)
и и v, являющихся действительной и мнимой частями
пек-рой аналитич. функции f=u-\-iv комплексного
аргумента. В случае одного комплексного переменного
z~x-\-iy г. ф. м — г/-(.г, у) и у=у(г, у) являются С. г. ф.
в области D комплексной плоскости С тогда и только
тогда, когда они удовлетворяют в D системе уравнений
Коши — Римана
ди до ди dv
дх^ду ' ду~ вх ' A)
В системе A) роль г. ф. и и v не симметрична: функция
v является сопряженной для и, но для v сопряженной
будет не н, а —и. Если ладана г. ф. и — и{х, у), то
С. г. ф. v---v(t, у) и вся аиалитич. функция /—-и+гн
легко определяются с точностью до чисто мнимого пос-
постоянного слагаемого ic; ато можно сделать, напр.,
по ф о р м у л е Г у р с а
)u(x\ y*) + ic B)
в окрестности нек-рой точки za—x0Jriy° из области
определения и.
В случае многих комплексных переменных z-=x-\-iy---
¦¦¦-- (z,,. . ., zrt)=-= (x-p. . ., xn)+i(y,. . ., у„), и>1, система
Koimii — Римана становится переопределенной:
ви __ dv ди _ dv ,. . .„.
Из C) вытекает, что при «>1 функция и уже пе
может быть задана как произвольная г. ф.— она
должна принадлежать подклассу плюригармонических
функций; сопряженную нлюригармонич. функцию и
можно и в этом случае найти по формуле B).
Известны различные аналоги системы С. г. ф. (и, г)
в виде вектор-функции /= (щ,. . ., ит), компоненты
к-рой иj~-uj(xx,. . ., хп) суть действительные функции
действительных переменных ,гь. . ., хп. Такова, напр.,
градиентная система /-— (Uj,. . ., »„), удов-
удовлетворяющая обобщенной системе уравнений Коши —
Римана
ди ¦ ди. ди ¦
?и ;-| ат. дх . их [
к-рая записывается также в сокращенном пидо:
divf^O, rot/ = 0.
Если условия D) выполняются в области D евклидовг»
пространства R", гомео.морфной шару, то существует
г. ф. h в D такая, что /=grad/t. При ?? = 2 получают,
что u8-f- ?кх есть аналитич. функция переменного z~
=^x1-\-ix.i. Поведение решений системы D) в нек-рых
вопросах аналогично системе Коши — Римана A),
напр, при изучении граничных свойств (см. [3]).

Лит.: [1] Б и ц а д з е А. В., Основы теории аналитиче-
аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972; L2J
Владимиров В. С, Методы теории функций многих
комплексных переменных, М., 1964; Гз] Стейн М.,
Всйс Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых
пространствах, пер. с англ., М., 1Я7'<. Е. Д. Соломеицев.
СОПРЯЖЕННЫЕ ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ КООРДИ-
КООРДИНАТЫ — координаты на поверхности, в к-рых вторая
квадратичная форма записывается в виде
II .-_.= — Л2 (и, v) (du"-[ di>2).
С. и. к. всегда могут быть введены в достаточно малин!
окрестности иллиптич. точки регулярной поверхности.
В достаточно малой окрестности гиперболич. точки ре-
регулярной поверхности можно ввести координаты, в
к-рых
Ц = Л2(и, v) (du2 — dv2),
однако в атом случае часто пользуются т.н. а сими т о-
т II ч е с- к и ми координата м и и, i-\ при к-рых
U--7\(u, v)dudv.
Д. Д. Соколов.
СОПРЯЖЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ - пара направ-
направлении, исходящих из точки Р поверхности S и таких,
что содержащие их прямые являются сопряженными
диаметрами индикатрисы Дюпена поверхности S в
точке Р. Для того чтобы направления (du : dv),
(diu : 8v) в точке Р поверхности S были С я., необхо-
необходимо и достаточно выполнения условия
' Ldubu -}- М (dubv-\-dv6u)-\-Ndv!Sv — Q,
где L, М и N — коэффициенты второй квадратичной
формы поверхности S, вычисленные в точке Р. Примеры:
асимптотические направления, главные направления.
Лит.: [1] II о г о р е л о в А. В., Дифференциальная гео-
геометрия, 5 изд., М., 1909. К. В. Шикин.
СОПРЯЖЕННЫЕ СВЯЗНОСТИ — линейные связ-
связности Г и Г, задаваемые операторами ковариантного
дифференцирована я V и v> такие, что
где X, Y, Z — произвольные векторные ноля, Я (•,•)--
нек-рая квадратичная форма, ы (•) - нек-рая линейная
форма. Говорят также, что v и V сопряжены относи-
относительно Н. В координатной форме (здесь Х=^д[, В =>
=Ф'Ь,7,- со => ш,-, V —> Г?,):
dkbi/ — FkibSj ~ Hjbis - 2iakbu.
Для операторов кривизны В и Н я кручения Т и f
связностей v и v соответственно выполняются соот-
соотношения
B(R(T, Z)X, Y)-\-B(X, R(T, Z)Y) =
= 2{co([7\ Z])—Tu)(Z) + Za>(T)} В (Х, У),
B(Z, AT(X, Y))~B(AT(Z, Y)X) =
=--В (AT(Z. X), Y), AT^f— T.
В координатной форме:
A T}jbsn - Д rljhsi - A 'Jiibs/ = 0.
Лит.: Ill II о ji д e и А. П., Пространства аффинной евлзно-
сти, 2 изд., М., 1970. М. И. Войцеховспий.
СОПРЯЖЕННЫЙ КЛАСС ФУНКЦИЙ — понятие
теории функций, являющееся конкретным отображе-
отображением двойственности в функциональных пространст-
пространствах. Так, если класс функций А" рассматривается как
банахово или топологическое векторное пространство,
то С. к. ф. иа.ч. класс функ/inii, изометрически изоморф-
изоморфный сопряженному пространству А*. Напр., между

пространствами (Lp[a, b])* и Lq[a, Ь] при 1<:р<со,
— -}- — ™ 1 существует изометрич. изоморфизм, при
к-ром соответственные элементы х* и g связаны соотно-
соотношением
Ь (x) i (г) dx.
Если рассматривается нек-рый класс 2я-периодических
суммируемых на \—я, л] функций X, то С. к. ф. на.ч.
класс функции, сопряженных к функциям из Л'. Напр.,
класс функций, сопряженных к //'|-л, л], 1<р<оо,
совпадает с классом таких функции / из Lp{—n, я],
что
Класс функций, сопряженных к Lipa, 0<сс<1, совпа-
совпадает с классом таких функции из Lipa, что \ / (х)йх~Л\.
Лит.: Ш Ffcclict М «С. г. Acnd. sci.» 1907, t. Ш,
p. 1414 — IB; l2\ П i о s /. F,, там же, S. 1409—11; 1.4] P r i w н-
foff I., «Bull. soe. math. Franco», 191(i. I. 44, p. 100 — 03; l4l
Бари H. К., Т])игонометрические ряды, M., 1961; [5] Д a ii-
ф и li д П., Ш в а р ц Д ж. Линейные операторы, пер. с
англ., [ч. 1], М. 19Н2. Т. П. Лутшепгм.
СОПРЯЖЕННЫЙ МОДУЛЬ, двойственный
м о д у л ь, д у а л ь н ы й м одул ь,— модуль гомо-
гомоморфизмов модуля в основное кольцо. Точное, пусть М —
левый модуль над кольцом Я. Абелеву группу Hom/j
(М, Я) гомоморфизмов модуля М в левый Д-модуль
Я можно превратить в правый /?-модуль М*, полагая
(х<р) л, х ? М, ф g HomR {М, Я), Я 6 р'-
Этот правый модуль М* наз. С. м. модуля М. Если
,г?Л/, то можно определить элемент х?М**, положив
.г(<р)— х<р для всех ц:?М*. Этим определяется гомомор-
гомоморфизм .модуля М в М**. Гомоморфизмом является и
отображение ? : M*®f>C -*¦ Кот#(М, С) (С -- jicni.iii
.W-модуль), определяемое равенством
х ((ф ® с) t,) =¦ (.сф) с, х ? М, ф ? Л/% с g С.
Оба эти гомоморфизма являются изоморфизмами, если
М — конечно порожденный проективный модуль |2|.
Из свойств функтора Нога вытекает изоморфизм
(I'jWa)* = 'bWctB — прямая сумма, II — прямое
произведение) и существование гомоморфизма м*** в
А/*. Сквозное отображение М* —>- л/*** ->- М* яв-
является тождественным. Однако М*** не обязательно
изоморфен М*. Важными являются и модули без
кручения в смысле Б а с с а, т. е. модули, для
к-рых указанный выше гомоморфизм М в М** оказы-
вается мономорфизмом. Это свойство равносильно вло-
жимости модуля М в прямое произведение нек-рого
множества экземпляров основного кольца. Если Я
нётерово справа и слева, то отображение М -*¦ М*
осуществляет двойственность между категориями всех
левых и всех правых конечно порожденных й-модулей
тогда и только тогда, когда Я квазифробениусово.
Лит.: IU В у р 0 а к и Н., Алгебра. Алгебраические струк-
структуры. Линейная ч полилинейная алгебра, пер. с франц., М.,
1962; 12j M а к л е й н С, Гомология, пер. с англ., М., 1966;
l.'ij Миши н а А П., С к- о р и н к о в Л. Д., Абелевы 7(>уп-
lii.i и модули, М., 19C9. Л. А. Суюрияъов.
СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР линейный опе-
оператор А *, допотнукнднй ия пространстиа У* и простран-
пространство X* (сильно сопряженные с локально выпуклыми
пространствами Y и X соответственно), к-рый строится
но линейному оператору А : X -*¦ Y следующим обра-
образом. Пусть Ъд -область определения оператора Л,
всюду плотная в А". Если для всех z?Dд имеет место
<А.г, Й>-О-, Г>. (*)
где /1.г?У, A'^V*, g*?X*, то на множестве 1)д*
илементов у, удовлетворяющих (¦*), однозначно оиреде-

лен оператор A*g— g*, действующий из D д* в А'*.
Если Од~Х и А —линейный непрерывный оператор,
то А* — также линейный непрерывный оператор.
Если, кроме того, X и У — линейные нормированные
пространства, то ||Л*||=|И1|. Если А —- вполне непре-
непрерывный оператор, то таков же и А *. Наиболее подроб-
подробно изучены свойства С. о., когда X и Y — гильбертовы
пространства.
Лит.: [1] И оси да К., Функциональный анализ, пер. с
англ., М., 1967; [2] Р и с с Ф., С ё к е ф а л ь в и - Н а д ь П.,
Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд.,
М., 1979. В. И. Соболт.
СОПРЯЖЕННЫЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
к ряду
а= 4-+Z.N = 1 "„ cos га.г + Ь„ sin rea-
— ряд
°" = 2 —Ьп ros nx-\-an sin их.
Эти ряды являются соответственно действительной и
мнимой частями ряда
при z = e'*. Формула для частных сумм а [/] сопряжен-
сопряженного к ряду Фурье функции f(x) тригонометрич. ряда
где Dn(x) — сопряженное Дирихле ядро. Если /(.г) —
функция ограниченной вариации на [—л, л], то необ-
необходимым и достаточным условием сходимости ряда
а[/] в точке х0 является существование сопряженной
функции (см. п. 3) f(x0), к-рая представляет тогда сумму
ряда a[f]. Если j (х) — суммируемая на [—я, я] функ-
функция, то ряд а[/] суммируется почти всюду методами
(С, а), а>0, и методом Абеля — Пуассона и почти
всюду совпадает с сопряженной функцией j{x). Если
функция /(.г) суммируема, то сопряженный ряд а[/]
является ее рядом Фурье. Функция f(x) может быть
несуммируемой; для таких обобщений интеграла Ле-
Лебега, как А-интеграл и Бокса интеграл, сопряженный
ряд о[/] всегда является рядом Фурье сопряженной
функции.
Лит.: [1] Tauber A., «Monatsch. Math. Phys» 1891
Bd 2, S. 79—118; [2] J о и n g W. H. «Sitzungsber. math.-
naturwiss. Hb. Bayerischen Akad. Wiss. Mtinchen», 1911, Bd 41
S. 361—71; [3] Priwaloff I., «Bull. Soc. math. France»,
1910, t. 44, p. 100—103; [4] Привалов И. И., Интеграл
Cauchy, Саратов, 1919, с. 61 — 104; |й] Л у з и н Н. Н., Интег-
Интеграл и тригонометрический ряд, М.— Л., 1951' [6] В а р и Н. К.,
Тригонометрические ряды, М., 1961; [7] Виноградо-
Виноградова И. А., Скворцов В. А., в кн.: Итоги науки. Мате-
Математический анализ. 1970, М., 1971, с. 65—107; [8] Ж и ж и а-
ш в и л и Л. В., Сопряженные функции и тригонометрические
ряды, Тбилиси, 1969. Т. П. Лукашенко.
СОПРЯЖЕННЫЙ ФУНКТОР — понятие, выражаю-
выражающее универсальность и естественность многих важных
математич. конструкций: свободных универсальных
алгебр, различных пополнений, прямых и обратных
пределов и т. д.
Пусть F : ,Я -> ($, — одноместный ковариантнын
функтор из категории Я1 в категорию (J. Функтор /'
индуцирует функтор
HF(X, Y) = H&(F(X), У):й*Хб—* <?,
где Я* — категория, двойственная категории .Ч1, ® —
категория множеств, Н^ (X, Y): S*X(S —>- 3 — ос-
основной теоретико-множественный функтор. Функтор ПГ
контравариантен по первому аргументу и ковариантен
но второму. Аналогично, любой ковариантный функтор
О : 1$, -*¦ .Н' индуцирует функтор
На(Х, Y)

также контравариантный по первому аргументу п кова-
риантнын по второму. Функторы F и G сопря-
сопряжены, или образуют сопряженную пару,
если функторы HF и Hq изоморфны, т. е. существует
естественное преобразование G : HF -*¦ Hq, к-рое уста-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между
множествами морфпзмов Я6 (F (X), У) и Н^ (X, G(Y))
для любых объектов XgOb.tt1 и У?О№. Преобразо-
Преобразование 8 наз. сопряжение м F с G; функтор F
нам. левым с о и р я ж е н н j.r м к функтору G, а
С — правым сопряженным к F (что обозна-
обозначается 9 : F —\ G или просто F —j G). Преобразование
б" : Hq —>- HF наз. к о с о п р и ж е н и е м.
Пусть 6 : F —\ G. Для любых объектов X ? ОЬ,Й и
У?ОЬб пусть
Семейства морфи:июв {e-x} н {i|j'} оп])еделяют естест-
естественные преобразования !-¦ : lds. —>¦ h'G и i| : GF —>~ lds ,
);-рые наз. соответственно единицей л коедини-
ц е н сопряжения й. Для преобразований к и t] спра-
справедливы следующие равенства:
еО (}') С (Пк) = !f; (К), ^ (8Д-) 4F <А'> - lf(A')-
Вообще, пара естественных преобразований ф : Id^ ->-
—>- l'G и i|i : GF —*¦ Ul^ состоит n;i единицы и коединицы
нек-рого соц]шження, когда иы полнены равенства
Фо<К)С (я|)К)-10(К). р (Фаг) 4'/--(A') = /lf ш
для любых объектов X и У. Естественное преобразо-
преобразование ср : Id(i, -*¦ FG является единицей нек-рого сопря-
сопряжения тогда и только тогда, когда для любого морфизма
а : X -*¦ G(Y) из категории й существует такой един-
единственный морфизм а' : F (X) -*¦ Y в категории (?, что
a = ExG(a'). Последнее свойство выражает тот факт,
что объект F (X) свободен над А' относительно функто-
функтора G в смысле следующего определения. Объект Y^ObtS
вместе с морфизмом ё : X -*¦ G(Y) свободен над
объектом X ? ОЬМ', если всякий морфизм а : Х->-
-+G(Y') однозначно представим в виде а = еС(а') для
нек-рого морфизма а' : Y —>- У. Функтор G : © -> S
тогда и только тогда обладает левым С. ф., когда для
каждого X ? Ob.ft существует объект У, свободный над
X относительно G.
Примеры С. ф.
1) Если G : (? —>- <3, где © — категория множеств,
то G обладает левым С. ф. тогда и только тогда, когда он
представим. Представимып функтор G 2*= Нл=
— Н^(А, У) обладает левым С. ф. тогда и только тогда,
когда в (S имеются любые копроизведения П'Х^^АХ, где
Х?ОЬ© и АХ=А для всех х?Х.
2) В категории множеств (? для любого множества А
основной функтор HA(Y) = II(A, У) сопряжен слева
функтору ХХ^.
3) В категории абелевых. групп функтор Нош (А, У)
сопряжен слева функтору Х@А тензорного умноже-
умножения на А, а функтор вложения полной подкатегории
лериодич. групп сопряжен справа функтору взятия
периодич. части произвольной абелевон группы.
4) Пусть Р : 3( ->- '2 — пренебрегающий функтор из
произвольного многообразия универсальных алгебр в
категорию множеств. Функтор Р обладает левым С. ф.
F : S —>¦ ?[, к-рый каждому множеству X сопоставляет
свободную алгебру многообразия 5( с множеством X
свободных образующих.
5) Функтор вложения Id(J e. : g -*¦ Я произволь-
произвольной рефлективной подкатегории (S, категории ,й сопря-
сопряжен слева 6-рефлектору. В частности, функтор вложе-
вложения категории абелевых груип и категорию групп

обладает левым С. ф., к-рый каждой группе G сопостав-
сопоставляет ее факторгруппу по коммутанту.
Свойства С. ф. Функтор, сопряженный слева к
данному функтору, определен однозначно с точностью
до изоморфизма функторов. Сопряженный слева функ-
функтор унивалентен тогда и только тогда, когда единица
сопряжения состоит из мономорфизмов. Он перестано-
перестановочен с копределами и переводит нулевые объекты и
нулевые морфизмы в нулевые объекты и нулевые мор-
физмы соответственно.
Пусть Я и 6 — полные слева и локально малые
слева категории. Функтор G : 6 -*- $ тогда и только
тогда обладает сопряженным слева функтором
F : ,ft -*¦ 6, когда выполнены следующие условия:
а) функтор G перестановочен с пределами; б) для каж-
каждого X?Ob,fC хотя бы одно из множеств II {X, G(Y),
F?Ob,S, непусто; в) для каждого X ?Obfi существует
такое множество 5сОЬ6, что всякий морфизм а : Х-*-
-*-G(Y) представим в виде а=ф<?(а'), где ф : X -*¦ G(B),
B?S, a' : В -*- Y.
Переход к двойственным категориям позволяет ус-
установить двойственность между понятиями «функтор,
сопряженный слева», и «функтор, сопряженный спра-
справа», что позволяет выводить свойства сопряженных
справа функторов из свойств сопряженных слева функ-
функторов.
Понятие С. ф. непосредственно связано с понятием
тройки (монады) в категории.
Лит.: [1] Ц а л е нк о М. ЦТ., Шульгейфер Е. Г.,
Основы теории категорий, М., 1974; [2] М а с Lane S., Ca-
Categories for the working mathematician, N. Y., 1971.
M. III. Цаленко.
СОПРЯЖЕННЫЙ ЭЛЕМЕНТ к элементу х
группы G — элемент х' такой, что
для нек-рого элемента g из G. Говорят также, что х'
получается на х трансформированием
при помощи элемента g. Для С. э. используется иногда
степенное обозначение: х?.
Если А и В два подмножества группы G, то через
Ав принято обозначать множество
{аь\а ? А, Ъ ? В).
Множество М?= {х?\х?М}, где g — нек-рый фикси-
фиксированный элемент из G, наз. сопряженным с
множеством М в группе G. В частности, две
подгруппы U и V наз. сопряженными под-
гр уппами, если ?/= VS для нек-рого g из G.
Если подгруппа H=HS для любого элемента g?G
(т. е. Н содержит все элементы, сопряженные с ее
элементами), то Н наз. самосопряженной
подгруппой в G, или нормальным делителем.
О. А. Иванова.
СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ МЕТОД - метод
решения системы линейных алгебраич. уравнений А х=Ь
с положительно определенной матрицей А. Это прямой
и итерационный метод одновременно: при любом на-
начальном приближении он сходится за конечное число
итераций, давая точное решение. В С. г. м. матрица
системы не меняется в процессе вычислений, на каждой
итерации она используется лишь для умножения
на вектор. Поэтому порядок систем, решаемых на ЭВМ,
может быть высоким, он определяется объемом числовой
информации, задающей матрицу.
Структура С. г. м. как прямого метода основана на
процессе последовательной Л-ортогонализации системы
векторов, представляющем собой обычный процесс ор-
тогонализации (см. Ортогонализации метод) относи-
относительно скалярного произведения (х, у)=хТАу. Если
{si, s2,. . ., sn} есть Л-ортогональный базис простран-
пространства, то точное решение х* системы при любом началь-

ном приближении х0 может быть получепо из разложе-
разложения
**-*0 = 2,; = 1 *J»J, «У ¦= (Sj.ASj) '
где го=Ь— Л х0—невязка х0. В С. г. м. Л-ортогональные
векторы л, sgi- . ., 5П строятся процессом ,Л-ортогона-
лизации невязок г0, п,. . ., г„_1 последовательности
приближений х0, а.1!,. . ., жп_1, вычисляемых по фор-
формулам
, = 1 «у»у• «У (^Г^) •
Построенные таким образом векторы ;-0, rt,. . ., rn_r
и slT s2,. . ., .'в обладают следующими свойствами:
(г,-, ry-)=0, t^/; (r;, sy) = 0, /=--1,2,..., i. A)
Расчетные формулы С. г. м. даются следующими
рекуррентными соотношениями (см. [1]):
(s. ., т.л
" = r; xi = xi + asi a^ —-l~
r
Процесс заканчивается при нек-ром ft<:«, для к-рого
Г?=0. При этом a:* = ,rfc. Момент обрыва процесса опре-
определен начальным приближением х0. Из рекуррентных
соотношений B) следует, что векторы г0, гХ). . ., г,-
являются линейными комбинациями векторов г0, Л г0,...,
Л'г0. Так как векторы r0, rj,. . ., г,- ортогональны, то
обращение в нуль г,- возможно лишь тогда, когда век-
векторы г0, Лг0,. . ., Л'г0 линейно зависимы, напр. когда в
разложении г0 по базису из собственных векторов А
только i компонент отличны от нуля. Этим соображе-
соображением можно руководствоваться при выборе начального
приближения.
С. г. м. относится к классу методов, в к-рых за ре-
решение принимается вектор, минимизирующий нек-рый
функционал. Для вычисления этого вектора строится
итерационная последовательность, сходящаяся к точке
минимума. Последовательность х0, хи. . '., ха в B)
осуществляет минимизацию функционала f (х)--(Ах,
х)—2(Ъ, х). На j-м шаге процесса B) вектор s,- совпада-
совпадает с направлением скорейшего спуска (градиентом) для
поверхности f(x)=c в (п — г)-мерном эллипсоиде,
представляющем собой сечение поверхности плоско-
плоскостью, сопряженной направлениям s1, s2,. . ., s,-_].
Описанный процесс С. г. м. или близкие к нему име-
имеют много различных названий: метод Л а н ц о-
ш а, метод Хестенса, метод Ш тифе л я
и т. д. Из всех методов, осуществляющих минимиза-
минимизацию функционала, С. г. м. является наилучшим в
стратегич. плане: он дает максимальную минимизацию за
п шагов. Однако вычисления B) в реальных условиях
машинной арифметики чувствительны к ошибкам ок-
округления, и условия A) могут быть нарушены. Это
препятствует окончанию процесса за п шагов. Поэтому
С. г. м. продолжают за п итераций, рассматривал
его как бесконечный итерационный процесс минимиза-
минимизации функционала. Известны модификации схемы вы-
вычислений B), более устойчивые к ошибкам округления
(см. [3], [4]).
Лит.: [1] Фаддеев Д. К., Ф а д д е е в а В. Н., Вы-
Вычислительные методы линейной алгебры, М., 1963; L2J Бере-
з и н И. С, Ж и д к о в Н. П., Методы вычислений, т. 2,
М., 1960; [3J В о е и о д и н В. В., Численные методы алгебры,
М. 1966; [4] Б а х в а л о в Н. С. Численные методы, М.,
1974. ' Г. Д. Ним.
СОСТАВНОЙ ИДЕАЛ — идеал кольца или алгебры,
не являющийся простим идеалом.

СОСТОЯТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА — сокращенный пари-
ант термина «состоятельная последовательность оценок»,
применяемый к последовательности статистич. оценок,
сходящейся к оцениваемой величине.
В теории вероятностей существуют несколько раз-
различных понятий сходимости, из к-рых для теории ста-
статистич. оценивания наиболее важными являются схо-
сходимость но вероятности и сходимость с вероятностью 1.
Если последовательность статистич. оценок сходится
но вероятности к оцениваемой величине, то про эту
последовательность говорят, что она является «слабо
состоятельной», или просто «состоятельной», употреб-
употребляя термин «сильная состоятельность» но отношению к
последовательности оценок, сходящейся с вероятностью
1 ic оцениваемой величине.
Пример 1. Пусть А',, X 2, . . ., Хп --- независи-
независимее одинаково нормально N (а, а'2) распределенные
случайные величины. Тогда статистики
являются С. о. для параметров о и а2 соответственно.
• Пример 2. Пусть Хъ Х2,- ¦ ., Хп — независимые
случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же
вероятностному закону, функция распределения к-рого
петь F (х). В этом случае функция эмпирич. распределе-
распределения Fn(x), построенная но исходной выборке Хх, Х2,--.,
Х„, является С. о. функции распределения /''(.г).
Пример 3. Пусть Х^.Х^,. . ., Хп — независимые
случайные величины, подчиняющиеся одному и тому
же закону Коши, плотность вероятности к-poro есть
р{х)=1/Ц-\-{х—цJ]. Для любого натурального числа
п статистика
подчиняется исходному закону Коши и, следовательно,
последовательность оценок Хп не сходится по вероят-
вероятности к [х, т. е. в данном примере последовательность
Хп не является состоятельной. С. о. для ц, в данном
случае является выборочная медиана.
С. о. обладает следующим свойством: если / — не-
непрерывная функция, а Тп — С. о. параметра 9, то в
свою очередь f (Tп) является С. о. для /@). Наиболее
распространенный метод получения точечных стати-
статистич. оценок — максимального правдоподобия метод —
приводит к С. о. Следует отметить, что если существует
С. о. Тп параметра 9, то она не является единственной,
т. к. любая оценка вида Тп-\-$п, где Р„ — последова-
последовательность случайных величин, сходящаяся по вероят-
вероятности к нулю, является С. о. для 9. Этот факт прини-
принижает значение понятия С. о.
Лит.: [1] Крамер Г., Математические методы статистики,
пер. с англ., 2 изд., М., J975; [2] Ибрагимов И. А.,
Хасьми некий Р. 3., Асимптотическая теория оценива-
оценивания, М., 1979. М. С. Никулин.
СОСТОЯТЕЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ — статистиче-
статистический критерий, достоверно отличающий проверяемую
гипотезу от альтернативы при неограниченном увели-
увеличении числа наблюдений.
Пусть Xi, Х2,-.., Хп — последовательность неза-
независимых одинаково распределенных случайных вели-
величин, принимающих значения в выборочном простран-
пространстве (J, <й, Ре), 9?в, и пусть проверяется гипотеза
//,, : 9?в0С® против альтернативы Н1 : в?&1 = &\&0,
н[ и этом ошибка 1-го рода (с.\г. Значимости уро-
уровень) задана заранее и равна сс@<а<0,5). Далее,
пусть по первым п наблюдениям Хг, Х2,- ¦ ., Хп по-
построен статистич. критерии уровня а для проверки
ft о против Ну и пусть p",;(t'), 0 б в, —его мощности

критерия функция, показывающая при каждом 0,
с какой вероятностью этот критерий отклоняет Но, если
случайная величина Xj подчиняется закону Ро , при
этом р„(в)<;а при всех в?в0. Неограниченно увели-
увеличивая число наблюдений, можно построить последо-
последовательность статистич. критериев заданного уровня а,
предназначенных для проверки гипотезы Йо против
алр.тернативы //], при этом соответствующая им после-
последовательность функции мощности {Р„(б)} будет удов-
удовлетворять условию
Р„F)<а для любого п при всех О?0о.
Если в этих условиях последовательность функций
мощности {р1,, @)} такова, что для любого фиксированно-
фиксированного 0 ? 6t - (~У - в0
lim Р„(в)-1,
п -»- ос
то говорят, что построена состоятельная последователь-
последовательность статистич. критериев уровня а для проверки
гипотезы Но против альтернативы Н1. Часто, допуская
при этом определенную вольность, говорят, что по-
построен С. к. Так как функция Р„@), 9?в], являющая-
являющаяся сужением функции мощности Рп@), 0?6-=воив],
на множество ©1; есть мощность статистич. критерия,
построенного по наблюдениям Хх, Х2,. . ., А'„, то в
терминах мощности свойство состоятельности после-
последовательности статистич. критериев выражается в
том, что соответствующие им мощности р„(в), й?0ь
сходятся на 6t к функции, тождественно равной 1
на &1.
Пример. Пусть Хг, Х2,. . ., Xп — независимые
одинаково распределенные случайные величины, функ-
функция распределения к-рых принадлежит семейству R —
= {F (х)} всех [гепрерывных функций распределении
на R1, и пусть р=- (р1, р2,. . ., pk) — вектор положи-
положительных вероятностей такой, что Pi+/v~r- ¦ •~t-Pft = l-
Далее, пусть Fo (.r) — произвольная функция распреде-
распределения из семейства II. Функция распределения F0(x)
и вектор р однозначно определяют разбиение чис-
числовой оси на к полуинтервалов (т0; хх], (хх; х.2],. . .,
¦ ¦ ¦¦ (-J"ft_г; .г/Л, где
хо = — оо, zfe = -f- оо,
Xi = ''•'(Г1 (Pi-I - • • ¦ + Pi) = inf {x:F0 (x) 5a p1 + ... +p,-},
i = l, 2, ..., к —I.
Иначе говоря, границы полуинтервалов суть квантили
функции распределения Fo (.r). С помощью полуинтерва-
полуинтервалов (,т0; хг], (xi, ?.z\,. . ., (zfe_i; xk) семейство И можно
разбить на два непересекающихся множества II0 и II\
по следующему правилу: функция распределения F
из Н 1гринадлежит II0 тогда и только тогда, если
F(xi)-F{xi-1) = pi, i = l, 2, ..., к.
в противном случае F?Hx. Пусть, далее, vra— (vnl,
vn2,- • ., Vnk) — вектор частот, получающийся в ре-
результате группировки первых п случайных величин Хи
Х2,. . ., Хп (п>к) но полуинтервалам (х0; .rj],. . .,
. . .,(#/;_!, х^). В этих условиях для проверки гипотезы
До, согласно к-рой функция распределения случайных
величин Хи Х.2,. . .. Хп принадлежит множеству УУ„,
против альтернативы Нх, по к-рой функция распреде-
распределения случайных величин Хг, Х2,. . ., Хп принадлежит
множеству //j, можно воспользоваться критерием «хи-
квадрат», основанным на статистике
Согласно критерию «хи-квадрат» с уровнем значимости
а @<а<0,5), гипотезу /70 следует отвергнуть, коль
скоро A',2,>xl-i (а), где xl-i (а) — верхняя а-квантиль
«хи-квадрат» распределения с к—1 степенями свободы.

Из общей теории критериев типа «хи-квадрат» следует,
что при справедливости гипотезы Н1
lim P\X%> xLi(a)|//,} = l,
П -> ее
что и означает состоятельность критерия «хи-квадрат»
для проверки #0 против Н-^. Если же в множестве Но
выделить произвольное непустое подмножество Но
и рассмотреть задачу статистич. проверки гипотезы 1/0
против альтернативы Н'о = Но\Но, то, как очевидно,
последовательность критериев «хи-квадрат», основан-
основанных на статистиках Х„, не будет состоятельной, т. к.
lim P {.Y?, > xl-i (а) I Нй\ < а < 1
и, в частности,
bin P
'о/
< 1.
Лит.: И] У и л к с С, Математическая статистика, пор.
с англ., М., 19(>7; [2] Л с м а н Э., Проверка статистических ги-
иотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979. М. С. Никулин.
СОФОКУСНЫЕ КРИВЫЕ, конфокальные
к р и в ы о,— линии 2-го порядка, имеющие общие
фокусы. Если F и F' — две данные точки плоскости,
то через каждую точку плоскости проходит один эллипс
н одна гипербола, имеющие F и F" своими фокусами
(рис. 1).
Каждый эллипс ортогонален любой софокусной с
нам гиперболе, т. е. пересекается с ней (в четырех
точках) под пряным углом. Все множество софокусных
эллипсов и гипербол в надлежащей системе координат
определяется уравнением
Х- сг
= 1,
(*)
где с — расстояние фокусов от начала координат, а Я —
переменный параметр. При Я>сг это уравнение опреде-
определяет эллипс, при 0<Я<с2 — гиперболу (при Я<0 — мни-
мнимую линию 2-го порядка). Если один из фокусов стре-
стремится к бесконечности, то в пределе получаются два
90°
Рис. 1.
Рис. 2.
семейства софокусных парабол (рис. 2); любые две пара-
параболы, относящиеся к разным семействам, также орто-
ортогональны друг другу. При помощи софокусншх эллипсов
н гипербол на плоскости вводится система так наз.
эллиптических координат. Именно, если
М (.г, у) — произвольная точка плоскости, то, подстав-
подставляя ее координаты а; и j/ в уравнение (*), получают квад-
квадратное уравнение для Я; корни его К1, Я2 и наз. эллилтич.
координатами точки М. Сами софокусные эллипсы и
гиперболы составляют координатную сеть эллиптичес-
эллиптической координатной системы, т. с. определяются уравне-
уравнениями Л,-const, A,2^const. БСЭ-з.
СО ХОДКОГО ТЕОРЕМА, теорема Вейер-
П1 т р а с с а, теорема В е п е р ш т р а с с а —
Сохоцкого — К а з о р а т и: каково бы ни было
комплексное число т (допускается и и>— оо), существует
такая последовательность {z,,},7«=,i, сходящаяся к су-

щеспшнно особой точке а аналитич. функции w=f(z)
комплексного переменного 2, что
lim /(:„):=№.
П —* со
Эта С. т. явилась первым результатом, характери-
характеризующим предельное множество С(/, а) аналитич. функ-
функции / в существенно особой точке а: согласно С. т.,
С {/, а) тотально, т. е. совпадает с расширенной плос-
плоскостью Си, переменного w. С. т. доказана К). В. Со-
хоцким |tj (см. также |2]). К. Вейерштрасс изложил
эту теорему н работе 1876 (см. [3]). Дополнительная
информация о поведении аналитич. функции в окрест-
окрестности существенно особой точки содержится в Пикара
теореме.
На аналитич. отображения ] : С" —>- С", /г>1, про-
пространства С" многих комплексных переменных z =
-=(zj,. . ., 2„) Ст. непосредственно не распространя-
распространяется (см. [5]).
Лит.: [11 Со х о ц к и й Ю. В., Теория интегральных вы-
че-гои с некоторыми приложениями, СПБ, 1868; [2] С a s о г а-
t i F., Teorica delle funzioni di variahili eomplesse, Pavia, 1868;
[31 Weierstrass K., Zur Tlieone der eindeut.igcn analyli-
sohen Funktionen, Math. Wnrke, Bd 2, В., 1895, S. 77—124;
U] M a p к у ш е к и ч А. И., Теория аналитических функций,
2 изд., т. 1, М., 1967; [5] Ш а б а т Б. В., Введение в комплекс-
комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 197E. Е. Д. Соломенцев.
СОХОЦКОГО ФОРМУЛЫ — формулы, найденные
впервые 10. В. Сохоцким [1 ] и выражающие граничные
значения интеграла типа Коти. С более полными
доказательствами, но значительно позже С. ф. были по-
получены независимо Й. Племелем [2].
Пусть Г : t — t(s), 0«Ss=g/, t(O)---t(l). — замкнутая
гладкая жорданова кривая на плоскости комплексного
переменного z, ц> (t) — заданная на Г комплексная ллот-
иость интеграла типа Коши, относительно к-рой пред-
предполагается, что она удовлетворяет условию Гёльдера
/) н —область внутри Г, D~ внешняя область;
интеграл типа Кошп. Тогда для любой точки
существуют пределы
Ф+ («„)= lim Ф B),
г -* la, ZS.D +
ф- {!„)— lim Ф(г),
к-рые виражаютсл ф о р м у л а м и С о х одного
или, иначе,
ф+ (/0)-ф-(*0) = ф(*0).
Интеграл вдоль Г в правых частях С. ф. понимается
в смысле главного значения по Коши и наз. с и н г у-
л ирным интеграло м. Таким образом, прини-
принимая при высказанных условиях Ф+ (t) (или Ф~ (t))
н качестве значений интеграла Ф (г) на Г, получают
функцию Ф(г), непрерывную в замкнутой области
1>+ --?) + у Г (соответственно в Db=D~ \J Г); в целом
Ф (z) иногда описывают как кусочно аналитич. функ-
функцию.
Если а<1, то Ф+ (Z) и Ф~ (t) также непрерывны по
Гёльдеру на Г с тем же показателем а, а если а«=1, то с

любым показателем а'<1. Для угловых точек t0 (см.
рис.) кусочно гладкой кривой Г С. ф. принимают вид
В случае разомкнутой кусочно гладкой кривой Г
С. ф. B) и C) остаются в силе для внутренних точек
дуги Г.
С. ф. играют основную роль при решении граничных
задач теории функций и сингулярных интегральных
уравнений (см. [3], [5]), а также
при решении различных приклад-
прикладных задач теории функций (см.
Ш).
Естественно возникает вопрос
о возможном расширении условий
на контур Г и плотность ф (t) с
тем, чтобы С. ф., хотя быснек-
рыми оговорками, сохраняли силу.
Наиболее значительные резуль-
результаты в этом направлении принадле-
принадлежат В. В. Голубеву и И. И. При-
Привалову (см. [6], [8]). Напр., пусть Г — спрямляемая
жорданова кривая, а плотность ср (t) по-прежнему
непрерывна по Гёльдеру на Г. Тогда С. ф. B) имеют
место почти всюду на Г, причем под Ф+ (t0) и Ф~ (t0)
понимаются угловые граничные значения интеграла
типа Копш соответственно изнутри и извне Г, но функ-
функции Ф+ (z) и Ф~ (z), вообще говоря, уже не непрерывны
в замкнутых областях D+ и В".
О пространственных аналогах С. ф. см. в [7].
Лит.: [1] Сохоцкий Ю. В., Об определенных интег-
интегралах и функциях, употребляемых при разложениях в ряды,
СПБ, 1873- [2] Plemelj J., «Monatsh. Math, und Phys.»,
1908, Bd 19, S. 205—10, 211 — 45; [3] M у с х е л и ш в и-
л и Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М.,
1968; [4] е г о же, Некоторые основные задачи математической
теории упругости, 5 изд., М., 1966; [5] Г а х о в Ф. Д., Краевые
задачи, 3 изд., М., 1977; |6] Привалов И. И.> Граничные
свойства аналитических функций, 2 изд., М.—Л., 1950; 1.7]
Б и ц а д з е А. В., Основы теории аналитических функций ком-
комплексного переменного, 2 изд., М., 1972; [8] Хведелид-
з е Б. В., в кн.: Итоги науки и техники. Сер. Современные проб-
проблемы математики, т. 7, М., 1975, с. 5—162. Е. Д. Соломенцев.
СОХРАНЕНИЯ ОБЛАСТИ ПРИНЦИП — свойство
голоморфных функций в областях комплексной пло-
плоскости: множество значений всякой непостоянной
голоморфной функции в области ?*сС также является
областью, т. е. открыто и связно. Основным здесь явля-
является свойство открытости образа, к-рое следует из Руше
теоремы или из аргумента принципа. С. о. п. можно
рассматривать как обобщение максимума модуля прин-
принципа для голоморфных функций.
С. о. п. справедлив для голоморфных функций на
произвольном комплексном многообразии: множество
значений любой непостоянной голоморфной функции на
связном комплексном многообразии X есть область
на комплексной плоскости. Он выполняется также для
голоморфных отображений комплексных многообразий
в римановы поверхности. Однако голоморфные отобра-
отображения-/ ;X-+Fi комплексные многообразия У раз-
размерности больше 1 в общем не являются открытыми:
если / непостоянно, но, скажем, ранг / всюду меньше
dim У, то образ f(X)czY вообще не имеет внутренних
точек. Открытость может нарушаться и в случае,
когда rank /<dim У на множествах малой размерности.
Напр., при отображении
(zi, z2) —->¦ (zf,
пространства С2 в себя образом будет неоткрытое
множество C2\{»i=0, ю^фО). С. о. и. для голоморф-
голоморфных отображений выполняется, если условие непостоян-

ности / заменять более сильными требованиями, одним
из самых простых является условие нульмерности
множества точек, в к-рых rank /<dim Y.
Лит.: [1] Привалов И. И., Введение в теорию функций
комплексного переменного, 12 изд., М., 1977; [2] Г а н н и н г Р.,
Росс и X., Аналитические функции многих комплексных пе-
переменных, пер. с англ., М., 1969. Е. М. Чирка.
СОЧЕТАНИЕ из т элементов по п — под-
подмножество мощности п нек-рого исходного конечного
множества мощности т. Число С. из т элементов по п,
обозначаемое Ст или (If), равно
т\
п{ (т — п)\
Производящая функция для последовательности Ст,
п~0, 1, . . ., т, Ст=1, имеет вид
х" = A -\- х)™.
С. можно рассматривать так же как неупорядоченную
выборку объема п из генеральной совокупности из т
элементов. В комбинаторике С.— это класс эквивалент-
эквивалентности размещений из т элементов по п, при этом два
размещения объема п из данного m-элементного множе-
множества считаются эквивалентными, если они состоят из
одних и тех же элементов, взятых одно и то же число
раз. В случае, когда берутся размещения без повторе-
повторений, каждый класс эквивалентности определяется мно-
множеством элементов любого размещения из этого класса
и поэтому может рассматриваться как С. В случае раз-
размещений с повторениями приходят к обобщению поня-
понятия С, и тогда класс эквивалентности размещений с
повторениями наз. сочетанием с повто р е-
н и я м и. Число С. с повторениями из т но п равно
С™'1"""), а производящая функция для этих чисел имеет
вид
усе (т + к1\
Лит.: [1] С а ч к о в В. Н., Комбинаторные методы дис-
дискретной математики, М., 1977; 12]РиорданД ж., Введение
в комбинаторный анализ, пер. с англ., М., 1963. В. М. Михеев.
СПАРИВАНИЕ — отображение, заданное на декар-
декартовом произведении двух множеств; в зависимости
от конкретных условий на это отображение наклады-
накладываются требования билинейности, непрерывности и др.
С. ХхУ-^Z определяет отображение множества X во
множество функций, действующих из Y в Z (или в
нек-рое его подмножество, составленное, напр., из
гомоморфизмов, непрерывных отображений и т. д.).
Утверждения о свойствах так получаемого отображе-
отображения составляют суть различных теорем двойственности
в алгебре, топологии и функциональном анализе.
М. Ш. Фарбер.
СПЕКТР оператора — совокупность а(А) чи-
чисел К?С, для к-рых оператор А—Я/не имеет всюду
определенного ограниченного обратного. Здесь А —
линейный оператор в комплексном банаховом прост-
пространстве1 X, I — тождественный оператор в X. Если А
не замкнут в X, то а(А) = С, поэтому обычно рассматри-
рассматривают С. замкнутых операторов (для операторов, допус-
допускающих замыкание, иногда их С. наз. спектр
замыкания).
Если А —XI не инъективен или не сюръективен, то
к?а(А). В первом случае X наз. собственным
значением оператора А; совокупность ар (А)
собственных значений наз. точечным спект-
спектром. Во втором случае X наз. точкой непрерыв-
непрерывного спектра ос(А) или остаточного
спектра аг {А )в зависимости от того, плотно или не
плотно в X подпространство (А—Х1)Х.
Существуют и другие классификации точек С, напр.
a(A)=aa(A)\J(jd(A), где аа(А) состоит из аппрокси-

мативных собственных значений (Х?оа(А), если су-
существуют {хп}аХ, ||г„||—1,
—А/)=0,
При этом ati(A)CZar(A) и, значит, а^()ис()
СОа(А ). В теории возмущений рассматривается пре-
предельный спектр 0цт (А), состоящий из пре-
предельных точек о (А) и изолированных собственных
значений бесконечной кратности, вейлевский
спектр, равный пересечению С. всех компактных
возмущений, и др.
Если оператор А ограничен, то а (А) компактен и
не пуст (в этом случае а (А) совпадает со спектром
эчл е м е н т а А банаховой алгебры В (X)); в общем
случае можно утверждать лишь, что а (А) замкнут
в С. На множестве р(А)=С\а(А) определена аналити-
аналитическая В (Х)-значная функция RA(X) = (A—XI)-1, наз.
резольвентой А (р(А) наз. резольвент-
резольвентным множеством). С помощью резольвенты
строится функциональное исчисление от оператора А
на функциях, аналитических в окрестности а (А):
где Г —контур, охватывающий а (А) (неограничен-
(неограниченность А накладывает на выбор Г нек-рые ограничения);
дополнительные условия на геометрию С. и асимптотику
резольвенты позволяют расширить это функциональ-
функциональное исчисление.
С. функций от оператора определяются формулой
(теорема об отображении спектра);
С. а (А*) сопряженного оператора совпадает с о (А),
если А ограничен, а в общем случае a (A*)cza(А).
Если dim Х<оо, то о(А)~ор(А) и X раскладывается
в прямую сумму инвариантных относительно А под-
подпространств, в каждом из к-рых А индуцирует опера-
оператор с одноточечным С; поисками бесконечномерных
аналогов такого разложения занимается спектральная
теория операторов. См. также Спектральный анализ,
Спектральный синтез, Спектральный оператор, Спек-
Спектральное разложение.
Лит.: [1] Д а н ф о р д Н., Шварц Д ж., Линейные опе-
операторы. Общая теория, пер. с англ., т. 1, М., 1962; [2] К а т о Т.,
Теория возмущений линейных операторов, пер. с англ., М., 1972.
В. С. Шульман.
СПЕКТР, прямой и обратный спектр в к а т е г о-
рип^. Прямым спектром {Ya, /a } в катего-
категории % наз. семейство объектов {Ya} с индексами из
направленного множества Л= {а } и семейство морфиз-
мов {Д : Ya -*¦ Ур} из % (определенных при а<р),
для к-рых:
1) /? = 1ка.-Уа— У», а^Л;
2)/?=/go/S--re--yV. <*<Р<?, «, р, т€л.
Можно определить категорию dir {Ya, /^}, объектами
к-рой служат семейства морфизмов {ga : Ya -> Z}agA
таких, что ?a=?p°/^. если a«p\ a, |3?Л. В этой ка-
категории морфизмом объекта [ga : Ya -*¦ Z} в объект
{g'a : Ya -*¦ Z'} наз. такой морфизм h : Z -». Z' катего-
категории to, что hga=g'a, а?Л. Инициальный (начальный)
объект категории dir {Ya, /«} наз. пределом
прямого спектра {Уа, /«}. Пределы прямых
спектров (прямой спектр) множеств, топологич. про-
пространств, Л-модулей являются примерами прямых
спектров в соответствующих категориях.

Двойственным образом, обратным спектром
{^а, /а} в категории % наз. семейство объектов {Ya}
с индексами из направленного множества Л={а} и
семейство морфизмов {/& : Ур -*• Ya} категории g
(определенных, если а<р), для к-рьтх;
Можно определить категорию inv {Ya, /«}, объектами
к-рой являются занумерованные семейства таких мор-
морфизмов {ga : X -*¦ Ya}aeA, что ?a=/|»?p, еслиа<Р,
а, |3?Л, а морфизмом объекта {g : X —>- Уа} в
объект {#« : X' -*- Ка} является морфизм h : X -*¦ X'
категории % такой, что g'ah=ga при а?Л. Терминаль-
Терминальный (интегральный) объект категории inv {Ya, fa)
наз. пределом обратного спектра
{Ya, fa}- Пределы обратных спектров (обратный спектр)
множеств, групп, Д-модулей являются пределами
обратных спектров в соответствующих категориях.
Понятие обратного спектра — категорное обобщение
топологич. понятия проекционного спектра.
Лит.: U] Спеньер, Алгебраическая топология, пер. с
англ., М., 1971. М. И. Войцеховский.
СПЕКТР элемента банаховой алгебры — сово-
совокупность чисел Х?С, для к-рых а—%е необратим
(алгебра предполагается комплексной, а — данный
элемент, е — единица алгебры). С. — непустое ком-
компактное множество (теорема Гельфанда —
М а з у р а). В случае коммутативной алгебры С. сов-
совпадает с множеством значений на этом элементе всех
характеров алгебры.
На понятии С. основывается построение функцио-
функционального исчисления от элементов банаховой алгебры:
естественное исчисление многочленов от элемента a
банаховой алгебры А продолжается до непрерывного го-
гомоморфизма кольца ростков голоморфных в окрестно-
окрестности спектра а (а) функций в А. Необходимость рассмат-
рассматривать функции от нескольких переменных приводит к
понятию С. системы элементов банаховой
алгебры. Если А коммутативна, то, по определению,
С. системы {а,¦}"=! ее элементов — это множество
a({a;})ciC" всех наборов вида {ф(а;}"=1, где ср — ха-
характер А . В общем случае определяют левый и правый
спектры системы {a,}"=i, включая в них те наборы
{X,-}7=i ?С", для к-рых система {а,—Я,е} содержится
в нетривиальном левом (правом) идеале алгебры; С.
системы элементов наз. объединение левого и правого
спектров. Основные результаты многопараметрич.
спектральной теории, а также иные подходы к понятию
С. системы элементов см. в [1] — [4].
Лит.: [1] БуРбакиН., Спектральная теория, пер. с
франц., М., 1972; [2] НаПе П., «Bull. Amer. Math. Soc»,
1972, v. 78, p. 871—75; [3] Taylor J., «J. Funct. Anal.», 1970,
v. 6, p. 172—91; [4] Z e 1 а г k о W., «Studia Math.», 1979,
t. 64, p. 249—61. В. С. Шулъман.
СПЕКТР С*-АЛГЕБРЫ — множество классов уни-
унитарной эквивалентности неприводимых представлений
С*-алгебры. В спектр вводят топологию, считая
замыканием любого подмножества совокупность всех
(классов эквивалентности) представлений, ядра к-рых
содержат пересечение ядер всех представлений этого
множества. Для коммутативной С*-алгебры спектр
как топологич. пространство совпадает с пространст-
пространством характеров (гомеоморфен пространству максималь-
максимальных идеалов). В общем случае спектр С*-алгебры явля-
является базой разложения ее представлений в прямые ин-
интегралы неприводимых представлений.
Лит.: [1] Д и к с мье Ж., С*-алгеОры и их представления,
пер. с франц., М.. 1974. В. С. Шулъман,

СПЕКТР ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ {Tt} с
фазовым пространством X я инвари-
инвариантной мерой ц — общее название для различ-
различных спектральных инвариантов и спектральных свойств
соответствующей группы (или полугруппы) унитарных
(изометрических) операторов сдвига
в гильбертовом пространстве Ьг(Х, ц). Для динамич.
системы в узком смысле слова — измеримого потока
{Tt} или каскада {Тп} — речь идет о спектральных
инвариантах одного нормального оператора: во втором
случае — унитарного оператора (Urf)=f(Tx), а в пер-
первом — производящего самосопряженного оператора А
однопараметрич. груниы унитарных операторов {?//}
(согласно теореме Стоуна, Uj=e'tA).
«Спектральная» терминология в теории динамич. си-
систем несколько отличается от обычной. Спектр U-j-
(или А) в обычном смысле, т. е. множество тех X, при
к-рых оператор UT — kE (или А — ХЁ) не имеет ограни-
ограниченного обратного, для всех практически интересных Т
и {Tf} совпадает с окружностью |Я| = 1 или с К (см. [1],
[2]). Поэтому: а) спектр в обычном смысле не содержит
информации о свойствах данной динамич. системы,
отличающих ее от других; б) у спектра в обычном
смысле слова практически никогда нет изолированных
точек, так что спектр является непрерывным (в обычном
смысле слова), причем это опять-таки не содержит
информации о специфич. свойствах данной системы. По
этой причине в теории динамич. систем говорят о
непрерывном спектре в случае, когда у UT
или А нет собственных функций, кроме констант; о
дискретном спектре - - когда собственные
функции образуют полную систему в L2(X, u.); о с ме-
мешанном спектре — в остальных случаях.
Свойства динамич. системы, к-рые определяются ее
С. д. с, наз. спектральными. Таковы эргодич-
эргодичность (она эквивалентна тому, чтобы у Uу — соответ-
соответственно у Л — собственное значение 1 — соответственно
О — было однократным) и перемешивание. Имеется
полная метрич. классификация эргодич. динамич. си-
систем с дискретным спектром; такая система определя-
определяется С. д. с. с точностью до метрич. изоморфизма [3].
Аналогичная теория построена и для более общих групп
преобразований, нежели Кий (см. [4]). В некомму-
некоммутативном случае формулировки усложняются, причем
С. д. с. уже не полностью определяет систему. Если
спектр не дискретный, то ситуация гораздо сложнее.
Лит.: [lllonescu Tulcea А., в кн.: Ergodic theory,
N. У.— L., 1963, р. 273—92; [2] Goldstein S., в кн.: In-
Internet, conference on dynamical systems in math, physics, P., 1976
(«Asterisque», v. 40); [3] К о р н ф е л ь д И. П., Синай Я. Г.,
Фомин С. В., Эргодическая теория, М., 1980; [4] М а к-
к и Г. У., в кн.: АуслендерЛ., Г р и н Л., X а я Ф.,
Потоки на однородных пространствах, М., 1966, с. 195—206.
Д. В. Аносов.
СПЕКТР КОЛЬЦА — окольцованное топологич. про-
пространство Spec А, точками к-рого являются простые
идеалы р кольца А с Зариского топологией на нем
(к-рая наз. также спектральной тополо-
топологи е й). При этом предполагается, что кольцо А ком-
коммутативно и с единицей. Элементы кольца А можно
рассматривать как функции на пространстве Spec A,
полагая а{р) = а mod р?А/р. Пространство Spec A
несет пучок локальных колец Q (Spec А), называемый
структурным пучком. Для точки р ? Spec A
слой пучка @ (Spec А) над р — это локализация А^
кольца А относительно р.
Любому гомоморфизму колец ф : А -*¦ А', переводя-
переводящему единицу в единицу, отвечает непрерывное отобра-
отображение ср* : Spec А' -*¦ Spec А . Если JV — нильрадикал
кольца А, то естественное отображение Spec AlN —>-
-»- Spec А является гомеоморфизмом топологич. про-
пространств.

Для ненильпотентного элемента f?A пусть D (/)=
= SpecA\V(f), где F(/)=-{pgSpec A\f?p). Тогда
окольцованные пространства D(f) и Spec А (р, где А ф —
локализация Л относительно /, изоморфны. Множества
D (/) наз. главными открытыми множе-
множествами. Они образуют базис топология, простран-
пространства Spec A . Точка р ? Spec А замкнута тогда и только
тогда, когда р — максимальный идеал кольца А.
Сопоставляя точке р ее замыкание р в Spec A, полу-
получают взаимно однозначное соответствие между точками
пространства Spec А и множеством замкнутых неприво-
неприводимых подмножеств в Spec A. Пространство Spec A
квазикомпактно, но, как правило, не является хаус-
дорфовым. Размерностью пространства Spec A
наз. наибольшее п, для к-рого существует цепочка раз-
различных замкнутых неприводимых множеств ZQcz. . .a
cZ^Spec A.
Многие свойства кольца А можно охарактеризовать
в терминах топологич. пространства Spec A. Напр.,
кольцо А нётерово тогда и только тогда, когда Spec A —
нётерово пространство; пространство Spec А непри-
водимо тогда и только тогда, когда кольцо A /N является
областью целостности; размерность Spec А совпадает
с размерностью Крулля кольца А и т. д.
Иногда рассматривают максимальный
спектр Specm A — подпространство пространства
Spec А, состоящее из замкнутых точек. Для градуиро-
градуированного кольца А рассматривают также проектив-
н ы й спектр Proj А . Если А — ~^ц°_0А ,„ то точки
Proj А — это простые однородные идеалы р кольца А
такие, что р^б^! _ Ап.
Лит.: []] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с
франц., М., 1971; [2] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраи-
алгебраической геометрии, М., 1972. Л. В. Кузьмин.
СПЕКТР МАТРИЦЫ — совокупность ее собствен-
собственных значений. См. также Характеристический много-
многочлен матрицы.
СПЕКТР ПРОСТРАНСТВ — представляющий объект
для обобщенной теории когомологий, введен в [{].
С п е к т р о .\) пространств М наз. последо-
последовательность топологических (как правило, клеточ-
клеточных) пространств {Л/п }^=_оо вместе с отображениями
sn : ИМп-^Мп + 1, где 2 — надстройка. С. и. образуют
категорию; при этом морфизм спектра М
в спектр Лг — это, грубо говоря, «кофинальная часть»
нек-рой функции / : M-+-N, к-рая задается семейством
отображений }n:Mn-*Nn с tn°2/n=/n + 1osn (tn от-
относится к N так, как sn к М). Определяются также го-
гомотопные морфизмы, вводится понятие гомотопич.
эквивалентности С. п. и строится гомотопич. категория
С. п. [2]. Вводятся Постникова системы, С. п.
Надстройкой ХМ над С. п. М наз. С. п.
2M={Nn}=2,Mn. Пусть B-1Л2)„=Л/„_1, тогда 2 и
2 — гомотопически взаимно обратные функторы, так
что в категории С. п. в отличие от категории пространств
функтор надстройки обратим, и это обстоятельство
делает удобной категорию С. п. Вообще, в категории
С. п. все рассуждения, связанные со стабилизацией
(напр., построение спектральной последовательности
Адамса), приобретают естественный вид.
Примеры С. п. 1) Для любого пространства X
определяется С. п. Х={Мп}, где Л/„=* при ге<0
и Л#П=2"Х при n^O, a sn есть естественное отождест-
отождествление 2 B"Х)->-2" + 1(Х)- Так, для Х=S" возникает
спектр сфер {Sn}.
2) Спектр пространств Эйленберга — Маклейна Н (я)
(или ЕМ (л)), где я — абелева группа. Гомотопич. экви-
эквивалентность со„ : К (и, n)^-Q,K (я, п+1), где К (я, п) —
Эйленберга —Маклейна пространство, a QX —
петель пространство над X, задает сопряженное ото-

бражение sn : I.K (я, п)<-+К (п, "+1), так что имеем
С. п. {К (я, п), Sn}. Этот С. п. представляет обычную
теорию когомологии с коэффициентами в л..
3) Пусть X — такое пространство, что QdX~X
для нек-рого d>0. Для n=ad+6, 0<6<й, a?Z пусть
Mn=Qd~bX. Возникает последовательность {Мп} вида
{. . ., X, па~гХ, Qd~2X, . . ., а*Х, X~QdX, . . .}. Го-
мотопич. эквивалентность ш : Mn->Q#n + 1 задает, как
и в примере 2, отображение sn : 2Mn->-Mn + i, так что
имеем С. п. Напр., для классифицирующего пространст-
пространства BU=^limBUn, где Un—унитарная группа, имеем
Q2(BUXI,)~BUXZ (теорема Б о т т а), и воз-
возникает С. п. {. . ., U, BUX Ъ, U, BUXZ, . . .}, пред-
представляющий комплексную А-теорию. Аналогичное вер-
верно и для вещественной jfif-теории (ii*(BOX %,2)~ВОх Z*)-
4) Всевозможные Тома спектры, представляющие
кобордизмы.
Для двух С. п. М и N определено их приведенное
произведение MaN (аналог обычного приведенного
произведения пространств). Умножением в С. п.
М наз. ассоциативный (в надлежащем смысле) морфизм
МаМ -*¦ М. С. п., снабженный умножением, наз.
кольцевым, или м у л ь т и п л и к а т и в н ы м,
и представимая им теория когомологии мультиплика-
мультипликативна.
Попытка преодоления трудностей, связанных с
«плохой ассоциативностью» вышеупомянутого умно-
умножения, привела к пересмотру оснований теории С. п.
Именно, в [6] введено понятие бескоординатного С. п.
как семейства пространств {My} {и соответствующих
отображений), индексированного линейными подпро-
подпространствами V из R°°---lira R". Категория бескоорди-
?г->оо
натных С. п. изоморфна обычной категории С. п.,
но спаривание Л в ней легче контролируется, и потому
она играет важную роль при рассмотрении тонких ге-
ометрич. вопросов, связанных с высшими структурами
в С. п. [6], ориентациями в теории когомологии и т. п.
Лит.: [1] L i m а Е., «Summa Brasiliens. Math.», 1959, с. 91 —
148; '[2] Свитцер Р., Алгебраическая топология — гомо-
топии и гомологии, пер. с англ., М., 1984; [3] Адаме Д ж.,
Бесконечнократные пространства петель, пер. с англ., М., 1982;
['il М е й Д ж., «Успехи матем. наук», 1981, т. ЗВ, в. В, с. 137—
3!)э; [5] М а у J., Е—rinsf spaces and E—ring spectra, v. 577,
N. Y., 1977. °° °° Ю. U. Рудяк.
СПЕКТРАЛЬНАЯ МЕРА — унитальный гомомор-
гомоморфизм нек-рой булевой алгебры множеств в булеву ал-
алгебру проекторов в банаховом пространстве. Всякий
оператор Т в банаховом пространстве X определяет
С. м. на совокупности открыто-замкнутых подмножеств
его спектра а (Т) по формуле
где Г — жорданова кривая, отделяющая а 07в(Т)\а.
При этом ТЕ (а)=Е (а)Т и а (Т\Е (аI)са. Построе-
Построение удовлетворяющих этим условиям С. м. на более
широких булевых алгебрах множеств — одна пл ос-
основных задач спектральной теории, линейных опе-
операторов.
Лит.: [1] Д аифорд Н., Шварц Д >'<•, Линейные опе-
операторы, пер. с англ., ч. 2— Спектральная теория, М., 1980,
ч. 3— Спектральные операторы, М., 1974. В. С. Шульман.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОЙ
ЭНТРОПИИ, авторегрессионная спект-
спектральная оценка, — оценка fq(X) спектраль-
спектральной плотности } (К) стационарного случайного про-
процесса с дискретным временем такая, что фиксированное
число q отвечающих ей автокорреляций низших по-
порядков совпадает с соответствующими эмпирическими
автокорреляциями, подсчитанными по данным наблю-
наблюдений, и при этом удельная энтропия гауссовского
случайного процесса со спектральной плотностью fQ(k)
оказывается наибольшей возможной. Если из наблюде-

ний известны N выборочных значений xf, t— I, . . ., N,
представляющих собой отрезок одной реализации дей-
действительного стационарного процесса А'/, имеющего
спектральную плотность/(X), то С. о. м. э. fq(K) будет
определяться соотношениями
С 71 * *
\ cos Л'Л/д (Я) dh ~~~ г/г ==
^^-'И^'Л + ь 4 = 0, 1, .... <?, (а)
log /J (к) rfA,—-max, B)
где знак = означает «равно по определению». С. о. м. э.
имеет вид
* о2
IqW 2я | 1 + р, ехр (ЗД+ . . .+ Ьц exp (if/^.) |2 ' '' '
где коэффициенты pt, . . ., Р9, а2 определяются из
<7+1 уравнений A) (см. [1]). Формула C) показывает,
что С. о. м. э. совпадает с т. н. авторегрессионной спек-
спектральной оценкой (см. [2], [3]). Положительное це-
целое число q в применении к С. о. м. э. играет роль,
родственную той, к-рую играет обратная ширина спек-
спектрального окна в случае непараметрич. оценивания
спектральной плотности с помощью сглаживания пе-
периодограммы (см. Спектральное окно, Статистические
задачи теории случайных процессов). Имеются нек-рые
методы оценивания оптимального значения q по дан-
данным наблюдений (см., напр., [1], [4], [5]). Значе-
Значения коэффициентов рх, . . ., f>q, а2 могут быть най-
найдены, в частности, с помощью решения системы урав-
уравнений Юла — Уокера
существуют и другие, вычислительно более удобные,
методы расчета этих коэффициентов (см., напр., [1J,
Ш - [6]).
С. о. м. э. и обобщающие их спектральные оценки па-
параметрические в случае относительно небольшого объема
выборки или сшктральных плотностей сложной формы
обладают определенными преимуществами перед непа-
непараметрич. оценками функции / (К): они обычно имеют
более правильную форму и обладают лучшей разреша-
разрешающей способностью, т. е. позволяют лучше различать
близкие пики графика спектральной плотности (cut.
UL [4] — [7]). Поэтому С. о. м. э. широко использу-
используются в прикладном спектральном анализе стационарных
случайных процессов.
Лит.: [1] Modern spectrum analysis, N. Y., 1978; [2] Par-
z e n E., «Radio Sci.», 1964, v. 08, p. 937—51; [3] A k a i k e H.,
«Ann. Inst. Stal. Math.», 1969, v. 21, № 3, p. 407 — 19; [4] Non-
Nonlinear methods of spectral analysis, B. — [a. o.], 1979; [5]
Кей С. M., M a p п л С. Л., «Тр. ин-та инж. апектротехн.
радиоэлектр.», 1981, т. 69, Л» 11, с. 5—51; 1.6] Методы спектраль-
спектрального оценивания. Тематич. вып., гам же, 1982, т. 70, .К» 9; [7J
II и с а р е н к о В Ф., в сб.: Вычислительная сейсмология,
в. 10, М., 1977, с. 118—49. А. М. Яглом.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРИЧЕ-
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ — оценка спектральной плотности / (Я) стацио-
стационарного случайного процесса, отвечающая нек-рой
фиксированной параметрич. модели f(k) (т. е. гипотезе
о том, что функция f(k) принадлежит определенному
семейству спектральных плотностей, описываемых ко-
конечным числом параметров). При нахождении С. о. п.
данные наблюдений над процессом используются лишь
для оценки неизвестных параметров модели, т. е. зада-
задача оценивания спектральной плотности здесь сводится
к статистич. задаче оценки параметров. Наиболее ши-
широко используемой на практике С. о. п. является
спектральная оценка максимальной энтропии, отвеча-

ющая допущению, что функция [/(А)]-1 представляет
собой квадрат нек-рого тригонометрич. многочлена
фиксированного порядка. Более общий класс С. о. п.,
сравнительно часто применяющийся в прикладных зада-
задачах, опирается на использование модели смешанного
процесса аеторегрессии-скользящего среднего, т. е.
на предположение о том, что / (К) представляет собой
отношение квадратов модулей двух тригонометрич.
многочленов фиксированных порядков (см. [1]—[3]).
Лит.: [1] Nonlinear methods of spectral analysis, В.— [а.
о.], 1979; [2] К ей С. М., М а р п л С. Л., «Тр. ин-та инж.
электротехн. радиоэлектр.», 1981, т. 69, №11, с. 5—51; [3]
Методы спектрального оценивания. Тематич. вып., там же,
1982, т. 70, № 9. А. М. Яглом.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ стационарно-
стационарного случайного процесса или одно-
однородного случайного поля в п-мерном
пространстве — преобразование Фурье ковариационной
функции стационарного в широком смысле случайного
процесса или однородного в широком смысле случай-
случайного поля. Стационарные случайные процессы и одно-
однородные случайные поля, преобразование Фурье кова-
ковариационной функции к-рых существует, наз. процесса-
процессами, имеющими С. п.
Пусть
X( {X)
есть n-мерный стационарный случайный процесс, а
к— 1, ft
— его спектральное представление (Ф^— спектральная
случайная мера, отвечающая к-И компоненте Xk{t)
многомерного случайного процесса X (<)); интегрирова-
интегрирование здесь проводится в пределах — я«Л<л в случае
дискретного времени t и в пределах —оо<Я<+оо в
случае непрерывного времени t. Процесс X (t) имеет
С.п.
если все элементы
спектральной меры F= {Ffe l }*=i^ абсолютно непре-
непрерывны и
В частности, если для процесса X (t), f=0, ±1, . . .,
выполняется соотношение
где
— ковариационная функция процесса
X(t), то X(t) имеет С. п. и
2Г=- » Bk'<{t) exP {-^).
— оо < X < оо,
к, 1=-Т^П.
Аналогично обстоит дело и в случае процессов X (t)
с непрерывным временем t. С. п. / (X) иногда наз.
спектральной плотностью 2-г о по-
порядка, в отличие от старших С. п. (см. Спектральный
семиинвариант).
Однородное я-мерное случайное поле X (ij, . . ., tn)
имеет С. п. f (Ки . . ., Я„), если его спектральная функ-

ция F(Xi, . . ., Xn) обладает тем свойством, что ее сме-
смешанная производная OnF/dX1 . . . дкп существует поч-
почти всюду, причем
/(Я,!, ..., Хп) = д"Е/дХ1 ... дХп
и
-(-const.
Лит.: [1] П р о х о р о в Ю. В., Р о з а н о в Ю. А., Тео-
Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Розанов Ю. А.,
Стационарные случайные процессы, М., 1963. Я. Г. Журбенпо.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — по-
последовательность дифференциальных модулей, каждый
из к-рых является модулем гомологии предшествую-
предшествующего дифференциального модуля. Обычно рассматри-
рассматривают С. п. биградуированных (реже градуированных
или триградуированных) модулей, к-рые изображают
графически в виде наложенных друг на друга таблиц
на плоскости. Более общо, рассматривают также С. п.
объектов произвольной абелевой категории (напр., бимо-
дулей, колец, алгебр, коалгебр, алгебр Хопфа и т. д.).
Все известные С. п. полу- ,
чаются из точных пар. Т о ч- D' [ »_ D i
ной парой (D1, Е1, (\ *¦¦
j1, к1) наз. точная диа- /(Г
грамма вида
Гомоморфизм d1=j1kl является дифференциалом в Е1.
По каждой точной паре можно построить п р о и з-
водную точную пару (D2, E2, i2, j2, к2), для
к-рой D2=lm i1 и Е2=Н(Е1, d1). Итерирование этой
конструкции дает С. п. Е={Е", dn}.
1) С. п. Л ере. Фильтрованный цепной комплекс мо-
модулей ({A'''}, d) определяет точную пару биградуирован-
ныхмодулей Dl q=Hp + (l(KP), E^ q=Hp + q(RPlKp~l).
В ассоциированной С. п. бистепень дифференциала dr
равна (—г, г—1) и
Кег (dr~1-Er~l>рг~1 ^
pr __ Ker \ap, t ^ b )
dE>р
^р, q . / ,r-i .„r-i
p, q)
Модули Fp< q= Im(Hp + q(Kp)^-Hp + q(K)) образуют филь-
фильтрацию в Н^(К). Биградуированный модуль
Ер, q = Fp, qlPp-\, q + 1 =
lm(Hp + q
= 1т(в:Нр + ч
наз. присоединенным к Н* (К). Фильтрация
{А'''} наз. регулярной, если А^=0 при р<0,
Ep,q=Q при q<fi и K=UKP. Для регулярной филь-
фильтрации Ер, Q=0 или р<0 или ?<0; такая С. п. наз.
С. п. первой четверти. Кроме того, Ер, qsz
&;Ep*q~Ep°,Q при r>max (p, q+1). В этом случае
говорят, что С. п. сходится к #„, (К), и пишут Ер 9=>
)
>p + q()
2) С. п. Л е р е — С е р р а. Частный случай С. п.
Лере возникает из ценного (или коцепного) комплекса
фильтрованного топологич. пространства. Напр., филь-
фильтрация клеточного разбиения X его остовами дает вы-
вырожденную С. П. Ер, q=$>Hp+q(X), ДЛЯ К-роЙ Ep,q=
= ?р,,= 0 при q=?0 и й! о= Е". о=Яп(Х). С. п. Лере-
Серра получается из фильтрации тотального простран-
пространства Е расслоения в смысле Серра F—>-E—<-B прообра-
прообразами р-1 (Вп) остовов В" базы В. Если слой F и база В

линейно связны, то для каждой группы коэффициентов
G ото дает Си. F/Pi q=^Hp + q{E, G) с дифференциала-
дифференциалами dr бистепени (—г, г—1), для к-рой
p; G) и Е% „ s±Hp (В; ffi q (F, G)),
где fflg (F; G) — система локальных коэффициентов
над В, состоящая из групп Hg(F; G). При этом гомо-
гомоморфизм ц : Hn(F; G)->-Hn(E; G) совпадает с компо-
композицией
Hn(F; G)=--Eln-+E»,n = EZ,n = F0,n(=Hn(E; G),
а гомоморфизм р„ : FIn(E; G)^-Hn(B; G) совпадает с
композицией
где г достаточно велико. Дифференциал dJJi 0 С. п. сов-
совпадает с трансгрессией: х : Нп{В\ G) —»- Rn_x{F; G).
Этой гомологич. С. п. Леро — Серра двойственна
когомологич. С. п. Лере — Серра Е?' qz=>FIp+g(E; G)
с дифференциалами dr бистепени (г, —г +1), для к-рой
Е8- *аЯ' (В; $f »(/''; G)). Если G является кольцом, то
каждый член Ег является биградуированным кольцом,
Дифференциал dr является дифференцированием кольца
Ег и умножение в Ег+1 индуцировано умножением в
Ег. Если G — поле и база В односвязна, то Е2*=
ssH*(B; G)®H*(F;G).
3) С. п. А т ь и — X и р ц е о р у х а (— У а й т-
х е д а ) получается применением функтора обобщен-
обобщенных (ко)гомологий й» ' к той же фильтрации простран-
пространства Е. В ее когомологич. варианте Epr' Q=S>hp+q(E),
Е%'Ч—Нр (В; h4(F)). В отличие от С. п. Лере—
Серра С. п. Атьи — Хирцебруха для тривиального
расслоения id : X-*-X, вообще говоря, невырождена.
4) С. п. Эйленберга — Мура ассоциирова-
ассоциирована с каждым квадратом расслоений
E-fX
и-
В ее когомологич. варианте
Ег => Н* (Е; Л), El о ^ ТоуРн*\в; «> (Я* (X, В);
H*(Y,R)).
Если В — поле и квадрат состоит из Я-пространств и
//-отображений, то эта С. гг.— в категории биградупро-
ванных алгебр Хопфа.
5) С. п. А д а м с а Е)' * пишется для каждого прос-
просб Y
) д р
того р^2 и любых пространств X и Y (удовлетворяю-
(удовлетворяющих нек-рым условиям конечности). Для нее
?|-'^Ех1^(Я*(Х; ZP); H*(Y; Zp)),
где Ар — Стинрода алгебра mod р. Бистепень dr равна
(г, г—1). Эта С. п. сходится в том смысле, что при
r>s существует мономорфизм Esr'+y-*-Esr' f и, значит,
определена группа Es^ '= П r>sEsr' '. Существует такая
убывающая фильтрация {Fs} группы {У, X) стабиль-
стабильных гомотопич. классов отображений Y-*-X, что
Fs {S<-s t (
a F°°= П s^oFs состоит из всех элементов группы {Y, X }
конечного порядка, взаимно простого с, р. Эта С. п.
при X=Y—S° позволяет «в принципе» вычислить р-
компоненты стабильных гомотопич. групп сфер. С. п.
Адамса обобщена А. С. Мищенко и С. П. Новиковым
на произвольные обобщенные теории коеомологий.
Имеются также обобщения С. п. Адамса, сходящиеся
к нестабильным гомотопич. группам.
Лит.: [1] Мошер Р., Т а н г о р а М., Когомологические
операции и их приложения в теории гомотопий, пер. с англ.,

M., 1970; [2] Фук с Д. В., Фоменко А. Т., Г У т е н-
махер В. Л., Гомотопическая топология, М-, 1969; [31
СеррЖ.-П., в кв.: Расслоенные пространства и их прило-
приложения. Сб. переводов, М., 1958, с. 9—114; [4] М а к л е й н С,
Гомология, пер. с англ., М., 1966; [5] К а р т а н А., Э й л е н-
берг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., №¦, 1960; [6]
Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М.,
1971; [7] X у С ы - ц з я н, Теория гомотопий, пер. с англ.,
М., 1964; [8] Г о д е м а н Р., Алгебраическая топология и тео-
теория пучков, пер. с франц., М-, 1961; Г9] Новикове. П.,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1967, т. 31, с. 855—951; [10]
Adams J. F., Stable homotopy and generalised homology,
Chi.—L., 1974; [11] S w i t z e г R. M., Algebraic topology,
homotopy and homology, В.— Hdlb.— N. Y., 1975; [12]
Smith L., Lectures on the Eilcnberg-Moore spectral sequen-
sequence, В.— Hdlb.— N. Y., 1970; 113] R a v e n e 1 D. С. в кн.:
Geometric applications of homotopy theory, II, B.— Hdlb.— N.
Y., 1978, p. 404—75. С. Н. Малыгин.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ дифференциал ь-
ных операторов — раздел общей спектральной
теории операторов, к-рый изучает спектральные свой-
свойства дифференциальных операторов в различных про-
пространствах функций, особенно в гильбертовых про-
пространствах измеримых функций.
Пусть Qn — область в R", Г — ее граница,
— линейный дифференциальный оператор (д. о.), и
^"К?1а1<тД,;<^аЧг==°> *</<*, B)
— краевые условия, заданные линейными д. о. lj. Здесь
*=(*,, ..., *„), D = (D1, ..., Д„), Лу = ~,
а = (а, а„),
oij — неотрицательные целые числа, |а|~а.х-\-. . . + апу,
Da=D*1. . .Л"", а функции аа п baj- определены в Qn
и Г соответственно. В дальнейшем иозде, где нет осо-
особых оговорок, предполагается, что аа и Ьау—достаточно
гладкие функции при л>1и а1п(г)фЬ при всех х? (а, Ь),
если я=1 и Q1=(a, b).
Самосопряженные расширения д. о.
Пусть Lo — д. о., к-рый задается выражением A)
на функциях из С" (Q,,), т. е. имеющих производные
любого порядка и обращающихся в нуль вне компакта,
лежащего внутри Q,,. Если для любой цары функций
и (х) и v(x) из Со (Qn)
бйп Цх, D, и) 7их— [ ul(x, D, v) dx, C)
то L'u наз. с и м м е т р и ч е с к и м д. о., а I — фор-
формально самосопряженным д. о. Пусть
Lts— замыкание д. о. b'a в L2(Qn). Тогда д. о. Lo и со-
сопряженный к нему L*o соответственно наз. мини-
минимальным и максимальным оператор а-
Ai и, порожденными l(x, D); Lo — расширение д. о. Lo.
Важной задачей теории д. о. является описание Lo
и L*o, а также всех самосопряженных расширений д. о.
Lo.
Здесь можно применять абстрактную теорию расши-
расширений симметрич. операторов. Однако для д. о. сешо-
сопряженные расширения часто удается описать в тер-
терминах граничных условий.
Пусть
н±=-{и{т)\и{Х) z D(L;), l;u=± ы) D)
— дефектные подпространства оператора La. Если
dim #±=0, то L0=L*0, и д. о. L* наз. сущест-
существенно самосопряженным. Любые из сле-
следующих условий достаточны для существенной само-

сопряженности д. о. L'o в L2(R"). Формально само-
самосопряженный д. о. l(x, D) имеет вид
с действительными коэффициентами, и L'a ограничен
снизу; имеет вид E), является эллиптическим, a^j —
постоянные, q(x)^—Q (\x\), Q (/¦) монотонно не убывает
и интеграл
(г) dr = оо;
имеет постоянные и действительные коэффициенты;
имеет ограниченные коэффициенты, а главный член—
эллиптич. типа с действительными и постоянными ко-
коэффициентами .
Пусть д. о. Lo имеет конечные индексы дефекта п±=-
=dim Я±, что является характерным для обыкновенных
д. о. В этом случае числа п± совпадают с размерностями
подпространств решений уравнений l(u) — ±iu из
L2(a, b). Поэтому «,<//( и вычисление индексов де-
дефекта д. о. связано с качественной теорией и асимптотич.
методами обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть п - 1, х? (а, Ь). Если п + фп_, то д. о. L'a не
имеет ни одного самосопряженного расширения. Если
h+ = л_ — к, то для самосопряженности расширений
д. о. L'o надо задавать к граничных условий и они
полностью описаны. Граничные условия принимают
простой вид, когда выражение Ло имеет два регуляр-
регулярных конца или имеет один регулярный конец, но т—
— 2к, п ^ — к. Конец а наз. регулярным, если
а> — оо и ——, а,-(.г), U<:/¦<:»» — 1 суммируемы на
д/л (-*¦/
[а, Р] при любом p<fe.
Имеются примеры д. о. с частными производными в
L2(R"), га^З, с разрывными коэффициентами и с
конечными индексами дефекта, но их теория еще слабо
развита. В терминах граничных условий описаны не
все самосопряженные расширения симметрич. д. о.
с частными производными в ограниченной области, но
описаны разнообразные расширения с заданными свой-
свойствами.
Пусть I — формально самосопряженный эллиптиче-
эллиптический д. о. четного порядка т = 2к с действительными
коэффициентами, С%{Ип) — множество всех функций,
имеющих производные любого порядка в ограниченной
замкнутой области iin и удовлетворяющих краевым
условиям типа Дирихле Dau^ 0, х? Г, |а| <fe—1. Тогда
д. о., определенный выражением I с областью определе-
определения СдГ (Qn), является симметрическим, а его замы-
замыкание Lm — самосопряженным. Имеются другие при-
примеры конкретных самосопряженных краевых условий
для д. о., из них наиболее полно изучены д. о. 2-го
порядка с краевыми условиями типа Дирихле, Ней-
Неймана и третьего рода.
Спектральный анализ самосопря-
самосопряженного д. о. Всикий самосопряженный д. о.
L допускает спектральное разложение вида
°° I с/Е, , ((!)
где Е^ — разложение единицы (ортогональное семейст-
семейство проекторов). Однако общая формула не дает непо-
непосредственного разложения по собственным функциям
конкретных самосопряженных д. о., и поэтому важно
уметь семейство Е^ выразить с помощью собственных
функций. Если самосопряженный д. о. L имеет дис-
дискретный спектр {Кь} с соответствующими ортонорми-

рованными собственными функциями {ф^(т)}, то Е^ —
интегральный оператор с (спектральным) ядром
Е (х, у, X) = 2}х 6 @> Х] Фп (*) ф« (У)- G)
При наличии непрерывного спектра у д. о. вопрос ста-
становится сложным: для непрерывного спектра нет соб-
собственных функций из L2(Qn). Однако имеют место сле-
следующие результаты.
Пусть L — самосопряженный обыкновенный д. о.
вида A) d L.2{— оо, ое-), (pj (х, X), . . ., <$т (х, X) — фун-
фундаментальная система решений уравнения 1и=Хи.
Тогда существует монотонная матричная функция
о(к.)=\\ац(к)\\Т. j=i (спектральная мера) такая, что
разложение единицы Е^ д. о. L задается ядром
Е(х, у, W^Sr^i4^' к)ЫУ- b)''<Ji/(W- (8)
Далее, для любой функции f (х) из L2{ — со, со) интеграл
(9)
сходится в пространстве вектор-функций L2(—оо, оо;
da (к)), порожденном мерой о (Я), и обратно, интеграл
сходится к ](х) в L2(—оо, оо). Если выражение A)
имеет один регулярный конец а и т — 2к, а индексы
дефекта п±—к, то функции q>j (х. Я), .... (р^(г, Я,) вы-
выбираются так, чтобы они образовали фундаментальную
систему в классе решений уравнения 1и~Хи, удовлет-
удовлетворяющих краевым условиям в а, и в отом случае по-
порядок спектральной меры будет равен к.
Пусть L — самосопряженный эллиптич. д. о. в
L2(Qn). Тогда его разложение единицы Е — интеграль-
интегральный оператор с ядром Е (х, у, X) и существует неубы-
неубывающая функция р(Х) такая, что для любых чисел Хх и
Х2 имеет место
Е(х, y,Xi)~E{x, у, Я2)=^2ф(х, y,X)dp(X), A0)
при этом при каждом X существует конечная или бе-
бесконечная система {фу(.т, X)} решений уравнения 1и=
=Хи и
Ф (х, у, X) =27 фу (-г. Я) ФУ- (у, X). (И)
Для оператора Шрёдингера Lu^s—Аи-\-д(х)и, ?
при условии \q (x)\ -sfc(l-!" \х\)~2-е- ядро Е (х, у, X) явно
выражается через решения задачи теории рассеяния.
Для произвольных самосопряженных д. о. с част-
частными производными также справедливы формулы A0),
A1), в этом случае {ц>/(х, X)} могут быть обобщенными
функциями, но конечного порядка.
Характер сходимости разложения по собственным
функциям д. о. и асимптотич. свойства спектрального
ядра помогают в обосновании метода Фурье при реше-
решении уравнений математич. физики. Для обыкновенных
д. о. имеет место следующий окончательный резуль-
результат — теорема равносходимости: раз-
разложения заданной суммируемой функции по собствен-
собственным функциям д. о., ограниченного снизу, и интеграл
Фурье сходятся или расходятся в точке одновременно.
Для д. о. с частными производными вопрос становится
сложным.
Качественная теория спектра Д. о.
занимается изучением природы спектра в зависимости
от поведения коэффициентов, геометрии области и гра-
граничных условий.
Имеется серия признаков дискретности спектра д. о.
Наиболее общим является следующий критерий и
его обобщения: если д(х)^1, то для дискретности

спектра д. о., порожденного выражением 1и=— м"+
-\-q(x)u в L2( — оо. оо), необходимо и достаточно, чтобы
для любого 7>0
Пщ \ q (t) dt= оо.
| X | -* со J*
Для д. о. с частными производными обобщение этого
критерия принимает более сложный вид. Имеются дру-
другие, более простые признаки дискретности спектра д. о.,
напр, самосопряженный д. о., порожденный выраже-
выражением E), будет иметь дискретный спектр, если </(г)-»-оо
при [ж|-»-оо; самосопряженный д. о. Lm имеет дискрет-
дискретный спектр.
Изучение природы спектра при наличии непрерывной
части становится трудной задачей. Вот нек-рые резуль-
результаты: 1) если обыкновенный д. о. определяется формаль-
формально самосопряженным выражением A) с периодич. коэф-
коэффициентами на (—оо, оо) с общим периодом, то его
спектр непрерывный и состоит из последовательности
непересекающихся интервалов, концы к-рых стремятся
к —со или +оо; 2) если д. о. определяется выражением
(-1)* (D\-\- . . . -\-D%)*+q(x) BL2(R") и lim <?(x)=
=0, |ж|-»—f-oo, непрерывный спектр его заполняет
[О, со], а отрицательный спектр дискретный и может
иметь предельную точку в нуле. Если fc=l, |</(а:)|«:
<М(\х\) и
rM (r)dr < оо (jl/(r) = 0(/—*)),
то отрицательный спектр будет конечным (на непрерыв-
непрерывном спектре нет собственных значений).
Природа спектра зависит также от граничных усло-
условий. В ограниченной области описаны конкретные гра-
граничные условия, при выполнении к-рых самосопряжен-
самосопряженный д. о. Лапласа имеет непрерывную часть спектра.
Это — результат бесконечности индексов дефекта ми-
минимального д. о. Лапласа в области с границей.
Функции от самосопряженного д. о.
изучаются с целью решения смешанных задач для диф-
дифференциальных уравнений, а также для внутренних
задач теории д. о. Пусть L — эллиптич. д. о. порядка
т. Хорошо изучена резольвента {L-irX)~1 при Я>0 и
функции ехр(—Lt) и exp (iL^mt) при t>0. Последние
являются разрешающими операторами для обобщенного
уравнения теплопроводности щ=— Lu, и (О, x)—f(x) и
обобщенного волнового уравнения Uf=iL 'mu, и@,ж)=
=/(.г). Все три оператор-функции являются интеграль-
интегральными с ядрами R (х, у, X), К (ж, j/, t), G (х, у, t) (функ-
(функции Грина) соответственно. Формула
R(x,y,b)=^"e-HK{x,y,t)dt A2)
устанавливает связь между R и К. Нек-рые свойства
Л (х, у, X): если L — эллиптический самосопряженный
д. о. порядка т в L2(Qn), то при р>и/2та оператору
(L-\-X)~P отвечает ядро типа Карлемана; при p>nlm.
оператор (Lm-\-X)~P является ядерным и поэтому
Sp(L + XrP = '?^l (Xk + X)~P, A3)
где {Xf,} — собственные значения д. о. Lm. Имеют-
Имеются и другие признаки ядерности оператора (Ь^Х)~р
bL2(R").
Аналитич. и асимптотич. свойства функций Грина да-
дают полезную информацию о спектральных характери-
характеристиках д. о. L. Напр., если в A3) известно поведение
Sp(L-\-X)~P при Я,-»-оо, то применение тауберовых теорем
позволяет найти асимптотику Х^. То же самое удается,
если известна асимптотика S^exp (—Lt) при t->—1-0.
Асимптотика R (х, у, X) и К (х, у, t) устанавливается,
напр., методом параметрикс, методом потенциалов и
т. д. Так, на этом пути удалось найти асимптотику Х^

для обширного класса эллиптич. д. о. Для определения
асимптотики спектрального ядра Е (х, у, А) млиптич.
д. о. оказалось эффективным изучение асимптотики
ядра G (х, у, t) при 2->-0 с дальнейшим применением раз-
различных тауберовых теорем. В частности, при х-=у,
Несамосопряженные д. о. Наиболее пол-
полные результаты имеются для обыкновенных д. о. на
конечном отрезке. Пусть д. о. L определяется выра-
выражением A) при гс=1, ат(х)^1 на функциях, имеющих
(т—1) абсолютно непрерывные производные и удов-
удовлетворяющие краевым условиям:
Здесь m—i~^k{^. . .~^km~^0, kv-2<ikv и числа av,
bv одновременно не равны нулю. Пусть краевые усло-
условия B) являются регулярными. Таковыми будут крае-
краевые условия типа Штурма — Лиувилля (т—2к, 1у (и) =
= lv (м)=0, l<:v<m—1) и периодич. типа {av=fiv ~1).
Тогда д. о. L имеет бесконечное число собственных
значений, к-рые имеют точную асимптотику; система
собственных и присоединенных функций д. о. L полна
в Lp@, 1); разложение функций f(x) из D (L) по соб-
собственным и присоединенным функциям д. о. L сходится
равномерно на @, 1]. Факт полноты системы собствен-
собственных и присоединенных функций имеет место также при
нек-рых нерегулярных краевых условиях, в частности
типа распадающихся (lv (и) = 0, i<.v*gim1, lv (и) = 0,
l<v<:m2, т-±фт%, т-^-у тг= т), однако сходимость
разложения в ряд по собственным и присоединенным
функциям справедлива только для узкого класса (I-
аналитических) функций.
Пусть Lo — самосопряженный оператор в сепарабель-
ном гильбертовом пространстве Н — имеет собственные
значения {Х^} и при нек-ром р>0 оператор Lqp явля-
является ядерным. Пусть Lr— другой оператор такой,
что LtLuX является вполне непрерывным. Тогда сис-
система собственных и присоединенных векторов опера-
оператора Lq-I-L-l полна в Я (теорема Келдыша).
Применение этой теоремы дает классы д. о., к-рые
имеют полную систему собственных и присоединенных
функций.
Пусть Lm — д. о. в L2(Qn) и
тогда система собственных и присоединенных функций
для д. о. Lm-{-L1 полна в L2(Qn). Однако разложение
функции в ряд но этой системе, вообще говоря, расхо-
расходится и суммируется со скобками по обобщенному ме-
методу Абеля.
Если область Qn неограничена, то для выполнения
условий теоремы Келдыша надо налагать дополни-
дополнительные условия на рост коэффициентных функций
д. о.
Мало изучены несамосопряженные д. о. с непрерыв-
непрерывной частью спектра. Это связано с тем, что для них нет
аналога теоремы о спектральном разложении. Исклю-
Исключение составляет д. о., порожденный выражением
+7() при х?{0, со) или ,г-? (—со, со) с комплек-
снозначной функцией g(.r). Пусть ср (д-, к) является
решением уравнения —u{i)-\--q (.г)и -khi при 0«:.г<оо
и удовлетворяет начальным условиям ф @, /с)=1,

ф'@, k)=h. Пусть /j (?) и /2(«) — финитные функции
из ?2@, оо) и
In J ' т >i /
Тогда существует линейный функционал R на линей-
линейном топологич. пространстве G такой, что FlF2?G,
(R, F1F2)--
Пространство G — множество всех целых четных функ-
функций первого порядка роста конечного типа, суммируе-
суммируемых на действительной оси. Если xq(x)^L1@, оо),
то R явно вычисляется. В этом случае на непрерывном
спектре появляются спектральные особенности — полю-
полюсы ядра резольвенты, к-рые не являются собственными
значениями д. о. Спектральные особенности присущи
несамосопряженным операторам и из-за них вопросы
разложения (и его сходимость) по собственным функци-
функциям принимают более сложный характер. Для д. о.
в Ьг (R3) в предположении, что комплексная функция
q(x) убывает экспоненциально, также найден вид спек-
спектрального разложения через решение задачи теории
рассеяния с учетом влияния спектральных особенно-
особенностей.
В обратных задачах спектрально-
спектрального анализа требуется определение д. о. по нек-
рым спектральным характеристикам. Полностью реше-
решены задачи определения одномерных дифференциальных
уравнений Шрёдингера и систем типа Дирака по спект-
спектрам различных расширений, по спектральной мере,
по данным рассеяния, т. е. по асимптотич. поведению
нормированных собственных функций, и т. д. Обратные
задачи нашли приложение в интегрировании нелиней-
нелинейных уравнений.
С. т. дифференциальных операторов возникла в свя-
связи с исследованиями колебания струны и вызвала к
жизни теорию ортогональных разложений A8—19 вв.).
Систематич. изучение самосопряженного д. о. 2-го по-
порядка на конечном отрезке начинается с 1830 (Штур-
(Штурма — Лиувилля задача) и в 19 в. было предметом мно-
многих исследований, в частности в связи с теорией спе-
специальных функций. Однако замкнутость системы соб-
собственных функций д. о. Штурма — Лиувилля была
доказана только в 1896, тогда же изучен и характер
сходимости разложения по собственным функциям.
Теория сингулярных д. о. берет свое начало в 1909—
1910, когда было найдено спектральное разложение само-
самосопряженного неограниченного д. о. 2-го порядка с
произвольной структурой спектра и, по существу, вве-
введено понятие индекса дефекта и получены первые ре-
результаты по теории расширений. Интерес к сингуляр-
сингулярным д. о. возрос с 1920 с возникновением квантовой
механики. Систематич. исследование несамосопряжен-
несамосопряженных сингулярных д. о. началось с 1950, когда были за-
заложены основы теории операторных пучков и указан
метод доказательства полноты системы собственных и
присоединенных функций для д. о.
Лит.: [\] Березанский Ю. М., Разложение по соб-
собственным функциям самосопряженных. операторов, К., 1965;
[2] Глазман И. М., Прямые методы качественного спект-
спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов,
М., 1963; [3] ДанфордН., III в а р ц Д ж. - Т., Линей-
Линейные операторы, пер. с англ., ч. 2, М., 1966; [4] К а т о Т., Тео-
Теория возмущений линейных операторов, пер. с англ., М., 1972;
[5] Л е в и т а н Б. М., СаргсянИ. С, Введение в спект-
спектральную теорию, М., 1970; 16J М а р ч е н к о В. А., Спект-
Спектральная теория операторов Штурма — Лиувилля, К., 1972;
[7] Н а й м а р к М. А., Линейные дифференциальные операто-
операторы, 2 изд., М., 1969; [8] Т и т ч м а р ш Э. .4., Разложения по
собственным функциям, связанные с дифференциальными урав-
уравнениями второго порядка, пер. с англ., ч. 1—2, М., 1960—61;
[9] Ф а д д е е в Л. Д., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1963,
т. 69; 1964, т. , с. 314—36; [10] Алимов III. А., Иль-
Ильин В. А., Никишин Е. М., «Успехи матем. наук», 1976,

т. 31, в. 6, с. 28—83; 1977, т. 32, в. 1, с. 107—30; [11] Б е р е-
з а н с к и й Ю. М., «Укр. матем. ж.», 1974, т. 26, в. 5, с. 579—
590; [12] Гасымов М. Г., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1968,
т. 19, с. 41—112; [13] Левитан Б. М., Гасымов М. Г.,
«Успехи матем. наук», 1964, т. 19, в. 2, с. 3—63; [14] Дубро-
Дубровин Б. А., Матвеев В. Б., Новиков С. П., там же,
1976, т. 31, в. 1, с. 55—136; [15] К о с т ю ч е в к о А. Г., в кн.:
IV летняя математическая школа, К., 1968, с. 42—117; [16]
Хермандер Л., «Математика», 1969, т. 13, J4» 6, с. 114—37.
М. Г. Гасымов.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ линейных опе-
операторов— раздел функционального анализа, изу-
изучающий структуру линейного оператора на основании
свойств его спектральных характеристик (расположения
спектра, поведения резольвенты, асимптотики собст-
собственных значений и т. д.). При этом под описанием
структуры оператора может пониматься нахождение
эквивалентного ему оператора в фиксированном классе
конкретных (часто функциональных) моделей; опре-
определенный способ его восстановления из совокупности
более простых операторов (напр., в форме прямой суммы
или прямого интеграла); отыскание базиса, в к-ром
матрица оператора имеет наиболее простой вид, дока-
доказательство полноты системы корневых векторов; полное
описание решетки инвариантных подпространств, вы-
выделение максимальных цепочек инвариантных под-
подпространств (треугольное представление); построение
достаточно широкого функционального исчисления
и т. д.
Весьма популярна (и плодотворна) в С. т. идея разло-
разложения оператора в прямую сумму операторов, соот-
соответствующую разбиению его спектра. Первые (для
пространств бесконечной размерности) результаты та-
такого рода получил Ф. Рисе (F. Riesz, 1909), предложив-
предложивший следующую конструкцию. Пусть Т — ограничен-
ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве X,
а(Т) — его спектр, RT(k) — его резольвента (т. е.
RT(k)=(T— XI)-1, Х?С\с{Т)); тогда формула
f (%) RT (k) d%,
где Г — произвольный контур, охватывающий о (Г),
определяет функциональное исчисление на алгебре
ростков голоморфных функций в окрестности а(Т).
Если 6 — открыто-замкнутое подмножество а(Т) и
/ — функция, равная 1 в окрестности б и 0 в окрестности
а(Т)\6, то получается проектор РтF), перестановоч-
перестановочный с Т и такой, что а (Т\РТ (8)Х)=8.
Более общая С. т. основывается на понятии спектраль-
спектрального подпространства. Спектральным много-
многообразием оператора Т, соответствующим замкну-
замкнутому подмножеству 8?о(Т), наз. совокупность Xj-ф)
всех векторов х?Х, имеющих в С\б локальную ре-
резольвенту (т. е. аналитическую Х-значную функцию
f(X), удовлетворяющую условию (T—kI)f(k)=x, X?C\
\б); спектральное подпространст-
подпространство — это замыкание спектрального многообразия. Ес-
Если любые две локальные резольвенты одного и того же
вектора совпадают на пересечении областей их опреде-
определения (это означает, что локальная резольвента нуле-
нулевого вектора равна нулю — условие, выполненное,
напр., для всех операторов без собственных значений),
то говорят, что оператор имеет свойство однозначного
распространения. В этом случае для каждого х?Х
определена локальная резольвента с максимальной
областью определения, дополнение к к-рой наз. л о-
кальным спектром оператора Т на векторе х и
обозначается а(Т, х). Таким образом, для оператора Т,
обладающего свойством однозначного распространения,
если при этом Хтф) замкнуто, то а(Т\Хт (8))с6.
В общем случае аналогичное включение для спектраль-
спектральных подпространств но выполнено. Спектральные поц-

пространства удовлетворяют условию дуальности
%т Fi)-LZ>AT7-« (б2) Fj и бг— непересекающиеся замкну-
замкнутые множества), однако другое естественное условие
Хт(ё1Iс:Хг. (б) ((?! и б2 открыты, 6^62=0G))
может нарушаться. Это включение становится спра-
справедливым, если его правую часть заменить «слабым
спектральным подпространством» Хт (G2) (по опреде-
определению, Хт (б) состоит из векторов х?Х, для к-рых
каждому е>0 поставлена в соответствие ана-
аналитическая Х-значная функция /е (Я) со свойством
\\(T~XI)fe(X) — х\\<е, A.gC\6). Известны достаточ-
достаточные условия более сильной отделимости спектра. В част-
частности, для операторов с вещественным спектром условие
умеренности роста резольвенты
log+log+ (sup ||ЯГ(«+it) ||)dt < оо
s
влечет существование (для любого открытого покрытия
спектра) семейства Г-инвариантных подпространств
с вписанными в покрытие спектрами сужений, линей-
линейно порождающих X. Фактически такие операторы
принадлежат классу разложимых операто-
операторов, к-рый можно определить требованием замкну-
замкнутости спектральных многообразий и следующим усло-
условием: для любого открытого покрытия {Gj }?=i спектра Т
подпространства XT{G{) линейно порождают X. Этот
класс операторов содержит все операторы, резоль-
резольвенты к-рых удовлетворяют условию аналитич.
мажорантности (таковы, в частности, компактные опе-
операторы, слабые возмущения спектральных операторов,
мультипликаторы рядов Фурье в IP, /-симметричные
операторы) и устойчив относительно аналитич. отоб-
отображений и (при нек-рых ограничениях) предельных
переходов, относительно образования сужений и фак-
факторов. В то же время обилие спектральных подпро-
подпространств (при достаточно богатом спектре) обеспечивает
содержательность С. т. Построен пример оператора,
находящегося вне рамок каких бы то ни было спектраль-
спектральных разложений ввиду того, что спектры всех его су-
сужений на инвариантные подпространства совпадают
с отрезком [О, 1].
Даже в случае разреженного спектра сужения опера-
оператора на спектральные подпространства могут обладать
достаточно сложным строением (тонкой структурой).
Так, всякий полюс резольвенты — собственное значе-
значение, подъем к-рого (максимальная из длин корневых
цепочек) равен порядку полюса; соответствующее спек-
спектральное подпространство является корневым подпро-
подпространством. В случае операторов, действующих в ко-
конечномерных пространствах, это приводит к разложе-
разложению оператора в прямую сумму жордановых клеток,
построенных по корневым цепочкам. Аналоги жорданова
представления занимают важное место и в общей С. т.;
при этом роль жордановых клеток могут играть опе-
операторы с одноточечным спектром и циклич. вектором,
операторы с линейно упорядоченной решеткой инва-
инвариантных подпространств (такие операторы наз. од-
одноклеточными; среди операторов в конечномерных
пространствах таким свойством обладают только жор-
дановы клетки) или операторы, имеющие простые кон-
конкретные представления (модели). Однако возможность
такого разложения не универсальна — существуют опе-
операторы, решетка инвариантных подпространств и
спектр к-рых устроены слишком сложно, чтобы их
можно было считать элементарными «клетками», в то
же время не обладающие ни одной парой непересекаю-
непересекающихся инвариантных подпространств. Более того,
неизвестно A984), всякий ли ограниченный оператор
(в пространстве, размерность к-рого больше 1) обла-
обладает нетривиальным инвариантным подпространством.

Положительный ответ на этот вопрос получен для ком-
компактных операторов, операторов, перестановочных с
компактными, близких к эрмитовым или унитарным,
субнормальных, а также принадлежащих нек-рым
специальным классам.
Часть результатов конечномерной С. т. имеет про-
простые аналоги в С. т. компактных операторов. Так,
спектр компактного оператора не более чем счетен и
его точкой сгущения может быть лить 0, ненулевые
точки спектра являются полюсами резольвенты, причем
корневые подпространства конечномерны, сопряжен-
сопряженный оператор имеет ту же структуру сужений на корне-
корневые подпространства. Однако даже в том случае, когда
точечный спектр достаточно богат и корневые векторы
оператора Т порождают все пространство X (в таких
случаях говорят, что Т — полный оператор),
разложение X в прямую сумму корневых подпрост-
подпространств может быть неосуществимо из-за геометрич.
особенностей их взаимного расположения.
Если пространство X — гильбертово (в этом слу-
случае будем писать Н вместо X), то всякий компактный
оператор Т?Л?(Н) представляется в виде суммы ряда
т. с.
1 х — ^j sn (x, in) ?n, x^ //,
где {sn} — невозрастающая последовательность поло-
положительных чисел, а {/„} и {еп} -• ортонормированные
системы. Числа sn=sn (Г) наз. сингулярными
числами, или s-числами, оператора Т; они совпа-
совпадают с собственными значениями оператора (ГГ*)'/;,
занумерованными в порядке убывания с учетом крат-
ностей. Кроме того, sn(T)—inf\\TP\\, где Р пробегает
множество проекторов коранга п (минимаксная харак-
теризация сингулярных чисел), и ,?,, (T) совпадает с рас-
расстоянием от Т до множества операторов ранга п, что
количественно выражает соответствие между скоростью
убывания сингулярных чисел оператора и его близо-
близостью к операторам конечного ранга. На этом основаны
оценки сингулярных чисел для сумм и произведений,
из к-рых следует, что определенные условия на ско-
скорость убывания s-чисол выделяют идеалы в алгебре
операторов. В частности,
идеал, являющийся при p^i банаховым пространством
относительно нормы \Т\р. Пространство у2 — гильбер-
гильбертово, его элементы наз. операторами Гиль-
Гильберта — Шмидта; любой ?2-реализации про-
пространства Н соответствует представление всех опера-
операторов Гильберта — Шмидта интегральными оператора-
операторами с квадратично суммируемыми ядрами. Операторы
из у1 наз. ядерными или операторами
со следом: определенный на идеале операторов
конечного ранга след продолжается до непрерывного
функционала на у17 значение к-рого на любом операторе
совпадает с суммой (ряда) диагональных элементов
его матрицы, а также с суммой собственных значений.
Для операторов вида 1-\-Т, где Т?у1% вводится поня-
понятие определителя (бесконечное произведение, состав-
составленное из собственных значений): функция det (/—\х.Т)
наз. характеристическим определи-
определителем оператора Т. Характеристич. определитель
является естественным обобщением характеристич.
многочлена матрицы и, ввиду наличия удобных оценок,
играет полезную роль в С. т. ядерных операторов.
В частности, резольвента оператора T^Yi выражается
через характеристич. определитель по формуле (вос-
(восходящей к У. Фредгольму, Е. Fredholm, 1903)
HtM = Ft (Я-1) det (/ — Х-1?1),

где FT — целая оператор-функция, коэффициенты к-рой
выражаются в терминах «частичных следов» оператора
Т. Получаемые таким образом формулы и оценки ре-
резольвенты переносятся на операторы из ур, р>1 (что
важно для приложений), и приводят к следующим крите-
критериям полноты: 1) если Т=А (I-\-S), где А—А*?ур, S
компактен и Кег А =0, то Т полон (теорема Кел-
Келдыша, имеющая многочисленные приложения в
С. т. дифференциальных операторов); 2) если Т?ур
и область значений квадратичной формы (Тх, х) со-
содержится в нек-ром угле величины п/р, то Т полон.
Компактные операторы, спектры к-рых состоят из
единственной точки /\=0 (условие, противоположное
условию полноты), наз. вольтерровыми, вви-
ввиду того что интегральные операторы Вольтерра
Tf(x)=\)Q K(x, y)f(y)dy
являются их моделями. Точнее, всякий вольтерров
оператор Гильберта — Шмидта унитарно эквивалентен
интегральному оператору Вольтерра в пространстве
вектор-функций; операторы, не принадлежащие у2,
имеют модели, ядра к-рых — обобщенные функции.
Такие интегральные представления являются аналога-
аналогами треугольных представлений для матриц. Развита
техника интегрирования операторных функций по
цепочке проекторов и на ее основе получено абстракт-
абстрактное треугольное представление вольтеррова оператора
T=\nP(T—T*)dP,
где 3* — максимальная цепочка Т-инвариантных про-
проекторов. Это привело к уточнению и обобщению основ-
основных теорем теории интегральных моделей, доказатель-
доказательству важных соотношений между распределениями
собственных значений эрмитовых компонент вольтер-
ровых операторов, близких к единичному, построению
треугольных факторизации операторов, установлению
связи С. т. с нек-рыми вопросами теории краевых задач
для канонич. систем дифференциальных уравнений (в
частности, позволило операторными методами исследо-
исследовать вопросы устойчивости таких систем).
Долго остававшаяся открытой проблема существова-
существования цепочек ранга 1 для произвольного компактного
оператора была решена отрицательно. Существование
инвариантных цепочек ранга 1 доказано для диссипатив-
ных операторов с ядерной мнимой компонентой, вслед-
вследствие чего их треугольные представления имеют наи-
наиболее законченный вид. Для таких операторов по-
построена и теория жордановых представлений, сходная
с классической (конечномерной): всякий оператор раз-
разлагается в квазиирямую сумму одноклеточных, при-
причем одноклеточность в этом классе операторов эквива-
эквивалентна существованию циклич. вектора. В этой теории
центральную роль играет понятие характеристической
оператор-функции (х. о.-ф.).
Тесно связанное с геометрич. конструкциями теории
унитарных дилатаций понятие х. о.-ф. сжатия (т. е.
оператора, норма к-рого не превосходит единицы) ле-
лежит в основе С. т. этого класса операторов. X. о.-ф.
сжатия Т — это функция QT(X), определенная в от-
открытом единичном круге Д?С, принимающая значе-
значения в пространстве операторов, действующих из DT(H)
в Dr*(Il) (где DT=(I — T*T)i/2), и удовлетворяющая
соотношению
Эг (X) DT = DT* (I—XT*)-1 (IX— Т).
X. о.-ф. аналитична в Д и является сжимающей
||9г(^I1<1; если Т" и Т*п стремятся к нулю в сильной
операторной топологии (такие операторы образуют
класс Соо), то 6Г — внутренняя функция,

т. е. ее предельные значения на дД почти всюду уни-
унитарны. Обратно, по любой внутренней операторнознач-
ной функции Q:A-+3S (Ех, ?2) можно построить сжатие
Т, для к-рого 6j=9, ограничивая оператор умножения
на % в пространстве Харди Н^Е (Д) на ортогональное
дополнение Kq к подпространству 0//д . Эта конструк-
конструкция, наз. функциональной моделью
сжатия, дает возможность переводить задачи С. т.
на язык классич. теории функций, где они приобретают
вид проблем интерполяции, рациональной аппроксима-
аппроксимации, аналитич. продолжения, специальной факториза-
факторизации и т. д. Функциональную модель можно использо-
использовать для построения более богатого функционального
исчисления, определяя для ф?#°°(Д) оператор <рG')
как ограничение на Kq оператора умножения на ф (Я)
(условие Т ? Соо здесь не обязательно, важно, чтобы Т
был вполне неунитарным). Если это исчисление не
инъективно, т. е. ф (У)=0 для нек-рой функции ф ?//"",
Ф=^0, то Т наз. сжатием класса Со. Сжатие ??С0
обладает минимальной внутренней функцией тт (об-
(образующей в идеале всех функций, аннулирующих Т);
mj- является аналогом минимального многочлена ма-
матрицы — в терминах ее характеристик описываются
многие спектральные свойства Т. Так, полнота сжатия'
Т?С0 имеет место тогда и только тогда, когда шт --
Бляшке произведение (и в этом случае Т допускает
спектральный синтез). Точечный спектр ор(Т) сжа-
сжатия Т ?С0 совпадает с множеством нулей функции
тт, а о (Г) получается из ар(Т) добавлением тех точек
окружности дА, через к-рые rnj- не может быть анали-
аналитически продолжена. То, что сжатия класса Са имеют
в Д не более чем счетный спектр, указывает на огра-
ограниченность этого класса; с другой стороны, ему при-
принадлежат, напр., все сжатия, для к-рых дефектные
операторы DT, DT* ядерные. Если DT, DT* — опе-
операторы ранга 1, то функциональная модель действует
в классич. пространстве Харди Нг (Д) и полностью
определяется скалярной внутренней функцией пг=
= пгт=Вт, в связи с чем принято обозначение Т=
= S(m). Ст. сжатий S (ш) наиболее тесно связана с
теорией аналитич. функций и наиболее изучена; оти
сжатия играют роль жордаиовых клеток в С. т. сжа-
сжатий класса Со ввиду того, что всякое сжатие Т?С0
квазиподобно прямой сумме QhLi S (mi). Более при-
привычное жорданово разложение (на одноклеточные опе-
операторы) для Т ?С0 не всегда возможно.
Лит.: [1] ДанфордН., ШварцДж., Линейные
операторы, пер. с англ., ч. 2 — Спектральная теория, М., 1966;
ч. 3—Спектральные операторы, М., 1974; [2] R a d j a v i H.,
Rosenthal P., Invariant subspaces, В., 1973; [3] С о 1 o-
Jara I., Foia; С, The theory of generalized spectral operators,
N. Y., 1968; U] Г о x б е р г И. Ц., К р е й н М. Г., Введение
в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбер-
гильбертовом пространстве, М., 1965; [о] их же, Теория вольтерро-
вых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения,
М., 1967; [6] С е к е ф а л ь в и - Н а д ь Б., Ф о я ш Ч., Гар-
Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве,
пер. с франц., М., 1970; L7] Никольский Н. К., Лекции
об операторе сдвига, М., 1980. В. С. Шульман.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, разложение
единицы, — монотонное непрерывное слева в силь-
сильной операторной топологии отображение Р{-) действи-
действительной прямой во множество ортогональных проекто-
проекторов в гильбертовом пространстве, удовлетворяющее
условиям
lim P («)=-¦ 0, lira P (/) = /.
t ~*-~ со ?-М-сс
Всякая самосопряженная (т. е. принимающая самосо-
самосопряженные значения) сильно счетно аддитивная боре-
левская спектральная мера Е (•) на прямой определяет
С. ф. но формуле [' (t) =Е{—оо, t) и для всякой С. ф.
существует единственная определяющая ее спектраль-
спектральная мера.

Понятие С. ф. является основным в спектральной те-
теории самосопряженных операторов: по теореме о
спектральном разложении, всякий такой оператор имеет
интегральное представление \ tdP (t), где Р (t) —
нек-рая С. ф. Аналогичную роль в теории симметриче-
симметрических операторов играет понятие обобщенной
С. ф;— так называется отображение действительной
прямой во множество неотрицательных операторов,
удовлетворяющее всем условиям, накладываемым на
С. ф., за исключением проокторнозначности. Всякая
обобщенная С. ф. может быть продолжена в более
широком пространстве (теорема Н а й м а р к а).
Лит.: [1] А х и е з е р Н. И., Г л а з м а н И. М., Теория
.линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М.,
1966; [2] Н а й м а р к М. А., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1940, т. 4, № 1, с. 53—104. В. С. Шулъмап.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ стационарно-
стационарного случайного процесса или однород-
однородного случайного поля в д-мерном про-
пространстве — функция круговой частоты X или соответ-
соответственно волнового вектора %--(Х1, . . ., Хп), входящая
в спектральное разложение ковариационной функции
стационарного в широком смысле случайного процесса
или однородного в широком смысле случайного поля в
re-мерном пространстве. Класс С. ф. стационарных слу-
случайных процессов совпадает с классом всевозможных
ограниченных монотонно неубывающих функций А, а
класс С. ф. однородных случайных полей — с классом
функций п переменных Хг, . . ., Хп, отличающихся
лишь неотрицательным постоянным множителем от
re-мерных функций распределения. а. м. Яглом.
СПЕКТРАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — 1) С. м. о п е р а-
т о р а А в нормированном пространстве — такое под-
подмножество S ? С, что
|| Р (Л) ||< sup {|р (*)!:*€•?}
для любого многочлена p(z). Так, единичный круг —
С. м. для любого сжатия (оператора, норма к-рого
не превосходит единицы) в гильбертовом пространстве
(теорема Неймана). Этот результат тесно свя-
связан с существованием унитарной степенной ди-
латации у любого сжатия (степенной д и л а т а-
ц и е й оператора А в гильбертовом пространстве Н
наз. такой оператор Ах в гильбертовом пространстве
H^CZH, что PHAi\H=An, re?Z + ); компактное подмно-
подмножество S ?С спектрально для А тогда и только тог-
тогда, когда S имеет нормальную степенную дилатацию
со спектром в dS'. Минимальный радиус круга, являю-
являющегося С. м. для всякого сжатия в банаховом простран-
пространстве, равен е.
2) См., множество спектрального
синтеза, для коммутативной бана-
банаховой алгебры 31 — замкнутое подмножество
пространства максимальных идеалов ?ШЯ, являющее-
являющееся оболочкой ровно одного идеала /?31. В случае,
когда 31 — групповая алгебра локально компактной
абелевой группы, С. м. наз. также множествами
гармонического синтеза.
Лит.: [1] Neumann J., «Math. Nachr.», 1951, Bd 4, S.
258—81; [2] К а ц н е л ь с о н Б. Э., Маца ев В. И.,
((Теория функций, функц. аналиа и их приложения», 19ВВ, в. 3,
с. 3—10. В. С. Шулъмап.
СПЕКТРАЛЬНОЕ ОКНО оценки спектраль-
спектральной плотности — функция круговой частоты
К, определяющая весовую функцию, используемую при
непараметрич. оценивании спектральной плотности
f(\) стационарного случайного процесса X (t) с помощью
сглаживания периодограммы, построенной по данным
наблюдений за процессом. Обычно за оценку значения
спектральной плотности в точке Хо принимают интеграл
по dk от произведения периодограммы в точке X на
выражение типа В^А (BN(K—Ха)), где А (X) — фикси-
фиксированная функция частоты, принимающая наиболь-

шее значение в точке Х=0 и такая, что ее интеграл по
всем значениям X равен единице (именно эту функцию
и наз. спектральным окном, хотя иногда
тот же термин прилагается и к функции В^А (Bj^X)),
a Bpj1— зависящая от размера выборки N (т. е. от дли-
длины наблюдавшегося отрезка реализации процесса
X (t)) и при iV->-co стремящаяся к нулю (но медленнее,
чем N-1) ширина С. о. Преобразование Фурье С. о.
(а в случае дискретного времени t, когда —я<Я<я —
совокупность коэффициентов Фурье С. о.) наз. к о р-
реляц ионным окном оценки спектральной
плотности; оно определяет весовую функцию дискрет-
дискретного или непрерывного аргумента (в зависимости от
того, дискретно или непрерывно время t), на к-рую надо
умножить эмпирич. автокорреляции, построенные по
выборке, для того чтобы преобразование Фурье полу-
полученного произведения совпало с рекомендуемой спек-
спектральной плотности оценкой.
Лит.: [1] В 1 а с k m a n R. В., Т и к е у J. W., The mea-
measurement of power spectra from the point of view of commu-
communications engineering, N. Y., 1959; [2] Дженкинс Г.,
Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения, пер. с
англ., в. 1—2, М., 1971—72; [3] Б р и л л и и д ж е р Д., Вре-
Временные ряды. Обработка данных и теория, пер. с англ., М.,
1980. А. М. Ягмм.
СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ линейного
оператора — представление оператора в виде
¦Интеграла по спектральной мере (спектральной функ-
функции). Для любого самосопряженного оператора Т в
гильбертовом пространстве Н существует такая спект-
спектральная функция Р (•), что
Т=[ + °° tdP(t).
J -ос
Это означает, что
,},
(Тх, у)=\ + ™ td(P(t)x, у)
J 00
— 00
для любых х?DT, у^Н. Спектральная функция самосо-
самосопряженного оператора Т может быть вычислена через
его резольвенту R (X, Т) по формуле
Р(Ъ) — Р(а)= lim lim 4zt P~* (R(X—iz, T) —
й -+ о е-* 0 Ja+б
—R(X+ie, T))d%.
Из теоремы о С. р. самосопряженного оператора следует
возможность реализации самосопряженных операторов
операторами умножения и существование функциональ-
функционального исчисления на борелевских функциях.
Используя С. р. самосопряженного оператора и тео-
теорию расширений с выходом из пространства (см. [2]),
можно получить интегральное представление симметри-
симметрического оператора через обобщенную спектральную
функцию. Аналогично строится интегральное пред-
представление изометрических операторов. При этом ана-
аналогия между С. р. самосопряженных и унитарных опе-
операторов, с одной стороны, и интегральными представ-
представлениями симметрических и изометрических — с дру-
другой, далеко не полная (отсутствие единственности
обобщенных спектральных функций, отсутствие силь-
сильной сходимости интегралов, сравнительная узость функ-
функционального исчисления и т. п.).
Для любого ограниченного нормального оператора Т
в гильбертовом пространстве Я существует такая счетно
аддитивная в сильной операторной топологии самосо-
самосопряженная спектральная мера Е(-) на a-алгебре бо-
борелевских подмножеств комплексной плоскости, что

Пр_и 3T0Msupp E(-)=a(T), ТЕ(а)=Е(а)Т, a(T\E(a)ff)d
Сое. Эта теорема допускает следующую удобную пере-
переформулировку: всякий ограниченный нормальный опе-
оператор унитарно эквивалентен оператору умножения
на нек-рую существенно ограниченную функцию в
пространстве I/2 (S, 2, и.), причем мера ц. может быть
выбрала конечной, если пространство сепарабельно.
Из теоремы о G. р. следует существование функ-
функционального исчисления от нормального
оператора, т. е. гомоморфизма f-*-f(T) алгебры сущест-
существенно ограниченных борелевских функций на о (Т)
в алгебру ограниченных операторов, удовлетворяющего
условию id(T)=T и переводящего всякую ограничен-
ограниченную поточечно сходящуюся последовательность функ-
функций в сильно сходящуюся последовательность опера-
операторов. Образ этого гомоморфизма (т. е. множество всех
функций от оператора Т) совпадает с множеством всех
операторов, перестановочных с каждым оператором,
перестановочным с Т. Поскольку из существования
функционального исчисления, в свою очередь, следует
теорема о С. р., этот результат можно считать одной из
форм спектральной теоремы. Теорема о С. р. обобща-
обобщается н на неограниченные нормальные операторы
(см. [2]).
Спектральная мера в случае С. р. унитарного опе-
оператора — частного случая нормального оператора —¦
может быть задана на единичной окружности. С. р.
унитарного оператора V иногда записывается в виде
где Е (•) — спектральная функция, сосредоточенная
на отрезке |0, 2л]. Таким образом, С. р. дает возмож-
возможность представить унитарный оператор в виде exp IA,
где А — самосопряженный оператор. Этот результат
обобщает теорема Стоуна: всякая сильно не-
непрерывная однопараметрическая группа унитарных
операторов представляется в виде
U (t)—exp it А,
где А — самосопряженный (возможно, неограниченный)
оператор.
Лит.: [1] Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные
операторы, пер. с англ., ч. 2 — Спектральная теория, М., 1966;
[2] А х и е з е р Н. И., Г л а з м а н И. М., Теория линей-
линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966.
В. С. Шулъман.
СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ случайно й
функции — 1) разложение случайной функции
(в частности, случайного процесса) в ряд или интеграл
по той или иной специальной системе функций такое,
что коэффициенты этого разложения представляют со-
собой взаимно некоррелированные случайные величины.
Широкий класс С. р. комплекснозначных случайных
функций X (t), t?T, с нулевым средним значением
(т. е. таких, что ЕХ (?)=0) может быть представлен
в виде
'tp(t; X)Z(dX), A)
где Л — нек-рое множество с заданной системой «изме-
«измеримых подмножеств» (т. е. измеримое пространство);
Ф (t; A), t? T, А.?Л,— система комплекснозначных функ-
функций на Т, зависящих от параметра Х?Л; Z (dX) — слу-
случайная мера на Л с некоррелированными значениями
(так что EZ (Дх) Z(A2)=0 для любых двух непересе-
непересекающихся измеримых подмножеств Дх и Д2), а инте-
интеграл в правой части A) можно или определить как
предел в среднем квадратичном соответствующей по-
последовательности интегральных сумм Коши ([1]), или
же понимать как более общий «интеграл Лебега по мере
Z (dX)» (о к-ром см., напр., [2]). Согласно общей тео-
теореме Карунена о спектральном раз-

л о ж е н и и, для существования С. р. A) случайной
функции X (t) необходимо и достаточно, чтобы соот-
соответствующая корреляционная функция В (t, s)=
— EX(t)X(s) допускала представление в виде
B(t, «)==$ЛФ(<; Я) ф (s; X) F (dX),
где F (dX)—E\Z (dX)\2 — неотрицательная мера на Л.
Наиболее известный класс С. р. случайных функций—
представления стационарных случайных процессов
X (t) в виде интеграла Фурье — Стилтьеса
), B)
где Z (X) — случайная функция X с некоррелированными
приращениями, а Л — ось (—оо, оо) в случае процес-
процессов с непрерывным временем t или же интервал [—я,
я], если время t дискретно (принимает целочисленные
значения). Существование такого спектрального раз-
разложения следует из общей теоремы Хинчина об инте-
интегральном представлении корреляционной функции
В (s)=E-X (t-\-s)X (t) (см. Стационарный случайный
процесс); оно показывает, что любой стационарный
случайный процесс можно рассматривать как наложе-
наложение некоррелированных друг с другом гармонич. коле-
колебаний различных частот со случайными фазами и ам-
амплитудами. С. р. аналогичного вида, но с заменой гар-
гармонич. колебаний и-мерными плоскими волнами имеет
место и для однородных случайных полей, заданных на
евклидовом re-мерном пространстве R™ или же на решет-
решетке %п точек R™ с целочисленными координатами.
В случае обобщенного стационарного случайного про-
процесса — линейного функционала X (ф) на пространстве
D финитных бесконечно дифференцируемых функций
Ф (?), удовлетворяющего условиям
EX (IVpi) X (Fa<pa) = EX (<pi) X (ф2)
при всех действительных а, где Уаф (t)=q> (t+a) —
Ср. Функционал X (ф) имеет вид
АГ(ф)=$"вф(А.)<Ю(Х), C)
где
— преобразование Фурье функции ф(?). Формула C)
следует из того, что
Я(ф1, ф2) = Е.^ (ф1> X (<р2)
можно представить в виде
где функция F (X)=b\Z (X)—Z (—oo)j2 — монотонно не-
неубывающая спектральная функция такая, что
С°° (\ + У-)-т dF (X) < оо
J -ее
при нек-ром неотрицательном целом т (см. [3]). Если
же в качестве пространства функций ф (t) принять нек-
некрое пространство целых аналитич. функций, то можно
прийти и к обобщенным стационарным случайным про-
процессам X (ф) с экспоненциально возрастающей спект-
спектральной функцией F (X) (см., напр., [4]).
С. р. специального вида имеют место и для однород-
однородных случайных полей на группах G и однородных про-
пространствах S; этот факт в силу теоремы Карунена о
С. р. следует из ряда имеющихся результатов об общем
виде положительно определенных функций (или ядер —
функций двух переменных) на множествах G и S. В ча-

стности, для однородного поля X (g) на произвольной
локально компактной коммутативной группе G С. р.
поля X (g) имеет вид A), где роль функций ф (*; %)
играют характеры %(*-](g) группы G, а областью инте-
интегрирования Л является соответствующая группа харак-
характеров G (см., напр., [5], [6]). С. р. более сложного вида
при широких условиях имеют место и для однородных
нолей на некоммутативных топология, группах (см.
[5]). Наконец, в случае однородных полей на однород-
однородных пространствах S={s] С. р. поля X (s) включает
сферич. функции пространства S, а в выражение для
корреляционной функции В (slt s.z)=EX (si)X (s2) вхо-
входят соответствующие зональные сферич. функции (см.
[5], [6]). В частности, общее однородное поле X F, ф)
на сфере 52 трехмерного пространства R3 допускает
С. р. вида
X (в, Ч>) = 2"=0 2L-/ Yl' т (Э) ф) Z'- т' D)
где
— обычные сферич. функции, а случайные величины
Z^ т таковы, что Е?/, mZjt „=б(/бт„/г, гдебгу — символ
Кронекера. Отвечающее формуле D) выражение для
корреляционной функции
где 012— угловое расстояние между точками FХ, фх)
и (92, ф2), имеет вид
В (в) = 2Г=0 К2г + 1)/2] fiPi (совв),
где Р( — многочлены Лежандра. Если же X (г, ф),
где (/•, ф) — полярные координаты,— однородное и
изотропное поле на плоскости R2 (так что
EX (ru <pt)X (r2, Ф2)=В (г12), где?-12— евклидово расстоя-
расстояние между точками (rlt фх) и (г2, ф2)), то С. р. ноля
X (г, ф) записывается в виде
где /^ (г) — функция Бесселя порядка к. Здесь Zk (к) —
случайные функции с некоррелированными прираще-
приращениями такие, что
Zm (Д2) = 8kmF (At П
где
a F(A) — неотрицательная мера на полуоси [0, оо).
С. р. E) отвечает следующее выражение для корреля-
корреляционной функции В (г):
В(г) = ^ Ja(h-)dl<(\).
Дальнейшие примеры С. р. однородных нолей си. в
[5] - [7].
С. р. случайных функций существуют не только для
стационарных случайных процессов и однородных слу-
случайных полей. Так, напр., если X (t) — произвольный
случайный процесс на интервале a^t^cb с непрерывной
по обоим аргументам корреляционной функцией
B(t, s) = EA'(<)*(*),
то в силу теоремы Мерсера теории интегральных урав-
уравнений и теоремы Карунена о С. р. процесс X (t) будот
допускать С. р. вида

где <Рй(<), /fc=l, 2, . . ., и Xk, k=i, 2, ...,<— собствен-
собственные функции и собственные значения интегрального
оператора в функциональном пространстве с ядром
В (t, s), a EZkZj=6kJ-. C.p. F) случайного процесса
X (t), заданного на конечном интервале, представляет
собой континуальный аналог разложения случайного
вектора на его главные компоненты, часто используе-
используемого в многомерном статистич. анализе; оно было не-
независимо получено целым рядом ученых (об этом см.,
напр., [5]) и чаще всего наз. разложением Ка-
рунена — Лоэва. Подобного рода С, р. широко
используются также во многих приложениях, в част-
частности в теории автоматич. управления, где разложе-
разложение F) (и нек-рые родственные ему разложения) часто
наз. канонич. представлениями случайных процессов
(см. [8]), и в геофизике, где обычно используется тер-
термин «метод эмпирических ортогональных функций»,
т. к. собственные функции <pk(t) здесь сами приближен-
приближенно определяются по омпирич. данным (см. [9]).
2) Под С. р. случайной функции X (<), t?T, иногда
понимают также общее разложение вида A) по нек-
некрой стандартной (достаточно простой) полной системе
функций ф (г, X). Особенно часто такое С. р. рассма-
рассматривается в применении к случайному процессу X (t)
с непрерывным временем и функциям ср (t\ Х)=е"^,
так что равенство A) обращается в B). Мз B) следует,
что В (t, s)=EX (t)X (s) допускает представление в виде
B(t,s)=[*' [X е' f^t-WF (dX X d\i), G)
где F (dXX ф) — комплекснозначная мера на плоскости
(X, |я), задаваемая соотношением
F(AU Д2) = Е
обратно, из представимости В (t, s) в виде G) следует
и существование С. р. B) (см., напр., |2]). Случайные
процессы, допускающие С. р. B), где Z (X) не обязатель-
обязательно имеет некоррелированные приращения, наз. г я р-
ионизуемыми случайными л р о ц е с-
с а м и; комплексная .мера /' (dkXdfx) в таком случае
наз. спектральной мерой X (?), а сово-
совокупность точек плоскости (а, ц,), не имеющих окрест-
окрестности нулевой спектральной меры, наз. спектром
процесса X (t). Спектр стационарного процесса
X (t) сосредоточен на прямой А.= [х. Гармонизуемыми
при широких условиях будут и и е р и о д и ч е с к и -
коррелированные (иначе, периодичес-
периодически-нестационарные) случайные процессы
X (t), обладающие тем свойством, что
EX (t + mT) X (s-\-mT)^--EX {t) X~{7)
при нек-ром 71>0 и произвольном целом гп; спектр та-
таких процессов сосредоточен на совокупности прямых
к=\х-\-2пк1 Т, к=0, ±1, ±2, . . . (см., напр., [10]).
Лит.: [1] Karhunen К., «Ann. Acad. Sci. Fennicae.
Ser. A, Math.— Phys.», 1947, № 37, p. 3—79; [2] Роз а-
H об Ю. А., «Теория вероятн. и ее примен.», 1959, т. 4, в. 3,
с. 291—310; [3] Гс.'1 ьфа н д И. М., В и л е н к и н Н. Я.,
Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные
гильбертовы пространства, М., 1961; [4] О п о у a m а Т., «Mem.
Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A», 1959, v. 13, p. 208—13; t5]
Яг лом А. М., в кн.; Тр. 4-го Всесоюзного матем. съезда,
Ленинград, 1961, Л., 1963, с. 250—73; [6] X е н н а н Э., Пред-
Представления групп и прикладная теория вероятностей, пер. с
англ., М., 1970; [7] Я д р е н к о М. И., Спектральная теория
случайных полей. К., 1980; [8] П у г а ч е в В. С, Теория слу-
случайных функций и ее применение к задачам автоматического уп-
управления, 3 изд., М., 1962; [9] Ф о р т у с М. И., «Метеорол.
и гидрология», 1980, №4, с. 113—19; [10] Рыт о в СМ.,
Случайные процессы, М., 1976 (Введение в статистическую
радиофизику, 2 изд., ч. 1). А. М. Яглом.
СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ОЦЕНКА — функ-
функция от наблюденных значений X A), . . ., X (N) ста-
стационарного случайного процесса с дискретным време-

нем, используемая в качестве оценки спектральной
плотности f(k). В качестве С. п. о. часто используются
квадратичные формы
где bl^t — нек-рые комплексные коэффициенты (завися-
(зависящие от к). Можно показать, что асимптотич. поведение
при N-*-co первых двух моментов С. п. о. в целом не
ухудшится, если рассмотреть лишь подкласс квадра-
квадратичных форм таких, что b[N} — b^Nl при sx—tx=-
=s2—t.z; это позволяет ограничиться С. п. о. вида
где
1 v-iW-l' I
**(*) = ¦& 2jssi X(s)X(s+\t\)
есть выборочная оценка ковариационной функции
стационарного процесса X (t). Оценку fa (к) можно пред-
представить также в виде
где /дг(х) — периодограмма, а Фдг(х) — нек-рая не-
непрерывная четная функция, определяемая своими
коэффициентами Фурье
Д
Функцию Фдг(л) наз. спектральным окном; обычно
рассматривают спектральные окна вида
где Ф{х) — нек-рая непрерывная на ( — ею, оо) функция
такая, что
[" Ф(х)Aх=.\,
ос
лАу-^-во при N-*-с», но Ajs,'N~1—.>-0. Аналогично рассма-
рассматривают коэффициенты bpj(t) вида
и функцию К (х), называемую ковариационным
окном. При достаточно слабых ограничениях на
гладкость спектральной плотности / (к) или на условия
перемешивания случайного процесса X (t) для широкого
класса спектральных или ковариационных окон оценка
/дг(Х) оказывается асимптотически несмещенной и сос-
состоятельной.
В случае многомерного случайного процесса для
оценки элементов матрицы спектральных плотностей
fk,i(k) поступают аналогичным образом, используя
соответствующие периодограммы /д/ ) (к). Вместо
С. п. о. в виде квадратичных форм от наблюдений часто
также предполагают, что спектральная плотность
имеет нек-рую заданную форму, зависящую от конечно-
конечного числа параметров, и затем разыскивают зависящие
от наблюдений оценки лараметров, содержащихся в вы-
выражении для спектральной плотности (см. Спектраль-
Спектральная оценка максимальной энтропии, Спектральная
оценка параметрическая).
Лит.: [1] Бриллинджср Д., Временные ряды. Обра-
Обработка данных и теория, пер. с англ., М., 1980; [2] X е н н а н Э.,
Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974; [3] А н-
дерсон Т., Статистический анализ временных рядов, пер. с
англ., М., 1976. И. Г. Жу-рбенко.
СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ОЦЕНКА - функ-
функция от наблюденных значений X A), . . ., X (N) ста-
стационарного случайного процесса с дискретным вре-
временем, используемая в качестве оценки спектральной

функции F(k). В качестве С. ф. о. часто используется
функция вида
где /д>(ж) — периодограмма. При достаточно широких
условиях гладкости F (к) или условиях перемешивания
случайного процесса X (t) эта оценка оказывается
асимптотически несмещенной и состоятельной.
Приведенная оценка F (X) является частным слу-
случаем оценок
N
функционала
1(А)=^[П A(x)f(x)dx
от спектральной плотности f(k). В частности, к этому
виду с функцией А (х), зависящей от длины выборки N
и концентрирующейся около точки х—Ъ, сводятся мно-
многие спектральной плотности оценки.
Лит.: Ш Б р и л л и н д ж е р Д., Временные ряды. Обра-
Обработка данных и теория, пер. с англ., М., 1980; [2] X е н н а н Э.,
Многомерный временные ряды, пер. с англ., М., 1974.
И. Г. Журбепко.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ГОМОЛОГИИ — обратный пре-
предел
Йп(Х; G) = lim//n(a; G)
групп гомологии с коэффициентами в абелевой группе
G нервов открытых покрытий а тоиологич. пространст-
пространства X (они наз. также г о м о л о г и я м и Чеха,
или Александрова — Чеха). Для замкнутого
множества AczX группы Нп (А; G) могут быть опреде-
определены аналогичным образом с помощью подсистем
a'ca всех тех множеств из а, к-рые имеют непустое
пересечение с А . Обратный предел групп пар //„ (а, а';
G) наз. группой С. г. Н„(Х, A; G) пары (А', А).
Поскольку функтор обратного предела не сохраняет
точность, гомологии, последовательность пары {X, А)
в общем случае не точна. Она полуточна в том
смысле, что композиция любых двух отображений равна
нулю. Для компактных X последовательность оказы-
оказывается точной в случае, когда G — компактная группа
или поле (в более общей ситуации — когда группа G
алгебраически компактна). С. г. непрерывны в том
смысле, что
Hn{UmXi; G) = lim Hn(Xx, G).
Отсутствие точности — не единственный недостаток
С. г. Группы Нп оказываются неаддитивными в том
смысле, что гомологии дискретного объединения Х=
= Uя.Хх могут отличаться от прямой суммы 2 ^ #„ (Xя;
G). От этого недостатка свободны спектральные
гомологии Н% (X; G) с компактными но-
носителями, определяемые как прямой предел
lim Hn(C; G), взятый по всем компактным подмноже-
—^ " с
ствам СсХ. Естественность функтора Нп подтвержда-
подтверждается также тем, что любые обычные гомологии (сим-
плициальные, клеточные, сингулярные) — это гомо-
гомологии с компактными носителями.
Несовпадение функторов Нп и Нп — один из при-
примеров того, как гомологии реагируют на логич. ню-
нюансы в их исходном определении (наоборот, когомоло-
гии проявляют в этом отношении значительную устой-
устойчивость). Среди логически возможных вариантов опре-
определения гомологии в общих категориях топологич.
пространств правильный был отобран не сразу, в связи

с чем ассоциированная с когомологиями Александро-
Александрова — Чеха теория гомологии Я^ стала распростра-
распространяться лишь в 60-е гг. (хотя первые определения были
даны в 40—50-х гг.). Теория Я„ удовлетворяет всем
Стинрода — Эйлеиберга аксиомам (п является теорией
с компактными носителями). Для компактных X име-
имеет место точная последовательность
0—*lim}Hn+1(a.; G) —*Нп{Х, С)—+Й(Х; G) -* 0
(lira1 — производный функтор обратного предела). В об-
общем случае имеется эпиморфизм П% (X; (?)-»-я? (X; G),
к-рый имеет нулевое ядро для любой алгебраически
компактной группы G. Для любого гомологически
локально связного (по отношению к Я^) локально ком-
компактного пространства функторы Н„, Н^ и Яд изо-
изоморфны.
Лит.; [1] Стинрод Н., Эйленберг С, Основании
алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [2] Скля-
Скляре н к о Е. Г., «Успехи матем. наук», 1979, т. 34, в. 6, с. 90—
118; [з] Масси У., Теория гомологии и когомологий, пер. с
англ., М., 1981. Е. Г. Скляренко.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — исследование спект-
спектральных характеристик линейных операторов: геоме-
геометрии спектра и его основных частей, спектральной
кратности, асимптотики собственных значений и т. д.
Для операторов, действующих в конечномерных про-
пространствах, задача определения спектра эквивалентна
задаче локализации корней характеристич. уравнения
det (А—Я/)=0; в бесконечномерных пространствах де-
дело обстоит значительно сложнее, хотя аппарат опреде-
определителей строится и успешно используется в С. а. нек-
рых бесконечномерных операторов. В ряде случаев
С. а. оператора основывается на явной конструкции
функционального исчисления (операторы умножения
в функциональных пространствах, другие модельные
операторы, а также операторы, подобные их сужениям
или факторам). Широко применяются в С. а. различные
теоремы об отображении спектра для функций одного
или нескольких операторов — от простейших (спектр
многочлена от оператора состоит из значений этого мно-
многочлена на спектре оператора, спектр суммы двух ком-
коммутирующих операторов содержится в алгебраич. сум-
сумме их спектров) до весьма тонких, описывающих спект-
спектры функций от некоммутирующих операторов, функций
от оператора, имеющих разрывы в граничных точках
его спектра, совместные спектры образов многозначных
отображений, отображения аппроксимативных, то-
точечных и дефектных спектров и т. д. Полезную инфор-
информацию о спектре оператора можно извлечь из его топо-
логич. характеристик (напр., спектр непрерывного опе-
оператора компактен, а спектр компактного — не более
чем счетен, причем его ненулевые точки — изолирован-
изолированные собственные значения), поведения относительно
выделенного в пространстве конуса (ведущие собствен-
собственные значения у положительного оператора) или ска-
скалярного произведения (спектр самосопряженного опе-
оператора веществен, эрмитово положительного — неотри-
неотрицателен, диссипативного — лежит в верхней полупло-
полуплоскости, унитарного — на единичной окружности). Если
скалярное произведение не является знакоопределен-
ным, но его индекс индефинитности х конечен, то
спектр сохраняющего его оператора (такие операторы
наз. J-y нитарными) может иметь не более 2х
точек вне единичной окружности; для /-самосопряжен-
/-самосопряженных м /диссипативных операторов положение анало-
аналогично (см. [5]).
Спектральные характеристики могут обладать оп-
определенными свойствами устойчивости (непрерывно-
(непрерывности); эти свойства являются объектом теории воз-
возмущений спектра (раздел общей теории возму-
возмущений). Так, спектр является полунепрерывной сверху

функцией оператора: любая окрестность спектра огра-
ограниченного оператора содержит спектры всех достаточно
близких к нему операторов (случай неограниченных
операторов требует небольшой модификации). Это поз-
позволяет проследить аа изменением изолированных точек
спектра при малых возмущениях и аналитически (в ви-
виде ряда по степеням параметра \х) выразить собственные
значения оператора A -f- \хВ, лежащие в окрестности изо-
изолированного конечнократного собственного значения
оператора А . В нек-рых случаях удается также оценить
изменение числа собственных значений оператора в за-
заданной области под действием возмущения, к-рое не
предполагается малым по норме, но имеет фиксирован-
фиксированный (конечный) ранг. В том же круге идей лежит тео-
теорема Вейля (Н. Weyl, 1909) об инвариантности спект-
спектра сгущения (дополнение в спектре к множеству
изолированных собственных значений конечной крат-
кратности) самосопряженного оператора при компактных
возмущениях. Фактически им показано, что спектр сгу-
сгущения самосопряженного оператора А совпадает с
его существенным спектром
ог(Л) = {А ? С:А — XI не фредгольмов},
а равенство а( (A +K)=Oi (А) справедливо для любого
замкнутого А и компактного К. Из теоремы Вейля сле-
следует, что все самосопряженные расширения симметри-
симметрического оператора с конечными (и равными) дефект-
дефектными числами имеют одинаковые существенные спектры.
Теорема Вейля переносится на случай относительно ком-
компактных возмущений (оператор К наз. компакт-
компактным относительно А, если он переводит
всякое ограниченное множество с ограниченным А-
образом в компактное), откуда следует совпадение су-
существенных спектров всех самосопряженных расшире-
расширений симметричных многомерных дифференциальных
операторов широкого класса. Теорема Вопля допускает
обращение (Дж. Нейман, J. Neumann, 1935): если два
самосопряженных оператора имеют одинаковые су-
существенные спектры, то один из них унитарно экви-
эквивалентен возмущению другого компактным (даже при-
принадлежащим классу Гильберта — Шмидта) оператором,
имеющим произвольно малую норму. Найдены обобще-
обобщения этого результата на случай нормальных, сущест-
существенно нормальных операторов, а также на представле-
представления некоммутативных С*-алгебр.
Теорема Вейля — Неймана показывает, что сущест-
существенный спектр — единственная спектральная характе-
характеристика самосопряженного оператора, устойчивая от-
относительно компактных возмущений, и что непрерывный
и точечный спектры крайне неустойчивы. В то же время
абсолютно непрерывный спектр аа с (А)
(спектр сужения А на подпространство Нас (А) всех
векторов х?Н, для к-рых функция Х-*- (Ед (X) х, х)
абсолютно непрерывна) также обладает нек-рой устой-
устойчивостью: он не меняется при ядерных возмущениях.
Это один из основных результатов теории волновых
операторов, тесно связанный с квантовомеханич. теори-
теорией рассеяния (см. [2]). Волновой оператор
W(A, В) для пары самосопряженных операторов А, В —
это изометрическое линейное отображение
х—э- lim exp (itB) exp(—itA)x,
определенное на замкнутом подпространстве 2 (А, В)
всех векторов х?Н, для к-рых предел существует. Со-
Соотношения W(A, В) A=BW{A, В) и W(A, B)Z(A, B) =
-=2 [В, А) показывают, что W(А, В) осуществляет
унитарную эквивалентность операторов А, В, если
2 (А, #)—2 {В, А)=Н. Условие ядерности оператора
Д— А влечет включения Нас (А )с2 (А, В), Нас(В)а
С2 (В, А), а следовательно,— унитарную эквивалент-
эквивалентность абсолютно непрерывных частей операторов А и В,

обеспечивающую тождественность спектральных ха-
характеристик .
Существует иной подход к задаче доказательства
унитарной эквивалентности (в случае несамосопряжен-
несамосопряженных операторов — подобия) возмущенного оператора
невозмущенному. При этом подходе записывают условия
подобия операторов А и А-\-К в виде линейного опе-
операторного уравнения А V—VA=VK; ищут линейный
оператор Г, обратный слева к оператору умножения
Х^АХ—ХА, т. е. АГ(Х)—Г(Х)Л=Х, для к-рого опе-
оператор Гд': X—>-Г (XК) является сжатием в пространстве
операторов. Если такой оператор Г найти удается, то
в качестве V можно взять оператор (/+.ГД-)-1/, прове-
проверив предварительно его обратимость. Этим методом
удается исследовать широкий класс нормальных опе-
операторов с дискретным и непрерывным спектром, ква-
зинильпотентных операторов, операторов взвешенного
сдвига и, что особенно важно для приложений, много-
многомерных интегро-дифференциальных операторов.
С. а. операторов, порожденных аналитич. (дифферен-
(дифференциальными, интегральными, разностными и т. д.)
операциями в функциональных пространствах, пред-
предполагает описание спектра операторов в терминах пара-
параметров (коэффициентов) соответствующей операции;
широкая применимость теории возмущений в таких
задачах объясняется тем, что выделить главную часть
и возмущение часто удается в тех же терминах (пере-
(перераспределяя коэффициенты). Напр., пусть Aq(G) (G —
область в Rn, q — вещественный потенциал, т. е.
числовая функция на G) — оператор Шрёдингера, опре-
определяемый в L2{G) дифференциальной операцией 1ц(и)=
= —Д«+9" и наиболее жесткими граничными условия-
условиями (минимальный оператор). В этом случае Aq(G)
симметричен. Естественно считать —Л (точнее, A0(G))
невозмущенным оператором, а умножение на q — воз-
возмущением; такое представление дает полезные след-
следствия, когда потенциал в каком-то смысле мал. Так,
если G(Af)—>-0 при G^M^>-<x>, то теорема Вейля обеспе-
обеспечивает совпадение существенных спектров операторов
Aq и/40 (совпадающих с существенным спектром их са-
самосопряженных расширений); если область G «достаточ-
«достаточно велика» и потенциал квадратично интегрируем, то
(A)^)[0, со), а если к тому же величина
достаточно мала, то AQ и Ао унитарно эквивалентны.
В других случаях в качестве невозмущенного оператора
берется А ~, где потенциал q «близок» к q, но имеет
более яростую структуру. Это позволяет доказать,
напр., что в интервале (—оо, а) спектр самосопряженных
расширений оператора Ад конечен, если lira q (M)~>a
при М—>-оо (в частности, Ад полуограничен и имеет
дискретный спектр, если g(Af)—>-оо при G3М-*-оо).
В С. а. симметрических дифференциальных операто-
операторов (в особенности одномерных) распространен также
подход, основанный не на теории возмущений спектра,
а на специальной форме теоремы о спектральном раз-
разложении. Унитарное преобразование, осуществляющее
спектральное представление дифференциального опе-
оператора, может быть реализовано (в простейшем случае
оператора с циклическим вектором) интегральным
оператором
^и(х, X)f(x)dx,
ядро к-рого и (х, X) при любом X является решением
дифференциального уравнения 1(у)=Ху, где I — исход-
исходная дифференциальная' операция. Это позволяет ис-
использовать для С. а. дифференциальных операторов
качественную теорию дифференциальных уравнений
и приводит не только к описанию геометрии спектра

(здесь возможности данного подхода примерно соот-
соответствуют, а в многомерном случае даже уступают воз-
возможностям теории возмущений), но и к удобным ана-
литич. выражениям для спектральных характеристик,
тонким результатам о сходимости спектральных раз-
разложений и т. д.
Функции и(х, X), по к-рым ведется спектральное раз-
разложение дифференциального оператора, не являются, в
случае непрерывного спектра, его собственными функ-
функциями, поскольку они не принадлежат L2 (G). Абстракт-
Абстрактный вариант разложения но «обобщенным собственным
функциям» строится в рамках теории оснащенных гиль-
гильбертовых пространств (см. [4]). Оснащенное
гильбертово пространство — это трой-
тройка ФсЯсФ', где Н — гильбертово пространство,
Ф — непрерывно вложенное в Н топологическое век-
векторное пространство, Ф'— сопряженное к Ф. Элемент
/?Ф' наз. обобщенным собственным
вектором оператора А, действующего в Н, если
АФаФ и f(Ax— Хх)=0 для всех х?Ф (X — соответ-
соответствующее собственное значение). Для каждого само-
самосопряженного оператора А можно таким образом выб-
выбрать оснащение, чтобы система обобщенных собствен-
собственных векторов {fx: Х?а(А)} оператора А была полна
в следующем смысле: для любого х?Ф
i-J
где р — нек-рая мера на а (А). Если оператор А имеет
циклич. вектор х0, то в качестве меры р можно брать
(Ед( -)х, х), где Ед— спектральная мера А; при этом
Л = w—; ГГ (предел берется в топологии простран-
ства Ф')-
Для операторов с точечным спектром первостепен-
первостепенную важность имеет вопрос об асимптотике собственных
значений; в случае самосопряженного оператора не-
несколько проще описывать асимптотич. поведение функ-
функции N (X), равной числу собственных значений, мень-
меньших X, или, что то же, размерности спектрального
подпространства, соответствующего интервалу (—оо,
X). Наиболее известный результат: для оператора Лап-
Лапласа с граничными условиями Дирихле в области Qc<R-n
функция N (X) асимптотически равна rn{2n)~n\Q\Xn^<
где |Q| — объем области Q, а гп — объем единичного
шара в R™.
Лит.: [1] Д а н ф о р д Н,, III в а р ц Д ж., Линейные опе-
операторы, пер. с англ., ч. 2 — Спектральная теория, М., 1966;
ч. 3 — Спектральные операторы, м., 1974; L2] К а т о Т., Тео-
Теория возмущений линейных операторов, пер. с англ., М., 1972;
[3] Глазман И. М., Прямые методы качественного спект-
спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов,
М., 1963; [4] Береза некий Ю. М., Разложение по соб-
собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965;
[5] И о х в и д о в И. С, К р е й н М. Г., «Тр. Моск. матем.
об-ва», 1956, т. о, с. 367—432; [6] Б и р м а н М. Ш., Соло-
м я к М. 3., Итоги науки и техники. Математич. анализ, т. 14,
М., 1977, с. 5 — 58. В. С. Шулъман.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ стационарных
случайных процессов, С. а. времен-
временных рядов, — 1)то Же, что и спектральное раз-
разложение стационарных случайных процессов; 2) сово-
совокупность статистич. приемов, позволяющих оценить
значение спектральной плотности стационарного слу-
случайного процесса по данным наблюдений за одной реа-
реализацией этого процесса (см. [1] — [4], а также Ста-
Статистические задачи теории случайных процессов,
Периодограмма, Спектральной плотности оценка, Спек-
Спектральная оценка максимальной энтропии, Спектраль-
Спектральная оценка параметрическая).
Лит.: [1] Д ж е н к и н с Г., Ватте Д., Спектральный
анализ и его приложения, пер. с англ., в. 1—2, М., 1971—72;
[2] Modern spectrum analysis, N. у., 1978; [3] Nonlinear methods
of spectral analysis, B.— la. o.J, 1979; [4] К ей С. М.,
М а р п л С. Л., «Тр. ин-та инж. алектротехн. радиоэлектрони-
радиоэлектроники», 1981, т. 69, № 11, с. 5 — 51. А. М. Яглом.

СПЕКТРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — ограниченный ли-
линейный оператор А, отображающий банахово простран-
пространство X в себя и такой, что для or-алгебры S3 борелев-
ских множеств б на плоскости существует разложение
единицы, Е (б) со свойствами: 1) для любого Ь?ЗВ про-
проектор ? (б) приводит А, т. е. Е F)А =АЕ (б), и спектр
<?(Ag) лежит в б, где А6—сужение оператора А на
инвариантное подпространство Е (8)Х; 2) отображение
8->-Е (б) есть гомоморфизм 33= {6} в булеву алгебру
{Е (б)}; 3) все проекторы Е (б) ограничены, т. е. \\Е (б)||<
<Л/, б?,®; 4) разложение единицы Е (б) счетно адди-
аддитивно в сильной топологии пространства X, т. е. для
любого х?Х и любой последовательности {6„}с53,
состоящей из попарно непересекающихся множеств,
Понятие Со. можно распространить на неограниченные
замкнутые операторы. При этом в 1) надо дополнитель-
дополнительно потребовать, чтобы выполнялось включение
Е (8)D (A)czD (А), где D (А) — область определения
оператора А, и Е F)XcD (A) для ограниченных б.
С. о. являются все линейные операторы в конечно-
конечномерном пространстве, самосопряженные и нормальные
операторы в гильбертовом пространстве, напр, оператор
\ K(t, s)x(s)ds
в Lp (—со, оо), 1<р<оо, на
= {* @ |
если ядро К (t, s) есть преобразование Фурье борелев-
ской меры jx на плоскости с полной вариацией var
|х<1/2я и такое, что
С К (t, s)x(s)ds, \ K(t,s)x{t)dt
суть ограниченные линейные операторы в Lp (—со, оо).
С. о. обладают рядом важных свойств, напр.:
в случае сепарабельного X точечный и остаточный
спектры А не более чем счетны и др.
Лит.: [1] Д а н ф о р д Н., Шварц Д т., Линейные опе-
операторы, ч. 3— Спектральные операторы, пер. -с англ., М., 1974;
[2] Д а н ф о р д Н., «Математика», 1960, т. 4, в. 1, с. 53—100.
В. И. Соболев.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ РАДИУС элемента ба-
банаховой алгебры — радиус р наименьшего
круга на плоскости, содержащего спектр этого элемен-
элемента. С. р. элемента а связан с нормами его степеней
формулой
р (а) = lim || а" \\1/п = inf Ц а" \\1/п ,
п-*-сс
из к-рой следует, в частности, что р(а)<:||а|!. С. р. ог-
ограниченного оператора в банаховом пространстве —
это его С. р. как элемента банаховой алгебры всех опе-
операторов. В гильбертовом пространстве С. р. оператора
равен точной нижней грани норм подобных ему опера-
операторов (см. [2]):
р{А) = Ы\\ХАХ-1\\.
х
Если оператор нормален, то р(А)=\\А\\.
Ср.— полунепрерывная сверху (но, вообще гово-
говоря, не непрерывная) функция элемента банаховой ал-
алгебры. Доказана [3] субгармоничность С р. (это озна-
означает, что если z—>-/i (г) — голоморфное отображение
нек-рой области DcC в банахову алгебру 3(, то
z->-p(A(z)) — субгармонич. функция).

Лит.: LI J H а й м а р к М. А., Нормированные кольца,
2 изд., М., 1968; [2] X а л м о ш П., Гильбертово пространство
в задачах, пер. с англ., М., 1970; [3]Vesentini E., «Boll.
Un. Mat. Itaf.», 1968, v. 1, p. 427—29; [4] Ptak V., «Bull.
London Math. Soc.», 1970, v. 2, p. 327—34. В. С. Шулъман.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ СЕМИИНВАРИАНТ — одна из
характеристик стационарного случайного процесса.
Пусть X (t), —оо <«<оо, — действительный стацио-
стационарный случайный процесс, для к-рого Е\Х (t)\"<.
<:С<оо. Семиинварианты этого процесса
S<«> (*!... tn) =
i~" 3" , ЦщХ (*,) + ...+ и„Х (in))
= в». •••<*•„ П ' 1A=...и„ = 0
связаны с моментами
MW {h... tn) = E{X (t,)... X{tn)}
соотношениями
где
и суммирование ведется по всем разбиениям множест.
ва / на непересекающиеся подмножества Iр. Говорят,
что X (г)?Ф(и>, если для всех 1<А<:л в пространстве
R* существует мера Д/(*> (А) ограниченной вариации
такая, что для всех tx. . Л^
¦ ¦ ¦ «*)==
Меру Я"', определевную на системе борелевских мно-
множеств, наа. спектральным семиинвари-
семиинвариантом, если для всех <х . . . tn
(г, ... in)=f
J R"
Мера Я существует и имеет ограниченную вариацию,
если Х(*)?Ф(П). В случае стационарного процесса
X (t) семиинварианты S1?) (tr . . . tn) инвариантны
относительно сдвигов:
а спектральные меры F"" и М<п) сосредоточены на
многообразии Я,х+. . .+Я,„=0. Если мера Я"> аб-
абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на атом
многообразии, то существует спектральная плотность
и-го порядка /„(Я,!, . . ., %п-\), определяемая равенст-
равенствами
верными при всех tx. . Лп. В случае дискретного вре-
времени под Rlft) во всех приведенных выше формулах
надо понимать к-мерный куб —iKljOl, 1 «:?<&.
Лит.: 11] Прохоров Ю. В., Р о з а н о в Ю. А., Тео-
Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Л е о н о в В. П., Не-
Некоторые применения старших семиинвариантов к теории ста-
стационарных случайных процессов, М., 1964. И. Г. Журбенко.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ — восстановление ин-
инвариантных подпространств семейства линейных опе-
операторов по содержащимся в них собственным или кор-
корневым подпространствам этого семейства. Точнее,
пусть 31 — коммутативное семейство операторов в то-
топологическом векторном пространстве X, ор(Ш) —
его точечный спектр, т, е. совокупность числовых функ-

ций Х=Х{А) на 31, для к-рых собственные подпростран-
подпространства
Nn(k) = П Кег(А—Х(АI)
отличны от нулевого,
Кч(%)= П U Kev(A-X(A)I)»—
А 6 ->( п 6 /V
корневые подпространства, соответствующие точкам
Х^а/,BГ). Подпространство LaX, инвариантное от-
относительно 31, допускает С. с, если L совпадает с
замыканием содержащихся в нем корневых подпро-
подпространств. Если все Si-инвариантные подпространства
допускают С. с, то говорят, что само семейство 31
допускает С. с.
Примером семейства, допускающего С. с, является
всякая компактная коммутативная группа операторов
в банаховом пространстве и, более общо, всякая группа
с относительно компактными траекториями. Если
dim X<oo, то всякое одноэлементное семейство допу-
допускает С. с. ввиду существования жорданова разло-
разложения. В общем случае, для того чтобы оператор до-
допускал С. с, необходимо, по крайней мере, потребовать,
чтобы все пространство X допускало С. с. относительно
А, т. е. чтобы А имел полную систему корневых под-
подпространств. Условие полноты, однако, не обеспечи-
обеспечивает возможности С. с. даже для нормальных операто-
операторов в гильбертовом пространстве; для того чтобы нор-
нормальный оператор А допускал С. с, необходимо и до-
достаточно, чтобы ар (А) не содержал носителя меры,
ортогональной многочленам. Это условие выполняется
тогда и только тогда, когда для любой области OczC
найдется функция /, аналитическая в G, для к-рой
sup|/(z)]< sup 1/(г)[.
О А
В частности, полные унитарные и полные самосопря-
самосопряженные операторы допускают С. с. Допускают С. с.
и полные операторы, «близкие» к унитарным или само-
самосопряженным (диссипативные операторы с ядерной мни-
мнимой компонентой, операторы со спектром на окружности
и нормальным ростом резольвенты при приближении к
этой окружности).
Полнота системы корневых подпространств но обес-
обеспечивает С. с. инвариантных подпространств и при
дополнительном условии компактности оператора: су-
сужение полного компактного оператора на инвариантное
подпространство не обязано иметь собственных векто-
векторов и, более того, может совпадать с любым наперед
заданным компактным оператором.
В круг задач С. с. инвариантных подпространств
входит, кроме выяснения возможности аппроксимации
этих элементов линейными комбинациями корневых век-
векторов, также построение и оценка скорости сходимости
аппроксимирующей последовательности. В случае опе-
операторов со счетным спектром аппроксимирующая по-
последовательность обычно строится усреднением после-
последовательности частичных сумм формального ряда
Фурье х~\* s.\x, где ej,—проектор Рисса:
(z-A)-'dz,
vk
Tx— контур, определяющий точку %?ар(А) от осталь-
остального спектра.
Если пространство X состоит из функций на ло-
локально компактной абелевой группе, а 31 совпадает
с семейством всех операторов сдвига, то собственные
относительно 31 подпространства — это одномерные
подпространства, порожденные характерами группы.
Таким образом, теория С. с. инвариантных подпро-
подпространств включает классич. задачи гармонич. синтеза

на локально компактной абелевой группе (см. Гармо-
Гармонический анализ абстрактный), состоящие в нахожде-
нахождении условий, при к-рых инвариантные относительно
сдвигов подпространства в нек-ром топологическом
векторном пространстве функций на группе порождаются
содержащимися в них характерами. В частности, воз-
возможность С. с. на компактных группах или, более
общо, в пространствах почти периодических функций
на группах является следствием сформулированного
выше результата о С. с. для групп операторов с отно-
относительно компактными траекториями. Далее, пробле-
проблематика С. с. тесно связана и с задачами синтеза идеа-
идеалов в регулярных коммутативных банаховых алгебрах:
замкнутый идеал является пересечением максимальных
(«допускает синтез») тогда и только тогда, когда его
аннулятор в сопряженном пространстве допускает
С. с. относительно семейства операторов, сопряженных
к операторам умножения на элементы алгебры.
Приведенное определение С. с. можно расширить
таким образом, чтобы оно охватывало и семейства опе-
операторов без обширного точечного спектра (и даже не-
некоммутативные). Для этого его заменяют требованием
взаимной однозначности соответствия между инвариант-
инвариантными подпространствами и спектральными характери-
характеристиками сужений данного семейства операторов на
эти подпространства. В этом смысле говорят о С. с.
для модулей над регулярными коммутативными бана-
банаховыми алгебрами, для представлений локально ком-
компактной абелевой группы.
Лит.: [1] X ь ю и т т Э., Р о с с К., Абстрактный гармони-
гармонический анализ, пер. с англ., т. 1—2, М., 1975; L2] Николь-
Никольский Н. К., и кн.: Итоги науки и техники. Математич. анализ,
т. 12, М., 1974, с. 199—412; |3] В е n e d e t t о J., Spectral
synthesis, N. Y., 1975. В. С. Шулъман.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ТИП меры, тип X е л л и н-
г е р а, — содержащий эту меру класс эквивалентно-
эквивалентности по отношению к взаимной абсолютной непрерыв-
непрерывности во множестве всех неотрицательных мер на дан-
данной а-алгебрс. Множество С. т. с отношением порядка,
индуцированным отношением абсолютной непрерывно-
непрерывности мер, является полной дистрибутивной структурой,
в к-рой всякое счетное подмножество ограничено.
Теория С. т. используется для построения системы
унитарных инвариантов нормальных операторов. Пусть
А — произвольный нормальный оператор в простран-
стпс //, ЕА( • ) — соответствующая спектральная мера
на плоскости; спектральным типом вд(х)
вектора х^Н наз. спектральный тип меры (Ед(-)х, х).
Все С. т. вида ад(.т) наз. подчиненными опе-
оператору А. Если Н сепарабельно, то среди С. т., под-
подчиненных А, есть максимальный; в частности, все цик-
циклические нормальные операторы имеют максимальный
С. т. Оказывается, что циклический нормальный опе-
оператор определяется своим максимальным С. т. с точ-
точностью до унитарной эквивалентности. В общем слу-
случае система унитарных инвариантов включает кратно-
кратности однородных компонент максимального С. т.
Лит.: [!] Плеснер А. И., Спектральная теория линей-
линейных операторов, М., 1965; [2] D i x m i с г J., Les algebres d'opS-
rateurs dans l'espace Hilbertien, 2 rd., P., 1969. В. С. Шулъман.
СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ ТОЧКИ .г тонологпч е-
ского пространства X — точка у?Х, для
к-рой выполняется включение у? {х} (что эквивалентно
включению {у}с{х}). Точка х наз. общей, если
любая точка пространства X является ее специализа-
специализацией, т. е. {х}—Х. Другой крайний случай — зам-
замкнутая точка — точка, у к-рой имеется един-
единственная специализация, совпадающая с ной самой.
Для аффинной схемы Spec (А) кольца А точка у
является С. т. х, если для соответствующих простых
идеалов из А справедливо включение pxdpy Когда
А —кольцо без делителей нуля, точка {0 }? Spec A
является общей. Можно представлять себе, что отноше-

ние специализации распределяет точки по уровням:
выше всех находятся замкнутые точки, на следующем
уровне — точки, специализации к-рътх замкнуты, на
j-м уровне — точки, специализации к-рых принадлежат
уровням с номерами <i--l. Напр., для Spec (С[Tt, . . .,
Тп\) имеется гс+1 уровень: замкнутые точки, общие
точки кривых, общие точки поверхностей, . . ., об-
общая точка «-мерного аффинного пространства.
Лит.: [1] Мании К). И., Лекции но алгебраической гео-
геометрии, М., 1970; [2] U rothendieck A., Elements de geo-
metrie algebrique, t. 1, P., 1960. В. В. Шокуров.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА степени
га над кольцом Я — подгруппа SL (re, Л) полной
линейной группы GL (га, Я), являющаяся ядром гомо-
гомоморфизма (т. н. определителя) detn. Строение группы
SL(n, R) зависит от кольца R, степени га и типа опре-
определителя, заданного на GL{n, R). Существуют три ос-
основных типа определителя, относительно к-рого рас-
рассматриваются группы SL (л, R): обычный определитель
в случае, когда R — коммутативное кольцо, некомму-
некоммутативный определитель Дьёдонне, если R — тело (см.
[1]), и гомоморфизм приведенной нормы — для конеч-
конечномерных над своим центром тел R (см. [2]).
С группой SL(n,R) обычно связывают следующие
группы: группу Е (га, R), порожденную элементарны-
элементарными матрицами е,у (см. Алгебраическая К-теория),
а также для каждого двустороннего идеала д кольца Я
конгруэнц-подгруппу SL (и, Я, д) и группуЕ (л, R,q) —
нормальный делитель Е (л, Л), порожденный матри-
матрицами ец для %?q. Пусть А?Е(п, R, q), A-*^ JJJ,—
вложение E(n,R,q) в ?(ге+1, Л, д). Тогда переход
к прямому пределу приводит к группе Е (Я, q). Ана-
Аналогично определяется группа SL(R, q). Для q=R вме-
вместо E(R, R) и SL(R, Л) пишут соответственно ? (Л) и
SL (Л); последняя группа наз. стабильной спе-
специальной линейной группой кольца
Л. Нормальное строение SL(R), тесно связанное со
строением групп SL (га, Л), таково. Группа Н является
нормальным делителем SL (R) тогда и только тогда,
когда для нек-рого (причем единственного) двусторон-
двустороннего идеала д кольца R имеют место включения
E(R, q)CZH CZSL (Л, q).
Таким образом, абелевы группы SK1 (R, q)~SL (Л, q)/
/E(R,q) классифицируют нормальные делители
SL (Л). Группа SKi {R)=SK1 (Л, R) наз. и р и в е д е н-
ной группой Уайтхеда кольца Л. Удов-
Удовлетворительное описание нормального строения группы
SL (л, R) в случае произвольного кольца R связано с
условием стабильности ранга идеала q (st. r. q). Именно,
если n^st.r.q +1, то имеет место изоморфизм
?L(n, Л, q)/E(n, R, q)c^SK1(R, g).
Кроме того, если выполнено условие n^st.r.R-\-i,
л^З , то для всякого нормального делителя Н группы
SL(n,R) при подходящем q имеют место включения
Е(п, Л, })СЯ dSL' (n, Л, q),
где SL'(n, Л, q) = GL'(n, Л, q)f\SL(n, R), CL' (л, Л,
q) — прообраз центра группы GL (n, R/q) в GL (л, Л).
Для специальных колец имеются окончательные резуль-
результаты (см., напр., [2], [4]).
В случае некоммутативного определителя Дьёдонне
результаты имеют исчерпывающий характер. Группы
SL (и, Л) и Е (га, R) совпадают. SL (n, R) коммутант
группы GL (re, R), за исключением случая SL B, Е.г)
(Fg — поле из д элементов). Центр Zn группы SL {n, R)
состоит из скалярных матриц diag(a, . . ., а), где a —
элемент центра Л иа"?[Л*, Л*], где [R*, R*] — ком-
коммутант мультипликативной группы Л* тела Л. Фак-
Факторгруппа SL (п., R),'Zn проста, за исключением случая

re=2, R^FZ, F3. В случае re=Z SL B, F2)=SLB, F.J/Z2
и группа SL B, .F2) изоморфна симметрич. группе
S3 степени 3, а группа SL B, F3)/Z3 изоморфна знако-
знакопеременной группе Л 4 степени 4.
Если detn — гомоморфизм приведенной нормы, то
всегда
SL(n, R)/E(n, R)~XK1(R)
и
SK1(R)~SL(l, R)/[R*, R*],
причем для полей R группа SK1(R) тривиальна
Долгое время существовала гипотеза, что 5^1(Л)={0)
для произвольного тела R. Однако в 1975 показано,
что это не так (см. [5]). Группы SK1 (R) играют важную
роль в алгебраич. геометрии (см. [6], [7]). Имеются
также нек-рые обобщения гомоморфизма приведенной
нормы, что стимулировало ряд новых исследований по
С. л. г.
Лит.: [1] А р т и н 9., Геометрическая алгебра, лер. с ннгл.,
М., 1969; 12] Басе X., Алгебраическая К-теория, пер. с
англ., М., 1973; 13] М и л и о р Дж., Введение в алгебраиче-
алгебраическую К-теорию, пер. с англ., М., 1974; L4] С у с л и н А. А.,
«Изв. АН СССР. Сер. матом.», 1977, т. 41, № 2, с. 235—52; 151
Платонов В. П., «Докл. АН СССР», 1975, т. 222, .45 (i,
с. 1299—1302; [6] е г о же, «Изв. АН СССР. Сер. матем.», LU7K,
т. 40, № 2, с. 227—61; [7] иго ж е, в сб.:«Ргос. Intern. Congr.
Math.», 1980, v. 1, p. 311—23. В. IX. Янчевский.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ - в широком смысле
совокупность отдельных классов функций, возникаю-
возникающих при решении как теоретических, так и прикладных
задач в самых различных разделах математики.
В узком смысле под С. ф. подразумеваются С. ф.
математич. физики, к-рые появляются при решении
дифференциальных уравнений с частными производ-
производными методом разделения переменных.
С. ф. могут быть определены с помощью степенных
рядов, производящих функций, бесконечных произведе-
произведений, последовательного дифференцирования, интеграль-
интегральных представлений, дифференциальных, разностных,
интегральных и функциональных уравнений, тригоно-
метрич. рядов, рядов по ортогональным функциям.
К наиболее важным классам С. ф. относятся гамма-
функция и бета-функция, гипергеометрическая функция
и вырожденная гипергеометрическая функция, Бесселя
функции, Лежандра функции, параболического цилинд-
цилиндра функции, интегральный синус, интегральный коси-
косинус, неполная гамма-функция, интеграл вероятности,
различные классы ортогональных многочленов одного
и многих переменных, эллиптическая функция и эл-
эллиптический интеграл, Ламе функции и Матъё функ-
функции, дзета-функция Римана, автоморфная функция,
нек-рые С. ф. дискретного аргумента.
Теория С. ф. связана с представлением групп, мето-
методами интегральных представлений, опирающихся на
обобщение формулы Родрига для классич. ортогональ-
ортогональных многочленов и методами теории вероятностей.
Для С. ф. имеются таблицы значений, а также таб-
таблицы интегралов и рядов.
Лит.: [1] Б е й т м е н Г., Э р д е й и А., Высшие транс-
трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1973—74;
[2] Справочник по специальным функциям с формулами, графи-
графиками и математическими таблицами, пер. с англ., М., 1979;
[3] Я н к е Е., ЭмдеФ., Леш Ф., Специальные функции.
Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 3 изд., М., 1977; [4]
Лебедев Н. Н., Специальные функции и!их приложения,
2 изд., М.—Л., 1963; [5] Уиттекер Э. Т., Ват-
сой Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд.,
ч. 1—2, М., 19ИЗ; [6J К р а т ц е р А., Ф р а н ц В., Трансцен-
Трансцендентные функции, пер. с нем., М., 1963; [7] В а т с о н Г. Н.
Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1, М., 1949; [8]
Г о б с о н Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных
функций, пер. с англ., М., 1952; [9] В и л е н к и н Н. Я.,
Специальные функции и теория представлений групп, М., 1965;
L10] Никифоров А. Ф., Уваров В. В., Специальные
функции математической физики, М., 1978; [11] Сеге Г., Ор-
Ортогональные многочлены, пер. с англ., М.. 1962; [12] Ф е л-
л е р В., Введение в теорию вероятностей it се приложения, пер.
с англ., 2 изд., т. 2, М., 1967; [13] Г р а д ш т е й н И. С,
Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произ-

ведений, 5 изд., М., 1971; [14] Прудников А. П., Б р ы ч-
к о в Ю. А., М а р и ч е в О. И., Интегралы и ряды. Элемен-
Элементарные функции, М., 1981; [15] их же, Интегралы и ряпы
Специальные функции, М., 1983. Ю.А.Брычков, А.П.Прудников.
СПЕЦИАЛЬНЫЙ АВТОМОРФИЗМ, построенный по
автоморфизму S пространства с мерой (X, v) и функ-
функции / (заданной на X и принимающей положительные
целочисленные значения),— автоморфизм Т нек-рого
нового пространства с мерой (М, ц), строящийся сле-
следующим образом. Точки М суть пары (х, п), где х?Х и
п целое, 0 <Sn </(?); при этом М снабжается очевидной
мерой [х: если ACZX и /(ж)>гс при всех ж? А, то ц (А X
Xn)=v(/4). Еслиц(Л/")=\ /rfv< оо, то ату мер у обычно
еще нормируют. Преобразование Т увеличивает вторую
координату точки (х, п) на единицу, если гс+1 </(х),
т. е. если при этом точка не выходит из М; в против-
противном случае Т (х, n)=(Sx, 0). Преобразование Т ока-
оказывается автоморфизмом пространства с мерой (М, |я).
Описанная конструкция часто применяется в эргоди-
ческой теории при построении различных примеров.
С другой стороны, роль С. а. ясна из следующего.
Отождествляя точку х?Х с (х, 0), можно считать, что
ХсМ. Тогда f(x) есть время, за к-рое точка, находив-
находившаяся вначале в X и двигающаяся под действием ка-
каскада {Т"}, возвращается снова в X, a S есть производ-
производный автоморфизм Тх- Таким образом, с помощью С. а.
как бы восстанавливают траектории динамич. системы
во всем фазовом пространстве, наблюдая только про-
прохождения движущейся точки через множество X.
Д. В. Аносов.
СПЕЦИАЛЬНЫЙ ПОТОК, построенный по автомор-
автоморфизму S пространства с мерой (X, v) и измеримой функ-
функции /, заданной на X и принимающей положительные
значения,— измеримый поток в нек-ром новом про-
пространстве с мерой (М, (л), строящийся следующим обра-
образом. Точки М суть пары (х, s), где х?Х и 0<s<f(x);
мера |х — ограничение на множестве М, рассматривае-
рассматриваемом как подмножество в ХХ[0, оо) — прямого про-
произведения меры v на X и меры Лебега на [0, со). Если
|х(М)=\ /ch><co, то эту меру обычно еще нормируют.
Движение же происходит таким образом, что вторая
координата точки (ж, s) увеличивается с единичной ско-
скоростью, пока не достигает значения /(ж); а этот момент
времени точка перескакивает в положение (Sx, 0).
В эргодической теории С. п. играет роль, аналогич-
аналогичную роли- сечений и последования отображений при
исследовании гладких динамич. систем: X играет роль
сечения, a S — отображения последования. Но в топо-
логич. теории построить сечение в виде многообразия
удается, вообще говоря, только локально. В эргодиче-
эргодической же теории построение глобального сечения воз-
возможно при очень широких условиях, ибо здесь нет ог-
ограничений, связанных с топологией. (Если даже ис-
исходный поток является гладким, все равно допуска-
допускается, чтобы секущая поверхность была разрывной.)
Поэтому при очень широких условиях измеримый поток
метрически изоморфен нек-рому С. п., даже с нек-рыми
дополнительными условиями на / (см. [1|). Родственным
понятием является специальный автоморфизм.
Лит.: [1] К о р н ф е л ь д И. Л., С и н а й Я. Г., Ф о-
м и н С. В., Эргсщическая теория, М., 1980. Д. В. Аносов.
СПИН — одна из величин, характеризующая внут-
внутренние степени свободы квантовой частицы (или кван-
квантового поля). Нерелятивистская частица имеет спин S
1 3
E=0, — , 1, — , 2, . . . ), если ее волновая функция
г|) (х) принимает значения из нек-рого линейного про-
пространства L, в к-ром действует неприводимое (одно-
(однозначное или двузначное) представление g-^-Tg веса S
группы вращений SO3 трехмерного пространства (см.
[1], [2]) так, что при переходе от одной ортогональной

системы координат в R к другой при помощи матрицы
g?SO3 значения волновой функции преобразуются
матрицей Tg. В случае релятивистской частицы, вол-
волновая функция крой преобразуется с помощью какого-
нибудь представления g^>-Tg группы Лоренца, ее С.
наз. максимальный из весов неприводимых представ-
представлений группы вращений SO3, на к-рые раскладывается
представление g^-Tg.
Лит.: [1J Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Кванто-
Квантовая механика, 3 изд., М., 1974; [2] Г е л ъ ф а н д И. М., М и н-
л о с Р. А., Ш а п и Р о 3. Я., Представления группы вра-
вращений и группы Лоренца, их применения, М., 1958.
Р. А. Минлос.
СПИНОР — элемент пространства спинорного пред-
представления. Напр., если Q — невырожденная квадра-
квадратичная форма в л-мерном пространстве V над полем к,
имеющая максимальный индекс Витта т=[п/2] (по-
(последнее условие всегда выполнено, если поле к алгеб-
алгебраически замкнуто), то в качестве пространства С,
отвечающего форме Q, можно рассматривать внешнюю
алгебру над максимальными (размерности т) вполне
изотропными подпространствами в V.
С. были рассмотрены впервые в 1913 Э. Картаном
(Ё. Cartan) в его исследованиях по теории представле-
представлений непрерывных групп и вновь открыты в 1929 Б. Л.
Ван дер Варденом (В. L. van der Waerden) в исследо-
исследованиях по квантовой механике [так, было обнаружено,
что явление спина электрона и других элементарных
частиц описывается физич. величинами, не принадле-
принадлежащими к известным ранее типам величин (тензорам,
псевдотензорам и т. д.), напр., они определяются лишь
с точностью до знака, и при повороте системы коорди-
координат на угол 2я вокруг нек-рой оси все компоненты этих
величин меняют знак].
В настоящее время спинорное исчисление нашло ши-
широкое применение во многих отраслях математики и
позволило решить ряд трудных задач алгебраической и
дифференциальной топологии (напр., задача о числе
ненулевых векторных полей на /с-мерной сфере, задача
об индексе эллиптического оператора, ^-теория).
Лит.: [1] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Ф о-
менко А. Т., Современная геометрия, М., 1979; [2] Ж е л-
норович В. А., Теория спиноров и ее применение в физике
и механике, М., 1982; [3] К а р т а н Э., Теория спиноров, пер.
с франц., М., 1947; L4] К а р у б и М., йГ-теория. Введение, пер.
с англ., М., 1981. М. И. Войщховспий.
СПИНОРНАЯ ГРУППА невырожденной квадратич-
квадратичной формы Q на n-мерном (п^З) векторном пространстве
V над полем к — связная линейная алгебраич. группа,
являющаяся универсальной накрывающей неприво-
неприводимой компоненты единицы О„ (Q) ортогональной груп-
группы On(Q) формы Q. Если char кф2, то группа 0% (Q)
совпадает со специальной ортогональной группой
SOn((J). С. г. строится следующим образом. Пусть С =
= C(Q) — Клиффорда алгебра пары (V, Q), С+ (соот-
(соответственно С~) — подпространство в С, порожденное
произведениями четного (соответственно нечетного)
числа элементов из V, р — канонич. антиавтоморфизм
алгебры С, определяемый формулой
Вложение VczC позволяет определить группу
Клиффорда
G = {s?C\s обратим в С и sVs-1 = V}
и четную (или специальную) группу
Клиффорда
С. г. SpinB=Spinn (С) определяется равенством
Spinn-{s€G+|sP («) = !}¦
С. г. Spinn— простая (при пфА) связная односвязная
линейная алгебраич. группа типа Вт при га=2т+1

и типа Dm при л=2т^8; при л=6 это А 3, а при л=
=4ато41ХЛ1. Имеют место изоморфизмы
Spin3 = SL2, Spinn=? SL2XSL2,
Spin5 a- Sp4, Spin6 s= SL4.
Линейное представление 6 С. г. Spinn в пространстве
V, определяемое равенством
6(s)-и = «!>$-!,
наз. ее векторным представлением.
При этом
6(Spinn(<?)) = 0j(l?) и Кег9 = {±1}.
Группа Spinn допускает также точное линейное пред-
представление (см. Спинорное представление).
Если fe=R — поле действительных чисел, а квад-
квадратичная форма Q положительно (или отрицательно)
определена, то группа Spinr^ вещественных точек
алгебраич. группы Spinn также наз. С. г. Это связная
односвязная компактная группа Ли, являющаяся
двулистной накрывающей специальной ортогональной
группы SOn(R). Имеют место изоморфизмы
Spines SU2; Spinf s=SU2xSU2,
Sphij ^Sp4 B) (см. Симплектическая группа),
Spin j? ss SU4.
Лит.: [1] В е й л ь Г., Классические группы, их инварианты
и представления, пер. с англ., М., 1947; [2]Дьедонне Ж.,
Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974;
[3] К ар тан Э., Теория спиноров, пер. с франц., М., 1947;
[4] Постников М. М., Группы и алгебры Ли, М., 1982;
[5] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. с англ., т. 1, М.,
1948. В. Л. Попов.
СПИНОРНАЯ СТРУКТУРА на «мерном мно-
многообразии М, расслоение спин-ре-
спин-реперов, — главное расслоение л: Р^-М над М со
структурной группой Spin (л) (см. Спинорная группа),
накрывающее нек-рое главное расслоение л: Р->-М
кореперов со структурной группой SO (я). Последнее
условие означает, что задан тождественный по базе
сюръективный гомоморфизм и главных расслоений
Р^>-Р, согласованный с естественным гомоморфизмом р:
Spin(rc)->-SO (л). Говорят, что С. с. (я, х) подчинена
римановой метрике g на М, определяемой расслоением я.
С точки зрения теории G-структур С. с. есть обобщенная
G-структура со структурной группой (? = 8рт(л), рас-
рассматриваемой вместе с неточным представлением р:
Si()SO()
()()
Аналогичным образом определяются С. с, подчинен-
подчиненная псевдоримановой метрике, и С. с. на комплексном
многообразии, подчиненная комплексной метрике. Не-
Необходимые и достаточные условия существования С. с.
на М состоят в ориентируемости многообразия М
и обращении в нуль класса Штифеля — Уитни W2(M).
При выполнении этих условий число неизоморфных
С. с. на М, подчиненных данной римановой метрике,
совпадает с порядком группы IP- (M, Ч2) (см. [6]).
Пусть С — комплексификация Клиффорда алгебры,
пространства R™ относительно квадратичной формы
7=—'S] x'f ¦ Алгебра С обладает неприводимым пред-
ставлением в пространстве S над С размерности 21 '"',
к-рое определяет представление группы Spin (n)cC
в пространстве S. Всякая С. с. я на М задает ассоции-
ассоциированное векторное расслоение п$ : S (М)^-М со сло-
слоем S, называемое расслоением спиноров.
Риманова связность на М определяет каноническим
образом связность в расслоении д^. В пространстве
Г (S) гладких сечений расслоения п$ (с п и н о р н ы х
полей) действует линейный дифференциальный one-

ратор D порядка 1 — оператор Дирака,
к-рый локально определяется формулой
где ys — ковариантные производные по направлениям
ортонормированных векторных полей s,-, а умножение
элементов из S на векторы из R" соответствует опре-
определенной выше структуре С-модуля на S.
Спинорные поля, аннулируемые оператором D, иног-
иногда наз. гармоническими. Если М компактно,
то dim keri)<oo, причем эта размерность не меняется
при конформной деформации метрики [4]. Если при
этом риманова метрика на М имеет положительную
скалярную кривизну, то кег? —О (см. [4], [5]).
Сев пространстве-времени (М, g) (т. е. в четырех-
четырехмерном лоренцевом многообразии) наз. С. с, подчи-
подчиненная лоренцевой метрике g. Существование С. с. в
некомпактном пространстве-времени М эквивалентно
абсолютной параллелизуемости многообразия М (см.
[3]). Пространство спиноров S как модуль над спинор-
спинорной группой Spin A,3)«SL B,G) разлагается в пря-
прямую сумму двух комплексных двумерных комплексно-
сопряженных SL B, С)-модулей С2 и С2. Этому разло-
разложению соответствует разложение 5(Л/) = С2(Л/")фСг (М)
расслоения спиноров, причем тензорное произведение
С2(Л#)(х)С2 (М) отождествляется с комплексификацией
касательного расслоения ТМ. Спинорные поля в про-
пространстве-времени, являющиеся собственными функ-
функциями оператора Дирака, описывают свободные поля
частиц со спином 1/2, напр, электронов.
Лит.: [1] К азанов а Г., Векторная алгебра, пер. с
франц., М., 1979; [2] lleupoja P., Структура пространства-
времени, пер. с англ., М., 1972; L:i] Geroch R., «J. Math.
Phys.», 1968, v. 9, p. 1739—44; [4] H i l с h j n N., «Adv. Math.»,
1974, v. 14, p. 1 — 55; [5] Lichnerowicz A., «Bull. Soc.
math. Prance», 1964, t. 92, p. 11—100; IH] Milnor J., «En-
seign. math.», 1963, t. 9, p. 198—20.4: [71 Твисторы и калиб-
калибровочные поля, пер. с англ., М., 1983. Д. В. Алексеевский.
СПИНОРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — простейшее точ-
точное линейное представление спинорной группа
Spinn (Q) или определяющее его линейное представле-
представление объемлющей четной алгебры Клиффорда С + =
= 6Т+ (Q). Если основное поле К алгебраически замкну-
замкнуто, то алгебра С+ изоморфна полной матричной алгебре
М2т(К) (при n = 2m-\-i) или алгебре M2m-i (К) ф
Q) M2m-t (К) (при п=2т). Тем самым определено
линейное представление р алгебры 61+ в пространстве
размерности 2т над А', к-рое наз. спинорным.
Ограничение f>|Spinn(?>) наз. С. п. группы Spinn(<?).
С ][. при нечетном п неприводимо, а при четном п.
распадается в прямую сумму двух неэквивалентных
неприводимых представлений р' и р", к-рые наз. и о-
луспинорными. Элементы пространства С п.
наз. спинорами, а полуспинорных — полу-
полуспинорами. С. и. спинорной группы Spinn ca-
моконтрагредиентно при любом и^З; полуспинорные
представления р' и р" спинорной группы Spin2m ca-
моконтрагредиентны при четном m и контрагредиентны
друг другу при нечетном т. С. п. группы Spinn точно
при любом п^З, полуспинорные представления группы
Spin.;m точны при нечетном т и имеют ядро, состоящее
из двух элементов, при четном то.
Если квадратичная форма Q задана в пространстве
V над нек-рым подполем kCzK, то С. п. не всегда опре-
определено над к. Однако, если индекс Витта квадратичной
формы Q максимален, то есть равен [п/2] (в частности,
если поле к алгебраически замкнуто), то спинорное и
полуспинорные представления определены над к. В
этом случае указанные представления могут быть опи-
описаны следующим образом (см. [1]). Пусть L и М — не-

пересекающиеся определенные над к максимальные
вполне изотропные (относительно симметрической би-
билинейной формы в V, ассоциированной с квадратичной
формой Q) подпространства в V, CL — подалгебра в
алгебре Клиффорда C=C(Q), порожденная подпро-
подпространством tcF, и едо?С — произведение т векторов,
составляющих определенный над к базис пространства
М. Если п~2т четно, то С. п. реализуется в простом
левом идеале Сещ и действует там с помощью левых
сдвигов: р (s)x=sx (s? С+, х?Сем)- Далее соответствие
x\-*xeyi определяет изоморфизм векторных пространств
С/у+Сещ, что позволяет реализовать С. п. в пространстве
Ci, естественно изоморфном внешней алгебре над про-
пространством L. При этом полуспинорные представления
р' и р" реализуются в инвариантных 2т~1-мерных под-
подпространствах С,Г\С+ и Cif)C~.
Если п нечетно, то пространство V можно включить
в (n-f 1)-меРное векторное пространство V-i=V©fe
над к и определить в \\ квадратичную форму Qx, поло-
положив (^(Н-Хе)=(>(!•)—V2 при всех v?V и %?к. При
это.ч <?j— определенная над к невырожденная квадра-
квадратичная форма максимального индекса Витта на четно-
мерном векторном пространстве V1. С. п. алгебры
С+ (Q) (группы Spinn (Q)) получается путем ограничения
любого из полуспинорных представлений алгебры
C+(Qi) (группы Spinn + 1(^j)) на подалгебру C + (Q)
(соответственно подгруппу Spin,,((?)).
В случае, когда 3<:га<:14, а к — алгебраически
замкнутое поле характеристики 0, решена задача клас-
классификации спиноров (см. [4], [8], [9]), к-рая состоит в
1) описании всех орбит группы р (Spinn) в пространстве
ешшоров, т. е. указании в каждой орбите нек-рого
единственного представителя, 2) вычислении стабили-
стабилизаторов группы Spinn и каждом из этих представителей,
3) описании алгебры инвариантов линейной группы
p(Spinn).
Существование спинорных и полусиинорных пред-
представлений алгебр Ли gun групп Spinn было открыто
Э. Картаном (Ё. Cartan) в 1913, когда он классифици-
классифицировал все неприводимые конечномерные представле-
представления простых алгебр Ли [6]. Впоследствии, в 1935
Р. Брауар (R. Brauer) и Г. Вейль (Н. Weyl) описали
спинорные и полуспинорные представления в терминах
алгебр Клиффорда [5]. И. Дирак (P. Dirac, [3]) обна-
обнаружил, что при помощи спиноров в квантовой механи-
механике описывается вращении электрона.
Лит.: Ш Б у р б а к и II., Алгебра. Модули, кольца, фор-
формы, пер. с франц., М., 1966; f2] В е й л ь Г., Классические груп-
группы, их инварианты и представления, пер. с нем., М., 1947;
[i\ Д и р а к П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2
изд., М., 1979; [4] Попов В. Л., «Тр. Моск. матем. об-ва»,
1978, т. 37, с. 173—217; [5] В г а и е г R., Weyl H., «Amer.
J. Math.», 1935, v. 57, № 2, p. 425—49; I6J С а г t a n E., CEuv-
res completes, v. 1, pt 1, P., 1952, p. 355—98; [7] Clieval-
1 e у С, The algebraic theory of spinors, N. Y., 1954; [8] G a t-
t i V., Viniherghi E., «Advances in Math.», 197S, v. 30,
№ 2, p. 137 — 55; 19] I g и s a J.-i., «Amcr. J. Math.», 1970, v. 92,
№4, p. 907—1028. В.Л.Попов.
СПИРАЛИ — плоские кривые, к-рые обычно обхо-
обходят вокруг одной (или нескольких точек), приближаясь
или удаляясь от нее.
Среди С. выделяют алгебраич. С. и псевдоспирали.
Алгебраические спирали — спирали,
уравнения к-рых в полярных координатах являются
алгебраическими относительно переменных р и ф.
К алгебраическим С. относятся: гиперболическая спи-
спираль, архимедова спираль, Галилея спираль, Ферма спи-
спираль, параболическая спираль, жезл.
Псевдоспирали — спирали, натуральные
уравнения к-рых могут быть записаны в виде
;¦ -- . as'",
где г — радиус кривизны, s ~- длина дуги. При т,= 1
псевдоспираль наз. логарифмической спиралью, при

m=—1 — Корню спиралью, при m=1/2 является эволь-
эвольвентой окружности.
Лит.: [1] С а в е л о в А. А., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
SICI-СПИРАЛЬ — плоская кривая, уравнение к-ров
в декартовых нрямоугольных координатах (х, у) имеет
вид
d ()
где ci — интегральный косинус, si — интегральный
синус, t — действительный параметр (рис.). Дли-
-0,20 -0,10
0.30
0.Ю 0,20 0,30
0.40 0.50
10,30
-0,20
-о,го
-0,10
на дуги от точки f—0 до точки t0 равна In tg, а кривизна
Лит.: [1] Я и к с Е., Э м д е Ф., Л ё ш Ф., Специальные
функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М.,
1968. Д- Д- Соколов.
СПИРМЕНА КОЭФФИЦИЕНТ РАНГОВОЙ КОРРЕ-
КОРРЕЛЯЦИИ — мера зависимости двух случайных величин
(признаков) X и У, основанная на ранжировании неза-
независимых результатов наблюдений (Хи Ух), . . .,i,Xn,Yn).
Если ранги значений X расположены в естествен-
естественном порядке i=-1, . . ., га, а Я,- — ранг У, соответству-
соответствующий той паре {X, У), для к-pott ранг X равен г, то
С. к. р. к. определяется формулой
12
m+l
или, что равносильно,
t
гдр d, — разность между рангами X/ и У,. Значение
Гу меняется от —1 до -|-1, причемrj=-t-l, когда после-
последовательности рангов полностью совпадают, т. с. i =
=Rh j=l, .... и, и г^=—1, когда последовательности
рангов полностью противоположны, т. е. г=(и+1)—i?<,
i=i, . . ., п. С. к. р. к., как и любая другая ранго-
ранговая статистика, применяется для проверки гипотезы
независимости двух признаков. Если признаки неза^
висимы, то Ег5—0, Dr5=77—J- Таким образом, по вели-
величине отклонения rs от нуля можно сделать вывод о за-
зависимости или независимости признаков. Для построе-
построения соответствующего критерии вычисляется распреде-
распределение rf для независимых признаков X и У. При 4<:л<:
<:10 используют таблицы точного распределения (см.
[2], [4]), а при и>10 можно воспользоваться, напр.,
тем, что случайная величина У~п—1 rs при и-»-оо рас-
распределена асимптотически нормально с параметрами
(О, 1). В последнем случае гипотеза независимости от-
от( )
вергается, если )rs)>u alY~n—1, где
и а
есть
корень уравнения Ф («)=1—-j- (Ф (и) — функция стан-
стандартного нормального распределения).

В предположении, что X и Y имеют совместное нор-
нормальное распределение с обычным коэффициентом кор-
корреляции р, при достаточно больших п.
6 . р
Ers~ — arcsin-|-,
и поэтому величину 2 sin -g- rs можно использовать в
качестве оценки для р.
С. к. р. к. был назван по имени психолога Ч. Спир-
мена (Ch. Spearman, 1904), к-рый использовал его в ис-
исследованиях по психологии вместо обычного коэффици-
коэффициента корреляции. Критерии, основанные на С. к. р. к
и на Еендалла коэффициенте ранговой корреляции,
асимптотически эквивалентны (при и=2 соответствую-
соответствующие ранговые статистики совпадают).
Лит.: [1] S p e a r in a n С, «Amer. J. Psychol.», 1904, v. 15,
p. 72—101; [2] КендэлМ., Ранговые корреляции, пер. с
англ., М., 1975; [3] Ван дер ВарденБ. Л., Математи-
Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; [4] Б о л ь ш е в Л. Н.,
Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики,
[3 изд.], М., 1983. А. В. Прохоров.
СПЛАЙН — функция sm(kn\x), определенная на
отрезке [а, Ь], совпадающая на частичных отрезках
[ж,-, х;+х], образованных сеткой Д„: a=xo<Lx1<.. . .
. . . <л„=6 с нек-рыми алгебраическими многочленами
степени не выше т, и имеющая на [а, 6] непрерывную
(т—1)-ю производную. Для С. справедливо представ-
представление
sm (Д„; x)^Pm_l (aO + Sfcl,! ck (*—**)?.
где с^ — действительные числа, Рт_г(х) — многочлен
степени не выше (т—1) и (х — i)+l=[max @, х—()].
Точки {xi}1Z\ наз. узлами С. Если С. sm (Д„; х)
имеет на [а, Ь] непрерывную (т—к)-ю производную
(fe^l), а {т—А-(-1)-я производная в узлах С. разрывна,
то говорят, что он имеет дефект к. Наряду с вве-
введенными выше С. (полиномиальными
сплайнами) рассматриваются более общие С.
(L-c n л а й н ы), к-рые «склеиваются» из решении ли-
линейного однородного дифференциального уравнения
Ly=0 и С. (Lg-c п л а и н ы) с разной гладкостью в
различных узлах, а также С. многих переменных. С.
и их обобщения часто появляются как экстремальные
функции при решении экстремальных задач: наилуч-
наилучшие квадратурные формулы, наилучшее численное диф-
дифференцирование и др. С. применяются для приближе-
приближения функций (см. Сплайн-аппроксимация, Сплайн-ин-
Сплайн-интерполяция), построения приближенных решений обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений
с частными производными. С помощью С. строятся орто-
нормированные системы, обладающие хорошими свой-
свойствами сходимости.
Лит.: [1] С т е ч к и н С. В., Субботин Ю. Н., Сплай-
Сплайны в вычислительной математике, М., 1976. Ю. Н. Субботин.
СПЛАЙН- АППРОКСИМАЦИЯ—приближенное пред-
представление функции или приближенное восстанов-
восстановление функции из заданного класса по неполной ин-
информации (напр., по значениям на сетке) с помощью
сплайнов.
Как и в классич. теории приближения функций, изу-
изучаются линейные методы С.-а., включая сплайн-ин-
сплайн-интерполяцию, наилучшие методы, а также аппроксима-
аппроксимации классами нелинейных сплайнов, напр, сплайнами
с нефиксированными узлами.
Наилучшие приближения сплай-
сплайнами. Изучаются вопросы существования, единст-
единственности, характеристич. свойства наилучшего сплай-
сплайна (н. с.) (см. Наилучшего приближения элемент), а
также порядки, асимптотика и точные верхние грани
уклонений сплайнов от заданного класса функций.
Сплайны с фиксированными узлами не образуют Че-
бышева систему, поэтому в С [а, Ь] нет единственности

н. с. и характеристич. свойства н. с. сложное, чем
характеристич. свойства Наилучшего приближения мно-
многочлена (см. |8]). Однако в L[a, b] для подкласса не-
непрерывных функций н. с, если они склеиваются из
гладких функций, образующих систему Чебышева на
[а, Ь], обладают свойствами единственности |2]. Сплай-
Сплайны с фиксированной гладкостью, но с нефиксированными
узлами (предполагается, что число узлов не превосхо-
превосходит заданного числа) не образуют замкнутого множест-
множества, поэтому здесь может не существовать н. с. Порядок
приближения может быть охарактеризован следующим
результатом [6]:
^[«. Ь];
A)
где Snl д (х) — полиномиальный сплайн степени т
с узлами в точках сетки
||Д„Ц= max (zi + 1—xi),
О< i< п- i
шц(/, 6)^ — модуль гладкости порядка к в Lq\a, Ъ\ и
функция f (х) имеет абсолютно непрерывную (I—1)-ю
производную и 1-ю из Lg (l<:Z<m), j=0, 1, . . ., l—{.
При l<g-<p<:oo в A) можно i заменить на i — 1 и уб-
1-1 + -L
рать множитель ||Д„|| v q . Более слабые аналоги
неравенства A) получены для многомерных сплайнов.
Напр., если f^w\(u) (W\ (Й) — пространство Собо-
Соболева) и 5ft — совокупность сплайнов (степени не выше
к по каждой переменной) с равномерными узлами и ша-
шагом h и область Q удовлетворяет строгому условию
конуса (см. Вложения теоремы), то
Для равномерной сетки (||Д„||—1/и) п класса И7'^ м по-
порядок правой части в A) при 1<р«:д<:оо равен
пр q . Если рассматривать приближение
сплайнами степени т гладкости т—1 с нефиксирован-
нефиксированными узлами, число к-рых не превосходит и, то за счет
выбора узлов можно добиться [7], чтобы порядок аппрок-
аппроксимации был равен n~r7l~1 + i. Для наилучшего равно-
равномерного приближения нек-рых классов периодических
функций полиномиальными сплайнами с равномерны-
равномерными узлами имеется ряд окончательных результатов.
Напр., для класса WrHa>, где ш (б) — выпуклый модуль
непрерывности, подсчитана верхняя грань уклонения
от сплайнов степени г [4]. Она совпадает с соответст-
соответствующим поперечником этого класса. Изучаются также
наилучшие приближения сплайнами при дополнитель-
дополнительных ограничениях на его старшую производную [131.
В связи с изучением наилучших квадратурных формул
естественно возникает задача наилучшего приближе-
приближения специальной функции F — t)r (см. Моносплайн).
Линейные методы приближения
сплайнам и начали изучать раньше наилучших
приближений. При этом преимущественно изучались
приближения интерполяционными сплайнами (и. с.)
(см. [1], [3], [5J). И. с. часто дают тот же порядок при-
приближения, что и наилучшие; это является одним \ул
преимуществ перед интерполированием многочленами.
Так, если функция / (х) имеет непрерывную r-ю произ-
производную на (—оо, со), то для приближения полиноми-

альными и. с. Sn(x,h) степени ге>г с равномерными
узлами интерполяции x; = ih, ?=0, ±1, ±2, . . ., и
узлами сплайна справедлива оценка [б].
-(/<'>, fe), i = 0, I, ..., г.
При изучении и. с. с произвольными узлами в качест-
качестве параметра приближения выбирается максимальное
расстояние между узлами интерполяции; обычно узлы
интерполяции и узлы сплайна тесно связаны между со-
собой. В приложениях наиболее широко используются по-
полиномиальные п. с. S3 (х) 3-й степени — кубиче-
кубические сплайны. Это связано с тем, что построение
таких сплайнов сводится в большинстве случаев к ре-
решению системы линейных уравнений с трехдиагональ-
ной матрицей, имеющей доминирующую главную диа-
диагональ. Решение таких систем легко реализуется на
ЭВМ. Кроме того, если функция f(x) имеет непрерыв-
непрерывную к-ю, 0«?/г<3, производную на [а, Ь], то имеют
место оценки
И/"¦»(*)-Si" (*)|c[e. ft] <
<с || Д„||*-''со (/'*>, ||Д„||), 0<j<fc,
где {яг"'} — узлы интерполяции. При fc=l, 2 кон-
константа е>0 не зависит от / и от сеток Д„. При fc=0 и
/с—3 на последовательность сеток Д„ налагаются до-
дополнительные ограничения. Аналог этого результата
имеет место также для многомерных кубических сплай-
сплайнов, а также для сплайнов большей степени.
И. с. нечетной степени обладает рядом экстремаль-
экстремальных свойств. Напр., среди всех функций, имеющих аб-
абсолютно непрерывную (т—1)-ю производную на [а, 6]
и т-ю производную из Ьг [а, Ь] и принимающих в
точках {х(}, а<жо<ж1<. . .<ж„<6, заданные значе-
значения {(/,}, полиномиальный сплайн S2m-\(x) с узлами
{х[}, принимающий в точках {ж,} значения {(/,}, име-
имеющий непрерывную Bт—2)-ю производную на [а, Ь]
и совпадающий на [а, х0) и (хп, Ь] с многочленами сте-
степени не выше т—1, имеет наименьшую норму т-й
производной в L2 [а, Ь]. Это свойство послужило ос-
основой для многочисленных обобщений сплайнов. Для
нек-рых классов функций верхняя грань уклонений от
и. с. совпадает с верхней гранью уклонений для н. с,
напр, для класса WrH@ при ш(б)=б.
Сплайны играют важную роль в задаче сглаживания
[3], [5] сеточной функции, заданной с погрешностью.
С помощью сплайнов строятся базисы [5] и ортонорми-
рованные базисы [9], Лебега константы к-рых ограни-
ограничены.
Методы С.-а. тесно связаны с численным решением
уравнений в частных производных методом ко-
конечных элементов, в основе к-рого лежит
Ритца метод при специальном выборе базисных функ-
функций. В методе конечных элементов в качестве базисных
функций выбираются кусочно полиномиальные функ-
функции, т. е. сплайны. Пусть, напр., Q — ограниченная
область из R2, к-рую можно разложить на конечное
число правильных треугольных подобластей Г,-, 1<:
JV Для фиксированного i многочлен
Рl (Pij) = «1 + «2^1 + «3*2 + «4ri + «5*1*2 +
определяется из условий
Pi (Pij) = / (Pij), Pi Dij) = / (<?(,), / = 1, 2, 3,
где функция / (p) непрерывна на Q и рц — вершины
треугольника Т;, а д|у- — середины его сторон. Пусть
S(p)=Pi(p) при р?Т;, г=0, 1, . . ., N. Если f?Wl{Q),

где h — длина стороны треугольника Г,- и с — абсо-
абсолютная постоянная.
Лит.: [1] А л G е р г Д ж.-, Н и л ь с о и Э., У о л ш Д ж.,
Теория сплайнов и ее приложения, пер. с англ., М., 1972; 1:2]
Галкин П. В., «Матем. заметки», 1974, т. 15, в. 1, с. 3—14;
[3] Завьялов Ю. С, К в а с о в Б. И., Мирошничен-
Мирошниченко В. Л., Методы сплайн-функций, М., 1980; [4] Корней-
ч у к Н. П., «Докл. АН СССР», 1973, т. 213, № 3, с. 525—29;
[5] С т е ч к и н С. Б., Субботин Ю. Н., Сплайны в вы-
вычислительной математике, М., 1976; [6] С у б б о т и н ГО. Н.,
«Матем. заметки», 1974, т. 16, № 5, с. 843—54; [7] С у б б о-
тинЮ. Н., Черных Н. И., там же, 1970, т. 7, .№ 1,
с. 31—48; [8] SchumakerL. L., «J. Math, and Mech.»,
1968, t. 18, p. 369—77; [9] Zieselsky Z., «Studla math.»,
1972, t. 41, s. 211—24. Ю. Н. Субботин.
СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛЯЦИЯ — интерполирование
посредством сплайнов, т. е. построение интерполяцион-
интерполяционного сплайна (и. с), принимающего в заданных точках
{х[} заданные значения {/(ж;)}, j—0, 1, . . ., п. Обычно
и. с. удовлетворяют дополнительным условиям в кон-
концевых точках. Так, для кубического сплайна 53(Д„, х),
Д„: а—.го<.т1<. . .<хп=Ь, к-рый склеен на [а, Ь] из
кубических многочленов и имеет непрерывную 2-ю
производную, требуют, чтобы 53(Д„, Xi)=f(x;), и, кро-
кроме того, задают по одному условию в концевых точках,
напр. 5з(Д„, а) = у'а и S's (Д„, Ъ) = у'п или 5'з(Д„, a) = yl
и S's! (Д„, Ь)=уп. Если f(x{) — значения (Ь—е)-периоди-
ческой функции, то требуют, чтобы сплайн был также
F—а)-периодическим. Для полиномиальных сплайнов
степени 2fe+i число дополнительных условий в каждой
из точек а и Ь увеличивается до к. Для и. с. степени 2к
обычно узлы сплайна (точки разрыва 2А-й производной)
выбираются посредине между точками {ж,} и задается
еще по к условий в точках а и Ь.
С.-и. имеет нек-рые преимущества по сравнению с ин-
интерполированием многочленами; напр., существуют
такие последовательности сеток Д™,: а—жо '•Oi '<
<. . .<^ft)=b и и. с, для к-рых интерполяционный
процесс сходится для любой непрерывной функции, если
Многие процессы С.-и. дают тот же порядок прибли-
приближения, что и наилучшие приближения. Более того, при
С.-и. нек-рых классов дифференцируемых функций по-
погрешность не превосходит поперечника соответствую-
соответствующего класса. С.-и. дает решение нек-рых вариационных
задач. Напр., и. с. при достаточно общих дополнитель-
дополнительных условиях в точках а и 6 удовлетворяет соотноше-
соотношению
* (А„, t)f dt = ^ [/<«> (О]2 dt-
Из этого соотношения следует существование и един-
единственность и. с. нечетной степени, а также простейшие
результаты о сходимости:
B)
m4<
i=0, 1, . . ., m—1, где константа с^ т зависит только
отити ||Д„|| = max (г,-+1—х{). Для нек-рых классов
o<i<n— i
дифференцируемых функций последовательность и. с.
сходится к интерполируемой функции на любой после-
последовательности сеток Дп , для к-рой ||ДП ||-»-0, напр.,
это имеет место в случае B).

Наряду с полиномиальными и. с. в С.-и. использу-
используются сплайны более общего вида (L-сплайны, /.?-сплай-
ны). Для многих из них также справедливы аналоги
равенства A) и неравенств B). Для сплайнов с дефектом,
большим единицы, обычно рассматривается интерполи-
интерполирование с кратными узлами.
См. также Сплайн-аппроксимация.
Лит. см. при ст. Сплайн. Ю. Н. Субботин.
СПЛЕТАЮЩИЙ ОПЕРАТОР — непрерывный ли-
линейный оператор Т: Et ->- Е2 такой, что Тпл (х)=л2 (х)Т,
где лг и я 2 — отображения множества X в топологиче-
екие векторные пространства Ег и Е2, а х?Х. Понятие
«С. о.» особенно плодотворно в случае, если X — группа
или алгебра, а ях, п„ —- представления этой группы или
алгебры. Совокупность С. о. образует пространство
Нот(я1, я2), являющееся подпространством простран-
пространства всех непрерывных линейных отображений Ег в ?2.
Если Horn (nlt я2)=@), Нот(зг2, Я!)=@), то представ-
представления iij и я2 паз. дизъюнктными пред-
представлениями. Если пространство Нот (лх, л2)
содержит оператор, определяющий изоморфизм про-
пространств Ех и ?2, то представления л1 и л2 эквива-
эквивалентны. Если Ег, Е2 — локально выпуклые простран-
пространства, Е\, Е*> — их сопряженные и л]7 я2 — представ-
представления, являющиеся сопряженными представлениями
к % и л, соответственно, то для любого 7*? Нот (я2, я2)
оператор Т* содержится в Нот(зт2, xii). Если л1 и я2
конечномерны или унитарны и представление .TtL не-
приводимо, то представление я2 тогда и только тогда
допускает подпредставление, эквивалентное яь когда
Нот (щ, лг)Ф@). См. также Сплетения число.
Лит.: [1] К и р и л л о в А. А., Элементы теории пред-
представлений, Ч изд., М., 1978; [2] Н а й м а р к М. А., Теория
представлений групп, М., 1976. А. И. Штерн.
СПЛЕТЕНИЕ — 1) С. г р у п и А к В строится сле-
следующим образом. Пусть Ав — множество всех функ-
функций, определенных на группе В со значениями в А;
они образуют относительно покомпонентного умноже-
умножения группу, к-рая является полным прямым произве-
произведением групп, изоморфных группе А в количестве, рав-
равном количеству алементов группы В. Группа В па. Ав
действует автоморфизмами но правилу: если Ь?В,
ф^Л s, то фь (ж)=ф (xb-1) для х?В. Относительно этого
действия можно составить полупрямое произведение
W групп В и Ав, т. е. множество всех пар (Ь, ф), где
Ъ^В <р?/4в, с операцией умножения
(Ь, Ф)(с, i))) = Fc
Построенная группа W нал. декартовым (или
полным) сплетением г р у п и А и В и обо-
обозначается A Wr В (или А г В). Если в этой конструк-
конструкции вместо Ав взять меньшую группу /4<д», состоя-
состоящую из всех функций с конечным носителем, т. е.
функций, принимающих неединичные значения лишь
в конечном множестве точек, то получится подгруппа
группы W, наз. сплетением (прямым спле-
сплетением, дискретным сплетением) групп
А и В; она обозначается через A wr В (или А г В).
Оба С. широко используются для построения различ-
различных примеров групп.
Лит.: [1] Нейман X., Многообразия групп, пер. с англ.,
М., 1969; 12] KrasniTl., К а 1 о и j n i n e L., «Acta Scl,.
Matli. Szeged», 1U50, v. 13, p. 208--30, 1951, v. 14, p. 39—06,
p. 69—82. А. Л. Шмелькин.
2) С. полугрупп, веночное произве-
произведение, узловое произведение, — кон-
конструкция, сопоставляющая двум полугруппам третью
следующим образом: W есть С. А и В, если W опре-
определена на прямом произведении F{B, A)XB, где
F(B, A) — полугруппа всех отображений из В в А
относительно поточечного умножения, и операция на
W задана формулой: (/, Ь) (g, c) = (fbg, be), где отобра-

жение bg задано условием bg(y)=g(yb). С. А и В
обозначается A wr В. Определенное выше С. наз.
стандартным; другие определения и обобщения см.
[1], [2], [4] - 17].
С. А в В содержит в качестве подполугруппы
прямое произведение АХ В. Если А содержит единицу,
то любое идеальное расширение А при помощи полу-
полугруппы В вкладывается в A wr В (см. [3]).
Вопрос о том, когда те или иные свойства полугрупп
А и В наследуются A wr В, исследован главным образом
для различных типов простоты (см. Простая полугруп-
полугруппа). Напр., если А и В — идеально простые полугруппы
и В — полугруппа с правым сокращением, то Л wr В —
идеально простая полугруппа; если А ж В — вполне
простые полугруппы, и А — простая слева, то A wr В
вполне простая полугруппа [3]; если А и В — полугруп-
полугруппы с вполне простыми ядрами (см. Ядро полугруппы),
то A wr В содержит вполне простое ядро DJ; более
того, в последнем случае ядро сплетения равно квадрату
сплетения ядер [7]. Если одна из полугрупп А, В ре-
регулярна, а вторая проста слева, то Л wr В регулярно
16]. Пусть |Л|>1; для того чтобы A wr В было инверс-
инверсной полугруппой (правой группой), необходимо и доста-
достаточно, чтобы А была инверсной полугруппой (правой
группой), а В — группой [6].
С помощью С. получено компактное доказательство
теоремы Эванса о вложимости всякой счетной полу-
полугруппы iS в полугруппу с двумя образующими [1]; при
таком вложении, если S — конечнопорожденная и
периодическая, то S может быть вложена в периодиче-
периодическую полугруппу с двумя образующими.
С. и его обобщении играют важную роль в алгеб-
алгебраической теории автоматов. Напр., с использованием
С. доказана теорема о разложении всякого конечно-
конечного полугруппового автомата в каскадное соединение
триггеров и простых групповых автоматов ([2J, см.
также [5]) — т. н. теорема Крона — Роудза.
Лит.: UJ Neumann В. Н., «J. London Math. Soc»,
1960, v. 35, pt 2, №138, p. 184—92; [2] Krohn K., R h o-
d e s J. «Trans. Amer. Math. Soc.» 1965, v. 116, p. 450—64;
[3] Hunter R. P., «Bull. Soc. Math. Belgique», 1966, t. 18,
tasc. 1, p. 3—IB; [4] M с К n i g h t J. D. j г., S a d о w s-
ki E., «Semigroup Forum», 1972, v. 4, p. 232—36; [5] Алгебраи-
Алгебраическая теории автоматов, языков и полугрупп, пер. с англ.,
М., 1975; Гб] Коше лев ТО. Г., «Semigroup Forum», 1975,
v. II, Л» 1, р. 1 — 13; L7] N а к а ] 1 m a S., «Ргос. First. Symp.
Semigr.», Matsue, 1977, p. 84—88. Э. А. Голубое, Л. Н. Шеврин.
СПЛЕТЕНИЯ ЧИСЛО — размерность с (ях, л2) про-
пространства Нот (ль я2) сплетающих операторов для
отображений % и л, множества X в топологические
векторные пространства Е1 и ?2. Понятие «С. ч.» осо-
особенно плодотворно в случае, если X — группа или
алгебра, а лх, я2 — ее представления. Вообще говоря,
даже для конечномерных представлений с (л,, я%)ф
Фс(п2, лх), но для конечномерных представлений ях,
л 2, л3 справедливы равенства
с(л, фл3, л3)=-с(л,, л3) + с(л2, я3);
с(л1( лгфл3)--с(л1, л2) + с(яь л3),
а если X — группа, то и равенство
с(я1®л2, ns)--=c(nlt яг®л3)-
Если .1] и л2 неприводимы, то с (.%, л2) равно 1 или 0
в зависимости от того, эквивалентны или нет представ-
представления л, и я2. Для непрерывных конечномерных пред-
представлений компактной группы С. ч. может быть вы-
выражено через характеры этих представлений.
Лит.: [1] Кириллов А. А.. Элементы теории пред-
представлений, М., 1972; [2] Н а и м а р к М. А., Теория представ-
представлений групп, М., 1976. А. И. Штерн.
СПОРАДИЧЕСКАЯ ПРОСТАЯ ГРУППА — простая
конечная группа, не входящая ни в одну из известных
бесконечных серий простых конечных групп. Откры-
Открытые (к 1984) 2(i С. и. г. перечислены в таблице.

ОЭозначение
М„
м,"
м"
J."
J,,
J»,
J4
Со,
Со,
СО 3
Fii
f"!
F'
HS
He,
Suz
Mc
Ly
Ru
HJ
HJM
.1
.3
M B2)
M B3)
M B4)'
HHM
O'N, O'NS
Fi,
Pi.
F3,
Fs.
M
В
E, T
n
Название
Группы
Группа
Группа
Янко
Группа
Матье
Янко
Холла —
Хигма-
на —Янко—Мак-
кея
Группа
Группы
Группы
Группа
Янко
Конвея
Фишера
Хигма-
на —Симса
Группа
Хельда—
Хигмана — Мак-
нея
Группа
Группа
лина
Группа
Группа
лиса
Группа
Судзуки
Маклаф-
Лайонса
Рудва-
О'Нэ-
на —Симса
Большой
монстр,
группа
Фишера—Гр'ай-
са
Малый
группа
Группа
на
Группа
мон стр,
Фишера
Томпсо-
Харады
Порядок
24-32-5-11
2e-33-5-lJ
2'-32-5-7-11
2'-38-5-7-11-23
2'-3-5-7-11-19
2'.33-5'-7
2'-3'-5-17-19
221-Зя-5-7-11;1-23-29-31Х
221-3»-5*-7г-11-13-23
2".3«-5»-7-11-23
210-37-5s-7-ll-23
217-3»-52-7-11-13
218-3"-5г-7.11 -13-17-23
22i.3»»-5*-73-111317-23-29
2»-3*-53-7-11
2Ю.З».&г.73.17
21:1-3'-52-7-11-13
27-За-53-7-11
28 З7 -5"-7-11-31-37-67
214-3 = -5;'-7-13-29
2»-3*-5 -73-11-19-31
О4в.зго.58-7е-11г-133-17х
ХЮ-23-29-31-41-47-59-71
24!-313-5«-72-11-13-17 19Х
Х23-31-47
21Ь-310-5а-7г-13-19-31
214-Зв -5е- 7-1119
Лит.: П] С ы с к и н С. А., «Успехи матем. наук», 1980,
т. 35, № 5, с. 181—212; [2] А ш б а х е р М., там же, 1981, т. 36,
М 2, с. 141 — 72. В. Д. Мазуров.
СПРЯМЛЕНИЯ ТОЧКА, распрямления
точка,— точка кривой, в к-рой кривизна обращается
в нуль. В С. т. уклонение кривой от касательной не
ниже 3-го порядка. Если при переходе через С. т.
кривая пересекает касательную в Ст., то С. т. яв-
является перегиба точкой. А. В. Иванов.
СПРЯМЛЯЕМАЯ КРИВАЯ — кривая, имеющая ко-
конечную длину. Пусть Г — непрерывная параметрич.
кривая в трехмерном евклидовом пространстве R3, т. е.
Г== {*i=*i @> х2—х*(*), ж3=г3(г)}, а<г<Р, где xk(t),
к=1, 2, 3 — непрерывные на отрезке [а, |3] функции,
П— {а=<0<«1<. . .<(„=$}— произвольное разбиение
отрезка [а, Р) и Aj {хг (tj), хг (tj), x3 (tj)) — порожденная
им последовательность точек на кривой Г. И пусть
Гп — ломаная, вписанная в кривую Г и имеющая вер-
вершины в точках Ао
А„. Длина этой ломаной
где
Величина
наз. длиной кривой Г. Длина s(F) не зависит
от способа параметризации кривой Г. Если х(Г)<л-оо,
то кривая Г наз. спрямляемой к р и в о п. С. к.

Г имеет касательную почти во всех своих точках A (x^t),
x2(t), x$(t)), т. е. почти при всех значениях параметра
*?[а, р]. Изучение С. к. было начато Л. Шеффером
[1] и продолжено К. Жорданом [2], к-рый доказал, что
кривая Г спрямляема тогда и только тогда,
когда все три функции xk(t), k=i, 2, 3, являются огра-
ограниченной вариации функциями на отрезке [а, (}].
Лит.: [1] S с h e e f f е г L., «Acta math.» 1885, t. 5, p. 49—
82; [2] Jordan С, Cours d'analyse de l'Ecole polytechnique,
3 ей., t. 1, P., 1909. В. И. Голубое.
СПРЯМЛЯЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ — одна из плоско-
плоскостей Френе трехгранника, проходящая через заданную
точку А кривой r=r (t) и содержащая касательную t и
бинормаль Ь к кривой, проведенные в заданной точке
кривой. Уравнение С. п.:
(R-r)r' [/¦', г"] = 0,
л
х'
у
у"
х(А)
(Л)
Z
„и
Y-
у'
z"
-У(А)
{А)
X
х"
Z
х"
— z{A)
z'(A)
У
у"
= 0,
где г (t)=r (x (t), y(t), z (t)) — уравнение кривой.
. Л. А. Сидоров.
СПУСКА МЕТОД — метод решения задачи миними-
минимизации
f(x*) = minf(x),
X
где / — нек-рая функция переменной ж=(ж], . . ., хп).
Итерационная последовательность {.т*} С. м. вычисля-
вычисляется по формуле
где g
б
k —
вектор, указывающий нек-рое направление
ф * й
р ущ
убывания функции / в точке ж*, а а^ — итерационный
параметр, величина к-рого указывает длину шага в на-
направлении gk. Если функция / дифференцируема и хк
не является ее точкой экстремума, то вектор gk должен
удовлетворять неравенству
(/' (ж*), g") < 0, (*)
где /' (хк) — градиент функции / в точке хк.
Если / — достаточно гладкая функция (напр., дваж-
дважды непрерывно дифференцируемая) и последователь-
последовательность векторов {#*} удовлетворяет неравенству (*), то
существует такая последовательность {а^}, что
/(*°)>/(*х)> ••• >/(**) > •••
При определенных ограничениях (см. [3]) на функцию
/ и способ выбора параметров {ak} и векторов g^ по-
последовательность {хк} сходится к решению х* исходной
задачи.
К С. м. относятся градиентные методы,
в к-рых векторы {g* } каким-либо образом выражаются
через векторы {/' (х*)}. Одним из наиболее распро-
распространенных является случай, когда
g" = — В
где В (х) — симметрическая матрица, удовлетворяющая
для любых векторов х и у неравенству
т(х, х)<(В(у)х,
х)
с нек-рыми константами Л/^т>0. При дополнитель-
дополнительных предположениях (см. [3]) относительно / и специ-
специальном выборе {<хх} градиентный метод обеспечивает
сходимость последовательности {хк} к решению {х* }
исходной задачи со скоростью геометрич. прогрессии
со знаменателем g<l. Частным случаем градиентных
методов является наискорейшего спуска метод, в к-ром
матрица В (х) выбирается единичной.
Лит.: [1] К а н т о р о и и ч Л. В., А к и л о в Г. П.,
Функциональный анализ в нормированных пространствах, 2 изд.,

M., 1977; [2]3ойтендейк Г., Методы возможных направле-
направлений, пер. с англ., М., 1963; [3] Пшеничный Б. Н., Да-
Дани л в н Ю. М., Численные методы в экстремальных задачах,
М., 1975; [4] П о л я к Б. Т., «Ж. вычисл. математики и матем.
физики», 1963, т. 3, № 4, с. 643—54. Ю. А. Кузнецов.
СРАВНЕНИЕ — соотношение между целыми чис-
числами а и Ъ вида а=Ь-\-тк, означающее, что их разность
а—Ь делится на заданное целое положительное число
т, наз. модулем сравнения; при этом а наз.
вычетом целого числа Ь по модулю т. Для выражения
сравнимости чисел а и & по модулю т употребляется
символ
а = & (mod m).
Бели разность а— Ъ не делится на то., то а и 6 наз. не-
несравнимыми по модулю т и для выражения несравни-
несравнимости а и Ь употребляется символ
a^b (mod то).
Наличие С. а=& (mod и) эквивалентно тому, что а и &
имеют одинаковые остатки при делении на т.
Отношение сравнимости по фиксированному модулю
т является отношением эквивалентности: оно рефлек-
рефлексивно, т.к. a=e(mod m), симметрично, т.к. из а=
^Ъ (mod m) следует Ъ=а (mod то), и транзитивно, т. к.
из a=& (mod то) и Ъ=с (mod то) следует, что а^с (mod то).
Тем самым отношение «^s (mod то)» разбивает множе-
множество всех целых чисел на непересекающиеся классы
эквивалентности А, В, С, . . . Два целых числа лежат
в одном и том же классе тогда и только тогда, когда они
сравнимы по модулю т. Эти классы наз. классами
вычетов по модулю то. Каждое целое число
сравнимо цо модулю то лишь с одним из чисел О, 1,
. . ., то— 1; числа О, 1, . . ., т—1 лежат в различных
классах, поэтому имеется в точности то классов выче-
вычетов, а числа О, 1, . . ., то—1 образуют множество пред-
представителей этих классов. Любое множество из то целых
чисел, взятых по одному из каждого класса вычетов,
наз. полной системой вычетов по мо-
модулю т.
С. с одним и тем же модулем можно складывать,
вычитать и перемножать подобно обычным равенствам,
т. е. из
а = Ь (mod т) и c^sd (mod m)
следует, что
а ± с = Ъ ± d (mod т) и ас = 6d (mod m).
Обе части С. можно умножить на одно и то же целое
число, обе части С. можно разделить на их общий де-
делитель, если последний взаимно прост с модулем С.
Бели же общий делитель числа, на к-рое делятся обе
части С, и модуля С. т есть d, то после деления на d
получается С. по модулю mid.
Операции сложения, вычитания и умножения С.
индуцируют подобные же операции над классами выче-
вычетов. Так, если а и & произвольные элементы из классов
вычетов А и В соответственно, то а-\-Ь всегда лежит
в одном и том же классе вычетов, наз. суммой А-\-В
классов А и В. Аналогично определяется разность
А —В и произведение А -В двух классов вычетов А я В.
Классы вычетов по модулю т образуют по сложению
абелеву группу порядка т. Нулевым элементом этой
группы является класс, состоящий из всех целых чисел,
кратных числу то; обратным к классу А является класс
А, состоящий из всех элементов класса А, взятых со
знаком минус. Более того, классы вычетов по модулю
то образуют кольцо относительно определенных выше
операций сложения, вычитания и умножения.
Пусть F (x-j_, хг, . . ., хп) — многочлен от ге перемен-
переменных с целыми коэффициентами. Выражение вида
F (*i, х2, ..., zj =
наз. алгебраическим сравнением. Решением сравнения
(*) наз. всякий набор al5 a2, . . ., а„ целых значений

неизвестных хг, x2, . . ., хп такой, что число F(а±, а2,
. . ., ап) сравнимо с нулем но модулю т. Если я,-, 1 <:
<:;<п, лежат соответственно в классах вычетов Х[ по
модулю т, то любой другой набор а\, l<:i<S/i, где
a'i(zxi, также будет решением С. Поэтому принято наз.
решением С. (*) также сам набор классов вычетов,
представителями к-рых являются ах, а2, ¦ ¦ ., а„, т. е.
решение алгебраического уравнения F (хг, х2, . . .,
. . ., zn) = 0 в кольце классов вычетов по модулю т.
При таком соглашении С. (*) будет иметь столько ре-
решений, сколько наборов классов вычетов полной си-
системы по модулю т удовлетворяют уравнению F (хг,
х2, . . ., хп) = 0. Аналогично определяется число ре-
решений С. более общего вида, а также систем С.
С. 1-й степени
ах = & (mod m),
если а взаимно просто с т (что обозначается (а, т)=1),
имеет единственное решение. Классы вычетов по мо-
модулю т, элементы к-рых взаимно просты с ;ге, образуют
абелеву группу по умножению. Единицей этой группы
является класс Е, содержащий число 1, и обратным
к классу А является класс А -1, содержащий решение
х С.
ах = 1 (mod m), где а^А.
Классы вычетов по модулю т, элементы к-рых взаим-
взаимно просты с т, наз. приведенными класса-
классами, а любая система чисел, взятых по одному из каж-
каждого приведенного класса, наз. приведенной
системой вычетов. Приведенная система вы-
вычетов состоит из ф (т) элементов, где ф (та) — Эйлера
функция, указывающая количество чисел в множестве
1, 2, . . ., т, взаимно простых с т.
Строение мультипликативной группы приведенных
классов вычетов по модулю т в значительной сте-
степени выясняют теоремы Эйлера и Ферма, показыва-
показывающие, что порядок любого ее элемента делит величи-
величину ф (т).
Теорема Эйлера. Если а и т взаимно просты,
то
(см. Эйлера теорема).
Частный случай этой теоремы для простого модуля —
теорема Ферма: если р — простое число и а
не делится на р, то
(см. Ферма малая теорема).
Важным понятием для изучения мультипликативной
группы приведенных классов вычетов является поня-
понятие первообразного корня по модулю т. При (а, то) = 1
существуют полояштельные целые у с условием аУ =
=1 (mod m), напр. 7"~ф("')- Наименьшее из них наз.
показателем, к-рому принадлежит число а по мо-
модулю т.
Числа, принадлежащие показателю ф (т) (если та-
такие существуют), наз. первообразными кор-
корнями по модулю т. Если g — первообразный
корень по модулю т. и у пробегает полную систему вы-
вычетов по модулю ф(т), то gV пробегает приведенную
систему вычетов по модулю т. Таким образом, если
(а, т)--1, то при нек-ром у из множества 0, 1, . . .,
ц>(т)— 1 имеет место С. a~gV (mod m). Такое у наз.
индексом числа а и о модулю т п р и
основании g и обозначается символом ind a
или, более точно, ind? а. Свойства индекса во многом
аналогичны свойствам логарифма. Первообразные кор-
корни существуют только для модулей т>1 вида 2, 4, ра,
2ра, где ргЭгЗ — простое число и а^1 — целое. В этих
случаях мультипликативная группа приведенных клас-

сов вычетов по модулю т имеет наиболее простую струк-
структуру, являясь циклической группой порядка ср(т).
В остальных случаях группы приведенных классов
вычетов устроены значительно сложнее.
Многие задачи теории чисел сводятся к вопросу
о разрешимости или неразрешимости того или иного
типа С. Ввиду этого теория С, впервые систематически
изложенная К. Гауссом (см. [5]) и поставленная им
в основу классической теории чисел, до сих пор яв-
является одним из основных средств при решении теоре-
теоретико-числовых задач. В этой связи фундаментальное
значение для теории чисел имеет исследование вопроса
о числе решений алгебраич. С. Простейшим типом ал-
гебраич. С. являются С. 1-й степени с одним неизвест-
неизвестным ах=Ъ (mod т). Полный ответ на вопрос о числе
решений С. 1-й степени дает следующая теорема. Пусть
(a, m)=d. Сравнение ах=Ъ (mod m) неразрешимо, если
Ъ не делится на d. При Ъ, кратном d, С. имеет ровно d
решений.
Вопрос о разрешимости системы линейных С.
2- -1 a'lixi ^ b,-(mod P)< г = 1. 2, ..., t,
по простому модулю р>2 полностью решается в общей
теории линейных уравнений над произвольными по-
полями. Случай составного модуля можно свести к слу-
случаю простого модуля.
Следующим по сложности изучения видом алгебра-
алгебраич. С. с одним неизвестным является двучленное срав-
сравнение
x"~a(modm) при (a, m) = i.
Если С. гп=а (mod m) имеет решения, то а наз. в ы-
четом степени п по модулю т. В про-
противном случае а наз. невычетом степени ге
по модулю т. В частности, при и=2 вычеты или
невычеты называются квадратичными, при
ге—3 — кубическими, а при п=4 — б и к в а д-
рнтичными.
Вопрос о числе решении С.
/ (.т)— 0 (modm)
по составному модулю т -~prf'. . .pfs сводится к вопро-
вопросу о числе решений С.
/ (х) е- 0 (mod pai)
для каждого i—-i, 2, . . ., s. Имеет место следующая
теорема: если т1, . . ., тг — попарно взаимно простые
целые положительные числа, то число N решений С.
/(ж)е=0 (mod/Hj. . .то,.) выражается через величины N;,
.= 1, 2, .... г, равные числу решений соответствующих
С. /(x)?s()(mod mi) п0 формуле •^==ТТ-_ -^i- В свою
очередь, вопрос о числе решений С.
/(.T)-=0(modp«), a > 1,
в основном сводится к вопросу о числе решений С.
/(,r)^0 (mod p) по простому модулю р. Основой для
такого сведения служит следующая теорема: всякое
решение .г=ж, (mod p) сравнения /(х)=0 (mod p) един-
единственным образом продолжается до решения
х=ха (mod pa) сравнения /(ж)=0 (modpa), если только
формальная производная f (хг)^0 (mod р), т.е. нал-
дется единственное решение ха С. / (г)^0 (mod pa)
такое, что za™^i (mod p).
Аналогичная ситуация имеет место и в случае ал-
алгебраич. С. от нескольких переменных, т. е. в невы-
невырожденных случаях вопрос о числе решений С. F (хг,
. . ., ?n)=0(mod m) по составному модулю т редуци-
редуцируется к вопросу о числе решений такого же С. по
простому модулю.

Верхнюю границу для числа решений С. /(я)™
HEEO(modp), где / (:г)--а^тп -\-алх'1~1-\-. . .-\ а„, аоф
^0 (mod p), дает теорема Лагранжа: число
решений С. /(ж)=0 (mod р) не превосходит степени
многочлена f(x). Изучение вопроса о точном числе ре-
решений С. /(ж)=0 (mod p) в общем случае встречает
значительные трудности, и в этом направлении к на-
настоящему времени A984) получены лишь немногие
результаты.
Утверждение теоремы Лагранжа перестает быть вер-
верным для составного модуля. Указанное специфическое
свойство простых чисел объясняется тем, что классы
вычетов по простому модулю р образуют поле (см.
Сравнение по простому модулю). Другое специфическое
свойство простых чисел, объясняемое тем же фактом,
выражает Вильсона теорема.
При изучении квадратичных С.
г! = « (modp)
по простому модулю р и для их приложений вводятся
Лежандра символ и Якоби символ.
Алгебраич. С. по простому модулю с двумя неиз-
неизвестными (и вообще с любым числом неизвестных)
F (х, у) = 0 (mod p)
можно трактовать как уравнения над простым конеч-
конечным полем из р элементов. Поэтому для их изучения
наряду с методами теории чисел применяются методы
теории алгебраич. функций и алгебраич. геометрии.
Именно этими методами была впервые получена асимп-
асимптотика вида
для числа Nр решений широкого класса С. F (х, г/)г=
=0(modp). Такая же асимптотика была впоследствии
выведена методами теории чисел без выхода за рамки
теории С. (см. |6]).
Об алгдбраич. С. от многих неизвестных известно
сравнительно мало. В качестве общего результата
можно привести следующее (теорема Шевал-
л е). Пусть F (х1, . . ., хп) — многочлен с целыми ра-
рациональными коэффициентами, степень к-рого меньше
п. Тогда число решений С.
1'(хи ..., ж,,)—0 (mod/))
делится на простое число р. Сильный результат в этом
круге вопросов получен II. Делинем [9] (см. также
[Ю]).
Большое значение имеет также исследование вопро-
вопроса о числе решений С. на неполной системе вычетов.
Систематич. решение этого вопроса было начато рабо-
работами И. М. Виноградова (см. [4]). В качестве примера
задач такого типа может служить задача о распреде-
распределении квадратичных вычетов и невычетов во множестве
1, 2, . . ., р—1, связанная с изучением решений С.
#3™.r (mod р) (см. Виноградова гипотезы, Распределе-
Распределение степенных вычетов и невычетов).
Лит.: [1] БоревичЭ. И., Ш а ф а р е в и ч ' И. Р.,
Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Венков Б. А., Элемен-
Элементарная теория чисел, М.—Л., 1937; [.')! Виноградов II. М.,
Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [4] Виногра-
Виноградов И. М., Избр. труды, М., 1952; [51 Гаусс К. Ф., Тру-
Труды по теории чисел, пер. с нем., М., 1959; [6] С теп а н о в С. А.,
«Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1973, т. 132, с. 237—46; [7] X а с-
с е Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; [8] Чаи-
драсекхаран К., Введение в аналитическую теорию чи-
чисел, пер. с англ., М., 1974; [9] Deligne P., «Publ. Math.
IHES», 1973, v. 43, р. 273—307; [10] Katz N. М., «Ргос.
Simp. Pure Math.», 1976, v. 28, p. 275—305. С. А. Степанов.
СРАВНЕНИЕ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ —
сравнение вида
/(*!,...,*„) = 0 (mod m), A)
где /(^i, . . ., хп) — многочлен от п^2 переменных
с целыми рациональными коэффициентами, не все из

к-рых делятся на т. Разрешимость такого сравнения
для составного модуля т—р"\ . . pr*s, гдер^ . . .,ps —
различные простые числа, равносильна разрешимости
сравнений
/(*!, ..., х„) з^ О (mod pfi) B)
для всех i=l, . . ., s. При этом число N решений срав-
сравнения A) равно произведению Nx. . .Ns, где JV,—
число решений сравнения B). Таким образом, при изу-
изучении сравнений вида A) достаточно ограничиться
модулями, являющимися степенями простых чисел.
Для разрешимости сравнения
/(*!,..., *„)^ 0 (mod р«), а > 1, C)
необходимо, чтобы было разрешимо сравнение
f(xu ..., ж„) = 0(тос1р) D)
по простому модулю р. В невырожденных случаях
разрешимость сравнения D) является также и доста-
достаточным условием для разрешимости сравнения C).
Точнее, справедливо следующее утверждение: каждое
решение x^xf* (mod p) сравнения D) такое, что
~jte. {.tli\ . . ., xln')^0 (mod p), хотя бы для одного
i=l, 2, . . ., п порождает p<a--mn-i) pemeHHg x.^
^i(ia)(mod ра) сравнения C), причем ifW?1 (mod p)
при г=1, 2, . . ., п.
Итак, в невырожденном случае вопрос о числе реше-
решений сравнения A) по составному модулю т сводится
к вопросу о числе решений сравнений вида D) ло про-
простым модулям р, делящим т. Бели f(x1, . . ., хп) —
абсолютно неприводимый многочлен с целыми рацио-
рациональными коэффициентами, то для числа N^ решении
сравнения D) имеет место Оценка
\Nr — p»-1 |<С (/) p«-i-i 3,
где константа С (/) зависит только от многочлена /
и не зависит от р. Из этой оценки, в частности, следует,
что сравнение D) разрешимо для всех простых р, боль-
больших нек-рой эффективно вычислимой константы Со(/),
зависящей от данного многочлена f (xt, . . ., х„) (см.
также Сравнение по простому модулю). Более сильный
результат в этом вопросе получен П. Делинем [3].
Лит.: [1] Б о р е в и ч 3. И., III а ф а р е в и ч П. Р.,
Теория чисел, 2 изд., М., 1972; 12] X а с с е Г., Лекции по тео-
теории чисел, пер. с нем., М., 1Й53; L.'i] Deligne P., «Publ.
Math. IHES», 1973, v. 43, p. 273 — 307. С. А. Степанов.
СРАВНЕНИЕ ПО ДВОЙНОМУ МОДУЛЮ (р, / (г))—
соотношение между целом ис ленными многочленами
а (х) и Ь (х) вида
а(х)—Ь (x)~f(x)g(x) + ph(x),
где р — простое число, a f {х)=х"-\-а1х"-1-\-. . .+
+а„, g (х) и h (x) — многочлены с целыми рациональ-
рациональными коэффициентами. Иными словами, многочлены
а (х) и 6 (х) с целыми рациональными коэффициентами
наз. сравнимыми но двойному модулю
(р, }(х)), если их разность а(х) — Ъ(х) делится на f (х)
по модулю р. Для обозначения сравнимости а (.г) и
Ъ{х) по двойному модулю (р, f{x)) используется символ
а (х) — b (x) (mod p, /(*)),
введенный, как и само понятие «С. по д. м.», Р. Деде-
киндом (R. Dedekind).
Сравнимость по двойному модулю является отноше-
отношением эквивалентности на множестве всех целочислен-
целочисленных многочленов и, следовательно, разбивает это мно-
множество на непересекающиеся классы — классы выче-
вычетов по двойному модулю (р, f(x)). Поскольку каждый

многочлен а (х) сравним по двойному модулю (р, f(x))
с одним и только одним многочленом вида
где ръ . . ., ри пробегают независимо друг от друга
полную систему вычетов по модулю р, то имеется в точ-
точности р" классов вычетов по двойному модулю.
С. по д. м. можно складывать, вычитать и перемно-
перемножать, подобно обычным сравнениям. Эти операции
индуцируют аналогичные операции на классах выче-
вычетов по двойному модулю, превращая множество классов
вычетов в коммутативное кольцо.
Кольцо классов вычетов по двойному модулю (р,
f (x)) является факторкольцом кольца многочленов
Кр[х] с коэффициентами из простого конечного поля
Кр по идеалу (f(x)), порожденному многочленом /(х),
полученному из / (х) редукцией по модулю р. В частно-
частности, если f(x) неириводим по модулю р, то (/(х)) —
максимальный идеал в Кр[х] и Kp[x\l{J(x)) — поле,
состоящее из р" элементов (расширение степени п
простого поля Кр).
Если / (х) неприводим по модулю р, то для сравнений
по двойному модулю имеет .место аналог Ферма малой
теоремы:
п, / (х)),
а также Лаграижа теоремы: сравнение
zm + в1 (х) г»-» + .. . +ат {х) ^ 0 (mod p, f (,r)),
коэффициенты к-рого целочисленные многочлены, имеет
не более т несравнимых но модулю (р, f (х)) решений.
Из утих теорем можно получить, что
где Ф^ (х) — произведение всевозможных различных
нормированных (т. е. со старшим коэффициентом 1)
неприводимых по модулю р многочленов степени d.
Если через (п) обозначить число различных нормиро-
нормированных неприводимых по модулю р многочленов сте-
степени /(, ТО
п
(п)-- ^Jw/ И (^) Р '
\i (d) — функция Мёбиуса и, в частности, (п)>0 для
любого натурального п. Следовательно, для любого
целого и>0 существует конечное иоле Л(/, состоящее
из р" элементов и являющееся расширением степени п
ноля вычетов Кр по простому модулю р.
Лгут.: [1] Венков Б. А., Элементарная теория чисел,
М.—Л., 1937. С. А. Степанов.
СРАВНЕНИЕ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ — срав-
сравнение, в к-ром модуль является простым числом. От-
Отличительной чертой теории С. по п. м. является то, что
классы вычетов по модулю р образуют конечное поле
из р элементов. Поэтому С. по п. м. можно трактовать
как уравнения над простыми конечными полями и
применять для их изучения, наряду с методами теории
чисел, алгебро-геометрические методы.
Одним из основных вопросов теории сравнений от
одного переменного х, имеющим важное значение в тео-
теории алгебраич. чисел, теории кодирования и дру-
других разделах математики, является вопрос об изуче-
изучении законов разложения
/ M = /i {*) ¦¦¦ fr ix) (modp)
uo простому модулю р произвольных целочисленных
многочленов /(х) на неприводимые сомножители.
Основным вопросом теории С. по п. м. р от
переменных является вопрос о числе решений алгебраи-
алгебраических сравнений

когда z,(l«i«n) независимо друг от друга пробегают
или все множество классов вычетов по модулю р (за-
(задачи на полную систему вычетов), или же нек-рую его
собственную часть (задачи на неполную систему вы-
вычетов).
Перпые результаты в исследовании вопроса о числе
решении квадратичных и биквадратичных сравнений
с двумя переменными были получены К. Гауссом II]
и Ж. Лагранжем [2]. Э. Артином [3] была установлена
связь задачи о числе решений гиперэллиптич. сравне-
сравнений y4~f(x) (mod p) на полной системе вычетов по
простому модулю р с гипотезой Римана для введенных
им ^-функций полей алгебраич. функций с конечным
полем констант. В частности, им была высказана ги-
гипотеза, что для числа Np решений сравнения г/2=
=/ (х) (mod р), где многочлен f{x)=xn-\-alxn-1-\-. . . + ап
не является квадратом другого многочлена по модулю
р, справедлива оценка
(здесь [х] — целая часть числа х).
Гипотеза Артина впервые была доказана X. Хассе
[6] для случая эллиптич. сравнений
г/2 ^xz-\-ax-\-b (modp).
Позже А. Вейль [8] распространил метод Хассе на
общий случай и получил для числа Nq решений урав-
уравнения / [х, у)=0 в элементах поля /<'?, состоящего из
q=pr элементов, где / (.г, у) — абсолютно неприводимый
многочлен с коэффициентами из Fq, оценку
Метод Хассе — Вепля сложен и требует привлечения
современного аппарата абстрактной алгебраич. гео-
геометрии. В работе [7] найден простой и чисто арифметич.
метод доказательства результатов Хассе — Вейля.
Менее изучены С. по п. м. от п переменных. В каче-
качестве общего результата здесь можно указать следую-
следующую теорему. Пусть f(x1, . . ., хп) абсолютно неприво-
неприводимый многочлен с целыми рациональными коэффи-
коэффициентами. Тогда для числа Np решений сравнения
/(*!, ..., xn) =0(modp),
имеет место оценка
где константа с (/) не зависит от р. Более сильная оценка
получена П. Делинем [9].
О С. по п. м. на неполной системе вычетов см. Вино-
Виноградова гипотезы, Двучленное сравнение, Распределение
степенных вычетов и невычетов.
Лит.: [1] Г а у с с К. Ф., Труды по теории чисел, пер. с
нем., М., 1959; [2] La grange J. L., Oeuvres, t. 3, P., 1869,
p. 189—201; [3] А г t i n E., «Math. Zeitschrift», 1924, Bd 19, S.
207—46; [4] Виноградов И. М., Избр. труды, М., 1952;
[5] X а с с е Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953;
[6] Hasse H., «Abh. Math. Seminar Hamburg. Univ.», 1934,
Bd 10, S. 325—47; [7] С т е п а н о в С. А., «Тр. Матем. ин-та
АН СССР», 1973, т. 132, с. 237—46; [8J W e i I A., Sur les courbes
algebriques et les varietes..., P., 1948; [9] DeligneP.,
«Publ. Math. IHES», 1973, v. 43, p. 273—307. С. А. Степанов.
СРАВНЕНИЕ ТОПОЛОГИИ — отношение порядка
в множестве всех топологий в одном и том же множестве.
Топология $\ мажорирует топологию <?Г2 (или
$\ не слабее of*2)> если тождественное отображе-
отображение Хг -*¦ Х2, где X,- — множество X, наделенное топо-
топологией $~i, i=l, 2, непрерывно. Если, кроме того,
oTi=^ #, то^свльнее # (а ^ с л а б е е ^~1).
Следующие предложения равносильны.
1) #i мажорирует JT,.
2) Каково бы ни было х?Х, всякая окрестность х
в топологии с^ есть окрестность х в топологии $\.
3) Для любого АсХ замыкание А в топологии &2
индуцирует замыкание А в топологии ^i.

4) Всякое множество из X, замкнутое в<^Г2, замкну-
замкнуто и в @~1.
5) Всякое множество, открытое в $~2, открыто и в ?Г\.
В упорядоченном множестве топологий на X дис-
дискретная топология самая сильная, а топология,
единственными замкнутыми множествами к-рой явля-
являются Фи X, самая слабая. Говоря образно, чем
топология сильнее, тем больше в X открытых мно-
множеств, замкнутых множеств, окрестностей; замыкание
(соответственно, внутренность) множества тем меньше
(соответственно, больше), чем топология сильнее, и
тем меньше всюду плотных множеств.
М. И. Войцеховский.
СРАВНЕНИЯ ПРИЗНАК — 1) С. п. сходим о-
сти ряда с неотрицательными чле-
членами (см. Ряд).
2) С. п. сходимости несобственного
интеграла от знакопостоянных функций (см.
Несобственный интеграл).
СРАВНЕНИЯ ТЕОРЕМА в теории диффе-
дифференциальных уравнений — теорема, ут-
утверждающая наличие определенного свойства решений
дифференциального уравнения (или системы дифферен-
дифференциальных уравнений) в предположении, что нек-рым
свойством обладает вспомогательное уравнение или
неравенство (система дифференциальных уравнений
или неравенств).
Примеры Ст. 1) Теорема Штурма:
любое нетривиальное решение уравнения
обращается в нуль на отрезке [t0, tj не более т раз
(т>1), если этим свойством обладает уравнение
и q(t)^p(t) при <„<*««! (см. [1]).
2) Дифференциальное неравенство:
решение задачи
xi = fi(t, xlt ..., хп), x;(tQ)~xi, ! = 1, .... га,
покомпонентно неотрицательно при t~^t0, если этим
свойством обладает решение задачи
У! = ё1({, У\ Уп)> Vi(h) — y\, i = l, ¦¦¦, п,
и выполнены неравенства
fi{t, Xl Xn)^gi(t, ХХ Хп),
Х1^У°1' *~*. • • ¦. п>
dfildxj^sQ, i, j — 1, .. ., п, i Ф j (см. [2]).
Другие примеры Ст., в том числе теорема Чаплыги-
Чаплыгина, СМ. в ст. Дифференциальное неравенство. О С. т. для
дифференциальных уравнений с частными производ-
производными см., напр., [3].
Богатым источником для получения С. т. служит
принцип-сравнения с вектор-функцией Ля-
Ляпунова (см. [4] — [7]). Идея принципа сравнения состоит
в следующем. Пусть заданы система дифференциальных
уравнений
i = /(f, х), x = (Xl, .... хп) A)
и вектор-функции
V(t, x) = (Vx(t, x) Vm(t, x)),
W(t, v) = (W1(l, v), .... Wm(t, v)),
где v={i>i, . . ., vm). Для любого решения х (t) системы
A) функция Vj(t)=Vj(t, x(t)), /=1, . . ., m, удовлетво-
удовлетворяет равенству
dV At, x(t)) „ dV, ((, «(<))
42'

Поэтому если выполнены неравенства
eV,(t, х) ж^„ 0Y . ((, х)
-+У,. —'- fk(\
'¦¦к =1 Qxh
dt
<Wj(t, V(t, x)), j = i,...,m, B)
то на основе свойств системы дифференц. неравенств
vj<s?Wy(t, vu ..., vm), / = 1, ..., т, C)
можно судить о поведении функций Vj(t, ,r(t)), являю-
являющихся решениями системы C). В свою очередь, знание
поведения функций Vj (t, х) на каждом решении х (t)
системы A) позволяет выносить суждения о свойствах
решений системы A).
Напр., пусть вектор-функции V(t, х), W(t, v) удо-
удовлетворяют неравенствам B) и для любых t{^t0,
V>0, существует число Л/>0 такое, что
при всех i?[i0, tj], \\x\\^y. Пусть, далее, каждое реше-
решение системы неравенств C) определено на [t0, сю). Тогда
каждое решение системы A) также определено на [t0, со).
Большое число содержательных утверждений полу-
получено на основе принципа сравнения в теории устойчи-
устойчивости движения [см. [4] — [6]). Принцип сравнения
с вектор-функцией Ляпунова с успехом применяется
для дифференциального уравнения абстрактного, диф-
дифференциального уравнения с отклоняющимся аргумен-
аргументом, дифференциального включения. В частности, для
дифференциального включения x?F(t, х)у igR", где
F(t,x) — множество в R", зависящее от (t, x)? RXX R",
роль неравенств B) играют неравенства
Wj(t, ж) „ dVj(t, х)
< Wj(t, V(t, x)).
Большое число теорем сравнения приведено в [8].
Лит.: [1] Sturm С, «J. math, puros et appl.», 1836 t. 1,
p. 106—86; [2] WaiewikiT., «Ann. Soc. polon. math.»,
1950, t. 23, p. 112—66; [3] Ф р и д м а н А., Уравнения с частны-
частными производными параболического типа, пер. с англ., М., 1968;
[4] Bellman R., «J. Soc. industr. and appl. math. Ser.
A Control.», 1962, v. 1, № 1, p. 32—34; [5] Матросов
В. М., «Дифференц. уравнения», 1968, т. 4, Л= 8, с. 1374—86,
Ks 10, с. 1739—52, 1969, т. 5, .№ 7, с. 1171 — 85, № 12, с. 2129—43;
[6] М а р т ы н ю к А. А., Устойчивость движения сложных
систем, К., 1975; [7] М а р т ы н ю к А. А., Г у т о в с к и Р.,
Интегральные неравенства и устойчивость движения, К., 1979;
[8] К а м к е Э., Справочник по обыкновенным Дифференциаль-
Дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976. Е. Л. Тонкое.
СРАВНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ в алгебраиче-
алгебраической геометрии — теоремы о связях между
гомотопическими инвариантами схем конечного типа
над полем С в классической и этальной топологиях.
Пусть X — схема конечного типа над С, a F —
конструктивный периодический пучок абелевых групп
на Xgta[e. Тогда /' индуцирует пучок на X в классиче-
классической топологии и существуют канонич. изоморфизмы
^(Z6tale. F) = Hq(XcUss' F) •
С другой стороны, конечное топологич. накрытие глад-
гладкой схемы X конечного типа над С имеет единствен-
единственную алгебраич. структуру (теорема существо-
существования Римана). Поэтому [1] этальная фундамен-
фундаментальная группа Xetaie является проконечным попол-
пополнением обычной группы классов гомотоцически экви-
эквивалентных петель:
Бели, кроме того, Xclass односвязна, то X6i—XcU где
ХС] и Х^ — классический и этальный гомотопические
типы схемы X соответственно (см. [1], [2]).

Лит.: [1] Arti n M., в сб.: Тр. международного конгрес-
конгресса математиков. Москва, 1066, М., 1968, с. 44—56; [2] С у л л и-
ван Д., Геометрическая топология, пер. с англ., М., 1975.
С. Г. Танкеев.
СРАВНЕНИЯ ФУНКЦИЯ — функция, применяе-
применяемая при исследовании характера роста модуля целой
функции a (z) при z ->- сю; при этом обычно сравнивают
поведение \a(z)\ с поведением нек-рой в том или ином
смысле «хорошей» целой функции A (z). В связи с этим
естественным образом возникает задача об описании
достаточно обширного множества целых функций 91=
= {A (z)}, элементы к-рого успешно выполняли бы
роль «эталонов сравнения».
Целая функция A (z) = 2 А^ наз. функцией
сравнения или A (z)?2(, если: 1) А^>0 (fc=0, 1,
наз. А -сравнимо и, если существует такая по-
постоянная т, т>0, что
a (z)—-0 (A (x| z |)) при z—>-оо. A)
Нижняя грань а чисел {т}, для к-рых выполняется
соотношение A), наз. Л-типом Л-сравнимой целой
функции а (г). Имеет место теорема об Л -типе:
если целая функция a(z)=V°° a^z11 сравнима с Л (z),
Л (z) ? 9t, то ее Л -тип а вычисляется по формуле
2,...), 2)-~1 \ 0 при &-»-оо. Целая функция a (z)
0= lim ьир Л*.
B)
Выделенный класс 31 С. ф. в известном смысле пол-
полностью решает поставленную задачу, ибо какова бы
ни была целая функция a (z), отличная от полиноли,
существует С. ф. Л (z), Л (z)?2I, такая, что a (z) срав-
сравнима с Л (z) и ее Л-тип равен 1.
Если целая функция a(z)="V°° afeZ* сравнима
с Л (z), Л (z)?5I, и ее Л-тип равен о, то функция
аналитическая, согласно B), при 1*|>а, наз. /4 ¦ ас-
ассоциированной с а (г). В этом случае для
a (z) имеет место обобщенное представле-
представление Бореля:
A(zt)yA(t)dt (Ve, e>0). C)
|=a+8
Если в качестве С. ф. в C) фигурирует Л (г)=ег, то C)
является классическим интегральным представлением
Бореля целых функций экспоненциального типа а.
Если же в C) имеет место Л (z)=?"p (z), где Ер (z) =
= V°° z*/T(l+ft/p) (p>0) есть функция Мит-
т а г - Л е ф ф л е р а, то C) — интегральное представ-
представление для любой целой функции a (z) порядка р типа
ai/p @i/p—тип а (z) B классич. смысле).
Для нек-рых частных случаев Л (z) построено пре-
преобразование, обратное C) (см., напр., [1], где имеется
библиография, относящаяся к С. ф.). С. ф. и Л-пред-
Л-представление Бореля C) находят применение в различных
вопросах анализа (см., напр., [2], [3]). Если [Л;оо)—
класс целых функций, сравнимых с данной С. ф. Л(г),
то, какова бы ни была последовательность С. ф. {Ап}°° ,
п=о
всегда существует целая функция a(z) такая, что
=0
Лит.: tl] Boas R. Р., В и с k R. С, Polynomial ex-
expansions of analytic functions, В.— [и. а.], 1958; [2] Д ж р б а-
ш я н М. М., Интегральные преобразования и представления
функций в комплексной области, М., 1966; [3] Казьмин Ю.А.,
«Ыатем. сб.», 1973, т. 90, К« 4, с. 521 — 43. Ю. А. Казьмин.

СРЕДНЕЕ с весом q=(qu . . ., qn), 9/>0, 2?'
совокупности действительных чисел а~(ах, . . ., а
величина
где <р (х) — непрерывная строго монотонная функция
на R. При ц>(х)=хг получается
ал, (в. ?)=B,
и, в частности, при r= 1, 4i=— > *= 1...., и, 9ЛГ (а, ~^)~
= 31 (а) будет средним арифметическим
чисел Я], . . ., в„, а при г=—1 —средним гар-
гармоническим. Отдельно вводятся понятия с р е д-
него геометрического© (a)=(JJ ai)l/n и
взвешенного среднего геометрия е-
ского ®(Я, р)=(П/»?'I/2|'Р|>-
Одним из основных результатов теории С. является
неравенство ®(в)<Э1(в), кроме случая, когда все а,-
равны между собой. Другие результаты:
1) Ш1ф(*а, р)=ШФ(я, р), к>0;
2) Ш^(а, р) = Ш1 (а, Р)«ф1|э = аф + Р,
а, pg!R, а ^0;
3) ?Ш^,(а, р)<Ш1ф(а, р) ф^фо-ф-1 —выпуклая фун-
функция, в частности Щ1Г (я, />)<9Л^(я, р), если r<s.
Понятие «С.» может быть распространено на бесконеч-
бесконечные последовательности в предположении, что соот-
соответствующие ряды и произведения сходятся, и на
функции. Таково, напр., С.
при условии, что f (х)^0 в соответствующем промежут-
промежутке- почти всюду и р(.х)>0. При этом
(х)р(т)&<Щ1ф(/, р)
Лит-: [1] X а р д и Г., Л и т т л ь в у д Д., Полна Г.,
Неравенства, пер. с англ., М., 1348. В. и. Соболев.
СРЕДНЕЕ ДВИЖЕНИЕ аргумента art? / (/) комплекс-
позначно!! равномерной почти периодической функции
/(/) —явление, состоящее в существовании (при
нек-рых условиях, см. ниже) предела
lini —
С. д. наз. также сам этот предел. Если |/(<)|=^0 при
всех t, то подразумевается, что выбрана непрерывная
ветвь &rgf(t). Для аналитических почти периодических
функций можно сохранить понятие о С. д. даже при
наличии нулей у /. Именно, вводят «правый» и «левый»
аргументы, претерпевающие в fe-кратном нуле / скачок
на ±кп, и соответственно говорят о правом и левом
С. д., а если они совпадают, то просто о С. д.
Вопрос о С. д. возник в связи с тем, что в небесной
механике долгота перигелия планеты выражается
(в нек-ром приближении) как аргумент нек-рого три-
гонометрич. полинома
Ж. Лагранж, рассмотрев два простых случая, когда
одно из \a,j\ больше, чем сумма остальных коэффициен-
коэффициентов, и когда п = 2, отметил, что в прочих случаях вопрос
представляется сложным. Изучением этого вопроса
занялись лишь в 20 в, (об истории см. [1] — [3]). Окон-

нательный результат — у тригонометрич. полинома
всегда существует С. д.— был высказан Б. Иессеном
в 1938 (доказательство см. в [1]). (С точки зрения теории
динамических систем, речь идет об осреднении нек-рой
функции на торе вдоль траекторий потока, определяе-
определяемого сдвигами на элементы однопараметрической под-
подгруппы. Однако эта функция имеет особенности, что
препятствует автоматич. применению соответствующей
общей теоремы.) Еще раньше X. Бор (И. Bohr) дока-
аил существование С. д. для любой равномерной почти
периодической функции, для к-рой inj|/(?)|>0 (см. [4]).
В этом случае разность arg f (t)—ct является равномер-
равномерной почти периодической функцией и, в частности,
ограничена. Было исследовано С. д. аналитических
почти периодических функций в общем случае (см. [1],
[4]). В этом случае С. д, существует не всегди, а если
существует, то разность arg/B)—ct не обязана быть
ограниченной. Все же она может обладать нек-рыми
обобщенными свойствами почти периодичности; в част-
частности, это так для тригонометрич. полиномов [5]. Ис-
Исключая аналитич. случай, имеются лишь отдельные
результаты о С. д. для /, у к-рых [/(^I^O, iiif j/(?)| = 0
(см. [6], [7]).
Лит.: 11] Jessen В., TornhaveH., «Ada math.»,
1945, v. 77, p. 137—279; [2] Иессен В., в кн.: Международ-
Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г., М., 1961,
с. 151—04; [3] Вей ль Г., «Успехи матем. наук», 1978, т. 31,
в.. 4, с. 213—19; [4] Левитан Б. М., Почти периодические
функции, М., 1953; Ы Doss R., «Amer. J. Math.», 1957, v. 79,
.№ 2, p. ,'!S9—96; [6] Л е в и т а н Б. М., «Матем. заметки»,
1967, т. 1, .№1, е. 35—44; [7] Г о р и н Е. А., «Матем. сб.»,
1970, т. 82, .№2, с. 260—72. Д. В. Аносов.
СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
функции — приближение функции /(/) функцией
Ф (t) в случае, когда мера погрешности ft (/; ф) опреде-
определяется формулой
*
где о(() — неубывающая на [а, Ь] функция, отличная
от постоянной.
Пусть
М'),  (П, ¦¦¦, "n(t), ¦•• (*)
— ортонормированная на [а, Ь] относительно распреде-
распределения da (t) система функций. В случае С. п. функции
/ (t) линейными комбинациями 'V hf>uk W минималь-
минимальную погрешность при каждом и = 1, 2, . . . дают суммы
где (?? (/) — коэффициенты Фурье функции / (t) по систе-
системе (*), так что наилучший метод приближения является
линейным.
Лит.: [1] Гончаров В. Л., Теория интерполирования
и приближения функций, 2 изд., М., 1954; 12] Сеге Г., Орто-
Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.
Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный.
СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ МЕТОД СУММИ-
СУММИРОВАНИЯ — один из методов суммирования рядов и
последовательностей. Ряд
суммируем методом ср е д них ариф-
арифметических к сумме s, если
где sn=2 _ uk- В этом случае говорят также, что по-
последовательность {«„} суммируема методом средних
арифметических к пределу s. С. а. м. с. наз. также Че-
заро методом суммирования первого порядка. С. а. м. с.
является вполне регулярным (см. Регулярные методы

суммирования) и транслятивным (см. Транслятивностъ
метода суммирования).
Лит.: [11 X а р д и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ..
М., 1951. И. И. Волков.
СРЕДНЯЯ КРИВИЗНА поверхности Ф2 в евклидо-
евклидовом трехмерном пространстве R3 — полусумма глав-
главных кривизн &! и /гг, вычисленных в точке А этой по-
поверхности:
Для гиперповерхности Ф" в евклидовом пространстве
Rn + i ата формула обобщается следующим ооразом:
где к,-, i=\, 2, . . ., n,— главные кривизны гиперпо-
гиперповерхности, вычисленные в точке А?Фп.
С. к. поверхности в R3 может быть выражена через
коэффициенты первой и второй квадратичных форм
этой поверхности:
ТТ I А — i LG-2.MF + NE
" \А)— 2 EG-F'
где Е, F, G — коэффициенты первой квадратичной
формы, L, М, N — коэффициенты второй квадратичной
формы, вычисленные в точке А ?Ф2. В частном случае
задания поверхности уравнением z~~f(x, у) С. к. вы-
вычисляется по формуле:
Ь + *'уУ *»-У'х&ху+A + *'х) Q
Я(Л)= ; -Л ,23/2 ,
(**fx+fy)
к-рая обобщается для гиперповерхности Ф" в IR"+1,
заданной уравнением .rn + ]-=/(jj, . . ., хп):
где
xl X1 "' xn
Л. А. Сидоров.
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ треугольника — отре-
отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Третья сторона треугольника при этом наз. основанием
треугольника. С. л. треугольника параллельна основа-
основанию и равна половине его длины. Во всяком треуголь-
треугольнике С. л. отсекает от него треугольник, ему подобный.
С, л. трапеции — отрезок, соединяющий сере-
середины боковых сторон трапеции. С. л. трапеции парал-
параллельна ее основаниям и равна полусумме их длин.
всэ-з.
СТАБИЛИЗАТОР элемента «множества
М — подгруппа Ga группы подстановок G, действую-
действующей на М, состоящая из всех подстановок, остав-
оставляющих на месте элемент a: Ga- {g \ g ? G, ag - a}.
С. элемента а наз. также группой изотропии
элемента а или стационарной п о д г р у п-
пой этого элемента. Если h?lM, /?С и aj~ b, то
Gb—f-1Gaf. Если рассматривается действие группы G
на себе самой посредством сопряжений, С. момента а
будет централизатором этого элемента в С; если группа
действует посредством сопряжений на множестве своих
подгрупп, то С. подгруппы Л будет нормализатором
ЭТОЙ ПОДГРУППЫ. Н. Н. Вильяме.
СТАБИЛЬНАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ГРУППА, к-н
стабильная гомотопическая группа
п\(Х) топологич. пространства А',-- индуктивный пре-
предел последовательности

где EY — надстройка над топология:, пространством
Y. Гомоморфизм надстройки Е : лт (Y)-*¦ Jtm + i (EY)
относит классу сфероида / : Sm ->- Y класс сфероида
Ef : ESm — Sm + l ->- EY, где Ef получается фактори-
факторизацией из отображения /Xid@, 1]. Последовательность
(*) стабилизируется в (й-|-3)-м члене (см. [2]) так, что
()к
Для вычисления С. г. г. используют спектральную
последовательность Адамса (см. [1]). До настоящего
времени A984) С. г. г. ни одного нестягиваемого про-
пространства полностью не известно. Частичные вычисле-
вычисления имеются для сфер гомотопических групп, бесконеч-
бесконечномерного вещественного проективного пространства
и нек-рых других пространств.
Лит.: [1] Ф у к с Д. В., Фоменко А. Т., Гутев-
махер В. Л., Гомотопическая топология, 2 изд., М., 1969;
[2] У а й т х е д Д ж., Новейшие достижения в теории гомо-
тогтий, пер. с англ., М., 1974. Д. Б. Фукс.
СТАБИЛЬНОСТИ ТЕОРЕМЫ в алгебраиче-
алгебраической К-х е о р и и — утверждения о неизменности
групи Ki(R) или их подгрупп при нек-рых специаль-
специальных расширениях основного кольца Я (см. Алгебраи-
Алгебраическая К-теория).
Наиболее известны следующие теоремы стабильности.
Пусть R -- регулярное кольцо и R ft, tn\ —
кольцо многочленов от переменных tv .... t,, над R.
Теорема стабильности для групп
Уайтхеда при переходе от Л к Л [{,, . . ., tn\
утверждает [1], что естественный гомоморфизм вложе-
вложения Я в Я ft,, . . ., tn] индуцирует изоморфизм между
KX(R) и Kx{R[tv, . . ., tj).
В случае конечномерного над своим центром Z (R)
тела R определен гомоморфизм приведенной нормы
Nru1^ : R* ->¦ Z (Я)* мультипликативной группы R*
тела В в мультипликативную группу Z (/?)* его центра.
Ядро этого гомоморфизма, обычно обозначаемое SL(i,
R), определяет приведенную группу Уайтхеда SK^R)
тела Я:
SKy(R)~SL(\, R)I\R*, R*]
(см. Специальная линейная группа), являющуюся под-
подгруппой в h\(R). Если Z(R)(tx, . . ., tn) — поле ра-
рациональных функций от tlt . . ., tn над Z(R). то алгебра
R(tu ..., tn)--R®ztR)Z(R)(t! tn)
является телом и естественное вложение ш, t
T'i, ¦¦¦, tn
тела R в R (t,, . . ., tn) индуцирует гомоморфизм
Теорема стабильности для приве-
приведенных групп Уайтхеда утверждает, что
гомоморфизм i()'( ( биективен ([2], см. также [3]).
Аналогичное утверждение имеет место и в унитарной
алгебраич. /f-теории (см. [4]).
С. т. наз. также теоремы о стабилизации для А',-
функторов при переходе от стабильных объектов Ki(R)
к нестабильным (см. [5]).
Лит.: [1] BassH., Heller A., SwanR., «Publ.
Math. JHES», 1964, №22, p. (H — 79; [2] Плато-
Платонов В. П., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1970, т. 142,
с. 198—207; [5] Платонов В. П., Я н ч е в с к и й В. И.,
«Докл. АН СССР», 1970, т. 249, № Г), с. 1064—В8; [4] Я н ч е в-
с и и й В. И., «Матем. сб.», 1979, т. 110, .TVs 4, с. 579—»В;
15] Басе X., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973.
В. И. Янчевспий.
СТАБИЛЬНЫЕ И НЕСТАБИЛЬНЫЕ ТЕОРИИ —
раздел моделей теории, изучающий ставил ьность
элементарных теорий. Пусть Т — полная теория пер-
первого порядка сигнатуры Q, А — модель теории Т и
Х<^\А\. Сигнатура <Q, A'> получается из Q добавле-
добавлением символов са выделенных элементов для всех а?Х.
Система <Л, Х> имеет сигнатуру <Й, Х> и является
обогащением модели А, в к-ром са интерпре-
интерпретируется как а для всех а?Х. Теория Т (А, X)
представляет собой совокупность истинных в <Л, А>

формул сигнатуры <Q, X>, Множество максимальных,
совместных с Т(А, X), множеств формул сигнатуры
<й, Х>, не содержащих свободных переменных, от-
отличных от нек-рого фиксированного v0, обозначается
через S (А, X). Теория Т наз. стабильной в
мощности X, если для любой модели А теории Т
и любого Х?|Л[, мощность к-рого не превосходит X,
Мощность S (А, X) также не превосходит Я. Теория
наз. стабильной, если она стабильна хотя бы
8 одной бесконечной мощности.
Пусть \Т\ обозначает мощность множества формул
сигнатуры Q. Если теории Т стабильна, то она стабиль-
ga во всех мощностях, удовлетворяющих равенству
i—A,1 '. Бели теория Т стабильна, то существуют мо-
модель А теории Т и бесконечное множество Усг|Л| такие,
что для любой формулы ф (vlt . . ., vn) сигнатуры Q
В для любых двух последовательностей <as, . . ., я„>,
<61, . . ., &„> различных элементов множества Y истин-
истинность qp (at, . . ., ап) в А эквивалентна истинности
ф(&,, . . ., Ън) в А; при этом множество У наз. мно-
множеством неразличимых в Т элемен-
элементов. Оказывается, что характеристич. свойством
нестабильных теорий является существо-
существование множества, имеющего в определенном смысле
противоположные свойства, А именно, нестабильность
теории Т эквивалентна существованию формулы фО-'i,
. . ., vn\ «!, . . ., ц„) сигнатуры Q, модели А теории Т
и последовательности <«', . . ., <»«>, • • ,, <«i, . . ., an>,
, . . наборов элементов А таких, что истинность ф (а[,
. .., я„; а/, . . ., а'п) в А равносильна неравенству j</.
Поэтому нестабильны полные расширения теории ли-
линейно упорядоченных множеств, имеющие бесконечные
модели, а также теория любой бесконечной булевой
алгебры. В частности, нестабильна теория натуральных
чисел со сложением и теория поля действительных чи-
чисел. Бели теория Т нестабильна, то число типов изо-
изоморфизма моделей Т в каждой несчетной мощности
A,>|74 равно 2*-. Поэтому теория Т, категоричная в не-
несчетной мощности А>|У|, стабильна. Существуют, од-
однако, стабильные теории, не категоричные ни в какой
бесконечной мощности. Такова теория 7\, сигнатура
к-рой состоит из одноместного предиката и счетного
множества выделенных элементов. Аксиомы этой тео-
теории утверждают, что предикат истинен на выделенных
элементах и делит каждую модель Г, на дна бесконеч-
бесконечных множества, а также что выделенные элементы не
равны между собой.
Теории конечной или счетной сигнатуры, стабиль-
стабильные в счетной мощности, наз. также тотально
трансцендентными. Всякая тотально транс-
трансцендентная теория стабильна во всех бесконечных мощ-
мощностях. Всякая категоричная в несчетной мощности
теория конечной или счетной сигнатуры является то-
тотально трансцендентной. Упомянутая выше теория Гх
тотально трансцендентна. Тотально трансцендентные
теории можно характеризовать и в других терминах.
Пусть Т — полная теория конечной или счетной сиг-
сигнатуры il, A — бесконечная модель теории Т. Формуле
ф(у0) сигнатуры <Q, |Л|> припишем ранг —1, если она
ложна на всех элементах модели </1, \А\у, и ранг
a (a — ординал), если ей не приписан никакой ранг,
меньший а, но для каждого элементарного расширения
В системы А и для каждой формулы г|> (у0) сигнатуры
<й, |#|> одной из формул ф(о0) & ф(у„) или "|г|з (у0) & ф(у0)
приписан ранг, меньший а. Теория Т тогда и только
тогда является тотально трансцендентной, когда для
каждой модели А теории Т каждой формуле ф сигна-
сигнатуры <Й, |Л|> приписан нек-рый ранг.
Лит.: [1] She 1а h S., «Ann. of math, logic», 1971, v. 3,
№ 3, p. 271—362; [2] e г о ж е. Classification theory and the
number of non-isomorphic models, Amst. —[a. o.j, 1978.
E. А. Палютин, М. А. Тайцлии.

СТАБИЛЬНЫЙ РАНГ кольца Я — наименьшее
число d такое, что любой d-порожденный проективный
модуль над Я свободен. Кольцо R здесь предполага-
предполагается ассоциативно-коммутативным. Для некоммута-
некоммутативных колец аналогичным образом определяемые ле-
левый и правый Ср. могут и ве совпадать между собой.
О. А. Иванова.
СТАНДАРТИЗАЦИИ И УНИФИКАЦИИ МАТЕМА-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — задачи, в к-рых требуется
определить оптимальные ряды изделий и их составных
частей.
Оптимальный ряд изделий — это такой набор раз-
различных типов изделий, взятых из исходного ряда,
к-рый позволяет удовлетворить все заданные виды
спроса в требуемом объеме с минимальными суммар-
суммарными затратами на разработку, производство и эксплуа-
эксплуатацию всех изделий. Оптимальный ряд изделий суще-
существует, поскольку с ростом числа типов изделий затра-
затраты на их разработку монотонно возрастают, а серий-
серийные и эксплуатационные затраты — убывают.
Терминологич. различие между задачами стандарти-
стандартизации и задачами унификации является в определенной
степени условным. Существуют различные взгляды на
вопрос о разграничении задач стандартизации и уни-
унификации. Напр., к задачам стандартизации относят
задачи выбора оптимальных рядов относительно про-
стых деталей и изделий, производимых массовыми се-
сериями, тогда как к задачам унификации относят задачи
выбора оптимальных рядов сложных дорогостоящих
изделий и их составных частей. Другой подход к раз-
разграничению задач стандартизации и унификации осно-
основан на учете степени детальности, с к-рой исследуется
структура изделий, входящих в исходный ряд. Если
изделия различного типа, входящие в исходный ряд,
полностью отличаются друг от друга и не имеют оди-
одинаковых, т. р. унифицированных составных частей, то
говорят об одноуровневой задаче стан-
дар т и з а ц и и^ или просто о задаче стандар-
стандартизации. Если изделия ряда рассматриваются
с учетом их структуры и того, что изделия различного
типа могут иметь унифицированные составные части,
то говорят о двухуровневой задаче стандартизации.
При дальнейшем рассмотрении структуры составных
частей изделий можно получить ге-уровневую задачу
стандартизации. Задачи унификации — это п-уровне-
вые задачи стандартизации с числом уровней и>1.
Если предположить, что при определении оптималь-
оптимальных рядов сложных изделий, как правило, должны
одновременно определяться оптимальные ряды их
наиболее важных составных частей, то два описанных
подхода к разграничению задач стандартизации и
унификации совпадут.
Наиболее простым количественным методом, пред-
предназначенным для решения задач стандартизации при
установлении рациональных параметров и размеров
машин и оборудования, является использование систе-
системы предпочтительных чисел, основанной на примене-
применении геометрич. прогрессий. Установленные ряды пред-
предпочтительных чисел /?5, Д10, /?20, Й40 представ-
представляют собой ряды геометрич. прогрессий со знаменате-
знаменателями соответственно
Г) г — 10 /"—
V7 10 я 1,0, У10 я 1,25,
'2у'\0 я 1,12, 4)//1() к 1,06.
Если для рассматриваемого класса изделий обоснована
оптимальность одного из этих рядов и выбрано мини-
минимальное значение главного параметра а0, то можно
получить значения главного параметра всех остальных
изделий ряда, округляя в случае необходимости ве-
величины aoq", ii=l, 2, . . ., где q — знаменатель вы-
выбранного ряда.

Подход, основанный на системе предпочтительных
чисел, дает весьма приближенное решение задач стан-
стандартизации. К тому же область применимости этого
подхода ограничена узким классом сравнительно про-
простых, одномерных задач стандартизации, и к-рых изде-
изделия ряда характеризуются одним главным параметром.
В большинстве случаев, особенно если рассматриваются
сложные и дорогостоящие изделия, к-рые невозможно
охарактеризовать одним главным параметром, опти-
оптимальное решение задач стандартизации и унификации
следует определять с привлечением более строгих
математич. методов.
Математич. модели, разрабатываемые для решения
задач стандартизации и унификации, сводятся в общем
случае к достаточно сложным многоэкстремальным
задачам нелинейного программирования, решение к-рых
требует привлечения современных вычислительных
методов и ЭВМ с высоким быстродействием и большой
памятью.
Для специально выделенных классов задач стандар-
стандартизации и унификации, в к-рых удается существенно
использовать их специфику, возможно построение
более простых эффективных методов решения.
Лит.: [1] К октев А. А., Основы стандартизации в ма-
машиностроении, 4 изд., М., 1973: Г21 Чуен Ю. В., С п с х о-
в а Г. П. Технические аадачи исследования операций, М,,
1971,- [3] Б е р ее не в В. Л., Г и м а д и Э. X., Де-
Дементьев В. Т., Экстремальные задачи стандартизации,
НовосиО., 1978; [4] В а п и я р с к и й И. Б., «Ж. вычислит,
матем. и матем. физ.», 1978, а. 18, .N5 2, с. 484—87.
И. Б. Вапнярский.
СТАНДАРТНАЯ КОНСТРУКЦИЯ — понятие гомо
логич. алгебры. Другие названия — гройка, мона-
монада, функтор-алгебра.
Пусть @ — нек-рая категория. Стандартной
конструкцией наз. функтор Т : <S—><2. для к-
рого заданы такие функторные морфизмы т] : 1 —> Т и
(х : Т2—*Т, что коммутативны диаграммы:
. T!Y TY TiTY> тгу -* — TY
M-TY
Основная область применения С. к. в топологии —
построение различных классифицирующих пространств
и их алгебраич. аналогов — т. н. и а р - к о н с т р у к-
ц и й.
Лит.: [1] Бордман Дж., Фогт Р., Гомотопически ин-
инвариантные алгебраические структуры на топологических про-
пространствах. [Дополнение], пер. с англ., М., 1977. Ю. В. Рудяк.
СТАНДАРТНАЯ ПРОГРАММА, и о д и р о г р'л м
м а,— программа, представляющая собой описание
вычислительного алгоритма решения задачи на одном
из алгоритмич. языков (языков программирования)
в рамках специальных требований операционной систе-
системы и системы программирования, допускающих ее
использование (в содержательном смысле) в качестве
конструктивного элемента процесса решения более
общей задачи на ЭВМ. Обычно понятие С. я. относят
к области применения математик, методов в численных
расчетах на ЭВМ (вычислительная математика, мате-
математич. статистика и др.), хотя оно применимо и к дру-
другим сферам использования вычислительной техники.
Совокупности С. п., как правило, оформляются в виде
библиотек С. п., а также могут служить основой
функционального наполнения пакетов прикладных
программ. Библиотеки С. п. представляют собой опре-
определенным образом организованную совокупность за-
загрузочных, объектных или исходных модулой, храня-
хранящихся во внешней памяти ЭВМ, к к-рой может обра-
обращаться операционная система. При составлении С. п.

могут учитываться дополнительные требования: модуль-
модульный принцип, дисциплина программирования, самодо-
кументированность, фильтрация входных данных и
диагностика ошибок, обеспечение качества а др. По-
Помимо штатных программных средств математического
обеспечения могут использоваться инструментальные
системы автоматизации конструирования библиотек
С. п. для классов ЭВМ (системы верификации, преоб-
преобразования и генерации программ, форматирования,
тестирования, документально-справочные, автоматиза-
автоматизации комментирования и др.)- Для библиотек С. п.
актуальны вопросы разработки проблемно-ориенти-
проблемно-ориентированных языков, что наряду с вопросами разработки
архитектуры и средств управления базами данных,
а также средств управления решением задач делает
проблематику создания библиотек С. п. близкой к
проблематике создания пакетов прикладных программ.
Математич. обеспечение современных ЭВМ включает
обширные библиотеки С. п., составляющие основу
специального метода автоматизации программирова-
программирования (метод библиотечных программ).
Лит.: ill ВоеводинВ. В., АрушанянО. Б.,
в еб,: Численный анализ на ФОРТРАНе, М., 1979, с;. 73—83;
12] Карпов В. Я., Корягин Д. А., Самар-
Самарский А. А., «.Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1978, т. 18,
.№ 2, с, 458—В7. О. В. Арушпнян.
СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ — го же, что
квадратичное отклонение.
СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС — 1) С. с— симплекс
Д" размерности п в пространстве IR" + 1 с вершинами
в точках <¦/= @, . . ., 1, . . ., 0), i=0, . . ., п (единица
стоит на ;-м месте), т. е.
Л" = {(/„> -.., tn + l
Для любого топология, пространства X непрерывные
отображения а : Д" -»- X представляют собой сингу-
сингулярные симплексы пространства X (см. Сингулярны?
гомологии).
2) С. с. — симплициалънаясхема Д", вершинами к-ром
являются точки /,-, а симплексами — произвольные
непустые подмножества вершин. Геометрич. реализа-
реализация этой симплициальнои схемы совпадает с С. с.
в смысле ц. 1).
3) С. с.— симплициальное множество А", получаю-
получающееся применением функтора О+ к симплициальнои
схеме п. 2) и представляющее собой контравариантный
функтор на категории Д (см. Симплициальныа объект),
для к-рого
Таким образом, т-мерными симплексами симшшциаль-
ного множества Л" являются неубывающие последо-
последовательности (<!„, . . ., ат) чисел из [м], а операторы гра-
граней </; и вырождения s,- этого симплициального мно-
множества определяются формулами
di(an, аи)---=(а0, . .., я,_,, а/, в/ + 1, ..., ат),
где знак л означает, что символ, стоящий под ним,
опускается. Симплициальное множество Д1 наз. также
с и м п л и ц и а л I. н ы м отрезком. Симплекс
|„=-@, 1, . . ., п) (единственный невырожденный «-мер-
«-мерный симплекс из Д") наз. фундаментальным
с и м п л е к с о м симплициального множества Д".
Наименьшее симплициальное подмножество симпли-
симплициального множества Д" + 1, содержащее все симплексы
вида d,in + , с 1фк, обозначается \'1 и наз. А--м стан-
стандартным фунтиком.
Для любого симплициального множества К и про-
произвольного его «-мерного симплекса а существует един-
единственное симплициальное отображение у0 : Д™ ->- К,
для к-рого хAл>"а- Это отображение наз. характерп-
стйчег-ким для К.

4) С. с— фундаментальный симплекс in симпли-
циального множества п. 3), к-рый в этом случае обо-
обозначается Ап. С. Н. Малыгин, М. М, Постников.
СТАТИКА — раздел механики, в к ром изучается
равновесие материальных тел, находящихся яод дей-
действием сил, и условия эквивалентности систем сил.
Равновесие изучается по отношению к системе отсчета,
в к-рой определены все силы, действующие на мате-
материальные тела (напр., равновесие по отношению к Зем-
Земле). Как и в динамике, в С. вводятся модели реальных
тел, дающие возможность сводить задачи о равновесии
к более простым. Такими моделями являются мате-
материальная точка, упруго деформируемое тело, абсолют-
абсолютно твердое тело, континуум, идеальная жидкость,
вязкая жидкость и т. п. В зависимости от свойств ма-
материальных тел С. разделяется на С. твердого тела,
С. упруго деформируемого тела, С. жидкости и газа.
По своим методам исследовании С. делится на геомет-
геометрическую и аналитическую.
Геометрическая С. изучает геометрии, свой-
свойства систем сил (векторов сил), действующих на изу-
изучаемую систему материальных точек, построение экви-
эквивалентных систем сил, приведение их к простейшему
виду и установление условий равновесия систем сил,
а также тел, находящихся под действием сил. Важней-
Важнейшей в геометрич. С. является С. абсолютно твердого
тела.
В основе аналитической С. лежит понятие
работы сил, действующих на систему материальных
точек, на произвольном возможном перемещении систе-
системы. Основной принцип аналптдч. С.— возможных пере-
перемещений принцип.
Начало развития С. относится к глубокой древности
и связано с именем греч. механика и математика Архи-
Архимеда. Основные законы равновесия геометрич. С. уста-
установлены нидерл. механиком С. Стевином (S. Stevin)
и франц. механиком и геометром Л. Пуансо (L. Pom-
sot). Первая общая формулировка принципа возможных
перемещений принадлежит И. Бернулли (J. Bernoulli).
Ж. Лагранж (J. Lagrange) дал первое доказательство
принципа возможных перемещений и получил следствия
о равновесии системы.
Лит.: [1-1 Пуансо Л., Начало статики, пер. с франц.,
М.—П., 1920; [2] Бернулли И., Избранные сочинения по
механике, пер. с франц., М.— Л., 1937; [3] Лагранж Ж.,
Аналитическая механика, т. 1, пер. с франц., М.— Л., 1950;
[41 О с т р о г р а д с к и и М. В., Общие соображения относи-
относительно моментов сил. в кн.: О с т р о г р а д с к и й М. В.
Избранные труды, М., l'JSS; [5] Жуковский Н. Е.,
Теоретическая механика, 2 изд., М.—Л., 1952; [6] Чаплы-
Чаплыгин С. А., Курсы лекций по теоретической механике, в кн.:
Чаплыгин С. А., Собр. соч., т. 4, М.— Л., 1949; [71 Ап-
пель П., Теоретическая механика, т. 1, пер. с франц., М.,
1960. Е. Н. Березкин.
СТАТИСТИКА — термин, употребляемый в матема-
тич. статистике для названия функций от результатов
наблюдений.
Пусть случайная величина X принимает значения
в выборочном пространстве (?, с$, Рх). Тогда любое
(Э-измеримое отображение Т (¦) пространства $ в нек-
некрое измеримое пространство (§}, Л) наз. статисти-
статистикой, при этом распределение вероятностей статистики
Т определяется формулой
= Р{Т (X) ? В} = Р{Х ? Г-1 (#)} =
Примеры. 1. Пусть Х1, . . ., Х„— независимые
одинаково распределенные случайные величины, имею-
имеющие дисперсию. Тогда С.
суть несмещенные оценки для математич. ожидания
iXi и дисперсии DX1 соответственно.

2. Члены вариационного ряда
Л и, < ХB) < . . . < Х(п),
построенного по наблюдениям .Y,, . . ., Х„ суть по-
порядковые статистики.
3. Пусть случайные величины Х1: . . ., Хп образуют
стационарный случайный процесс, спектральная плот-
плотность к-рого-есть /(•)• В этом случае С.
*¦ € 1-я; я],
называемая периодограммой, при определенных усло-
условиях регулярности на /(•) является асимптотически
несмещенной оценки! для /(•), т. е.
lim Е/„(?0 = ПЯ), \?[—я;п].
и ->¦ ее
В теории оценивания и проверки статистич. гипотез
важную роль играет понятие достаточной статистики,
к-рая позволяет производить редукцию данных без
потери информации об изучаемом параметрич. семействе
распределений.
Лит.: [1} ЛеманЭ., Проверка статистических гипотез,
пер. с англ., М., 1964. М. С. Никулин.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА — определенное
предположение о свойствах распределения вероятно-
вероятностей, лежащего в основе наблюдаемых случайных яв-
явлений. Результаты наблюдений представляются обыч-
обычно в виде реализации нек-рой совокупности случайных
величин, конечной или бесконечной. При атом совмест-
совместное распределение этих случайных величин известно
не полностью, п С. г. предполагает принадлежность
его к нек-ротму определенному классу распределений.
В такой ситуации ставится задача статистических ги-
гипотез проверки.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИГРА — антагонистическая
игра, в к-рой игрок I интерпретируется как природа,
игрок II — как статистик, стратегия игрока I — как
случайный процесс, стратегия игрока il — как ре-
решающее правило (решающая функция), а функция
выигрыша игрока I — как функция потерь («риск»)
статистика. Смешанной стратегией игрока i будет тогда
вероятностная мера на множестве случайных процес-
процессов, смешанной стратегией игрока II — рандомизиро-
рандомизированное решающее правило, а функции выигрыша иг-
игрока J определяется как математич. ожидание функции
потерь статистика. С. и. возникли иа задач математич.
статистики (напр., задачи оценки параметров, испыта-
испытания гипотез и т. ц.), в к-рых принимается минимаксный
критерий (см. Минимакса принцип). Систематич. опи-
описание задач математич. статистики (в т. ч. задач после-
последовательного анализа) как Си. впервые было проде-
проделано А. Вельдом (A. VVald), показавшим справедли-
справедливость теоремы о минимаксе для широкого класса С. и.
(см. [1]). Эта теорема дает метод решения задач матема-
математич. статистики, т. к. в ряде случаев нахождение макси-
мина удобнее и легче, чем нахождение минимакса, что,
в свою очередь, облегчает нахождение оптимального
рандомизированного правила.
Лит.: [1] В а л ь д А., Статистические решающие функции,
в сб.: Позиционные игры, М., 1967; [2] Блекуолл Д.,
Гиршик М. А., Теория игр и статистических решений,
пер. с англ., М., 1958. А. Н, Ляпунов.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА — функция от слу-
случайных величин, применяемая для опенки неизвестных
параметров распределения вероятностей. См. Оценка
статистическая.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ СУММА — функция, исполь-
используемая в равновесной статистич. физике, равная нор-
нормировочной константе в выражении для плотности
(или матрицы плотности — в случае квантовой системы)
в каноническом гиббеовском ансамбле.
1) В случае классич. системы плотность распреде-
распределения Гиббса р (ш), co?Q (Q —фазовое пространство

системы) относительно естественной меры dco на Q
задается формулой
р (со) -- (S)-' ехр {- Р [tf0 (со) + щ#1 (ш) + рк11к (со)]},
где #0 (со) — функция Гамильтона (энергия) системы,
а //,(со), i=l, . . ., к,— нек-рый набор величин, со-
сохраняющийся при движении системы, задаваемой га-
гамильтонианом Н0(ш); |5>0, jij, . . ., {^.--действитель-
{^.--действительные параметры. Нормировочный множитель
В(Р, щ, •••. М =
chit
¦--- \Q exP [ - P [ Я о (со) -| - 2*=, (*/# / M] )
и на:к С. с. (иногда с т а т и с т и ч в с к и м и н т е-
г р а л о м или интеграл о м с о с т о я н и й),
2) В случае квантовой системы каноническое гиббсов-
ское состояние задается матрицей плотности
р—(Е)~'ехр{— Р (tfo+^i^iH~ ¦ ¦ ¦ + \LkHk)}i
где //„ — гамильтониан (оператор энергии) системы,
a Hi, г—1, . . ., к,— нек-рые коммутирующие между
собой операторы, соответствующие сохраняющимся
во времени величинам; Р>0, ьц, . . ., м-^— действитель-
действительные параметры. Нормировочный множитель (ная. ста-
статистич. суммой) равен
S (Р, Цх, ..., \ik) = Sp охр | — f.
Аналогично определяются С. с. для других гиббсов-
ских ансамблей (микроканонического и малого канони-
канонического), а также в случае гиббеовских ансамблей,
определенных для различных упрощенных модифика-
модификаций реальных физич. систем (решетчатые системы, кон-
конфигурационные системы и т. д.).
В типичном случае, когда система заключена в огра-
ограниченной области AczR3 и анергия Но (со) (или Но),
а также другие величины Я,-(го), i—i, . . ., к (соответ-
(соответственно операторы Я,-, i-=l, . . ., к), входящие в опре-
определение гиббсовского ансамбля, инвариантны относи-
относительно сдвигов в R:l и почти аддитшшы, т. е. (и случае
классич. системы)
tf,-(w,, co2) «y^KJ + tf.-fcoa), г-0, 1, ...,к,
где coi и со2 — две конфигурации частиц, достаточно
далеко отстоящие друг от друга (точную формулировку
этого условия, а также его квантовый аналог см., напр.,
в [2]), В термодинамическом предельном переходе A/*R3
статистич. сумма S имеет следующую асимптотику:
Е (р, (ль .... (xft)-exp{|A|Z(P, Ц,, ...,fifc)-|'-о(|Л|)},
где |Л[ — объем области Л, а функция -/(Р, fij, . . .,
jxj.) — т. н. термодинамический потен-
потенциал — является важной термодинамич. характе-
характеристикой системы: с ее помощью выражаются многие
другие термодинамич. характеристики (удельная энер-
энергия, плотность, удельная энтропия и т. д.).
Лит.: [1] Ландау Л. Д., .71 и ф ш и ц Е. М., Стати-
Статистическая физика, М., 1904 (Теоретический физика, т. 5); 12]
Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие результаты,
пер.' с англ., М., 1070; [3] Б а л е с к у С, Равиовссшш и не-
равнонеснан статистическая механика, пер. г, англ., т. ]—2, М.,
1978. Р. А. Миилт.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА —
другое название аргодической Неймана теоремы и ее
обобщений. д. в. Лиосов.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ теории случай-
случайных процессов — раздел математич. статистики,
посвященный статистич. выводам на основе наблюде-
наблюдений, представимых в виде случайного процесса. В са-
самой .общей постановке наблюдаются значения случай-
случайной функции х (t) для t? T и на основании этих наблю-
наблюдений надлежит сделать статистич. выводы о нек-рых
характеристиках случайного процесса .гA). При столь
широком определении сюда формально включается и

вся классич. статистика иезааиеимык ваблюдевий. На
самом деле под статистикой случайных процессов по-
понимают только статистику зависимых наблюдений, ис-
исключая, напр., статистич. анализ большого числа не-
независимых реализаций случайного процесса. При атом
основания статистич. теории, основные постановки
задач (статистическое оценивание, статистических
гипотез проверка), основные понятии (достаточность,
несмещенность, состоятельность и т. д.) — те же, что
и в классич. теории. Однако при решении конкретных
задач возникают порой значительные трудности и явле-
явления нового порядка. Частично эти трудности связаны
с наличием зависимости, более сложной структуры
наблюдаемого процесса, частично, в случае наблюдений
с непрерывным временем, с необходимостью рассмат-
рассматривать распределения в бесконечномерных простран-
пространствах.
На самом деле при решении С. з. теории случайных
процессов существенно используется структура наблю-
наблюдаемого процесса и в соответствии с классификацией
случайных процессов рассматривают С. з. гауссовских,
марковских, стационарных, ветвящихся, диффузион-
диффузионных и т. д. процессов. При этом наиболее далеко про-
продвинута статистич. теория стационарных процессов
(анализ временных рядов).
Необходимость статистич. анализа случайных про-
процессов возникла в 19 в.: анализ метеорологии., эконо-
мич. рядов, исследование циклич. процессов (колеба-
(колебания цен, солнечные пятна). В настоящее время круг
задач, связанных со статистич. анализом случайных
процессов, чрезвычайно широк. Достаточно упомянуть
статистич. анализ случайных шумов, вибраций, турбу-
турбулентных явлений, морского волнения, кардиограмм,
энцефалограмм и т. д. Теоретич. аспекты проблемы
выделения сигнала на фоне шума в значительной степе-
степени являются С. з. теории случайных процессов.
В дальнейшем предполагается, что наблюдается от-
отрезок x(t), 0«:?<7\ случайного процесса x(t), причем
параметр t пробегает либо весь отрезок [О, Т], либо
целые числа этого отрезка. Обычно в С. з. о распреде-
распределении Рт случайного процесса {г B), 0^-t^.T] известно
лишь, что оно принадлежит нек-рому семейству {Рт}
распределений. Это семейство всегда можно записать
в параметрич. форме.
Пример 1. Наблюдаемый процесс x(t) представ-
представляет собой либо сумму неслучайной функции s(t) («сиг-
(«сигнал») и случайной функции ? (t) («шум»), либо одну
случайную функцию ?(«). Надлежит проверить гипо-
гипотезу #0 : х (t) = s (t) + Ъ, (t) против альтернативы
Нг : х(()=?,(() (задача обнаружения сигнала в шуме).
Это—пример задачи проверки статистич. гипотез.
Пример 2. Наблюдаемый процесс x(t) = s(t)-h-
-f-?,(t), где s(t) — неизвестная наблюдателю неслучай-
неслучайная функция (сигнал), а ? (t) — случайный процесс
(шум). Надлежит оценить функцию s или ее значение
s(t0) в заданной точке t0. Сходным образом можно пред-
предположить, что x(t)~s(t\ B)+?(i), где s — известная
функция, зависящая от неизвестного параметра Н,
к-рый и нужно оценить по наблюдению x(t) (задачи
выделения сигнала на фоне шума). Это — примеры
задач оценивания.
Отношение правдоподобия для слу-
случайных процессов. В С. з. отношении правдо-
правдоподобия и функция правдоподобия играют большую
роль (см. Неймана — Пирсона лемма, Статистиче-
Статистических гипотез проверка, Статистическое оценивание).
Отношением правдоподобия двух
распределений Pj и Pi наз. плотность
и, v) = P(x{.)) = —u

Функцией правдоподобия на?, функцию
dpi
где ft есть а-конечная мера, относительно к-рой абсо-
абсолютно непрерывны все меры f'J). В дискретном случае,
когда I пробегает целые точки отрезка |(), Т] и 7'<со,
отношение правдоподобия, напр., всегда существует,
если распределения Рц и Pv имеют положительные
плотности распределения, совпадая с отношением этих
плотностей.
Если t пробегает нее г. отрезок [О, Т], то возможны
случаи, когда меры р\ и р[ не абсолютно непрерывны
относительно друг друга; более того, встречаются си-
ситуации, когда меры Pi и Pi взаимно сингулярны,
т. е. для нек-рого множества А в пространстве реализа-
реализаций х (t)
В этом случае р{х; и, v) не существует. Сингулярность
мер Pq приводит к важным и в какой-то степени пара-
парадоксальным статистич. следствиям, позволяя делать
безошибочные выводы о параметре 6. Пусть, напр.,
6= {0, 1}; сингулярность мер Ра, Р( означает, что с
помощью критерия: «принять //„, если хфА, отверг-
отвергнуть Яо, если х?А», гипотезы Но ; 6=0 и Нх : 6=1
разделяются безошибочно. Наличие таких совершен-
совершенных критериев часто указывает, что С. з. поставлена
не совсем удачно и из н-ее исключены какие-то суще-
существенные случайные возмущения.
Пример 3. Пусть x(t) = Q+i(t), где I (t) — ста-
стационарный эргодич. процесс с нулевым средним, 6 —
дэйствительный параметр. Пусть реализации ? (I) с ве-
вероятностью 1 аналитичны в полосе, содержащей дей-
действительную ось. Но эргодич. теореме
7'
и все меры Ре взаимно сингулярны. Так как аналитич.
функция х (t) полностью определяется своими значе-
значениями в окрестности нуля, параметр 0 оценивается
безошибочно по наблюдениям {x(t), 0<i«::r} для лю-
любого Г>0.
Вычисление отношения правдоподобия в тех случаях,
когда оно существует,— трудная задача. Вычислении
часто основаны на предельном соотношении
Р„ (х <*¦). . . ., .тс <<лI
Pi't-b»,^^^, .„„(tB)).
где ри, pv — плотности распределения вектора
(x{tx), . . ., x(tn)), a {t,, f2, . . .} —плотное в [О, Т] мно-
множество. Исследование правой части последнего равен-
равенства полезно и при доказательстве сингулярности
Р Р
Пример 4. Пусть либо наблюдение х (t)—w (t),
где w (t) — винеровекий процесс (гипотеза Яо), либо
x(t)=m. (t)~-w (/), m -- неслучайная функция (гипотеза
Hi). Меры Ро, Pi взаимно абсолютно непрерывны, если
m'?L2@, Т), и взаимно сингулярны, если m'?L2(Q, T).
Отношение правдоподобия
^ (х) =¦ exp -J- т \ о [m' (t)r-dt + \ о >п' (/) dx (Of •
Пример 5. Пусть ,r (t)—Q~-c,(t), где 6 — дей-
действительный параметр, a %(t) — стационарный марков-
марковский гауссовский процесс с нулевым средним и изве-
известной корреляционной функцией г (t)=e~altt, a>0.

Меры Ре взаимно абсолютно непрерывны с функцией
правдоподобия
т i
dPA
-i-9а Гж (Od/—1 в2—¦^-62а
В частности, .г @) -j-т ( Т) -\- а \ х [t) dt —достаточ-
—достаточная статистика для семейства 1'$ .
Линейные задачи статистики слу-
случайных процессов. Пусть наблюдается функ-
функция k
2
где | (/) — случайный процесс с нулевым средним и
известной корреляционной функцией r(t, s), фу—из-
фу—известные неслучайные функции, 0=(В1, . . ., вк) —
неизвестный параметр (В_,— коэффициенты регрессии),
параметрич. множество в — подпространство Д*. Ли-
Линейные оценки для By суть оценки вида ^jtyx (tj) или
их пределы в среднем квадратичном. Задача отыскания
оптимальных в среднем квадратичном несмещенных ли-
линейных оценок сводится к решению линейных алгебраи-
алгебраических или линейных интегральных уравнений, опре-
определяемых г. Именно, такая оптимальная оценка В
определяется уравнениями Ее (9у?)=0 для любой ве-
величины | вида l~2jbjx (tj), 2jbj<(i(tj)=0. В ряде слу-
случаев оценки 9, полученные по методу наименьших
квадратов асимптотически, при Т ->¦ оо, не хуже опти-
оптимальных линейных оценок. Оценки метода наимень-
наименьших квадратов вычисляются проще и не зависят от г.
Пример 6. В условиях примера 5, k=i, ц>г @=1-
Оптимальная несмещенная линейная оценка имеет вид
Оценка
1 СТ
9* L \ -г I i\ ,U
^т~ \ о r)(il
имеет асимптотически ту же дисперсию.
Статистические задачи гауссов-
с них про ц р с с о в. Пусть процесс {x(t), O^.t-^.T,
Pq } — гауссовскин при всех В?в. Для гауесовских
процессов имеет место альтернатива: любые, две меры
Ри, Pv либо взаимно абсолютно непрерывны, либо
сингулярны. Так как гауссовское распределение Ре
полностью определяется средним значением те @ =
— Eg^(') и корреляционной функцией rg (s, t) — EQx(s)x{t),
отношение правдоподобия dPuldPl выражается через
гаи, mv, г„, rv сложным образом. Относительно прост
тот случай, когда ru—rv—r, r — непрерывная функция.
Именно, пусть в={0, 1}, ro=rj=r; X,, и ф,¦ (t) —
собственные значения и соответствующие им норми-
нормированные в Л2@, Т) собственные функции интеграль-
интегрального уравнения
r(x, t)if(t)dt;
средние mo(t), mx (/) — непрерывные функции, и пусть
та^ \ mi (О Ф; (О dt.
'JO
Меры Ро, Pj абсолютно непрерывны в том и только
в том случае, если
i._ , (mo/— mij)- kj < со.

При этом
dp?
X
Jo
Последнее равенство можно использовать для построе-
построения критерия для проверки гипотезы Яо : m=ma против
альтернативы Hv: m=m.x в предположении, что функ-
функция г известна наблюдателю.
Статистические задачи стационар-
стационарных процессов. Пусть наблюдение х (t) —
стационарный процесс со средним m и корреляционной
функцией r(t)\ f(k) и F (к) — его спектральная плот-
плотность и спектральная функция. Основные задачи ста-
статистики стационарных процессов относятся к проверке
гипотез или оцениванию, касающихся тех или иных
характеристик m, r, /, F. В случае эргодич. процесса
x(t) состоятельными оценками (при Т ->• оо) для m и
г (t) служат соответственно
4" S
Задачу оценки m при известном г часто рассматривают
в рамках линейных задач. К этому последнему кругу
аадач относятся и более общие задачи оценки коэффи-
коэффициентов регрессии по наблюдениям вида (*) со стацио-
стационарным ?(<).
Пусть х (t) имеет нулевое среднее и спектральную
плотность f(k; G), зависящую от конечномерного пара-
параметра 9?в. Если процесс х (г) — гауссовский, можно
указать формулы для отношения правдоподобия
dPe/dP&, (если последнее существует), к-рые в ряде
случаев позволяют найти оценки максимального прав-
правдоподобия или «хорошие» (прп больших Т) приближе-
приближения к ним. В достаточно широких предположениях эти
оценки асимптотически нормальны ( В, с~ ) и асимп-
V 1г/
тотически эффективны.
Пример 7. Пусть х (t) — стационарный гауссов-
гауссовский процесс с непрерывным временем и рациональной
спектральной плотностью / (Х)= трУ > Pi Q — много-
т г I ^(А)'
члены. Меры Ра , Р{, отвечающие рациональным спект-
спектральным плотностям /0, /j, абсолютно непрерывны в том
и только в том случае, если
Параметром 9 здесь служит совокупность всех коэф-
коэффициентов многочленов Р, Q.
Пример 8. Важный класс стационарных гауссов-
ских процессов образуют процессы авторегрессии
x(t):
* ln) (O + e^n-1) (t)+ ... +Biz(t) = e (t),
где е (t) — гауссовский белый шум единичной интен-
интенсивности, 0=(G1, . . ., 0„) — неизвестный параметр.
Щ этом случае спектральная плотность
где

Функция правдоподобия
Г
X
Здесь Xj (б), X (б) суть квадратичные формы от 9, за-
зависящие от значений х</> (i), j—i, 2, . . ., (re—1), в точ-
точках *=0, Т; К @) — определитель корреляционной
матрицы вектора (х@), .rll'@), . . ., ж1 @)).
Оценки максимального правдоподобия для параметра
авторегрессии 9 асимптотически нормальны и асимпто-
асимптотически эффективны. Теми же свойствами обладает и
решение 6/ приближенного уравнения правдоподобия
1 „л-1 дк,F) ГТ | 0, 1 <i < П,
i .. ^ 2
Важную роль при статистич. исследовании спектра
стационарного процесса играет периодограмма IjO^)-
Эта статистика определяется как
¦x(t)
(время дискретно),
(время непрерывно).
Периодограмма широко используется для построения
различного рода оценок для /(X), F (к) и критериев
для проверки гипотез об этих характеристиках. В ши-
роких предположениях статистики \ Ij (h)<p (X)dk яв-
являются состоятельными оценками для \/(Х,)ср (X)dk. В
частности, \ ]T{X)d\ служат оценкой для F ф)—Р (а).
J a
Если последовательность фг(^; X,q) сходится подхо-
подходящим образом к 6-ф5тнкции S (к—^0), то интегралы
Vфу (Я; Xe)JT (k)dk будут состоятельными оценками
для f(k0). Чаето в качестве функций ф7- (к; к0) выбирают
функции вида aTty (ат (к—>4)), а7¦->- оо. Если л; (*) —
процесс с дискретным временем, эти оценки можно
записать в виде
где эмпирическая корреляционная функция
2Г
а неслучайные коэффициенты с^ О определяются вы-
выбором 41, я? • Последний выбор, в свою очередь, зависит
от априорных сведений о f(k). Аналогичное представ-
представление имеет место и для процессов с непрерывным
временем.
Иногда к задачам статистич. анализа стационарных
процессов относят и задачи экстраполяции, интерпо-
интерполяции и фильтрации стационарных процессов.
Статистические задачи марков-
марковских процессов. Пусть наблюдения Хо, Xlt
. . ., Хг связаны в однородную цепь Маркова. При до-
достаточно широких предположениях функция правдо-
правдоподобия
—!-=/>„(Х„; в)Р(Х1\х0- в)...Р(Хт\хт.1,д),

Где р0, р — начальная и переходная плотности распре-
распределения. Это выражение сходно с функцией правдопо-
правдоподобия для последовательности независимых наблюдений
и при соблюдении условий регулярности (гладкость по
0?всЯ*) можно построить теорию оценивания и
проверки гипотез, аналогичную соответствующей тео-
теории для независимых наблюдений.
Более сложная ситуация возникает, если х (I) —
марковский процесс с непрерывным временем. Пусть
х (t) — однородный марковский процесс с конечным
числом состояний N и дифференцируемыми вероятно-
вероятностями перехода P(j(t). Матрица вероятностей перехода
определяется матрицей <?=||?,у||, qij=P'ij(O), g,= — дц.
Пусть в начальный момент х @)= i0 независимо от Q.
Выбирая какую-нибудь матрицу Qf>= llg?/||, находят
Здесь статистики п(х), tv (x), /v (x) определяются сле-
следующим образом: п — это число скачков х (t) на интер-
интервале [0, Т), Tv—момент v-ro скачка, <v=tVh — tv ,
zv=x(xv). Из указанного выражения выводятся оценки
максимального правдоподобия для параметров у,у :
• —mii
: дц~"—- , где m,-j— число переходов из i в /' на от-
отрезке [U, Т), а ц,- — время, проведенное процессом
x(t) в состоянии i.
Пример 9. Пусть х (t) — рождения и гибели про-
процесс с постоянными интенсивностями размножения X
и гибели \i. Это значит, что gIi,-4i=^i 4i, /-1 = «щ ча=~-
— 1—i(X,4(i), qii=Q, если \i—у|>1. В атом примере
число состояний бесконечно. Пусть г@)з=1. Отноше-
Отношение правдоподобия
T
?) \^i exPi-
Здесь В —общее число рождений (скачков размера
+ 1), Л:—смертей (скачков размера —1). Оценки
максимума правдоподобия для к и ц:
Пусть х (t) — диффузионный процесс с коэффициентом
сноса а и коэффициентом диффузии Ь, так что х (t)
удовлетворяет следующему стохастическому дифферен-
дифференциальному уравнению
dx(l) = a(t, x(l))dt + b{t, x(l))dw(t), x{0) = xv,
где w — винеровский процесс. Тогда при определенных
ограничениях
^- W = exp {- \ (b(t, x(t))-i(a{t, x(t)) —
1 [т
— ao(t, x(t))dx{t)-r— \ (bit, xlt))~1(a(t, x(t)~
1 Jo
— ao(t, x(t))*t
(здесь ao— фиксированный коэффициент).
Пример 10. Пусть
dx (I) = a (t, х (I); 6) dt~\-dw,
а — известная функция, 6 — неизвестный действи-

тельный параметр. Если обозначить через и. меру Ви-
Винера, то функция правдоподобия
ар! (ст 1 г г
-ЩГ=еХ1Р \ha^' x(t^ »)<ix--TH^{t,x(ty, Q)dt,
и при условиях регулярности выполняется неравен-
неравенство Крамера — Ра о: для оценки т со сме-
смеД (8) 8
щением А (9) ¦= Егт—9
в
Если зависимость от 8 линейная, оценки максимального
правдоподобия
Лит.: Ц] Гревавдер У., Случайные процессы и стати-
статистические выводы, лер. с англ., М., 1961; [2] Хеннан Э.,
Анализ временных рядов, пер. с англ., М., 1964; [3] G г е п а п-
d е г U., Rosenblatt M., Statistical analysis of stationary
time series, -Stockh., 1!M6; 14] G г e n a n d e r U., Abstract
inference, N. Y., 1981; [5] Розанов Ю. А., Гауесовские
бесконечномерные распределения, М., 1968 (Тр. матем. ин-та
им. Стеклова, т. 108); 1б] И б р а г и м о в И. А., Роза-
Розанов 10. А., Гауссовские случайные процессы, М., 1970; 17]
Б р и л л и н д ж е р Д., Временные ряды, пер. с англ., М.,
1980; [8] В i 1 1 i n g s 1 e у Р., Statistical inference for Markov
processes, Chi., 1961; [9J Л и п ц е р Р. Ш., Ill и р я е в А. Н.,
Статистика случайных процессов, М., 1974; [10] Я г л о м А. М.,
Корреляционная теория стационарных случайных функций, Л.,
J981; Lll] Андерсон Т., Статистический анализ временных
рядов, пер. с англ., М., 1976. И. А. Ибрагимов.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРО-
ПРОЦЕССОВ — раздел математич. статистики и теории
случайных процессов, посвященный исследованию и
решению статистических иадач случайных процессов.
И. А. Ибрагимов.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ — принятое в ста-
тистич. физике название фазового пространства (про-
(пространства состояний) какой-нибудь физич.
системы вместе с нек-рым способом усреднения физич.
величин (т. н. наблюдаемых), связанных с этой
системой. В случае классич. системы с фазовым про-
пространством Q наблюдаемые — действительные функции,
определенные на Q, а их усреднение происходит с по-
помощью интегрирования по нек-рой вероятностной мере
ц на пространстве П. В случае квантовой системы, опи-
описываемой векторами гильбертова пространства ,%", на-
наблюдаемые задаются самосопряженными операторами,
действующими в ,^f, и усреднение вводится с помощью
нек-рого положительного и нормированного функциона-
функционала р, определенного на алгебре 21 (^f) операторов, дей-
действующих в ffl (такие функционалы на %{$?) наз.
сое то ян и я ми). Обычно состояние задается в виде
где ()— положительный оператор в $( такой, что Spp=l
(операюр () наз. м а т р и пей плотное т и с о-
СТОЯНИ Я (I).
Если задана эволюция фи;шч. системы во времени
(динамика систем ы), т. е. (в классич. слу-
случае) — группа Г/ : И —>- ii, /?R, взаимно однозначных
преобразовании фазового пространства в себя, порож-
даемаи гамильтоновыми уравнениями движения с нек-
некрой функцией Гамильтона // (ы), ш?п (э н е р г и я
систем ы), или (в квантовом случае) — группа уни-
унитарных преобразований Ut : $? -*¦ .^./(jjR, гильбертова
пространства в себя, порождаемая оператором- Гамиль-
Гамильтона // (оператором эпорги и си с т е м ы),
то естественно определяется эволюция но времени лю-
любого С. а., определенного для этой системы
ut(t')- и (Г7'б'), С с 9. (класенч. случай), 1
Pi (А)=.р (С/(ЛUJ1) (квантовый случай)- J

Для описания стационарного поведения системы
рассматриваются равновесные ансамбли,
т. е. меры или состояния, неизменные относительно
эволюции B). Хотя равновесных С. а., вообще говоря,
много, в статистич. физике рассматривают только спе-
специальные — т. н. канонические ансамбли
Гиббса (распределения).
Классические ансамбли Гиббса.
Пусть, кроме гамильтониана /У=//0(и)), имеется нек-
рый функционально независимый вместе с Но набор
#х(со), . . ., #fc(co), fc=0, 1, . . ., функций на Q, ин-
инвариантных относительно динамики Г( (в случае сис-
систем, состоящих из конечного, но произвольного числа
частиц одного или нескольких видов, Н, (со) равно,
напр., числу частиц какого-нибудь вида в конфигура-
конфигурации cogQ; в случае системы магнитных диполей Я,-(со)
равно какой-нибудь составляющей их суммарного
магнитного момента и т. д.). Большим к а н о-
нич. ансамблем Гиббса наз. Wpa
= (S)-i exp {- p (tf o + vjtf x+ ... + vA)} «to. C)
где du> — мера, порождаемая симплектич. структурой
на Q, р>0 и vx, . . ., Vfc— действительные параметры,
а Б — нормировочный множитель, наз. большой
статистической суммой:
3 = 1а ехр {~~ 0 (//°+ Vl//l + • ¦ ¦ + v^h} dw. D)
Мера filt h ., сосредоточенная на множестве
{(a\Hi((o) = hit i = 0, 1 к}, hi ? R, ( = 0, 1 к,
и совпадающая с условным распределением на этом
множестве, порожденным мерой C), наз. м и к р о к а-
нонич. ансамблем Гиббса. Рассматри-
Рассматриваются также и «промежуточные» ансамбли — т. н.
малые канонич. ансамбли Гиббса,
получающиеся аналогичным образом из ансамбля C)
фиксированием значений всех или части функций
Л,(ш), i=l, 2, . . ., к.
Квантовые ансамбли Гиббса. Пусть
Jli, • ¦ •' Hk Vе — произвольно) — попарно коммути-
коммутирующие операторы, коммутирующие с оператором
Н—Йо («сохраняющиеся величины»). Состояние на
3l(^f), задаваемое матрицей плотности
„, ^ . . .+VkHk)},
где
S = Sp (exp {- Р (Ha
— большая статистич. сумма, а Р >0,
v1; . . ., vfc— параметры, наз. большим кано-
канонич. ансамблем Гиббса. Пусть Р J , г=0,
1, . . ., к,— проекторы в ,fjf на собственное подпро-
подпространство оператора И, с собственным значением h,.
М и к р о к а н о н ич. ансамблем Гиббса
наз. состояние с матрицей плотности
где (> = dirn (fn ph h h ). Аналогично вводятся и
малые канонич. ансамбли Гиббса,
напр. С. а. с матрицей плотности
где Z — нормирующий множитель (малая с т а-
ги с т и ч. сумма).

Иногда рассматриваются нек-рые модельные модифи-
модификации описанных С. а. (напр., ансамбли Гиббса в кон-
конфигурационных или решетчатых системах), а также
т. н. предельные ансамбли Гиббса, т. с. распределения
вероятностей (или состояний) на фазовом пространстве
бесконечной системы (напр., системы с бесконечным
числом частиц, движущихся во всем пространстве).
Эти С. а. возникают с помощью термодинамич. предель-
предельного перехода из описанных выше ансамблей для конеч-
конечных систем (см. [3]).
Существует гипотеза — т. н. принцип пре-
предельной эквивалентности ансамб-
ансамблей—о том, что при выполнении нек-рых естествен-
естественных условий (грубо говоря, в отсутствии фазового пере-
перехода) предельные гиббсовские С. а., получающиеся
с помощью разных допредельных гиббсовских ансамб-
ансамблей (большого канонического, малого канонического,
микроканонического), совпадают при определенном
соответствии между задающими эти ансамбли парамет-
параметрами. Эта гипотеза подтверждена (см. [3]) для нек-рых
частных ситуаций.
Лит.: [1] Л а нд а у Л. Д., Л и ф ш и ц В. М., Стати-
Статистическая физика, М., 1964 (Теоретическая физика, т. 5);
[2] Мин л ос Р. А., «Успехи матем. наук», 1968, т. 23, в. 1,
с. 133—90; [3] Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие
результаты, пер. с англ., М., 1970: [4] Престон К., Гиббсов-
Гиббсовские состояния на счетных множествах, пер. с англ., М., 1977.
Р. А. Мичлос.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА — раз-
раздел математич. статистики, методы к-рого используются
в промышленности для определения фактически до-
достигнутого уровня качества, тенденций его изменений
и выработки обоснованных воздействий на технологич.
процесс. Качество массовой промышленной продукции
характеризуется совокупностью свойств, представимых
в виде набора чисел или функций. Требуемый уровень
качества определяется государственными стандартами
(ГОСТ), в к-рых даны правила оценки фактич. уровня
показателей качества. Использование ГОСТа необхо-
необходимо, т. к. принимаемые по результатам контроля ре-
решения связаны с реальными затратами и затрагивают
интересы производственных коллективов. Методы
С. к. к. играют важную роль в общей системе меро-
мероприятий по управлению качеством массовой промыш-
промышленной продукции. Это обусловлено в первую очередь
тем, что изменчивость числовых характеристик основ-
основных показателей качества изделий носит случайный
характер. Стремление сделать контроль более объек-
объективным, не имеющим систематич. ошибок, приводит
к необходимости Использования методов рандомизации,
что также обусловливает необходимость использова-
использования вероятностных и статистйч. методов.
Математич. методы, используемые в С. к. к., разно-
разнообразны. Наиболее часто используются методы С. к. к.
непрерывного потока массовой продукции в процессе
ее изготовления с целью выявления нежелательных
отклонений и необходимости соответствующих под-
наладок оборудования.
Пусть {О)}— последовательность изделий, 1,— 1,
2, .... В результате контроля изделию Ot сопоставля-
сопоставляется число е(. При контроле по альтернативному при-
признаку Ef--0, если изделие О/-^ годное, и е/=1, если
изделие ()t— дефектное. Дефектные изделия исклю-
исключаются. Текущий контроль по планам Доджа П (/, i)
описывается следующей системой правил. Контроль
начинается сплошной проверкой изделий последова-
последовательности {Of}, к-рая проводится до тех пор, пока не
встретится серия из i годных изделий. Далее, каждое
последующее изделие отбирается на контроль случай-
случайно с вероятностью /, 0</<1. При первом обнаружейии
дефектного изделия вновь переходит к сплошному
контролю до обнаружения серии из I годных изделий.
Затем вновь переходят к выборочному контролю с ве-

роятностью отбора / и т. д. Пусть, напр., е? является
последовательностью Бернулли, Р {е^= 1 }=д. Тогда
вредняя доля контролируемых изделий по плану П (/, i)
равна
При выборе подходящих значений /, i используется
значение уровня предельного среднего выходного ка-
качества
L*= max L(q),
о <<;< l
где
1-е/(в)—
условная вероятность того, что изделие окажется де-
дефектным, при условии, что оно не было проконтроли-
проконтролировано (см. [1], [2]).
В тех случаях, когда контроль последовательности
изделий {Oj} ведется по количественному признаку,
значения результатов контроля е^ рассматриваются как
случайный процесс. В основных ГОСТах исходят из
допущения, что в отсутствии разладок значения {е^}
образуют последовательность взаимно независимых
нормально распределен-
распределенных случайных величин.
вгр (*) Проверка исходных до-
допущений о типе закона
распределения к^ являет-
является необходимым пред-
предварительным условием
эффективного использо-
использования контроля по коли-
чественному признаку.
\ Наличие разладок при-
Сигнал к „одналадке /г водит ^ R появле1?ю
uri тренда — система-
тит. увеличения (умень-
(уменьшения) средних значений tf, либо к увеличению дис-
дисперсии v,j и т. п. С целью выявления подобных наруше-
нарушений (разладок) самое широкое применение находят
методы С. к. к., использующие контрольные карты
(к. к.). Па к. к. (см. рис.) но оси абсцисс откладывается
номер к контролируемой выборки О( +1, . . ., О( +н,
по оси ординат откладывается значение величины ;//.,
определяемой значениями к( +l — j:lt . . ., tt +n—х„.
Обычно п невелико, « = 3-^5. В качестве показателей щ,
часто используются: среднее значение х— — У,. _ х[,
11 *¦¦¦ 1'— 1
медиана, оценка дисперсии s2=—Zj--Sxi—z)a, размах
и т. д. На к. к. предварительно наносятся две линии:
верхняя граница регулирования (ВГР) и нижняя гра-
граница регулирования (НГР). Если значение yk окажется
выше или ниже этих границ, то требуется произвести
воздействие на технология, процесс с целью восстанов-
восстановления его стабильности.
К. к. были предложены У. Шухартом [3]. В настоя-
настоящее время A984) используются разнообразные вариан-
варианты к. к. (см. [4], [5]). Наличие различных типов к. к.
обусловлено тем, что они не одинаково эффективны для
выявления различных разладок. Так, для выявления
скачкообразных изменений средних значений е^ более
эффективными по сравнению с к. к., показанными на
рис., могут оказаться так называемые к. к. накоплен-
накопленных сумм. Точный расчет различных характеристик
к. к., напр, среднего времени запаздывания в выявле-
выявлении определенного типа разладок, является трудной
задачей, требующей большого объема вычислений, что,
как правило, возможно лишь с использованием ЭВМ.

В тех случаях, когда контролируемая продукция
разбита на совокупности — партии, широкое приме-
применение находят методы статистического приемочного
контроля.
Лит.: [1] DodgcH. P., «Ann. Math. Statistics», 1Р43,
v. 14, p. 264—70; 12] Б е л я с в ГО. К., Вероятностные исто-
истоды выборочного контроля, М., 1U75; L3] Shewhart W. А.,
Economic control of quality of manufactured product, N. Y.,
1931; [4] ШиндовскийЭ., Ш ю р ц О., Статистические
методы управления качеством, пер. с нем., М., 1976; [о] Д ж о н-
с о н Н., Л и о и Ф., Статистика и планирование эксперимента
в технике и науке, т. 1 — Методы обработки данных, пер.
с англ., 2 изд., М., 1980. Ю. Я. Беляев,
СТАТИСТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ — решающее пра-
правило, по к-рому на основе результатов наблюдений
принимается решение в задаче статистических гипотез
проверки.
Пусть по реализации х= (х17 . . ., хп) случайного
вектора Х = (Х1, . . ., Хп), принимающего значения
в выборочном пространстве (^„, йи, Ре), Э?в, надле-
надлежит проверить гипотезу Но : В?во<гв против альтер-
альтернативы #j : В?в1=в\в0. Далее, пусть ф„ (•) —
произвольная й„-измеримая функция, отображающая
пространство реализаций ¦)?„ в отрезок [0; 1]. В таком
случае правило, согласно к-рому гипотеза Но отверга-
отвергается с вероятностью <рп(Х), а альтернатива Н1 откло-
отклоняется с вероятностью 1—<р„ (X), наз. статистич.
критерием для проверки гипотезы Но против
Hi', Фи (") является критич. функцией С. к. Функция
Р (О) = Еефи {X), 8?в, наз. функцией мощно-
мощности С. к.
В результате применения С. к. можно либо принять
правильное решение, либо совершить одну из двух
ошибок: отклонить гипотезу По и, значит, принять ги-
гипотезу #!, когда на самом деле /70 справедлива (ошиб-
(ошибка 1-го рода), или же принять Но, когда на самом деле
справедлива гипотеза Нг (ошибка 2-го рода). Одной
из основных задач классич. теории статистич. проверки
гипотез является построение такого С. к., к-рый при
заданной верхней границе a=sup Р„@), 0<а<1, для
8 6 в„
вероятностей ошибок 1-го рода минимизировал бы ве-
вероятности ошибок 2-го рода. Число а принято называть
значимости уровнем С. к.
/(ля приложений наибольший интерес представляют
неранд о минированные С. к., т. е. такие,
критич. функция <г„ (¦) к-рых есть характеристич.
функция нек-рого ^„-измеримого множества К из
пространства реализаций 1:
< 1, если х f- К,
Ф-((-'-) —< -
\ 0, если х ? A"=Jf „ч ^К.
Таким образом, нирнндомизированный С. к. отклоняет
гипотезу Ло, если происходит событие {Х?К}; если же
происходит событие {X ? К}, то гипотеза На прини-
принимается. Множество А' наз. критическим мно-
множеством -С. к.
Как правило, нерандомизированный С. к. бывает
основан на нек-рой статистике ТП-—ТП(Х), называемой
с т а т и с т иной критерия, при этом крятич.
множество А" такого критерия обычно задается с по-
помощью соотношений, вида К—'[х: Tn(.r)<.ti}, К—
-- - {х : Тп И>/.2}, А -= {х : Tn H<h}\J {.,: : Tn (x)>t2).
Постоянные tu l.z, называемые критически м и
з и а ч е н и я м и статистики критерия 7'„,
определяются из условия a = supP,,(O), при атом в
и t в„
первых двух случаях принято говорить об односторон-
односторонних С. к., а в третьем случае — о двустороннем кри-
критерии. Структура статистики критерия Тп отражает
в себе специфику конкурирующих гипотез //„ и Н1.
В случае, когда семейство {Ре, 8?в} обладает доста-
достаточной статистикой ЧГ==ЧГ(Х), естественно, что ста-

тистику критерия следует искать в классе необходимых
статистик, так как
при всех 9€в=е„Цв1, где Г„(Х)=Е{ф„ ()|}.
Лит.: [1J ЛеманЭ., Проверка статистических гипотез,
пер. с англ., 2 изд., М., 1979; [2] Г а е к Я., Ш и д а к 3., Тео-
Теория ранговых критериев, лер. с англ., М., 1971; [3] Кра-
Крамер Г., Математические методы статистики, 2 изд., пер. с англ.,
М., 1975; [4] Ван дер Варден В. Л., Математическая
статистика, пер. с нем., М., I960; [5] Большее Д. Н.,
Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики,
2 изд., М., 1968. М. С. Никулин.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПРИЕМОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ —
совокупность методов статистич. контроля качества
массовой промышленной продукции с целью выявле-
выявления ее соответствия заданным требованиям. С. п. к.
ведется на основе государственных стандартов (ГОСТ),
содержащих таблицы планов контроля и правила выбора
планов из атих таблиц. Предусматривается возмож-
возможность ведения контроля на разных уровнях жесткости.
При выборе плана контроля и уровня жесткости учи-
учитывают объем контролируемой партии (число входя-
входящих в нее изделий), результаты контроля предыдущих
партий и др. факторы. С. п. к — действенное средство
поддержания требуемого уровня качества продукции.
Наиболее часто используются дне разновидности
С. п. к. — контроль по альтернативному признаку и
контроль по количественному признаку. При контроле
по альтернат явному признаку изделия
классифицируются на годные и дефектные. При контро-
контроле по количественному признак у изме-
измеряются параметры изделий, принимающие веществен-
вещественные значения.
При отборе изделий на контроль используются раз-
различные методы. Широко используется случайный выбор
без возвращения (см. Выборочный метод), при к-ром
все выборки одинакового объема имеют равные вероят-
вероятности. Если контроль носит разрушающий характер
(испытания на разрыв), то сплошной контроль невозмо-
невозможен. При С. п. к., как правило, проверяется лишь часть
изделии, составляющих выборку, поэтому возможны
ошибочные решения. В теории С. п. к. разрабатываются
методы расчета вероятностных показателей планов конт-
контроля и статистич. методы оценки эффективности С. и. к.
на основе накапливаемой информации о ходе контроля.
Часто С. п. к. проводят с использованием одно-
одноступенчатых планов. Пусть 5р — контро-
контролируемая партия из N изделий. Одноступенчатый план
характеризуется заданием объема п выборки и прие-
приемочным числом с. Если число дефектных изделий и нш-
борке окажется равным d и (/<:<•,•, то ^р принимается.
Если же rf>c, то 5$ бракуется. В зависимости от вида
изделий решение о браковке может либо означать
сплошную проверку всех изделий из 5|>, не попавших
в выборку, либо снижение сортности а т. п. В стандар-
стандартах допускается использование двухступенчатых, мно-
многоступенчатых и последовательных планов. Д в у х-
е т у н е и ч а т ы й п л а н характеризуется заданием
объемов /1г и п., первой и второй выборок, приемочных
чисел (j, е2, браковочных чисел /-j, r2 (i\>cl, гг=-с.г-\ 1).
Если число дефектных изделий в первом выборке (/,<:<•,,
то ^> принимается. Если d^ru то ^ бракуется. В том
случае, когда t1<d1<r1, берется вторая выборка. Если
(L, — число дефектных изделий во второй выборке и
dx j </2<:с2, то 5р принимается. Если dv-\ d.^i\,, то ^
бракуется.
Важной числовой характеристикой планов С. п. к.
при контроле по альтернативному признаку является
оперативная характеристика Р (D), равная вероятности
принять партию по результатам контроля изделий,
составляющих выборку. Для одноступенчатого плана

Где
'N—n\ I fN
вероятность обнаружить d дефектных изделий в слу-
случайной выборке без возвращения объема п, когда Sg
содержит D дефектных изделий. Распределение с ве-
вероятностями Pd= h%'fD, d=0, . . ., п, наз. гипергео-
гипергеометрическим. Расчет числовых показателей планов
контроля часто проводится на основе аппроксимации
гипергеометрического распределения биномиальным или
пуассоновским распределениями. Для двухступенча-
двухступенчатых и последовательных аланов существенным пока-
показателем является среднее число контролируемых изде-
изделий m(D).
Таблицы планов контроля в стандартах содержат па-
параметры планов, обладающих (по крайней мере при-
приближенно) различными свойствами оптимальности.
Пусть q=D/N — доля дефектных изделий, qH —- сред-
средняя доля дефектных изделий при стационарном про-
процессе производства. Поиск оптимальных планов конт-
контроля можно проводить среди планов, имеющих одина-
одинаковые средние расходы при ц = цц- Средние расходы
равны стоимости контроля изделий, составляющих
выборку, и ущерба от напрасной забраковки годных
изделий. Иногда целесообразно в сумму расходов
включать ущерб от принятия дефектных изделий.
В стандарте [1] содержатся таблицы одноступенчатых
планов, обеспечивающих при заданном среднем уровне
расходов на контроль и заданном qH приближенно наи-
наилучшую защиту потребителю от принятия партий, со-
содержащих D дефектных изделий, в широком интервале
значений D >JVgw. Это означает, что оперативные ха-
характеристики таких планов для широкого интервала
значений D близки к нижней огибающей оперативных
характеристик всех одноступенчатых планов, имеющих
при q — qn одинаковые средние расходы на проведение
контроля. Составление таблиц планов, включаемых
в стандарты, требует больших затрат машинного вре-
времени ЭВМ.
По результатам С. п. к. многих партий продукции
можно построить т. н. последующие оценки различных
величин, отражающих эффективность используемого
стандарта на С. п. к. Напр., можно найти несмещенные
оценки для суммарного числа дефектных изделий, со-
содержавшихся в предъявленных на контроль партиях.
При контроле с использованием одноступенчатых пла-
планов можно построить статистич. оценки суммарного
числа дефектных изделии, принятых потребителем.
Смещения :пих оценок быстро убывают с ростом объема
выборот;. Идея использования последующих оценок
в С. п. к. была предложена А. Н. Колмогоровым [2].
Известны различные обобщения методов С. п. к. по
альтернативному признаку (см. [3], 14J), в нек-рых при-
приложениях целесообразно рассматривать С. п. к., при
к-ром возможна ошибочная классификация дефектных
изделий как годных и годных изделий как дефектных
15]. В С. п. к. широко используются бейосовские ме-
методы [6].
Стандарты на С. п. к. по количественному признаку
основаны на допущении, что измеряемые при контроле
характеристики изделии в выборке являются взаимно
независимыми одинаково распределенными случайными
величинами, функции распределения к-рых принадле-
принадлежат нек-рому иараметрич. семейству. Наиболее часто
используются стандарты, в к-рых таким семейством
являются нормальные (гауссовские) распределения.
Па практике выполнение указанных допущений тре-
оует тщательной проверки и должно предшествовать
решению об использовании стандарта С. п. к. по ко-
количественному признаку.

Только обоснованное использование С. п. к. по коли-
количественному признаку может дать более эффективные
результаты по сравнению со С. п. к. по альтернатив-
альтернативному признаку.
Лит.: Ill ГОСТ 246Н0 — 81: |2] Колмогорова. Н.,
«Изв. АН СССР. Сер- матем.», 19аО, т. 14, № 4, с. 303—2В;
[3] Беляев Ю. К., Вероятностные методы выборочного
контроля, М., 1D7S; 14] Л у м е л ь с к и й Я. П., Статистиче-
Статистические оценки результатов контроля качества, М., 1379; E1 Б е-
л я е в Ю. К ., «Докл. АН СССР», 1976, т. 231, J4S 3, с. 521—24;
[61 На I d A., Statistical theory of sampling inspection by attri-
attributes, L.-- la. o.l, 1981. Ю. К. Нелягв.
СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ПРОВЕРКА — один
из основных разделов математич. статистики, в к-ром
развиваются идеи и методы статистич. проверки соот-
соответствия между экспериментальными данными и ги-
гипотезами об их вероятностной природе.
Пусть наблюдается случайный вектор X = (Xi, . . .,
Хп), принимающий значения х=(х1, . . ., хп) в из-
измеримом пространстве (¦?„, S3,,), и пусть известно, что
распределение вероятностей этого случайного вектора
X принадлежит заданному множеству вероятностных
распределений Я= {Яп , В?в}, где в — нек-рое пара-
метрич. множество. Множество Я наз. м н о ж е с т-
в о м д о п у с т и м ы х г и п о т е з, а любое ого не-
непустое подмножество //,• — с т a i и с т и ч. гипо-
гипотезой или просто г и поте :i о ii. Если Я; содер-
содержит ровно один элемент, то такая гипотеза наз. п р о-
ст о й, в противном случае — сложно й. Далее,
пусть в Я выделены две т. н. конкурирующие между
собой гипотезы
h1 = ii\h0:={Pq, e <= e!
одну из к-рых, напр. Я„, наз. о с н о о н о й, а другую —
альтернативной гипотезой или просто
альтернативой к Яо. В терминах гипотез Но и Я, удоб-
удобно формулировать основную задачу теории С. г. п.
в рамках модели Неймана — Пирсона (см. fl|, [2]).
Именно, найти оптимальный способ, пользуясь к-рым
можно было бы на основе наблюденной реализации
случайного вектора X проверить, справедлива ли ги-
гипотеза Яо : В(;("")(,. согласно к-рой распределение веро-
вероятностей вектора X принадлежит множеству Яо =
= {Ре, В?в0}, пли же справедлива альтернативная
гипотеза Я, : 6?8Ь согласно к-poii распределение
вероятностей наблюдаемого вектора X принадлежит
множеству
Пример \. Пусть наблюдается случайный вектор
X=(XV . . ., Х„), компоненты к-рого Xt, . . ., Хп суть
независимые случайные величины, подчиняющиеся од-
одному и тому же нормальному закону Ni @, 1), матема-
математич. ожидание к-рого B = E.Y,- неизвестно (|fl|<oo),
а дисперсия равна 1, т. е. для любого действительного
числа х
СИJ
dt,
i=
В этих условиях можно, напр., рассмотреть задачу
проверки гипотезы Яо : 6=й0 против альтернативы
Нг : в#90, где 0О — нек-рое заданное число. В данном
примере гипотеза Нп является простой, а конкурирую-
конкурирующая с ней гипотеиа Ht — сложной.
Формально, конкурирующие гипотезы Но и ff{ яв-
являются равноправными в задаче различения гипотез и
вопрос о том, какое из двух непересекающихся и вза-
взаимно дополняющих множеств из Я наавать основной
гипотезой, не является существенным и не влияет на
построение самой теории С. г. п. Однако, как правило,

на выборе основной гипотезы сказывается отношение
экспериментатора к самой задаче, в результате чего
основной гипотезой чаще наз. то множество Но из мно-
множества всех допустимых гипотез //, к-рое, по мнению
экспериментатора, по природе изучаемого явления
либо из каких-либо физич. соображений, должно лучше
согласовываться с ожидаемыми экспериментальными
данными. Именно поэтому гипотезу //„ часто наз. про-
проверяемой гипотезой. В тсоретич. плане различие между
гипотезами //0 и Нх часто сказывается в том, что, как
правило, множество Мо оказывается более просто
устроенным, чем Нг, что отражает желание эксперимен-
экспериментатора иметь дело с более простой моделью.
В теории С. г. п. суждение о справедливости #„
или //j делается на основании наблюденной реализации
случайного вектора X; при этом решающее правило,
с помощью к-рого принимается решение «справедлива
гипотеза Нр> (г = 0,1), наз. статистическим критерием.
Структура любого статистич. критерия полностью опре-
определяется его т. н. критич. функцией ц>„ (•) : 3fre -*¦ [0; 1].
Согласно статистич. критерию, имеющему критич.
функцию ф„(-), проверяемая гипотеза Яо отвергается
с вероятностью <рп(Х) в пользу альтернативы Н±, а ги-
гипотеза Н\ отвергается с вероятностью 1—ifn(X) в поль-
пользу Ни. С практич. точки зрения наибольший интерес
представляют т. н. нерандомизированные критерии,
критич. функции к-рых принимают лишь два значения:
Он 1. Какой бы критерий не применялся для различе-
различения гипотез Но и //,, в результате его применения
можно либо принять правильное решение, либо прийти
к ошибочному. В теории С. г. п. ошибочные выводы
принято классифицировать следующим образом.
Если критерии бракует проверяемую гипотезу Но,
когда она в действительности верна, то говорят, что
совершена ошибка 1-го рода. Напротив, если статистич.
критерий не отклоняет проверяемую гипотезу //„ (и,
значит, согласно атому критерию, гипотеза Яо прини-
принимается), когда она на самом деле неверна, то говорят,
что совершена ошибка 2-го рода. Задачу проверки ш-
поте.чы //,, против //, желательно провести таким обра-
образом, чтобы минимизировать вероятности этих ошибок.
К сожалению, управлять обеими вероятностями оши-
ошибок одновременно при фиксированной размерности п
вектора наблюдений X невозможно: уменьшение одной
из них ведет, как правило, к увеличению другой. Чис-
Численно вероятности этих ошибок выражаются в терминах
т. н. ф у н к ц и и м о щ н о с т и Р„ (¦) статистич.
критерия, определенной на множестве 0=0o[J0i по
следующему правилу:
Из определения функции мощности Рл@ следует, что
если случайный вектор А* подчиняется закону Ре,
О?в = воив], то статистич. критерий, основанный на
критич. функции <р„(")> будет отклонять проверяемую
гипотезу 110 с вероятностью ftn(X). Таким образом,
сужение функции мощности р„(-) с 8 на 9, будет по-
показывать вероятности ошибок 1-го рода, т. е. вероят-
вероятности напрасного отклонения Я„. Напротив, сужение
функции мощности Рл (•) с в на вь называемое мощ-
мощностью статистич. критерия, показы-
показывает другое важное качество статистич, критерия:
вероятности отклонения проверяемой гипотезы Но,
когда в действительности справедлива конкурирующая
гипотеза //j. Иногда мощностью статистич. критерия
наз. число
Р= irif Р„(й)= inf
Вев, еев,
Дополнение же мощности до 1, т. е. функция 1—р„( •),
заданная на множестве 0], позволяет вычислять ве-
вероятности ошибок 2-го рода.

В рамках классич. модели С. г. и. Нрй.мана — Пир-
Пирсона задачу проверки Но против Нх начинают с выбора
верхней границы а@<а<1) дли вероятности напрас-
напрасного отклонения проверяемой гипотезы Но, т. е. для
вероятности ошибки 1-го рода, и уже при заданной
границ а стараются построить такой критерий, к-рый
имел бы наибольшую мощность. Исходя из особой роли,
к-руго играет гипотеза ff0 для экспериментатора, чис-
число а, наз. уровнем значимости критерия,
выбирают достаточно малым, напр, равным 0,01; 0,05;
0,1 и т. п. Выбор уровня значимости а означает, что
множество всех статистич. критериев, предназначенных
для проверки //0 против //,. сужается до множества
критериев, удовлетворяющих условию:
sup Р„(8) = sup ЕоЧн(х) —«¦ A)
0 е в0 все,
(Иногда вместо условия A) требуют, чтобы
sup р„ (9) «а, что никак не отражается на построении
в„
общей теории С. г. п.) Статистич. критерий, удовлетво-
удовлетворяющий условию A), наз. критерием уровня а. Таким
образом, в классич. постановке задача проверки II0
против //j сводится к построению такого статистич.
критерия уровня а, функция мощности к-рого удовлет-
удовлетворяла бы условию
fn @) Ss Р„ @) при всех 0 ? в}, B)
гДе Ри( •) — функция мощности произвольного крите-
критерия уровня а. В случае, когда гипотезы II $ и Нл яв-
являются простыми, эффективное решение зтой вариаци-
вариационной задачи дает отношения правдоподобия критерий.
Если же гипотеза Н^ является сложной, то статистич.
критерий, удовлетворяющий условию B), удается по-
построить редко. Но если такой критерий существует, то
именно этот критерий признается наилучшим для про-
проверки Но против Hi и ого наз. равномерно наиболее
мощным критерием уровня а в задаче различения ста-
статистич. гипотез Нй и И1. В силу того что равномерно
наиболее мощные критерии существуют редко, прихо-
приходится сужать класс статистич. критериев с помощью
нек-рых дополнительных требований, таких, как несме-
несмещенность, подобие, полнота и др., и уже в более узком
классе строить наилучший критерии в смысле B).
Напр., требование несмещенности критерия означает,
что его функция мощности должна удовлетворять соот-
соотношению
sup Р„(<))< inf Р„@).
О е в„ 0 g в.
Прим е р 2. В условиях примера 1 при любом
фиксированном уровне значимости а существует но-
рандомизированный равномерно наиболее мощный не-
несмещенный критерий уровня а для проверки Яо про-
против альтернативы IIг — отношения правдоподобия кри-
критерий. Критич. функция итого наилучшего критерия
определяется следующим образом:
( 1, если |Л-.-ео|> ^ф-1A_|
Ф«(Л') 1 1 / а
U, если IA-.-GoKt^*!1—T
где !
*. = -№+... + Х„).
В силу того что статистика X., называемая стати-
статистикой критерия, подчиняется нормальному закону
JVj F, Мп) с параметрами EX.=6 и DX. , т. е.
для любого действительного числа х

функция мощности Р„( -) наилучшего критерия для
проверки Яо против Нг выражается формулой
Х.~во|>
причем р„(8)>р,г(В„)-=а. Рисунок дает графич. представ-
представление о поведении функции мощности fSn( •).
Зона отклонения Н„
Зона принятия
Наименьшее значение, равное уровню значимости а,
функция р„(-) достигает в точке 6=60, и, по мере
удаления В от 9„, ее значения растут, приближаясь
тем ближе к 1, чем больше величина |8—0О|.
Теория С. г. ц. позволяет с единой точки зрении
трактовать различные задачи, выдвигаемые практикой:
построение интервальных оценок для неизвестных па-
параметров, оценка расхождения между средними зна-
значениями вероятностных законов, проверка гипотез о
независимости наблюдений, задачи статистич. контро-
контроля качества и др. Так, напр., в примере 2 зона приня-
принятия гипотезы На представляет собой наилучший дове-
доверительный интервал с коэффициентом доверия 1—а
для неизвестного математич. ожидания 6.
Наряду с классич. подходом Неймана —- Пирсона к
решению задачи различения гипотез существуют и
другие: бейесовский подход, минимаксный подход, ме-
метод последовательного различения Вальда и др. Кро-
Кроме того, в теории С. г. п. рассматриваются прибли-
приближенные методы, основанные на изучении асимптогич.
поведения последовательности {р„(-)} функций мощ-
мощности статистич, критериев, предназначенных для про-
проверки На против Я,, когда размерность и вектора наб-
наблюдений X' —(А',,. . .,Хп) неограниченно растет. В та-
такой ситуации обычно требуют, чтобы построенная по-
с.чедоиапчп.чопъ критериев была состоятельной, т. е.
ч гобы
lim Ря@)-Л для любого 0 ? в,,
что означает, что с ростом п гипотезы Яо и Ht можно
оудот различать с любой степенью достоверности.
В примере 2 построена состоятельная последователь-
последовательность критериев (если п-»-оо).
В любом случае, каким бы статистич. критерием не
пользоваться в задаче различения гипотез Но и //,
принятие гипотезы Н„ (Н^ означает не то, что эта гм
потеза II„(Н-,) в действительности истинна, а лшш,
факт отсутствия противоречии результатов наблюде
ний с принимаемой гипотезой на данном этапе иссле
дований. Именно в силу этого согласия опыта и тео-
рии у экспериментатора нет оснований не верить в
истинность Н0(Н1) до тех пор, пока не появятся но-
новые наблюдения, к-рые могут заставить изменить его
отношение к принятой ранее гипотезе, а может даже
н ко всей модели вообще.
Лит.: [ljNeymanJ., Pearson E. S., «Biometrika»
У28, v. 20 А, р. 175-240; р. 263-94; [2] их же, «Phil. Trans
Ноу. Soc», ser. A, 1933, V. 231, p. 289—337; [3] Л еман Э.
Проверка статистических гигготс,!, пер. с англ., 2 изд., М., 1У7Н;
I ij Крамер Г., Математические методы статистики 2 изд
пер. с англ., М., 1975; [5] Г а е к Я., Ш и д а к .'!., Теория ран-
ранговых критериев, пер. с англ., М., 1971. М. С. Никулин

СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ МЕТОД — ме-
метод численного расчета, при к-ром искомые неизвест-
неизвестные интерпретируют как характеристики соответст-
соответствующего случайного явления (с. я.) Ф; ото с. я. чис-
численно моделируется, после чего искомые величины
оцениваются из имитаций наблюдений Ф. Как прави-
правило, для неизвестной z отыскивают представление в виде
матсматич. ожидания z=EZ(a>) какой-либо случайной
величины Z(a>) на вероятностном пространстве (Я,
Л, P)i описывающем г. я. Ф, и имитируют независимые
наблюдения Ф (см. Независимость). Тогда на основа-
основании больших чисел закона
z я Гап==Я-1 [Z
При E|2(ci))|2<oo случайная погрешность этой фор-
формулы может быть грубо оценена по вероятности с по-
помощью Чебышева неравенства или, асимптотически, на
Основании центральной предельной теоремы
P{h-C,,| <аа(г)Лг/2} х erf (а),
a2 = E|2((u)|*_[EZ(w)F. A)
1атематич. ожидание EjZ(oj)|-' также может быть оце-
чг-но «из экспериментов», что позволяет дать апосте-
апостериорную доверительную оценку точности расчета (см.
Доверительное оценивание). Имитацию с. я. обычно
разыгрывают по последовательности независимых слу-
случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке
{х : 0«О<1 }. Для этого используют какое-либо есте-
естественное измеримое отображение / на (Й, ,/?, Р) еди-
единичного счетномерного гиперкуба
с лебеговым объемом dV— ?Jftd.j-? на ном; '2 = / (Я), Р —
— Vf~l, где функция /сильно зависит в основном только
от координат с малыми номерами. Таким образом, фор-
формально задача свидится к вычислению интеграла
по простейшей квадратурной формуле с равными веса-
весами и случайными абсциссами аи'. Как следует из
A), объем вычислительной работы, необходимой для
достижения заданной точности е расчета z, опреде-
определяется, при фиксированном уровне доверия erf (a),
произведением Wt — <4~2 a2a2 (Z)t. (Z), где т — математич.
ожидание объема вычислительной работы по построе-
построению одной реализации Z(co). Оно быстро растет с
уменьшением е; полому большое значение имеет удач-
удачный выбор модели с достаточно малым ст2т. В частно-
частности, в первоначальной интегральной записи может ока-
аться выгоднее заранее аналитически проинтегриро-
проинтегрировать но части переменных т,-, сделать замену других
переменных, разбить куб интегрирования на области,
выделить главную часть интеграла, использовать груп-
группы зависимых узлов л'1, задающих точную квадра-
квадратурную формулу для какого-либо класса функций и
т. п. Выбор наиболее выгодной «модели» можно про-
проводить, грубо оценивая величины о2 и т, в небольших
предварительных численных экспериментах. При про-
проведении серии расчетов заметного повышения точно-
точности удается добиться также надлежащей статистич.
обработкой «наблюдений» и выбором соответствующе-
соответствующего плана «экспериментов».
Г>ольшой класс моделей, используемых в С. и. м.,
связан со схемой случайных блужданий. В простей-
простейшем случае В — квадратная матрица порядка т, &,у=
= rij-Pij, где|г,-у|<1, р1уЗг0,Кг,/«т;р1у+.. .+р/от<1,
1=1, . . ., т. Организуем марковское случайное
блуждание и- — {9 @), 6A),. . ., fl (v)} но т состояниям
flj, . . .fim, с вероятностями перехода р,у из 0,- в 6у,
до перехода на случайном (v-f 1)-м шаге в дополнитель-

ное поглощающее состояние 8П, с вероятностью погло-
поглощения р/о=1— (p;i-;-. . .-'rPim), Poo=1- B предполо-
предположении, что блуждающая частица изменяет свой вес
по правилу fik =Pk-\rij, если к-й случайный
переход был из 9,- в 0у-; р0— 1, решение уравнения
(Ц Н)и ? с помощью ряда Неймана можно поко-
покоординатно проинтерпретировать как
v B)
где 9@)=ве, #FХ)=^, s=l, ...,?». Каждая «траек-
«траектория» ш(*' моделируется ito своей последовательности
случайных чшт,'] i',, , переход в 8у совершается на
ге-м шаге из 0 (и 1)--9; при р,0 -|-. . .-r-Pi,/-i </%<¦
<^Pio~\~- • -~\~Pij- Объем работы по построению траекто-
траектории и расчету функционала от нее пропорционален
ее «длине» v; в этой схеме Ev<oo.
При моделировании случайных блужданий с непре-
непрерывным временем движение приходится дискретизи-
ровать. Пусть требуется подсчитать долю Ь излучения,
выходящего из шара радиуса R, в центре к-рого по-
помещен источник. Частицы излучения движутся прямо-
прямолинейно; на пути ds с вероятностью ads частица взаимо-
взаимодействует со средой, в результате с вероятностью 1—q
она поглощается, а с вероятностью q — сферически
симметрично рассеивается. Ответ задачи выписывается
через решение интегро-дифференциального уравнения
переноса, отвечающего приведенному стохастич. диф-
дифференциальному описанию движения. Вместо того что-
чтобы разбить приближенный путь частицы на шаги Дя
и проверять на каждом шаге, не произошло ли взаимо-
взаимодействие, можно, напр., по показательному закону с
плотностью р (s) = acxp (—¦as), .00, разыграть о помо-
помощью единственного случайного числа длину гс-ro слу-
случайною пробега sn и найти очередную точку взаимо-
взаимодействия гп. Далее, .можно не разыгрывать тип в;зал-
.модействия со средой, а учитывать поглощение весо-
весовым множителем но правилу р„ — ур„-1- Затем разыгры-
разыгрываются полярный л азимутальный углы @, ср) нового
направления движения; cos 0 распределен равновероят-
равновероятно на отрезке [ —1,1], а ф — на полуинтервале [0, 2л).
Они определяют орт еп нового направления движе-
движения. Моделирование проводится до вылета из шара,
т. с. до первого события srl^ln, где 1п — длина пути
до границы лифа, 1г„+1„е„] = Н. Тогда средний вес
вылетевших «частиц» дает оценку Ь. Полученное ин-
интегральное выражение для искомой величины (выте-
(вытекающее также из интегрального уравнения переноса)
можно преобразовать к интегралу по тем траекториям
со, к-рые шар не покидают. Пробег *„ при этом надо
разыгрывать по условному закону с плотностыб
а [1^ехр(— а/„)]~1ехр(—as); новый вес определяется
правилом p,i + i=gp,,[l-—exp( -aln)\, и на каждой траек-
траектории иодсчитывается функционал Р'—^р,, ехр (— aln).
Тогда &=Ер\ где fl (со (as)) --- непрерывная функция
внутри Н. В этой модели траектории бесконечны,
но вклад их звеньев с большими номерами мал; поэто-
поэтому можно кончать их моделирование, как только
рк<б, внося в подсчет b небольшую систематич. ошиб-
ошибку. Описанная схема дает неплохие результаты при
я/?~1. Однако при больших R ее использование может
привести к ложным заключениям. При аЕу>\ выход
из шара является редким событием и в основном осу-
осуществляется траекториями, все звенья к-рых «в сред-
среднем» длинны. Если N недостаточно велико, то весьма
вероятно, что такие атипичные траектории с относи-
относительно большим значением р1 попадаться не будут и
можно прийти к заниженным (но не нулевым) оценкам
пак искомого среднего Ь, так и дисперсии Dp1, т. е.
апостериорной меры ошибки. Повысить точность здесь

можно, если воспользоваться экспоненциальным пре-
преобразованием, моделируя траектории по показательно-
показательному закону с завышенным средним пробегом и компен-
компенсируя это дополнительным экспоненциальным множи-
множителем в весе.
Как следует из формулы B), решая С. и. м. систему
линейных уравнений, можно найти приближенно вы-
выделенное неизвестное, не вычисляя остальных. Это
важное свойство оправдывает использование С. и. м_,
несмотря на его медленную сходимость, напр, при ре-
решении краевых задач для эллиптических дифферен-
дифференциальных уравнений 2-го порядка, когда требуется
узнать решение лишь в одной выделенной топке. В ча-
частности, для уравнения Лапласа решение записывается
в виде интеграла по винеровской траектории, т. е.
траектории броуновского движения. Решение нек-рых
краевых задач для метагармонического (в т. ч.— бигар-
монического) уравнения удается записать в виде интег-
интегралов по траектории броуновской частицы с матрич-
матричным весом. Моделирование самих броуновских траек-
траекторий, испытывающих бесконечно много столкновений
за любой интервал времени, удается проводить при
атом крупными участками с помощью разработанных
специфич. приемов.
Для решения С. и. м. нелинейных уравнений ис-
используются более сложные модели потоков многих ча-
частиц, стохастически взаимодействующих со средой и ме-
между собой, в т. ч. каскадов размножающихся частиц.
К недостаткам метода, кроме медленной сходимости,
следует отнести недостаточную надежность апостери-
апостериорной оценки A) вероятной относительной погрешнос-
погрешности. Она может быть занижена как из-за «некачествен-
яоети» (т. е. коррелированное™) использованных слу-
случайных чисел, так и из-за «нетипичности» (т. е. малой
вероятности) исходов и, дающих основной вклад в ин-
интеграл.
Другое название С. и. М.— Монте-Карло метод —
в большей степени относится к теории модификаций
С. и. м.
Лит. см. при ст. Монте-Карло метод. Н. Н. Ченцов.
СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ТЕОРИЯ — общая
теория проведения статистич. наблюдений, их обработ-
обработки и использования. При более широком толковании
термина С. р. т. — теория выбора оптимального неде-
недетерминированного поведения в условиях неопреде-
неопределенности.
Предметом математич. статистики являются обрат-
обратные задачи теории вероятностей. Имеется нек-рое слу-
случайное явление Ф, описываемое качественно измери-
измеримым пространством (Q, Jl) всех мыслимых его исходов
ш и количественно — распределением Р вероятностей
исходов. Статистику описание Ф известно только ка-
качественно, а относительно Р у него до опытов имеется
лишь неполная информация типа Р ?5\ где '71 — из-
известное ему семейство вероятностных законов. Проведя
одно пли несколько наблюдений Ф и обработав полу-
полученный материал, статистик должен сделать выводы о
законе Р и выбрать наиболее выгодное поведение (в
частности, он может решить, что собранного материала
недостаточно и что надо продолжить серию наблюдений,
прежде чем делать окончательные выводы). В классич.
задачах математпч. статистики число наблюдений (объ-
(объем выборки) фиксировалось и отыскивались оптималь-
оптимальные оценки неизвестного аакона Р. Современная об-
общая концепция статистич. решения принадлежи!
А. Вальду (A. Wald, см. |2]). Принимают, что каждый
эксперимент имеет стоимость, за к-рую надо уплачи-
уплачивать, а за ошибочное решение статистик также несет
потери — с него взыскивается соответствующий ошиб-
ошибке «штраф». Поэтому, с ючки зрения статистика, ре-
решающее правило (р. п.) 11 оптимально тогда, когда
оно минимизирует риск 91=91 (Р, П) —математич.

ожидание суммы всех его убытков. Этот подход был
положен А. Вальдом [1] в основу статистич. последова-
последовательного анализа и привел к созданию в статистичес-
статистическом приемочном контроле процедур, использующих,
при той же точности выводов, в среднем почти вдвое
меньше наблюдений, чем классич. р. п. В описанной
постановке любая задача статистич. решения может
рассматриваться как игра двух игроков в смысле
Дж. Неймана (J. Neumann, см. [3]), в к-рой одним из
игроков является статистик, а другим — природа.
Впрочем, еще в 1820 П. Лаплас (P. Laplace) уподобил
получение статистич. оценки азартной игре, в к-рой
статистик терпит поражение, если ого оценки плохи.
Величина риска 5R (Р, П) зависит как от р. п. П,
так и от вероятностного закона Р, по к-рому распре-
распределены исходы наблюдаемого явления. Так как это
«истинное» значение Р неизвестно, то приходится ми-
минимизировать по П всю функцию риска
ЩР, П) как функцию от Р??р при заданном П. Го-
Говорят, что р. п. ITj равномерно лучше правила П2, если
31 (Р, П,)<5МР, II2) при всех Р?Р и ЩР, IIjK
<ЩР, П2), хоти бы при одном Р??р. Р. п. П наз. д о-
п у с т и м ы м, если не существует равномерно луч-
лучших р. п. Нек-рый класс С р. п. наз. полным (су-
(существенно полны м), если для любого р. п.
П§Ё6' найдется равномерно лучшее (не худшее) р. п.
П * ?6'. Наиболее важен минимальный полный
класс р. п., к-рый совпадает (если только существует)
с множеством всех допустимых р. ц. Если минималь-
минимальный полный класс содержит ровно одно р. п., то оно
и будет оптимальным. В общем случае функции риска,
отвечающие допустимым р. п., приходится дополни-
дополнительно сравнивать по значению какого-либо функцио-
функционала, напр. максимума риска. Оптимальное в послед-
последнем смысле р. п. По
sup ffi(P, no) = inf sup ft(P, ll) = 9t*
PtS PtS
наз. минимаксным. Возможно сравнение по бей-
еговскому риску
— усреднению риска по нек-рой априорной вероятност-
вероятностной мере |х на семейетве 5s. Такой выбор функционала
является естественным, в частности, когда проводятся
многократные серии экспериментов, в каждой серии
наблюдается свой случайный объект с известным рас-
распределением ц. попасть в эксперимент (см. Бейесовский
подход). Оптимальное в этом смысле р. п. П,
наз. б е й е с о в с к и м относительно априорного рас-
распределения (а. р.) ц. Наконец, а. р. v наз. н а и м е~
нее благоприятным (для данной задачи),
если
iuf SRV (И) = sup inf ЗЯ„ (И) = 5RU.
п и п "¦
При весьма общих предположениях доказано, что:
1) для любого а. р. и, существует бейесовское р. п.;
2) совокупность всех бейесовских р. п. п их пределов
образует полный класс; 3) минимаксные р. п. сущест-
существуют и являются бейесовскими относительно наименее
благоприятного а. р., и 5R* = 5Ro (см, [4]). Конкретный
вид оптимальных решающих правил существенно за-
зависит от типа статистич. задачи. Однако в классич.
задачах статистич. оценки при больших объемах вы-
выборки оптимальное р. п. слабо зависит от избранного
способа сравнения функций риска.
Р. п. в задачах С, р. т. могут быть детерминирован-
детерминированными и рандомизированными. Первые задаются функ-

цвями, напр. измеримым отображением пространства
G" всех выборок (сош ,. . ., шш)) объема п в измеримое
пространство (и. п.) (Д, <Ш) решений fi. Вторые задают-
задаются марковскими переходными распределениями вероят-
вероятностей вида П(шA),. . ..со'; d&) из (Q'!, Лп) в (А,&),
описывающими вероятностный закон, по к-рому надо
дополнительно независимо «разыграть» принимаемое
значение б (см. Статистических испытаний метод).
Допущение рандомизированных процедур делает мно-
множество р. и. задачи выпуклым, что сильно облегчает
теоретич. анализ. Колее того, существуют задачи, в
к-рых оптимальное р. п. является рандомизированным.
Тем не менее на практике статистики стремятся по воз-
возможности их избегать, т. к. использование таблиц или
иного датчика случайных чисел для «розыгрыша» вы-
выводов усложняет работу.
Статистич. р. п. есть, по определению, переходное
распределение вероятностей из нек-рого и. п. (Q, Jl)
исходов эксперимента в и. п. (Д, 3}) выводов. Обратно,
каждое переходное распределение вероятностей П(со; d6)
можно истолковать как р. п. в любой статистич.
задаче решения с и. п. (Q, Jl) исходов и и. п. (Д, &)
выводов (а также как канал связи без памяти, с вход-
входным алфавитом Q и выходным алфавитом Л). Статис-
Статистич. р. п. П образуют алгебраич. категорию с объек-
объектами Cap (Q, „•/) — совокупностями всех распределений
вероятностей на всевозможных и. п. (Q, jl), и морфиз-
мами — переходными вероятностями П. Инварианты
и эквиварианты этой категории определяют многие есте-
естественные понятия и закономерности математич. стати-
статистики (см. 15]). Напр., на объектах категории сущест-
существует единственная, с точностью до множителя, инва-
инвариантная риманова метрика. Она задается информаци-
информационной матрицей Фишера. Морфизмы категории порож-
порождают отношения эквивалентности и порядка для пара-
параметризованных семейств распределений вероятностей и
для статистич. задач решения, что позволяет дать есте-
естественное определение достаточной статистики. Не-
Несимметричное информационное уклонение Кульбака
I (Q : Р), характеризующее непохожесть распределе-
распределения вероятностей Q на Р (см. Информационное расстоя-
расстояние), является монотонным инвариантом в категории:
при ((?1,Р1)>((?2. Р»), т. с. когда (>.,=¦-Qli и Яг=Р, 11
при нек-ром П. Если в задаче статистич. оценки по
выборке фиксированного объема N требуется оценить
сам закон распределения Р исходов наблюдений, при-
принадлежащий априори к гладкому семейству !р, то,
при выборе 2/ (Q : Р) за инвариантную функцию по-
потерь при ответе Q, минимаксный риск
ffi*=_A'-1 dim P'roiN-1).
-Логика квантовых событий не является аристотеле-
аристотелевой; поэтому случайные явления микромира не подчи-
подчиняются законам классич. теории вероятностей. Раз-
Разработанный для их описания формализм принимает
существование не коммутирующих случайных величин
и содержит классич. теорию как вырожденную комму-
коммутативную схему. При соответствующей интерпретации
многие задачи теории квантово-механич. измерении
становятся некоммутативными аналогами задач С. р. т.
(см. [6]).
Лит.: [)] Внльд А., Последовательный анализ, иср.
с англ., М., 1960: И Вальд Д., Основные идеи общей теории
статистических решений, пер. с. энгл, (приложение к [11);
[3] Н е й м а н Д ж., МоргенштернО,, Теория игр и
экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; Г41 Л е м а н Э.,
Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979;
[5] Ч е н ц о в Н. Н., Статистические решающие правила и
оптимальные выводы, М., 1972; [6] X о л е в о А. С. Вероят-
Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, М., 1980.
Н. Н. Чепцов.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ — метод
прикладной и вычислительной математики, состоящий

в реализации на ЭВМ специально разрабатываемых
стохастич. моделей изучаемых явлений или объектов.
Расширение области применения С. м. связано с быст-
быстрым развитием техники и особенно многопроцессорных
вычислительных систем, к-рые позволяют одновремен-
одновременно моделировать много независимых статистич. экспе-
экспериментов. С другой стороны, классические вычислитель-
вычислительные методы во многих случаях неудовлетворительны
для исследования все усложняющихся математич. мо-
моделей исследуемых явлений. Это также повышает роль
С. м., эффективность к-рого слабо зависит от размер-
размерности и геометрич. деталей задачи. К положительным
свойствам этого метода следует отнести также просто-
простоту и естественность алгоритмов и возможность построе-
построения модификаций с учетом информации о решении (см.
Монте-Карло метод).
Задачи, к-рые решаются методом С. м., можно ус-
условно разделить на два класса. К первому можно от-
отнести задачи со стохастич. природой, когда использу-
используется прямое моделирование естественной вероятност-
вероятностной модели. Ко второму классу относятся детерминиро-
детерминированные задачи; здесь искусственно строится вероятно-
вероятностный процесс, с помощью к-рого дается формальное
решение задачи. Затем этот процесс моделируется на
ЭВМ и строится численное решение в виде статистич.
оценок. Имеется и промежуточный (между двумя при-
приведенными) класс задач. Эти задачи, к-рые описывают-
описываются детерминистич. уравнениями, но в к-рых случайны
либо коэффициенты, либо граничные условия, или пра-
правая часть. Здесь особенно эффективной оказывается
иногда «двойная рандомизация» (см. |1]), состоящая в
том, что для данной реализации случайных парамет-
параметров строится лишь небольшое число траекторий про-
процесса, решающего уравнение.
Ниже рассмотрены области применения С. м.
Е'егаенис задач теории переноса излучения можно
осуществить путем моделирования траекторий частиц:
нейтронов, фотонов, гамма-квантов, электронов и т. д.
Хорошо разработаны алгоритмы С. м. для решения
задач атмосферной оптики (см. [2]) и нейтронной физи-
физики (см. [31). С. м. полезно также для исследования диф-
диффузии примеси (см. [4]), особенно в стохастич. полях
скоростей (см. [5]).
С. м. применяется для решения ряда задач статистич.
физики (см. [7]) путем усреднения «по времени» нек-рой
модели со стохастпч. кинетикой (часто искусственной).
С помощью С. м. получены новые результаты в теории
фазовых переходов, твердых тел с неупорядоченностью
(в частности, магнетиков), поверхностных явлений и
т. д. (см. [7]). Для решения сложных задач теории раз-
разреженных газов эффективны модификации метода пря-
прямого С. м., связанного с расщеплением нелинейного
кинетич. уравнения Больцмана (см. [6]). Это уравне-
уравнение можно связать также с нек-рым ветвящимся мар-
марковским процессом (см. [1]).
С. м. можно использовать для решения краевых за-
задач математич. физики на основе специальных вероят-
вероятностных моделей (см. [5]). С. м. полезно для решения
стохастич. задач: дифракции волн на случайных по-
поверхностях, теории упругости со случайными нагруз-
нагрузками и т, д.
С. м. широко применяется для решения задач теории
массового обслуживания и других сложных стохастич.
систем (см., напр., [1], [8]).
Лит.: [1] Е р м а к о в С. М., Михайлов Г. А., Стати-
Статистическое моделирование, 2 изд., М., 1982; [2] М а р ч у к Г. II.
и др., Метод Монте-Карло в атмосферной оптике, Новосиб.,
1976; [3] Ф р а н к-К а м е н е ц к и й А. Д., Моделирование
траекторий нейтронов при расчете реакторов методом Монте-
Карло, М., 1978; [4] Г а л к и н Л. М.. Решение диффузионных
задач методом Монте-Карло, М., 1975: [51 К л с п о в Б. С.
и др., Решение краевых задач методом Мочте-Карло, Новоспб.,
1980; ШБелоцерковский О. М., Ерофеев А. И.,
Яницкий В. Е., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1980,

т. 20, .Mi 5, с. 1174—1204; [7] Б и н д е р К. и др., Методы
Монте-Карло в статистической физике, пер. с англ., М., 1982;
[8] Б у с л е а к о Н. П. и др., Метод статистических испы-
испытаний (метод Монте-Карло), М., 1962. Г. А. Михайлов.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ — один из ос:
новных разделов математич. статистики, посвященный
оцениванию по случайным наблюдениям тех или иных
характеристик их распределения.
Пример 1. Пусть Хг,. . ., Х„ — независимые слу-
случайные величины (наблюдения) с общим распределе-
распределением 5s на прямой, неизвестным наблюдателю. Эмпи-
Эмпирическое (выборочное) распределение !рп, приписыва-
приписывающее нагрузку — каждой случайной точке Л',-, яв-
является оценкой для $*. Эмпирич. моменты
служат оценками для моментов av = \xvd?p. В частно-
сти,
— оценка средней,
— оценка дисперсии.
Основные понятия. В общей теории оце-
оценивания наблюдение А' есть случайный элемент со
значениями в измеримом пространстве (Д\ ?(). не-
неизвестное распределение к-рого принадлежит заданно-
заданному семейству распределений Р. Семейство распределе-
распределений всегда можно параметризовать и записать в виде
{5V в?в}. Здесь форма зависимости от параметра
и множество в предполагаются известными. Задачу
оценивания по наблюдению X неизвестного параметра
6 или значении g (Э) функции g в точке 0 заключается
в том, чтобы построить функцию В * (X) от наблюдений,
Достаточно хорошо аппроксимирующую 8 (g(R)).
Сравнении оценок производится следующим
образом. Пусть на множестве вх в (g{@)xg (в)) зада-
задана неотрицательная функция потерь u?(i/t; y.t), смысл
к-рой состоит в том, что употребление оценки 8 * при
фактическом значении параметра 0 приводит к поте-
потерям ш (в*; В). Средние потери, функцию риска Ru,
(8 *; 8)=Ее w(Q *; 6) принимают за меру качества ста-
статистики 8 * как оценки 8 при функции потерь ш. Тем
самым на множество оценок вводится отношение час-
частичного упорядочения: оценка Т1 предпочтительнее
оценки Т2, если Rw A\; 8)<i?a, (Га; 8). В частности,
оценка Т параметра в наз. недопустимой (по
отношению к функции потерь w), если найдется оцен-
оценка Т' такая, что RW(T'\ Q<.RW(T; 8) для всех 0^6,
причем для какого-нибудь 8 имеет место знак стро-
строгого неравенства. При таком способе сравнения качест-
качества оценивания многие оценки оказываются несравни-
несравнимыми, кроме того, выбор функции потерь в значитель-
значительной степени произволен.
Иногда удается найти оценки, оптимальные внутри
нек-рого более узкого класса оценок. Важный класс
образуют несмещенные оценки. Если исходный экспе-
эксперимент инвариантен относительно нек-рой группы пре-
преобразований, естественно ограничиться оценками, не
нарушающими симметрию задачи (см. Эквивариантная
оценка).
Оценки можно сравнивать по их поведению в «худ-
«худших» точках: оценка То параметра 0 наз. минимак-
минимаксной (см. Минимаксная оценка) по отношению к
функции потерь ш, если
sup RW{TO; Q) = hit sup RW(T; 8)
о г е
и нижняя грань берется по всем оценкам Г== Т (X).

В бейесовской постановке задачи оценивания счита-
считается, что неизвестный параметр 9 представляет зна-
значения случайной величины с априорным распределе-
распределением Q на в. В этом случае наилучшая по отношению
к функции потерь w оценка То определяется соотноше-
соотношением
= inf С
Т J
в) Q (dQ) =
и нижняя грань берется по всем оценкам Т=Т(Х).
Различают параметрич. задачи оценивания, когда
в есть подмножество конечномерного евклидова про-
пространства, и непараметрические. В нараметрич. слу-
случае обычно рассматривают функции потерь вида
L (|0,—02|), I—неотрицательная неубывающая функция
на R + . Особую роль играет наиболее часто употребля-
употребляемая квадратическая функция потерь |9i—92|2.
Если Т=Т(Х)— достаточная статистика для
семейства {5*6, Э?в}, то часто можно ограничиться
оценками Q* = h(T). Так, если QaRk, ш^; 62) =
= ?(|0j—08|), I — выпуклая функция, и 0* — какая-ни-
какая-нибудь оценка для 0, найдется оценка h(Tj, к-рая не ху-
хуже 9 *; если 0* — несмещенная, h(T) можно выбрать
несмещенной (теорема .Блэкуэлла). Если
Т — полная достаточная статистика для семейства
[5*$ }i 9 * — несмещенная оценка для g(Q), найдется
несмещенная оценка вида h (T) с минимальной в классе
несмещенных оценок дисперсией (теорема Л е м а-
н а — Ш е ф ф е).
Как правило, в нараметрич. задачах оценивания
предполагается, что элементы семейства {3"в, 0^0}
абсолютно непрерывны по отношению к нек-рой ст-
конечной мире ц и существует плотность —^-— --
— р(.г; 9). Если р (т\ 9) достаточно гладкая функция 9
и существует информационная матрица Фишера
задача оценивания наз. регулярной. Для регу-
регулярных задач точность оценивания ограничивается
снизу неравенством Крамера — Ра о: ес-
если OcR1, то для любой оценки Т
Eirei-Ss^
Egir-eiSs-^ fF) +Ь(9),М9)
Примеры задач оценивания. 2. Наи-
Наиболее распространенная постановка, когда наблюдается
выборка объема п: Х1,. . .,Хп — независимые одинако-
одинаково распределенные величины, принимающие значения
и измеримом пространстве (J, 31) с общей плотностью
распределения f(x, 0) относительно меры v, 9?в.
В регулярных задачах, если /(8) —информация Фи-
Фишера на одно наблюдение, то информация Фишера
всей выборки А„(9)=ге/(9). Неравенство Крамера —
Рао принимает вид
Eoir-ei'gs \,2J +6*0),
Т^Т(Хи ..., Хп).
2.1. Пусть Xj -- нормальные случайные величины
с плотностью распределения
Bп)~ '/г ехр {—2~1а-2 (х — аJ}.
Неизвестный параметр 0=(а, о2); оценками для а и
а2 могут служить X и А При этом (X, 5?) — достаточ-
достаточная статистика. Оценка X —несмещенная, s2 — сме-

щеиная. Если а2 известна, X — несмещенная оценка
минимальной дисперсии, X -- минимаксная оценка по
отношению к квадратичной функции потерь.
2.2. Пусть Xj — нормальные величины в R* с плот-
плотностью
BлГ&/2ехр{-2->|л:-б|2}> 9 ? R*.
Статистика X — несмещенная оценка 9, если /е<:2 она
допустима по отношению к квадратичной функции по-
потерь, если А->2 — недопустима.
2.3. Пусть Xj — случайные величины в R1 с не-
неизвестной плотностью распределения /, принадлежа-
принадлежащей заданному семейству F плотностей. Для достаточ-
достаточно широкого класса F это непараметрическая задача.
Задача оценки значения плотности / (х0) в точке х„ —
это задача оценки функционала g(f) — f(x0).
3. Линейная регрессионная модель.
Наблюдаются величины
li—случайные возмущения, t=l, n, матрица ||оа(-Ц
известна, оценке подлежит параметр (вц. . ., 9р).
4. Наблюдается отрезок гауссовского стационарного
процесса x(t), 0-^.K.T, с рациональной спектральной
плотностью |V a,- Vp-f? Ь, А/|~2; оценке подде-
жат неизвестные параметры {aj), {bj}.
Способы построении оценок. Наибо-
Наиболее распространенный максимального правдоподобия ме-
метод рекомендует в качестве оценки В максимального
правдоподобия оценку Q(X), определяемую как точка
максимума случайной функции р (X, 0). Если 6c:R*,
оценки максимального правдоподобия содержатся среди
корней уравнения правдоподобия
Наименьших квадратов метод в применении к задаче
примера 3 рекомендует в качестве оценки Точку мини-
минимума функции
Еще один способ построения состоит в том, что в
качестве оценки для 9 выбирается байесовская но
отношению к нек-рой функции потерь /с и пек-рому
априорному распределению Q оценка Т, хотя исходная
постановка не является бейесовскоп. Напр., если
в=К1 можно оценить 0 посредством
С" Ор{Х; Q)d&([x p(X; ti)dti)~l.
J - х V J - * J
Это бепесопская оценка по отношению к квадрмтиче-
ской функции потерь и равномерному априорному
распределению.
Моментов метод заключается в следующем. Пусть
в С К* и пусть имеется к «хороших» оценок в] (Л'), . . .,
afc(X) для а, F), . . ., <XfcF))- Оценки метода момен-
моментов суть решения системы a,-(fi)- = a/. Часто и каче-
качестве «,¦ выбирают :)мпирич. моменты (см. пример 1).
Если наблюдается выборка Х1, . . ., X„, то (см.
пример 1) в качестве оценки для g(,"p) можно выбрать
Вели функция g(ZP> ) не определена (напр.,
n
gEa)= (г), X — мера Лебега), выбирают нодхо-
dk
дящие модификации gn(!pn). Hanj)., для оценки плот-
плотности употребляется гистограмма или оценки вида

Асимптотическое поведение оце-
оценок. Пусть для определенности рассматривается
задача примера 2, всгК*. Можно ожидать, что при
п -*¦ оо «хорошие» оценки должны неограниченно сбли-
сближаться с оцениваемой характеристикой. Последова-
Последовательность оценок 0n(Xj, . . ., Хп) наз. состоя-
состоятельной последовательностью оце-
оценок В, если В,*—>-8 по Рв — вероятности для всех В.
Перечисленные выше способы построения оценок в
широких предположениях приводят к состоятельным
оценкам. Оценки примера 1 состоятельны. Для регуляр-
регулярных задач оценивания оценки максимального правдо-
цодобия и беиесовекие асимптотически нормальны со
средним В и коррелнциоаной матрицей (я/ (в))-1. В этих
же условиях эти оценки асимптотически локально
минимаксны по отношению к широкому классу функ-
функций потерь и их можно рассматривать как асимптоти-
асимптотически оптимальные (см. Асимптотически эффективная
оценка).
Интервальное оценивание. Случай-
Случайное подмножество Е=Е(Х) множества в наз. дове-
доверительным множеством для оценки О
е доверительным коэффициентом -\,
если Pq {EmQ}---y Oy). Обычно существует много
доверительных областей с заданным у и проблема за-
заключается в том, чтобы выбрать ту, к-рая обладает
нек-рыми оптимальными свойствами (напр., интервал
.минимальной длины, если всгК1). Пусть в условиях
примера 2.1 а—1, тогда интервал
'n\ '
— \ , exii < w-< du
является доверительным интервалом с доверительным
коэффициентом у (см. Интервальная оценка).
Лит.: [1] F ) s li и г R., «Phil. Trans. Roy. Soc.» (A), 1022,
t. 222, s. 30»—68; 12] Колмогорова. П., «Изв.
АН СССР», сер. Митом,, 1942, т. 6, №1; [3] Крамер Г.,
Математические методы Статистики, пер. с англ., М., 1048;
[4] Кендал /I M-, A т ь ю а р т А., Статистические выводы
и связи, пер. с англ., М., 1973; 1.5] Ибрагимов И. А.,
X а с ь м и н с к и й Р. 3., Асимптотическая теория оценива-
оценивания, М., 1979; fti] Чепцов И. Н., Статистические решающие
правила и оптимальные выводы, М., 1972; [7] Закс Ш., Тео-
Теории статистических выводов, пер. с англ., М., 1975; [8] G г с п-
а n d с г U., Abstract Inference, N. у., 1981. И. А. Ибрагимов.
СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ МАТЕМАТИЧЕ-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — совокупность общих проблем мате-
матич. физики, возникших из стремления четко ос-
осмыслить основные концепции и факты статистич. ме-
механики. Эти проблемы можно условно разделить на
следующие группы:
1) обоснование основных принципов статистич. ме-
механики,
2) равновесные ансамбли в термодинамич. пределе,
вывод термодинямич. соотношений,
3) фазовые переходы,
'i) эволюция ансамблей, проблема релаксации, ис-
исследование кинетич. и гидродинамич. уравнений,
5) основные состояния, элементарные возбуждения
(в случае квантовых систем).
Статистич. механика изучает системы, состоящие из
большого числа (микроскопических) частиц, заключен-
заключенных внутри большой (сравнительно с характерными
размерами частиц) области V пространства R3. Стати-
Статистич. механика — в зависимости от способа описания
системы — разделяется на классическую и квантовую.
Описание классич. системы, заключенной в области V,
включает указание пространства X возможных состоя-
состояний каждой отдельной частицы (одночастичное про-
пространство), а также совокупности ily\}N^u X^
допз'стиМых конфигураций со—{жх, . . ., :гдг}

i—l, . . ., N; N—l, 2, . . ., конечного числа частиц
внутри V, задание энергии Н=Ну(ш) для каждой
конфигурации w?QyH закона эволюции системы во
времени (наз. иначе д и н а м и к о и), т. е. полугруппы
(чаще всего группы) преобразований Vt, 0=0, про-
пространства Qy в себя, сохраняющих энергию Ну:
для любой (o?Qy и любого I. Во многих случаях про-
пространство Qj/ бывает естественно наделено симплек-
тич. структурой, и преобразования Ut строятся с
помощью решений т. н. гамильтоновых уравнений
движения, порождаемых функцией Гамильтона 11 =- Н v
(см. [I]). Кроме того, обычно в пространстве X суще-
существует нек-рая естественная мера dx такая, что мера
dvx=@Nd*x в Qv(dNx=dxX. . .Xdx — мера в Х*")
инвариантна относительно эволюции Щ. Однако для
¦макроскопич. систем, состоящих из большого числа
частиц, столь детальное описание их состояний и
динамики этих состояний (т. е. описание траекторий
каждой отдельной частицы) оказывается малообозри-
малообозримым, да и бесполезным с точки зрения изучения мак-
макроскопич. свойств всей системы. Эти свойства оп-
определяются лишь век-рыми средними характеристиками
конфигурации и>, а также ее эволюции ш(<), г>0 во
времени: напр., долей Pj (<У; /), SaX частиц в конфи-
конфигурации а)(<), состояния к-рых принадлежат заданному
множеству S одночастичного пространства А', или долен
p?(Slt 5a; fj, 1г) частиц, состояния к-рых в момент
времени tt принадлежат множеству StcX, а а момент
t2 — множеству S^czX и т. д.
Эти соображения привели к следующей радикальной
идее: состояние макроскопич. системы следует задавать
каким-либо вероятностным распределением Р на фа-
фазовом пространстве Ну, причем аволюция pi, ?>U,
этого распределения во времени порождается исходной
эволюцией самой системы:
[J, (Л) =-Р {({/}')-> Л], AaQy, (I)
где (L't)~1A —полный прообраз множеств Adily
при отображении Ut. Это соглашение дополняется
следующим постулатом: для всякого «хорошего» рас-
распределения вероятностей Р на фазовом пространстве
Qy и подходящей физич. величины / (т. е. действи-
действительной функции на Qv) принимаемые ею значения с
вероятностью, близкой к единице (вычисленной с
помощью распределения Р), близки к ее среднему
значению </>р. Одна из проблем, относящаяся к
обосновании! статистич. механики, состоит в том, чтобы
придать атому утверждению точную форму. Один из
возможных результатов такого рода: пусть распреде-
распределение Р на Q у обладает свойством быстрого убывания
зависимости (т. е. порождаемые им распределения
вероятностен конфигурации для двух далеко отстоящих
друг от друга подсистем почти независимы), а физич.
величина сумматорна, т. е.
/(ш) = 2ф(ш|5MС|A, ..-, N], \S\ = n, B)
где ?г«:оо произвольно, <p(.rt, . . ., хп) — нек-рая сим-
симметрическая «хорошо локализованная» функция на
пространстве X" (т. е. ср быстро стремится к нулю
при взаимном удалении точек xv . . ., .rn друг от друга),
а mli= fan '6^}i если конфигурация ш- {./¦/, i=1, . . .
. . ., TV}. В этом случае </>р ~|1|, а флуктуации
Д/=/ </>р ~| Г|'/г (с вероятностью, близкой к
единице при больших |V|), причем распределение
величины Д//|Г|'/г близко i; нормальному (по-преж-
(по-прежнему при \V\-+cc, см. [2]).
Распределение вероятностей Р на фазовом про-
пространстве наз. равновесным, если оно инвари-
инвариантно относительно динамики (/(. Пусть, кроме энер-

гии Hv=Hy, существует еще несколько т. н. инте-
интегралов движения Ну, . . ., Ну, т. е. функций на Qv,
инвариантных относительно динамики и\ (напр.,
число частиц в системе, суммарный импульс частиц,
суммарный спин и т. д.). Всякое распределение на
Q у вида
d?=f(Hv, Н\-, ..., n^)d>'x,
где dvx — инвариантная мера на Qv, а />0 — нек-рая
функция (возможно и обобщенная), является равновес-
равновесным распределением. Равновесное распределение, за-
задаваемое плотностью вида
l = U, ...,* C)
(Q~l — нормировочный множитель), наз. микрона-
ноническим распределением (или
м и к р о к а н о н и ч е с к и м ансамбле м), со-
сосредоточенным на поверхности
SJ«, .... 1* = {«">€йк:^'(ш) = 1;", « = 0, .... fe} D)
постоянства первых интегрялов.
В статистич. механике постулируется, что микрока-
ноняч. распределение C) является равновесным рас-
распределением (т. е. вычисляемые с его помощью средние
значения физич. величин с большой точностью совпа-
совпадают с экспериментально измеряемыми значениями).
Долгое время полагали, что для обоснования ятого
постулата нужно доказать известную эргодич. гипо-
гипотезу: в случае когда Ну, Ну, . . ., Ну— полный
набор (гладких) интегралом движения, единственным
(гладким) равновесным распределенном на любой
поверхности ^ I ° 'I l{ является микроканонич. рас-
распределение. Попытки доказательства этой гипотезы
породили современную эргодич. теорию (см. [3], [4]).
Ныне, однако, стало ясным, что эргодичность конечных
систем является излишне жестким предположением:
для обоснования постулата о микроканонич. распре-
распределении достаточно установить эргодичность системы
в термодинамич. пределе I /*R:|. Кроме микроканонич.
распределения часто рассматривают г и б б с о в с к о е
равновесное распределен и с (наз. иначе
боль in и м к а н о и и ч. а н с а м б л е м), опреде-
определяемое плотностью
/ — Z ехр {— р (Hv~\-HiHy -}"•¦• -\-[1^Н i)}, E)
где Z — нормирующий множитель, Р>0, ut, . . .
• • •> I1!; — произвольные действительные параметры (па-
(параметр Р=1/АТ, где Г— абсолютная температура,
к — абсолютная константа, наз. и о с г о я н н о й
Б о л ь ц м а н а). Рассматривают иногда и промежу-
промежуточные распределения (малые канон и ч. а н-
с а м б л и) с плотностью вида
/ = 2 ~' ехр {— р (И у -j- м (. И 'J -(- ... -\- u ,. Hlvs\) X
¦*"¦(", -5,), ' (в)
где !, is и /,, . . ., /р — два дополняющих друг
друга подмножества индексов A, 2, . . ., к). Гиббсов-
ское распределение E), а также распределение F) во
многом удобнее микроканонич. распределения C), а
их использование оправдывается следующей гипоте-
гипотезой — т. н. п р и н ц и п о м ;j к н и в а л е н г н о-
с т и а н с а м и л е й : для «подходящей» физич.
величины на QV/ (напр., для сумматорной величины
вида B)) при значениях параметров |5, ц,, . . ., \)к,
при к-рых сущ1чтв>ет только одна равновесная фаза,
среднее </>ц, ц,. . . . ,\хк> вычисленное по гиббсовскому
и:

распределению E) при больших Т7, близко к среднему
</>!» !», вычисленному помикроканонич. ансамб-
ансамблю на поверхности Sf° ?*, где <?'>=<#{•>
>р,И!,...,ц*' Доказательство этой эквивалентности так-
также составляет одну пл общих математич. проблем
статистич. механики и термодинамики (см. [5], [6], [7I.
Принятый в статистич. механике способ описания
систем оправдан при достаточно большом объеме
области V, иначе говоря, статистич. механика изучает
аеимптотпч. свойства систем в предельном переходе
V/*R3 (т. е. рассматривается нек-рая последователь-
последовательность систем из одних и тех же частиц, заключенных
соответственно в объемах VjCVjC, . . ., причем UnVn--=
= R3). Этот предельный переход наз. обычно терм о-
д и н а м и ч. предельным переходом. Од-
Одна из первых ладач, связанных с термодинамич. пре-
пределом, состоит в том, чтобы, исходя из равновесных
ансамблей, определить т. н. тер м один а м и ч.
потенциалы и соотношения термо-
термодинамики. Оказывается, все термодинамич. по-
потенциалы могут быть найдены из асимптотики при
V/R.3 нормировочных множителей Q~x, Z-1, Z
и т. д. в ансамблях C), E), F), так, напр., тер м о-
динамич. потенциал Гиббса равен
Р(Р> Mi. •••, Ms)= ,lim.,rn > <7)
где Z*1 — нормирующий множитель в гиббсовском
ансамбле E). Аналогично вводятся и др. термодина-
термодинамич. функции, а также устанавливаются связывающие
их соотношения. Большинство возникающих здесь
математич. задач (существование предела, свойства
термодинамич. потенциалов и т. д.) исследовано до-
довольно полно, хотя и имеется ряд нерешенных вопро-
вопросов (см., напр., [7J).
С конца 60-х гг. 20 в. в математич. статистич. меха-
механике утвердился следующий общий подход: вместо
изучения асимнтотич. свойств конечных систем и тер-
термодинамическом предельном переходе следует рас-
рассматривать определенным образом построенные идеа-
идеализированные бесконечные системы, характеристики
к-рых совпадают с исследуемой асимптотикой (неявно
такая точка зрения встречалась и в более ранних
работах). Рассмотрение бесконечных систем придает
наглядный смысл несколько формальной процедуре
термодинамического предельного перехода и позволяет
вообще обойтись без нее. Фазовое пространство Q^
бесконечной системы состоит из бесконечных конфи-
конфигураций частиц oj-- {.i\, .г», . . .},.<•,'(;A'1', ''--I, 2, . . .,
располагающихся во всем пространстве IR3, а их ди-
динамика ?/": ?2„—>¦!.)„, t?R, строится как предел ди-
динамик Vi конечных систем при I'/*R3. Макроскопич.
состояния бесконечной системы задаются по-преж-
по-прежнему вероятностными распределениями на простран-
пространстве Qm, к-рые эволюционируют и соответствии
с динамике»! U* в Qm (см. A)). На пространство 0,^
можно ввести предельные гпббеовекпе распределении
р? , к-рые строятся определенным образом
с помощью гиббеовских распределении! E) /^ '
в конечных системах (см. [5], ['.)]). Хотя введение
бесконечных систем является общепринятым и плодот-
плодотворным приемом, оно приводит к сложным и во многом
нерешенным A984) еще математич. задачам. Слож-
Сложным, напр., оказывается построение динамики I/™,
построение предельных гиббеовских распределений,
исследование их свойств и т. д.
Одна из главных проблем статистич. механики со-
состоит в изучении т. а. фазовых переходов,

т. е. резкого изменения состояния макроскопич. си-
системы, находящейся в состоянии равновесия, при
небольшом изменении описывающих это равновесие
параметров — температуры, плотности частиц, дав-
давления и т. д. При современном математич. подходе в
терминах предельных гиббсовских распределений- за-
задачу о фазовых переходах можно описать следующим
образом: прг! иек-рых значениях параметров р", |хх,
. . ., (ife можно построить, вообще говоря, несколько
гиббсовских распределений на Q№, инвариантных
относительно действия группы Тд сдвигов в прост-
пространстве R3 (или нек-рой ее подгруппы GczT3 такой,
что факторгруппа Т'-ЧО компактна), и эргодичных
относительно этой группы (т. н. чистые фаз ы).
Точка (§, |.ц, . . ., ц^) пространства параметров наз.
регулярной, если существует достаточно малая ее
окрестность, внутри к-рой структура множества
чистых фаз, а также основные их качественные свой-
свойства (напр., характер убывания корреляции) остаются
неизменными. При этом предполагается, что все чис-
числовые характеристики ятих распределении (корреля-
(корреляционные функции, семиинварианты и т. д.) в окрест-
окрестности регулярных точек зависят от параметров р\ ut, . . .
. . ., ид. аналитически. Все остальные (не регулярные)
точки в пространстве параметров р1, ii,, . . ., \ik и яв-
являются точками фазового перехода. Таким образом, в
точках фазового перехода происходит резкое изме-
изменение либо в структуре гиббсовскпх распределений
(скажем, исчезает или возникает новая фаза) или в
их свойствах (напр., убывание корреляций из экепо?
ненциального становится степенным). При этом, счи-
считается, что какие-нибудь из характеристик распреде-
распределения как функции параметров р, \>л, . . ., |j,ft имеют
в точке фазового перехода особенность. Описать для
каждой конкретной системы структуру фаз, их свой-
свойства, определить точки фазового перехода, характер
особенностей в зтих точках и т. д.— этот круг вопросов
и составляет проблему фазовых переходов. Хотя
существует большой класс модельных систем, для
к-рых (при малых значениях температуры) разработаньт
нек-рые общие методы решения этой задачи (см. |9]),
теория фазовых переходов еще далека от окончатель-
окончательного завершения. Особенно сложным является изуче-
изучение т. н. критич. точек (в к рых, грубо товоря, про-
происходит слияние разных фаз; см. [Ш|), поскольку в
утих точках гиббеовское распределение имеет очень,
.медленное убывание корреляций.
Полыпои круг проблем статистич. механики связан.
с изучением эволюции распределений на фазовом про-
пространстве, в частности с проблемой р е л а к с а ц и и,
1. е. приближения к равновесию. Считается, что" по
прошествии большого времени всякое распределение
на фазовом пространстве приближается к равновес-
равновесному (гиббеовскому) распределению. Несмотря на
то, что выработано много общих представлений о ме-
механизме итого процесса, а также исследован ряд уп-'
рощенных его моделей, законченной теории пока A984)
не существует. Основные представления о процессе
релаксации (во многом еще гипотетичные) сводятся ¦¦ р
тому, что этот процесс проходит три стадии. На первой
из ии.\ (за время столкновений нескольких частиц)
распределение, pt приходит к такому режиму эволю-
эволюции, к-рый целиком определяется изменением первой
корреляционной функции (т. е. распределением в
одночастичном пространстве X). Затем, во второй --
кинетпч. стадии, протекающей за промежуток времени
порядка продолжительности «свободного тфобега» ча-
частицы, изменение первой корреляционной функции
переходит в. такой режим эволюции, при к-ром все
зависит лишь от средних" значений плотности частиц,
их скорости, плотности, энергии и т. д. Наконец, на-
наступает последняя (гидродина шгчеекая) стадия, во

время к-рой (сравнимое с макроскопич. временем) зти
средние значения плотности, скорости и т. д. прибли-
приближаются к равновесным значениям (см. [И), [12]).
Обоснование этой картины в целом или в отдельных
ее частях представляет сложную математич. проблему,
и до ее полного решения сейчас A984) еще далеко. Ос-
Основным средством исследования являются различные
системы т. н. кинетич. уравнений — как точных, т. е.
непосредственно вытекающих из определения урав-
уравнения Лиувилля (иерархич. цепочка ББГКИ — Бо-
Боголюбова, Борна, Грина, Кирквуда, Ивона), так и
приближенных (уравнения Больцмана, Чепмена —
Энскога, Власова — Ландау, гидродинамич. уравне-
уравнения и т. д.). Сами эти уравнения и их соотношение с
истинной картиной эволюции также являются пред-
предметом пристального математич. изучения.
Квантовая статистич. механика основана на тех же
принципах, что и классическая. Квантовое описание
системы частиц, находящихся внутри области V,
включает указание гильбертова пространства ffly—
пространства состояний системы и са-
самосопряженного оператора Ну, действующего в 3Kv—
оператора энергии системы. При этом
динамика системы задается группой UVt~exp{iIIy},
t?R, унитарных операторов, действующих в ,%V,
причем динамика {U (, t?R] порождает группу ав-
автоморфизмов в \V\ алгебры ?(($f v) ограниченных
й $? (б)
р ($ v р
операторов, действующих в $?v (наблюдаемых):
Переход к статистич. описанию в квантовом случае
состоит в задании нек-рого «среднего» <А > на алгебре
5f(."/5fv)' т- е. линейного положительного функционала
р (/4 )=<Л> на этой алгебре, наз. обычно состоя-
состояние м. Всякое состояние на % ($%у) может быть за-
записано в виде
= Ьр Ар,
где р — положительный ядерный оператор из
причем Spp= 1. Оператор р обычно наз. матрице и
плотности состояний р. Эволюция состояния р
во времени задается эволюцией wj самой алгебры;
р+ (Л) = р ((Wt )~XA). Состояния, инвариантные от-
относительно этой эволюции, по-прежнему наз. р а в и о-
в е с н ы м и. Для системы, в к-рой кроме энергии
Hy=Hv имеется еще несколько попарно коммутиру-
коммутирующих интегралов движения //{.-, . . ., Н%, равновес-
равновесное состояние с матрицей плотности
f7=Z-i ехр {- р (HBV + HH
наз. гиббсовским состоянием (Р>0, [ц,
. . ., |Xjj — параметры, Z~x — нормирующий множи-
множитель). Аналогично классич. случаю при переходе к
термодинамич. пределу F/<R:i вводится бесконечная
квантовая система (см. [5]). Для описания этой системы
рассматривают С*.алгебру 31«,-Т'Щ$?р) (черта o:i-
VcRJ
начает замыкание в равномсрно/i топологии) — т. н.
алгебру к в a :i и л о к и л ь и ы .\ н а б л ю д а-
е м ы х, а эволюция W* в 31 „, задается как предел
эволют»! w\ к конечных алгебрах 3[(^fv-). На ал-
алгебре 3too можно ввести предельные гиббеовские со-
состояния подобно тому, как это делается для классич.
систем (см. [5]). При этом задача о фазовых переходах
в квантовых системах в терминах предельных гибб-
совских состояний формулируется аналогично классич.
случаю.
Наконец, в квантовой статистич. механике также
существует весь круг кинетич. проблем, хотя, конечно,

механизмы процесса релаксация в квантовой меха-
механике сложнее классических и изучены еще меньше.
Существует специфическая для квантового случая
задача о т. и. основном состоянии си-
системы (соответствующему нулевой температуре) и
о возбуждениях этого основного состояния, имеющих
конечную энергию. С этой проблемой связано изучение
ряда интересных явлений (сверхтекучесть, сверхпро-
сверхпроводимость), происходящих при очень низких темпе-
температурах [13]. Проблема построения и изучения кван-
квантовых нолей может быть исследована с помощью раз-
развитых в статистич. механике методов теории гиббсов-
ских полей (см. [14], [15]).
Лит.: [1] А р в о л ь д В. И., Математические методы клас-
классической механики, 2 изд., М., 1979; [2]НахапетянБ. С,
в кн.: Многокомпонентные случайные системы, М., 1978,
с. 276—88; C] К о р н ф е л ь д И. П., С и н а й Я. Г.,
Фомин С. В., Эргодическая теория, М., 1980; [4] Кры-
Крылов Н. С, Работы по обоснованию статистической физики,
М.—Л., 1950; [5] Рюэль Д., Статистическая механика. Стро-
Строгие результаты, пер. с англ., М., 1971; [6] X а л ф и н а А. М.,
«Матем. сб.», 1969, т. 80, J* 1, с. 3—51; [7] Мин л ос Р. А.,
Хаитов А., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1975, т. 32, с. 147—86;
[8] Ланфорд III О. Э., в кн.: Гиббсовские состояния
п статистической физике, пер. с англ., М., 1978, с. 159—218;
Г9] С и н а й Я. Г., Теория фазовых переходов. Строгие резуль-
результаты, М., 1980; [10] Стенли Г., Фазовые переходы и крити-
критические явления, пер. с англ., М., 197U; [111 Л и б о в Р., Введе-
Введение в теорию кинетических уравнений, иср. с англ., М., 1974;
112] Б а л с с к у Р., Равновесная и неравновесная статистиче-
статистическая механика, т. 1—2, пер. с англ., М., 1!O8; [13] Лан-
Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Статистическая физика,
2 изд., М., i,4(i4; [14) Саймон Б., Модель Р(<г)., эвклидовой
квантовой теории поля, пер. с англ., М., 1976; [15] Евклидова
квантовая теория поля. Марковский подход. Сб. статей, пер.
о англ,, М., 1978. Р. А, Мхтлос.
СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ — задачи, возникающие при применении ма-
тсматич. аппарата в статистич. физике. С. ф. ы. з. в
основном связаны с двумя направлениями статистич.
теории: с равновесной статистич. механикой, основные
математик, проблемы к-рой связаны с разработкой
методов расчета средних но равновесному Гиббса рас-
распределению (см. Статистической механики матема-
математические задачи) и с неравновесной статистич. физикой,
основные трудности к-рой составляют проблемы полу-
получения эволюционных уравнений для функций распре-
распределения, характеризующих систему на разных этапах
ее эволюции, с последующим их решением (см., напр.,
Кинетическое уравнение, Нрпуповскоги движения про-
процесс).
В задачу методов равновесной статнегич. механики
входит расчет средних следующих типов (в случае ис-
использования канонич. распределения Гиббса):
г, ,. -НЮ ... 1 о a -HIA
Z —Ьре ; <Д>~-у- Sp Ae ;
<ВА (ф — -*- Sp ОАA) е~ Н/А
и т. д., где II — гамильтониан системы, 0=fc77 — тем-
температура, A (t) — оператор в гейзенберговском времен-
временном представлении, Z — статистич. сумма, связанная
со свободной энергией системы соотношением F^
— BlnZ (в случае использования большого канонич.
распределения вместо оператора Н фигурирует опе-
оператор Я— \t,N, где Ц -- химич. потенциал. N - число
частиц, вместо Z — большая статистич. сумма, вместо
/•' тормодинамич. потенциал Я. -F-- мЛг, и т. д.).
Расчет безвременных средних Ъ и </1 > решает
проблемы равновесной теории (вес равновесные ха-
характеристики, такие, как внутренняя энергия, тепло-
теплоемкость, уравнения состояния, статич. восприимчи-
восприимчивости и т. д., определяются методами термодинамики,
исходя из свободной энергии F), а также теории флук-
флуктуации; расчет величин типа <СВА (*)> позволяет
исследовать целый ряд динамических (зависящих от
частоты) воспрпимчивостей системы, коэффициентов

переноса и т. д., а также исследовать особенности
простейших возбуждений системы (в общем случае
при 0=^0), их энергию, затухание и т. д.
Указанные средние рассчитываются до конца только
в исключительных случаях: для идеальных систем и
для нек-рых специальных моделей. Эти расчеты в далг,-
йейншх исследованиях могут служить нулевым при-
приближением. Наиболее часто рассматриваемыми моде-
моделями неидеальных статиетич. систем являются системы
с прямым взаимодействием частиц друг с другом (взаи-
(взаимодействием конечного радиуса, кулоновским взаи-
взаимодействием и др.). с взаимодействием частиц с полем
типа фотонного (в твердом теле описывающего тепловое
движение кристаллич. решетки), дискретные системы
Типа Изинга и гейзенберговского магнетика с взаимо-
взаимодействием узлов конечного радиуса действия, а также
сочетания взаимодействий подобных Типов. В пред-
представлении вторичного квантования гамильтониан Н=
=Н1>-\-Н1 в этих случаях выражается через квадра-
квадратичные комбинации операторов рождения и уничтоже-
уничтожения (в части На без взаимодействия), четвертную форму
(если Я] включает прямое взаимодействие частиц),
тройную форму типа используемой в квантовой элект-
родинамике (электронфотонное взаимодействие в Ях)
и т. д.
Приближенные методы расчета указанных средних
в большинстве случаев основываются на добавлении
поправок к результатам, полученным для случая Д=Я0
(если нулевое приближение в физич. отношении дей-
действительно является таковым), имеющих вид явного
или модифицированного разложения по степеням
параметра, определяющего интенсивность взаимодей-
взаимодействия, включенного в гамильтониан И1. При сопостав-
сопоставлении рассматриваемой формальной модели с реаль-
реальными системами в целом ряде случаев, имеющих при-
прикладной интерес, параметр взаимодействия, по к-рому
производится «разложение», не оказывается малым.
Такие трудности существуют в проблеме электронного
газа в металлах, в Теории неидеального бозе-газа, й
теории жидкостей, при рассмотрении ситуаций в об-
области фазовых переходов или вблизи критич. точек
в т. д.
Если отвлечься от этих проблем постановочного ха-
характера и считать, что малый параметр для каких-то
частных случаев все же имеется, то при развитии тео-
теории возмущений по нему появляются специфические
для многотельных сметем трудности, формально про-
проявляющиеся в появлении расХодйМостбй в члеНйх,
учитывающих многочастичные корреляций. Их по-
появление связано с тем, что простой ряд но целым степе-
степеням используемого «Малого» параметра, начиная с
нек-рой степени, уже не отражает действительной
зависимости исследуемой характеристики системы от
этого параметра. Эти трудности, как чисто математи-
математические, в принципе преодолимы. Для выявления этих
«неаналитическй» зависящих от малого параметра
поправок разработаны Методы, в основе своей связан-
связанные с учетом определенных классов наиболее сущест-
венных^для каждого конкретного случая формального
ряда теории возмущений по параметру взаимодей-
взаимодействия.
В задачах статиетич. механики классич. систем с
прямым взаимодействием частиц исследование, в боль-
большинстве случаен строится на основе развития метода
Боголюбова |1| (см. Боголюбова цепочка уравнений)
или метода Манера [2]. В первом случае, связанном
с исследованием цепочки интегро-дифференциальных
уравнений для одно-, двух- и т. д. частичных функции
распределения, основой аппроксимационной проце-
процедуры является обрыв этой цепочки. При этом входящая
в интегральную часть последнего из рассматриваемых
уравнений цепочки функция распределения более

высокого ринга выражается с помощью какой-либо
комбинации функций распределения низшего порядка.
Процедура такого расцепления исходит из анализа
фйзйч. особенностей системы и характерного для
данной ситуации Малого параметра. Так, в системах
с короткодействующими силами взаимодействия — это
куб отношения радиуса взаимодействия к среднему
расстоянию Менаду частицами (основа т. н. вириального
разложения, или разложения по обратным степеням
удельного объема v=V/N); в системах с кулоновским
взаимодействием такой параметр связан с отношением
средней энергии кулоновскОго взаимодействия частиц
к средней их кинетич. энергии и т. д. После расцеп-
расцепления цепочки математич. проблема сводится к реше-
решению системы нелинейных в своей интегральной части
уравнений (Или одного нелинейного интегрального
уравнения) относительно функций распределения, под-
подчиненных условиям нормировки и ослабления корре-
корреляций (распадение многочастичных функций при «раз-
«раздвигании» Пространственных их аргументов на произ-
произведение функций более низкой частичности), играющих
роль своеобразных граничных условий.
Метод Майе ра (см. [2]) для систем с коротко-
Действующим потенциалом взаимодействия
включающим бесконечное отталкивание на малых рас-
расстояниях, исходит из представления классич. инте-
интеграла состояний Z в виде
где ф у н И Ц й я М a и е р а /;у = ехр (—-Ф,;/9) — 1, и
Получения для удельной Свободной энергии
F/A'=:- -oinZ1/lV
и других характеристик системы вириальных разложе-
разложений с Коэффициентами, выражающимися через инте-
интегралы от Произведений все возрастающего числа функ-
функций fij, связанных попарно одним из двух своих аргу-
аргументов г) или п (для реальных моделей потенциала
Ф,-у эти интегралы вычисляются с помощью численных
методов). Математич. проблемы, возникающие в связи
с использованием виринльного разложения,— это про-
проблемы разработки методов суммирования этих рядов
(хоти бы частичного) с Целью подойти к области фа-
ионого перехода газ — Жидкость или критич. области,
И также общие Проблемы сходимости самого ранло-
женн!1 to т. д.
В аадачах етатПсТич. механики неидеальных кван-
квантовых систем, свявйнной с представлением операторов
динамич. величин через квантовые операторы рож-
рождения или уничтожения, эффективными оказались
методы, развитые первоначально в квантовой теории
ноля. Наиболее распространенными являются бестем-
нературная многовременная техника функций Грина
причинного типа, безвременная температурная техника
и метод двухвременных температурных функций Грина.
В первых двух подходах (см. [3J) формальный ряд
теории возмущении но интенсивности взаимодействия
частиц друг с, другом пли каким-либо нолем п извест-
известном смысле аналогичен соответствующим разложе-
разложениям в квантопой теории поли (в чисто температурной
технике роль «времени» играет мнимая обратная темпе-
температура). Поэтому значительное развитие в этих фор-
формализмах получили диаграммные представления ряда
теории возмущений, сводящиеся к рассмотрению вме-
вместо исходных частиц, и взаимодействия — квазича-
квазичастиц с перенормированной анергией и конечным за-
затуханием, перенормированного эффективного взаимо-
взаимодействия (вершинных частей) и т. д. Система интеграль-
интегральных уравнений для функции Грина квазичастиц и

вершинных частей или эффективного взаимодействия
составляется, как правило, с таким расчетом, чтобы
ее решение было бы эквивалентно учету бесконечной
последовательности членов формального ряда теории
возмущений, отобранных по определенному принципу
(напр., для данной конкретной системы наиболее
сильных в каждом из порядков теории возмущений).
В двухвременном температурном формализме (см. [1|,
[4]) аналогичные задачи связаны с исследованием
боголюбовского типа цепочки зацепляющихся урав-
нед#й для функций Грина возрастающей «частичности»
и составлением замкнутой системы интегральных урав-
немга (как правило нелинейных), являющейся след-
следствие*! реализации процедуры расцепления. Математич.
проблемы, связанные с исследованием этих уравнений,
О1;равичиваются в основном отысканием определенных
асимптотик их решений, гарантированных в смысле
приближения, или классом суммированных диаграмм,
ияя способом расцепления.
Такими методами исследуются такие системы, как
электронный газ с кулоновским взаимодействием (учет
только наиболее сильных вкладов в каждом порядке
до теории возмущений эквивалентен учету экрани-
экранировки исходного взаимодействия), системы низкой
плбтности с короткодействующими силами взаимодей-
ствия (первый этап суммирования или эквивалентной
ему- операции приводит к замене исходного взаимодей-
взаимодействия на эффективное, определяемое в результате реше-
решения уравнения, аналогичного квантовомеханическому
уравнению для i-матрицы рассеяния), электронфотон-
иая система, гейзенберговская магнитная система и т. д.
Ряд задач статистич. механики допускает нсимнто-
тлческп точное (в предельном статистическом смысле
N -*¦ со, JV/V=consl) рассмотрение: это — системы
с факторизующимся четверным взаимодействием, обоб-
обобщающим модельную сверхпроводящую систему типа
Бардина — Купера — Шриффера и др. Эта методика
(см. [5|) связана с построением аппроксимирующего
гамильтониана, допускающего точное решение, с по-
последующим доказательством асимптотич. близости ре-
результатов, полученных с его помощью, к тем, к-рые
соответствуют исходной системе.
Лит.: (I] [1 о f и л ю 0 о в Н. Н., Избранные труды, т. 1,
К'., 1Ш5Я: [21 У- л е н 0 е к Д ж., Форд Д ж.. Лекции но ста-
статистической механике, пер. с англ., М., 1965; ГзI Г и р w ф е л ь-
д е р Д ж., К с р т и с с. Ч., Б е р д Р., Молекулярная тео-
теория газов н Жидкостей,'пер. с англ., М., Н№); li] 'А б р и'« о-
с о в Л. А., Г о р ь к о в ,1!. JI., Д з я л о ш и н -
с к и й И. В., Методы нвантовой теории поля » статистической
физике, М., 1!Ж2; Ы Т я Г> л и к о в-С. В.. Методы квантовой
теории магнетизма. М., 19Н5; 1в1 Б о н ч-15 р у е в и ч В. .П.,
Т я б л и к о в С. В., Метод функций Грина в статистической
механике, М., 1901; 17] Зубарев Д. ТТ., «Успехи физич.
наук», i960, г. 7), Л;- 1, с. 71--11W; 18] Бог и л ю б о в Н. Н.
(мл.), Метод исследования модельных гамильтонианов, М.,
1974. И. Л. Квасников.
:-СТАЦИОНАРНАЯ ПОДГРУППА — то же,- что
изотропии группа,
СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - распреде-
распределение вероятностен однородной Маркова цепи, не за-
зависящее ()¦[• времени. Пусть \ (t) —однородная цепь
Маркова со множеством состояний Л' и переходными
вероятностями Pi/{ty-P{i(t)--j\i(O)=-i}. С. р.— та-
такой набор чисел {лу, j?S}, что
3
'EiUSnipij(l) = nj, j € S, t > 0. B)
Равенства B) означают, что С. р. инвариантно ?о вре-
времени: если Р{|(О)=г}=л,-, i?S, то P{g (/) = /}=к/ при
любых i?S, <>0; более того, при любых t, lt, . .

Если i?S — такое состояние цепи Маркова \{t),
что существуют пределы
lim р,у@=я,-@гз0, i?S, 2. Л/@ = 1,
t->- so ' e Л
то набор чисел {л/ (i)> У(; S} удовлетворяет B) и является
С. р. цепи | (t) (см. также Переходные вероятности).
Система лирейных уравнений B) относительно {ity}
при дополнительных условиях A) имеет единственное
решение, если число положительных классов состоя-
состояний цепи Маркова ? (t) равно 1; если цепь имеет к
положительных классов состояний, то множество ее
С. р. является выпуклой оболочкой А- стационарных
распределений, каждое из к-рых сосредоточено на
одном положительном классе (см. Маркова цепи поло-
положительный класс состояний).
Любое неотрицательное решение системы B) наз.
стационарной мерой; стационарная мера
может существовать и в случае, когда система A), B)
несовместна. Напр., случайное блуждание на {0, 1, 2,
g@) = 0, l(t) = %(t-l) + 4(l), /--И, 2, ...,
где i](l), г|B), ...— независимые случайные вели-
величины такие, что
P{il(J) = l} = P, P{ii(i) = --l} = l—P, 0 <р < 1,
i = l, 2, ...,
не имеет'стационарного распределения, но имеет с?а-
ционарную меру
Одна из возможных вероятностных интерпретаций ста-
стационарной меры {яу} цепи Маркова g (t) со множеством
состояний S такова. Пусть имеется счетное множество
независимых реализаций цепи | (t) и % (г) — число
реализаций, для к-рых 5(?) = *. Если случайные ве-
величины i)(,(i), i?S, независимы и подчиняются рас-
распределению Пуассона со средними я;, i?S, соответст-
соответственно, то при любом <>0 случайные неличпны i|( (t),
i?S, независимы и имеют те же распределения, что
и г)„@, ifS. :
Лит.: 11] Ч ж у н К я й-л а й, Однородные цепи Маркова,
пер. с англ., М,, 1964; [2] К а р л и н С, Основы теории слу-
случайных процессов, пер. с аж\п., М., 197). А. М. Зцпков.
СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ МЕТОД — метод нычисле
ния асимптотики интегралов от быстро осциллирующих
функций:
где .r^R", Х>0, % --»- Ч оо — большой параметр, Q —
ограничениаи область, функция S (х) (фаза) действи-
действительная, функция f (х) комплексная, и f,S(z 6"" (R").
Если /?Г"(К"), т. е. /финитна, и фаза S (.г) не имеет
с т а ц и о н а р н ы х т о ч е к (т. с. точек, в к-рых
S' (,с) = 0) на носителе supp /, то F (k) = -0 (k~°°), \-f-\- со.
Поэтому основной вклад в асимптотику интеграла (*)
при К --*¦ -! оо вносят точки стационарной фазы и гра-
граница <)ii. В if л а д о м от изолированной стацион^р-
Hoii точки j*> и от границы наз. соответственно инте-
интегралы
где ФобС^ (О), Фо=1 вблизи точки х° и supp ф0 не со-
содержит других стационарных точек, Ч^аё ^ц" (^") и

Фай=1 в нек-рой окрестности границы. При п — \,
Q— (а, Ь) имеем:
1.
если S' (а)^=0;
г 5 i (is U») + -2.
^ е V
если ,г° ¦- внутренняя точка отрезка Q и
Полностью исследован случай, когда и=1, фаза S
имеет конечное число стационарных точек, все они
конечной кратности, и функция / имеет нули конеч-
конечной кратности в :>тих точках и на концах отрезка Q.
Получены асимптотик, разложения. Исследован слу-
случай, когда функции /, 5 имеют степенные особенности:
напр., f—xaf1{x), S^=xi':S1 (х), где Д, S1 — гладкие при
z=0 функции, а>— 1, р>0.
Пусть п^2, a0 gQ—невырожденная ста-
стационарная точка (т. е. As (x°) — detS" (хо)ф0).
Тогда вклад от точки .с0 равен
y/2 | &s (*<>) | -'/-.-ex
где 6S (x°) — сигнатура матрицы S" (х°). Имеется также
асимнтотич. ряд для Vx° (к) (формулы для вклада
Fsq(X) в случае гладкой границы см. [5]).
Если хй ?й — стационарная точка конечной крат-
кратности, то (см. [6])
V,. (к) ~ exp \ikS (.оI V- ( yN аык~ т* (In к)'
п
где гк — рациональные числа, -<го<г1<. . .
-»¦¦-(-оо. Исследованы вырожденные стационарные точ-
точки (см. [3], [4]).
Исследовав случай, когда фаза S-—S(x, а) зависит
от действительного параметра а и при малых |а| имеет
две близкие невырожденные стационарные точки.
В этом случае асимптотика интеграла F (К, «) выража-
выражается череа функции Яйри (см. [5|). Имеется опер а-
торный вариант С. ф. м.: К~А , где Л —¦ ин-
финитеяимальный оператор сильно непрерывной fpyn-
пы {е'1л} ограниченных на оси — оо</<оо операто-
операторов, действующих в банаховом пространстве В, и
f(x), S (х) — гладкие функции со значениями в fl [9].
Если функции аналитические, то С. ф. м. есть частный
случай перепала метода.
Лит.; [1] Thomson W., «Philos. Mag.», 1887, v. 23,
p. 252—55; [2] Эрдейи А., Асимптотические разложения,
пер. с англ., М., 19Й2; Гз] Риекстыньш Э. Я., Асимпто-
Асимптотические разложения интегралов, гг. 1—2, Рига, 1974 — 77;
[4] О 1 v e r P. W. J., Asymptotir.s and special functions,
N. Y.— L., 1974; |Г>] Федорюв М. В., Метод перевала, Ы.,
1977; [В] A t i у a h M. P., «Corum. pure and Appl. Math.»,
1970, v. 2.1, .Ni 2, p. 145 — 50; [71 A p н о л ь д В. И., «Успехи
матем. наук.>, 1Й7.Ч, т. 28, в. 5, п. 1—44; [8] Варче н-
к о А. Н., «.функциональный аналиа», 197fi, т. 10, № Я, е. l.i—
3S; [9J Ma слои В. П., Федорюв М. В., Квазикласси-
Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, М.,
1976. Л/. В. Федорюк.
СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС, о д-
н о р о д н ы ii но времени ел у ч а й н ы й
процесс,— случайный процесс X (t), статистич.
характеристики к-рого не меняются с течением времени
/, т. е. инвариантны относительно временных сдвигов:
t -*¦ t-\-a, X (t) ¦-*¦ X (t\ а) при любом фиксированном
значении а (действительном или целочисленном в
зависимости от того, идет ли речь о случайном про-
процессе с непрерывным или дискретным временем;).
Понятие С. с. п. широко используется в приложениях

теории вероятностей к различным разделам естествог
знания и техники, т. к. такие процессы с хорошей
точностью описывают многие реальные явления, со-
сопровождающиеся неупорядоченными флуктуациями.
Так, напр., пульсации силы тока или напряжения
в электрич. цепи (электрич. «шум») можно рассмат-
рассматривать как С. с. п., если цепь находится в стацио-
стационарном режиме; пульсации скорости или давления в
точке турбулентного течения представляют собой
С. с. п., если течение является установившимся и
т. д.
В математич. теории С. с. п. важную роль "играют
моменты распределений вероятностей значений про-
процесса X (t), причем особенно важны моменты первых
двух порядков — среднее значение С. с, п. BX(t)=m
и его корреляционная функция EX (t-\-%)X (t):=B (т).
Во многих исследованиях по теории С. с. п. изучаются
только те их свойства, к-рые полностью определяются
одними лигаь характеристиками т и В (т) (т. н. к о р-
реляц ионная теория или теория второго
порядка С. с. п.). В связи с этим случайные процессы
X (t), для к-рых EX (t) и EX (t+t)X (t) не зависят от
значения t, часто выделяют в особый класс и наз.
стационарными случайными процес-
процессами в широком смысле. Более частные
случайные процессы, все характеристики к-рых не
меняются со временем (так что функция распределе-
распределения Ftlt ii, . . .,tn(x1, х2, . . ., хп) гс-мерной случайной
величины {X (?!>, X (*2), . . ., X (*„)} здесь при любом гс
зависит только от п—1 разностей t2—flt . . ., tn—tx),
наз. стационарными случайными про-
процессами в узком смысле. В соответствии
с этим теория С. с. п. делится на теорию С. с. п. в узком
смысле и теорию С. с. п. в широком смысле, использу-
использующие разный математич. аппарат.
Теория С. с. п. в узком смысле может излагаться
вне рамок теории вероятностей как теория однопара-
метрич. групп, сохраняющих меру преобразований
измеримого пространства с мерой на нем; она близко
соприкасается с общей теорией динамич. систем и
эргодич. теорией. Важнейшей общей теоремой теории
С. с. п. в узком смысле является эргодическая
теорема Биркгофа -Хпнчина, согласно
к-рой для любого С. с. п. в узком смысле X (t), имею-
имеющего математич. ожидание (т. е. такого, что Е |X(i)|<
<со), с вероятностью 1 существует предел
lim [TX(t)dt = X A)
T-S-* a JS
Jim 2r_s i x(') = x <la)
(формула A) относится к С. с. п. с непрерывным вре-
временем, а Aа) — к процессам с дискретным временем).
В силу относящегося уже к теории С. с, п. в широком
смысле результата Е. Е. Слуцкого [1], утверждающего,
что предел A) или Aа) существует в смысле предела
в среднем квадратичном и совпадает с ЕХ (?) тогда и
только тогда, когда
lim Т~х Г Г 6(т)йт = 0 B)
Т -* ос JO
или соответственно
lim Т'1^Т^ Ь(т)=0, Bа)
где
/> (т) ~й (т) —та — Е [X (/ -|-т) — ш] [X (t) — m],
пщ условии B) или Bа) (т. е., в частности, всегда,
когда Ь (т) —>- 0 при х -*¦ со) предел A) или Aа) будет
совпадать с EX (t). Теорема Биркгофа — Хийчина

может быть приложена и К всевозможным С. с. п. в
узком смысле вида
1'ф(») --Ф Iх « + ¦*)]•
где Ф[Я (<)] — произвольный функционал от С. с. п.
X (<), являющийся случайной величиной, имеющей
математич. ожидание; если для всех таких О. с. и.
Уф(«) соответствующий предел Уф совпадает с Е Уф,
то С. с. п. X (t) наз. метрически транзи-
транзитивным. Для гауссовских С. е. и. X (t), условие
стационарности к-рых в узком смысле совпадает с
условием стационарности в широком смысле, метрич.
транзитивность будет иметь место тогда и только
тогда, когда спектральная функция И (к) процесса X (t)
является непрерывной функцией К (см., напр., [2|, [3J).
В общем случае нет простых необходимых и достр-
точных условий метрич. транзитивности С. с. и. X (I).
Кроме указанного выше результата, касающегося
метрич. транзитивности, имеется также множество
других результатов, относящихся к гауссовским С. с. п.;
в частности, для таких процессов подробно изучен
вопрос о локальных свойствах реализаций (т. е. от-
отдельных наблюденных значений) С. с. ir. X (t), о ста-
тистич. свойствах последовательности нулей или мак-
максимумов реализации С. с. н. X (t) и точек пересечения
ею заданного уровня (см., напр., [3]). Тиличным цри-
мером результатов, касающихся пересечений уровня,
является утверждение о том, что при широких ус-
условиях регулярности совокупность точек пересечения
высокого уровня х=и гауссовским С. с. и. X (() в
нек-ром специальном масштабе времени (зависящем
от и и быстро стремящемся к бесконечности цри и -*¦ оо)
сходится при и ->¦ оо к нуассоновскому потоку собы-
событий единичной интенсивности (см. [3]).
При рассмотрении С. с. п. в широком смысле вводят
в рассмотрение гильбертово пространство Я у всевоз-
всевозможных линейных комбинаций значений процесса Я (t)
и пределов в среднем квадратичном последователь-
ностей таких линейных комбинаций, скалярное про-
произведение в к-ром задается формулой (У\, У?)=~ Е УХУ3.
В таком случае преобразование X (t) -*¦ X'(l~\ а), где
а — фиксированное число, будет порождать линейный
унитарный оператор Uа, отображающий пространство
11X на себя; при этом семейство операторов Ua оче,
видно удовлетворяет условию VBL\ ~Ua + b^ a зва-
чения X (t)=UtX @) представляют собой совокупность
точек (кривую, если время t непрерывно, и счетную
последовательность точек, если время дискретно),
переводимую в себя всеми операторами Uа. Соот-
Соответственно этому теория С. с. п. в широком смысле
может быть переформулирована п терминах функцио-
функционального анализа как изучение совокупностей точек
X (t)=UfX @) гильбертова пространства Нх, где Ut —
семейство линейных унитарных операторов таких,
что UaUb-^Uaib.
Центральное место в теории С. с. п. в широком смысле
занимают спектральные рассмотрения, опирающиеся
на разложение случайного процесса X (t) и ого кор-
корреляционной функции В (т) в интеграл Фурье — Стилть-
еса. В силу теоремы Хинчина |4J (являющейся простым
следствием аналитич. теоремы Иохнера об общем виде
положительно определенной функции) корреляцион-
корреляционная функция В (т) С. с. п. с непрерывным временем
всегда может быть представлена в виде
где F (к) — ограниченная монотонно неубывающая
функция к, а Л---(--оо, оо); теорема Гергдотца оо
общем виде положительно определенных последова-
последовательностей аналогичным образом показывает, что

такое же представление, но трлько с Л=[—я, л],
имеет место и для корреляционной функции С. с. п.
с дискретным преминем. Если корреляционная функ-
функция В (т.) достаточно быстро убывает цри (т| -*¦ оо (как
это чаще всего и бывает в приложениях ори условии,
что под X (t) понимается разность X (?)—т, т. е. счи-
считается, что ЕА'(/) —0), то интеграл в правой части C)
обращается в обыкновенный интеграл Фурье
/^/ШЛ, D)
где f(K) — F'(k) — неотрицательная функция. Функ-
Функция F (к) пая. с и е к т р и л ь и о п функцией
С. с. и. A' (t), а функция /(к) (в случаях, когда имеет
место равенство D)) — его с а е к т р'а л ь н о й плот-
плотность ю. Исходя из формулы линчини C) (или из
задания С. с. к. X (t) в виде совокупности точек X (<) =
~ UtX @) гильбертова пространства Нх п теоремы
Стоуна о спектральном представлении однопарамет-
рич. групп унитарных операторов в гильбертовом
пространстве), можно также показать, что сам процесс
X(t) допускает спектральное разложение вида
//XcIZ(k). E)
где Z (к) — случайная функция с н е к о р-
р « л и р о в а н н ы м и н р и р п щ о и и я м и (т. е.
такая, что Ed'/Z (k^dZ (X2)~0 при к^фк.^), удовлетво-
удовлетворяющая условию Е | dZ(k)\2-- (IF (к), а интеграл справа
понимается как предел в среднем квадратичном со-
соответствующей последовательности интегральных сумм.
Разложение E) дает основание рассматривать любой
С. с. п. в широком смысле X (t) как суперпозицию
совокупности некоррелированных друг с, другом гар-
монич. колебаний различных частот со случайными
амплитудами и фазами; при атом спектральная функ-
функция F (к) и спектральная плотность ! (к) определяют
распределение средней энергии (или, точнее, мощности)
входящих в состав X (t) гармонич, колебаний по спект-
спектру частот к (в связи с чем в прикладных исследова-
исследованиях функция /(X) часто наз. также энергетиче-
энергетическим спектром, или спектром мощно-
с т и, С с, п. А; (I)).
Спектральное разложение коррелчционной функции
Я(т), задаваемое формулой C), показывает, что ото-
отображение X (t) -v eiU-, переводящее элементы A' (t)
гильбертова пространства Нх " элементы e'M гиль-
гильбертова пространства L2 (dF) комцлекснозначных функ-
функций на множестве Л с интегрируемым по dF (к) квад-
квадратом модуля, является изометрич. отображением Я
на L2(dF). Это отображение может быть далее цродол-
жено до изометрического линейного отображения,
А[ всего пространства Нх в пространство A2 (dF),
что позволяет переформулировать многие задачи тео.
рии С. с. п. в широком смысле в виде задач теории
функций.
Значительная часть теории С. с. п. в широком смыс-
смысле посвящена методам решения линейных аппрокси-
мационных задач для таких процессов, т. е. методам
нахождения линейной комбинации каких-то «извест-
«известных» значений X (t), к-рая лучше всего (в смысле
минимума среднеквадратичной ошибки) приближает
иек-рое «неизвестное» значение того же процесса или
какую-то «неизвестную» случайную величину У. В част-
частности, задача об оптимальной линейной экстраполяции
С. с. п. X (t) состоит в отыскании наилучшего прибли-
приближения X* (а) к значению X (s), s>0, линейно завися-
зависящего от «прошлых значений» A' (t) с t<0; задача об
оптимальной линейной интерполяции — в отыскании
наилучшего приближения к X (s), линейно завися-
зависящего от значений X (t), где t пробегает все значения,
не принадлежащие выделенному интервалу оси вре-

(к к-рому прявйдделкит s); задаче об
линейной фильтрации может быть сформулирована как
задача отыскания наилучшего приближении У* к
век-рой случайной величине У (обычно являющейся
значением при каком-то t=s корреляционно связан-
связанного с A* (t) С. с. it. Y(t), причем чаще всего Y (t) здесь
играет роль «сигнала», а X (t) Y (t) j- N (t) --- известная
из наблюдении сумма «сигнала» и искажающего его
«шума» N (t)), линейно зависящего от значений А' (/)
при t<;U (см. Случайных процессов прогнозированы?,
Случайных процессов фильтрация).
Геометрически все эти задачи сводится к задаче
опускания цериендикуляра из нек-рой точки гиль-
гильбертова пространства Их (или его расширения) на
заданное подпространство этого пространства. Опира-
Опираясь на такую геометрич. интерполяцию и на изомор-
изоморфизм пространств Нх и Ir{dF), A. H. Колмогоров
вывел общие формулы, позволяющие по спектральной
функции /' (к) С. с. п. X (t) с дискретным временем I
определить средний квадрат ошибки оптимальной
•линейной экстраполяции или интерполяции, отве-
отвечающей случаю, когда значение X (t) неизвестно только
при <—s (см. [2], EJ — [6J). В применении к задаче
экстраполяции аналогичные же результаты для С. с. и.
X (t) с непрерывным временем были позже получены
М. Г. Крейном и К. Каруненом (К. Karhunen), H. Ви-
Винер [8] показал, что нахождение наилучшего при-
приближения X* (s) или у*~у* (s) B случае задач об
оптимальной линейной экстраполяции и фильтрации
мо?кет быть сведено к решению нек-рого интегрального
уравнения типа Винера — Хопфа или (в случае диск-
дискретного t) — дискретного аналога такрго урарнения,
что позволяет применить здесь метод факторизации
(см. Винера — Хопфа уравнение, Винера — Хопфа
метод). Что касается задач об оптимальной линейной
экстраполяции или фильтрации С. с. п. X @ с непре-
непрерывным временем в случае, когда известны не все его
прошлые значения при ?«:0, но лишь значения на ко-
конечном интервале — 7'<i<0, а также задачи опти-
оптимальной линейной интерполяции такого X (t), то они
могут быть сведены к нек-рым задачам о восстанов-
восстановлении дифференциального уравнения специального
вида («обобщенного уравнения струны») по его спектру
(см. [9], [10]).
Указанные выше подходы к решению задач об оп-
оптимальной линейной экстраполяции, интерполяции
и фильтрации только в нек-рых исключительных
случаях позволяют получить достаточно простые яв-
явные формулы для искомого наилучшего приближения
X* (s) или Y*, могущие с успехом применяться на
практике. Важный случай, когда такие явные фор-
формулы существуют,-- это случай С. с. ji. X (t) с рацио-
рациональной относительно е<1- (если t дискретно) или
относительно К (если t непрерывно) спектральной
плотностью f(k), специально изученный (в примене-
применении к задачам экстраполяции и фильтрации по значе-
значениям при i<0) H. Винером [8]. Позже было показано,
что для таких С. с. и. с рациональной спектральной
плотностью находится явное решение и задач о линей-
линейной интерполяции, экстраполяции и фильтрации по
данным на конечном интервале — r<;t<:0 (см., напр.,
[2], [11J). Простота процессов с рациональной спект-
спектральной плотностью .может быть объяснена тем об-
обстоятельством, что такие С. с. п. (и практически только
они) представляют собой одномерную компоненту
многомерного стационарного марковского процесса
(см. [12]).
Понятие С. с. п. допускает целый ряд обобщений.
Одним из них является понятие обобщенного
стационарного случайного процес-
процесса — такого случайного процесса обобщенного X (ср)
(т. е. случайного линейного функционала, заданного

на пространстве р финитных бесконечно дифференци-
дифференцируемых функций ср (t)), что или распределение вероят-
вероятностей случайного вектора {X (Fu<Pi), А Gаф2), . . .,
X (Каср„)}, где 1'аф (<)="-ф (*+<*), при любом целом
положительном н, действительном а и функциях фг,
Фа- • • ч Фл И3 ^ совпадает с распределением вероят-
вероятностей вектора {.Y (Ф1), X (ф2), . . ., А(ф„)} (обобщен-
(обобщенный С. с. и. в узком смысле), или же
== ЕА (ф1) А (ф„),
цри всех а (обобщенный С. с. и. в узком смысле). Обоб-
Обобщенный С. с. п. и широком смысле X (ф) и его к о р-
р е л я ц и о и н ы й ф у н к ц и о н а л В (ф], ф2)--
:-- Е X {4>i)X (ф2) допускают родственное C) и E) спект-
спектральное разложение (см. Спектральное разложение
случайной функци и). Другими часто ис-
используемыми обобщениями понятия С. с. п. являются
понятия случайного процесса со стационарными при-
приращениями нек-рого порядка и случайного поля одно-
однородного.
Лит.: [11 Слуцкий Е. Е., Избр. труды, М., 1960,
с. 252—68; 1.21 Розанов Ю. А., Стационарные случайные
процессы, М., 19U3; [31 Крамер I'., Лидбеттер М.,
Стационарные случайные процессы. Свойства выборочных
функций и их приложения, пер. с англ., М., 1909; [41 Хин-
чин А. Я., «Успехи матем. наук», 1938, в. 5, с. 42—51;
151 К о л и о г о р о в А. Н., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1941, т. 5, JVi> 1, с. 3—14; [В] Дуб Д ж. Л., Вероятностные
процессы, пер. с англ., М., 1950; [7] Г и х м а н И. Й.,
Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1 , М.,
1971; [81 W i е ц с, г N., Extrapolation, interpolation and smoot-
smoothing of stationary time series, N. Y., 1949; [9] К р ейн M. Г.,
«Докл. АН СССР», 1954, т. 94, № 1, с. 13 — 16; [10] D у m H.,
МсКеап Н. P., Gaussian processes, function theory and
the inverse spectral problem, N. Y. — [a. o.l, 1970; 111] Яг-
л о м А. М., «Труды Моск. матем. об-ва», 1955, т. 4, с. 333—74;
[12] D о Ob J. L., «Ann. Math. Slat.», 1944, v. 15, p. 229—82.
A.M. Яглом.
СТЕКЛОВА ПРОБЛЕМЫ в теории ортого-
ортогональных многочленов — задачи, в кото-
которых асимптотич. свойства ортогональных многочле-
многочленов рассматриваются в зависимости от свойств и, в
частности, от особенностей весовой функции и контура
ортогональности.
При изучении многочленов {Рп (х)}, ортонормиро-
ванных на сегменте [ — 1, 1] с весом
A(.T)=-^i3r, TgH, 1), A)
у 1 2
возникает вопрос об условиях ограниченности после-
последовательности [Р„ (.г)} в отдельной точке либо на
нек-ром множестве /1с[™1, 1], либо на всем сегменте
ортогональности. Этот вопрос важен потому, что при
ограниченности последовательности {Рп (.г)} на ряды
Фурье но ортогональным многочленам переносятся
нек-рые свойства тригонометрич. рядов Фурье.
В. А. Стеклов [1J высказал предположение, что для
выполнения неравенства
\Р„(.г)\<Си х? Лс[-1, Ц, B)
необходимо ji достаточно выполнение условия
ho(x)^C.,>O, x? Acl-i, 1]. C)
Значение функции ''о № в точке .г, где рассматриваются
неравенства B) и ('.'•), должно быть связано со значе-
значениями зтон функции в точках, близких к х, и задача
заключается в том, чтобы вывести B) из C) при мини-
минимальных ограничениях на функцию ha\t) в окрест-
окрестности точки х (первая задача Стеклова). Имеются (см.
[2], |5]) различные локальные и глобальные условия,
лри к-рых из C) следует B). В частности, если в A)
функция //0 (.») положительна, непрерывна и удовле-
удовлетворяет нек-рым дополнительным условиям, то для
многочленов {Рг, (.г)} имеет место асимптотич. фор-
формула, из к-рой следует неравенство B) при А = [—1, 1].

Кроме того, Стеклов [1] рассмотрел случаи алгеб-
раич. нулей весовой функции и установил ряд резуль-
результатов, дослуживших началом двух направлений ис-
исследований. Одно из них характеризуется т. н. глобаль-
глобальными, или равномерными, оценками роста ортонорми-
рованных многочленов, к-рые получаются при до-
довольно общих условиях на весовую функцию (вторая
задача Стеклова). Напр. (см. [2], с. 177), если нера-
неравенство C) выполняется на всем сегменте [—1, 1],
то существует такая последовательность {еп}, еп>0,
еп->0, что имеет место неравенство
\pn(x)\<En\rj, *ei-i, и-.
Третья задача Стеклова состоит в исследовании
асимптотич. свойств ортогональных многочленов при
гладких особенностях весовой функции. К этому на-
направлению можно отвести асимптотич. свойства Якоби
многочленов, весовая функция к-рых имеет особенности
на концах сегмента ортогональности, с чем связано
различие асимптотич. свойств многочленов Якоби
внутри интервала (—1, i) и на его концах. Отличие
результатов последнего направления от глобальных
оценок ортогональных многочленов состоит в том, что
в этом случае весовая функция может обращаться в
отдельных точках в нуль или бесконечность определен-
определенного порядка и удовлетворяет нек-рым условиям
гладкости. При этом асимптотич. формулы и оценки
для ортогональных многочленов устанавливаются от-
отдельно в особых точках весовой функции (нули, по-
полюса, концы сегмента ортогональности) п на остальной
части сегмента ортогональности.
Формулировки и особенно доказательства по всем
вышеперечисленным вопросам наиболее естественны
в случае многочленов, ортогональных на окружности,
ибо в этом случае можно применять многие результаты
о приближении периодич. функций тригонометрич.
полиномами.
ЛиЛт.; Ш G-гмг-клвв В. А. «Изв. Российской Акад.
наук», 1-S21, т. 15, с. 267—80, с. 281 — 302, с. 303—26; [2]
РерониЯусЯ Л., Многочлены, ортогональные на окруж-
окружности и на отрезке, М., J958; [3] Cere Г., Ортогональные много-
многочлены, пер. с англ., М., 1962; Г4] Суетпн П. К., «Успехи
матем. наук», I960, т. 21, в. 2, с. 41—88; [5] е г о ж е, в кн.:
Итоги науки- и техники. Математический анализ, т. 15, М.,
1977, с. 5—82. П. К. Суетин.
СТЕКЛОВА ФУНКЦИЯ для интегрируемой на лю-
любом конечном отрезке [я, Ь] функции f(t) —функция
Функции вида (*), а также повторные функции
r^Wdu, г = 2, 3, ..
/a, i(O = /* (О,
впервые были введены В. А. Стекловым в 1907 (см. [1])
при решении проблемы разложения заданной функции
в ряд. по собственным функциям. С. ф. /л (t) почти
всюду имеет производную
если / (t) равномерно непрерывна на всей оси, то
?(-«,.)|/И(I<7шС'' /Ь
где со (S, /) — модуль непрерывности функции f (t).
Аналогичные неравенства Имеют место и в метрике
Lp(—ao, се), если только f?Lp(—oo, оо).
Лит.: [11 С т е к г о в В. A-., OG асимптотическом выраже-
выражении некоторых функции, определяемых линейным дифферен-
дифференциальным уравнением второго порядка, и их применении к зада-
задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям,
Xap.,'193tV;' [2]"А х и е з е р Н. II.', Лекции*по теории аппрок-
аппроксимации, 2 изд., М., 1965. А. В. Ефимов.

СТЕПАНОВА ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНК-
ФУНКЦИИ — класс Spi измеримых и суммируемых вместе
со своей р-'п степенью (p^i) в каждом конечном ин-
интервале [.т, х-\-1] функций, к-рые могут быть в метрике
пространства Степанова (см. ниже) аппроксимиро-
аппроксимированы конечными суммами вида
где ап — комплексные коэффициенты, А„ — действи-
действительные числа. Расстояние в пространстве Степанова
определяется формулой
SP '
— sup _
ff
L
Функции класса Я? могут быть также определены с
помощью понятия начти периода.
Функции класса S^=SPi обладают рядом свойств,
аналогичных свойствам равномерных почти периодич.
функций. Напр., функции класса Sp ограничены и
равномерно непрерывны (в метрике D р соответствуют
различным топологически эквивалентным Sf), предел
f(x) сходящейся последовательности С. п. п. ф. {}п\х)}
(в метрике Sp) принадлежит классу Sp. Есля функция
класса Sp равномерно неарерывна (в обычном смысле)
на всей действительной оси, то она есть равномерная
почти периодич.-функция.. Введены В, В. Степановым [1].
Лит: [1] Степанов В. В., «С. г. Acad. sci.», 1925,.
t. 181, p. 90—94. Б. М. Бредихин.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — функция
где а — постоянное число. Если а — целое число, то
С. ф.— частный случай рациональной функции. При
комплексных значениях х• и а С. ф. неоднозначна,
если а — нецелое число.
Прп фиксированных действительных х и а число
ха является степенью, поэтому свойства С. ф. у~ ха
вытекают из свойств степени.
Приж>0 С. ф. ха определена и положительна для
любого действительного а. При х<0 С. ф. ха опреде-
определена в следующих случаях.
а) С. ф. ,га при х—0 определена и равна нулю, если
а>0, и не определена, если а<0. С. ф. х° равна еди-
единице при хфЬ, обычно счи-
считают, что ,г° = 1 при всех х,
хотя символ 0° не оцреде-
лен.
б) Если п — натуральное
С ф
число, то С. ф.
опреде-
опредеС. ф.
лена при всех х, а
__ =J—n определена при
хфп.
в) С. ф. \/х-= х'и, где
п — нечетное натуральное
число,, определена и. отрицательна при х<.0. Однако
иногда удобно считать, что и в этом случае С. ф. х'1п

определена только при тЭ^О. Аналогичные соглашения
принимаются и для ('. ф. ./''", когда mhi — несокра-
несократимая дробь.
Свойства С. ф. .(" оОычно рассматриваются при .г>0,
хотя многие из них справедливы я при г<0, напр.,
когда а - натуральное число.
Функции вида ;/-= о", где г — постоянный коэф-
коэффициент, при и- 1 выражают прямую и р о п о р-
ц и о н а л I. н о с, т ь (их графики — прямые, прохо-
проходящие через начало координат, см. рис. а), при а~
= — 1 — о о р а т н у ю п р о и о р ц, и о н а л ь н о с т ь
(графики — равносторонние гиперболы с центром в
начале координат, имеющие оси координат своими
асимптотами, см. рис. о). Многие законы физики ма-
математически выражаются при помощи функции вида
у — сха (см# рис. к).
С. ф. и" при ,г>A непрерывна, монотонна (возра-
(возрастает, если а>A, убывает, если а<0), бесконечно диф-
дифференцируема и в окрестности каждой точки х0 может
быть разложена в ряд Тейлора. При этом
{ха)' ~ат«~1,
С х" dx = *!_!! + С при а Ф — 1,
J а+ I
f
Jf ^
при \я—га\<\х0\, где С"а — биномиальные коаффици-
енга.
В комплексной области С. ф. га определяется для
всех г=^0 формулой
а a Ln 2 й (In I г | + i arg г + 2^Я|') , .
где к—0, ±i, ±2, .... Если а —¦ целое, то С. ф. za
однозначна:
Если а — рациональное (a = p/q, где р и q взаимно
просты), то С. ф. za принимает q различных значений:
где р.?—p2hni,',|— корни степени у \\'л единицы: р^—1
и :к—ц,_ .1., . . ., ц—\. Гмлп а — иррациональное, то
С. ф. za - Пи-конечноявачна: множитель еа~к^ при-
принимает для ранных к различные яначения. При ком-
комплексных значениях и С. ф. za определяется той же
формулой (¦;:). в. И. Витюцкие.
СТЕПЕННОЙ ВЫЧЕТ п о моду л ю т — целое
число а, для к-рого при заданном целом «>1 сравнение
хп ^а (mod m)
разрешимо. При этом число а ная. вычетом сте-
степени п по модулю т. Если указанное сравнение не
разрешимо, то число а наз. н е в ы ч е т о м степени
в по модулю т. При я—2 степенные иычеты н невычечы
наз. квадратичным: и, при «--¦ 3 — к у б и ч е ¦
с к и м и и при я —4 — б и it нидратичны м и.
В случае простого модуля т = р вопрос о разреши-
разрешимости сравнения ,г"з=а (mod p) может быть выяснен с
помощью критерия Эйлера: если q= (п, р—1),
то для разрешимости сравнения хп^~а (mod m) необ-
необходимо и достаточно, чтобы
и в случае выполнимости этого условия рассматрива-
рассматриваемое сравнение имеет q различных по модулю р реше-
решений. Из этого критерия следует, что среди чисел
1, 2, . . ., р—1 имеется ровно (р—\)lq вычетов и

(q-\)(p — i)fq невычетов степени п по модулю р. См.
Pafitределенtie степенных вычетов и невычетов.
С, А. Степанов.
СТЕПЕННОЙ РЯД— 1) С. р. п о одному ко м п-
лексво м у переменно м у z — функцио-
функциональный ряд вида
где а — центр ряда, Ък — его коэффици-
е н т ы, bk (z-a)k —члены ряда. Существует число
г, 0<г<эс, называемо? радиусом сходимо-
сходимости С. р. A) п определяемое по ф о р м у л е. Ко-
Коша — Ада мара
\
г =
Мш sup у life |
такое, что при \z—a|<r ряд A) абсолютно сходится,
а при \z—и\ >г — расходится (теорема К о ш и —
А д а м а р а). В связи с этим круг D— {z?C : \z—а|<
О} на плоскости € комплексного переменного z
наз. кругом сходимости С. р. (см. рис. 1).
В случае г=0 круг сходимости вырождается в един-
единственную точку z = e, напр, для С. р. 2 ®=0 к\ (z—¦ а)к
(этот случай интереса не представляет, и всюду в даль-
дальнейшем предполагается, что г>0). В случае г=со круг
сходимости совпадает со всей плоскостью С, напр.
для С. р. Г, *_,,—гг (г—а)*. Множество сходи-
моет и, т. е. совокупность всех точек сходимости
C. р. A), в случае 0<г<1оо,
кроме точек круга сходимости
D, может включать все или
нек-рые точки, или ни одной
точки окружности схо-
сходимости ,S = {: ?С : \z — a\~
=г). Круг сходимости в этом
случае есть внутренность мно-
множества точек абсолютной схо- О
димости С. р.
Внутри круга D, т. е. Рис. 1.
на любом компакте KClD,
С, р. A) сходится абсолютно и равномерно. Таким
образом, с у м м а р я д a s(z) определена и является
регулярной аналитич. функцией по крайней мере в
круге D. При игом на окружности S она имеет по
меньшей мере одну особую точку, аналитич. продол-
продолжение в к-рую суммы s(z) невозможно. Существуют
С. р., имеющие на S в точности одну особую точку,
равно как и С. р., у к-рых вся окружность S состоит
ил особых точек.
В случае г==со ряд A) либо обрывается, т. е. пред-
представляет собой многочлен
либо его сумма s (z) есть целая трансцендентная функ-
функция, регулярная во всей плоскости С и имеющая в
бесконечности существенно особую точку.
Обратно, само понятие аналитичности функции /(z)
в точке а состоит в том, что / (z) в нек-рой/ окрестности
а разлагается в С. р.
к-рый является для /(г| рядом Т е й л о р а, т. е.
его коэффициенты определяются формулами
В связи с этим важно свойство единствен-
единственности С. р.: если сумма s[z) ряда A) обращается в

нуль на бесконечном множестве EczD, имеющем пре-
предельную точку внутри D, то s (z)^sO и все Ь^— 0, fc—0,
1, ... В частности, если .ч(г)—0 в окрестности нек-poii
точки Zo^D, то s(z)^O и все ftfc—0. Таким образом,
всякий С. р. есть ряд Тейлора для своей суммы.
Пусть наряду с С. р. A) имеется другой С. р.
с тем же центром а и радиусом сходимости rj>0. Тогда
но крайней мере н круге Д— {z? С ; [г —я[<р}, где
p=min{r, rt}, имеют смысл с л о ж е н и е, вычи-
вычитание и у м н о ж е н и е С. р. A) и C) но фор-
формулам:
*(z)± e(z)=--^*=oibk±ck)(z~a)b,
Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибу-
дистрибутивности справедливы, причем вычитании есть дейст-
действие, обратное сложению. Таким обраном, множество
С. р. с положительными радиусами сходимости и фик-
фиксированным центром есть кольцо над нолем С. Если
со=^=0, то возможно и д с л е н и в С. р.:
причем коэффициенты dk однозначно определяются
из бесконечной системы уравнений
У*
2 '
При по=^0. г>0 и i\>0 радиус сходшгогш ряда (Г>)
также положительный.
Пусть для простоты в A) и C) а а@)-~с0~0. Тогда
сложная функция *-(о"(г)) будет регулярной в окрест-
окрестности начала координат, и процедура разложения ее
в С. р. носит название к о д с, т и н о и к и ряд »
Коэффициент gm в (C) получается как сумма одноимен-
одноименных коэффициентов в разложениях каждой из функции
bn(o(z))n, а эти последние разложения получаются
путем л-кратного умножения ряда для a (z) самого на
себя. Ряд F) заведомо сходится при |z|<p, где р та-
ково, что |o(z)|<;-. Пусть опять «—а@) — с0 --0 и, кро-
кроме того, ct~a' @)^=0, iv— o(z). Задача построения ря-
ряда для обратной функции z i| (w), к-рая при указанных
условиях регулярна в окрестности начала, наз.
обращением ряди C). Во решением является
ряд Л а г р а н ж а:
(о более общей задаче обращения см. в ст. Вшрмана —
Лагранжа ряд).
Если С. р. A) сходится в нек-poii точке гй-фа, то он
абсолютно сходится для всех ъ таких, что |z~«|<
< |г0—а\, — в этом состоит первая те о р с м а
Абели. Эта теорема также позволяет установить
вид области сходимости С. р. Иолее тонкий результат
представляет собой в т о р а я т е о р е м а Л б е л я:
если Ср. A) сходится в точке zo-=a-(-?r>4i на окруж-
окружности сходимости S, то
lim s(rt-j-<>fm")- .-Фс),
т. е. сумма ряда .* (г) в точке zlt?S имеет радиальное
граничное значение s(zu) и, следовательно, непрерывна
вдоль радиуса z = a+pe'Oo, t)<|><r; более того, s(z)

имеет и угловое граничное значение .?(г0). Эту теорему
A827) можно считать первым крупным результатом в
направлении исследования граничных свойств С. р.
Обращение второй теоремы Абеля без дополнительных
ограничении на коэффициенты С. р. невозможно. Одна-
Однако, если предположить- напр., что bk~o(l/k) и суще-
существует иредел lims(o-!-pe'9o)=.<!0, торяд 2 "_06ft (z0—a)*
сходится к сумме $п. Такого рода частичные обра-
обращения второй теоремы Абеля получили название
тауберовых теорем.
Другие результаты о граничных свойствах С. р. и,
в частности, о расположении особых точек С. р. см,
в статьях Адамара теорема, Аналитическое продол-
продолжение, Граничные свойства аналитически.г функций,
Фату теорема (см. также [3]—[5]).
2) С. р. по многим комплексным п е р е-
л е н в ы и z= (zu . . ., а„), и>1, или кратный
С. р,— функциональны/! ряд вида
...V blh . .. I; (г)—Oi) '
G)
где о/;—/
-«»)*
¦ .fen, (z—a)*— (zr-я,) '
1/с|--/сг1. . .-j-fc,j, «~ (<Ч an) — центр ряда,
точка комплексного пространства С". Областью
сход и мост и I) С. р. G) наз. внутренность множе-
множества точек абсолютной сходимости, но при н>1 она
не имеет столь простого вида, как при я=1. Область
U пространства С" тогда и только тогда является
областью сходимости нек-рого С. р. G), когда D —
логарифмически выпуклая полная кратно круговая
область пространства С". Если нек-рая точка z°?/>,
то яамыкание V (а, г) поликруга (/(а, r)={z?C:
Zy - av | <C''v , v=l, . • . j »•}, где rv~]zv—av ], r= (rt,
1 . ., /•„), также принадлежит D и ряд G) сходится в
U (а, г) абсолютно и равномерно (аналог первой тео-
теоремы Абеля). Поликруг U(a, г), г -- (г , г„), наз.
и о л и к р у г о м сходи м о с т и С. р. G), если
V (a, r)<Z.O, но в любом несколько большем иоликруге
-av\<ry), где i\^rv, v—1, ...,«, и по
крайней мере одно неравенство строгое,
имеются точки, в к-рых ряд G) расходит-
расходится. Радиусы rv ноликруга сходимости
наз. сопряженными радиуса-
радиусами сходимости С. р. G), они удо-
удовлетворяют соотношению, являющемуся
аналогом формулы Коти — Ад а-
мара:
lim
Vr,
sup '
о
rt \zi\ гДе \bk\~\"ki ¦ ¦ ¦ <>& I,
Рис. 2. /•* — г''1. . .r*n. Область схо-
сходимости D исчерпывается ноликругами сходимости.
Напр., для ряда - "=ц (ziz;>)* поликруги сходимости
имеют вид
f/@, г,, 1/Г]) — {г — (г,, z2)^C2:| г, | < гь | z2 | < 1/гг},
а область сходимости D - {г^С3 : |г1| >|z4| <1} (на рис. 2
она изображена на абсолютной четверть-плоскости).
Свойство единственности С. р. сохраняется в том
смысле, что если s(z) = 0 в нек-рой окрестности точки z°
в С" (достаточно даже в R", т. е. на множестве {г=
=- .с \-iy?C" : \х — Не a <r, }=1та}), то s(z)=0 и все

Действия с кратными С. р. производятся в основном
по тем же правилам, что и в случае п—1. Другие
свойства кратных С. р. см., напр., [8], [9],
i) С. р. по действительным перемен-
переменным х--= (хи . . ., х„), п>1,— функциональный ряд
вида
.v(.r)=y°° Ък(х — а)Ь, (8)
где использованы сокращенные обозначения, как и в
G), а-= (ах, . . ., an)?R" - центр ряда. Если ряд (8)
абсолютно сходится в нек-ром параллелепипеде П----
= {z?Rn : \xk—ak\<rk, ft=l, . . ., п), то он абсолютно
сходится и в поликруге U (a, r)= {z?C" : |z—a|<r},
г= (гц . . ., гп). При этом сумма ряда s(x), будучи ана-
литич. функцией действительных переменных х~ (ж,,
.. ., ха) в П, аналитически продолжается в видр С. р.
*<г>=2Г*|=0 **<*-">* (9)
до аналитич. функции ,s (z) комплексных переменных
z=x+iy = (zl=x1-\-iyi, ¦ ¦ ¦¦, zn=xn+iyn) в U (a, r).
Если D — область сходимости С. р. (9) в пространстве
С" комплексных переменных z — x-\-iy, то сужение А
области D на пространство R™ действительных пере-
переменных х— (хх, . . ., ,г„) является областью сходимости
С. р. (8), AaD. В частности, при /г— 1 область D яв-
является кругом сходимости, а его сужением Д является
интервал сходимости на числовой оси R,
A—{x^R : a—r<x<a-\ г}, где г — радиус сходимости.
Лит.: [11 Б и ц а я з е А. В., Основы теории аналитических
функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1У72; [2j Map-
кушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд.,
т. 1, М., 1907; [3] Титчмарш Е., Теория функций, пер.
с аш'Л., М.—Л., 1951; 14J Б ибер б а х Л., Аналитическое
продолжение, нер. с нем., М., 1УВ7; [5j Land n u E., Darstel-
lung und Begriindung etniger neuerer Krgebnisse der Funktionen-
theoric, 2 Aufl., В., liJ9; [в] Владимиров В. С, Методы
теории функций многих комплексных переменных, М., 1964;
[7] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд.,
ч. 1 — 2, М., 1976; [8] Б ох н е р С, М а р т и и У. Т., Функ-
Функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1!Ы;
[9] Я н у ш а у с к а с А. И., Двойные ряды, Новосиб., 1980.
К. Д. Соломенцеа.
СТЕПЕНЬ — в первоначальном понимании (целая
и положительная С.) есть произведение нескольких
п раз
равных сомножителей. Обозначение: ап ~аа-. . .-а,
где а — основание, п — показатель, а" — стеиень.
Основные действия над С. даются формулами
а"-ат = ап + т, ап:а'" — а"~т, (ап)т ~ а"т.
Дальнейшие обобщения С: нулевая в°=1 (при афО);
отрицательная а~" — 1/а"; дробная а. '" — / а'1 и С.
с иррациональным показателем а«— lima^", где г„ —
г„ --+а
произвольная последовательность рациональных чи-
чисел, стремящаяся к а. Рассматриваются С. с комплекс-
комплексным основанием (см. Муаера формула) и с комплекс-
комплексными основанием и показателем (но определению:
z«=euLnz), рсэ-;:
СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ, степень непре-
непрерывного отображения /: (М, дМ) ->
->¦ (N, dN) связных компактных многообразии оди-
одинаковой размерности — целое число cleg/ такое, что
/* (!xAl)=^(leg/-fij\r, где ji^, jxjv— фундаментальные клас-
классы многообразий Д/ и N над кольцом % или % 2, /Ф —
индуцированное отображение. В случае неориентиро-
неориентированных многообразий С. о. однозначно определена
по тос12. Если f : М ->* Л' — дифференцируемое ото-
отображение замкнутых дифференцируемых многообра-
многообразий, то deg/ совпадает mod 2 с числом прообразов ре-
регулярного значения у отображения /. В случае ориен-
ориентированных многообразий

где sign Jx — знак якобиана отображения / в точке х
(степень Б р а у э р а).
Для непрерывного отображения / : R", 0 -*¦ R", О
И изолированной точки х в прообразе нуля определено
понятие локальной степени deg* / в точке
* : Aegxf=degn-h, где h — сужение отображения /
на дщленькук) сферу
я — проекция из нуля на единичную сферу. В случае
дифференцируемого / справедлива формула
|degx/|-= dim (?(/)-2 dim/,
где Q(/) — кольцо ростков гладких функций в нуле,
профакторизованное но идеалу, порожденному компо-
компонентами /, / — идеал факторкольца, максимальный
по отношению к свойству Р~0. Пусть Jo€Q (/) — класс
якобиана отображения /, тогда для линейного функ-
функционала ф :<?(/)->- И такого, что ф(/0)>0, выполнено
degx/= Index < , >ф, где <р, д>ф = ф (p,q) —симмет-
—симметричная билинейная форма на Q(f).
Лит.: [1] Дольд А., Лекции по алгебраической тополо-
топологии, пер. с англ., М., 1976", [2] М и л н о р Д ж., Уоллес А.,
Дифференциальная топология, пер. с англ., М., 1972; [3] А р-
II о л ь д В. И., В а р ч е н к о А. Н., Гусей н-3 аде СМ.,
Особенности дифференцируемых отображений, М., 1982; [4]
EisenbudD., L e v i n e H., «Ann. Math.», 1977, v. 100,
N. 1, p. 19—38. А. В. Хохлов.
СТЕПЕНЬ ТОЧКИ М (ха, у0) относительно окруж-
окружности
с центром в точке (я, Ь) — число
С. т. р<0, если точка Мо лежит внутри окружности;
р~0, если точка Мо принадлежит окружности; р>0,
если точка Мо лежит вне окружности. С. т. Мй отно-
относительно окружности может быть представлена как
произведение векторов М0М1 и М0М2, где Л/2 и М2 —
точки пересечения окружности с произвольной пря-
прямой, проходящей через точку Мо. В частности, С. т.
относительно окружности равна квадрату длины ка-
касательной, проведенной из точки Мо к окружности.
Совокупность всех окружностей на плоскости, от-
относительно к-рых данная точка имеет одинаковую
степень, составляет связку окружностей. Множество
точек, имеющих относительно двух неконцентрич.
окружностей одинаковую степень, образует ради-
радикальную ось.
Аналогично определяется С. т. относительно сферы.
Совокупность всех сфер, относительно к-рых данная
точка имеет одинаковую степень, составляет сеть сфер.
Совокупность всех сфер, относительно к-рых точки
нек-рой прямой (радикальной оси) имеют
одинаковую степень (различную для разных точек),
составляет связку сфер. Совокупность всех сфер, отно-
относительно к-рых точки нек-рой плоскости (рад и-
кальной плоскости) имеют одинаковую сте-
степень (различную для разных точек), составляет пучок
сфер. А. Б. Иванов.
СТЕРАДИАН — единица измерения телесного угла.
С.— телесный угол, вырезающий на сфере, описанной
вокруг вершины угла, поверхность, площадь к-рой
равна квадрату радиуса сферы. Полная сфера образует
телесный угол, равный 4л. Обозначается стер, бсэ-з.
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — соответ-
соответствие между точками сферы и плоскости, получаемое
следующим образом-: из нек-рой точки S на сфере (цент-
(центра С. п.) другие точки сферы проектируются лучами
на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы SO
(на рис. эта плоскость экваториальная, ее можно

проводить п через конец Si диаметра SSj). При этом
каждая топка М на сфере переходит в нек-рую опре-
определенную точку М' на плоскости. Если условиться
считать, что точке S соответствует бесконечно удален-
удаленная точка плоскости, то соответствие точек сферы
и плоскости будет
взаимно однознач-
однозначным. Основные
свойства С. п.: 1)
окружностямна сфе-
сфере соответствуют ок-
окружности на плос-
плоскости, причем ок-
окружностям, прохо-
проходящим через центр
С. п., соответствуют
окружнос'.и, прохо-
проходящие через беско-
бесконечно удаленную
точку, т. е. прямые; 2) при С. п. углы между линия-
линиями сохраняются.
Если точку трехмерного пространства задавать од-
однородными координатами xt, з, х3, ж4 и считать, что
уравнение сферы ах+жз+жз—з|=0, а точку плос-
плоскости — декартовыми прямоугольными координатами
S, л, то связь между координатами точек сферы и
плоскости задается формулами
Координаты .i-j, x2, я"з> xi можно рассматривать как
координаты точки на плоскости {тетрациклические.
координаты).
С. п. устанавливает соответствие не только между
точками сферы и плоскости, но и между точками вне
сферы и окружностями на плоскости. Для точки вне
сферы полярная плоскость пересекает сферу по окруж-
окружности. При С. а. эта окружность переходит в окруж-
окружность, на плоскости, к-рая и рассматривается как С. п.
точки вне сферы на плоскость. Координаты точки трех-
трехмерного пространства рассматриваются как тетраци-
тетрациклин, координаты. окружности на плоскость. Точкам
внутри сферы при С. п. соответствуют мнимые образы
на плоскости.
С. п. можно рассматривать и более общо: вместо
сферы брать любую поверхность 2-го порядка. Это
проектирование называется также о т о б р а ж е н и-
е м Г е с с е.
В многомерном случае С. п.— проекция точек ев-
евклидова пространства ?n + i на пространство ?„, до-
дополненное одной бесконечно удаленной точкой, из
точки Р сферы Sn в Еп + 1, когда Р не принадлежит
Ен. Все рассуждения и формулы аналогичны приве-
приведенным выше.
При помощи С. п. расширенная комплексная пло-
плоскость отображается взаимно однозначно п конформно
на Римана сферу.
Лит.: [1] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем.,
М.— Л., 1939; [2] В 1 a s с h k e W., Vorlesungen tiber Diffemi-
tial-Geometrie, "Bd 3, В., 1929,- [3] Б у m м а н о в а Г, В.,
Н о р д е н А. П., Элементы конформной геометрии, Казань,
1972. Г. В. Бушманова.
СТЕРЕОЭДР — выпуклый многогранник правильного
разбиения пространства на равные многогранники, т. е.
выпуклые фундаментальные области произвольных
(федоровских) групп движений. Число различных
сетей для правильного разбиения «-мерного прост-
пространства, в к-ром С. примыкают по целым граням (сто-
(сторонам фундаментальных областей), конечно и зависит
только от размерности пространства. Для гг = 3 число
граней С. не превышает 390. Классификация проведена

A984) лишь.для частных видов С, напр, для паралле-
лоэдров.
Лит.: Ш Узоры симметрии, пер. с англ., М., 1980; [2] Де-
Дело н е Б. Н., Сандакова Н. Н., «Тр. Матем. ин-та
АН СССР», 1961, т. Ц4, с. 28—Ы. .4. Б. Лестное.
СТЕФАНА ЗАДАЧА — задача", возникающая при
исследовании физич. процессов, связанных с фазовым
превращением вещества. Простейшая двухфазная С. з.
в теплофизич. терминах формулируется следующим
образом (|1], [2]): найти распределение температуры
и (х, t) и закон движения границы раздела фаз !; = ?(*)
(напр., границы «лед—вода» внутри замерзаядцей воды)
из уравнения теплопроводности:
ви , dsu
4Pi -дг - h g^
при 0 < х < 1A), t > О,
ди , dsu
при | (О < ./• < ~ со, t > 0,
граничного условия
и @, /) = и, ^-const < Т, I > 0,
начального условия
и (.г, 0) = г/2 = const > Г, .т5з0,
и условия на границе замерзания
и (?(/) —0, /)-u(|(f) + O, О, ' >°.
} d|(O_, 8»F(f)-0, f) aii(g(i) + O, О
где кг и /с2 — коэффициенты теплопроводности, с, и
f 2 — удельные теплоемкости, (it и р2 — плотности
твердой и соответственно жидкой фаз, к — скрытая
теплота плавления, отнесенная к единице массы, Т —
температура замерзания. Эта задача имеет автомодель-
автомодельное решение u=u{rt '-), 'i(t)=at ¦', « = <;onsf.>0.
Достаточно общая постановка С. ?.. в пространственно
трехмерном случае сводится к краевой задаче для
квазилинейного параболич. уравнения 2-го порядка
с кусочно непрерывными коэффициентами, терпящими
разрывы 1-го рода на заранее неизвестных и подлежа-
подлежащих определению поверхностях, на к-рых задается
значение искомой функции и, кроме того, удовлетво-
удовлетворяющих дифференциальному Стефана условии). Ис-
Исследовались (см. |3| |6J) существование и единствен-
единственность классического и обобщенного решений С. з.; о ме-
методах приближенного решения С. з. см. [2], |4j, (fi).
Такого типа задачу одним из первых исследовал
11. Стефан |1].
Лит.: Ill Stefan .Т., «Sltzungsber. Wien. Akad. Math,
naturwiss», 18Я0, Bd 9S, Abto. a", S. 473—84: L2] Тих о-
к о в А. Н., Самарский А. А., Уравнения математиче-
математической физики, 4 изд., М., 1У72; (з1 О л е й н и к О. А., «Докл.
АН СССР», 1960, т. 13э, .№ 5, с, 1054—57; [41 Б у д а к Б. М.,
Успенский А, Б., «Ж. вычпсл. матем. и ыатем физ.»,
1989, т. 9, ,vi й, с. 129Я —ai,ri; ГГ.] Б уд а к В, М., М ос-
оскал М. 3., сДокл. АН СССР», 1У70, 1. 191, .^4, с. 7G1 — 54;
Ifi] Б > д а к Б. М., Васильев Ф. П., У с п е н-
с к и й А. Б., Численные методы в гановоп динамике, М.,
1965, с. 1SSJ—ИЗ. Ф. П. Васильев.
СТЕФАНА ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА — задача, заклю-
заключающаяся в том, чтобы по заданному закону движения
границы раздела фаз (см, Стефана задача) восстано-
восстановить закон изменения граничных условий или коэф-
коэффициентов уравнения. Напр., найти поток q(t)—
— ди[ь^') из условий:
"Л "ИГ =«25?.0<*<6С>, 0</<7,
и.(х, 0).-=фи), 0<ж<|0; и (l(t)-0, t) = ix(t),

где ф(ж), n(t), yW>Yo>O, l(t) — заданные функции.
Для приближенного решения такой задачи часто ис-
используется вариационный подход (см. [1]).
Лит.: [1] Б у да к Б. М., Васильева В. Н., Реше-
Решения задач Стефана, М., [1971], с. 65—86. Ф. П. Васильев.
СТЕФАНА УСЛОВИЕ — условие, описывающее за-
закон движения границы, разделяющей две различные
фазы вещества, и выражающее собой закон сохранения
анергии при фазовых превращениях. Напр., граница
раздела между твердой и жидкой фазами вещества
при затвердевании (или при плавлении) в одномерном
случае может быть описана функцией ?=?(?), связан-
связанной с распределением температуры и (х, t) посредством
С у.:
(об обозначениях см. Стефана задача). За время At
Затвердевает (или расплавляется) масса
Выделяющееся при атом количество тепла XpiA| равно
разности количеств тепла, прошедших через границы
1@ и |(И-Д/):
Тх кг J At.
Отсюда при At -*¦ 0 получается С. у; Кроме того, на
границе раздела фаз ?—\A) температура предпола-
предполагается непрерывно)! и ее значение принимается равной
известной температуре плавления.
Аналогичные условия на неизвестных границах,
встречающиеся при исследовании нек-рых других
процессов и вытекающие из законов сохранения,
также принято называть С. у. (см. Дифференциальное
уравнение с частными производными; задача со сво-
свободными границами).
Лит.: [1] Тихонова. Н., Самарский А. А.,
Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972.
Ф. 77. Васильев.
СТЕФАНА — БОЛЬЦМАНА ЗАКОН: полная пс-
пускательная способность и абсолютно черного тела
пропорциональна 4-й степени его абсолютной тем-
температуры Т:
и~--аТ*,
где а= E,67032^0,00071)-Ю-» Вт/(м2-К4) (посто-
(постоянная Стефана — 1> о л ь ц м а н а). Этот
закон получен эмпирически из анализа эксперимен-
экспериментальных данных Й. Стефаном (J. Stefan, 1879), выведен
термодинамическим путем Л. Больцманом (L. Boltz-
mann, 1884). А. Б. Иванов.
СТЕФФЕНСЕНА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУ-
ФОРМУЛА — форма записи интерполяционного многочлена,
получающегося из Спгирлинга интерполяционной фор-
формулы по узлам х0, xo-\-h, z0—h, . . ., xo-\-nh, x0—nh
в точке x—xa-\-th:
, t(M-i) ... [*2-(n-l)z] .2Л-1 , 18(''-1) ¦¦¦ K'--(n-l)'] ЛП
+ фГТ)\ /o + B^I t» '
с помощью соотношений
70 ~" 2 Ul/2 ^'-1/2'' '0 ' 1/2 '-1/2"
После приведения подобных членов С. и. ф. записы-
записывается в виде
hn{*) = Ltn (.ro + th)-/„ + L<iti> fifi_ 'Jizi2 f[/2 +...
, t(t'-D- ¦¦¦ -[t2-(n~iJ] (t + n) fln-\__
¦¦¦-\ ' i
Bn)!
(i-n) ,2n-l
/-1/2 •

Лит.: [1] К о р н Г., Корн Т., Справочник по математике
для научных работников и инженеров, [пер. с англ.], М., 1973.
М. К. Самарии.
СТИЛТЬЕСА ИНТЕГРАЛ — обобщение понятия
Римана интеграла, реализующее идею интегрирова-
интегрирования функции / (х) относительно другой функции и(х).
Пусть функции / (х) и и (х) определены и ограничены
на [а, Ь] и а=хо<Сх1*С. . .<а:г-_i <>,•<. . ,<хп=Ь„.
Сумму вида
где xi^i^Jii^x!, i=i, 2, . . ., п, наз. интеграль-
интегральной суммой Стилтьеса. Число / наз.
пределом интегральных сумм A) при тахДг,- -»- О,
г
если для любого е>0 найдется б>0 такое, что при
тахДг,<б справедливо неравенство \а—/|<е. Если
существует конечный предел / интегральных сумм A)
при тахДх,- —>- 0, то функцию / (х) наз. и н т е г р и-
i
р у е м о й по ф у н к ц и и и (х) на \а, Ь], а указан-
указанный предел — интегралом Стилтьеса (или
интегралом Римана — Стилтьеса) от
функции / (х) по функции и (х) и обозначают
функция и (х) наз. при этом интегрирующей.
Т. Стилтьес [1] пришел к идее такого интеграла, рас-
рассматривая положительное «распределение масс» на
прямой, заданное возрастающей функцией и (х), точки
разрыва к-рой соответствуют массам, «сконцентриро-
«сконцентрированным в одной точке».
Интеграл Римана представляет собой частный слу-
случай С. и., когда в качестве интегрирующей функции
и (х) взята функция х-\-С, где С= const.
В случае, когда интегрирующая функция и (х) мо-
монотонно возрастает, рассматривают верхнюю и нижнюю
суммы Дарбу — Стилтьеса:
s^'??nilu(Xi)-u(xi-1)], C)
где Mi и /и,- — точные верхняя и нижняя грани /(х)
на [av-i, xi\.
Для существования С. и. достаточно выполнение
одного из условий: 1) функция / (х) непрерывна на [а, Ъ],
а функция и (х) имеет ограниченную вариацию на [а, Ь];
2) функция / (х) интегрируема на [а, Ь] в смысле Ри-
Римана, а функция и (х) удовлетворяет на [а, Ь] условию
Липшица, т. е. \и(х1)—и(х^)\<.С\х1—х2\, где C=const,
для любых хг и х2 из [а, Ъ]; 3) функция f (х) интегри-
интегрируема на [а, Ь] в смысле Римана, а функция и (х) пред-
ставима на [а, Ь] в виде интеграла с переменным верх-
верхним пределом
и(х)=-С
где g(t) абсолютно интегрируема на
При выполнении условий 3) интеграл B) сводится
к интегралу Римана по формуле
(x)g{x)dx. D)
В частности, равенство D) имеет место в случае, если
и (х) имеет ограниченную и интегрируемую в смысле
Римана на [а, Ь\ производную и'(х), в этом случае
g(x)=u'(x).
Если функция и (х) интегрируема по функции / (х)
на [а, Ь], то и функция f (х) интегрируема по и{х) на
этом отрезке. Это утверждение позволяет получить
ряд дополнительных условий существования С. н.

С. и. обладает свойством линейности как относи-
относительно интегрируемой, так и относительно интегри-
интегрирующей функции (при условии существования каждого
из С. и. в правой части):
* [а/,
(х) du (х) + р ^* /2 (ж) им (г).
Ja
Свойством аддитивности С. и., вообще говоря, не
обладает: из существования обоих интегралов
f(x)du(x) и \ f(x)du{x) не следует существование
интеграла \ / (x)du (x) (обратное утверждение при
а<С.с<СЬ вместе с тем справедливо).
Если f(x) ограничена на [а, Ь], так что т«:/ (х) ^.М,
а и (х) монотонно возрастает на [а, Ь], то найдется ц,
удовлетворяющее неравенствам т<:|г«:Л/, такое, что
для С. и. справедлива формула среднего
значения
В частности, если дополнительно предположить не-
непрерывность f (х) на (я, Ь], то найдется точка |?[«, Ь]
такая, что ц.~/(?).
С. и. \ f(x)du(x), где и (х) имеет ограниченную
вариацию, дает общий вид линейного непрерывного
функционала F (/) на пространстве непрерывных на
[а, Ь] функций (теорема Рисе а).
В случае, когда функция и (х) имеет ограниченную
вариацию, значение С. и. совпадает со значением со-
соответствующего Лебега — Стилтьеса интеграла.
Лит.: [1] S t i e 1 t j e s T h. J., Recherches sur les fractions
continues. P., 1894; [2] С м и р н о в В. И., Курс высшей мате-
математики, т. 5, М., 1959; [3] Г л и в е н к о В. И., Интеграл
Стильтьеса, М.—Л., 1936. В. А. Ильин.
СТИЛТЬЕСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное
преобразование вида
""'¦<*«. (*)
x+t
С. п. возникает при итерировании Лапласа преобра-
преобразования и является частным случаем преобразования
свертки.
Одна из формул обращения: если функция / (t) У t
непрерывна и ограничена на @, оо), то
lim t^—
на ж? @, оо).
С. п. обобщенное имеет вид
где р — комплексное число.
С. п. интегрированное имеет вид:
где
F(x)= $ K(x, t)f(t)dt,
К(х, t)= -~p , t ф х
ljx, t—x.

С. н. введены и для обобщенных функций. Преоб-
Преобразование (*) рассмотрено Т. Стилтьесом (Т. Stieltjes,
1894—95).
Лит.: [11 W i d d е г П. V., The Laplace transform,
N. { .— L., 1946; [2] В о a s R. P., W i d d e r D. V., «Trans.
A.ner. Math. Soc», 1939, v. 45, p. 1—72; [3] T и т ч м a p m E.,
Введение а теорию интегралов Фурье, пер. с англ., М.—Л.,
1948; 14] Г> р ы ч к о в Ю. А., П р у д н и к о в А. П., Инте-
Интегральные преобразования обобщенных функций, М., 1977.
Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.
СТИНРОДА АЛГЕБРА — градуированная алгебра Ар
над полем %р стационарных когомологических операций
тодр. Для любого пространства (спектра пространств)
X группа Я* (X; Zp) является модулем над С. а. А„.
С. а. мультипликативно порождается Стинрода
операциями. Так, С. а. Л2 является градуированной
ассоциативной алгеброй, мультипликативно порож-
порожденной символами Sq' и degSq' — i, подчиненными со-
соотношениям Адема:
a<2b, так что аддитивный базис (над %2) С. а. А2
состоит из операций 5дч, . . ., Sqir, 1к^21к + л (т. н.
базис Картана — С е р р а). Аналогичное
верно и дли Ар с р>2. Далее,
(ApyezH' + »(K{Zp, n); гр), n^>i,
где К (г?р, п) — Эйлеиберга — Маклейна простран-
пространство. Умножение
К{Чр, т) А К(Чр, п)—*К(%р, т+п)
задает в С. а. диагональ А : Ар -*¦ Ар(?)Ар, являю-
являющуюся гомоморфизмом алгебр и, следовательно, пре-
превращающую А„ в Хопфа алгебру.
Лит.: [1] С т и н р о д Н., Элстсйп Д., Когомологиче-
Когомологические операции, пер. с англ., М., 1983; [2] М i I n о г J., «Ann.
Math.», 1956, v. 67, p. 150—71; [3! Мошер Р., Танго-
ра М., Когомологические операции и их приложения в теории
гомотопий, пер. с англ., М., 1970. Ю. Б. Рудяк.
СТИНРОДА ДВОЙСТВЕННОСТЬ — изоморфизм р-
мерных гомологии компактного подмножества А сферы
Sn (п — р — 1)-мерным когомологиям дополнения (го-
(гомологии и когомологии в размерности нуль — приве-
приведенные). Рассмотрена Н. Стинродом [1]. В случае когда
А — открытый или замкнутый нодиолиэдр, аналогич-
аналогичный изоморфизм известен как Александера двойствен-
двойственность, а для любого открытого подмножества А —
как Понтрягина двойственность. Изоморфизм
Нр(А; G)--=Hn~P-i {S"\A; G)
имеет место и для произвольного подмножества А
(двойственность Ситников а); здесь Нср —
гомологии с компактными носителями Стинрода —
Ситникова, a If 4 — когомологии Александрова —
Чеха. Двойственность Александера — Понтрягина —
Стинрода — Ситникова — простое следствие двойст-
двойственности Пуанкаре — Лефшеца и точной последова-
последовательности пары. Она справедлива не только для S",
но и для любого многообразия, ацикличного в раз-
размерностях р и р -f-1.
Лит: [1] Stecnrod N., «Ann. Math.», 1940, v. 41,
p. 833—51; [2] Ситников К. А., «Докл. АН СССР», 1951,
т. 81, с. 359—62; [3} Свлярев к о Е. Г., «Успехи матем.
наук», 1979, т. 34, в. 6, с. 90—118; [4] Масс и У., Теория
гомологии и когомологий, пер. с англ., М., 1981.
Е. Г. Скляренко.
СТИНРОДА ЗАДАЧА — задача реализации циклов
сингулярными многообразиями; поставлена Н. Стин-
Стинродом (N. Steenrod, см. [1]). Пусть М — замкнутое
ориентированное многообразно (топологическое, ку-
кусочно линейное, гладкое и т. д.), и пусть [М] ? Я„ {М) —
его ориентация (здесь //„ (М) — га-мерная гомологии
группа многообразия М). Любое непрерывное ото-
бражеЕше / : М -»- X задает элемент f*[M]?Hn(X).
С. з. состоит в описании тех гомологич. классов из X,
называемых реализуемыми, к-рые получаются

таким способом, т. е. имеют вид /„[Л/] для нек-рых М
из данного класса. Все элементы групп Н1(Х)Н2(Х)
реализуются. Любой элемент группы Нп(Х), пфЪ
реализуется, но уже нек-рым отображением Пуанкаре
комплекса Р. Кроме того, любой цикл можно реализо-
реализовать псевдомногообразием. Можно также рассмат-
рассматривать неориентированные многообразия.
Так, для гладких М С. з. состоит в описании образа
гомоморфизма Qn{X) -»- Нп(Х), где Qn(X) — группа
ориентированных бордизмов пространства. Открытая
Р. Томом (R. Thom, [2]) связь бордизмов Q* с Тома
пространствами MSO(k) прояснила С. з., сведя ее
к изучению отображений Н* (MSO (к)) ->- Н* (X). Был
указан нереализуемый класс х?Н7(Х), где X — Эй-
ленберга — Маклейна пространство ЯB3ф2з1 !)•
Для любого класса х нек-рые его кратные их реализу-
реализуются (гладкими многообразиями).
Лит.: ll] EilenbergS., «Ann. Math.», 1949, v. 50,
p. 247—60; [2] T о м Р., в сб.: Расслоенные пространства и их
приложения, пер. с франц., М., 1958, с. 293—351; [3] К о н-
иерП., ФлойдЭ., Гладкие периодические отображения,
пер. с англ., М., 19G9; [41 С т о н г Р., Заметки по теории кобор-
дизмов, пер. с англ., М., 1973. Ю. Б. Рудяк.
СТИНРОДА КВАДРАТ — стационарная (стабиль-
(стабильная) когомологическая операция Sq', г^=0, типа B2> Zi),
повышающая размерность на г. Это означает, что для
каждого натурального п и каждой пары топологич.
пространств (X, У) задан такой гомоморфизм
Sq':fI»(X, У; Z2)-+H« + I(X, У; %2),
что bSq' = Sq'8, где б — кограничный гомоморфизм
б://"(У; г 2) -* НЧ + 1 (X, У; Ъ 2) (стационарность)
и f*Sq'—Sq'f* для любого непрерывного отображения
/: (X, У)-»- (X', У) (естественность). С. к. Sq' об-
обладает следующими свойствами:
1) Sq°=id;
2) <S<71 = P, где р — гомоморфизм Бокштейна, ас-
ассоциированный с короткой точной последовательно-
последовательностью групп коэффициентов 0 -»- % 2 -*¦ Zi-+ Z 2 -*¦ 0;
3) если i = dimx, то Sq'x=x2;
4) если j>dima;, то Sq'x~0;
5) (ф о р м у л а К а р т а н a) Sq1' (я#) = 2у_о (Sq'x)X
i4
(y);
6) (соотношения Адема) при a<.2bSqa Sqb=
= У l^jf^T1) $Ча+Ь-* Sq1, где (:J - биномиаль-
ные коэффициенты mod 2.
В формуле Картана умножение можно считать как
внешним (х-умноженном), так и внутренним ((J-
умножением). Она равносильна утверждению, что
отображение S'q : Н* (X; 112)^-Н*(Х; 22), опреде-
определенное формулой
Sqx = x + Sqlx+... +Sq"~lx + x^, x<=-№ (X; %2),
является гоморфизмом колец. Из условия стацио-
стационарности вытекает, что С. к. Sq' перестановочны с
надстройкой и трансгрессией.
Операции Sq' однозначно характеризуются свой-
свойствами 1), 3), 4)., к-рые поэтому можно принять за
определяющие их аксиомы. Конструктивное опреде-
определение операций Sq' основывается на симплициальной
структуре в группах цепей С\ (X) и на существовании
диагонального отображения Д : X -*¦ XXX. Пусть
W — минимальный ациклический свободный цепной
22-комилекс, т. е. цепной комплекс, для к-рого
где Т — образующая группы z2. Методом ацикличных
носителей или явным построением (см. [4]) доказы-
доказывается существование такого эквивариантного цепного
отображения

(а® а) С С* (X)®Ct (Х)--С*
для любого симплекса о^С^(Х) (символом ^())
здесь обозначен наименьший подкомплекс цепного
комплекса С„ (Х)®СЖ (X), содержащий элемент а®а).
Пусть ?>0. Любым двум коцепям и?Ср (X), v?C" (X)
ставится в соответствие формулой (mIJi^) (°)= (®
®и) (ф fo®cr)) Для любого симплекса 0?Ср + (/_г-
коцепь u(Jiy6C/' + 4~'(^)i наЗ- их (Ji-n р о и з в е д е-
н и е м. Для кограницы этой коцепи имеет место фор-
формула
б («Uif)-(-I)''6«U,¦" + (-!)'+/'«Ui6f+
из к-рой следует, что формула Sqp~l {и}~ {u[)iu}
корректно определяет нек-рый гомоморфизм
Sqp~':-HP (X; %г) —* tf2/W (X; 22).
к-рый не зависит от выбора отображения ф.
Аналогичным образом операции Sq' строятся и в
других симплициалышх структурах с диагональным
отображением, напр, в когомологиях симнлициальных
абелевых групп, симплициальных алгебр Ли и т. п. Од-
Однако при атом сохраняются не все свойства С. к. Sq'
(напр., вообще говоря, Sq°=^=ld) и единой общей теории
обобщенных операций Sq' до сих пор A984) нет (см.
[5], [6]).
Через С. к. и их аналоги при р>2 (см. Стинрода
приведенная степень) выражаются многие когомо-
логич. операции, действующие в группах когомологий
с коэффициентами в группах %2 и %р. Это определяет
основополагающую роль, к-рую С. к. играют в алгеб-
раич. топологии и ее приложениях. Напр., группы бор-
дизмое вычисляются с помощью С. к.
С. к. введен Н. Стинродом [4].
Лит.: [1] С т и н р о д Н.. ЭпстейнД., Когомологичес-
Когомологические операции, пер. с англ,, М., 1983; [2] Ф у к с Д. Б., Фо-
Фоменко А. Т., ГутенмахерВ. Л., Гомотопическая
топология, 2 изд., М., Д969; [3] М о ш е р Р. Э., Танго-
р а М. К., Когомологические операции и их приложения в тео-
теории гомотетий, пер. с англ., М., 1970; [4] Steenro d N. Е.,
«Ann. Math.», 1947, v. 48, p. 290—320; [5] E p s t e i n D., «Invent.
Math.», 1966, v. 1, №2, p. 152—208; [6] May J., в кн.: The
Steenrod algebra and its applications, B.—N. Y., 1970; [7] «Мате-
«Математика», 1961, т. 5, №2, с. 3—11, 11 — 30, 30—49, 50—102.
С. Я.' Малыгин, М. М. Постников.
СТИНРОДА ОПЕРАЦИЯ — общее название для ста-
стационарных когомологических операций, построенных Н.
Стинродом (см. [1]) для каждого простого р. Для р=2
это—Стинрода квадрат Sq', для р>2— Стинрода при-
приведенная степень ?р''. Операции Sq' мультипликативно
порождают Стинрода алгебру mod2, а операции 5s'
вместе с гомоморфизмом Бокштейна мультипликатив-
мультипликативно порождают алгебру Стинрода mod p.
Лит.: [1] Стинрод Н., «Математика», 1958, т. 2, в. 6,
с. 11—48; [2] Стинрод Н., Э п с т е й н Д., Когомологичес-
Когомологические операции, пер. с англ., М., 1983; [3] М ошер Р., Та н-
г о р а М., Когомологические операции и их приложения в тео-
теории гомотопий, пер. с англ., М., 1970. Ю. Б. Рудяк.
СТИНРОДА ПРИВЕДЕННАЯ СТЕПЕНЬ — стацио-
стационарная когомологическая операция 5*', s^O, типа {%р,
%р), где р — фиксированное нечетное простое число,
являющееся аналогом modp Стинрода квадрата, и
представляющая собой гомоморфизм
Р-':Н"(Х, Y; %р) -^ Ип + и 1р~1} (X, У; Ър),
определенный для каждой пары топологич. пространств
(X, Y) и любого натурального п. С. п. с. обладает сле-
следующими свойствами (кроме естественности /*53'=5S!7*
и стационарности 8^>' = 5"'б, где б: Цч (У; Z»)-»-
-+ЯЧ и-(X, У', Tip) пограничный гомоморфизм):
i)9i0=id;
2) если 2 t=dim x, то !р' х=хР;
3) если 2i>dim x, то cjl x = 0;

4) (формула К артанаM>'A, у)= ]?'_
5) (соотношения Адема)
1-1
при а < pb,
X \*J
где р — гомоморфизм Бокштейна, ассоциированный
с короткой точной последовательностью групп коэффи-
коэффициентов 0->~Жр-*-1,р2->-%р-+0, а (:)р — биномиальные
коэффициенты, приведенные по mod p.
Эти свойства аналогичны соответствующим свойст-
свойствам квадратов Стинрода, при этом операции 53' соот-
соответствует операция Sq-'. Так же, как и для квадратов
Стинрода, умножение в 4) можно считать как внешним
(Х-умножением), так и внутренним (U-умножением).
С. п. с. перестановочны с надстройкой и трансгрессией.
Свойства 1) —3) однозначно характеризуют $*',
а конструктивно они строятся аналогично квадратам
Стинрода с помощью минимального ациклического сво-
свободного цепного 2 „-комплекса W.
Лит.: И] СтинродН., Эпстейн Д., Когомологиче-
Когомологические операции, пер. с англ., М., 1983; 12] «Математика», 1961,
т. 5, Я: 2, с. 3—11, 11 — 30, 30—49, 50—102.
С. Н. Малыгин, М. М. Постников.
СТИНРОДА — ЭЙЛЕНБЕРГА АКСИОМЫ — основ-
основные свойства групп гомологии (когомологий), одно-
однозначно определяющих рассматриваемую теорию гомо-
гомологии (когомологий). На нек-рой категории пар (X, А)
топологич. пространств задана аксиоматиче-
аксиоматическая теория гомологии, если при любом
целом q каждой паре (X, А) сопоставлена абелева груп-
группа (или модуль над нек-рым кольцом) Hq (X, А), а каж-
каждому отображению / : (X, A)-+(Y, В) — гомоморфизм
/* : Hq(X, A) ->- Hg(Y, В) таким образом, что выполнены
следующие аксиомы:
1) /* — тождественный изоморфизм, если / — тож-
тождественный гомеоморфизм;
2) (?/)„=?„ /*, где g : (Y, B)-+ (Z, С);
3) определены связывающие гомоморфизмы д:
B~q{X, A)-+Hq-.1(A), причемdff=fltd (здесь А= (А, 0),
0 — пустое множество, а определяемое / отображе-
отображение А ->- В обозначено через /);
4) аксиома точности: гомологическая по-
последовательность ...->- Нд + 1 (X, А) ?_». Нд(А) 1%
Hq(X) ^U Нд(Х, А) ?__ Нч-г (А) ->..., где i : AcX,
j : Хс(Х, А) — естественные вложения, точна, т. е.
ядро каждого следующего гомоморфизма совпадает с
образом предыдущего;
5) аксиома гомотопии: /*=/* для го-
гомотопных в категории отображений /, /': (X, А) ->-
-+(У, В);
6) аксиом а вырезания: если замыкание r
X открытого в X подмножества U содержится во внут-
внутренности А, а вложение i: (X\U, A\U)cz (X, А) при-
принадлежит категории, то ц — изоморфизмы;
7) а к с и о м а размерности: lflf(P)=O при
5^=0 для любого одноточечного Р. Группа Н0(Р)
наз. обычно группой коэффициентов. Двойственным
образом определяются аксиоматич. когомологий (отоб-

ражеяиям / соответствуют гомоморфизмы /* : H4{Y,
В) —*¦ Н1(Х, А); связывающие гомоморфизмы имеют вид
д : ЦЧ(А) —>- Hi + l (X, А)).В категории компактных по-
полиэдров обычные гомологии и когомологий являются
единственными аксиоматич. теориями с данной группой
коэффициентов (теорема единственности). В категории
всех полиэдров теорема единственности справедлива
при дополнительном требовании, что гомологии (кого-
(когомологий) объединения открыто-замкнутых попарно не
пересекающихся подпространств естественно изоморф-
изоморфны прямой сумме гомологии (прямому произведению
когомологий) подпространств (аксиома аддитивности
Милнора). Имеется аксиоматич. описание гомологии
и когомологий и в более общих категориях топологич.
пространств (см. [2], [3]). Обобщенные теории когомоло-
когомологий удовлетворяют всем С.-Э. аксиомам (кроме раз-
размерности), но не определяются ими однозначно.
Лит.: [1] С т и н р о д Н., ЭйленбергС, Основания
алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [2] П е т к о-
в а С. В., «Матем. сб.», 1973, т. 90, № 4, с. 607—24; Гз] М а с-
с и У., Теория гомологии и когомологий, пер. с англ., М., 1981.
Е. Г. Скляренко.
СТИРАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ — см. в ст. Устра-
Устранимое множество.
СТИРЛИНГА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА—
полусумма Гаусса интерполяционной формулы для
интерполирования вперед по узлам ж0, xo-\-h, ,т0—
—h, . . ., xQ-\-nh, xa—nh в точке x==xu-^th
2n (х0 + th) = /о +
\ -~
I. fin t (t*-l)...[t*-(n-ty](t-n)
"¦"'О Bn)l
и формулы Гаусса того же порядка для интерполирова-
интерполирования назад по узлам х0, xo—k, xo-\-k, . . ., xo—nh, xo-\-
-\-nh
Л. fin t(i'-i)...lt'-(n-l)'Ut + n)
"""'О Bп)!
С использованием обозначения
/0 =jlJl/! +/-1/2J
С. и. ф. имеет следующий вид:
L2n (z)^L ^
i /(^-1)...[*'-(я-1)'] .,„_, I4t'-l)...[t'--(n-ir]
' Bn-l)! 'o ' Bn)f 'o '
При малых t С. и. ф. является более точной по срав-
сравнению с другими интерполяционными формулами.
Лит.: [1]Б е р е з и н И. С, Жидков Н. П., Методы
вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966. М. К. Самарин.
СТИРЛИНГА ФОРМУЛА — асимптотическое пред-
представление, позволяющее находить приближенные зна-
значения факториалов д! = 1.2-. . . -п и гамма-функции
при больших значениях п и имеющее вид:
п! = уг2лпппе-пев<'», (*)
где |8 ('01<"Г2~- Имеют место асимптотич. равенства
п\ « У~2лп п"е~п, п—>-оо,
Г(г+1) ^Упггге-*, Re z —>-+оо,
означающие, что при п —>-оо или Re z —»—| - оо отношение
левой и правой частей стремится к единице.
Представление (*) получено Дж. Стирлингом (J.
Stirling, 1730). Е. Д. Соломенцев.
СТОКСА ТЕОРЕМА — теорема, устанавливающая
связь между потоком векторного поля через ориенти-
ориентированную поверхность с циркуляцией этого поля но
краю поверхности. д, д. Кудрявцев.

СТОКСА ФОРМУЛА — 1) формула, выражающая
связь между потоком векторного поля через двумерное
ориентированное многообразие и циркуляцию этого по-
поля по соответствующим образом ориентированному краю
этого многообразия. Пусть S — ориентированная кусоч-
кусочно гладкая поверхность, v= (cos a, cos р\ cos у) — еди-
единичная нормаль к поверхности S (в тех точках, конеч-
конечно, где она существует), задающая ориентацию S,
и пусть край поверхности S состоит из конечного числа
кусочно гладких контуров. Через dS обозначен край
поверхности S, ориентированный с помощью единич-
единичного касательного к нему вектора т так, чтобы получаю-
получающаяся ориентация края dS была согласована с ориента-
ориентацией v поверхности S.
Если а= (Р, Q, й) — непрерывно дифференцируемое
в окрестности поверхности S векторное поле, то
(rota, v)dS=[ (a,x)ds (*)
s J dS
(dS — элемент площади поверхности S, ds — дифферен-
дифференциал длины дуги края OS поверхности 5) или, в коор-
координатном виде:
I cos a cos p cos у
* JL JL JL
Ox i)y in
P Q R
dS—\ P d.r + Q dy 4- R dz
¦J as
Предложена Дж. Стоксом (G. Stokes, 1854). 2)C. ф.
яаз. также обобщение формулы (*), представляющее
собой равенство интеграла от внешнего дифференциала
дифференциальной формы ш по ориентированному ком-
компактному многообразию М и интеграла от самой формы
и по ориентированному согласованно с ориентацией
многообразия М краю дМ многообразия М:
\ d«) = \ со.
Частными случаями этой формулы являются Ньюто-
Ньютона — Лейбница формула, Грина формула, Остроград-
Остроградского формула. Л. Д. Кудрявцев.
СТОКСА ЯВЛЕНИЕ — свойство функции / (г) иметь
различные асимптотические выражения при \z\—>-oo
в различных областях комплексной плоскости z. Дж.
Стоке показал [1], что решение k'0(z) т. н. уравнения
Эйри:
w" — zw=-0,
убывающее при действительных z = x ->+ оо, имеет асим-
асимптотику при \z\ —>-oo:
| argz | <я—-е < л;
wo(z) ~ CViMz-i,4C0s^_!_z3/2_5.4\ ,
| argz —я |< e < л,
где СфО — постоянная; функция wo(z) — целая, а
ее асимптотика — разрывная функция.
С. я. имеет место для интегралов Лапласа, решений
обыкновенных дифференциальных уравнений и т. д,
(см. [2], [3]).
Лит.: [1] S t о k e s G. G., «Trans. Cambridge Phil. Soc»,
1864, v. 10, p. 106—28: 12] X e ц и и г Д ж., Введение в метод
фазовых интегралов (Метод ВКБ), пер. с англ., М., 1965; [3]
Брёйн д е Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер.
с англ., М., 1981. М. В. Федорюк.
СТОУНА ПРОСТРАНСТВО булевой алгебры S3 —
вполне несвязное бикомпактное пространство (X, т),
поле всех открыто-замкнутых множеств к-рого изоморф-
изоморфно Si. Это пространство канонически определяется по
<В следующим образом: X есть множество всех ультра-
ультрафильтров Si, а топология т порождена семействои под-
подмножеств вида {1?Х : Л??}, где А — произвольный

элемент Si. Вместо ультрафильтров можно использо-
вать множества максимальных идеалов, двузначных
гомоморфизмов, двузначных мер на Si с соответствую-
соответствующей топологией. Изоморфные булевы алгебры имеют
гомеоморфные С. п. Каждое вполне несвязное бикомпакт-
бикомпактное пространство есть С. п. булевой алгебры своих от-
открыто-замкнутых множеств.
Понятие С. п. и основные его свойства найдены и
исследованы М. Стоуном (М. Stone, 1934—37, см. [1]).
С. п. булевой алгебры метризуемо тогда и только тог-
тогда, когда она счетна. Булева алгебра полна тогда и
только тогда, когда ее С. п. экстремально несвязно (т. е.
замыкание любого открытого множества в нем открыто).
Канторово совершенное множество есть С. п. счетной
безатомной бесконечной булевой алгебры (все они изо-
изоморфны). Канторов обобщенный дисконтинуум Dm есть
С. п. свободной булевой алгебры с т образующими.
Лит.: [1] Сикорский Р., Булевы алгебры, пер. с англ.,
М., 1969. . В. И. Малыхин.
СТОУНА РЕШЕТКА — дистрибутивная решетка L
с псевдодополнениями (см. Решетка с дополнениями),
в к-рой а*-\-а** = 1 для всех a?L. Дистрибутивная
решетка L с псевдодополнениями является С. р. тогда
и только тогда, когда теоретико-структурное объедине-
объединение двух ее различных минимальных простых идеалов
совпадает с L (теорема Гретцера — Шмид-
Шмидта, [3]).
С. р., рассматриваемая как универсальная алгебра
с основными операциями <V,A,*, 0, 1>, наз. алгеб-
алгеброй Стоуна. Всякая алгебра Стоуна является
подпрямым произведением двухэлементных и трех-
трехэлементных цепей. В решетке с псевдодополнениями
элемент х наз. плотным, если х* = 0. Центр С (L)
решетки Стоуна L — булева алгебра, а множество D (L)
всех ее плотных элементов — дистрибутивная решетка
с единицей. При этом гомоморфизм ф? решетки С (L) в
решетку F (D (L)) фильтров решетки D (L), определя-
определяемый условием
сохраняет 0 и 1.
Тройкой, ассоциированной с алгеброй Стоуна
L, наз. тройка (С (L), D (L), ф?). Естественным обра-
образом определяются гомоморфизмы и изоморфизмы троек.
Произвольная тройка (С, D, <р), где С — булева ал-
алгебра, D —дистрибутивная решетка с 1, а ф: С-*¦ F
(D) — гомоморфизм, сохраняющий 0 и 1, изоморфна
тройке, ассоциированной с нек-рой алгеброй Стоуна;
алгебры Стоуна изоморфны тогда и только тогда, когда
изоморфны ассоциированные с ними тройки (теоре-
(теорема Чена — Гретцера, [2]).
Лит.: [1]Биркгоф Г., Теория решеток, пер. с англ., М.,
1984; [2] С h e n С. С, Gratzer G., «Canad. J. Math.»,
1969, v. 21, № 4, p. 884—903; [3] Gratzer G., Schmidt
E. Т., «Acta math. Acad. sci. hung.», 1957, v. 8, fasc. 3—4,
p. 455—60; [4] Фофанова Т. С., в кн.: Упорядоченные
множества и решетки, в. 3, Саратов, 1975, с. 22—40.
Т. С. Фофанова.
СТОУНА — ЧЕХА БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕ-
РАСШИРЕНИЕ — наибольшее бикомпактное расширение РХ
вполне регулярного топологич. пространства X. По-
Построено Э. Чехом [1] и М. Стоуном [2].
Пусть {fa '¦ X -*¦ [0,1]}а«А — множество всех не-
непрерывных функций X —>-[0,1]. Отображение ц>:Х ->- ИА,
где ф (ж)а — fa (x), является гомеоморфизмом на свой
образ. Тогда, по определению, EХ = [ф(Х)] (где [ •] —
операция замыкания). Для любого бикомпактного рас-
расширения ЪХ существует непрерывное отображение
РХ -*¦ ЪХ, тождественное на X, что и выражается
эпитетом «наибольшее».
С.—Ч. б. р. квазинормального пространства совпа-
совпадает с его Уолмена бикомпактным расширением.
Лит.: [1] С ech E., «Ann. Math.», 1937, v. 38, p. 823—44;
[2] Stone M., «Trans. Amer. Soc», 1937, v. 41, p. 375—

481; [з! Engelking R., Outline of general topology, Amst.,
1968; [4] Александров П. С, «Успехи матем. наук»,
I960, т. 15, в. 2, с. 25—95. И. Г. Ношевникоеа.
СТОХАСТИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ- метод
решения класса задач статистич. оценивания, в к-ром
новое значение оценки представляет собой поправку к
уже имеющейся оценке, основанную на новом наблю-
наблюдении. Первая процедура С. а. была предложена в
1951 X. Роббинсом(Н. Robbins)H С. Монро (S. Мопге).
Пусть каждое измерение Уп{Хп) функции R (х), х?
?RT, в точке Хп содержит случайную ошибку с нуле-
нулевым средним. Процедура С. а. Роббинс а—
Монро для нахождения корня уравнения R (х)=а
имеет вид
Xn + 1 = Xn + an{Yn{Xn)-a). A)
^ ^, функция R (х), напр., убывает,
1-й {х)\ растет не быстрее, чем линейная функция, а
случайные ошибки независимы, то Хп стремится к кор-
корню х0 уравнения R (х)=а. с вероятностью 1 и в среднем
квадратическом (см. [1], [2]). Из A) видно, что проце-
процедура С. а. рекуррентна, т. е. .получение нового значе-
значения оценки возможно без запоминания старых измере-
измерений У„, и удобна, когда неизвестно заранее, в какой
момент потребуется представление оценки — она фор-
формируется непрерывно на основании наблюдений, имею-
имеющихся к данному моменту. Эти черты сближают С. а.
с рекуррентными фильтрами и обусловливают популяр-
популярность С. а. в теоретических и прикладных работах. Про-
Процедура A) непосредственно обобщается на многомерный
случай.
Другая процедура С. а., применимая для нахожде-
нахождения точки максимума функции регрессии R (х), при-
принадлежит Дж. Киферу (J. Kiefer) и Дж. Вольфовицу
(J. Wolfowitz). Пусть Yn(x) —наблюдение в точке х.
Тогда процедура С. а. Кифера — Воль-
Вольфов и ц а имеет вид
B)
Доказывается, что Хп сходится к точке максимума
Ятах функции R (х), если, напр., R'(x)(x—xmax)<0 при
хфхтах, функция регрессии и дисперсия случайных
ошибок растут не слишком быстро при |ж|-»-а> и вы-
выполнены условия
2 arfn < °° , 2 ап I сп < «3 , сп —* 0.
Процедура С. а. Кифера — Вольфовица также допус-
допускает многомерное обобщение: вместо правой части в
B) следует подставить приближенное значение гради-
градиента функции Yn(x).
Процедуры С. а. естественным образом обобщаются
на непрерывный процесс наблюдений. Напр., если
процесс наблюдений возмущается гауссовским белым
шумом, то аналог процедуры A) имеет вид
dX(t) = a(t)dY(t),
где
dY(t) = R (X (t)) dt +a {X (t), t)dw(t)
— дифференциал наблюдаемого процесса, w (t) — ей-
перовский процесс. Условия сходимости непрерывных
процедур аналогичны приведенным выше условиям для
дискретного времени (см. [2]). Основным инструментом
доказательства сходимости процедур С. а. является
теорема о сходимости неотрицательных супермартин-
супермартингалов (см. Мартингал).
Изучалось предельное поведение при соответствую-
соответствующей нормировке разности Хп—х0 при ге-*-оо. Пусть в
A)
ап = ап-\ Yn(Xn)^R(Xn) + C{n, Хп, и)
и Хп->-х0 почти наверное при д->-оо. При нек-рых

ограничениях, основными из к-рых являются требова-
требования
R' (х0) < 0, аи' Ы+~ < О,
EG2(n, х, w)—+S0
при га—>-оо, ,т—kz0, доказывается асимптотич. нормаль-
нормальность с параметрами 0, a2S\ (—2aR'(x0) — 1) величины
2„= Уп (Хп—х0). Наименьшая дисперсия, предельного
распределения достигается при ao=—[R'{xo)]-1. Такой
выбор а невозможен, т. к. функция R (х) и ее производ-
производная неизвестны наблюдателю. Однако в ряде работ
построены адаптивные процедуры, в к-рых а = а(п) за-
зависит от наблюдений и приближается к а0 при п -*оо.
Эти процедуры обладают асимптотически оптимальными
в смысле асимптотич. дисперсии свойствами.
Результаты об асимптотич. нормальности известны
и в многомерном случае. Пусть все корни матрицы
. вн , . . 1 т
имеют отрицательные действительные части (/ — еди-
единичная матрица),
EG (и, х, ш) G* (п., х, ш) = S (п, х) —> So
при га ->-оо, х -*¦ х0 и Х„-*-х0 почти наверное, и врлполнены
нек-рые другие не слишком ограничительные условия.
Тогда вектор Zn — У~п(Хп—х0) асимптотически норма-
нормален с нулевым средним и ковариационной матрицей
5 = а2 [*exp(At)S<,exp(A*t)dt.
Приведенный выше результат об асимптотически
оптимальной процедуре Роббинса — Монро также
обобщен на многомерный случай. Доказано, что слу-
случайный процесс Zn сходится к гауссовскому марков-
марковскому процессу в логарифмич. масштабе. При нек-рых
условиях доказана сходимость моментов случайной
величины Х„ к моментам: предельного закона.
Процедуры типа С. а. удобны в непараметрич. ситуа-
ситуации, т. к. они применимы при наличии скудной апри-
априорной информации о функции регрессии. Однако они
применимы и для оценки параметра 8 плотности f(x, в)
по независимым наблюдениям Хг , . . . , Хп с этой
плотностью. При нек-рых ограничениях рекуррентная
процедура
е„ + 1-еп- ^-/-> @J grade In / (Хп + и в„)
(I (в) — информационная матрица Фишера плот-
плотности /) является состоятельной и асимптотически эф-
эффективной рекуррентной оценкой параметра 8. Ана-
Аналогичная процедура возможна и в случае непрерыв-
непрерывного времени.
Изучалось поведение процедур С. а. в случае, когда
функция регрессии имеет несколько нулей (несколько
точек экстремума), различные модификации и обобще-
обобщения процедур С. а.
Лит.: [1] В азан М., Стохастическая аппроксимация,
пер. с англ., М., 1972; ИНевельсоаМ. Б.,Хасьмин-
с к и й Р. 3., Стохастическая аппроксимация и рекуррентное
оценивание, М., 1972; [3] Ц ы п к и н Я. 3., Адаптация и обу-
обучение в автоматических системах, М., 1968; [4] е г о ж е, Осно-
Основы теории обучающих систем, М., 1970. Р. 3. Хааъминский.
СТОХАСТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — математиче-
математическая дисциплина, изучающая взаимоотношения между
геометрией и теорией вероятностей. С. г. развилась из
классич. интегральной геометрии и задач о геометри-
геометрических вероятностях с привнесением идей и методов
теории случайных процессов, в особенности теории то-
точечных процессов.
Одним из основных понятий С. г. является понятие
процесса геометрич. элементов (геометрич. процесса)

в нек-ром «основном» пространстве X; геометрйч. про-
процессы определяются как точечные процессы на много-
многообразиях, представляющих пространство соответству-
соответствующих элементов. Так, процессы прямых на плоскости
определяются как точечные процессы на листе Мёбиуса
(последний представляет пространство прямых на R2).
Рассматриваются также процессы d-мерных плоскостей
в R", процессы выпуклых фигур в R", случайные моза-
мозаики в R" (последние можно рассматривать как процессы
выпуклых многогранников, в реализациях к-рых с ве-
вероятностью 1 внутренности многогранников не пересе-
пересекаются, а объединение их замыканий дают все R") и т. д.
Более общим понятием являются процессы многооб-
многообразий; здесь С. г. смыкается с теорией случайных мно-
множеств (см. [1]).
Другой особенностью, выделяющей С. г. из теории
случайных множеств, является интерес С. г. к геомет-
геометрйч. процессам с распределениями, инвариантными от-
относительно групп, действующих в основном пространст-
пространстве X. Характерным результатом в этом направлении
является следующий (см. [2]). Рассматривается класс
процессов прямых на R2, обладающих конечной интен-
интенсивностью и инвариантных относительно группы евкли-
евклидовых движений плоскости. Процесс наз. неосо-
неособенным, если его распределение Палма абсолютно
непрерывно относительно (безусловного) распределе-
распределения процесса. Все неособенные процессы прямых суть
дважды стохастические пуассоновские (т. е. пуассонов-
ские, управляемые случайной мерой). Для точечных
полей в R" это не имеет места.
Ряд столь же неожиданных свойств других геомет-
геометрйч. процессов, инвариантных относительно групп,
было обнаружено с помощью аппарата комбинаторной
интегральной геометрии (см. [3]). Способом усредне-
усреднения комбинаторных разложений по пространству реа-
реализаций процесса был получен, напр., следующий ре-
результат (см. [3]). Рассматривается случайное множест-
множество U на R2, представляющее собой объединение облас-
областей из нек-рого процесса выпуклых областей, инвариант-
инвариантного относительно евклидовой группы. Пусть U —
черное множество, его дополнение — белое. Альтер-
Альтернирующий процесс черных и белых интервалов, инду-
цируемь!й множеством U на прямой Ох, наз. черно-ре-
черно-рекуррентным, если:
а) белые интервалы а,- составляют независимый про-
процесс восстановления;
б) тройки F,-, a/, J3,), где 6,- — длина г-го черного
интервала, а,-, Р,- — углы пересечения Ох с 0U на концах
6,р, для разных i независимы.
При общих предположениях эргодичности и сущест-
существования нек-рых моментов, а также при отсутствии
прямолинейных участков на 3U, из черно-рекуррент-
ности следует, что длина белого интервала распределе-
распределена экспоненциально.
Важное значение в С. г. имеет развитое здесь понятие
«типичного» элемента данного геометрйч. процесса.
Рассматриваются задачи об описании распределений,
удовлетворяющих различным условиям «типичных»
/с-подмножеств элементов в геометрйч. процессах (при-
(пример такой задачи: найти распределение евклидово инва-
инвариантных характеристик «типичного» треугольника с
вершинами в реализациях точечного процесса, причем
требуется, чтобы внутренность треугольника содержа-
содержала бы I точек из реализации). Решение таких задач по-
получено для пуассоновских процессов. Подобные задачи
возникают, напр., в астрофизике.
Задачи т. н. стереологии также относятся к С. г.,
если они ставятся для процессов геометрйч. фигур.
(В стереологии требуется описать многомерный образ
но его сечениям прямыми или плоскостями меньшего
числа измерений.) Здесь имеются результаты по стере-
стереологии первой и второй моментной меры.

Выше были затронуты лишь наиболее характерные
задачи, т. к. границы С г. вряд ли можно точно опре-
определить. К С г. примыкают следующие области: гео-
метрич. статистика [4], теория (случайных) множеств
дробной размерности [5], математич. морфология и ана-
анализ изображений [6].
Лит.: [1] Матер он Ж., Случайные множества и инте-
интегральная геометрия, пер. с англ., М., 1978; [2] Н а г-
d i пд Е. F., К е n d а 1 1 D. G., Stochastic geometry, N. Y.,
1974; [3] A m b a r t z u m i a n R. V., Combinatorial integral
geometry, N. Y., 1982; [4] Rip ley B. D., Spatial statistics,
N. Y. —[a. o.], 1981; [5] Mandelbrot В. В„ Fractals:
Form, chance and dimension, S. F., 1977; [6] Serra J., Image
analysis and mathematical morphology, N. Y., 1982.
P. В. Амбарцумян,
СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ (вероят-
(вероятностная, статистическая) — зависимость
между случайными величинами, к-рая выражается в
изменении условных распределений любой из величин
при изменении значений других величин. Виды С. з.
многообразны: если случайные величины не являются
взаимно независимыми, то им в той или иной степени
свойственна С. з. Одним из наиболее общих типов С. з.
является корреляционная зависимость (см. Корреляция,
Регрессия). Из конкретных видов С. з. наиболее изу-
изучена марковская зависимость (см. Маркова цепь, Мар-
Марковский процесс, Марковское свойство).
См., кроме того, Случайный процесс, Стационарный
случайный процесс. А. В. Прохоров.
СТОХАСТИЧЕСКАЯ ИГРА — динамическая игра,
у к-рой переходная функция распределения не зави-
зависит от предыстории игры, т. е.
С и. были впервые определены Л. Шепли [1J, к-рый рас-
рассматривал антагонистич. Си. с интегральным выигры-
выигрышем (игры Шепли). В играх Шепли как множество
X состояний игры, так и множества элементарных стра-
стратегий игроков конечны и, кроме того, на любом шаге
при любом выборе игроками альтернатив имеется нену-
ненулевая вероятность окончания партии. Вследствие по-
последнего условия, партия с вероятностью 1 заканчивает-
заканчивается за конечное число шагов, и математич. ожидание вы-
выигрыша каждого из игроков конечно. Любая такая игра
обладает значением и оба игрока имеют стацио-
стационарные оптимальные стратегии,
т. е. стратегии, в к-рых выбор игроком элементарной
стратегии в каждом состоянии игры зависит лишь от
текущего состояния. Им же была указана процедура,
дающая возможность найти как значение игры, так и
оптимальные стратегии.
Рассматривались также Си., отличающиеся от игр
Шепли возможностью бесконечных партий, с пре-
предельным средним выигрышем, т. е.
антагонистич. С. и. с
hi {Р) = — h2(P)= lirn sup 'V — hi (Xk, s * ).
Было показано существование значения такой игры и
стационарных оптимальных стратегий в предположе-
предположении эргодичности марковской цепи, возникающей при
подстановке в переходные функции F (xk\xk-i, s{xh~i))
любых стационарных стратегий. Эти результаты обоб-
обобщались как в направлении снятия ограничений на чис-
число состояний и элементарных стратегий, так и на слу-
случай иных форм выигрышей.
Лит.: [1] S h а р 1 е у L. S., «Proc. Nat. Acad. Sci.», 1953,
v. 39, p. 1095—1100; [2) Gillette D., в кн.: Contributions
to the theory of games, v. 3, Princeton (N. J.), 1957, p. 179—87.
В. К. Доманский.
СТОХАСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА — квадратная (воз-
(возможно, бесконечная) матрица Р=||р/у|| с неотрицатель-
неотрицательными элементами такими, что
= 1 при любом I.

Множество всех С. м. п-то порядка представляет собой
выпуклую оболочку п" С. и., составленных из нулей и
единиц. Любую С. м. Р можно рассматривать как пере-
переходных вероятностей матрицу цепи Маркова %^(t) с
дискретным временем.
Абсолютные величины собственных значений С. м.
не превосходят единицы; единица является собствен-
собственным значением любой С. м. Если С. м. Р неразложима
(цепь Маркова l,p(t) имеет один положительный класс
состояний), то единица является простым собственным
значением матрицы Р (т. е. имеет кратность 1); в общем
случае кратность собственного значения 1 совпадает с
числом положительных классов цепи Маркова \р (t).
Если С. м. неразложима и положительный класс со-
состояний цепи Маркова имеет период d, то множество всех
собственных значений матрицы Р, как множество точек
комплексной плоскости, переходит в себя при повороте
на угол 2 л/d. При d=l С. м. Р и цепь Маркова ?,p(t)
наз. непериодическими.
Левые собственные векторы я={яу} С. м. Р конеч-
конечного порядка, соответствующие единичному собствен-
собственному значению:
Яу = 2;-я/РG ПРИ всех /, A)
и удовлетворяющие условиям я;->0, JV] • Яу=1, опреде-
определяют стационарные распределения цепи Маркова %p(t);
в случае неразложимой С. м. Р стационарное распреде-
распределение единственно.
Если Р —неразложимая непериодическая С. м.
конечного порядка, то существует
lim Р" = П, B)
где П — матрица, каждая строка к-рой совпадает с
вектором я (см. также Маркова цепь эргодическая;
для бесконечных С. м. Р система уравнений A) может
не иметь ненулевых решений, удовлетворяющих ус-
условию 2; Пу<со; в этом случае матрица П — нулевая).
Скорость сходимости в B) можно оценить геометрич.
прогрессией с любым показателем р, к-рый по модулю
больше всех собственных значений матрицы Р, отлич-
отличных от 1.
Если Р=||р/у|| — С. м. га-го порядка, то любое ее
собственное значение А, удовлетворяет неравенству
(см. [3]):
|Я — со | < 1 — <а, где ш — min рц.
1<г<п
Описано множество Мп, являющееся объединением
множеств собственных значений всех С. м. n-го поряд-
порядка (см. [4]).
С. м. Р= WpijW, удовлетворяющая дополнительному
условию
^j.p,y = l при всех /,
наз. дважды стохастической матри-
ц е й. Множество дважды стохастич. матриц n-го по-
порядка представляет собой выпуклую оболочку ге! пере-
перестановочных матриц n-го порядка (т. е. дважды стоха-
стохастич. матриц, составленных из нулей и единиц). Ста-
Стационарное распределение конечной цепи Маркова %p(t)
с дважды стохастич. матрицей Р является равномер-
равномерным.
Лит.: Ш Г а и т м а х е р Ф. Р., Теория матриц, 3 изд.,
М., 1967; [2] Беллмая Р., Введение в теорию матриц, пер.
с англ., М., 1969; [3] Маркус М., М и н к X., Обзор по тео-
теории матриц и матричных неравенств, пер. с англ., М., 1972;
14] К а р п е л е в и ч Ф. И., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1951, т. 15, с. 381—83. А. М. Зубков.
СТОХАСТИЧЕСКАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ — свойство
выборочных функций случайного процесса. Случайный
процесс X (t), заданный на нек-ром множестве T^R1,

наа. стохастически непрерывным на
этом множестве, если для любого р>0 при всех to?T
lim Р{р[Х(<), X(t0)] > e} = 0,
t-*ta
где р — расстояние между точками в соответствующем
пространстве значений процесса X (t).
Лит.: [1] П р о х о р о в Ю. В., Розанов Ю, А., Тео-
Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973. А. В. Прохоров.
СТОХАСТИЧЕСКАЯ НЕРАЗЛИЧИМОСТЬ — свой-
свойство двух случайных процессов X— (Х/(ш))(>0 и У=
0, означающее, что случайное множество
является пренебрежимым, т. е. вероятность множества
{ш: Э*>0, что (ш, t)?{X=?Y}} равна нулю. Если X
и У стохастически неразличимы, то Xf=Yf (для всех
t^O, т. е. X и У — стохастически эквивалентны). Об-
Обратное, вообще говоря, неверно, но для процессов не-
непрерывных справа (слева) из стохастич. эквивалентно-
эквивалентности следует С. н.
Лит.: [1]Деллашери К., Емкости и случайные про-
процессы, пер. с франц., М., 1975. А. II. Ширяев.
СТОХАСТИЧЕСКАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ, огра-
ограниченность по вероятности,— свой-
свойство случайного процесса X (t), t? T, к-рое выражается
условием: для произвольного е>0 существует такое
С>0, что при всех t? T
Р {| X (t) | > С} < е. а. В. Прохоров.
СТОХАСТИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —
последовательность случайных величин Х—~ (Хп) п>\,
заданная на измеримом пространстве (Q, §г), с выделен-
выделенным на нем неубывающим семейством а-алгебр (§"„)п>1,
|"nSf, обладающих свойством согласованности (адап-
тированности): Хп при каждом п^1 ^"„-измеримы.
Для записи таких последовательностей часто ис-
используется обозначение Х= (X„, §rn)v>[, подчерки-
подчеркивающее измеримость Хп относительно ff n. Типичными
примерами С. п., заданных на вероятностном прост-
пространстве (Q, §", Р), являются марковские последова-
последовательности, мартингалы, семимартингалы и др. В слу-
случае непрерывного времени (когда дискретное время
гс>1 заменяется на t^O) соответствующая совокупность
объектов Х= {Xf, §"))j>o паз. стохастическим
процессом. А. Н. Ширяев.
СТОХАСТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ — то же, что
сходимость по вероятности.
СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ — отно-
отношение эквивалентности между случайными величинами,
различающимися лишь на множестве нулевой вероят-
вероятности. Точнее, случайные величины Xt и Х2, заданные
на* одном вероятностном пространстве (Q, ?F, Р),
наз. стохастически эквивалентны-
м и, если Р {Х1=Х2}=1. В большинстве задач теории
вероятностей имеют дело не с самими случайными вели-
величинами, а с классами эквивалентных случайных вели-
величин.
Случайные процессы X^t) и X2(t), t?T, определен-
определенные на одном вероятностном пространстве, наз. сто-
стохастически эквивалентными, если при
любом i? T имеет место С. э. между соответствующими
случайными величинами: Р {X1{t) = X2(t) }=1. По от-
отношению к случайным процессам Х±A) и X2(t), у к-рых
совпадают соответственные конечномерные распределе-
распределения, применим также термин «С. э.» в широком смысле.
А. В. Прохоров.
СТОХАСТИЧЕСКИЙ БАЗИС — полное вероятност-
вероятностное пространство (Q, jif, ?) с выделенным на нем неубы-
неубывающим семейством F= (sT)(>o под-ст-алгебр <jp^dFi
удовлетворяющих (т. н. обычным) условиям:
^непрерывность справа, fr1=IFf+(= П<ГС).
1 »>t s

2) пополненность, т. е. §~t содержит все подмно-
подмножества из JT Р-нулевой меры. Для С. б. используют
также обозначения (Q, §~, F, Р) или (Q, $, (,ft)<>0'Р)-
А. Н. Ширяев.
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГО-
АЛГОРИТМ — вычислительный алгоритм, включающий опе-
операции со случайными числами, вследствие чего резуль-
результат вычисления является случайным. Стохастическими
являются алгоритмы статистического моделирования,
используемые для численного исследования случайных
процессов и явлений, и алгоритмы Монте-Карло метода
для решения детерминированных задач: вычисления
интегралов, решения интегральных уравнений, крае-
краевых задач и т. д.
Особый класс С. в. а. составляют рандомизированные
вычислительные процедуры интерполяционных и квад-
квадратурных формул со случайными узлами. Рандомиза-
Рандомизация здесь обычно производится так, чтобы математич.
ожидание результата вычисления по С. в. а. равнялось
искомой величине. Окончательная оценка строится
путем осреднения результатов нескольких реализаций
С. в. а. (о погрешности и трудоемкости таких оценок
см. в статье Монте-Карло метод). Для задач большой
размерности рандомизация может дать существенную
экономию памяти времени ЭВМ (см. [1]—[4]). Это по-
показывают, в частности, оценки трудоемкости рандоми-
рандомизированного метода конечных сумм для решения ин-
интегральных уравнений 2-го рода (см. [4]). Особенно эф-
эффективны такие С. в. а. при использовании многопро-
многопроцессорных вычислительных систем, к-рые позволяют
строить одновременно несколько реализаций алгоритма.
Специальные С. в. а. строятся для реализации слу-
случайного поиска глобального экстремума функции мно-
многих переменных (см. [5]). Такие алгоритмы сравнитель-
сравнительно эффективны, если значение функции определяется
со случайной погрешностью.
Лит.: [1] Б а х в а л о в Н. С, Численные методы, 2 изд.,
т. 1, М., 1975; [2] Ермаков С. М., Метод Монте-Карло и
смежные вопросы, 2 изд., М., 1975; L3] Соболь И. М.,
Численные методы Монте-Карло, М., 1973; [4] Михай-
Михайлов Г. А., Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло,
Новосиб., 1974; [5] РасстригинЛ. А., Статистические
методы поиска, М., 1968. Г. А. Михайлов.
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ — случай-
случайная функция интервала dX, определяемая формулой
(dX)I=Xt-Xs, I = (s, t],
для каждого процесса Х= (Xt, §~t, P) из класса со-
мимартингалов S, рассматриваемых на стохастич. ба-
базисе (Q, §", (§~i)t>0, P). В семействе С. д. dS={dX :
X?S} вводятся: аддитивная (А), мультипликативная
(М) операции и операция умножения (Р) соответственно
по формулам:
(A)
Si
Ф dX (стохастический интег-
интеграл, где Ф — локально ограниченный процесс, согла-
согласованный С ПОТОКОМ (dF/)f>()),
(Р) dX-dY = d(XY)— XdY— YdX.
При этом оказывается, что
(dX-dY)(s, t]= I.i.p. у" (Xt —Xt )(Y,—Y, )
|4|->-0 ^( = 1 ' '-] ' '-1
где Д= (s=to<t1< ...<.tn=t)— произвольное разбиение
интервала (s, t], 1. i. p.— предел по вероятности, |Д| =
=max|i,-—?,-_! |.
В стохастическом исчислении важное место принад-
принадлежит правилу «дифференцирования» случайных функ-
функций, или формуле Ито: если X', . . ., Xn?S и
функция /=/(жъ . . ., хп)?С2, то процесс

Т2 j=1j (i)
где д[ частная производная по t-й координате. В част-
частности, из A) выводится, что если X?S, то
-f'(Xs_)AXs],
вная мартингаль
Формуле B) можно придать следующий вид:
где Xе — непрерывная мартингальная составляющая
X, ДХ^^-Х,..
f" I V \ j г у VI
\-^-S~ f L ' is
t(~V \ it I V \ * V 1 f" I
где [X, X]— квадратическая вариация X.
Лит.: [1] I to K., Watanabe Sh., Introduction to
stochastic differential equations в кн.: Proc. of Intern., Symp.
SDE Kyoto, 1976, N. Y.— ta. o], 1978, p. I—XXX; [2] Г и x-
ман И. И., Скороход А. В., Стохастические дифферен-
дифференциальные уравнения и их приложения, К., 1982. А. Н. Ширяев.
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл
«\HdX» по семимартингалу X, определенный для вся-
J
кого предсказуемого процесса локально ограниченного
H=(Hf, §~t). Одна из возможных конструкций С. и.
состоит в следующем. Сначала С. и. определяется для
простых предсказуемых процессов Н, имеющих вид
Hf :=h (ш) I,а (, (t), a < b.
В этом случае под С. и. \ Hs dXs (или (Н-X)t, или
с j о
\ .HsdXs) понимают величину
Отображение 7/~->Я -X, где
H-X = (H-X)U t^O,
допускает продолжение (обозначаемое И -X) на мно-
множество всех ограниченных предсказуемых функций,
обладающее следующими свойствами:
а) процесс (Н-X)i, t~^0, является непрерывным
справа и имеющим пределы слева;
б) Н~-+Н -X линейно, т. е.
(сН1+Нг,)-Х=с(Н1-Х) + Н2-Х;
в) если {//" } — последовательность предсказуемых
равномерно ограниченных функций, // — предсказуе-
предсказуемая функция и
sup| Я^— #J-^>0, t > 0,
то
(Hn-X)t^(H-X)v t>0.
При этом продолжение Н -X единственно в том смысле,
что если if~—>- а (Я) — другое отображение со свойст-
свойствами а) — в), то Л -X и а(Н) стохастически неразли-
неразличимы.
Определение

данное для функций fft=/i(co) /(o,b]U). имеет смысл для
любого процесса X, а не только' для семимартингала.
Продолжение Н -X с указанными свойствами а) — в)
на класс ограниченных предсказуемых процессов оказы-
оказывается возможным лишь для того случая, когда X есть
семимартингал. В этом смысле класс семимартингалов
является тем максимальным классом, для к-рого
определен С. и. с естественными свойствами а) — в).
Если X — семимартингал, а Т—Т(ш) — марковский
момент, то «остановленный» процесс Хт— (Xt/^T, jff)
также является семимартингалом и для всякого пред-
предсказуемого ограниченного процесса Н
Это свойство позволяет распространить определение
С. и. и на класс локально ограниченных предсказуемых
функций Н. Если Тп — локализующая (для Я) после-
последовательность марковских моментов, то Нтп ограни-
ограничены. Значит Я •/(г0 jit ограничены и
стохастически неотличим от Я/гг0 т ц -X (см. Стохас-
Стохастическая неразличимость). Поэтому существует такой
процесс Я -X, называемый снова С. и., что
Построенный Си. Н-Х обладает свойствами:
Н -X — семимартингал; отображение X—*- Я -X линей-
линейно; если X — процесс локально ограниченной вариа-
вариации, то таков же и интеграл Н-Х; при этом Н-Х со-
совпадает с интегралом Стилтьеса от Н по dX; А (Н-Х)=:
=НАХ; К-(Н-Х)=(КН)-Х.
В зависимости от дополнительных предположений
на X С. и. Я -X удается определить и для более широ-
широкого запаса функций Н. Напр., если X является ло-
локально квадратично интегрируемым мартингалом, то
С. и. Н -X (со свойствами а) — в)) можно определить
для любого предсказуемого процесса Н, обладающего
тем свойством, что процесс
локально интегрируем (здесь (X) — квадратическая
вариация X, т. е. такой предсказуемый возрастающий
процесс, что X2 — (X) есть локальный мартингал).
Дит.: [1] J а с о d J., Calcul stochastique et problemes de
martingales, В., 1979; [2] D e 1 1 а с h e г i e С, Meyer P.,
Probabilites et potentiel, v. 11, P., 1980. A. H. Ширяев,
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕРВАЛ — интервал одного
из видов:
Jo-, т]] = {(«, t):t^sO, а (ш)< t < т (ш)},
[а, т([ = {(ш, г):« 5з 0, а (ю)< t < т(ю)},
Jo-, tJ = {(co, «):*ЭгО, а(ш)< г<т(ш)},
Jo-, т[ = {(ш, t):t^sO, а(ш) < t < т(ш)},
где а=ст(ш) и т=т(ш) — два марковских момента,
определенных на измеримом пространстве (Q, §г), с
выделенным на нем неубывающим семейством F=
= (<F)t>o под-о-алгебр JFfSF-
Лит.: [1] Деллашери К., Емкости и случайные про-
процессы, пер. с франц., М., 1975. А. Н. Ширяев.
СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС —то же, что случай-
случайный процесс.
СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ для процесса Х= (Xt)t>n по вине-
ровскому процессу W= (Wj)t>0— уравнение вида
dXt = a(t, X)dt + b(t,X)dWu Xo = |, A)

где a(t, X) и b (t, X) — неупреждающие функционалы,
а случайная величина | играет роль начального зна-
значения. Различают два понятия решения С. д. у.—
сильное и слабое.
Пусть (Q, |Р, Р) — вероятностное пространство с
выделенным на нем неубывающим семейством а-алгебр
F==(ft)o0' И7=(И7<,^/)(>(| — винеровский про-
процесс. Говорят, что непрерывный стохастич. процесс
Х= (Xf, .IF/^sjO есть сильное решение С. д. у.
A) с коэффициентами сноса a(t, X), диффузии b (t, X)
и начальным значением |, если для каждого i>0 с
вероятностью единица
«(»,X)<fe + J'ob(e, X)dWs, B)
где подразумевается, что входящие в B) интегралы оп-
определены.
Первый общий результат относительно существова-
существования и единственности сильного решения С. д. у. вида
dXt = a (/, Xt)dt + b(t, Xt)dWt C)
был получен К. Ито (К. Но). Им было показано, что
если для каждого ?>0 функции a (t, х) и Ь (t, x) удов-
удовлетворяют по х условию Липшица и растут не быстрее,
чем линейно, то существует непрерывное решение X —
= (Xt, §~t)t^o уравнения C) и оно единственно в том
смысле, что если Y= (Yt, §~))t~^Q—другое непрерывное
решение, то ~"
P{sup| Xs — Ys\ > 0} = 0, t^sO.
$<Л
Для случая Ъ (t, x)ssconst измеримость и ограничен-
ограниченность коэффициента (вектора) сноса a {t, x) обеспечивает
существование и единственность сильного решения.
Уравнение dXt = a(t,X)dt-[-dWt, вообще говоря, по
имеет сильного решения для любого ограниченного
неупреждающего функционала a (t, X).
При рассмотрении понятия слабого решения С. д. у.
A) не фиксируются заранее вероятностное пространст-
пространство (Q, $~, Р) с семейством о-алгебр F = (,f ()(>0, вине-
ровский процесс W= (Wf, JF^x) и случайная величи-
величина |, а фиксируются лишь неупреждающие функцио-
функционалы a (t, X), b(t, X), определенные для непрерывных
функций Х= (Xt)t>0, функция распределения F (х)
(так сказать, начального значения). Тогда под сла-
слабым решением С. д. у. A) с заданными a (t, X),
Ь (t, X) и F (х) понимается набор объектов
0, W = (Wi)t>u, X = (Xt)t>0P),
где W= (W)t^,Q — винеровский процесс относительно
((dFf)*>0' P)> Й7 И -X связаны соотношением
Xt = X0Jr\' a(s, X) ds+V b(s, X)dWs,
JO JO
причем P {X04Z.x}=F (x). Иногда термин «слабое ре-
решение» относят лишь к процессу X, входящему в на-
набор Jl. Слабое решение С. д. у. A) существует при более
слабых допущениях. Достаточно, напр., чтобы
Ь2(*,ж)^с>0, а также непрерывности b2(t, x) по (?, х),
измеримости a (t, x) по ((, х) и ограниченности:
|a|+|6|<const.
Развитие теории стохастич. интегрирования (см.
Стохастический интеграл) по семимартингалам и слу-
случайным мерам привело к рассмотрению более общих
С. д. у., где в качестве порождающих выступают (по-
(помимо винеровского процесса) семимартингалы или слу-
случайные меры. Типичным результатом в этом направле-
направлении является следующий. Пусть (Q, §~, Р) — вероят-
вероятностное пространство, F= (?Ft)t>o — неубывающее се-
семейство ст-алгебр, Z= (Zt, dF/)i>0 есть w-мерный семи-

мартингал, G(t, X)=\\g'f(t, Х)\]ц — матрица, состоя-
щая из неупреждающих функционалов gi/ (t, X) таких,
что
где L\' растут (по t) не слишком быстро. Тогда С. д. у.
dX)=G(t, X) dZt, X0 = 0, имеет и притом единственное
сильное решение.
Если функции a (t, х) и Ъ (t, х), t~^0, x?R, удовлетво-
удовлетворяют (по х) условию Липшица и растут но быстрее, чем
линейно, то (единственное с точностью до стохасти-
стохастической эквивалентности) решение Х= (Xf)t^O С. д. у.
A) будет марковским процессом. Если, кроме того,
a(t, x) и b(t, x) непрерывны по совокупности перемен-
переменных, то этот процесс будет диффузионным. Тем самым
с помощью С. д. у., отправляясь лишь от винеровского
процесса, можно строить марковские и диффузионные
процессы.
При нек-рых дополнительных условиях гладкости
функций a (t, x) и Ь (t, x) решение (Xf)t^o С. д. у. A)
с начальным условием Хо=х таково, что функция u(s,
г)=Е/(Х*) при достаточно гладкой функции f (х) удов-
удовлетворяет в области s? @, t), x?R, обратному уравне-
уравнению Колмогорова
ди (м, х) . , . ди (s, х) , Ьг (s, х) &lu (s, х) _п
ralbx> ~i ШГ~ и
с граничным условием
limu (s, x) = f (x).
Лит.: [1] Г и х м а н И. И., Скороход А. В., Сто-
Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения,
К., 1982; 12] Л и п ц е р Р. Ш., Ширяев А. Н., Статисти-
Статистика случайных процессов, М., 1974. А. Н.Ширяев.
СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — раз-
раздел математического программирования, изучающий
теорию и методы решения условных экстремальных
задач при неполной информации о целях и ограниче-
ограничениях задачи. В схемы С. п. укладываются многочислен-
многочисленные практич. задачи управления, планирования и про-
проектирования. Методы С. п. могут быть также использо-
использованы для адаптации устройств и алгоритмов к случай-
случайно меняющемуся состоянию среды, где они функциони-
функционируют. Стохастич. модели оптимизации обычно более
адекватны реальным условиям выбора решений, чем
детерминированные постановки укстремальных задач.
Для построения рациональных стохастич. моделей
процессов управления необходимо, помимо статис-
тич. характеристик случайных параметров условий,
располагать еще данными о порядке поступления, хра-
хранения и использования информации, о допустимой оче-
очередности решений и о требованиях к качеству решений.
Различают одноэтапные, двухэтапные и многоэтапные
стохастич. задачи.
В одноэтапных задачах С. п. динамика
поступления исходной информации не играет роли, а
решение принимается один раз и пе корректируется.
Одноэтапные задачи классифицируются по типу целе-
целевого функционала, по характеру ограничений и по виду
решения. Чаще других в качестве целевой функции
используют вероятность попадания в нек-рую, вообще
говоря, случайную область (Р-мо д е л и) и математич.
ожидание или дисперсию нек-рой функции от решения
(соответственно М-и одели и V-u одели). Область
допустимых решений одноэтапной задачи С. п. опреде-
определяется жесткими, вероятностными или статистич. огра-
ограничениями. Ограничения задачи, к-рые должны вы-
выполняться при всех (или почти при всех) реализациях
случая, наз. жестки м и. Ограничения стохастич.
задач наз. вероятностны м и, если допустимы
невязки в условиях задачи с вероятностью, не превы-

шающей заданной величины. Ограничения наз. ста-
статистическими, если по содержательным сооб-
соображениям требуется только, чтобы они удовлетворя-
удовлетворялись в среднем.
Одноэтапные задачи различаются также в зависимос-
зависимости от того, принимается ли решение до или после на-
наблюдения реализаций исходных данных. В первом слу-
случае решение определяется в виде детерминированного
вектора, а во втором — в виде «решающего правила» —
функции от случайных параметров условий задачи.
Исследуются прямые и косвенные методы ре-
решения одноэтапных задач С. п. Прямые методы —
это итеративные процедуры, позволяющие по наблю-
наблюдениям последовательных реализаций условий приб-
приближаться к решению задачи. Прямые методы интерпре-
интерпретируются в содержательных терминах как методы адап-
адаптации. Эти методы обобщают т. н. схемы стохастической
аппроксимации. Косвенные методы сводятся к построе-
построению детерминированных эквивалентов стохастич. за-
задач и к использованию известных методов детермини-
детерминированного математич. программирования. Как прямые,
так и косвенные методы эффективны в тех случаях,
когда детерминированный эквивалент представляет
собой задачу выпуклого программирования.
Двухэтапные задачи С. п. представляют
собой наиболее распространенные модели процессов
управления в условиях неполной информации. Двух-
Двухэтапные модели обобщаются на стохастич. задачи раз-
различной информационной структуры, отражающей воз-
возможные аспекты динамики накопления информации и
выбора и корректирования решений. Теория многоэтап-
многоэтапных стохастич. моделей охватывает, в частности, мар-
марковское программирование (см., напр., [6]) и стохасти-
стохастическое дискретное оптимальное управление.
Теория и методы С. п. обобщаются на ряд классов
стохастического оптимального управления (см. [5]).
Лит.: [1] Юдин Д. Б., Математические методы управле-
управления в условиях неполной информации, М., 1974; [2] Д ы н-
кин Е. Б., Юшкевич А. А., Управляемые марковские
процессы и их приложения, М., 1975; [3] Ермольев Ю. М.,
Методы стохастического программирования, М., 1976; [4] А р-
к и а В. И., Е в с т и г и е е в И. В., Вероятностные модели
управления и экономической динамики, М., 1979; [5]
ЮдняД. В., Задачи и методы стохастического программиро-
программирования, М., 1979; [6] Ю д и н Д. Б., Юдин А. Д., Экстре-
Экстремальные модели в экономике, М., 1979. Д. Б. Юдин.
СТРАННЫЙ АТТРАКТОР — аттрактор (т. е. при-
притягивающее множество динамической системы.) со
сложной структурой. Аттрактор — компактное
инвариантное подмножество фазового пространства,
к-рое асимптотически устойчиво, т. е. оно устойчиво по
Ляпунову, и все траектории из нек-рой его окрестности
стремятся к нему при ?—>-оо. (Иногда в понятие аттрак-
аттрактора устойчивость но Ляпунову не включается, однако
практически важные аттракторы обладают этим свой-
свойством.) Сложная структура — выражение несколько
неопределенное, с чем связана и нек-рая неопределен-
неопределенность термина С. а. Для гладких динамич. систем тео-
теоретически изучены два типа С. а., сохраняющихся при
малых возмущениях,— аттракторы, являющиеся ги-
гиперболическими множествами, и Лоренца аттрактор,
в связи с к-рым был введен и сам термин С. а. В обоих
этих примерах С. а. обладает топологической транзи-
транзитивностью; возможно, это или какое-то родственное
свойство следует включать в понятие С. а. На основа-
основании численных экспериментов можно предполагать су-
существование многих других типов С. а., по-видимому,
тоже «выдерживающих» малые возмущения, однако
ситуация с ними не выяснена с достаточной полнотой.
Так, в одном из первых экспериментов появился а т-
трактор Энона (см. [2]), однако близко к нему
имеются устойчивые периодич. траектории, и не исклю-
исключено, что именно к ним стремится большинство траек-
траекторий. При нек-рой модификации этого примера полу-

чается аттрактор Лози (см. [3]), существование
к-рого может быть строго доказано, но в этом примере
гладкость динамич. системы кое-где нарушается.
Лит.: [1] МарсденДж., М а к -К р а к е н М., Би-
Бифуркация рождения цикла и ее приложения, пер. с англ., М.,
1980; [2] Странные аттракторы. Сб. ст., пер. с англ., М., 1981;
[3] L о z i R., «J. de Physique», 1978, ser. С, t. 39, № 5, p. 9—10.
Д. В. Аносов.
СТРАТЕГИЯ в теории иг р—возможный в со-
соответствии с правилами стратегич. игры способ дей-
действия игрока или коалиции действия (см. Игр теория).
В играх в нормальной форме (см. Бескоа-
Бескоалиционная игра) непосредственное описание множеств
стратегий входит в «правила» игры. В позиционных
играх (см. также Динамическая игра) С. не задаются
непосредственно правилами игры, а определяются на
их основе косвенным образом. Если в бескоалиционной
игре выбор стратегий фиксирован (напр., нек-рым
принципом оптимальности), то игра прев-
превращается в нестратегическую [си. Кооперативная игра).
СТРАТИФИКАЦИЯ — разложение многообразия
(может быть, бесконечномерного) на связные подмного-
подмногообразия, размерности к-рых строго убывают.
М. И. Войцеховский,
СТРЕЛЬБЫ МЕТОД — численный метод решения
краевой задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения, основанный на нек-рой специальной пара-
параметризации задачи. См. Пристрелки метод.
СТРОГАЯ ЭРГОДИЧНОСТЬ топологической дина-
динамической системы в узком смысле (потока или каска-
каскада) — свойство, рассматриваемое в эргодической тео-
теории. Оно состоит в следующем: 1) система имеет един-
единственную инвариантную нормированную меру и. (сов-
(совместимую с топологией); 2) |х(?/)>0 для любого непу-
непустого открытого множества U; 3) для любой ограни-
ограниченной непрерывной функции / ее временные средние
вдоль любой траектории стремятся к J/d|x. Хотя при-
приведенное определение имеет смысл независимо от каких-
либо ограничений на фазовое пространство W, практи-
практически оно применяется тогда, когда W — полное сепара-
бельное метрич. пространство (обычно даже метрич.
компакт). В этом случае С. э. означает, что W представ-
представляет собой эргодическое множество. Из С. э. следует,
что W является минимальным множеством (но не об-
обратно). Любой эргодич. поток или каскад в Лебега про-
пространстве метрически изоморфен нек-рому топологич.
потоку или каскаду со свойством С. э.
Иногда под С. э. понимается одно только свойство 1);
в этом смысле употребляется также термин о д н о э р-
ГОДИЧНОСТЬ. Д. В. Аносов.
СТРОГОЙ ИМПЛИКАЦИИ ИСЧИСЛЕНИЕ — логи-
логическое исчисление, основанное на строгой ид.
п л и к а ц и и, т. е. логической операции, соответству-
соответствующей союзу «если..., то...». Для строгой импликации
устраняются (полностью или частично) т. н. «парадок-
«парадоксы (материальной) импликации»*, ложное высказыва-
высказывание имплицирует (влечет) любое высказывание и ис-
истинное высказывание имплицируется любым высказы-
высказыванием.
С. и. и. ставит своей целью отразить связь по смыслу
между посылкой и заключением условного предложе-
предложения. Существует целый ряд С. и. и. (исчисления Льюи-
Льюиса, Аккермана и т. д.), отличающихся друг от друга тем,
что в одних выводимы формулы, невыводимые в других
(напр., в исчислениях Льюиса «парадоксы импликации»
устраняются лишь частично, в то время как в исчис-
исчислении Аккермана они устраняются полностью). С. и. и.
тесно связано с формализацией модальных выражений
(«возможно», «невозможно», «необходимо» и т. д.); в
одних исчислениях строгая импликация выражается
через модальности, а в других, наоборот, модальности
выражаются через строгую импликацию.

Лит.: [1] Фейс Р., Модальная логика, пер. с англ., М.,
1974- [2] Lewis С. Г., L a n g t о г d С. Н., Symbolic logic,
N. Y.—L., 1932- [3] А с k e r m a n n W., «J. Symbolic Logic»,
1956, v. 21, № 2, p, 113—28. В. В. Донченко.
СТРОФОИДА — плоская алгебраич. кривая 3-го по-
порядка, уравнение к-рой в декартовых прямоугольных
координатах Аа имеет вид:
2 _ 2 Л + Х
" d — X '
в полярных координатах:
"
COS ф
Начало координат — узловая точка с
касательными ;/=±х (см. рис.). Асимп-
Асимптота x=d. Площадь петли:
Площадь между кривой и асимптотой:
С. относится к т. н. узлам.
Лит.: [1] С а в с л о в А. А., Плоские кривые, М., I960;
[2] С м о г о р ж е в с к и й А. С, С т о л о в а В. С, Спра-
Справочник по теории кривых третьего порядка, М., 1961.
Д. Д. Соколов.
СТРУВЕ ФУНКЦИЯ — функция
sm(zcost)sin*vtdl,
Re v > —1/2,
удовлетворяющая неоднородному уравнению Бесселя:
Разложение в стеленной ряд:
2 (z/2)v + 1 П_
3 Bv +3) ' 3-5Bv + 3)B
})Bv + 5) •••J-
С. ф. целого порядка п связана с Вебера функцией
следующими соотношениями:
Н0(г) = -?„(г), Н1(г) = 2/Я-Л'1 (г),
2 л
 \ ) — ч*г ~~~~ ^-'2'^/"*' •
on
С. ф, порядка «+1/2 (п — целое число) являются эле-
элементарными функциями, напр.
1 -cos г
При (
где Ny(z)~HeUMana функция.
Модифицированная
Струве — функция
имеет место асимптотич. разложение
, M2v-1) , l-3-Bv-l)Bv-3) , 1
¦f—гг—+ jj +...J,
функция
Ее разложение в ряд:
»=r4)v+V
(г/2J
Для больших \z'\ имеет место асимптотич. разложение
Lv(z) — /-v(«) ~ IT .
где /_v — модифицированная функция Бесселя.
С. ф. иногда обозначается Sv(z). Функцию ввел
X. Струве [1].

Лит.: [1] Struvo H., «Ann. der Physik und Chemie»,
1882, Bd .17, S. 1008—16; [2] Я н к е Е., Э м д е Ф., Л ё ш Ф.,
Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем.,
3 изд., М., 1977; [3J Справочник по специальным функциям
с формулами, графиками и математическими таблицами, пер.
с англ., М., 1979. А. Б. Иванов.
СТРУКТУРА — 1) С, математическая
структура,— родовое название, объединяющее
понятия, общей чертой к-рых является то, что они при-
применимы к множествам, природа элементов к-рых не
определена. Чтобы определить С, задают отношения,
в к-рых находятся элементы множества (типовая
характеристика С), затем постулируют, что
данные отношения удовлетворяют условиям — а к-
с и о м а м С.
Лит.: [1] Б у р.б а к и Н., Очерки по истории математики,
пер. с франц., М., 1963; [2] е г о ж с, Теория множеств, пер.
с франц., М., 1965. М. И. Войцеховский.
2) С.— то же, что решетка.
3) С. на многообразии, геометричес-
геометрическая величина, поле геометрических
объектов,— сечение расслоения, ассоциирован-
ассоциированного с главным расслоением кореперов многообра-
многообразия М. Интуитивно геометрич. величину можно рас-
рассматривать как величину, значение к-рой зависит не
только от точки х многообразия М, но и от выбора коре-
пера — инфинитезимальной системы координат в точ-
точке х (см. Карта).
Более подробно, пусть GLk(n) — общая дифферен-
дифференциальная группа порядка к (группа А-струй в нуле пре-
преобразований пространства R", сохраняющих начало ко-
координат), Af/j — многообразие кореперов порядка к
re-мерного многообразия М (т. е. многообразие /с-струй
fx{u) локальных карт и : MzdU -*¦ R" с началом в точ-
точке г=ц-1@)). Группа GLk(n) действует слева на много-
многообразии Affc по формуле
и это действие определяет в М^ структуру главного
&?&(гс)-расслоения nk : М^-*- М, называемого рас-
расслоением кореперов порядка к.
Пусть W — произвольное (?Ь*(ге)-многообразие, т. е.
многообразие с левым действием группы GLk{n). Пусть,
наконец, W(M) — пространство орбит левого дей-
действия группы GLk(n) в MfeX W, а п^ — его естествен-
естественная проекция на М. Расслоение nw: W (М) ->- М (ас-
(ассоциированное с Mk aW) наз. расслоением гео-
геометрических структур порядка
<fe и типа W, а его сечения — структурами
типа W. С. типа W находятся в естественном взаимно
однозначном соответствии с (?//&(п)-эквивариантными
отображениями S : М^ —>¦ W. Таким образом, С. типа
W можно рассматривать как W-значную функцию S
на многообразии М^ ft-реперов, удовлетворяющую сле-
следующему условию эквивариантности:
S
Расслоение nw геометрич. объектов является естест-
естественным расслоением в том смысле, что группа диффео-
диффеоморфизмов Многообразия М действует как группа авто-
автоморфизмов kw.
Если W есть векторное пространство с линейным (со-
(соответственно аффинным) действием группы GLfe(n), то
С. типа W наз. линейными (соответственно а ф-
ф и н н ы м и).
Основными примерами линейных С. 1-го порядка яв-
являются тензорные С, или тензорные поля. Пусть
y=R", V*=Hom (V, R) и У? = ((®рУ))®((®9У*)) —
пространство тензоров типа (р, д) с естественным тен-
тензорным представлением группы GL 1{n) = GL{n). С. ти-
типа Vpq наз. тензорным полем т и п а (р, q).
Ее можно рассматривать как вектор-функцию на много-
многообразии кореиеров Мг, сопоставляющую кореперу

0 -/*(«)= (du1, ¦ ¦ -. du») набор координат S (Щ^Р
тензора 5 (9) ? F^, относительно стандартного базиса
eiB
e*h
е*'р}
iB ® e ®-
г
пространства Vpq. При линейном преобразовании коро-
nepa9-*-g0= (ga dua) координаты ?]'¦ "j? преобразуют-
преобразуются по тензорному представлению:
Важнейшим примером тензорных С. являются век-
векторное поле, дифференциальная форма, риманова метри-
метрика, симплектическая структура, комплексная структу-
структура и, более общо, аффинор. Все линейные С. (любых
порядков) исчерпываются сверхтензорами Рашевско-
го [4]. Примером аффинной С. 2-го порядка служит
аффинная связность без кручения, к-рую можно
рассматривать как С. типа У^,, где V^ ~V(g)S*V* —
ядро естественного гомоморфизма GL 2(«) —>- GL 1(ге), рас-
рассматриваемое как векторное пространство с естествен-
естественным действием группы GL 2(n) = GL (n)v}z). Широким и
важным классом С. является класс инфините-
зимально однородных структур, или
G-структур, — структур типа W, где W=GL*(n)/G—
однородное пространство группы GLk{n).
Приведенное выше определение С. оказывается не-
недостаточно общим и не охватывает ряд важных геомет-
рич. С.— спинорную С, симплектическую спинорную
С. и др. Естественное обобщение состоит в рассмотрении
обобщенных G-структур — главных расслоений, го-
гомоморфно отображающих на G-структуру, и сечений ас-
ассоциированных с ними расслоений.
Лит.: Ш Рашевский П., «Тр. сем. по вект. и тснз
анализу...», 1933, в. 1, с. 126—42; [2] Вагнер В., «Докл
АН СССР», 1945, т. 46, № 9, с. 383—86; [3] Веб лен О.
Уайтхед Д ж., Основания дифференциальной геометрии
пер. с англ., М., 1949; [4) Р а ш е в с к и й П. К., «Тр. Моск.
матем. об-ва», 1957, т. 6, с. 337—70; [5] С т е р н б о р г С, Лек-
Лекции по дифференциальной геометрии, пер. о англ., М., 1970;
[6] Е h r e s m a n n С п., «Geometric diff. Coll. internat. du
Centre Nat. de la recherche Sci.», 1953, p. 97—110.
Д. В. Алексеевский.
G-СТРУКТУРА на многообразии — глав-
главное подрасслоение расслоения кореперов многообразия
со структурной группой G. Более подробно, пусть nk:
Mf.-*- M — главное С?*(и)-расслоение всех кореперов
порядка к га-мерного многообразия М и G — подгруп-
подгруппа общей дифференциальной группы GLk(n) порядка
к. Подмногообразие Р многообразия й-кореперов Mk
задает G-структуру порядка к к—пщр'. Р —>¦ М, если
к есть главное G-расслоение, т. е. слои отображения
л являются орбитами группы G. Напр., сечение х \-*
н>Ил; расслоения п^ (поле кореперов) определяет G-
структуру P={gux, x?M, g?G}, наз. G-структурой,
порожденной полем кореперов. Локально любая G-
структура порождается полем кореперов. Стандарт-
Стандартной плоской G-структурой наз. G-струк-
тура в пространстве V=R", порождаемая полем коре-
кореперов х (-» jx(id), где id : V —>¦ V — тождественное отоб-
отображение.
Пусть я : Р -»- М есть G-C. Отображение многооб-
многообразия Р в точку eG ? GLk (n)lG продолжается до
С?/*(га)-эквивариантного отображения S :Мк-^-СЬк(п)/С,
к-рое можно рассматривать как структуру типа
GLk(n)IG на М. Если однородное пространство GLk(n)lG
вкладывается в качестве орбиты в векторное простран-
пространство W с линейным действием группы GLk(n), то струк-
структуру S можно рассматривать как линейную структуру
типа W. Она наз. тензором Бернара G-C.
я и часто отождествляется с последней. Обратно, пусть
S : Affc—>- W — линейная геометрич. структура типа
W (напр., тензорное поле), причем S (М^) принадлежит

одной орбите GL*(n)w0 группы GLk{n).Тогда P=S~1(w0)
есть <?-С, где G — стабилизатор точки w0 в GLk(n),
и 5 является ее тензором Бернара. Напр., риманова
метрика задает О («(-структуру, почти, симплектич.
структура — Sp(^, К)-структуру, почти комплексная
структура — GL ('^,С)-структуру, аффинная связ-
связность без кручения — GL (ге)-структуру 2-го порядка
(GL (п) рассматривается здесь как подгруппа группы
GL2(n)). Аффинор (поле эндоморфизмов) задает G-C.
тогда и только тогда, когда он во всех точках приво-
приводится к Одной и той же жордановой нормальной форме
А, причем G есть централизатор матрицы А в GL(n).
Элементы многообразия М^ можно рассматривать
как кореперы порядка 1 на M^-i, что позволяет рас-
рассматривать естественное расслоение кк : М^—>- Мк_1
как Л^-структуру 1-го порядка, где Nk — ядро естест-
естественного гомоморфизма GLh(n) ->- GLk-y(n). С каждой
G-C. я : Р -*¦ М порядка к связывается последова-
последовательность G-C. 1-го порядка
Р-» Р_1 — />_Я —..—+ Р-к=М,
где P_i =я*(Р_,- + 1)с:Л/k_.. Благодаря этому изуче-
изучение G-C. высших порядков сводится к изучению G-C.
первого порядка. Корепер и\ ^_М\ можно рассматри-
рассматривать как изоморфизм и\ : ТХМ -*¦ V.
1-форма 9 : ТМг ->- V, значение к-рой на векторе
Х?Т iMt равно в 1(Х)=и1 (щ)^Х, наз. формой
их их
смещения. В локальных координатах (х', uf) мно-
многообразия М1 форма 9 имеет вид Q=u?dxl'(g)ea, где
еа — стандартный базис в V.
Ограничение вр формы смещения 9 на G-C. PczMt
наз. формой смещения G-C. Она обладает
следующими свойствами: 1) строгая горизонтальность:
8р(Х)=0ффя^Х=0; 2) G-эквивариантность: Qpog=goQp
для любого g?G.
С помощью формы Эр можно охарактеризовать глав-
главные расслоения с базой М, изоморфные G -С. А именно,
главное G-расслоение я : Р -*¦ М изоморфно G-C. тогда
и только тогда, когда имеются точное линейное пред-
представление а группы G в гс-мерном векторном простран-
пространстве V, re=dim M, и F-значная строго горизонтальная
G -эквивариантная 1-форма 9 на Р. Отказ от требования
точности представления а приводит к понятию обобщен-
обобщенной G-C. A-го порядка) на М — это главное G-расслое-
ние Р -*¦ М вместе с линейным представлением а : G -*¦
-+GL(V), dimF=dim M, и F-значной строго горизон-
горизонтальной G-эквивариантной 1-формой 9 на Р.
Примером обобщенной G-C. является канонич. рас-
расслоение я : Р —>- G\P над однородным пространством
G\P группы Ли Р. Здесь а — изотропии представление
группы G, a 9 определяется Маурера — Картана фор-
формой группы Ли Р.
Пусть я : Р ->- М есть G-C. 1-го порядка. Расслое-
Расслоение я' : Р' ->- Р 1-струй локальных сечений расслое-
расслоения я можно рассматривать как G'-структуру на Р,
где G'— Hom(F, g) —коммутативная группа, g —
алгебра Ли группы G, линейно представленная в про-
пространстве F(Pg формулой
A(v, X) = (v, X + A(v)), A?G', v?V, X?S,
и действующая на многообразии Р' по формуле
где 1„— канонич. изоморфизм алгебры Ли g группы G
на вертикальное подпространство Тр Р= Тpin-1
Элемент Н?Р' может рассматриваться как гори-
горизонтальное (т. с. дополнительное к вертикальному)
подпространство в Тр Р. Он определяет корепер
9я : Т„ P^q-\- V, к-рый на вертикальном подпростран-

стве задается отображением 1р, а на горизонтальном —
отображением вн=в\Н. Вектор-функция С : Р' —>-W-=
= Hom(FA^, V), заданная формулой Н\-*С'н, Сн (u,v)=
= cIQ(&h1u,Qh1v), наз. функцией кру-
кручения G-C. я. Сечение s : x н» Hpix) расслоения
яоя' : />'-> М задает связность в расслоении я, а ог-
ограничение функции 6" на S (М) есть функция, задающая
координаты тензора кручения этой связности относи-
относительно поля коренеров р(х).
Отображение С : Р' -*¦ W G'-эквивариантно относи-
относительно вышеуказанного действия группы С в Р и
действия С в W, задаваемого формулой
А : w i—> Л и> = и»-)- 6/1,
где б : G' -*¦ W, (б А) (и, v)=A (и) v — A (и) и. Индуци-
Индуцированное отображением С" отображение С : Р —>- G'\W
наз. структурной функцией G-структу-
ры я. Обращение в нуль функции С равносильно суще-
существованию в расслоении л связности без кручения.
Выбор подпространства DdW, дополнительного к
6G', определяет подрасслоение р^)=с'~1 (D) расслое-
расслоения кореперов к' : Р'-> Р со структурной группой
6(i) =G'nKer6^g®V*n^®'52V*c:F®F*2, т. е.
ng®n®®,
СA>-структуру лA*> =п'|рA) : Pll)->- P на Р. Она наз.
первым продолжением G -С. я. По индук-
индукции определяется i-e продолжение я(" : Ри> —>-
_,./»((-!) как g<() -структура на Р1'', где группа G('' изо-
изоморфна векторной группе q(^)S'V* f) V(^)S' +1V*CZ
czV(?)V*U~trl). Структурная функцияС(" i-го продолже-
продолжения наз. структурной функцией г-го
н о р я д к a G -С. я.
Центральной проблемой теории G-C. является ло-
локальная проблема эквивалентности —
нахождение необходимых и достаточных условий, при
к-рых две G-C. я : Р ->¦ М и я: Р -*¦ М с одной и той
же структурной группой G локально эквивалентны,
т. е. существует локальный диффеоморфизм ф : Mzd
ZDU -^-UczM многообразий М и М, индуцирующий изо-
изоморфизм G-C. над окрестностями U и U. Частным слу-
случаем этой проблемы является проблема инте-
интегрируемости — нахождение необходимых и до-
достаточных условий локальной эквивалентности дан-
данной G-C. и стандартной плоской G-C. Проблему локаль-
локальной эквивалентности можно переформулировать как
проблему нахождения полной системы локальных ин-
инвариантов G-C.
Для О (ге)-структуры, к-рая отождествляется с рима-
новой метрикой, проблема интегрируемости была реше-
решена Б. Риманом (В. Riemann): необходимые и достаточ-
достаточные условия интегрируемости состоят в обращении
в нуль тензора кривизны метрики, а локальная проб-
проблема эквивалентности — Э. Кристоффелем (Е. Chris-
toffel) и Р. Липшицем (R. Lipschitz): полная система
локальных инвариантов римановой метрики состоит
из ее тензора кривизны и его последовательных
ковариантных производных (см. [1]).
Подход к решению проблемы эквивалентности осно-
основан на понятиях продолжения и структурной функции.
С каждой G-C. я : Р ->- М 1-го порядка со структурной
группой GciGL (re) связываются последовательность
продолжений
и последовательность структурных функций С(". Для
О (ге)-структуры структурная функция С@> = С на
pw=p равна 0, а существенные части остальных струк-
структурных функций С''', ?>0, отождествляются с тензо-
тензором кривизны соответствующей метрики и его после-
последовательными ковариантными производными. Для ин-
интегрируемости G-C. я необходимо и достаточно посто-

янство структурных функций С@), СA) , . . ., С{к> и сов-
совпадение их значений с соответствующими значениями
структурных функций стандартной плоской G-C. (см.
[6]). Число к зависит только от группы G. Для широкого
класса линейных групп, в частности для всех неприво-
неприводимых групп GczGL (n), не принадлежащих списку Бер-
же групп голономии пространств аффинной связности
без кручения [3], к=0, для интегрируемости G-C.
необходимо и достаточно обращение в 0 структурной
функции С(о> или, что эквивалентно, существование
линейной связности без кручения, сохраняющей G-C.
G -С. к наз. G-C. конечного типа (равного
А), если G(*~l> ф{е}, G<k>= {е}. В этом случае
я<*) : рш_>. /><*-1> есть поле корепероЪ (абсолютный па-
параллелизм), группа автоморфизмов G-C. л изоморфна
группе автоморфизмов этого параллелизлга и является
группой Ли. Проблема локальной эквивалентности та-
таких структур сводится к проблеме эквивалентности
абсолютных параллелизмов и решается в терминах
конечной последовательности структурных функций
(см. [2]). Для G-C. бесконечного типа проблема локаль-
локальной эквивалентности в общем случае не решена A984).
Две G-C. я : Р -»- М и я' : Р' -*- М' наз. фор-
формально эквивалентными в точках х?
?Л/, х'?М', если существует изоморфизм слоев
л~1(х) —>¦ п~1(х'), к-рый продолжается до изоморфизма
соответствующих слоев продолжений /"'> -»- М и />'<'> —>-
->-M'(i^0). Известны примеры, к-рые показывают, что
из формальной эквивалентности двух G-G. класса С°°
для всех пар (х, х')?МХ М', вообще говоря, не следует
их локальная эквивалентность [6]. В аналитич. случае
существуют такие собственные подмножества S (M)cz
CM, S (М')сцМ', являющиеся счетными объединениями
аналитич. множеств, что для любых x?M\S (M), х' ?
?M'\S (M1) из формальной эквивалентности структур
РиР'в точках х, х' следует их локальная эквивалент-
эквивалентность [7].
Лит.: [1] К о б а я с и Ш., Н о м и д з у К., Основы диффе-
дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1981; [2] Стерн-
бе р г С, Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ.
М., 1970; [3] Berger M., «Bull. Soc. math, de France», 1955
t. 83, p. 279—330; [4] С h e rn S.-S., «Bull. Amer. Math. Soc.»
1966, y. 72, p. 167—219; 15J К о b а у a s h i S., Transformation
groups in differential geometry, B.—N. Y., 1972; [6] M о 1 i n о Р.
Th6orie des G-structures. Le probleme d'6quivalence, B.—N. V.
1977; [7] MorimotoT., «C. r. Acad. Sci.», 1981, t. 292
К 1, p. 63—66. Д. В. Алексеевский
{В, (р)-СТРУКТУРА — нек-рая структура в вектор-
векторном (или сферическом) расслоении, обобщение понятия
структурной группы расслоения.
Пусть ф„ : Вп ->- ВОп — нек-рое расслоение и \ —
нек-рое га-мерное векторное расслоение над пространст-
пространством X, классифицируемое отображением \ : X -*¦ МО,,.
Тогда (Вп, ср„)-структурой на | наз. гомотопич. класс
поднятий отображения ? : X -^ ВОп до отображения в
Вп, т. е. класс эквивалентности отображений ?:Х ->- Вп
таких, что Фп°?—Si гДе отображения % и
|' : X -*¦ Вп наз. эквивалентными, если они
послойно гомотопны. Не существует способа согласо-
согласованно определять (Вп, ф„)-структуры для эквива-
эквивалентных расслоений, ибо это согласование зависит
от выбора эквивалентности.
Пусть задана последовательность (В, ф, g) расслое-
расслоений фг : Вг -»- ВОГ и отображений gr : Вг_>. Вг + \ та-
таких, что ir°<fr — <fr + i°gr (}г ¦ ВОГ ->- BOr^x ~ стандарт-
стандартное отображение). Семейство {Вг, ц>г, gr} (а иногда лишь
(Вг, фг)) наз. структурной с е р и е й. (В, ф)-
структурой на многообразии М" наз. класс эк-
эквивалентности последовательностей (Вг, фл)-структур на
нормальном расслоении {|г} многообразия Мп-, они
совпадают начиная с нек-рого достаточно большого г.
(В, ф).м ногообразием наз. многообразие Мп
вместе с фиксированной (В, ф) -С. на нем.

Вместо ВОп можно более общим образом рассматри-
рассматривать пространство BGn, классифицирующее сферич.
расслоения, и вводить (В, ср)-С. на них.
Лит.: [1] Lashol В., «Trans. Amor. Math. Soc», 1963,
v. 109, p. 257—77; [2] Сто н г Р., Заметки по теории кобор-
дизмов, пер. с англ., М., 1973. Ю. Б. Рудяк
СТРУКТУРНАЯ КОНСТАНТА алгебры А над
полем или ассоциативно-коммутативным кольцом Р —
элемент еХр^Р, a, f5, y?I, определяемый равенством
2vP
где {ea\a?I} — фиксированная база алгебры А. С. к.
определяют алгебру однозначно. Если d|r, — С. к. ал-
алгебры А в другой базе {/||??/}, где /g = 2 tf ea, то
Всякое тождество, справедливое в алгебре А, может
быть выражено соотношениями между С. к. Напр.,
у v
— коммутативность,
— ассоциативность,
— ТОЖДеСТВО Якоби. Л. А. Скорняков.
СТРУКТУРНАЯ ЛИНГВИСТИКА — раздел линг-
лингвистики, для к-рого характерно преимущественное вни-
внимание к исследованию структуры языковых механизмов
и стремление к точному описанию этой структуры. Раз-
Развитие С. л. привело к созданию математич. методов изу-
изучения структуры языка и возникновению математи-
математической лингвистики. Общие принципы С. л. впервые бы-
были сформулированы Ф. де Соссюром (F. de Saussure,
[1]) в 1916.
В С. л. различают язык и речь, при этом основ-
основной задачей С. л. является изучение языка. Язык пред-
представляет собой определенную систему знаков;
каждый языковой знак есть соединение означае-
означаемого — смысла — и означающего — акусти-
акустического образа. Напр., означаемое русского слова
«стол» — понятие стола, а означающее — акустический
образ, возникающий в мозгу носителя русского языка,
когда он слышит соответствующую последовательность
звуков. Языковой знак произволен в том смысле, что
выбор означающего, за редкими исключениями, не мо-
мотивирован никакими свойствами означаемого. Вообще,
«материал» знака несуществен для языка, существенны
только отношения между знаками. Это сближает язык
с изучаемыми в математике абстрактными системами и
делает возможным изучение его строения математич.
методами.
Поскольку язык непрерывно изменяется, его можно
изучать в двух планах: синхроническом (изу-
(изучение языка в данный фиксированный момент времени)
и диахроническом (изучение процесса изме-
изменения языка). Основные достижения С. л. относятся к
области синхронич. изучения языка.
В С. л. разработано учение о фонем е—минималь-
е—минимальной смыслоразличительной единице языка, характери-
характеризуемой определенным набором т. н. дифференциальных
(или различительных) признаков (см. [2], [3]). Напр.,
в русском языке звуковые сегменты, передаваемые на
письме как «м», «а» и «ма»,— смыслоразличительные,
так как для каждого из них существует содержащая его
значащая языковая единица (слово), в к-рой замена
этого сегмента другим приводит к изменению смысла:
замена «м» на «б» в слове «мак» дает «бак», замена «а»
па «и» в слове «пар» дает «пир», замена «ма» на «ду» в
слове «мало» дает «дуло». При этом сегмент «ма» не

минимальный, т. к. он разлагается на смыслоразличи-
тельные сегменты «м» и «а», к-рые уже не могут быть раз-
разложены, т. е, они являются минимальными. Из всевоз-
всевозможных признаков, к-рыми могут характеризоваться
звуки языка, в каждом конкретном языке лишь нек-рые
являются различительными, и совокупность различи-
различительных признаков меняется от языка к языку. Так,
долгота гласного, не имеющая различительного значе-
значения в русском языке, имеет его в латышском (напр., pile
— капля, a pile — утка) и в ряде других языков. Пред-
Предпринимались попытки формальной трактовки понятия
фонемы с привлечением простейших математич. средств
(см., напр., [4], [5]), однако достаточно полной формаль-
формальной теории фонемы пока A984) нет. С точки зрения раз-
различительных признаков в С. л. рассматриваются и ми-
минимальные значимые единицы языка — морфемы.
Напр., в русском слове «столику» выделяются: корневая
морфема «стол»—, словообразовательная морфема —
—«ик» — и словоизменительная морфема — «у», несу-
несущая различительные признаки единственного числа и
дательного падежа.
В С. л. разработаны т. н. дескриптивные процедуры
исследования языка (см. [6], [7]), основанные на работе
с информантом — носителем языка, к-рому исследова-
исследователь задает вопросы типа «Правильно ли данное выра-
выражение?» и «Одинаковы или различны смыслы двух дан-
данных выражений?». Многие используемые в математич.
лингвистике конструкции представляют собой, по су-
существу, формализацию таких процедур (см. Аналити-
Аналитическая модель языка). Разработаны строго формальные,
по существу математические, способы описания струк-
структуры предложения (см. Синтаксическая структура),
позволившие изучить ряд важных проблем теории син-
синтаксиса. Развивается структурная семан-
семантика, изучающая структуру отношений между смыс-
смыслом языковых выражений и их формой и между смыс-
смыслами различных выражений (см., напр., [10], [11]).
Развитие идей С. л. привело к выработке представле-
представления о языке как о механизме, служащем для порождения
речевых выражений или для преобразования означае-
означаемых (смыслов) в означающие (тексты) и обратно (см.
[8]—[10]). Это представление легло в основу теории
формальных грамматик.
Лит.: [1] Д е С о с с ю р Ф., Труды по языкознанию, пер.
с франц., М., 1977; 12] Трубецкой Н. С, Основы фоно-
фонологии, пер. с нем., М., 1960; [3] Я к о б с о н Р., Фант Г. М.,
X а п п е М., в кн.: Новое в лингвистике, в. 2, М., 1962, с. 173—
230; [4] Успенский В. А., «Вопросы языкознания»,
1964, № в, с. 39—53; [5] Р е в 3 и н И. И., Структура языка
как моделирующей системы, М., 1978; [6] Блумфилд Л.,
Язык, пер. с англ., М., 1968; [7] Harris Z. S., Structural
linguistics, Chi., 1961; [8] X о м с к и й Н., в кн.: Новое
в лингвистике, в. 2, М., 1962, с. 412—527; [9] е г о ж е, Аспек-
Аспекты теории синтаксиса, пер. с англ., М., 1972; tlO] Мель-
Мельчук И. А., Опыт теории лингвистических моделей
«Смывдн-»текст», м., 1974; [11] Апресян Ю. Д., Лексиче-
Лексическая семантика, М., 1974; [12] е г о ж е, Идеи и методы совре-
современной структурной лингвистики, М., 1966. А. В. Гладкий.
СТРУКТУРНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА, р е-
шеточно упорядоченная группа,
(¦группа,— группа G, на множестве элементов к-рой
задано отношение частичного порядка <:, обладающее
свойствами: 1) G — решетка относительно <, т. е. для
любых х, y?G существуют элементы хАу, xv у такие,
что хЛу<л, у и xvy^x, у; для любого z?G, z«Cr, у
выполнено i<iaj, и для любого t?G ж х, y^t выпол-
выполнено xVy<-t; 2) для любых a, b, x, y?G неравенство
а<:Ь влечет за собой хау^-хЪу. Эквивалентным обра-
образом С. у. г. может быть определена как алгебраич. сис-
система в сигнатуре < •,~1, e,v,A>, удовлетворяющая ак-
аксиомам: 3)«?, -,-1, е> — группа; 4)<G,v, Л> —решет-
—решетка; 5) x(yVz) t=xyt\/xzt и x(y/\z) t=xyt/\ xzt для
любых х, у, z, t?G.
Решетка элементов С. у. г. дистрибутивна. Моду-
Модулем (соответственно положительной и от-

р и дательной частью) элемента х наз.
элемент \x\~x\Zx~1 (соответственно х + ~х\/е и х~ =
=хЛе). ВС. у. г. верны соотношения:
1\\
х-)-1, х+
Элементы х и у наз. ортогональными, если
Mvlj/I = e- Ортогональные элементы перестановочны.
Подмножество Н {-группы G наз. 1-й о д г р у п-
п о й, если Я — подгруппа и подрешетка в G; /-под-
/-подгруппа Н наз. {-идеалом С. у. г. G, если она нор-
нормальна и выпукла в G. Множество {-подгрупп С. у. г.
образует подрешетку решетки всех ее подгрупп. Ре-
Решетка /-идеалов С. у. г. дистрибутивна, {-гомомор-
{-гомоморфизмом {-группы G в {-группу Н наз. гомоморфизм
ф группы G в группу Н такой, что
(у).
Ядрами /-гомоморфизмов являются в точности {-идеалы
{-групп. Если G есть {-группа, MaG, то множество
М-*-= {x?G\ |ж|л|т|-е для всякого т?М} является
выпуклой {-подгруппой в G.
Группа A (L) взаимно однозначных сохраняющих
порядок отображений линейно упорядоченного множест-
множества L на себя есть {-группа (если для /, g?A (L) по-
положить /<g тогда и только тогда, когда /(a)<g(o!)
для любого a?L). Всякая {-группа {-изоморфна {-под-
{-подгруппе С. у. г. A (L) для нек-рого подходящего множест-
множества L.
Класс всех С. у. г. является многообразием сигнату-
сигнатуры <-,~г, е, л, V>. Важнейшее его подмногообразие—
класс С. у. г.; аппроксимирующихся линейно упорядо-
упорядоченными группами (класс представим ых I -
труп п)
Лит.: L1J Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ.,
М., 1952; [2] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраич.
системы, пер. с англ., М., 1965. В. М. Копытов.
СТРУКТУРНОЕ ПРОСТРАНСТВО кольца — мно-
множество §Р всех его примитивных идеалов с топологией,
замкнутые множества в к-рой суть такие подмножества
C<=S$, что С содержит всякий идеал, содержащий пере-
пересечение всех идеалов из С (ср. Зариского топология).
С. п. кольца R гомеоморфно С. п. факторкольца RlJ,
где / — радикал Джекобсона. С. п. является Т„-
пространством. Если все примитивные идеалы кольца
максимальны, то С. п. оказывается ^-пространством.
С. п. кольца с единицей компактно. С. п. бирегулярного
кольца (см. Регулярное кольцо) локально компактно
и вполне несвязно. Оно используется для представле-
представления бирегулярного кольца в виде кольца непрерывных
функций с компактными носителями.
Лит.: [1]Дшекобсон Н., Строение колец, пер. с англ.,
М., 1961. Л. А. Скорняков.
СТРУКТУРНЫЙ ИЗОМОРФИЗМ — изоморфизм
между решетками (структурами) двух однотипных
алгебраич. систем.
Для групп исследовался вопрос о том, когда из С. и.
двух групп следует их изоморфизм (см. [1]).
Лит.: [1] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967.
О. А. Иванова.
СТРУХАЛЯ ЧИСЛО — критерий подобия нестацио-
нестационарных движений жидкостей или газов. С. ч. характе-
характеризует одинаковость протекания процессов во времени:
Sh = I/ft = al/v,
где v — характерная скорость течения, { — характер-
характерный линейный размер, t — характерный для неста-
нестационарного движения промежуток времени, ш — ха-
характерная частота (иногда через Sh обозначают обратную
величину vtll).
Аналогичный критерий H0=vtll в механических, теп-
тепловых и электромагнитных процессах наз. крите-
критерием гомохромности.

С. ч. наз. по имени В. Струхаля (В. Строугаль,
Vi StrOUnal). По материалам одноименной статьи из БСЭ-3.
СТРУЯ, д ж е т,— многочлен /*/, получающийся
усечением (формального) ряда Тейлора дифференцируе-
дифференцируемой функции /. Подробнее, пусть М, N суть (^-много-
(^-многообразия. Тогда к-с труейизЛ/eiV наз. класс [х, /,
U] эквивалентных троек (х, /, U), где U -*¦ М — откры-
открыто, х? U, f : U -*¦ N — отображение класса Ck. Экви-
Эквивалентность определяется так:
(х, /, и)~(х', /', и'),
если х=х' и локальные представления отображений
/, /' в х по отношению к нек-рой паре карт имеют оди-
одинаковые производные до к-го порядка включительно.
Пространство С. Jk (M, N) является С°-многообразием.
Лит.: [1] Б р ё к е р Т., Л а н д е р Л., Дифференцируемые
ростки и катастрофы, пер. с англ., М., 1977; [2] Голубиц-
кийМ.,Гийемин В., Устойчивые отображения и их осо-
особенности, пер. с англ., М., 1977; [3] Пост он Т.,
Стюарт И., Теория катастроф и ее приложения, пер. с англ.,
М., 1980. М. И. Войцеховский,
СТУПЕНЧАТАЯ СЕМАНТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА —
вариант конструктивной семантики, предложенный
А. А. Марковым (см. [2], [3]). Основное внимание при
построении этой системы уделяется одной из проблем
семантики — конструктивному истолкованию импли-
импликации. Традиционное интуиционистское разъяснение
смысла утверждения (AzdB) состоит в том, что (AzdB)
выражает осуществимость конструкции р такой, что
если q — произвольная конструкция, подтверждающая
А, то р и q в совокупности позволяют отыскать кон-
конструкцию, подтверждающую В. Приведенное нефор-
неформальное разъяснение по ряду причин плохо поддается
уточнению. Идея А. А. Маркова состоит в том, что им-
импликация (AzdB) рассматривается как формулировка
утверждения о выводимости В из посылки А средства-
средствами нек-рой теории с правилом бесконечной индукции
(полуформальной теории). При этом рас-
рассматриваемая полуформальная теория, так же как и
семантика формул А и В, должна быть объяснена ранее
на нек-ром предыдущем этапе построения. В результате
возникает С. с. с, в к-рой смысл формул следующей сту-
ступени определяется в терминах объектов предыдущей сту-
ступени.
А. А. Марков построил два эквивалентных варианта
С. с. с.— «длинная башня» [2] и «короткая башня» [3].
Ниже кратко описан вариант построения короткой баш-
башни в традиционных обозначениях предикатов исчисле-
исчисления и для языка арифметики формальной (сам
А. А. Марков использовал бесскобочные обозначения
формул). Элементарные формулы языка Яо имеют один
из видов (t=r) или (Ьфг), где t, r — примитивно-ре-
примитивно-рекурсивные термы (термы Яо). Остальные формулы
#„ строятся обычным образом с помощью логических
связок конъюнкции Л, дизъюнкции V и ограниченных
кванторов Dx<t)(p, (Jx^.t)(f, где ср — формула Яо
1 ( — терм Яо. Язык Яо разрешим в том смысле, что
имеется общий способ распознавания истинных замк-
замкнутых формул Яо среди всего множества формул Яо.
Семантика формул Яо определяется индукцией по по-
построению формулы. Всякая формула Яо эквивалентна
бескванторной формуле.
Формулы Я1 строятся исходя из формул Яо с помощью
любого числа применений связок л, V и квантора су-
существования. Язык Ях неразрешим, но может быть по-
построено нек-рое исчисление И, в к-ром выводятся все
истинные замкнутые формулы Ях и только они.
Формулы Я2 строятся индуктивно исходя из формул
#j с помощью однократного применения связки zz и
любого числа применений конъюнкции л и квантора
общности V. Таким образом, формулы Я2 имеют один
из следующих видов: 1) формулы Ях; 2) (срлг|>), где
Ф, ф — формулы Я2; 3) (а:эР), где а, E — формулы

языка #j; 4) Чхср, где ф — формула Я2. Импликации
(а:эР) понимаются следующим образом: (оор") выра-
выражает наличие общего метода, позволяющего по любо-
любому слову Q в алфавите языков устанавливать, что Q
не есть вывод формулы а в исчислении И, либо давать
вывод Р в исчислении И. Затем строится полуформаль-
полуформальная теория S2, в к-рой выводимы замкнутые формулы
#2 (роль S2 для Ях играет И). Аксиомами S2 являются
верные формулы Я2. Среди обычных правил вывода
имеется и эффективное со-правило с бесконечным чис-
числом посылок: если имеется общий метод, позволяющий
вывести в S2 формулу ф (п) при всяком натуральном га,
то и формула \/х Ф (х) может считаться выводимой в
S.z. Семантическая пригодность S2 выражается следую-
следующей теоремой: всякая замкнутая формула Я2, выводи-
выводимая из верной формулы Я2как из посылки, верна в Я2.
Формулы Я3 строятся индуктивно исходя из формул
Я2 с помощью однократного применения связки Z3t
и любого числа применений л и V. Импликация (azD^)
выражает, что р выводится из формулы а в теории S2.
Можно показать, что два вида импликаций в языке Я 3
согласованы между собой там, где оба они применимы.
Затем строится полуформальная теория S3 и доказывает-
доказывается ее семантическая пригодность. Аналогичным образом
определяются языки Я4, Я5, ... и полуформальные
теории St, 56, ... . Формулы Яп + 1 строятся исходя из
формул Яп с помощью однократного применения связки
ZD(n_i) к формулам предыдущего языка Я„ и любого
числа применений связок Л и v к формулам языка
Яп + 1. Импликация (осЭ(„_1)Р) выражает, что р1 вы-
выводится из а в теории Sn. Все Sn семантически при-
пригодны: всякая замкнутая формула Я„, выводимая из
верной формулы, верна. Импликации различных
уровней согласованы там, где обе они применимы.
Указанная согласованность дает возможность объеди-
объединить все языки Я„ в один язык Яш, формулы к-рого
получаются, если у импликаций всех языков Я„ убрать
индексы. Формула ф языка Яш считается верной, если
она верна в нек-ром языке Яп при произвольной рас-
расстановке индексов у импликаций, превращающей ф
в формулу языка Яп.
Если ввести в Ям отрицание ~]ф как сокращение для
(ф!Э0=1), то формула вида ~| ~]а:эа верна в Ям для
всякой формулы а языка Я1. Таким образом, конструк-
конструктивного подбора принцип оказывается верным в Я(о.
Языки Я„ образуют существенно невырожденную ие-
иерархию с точки зрения выразительных возможностей
формул этих языков. Классическое исчисление предика-
предикатов со связками Л, , ID, V является полным относи-
относительно истинности в Ям.
Наконец, язык Ям + 1 содержит все формулы формаль-
формальной арифметики. С помощью алгоритма выявления
конструктивной задачи по Шанину [4] всякая замкну-
замкнутая формула ф языка Ям + 1 может быть приведена к
виду з* г|> (х), где ty(x) — формула языка Ям. Формула
Ф считается верной, если осуществимо натуральное
число п такое, что ф (п) верна в Ям. Такое понимание
суждений арифметики хорошо согласовано со всеми
основными принципами конструктивной математики.
В частности, всякая формула Яы + 1 эквивалентна ут-
утверждению о собственной рекурсивной реализуемости
по К лини [5].
Лит.: Ш ГейтингА., Интуиционизм, пер. с англ.,
М., 1965; [2] М а р к о в A. A., «Rev. internet. Phil.», 1971,
t. 25, fasc. 4, p. 417—507; [3] e г о ж е, «Докл. АН СССР»,
1974, т. 214, JV. 1, с. 40—43; № 2, с. 279—82; № 3, с. 513—16;
№ 4, с. 765—68; .№ 5, с. 1031 — 34; Л» 6 с. 1262—64; т. 215,
№ 1, с. 57—60; Xs 2, с. 266 — 69; [4] Ш а н и и Н. А., «Тр. Ма-
тем. ин-та АН СССР», 1958, т. 52, с. 226—311; [5] Драга-
л и н А. Г., Математич. интуиционизм. Введение в теорию до-
доказательств, М., 1979. А. Г. Драгалин.
СТЬЮДЕНТА КРИТЕРИЙ, (-критери й,—
значимости критерий для средних значений нормаль-
нормальных распределений.

О д н о в ы б о р о ч н ы й С. к. Пусть независимые
случайные величины Хг, X2, . . ., Хп подчиняются
нормальному Nx(a, а2) закону, параметры к-рого а и
о2 неизвестны, и пусть проверяется сложная гипотеза
Нв : а=а0 против сложной альтернативы Hi : афа0.
Для решения этой задачи используется С. к., основан-
основанный на статистике
где
— оценки параметров а и о2, вычисленные по выборке
Хг, Х2, . . ., Хп. При справедливости гипотезы Но
статистика in_i подчиняется Стъюдента распределе-
распределению с /=ге — 1 степенями свободы, т. е.
где Sf(t) — функция раснределения Стьюдента с / сте-
степенями свободы. Согласно одновыборочному С. к. с
уровнем значимости а, 0<а<0,5, гипотезу Но следует
принять, если
¦ 'п-1 { ' о
где in_i'(l —а/2) — квантиль уровня 1 — а/2 распре-
распределения Стьюдента с /=;?,—1 степенями свободы, т. е.
*„_! A—а/2) — решение уравнения Sn_1(t)=i—а/2.
Напротив, если
то согласно С. к. уровня а проверяемую гипотозу #„ :
а=а0 следует отвергнуть и принять конкурирующую
гипотезу Нг : афав.
Д в у х в ы б о р о ч н ы й С. к. Пусть Хь Х2, . . .,
Хп и Y-i, У2, . . ., Ym — взаимно независимые нор-
нормально распределенные случайны» величины, имеющие
одинаковую, но неизвестную дисперсию о2, и пусть
причем параметры % и а2 тоже неизвестны (часто гово-
говорят, что имеются две независимые нормальные выборки).
Далее, пусть проверяется гипотеза II0 : ах=а2 против
альтернативы Нх : ai^=u2. В этом случае как проверяе-
проверяемая гипотеза #„, так и конкурирующая гипотеза Н1
являются сложными. По наблюдениям Хг, Х2, . . .,
Хп и Ух, У2, . . ., Ут можно вычислить оценки
для неизвестных математич. ожидании ах и а2, а также
оценки
„^ __ 1 X1 /у". Y \2 .. v ^— у /у у \2
для неизвестной дисперсии о2. Далее, пусть
Тогда при справедливости гипотезы ff0 статистика
1пл т-г —
s Vi/n+1/m
подчиняется распределению Стьюдента с /=ге+т — 2
степенями свободы. Именно этот факт и лежит в основе
двухвыборочного С. к., предназначенного для проверки
#0 против Ях. Согласно двухвыборочному С. к. уровня
а, 0<а<0,5 гипотеза У/о принимается, если
Un + m-al < tn + m-2(l—a/2),

где tn + m_2 A — а/2) — квантиль уровня 1 — а/2 рас-
распределения Стьюдента с }=п-\-т—2 степенями свобо-
свободы. Если же
то согласно С. к. уровня а гипотеза ff0 отвергается в
пользу #j.
Лит.: [1] Крамер Г., Математические методы статисти-
статистики, 2 изд., пер. с англ., М., 1975; [2] У и л к с С, Математиче-
Математическая статистика, пер. с англ., М., 1967; [3] С и и р н о в Н. В.,
Дуни н-Б арковскийИ. В., Краткий курс математич.
статистики для технич. приложений, М., 1959; [4] Боль-
Больше в Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математич. ста-
статистики, 3 изд., М., 1983; [5] Л и н н и к 10. В., Метод наимень-
наименьших квадратов и основы математико-статистич. теории обработ-
обработки наблюдений, М., 1958. М. С. Никулин.
СТЬЮДЕНТА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ с / степенями
свободы, t-распределени о,— распреде-
распределение вероятностей случайной величины
где U — случайная неличина, подчиняющаяся стан-
стандартному нормальному N @, 1) закону, %f — случайная
величина, не зависящая от U и подчиняющаяся чхи-
квадратп распределению с / степенями свободы. Функция
распределения случайной величины t* выражается
формулой
В частности, если /=1, то
представляет собой функцию распределения закона Ко-
ши. Плотность вероятности С. р. симметрична относи-
относительно 0, поэтому
Sf(t)-\-Sf{ — t)=zi для любого t ? R1.
Моменты ixr — Etrf С. р. существуют только для г</,
при этом нечетные моменты равны 0, в частности Е fy=
=0. Четные моменты С. р. выражаются формулой
в частности p2=D{'/}==/^ (/~2). Функция распределе-
распределения Sj(x) случайной величины tf выражается в терми-
терминах функции бета-распределения следующим образом:
S,(x) = i-\ /f/(f + *«) D-. 4"
где Iz (а, Ь) — неполная бета-функция, 0<г<1. Если
f-*-<x>, то Ср. сходится к стандартному нормальному
закону, т. е.
lira Sf(x) = Q>(x)=A=[X e~l'/2dt.
f -*¦ со ' У 2я J -оо
Пример. Пусть Xj, Хг, . . ., Хп — независимые
одинаково нормально N {а, о2) распределенные случай-
случайные величины, причем параметры я и о2 неизвестны.
Тогда статистики
являются наилучшими несмещенными оценками пара-
параметров а и о3, причем X и s2 стохастически независимы.

Так как случайная величина у п(Х — а)/а подчиняется
стандартному нормальному закону, а
п— 1 2 2
-JJT s =%n-i
распределена но закону «хи-квадрат» с /= (п — 1)
степенями свободы, то в силу их независимости дробь
V
V
и
1
п-
X
- 1
-
а
а
2
подчиняется С. р. с f=n — 1 степенями свободы. Пусть
tj(P) и fy(l—Р) =—tj(P) суть решения уравнений
s s
Тогда статистики X—J^ tf(P) и Х+у^ ?/(Р) суть ниж-
нижняя и верхняя границы доверительного множества для
неизвестного математич. ожидания а нормального
закона N (а, о2), причем коэффициент доверия этого
доверительного множества равен 2 Р — 1, т. е.
Р [x~^,f() < а < +^=
V п J
С. р. впервые было использовано У. С. Госсетом
(W. S. Gosset, псевдоним Student — Стыодснт).
Лит.: [1] Кра мер Г., Математические методы статисти-
статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] Б о л ь ш е в Л- Н.,
Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики,
3 изд., М., 1983; [3] «S t u d e n t» (Gosset W.riS.), «Bioraet-
rika», 1908, v. 6, p. 1 — 25. M. С. Никулин.
СТЬЮДЕНТИЗИРОВАННЫЙ РАЗМАХ — статисти-
статистика из класса т. н. стьюдентизированных статистик,
получающихся в результате специальной нормировки
линейной комбинации порядковых статистик, построен-
построенных по нормальной выборке.
Пусть X], Х2, . . ., Хп — независимые нормально
JV (а, а2) распределенные случайные величины, и пусть
Xtn) = (Х(пц, , . ., Х(,ш)) — вектор порядковых статис-
статистик, построенный по наблюдениям Хх, . . ., Хп. Далее,
пусть статистика 23 <Ч ^(п;')> являющаяся линей-
линейной комбинацией порядковых статистик Х(„1); . . .,
Х(пп)г не зависит от пек-рой среднекпадратической
оценки sf дисперсии о3, причем jsjla2 = yj. В таком слу-
случае говорят, что
является стьюдентизированной ста-
статистикой.
С. р.— стьюдентизированная статистика, когда
2 a,- X(ni) представляет собой размах выборки Хг,
Хг, . . ., Х„, т. о.
¦^1" V V V
2ji-\ я'л(ч() — Л1пп) — л(п1)!
и, следовательно, С. р. имеет вид
[Х(пп) — ^<«l)]/s/-
Лит.: [1J Д э й в и д Г., Порядковые статистики, пер. с англ.,
М., 1979; 12] У и л к с С, Математическая статистика, пер.
с англ., М., 1967. М. С. Никулин.
СТЭНТОНА ЧИСЛО — один из критериев подобия
тепловых процессов, характеризующий интенсивность
диссипации энергии в потоке жидкости или газа:
St = a/Cppv,
где a — коэффициент теплоотдачи, ср — удельная теи-
лоемкость среды при постоянном давлении, р — плот-
плотность, v — скорость течения.

С. ч. связано с Нусселъта числом Nil и Пекле числом
Ре соотношением: St=Nu/Pe.
С. ч. наз. по имени Т. Стэнтона (Th. Stanton).
По материалам одноименной статьи из ВСЭ-3.
СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция
и=и(х) : D —>- [ — оо, оо) точких= (х1г . . ., хп) евклидо-
евклидова пространства R", и^2, определенная в области
DczR" и обладающая следующими свойствами: 1) и (х)
полунепрерывна сверху в D; 2) для любой точки xo?D
существуют сколь угодно малые значения г>0 такие,
что
и (хо)^[ (и; х0, г) = ——— \ u(x)da (x),
snrn—* J Л Ухо* г>
где 1 (и; х0, г) — среднее значение функции и (х) по
площади сферы S (х0, г) с центром х0 радиуса г, sn=
=2n"/i Г (и/2) — площадь единичной сферы в R";
3) и {х)^Ь — оо (это условие иногда опускается). В дан-
данном определении С. ф. среднее значение / (и; х0, г)
по площади сферы можно заменить на среднее значение
по объему шара В (х0, г), где vn = sn/n — объем единич-
единичного шара в R".
Равносильное определение С. ф., объясняющее наз-
название «С. ф.», получается, если условие 2) заменить на
2') : если А — относительно компактная подобласть
D, a v(х) — гармоническая функция в А, непрерыв-
непрерывная на замыкании Д и такая, что
u(x)<v(x) A)
на границе 5Д, то неравенство A) сохраняется и всюду
в области А (и (х) наз. гармонической мажо-
мажора н т о й С. ф. и (х) в А). Если функция и (х) принад-
принадлежит классу C2(D), то для того чтобы она была С. ф.,
необходимо и достаточно, чтобы в D оператор Лапла-
Лапласа А и был неотрицательным.
Идея С. ф. была заложена по существу в выметания
методе А. Пуанкаре (Н. Poincare). Важные примене-
применения С. ф. нашли в основополагающих работах Ф. Гар-
тогса [1] по теории аналитич. функциймногих комплекс-
пых неременных; систематич. изучение С. ф. нача-
началось с работ Ф. Рисса [2]. Тесная связь С. ф. с аналитич.
функциями f (z) одного или нескольких комплексных
переменных z= (z1, . . ., zn), n~^ 1, и вытекающие отсюда
возможности применения С. ф. для изучения аналитич.
функций обусловлены тем, что модуль |/(z)| и лога-
логарифм модуля ln|/(z)| аналитич. функции суть С. ф.
С другой стороны, условие 2') показывает, что С. ф.
можно рассматривать как аналог выпуклых функций
одного действительного переменного.
Простейшие свойства С. ф. 1) Если
иг, . . ., и,„ — С. ф. в D и Х1, . . ., "Кт — неотрицатель-
неотрицательные числа, то линейная комбинация J] ^kuk ссть
С. ф. в D. 2) Верхняя огибающая sup{u^ (x) : 1</с«:т}
конечного семейства С. ф. {и/г} *Li есть С. ф. Если верх-
верхняя огибающая бесконечного семейства С. ф. полуне-
полунепрерывна сверху, то она есть также С. ф. 3) Равномерно
сходящаяся и монотонно убывающая последовательности
С. ф. сходятся к С. ф. 4) Если и (х) — С. ф. в D, а
Ф (и) — выпуклая неубывающая функция на области
значений Е функции и в D, или если и (х) — гармониче-
гармоническая функция в D, а ср (и) — выпуклая функция на Е,
то ф (и (х)) — С. ф. в D. В частности, если и (х) -г С. ф.
в D, то «ЯиМ, л>0, и [и+ (x)]k, k^l, где и+ (л-)=шах
{и(х), 0}, суть С. ф. вй; если и(х) — гармоническая
функция в D, то \u(x)\k, AC&1,— С. ф. вй. 5) При н-
ц и и максимума: если и (х) — С. ф. в D и для
любой граничной точки Ъ,^дБ и любого е>0 существу-
существует окрестность V—V(%) такая, что и(х)<г в D то{] V,

либо и (х)<С0 в D, либо u(x)s=0. Это свойство остается
в силе и для неограниченных областей D, причем если
|=оо ?9.0, то под окрестностью V понимается внеш-
внешность шара F=F(oo)={xgR" : \x\>R}. 6) Если и (z) —
С. ф. в области D комплексного пространства С",
re^sl, и z=z(w) -r голоморфное отображение области
D'czC" в D, то u(z(w)) — С. ф. в D'. 7) Функция
и (х) —гармоническая в области DczRn тогда и только,
тогда, когда и (х) и—и(х) суть С. ф. вД. 8) Если
и (х) — С. ф. во всей плоскости R2, ограниченная свер-
сверху, то u (:c)=const (в R." при п^З это свойство не име-
имеет места). На свойствах 2), 5) и 7) основан Перрона ме-
метод решения задачи Дирихле для гармонич. функций.
Большое значение имеют свойства выпук-
выпуклости средних значений С. ф.: если
и (х) — С. ф. в кольце гх-<.г=\х—хо\ <:г2, 0<г1<''2! то
средние / (и; х0, г), J (и; х0, г), а также максимум
М (и; х0, г) = шах {и (х):\ х — хо\ = г}
суть выпуклые функции относительно In r для гс=2
или относительно г2~п для пЭ=3 на отрезке r1-<r-<:r2;
если и (х) — С. ф. в шаре 0<.г=\х — ,го|0, то, кроме
того, / (и; х0, г) и / (и; х0, г) суть непрерывные неубыва-
неубывающие функции от г на отрезке 0<г<:г2, причем при-
принимается
I (и; х0, 0) = /(и; х0, 0) = и(х0);
в этом последнем случае
м(жо)</(и; х0, г)</(и; х0, г)
для 0-<г<:г2. Средние I (и; ха, г) и / (м; хо, г), рассмат-
рассматриваемые как функции точки х0 при фиксированных
и и г, суть С. ф. в соответствующей подобласти D'czD,
причем J (и; х0, г) непрерывна. Составляя итерации
достаточно высокого порядка
можно получить монотонно убывающую последова-
последовательность сколь угодно гладких С. Ф- Wm'*(х))т=т >сх°-
дящуюся при т—>-оо к произвольно заданной С. ф. и(х).
Ньютонов потенциал и логарифмический потенциал
неотрицательных масс, взятые со знаком минус, суть
С. ф. всюду в пространстве R". С другой стороны, од-
одной из основных в теории С. ф. является теорема
Рисса о локальном представлении
произвольной С. ф. в виде суммы гармонич. функции и
взятого со знаком минус потенциала (см. [2]). Точнее,
если и (х) — С. ф. в области DczR", то существует един-
единственная неотрицательная борелевская мера |х на D
(ассоциированная с и (х) мера, или мера Рисса)
такая, что для любого компакта EaD справедливо
представление
u(x)=^EK(x-l)dV,(l) + h(x), B)
тлеК(х-1)=1п\х~1\ при п=2, К (х—g)=_|x-g|2-"
при и^З, h (x) — гармонич. функция во внутренности
Е. Теорема Рисса устанавливает тесную связь теории
С. ф. с потенциала теорией.
Если компакт Е есть регулярная замкнутая область
G, E=G, ограниченная, напр., поверхностью Ляпунова
и допускающая Грина 'функцию g(x, |), то нарйду с
B) справедливо представление с участием потенциала
Грина:
^ё(х, l)dn(l) + w(x), C)
где w (х) — наименьшая гармоничес-
гармоническая мажоранта С. ф. и (х) в области G.
Представление вида C), вообще говоря, не име-
имеет места во всей области определения D С. ф. и(х),

и в теории С. ф. важное значение имеет вопрос о выде-
выделении класса тех С. ф. и(х), к-рые допускают представ-
представление C) во всей области D, т. е. вопрос о выделении
класса А С. ф. и(х), имеющих гармонич. мажоранту во
всей области D. Напр., если D=B@, R) — шар и су-
существует константа С=С(и) такая, что
L,n „ u+(rl)da(l) < С (и) < + оо, 0< г < 1, D)
то и (х) допускает представление C) в D, причем на-
наименьшая гармонич. мажоранта т(х) в свою очередь
представима интегралом Пуассона — Стилтьеса
ДП-2
W (
где v — борелевская мера произвольного знака, со-
сосредоточенная на граничной сфере dD = S@, R)
(граничная мера) и нормированная условием
}«М5)=1.
В связи с представлением E) в приложениях важно
знать, при каких условиях граничная мера v имеет
только отрицательную сингулярную составляющую,
т. е. при каких условиях в каноническом разложении
v=v+—v~ составляющая v+ абсолютно непрерывна.
Этот вопрос решается введением класса сильно субгар-
субгармонических функций (см. [11]—[13], [15], а также [10],
где рассмотрены и обобщения). Пустьф (у) — возрастаю-
возрастающая вогнутая функция от у такая, что lim y/ty (y)—-\-ao.
Функция и (х), x?-D, наз. сильно субгармо-
субгармонической относительно г|) (у), если г|) (и (х)) есть
С. ф. Напр., к классу сильно субгармонических отно-
относятся логарифмически субгармонические функции
и(х)^0, для к-рых In и (х) есть С. ф. Если для сильно
С. ф. и (х) в шаре D выполняется условие D), то и(х)
представима в виде C) вйи для нее граничная мера v
характеризуется разложением
где и E) — радиальные граничные значения функции
и (х) (существующие почти всюду по мере Лебега на
сфере dD = S@, R)), rfv~^0—сингулярная состав-
составляющая меры v.
С. ф. класса А в шаре D почти всюду на граничной
сфере 3D = S@, R) имеют радиальные граничные зна-
значения. Однако построены примеры ограниченных и не-
непрерывных в шаре D С. ф., нигде на сфере 6D не имею-
имеющих угловых граничных значений,— явление, не име-
имеющее места для гармонич. функций. Для существова-
существования угловых граничных значений нужно наложить до-
дополнительные, кроме D), условия на ассоциированную
меру и. в D (см., напр., [14]).
Одним из существенных вопросов в теории С. ф. и ее
приложениях является характеризация граничных
свойств функций различных подклассов класса А . Об-
Общий способ введения таких подклассов состоит в том,
что для сильно субгармонич. функций и (х) относитель-
относительно вогнутой функции г|) (у) рассматривается какая-либо
неубывающая функция ср(г/), выпуклая относительно
г|) (у) и такая, что lim ф (г/)/г|) ((/) = +со, и вводится класс
А ф, определяемый для шара условием
О граничных свойствах С. ф. см. [3]—[5], [10]—[16].
Для функций, представимых в виде разности двух
С. ф., вводится понятие характеристической функции
по Р. Неванлинне (R. Nevanlinna) и обобщается тео-
теория ограниченного вида функций (см. [3], [7]).
Своеобразным обобщением теории целых функций
является теория С. ф. во всем пространстве R". Здесь
получаются обобщения классич. теорем о представле-

нии целых функций Ввйерштрасса и Адамара, теория
роста и распределения значений, теория асимптотич.
значений и асимптотич. путей и др. (см. [7]).
В теории аналитич. функций многих комплексных
переменных важное значение имеет изучение таких
подклассов С. ф., как плюрисубгармонические функции и
плюригармонические функции (см. 117]). Об аксиомати-
аксиоматических обобщениях С. ф. см. [9].
Лит.: 11] Н а г t о g s P., «Math. Ann.», 1906, Bd 02, S. 1—88;
[2] Riesz P., «Acta math.», 1926, v. 48, p. 329—43; 1930,
v. 54, p. 321—60; [3] Привалов И. И., Субгармонические
функции, М.—Л., 1937; |4] е г о ж е, Граничные свойства одно-
однозначных аналитических функций, М., 1941; [5] е г о ж е, Гра-
Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.—Л., 1950;
[6] RadoT., Subharmonic functions, В., 1937; 17J Хей-
ман У., Кеннеди П., Субгармонические функции, пер.
с англ., М., 1980; Г8] Brelot M., Etude des fonctions soushar-
moniques au yoisinage d'un point, p., 1934; [9] e г о же, Lectu-
Lectures on potential theory, Bombay, I960' [10] Hcins M., Hardy
classes on Riemanri surfaces, В.—[u. a.], 1969; [11] Соломен-
цевЕ. Д., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1938, №5—6,
с. 571—82; [12] П р и в а л о в и. И., К у з н е ц о в П. И.,
«Матем. сб.», 1939, т. 6, №3, с. 345—76; [13] Соломен-
це в Е. Д., «Вестн. МГУ», 1959, № 5; [14] е г о ж е, «Чехосл.
матем. ж.», 1958, т. 8, № 4, с. 520—36; [15] Girding L.,
Hormander L., «Math. Scand.», 1964, v. 15, p. 93—96;
1966, v. 18, p. 183; [16] Соломе нцев Е. Д., в кн.: Итоги
науки. Математический анализ. Теория вероятностей. Регули-
Регулирование. 1962, М., 1964, с. 83—100; [17] В л а д и м и-
р о в В. С, Методы теории функций многих комплексных пере-
переменных, М., 1964. Е. Д. Соломенцев.
СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ выпуклой функции / : X-+R
в точке х0, определенной на пространстве X, находя-
находящемся в двойственности с пространством У — множест-
множество в Y, определяемое соотношением:
(x)-f
S=<2/, х—хоу для всех
Напр., С. нормы f{x)— \\x\\ в нормированном пространст-
пространстве X с сопряженным X* имеет вид
\{х*:\\х*\\ = Ц, если х = 0.
С. выпуклой функции / в точке х0 является выпуклым
множеством. Если / непрерывна в атой точке, то С. не-
непуст и компактен в топологии a(Y, X).
С. выпуклой функции играет рол/., подобную роли
производной в классич. анализе. Для него справедли-
справедливы теоремы, аналогичные соответствующим теоремам
для производной. Напр., если Д и /2 — выпуклые функ-
функции и в нек-рой точке ж ? (dom /1)A(dom /2), по крайней
мере, одна из функций непрерывна, то
для всех х (теорема Моро — Рокафслла-
ра).
С. опорной функции выпуклого множества А из X,
компактного в топологии a(Y, X), совпадает с самим
множеством А. Это выражает двойственность между
выпуклыми компактными множествами и выпуклыми
замкнутыми однородными функциями (см. также Опор-
Опорная функция, Надграфик, Выпуклый анализ).
Лит.: [1] Рокафеллар р., Выпуклый анализ, пер.
с англ., М., 1973. В. М. Тихомиров.
СУБМЕРСИЯ — отображение J : М -+ N т- мер-
мерного многообразия М в re-мерное многообразие N, п<.
<jn, при к-ром для любой точки р ? М можно так ввести
локальные координаты хг, . . ., хт на М возле р и
Уг, . . ., уп на N возле /(р), что в терминах этих коорди-
координат / локально представляется в виде
(хи ..., хт)—* (Xl, ...,х„).
Если М и N снабжены структурой кусочно линейного,
аналитического или дифференцируемого (класса С*)
многообразия и локальные координаты можно выбрать
кусочно линейными, аналитическими или дифферен-
дифференцируемыми (класса С1, K.k), то С. наз. кусочно

линейной, аналитической или диф-
ф е р е н'ц и р у о м о и (класса С1). С. можно также
определить для многообразия с краем (при этом в топо-
логич. задачах оказывается целесообразным налагать
дополнительное условие о поведении отображения воз-
возле края, см. |1]) и в бесконечномерном случае (см. [2]).
Понятие С. в нек-ром неформальном смысле двойст-
двойственно понятию погружения (иммерсии), и теории их
аналогичны.
Лит.: [1] Рохлин В. А., Фуке Д. В., Начальный
курс топологии. Геометрические главы, М., 1977; [2] Л е н г С,
Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер.
с англ., М., 1967. Д. В. Аносов.
СУБНОРМАЛЬНАЯ ПОДГРУППА, достижимая
подгруппа,— любой член не к-рого субнормаль-
субнормального ряда группы. Для обозначения субнормальностй
подгруппы Я в группе G используется обозначение
i<\G.
Лит.: [1] К а р г а п о л о в М. И., Мерзляков
Ю. И., Основы теории групп, М., 1972. Н. Н. Вильяме.
СУБНОРМАЛЬНЫЙ РЯД группы— подгрупп
ряд группы G
где каждая подгруппа G/ является нормальной под-
подгруппой в G,- + 1. Факторгруппы G,- + 1/G,- наз. ф а к то-
торами, а число ч — длиной Ср. Рассматри-
Рассматриваются и бесконечные С. р. (см. Подгрупп система).
Неуплотняемый далее С. р. наз. композицион-
композиционным рядом, а его факторы —композици-
—композиционными факторами. О. А. Иванова.
СУБПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, с у б т е п-
ловая функция,— аналог субгармонической
функции для уравнения теплопроводности
где и=и(х, t), х— (xit . . ., хп)?Кп, Аи= 2/=i э^? ~
оператор Лапласа. Напр., функция v=v(x, t), x?R,
г>0, класса С? будет С. ф. в прямоугольнике
D--={(x, t)?RxR + :a< x < Ь, 0 < t < h),
если
dt дх* *=и
всюду в D. В более общем случае пусть точка (ха, ta)?D
и А — достаточно малый равносторонний треуголь-
треугольник, основание к-рого параллельно оси t=0, (х0, <0)?
?Дс:Д. Непрерывная в замкнутой области/) функция
и=и(х, t) наз. субпараболической в D,
если ее значение в любой точке (х0, to)?D не больше,
чем значение в этой точке того решения уравнения (*.)
в любом достаточно малом треугольнике Л, (х0, to)?A,
к-рое имеет на сторонах А те же значения, что и и(х, t).
Для С. ф. справедливы многие свойства субгармони-
субгармонических функций, в т. ч. и принцип максимума.
Лит.: [1] Смирнов В. И., Курс высшей математик»,
5 изд., т. 4, М., 1958; [2] Петровский И. Г., Лекции об
уравнениях с частными производными, 3 изд., М.,'1961; [3]
е г о ж е, «Compos, math.», 1935, t. 1, p. 383—419.
E. Д. Соломепцев.
СУБПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО — одно из
обобщений пространств постоянной кривизны (проек-
(проективного пространства). Определяется А:-кратное проек-
проективное пространство аффинной связности, геодезичес-
геодезические линии к-рого выражаются в нек-рой системе ко-
координат системой из (п — 1) уравнений, из к-рых ров-
ровно к линейных. При fc=re — 2геодезич. линии являются
плоскими, располагаясь в двумерных евклидовых плос-
плоскостях, и пространство наз. субпроективным, если все
эти двумерные евклидовы плоскости проходят через
общую точку или параллельны одному направлению
(общая точка — бесконечно удаленная).

Пусть Ап есть га-мерное С. п. аффинной связности без
кручения. В нек-рой проективной системе х1 коорди-
координат пространства Ап коэффициенты связности имеют
вид
где &) — символ Кронекера,
в этой системе координат все двумерные евклидовы
плоскости, в к-рых расположены гсодезич. линии Ап,
проходят через начало координат.
Вообще в С. п. Ап существует канонич. система коор-
координат х', в к-рой коэффициенты связности принимают
наиболее простой вид
Аналогично определяется р и м а и о в о с у б-
проективное пространство Vn, мет-
метрика к-рого приводится к одному из трех возможных
видов:
где
— ?,-,. (
— dib}; с=const ф 0;
здесь 0 — произвольная функция координат х', т. —
функция величины ^-, v — квадратичная форма от
х', X в 1) — линейная форма, а в 2) — квадратный
корень из квадратичной формы, не являющейся пол-
полным квадратом.
3) Исключительный случай
0ds2 = aa$dxv-dx$ + 2dhlxn ~ x -f 2dvdxn,
где aap=const, det]aa|3! #0i 9 — однородная функ.
ция 1-й степени от х"~г и х", к и v — функции, связан-
связанные соотношением
-i aa$xx( +U"-1 + vx« = 0, a, P = l, ..., и —2.
Функции X и v но являются однородными функциями
1-й степени.
Все эти три случая могут быть приведены путем вы-
выбора координат z' к единообразному виду:
г—3, . .., га (е,- = const).
Все римановы С. п. Vn являются конформно-евклидо-
конформно-евклидовыми пространствами. Римановы С. п. принадлежат к
классу полуприводимых римановых пространств и име-
имеют специальное построение метрик.
Существуют тензорные признаки конформно евкли-
евклидовых С. п., выделяющие их из класса всех конформно
евклидовых пространств. Всякое С. п. Vn (кроме слу-
случая 3) может быть реализовано на нек-рой гиперпо-
гиперповерхности в евклидовом пространстве Еп+1 в случае
1) или на гиперповерхности вращения в En+i в случае
2). Имеет место и обратное утверждение: всякая гипер-
гиперповерхность вращения вокруг неизотропной оси в ев-
евклидовом пространстве Еп + 1, га>2, представляет собой
риманово С. п. с метрикой вида 2).

Движения в римановых С. п. Vn определяются обыч-
обычным способом. С. p. Vn характеризуются тем, что если
Vп не является пространством постоянной кривизны,
то оно допускает максимальную нетранзитивную груп-
группу движений порядка — п(п — 1), и, наоборот, всякое
риманово пространство Vn, допускающее максималь-
максимальную нетранзитивную группу порядка -п(п — 1),
является С. п. Римановы С. п. Vn являются максималь-
максимально подвижными неэйнштейновыми пространствами
(аналогичное место занимают пространства постоянной
кривизны среди пространств Эйншейна).
Понятие С. п. допускает следующее обобщение: про-
пространство аффинной связности Ап наз. обобщен-
обобщенным субпроективным пространством,
если его геодезич. линии лежат в евклидовых плоскос-
плоскостях Ег + 1, 1<г«и — 2, проходящих через фиксиро-
фиксированную плоскость Ег-\ (конечную или бесконечно
удаленную).
Лит.: [1] К а г а в В. Ф., Субпроективные пространства,
М., 1961. Л. А. Сидоров.
СУДЗУКИ ГРУППА — простая конечная группа,
член бесконечной серии простых групп Sz (q), открытых
М. Судзуки (М. Suzuki).
Пусть п — натуральное число, F — конечное поле
из <7=22" + 1 элементов, 9 — такой автоморфизм ноля
F, что а92=а2 для любого a?F. Тогда С. г. Sz(q) по-
порождается подгруппой Т, состоящей из всех диагональ-
диагональных матриц порядка 4 с диагональными элементами
Я.1 + 6, Я, Я-1, (X! + 9)-i (k?F, -ХфО), подгруппой U,
состоящей из всех треугольных матриц вида
(«,
1
a
«i + e+p
ц матрицей
0
1
a
0
0
a
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
Подгруппа U — силовская 2-подгруппа группы Sz(g);
она является Судзуки 2-группой. Подгруппа UT сов-
совпадает с нормализатором подгруппы U. Подстановоч-
Подстановочное представление группы Sz(<?) на смежных классах
по UT дважды транзитивно; степень его равна fl2+l.
Порядок С. г. Sz (q) равен q2{q—1) (g2+l) и не делится
на 3. Наоборот, любая неабелева конечная простая
группа, чей порядок не делится на 3, изоморфна нек-
некрой С. г. Группа Sz (q) — максимальная подгруппа
симплектической группы Sp D, q) и централизатор в
Sp D, q) нек-рого автоморфизма порядка 2 группы
Sp D, q)—B2 (q). Иными словами, Sz (q) изоморфна
2^г(?) — скрещенному аналогу Шевалле группы типа
В2 над полем из q элементов.
Лит.: [1] Suzuki M., «Ann. Math.», 1962, v. 75, №1,
p. 105—45; [2] Картер Р., «Математика», 196В, т. 10, №5,
С. 3—47. В. Д. Мазуров.
СУДЗУКИ 2-ГРУППА — конечная неабелева 2-груп-
па U, отличная от группы кватернионов, к-рая до-
допускает циклическую группу автоморфизмов <а>, дей-
действующую транзитивно на множестве Q элементов по-
порядка 2 группы U. Последнее означает, что для любых
двух элементов х, у из Q найдется такое натуральное
число а, что у=ха". В С. 2-г. U множество Q вместе с
единичным элементом составляют подгруппу Z, сов-
падающую с центром группы U; при этом факторгруппа
UIZ элементарна. Если порядок Z равен q, то порядок
U равен </2 или q3.

С. 2-г. полностью описаны (см. [1]). Название свя-
связано с тем, что в Судзуки группах силовская 2-подгруп-
па U обладает этими же свойствами.
Лит.: [1] HigmanG., «111. J. Math.», 19B3, V. 7, ,MS 1,
p. 79—96. В. Д. Мазуров.
СУДЗУКИ СПОРАДИЧЕСКАЯ ГРУППА — пр >стая
конечная группа порядка
448 345 497 600=213-З7-52-7-И-13,
построенная М. Судзуки (М. Suzuki) как примитивная
группа подстановок степени 1782 со стабилизатором
точки, изоморфным Шевалле группе G2 D).
О других спорадических группах см. Спорадическая
простая группа.
СУЖДЕНИЕ, предложение, утвержде-
утверждение, высказывание,— повествовательное со-
сообщение, к-рое в силу своего смысла может быть истин-
истинным или ложным. В более узком значении термина под
С, в математич. логике понимается замкнутая формула
логико-математич. языка, к-рая в силу семантических
соглашений языка, семантики языка, может быть ква-
квалифицирована как истинная или ложная.
Так, в аксиоматич. теории множеств различные мате-
математич. утверждения, напр, выбора аксиома или конти-
континуум-гипотеза, записываются в виде нек-рых формул,
К-рые в силу общих семантических соображений могут
быть истолкованы как выражающие соответствующие
содержательные утверждения. При этом совершенно не
обязательно, чтобы имелся способ распознавания ис-
истинных и ложных утверждении языка. Более того, сама
семантика может оказаться недостаточно разработан-
разработанной или может встречаться с принципиальными труд-
трудностями при решении вопроса относительно истиннос-
истинности нек-рых С. языка. Неразрешимость С. в рамках
век-рой теории выясняется с помощью формализации
метода (примеры см. в ст. Аксиоматическая теория
множеств). А. Г. Драгалин.
СУЖЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ на инвариантное
подпространство — то же, что подпредставление пред-
представления; С. п. л группы X на подгруппу Y (алгебры
X на подалгебру Y) — представление р группы (алгеб-
(алгебры) Y, определяемое формулой р(г/) = л(;/) для всех
y?Y. С. п. я наз. также ограничением пред-
представления я соответственно на инвариантное
подпространство или на подгруппу, подалгебру. Если
п — непрерывное представление, то и С. п. я также не-
непрерывно. .4. ГГ. Штерн.
СУММАТОРНАЯ ФУНКЦИЯ функции / —
функция x^i, обозначающая сумму значении f (п) на
Множестве натуральных чисел гс<ж, V /(и). С. ф.
являются одним из основных средств выражения разно-
разнообразных свойств числовых последовательностей.
Примеры С. ф.: число простых чисел <;х,г|) (х)-~-
=5., Л (п) — Чебышева функция, число делителей
всех ге<.г и т. п. (см. [1], [2]).
Основная задача состоит в том, чтобы найти возмож-
возможно более точное асимптотич. выражение С. ф., а для
С. ф., не имеющей асимптотики, наилучшую оценку ее
модуля для больших значений х.
В основе аналитич. методов изучения С. ф. лежат
Коши интегральная теорема и Дирихле ряды вида
(Jr=i/()
Если такой ряд абсолютно сходится при Re s>
го для нецелого х, с>а0, справедливо тождество
2»
<x
Из к-рого, имея аналитич. продолжение F (s) переносом
пути интегрирования влево на пек-рое Re s—at<0 за
счет оценок интеграла по новому контуру, получается

соответствующая оценка для С. ф. /. В случае / (та)=
=Л (п), напр., интегрирование можно перенести на
Re s= —оо,что дает формулу Римана — Мангольдта
для г|з(х). Из общих применений метода известна сле-
следующая теорема.
Предположения: f{n), ln — комплексные числа,
а^О, аг, уг — действительные числа, о>, Рг — поло-
положительные числа, и. и v — целые числа ^1, Г — гам-
ма-фупкция, Я,1<Х2< ...<кп< ....
1) Для любого е>0 /(«)<^"а + е-
2) Определенная для s=CT+j?, a>l-f-a, функция
мероморфна во всей плоскости и имеет конечное число
полюсов в полосе
3) Ряд ^ °°_ ln exp (kns) абсолютно сходится при
а<0.
4) Для ст<0
r <vr-
5) Р;+ ... +Р(А-б1
0) Коли положить
то т)>а+-|--
* Для фиксированной полосы aj<:a-<:a2 найдется
постоянная 7=7 (aj, a2) такая, что aj<:a<a2 и больших
|/| имеет место оценка F (^)<ехр (у|/|).
Заключение. Для любого &>0 имеют
где Л (г) — сумма вычетов функции f (s) i^/s для всех
ее полюсов в полосе
Лит..- [1] Т и т ч м а р ш Е- К., Теория дзета-функции Ри-
мапа, пер. с англ., М., 1953; [2] X у а Л о-г с и, Метод тригоно-
тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем.,
М., 1964. А. Ф. Лаврик.
СУММИРОВАНИЕ рядов, последова-
последовательностей, интегралов — вычисление
соответственно сумм рядов, пределов последователь-
последовательностей, значений интегралов. Термин «С.» обозначает
и само определение суммы ряда (предела последователь-
последовательности, значения интеграла), когда в обычном определе-
определении эти значения не существуют, т. е. ряд (последова-
(последовательность, интеграл) расходится. Такое определение
задают обычно в виде нек-рого правила и называют
суммирования методом рядов (последовательностей,
интегралов). И. И. Волков.
СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ — по-
построение обобщенных сумм расходящихся рядов с
помощью суммирования методов. Если по нек-рому
правилу Р ряду
относят число s, называемое, его суммой ряда,
то говорят, что ряд суммируем к сумме s методом
суммирования Р или Р-суммируем к сумме s и этот
факт обозначается одним из символов
lim sn =

где sn — частичные суммы ряда (*). Число s в этом слу-
случае наз. также Р-суммой ряда. Напр., для ряда (*)
рассматривают последовательность {о„} средних ариф-
арифметических первых п частичных сумм ряда
S
()
Если при этом с„ имеет предел при п-> с» :
lim an=*=s,
п -* оо
то говорят, что ряд (*) суммируем к сумме s средних
арифметических методом суммирования и обозначают
символом
или
lim sk = s (С, 1)
(см. Чезаро методы суммирования).
Ш-ри таком определении суммы ряда каждый сходя-
сходящийся ряд суммируем, причем к той же сумме, к к-рон
он сходится, и, кроме того, существуют расходящиеся
ряды, суммируемые этим методом. Напр., ряд
1 —1 + 1 —1+...
суммируем указанным методом и его (С, 1)-сумма рав-
равна- ^/2.
Определение метода суммирования обычно подчиня-
подчиняется ряду требований. Напр., требуют, чтобы метод
суммироная целый класс рядов; чтобы не противоречил
сходимости, т. е., будучи применен к сходящемуся ря-
ряду, суммировал бы его к той же сумме, к к-рой ряд схо-
сходится (см. Регулярные методы суммирования); чтобы
из суммируемости рядов
данным методом соответственно к суммам и и v следо-
следовала суммируемость ряда
причем к сумме XU-j-цУ (свойство линейности). См.
также Расходящийся ряд.
Лит.: [1] Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М.', ¦ 1951; [2]- Кук Р;, Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер. с англ., М., ..I960; . Ш К а н г-
р о Г. Ф., в сб.: Итоги науки и техники. Математический ана-
анализ, т. 12, М., 1974, с. 5—70; [4] Барон С, Введение в тео-
теорию суммируемости рядов, Таллин, 1977; [5] Р е у е г i m-
К о f f A., Lectures on summability, В., 1969; [6] Knopp К.,
Theory and application on infinite series, N. Y., 1971; [7] Z e 1-
lerK., BeekmannV., Theorie der Limitierungsverfahren,
2- Aufl., В.—Hdlb.—N. Y., 1970; [8] P e t e r s e n G. M.,.
Regular matrix transformations, L., 1986. И. И. Волков.
СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ — построение
средних рядов Фурье с помощью суммирования мето-
методов. Наиболее раавита теория С. р. Ф. по тригономет-
тригонометрия, системе. В этом случае для функций f?L(O, 2л)
с рядами Фурье
-у- + 2™ (aft cos fcx + 6^ sin te) ss
изучаются свойства средних, соответствующих рассмат-
рассматриваемому методу суммирования. Напр., для Абеля —
Пуассона метода суммирования средними являются
гармонические в единичном круге функции
а Для средних арифметических метода суммирования —
суммы фейера

Кроме названных, наиболее важными в теории одномер-
одномерных тригонометрич. рядов являются Чезаро методы сум-
суммирования, Рисса метод суммирования, Римана метод
суммирования, Бернштейна — Рогозинского метод сум-
суммирования, Балле Пуссена метод суммирования. Рас-
Рассматриваются также методы суммирования, порождае-
порождаемые более или менее произвольной последовательно-
последовательностью Л-множителей
С. р. Ф. применяется в следующих задачах.
Представление функций с помо-
помощью рядов Фурье. Напр., средние Абеля —
Пуассона f(r, х) при г->-1—0 и суммы Фейера а„ (х) при
и->-ое сходятся к функции / (ж) в точках ее непрерыв-
непрерывности, причем сходятся равномерно, если / непрерывна
во веех точках; для каждой функции /?L эти средние
сходятся к ней в метрике L. Частные суммы рядов
Фурье указанными свойствами не обладают.
Построение полиномов с хороши-
хорошими аппроксимативными свойствами.
Фактически с помощью С. р. Ф. было установлено
Джексона неравенство. Для решения этой задачи, на-
наряду с использованием известных методов суммирова-
суммирования, были предложены новые методы — Джексона син-
сингулярный интеграл, Балле Пуссена суммы.
В терминах средних рядов Фурье можно характери-
характеризовать многие свойства функций. Напр., функция /
является существенно ограниченной в том и только
том случае, когда существует такая постоянная М, что
ап (х)\ *?.М для всех п и х.
Существенную роль играет С. р. Ф. в теории крат-
кратных тригонометрич. рядов. Так, вместо сферических
частных сумм чаще используют их средние Рисса до-
достаточно высокого порядка.
Рассматривается также С. р. Ф. по другим ортонор-
мированным системам функций — как по конкретным
системам или классам систем, напр., по ортогональ-
ортогональным многочленам, так и по произвольным ортонорми-
рованным системам.
Лит.: [1] Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды, М.,
1961; [2] Зигмунд А-, Тригонометрические ряды, т. 1—2,
пер. с англ., М., 1965; [3] Харди Г., Расходящиеся ряды,
пер. с англ., М., 1951; [4] К а ч м а ж С, Штейн гауз Г.,
Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; 15] Т ч -
м а н А. Ф., Теория приближения функций действительного
переменного, М., 1960. С. А. Теляповский.
СУММИРОВАНИЯ МЕТОДЫ — способы построения
обобщенных сумм рядов, обобщенных пределов после-
последовательностей, значений несобственных интегралов.
В математич. анализе возникает потребность обоб-
обобщить понятие суммы ряда (предела последовательности,
значения интеграла) на случай, когда в обычном смыс-
смысле ряд (последовательность, интеграл) расходится. Та-
Такое обобщение задают обычно в виде нек-рого правила
или операции и называют методом суммиро-
суммирования.
1) Ряд Фурье непрерывной 2л-периодической функ-
функции f (х) может расходиться на бесконечном множестве
точек Ес[0, 2л]. Последовательность же {о„(х)} сред-
средних арифметических первых п частичных сумм этого
ряда
„ 1^.\ so (*) 4 8) (Я)+ ¦ . .4- Sn (X) ,.,
<*« (х) = ¦ ^п A)
равномерно сходится на всей оси Ох к функции f(x).
Если сумму ряда определить как
lim an (х),.
то в этом смысле ряд Фурье 2я-периодической непре-
непрерывной функции будет равномерно сходиться к / (ж)
на всей оси Ох.

2) Ряд
¦Vе* с 12)
полученный в результате умножения двух рядов
2Г=оа« и2Г=оь-
сходящихся соответственно к А и В, может оказаться
расходящимся. Если сумму ряда B) определить, как
в примере 1), т. е. как предел последовательности сред-
средних арифметических первых п частичных сумм, то в
этом смысле произведение указанных рядов будет схо-
сходиться к сумме С=АВ.
3) Степенной ряд
2Г=о2" C)
сходится для |z| <1 к сумме 1/A—z) и расходится для
'-¦"-* Если же сумму ряда C) определить как
1-
lim е-
где sn — частичные суммы ряда C), то в этом смысле
ряд C) будет сходиться для всех z, удовлетворяющих
условию Rez<l, причем его суммой будет функция
1/A—z) (см. Бореля метод суммирования).
Важнейшими свойствами С. м. являются регуляр-
регулярность (см. Регулярные методы суммирования) и линей-
линейность (см. Линейный метод суммирования). Наиболее
распространенные С. м. обладают этими свойствами.
Многие из методов обладают также свойством трансля-
тивности (см. Транслятивность метода суммирования).
Широкий класс С. м. составляют матричные методы
суммирования и полунепрерывные методы суммирова-
суммирования. Эти методы являются линейными и для них уста-
установлены условия регулярности. К матричным С. м.,
в частности, относятся Вороного метод суммирования,
Чезаро методы суммирования. Подкласс матричных С. м.
составляют методы, определенные конечнострочными
матрицами (см. Конечнострочный метод суммирова-
суммирования) и в частности треугольными матрицами (см. Тре-
Треугольный метод суммирования). Полунепрерывными ме-
методами суммирования являются Абеля метод суммиро-
суммирования, Бореля метод суммирования, Миттаг-Леф-
флера метод суммирования, Линделе'фа метод суммиро-
суммирования, Рисса метод суммирования. Существуют С. м.,
не относящиеся к указанным видам, напр, интеграль-
интегральный метод суммирования Бореля, Гёлъдера методы
суммирования.
Одна и та же последовательность (ряд) может быть
суммируема одним методом и не суммируема другим.
Множество всех последовательностей (рядов), сумми-
суммируемых данным методом, наз. суммируемости полем
данного метода.
Если рассматривают два С. м., и поле суммируемости
одного метода содержит поле другого метода, то говорят
о включении методов суммирования; в случае совпаде-
совпадения полей говорят о равносильности мето-
методов суммирования. Если поле С. м. состоит только из
сходящихся последовательностей, то говорят, что С. м.
эквивалентен сходимости. Установление условий, при
к-рых имеет место включение С. м., является одной из
задач теории суммируемости. Два или несколько С. м.
могут быть совместными и несовместными. С. м. наз.
совместными методами суммирования, если они
не могут суммировать одну и ту же последовательность
к различным пределам. В тех случаях когда из сумми-
суммируемости ряда

метод ом А всегда следует суммируемость ряда
методом В, говорят, что числа Л& являются суммируе-
суммируемости множителями типа (А, В).
Относительно С. м. различают два типа теорем. В
теоремах 1-го (абелевого) типа из свойств последова-
последовательности делают заключение о свойствах средних этой
последовательности, полученных в результате преобра-
преобразования, определяющего С. м. Напр., теорема Коши,
устанавливающая, что из sn-+s всегда следует (so+
-т-«1+. ¦ ,.+s,,)/re-f l->-s. В теоремах 2-го (тауберова) типа
из свойств средних, соответствующих данном.у См.,
и дополнительных условий делают заключения о свой-
свойствах преобразуемой последовательности (см. Тауберо-
вы теоремы).
По аналогии с обычной сходимостью вводят понятия
специальных видов суммируемости: абсолютной сумми-
суммируемости, безусловной суммируемости, сильной сум-
суммируемости, почти-суммируемости, Я-суммируемостп и
др. видов суммируемости.
Понятие обобщенного предела вводят также для функ-
функций и интегралов. В этих случаях говорят о суммирова-
суммировании функции (соответственно интеграла). Напр., для
функции s(y), определенной для всех у, С. м., анало-
аналогичный матричному С. м. последовательностей, состоит
в том, что рассматривается интегральное преобразова-
преобразование типа
t (,r)= \ с (х, y)s (y) dy
с ядром с(х, у), и функции s(y) в качестве ее обобщен-
обобщенного предела при у->-<х> относят число s, если
lim t (x) = s.
X -*¦ ее
Аналогично, один из С. м. несобственных интегралов
С "а (О Л D)
•> о
состоит в том, что рассматривают преобразования
у(х)=-ЛХ К (х, t)a{t)dt
J о
с ядром К (х, t), и интеграл D) называют суммируемым
к значению s, если
lim у (х) — s.
Л —*¦ со
Определение С. м., введенное для суммирования чис-
числовых и функциональных последовательностей, обобща-
обобщается на последовательности из элементов любого мно-
множества и общее определение С. м. может быть сформу-
сформулировано так: пусть X — заданное множество, s(X) ~—
множество последовательностей ж= {?;„} из' элементов
in?X, А —оператор, определенный на нек-ром под-
подмножестве ^*cs(X) со значениями в X. Тогда пару
(А, А*) наз. методом суммирования, оп-
определенным в s(X), а А* — полем суммируемости.
В этом случае последовательность х?А* (или ряд
2 uk с членами иА=|^—E*-i) наз. суммируемой
к пределу А (ж), где А (х)—Ах.
Лит.: [1] Хард и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М., 1951; [2] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер. с англ., М., 1960; [3] К а н г-
р о Г. Ф., в сб.: Итоги науки и техники, Математический ана-
анализ, т. 12, М., 1974, с. 5—70; [4] Б а р о н С, Введение в тео-
теорию суммируемости рядов, Таллин, 1977; [5] Peyerim-
Ь о f t A., Lectures on summability, В.— Hdlb.— N. Y.,
1969; [6] К n о р р К., Theory and application on infinite series,
L., 1966; [7] ZellerK., Beekmann W., Theorie der
Limitierungsverfahren, 2 Aufl., В.—Hdlb.—N. Y., 1970; [8]

Pitt H., Tauberian theorem's, L., 1958; [9] G a n e-
1 i u s Т. H., Tauberian remainder theorems, В.—fa. o.l, 1971;
[10] Peter sen G. M., Regular matrix transformations,
N. Y.—Toronto—Sydney, [1966]; [И] Брудио А. Л.,
«Матем. сб.», 1945, т. 16 E8), № 2, с. 191 — 247. И. 11. Волков.
СУММИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ — функция / : X^R,
где (X, [х) — пространство с неотрицательной мерой,
для к-рой определен и конечен Лебега интеграл
W/^M-- Множество С. ф. L (X) образует линейное под-
подпространство пространства измеримых функций. Взя-
Взятие абсолютной величины функции, максимума и ми-
минимума конечной системы функций не выводит из
L(X). Если [хХ<со, то L{X) замкнуто в смысле равно-
равномерной СХОДИМОСТИ. И. А. Виноградова.
СУММИРУЕМОСТИ МНОЖИТЕЛИ — числовые
множители Хп (для членов ряда), преобразующие ряд
суммируемый суммирования методом А, в ряд
суммируемый методом В. В этом случае С. м. Хп наз.
множителями суммируемости типа (А, В). Напр., числа
А„— l/(«+l)J являются См. типа ((с, к), (с, k—s))
(см. Чезаро методы суммирования) при 0<s</c+l (см.
UJ).
Основной задачей теории С. м. является отыскание
условий, при к-рых числа Хп будут С. м. того или иного
типа. Точнее этот вопрос формулируется так: если X
и Y — два класса рядов, то каковы должны быть усло-
условия на числа Хп, чтобы для каждого ряда A) из класса
Аг ряд B) принадлежал классу Y. Возникновение тео-
теории С. м. восходит к теореме Дедекинда —
А д а м а р а: ряд B) сходится для любого сходяще-
сходящегося ряда A) тогда и только тогда, когда
где АХп=Х„—Хп + х. Имеется обобщение этой теоремы
со сходимости на суммируемость методом Чезаро.
Лит.: [1] X а р д и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М.,
1951; [2] Кангро Г. Ф., «Ученые записки Тартуского уни-
университета», 1955, т. 37, с. 191—232; [3] е г о ж е, в сб.: Итоги
пауки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974,
с. 5—70; [4] Барон С, Введение в теорию суммируемости,
Таллин, 1977; [5] М о о г р. С. N., Summable series and conver-
convergence factors, N. Y., 1938. И. И. Волков.
СУММИРУЕМОСТИ ПОЛЕ, поле сходимости
метода суммирования, для методов сумми-
суммирования последовательностей — множество всех после-
последовательностей, суммируемых данным методом. С. п.
любого регулярного матричного метода суммирования
не может содержать все ограниченные последователь-
последовательности [3]. С. п. регулярного матричного метода, сум-
суммирующего хотя бы одну расходящуюся последователь-
последовательность, не может состоять только из ограниченных после-
последовательностей [4]. Однако существуют регулярные
матричные методы суммирования, суммирующие рас-
расходящиеся последовательности, С. п. к-рых не содер-
содержит ограниченных расходящихся последовательностей.
Множество ограниченных последовательностей, сум-
суммируемых данным методом, наз. ограниченным
полем. С. п. регулярного матричного метода сумми-
суммирования является полным метрическим локально-вы-
локально-выпуклым пространством с непрерывными координатны-
координатными проекциями.
Лит.: [1] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер. с англ., М., 1960; [2] К а н г-
р о Г. Ф., в сб.: Итоги науки и техники. Математический ана-
анализ, т. 12, М., 1974, с. 5—70; [3]Steinhaus H., «Prace mat.
fizyczno», 1911, v. 22, p. 121—34; [4] М a z u r S., О г 1 i с z W.,
«С. г, Acad. sci.», 1933, t. 196, p. 32—34. И.И.Волков.
СУММИРУЕМОСТЬ СИЛЬНАЯ комплексной число-
числовой или функциональной последовательности {?„} (или

ряда 2 _ а" с частичными суммами Sn) — суммируе-
суммируемость методом А — \(апь)\ такая, что для нек-рого />>0:'
1) последовательность
сходится для каждого п>1 и для почти всех х в случае
функциональной последовательности;
2) lim о„ = 0.
Если, сохранив п. 2), заменить п. 1) на:
J') для каждой, монотонно возрастающей последова-
последовательности индексов {v/;} последовательность
сходится для каждого ге>1 и для почти всех х в случае
функциональной последовательности, то приходят к
понятию очень сильной суммируемо-
суммируемости.
Понятие С. с. введено в связи с (С, ^-суммируемо-
^-суммируемостью рядов Фурье. Смысл этого понятия хорошо ил-
иллюстрируется на примере сильной (С, ^-суммируемо-
^-суммируемости. Именно, сильная (С, ^-суммируемость означает,
что частичные, суммы Sv , SVn, . . ., Sv , . . ., к-рые
портят сходимость последовательности {Sn}, располо-
расположены достаточно редко, т. е. имеют нулевую плотность.
В отличие от С. с, очень сильная суммируемость озна-
означает, что сходимость последовательности {Sn} портят
только очень редкие последовательности {Sv }.
Лит.: [1] Н а г d у G. Н., L i t t 1 е г v о o*d J. E.,
«С. г. Acad. sci.», 1913, t. 150, p. 1307—09; [2] А л е к с и ч Г.,
Проблема сходимости ортогональных рядов, пер. с англ., М.,
1963; [3J Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер.
с англ., т. 2, М., 1965: [4J Б а р и Н. К., Тригонометрические
ряды, М., 1961; 15] Sunouchi G e n-I с I] i г б, «Tohoku
Math. J.» 1964, v. 16, p. 228—37; [6] e г о же, «Acta sci. math.»,
1966, v. 27, №1—2, p. 71—76; [7] Б о л г о в В. А., Ефи-
Ефимов А. В., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1971, т. 35, №6,
с. 1389—408; [8] Z а 1 е w a s s е г Z. «Studia Math.», 1936,
v. 6, p. 82—88; [9] L e i n d 1 e r L., «Acta math. Acad. sci.
hung.», 1962, v. 13, № 3—4, p. 401 — 14. А. В. Ефимов.
СУММЫ РАНГОВ КРИТЕРИЙ — критерий одно-
однородности двух выборок Х1; Х2, . . ., Хп и У1; У2, . . .,
Ут, основанный на ранговой статистике /?1-|-/?2-|-. . .+
-\-Rm — сумме рангов Rj случайных величин Yj в
общем вариационном ряду X; и Yj (элементы двух вы-
выборок взаимно независимы и подчиняются непрерывным
распределениям). Является вариантом Вилкоксона кри-
критерия. А. В. Прохоров.
СУПЕРАЛГЕБРА — 22-градуированная алгебра
над полем к (см. Градуированная алгебра), т. е. супер-
суперпространство А над к, снабженное четным линейным
отображением А(?)А-^А. С. наз. коммутатив-
коммутативной (или градуированно-коммутатив-
н о и), если
ab = (-l)pia>pib)ba, а, Ь?А.
Определение С. можно обобщить на случай, когда об-
областью скаляров является произвольная ассоциатив-
ассоциативно-коммутативная С. С. Примеры ассоциативных С. над
С: алгебра Мт]п (С) матриц вида L ^ , где Х?Мт (С),
Т?.Мп (С), снабженная естественной Й2-гРаДУиРовк°й;
тензорная алгебра Т (М) Z 2-градуированного модуля
М над С; симметрическая алгебра S (M)=T (M)ll моду-
модуля М, где / — идеал, порожденный элементами вида
внешняя алгебра А (М)-~ S (П (М)) модуля М (последние
две С. коммутативны).

С. © над полем характеристики 0 с умножением
[,] наз. супералгеброй Л и, если ух, у,
[х, у} = (—l)f"»PW + 1[!/, ^],
[^, [</, *]] = [[*. У], z] + (-l)P<*>PW[y, [*, z]].
Примеры. Любая ассоциативная С, снабженная
операцией коммутирования
алгебра Der Л дифференцирований про-
произвольной С. Л (т. е. линейных преобразований б:
А-^А таких, что б (а&)=Fа)Ь+(-1)рD)р(а)а F6)) с,
операцией коммутирования. По любой С. Ли ® стро-
строится ассоциативная универсальная обертывающая С,
причем справедливо обобщение Виркгофа — Витта
теоремы.
Известна классификация конечномерных простых С.
Ли над полем С (см. [2], [3]). Они делятся на С. Л и
классического типа (характеризуемые тем,
что алгебра Ли ®- редуктивна) иС. Ли карта-
невского типа. С. Ли классич. типа исчерпы-
исчерпываются следующими сериями матричных алгебр:
(т ф и);
I
psl(n, re) = si (re, n)/{cE\c?C};
osp (m,2n)~ {a?Mm | 2п (С)|Р (а (г), г/) + Р (ж,а (г/))=0};
П(гс) = {а?А/п !„(С)|Р(а(.г), г/) + Р (.г, а (у)) = 0}
для четной (соответственно нечетной) симметрической
невырожденной билинейной формы;
Q(n)/{cE\c?C},
XY
где Q (п) =
Y X
(С) > , а также нек-рыми
исключительными алгебрами. С. картановского типа —
это алгебра Der Л (С") и ее подалгебры, аналогичные
простым Ли градуированным алгебрам Wn, Sn, Hn.
Известны также классификация конечномерных прос-
простых С. Ли над R и описание полупростых С. Ли в тер-
терминах простых.
Теория линейных представлений С. Ли существенно
сложнее, чем для алгебр Ли, поскольку представления
простых С. Ли, как правило, не являются вполне при-
приводимыми, а неприводимые представления разрешимых
С. Ли могут не быть одномерными. Известны классифи-
классификация неприводимых представлений простых конечно-
конечномерных С. Ли над С в терминах старших весов (см.
[1], [2]), а также явное описание конечномерных пред-
представлений и характеров формула для нек-рых серий
этих алгебр [1].
Лит.: [1] Л е й т е с Д. А., «Функциональный анализ и
его приложения», 1980, т. 14, с. 35—38; [2] К а с V. G.,
«Adv. math.», 1977, v. 26, p. 8—96; [3] ScheunertM.,
The theory of Lie superalgebras. An introduction,
B.-Hdlb.-N. Y., 1979. Д. А. Лейтес.
СУПЕРГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - такая
функция и(х) точки х евклидова пространства R",
п~^2, что —и (х) является субгармонической функцией.
Е. Д. Соломенцев.
СУПЕРГРУППА, супергруппа Л и,— груп-
групповой объект в категории супермногообразий. С. g
задается функтором точек ^ из категории коммутатив-
коммутативных супералгебр в категорию групп. На С. переносятся
Ли теоремы, что дает соответствие между С. и конечно-
конечномерными супералгебрами Ли [1, 2].
Примеры. 1) С. GLmm задается функтором
Ci—>GLnm (С) в группы четных обратимых матриц
из Мп1т (С) (см. Суперпространство), т. е. матриц ви-
„ , где X, Т — обратимые матрицы порядков
z у

n, m над С- , а Y, Z — матрицы над С- . Определен
гомоморфизм GLnirn (C)->-C!l, заданный формулой
X Y
Вег
Z Т
=-det (X—YT-^Z) det 77-1 (б е р е з и н и а н);
2)С. 5Lnlm-Ker Вег;
3) Подгруппы OSpni2mczGLni2m и IIncGLn,n, остав-
оставляющие инвариантными четную или нечетную невырож-
невырожденную симметрическую билинейную форму в соот-
соответствующем суперпространстве.
С каждой С. § и ее подсупергруппой $? связано
супермногообразие $/,%*, представляемое функтором
&—*•<§ (C)lffl (С), — однородное простран-
пространство С. '§.
Лит.: Г1] Б е р е з и н Ф. А. К а ц Г. И., «Матем. сб.»,
1970, т. 82, с. 343—59; [2J БерезинФ. А., Л е й-
т е с Д. А., «Докл. АН СССР», 1975, т. 224, с. 505—08.
Д. А. Лейтес.
СУПЕРМНОГООБРАЗИЕ — обобщение понятия мно-
многообразия, в к-ром функции принимают значения в
коммутативной супералгебре. Структура С. на диффе-
дифференцируемом многообразии М со структурным пучком
Qm задается пучком QM коммутативных супералгебр
над пучком (Здо, причем любая точка р?М обладает
такой окрестностью U, что окольцованное пространство
(U, вм\и) изоморфно (U, (QM\U)®\{Rm)), где
A(Rm)— внешняя алгебра с т нечетными образую-
образующими. Аналогично определяются аналитич. С. Диффе-
Дифференцируемые (или аналитические) С. образуют кате-
категорию, морфизмами к-рой служат морфизмы окольцо-
окольцованных пространств, четные на структурных пучках.
Размерностью С. наз. пара (dim M, т).
Суперобластью размерности (и, т) наз. С.
вида (С/, 6yB)A(Rm)), где (U, 0и) — открытое под-
подмногообразие в R". Каждое С. локально изоморфно
суперобласти.
Если Е — векторное расслоение над М, то пучок
сечений LAE расслоения АЕ определяет на М структуру
С. Каждое дифференцируемое С. изоморфно С. вида
(М, LAE) (см. [1], в комплексно-аналитическом случае
это неверно). В то же время морфизмов в категории С.
больше, чем в категории векторных расслоений.
С. q$ можно задавать функтором точек,
т. е. функтором в^из категории коммутативных супер-
супералгебр в категорию множеств, сопоставляющим супер-
супералгебре С множество аМ (С)~ Мог (Spec С, aS), где
Spec С — множество простых идеалов в С, снабженное
естественным пучком супералгебр (см. Лредставимый
функтор).
На С. переносятся основные понятия анализа на диф-
дифференцируемых многообразиях (см. [3], [5]).
Понятие С. возникло в теоретич. физике; оно позво-
позволяет объединять в единые мультиплеты частицы с Во-
Возе —¦ Эйнштейна статистикой и Ферми — Дирака
статистикой, а также объединять в единую супер-
супергруппу внутренние и динамические симметрии калиб-
калибровочных теорий [4].
Лит.: [1] Batchelor M., «Trans. Amer. Math. Soc»,
1979, v. 253, p. 329—38; [2] К о s t a n t В., в кн.: Differential
geometrical methods in mathematical physics, В., 1977, p. 177—
306; [3] Л е й т е с Д. А., «Успехи матем. наук», 1980, т. 35,
№ 1, с. 3—57; [4] О г и е в е ц к и й В. И., М е з и н ч е-
ску Л., «Успехи физич. наук», 1975, т. 117, №4, с. 637—83;
[5] Шандер В. Н., «Функциональный анализ и его прило-
приложения», 1980, т. 14, Nj 2, с. 91 — 92. Д. А, Лейтес.
СУПЕРПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, супер-
супертепловая функция,— такая функция v(x, t),
где z?R", t?R, что —v(x, t) является субпараболи-
субпараболической функцией. Е. Д. Соломенцев.
СУПЕРПОЗИЦИЯ ФУНКЦИЙ, композиция
ф у н к ц и й,— составление из двух функций сложной
функции.

СУПЕРПРОСТРАНСТВО — векторное пространство V
над полем к, наделенное Ж 2-градуировкой F=F-(f)F-.
Элементы .пространств V- и V- наз. соответственно чет-
четными и нечетными; для ж? V, определена четность р(х)~ i
(i? 2г= {0, 1 }). С каждым С. V связано С. П (V) такое,
что П (V),-— Vi+j (i? %г). Размерностью С.
V наз. пара (т, п), где m=dim V-, /i = dim V-. Поле к
обычно рассматривается как С. размерности A, 0).
Для С. V и W естественным образом определяется
структура С. в пространствах VQ}W, Homft(T, W),
7* и т. д. В частности, линейное отображение ф : V-yW
четно, если ф (VrfcWi, и нечетно, если ф (Г,-)СГ Wi + 7.
Однородная билинейная форма $?V*(±)V* наз. сим-
симметрической, если
р (У, х) -_ (_i)P «> р w t-P<P> (р «) + р <»» р (.г> ;/)>
и кососимметрической, если
Все эти понятия переносятся на % 2-градуированные
свободные модули V над произвольной коммутативной
супералгеброй С. Базис в V обычно выбирается так,
чтобы первые его векторы были четными, а последние —
нечетными. Любой эндоморфизм ф модуля Г заиисыва-
11 X Г -
ется в таком базисе блочной матрицей а== „ _ , где
II 'J ¦'II
Х?М„(С), Т?Мт(С), причем, если ф четен, то А" и Т
состоят из четных, a Y и Z из нечетных элементов (мат-
(матрица а четна), а если ф нечетен, то X и Т состоят из
нечетных, а У и Z из четных элементов (а нечетна).
Лит.: [I] Берез и н Ф. А., Введение в алгебру и анализ
еантикоммутирующими переменными, М., 1983; [2] Лейтес
Д. А., Теория супермногообразий, Петрозаводск, 1983.
Д. А. Лейтес.
СУСЛИНА ГИПОТЕЗА — гипотеза, утверждающая,
что всякое линейно упорядоченное множество без пер-
первого и последнего элементов, являющееся полным,
плотным и удовлетворяющее условию Суслина, изо-
изоморфно действительной прямой. При этом полнота
означает существование точной верхней грани у всякого
непустого ограниченного подмножества, плотность —
непустоту любого интервала (а, 6), условие Сус-
Суслина состоит в том, что всякая непересекающаяся
система интервалов не более чем счетна. Действитель-
Действительная- прямая обладает всеми свойствами, фигурирующи-
фигурирующими в формулировке С. г. Таким образом, С. г. состоит
в том, что отмеченные свойства действительной прямой
полностью ее определяют. Эта гипотеза сформулиро-
сформулирована М. Суслиным в 1920 [1].
В рамках системы Zb*C (системы ZF с аксиомой выбо-
выбора) С. г. нельзя ни доказать, ни опровергнуть при ус-
условии, что ZF непротиворечива. При этом из аксиомы
конструктивности Гёделя (см. Конструктивное по Гё-
делю множество) вытекает отрицание С. г. Совмести-
Совместимость С. г. с аксиомами ZFC доказывается построением
соответствующей модели с помощью разновидности
вынуждения метода (итерированное вынуждение).
Добавление к ZFC континуум-гипотезы также не позво-
позволяет дать ни положит., ни отрицат. решения С. г.
С. г. и ее обобщения оказали большое влияние на
развитие аксиоматич. теории множеств. С ней связана
разработка ряда идей и методов. Это — комбинаторные
принципы Иенсена <>ft к П]& (см. [4]) и теория тонкой
структуры конструктивной иерархии (см. [5]), аксиома
Мартина [7] и метод итерированного вынуждения [2].
Принцип Иенсена <>А. Подмножество А^к
кардинала к= {сс[сс<А:} наз. замкнутым неог-
неограниченным, если оно содержит все свои пре-
предельные точки и для всякого а<.к существует fi^A
такое, что а<р. Множество Ас=к наз.. стационар-
н ы м, если его пересечение с каждым замкнутым неог-

раниченным подмножеством кардинала к непусто.
Принцип </А: существует последовательность
<iSa|a<fe>, iSaSz, такая, что для всякого Хя^к
множество {a<k\Sa = Xf)a.} стационарно. Для вся-
всякого регулярного к принцип <>& вытекает из аксиомы
конструктивности, а из <>м следует отрицание С. г.
Комбинаторные принципы Иенсена, а также аксиома
Мартина (см. ниже) нашли плодотворные применения в
топологии (см. [4], [6], [8]).
Пусть Р — частично упорядоченное множество. Мно-
Множество Dgzp наз. плотны м, если для всякого
существует d?D такое, что d^-p. Множество
Q наз. совместимым, если для любого ко-
конечного подмножества FczQ найдется такое р?Р, что
р<:г для всякого r?F. Два элемента р1 и р2 из Р наз.
несовместимыми, если множество {pt, p2}
не является совместимым. Говорят, что частично упоря-
упорядоченное множество Р удовлетворяет условию
счетности антицепей, если всякое множест-
множество, состоящее из попарно несовместимых элементов, но
более чем счетно. Аксиома Мартина (МА)
утверждает следующее: если частично упорядоченное
множество удовлетворяет условию счетности антицепей
и ?р — семейство мощности <2W плотных подмножеств,
то существует совместимое множество Qc^P такое, что
для всякого D?ff> пересечение D[)Q непусто.
При наличии континуум-гипотезы (СН) аксиома
Мартина доказуема. Наиболее интересные следствия
дает сочетание аксиомы Мартина (МА) с отрицанием
континуум-гипотезы (~|СН). Принцип <>м противоре-
противоречит сочетанию МА-|-~]СН, так как -0>и влечет СН.
При этом часто оказывается, что предложение, выводи-
выводимое из <>@ , будет опровержимо в предположении
МА+""|СН. Так, напр., обстоит дело с С. г. Именно,
МА+~]СН влечет С. г., в то время как <>с0 влечет
отрицание С. г.
Сочетание МА+~|СН совместимо с ZFC, если ZF
непротиворечива.
Лит.: [)] S u s I i n M., «Fundam. math.», 1920, v. 1, р. 223;
[2] Devlin К. J., Zohnsbr&ten H., The Snuslin prob-
problem, В. —[a. o.], 1974 (Lecture Notes in Math., v. 405); |3]
lex Т., Теория множеств и метод форсинга, пер. с англ., М.,
1973; [4] Справочная книга по математической логике в четырех
частях, ч. 2 — Теория множеств, пер. с англ., М., 1982; [5]
Devlin К. J., Aspects of Constructibility, В. — Га. o.l,
1973 (Lecture Notes in Math., v. 354); [6] Ф е д о р ч у к В. В.,
«Матем. сО.», 197В, т. 99, Л5 1, с. 3—33; [7] Martin D. А.,
SolovayR., «Ann. Math. Logic», 1970, v. 2, p. 143—78;
Г8] M а л ы x и н В. И., «Успехи матем. наук», 1983, т. 38,
в. 1, с. 159—118. В. Н. Гришин.
СУСЛИНА КРИТЕРИЙ — см. Суслина теорема.
СУСЛИНА ПРОБЛЕМА: подобно ли множеству дей-
действительных чисел плотное в себе линейно упорядочен-
упорядоченное множество без первого и последнего элементов, в
к-ром всякое семейство непустых дизъюнктных ин-
интервалов счетно.
Утверждение положительного решения этой пробле-
проблемы есть гипотеза Суслина — она выдвинута
М. Я.Суслиным [1]. Гипотеза Суслина эквивалентна
несуществованию линейно упорядоченного несенара-
бельного бикомпакта, в к-ром всякое семейство непус-
непустых дизъюнктных интервалов счетно,— такой биком-
бикомпакт наз. континуумом Суслина.
В настоящее время A984) известна независимость
С. п. от основных аксиом теории множеств. Впервые
континуум Суслина методом форсинга построен в
1967—68. В 1970 было доказано, что конъюнкция аксио-
аксиомы Мартина и отрицания континуум-гипотезы (сов-
(совместная с системой Цермело — Френкеля аксиом теории
множеств) влечет несуществование континуума Сусли-
Суслина, т. е. справедливость гипотезы Суслина.
Лит.: [1] Suslin M., Problem 3, «Fundam. math.», 1920,
v. 1, p.'223. В. И. Молыхин.

СУСЛИНА ТЕОРЕМА (в дескриптивной
теории множеств) —
1) Существует Л-множество (числовой прямой R),
не являющееся борелееским множеством.
2) Для того чтобы данное Л-множество было боре-
борелевским, необходимо и достаточно, чтобы его дополне-
дополнение было также Л-множеством.
3) Всякое А -множество «-мерного пространства R"
есть (ортогональная) проекция борелевского (даже
типа G(,) множества пространства R" + 1 (и следователь-
следовательно, существует плоское борелевское множество типа
Ge , проекция которого не является борелевским мно-
множеством); проекция всякого А -множества есть Л-мно-
Л-множество.
Все эти результаты получены М. Я. Суслиным [1].
Для определения А -множества там использовалась
А-операция, а другие способы задания Л-множеств
были найдены позже. Л-операция фактически построе-
построена П. С. Александровым [2], к-рый показал (хотя явно
и не формулировал), что всякое борелевское множество
может быть получено как результат Л-операции над
замкнутыми множествами (следовательно, является
¦А-множеством), и использовал это для доказательства
теоремы о мощности борелевских (на самом деле, Л-)
множеств пространства R. После этого Н. Н. Лузиным
был поставлен вопрос о существовании Л-множества,
не являющегося борелевским. Ответом на этот вопрос
и явилась теорема 1). Теоремы 1) и 2) даны М. Я. Сус-
Суслиным [1] без доказательств. Доказательства их, полу-
полученные М. Я. Суслиным, были позже упрощены Н. Н.
Лузиным и только тогда опубликованы. Для доказа-
доказательства теоремы 1) М. Я. Суслин построил плоское
Л-множество, универсальное для всех борелевских
множеств и рассмотрел множество его точек, лежащих
на диагонали х=у (см. [3], с. 94). Теорема 2) теперь
часто наз. критерием Суслина борелевских
множеств. Доказательство М. Я. Суслина этой теоремы
было основано на разложении СА-множества на сумму
Sjij борелевских множеств (см. [4], [5|).
Лит.: [1] С у с л и н М. Я., «С. г. Acad. sei.», 1917, t. 164,
p. 88—91; [2] А л е к с а н д р о в П. С, там же, 191«, t. 182,
р. 323—25; [3] К е л д ы ш Л. В., Новиков Л. С, «Успе-
«Успехи матем. наук», 1953, т. 8, в. 2, с. 93—104; Г4] Л у я и н Н. Н.,
Собр. соч., т. 2, М., 1958; [5] Хаусдорф Ф., Теория мно-
множеств, пер. с нем., М.— Л., 1937. А. Г. Елъкин.
СУСЛИНА УСЛОВИЕ — условие, возникшее при
выдвижении Суслина гипотезы. Топологич. пространст-
пространство (булева алгебра, частично упорядоченное множество)
удовлетворяет Су. тогда и только тогда, когда всякое
семейство непустых дизъюнктных открытых подмно-
подмножеств (ненулевых попарно несовместных элементов)
не более чем счетно. С. у. обобщено на произвольный
кардинал; соответствующий кардинальнозначный инва-
инвариант — ЧИСЛО Суслина. В. #. Малыхин.
СУЩЕСТВЕННО НЕРАЗРЕШИМАЯ ТЕОРИЯ — ал-
алгоритмически неразрешимая логическая теория, все
непротиворечивые расширения к-рой также неразре-
неразрешимы (см. Неразрешимость). Элементарная теория
является С. н. т. тогда и только тогда, когда всякая
ее модель имеет неразрешимую элементарную теорию.
С. н. т. является всякая полная неразрешимая теория,
арифметика формальная; всякая теория, имеющая
конечную модель, не является С. н. т.
Существенная неразрешимость подходящей конечно
аксиоматизируемой элементарной теории S часто ис-
используется при доказательстве неразрешимости данной
теории Т (см. [1], [2]). При таком доказательстве теория
S интерпретируется в какой-либо модели М теории Т.
Область интерпретации и значения элементов сигнатуры
теории S определяются с помощью значений в модели
М подходящих формул в языке теории Т. Если пост-
построенная интерпретация является моделью теории S,
то теория Т неразрешима; более того, эта теория н а-

следственно неразрешима, т.е. нераз-
неразрешима всякая ее подтеория топ же сигнатуры, что и Т.
Таким методом может быть доказана неразрешимость
элементарной логики предикатов, элементарной теории
групп, элементарной теории полей и т. п. В качестве
С. н. т. S часто берут конечно аксиоматизированную
формальную арифметику.
Лит.: [1] TarskiA., MostowskiA., Robin-
Robinson R. M., Undecidable theories, Amst., 1953; [2] Ер-
Ершов Ю. Л. [и др.], «Успехи матем. наук», 1965, т. 20, в. 4,
с. 37—108; [3] К л и н и С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957. А. Л. Семенов.
СУЩЕСТВЕННО ОСОБАЯ ТОЧКА — изолированная
особая точка а однозначного характера аналитич. функ-
функции / (г) комплексного переменного z, для к-рой не
существует никакого, конечного или бесконечного,
предела lim/(z). В достаточно малой проколотой ок-
рестности F={z?C :Q<|z—a|<r} С. о. т. афаа или
V'= {z?C: r<|z|<oo} в случае о=о= функция /(z)
разлагается в ряд Лорана
или соответственно
причем в главной части этих рядов имеется бесконечно
много отличных от нуля коэффициентов ck с отрица-
отрицательными индексами к.
Сохоцкого теорема показывает, что любое комп-
комплексное значение w из расширенной комплексной плос-
плоскости С является предельным для функции / (z) в лю-
любой сколь угодно малой окрестности С. о. т. а. Согласно
Пикара теореме, любое конечное комплексное значение
w?C за исключением, быть может, одного, даже при-
принимается функцией /(z), и притом бесконечно часто,
в любой окрестности С. о. т. а. Теорему Сохоцкого
иначе выражают, говоря, что предельное множество
С (а; /) функции f(z) в С. о. т. а совпадает со всей рас-
расширенной плоскостью С. Для регулярных точек и
полюсов это множество, напротив, вырожденное, т. е.
сводится к одной точке w ? С. Поэтому в более общем
смысле существенно особой точкой
аналитич. функции f(z) наз. всякая такая особая точка
а (не обязательно изолированная), в к-рой не сущест-
существует конечного или бесконечного предела lim f(z), или,
иначе говоря, в к-рой предельное множество С (a; /)
невырожденное. Теоремы Сохоцкого и Пикара для
таких С. о. т., не являющихся изолированными точка-
точками множества всех особых точек, доказаны лишь при
нек-рых дополнительных предположениях. Напр., эти
теоремы остаются в силе для изолированной точки о
множества С. о. т., в частности для предельной точки
а полюсов мероморфной функции.
Точка а=(а1, . . ., ап) комплексного пространства
С", я^2, наз. точкой мероморфности
аналитич. функции / (z) многих комплексных перемен-
переменных z=(z^ ... , zn), если/(z) есть мероморфная функция
в нек-рой окрестности U точки а, т. е. если f(z) пред-
ставима в U в виде отношения двух голоморфных функ-
функций / (z) — p (z)lq (z), z?U. Существенно осо-
особыми точками аналитич. функции / (z) многих
комплексных переменных наз. особые точки а функции
/(z), не являющиеся точками мероморфности. При этом
невырожденность предельного множества С (а; /) пере-
перестает быть характеристическим свойством С. о. т.
Лит.: Ш М а р к у ш е в и ч А. II., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] Ф у к с Б. А., Введение
в теорию аналитич. функций многих комплексных переменных,
М., 1962. Е. Д. Соломенцее.

СУЩЕСТВЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — непрерывное
отображение / топологич. пространства X в открытый
симплекс Тп такое, что всякое непрерывное отображе-
отображение f1 : X-+T", совпадающее с / во всех точках множе-
множества f-1(fn\T"), есть отображение на все Тп. Напр.,
тождественное отображение Тп на себя есть С. о.
Лит.: [1] Александров П. С, Пасынков Б. А.,
Введение в теорию размерности ..., М., 1973.
М. И. Войцеховский.
СУЩЕСТВОВАНИЯ КВАНТОР — логическая опе-
операция, служащая для образования высказываний с
помощью оборота «для некоторых х» («существует х, для
которого»). В формализованных языках С. к. обознача-
обозначается через Зх, (эж), (Jx, Vx, 2А.. в. е. Плиско.
СФЕР ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ — объект изу-
изучения классич. теории гомотопий. Вычисление С. г. г.
nj(Sn) в свое время (особенно в 50-х гг.) рассматрива-
рассматривалось как одна из центральных задач топологии. Топо-
Топологи надеялись, что эти группы удастся полностью
вычислить и что с их помощью можно будет решать дру-
другие классификационные гомотопич. задачи. Эти надеж-
надежды в основном не сбылись: С. г. г. удалось вычислить
лишь частично, и с развитием теории обобщенных
когомологий задача их вычисления стала менее
актуальной. Все же накопленная информация об этих
группах не пропала даром, она нашла применения там,
где их не ждали, в частности в дифференциальной топо-
топологии (классификации дифференциальных структур на
сферах и многомерных узлов).
I. Общая теория. 1) Если i-Cn или j>n=l,
то щ (S")=0.
2) nn (Sn)= % (теорема Брауара —X о п-
ф а); этот изоморфизм относит элементу группы лп (Sn)
степень представляющего его отображения Sn-+Sn.
3) Группы я4т_1 (Я2"*) имеют рант 1; прочие труппы
л,- (Sn) с хфп конечны.
Гомоморфизм надстройки
Е: ni(S")-
относит элементу группы я, (Sn), представляемому сфе-
сфероидом / : S'-+Sn, класс сфероида Ef : 5' + 1->-5" + 1, оп-
определяемого формулой
x)==
1
@, х)
где ?\ ?
4) Гомоморфизм Е является изоморфизмом при i>2« —
— 1 и эпиморфизмом при i^s2n—1.
Таким образом, при каждом к группы л„+д (S") мо-
могут быть составлены в последовательность
(S3) —>...,
в (й:-4-2)-м члене к-рой наступает стабилизация; группа
n.n + k (Sn) с re^/c-j-2 наз. к-й стабильной С. г. г.
и обозначается я|. При этом л|=0 при А<0 и яо=2.
Как и в гомотопических группах любого топологич.
пространства, в С. г. г. определено умножение Уайт-
хеда:
ni(S")Xnj(S")—s.n1-+y-_1E«), (а, Р) —> [а, Р].
К обычным его свойствам (дистрибутивность, косая
коммутативность, тождество Якоби) добавляется
5) Е [а, р] = 0.
Умножение Уайтхеда позволяет сделать следующее
уточнение к 4):
6) ядро эпиморфизма Е: л2п-1 {Sn)^-n2n (Sn + 1) порож-
порождается классом [in, in], где in — каноническая образую-
образующая группы nn(S") (представляемая тождественным
сфероидом).
С умножением Уайтхеда тесно связан Хопфа инва-
инвариант Я (а), определенный для a^_nim_1(S2m). Так,

элемент группы n3(S2), представляемый отображением
Хопфа h : Ss^-S2, действующим по формуле h(z1, z2)~
=zt : z2 (в к-рой S'3 интерпретируется как единичная
сфера пространства С2, a S2 — как СР1), имеет ин-
инвариант Хопфа, равный 1.
7) Отображение II : n3(S2)->-Z есть изоморфизм.
8) Н (Ц2т, iim}) = 2.
Следствием 8) является бесконечность групп
nim-\(Slm)i Уже утверждавшаяся в 3).
9) При тф\, 2, 4 в л4ет_1 (Sim) отсутствуют элементы
с нечетным инвариантом Хопфа (как было известно
задолго до доказательства этой теоремы, ее утвержде-
утверждение равносильно следующей гипотезе Фро-
б е н и у с а: при 1ф\, 2, 4, 8 в R' отсутствует били-
билинейное умножение с однозначным делением на ненуле-
ненулевые элементы).
Специфическим для сфер является композици-
композиционное умножение
.$«)—<-л,-E«), (р\ а)—>аор,
определяемое при помощи компонирования представ-
представляющих отображений.
10) Для любых а, «!, а2?лу-E"), р\ Pi, Р26Л;EУ).
б g jt,-_i E/ — 1), y(zn-k(S/), имеет место:
а) (а о Р) су=а ° (Р °у),
б) ао (P1+p2)=a°Pi+«oP2,
в) (ах+а2) ° ?'б=а1 о ?б+сс2° ^-^>
г) ?(aoP)=?no?p.
«Левый закон дистрибутивности» (at+a2) ° Р~«1 ° Р+
f-a2<>P, вообще говоря, места не имеет. Утверждение
г) позволяет определить стабильное к о м.п о-
:i и ц и о и н о е умножение
11) Для любых а, «! ^ p
имеют место утверждения а), б) из 10), а также:
в') (о^Ч-Иг) ° P = «i ° р-гсс2 о р,
д) aop = ( —lj^poa.
II. Методы вычисления. Геометрич. метод
Понтрягина (см. [1]), предложенный в сер. 30-х гг.,
основывается на следующем определении. Гладкое
m-мерное компактное многообразие X пространства R'
наз. оснащенным, если на нем задано гладкое
поле трансверсальных к нему (г—т)-реперов; само это
поле наз. оснащением. Оснащенные многообра-
многообразия Хо, XjCrR', не имеющие края, наз. к о б о р-
д а н т н ы м и, если существует оснащенное многооб-
многообразие FcrR'X @, l]clR'+1 с dY=(X0XO)\J(X1Xi), у
к-рого сужение оснащения на ХдХ0 и Xtxl содер-
содержится в R1' X 0 и R' X 1, и при естественном отождест-
отождествлении R' X 0 и R'xl с Ri превращается в заданное
оснащение многообразий Хо и Xt. Множество классов
кобордантных оснащенных m-мерных многообразий без
края в R' обозначается через Qm (i).
1) Имеет место взаимно однозначное соответствие
между nj(Sn) и Q'-"(i).
Метод дает хорошие результаты при небольших г—п.
Он позволяет также доказать нек-рыс из теорем п. I
и доставляет разнообразную геометрич. информацию
о многообразиях малых размерностей.
Другую группу методов составляют элементарные
алгебраич. методы, состоящие в использовадии гомо-
тоцич. последовательностей различных расслоений,
свойств умножения Уайтхеда, композиционного умно-
умножения и соответствующего высшего умножения (скобок
Тоды, см. [3]), а также следующую теорему
Д ж е н м с а.
2) Имеется последовательность групп и гомоморфиз-
гомоморфизмов
Е Н Р
5

СФЕР ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
286
точная при нечетном п и при г<3ге—1 (в этой последо-
последовательности Н — обобщение инварианта Хопфа).
Элементарные алгебраич. методы оказываются до-
довольно действенными: почти не прибегая к другим
приемам, удается вычислить группы л,- (Sn) при
13
Далее, имеется метод убивающих пространств (см.
[5]). Этот метод пригоден для вычисления гомотопич.
групп любого пространства. Он основывается на по-
построении по пространству X последовательности уби-
убивающих пространств Х\ь со следующим свойством:
Ui(X), iszk,
о, к к.
Таким образом, я,- (Х) = л,- (X\i)=Hi (Х\,-) и задача вы-
вычисления гомотопич. групп сводится к задаче вычис-
вычисления гомологии (и когомологий) пространства X];.
Эти гомологии находятся по индукции при помощи
спектральных последовательностей расслоений: Х]^
расслаивается со слоем Х|^ + 1 над Эйленберга — Мак-
лейна пространством К (nk {X), к). Вычисление не носит
автоматич. характера: чтобы продвинуться в нем, не-
необходимо как можно больше знать о когомологиях
пространства X, включая действие в них примерных
и высших когомологических операций.
Более удобный аппарат для вычисления стабильных
С. г. г. доставляет спектральная последовательность
Адамса. Пусть р — простое число, а А{р) — Стинрода
алгебра стабильных когомологич. операций, действую-
действующих в когомологиях с коэффициентами в ?р.
3) Существует спектральная последовательность, на-
начальный член к-рой совпадает с когомологиями алгеб-
Более современные методы вычисления С. г. г. осно-
основываются на привлечении обобщенных теорий когомо-
когомологий. Один из них заключается в использовании тесно
связанного с А'-теорией е-а н в а р и а н т а А д а м-
с а. Для его построения фиксируется отображение
/ : S'^-Sn, представляющее класс сс?л,-E"), и рас-
рассматривается пространство Xa — Sa[)fDl'+1, получен-
полученное приклеиванием к сфере S" (?+1)-мерной клетки по
отображению /. Оказывается
Нп(Ха; %)~Hn + i + 1{Xa; Z)aZ;
пусть и, v — канонические образующие этих групп.
Существует комплексное векторное расслоение | над
Ха, Чжэня характер ch \ к-рого удовлетворяет соот-
соотношению <ch |, и)=1. Тогда <ch |, v> есть рацио-
рациональное число, вычет к-рого по модулю 1 не зависит
от выбора %. Этот вычет и есть е-инвариант е(сс)
класса а. Функция е представляет собой гомоморфизм
образ к-рого может быть найден (см. [2]).
Наконец, потенциально самый мощный метод вычис-
вычисления С. г. г. (и не только сфер) доставляет спектраль-
спектральная последовательность Адамса — Новикова — аналог
спектральной последовательности Адамса, построенный
на базе не обычных когомологий, а кобордизмов. Одна-
Однако уже явное вычисление начального члена этой по-
последовательности содержит в себе трудности, пока
A984) не преодоленные.
III. Результаты вычисления. 1) Груп-
Группы я,- (S") с i -re-<2 изоморфны группам и:» следующей
таблицы:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
2
z
z2
г2
Ж 12
z2
Z2
z3
z16
z2
Z,2©Z2
3
z2
z2
Zl2
z2
z2
?3
lib
z2
?12m*
z.۩z;
4
?i
Z©Zl2
Й2
z*
224©2:з
Z,s
z2
?©®2
Zm0z!
5
2 24
Z2
z2
z2
Z30
Z2
Z23
Z72©Z2
6
0
?
?%
г во
Ж24ФЖ2
Z2
Z504©Z2
7
...
...
0
z2
ijl20
Z23
z24
Z24©Z2
25049^2
8
?2
Z©2u2o
z24
^2
^24©
Z^Z,
9
nr
^240
za*
^24®Z2
z.M©z,
10
zj
zezs
Z12©Z2
Z504
11
...
/Z6®22
Й504
12
? G
? .}') ? 504
стаб.
1,2
?г
l2i
0
0
1,2
% 240
Z6
Z504
ры Стинрода (т. е. с ExtA
p,
Zp)), а предельный
член присоединен к стабильным С. г. г., профактори-
зованным по кручению порядка, взаимно простого с р.
Спектральная последовательность Адамса позволяет
продвинуться в вычислении стабильных гомотопич.
С. г. г. довольно далеко. Аналогичная спектральная
последовательность имеется для вычисления стабиль-
стабильных гомотопич. групп любого пространства. Имеется
и нестабильный аналог спектральной последователь-
последовательности Адамса (см. [4]).
2) Группы л? с 12<А-<22 изоморфны группам из
следующей таблицы:
Ь=12
0
13
?з
14
1\
15
2j480O "!2j2
1С
2
17
ъ\
18
Z8©Z2
19
Z204©Z2
20
? 24
21
ъ\
22
l\
Дальнейшие результаты вычисления групп п,-Eп)
см. [3]. Особенного прогресса удалось достичь в вы-
вычислении нечетных примарных компонент этих групп.

Более современные методы вычисления С. г. г. осно-
основываются на привлечении обобщенных теорий когомо-
лагий. Один из них заключается в использовании тесно
связанного с Л'-теорией е-а н в а р и а н т а А д а м-
с а. Для его построения фиксируется отображение
/ : S'^-Sn, представляющее класс сс?л,-E"), и рас-
рассматривается пространство Xa — Sa[)fDl'+1, получен-
полученное приклеиванием к сфере S" (?+1)-мерной клетки по
отображению /. Оказывается
Нп(Ха; %)~Hn + i + 1{Xa; Z)aZ;
пусть и, v — канонические образующие этих групп.
Существует комплексное векторное расслоение % над
Ха, Чжэня характер ch \ к-рого удовлетворяет соот-
соотношению <ch |, и)=1. Тогда <ch |, v> есть рацио-
рациональное число, вычет к-рого по модулю 1 не зависит
от выбора %. Этот вычет и есть е-инвариант е(сс)
класса а. Функция е представляет собой гомоморфизм
образ к-рого может быть найден (см. [2]).
Наконец, потенциально самый мощный метод вычис-
вычисления С. г. г. (и не только сфер) доставляет спектраль-
спектральная последовательность Адамса — Новикова — аналог
спектральной последовательности Адамса, построенный
на базе не обычных когомолопш, а кобордизмов. Одна-
Однако уже явное вычисление начального члена этой по-
последовательности содержит в себе трудности, пока
A984) не преодоленные.
III. Результаты вычисления. 1) Груп-
Группы я,- (S") с i -re-<2 изоморфны группам и:» следующей
таблицы:
7
3
J2
120
^2
7*
J2
©z2
-BZ'2
8
z2
?j 2
•&%
¦I 24©
24ф22
% 504^1 )Za
9
nr
^240
iL 2
z24
Й24Ф22
2 504® 2 2
10
Z©Za
Й12ФЙ2
Z504
11
...
гл.»
^J 2
й6ф22
Й504
12
^ (i
2.BZ504
стаб.
Z2
Z2
Z24
0
0
г2
Ъгт
г\
%\
Же
2^504
2) Группы nsh с 4 2<А-<22 изоморфны группам из
следующей таблицы:
Ь=12
0
13
Z3
14
15
2j480O."'^2
1С
2
17
zt
18
Z8©Z2
19
Z204©Z2
20
2 24
21
z22
22
Дальнейшие результаты вычисления групп n,-(iSn)
см. [3]. Особенного прогресса удалось достичь в вы-
вычислении нечетных примарных компонент этих групп.

Так, например:
3) если р — нечетное простое число, то /)-нримарная
компонента группы л| есть %v при к=21(р—1)—1,
1=1, . . ., (р—-1), и тривиальна при других /с<2р(р—
-1)-2.
Имеется большое количество результатов о С. г. г.,
область действия к-рых не ограничивается никаким
конечным диапазоном значений i—re. В частности, из-
известно большое количество бесконечных серий нетри-
нетривиальных элементов групп n((Sn) (см. [4J).
4) Порядок образа Уайтхеда гомоморфизма J\ ра-
равен знаменателю несократимой дроби, равной В^/Ак,
где Вк есть к-е Бернулли число. В частности, Card
Im /,=24, Card Im /2=240, Card Im /3=504, Card
Im /4=480.
Лит.: Ill П о и т Р я г и н Л. С, Гладкие многообразия
и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976; [2]
Adams J., «Topology», 1963, v. 2, p. 181—95; 1965, v. 3,
p. 137—81, 193—222; 1966, v. 5, p. 21 — 71; И Тода Х.,
Композиционные методы в теории гомотопических групп сфер,
пер. с англ., М., 1982; [4] У а й т х е д Д ж., Новейшие дости-
достижения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1974; [5]
Фукс Д. В., Фоменко А. Т., Гутснмахер В. Л.,
Гомотопическая топология, 2 изд., М., 1909. Д. В- Фукс.
СФЕРА — множество 5" точек х евклидова про-
пространства Еп+Х, находящихся от нек-рой точки х0
(центр С.) на постоянном расстоянии R (р а д и-
у с С), т. е.
S" = {x?E" + h p(x, жо) = Д}.
С. S0 — пара точек, С. S1 — это окружность, С. S" при
ге>2 иногда на:!, гиперсферой. Объем С. S"
(длина при «-=1, поверхность при п~2) вычисляется
но формуле
в частности,
Уравнение С. Sn в декартовых прямоугольных коор-
коорнатах в Е" + 1 имеет вид
р д
динатах в Е" + 1 имеет вид
(здесь х', хЪ, i=l, . . ., п-[-1,— координаты а:,' ,г0 соот-
соответственно), т. е. С.— (гипер)квадрика, или поверх-
поверхность второго порядка специального вида.
Положение какой-либо точки в пространстве отно-
относительно С. характеризуется степенью точки. Совокуп-
Совокупность всех С, относительно к-рых данная точка имеет
одинаковую степень, составляет сеть С. Совокупность
всех С, относительно к-рых точки нек-рой прямой
(радикальной оси) имеют одинаковую степень
(различную для различных точек), составляет связку
С. Совокупность всех С, относительно к-рых точки
нек-рой плоскости (радикальной плоско-
плоскости) имеют одинаковую степень (различную для раз-
разных точек), составляет пучок С.
С точки зрения дифференциальной геометрии, С.
S" — риманово пространство, имеющее постоянную
(гауссову при ге=2 и риманову при ге>2) кривизну
/с^=—. Все геодезич. линии С. замкнуты и имеют по-
R
стояннуго длину 2пД — это т.н. большие ок-
окружности, т.е. пересечения с Sn двумерных плос-
плоскостей вЕп+1, проходящих через ее центр. Внеганегео-
метрич. свойства S": все нормали пересекаются в одной
точке, кривизна любого нормального сечения одна и та
же и не зависит от точки, в к-рои оно рассматривается,
в частности имеет постоянную среднюю кривизну, при-
причем полная средняя кривизна С. — наименьшая среди
выпуклых поверхностей одинаковой площади, все точ-
точки С. омбилические.

Нек-рые из таких свойств, принятые за основные,
послужили отправной точкой для обобщения понятия
С. Так, напр., аффинная сфера определяется тем, что
все ее (аффинные) нормали пересекаются в одной точке;
псевдосфера — поверхность в Е3 постоянной гауссовой
кривизны (но уже отрицательной); одна из интерпрета-
интерпретаций орисферы (предельной сферы) — мно-
множество точек внутри S2, определяемое уравнением
также второго порядка
A _ж2_г/2_гз) = const A —za — #|3 —zyJ.
На С. S" дважды транзитивно действует ортогональ-
ортогональная группа О(ге+1) пространства Е" + B-транзитив-
ность означает, что для любых двух пар точек с рав-
равными расстояниями между ними существует враще-
вращение — элемент O(n-{-i), переводящее одну пару в дру-
другую); эта группа является полной группой изометрий
S"; наконец, С. есть однородное пространство: 5"=
=-O(n-\ri)IO(n).
С точки зрения (дифференциальной) топологии, С.
S" — замкнутое дифференцируемое многообразие, раз-
разделяющее Еп+1 на две области и являющееся их общей
границей; при этом ограниченная область, гомеоморф-
ная Еп+1,— это (открытый) шар, так что С. можно опре-
определить как его границу.
Группы гомологии С. S", l
в частности Sn не стягивается в точку сама по себе,
т. е. тождественное отображение S" в себя сущест-
существенно.
Группы гомотопий С. S", ге>1:
Напр., п3E2)=К, 3in + 1E")=nn + 2(S'»)=Z2 при и>2.
В общем случае — для любых к и п, /с>л, группы
7ik(Sn) не вычислены (см. Сфер гомотопические группа).
И здесь понятие С. получает обобщение. Напр.,
дикая сфера — топологич. С. (см. ниже) в Еп + Х, не
ограничивающая области, гомеоморфной Еп + 1\ Милно-
ра сфера (экзотическая С.) — многообразие,
г.омеоморфное, но не диффеоморфное S".
Топологич. пространство, гомеоморфное С, наз.
топологической сферой. Одним из ос-
основных здесь является вопрос об условиях того, что
нек-рое пространство является тонологич. сферой.
Примеры, а) Инвариантная гонолотич, характе-
характеристика С. S" при ге>2 не известна A984). О случае
га=1 см. Одномерное многообразие. Для того чтобы кон-
континуум был гомеоморфен С. S2, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы он был локально связан, содержал хотя бы
одну простую замкнутую линию и чтобы всякая лежа-
лежащая на нем такая линия разбивала его на две области,
имеющие эту линию своей общей границей (теоре-
(теорема Уайлдера).
б) Полное односвязное риманово пространство раз-
размерности ге>2, кривизна #6 к-рого для всех касатель-
касательных двумерных плоскостей а б-ограничена с 6>V4,
т. е. Ь<-К& <1 гомеоморфно Sn (теорема о сфе-
р е, см. Риманоеа геометрия).
в) Односвязное замкнутое гладкое многообразие,
(целые) гомологии к-рого совпадают с гомологиями S",
гомеоморфно Sn при п ^ 4 (при п = 3 — неизвестно
A984)). Если п = 5, С, то оно также и гомеоморфно S"
(обобщенная гипотеза Пуанкаре),
при п=3, 4 гипотеза остается A984), при и^7 диффео-
диффеоморфизм не имеет места.
Совершенно аналогично определяется С. S в метрич.
пространстве (М, р): S = {x?M, р(ж, xo)~R).

Однако это множество, вообще говоря, может-быть ус-
устроено достаточно сложно (или может быть пустым).
В нормированном пространстве Е с нормой ||-|| С.
наз. множество S={x?E, \\x\\=R}; это, по существу,
произвольная, вообще говоря, бесконечномерная вы-
выпуклая (гипер)поверхность, не всегда обладающая,
напр., гладкостью, округлостью и т. п. полезными
свойствами обычной С. Один из вариантов, применяю-
применяющихся в топологии,— т. н. бесконечномер-
бесконечномерная сфера — строгий индуктивный предел ?°° по-
последовательности вложенных сфер:
S1 с 5« с .. •;
другое определение: 5°°= Fj (R°°), где V1(Ra>) — беско-
бесконечномерное Штифеля многообразие. Для любого I
оказывается, что л, (S°°) = Q.
Приложения понятия С. чрезвычайно разнообразны.
Напр., С. участвует в-конструкциях новых пространств
или дополнительных структур на них. Так, напр., про-
проективное пространство RPn можно интерпретировать
как С. S" с отождествленными диаметрально противо-
противоположными точками; С. с ручками и дырами использу-
используется в ручек теории; см. также Когомотопическая груп-
группа, Сферическое отображение.
Лит.: [1] РозенфельдБ. А., Многомерные простран-
пространства, М., 1966; [2] е г о ж е, Неевклидовы пространства, М.,
1969; [3] Леви П., Конкретные проблемы функционального
анализа, пер. с франц., М, 1967; [4] Введение в топологию, М.,
1980; [5] Б у з е м а н Г., Геометрия геодезических, пер.
с англ., М., 1962. И. С. Шарадзе.
СФЕРИЧЕСКАЯ ГАРМОНИКА степени к —
сужение однородного гармонического многочлена ?кЦх)
степени к от п переменных ж=(Ж], . . ., хп) на единич-
единичной сфере Sn~1 евклидова пространства Е", п~^3.
В частности, при п=3 С. г. — это классич. сферические
функции.
Пусть х?Еп, хфО, г=\х\, х' = т/г^5"-1. Основным
свойством С. г. является свойство ортого-
ортогональности: если У<*> {х') и У<'> (г1) — С. г. соот-
соответственно степеней к и I, причем кф\, то
-t уШ <*') у(" (х'> dx' =°-
Простейшими С. г. являются зональные сфе-
сферические гармоники. Для любого t' ?Sn~v и
любого fe>0 существует зональная С. г. Z<< (x1), по-
побй ф Si
уу ()
стоянная на любой параллели сферы S"~i, ортогональ-
ортогональной вектору t'. Зональные С. г. 2>\? (х') лишь постоян-
постоянным множителе,м отличаются от Лежандра многочленов
Pit при п=3 или От ультрасферических многочленов
Р'ь] при п>3:
где многочлены Ри ' определяются при «>3 через про-
производящую функцию
0<|s|<l, |ti = l, X=(n—2)/2. Многочлены Р1^, к=
=0, 1, . . ., ортогональны с весом A—г2)^~1/г и образуют
ортогональный базис пространства IJ ([ — 1, 1]: A —
—р)х~^*). Если t(x') — функция из пространства
/.2(Sn~l), причем \ f{x')dz'~Q, то существует
единственный набор С. г. У'*' такой, что
причем ряд сходится по норме L2(Sn~l).
Разложения по С. г. во многом аналогичны разло-
разложениям в ряды Фурье, обобщением к-рых они в сущ-
сущности являются. Однородные гармонические многочле-

ны А'*1 (х) иногда наз. пространственными
С. г. В силу однородности
в связи с чем С. г. иногда наз. также поверхност-
поверхностными С. г.
Лит.: [1] М о р с Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теорети-
теоретической физики, пер. с англ., т. 1—2, М., 1960; [2] С т о й и II.,
В ей с Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых
пространствах, пер. с англ., М., 1974. Е. Д. Соломенцев.
СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — математич. дис-
дисциплина, изучающая геометрич. образы, находящиеся
на сфере, подобно тому как планиметрия изучает гео-
геометрич. образы, находящиеся на плоскости.
Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в се-
сечении нек-рую окружность; если секущая плоскость
проходит через центр О сферы, то в сечении получается
т.н. большой круг. Через каждые две точки
А и В на сфере (рис., 1), кроме случая диаметрально
противоположных точек, можно провести единственный
большой круг. Большие круги сферы являются ее
геодезическими линиями и поэтому в С. г. играют роль,
аналогичную роли прямых в планиметрии. Однако в то
время как любой отрезок прямой является кратчайшим
между его концами, дуга большого круга на сфере
будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче
дополнительной дуги. Во многих других отношениях
С. г. также отлична от планиметрии; так, напр., в С. г.
не существует параллельных геодезических: два боль-
больших круга всегда пересекаются, и притом в двух точ-
точках.
Длину отрезка А В на сфере, то есть дугу АтВ
(рис., 1) большого круга, измеряют соответствующим
пропорциональным ей центральным углом АОВ. Угол
ABC (рис., 2), образованный на сфере дугами двух боль-
больших кругов, измеряют углом А'ВС между касатель-
касательными к соответствующим дугам в точке пересечения В
или двугранным углом, образованным плоскостями
ОВА и ОВС.
При пересечении двух больших кругов на сфере
образуются четыре сферических двууголь-
двуугольника (рис., 3). Сферич. двуугольник определяется за-
заданием своего угла. Площадь сферич. двуугольника оп-
определяется по формуле S=2R2A, где R — радиус сфе-
сферы, А — угол двуугольника, выраженный в радианах.
Три больших круга, не пересекающихся в одной паре
диаметрально противоположных точек, образуют на
сфере восемь сферических треугольни-
треугольников (рис., 4); зная элементы (углы и стороны) одного
из них, легко определить элементы всех остальных.
Поэтому обычно рассматривают соотношения между
элементами лишь одного треугольника, притом того,
все стороны к-рого меньше половины большого круга
(такие треугольники наз. эйлеровыми тре-
треугольниками). Стороны а, Ь, с сферич. треуголь-
треугольника измеряются плоскими углами трехгранного угла
ОАВС (рис.. 5), углы А, В, С треугольника — двугран-
двугранными углами того же трехгранного угла. Свойства

сферич. треугольников во многом отличаются от свойств
треугольников на плоскости (прямолинейных треу-
треугольников). Так, к известным трем случаям равенства
прямолинейных треугольников для треугольников на
сфере добавляется еще четвертый: два треугольника
равны, если равны их соответствующие углы (на сфере
не существует подобных треугольников).
Равными треугольниками считаются те, к-рые могут
быть совмещены после передвижения по сфере. Равные
сферич. треугольники имеют равные элементы и оди-
одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные
элементы и различную ориентацию, наз. симметричны-
симметричными; таковы, напр., треугольники А С'СпВССна рис.,6.
Во всяком сферич. треугольнике (эйлеровом) каж-
каждая сторона меньше суммы и больше разности двух
других; сумма всех сторон всегда меньше 2л. Сумма
углов сферического треугольника всегда меньше Зя
и больше я. Разность s—я~е, где * — сумма углов
сферического треугольника, наз. сферическим
избытком. Площадь сферич. треугольника опре-
определяется по форм5'ле 5—Д2е, где R — радиус сферы.
О соотношениях между углами и сторонами сферич.
треугольника см. Сферическая тригонометрия.
Положение каждой точки на сфере вполне определя-
определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно
определить, напр., следующим образом. Фиксируются
(рис., 7) нек-рый большой круг QQ' (экватор),
одна из двух точек пересечения диаметра РР' сферы,
перпендикулярного к плоскости экватора, с поверх-
поверхностью сферы, напр. Р (п о л ю с), и один из больших
полукругов РАР', выходящих из полюса (н у л е в о й
меридиан). Большие полукруги сферы, выходя-
выходящие из Р, наз. м еридиана м и, малые ее круги,
параллельные экватору,— параллелями. В ка-
качестве одной из координат точки М на сфере прини-
принимается угол Q=POM — полярное расстоя-
расстояние, в качестве второй — угол <f=AON между ну-
нулевым меридианом и меридианом, проходящим через
точку М,— долгота, отсчитываемая против часо-
часовой стрелки.
Длина L дуги М1М2 (рис., 8) линии B~f(t), tp~g(t)
вычисляется по формуле
Лит.: [1] Степанов Н. Н., Сферическая тригономет-
тригонометрия, 2 изд., Л.—М., 1948; [2] Энциклопедия элементарной мате-
математики, кн. 4 — Геометрия, М., 1963. В, И. Биткщков.
СФЕРИЧЕСКАЯ ИНДИКАТРИСА — изображение
кривой трехмерного евклидова пространства R3 с
помощью отображения точек кривой в единичную сфе-
сферу S2 какими-либо единичными векторами: касатель-
касательным, главной нормали, бинормали этой кривой. Пусть
r=r (s)—радиус-вектор кривой I, s—естественный пара-
параметр, S=B(s) — радиус-вектор сферич. отображения
кривой I в единичную сферу S2 с центром в начале коор-
координат с помощью одного из указанных единичных век-
векторов. Уравнение С. и. касательных определится урав-
уравнением .
Ж«) = -зг.
С. и. главных нормалей — уравнением
В (s) = •
ds'
а Си. бинормалей — уравнением
Касательная к Си. в соответствующих точках s
параллельна главной нормали кривой. Кривизна и
кручение С. и. выражаются через кривизну и кручение

самой кривой. Для каждой из С. и. существует беско-
бесконечное множество кривых, для к-рых она является ин-
индикатрисой, т. е. кривая не может быть однозначно
восстановлена по ее С и.
Лит.: [1] Выгодский М. Я., Дифференциальная гео-
геометрия, М.—Л., 1949. Л. А. Сидоров.
СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ — математич.
дисциплина, изучающая зависимости между углами и
сторонами сферических треугольников (см. Сферическая
геометрия). Пусть А, В, С — углы и а, Ь, с — противо-
противолежащие им стороны сферического треугольника ABC.
Углы и стороны сферич. треугольника связаны следую-
следующими основными формулами Ст.:
sin о sin6 sine ...
sin A ~ sin В sin С ' '
— теорема синусов;
cos a = cos b cos с-\- sin b sin с cos A B)
— теорема косинусов для сторон;
cos A — — cos В cos C-j-sin В sin С cos a Bj)
— теорема косинусов для углов;
sin a cos В — cos b sin с — sin b cos г cos A, C)
sin A cos ft — cos В sin C' + sin И cos С cos a Cj)
— формулы, связывающие пять элементов. В этих
формулах стороны а, Ъ, с измеряются соответствующими
центральными углами, длины этих сторон равны соот-
соответственно aR, ЬВ, сИ, где R — радиус сферы. Ме-
Меняя обозначения углов (и сторон) но правилу круговой
перестановки: А —>¦ В --> С —> А (а—>-Ь —> с —>• а),
можно написать другие формулы С. т., аналогичные
указанным. Формулы С. т. позволяют по любым трем
элементам сферич. треугольника определить три осталь-
остальные.
Для решения сферич. треугольника но данным двум
сторонам а, Ь и углу С между ними и по данным двум
углам А, й и прилежащей к ним стороне с применяются
следующие формулы (аналогии Не п е р а):
0-6 «-6
. А-В *т~Г t с t A + B C0S~ f с „.
sin —g— cos —ч—
. A-B A-B
, sin —-— , cos —=—
. n — b 2 ,c . a + b 2 , с /гч
l* —= l лПГ^Т- 18-т- = ТПГ^-2 ¦ <5>
sin —-— cos —-—
Для прямоугольных сферич. треугольников (Л =90°,
а — гипотенуза, Ь, с — катеты) формулы С. т. упроща-
упрощаются, напр.:
sin b — sin a sin В A')
— теорема синусов;
cos a — cos b cos с B')
— сферическая теорема Пифагора;
sin a cos В — cos b sin с. C')
При решении задач удобны следующие формулы
Дела м.б р а, связывающие все шесть элементов
сферич. треугольника:
sin -2-acos-i-(B —С) —sin4 Л sin4" (Ь-{-с),
sin 4 a sin4 (#—С) —cos-i- A sin —(b—c),
cos
~ о cos 4 (# + С) ^-- sin ~ A cos 4"
cos4-a sin4 (В+С)~cos— A cos~(b —с);

формулы половинных углов:
А / sin (я-Ь) sin (
sm~2~~V sin b sin с
A ш /^sin ssin (s-tt)
COS—|/
в-с)
sjnbsinc
a /
Т = У
-cos S cos (S- A)
sin В sin С
cos(S-B)cos (S-C) „ A + B + C
| sinBsinC ' S = —2— •
Лит. см. при ст. Сферическая геометрия. В. II. Битюцков.
СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ — числа р, 9 и
р, связанные с декартовыми прямоугольными коорди-
координатами х, у и z формулами
x = pcosq>sin 9,
г/ = р sin ф sin 6, 2 = pcos9,
где 0<р<оо, 0«р<2я,
0<:9<:л. Координатные по-
поверхности (см. рис.): кон-
центрич. сферы с центром
О (p=0P = const); полу-
полуплоскости, проходящие че-
через ось Oz (ц>—<хОР' —
=const); круговые конусы
с вершиной О и осью Oz (9--- <zOP = const). Система
С. к.— ортогональная.
Коэффициенты Ламе:
Элемент площади поверхности:
fo= Уо5 sin2 9 (dp йфJ + р2 (rfp d6)-
Элемент объема:
Векторные дифференциальные операции:
,. ! , 9«р .
_
psin6 9ф ~i ptge e ] A ае
9пе 1 да I
а
X
"psinB ЭФ р 96
дар
А/ = ~a^--i--=- 0/ I ' й2/ ! ' d'f I ctg 9 а/
' ~~ <>р2 ' р эр "г pi sin2 е оф2 "т" р2 эе2 "т~ р» ое ¦
Обобщенными С. к. наз. числа ;i, г; и гг,
связанные с декартовыми прямоугольными координа-
координатами х, у и z формулами
х — аи cos v sin w, y~bu sin у sin ш, z^cu-cosw,
где 0<«<оо, 0<:(;<2л, 0<ш<:я, a>&, ?>>0. Коорди-
Координатные поверхности: эллипсоиды (a = const), полуплос-
полуплоскости (y=const) и эллиптич. конусы ((y-~const).
Д. Д. Соколов.
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, шаровые функ-
функции, присоединенные функции Ле-
жандра 1-го и 2-го рода,— два линейно
независимых решения Р§ (z) и Q^. (z) дифференциаль-
дифференциального уравнения
где ц, v — комплексные постоянные, к-рое возникает

при решении нек-рых классов дифференциальных урав-
уравнений с частными производными методом разделения
переменных. Точки z=n-\, oo являются в общем случае
точками ветиления решений. С. ф. являются частными
случаями гипергеометрич. функции:
are—4 = 0 при Imz = 0, z > 1
2v+1r(v + 3/2) zn + v + i
' ц и- v + 1 u. + v + 2 . Я
(arg:-0 при Imz — 0, г > 0; arg(z2 — 1)— 0
при Imz -0, z > 1).
С. ф. Pv (z) и <?v (г) определены и однозначны соот-
соответственно в областях |1—г| <2 и [г|>1 комплексной
плоскости, разрезанной вдоль действительной оси от
— со до +1.
Если 1ю г=0, г = г, —1<х<1, то обычно в качестве
решений рассматриваются функции
»гт'''2^ (.г- Ю)] =
^ [c
2.Ч1ПЦЛ L
где / (.r-)-iO) (/ (.г—Ю)) — значения функции / (z) на верх-
верхней (нижней) границе разреза.
При ц=0, v=n=0, 1, 2, ... P,,B)=P)}(z) — много-
многочлены Лежандра. О зональных С. ф. см. ст. Сферичес-
Сферическая гармоника.
Лит.: [11 Б е й т м е н Г., Э р д е й и А., Высшие трансцен-
трансцендентные функции, пер. с аР1гл., 2 изд., т. 2, М., 1974; [2] Спра-
Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и
математич. таблицами, пер. с англ., М., 1979; [3] У и т т е-
к е р Э. Т., В а т с о н Д ж. Н., Курс современного анализа,
пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; [4] Кратер А.,
Франц В., Трансцендентные функции, пер. с нем., М., 1963;
[5] Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных
функций, пер. с англ., М., 1952.
Ю. А. Брычков, А. П, Прудников.
СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК МЕТОД — способ при-
приближенного решения кинетич. уравнения с помощью
разложения фазовой плотности частиц в конечную сум-
сумму по сферич. функциям от аргументов, задающих на-
направление скорости частицы (см. [1]). Метод широко
применяется при решении задач нейтронной физики.
В одномерной плоской геометрии стационарное ин-
тегро-дифференциальное кинетич. уравнение переноса
(при изотропном рассеянии частиц)
приближенно заменяется системой дифференциальных
уравнений для tyn (x) — приближенных значений коэф-
коэффициентов Фурье
и-0, 1, 2, ... , 2N — i. B)
Система вида
C)
возникает при условии
$2N(x) = 0. D)

Здесь ч|) (х, и.) — фазовая плотность частиц, распрост-
распространяющихся в веществе, с — среднее число вторичных
частиц, возникающих в одном акте взаимодействия с
частицами вещества, Рп(ц) — многочлен Лежандра
степени п. Система C) определяет Рглг-г-приближение
С. г. м. для уравнения A). Приближенное значение
фазовой плотности
" м-
Для уравнения A) типичные краевые условия имеют
вид:
i|)@, Ц) = 0 для 0<ц<1, \
iJj(A, ц) = 0 для — 1<ц<0. [ к>
Таковы, напр., краевые условия для задачи нейтронной
физики о критич. режиме слоя толщины h со свободными
поверхностями х=0 и z=h (границы с вакуумом).
В этой задаче необходимо найти положительное реше-
решение A), F) и собственное значение с.
В С. г. м. вместо F) естественно взять
и = 0, 1, ..., 27V —1.
Однако такой подход дает в два раза больше условий,
чем необходимо для частного решения системы C).
На практике был испытан различный выбор значений
п в G). Наилучший результат дают условия с re=2fc+l,
к—0, 1, . . ., N—1. Для односкоростного уравнения
переноса общего вида из Владимирова вариационного
принципа получается система уравнений С. г. м. и
указанные граничные условия (при в,ыборе пробных
функций в виде линейной комбинации сферических гар-
гармоник). Для трехмерной геометрии граничные условия
можно записать в виде
' O)Yak,t(Q)dQ
-О, (8)
J (Вт) < О Ч
i=0, ±1, ..., ±2к; к=-0, 1, ..., N — 1.
Здесь г — вектор пространственной координаты, П —
единичный вектор скорости частицы, имеющий сферич.
координаты {9, <р}, п — единичный вектор внешней
нормали к кусочно гладкой поверхности Г, ограничи-
ограничивающей выпуклую область пространства, в к-рой ре-
решается задача
Yk, i W = pi' ' " (cos6) sin | i |ф, i = — fe, ..., —1,
Yk, i (^)== P"' (cos 9) cos гф, i=;0, 1, ..., fe,
— сферич. функции, Pfe° ((.i) — присоединенные функ-
функции Лежандра 1-го рода (Р^} (ji)=P^ (|л)—многочле-
(|л)—многочлены Лежандра).
Низшие приближения С. г. м. (Plt P3) широко ис-
используются при решении задач нейтронной физики и
дают хорошие результаты вдали от границ области, от
источников и сильных поглотителей нейтронов. Теория
возраста также строится в Pj-приближении. Обобщенное
решение С. г. м. сходится к решению уравнения пере-
переноса при iV->oo (см. [2]). Скорость сходимости ф (х,
\i)->-ty(x, ц) легко оценить, сравнив интегральные урав-
уравнения для я(H (х) m|H(i), т. е. оценив близость их ядер.
Уравнение A) с граничными условиями F) приводит
к интегральному уравнению с ядром
" S [Д d\i.

Система С. г, м, C) при граничных условиях, анало-
аналогичных F),
ijj(O, ц,-)=^0 для 0<|х,-<1, г^-Л, 2 Л',
ij> (h, u.,-)=0 для —1 < |х,- < 0, i — —l, —2, ..., — 1
где ц; — корни P2NW, приводит к интегральному
уравнению с ядром
где а; — веса квадратурной формулы Гаусса для систе-
системы узлов —1<ц,<1. Особенность, к-рую имеет функ-
е — I х—s |/|х
ция — , приводит к медленной сходимости
при больших N:
Приближенное собственное значение сходится к точ-
точному со скоростью 1/iV2.
Граничные условия (9) возникают естественно при
решении кинетич. уравнения методом дискрет-
дискретных ординат, к-рый состоит в замене A) на
приближенную систему
dip, (ж) = . X-.JV =
^ к+ъ (т> = 2а^(х) A0)
Метод дискретных ординат в одномерной геометрии
эквивалентен С. г. м. (см. [3]), т. к. система A0) может
быть получена из C) с помощью линейного преобразо-
преобразования неизвестных функций:
Однако в многомерных задачах С. г. м. в низших при-
приближениях дает большую точность, чем метод дискрет-
дискретных ординат.
Лит.: [1] М а р ч у к Г. И., Лебедев В. И., Числен-
Численные методы в теории переноса нейтронов, 2 изд., М., 1981;
[2] С у л т а н г а з и н У. М., «Ж. вычисл. матем. и матем.
физ.», 1974, т. 14, №1, с. 166 —78; [3] Р и х т м а й е р Р.,
Мортон К., Разностные методы решения краевых задач,
пер. с англ., М., 1Я72. В. А. Чуяпов.
СФЕРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ — образ сфери-
сферического отображения.
СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение
гладкой ориентируемой (гипер)поверхности Mk прост-
пространства ?ft + 1 в (единичную) сферу 5* с центром в начале
координат ?* + 1, сопоставляющее точке х?Мк точку
х* ?5* с радиус-вектором п(х) — (единичной) норма-
нормалью к Mk в х. Иначе, С. о. определяется поливектором,
построенным из к независимых векторов, касательных
к М":
— х, Л ... Лхк
| Ж1Л • ¦ ¦ Ах^ ]
(здесь и1, . . ., и* — локальные координаты точки х,
XI = —г х — радиус-вектор Мк). Напр., при к—2
»= 11нЛ2л ,
где [ •, -1 — векторное произведение; этот простейший
случай был рассмотрен К. Гауссом (С. Gauss, 1814).
Образ С. о. наз. сферическим изображе-
изображением MR, или его сферическим образом.
Форма
dn'2 — у,-у du1' duJ
— обратный образ метрич. формы ¦?* — ваз. треть-
третьей квадратичной формой (гипер)поверх-

ности Мк. Отвечающий ей тензор y;j связан с тензорами
gjf и b(j соответственно первой и второй квадратичных
форм соотношением
а метрич. связности, соответствующие g,y и у</, оказы-
оказываются сопряженными связностями.
Наряду со С. о. в случае (гипер)поверхности, одно-
однозначно проектирующейся на нек-рую (гипер)плоскость,
удобно рассматривать т.н. нормальное отоб-
отображение п. Для (гипер)поверхности, заданной
уравнением
xk + l-=f (х\ ... , л-*)
(здесь х' — декартовы координаты в Ек+1), оно опре-
определяется так:
где р;——!—. , при этом п = пК 1 -f- 2р?.
дх'
Для неориентируемых (гипер)поверхностей исполь-
используется т.н. неориен тируемое С. о.— отобра-
отображение Мк в ЭЛЛИ0ТИЧ. пространство Эк (интерпретируе-
(интерпретируемое как связка прямых, проходящих через центр /?* + 1):
точке ,т?М* ставится в соответствие прямая, перпенди-
перпендикулярная касательной плоскости к Мк в х.
С. о. характеризует искривленность (гиперповерх-
(гиперповерхности в пространстве. Именно, отношение элементов
площадей сферич. образа dS* и самой поверхности
dS в точке х ? Мк равно полной (или кроне-
к е р о в о й, или внешней) к р и в и з н е Кг —
произведению главных кривизн Мк в х:
Kl = dS*ldS, т. е. K(ds*)= K,№) .
Точно так же (интегральная) кривизна множества
FcMk равна площади его сферич. образа (т. е. мно-
множества F*~n(F)czSli):
J$S». A)
Обобщения сферического отобра-
отображения.
1) Касательное представление —
Со. подмногообразия Мк в EN — отображение
где G/( >Л1 —Грассмана многообразие, определяемое
(здесь) следующим образом. Пусть Тх — касательное
пространство к Мк в точке х, к-рое можно считать
(гипер)плоскостью в EN, a T (х) есть if-мерное под-
подпространство, проходящее через начало координат
ЕЧ параллельно Тх. Отображение х-*-Т (х) и наз. С. о.
Имеет место обобщение формулы A) (для четных к):
здесь?2—е ''" к Qili2A ... Л ®*к_г ik, где Й,-у- — кри-
кривизны форма на Мк, Q — аналогичная форма на GK^,
Tji/(Mk) — образ Мк при С. о. Двойственным образом
определяется нормальное отображение
Mk-^-G^^K: точке г ? Мк сояоставляется ортогональное
дополнение к Т(х).
2) Гауссово отображение (г. о.) век-
векторного расслоения |* в векторное пространство F^,
i<7V<oo,— (произвольное) отображение
пространства расслоения Е (?*), индуцирующее на
каждом слое линейный мономорфизм. Для канониче-
ckgfoвекторного расслоения у'к (подрасслоення расслое-

ния-произведения (<7дгдХК-^, р, СЛг, ft), пространство
к-рого состоит из всевозможных пар (V, .r)?Gjyt jXR^
с х? V) отображение (Г, .г) -*¦ х наз. канониче-
каноническим гауссовым отображением. Для
любого расслоения \к каждое г. о. является компози-
композицией канонич. г. о. и нек-рого морфизма расслоений;
г. о. существует тогда и только тогда, когда существует
такое отображение (В — база расслоения) /: В (?)-*-Gjv; д,
что | и /* (Yfc ) изоморфны (в частности, для каждого
векторного расслоения над паракомпактным прост-
пространством существует г. о. в F°°). Для подмногообразий
риманова пространства имеется несколько обобщений
С. о.
3)Локальногауссово отображение.
Пусть U — риманова нормальная координатная ок-
окрестность точки x?M*cVN, _[_U — сужение на U
нормального расслоения многообразия Mk. Тогда
отображепие
где Мх, М^г — соответственно касательная и нормаль-
нормальная (гипер)плоскости к Мк в х, наз. локально
гауссовым, если Gy (z), z?U', есть параллельный
перенос в VN вектора z назад вдоль геодезич. луча в U,
идущего из х в начальную точку вектора z. Если VN
имеет тривиальную группу голономии, то перенос не
зависит от пути, так что можно определить глобальное
отображение G на J_M согласованно с вц на J_U.
4) Ефимовское отображение относит-
относится к поверхностям М2 в римановом пространстве V3
и является развитием упомянутого выше понятия со-
сопряженных связностей. Оно определяется более фор-
формально из-за отсутствия абсолютного параллелизма в
I73 и рассматривает аналог третьей квадратич. формы—
квадрат ковариантного дифференциала нормали —
(DnJ. При этом связь гауссовых кривизн K(ds*) и
К (ds) оказывается более сложной (вследствие неоднород-
неоднородности, вообще говоря, уравнений Кодацци). Эта связь
остается прежней, т.е. К (|/>и|)— —-^—, здесь K(ds),
К (\Dn\) —гауссовы кривизны метрик ds и \Dn\ (в
случае Va=E3 К (ds) = Ki),n получается прежняя фор-
формула К (\Dn\) = К (\dn\)—i, где Kt — внешняя кривиз-
кривизна М2 в Vs, напр, в следующей ситуации:- нормаль к
Мг является собственным вектором Риччи тензора
пространства Vs (рассматриваемого в точках М2),
другими словами, М2 — одна из главных поверхно-
поверхностей этого тензора. Это всегда так, если Vя является
пространством постоянной кривизны.
Наконец, понятие С. о. вводится для нек-рых клас-
классов нерегулярных поверхностей.
5) Полярное отображение — Со. вы-
выпуклой (ишер)поверхности Fk b?* + 1, сопоставляющее
точке x?Fk множество v (x) всех тех единичных векто-
векторов, отложенных от начала координат, к-рые парал-
параллельны нормалям к опорным (гипер)плоскостям к
Fk й х. Теорема Александрова: сферич.
образ \(А) каждого борелевского множества A<zFk
измерим, и интегральная кривизна К (Л )=mes v(/4)
есть вполне аддитивная функция.
Лит.: [1] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей
. . . , ч. 2, М.—Л., 1948; [2] Б а к е л ь м а н И. Я., Вер-
вер Д. Л., К а н т о р Б. Е., Введение в дифференциаль-
дифференциальную геометрию «в целом», М., 1973; [3] М и щ е н к о А. С,
Фоменко А. Т., Курс дифференциальной геометрии и топо-
топологии, М., 1980; [4] Н о р д е н А. П., Пространства аффинной
связности, 2 изд., М., 1976; [5] Ш в а р ц Д ж., Дифференциаль-
Дифференциальная геометрия и топология, пер. с англ., М., 1970; [6] Хью з-
моллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М.,
1970; [7] Б и ш о п Р. Л., КриттенденР., Геометрия
многообразий, пер. с англ., М., 1967; [8] 3 й з е н х а р т Л. П.,
Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [9] Б у з е м а к Г.,
Выпуклые поверхности, пер. с англ., М., 19U4.
Л. А. Сидоров.

СХЕМА — окольцованное пространство, локально
изоморфное аффинной схеме. Подробнее, С. состоит из
топология, пространства X (базисного прост-
пространства схемы) и пучка Qx коммутативных
колец с единицей на I (структурного пуч-
пучка схемы); при этом должно существовать откры-
открытое покрытие (X,-)i€ f пространства Л' такое, что (X;,
§х\Х;) изоморфно аффинной схеме Spec Г (X,-, Qx)
кольца сечений Qx над X,-. С— одно из обобщений
понятия алгебраического многообразия. О формировании
понятия С. см. [2], [3], [5].
Основные понятия и свойства. Пусть (X, Qx) —
С. Для каждой точки х?Х слой пучка Qx, x является
локальным кольцом; поле вычетов этого кольца обозна-
обозначается к(х) и наз. полем вычетов точки
х. Топологич. свойствами С. наз. свойства базисного
пространства X (напр., квазикомпактность, связность,
неприводимость). Если Р — нек-рое свойство аффин-
аффинных С. (то есть свойство колец), то говорят, что С.
локально обладает свойством Р, если любая ее точка
имеет открытую аффинную окрестность, обладающую
этим свойством. Примером является свойство локаль-
локальной нётеровости (см. Нётерова схема). С. р е г у л я р-
н а, если все ее локальные кольца регулярны. Анало-
Аналогично определяются нормальные, приведенные С,
схемы Козна — Маколея и т. д.
Морфизм схем — это морфизм их как ло-
локально окольцованных пространств. Иначе говоря,
морфизм / С. X в С. Y состоит из непрерывного отобра-
отображения / : X-*Y и гомоморфизма пучков колец /* :
Qv^f*Q Х> причем для любой точки х?Х гомомор-
гомоморфизм локальных колец Qy^ ^х) —>• Qxt x должен перево-
переводить максимальный идеал в максимальный. Для любо-
любого кольца А морфизмы С. X в Spec А находятся в биек-
биективном соответствии с гомоморфизмами колец А-+Т {X,
Qx)- Для любой точки х?Х вложение ее в X также
можно рассматривать как морфизм С. Spec к (х)-*-Х.
Важным свойством является существование в катего-
категории С. прямых и расслоенных произведений, обобщаю-
обобщающих понятие тензорного произведения колец. Базисное
топологич. пространство произведения С. X и У отли-
отличается, вообще говоря, от произведения базисных про-
пространств XXY.
С. X, снабженная морфизмом / в схему S, наз. S-
с х е м о й, или схемой над S. Морфизмом
S - с х е м / : X-rS в g : Y-+S наз. морфизм h : X-+-Y,
для к-рого f=goh. Любую С. можно рассматривать
как С. над Spec Ъ ¦ Задание морфизма замены базы
S'-*-S позволяет переходить от 5-схемы X к ?'-схеме
Xs> — Xx$S' — расслоенному произведению X и S'.
Если базисная схема S является спектром кольца к,
то говорят также о fe-схеме. fe-схема наз. к-с х е м о й
конечного типа, если существует конечное
аффинное покрытие (Х,L6 г схемы X такое, что fe-алгеб-
ры Г (X,-, Qx) порождаются конечным числом элемен-
элементов. Алгебраическим многообразием
обычно наз. С. конечного типа над полем, требуя иногда
отделимость и целостность. Рациональной
точкой fc-схемы Х наз. морфизм fe-схем Spec k-*-X;
множество таких точек обозначается X (к).
Для 5-схемы /: X-+S и точки s?S слоем м о р-
ф и з м а / над s наз. fc(s)-cxeMa /-1 (s)=Xs, получае-
получаемая из X заменой базы Spec k(s)-*-X. Если вместо поля
к (.?) в этом определении взять его алгебраич. замыка-
замыкание, то получится понятие геометрического
слоя. Тем самым 5-схема X может рассматриваться
как семейство схем Xs, параметризованное схемой S;
часто, говоря о семействах, требуют дополнительно,
чтобы морфизм / был плоским.
Понятия, связанные со схемами над S, часто наз.
относительными в противоположность абсолютным по-

нятиям, связанным со С. Фактически у каждого поня-
понятия, применимого к С, есть относительный вариант.
Напр., 5-схема А' наз. о т д е л » м о н, если диаго-
диагональное вложение Х-*-Х Х$ X является замкнутым;
морфизм / : X-+S наз. гладким, если он плоский
и все его геометрич. слои регулярны. Аналогично опре-
определяются морфизмы: аффинный, проективный, собст-
собственный, конечный, этальный, неразветвленный, конеч-
конечного типа и т. д. Свойство морфизма наз. универ-
универсальны м, если оно сохраняется после любой за-
замены базы.
Когомологии схем. Исследование схем, а также ал-
гебро-геометрич. объектов, связанных со С, часто
удается разбить на две задачи — локальную и глобаль-
глобальную. Локальные задачи обычно линеаризуются и дан-
данные их описываются теми или иными когерентными
пучками или комплексами пучков. Напр., при изучении
локального строения морфи.ша X-+S важную роль иг-
играют пучки Qy/s относительных дифференциальных
форм. Глобальная часть обычно связана с когомологи-
ями этих пучков (см., напр., Деформация алгебраиче-
алгебраического многообразия). Здесь бывают полезны конечности
теорем и и теоремы об обращении в нуль когомологии
(см. Кодаиры теорема)., двойственность, Кюннета фор-
формулы, Римана — Роха теорема и т. д.
С. конечного типа над полем С может рассматривать-
рассматриваться и как комплексное аналитическое пространство.
Используя трансцендентные методы, можно вычислять
когомологии когерентных пучков; более важно, однако,
что можно говорить о комплексной, или сильной, то-
топологии на X (С), фундаментальной группе, числах
Бетти и т. д. Желание иметь нечто подобное для про-
произвольных схем и глубокие арифметич. гипотезы (см.
Дзета-функция в алгебраической геометрии) привели
к построению различных топологий в категории схем,
наиболее известной из к-рых является эталъная топо-
топология. Это позволило определить фундаментальную
группу С, другие гомотопич. инварианты, когомологии
со значениями в дискретных пучках, числа Бетти и
т. д. (см. l-адические когомологии, Вейля когомологии,
Мотивов теория).
Конструкции схем. Чаще всего построение конкрет-
конкретной С. использует понятия аффинного или проектив-
проективного спектра (см. Аффинный морфизм, Проективная
схема), включая задание подсхемы пучком идеалов.
Конструкция проективного спектра позволяет, в част-
частности, строить раздутие, или моноидальное преобразо-
преобразование схем. Для построения С. используются также
расслоенное произведение или склеивание. Менее эле-
элементарные конструкции опираются на понятие пред-
ставимого функтора. Располагая хорошим понятием
семейства объектов, параметризованных С, и сопостав-
сопоставляя каждой С. S множество F (S) семейств, параметри-
параметризованных схемой S, получают контравариантный функ-
функтор F из категории С. в категорию множеств (снабжен-
(снабженных, быть может, дополнительной структурой). Если
функтор F представим, т. е. существует С. X такая,
что F (S) = Horn (S, X) для любого S, то получается
универсальное семейство объектов, параметризованное
С. X. Так строятся, напр., Пикара схема или Гильбер-
Гильберта схема (см. также Алгебраическое пространство,
Модулей теория).
Еще один способ порождения новых С.— переход к
факторпространству по отношению эквивалентности
на С. Как правило, такой фактор существует как алге-
браич. пространство. Частный случай этой конструк-
конструкции — С. орбит XlG при действии схемы групп G на
схеме X (см. Инвариантов теория).
Одно из обобщений понятия С.— формальная С,
к-рую можно понимать как индуктивный предел С.
с одним и тем же базисным топологич. пространством.

Лит.: [1] Grolbendieck A., D i e u d о ы п к .Т.,
Elements de geometrie algebrique, t. 1, В.—Hdlb.—N. Y., 1971;
[2] Д ь с д о n и е Ж., «Математика», 1965, т. 9, № 1, с. 54—126;
[3] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической геометрии,
М., 1972; Ш Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия,
пер. с англ., М., 1981; [5] Итоги науки и техники. Алгебра.
Топология. Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 47—112.
В. И. Данилов.
СХЕМА ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ —
математич. модель реальных объектов, связанных с
переработкой информации, в к-рых допускается много-
многократное использование промежуточных результатов.
К подобным объектам относятся, напр., электронно-
ламповые схемы, сети нейронов, нек-рые виды вычисли-
вычислительных алгоритмов. Это один из основных классов
управляющих систем. С. из ф. э. можно рассматривать
как автомат без памяти.
Математически С. из ф. э. можно определить как
ориентированный граф без циклов с помеченными реб-
ребрами и вершинами, множество вершин к-рого разбито
на два подмножества. Вершины одного из них наз.
входами С. из ф. э. Им не инцидентны входящие
ребра, и каждой из них приписана буква из алфавита
переменных Х-- {хх, . . ., хп). Вершинам другого под-
подмножества приписаны буквы из алфавита 8= {rpt ( ),
• • -i Фя» ( )} Функциональных символов.
Алфавиту 8, таким образом, соответствует однознач-
однозначно множество функций ?={% (),..., <рот ( )}. Нек-
рые вершины графа выделены и объявлены выхода-
выходами С. из ф. э. Вершина с входящими в нее (занумеро-
(занумерованными) ребрами, к-рой приписан символ ф,- из 8
(местность его равна числу входящих ребер), наз.
функциональным элементом Ец,.. Дру-
Другие концы инцидентных этой вершине входящих ребер
суть входы функционального элемента ?ф., а сама
вершина есть выход функционального элемента Eq,..
Если на входы функционального элемента Е<у. подать
набор о значений переменных из X, то на выходе Ец,.
(т. е. в вершине ф,) реализуется значение функции ф,-
на этом наборе а; таким образом, функциональный
элемент /?ф; реализует функцию <р,-. Всякая С. из ф, э.
также реализует на своих выходах нек-рые функции.
Набор функциональных элементов, соответствующий
алфавиту 8, из к-рого строятся С. из ф. э., наз. б а-
з и с о м Eg. Множество всех С. из ф. э., построенных
при помощи функциональных элементов из Eg, наз.
множеством С. из ф. о. в б а лисе Eg. Если §
полно, то Eg полон, и С. из ф. э. в Eg можно реализо-
реализовать любую функцию. Далее предпо-
предполагается, что переменные из X при-
принимают значения 0, 1, и § — подмно-
подмножество функций алгебры логики.
Именно такого типа базисы изучены
наиболее полно.
В качестве примера С. из ф. э. мо-
может служить изображенная на рис.
С. из ф. о. в базисе {&, v, ~}. Ее
входы — вершины х1 и х2, выход —
вершина ?'& (а4), на нем реализуется функция
(x-i \/х2) & xi & х», т. е. хьт2
Эквивалентное определение С. из ф. :>. можно дать
также в терминах равенств. Для рассмотренного на
рис. примера такая система может быть записана сле-
следующим образом:
а.2~т1& .Го,
= в! & а3 ^

Обычно функциональным элементам из Eg приписы-
приписываются неотрицательные числа, именуемые весами
(или сложностями) функциональных
элементов базиса. Под сложностью С.
из ф. э. понимается сумма весов всех функциональных
элементов, присутствующих в этой С. и» ф. э. Ми-
Минимальная сложность, достаточная для реализации
произвольной функции алгебры логики от п перемен-
переменных С. из ф. э. в произвольном конечном базисе (с не-
ненулевыми весами), асимптотически равна р2"/я (см.
[1]), где р — константа для рассматриваемого базиса
(см. Синтеза задачи). Минимальная сложность, доста-
достаточная для реализации С. из ф. э. системы F функций,
зависящих от одних и тех же переменных, асимптоти-
асимптотически равна
logi I F I
г log, log2 | F | '
где [^1 — число функций F, a p — константа, вычис-
вычисляемая по базису.
По числу входов, к-рые могут быть присоединены
к выходу произвольного функционального элемента,
из класса С. из ф. э. выделяются т. н. С. из ф. э. без
ветвления выходов, или формулы (к
выходу каждого функционального элемента такой С. из
ф. э. может быть присоединен только один вход). В
отличие от формул, С. из ф. э. общего вида можно рас-
рассматривать как схемы вычислений с запоминанием
промежуточных результатов. Для класса формул ми-
минимальная сложность, необходимая для реализации
произвольной функции алгебры логики от п переменных
формулой в произвольном конечном базисе (с ненуле-
ненулевыми весами), асимптотически равна p2"/log n, где
р — константа, зависящая от базиса (ср. с контактными
л-схемами, см. Контактная схема). Для базисов, со-
содержащих элементы с нулевыми весами, сложности
С. из ф. э. ведут себя иначе (см., напр., [5]).
Кроме того, интерес представляет задача о синтезе
схем в бесконечных базисах. Наиболее полно исследо-
исследован случай, когда элементы базиса реализуют порого-
пороговые функции. Функция алгебры логики /(.т17 . . ., хп)
на«. пороговой, если существуют действительные
числа ivu . . ., wn, h такие, что
wlx1 + ... + wnxn is h (*)
тогда и только когда, когда f (х1г . . .,хп)—\. Функцио-
Функциональный элемент, реализующий пороговую функцию,
наз. пороговым элементом. С. из ф.э. в ба-
базисе из пороговых элементов наз. схемами из
пороговых элементов. Обычно рассматрива-
рассматриваются два тина базисов из пороговых элементов: 1) веса
пороговых элементов равны единице, 2) вес порогового
элемента равен сумме модулей всех коэффициентов ш,-
(при условии, что пороговые функции задаются цело-
целочисленным неравенством (*)). Для каждого из этих
базисов получены асимптотические оценки сложности
схем из пороговых элементов: 1) 2B"/п)^1, 2) 2"/я.
Путь между входом и выходом С. из ф. э. наз. ц е-
п ь ю. Число вершин цепи, отличных от входа, наз.
длиной цепи. Максимальная длина цепи в С.
из ф. э. наз. глубиной С. из ф. э. Минимальная
глубина С. из ф. э. (и формулы), достаточная для реа-
реализации произвольно/! функции алгебры логики от п
неременных в базисе {&, V, ~}, равна
Кроме весов, функциональным элементам базиса мо-
могут быть приписаны неотрицательные числа, именуемые
задержками. Под задержкой цепи по-
понимается <5умма задержек присутствующих в ней функ-
функциональных элементов. Под задержкой С. из
ф. э. понимается максимальная задержка цепей этой

С. из ф. э. Понятия задержки (при единичных задержках
базиса) и глубины С. из ф. э., вообще говоря, не совпа-
совпадают (см. [9]).
В качестве примера других определений сложности
С. из ф. э. можно упомянуть мощность С. из ф. э.:
мощностью С. из ф. э. на наборе а наз.
число ее функциональных элементов, выходы к-рых
находятся в состоянии 1 при подаче на входы S набора
о. Мощность С. из ф. э. S — максимум ее мощ-
мощностей на множестве всех наборов. Минимальная мощ-
мощность, достаточная для реализации произвольной функ-
функции алгебры логики от п переменных С. из ф. э. в про-
произвольном конечном базисе, по порядку не меньше п
и не больше 2п1п.
Лит.: [1] Л у панов О. Б., «Изв. вузов. Радиофизика»,
1958, т. 1, Л"» 1, с. 120—40; [2] е г о ж е, «Проблемы киберне-
кибернетики», 1965, в. 14, с. 31—110; [3] е г о ж е, там же, 1960, в. 3,
с. 61—80; 1962, в. 7, с. 61 —114; [4] Н е ч и п о р у к Э. И.,
там же, 1962, в. 8, с. 123—60; [5] JI у п а н о в О. Б., там же,
1973, в. 26, с. 109—40; [6] 3 а х а р о в а Е. Ю., там же, 1963,
в. 9, с. 317—19; [7] Г а ш к о в С. Б., там же, 1978, в. 34,
с. 265—68; [8] X р а п ч е н к о В. М., там же, 1979, в. 35,
с. 141—68; [9] Л у па но в О. Б., там же, 1970, в. 23,
с. 43—81; [10] ВайнцвайгМ. Н., «Докл. АН СССР»,
1961, т. 139, №2, с. 320—23; [11] К а с и м-3 а д е О. М.,
«Проблемы кибернетики», 1981, в. 38, с. 117—79; 1978, в. 33,
с. 215—20. Н. А, Карпова.
СХЕМНАЯ ВЯЗКОСТЬ — понятие, характеризую-
характеризующее диссипативность разностных схем (см. [1]). С. в.
показывает, какие дополнительные диссипативные свой-
свойства появляются при аппроксимации дифференциаль-
дифференциального уравнения разностным (см. [2], [3]). Наряду с тер-
термином «С. в.» употребляют термин «а п п р о к с и м а-
ц ионная вязкость» (см. [4], [5]). С. в. явля-
является диссипативной функцией (см. [6]). Структура С. в.
определяется видом коэффициентов при четных про-
производных минимального порядка по пространственным
переменным от вычисляемых функций при разложении
разностных функций в ряд Тейлора по сеточным пара-
параметрам (см. [7]—[9]). Коэффициенты при третьих про-
производных по пространственным переменным представ-
представляют собой коэффициенты (матрицу) схемной дисперсии
(см. [10]). Дифференциальное представление включает
в себя все члены разложения (бесконечное число) раз-
разностного оператора в ряд Тейлора по сеточным пара-
параметрам (см. [9], [10]). Дифференциальное приближение
включает в себя часть членов разложения; первое диф-
дифференциальное приближение состоит из исходного диф-
дифференциального оператора и первого ненулевого члена
разложения.
В зависимости от формы исходной системы дифферен-
дифференциальных уравнений и типа базисных функций разло-
разложения реализуются различные виды матриц С. в. и
дисперсионных матриц. При рассмотрении газовой
динамики численных методов различают 6 видов матриц
С. в. (см. [10]).
Условие неотрицательности матрицы Св. параболич.
формы первого дифференциального приближения рас-
рассматривается как условие устойчивости разностной
схемы; в этом случае реализуется корректная задача
(см. [8]). Путем рассмотрения уравнения со С. в. можно
с помощью аппарата дифференциальных приближений
производить групповую классификацию разностных
схем (см. [9]).
С. в. для каждой детерминированной разностной схе-
схемы определена однозначно. Для возможности эффектив-
эффективного управления С. в. целесообразно рассматривать
классы разностных схем. Так, введя многопараметрич.
класс разностных схем расщепления (см. [10]), можно
путем варьирования числовых значений параметров
изменять величины членов С. в., придавая С. в.
вид Навье-Стоксовской, турбулентной и др. вязкости.
С. в., зависящую от параметров, можно оптимизиро-
оптимизировать (см. [11]), требуя выполнения различных условий:
математических, программистских, архитектурных.

При выполнении условий неотрицательности Св. и
минимальности С. в. по параметрам из многопарамет-
рич. класса разностных схем расщепления выделяется
семейство оптимальных схем (минимально диссипатив-
ных и устойчивых), к-рому принадлежит разностная
схема крупных частиц метода (см. [12J).
При исследовании С. в. целесообразно выявить внут-
внутреннюю структуру матрицы Св. (см. [И]), напр.:
рассматривать матрицу С. в. расщепления, нестацио-
нестационарную матрицу С. в., матрицу С. в. переноса, архи-
архитектурную матрицу С. в. и др.
При решении краевой задачи вводится понятие С. в.
и дифференциального приближения или представления
разностных краевых условий (см. [10]).
С помощью рассмотрения С. в. исследуется устойчи-
устойчивость нелинейных разностных схем как во внутренних
точках расчетной области, так и на границах и в их
окрестности.
Лит.: [1] М а р ч у к Г. И., Методы вычислительной мате-
математики, 2 изд., М., 1980; [2] Б а х в а л о в Н. С, Численные
методы, 2 изд., М., 1975; [3] С а м а р с к и й А. А., П о-
пов Ю. П., Разностные методы решения задач газовой дина-
динамики, 2 изд., М., 1980; [4] Годунове. К., Р я б е н ь-
к и й В. С, Разностные Схемы, 2 изд., М., 1977; [5] Теоретиче-
Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач
математической физики, М., 1979; [6] Белоцерков-
ский О. М., Давыдов Ю. М., Диссипативные свойства
разностных схем, М., 1981; [7] Рождественский Б. Л.,
Я н е н к о Н. Н., Системы квазилинейных уравнений и их
приложения к газовой динамике, 2 изд., М., 1978; [8] Яне н-
к о Н. Н., Ш о к и н Ю. И., <.Докл. АН СССР», 1968, т. 182,
№2, с. 280—81; f9J Ш о к и н Ю. И., Метод дифференциаль-
дифференциального приближения, Новосиб., 1979; [10] Давыдов Ю. М.,
Дифференциальные приближения и представления разностных
схем, М., 1981; [111 е г о ж е, «Докл. АН СССР», 1979, т. 245,
№4, с. 812—16; [12] БелоцерковекийО. М., Да-
Давыдов Ю. М., Метод крупных частиц в газовой динамике, М.,
1982. Ю. М. Давыдов,
СХЕМЫ СЕРИЙ случайных величин —
см. Серий схема.
СХОДИМОСТИ МНОЖИТЕЛИ для функционального
ряда2°°_ ип(х) — числа Хп, и=0, 1, 2, . . ., такие,
что ряд ^ _0^«ил (х) сходится почти всюду на изме-
измеримом множестве X, где ип(х) — числовые функции,
определенные на А'.
Напр., для тригонометрич. ряда Фурье функции из
Ll С. м. являются числа А,„=; , п—2, 3, ... {Хо
и Я] можно выбрать произвольно), то есть если
??[—л, я] и
-т" + У>,0° ancosnx-\-bnaia пх,
то ряд
-^оо ап cos пх4-bn sin nx
2лп~г Inn
сходится почти всюду на всей числовой прямой. Если
же /?Lp[— я, я], р>1, то ее тригонометрич. ряд Фурье
уже сам сходится почти всюду (см. Карлесона теорема).
Л. Д. Кудрявцев.
СХОДИМОСТИ СКОРОСТЬ — характеристика итера-
итерационного метода, позволяющая судить о зависимости
погрешности метода на n-\i итерации от числа п (см.
[1]—[3]). Напр., если ||z"||<:<?nl|z0||, где ||z"||—норма
погрешности на и-й итерации, а д<1, то говорят, что
метод сходится со скоростью геометрич. прогрессии со
знаменателем q, а величину —In g наз. асимпто-
асимптотической скоростью сходимости.
При наличии неравенств типа ||г"+1||<С||г'г||* говорят
о степенной с порядком к скорости сходимости (напр.,
о квадратичной скорости сходимости итерационного
метода Ньютона — Канторовича).
Лит.: Ill Б а х в а л о в Н. С, Численные методы, 2 изд.,
М., 1975; [2] Марчук Г. И., Методы вычислительной мате-
математики, 2 изд., М., 1980; [31 С а м а р с к и й А. А., Н и к о-
л а е в Е. С, Методы решении сеточных уравнений, М., 1978.
?. Г. Дьяконов.

СХОДИМОСТИ УСКОРЕНИЕ (для итерационного ме-
метода) — построение по рассматриваемому итерацион-
итерационному методу нек-роп его модификации, обладающей
большей сходимости скоростью. Применяемый способы
ускорения (процессы ускорения) довольно разнообраз-
разнообразны (см. [1]—[4]) и зависят как от решаемой задачи, так
и от типа итерационного метода. В тех случаях, когда
итерационный метод может рассматриваться как част-
частный случай нек-рого класса итерационных методов,
содержащих свободные итерационные параметры, С. у.
может быть сведено к задаче оптимального выбора
этих параметров. Задача оптимизации может ставиться
в различных формах, приводя, напр., к переходу от
метода простой итерации
и" + 1 = цп — x(Lu" — f) A)
для решения системы линейных алгебраич. уравнений
Lu = f, L = l* > 0 B)
или к .методу Ричардсона с чебыщввскими параметрами,
или к методу сопряженных градиентов. Скорость сходи-
сходимости подобных классич. итерационных методов зави-
зависит от числа обусловленности v [L) матрицы L и может
быть довольно медленной при больших v(L). В таких
ситуациях, и в особенности для решения систем сеточ-
сеточных уравнений, часто используются модификации этих
методов, определяемые тем, что они применяются не
для B), а для эквивалентной ей системы
где fi=fi*>0 — специально подобранный оператор
(см. [2]-[4]).
Оператор B~lL является самосопряженным и поло-
положительным оператором в нек-ром евклидовом прост-
пространстве и скорость сходимости получающихся модифи-
модификаций зависит от v(B~1L). Подобные же модификации
применяются и для более общих задач, включая нели-
нелинейные (см. Нелинейное уравнение; численные методы
решения). При их реализации важно уметь эффективно
решать системы Ilv=g, т. к., напр., модификация A)
сводится к соотношению
и« + 1 = ц« —Tfl-1(Z/it" —/) C)
(см. Минимизация вычислительной работы).
Одним из традиционных и общих приемов С. у. для
методов A) является 62-процесс. Он же вместе с целым
рядом других способов ускорения (см. [1]) применяется
и в итерационных методах для частичной задачи на
собственные значения.
При решении нелинейных задач С. у. часто достига-
достигается за счет специального выбора начального приближе-
приближения на основе методов продолжения по параметру. Для
этих же задач С. у. иногда осуществляется и на основе
использования итерационных методов более высокого
порядка (метод Ньютона — Канторовича и др.).
Различные приемы С. у. применяются и в вероят-
вероятностных итерационных методах типа метода Монте-
Карло (см. [2]).
Лит.: [1] Фаддеев Д. К., ФаддееваВ. Н., Вы-
Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.—Л., 1963;
[2] Б а х в а л о в Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975;
[3] М а р ч у к Г. И., Методы вычислительной математики,
2 изд., М., 1980; [4] С а м а р с к и й А. А., Никола-
е в Е. С, Методы решения сеточных уравнений, М., 1978.
Е. Г. Дьяконов.
СХОДИМОСТЬ — одно из основных понятий мате-
матич. анализа, означающее, что нек-рый математич.
объект имеет предел. В этом смысле говорят о С. после-
последовательности каких-либо элементов, С. ряда, С. беско-
бесконечного произведения, С. ценной дроби, С. интеграла
и т. п. Понятие С. возникает, напр., при изучении мате-
математич. объектов с помощью приближения их в каком-то
смысле более простыми. Так, для вычисления площади
круга используется последовательность площадей пра-

вильных многоугольников, вписанных в этот круг;
для приближенных вычислений интегралов от функций
применяются аппроксимации их кусочно линейными
функциями или, более общо, сплайнами и т. п. Мощно
сказать, что математич. анализ начинается с того момен-
момента, когда в множестве тех или иных элементов введено
понятие С.
I. Сходимость последовательностей. В одном и том
же множестве элементов можно вводить разные поня-
понятия С. его элементов в зависимости от изучаемого
вопроса. Большую роль использование понятия С. иг-
играет при решении всевозможных уравнений (алгеб-
(алгебраических, дифференциальных, интегральных и т. п.),
в частности при нахождении их численных приближен-
приближенных решений. Например, с помощью последователь-
последовательных приближений метода можно получить последо-
последовательность функций, сходящихся к соответствующе-
соответствующему решению данного обыкновенного дифференциального
уравнения, и тем самым одновременно доказать при оп-
определенных условиях существование решения и дать
метод, позволяющий вычислить это решение с нужной
точностью. Как для обыкновенных дифференциальных
уравнений, так и уравнений с частными производными
существует теория различных сходящихся разностных
методов их численного решения, удобных для их исполь-
использования на современных вычислительных машинах.
Если в нек-ром множестве X введено понятие С.
последовательностей его элементов, т. е. в совокупно-
совокупности всех указанных последовательностей выделен нек-
рый класс, каждая последовательность
к-рого названа сходящейся, и всякой сходящей-
сходящейся последовательности поставлен в соответствие нек-рый
элемент из множества X, наз. ее пределом, то само мно-
множество X наз. пространством со сходи-
сходимостью.
Обычно от понятия С. последовательностей требуется,
чтобы оно обладало следующими свойствами:
1) каждая последовательность элементов множества
X может иметь не более одного предела;
2) всякая стационарная последовательность {х, х,
. . . , х, . . .}, х?Х, является сходящейся и ее пределом
является элемент х\
3) всякая подпоследовательность сходящейся после-
последовательности также является сходящейся и имеет
тот же предел, что и вся последовательность.
При выполнении этих условий пространство А' наа.
часто пространством со сходимостью
по Ф р е ш е. Примером такого пространства являет-
является всякое хаусдорфово топологич. пространство, а сле-
следовательно, любое метрич. пространство, в частности
счетно-нормированное, а потому и просто нормирован-
нормированное (но отнюдь не всякое полунормированное) про-
пространство. Для того чтобы последовательность сходи-
сходилась в полном метрич. пространстве, необходимо и до-
достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Примером неметризуемого пространства со сходимо-
сходимостью по Фреше является пространство всех действи-
действительных функций, определенных на числовой оси R,
для к-рых С. последовательности /„ : R-*-R, n=l, 2,
. . . , означает ее С. при каждом фиксированном х?Х.
Если в пространстве со сходимостью но Фреше X
определить для каждого его подмножества AczX замы-
замыкание А как совокупность всех точек пространства X,
к-рые являются пределом последовательностей точек,
принадлежащих множеству А, то пространство X может
не оказаться топологич. пространством, т. к. не обяза-
обязательно замыкание А замыкания А всякого множества
А при данном определении будет совпадать с А.
Если в одном и том же множестве введены два опреде-
определения С. и всякая последовательность, сходящаяся в
смысле первого определения, сходится и в смысле вто-

рого, то говорят, что вторая сходимость
сильнее перло и. Во всяком пространстве со
С. X можно ввести более сильную С. так, что порожден-
порожденная ей операция замыкания превратит уже X в тополо-
гич. пространство, короче говоря, каждое пространство
со С. может быть вложено в топологич. пространство,
состоящее из тех же точек.
. Во всяком топологич. пространстве определено поня-
понятие С. последовательностей его точек, но этого понятия
недостаточно, вообще говоря, для того чтобы описать
замыкание любого множества в этом пространстве, т. е.
дать определение точек прикосновения множества, и,
следовательно, недостаточно, чтобы полностью описать
топологию данного пространства. Чтобы это стало воз-
возможно, вводится понятие сходящейся обобщенной по-
последовательности .
Частично упорядоченное множество 31= C1, ^) наз.
направленным множеством, если за любыми двумя его
элементами имеется следующий за ними. Отображение
/ : 31-*-Х направленного множества 31 в нек-рое мно-
множество X наз. обобщенной последова-
последовательностью или направленностью в X. Обобщен-
Обобщенная последовательность / : %-+Х в топологич. про-
пространстве X наз. сходящейся к точке х0 из
X, если для каждой окрестности U точки хп существует
такое ао?9(, что для всех а>а0, а ?31, выполняется
включение /(а)? U. В этом случае говорят, что предел
обобщенной последовательности / : 31->-Х существует
и равен х0, при этом пишут lim/(a)=i0.
В этих терминах замыкание множества, лежащего в
топологич. пространстве X, описывается следующим
образом: для того чтобы точка х принадлежала замы-
замыканию А множества АсХ, необходимо и достаточно,
чтобы нек-рая обобщенная последовательность точек
из X сходилась к х; а для того чтобы топологич. прост-
пространство было хаусдорфовым, необходимо и достаточно,
чтобы каждая обобщенная последовательность его то-
точек имела не более одного предела.
В терминах С. обобщенных последовательностей мож-
можно сформулировать и критерий непрерывности отобра-
отображения F топологич. пространства X в топологич. про-
пространство У: для непрерывности отображения F в точке
хо^Х необходимо и достаточно, чтобы для каждой
обобщенной последовательности / : Э(—>-Х" такой, что
lim/(a)=i0, выполнялось бы условно limF(/(a)) =
(o)
IJ. Сходимость числовых последовательностей л рядов.
Простейшим примером, иллюстрирующим понятие С,
являются сходящиеся числовые после-
последовательности, т.е. последовательности комп-
комплексных чисел {zn}, имеющие конечные пределы, и
сходящиеся числовые ряды, т.е. ряды,
последовательности частичных сумм к-рых сходятся.
Сходящиеся числовые последовательности и ряды часто
применяются для получения различных оценок, а в
численных методах — для приближенных вычислений
значений функций и различных постоянных. В подоб-
подобных задачах важно, с какой «скоростью» сходится рас-
рассматриваемая последовательность к своему пределу.
Напр., число л можно представить в виде суммы рядов
следующими способами:
Л-~^^п = 1 2п-1 '
у» (-1)"-'Г 4 ] I
' 4-1п = 1 2л-1 La2"-1 239*"-'.] '
Ясно, что для приближенного вычисления числа я с до-
достаточно большой точностью целесообразно воспользова-
воспользоваться второй формулой (формулой М э ч и н а),
т. к. для одной и той же заданной степени точности
вычислений при использовании второй формулы будет
возможным ограничиться меньшим числом членов ряда.

Для описания сравнения С. двух рядов вводится сле-
следующее определение. Пусть даны два сходящихся ряда
с неотрицательными членами
У" ап, ап^0, A)
и пусть а„=^2Г=1ая + *' P»=2fe=i6« + fe — их остатки
порядка я=1, 2, ... Ряд A) наз. сходящимся
быстрее ряда B). или, что то же самое, ряд B)
наз. сходящимся медленнее ряда A), если
ап—офп) при и-*-оо, т. е. если существует такая бес-
бесконечно малая последовательность {е„}, что о„=
= е„Р„, ге=1, 2, ...
Если же ряды A) и B) расходятся и я„=5], ад,
о„=^ Ь^ — их частичные суммы порядка п=1, 2,
. . . , то ряд A) наз. расходящимся быст-
быстрее ряда B), или ряд B) расходящимся
медленнее ряда A), если an—o(sn) при ге-»-оо.
Для каждого сходящегося ряда с неотрицательными
членами существует ряд также с неотрицательными чле-
членами, к-рып медленнее сходится, а для всякого расхо-
расходящегося — к-рый медленнее расходится. Существуют
методы, позволяющие преобразовать данный сходящий-
сходящийся ряд в быстрое сходящийся без изменения его суммы.
Для этого применяется, напр., Абеля преобразование.
Наряду с обычным, указанным выше понятием суммы
ряда, имеются и другие более общие определения его
суммы, базирующиеся на различных методах суммиро-
суммирования рядов, основанных на построении по определен-
определенным правилам из членов ряда вместо последовательно-
последовательностей частичных сумм других последовательностей, к-рые
могут оказаться сходящимися в том случае, когда по-
последовательность частичных сумм расходится. Пределы
построенных последовательностей и наз. обобщен-
обобщенными суммами ряда.
Аналогично случаю рядов вводится понятие более
быстрой С. и расходимости для несобственных интегра-
интегралов, причем одним из самых распространенных методов
убыстрения С. (расходимости) интегралов является
метод интегрирования по частям. Имеются и различные
методы усреднения несобственных интегралов, анало-
аналогичные методам суммирования рядов и позволяющие
для нек-рых расходящихся интегралов определить обоб-
обобщенную С.
III. Сходимость функциональных рядов и последова-
последовательностей. В случае последовательностей функций
tn:X—+Y, п--=1, 2, ... , C)
при соответствующих предположениях о множествах
X и У существуют различные понятия С, хорошо ил-
иллюстрирующие многообразие конкретных реализаций
этого понятия. Если У — топологич. пространство и
последовательность C) сходится при каждом фиксиро-
фиксированном х?X, то она наз. (поточечно) сходя-
сходящейся на множестве X. Если У — равно-
равномерное топологич. пространство (в частности, метрич.
пространство или топологич. группа), то можно ввес-
ввести понятие равномерно сходящейся последовательности
(см. Равномерная сходимость).
Пусть Х=(Х, S, (х) является пространством с ме-
мерой (х (т. е. во множестве X выделена о-алгебра {S}
его подмножеств, на которых задана мера \х), У=
---= R=RU {+<» }у {—оо } — расширенное множество
действительных чисел R, а функции
1„:Х-* R, п -1, 2, ... , D)
почти всюду конечны и измеримы.

Последовательность D) наз. сходящейся поч-
почти всюду к функции / : X->R, если существует
такое множество ХоаХ меры нуль, что сужения функ-
функций последовательности D) на множестве Х\Х0 схо-
сходится на этом множестве к сужению на нем функции /.
Если последовательность D) почти всюду сходится к
функции /, то эта функция также почти всюду конечна
и измерима. Связь между С. последовательности почти
всюду и равномерной С. устанавливается Егорова тео-
теоремой.
Последовательность D) наз. сходящейся по
мере на множестве Л' к измеримой функции / : Х-*-
-*-R, если для любого е>0 выполняется условие
lim ц{х б Х:|/„ (*)-/(*) |38 8} = 0.
п -> со
Если последовательность D) сходится почти всюду
к функции /, то она сходится к этой функции и по мере,
а если последовательность D) сходится к функции /
по мере, то в последовательности D) существует подпо-
подпоследовательность, к-рая сходится к функции / почти
всюду.
Пусть для функции / : X-+-R
p, 1<р< + во, E)
|| / IU =-. sup vrai |/(i)| F)
xiX
и пусть Lp (X) — пространство функций /, для к-рых
И/И, < + оо, 1<р<». G)
Эти пространства наз. обычно пространствами
Лебега. На классах эквивалентных относительно
меры и. функций, для к-рых выполняется условие G),
функционал H-llj,, является нормой (см. Сходимость по
норме).
Если последовательность D) сходится по норме F)
к функции, то она сходится к этой функции почти всю-
всюду. Если последовательность fn?Lp(X), ге=1, 2, . . . ,
сходится по норме ||- Н^, 1<р<+оо, к нек-рой функции
f:X-*-R, то f?Lp(X) и данная последовательность
наз. сходящейся к /в пространстве
Lp(X). С. по норме ||-\\р, 1 <:р <:-)-оо, наз. также силь-
сильной сходимостью в пространстве Lp (X), или,
при 1 <р <+ оо, сходимостью в среднем
порядка р, в частности, при р — 1 — сходимо-
сходимостью в среднем, а при р = 2 — сходимо-
сходимостью в смысле среднего к вадратич-
н о г о. Примером последовательностей функций, схо-
сходящихся в смысле среднего квадратичного, являются
последовательности частичных сумм Фурье рядов функ-
функций, принадлежащих пространству L2{—л, л].
Если последовательность D) сходится в Lp(X), 1<
</><+оо, к функции /, то она сходится к этой функции
на множестве X и по мере, а следовательно, из последо-
последовательности D) можно выделить подпоследовательность,
к-рая будет сходиться к функции / почти всюду на X.
Если 1<р<д<-|-оо, \х,Х<-\-<х и последовательность
D) сходится в пространстве Lq(X), то она сходится и в
пространстве Lp(X).
Последовательность D) функций fn?Lp(X), 1<р<
<+оо наз. слабо сходящейся в пространст-
пространстве Lp (X) к функции f?Lp(X), если для любой функции
g?L,;(X), 1/p-\-1/q=l, имеет место
lim \y[fn(x) — f(x)]g(x)dx = O.
Если последовательность fn?Lp(X), га=1, 2, . . . ,
сильно сходится в пространстве Lp(X), 1<р<-[-оо, то
она и слабо сходится к той же функции, и в пространст-
пространстве Lp (X) существуют слабо сходящиеся последователь-

ности, не сходящиеся сильно. Напр., последователь-
последовательность функций sin пх, ге=1, 2, . . . , слабо сходится к
нулю в пространстве L2[—я, л], но не сходится сильно.
Действительно, для любой функции g?L2[—п, я] ин-
интегралы
— \ _ g (x) sin nx dx
являются коэффициентами Фурье функции g по системе
{sin nx} и потому стремятся к нулю при и-*-оо, однако
||sin пх\\2=У~л, ге=1, 2, ...
Пределы последовательностей функций, сходящихся
почти всюду, по мере, в смысле сильной или слабой С.
в пространстве Lp(X), в случае полной меры (х оп-
определяются однозначно с точностью до эквивалентных
относительно меры ц функций.
Обобщениями пространства Лебега Lp(X) являются
Никольского пространства, Орлича пространства, Со-
Соболева пространства и ряд др.
Понятие сильной и слабой С. обобщается на более
общие пространства, в частности на линейные нормиро-
нормированные пространства.
Другого типа понятия С. последовательности функ-
функций (являющиеся частным случаем С. в счетнонормиро-
ванных пространствах) встречаются в теории обобщен-
обобщенных функций. Напр., пусть D является пространством
основных функций, состоящим из бесконечно диффе-
дифференцируемых финитных функций / : R-*-R. Последо-
Последовательность fn?D, n=i, 2, . . . , наз. сходящей-
сходящейся к/ в пространстве D, если существует
такой отрезок [а, Ь], что носители всех функций /„,
я=1, 2, . . . , и / содержатся в нем, а последовательно-
последовательности {/J, ' } самих функций /„ и всех их производных рав-
равномерно на [а, Ь] сходятся соответственно к /'*>, к=0,
1, ... При изучении преобразования Фурье обобщен-
обобщенных функций рассматриваются другие пространства
основных функций со С.
Перечисленные отдельные виды С. последовательно-
последовательностей функций приспособлены к изучению различных
вопросов математич. анализа. Так, понятие равномер-
равномерной сходимости дает возможность сформулировать ус-
условия, когда при предельном переходе сохраняется
непрерывность: напр., если X — топологич. простран-
пространство, У — метрич. пространство, и члены последова-
последовательности C) непрерывны на X и последовательность
C) равномерно сходится на X, то предельная функция
также непрерывна на пространстве X. В терминах
понятия С. почти всюду или С. в среднем порядка р
можно сформулировать условия перехода к пределу
под знаком интеграла. Если X — пространство с мерой
\х, У=Я, последовательность fn?Li(X), n=l,
2, . . . , сходится почти всюду на X и существует
такая функция F?Ll (X), что для почти всехх?Х и всех
ге=1, 2, . . ., выполняется неравенство \fn(x)\ <F (x),
lim \ fn(x)dx=\ Г lim fn(x)]dx. (8)
Если jxX<+oo, fn?Lp(X), n=l, 2, . . ., l<p<+oo
и последовательность {/„} сходится слабо (сильно) в
пространстве Lp(X), то справедлива формула (8).
В теории вероятностей для последовательностей слу-
случайных величин употребляются понятия сходимости
почти наверное (С. с вероятностью едини-
ц а), соответствующее понятию С. почти всюду, сходи-
сходимости по вероятности, соответствующее понятию С.
по мере, сходимости по распределению.
Обобщением понятия С. последовательности функций
является С. семейства функций по параметру, к-рый
принадлежит нек-рому топологич. пространству.
Математики древности (Евклид, Архимед) по сущест-
существу употребляли понятие С, используя ряды для на-

хождения площадей и объемов. Доказательством С.
рядов им служили рассуждения по схеме исчерпыва-
исчерпывания метода. Термин «С.» в применении к рядам был
введен в 1668 Дж. Грегори (J. Gregory) при исследова-
исследовании нек-рых способов вычисления площади круга и
гиперболич. сектора. Математики 17 в. обычно имели
достаточно ясное представление о С. употребляемых
ими рядов, хоти и не могли проводить строгих с совре-
современной точки зрения доказательств С. В 18 в. широко
распространилось в математич. анализе употребление
заведомо расходящихся рядов [в частности, их широко
применял Л. Эйлер (L. Euler). Это привело впоследст-
впоследствии, с одной стороны, ко многим недоразумениям и
ошибкам, устраненным лишь с развитием четкой теории
С, а с другой — предвосхитило современную теорию
суммирования расходящихся рядов. Строгие методы
исследования С. рядов были разработаны в 19 в. О. Ко-
ши (A. Cauchy), Н. Абелем (N. Abel), Б. Больцано
(В. Bolzano), К. Вейерштрассом (К. Weierstrass) и др.
Понятие равномерной С. сформировалось в работах
II. Абеля A826), Ф. Зайделя (Ph. Seidel, 1847—48),
Дж. Стокса (G. Stokes, 1847—48), О. Коши A853) и
стало систематически применяться в лекциях по мате-
математич. анализу К. Вейерштрассом в кон. 50-х гг. про-
прошлого столетия. Дальнейшие расширения понятия С.
были связаны с развитием теории функций, функцио-
функционального анализа и топологии.
Лит.: [1] Александров П. С, Введение в теорию
множеств и общую топологию, М., 1977; Г2] Колмого-
Колмогорова. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и
функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] К е л-
л и Д ж. Л., Общая топология, 2 изд., М., 1981; [4] Иль-
Ильин В. А., П о з н н к Э. Г., Основы математического анали-
анализа, ч. 1, 3 изд., М., 1371, ч. 2, 2 изд., М., 1980; [5] Кудряв-
Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1981;
|6] Н и к о л ь с к и й С. М., Курс математического анализа,
2 изд., т. 1 — 2, М., 1975. Л. Д. Кудрявцев.
СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ ПОРЯДКА р — см.
Сходимость.
СХОДИМОСТЬ ДИСКРЕТНАЯ — сходимость сеточ-
сеточных функций и операторов в соответствующих прост-
пространствах. Пусть Е, F, Е„, Fn {n?N= {I, 2, 3, ...}) —
банаховы пространства, а Р= {рп} и Q— {qn} — систе-
системы линейных операторов (связывающих отображений)
рп : Е—>-Еп, qn : F-*-Fn со свойством
Р.1 А k
й« —" г п
Последовательность {xn}neN'c.N c хп^.Еп:
а) дискретно сходится (или Р - с х о-
д и т с я) к х?Е, если \\х„—рпх\\->-0 (n?Nr); б) дис-
дискретно компактна (или Р - к о м а а к т н а),
если для любого бесконечного N"czN' существует
бесконечное N"'aN" такое, что подпоследовательность
{ж«)пбЛ"" Дискретно сходится.
Последовательность] {An}neN операторов Ап :?„—>-
-*¦»:
а) дискретно сходится (или PQ -схо-
-сходится) к оператору А : E-+F, если для любой Р-схо-
дящейся последовательности {х,,} имеет место соотно-
соотношение
Хп JUx{n^ N) =ф Апхп --* Ах (п g Л'); A)
б) компактно сходится к А, если кроме
A) выполняется условие: хп?Еп, |krn||<:const (re?N)^>
=^>{Апхп} (^-компактна;
в) регулярно (или собственно) схо-
сходится к А, если кроме A) выполняется условие:
хп?Ет lkn||«:const, {Anxn} @-компактна=ф{ж„} Р-ком-
пактна;

г) устойчиво сходится к А, если кроме
A) выполняется условие: зАп1 ?L {Flt, Еп), 11.4л1 II •<
¦<const (^0)
Пусть А и An — линейные ограниченные операторы.
PQ
Тогда Ап—> А тогда и только тогда, когда ||4n||-<coiist
(n?N) н \\Аnpnx—qnAх\\-+0 для каждого х из нек-раго
плотного в Е подмножества.
Для линейных ограниченных операторов А и Ап
PQ
следующие условия равносильны: 1) Ап—*Л устон-
PQ
чиво, AE=F\ 2) Ап—*¦ А регулярно, Лх=0=Ф-дг-=0,
операторы Ап(п^п0) фредгольмовы с нулевым индек-
PQ
сом; 3) Ап—*Л устойчиво и регулярно. Если выпол-
выполнено одно из условий 1), 2) и 3), то существуют Л
и (при достаточно больших га) Ап1, причем А^1—<-Л-1
устойчиво и регулярно. Выполнение условий 1), 2),
3) можно трактовать как теорему сходимости для уран-
нений Ах=у и Anzn—yn: если выполнено условие 1),
2) или 3), то из уп—,- у следует сходимость
с быстротой
cl\\ АнРпх~УпУп^\\ хп— Pt^WE,^ СЛ AnPux — yn\\Fn-
При доказательстве сходимости приближенных мето-
методов чаще всего используются условия 1) и 2). В качест-
качестве Е и F выбираются подходящие пространства функ-
функций, а в качестве р„ и qn — операторы перехода от
функций к их значениям на сетке.
Лит.: И] Stummel F., «Math. Z», 197), Bd 120,
S. 231—64; [2] В а й н и к к о Г. М., в кн.: Итоги науки и тех-
техники. Математический анализ, т. 16, 1979, с. 5—53.
Г. М. Вайникко.
СХОДИМОСТЬ МЕР — понятие теории меры, зада-
задаваемое той или иной топологией в пространстве мер,
определенных на нек-роп а-алгебре 3? подмножеств
пространства X или, более общо, в пространстве ?Щ
(X, 33) зарядов, т.е. счетно аддитивных действи-
действительных или комплексных функций |i= {|i (A), A ?58},
определенных на множествах из SB. Наиболее употре-
употребительны следующие топологии в подпространстве
*Ш6(Х, Ф)с=Ш1(Л', 5В) пространства Ш1(Х, $), состоя-
состоящем из ограниченных зарядов, т. с. таких, что
зир|(ц.(Л)|<оо, А?%.
1) В пространстве Ш1Ь(Х, 5В) вводится норма
наз. вариацией заряда |л. Сходимость по-
последовательности зарядов |х„—<-,и, ге-»-оо к заряду
ц?9Л*(Х\ 58) в этой норме наз. сходимостью
по вариации.
2) В пространстве %Rb(X, SB) рассматривается обыч-
обычная слабая топология: сходимость последовательности
зарядов |in-»-u, re->oo этой топологии (слабая схо-
сходимость) означает, что для любого линейного не-
непрерывного функционала на пространстве Ш1Ь(Х, 5В),
F (\in)-*-F (\x), ге->оо. Эта сходимость равносильна тому,
что последовательность зарядов ограничена: sup ||ц„||<
п
<оо и для любого множества А ?58 последовательность
значений ц„ (А )-*-\х (А), п->-оо. Слабая сходимость по-
последовательности зарядов \>п, л=1, 2, ... влечет схо-
сходимость интегралов \ f(x)d\in—>-\ /(т)ф, n-^сс, для
любой ограниченной измеримой относительно а-алгеб-
ры 58 функции / на X.
3) В случае, когда X — топологич. пространство, а
= 58 (X) — его борелевская о-алгебра в пространстве
Ь(Х sB), рассматривают топологию, также наз.

слабой (иногда узкой) топологией.. Она определяется
как самая слабая из топологий в *ffib(X, SB), относи-
относительно к-рой непрерывны все функционалы вида
где / — произвольная ограниченная непрерывная функ-
функция на пространстве X. Эта топология слабее преды-
предыдущей топологии и 'сходимость последовательности
зарядов ц,г-»-|л, гс—>-оо относительно нее (слабая
или узкая сходимость) равносильна сходи-
сходимости значений |х„ (A)-*-[i (А), и->-оз для любого боре-
левского множества A^SJS(X), для к-рого ц.(дЛ)=0,
где дА = А[)(Х\А) и чертой обозначена операция
замыкания множества.
4) В случае, когда X ~ локально компактное топо-
логич. пространство (а 58=35 (X) — борелевская
о-алгебра) в пространстве 9ЛЬ(Х, 93), рассматривают
т. н. широкую топологию: сходимость последователь-
последовательности зарядов и„-»-|д,, гс->-оо (широкая сходи-
сходимость) означает сходимость функционалов F j (ц„)->-
-*F([j,), ге-»-оо, для любой непрерывной функции / с
компактным носителем. Эта топология слабее, чем
слабая топология в 9ЛЬ(Х, 5Б). Аналогичная топология
естественно определяется и в более широком прост-
пространстве 2R*ok(X, 58) локально ограниченных зарядов
ц, т.е. таких, что для любой точки х?Х найдется
такая ее окрестность U, что suplu, (A MCoo, AdU,
Л?58(Х)
?8()
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Интегрирование. Меры, интегри-
интегрирование мер, пер. с франц, М., 1967; [2] Данфорд Н.,
Шварц Д ж., Линейные операторы. Обшая теория, пер.
с англ., I. 1, М., 1962; [3] Б и л л и и г с л е й П., Сходимость
вероятностных мер, пер. с англ., М., 1977. Р. А. Минлос.
СХОДИМОСТЬ ПО ВАРИАЦИИ — см. Распределе-
Распределений сходимость, Сходимость мер.
СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ — сходимость по-
последовательности случайных величин Xlt X2, • • .,
Хт . . ., заданных на век-ром вероятностном прост-
пространстве (Q, $, Р), к случайной величине X, определя-
емая следующим образом: Хп-—» .Y, если для любого
6>0
Р{| Хп— Х\ > е}—*0 при и—>».
В математич. анализе ;itot вид сходимости называют
сходимостью по мере. Из С. по в. вытекает
сходимость по распределению. в. И. Битюцков.
СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ — см. Сходимость.
СХОДИМОСТЬ ПО НОРМЕ — сходимость последова-
последовательности {хп} в нормированном векторном простран-
пространстве X к х, определяемая следующим образом: хп-+х,
если
|| хп — х ||—>¦ 0 при п—>-оо.
Здесь 11-1! — норма в X. М. М. Войцехоеский.
СХОДИМОСТЬ ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ — сходи-
сходимость последовательности случайных величин Хх, Х2,
. . ., Хп, . . ., заданная на нек-ром вероятностном про-
пространстве (й, jjf', Р), к случайной величине X, опре-
определяемая следующим образом: Хп—у X, если
Е/ (Х„) —* Е/ (X) при п. —>¦ оо (*)
для любой ограниченной непрерывной функции /(х).
Наименование этого вида сходимости связано с тем,
что условие (*) эквивалентно сходимости функций рас-
распределения Fх (х) к функции распределения Fx (x) в
п
каждой точке х, где Fx (x) непрерывна, в. и Битюцков.
СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ — см. Сходимость.
СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ НАВЕРНОЕ, сходимость
с вероятностью единиц а,— сходимость по-
последовательности случайных величин Хг, Л, . . ., Хп,
. . ., заданных на нек-ром вероятностном пространстве

(Q, f, P), к случайной величине X, определяемая
П. II,
следующим образом: Х„ »Хь(или Хп-*Х?-п. н.), если
Р{ш:|Х„(ш) —Х(ш)|-+0} = 1, m?Q.
В математич. анализе этот вид сходимости называют
сходимостью почти всюду. Из С. п. н.
вытекает сходимость по вероятности. в. и. Битюцков.
СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ — см. Распре-
Распределений сходимость.
СХОДИМОСТЬ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ ЕДИНИЦА-см.
Сходимость почти наверное.
СЧЕТНОАДДИТИВНАЯ ФУНКЦИЯ множеств—
аддитивная функция множеств, определенная на алгеб-
алгебре 2 подмножеств множества М такая, что
для любых непересекающихся множеств Е из 2.
М. И. Войцеховский.
СЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО — множество, равномощ-
ное множеству натуральных чисел. Напр., множества
рациональных чисел, алгебраических чисел.
М. И. Войцеховский.
СЧЕТНОКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО — тополо-
гич. пространство X такое, что из любого счетного от-
открытого покрытия его можно выделить конечное под-
подпокрытие. М. И. Войцеховский.
СЧЕТНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — нормальное
пространство X, представимое в виде суммы X=UT=iXi
своих подпространств X; размерности dim X,<:0.
М. И. Войцеховский.
СЧЕТНОНОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО —
локально-выпуклое пространство X, топология к-рого
задается с помощью счетной совокупности согла-
согласованных норм ||*||j, . . ., ||*|ln> . . ., т. е. та-
таких, что если последовательность {хп}аХ, фундамен-
фундаментальная по нормам 11*11^, и l|*||<j, по одной из них схо-
сходится к нулю, то по второй также сходится к нулю.
Последовательность норм {||*||„} можно заменить не-
неубывающей, II*||js>-<INI.J при р<5, порождающей ту же
топологию с базой окрестностей нуля UPi е= {х?Х\
\\х\\р<е,}. С. п. метризуемо, и метрика может'быть зада-
задана равенством
Пршчер С. п.— пространство целых аналитических в
единичном круге |г|<1 функций с топологией равно-
равномерной сходимости на любом замкнутом подмножест-
подмножестве этого круга и совокупностью норм ||x(z)||=
= max |x(z)|.
lz|< 1/n
Лит.: [1] Г с л ь ф а и д И. М.. Шилов Г. К., Простран-
Пространства основных и обобщенных функций, М., 1958.
В. И. Соболев.
СЧИСЛЕНИЕ, н у м е р а ц и я,— совокупностьпри-
емов представления натуральных чисел. В любой си
стеме счисления (с. с.) нек-рые символы (слова или
знаки) служат для обозначения определенных чисел,
наз. узловыми, остальные числа (алгоритмиче-
(алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из
узловых чисел. С. с. различаются выбором узловых
чисел и способами образования алгоритмических, а с
появлением письменных обозначений числовых симво-
символов с. с. стали различаться характером числовых знаков
и принципами их записи.
Напр., у древних вавилонян узловыми являлись
числа 1, 10, 60; у маори (коренных жителей Новой
Зеландии) узловыми являлись числа 1, 11, И2, И3.
В римской с. с. узловыми являются числа 1, 5, 10, 50,
100, 500, 1000, обозначаемые соответственно знаками
I, V, X, L, С, D, М.

С. с, в к-рых алгоритмич. числа образуются сложе-
сложением узловых, наз. аддитивными. Так, в древ-
древнеегипетской (иероглифической) с. с. числа 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 40 обозначались соответственно
символами
I I/ II/ 1Ш '"ПИ/Я 1Ш ш п пш пппп
Те же числа в римской с. с. обозначаются следующим
образом: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XIX,
XL. В этой с. с. алгоритмич. числа получаются путем
сложения и вычитания узловых. В числительных рус-
русского языка отчетливо выражен аддитивно-мультипли-
аддитивно-мультипликативный способ образования алгоритмич. чисел, напр,
триста пятьдесят семь.
В нек-рых с. с, наз. алфавитными, числа
обозначались теми же знаками, что и буквы. Так, древ-
древние греки числа от 1 до 9, а также всо десятки и сотни
обозначали при помощи последовательных букв алфа-
алфавита, снабженных черточками. К примеру, числа 803,
833 и 83 записывались так:
шу, шку, пу.
Алфавитные изображения чисел употребляли славяне
и многие другие народы.
С. с. наз. н е п о з и ц и о н н о й, если каждый
числовой знак в записи любого числа в ней имеет одно
и то же значение. Если же значение числового знака
зависит от его расположения в записи числа, то система
наз. позиционной. Римская с. с. — непозици-
непозиционная. Любое число в вавилонской с. с. записывалось
при помощи комбинации двух знаков: вертикального
клина и углового клина (пример см. ниже). Эти знаки
объединялись в группы от одного до девяти в случае
вертикальных клиньев и от одного до пяти в случае
угловых клиньев. Вертикальный клин мог обозначать
единицу и любую степень числа 60, а угловой клин —
10 и произведение 10 на любую степень числа 60. По-
Порядок следования разрядов чисел совпадал с ныне при-
принятым. Так,
YYT ?
7«7< =1-60+ 2-600+1-60+I-10+6-4876
А
В связи с тем, что в вавилонской С. с. отсутствовал
знак для пропуска разряда, соответствующий нашему
нулю, завись числа не гарантировала однозначность

ее прочтения. Точный смысл записи обычно устанавли-
устанавливался из контекста рукописи. Поэтому описанную с. с.
принято называть неабсолютно позиционной. Позднее
в древнем Вавилоне стали употреблять специальный
знак для пропуска разряда. Современная десятичная
с. с.— позиционная.
Все известные позиционные с. с— аддитивно-муль-
аддитивно-мультипликативные системы. Позиционный принцип записи
чисел в таких системах оправдывается следующей тео-
теоремой элементарной теории чисел.
Пусть 9о=1 и ?i' ?2>- ¦ ¦ — последовательность отлич-
отличных от единицы натуральных чисел. Тогда для любого
натурального числа а можно найти одно и только одно
натуральное число п, для к-рого уравнение
-+а«-1У1 ... д„_1==я A)
имеет решение в целых числах а0, alf . . ., ап_1 таких,
что
Ossao < </,, ... , 0<aK_t < qn_u 0 < ап_г < qn. B)
При этом уравнению A) удовлетворяет только один
упорядоченный набор (кортеж)
<а„_1; ... , яо> C)
целых чисел с условием B).
В вавилонской с. с. gj—10, дг-—&, q3= 10, ?в=6, . . .
и т. д. У индейцев племени майя ?1=5, q2 — 4, gt1=18,
?i=?5=. ¦ -=20.
С. с, в к-рой все члены упомянутой в теореме после-
последовательности <?i, . . ., qn равны одному и тому же числу
q и в к-рой каждое из чисел от 0 до q—1 обозначается
определенным символом, наз. q-ж ч н о и с. с. или
позиционной с. с. с основанием q. В
(?-ичной с. с. каждое натуральное число обозначается
кортежем из указанных символов. Для выполнения
сложения и умножения чисел, записанных в д-ичной
с. с, достаточно иметь таблицы сложения и умножения
для всех чисел от 0 до q~-1.
Лит.: tlj Б а ш м а к о в а И. Г., Юшкевич А. II.,
Происхождение систем счисления, в кн.: Энциклопедия элемен-
элементарной математики, кн. 1, М.—Л., 1951, с. 11—74; [2] В а н дер
Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М.,
1959; [3] Ю ш к е в и ч А. П., История математики в ср. века,
М., 1961; [4] В а йма н А. А., Шумеро-вавилонская математи-
математика, М., 1961; 15] История математики, т. 1, М., 1970.
В. И. Нечаев.
СЮРЪЕКЦИЯ, сюръективное отображе-
отображение множества А в множество В — отображение /
такое, что f{A) — B. Вместо «/ сюръективно» говорят
также «/ есть отображение множества А на множество
В». С. множества Л на Л наз. также перестанов-
перестановкой множества Л. О. А. Иванова.

ТАБЛИЧНАЯ СВОДИМОСТЬ, tt-c води мост ь,—
специальный вид алгоритмической сводимости. Пусть
А и В — два подмножества натурального ряда. Гово-
Говорят, что А таблично сводится к В (обозна-
(обозначение: А <:<E), если существует алгоритм /, к-рый по
всякому натуральному числу а строит булеву функцию
<$(х\, . . ., хп) (функция задается, напр., своей табли-
таблицей, число аргументов функции может зависеть от а)
и числа 6j, . . ., Ьп такие, что принадлежность а к В
эквивалентна истинности Ц>(Ъ1^В, Ъ%?В, . . ., Ьп?В).
Отношение <tt является предпорядком на множест-
множестве всех подмножеств натурального ряда, упорядочение
по нему образует верхнюю полурешетку. Отношению
</( соответствует отношение эквивалентности s=(( на
подмножествах натурального ряда, а именно: А^ег-цВ,
если A<-tiB и B^ifiA. Классы эквивалентности по
этому отношению наз. табличными степени-
М и (или «-степенями).
В теории алгоритмов рассматриваются также спе-
специальные виды Т. с, напр., ограниченная Т. с.
(btt- своди мост ь), определяемая дополнительным
требованием, чтобы число аргументов функции ср не
зависело от а. Если в качестве функции ф берется прос-
просто функция x-l, то сводимость наз. т-сводимос-
т ь ю (обозначение: <т). Сводимости, промежу-
промежуточные между /г-сводймостью и /п-сводимостью
(т. е. такие алгоритмич. сводимости <г, что <-цтгз
=з<-г=><-т), в частности все упомянутые выше, иногда
наз. свод и мостя ми табличного типа.
Лит.: [1] Роджере X., Теория рекурсивных функций
и эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972; [2] Д е г-
т е в А. Н., (.Успехи матем. наук», 1979, т. 34, в. 3, с. 137—68.
А. Л. Семенов.
ТАВТОЛОГИЯ — формула языка исчисления вы-
высказываний, принимающая истинностное значение «ис-
«истина» независимо от того, какое истинностное значение
«истина» или «ложь» принимает каждая ее пропозицио-
пропозициональная неременная. Примеры Т.: А^>А, Av~]A,
(ABdBlA)
Вопрос о тавтологичности данной формулы реша-
решается в общем случае прямым перебором всех наборов
значений ее пропозициональных переменных.
В. Н. Гришин.
ТАЙХМЮЛЛЕРА ПРОСТРАНСТВО, простран-
пространство Тейхмюллера,— метрическое прост-
пространство (Mg, d), точками к-рого являются абст-
абстрактные римановы поверхности (т.е.
классы X конформно эквивалентных римановых по-
поверхностей X рода g с выделенными эквивалентными
относительно тождественного отображения системами
2-образующих фундаментальной группы л1 (X)), а рас-
расстояние d между X и X' равно In К, где постоянная
К — отклонение отображения Тайхмюл-
л е р а (квазиконформного отображения Х->Х', даю-
дающего наименьшее максимальное отклонение среди
всех таких отображений). Введено О. Тайхмюллером
И).
Лит.: [1] TeichmullerO., «Abhandl. Preuss. Akad.
Wiss. Math.-Naturwiss. Kl.», 1939. ,NS 22, S. 3—197; 12] А л ь-
форс Л., Б ере Л., Пространства римановых поверхностей
И квазиконформные отображения, пер. с англ., М., 1961;
[3] К р у ш к а л ь С Л., Квазиконформные отображения и
римановы поверхности, Новосип,, 1У7Г>. М. Н. Войцеховекий.

ТАКТИЧЕСКАЯ КОНФИГУРАЦИЯ, «схем а,
«- (v, к, к)-с х с м а на и-множестве S,— система к-
подмяожеств (блоков) множества S такая, что каждое
«-подмножество элементов из S встречается точно в К
блоках. Класс 2-схем совпадает с классом уравнове-
уравновешенных неполных блок-схем. Иногда Т. к. наз. также
инцидентности система, в к-рой каждое множество
инцидентно в точности к элементам, а любой элемент
инцидентен в точности г множествам. Т. к. при t=k
наз. тривиальной. Если Т.к. нетривиальна, то
t+i^k^v— 1 — «.
Каждая «-схема есть s-схема при любом s-<«. Число
Xs появлений произвольного s-гюдмножества в блоках
«-схемы дается формулой
—sJ \t— s
Условия целостности \s — необходимые условия су-
существования Т. к. В частности, при «^2 каждая Т. к.
есть уравновешенная неполная блок-схема.
Центральным вопросом для Т. к. является проблема
их существования и построения. Доятее время для
«>3 были известны лишь отдельные примеры, в част-
частности 5-A2, 6, 1)- и 5-B4, 8,1)-схемы, связанные с пяти-
пятикратно транзитивными группами Матьё М12 и Д/24 со-
соответственно. Однако в 60-х гг. 20 в. была открыта
связь Т. к. с теорией кодирования (см., напр., [3], [4])
и указан способ построения Т. к., исходя из векторов
с v ненулевыми координатами, принадлежащих линей-
линейному (п, /с)-коду, к-рый представляет собой fe-мерное
векторное подпространство в «-мерном пространстве
над конечным полем (см. [5], [7]).
Известно, что «-кратно транзитивные группы, отлич-
отличные от симметрической и знакопеременной, приводят
к нетривиальным «-схемам; это дает несколько беско-
бесконечных серий 3-схем. С помощью теоретико-групповых
и геометрич. соображений были построены также бес-
бесконечные классы 4- и 5-схем (см., напр., [6]).
Для числа b блоков в «-схеме справедливо неравен-
неравенство
] если «=2s, »>:t-fs,
если «^ + , + ,
обобщающее неравенство Фишера (b^szv) для уравно-
уравновешенных неполных блок-схем. При равенстве в (*)
Т. к. наз. плотной. Плотные Т. к. обобщают сим-
симметричные 2-схемы; в частности, при «=2s множество
чисел пересечений блоков плотной Т. к. содержит в
точности s различных элементов. Для существования
плотной 4-схемы необходимо, чтобы
(и — 3I 2 (к — 1) (к — 2) и (к — 3) [ 4Я.
Плотные 3-схемы адамаровы, т. е. суть 3-Dя, 2ге,
п—1)-схемы, а при s^2 нетривиальных плотных Bs+
+ 1)-схем не существует. Из данной «-(у, к, ^,)-схемы
можно построить три других Т. к.: а) беря дополнения
в S для каждого блока, б) удаляя какой-либо элемент
и все блоки, его содержащие, в) боря блоки, содержа-

щие какой-либо элемент, и удаляя его из них. Полу-
Полученные Т. к. наз. соответственно дополнитель-
дополнительной, остаточной и производной по от-
отношению к исходной Т. к.; они суть соответственно:
t-(v, v—к, Л')-схема с
(t—i)-(v—1, к, А/)-схема с
kr=(v~k)(k--t+l)-1%
и (<—1)-(и—1, к— 1, Jt)-cxeiia.
Лит.: [1] D е ш Ь о w s k i P., Finite geometries, В.—N. Y.,
1968; И R а у - С h а и d h u r i D. К., Wilson R. M.,
«Osaka J. Math.», 1975, v. 12, p. 737—44; [3] A s s m u s E. F.,
M a t t s о n H. F., «Arch. Math.», Basel, 1966, Bd 17, S. 121 — 35;
[4] и x ж e, «J. Comb. Theory», 1969, v. 6, p. 122—51; 15] С е-
м а к о в Н. В., Зиновьев В. А., «Проблемы передачи ин-
информации», 1969, т. 5, в. 3, с. 28—36; [6] А 1 1 t о р W. О.,
«J. Comb. Theory», 1972, v. 12, p. 390—95; [7] PI ess
Vera, «J. Comb. Theory», 1972, v. 12, p. 119—42.
В. Е, Тараканов.
ТАМ АГАВЫ МЕРА — мера т на группе аделей вд
связной линейной алгебраич. группы G, определенной
над глобальным полем К, конструируемая следующим
образом. Пусть со — ненулевая .ff-определенная диф-
дифференциальная форма на G максимальной степени. Для
нормирования г; из множества V всех неэквивалентных
нормирований поля К через cOj, обозначается мера Хаара
на локально компактной группе Gk точек G над по-
пополнением Kv, получаемая из со (см. [1], [2]). Если
произведение Пav(Go ), взятое по всем неархимедовым
v, где Go — группа целых у-адических точек, абсолют-
абсолютно сходится (что всегда имеет место для полупростых
и унипотентных групп G), то полагают т=П[1?уШи. В
противном случае для определения т нек-рым канонич.
способом вводят систему чисел (hv)vsv, называемых
множителями сходимости, таких, что произведение
IlveVkv<i}u(Go ,) абсолютно сходится, и тогда
i=Hveykvu)v (см. [13]). Получаемая описанным обра-
образом мера т не зависит от первоначального выбора
формы со, являясь канонической мерой Хаара на GA.
Это позволяет однозначно говорить об объеме однород-
однородных пространств, связанных с вд (см. Тамагава число).
Лит.: [1] В с й л ь А., «Математика», 1964, т. 8, JM5 4,
с. 3—74; [2] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М.,
1969, с. 374—96; [3] О п о Т., «Ann. Math..», 1963, v. 78, № 1,
p. 47—73. А. С. Рапинчук.
ТАМАГАВЫ ЧИСЛО — объем однородного простран-
пространства G^IGK, ассоциированного с группой аделей связной
линейной алгебраич. группы G, определенной над гло-
глобальным полем К, относительно Тамагавы меры. Здесь
G1^ подгруппа в вд, состоящая из таких аделей
€G чт0
п,
,06„.х (*»)!»=»
для любого ^-определенного характера % группы G
(произведение берется по всем нормированиям v из
множества V нормализованных нормирований поля К).
Конечность Т. ч. вытекает из теории приведения
(см. [5]).
При описании значений т. (G) удобно различать случаи
унипотентных групп, алгебраич. торов и полупростых
групп. Для унипотентных групп всегда Т. ч. равно 1.
Если Т — алгебраич. Ж-тор, то
М-*'~ [Ш(Т)\ >
где [Н1 (К, Т)] и \Ш( Т)] — порядки группы одномер-
одномерных когомологип Галуа модуля рациональных харак-
характеров Т тора Т и его группы Шафаревича — Тейта
соответственно. На основании этой формулы построен
пример тора, у к-рого х(Т) не является целым [8].

Для вычисления Т. ч. полупростых групп над числовым
нолем получена редукция к односвнзным группам [9]:
пусть G — полупростая Я-группа, зх : G-+G — универ-
универсальное .ff-определенное накрытие, А'=Кег я — фунда-
фундаментальная группа для Gvl F — ее группа характеров;
тогда
h
т(б) = т(б,
(¦ (Л
где h° (F)=IH° (К, F)], i1 (F) — порядок ядра канонич.
отображения
Существует гипотеза, что для всех односвязных групп
Т. ч. равно единице (г и п о т е з а В е й л я). Это
доказано для большинства типов простых групп над
числовыми полями ([3], [4], [7]), а также для групп
Шевалле над числовыми полями (см. [2]) и над функ-
функциональными глобальными полями [6].
Лит.: [1] Алгебраическая теория чисел пер. с англ., М.,
1969; [2] Арифметические группы и автоморфные функции, пер.
с англ. и франц., М., 1969; [3] В ей ль А., «Математика»,
1964, т. 8, № 4, с. 3—74; [4] е г о ж е, там же, 1969, т. 13, № 6,
с. 18—98; [5] П л а т о н о в В. П., «Успехи матем. наук»,
1982, т 37, в. 3, с. 3—54; Гб] Н а г d e r G., «Ann. Math.»,
1974, v. 100, p. 249—306; [7] М а г s J. G. М., там же, 1969,
v. 89, р. 557—74; [8] Оно Т., там же, 1963, v. 78, р. 47—73;
[9] е г о ж е, там же, 1965, v. 82, р. 88—111. А. С. Рапинчук.
ТАНГЕНС — одна из тригонометрических функций:
другие обозначения: tan, T, t. Область определения —
вся числовая ось, за исключением точек, абсциссы
к-рых я/2+гел, п=±1, ±2, ... .Т.— функция неог-
неограниченная нечетная периодическая (с периодом я).
Т. и котангенс связаны соотношением
Функция, обратная Т., наз. арктангенсом. Про-
изводная Т.:
L
Интеграл от Т.:
\ tgх dx — — In | cosx\-\-c.
Т. разлагается в ряд
. , x3 , 2.x6 , Пх7 , , , я
tgz = * + — + _ + _ + ... , \х\>т.
Т. комплексного аргумента z — мероморфная функция,
нули к-рой находятся в точках z=kn, где /t=0, —1,
— 2, ... . ю. А. Горькое.
ТАНГЕНС АМПЛИТУДЫ — отношение двух основ-
основных эллиптич. функций Якоби:
sc и — tg am и = -5"-^- .
6 СПИ
См. Якоби эллиптические функции. Е Д Соломенцее
ТАНГЕНС ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ — см. Гипербо-
Гиперболические функции.
ТАНГЕНСОВ ФОРМУЛА — формула, устанавли-
устанавливающая зависимость между длинами двух сторон плос-
плоского треугольника и тангенсами полусуммы и полураз-
полуразности противолежащих им углов. Т. ф. имеет вид:
b
a-b lS
a+b A+b
tg -—
Т. ф. иногда наз. формулой Региомон-
т а н а, по имени ученого, установившего эту формулу
ВО 2-Й ПОЛ. 15 В. А, Б. Иванов.

ТАНГЕНСОИДА — график функции y=ts x (рис. а).
Т.— периодич. кривая с периодом Г—л и асимптотами
i=(fc+1/2)i[. При изменении х от —я/2 до -| л/2 у мо-
монотонно растет от —оо
до+оо; таким образом,
Т. состоит из бесконеч-
бесконечного числа отдельных
конгруэнтных кривых,
получаемых одна из
другой сдвигом по оси
Ох на fax. Пересечения
с осью Ох: 0, (кл, 0),
они же — точки пере-
перегиба с углом наклона
я/4 к оси Ох.
Т., зеркально отражен-
отраженная относительно оси
Ох и сдвинутая влево
на отрезок я/2 (рис. б),
является графиком
функции у — ctg х =
= —tg(ji/2-)-•*•')> асимп-
асимптоты х—кл, пересечения
сосъюОх :[(к+1/ 2)л, 0),
они же — точки переги-
перегиба с углом наклона —
я/4 к оси Ох.
Ю. Л. Горькое.
ТАНГЕНЦИ А ЛЬ
НЫЕ КООРДИНА
ТЫ — название для
коэффициентов в уравнении прямой, к-рые рассмат-
рассматриваются как координаты. Для уравнения прямой
иж+ш/+1=0 коэффициенты ни» наз. неоднород-
неоднородными Т. к.; для однородного уравнения прямой
u1x1+u2xiJi-u3x3=0 коэффициенты щ, иа> »з наз- ° Д-
нородяыми Т. к. Уравнение, связывающее Т. к.
касательной к кривой, наз. тангенциальным
ура в н е и и е м этой кривой. Тангенциальное урав-
уравнение алгебраич. кривой является алгебраическим.
Тангенциальное уравнение кривой двойственно урав-
уравнению кривой в точечных координатах. Степень тан-
тангенциального уравнения наз. классом кривой.
Па материалам одноименной статьи us БСЭ-2.
ТАУБЕРОВЫ ТЕОРЕМЫ, теоремы таубе-
р о в а тип а,— теоремы, устанавливающие условия,
определяющие множество рядов (или последовательно-
последовательностей), на к-ром для двух данных суммирования методов
А и В происходит включение Лей. Наиболее часто в
теории суммирования рассматривается случай, когда
метод В тождествен сходимости. В Т. т., относящихся
к этим случаям, устанавливаются условия на ряд (по-
(последовательность), при к-рых из суммируемости ряда
данным методом следует его сходимость. Назв. теорем
восходит к А. Тауберу [1], впервые доказавшему две
теоремы такого типа для Абеля метода суммирования:
1) если ряд
2;
суммируем методом Абеля к сумме S иа,=о ( —
то ряд сходится к S;
2) для того чтобы из суммируемости ряда (*) методом
Абеля к сумме S следовала сходимость атого ряда к
сумме S, необходимо и достаточно, чтобы
Теорема 1) была позднее усилена, а именно, было
показано, что условие ан=о ( — ) можно заменить на
ап=О (-^-). Условия, к-рые накладываются на ряд в

этих случаях, помимо его суммируемости, наз. т а у-
б е р о в ы м и условия ми. Эти условия могут
выражаться в различных фордшх. Наиболее распро-
распространенными для рядов (*) являются условия вида:
а,, —о ( — ) , а.. — О\ — ) , а,,> — . а„ < — ,
Н — постоянная,
a
а также их обобщения, где натуральный параметр п
заменен переменным т„. В Т. т. к таким условиям,
помимо приведенных выше, относятся, напр., следую-
следующие: если ряд (*) суммируем методом Бореля к сумме
S и ап — О 1 ^=. ) , то ряд сходится к S.
V VnJ
V J
Для каждого регулярного матричного метода сумми-
суммирования существуют числа т„^0, такие, что ~У)°°_ т,,= оо
и условие а„=о(т„) является тауберовым для этого
метода (т. е. из суммируемости ряда этим методом и
условия я.,;:-о(тн) следует сходимость ряда).
Тауберовы условия могут выражаться через оценки
частичных сумм Sn ряда или оценки разности Sn—Sm
при определенных соотношениях между пит. Приме-
Примерами Т. т. с такими условиями являются следующие:
если ряд (*¦) с частичными суммами Sn суммируем ме-
методом Бореля к сумме 5 и
1ш1(Л'„ —5тMг0, п > т,
~"->-0, то ряд сходится к S; если ряд (*) суммируем
Km
методом Абеля к сумме S и его частичные суммы Sn
удовлетворяют условию Sn=-=O(\), то он суммируем к
S методом Чезаро (С, 1).
Тауберовым условием может служить лакунарность
ряда: а,г=0 при n=«fe; условие в этом случае выража-
выражается через свойства последовательности {ге*,}.
Кроме обычной суммируемости, в теории суммирова-
суммирования рассматриваются Т. т. для специальных видов сум-
суммируемости (абсолютной, сильной, суммируемости со
скоростью и др.).
Лит.: [11 Т а и Ь е г A., «Monats. Math, und Physik», 1897,
Bd 8, S. 273—77; [2] X a ji д и Г., Расходящиеся ряды, пер.
с англ., М., 1951; [3] w i d d с г D. V., The Laplace transform.,
Princeton — L., 1941; [4] Pitt H., Tauberian theorem's,
L.—[a. o], 1958; [5] P e у с г i m li о f t A., Lectures on summabi-
lity, В., 1969; Ш ZeJlerK., Beekmann W., Theorie
der Limitierungsverfahren, B.—Hdlb.— N. Y., 1970; [7] К а н г-
l> о Г. Ф., в кн.: Итоги науки и техники. Математический ана-
лия, т. 12, М., 1974 с. 5—70. И. И. Волков.
ТЕЙЛОРА МНОГОЧЛЕН степени п для функции /
и раз дифференцируемой при х—ха — многочлен вида
Значения Т. м. и его производных до порядка п вклю-
включительно в точке х=х0 совпадают со значениями функ-
функции и ее соответствующих производных в той же точке:
Т. м. является многочленом наилучшего приближе-
приближения функции / при х^-х0 в том смысле, что
и если к.-л. многочлен Qn(x) степени, не превышающей
п, обладает тем свойством, что
где т^п, то он совпадает с Т. м. Рп(х). Иначе говоря,
многочлен, обладающий свойством (*), единствен.
Если хотя бы одна из производных /№> (х), к=0, 1,
. . ., п, не равна нулю в точке х0, то Т. м. является
главной частью Тейлора формулы. л. д. Кудрявцев.

ТЕЙЛОРА РЯД — степенной ряд
2Ю_ /""(«.) {х ХвГг A)
где числовая функция / определена в нек-рой окрест-
окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех
порядков. Частными суммами Т. р. являются Тейлора
многочлены.
Если х0 — комплексное число, функция / определена
в нек-рой окрестности точки х0 во множестве комплекс-
комплексных чисел и дифференцируема в точке хд, то существует
окрестность этой точки, на к-рой функция / является
суммой своего Т. р. A) (см. Степенной ряд). Если же
,т0— действительное число, функция / определена в
нек-рой окрестности точки х0 во множестве действи-
действительных чисел и имеет в точке х0 производные всех
порядков, то функция / может ни в какой окрестности
точки х0 не быть суммой своего Т. р. Напр., функция
г;! B>
0 , если х = О,
бесконечно дифференцируема на всей действительной
оси, не равна тождественно нулю ни в какой окрест-
окрестности точки ж=0, а все коэффициенты ее Т. р. в этой
точке равны нулю.
Если функция раскладывается в нек-рой окрестности
данной точки в степенной ряд, то такой ряд единствен
и является ее Т. р. в этой точке. Однако один и тот же
степенной ряд может являться Т. р. для разных дейст-
действительных функций. Так, степенной ряд, у к-рого все
коэффициенты равны нулю, является как Т. р. функ-
функции, тождественно равной нулю на всей действительной
оси, так и Т. р. функции B) в точке х=0.
Достаточным условием сходимости Т. р. A) к дейст-
действительной функции / на интервале (х0—h, xo+h) явля-
является ограниченность в совокупности всех ее производ-
производных на этом интервале.
Т. р. обобщается на случай отображения подмно-
подмножеств линейных нормированных пространств в подоб-
подобные же пространства, в частности на числовые функции
нескольких переменных и функции матричного аргу-
аргумента.
Ряд A) был опубликован Б. Тейлором (В. Taylor)
в 1715; ряд, сводящийся к ряду A) простым преобра-
преобразованием, был опубликован И. Бернулли (I. Bernoul-
Bernoulli) в 1694.
Лит.: UJ И л ь и н В. А,, Садовничий В. А.(
С ендов Б. X., Математический анализ, М., 1979; [2) Ни-
Никольский С. М., Курс математического анализа, 3 изд.,
т. 1, М., 1983. Л. Д. Кудрявцев.
ТЕЙЛОРА ФОРМУЛА — представление функции в
виде суммы ее многочлена Тейлора степени п (п=0, 1,
2, . . .) и остаточного члена. Если действительная функ-
функция / одного переменного имеет п производных в точке
х0, то ее Т. ф. имеет вид
где
— Тейлора многочлен, а остаточный член гп (х) может
быть записан в форме Пеано
г„ (х) = о {(х — хо)п), х—> х0.
Если функция / дифференцируема ге+1 раз в нек-рой
окрестности (х0—б, .го+б), б>0, точки ,т0, то остаточ-
остаточный член в этой окрестности может быть записан в
форме Шлёмильха — Роша

где р=1, 2, . . ., га+1, частным видом к-рой являются
форма Лагранжа
и форма Коши
о<е< 1, х?(х0—б, х„+б).
Если производная порядка ге+1 функции / интегри-
интегрируема на отрезке с концами в точках х и ,г0, то остаточ-
остаточный член можно записать в интегральной
форме
г" {х) '-= JTT Yxa /(" + 1> {t) (Х-*У dt-
Т. ф. со всеми указанными формами записи ее оста-
остаточного члена обобщается на случай функций несколь-
нескольких переменных. Т. ф. справедлива и для отображений
подмножеств нормированных пространств в подобные
же пространства, причем в этом случае остаточный член
может быть записан в форме Пеано и интегральной
форме.
Т. ф. позволяет изучение ряда свойств определенное
число раз дифференцируемой функции свести к сущест-
существенно более простой задаче изучения этих свойств у
соответствующего многочлена Тейлора — на этом и ос-
основаны разнообразные и многочисленные применения
Т. ф., напр, для вычисления пределов функций, иссле-
исследования их экстремумов, точек перегиба, интервалов
выпуклости и вогнутости, сходимости рядов и интегра-
интегралов, оценки скорости их сходимости или расходимости.
Лит.; [1] И л ь и н В. А., Садовничий В, А.,
Сондов Б. X., Математический анализ, М., 1979; [2] Ни-
Никольский С. М., Курс математического анализа, 3 изд.,
т. 1, М., 1983. Л. Д. Кудрявцев.
ТЕЙТА ГИПОТЕЗЫ — гипотезы, описывающие связи
между диофантовыми и алгебро-геометрическими свой-
свойствами алгебраич. многообразия; высказаны Дж. Тей-
том (Tate J., см. [1]).
Гипотеза 1. Если поле к конечно порождено над своим
простым подполем, V — гладкое проективное многооб-
многообразие над к, I — простое число, отличное от характерис-
характеристики поля к,
o(/':Gal(fe/fc)—*AutQlHl\V®kk)(i)
— естественное Z-адическое представление и g^p =
— Lie(lm(pJ'')) , то (^-пространство [#?'(F(g)ftA-),-] по-
порождается классами когомологий алгебраич. циклов
коразмерности i на g)ft
Гипотеза 2. Ранг группы классов алгебраич. циклоп
коразмерности i на F по модулю гомологич. эквива-
эквивалентности совпадает с порядком полюса функции
Ф2,(«) в точке s=dim У+j.
Гипотезы проверены для целого ряда частных случа-
случаев (ограничения накладываются как на поле к, так и
на многообразие F).
Лит.: [1] Тэйт Дж., «Успехи матем. наук», 1965, т. 20,
в 6 с. 27—40. С. Г. Танпеев.
ТЕЙТА МОДУЛЬ — свободный Z^-модуль T(G), со-
сопоставляемый р-делимой группе G, определенной над
полным дискретно нормированным кольцом R характе-
характеристики 0 с полем вычетов к характеристики р. Пусть
G= {Gv, iv }, vJsO, a T (G)=\\mGv (К), где К — алгебра-
алгебраич. замыкание поля частных К кольца R (предел берет-
берется относительно отображений /v : Gvti->GV таких, что
iv°y'v~p). Тогда T(G) = Zp, где h — высота группы С,
Т (G) обладает естественной структурой С(А7А')-модуля.
ФункторС—>¦!' (G) позволяет сводить ряд вопросов о
группе G к более простым вопросам о G (А7А')-модулях.

Аналогично определяется Т. м. для абелева многооб-
многообразия. Пусть А — абелево многообразие, определенное
над к и Арп — группа точек порядка р" в А (к). Тогда
Тр(А) определяется как lim Л „. Модулем Тей-
та кривой X наз. Т. м. якобиева многообразия
этой кривой.
Конструкция модуля Тр(Х) обобщается на случай
числовых полей. Пусть к — поле алгебраич. чисел и
кт — нек-рое Z^-расширение поля к (расширение с
группой Галуа изоморфной Zp). Для промежуточного
поля кп степени рп над к пусть С1 (кп)р есть р-компонен-
та группы классов идеалов поля кп. Тогда Тр(к^)=
=lim C1 (кп)р, где предел берется относительно нор-
менных отображений Cl (кт)р-*-С1(к„)р для т>ге. Мо-
Модуль Тр(к^) характеризуется своими инвариан-
инвариантами И в а с а в ы К, u., v, к-рые определяются из ус-
условия
где en^=Xn-\-\ipn-\-v для всех достаточно больших п.
Имеется предположение, что для круговых ^-рас-
^-расширений инвариант \i равен 0. Это доказано для абе-
левых полей [4]. Известны примеры некруговых ^-рас-
^-расширений с jx>0 (см. [3]). Даже в случае, когда ц = 0,
Тр(к„) не обязан быть свободным Zp-модулем.
Лит.: 11] ТэйтДж., «Математика», 1969, т. 13, М2,
с. 3—25: [2] Ш а ф а р е в и ч И. Р., ^-функция, М., 1969;
[3] I w a s a w а К., в сб.: Number theory, algebraic geometry
and commutative algebra, Tokyo, 1973, p. 1—11; [4] Ferrc-
roB., Washington L. C, «Ann. Math.», 1979, v. 109,
p. 377—95. Л. В. Кузьмин.
ТЕЛЕГРАФНОЕ УРАВНЕНИЕ — дифференциаль-
дифференциальное уравнение с частными производными
д2и г, д2и . . , ov ди , о п л .
а(Г-с2а7г + («+Р)^ + «Ри = 0. A)
Этому уравнению удовлетворяет напряжение тока в
проводе, рассматриваемое как функция времени t и
расстояния s от нек-рой фиксированной точки провода.
Здесь с — скорость света, а —¦ емкостный, Р — индук-
индуктивный коэффициенты.
Преобразованием
е u{s, t) = v(x, у), x~s-\-ct, y = s — ct,
уравнение A) приводится к виду
B)
Это уравнение принадлежит к классу гиперболич. урав-
уравнений 2-го порядка
в теории к-рых важную роль играет функция Римана
й(х,г/; |, т|). Для уравнения B) эта функция выписы-
выписывается в явном виде:
Я(*. У, I, ri)-/0(l/Ma:-i)'B/-T))),
где /„ (z) — функция Бесселя.
Лит.: [1] Курант Р., Уравнения с частными производ-
производными, пер. с англ., М. 1964. А. П. Солдатов
ТЕЛЕСНЫЙ
УГОЛ— часть про-
пространства, ограни-
ограниченная одной по-
полостью нек-рой
конич. поверхно-
поверхности (рис.), направ-
направляющая к-рой го-
меоморфна окруж-
окружности. Частными
случаями Т. у. яв- ' ^ 2
ляются многогранные углы. За меру Т. у. принимают
отношение площади той части сферы с центром в вер-

шине конич. поверхности, к-рая вырезается атим Т. у.,
к квадрату радиуса сферы. Напр., Т. у., заключающий
V8 часть пространства (октант), измеряется числом
4яЛ?2/8Л?2---я/2. Единицей измерения Т. у. является
стерадиан. БСЭ-з.
ТЕЛО — кольцо, в к-ром уравнения ах=Ь и уа=Ь,
где афО, однозначно разрешимы. В случае ассоциатив-
ассоциативного кольца достаточно потребовать существования
единицы 1 и однозначной разрешимости уравнений
ax=i и уа=1 для любого а^О. Коммутативное ассо-
ассоциативное Т. является полем. Пример некоммутатив-
некоммутативного ассоциативного Т.— тело кватернионов,
II а Т> II
определяемое как множество матриц вида _ над
II —ь а II
полем комплексных чисел с обычными операциями (ср.
Кватернион). Примером неассоциативного Т. является
Кэли — Диксона алгебра, состоящая из всех матриц
того же вида над телом кватернионов. Это Т. альтер-
альтернативно (см. Альтернативные кольца и алгебры). Вся-
Всякое Т. является алгеброй с делением или над полем ра-
рациональных чисел, или над полем вычетов. Тело ква-
кватернионов является 4-мерной алгеброй над полем дейст-
действительных чисел, а алгебра Кэли — Диксона 8-мерной.
Размерность любой алгебры с делением над полем дейст-
действительных чисел равна 1, 2, 4 или 8 (см. [1], а также
Топологическое кольцо). Поля действительных и комп-
комплексных чисел и тело кватернионов и только они явля-
являются связными локально компактными ассоциативными
Т. (см. [5]). Всякая конечномерная алгебра без дели-
делителей нуля есть Т. Всякое конечное ассоциативное Т.
коммутативно (см. [6], [8]). Ассоциативное Т. характе-
характеризуется тем, что все ненулевые модули над ним свобод-
свободны. Всякое неассоциативное альтернативное Т. ко-
конечномерно [3]. Сходный результат верен для тел
Мальцева [7] (см. Мальцева алгебра) и йордановых Т.
[4] (см. Йорданова алгебра). В отличие от коммутатив-
коммутативного случая, не всякое ассоциативное кольцо без дели-
делителей нуля вложимо в Т. (см. Вложение кольца).
Лит.: [1] А д а м с Д. Ф., «Математика», 1961, т. 5, № 4,
с. 3—86; [2] Ван дер ВарденБ. Л., Алгебра, пер.
с нем., 2 изд., М., 1979; [3] Ж е в л а к о в К. А. и др., Коль-
Кольца, близкие к ассоциативным, М., 1978; [4] 3 е л ь м а-
н о в Е. И., «Алгебра и логика», 1979, т. 18, № 3, с. 286—310;
[5] ПонтрягинЛ. С, Непрерывные группы, 3 изд., М.,
1973; [6] Скорняков Л. А., Элементы общей алгебры, М.,
1983; [7] Ф и л и л п о в В. Т., «Алгебра и логика», 1976, т. 15,
№ 2, с. 235—42; [8] X е р с т е й н И., Некоммутативные коль-
кольца, пер. с англ., М., 1972. Л. А. Скорняков.
ТЕНЗОР на векторном пространстве
V над полем к ¦— элемент t векторного простран-
пространства
где V*=Hom(V, к) — пространство, сопряженное с V.
Говорят, что тензор t является р раз контра вариантным
и q раз ковариантным или что t имеет тип (р, q). Число
р наз. контравариантной валентно-
валентностью, q —-ковариантной валентно-
валентностью, а число р+<7 — общей валентностью
тензора t. Пространство T°.°(F) отождествляется с к.
Тензоры типа (р, 0) наз. контравариантны-
м и, типа @, д) — к о в а р и а н т н ы м и, а осталь-
остальные — смешанными.
Примеры Т. 1) Вектор пространства V (Т. типа
A, 0)).
2) Ковектор пространства V (Т. типа @, 1)).
3) Каждый ковариантный Т.
где hij^V*, определяет g-линейную форму t на V по
формуле

отображение ft—*t пространства Т"<ч в пространство
L4 (V) всех ^-линейных форм на V линейно и инъектив-
но; если dim У<оо, то это отображение является изо-
изоморфизмом, так что любая ^-линейная форма отвечает
нек-рому Т. типа @, q).
4) Аналогично, каждый контравариантный Т. из
Тр'и {V) определяет нек-рую р-линейную форму на
V*, а если V конечномерно, то верно и обратное.
5) Каждый Т.
где х,? V, hj? V*, определяет линейное преобразование
t пространства V, заданное формулой
если dim K<oo, то любое линейное преобразование
пространства V определяется Т. типа A, 1).
6) Аналогично, любой Т. типа A, 2) определяет в V
билинейную операцию, т. е. структуру fc-алгебры; при
этом, если dim 1/<оо, то любая структура 7с-алгебры
в V определяется нек-рым Т. типа A, 2), к-рый наз.
структурным тензором алгебры.
Пусть V конечномерно и vx, . . ., vn — его базис,
и1, . . ., vn — сопряженный базис пространства V*.
Тогда Т.
'¦¦•¦'р р
составляют базис пространства Tp'q(V). Координаты
t . f тензора t? Tp'g (V) в этом базисе наз. также к о-
ординатами тензора t в базисе vi,
. . ., vn пространства V. Напр., координаты вектора и
ковектора совпадают с их обычными координатами в
базисах (и,-) и (Ы), координаты Т. типа @, 2) совпадают
с элементами матрицы соответствующей билинейной
формы, координаты Т. типа A, 1) — с элементами мат-
матрицы соответствующего линейного преобразования, ко-
координаты структурного Т. алгебры — с ее структур-
структурными константами. Если vx, . . ., vn — другой базис
пространства V, Vj=a)v;, P/|| = (||a;ll T )~1, то коорди-
координаты t.' Р тензора te этом базисе определяются по
h ]ч
формулам
г';-1> = $..Лк'а11\..а\* ?;-)'. A)
U---lq «l *p It lq h lq
Здесь, как это часто делается в тензорном исчислении,
применимо правило суммирования Эйн-
Эйнштейна: по каждой паре одинаковых индексов,
один из к-рых — верхний, а другой — нижний, подра-
подразумевается суммирование от 1 до я. Обратно, если си-
система пР+1 элементов поля к, зависящая от базиса про-
пространства V, изменяется при переходе от базиса к ба-
базису по формулам A), то эта система является набо-
набором координат нек-рого Т. типа (р, q).
В векторном пространстве Триг (V) определены опе-
операции сложения Т. и умножения Т. на скаляр из к.
При этих операциях соответствующие координаты Т.
складываются или умножаются на скаляр. Определена
также операция умножения Т. разных типов, к-рая
вводится следующим образом. Имеет место естествен-
естественный изоморфизм векторных пространств
Tp>4(V)®Tr-s(V)=Tp+r- q + s{V),
переводящий

Поэтому для любых i? ^'"(F) и и? Tr's (F) элемент
i?=?®« может рассматриваться как Т. типа (р+г,
<?+s), к-рый и наз. произведением тензо-
тензоров t и и. Координаты произведения вычисляются по
формуле
v.
Пусть p>0, q>0 и пусть фиксированы числа а и Р,
где 1«х«р, 1<р<д. Тогда определено линейное ото-
отображение Ур : Tp'q (V)-*TP~1> q~1 (V) такое, что
= Лр (ха) ху ®...
Оно наз. свертыванием (или сверткой)
по а-му контравариантному и Р-му ковариантному ин-
индексам. В координатах свертка записывается форму-
формулами
Напр., свертка Y\t Т. типа A, 1) есть след соответст-
соответствующего линейного преобразования.
Аналогично определяются Т. на произвольном уни-
унитарном модуле F над коммутативно-ассоциативным
кольцом с единицей. Перечисленные выше примеры и
свойства Т. переносятся с соответствующими измене-
изменениями на этот случай, причем иногда надо предпола-
предполагать, что V — свободный или конечно порожденный
свободный модуль.
Пусть в конечномерном векторном пространстве над
полем к фиксирована невырожденная билинейная фор-
форма g (напр., V — евклидово или псевдоевклидово
пространство над R); форму g называют в этом случае
метрическим тензором. Метрический Т.
определяет изоморфизм у : V->-V* по формуле
уМ (y)--=g(->;, у),
Пусть р>0 и пусть фиксирован индекс а, 1<:а-<р.
Тогда формула
х1 ®...<g>
определяет изоморфизм уа : Tp'q (V)-*TP~U q + l (F), на-
называемый опусканием а-го контравариантного
индекса. Иначе,
Y
В координатах опускание индекса имеет вид
q q
Аналогично определяется изоморфизм подъема
Р-го ковариантного индекса A<Р«?):
отображающий Тр<"(У)ва Тр+1'"~1 (V). В координа-
координатах подъем индекса записывается формулой

где Hg^lHdlg/ylf1"). В частности, подъем сначала 1-го,
а потом и оставшегося ковариантного индекса метрич.
тензора g приводит к Т. типа B, 0) с координатами gkl
(контравариантнып метрический
тензор). Иногда опущенный (поднятый) индекс не
передвигают на первое (последнее) место, а пишут на
том же месте в нижней (верхней) группе индексов, ставя
на образовавшемся пустом месте точку. Напр., для
t?T2'°(V) координаты Т. у2 (t) записывают в виде
Любое линейное отображение / : V^-W векторных
пространств над к естественным образом определяет
линейные отображения
r/"u(/)=-®/:f'(F)— TP'°(W)
> Г0'" (V).
Если / — изоморфизм, то определяется также линейное
отображение
Тр'д (/): Тр'д (V) —> Тр'д (W),
причем Г°. <?(/)= Г». ° (/*) ~*. Соответствие f>—>Tp'q(f)
обладает функторными свойствами. В частности, оно
определяет линейное представление а\—*¦ ТР<ч(а) груп-
группы G.L(F) в пространстве TP<4(V) (тензорное
представление).
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические струк-
структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М.,
1962; [2] Гель фа нд И. М., Лекции по линейной алгебре,
4 изд., М., 1971; [3] К о с т р и к и н А. И., М а н и н Ю. И.,
Линейная алгебра и геометрия, М., 1980; [4] ГГ о с т н и-
к о в М. М., Линейная алгебра и дифференциальная геомет-
геометрия, М., 1979; [5] Р а т е в с к и й П. К., Риманова геометрия
и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967. А. Л. Онищик.
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА — 1) Раздел тензорного ис-
исчисления, в к-ром изучаются алгебраич. операции над
тензорами.
.2) Т. а. унитарного модуля V над коммутативно-ассо-
коммутативно-ассоциативным кольцом А с единицей — алгебра Т (V) над
А, модуль к-рой имеет вид
а умножение определяется при помощи умножения тен-
тензоров. Наряду с контравариантной Т. а., рассматрива-
рассматривают также ковариантную Т. а.
и смешанную Т. а.
Если модуль V свободен и конечно порожден, то Т (V*)
естественно изоморфна алгебре всех полилинейных
форм на V. Любой гомоморфизм Л-модулей V-+W
естественным образом определяет гомоморфизм Т. а.
VT(W)
Т. а. Т (V) ассоциативна, но, вообще говоря, не
коммутативна. Ее единицей является единица кольца
А = Т° (V). Любое Л-линейное отображение модуля V
в ассоциативную Л-алгебру В с единицей единственным
образом продолжается до гомоморфизма алгебр Т (V)->-
->-В, переводящего единицу в единицу. Если V — сво-
свободный модуль с базисом (fi)j6j, то Т (V) есть свободная
ассоциативная алгебра с системой образующих ("/)j6j.
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические струк-
структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962;
[2] К о с т р и к и н А. И., М а н и н Ю. И., Линейная алгеб-
алгебра и геометрия, М., 1980. А. Л. Онищик.
ТЕНЗОРНАЯ ПЛОТНОСТЬ, псевдотензо р,—
геометрический объект, описываемый в системе коорди-

нат .г—{х1, . . ., хп) компонентами я' Р, l«riv, /
в количестве пР+ч, изменяющимися при замене коор-
координат х-*у=(у1, . . ., у") по правилу:
^- "р у
где A = det ( —ь ). Число х наз. весом Т. и. При
V dxR J
( —ь
V dxR J
х=0 Т. п. является тензором. Такие понятия, как
тип, валентность, ковариантность, контравариант-
яость ит. п., вводятся по аналогии с соответствующими
тензорными понятиями. Т. п. типа A, 0) и @, 1) наз,
век то р н ы м и плотностями, Т. п. типа
(О, 0) — скалярными плотностями.
Л. П. Нрпцов,
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — традиционное назва-
название раздела математики, изучающего тензоры и тензор-
тензорные поля (см. Тензорное расслоение). Т. и. разделяется
на тензорную алгебру (входящую в качестве основной
части в полилинейную алгебру) и тензорный анализ,
изучающий дифференциальные операторы на алгебре
тензорных полей.
Т. и. является важной составной частью аппарата
дифференциальной геометрии. В этой связи оно впер-
впервые систематически было развито Г. Риччи (G. Ricci)
и Т. Леви-Чивитой (Т. Levi-Civita) (см. [1]); его часто
называли «исчислением Риччи».
Термин «тензор» еще с сер. 19 в. употребляется в
механике при описании упругих деформаций тел -(см.
Деформаций тензор, Напряжений тензор). С нач. 20 в.
аппарат Т. и. систематически используется в реляти-
релятивистской физике (см. [2]).
Лит.: [1] R i с с 1 G., Levi-Civita Т., «Math. Ann,»,
1901, Bd 54, S. 125—201; MKinstein A., G г a s sm a n n M.,
«2. Math, und Physik», 1914, Bd 62, S. 225—61. А. Л. Онищик.
ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — 1) Т. п. у. н №•
тарных модулей ^ и Fa над коммутативно-
ассоциативным кольцом А с единицей — Л-модуль
У\®А^2 вместе с билинейным отображением
(хи x2)t-^x1®x2^V1®AV2,
универсальным в следующем смысле: для любого били-
билинейного отображения C: FXX V%—+W, где W — произ-
произвольный А -модуль, существует единственное линейное
отображение Ь : V^^V^-^-W такое, что
Т. п. определяется однозначно с точностью до изомор-
изоморфизма. Оно всегда существует и может быть построено
как фактормодуль свободного А-модуля F, порожден-
порожденного множеством KjX V«, по подмодулю Л, порожден-
порожденному элементами вида
(хи xt-\-z) — (xu хг) — (х1, г),
(схи хг) — с(хи х2),
(хи сх2) — с(хи ж2),
Ч, y€.Vi, *г. z?F2, eg Л;
при этом х1@х2=(х1, x2)-{-JR. Если отказаться от ком-
коммутативности кольца А, то близкая конструкция позво-
позволяет сопоставить правому Л-модулю V1 и левому А-
модулю \\ абелеву группу Fj®^ V2, также называемую
Т. п. этих модулей [1]. В дальнейшем А предполага-
предполагается коммутативным.

Т. п. обладает следующими свойствами:
A®Vl a У,
для любых Л-модулей У, V,-, W.
Если (xi)ieI и (y;)j€j— базисы модулей Ух и У2,
то (*(®!//)(ii i)eZxJ — базис модуля VjgU^- В част-
частности,
dim {VX®A V'2) = dim yrdim У2,
если Vi — свободные конечно порожденные модули
(напр., конечномерные векторные пространства над
нолем А). Т. п. циклич. Д.-модулей вычисляется по
формуле
где /, / -- идеалы в А .
Определяется также Т. п. любого (не обязательно
конечного) семейства Л-модулей. Т. п.
р раз
наз. р-й тензорной степень hi Л-модуля V;
его элементы — это контравариантные тензоры ва-
валентности р на V.
Любым двум гомоморфизмам Л-модулей а,- : V[-*-Wi,
i—1, 2, сопоставляется их Т. п. ajgjas, являющееся
гомоморфизмом Л-модулой V1®AV2-^-W1®AW.2 и опре-
определяемое формулой
(а, ® а2) (*! ®х,) = a (xt) g) а2 (*-2), ж,- g V{.
Эта операция также распространяется на любые семей-
семейства гомоморфизмов и обладает функторными свойст-
свойствами (см. Модуль). Она определяет гомоморфизм А-
модулей
Ногал (Уь ^) ®А Нотл (У2) W2) —
—* Ыотл (У! ® У2, Wx ® W2),
к-рый является изоморфизмом, если все У/, W, свобод-
свободны и конечно порождены.
Лит.: L1] Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические струк-
структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М.,
1962; [21 К а ш Ф., Модули и кольца, пер. с нем., М., 1981;
[3] К о с т р и к и и А. И., Мании Ю. И., Линейная алгеб-
алгебра и геометрия, М., 1980. А. Л. Онищик.
2) Т. п. алгебр С\ и Сг над коммутативно-ассо-
коммутативно-ассоциативным кольцом А с единицей — алгебра Ci®AC2
над А, к-рая получается, если ввести в Т. п. Л-модулей
CX®AC.Z умножение по формуле
Определение распространяется на случай любого се-
семейства сомножителей. Т. п. Ci®AC2 ассоциативно,
коммутативно или содержит единицу, если этим свой-
свойством обладают обе алгебры 6',-. Если Сг и С2 — алгеб-
алгебры с единицами над нолем А, то Сх= Cxgjl и С2= С2®1—
подалгебры в CX®AC\, изоморфные Сх и С2 и поэле-
поэлементно перестановочные. Обратно, пусть С — алгебра
с единицей над полем А, С\, С2 — ее подалгебры, со-
содержащие единицу и такие, что х1х2=х2х1 для лю-
любых ж;? С;. Тогда существует гомоморфизм А -алгебр
Ф : fi®^C2-*-C такой, что (р (хх®х2)=ххх2, х,?С,. Для
того чтобы ф был изоморфизмом, необходимо и доста-
достаточно, чтобы в Сосуществовал базис над Л, являющий-
являющийся базисом правого С2-модуля С.
Лит.: Ш Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические струк-
структуры. Линейная и полилинейная алгебры, мер. с франц., М.,
1962. А. Л. Онищик.

3) Т. п., кронекерово произведение,
матриц <4 = ||а,у|| и В — матрица
апВ ... <х1пВ
<хп1В ... атп
Здесь А есть (тХ га)-матрица, В есть (/>Х д)-матрица,
а Л®5 есть (трХ пд)-матрица над коммутативно-ассо-
коммутативно-ассоциативным кольцом к с единицей.
Свойства Т. п. матриц:
где а?/с,
(А ® В) (С® ?>) = ЛС (g) В?>.
Если т—п и р —?, то
(let (Л g)B)=-(det 4)/>(detB)n.
Пусть А — поле, т~п и р=д. Тогда Л®В подобна
В®4 и det (А@Ер—Е„@В), где ?„ — единичная мат-
матрица, совпадает с результантом характеристич. много-
многочленов матриц А и В.
Если a : V-+-V, |3 : W-+W — гомоморфизмы уни-
унитарных свободных конечно порожденных /с-модулей и
А, В — их матрицы в нек-рых базисах, то Д®В явля-
является матрицей гомоморфизма а®{5 : V(g)W-*-V'(g)W в
базисах, состоящих из Т. п. базисных векторов.
Лит.: [1] Халмош П., Конечномерные векторные про-
пространства, пер. с англ., М., 1963; [2] Б у р б а к и Н., Алгебра.
Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра,
пер. с франц., М., 1962, гл. 3. Д. А. Супруненно.
4) Т. п. представлений % и nj группы G
в векторных пространствах Ег и Ё2 соответственно —
представление nt@n2 группы G в векторном простран-
пространстве Е1@Е2, однозначно определенное условием:
(я, ® п2) (li ® 52) = Я1 (g) gi ® я2 (g) g2
для всех li^?i,?2€^2> g?G. Если ях и л2 — непрерыв-
непрерывные унитарные 'представления топологич. группы G
в гильбертовых пространствах Е1 и Е2 соответственно,
то операторы (я1®я2)(^), g?G, в векторном простран-
пространстве Е!®Е2 допускают однозначное продолжение по
непрерывности до непрерывных линейных операторов
(я1®я2)(^), g?G, в гильбертовом пространстве E^)ES
(пополнении пространства ?'1®?2 относительно ска-
скалярного произведения, определяемого формулой (J^®!^
® (§ Х Лг)) и отображение ях®я2 : g-»-
A®2)^ ? является непрерывным унитарным
представлением группы G в гильбертовом пространстве
?'1®?2, называемым тензорным произве-
произведением унитарных представлений
Я! и я2. Представления Я!®я2 и я^Л! эквивалентны
(унитарно, если ях и я2 унитарны). Операция Т. п.
может быть определена и для непрерывных пред-
представлений топологич. групп в топологич. векторных
пространствах общего вида. а. и. Штерн.
5) Т. п. векторных расслоений Е и F
над топологическим пространством X — векторное рас-
расслоение E(?)F над X, слоем к-рого в точке х?Х являет-
является.Т. п. слоев EX(^)FX. Т. п. можно определить как
расслоение, функции перехода к-рого являются Т. п.
функций перехода расслоений Е и F в одном и том же
тривиализирующем покрытии (см. Тензорное произве-
произведение матриц).
Лит.: [1J А т ь я М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М.,
1967. А. Л. Онищик.
ТЕНЗОРНОЕ РАССЛОЕНИЕ типа (р, у) в а д и ф-
ференцируемом многообразии М—
векторное расслоение ТРлЧ (М) над М, ассоциированное
с расслоением касательных реперов и имеющее в каче-

стве стандартного слоя пространство Tp'9(Rn) тензо-
тензоров типа (р, q) на R", в к-ром группа GL (n, R) дейст-
действует при помощи тензорного представления. Напр.,
Г1-0 (М) совпадает с касательным расслоением Т (М)
над М, а Г0'1 (М) — с кокасательным расслоением
Т (М)*. В общем случае Т. р. изоморфно тензорному
произведению касательных и кокасательных расслое-
расслоений:
Tp'q (M) = g TM®®
Сечения Т. р. типа (р, q) наз. тензорными по-
полями типа (р, q) и являются основным объектом
исследования дифференциальной геометрии. Напр.,
риманова структура на М — это гладкое сечение рас-
расслоения Tf><i(M), значения к-рого являются положи-
положительно определенными симметрич. формами. Гладкие
сечения расслоения Тр'4 (М) образуют модуль DP<9(M)
над алгеброй F°°(M)=DW (М) гладких функций на М.
Если М — паракомпактное хаусдорфово многообра-
многообразие, то
DP'i (M) ss (g) Dl (М) (g)g) D1 (M)*,
где ZI(M)=D1.0 (M) — модуль гладких векторных по-
полей, D1 (Л/)*^^0'1 (М) — модуль пфаффовых диффе-
дифференциальных форм, а тензорные произведения берутся
над F°° (M). В классической дифференциальной гео-
геометрии тензорные поля иногда наз. просто тензо-
тензорами на if.
Лит.: [1]Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы диффе-
дифференциальной геометрии, т. 1, пер. с англ., М., 1981; [2] X е л-
гасон С, Дифференциальная геометрия и симметрические
пространства, пер. с англ., М., 1964. А. Л. Онищик.
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ — обобщение векторного
анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий диф-
дифференциальные операторы, действующие на алгебре
тензорных полей D (М) дифференцируемого многообра-
многообразия М. Рассматриваются также операторы, действую-
действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрич.
объекты: тензорные плотности, дифференциальные фор-
формы со значениями в векторном расслоении и т. д.
Наибольший интерес представляют операторы, дей-
действие к-рых не выводит за пределы алгебры I) (M).
1) Ковариантная производная вдоль векторного ноля
X — линейное отображение -у пространства вектор-
векторных полей D1 (М) многообразия М, зависящее от век-
векторного поля X и удовлетворяющее условиям:
где X, Y, Z?D'(M), f, g — гладкие функции на М.
Определяемые этим оператором связность Г и парал-
параллельное перенесение позволяют распространить дейст-
действие ковариантной производной до линейного отображе-
отображения алгебры D (М) в себя; при этом отображение ух
есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного
поля и перестановочно со сверткой.
В локальных координатах и1, и2, . . ., и" ковариант-
/ Ч..л.
ная производная тензора с компонентами Т\Т. .
V ¦>l'm
относительно вектора X=z' —j определяется так:
Г&> — объект связности Г.
2) Ли производная вдоль векторного поля X — ото-
отображение Lx пространства D' (М), определяемое фор-
формулой Lx : Y-*-[X, Y], где [X, Y\ — коммутатор век-

торных полей X, Y. Этот оператор также однозначно
продолжается до дифференцирования D (М), сохраня-
сохраняет тип тензоров и перестановочен со сверткой. В ло-
локальных координатах производная Ли тензора
Т (Т . . выражается так:
''•••'г
'' '' ?ll
3) Внешний дифференциал (внешняя производная) —
линейный оператор d, сопоставляющий внешней диф-
дифференциальной форме (кососимметричному ковариант-
ному тензору) степени р форму такого же вида и сте-
степени р+1, удовлетворяющий условиям:
d (мх Л<О2) = <&°1 А ш2 -f-(—1У щ Л rfoJ, d (da>) = 0,
где л — символ внешнего произведения, г — степень
ш1. В локальных координатах внешняя производная
тензора ш (ш4 i ) выражается так:
ди ft
Оператор d — обобщение оператора rot.
4) Кривизны тензор симметричного невырожденного
дважды ковариантного тензора #,у представляет собой
действие нек-рого нелинейного оператора R:
где
_ ~
du* du d"
Лит.: [1] P а ш е в с к и й П. К., Риманова геометрия и
тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Схоутен Я.-А.,
Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; [3] М а к-
К они ел А.-Д., Введение в тензорный анализ, пер. с англ.,
М., 1963; [4] С о к о л ь н и к о в И. С, Тензорный анализ,
пер. с англ., М., 1971. К. М. Белов.
ТЕОРЕМА — математическое утверждение, истин-
истинность к-рого установлена путем доказательства.
Понятие Т. развивалось и уточнялось вместе с поня-
понятием математич. доказательства. При использовании
аксиоматического метода Т. рассматриваемой теории
определяются как высказывания, выводимые чисто ло-
гич. путем из нек-рых заранее выбранных и фиксиро-
фиксированных высказываний, называемых аксиомами.
Поскольку аксиомы предполагаются истинными, то
истинными должны быть и Т. Дальнейшее уточнение
понятий доказательства и Т. связано с предпринятым
в математич. логике исследованием понятия логического
следствия, в результате чего для широкого класса ма-
математич. теорий процесс логич. вывода удалось свести
к преобразованию формул, т. е. математич. утвержде-
утверждений, записанных на подходящем формализованном
языке, по точно сформулированным правилам (вывода
правилам), относящимся лишь к форме (а не к содержа-
содержанию) предложений. В возникающих таким образом
формальных теориях доказательством наз.
конечная последовательность формул, каждая из к-рых
либо является аксиомой, либо получается из нек-рых
предыдущих формул этой последовательности по од-
одному из правил вывода. Т. наз. формула, являющаяся
последней формулой в нек-ром доказательстве.
Такое уточнение понятия Т. позволило получить,
пользуясь строгими математич. методами, ряд важных

результатов о математич. теориях. В частности, было
установлено, что аксиоматич. теории, представляющие
многие существенные разделы математики (напр., ариф-
арифметику), неполны, т. е. существуют предложения, ис-
истинность или ложность к-рых нельзя установить чисто
логич. путем на основе аксиом. Эти теории, как пра-
правило, неразрешимы, т. е. не существует единого мето-
метода (алгоритма), позволяющего установить, является
ли Т. произвольное данное высказывание, в. Е. Плиско.
ТЁОРЕТИКО-ЧИСЛОВАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что
арифметическая функция.
ТЕОРИЯ формальная — то же, что формаль-
формальная система. См, также Аксиоматический метод.
/^-ТЕОРИЯ — раздел алгебраической топологии, изу-
изучающий свойства векторных расслоений алгебраич. и
топодогич. методами. В отличие от алгебраической К-,
теории, иногда наз. топологической К - т е-
о р и е й. В расширенном смысле термин <iK-теория»
употребляется для обозначения области математики,
включающей в себя алгебраич. К -т. и топологич. К-т.
и. характеризующейся специфич. алгебраич. и тополо-
топологич. методами исследования, называемыми методами
К-т. В узком смысле К-т.— обобщенная теория
когомологий, порожденная категорией векторных рас-
расслоений.
Источником К-т. являются векторные косые произ~
ведения (расслоения), изучаемые в алгебраич. тополо-
топологии, и их многочисленные гомотопич. и алгебраич,
свойства. Наиболее важные свойства расслоений и
связанные с ними понятия, используемые в К-т.,—
это свойства характеристических классов расслоений,
классифицирующие пространства, алгебраич. опера-
операции с расслоениями (прямые суммы, тензорные произ-
произведения, внешние степени), прообраз расслоения. Вто-
Вторым источником К-т. является связь с алгебраич. К-т.,
Кграя заключается в том, что пространство непрерыв-
непрерывных сечений векторного расслоения можно рассматри-
рассматривать как модуль над алгеброй непрерывных функций,
к-рый оказывается проективным модулем.
По аналогии с К -функторами в алгебраич. А'-т. были
определены группы К (X) как Гротендика группы ка-
категории векторных расслоений с базой X. Используя
понятие индуцированного расслоения, определенные
группы К (X) дополняются до определения функтора
из категории топологич. пространств в категорию абе-
левых групп. Обычно Я-функтор изучается не во всей
категории топологич. пространств, а в меньших под-
подкатегориях. Наиболее употребительной является кате-
категория клеточных пространств (комплексов). Определе-
Определение .йГ-функтора распространяется на категории пунк-
пунктированных топологич. пространств и пар топологич.
пространств и дополняется группами К'(Х, А), г«0,
полагая
Ю(Х, A) =
где D~' есть —i-мерный диск, а S-'-1 — ого граница.
Совокупность функторов К', К-0, удовлетворяет аксио-
аксиомам обобщенной теории когомологий, к-рые следует
видоизменить с учетом неравенства г<0.
Различают К-т., построенную по категории вещест-
вещественных векторных расслоений (вещественная
if-теория), и К-т., построенную по категории
комплексных векторных расслоений (комплекс-
(комплексная I-теори я). Изучаются и др. варианты К-т.
с учетом дополнительных структур в векторных рас-
расслоениях, напр, эквивариантная К-т.
Важным свойством групп К (X) лри построении обоб-
обобщенной теории когомологий является периодичность
Ботта в комплексной К-т. Она позволяет, в частности,
снять ограничение г-<0 и превратить функторы К' в
Z 2-градуированную обобщенную теорию когомологий.
Основное же значение периодичности Ботта заключает-

ся в широких вычислительных возможностях постро-
построенной К-т.
К К-т. применимы вычислительные методы обобщен-
обобщенной теории когомологий, в частности метод спектраль-
спектральных последовательностей, позволивший вычислить груп-
группы К (X) для многих классических конечномерных и
бесконечномерных пространств. Напр., если Х = СРп—
комплексное проективное пространство, то
где м=[т|]—1, а г) — одномерное расслоение Хопфа.
Для вещественной К-т. с помощью Ботта теорема
периодичности строится 28-гРаДУиР0ванная обобщен-
обобщенная теория когомологий. Применяя дополнительные
алгебраич. структуры в векторных расслоениях, по-
построены более общие теории когомологий, органи-
органически включающие в себя комплексную вещественную
и симплектич. К-т.
В 60-х гг. с помощью К-т. были переосмыслены мно-
многие задачи как в топологии, так и в др. разделах мате-
математики. Наиболее важные результаты в К-т. связаны
с систематич. изучением характеристич. классов и
когомологических операций, в терминах к-рых были
доказаны теоремы целочисленности для мультиплика-
мультипликативных родов (аналоги Римана — Роха теоремы),
даны простые и прозрачные решения классич. задач,
связанные с алгебрами с делением и векторными поля-
полями на сферах.
Методы топологич. К-т. дали толчок для развития
других разделов топологии, напр, теории бордизмов.
Важное значение для развития дифференциальной то-
топологии имело доказательство гипотезы Адамса об
описании /-функтора в терминах когрмологич. опера-
операций К-т. (см. [2]).
Наиболее впечатляющим является использование ме-
методов К-т. в проблеме вычисления индекса эллиптич.
операторов. С помощью геометрич. конструкций век-
векторных расслоений были разумно обобщены понятия
дифференциальных и псевдодифференциальных операто-
операторов, их символов, Соболева пространств, эллиптич.
операторов и их индексов и получена формула Атьи —
Зингера [3]
muo(D)--=<che-T(X),
описывающая индекс эллицтич. оператора на компакт-
компактном замкнутом многообразии X с символом а в терми-
терминах Тодда класса Т (X) и Чжэня характера оператора
a(D). Как следствие из формулы Атьи — Зингера полу-
получаются частные формулы для различных классов опе-
операторов, имеющих важное значение в геометрии, топо-
топологии и др. разделах математики. Напр., формула Хир-
цебруха выражает сигнатуру ориентированного ком-
компактного замкнутого многообразия через характерис-
характеристич. Понтрягина числа этого многообразия. Сама фор-
формула Хирцебруха и ее обобщения на неодносвязные
многообразия применяется в дифференциальной топо-
топологии в задачах классификации гладких структур мно-
многообразий.
В 70-х гг. появились обобщения К-т., связанные с
применением в ней функциональных методов и приспо-
приспособлением К-т. к различным задачам топологии, гео-
геометрии, теории дифференциальных уравнений. Одно
из обобщений заключается в замене категории вектор-
векторных расслоений на категорию локально тривиальных
расслоений, слоем к-рых является конечно порожден-
порожденные модули, проективные над нек-рой С*-алгеброй А,
а структурные группы суть группы автоморфизмов этих
модулей. С помощью этого класса, расслоений построе-
построены нетривиальные когомологич. инварианты бесконеч-
бесконечномерных представлений бесконечных дискретных
групп л. Если дискретная группа л является фунда-
фундаментальной группой компактного многообразия, допус.

кающего риманову метрику неположительной кривиз-
кривизны двумерной, то характеристпч. числа вида
— т.н. высшие сигнатуры, являются гомо-
топич. инвариантами (здесь х — произвольный рацио-
рациональный класс Понтрягина — Хирцебруха многообра-
многообразия М с фундаментальной группой л).
В расширенном смысле методы К-т. оказали большое
влияние на развитие идей дифференциальной тополо-
топологии. С помощью соединения алгебраич. и топологич.
К-т. в дифференциальной топологии были решены зада-
задачи о'классификации гладких и кусочно линейных струк-
структур на многообразиях, о гомотопнч. и топологич.
инвариантности характеристич. классов Понтрягина и
др. Методы К-т. имеют широкое применение в функцио-
функциональном анализе, в частности в теории банаховых ал-
алгебр.
Лит.: [1] А т ь я М., Хирцебрух Ф., «Математика»,
1962, т. 6, №2, с. 3—39; [2] Сулливан Д., Геометрическая
топология, пер. с англ., М. 1975' [3] A t i у a h M., S i n -
ger I., « Bull. Amer. Math. Soc», 19ЙЗ, v. 69, p. 422—33:
[4] Стинрод Н., Топология косых произведений, пер.
с англ., М., 195.4; [5J А тья М., Лекции по К -теории, пер.
с англ., М., 1967; [6] Хьюзмоллер Д., Расслоенные
пространства, пер. с англ., М., 1970; [7] К а р у 0 и М., К-тео-
рия, пер. с англ., М., 1981. А. С. Мищенко.
ТЕПЛИЦА МАТРИЦА, Г-м а т р и ц а,— беско-
бесконечная матрица Цап^Ц, п, А=1, 2, . . ., удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям:
н М не зависит от п\
lim ank~0, n — i, 2, .. .;
Л—*-со
Эти условия являются необходимыми и достаточпы-
ми, чтобы матричный метод суммирования, опреде-
определенный преобразованием последовательности {sn} в
последовательность {ап} посредством матрицы l|an/j||:
°n = 2jk-i anhsk>
был регулярным (см. Регулярные методы суммирова-
суммирования). Необходимость и достаточность этих условий для
регулярности метода была доказана О. Тёшшцем [1]
для треугольных матриц.
Лит.; [1] Т о е р 1 i t z О., «Ргасе matematyczno-fizyczne»,
1911, Bd 22, S. 113—19; [2] Харди Г., Расходящиеся ряды,
пер. с англ., М., 1951; [3] Кук Р., Бесконечные матрицы и
пространства последовательностей, пер. с англ., М., 1960.
И. И. Волков.
ТЁПЛИЦЕВА ФОРМА ИНДЕФИНИТНАЯ — квад
ратичная форма, определенная на пространстве Ф фи-
финитных последовательностей х= {^р }-«, выражением
(х, х) = 2j _ wc p- qbp&qt
причем последовательность с— {е^}-», со=со, такова,
что, начиная с нек-рой размерности N, форма (х, х)
на каждом подпространстве
фЛ'С-ф) фЛ';{|р; ^ = 0, \Р\> Щ
приводится к канонич. виду, содержащему х положи-
положительных квадратов. С помощью Т.ф. и. в пространстве
Ф вводится индефинитное скалярное произведение;
после факторизации по изотропному подпространству
и пополнения Ф превращается в Понтрягина прост-
пространство. Н. К. Никольский, Б. С. Павлов.
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ УРАВНЕНИЕ — однород-
однородное дифференциальное уравнение с частными производ-

ными
ди ,уп Э2и _ „
*=' дхк
Это уравнение является простейшим представителем
параболического типа уравнений. При п = 3 оно описы-
описывает процесс распространения тепла в твердом теле.
К основным корректно поставленным задачам для Т. у.
относятся первая краевая задача (в цилиндрич. облас-
области) и задача Коши — Дирихле (в полупространстве).
Решение последней задачи выписывается в явном виде:
и(х, O-Ba/S)-''$Rnexp(-!^|^)cp(l)di, t> О,
где ф (g) — заданная непрерывная равномерно ограни-
ограниченная в R" функция.
Лит.: [1] БицадзеА. В., Уравнения математической
физики, М., 1976; 12] Владимиров В. С, Уравнения
математической физики, 4 изд., М., 1981. А. П. Солдатов.
ТЕРМ — языковое выражение, призванное обозна-
обозначать объекты. Напр., выражения 1, 0-1, lim sin x
х->-0 х
являются различными Т., обозначающими один и тот
же объект. Т. могут содержать свободные переменные
(параметры), фиксация значений к-рых однозначно
определяет в соответствии с семантич. правилами языка
нек-рый объект — значение Т. при данных значениях
его свободных переменных. Так, напр., если / — пере-
переменная, значениями к-рой являются интегрируемые
действительные функции, а х. а, Ъ — переменные по
("ft
действительным числам, то выражение \ f{x) dx явля-
является Т. с тремя параметрами а, Ь и /, обозначающим при
каждом значении параметров вполне определенное дей-
действительное число (переменная х является в этом Т.
связанной). Синтаксически Т. характеризуются тем,
что их можно подставлять вместо переменных в другие
выражения языка — Т. и формулы, получая при этом
Т. и формулы соответственно.
В формализованных языках имеются формальные, не
зависящие от семантики языка правила построения Т.
и выделения в них свободных переменных; для много-
многосортных языков имеются также правила, определяю-
определяющие сорт возникающих Т. в. Н Гришин.
ТЕРМОДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДА-
ЗАДАЧИ — задачи, связанные с исследованием наиболее
общих свойств макроскопич. систем, находящихся в
состоянии термодинамич. равновесия, и процессов пе-
перехода между этими состояниями.
Математич. аппарат макроскопич. термодинамики ис-
исходит из т. н. начал термодинамики. Согласно нулевому
началу, термодинамич. система должна иметь единст-
единственное в термодинамич. смысле устойчивое равновесное
состояние, определяемое фиксацией внешних условий,
в к-рые помещена система. Первое начало — закон
сохранения и превращения энергии — для квазиста-
квазистатического бесконечно малого изменения параметров
состояния системы (т. и. для достаточно медленного
перехода из одного равновесного состояния в другое)
связывает тепловой эффект этого процесса 6<? с измене-
изменением внутренней энергии системы Е и величиной произ-
произведенной системой работой б W. Если в качестве нагляд-
наглядного и достаточно простого примера выбрать систему
типа газа с фиксированным числом частиц, то его со-
состояние можно зафиксировать тремя параметрами, за-
задав, к примеру, его температуру 6, объем V и число
частиц N (возможны и другие варианты). Тогда рабо-
работа, связанная с процессом расширения, 8W=pdV,
где р — давление газа, и первое начало определит ба-
баланс энергии
&Q=dE + №^dE + pdV. A)
Из второго начала термодинамики для квазистатич.

процессов — факта существования энтропии как одно-
однозначной функции термодинамич. состояния такой, что
ее полный дифференциал
dS=-^6Q, B)
следует система уравнений для удельной энергии е=
=ElN как функции 6 и удельного объема v=ViN:
Эе \ Q Орф.у) ,fl . f C)
"aFJe—08 р{в' v)' j
определяющих ее с точностью до крнстанты е=е@,у)-!-
+е0, а всю внутреннюю энергию — с точностью до
аддитивной константы Е—N&(Q, i>)-\-Ne0, и система
уравнений для удельной энтропии
1 ,г, > ( 0S
определяющих s=.v@, г>)-| s0 с точностью до энтропий-
энтропийной константы (полная энтропия S @, V, N)=Ns(Q,v)-\-
-\-Ns0 — с точностью до аддитивной константы Ns0).
Остальные термодинамич. характеристики системы,
термодинамич. потенциалы и т. д. определяются уже
с помощью полученных решений с применением мате-
матич. операций не сложнее операций дифференциро-
дифференцирования.
Для получения решений уравнений C) и D) термоди-
термодинамич. система должна быть задана. Эта конкретиза-
конкретизация системы обычно включает задание уравнений со-
состояния (в приведенном упрощенном случае — одного)
р=р@, v) и 'калорич. уравнения состояния — тепло-
теплоемкости cv=cv(Q, у), к-рые определяют макроскопич.
реакцию системы по отношению к изменению внешних
параметров (в приведенном случае — объема) и по от-
отношению к ее нагреванию. Константу е0 можно отнести
в счет выбора начала отсчета энергии. Энтропийная
константа, необходимая при решении ряда конкретных
проблем, определяется с помощью третьего начала тер-
термодинамики, к-рое в радикальной формулировке План-
Планка выглядит как дополнительное условие к системе
уравнений D):
Приведенную выше постановку задачи можно назвать
прямой. Возможны различные варианты обратных ее
постановок.
При исследовании низкотемпературных проблем и в
ряде других задач используется и иная постановка:
согласно первым уравнениям для в и s и третьему на-
началу, следует:
е(9, у) = ео(«)= \>г,(9', v)d%';
(С)
Для реализации этих расчетов необходимо задание ка-
калорич. уравнения, т.е. cv(Q, v), и удельной энергии
основного состояния системы eo(v)=Eo/N. Как прави-
правило, эта величина непосредственно не измеряется, она
может быть задана для каких-либо определенных моде-
моделей или косвенно определена с помощью упомянутых
выше уравнений состояния.
Учет наличия внешних нолей (электростатического,
магнитного и т. д.) можно включить в указанную схему
(увеличится общее число уравнений типа C) и D)), но
его проще всего произвести с помощью подсчета изме-
изменения свободной энергии F = E — QS при включении
поля а от нуля до заданной величины. Реакция системы
на это включение должна быть задана как соответствую-
соответствующее уравнение состояния А = А F, а) такое, что работа

системы при квазистатич. изменении поля на da будет
равна &W=A(Q, a)da. Так как, согласно A) и B),
— 6?) = — SdQ + bW, G)
то искомая величина (опущены все переменные, кроме
9 и а)
AF = F F, a)—F(B, 0)=- [ A(Q, a') da'. (8)
J о
Изменение термодинамич. характеристик, связанное с
включением поля а, определяется с помощью соответ-
соответствующего дифференцирования величины (8) и неслож-
несложных алгебраич. операций.
Ввиду того что задание термодинамич. системы с
помощью удобных формул для cv, р, Лит. д. возможно
только для упрощенных моделей, расчет реальных
термодинамич. эффектов (т. е. решение задач технич,
термодинамики) производится с помощью численных
методов, специальных вспомогательных таблиц и т. д.
Проводились исследования особенностей термодина-
термодинамич. систем вблизи критич. точки (или фазового пере-
перехода 2-го рода ввиду его определенного подобия критич.
явлениям). Поведение ряда термодинамич. характе-
характеристик вблизи этой точки характеризуют степенями
безразмерного отклонения температуры от критической:
(|6—60|/60)*, параметры к наз. критич. индексами, для
к-рых методами макроскопич. термодинамики (иногда
с привлечением общих схем равновесной статистич.
механики) устанавливается ряд универсальных соот-
соотношений (обычно в виде неравенств) C).
Математич. проблемы термодинамич. теории явлений
переноса несложны (см. [1], [4]). Это — исследование
системы линейных соотношений, связывающих потоки
?; с отклонениями макроскопич. величин ?г от равно-
равновесных значений. Коэффициенты при ?г подчинены
определенным условиям симметрии и выражаются через
реальные коэффициенты переноса. Если же к этим урав-
уравнениям отнестись как к временным уравнениям для
?г (t) (в достаточно огрубленной шкале времени), то
решение этой системы (лишь в редких случаях возмож-
возможное в общем виде) определит в варианте полуфеномено-
логич. теории характер релаксации системы к равно-
равновесному состоянию.
Лит.: [1] Базаров И. П., Термодинамика, Я изд., М.,
1983; [2] К у б о Р., Термодинамика, пер. с англ., М., 1970: [3]
Стенли Г., Фазовые переходы и критические явления, пер.
с англ., М., 1973; Мде Гроот С, МазурП., Неравновес-
Неравновесная термодинамика, пер. с англ., М., 1964. И. А. Квасников.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ — любая
из четырех функций, определенных на множестве со-
состояний макроскопич. (термодинамич.) системы: энер-
энергия, тепловая функция (или энтальпия), свободная энер-
энергия Гельмгольца и свободная энергия Гиббса (иногда
наз. термодинамич. потенциалом в узком смысле).
При формальном построении термодинамики состоя-
состояния (однокомпонентной) термодинамич. системы описы-
описываются любой из пар термодинамич. параметров (s, v),
(s, p), (T, v), (T, р), где s — удельная энтропия системы,
Т — ее абсолютная температура, р — давление и v —
удельный объем. Каждой из этих пар удобно приписать
свой Т. п.: паре (s, v) — энергию Е = Е (s, v), паре (s,
р) — тепловую функцию W=W(s, р), паре (Т, v) —
свободную энергию Гельмгольца F=F (T, v) и, наконец,
паре (Т, р) — свободную энергию Гиббса Ф=Ф(Г, р).
При этом если выбрана какая-нибудь пара парамет-
параметров, описывающих состояния системы, то два других
параметра выражаются как частные производные соот-
соответствующего Т. п. (отсюда и название). Параметры
s, Tup, v являются сопряженными в том смысле, что
каждый из них выражается как частная производная
по другому (напр., при выборе пары (s, v) с потенциалом
Е (s, v) параметры Т и р):
т—22- Р = -^ A)

Переход от одной пары параметров с ее потенциалом
к другой паре с соответствующим потенциалом задается
с помощью Лежандра преобрааования. Так, при пере-
переходе от пары (s, v) к паре (Т, v) потенциал F (T, v) этой
пары равен
F(T, v) = E(s(T), v) — s{T) T,
где s(T) находится из уравнения A), т. е. F(T, v) с
точностью до знака совпадает с преобразованием Ле-
Лежандра функции Е (s, v) как функции переменной s.
При содержательном построении термодинамики с
помощью равновесных гиббсовских ансамблей Т. п.
могут быть выражены с помощью термодинамич. пре-
предела, деленного на объем логарифма статистич. суммы
(и его производных) какого-нибудь из гиббсовских ан-
ансамблей. Напр., свободная энергия Гельмгольца равна
F(T,v)= lim |A|-4nZG\ Л', Л),
где Z{T, N, Л) — статистическая сумма малого кано-
нич. ансамбля для системы из N частиц, заключенных
в области Л (|Л[ — объем этой области Л), при фикси-
фиксированном значении температуры Т (см. [3]).
Лит.: [1] Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Стати-
Статистическая механика, 2 изд., М., 1964 (Теоретич. физика, т. 5);
[2] Г е л ь ф а н д И. М., Ф о и и н В. С, Вариационное
исчисление, М., 19В1; [3] Рюэль д.. Статистическая механи-
механика. Строгие результаты, пер. с англ. М., 1971. Р. А. Минлос.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕ-
ПЕРЕХОД — основной прием статистич. физики, заключаю-
заключающийся в том, что для изучения большой (но конечной)
физич. системы ее аппроксимируют нек-рой бесконеч-
бесконечной идеализированной системой. Так, напр., систему,
состоящую из N частиц (молекул), заполняющих огра-
ограниченную область Л пространства R3, при большом N
и большой (сравнительно с размерами молекул) облас-
области Л заменяют системой из бесконечного числа тех же
молекул, заполняющих все пространство, так что при
этом свойства и характеристики конечной системы (ха-
(характер динамики, свойства равновесных ансамблей и
т. д.) асимптотически (по W и по Л) близки к аналогич-
аналогичным свойствам и характеристикам предельной системы.
Лит.: [1] Рюэль Д., Статистическая механика. Строгие
результаты, пер. с англ., М., 1970; [2] Гиббсовские состояния
в статистической физике, пер. с англ., М., 1978; [3] Мин-
Минлос Р, А., «Успехи матем. наук», 1968, т. 23, в. 1, с. 133—90.
Р. А. Минлос.
ТЕРЦИАРНЫЙ ИДЕАЛ — идеал / кольца R, к-рый
нельзя представить в виде пересечения строго больших
чем / правого частного г(/, А) и идеала В. Все непри-
неприводимые идеалы терциарны. В нётеровых кольцах тер-
циарность совпадает с примарностью (см. Аддитивная
теория идеалов, Примарный идеал, Примарное разло-
разложение).
Пусть кольцо R удовлетворяет условию максималь-
максимальности для левых и правых частных идеалов и каждый
идеал разложим в пересечение конечного числа непри-
неприводимых идеалов. Тогда для каждого идеала Q сущест-
существует терциарный радикал ter (Q) — наи-
наибольший среди таких идеалов Т в R, что для любого
идеала В
r(Q,
Как и для примарных идеалов, для Т. и. справедли-
справедливы теорема пересечения, теорема существования и тео-
теорема единственности.
Анализ свойств правых и левых частных (идеалов
кольца, подмодулей модуля и др.) приводят к системам
с частными, в к-рых естественным образом вводится об-
общее понятие 5-примарности и 5-примарного радикала.
Это позволяет сформулировать в качестве аксиом «тео-
«теоремы пересечения», «существования» и «единственно-
«единственности*. При таком подходе терциарность является единст-
единственной примарностью, для к-рой справедливы все эти

es
h
три теоремы, т. е. является единственным «хорошим»
обобщением классич. примарности (см. |1], |2]).
Лит.: [1] А н д р у и а к и е в и ч В. А., I1 я 6 у-
х ин Ю. М., «Изв. АН СССР. Сер. Матем.», 1967, т. 31, № 5,
с. 1057—90; [2] R i 1 с у J. A., «Trans. Amer. Ma№. Soc.»,
1962, V. 105, № 2, p. 177—201. В. А. Андрунакиевич.
ТЕСТ в кибернетике — одно из важнейших
средств логич. анализа информации. Аппарат Т. пер-
первоначально был использован в задаче контроля работы
электрич. схем. Позже на основе Т. были разработаны
эффективные алгоритмы распознавания образов. Тесто-
Тестовый подход успешно применяется во многих областях
математики. Основные задачи с Т. могут быть оформули-
рованы следующим образом.
1. Дана прямоугольная таблица, содержащая s строк
и т столбцов.
Строки характери-
характеризуются вопросами
(признаками) е1,
. . ., es из нек-рого
множества Е, столб-
столбцы — объектами
(образами) /:, . . .,
},„ из множества F.
В клетке, ложа-
щей на пересечении i-ii строки и /-го столбца, находится
ответ fj (e;) (значение г-го признака для /-го образа),
принадлежащий нек-рому множеству G. Таким образом,
поскольку ei фе1 при i^i2, можно рассматривать
/-й столбец A<:/<;т) как столбец, задающий функцию
fj(x). Естественно считать, что столбцы таблицы по-
попарно различны. Так как природа множеств Е и G су-
существенного значения не имеет, то в дальнейшем пред-
предполагается ?={0, 1, . . ., s—1} и G={0, 1, . . ., к— 1}.
В нек-рых случаях на множествах Е и G задается ча-
частичный порядок <?. Иногда столбцам приписываются
вероятности рх, . , ., рт B ,¦?,•= 1).
2. Задается цель логич. анализа таблицы. Для этого
фиксируется нек-рое подмножество 9J нар (г, /), ьф],
номеров столбцов. В частности, если множество F раз-
разбито на классы, то (i,j)?N тогда и только тогда, когда
/,- и fj принадлежат одному классу, 1Ф]. Подмножество
3J можно интерпретировать как отношение или как
нек-рое свойство.
Имеется два специальных случая: 1) jR= {A, /)},
/=2, . . ., т и /i — выделенная функция (этот случай
связан с задачей о проверке), 2) 5)i={(t, /)}¦ h у == 1,
. . ., т, гф!, относится к задаче о диагностике (полного
различения).
Цель логич. анализа можно сформулировать следую-
следующим образом: указать процедуру, к-рая для любых
? и ; таких, что (i, 7)PJ)i, позволяла бы отличить образ
/,¦ от образа /;-. Если 9J соответствует разбиению F на
классы, то задача эквивалентна задаче об отнесении
произвольно заданной функции / из F соответствующе-
соответствующему классу. Ниже в основном говорится об этой задаче.
Сформулированный вопрос решается тривиально, если
полностью известна таблица и все известно о функции
/. В реальных задачах получение информации о функ-
функции / возможно, но при определенных затратах. Кроме
того, для обширного класса задач вся таблица либо не)
известна, либо настолько велика, что мы не в состоянии
с ней оперировать. Поэтому ограничиваются ее нек-рым
фрагментом — т.н. представительной вы-
выборкой, и задачу ставят в овристич. варианте.
3. Указываются допустимые средства решения зада-
задачи. Пусть загадана нек-рая функция / из F. Требуется
путем задавания вопросов, называя нек-рые строки
ег , . . ., е{ , по ответам f(e-t), . . ., J (е{ ) узиать, к како-
какому классу принадлежит /. Данный опрос может осу-
осуществляться либо при помощи т.н. безусловно-
безусловного эксперимента (см. Эксперименты с авто-

матами), при к-ром задаются сразу все вопросы е,,,
.... с(- и затем анализируют ответы на них, т. е. f (ei ),
...,/(р;), либо при помощи более общей про-
процедуры т. н. условного эксперимента,
при к-ром вопросы задаются по очереди и каждый после-
последующий вопрос задается в зависимости от предыдущих
вопросов и ответов (а при наличии
частичного порядка ^ и с учетом
^). Условный эксперимент можно
изображать в виде ориентированно-
ориентированного дерева, у к-рого вершинам при-
приписаны вопросы, ребрам — ответы,
а ветвям — результаты эксперимен-
эксперимента. Для следующей таблицы
на рис. 1 приведены три эксперимента 3lt Э2, Эя.
Система Т вопросов и необходимая для нее информа-
информация (ответы), позволяющая распознать свойство ?{,
наз. тестом исходной таблицы.
В случае безусловных экспериментов обычно под
тестом Т понимают такую совокупность вопросов
С,
е2
/,
0
0
0
/о
0
1
0
/.,
1
0
0
и
1
0
1
Рис. I.
{«; , .... е. }, что для любых (i, /') из Of найдется е?Т
и fi(e)?=fj(e) (условие распознавания 9J). Для много-
многозначных (и не всюду определенных) таблиц вместо пре-
предиката ф можно использовать другие предикаты.
В случае условных экспериментов тестом Т является
ориентированное дерево, получающееся из условного
эксперимента Э путем удаления всех концевых ребер и
позволяющее распознать) свойство 9J. Так, в данном
выше примере для диагностич. задачи {et, <?2, с,} будет
безусловным тестом; эксперименты Э2 и Э3 порождают
условные тесты Т2 и Т3, а эксперимент ,9Х не приводит
к условному тесту.
Для любого SR множество То— {et, . . ., es} является
безусловным тестом (тривиальным Т.). Если
таблица имеет большие размеры, тривиальный Т. при-
приводит к очень трудоемкой процедуре логич. анализа.
Поэтому возникает вопрос о построении более простых
Т. Для этого уточняется понятие сложности
ЦТ) теста Т. Ниже приведены нек-рые варианты опре-
определения сложности для безусловных Т:
/1G')=r, здесь 1г (Т) характеризует «кратность» Т..
то есть число элементов в Т.;
данная мера отражает «время» тестирования при после-
последовательной «прогонке» элементов, если l(et ) тракто-
трактовать как время реализации ег ;
13 (Г) = max /(<?,..),
здесь 13{Т) характеризует время тестирования при
параллельной «прогонке» элементов.
Похожие характеристики сложности вводятся и для
условных Т., исходя из соответствующего дерева и

отражающих число ветвей дерева, суммарную длину
дерева (число ребер дерева) и максимальную длину вет-
|I|. Если столбцы таблицы встречаются с вероятностя-
вероятностями рь . . ., рт, то естественно в качестве меры сложно-
сложности Т взять величину 'S\. l;p,-, где I; — длина ветви
дерева, ведущей к /,-. Тест для данной таблицы, цели
контроля ^с и указанных средств контроля и меры слож-
сложности наз. мини А1 а л ь н ы м, если он имеет мини-
минимальную сложность. Построение минимальных Т. яв-
является центральной задачей теории Т. Осмысленность
этой задачи можно продемонстрировать на примере
безусловных Т. (и когда множества Е и G не частично
упорядочены). Для каждой таблицы существует тест
Т такой, что l1(T)<^mia(s, m — 1), и можно указать
таблицы, на к-рых оценка достигается. В то жо время
при m — m (s) и s-*-oo для почти всех таблиц
log2 m < Zx ( 7/min) < 2 log2 то,
т. е. минимальный тест Тт1п в широком диапазоне из-
изменения параметров проще вышеуказанного.
Для построения минимальных Т. существует пере-
переборный алгоритм. Напр., для безусловных Т.— про-
просмотр подмножеств множества {е1, . . ., es}, для услов-
условных Т.— просмотр деревьев с ограниченным ветвле-
ветвлением и ограниченным числом ярусов. Однако эти ал-
алгоритмы очень трудоемки. Оказывается, что построе-
построение минимальных Т. связано с построением т. н. тупи-
тупиковых Т. Понятие тупиковости позволяет выделить
из множества всех Т. те, к-рые в определенном смысле
не имеют избыточности. Для безусловных Т. (без О
тест Т относительно Ш исходной таблицы наз. т у п и-
к о в ы м, если любое его собственное подмножество
7", T'czT, не является Т. относительно Ш- Понятие
тупиковости может быть сформулировано в терминах
разбиений множества {/,, . . ., fm). Пусть Ят — раз-
разбиение столбцов таблицы, при к-ром два столбца при-
принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда
они совпадают на строчках из Т. Тест Т будет тупико-
тупиковым, если для любых двух подмножеств Т" и Т" мно-
множества Т таких, что 7"'с=7" и Т"ФТ', найдется пара
U, /)€9f, для к-рой /,-=/,- на Т", но ftytfj на 7", т. е.
разбиение Вт* является подразбиением разбиения Вт„
относительно ?и Для тупиковых тостов Т имеет место
11(Т)-^.т — 1. С другой стороны, из любого Т. путем
выбрасывания нек-рых элементов можно получить ту-
тупиковый Т.
Для условных Т. (без ^) тупиковость Т. означает,
что каждый следующий элемент е выбирается так,
чтобы хотя бы для одной пары (i, /)?}( на предыдущем
шаге /,• и /у находились в одной компоненте разбиения,
а fi(e)?=fj(e)> т-е- теперь /,- и /у попадают в разные
компоненты разбиения.
В примере тест Т~ {ех, <?2, е3} является безусловным
тупиковым Т., а Т2 и Т3 — условными тупиковыми
Т. Тест Т.z дает нек-рую «экономию* времени по срав-
сравнению с безусловным тестом Т, поскольку для каждой
диагностич. ситуации он требует только двух элемен-
элементов, a 7\j— трех. Обобщая этот пример, легко постро-
построить пример таблицы, для к-рой минимальный безуслов-
безусловный тест будет иметь длину m — 1, а максимальная дли-
длина ветви условного Т. будет равна log2 m. Здесь полу-
получается наибольшее преимущество, к-рое могут давать
условные Т. по сравнению с безусловными.
В случае когда на множествах Е и G задан частичный
порядок ^, определение тупиковости усложняется.
Такая попытка известна для таблиц из автоматных
функций {/,, . . ., jm), связанных с диагностикой авто-
автоматов (см. также Эксперименты с автоматами). Здесь
элементы из Е и G — слова в алфавитах А и В, и
отношение )<Г;/ означает, что слово х является нача-
началом слова tj: lipn подаче на вход автомата слова¦е~а1,

... а; фактически на вход подают также и все слова
е' — ах. . .а(., где V<.t (все начала е). Поэтому избыточ-
избыточность может быть заложена в самом элементе е. Более
точно, элемент е — ах. . .Of наз. неприводимым, если
для любого v, v=i, 2, . . ., t—2, при переходе от слова
аг. . .at, к слову а1. . .а„ + 1 либо происходит разбиение
одной из пар (г, ;')(;9{, к-рая принадлежала одной ком-
компоненте разбиения Я,а а ., либо осуществляется спе-
специальная подготовка к такому разбиению путем пере-
перехода в новое состояние системы (/17 . . ., fm) и при i;—
= t— 1 обязательно происходит разбиение. Оказывает-
Оказывается, что каждое слово путем выбрасывания отдельных
кусков может быть преобразовано в неприводимое и
осуществляющее то же разбиение, что и исходное.
Понятие безусловного тупикового Т. здесь пополня-
пополняется дополнительным требованием, чтобы все элементы
из Т были неприводимыми. Понятие условного тупи-
тупикового Т. включает в себя дополнительно два требова-
требования: 1) если на очередном шаге выбран элемент ev,
то элемент ev + 1, выбираемый на следующем шаге,
должен следовать за ev, ev*Cev + 1, и 2) элементы, соот-
соответствующие концевым вершинам дерева Т, должны
бить неприводимыми.
В теории Т. рассматриваются следующие вопросы:
построение эффективных алгоритмов для нахождения
различных типов Т.; изучение сложности Т. для от-
отдельных классов таблиц; оценка числа тупиковых Т.;
классификация Т. и таблиц; исследование влияния
дополнительной информации о структуре таблиц на
сложность и эффективность построения Т.
Целый ряд диагностич. задач приводится к таблич-
табличной форме.
1) Поиск неисправностей в элект-
р и ч. схемах (см. Надежность и контроль уп-
управляющих систем). Здесь контролируется схема 2,
реализующая булеву функцию f(x1, . . ., .т„). Множест-
Множество Е состоит из всех наборов (alt . . ., а„), s~2",
G= {0, 1}, a F состоит из булевых функций {Д, . . .,
jm}, характеризующих исправные и неисправные со-
состояния схемы.
2) Контроль автоматов. Здесь таблица,
вообще говоря, имеет бесконечное число строк (мно-
(множество входных слов бесконечно). Однако для контроля
нужны только те слова, к-рые являются началами не-
неприводимых слов, а их длины ограничены константой,
зависящей от т и числа состояний для Д, . . ., fm.
Получается конечная таблица.
3) Диагностич. задачи медицины.
При изучении диагностики определенных классов за-
заболеваний появляется таблица, строки к-рой соответ-
соответствуют симптомам, а столбцы — характерным для дан-
данных классов заболеваний набором значений признаков.
Если признаки проявляются дискретным образом (напр.,
нормальна ли температура, нормально ли кровяное
давление и т. п.), то получают таблицу вышеуказанного
типа, причем если набор признаков достаточно богат,
то все столбцы попарно различны.
4) Распознавание геометрич. обра-
образов. Пусть на прямоугольном дискретном табло воз-
возможно появление двух символов 0 и 1. Каждый из них
может иметь по нескольку реализаций, отличающихся
друг от друга своими размерами и положением (рис. 2).
Требуется путем задавания вопросов о состоянии кон-
конкретных ячеек табло (заштрихована клетка или нет)
узнать, какой из символов записан на нем. Здесь ех,
. . ., es — номера клеток, G= {0, 1}, /х, . . ., /,„ —
все образы 0 и 1. Значение /,¦ (е) равно 1, если клетка
е для образа /,• заштрихована, и равно 0 в противном
случае.
5) Игровые задачи. Известная игра «мор-
«морской бой» состоит фактически в распознавании располо-

ш
щ
Ш
'Ш
'Ш
щ
ж
ш
ш
щ
ш
жения «кораблей» противника путем последовательно-
последовательного выбора клеток, при этом партнер сообщает каждый
раз о результате такого выбора. Здесь может быть со-
составлена таблица, столбцы к-рой характеризуют вари-
варианты расположения «ко-
«кораблей» (строится, как и
в задаче распознавания О
и 1). В качестве средств
решения этой задачи ока-
оказываются условные Т.
6) М и н и м и з а ц и я
булевых функций.
Сводится к специальной
тестовой задаче, в к-рой
таблица описывает покры-
покрытие множества N t (вер-
(вершин, в к-рых /—1) т. н. Рис- 2-
максимальными гранями
(соответствующими простым импликантам для /).
К тестовым задачам сводятся многие комбинаторные
задачи, напр, задача о коммивояжере, задача о рюкза-
рюкзаке, а также нек-рые задачи поиска экстремума.
Т. позволяют проанализировать логич. связи между
признаками и ввести меру важности признаков. Нацр.,
можно считать, что важность признака определяется
как отношение числа тупиковых Т., в к-рые данный
признак входит, к числу всех тупиковых Т. Установ-
Установление меры важности признаков полезно в решении
прикладных задач для построения эвристич. алгорит-
алгоритмов. Этот подход успешно используется в решении
диагностич. задач геологии, экономики, медицины и
т. п.
Лит.: [1] Я б л о к с к и й С. В., Ч е г и с И. А., «Успе-
«Успехи матем. наук», 1955, т. 10, в. 4, с. 182—84; [2] С о-
л о в ь е в Н. А., Тесты, Новосиб., 1978; [3] Д м и т р и-
е в А. Н., Ж у р а в л е в Ю. И., Кренделей Ф. П.,
«Дискретный анализ», 1966, № 7 с. 3—15. С. В. Яблонский.
ТЕСТОВАЯ СТАТИСТИКА — статистика статис-
статистического критерия.
ТЕТА-РЯД, 6 - р я д,— функциональный ряд, при-
применяемый для представления автоморфных форм и авто-
автоморфных функций.
Пусть D — область комплексного пространства Ср,
pJ3=l; Г — дискретная группа автоморфизмов области
D. Если группа Г конечна, то из любой мероморфной
в D функции Н(z), z==(z1, . . ., zp), можно получить ав-
томорфную функцию
Для бесконечных групп необходимы множители сходи-
сходимости, что и приводит к Т.-р. Тета-рядом Пу-
Пуанкаре, или просто рядом Пуанкаре, ас-
ассоциированным с группой Г, наз. ряд вида
вяЛг)=2 ^-?(z) н (у (z))> <Л)
где Jy (z)=dy(z)!dz — якобиан отображения z->~y(z),
т. — целое действительное число, называемое весом
или порядком; звездочка означает, что суммиро-
суммирование выполняется только по тем -\>6Г, к-рые достав-
доставляют различные члены ряда. При отображении z-»-<x (z),
а€Г, функция вт (z) преобразуется по закону
Qm (a(z))=Jum (z)dm (z) и, следовательно, представляет
собой автоморфную функцию веса т, ассоциирован-
ассоциированную с группой Г. Отношение двух Т.-р. одинакового
веса дает автоморфную функцию.
Т.-р. частного вида
наз. тета-рядами Эйзенштейна или
просто рядами Эйзенштейна, ассоцииро-
ассоциированными с группой Г.

А. Пуанкаре (H. Poincare) в серии работ 80-х гг.
19 в. развил теорию Т.-р. в связи с изучением автоморф-
ных функции одного комплексного переменного. Пусть
Г — дискретная фуксова группа дробно-линейных
преобразований
отображающая единичную окружность на себя, D =
--¦= {z; |z|<l} — единичный круг. Ряды Пуанкаре в
этом случае имеют вид
(^) B)
где //, напр.,— ограниченная голоморфная функция
в D. В предположении, что Г действует свободно на D
и фактор X=D/T компактен, доказано, что ряд B)
сходится абсолютно и равномерно внутри D при пС^.2.
При высказанных условиях на Я и Г ото утверждение
верно и для рядов A) в случае, когда D — ограничен-
ограниченная область в С. Для нек-рых фуксовых групп ряды
B) сходятся и при m=i.
Название «тота-ряды» употребляется и применитель-
применительно к разложениям в ряды тета-функций, служащих
для представления эллиптич. функций (см. Якоби эл-
эллиптические функции) и абелевых функций.
Лит.: U1 Форд Л. Р., Автоморфные функции, пер.
г. англ., М.— Л., 1930, гл. 5; [2] Ш а ф а р е в и ч II. Р., Основы
алгебраической геометрии, М., 1972, гл.9; [3] Pricke R.,
Klein F., Vorlesungen iiber die Theorie der automorphen
Functionen, Lpz., 1897—1912. E. Д. Соломенцее.
ТЕТА-ФУНКЦИЯ, 9-функиия, одного комп-
комплексного" переменного — квазидвоякопериодическая
целая функциякомплекспото переменного г, т. е. функ-
функция 0 (г), имеющая, кроме периода ш, еще квази-
квазипериод сот, Im т>0, при прибавлении к-poro к
значению аргумента значение функции умножается на
нек-рый мультипликатор. Иначе говоря, имеют место
тождества по г:
Как периодическая целая функция, Т.-ф. всегда пред-
ставима рядом
()
в к-ром подбор коэффициентов сп должен обеспечивать
сходимость. Ряды A) наз. тета-рядами (по
причине первоначальных обозначений). Возможны и
иные представления Т.-ф., напр, в виде бесконечного
произведения.
В приложениях обычно ограничиваются мультипли-
мультипликаторами вида
<p(z) — q exp(—2nikz),
где к— натуральное число, называемое порядком
или в е с о м Т.-ф.. q — числовой множитель. Сходи-
Сходимость обеспечивается, напр., коэффициентами вида
с„ = ехр (an--\-2bn-\-c), Rea<().
Во многих вопросах удобны Т.-ф., удовлетворяющие
условиям
6B+1)^-9B),
9(z + x) = exp(— 2nikz)-e(z). B)
Все Т.-ф. вида B) одного и того же порядка к составля-
составляют векторное пространство размерности к. Еааис этого
пространства можно записать в виде
-\-2ni(ks + r)z], r=-Q, 1, .. ., к — 1.
Отдельные примеры Т.-ф. встречаются уже и работах
Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713), Л. Эйлера (L. Enler),
в теории теплопроводности Ж.Фурье (J.Fourier).

К. Якоби (С. Jacobi) подверг Т.-ф. систематич. иссле-
исследованию, выделил четыре специальные Т.-ф., к-рые н
положил в основу своей теории эллиптич. функций (см.
Якоби эллиптические функции).
Т.-ф. нескольких комплексных не-
неременных возникают как естественное обобщение
Т.-ф. одного комплексного переменного. Они строятся
следующим образом. Пусть z=(zx, . . ., zp) — матрица-
строка р комплексных переменных, р^з=1; е^ есть ц.-я
строка единичной матрицы Е порядка р; п = (п1, . . .,
пр) — целочисленная матрица-строка; Л=||ацд>11 —сим-
метрич. матрица порядка р, составленная из комп-
комплексных чисел и такая, что матрица lm A = ||Im а^у\\
порождает положительно определенную квадратичную
форму nlmAii1 (здесь п ' — транспонированная матри-
матрица п). Кратный тета-ряд
сходится абсолютно и равномерно на компактах из Ср
и определяет, следовательно, целую трансцендентную
функцию р комплексных переменных Zj, . . ., zp, назы-
называемую тета-функцией порядка 1. Раз-
Различные элементы матрицы А наз. модулями,
или параметрами Т.-ф. 9 (г); число модулей
равно р(р+1)/2. Т.-ф. О (г) 1-го порядка удовлетворяет
следующим основным тождествам по -:
6(г+РцЛ):=ехр[—n;(«nm+2zfl)].9(z), ^ D)
где (л, v= 1, . . ., р; бдГ=1 при |i = v и бцг=0 при u^=v.
Матрица S=(E, А) размера рх2р является систе-
системой модуле и, или системой периодов
и квази периодов, Т.-ф. 6 (z). Если w=(/re1) . . .
. . ., тр), т' = (т[, . . ., тр) —- произвольные целочис-
целочисленные матрицы-строки, то в более общем виде свойства
периодичности Т.-ф. можно записать так:
Q(z-'rm'-\-mA) —
= exp[—ni(mAm)T-\-2m{z-\-m')T]-Q(z).
Пусть y=(Yh ¦ • •' Ур)г Y'^(Yi> • • ., Ур) — произ-
произвольные комплексные матрицы-строки, Г—11$'II — мат-
матрица размера 2Хр. Тогда формула
определяет Т.-ф. 1-го порядка с характерис-
характеристик о й (общего вида) Г; в »той терминологии Т.-ф.
C) имеет характеристику 0. Матрица Г иначе наз.
и е р и о д и ч. характеристикой матри-
матрицы у'-\-уА. Всегда 9_г (—z)— 9r (z). Свойства D)
для Т.-ф. с характеристикой Г обобщаются в виде
9r(z), >
f2( p)l9() E)
Характеристика наз. н о р м а л ь н о ii, если
Vf<l, i=l, . . ., p.
Наиболее употребительны дробные харак-
характеристики, когда все у,-, yt — неотрицательные
правильные рациональные дроби с общим знаменателем
6. Наиболее важный и простой случай — н о л у ц е-
л ы е, или половинные, характеристи-
характеристики, когда 6~2. Полуцелые характеристики Н—Ц^])

можно считать составленными из чисел 0 и 1 (обычно
под «тета-характеристиками» подразумевают именно
такие характеристики). Для Т.-ф. с тета-характеристи-
кой Н формулы E) принимают вид
+ гц^) = (—l)Afiexp[—яг(в№ + 22ц)]-вяB).
Тета-характеристика Н наз. четной или нечетной в со-
соответствии с тем, четна или нечетна Т.-ф. вн (z). Други-
Другими словами, тета-характеристика Н четная или нечет-
нечетная в зависимости от того, четное или нечетное число
h'hJ, поскольку
Всего различных тета-характеристик 2 р, из них
2Р-1 Bр+1) четных и 2' BМ) нечетных. Т.-ф.
6ц (г) обращается в нуль в тех точках (g'-j-gA)/2, тета-
характеристики к-рых G— \\\,\\ в сумме с // составляют
нечетную тета-характеристику. К. Якоби в своей теории
эллиптич. функций использовал именно Т.-ф. с полу-
полуцелыми характеристиками, только периоды у него
равнялись ni, а не 1.
Пусть к — натуральное число. Целая трансцендент-
трансцендентная функция 6р (z) наз. Т.-ф. порядка к с ха-
характеристикой Г, если для нее выполняются
тождества
Напр., произведение к Т.-ф. 1-го порядка есть Т.-ф.
порядка к.
При помощи этих Т.-ф. 1-го порядка с полуцелыми
характеристиками строятся мероморфные абелевы
функции с 2р периодами. Периоды произвольной абе-
левой функции от р комплексных переменных удовлет-
удовлетворяют соотношениям Римана — Фробениуса, к-рые
обеспечивают сходимость рядов, определяющих Т.-ф.
с соответствующей системой модулей. А согласно тео-
теореме, сформулированной К. Вейерштрассом (К. Weier-
strass) и доказанной А. Пуанкаре (Н. Poincare), абелева
функция может быть представлена в виде отношения
целых Т.-ф. с соответствующей системой модулей. Для
решения Якоби проблемы обращения абелевых интегра-
интегралов строятся специальные Римана тета-функции, ар-
аргументом к-рых является система точек wlt . . ., wp
на римановой поверхности.
См. также Тета-ряд.
Лит.: [1] Ч е б о т а р е в Н. Г., Теория алгебраических
функций, М.—Л., 1948, гл. 9; [2] Г у р в и ц А., К у р а н т Р.,
Теория функций, пер. с нем., М., 1968, ч. 2, гл. 2; [3] К г а-
ге r A., Lehrbuch der Theta-funktionen, Lpz., 190Я; [4] Con-
fort о F., Abelsche Funktionen und algebraische Geometrie,
В., 195(i. E. Д. Соломенцев.
ТЕТР АЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ точки
на плоскости — четыре числа xlt хг, xs, xit под-
подчиненные равенствам axi=kiSi, г=1, 2, 3, 4, где 5,- —
степень точки относительно данных четырех окружнос-
окружностей, /с, — произвольно заданные постоянные, а —
множитель пропорциональности. Т. к. связаны соотно-
соотношением 2-й степени, к-рое приводится к виду xf+^-j-
-f Ja—.?4=0, если исходные окружности взять ортого-
ортогональными (из них три обязательно имеют действитель-
действительные радиусы р,-, i=l, 2, 3, и одна — мнимый р4), а чис-
числа к; равными 1/р/, i=l, 2, 3, и А;4 = 1 /ip4. Если в плос-
плоскости ввести декартовы координаты |, т), а в качестве
трех действительных кругов взять §=0, т)=0 (круги,
проходящие через бесконечно удаленную точку плоско-
плоскости), круг |2-|-т]г=1 и мнимый круг |2+т)а= —1, то

тогда Т. к. точки на плоскости выразятся через декар-
декартовы координаты следующим образом:
Можно ввести Т. к. и для круга на плоскости. При
указанном специальном выборе четырех основных кру-
кругов круг с центром в точке (|0, гH) и радиусом Ro имеет
Т. к. у,-, г=1, 2, 3, 4, определенные формулами
Т. к. точек и кругов на плоскости можно ввести с
помощью стереографической проекции. При этом Т. к.
точки на плоскости — однородные координаты соответ-
соответствующей при стереографич. проектировании точки на
сфере. Т. к. круга на плоскости — однородные коорди-
координаты точки пространства, являющейся полюсом плос-
плоскости круга на сфере, соответствующего в стереографич.
проекции кругу на плоскости, относительно этой сферы.
Обобщением Т. к. на случай трехмерного пространст-
пространства являются пентасферические координаты.
Лит.: [1] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем.,
М. —Л., 1939; [2] Б у ш м а н о в а Г. В., Н о р д е н А. П.,
Элементы конформной геометрии, Казань, 1972.
Г. В. Буъимапова.
ТЕТРАЭДР — один из пяти типов правильных мно-
многогранников. Т. имеет 4 грани (треугольные), 0 ребер,
4 вершины (в каждой вершине схо-
сходится 3 ребра). Если а — длина реб-
ребра Т., то его объем
у = а3|//12 » 0,1179а3.
Т. является правильной треуголь-
треугольной пирамидон. БСЭ-з.
ТЕТРАЭДРА ПРОСТРАНСТВО — трехмерное про-
пространство, являющееся пространством орбит действия
бинарной группы тетраэдра на трехмерной сфере. Эта
группа определяется образующими R, S и соотноше-
соотношениями RZ=S3=(RSK=E. м. И. Войцеховский.
ТЕТРАЭДРАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ точки Р
в трехмерном пространстве — числа xlt
xz, xs, xit пропорциональные (с заданным коэффициен-
коэффициентом пропорциональности) расстояниям от точки Р до
граней фиксированного тетраэдра. Аналогично вводят-
вводятся общие Т. к. для любой размерности. Двумерный ана-
аналог Т. к. наз. треугольными координа-
координатами. См. также Барицентрические координаты.
Д. Д. Соколов.
ТИПИЧНО ВЕЩЕСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ в о б-
ласти В — функция /(г), аналитическая в нек-рой
области В плоскости г, содержащей отрезки веществен-
вещественной оси, если она вещественна на этих отрезках и
Im /(z)-Im z>0 при Im гфй. Основной класс Т. в. ф.—
класс Т функций
регулярных и типично вещественных в круге |z|<l
(см. [1]). Из определения класса Т следует, что с„, н^2,
вещественны. Класс Т содержит к л а с с Sr функций
с вещественными коэффициентами <?„, регулярных и
однолистных в |z|<l. Если /?7\ то
и, обратно, если Ц>?СГ, то

где Сг — класс функций
регулярных в jz|<l, Re(p(z)>0 в |z|<l, и таких, что
а,„ ге^«=1, вещественны.
Пусть Afj — класс функций а ((), неубывающих на
[—1, 1] и таких, что а A)—а (—1)~=1. Класс Г предста-
представим в [z|<l интегралом Стилтьеса (см. [2]):
,, A)
в том смысле, что для каждой функции f?T найдется
функция ag-Mj такая, что справедлива формула A),
и, обратно, какую бы agA/j ни взять, формула A)
определяет нек-рую функцию /? Т; s(z, t)?Sr при лю-
любом фиксированнОдМ г ? [ — 1, 1]. Наибольшей областью,
в к-рой все функции класса Т однолистны, является
{\z+i\<Y~2}V\ {|z—1\<У'1}. Исходя из представления
A) на классе Т был получен ряд теорем искажения и
вращения (см. Искажения теоремы, Вращения теоре-
теоремы). Для класса Т справедливы точные оценки:
—»<(¦„<«, если п четно. B)
*•«= "I!" 4^1<с"<п- C)
о < а «s я
если я нечетно (/ти~— т— м
знак равенства в B) слева достигается только для
s(z, —1), справа — только для s(z, 1), в C) слева —
только для функции f(z) = Xs(z, tn)-\-(l—\)s(z, —tn) при
нек-ром tn?[ — i, 1), справа — только для f(z) = Xs(z,
1)+A—Я,)«(г, —1), 0<Х<1.
На классе 71 найдены области значений систем {с2,
f.i, • ¦ ., сп), {/(z)}, {/(z), с2, с3, . . ., с„), «5э2 (см. |3].
с. 589—90).
Лит.: [1] Rogosinski W., «Math. Z.», 1932, Bd 35, S.
03—121; [2] ГолузипГ. М., «Матем. сб.». 1950, т. 27,
.№ 2, с. 201—18; [3] его ж е, Геометрическая теория функций
комплексного переменного, 2 изд., М., 1966, с. 523—626.
К. Г. Голузипа.
ТИПОВ ТЕОРИЯ — формальная теория 1-го порядка
(см. Формальная система), один из вариантов к-рой —
простая теория типов — описан ниже. Тер-
Термин «Т. т.» не имеет жестко зафиксированного значе-
значения. Им обозначают формальные теории, отличающиеся
следующими особенностями. Во-первых, наличием в
формальной системе языкового средства для выражения
отношения, передаваемого словами: «кортеж <i.r1, ...
..., х„> принадлежит г/», или «у выполняется на хг, ¦ ¦ ¦
..., х„»; пусть i/(xj, . . ., ,;„) обозначает выражение,
стоящее в кавычках. Во-вторых, расчленением предмет-
предметной области на с л о и, или т и п ы, образующие ие-
иерархию типов (не обязательно линейную и не
обязательно счетную), и наличием теоретико-типовых
аксиом свертывания (или их эквивалентов). Если пере-
переменные, пробегающие по объектам типа о, обозначить
через х° , у° , za . . . ., то теоретико-типовые
аксиомы свертывания имеют вид
(*)
где ц>(х"', ..., j"n) — формула рассматриваемой си-
системы со свободными переменными .г, . . ., ,т^", а тип
р переменной </Р должен находиться (и в этом суть тео-
теоретико-типовых систем) на более высоком уровне иерар-
иерархии типов, чем типы од, . . ., о„. Обычно тип р опреде-
определен однозначно по типам о,, . . ., ст„. Он обозначается
через (ац . . ., а„). Таким образом, в теоретико-типовых

системах свойство у п объекты, к-рые этим свойством
обладают: j-,, . . ., ,гн. принадлежат разным слоям. Час-
Часто добавляют аксиому объемности, отождествляющую
равнообъемныс свойства. В последнем случае теорети-
теоретико-типовую систему следует рассматривать как теоре-
теоретико-множественную систему, поскольку соблюдается
принцип: «множества полностью определены своими
элементами».
Теоретико-типовые системы были введены Б. Рассо-
Рассолом (В. Russell) в связи с открытием противоречий в
теории множеств. Разнесение множества и его элемен-
элементов по разным слоям соответствует тому взгляду на
антиномии, согласно к-рому противоречия объясня-
объясняются непредикативным характером определения. При
этом определение какого-нибудь объекта наз. н е п р е-
д и к а т и в н ы м, если этот объект участвует в своем
определении, или, что то же, если осмысленность опре-
определения предполагает уже существование этого объек-
объекта. Так, в аксиоме свертывания (*), рассматриваемой
как определение объекта у, непредикативность полно
стью не устранена, так как в формуле ф (х^1, . . ., хап")
могут встречаться кванторы по неременным, npo6erain
щим ту область, к-рой принадлежит объект //. Поэтому
рассматривают также предикативные теп
ретико-типовые системы, в к-рых произ-
производится дальнейшее расчленение предметных областей.
В таких системах у в аксиоме (*) должен принадлежать
области, отличной от областей нробегания связанных
переменных в формуле (р(х°', . . ., ж"п).
Рассматривают теоретико-типовые системы, в к-рых
типы упорядочены как нек-рый начальный отрезок oji
динальных чисел или как множество целых (отрица
тельных и положительных) чисел, а также системы, н
к-рых формулы сами являются объектами определен-
определенного типа, и системы, допускающие выражения беско-
бесконечной длины (или средства, заменяющие такие выра-
выражения, напр, кванторы по типовым индексам). Логики
второго и высших порядков можно рассматривать как
теоретико-типовые системы.
Простая теория типов (п. т. т.). Язык
п. т. т. содержит: для каждого натурального числа
reJs=0 переменные re-го типа x'i, xi, . . .,.г", . . .;двумест
ный предикатный символ ? ; логические связки и кван-
кванторы з, V, &, 1, V, э; скобки (,).
Формулы п. т. т. строятся согласно обычному индук-
индуктивному определению формул: выражения вида {х1?
?х"м) суть формулы; если ф и if — формула, а г —
переменная, то (фзг|5), (q>V*|>), («р&г|л). ~|ф, Vwp, ЗЩ> ~
формулы. Запись (ф<—>г|)) используется как сокращение
для ((фЗг|))&(г|::эф)).
Н е л о г и ч е с к и е аксиомы п. т. т.
А1. Аксиомы свертывания:
где г, у — переменные типов п и ге-j-l соответственно,
а ф — произвольная формула языка п. т. т., не содер-
содержащая СВОбоДНО (/.
Л2. Аксиомы объемности:
Vt (t ?.r <-» t 6.V)CV2 (.г?г ГЭ у gz),
где t, х, у, z — переменные типов п, й+1, п+1, п+-
соответственно.
A3. Аксиома бесконечности:
где х — переменная типа 2. Типы остальных перемен-
переменных однозначно восстанавливаются. Здесь записи
Чи?х(р, jv^np обозначают формулы Vu(u^xZDq) и
3<' (с^,т&(р) соответственно, а выражение u^v явля-
является сокращением для Vz (z?u^z?v).

Логические аксиомы и правила выво-
вывода — это аксиомы и правила вывода классич. исчис-
исчисления предикатов, сформулированные для рассматри-
рассматриваемого языка. Указанные аксиомы и правила выво-
вывода определяют класс выводимых формул или теорем
п. т. т. Этот класс можно определить семантически.
Математич. структура M = (V0, Fx, . . ., Vn, . . .;
€м)- гДе ^Eyr=»(*«XMB+1) наз. моделью
п. т. т., если в ней выполняются все нелогич. аксиомы
п. т. т. Из теоремы Гёделя о полноте исчисления пре-
предикатов вытекает, что класс теорем п. т. т. совпадает
с классом формул, истинных во всех моделях п. т. т.
Простая теория типов — достаточно сильная теория.
В нее можно погрузить арифметику и анализ (т. е.
арифметику 2-го порядка), рассматривать начальные
ординальные числа ш0, щ, а>2, . . ., ш„, где п — любое
наперед заданное натуральное число. Она имеет прос-
простую интуитивную теоретико-множественную модель.
В качестве Fo можно взять любое бесконечное множест-
множество, а каждый следующий слой Fn + i состоит из всех
подмножеств предыдущего слоя. Отношение ?до ес-
естественное. Наличие теоретико-множественной модели
можно использовать для формального доказательства
непротиворечивости п. т. т. в рамках достаточно мощ-
мощной аксиоматич. теории. Такое доказательство непро-
непротиворечивости можно провести, напр., в рамках систе-
системы Цермело, получающейся из системы Цермело —
Френкеля ZF опусканием схемы аксиом подстановки,
но сохранением схемы аксиом выделения.
Лит.: [1] Whitehead A., R u s s е 1 В., Principia
mathematica, Camb., 1910 B ed., 1925); [2] Френкель А.-А.,
Бар-Хил лел И., Основания теории множеств, пер. сангл.,
М., 1986; [3] Справочная книга по математической логике, ч. 4,
гл.4, 6, М., 1983; [4] Такеути Г., Теория доказательств,
пер. с англ., М., 1978. В. Н. Гришин.
ТИТСА РАССЛОЕНИЕ — голоморфное расслоение
компактного связного однородного комплексного прост-
пространства X над однородным проективным рациональным
многообразием D, универсальное в классе всех таких
расслоений. Универсальность в данном случае означа-
означает, что проекция л': X->-?>' любого расслоения из этого
класса представляется в виде л' = ц> о я, где я : X-+D —
проекция Т. р., а (р : D-*-D' нек-рое голоморфное рас-
расслаивающее отображение.
Явное построение Т. р. проводится следующим обра-
образом. Пусть G — связная комплексная группа Ли, голо-
голоморфно и транзитивно действующая на X, a U — ста-
стационарная подгруппа нек-рой точки из X. Нормализа-
Нормализатор Р связной компоненты единицы группы U является
параболич. подгруппой в G, т. е. содержит максималь-
максимальную связную разрешимую подгруппу (см. [1], [2]).
Паза D Т. р. определяется как факторпространство
D=G/P, а проекция л : X^-D задается вложением
подгруппы UaP. Указанная конструкция принадле-
принадлежит Ж. Титсу (см. [1]), там же доказана универсаль-
универсальность данного расслоения.
Слой Т. р. комплексно параллелизуем. Если прост-
пространство X односвязно, то этот слой является комплекс-
комплексным тором. Если X допускает транзитивную группу G,
совпадающую со своим коммутантом, то Т. р. совпадает
с расслоением мероморфной редукции (см. [3J). Это
означает, что все мероморфные функции на X постоян-
постоянны на слоях Т. р. В случае когда комплексное компакт-
компактное однородное пространство X является кэлеровым,
слоем Т. р. будет комплексный тор (а именно, Альбане-
зе многообразие пространства X), а само расслоение
аналитически тривиально [2]. Таким образом, компакт-
компактное кллерово однородное пространство есть произведе-
произведение проективного рационального однородного многооб-
многообразия на комплексный тор.
Лит.: [l] Tits J., «Comment, math, helv.» 1962, v. 37,
D.m — 20; [2] В orel А., К e m m e r t K., «Math. Ann.»,
'!W2, Bd 14Г), S. 429—39; [3] Г р а у а р т Г., Р е м м е ц т 1'.,

в сб.: Комплексные пространства, пер. с нем., М., 1965, с. 190 —
204. Д. Н. Ахиезер.
ТИТСА СИСТЕМА — совокупность (G. В, N, S),
где G — группа, В к N — ее подгруппы. S — подмно-
подмножество в N/(Bf\N), причем выполнены следующие
условия: A) множество B[jN порождает группу G;
B) T~Bf)N — нормальная подгруппа группы N; C)
множество S порождает группу W=NIT и состоит из
элементов порядка 2; D) sBwczBwB\JBswB для любых
s?S, w?W; E) sBsC?B при s?S. Группа W, называе-
называемая группой Вей л я системы Титса
(G, В, N, S), является Кокстера группой относительно
системы образующих S. Соответствие w\—>BwB являет-
является биекцией множества W на множество двойных смеж-
смежных классов группы G по В.
Примеры. 1) G=GLn(k), где к — любое поле,
В — подгруппа верхних треугольных матриц, N —
подгруппа мономиальных матриц (так что Т — под-
подгруппа диагональных матриц и W=Sn), S — множест-
множество транспозиций (г г-|-1), где г=1, 2, ... п — 1.
2) Более общо, пусть G — связная родуктивная ал-
гебраич. группа над к, Т — максимальный среди ее
торов, диагонализируемых над к, N — его нормализа-
нормализатор, Z — его централизатор, R — система корней груп-
группы G относительно Т, W=N/Z — ее группа Вейля и
S — множество отражений, соответствующих простым
корням. Далее, пусть U — унипотентная подгруппа
группы G, порожденная корневыми подгруппами, от-
отвечающими положительным корням, и P=UZ. Тогда
четверка (G(&), P (к), N (к), S) является Т. с.
3) Пусть G=GLn(Qp), где Qp — поле р-адических
чисел, В —подгруппа, состоящая из матриц Ца/у^б
?GLn (Zp) (где Ч,р ~ кольцо целых р-адических чи-
чисел), у к-рых aij^p%p при г>/, ж N — подгруппа мо-
мономиальных матриц. Тогда существует такое подмно-
подмножество SczW=N/(BQN), что четверка (G, В, N, S)
является Т. с. Группа W при этом является бесконеч-
бесконечной группой Кокстера типа Ап_^. Аналогично опреде-
определяются Т. с. с группами Вейли аффинного типа, соот-
соответствующие другим связным редуктивным группам
над локальными полями.
При нек-рых условиях можно утверждать, что группа
G, обладающая Т. с, проста. Напр., для этого доста-
достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: A)
группа В разрешима и не содержится ни в какой собст-
собственной нормальной подгруппе группы G; B) группа
G совпадает со своим коммутантом; C) группа Коксте-
Кокстера W неразложима; D) группа В не содержит никакой
нетривиальной нормальной подгруппы группы G. Та-
Таким путем доказывается простота Шевалле групп (в
частности, конечных).
Лит.: [1] Tits J., Buildings of spherical type and finite
BN-pairs, В.—N. Y., 1974; [2] Бур баки Н., Группы и
алгебры Ли, гл. IV, пер. с франц. М., 1972. Э. В. Випберг.
ТИТЧМАРША ПРОБЛЕМА — проблема отыскания
асимптотики выражения
гдо х (т) — число делителей т, I — заданное число,
отличное от нуля, р пробегает все простые числа. Ана-
Аналогом этой проблемы является проблема нахождения
асимптотики выражения
*(»*) B)
=2,
, <„_,*(*) ()
Т. п. была поставлена Э. Титчмаршем (Е. Titchmarsh,
1930) и решена им (см. {1]) условно в предположении
справедливости расширенной Римана гипотезы.
Дисперсионный метод, разработанный Ю. В. Линни-
ком, позволяет найти асимптотику для A) и B):
формула для S (п) аналогична.

Теорема Виноградова — Бомбьери о распределении
простых чисел в арифметич. прогрессиях в среднем так-
также нрииодит к решению Т. п. При этом предположение
о справедливости расширенной гипотезы Римана заме-
заменяется фактически теоремами типа большого решета.
Лит.: [1] Л инн и к Ю. В., Дисперсионный метод в би-
бинарных аддитивных задачах, [Jr.], 1961; L2J Бреди-
х и н Б. М., «Успехи матем. наук», 1965, т. 20, в. 2, с. 89—130;
[3] II р а х а р К., Распределение простых чисел, пер. с нем.,
М., 1967. Б. М. Бредихин.
ТИХОНОВА ТЕОРЕМА о бикомпактное™ произведе-
произведения: топология, произведение любого множества би-
бикомпактных пространств бикомпактно. Это одна из
основных теорем общей топологии; установлена
А. Н. Тихоновым в 1929, Она играет весьма существен-
существенную и часто ключевую роль в построении практически
всех разделов общей топологии и во многих ее примене-
применениях. В частности, Т. т.имеет основное значение для по-
построения бикомпактных расширений вполне регулярных
^-пространств (т.е. тихоновских прост-
пространств). С ее помощью строится расширение Стоу-
Стоуна — Чеха произвольного тихоновского пространства.
Т. т. позволяет указать стандартные бикомпактные
пространства — обобщенные канторовы дисконтину-
дисконтинуумы 1)т являющиеся произведениями дискретных
двоеточий в количестве т и тихоновские кубы Iх —
произведения т экземпляров обычного отрезка / число-
числовой прямой. В качестве т здесь может фигурировать
любой кардинал. Значение обобщенных канторовых
дисконтинуумов Dx и тихоновских кубов Iх связано
прежде всего с тем, что они являются универсальными
объектами: каждый нульмерный бикомпакт гомеомор-
гомеоморфен замкнутому подпространству нек-рого Dx m каж-
каждый бикомпакт гомеоморфен замкнутому подпространст-
подпространству нек-рого Iх .
Т. т. применяется при доказательстве непустоты пре-
предела обратного спектра из бикомпактных пространств,
при построении теории абсолютов, в теории бикомпакт-
бикомпактных групп. Если же иметь в виду опосредованные ее
применения, то почти вся общая топология попадает
в сферу действия этой Т. т. Так же трудно перечислить
прямые и опосредованные применения Т. т. в других
областях математики. Практически они встречаются
всюду, где важную роль играет понятие компактнос-
компактности,— в частности в функциональном анализе (банаховы
пространства в слабой топологии, меры на топологич.
пространствах), в общей теории оптимального управле-
управления и т. д.
Лит.: [1] Келли Дж., Общая топология, пер. с англ.,
2 изд., М., 1981; [2] А р х а н г е л ь с к и й А. В., Поно-
Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражне-
упражнениях, М., 1974. А. В. Архангельский.
ТИХОНОВСКИЙ КУБ — топологич. произведение
т экземпляров обычного отрезка / действительной пря-
прямой, где х — произвольный кардинал; обозначается
Iх. Т. к. введен А. Н. Тихоновым в 1929. Если т=ге —
натуральное число, то Т. к. Iх есть единичный куб в
n-мерном евклидовом пространстве, топология к-рого
порождена метрикой скалярного произведения. Если
т=#0 — мощность натурального ряда, то куб Iх го-
гомеоморфен гильбертову кирпичу. При х1фт2. Т. к. IXl
и 1Хг не гомеоморфны между собой: если т — бесконеч-
бесконечный кардинал, то тесть вес пространства Iх, а если
т=л — натуральное число, то п — размерность про-
пространства /". Два свойства Т. к. Iх особенно важны:
бикомпактность каждого из них, независимо от т,
и их универсальность по отношению ко вполне регуляр-
регулярным ^-пространствам веса не большего, чем т: каждое
такое пространство гомеоморфно нек-рому подпрост-
подпространству пространства Iх . Бикомпактные хаусдорфовы
пространства, вес к-рых не превосходит т, гомеоморф-
гомеоморфны замкнутым подпространствам тихоновского куба Iх .
Таким образом, всего двух операций — операции топо-

логич. произведения и операции перехода к замкнуто-
замкнутому подпространству — достаточно для того, чтобы по-
получить из одного стандартного и весьма простого топо-
топология, пространства — отрезка — любой бикомпакт.
Примечательным следствием бикомпактности Т. к. яв-
является бикомпактность единичного шара в сопряжен-
сопряженном к банахову пространству, наделенном слабой топо-
топологией сопряженного. Универсальность Т. к. и прос-
простота определения делает их важными стандартными объ-
объектами общей топологии. Однако топология, строение
Т. к. далеко не тривиально. В частности, куб У1, где
с — мощность континуума, сепарабелон, хотя состоит
из 2е точек; вес его равен с. Неожиданный факт: число
Суслина каждого Т. к. 7Т счетгю, независимо от т,
т. е. каждое семейство попарно непересекающихся от-
открытых множеств в Iх счетно. Хотя в Т. к. есть много
сходящихся последовательностей, этих последних не
хватает для того, чтобы описать прямо оператор замы-
замыкания В Т. К. А. В. Архангельский.
ТИХОНОВСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ семейства
топологических пространств - - то же
что топологическое произведение семейства топология,
пространств. Понятие Т. п. введено А. Н. Тихоновым
A929).
ТИХОНОВСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологическое
пространство, в к-ром каждое коночное множество зам-
замкнуто и для всякого замкнутого множества Р и любой
не принадлежащей Р точки х найдется непрерывная
вещественная функция / на всем пространстве, к-рая
принимает значение 0 в точке х и значение 1 во всех
точках множества Р. Класс Т. п. совпадает с классом
вполне регулярных ^-пространств. В Т. и. любые дво
различные точки отделимы непересекающимися окрест-
окрестностями — т. е. выполняется аксиома отделимости Ха-
усдорфа, но не всякое Т. п. нормально. А. Ы. Тихонов
A929) охарактеризовал Т. п., как подпространства
бикомпактных хаусдорфовых пространств.
Лит.: [1] А л е к с а и д р о в П. С, Введение а теорию
множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Архангель-
Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей тополо-
топологии в задачах и упражнениях, М., 1974. А. В. А-рхангелъспий.
ТКАНЕЙ ГЕОМЕТРИЯ — раздел дифференциальной
геометрии, в к-ром изучаются нек-рые семейства линий
и поверхностей — т. н. ткани (плоские, пространствен-
пространственные, многомерные).
Плоской р-тканью наз. область плоскос-
плоскости, в к-рой заданы р (обычно р^5=3) семейств достаточно
гладких линий со свойствами: 1) через каждую точку
области проходит точно по одпой линии каждого се-
семейства; 2) линии разных семейств имеют не более од-
одной общей точки. Пример: три семейства прямых, па-
параллельных сторонам равностороппего треугольника,
образ уют 3-ткань (регулярную, или п р а-
в и л ь н у ю ткань).
Основным предметом изучения в Т. г. являются свой-
свойства, инвариантные при дифференциально топология,
преобразованиях. Ткани наз. эквивалентными, если
они (локально или глобально) диффеоморфны. При р=2
ткань диффеоморфна ткани, образованной двумя семей-
семействами параллельных прямых (такие ткани наз. сетя-
сетями). При р = 3 ткань уже в общем случае недиффеоморф-
на ни трем семействам параллельных прямых (т. е.
не является шестиугольной ткань ю), ни
трем семействам прямых вообще (т. е. но является
спрямляемой тканью). Условие шести-
угольности ткани в геометрич. форме состоит в выполне-
выполнении замыкания условия. Условие спрямляемости ткани
не может быть записано в обозримом виде; его исследо-
исследованием занимаются в связи с проблемами номогра-
номографии.
Пространственные криволиней-
криволинейные ткани образуются р семействами кривых в

пространстве при условии, что через каждую точку
области проходит одна кривая каждого семейстпа. Уже
при р = =2 такие ткани не все диффеоморфны. Выделя-
Выделяются ткани четырехугольные, линии которых обра-
образую; сети на поверхностях однопараметрического се-
мепства.
Пространственные поверхност-
поверхностные ткани образуются р семействами поверхнос-
поверхностей при условии, что через каждую точку проходит по
одной поверхности каждого семейства, а три поверх-
поверхности разных семейств имеют не более одной общей точ-
точки. Для таких тканей и их многомерных аналогов также
вводится понятие спрямляемости, т. е. диффеоморфно-
сти ткапи, образованной семействами плоскостей (ги-
(гиперплоскостей). 4-ткань наз. октаэдрической
тканью, если она диффеоморфна ткани, образован-
образованной четырьмя семействами плоскостей, параллельных
граням правильного октаэдра. 4-ткань наз. шести-
шестиугольно й, если 3-ткани, высекаемые поверхнос-
поверхностями любых трех семейств на поверхностях четверто-
четвертого,— шестиугольные.
Многомерные ткани образованы р семей-
семействами подмногообразий многомерного пространства.
Напр., три семейства r-мерных подмногообразий 2г-
мерного пространства образуют 3-ткань, если через
каждую точку проходит по одному подмногообразию
каждого семейства, а многообразия двух разных се-
семейств имеют не более одной общей точки.
Т. г. рассматривает также проективно-дифференци-
альные, аффинно-дифференниальные и др. свойства
ткапей в связи с геометрией несущего ткань многообра-
многообразия. Рассматриваются ткани, образованные геодезиче-
геодезическими линиями, линиями, связанными с Дарбу те)сзо-
ром, и т.д.
Определение линии третьего семейства линиями двух
других (в случае плоской 3-ткани) может рассматри-
рассматриваться как алгебраич. операция квазигруппового тина.
В связи с этим возникло понятие абстрактной ткани,
пли алгебраич. сети (см. Квазигруппа).
Лит.: [1] Бляшке В. Введение в геометрию тканей,
пер. с нем., М., 1959; [2] РмвковВ, В., Б е л о у-
г и и В. Д. в сб.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология.
'' мстрия, 1971, М., 1972, с. 159—88; [3] Ш у л и к о в-
u й В. И., Классическая дифференциальная геометрия в
иНоОрном изложении, М., 1963. В. В. Рыжков.
ТОДДА КЛАСС — характеристический класс комп-
комплексного расслоения %, равный
ml- {Tj} — мультипликативная последовательность,
отвечающая степенному ряду —, с,- — Чжэня классы.
Введен Дж. Тоддом [1].
Лит.: [1] Т о d d J., «Ргос. Lond. Math. Soc.», 1937, v. 43,
p. 190—225; [2] ХирцеОрух Ф., Топологические методы
в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973.
М. И. Войцеховский.
ТОЖДЕСТВА ПРОБЛЕМА — алгоритмическая про-
блема распознавания равенства (тождестка) слов в ал-
алгебраич. системе (группе, подгруппе и др.) с заданной
образующей и определяющими соотношениями.
ТОЖДЕСТВЕННАЯ ИСТИННОСТЬ, логичес-
логическая истинность, общезначимость, —
свойство формул языка исчисления предикатов, озна-
означающее истинность формулы во всех ее интерпретациях
и при всех допустимых значениях ее свободных пере-
переменных. Так, для формул, содержащих только один
двуместный предикатный символ р и переменные одно-
одного сорта (т. е. такие переменные, к-рые при интерпре-
интерпретации должны иметь одну и ту же область пробегания),
интерпретациями служат пары (М, В), где М — произ-
произвольное непустое множество, a Bg^MXM — произ-
произвольное двуместное отношение на М. Допустимыми зна-

чениями свободных переменных являются произволь-
произвольные элементы и:) М. ИСТИППОСТЬ формулы ф (хх, . . .,!„)
при значениях аъ . . ., ап (п>0) переменных хъ. . .,хп
соответственно определяется индуктивным обра-
образом по построению формулы в соответствии с подразу-
подразумеваемым логич. смыслом входящих в формулу логич.
связок и кванторов и при условии, что связанные пере-
переменные пробегают ^множество М, а предикатный сим-
символ р обозначает отношение R.
Пусть даны формула ф и набор х=(хг, . . ., хп) пере-
переменных, содержащий все свободные переменные форму-
формулы ф, и пусть |ф; х\ обозначает множество всех наборов
(alt . . ., ап) элементов из М, для к-рых формула ф
истинна в (М, Л). Множества вида |ф; х\ можно индук-
индуктивно определить следующим образом (при этом
считаем, что логич. символами формул ф являются л,
1,3):
если ф имеет вид р (ж,-, xj);
|Ф1 лц>2;~х | = |Фь
ху\,
где П? —, пРп + 1 обозначают соответственно пересече-
пересечение, разность и проекцию вдоль (п+1)-й координаты
(т. е. образ относительно отображения (а^. . .апап + у))-*
H>(«i. . -ап)) множеств.
Тождественная истинность формулы
Ф со свободными переменными xlt . . ., хп означает
тогда, что для любой интерпретации (М, R) всякий кор-
кортеж (а±, . . ., ап) элементов из М принадлежит множест-
множеству |ф; х1. . .хп\. При ге=0 множество |ф; х\ либо пусто,
либо одноэлементно. Формула
, у)
является тождественно истинной. Обратная же импли-
импликация не является тождественно истинной формулой.
В случае когда интерпретация фиксирована, тождест-
тождественно истинными наз. иногда формулы, истинные в дан-
данной интерпретации при любых значениях ее свободных
неременных.
Лит.: [1] Кляни С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957; [2] III е н ф и л д Д ш., Математическая
логика, пер. с англ., М. 1975. В. Н. Гришин.
ТОЛЕРАНТНОСТЬ — бинарное отношение R^A xA
на множестве А, обладающее свойствами рефлексив-
рефлексивности и симметричности, т. е. удовлетворяющее усло-
условиям aRa для всех а?А и aRb влечет за собой bRa для
любых а, Ь?А. Т. R на универсальной алгебре А = {А ,
Q } наз. совместимой, если она является подал-
подалгеброй прямого квадрата АХ А, т. е. если для любой
re-арной операции со условие а,ЯЬ,-, г=1, . . ., п, вле-
влечет за собой (ах, . . ., а„со)Л (Ьх, . . ., Ьпа>). Таким обра-
образом, Т. является естественным обобщением понятия
эквивалентности, а совместимая Т.— обобщением кон-
конгруэнции. Любая совместимая Т. решетки с относитель-
относительными дополнениями является конгруэнцией [1]. Упоря-
Упорядоченное включением множество LT (А ) всех совмести-
совместимых Т. на универсальной алгебре А является алгебра-
ич. решеткой, содержащей решетку Соп(Л) всех кон-
конгруэнции в качестве подмножества (но не обязательно
в качестве подрететки). О свойствах решеток ЬТ(Л)
и Con (Л) см. [2], [3].
Лит.: Ш С h a J d a I., Niederle J., Z е 1 i n k а В.,
«Czechosl. Math. J.», 1976, v. 26, №2, p. 304—11; [2]
Schmidt E. Т., Kongruenzrclationen algebraischer Strak-
turen, В., 1969; Cj Грет дер Г., Общая теория решеток,
пер. с англ. М., 1982. Т. С. Фофанова.
ТОЛЕРАНТНЫЙ ИНТЕРВАЛ — случайный интер-
интервал, построенный по независимым одинаково распреде-
распределенным случайным величинам, функция распределения

к-рых F (х) неизвестна, и содержащий с заданной веро-
вероятностью у но крайн(»1 мере долю р @<р<1) вероят-
вероятностной .меры dF.
Пусть Хт, X.,, . . ., Хп — независимые случайные
величины, подчиняющиеся одному и тому же вероят-
вероятностному закону, функция распределения к-рого F (х)
неизвестна, и пусть Т1=Т1(Х1, . . ., Х„) и Т2=Т2(Х1,
. . ., Хп) — такие статистики, что для заранее фикси-
фиксированного числа р@<р<1) событие {F (T2) — F (Т1)>
>/>} имеет заданную вероятность у, т. е.
v. A)
В таком случае, случайный интервал (Тг, Т2) наз. у-
толерантным интервалом для функции
распределения F (х), его границы Тг и Т 2— толе-
толерантными пределами, а вероятность у —
коэффициентом доверия. ИзA) следует,
что односторонние толерантные пределы 7\ и Т2 пред-
представляют собой не что иное, как обычные односторон-
односторонние доверительные пределы с коэффициентом доверия
у для квантилей x1-p=F-1 (I— p) и Xp^F'1 (p) соот-
соответственно, т. е.
Пример. Пусть Хъ Х2, . . ., Х„ — независимые
случайные величины, подчиняющиеся нормальному
N (а, а2) закону, параметры к-рого а и а2 неизвестны.
В этом случае в качестве толерантных пределов Тг и
Г2 естественно выбрать функции, зависящие от доста-
достаточной статистики (X, S2), где
Именно, полагают Тг=Х — kS и Т^=X-\-kS, где кон-
константа к, называемая толерантным множителем, опре-
определяется как решение уравнения
T+ftS— a\ (T, fx — hS — a
где Ф (х) — функция распределения стандартного нор-
нормального закона, при этом к=к(п, у, р) не зависит от
неизвестных параметров а и а2. Построенный таким об-
образом Т. и. обладает следующим свойством: с довери-
доверительной вероятностью у в интервале (X — kS, X-\-kS)
содержится не менее чем доля р вероятностной массы
нормального распределения, к-рому подчиняются на-
наблюдения Х1, X2, . . ., Хп.
В предположении существования плотности вероят-
вероятности1 f(x)=F' (х), вероятность события {F (T2)—F(T1)^
^р} не зависит от F (х) тогда и только тогда, когда
толерантные пределы Тхж Т2 суть порядковые статис-
статистики. Именно этот факт положен в основу общего мето-
метода построения непараметрических или, как их еще на-
называют, свободных от распределения Т. и. Пусть
Х(')=(Х(п1), . . ., Х(„,г))—вектор порядковых статис-
статистик, построенный по выборке Xlt X2, . . ., Хп и пусть
В силу того, что случайная величина F(Xins)) —
F (Xinr)) подчиняется бета-распределению с парамет-
параметрами s—г и п—s+r+1, вероятность события {F (X(ns))—
—F (X{nr))^:p} выражается интегралом l-l_p(n—s-\-
+ г+1, х—г), где 1х(а, Ь) — неполная бета-функция и,
следовательно, в этом случае вместо A) имеет место
соотношение
/i-pfc —s + r + 1, s — r)=y, B)
к-рое и позволяет по заданным у, р и п определять но-
номера г и s порядковых статистик Х(пг) и X(ni), являю-
являющихся толерантными пределами искомого Т. и. Кроме

того, соотношение B) позволяет по заданным у, р, г
и s определять необходимый объем п выборки X,, X2,
. . ., Хп при к-ром B) справедливо. При решении по-
подобных задач пользуются статистич. таблицами.
Лит.: [1] Б о л ь ш е в Л. Н.,Смирнов Н. В., Таблицы
математической статистики, 2 изд., М., 1968; [2] Уилкс С,
Математическая статистика, пер. с англ., М., 1907; [3] Д э й-
вид Г., Порядковые статистики, пер. с англ., М., 1979; [4]
Murphy R. В., «Ann. Math. Statistics», 1948, v. 19, p. 581 —
89; [5] S om e r v i 1 le P. N., там же, 1958 v. 29 p. 599— 601 •
Le] S с h e i t e" H., T u k e у J. W., там же, 1945, v. 16, p. 187—
192; [7] F r a s e r D. A. S., Non parametric methods in statis-
statistics, N. Y.— L., 1957; [8] W a 1 d A., W о 1 f о w i t z J.,
«Ann. Math. Statistics», 1946, v. 17, p. 208—15; [9l Rob-
bins H., там же, 1944, v. 15, p. 214—16. M. С. Никулин.
ТОМА ИЗОМОРФИЗМ — изоморфизм между (обоб-
(обобщенными) (ко)гомологиями базы векторного (сферичес-
(сферического) расслоения | и (ко)гомологиями его Тома прост-
пространства Т B;).
Пусть re-мерное векторное расслоение ? над конечным
клеточным пространством X ориентируемо в некото-
некоторой мультипликативной обобщенной теории когомоло-
гий Е*, т.о. существует Тома класс и ??* (Т%). Объ-
Объект Ё* (Г|) является Е* (Х)-модулем, а гомоморфизм
Ф : Е1 (Х)^г-Е' +п (Г|) умножения на класс Тома явля-
является изоморфизмом, к-рый и наз. изоморфиз-
изоморфизмом Тома (или изоморфизмом Тома —
Д о л ь д а).
Двойственным образом определяется изоморфизм
E{(X)-+Ei + n(Tl).
В случае когда Е* есть классич. теория когомологий
Н*, эти изоморфизмы указаны в [1], а для произволь-
произвольной теории Е* они установлены в [2]. Кроме того, если
? не является ориентируемым в целочисленной теории
когомологий //*, то имеет место изоморфизм Hk(X)~
s^Hk+n(Ti,; {I,}), где справа стоит группа когомологий
с коэффициентами в локальной системе групп {z}.
Более общо, если ? неориентируемо в теории когомоло-
когомологий Е*, то имеется изоморфизм, обобщающий как выше-
вышеописанный Т. и., так и изоморфизм Тома — Дольда
для ^-ориентированных расслоений [3].
Лит.: [1] Том Р., в кн.: Расслоенные пространства и их
приложения. Сб. пер., М., 1958, с. 293—351; [2] Д ольд А.,
«Математика», 1965, т. 9, J45 2, с. 8—14; L3] Рудяк Ю. Б.,
«Докл. АН СССР», 1980, т. 255, № 6, с. 1323 — 25.
Ю. Б. Рудяк.
ТОМА КАТАСТРОФЫ — особенности дифференци-
дифференцируемых отображений, классификация к-рых была анон-
анонсирована Р. Томом [1] при рассмотрении им градиент-
градиентных динамич. систем и аналогичная списку критических
точек коразмерности <:4 дифференцируемых функций.
Исходная формулировка результата Тома: 4-параметри-
ческие семейства функций в типичном случае устойчи-
устойчивы и с точностью до знака и замены переменных зада-
задаются в окрестности критич. точки одним из семи выра-
выражений (см. табл.).
Обоз-
наче-
начение
А2
А4
D
D ~^
4
Аь
Кораз-
мер-
мерность
1
2
3
3
3
'»
4
Ко-
ранг
1
1
1
2
2
2
2
Росток
х' + у2
х4 + у2
х5 + у2
х3 + ху2
хз ху2
х" + уг
х' + ху2
Универсаль-
Универсальная
деформация
их
UX + 1'X2
UX + VX2jrUX3
ux + vx2+ гиу
ux + vx2 + wy
ux + vx'+ t
ux + vx2 +
+ WX3 + ty
Название
Складка
Сборка
Ласточкин
хвост
Гиперболич.
омбилика
Эллиптич.
омбилика
Бабочка
Параболич.
омбилика
Ростки, отвечающие Т. к., являются конечно опре-
определенными (точнее, 6-определенными: в подходящих ко-
координатах они записываются как многочлены от двух
переменных степени <6).

Коразмерность codim служит мерой сложности кри-
тич. точек; любое достаточно малое возмущение функ-
функции / с codim-r приводит if функции, имеющей не более
г критич. точки. Коразмерностью особен-
особенности (т.е. ростка /, для к-рого /@)=В/@)=0)
наз. число dim Kl/<d/>, где т= {/ : / @)=0}, <5/> — иде-
идеал, порожденный ростками dfldx'. Напр., если f=xN,
то <9/>=<жЛ'-г>, и базисом ш/<0/> служат смежные
классы элементов х, х2, . . ., х-^~2, так что codim=2.
т» -, С(С+1)
Имеет место неравенство codim /^—<;—> ГДе с — коранг
гессиана 52//дх'5ж/@); отсюда, в частности, если г<4,
то с<2.
Конечная определенность (достаточность) ростка,
грубо говоря, означает, что он определяется с точно-
точностью до гладких замен координат своей струей. Точ-
Точнее, росток / наз. к-о пределенным, если каж-
каждый росток /', имеющий ту же /с-струю (т. е. отрезок
ряда Тейлора до членов порядка ¦</<;), что и /, право-
эквивалентен / (см. |2]). Для конечной определенности
ростка необходима и достаточна конечность его кораз-
коразмерности. В частности, если codim = r, то / является
(г+2)-определенным (отсюда 6-определенности при
г<4).
Т. к., в отличие от случая общего положения, явля-
являются вырожденными особенностями (т. е. гессиан в
них вырожден), и от них можно, как указывалось, из-
избавиться малым возмущением. Однако для многих
практически важных случаев, равно как и в теоретич.
плане, представляет интерес не индивидуальный объ-
объект, а семейство таковых, зависящее от нескольких
«управляющих» параметров. Вырожденные особеннос-
особенности, устранимые при каждом фиксированном значении
параметров, могут оказаться неустранимыми для всего
семейства (устойчивость Т. к. можно рассматривать и
в таком смысле). Но тогда естественным объектом изу-
изучения является не сама особенность, а семейство (до-
формация особенности), в к-ром она становится неуст-
неустранимой (или распадается, «бифурцирует») при изме-
изменении параметров. Оказывается, во многих случаях
изучение всевозможных деформаций можно свести к
изучению одной единственной, в нек-ром смысле самой
большой, все остальные получаются из нее. Такие
деформации наз. в с реальным и, а они,
в свою очередь, получаются из универсальной (мини-
версальной) деформации, к-рая характеризуется наи-
наименьшим возможным значением размерности простран-
пространства параметров. Важнейшим результатом здесь пред-
представляется теорема Мазера: особенность /
обладает универсальной деформациеп F тогда и только
тогда, когда коразмерность / конечна.
Деформация F (х, и), x?R", и?Кг, ростка /(.г),
F(x, 0)=/(г) определяется формулой
F (х, м)=/(х)
где (&!, . . ., Ьг) — произвольный набор представите-
представителей элементов базиса пространства щ/<5/>. Т. к. соот-
соответствуют не более чем
4-параметрич. деформа-
деформации.
В приложениях важно т. н. бифуркацион-
бифуркационное множество />у^=Ду ГJ/> где Д/= {(х, и)?2)

d2/ вырождено (особое множество), а 2^=
= {(.г, u)?R"X U\d^f_0} (множество к а т а-
с т р о ф), т. к. оно лежит в пространстве управления
и, следовательно, «наблюдаемо», и все «скачки», «ка-
«катастрофы» происходят и на нем. На рис. 1а, б, в изобра-
изображены случаи, соответствующие codim-3.
Лит.: [1] Thorn R., «Topology», 1969, v. 8, p. 313 —35;
[2] Б р ё к е р Т., Л а н д е р Л., Дифференцируемые ростки
и катастрофы, пер. с англ., М., 1977; [3] П о о т о н Т., Стю-
Стюарт И., Теория катастроф и ее приложения, пор. с англ.
М., 1980. М. И. Войцеховский.
ТОМА КЛАСС — элемент в группе (обобщенных)
когомологий Тома пространства, порождающий ее
как модуль над кольцом когомологий базы. Для муль-
мультипликативной обобщенной теории когомологий Е*
пусть Уп?Еп{Зп)— элемент, являющийся образом
единицы 1?EO(S0) при re-кратном изоморфизме над-
надстройки Е° (S°)~E" (Sn). Пусть ? — векторное «-мер-
«-мерное расслоение над линешно связным конечным клеточ-
клеточным пространством X, и пусть / : Sn—*-T (%) — соот-
соответствующее включение в пространство Тома. Элемент
и?Еп (Т'Е,) наз. классом Тома (или о р и е н-
т а ц и е й) расслоения ?, если j*u=yn. Расслоение
может и не обладать Т. к. Расслоение, обладающее
(в Е*) Т. к., наз. Е~о риентируемым, а рас-
расслоение с фиксированным Т. к.— Е-о риентиро-
ванным. Количество Т. к. ^-ориентируемого рас-
расслоения над X равно количеству элементов группы
Ё°(Х). Гомоморфизм умножения на Т.к. задает Тома
изоморфизм. ю. В. Рудяк.
ТОМА ПРОСТРАНСТВО — топологич. пространство,
сопоставляемое векторному (или сферическому) рас-
расслоению.
Пусть Ъ, — векторное расслоение над клеточным про-
пространством X. Пусть в нем выбрана риманова метрика
и рассматривается ассоциированное с % расслоение
D (|) на замкнутые единичные диски. В D (?) содер-
содержится подрасслоение S (?) на единичные сферы; фак-
торпространство D (%)/S (§) есть пространство Тома рас-
расслоения |, обозначаемое Т (g). Для компактной базы
X Т. п. можно описать также как одноточечную ком-
пактификацию тотального пространства расслоения ?.
Кроме того, Т. п. является конусом проекции S (I) -»¦ X,
и можно таким образом определять Т. п. любого сферич.
расслоения. Конечно, Т. п. определены и для любых
расслоений со слоем Rn.
Пусть Ok — группа ортогональных преобразований
пространства R&. Над ее классифицирующим простран-
пространством ВОр, имеется /с-мерное векторное расслоение yk,
ассоциированное с универсальным Ор, -расслоением.
Т. п. Tyk часто обозначается через МОк или ТВОк и
наз. пространством Тома группы Ok. Ана-
Аналогично вводятся Т. п. MUk, MS„ и т. д., где Uk и
S „ соответственно — унитарная и симплектическая
группы.
Роль Т. п. состоит в том, что они позволяют сводить
ряд геометрич. задач к задачам гомотопич. топологии
и, следовательно, к алгебраич. задачам. Так, задача
вычисления групп бордизмов сводится к задаче вычис-
вычисления гомотопич. групп Т. п. MOk, MSOp. и т. д. (см.
[1], [2], а также Кобордизм); задача классификации
гладких многообразий сводится к исследованию гомо-
гомотопич. свойств Т. и. нормального расслоения (см. |3]);
задача реализации циклов подмногообразиями (см.
Стиирода задача) сводится к изучению когомологий
Т. и. MSOk и МО^, и т- Д. (см. также Траисверсалъное
отображение, Трубчатая окрестность).
Конструкция Т. ч. естественна на категории расслое-
расслоений: любой морфизм (векторных) расслоений / : fe -*¦ г\
индуцирует непрерывное отображение Т (/) : У (§)-»-
—>- У(т)). В частности, Т.п. н-мерного расслоения над

точкой есть Sn, и потому для любого n-мерного вектор-
векторного расслоения ? над X и любой точкой х?Х имеется
включение ]х : S" -*¦ Т (g) (индуцированное включе-
включением слоя над х). Если X линейно связно, то все такие
включения гомотопны, и можно говорить об отображе-
отображении / : S" -*¦ Т (|), единственном с точностью до гомо-
гомотопности.
Для векторных расслоений % и ц над X и Y соответ-
соответственно определено расслоение 1Хт) над XxY. При
этом Т Aхг\)=Т (?)ЛГ (г\) (см. [4]). В частности, для
тривиального расслоения 8" имеет место Т (|ф8п)=
= S"T (?), где S — оператор надстройки, так что
Т (Qn)=Sn (X \Jpt). Это обстоятельство позволяет кон-
конструировать всевозможные спектры пространств Тома.
Для мультипликативной обобщенной теории когомо-
логий Е имеется спаривание
Е* (D Ц))®Е* (D (I), S (?)) — Е* (D (?), S (б)).
Возникает спаривание
Е*(Х)®Ё* (Т1)-*Ё*(Т%),
так что Е* (Т\) является Е* (Х)-модулем, и это исполь-
используется при построении Тома изоморфизма.
Важной и часто используемой является следующая
теорема двойственности Атьи (см.
[4], [5]): если М — гладкое многообразие с краем дМ
(возможно пустым) и v — его нормальное расслоение,
то Т.п. Т (v) находится в S-двойственности к М!дМ.
Лит.: [1] Том Р., в кн.: Расслоенные пространства и их
приложения. Со. пер., М., 1958, с. 293—351; [2] Стонг Р.,
Заметки но теории кобордизмов, пер. с англ., М., 1973; [3]
Б р а у д е р В., Перестройки односвязных многообразий, пер.
с англ., М., 1983; [4] Хьюзмоллер Д., Расслоенные про-
пространства, пер. с англ., М., 1970' [5] А т ь я М., «Математика»,
1966, т. 10, № 5, с. 48—69. Ю. Б. Рудяк.
ТОМА СПЕКТР — спектр пространств, эквивалент-
эквивалентный спектру, ассоциированному с нек-рой структурной
серией (см. В, ^-структура).
Пусть (Вп, фп, gn) — нек-рая структурная серия, и
пусть |„ — расслоение над Вп, индуцированное ото-
отображением ф„ : В„ -*¦ ВОп. Пусть Т%„ — Тома про-
пространство расслоения |„. Отображение gn индуцирует
отображение Sn : ST?,n -*¦ Т%п + 1, где S — надстройка,
a STln— Т (|„ф8) (8 — одномерное тривиальное рас-
расслоение). Получается спектр пространств {Ti,n}=
= Т(В, ф, g), ассоциированный со структурной серией
(Вп, ф„, gn), и спектром Тома наз. любой
спектр, (гомотопически) эквивалентный спектру вида
Т (В, ф, g). Он представляет теорию (В, ф)-кобордизмов.
Так, серии классич. групп Ли 0^, SO^, U^, Sp^ при-
приводят к Т. с. ТВО, TBSO, ТВ U, TBSp.
Пусть р„ — группа кос Артина из п нитей. Гомомор-
Гомоморфизм |3„ -*¦ Sn(Z.On, где Sn — симметрическая группа,
задает отображение В$п —>- ВОп так, что возникает
структурная серия (|3И канонически вкладывается
в Pn + i)- Соответствующий Т. с. эквивалентен спектру
Эйленберга — Маклейна K(z/2)={K {Xi2, n)}, так что
К (Z/2) есть Т. с. (см. [1], [2]). Аналогичпо, К (Z) есть
Т. с, но уже сферич. расслоения. ю. в. Рудяк.
ТОМПСОНА ПОДГРУППА — характеристич. под-
подгруппа р-группы, порожденная всеми абелевыми под-
подгруппами максимального порядка. Введена Дж. Томп-
Томпсоном [1].
Лит.: Г1] Thompson J. G., «J. Algebra», 1969, v. 13;
[2] G о r e n s t e i n D., Finite groups, N. Y., 1968.
H. II. Вильяме.
ТОНЕЛЛИ ПЛОСКАЯ ВАРИАЦИЯ — числовая ха-
характеристика функции двух переменных, с помощью
к-рой определяется класс функций, имеющих ограни-
ограниченную вариацию в смысле Тонелли. Пусть функция
f(x, у) задана на прямоугольнике D = [a, b]X [с, d].
Предполагается, что фу«нкции
V) (х) = Var / (х, у)

Vf (у) ^ Var / (.r, y)
a < x < b
измеримы по Лебегу (первая — на отрезке [а, Ь],
рая — на [с, d]). Если
Т (/, D) ^ J* V) (.
< «,
то говорят, что функция /(х, у) имеет ограниченную
(конечную) плоскую вариацию Тонелли
на прямоугольнике D, а класс всех таких функций
обозначают Т (D). Это определение предложено Л. То-
Тонелли (см. [1], [2]). Однако для непрерывных функций
f(x, у) другая характеристика класса Т (D) (в терминах
Банаха индикатрисы) содержится в более ранней рабо-
работе С. Банаха [4]. Если функция f (х, у) непрерывна на
прямоугольнике D, то для того чтобы поверхность
z=f(x, у) имела конечную площадь, необходимо и до-
достаточно, чтобы функция fix, у) принадлежала классу
T(D).
Лит.: [1] TonelliL., «С. г. Acad. sci.», 1926, t. 182,
p. 1198—1200; [2] его же, «Atti Accad. Naz. Lincei», 192U,
t. 3, p. 357—63; [3] Витушкин А. Г., О многомерных ва-
вариациях, М., 1955, с. 13; Г4] В а па с h S., «Fimdnm. Math.»,
1925, t. 7, p. 225 — 36; 15] С а к с С, Теория интеграла, пг|>.
с англ., М., 1949, с. 268. Б. И. Голуйие.
ТОНЕЛЛИ ТЕОРЕМА о конечности площади непре-
непрерывной поверхности, заданной явным уравнением:
пусть действительно-значная функция f(x, у) надана на
прямоугольнике D0=[a, b]x[c, d]; тогда:
а) для того чтобы непрерывная поверхность z=/ (x, у),
(х, y)(zD0 имела конечную площадь, равную S (F, Do),
необходимо и достаточно, чтобы функция /(х, у) имела
конечную Тонелли плоскую вариацию на /H;
б) если имеет место утверждение а), то
= 4/, Do),
причем площадь
S(D) = S{F, D), D~[a, р]Х[т, б] С Do,
является непрерывной аддитивной функцией прямо-
прямоугольника DczD0, и почти для всех точек (х, ^D
справедливо равенство
в) для того чтобы имело место равенство S (F, Do)—
— L (F, Do), необходимо и достаточно, чтобы функция
F (х, у) была абсолютно непрерывной па Do, а для этого
необходимо и достаточно, чтобы площадь S (F, D) была
абсолютно непрерывной функцией прямоугольника
Dc:D0.
Эта теорема доказана Л. Тонелли (см. [1] — [3],
а также [4]), а утверждение а) даже для поверхностей,
заданных параметрически, установлено С. Банах&ч
[5] (в несколько иной терминологии).
Лит.: [1] TonelliL., «С. г. Acad. sci.», 1926, f. 1R2,
p. 1198—1200; 12] e г о же, «Atti Accad. Naz. Lincei», ira,
t. 3, p. 357—63, 445—50, 633—58; [3] e г о же, там же, 1У:;7,
t. 5, p. 313—18; [4] Сакс С, Теория интеграла, пер. с аиг.к,
М., 1949, с. 268; [5] В а п а с h S., «Fimdam. Math.», 1025,
v. 7, p. 225—37. R. Я. Голубое.
ТОНКАЯ ТОПОЛОГИЯ в теории потенциа-
потенциала — слабейшая из топологий, в к-рых непрерывны
все локально супергармонич. функции, заданные па
пространство R™. Объекты, относящиеся к Т. т., от-
отмечаются дополнительными словами «тонкий», «тон-
«тонко» и т. п.
Понятие Т. т. тесно связано с понятием разреженного
множества (см. Разреженность множества). Т. т. силь-
сильнее обычной евклидовой топологии R", т. е. вся1-"<>
евклидово открытое множество является тонко oti.

тыл. Тонкая окрестность точки х0 ? R" —
это множество V (х0) такое, что х0 ? V (х0) и дополнение
61- (,г0) является разреженным множеством в точке ,т0.
Тонко открытые множества — это прообразы при ото-
отображении супергармонич. функциями расширенной
числовой оси R и интервалов вида (я, +оо], [—оо, Ь),
(а, Ь), —оо<а<Ь<+оо. Всякая супергармонич. функ-
функция на открытом множестве EaRn тонко непрерывна
на Е. Для того чтобы множество EcR" было разре-
разреженным в точке xqCZ-E, необходимо и достаточно, чтобы
i0 была тонко изолированной точкой Е.
Пусть х0 — тонко предельная точка Е,
т. е. Е не разрежено в точке х0, и числовая функция /
определена на Е. Число X наз. тонким преде-
л о м функции / в точке х0, если для любой окрестно-
окрестности U (X) точки X в R найдется тонкая окрестность
F(j0) точки х0 такая, что
„)=$ f (x)?U (X).
Если X — тонкий продел /в х0, то найдется тонкая
окрестность V (х0) такая, что X будет обычным преде-
пределом в х0 сужения f\E Л V (х0) (теорема К а р т а н а).
Пусть Е — замкнутое множество, разреженное в точ-
точке ж0, />0 — супергармонич. функция, определенная
на СЕ в окрестности х0; тогда / имеет тонкий предел
1>0 в точке х0.
Т. т. строится и в аксиоматич. теории потенциала
(см. [3]).
Лит.: [1] Брел оМ., Основы классической теории потен-
потенциала, пер. с франц., М., 1964; [2] Ландвоф Н. С., Основы
современной теории потенциала, М., 1960; fЛJ Brelot M.,
Lectures on potential theory, Bombay, 1960. E. Д. Соломенцев.
ТОНКИЙ ПУЧОК — пучок абелевых групп JF на
паракомпактном пространстве X, пучок эндоморфизмов
к-рого есть мягкий пучок. Пучок <jF является Т. п.
тогда и только тогда, когда для любых замкнутых под-
подмножеств А, ВсХ таких, что A f)B = 0, существует
эндоморфизм fe : |Г -*¦ <IF> тождественный над А и рав-
равный 0 над В, или когда для любого открытого покры-
покрытия (U;)i€l пространства X существует такое локаль-
локально конечное семейство (ft,-)i6j эпдоморфизмов пучка §~,
что supp hjCZ Ui (i ? /) и V. h,-— тождественный эн-
эндоморфизм. Всякий Т. п. является мягким, а если
JF — пучок колец с единицами, то верно и обратное.
Если Jf — Т. п., а X — любой пучок абелевых групп
на Л', то {f®jg — также Т. п. Примером Т. п. слу-
жпт пучок ростков непрерывных (или дифференцируе-
дифференцируемых класса С*) сечений произвольного (соответственно
дифференцируемого) векторного расслоения над пара-
компактным пространством (соответственно параком-
пактным дифференцируемым многообразием).
Лит.: [11 Г о д е м а н Р., Алгебраическая топология и тео-
теория пучков, пер. с франц., М., 1961; [2] У э л л с Р., Дифферен-
Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер.
с англ., М., 1976. А. Л. Онищик.
ТОНКОЕ МНОЖЕСТВО — подмножество А области
DcC" такое, что для каждой точки z?D существует
открытый полидиск Д (z, r)czD и функция /, голоморф-
голоморфная и не равная тождественно нулю, но обращающаяся
В Нуль на X П A (Z, г). М. П. Войцеховский.
ТОПОЛОГИЗИРОВАПНАЯ КАТЕГОРИЯ — катего-
категория, снабженная топологией Гротендика. Пусть С —
категория с расслоенными произведениями. Задать
топологию Гротендика в С значит задать
для каждого объекта X ? С множество Cov (X) семейств
морфизмов (X [ ->¦ X)ig j, называемых покрытия-
м и, причем должны выполняться следующие условия:
1) (X —>¦ X) — покрытие объекта X;
2) если (X,--*- X) — покрытие X, то получаемое из
него заменой базы Y ->¦ X семейство (X,-Х^У->- У)
является покрытием объекта У;

3) если (X,- -*¦ X) — покрытие X, а (Х,-у-->-X,-) по-
покрытия X/, то (Х,у -*¦ X) — покрытие X.
Если в С прямые суммы определены, то семейство
(X,- —>- X) можно заменить одним морфизмом LiX,—>- X
(для простоты в дальнейшем это предполагается).
Категория открытых подмножеств U топологич.
пространства Т является Т. к., если в качестве Cov (U)
брать семейства {V{CZU) такие, что \JiVi=U. Менее
тривиальный пример доставляет эталъная топология
схем: пусть X — схема, С — категория схем, этальных
над X; морфизм Y -+ Z в С считается покрытием, если
он сюръективен.
Наличие покрытий позволяет говорить о пучках
на Т. к. и их когомологиях. Контравариантный функ-
функтор F из С в категорию множеств наз. пучком мно-
множеств, если для любого покрытия X'—>-Х выпол-
выполнено условие
где plt p2 — две проекции Х'ХхХ' на X'. Канони-
Канонической топологией в категории С наз. на-
наиболее топкая топология, в к-рой все представимые
функторы являются пучками. Если же выполнено об-
обратное — любой пучок относительно канонич. топо-
топологии представим, то категория С наз. т о п о с о м.
С каждым предпучком множеств можно связать ассо-
ассоциированный с ним пучок множеств; определяются
операции прямого и обратного образа пучков и т. д.
Аналогично определяется пучок групп, обелевых групп,
модулей и т. д. Категория пучков абелевых групп на
Т. к. является Гротепдика категорией, что позволяет
определить когомологии пучков Н* (XXF) как произ-
производные функторы для функтора F н> F (X) (см. Кого-
Когомологии) и перенести на них обычный формализм.
См. также Гомотопический тип топологизированной
категории.
Лит.: Ll] Theorie des topos et cohomologie etale des schemes,
t. 1—3, В.—Hdlb.—N. Y., 1972—73; [2] Cohomologie etale,
В.— Hdlb.— N. Y., 1977. В.И.Данилов.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА — 1) Универсаль-
Универсальная алгебра, являющаяся топологич. пространством,
в к-ром непрерывны все сигнатурные операции.
2) Алгебра (в смысле «операторное кольцо») А над
топологич. полем или коммутативным кольцом R,
являющаяся топологич. пространством, операции сло-
сложения и умножения в к-ром, а также отображение
ИХ А -*¦ А ((г, а) ->- га), непрерывны. Пример Т. а. над
полем комплексных чисел — банахова алгебры.
3) Раздел алгебры, к-рый занимается изучением
топологич. алгебраич. систем, то есть групп, полугрупп,
колец, решеток, векторных пространств, модулей и др.,
наделенных топологиями, в к-рых рассматриваемые
алгебраич. операции непрерывны.
Понятие топологической группы возникло в связи
с рассмотрением групп непрерывных преобразований.
Так, во 2-й пол. 19 в. С. Ли (S. Lie) и его школа созда-
создали развитую теорию важного класса топологич. групп —
групп дифференцируемых преобразований многооб-
многообразий в себя, получивших впоследствии название Ли
групп. Изучение общих топологич. групп началось
в 20-е гг. 20 в. (см. [1], [2]). С нач. 30-х гг. топологич.
группы, кольца и поля подвергли.)) ужо систелютич.
изучению.
А. Н. Колмогоровым [3] был развит аксиоматич.
подход к исследованию топологических проективных
геометрий. Их классификация существенно зависела
от описания локально компактных тел. Полное описа-
описание связных локально компактных тел было дано
в 1932 Л. С. Понтрягиным (см. [4], гл. 4).
Многочисленные проблемы анализа привели к обще-
общему определению банахова пространства (см. также
[5]), что создало предпосылку для систематич. изуче-

ния топопогич. модулей над топология, кольцами и
банаховых алгебр (см. [6], [7]).
Основными разделами Т. а. в настоящее время яв-
являются: топологич. группы и их обобщения (в частно-
частности, топологические полугруппы и квазигруппы), топо-
топологические кольца (в частности, топологические поля
и тела) и топологические модули над ними (в частности,
топологические векторные пространства), топологич.
решетки (в частности, топологические проективные
плоскости), топологические универсальные алгебры
(см. [5], [8], [10], [И]).
В Т. а. можно выделить следующие направления ис-
исследований: существование топологий в алгебраич.
системах (группах, кольцах и др.), превращающих их
в топологич. алгебраич. системы с различными свой-
свойствами; вопросы продолжения топологий на расшире-
расширения алгебраич. систем и возможности вложения в то-
нологич. алгебраич. системы определенных классов;
свойства топологии топологич. алгебраич. систем,
в частности возможность задания топологий метрикой
или нормой; строение различных классов топологич.
алгебраич. систем (включая теорию радикалов топо-
топологич. алгебраич. систем); свободные топологич. ал-
алгебраич. системы; вопросы двойственности топологич.
алгебраич. систем.
Лит.: [1] S с h r e i e r 0.,<<Hajnb. Abh.», 1926, Bd 4, S. 15—
32; [21 L e j a F., «Fund. Math.», 1927, t. 9, p. 37—44; [3] Кол-
Колмогоров A. H., «Ann. Math.», 1932, v. 33, p. 175—76; [4]
И о н т р я г и и Л. С, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973;
151 Бур баки Н., Топологические векторные пространства,
пер. с франц., М., 1959; [6] Г е л ь ф а н д И. М., Рай-
it ов Д. А., Шилов Г. Е., Коммутативные нормированные
кольца, М., 1900; [7] НайиаркМ. А., Нормированные
кольца, 2 изд., М., 1968; [8] А р н а у т о в В. И., Водив-
чар М. И., Михалев А. В., Введение в теорию топологи-
топологических колец и модулей, Киш., 1981; [9] Г л у ш к о в В. М.,
«Успехи матем. наук», 1957, т. 12, в. 2, с. 3—41; [101 Скор-
Скорняков Л. А., «Труды Московского математического об-ва»,
1954, т. 3, с. 347—73; [11] Мальцев А. И., Избранные тру-
труды, т. 1—2, М., 1976. В. И. Арнаутов, А. В. Михалёв.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ГРУППА — множество G, на
к-ром заданы две структуры — группы и топологич.
пространства, согласованные условием непрерывности
групповых операций. А именно, отображение (а, Ь) ь*
Ь* ab~x прямого произведения GxG в G должно быть
непрерывным. Подгруппа Н Т. г. G является Т. г.
в индуцированной топологии. Факторпространство GIH
смежных классов снабжается фактортопологией отно-
относительно канонич. отображения группы G на GlH.
Если Н — нормальный делитель Т. г. G, то GIH (фак-
(факторгруппа группы G по Н) — Т. г.
Примеры Т. г.: Векторная группа R" — прямое
произведение п экземпляров аддитивной группы R
действительных чисел с естественной топологией; ок-
окружность R/z — факторгруппа группы R по под-
подгруппе целых чисел %\ каждая Ли группа; произволь-
произвольная абстрактная группа, снабженная дискретной топо-
топологией; произвольное топологическое векторное про-
пространство.
Как правило, пространства Т. г. предполагаются
хаусдорфовыми. Факторпространство GlH хаусдорфово
тогда и только тогда, когда подгруппа Н замкнута в G
(в дальнейшем все рассматриваемые подгруппы будут
предполагаться замкнутыми). Факторпространство
GIH смежных классов регулярно. Однако существуют
Т. г., пространства к-рых не являются нормальными
(см. |7J).
Т. г. пая. связной, вполне несвязной,
компактной, локально компактной
и т. п., если соответствующим свойством обладает ее
топологич. пространство. Связная компонента единицы
G° Т. г. G является нормальным делителем в G; G0 —
наибольшая связная замкнутая подгруппа G. Фактор-
Факторгруппа G/G° вполне несвязна. Локально компактная
вполне несвязная группа обладает открытой компакт-

ной подгруппой. Если G — компактная вполне не-
несвязная группа, то в каждой ее окрестности единицы
содержится открытая нормальная в G подгруппа. От-
Отсюда вытекает совпадение класса компактных вполне
несвязных групп с классом проконечных групп, к-рые
играют важную роль в теории Галуа, появляясь там
в качестве групп Галуа бесконечных расширений полей,
снабженных топологией Крулля.
На всякой Т. г. естественным образом определяется
структура равномерного пространства. А именно,
левая групповая равномерная структура на Т. г. G
задается совокупностью множеств
L(U) = {(x, y)?Gx,G\x-iy?U},
где U пробегает систему окрестностей единицы группы
G; правая равномерная структура определяется сим-
симметрично. Топология получающегося равномерного
пространства совпадает с исходной топологией группы.
Существование равномерной структуры на Т. г. поз-
позволяет ввести и использовать понятия равномерной не-
непрерывности (напр., для действительнозначных функ-
функций на Т. г.), последовательности Коши, полноты и
пополнения. Локально компактная Т. г. полна в своей
равномерной структуре. Следствием этого является
тот факт, что локально компактная подгруппа хаусдор-
фовой Т. г. всегда замкнута. Существуют, однако, Т. г.,
к-рые даже не вкладываются в полные группы.
На каждой локально компактной Т. г. G существует
нетривиальная мера ц., инвариантная относительно
левых сдвигов (т. е. такая, что для любого измеримого
по |х подмножества Ac^G и каждого элемента :r?G
подмножество хА измеримо и |х (хА) = ц (Л)).Такая мера
наз. Хаара мерой; она единственна с точностью до по-
постоянного множителя.
Если Т. г. G компактна, то мера Хаара инва-
инвариантна также относительно правых сдвигов. Кроме
того, в этом случае постоянный множитель можно по-
подобрать так, чтобы u.(G)=l; это позволяет рассма-
рассматривать соответствующий интеграл \ / (z)du. (x) как
среднее значение функции /(ж) на G. Важнейшие при-
применения меры Хаара относятся к теории непрерывных
представлений. Интегрирование по мере Хаара поз-
позволило перенести на компактные группы значительную
часть теории представлений конечных групп (напр.,
соотношения ортогональности для характеров или для
матричных коэффициентов), а также Петера — Вейля
теорему, полученную первоначально для групп Ли.
Следствием этой теоремы является тот факт, что каждая
компактная группа G обладает полной системой ко-
конечномерных унитарных представлений (другими сло-
словами, для любого отличного от единицы элемента x?G
найдется такое представление р, что р(х)фЕ). Сущест-
Существуют локально компактные группы, не имеющие не-
нетривиальных конечномерных представлений.
Содержательные результаты о строении Т. г. из-
известны по существу лишь для локально компактных
групп. В случае локально компактных абелевых групп
имеет место следующая основная структур-
структурная теорема: каждая локально компактная
абелева группа G нредставима в виде прямого произве-
произведения G=RnXH, где И — группа, обладающая от-
открытой компактной подгруппой К. Этот результат
является следствием теории двойственности для ло-
локально компактных абелевых групп (см. Понтрягина
двойственность). С помощью этой теоремы исследова-
исследование строения группы G в известном смысле сводится
к вопросам о строении дискретных групп Н/К и К, где
А' — группа характеров компактной группы К, т. е.
к вопросам абстрактной теории групп.
Определяющую роль в построении теории Т. г. сы-
сыграла пятая проблема Гильберта. Сфор-

мулированная в 1900 как проблема о локальных груп-
группах преобразований, эта проблема была в процессе
развития теории Т. г. переосмыслена. Общепринятой
стала следующая ее формулировка: является ли вся-
всякая локально евклидова Т. г. группой Ли? (Т. г. наз.
локально евклидовой, если она обладает
окрестностью единицы, гомеоморфной евклидову про-
пространству R", т. е. является топологич. многообрази-
многообразием.) Пятая проблема Гильберта была решена в 1952
(см. [6]). Существенным моментом явилось доказатель-
доказательство следующего критерия лиевости: ло-
локально компактная группа G является группой Ли
тогда и только тогда, когда G — группа без
малых подгрупп (т. е. существует окрестность
единицы G, не содержащая нетривиальных подгрупп).
Было показано также, что локально компактная группа
G с компактной факторгруппой G/Gg является проектив-
проективным пределом групп Ли (или, эквивалентно, в каждой
окрестности единицы группы G содержится нормаль-
нормальный делитель N с факторгруппой G/N, являющейся
группой Ли). Каждая окрестность единицы произволь-
произвольной локально компактной группы содержит открытое
подмножество вида KXL, где К — компактная под-
подгруппа, L — связная локальная группа Ли.
Проективная лиевость локально компактных групп
G с компактными факторгруппами G/Go позволила пе-
перенести на такие группы ряд результатов, известных
ранее для групп Ли (см. [8]). Напр., каждая компактная
подгруппа из G содержится в нек-рой максимальной
компактной подгруппе; любые две максимальные ком-
компактные подгруппы группы G сопряжены. Далее, если
К — одна из максимальных компактных подгрупп в G,
то существует такое множество однопараметрич. под-
подгрупп L,-=R, s=l, . . ., п, что отображение, перево-
переводящее набор (к, 11: . . ., 1п) в произведение Мг. . Лп,
является гомеоморфизмом группы Kx^iX. ¦ . X Ln на G.
После решения пятой проблемы Гильберта на пер-
первый план выдвинулась задача более детального изуче-
изучения строения локально компактных групп, обладаю-
обладающих теми или иными дополнительными свойствами. Бы-
Были исследованы классы групп, выделяемые нек-рыми
условиями конечности, такими, напр., как условие ко-
ттрчности специального ранга, различные варианты
условий максимальности и минимальности для под-
ipynn и т. п. (см. [5]). Была построена теория локально
нильпотентных локально компактных групп. Большую
часть полученных при этом результатов удалось
позднее перенести на более широкий класс локально
проективно нильпотентных групп [9].
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Общая топология. Топологи-
Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространст-
пространства, пер. с франц., М., 1969; [2] В ей ль А., Интегрирование
в топологических группах и его применения, пер. с англ.,
М., 1950; [3] Понтрягин Л. С, Непрерывные группы,
;{ изд., М., 1973; [4] Хьюитт Э., Росс К., Абстрактный
гармонический анализ, пер. с англ., т. 1, М., 1975; [5] Итоги
науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 123—60; [6] Глуш-
к о в В. М., «Успехи матем. наук», 1957, т. 12, в. 2, с. 3—41;
[7] Г р а е в М. И., там же, 1950, т. 5, в. 2, с. 3—56; [8] Пла-
Платонов В. П., «Сибирский матем. ж.», 1966, т. 7, Л° 4, с. 854—
877; [9] е г о ж е, «Матем. сб.», 1967, т. 72, № 1, с. 38—58.
О. В. Мельников.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА — раздел теории
динамических систем, изучающий топологические ди-
динамические системы. Основное содержание относится
к тому случаю, когда фазовое пространство — метрич.
компакт, а время пробегает к, % или N (что и под-
подразумевается ниже).
Возникновение Т. д. B0—30-е гг. 20 в.) связано с
тем, что обсуждение ряда понятий, связанных с пре-
предельным поведением траекторий (напр., предельное
множество, центр топологической динамической систе-
системы) и «повторяемостью» движений, целесообразно про-
провести п общем контексте Т. д., хотя сами эти понятия
по большей части возникли при исследовании более

конкретных объектов — дифференцируемых динамич.
систем. Из различных свойств «повторяемости» твыделя-
ют (в порядке возрастания общности): периодичность,
почти-периодичность (в смысле Бора), рекуррентность
(в смысле Биркгофа, см. Минимальное множество, 2)),
устойчивость по Пуассону, неблуждаомость (см. Блуж-
Блуждающая точка), цепную рекуррентность. Любая тра-
траектория со временем неограниченно приближается к
множеству, образованному «повторяющимися» траекто-
траекториями; с этой точки зрения вполне оправдано особое
внимание, уделяемое последним.
В 60-х гг. изучение минимальных множеств и их
расширений привело к значительному развитию Т. д.
уже как самостоятельного направления (это было свя-
связано прежде всего с дистальными динамическими систе-
системами). Однако надо иметь в виду, что изучение пре-
предельного поведения траекторий не сводится к одному
лишь изучению минимальных множеств.
До кон. 60-х гг. к Т. д. относили преимущественно
те вопросы, к-рые перечислены выше (см. также след.
абзац и [1], [6], [11], [13] — [15] в статье Динамическая
система). Однако в ряде случаев оказывается нужным
уделять внимание и «неповторяющимся» траекториям.
[Так, нередко представляют интерес сепаратрисы, (в ча-
частности, они могут описывать волны нек-рого специаль-
специального типа), независимо от того, обладают ли они хотя бы
цепной рекуррентностью. Градиентные динамические
системы, отвечающие функциям с невырожденными
критич. точками, используются при изучении много-
многообразий, между том как множество «повторяющихся»
траекторий в этом случае устроено тривиально.] По-
Поэтому позднее исследовалось поведение траекторий вне
множества «повторяющихся» движений, а также рас-
рассматривались компактные инвариантные множества,
являющиеся изолированными или локально
максимальными — в нок-рой окрестности U такого мно-
множества нет больших инвариантных множеств. Среди ле-
лежащих в нем траекторий могут быть и «неповторяю-
«неповторяющиеся». Для таких множеств вводятся нек-рые аналоги
Морса индекса (уже не числа, а объекты более сложной
природы) и устанавливаются соотношения, обобщающие
Морса неравенства (равно как и соответствующие ре-
результаты для Морса — Смейла систем); обсуждается
также поведение этих множеств при непрерывном изме-
изменении системы. (Поскольку дальнейшая судьба тра-
траекторий, покидающих U, нас в этих вопросах не инте-
интересует, то можно, а иногда и нужно, рассматривать
«локальные динамич. системы», в к-рых «движение»
точки может быть определено не для всех значений вре-
времени. Точные формулировки являются довольно гро-
громоздкими. См. [1].)
К Т. д. относятся или, по крайней мере, непосред-
непосредственно примыкают вопросы об инвариантных мерах,
топологической энтропии, асимптотич. циклах (см.
[2], [3]) и о том, к какому классу в смысле дескриптив-
дескриптивной теории множеств принадлежат те или иные под-
подмножества фазового пространства, естественно выде-
выделяющиеся по своим свойствам (см. [4], [5]). В Т. д.,
как и вообще в теории динамич. систем, обсуждается
вопрос о тех свойствах динамич. систем, к-рые в ка-
каком-то смысле являются «типичными» (см. [9], [10]
в статье Общее положение и [3] в статье Цепная рекур-
рекуррентность, а также [6], [7]). (Правда, собственно к
Т. д. относится только «типичность» в С°-топологии,
тогда как для дифференцируемых динамич. систем адек-
адекватной является С-топология, г2э1, на соответственно
уменьшенном множестве систем.) В рамках Т. д. об-
обсуждались взаимосвязи между устойчивостью по Ля-
Ляпунову и различными родственными понятиями.
Приложения Т. д. к исследованию конкретных дина-
динамич. систем или классов таковых в значительной степе-
степени связано с использованием понятий и результатов

Т. д. в теории дифференцируемых динамич. систем (от-
(отчасти и в эргодической теории), причем и при таких
применениях Т. д. нередко приходится рассматривать
системы, фазовые пространства к-рых не являются
многообразиями. (Так происходит, когда Т. д. при-
применяется к ограничению динамич. системы на инвари-
инвариантном множестве, не являющемся многообразием, а
также при использовании символической динамики;
обе эти причины могут сочетаться.) С сер. 60-х гг. 20 в.
и особенно в нач. 80-х гг. большое внимание уделялось
каскадам, получающимся при итерировании непро-
непрорывного отображения S отрезка или окружности; здесь
многое не зависит от гладкости 5 и не связано с инва-
инвариантными мерами, т. е. относится к «чистой» Т. д.
Т. д. была привлечена (см. [8]) для единообразного
вывода ряда теоретико-числовых результатов (хотя наи-
наиболее глубокие из них требуют обращения к эргодич.
теории). Наконец, хотя определение топологич. пото-
потока воспроизводит нек-рые из свойств автономной систе-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, иног-
иногда Т.д. косвенным образом применяется и при иссле-
исследовании нек-рых неавтономных систем (при этом сис-
система рассматривается вместе с континуумом других
систем, получающихся из нее нек-рым предельным пе-
переходом, и возникает конструкция, аналогичная косому
произведению, 2), см. [9]).
Лит.: [1] С о n I e у С h., Isolated invariant sets and the
Morse index, Providence, 1978; [2] Schwartzman S., «Ann.
Math.», 1957, v. 66, N» 2, p. 270—84; [3] P h о d e s P., «J. Lon-
London Math. Soc,», 1973, v. 6, pt. 2 p. 247—55; [4] Ш а р к о в-
ский А. Н., «Укр. матем. ж.», 1965, т. 17, MS, с. 104—11;
ЛЬ 5,с. 80—95; 1966, т. 18, W. 2, о. 60—83; 1968, т. 20, № ),с. 136—
М2:[5] его же, «Доповвд АН УРСР», 1966, К» 7, с. 866—70;
[61 Добрынский В. А., в кн.: Динамические системы
и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений,
К., 1973, с. 43—53; [7] Р а 1 i s J., P u g h С h., S h u b M.,
Sullivan D., в кн.: Dynamical systems — Warwick, 1974,
В.— Hadlb.—N. Y., 1975, p. 241—50; [8] Fursten-
b e r g H., «Bull. Amer. Math. Soc», 1981, v. 5, Xi 3, p. 211—34;
[9] Миллионщиков В. М., в кн.: Международный конг-
конгресс математикой и Ницце. 1970. Доклады советских математи-
математиков, М., 1972, с. 207 — 11. Д. В. Аносов.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕ-
СИСТЕМА — тройка (W, G, F), где W — топологич. простран-
пространство, G — топологич. группа, F — непрорывное отобра-
отображение GxW-*-W, определяющее левое действие G на
W: если w?_W, е — единица группы G и g, k?G, то
(при мультипликативной записи операций в G)F(e,w) = w,
F(gh, w) = F(g, F(h, w)), A)
(иными словами, если обозначить преобразование
w\-*F (g, w) через Tg, то Tgh=TgT^). Вместо левого
действия часто рассматривается правое действие; в
этом случае аргументы F удобнее записывать в другом
порядке (считая F отображением WXG-+W), а A)
заменяется условием
F(w,gh) = F(F(w,g),h). B)
Вместо F (g, w) или F (w, g) часто пишется просто gw или
wg; тогда A) и B) записываются в виде
(gh) w = g(hiv), w (gh) -= (wg) h.
Если G коммутативна, различие между правым и ле-
левым действием несущественно. Наиболее важные слу-
случаи — G— % (аддитивная группа целых чисел с ди-
дискретной топологией; в этом случае говорят о (тополо-
(топологическом) каскаде) и G~R (в этом случае говорят
о (топологическом) потоке); в узком смысле слова
под Т. д. с. понимаются именно эти два случая. Иногда
G считается не группой, а полугруппой; впрочем, в ос-
основном рассматривается только полугруппа неотрица-
неотрицательных целых чисел (т. е. речь идет об итерациях
нек-рого непрерывного отображения Т: W-^-W) и
(реже) неотрицательных действительных чисел.
Термин «Т. д. с.» (обычно без первого прилагатель-
прилагательного) принят и топологической динамике, тогда как в

топологии тот же объект наз. непрерывной группой
преобразований. Различие названий отчасти оправда-
оправдано тем, что в этих двух дисциплинах различны изу-
изучаемые свойства и ограничения, налагаемые при отом
на изучаемый объект. Так, значительная часть отно-
относящихся сюда результатов топологии посвящена ком-
компактным G, тогда как в топологич. динамике G обычно
считается локально компактной, но никогда но ком-
компактной, и интерес представляет предельное поведение
траекторий F(g, w) при g~+<x> (т. е. вне сколь угодно
больших компактных частей (J), к-роо даже в анали-
тич. случае может быть весьма сложным. В теории
алгебраич. групп преобразований (см. Алгебраическая
группа преобразований) компактности G не предполага-
предполагают, но зато там имеется очень сильное условие регуляр-
регулярности F как отображения алгебраич. многообразий
(причем основное поле обычно предполагается алге-
алгебраически замкнутым, так что в классич. ситуации
речь идёт о регулярности «во всей комплексной обла-
области»). В сочетании со связностью (а обычно также и с
редуктивностью ) G это позволяет, как и в случае ком-
компактных G, получить значительную информацию о
возможных типах взаимного примыкания орбит и,
в частности, исключить возможность различных явле-
явлений, связанных со сложным предельным поведением
траекторий.
Термин «Т. д. с.» предпочтительнее, чем употребляе-
употребляемое иногда выражение «непрерывная динамич. система
(поток, каскад)», ибо «непрерывность» может означать
также: а) метрич. непрерывность — см. Непрерывный
поток 1); б) что G=R. (Когда Т. д. с. понимается в
узком смысле слова, то говорят, что поток — это слу-
случай непрерывного времени, а каскад — дискретного;
соответственно иногда говорят о непрерывной и ди-
дискретной динамич. системе.) д. в. Аносов.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ПОЛУГРУППА — множество,
наделенное алгебраич. структурой полугруппы и струк-
структурой хаусдорфова топологич. пространства, причем
полугрупповая операция непрерывна в заданной то-
топологии. Любая полугруппа становится Т. п., если рас-
рассматривать на ней дискретную топологию. Существуют
полугруппы, допускающие лишь дискретную топологи-
зацию. Любое хаусдорфово топологич. пространство
может быть превращено в Т. п., напр, заданием лево-
сингулярного или нулевого умножения.
Сформировалось несколько относительно самостоя-
самостоятельных направлений в теории Т. п.: общая теория ком-
компактных полугрупп (термин «компактность» употребля-
употребляется в смысле бикомпактность), гомотопич. свойства
Т. п., изучение полугрупп на конкретных топологич.
пространствах, гармонич. анализ на Т. п., полугруппы
непрерывных преобразований топологич. пространств.
Началось изучение Т. п., связанное с рассмотрением
системы всех замкнутых подполугрупп.
Естественный класс Т. п., включающий компактные
и дискретные полугруппы, составляют локально ком-
компактные полугруппы. Однако многие свойства, спра-
справедливые в классах компактных и дискретных полу-
полугрупп, перестают быть верными для произвольных ло-
локально компактных полугрупп, поэтому, как правило,
накладываются дополнительные ограничения тополо-
топологич. или алгебраич. характера. Важным условием та-
такого рода является слабая равномерность: локально
компактная полугруппа S наз. слабо равно мер-
н о й, если для любых a, b?S (один из этих элементов
может быть пустым символом) и любых подмножеств
Y, W^S, где W — открытое подмножество с компакт-
компактным замыканием W, причем aYbc^W или \
найдутся окрестности Г(а), V(b) элементов а та Ъ та-
такие, что V(a)YV(b)^W пли соответственно V(a)YV (b)<^
Класс слабо равномерных полугрупп вклю-

чает в себя компактные полугруппы, дискретные по-
полугруппы, локально компактные группы. Если ло-
локально компактная полугруппа S есть группа, то опе-
операция взятия обратного элемента непрерывна, т. е.
S — топология, группа. В локально компактной ин-
инверсной полугруппе операция взятия инверсного эле-
элемента (см: Регулярный элемент) непрерывна тогда и
только тогда, когда 5 слабо равномерна. В слабо рав-
равномерной полугруппе максимальные подгруппы зам-
замкнуты; в произвольной локально компактной полугруп-
полугруппе это свойство может не выполняться.
Произвольная компактная полугруппа S содержит
замкнутое ядро М (S) (см. Ядро полугруппы), явля-
являющееся вполне простой полугруппой; в частности, S
имеет идемпотенты. Структура компактных вполне про-
простых (вполне 0-простых) полугрупп описывается теоре-
теоремой, аналогичной теореме Риса о дискретных вполне
простых (вполне 0-простых) полугруппах (см. Рисов-
ская полугруппа матричного типа). Аналог теоремы
Риса справедлив для слабо равномерных полугрупп, но
уже не верен для локально компактных полугрупп [10].
Полугруппа S наз. нитью, если на S можно за-
задать линейный порядок, превращающий S в связную
Т. п. относительно порядковой (интервальной) тополо-
топологии. Полугруппа S с нулем 0 и единицей е наз. стан-
стандартной нитью (или 1-п олугруппой),
если S — нить, причем 0 и е наименьший и наибольший
элементы в S. Имеется полное описание стандартных
нитей [2]. Компактная полугруппа 5 с единицей е наз.
неприводимой, если она связна и не содержит
собственной связной замкнутой подполугруппы Т
такой, что е?Т и Tf\M (S)^0. Связные компактные
полугруппы с единицей содержат неприводимые полу-
полугруппы в качестве замкнутых подполугрупп. Имеется
следующее описание неприводимых полугрупп: не-,
приводимая полугруппа S коммутативна, Грина от-
отношение эквивалент лости ffl — замкнутая конгруэн-
конгруэнция на S, a Si ffl — стандартная нить.
«Минимальными блоками» Т. п. являются замыка-
замыкания моногенных подполугрупп, называемые м о н о-
тетическими полугруппами. Для ком-
компактной монотетич. полугруппы S ядро М (S) есть ком-
компактная монотетич. группа. Компактные монотетиче-
ские полугруппы полностью описаны [9]. Слабо рав-
равномерные монотетич. полугруппы либо компактны,
либо дискретны. Не известны A984) примеры не ярм-
пактных и не дискретных локально компактных мощо-
тетич. полугрупп.
Характером коммутативной Т. п. S с едини-
единицей наз. ненулевой непрерывный гомоморфизм в муль-
мультипликативную полугруппу комплексных чисел, мо-
модуль к-рых <:1. Множество всех характеров S* обра-
образует коммутативную Т. п. с единицей относительно
поточечного умножения (см. Характер полугруппы) и
бикомпактно открытой топологии. Говорят, что для
коммутативной Т. п. с единицей справедлива теорема
двойственности (Понтрягина), если ка-
нояич. гомоморфизм S в полугруппу характеров полу-
полугруппы S* является топологич. изоморфизмом «на».
Теорема двойственности справедлива для коммутатив-
коммутативной компактной полугруппы S с единицей тогда и
только тогда, когда S инверсная полугруппа и ее под-
подполугруппа идемпотентов образует вполне несвязное
пространство. Найдены необходимые и достаточные
условия справедливости теоремы двойственности для
коммутативных локально компактных полугрупп [12],
одним из необходимых условий является слабая рав-
равномерность полугруппы.
Важный подкласс коммутативных компактных полу-
полугрупп составляют компактные ноЛурешетки (см. Идем-
Идемпотентов полугруппа). Компактная полурошетка допу-
допускает единственную, с точностью до гомеоморфизма,

топологизацию. Описание нек-рых типов Т. п. сво-
сводится к метрич. полугруппам. Метрика d на Т. п. S наз.
инвариантной, если d (ах, ay)-^.d (х, у) и d (xa,
ya)<g.d(x, у) для любых о, х, у ?5. Т. п. наз. метри-
метрической, если на S существует инвариантная ме-
метрика, порождающая топологию на S. Каждая ком-
компактная полугруппа является проективным пределом
компактных метрич. полугрупп. Каждая вполне не-
несвязная компактная полугруппа является проектив-
проективным пределом конечных полугрупп.
Рассматриваются нек-рые обобщения Т. п.: полу-
полугруппы, пространство к-рых не обязательно хаусдор-
фово, полутопологические полугруп-
п ы, т. е. топологич. пространства, на к-рых определе-
определена ассоциативная бинарная операция, причем все ле-
левые и правые внутренние сдвиги являются непрерыв-
непрерывными преобразованиями.
Лит.: [1J Р а а 1 m a n-d e Miranda A., Topological
semigroups, Amst., 1964; [2] Н о f m a n n К., Mostcrt P.,
Elements of compact semigroups, Columbus (Ohio), 1966; [3]
Berglund J., HofmannK., Compact semitopological
semigroups and weakly almost periodic functions, B.— Hdlb.—
N. Y., 1967; [4] HofmannK., MisloveM., S t r a 1-
k a A., The Pontryagin duality of compact O-dimensional semi-
lattices and its applications, В.— Hdlb.— N. Y-, 1974; [5]
HofmannK., StralkaA., The algebraic theory of com-
compact Lawson semilattices. Applications of Galois connections to
compact semilattices, Warsz., 1976; [6] Hofmann K., «Jah-
resber. d. Dtscti. Math.-Ver.», 1976, Bd 78, p. 9—59; [7] Wal-
Wallace A., «Bull. Amer. Math. Soc», 1955, v. 61, p. 95—112; [8]
Williamson J., «J. Lond. Math. Soc», 1967, v. 42, p. 1—41;
ttlHewitt E., «Duke Math. J.», 1956, v. 23, № 3, p. 447—57;
[10] S n e p e r m a n L. В., «Sem. Forum», 1981, v. 23, p. 261 —
73; til] Д з й Д., в кн.: Алгебраическая теория автоматов, язы-
языков и полугрупп, пер. с англ., М., 1975, с. 259—83; [12] Шве-
п е р м а н Л. Б., «Матем. сб.», 1968, т. 77, Ли 4, с. 508—32.
Б. П. Танана, Л. Н. Шеврин.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА, топология
открытая, соответственно, замкнута я— со-
совокупность ®, соответственно, % подмножеств мно-
множества X, обладающая следующими свойствами:
1. Множество X, равно как и пустое множество
0, являются элементами совокупности E5, соответ-
соответственно, §.
2щ, соответственно, 2^. Пересечение, соответствен-
соответственно, объединение, конечного числа и объединение, со-
соответственно, пересечение любого числа элементов
совокупности ©, соответственно, g, является эле-
элементом той же совокупности.
После того как введена или определена топология,
или Т. с, в данном множестве X, оно именуется т о-
пологическим пространством, его эле-
элементы наз. точками, а элементы совокупности ®,
соответственно, %, наз. открытыми, соответ-
соответственно, замкнутыми, множествами полученного
топологич. пространства.
Если определена какая-нибудь из совокупностей ®
или % подмножеств множества X, обладающая свой-
свойством 1 и, соответственно, свойством 2в или 2g j
другая совокупность может быть определена двой-
двойственным образом как состоящая из дополнений к
элементам первой. Я. С. Александров.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТРАНЗИТИВНОСТЬ — свойст-
свойство, определяемое для топологической динамической
системы {Tt}, обычно для потока или каскада (вре-
(время t пробегает все действительные или целые числа).
Оно заключается в существовании траектории {Т^и>0},
имеющей все фазовое пространство W своим ш-предель-
ным множеством. (Эквивалентное свойство заключает-
заключается в существовании положительной полутраектории
{TfW0, i^O}, всюду плотной в W.) Такую траекторию
(полутраекторию) наз. топологически транзитивной.
С Т. т. теспо связано свойство транзитивно-
транзитивности о б л а с т о й: для любых непустых отр;рытых
множеств U, \'CZ И7 имеется 2>0, для к-рого 1'fUf] Уф0.
Именно, из Т. т. следует транзитивность областей, а

если W -- полное сепарабельное метрич. пространство,
то из транзитивности областей следует (см. [1], [2]) Т. т.
(и при этом множество тонологич. транзитивных тра-
траекторий имеет мощность континуума). Поэтому при
том же предположении о W свойство Т. т. симметрично
относительно направления времени: если существует
траектория {Ttw0}, имеющая все W своим а-предельным
множеством, то имеет место транзитивность областей
и Т. т.
Часто под Т. т. понимается существование траекто-
траектории {Ttiv0}, всюду плотной в W. (Различие между при-
приведенными определениями существенно, когда точки
этой траектории образуют в W открытое множество;
в противном случае она сама для себя является со-
сопредельной или а-предельной, а потому и все W явля-
является ее ш-предельным или а-предельным множеством.)
Последнее определение годится и для более общих групп
преобразований [3]. Определения и часть результатов
можно перенести также и на случай необратимых преоб-
преобразований и полугрупп, хотя обычно в топологич. ди-
динамике таковыми не занимаются.
Лит.: Ll] БиркгофДж. Д., Динамические системы,
пер. с англ., М.—Л., 1941; [2] Немыцкий В. В., Сте-
Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных урав-
уравнений, 2 изд., М,—Л., 1949; [3] Gottschalk W., Н е d-
1 u n d G. A., Topological dynamics, Providence, 1955.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ —"от-
—"отношение между топологич. пространствами; топологич.
пространства X и У наз. топологически эквивалентны-
эквивалентными, если они гомеоморфны, т. е. если существует гоме-
гомеоморфизм пространства X на пространство Y. Т. э.
является рефлексивным, симметричным и транзитив-
транзитивным бинарным отношением на классе всех топологич.
пространств. В соответствии с этим совокупность всех
топологич. пространств разбивается отношением Т. э.
на попарно не пересекающиеся классы Т. э. Свойства
топологич. пространств, сохраняемые отношением Т. э.,
т.е. сохраняемые произвольными гомеоморфизмами, наз.
топологич. инвариантами. Примеры: пря-
прямая и интервал (без концов) топологически эквивалент-
эквивалентны; прямая и замкнутый интервал, т. е. отрезок, то-
топологически не эквивалентны. Любые два треугольни-
треугольника топологически эквивалентны, однако класс Т.э., со-
содержащий все треугольники, ими не исчерпывается —
он содержит, например, еще и все круги. Важным рас-
расширением отношения Т. э. является отношение гомо-
гомотопической эквивалентности (см. Гомотопический тип).
Лит.: [1] А л е к с а н д р о в П. С, Введение в общую
теорию множеств и функций, М.—Л., 1948.
А. В. Архангельский.
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ЭНТРОПИЯ — понятие топо-
топологической динамики и эргодической теории, аналогич-
аналогичное метрич. энтропии динамич. систем (введена в [11).
Для открытого' покрытия 91 компакта X через 7/(9()
обозначается логарифм (обычно двоичный) наименьшего
числа элементов покрытия, к-рые все еще покрывают
X. Если S : Х-+Х — непрерывное отображение, то
существует предел
k(S, 3Q=lim ^Н{Щ. V S-Щу ... V S-n + Щ),
где SlvS3 — покрытие, элементы к-рого суть непу-
непустые пересечения элементов покрытий 91 и ф. Т. э.
^top(^) определяют как верхнюю грань h(S, 9t) no
всевозможным 91. Эквивалентное определение в ме-
тризуемом случае: пусть для метрики р через Кг(Х, р)
обозначено наибольшее число точек X, попарные рас-
расстояния между к-рыми больше е; тогда
hiov(S)^lim lim — lg Кг (X, р„),
где рп(х, у)=тах p(S>x, S'y) (сы. [2] — [4]).

Оказывается, что
а если 5 — гомеоморфизм, то lnnv(S-1) = hinv(S). По-
атому Т. э. каскада {S'1} естественно считать li\ov(S).
Для тоиологич. потока {St} оказывается, что
поэтому Т. э. потока естественно считать /гюр^).
Несколько иначе определяется Т. э. для других групп
преобразований (она уже не сводится к Т. э. одного
из преобразований, входящих в группу; см [7]).
Т. э. fnOTI(S) совпадает с верхней гранью метрич.
энтропии h^ (S) по всевозможным нормированным боре-
левским инвариантным мерам и. (см. [2J, [5] —[7]).
Это — частный случай вариационного прин-
принципа, устанавливающего топологич. интерпретацию
величины
sup
м.
с фиксированной непрорывной функцией / (см. [4],
18], [9]). Т. э. дает характеристику «сложности» или
«разнообразия» движений в динамич. системе (см.
[10], [3], [4]); с ней также связана в нек-рых случаях
асимптотика (при Т—>-оо) числа периодических траекто-
траекторий (периода <Г; см. [3], [4], [И] —[13]). «Гипотеза
об энтропии», доказанная лишь частично A982), ут-
утверждает, что Т. э. диффеоморфизма 5 замкнутого
многообразия W не меньше логарифма спектрального
радиуса линейного преобразования, индуцируемого S
в гомологиях Htt(W; R) (см. [14], [15]).
Лит.: [1] A d 1 е г R. L., К о n h e i m A. G., М с А п-
drew M. H., «Trans. Amer. Math. Soc>>, 1965 v. 114 p. 309—
319; [2] Д и н а б у р г Е. И., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1971, т. 35, № 2, с. 324—66; [3] Алексеев В. М., Символи-
Символическая динамика, в кн.: Одиннадцатая математическая школа,
К., 1976; 1.4] Боуэн Р., Методы символической динамики,
пер. с англ., М., 1979; [5] G о о d m a n Т. N. Т. «Bull. Lond.
Math. Soc», 1971, v. 3, Mi 2, p. 176—80; [6] G о о d w у n L. W.,
«Amer. J. Math.», 1972, v. 94, № 2, p. 366—68; [7] Таг и-
з а д е А. Т., «Докл. АН Азерб. ССР», 1978, т. 34 Mi 6, с. 18 —
22, МЬ 8, с. 11 — 14; [8] Степвн А. М., Т а г и-з а д е А. Т.,
«Докл. АН СССР», 1980, т. 254, МЬ 3, с. 545—49- [9] М о u ] i n
OllagnierJ., PinchonD., «Studia math.», 1982, т. 72,
fasc. 2, p. 151—59; [10] Б р у д и о А. А., «Тр. Моск. матем.
Об-ва», 1982, т. 44, с. 124—49; [111 К у ш н и р е н к о А. Г.,
Каток А. Б., Алексеев В. М., в кн.: Девятая летняя
математическая школа, 2 изд., К., 1976, с. 50—341; [12] Ка-
Каток А. Б., Синай Я. Г., С т е п и н А. М., в кн.: Итоги
науки и техники. Сер. Математический анализ, т. 13, М., 1975,
с. 129—262; [13] К a t о k A., «Publs. math. Inst. hautes etud.
sci.», 1980, Mi 51, p. 137—73; [14] Гладкие динамические систе-
системы, пер. с англ., М., 1977; Ll5] Pried D., Shub M., «Publs.
math. Inst. hautes etud. sci.», 1979, Mb 50, p. 203—14; [16] D e n-
ker M., GrillenbergerChr., S i g m u n d K.,
Ergodic theory on compact spaces, В.— Hdlb.— N. Y., 1976.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ИНВАРИАНТ — произвольное
свойство топологического пространства.
Если множество X снабжено какой-либо структу-
структурой, однозначно порождающей нек-рую топологию л
следовательно превращающей X в топологич. простран-
пространство, то под Т. и. множества А' понимается свойство
именно топологич. пространства, порожденного данной
в X структурой. Так, напр., говорят о связности метрич.
пространства или об односвязности данного дифферен-
дифференцируемого многообразия, имея в виду соответствующие
свойства топологич. пространства, топология к-рого по-
порождается данной на множестве X метрич. или диффе-
дифференциально геометрич. структурой.
Уже в самый первый период развития топологии,
наряду с простейшими Т. и. как, напр., связность, ком-
компактность и др., большое внимание привлекли к себе
т. н. числовые инварианты, в начале опре-
делявгаиеся главным образом для полиэдров; таковы
в первую очередь были размерность и Бетти числа.
Для замкнутых поверхностей еще раньше рассматри-
рассматривался род поверхности, сразу же выражающийся через

первое число Бетти. Затем большое значение приобре-
приобрели Т. и., являющиеся группами, а впоследствии и др.
алгебраич. структурами. Таковы, напр., группы Бетти
или гомологии группы различных размерностей, ранга-
рангами к-рых и являются числа Бетти; фундаментальная
группа, обобщением к-рой для любых размерностей
явились гомотопические группы, а также пересечений
кольцо многообразий, вскоре замененное гораздо более
общим и удобным для применений когомологич. коль-
кольцом Александера — Колмогорова, определенным не
только для полиэдров, но и для чрезвычайно широкого
класса топологич. пространств, и др.
В случае полиэдров важные Т. и. часто, и даже
преимущественно, определялись как свойства симпли-
циальных комплексов, являющихся триангуляциями
данного полиэдра. Такие определения требовали по-
последующего доказательства т.н. теорем инва-
инвариантности, утверждавших, что соотвэтствую-
щее свойство не меняется при переходе от одной ка-
какой-нибудь триангуляции данного полиэдра к любой
триангуляции того же или гомеоморфного ему полиэдра.
П. С. Александров.
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МОДУЛЬ (левый)- абеле-
ва топологич. группа А, являющаяся модулем над
топологич. кольцом R, при этом требуется, чтобы ото-
отображение умножения RXA-+A, переводящее (г, а)
в га, было непрерывно. Аналогичным образом опреде-
определяются правые Т. м. Любой подмодуль В Т. м. А
сам является Т. м. Если модуль А отделим и В зам-
замкнут в Л, то А/В — отделимый модуль. Прямое про-
произведение топологич. модулей является Т. м. Попол-
Пополнение А модуля А как абелевой топологич. группы
можно наделить естественной структурой Т. м. над по-
пополнением R кольца R.
Топологическим G-ш о д у л е м, где G —
нек-рая топологич. группа, наз. топологич. абелева
группа А, являющаяся G-модулем, причем требуется,
чтобы отображение умножения GXA-+-A было не-
непрерывно.
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Общая топология. Топологичес-
Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства,
пер. с франц., М., 1969; [2] е г о же, Коммутативная алгебра,
пер. с франц., М., 1971. Л. В. Кузьмин.
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТ-
ПРОСТРАНСТВО над топологическим полем (т. п.), К — векторное
пространство Е над К, наделенное топологией, согла-
согласующейся со структурой векторного пространства, т. е.
удовлетворяющей следующим аксиомам: 1) отображе-
отображение (xlt x2) I-* хх-\-хъ, ЕхЕ—>-Е непрерывно; 2) отоб-
отображение (к, х)\-^*кх, КхЕ—>-Е непрерывно (при этом
предполагается, что произведения ЕХЕ и КХЕ на-
наделены произведениями соответствующих топологий).
Совершенно аналогично можно определить тополо-
топологическое левое и правое векторные
пространства над (не обязательно коммута-
коммутативным) топологич. телом. Для обозначения Т. в. п.
Е с топологией т иногда будет использоваться сим-
символ (Е, т); с другой стороны, упоминание о поле К
часто будет опускаться.
Т. в. п. Е± и Е% над одним и тем же т. п. наз. изо-
морф н ы м и, если существует непрерывное линей-
линейное взаимно однозначное отображение Е1 на Е2, обрат-
обратное к к-рому также непрерывно. Размерностью
Т. в. п. (Е, т) наз. размерность векторного пространст-
пространства Е.
Способы задания топологии Т. в. п. и ее свойства.
Пусть (Е, т) — Т. в. п. над т. п. К. Топология т ин-
инвариантна относительно сдвигом (т. е. для каждого
а?Е отображение хН>х-\-а представляет собой гомео-
гомеоморфизм Е на себя); поэтому топология т однозначно
определяется базой (базисом, фундаментальной систе-
системой) окрестностей всякой фиксированной точки (в
частности, нуля). Топология х согласуется со структу-

рой аддитивной группы пространства Е, и справедли-
справедливы следующие предложения. 1. Для того чтобы Е
было отделимым, необходимо и достаточно, чтобы для
всякой точки х?Е, хфО существовала окрестность нуля,
не содержащая х. 2. Если Е отделимо, то оно вполне
регулярно. 3. В Е существует единственная равномер-
равномерная структура, обладающая следующими свойствами:
а) она инвариантна относительно сдвигов (т. е. для
нее все сдвиги представляют собой равномерно непре-
непрерывные отображения); б) ассоциированная с ней то-
топология совпадает с исходной топологией простран-
пространства Е. Множество в Т. в. п. наз. полны м, если оно
полно относительно равномерной структуры, о к-рой
только что шла речь. Т. о., Т. в. п. Е полно, если вся-
всякий Коши фильтр в Е сходится. Для всякого Т. в. п. Е
существует полное Т. в. п. над тем же нолем, содер-
содержащее Е в качестве всюду плотного подмножества и
индуцирующее на Е исходные линейную структуру и
топологию; оно наз. пополнением пространства
Е. Всякое отделимое Т. в. п. обладает отделимым по-
пополнением, единственным с точностью до изоморфизма,
оставляющего неподвижными элементы пространства Е.
Всюду далее предполагается, если но оговорено про-
противное, что К — недискретное нормированное поле,
наделенное топологией, определяемой нормой. Если
Е — векторное пространство над К, то множество
QdE называется закругленным (или урав-
уравновешенным), если kQczQ при tc?K, \к\<.1.
Если А а В — два подмножества в Е, то говорят, что
Л поглощает В, если существует такое положи-
положительное число г, что kAzzB при к?К, |/с|>г. Подмно-
Подмножество пространства Е наз. поглощающим
(или радиальным), если оно поглощает каждое
одноточечное множество. Во всяком Т. в. и. Е над К
существует база 41 замкнутых окрестностей нуля со
следующими свойствами: 1) для всякого множества
V?4l существует W?1l такое, что W+WcF; 2) каж-
каждое V?Л1 — закругленное поглощающее множество;
3) если V?4(, то и kV^il для всякого к?К, кфО.
С другой стороны, пусть 1 — топология в векторном
пространстве Е над К, инвариантная относительно
сдвигов и обладающая базой окрестностей нуля, имею-
имеющей свойства A) и B), а также следующее свойстпо:
За) существует такое к?К, 0<[/с|<1, что, если VQ11,
то nkV?4l. Тогда Е, наделенное топологией т,— Т. в. п.
над К (в том случае, когда норма в поле К архимедова,
(За) является следствием остальных требований, на-
наложенных на (Е, т)). Всякий базис фильтра 11 в век-
векторном пространстве Е над К, обладающий свойствами
A), B), (За), а в случае поля с архимедовой нормой -
хотя бы свойствами A) и B),— является фундамен-
фундаментальной системой окрестностей нуля (не обязательно
замкнутых) нек-рой однозначно определяемой тополо-
топологии т в Е, согласующейся со структурой векторного
пространства в Е. Т. в. п. Е над полем вещественных
чисел R или над полем комплексных чисел С и его
топология наз. локально выпуклыми, если
Е обладает базой окрестностей нуля, состоящей из вы-
выпуклых множеств (иногда в определение локально вы-
выпуклого пространства включается еще требование его
отделимости).
Примеры. 1. Всякое т. п. К может рассма-
рассматриваться как (одномерное) Т. в. п. над К; рассматри-
рассматриваемое таким образом, оно будет обозначаться символом
Ко; 2. Пусть / — нек-рое непустое множество ж Ко —
векторное пространство над К, представляющее собой
произведение / экземпляров векторного пространства
Ко, наделенное топологией, являющейся произведе-
произведением топологий сомножитолех!. Тогда Ко — Т. в. п.
3. Если топология т. п. К дискретна, то всякое век-
векторное пространство Е над К, наделенное топологией,

согласующейся со структурой его аддитивной группы
и инвариантной относительно операций умножения на
ненулевые элементы из К, является Т. в. п. (этим ус-
условиям удовлетворяет, в частности, дискретная то-
топология в Е). Т. в. п. над полями с дискретной топо-
топологией наз. топологическими вектор-
векторными г р у п п а м и. 4. Пусть Е — векторное про-
пространство над т. п. К, ?р — нек-рое множество полу-
полунорм на Е. Шаром радиуса г>0 по полунорме р
на Е наз. множество {х?Е, р(х)<.г}. Множество пере-
пересечений всевозможных конечных семейств шаров [все-
[всевозможных (положительных) радиусов] по (всевоз-
(всевозможным) полунормам, принадлежащим множеству fp,
образует базис окрестностей нуля нек-рой топологии
%Ф в Е, согласующейся со структурой векторного про-
странства; говорят, что эта топология задается, или
определяется семейством полунорм $*. Если K=R или
К=С, то топология T^j локально выпукла; обратно,
топология всякого локально выпуклого пространства
(л. в. и.) Е может быть задана нок-рым множеством
полунорм — например, множеством калибровочных
функций (функционалов Минковского) произвольной
предбазы окрестностей нуля в Е, состоящей из закруг-
закругленных выпуклых множеств.
Подмножество Т. в. п. наз. ограниченным,
если оно поглощается всякой окрестностью нуля.
Т. в. п. наз. нормируемым, если его топо-
топология может быть задана одной нормой. Для того чтобы
Т. в. п. над полем R или С было нормируемым, необ-
необходимо и достаточно, чтобы оно было отделимым и об-
обладало выпуклой ограниченной окрестностью нуля
(теорема Колмогорова).
5. Пусть п — натуральное число, /„ — множество,
содержащее п элементов и Ki=K1Qn. Топология в К."
определяется нормой Цж||=2-_ l^'l' гДе оимвол I •'
обозначает норму в К. Если поле К полно, то всякое га-
мерное Т. в. п. над К изоморфно пространству А о
(при д=1 это верно и без предположения полноты К).
Если поле К локально компактно, то для того, чтобы
отделимое Т. в. п. над К было конечномерным, необ-
необходимо и достаточно, чтобы оно обладало предкомпакт-
ной окрестностью нуля (теорема Тихонова).
Т. в. п. наз. м е т р и з у е м ы м, если его топо-
топология может быть задана нек-рой метрикой (среди та-
таких метрик всегда существует метрика, инвариантная
относительно сдвигов). Для метризуемости Т. в. п.
необходимо и достаточно, чтобы оно было отделимым
и обладало счетной базой окрестностей нуля.
6. Пусть (Е, т) — Т. в. п., Ех— векторпое подпро-
подпространство векторного пространства Е, тх— топология,
индуцированная в Ех топологией Е. Топология хх со-
согласуется со структурой векторного пространства Et;
Т. в. п. (Е1: Tj) наз. топологическим век-
векторным подпространством Т. в. п.
(Е, т). Если 41 — база (соответственно, предбаза) ок-
окрестностей нуля в (Е, т), то множество {Vf\Ex : V?4l}
образует базу (соответственно, предбазу) окрестностей
нуля в (Ei, т^). Если (Е, т) отделимо (соответственно,
метризуемо, локально выпукло), то и (Е\, тх) такоио же.
Если топология т задается нек-рым множеством по-
полунорм, то топология Tj определяется сужениями этих
полунорм на Ех.
7. Пусть (Е, т) и Ег— те же, что в предыдущем пунк-
пункте, и Е\ЕХ— факторпространство векторного простран-
пространства Е по его подпространству Ех. Фактортонология
т3 в Е\Е1 согласуется со структурой векторного про-
пространства в E\Ei\ Т. в. п. (?"[^1, т2) наз. т о и о л о г и-
ч v, с ким векторным факт о р н р о v т р а н-
ством Т. в. н. (Е, х) по Ех. (По определению фак-

тортопологии, множество VclE\Ex открыто в т2 в точно-
точности тогда, когда ого прообраз относительно канонич.
отображения Е-*-Е\Е^ открыт в (Е, х). Если 11 — база
окрестностей нуля и Е, то множество образов ое эле-
элементов относительно канонич. отображения Е—>Е\ЕХ
образуют базу окрестностей нуля в (Е\Е1: т2) (для
предбаз это, вообще говоря, но так). Для того чтобы
Т. в. и. (Е\ЕЪ х2) было отделимым, необходимо и до-
достаточно, чтобы подпространство Ех было замкнуто в
(Е, т). Если {0} — замыкание одноточечного множества
{0} в (Е, х), то (отделимое) топологич. векторное фак-
торпространство El{0} наз. отделимым Т. в. п.>
ассоциированным с Т. в. п. Е\ конечно,
если само Е отделимо, то ассоциированное с ним отде-
отделимое Т. в. п. ему изоморфно. Если Е локально выпук-
выпукло (соответственно, если Е метризуемо, а Ег замкнуто;
если Е метризуемо и полно), то Е\ЕХ локально выпукло
(соответственно, метризуемо; полно); однако Е может
быть полным (неметризуемым) боз того, чтобы (даже от-
отделимое и ыетризуемое) его топологическое векторное
факторпространство было полно (см. ниже).
8. Пусть <jF — векторное пространство всех измери-
измеримых по Лебегу дейстиительных функций на [0, 1], цг --
мера Лобэга на этом отрезке и для каждого п ? % j
Множество <И= {Vn : n?N] образует базис фильтра в
§~, обладающий (определенными выше) свойствами A)
и B); пусть т — согласующаяся со структурой век-
векторного пространства топология в |р, для к-рой %
является базой окрестностей нуля, и ,р — ассоцииро-
ассоциированное с (§", т) отделимое Т. в. п. (само (§", х) неотде-
неотделимо). Т. в. п. <jp0 метризуемо, но не локально выпук
ло; его можно отождествить — как векторное про
странство — с пространством классов |1Гэквивалею
ных ц^-измеримых действительных функций на f0, 1|;
сходимость последовательностей в пространстве (Jf, т)
(соответственно, в пространстве |р0) совпадает со схо
димостью по мере (в первом случае — индивидуальных
функций, а во втором — классов ^-эквивалентности
таких функций).
Всюду далее предполагается, что K=R или К~С.
9. Пусть S = S(R") —векторное пространство всех
бесконечно дифференцируемых функции гр, определен-
определенных на R", принимающих значения в К и удовлетворя-
удовлетворяющих следующему условию [далее i=(i1, . . ., )?R}
для всех k, r? % +
Prk (ф) = max A + || t f) || ф*А) (t) |] < оо,
где РЫ2\*1\*I12,
Л J*(P(^J:fc1-+ ...+к„--=к
Наделенное топологисч! т^, задаваемой семейством норм
prk, определяемых предыдущим равенством, S ста
новится полным метризуемым локально выпуклым про-
пространством (такие пространства наз. пространст-
пространствами Ф р о ше). Пространство (Si,Xg) играет важ-
важную роль в теории обобщенных функций. Интересно,
что па S не существует никакой нормы, превращающей
S в банахово пространство, в топологии к-рого каж-
каждая из функций фн-ф(г), S-+K(t?R) непрерывна
(в частности, л. в. п. E, Tj) нонормируемо).
Некоторые методы построения Т. в. п. 1. II р о е к-
т и в н ы е топологии. Пусть Е — векторное
пространство и для каждого а \п нек-рого множества
31 индексов ga — линейное отображение Е в Т. в. п.
Еа; тогда в Е среди всех топологий, для к-рых непре-
i рывны все отображения ga, существует самая слабая

топология т (она является верхней гранью семейства
топологий fea1 (тя) : а?21}, где для каждого a ха —
топология в Ёа). Топология т наз. проективной
топологией — а наделенное ею пространство Е —
проективным пределом семейства про-
пространств Еа относительно отображений ga; топология
ха согласуется со структурой векторного пространства
в Е, а если все пространства Е локально выпуклы, то
таково же и (Е, т). (Иногда термин «проективный пре-
предел» используется для обозначения несколько более
специальной конструкции, а не как синоним термина
«пространство, наделенное проективной топологией»,—
см. Локально выпуклое пространство.) Примеры
проективных пределов: а) произведение семейства век-
векторных пространств {Еа}, наделенное проективной то-
топологией относительно отображений ga, представляю-
представляющих собой соответствующие проекции — отсюда и тер-
термин «проективный предел»; б) пусть Е — векторное
пространство и {ха} — семейство топологий в Е, со-
согласующихся со структурой векторного пространства;
пространство Е, наделенное верхней гранью топологий
семейства {ха}, — это проективный предел семейства
Т. в. п. {(Е, ха)} относительно отображений, каждое
из к-рых совпадает с тождественным отображением
Е->-Е; в) тоцологич. векторное подпространство Ех
Т. в. п. Е — это проективный предел одноэлементного
семейства {Е} относительно отображения, представляю-
представляющего собой канонич. вложение Е-^-^-Е; г) произволь-
произвольное л. в. п. представляет собой проективный предел
нек-рого семейства банаховых пространств.
2. Индуктивные топологии. Пусть Е —
векторное пространство и для каждого а из нек-рого
множества 91 индексов ga — линейное отображение
Т. в. п. Еа в Е. Тогда в Е существуют: а) сильнейшая
среди всех топологий, для к-рых каждое из отображе-
отображений ga непрерывно; б) сильнейшая среди всех тополо-
топологий, согласующихся со структурой векторного про-
пространства, для к-рых эти же отображения непрерывны;
в) сильнейшая среди всех локально выпуклых тополо-
топологий, для к-рых все отображения ga непрерывны (даже
в том случае, когда все Еа — л. в. п., эти три топо-
топологии могут быть различными). Если все Еа — л. в. п.,
то пространство Е, наделенное топологией, определен-
определенной в пункте в), наз. индуктивным преде-
пределом семейства {Еа} л. в. п. относительно отобра-
отображений ga, а сама эта топология — индуктивной
топологией (того же семейства л. в. п. относи-
относительно тех же отображений). Термин «индуктивный
предел» также используется в различных смыслах;
здесь приведено самое широкое из встречающихся в
литературе его определений. Индуктивная топология
является и проективной как верхняя грань нек-рого
множества топологий. Примеры индуктивных пре-
пределов. 1) Локально выпуклая прямая сумма се-
семейства {Еа} л. в. п. Это — алгебраич. прямая сумма
Е семейства векторных пространств {Еа}, наделенная
индуктивной топологией семейства л. в. п. {Еа} от-
относительно отображений ga, представляющих собой
канонич. вложения пространств Еа в Е. 2) Пусть Е ¦—
векторное пространство и {ха } семейство локально вы-
выпуклых топологий в Е, согласующихся со структурой
векторного пространства, их — их нижняя грань в
классе локально выпуклых топологий. Л. в. п. (Е, х) —
это индуктивный предел семейства л. в. п. {Еа} отно-
относительно отображений, каждое из к-рых совпадает с
тождественным отображением Еа-+Е. 3) Пусть Е —
л. в. п., Е\ — его векторное подпространство. Тополо-
гич. векторное факторпространство Е\ЕХ представляет
собой индуктивный предел одноэлементного семейства
{Е} относительно канонич. отображения Е-+Е\Е1.
4) Л. в. п. наз. б о р н о л о г и ч е с к и м, если вся-
всякое его линейное отображение в ироизвольное банахово

пространство, переводящее каждое ограниченное мно-
множество в ограниченное, непрерывно. Л. в. п. является
борнологическим в том и только в том случае, если
оно представляет собой индуктивный предел нек-рого
семейства нормируемых л. в. п. 5) Пусть Q — непу-
непустое открытое подмножество пространства R" и для
каждого компакта KcQ D% — топологическое в.ек-
торное подпространство пространства (S (Rn), xs),
образованное — как векторное пространство — всеми
функциями из S (R"), обращающимися в нуль вне
К. Пусть D (Q) — векторное пространство (J {D% :
KcQ}, наделенное индуктивной топологией семей-
семейства л. в. п. {DK : KczQ} относительно канонич. вло-
вложений DK^>DQ. Л. в. п. D(Q) (также играющее важ-
важную роль в теории обобщенных функций) полно, се-
парабельно, неметризуемо; оно финально компактно
и потому паракомпактно и, следовательно, нормально.
Л. в. п. D (Q) обладает неполным метризуемым фактор-
пространством [11].
3. Пространства отображений.
Пусть Е — Т. в. и., Т — нек-рое множество, сг — мно-
множество нек-рых подмножеств Т, направленное по вклю-
включению, то есть обладающее следующим свойством: для
всех Вх, S2?a существует В3?о, B3z^B1\JB2; L —
нек-рое векторное пространство отображений Т в Е
(с естественными алгебраич. операциями) и 1L — база
окрестностей нуля в Е. Для В ?а и V?tl пусть vb; y=
= {g?L, g(B)<zV}; множество {vb:v:B?o, V^%}
является базой окрестностей нуля (роль к-рого играет
отображение f?L, переводящее все Т в нуль простран-
пространства Е), единственной инвариантной относительно
сдвигов топологии в L, наз. топологией рав-
равномерной сходимости на множествах из
а или, короче, a-т опологией. Эта топология
согласуется со структурой векторного пространства в
L в том и только в том случае, если, каковы бы ни были
В ?а и f?L, множество f(B) ограничено в Е. Так бу-
будет, в частности, если a — это множество всех конеч-
конечных подмножеств множества Г; в этом случае a — то-
топология в L наз. топологией поточечной
сходимости. Эта топология является проективной
топологией (в L) семейства{Ef : t?T}, элементы к-рого
представляют собой различные экземпляры простран-
пространства Ко относительно отображений L—>-Et, g\-*g(t).
Пространство L, наделенное a-топологией, будет обоз-
обозначаться символом La; если Е — Т. в. п., причем все
отображения, являющиеся элементами пространства L,
линейны и непрерывны, а все множества, являющиеся
элементами а, ограничены в Т, то La — также Т. в. п.;
если к тому же Е — л. в. п., то и La — я. в. п. Век-
Векторное пространство всех линейных непрерывных отоб-
отображений Т. в. п. Ег в Е2 обозначается символом
?{ЕХ, 2?2), В частности, пусть Е — л. в. п. Простран-
Пространством, (топологически) сопряженным
к Е, наз. векторное пространство Е' всех линейных не-
непрерывных функционалов на Е; таким образом,
Е' = Х(Е, К). Наделенное топологией сходимости на
множестве {5 всех ограниченных подмножеств л. в. п. Е,
оно наз. сильным сопряженным (а его
топология — сильной топологией) и обоз-
обозначается символом ?g. Тонология поточечной сходи-
сходимости в Е' наз. также слабой топологией;
общепринятое обозначение для пространства Е', на-
наделенного слабой топологией,— Еа. Топология про-
произвольного л. в. и. может рассматриваться как топо-
топология сходимости на нек-ром множестве подмножеств
сопряженного пространства.
4. Тензорные л р о и з в о д е ы и я. Пусть Ех
и Е2 л. в. п., E1(y)!ii — их алгебраич. тензорное произве-
произведение та Ь — канонич. билинейное отображение тополо-

гич. произведения EtXE2 в Е1(у)Е2. Проектив-
Проективной (соответственно, индуктивной) тополо-
топологией в Е㧧Е2 наз. самая сильная среди всех локально
выпуклых топологий в Ег@Е2, для к-рых отображение
Ь непрерывно (соответственно, раздельно непрерывно).
Хотя эта терминология не вполне последовательна,
она является общепринятой. Ллв. п., получающееся в
результате наделения векторного пространства Ег@Е2
проективной (соответственно, индуктивной) топологи-
топологией, обозначается символом Е1флЕ2(Е10!Е2), а его
пополнение — символом Е1@пЕ2(Е1@1Е2). Простран-
Пространства Ex@nE2 и EiQ)iE2 наз. локально выпук-
выпуклыми тензорными произведениями со-
соответствующих л. в. п., а их пополнения — полными
локально выпуклыми тензорными произведениями.
Существуют — помимо введенных — и другие локаль-
локально выпуклые тензорные произведения; они получаются
путем наделения алгебраического тензорного произве-
произведения топологиями, отличными от описанных. Многие
свойства тензорных произведений упрощаются, когда
одно из пространств-сомножителей — ядерное про-
пространство.
Примеры. Л. в. п. 5(R")@n5(Rft), 5(R")(g),-5(Rft)
и ?(Rn + *) канонически изоморфны (изоморфизм пер-
первых двух л. в. п. является следствием того, что всякое
раздельно непрерывное билинейное отображение про-
произведения пространств Фрете в произвольное л. в. п.
непрерывно). Л. в. п. D (Rn)®,-D (Щ и Z»(R« + *) также
канонически изоморфны; векторные пространства
()® () и C(Rn + A) канонически изоморфны,
хотя топологии в них не совпадают [8], [9].
Двойственность. Важную роль при исследовании
л. в. п. играет использование двойственности между
л. в. п. и его сопряженным. В частности, нек-рые свой-
свойства л. в. п. зависят лишь от объема сопряженного про-
пространства. Так, если Е — л. в. п., и Е'— его сопряжен-
сопряженное, то для всех локально выпуклых топологий в Е, со-
согласующихся с двойственностью между Е и ?", огра-
ограниченные множества — одни и те же и замкнутые
выпуклые множества также одни и те же.
Теория двойственности оказывается полезной при
исследовании полных пространств. Так, л. в. п. (соот-
(соответственно, метризуемое л. в. п.) Е полно в том и
только в том случае, если всякое гиперподпрострапст-
во (соответственно, выпуклое подмножество) его со-
сопряженного Е', обладающее замкнутыми в топологии
а(Е', Е) пересечениями с полярами всех окрестностей
нуля пространства Е, само замкнуто в этой тополо-
топологии (теоремы Банаха-Грот ендика и
К рейна-Шмульяна).
В связи с этим вводятся следующие определения.
Л. в. п. наз. В г- п о л н ы м (соответственно, совер-
совершенно полным, гиперполным, про-
пространством Крейн а—III м у л ь я н а), если
всякое всюду плотное линейное подпространство (соот-
(соответственно, линейное подпространство, абсолютно вы-
выпуклое подмножество, выпуклое подмножество) про-
пространства (?", о(Е', Е)), обладающее замкнутыми пере-
пересечениями с полярами всех окрестностей нуля из Е,
само является замкнутым. Эти классы пространств
играют важную роль в обобщениях теорем Банаха о
замкнутом графике и открытом отображении (см. ниже).
Полные метризуемые л. в. п. и сильные сопряженные
к рефлексивным (см. ниже) метризуемым л.' в. п. вхо-
входят в каждый из этих классов; в то же время простран-
пространства D и D' не входят ни в один из них. Классы гипер-
гиперполных пространств и пространств Крейна — Шмулья-
на не совпадают, однако до сих пор A984) не известно,
совпадают или нет классы #г-полных и гипернолных
пространств.

С помощью теории двойственности доказываются
также следующие предложения о компактных под-
подмножествах л. в. п. 1) Пусть Е — л. в. п. тл Н — под-
подмножество Е, замкнутая выпуклая оболочка которого
полна в топологии Макки. Если всякая последователь-
последовательность элементов из Н обладает в Е предельной точ-
точкой, то Н относительно компактно (теорема
Э б е р л е и н а). 2) Пусть Е — мотризуемоо л. в. п.,
{.г,,} — последовательность в Е, всякая подпоследова-
подпоследовательность к-рой обладает в (Е, а(Е, Е')) предельной
точкой. Тогда из последовательности {хп} можно изв-
извлечь сходящуюся1 подпоследовательность (теорема
Ш м у л ь я н а). 3) Пусть В — компактное подмноже-
подмножество в отделимом л. в. п. Е и С — замкнутая вы-
выпуклая оболочка В. Тогда С компактно в том и толь-
только в том случае, когда оно полно в топологии Макки
(теорема К р е й н а).
Л. в. п. Е наз. полурефлексивным (соот-
(соответственно, рефлексивным), если канонич. вло-
вложение il->fei->g(x)], E-+(E$)'fi представляет собой изо-
изоморфизм векторных пространств (соответственно, изо-
изоморфизм Т. в. п.). Для того чтобы л. в. п. Е было полу-
полурефлексивно, необходимо и достаточно, чтобы всякое
его ограниченное подмножество было относительно
компактно в топологии а(Е, ?"); для того чтобы оно
было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы
оно было полурефлексивным и бочечным пространством.
Отображения Т. в. п. 1. Т е о р е м ы о замкну-
замкнутом графике и открытом отображе-
н и и. Линейное отображение Т. в. п. Ех в Т. в. п.
Е2 наз. топологическим гомоморфиз-
м о м, если оно переводит всякое открытое в Е1 мно-
множество в множество, открытое в f(E1) (в топологии,
индуцированной топологией пространства Е2). Г р а-
ф и к о м отображения / : Е\-+Е2 наз. множество
{(х, f(x):x?E1}c:E1xE!,.
Пусть ^ и $2 — два класса Т. в. п. Говорят, что
для пары ($i, <§г) справедлива теорема о замкнутом
графике (соответственно, о гомоморфизме), если для
всех Е1^(^1, Е2?$2 всякое линейное отображение
/ : Ег-+Е2, обладающее замкнутым в Т. в. п. ?11Х?12
графиком, непрерывно (соответственно, если всякое
непрерывное линейное отображение Ег на Ех является
топологич. гомоморфизмом). Если (§ — класс всех
полных метризуемых Т. в. п., то для пары (<§, (§)
справедливы как теорема о замкнутом графике, так
и теорема о гомоморфизме (теорема Банаха).
Этот результат усилен: пусть $х — класс всех отде-
отделимых л. в. и., являющихся индуктивными предела-
пределами семейств банаховых пространств, а $2 — наимень-
наименьший класс л. в. п., содержащий все полныеметризуе-
мые л. в. п. и замкнутый относительно образования
проективных и индуктивных пределов счетных семейств
входящих в него пространств. Тогда для пары ($1, <§2)
справедливы теоремы о замкнутом графике и гомомор-
гомоморфизме (теорема Райкова) [все встречающиеся
в функциональном анализе сепарабельные л. в. п. в их
неослабленной топологии входят сразу в оба эти клас-
класса]. Фактически сформулированное утверждение до-
доказано для нек-рого, более широкого, чем $2, класса
<§2 Т. в. п. и для многозначных линейных отображе-
отображений; описан [7] еще один класс $'2Z2<§'i Т. в. п., к-рый
может играть в сформулированном утверждении роль
класса <§2 — т. н. пространства с сетью.
Пусть $, <§ф, ^L), соответственно,— классы всех
бочечных, всех совершенно полных и всех Вг-полных
л. в. ц. Тогда для пары (<§, <§Гф) справедлива тео-
рема о замкнутом графике, а для пары (
С/
теорема о гомоморфизме.

2. Теоремы о неподвижных точках.
а) Пусть Е — отделимое л. в. п., К — его непустое
выпуклое компактное подмножество и / — отображе-
отображение множества К в множество его непустых выпуклых
замкнутых подмножеств. Пусть для каждого х?К и
каждой окрестности 11 множества f(x) существует та-
такая окрестность <у* точки х, что /(°l^>f) К)с:11 (это
свойство отображения / наз. его полунепрерыв-
полунепрерывностью сверху). Тогда существует точка z ? К
такая, что z?f(z) — «неподвижная точка» отображения
/ (теорема Фаня — обобщение теорем ы
Шаудера — Тихонова), б) Пусть Е — отде-
отделимое Т. в. п., К — его непустое компактное выпуклое
подмножество и Г — некоторое множество попарно
коммутирующих непрерывных отображений множества
К в К, обладающее следующим свойством: если х,
z?K, a, p"?R, а, Р>0, а+р" = 1, то g(ow:+Pz)=
=<xg(x)+pg(z). Тогда существует точка zo?A' такая,
что g(zo) = zo для всех g? Г (теорема Марко-
ва — Какутани).
3. Важное значение в теории ЛВП имеют также
Хана — Банаха теорема и Банаха — Штейнхауза те-
теорема.
Ряд интересных результатов получен в теории мер,
принимающих значения в л. в. п. и (особенно) в свя-
связанной с теорией случайных процессов теории число-
числовых цилиндрич. мер, определенных на л. в. п.
Возник и продолжает развиваться математич. ана-
анализ (в широком смысле) на Т. в. п.— т. н. б е с к о н е ч-
но мерный анализ. Являясь продолжением
классич. анализа, он в то же время качественно отли-
отличается от него как постановками задач и результатами,
так и методами. Бесконечномерный анализ включает
нюрию дифференцируемых отображений Т. в. п. и
дифференцируемых мер на Т. в. п.; теорию обобщенных
функций и мер (распределений) на Т. в. п.; теорию диф-
Ьгренциальных уравнений — как относительно функ-
щш вещественного аргумента, принимающих значения
Т. в. п., так и относительно числовых функций и мер
(возможно, обобщенных), определенных на Т. в. п.
На языке бесконечномерного анализа весьма естест-
¦ii'iiHO формулируются основные задачи физики беско-
бесконечномерных систем — квантовой теории поля, ста-
тистич. механики, гидродинамики,— а также нек-рые
математич. задачи, первоначально возникшие вне бе-
бесконечномерного анализа.
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Топологические векторные про-
пранства, пер. с франц., М., 1959; [2] Робертсон А.,
1'обертсон В., Топологические векторные пространства,
пер. с англ., М., 1967; [3] Ш е ф е р X., Топологические вектор-
векторные пространства, пер. с англ., М., 1971; [4] Эдварде Р.-Э.,
Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969; Г.1)] II и ч А.,
Мдерные локально выпуклые пространства, пер. с нем., М., 1967;
[fil его ш е, Операторные идеалы, пер. с англ., М., 1982; Г7]
W i I d e M. d e, Closed graph theorems and webbed spaces, L.,
1978; [8] S с h w а г t z L., Theorie des distributions, [2 ed.], P.,
1957; nouv. ed., P., 1973; его же, Theorie des distributions a
valeurs victorielles, Chartres, 1959; [9] Ш а в г у л и д з е Е. Т.,
«Функц. анализ и его прил.», 1977, т. 11, в. 1, с. 91—92; [10]
С и о л я и о в О. Г., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1971, т. 35,
Л' 3, с. 682—96; [И] его же, Анализ на топологических ли-
линейных пространствах и его приложения, М., 1979.
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО — кольцо R, являю-
являющееся топология, пространством, причем требуется,
чтобы отображения
(х, у) -+ х — у и (х, у) -> ху
были непрерывны. Т. к. R наз. отделимым, если
оно отделимо как топологич. пространство. В этом
случае пространство R хаусдорфово. Любое подкольцо
М Т. к. R, а также факторкольцо R/J по идеалу /
являются Т. к. Если R отделимо и идеал / замкнут,
то RlJ — отделимое Т. к. Замыкание М подкольца
М в R также является Т. к. Прямое произведение то-
нологич. колец — Т. к.

Гомоморфизм топологич. колец — это го-
гомоморфизм колец, являющимся непрерывным отобра-
отображением. Если / : R1-^-R2— такой гомоморфизм, причем
/ — эпиморфизм и открытое отображение, то К.г как
Т. к. изоморфно кольцу i?!/Ker/. Примеры Т. к. достав-
доставляют банаховы алгебры. Важный тип Т. к. определя-
определяется тем условием, что в качестве фундаментальной
системы окрестностей нуля можно выбрать некото-
некоторое множество идеалов. Например, с любым идеалом m
коммутативного кольца R связана m-адическая то-
топология, в к-рой множества т" для всех натураль-
натуральных п образуют фундаментальную систему окрестностей
нуля. Эта топология отделима, если выполнено условие
Для Т. к. R определено его пополнение R, являю-
являющееся полным Т. к., причем отделимое кольцо if вкла-
вкладывается в R, к-рое тоже отделимо, как всюду плотное
подмножество. Аддитивная группа кольца R совпадает
с пополнением аддитивной группы кольца R как абеле-
вой топологич. группы.
Лит.: [1] Бурбаки Н., Общая топология. Топологи-
Топологические сруппы. Числа и связанные с ними группы и пространства,
пер. с франц., М., 1969; [2] е г о же, Коммутативная алгебра,
пер. с франц., М., 1971; [3] П о н т р я г и н Л. С, Непрерыв-
Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [4] В а н дер В а р д е н Б. Л.,
Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979. Л. В. Кузьмин.
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПОЛЕ — топологическое коль-
кольцо К, являющееся полем, причем дополнительно тре-
требуется, чтобы отображение а-+а~1 было непрерывно на
i?\{0}. Любое подполе Р Т. п. К и замыкание Р поля
Р в К снова являются Т. п.
Связные локально компактные Т. п. исчерпываются
полями R и С (см. Локально компактное тело). Каж-
Каждое нормированное поле является Т. п. относительно
топологии, порождаемой нормой (см. Нормирование,
Абсолютное значение). Если существуют два веществен-
вещественных нормирования и к о поля Р, каждое из к-рых прев-
превращает Р в полное Т. п., и топологии хи и xv, порождае-
порождаемые аи», различны, то поле Р алгебраически замкнуто.
Поле С — единственное вещественно нормированное
расширение поля R.
На каждом поле бесконечной мощности т существует
ровно 22Т различных топологий, превращающих его
в Т. п. Топология Т. п. либо антидискретна, либо
вполне регулярна. Построены Т. п., топология к-рого
не нормальна, и Т. п., топология к-рого нормальна,
но не наследственно нормальна. Т. п. либо связно,
либо вполне несвязно. Существует связное Т. п. любой
конечной характеристики. Неизвестно A983), можно
ли каждое Т. п. вложить в связное Т. и. в качестве
подполя. В отличие от топологич. колец и линейных
топологич. пространств, не каждое вполне регулярное
топологич. пространство можно вложить в качестве
подпространства в Т. п. Так, напр., псевдсгкомпактное
(в частности, бикомпактное) подпространство Т.п. всегда
метризуемо. Однако каждое вполне регулярное про-
пространство, допускающее взаимно однозначное непре-
непрерывное отображение на метрич. пространство, вкла-
вкладывается в нек-рое Т. п. в качестве подпространства.
Если в Т. п. Р есть хоть одно счетное незамкнутое мно-
множество, то существует более слабая метризуемая то-
топология на поле Р, превращающая его в Т. п.
Для Т. п. К определено его пополнение К — полное
топологич. кольцо, в к-роо К вкладывается как всюду
плотное подполе. Кольцо А может иметь делители нуля.
Однако пополнение всякого вещественно нормиро-
нормированного Т. и. есть вещественно нормированное Т. п.
Лит.: [1] П о и т р я г и н л. С, Непрерывные группы,
3 изд., М., 1973; [2] W i { s I a w W., Topologies] fields, Wroc-
Wroclaw, 1982; 13] Шахматов д. Б. «Докл. АН СССР»,
1983, т. 271, Mi 6, с. 1332—36. Д. Б. Шахматов.

ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, тихо-
тихоновское произведение, семейства тополо-
топологических пространств {(Ха, аГа) '¦ а?/4 } — топологич.
нространстио (X, df), где X — декартово произведе-
произведение (т. е. полное прямое произведение) множеств Ха
но а?А и ?Г— слабейшая (т. е. наименьшая) тополо-
топология на множестве X такая, что все отображения есте-
естественного проектирования ла : (X, ?Г)-*-(Ха, <0~а) не-
непрерывны . Топология $~ наз. при этом топологией
произведения, а Т. п. (X, J7") наз. также то-
топологич. произведением семейства пространств {(Ха,
$~а) :а?А).
Стандартной базой топологич. пространства (X, ^р")
служит семейство всех множеств вида л~1([/(х )П ¦ • • П
Пл~1(?7а ), где aj, . . ., а„ — произвольный конеч-
конечный набор элементов индексирующего множества А,
а Ua_ —• любой элемент топологии oF"a., г = 1, . . ., п.
В частности, если семейство {(Ха, $~а) : а?А } сос-
состоит из двух пространств X и У, то базу топологии
произведения Z=XXY образуют множества вида
UX V, где U — произвольное открытое множество в
X, а V —¦ произвольное открытое множество в
Y. Аналогично описывается база топологии произве-
произведения любого конечного упорядоченного множества
топологич. пространств. Примеры Т. п.: плоскость —
произведение двух прямых, п- мерное пространство
R" — произведение п прямых, тор — произведение
двух окружностей.
Первоначальные попытки определения Т. п. беско-
бесконечного множества топологич. пространств относились
к случаю метризуемых сомножителей. Соответственно,
топологию произведения пытались указать в терминах
сходимости обычных (счетных) последовательностей.
Когда семейство сомножителей несчетно, получить
на этом пути тот же результат, что и выше, было не-
невозможно, так как оператор замыкания в Т. п. несчет-
несчетного множества неодноточочных метризуемых про-
пространств не может быть описан на языке сходящихся
последовательностей или сведен к замыканиям счет-
счетных множеств.
Определение Т. п. произвольного бесконечного мно-
множества топологич. пространств было дано А. Н. Тихо-
Тихоновым A925). Он же доказал, что Т. п. бикомпактных
пространств всегда является бикомпактным простран-
пространством.
Операция Т. п. является одним из главных средств
формирования новых топологич. объектов из уже имею
щихся. С ее помощью конструируется ряд основных
стандартных объектов общей топологии — в частности,
тихоновские куба Iх, определяемые как топологич.
произведение семейства мощности т отрезков числовой
прямой. По теореме Тихонова, все тихоновские кубы
бикомпактны. А. Н. Тихонов доказал, что всякое впол-
вполне регулярное ^-пространство гомеоморфно подпро-
подпространству иек-рого куба Iх.
Кроме кубов Iх важную роль в топологии играют
пространства Dx и Fx, являющиеся соответственно
произведениями т штук пространств, состоящих из
двух изолированных точек (простых двоеточий D) и
двухточечных пространств с одной изолированной
точкой (связных двоеточий /'). Всякий компакт есть
непрерывный образ канторова совершенного множест-
множества, т. е. пространства, гомеоморфного произведению
счетного числа простых двоеточий D; всякое индуктивно
нульмерное пространство, т. о. Гд-пространство, в
к-ром открыто-замкнутые множества образуют базу,
гомеоморфно подмножеству нек-рого канторова ди-
дисконтинуума Dx; всякое Го-пространство гомеоморф-
по подмножеству пространства Fx.

В связи с силой и ролью операции Т. п. центральное
место в проблематике общей топологии занимают во-
вопросы поведения топологич. свойств при операции
Т. п. Устойчивы относительно операции Т. п. классы
хаусдорфовых пространств, регулярных пространств
и вполне регулярных пространств. Но произведение
нормального пространства на отрезок может быть не
нормальным пространством, не устойчивым относитель-
относительно операции Т. п., даже в случае конечного числа со-
сомножителей, такие важные топологич. свойства, как
лпнделёфовость и паракомпактность.
Важную роль в общей топологии и ее приложениях
(в частности, к построению моделей теории множеств)
играет теорема: число Суслина Т. п. любого множества
сепарабельных топологич. пространств счетно. В част-
частности, счетно число Суслина любого тихоновского куба.
Операция Т. п. порождает, путем выделения во
всем Т. п. определенных подпространств, весьма по-
полезные операции 2-произведения и а-произведения.
К совершенно иной топологии на декартовом произве-
произведении множеств Ха приводит операция ящичного произ-
произведения топологий <$~а-
Лит.: Ll] Архангельский А. В., П о и о м а-
р е в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнени-
упражнениях, М., 1974; [2] Б у р б а к и Н., Общая топология. Основный
структуры, пер. с франц., М., 1968; [3] А л с к с а н д р о в П. С,
Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977.
А. В. Архангельский, В. В. Федорчуп.
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — совокуп-
совокупность двух объектов: множества X, состоящего
из элементов произвольной природы, наз. точ-
точками данного пространства, и из введенной в
ото множество топологической структу-
р ы, или топологии, все равно — открытой или
замкнутой (одна переходит в другую, если заменить
множества, составляющие данную топологию, их
дополнениями). Если не сказано противное, под топо-
топологией (й будет пониматься открытая топология. Ло-
Логически самый простой способ определения топологии
в данном множестве X заключается в непосредственном
указании тех подмножеств множества X, к-рые сос-
составляют эту топологию. Но часто проще определять
не все множества, являющиеся элементами данной то-
топологии, а только нек-рые множества этих элементов
(т. е. базу данной топологии), достаточные для того,
чтобы все остальные элементы топологии получались
как объединения (в случае открытой топологии) или
пересечения (в случае замкнутой) множеств, к-рыо сос-
составляют базу. Так, напр., обычная топология числовой
прямой получается, если определить в качестве базы
ее открытой топологии множество всех интервалов
(можно ограничиться даже одними интервалами с ра-
рациональными концами). Остальные открытые множества
суть объединения интервалов.
Имея в виду базу открытой и, соответственно, зам-
замкнутой топологии, часто говорят об открытой, соответ-
соответственно, замкнутой базе данного Т. п., причем откры-
открытые базы рассматриваются чаще замкнутых, поэтому
если говорят просто о базе Т. п., то всегда имеют
в виду его открытую базу. Наименьшее кардинальное
число (в нетривиальных случаях бесконечное), явля-
являющееся мощностью какой-либо базы данного Т. п., наз.
его весом. После мощности множества всех точек про-
пространства вес является важнейшим т.н. кард и-
нальнонначным инвариантом про-
пространства. Особенно важны пространства, имею-
имеющие счетную базу; напр., числовая прямая есть такое
пространство. Аналогично, счетная база евклидова
«-мерного пространства получается, если взять т. и.
рациональные (открытые) шары, т. е. шары, радиус
к-рых и координаты центра к-рых суть рациональные
числа. Часто приходится определять тем или иным
стандартным (естественным) способом топологию во

множестве, снабженном какой-либо другой структурой.
Так, говорят об естественной топологии метрич. про-
пространства или об естественной (интервальной) тополо-
топологии упорядоченного множества. Первая имеет своей ба-
базой множеств всех открытых шаров данного метрич.
пространства, вторая — открытые интервалы данного
линейно упорядоченного множества.
Т. п. паз. м е т р и з у е м ы м, если во множестве
X его точек можно ввести метрику р, порождающую
топологию данного Т. п. Метризуемые пространства
образуют один из важнейших классов Т. п., и к цен-
центральным проблемам общей топологии принадлежали
в течение нескольких десятилетий общая и специ-
специальная проблемы метризации, т. е. проблемы на-
нахождения необходимых и достаточных условий для
того, чтобы Т. п. или Т. п. того или иного специаль-
специального класса было метризуемым. Эти условия состав-
составляют содержание общих или специальных метризаци-
метризационных теорем.
Всякое подмножество Хо множества X всех точек
данного Т. п. X, (S) естественно превращается в Т. п.
(подпространство пространства X, ©) с топологией,
элементы к-рой суть всевозможные множества вида
Х0Г|Г, где Г —любой элемент топологии ®. Пусть
дана (открытая) топология (S в множестве X, прев-
пащающая это множество в Т. п. X, ®. Т. к. тополо-
топология есть множество иек-рых подмножеств множества
X. то между различными топологиями в одном и том
же множестве X естественно устанавливается отноше-
отношение (частичного) порядка (по включению), т. е. топо-
топология @2 больше (или равна) топологии ®х, если ©i
есть подмножество множества @2, т. е. каждое мно-
множество, открытое в топологии ®х, будет открытым и в
топологии №2. Если в пределах данного рассуждения
речь идет об одной и той же топологии в данном мно-
множестве X, то обыкновенно Т. п. X, © обозначается
просто X. Из понятия топологии выводятся и все ос-
остальные основные топологич. понятия. Прежде всего
замкнутые множества определяются как дополнения к
открытым. Далее, окрестностью точки х в
данном пространстве X наз. всякое открытое множество,
содержащее точку х. Понятие окрестности позволяет
сразу же определить и понятие точки прикосно-
прикосновения для любого множества MdX как такой точки,
любая окрестность к-рой имеет непустое пересечение
с множеством М. Из этого определения следует, что
любая точка самого множества М является точкой при-
прикосновения этого множества. Множество всех точек
прикосновения множества М наз. замыканием
множества М и обозначается [М]. Переход от любого
множества М к его замыканию наз. операцией
замыкания в данном Т. п. Свойства этой опера-
операции: 1) MclM], причем М=[М] тогда и только тогда,
когда М замкнуто, т. е. его дополнение открыто;
2) \М1ЦМ2] = [М1][]Ш2]; 3) [[М]]=[М]. Замыкание
любого множества есть пересечение всех замкнутых
множеств, содержащих множество М\ другими сло-
пами, [М] есть наименьшее замкнутое множество, со-
содержащее множество М.
Операция замыкания и ее основные свойства 1), 2),
3) получены, исходя из основного (в нашем изложении)
понятия топологии или топологич. структуры, введен-
введенной в данное множество X. Можно было бы, наоборот,
считать основным топологич. понятием понятие за-
замыкания, т. е. считать, что в абстрактно данном мно-
множестве X для каждого подмножества М определено
подмножество [М], наз. замыканием множества, так
что выполнены свойства 1), 2), 3) (наз. в этом случае
аксиомами замыкания, или аксиом а-
м и И у р а т о в с к о г о) и 4) 0—- [и]. На основе
так введенного понятия замыкания замкнутые мно-
множества определятся как множества, совпадающие со

своими замыканиями, а открытые множества — как
множества, дополнительные к замкнутым; таким обра-
образом получается в точности топология в нашем перво-
первоначальном смысле, а операция замыкания, к к-рой она
приводит, совпадает с той, к-рая была дана априори.
Именно этот путь и был избран К. Куратовским (К- Ки-
ratowski, 1922) для построения понятия Т. п. В 1925
П. С. Александровым были введены открытые тополо-
гич. структуры. Оба подхода приводят к одному и тому
же классу Т. п., в настоящее время являющемуся об-
общепринятым.
С понятием Т. п. тесно связано понятие непрерыв-
непрерывного отображения одного пространства в другое. Ото-
Отображение / : X-+Y Т. п. X в Т. п. У н е п р е р ы в н о
в точке х?Х, если для любой окрестности Оу
точки y=f(x)?Y в пространстве У существует такая
окрестность Ох точки х в X, что f(Ox)c:Oy (условие
К о ши). При этом, не изменяя содержания определе-
определения, можно брать окрестности Оу и Ох из любых откры-
открытых баз соответственно пространств У и X. В частно-
частности, для метрич. пространств это определение непре-
непрерывности переходит в обычное известное из курсов
математич. анализа определение. Если отображение
/ : X-+Y непрерывно в каждой точке х?Х, то оно наз.
непрерывным отображением простран-
пространства X в пространство У. Для непрерывности отобра-
отображения / : X-*-Y каждое из следующих условий необхо-
необходимо и достаточно. 1) Если х есть точка прикосновения
какого-либо множества MdX, то f(x) есть точка при-
прикосновения множества f(M) в У. 2) Полный прообраз
/-1(Г) всякого открытого в У множества Г есть
открытое множество в X. Аналогично для замкнутых
множеств.
Если дано (непрерывное) отображение / Т. п. X
в Т. п. У и Хо есть подпространство пространства X,
то в силу отображения / пространство А'о отображается
в У и это отображение (наз. ограничением
отображения /: X-+Y на подпространство Хо)
также непрерывно.
Важный частный случай непрерывных отображений
образуют т.н. факторные отображения,
характеризующиеся каждым из следующих эквивалент-
эквивалентных между собой условий. Множество BdY открыто
(замкнуто) в У тогда и только тогда, когда f~1(B) об-
обладает тем же свойством в X. Если непрерывное отоб-
отображение / пространства X на пространство У взаимно
однозначно, то определено и обратное отображение
/-1 : Y-+-X, по ото отображение может не быть непре-
непрерывным. Если же оно непрерывно, то каждое из отоб-
отображений /, /~х взаимно однозначно отображает топо-
топологию одного из пространств X, У на топологию дру-
другого пространства. Тогда каждое из двух взаимно од-
однозначных отображений / и /~] наз. топологи че-
с к и м о т о б р а ж е н и с м, или г о м е о м о р-
ф и з м о м. Два пространства X и У, из к-рых одно
может быть гомеоморфно отображено на другое, наз.
г о м е о м о р ф п ы м и или топологически
у к в и в а л с н т н ы м и между собою.
Непрерывное отображение / : X-+-Y наз. попр и-
водим ы м, если при этом отображении никакое от-
отличное от всего X замкнутое множество М не отобра-
отображается на все У.
Конкретное изучение Т. п. связано прежде всего с
выделением из общего класса этих пространств под-
подклассов, характеризующихся теми или иными дополни-
дополнительными условиями или аксиомами, кроме первона-
первоначальных аксиом, определяющих топологию простран-
пространства. Эти дополнительные аксиомы бывают разной
природы. Прежде всего это группа т. и. аксиом
отделимости. Первой аксиомой отделимое!и бы-
была аксиома Хаусдорфа, заключающаяся в
требовании, чтобы любые две различные точки про-

странства были отделимы посредством окрестностей,
т. е. содержались в дизъюнктных открытых множе-
множествах (совокупность двух или более множеств дизъюнкт-
дизъюнктна или состоит из дизъюнктных множеств, если ути
множества попарно не имеют общих элементов). Ак-
Аксиома отделимости Хаусдорфа иначе наз. а к с и о-
м о и Т2, а удовлетворяющие ей Т. п. наз. х а у с д о р-
ф о в ы м и или TVn ростра нствами. Опреде-
Определив эти пространства, Ф. Хаусдорф (F. Hausdorff) в
1914 впервые открыл достаточно широкий и в то же
время достаточно богатый свойствами класс Т. п. и
тем удовлетворил уже вполне назревшую к тому вре-
времени потребность математики. Дальнейшее развитие
общей топологии исходит именно из хаусдорфовых
пространств. Ослаблением аксиомы Т% является а к-
с и о м a Tlt требующая, чтобы каждая из любых двух
точек Т. п. имела окрестность, не содержащую вторую
точку. Это требование равносильно требованию замкну-
замкнутости в данном пространстве всякого множества, со-
состоящего из конечного числа точек. Пространства,
удовлетворяющие этому требованию, наз. 7\-п р о с т-
ранствами. Еще более широкий класс Т. п. образу-
образуют Т0-п ространства, т.е. пространства, в к-рых
выполнена аксиома То (аксиома Колмо-
Колмогорова): из любых двух точек этого пространства
по крайней мере одна имеет окрестность, не содержа-
содержащую другую точку. Го-пространства могут состоять
из конечного числа и даже из двух точек, если одна
точка образует замкнутое множество, но не открытое,
а другая, наоборот, образует открытое, но не замкну-
замкнутое множество (связное двоеточие).
Аксиома Ts требует, чтобы произвольная точка
пространства и произвольное, не содержащее эту точ-
точку замкнутое множество были отделимы окрестностями,
т. е. содержались соответственно в двух дизъюнктных
открытых множествах. Пространства, удовлетворяющие
аксиоме Т3, наз. Т3-п ространствами. ^-про-
^-пространство может не удовлетворять аксиоме Tl7 таково,
напр., связное двоеточие. Го-пространства, удовлетворя-
удовлетворяющие аксиоме 7\, наз. регулярным и; все они —
хаусдорфовы пространства. Т. п. наз. Г4-п р о с т р а н-
с т в о м, если в нем всякие два дизъюнктные замкну-
замкнутые множества имеют дизъюнктные окрестности. Г4-
пространства, являющиеся в то же время Т^-нростран-
ствами, наз. нормальным и, все они регулярны
и подавно хаусдорфовы. Всякое множество Хо точек
Т. п. X, © получает топологию, однозначно опреде-
определенную топологией (У, и таким образом становится
топологич. подпространством пространства X, ©.
При этом всякое подпространство пространства,
удовлетворяющего аксиоме 7",-, t=0, 1, 2, 3, также
удовлетворяет аксиоме Г,-, т. е. аксиомы 7'; наследуются
всеми подпространствами данного пространства. Ак-
Аксиома Г4 этим свойством не обладает: существуют нор-
нормальные пространства X, не все (даже открытые в X)
подпространства к-рых нормальны. Однако если Хд—
замкнутое множество в нормальном пространстве X,
то подпространство Хо нормально.
До сих пор отделимость точек и множеств понима-
понималась в смысле наличия у них дизъюнктных окрестнос-
окрестностей. Однако в современной топологии имеет значение
и т. н. функциональная отделимость, впервые введен-
введенная П. С. Урысоном в 1924. Два множества А и В в
Т. н. наз. функционально отделимыми,
если существует определенная на всем пространстве
X действительная непрерывная и ограниченная на
всем X функция /, принимающая во всех точках мно-
множества А значение 0 и во всех точках множества
В значение 1. В нормальном пространстве всякие
два дизъюнктные замкнутые множества функциональ-
функционально отделимы (лемма У р ы с о н а). Обратно, из
функциональной отделимости двух любых мио-

жеств следует и их отделимость посредством окрест-
окрестностей. В частности, из функциональной отделимости
точки и множества следует их отделимость посредством
окрестностей в данном пространстве. Но если прост-
пространство регулярно и, значит, всякая точка и всякое не
содержащее ее замкнутое множество имеют дизъюнкт-
дизъюнктные окрестности, то отсюда еще не следует, что они
функционально отделимы. Таким образом, более силь-
сильным, чем свойство регулярности, является свойство
полной регулярности пространства, за-
заключающееся в том, что всякая точка п всякое не со-
содержащее ее замкнутое множество в этом пространст-
пространстве функционально отделимы. Среди удовлетворяющих
этому условию (или вполне регулярных) пространств
наиболее важны вполне регулярные ^-пространства,
наз. тихоновскими пространствами.
В частности, пространство всякой топологич. группы
является вполне регулярным, но может не быть нор-
нормальным.
Наряду с аксиомами отделимости для всей теории
Т. н. имеют значение т. н. у с л о в и я типа ком-
компактности. Они основаны на рассмотрении (от-
(открытых) покрытий. Семейство 2 (открытых) множеств
данного Т. п. наз. покрытием этого пространст-
пространства X, если каждая точка х?Х содержится хотя бы л
одном множестве — элементе семейства 2 . Если каж-
каждый элемент покрытия а' является подмножеством хо-
хотя бы одного элемента покрытия а, то говорят, что а1
вписано в а, или что а' мельче а, или, наконец, чти
а' следует за а в частично упорядоченном множестве
покрытий данного пространства. Частным случаем
следования покрытия а' эа а является случай, когда а'
содержится в а (т. е. каждый элемент покрытия а'
есть и элемент покрытия а). То или иное условие тини
компактности предполагает, что даны два класса (от-
(открытых) покрытий пространства X: класс 21 и класс
58 так, что 58с21, т. е. каждое покрытие класса >8
есть и покрытие класса 5f. Условие C1, 58)-к о м-
пактности состоит в том, что за каждым покры-
покрытием класса 21 следует покрытие класса 58. Важней-
Важнейшее среди всех условий этого типа получается, если
21 есть класс всех открытых покрытий пространства, а
58 — подкласс конечных покрытий, т. е. покрытий,
состоящих из конечного числа элементов. Это условие
наз. условием бикомпактности; оно як-
вивалентно т. н. условию Бореля — Лебе-
г а: для каждого открытого покрытия а пространства
X существует конечное покрытие а' пространства X,
содержащееся в а. Хаусдорфовы пространства, удов-
удовлетворяющие условию бикомпактности, наз. б и к о м-
пактами. Все они нормальны. Метризуемые би-
бикомпакты (бикомпакты со счетной базой) наз. к о м-
пактами. В настоящее время получила распро-
распространение другая терминология, согласно к-рой би-
бикомпакты наз. компактными Т. п., причем метризуе-
мый случай терминологически не выделяется.
Если за ?[ принять класс счетных открытых покры-
покрытий, сохраняя в качестве 58 подкласс конечных покры-
покрытий, то соответствующая Bf, 58)-компактность наз.
счетной компактностью. Для метризуе-
мых пространств, а также для хаусдорфовых прост-
пространств со счетной базой условия бикомпакт-
бикомпактности и счетной компактности эквивалентны между
собой. Если за 2[ взять класс всех открытых покры-
покрытий, а за 58 — класс счетных покрытий, то получается
условие финально й компактности.
При формулировке этого условия можно потребовать
(как и в случае бикомпактности), чтобы покрытие
а.' ?58 не только следовало за покрытием а, но и содер-
содержалось в ном.
Важный класс пространств, наз. локально б и-
компактными, определяется тробованиил!, чтобы

каждая точка х данного пространства X имела окрест-
окрестность Ох, замыкание к-рой в пространстве X есть би-
бикомпактное подпространство. Всякое локально би-
[,'тшактное хаусдорфово пространство и только такое
пространство может рассматриваться как открытое
множество нек-рого бикомпакта X, причем X получа-
получается из X присоединением одной только точки х, и
топология бикомпакта X однозначно определена по-
<м одним требованием и топологией пространства X;
пт.омпакт X наз. одноточечным, или а л е к-
(¦ ii н д р о в с к и м, бикомпактным рас-
расширением пространства X.
важнейшим после условия бикомпактности условием
типа компактности является условие параком-
паракомпактности, требующее, чтобы за всяким открытым
покрытием а данного пространства X следовало ло-
локально конечное открытое покрытие а' (семейство мно-
множеств Т. п. наз. локально конечным в нем,
если каждая точка его обладает окрестностью, к-рая
может иметь общие точки лишь с конечным числом мно-
•.ьгсш семейства). Здесь уже нельзя требовать, чтобы
о.' содержалось в а. Все метризуемые пространства
1Ш.ШЮТСЯ паракомпактными хаусдорфовыми простран-
егмачи.
'ит.: ГЦ А л е к с а н д р о в П. С, Введение в теорию
м'ств и общую топологию, М., 1977; [2] Бурбаки Н.
,,,.пе топология. Основные структуры, пер. с франц., М.
nuih; ШКуратовский К., Топология, т. 1, [пер. с англ.]
Н., 1SIB6; [(] Александров П. С, Пасынков Б. А.
Введение в теорию размерности..., М., 1973. П. С. Александров
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕ-
ПРОИЗВЕДЕНИЕ локально выпуклых пространств Е1 и Ег —
локально выпуклое пространство, обладающее свой-
свойством универсальности по отношению к заданным на
f:1XE2 билинейным операторам с нек-рым условием
непрерывности. Точнее, пусть Ж — нек-рый класс
локально выпуклых пространств и для каждого Р?Ж
задано подмножество Т (F) множества рездельно не-
непрерывных билинейных операторов из EtxE2 в F.
Тогда Т. т. и. Е1 и Е2 (относительно класса Т(F))
наз. локально выпуклое пространство Ег(^)Ег?Ж
вместе с оператором В ?Т (Е1^)Е2), обладающее сле-
следующим свойством: для любого S?T(F), F ?Ж, суще-
существует единственный непрерывный линейный оператор
R:E^E2-*-F такой, что RoB = S. Таким образом,
если ситуация позволяет говорить о функторе Т : Ж-+-
->-Si't s, то Е1@Е2 определено как представляющий
объект атого функтора.
Во всех известных A985) примерах Ж содержит поле
комплексных чисел С, а Т(С) содержит все билиней-
билинейные функционалы вида fog : f?E1, g?Ex, пере-
переводящие (х, у) в f(x) g(y). В этом случае, если Т. т. п.
существует, то в Е^@Е2 есть плотное подпространство,
к-рое можно отождествить с пространством Е1^)Е2
алгебраического тензорного произведения; при этом
В(х,у) = х®у.
Если Ж состоит из всех раздельно (соответственно,
совместно) непрерывных билинейных операторов, то
Т. т. п. наз. индуктивным (соответственно,
проективным). Наиболее важно проективное
Т. т. п. Пусть {pi} — определяющие семейства полу-
полунорм в Ei, i=l, 2; через я обозначается топология в
ЕХ@Е2, определенная семейством полунорм
Тогда если Ж ¦— класс всех, соответственно, всех пол-
полных локально выпуклых пространств, то проективное
Т. т. п. ?j и Е2 существует и его локально выпуклое
пространство есть Е1@Е2 с топологией л, соответст-

венно, его пополнение. Если Е[ — банаховы простран-
/ч
ства с нормами р,-, 1=\, 2, то Рх@р2 — норма в /?j(g)g2,
пополнение по к-рой обозначается через Е^0Е.,- Эле-
Элементы Ех<^Е2 имеют для каждого s>0 представление
где
2Г=1Р1 (xk) Рг(У
Если снабдить Ег^Е2 более слабой, чем л, тополо-
топологией с помощью семейства полунорм Pi®/V
Pi® Pi (и) = sup \(f®g)<u)\,
^ f.geVxW
где V та W — поляры единичных шаров относительно
Рд и р2, то возникает Т. т. п., иногда наз. слабым.
Локально выпуклые пространства Ег, обладающие тем
свойством, что для любого Е2 обе топологии в Е-^Е2
совпадают, образуют важный класс ядерных прост-
пространств.
Проективное Т. т. п. связано с понятием свой-
свойства аппроксимации: локально выпуклое
пространство Еу обладает свойством аппроксимации,
если для каждого предкомпактного множества K<z.E\TA
окрестности нуля U существует непрерывный оператор
конечного ранга ф : Е-^>-Ех такой, что для всех х?К
х—ф(х)с:6'. Все ядерные пространства обладают свой-
свойством аппроксимации. Банахово пространство Е1 об-
обладает свойством аппроксимации тогда и только тогда,
когда для любого банахова пространства Е2 оператор
х : [Е1@Е2]->-(Е i(x)?2)*, однозначно определенный
равенством [t(x(g)y)] (f®g) = 1(x)g(y), имеет нулевое
ядро. Построено C] сопарабельное банахово простран-
пространство без свойства аппроксимации (и тем самым доказа-
доказано существование банаховых пространств без базиса
Шаудера, поскольку последние всегда имеют свойство
аппроксимации,— т. е. отрицательно решена т.н. «про-
«проблема базиса» С. Банаха).
Лит.: [ljGrothendieck A., «Mem. Amer. Math. Soc»,
1955, № 16, pt 1, p. 1—193, pt 2, p. 1—140; [2] Ш е ф е р X.,
Топологические векторные пространства, пер. с англ., М.,
1971; [3] Е n f 1 о P., «Acta Math.», 1973, t. 130, № 3—4, p. 309-
317. А. Я. Хелемский.
ТОПОЛОГИЯ — раздел математики, имеющий своим
назначением выяснение и исследование, в рамках ма-
математики, идеи непрерывности. Интуитивно идея не-
непрерывности выражает коренные свойства пространства
и времени и имеет, следовательно, фундаментальное
значение для познания. Соответственно, Т., в к-рой по-
понятие непрерывности получает математич. воплощение,
естественно вплетается почти во все разделы математи-
математики. В соединении с алгеброй Т. составляет общую ос-
основу математики и содействует ее единству.
Предметом топологии является исследование свойств
фигур и их взаимного расположения, сохраняющихся
гомеоморфизмами, т. е. взаимно однозначными и непре-
непрерывными в обе стороны отображениями. Следовательно,
Т. можно квалифицировать как разновидность геомет-
геометрии. Важной чертой этой геометрии является необычай-
необычайная широта класса геометрич. объектов, попадающих в
сферу действия ее законов.
Вызвана эта широта тем, что центральное понятие
Т.— понятие гомеоморфизма не требует для своего
определения никаких классич. геометрич. понятий ти-
типа расстояния, прямолинейности, линейности, гладкос-
гладкости и т. д. Понятие гомеоморфизма и лежащее в его ос-
основе понятие непрерывного отображения предполага-
предполагают только, что точки и множества точек рассматривае-
рассматриваемой фигуры могут находиться в нек-ром интуитивно
ясном отношении близости, отличном, вообще говоря,
от простого отношения принадлежности.

Под «фигурой» в Т. понимается любое множество
точек, в к-ром задано отношение близости между точ-
точками и нек-рыми подмножествами, удовлетворяющее оп-
определенным аксиомам. Такие фигуры вдз. топологи-
топологическими пространствами. Практически всякая фигура
в смысле какой-либо другой геометрии (аффинной, про-
проективной, дифференциальной и т. д.) может естествен-
естественно рассматриваться и как топологич. пространство.
В этом смысле Т. является наиболее общей геометрией;
однако многие свойства фигур, к-рые изучаются в дру-
других геометриях, сознательно игнорируются Т.
Главной задачей Т. является выделение и изучение
топологич. свойств пространств, или топологических
инвариантов. К числу важнейших топологич. инвари-
инвариантов относятся, напр., связность, компактность, раз-
размерность, вес, фундаментальная группа, гомологии-
группы и др.
Кроме того, большое внимание в Т. уделяется свой-
свойствам тина расположения одной фигуры в другой, од-
одного топологич. пространства в другом, сохраняю-
сохраняющимся при гомеоморфизмах объемлющего пространства
на себя. Проблематика этого рода началась с Жордана
теоремы. В развитие этих идей были получены законы
двойственности Александера и их обобщения, узлов
теория.
При общем подходе естественно считать центральным
объектом исследования в Т. тройку (X, /, У), где / —
пепрерывное отображение топологич. пространства X
в топологич. пространство У,— этим охватываются
две постановки основной задачи Т., указанные выше.
Главным средством сравнения троек становятся, в духе
теории категорий, их непрерывные гомоморфизмы.
Конкретный запас топологич. пространств, или,
лучше сказать, типов топологич. пространств, с к-рыми
имеет дело современная Т., формировался под воздей-
воздействием разных областей математики в соответствии с
их весьма непохожими 1ютребностями. Этим объясня-
объясняется большая априорная разнородность мира тополо-
топологич. пространств.
К числу наиболее важных классов топологич. про-
пространств, сформировавшихся из требований, предъяв-
предъявленных к Т. математикой в целом, относятся, в част-
частности, следующие: многообразия (гладкие, кусочно-ли-
кусочно-линейные, топологические и др.) — локально эти топо-
топологич. пространства устроены, как евклидово простран-
пространство; полиэдры — эти пространства правильным обра-
образом «скроены» из элементарных фигур, подобных отрез-
отрезку, треугольнику, тетраэдру и т. д. (стоящее за поня-
понятием полиэдра понятие симплициального комплекса
является важным техническим средством исследования
полиэдров и многообразий); подпространства евклидо-
евклидова пространства (раздел топологии, посвященный их
изучению и расположению в пространстве, наз. обычно
геометрич. Т.); пространства функций (так, простран-
пространства непрорывных функций (отображений) в топологии
поточечной сходимости или в бикомпактно открытой
топологии, банаховы пространства в слабой тополо-
топологии — топологич. объекты этого рода играют фунда-
фундаментальную роль в функциональном анализе и его
приложениях).
Ряд важных классов топологич. пространств был
выделен аксиоматически — путем фиксации того или
иного важного свойства конкретных топологич. объек-
объектов. Так, лемма Гейне — Бореля о том, что
из любого покрытия отрезка интервалами можно выб-
выбрать конечное подпокрытие, легла в основу определе-
определения абстрактного понятия бикомпактности (компакт-
(компактности) и отвечающего ему класса бикомпактных про-
пространств (компактных пространств). Наличие есте-
естественных метрик на конкретных множествах явилось
отправной точкой для абстрактного определения ме-
метрического пространства и мешризуемого пространст-

ва. Интуитивно ясная идея отделимости (см. Отделимо-
Отделимости аксиома) точек и множеств окрестностями нашла
выражение и Т. через определения классов таусдор-
фовых пространств, нормальных пространств, регу-
регулярных пространств и вполне регулярных пространств
и др. .Важен класс паракомпактных пространств, отра-
отражающий, в частности, идею безграничной делимости
пространства.
Исследование всех названных классов пространств
объединено общей идеей гомеоморфизма и порожденным
ею понятием топологи1!, инварианта. Так как понятие
гомеоморфизма имеет ярко выраженную теоретико-мно-
?кественную природу, теоретико-множественные методы
и конструкции того или иного уровня сложности или
общности применяются при исследовании каждого из
названных и других классов топологич. пространств.
Ряд этих методов имеет общий характер и значение для
топологии в целом. В то же время исследование топо-
топологич. объектов в пределах какого-либо фиксированного
класса пространств требует особых, специфич. мето-
методов, обладающих более узким, но и более изощренным
действием. Эти методы придают областям топологии,
попадающим в сферу их действия, столь яркую и раз-
различную окраску, что иногда говорят о распадении Т.
на ряд самостоятельных и малосвязанных дисциплин
(напр., алгебраическая топология, общая топология,
дифференциальная топология, г е о м е т р и ч. т о н о-
л огня). Однако Т. объединена изначально своими
исходными концепциями и это единство подтверждено
в процессе развития Т. общим значением для всех разде-
разделов Т., ряда основных конструкций, принципов и поня-
понятий — таких, как понятие фактор пространства, опера-
операция топологического произведения, идея функциональ-
функциональной отделимости, топологич. аппроксимации и тоноло-
гич. расширения, принципы, связанные с компакт-
компактностью, и др.
Топологич. объекты, сформировавшиеся иод непос-
непосредственным воздействием других областей, часто об-
обладают следующей важной чертой: их Т. порождается
нек-рой другой, более жесткой математической струк-
структурой, связанной естественно с самой природой рас-
рассматриваемого объекта. В связи с этим возникают сле-
следующие взаимосвязанные вопросы фундаментального
характера:
1) Как связаны инварианты данной «внешней» струк-
структуры (комбинаторной, дифференциальной, алгебраиче-
алгебраической и др.) с топологич. инвариантами порожденной
этой структурой топологии?
2) Какие инварианты данной «внешней» структуры
являются инвариантами порожденной ею топологии —
т. е. Т01ЮЛ0ГИЧ. инвариантами?
3) Как много, с точностью до изоморфизма, сущест-
существует различных «внешних» структур данного типа, по-
порождающих заданную топологию? Прежде всего важно
выяснить, есть ли хоть одна такая структура, л осо-
особенное значение имеет случай, когда такая структура
единственна (с точностью до изоморфизма),— тогда
вся она (а следовательно, и все ее характеристики)
оказываются (топологич.) инвариантом рассматривае-
рассматриваемой Т.
Эти общие вопросы приобретают важное конкретное
содержание, напр., в топологии многообразий.
Аналогичный в принципе характер имеют вопросы о
соотношениях между метрич. и тонологич. инварианта-
инвариантами и о существовании метрики, задающей данную Т.
(проблема метризации).
В случае более общих пространств возникает вопрос
о соотношении между инвариантами равномерной и
порожденной ею топологич. структуры. Исследование
равномерных инвариантов и их соотношений с тополо-
топологич. инвариантами составляют предмет равномер-
равномерной Т. (см. Равномерное пространстио). Другая тесно

связанная с Т. структура — структура близости. По-
Понятие близости пространства основано на отношении
близости между подмножествами пространства— в от-
отличие от понятия топологич. пространства.
В зависимости от широты класса исследуемых топо-
топологич. пространств меняется характер постановки ос-
основной задачи Т. Так, ограничиваясь узким классом
пространств, ставят задачу различить их между собой
в терминах топологич. инвариантов с точностью до
гомеоморфизмов. Задача эта выглядит вполне естест-
естественной, напр., в рамках класса топологич. многооб-
многообразий — но даже и здесь она оказывается чрезвычай-
чрезвычайно трудной и заведомо алгоритмически неразрешимой.
Сложность задачи различения многообразий с точно-
точностью до гомеоморфизма приводит к необходимости рас-
рассмотреть более широкое, чем гомеоморфность, отноше-
отношение го м отопи ч. эквивалентности топо-
топологич. пространств. В основе этого отношения лежит
понятие гомотопии одного непрерывного отображения
в другое, имеющее чисто теоретико-множественную
природу.
Хотя методы алгебраич. Т. играют исключительно
важную роль в топологич. исследовании, существенную
роль здесь исполняют и чисто теоретико-множественные
конструкции. Это связано с тем, напр., что отношение
гомотопич. эквивалентности, примененное к многообра-
многообразиям, выводит за пределы класса многообразий. При
этом получаются более простые топологич. объекты,
рассматривать к-рые в технич. отношении весьма по-
полезно. Методы теории гомотопии требуют осуществле-
осуществления теоретико-множественных конструкций типа раз-
различных «выметаний», приклеивания одного тонологич.
пространства к другому вдоль произвольного непрерыв-
непрерывного отображения и т. д. Это приводит к понятиям
клеточного разбиения и клеточного пространства; по-
последние и составляют, по-видимому, тот максимально
широкий класс пространств, к-рый включает все диффе-
дифференцируемые многообразия, полиэдры и допускает до-
достаточно полное исследование методами алгебраич. Т.
Для более широких классов пространств — таких,
как класс бикомпактов, класс всех паракомпактов или
класс всех метризуемых пространств,— ставить про-
проблему различения пространств с точностью до гомео-
гомеоморфизма посредством обозримой системы вычисли-
вычислимых топологич. инвариантов но представляется воз-
возможным ввиду ее интуитивной неразрешимости. На
передний план в качестве основной задачи Т. выдвига-
выдвигается здесь задача сравнения не отдельных топологич.
пространств, а целых классов топологич. пространств,
к-рые, особенно при аксиоматич. подходе, обычно со-
соответствуют отдельным топологич. инвариантам или
их комбинациям. При таком подходе основной вопрос
Т,. превращается в задачу систематич. сравнения то-
топологич. инвариантов. На этом пути удается построить
систематическую и развитую классификацию тополо-
топологич. пространств.
Два метода выступают на первый план в решении
этой задачи. Во-первых, метод взаимной классифика-
классификации пространств и отображений. Речь идет об исследо-
исследовании поведения топологич. инвариантов при разного
типа непрерывных отображениях и о том, когда топо-
топологич. пространство из одного данного класса можно
представить как образ пространства из другого данного
класса при непрерывном отображении того или иного
типа. Эта задача тем более важна и естественна, что
часто топологич. пространства бывают даны уже будучи
связанными нек-рыми непрерывными отображениями —
напр., когда новое пространство строится как фактор-
пространство нек-рого исходного топологич. простран-
пространства.
Второй метод сравнения заключается в применении
кардинальных, или кардинальнозначных, топологич.

инвариантов, наз. также мощностными характеристи-
характеристиками. Значениями кардинальных инвариантов явля-
являются бесконечные кардинальные числа, что дает воз-
возможность их сравнивать, пользуясь операциями и за-
законами кардинальных чисел. Это направление Т. вы-
выходит на глубокие положения теории множеств —• та-
такие, как аксиома Мартина, континуум-гипотеза. На
языке кардинальных инвариантов формулируется ги-
гипотеза Суслина, неразрешимость к-рой в рамках сис-
системы аксиом Цермело — Френкеля теории множеств
доказана. Вот характерное рассуждение с кардиналь-
кардинальными инвариантами. Для метризуемых пространств
плотность и вес совпадают. Значит, если вес и плот-
плотность для данного пространства различимы, то оно
не метризуемо. В теории кардинальных инвариан-
инвариантов получено много тонких и неожиданных резуль-
результатов.
Несмотря на отмеченную выше специфику, к-рую при-
приобретают топологич. задачи и методы в зависимости
от того, какой класс топологич. пространств выбран
для изучения, ряд основных задач, определяющих раз-
развитие Т., формулируется общим образом для всех ее
разделов и решается на основе нек-рых общих прин-
принципов и методов.
К этим задачам относятся, в частности, следующие:
1) Построение системы топологич. инвариантов на ос-
основе Т. или внешних структур, ее порождающих. В
этом случае возникает задача нахождения этих инва-
инвариантов для отдельных пространств и классов про-
пространств.
2) Исследование поведения топологич. инвариантов
при основных операциях над топологич. пространства-
пространствами, в частности при переходе к подпространству.
3) Исследование поведения топологич. инвариантов
при разного типа непрерывных отображениях (в част-
частности, вложениях).
4) Исследование соотношений между топологич.
свойствами пространств и их дополнений в нек-ром
объемлющем пространстве. Многие результаты геомет-
рич. Т., теоремы двойственности, результаты, связы-
связывающие свойства топологич. пространств и их наростов
в бикомпактных хаусдорфовых расширениях хорошо
иллюстрируют это направленно.
К числу общих методов, применяемых в решении
большинства задач Т. во всех ее разделах, относятся,
в частности, следующие:
1) Метод покрытий. Этот метод дает результат при
решении проблемы метризации, при определении и ис-
исследовании паракомпактных пространств, при опреде-
определении и исследовании основных объектов комбинатор-
комбинаторной Т.— симнлициальных и клеточных комплексов.
На методе покрытий, в частности на понятии нерва
покрытия, основана аппроксимация топологич. про-
пространств полиэдрами. На основе открытых покрытий
и отвечающих им разбиений единицы доказываются
теоремы о погружениях многообразий в евклидово
пространство.
2) Метод функторов. Он заключается в сопоставле-
сопоставлении топологич. пространствам алгебраич. и алгебро-
топологич. объектов, обладающих правильным — функ-
ториальным — поведением и допускающих вычисле-
вычисление. Гомологии группа, когомологий кольцо, К-функтор,
связанный с понятием векторного расслоения над то-
топологич. пространством, обобщающим понятие каса-
касательного многообразия,— важные примеры функторов.
На применении таких функторов основан алгебраич.
метод в Т.
3) Метод спектров. Суть его заключается в представ-
представлении более сложно устроенных пространств в качестве
предела обратного спектра из пространств более про-
простых (напр., полиэдров), при этом изучается связь
между топологич. инвариантами элементов спектра и

предельного пространства. В понятии спектра реа-
реализуется определенным образом идея топологич. ап-
аппроксимации топология, пространства более простыми
или более удобными для изучения объектами.
На этом методе основано построение теории гомоло-
гомологии для широких классов пространств, построение
примеров сложных топологич. пространств с заданны-
заданными комбинациями свойств.
4) Метод непрерывных отображений: вложения, ото-
отображения пространств из одного класса на простран-
пространства из другого класса, исследование поведения топо-
топологич. инвариантов при этом составляют основу этого
метода. Важную роль здесь играет решение задачи о
непрерывном продолжении отображения, заданного на
части пространства, на все пространство. Решение зада-
задачи продолжения существенно зависит от гомотопич.
свойств пространств, и в теории гомотопии она зани-
занимает центральное место. С этой задачей связаны, в част-
частности, теория препятствий, теория ретрактов.
5) Аксиоматический метод. Он дает наиболее широ-
широкие и естественные рамки для выяснения взаимосоот-
взаимосоотношений между топологич. инвариантами и для опре-
определения новых топологич. инвариантов и классов то-
топологич. пространств «внутри» самой топологии в соот-
соответствии с необходимостью сделать эту классификацию
систематической и гармоничной. При этом фиксиру-
фиксируют топологич. инвариант, определяя его в терминах
самой Т., и отвлекаются обычно от конкретных спосо-
способов, к-рыми будут заданы пространства рассматривае-
рассматриваемого класса, и от того, как вычислять этот топологич.
инвариант. Так возникает класс бикомпактов, класс
всех континуумов и т. д.
Применения Т. обладают двойной спецификой —
определяемой тем, какой раздел Т. применяется и где
он применяется. Очевидно, применения Т. возможны
всюду, где присутствует идея непрерывности.
Несмотря на чрезвычайное разнообразие конкрет-
конкретных приложений Т. в конкретных ситуациях, являюще-
являющееся следствием высказанных выше положений, можно
указать ряд общих принципов и концепций, на к-рых
эти применения более всего основаны. Так, теория
многообразий имеет самые прямые применения в меха-
механике и теории дифференциальных уравнений; теория
гомологии вышла из рамок топологии и развилась в
важную самостоятельную дисциплину — гомологиче-
гомологическую алгебру, получила приложения в алгебраич. гео-
геометрии, теории банаховых алгебр и др. Алгебраич.
трактовку и связанные с этим применения получили
понятия: многообразия; /i-функтора, вышедшего из
дифференциальной топологии; теория кобордизмов, име-
имеющая важное значение в развитии дифференциальной
Т. и получившая применения в алгебраич. геометрии
(Римана — Роха теорема), в теории эллиптич. опера-
операторов (индекса формулы) и др. Важны применения сте-
степени отображения — в частности, на нем основано до-
доказательство т. н. основной теоремы алгебры многочле-
многочленов. Перенесение гомологич. и гомотопич. понятий и
методов на бесконечномерные функциональные про-
пространства оказало существенное влияние на анализ —
в частности, в связи с теоремами существования реше-
решений для дифференциальных уравнений с частными про-
производными. Для многих применений Т. важны раз-
разнообразные теоремы о неподвижных точках непрерыв-
непрерывных отображений. Эти теоремы имеют смешанную тео-
теоретико-множественную и алгебраич. природу; примене-
применения их носят качественный характер; они направлены
не на вычисление тех или иных объектов, а на дока-
доказательство их существования; то же назначение имеет
ряд важных принципов, основанных на соединении то-
топологич. и линейной структур. Среди них — теорема
Крейна — Мильмана о крайних точках выпуклого ком-
компакта, теорема Банаха — Штейнхауза, теорема о зам-

кнутом графике, теорема Алаоглу о компактности ша-
шара в слабой топологии, теорема Эберлейна — Шмулъ-
яна о компактах, лежащих в банаховых пространствах,
в слабой топологии и др.
Есть ряд топологич. принципов и концепций «чис-
«чисто» теоретико-множественного характера. Среди пих:
понятие бикомпактности (компактности); теорема Ти-
Тихонова о бикомпактности топологич. произведения би-
бикомпактных пространств, теорема о замкнутости вся-
всякого бикомпактного множества в любом объемлющем
хаусдорфовом пространстве, характеризующая биком-
пактность множества как его абсолютную замкнутость,
теорема Стоуна — Вейерштрасса и др. Полнота и свя-
связанные с ней принципы: теорема о неподвижной точке
сжатого отображения, теорема Бэра о непустоте пере-
пересечения счетного семейства всюду плотных открытых
множеств и др. Топологическая размерность, наряду
с понятиями компактности и полноты, несомненно от-
относится к числу важных общематематич. понятий.
В ряде конструкций функционального анализа, тео-
теории потенциала и др. существенную роль играют по-
понятия расширения топологич. пространства и грани-
границы (алгебра функций, граница Шилова, граница Мар-
Мартина, граница Шоке).
Природа топологич. динамики требует довольно ши-
широкого привлечения теоретико-множественных поня-
понятий и конструкций Т. Только это дает естественные рам-
рамки для обсуждения и анализа таких понятий, как пре-
предельное множество траектории, почти периодичность,
минимальное множество, устойчивость по Лагранжу,
устойчивость по Пуассону, неблуждающая точка и т. д.
Особенно важную роль играет здесь снова компактность.
Понятия и методы Т., особенно теоретико-множест-
теоретико-множественные, естественно входят в топологич. алгебру. При-
Применяя топологич. методы, здесь следует иметь в виду,
что в присутствии согласованной с Т. той или иной
алгебраич. структурой соотношения между тополо-
топологич. инвариантами сильно меняются: многие известные
соотношения упрощаются и появляются новые глубо-
глубокие соотношения.
Теоретико-множественные конструкции Т. имеют
много важных применений в математич. логике.
Лит.: [1] Александров II. С, Комбинаторная топо-
топология, М.—Л., 1947; [2] С у л л и в а н Д., Геометрическая то-
топология, пер. с англ., М., 1975; [3] Ху Сы-цзян, Теория
1-омотопий, пер. с англ., М., 1964; [4] С т и н р о д Н., Топология
косых произведений, пер. с англ., М., 1953; [5] С п е н ь е р Э.,
Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [6] Г у р е-
вич В., В о л м э н Г., Теория размерности, пер. с англ.,
М., 1968; 17] Новиков С. П., «Успехи матем. наук»,
1966, т. 21, в. 5, с. 217—32; [8] А л е к с а н д р о в П. С,
там же, 1964, т. 19, в. 6, с. 3—46; 19] А л е к с а н д р о в П. С,
Ф е д о р ч у к В. В., там же, 1978, т. 33, в. 3, с. 3—48; Но]
Куратовский К., Топология, т. 1—2, пер. с англ., М.,
1966—69; [11] А л е к с а н д р о в П. С, Пасынков Б. А.,
Введение в теорию размерности..., М., 1973; [12] К е л л и Д ж.,
Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981; [13] А р х а н-
гельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей
топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [14] Архан-
Архангельский А. В., «Успехи матем. наук», 1978, т. 33, в. 5,
с. 29—84; [15] Топология, БСЭ-3, т. 26, с. 86—92; [16] Геометрия,
БСЭ-3, т. 6, с. 307—13; [17] Сибирский К. С, Введение
в топологическую динамику, Кишинев, 1970.
А. В. Архангельский.
ТОПОЛОГИЯ ВЛОЖЕНИИ, топологиче-
топологические вложения,— раздел топологии, в к-ром
изучаются локальные топологич. свойства располо-
расположений замкнутых подмножеств евклидова простран-
пространства или многообразия.
Теория Т. в. возникла в работах А.Шёнфлиса (A.Scho-
enflies), Л. Антуана (L. Antoine), П. С. Урысона и Дж.
Александера (]. Alexander). Вложения в Е3 были изу-
изучены в 50-х гг. В частности, было доказано, что любое
Т. в. поверхности в Е3 аппроксимируется полиэдраль-
полиэдральным вложением. Систематическое исследование Т. в. в
Е" при ге>3 началось после решения Шёнфлиса гипо-
гипотезы. В основном оно происходило в духе накопления

фактов и решения большого числа задач частного ха-
характера. Были также выяснены связи методов теории
Т. в. и геометрич. топологии многообразий. Примерно
к сер. 70-х гг. теория Т. в. сформировалась в самостоя-
самостоятельное направление со своей тематикой, методами и
задачами. С ее помощью был решен ряд принципиаль-
принципиальных задач геометрич. топологии многообразий: дока-
доказано существование некомбинаторной триангуляции
сфер размерности J^5, получена характеризация то-
пологич. многообразий и классифицированы односвяз-
ньш четырехмерные многообразия.
Топологическим вложением про-
пространства X (как правило, многообразия, полиэдра
или компакта) в евклидово пространство Еп наз. про-
произвольный гомеоморфизм / : Х^>-Еп пространства X
на подмножество f{X)cEn. Иногда под Т. в. понимают
просто включение ХаЕп. Два вложения /15 /2 : Х-+Е"
наз. эквивалентными, если существует такой
гомеоморфизм h : Еи-+Еп, что hof1 = f2. Если h явля-
является изотопией, то вложения наз. изотопными.
Простейшие примеры неэквивалентных вложений по-
получаются с помощью узлов (см. Узлов теория), гораз-
гораздо труднее построить неэквивалентные вложения нуль-
нульмерных компактов или отрезков в Е3 (см. Дикий узел).
Канторово множество на прямолинейном отрезке,
лежащем в Е3, и дикий нульмерный компакт Антуа-
на в Е3 неэквивалентны.
Тот факт, что основные задачи теории Т. в. сконцен-
сконцентрированы на локальных свойствах, объясняется су-
существованием т. н. диких вложений, для к-рых нару-
нарушается регулярность локальной структуры. Исследо-
Исследование глобальных свойств ручных (локально плоских)
вложений, как правило, в Т. в. не включается.
Следующие четыре теоремы можно считать основными
в теории Т. в.
Теорема 1 (характеризации). Вложе-
Вложение Хс?" является ручным тогда и только тогда, когда
дополнение Y=E"\X обладает свойством 1— ULC
(для любого е>0 существует такое б>0, что каждое 6-
отображение S^-^-Y е-гомотопно нулю в У).
Теорема 2 (о близких вложениях).
Любые два близких ручных вложения изотопны посред-
посредством малой изотопии.
Теорема 3(о вложениях в триви-
тривиальной области размерностей). Если
2 dim X+2<«, то любые два ручных вложения изо-
изотопны.
Теорема 4 (об аппроксимации). Лю-
Любое вложение аппроксимируется ручным.
Эти теоремы, за исключением теоремы 3, доказаны
лишь при определенных размерностных ограничениях,
различных для многообразий, полиэдров и компактов.
Вложение многообразия X в Е" наз. ручным
(или локально плоским), если для любой точ-
точки х?Х существует такая окрестность U (х) в Е", что
пара (U(x), U{x)f)X) гомеоморфна стан-
стандартной паре (Еп, Ег) при гомеоморфизме,'пе-
гомеоморфизме,'переводящем точку в начало координат.
Теорема 1 справедлива в этом случае при пфА и
гфп—2 (при г=п—2 и и^5 ответ также известен:
надо чтобы дополнение Y=En\X было, грубо говоря,
локально гомотопически эквивалентно окружности).
Теорема 2 верна при гфп—2 и ге>5 (прибавление
малого узелка показывает, что при г—п—2 теорема 2
заведомо неверна; условия изотоцности близких вло-
вложений при г=п — 2 известны). Кроме того, для случая,
когда X является сферой Sr, доказано, что при гф
фп—2 любое ручное вложение Sr->-E" изотопно стан-
стандартному (при г~п—2 и пфА для этого необходимо и
достаточно, чтобы дополнение En\S"-2- было гомото-
гомотопически эквивалентно окружности).
Теорема 4 верна при гФп—2 и пфА (причем при

r=n—2 и rc!>6 эта теорема — как показывают соот-
соответствующие контрпримеры — заведомо неверна).
Вложение полиэдра X в Еп наз. ручным, если
оно эквивалентно кусочно линейному вложению.
В этом случае теоремы 1,2 и 4 верны при dim X<re—3.
Вложение r-мерного компакта X в Еп наз. р у ч-
н ы м, если изотопией его можно снять с любого пря-
прямолинейного полиэдра РсЕ" размерности <:ге—;—1.
В этом случае теорема 1 верна при г^п—3 и пфА, тео-
теорема 2, вообще говоря, неверна (при 2г+2>ге), а тео-
теорема 4 верна для любого г.
Лит.: [1] Келдыш Л. В., Топологические вложения
в евклидово пространство, М., 1966; [2] Ч е р н а в с к и й А. В
«Докл. АН СССР», 1968, т. 181, № 2, с. 290—93; [3] е г о же,
«Матем. сб.», 1973, т. 91, Mi 2, с. 279—86; [4] D a v e r m a n R.,
«Bull. Amer. Math. Soc», 1973, v. 79, Mi 2, p. 410—13; [5] Cha-
Chapman Т., «Topology», 1979, v. 18, p. 339—48; [6] A n с e 1 F.,
Cannon J., «Ann. Math.», 1979, v. 109, p. 61—86; [7] Bry-
Bryant J., S e e b e с k C, «Quart. J. Math.», 1968 v. 19, Mi 75,
p. 257—74; [8J Edwards R., «Gen. Top. and Appl.», 1975,
V. 5, Mi 2, p. 147—80; [9] Miller R., «Ann. Math.», 1972,
v. 95, Mb 3, p. 406—16; [10] Bryant J., «Trans. Amer. Math.
Soc», 1972, v. 170, p. 85—95; 111] Edwards R., в кн.: Geo-
Geometric topology, v. 438, В.— la. 0.], 1975, p. 195—211; [12]
Штаиыо М. А., «Матем. сб.», 1973, т. 90, Mi 4, с. 625—36.
M. А. Штанъко.
ТОПОЛОГИЯ МНОГООБРАЗИИ — часть теории мно-
многообразий, посвященная в основном исследованию
взаимоотношений между различными их типами.
Главнейшие типы конечномерных многообразий и
взаимоотношения между ними можно изобразить схе-
схемой A), в которой Diff — категория дифференцируе-
дифференцируемых (гладких) многообразий;
PL — категория кусочно линей-
линейных (комбинаторных) многооб-
многообразий; TRI — категория топо-
топологических многообразий, явля-
являющихся полиэдрами; Handle —
категория топологических мно-
многообразий, допускающих топо-
логическое разложение на руч-
ручки; Lip — категория липгаице-
вых многообразий (с липшице-
выми отображениями перехода
между локальными картами);
ТОР — категория топологич. многообразий (хаусдор-
фовых и со счетной базой); Н — категория полиэдраль-
полиэдральных гомологич. многообразий без края (полиэдров, край
звезды каждой вершины к-рых имеет гомологии сферы
соответствующей размерности); H(ANR) — катего-
категория обобщенных многообразий (конечномерных аб-
абсолютных окрестностных ретрактов X, к-рые являются
гомологич. многообразиями без края, т. е. обладают
тем свойством, что для любой точки х?Х группа
Н*(Х, Х\х; г) изоморфна группе Н* (R", R"\0, Z));
P(ANR) — категория пространств Пуанкаре (конечно-
(конечномерных абсолютных окрестностных ретрактов X, для
которых существует такое число п и такой элемент
ц?Нп(Х), что Hr(X, Z)=0 при г>п+1, и отображе-
отображение ПцЯг(Х)-+Нп-г{Х) при всех г является изомор-
изоморфизмом); Р — категория полиэдров Пуанкаре (подкате-
(подкатегория предыдущей категории, состоящая из полиэдров).
Стрелки схемы A), кроме трех нижних и стрелок
Н->-ТОР->-Р, изображают функторы структуры забыва-
забывания. Стрелка Diff->PL изображает теорему Уайтхеда
о триангулируемости гладких многообразий. В разме-
размерностях <8 эта стрелка обратима (любое PL-многообра-
PL-многообразие сглаживаемо), но в размерностях ^8 существуют
несглажнваемые PL-многообразия и даже PL-многооб-
PL-многообразия, гомотопически неэквивалентные никакому глад-
гладкому многообразию. Вложение PLczTRI также необра-
необратимо в том же сильном смысле (существуют полиэд-
полиэдральные многообразия размерности ^5, гомотопиче-
гомотопически неэквивалентные никакому PL-многообразию). При
этом уже для сферы S", и^5, существуют триангу-
триангуляции, в к-рых она не является PL-многообразием.

Стрелка PL->-Handle изображает тот факт, что любое
PL-многообразие допускает разложение на ручки.
Стрелка PL-»-Lip изображает теорему о существовании
на произвольном PL-многообразии липшицевой струк-
структуры.
Стрелка Handle->-TOP обратима при пф^ и необра-
необратима при п=4 (любое топологическое многообразие
размерности пфк допускает разложение на ручки,
и существуют четырехмерные топологич. многообразия,
для к-рых это не так).
Аналогично, при пфЬ обратима стрелка Lip->-TOP
(и притом единственным образом).
Вопрос об обратимости стрелки ТШ->-ТОР составляет
классическую нерешенную задачу о триангулируемости
произвольных топологич. многообразий.
Стрелка Н->-Р необратима в сильном смысле (суще-
(существуют полиэдры Пуанкаре, гомотопически неэкви-
неэквивалентные никакому гомологич. многообразию).
Стрелка Н->ТОР изображает теорему о гомотопиче-
гомотопической эквивалентности любого гомологич. многообразия
размерности ^5 топологич. многообразию.
Стрелка ТОР->-Р изображает теорему Кёрби —'Зи-
бенмана о гомотопич. эквивалентности любого топо-
топологич. многообразия полиэдру.
Вложение TOPczH(ANR) изображает тот факт, что
любое топологич. многообразие является ANR. Обоб-
Обобщенное многообразие X?H(ANR) размерности ^5
тогда и только тогда принадлежит образу этого вло-
вложения, когда X обладает свойством раздвижки
дисков (для любого е>0 и любых отображений
/i, /2 : Ба-)-Х, где S2— двумерный диск, существуют
такие отображения g,, g2 : В2-+Х, что р(/,-, g;)<e и
(B*)r(B2H) *
gi()r\gz(H)
Аналогичный вопрос для стрелок Diff->-PL->-TOP-*-P
решается с помощью теории стационарных расслоений
(соответственно векторных, кусочно линейных, топо-
топологических и сферических), т. е. на основе рассмотре-
рассмотрения гомотопических классов отображений многообра-
многообразия X в соответствующие классифицирующие простран-
пространства ВО, BPL, ВТОР, BG.
Существуют сквозные канонич. отображения
ВО -> BPL -х ВТОР -> BG, B)
гомотопич. слои к-рых и их композиций обозначаются
соответственно символами
PL/O, ТОР/О, G/O, TOP/PL, G/PL, G/TOP.
Для каждого многообразия X любой из категорий
Diff, PL, TOP, P существует нормальное стационарное
расслоение, т. е. канонич. отображение тх многообра-
многообразия X в соответствующее классифицирующее простран-
пространство.
При переходе от «узкой» категории многообразий к
более «широкой», напр. от гладких к кусочно линей-
линейным, отображения хх компонируются с соответствующи-
соответствующими отображениями B). Поэтому, напр., для PL-многооб-
PL-многообразия X только тогда существует
^ir ВО PL-гомеоморфное ему гладкое
„*" I многообразие (как говорят, мно-
,.«'""т г гообразие X сглаживаемо), когда
¦«?,, х tr bpl разрешима задача поднятия C),
гомотопич. препятствия к раз-
№ решимости к-рой лежат в группах
Л1 ЧХ, л,-(РЬ/О)).Нрп этом ока-
оказывается, что разрешимость задачи C) не только необ-
необходима, но и достаточна для сглаживания PL-много-
PL-многообразия X (и все неэквивалентные сглаживания на-
находятся в биективном соответствии с множеством
[X.PL/O] гомотопич. классов отображений X->-PL/O).
То же самое (с заменой PL/O на ТОР/О) справедливо
и для сглаживания топологич. многообразий X раз-
размерности ^5, а также (с заменой PL/O на TOP/PL) —
для их PL -триангулирований.

Гомотопическая группа Гк=пк(РЬ/О) изоморфна
группе классов ориентированно диффеоморфных глад-
гладких многообразий, получающихся склеиванием краев
двух fc-мерных шаров. Эта группа конечна для псих
к (а при /с<:6 даже тривиальна). Поэтому число неэк-
неэквивалентных сглаживаний произвольного PL-много-
PL-многообразия X конечно и оценивается сверху числом
ord 2^ //* (X, пк (ТОР/О)).
Гомотопич. группа ^(TOP/PL) равна нулю, за ис-
исключением группы rt3(TOP/PL)=2/2. Поэтому су-
существование PL-триангуляции топологич. многообра-
многообразия X размерности ^5 определяется равенством нулю
нек-рого класса когомологий А(Х)?Н*(X, z/2), a
множество неэквивалентных PL-триангуляций мно-
многообразия X находится в биективном соответствии с
группой Я3(Х, Z/2).
Группа nfe (ТОР/О) совпадает с группой Г& при кфЪ
и отличается от Tk при /с=3 на группу z/2. Число
неэквивалентных сглаживаний топологического много-
многообразия X размерности ^5=5 конеч-
конечно и оценивается сверху числом т' _^^BPL
ord 2kH"(X, я*(ТОР/О)). ^ I
Аналогичные результаты для ^"' т т
полиэдров Пуанкаре места не X •¦ BG
имеют. Конечно, существование ^4)
поднятия, напр., в диаграмме D)
является необходимым условием для существования
PL-многообразия, гомотопичоски эквивалентного по-
полиэдру Пуанкаре X, но, вообще говоря, оно обеспе-
обеспечивает (при гС^Ъ) лишь существование такого PL-.чно-
гообразия М и такого отображения / : М-+-Х степени
1, что t^=/otx. Превращение этого многообразия в
многообразие, гомотопичоски эквивалентное X, тре&ует
техники хирургии (перестроек), первоначально раз-
развитой С. П. Новиковым для случая, когда X явля-
является односвязным гладким многообразием размерно-
размерности >5. Для односвязного X эта техника обобщается
на рассматриваемый случай, так что для односвязного
полиэдра Пуанкаре X гомотопически эквивалентное
ему PL-многообразие размерности ~^Ь существует тогда
и только тогда, когда существует поднятие D). В задаче
существования топологич. или гладких многообразий,
гомотопически эквивалентных (даже односвязному) по-
полиэдру Пуанкаре, ситуация оказывается значительно
более сложной.
Лит.: [1] Н о в и к о в С. П., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1966, т. 30 MS. 1, с. 207—46; [2] М a d s e n I., M i 1 к г a m R.,
«Ann. Math. Stud.», 1979 № 92; [3] L a t о u r F., «Sem. Bour-
baki», № 515, 1979,t. 710, p. 169—86; [4] F r e e d m a n M., «I.
Diff. Geom.», 1982, v. 17, p. 357—453; [5] Q iiinn F., там
me, p. 503—21; [6] Мандельбаум Р., Четырехмерная то-
топология, пер. с англ., М., 1981; [7] L a s h о f R., «Proc. Symp.
in pure Math.», 1971, v. 22, p. 131—64; |8]E d v a r d s H-, «No-
«Notices Amer. Math. Soc», 1977, v. 24, Л« 7, p. A 649; [9j Qu-
i n n F., «Abstracts Amer. Math. Soc», 1980, v. 1, MS 7, p. 613—
614; [10] Cannon I., «Bull. Amer. Math. Soc», 1978, v. 84,
MS й, p. 832—Oii; [11] SpivakM., «Topolosy», 19U7, v. 0,
p. 77—101. M. А. Штанько.
ТОПОС — категория, эквивалентная категории пуч-
пучков множеств па нек-рой топологизировашюи категории.
Другое определение: Т.— это такая категория С,
что любой пучок в канонич. топологии па С предста-
представим. Для объектов Т. (являющихся пучками множеств)
определены обычные конструкции в категории мно-
множеств. По этой причине Т. могут служить нестандарт-
нестандартными моделями теории множеств. При этом удобнее
пользоваться более общим определением: элемен-
элементарный топос — это категория С с произведе-
произведениями и финальным объектом 1, коптравариантным
функтором 5s : C-+-C (при этом Э*(Х) для Х?С пони-
понимается как множество частей X) и мономорфизмами
2,х->-ХХ!!Р(Х), где 2 —график отношения принадлеж-
принадлежности. Множество 53('1) служит естественной областью
значений логич. высказываний в топосе С.

Лит.: Thtorie des lopos et cohomologie etale des schemas,
t. 1—3, B. — le. a.], 1972—73; la] Cohomologie elale, B.— le.
a.], 1977; [3] G a r t i e г Р., в кн.: Sc^minaire Bourbaki, v. 1977/
Ц178, В.— [е. a.], 1979. В. И. Данилов.
TOP — тело, полученное от вращения замкнутого
круга вокруг оси, лежащей в плоскости этого круга и
его не пересекающей. Центр круга описывает окруж-
окружность, на;!, осевой окружностью Т., ее центр
наз. центром Т. Плоскость осевой окру ж-
н о с т и Т. наз. экваториальной пло-
плоскостью Т., а лежащие на Т. границы кругов, по-
получающихся и:! данного круга его вращением,— м е-
[> л д и а н а м и Т.
Поверхность Т., радиус-вектор к-рой в декартовых
координатах евклидова пространства Е3 имеет вид
г = а sin ик -\-1 A -|- е cos и) (i cos t>-f-,?sin v)
(здесь (и, г) — внутренние координаты, а — радиус
вращающейся окружности, X — радиус осевой окруж-
окружности, с= all — эксцентриситет), часто также наз. т о-
ром. Ее линейный элемент
ds2 = a2du2 + Г- A + е cos иJ dv2,
т. COS U „
а кривизна K~al A + ecoSM) ¦ Т.—частный случаи
вращения поверхности и каиаловой поверхности.
С тоиологич. точки зрения Т.— произведение двух
окружностей и потому Т.— двумерное замкнутое мно-
многообразие рода нуль. Если это произведение метричес-
метрическое, то его можно реализовать в Ei или в эллиптич.
пространстве Э3 в виде поверхности Клиф-
Клиффорда; ее уравнением в Ei, напр., будет
Естественное обобщение Т.— многомерный
тор ¦— топологическое произведение нескольких эк-
экземпляров окружности S, т. е. многообразия всех ком-
комплексных чисел, равных по модулю единице. Естест-
Естественная гладкость на S определяет на Т. структуру глад-
гладкого многообразия, а естественная мультипликативная
структура на S индуцирует на Т. структуру связной
компактной коммутативной вещественной группы Ли.
Последние группы играют важную роль в теории групп
Ли, и их также называют торами (см. Ли компакт-
компактная группа, Максимальный тор, Картана подгруппа).
Четномернып Т. допускает комплексную структуру;
при выполнении нек-рых условий такая структура прев-
превращает Т. в абелево многообразие (см. также Комплек-
Комплексный тор). И структурной теории алгебраич. групп у
Т., как у вещественной группы Ли, имеется важный
аналог — алгебраический тор (см. также Алгебраическая
группа, Линейная алгебраическая группа). Алгебраич.
тор сам не является Т. (в случае основного поля ком-
комплексных чисел), но обладает подгруппой, к-рая явля-
является Т. и на к-рую он стягивается (как топологич. про-
пространство). Точнее, алгебраич. тор, как группа Ли, изо-
изоморфен произведению нек-рого Т. и нескольких экзем-
экземпляров мультипликативной группы положительных
дг"'""ГВИТОЛЬНЫХ чисел, м. И. Войцеховский, В. Л. Попов.
ТОРЕЛЛИ ТЕОРЕМА обобщения — теорема,
утверждающая, что структура Ходжа (матрица перио-
периодов) в когомо.чогиях Н* (X, С) алгебраического или
галорова .многообразия X полностью характеризует
поляризованное многообразие X.
Классич. Т. т. относится к случаю кривых (см. [i],
[2]) п утверждает, что кривая определяется с точностью
до изоморфизма своими периодами. Пусть X — кривая
рода g, Yii ¦ • •> y«g — базис Н\{Х, Z), а а>ъ . . .,
в>г€Я°(Х, Q1x) = It1'°C:H1(X, С) — базис абелевых
дифференциалов, (gX 2#)-матрица Q=||ii//||, где я,-,-=
ш;,— матрица периодов. Пересечение

циклов 1i4j=<lij определяет билинейную кососиммет-
рич. форму Q в Et (X, %). Пусть X и X' — две кривые.
Тогда если можно выбрить базисы у и со, относительно
к-рых матрицы периодов Q и матрицы пересечений Q
кривых совпадают, то X и X' изоморфны. Другими сло-
словами, если канонически поляризованные якобианы кри-
кривых X и X' изоморфны, то и Х~Х'.
Пусть X — проективное многообразие (или, более
общо, компактное кэлерово многообразие), ?>=?>(.—
многообразие Гриффитса, связанное с примитивными
когомологиями Нк(Х, С)о (см. Отображение периодов).
В D лежат матрицы периодов примитивных fc-форм на
всех многообразиях, гомеоморфных X. Периоды за-
зависят от выбора изоморфизма Hk(X, С)о и фиксиро-
фиксированное пространство //. Имеется естественно опреде-
определенная группа Г аналитич. автоморфизмов многообра-
многообразия D такая, что M = DlY — аналитич. пространство
и X определяет единственную точку Ф (Х)?М. При
этом М паз. модулярным пространст-
пространством или пространством модулей
структур Ходжа.
Глобальная проблема Торелли со-
состоит в выяснении вопроса о том, когда Ф (X) одно-
однозначно определяет А7 с точностью до изоморфизма. В
случае положительного решения проблемы соответ-
соответствующее утверждение наз. (обобщенной) Т. т. Теоре-
Теорема Торелли справедлива очевидным образом для абе-
левых многообразий в случае 1-форм и в случае 2-форм
(см. [3]). По существу, единственный нетривиальный
случай решения глобальной проблемы Торелли A984) —
случай КЗ-повер.гности. Т. т. обобщена также на слу-
случал колеровых КЗ-поверхностей.
Локальная проблема Торелли за-
заключается в разрешении вопроса о том, когда структу-
структуры Ходжа на когомологиях разделяют точки в локаль-
локальном пространстве модулей (пространстве К у-
ранней) для многообразия X. Пусть ?-*В —
семейство поляризованных алгебраич. многообразий,
п~х@)—Х, a M=DlY —многообразие Гриффитса, свя-
связанное с периодами примитивных fc-форм на X. Отобра-
Отображение периодов Ф: В^М сопоставляет t?B матрицу
периодов fe-форм на n~l(t). Это отображение голо-
голоморфно; вычислено соответствующее касательное ото-
отображение йФ (см. [3]). Локальная проблема Торелли
аквивалентна вопросу о том, когда dФ является вложе-
вложением. Рассматривая отображение, двойственное к d-Ф,
получают котомологич. критерий справедливости ло-
локальной Т. т.: если отображение
о<л<[(н_1)/2]Л (X, ii )(#
®ЛГ(Х, Qk~r)-^II"-'L(X
является эпиморфизмом, то периоды &-форм дают ло-
локальные модули для X. Локальная Т. т. для кривых
эквивалентна тому, что квадратичные дифференциалы
порождаются абелевыми дифференциалами. Теоре-
Теорема Нетера утверждает, что это так, если g=2
или g>2 и X негииерэллиптичоская. Локальная Т. т.,
очевидно, справедлива в случае /с=и, если канонич.
класс тривиален. К таким многообразиям относятся
абелевы многообразия, гиперповерхности степепи п-\-2
в Р" + 1, КЗ-поверхности. Справедливость локальной
Т. т. установлена для различных классов многомерных
многообразий. Для неособых гиперповерхностей степе-
степени d в Pn + i доказано, что отображение периодов яв-
является вложением в общей точке за исключением слу-
случая n = 2, d = 3 и, возможно, случаев: d делит га + 2,
d = 4 и п~Лт или d = C> и и = 6т + 1 (см. [4]).
Лит.: [1] TorelliR., «Rend. Accad. Lincei V», 1913,
v. 22, p. 98—103; [2] W e i 1 A., «Nachr. Akad. Wiss. Gettingen»,
1957, S. 33—53; [3] G г i f f i t h s P h., «Amer. J. Math.», 19(i8,
v. 90, ]i. 5B8—1>26, 805—05; [4] Oonagi R., «Compos, math.»,
1983, v. 50, p. 325—53. Вал. С. Нуликов.

ТОРИЧЕСКИИ УЗЕЛ типа (р, q) — кривая в
R3, к-рая в цилиндрич. координатах г, z, 6 задается
уравнениями
r=2 + cos/, г--sin/, О- pl/q,
где i?[0, 2ng]. Здесь р и g — взаимно простые нату-
натуральные числа. Т. у. лежит на поверхности незаузлен-
ного тора (г—2J+z2=l, пересекая меридианы тора в
р точках, а параллели — в q точках. Т. у. типов (р, 1)
и A, (?) тривиальны. Простейший нетривиальный Т. у.—
трилистник (см. рис. 1), имеющий тип B,3).
Группа Т. у. типа (р, д) имеет непредставление
\а, Ь : аР=ЪЧ\, а многочлен Александера равен
(tPV-i) (t-i) (tP-1)-1 (f— I)-1.
Все Т. у. являются Нейвирта узлами. Род Т. у. равен
A /
(р) (д)
Другая конструкция Т. у. использует особенность
в нуле алгсбраич. гиперповерхности
Если р и q взаимно просты, то пересечение V с достаточно
малом сферой 53сС2 является узлом в S3, эквивалент-
Рис. 1. Рис. 2.
ным Т. у. типа (р, q). В случае, когда р и q не взаимно
просты, это пересечение также лежит на незаузленном
торе 7c<S3, но состоит из нескольких компонент.
Получающееся зацепление наз. т о р и ч е с к и м за-
зацеплением типа (р, д) (см. рис. 2, где р=3,
Лит.: [I] К р о у э л л Р., Фокс Р., Введение в теорию
узлов, пер. с англ., М., 1967; [2] М и л н о р Д т., Особые точки
комплексных гиперповерхностей, пер. с англ., М., 1971.
М. Ш. Фарбер.
ТОРОИДАЛЬНАЯ ГАРМОНИКА — функция точки
на торе, появляющаяся при решении уравнения Лапла-
Лапласа методом разделения переменных в тороидальных
координатах (а, т, ф). Гармонич. функция fe=A(a, т, <р),
являющаяся решением уравнения Лапласа, записывает-
записывается в виде ряда
A=/chT-cosa 2"ft = 0 [Ajk Pf-Ч, (ch x) +
-\-BjkQljl'/2 (chx)] (ah coska-\-bh sin ka)X
X (Cj cos /ф + dj sin /ф), (*)
где P{j2'it, Q{j-4z — присоединенные функции Лежандра
с полуцелым индексом. Полагая здесь т=т0, получают
Т. г., или, иначе, поверхностную Т. г., в от-
отличие от членов ряда (*), зависящих от трех перемен-
переменных (а, т, ф), к-рые иногда наз. пространствен-
пространственными Т. г.
Ряд (*) используется при решении краевых задач в
тороидальных координатах с учетом разложения
1 V f v^ °°
., , ^=-=~^~j2j, Qk-Чг (chт) cos/ca,
Vch т — cos о я ¦*"fc = o s
где Qk-Чг — функции Лежандра 2-го рода.
Лит.: fl] Тихонов А. II., Самарский А. А.,
Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1077; 12J
МорсФ. М., ФешбахГ., Методы теоретической физики,
пер. с англ., т. 1—2, М., I960. Е. Д. Соломенцев.

ТОРОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ — числа а, х
и ф, связанные с декартовыми прямоугольными коор-
координатами .г, с/ и г формулами:
a sh х a sh х
*=chx-cosa C0S(P' У= chx-cosa Sm ?¦
chx — cos a '
где —жо<я, 0<т<оо, 0<ф<2л. Координатные
поверхности: a = const — сферы с центром (О, О,
a ctg a) радиуса a/[sin a|; x=const — торы с осевой
окружностью в плоскости Оху, центром в начале коор-
координат и радиусом a cth т и окружностью поперечного
сечения радиуса a/sh т, ф= const — полуплоскости
y/x=tg ф. Система Т.к.— ортогональная.
Коэффициенты Ламе:
т г _
'-чт ~ "г — ¦
(eh т — cos a)"
т о2 sh2
"CD 7
(ch т-cos c)-
Оператор Лапласа:
.,_ (ch т — cosoK рЗ / sh t 3/
a2 sh т |_ 3a ^ch x —cos с За
sh х 3/ \ ! 1 йг/
J
cos а
3/ \ ! 1 йг/ и
дх J ~T sb. x (ch х — сово) Дф2 J *
Д. Д. Сои-с.
ТОРС — то же, что развертывающаяся поверхность.
ТОТАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — множество 2 линей-
линейных функционалов на векторном пространстве Е, раз-
разделяющее точки Е, т. е. такое, что для любого ненуле-
ненулевого вектора х?Е найдется функционал /?2 с /(я)=?0.
В. К. Ломоносов.
ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА — статистическая оценка,
значения к-рой суть точки во множестве значений оце-
оцениваемой величины.
Пусть по реализации .г (,г,, ,г2, . . ., хп)~^ случай-
случайного вектора Х= (Хл, Х2, . . ., Х„)т, принимающего
значения в выборочном пространстве (ЗЕ, 38, J'q),
0=(91, G2, . . ., Qk)T ? всК*, надлежит оцепить неиз-
неизвестный параметр G (или нек-рую функцию &'(())).
Тогда любая статистика Ти—Тп(Х), осуществляющая
отображение множества I в 6 (или в множество зна-
значений функции g(G)), наз. точечной оценке ii
параметра 0 (оцениваемой функции #@)). Важным»
характеристиками Т. о. Тп являются ее математнч.
ожидание
и дисперсионная матрица (ковариационная матрица)
Вектор d (Х)=7„(Х)—g @) наз. вектором оши-
ошибок Т.о. Тп. Если
— нулевой вектор при всех 0?в, то говорят, что Тп
является несмещенной оценкой функции
g(Q) или что Тп лишена систематич. ошибки, в про-
противном случае Т. о. Тп наз. с м е щ е н н о ii, а вектор
6@) — смещением или систематической
ошибкой Т. о. Качество Т. о. определяется с по-
помощью функции риска.
Лит.: [1] Крамер Г., Математические методы статис-
статистики, пер. с англ., '2 изд., М., 1975; l'2t И б р а г и м о в И. А.,
X а с ь м и н с к и й Р. 3., Асимптотическая теория оценива-
оценивания, М., 1979. М. С. Никулин.
ТОЧЕЧНАЯ РЕШЕТКА в R" с базисом к,,
. . ., «„] — множество A=2"i+- • ¦~V%en точек и-
. .-I Su<'n, гДе Si, ¦ ¦ -, Sn — целые числа.

Решетку Л можно рассматривать как свободную абе-
леву группу с п образующими. Данной решетке Л от-
отвечает бесконечное множество базисов; их общий вид:
(ех, . . ., en)U, где U пробегает все целые матрицы
с определителем ztl. Величина
d(A) = |det(ei, ..., еп)\ > О
— объем параллелепипеда, построенного на векторах
ех, . . ., еп,— не зависит от выбора базиса и наз. о п-
ределителем решетки Л.
Разбиение Т. р. на Вороного типы, решеток игра-
играет важную роль в геометрии квадратичных форм.
А. Б. Малышев.
ТОЧКА ПОЛЯ К со значениями в поле
L, L-з начная точка поля К, — отображение
/ : K-+L U {оо }, удовлетворяющее условиям
f(ab) = f(a)-f(b)
(если выражения, стоящие в правых частях, определе-
определены), при этом считается, что
ОО • 00 = 00,
с-}-оо = оо4-с=оо, cgL,
с-оо = оо-с=оо, cgL, с ^0,
а выражения oo-f-oo, О-оо, оо-0 не определены.
Элемент а из К, для к-рого /(a)?L, наз. к о н е ч-
н ы м в Т. п. /; множество А конечных элементов явля-
является подкольцом в К, а отображение / : A->~L — гомо-
гомоморфизмом колец. Кольцо А — локальное кольцо, его
максимальный идеал m= {agK\f(a) = O}.
Т. п. / определяет нормирование v поля К с группой
значений К*/А* (где /?* = /Г\{0}и А *=А\т —груп-
—группы обратимых элементов поля К и кольца А соответст-
соответственно). Кольцо этого нормирования совпадает с А.
Обратно, любое нормирование v поля К определяет
Т. п. К со значениями в поле вычетов нормирования и.
При этом кольцо конечных элементов совпадает с коль-
кольцом нормирования v.
Лит.: [1] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968.
Ю. Г. Зархин.
ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — последова-
последовательность
ССп ССп+1
>- А,1 *¦ ^П + 1 "" ^„ + 2 »¦ • . .
объектов абелевой категории ft и морфизмов а,- таких,
что
Т. п. 0-+А-+В-+С-*-0 наз. короткой и состоит из
объекта В, его подобъекта А и факторобъекта С.
В. Е. Говоров.
ТОЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — представление, яв-
являющееся МОНОМОрфиЗМОМ. А. И. Штерн.
ТОЧНЫЙ ФУНКТОР — функтор, перестановочный
с нек-рыми пределами и копределами. А именно, функ-
функтор F : 31 ->- 33 между абелевыми категориями 5( и
S3 наз. точным, если он переводит короткие точ-
точные последовательности
О —* А —* В —* С —>¦ О
из категории 31 в короткие точные последовательности
О —* F (А) —> F (В) —> F (С) —* О
категории 25.
Если 21 и 33 — неабелевьх категории, то функтор
F : 31 -+¦ © наз. точным, если он переводит ком-
коммутативные диаграммы
из 31, в к-рых (ej, е2) — ядерная пара v, а v — коядро
пары (е1; t2), в диаграммы с теми же свойствами в Ж.
М. Ш. Цаленко.

ТОЧНЫЙ ЭНДОМОРФИЗМ пространства Лебега
(X, и.) — такой эндоморфизм Т пространства (X, и)
(см. Метрический изоморфизм), что единственным по
mod 0 измеримым разбиением, к-рое крупнее по mod О
всех Т~"е, где е — разбиение на отдельные точки, яв-
является тривиальное разбиение, единственный элемент
к-рого — все X. Эквивалентное определение: не суще-
существует измеримых разбиений |, инвариантных (в бо-
более старой терминологии — вполне инвариантных) от-
относительно Т (т.е. таких, что'Г~1|=| mod 0). При-
Примерами Т. э. являются односторонние сдвиги Бернул-
ли и растягивающие отображения.
Т. э. обладают сильными эргодич. свойствами, анало-
аналогичными свойствам К-систем (с к-рыми формально Т. э.
связаны: имеется конструкция, сопоставляющая эн-
эндоморфизму нек-рый автоморфизм,— его стандарт-
стандартное расширение; для Т. э. последнее явля-
является К-автоморфизмом).
Лит.: Ш Рохлин В. А., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
19A1, т. 25, Ni 4, с. 499 — 530; [2] К о р н ф е л ь д И. П.,
С и и а й Я. Г., Фони н С. В., Эргодическая теория, М.,
1980. Д. В. Аносов.
ТРАЕКТОРИЯ в первоначальном значении терми-
термина — линия, описываемая движущейся точкой (Т. этой
точки). При движении системы материальных точек каж-
каждая точка движется по своей Т. В то же время состоя-
состояние всей системы изображается точкой фазового про-
пространства, к-рая тоже движется по нек-рой Т. в этом
пространстве. Когда необходимо подчеркнуть, что
речь идет о последней Т., то говорят о фазовой траекто-
траектории. (Для «системы», состоящей из одной материаль-
материальной точки М, различие между ее «геометрической»
Т. в обычном пространстве и фазовой Т. все равно сох-
сохраняется, ибо состояние не сводится к геометрич. по-
положению М, а включает также и ее скорость.)
В более абстрактной теории динамических систем
под Т. обычно понимают фазовую Т. (тем более что в
общем случае ни в каком ином смысле говорить о Т.
не приходится — «система» может не иметь физич.
смысла системы материальных точек). Строго говоря,
фазовая Т. может не быть линией, а сводиться к одной
точке [равновесия положении)). Наконец, абстрактной
концепции динаммч. системы как группы или полугруп-
полугруппы преобразований, уже не обязательно однопараме-
трической, соответствует использование термина «Т.»
как синонима орбиты (такая Т. не обязана быть ли-
линией).
Для каскада, получающегося итерированием необра-
необратимого отображения S, иногда под Т. (или полной
Т.) точки х понимают совокупность всех ее образов
Snx, гс=0, 1, 2, . . ., и всех прообразов этих образов
При отображениях Sm, ;n—1, 2, .... Д. В. Аносов.
ТРАКТРИСА — плоская трансцендентная кривая,
уравнение к-рой в декартовых прямоугольных коор-
координатах имеет вид
х = ± a In '
Т. симметрична относительно оси ординат (см. рис.),
ось абсцисс — асимптота. Точка @, а) — точка воз-
возврата с вертикальной ка-
касательной. Длина дуги,
отсчитываемая от точки
Радиус кривизны:
Площадь, ограниченная Т. и ее асимптотой:
\ х
r=--a ctg — .

При вращении Т. вокруг оси абсцисс образуется псев-
псевдосфера. Длина касательной, т. е. отрезок от точки
касания М до оси абсцисс, есть величина постоянная.
Это свойство позволяет рассматривать Т. как траек-
траекторию конца отрезка длины а, когда другой его ко-
конец движется по оси абсцисс. Понятие Т. обобщается
на случай, когда конец отрезка движется не по пря-
прямой, а по нек-рой заданной кривой; получающаяся при
этом кривая наз. траекторией данной кривой.
Лит.: [1] С а в е л о в А. А., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
ТРАНЗИТИВНАЯ ГРУППА — группа подстановок
(G, X) такая, что каждый элемент х?Х может быть пе-
переведен в любой элемент у?Х подходящим элементом
y(zG, т.е. x"V=y. Иными словами, все множество X
образует единственную орбиту группы (G, X). Если я;е
число орбит больше 1, то группа (G, X) наз. и н т р а и-
зитивной. Орбиты интранзитивной группы иногда
наз. ее областями транзитивности. У
интранзитивной группы (С, X) с орбитами X;
ограничение действия группы на X; транзитивно.
Пусть // — подгруппа в G и пусть
— разложение G на правые смежные классы по //.
Пусть, далее, Х= {Нх[}. Тогда действие (G, X) опре-
определяется условием (Hxi)?=Hxig. Это действие тран-
транзитивно, и обратно, всякое транзитивное действие по-
подобно вышеуказанному для подходящей подгруппы II
в G.
Действие (G, X) наз. к раз транзитивным, /c?N, если
для любых двух упорядоченных множеств из к различ-
различных элементов (xlt . . ., х^) и (у1, . . ., у^), х-п у^
?Х, существует такой элемент y?G, что yi=xj для
всех i=l, . . ., к; иначе говоря, (G, X) обладает лишь
одной антирефлексивной fc-орбитой. Для к~^2 А-тран-
зитивная группа наз. кратно транзитивной.
Примером дважды транзитивных групп являются
группы целых линейных преобразований х\-^>ах-уь,
х. а, Ь?К, нек-рого поля К. Примером трижды тран-
транзитивных групп служат группы дробно-линейных
преобразований проективной прямой над полем А',
т. е. преобразований вида
' а> ъ' с- d' х
где det
ab
?=0.
Т. г. (G, X) наз. строго t раз транзитив-
н о й, если лишь тождественная подстановка может
оставлять на месте А различных элементов из Q. Группа
целых линейных и группа дробно-линейных преобра-
преобразований являются примерами строго дважды и строго
трижды транзитивных групп.
Конечная симметрич. группа Sn n раз транзитивна.
Конечная знакопеременная группа А п (п—2) раза тран-
транзитивна. Эти две серии кратно транзитивных групп
считаются тривиальными. Известны еще две 4 раза тран-
транзитивные группы Мг1 и М23 и две 5 раз транзитивные
группы М12 и Л/24 (см. [3], а также Матьё группа).
Существует гипотеза A984), что за исключением этих
четырех групп не существует нетривиальных к раз
транзитивных групп для А^4. Эта гипотеза доказана
в предположении, что верна неоднократно анонсиро-
анонсированная классификация конечных простых неабеле-
вых групп [6]. Более того, при указанном предполо-
предположении можно считать законченной классификацию
всех кратно транзитивных групп.
Т. г. определяются также для дробных к вида то+
"+¦ Vat пг-^0, 1, 2, .... А именно, группа (G, X) наз. 1/2-

транзитивной, если либо \Х)~ 1, либо все орбиты груп-
группы (G, X) имеют одинаковую длину болыиуто 1. А для
ге>1 группа (G, X) rc+V2 раз транзитивна, если фик-
фиксатор (Gx, X) п—1/а раз транзитивен на X (см. [3]).
Лит.: [1] К з р т и с Ч., Р а й н е р И., Теория представ-
представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ.,
М., 1969; [2] Холл М., Теории групп, пер. сангл., М., 1!)(>2;
131 WielandtH., Finite permutation groups, N. У.— L.,
1964; [4] Passman D., Permutation groups, N. Y.— Amst.,
1968; [5] H i g m a n D. G., Lecture on permutation represen-
representation, Giessen, 1977; [6] Cameron P. J., «Bull. London
Math. Soc», 1981, v. 13, p. 1 — 22. Л. А. Калужнип.
ТРАНЗИТИВНОСТЬ — одно из важнейших свойств
бинарных отношений. Отношение R на множестве А
наз. транзитивным, если для любых а, Ъ,
с?А из условий аВЬ и ЬВс вытекает, что aRc. Отноше-
Отношения эквивалентности и порядка являются примерами
транзитивных бинарных Отношений. Г. С. Фофанова.
ТРАНСВЕКЦИЯ, с д в и г,— линейное преобразо-
преобразование / (правого) векторного пространства V над те-
телом К, обладающее свойствами
rk(/—?) = l и Im (f — E) С ker (f — E),
где Е — тождественное линейное преобразование. Т.
представляется в виде
где a?V, a?V* и а(а) = 0.
Все Т. векторного пространства V порождают
группу SL (F), наз. специальной линейной
или унимодулярной группой простран-
пространства V и совпадающую с коммутантом группы GL(y),
за исключениемслучаев, когда dim V—i или dim V~2
и К — поле из двух элементов. Если А' — поле, то
SL(F) —группа матриц с определителем 1. В общем
случае (если только dim Уф\) группа SL(F) является
ядром эпиморфизма
GL(F)—> К*1(К*, К*),
наз. определителем Дьёдонне.
Лит.: [1] Д ь е д о н и е Ж., Геометрия классических груи
пер. с франц., М., 1974. Э. В. Винберг.
ТРАНСВЕРСАЛЬНАЯ СИСТЕМА, трансвер-
сальная схема, Г-с и с т е м а,— система 7'0 (т, t)
множеств, определяемая для заданной совокупности т
попарно непересекающихся конечных множеств Sit
¦ . ., Sт, каждое из к-рых имеет мощность t. А именно:
Т. с. Т0(т, t) есть система из Й множеств Ylt . . .,
У{2 (блоков, или трансверсале й), со-
содержащих каждое т элементов и таких, что:
1) \YjuSi\ = l, i = l, ..., т, ; = 1, ...,t\
2) \Yj{\Yk\<\ при \фк.
В Т. с. любые два элемента a?Sj и Ь?5у, 1ф), встре-
встречаются вместе ровно в одном блоке. Существование
Т. с. Т0(т, t) эквивалентно существованию ортогональ-
ортогональной таблицы ОА (I, т).
Т. с. используются в рекурсивных методах построе-
построения блок-схем.
Множество из t трансверсалей в Т0(т, t) наз. па-
параллельным, если никакие две из них не пересекаются.
Если Т. с. Т0(т, t) содержит е (или более) параллель-
параллельных множеств, то она обозначается Те(т, t).
Нек-рые из основных свойств Т. с:
а) если существуют Td(m, s) и Те(т, t), то сущест-
существует и Tde\m, st)\ б) Tt{m—I, t) существует тогда и
только тогда, когда существует Т0(т, t); в) если t и .«
таковы, что существуют Ts(m, t) и Тд(т, s), то сущееi-
вует Ts*(m, st).
Лит.: [1) Холл М., Комбинаторика, пер. с англ., .М..
1970; [21 Hanani H., «Ann. Math. Stat.», 1961, v. 32, Л'-,
p. 361—86. В. Е. Тараканов.
ТРАНСВЕРСАЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ОПЕРА-
ОПЕРАТОР — дифференциальный или псевдодифференциаль-
псевдодифференциальный оператор, перестановочный с действием нек-рой

группы Ли на многообразии, где задан оператор, и
эллиптический но направлению нормалей к орбитам
этой группы. Если оператор действует на сечениях век-
векторных расслоений, то предполагается заданным также
поднятие действия рассматриваемой группы G до дей-
действия в каждом из рассматриваемых расслоений, так
что действие группы продолжается на сечения расслое-
расслоений. Если группа G дискретна, то Т. э. о.— это обыч-
обычный эллиптич. оператор, перестановочный с действием
G. Если G действует на многообразии X транзитивио,
то любой дифференциальный или псевдодифференци-
псевдодифференциальный оператор, перестановочный с действием G, яв-
является Т. э. о. Если G и X компактны, то для Т. э. о.
определяется и вычисляется индекс, являющийся обоб-
обобщенной функцией на G (см. Индекса формулы).
Лит.: [1] Atiyah M., Elliptic operators and compact
groups, В.— la. о.], 1974. M. А. Шубин.
ТРАНСВЕРСАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, транс-
версально регулярное отображе-
отображение, — отображение, обладающее нек-рыми свой-
свойствами общего положения.
Пусть \ — векторное расслоение над конечным кле-
клеточным пространством X, и пусть тотальное простран-
пространство расслоения | вложено как открытое подмножество
в нек-рое тонологич. пространство Z. Непрерывное
отображение / : M-*-Z, где М — гладкое многообразие,
наз. трансверсалъным к X отображе-
отображением, если V—f~1(X) является гладким подмногооб-
подмногообразием в М с нормальным расслоением V и если при
этом ограничение / на трубчатую окрестность под-
подмногообразия V в М задает морфизм расслоений v-*-?.
Напр., пусть / : M-+N — гладкое отображение глад-
гладких многообразий, и пусть X — гладкое подмно-
подмногообразие в N. Если дифференциал df : t^j -»- %н (где
т — касательное расслоение) содержит: в своем образе
все векторы нормального к X в N расслоения %, то /
является Т. о.
Аппроксимационная теорема: во
множестве всех непрерывных отображений M-+-Z Т. о.
образуют множество 2-й категории. В частности, лю-
любое непрерывное отображение гомотопно Т. о. Эта те-
теорема позволяет сопоставить алгебраич. инвариантам
(гомотопич. классам отображения) наглядные геоме-
трич. образы (классы нек-рой эквивалентности многооб-
многообразий, являющихся прообразами при Т. о.). Возможен
и обратный переход — от геометрии к алгебре. Таким
путем были вычислены, напр., различные группы бор-
дизмов, классифицированы гладкие многообразия дан-
данного гомотопич. типа и т. д.
Понятие Т. о. можно перенести также в категории
кусочно линейных и топологич. многообразий. При
этом в кусочно линейной категории аппроксимацион-
аппроксимационная теорема справедлива, а в топологич. категории
этот вопрос остается A984) открытым. Понятие Т. о.
можно сформулировать и для бесконечномерных мно-
многообразий.
Лит.: [1] Том Р., в кн.: Расслоенные пространства и их
Приложения. Сб. пер., М., 1958, с. 293—351; [2] Б р а у д е р В.,
Перестройки односвязных многообразий, пер. с англ., М.,
1983. Ю. Б. Рудя-п.
ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТИ УСЛОВИЕ — необходимое
условие оптимальности в вариационных задачах с под-
подвижными концами. С помощью Т. у. определяются про-
произвольные постоянные, от к-рых зависит решение
уравнений Эйлера. Т. у. является необходимым усло-
условием обращения в нуль первой вариации функционала.
Для простейшей задачи вариационного исчисления
с подвижными концами
2 F (t, х, x)dt,
в к-рон точка
\ 1» "^ V 1/j 21 ^ \ 2/) — \ 1? *^1» 2ч ^2/

не фиксируется, а может принадлежать нек-рому мно-
множеству, Т. у. записывается в виде соотношения
[(F-iFk)dt + Fkdx]l = Q, A)
к-рое должно выполняться при любых значениях диф-
дифференциалов dty, dxx, dtt, dx%, удовлетворяющих про-
варьированным граничным условиям.
Если левый и правый концы экстремали могут сме-
смещаться вдоль заданных линий х=<р1(?) и z=<p2(t), то
в силу
dxa — q>2(t) dtt
и независимости вариаций dtx и dt2 из A) получают
F(h, *lt ^i)-[ф1 (ii)-%] ^(«i, хи i1) = 0,'l
F (hi х2, хг) + [(р2A2)~ x2]Fx (tt, х2, х2)^=0.)
Если уравнения линий, вдоль к-рых смещаются ле-
левый и правый концы экстремали, заданы в неявном виде:
co1(Z, х)—-0 и q>2 Ci х)=0, то Т. у. A) записывается в
виде
- на левом конце,
— ~~~^,— на правом конце.
Если на один из концов экстремали не наложено ника-
никаких ограничений, то на этом конце, в силу независи-
независимости соответствующих концевых вариаций dt и dx,
Т. у. A) принимает вид
F=0, Р\=0. D)
Соотношения B), C), D) наз. условиями транс-
трансверсальности.
Ниже приводятся Т. у. в более общем случае вариа-
вариационной задачи на условный экстремум. Пусть имеется
Больца задача, состоящая в минимизации функционала
J(x)=[' /(«, х, x)dt + g(tu x(t^, ta, x(t2)), \
/:RxR"xR"—>• IR, g:RxR"xRxR"-—*-R, I
при наличии дифференциальных ограничений типа ра-
равенств
Ф(/, х, х) =0, <f.RxRnxRn —> Rm, m < п, F)
и граничных условий
гр:RXR-"XRXR"—t-RP, p<2ra + 2. G)
В этой задаче при p<2n+2 концы (tt, х\, . . ., х")
и (i2, x\, . . ., xty экстремали не закреплены, а могут
смещаться вдоль заданных гиперповерхностей г|3(г=0,
(i=l, . . ., р.
Согласно Т. у., существуют такие постоянные (м н о-
жители Л а г р а и ж а) ец, ц=1, . . ., р, а также
такие множители Хо и \t(t), t=l, . . ., т, что на кон-
концах экстремали помимо граничных условий G) выпол-
выполни ртся соотношение
0, (8)
к-рое должно иметь место при любом выборе дифферен-
дифференциалов
dh, dx[, dt2, dx[, i = l, ..., п. (9)

Черев F в (8) обозначено
F = F(t, х, x, k)=kof(t, x, х)-\-
В большинстве практич. задач для нормировки множи-
множителей Лагранжа полагают X0=i (значение ^0=0 соот-
соответствует анормальному случаю, см. [1]). Множители
Х,-(г), ?=1, . . ., т, определяются вместе с х'(t), ?=1,
. . ., т, из решения системы дифференциальных урав-
уравнений Эйлера
и т уравнений вида F):
<fi(t, х, х)=0, ? = 1, ..., т.
Общее решение полученной системы из п дифферен-
дифференциальных уравнений 2-го порядка и т дифференциаль-
дифференциальных уравнений 1-го порядка относительно п-\~т неиз-
неизвестных функций .('(О, i=l, • . ., п и Я,-(<), ?—1, . . .,
т, зависит от 2п произвольных постоянных. Действи-
Действительно, если обозначить
x'=ui, ? = 1, . .., re, A2)
то получается система A1), A2) 2п дифференциальных
уравнений 1-го порядка и т конечных соотношений
<Pi(t, х, u)=--Q, i = l, ..., т. A3)
Выражая из A3) нек-рые т функций м,- через осталь-
остальные (в предположении, что соответствующий функцио-
функциональный определитель отличен от нуля) и подставляя
их в A1), A2), получают систему 2п дифференциальных
уравнений 1-го порядка с 2ге неизвестными функциями,
общее решение к-рой зависит от 2п произвольных по-
постоянных. Вместе со значениями tt и t2 это дает 2гс+2
произвольных постоянных, определяющих решение
вариационной задачи E) — G). С помощью Т. у. полу-
получают ровно столько же соотношений, позволяющих
определить эти произвольные постоянные.
В задачах оптимального управления и в принципе
максимума Понтрягина необходимое Т. у. записывается
аналогично (8), только вместо
в (8) следует подставлять гамильтониан //, взятый с об-
обратным знаком, и сопряженные переменные г|з,-.
Необходимое Т. у. позволяет получать недостающие
граничные условия для получения замкнутой краевой
задачи, к к-рой сводится решение вариационной задачи
с подвижными концами.
Лит.: [1] Б л и с с Г. А., Лекции по вариационному ис-
исчислению, пер. с англ., М., 1950; f2] Лаврентьев М. А.,
Люстерник Л." А., Курс вариационного исчисления,
2 изд., М.~ Л., 1950. И. Б. Вапмлрский.
ТРАНСВЕРСАЛЬНОСТЬ — общее название для
нек-рых свойств общего положения, понятие линейной
алгебры, дифференциальной и геометрич. топологии.
а) Два векторных подпространства А, В конечномер-
конечномерного векторного пространства С трансверсаль-
н ы друг к другу, если А и В порождают С, т. е.
dim Л П В + dim С = dim A + dim В.
б) В дифференцируемой ситуации два подмногообра-
подмногообразия L, М многообразия Л'трансверсальны в
точке x?Lf)M, если касательные пространства в
этой точке TXL, ТХМ порождают TXN. Геометрически
(для подмногообразий в узком смысле слова и без края)
это означает, что в TV можно ввести такие локальные
координаты х1У . . ., хп в нек-рой окрестности U точки
х, в терминах к-рых Lf\ U и М Г) U представляются как
трансверсальные векторные подпространства в R".

Отображение / : L-*-N трансверсально к
подмногообразию McN в точке x^f~1{M),
если образ TXL под действием / трансверсален к Т^Х)М
в Tj(x)N. Отображения / : L -*¦ N и g : М -*¦ N
трансверсальны друг к другу в точке
(х, y)?LxM, где f(x)=g(y), если образы ТXL и
ТУМ порождают Тflx)N. Последние два определения
тоже перефразируются [1]: говорят, что L трансверсаль-
трансверсально к М, f — к М (более старый термин: / Z-регулярно
вдоль М) и / — к g, если соответствующая Т. имеет
место во всех точках, для к-рых о ней можно говорить.
Эти понятия легко сводятся друг к другу, напр. Т. L и
М- эквивалентна Т. тождественных вложений L и М в
N. Употребительна запись типа L<faxM, ffaM и т. д.
Для Т. многообразий с краем иногда целесообразно
дополнительно потребовать выполнения нек-рых усло-
условий (см. [3]). Т. переносится и на бесконечномерный слу-
случай (см. [1], [2]).
Во всех этих случаях роль Т. связана с ее «типично-
«типичностью» и с «хорошими» свойствами пересечения L[)M,
прообразов f-'(M) и т. п. объектов (к-рые к тому же
«хорошо» деформируются, если при деформациях ис-
исходных объектов сохраняется Т.) (см. [4]).
в) В кусочно линейной и топологии. ситуациях мож-
можно определить Т. подмногообразий по аналогии с гео-
метрич. определением в б) (особенно употребителен
кусочно линейный вариант для подмногообразий до-
дополнительной размерности, см. [5]). Вообще говоря,
полной аналогии со свойствами Т. из б) не получается
(см. [6], [8]), поэтому предложены более ограничитель-
ограничительные модификации Т. (см. [7], [9]).
Наконец, говорят, что какая-то категория многообра-
многообразий обладает свойством Т., если в ней любое отобра-
отображение аппроксимируется трансверсальным отображе-
отображением.
Лит.: [1] Л е н г С, Введение в теорию дифференцируемых
многообразий, пер. с англ., М., 1967; Г2] Бурбаки Н.,
Элементы математики. Дифференцируемые и аналитические
многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М.,
1975; [3] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс
топологии. Геометрические главы, М., 1977; [4] X и р ш М.,
Дифференциальная топология, пер. с англ., М., 1979; 15]
РуркК., Сандерсон В., Введение в кусочно-линей-
кусочно-линейную топологию, пер. с англ., М., 1974; [6] L i с к о г i s h W.,
RourkeC. P., «Proc. Camb. Philos. Soc», 19B9, v. 66, № 1,
p. 13—16; MRourkeC, S a n d e г s о п В., «Arm. Math.»,
1968, v. 87, p. 256—78; [8] Hudson J., «Proc. Camb. Philos.
Soc», 1969, v. 66, N° 1, p. 17—20; [9] M a r i n A., «Ann. Math.»,
1977 v. 106, № 2, p. 269—93. Д. В. Аносов.
ТРАНСГРЕССИЯ в расслоенном прост-
пространстве — соответствие между классами когомо-
когомологий слоя и базы. Точнее, если Е — связное расслоен-
расслоенное пространство с базой В и слоем F, А — абелева
группа, то Т. в ? есть соответствие
xcHs(F, A)xHs+1(B, A),
определенное формулой
где б : HS(F, A)->-Hs + 1 (E, F, А) — кограничный го-
гомоморфизм, а д : Hs + 1(B, A)^HS + г(Е, F, А) — гомо-
гомоморфизм, определяемый проекцией Е-+В. Элементы
из области определения TS(F, A)aHs(F, А) соответ-
соответствия т наз. трансгрессивными; образом
элемента x?Ts(F, А) при Т. наз. любой такой
y?Hs + 1(B, А), что злу. Т. можно рассматривать как
гомоморфизм группы Ts (F, А) в нек-рую факторгруппу
группы HS + 1(B, А). Т. допускает прозрачное истолко-
истолкование в терминах спектральной последовательности
(Пг) расслоения Е: по существу, она совпадает с диф-
дифференциалом ds + 1 : IIs'+i -*¦ -ffs+i' °-
Описание трансгрессивных классов когомологий слоя
весьма существенно при изучении когомологич. строе-
строения расслоения. Важную роль здесь играет теорема
трансгрессии Бореля: если А — поле,

Нп(Е, Л)=0 при п>0, Н* (F, А)=АР — внепшяя
алгебра над подпространством Р, градуированном не-
нечетными степенями, причем когомологии слоев обра-
образуют простой пучок над.й, то Р можно выбрать таким
образом, чтобы Ps= TS(F, А) для любого s>0, при этом
Н*(В, А) — алгебра многочленов от образов элементов
однородного базиса пространства Р при Т. В частности,
если G — связная группа Ли, не имеющая р-кручения, и
char А~р, то //* (G, А) = АР, где однородные элементы
пространства Р имеют нечетные степени ц трансгрессив-
трансгрессивны в любом главном расслоении группы G. При этом
Р совпадает с пространством примитивных классов
когомологии.
Лит.: Ll] Б op ель А., в кн.: Расслоенные пространства
и их приложения, пер. с франц., М., 1958, с. 163—24Н; [2]
С е р р Ж.'П., там же, с. 9—114. А. Л. Очищи-к.
ТРАНСЛ ЯТИВНОСТЬ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ —
свойство метода, сохраняющее суммируемость ряда
после добавления к нему или удаления из него конеч-
конечного числа членов. Более точно: метод суммирования А
наз. т р а н с л я т и и н ы м, если из суммируемости
ряда
к сумме S следует суммируемость этим же методом ряда
к сумме S—а0, и наоборот. Для метода суммирования А,
определенного преобразованием последовательности
{?„} в последовательность или функцию, свойство
транслятивности состоит в том, что из условия
A—lim Sn = S
следует
A— lim Sn + 1-=S,
и наоборот. Если метод суммирования определен регу-
регулярной матрицей ||а„ц||, то это означает, что из
всегда следует
lim 2Г-п ankSk + i = S, B)
и наоборот. В случаях, когда такое заключение выпол-
выполняется только в одну сторону, метод называют транс-
лятивным справа — если из A) следует B),
но обратное неверно, или транслятивным
слева, когда из B) следует A), но обратное неверно.
Свойством транслятивности обладают многие рас-
распространенные методы суммирования; напр., метод
Чезаро (С, к) при fc>0, метод Рисса (R, п, к) при fc>0,
метод Абеля транслятивны, экспоненциальный метод
Бореля транслятивен слева.
Лит.: [1] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер. с англ., М., 1960; [2] Барон С,
Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
И. И. Волков.
ТРАНСЛЯЦИЯ — отображение алгебраич. системы
в себя, к-рое либо есть тождественное отображение,
либо может быть представлено в виде произведения
конечного числа главных трансляций (наз. также э л е-
ментарными Т.). Эквивалентность на алгебраич.
системе является конгруэнцией тогда и только тогда,
когда она замкнута относительно всех Т. (и даже только
главных Т.).
Лит.: [1] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ.,
М., 1968; [2] М а л ь ц е в А. И., Алгебраические системы, М.,
1970. О. А. Иванова.
ТРАНСЛЯЦИЯ ПРОГРАММ — 1) Т. п. в програм-
программировании, компиляция программ,— систе-
систематический процесс, который любую программу ip

на входном алгоритмическом языке LI преобра-
преобразует в некоторую программу ор на о б ъ е к т н о м
языке LO, при этом так, что обе программы, ip и ор,
реализуют одну и ту же функцию, то есть если d —
входные данные программы, то ip(d)=op(d).
2) Т. п. в теории вычислимых функций и алгоритмов
теории — любое отображение одной нумерации вы-
вычислимых функций в другую, сохраняющее свойство
образа и прообраза быть номером одной и той же функ-
функции (наличие эффективного транслирующего отобра-
отображения наз. также сводимостью одной нумера-
нумерации к другой).
В практике программирования обычно входным язы-
языком является программирования язык, используемый
человеком, а объектным языком — язык непосредст-
непосредственно выполняемых машинных программ. Сама Т. п.,
как правило, совершается автоматически, то есть с
помощью программы t на нек-ром языке реализации
LR, наз. транслятором (или к о м п и л я т о-
р о м), то есть t(ip)=op. Систематич. разработка транс-
трансляторов для любого входного языка LI из нек-рого
класса языков составляет содержание автоматизации
программирования, а соответствующие средства такой
разработки наз. системами построения
трансляторов или трансляторами
трансляторов, tt : M(LI) = ?. При этом язык
реализации либо включает объектный язык, либо совпа-
совпадает с ним: LO^LR.
Понятие Т. и. (сводимости) в теории вычислимых
функции приводит к понятию главных нумера-
ц и й, то есть таких, к к-рым сводятся любые другие
нумерации из нек-рого класса. Доказано существова-
существование главных вычислимых нумераций у всех кон-
конкретных моделей вычислимых функций, в частности
у частично рекурсивных функций и у машин Тьюрин-
Тьюринга. В свою очередь, существование главных вычислимых
нумераций взаимообусловлено способностью вычисли-
вычислимых функций к т. н. частичным вы числен и-
я м, то есть существованием общерекурсивной функ-
функции (в программировании — частичного вы-
вычислителя, в теории вычислимых функций —
s-m-я-функции) S^(xo,x1, . . ., хт) такой, что если
U" (х0, хг, . . ., хп) — универсальная функция для вы-
вычислимых функций п переменных, то для любой вы-
вычислимой функции F от т-\-п переменных и с номером
NF имеет место' тождество
% хъ ..., хт), хт + ъ ..., хт + п).
Как видно из тождества, частичный вычислитель по
программе функции т-\-п переменных и по заданным
значениям т переменных строит программу функции
п переменных, получаемой из исходной связыванием
т ее аргументов этими значениями. Результат работы
частичного вычислителя наз. проекцией
NFx^ Xm программы NF на заданные значения
хъ . . ., хт ее т аргументов. Существование главных
вычислимых нумераций (см. [1], гл. 1, § 2) и частичных
вычислителей (см. [2], § 65), а также взаимной связи
между ними (см. [3], §11, теорема 3) является одной
из фундаментальных сторон теории вычислимых функ-
функций .
Между задачами практич. трансляции в программи-
программировании и частичными вычислениями существует не-
непосредственная связь (см. [4]). Пусть язык реализации
LR обладает главной вычислимой нумерацией, и пусть
NS — программа частичного вычислителя для LR,
выраженная на этом же языке. Пусть, далее, входной
язык LI задается программой NLI своей универсаль-
универсальной функции, выраженной на объектном подмножестве
LO языка LR, то есть NLI(ip, d) = ip(d). (В программи-

ровании такая программа наз. интерпретато-
интерпретатором входного языка.) Тогда справедливы следующие
соотношения:
4dNS(NLI, ip, d) = op(d),
V ip NS(NS, NLI, ip) = t (ip),
V NLI NS (NS, N$, NLI) =-- tt (NLI),
то есть объектная программа — это проекция интер-
интерпретатора входного языка на входную программу;
транслятор — это проекция частичного вычислителя
на интерпретатор входного языка, а транслятор тран-
трансляторов — ото проекция частичного вычислителя на
самого себя.
Лит.: [1] Е р ш о в Ю. Л., Теория нумераций, М., 1977;
[2] К л и и и С. К., Введение а метаматематику, пер. с англ.,
М., 1957; [3] У с п е н с к и й В. А., Лекции о вычислимых
функциях, М., 1960; [4j E р И о в А. П., в кн.: Всесоюзная
конференция. Методы математической логики в проблемах ис-
искусственного интеллекта и систематическое программирование,
Йаланга, 3—5 сент. 1980, ч. 2, Вильнюс, 1980, с. 26—55.
А. Л. Ершов.
ТРАНСМИССИИ УСЛОВИЕ — условие на псев-
псевдодифференциальный оператор на гладком многообра-
многообразии с краем, гарантирующее, что гладкие вплоть до
края функции, продолженные нулем, переводятся этим
оператором снова в функции, гладкие вплоть до гра-
границы. Продолжение нулем здесь делается на некото-
некоторую окрестность исходного многообразия, которое
считается вложенным в более широкое многообразие
без края, так что точки края становятся внутренними
точками.
Если символ рассматриваемого псевдодифференци-
псевдодифференциального оператора имеет в локальных координатах в
окрестности границы асимптотич. разложение по по-
положительно однородным функциям аа (х, 5) (а — по-
порядок однородности), то Т. у. можно записать в виде
следующего условия на функции аа:
где у, Р — любые мультпиндексы, координаты х счи-
считаются выбранными в окрестности граничной точки
так, что {^„=0} — уравнение края, ж„^0 на самом
многообразии, %=(%', ?„) — координаты, дуальные к
координатам х=(х , хп).
Лит.: [1] Э с к и н Г. И., Краевые задачи для эллиптиче-
эллиптических псевдодифференциальных уравнений, М., 1973; [2] В о-
utet de Monvel L., «ACta math.», 1971, v. 126, № 1/2,
p. 11—51. M. А. Шубин.
ТРАНСПОНИРОВАННАЯ МАТРИЦА — матрица,
получающаяся из данной (прямоугольной или квад-
квадратной) матрицы i4=||o,^||, i=l, . . ., т, к=\, . . ., п,
после замены строк одноименными столбцами, т. е.
матрица ||afft||, где a'ik=akj, i=l, . . ., п, к=\, . . ., т.
Число строк Т. м. равно числу столбцов матрицы А,
а число столбцов — числу строк матрицы А. Матрицу,
транспонированную по отношению к матрице А, приня-
принято обозначать ЛТ ИЛИ А'. О. А. Иванова.
ТРАНСПОНИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ — 1) Т. у.
для линейных алгебраич. систем — уравнения, имею-
имеющие транспонированные матрицы.
2) Т. у. для линейных интегральных уравнений —
уравнения с ядрами К (х, у) и К (у, х).
Т. у. наз. также союзными, ассоцииро-
ассоциированными, присоединенными урав-
уравнениями.
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА — один из наиболее важ-
важных частных случаев общей задачи линейного програм-
программирования. Содержательно Т. з. формулируется следую-
следующим образом.
Пусть в пунктах А\, Аг, . ¦ ., Ат производится нек-
рый однородный продукт, причем объем производства

этого продукта в пункте А,- составляет а,- единиц, i—i,
. . ., т. Произведенный в пунктах производства про-
продукт должен быть доставлен в пункты потребления
Въ В2, . . ., Вп, причем объем потребления в пункте
Вj составляет bj единиц продукта. Предполагается,
что транспортировка готовой продукции возможна из
любого пункта производства в любой пункт потребле-
потребления и транспортные издержки, приходящиеся на пере-
перевозку единицы продукта из пункта Л,- в пункт Bj, сос-
составляют с,у денежных единиц. Задача состоит в орга-
организации такого плана перевозок, при к-ром суммарные
транспортные издержки были бы минимальными.
Формально задача ставится следующим образом.
Пусть xij — количество продукта, перевозимого из
пункта А; в пункт By. Требуется определить совокуп-
совокупность из тп величин г,у, удовлетворяющих условиям
2" г- —л- 1 — 1 9
т<
и обращающих в минимум линейную форму
Группа ограничений A) связана с тем обстоятель-
обстоятельством, что объем вывезенного из каждого пункта про-
производства продукта в точности равен объему произве-
произведенного в этом пункте продукта, а объем ввезенного
в пункт потребления продукта в точности соответствует
его потребности. При этих ограничениях необходимым
и достаточным условием для разрешимости Т. з. явля-
является выполнение условия баланса
Специфическими для Т. з. являются следующие два
обстоятельства: а) каждое из переменных ж,у входит в
два уравнения системы A); б) все коэффициенты при
переменных x;j принимают лишь два значения 0 или 1.
Условия а) и б) позволили разработать для решения
Т. з. алгоритмы, существенно более простые, чем
симплексный метод, к-рый является одним из основных
методов решения задач линейного программирования.
Наиболее известными из этих алгоритмов являются
метод потенциалов и т. н. венгерский метод. Метод
потенциалов — это метод последовательного
улучшения плана (перевозок) с использованием второй
теоремы двойственности для проверки оптимальности
[1]. Венгерский метод — это метод последова-
последовательного построения допустимого плана, к-рый автома-
автоматически оказывается оптимальным. В основе венгер-
венгерского алгоритма лежит метод чередующихся цепей [2].
Известны следующие два обобщения классич. Т. з.,
являющиеся отражением встречающихся на практике
ситуаций. Открытая модель Т. з.— это Т. з.
с нарушенным условием баланса B), что означает
либо превышение объема производства над объемом
потребления, либо наоборот. Такая задача сводится
к классич. Т. з. путем введения фиктивного пункта
производства (или потребления) с мощностью произ-
производства (или потребления), равной разности объемов
производства и потребления.
Многоиндексные транспортные за-
задачи при сохранении общей проблемы минимиза-
минимизации транспортных издержек учитывают неоднород-
неоднородность груза (продуктов производства) и неоднород-
неоднородность транспортных средств.
За рубежом Т. з. иногда наз. проблемой Хич-
Хичкока.
Лит.: [1] Г о л ь ш т е й н Е. Г., Юдин Д. Б., Задачи
линейного программирования транспортного типа, М., 1969;

12) О р е О., Теория графов, пер. с англ., М., 1968; [3] Е м е л и-
4 е в В. А., К о в а л е в М. М., Кравцов М. К., Много-
фаиники. Графы. Оптимизация, М., 1981. В. К. Леонтьев.
ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ — принцип, по-
позволяющий утверждать суждение А (х) для любого
элемента х вполне упорядоченного класса Е, если уста-
установлено, что для всякого z?E из истинности А (у) для
всех !/<z следует истинность А (г):
Vz (Vi/ (у < z —> А (у)) —+ А („-)) —> ухА (.г).
Когда Е — отрезок ординалов, меньших а, эквивалент-
эквивалентна такая формулировка: если А @), А (а)-*-Л (п+1) и
.4(о) сохраняется при предельном переходе
(т. е. а = sup {а,} Л VU (о,-) —* /1 (а)),
го Л (а) для любого в<а. Частный случаем Т. и. яв-
является математическая индукция. Если отношение <
на классе Е задает фундированное дерево
(т. е. дерево, все ветви к-рого обрываются), то Т. и.
для такого Е эквивалентна бар-индукции: из того, что
А верно для всех концевых вершин и наследуется при
движении от них к корню, следует, что А верно для
корня. Эта форма важна в интуиционистской матема-
математике. Доказуемостью Т. и. до различных ординалов
измеряют дедуктивную силу формальных систем.
Г. Е. Минц.
ТРАНСФИНИТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ э л е-
ментов данного множества X — отобра-
.кение нек-рого отрезка [1, р1] или полуинтервала [1, Р)
порядковых (трансфинитных) чисел в множество А'.
I л е м е н т о м, или ч л е н о м, Т. п. / : [1, E]->-Х
соответственно Т. и. / : [1, Р)-*-Х) наз. упорядоченная
пара (а, х), г—/(а), х?Х, а?[1, р1] (соответственно
а?[1, р1)), которая обозначается через ха.
Л. Д. Кудрявцев.
ТРАНСФИНИТНАЯ РЕКУРСИЯ — метод определе-
определения функций, заданных на ординалах (см. Порядковое
тело) или вообще на множествах, наделенных орди-
ординальной структурой. Определяющее уравнение Т. р.
имеет вид
F(x)r-G(x, F[r), (*)
где F\x есть «кусок» определяемой функции F, ограни-
ограниченный множеством предшественников х. С помощью
Т. р. определяются многие важные для теории множеств
функции и классы (напр., класс конструктивных по
Гёделю множеств). Аналогия между указанной теоре-
теоретико-множественной конструкцией и рекурсивными
определениями числовых функций была предметом
рассмотрения теории алгоритмов с самого начала ее
возникновения. В частности, эта аналогия лежит в
основе различных классификаций общерекурсивных
функций (см. [1]).
Большое значение для ряда разделов математич.
логики (теория доказательств, теория рекурсивных
иерархий) имеют рекурсивные ординалы и связанная с
ними модификация Т. р. (Рекурсивные о р д и-
н а л ы представляют собой алгоритмич. аналог счет-
счетных ординалов; впоследствии были также предложены
аналоги ординалов больших мощностей.) В этой ситу-
ситуации Т. р. наз. л еммой Род ж е р с а. При этом
уравнение (*) подвергается следующей модификации:
функционал G заменяется произвольной рекурсивной
функцией, а вместо функции F\x фигурирует ее гё-
делев номер (т. е. код ее алгоритмич. описания, см.
также Арифметизация).
Лит.: [1J Петер Р., Рекурсивные функции, пер. с нем.,
М., 1954: [2] Роджерс X., Теория рекурсивных функций
ц эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972; [3] В а г-
wise J., Admissible sets and structures, В., 197j.
ТРАНСФИНИТНОЕ ЧИСЛО — порядковый тип бес-
бесконечного вполне упорядоченного множества. См.
также Порядковое число, Кардинальное число.

ТРАНСФИНИТНЫЙ ДИАМЕТР компактного
м н о ж е с т в а — .характеристика d~d(E) компакт-
компактного множества Е на комплексной плоскости, служащая
геометрия, интерпретацией емкости этого множества.
Пусть Е — компактное бесконечное множество пло-
плоскости z. Величина
ге = 2, 3, ...,
где [а, Ь]—|о—Ь\ — евклидово расстояние между точ-
точками а, Ь, наз. ?г-м д и а м е т р о м множества Е.
В частности, dt(E)— евклидов диаметр множества ?.
Точки znl, . . ., zrh „ множества Е, для к-рых в правой
части равенства A) реализуется максимум, наз. точ-
точками Фекете (или узлами Вандермон-
д а) для Е. Последовательность величин dn(E) невоз-
растающая: dn+1(E)*^dn(E), п~2, 3, . . ., так что су-
существует предел
lim dn(E) = d(E).
п -* ос
Величина d(E) и наз. трансфинитным диа-
диаметром множества Е. Если Е — конечное множество,
то полагают d(E)=Q. Т. д. d(E), Чебышева постоянная
т(Е) и емкость множества С(Е) связаны равенствами
Т. д. множества Е обладает следующими свойствами:
1) если EXCZE, то d(E1)^:d(E); 2) если а — фиксиро-
фиксированное комплексное число и ?]={ш : w=az, z?E], то
d(E1)—\a\d(E); 3) если Ее— множество точек, находя-
находящихся на расстоянии от Е, меньшем или равном е, то
lim d(ER )~d(E); 4) если А1*—множество всех корней
е-» о
уравнения
Q (z) =
где Q (г) — данный многочлен, w пробегает множество
Е, то d(E*)— {d(E)}'/k, Т. д. круга равен его радиусу;
Т. д. прямолинейного отрезка равен четверти его длины.
Пусть Е — ограниченный континуум, D — та из
компонент дополнения Е до расширенной плоскости,
к-рая содержит точку оо. Тогда Т. д. Е равен конформ-
конформному радиусу области D (относительно точки оо).
Соответствующие понятия для множеств на гипербо-
гиперболич. и эллиитич. плоскостях определяются следующим
образом. Пусть в качестве модели гиперболич. плос-
плоскости рассматривается круг \z\ <1 с метрикой, определя-
определяемой линейным элементом dsfl=\dz\l(l—|z|2), и пусть
Е — замкнутое бесконечное множество в круге |z|<l.
Тогда ге-й гиперболический диаметр
dn, h(E) множества Е определяется равенством A),
в к-ром
а-Ъ
[а, Ь] =
1-оЬ
B)
— гиперболическое псевдорасстоя-
псевдорасстояние между точками а и Ь, т. е. [a, 6] = th pft(a, Ъ), где
pfi'(a, Ь) — гиперболич. расстояние между точками a, b
круга |z|<l (см. Гиперболическая метрика). Как и в
евклидовом случае, последовательность dn<^(E) не-
невозраста ющая, и существует предел
lim dn,h(E) = dh(E),
наз. гиперболическим трансфинит-
трансфинитным диаметром множества Е. Определяя г и-
перболическую постоянную Чебы-
Чебышева х/г(Е) и гиперболическую емкость
С^(Е) множества Е посредством гиперболич. псевдорас-
псевдорасстояния B) между точками круга \z\ <1 аналогично
тому, как постоянная Чебышева х(Е) и емкость С(Е)

определяются при помощи евклидова расстояния меж-
между точками плоскости z, получают равенства
Гиперболич. Т. д. инвариантен относительно полной
группы гиперболич. изометрий. Если Е — континуум,
то имеется простая связь гиперболич. Т. д. dfl{E) с
конформным отображением. Именно, пусть Е — конти-
континуум в круге \z\ <1 и дополнение Е до круга \z\ <1 кон-
конформно эквивалентно круговому кольцу г<|ш|<1,
0<г<1. Тогда r=dh(E).
Пусть в качестве модели эллиптич. плоскости взята
расширенная плоскость z с метрикой ее римановой сфе-
сферы К диаметра 1, касающейся плоскости z в точке z=0,
т. е. метрикой, определяемой линейным элементом
dse= | dz |/(l + [ z |2),
при этом пусть отождествлены точки z и z* = —1/z,
к-рым при стереографич. проекции расширенной плос-
плоскости z на сферу К соответствуют диаметрально проти-
противоположные точки на К. Пусть Е — замкнутое бесконеч-
бесконечное множество на расширенной плоскости z, E {]Е* = 0,
где ?*= {—1/z : z?E}. Тогда n-ii эллиптичес-
эллиптический диаметр с?„, е{Е) множества Е определяется
равенством A), в к-ром
а-Ъ
[а, Ь] =
C)
— эллиптическое псевдорасстояние
между точками а, Ь множества ?\ т, е. [a, 6l=tg ре(а, b),
где ре(а, Ъ) (<я/2) — эллиптич. расстояние между а
и Ь, Как и в предыдущих случаях, последовательность
dn^ e(E) невозрастающая, и существует предел
lim dn,e(E) = de(E),
П —*¦ оо
называемый эллиптическим трансфи-
трансфинитным диаметром множества Е. Определяя
эллиптическую постоянную Чебы-
ш е в а те1<?) и эллиптическую емкость
Се(Е) множества Е посредством эллиптич. псевдорас-
псевдорасстояния C), получают равенства:
Эллиптич. Т. д. de(E) инвариантен относительно
группы дробно-линейных преобразований
z-+-?±3=, |р|2+Н!2=1,
- qz+p
расширенной плоскости z на себя, дополненной груп-
группой отражений относительно эллиптич. прямых. Первая
из этих групп изоморфна группе вращений сферы К
относительно ее центра, вторая — группе отражений
сферы К относительно плоскостей, проходящих через
ее центр. При данном определении эллиптич. Т. д. мно-
множества Е следующим образом связан с конформным ото-
отображением. Если Е — континуум на расширенной
плоскости z, E [)Е* = 0, и дополнение Е[}Е* до рас-
расширенной плоскости конформно эквивалентно круго-
круговому кольцу г<|ш(<1/г, 0<г<1, то r=de(E).
Понятие Т. д. допускает обобщение для компактов Е
в многомерном евклидовом пространстве Rm, m^2,
связанное с потенциала теорией. Пусть для точек х ? Rm
( 1п; : При ТП~2,
И{\х\)=\ '/='
( 3= 3
— фундаментальное решение уравнения Лапласа, и
для набора точек (xjI=iC:E пусть

Тогда при m=2 справедливо равенство
- lim г„(Е)
n -
а при т^З целесообразно принять (см. [4])
l
lira Xn (E) "
п ->¦ оо
Лит.: [1] Feke te M.,«Math. Z.», 1923, Bdl7, S. 228—49; [2]
P б 1 у a G., S z e g i) G., «J. reine und angew. Math.», 19.41, Bd
165, S. 4—51; [3] Гол узин Г. М., Геометрическая теория
функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [4] Кар-
Карле с о н Л., Избранные проблемы теории исключительных мно-
множеств, пер. с англ., М., 1971; [5] С м и р н о в В. И., Лебе-
Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного пе-
переменного, М.—Л., 1964; [6] Tsu] i M., Potential theory in
modern function theory, Tokyo, 1959; [7] Kuhnau R., Geo-
metrie der konformen Abbildung auf der hyperbolischen und der
elliptischen Ebene, В., 1974. Г. В. Кузьмина, Е. Д. Соломенцее.
ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ КРИВАЯ — плоская кривая,
уравнение к-рой в декартовых прямоугольных коор-
координатах не является алгебраическим. В отличие от
алгебраич. кривых Т. к. могут иметь бесконечно много
точек пересечения с прямой и бесконечно много точек
перегиба. У Т. к. встречаются точки особой природы,
к-рых не существует у алгебраич. кривых; точки
прекращения, обладающие той особенностью,
что окружность достаточно малого радиуса с центром
в этой точке пересекает кривую только в одной точке;
угловые точки (излома точки), в к-рых
прекращаются две ветви кривой, причем каждая из
них имеет в такой точке свою касательную; а с и м п-
тотические точки, к к-рым непрерывно при-
приближается ветвь кривой, делая вокруг точки беско-
бесконечное число оборотов. Нек-рые Т. к. обладают свое-
своеобразными особенностями формы (напр., имеют пунк-
пунктирную ветвь из бесконечного множества изолирован-
изолированных точек).
Одна из попыток классифицировать Т. к. основыва-
основывается на том факте, что у подавляющего большинства
известных Т. к. (и у всех алгебраич. кривых) угловой
коэффициент у' касательной в каждой точке кривой яв-
является корнем алгебраич. уравнения, коэффициенты
к-рого представляют собой многочлены от переменных
х и у. Иными словами, дифференциальные уравнения
большинства известных Т. к. являются уравнениями
1-го порядка вида
гДе /и> /i> f-n • ¦ • > in — многочлены без общих множи-
множителей. Это обстоятельство позволяет объединить как
все алгебраич. кривые, так и почти все Т. к. (кроме,
напр., Корит спирали) в группу т. н. паналгебра-
и ч е с к и х кривых, к-рые различаются по сте-
степени п и по рангу v — максимальной степени многочле-
многочленов /0, fx, /2, . . ., /п. Так, напр., у кривых 3-го порядка
ге= 1, v=2; у архимедовой спирали п=2, v=4. Панал-
гебраич. кривые обладают многими свойствами, при-
присущими алгебраич. кривым. Напр., на них могут быть
обобщены понятия гессианы и поляры. О попытках
дальнейшей классификации паналгебраич. кривых
см. [1].
Примеры Т. к. см. Спирали, Цепная линия, Д иностра-
та квадрат риса, Циклоида, а также графики транс-
трансцендентных функций: показательной, логарифмиче-
логарифмической, тригонометрической и др.
Лит.: [1] Савелов А. А., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ТОЧКА ВЕТВЛЕНИЯ а
аналитической функции / (z) — точка вет-
ветвления, не являющаяся алгебраической точкой ветвле-
ветвления. Иначе говоря, это либо точка ветвления конечного
порядка fc>0, в к-рой, однако, не существует ни конеч-
конечного, ни бесконечного предела lim /(z), либо ло-
z-ra, гфа

гарифмическая точка ветвления бесконечного порядка.
Напр., первая возможность реализуется в Т. т. в.
в=0 для функции exp(l/-j/ z), а вторая — для функ-
функции In z.
В первом случае — Т. т. в. а конечного порядка
к — функция /(z) в окрестности а разлагается в ряд
Пюизё вида
причем среди коэффициентов сп с отрицательными ин-
индексами имеется бесконечно много отличных от нуля.
Лит.: [1] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 2, М., 1968. Е. Д. Соломепцев,
ТРАНСЦЕНДЕНТНАЯ ФУНКЦИЯ — в узком смыс-
смысле слова мероморфная функция в плоскости С комплекс-
комплексного переменного z, отличная от рациональной функ-
функции. В частности, сюда относятся целые Т. ф., т. е,
целые функции, отличные от многочленов, напр, пока-
показательная функция ez, тригонометрич. функции sin z,
cos z, гиперболич. функции sh z, ch z, функция 1/F(z),
где t(z) —гамма-функция Эйлера. Целые Т. ф. имеют
единственную существенно особую точку в бесконеч-
бесконечности. Собственно мероморфные Т. ф. характеризуются
наличием конечного или бесконечного множества по-
полюсов в конечной плоскости С и соответственно нали-
наличием существенно особой точки или предельной точки
полюсов в бесконечности; к ним, напр., относятся три-
тригонометрич. функции tg z, ctg z, гиперболич. функции
th z, cth z, гамма-функция Г(г). Приведенное опреде-
определение Т. ф. распространяется на мероморфные функ-
функции /(z) в пространстве С", ге^2, многих комплексных
переменных z=(z1, . . ., zn).
В широком смысле слова под Т. ф. понимается вся-
всякая аналитич. функция (однозначная или многознач-
многозначная), отличная от алгебраич. функции, для вычисления
значений к-рой помимо алгебраич. операций над аргу-
аргументом, необходимо применить предельный переход в
той или иной форме. Для Т. ф. характерно наличие у
нее хотя бы одной особенности, не являющейся полю-
полюсом или алгебраич. точкой ветвления; напр., логариф-
ыич. функция In z имеет две трансцендентные точки вет-
ветвления z—0 и z=<x. Аналитич. функция трансцендент-
на тогда и только тогда, когда ее риманова поверхность
не компактна.
Важный класс Т. ф. составляют часто встречающиеся
специальные функции: гамма-функция и бета-функция
Эйлера, гипергеометрическая функция и вырожденная
гипергеометрическая функция, особенно ее частные слу-
случаи — сферические функции, цилиндрические функции,
Матьё функции.
Лит.: [1] Кратцер А., Франц В., Трансцендентные
функции, пер. с нем., М., 1963; [2] У и т т е к е р Э. Т., Ват-
сон Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд.,
ч. 2, М., 1963; [3] С т о и л о в С, Теория функций комплексно-
комплексного переменного, пер. с рум., т. 1, М., 1962.
Л. Д. Кудрявцев, Е. Д. Соломенцев.
ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ РАСШИРЕНИЕ — расшире-
расширение поля, не являющееся алгебраическим. Расшире-
Расширение К/k трансцендентно тогда и только тогда, когда
поло К содержит элементы, трансцендентные
над к, то есть элементы, не являющиеся корнем ни-
никакого алгебраич. уравнения с коэффициентами из к.
Элементы множества ХаК наз. алгебраиче-
алгебраически независимыми над к, если для любого
конечного набора тг, х2, . . ., хт^К и любого много-
многочлена F(Х±, . . ., Хт) с коэффициентами из /с
F(xlt ..., хт)ф0.
Элементы множества X трансцендентны над к. Если
X — максимальное множество, все элементы к-рого
алгебраически независимы над к, то X наз. бази-
базисом трансцендентности поля К над к.

Мощность множества X наз. степенью транс-
трансцендентности поля А' над к и является ин-
инвариантом расширения Kik Для бапши полей Ь^>К^>к
степень трансцендентности L/k равна сумме степеней
трансцендентности L/K и К Ik.
Если все элементы множества X алгебраически не-
независимы над к, то расширение к (X) наз. чисто
трансцендентным. В этом случае поле к (X)
изоморфно полю рациональных функций от множества
переменных X над к. Любое расширение полей L/k
представимо в виде башни расширений LdA'dI, где
L/К — алгебраическое, а К/к — чисто трансцендентное
расширение. Если ноле К можно выбрать так, чтобы
Li К было сенарабельным расширением, то расширение
L/k наз. сепарабельно порожденным,
а базис трансцендентности А' над к — сепариру-
сепарирующим базисом. Если L сепарабельно порожде-
порождено над к, то L сепарабельно над к. В случае когда рас-
расширение L/k конечно порождено, верно и обратное
утверждение. Расширение К/к сепарабельно тогда
и только тогда, когда любое дифференцирование поля
к продолжается на К. Такое продолжение определено
однозначно для любого дифференцирования тогда и
только тогда, когда расширение К/к алгебраично.
Лит.: 11] Уарисский О., Самюэль П., Коммута-
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [2] Б у р б а к и Н.,
Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер.
с франц., М., 1965. Л. В. Кузьмин.
ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО — число, не являю-
являющееся корнем никакого многочлена с целыми коэффи-
коэффициентами. Областью определения таких чисел являются
поля действительных, комплексных и />-адических чи-
чисел. Существование и явные построения действитель-
действительных Т. ч. обосновал Ж. Лиувилль [1] на основе заме-
замеченного им факта: иррациональные алгебраич. числа
не допускают «очень сильных» приближений рацио-
рациональными числами (см. Лиувилля теорема о приближе-
приближении алгебраич. чисел). Аналогичные соображения поз-
позволяют строить р-адические Т. ч. Г. Кантор [2], обна-
обнаружив счетность множества всех алгебраич. чисел и
несчетность множества всех действительных чисел, тем
самым доказал, что действительные Т. ч. образуют мно-
множество мощности континуума. Э. Борель [3], вводя пер-
первые понятия теории меры, установил, что «почти все»
действительные числа трансцендентны. Позднее было
найдено, что Т. ч. Лиувилля образуют множество, всю-
всюду плотное на действительной числовой оси, имеющее
мощность континуума и нулевую меру Лебега. Хотя
еще в сер. 18 в. возникла гипотеза о трансцендентности
чисел типа е, л, In 2, 21 2 и др., доказательств этого
долго не удавалось получить. Трансцендентность е
доказал III. Эрмит [4], я и вообще логарифмов алгебраич.
чисел — Ф. Линдеман [5], 2 2 — А. О. Гельфонд [6],
К. Зигель [7] разработал общий метод доказательства
трансцендентности и алгебрдич. независимости значе-
значений в алгебраич. точках целых функций определенного
класса (Я-функции), удовлетворяющих линейным диф-
дифференциальным уравнениям с полиномиальными коэф-
коэффициентами. А. О. Гельфонд [8] и Т. Шнайдер [9] од-
одновременно и независимо доказали, что <х$ трансцен-
дентно при алгебраическом а=И=0, 1 и алгебраическом
иррациональном (J (т.н. седьмая проблема
Гильберта), А. Бейкер [10] доказал трансцен-
трансцендентность произведений чисел вида <хР при естествен-
естественных ограничениях. Аналогичные результаты получены
для р-адических Т. ч. (исключая теорию ^-функций
Зигеля). Развитие методов теории Т. ч. оказало сильное
влияние на новейшие исследования диофантовых урав-
уравнений [10], [11].
Лит.: [1] L i о u v i 1 1 е J., «С. г. Acad. sci.», 1844, t. 18,
p. 883—85, 910—11; [2] Cantor G., Gesararaelte Abhandlun-
gen, В., 1932; [3] В orel E. Lecons sur les fonclions disconti-
discontinues, P., 1898; [4] H e r m i t e C, «C. r. Acad. sci.», 1873, t. 77,

p.
P.,
ф
. 18—24, 74—79, 226—33, 285—93: [5] L i n d e m a n n С. L.
P., «Math. Ann.», 1882, Bd 20, S. 213—25; [0l Гель-
фонд А О. «С. г. Acad. aci.», 1929, t. 189, p. 1224—28; 17]
SI eg el C, «Abhandl. Preuss. Akad. Wiss., Phys. Cl.», 1929,
Ml, S. 1—70; [8] Г е л ь ф о н д А. О., «Докл. АН СССР»,
1934 т. 2, с. 1—6; [!)] Schneider T h., «J. reine und angew.
Math.», 1934, Bd 172, S. «5—74; 1101 Baker A., Transcenden-
Transcendental number theory, L., 1975; [11] С п р и н д ж у к В. Г., Клас-
Классические диофантовы уравнения от двух неизвестных, М., 1982;
[12] Фельдман Н. И., Седьмая проблема Гильберта, М.,
1982. В. Г. Спринджуп.
ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ МЕРА — функция, харак-
характеризующая отклонение заданного трансцендентного
числа от множества алгебраич. чисел ограниченной сте-
степени и ограниченной высоты при изменении границ для
этих параметров. Для трансцендентного ш и натураль-
натуральных п и Я Т. м. есть
wn (ш; H) — min\P((o)\,
где минимум берется по всем ненулевым целочисленным
многочленам Р (х) степени не более п и высоты не более
Я. Из Дирихле принципа «ящиков» следует, что всегда
wn (ш; Я) < с"#-«,
где с1 зависит только от ц>. Во многих случаях вместе
с доказательством трансцендентности числа ш удается
получить оценку снизу для Т. м. в терминах степенной,
логарифмической и экспоненциальной функций от п
и Я. Напр., метод Эрмита доказательства трансцен-
трансцендентности е позволяет получить неравенство
сгп* 1п п
TT~" ~ In lnH
wn{e; H)>H
где с2>0 — абсолютная постоянная и Н^Нй(п). При
любых фиксированных п и е>0
и?в(ео; Я) > с3Н-"-? , е3 = с3(ш; п. е)
для почти всех (в смысле Лебега) действительных чи-
чисел ш (см. Малера проблема). Трансцендентные числа
могут быть классифицированы на основе различий в
асимптотич. поведении wn(a; Я) при неограниченном
изменении п и Я (см. [3]).
Л [1] Г ф А
( [])
Лит.: [1] Г е л ь ф о н д А. О., Трансцендентные и алгеб-
алгебраические числа, М., 1952; [2] С i 1 в о u w P. L., Transcendence
measures, Amst., 1972 (Diss.); [3j Baker A., Transcendental
b th L 1975 Г Сд
, , (ss.); [j ae A,
number theory. L. 1975. В. Г. Спринджук.
ТРАПЕЦИЙ ФОРМУЛА — частный случай Ньюто-
Ньютона — Котеса квадратурной формулы, в к-рой берется
два узла:
^^ A)
Если подинтегральная функция ]'(х) сильно отличается
от линейной, то формула A) дает малую точность.
Промежуток [а, Ъ) разбивается на п частичных про-
промежутков [a:,-, xi + 1], 1=0, 1, . . ., и —1. длины h=
~(b—a)In и для вычисления интеграла по промежутку
[xi, xi+\] используется Т. к. ф.
Суммирование левой и правой части этого приближен-
приближенного равенства по г от 0 до п—1 приводит к составной
Т. к. ф.:
+ /(*а)+---+/(*„-1)+^]. B)
где xj—a+jh, /=0, 1,2,.. ., п. Квадратурную формулу
B) также называют Т. к. ф. (без добавления слова
составная). Алгебраич. степень точности квадратурной
формулы B), как и формулы A), равна 1. Квадратурная
формула B) точна для тригонометрич. функций
cosr^-fcz, sin — kx, A- = 0, 1, 2,..., п — 1.
о-а ' о— а »5> '

В случае Ъ—а=2л формула B) точна для всех триго-
нометрич. полиномов порядка не выше п—1, более того,
ее тригонометрия, степень точности равна п—1.
Если подинтегральная функция f{x) дважды непре-
непрерывно дифференцируема на [а, 6], то погрешность
R (/) квадратурной формулы B) — разность между ин-
интегралом н квадратурной суммой — имеет представ-
представление
где g — нек-рая точка промежутка [а, Ь].
II. П. Мысовспих.
ТРАПЕЦИЯ — выпуклый четырехугольник, у к-рого
две стороны параллельны, а две другие — непарал-
непараллельны (см. рис.). Параллельные стороны наз. осно-
основаниями Т., а непараллель-
непараллельные — ее б о к о в ы м и сто-
сторонами; отрезок, соединяю-
соединяющий середины боковых сторон
Т.,— ее с р е д н е й л и н и е и;
средняя линия параллельна ос-
основаниям Т. и равна их полусумме. Площадь Т. равна
произведению средней линии на высоту Т. или поло-
половине произведения диагоналей на синус угла между
ними. Т., боковые стороны к-poii равны между собой,
наз. равнобочной. БСЭ-з.
ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА — одна из краевых
задач для дифференциальных уравнений с частными
производными. Пусть, напр., в ограниченной области
Q, в каждой точке границы Г к-рой существует нор-
нормаль, задано эллинтич. уравнение 2-го порядка
где х—(хъ х,,, . . ., хп), «>2. Т. к. з. для уравнения
(*) в области Q наз. следующая задача: из множества
всех решений и и (х) уравнения («) выделить те, к-рые
в каждой граничной точке имеют производные по вну-
внутренней конормали TV и удовлетворяют условию
где а>0 и у — заданные непрерывные на Г функции.
А. Б. Иванов.
ТРЕУГОЛЬНАЯ ГРУППА, триангулируе-
триангулируемая г р у п п а, — то же, что Ли вполне разрешимая
группа.
ТРЕУГОЛЬНАЯ МАТРИЦА — квадратная матрица,
у к-рой все элементы, расположенные ниже (или выше)
главной диагонали, равны нулю. В первом случае
матрица наз. верхней треугольной м а-
т р и ц е й, во втором — нижней треуголь-
треугольной .матрицей. Определитель Т. м. равен про-
произведению всех ее диагональных элементов.
О. А. Иванова.
ТРЕУГОЛЬНИК в евклидовой плоско-
плоскости — три точки (вершины) и три отрезка прямых
(стороны) с концами в этих точках. Иногда при опреде-
определении Т. к нему относят и выпуклую часть плоскости,
к-рая ограничена сторонами Т.
Понятие Т. вводится и в многообразиях, отличных
от евклидовой плоскости. Т. обычно определяется как
три точки и три отрезка геодезических с концами в
этих точках. Такопы, напр., сферич. треугольник в
сферической геометрии, треугольник в плоскости Лоба-
Лобачевского (см. Неевклидовы геометрии).
Лит.: [1] К о к с е т е р Г. С. М., Грейтцер С. Л.,
Новые встречи с геометрией, пер. с англ., М., 1978; [2] К о к с-
т е р X. С. М., Введение в геометрию, пер. с англ., М., 19C6;
[3] 3 е т е л ь С. И., Новая геометрия треугольника, 2 изд.,
М., 1962; [4] Адамар Ж., Элементарная геометрия, ч. 1.
Планиметрия, пер. с франц., 4 изд., М., 1957; [5] Е ф р е-
м о в Д., Новая геометрия треугольника, Одесса, 1902.
А. Б. Иванов,

ТРЕУГОЛЬНОЕ ЧИСЛО — см. Арифметический ряд.
ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД СУММИРОВАНИЯ -
матричный метод суммирования, определенный тре-
треугольной матрицей
^HKfcll, n, ft-1, 2, ...,
,. е. матрицей, у к-рой ank~(i при /с>п. Т. м. с. явля-
является частным случаем конечнострочных методов сум-
суммирования. Тре57гольная матрица А паз. нормаль-
н о й, если аппф0 для всех п. Преобразование
осуществляемое посредством нормальной треугольной
матрицы А, допускает обращение
где А -1" ||ar,ft!l — матрица, обратная для Л. Этот
факт упрощает доказательство ряда теорем для ма-
матричных методов суммирования, определенных нор-
нормальными треугольными матрицами. К Т. м. с. отно-
относятся, напр., Чезаро метод суммирования, Вороного
метод суммирования.
Лит.: [1] Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М., 1951; Г2] К у к Р., Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер. с англ., М., I960; [3] Барон С,
Введение и теорию суммируемости рядов, Таллин, 1977.
II. И. Волков.
ТРЕУГОЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ — 1) Т. э. алгебры End V
эндоморфизмов конечномерного векторного простран-
пространства V над полем к — элемент XgEnd V, все собствен-
собственные значения к-рого принадлежат к. Если к алгебраи-
алгебраически замкнуто, то всякий элемент из End Г треуголен.
Для Т. о. X (и только для такого элемента) существует
базис в V, относительно к-рого матрица эндоморфизма
X треугольна (или, что то же, существует инвариант-
инвариантный относительно X полный флаг в V). Для Т. э. имеется
Жордана разложение над к. Существует ряд обобщений
понятия Т. э. в End V на случай бесконечномерного V
(см. [2]).
2) Т. :). конечномерной алгебры А над полем к —
такой элемент а?А, что оператор правого (или левого,
в зависимости от рассматриваемого случая) умножения
на а является Т. э. в алгебре End^A. Если А изоморф-
изоморфна алгебре End V для нек-рого конечномерного вектор-
векторного пространства V над к, то эти два (формально раз-
различные) определения приводят к одному и тому же по-
понятию.
В алгебрах Ли треугольность элемента х?А означает
греугольность эндоморфизма ad^ (где adx(y)~[x, у]).
Множество всех Т. э. в алгебре Ли, вообще говоря, не
замкнуто относительно операций сложения и коммути-
коммутирования (напр., для §2B, R) — простой алгебры Ли
вещественных матриц порядка 2 со следом 0). Однако
в случае разрешимой алгебры А это множество явля-
является даже характеристич. идеалом в А.
3) Т. э. в связной конечномерной группе Ли G —
элемент #?G. для к-рого Ad^ является Т. э. в End д
(здесь Ad : G->-Ant д — присоединенное представле-
представление группы Ли G в группе Aut д cz End g автомор-
автоморфизмов ее алгебры Ли д). Если ехр : g ->- G — экспо-
экспоненциальное отображение, а Х?д — Т. ;к (в смысле
пункта 2), то ехр (X) — Т. э. в G. Обратное утверж-
утверждение в общем случае неверно.
Алгебры Ли и группы Ли, все элементы к-рых тре-
треугольны, наз. треугольными алгебрами или группами
соответственно, а также Ли вполне разрешимыми алгеб-
алгебрами и Ли вполне разрешимыми группами.
Лит.: [1] Б ор ел ь А., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] Плоткин Б. И., Группы авто-
автоморфизмов алгебраических систем, М., 1960; [3J Пост и и-
к о в М. М., Линейная алгебра и дифференциальная геометрия,
М., 1979. В. В. Горбацевт.

ТРЕФФЦА МЕТОД — один из вариационных мето-
методов решения краевых задач. Пусть требуется решить
краевую задачу
где S — граница области iiczR. Решение задачи (*)
минимизирует функционал
7(и) =
среди всех функций, удовлетворяющих краевому усло-
условию u/S — q>. Т. м. заключается в следующем. Пусть
дана последовательность гармонических в Q функций
Pj, v2, . . ., квадратично суммируемых в Q вместе с
первыми производными. Приближенное решение разы-
разыскивается в виде
коэффициенты су определяются из условия минимума
J (ип—и), где и — точное решение задачи (*). Это при-
приводит к следующей системе уравнений относительно
С1> • ¦ •> сгг
i =1, ..., п,
где v — внешняя нормаль к S.
Т. м. допускает обобщение и обоснование для раз-
различных краевых задач (см. [2] — 14]).
Метод предложен Э. Треффцем (см. [1]).
Лит.: [1] Treff tz E., в сб.: Verhandl, des 2. Internal.
Kongresses (iir technisclie Mechanik. Zurich, 192B, 12—17 Sept.,
Zurich — Lpz., 1927, S. 131—37; L2] M и х л и н С. Г., Вариа-
Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М., 1970;
13] Крылов В. И., Б о 0 к о в В. В., Монастыр-
ный П. И., Вычислительные методы высшей математики, т. 2,
Минск, 1975; [4] Б и р м а н М. Ш.,«Вестн. ЛГУ. Сер. матем.,
механ. и астр.», 195В, .V» 13, в. 3, с. 69—89. Г. М. Вайникко.
«ТРЕХ СИГМ ПРАВИЛО» — мнемоническое пра-
правило, согласно к-ро.му в нек-рых задачах теории вероят-
вероятностей и математич. статистики считают практически
невозможным событие, заключающееся в отклонении
значения нормально распределенной случайной вели-
величины от ее математич. ожидания больше, чем на три
стандартных отклонения.
Пусть X — нормально N(a, а-) распределенная слу-
случайная величина. Для любого
Р{ | Х — а\ < ко} = 2Ф(к) — 1,
где ф(-) —- функция распределения стандартного нор-
нормального закона, откуда, в частности, при к~3 следует,
что
Р {а — За < X < а+ 3а}^0,99730.
Последнее равенство означает, что значения случай-
случайной величины X будут отклоняться от ее математич.
ожидания а на расстояние, превосходящее За в сред-
среднем не более чем 3 раза на одну тысячу испытаний.
Именно это обстоятельство используют иногда экспе-
экспериментаторы в нек-рых задачах теории вероятностей
и математич. статистики, считая, что событие {\Х—«|>
>3а} является практически невозможным и, следова-
следовательно, событие {\Х—а|<3а} — практически досто-
достоверным. В этом случае говорят, что экспериментатор
придерживается «правила трех сигм».
Лит.: [1] С м и р н о в Н. В., Дуни н-Б а р к о в-
с к и й И. В., Курс теории вероятностей и математической ста-
статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969.
М. С. Никулин.
ТРЕХ ТЕЛ ЗАДАЧА — задача о движении трех
¦гея, рассматриваемых как материальные точки, вза-
взаимно притягивающихся но закону тяготения Ньютона.
Классич. пример Т. т. з.— задача о движении системы
Солнце — Земля — Луна. Т. т. з. состоит в нахожде-

нии общего решения системы дифференциальных урав-
уравнений вида
dsxi dU rf2.Vt- 0С/ d2z _dV
m> ~dF = W.> mi~dF -~ду~(' midT*-~dTc>
i = l, 2, 3,
где х[, уi, z; — прямоугольные координаты тела Л#,-
в нек-рой абсолютной системе координат с неизменными
направлениями осей, t — время, т,- — масса тела Mi,
a U — силовая функция, зависящая только от вза-
взаимных расстояний между телами. Функция U опреде-
определяется соотношением
, f т1тг . тгт, . т3тЛ
где взаимные расстояния Л,-у, г, /=1, 2, 3, даются
формулой
A ij = Д/х = W,— =г/
Из свойств силовой функции выводятся десять пер-
первых интегралов уравнений движения в абсолютной
системе координат. Шесть из них, называемые интегра-
интегралами движения центра масс, определяют равномерное
и прямолинейное движение центра масс трех тел. Три
интеграла моментов количества движения задают не-
неизменную величину и направление вектора момента
количества движения системы трех тел. Интеграл
энергии определяет постоянную величину полной
энергии системы. Г. Брунс (Н. Bruns, 1887) доказал,
что уравнения движения Т. т. з. не имеют никаких
других первых интегралов, выражающихся с по-
помощью алгебраич. функций от координат и их произ-
производных. А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1889) доказал, что
уравнения движения Т. т. з. не имеют также трансцен-
трансцендентных интегралов, выражающихся через однознач-
однозначные аналитич. функции. К. Сундман (С. Sundman,
1912) нашел общее решение задачи в виде степенных
рядов относительно нек-рой регуляризирующей пере-
переменной, сходящихся для любого момента. Однако ряды
Сундмана оказались совершенно бесполезными как
для качественных исследований, так и для практи-
практических вычислений вследствие их крайне медленной
сходимости.
Уравнения Т. т. з. допускают пять частных решений,
в к-рых все три материальные точки находятся в неко-
некоторой неизменной плоскости. При этом конфигурация
трех тел остается неизменной, и они описывают кеп-
леровские траектории с общим фокусом в центре масс
системы. Два частных регцения соответствуют случаю,
когда три тела все время образуют равносторонний тре-
треугольник. Это — т. н. треугольные реше-
решения Т. т. з., или р ешения Лагранжа.
Три частных решения, соответствующие расположению
всех трех тел на одной прямой, наз. прямоли-
прямолинейными частными решениями Т. т. з.,
или решениями Эйлера.
Для общего случая Т. т. з. подробно изучены ф и-
нальные движения, т. е. предельные свой-
свойства движения при ?->-+оо н г_>-—оо.
Частным случаем Т. т. з. является т.н. ограни-
ограниченная Т. т. з., к-рая получается из общей Т. т. з.
в том случае, когда масса одного из трех тел столь мала,
что ее влиянием на движение остальных двух тел можно
пренебречь. В этой задаче тела М1 и М2 с конечными
массами тг и т2 движутся под действием сил взаимного
притяжения по кемеровским орбитам. В правой пря-
прямоугольной системе координат С|т)^ с началом С в
центре масс тел Мх и М2, с осью |, направленной по
линии, соединяющей тела Mi и М2, и осью ?, перпен-
перпендикулярной плоскости их движения, движение третьего

тела М3 с малой массой описывается следующими диф-
дифференциальными уравнениями:
5_2ут) — i>- g —1>1]=, —,
ЭИ-7
где й^ = /(^ +
v — истинная аномалия кеплеровского движения
тел Мх и М2, а гх и г2— расстояния от тела М3 ДО тел
Mi и Л#2 соответственно. В случае круговой ог-
ограниченной Т. т. з.
и уравнения движения тела Л/3 имеют первый интег-
интеграл, наз. интегралом Якоб и, вида
где С — произвольная постоянная. Поверхность, оп-
определяемая уравнением
наз. поверхностью нулевой скорости и замечательна
тем, что определяет области возможных движений тела
М3 относительно тел Л/х и М2. Ограниченная Т. т. з.
имеет частные решения, аналогичные частным реше-
решениям общей Т. т. з. Положения тела с малой массой
при этих частных решениях наз. точками либ-
либрации.
Для ограниченной задачи удалось исследовать раз-
разнообразные классы периодич. движений.
Лит.: Ш Д у б о ш и н Г. Н., Небесная механика. Анали-
Аналитические и качественные методы, 2 изд., М., 1978; [2] Суб-
Субботин М. Ф., Введение в теоретическую астрономию, М.,
1988. Е. П. Аксенов.
ТРЕХМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ — топологическое
пространство, каждая точка к-рого имеет окрестность,
гомеоморфную трехмерному числовому пространству
R3 или замкнутому полупространству R3±. Это опреде-
определение обычно дополняют требованием того, чтобы Т. м.
как топологич. пространство, было хаусдорфовьш и име-
имело счетную базу. Край Т. м., т. е. совокупность его
точек, имеющих окрестность второго, но не первого
типа, является двумерным многообразием без края.
Методы топологии Т. м. весьма специфичны, поэтому
она занимает особое место в топологии многообразий.
Примеры. Несколько свойств Т. м., не имеющих,
вообще говоря, места в старших размерностях: ориен-
ориентируемое Т. м. всегда параллелизуемо; замкнутое Т. м.
ограничивает нек-рое четырехмерное многообразие; на
Т. м. всегда можно ввести кусочно линейную и диффе-
дифференцируемую структуры, причем любой гомеоморфизм
между двумя Т. м. можно аппроксимировать как ку-
кусочно линейным гомеоморфизмом, так и диффеомор-
диффеоморфизмом.
Один из наиболее употребительных способов зада-
задания Т. м. состоит в использовании Хегора разбиений и
тесно связанных с ними Хегора диаграмм. Суть этого
способа состоит в том, что любое замкнутое ориенти-
ориентируемое Т. м. М можно разбить на два подмногообра-
подмногообразия с общим краем, каждое из к-рых гомеоморфно стан-
стандартному иолному кренделю V нек-рого рода п. Дру-
Другими словами, Т. м. М можно получить склеиванием
двух экземпляров полного кренделя V по нек-рому го-
гомеоморфизму их краев. Этот факт позволяет сводить
многие задачи топологии Т. м. к задачам топологии
поверхностей. Минимальное возможное число п наз. р о-
д о м Т. м. М. Другой полезный способ задания Т. м.
основан на существовании тесной связи между Т. м.

и зацеплениями в S'6. Дело в том, что любое замкну-
замкнутое ориентируемое Т. м. М можно представить в виде
M=dW, где четырехмерное многообразие' W получа-
получается из 4-шара В* приклепкой ручек индекса 2 по ком-
компонентам нек-рого оснащенного зацепления L в S3=
=dfi4. Эквивалентно, Т. м. М можно получить из
сферы S3 еферич. перестройками. Дополнительно мож-
можно добиться, чтобы все компоненты зацепления L име-
имели четные оснащения, и тогда многообразие W полу-
получается параллелизуемым. Часто используется пред-
представление Т. м. в виде пространств разветвленных на-
накрытий сферы S3. Если L — зацепление в S3, то лю-
любое конечнолнстное накрывающее пространство про-
пространства 53\? можно компактифицировать несколь-
несколькими окружностями и получить замкнутое Т. м. М.
Естественная проекция р : M->*S3, локально гомео-
иорфная вне р~1(Л), наз. разветвленным накрытием
сферы S3 с ветвлением вдоль зацепления L. Любое
Т. м. рода 2 двулистно накрывает сферу с ветвлением
вдоль нек-рого зацепления, тогда как в случае Т. м.
произвольного рода можно гарантировать существова-
существование только трехлистного накрытия с ветвлением вдоль
нек-рого узла. Это обстоятельство служит первопричи-
первопричиной того, что трехмерная гипотеза Пуанкаре и про-
проблема алгоритмич. распознавания сферы решены пока
A984) только в классе Т. м. рода 2.
Основной задачей топологии Т. м. является задача
их классификации. Т. м. М наз. просты м, если из
М—М-^Мъ следует, что ровно одно из многообразий
Mi, Мг является сферой. Каждое компактное Т. м.
раскладывается в связную сумму конечного числа
простых Т. м. Это разложение единственно в ориенти-
ориентируемом случае и единственно с точностью до замены
прямого произведения S'1 X S1 на косое произведение
S'^xS1 в неориентируемом случае. Вместо понятия про-
простого Т. м. часто бывает удобнее использовать понятие
неприводимого Т. м., т. е. многообразия, в к-ром каж-
каждая 2-сфера ограничивает шар. Класс неприводимых
Т. м. отличается от класса простых Т. м. ровно на три
многообразия: S3, 5?Х51, 52Х51. При атом многообра-
многообразие S3 неприводимо, но обычно не считается простым,
а многообразия S'^XS1 и S'2X S1 просты, но приводимы.
Неприводимые Т. м. с краем изучены достаточно хоро-
хорошо. Напр., любую гомотопич. эквивалентность пар
/: (A/, dM)-+(N, ON), где М, N — компактные ориен-
ориентируемые и неприводимые Т. м. с краем, можно проде-
формировать в гомеоморфизм. В замкнутом случае для
этого достаточно дополнительно потребовать, чтобы
Т. м. М было достаточно большим, т. е. содержало
нек-рую двустороннюю несжимаемую поверхность. При
этом поверхность FcM, Fy=S2, наз. несжимае-
несжимаемой, если индуцируемый вложением гомоморфизм
группы пг (F) в группу п1 (М) инъективен. Если первая
группа гомологии компактного неприводимого Т. м.
бесконечна, то такая поверхность всегда существует.
Любое компактное ориентируемое неприводимое до-
достаточно большое Т. м., фундаментальная группа к-рого
содержит бесконечную циклическую нормальную под-
подгруппу, является Зейферта многообразием.
Лит.: [1] Hempe) J., li-manifolds, Princeton, 1976; [2]
Waldhauscn P., «Ann. Math.», 1968, v. 87, p. 56—88;
[3] J а с о W., Lectures on three-manifold topology, Providence.
1980. С. В. Матвеев.
ТРИАДА — четверка (А'; А, В, х0), где X — то-
пологич. пространство, а Л и 1> — такие его подпро-
подпространства, что A\JB = X и .го?АПВ. Вводятся гомо-
гомотопич. группы Т. лп(Х; А, В, х0), п>3 (при га—2 —
просто множества), используемые при доказательстве
теоремы о гомотопич. вырезании. Имеется также точная
последовательность Майера — Вьеториса, связывающая
гомологии группы пространств X, А, В, AQB.
Ю. Б. Рувяк.

ТРИАНГУЛЯЦИЯ — 1) Т. полиэдра, пря-
прямолинейная триангуляция,— представ-
представление полиэдра в виде тела геометрического симпли-
циального комплекса К, т. е. такое его разбиение на
замкнутые симплексы, что каждые два симплекса либо
не пересекаются, либо пересекаются по их общей гра-
грани. Прямолинейные Т. полиэдров служат основным ин-
инструментом их изучения. Любой полиэдр имеет Т. и
любые две его Т. имеют общее подразделение.
Замкнутой звездой St (a, T) симплекса а
Т. Т наз. объединение симплексов из Т, содержащих
а. Имеется представление замкнутой звезды симплекса
сг? Т в виде соединения (джойна) а и его пояса (линка):
St(a, Г)=о*1к(б, Г). В частности, звезда вершины
является конусом над ее поясом. Если симплекс a? T
представлен в виде соединения двух своих граней б
и у, то Ik (a, 7')=lkF, lk(y, T)). Пояс симплекса не за-
зависит от Т.: если а служит симплексом произвольных
прямолинейных Т. 7\, Г2 одного и того же полиэдра,
то полиэдры |lk (о, Tt)\ и |]к (а, Г2)| р/-гомеоморфны.
Открытая звезда симплекса а ? Т определя-
определяется как объединение внутренностей тех симплексов
Т. Т, для к-рых о служит гранью. Открытые звезды
вершин Т. полиэдра Р образуют открытое покрытие Р.
Нерв этого покрытия симплициально изоморфен Т.
Триангуляции Гх и Т2 полиэдров Рг и Р2 комбинатор-
комбинаторно эквивалентны, если нек-рые их подразделения сим-
шшциально изоморфны. Для комбинаторной эквива-
эквивалентности Тх и Т.2 необходимо и достаточно р^-гомеомор-
фности Рг и Р2. Т. многообразия наз. комбинаторной,
если звезда любой ее вершины комбинаторно экви-
эквивалентна симплексу. В этом случае звезда любого
симплекса Т. также комбинаторно эквивалентна сим-
симплексу.
Если Р — замкнутый подполиэдр полиэдра Q, то
любая Т. К полиэдра Р продолжается до нек-рой Т. L
полиэдра Q. В этом случае говорят, что пара геометри-
геометрических симплициальных комплексов (L, К) триангу-
триангулирует пару (Q, Р). Т. прямого произведения
axSgR^XR" симплексов ст?К»», 6?R" можно по-
построить следующим способом. Вершинами Т. служат
точки cij~(aibj), 0<t<dima, 0<7<dim б, где a; —
вершины а, а by -— вершины б. На вершины cioJ-a, cZl/i,
¦ • •' ci\dv где 'o^-'i'*-- • •<'*> тогДа и только тогда
натянут fc-мерный симплекс, когда среди них нет сов-
совпадающих и jf><.ji<-- ¦ .s?Ja- Аналогичным способом
производится Т. прямого произведения двух симпли-
симплициальных комплексов с упорядоченными вершинами.
2) Т. топологического пространст-
пространства, криволинейная триангуляция,—
пара (К, /), где К — геометрич. симплициальный ком-
комплекс и / : \К\-*-Х — гомеоморфизм. Т. (К, /) и (L, g)
пространства X совпадают, если g-]f : [АТ|->-|Л| —
симплициальный изоморфизм. Если a — симплекс ком-
комплекса К и (К, /) — Т. пространства X, то простран-
пространство /(а), снабженное гомеоморфизмом f\a : a->-f(o),
наз. топологическим симплексом. Звез-
Звезда и пояс топологич. симплекса триангулированного
топологич. пространства X определяются так же, как
и в случае прямолинейных Т. Если точка а?Х слу-
служит вершиной Т. (К, /) и (L, g) пространства X, то
ее пояса в этих Т. гомотопически эквивалентны.
Лит.: [1] Александров П. С, Комбинаторная топо-
топология, М. —Л., 1947; [2] Р о х л и н В. А., Ф у к с Д. Б.,
Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977.
С. В. Матвеев.
ТРИВЕКТОР — упорядоченная совокупность [и, v,
iv] трех векторов и, v, iv аффинного пространства А,
отложенных от общего начала. Т. полагается равным
нулю, если определяющие его векторы компланарны
(линейно зависимы). Ненулевой Т. определяет несу-
несущую его 3-мерную плоскость. Если пространство А

имеет конечную размерность п, и в нек-ром базисе
e=(e1; c2, . . ., с„) векторы
и — У и'с/, (•=->, v'ei, w=y Wet,
то величины
U< !-•' (Г'
ц& t;& w^
наз. координатами Т. [«, г,гс] в базисе е. Эти коорди-
координаты кососимметричны по любой паре своих индексов,
при замене базиса в А изменяются, как координаты
трижды контравариантного тензора. Среди атих коор-
координат Сп существенных. Два Т. наз. равными, если
в каком-либо базисе А равны их координаты. Класс
равных Т. наз. свободным Т.
При наличии в А скалярного произведения на Т. ра-
распространяется ряд метрич. понятий векторной алге-
алгебры. М о р ой Т. [и, v, i<<] наз. трехмерный объем
параллелепипеда — множества концов векторов вида
h=xu-\-yv-i-ztv, где 0<.х, у, z<l, отложенных от обще-
общего начала. В случае когда dim /1=3, мера Т. равна
модулю смешанного произведения векторов и, v, iv.
Скалярным произведением двух Т. наз.
число, равное произведению мер сомножителей на ко-
косинус угла между несущими их плоскостями. Скаляр-
Скалярное произведение является билинейной формой от коор-
координат сомножителей. Если dim А = 4, то Т. [и, г, ic]
может быть отождествлен с вектором пространства А ,
наз. векторным произведением векторов и, v, w.
Т. в тензорном исчислении есть любой
контравариантный кососимметрич. тензор валентности
3 (т. е. тензор типа C, 0)). Каждый такой тензор может
быть представлен в виде суммы нескольких тензоров,
к-рым соответствуют Т. с различными несущими их
плоскостями.
См. также Бивектор, Внешнее произведение, Поливек-
Поливектор, Плюккеровы координаты. ,7 П Купцов.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — одна из
важнейших ортогональных систем функций. Функции
Т. с.
1, cos х, sin x, ..., cos nx, sin пх, ...
ортогональны на любом отрезке вида [а—л, а^л], а
функции
1 cos х sin x cos nx sin пх
ортонормированы на этом отрезке. Т. с. полна и замкну-
замкнута в пространстве Lp[—я, л] при 1<:р<оо, а также в
пространстве Сгя непрерывных 2л-периодических функ-
функций. Эта система образует базис в пространстве Lp[—я,
я] при 1<р<оо. Ряды но Т. с. изучаются в теории
тригонометрических рядов.
Наряду с Т. с. широкое применение находит комплек-
комплексная тригонометрич. система {е'пх }"=-«,- Функции
этих систем связаны друг с другом формулами Эйлера.
Лит.: [1] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М.,
1961; Г2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. 1—2,
пер. с англ., 2 изд., М., 1065. Б. И. Голубое.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СУММА — конечная сум-
сумма S вида
5---VP f2.TTif(«)
¦*--х=1 '
где Р > 1, Р — целое число, F (х) — действительная
функция .г. Т. с. также наз. и более общие суммы -S"
вида
s'=2^. • • ¦ 2?,ф ta. •••.*!¦> e°-MF {х' хг)'

где F(xi, . . ., xr) — действительная функция, а
Ф(хи . . .,хг) — произвольная комплекснозначная
функция.
Если F(x) — многочлен, то S наз. суммой В е й-
л я; если многочлен F (х) имеет вид
ппхп+ . . . +а,х
(an
a,,
то S наз. рациональной тригонометрия,
с у м м о и; если P=q, то S наз. полной триго-
тригонометрии, с у м м о й; если г=1, Ф (xi) — i при
простом xi, и Ф (хг)=0 при составном .г1; то S наз. т р и-
г о н о м е т р и ч. суммой с прост ы ми ч и с-
л а м и; если /Сз1, Ф (хг, . . ., а>)=1, F(ц, . . ., хг)
многочлен, то S' наз. кратной суммой В е it
л я. Основной проблемой в теории Т. с. является про-
проблема разыскания верхней грани модуля S и S'.
Лит.: [1] Виноградов И. М., Избр. тр., М., 1952;
[2] е г о же, Метод тригонометрических сумм в теории чисел,
М., 1971; [3] е г о же, Особые варианты метода тригонометри-
тригонометрических сумм, М., 197G; [4] X у а Л о - г о н, Метод тригономет-
тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем.,
М., 1964; [5] Титчмарш R. К., Теория дзета-функции
Римана, пер. с англ., М., 1Н5.Ч: Its] А р х и и о и Г. И., К а р а-
ц у 6 а А. А., Ч у б а р и ков В. Н., Кратные тригономет-
тригонометрические суммы, М., 1980. А. А. Карацуба.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — класс эле-
элементарных функции: синус, косинус, тангенс, котан-
котангенс, секанс, косеканс. Обозначаются соответственно:
sin х, cos .r, tg ./•, ctg x, sec x, cosec x.
Тригонометрические функции д е й-
c т в и т е л ь н о г о аргумента. Пусть А — точ-
точка окружности с центром в
начале координат и радиу-
радиусом, равным единице, а —
угол между ооью абсцисс
и вектором О А , отсчитывае-
отсчитываемый от положительного на-
направления оси абсцисс (рис.
1). При этом если отсчет
ведется против часовой стрел-
стрелки, то величина угла счи-
считается положительной, а
если по часовой стрелке —
отрицательной, т. е. а —
полярный угол точки А.
Если (ха , уа ) — прялюугольные декартовы координаты
точки А, то Т. ф. синус и косинус определяются фор-
формулами
sina-"!/a, cos a — xa.
Остальные Т. ф. могут быть определены формулами
Рис 1.
tga =-
sin a
cos a
ctg а —
cos п.
sin a
sec a = -
cosec ct = —.— .
sma
Вес Т. ф. - периодические функции. Графики Т.
даны на рис. 2.
п
Рис. 2.

437
ТРИГОЯОМЕТРИЧЕСК ИЙ
438
Основные свойства Т. ф.: область определения, мно-
множество значений, четность и участки монотонности
приведены в табл.
Каждая Т. ф. в каждой точке своей области определе-
определения непрерывна и бесконечно дифференцируема; про-
производные Т. ф.:
(sin x)' = cos x,
1
COS: X '
(cos х)' = —sin х,
1
sin2 x'
(ctg х)' = -
Интегралы от Т. ф.:
\ sin x dx — —cos x-\-C, \ cosxdx~sin x-\-C,
i tg x dx = — In | cos x | -j-C, \ ctg x dx =* In | sin
Все Т. ф. допускают разложение в степенные
ряды:
При | г-1 < оо,
X' , xi X*
сОвх=1-^ + ^--11+...+(_1)-(^т+..
при | х\ < ос,
tg ж = х + -i .г3 + ^ г5 + ^ x~ -f ...
¦ ¦¦ + 22"BB^")!1)|g"lx-"-i-f... при \х\ < Л-,
° х L 3 ' 4~5 ""•" 945 ' 4725 '¦•""! B/i)!~X
при 0 < |z | < я (?,г — числа Бернулли).
~1
J'
tg z простые A-го порядка) и находятся в точках z=±
=я/2+яп, полюсы ctg z также простые и находятся
в точках г=лп, га=О, —1, ... .
Все формулы, справедливые для Т. ф. действительно-
действительного аргумента, остаются справедливыми и для комплекс-
комплексного аргумента.
В отличие от Т. ф. действительного переменного,
функции sin г я cos z принимают все комплексные зна-
значения: уравнения sin z—a и cos z=a имеют решения
для любого комплексного а:
2 = arcsin a— — tin (ia-{- Y" I — а-),
z=arccosa= — i ln(e-j- ]/"а3 —1).
Т. ф. tg z и ctg z принимают все комплексные значеаия,
кроме — ц уравнения tg z=a, ctg z=a имеют решения
для любого комплексного числа a^ — i:
i i 1 — la
ln
ia+l
Т. ф. можно выразить через показательную функцию'.
Функ-
Функция
sinx
cos*
tg*-
ctgx
sec x
cosec x
Область
опреде-
.1 ения
— 0D<3C<+ 00
— 00<X<4- ОС
гс?= rt/2+л?)
3C *^= Л71
x ф л/2 + яп
X ф Пп
Множество
значений
[-1, +1]
t-1, +1]
( —*, +cc)
(- x, +»)
(—ж, -1] U [ + 1, +cc)
(—x, -1] U[+J, +ю)
Чет-
Четность
нечет-
нечетная
четная
нечет-
нечетная
нечет-
нечетная
четная
нечет-
нечетная
Участки монотонности
возрастает при х 6 ((in— 1) я/2, Dп+ 1) л/2)
убывает при is (Dn+l) л/2, (in+З) л/2)
возрастает при х s (('In— 1) л, 2пл)
убывает при хбBпл, Bп+1)л)
возрастает при х 6 (Bп— 1) я/2, Bп+1 л/
убывает при гс € (пп, (п+1) я)
возрастает при х s Bпя, Bп+ 1) я)
убывает при х е (Bп— 1) я, 2пя)
возрастает при ае (Duf 1) л/2, Dп + 3)я/2)
убывает при ж е ((in— 1) л/2, Dп+ 1) я/2)
Функция y=s\n х, являющаяся обратной по отно-
отношению к функции a:=sin у, определяет у как многознач-
многозначную функцию от х\ она обозначается y=Arcsin x. Ана-
Аналогично определяются функции, обратные по отноше-
отношению к другим Т. ф.; все они наз. обратными тригоно-
тригонометрическими функциями.
Тригонометрические функции ком-
комплексного и е р е м е н н о г о. Т. ф. для ком-
комплексных значений переменного z=,r-\-iy определяют-
определяются как аналитические продолжения соответствующих
Т. ф. действительного переменного в комплексную плос-
плоскость.
Так, sin z и cos z можно определить с помощью ря-
рядов для sin х и cos х. Эти ряды сходятся во всей плос-
плоскости, поэтому sin z и cos z — целые функции.
Т. ф. тангенс и котангенс определяются формулами
sin z . _ cos г
* cos z ' ° sin 2'
Т. ф. tg z и ctg z — мероморфные функции. Полюсы
и гиперболические функции'.
sin 2=—ishiz, cosz = chi2, tgz=— ithiz.
В. И. Битюцков.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ, конеч-
конечная тригонометрическая сумма,—
выражение вида
Т (х) = аЛ--\-'?П ak cos A-x-f-fcft sin fcx
с действительными коэффициентами й0, ak, bk,
k—l, . . ., n; число п
наз. порядком Т. п.
(|а„1 + |Ьи|>0). Т. п.
можно записать в комп-
комплексной форме
где
ib-ь, к<0.
Т. п. являются важ-
важнейшим средством при-
приближения функций.
В. И. Битюцков.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД — ряд по косину-
косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида
%-+2ь_ (ak cos кх-\-Ьк sin kr.) ({)
или в комплексной форме
N1 W c /Ах
"*&= — ее
где ак, bk или. соответственно, ск наз. коэффи-
коэффициентами Т. р.
Впервые Т. р. встречаются у Л. Уилора (L. Euler,
1744). Он получил разложения
Я-х „.__ , sin 2.x , sin Зл , ^ @ <x<2n)f
sin 2л: , sin3.v
(
\-r cos х
l-2r cos Ж4 '
; -f- Г COS X -j- Г2 COS 2x -f- . . . ,
В сер. 18 в. в связи с исследованиями задачи о сво-
свободном колебании струны возник вопрос о возможности

tg z простые A-го порядка) и находятся в точках z=±
=я/2+яп, полюсы ctg z также простые и находятся
в точках z=.tn, га=0, ^=1, . . . .
Все формулы, справедливые для Т. ф. действительно-
действительного аргумента, остаются справедливыми и для комплекс-
комплексного аргумента.
В отличие от Т. ф. действительного переменного,
функции sin z я cos z принимают все комплексные зна-
значения: уравнения sin z—a и cos z—a имеют решения
для любого комплексного а:
z = arcsin а— —Пп (ja-f-j/"l — я-),
z= arccosa= — i ln(a-j- "у а1 —1).
Т. ф. tg z и ctg z принимают все комплексные значения,
кроме ii: уравнения tg z=a, ctg z=a имеют решения
для любого комплексного числа a^ — i:
ia+l
Т. ф. можно выразить через показательную функцию:
sin 2= -р (е'г — е
1 pi г ^f —is
и гиперболические функции:
sinz=—ishiz, cosz = ch?z,
s=—i th iz.
В. И. Битюцков.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ, конеч-
конечная тригонометрическая сумма,—
выражение вида
Т (x) = aJ--\-y]n ak cos kx-\-bh sin kx
с действительными коэффициентами «d, afe, bk,
k=l, ¦ . ., n; число п
I наз. порядком Т. п.
Участки монотонности (|ал4~1"и1 ¦-> ^'- п-
можно записать в комп-
комплексной форме
при хе ((in— 1) я/2, DI+1) л/2)
эй i? (Dп+1) я/2, DI+3) л/2)
при х s (('In— 1) л, 2пл)
эи xs Bпя, Bп+ 1) л)
при х 6 (B« — 1) я/2, Bп+1 я/
ЗИ SC € (Т1Л, A1+1) Я)
при х е Bпя, Bп+ 1) я)
)И 16 (Bп~ 1) я, 2ия)
при а-е (DI *• 1) я/2, Dп + 3) л/2)
.1и К€ «in—1) п/2, Dп+1)я/2)
Т. п. являются важ-
важнейшим средством
ближения функций.
В. Я. Битюцков.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД - ряд по косину-
косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида
где
^ — ibk, к 5== О,
Т+2Г=1 (Ч
или в комплексной форме
sin Щ
A)
где ak, bk или. соответственно, ck наз. коэффи-
коэффициентами Т. р.
Впервые Т. р. встречаются у Л. Ун лора (L. Euler,
1744). Он получил разложения
1 - Г COS X
г sin
Г, -1 + г cos .г + г^ cos 2* + ...,
;--/• sin х-\-г" sin 2.г+ .. .
В сер. 18 в. в связи с исследованиями задачи о сво-
свободном колебании струны возник вопрос о возможности

представления функции, характеризующей начальное
положение струны, в виде суммы Т. р. Этот вопрос
вызвал острые споры, продолжавшиеся несколько
десятилетий, лучших аналитиков того времени —
Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д'Аламбера (J. D'Alem-
bert), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), Л. Эйлера (L. Eu-
ler). Споры относились к содержанию понятия функции.
В то время функции обычно связывались с их аналитич.
заданием, что приводило к рассмотрению только ана-
аналитических пли кусочно аналитических функций.
А здесь появилась необходимость для функции, гра-
графиком к-рой является достаточно произвольная кри-
кривая, построить Т. р., представляющий эту функцию.
Но значение этих споров больше. Фактически в них
обсуждались или возникли в связи с ними вопросы,
связанные со многими принципиально важными по-
понятиями и идеями математич. анализа вообще,— пред-
представление функций рядами Тейлора и аналитич. про-
продолжение функций, использование расходящихся ря-
рядов, перестановка пределов, бесконечные системы
уравнений, интерполирование функций многочленами
и др.
И в дальнейшем, как и в этот начальный период, тео-
теория Т. р. служила источником новых идей математич.
анализа и влияла на развитие др. его разделов. Су-
Существенную роль играли исследования по Т. р. в пост-
построении интегралов Римана и Лебега. Теория функций
действительного переменного возникла и развивалась
затем в тесной связи с теорией Т. р. Как обобщения
теории Т. р. появились интеграл Фурье, почти перио-
периодические функции, общие ортогональные ряды, абст-
абстрактный гармонический аналил. Исследования по Т. р.
послужили исходным пунктом при создании теории
множеств. Т. р. являются мощным средством пред-
представления и исследования функций.
Вопрос, приведший к спорам математиков 18 в., был
решен в 1807 Ж. Фурье (J. Fourier), указавшим фор-
формулы для вычисления коэффициентов Т. р. A), к-рый
должен представлять на @,2л) функцию ' j(х):
— \
/ (х) coskxdx,
!
[ B)
sin te*r, J
и применившим их при решении яадач теплопровод-
теплопроводности. Формулы B) получили название формул
Фурье, хотя они встречались ранее у А. Клеро
(A. Ciairaut, 1754), а Л. Эйлер A777) приходил к ним
с помощью почленного интегрирования. Т. р. A),
коэффициенты к-рого определяются по формулам B),
наз. рядом Фурье функции /, а числа ак, Ък —
коэффициентами Фурье.
Характер получаемых результатов зависит от того,
как понимается представление функции рядом, как по-
понимается интеграл в формулах B). Современный вид
теория Т. р. приобрела после появления интеграла
Лебега.
Теорию Т. р. можно условно разделить на два боль-
больших раздела — теорию Фурье рядов, в к-рой предпола-
предполагается, что ряд A) является рядом Фурье нек-рой
функции, и теорию общих Т. р., где такое предполо-
предположение не делается. Нпже указываются основные ре-
результаты, полученные в теории общих Т. р. (при этом
мера множеств и измеримость функций понимаются по
Лебегу).
Первым систематич. исследованием Т. р., в к-ром
не предполагалось, что эти ряды являются рядами
Фурье, была диссертация Б. Римана (В. Riemann,
1853). Поэтому теорию общих Т. р. наз. иногда р и-
м а н о в с к о й теорией Т. р.
Для изучения свойств произвольного Т. р. A) со
стремящимися к нулю коэффициентами Б. Риман

рассматривал непрерывную функцию F(x), являющу-
являющуюся суммой равномерно сходящегося ряда
а0 ¦> Vе0 akcoskx + bk sin foe
Tx'~-^h=\ w '
полученного после двукратного почленного интегри-
интегрирования ряда A). Если ряд A) сходится в нек-рой
точке х к числу s, то в этой точке существует и равна s
вторая симметрии, производная функции F:
iim F (x+2h)-2F (x) + F (x-2h) _ „
11111 . — S.
h^O Ш
Так как
F(x+2h)-2F (x) + F (x-2h)_
=i \
4ft2
sin Wi
то это приводит к суммированию ряда A), порождае-
порождаемому множителями ( sin hh ) , наз. методом с у м-
V hh J
мирования Римана. С помощью функции F
формулируется принцип локализации Римана, соглас-
согласно к-рому поведение ряда A) в точке х зависит только
от поведения функции F в произвольно малой окрест-
окрестности этой точки.
Если Т. р. сходится на множестве положительной
меры, то его коэффициенты стремятся к нулю (тео-
(теорема Кантора — Лебега). Стремление к нулю
коэффициентов Т. р. следует также из его сходимости
на множестве второй категории (У. Юнг, W. Young,
1909).
Одной из центральных проблем теории общих Т. р.
является задача о представлении произвольной функ-
функции Т. р. Усилив результаты Н. Н. Лузина A915)
о представлении функций Т. р., суммируемыми почти
всюду методами Абеля — Пуассона и Римана,
Д. Е. Меньшов доказал A940) следующую теорему,
относящуюся к наиболее важному случаю, когда пред-
представление функции / понимается как сходимость Т. р.
к j(x) почти всюду. Для каждой измеримой и конечной
почти всюду функции / существует Т. р., сходящийся
к ней почти всюду (теорема Меньшова).
Следует отметить, что если даже функция / интегрируе-
интегрируема, то в качестве такого ряда нельзя, вообще говоря,
взять ряд Фурье функции /, т. к. существуют ряды
Фурье, расходящиеся всюду.
Приведенная теорема Меньшова допускает следую-
следующее уточнение: если функция / измерима и конечна
почти всюду, то существует такая непрерывная функ-
функция ср, что ф' (x)=f(x) почти всюду и почленно продиф-
продифференцированный ряд Фурье функции <р сходится
к f{x) почти всюду (Н. К. Вари, 1952).
Неизвестно A984), можно ли в теореме Меньшова
опустить условие конечности функции / почти всюду.
В частности, неизвестно A984), может ли Т. р. схо-
сходиться почти всюду к -\- оо.
Поэтому задача о представлении функций, к-рые
могут принимать бесконочные значения на множестве
положительной меры, была рассмотрена для случая,
когда сходимость почти всюду заменяется на более
слабое требование — сходимость по мере. Сходимость
по мере к функциям, к-рые могут принимать бесконеч-
бесконечные значения, определяется так: последовательность
частных сумм Т. p. sn(x) сходится по мере к функции
}(х), если
f( )
где 1п(х) сходятся к f(x) почти всюду, а последователь-
последовательность ап(х) сходится по мере к нулю. В этой поста-
постановке вопрос о представлении функций решен до кон-
конца: для каждой измеримой функции существует Т. р.,
сходящийся к ней по мере (Д. Е. Меньшой, 1948).

Много исследований посвящено проблеме единствен-
единственности Т. р.: могут ли два разных Т. р. сходиться к од-
одной и той же функции; в др. формулировке: если Т. р.
сходится к нулю, то следует ли отсюда, что все коэф-
коэффициенты ряда равны нулю. Здесь можно иметь в виду
сходимость во всех точках или во всех точках вне
нек-poro множества. Ответ на оти вопросы существенно
зависит от свойств того множества, вне к-рого сходи-
сходимость не предполагается.
Установилась следующая терминология. Множество
?С[0,2л| наз. единственности множеством или [/-
множеством, если из сходимости Т. р. к нулю
на [0,2л) всюду, кроме, быть может, точек множества
?, следует, что все коэффициенты итого ряда равны
нулю. В противном случае Е наз. .М-множеством.
Как показал Г. Кантор (G. Canlor, 1872), пустое
множество, а также любое конечное множество яв-
являются [/-множествами. Произвольное счетное мно-
множество также является [/-множеством (У. Юнг, 1909).
С др. стороны, каждое множество положительном меры
является Af-множеством.
Существование М-множеств меры нуль было ус-
установлено Д. Е. Меньшовым A916), к-рый построил
первый пример совершенного множества, обладающего
этими свойствами. Этот результат имеет принципиаль-
принципиальное значение в проблеме единственности. Из существо-
существования Л/-множеств меры нуль следует, что при пред-
представлении функций Т. р., сходящимися почти всюду,
эти ряды определяются заведомо неоднозначно.
Совершенные множества могут быть и ?/-множест-
вами (Н. К. Бари; А. Райхман, A. Rajchman, 1921).
В проблеме единственности существенную роль играют
весьма тонкие характеристики множеств меры нуль.
Общий вопрос о классификации множеств нулевой
меры на М- и [/-множества остается A984) открытым.
Он не решен даже для совершенных множеств.
К проблеме единственности примыкает следующая
задача. Если Т. р. сходится к функции /?Л@,2гг),
то должен ли этот ряд быть рядом Фурье функции /.
П. Дюбуа-Реймон (P. Du Bois-Reymond, 1877) дал
положительный ответ на этот вопрос, если / интегри-
интегрируема в смысле Римана, а ряд сходится к f(x) во всех
точках. Из результатов Ш. Ж. Балле Пуссена (Ch. J.
La Vallee Poussin, 1912) следует, что ответ положите-
положителен и в том случае, когда всюду, кроме счетного мно-
множества точек, ряд сходится и его сумма конечна.
Если Т. р. в нек-рой точке х0 сходится абсолютно,
то точки сходимости этого ряда, а также точки его аб-
абсолютной сходимости расположены симметрично от-
относительно точки х0 (П. Фату, P. Fatou, 1906).
Согласно Данжуа — Лузина теореме из абсолютной
сходимости Т. р. A) на множестве положительной
меры следует сходимость ряда Sк(\ак\~^\^к\) и' сле"
довательно. абсолютная сходимость ряда A) для всех
х. Этим свойством обладают и множества второй кате-
категории, а также нек-рые множества меры нуль.
Приведенный обзор охватывает только одномерные
Т. р. A). Имеются отдельные результаты, относящиеся
к общим Т. р. от нескольких переменных. Здесь во мно-
многих случаях нужно еще найти естественные постановки
задач.
Лит.: [1] Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды, М.,
1961; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с
англ., т. 1—2, М., 1965; [3] Л у з и н Н. Н., Интеграл и три-
тригонометрический ряд, М.—Л., 1951; [4] Риман Б., Соч.,
пер. с нем., М.— Л., 1948, с. 225—61. С. А. Теляковский,
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ МЕТОД — один
из общих методов аналитической теории чисел. Две
проблемы теории чисел потребовали для своего реше-
решения создания Т. с. м.: проблема распределения дроб-
дробных долей многочлена и проблема представления на-
натурального числа суммою слагаемых определенного
вида (аддитивные проблемы теории чисел).

Пусть f(x) — действительная функция, х=1, 2, ...
. . ., Р, Р ->¦ + °о> говорят, что дробные доли f(x) рас-
распределены равномерно (р. р.), если при любых аир,
0<:а<Р<1, число а дробных долей f{x), попадающих
на интервал (а, Р), пропорционально длине этого ин-
интервала, т. е.
Р о(Р).
Пусть, теперь ф(.г) —характеристич. функция ин-
интервала (а, Р), т. е.
A, если
\ 0, еслп
если а < х <
Продолжая -ф(х) периодически на всю прямую, т. е.
полагая я|з(.г-|-1)=я|з(.г), имеют
Разлагая ty(x) в ряд Фурье, находят
г|)(х) = У+х с(т)еШтх, с(О) =
¦*~"т — — оо
Тем самым
Последнее соотношение, вообще говоря, не верно, т. к.
могут быть такие х, что {f(x)}=a или {/(г)}=Р; но
числа а и Р можно заменить близкими а' и Р' и такими,
что при всех х=1, 2, . . ., Р, {}{х)}фа', {Цх))ф$';
от такой замены точность соотношения практически
не изменится и оно станет верным. Точно также функ-
функцию i|)(.r) можно так «сгладить» («подправить»), что
величина а практически не изменится, а коэффициенты
с (т) ряда Фурье будут «быстро» убывать с ростом го,
т. е. будет «быстро» сходиться ряд
Второе слагаемое в равенстве A) по абсолютной ве-
величине не превосходит х,
¦^m = -», т Ф 0 ' v
Если известно, что
2nimf(x)
е
2шт/ (х)
, е
B)
где Д=Д(Р)—>-0 при Р ->- -\- оо, то для а получают
т. е. дробные доли f(x) распределены равномерно. Та-
Таким образом, надо уметь оценивать сверху модуль
тригонометрич. суммы. Так как каждое слагаемое в S
по модулю равно 1, то тривиальная оценка \S\ есть
Р, т. е. тривиальная оценка — это число слагаемых
суммы S. Оценка вида B) наз. нетривиальной, если
Д<1, а Д наз. понижающим множителем.
В задаче о дробных долях f(x) за счет сглаживания
•ф (ж) можно добиться того, что оценку B) надо полу-
получать для «небольшого» числа значений т, напр., для т.
из промежутка 0<|т| <Aп Р)А, А>0 — нек-рая по-
постоянная.
Такой же подход применяется при выводе асимпто-
тич. формулы для суммы
к-рая возникает в задачах о числе целых точек в об-
областях на плоскости и в пространстве.
В аддитивных проблемах теории чисел тригономет-
тригонометрические суммы появляются следующим образом.

При целом т справедлива формула
el imvym ( 1> если то —О,
\ еиЛмт da, — \ г. ,,
j о \ 0, если т^О,
поэтому, если через I (N) обозначить число решений
уравнения
7V = M1+ . . . -\-ик, uv ? f.'\ , v = l, . . . , k ,
где Ux — нек-рые подмножества натурального ряда
чисел, то
/ (N) = \ Sl (а).. .Sit (а) е~2л'аЛ' rfor,
где
1Sv(a) = V e2jt'auv, v=i, ...,/c.
Полагая, в частности, I7V —:f7={l", 2™, . . .}, полу-
получают Варима проблему; при fe=3, UV = U= {2, 3, 5, 7,
11, . . ., р, . . .} — тернарную Гольдбаха проблему
и т. д. Как и в задаче о распределении дробных долей,
главным вопросом здесь является вопрос об оценке
сверху модуля Sv (a), т. е. вопрос о верхней грани
|5v(a)|.
Тем самым широкий круг разнообразных проблем
теории чисел формулируется единообразно на языке
тригонометрич. сумм.
Первая нетривиальная тригонометрич. сумма по-
появилась у К. Гаусса (С. Gauss, 1811) в одном из его
доказательств закона взаимности квадратичных вы-
вычетов:
и К. Гаусс точно вычислил значение 5:
У~Р, если P = 0modD);
У~Р, если P = l (mod 4);
О, если Р see; 2 (mod 4);
', если Р ss3 (mod 4).
5 = i
Целый ряд независимых работ с применением триго-
тригонометрич. сумм появился в нач. 20 в.
Г. Ёейль (Н. Weyl, 1916), изучая распределение
дробных долей многочлена
с действительными коэффициентами at, . . ., ап, рас-
рассмотрел суммы S с функцией F(х) вида F (x) = mf(x),
т — целое число, тфО. И. М. Виноградов A917) при
изучении распределения целых точек в областях на
плоскости и в пространстве рассмотрел суммы S с
функцией F(x), от к-рой требовалось только, чтобы ее
вторая производная удовлетворяла условиям
где сх, с2 — нек-рые абсолютные положительные по-
постоянные, А=А (Р) —>- -j- оо при Р —>- 4- оо. Г. Харди
(G. Hardy) и Дж. Литлвуд (J. Litlewood) A918).
получив приближенное функциональное уравнение
дзета-функции Римана, рассмотрели сумму S с функ-
функцией F (х) вида
F (х) -- t In x,
где t — действительный параметр, 1= t(P).
Во всех указанных работах требовалось найти воз-
возможно лучшую опенку сверху модуля суммы S.
Общая схема исследования названных проблем тео-
теории чисел Т. с. м. такова: выписывается точная фор-
формула, выражающая число решений изучаемого урав-
уравнения или число дробных долей изучаемой функции,
попадающих на заданный интервал, или число целых
точек в заданной области, в виде интеграла от тригоно-

метрич. суммы или в виде ряда, коэффициентами
к-рого являются тригонометрич. суммы; точная фор-
формула представляется суммою двух слагаемых — глав-
главного и дополнительного (напр., если рассматривается
ряд Фурье характеристич. функции интервала, то
главный член получается от нулевого коэффициента
ряда Фурье); главное слагаемое доставляет главный
член асимптотич. формулы, дополнительное — оста-
остаточный член. В аддитивных задачах, таких, как проб-
проблема Варинга, проблема Гольдбаха и др., главное
слагаемое исследуется методом, близким к круговому
методу Харди — Литлвуда — Рамануджана (этот ме-
метод наз. круговым методом Харди — Литлвуда — Ра-
Рамануджана в форме тригонометрич. сумм Виногра-
Виноградова). В большинстве других задач (распределение
дробных долей, целые точки в областях и др.) главный
член получается тривиально. Теперь возникает проб-
проблема оценки остаточного члена, и если удается дока-
доказать, что он является величиной меньшего порядка,
чем главный, то том самым и доказывается асимптотич.
формула.
Основной задачей при оценке остаточного члена
является задача возможно более точных оценок три-
тригонометрич. сумм. О методах оценок тригонометрич.
сумм и оценках см. Тригонометрическая сумма, а
также Виноградова метод, Варинга проблема, Гольд-
Гольдбаха проблема, Аддитивные проблемы.
Лит. см. при ст. Тригонометрическая сумма.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ИНТЕРПОЛИРОВА-
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ — приближенное представление функции / (х)
в виде тригонометрич. полинома
_ (ak cos kx + bk sinks),
значения к-рого в заданных точках совпадают с соот-
соответствующими значениями функции. Именно, всегда
можно подобрать 2гг+1 коэффициентов A, afe, bk,
k=0, 1, . . ., п, полинома /г-го порядка Т(х) так, что-
чтобы его значения были равны значениям yk функции
y—f(x) в 2/1+1 наперед заданных точках х^ про-
промежутка [0,2л). Полином Т (х) имеет вид
где
Особенно простой вид полином Т (х) приобретает в слу-
случае равноотстоящих узлов х^ — Bк—1)л/2п; его коэф-
коэффициенты выражены формулами
В. II. Нитюцкоя.
ТРИГОНОМЕТРИЯ — раздел геометрии, в к-ром
метрич. соотношения между элементами треугольники
описываются через тригонометрические функции (см.,
напр., Косинусов теорема, Синусов теорема, Тангенсов
формула), а также устанавливаются соотношения
между тригонометрич. функциями (т. н. гониомет-
гониометрия). Т. рассматривается как для евклидовой, так
и для неевклидовой геометрии. Т. сферы евклидового
пространства наз. сферической тригонометрией.
А. Б. Иванов.
ТРИКОМИ ЗАДАЧА — задача отыскания решения
уравнения смешанного эллиптико-гиперболического
типа с двумя независимыми переменными и с одной

гладкой разомкнутой линией параболического вырож-
вырождения А В, принимающего заданные значения на эл-
эллиптической части а границы dQ области Q задания
уравнения и на одной из двух характеристик АС
или ВС, образующих гиперболическую часть
a-i — AClJBC границы dQ — a\Jai (сл1. Смешанного ти-
пй уравнение).
Т. з. для Триполи уравнения
Ти^уихх+ииу^0 A)
в области Q, ограниченной гладкой кривой ас {(х, у) :
: у>0} с концами в точках А (О, 0), 5A,0) и характе-
характеристиками АС и ВС:
впервые была поставлена и изучена Ф. Трикоми (F. Tri-
comi, [1], [2]).
При определенных ограничениях на гладкость за-
заданных функций и характер поведения производной
u,j искомого решения и в точках А и В Т. з.:
и\а =ср, и\АС—$ B)
для уравнения A) редуцируется к отысканию регу-
1ярного в области Q + —Я[) {х, у): г/>0} решения
и=и(х, у) уравнения A), удовлетворяющего краевым
условиям
«1а --ф,
иу(х, 0) = aDy*u(.r, О)-ЬФ1 ('), 0<л<1, C)
где a=const>0, ^fi(x) — однозначно определяется че-
через i[:, Dq^s — оператор дробного (в смысле Римана —
Лнувилля) дифференцирования порядка 2/3:
и0х т <.г> — Г A/3) dx
Г (г) — гамма-функция Эйлера.
Решение задачи A), C) в свою очередь сводится
к нахождению функции v (,г)-- иу(х, 0) из нек-рого
сингулярного интегрального уравнения. Это уравне-
уравнение в случае, когда а совпадает с нормальным контуром
пиеет вид
J О V x J \t—x t+x—2i
где }(х) явно выражается через ср и г|;, а интеграл по-
понимается в смысле главного значения по Коши (см.
[1] - [4]).
При доказательстве единственности и существова-
существования решения Т. з. наряду с принципом экстремума
Бицадзе (см. Смешанного типа уравнение) и методом
интегральных уравнений широко используется так
наз. метод а Ь с, сущность к-рого заключается
в том, что для данного дифференциального оператора
2-го порядка L (напр., Т) с областью определения D (L)
строится дифференциальный оператор 1-го порядка
г = я(ж, у)± + Ь(х, у)~ + с(х, у), (х,
обладающий тем свойством, что
1,те C=const>0; 11-11—нек-рая нррма (см. [5]).
Т. з. получила обобщения как на случай уравнений
смешанного типа с несколькими линиями параболиче-

ского вырождения (см. [6]) так и на случай уравнений
смешанного гиперболо-параболического типа (см. [7]).
Лит.: [1] Трикоми Ф., О линейных уравнениях в част-
частных производных второго порядна смешанного типа, пер.
с итал., М.— Л., 1947; [2] с г о ж е, Лекции по уравнениям в
частных производных, пер. с итал., М., 1957; [3] Б и ц а д-
л е А. В., К проблеме уравнений смешанного типа, М., 1953;
14] его же, Уравнения смешанного типа, М., 1959; [5]
Б е р с Л., Математические вопросы дозвуковой и околозву-
околозвуковой газовой динамики, пер. с англ., М., 1961; [6] Н а х у-
шсв А. М., «Докл. АН СССР.>, 1966, т. 170, с. 38—40; [7]
Джурасв Т. Д., Краевые задачи для уравнений смешанно-
смешанного и смешашю-состапного типов, Ташкент, 1979.
А. М. Нахушев.
ТРИКОМИ УРАВНЕНИЕ — дифференциальное урав-
уравнение вида
к-роо является иростой моделью смешанного эллипти-
ко-гнперболического типа уравнений с частными про-
производными 2-го порядка с двумя независимыми пере-
переменными х, у и с одной разомкнутой нехарактеристи-
нехарактеристической линией параболического вырождения. Т. у.
оллиптично при .v>0, гиперболично при j/<0 и вы-
вырождается в параболического типа уравнение на пря-
прямой 2/=0 (см. [1]). Т. у. является прототипом урав-
уравнения Чаплыгина
где и = а(х, у) — функция тока плоскопараллельных
устанавливающихся газовых течений, к (у) я у — функ-
функции скорости течения, к-рые положительны при дозву-
дозвуковой и отрицательны при сверхзвуковой скорости;
х — угол наклона вектора скорости (см. [2], [3]).
К краевым задачам для Т. у. сводятся многие важные
проблемы механики сплошных сред, в частности, сме-
смешанные течения с образованием локальных дозвуко-
дозвуковых зон (см. [3], [4]).
Лит.: [1] Т р и к о м и Ф., О лилейных уравнениях в част-
частных производных второго порядка смешанного типа, пер. с
итал., М.— Л., 1947; [2] Чаплыгин С. А., О газовых стру-
струях, М.— Л., 1949; L3J Ф р а п к л ь Ф. И., Избр. труды по
газовой динамике, М., 1973; [4] Б и ц а д я с А. В., Некоторые
классы уравнений в частных производных, М., 1981.
А. М. Нахушев.
ТРИОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ПОВЕРХНОС-
ПОВЕРХНОСТЕЙ — множество поверхностей в трехмерном прост-
пространстве, распадающихся на три однопарамотрич. се-
семейства таким образом, что любые две поверхности
различных семейств образуют прямой угол в каждой
точке их пересечения. Предполагается, что входящие
в Т. с. п. поверхности являются регулярными, в этом
случае кривые, по к-рым пересекаются входящие
в нее поверхности, являются линиями кривизны этих
поверхностей (теорема Дюпена).
Т. с. п. образуют системы координатных поверх-
поверхностей в ортогональной координации пространства.
Так, в сферич. системе координат Т. с. п. образуют:
одно семейство сфер с общим центром в начале коорди-
координат, второе семейство конусов вращения с вершиной
в начале координат и с осью, через к-рую проходят
плоскости третьего семейства координатных поверх-
поверхностей. С каждой Т. с. п. может быть связана нек-рая
ортогональная координация пространства. Линейный
элемент пространства в ортогональных координатах
и, v, w имеет вид
ds°~ = H\ du2 + Н\ dv2 + Hi dw2,
где II;(u, v, w), i=l, 2, 3,— т. н. функции Ламе,
для к-рых риманов тензор этой пространственной
формы тождественно равен нулю. Этими функциями
определяется Т. с. п. с точностью до движения (или
отражения). С каждой регулярной поверхностью мо-
может быть связана Т. с. п., в состав к-рой она входит.
Если задано однопараметрич. семейство регулярных
поверхностей, входящее в состав Т. с. п., и если в этом
семействе содержится хотя бы одна поверхность, от-

личная от плоскости или сферы, то вся Т. с. п. этим
семейством вполне определяется.
Т. с. п. образуют софокусные поверхности поверх-
поверхностей 2-го порядка в евклидовом пространстве; урав-
уравнение систем этих поверхностей в декартовой ортого-
ортогональной системе координат имеет вид
где а, Ь, с — фиксированные величины, 0<c<fe<a,
Я — параметр. При Я<с это уравнение определяет
семейство эллипсоидов, при с<к<Ь — семейство одно-
полостных гиперболоидов, а при Ь<Х<.а — семейство
двуполостных гиперболоидов. Через каждую точку
пространства проходят три поверхности этой системы:
однополостный гиперболоид, двуполостный гипербо-
гиперболоид и эллипсоид. Автоморфизмами Т. с. и. в евкли-
евклидовом пространстве являются сферич. преобразования.
Лит.: [1] D а г b о и х G., Lecons snr les systemes orthogo-
naux et les coordonnees curvilignes, 2 ed., P., 1910; [2] К а-
г а н В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложе-
изложении, ч. 1—2, М,— Л., 1947—48. Л. А. Сидоров.
ТРИСЕКЦИЯ УГЛА — задача о делении угла ф на
три равные части; одна из классич. задач древности
на точное построение с помощью циркуля и линейки.
Решение задачи о Т. у. сводится к нахождению рацио-
рациональных корней кубич. уравнения вида 4х3—З.г—
—cos ф^0, где z=cos-y, к-рое, в общем случае, не
разрешимо в квадратных радикалах. Таким образом,
задача о Т. у. не может быть решена с помощью цир-
циркуля и линейки, что было доказано в 1837 П. Ванце-
лем (P. Wantzell). Однако такое построение возможно
для углов 90°/2™, где гс=0, 1, 2, . . ., а также при ис-
использовании других средств и приемов построения
(напр., Динострата квадратрисы, конхоиды, т. н.
метода «вставок»).
Лит.: Энциклопедия элементарной математики, кн. 4. Гео-
Геометрия, М., 1963, с. 205—27. Е. Г. Соболевская.
ТРОЙКА, монада, в категории — моноид в ка-
категории функторов. Другими словами, Т. в категории
•К наз. ковариантный функтор Т: 5R -»- 91 , снабжен-
снабженный такими естественными преобразованиями a: Idgj-»-
—>- ?ft и |х: Т2—>- Т, что следующие диаграммы коммута-
коммутативны (здесь Ыя обозначает тождественный функтор
категории 91).
т*(х) ¦¦ т\(х)
т(Х)
Иногда Т. наз. стандартной конструк-
конструкцией.
Для любой пары сопряженных функторов F : Щ. —> Q
и G : ? ->- й функтор T=FG : Ж -> Щ. является
тройкой вместе с морфизмами е : Id;1i->- T и p~G(r\F) ;
: Т2-+ Т, где е и ц — единица и коединица сопряже-
сопряжения. Обратно, для произвольной тройки (Т, е, |х)
существует такая пара сопряженных функторов F и
G, что T=FG, а преобразования е и \i получаются из
единицы и коединицы сопряжения описанным выше
способом. Подобных различных разложений для Т.
может оказаться целый класс. В этом классе имеется
наименьший элемент (конструкция Клей с-
л и) и наибольший элемент (конструкция Э й-
л о н б е р г а — Мура).
Примеры. 1) В категории множеств функтор
взятия множества подмножеств произвольного мно-
множества обладает структурой Т. каждое множество X

естественно вкладывается в множество своих подмно-
подмножеств, а каждому множеству подмножеств X сопостав-
сопоставляется объединение этих подмножеств.
2) В категории множеств каждый основной функтор
НА(Х) = Н(А, X) является Т.: отображение е^ : X ->-
-*-Н(А, X) сопоставляет каждому х?Х функцию
/„ : А -*¦ X, тождественно равную х; отображение
\ix:H(A, Н(А, Х))=^Н{АХА, Х)-+Н{А, X) сопо-
сопоставляет каждой функции от двух переменных ее огра-
ограничение на диагональ.
3) В категории Л-модулей над коммутативным коль-
кольцом Л функтор Тд(Х)=А(><)дХ снабжается структу-
структурой Т., аналогичной структуре из примера 2).
4) В категории топологич. пространств каждая топо-
логич. группа G позволяет определить функтор Tq (X)=
= XxG, к-рый является Т.: каждый элемент х?Х
переходит в элемент (х, е), где е — единичный элемент
группы G, а отображение |х : XX GXG -*¦ XxG опре-
определяется равенством рх(х> ?. 1Г')=(я, g g').
Лит.: [1] Адаме Д ж., Бесконечнократные пространства
петель, пер. с англ., М., 1982; [2] Годеман Р., Алгебраи-
Алгебраическая топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961;
[3] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия,
т. 13, М., 1975; [4] М а с L a n e S., Categories for the working
mathematician, N. Y.— [a. o.], 1971; [51 Manes E. G.,
Algebraic theories, N. Y., 1976. M. Ш. Цаленко.
ТРОХОИДА — плоская кривая, являющаяся траек-
траекторией точки М вне или внутри окружности, к-рая
катится по другой окружности. Т. наз. э п и т р о-
у
Рис. 1.
х о п д о и (рис. 1 а, б) или гипотрохоидой
(рис. 2а, б) в зависимости от того, будет ли катящаяся
окружность иметь внешнее или внутреннее касание
,У
Рис. 2.
с неподвижной окружностью. Параметрич. уравнения
эпитрохоиды:
x = (R-\-mB) cos mt— hcos (t-\-mt),
y = (R -j-mB) sin mt—ft sin (t-\-mt);
гипотрохоиды:
? = (Л — гоЛ) cos mt-j-h cos B — mt),
у =(R — mR) sin mt — fesin (t — mt),
где г — радиус катящейся окружности, Л — радиус
неподвижной окружности, m=R/r — модуль Т.,
h — расстояние от вычерчивающей точки до центра
катящейся окружности. Если /г>г, то Т. наз. удли-
удлиненной (см. рис. 1а, 2а), при /г<г — укоро-
укороченной (см. рис. 16, 26), при h=r — эпициклоидой
или гипоциклоидой.
Если h=R-\-r, то Т. наз. трохоидальноп
розой, уравнение к-рой в полярных координатах
p = asin fitp.

При рациональном значении \i трохоидальная роза —
алгебраич. кривая. Если R = r, то Т.— Паскаля улит-
улитка, если R — 2r — Эллипс.
Т. относится к т. н. циклоидальным кривым. Иног-
Иногда Т. наз. укороченную или удлиненную циклоиду.
Лит.: [1] С а в с л о в А. А., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
ТРУБЧАТАЯ ОБЛАСТЬ, труб а,— область Т в
комплексном пространстве С" вида
T=B + iRn = {z = x+iy:x?B, \у\ < оо},
где В — область в действительном подпространстве
R"cC", к-рая наз. основанием Т.о. Т. Об-
Области вида R"-{-iB тоже наз. Т. о. Голоморфности обо-
оболочка произвольной Т. о. совпадает с ее выпуклой обо-
оболочкой; в частности, всякая функция, голоморфная
в Т. о. Т, продолжается до функции, голоморфной
в выпуклой оболочке Т. Т. о. наз. радиальной,
если ее основание есть связный конус в R".
Лит.: [1] В л а д и м и р о в В. С, Методы теории функций
многих комплексных переменных, М., 1964. Е. М. Чирка.
ТРУБЧАТАЯ ОКРЕСТНОСТЬ — окрестность глад-
гладкого подмногообразия N в гладком многообразии М,
расслаивающаяся над N со слоем Rd, где
М — Aim N.
Пусть в М выбрана риманова метрика и рассматри-
рассматриваются начинающиеся в N отрезки норд^альных к N
геодезических. Если N компактно, то найдется такое
е>0, что никакие два отрезка длины <е, исходящие
из разных точек N, не пересекаются. Объединение
всех таких отрезков длины <е является открытой ок-
окрестностью U подмногообразия N и наз. его труб-
трубчатой окрестностью. Для некомпактного N
можно строить Т. о., покрыв N счетным множеством
компактов и уменьшая е с ростом номера элемента
покрытия. Имеется деформационная ретракция г : U-*-
-+N, сопоставляющая каждой точке из V начало гео-
геодезической, содержащей эту точку. Эта ретракция
задает векторное расслоение со слоем Rrf, изоморфное
нормальному расслоению v вложения N —>- М. Таким
образом, факторпространство UldU гомеоморфно Тома
пространству расслоения v.
Аналог понятия Т. о. вводится и для топологич.
многообразий (где надо рассматривать локально плос-
плоские вложения, [2]).
Лит.: [1] Том Р., в кн.: Расслоенные пространства и их
приложения. Сб. пер., М., 1958, с. 293—351; [2] Kirby R-,
Siebenmann L., Foundational essays on topological mani-
manifolds, Princeton, 1977. Ю. Б. Рудяк.
ТУПИКОВАЯ ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ
ФОРМА — представляющая заданную булеву функ-
функцию дизъюнктивная нормальная форма (д. н. ф.),
к-рую нельзя упростить ни вычеркиванием буквы из
нек-рой конъюнкции, ни удалением какой-либо конъ-
конъюнкции. Минимальная д. н. ф. получается из сокра-
сокращенной д. н. ф. путем удаления нек-рых конъюнкций;
этот неоднозначный, ветвящийся процесс может при-
привести «в тупик», т. е. к д. н. ф., из к-рой нельзя уда-
удалить никакого члена. Такая д. н. ф. и наз. тупи к о-
в о и. Т. д. н. ф., вообще говоря, не является мини-
минимальной.
Значение этого понятия состоит, с одной стороны,
в том, что Т. д. н. ф. в задаче оптимизации моделируют
локальные минимумы, среди к-рых надо отыскать гло-
глобальный (минимальную д. н. ф.). С другой стороны,
на практике при минимизации булевых функций за-
зачастую ограничиваются построением Т. д. н. ф. Оцен-
Оценки сложности д. н. ф. показывают: 1) быстрый рост
числа Т. д. н. ф. с увеличением числа переменных п
булевых функций (ота величина порядка 22'"); 2) ма-
малую (стремящуюся к нулю при п-*¦ оо) долю мини-
минимальных д. н. ф. среди Т. д. н. ф.; 3) неограниченно
растущее (при п -> оо) расхождение в сложности на-

угад взятой Т. д. н. ф. и минимальной д. н. ф. Перечис-
Перечисленные факты имеют место как для самой «плохой»
функции, так и в «типичном» случае, т. с. для совокуп-
совокупности функций, доля к-рых стремится к единице при
п —*¦ оо.
См. также Булевых функций нормальные формы.
В. В. Глаголев.
ТУРБУЛЕНТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДА-
ЗАДАЧИ — вывод, анализ и решение уравнений, описываю-
описывающих турбулентные течения жидкостей и газов (т. в.
такие завихренные течения, термодинамич. и гидроди-
намич. характеристики к-рых испытывают хаотич.
флуктуации из-за наличия многочисленных вихрей
различных размеров и потому изменяются в прост-
пространстве и времени весьма нерегулярно).
Индивидуальные реализации турбулентных течений
описываются обычными уравнениями гидромеханики
вязкой жидкости. Единственность решения задачи Ко-
ши для них не доказана (доказательство удается
лишь для двумерных течений и при специальных
предположениях об изменчивости кинематич. вяз-
вязкости v). Стационарные решения, отвечающие лами-
ламинарным течениям, формально существуют при любых
числах Рейнольдса Re= ULlv (L и U — масштабы
длины и скорости), но при Re>ReKp они неустойчивы.
Гидродинамич. неустойчивость относительно малых
возмущений поля скорости вида
и'(ж, t) — a (as) exp (Kt)
исследуется как задача о собственных значениях соот-
соответствующего линеаризованного уравнения для а (х)
(т. н. Орра — Зоммерфелъда уравнение).
При значениях числа Рейнольдса Re в нек-рой ок-
окрестности ReKp в фазовом пространстве течения су-
существует однопараметрич. семейство замкнутых траек-
траекторий. Если оно появляется лишь при Re>ReKp, то
бифуркация наз. нормальной, и замкнутые траектории
суть предельные циклы, к-рым соответствуют периоди-
периодические по t решения с конечными амплитудами
порядка (Re—ReKp) '2 и произвольными фазами. По
предположению Л. Д. Ландау A944), турбулентность
образуется в результате последовательности нормаль-
нормальных бифуркаций и представляет собой квазипериоди-
квазипериодическое эргодическое течение с очень большим числом
несоизмеримых частот колебаний и соответствующих
степеней свободы — фаз колебаний.
Если семейство замкнутых фазовых траекторий по-
появляется еще при Re<ReKp, то бифуркация наз. об-
обратной, предельные циклы неустойчивы (т. е. траек-
траектории с них сматываются); при Re —>- ReKp—0 они
сжимаются и в пределе исчезают, а цри Re>ReKp
возмущения разрастаются со временем и, по-видимому,
быстро приобретают непериодич. характер. Возможно,
что в этом случае в фазовом пространстве имеется
странный аттрактор, т. е. множество Л неблуждаю-
щих точек (у к-рых каждая окрестность пересекается
с нек-рой траекторией по меньшей мере дважды),
отличающихся от неподвижных точек и замкнутых
траекторий и имеющих окрестности, в к-рых появляю-
появляющиеся траектории все асимптотически приближаются
к Л.
Существует гипотеза, что после четырех бифуркаций
в фазовом пространстве течений жидкости появляется
странный аттрактор, являющийся локально канторо-
вым множеством двумерных поверхностей, попадание
на к-рый и создает хаотичность течения, т. е. турбу-
турбулентность. ' Однако доказательной теории бифуркаций
для гидродинамич. систем еще не построено (см. [3]).
Наиболее полным статистич. описанием турбулент-
турбулентного течения несжимаемой жидкости является задание
вероятностной меры Р (со) на функциональном прост-

ранстве возможных полей скорости и(я>, t) или се функ-
функционального преобразования Фурье — характеристич.
функционала, напр, в спектральном представлении
? [z(k, t)] (см. [1]). Для него из уравнений Навье —
Стокса выводится линейное уравнение в вариационных
производных (так что статистич. динамика турбулент-
турбулентности оказывается линейной), к-рое надлежит решать
при заданном
В частности, для пространственного характеристич.
функционала *F [z{k), t], дающего полное статистич.
описание поля скорости в фиксированный момент
времени t, получается уравнение Хопфа:
i ^ = (Я0 + Я1IР; Яо-=— iv { dkk2za{k)Da(k);
Нг = f С dk' dk"Ba, pv (fc'+A-") zp (k'-j-k") Da(k')Dy (k"),
где
a Da(k)r-- оператор вариационного дифференцирования
no za0c). Это уравнение аналогично уравнению для
вектора состояния Т в представлении Шрёдингера
квантового бозе-поля с сильным взаимодействием спе-
специального вида (слияние двух бозонов в один): za(k)
и Da (к) суть операторы рождения и упичтожения
квантов с импульсом А", а константой взаимодействия
служит Re. Общих методов решения линейных урав-
уравнений в вариационных производных еще не создано.
При Re^>l теория возмущений не действует, хотя
частичное суммирование диаграмм Фейнмана возможно
(см. [2]). Решение х? можно записать в виде контину-
континуального интеграла, но общих методов для вычисления
таких интегралов еще нет. Зато общим методолг на-
нахождения вероятностных мер Р (ш) для описапия тур-
турбулентных течений может служить построение таких
мер Pe(ai) для галеркинских аппроксимаций уравне-
уравнений Навье — Стокса: для семейства мер {Ре} доказы-
доказывается слабая компактность (см. [6]); этим методом,
в частности, доказываются нек-рые теоремы существо-
существования и единственности решений Т.
Эквивалентная формулировка полного статистич.
описания турбулентного течения заключается в зада-
задании всех конечномерных плотностей вероятности /„=
= Рм1 ... Мя(**1. ••-.««) для значений ит = и(Мт)
поля скорости на всевозможных конечных наборах
точек Мт—(жт. tm) пространства-времени. Для них
из уравнений Навье — Стокса выводятся (см. [5])
линейные уравнения
где Wk — перенесенное в точку М^ условное математич.
ожидание ускорения в точке {jr., tk) при условии, что
значения ti1=u(M1), . . ., ип—и{Мп) фиксированы.
Величины wkafn содержат интегралы по /,, + 1 dun+1,
так что уравнения для /„ образуют бесконечную цепоч-
цепочку (аналогичную Боголюбова цепочке уравнений). Инте-
Интегрируя уравнение для dfjdtk по F(и^ . . ., ип)х
Xdwi- . .diifr, получают обобщенные уравне-
уравнения Фридмана — Келлера
где черточка — математич. ожидание. Это уравнение
- ^ Tit т Т,
было выведено при ^="lct . . . г*псс , так что F — это
1 п
re-точечный статистич. момент поля скорости порядка
JV^nij-f-. . .-\-mn. Уравнения для моментов образуют

бесконечную цепочку (разрешимость к-рой доказы-
доказывается с помощью галеркинских аппроксимаций урав-
уравнений Навье — Стокса).
При N= 1 эти уравнения (уравнения Рей-
ноль д с а) получаются непосредственным осредне-
осреднением уравнений Навье — Стокса и отличаются от та-
таковых для осредненного поля скорости и появлением
дополнительных неизвестных — одноточечных вторых
моментов Xji=—pu'jUi (р— плотность жидкости, штри-
штрихи обозначают отклонения от математич. ожидании),
называемых напряжениями Рей но льде а.
Простейшим способом замыкания системы уравнений
Фридмана — Келлера является представление %ц в
виде функций от дп^/дх^. В т. н. полуэмиирич. теории
турбулентности эти функции берутся линейными, и
для их коэффициентов (имеющих смысл коэффициентов
турбулентной вязкости) принимаются те или иные
дополнительные предположения (напр., пропорцио-
пропорциональность lV~b, где I и Ь — масштаб и кинетич. энергия
турбулентности в единице массы, для к-рых конструи-
конструируются дополнительные уравнения — это делает рео-
реологию осредненного течения нелинейной и создает
специфич. эффекты).
При N=2 получаются уравнения для двухточеч-
двухточечных КОрреЛЯЦИОННЫХ фуНКЦИЙ ПОЛЯ СКОРОСТИ Ula*4|3
(или их преобразований Фурье по (М1—М2)-спект-
ральных функции). Для их замыкания необходимы
дополнительные предположения о входящих в них
третьих моментах (см. [1], [5]). Наиболее естественные
методы построения замкнутых уравнений для спектров
турбулентности получаются обрезанием частично про-
просуммированных диаграмм Фейнмана.
Существенные геометрпч. упрощения получаются
в ^случае однородной и изотропной турбулентности.
Эта модель важна, потому что всякая реальная тур
булентность с очень большим числом Рейнольдса ока-
оказывается локально-стационарной, локально-однород-
локально-однородной и локально-изотропной. При этом при фиксиро-
фиксированной скорости диссипации кинетич. энергии е ста-
тистич. структура трехмерного турбулентного течения
с очень большим числом Рейпольдса в достаточно ма-
малых масштабах полностью определяется двумя пара-
параметрами е и v, так что, напр., структурная функция
скоростей при r<^.L должна иметь вид
где L —- масштаб точения в целом, a X=e1//4v~3''4 —
колмогоровский внутренний масштаб; в т. и. инерцион-
инерционном интервале масштабов Ь5>>ф>Я параметр v выпа-
выпадает, и функция ф обращается в константу. Если же
учитывать флуктуации поля е, то колмогоровская
автомодельность становится неполной, и структурная
функция приобретает поправочный множитель (r/L)m
с небольшим показателем.
В двумерных течениях, кроме энергии, адиабатич.
интегралом движения является еще средний квадрат
вихря — энстрофия (так что вихревые нити не растя-
растягиваются) и, кроме параметров е и v, появляется еще
скорость вырождения энстрофии еш. При этом от мас-
масштабов энергоснабжения энергия передается в сто-
сторону больших масштабов по колмогоровскому закону,
а энстрофия — в сторону малых масштабов по нело-
нелокальному спектральному закону (см. [4]):
Такими свойствами обладает крупномасштабная ква-
квазидвумерная турбулентность в атмосфере и в океане,
образуемая синоптич. вихрями и волнами Россби —

Блиновой. Роль вихря двумерного течения здесь иг-
играет т. н. потенциальный вихрь — скалярное произ-
произведение вихря абсолютной скорости на градиент энт-
энтропии. Уравнение для него в квазигеострофич. приб-
приближении получается в виде
н
где if, Д, / — горизонтальные функция тока, лапла-
лапласиан и якобиан, z — вертикальная координата, Н и
L%=HN/f — толщина слоя и «радиус деформации»
Россби (N — частота Вайссала — Брента, / — пара-
параметр Кориолиса), х — дуга круга широты, р — произ-
ш от / по дуге меридиана, F — неадиабатические
чры. В масштабах L<g.Lp получается обычное
уравнение двумерной турбулентности. Волновое число
Ар = ф/2 UI'2 (где U — типичная скорость) разделяет
вихри (/с>/ср) и волны Россби — Блиновой (/с</с(з).
Малые начальные вихри имеют тенденцию со време-
временем расти, выравниваться по вертикали («баротропи-
зация»), смещаться на запад и вытягиваться вдоль
кругов широты.
Важными обобщениями турбулентности в несжимае-
sioti жидкости являются турбулентности в страфици-
рованной жидкости с архимедовыми силами и гидро-
гидромагнитная турбулентность.
Лит.: [1] М о н и н А. С, Я г л о м А. М., Статистическая
гидромеханика, ч. 1—2, М., 19E5—67; |2] Гледзер Е. Б.,
Меняв А. С, «Успехи матем. наук», 1974, т. 29, в. 3, с. 111—
59; 13] М онин А. С, «Успехи физич. наук», 1978, т. 125,
в. 1, с. 97—122; [4] Мирабель А. П., М о н ин А. С,
«Успехи механики», 1979, т. 2, в. 3, с. 47—95; L5] М о и и н А. С,
Озмидов Р. В., Океанская турбулентность, Л., 1981; 16]
В и ш и к М. И., Ф у р с и к о в А. В., Математические зада-
задачи статистической гидромеханики, М., 1980. А. С. Монин.
ТУРНИР — ориентированный граф без петель, каж-
каждая пара вертпин к-рого соединена дугой точно в од-
одном направлении. Т. с и вершинами может служить
описанием исхода состязания п игроков, правилами
к-рого запрещен ничейный исход. Понятие Т. исполь-
используется для упорядочения п объектов методом попар-
попарных сравнений. В связи с этим оно находит свои при-
приложения в биологии, социологии и т. п.
Т. наз. транзитивным, если можно так за-
занумеровать его вершины числами 1, 2, . . ., п, что из
вершины i>[ идет дуга в вершину vj тогда и только
тогда, когда i>/. В транзитивном Т. отсутствуют кон-
контуры. Т. наз. сильным, если для любой упорядо-
упорядоченной пары его вершин vt, vj существует ориентиро-
ориентированный путь из и/ в vj. Множество дуг в Т. наз. сог-
согласованным, если в подграфе, образованном
ними дугами и инцидентными им вершинами, отсут-
отсутствуют контуры. Максимальная мощность множества
согласованных дуг является мерой согласованности
при определении «победителя» Т. Всякий Т. содержит
подмножество согласованных дуг мощности не мень-
меньшей, чем (и2''4)A-|-оA)). Другой мерой согласован-
согласованности является отношение числа транзитивных к-вер-
шинных подтурниров турнира с п вершинами к числу
сильных /с-вергаинных подтурниров. Максимальное
число сильных /с-вершишшх подтурниров турнира
с п вершинами равно
Ckn—kCkn_y , если п нечетно,
С* — ^r(cknX — С*12У если п четно.
Т. является сильным тогда и только тогда, когда он
имеет остовный контур. Каждый сильный Т. с и вер-
вершинами имеет контур длины к для /с=3, 4, . . ., п.
Всякий Т. имеет остовный путь. j

Набор всех гюлустепеней исхода d,- турнира с п
вершинами удовлетворяет равенству
Пусть набор целых чисел (dlt . . ., dn) удовлетворяет
условию 0<rd]<:. . .<:dn<:«—1. Т. с полустепенями
исхода <2Ь . . ., dn существует тогда и только тогда,
когда для любого /с— 1, . . ., п—1 выполняется нера-
неравенство
а для к= ч справедливо равенство. При этом Т. яв-
является сильным тогда и только тогда, когда
Если 7\ и Г2 — два подтурнира турнира Т и для
каждой пары вершин v' из 7\, у" из Г2 существует дуга
(i/, у"), то пишут 7\ ->- У2. Пусть множество вершин Т.
разбито на непересекающиеся подмножества Тъ . . .,
Тт. И пусть либо Ti->- Tj, либо Гу -> Г,- для 1 <!</'«
<:т. Тогда разбиение определяет отношение
эквивалентности на вершинах Т. Т. Турнир
наз. просты м, если на его вершинах нельзя опре-
определить нетривиальное отношение эквивалентности.
Всякий Т. с п вершинами является подтурниром
нек-рого простого Т. с п~\-2 вершинами. Турнир Т
с п вершинами является подтурниром нек-рого прос-
простого Т. с ге+1 вершинами тогда и только тогда, когда Т
не является hit контуром с тремя вершинами, ни не-
нетривиальным транзитивным Т. с нечетным числом
вершин. Число попарно неизоморфных Т. с п вершина-
с2
ми асимптотически равно — 2 ". Число различных Т.
С2
с п нумерованными вершинами равно 2 ". Производя-
Производящие функции * (.г) и s(z) для Т. и сильных Т. соответ-
соответственно свяааны соотношением:
Всякий Т. с п вершинами, ге>5, не являющийся силь-
сильным, однозначно восстанавливается по совокупности
своих вершинных подтурниров.
Лит.: 11] X а р а р и Ф., Теория графов, пер. с англ., М.,
1U73; [2] Moon J. W., Topics on tournaments, N. Y., [1968].
А. А. Сапоженко.
ТУЭ МЕТОД — метод в теории диофантовых прибли-
приближений, созданный А. Ту:) [1] в связи с проблемой при-
приближения алгебраич. чисел рациональными числами:
найти величину v=v(ra), при к-рой для каждого ал-
алгебраич. числа а степени п неравенство
имеет конечное число решений в целых рациональных
числах р и q, <7>0, при любом е>0, и бесконечное
число решений при любом е<0.
А. Туз показал, что v< — -f-1. Т. м. основан на свой-
свойствах специального многочлена j(x, у) от двух пере-
переменных х, у с целыми коэффициентами и предположе-
предположении существования двух решений неравенства A) при
v<:-^--|-l с достаточно большими значениями д. Тео-
Теорема Т у э имеет много важных приложений в тео-
теории чисел. В частности, из нее следует, что диофантово
уравнение
F (х, У) = т, B)
где F(x, у) — неприводимая форма от переменных.
х и у с целыми коэффициентами стецени и^З, am —

целое число, может иметь не более, чем конечное число,
решений в целых числах .гиг/.
Окончательную оценку величины v в неравенстве A)
получил К. Рот (К- Roth, [2]) путем обобщения Т. м.
на случай многочлена любого числа переменных, по-
подобного многочлену f(x, у), и использования большего
числа решений неравенства A). Результат — теоре-
теорема Туэ — Зигеля — Рота: v-=-2 для любого
я>=2. Т. м. имеет обобщение на случай приближения
алгебраич. чисел алгебраич. числами. Т. м. является
общим методом доказательства конечности целых точек
на широкого класса кривых алгебраич. многообразий
(см. Диофантова геометрия, Диофантово множество).
Наряду с этим Т. м. имеет существенный недостаток —
является неэффективным методом в том смысле, что
не дает ответа на вопрос, существуют ли на самом деле
используемые в доказательствах решения неравенств
A) или соответствующих уравнений B). Таким обра-
образом, Т. м., решая вопрос о конечности числа решений
уравнения B), не дает возможности определить, разре-
разрешимо ли конкретное уравнение такого типа и каковы
количествен, оценки решений х, у в зависимости от F.
См. также Диофантовых приближений проблемы
эффективизации.
Лит.: [1] Thuc A., «J. reine angew. Math.», 1909, Bd 135,
S. 284—305; [2] Рот К. Ф., «Математика», 1957, т. 1, в. 1,
с. 3—18; [3] Проблемы теории диофантовых приближений,
пер. с англ., М., 1974. А. Ф. Лаврик.
ТУЭ ПОЛУСИСТЕМА, полу-Туз система,
система подстановок — см. Туэ система.
ТУЭ СИСТЕМА — ассоциативное исчисление, на-
названное по имени А. Ту», к-рый впервые сформулиро-
сформулировал проблему распознавания равенства слов в ассоциа-
ассоциативных системах (проблема Туэ, см. [1]). Если
при задании Т. с. допустимыми подстановками считать
только подстановки правых частей соотношений вместо
левых частей (т. е. исключить обратные подстановки),
то получим полусистемы Туэ (иол у-
Т у э системы, или системы подстано-
в о к), к-рые фактически совпадают также с локаль-
локальными каноннч. системами Поста. Каждая Т. с. может
рассматриваться как полусистема Туэ, но обратное
неверно.
Лит.: [1] Thue A., «Videnskapsselskapets Skrifter. Mat.
Naturv. KL», 1914, № 10; [2] Мальцев А. И., Алгоритмы
и рекурсивные фуннции, М., 1965. С. И. Адян.
ТУЭ — ЗИГЕЛЯ — РОТА ТЕОРЕМА: если а —
алгебраич. иррациональность, 6>0 и сколь угодно ма-
мало, то существует лишь конечное число целых реше-
решений р и д>0 (р и q взаимно просты) неравенства
< <Г
Эта теорема является наилучшей в своем роде — чис-
число 2 в показателе степени уменьшить нельзя. Т.—3. —Р.
т. есть усиление теоремы Лиувилля (см. Лиувилля чис-
число). Результат Лиувилля последовательно усиливали
А. Туэ [1], К. Зигель [2] и, наконец, К. Рот [3]. А.
Туэ доказал, что если а — алгебраич. число степени
гс^З, то неравенство
а—?-
Q
имеет лишь конечное число целых решений р и
(р и q взаимно просты) при v> -^ -)-1. К. Зигель уста-
установил, что утверждение теоремы Туэ справедливо при
v>2V^rc. Окончательный вариант теоремы, сформу-
сформулированный выше, получен К. Ротом. Имеется р-
адический аналог Т.—3.—Р. т. Перечисленные ре-
результаты доказываются неэффективными методами (см.
Диофантовых приближений проблемы эффективизации).
Лит.: [1] Thue A., «Norske Vid. selesk. Skr.», 1908, Bd 3,
S. 1—34; [2] S i e g e 1 C, «Math. Z.», 1921, Bd 10, S. 173—213;

13] R о t h К. F., «Mathematika», 1955, v. 2, Mi, p. 1—20;
[4] M a h 1 e r K., Lectures on Diophantine approximations, pt 1,
ts. 1.], 1901; E] H i d о u t D., «Mathematika», 1958, v. 5, № Я,
p. 40—48; [6] Г с л ь ф о н д А. О., Трансцендентные и алгеб-
алгебраические числа, М., 1952. С. В. Котов.
ТЬЮРИНГА МАШИНА — название, закрепившееся
за вычислительными машинами абстрактными, нек-
рого точно охарактеризованного типа. Концепция та-
такого рода машины возникла в середине 30-х гг. 20 в
у А. М. Тьюринга [1] в результате произведенного им
анализа действии человека, выполняющего в соответ-
соответствии с заранее разработанным планом те или иные
вычисления, т. е. последовательные преобразования
знаковых комплексов. Анализ этот, в свою очередь,
был осуществлен им с целью решения назревшей к тому
времени проблемы поиска точного математич. эквива-
эквивалента для общего интуитивного представления об ал-
алгоритме. В ходе развития алгоритмов теории появился
ряд модификаций первоначального тьюринговского
определения. Здесь дается версия, восходящая к Э.
Посту [2],— в таком виде определение Т. м. получили
весьма большое распространение (детально Т. м. опи-
описаны, напр., в [3] и [4]).
Т. м. удобно представлять себе в виде автоматически
функционирующего устройства, способного находиться
в конечном числе внутренних состояний
и снабженного бесконечной внешней памятью — л е н-
т о й. Среди состояний имеется два выделенных —
начальное и заключительное. Лента
разделена на клетки и неограниченна влево и вправо.
В каждой клетке ленты может быть записана любая из
букв нек-рого алфавита А (ради единообразия удобно
считать, что в пустой клетке записана «пустая буква»).
В каждый момент дискретного времени Т. м. нахо-
находится в одном из своих состояний и, рассматривая одну
из клеток своей ленты, воспринимает записанный в ней
символ — букву алфавита А или пустую букву.
Находясь в какой-либо момент времени в незаклю-
незаключительном состоянии, Т. м. совершает ш а г, к-рын
вполне определяется ее текущим состоянием и симво-
символом, воспринимаемым ею в данный момент на ленте.
Шаг этот заключается в том, что: 1) в рассматриваемой
клетке записывается новый символ, быть можгт, сов-
совпадающий со старым или пустой; 2) машина переходит
в новое состояние, быть может, совпадающее со ста
рым или заключительное; 3) лента сдвигается влево илп
вправо на одну клетку или остается на месте. Перечис-
Перечисление всех возможных шагов Т. м. в зависимости от
текущей комбинации «незаключительное состояние -
воспринимаемый символ», представленное, напр., в ви
де специальной таблицы с двумя входами, наз. про-
программ о й, или схемой, данной Т. м. В клетках
этой таблицы стоят коды соответствующих шагов ма-
машины — ее команды. Программа Т. м. является
объектом с точной структурой, и можно условиться
отождествлять Т. м. с ее программой. Стремясь под-
подчеркнуть связь так описанной Т. м. с алфавитом А,
обычно говорят, что ута машина есть Т. м. в алфа-
алфавите А.
Текущее полное описание Т. м. дается ее конфи-
конфигурацией, к-рая состоит из указания для данного
момента следующей информации: 1) конкретного за-
заполнения клеток ленты символами; 2) клетки, находя-
находящейся в поле зрения машины; 3) внутреннего состоя-
состояния, в к-ром машина находится. Конфигурация, соот-
соответствующая заключительному состоянию Т. м., также
наз. заключительной.
Если зафиксировать какую-либо незаключительную
конфигурацию Т. м. в качестве исходной, то работа
этой машины будет заключаться в последовательном
(шаг за шагом) преобразовании исходной конфигура-
конфигурации в соответствии с программой машины до тех пор,
пока не будет достигнута заключительная конфигу-

рация. После этого работа Т. м: считается закончив-
закончившейся, а результатом работы считается достигнутая
заключительная конфигурация. Разумеется, работа
Т. м. заканчивается, вообще говоря, не при всякой
исходной конфигурации.
Понятие Т. м. может быть следующим образом ис-
использовано для уточнения общего представления об
алгоритме в данном алфавите. Тьюринговским
алгоритмом в алфавите А мы назовем
всякий алгоритм Щ следующего вида. Фиксируется
нек-рая Т. м. 2Л в алфавите А. Пусть $* — слово в А,
принимаемое в качестве исходного данного для алго-
алгоритма 3(. Построим следующую исходную конфигура-
конфигурацию машины ЗЛ: 1) на ее ленте без пробелов запишем
слово 5*, оставив прочие клетки пустыми; 2) в поле
зрения 3J1 установим клетку с первой буквой слова fp;
3) приведем ЯЛ в начальное состояние (осли fp пусто,
ленту возьмем пустой, а в поле зрения ЯЛ установим
произвольную ее клетку). Пусть ЯЛ, отправляясь от
этой исходной конфигурации, заканчивает работу.
Рассмотрим клетку ленты, находящуюся в поле зре-
зрения ЗЛ в заключительной конфигурации. Если символ,
записанный в ней, пуст, то в качестве 31 ($*) берется
пустое слово. В противном случае в качестве 31 {9*)
берется слово, записанное в максимальном, не содержа-
содержащем пустых клеток отрезке ленты, включающем обо-
обозреваемую машиной ЭД} клетку.
Имеются серьезные основания считать, что уточне-
уточнение общего представления об алгоритме в алфавите,
произведенное с помощью понятия Т. м., является
адекватным. Именно, считается, что для всякого ал-
го итма 3( в каком-либо алфавите может быть построен
тыоринговскин алгоритм, дающий при одинаковых
исходных данных те же самые результаты, что и ал-
алгоритм 91- Это соглашение известно в теории алгорит-
алгоритмов под названием тезиса Тьюринга. Приня-
Принятие тезиса Тьюринга равносильно принятию Чёрча
тезиса (для частично рекурсивных функций) или прин-
принципа нормализации (для нормальных алгорифмов).
Однако, в отличие от этих последних, тезис Тьюринга
в высшей степени непосредственно убедителен. Дейст-
Действительно, производя вычисления согласно избранному
плану, математик работает сходным с Т. м. образом:
рассматривая какое-либо место в своих записях и на-
находясь в определенном «умонастроении», он делает
необходимые изменения в написанном, проникается
новым «умонастроением» и переходит к рассмотрению
дальнейших записей. То обстоятельство, что при этом
он совершает более интегральные, чем Т. м., шаги,
представляется не слишком принципиальным.
По структуре своего описания и по типу функцио-
функционирования Т. м. являются автоматами весьма общего
типа, так что концепция Тьюринга в значительной
степени стимулировала возникновение абстрактной
автоматов теории и во многом предопределила ее
особенности.
Существует много модификаций Т. м. Самыми рас-
распространенными среди них являются многолен-
многоленточные Т. м., имеющие по одной или несколько
головок на каждой из лент. Движение головок и запись
букв на лептах происходят одновременно согласно
программе управляющего устройства. Многоленточ-
Многоленточные Т. м. удобно использовать для формализации по-
понятия относительного алгоритма. Так, функция /
(алгоритмически) вычислима относительно функции g,
если существует многоленточная Т. м., к-рая вычис-
вычисляет функцию / при условии, что в любой начальной
конфигурации на одной из лент в фиксированном по-
порядке записаны все значения функции g. В таком виде
через относительные вычисления можно ввести важ-
важное в теории алгоритмов понятие сводимости по Тью-
Тьюрингу и другие виды алгоритмической сводимости. .

С помощью многоленточных Т. м. естественно форма-
формализуется понятие вероятностного алго-
алгоритма. Распространенный подход состоит в том, что
на одной из лент многоленточной Т. м. записывается
случайная последовательность, и Т. м. в каждый мо-
момент времени считывает ровно один символ этой после-
последовательности. При другом подходе в программе уп-
управляющего устройства Т. м. допускается существо-
существование различных команд с одинаковыми левыми час-
частями, причем выбор той или иной команды происхо-
происходит с заданными вероятностями. На близкой идее ос-
основывается понятие недетерминирован-
недетерминированной Т. м., в программе управляющего устройства
к-рой также могут иметься различные команды с оди-
одинаковыми левыми частями. В обоих случаях вместо
одного вычисления для данного входа рассматривается
класс всевозможных вычислений, согласованных с про-
программой. Для вероятностных Т. м. рассматривают
вероятность тех или иных вычислений, для недетерми-
недетерминированных Т. м.— возможность самого вычисления.
См. также Алгоритма сложность, Вычислимая функ-
функция, Машина.
Лит.: [1] Т и г i n g А. М., «Ргос. London Math. Soc.»,
1936/37, v. 42, т. 230—65; 1937, v. 43, p. 544—46; [2]
PostE. L., «J. Symbol. Logic», 1936, v. 1, p. 103—05; [3]
К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М.,
1957; [4] М а л ь ц е в А. И., Алгоритмы и рекурсивные функ-
функции, М., 1965; [5] Мендельсон Э., Введение в математи-
математическую логику, пер. с англ., М., 1971; [в] М и н с к и й М., Вы-
Вычисления и автоматы, пер. с англ., М., 1971; [7] Машины Тью-
Тьюринга и рекурсивные функции, пер. с нем., М., 1972.
Н. М. Нагорный, С. С. Марченков.
ТЯГОТЕНИЯ ТЕОРИЯ — раздел теории поля в тео-
ретич. и математич. физике, широко использующий
математич. методы исследования. Традиционным пред-
предметом Т. т. является изучение гравитационного взаимо-
взаимодействия между материальными объектами, сказываю-
сказывающегося на их движении и структуре (см. Гравитация);
предмет Т. т. охватил, кроме анализа самого гравита-
гравитационного поля, также структуру пространства-времени
в более широком плане, проблемы квантования грави-
гравитации и ее связь с теорией элементарных частиц. Соот-
Соответственно и математич. аппарат, используемый в Т. т.,
расширился с теории дифференциальных уравнений
2-го порядка с обыкновенными и частными производны-
производными до дифференциальной (псевдоримановои) геометрии,
теории функций многих комплексных переменных и
комплексных многообразий, топологии, теории групп и
спинорного и твисторного исчисления. Все чаще при-
применяются расчеты на ЭВМ (в том числе аналитические).
Основы Т. т. были заложены в кон. 16 — нач. 18 вв.
в работах Г. Галилея (G. Galilei) и И. Ньютона (I. New-
Newton). В классич. Т. т. Ньютона уравнение для по-
потенциала ф гравитационного поля (поля тяготения)
имеет вид уравнения Пуассона
где у — гравитационная постоянная Ньютона, р —
плотность массы источников поля. Напряженность
поля определяется как д= — у<р, а сила, с к-рой поле
действует на точечную пробную массу т,— как F=mg
(пробная масса сама не возмущает поля). Второй за-
закон Ньютона дает тогда уравнения движения проб-
пробной массы. В конкретной постановке Т. т. Ньютона
приводит к ряду задач, в частности, баллистики и не-
небесной механики. Она по сей день остается достаточно
точной для описания практически всей небесной меха-
механики. Как теория потенциала Т. т. Ньютона послу-
послужила образцом для создания теории электростатики,
а. в дальнейшем представления о физическом поле,
сформировавшиеся в электродинамике Максвелла, в
свою очередь повлияли на генезис релятивистской
Т. т. Эйнштейна.
А. Эйнштейн (A. Einstein) начал построение новой
Т. т. с внесения в теорию принципа конечности ско-

рости распространения взаимодействий (в том числе —
гравитационного) и принципа эквивалентности. Пер-
Первые шаги в этом направлении он сделал в 1907, а в ста-
статье A913) совдчестно с М. Гроссманом (М. Grossmann)
определил путь построения релятивистской Т. т. (об-
(общей теории относительности — ОТО) как геометриза-
геометризацию физики. Мысль о реальности неевклидовой гео-
геометрии приходила К. Гауссу (С. Gauss) и II. И. Лоба-
Лобачевскому, в достаточно определенной форме она выска-
высказывалась Б. Риманом (В. Riemann) и У. Клиффордом
(W. Clifford), однако лишь А. Эйнштейн связал тя-
тяготение с геометрией не 3-мерного пространства, а
4-мерного пространства-времени, что сыграло решаю-
решающую роль. В окончательной форме уравнения грави-
гравитационного ноля были даны Д. Гильбертом (D. Hil-
bert, 1915) и самим А. Эйнштейном A916, ранее он
корректно записал их лишь для поля в вакууме).
В релятивистской Т. т. геометрич. характеристики
пространственно-временного многообразия одновре-
одновременно играют роль переменных, описывающих грави-
гравитационное поле. В квадрате интервала dsi:=giiVdx^dxv,
к-рый метризует пространство-время, индефинитный
метрический тензор (здесь сигнатура -\- — — —) иг-
играет роль многокомпонентного гравитационного потен-
потенциала. Уравнение светового конуса <fe2=0 используется
в формулировке общерелятивистского принципа при-
причинности. Коэффициенты связности, определяющие па-
параллельный перенос и ковариаптное дифференцирова-
дифференцирование (g^v; <x=0), играют роль напряженности. Римаиа
тензор кривизны выражается как комбинация произ-
производных такой напряженности, т. е. характеризует
напряженность поля. Свернутый тензор кривизны —
тензор Риччи Ry,v («дивергенция напряженности»)
алгебраически выражается через тензор энергии-им-
Пульса Гцд, вещества и полей (кроме гравитацион-
гравитационного) — источников поля тяготения:
R^v 2~?m.v-R = jr 2"nv A)
(уравнения Эйнштейна). Левая часть этих
уравнений нелинейна но .метрическому тензору и его
первым производным, но в случае слабого гравитацион-
гравитационного поля нелинейная добавка может быть выделена
в отдельный член, к-рый, будучи переведен в правую
часть уравнений, объединяется с источниками (от-
(отсюда — трактовка нелинейности гравитационного по-
поля как его способности к самодействню). Уравнение
движения пробной точечной массы во внешнем грави-
гравитационном поле записывается как уравнение геоде-
геодезической
^-L Г^я **" rf*P -0 B)
и не содержит величины массы частицы (т. е. при про-
прочих равных условиях пробные точечные частицы лю-
любых масс движутся одинаково). Это выражает прин-
принцип эквивалентности, отвечающий здесь равенству
инертной и тяготеющей масс (факт, экспериментально
проверенный с относительной точностью около 10~12,
последние работы проведены в группе В. Б. Брагин-
Брагинского). В другой формулировке, известной по первым
работам Эйнштейна, атот принцип утверждает локаль-
локальную эквивалентность гравитации и ускорения: в сво-
свободно падающем! без вращения лаборатории в малом
объеме пространства и за короткое время ни в каком
физическом эксперименте невозможно заметить про-
проявлений тяготения. Уравнение B) является первым
приближением задачи для системы нецробпых тел;
в 1938—39 А. Эйнштейн совместно с Л. Инфельдом
(L. Infeld) и Б. Гофманом (В. Hoffmann) и В. А. Фок
развили методы нахождения дальнейших приближений
(задача многих тел в ОТО). Уравнения других (негра-

витационных) полей, напр, электромагнитного, получа-
получаются из обычной теории соответствующих полей в пло-
плоском мире при требовании общей ковариантности. Все
уравнения полей, включая A), как и уравнение движе-
движения B), следуют из принципа экстремума действия при
соответствующем задании функций Лагранжа. В полной
теории исследуются самосогласованные системы урав-
уравнений, но часто ввиду их сложности нек-рые или все
негравитационные поля полагаются пробными (для
них решается несамосогласованная задача с внешним
гравитационным полем).
Ввиду нелинейности уравнений Эйнштейна развиты
специальные методы отыскания их точных решений
(приближенные решения могут не отражать специфики
задачи). При этом важен выбор подходящего базиса
(тетрады); часто используется Картана метод внешних
форм. Комплексная изотропная (светоподобная) тетра-
тетрада положена в основу мощного вычислительного фор-
формализма Ньюмена -- Пенроуза (см. [3]). В приложе-
приложении к уравнениям Эйнштейна развиты новые методы
типа преобразований Беклунда обратной задачи тео-
теории рассеяния (теории соли/попов). Уже известно боль-
большое число точных решений уравнении Эйнштейна
(см. [3]), первое из которых — решение Шварцшильда
A916)
<V~) C)
(в чаще всего используемой системе координат кри-
кривизн), имеющее смысл гравитационного поля сфериче-
сферической массы в точке. С физич. точки зрения решения
уравнений Эйнштейна можно подразделить на вакуум-
вакуумные поля локализованных источников, внутренние
гравитационные поля распределения вещества и др.
полей, поля Эйнштейна — Максвелла, волновые гра-
гравитационные попя, космологические решения и пр.
Развиты различные методы классификации псевдори-
мановых пространств, к-рые помогают строить реше-
решения уравнений: Эйнштейна с требуемыми свойствами
и интерпретировать уже известные решения. Это —
алгебраическая классификация по свойствам тензора
конформной кривизны Вейля (три типа по Петрову —
1, II, III и два вырожденных подтипа, D и N, а также
тривиальный случай — тип 0, отвечающий конформно-
плоским пространствам; часто считается, что типы N,
II и III отвечают волновым гравитационным полям);
алгебраическая классификация по свойствам тензора
Риччи (или тензора энергии-импульса); классифика-
классификация по группам движении (изометрий: пространство-
время отображается на себя с помощью переноса Ли
без изменения метрики). В приложении к 3-мерным
пространствам при требовании их однородности клас-
классификация по группам движений приводит к типам
Бианки (9 случаев), играющим важную роль в теории
однородных космологических моделей. Для получения
и особенно исследования решений уравнений Эйн-
Эйнштейна все чаще применяются ЭВМ; успешно приме-
применяются в этой области программы аналитических вы-
вычислений. Появились сообщения о решении проблемы
отождествления метрик, записанных в разных коорди-
координатных системах, с помощью ЭВМ. Для удобства срав-
сравнения выводов Т. т. Эйнштейна и ее разных модифи-
модификаций и обобщений между собой и с опытом развит
феноменологический метод описания метрического тен-
тензора и гравитационных эффектов («параметризованная
постньютонова Т. т.»).
При анализе конкретных решений уравнений Эйн-
Эйнштейна важную роль играет определение полноты
атласа карт данного многообразия (отсюда развитие
методов продолжения), нахождение и исследование
сингулярностей (их определение принципиально за-

труднено индефинитноетью метрики), выяснение асим-
асимптотических (включая топологические) свойств реше-
решений в случае островных систем. Задачи Т. т. Эйн-
Эйнштейна привели к формулировке нового важного поня-
понятия в псевдоримановоп геометрии — горизонта. Хотя
горизонт (различаются горизонт событий, горизонт
частиц, горизонт Коши, горизонт причинности и ка-
кажущийся горизонт) не является местом сингулярных
точек, он инвариантно выделен в пространстве-времени.
Так, горизонт событий в асимптотически плоском
мире определяется как предел множества событий,
т. е. 4-мерных точек, из к-рых можно уйти на беско-
бесконечность, оставаясь внутри светового конуса. Если
такой горизонт событий существует, ограниченная пм
область пространства-времени (откуда нельзя уйти на
бесконечность, не превысив скорости света) наз. ч е р-
н о и дырой; ее простейший пример описывается
расширением метрики Шварцшильда C). Внутри чер-
черной дыры находится сингулярность (в частности,
нск-рые инварианты римановой кривизны для C)
обращаются в бесконечность при г -*¦ 0), причем шварц-
шильдовская сингулярность нространственноподобна
(cfe2<0), тогда как для других черных дыр (общий
случай — метрика Керра-Ньюмена [3)) она может
быть и иременноподобной (ds2>0). Из астрофизич. при-
приложений ОТО известно, что черные дыры могут обра-
образоваться в результате гравитационного коллапса мас-
массивных звезд; рассматривается ряд кандидатов на
роль черных дыр среди наблюдаемых небесных тел,
к-рые проявляют себя через процессы, происходящие
в близкой к ним внешней области, где гравитационные
поля сильны. Считается, что при выполнении т. н.
энергетических условий (фактически — естественных
условий на тензор анергии-импульса материи) сингу-
сингулярное состояние в прошлом и будущем при эволюции
материальных систем неизбежно [теоремы о сингуляр-
сингулярности Р. Пенроуза (R. Penrose), С. Хокинга (S. Haw-
Hawking) и др.], однако требуется, чтобы сингулярности
были скрыты под горизонтами (принцип «космической
цензуры»).
Развиты основы квантовом Т. т. (как в смысле
квантования гравитационного поля, так и квантова-
квантования др. полей на фоне неплоской классич. геометрии).
Одним из следствий является эффект Хокинга рожде-
рождения частиц (фотонов и др.) черными дырами, приводя-
приводящий к их «испарению». Квантовые эффекты гравитации
важны ни ранних стадиях расширения Вселенной.
При описании квантовой Т. т. опираются на канони-
канонический формализм теории поля, фейнмановские интег-
интегралы по путям н др.; в связи с этим развивают евкли-
евклидову (в смысле сигнатуры) теорию поля и исследуют
инстантонные решения уравнений Эйнштейна, разви-
развивают твисторное исчисление Пенроуза, близкое по
ряду результатов к теории комплексифицированных
пространств с самодуальным или антпеамодуальным
тензором конформной кривизны Вейля (//-простран-
(//-пространства). Др. обобщения Т. т. включают теорию Эйн-
Эйнштейна — Картана с кривизной и кручением, аффин-
аффинные Т. т., Т. т. с квадратичными по кривизне лагран-
лагранжианами, биметрические Т. т. и др. (см. [6]).
Т. т. Эйнштейна приводит к новым по сравнению
с классической Т. т. Ньютона эффектам, однако они
трудно обнаружимы экспериментально; в остальном
обе Т. т. дают одинаковые следствия. Пока получили
подтверждения следующие эффекты: гравитационное
красное смещение, отклонение лучей света, движение

перигелия планет, нестационарность (расширение) Все-
Вселенной. Можно считать косвенно подтвержденным эф-
эффект гравитационного излучения (по потере энергии
двойной системой, вращающейся вокруг общгго центра
масс). Ни одного факта, к-рый противоречил бы Т. т.
Эйнштейна, не обнаружено. На грани возможностей
эксперимента в настоящее время находятся: прием
гравитационных волн от космических источников и
эффекты увлечения в гравитационных полях вращаю-
вращающихся тел (прецессия оси гироскопа и пр.).
Лит.: [1] Эйнштейн А., Собрание научных трудов,
т. 1—4, М., 1965—67; [2] М и з н е р Ч., Т о р н К., У и л е р
Д ж., Гравитация, т. 1—3, пер. с англ., М., 1977; [3] Кра-
Крамер Д. Ги др.]. Точные решения уравнений Эйнштейна, пер.
с англ., М., 1982; Г4] Петров А. 3., Новые методы в общей
теории относительности, М., 1966; [5] Хокинг С, Э л-
лис Д т., Крупномасштабная структура пространства-Бреме-
пространства-Бремени, пер. с англ., М., 1977; [В] General relativity and gravitation,
V. 1—2, N. Y. — ],., 1980. H. В. Мицкевич.
ТЯЖЕЛОГО ШАРИКА МЕТОД — метод решения
задачи минимизации дифференцируемой функции f(x)
на евклидовом пространстве Еп. Метод основан на
рассмотрении системы дифференциальных уравнений
-н_+а_г+т____=_0, г=эо, A)
.r^(xu ..., Хп),
к-рая описывает движение материальной точки по
поверхности у--1(х) в поло тяжести, направленном
в отрицательном направлении оси Оу, при условии,
что точка не может оторьаться от поверхности и трение
пропорционально скорости; /' (,г) — градиент функции
f(x) в точке х, a^szQ — коэффициент трения. Этим объяс-
объясняется название метода. Учитывая, что в окрестности
стационарной точки величина ]/' (х)\2 мала, систему A)
часто заменяют системой
4?- + в-5Г + П*>^0' i>-V- B)
При нек-рых предположениях относительно функции
/(.г) и начальных условий
•г@)=х0, —^i-i^.-r,-
можно доказать, что соответствующее решение x(t)
системы A) или B) при t -*¦ оо сходится к какой-либо
стационарной точке х# функции /(.т); если f{x) — выпук-
выпуклая функция, то х#—точка минимума f(x) на Е".
Таким образом, Т. ш. м. является частным случаем
установления метода (см. [1]). Для численного реше-
решения систем A), B) могут быть применены, напр., раз-
разностные методы. В зависимости от выбора разностного
метода получаются дискретные аналоги Т. ш. м., ох-
охватывающие как частный случай овражных функций
методы минимизации, сопряженных градиентов метод
и т. п. Выбор величины шага разностного метода и
коэффициента а существенно влияют на скорость схо-
сходимости Т. ш. и. Вместо A), B) возможно использова-
использование других систем 1-го или 2-го порядка (см. [1]).
В задачах минимизации функции f(x) при ограни-
ограничениях
Т. ш. м. применяется в сочетании с штрафных функций
методом, Лагранма функцией и др. (см. [2], [3]).
Лит.: [1] Б а х в а л о в Н. С, Численные методы, 2 изд.,
М., 1975; [2] Васильев Ф. П., Численные методы решения
экстремальных задач, М., 1980; [3] Евтушенко Ю. Г.,
Методы решения экстремальных задач и их применение в систе-
системах оптимизации, М., 1982. Ф. П. Васильев.

УАЙТХЕДА ГОМОМОРФИЗМ, /гомомор-
/гомоморфизм,— гомоморфизм из стабильных гомотопических
групп спектра 50 в стабильные гомотопич. группы
спектра сфер S0, задаваемый специальным образом.
Одна из конструкций У. г.— конструкция
X о п ф а: пусть дано отображение q> : Sm ->- SO(q);
отображение ф задает отображение (/ср) : SmXSi+1-*-
—»- Si~1, к-рое продолжается до отображения /ср :
: SmX Si -*¦ Е% в верхнюю полусферу сферы S'l. Име-
Имеется также продолжение /ср : Sm + 1X SQ-1 -*¦ Eq_ в
нижнюю полусферу сферы Si, и определено отображе-
отображение J<p : Sm + Ci -*¦ Si. Эта конструкция задает отобра-
отображение гомотопич. классов и задает гомоморфизм
/ : л^ (SO) -*¦ л,,„ E°), к-рый и наз. гомоморфиз-
гомоморфизмом У а й т х е д а.
Впервые этот годюморфизм был построен Дж. Уайт-
хедом [1] и им была доказана теорема о нетривиаль-
нетривиальное™ бесконечной серии гомотопич. групп сфер
я„ (Sr)=j?=O при следующих значениях п и г:
п
г
14
7
14
4
8fe
4ft
16ft + 2
8fe
8fe+l
4h + l
16A + 3
8ft+l
Стабильные гомотопич. группы я„ (SO) описываются
теоремой периодичности Ботта [2]:
т mod 8
nsm(SO)
0
1
¦?-г
2
0
3
г
4
0
5
0
6
0
7
z
Образ У. г. вычислен полностью (см. [4], [5]): при
тпе=О mod 8 и т>0 У. г. является мономорфизмом и
его образ выделяется прямым слагаемым в группе
Лт E°); при m=l mod 8 и ш>1 У. г. является моно-
мономорфизмом на прямое слагаемое группы я^ (S0); при
m=is — 1 образом У. г. является циклич. группа по-
порядка т. B.?), выделяющаяся прямым слагаемым в
Ят E°), где ~cBs) —знаменатель несократимой дроби
Bs/is, Bs ость s-e Бернг/лли число.
Лит.: Ш W h i t с h e a d G. W., «Ann. Math.», 1942, v. 43,
p. 634—40, 1950, v. 51, p. 192—237; [2] BotlR,, там же,
1959, v. 70, p. 313—37; [3] А д а м с Д ж., «Математика»,
1966, т. 10, №5, с. 70—84, 1967, т. И, X» 4, с. 3—41, 1968,
т. 12, № 3, с. 3—97; [4] В е с k e r J., G о 111 i e b D., «Topo-
«Topology», 1975, v. 14, JS» 1, p. 1 — 12; [5] А д а м с Д ж., Бесконеч-
нократные пространства петель, пер. с англ., М., 1982.
А. В. Шокуров.
УАЙТХЕДА ГРУППА — абелева группа, к-рая со-
сопоставляется ассоциативному кольцу по определен-
определенному правилу; введена Дж. Уайтхедом [1]. Пусть
А — ассоциативное кольцо с единицей и GL(n, A) —
группа невырожденных (их «)-матрпц над А. Имеются
естественные вложения GL({, A) a- ¦ .aGL(n, A)G...,
и пусть GL(A)— U GL(i, А). Матрица, отличающаяся
i=i
от единичной единственным недпнгональным элемен-
тем, наз. элементарной. Подгруппа Е (A)cz
ctGL(A), порожденная всеми элементарными матри-
матрицами, совпадает с коммутантом группы GL(A). Комму-

тативная факторгруппа KiA = GL(A)/E (А) и наз.
группой Уайтхеда кольца А. Пусть
[—1]?КгА —элемент, соответствующий матрице
-1 О
О 1
Он имеет порядок 2. Факторгруппа K1A = KiAI {О,
[ — 1]} наз. приведенной группой Уайт-
Уайтхеда кольца А.
Пусть П — мультипликативная группа, и жШ] —
групповое кольцо этой группы над Ч, ¦ Имеется гомо-
гомоморфизм П-э-А^жШ]. Факторгруппа Wh(fl)=
— Kx[R]lj (П) наз. группой Уайтхеда груп-
группы П.
Пусть дан гомоморфизм групп /: П] —>- П2. Тогда оп-
определен гомоморфизм Wh(f): VFA(nx)^- Wh(n.2), при-
причем Wh (gof)= Wh (g) о Wh (/), где g : П2 -» Б3. Поэтому
Wh задает ковариантный функтор из категории групп
в категорию абелевых групп. Если /: П -> П — внут-
внутренний изоморфизм, то Wh(f)=idWh(jly
Рассматривая У. г. фундаментальной группы прост-
пространства, можно не заботиться о выборе отмеченной
точки, что существенно для определения важного ин-
инварианта отображений — Уайтхеда кручения.
Лит.: [1] WhitohcadJ.. H. С, «Amer. J. Math.»,
]Я50, v. 72, р. 1—57; L2] М и л н о р Д ж., «Математика»,
1П07, т. 11, Л» 1, с. 3—42; [У] его же, Введение в алгебраи-
алгебраическую JK-теорию, пер. с англ., М., 1974. А. В. Шакуров.
УАЙТХЕДА КРУЧЕНИЕ — элемент Уайтхеда,
группы КХА, построенный по комплексу А -модулей.
В частности, получается У. к. отображения комплек-
комплексов. Пусть А — кольцо, F — конечнопорожденный
А -модуль. Пусть &=(Ьх, . . ., bk) и с— (q, . . ., ck)
— два его базиса, и е,— V. aijbj- Тогда матрица
||а,-у|| невырождена и, следовательно, определяет эле-
элемент группы KiA, обозначаемый [с/Ь]. Если [clb] — О,
то базисы Ь и с наз. эквивалентными. Очевид-
Очевидно,
Для произвольной точной последовательности 0 -+
->-E—>-F-*-G—>-0 свободных А -модулей и базисов
е и g в Е и G определен базис eg=(e, /) в F, причем об-
образом элементов / является базис g. Класс эквивалент-
эквивалентности этого базиса зависит только от базисов е и g.
в в д
Пусть теперь С : С,г -*¦ Cn_s -*¦...-*¦ Со— комплекс
из свободных Л-модулей Ct с отмеченными базисами е,-,
гомологии этого комплекса свободны и в них также
выбраны базисы А(-. Пусть образы гомоморфизмов
д : С[ + 1 -*¦ С; также свободны. Комбинации базисов
M'A-i задают новые базисы в С,-. Тогда кручение
комплекса С определяется формулой

При этом кручение не зависит от базисов 6,- в группах
границ, а только от с,- и fe,-.
Пусть дана пара {К, L), состоящая из конечного
связного клеточного разбиения К и подкомплекса L,
являющегося деформационным ретрактом К. Пусть
Пал! (^)=?лх (L). Если А' и 7, — универсальные на-
накрывающие разбиений К и L, то сг?П определяет кле-
клеточное отображение а : (k, i) —>- (if, L), a следователь-
следовательно, и отображение групп цепей о> : С (К, L) ->- С (А",
Г), т. е. Ср(К, Z) является жШ]-модулем. Получается
свободный цепной комплекс Сп(-К, L).~> Gn._x(Jf, ?).-»-
->-. . .->- С0(А", L) над 2[П]. Гомологии этого ком-
комплекса тривиальны, т.е. L — деформационный рет-
ракт К.
Пусть е1, . . ., еа суть р-клетки в K\L. Для каждой
клетки е; выбирается клетка-представитель е; в К,
лежащая над е;, и фиксируется ее ориентация. Тогда
Ср=(е1, . . ., еа) — базис в Ср(К, L). Следовательно,
определено подмножество iC(K, Цс^йШ], т. к.
кручение, вообще говоря, зависит от выбора базиса ср.
Однако уже образ этого множества в группе Уайтхеда
Wh(H) состоит из одного элемента -с (К, L) и наз. кру-
кручением Уайтхеда пары (К, L).
Важным свойством У. к. является его комбинатор-
комбинаторная инвариантность. Является ли т(А', L) топологич.
инвариантом, неизвестно A984).
Пусть / : X -> Y — гомотопич. эквивалентность (X
и Y — клеточные комплексы). Тогда кручение отоб-
отображения/определяется какт(/)=/„.т(А^, Х)? Whin^Y),
где М/ — цилиндр отображения /. Если т(/) = 0, то /
наз. простой гомотопической экви-
эквивалентностью. Свойства кручения т(/): 1)
если i : L -у- К — включение, то т(г)=т(А', L); 2)
т(?°/)=т(^)+^т(/); 3) если / гомотопно /', то т(/)=
=т(/'); 4) если / — тождественное отображение одно-
связного комплекса с эйлеровой характеристикой %,
то т(/Х/)="/-т.(/).
Лит.: [1] W h i t e h e a d J. Н. С, «Amer. J. Math.»,
1950, v. 72, p. 1—57; [2] Ми л н ор Д ж., «Математика»,
1967, т. 11, ЛЬ 1, с. 3—42. А. В. Шокуров.
УАЙТХЕДА ПРОИЗВЕДЕНИЕ элементов гомотопич.
групп пунктированного топологич. пространства — см.
Уайтхеда умножение.
УАЙТХЕДА УМНОЖЕНИЕ — умножение в гомо-
гомотопических группах zim (А')Х пт (X) -> лп + т_1 (X), оп-
определенное Дж. Уа1пхедом [1]. Пусть в 5* фиксиро-
фиксировано разбиение на две клетки е° и е*. Тогда в произ-
произведении сфер 5м X S" индуцируется разбиение на
клетки е°, ет, еп, ет + ". Поэтому характеристич. отоб-
отображение ф„ >ст:
разлагается в композицию
W(m, n)
SmvS" —^ S^XS",
где Sm\'Sn—букет сфер. Пусть, теперь, классы
а^пт(Х) и Р?я„(Х) представляются отображениями
jug. Тогда произведение Уайтхеда
[а, $]?л„ + т-.1{Х) представляется композицией отоб-
отображений
W(n,m) fvg
—>¦ Sm v Sn —> X.
Для этого умножения выполняются следующие свой-
свойства :
1) [a, p] = (-l)deg«dcRp [p> а];
2) если а, Р?ях(Х), то [а, pj=aPa~1p-1;
3) если X и-просто, то [а, В] = 0 для af л,(А'); й?

4) если [а, E]=0 для любых а^я^Х), Р?ягс(Х),
то X /г-просто;
5) если а?л„(Х), Рбяда (X), у?лк{Х), га, т, k>i,
то (-1)»*[[а, р], у]+(-1)»«[[р, у], a]+(-l)m*[fY. «I.
PJ=O;
6) элемент [t!, 12]?я3E2), где г2?я2 E2)=2 — об-
образующая, равен удвоенной образующей группы
E2)
()
7) ядро эпиморфизма 2 : n4n-1 (S2«) -» ji4n(S2re+1)
порождается одним элементом [г2„, f2n] €n4n-i(^2")i
где '2п€ягл(^2") — канонич. образующая.
Лит.: [1] W h i t e h е а d G. W., «Ann. Math.», 1946, v. 47,
p. 460—75; 1950, v. 51, p. 192—237. А. В.-Шакуров.
УВИВАЮЩЕЕ ПРОСТРАНСТВО (X, re) — прост-
пространство расслоения р„ : (X, п) -*¦ X, для к-рого го-
мотопич. группы я,-(Х, п) = 0 при i<n и такое, что
отображение рп* : я,-(Х, п) -*¦ я,-(Х) — изоморфизм
при г^га. Пространство (X, п) строится по индукции
по га. Если пространство (X, п—1) уже построено, то
за (X, п) принимается гомотопич. слой естественного
вложения в Эпленберга — Маклейна пространство
(X, п-\)-+К(па-г(Х), и-1).
Последовательность пространств (X, п) и отображе-
отображений рп является системой Мура — Постникова отоб-
отображения * -*¦ X. А. Ф. Харшиладзе.
УБЫВАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — такая
последовательность хп, что для всех я=1, 2, ... вы-
выполняется неравенство яп>жп + 1. Иногда такие по-
последовательности наз. строго убывающими,
а термин «У. п.» применяется к последовательностям,
удовлетворяющим для всех га лишь условию хп^хп + 1.
Такие последовательности наз. также невозрас-
невозраста ю щ и м и. Всякая ограниченная снизу невозрас-
тающая последовательность имеет конечный предел,
а всякая не ограниченная снизу имеет бесконечный
Предел, равный — оо . Л. Д. Кудрявцев.
УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — такая функция f{x),
определенная на нек-ром числовом множестве Е, что
из условия
х' < х", х', х"?Е,
следует
!(x')>f(x«).
Иногда такие функции наз. строго убываю-
убывающими, а термин «У. ф.» применяется к функциям,
удовлетворяющим для указанных х', х" лишь условию
/(x')^f(x") (невозрастающая функция).
У всякой строго У. ф. обратная функция является
однозначной и также строго убывающей. Если х0 —
правосторонняя (соответственно левосторонняя) пре-
предельная точка множества Е, f (x) — невозрастающая
функция и множество {у : y=~f(x), x>xQ, x?E} огра-
ограничено сверху (соответственно {у : у=/(х), х<х0,
х?Е} ограничено снизу), то при х -*¦ хо-\-О (соответ-
(соответственно х -*¦ х0 —0), х?Е, у функции /(х) существует
конечный предел; если же указанное множество не ог-
ограничено сверху (соответственно снизу), то / (х) имеет
бесконечный предел, равный -f- оо (соответственно
— оо). Л. Д. Кудрявцев.
УГЛОВАЯ ТОЧКА — то же, что излома точка.
УГЛОВОЕ ГРАНИЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ, гранич-
граничное значение по всем некасатель-
некасательным л у т я м,— значение комплексной функции
/(z), определенной в единичном круге D—{z?C :
|z|<l}, в граничной точке ?,=е*®, равное пределу
lim /(«)¦=/*(&)
2-*?, zesa, e)
функции /(г) по множеству точек угловой области
S(?, e)= \z = rei<f?D:\&Tg(eiV — z)\< -f-—e|

при условии, что этот предел существует для вгех е,
0<е<л/2, и, следовательно, не зависит от е. Г)тот
термин иногда употребляется в обобщенном смысле
для функций /(z), заданных в произвольных (включая
многомерные) областях D, причем в качестве S(?, в)
берется пересечение с D угловой (или конической) об-
области с вершиной ??dZ), осью к-poii является нормаль
к границе dD п точке ?, а угол раствора равен я'2 —е,
0<в<я/2.
Лит.: IU М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических
функций. 2 над., т. 1 — 2, М., 19В7—A8; [2] Привалов И. И.,
Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л.,
1950. К. Д. Соломенцев.
УГОЛ — геометрическая фигура, состоящая из двух
различных лучей, выходящих из одной точки. Лучи
наз. сторонами У., а их общее начало — вер-
вершиной У. Пусть [В А), [ВС) — стороны угла,
В — его вершина, а — плоскость, определяемая сто-
сторонами У. Фигура Г~[ВА)[)[ВС) делит плоскость а
на две фигуры <х;=<х\Г, i —1, 2 : ai[Ja2--a\r. Фигу-
Фигура а,-~а;[_|Г, ? — 1, 2, также наз. У. или плоски м
углом, а] наз. внутренней областью плоско-
плоского У. а,-.
Два угла наз. равными (или конгруэнт-
конгруэнтными), если они могут быть совмещены так, что сов-
совпадут их соответствующие стороны и вершины. От
любого луча на плоскости в данную сторону от него
можно отложить единственный У., равный данному У.
Сравнение У. осуществляется двумя способами. Если
У. рассматривается как пара
лучей с общим началом, то для
выяснения вопроса, какой из
двух У. больше, необходимо со-
совместить в одной плоскости вер-
, _ , шины У. и одну пару их сто-
0=0 рон (см. рис. 1). Если вторая
с' 1- сторона одного У. окажется
расположенной внутри другого
У., то говорят, что первый У. меньше, чем второй.
Второй сиособ сравнения У. основан на сопоставлении
каждому У. нек-рого числа. Равным У. будет соответ-
соответствовать одинаковое число градусов или радиан (см.
ниже), большему У.— большее число, меньшему —
меньшее.
Два У. наз. смежны м и, если у них общая вер-
вершина и одна сторона, а две другие стороны образуют
прямую (см. рис. 2). Вообще,
У., имеющие общую вершину
и одну общую сторону, наз.
и р и л е ж а щ и м и. У. наз.
п е р т и к а л ь н ы м и, если
С^ О ~в стороны одного являются про-
продолжениями за вершину сто-
Рис- 2- рон другого У. Вертикальные
У. равны между собой. У., у
к-рого стороны образуют прямую, наз. развернутым.
Половина развернутого У. наз. прямым У. Пря-
Прямой У. можно эквивалентно определить иначе: У.,
равный своему смежному, наз. прямы м. Внутрен-
Внутренняя область плоского У., не превосходящего развер-
развернутого, является выпуклой областью на плоскости.
За единицу измерения У. принимается 90-я доля
прямого У., наз. градусом.
Используется и т. н. круговая, или ради-
энная, мера У. Числовое значение радианной меры
У. равно длине дуги, высекаемой сторонами У. из еди-
единичной окружности. Один радиан приписывается У.,
соответствующему дуге, длина к-рой равна ее радиусу.
Развернутый У. равен я радиан.
При пересечении двух прямых, лежащих в одной
плоскости, третьей прямой образуются У. (см. рис. 3):
1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7 — наз. соответствен-

ными; 2 и 5, 3 и 8 — внутренними одно-
с т о р о н н и ми; 1 и О, 4 и 7 — вне ш н и м и
односторонними; 3 и 5, 2 и 8 — в и у т-
ренними накрест лежащими; 1 п 7,
4 и 6 — внешними на-
к р е с т л е ж а щ и м и.
В практич. задачах целе-
целесообразно рассматривать У.
как меру поворота фиксиро-
фиксированного луча вокруг его на-
начала до заданного положения.
В зависимости от направления уо
поворота У. н этом случае /
можно рассматривать как но- Рис. з.
ложительные, так и отрицатель-
отрицательные . Тем самым У. в этом смысле может иметь своей вели-
величиной любое действительное число. У. как мера по-
поворота луча рассматривается в теории тригонометрия,
функций: для любых значений аргумента (У.) можно
определить значения тригонометрия, функций. Поня-
Понятие У. в геометрич. системе, в основу к-рой положена
точечно-векторная аксиоматика, в корне отличается
от определений У. как фигуры — в этой аксиоматике
под У. понимают определенную метрич. величину,
связанную с двумя векторами с помощью операции
скалярного умножения векторов. Именно, каждая
пара векторов а и Ь определяет нек-рый угол (р —
число, связанное с векторами формулой
I а | ¦ | Ь |
где (а, Ь) — скалярное произведение векторов.
Понятие У. как плоской фигуры и как нек-рой чис-
числовой величины применяется в различных геометрич,
задачах, в к-рых У. определяется специальным обра-
образом. Так, под У. между пересекающимися кривыми,
плюющими определенные касательные в точке пересе-
пересечения, понимают У., обракованный этими касатель-
касательными.
За угол между прямой и плоскостью принимается
У., образованный прямой и ее прямоугольной проек-
проекцией на плоскость; он измеряется в пределах от О
до 90°. Под У. между скрещивающимися прямыми
понимают У. между направлениями этих прямых,
т. е. между прямыми, параллельными, скрещивающи-
скрещивающимися и проведенными через одну точку.
Телесным углом наз. часть пространства, ограничен-
ограниченная нек-рой конической поверхностью; частным слу-
случаем телесного У. является многогранный угол.
В многомерной геометрии определяется У. между
многомерными плоскостями, между прямыми и плос-
плоскостями и т. д. Углы между прямыми, плоскостями и
прямыми, многомерными плоскостями определяются
и в неевклидовых пространствах. л. а. Сидоров
УДАРНЫХ ВОЛН МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ -
математическое описание свойств, движения и взаимо-
взаимодействия с окружающей средой поверхностей разрыва
параметров среды (ударных волн). В более широком и
абстрактном смысле У. в. м. т. описывает свойства
поверхностей разрыва решений квазилинейных гипер-
гиперболических уравнений и систем. У. в. м. т. возникла
в связи с задачами движения газов и сжимаемых жид-
жидкостей во 2-й иол. 19 и.; ее основы были заложены
в работах С. Ирншоу, Б. Римана, У. 1'анкина, П. Гю-
гоньо (см., напр., fl] — [4]).
При идеализации реальных газов и жидкостей рас-
рассматривают среды, лишенные днссипативных свойств,
в к-рых отсутствуют вязкость и теплопроводность.
В процессе движения в таких идеальных средах могут
возникать разрывы в распределениях всех параметров
течения (плотности, давления, температуры, скорости
и др.). Множества точек разрыва параметров течения

могут быть весьма сложными. Систематически рассмот-
рассмотрен лишь простейший основной случай, когда эти мно-
множества образуют кусочно гладкие поверхности раз-
разрыва, состоящие из точек разрыва параметров 1-го
рода. В общем случае двумерные поверхности разрыва
перемещаются в трехмерном пространстве IR3 с тече-
течением времени. Ударные волны являются одним из
возможных типов поверхностей разрыва.
Появление разрывов существенно осложняет мате-
«атич. постановку задачи о течении идеальных газов
I! жидкостей, так как разрывные функции не могут
oi.itь решениями дифференциальных уравнений газо-
вом динамики (гидродинамики). Поэтому течения с по-
поверхностями разрыва описываются обобщенными ре-
решениями системы квазилинейных газовой динамики,
уравнений и У. в. м. т. является частью теории обоб-
обобщенных решений системы интегральных законов со-
сохранения газовой динамики.
Поверхности разрыва. На поверхностях разрыва дол-
должны выполняться условия, вытекающие из интеграль-
интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии.
Исключение составляют лишь разрывы в момент на-
начала движения (т. н. начальные разрыв ы),
к-рые могут быть произвольными. Пусть 2 (t) — глад-
гладкая поверхность разрыва параметров течения газа
(жидкости); D — нормальная скорость движения по-
поверхности разрыва. Рассматриваются лишь гомогенные
среды, к-рые характеризуются плотностью p(r, t),
давлением р (г, t), внутренней энергией единицы массы
газа е (г, t) и вектором скорости движения среды и (г, t).
Пусть в точках поверхности 2 (t) u=un-^-uT, где
«„— нормальная и их — тангенциальная (но отноше-
отношению к 2 (/)) составляющие вектора скорости и. Условия
непрерывности потоков массы, импульса и энергии
на поверхности 2 (/) записываются в виде равенств
[p(un-?>)]=0, [рН-р(и„-.О)*] = 0,
A)
где квадратные скобки означают скачок стоящей внут-
внутри их величины при переходе с одной стороны поверх-
поверхности разрыва на другую, т.е. \}(r, ?)I=/i—/0, где
/,, /0 — предельные значения величины / в точке (г, t) ?
?2 (() при приближении к ней с разных сторон. Ус-
ювия A) являются внутренними граничными условия-
условиями, к-рые добавляются к уравнениям газовой дина-
динамики на поверхностях разрыва параметров среды.
Существует два типа разрывов: тангенциаль-
тангенциальные разрывы при unl = un0 — D; J = pi(Mni — D) =
-ро(ипО-~?>) = О, и ударные волны при з'Ф
фО. Вектор з ыаз- потоком массы через еди-
единичную площадку движущейся поверхности разрыва
(ударной волны) 2@-
Тангенциальные и контактные разрывы. Для тан-
тангенциального разрыва (/ = 0) давление непрерывно,
[pl=0 на 2 (?), а величины р, е, мт могут иметь на
1 (?) произвольный скачок. Если хотя бы одна из ве-
.шчин [р], [в] отлична от нуля, то разрыв наз. также
контактным разрывом. В случае контакт-
контактного разрыва поверхность 2 (t) является границей
раздела сред с разными свойствами, в частности с раз-
разными уравнениями состояния; она образуется линиями
тока, выпущенными из поверхности начального кон-
контактного разрыва.
Тангенциальный разрыв (/ = 0, \их\ф§) неустойчив,
т. к. под действием даже малой вязкости, присущей
газам и жидкостям, начальный разрыв тангенциальной
составляющей и% вектора скорости размывается во все
более широкую зону непрерывного перехода. За исклю-
исключением особых случаев, когда он осуществляется на
коротких интервалах времени (тангенциальные раз- J

рывы в соплах, начальные участки зон смешения раз*
личных потоков и т. л.), он не рассматривается как
допустимый разрыв. В :rro.\f проявляется ограничен-
ограниченность описания «идеальной» средой среды даже с ма-
лой вязкостью, т. к. в идеальной среде тангенциальные
разрывы сохраняются. Поэтому вопрос о допустимости
или недопустимости тангенциального разрыва в течении
идеальной среды решается в связи с условиями кон-
кретной задачи.
Чисто контактный разрыв (/ = 0, [мт]=0, [р]=0,
[р]2+[?12=т^0) может разрушаться процессами молеку-
лярной диффузии; как правило, эти процессы столь
медленны, что контактный разрыв можно считать ус
тойчивым на умеренных интервалах времени.
Однако контактный разрыв также становится неус-
тойчивым и быстро разрушается, если в течение значи-
значительного интервала времени ускорение среды на кон-
контактной границе направлено в сторону среды с мень-
меньшей плотностью. В этом случае контактный разрыв
разрушается и начинается «перемешивание» сред, рас-
расположенных первоначально по разные стороны от
контактного разрыва. Простейшим примером подоб-
подобной, существенно многомерной, неустойчивости яв-
является разрушение в поле силы тяжести горизонталь-
горизонтального контактного разрыва между легкой жидкостью,
находящейся в нижней части сосуда, и налитой на нее
сверху более тяжелой жидкостью (т. н. тейлоров-
тейлоровская неустойчивость).
Ударные волны. В этом случае / = Pi("ni—D)~
= Po(ttno—D)<j=0 и из A) следует [мт] = 0, т. е. отсутст-
отсутствует разрыв тангенциальной составляющей вектора
скорости. Условия A) на ударной волне 2 (/) сводятся
к трем уравнениям
О [p + p(u-DL^0 -,
( )
к-рые наз. условиями Ранкина — Гюго-
н ь о. Если нх ~0, то ударную волну наз. прямой,
в противном случае — косой. Исключение из B)
величин (unl—D), (ип0—D) дает соотношение
ei-B, + 4-(Vi-ro)(Pi+Po) = O, V = -J-, C)
к-рое связывает лишь термодинамич. параметры среды
по разные стороны ударной волны; оно наз. удар-
ударной адиабатой или адиабатой Гю-
Гюго н ь о.
Пусть поверхность 2 (t) движется в направлении It
слева направо. Тогда, если /<0, то ударная волна от-
носительно среды движется направо, в процессе дви-
движения вещество пересекает ударную волну 2 (t), дви-
двигаясь относительно 2 (t) справа налево. Наоборот,
если />0, то ударная волна движется относительно
среды налево. Среду справа от ударной волны при
/<0 и слева от ударной волны при />0 наз. средой
перед ударной волной, др. среду — сре-
средой за ударной волной. Параметры среды:
перед ударной волной — и,л — ии, \'о, р0, в0; параметры
среды за ударной волной — ип,--»!, Vt, plt e^ В про-
процессе движения частицы перед ударной волной пере-
переходят через поверхность 2 (t) ударной волны и присое-
присоединяются к среде за ударной волной (н0, Уо, р0, е0 -*•
-*¦ ux, Fj, Pi, fi). При этом они проходят через зону
больших градиентов (зона ударной волны), в к-рой
существенно действие дисеиттативных процессов — тре-
трения и теплопроводности — несмотря на малые коэф-
коэффициенты вязкости и теплопроводности вещества.
Ввиду необратимости диссипативных процессов долж-
должно выполняться условие S0<.Slt где S — энтропия
газа. Это неравенство уже не позволяет менять мес-
I тами состояния и0, Г„, ра, е0 и их, \\, рг, ех (как это
i допускается условиями B) и C)), а, напротив, указы-

вает определенное положение этих состояний относи-
относительно поверхности 2 (t).
Условие 5х>50 наз. условием устойчи-
устойчивости ударной волны. Вопрос о реализуе-
реализуемости (допустимости) ударной волны, иа к-рой вы-
выполняются условия B), C) и 51>50, решается сравни-
сравнительно просто лишь для т. н. нормального газа. Газ
(жидкость) наз. нормальным газом, если его
уравнения состояния удовлетворяют условиям
|?-(V, 5)<0,-Ц- (V, S) >0,p{V, S)—> ос при V—»0,)
|§-(F, S)>0, er = ?(V, T)>0. j
D)
Для нормального газа условие 5'1>50 гарантирует
устойчивость ударной волны; при этом из условий
Гюгоньо B) состояние щ, Vt, рх, гх за фронтом ударной
волны определяется однозначно по заданным состоя-
состоянию и0, \'о, р0, еп и потоку массы /, если
-/2<ff (Vo, So).
Из условия устойчивости Sx>Sn ударной волны
вытекают свойства: а) ударная волна движется со
сверхзвуковой скоростью но среде перед ее фронтом
и. с дозвуковой скоростью по среде за ее фронтом (т е о-
р е м а Ц е м п л е н а), т. е.
\uo-D\>co, |В1-Л|<е1, c* = -V*$-{V, S);
б) ударные волны приводят к сжатию вещества и уве-
увеличению в нем давления, т. е. из SX^>SO -*¦ Pi>p0,
Pi Не-
Неударная адиабата C) для нормального газа изобра-
изображается в плоскости переменных V, р выпуклой вниз
кривой H(V, p; Fo, po)=O, V1=zV, p,=p, проходящей
через точку (Fo, pQ), называемую центром удар-
ударной адиабаты. График ударной адиабаты при
V<V0 лежит выше графика адиабаты Пуассона S=S0
и ниже его при Т7>170; в точке (Fo, p0) эти две адиабаты
имеют касание не ниже 2-го порядка. Состояниям
(Fj, px) за фронтом ударной волны соответствует левая
ветвь ударной адиабаты (V<Va).
Для среды с уравнениями состояния
pV = RT, e = pF/(v —1), 7 = const > 1,
(т, н. идеальный газ), условия D) выполнены,
а уравнение C) имеет вид
Pl, Л
Уравнение E) определяет гиперболу с асимптотами
F=AF0, р=—hp0. Предельное сжатие вещества дости-
достигается за бесконечно сильной удар-
ударной волной
PllpQ ipipo / (v+)/(Y )
Решение уравнений B) относительно ип\, рх, pt при
заданных ип0, р0, рп и D дается формулами
— h)co(Mo — 1/MO), |
, Pl = pB[(l+h)M%—h\; > F)
Мо = \ и„ — D \/с0, Мо > 1. )
Для газов с аномальными термодинамич. свойствами,
когда нарушаются условия D), требование 51>50
уже не гарантирует устойчивости (допустимости) удар-
ударного перехода. Вопрос об условиях допустимости удар-
ударного перехода значительно усложняется и для газов
с произвольными уравнениями состояния, удовлетво-
удовлетворяющими лишь необходимым условиям термодинамики,

до конца не решен. Наиболее изучен случай, кегда
нарушается лить требование pvv(V, 5)> из усло-
условий D) и величина p'vv(V, S) может быть знакопере-
знакопеременной. В этом случае ударная адиабата C) содержит
состояния V-i, />!, elt для к-рых ударный переход Vo,
Ро' ео ~*" ^п Pi» 8i является неустойчивым даше при
выполнении условия 51>S0.
Зона ударного перехода и его ширииа. Так называют
зону непрерывного изменения параметров среды от
их значений перед фронтом до значений за фронтом
ударной волны (и ее эффективную ширину) для реаль-
реальных сред, обладающих конечной вязкостью и тепло-
теплопроводностью. Предполагается, что непрерывный пере-
переход существует только для устойчивых ударных волн.
Поэтому изучение непрерывного ударного перехода
дает критерий допустимости ударной волны. Исследу-
Исследуется и характер изменения параметров среды в зоне
перехода.
При малой ширине зоны перехода любая ударная
волна может рассматриваться как локально плоская.
Поэтому ударный переход описывается решениями
одномерных с плоской симметрией уравнений газовой
динамики для вязкого и теплопроводящего газа:
Эр . дри п дри ,
G)
где ц. и х — коэффициенты вязкости и теплопровод-
теплопроводности (предполагаемые здесь постоянными). К урав-
уравнениям G) добавляются уравнения состояния р=
~=р (V, Т) из г=г(Г, Т). В системе координат, движу-
движущейся со скоростью D ударной волны, ударный пере-
переход описывается стационарными решениями уравне-
уравнений G). Для них имеются два уравнения:
где />0, f, g — постоянные.
Для уравнений (8) ставится задача: найти решение
V(x), Т(х) такое, что V (х) -*¦ Fo, Т (х) -*¦ Та при х -+ х
и V (х) ->¦ V-i, Т (х) -> Tj при х-»-—оо. Необходимые
условия существования такого решения
M(V0, T0) = L(VB, T0) = M(Vlt Tl) = L(V1, Тг)=0
приводят к условиям Гюгоньо B).
Качественное изучение картины интегральных кри-
кривых системы (8) приводит к выводу о существовании
единственной интегральной кривой этой задачи, если
для уравнений состояния газа выполнены условия D),
параметры Vo, р0, и0 и Vu рг, г1 удовлетворяют усло-
условиям Гюгоньо и условию устойчивости ударной волны
5!>50. «Ширина» зоны ударного перехода бесконечна,
и примыкание к предельным значениям происходит
экспоненциально. В случае невязкого теплопроводного
газа (ц=0, х>0), к-рый можно рассматривать как
предельный при ц -*- 0, также существует непрерывное
решение задачи об ударном переходе, если кривая
М (V, Т)=0 в плоскости переменных V, Т является
монотонной. В противном случае (что бывает для до-
достаточно сильных ударных волн) предел при ^i -*¦ О
интегральных кривых может иметь разрыв плотности
при постоянной температуре (т. н. изотермиче-
изотермический скачок). Это означает, что решения урав-
уравнений газовой динамики для теплопроводящей среды,
лишенной вязкости, могут быть разрывными. Если
среда обладает вязкостью (ц>0) и лишена теплопро-
теплопроводности (х=0), то всегда существует непрерывный

переход Fo, To ->- Vu 7\. Из этого можно сделать вы-
вывод, что решения уравнений газовой динамики для
среды, обладающей вязкостью, не могут иметь разры-
разрывов типа ударной волны, т. е. для них задача Коши
разрешима в целом (при любых f>0). Однако строгое
доказательство этого отсутствует.
Подробно изучен ударный переход для идеального
газа: p-=RT/V, г — суТ (R, cv— константы). Уравне-
Уравнения (8) в этом случае интегрируются при х —О, ц>0;
У» У.
Эффективную ширину зоны ударного перехода оп-
определяют так:
/ — (Fo — Fi)/max
Вычисления показывают, что ширина / ударной волны
имеет порядок длины свободного пробега молекулы.
Тем самым оправдывается точка зрения, согласно
к-рой течение газа подразделяется на области обрати-
обратимых процессов, где течение описывается уравнениями
газовой динамики без учета диссипативных членов, и
на области необратимых процессов, к-рые представ-
представляют собой узкие зоны и могут быть эффективно опи-
описаны подвижными поверхностями разрыва (ударными
волнами). Более точно поведение параметров среды
в зоне ударного перехода описывается Болъцмана урав-
уравнением для неравновесных газодинамич. процессов.
Для газов с аномальными термодинамич. свойствами
изучение зоны ударного перехода осложняется. Рас-
Рассмотрен случай, когда величина p'vv(V, S) знакопере-
менна. Пусть х=0, |л>0 в системе (8). Тогда L (V, Т) —
=0 и нахождение F (х), Т (х) сводится к решению од-
одного уравнения
Pi-Po
jp?r = M(V, T) = [P(V, T) + pV-f). (9)
Решение этого уравнения V=V(x), F(:r)->- Fo при
i-*- —оо и V (х) -»- Fj при ж-> -|-оо, существует, если
'*о> Pa, eo u Vi> plt ej лежат на ударной адиабате C) и
yv0 v,v, [ >
в точках кривой L(V, T)=0 при (F— Fo) (F— F0)<0.
Из A0) следует, что S{^S0, причем если 5]=Л'О,
то отрезок адиабаты Гюгоньо C) между точками (Fo,
Ро) и (^i> Pi) в плоскости переменных V, р — отрезок
прямой р—j00=/2 (Fo—F). Неравенство A0) дает ус-
условия допустимости ударной волны в случае знако-
переменности величины pvv{V, S). Основные свойства
ударных волн в этом случае видоизменяются: а) \ип0—
—D|>c0, |ы„1—Cl^cj; б) ударные волны приводят
к неубыванию энтропии (S^Sq). Существуют ударные
волны сжатия (Pi>p0) и ударные волны разрежения
(Pi<Po)-
Возникновение ударных волн в идеальных средах
происходит как в результате распада начального
разрыва параметров на устойчивые разрывы (ударные
волны, контактные и тангенциальные разрывы), так
и в процессе непрерывного до того течения. Напр., в од-
одномерном изоэнтропическом течении идеального газа
(S (x, z)=const) ударные волны не возникают, если
при г—0 выполнены условия
9 / _ 2 Л Э , 2 Л 0
дх \ V-l J — дх ^ Г v-1 J
и, наоборот, они возникают, если какое-либо из этих
условий нарушено.
В теории разрывных решений квазилинейных гипер-
болич. уравнений и систем также развивается теория
разрывов, подобная У. в. м. т. в газовой динамике.

Основные результаты (далекие от завершения) получе-
получены лишь для случая двух независимых переменных х
t. Одно квазилинейное уравнение
"/+[ф(«)Ь~О (И)
будем рассматривать как .чакон сохранения, тогда
Ф («) — поток величины и. Непрерывность потока на
линии разрыва x=x(t) приводит к условию
[Сн-Ф(и)|-0; D-^x'(t), A2)
к-рое по аналогии с A) наз. условием Гюго-
н ь о. Так же как и для ударных волн в газовой ди-
динамике, к A2) добавляется требование устойчивости
разрыва, к-рое обеспечивает единственность решения
задачи Коши для уравнения A1) в классе разрывных
функций. Если ср(и)?С2 и фш(г<)=т^0, то условие
устойчивости имеет вид
q>'u(u(,r(t) — O, O)Ssq>;("(*(') + 0, t)).
Для системы квазилинейных законов сохранения
ди, Эф-(и)
условия Гюгоньо имеют вид A2), где и—{иг, . . ., «„},
Ф(и)={ф1(и), . . ., ф„(и)}. Вопрос о корректных ус-
условиях устойчивости разрыва решения решен лишь
для узких классов систем вида A3).
Лит.: [1] Earnshow S., «Philos. Trans. Roy. Soc. Lon-
London», 1860, v. 150, p. 133—48; [2] P и м а н Б. Соч., пер. с нем.,
М.— Л., 1948, с. 376—95; [Л] R a n k i n e W. J. M.. «Philos.
Trans. Roy. Soc. London», 1870, v. 160, p. 277—88; [4] Hugo-
niot H., «J. Ecole polytech.», 1889, cahier 58, p. 1—125; [5]
Кочин H. E., Собр. соч., т. 2, M.~ Л., 1949, с. 5—42; [6]
Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Механика сплошных
сред, 2 изд., М., 1954; [7] W е у 1 Н., «Communs Pure and Appl.
Math.», 1949, v. 2, p. 103—22; [81 Gilbarg D., «Amer. J.
Math.», 1951, v. 73, p. 256 —74; [9] В е с k e r R., «Z. Phys.»,
1922, Bd 8, S. 321—62; [10] Курант Р., Фридрихе К.,
Сверхзвуковое течение и ударные волны, пер. с англ., М., 1950;
111] Седов Л. И., Механика сплошной среды, 3 изд., т. 1,
М., 1976; [12] Зельдович Я. Б., Теория горения и дето-
детонации газов, М.— Л., 1944; [13] Рождественский Б. Л.,
Я н е н к о Н. Н., Системы квазилинейных уравнений и их
приложения к газовой динамике, 2 изд., М., 1978; [14] Олей-
ник О. А., «Успехи матем. наук», 1957, т. 12, в. 3, с. 3—73.
В. Л. Рождественский.
УДВОЕНИЕ КУБА — задача на построение куба,
объем к-рого вдвое больше объема данного куба; одна
из классич. задач древности на точное построение цир-
циркулем и линейкой. Длина ребра х искомого куба чис-
численно равна t/2 и определяется из кубического урав-
уравнения х3—2=0. Однако точное построение отрезка
?/2 посредством циркуля и линейки неосуществимо
вследствие неразрешимости кубического уравнения
в квадратных радикалах. Первое строгое доказатель-
доказательство неразрешимости задачи У. к. с помощью цир-
циркуля и линейки дал в 1837 П. Ванцель (P. Wantzell).
Лит.: Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Гео-
Геометрия, М., 1963, с. 205—27. Е. Г. Соболевская.
УЗЕЛ. 1) У.— тип расположения траекторий авто-
автономной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений 2-го порядка
x = f(x), x = (xu ,т2), /: ffcR8->R2, (*)
f?C(G), G — область единственности, в окрестности
особой точки х0. Этот тип характеризуется следующим
образом. Существует окрестность U точки х0 такая,
что для всех траекторий системы, начинающихся в
[7\{г0}, отрицательные полутраектории являются ухо-
уходящими (с течением времени покидают любой ком-
компакт V<zU), а положительные полутраектории — асимп-
асимптотическими (не выходя из U, примыкают к х0, причем,
будучи дополнены точкой х0, касаются в ней опреде-
определенных направлений), пли наоборот. У. наз. при этом
и сама точка хп.

У. либо асимптотически устойчив по Ляпунову,
либо вполне неустойчив (асимптотически устойчив при
t-+¦ —оо). Индекс Пуанкаре для У. равен 1.
Для системы {¦¦¦) класса С1 (f?Cl(G)) с ненулевой
матрицей A=f (.т0) точка покоя :>¦„ является У., когда
собственные значения кг, X., матрицы А действительны
и удовлетворяют условиям Х]А2>0, К1фк2, но может
быть У. и в тех случаях, когда X1=X2^fc0, Х1-=0Ф^2,
Х] = Я.2=0. В случае Kt~А,2#=() точка х0 будет У., если
f(zC2(G); при несоблюдении этого условия она может
оказаться фокусом. В любом из перечисленных выше
случаев траектории системы, примыкающие к У. х0,
касаются в этой точке направлений, определяемых
собственными векторами матрицы А. Если O^I^K
<|Я,2|, то существует четыре таких направления (если
различать диаметрально противоположные); при атом
все траектории системы касаются в точке х0 направ-
направлений, соответствующих собственному значению Я,,, яа.
исключением двух траекторий, к-рые касаются в хп
направлений, соответствующих собственному значе-
значению А,2 (рис. 1). Это — обыкновенный У. Если
К2=Х1, то собственными для матрицы А в точке ,г0
будут либо лишь два противоположных направления
(в этом случае У. наз. вырожденным, рис. 2),
Рис. 1,
Рис. 2.
Рис. 3.
либо — все направления. В последнем случае при ус-
условии f?C2(G) каждого направления касается в точ-
точке х0 единственная траектория системы. Такой У. наз.
д и к р и т и ч е с к и ы (рис. 3).
Рис. 4.
Рис. 5.
Если система (*¦) линейна (}{х)~А (х—х0), А —
постоянная матрица), то для нее точка х0 является У.
лишь в тех случаях, когда
собственные значения Кг, Х2
матрицы А действительны и
А]А2>0. Любой луч x-=xo-\-ps
(р — собственный вектор мат-
матрицы А, вфО — параметр) яв-
является для нее траекторией.
Обыкновенный, вырожденный
и дикритический У. для ли-
линейной системы изображены
соответственно на рис. 4, 5,
6. В случае обыкновенного
Рис. 6. У. все криволинейные тра-

ектории являются аффинными образами парабол х.2~
1 ?{}
Термин «У.» применяют и для наименования точек
покоя систем вида (*) порядка т?^3 с аналогичным
поведением траекторий в их окрестностях.
Лит. см. при ст. Особая точка дифференциального урав-
уравнения. А. Ф. Андреев.
2) У. в геометрии — плоская кривая, урав-
уравнение к-рой в полярных координатах имеет вид
p.-a ctg&cp.
Имеет в начале координат узловую точку и асимптоты,
параллельные координатным осям (см. рис.). При
kT~\ У. есть каппа, при й=1/2 — строфоида. Инвер-
Инверсия У. относительно начала координат есть У., кон-
конгруэнтный данному, но повернутый на 90 .
Лит.: [1] С а в е л о в А. А., Плоение кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
3) У. в топологии — см. Узлов теория.
УЗКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ см. Пре-
Предикатов исчисление.
УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ ГРУППЫ — класс групп,
изоморфных фундаментальным группам G (&)^л1 (М(к))
дополнительных иространсти M(k)^=Sn\k зацеплений
к коразмерности 2 в сферах S".
Для случая тС^Ь группы G гладких зацеплений крат-
кратности и, выделяются такими свойствами [3]: 1) G по-
порождается как своп нормальный делитель ц, элемен-
элементами; 2) двумерная группа гомологии Н2(G; Z) группы
С с целыми коэффициентами и тривиальным действием
G в Z равна 0; 3) факторгруппа G по ее коммутанту G'
равна свободной абелевой группе Ju- ранга ц. Если
G — группа зацепления к, то свойство 1) выполнено,
так как G становится единичной группой после при-
приравнивания единице меридианов (см. ниже), свойство
2) вытекает из теоремы X о п ф а, согласно к-poii
И" (G; Z) есть факторгруппа группы II2(М (к); Z),
равной нулю в силу Александера двойственности;
свойство 3) вытекает из того, что G!G'~ Н1(М (к); 7.)
н Нг(М (к); 7,) — JV- по двойственности Алоксандера.
В случаях и=3 и к=4 необходимые и достаточные
условия еще A984) не получены. Если ге=3, то к не
распадается тогда и только тогда, когда М (к) асфе-
асферично, т. е. является пространством Эйленберга —
Маклейна типа К (G, 1). Зацепление к распадается
тогда и только тогда, когда дефект группы G больше
единицы [3]. Дополнение многомерного (ге^4) зацеп-
зацепления, имеющего больше одной компоненты, никогда не
асферично, а дополнение многомерного узла может быть
асферичным только при условии С» % \Ъ\. Более того,
при п^б всякий п-мерный узел с асферичным допол-
дополнением тривиален. Известно также, что при п=3
зацепление тривиально тогда и только тогда, когда
его группа свободна [3]. Дальше принимается, что
и—3. Для получения ко представления группы G(k)
ПО общему цравилу (см. Фундаментальная группа)
в S'A строят двумерный комплекс К, содержащий ис-
исходный узел к и такой, что л1 (S3—К) = \. Тогда 2-
клетки К дают систему образующих G(k), а обходы
вокруг 1-клеток из К\к — соотношения. Если в ка-
качестве К взять конус над к, идущий из точки снизу от
плоскости проекции, получается верхнее копредстав-
ление Виртингера (см. Узлов и зацеплений диаграммы).
Если в качестве К взять объединение черной и белой
поверхностей, получаемых из диаграммы к (удалив
внешнюю область), получится непредставление Дена.
Задание к в виде замкнутой косы приводит к ко-
нредставлению С (к) вида {.s,-; s, = A,sfcL71}, где Li — сло-
слово в алфавите s,-, si1, причем JJ'_ (L,-SfcLfx) —TT'_ s,-
в свободной группе {s,;}. При этом каждое копредстав-
ление такого типа получается из замкнутой косы.
О других копредставлениях см. [i J, J2J, [4], [7], (SJ.

Сравнение верхнего и нижнего копредставлений Вир-
тпнгера приводит к особого рода двойственности
в G(k) (см. [7]). Она формулируется в терминах исчис-
исчисления Фокса: G (к) имеет два таких копредставления
(х;\ г;) и ((/,-; sj), что для нек-рой их эквивалентности
0: (.г,-; >7)-Ц</,-; &}) имеет место Gzsj/T1 Л0|^ (х;— 1) W
= о~, (.'/¦—l)i гДе сравнения берутся по модулю ядра
гомоморфизма группового кольца свободной группы
на групповое кольцо GIG'. Из этой двойственности вы-
вытекает симметрия в Александера инвариантах.
Проблема тождества решается лишь для отдельных
классов узлов (напр., для торических, нек-рых крен-
крендельных [6] и др.). Но существует (см. [1]) алгоритма
для распознавания групп трехмерных узлов по ко-
представлениям. Более сильным инвариантом для к
является групповая система <G, Т;>, состоящая из
G(k) и из системы классов Г; сопряженных подгрупп.
Подгруппа S[dTi наз. периферической под-
подгруппой компоненты к;; это образ при гомомор-
гомоморфизме вложения фундаментальной группы nl (dN (к;))
края нек-рой регулярной окрестности Л' [к/) компо-
компоненты к;с:к. Если к; не является тривиальным узлом,
отделенным от остальных компонент 2-сферой, то
Si^n1(dN (ki)). Меридиан и параллель в dN (fe,-) по-
порождает в S[ два элемента, к-рые также наз. мери-
меридианом то,- и параллелью 1{ для к; в груп-
групповой системе. В случае [х = 1 параллель определяется
самой группой G в подгруппе 5,- однозначно, а мери-
меридиан только с точностью до сомножителя вида /".
О силе <G, 7\> как инварианта см. Узлов теория.
Группа автоморфизмов группы G полностью изучена
лишь для торич. зацеплений, для Листинга узла и,
в значительной степени, для Нейвирта узлов (см. [2]).
Представления G в различных группах, особенно с уче-
учетом <G, T;^>,— мощный метод различения узлов.
Напр., представления в группе движений плоскости
Лобачевского позволяют заметить необратимые узлы.
Систематически изучены метациклич. представления.
Если к не распадается, то для подгрупп FdG(k)
пространствами типа К (F; 1) служат накрывающие М,
к-рые, как и М, имеют гомотопический тип двумер-
двумерного комплекса. Отсюда следует, что абелевы под-
подгруппы G{k) изоморфны / или /©/; в частности,
G(k) не имеет элементов конечного порядка. Для ц —1
перпферич. подгруппы S; являются максимальными
во множестве абелевых подгрупп. Центр имеют только
труппы торич. зацеплений [10]. Особую роль играет
подгруппа L (к), в к-рую входят элементы G(k), коэф-
коэффициент зацепления к-рых с объединением ориенти-
ориентированных компонент А-; равен нулю. Если ц—1, то
L (к) — коммутант. Вообще, G(k)/L(k)^J. Поэтому
L (к) служит группой накрывающего Мо над М (к)
с бесконечной циклич. группой / скольжений. Если
F (к) — связная ориентируемая поверхность в S3 с кра-
краем к, то она накрыта в Мо счетной системой поверх-
поверхностей Fj, к-рые разрезают Ма на счетное число кусков
Mj (край dM/=Fj[jFj + 1). Отсюда получается, что
к) есть предел диаграммы
Mj
L (к)
* /
»¦ щМ j *
где все гу», г/* индуцированы вложением. Оказывается,
что либо все они — изоморфизмы, либо ни один из
них не эпиморфен [2]. Если род связной F(к) равен
роду у (к) зацепления (такое к наз. вполне неразложи-
неразложимым), то все г,-*, гу* — мономорфизмы, и тогда L (к) —
либо свободная группа ранга 2y-\-\i—1, либо не имеет
конечной системы образующих (и не свободна, если
приведенный многочлен Александера не нуль; это

так, в частности, для узлов). Вполне неразложимое
зацепление с конечно порожденной L {к) наз. зацеп-
зацеплением Не ft в и р т а.
Лит.: Ll] К р о у э л л Р., Фокс Р., Введение в теорию
узлов, пер. с англ. М., 1967; [2] N е u w i r t h L. P., «Ann.
Math. Stud.», 1965, .IMS 5A; [3] Hill ma n J. A., «Lect. Notes
in Math.», 198), v. 883; 14] Gordon С. МсА., там же, 1978,
v. 685, p. 1—60; [5] E с k m a n n В., «Comment, math, helv.»,
197G, v. 51, p. 93—98; [6] Rcidemeis ter K.. «Hamburg.
Abh.», 1928, Bd 6, S. 56—64; [7] H о t z G., там же 1960, Bd 24,
S. 132—48; [8] Trotter H. P. «Ann. Math.», 1962 v. 76,
p. 464—98; [9] его же, «Topology», 1964, v. 2, p. 341—58;
[10] BurdeG., ZieschangH., «Math. Ann.», 1966, Bd
107, S. 169—70. А. В. Чернавский.
УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ ДИАГРАММЫ — графи-
графическое изображение узлов и зацеплений, основу к-рых
составляют плоские проекции. Пусть /ccrR3 — за-
зацепление и я : R3 -->- R2c:R3 — проекция л(х, у, z)=
~(ж, у, 0). Порядком точка р^л(к) наз. число элемен-
элементов множества тх~' (p)f\k. Точки порядка два наз.
двойным и, точки порядка >1 — кратными.
Говорят, что полигональное зацепление к находится
в регулярном положении, если: A) все
его кратные точки являются двойными и их число ко-
конечно и B) никакая двойная точка не является обра-
образом вершины. Всякое зацепление может быть переве-
переведено в регулярное положение сколь угодно малым
вращением пространства. Если к находится в регуляр-
регулярном положении, то в каждой двойной точке ветвь,
лежащая выше (в направлении координаты z), наз.
переходом, а ветвь, лежащая ниже,— п р о х о-
¦д о м. Чтобы задать диаграмму зацепления,
находящегося в регулярном положении, нужно ука-
указать его проекцию Ti(k)czR-2 и разорвать образы про-
проходов в двойных точках (см. рис. 1). Если зацепление
ориентировано, т. е. заданы обходы компонент, то
они указываются на диаграмме D стрел-
стрелками. Если при обходе каждой компо-
компоненты зацепления на ее проекции про-
проходы и переходы чередуются, то диаг- .
рамма наз. альтернирующей. "¦""""
Зацепление, имеющее хотя бы одну
альтернирующую диаграмму, наз. аль-
альтернирующим зацеплением (см. Рис. 1.
Альтернирующие у.злы и зацепления).
Каждой области /,-, на к-рые проекция зацепления
делит плоскость R2, отвечает ее индекс v (/,-), равный
суммарному числу обходов, совершаемых проекциями
всех компонент зацепления вокруг произвольной внут-
внутренней точки [j. При переходе к смежной области ин-
индекс меняется на единицу, откуда следует, что все об-
области /; можно раскрасить в черных"! и белый цвета
в шахматном порядке.
Во множество диаграмм на плоскости вводится нек-
некрое отношение эквивалентности, причем две диаграм-
диаграммы оказываются эквивалентными тогда и только тогда,
когда отвечающие им зацепления объемлемо изотопны.
Это дает возможность свести изучение узлов к плоской
топологии. Именно, D-,~?>2, если D± можно получить
1 И
Рис. 2.
из D 2 применением конечного числа элементарных опе-
операций I, II, III, показанных на рис. 2, и изотопич.
деформации. Подход к теории узлов, основанный на
указанном сведении, является типичным подходом
комбинаторной топологии. Он был основным в 1-й
период развития теории узлов (примерно до 40-х гг.
20 в.). В рамках этого подхода инварианты узлов оп-

ределяют исходя из диаграмм, а затем доказывают, что
результат не зависит от выбора диаграммы (см. [1|).
В современных исследованиях определения инвариан-
инвариантов предпочитают давать в терминах алгебраич. топо-
топологии, выделяя тем самым на первый план их геометрич.
сущность.
Диаграмма ориентированного зацепления исполь-
используется для построения его поверхности Зей-
ферта. Пусть х — произвольная не двойная точка
ориентированной диаграммы D зацепления к. Обход
D, начиная от х, совершается в направлении, ука-зан-
ном ориентацией. В первой встретившейся двойной
точке осуществляется поворот и продолжается движе-
движение в направлении ориентации D до возвращения в .г;
при этом будет описан простой замкнутый контур,
к-рый наз. окружностью Зейферта. Диаг-
Диаграмма D распадается на такие окружности Зейферта
Сj, причем они могут лишь соприкасаться. Пусть для
каждой окружности Cj через Dj обозначается диск,
лежащий в плоскости, параллельной R2, так что его
край проектируется в Су. Для каждой двойной точки
а,- рассматривается прямоугольник //,-, помещенный
вертикально над а,-, к-рый скручивается на 90° так,
чтобы верхняя сторона лежала на крае 2?у,, а нижняя —
на крае D/2, если Су, и Cj2 — примыкающие к а,- ок-
окружности Зейферта. Если каждое скручивание произ-
произвести в нужную сторону, то край возникающей по-
поверхности F~UjDj\JUjHi изотопен зацеплению к.
Так получаемая поверхность ориентируема. Более
простую, но, возможно, неориентируемуго поверх-
поверхность, натянутую на зацепление, можно построить,
взяв по диску над каждой черной областью шахматной
диаграммы и соединив их, как и выше, скрученными
прямоугольниками.
Известно несколько способов выписывания копред-
ставления группы зацепления по его диаграмме. Чтобы
получить копредставленве Виртинге-
р а, рассматривают множество компонент связности
tx, . . ., tn диаграммы зацепления (множество пере-
переходов), занумерованных в порядке их прохождения по
каждой компоненте зацепления в направлении, ука-
указанном ориентацией. Пусть у; — нек-рый символ,
сопоставленный (,-. Для каждой двойной точки состав-
составляется соотношение vг=T/Y?+1ТГ1 или Vi:=V/~1Vi + iY/.
в зависимости от того, имеет ли
tf/+i i*/+i диаграмма зацепления в окрест-
окрестности этой двойной точки вид,
' ; изображенный на рис. За или на
Рис- ^б- Группа, заданная ко-
представлением с образующими у,,
а . . ., уп (по одному для каждого
перехода) и указанными выше со-
Рис. з. отношениями (по одному для каж-
каждой двойной точки), изоморфна
группе рассматриваемого зацепления. Полученное ко-
представление наз. ее верхним копредстав-
лением Виртингера. Двойственным образом
определяется нижнее ко представление
Виртингера.
Для нахождения непредставления Де-
н а рассматривают области /,-, на к-рые проекция за-
зацепления делит плоскость, и берут по одному символу
/,- для каждой области /,-. Символы /х, /2, ... прини-
принимают за образующие, а соотношения получают обхо-
обходом точек а,-: пишут подряд символы, отвечающие об-
областям, примыкающим к а,-, причем если /х и /2 лежат
слева от прохода, то степени /5 и /3 равны —1, а /2 и
/4 равны 1. Кроме того, считается, что /0:=1, где /0 —
внешняя область.
Использование У. и з. д. для преоб-
преобразования зацепления в замкнутую
\
11,

косу (см. Кос теория). Пусть точка о?П выбрана
вне D так, что лучи, исходящие из о, не содержат двой-
двойных точек и отрезков D. Обход одной из компонент к;
зацепления осуществляется до тех пор, пока соответ-
соответствующий обход проекции к происходит в одном и том
же направлении вокруг о. Пусть / — первый отрезок,
направленный в противоположную сторону, и точка с
взята так, чтобы треугольник cab, где а и Ь — концы I,
содержал о внутри и стороны ас и be находились в об-
общем положении по отношению к D (к). Можно считать,
что на I лежит не более одной двойной точки. Заменив
I в D (к) на ас (J be, причем если I не содержит двойной
точки или является переходом, полагают, что ас и
be являются переходами во всех точках своего пересе-
пересечения с D (к). Если I — проход, то пусть и они явля-
являются проходами. Продолжая это построение для к;
и применяя его последовательно для всех компонент,
получают в результате новую диаграмму для к, в
к-рой проекции всех компонент обходят о все время
в одну сторону, т. е. к будет представлено в виде зам-
замкнутой косы [2].
'.Лит.: [1] Reidemeister К., Knotentheorie, В., 1932;
[2] А 1 е х a n d е г J. W., «Proc. Nat. Acad. USA», 1923, v. 9,
p. 193. А. В. Чернпвский.
УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОР-
ФОРМЫ — формы, сопоставляемые трехмерным узлам и
зацеплениям; нек-рые инварианты этих форм являются
топологич. инвариантами изотопич. типа узлов и
зацеплений. У. и з. к. ф. возникают в результате
симметризации спариваний Зейферта (см. Зейферта
матрица). Если Vi— многообразие Зейферта зацепле-
зацепления L = (SZ, I), a
6: Hi(V; 1)®H1(V; Ж)—* Z
— спаривание Зейферта, то билинейная симметричная
форма
д: HV(V; 1)®FI1(V; Z)—+Z,
заданная равенством
Ч (vi ® "г) = 6 (fi ® v2) + 6 (v2 ® i>i),
наз. квадратичной формой з а ц е п л е-
ни я L. Форма q описывается матрицей. М~\-ДГ, где
М — матрица Зейферта, а штрих означает транспони-
транспонирование. Форма q сама по себе не является инвариантом
зацепления L, однако ее сигнатура 0"(g)?Z и единицы
Мпнковско-го Ср(д)^{—1, +1}, где р — простое чис-
число, не зависят от выбора многообразия Зейферта. Они
наз. соответственно сигнатурой и едини-
единицами Маяковского зацепления L и обозна-
обозначаются так: a (L) = a (д), С p(L)=C p(q). Размерность
п (q) радикала формы д также является инвариантом
зацепления L. Число п (L) = n (g)+l наз. дефектом
зацепления L. Имеют место неравенства: d(L)<:
«n (L)<n (L), где d(L) — максимальное число ком-
компонент связности, к-рое может иметь многообразие
Зейферта зацепления L, a u (L) — кратность, т. е.
число компонент зацепления L.
Пусть N — локально плоское двумерное ориенти-
ориентируемое подмногообразие шара ZL с jV f)S3=dN = l.
Род h (N) многообразия Л' оценивается снизу следую-
следующим неравенством:
где (л (jV) — число компонент многообразия N. Нижняя
граница для h(N) наз. 4-р о д о м, или внешним
родом зацепления L. Задача вычисления внешнего
рода различных зацеплений тесно связана с задачей
реализации двумерных гомологич. классов четырех-
четырехмерных многообразий замкнутыми ориентируемыми
поверхностями как можно меньшего рода. Внешний род
всякого специального альтернирующего узла равен его
роду и совпадает с половиной степени многочлена Алек-

сандерв. Срезанные узлы (см. Узлов кобордизм) — это
узлы внешнего рода нуль. Сигнатура и единицы Мин-
Минковского узла определяются его классом кобордизмов.
Функция на группе кобордизмов одномерных узлов в
S3 со значениями в группе Ж, к-рая сопоставляет клас-
классу кобордизмов сигнатуру представляющего его узла,
является гомоморфизмом, образ к-рого совпадает с
подгруппой четных чисел. Число заузливания всякого
узла не менее половины его сигнатуры.
У. и з. к. ф. тесно связаны с двулистными разветв-
разветвленными накрывающими 24 шара D* с ветвлением над
ориентируемыми двумерными поверхностями NcDi
с N(]S3=dN=l. В частности, сигнатура и единицы
Минковского зацепления L= (S3, I) равны соответст-
соответственно сигнатуре и единицам Минковского многообразия
24. Край д24=23, будучи двулистным накрытием сфе-
сферы S3, разветвленным над зацеплением I, является ин-
инвариантом зацеплений L. В случае узлов H1('Z3; %}
является конечной группой. Эта группа, а также форма
коэффициентов зацепления
Я: ^(S3; Z)®#iB3; Z)—> Q/Ж
определяется квадратичной формой ума следующим об-
образом. Группой с зацеплением или К-г р у п и о Й наз.
пара (G, |л), состоящая из конечной абелевой группы G
и невырожденной билинейной симметричной формы jj. :
: Gf?)G -»- Q/g;. Каждой невырожденной симметричной
целочисленной (геХ п)-матрице А сопоставляется V-
группа (G, |я), определяемая так: группа G порождается
элементами g^,. . ., gn со следующими определяющими
соотношениями: ~?" ai/gj=Q, i=l,. . ., и, где A = \\ai/\\,
а R(?o gj) равно mod 1 элементу матрицы А-1, находя-
находящемуся на месте (i, /'). Оказывается, что F-группа, оп-
определяемая этим способом по матрице М-\-М' квадра-
квадратичной формы узла, изоморфна F-группе (/^(S3; Z),X)
многообразия S3 (см. [4], [9]). Числовые инварианты
F-групп находятся методом Бланчфилда—Фокса [5].
С их помощью в нек-рых случаях удается различать
узлы, имеющие изоморфные группы.
Инварианты зацепления в двулистнодг накрытии
S3, разветвленном над узлом, могут быть найдены непос-
непосредственно по проекции узла с помощью следующей
конструкции, к-рая приводит к квадратичной
форме диаграммы узла. Регулярная проек-
проекция узла делит плоскость на области, к-рые могут быть
однозначно окрашены в черный и белый цвета таким
образом, чтобы бесконечная область Go была окрашена в
черный цвет, а всякие две области, примыкающие друг
к ДРУГУ по дуге, были бы окрашены в разные цвета.
Пусть Go, Gu. . ., Gn — все черные области. Каждой
двойной точке х диаграммы узла сопоставляется сле-
следующим образом нек-рое число х\ (ж) ? {—1, 0, 1}. Пусть
точка х является общей граничной точкой двух черных
областей G,- и Gk. Если i=k, то т](г)=0. Если же 1фЬ,
то г\(х)=Х тогда и только тогда, когда вращение от
перехода к проходу вокруг точки х по черной области
происходит по часовой стрелке; в противном случае
т] (х)=—1. Образуется следующая (пХ гс)-матрица Л =
= lloiyl|, где а.ц — сумма всех чисел х\(х), отвечающих
двойным точкам х, лежащим на границе области G/,
a a\k с i ф к есть взятая с обратным знаком сумма всех
чисел т) (х), где х пробегает все общие граничные точки
G,- и Gb. Форма /=^ ацх;х,- наз. квадратич-
ной формой диаграммы узла. Матрица
•*4 = 1|я;/1! определяется типом узла с точностью до сле-
следующего отношения связанности: две квадратные мат-
матрицы наз. связанными, если одна может быть
переведена в другую конечной последовательностью
следующих операций: Qx : А ->- ТА Т, где Т — цело-
целочисленная унимодулярная матрица, Q2 : А ->¦ ||^±J(j, и

обратных к ним. Модуль определителя матрицы А
является инвариантом узла и наз. детерминан-
детерминантом узла. Для всякого узла он нечетен и равен
]Д(—1)|, где Д (/) —многочлен Александера (см.
Александера инварианты). F-rpynna, определяемая
указанным выше способом по матрице квадратичной
формы произвольной диаграммы, является инвариан-
инвариантом узла. Более того, эта 17-группа изоморфна F-rpypne
(Н1(И3, 2), Я) двулистного накрытия сферы S3, раз-
разветвленного над узлом К.
Лит.: [1] Reidemeister К., Knotentheorie, В., 1932;
[2] G о е г i t z L., «Math. Z.», 1933, Bd 36, S. 647; [3] S e i-
f er t H., «Abh. Math. Sem. Hamb. Univ.», 1936, № 11, S. 84—
101; [4] KncserM., P u p p e P., «Math. Z.», 1953, Bd 58,
S. 376—84; [5] В 1 a n с h t i e 1 d R., F о х R., «Ann. Math.»,
1951, v. 53, p. 556—64; L6] T г о t t e r H., «Ann. Math.», 1962,
v. 76, p. 464—68; [7] MurasugiK., «Trans. Amer. Math.
Soc», 1965, v. 117, p. 387—422; M Tristram A., «Proc.Carnb.
Phil. Soc», 1969, v. 66, p. 251—64; [9] В и р о О. Я., «Изв.
АН СССР. Сер. матем.», 1973, т. 37, с. 1241—58. М. Ш. Фарбер.
УЗЛОВ КОБОРДИЗМ (правильнее бордизм узлов,
см. Бордизм) — отношение эквивалентности на множе-
множестве узлов, более слабое, чем изотопич. тип. Два глад-
гладких и-мерных узла K1={Sn + 2, ki) и Кг= (S" + 2, к")
наз. кобордантными, если существует гладкое
ориентированное (ге+1)-мерное подмногообразие V
многообразия [0, 1]х5" + 2, причем V гомеоморфно
10, 1]XS" и dV=Vf][O,l]X E" + 2) = @Хй1)иAХ— кг).
Здесь знак минус означает обращение ориентации.
Узлы, кобордантные тривиальному узлу, наз. кобор-
кобордантными нулю или срезанными узла-
м и. Множество классов эквивалентности (кобордант-
(кобордантности) га-мерных гладких узлов обозначается Са. Опе-
Операция несвязной суммы определяет во множестве Сп
структуру абелевой группы. Обратным для класса
У. к. (S" + 2, к") служит класс У. к. (—?* + 2, — к").
При всех четных п группа Сп равна нулю. Класс
У. к. нечетномерного узла определяется его Зейфер-
Зейферта матрицей. Квадратная целочисленная матрица А
называется кобордантной нулю, если она
унимодулярно конгруэнтна матрице вида Пу дН ,
где jVj, N.z, N3 — квадратные матрицы одинакового раз-
размера, а 0 — нулевая матрица. Две квадратные матрицы
Ах и А2 наз. кобордантными, если матрица
||о '—л2| кобордантна нулю. Квадратная целочислен-
целочисленная матрица А наз. е-матрицей, где e=-f-l или —1,
если det(i4+8i4')=i=l. Матрица Зейферта всякого
Bд—1)-мерного узла является (—1)?-матрицей. Для
всякого е отношение кобордантности является отноше-
отношением эквивалентности на множестве всех е-матриц.
Множество классов эквивалентности обозначается
через Се . Операция прямой суммы определяет в GR
структуру абелевой группы. Имеется гомомор-
гомоморфизм Левина: ф4 : C2tf_i -¦¦ G,^q, к-рый со-
сопоставляет классу У. к. К класс кобордизмов матрицы
Зейферта узла К. Гомоморфизм Левина <fq является
изоморфизмом при всех д^З. Гомоморфизм ср2 : С3 -»-
-> G+ является мономорфизмом, и его образ является
подгруппой индекса 2 в С+, состоящей из классов
(+1)-матриц Л, для к-рых сигнатура матрицы А-\-А'
делится на 16. Гомоморфизм фх : Сх -*¦ G_L является
эпиморфизмом; его ядро нетривиально.
Для изучения строения групп G+ и 6L и построения
полной системы инвариантов класса У. к. использу-
используется следующая конструкция. Изометричес-
Изометрической структурой над полем F наз. пара (<, >;
Т), состоящая из невырожденной квадратичной формы
<, >, заданной на конечномерном векторном про-
пространстве V над полем F, и ее изометрии Т : V -*¦ V.
Изометрич. структура (<, >; Т) наз. кобордант-
кобордантной нулю, если V содержит вполне изотропное
инвариантное относительно Т подпространство поло-
половинной размерности. Операции ортогональной суммы

форм и прямой суммы изометрий определяют во множе-
множестве изометрич. структур операцию _[ . Две изометрич.
структуры (<, >; Т) и (<, >'; 7") наз. к о б о р-
дантными, если изометрич. структура (<, >; Т) |
_[_(—<> >'; 1") кобордантна нулю. Пусть Gp —
множество классов кобордизмов изометрических струк-
ТУР (<. >; Т), удовлетворяющих условию ДГA)Х
ХАт (—1)?=0> где AT(t) — характеристич. многочлен
изометрий Т. В изучении групп G+ и G_ важную роль
играют вложения /+ : G+ -> Gq и f.- : G- -*¦ Gq, к-рые
строятся следующим образом. Каждый класс кобордиз-
кобордизмов е-матриц содержит невырожденную матрицу. Если
А — невырожденная е-матрица, то пусть В=—А~1А',
Q=A-j-A' и (<, >; Т) — изометрич. структура, в
к-рой форма <, > задается матрицей Q, а изометрия
Т — матрицей В. Это сопоставление корректно опре-
определяет гомоморфизмы %е a ker%e =0.
Пусть а=(<, >; Т) — изометрич. структура на
векторном пространстве V ni.?F[t]. Пусть V% обозна-
обозначает Х-примарную компоненту пространства V, т. е.
Vx =кегЯ(Г)-^ для большего N. Многочлен X(t)—tk-\-
-j-<M*~l+- . .+ an_t*+l наз. возвратным, если
а;=а/1-1 при всех i. Для каждого неприводимого воз-
возвратного многочлена Я?О[?] через е^(а) обозначается
приведенный по mod 2 показатель, с к-рым К входит в
характеристич. многочлен Д^ изометрий Т. Для каж-
каждого возвратного неприводимого в R[t] многочлена
A,?R[z] обозначается через ax (a) сигнатура сужения
формы <, > на (F®R)*,. Для каждого простого числа
р и возвратного неприводимого в Qp [t] многочлена
l?Qp[t] пусть сужение<, >^формы <, > на (V@Qp)i,
где Qp — поле р-адических чисел. Пусть
г (г + 3)
^(a)=(-l, I) 2 (det <, >l -l)rS(< ,>?),
где (,) — символ Гильберта в Qp, S — символ Хассе,
2г —ранг <, >^. Две изометрич. структуры кобордант-
ны тогда и только тогда, когда ея (а)=ея (Р), оя (а)=
= ая(Р), (я^(а)=|яя(Р) Для всех Я и р, для к-рых эти
инварианты определены (см. [3], [4]).
Композиция гомоморфизма Левина, гомоморфизма X
и функций ея, ах, црх сопоставляет каждому нечетно-
мерному узлу К числа гх(К)?{0, 1}, а\(К)?ъ,
fi^(/f)g {—1, 1}. Два Bq—1)-мерных узла Кх и А,
где д>1, кобордантны тогда и только тогда, когда
для всех X и р, для к-рых эти инварианты определены.
2ая, {К) равна сигнатуре узла К (см. Узлов и зацеплений
квадратичные формы), где сумма берется по всем X(t)
вида <2—2Х cos 8-fl, где 0<6<я, и в этой сумме лишь
конечное число слагаемых отлично от нуля.
Аналогичным образом определяются группы кобор-
кобордизмов локально плоских и кусочно линейных, к-рые
обозначаются С™р и Сп соответственно. При всех п
имеется изоморфизм Сп~Сп. Естественное отображе-
отображение Сп -*¦ Сп°р является изоморфизмом при ге^З, а
при п=3 оно является мономорфизмом с образом индек-
индекса 2. Это, в частности, означает существование несгла-
жнваемых локально плоских топологических трехмер-
трехмерных узлов в Sb (см. [5]).
Теория У. к. связана с изучением особенностей не
локально плоских и кусочно линейных вложений ко-
коразмерности 2. Если Р есть (п+1)-мерное ориентиро-
ориентированное многообразие, вложенное как подкомплекс в
(п+3)-мерное многообразие М, х?Р и N — малая
звездная окрестность х в М, то особенность вложения Р
в М в точке х измеряется следующим образом. Край
8N является (я+2)-мерной сферой, ориентация к-рой

определяется ориентацией М; Pf]dN является «-мерной
сферой, ориентация к-рой определяется ориентацией Р.
Таким образом, возникает n-мерный узел (dN, dN(]P),
к-рый. наз. особенностью вложения
P<Z.M в точке х.
Лит.: [1] F о х R. Н., М i I n о г J. W., «Osaka J. Math.»,
1966, v. 3, p. 257—67; [2] К erva i re M., «Bull. Soc. Math.
France», 1965, t. 93, p. 225—71; [3] LevineJ., «Comment,
math, helv.», 1969, v. 44, p. 229—44; [4] e г о же, «Invent.
Math.», 1969, v. 8, p. 98—110; [5] С a p p e 1 1 S., Shaneson
J., «Topology», 1973, v. 12, p. 33—40; [6] Stoltzfus N.,
«Mem. Amer. Math. Soc», 1977, v. 12, Л» 192. M. Ш. Фарбер.
УЗЛОВ ТАБЛИЦА — перечень диаграмм всех про-
простых узлов, допускающих проекции на плоскость с
девятью и меньшим числом двойных точек. Обозначе-
Обозначения узлов, приведенных в этой таблице, стандартны:
первая цифра указывает число двойных точек, а вторая
(расположенная в индексе) — порядковый номер узла.
Напр., узел 75 — это пятый узел таблицы, имеющий
7 пересечений. Рядом с каждым узлом в закодирован-
закодированном виде указан его многочлен Александера Д (()=
= а2п*г"+- • • + «„'"+• • . + а0. Поскольку многочлен
Александера всякого узла имеет четную степень и яв-
является возвратным (т. е. а;=а2„_;), то для его задания
достаточно указать набор последних коэффициентов
ат ап-ь- • ¦¦> ао> именно они и приведены в таблице.
Напр., рядом с узлом 89 указано 7—5+3—1. Это оз-
означает, что его многочлен Александера равен Д @=
= — t"-\-3tb—Ы*+7Р—5t2-\-3t— 1. Неальтернирующие
узлы помечены звездочкой. Приводимая таблица (см.
колонку 485) перепечатана из [1] с небольшими мо-
модификациями.
Лит.: 11] В u r d e G., в кн.: Jahrbuch Oberblicke Mathema-
tik, Mannheim, 1978, S. 131—47. M. Ш. Фарбер.
УЗЛОВ ТЕОРИЯ — изучение вложений одномерных
многообразий в трехмерное евклидово пространство
или в сферу S'*. В более широком смысле предметом
У. т. являются вложения сфер в многообразия (см.
Многомерный узел) и вообще вложения многообразий.
Основные понятия У. т. Вложение (чаще — его об-
образ) несвязной суммы \х экземпляров окружности в R3
или S3 наз. зацеплением кратности \i.
Зацепление кратности ^=1 наз. узлом. Узлы, со-
составляющие данное зацепление, наз. его компо-
компонентами. Объемлемо-изотопич. классы зацеплений
(см. Изотопия) наз. типами зацеплений. Зацепле-
Зацепления одного типа наз. эквивалентными. Тип
зацепления «О, 0,. . ., О», лежащего в плоскости в R3,
наз. тривиальным. Несколько простейших узлов
имеют специальные названия; напр., узел 3t (см. Узлов
таблица) наз. трилистником, а узел 4Х — вось-
восьмеркой или Листинга узлом. Зацепление, состоящее
из нек-рых компонент зацепления L, наз. его частич-
частичным зацеплением. Говорят, что зацепление
распадается (или расщепляется), если
два его частичных зацепления разделены в S'J двумер-
двумерной сферой. Зацепление наз. брунновым, если
распадается каждое его частичное зацепление, кроме
него самого.
Наиболее изучены кусочно линейные зацепления.
Рассмотрение гладких или локально плоских тополо-
гич. вложений в R3 приводит к теории, по существу,
совпадающей с кусочно линейной.
Обычно зацепления задаются посредством диаграмм
(см. Узлов и зацеплений диаграммы). Если в косе (см.
Нос теория) из 2п нитей соединить вверху и внизу по п
пар соседних концов отрезками, то получится зацепле-
зацепление, называемое 2гс-с плетением. Другой способ
конструирования зацеплений из кос состоит в замыка-
замыкании кос. Если между двумя параллельными плоско-
плоскостями Пх и П2 в R3 взять 2т ортогональных им отрез-
отрезков и соединить их концы попарно т дугами в П1 и т
дугами в П2 без пересечений, то сумма всех дуг и от-
отрезков даст зацепление. Зацепление, допускающее

485
УЗЛОВ ТЕОРИЯ
486
ф'®
7-4
9-6+2
1+0-1+1
7-6+4-2
17-10+2
15-12+5-1
такое представление, наз. зацеплением с т мо-
мостами. Всякое зацепление можно расположить на
стандартно вложенной в R3 замкнутой поверхности;
если зацепление можно расположить на незаузленном
торе или кренделе, то оно наз. соответственно т о р и-
ческим, или крендельным (см. Торический
узел). Зацепление, лежащее на границе трубчатой ок-
окрестности узла к, наз. обмоткой узла к. Зацепле-
Зацепление, к-рое можно получить многократным взятием об-
обмоток, начиная с тривиального узла, наз. т р у б ч а-
т ы м, или сложным кабельтовым. Такие
зацепления встречаются при изучении сингулярностей
алгебраич. кривых; они могут задаваться аналитически
как линки изолированных особенностей многочленов
от двух переменных [2].
Поверхностью Зейферта
ориентированного зацепления /, наз.
компактная ориентированная поверх-
поверхность Fc:S3 с dF=L, причем требуется,
чтобы ориентация L индуцировалась из
ориентации F. Родом ориентирован-
ориентированного зацепления L наз. минимальный
род поверхности Зейферта для L. Вооб-
Вообще говоря, род зависит от ориентации
компонент. Известен алгоритм постро-
построения поверхности Зейферта по диаграм-
диаграмме; в нек-рых случаях (напр., для аль-
альтернирующих узлов и зацеплений) он
сразу приводит к поверхности мини-
минимального рода. Тривиальный узел (но
не зацепление)характеризуется тем, что
его род равен нулю.
Во множестве типов узлов К имеется
операция связной суммы (состоящая,
грубо говоря, в завязывании одного
узла после другого), к-рая наделяет К
структурой абелевой полугруппы с
нулем. Род определяет эпиморфизм К
на аддитивную полугруппу целых
неотрицательных чисел. Отсюда выте-
вытекает, что нетривиальный узел не мо-
может иметь противоположного узла от-
относительно связной суммы и что каж-
каждый узел есть сумма простых (т.е.
неразложимых) узлов. Известно, что
это разложение единственно. Таким об-
образом, К изоморфна мультипликатив-
мультипликативной полугруппе натуральных чисел.
Регулярная окрестность зацепления
L~kx\] ... [jk^dR3 кратности jx состоит
из ц полных торов Ni. Пространство
M(L)=R3—(J int Ni наз. (допол-
(дополнительным) пространст-
в о м, или внешностью, зацеп-
зацепления L. Простые замкнутые кривые
li на F(=dN;, коэффициенты зацепле-
зацепления к-рых с hi равны нулю, все изотоп-
изотопны между собой и наз. параллеля-
м и г-й компоненты. Простые замкнутые
кривые та,- на F[, гомологичные нулю в
N{, но не на F,-, также все изотопны
между собой и наз. меридианами
И'г компоненты. Пространство зацепле-
зацепления М (L) вместе с меридианами т1:. . .,
Шр.адМ(L) определяет тип L. Это —
главные геометрич. инварианты зацеп-
зацеплений. Предполагается, что для узлов
топологич. тип внешности М (к) опреде-
определяет тип к. Это доказано для всех не-
непростых узлов, для торич. узлов, для
большинства обмоток и для многих дру-
других классов узлов (см. [10]). Однако
имеются неэквивалентные зацепления с гомеоморфны-
ми дополнительными пространствами [1].
Помимо отношения объемлемой изотопии, У. т. изу-
изучает и другие, более грубые отношения эквивалентности
между зацеплениями. Два зацепления (имеющие одина-
одинаковое число компонент) наз.
изотопными (не
объемлемо), если они изо-
изотопны как вложения. Зацеп-
Зацепления, показанные на рис.
1, изотопны, но не объем-
объемлемо изотопны. Таким об-
образом, изотопия зацеплений пренебрегает «маленькими»
узлами, и потому ее изучение можно рассматривать
как теорию зацеплений по модулю теории узлов. Это
7-6+3
Рис. 1.

485
УЗЛОВ ТЕОРИЯ
486
ф'®
7-4
9-6+2
1+0-1+1
7-6+4-2
17-10+2
15-12+5-1
такое представление, наз. зацеплением с т мо-
мостами. Всякое зацепление можно расположить на
стандартно вложенной в R3 замкнутой поверхности;
если зацепление можно расположить на незаузленном
торе или кренделе, то оно наз. соответственно т о р и-
ческим, или крендельным (см. Торический
узел). Зацепление, лежащее на границе трубчатой ок-
окрестности узла к, наз. обмоткой узла к. Зацепле-
Зацепление, к-рое можно получить многократным взятием об-
обмоток, начиная с тривиального узла, наз. т р у б ч а-
т ы м, или сложным кабельтовым. Такие
зацепления встречаются при изучении сингулярностей
алгебраич. кривых; они могут задаваться аналитически
как линки изолированных особенностей многочленов
от двух переменных [2].
Поверхностью Зейферта
ориентированного зацепления /, наз.
компактная ориентированная поверх-
поверхность Fc:S3 с dF=L, причем требуется,
чтобы ориентация L индуцировалась из
ориентации F. Родом ориентирован-
ориентированного зацепления L наз. минимальный
род поверхности Зейферта для L. Вооб-
Вообще говоря, род зависит от ориентации
компонент. Известен алгоритм постро-
построения поверхности Зейферта по диаграм-
диаграмме; в нек-рых случаях (напр., для аль-
альтернирующих узлов и зацеплений) он
сразу приводит к поверхности мини-
минимального рода. Тривиальный узел (но
не зацепление)характеризуется тем, что
его род равен нулю.
Во множестве типов узлов К имеется
операция связной суммы (состоящая,
грубо говоря, в завязывании одного
узла после другого), к-рая наделяет К
структурой абелевой полугруппы с
нулем. Род определяет эпиморфизм К
на аддитивную полугруппу целых
неотрицательных чисел. Отсюда выте-
вытекает, что нетривиальный узел не мо-
может иметь противоположного узла от-
относительно связной суммы и что каж-
каждый узел есть сумма простых (т.е.
неразложимых) узлов. Известно, что
это разложение единственно. Таким об-
образом, К изоморфна мультипликатив-
мультипликативной полугруппе натуральных чисел.
Регулярная окрестность зацепления
L~kx\] ... [jk^dR3 кратности jx состоит
из ц полных торов Ni. Пространство
M(L)=R3—(J int Ni наз. (допол-
(дополнительным) пространст-
в о м, или внешностью, зацеп-
зацепления L. Простые замкнутые кривые
li на F(=dN;, коэффициенты зацепле-
зацепления к-рых с hi равны нулю, все изотоп-
изотопны между собой и наз. параллеля-
м и г-й компоненты. Простые замкнутые
кривые та,- на F[, гомологичные нулю в
N{, но не на F,-, также все изотопны
между собой и наз. меридианами
И'г компоненты. Пространство зацепле-
зацепления М (L) вместе с меридианами т1:. . .,
Шр.адМ(L) определяет тип L. Это —
главные геометрич. инварианты зацеп-
зацеплений. Предполагается, что для узлов
топологич. тип внешности М (к) опреде-
определяет тип к. Это доказано для всех не-
непростых узлов, для торич. узлов, для
большинства обмоток и для многих дру-
других классов узлов (см. [10]). Однако
имеются неэквивалентные зацепления с гомеоморфны-
ми дополнительными пространствами [1].
Помимо отношения объемлемой изотопии, У. т. изу-
изучает и другие, более грубые отношения эквивалентности
между зацеплениями. Два зацепления (имеющие одина-
одинаковое число компонент) наз.
изотопными (не
объемлемо), если они изо-
изотопны как вложения. Зацеп-
Зацепления, показанные на рис.
1, изотопны, но не объем-
объемлемо изотопны. Таким об-
образом, изотопия зацеплений пренебрегает «маленькими»
узлами, и потому ее изучение можно рассматривать
как теорию зацеплений по модулю теории узлов. Это
7-6+3
Рис. 1.

высказывание обретает точную формулировку в следую-
следующей теореме Рольф сена [12]: два изотопных
зацепления объемлемо изотопны, если их соответствую-
соответствующие компоненты эквивалентны (как ориентированные
узлы). В силу этого изучение изотопии зацеплений ре-
редуцируется к объемлемой изотонии.
Другим отношением эквивалентности, изучаемым в
У. т., является конкордантность, или к о-
бордизм. Локально плоские вложения ;0 и ix много-
многообразия X в многообразие У наз. конкордант-
н ы м и, если существует такое локально плоское вло-
вложение
i: Хх\0, 1]—>Ух[0, 1],
что i(x, O)=-(io(,r), 0), i(x, I)=(i1(.r), 1) для всех
z?X. Если X есть несвязная сумма нескольких эк-
экземпляров окружности, а У есть R3 или S:i, то полу-
получается определение конкордантности зацеплении. Связ-
Связная сумма вносит во множество классов конкордантных
узлов структуру абелевоц группы. Нуль этой группы
есть класс, содержащий тривиальный узол. Узлы,
конкордантные тривиальному, наз. срезанными.
Противоположным к классу узла к является класс узла,
получаемого так: нужно сменить ориентацию узла к
и взять его образ при отражении от любой плоскости.
О строении группы классов конкордантных узлов см.
Узлов кобордизм. Для того чтобы построить срезанный
узел, проще всего взять тривиальное двухкомпонентное
зацепление, приклеить к любой из компонент ленточку,
как-либо заузлить ее и пропустить через исходное за-
зацепление, а затем приклеить ко второй компоненте.
После этого нужно удалить все внутренние точки ленты,
а также ее граничные точки, по к-рым производилось
приклеивание. В результате получится срезанный
узел (см., напр., рис. 2). Обобщение этого построения
приводит к понятию лен-
ленточного зацепле-
зацепления [1]. Имеется гипотеза,
что всякий срезанный узел
является ленточным. Из изо-
топности зацеплений не сле-
следует их конкордантность
(действительно, всякий узел
изотопен тривиальному, но
рис 2. не всякий является срезан-
срезанным). Однако изотопные за-
зацепления конкордантны, если все их соответствую-
соответствующие компоненты попарно конкордантны [12].
Изучаются и другие отношения эквивалентности
между зацеплениями, напр, гомотопия и /-эквивалент-
/-эквивалентность (см. [8]).
Аппарат У. т. Фундаментальная группа G(L) допол-
дополнительного пространства М (L) наз. группой
зацепления L. Это — важнейший алгебраич.
инвариант зацепления. В случае узлов и нераспадаю-
нераспадающихся зацеплений внешность М (L) асферична и потому
ее гомотопический тип определяется группой G(L).
Зацепление тривиально тогда п только тогда, когда
его группа свободна [8]. Торич. узлы эквивалентны
тогда и только тогда, когда они имеют изоморфные
группы. Однако утверждение о том, что группа опре-
определяет тип зацепления, неверно даже для узлов [1].
Имеется несколько алгоритмов выписывания копред-
ставления группы зацепления по его диаграмме. Наи-
Наиболее широко известно ко представление
Виртингера. О свойствах групп зацеплений см.
Узлов и зацеплений группы.
Более сильным инвариантом зацеплений является
групповая систем1 a <G(I); Т}>. . ., Уд>.
к-рая состоит из группы зацепления G (L) и классов
сопряженности ее подгрупп Г,-, порожденных классами
меридиана и параллели i-й компоненты. Групповая
система узла определяет топологич. тип его дополнения.

Полным алгебраич. инвариантом узла является тройка
(G, T, m), состоящая из группы узла G, периферич.
подгруппы TczG и меридиана m? T: два узла эквива-
эквивалентны тогда и только тогда, когда имеется изоморфизм
между их группами, сохраняющий периферич. подгруп-
подгруппы и переводящий меридиан одного узла в меридиан
другого или в его обратный. Известны и классифици-
классифицирующие инварианты узлов, представляющие собой
группы. Один такой инвариант (см. [11J) сопоставляет
узлу к свободное произведение групп нек-рых обмоток
связной суммы узла к и узла Листинга 4,. В этом опре-
определении вместо узла 4| можно взять и нек-рые другие
узлы, и при этом получающаяся группа, хотя и изме-
изменится, но будет по-прежнему полным инвариантом.
Найден (см. [5]) более естественный полный алгеб-
алгебраич. инвариант узла. Пусть узел к задан своей регу-
регулярной проекцией на плоскость, и все переходы за-
занумерованы числами от 1 до п. Пусть, далее, в нек-роЁ
двойной точке сходятся переходы с но-
номерами р, q, r, расположенные, как на
рис. 3, и Г (к) —дистрибутивный груп-
группоид, заданный образующими аь. . ., я„ _
(их число равно числу переходов), свя- аь
занными соотношениями аро aq'~ar (по
одному для каждой двойной точки). а
Доказано (см. [5]), что, во-первых, грун- '
ноид Г (к) является инвариантом узла, Рис. 3.
т. е. не зависит от выбора проекции,
и, во-вторых, узлы с изоморфными группоидами эк-
эквивалентны.
Группа узла, групповая система, группоид — дос-
достаточно сложные алгебраич. объекты, и их различение
часто оказывается непростым делом. В вычислениях
удобны абелевы инварианты узлов и зацеп-
зацеплений, к-рые устроены проще (напр., они описываются
средствами коммутативной алгебры) и в то же время
достаточно информативны. Важнейший из абелевых
инвариантов — модуль Александера, опре-
определяется так. Гомологий группа внешности //j (M (L))
зацепления кратности и, есть свободная абелева группа
ранга ft (это — следствие Александера двойственности),
и потому накрытие р : М(L) -*¦ M{L), отвечающее ком-
коммутанту группы G(L), и моет %^ в качестве группы
накрывающих преобразований. Если xo?M(L) —ба-
—базисная точка, а Х0=р-1(г0), то группа Hi(M(L),
Хо) имеет естественную структуру модуля над Ац -
= li\'L*x} (кольцом целочисленных лорановских поли-
полиномов от ц. переменных), к-рый и наз. модулем
Александера зацепления L. В случае и. — 1
модуль II1(M(L), Xo) изоморфен прямой сумме
Н1(М (?.)) и Aj; поэтому при изучении узлов модулем
Александера принято называть Aj-модуль Н1(М (L)).
Матрица, задающая непредставление модуля Алексан-
Александера, наз. матриц о it Александера. Для
нахождения матрицы Александера по копредставлению
группы G(L) используется свободное диффе-
дифференциальное исчисление Фокса [1].
Модуль Александера стандартным образом (см. Алек-
Александера инварианты) задает возрастающую цепочку
идеалов кольца Ац (к-рые наз. элементарными
идеалами) и последовательность целочисленных
многочленов A1(t1, . . ., t^), A2(tlt . . ., *ц), . . ., опреде-
определенных с точностью до единиц кольца Ад. Первый мно-
многочлен Дх (<х, . . ., <ц) наз. многочленом Алек-
Александера. Модуль Александера определяет также
класс идеалов Штейница — Фокса-
Смита [8]. С его помощью удается, напр., доказать
необратимость нек-рых узлов (узел kcS3 наз. о б р а-
т и м ы м, если существует сохраняющий ориентацию
гомеоморфизм S:i на себя, переводящий к в к с обраще-

наем вриентатщя). ©братимость узла влечет следующее
свойство его модуля Александера: существует групповой
автоморфизм / : Нг{М(к)) -*¦ НХ(М(к)) с /(ia)=«-1/(a)
для любого a ? Я-t (Ж (к)).
Многочлены зацеплений обладают следующим свой-
свойi
ством взаимности: для всякого V^i главные идеалы
кольца Лц, порожденные Д;^, . . ., ?ц) и Д,-(<Г\ . . .,
tii1), совпадают. Этот факт — проявление особого рода
двойственности в гомологиях универсального
абелева накрывающего внешности зацеплений. Двой-
Двойственность не только накладывает ограничения на
модуль Александера, но и задает на нем дополнитель-
дополнительную мультипликативную структуру. Напр., в случае
узлов имеется инвариантно определенная невырожден-
невырожденная эрмитова форма
#! (М (Ь^хНг (М (L)) —> Q
к-рая наз. формой Бланчфилда. Здесь Л-=Л1?
а Q(Л) обозначает поло частных Л. Определение и
свойства аналогов этой формы для зацеплений см. [8].
С формой Бланчфилда тесно связана форма М и л-
н о р а, принимающая значения в Q (см. [6]). Зейферта
матрица, отвечающая любой поверхности Зейферта
узла, определяет модуль Александера л формы Бланч-
Бланчфилда и Милнора на нем [13]. Если кг и к.2 — два узла,
то следующие условия эквивалентны: A) узлы кг и к2
имеют изоморфные формы Бланчфилда; B) узлы /сг и к2
имеют изоморфные формы Милнора; C) матрицы Зей-
Зейферта узлов кг и кй iS-эквивалентны (см. [6]).
Всякий эпиморфизм ф группы зацепления G(L)
на произвольную группу // определяет регулярное
накрытие внешности М (L) с группой накрывающих
преобразований Н. Если // — конечная группа, то,
подклеивая соответствующим образом полнотория к
границе накрывающего, получают многообразие 2ф(?)
и отображение 2<p(i)-^-53, являющееся разветвлен-
разветвленным накрытием с ветвлением над L. На 2Ф(?) дей-
действует группа Н. Поэтому Йф = fl1(S4>(L)) является
Zli/J-модулем. Кроме того, поскольку 2ф (L) —замк-
—замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие, опреде-
определена форма коэффициентов зацепления
{,}: Tors™ йф xTors™ йф—> Q/Z.
Итак, каждому представлению ср : G(L) -»- Я на конеч-
конечную группу II отвечает zf/Л-модуль йф и спарива-
спаривание {,}.
Наиболее изучены представления групп зацеплении
в циклич. и метациклич. группы. Группа ориентиро-
ориентированного зацепления допускает канонич. представление
на циклич. группу Ъп (классу петли а сопоставляется
вычет по модулю п коэффициента зацепления а с Л).
Отвечающее этому представлению разветвленное на-
накрытие 2 ф (L) -*¦ S3 наз. и-л истным цикли-
циклическим разветвленным накрытием
зацепления L. Соответствующие ему инварианты
(В<$, {,}) часто используются для различения узлов.
Они выражаются через матрицу
>/> \ У N^< Зейферта, а значит, и через мо-
у у/ дуль Александера со спариванием
^\ /*¦ /'NV Бпанчфипда.
+ - ^о Очень эффективным инвариан-
Рис 4 том узлов и зацеплений является
мног очлен К онвея. Он вычис-
вычисляется гораздо проще многочлена Александера (не требу-
требуется находить матрицу Александера, подсчитывать опре-
определители и т. п.). К тому же можно вычислять многочлен
Конвея, не зная его определения, пользуясь следую-
следующими тремя его свойствами: A) многочлен Конвея
7д(г) является инвариантом объемлемо изотопич. типа
ориентированного зацепления L; B) если L — триви-

альиый узея, те Vi(z)=l; C) если три зацепления
L+, Л_ и Lo имеют диаграммы, совпадающие всюду за
исключением участков, изображенных на рис. 4, то
Из этих свойств следует, напр., что многочлен Кон-
вея распадающегося зацепления равен нулю. Благодаря
свойству C) можно следить за изменением многочлена
Конвея при варьировании диаграммы в отдельных
двойных точках; ясно, что после конечного числа таких
модификаций зацепление становится тривиальным
и в этот момент вычисления завершаются. Теория, об-
облегчающая нахождение многочлена Конвея, развита в
[14]. Для узлов многочлены Конвея и Александера од-
однозначно определяют друг друга. Напр., если известен
многочлен Конвея, то многочлен Александера A (t)
определяется из равенства A(t2)=t2ny L(t—t-1).
Классификация узлов и зацеплений. Выше уже упо-
упоминались полные алгебраич. инварианты узлов, бла-
благодаря к-рым задача различения узлов может быть ре-
редуцирована к алгебре. Алгоритм для вычисления рода
узла построен Хакеном, но он не применим практиче-
практически. Для нек-рых классов, нанр. для альтернирующих
узлов и зацеплений, имеются простые алгоритмы (см.
также Нейвирта узел).
Перечислены все узлы, имеющие диаграммы с не бо-
более чем 11 двойными точками; перечислены также
все зацепления, имеющие менее И пересечений (см.
[17]). Однако не доказано, что среди узлов этого списка,
имеющих 11 пересечений, нет повторений. Таблица
простых узлов с девятью и меньшим числом пересече-
пересечений приведена в ст. Узлов таблица.
Полностью классифицированы торич. узлы, а также
узлы с двумя мостами (см. [16]).
В связи с развитием топологии многообразий стали
исследоваться многомерные узлы и зацепления; много-
многомерная У. т. развита во многих отношениях лучше,
чем классическая. Так, полностью решена задача клас-
классификации многомерных узлов относительно кобордизма
(см. Узлов кобордизм), получено описание объемлемо
изотопич. классов многомерных узлов в стабильно-
гомотопич. терминах [15], отдельные наиболее важные
виды многомерных узлов описаны в терминах их ал-
алгебраич. инвариантов 16]. Кроме того, найдены гомо-
логич. инварианты многомерных узлов, определяющие
их тип с точностью до конечного числа возможностей.
Приложения У. т. Значение У. т. для изучения трех-
трехмерных многообразий определяется, прежде всего, тем,
что всякое замкнутое ориентируемое трехмерное мно-
многообразие можно представить в виде накрывающего
сферы S3, разветвленного над нек-рым зацеплением
(теорема Александера). Более того (см.
[16]), всякое ориентируемое связное трехмерное много-
многообразие рода 1 (т. е. линзовое пространство) гомео-
морфно двулистному разветвленному накрывающему
нек-рого зацепления с двумя мостами, и зацепления с
двумя мостами эквивалентны тогда и только тогда,
когда гомеоморфны их двулистные разветвленные на-
накрывающие. Этот факт полезен как для онисания трех-
трехмерных многообразий, так и для классификации уз-
узлов.
Всякое ориентируемое связное трехмерное многооб-
многообразие рода 2 гомеоморфно двулистному разветвленному
накрывающему нек-рого зацепления с тремя мостами;
построен (см. [4]) пример неэквивалентных узлов с
тремя мостами, имеющих гомеоморфные двулистные
разветвленные накрывающие.
Другим важным средством, доставляемым У. т. для
изучения трехмерных многообразий, является и с ч и с-
ление оснащенных зацеплений Кёрби
[3]. Оснащенным зацеплением наз.
конечная совокупность L непересекающихся гладко

вложенных окружностей 1г, , . ,, l^cS3 (заузленных
или нет), каждой из к-рых приписано нек-рое число п/.
Оснащенное зацепление L определяет четырехмерное
многообразие Mi, получаемое приклеиванием к четы-
четырехмерному шару ручек индекса два, причем приклеи-
приклеивающее отображение /,¦ : 51Xi52 -> S3 i-ш ручки обла-
обладает свойствами: A) /,-E1х0)=!,> и B) для любого х?
?D2\0 коэффициент зацепления кривой f[(SxX {x})
с 1( равен п{. Край Wi=dMi — замкнутое ориентируе-
ориентируемое трехмерное многообразие. Оказывается, что, во-
первых, всякое замкнутое ориентируемое трехмерное
многообразие гомеоморфно WL для нек-рого оснащен-
оснащенного зацепления L и, во-вторых, W^ и W[2 гомео-
морфны тогда и только тогда, когда оснащенное за-
зацепление Li может быть получено из Л2 описанными
ниже преобразованиями Qx и Q2 или обратными к
ним. Преобразование Ei заключается в добавлении к
оснащенному зацеплению незаузленной окружности,
отделенной от остальных компонент вложенной дву-
двумерной сферой и оснащенной -j-1 или —1. Преобразо-
Преобразование 02 осуществляет «сложение» двух компонент I.
и lj следующим образом. Пусть 7,- — кривая на границе
малой трубчатой окрестности /,¦ в S3, изотопная lL в этой
трубчатой окрестности и имеющая коэффициент за-
зацепления гц с lj. Заменив компоненту lj окружностью
i/=/y4?b'i'> где b — нек-рая лента, соединяющая
lj с 7,-, не задевая остальных частей зацепления L, полу-
получают новое оснащенное зацепление L', если новой ком-
компоненте lj приписать число «,/=п,-+«уг?:2а/у. Здесь
а,-,- — коэффициент зацепления компонент /,- и 1;- (как-
либо ориентированных), а знак + или — выбирается
в зависимости от того, согласована ли с только что за-
зафиксированными ориентаци-
Of~7*\\ ями лента Ъ. Напр., для
Р[ ( ) \ч оснащенных зацеплений,
W*?^s изображенных на рис. 5,
а 6 многообразие WL есть со-
соответственно линзовое про-
пространство L(n, 1) в случае
а), линзовое пространство
случае б), пространство до-
е 2 декаэдра в случаях в) и
г).
Рис- 5- Помимо этих и многих
других применений У. т. в
топологии, ее приложения включают также изучение
особенностей плоских алгебраич. кривых, а в много-
многомерной ситуации — изолированных особенностей комп-
комплексных гиперповерхностей [2], гладкие структуры
на сферах, конструирование динамич. систем и слоений.
Имеются попытки применить У. т. в символической
динамике [18] и математической теории турбулент-
турбулентности [19].
Историческая справка. По-видимому, К. Гаусс
(С. Gauss) был первым, кто рассматривал узел как
математич. объект. Он считал, что анализ явлении зауз-
ливания и зацепливания является одной из основных
задач «geometris situs». Сам К. Гаусс мало написал об
узлах и зацеплениях (см. Зацепления коэффициент),
однако его ученик И. Листинг (J. Listing) посвятил уз-
узлам значительную часть своей монографии [7].
К концу 19 в. усилиями П. Тэйта (P. Tait) и К. Лит-
ла (С. Little) были составлены таблицы простых узлов,
имеющих не более 10 пересечений, и таблицы альтерни-
альтернирующих простых узлов, имеющих не более 11 пересе-
пересечений. Проблема табулирования узлов имеет два аспек-
аспекта: во-первых, нужно убедиться в полноте представлен-
представленного списка, а во-вторых, доказать, что все перечислен-
перечисленные узлы действительно различны. В то время как для

решения первого вопроса необходимы лишь комбина-
комбинаторные рассуждения (хотя и довольно громоздкие),
для ответа на второй вопрос нужны инварианты алгеб-
раич. топологии. Таких инвариантов не было в 19 в.,
и поэтому неэквивалентность приведенных в таблице
узлов обосновывалась эмпирически. Последующий ана-
анализ выявил нек-рые ошибки в таблицах 19 в.
В 1906 Г. Титце (Н. Tietze) впервые применил
фундаментальную группу для доказательства нетривиа-
нетривиальности узла. В 1927 Дж. Александер (J. Alexander)
и Л. Бриге (L. Briggs), используя коэффициенты
кручения гомологии двулистных и трехлистных раз-
разветвленных циклич. накрывающих, различили все та-
табулированные узлы с 8 пересечениями и все узлы, за
исключением 3 пар, с 9 пересечениями. В 1928 появился
многочлен Александера, но и с его помощью не удалось
убедиться в различности всех 84 узлов, имеющих не
более 9 пересечений. Этот последний шаг сделал К. Рей-
демейстер (К. Reidemeister), рассмотревший коэффи-
коэффициенты зацепления в диэдральных разветвленных
накрывающих.
Представление о современном состоянии проблем
У. т. дает список проблем [10]; там же можно наггп
комментарии и литературные ссылки. Подробная бпь
лиография по У. т. имеется в [1], [81, [9].
Луш.: [1] К р о у о ,;i л Р., Фокс Р., Введение в теорию
узлов, пер. с англ., М., 1967: [2] М и л п о р Д т., Особые точки
комплексных гиперповерхностей, пер. с англ., М., 1971; [3]
М а и д е л ь б а у м Р., Четырехмерная топология, пер. с
англ., М., 1.981; [4] В и р о О. Я., «Матем. сб.», 1972, т. «7
с. 216—28; [5] Матвеев С. В., там же, 1982, т. 119, с. 7К-
88; [6] Ф а р б е р М. Ш., «Успехи матем. наук», 1983, т. 38
в. 5, с. 59—106- [7] L i s t i n g J. В., Vorstudien zur Topoteie
Gott., 1848; [8] Hillman J. A., Alexander ideals o( links
B.— Hdlb.—N. Y., 1981; [9] Gordon С. МсА. «Lect. Noli.
Math.», 1978, v. 685, p. 1—60; [10] К i r b у R. C, «Proc.
Symp. Pure Math.», 1978, v. 32, p. 273—312; til] Simon J.,
«Ann. Math.», 1973, v. 97, p. 1 — 13; [12] KolfsenD.,
«J. Indian Math. Soc.». 1972, v. .36, p. 263—78; Г13] L e v i n e J.,
«Trans. Amer. Math. Soc», 1977, v. 229, p. 1—50; [14] G i 1-
ler С. А., там же, 1982, v. 270, p. 75—109; [15] Par-
b e г M. S., там же, 1980, v. 261, p. 185—209; [16] S с h li-
liber t H., «Math. Z.», 1956, Bd 65, S. 133—70; [17] Con-
way J. H., в кн.: Computational problems in abstract algebra,
Oxf.—N. Y., 1970, p. 329—58; [18] Franks J. M., «Aim.
Math.», 1981, v. 113, p. 529—52; [19] BirmanJ. S., W i 1-
1 i a m s R. F,, «Topology», 1983, v. 22, p. 47—82.
M. Ш. Фарбер, Л. В. Чернавский.
УЗЛОВАЯ ТОЧКА — точка само-
пересечения кривой. При парамет-
рич. задании кривой У. т. соответ-
ствует двум или более значениям па-
раметра. Например, у кривой р—
=а sin Зф У. т.— начало координат.
УИТНИ КЛАСС — см. Шти-
феля — Уитни класс.
УИТТЕКЕРА ПРЕОБРАЗОВА-
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное преобразова-
преобразование вида
^И = $" B*0~1/4 WX, v,Bxt)f(t)dt,
где Wx, у,(z) —функция Уиттекера. При A,=V4 и u. = =t
—1/4 У. п. переходит в Лапласа преобразование.
Лит.: [1] М е i j е г С. S., «Proc. Koninkl. ned. akad. wet.»,
1941, v. 44, p. 727—37. Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.
УИТТЕКЕРА УРАВНЕНИЕ — линейное однородное
обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го поряд-
где переменные z, w и параметры X, \i могут принимать
любые комплексные значения. Уравнение (*) пред-
представляет собой приведенную форму вырожденного ги-
гипергеометрического уравнения и впервые исследована
',). Уиттекером |1]. При Х = 0 У. у. эквивалентно Бес-
Бесселя уравнению. Если 2|х не является целым числом, то

фундаментальную систему решений У. у. составляют
функции Мх, ц (z) и М х, -ц (z); здесь Мх, ц (z) — Уитте-
кера функция. При произвольных значениях параметров
общее решение У. у. записывается также в виде линей-
линейной комбинации
w = C1Wk, ц (z) + C2W-K ц (- г),
где Wx, n(z) — функция Уиттекера.
Лит.: [1] Whiltaker Е. Т. «Bull. Amer. Math. Soc»,
1903, v. 10, p. 125—34; [2] У и т т е к е р О. Т., В а т с о и Д ж.
Н., Курс современного анализа, ч. 2, пер. с англ., 2 изд., М.,
1963; [3] Вейтмен Г., Э р д е й и А., Высшие трансценден-
трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Ле-
жандра, пер. сангл.,М., 1965; [4] К р а т ц е р А., Франц В.,
Трансцендентные функции, пер. с нем., М., 1963; [5] К а м к е Э.,
Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям,
пер. с нем., 5 изд., М., 1976. Н. X. Розов.
УИТТЕКЕРА ФУНКЦИИ — функции Мх, ц (г) и
W*-, ,u(z). к-рые являются решениями дифференциаль-
дифференциального Уиттекера уравнения
-4) —о.
Функция Wx, ц вводится равенством
WK , (г) ^ Г Г<-_1^ Мх, . (г)+г *™+ii) M,, _, (г).
Пары функций М1,ц(г) и Мх, -ц(г), IV4, ц (г)
п й'-я,, ц (—z) — линейно независимые решения урав-
уравнения (*). Точка z=0 — точка ветвления для Мх, ц(г)
и И^Я,, ц (z), z= oo — существенно особая точка.
Связь с другими функциями:
с вырожденной гипергеометрической функцией:
^(z^z^^^TMH-^ + Vs; 2,1 + 1; z),
с модифицированной Бесселя функцией и Макдоналъда
функцией:
с интегралом вероятности:
W x 1(z) = V лг1/4е2^ erf с
с Лагерра многочленами:
Лит..- [1] Б е Й т м е н Г., Э р д е й и А., Высшие трансцен-
трансцендентные функции, пер. с англ., [2 изд.], т. 2, М., 1974; [2] У и т-
текерЭ. Т., ВатсонДж. Н., Курс современного ана-
анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.
Ю. Л. Брычков, А. П. Прудников.
УИШАРТА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — совместное рас-
распределение элементов выборочной ковариационной мат-
матрицы для многомерного нормального распределения.
Пусть результаты наблюдений имеют р-мерное нормаль-
нормальное распределение Лг ((г, 2) с вектором средних |х
и ковариационной матрицей 2 . Тогда плотность распре-
распределения матрицы А =2- (^<—X)Wi—^О' определя-
определяется формулой ~
, л ,л,<"-'>" Г*""""'
W(n, 2)— ![ ; -
-1) р/2
. 2 .(п-1)/2 ТТР г / H-i
(sp Л — след матрицы Л), если матрица А положитель-
положительно определена, и w (п, 2) = 0 в остальных случаях.
Распределением У и ш а р т а с п степенями
свободы и матрицей 2 наз. ?-^—--мерное распределе-
распределение W(n, 2) с плотностью w(n, 2). Выборочная кова-

риационная матрица ?= -А, являющаяся оценкой
матрицы 2, имеет У. р.
У. р. является основным распределением в многомер-
многомерном статистич. анализе; оно является в определенном
смысле р-мерным обобщением одномерного «хи-квадрат»
распределения.
Если независимые случайные векторы X и Y имеют
У. p. W (пъ 2) и W(n2, 2) соответственно, то вектор
X+Y имеет У. p. W(ni+n2, 2).
Впервые У. р. было введено Дж. Уишартом [1].
Лит.: [llWishart J., «Biometrika», 1928, v. 20 А, р. 32—
52; [21 Андерсон Т., Введение в многомерный статистиче-
статистический анализ, пер. с англ., М., 19ВЗ. А. В. Прохоров.
УКЛОНЕНИЕ приближающей функ-
функции—расстояние р (g, f) между приближающей функ-
функцией g(.r)?K и заданной функцией /(г)?ШЪ В одном
и том же классе 5Ш могут рассматриваться различные
метрики р, напр. равномерная метрика
р (?,/)= max \g(x) — f(x)\,
а < х < Ь
интегральные метрики
Р(ё,
и др. В качестве класса К приближающих функций рас-
рассматриваются алгебраич. многочлены, тригонометрич.
полиномы, а также множества частичных сумм ортого-
ортогональных разложений функции / (ж) по ортонормиро-
ванным системам, линейные средние этих частичных
сумм и целый ряд др. множеств.
Лит.: Ill Ч е б ы ш е в П. Л., Поли. собр. соч., т. 2, М.—
Л., 1947; Г2] Н а т а н с о н И. П., Конструктивная теория
функции, М.— Л., 1949; [3] Гончаров В. Л., Теория ин-
интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;
U] А х и е з е р Н. И., Лекции по теории аппроксимации,
2 изд., М., 19В5; [5] Никольский С. М., Приближение
функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969.
А. В. Ефимов.
УЛЬТРАБОРНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО —
локально выпуклое пространство, являющееся индук-
индуктивным пределом банаховых пространств. В частности,
У. п. является локально выпуклым пространством,
для к-рого выполнены следующие условия: а) любое
ограниченное замкнутое множество является окрест-
окрестностью нуля; б) каждое его ограниченное замкнутое
подмножество полно. При отказе от условия б) полу-
получается т. н. борнологическое простран-
пространство (иногда оно наз. пространством Макки). Всякое
борнологич. пространство является пределом нормиро-
нормированных пространств.
Лит.: [1] Р о б е р т с о н А., Робертсон В., Тополо-
Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1907.
В. И. Ломоносов.
УЛЬТРАБОЧЕЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологи-
топологическое векторное пространство Е с топологией t, для
к-рой любая топология t'', обладающая базой окрест-
окрестностей нуля из г-замкнутых множеств, слабее тополо-
топологии t. Всякое тонологич. векторное пространство, не
являющееся множеством первой категории, ультрабо-
чечно. Из ультрабочечности локально выпуклого про-
пространства следует, что оно бочечно, однако бочечное
пространство может и не быть ультрабочечным.
Лит.: [1] Эдварде Р., Функциональный анализ, пер.
о англ., М., 1969; [2] Robertson W., «Proc. Lond. Math.
Soc», 1958, v. 8, Ki 30, p. 242—57. В. И. Ломоносов.
УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ, м н о-
гочлены Гегенбауэр а,— многочлены, орто-
ортогональные на отрезке [ — 1, 1] с весовой функцией h (х) =
= A — г) 2; частный случай Якоби многочленов при
а~~ Р"Х — ( Х^> гг ); Лежандра многочлены Рп(х) —
\_
2

Для У. м. принята стандартизация
Рп(.г, \)^С(?)(х) =
_(—2)" Г (п % +
п\ Г(Х)ГBя + 2Я) v ' dx"
V \ (A r2\
и имеет место представление
У. м. являются коэффициентами разложения в степен-
степенной ряд производящей функции
У. м. Сп (х) удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению
Наиболее употребительны формулы
(-*) = (-!)"<#'(*)-
Лит. см. при ст. Ортогональные многочлены.
П. К. Суетин.
УЛЬТРАФИЛЬТР — фильтр, являющийся макси-
максимальным в том смысле, что всякий содержащий его
фильтр совпадает с ним.
У. можно определить как систему подмножеств, удо-
удовлетворяющую трем условиям: 1) пустое множество ей
не принадлежит; 2) пересечение двух принадлежащих
ей подмножеств также ей принадлежит; 3) для любого
подмножества либо оно само, либо его дополнение при-
принадлежит этой системе.
Все У. делятся на два класса: тривиальные (или фик-
фиксированные) и свободные. У. наз. тривиальным,
если он представляет собой систему всех подмножеств,
содержащих нек-рую точку, такой У. наз. также фикси-
фиксированным на этой точке. У. наз. свободным, если
пересечение псех его элементов есть пустое множество,
другими словами, если он не фиксирован ни на какой
точке. Существование свободных У. недоказуемо без
Выбора аксиомы.
Для каждого фильтра имеется содержащий его У.,
более того, каждый фильтр есть в точности пересечение
всех содержащих его У.
Лит.: II] Бур баки Н., Общая топология. Основные
структуры, пер. с франц., М., 1968; [2]Куратовский К.,
Жостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970.
В. И. Малыхин.
УМНОЖЕНИЕ чисел — одна из основных ариф-
метич. операций. У. заключается в сопоставлении двум
числам а и b (называемым сомножителями)
третьего числа с (называемого произведением).
У. обозначается знаком X или • ; в буквенном обозна-
обозначении эти знаки, как правило, опускаются.
У. целых положительных тшсел определяется сле-
следующим образом через сложение: произведением чисел а
и Ь считается число с, равное сумме Ь слагаемых, каж-
каждое из к-рых равно а, так что
аЬ =- а -\~ а -(- . . . -j- a.
Ь раз

Число а при этом наз. м н о ж и м ы м, Ъ — множи-
множителем. У. положительных рациональных чисел —
и у- определяется равенством
т р тр
п q nq
(см. Дробь). Произведение двух отрицательных сомно-
сомножителей положительно, а положительного и отрицатель-
отрицательного — отрицательно, причем модуль произведения в
том и другом случае равен произведению модулей сомно-
сомножителей. Произведение иррациональных чисел опреде-
определяется как предел произведений их рациональных
приближений. У. комплексных чисел a = a-\-bi и C =
= c-!rdi задается формулой
а$ = (а-\-Ы) (c + di) = ac — bd-^ (ad-j-bc) i
или, в тригонометрия, форме, (a=rj (coscpj+г sin cj
P = r2(eos cp2-H sin ф2))
оср = Г!Г.2 (cos (ф1 + ф2) + г sin (Ф1 + Ф2))-
У. чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутив-
дистрибутивно слева и справа относительно сложения (см. Комму-
Коммутативность, Ассоциативность, Дистрибутивность).
При этом а -0 = 0, а Л — а.
В общей алгебре У. может называться любая алгеб-
алгебраическая операция («-арная, п^2); чаще всего —
бинарная операция (группоид). В нек-рых случаях эти
операции являются обобщением обычного У. чисел.
Напр., У. кватернионов, У. матриц, У- преобразова-
преобразований. Однако свойства У. чисел (напр., коммутатив-
коммутативность) в этих случаях могут утрачиваться.
О. А. Иванова.
УНАРНАЯ АЛГЕБРА, у н о и д,— универсальная
алгебра <А, {/,|г?/}> с семейством {/,|г?/} унар-
унарных операций f,-:A ->- А .
Важный пример У. а. дает групповой гомоморфизм
Ф : G -v SА произвольной группы G в группу Sд всех
подстановок множества А. Такой гомоморфизм нав.
действием группы G на А . Определяя унарную
операцию fg\A-*-A для каждого элемента g?G как
подстановку ф (g) из SА, отвечающую элементу g при
гомоморфизме ф, получают У. а. </4, {fg\g?G}>,
в к-рой
Ы*)---*, fgUh(z)) = 1gh(x), х ? A, g, h?G.
Структуру У. а. несет на себе любой модуль над коль-
кольцом. Каждый детерминированный полуавтомат с мно-
множеством состояний S и входными символами al5 . . .,
ап также можно рассматривать как У. а. <S, f1, . . .,
/„>, в к-рой /,-(js)==a,-s есть состояние, следующее за
состоянием s в зависимости от входного символа а,-.
У. а. с одной основной операцией наз. моноунар-
моноунарной, или у н а р о м. Примером унара может служить
алгебра Пеано <Р, />, где P={i, 2,. . .} и /(га) —
= ге+1.
Тождества произвольной У. а. могут быть лишь сле-
следующих типов:
Их. fil...ftjx) = fjl...fil(y),
h- fu---ft, <*>-¦=*. »2- f,\.--ftA*)=y,
fi ft
I3. x — x, II3. x — y.
Тождество II2 равносильно тождеству П3, выполнимому
лишь в одноэлементной алгебре. Многообразие У. а.,
определяемое лишь тождествами вида 11; 1.2 или 13,
наз. регулярно определимым. Существует
следующая связь между регулярно опреде-
определимыми многообразиями У. а. и полугруппами
(см. [1], [3], [4]).

Пусть I" — регулярно определимое многообразие
У. а., заданное множеством {/,-|г^/}, / ф 0, функцио-
функциональных символов и множеством 2 тождеств. Каждому
символу /,- сопоставляется элемент а,-, а для каждого
тождества вида It из 2 выписывается определяющее со-
соотношение
Пусть Р — полугруппа с порождающими a;, i?l, и вы-
выписанными определяющими соотношениями, а Р1 — по-
полугруппа Р с внешне присоединенной единицей е. Для
каждого тождества вида 12 из 2 (если такие имеются)
выписывают определяющее соотношение а^ . . . а,- =е.
Полугруппу Ру, получаемую из Р1 присоединением
всех таких определяющих соотношений, и считают
соответствующей многообразию Г. Она во многом
характеризует это многообразие. Если 2 содержит
лишь тождества вида ]1; то можно ограничиться
построением лишь полугруппы Р. Определяя в Pv
унарные операции fi(x)=-xaj, получают У. а.
(Ру> {fi\ г€^}5, к-рая является F-свободноп алгеб-
алгеброй ранга 1. Группа всех автоморфизмов У. а.
(Pvi \fi\'?I}y изоморфна группе Ру обратимых эле-
элементов полугруппы Ру.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы,
М., 1970; Г2] Б и р к г о ф Г., Б а р т и Т., Современная при-
прикладная алгебра, пер. с англ., М., 1976; 13] Смирнов Д. М.,
«Алгебра и логика», 1976, т. 15, J\S 3, с. 331—42; [4] е г о же,
там же, 11O8, т. 17, № 4, с. 468—77; [5] Jonsson В., Topics
in universal algebra, В.— Hdlb.— N. Y., 1972. Д. М. Смирнов.
УНИВЕРСАЛЬНАЯ АЛГЕБРА — алгебраическая
система с пустым множеством отношений. У. а. часто
называют просто алгеброй. Для У. а. справед-
справедлива теорема о гомоморфизме: если <р —
гомоморфизм У. а. А на У. а. В и 0 — ядерная конгру-
конгруэнция гомоморфизма <р, то В изоморфна факторалгеб-
ре Л/0. Всякая У. а. разлагается в подпрямоо произ-
произведение иодпрямо неразложимых У. а.
Если к основным операциям алгебры А присоединить
все производные операции, то возникает У. а. А боль-
большей сигнатуры. Равенство А=В возможно и при АфВ,
что приводит к понятию рациональной эквивалентно-
эквивалентности У. а. (см. Универсальных алгебр многообразие).
С каждой У. а. А связаны сопутствующие
структуры: моноид всех эндоморфизмов End A,
группа всех автоморфизмов Aut A, решетки всех под-
подалгебр Sub А и всех конгруэнции Con A . Для любых
группы G и алгебраических решеток U и С существует
такая У. а. А, что G^Aut A, L/ssSub А и C^Con A
(см. [12]). Однако при замене Aut А на End А аналогич-
аналогичный результат не имеет места. Такого рода задачи наз.
абстрактными задачами pea л из а-
ц и и. Пример решения конкретной задачи
реализации: система подмножеств U множества А
совпадает с Sub А для нек-рой У. а. с носителем А
тогда и только тогда, когда U замкнута относительно
объединения направленных подсистем и произвольных
пересечений [И]. Как абстрактную, так и конкретную
задачи реализации можно решать и для заданного
класса У. а. Исследовались У. а. с теми или иными
ограничениями на сопутствующие структуры. Напр.,
У. а. с дистрибутивной или дедекиндовой решеткой
конгруэнции, с двуэлементной решеткой конгруэн-
конгруэнции (конгруэн ц-п р о с т ы е У. а.), с одноэле-
одноэлементной или двуэлементной решеткой подалгебр
(простые У. а.), с коммутативным моноидом эндо-
эндоморфизмов, с одноэлементной группой автоморфизмов
(жесткие У. а.) и т. п. У. а. с перестановочными
конгруэнциями изоморфна прямому произведению ко-
конечного числа конгруэнц-простых алгебр тогда и только
тогда, когда решетка ее конгруэнции удовлетворяет
условию максимальности, а точная верхняя грань ее

минимальных конгруэнции равна наибольшей конгру-
энции. У. а. с дистрибутивной решеткой конгруэнции
и перестановочными конгруэнциями (арифмети-
(арифметические У. а.) допускают представление в виде гло-
глобального сечения подходящих пучков. Исследовалось,
насколько У. а. определяется той или иной из своих
сопутствующих структур. Впрочем, большинство ре-
результатов такого рода касается конкретных классов
У. а. ([9] - [12], [15]).
У. а. наз. функционально полной, если
всякая операция на ее носителе принадлежит клону,
порожденному ее основными операциями и константа-
константами. Если отказаться от включения констант, то полу-
получается определение ц р и м а л ь н о й (или строго
функционально полной) У.а. Принад-
Принадлежность к вышеупомянутому клону всех операций,
сохраняемых конгруэнциями, определяет а ф ф и н н о
полную У. а. Всякая функционально полная У. а.
конечна. Поэтому требование конечности часто вклю-
включают в определение перечисленных классов У. а. (см.
[9], [13], [14]).
Формирование теории У. а. началось в 30—40-х гг.
20 в., когда были сформулированы основные определе-
определения, охарактеризованы многообразия универсальных
алгебр и доказана теорема о нодпрямых разложениях
(см. [7], [8]). Предыстория теории У. а. восходит к
прошлому столетию. Активные исследования в этой об-
области начались в кон. 40-х гг., а в СССР — в нач.
50-х гг. (А. Г. Курош, А. И. Мальцев и их ученики).
Привлечение методов математич. логики привело к
рассмотрению алгебраических систем.
Термин «У. а.» употребляется также в смысле «тео-
«теория универсальных алгебр».
Лит.: [1] Б ир к г оф Г., Теория решеток, пер. с англ.,
2 изд., М., 1983; [2] Кон ГГ., Универсальная алгебра, пер.
с англ., М., 19В8; [3] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре,
2 изд., М., 1973; [4] его же, Общая алгебра. Лекции 1969—
1970 учебного года, М., 1974; [5] М а л ь ц е в А. И., Алгебра-
Алгебраические системы, М., 1970; [6] С к о р н я к о в Л. А., Элемен-
Элементы общей алгебры, М., 1983; [7] В i r k h о ( ( G., «Proc. Camb-
Cambridge Phil. Soc», 1935, v. 31, p. 433—54; [8] его же, «Bull.
Amcr. Math. Soc», 1944, v. 50, p. 764—68; [9] G r a t z e r G.,
Universal algebra, 2 ed., N. Y,— Hdlb.— В., 1979; [10] H u T a h-
K a i, «Math. Nachr.», 1960, Bd 42, N1—3, S. 157—71; [11]
J d n s s о n В., Topics in universal algebra, B.— Hdlb.— N. Y.,
1972; [12] L a m p e W. A., «Algebra universalis», 1972, v. 2,
N 3, p. 270—83, 286—95, 296—302; [13] P i X 1 e у A. F.,
«Coll. Math. Soc. J. Bolyai», 1982, v. 29, p. 583—608; [14] W e r-
n с г H., Discriminator-algebras, В., 1978; [15] W о 1 f A.,
«Mem. Amer. Math. Soc», 1974, v. 148, p. 87—93.
Л. А. Скорняков.
УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА
алгебры Ли д над коммутативным
кольцом к с единицей — ассоциативная к-
алгебра U (д) с единицей, снабженная отображением
о : д -*¦ U (д), для к-рой выполнены следующие свой-
свойства: 1) о является гомоморфизмом алгебр Ли, т. е. о
^-линейно и о ([.с, г/]) = о (х) -а (у)—а(у)-а(х), х, г/6д;
2) для любой ассоциативной fc-алгебры А с единицей и
всякого такого А:-линейного отображения а : $ -*¦ А,
что а([х, у])=^а.{х)а.(у)~а(у)а(х), х, у ?q, существует
единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр
Р : U (д) -*¦ А, переводящий единицу в единицу, для
к-рого а=ро0. у. о. а. определяется однозначно с
точностью до изоморфизма и всегда существует: если
Т (д) — тензорная алгебра А-модуля д, / — ее дву-
двусторонний идеал, порожденный элементами вида [х, у] —
— х<$у-\-у®х, х, #?д и о : д ^- Т (д)// — канониче-
каноническое отображение, то Т (д)// — У. о. а. для д.
Если к нётерово, а модуль д конечного порядка, то
алгебра U (д) — нётерова слева и справа. Если д —
свободный модуль над областью целостности к, то U (д)
не имеет делителей нуля. Для любой конечномерной
алгебры Ли д над полем к алгебра U (д) удовлетворяет
условию Оре (см. Вложение полугруппы) и тем самым
обладает телом частных.

Если V — нек-рый k-модуль, то всякий гомоморфизм
алгебр Ли g -*¦ End V продолжается до гомоморфизма
ассоциативных алгебр U (а) -»- End V. Этим устанав-
устанавливается изоморфизм категории g-модулей и категории
левых U (д)-модулей, существование к-рого лежит в
основе применений У. о. а. в теории представлений
алгебр Ли (см. [3], [4]).
У. о. а. прямого произведения алгебр Ли дь . . .,
д„ есть тензорное произведение алгебр U (#(). Если
f) — подалгебра в д, причем I) и д/[) — свободные
fc-модули, то канонический гомоморфизм U (ft) -*- U (g)
является вложением. Если к' — расширение поля к,
то t/(g®ftA')=^C)®fe^. У. о. а. обладает канони-
канонической фильтрацией U0(q)c:Ul(Q)c:...czUn(gl)c:...,
где r/,|(g) = fc-l, а t/n(g), га>0,— fc-иодмодуль в
U (g), порожденный произведениями а^^.-.а^д,),
m*gn, ri?$i для всех /. Ассоциированная с этой
фильтрацией градуированная алгебра grl/ (g) комму-
коммутативна и порождается образом естественного отобра-
отображения g-*-grf?(g); :>то отображение определяет
гомоморфизм б симметрической алгебры S (g) й-модуля
g в gr t/ (д). Согласно теореме-Пуанкар е—
Б и р к г о ф а — В и т т а б : 5 (д) -»- grt/ (д) — изо-
изоморфизм алгебр, если д — свободный А-модуль. Экви-
Эквивалентная формулировка состоит в следующем: если
{•"ч'Ке! — базис А-модуля д, где / — линейно упоря-
упорядоченное множество, то семейство одночленов а (-с/,)...
a(;ri'n)i 4<..-<«n, ">0, образует базис fc-модуля С/(д)
(в частности, о инъективно).
Пусть Z (д) —центр алгебры ?/(д). Тогда для любой;
конечномерной алгебры Ли д над нолем характери-
характеристики 0 gr Z (g)czgr U (g) = iS (g) совпадает с подал-
подалгеброй G-инвариантных элементов в S(q). Если g
нолупроста, то Z (g) является алгеброй многочленов от
rkQ переменных.
Одним из важнейших направлений исследования
У. о. а. является изучение их примитивных идеалов
(см. [3]).
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры
Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М.,
1976; 12] е г о же, Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картана,
регулярные элементы, расщепляемые по.чупростые алгебры
Ли, пер. с франц., М., 1078; [3] Д и к с и ь е Ж., Универсаль-
Универсальные обертывающие алгебры, пер. с франц., М., 1978; [4] К и-
риллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд.,
М., 1978; [5] Гельфанд И. М., «Матем. сб.», 1950, т. 26,
с. 103 — 12; 16J С с ji p Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер.
с англ. и франц., М., 1УИ9. В. Л. Попов.
УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ для данного класса
К функций типа М" -* l\j — функция F(у, х}, . . ,,
,г„) тина N" + 1—>-N такая, что для всякой /(хи . . .,
хп)?& найдется i?N, при к-ром
f (хг, ..., xn) = F(i, хи ..., хп). (*)
Здесь N — множество натуральных чисел, а равенство
(*) означает, что функции /(.гь . . ., ,т„) и F(i, .гъ . . .,
эгп) определены на одних и тех же наборах аргументов
хх, . . ., хп и их значения на этих наборах совладают.
Иногда в определении У. ф. требуется, чтобы для всех
'€N функция F(i, хг, . . ., хп) принадлежала классу
К (см. [4]). Имеются также др. варианты определения
У. ф. (см. (Ц, [2]).
У. ф. существуют для всякого счетного класса фун-
функций. Следующие У. ф. играют важную роль в теории
алгоритмов: 1) универсальные частично
рекурсивные функции для классов всех
«-местных (/г^О) частично рекурсивных функций, 2)
общерекурсивные У. ф. для классов всех га-местных
примитивно рекурсивных функций.
Если функция ф(;/, .г) универсальна для класса всех
одноместных частично рекурсивных функций, то она не
продолжается до рекурсивной всюду определенной
функции, а множество {.г|ф(.г, х) определена} явля-

ется примером перечислимого, но не разрешимого
множества натуральных чисел.
Лит.: [|] Петер Р., Рекурсивные функции, пер. с нем.,
М., 1954; 12] К л и н и С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957; [3] Успенски й В. А., Лекции о вы-
вычислимых функциях, М., 1060; [4] Мальцев А. И., Алго-
Алгоритмы и рекурсивные функции, М., 1965. С. Н. Артемов.
УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО, у н и в е р-
с у м,— нек-рое множество, фиксированное в рамках
данной математич. теории и содержащее в качестве
элементов все объекты, рассматриваемые в этой теории.
Напр., для элементарной арифметики У. м. является
множество всех целых чисел. Особую роль играет ¦
понятие У. м. в теории множеств. Объектами исследо-
исследования в ней являются множества, поэтому У. м. здесь
является совокупность всех множеств; однако оно уже
не является множеством, т. е. не может быть объектом
рассмотрения в теории множеств. На это указываю!
парадоксы, связанные с понятием множества всех
множеств (напр., антиномия Кантора).
Множество всех множеств становится объектом иссле-
исследования в теории .множеств и классов. В этой теории
наряду с множествами рассматриваются классы — объек-
объекты, к-рые не могут быть членами др. множеств или
классов.
Лит.: [1] К лини С. К., Математическая логика, пер,
с англ., М., 1У73; [2] Ф р е н к е л ь А.-А., Б а р-Х и л л е л II.,
Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966.
УНИВЕРСАЛЬНОЕ НАКРЫТИЕ — накрытие, к-ро-
му подчинены или к-рыми накрываются все остальные
накрытия. М. И. Войцеховский.
УНИВЕРСАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологич.
пространство, содержащее гомеоморфный образ любого
топологич. пространства нек-рого класса. Примеры:
1) С [0,1], см. Банахово пространство;
2) гильбертов кирпич и тихоновский куб;
3) кривая Менгера (см. Линия);
4) универсальное расслоение Милнора (см. Главное
расслоение).
Свойство универсальности обеспечивает рассмотре-
рассмотрение нек-рого абстрактно заданного объекта как под-
объекта более простого (с категорной точки зрения)
и тем самым наделяет его «внешними» свойствами,
большим богатством. С другой стороны, этим подчерки-
подчеркивается отношение «частное от общего».
Лит.: [1] А л е к с а н д р о в П. С, Введение в теорию
множеств и общую топологию, М., 1977; [2] К о н П., Универ-
Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968.
М. -И. Войцеховспий.
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ для данного клас-
класса алгоритмов — алгоритм с входным параметром р,
к-рып при различных допустимых значениях р модели-
моделирует работу любого алгоритма данного класса. Различ-
Различным формализациям вычислимости соответствуй)! раз-
различные уточнения понятия У. а.: для рекурсивных
функций ото универсальная частично рекурсивная
функция (см. Универсальная функция), для Тьюринга
машин — это универсальная машина Тьюринга, для
нормальных алгорифмов — это универсальный нормаль-
нормальный алгорифм, и т. д.
Лит.: [1] Успенский В. А., Лекции о вычислимых
функциях, М., 1960; Г2] Мальцев А. И., Алгоритмы и ре-
рекурсивные функции, М., 1965; |3] Роджерс X., Теория
рекурсивных функций и аффективная вычислимость, пер. с
англ., М., 1972. С. Н. Артемов.
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ АЛГОРИФМ-
нормальный алгорифм (н. а.) 5Р, к-рый в уточненном
ниже смысле моделирует работу любого н. а. в алфавите
/4 = {aj, . . ., ап}. Н. a. 5J5 в алфавите Б^)А [J {а, р>,
V, 6} (А не содержит букв а, Р, у, 6) является у н и-
вереальным для алфавита А, если для всякого
н. а. % в алфавите А и для каждого слова Р в алфавите А
58 B[И6Р)~2((Р).
Здесь 51й ость изображение н. а. (см. Алгоритма
изображение), а символ б из Б играет роль разделитель-

яого знака. Существование У. н. а. доказал А. А. Мар-
Марков (см. [1]). Важной характеристикой У. н. а. явля-
является его сложность, т.е. длина его изображения
(см. также Алгоритма сложность описания). Для мини-
минимальной сложности У. н. а. как функции от п (коли-
(количества символов в алфавите А) получены отличающиеся
лишь на аддитивную константу нижняя и верхняя оцен-
оценки вида Ъп-\-С (см. |2]).
Лит.: И] М a ]i к о в А. А., Теория алгорифмом, М.—Л.
1954 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 42); 12] Ж а р о в В. Г., О
сложности универсального нормального алгорифма, в сб.: Тео-
Теория алгорифмов и математическая логика, М., 1974, с. 34—54.
С. Н. Лрт?мов.
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ РЯД — функциональный ряд
2Г=1<И*)> ж€[а, Ь], A)
с помощью к-рого могут быть представлены в том или
ином смысле все функции заданного класса. Напр., су-
существует такой ряд A), что для каждой непрерывной
на \а, Ь] функции / найдется подпоследовательность
частных сумм этого ряда 2._fe, "Pi (•*•)> сходящаяся к / (х)
равномерно на [а, Ь].
Существуют тригонометрические ряды
-^- + 2?=1 (а< cos «+*(-sin ix) B)
со стремящимися к нулю коэффициентами такие, что
для каждой измеримой (по Лебегу) на fO, 2л] функции /
имеется подпоследовательность частных сумм ряда B),
сходящаяся к / (х) почти всюду.
Указанные ряды наз. универсальными относительно
подпоследовательностей частных сумм. Рассматри-
Рассматриваются также др. определения У. р. Напр., ряды A),
универсальные относительно подрядов 2 _ Ф;й W или
относительно перестановок членов ряда (i).
Лит.: |1] Алексия Г., Проблемы сходимости ортого-
ортогональных рядов, пер. с англ., М., 19ВЗ; 12] Бари Н. К., Три-
Тригонометрические ряды, М., 1961; [3] Талалян А. А., «Ус-
«Успехи матем. наук», 1960, т. 15, № 5, с. 77—141.
С. А. Теляковский.
УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР МНОГООБРАЗИЕ —
класс универсальных алгебр, определяемы» системой
тождеств (ср. Алгебраических систем многообразие).
У. а. м. характеризуется как непустой класс алгебр,
замкнутый относительно факторалгебр, подалгебр и
прямых произведений. Последние два условия можно
заменить требованием замкнутости относительно под-
прямых произведений. У. а. м. наз. тривиаль-
тривиальным, если оно состоит из одноэлементных алгебр.
Каждое нетривиальное У. а. м. содержит свободную ал-
алгебру с базой любой мощности. Если X и У — базы од-
одной и той же свободной алгебры нетривиального У. а. м.
и X бесконечна, то X и Y равномощны. Требование
бесконечности одной из баз существенно. Оно может
быть снято, если У. а. м. содержит неодноэлементную
конечную алгебру.
У. а. м., порожденное классом' А', состоит из всех
факторалгебр всевозможных подпрямых произведений
алгебр из К. Все конечно порожденные алгебры из
У. а. м., порожденного конечной алгеброй, конечны.
Конгруэнции любой алгебры из У. а. м. М сигнатуры
Q перестановочны в том и только в том случае, когда
существует такой тернарный терм / сигнатуры Q, что
тождества
/(*, х, y)=y = f {у, х, х)
справедливы во всех алгебрах из М. Аналогичным
образом могут быть охарактеризованы У. а. м., чьи
алгебры обладают людулярными или дистрибутивными
решетками конгруэнции (см. [1—4, 7, 9, 10|).
В многообразии М /(-арная операция / на;), три-
тривиальной, если во всех алгебрах из М справедливо

тождество /(xj,. . ., хп)— /(?/i,. . ., уп). Напр., в много-
многообразии колец с нулевым умножением операция умно-
умножения тривиальна. Каждую тривиальную операцию /
можно заменить О-арной операцией vf, определяемой
равенством \f=f(x1,. . ., хп). Пусть сигнатуры Q и Q'
У. а. м. М и М' соответственно не содержат тривиаль-
тривиальных операций. Отображение Ф сигнатуры Q в множе-
множество W(Q') термов сигнатуры Q' наз. допусти-
м ы м, если арности операций / и Ф (/) совпадают для
всех /?Q. Допустимое отображение Ф естественным
образом продолжается до отображения W(Q) в W(Q'),
к-рое также обозначается Ф. Многообразия М и М'
наз. рациональн о-э к в и в а л е н т н ы м и,
если существуют допустимые отображения Ф : Q -»-
->- W(Q') и Ф' : й'-> W(Q) такие, что / --- Ф'(Ф(/))
для всех f?Q, /'Ф (Ф' (/')) для всех /'?&' и для каж-
каждого тождества u—v (соответственно u' = v'), входя-
входящего в определение многообразия М (многообразия М'),
тождество Ф (и) — Ф (v) (соответственно Ф' (и')--Ф' (v'))
справедливо во всех алгебрах из М' (из М). Последнее
требование равносильно тому, что каждая алгебра А
из М {А' из М') превращается в алгебру из М' (из М),
если каждую и-арную операцию /' из Q' (/ из Q) опре-
определить равенством }'(хг, . . ., хп) = Ф' (/') (.г,, . . ., хп)
(соответственно f (хг, . . ., хп)=Ф (/) (хи . . ., ./•„)). Ра-
Рационально эквивалентны многообразия булевых колец
и булевых алгебр. Многообразие унарных алгебр сигна-
сигнатуры Q, определяемое тождествами
рационально эквивалентно многообразию всех левых
R-полигоное, где R — фактормоноид свободного монои-
моноида со свободной порождающей системой Q по конгруэн-
конгруэнции, порожденной всеми парами {(иь , l\ )[t?0}- У. а. м.
М рационально эквивалентно многообразию всех ира-
вых модулей над нек-рым ассоциативным кольцом тогда
и только тогда, когда конгруэнции любой алгебры из
М перестановочны, конечные свободные произведения в М
совпадают с прямыми произвеОениями и существует
нуль-арная производная операция, отмечающая подал-
подалгебру. Первые два условия можно заменить требова-
требованием: каждая подалгебра любой алгебры из М явля-
является классом нек-рой конгруэнции и каждая конгруэн-
конгруэнция любой алгебры из М однозначно определяется
своим классом, являющимся иодалгеброй [3, 5, 6, 7J.
Многообразие решеток, порожденное решетками кон-
конгруэнции всех алгебр нек-рого У. а. м., наз. к о в г р у-
э н ц-м н о г о о б р а з и е м. Но всякое многообразие
решеток является конгруэнц-многообразием. Сущест-
Существуют не модулярные конгруэнц-многообразия, отлич-
отличные от многообразия всех решеток [7, 8].
Лит.: [1] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ.,
М., 1968; 1.2] К у р о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд.,
М., 1973; la] М а л ь ц е в А. И., Алгебраические системы, М.,
1!O0; [4] Скорняков Л. А., Элементы общей алгебры, М.,
1Э8.Ч; 15] Ч а к а н ь Б.,«Ас1.а Sr.ient. Math.» 1963, t. 24, ЛЬ 1 — 2,
1J. 157 -64; [6] его ж е, там же, 1964, t. 25, J» 3—4, р. 202—08;
F7J GrStzerG., Universal algebra, 2 ed., N. Y,—Hdlb,—
В., 1979; [8] J б и s s о n В., «Coll. Math. Soc. J. Bolyai», 1982,
v. 29 p. 421 —38; 19] Smith J. D. H., Mal'cev varieties,
В.— Hdlb.— N. Y., 1976; [10] Taylor W., «Algebra univer-
salis», 1973, v. 3, Л5 3, p. 351—97. Л. А. Скорняков.
УНИКУРСАЛЬНАЯ КРИВАЯ — плоская кривая
Г, к-рую можно обойти, побывав дважды только в точ-
точках самопересечения. Для того чтобы кривая была
уникурсальной, необходимо и достаточно, чтобы у нее
было не более двух точек, через к-рые проходит нечет-
нечетное число путей. Если Г — плоская алгебраич. кривая
re-го порядка, имеющая максимальное число б двойных
точек (включая несобственные и мнимые), то 6 =
("~ м»—-') (примем точки кратности к рассматрива-
рассматриваются как —Ц двойных точек).

Всякий интеграл \ R (x, y)dx, где у — функция от х,
определяемая уравнением F(x, г/) = 0, задающая алгеб-
раич. У. к., a R (х, у) — рациональная функция, приво-
приводится к интегралу от рациональных функций и выража-
выражается в элементарных функциях. м. и. Войцеховский.
УНИМОДАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, одно-
одновершинное распределение,— вероят-
вероятностная мера на прямой, функция распределения к-рой
F (х) выпукла при х<Са и вогнута при з">а для нек-рого
действительного а. Число а в этом случае наз. модой
(вершиной) и определяется, вообще говоря, не-
неоднозначно; точнее, множество мод (вершин) данного
У. р. образует замкнутый интервал, возможно, вырож-
вырожденный.
Примерами У. р. служат нормальное распределение,
равномерное распределение, Коши распределение. Стъю-
дента распределение, «Хи-квадрат» распределен иг.
А. Я. Хинчин [1] получил следующий к р и т е р и п
у н и м о д а л ь н о с т и: для того чтобы функция
f(t) была характеристич. функцией У. р. с модой в нуле,
необходимо п достаточно, чтобы она допускала пред-
представление
1
где ер (и) — нек-рая характеристич. функция. В терми-
терминах функций распределения это равенство эквивалентно
следующему
где F(x)\iG(x) соответствуют / (t) и ер (г). Иными слова-
словами, F (х) унимодальна тогда и только тогда,
когда она является функцией распределения произве-
произведения двух независимых случайных величин, одна из
к-рых распределена равномерно на отрезке [0, 1].
Для распределений, к-рые задаются своими характе-
характеристич. функциями (как, напр., для устойчивого рас-
распределения), проверка факта их унимодальности пред-
представляет трудную аналитич. задачу. Кажущийся естест-
естественным путь представления данного распределения
как предела композиции У. р. не приводит к цели, т. к.,
вообще говоря, композиция двух У. р. не будет У. р.
(хотя для симметричных распределений унимодаль-
унимодальность сохраняется при композиции и долгое время
казалось, что так будет в общем случае). Напр., если
F имеет плотность
р (х) = 1, О < *<-§¦ и р(г) = 0
в др. случаях, то плотность комло.шцнм F с /¦* имеет
два максимума. Поэтому было введено (см. [2J) понятие
сильной унимодальности (сильной одновершинное™):
распределение наз. сильно унимодальным
(сильно одновершинным), если его свертка
с любым У. р. унимодальна. Всякое сильно унимо-
унимодальное распределение является У. р.
Решетчатое распределение, приписывающее точкам
a-\-hk, к—О, ± 1,. . ., /t>0, вероятности рк наз. У. р.,
если существует такое целое к0, что р^ как функция от к
является неубывающей при к^.к0 и невозрастающей
при к^к0. Примерами решетчатых У. р. являются
Пуассона распределение, биномиальное распределение,
геометрическое распределение.
Нек-рые результаты, касающиеся распределений,
могут быть усилены в предположении унимодальности.
Так, напр., Чебышева неравенство для случайной ве-
величины |, имеющей У. р., можно уточнить следующим
образом
?{\1-хо\ э=*?}<^
для любого к>0, где х0 — мода, а ?2 = Е(?—х0)'2.

Лит.: [1] Хинчин А. Я., Об унимодальных распределе-
распределениях, «Изв. НИИ матем. и мех. ун-та», Томск, 1938, т. 2, в. 2,
с. 1 — 7; [2] Ибрагимов И. А., О композиции одновер-
одновершинных распределений, «Теор. вероятн. и ее примен.», 1956,
т. 1, в. 2, с. 283—88; [3] Ф е л л е р В., Введение в теорию веро-
вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1967.
УНИМОДУЛЯРНАЯ ГРУППА - топологическая
группа, левоинвариантная Хаара мера на к-рой право-
инвариантна или, что равносильно, инвариантна отно-
относительно преобразования a i—> а-1. Группа Ли G уни-
модулярна тогда и только тогда, когда
|detAdg| = l (g?G),
где Ad — присоединенное представление. Для связ-
связных групп Ли G ото равносильно тому, что tr ad r=0
(^€fl)i гДе ad — присоединенное представление ал-
алгебры Ли g группы G. Любая компактная, дискретная
или абелева локально компактная группа, а также лю-
любая связная редуктивная или нилытотентная группа
Ли унимодулярна. а. л. Онищик.
УНИМОДУЛЯРНАЯ МАТРИЦА — квадратная мат-
матрица, определитель к-роп равен ±1. Иногда, при рас-
рассмотрении матриц над коммутативным кольцом, пол
У. М. ПОНИМаЮТ обратимую Матрицу. О. А. Ивашка.
УНИМОДУЛЯРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — линей-
линейное преобразование конечномерного векторного про-
пространства, матрица к-рого имеет определитель ±1.
О. А. Иванова.
УНИПОТЕНТНАЯ ГРУППА — подгруппа U линей-
линейной алгебраич. группы G, состоящая из унипотентных
элементов. Если отождествить G с ее образом при изомор-
изоморфном вложении в группу GL (V) автоморфизмов подхо-
дящего конечномерного векторного пространства V,
то У. г.— это подгруппа, лежащая в множестве
{g ?GL(V)\(l-g)" = 0}, K=-dimF,
всех унипотентных автоморфизмов пространства V.
Зафиксировав в V базис, можно отождествить GL (V)
с полной матричной группой GLn(K), где К — основ-
основное алгебраически замкнутое поле; матричная груп-
группа U также называется при этом У. г. Пример У. г.—
группа Uп(К) всех верхнетреугольных матриц ил
GLn(K) с единицами на диагонали. Если к— подполе
поля К в U — унипотентная подгруппа uGLn(k), то U
сопряжена над к с нек-рой подгруппой группы Un(k).
В частности, все элементы из U имеют в V общий нену-
ненулевой неподвижный вектор, a U является нильпотент-
ной группой. Эта теорема показывает, что алгебраичес-
алгебраические У. г.— это в точности замкнутые (в топологии За-
риского) подгруппы групп Uп(К) при различных //.
В любой линейной алгебраич. группе // имеется
единственная связная нормальная унипотентная под-
подгруппа R„ (//) (у н и и о т е н т н ы й р а д и к а л),
фактор Н1Ни(П) по к-рому редуктивен. Ото в известно!!
степени сводит изучение строения любой группы к изу-
изучению строения редуктивных групп и У. г. В отличие от
редуктинного случая классификация алгебраических
У. г. к настоящему времени A984) неизвестна.
Всякая подгруппа и всякая факторгруппа алгебраи-
алгебраической У. г. снова являются У. г. Если char К=0,
то U всегда связна, причем экспоненциальное отобра-
отображение ехр : й -»- U (где и. — алгебра Ли группы U)
является изоморфизмом алгебраич. многообразий; если
же char Й" = р>0, то существуют несвязные алгебраи-
алгебраические У. г.: напр., аддитивная группа Ga основного
ноля К (ее можно отождествить с U2(K)) является
р-группой и потому содержит конечные У. г. В связной
У. т. U имеется такая последовательность нормальных
делителей U=~U{Z)U2Z}. ¦ -Z}Us—{e}, что все факторы
U;/U, + 1 одномерны. Всякая связная алгебраическая
одномерная У. г. изоморфна Ga. Это сводит изучение
связных алгебраических У. г. к описанию кратных
расширений групп тина Gu.

Значительно больше, чем в общем случае, известно о
коммутативных алгебраических У. г. (см. [4]). Если
char K=0, то это в точности алгебраич. группы, изо-
изоморфные GaX . . .XGa; при этом изоморфизм GaX . . .
XGa->- U задается экспоненциальным отображением.
Если же char /f=p>0, то связные коммутативные ал-
алгебраические У. г. U — это в точности связные комму-
коммутативные алгебраич. группы, являющиеся р-группами.
В этом случае U не обязательно изоморфна GaX . . .
XGa: для этого необходимо и достаточно, чтобы gP=e
для любого g?U. В общем же случае U пзогенна про-
произведению нек-рых специальных групп (т. н. групп
Витта, см. [2]).
Если Я и С — связные алгебраические У. г. и HczU,
то многообразие UlH изоморфно аффинному простран-
пространству. Любая орбита алгебраической У. г. автоморфиз-
автоморфизмов аффинного алгебраич. многообразия X замкнута в
X 15].
Лит.: [1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] С е р р Ж. П., Алгебраические груп-
группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [3] X а м ф р и Д ж..
Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [4J
KambayachiT., Mi у anishi M., TakeuchiM.
Unipotent algebraic groups, В.— [а. о.], 1974; [5] Stein-
bergR., Conjugacy classes in algebraic groups, В.— [a. o.]
1974. в. Л. Попов.
УНИПОТЕНТНАЯ МАТРИЦА — квадратная матри-
матрица А над кольцом, для к-рой матрица А—Еп, где п —
порядок матрицы Л, нилыютентна, то есть (А—Еп)"=
=0. Матрица над полем порядка п унипотентна тогда
и только тогда, когда ее характеристический многочлен
ecu. (x— 1)".
Группа матриц наз. унипотентной, если каж-
каждая ее матрица унипотентна. Любая унипотентная под-
подгруппа в GL (га, F), где F — поле, сопряжена в GL (n,F)
с нек-рой подгруппой специальной треугольной группы
(теорема Колчина). Это утверждение спра-
справедливо и для унипотентных групп над телом, если
характеристика тела либо равна 0, либо больше нек-
рого у(п). Д. А. Супруненко.
УНИПОТЕНТНЫЙ ЭЛЕМЕНТ — элемент g линей-
линейной алгебраич. группы G, совпадающий с унинотентной
компонентой gu своего Шордана разложения в группе
G. Если реализовать G как замкнутую подгруппу груп-
группы GL (V) автоморфизмов конечномерного векторного
пространства V над основным алгебраически замкнутым
полем К, то У. э. g — это в точности такие элементы,
что A — #)n=0, n = dim V, или, что их матрицы в не-
к-ром базисе пространства V являются верхне-треуголь-
ными с единицами на диагонали. Множество U (G)
всех У. э. в G замкнуто в топологии Зариского, а если
G определена над подполем kcK, то и U (G) определено
над к. Если char K=0, то всякий У. э. g имеет беско-
бесконечный порядок. В этом случае наименьшая алгебраич.
подгруппа в G, содержащая g, является одномерной
унипотентной группой. Если же char K=p>0, то g
будет У. э. в точности тогда, когда он имеет конечный
порядок, равный р' для нек-рого t^O. Связная группа
не содержит У. э. g=?e тогда и только тогда, когда она
является алгебраическим тором.
В терминах У. э. может быть дан критерий анизо-
анизотропности (см. Анизотропная группа).
У. э. играют важную роль в теории дискретных под-
подгрупп алгебраич. групп и групп Ли. Наличие У. э.
в дискретных группах Г движений симметрических
пространств, имеющих некомпактную фундаменталь-
фундаментальную область конечного объема, является важным сред-
средством изучения структуры таких групп и их канони-
канонических фундаментальных областей (см. [5]); существо-
существование У. э. в таких Г доказано в [4].
Многообразие U (G) инвариантно относительно внут-
внутренних автоморфизмов группы G. Пусть G связна и
полупроста. Тогда число классов сопряженных У. э.
конечно и для каждой простой С известно полное их

описание (а также описание централизаторов У. э.),
см. [7]. В классич. группах такое описание получается
с использованием жордановой формы матрицы [2].
Напр., для группы G = SLn{K) существует биекция меж-
между классами сопряженных У. э. и разбиениями (тъ . . .,
ms) числа п в сумму положительных целых слагаемых
;»,-, т{^:. . .^ms. Если к= (т1,. . ., ms) и ц= Aи. . .,
It) — два разбиения числа п, то класс, отвечающий "к,
содержит в своем замыкании класс, отвечающий \i,
и точности тогда, когда ^. т/Э=^\ h Для всех /.
Размерность класса, отвечающего разбиению (ть. . .,
ms) (как алгебраического многообразия), равна
2 ¦ • (l»' гп/) ¦
Множество всех простых точек алгебраического мно-
многообразия U (G) образует один класс сопряженных
У. э.— регулярные У. э. Если G проста, то
многообразие особых точек многообразия U (G) также
содержит открытый в топологии Зариского класс сопря-
сопряженных У.э.— с убрегулярные У. э. По пово-
поводу изучения особых точек многообразия U (G) см. так-
также [6].
Лит.: Ш Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] Семинар по алгебраическим группам,
пер. с англ., М., 1973; [3] X а м ф р и Д ж., Линейные алгебра-
алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [4] Каждая Д. А.,
М а р г у л и с Г. А., «Матем. сб.», 1968, т. 75, № 1, с. 163—68;
[5] С е л ь б е р г А., «Математика», 1972, т. 16, в. 4, с. 72—89;
L6] Slodowy P., Simple singularities and simple algebraic
groups, В.— [a. o.], 1980; [7] S p a 1 t e n s t e i n N., Classes
unipotentes et sousgroupes de Borel, B.— [a. o.], 1982.
В. Л. Попав.
УНИРАЦИОНАЛЫЮЕ МНОГООБРАЗИЕ — ал-
алгебраическое многообразие X над полем к, для к-рого
существует такое рациональное отображение проектив-
проективного пространства <р : Р" —>- X, что q>(P") плотно в
X и расширение полей рациональных функций к(РпI
к(Х) сепарабельно. Другими словами, к(Х) имеет сепа-
рабельное чисто трансцендентное расширение.
У. м. близки к рациональным многообразиям. Напр.,
на У. м. нет регулярных дифференциальных форм,
Н°(Х, QPx)—Q при р^1- Вопрос о совпадении понятий
рационального и увирационального многообразия наз.
Люрота проблемой.
Лит.: [1] ШафарсвичИ. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972. Вик. С. Куликов.
УНИТАРНАЯ ГРУППА относительно фор-
формы/ — группа Uп (К, /) всех линейных преобразова-
преобразований ф «-мерного правого линейного пространства V
над телом К, сохраняющих фиксированную невырож-
невырожденную полуторалинейную (относительно инволюции /
тела К) форму / на V, т. е. таких ср, что
/(Ф(у), <f(u)) = f(v, и) W, u?V.
У. г. принадлежит к числу классических групп. Част-
Частными случаями У. г. являются симплектическая группа
(в этом случае К — поле, /==1 и / — знакопеременная
билинейная форма) и ортогональная группа (К — поле,
char Кф2, J-=i, f — симметрическая билинейная фор-
форма). Далее, пусть /=^=1 н / обладает свойством (Т) (см.
Bumma теорема). Умножая / на подходящий скаляр,
можно, не меняя У. г., добиться того, чтобы / стала
эрмитовой формой, а меняя, сверх того, /,— чтобы
/ стала косоэрмитовой формой.
Если исключить случай п=Ъ, K = Ft, то всякий
элемент У. г. Un(K, f) является произведением не
более чем м-|-1 к в а з и о т р а ж е н и й (т. е. пре-
преобразовании, оставляющих на месте все элементы
какой-либо неизотронной гиперплоскости в V). Центр
Zn У. г. U„(К, /) состоит из всех гомотетий простран-
пространства V вида х Н> ху, у?К, у у=1.
Пусть v — индекс Витта формы /. Если v=^=0, то удоб-
удобно считать/косоэрмитовой. Пусть Тп(К, J) — нормаль-
нормальный делитель в Un(K, /), порожденный у н и т а р-

н ы м п сдвигами, т. е. линейными преобразо-
преобразованиями вида х н> .г-\-п"к] (а, .г), где а— изотропный
вектор пространства V, a X?S— {y?K\yJ=y}. Цент-
Центром группы Тп(К, I) является группа Wn=Tn(K,
f)f)Zn. Факторгруппа Тп(К, f)lWn проста при п>2,
если Кф1\ или 3 9. Строение факторгруппы Un(K,f)/
Тп(К, f) описывается следующим образом. Пусть 2 —
подгруппа мультипликативной группы К* тела К, по-
порожденная К* [)S, a Q — подгруппа в Л'*, порожден-
порожденная элементами Х?К*, обладающими следующим
свойством: в V существует такая гиперболичес-
гиперболическая плоскость (т. е. двумерное неизотропное
подпространство, содержащее изотропный вектор), что
f (v, v)=X—"hJ для нек-рого вектора v? V, ортогональ-
ортогонального к указанной плоскости. Оти подгруппы явля-
являются нормальными в К*. Пусть [К*, Q] — подгруппа в
К*, порожденная коммутаторами "kw"h~lw~x, Х?К*,
w?Q. Если исключить случай п --3, К" = F4> т0 ^(*"i
IVТ„(К, f) при и>2 изоморфна K*/Z[K*, й].
Группа Тп(К, /) во многих случаях совпадает с
коммутантом У. г. Un(K, /): это верно, напр., если
v>2. Если К коммутативно и н>2, то Тп(К, /) сов-
совпадает с нормальной подгруппой Un(K, /), состоящей
из тех элементов, определитель Дьёдонне к-рых равен 1
(за исключением случая ?г= 3, A"=F4). Соотношения
между и„(К, /), и+п(К, /) и Тп{К, /) исследованы
также в случае, когда тело К имеет конечную размер-
размерность над своим центром [1].
Пусть теперь v = 0. Тогда многие из указанных ре-
результатов неверны (имеются примеры У. г., обладаю-
обладающих бесконечным рядом нормальных делителей с абе-
левыми факторами, примеры У. г., для к-рых п = 2
и Un (К, f) не совпадает со своим коммутантом и т. п.).
Наиболее изученными являются случаи локально
компактного поля характеристики Ф2 и поля алгебра-
ич. чисел.
Один из основных результатов об автоморфизмах
У. г. состоит в следующем (см. [1]): если char Кф2, а
н>3, то всякий автоморфизм У. г. Un(K, 1) имеет вид
Ф (u)='X(u)gu,g~1, u?Un(K, /), где % — гомоморфизм
Un (К, f) в ее центр Zn, a. g — унитарное полу-
полуподобие пространства Г (т. е. биективное полу-
полулинейное отображение V —*¦ I', удовлетворяющее ус-
условию f(g(x), g(ji))=rg(f(,v, у))а, где х, y?V, rg?k*,
а а — автоморфизм К, связанный с g). Если п четно,
п~^Ь, К — поло характеристики ф2 и v^l, то всякий
автоморфизм группы Un (К, /) индуцируется автомор-
автоморфизмом группы Un(K, /).
Если К=С, I — автоморфизм комплексного сопря-
сопряжения и эрмитова форма / положительно определена,
то У. г. U„(К, I) обозначается через [/„; она является
компактной вещественной связной группой Ли и часто
наз. просто У. г. В случае неопределенной формы /
группу Un(C, /) часто наз. п с е в д о у н и т а р-
н о й. С помощью выбора в V базиса Vп отождествля-
отождествляется с группой всех унитарных матриц. Группа U%(K,
f) в этом случае наз. специальной унитар-
унитарной группой и обозначается через SUn.
Лит.: [1] Дьёдонне Ж., Геометрия классических групп,
иер. с франц., М., 1974; [2] Б у р б а к и Н., Алгебра. Модули,
кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Автоморфизмы клас-
классических групп, сб. пер. с англ. и франц., М., 1976; [4]
В е й л ь Г., Классические группы, их инварианты и представ-
представления, пер. с англ., М., 1947; [5J Теория алгебр Ли. Топология
i-рупп Ли. Семинар «Софус Ли», пер. с франц., М., 1962; [6]
.! а л е с с к и й А. Е., «Успехи матем. наук», 1981, т. 3E,
». 5, с. 57 — 107. В. Л. Попов.
УНИТАРНАЯ МАТРИЦА — квадратная матрица
•^^Н0!'*!!" наД полем С комплексных чисел, строки
к-рой образуют ортонормированную систему, т. о.
. — A при i = &,

i, k=i,. . ., п. С помощью У. м. осуществляется пере-
переход от одного ортонормированного базиса к др. ортонор-
мированному базису в унитарном пространстве. У. м.
служат также матрицами унитарных преобразований
в ортонормированием базисе. Квадратная матрица А
с комплексными элементами унитарна тогда и только
тогда, когда она удовлетворяет любому из следующих
условий:
1) А*А = Е,
2) АА* = Е,
3) А* = А~1,
4) столбцы матрицы А образуют ортонормированную
систему (здесь А* — сопряженная с А матрица).
Определитель У. м. есть комплексное число, модуль
К-рОГО равен СДИНИце. О. А. Иванова.
УНИТАРНО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ -.
действующие в гильбертовом пространстве Н линейные
операторы А и В с областями определения D А и DB
соответственно такие, что
1) UDA = DB,
2) UAU~lx = Вх для любого х ? Dg,
где U — унитарный оператор. Если А и В — огра-
ограниченные линейные операторы, то условие 1) опуска-
опускается. Если А — самосопряженный оператор, то таков
же и В; если А и В — ограниченные операторы, то
\\А\\ = \\В\\.
Самосопряженные У. э. о. имеют унитарно эквива-
эквивалентные спектральные функции, т. е. Е%, (В) =
= UFi(A)U'1. Поэтому спектры У. э. о. имеют оди-
одинаковую структуру: либо оба чисто точечные, либо оба
чисто непрерывные, либо оба смешанные. В частности,
в случае чисто точечного спектра собственные значения
У. э. о. одинаковые и ранги собственных значений сов-
совпадают, причем это является не только необходимым,
но и достаточным условием унитарной эквивалентности
операторов с чисто точечным спектром.
Примером пары У. э. о. в комплексном пространстве
L.2(—оо, оо) является оператор дифференцирования
Ax — i-^i с областью определения Dj, состоящей из
абсолютно непрерывных на (—оо, оо) функций, имею-
имеющих на этом промежутке суммируемую с квадратом
производную, и оператор умножения на независимую
переменную Bx=tx(t). Унитарным оператором, осу-
осуществляющим унитарную эквивалентность, является
в этом случае Фурье преобразование.
Лит.: [1] А х и е з е р Н. И., Г л а з и а и И. М., Теория
линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 ияч
М., 196В; [2] Л ю с т е р н и к Л. А., С о б о л е в В. I'
Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965;
Рисе Ф., Сёксфальв и-Н а д ь Б., Лекции по функци-
функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979.
УНИТАРНО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕ-
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ — представления ях, я2 группы (алгебры, кольца,
полугруппы) X в гильбертовых пространствах II lt H«,
удовлетворяющие условию
E/jii (x) = n2(x) U
для нек-рого унитарного оператора U : Н^-^- Н.г и
всех х?Х. См. также Сплетающий оператор.
А. И. Штерн.
УНИТАРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ топологической
группы — представление топологич. группы унитар-
унитарными операторами в гильбертовом пространстве. Тео-
Теория У. п.— один из наиболее разработанных разделов
теории представлений тоиологич. групп, что связано
как с его многочисленными приложениями, так и с
наличием ряда свойств, упрощающих изучение У. п.
А именно, любое У. п. вполне чриводимо; для У. п.
условия полной неприводимости, тензорной неприво-
неприводимости, тоиологич. неприводимости и операторной

неприводимости равносильны; из непрерывности У. п.
в слабой операторной топологии следует его непрерыв-
непрерывность; для У. п. определена операция тензорного про-
произведения представлений, а также операция перехода к
контрагредиентному представлению (в гильбертовом
пространстве, комплексно сопряженном к данному),
и для операций прямой суммы, тензорного произведе- •
ния и перехода к контрагредиентному представлению
справедлив ряд естественных алгебраических соотно-
соотношений.
Наиболее разработанной и наиболее важной в при-
приложениях частью общей теории У. и. является теория
^. и. локально компактных групп. Не существует опи-
описания класса групп, У. п. (или неприводимые У. п.)
к-pwx разделяют точки группы A984). Однако если
группа G локально компактна, то для любого неединич-
неединичного элемента g?G существует такое неприводимое
У. II. я группы G, что л (g) — неединичны!! оператор в
пространстве представления (теорема Г е л ь-
ф а н д а — Райков а). Кроме того, между невырож-
невырожденными симметричными представлениями групповой
алгебры /y1(G) (построенной по левой мере Хаара) и
непрерывными У. и. группы G существует естественное
взаимно однозначное соответствие л' м- я, определяемое
формулой
при этом представление я' алгебры L1 (G) тогда и только
тогда является топологически неприводимым (фактор1
представлением, представлением данного типа, пред-
представлением, эквивалентным или квазиэквивалентным
другому), когда соответствующее У. п. я группы G
обладает тем же свойством.
Теория циклических У. и. локально компактной
группы G, связанная с теорией положительных линей-
линейных функционалов на L1 (G), может быть изложена с по-
помощью соответствующих сферич. функций (см. Пред-
Представление топологической группы). Сферич. функции,
связанные с У. п. локально компактной группы G,
являются непрерывными положительно определенными
функциями на группе, и обратно, любая непрерывная
положительно определенная функция на G, равная 1 в
единице, является сферич. функцией, связанной с цик-
циклическим У. п. (и определяется циклич. вектором этого
У. п.). Совокупность В (G) линейных комбинаций
непрерывных положительно определенных функций на
С образует коммутативную банахову алгебру (относи-
(относительно обычного умножения), называемую алгеб-
алгеброй Фурье —С тилтьеса группы G; замкнутый
идеал A (G) в В (G), порожденный семейством функций
вида ф*г|\ где ф, ty?Li(G), наз. алгеброй Фурье
группы G. Банаховы алгебры A (G) и В (G) определяют
группу G однозначно с точностью до изоморфизма или
антиизоморфизма.
На множестве Рг непрерывных положительно опре-
определенных функций на G, равных 1 в единице группы,
топология равномерной сходимости на компактных
подмножествах в G совпадает со слабой топологией,
определяемой двойственностью между Lt (G) и L^ (G) и
вложением Р1 в LK(C). Любая функция ф из Pt есть
предел (в этих топологиях) сети выпуклых комбинаций
положительно определенных функций, связанных с
неприводимыми У. п. группы G; если же группа
(• сепарабельна, то существует такая положительная
мера (гф на компактном множестве непрерывных поло-
положительно определенных функций на G, не превосходя-
превосходящих \ по модулю, сосредоточенная на Plt что
х(г>Фч> (х) Для всех §^с-
Конструкция У. п. по положительно определенной
Функции допускает обобщение на случай положительно

определенных мер на G. Если группа G сепарабельна,
то любое представление, определенное положительно
определенной мерой, циклично.
У. п. я локально компактной группы С в гильберто-
гильбертовом пространстве Н допускает разложение в топологич.
прямой интеграл неприводимых У. п. группы G, если
либо G, либо Н сепарабельны (для неселарабельных
групп и пространств это, вообще говоря, неверно);
кроме того, в этом случае У. п. я допускает но существу
однозначное разложение в прямой интеграл фактор-
представлений. В связи с этим существенную роль
играет двойственное пространство G
(факторпространство пространства неприводимых У. п.
группы G, рассматриваемого в топологии, определяемой
равномерной сходимостью матричных элементов на
компактах, и в борелевской структуре, подчиненной
этой топологии, по отношению эквивалентности, опре-
определяемому унитарной эквивалентностью У. п.) и к в а-
зидуальное пространство 6 (фактор-
пространство пространства факториредставленип группы
G, рассматриваемого в борелевской структуре, подчи-
подчиненной топологии равномерной сходимости матричных
элементов на компактах). Таким образом, G — тополо-
топологическое и борелевское пространство, G — борелевское
пространство, к-рое для сепарабельных групп может
быть снабжено топологией, продолжающей топологию
на G). Группа G нал. г р у н и о й т и п а I, если все ее
факториредставления имеют тин I; для таких групп
вопросы теории У. п. решаются проще, чем в общем слу-
случае. К группам типа I относятся алгебраич. группы Ли
и алгебраич. группы Шевалле над р-адическими поля-
полями, нилытотентные группы Ли и др. Известна характе-
ризация односвязных разрешимых групп Ли типа I.
Группа G наз. 6'СЯ-группой, если для любого неприво-
неприводимого У. п. я группы G образ я (L1 (<?)) представления я
содержится в множестве ВС(НЛ) компактных опера-
операторов в пространстве Ня представления я. Всякая CCR-
групна является группой типа 1. Группа типа I явля-
является С Cft-группой тогда и только тогда, когда ее двой-
двойственное пространство есть ^-пространство. Нильпо-
тентные группы Ли и линейные иолуиростые группы Ли
являются С С'/?-группами. Образ представления (я(Я)а)л
содержится в ^С(// -о.^) для всех неприводимых У. п.
я, а группы G тогда и только тогда, когда все ее не-
неприводимые У. и. конечномерны.
Сепарабельная локально компактная группа имеет
тип I тогда и только тогда, когда ее двойственное
пространство удовлетворяет нулевой аксиоме отдели-
отделимости. Др. топологич. свойства спектра (Г1-отделимость,
хаусдорфовость, дискретность и др.) также связаны со
свойствами группы. Особенно тесные связи между
топологич. и алгебраич. свойствами группы и ее двой-
двойственного пространства существуют в классах групп,
обладающих различными условиями компактности.
К числу этих классов локально компактных групп
относятся: 1) класс [MAP] максимальных почти пе-
риодич. групп (допускающих непрерывное вложение в
компактную группу); 2) класс [SIN] групп, содержа-
содержащих фундаментальную систему окрестностей единичного
элемента, инвариантных относительно внутренних ав-
автоморфизмов; 3) класс \FC\~ групп с предкомпактными
классами сопряженных элементов; 4) класс [FIA]~
групп с предкомпактнон группой внутренних автомор-
автоморфизмов; 5) класс [F[R[cz[MAP]ft[SIN] групп, все
неприводимые У. п. к-рых конечномерны; 6) класс
[Z]d[FIR] групп, факторгруппа к-рых по центру
компактна. Дуальные пространства групп класса
\1'С]~ хаусдорфовы, а группы класса [А7Д] дискретны
тогда и только тогда, когда их двойственное простран-

ство компактно (хотя и не ооязательно отделимо).
Теория У. п. групп класса [MAP] связана с теорией
почти периодич. функций на локально компактных
группах.
X а р а к т с р о м У. п. локально компактной груп-
группы С наз. такой точный нормальный полуконечный
след t на множестве положительных элементов алгебры
Неймана ця, порожденной семейством я (С), что множе-
множество элементов х из групповой С*-алгебры С* (G)
группы С (обертывающей С*-алгебры групповой алгеб-
алгебры Ll(G)) таких, что t(n(x*, x)) конечен, переходит в
множество, порождающее алгебру Неймана я (С)".
Если я — факторпредставление (соответственно непри-
неприводимое У. п.), то характер t определяет У. п. я од-
однозначно с точностью до квазиэквивалентности (соот-
(соответственно эквивалентности). Если jij, я2 — неприво-
неприводимые У. и. группы G с характерами tlt t2 соответствен-
соответственно, то произведение этих следов определяет след на
алгебре Неймана, порожденной У. п. я1B)я2. Если этот
след является характером представления Я!(Х)я,, то
он (для сепарабельной группы или сепарабельных
пространств представлений) определяет разложение
У. п. Я](Х)я2 в прямой интеграл факторпредставлений со
следом по однозначно определенной мере (мере Планше-
реля для я1®я2) на квазиспектре G. Нахождение мер
Планшереля тензорных произведений У. п. является
одной из общих задач теории У. п.; в ряде случаев (в
частности, для групп SLB, С), SLB, R), нек-рых
У. п. др. цолупростых групп Ли и нек-рых разреши-
разрешимых групп Ли) ота задача решена (с помощью изучения
спектрального разложения оператора Лапласа, методом
орбит или методом орисфер).
Иногда характером У.п. я в гильбертовом
пространстве II наз. линейный функционал %я на ин-
инвариантной относительно сдвигов подалгебре 25Л (G) в
алгебре М (G), определенный равенством ул (а) = Тг я (а),
a^.DK(G), где л — представление алгебры Dn(G),
определенное я (предполагается, что я однозначно
определяется представлением я, операторы представ-
представления я ядерны и отображение я алгебры ВЛ (G) в про-
пространство ядерных операторов непрерывно). Характеры
неприводимых У. п. нолупростых и нильпотентных
групп Ли определяются обобщенными функциями,
к-рые в случае полупростых групп измеримы и локаль-
локально интегрируемы. Характеры неприводимых У. п.
разрешимых групп Ли типа I определены, вообще гово-
говоря, лишь на подалгебрах алгебры Со° (G) финитных
бесконечно дифференцируемых функций на С. Вычис-
Вычисление характеров во многом основано на формуле для
характера индуцированного представления.
Компактная подгруппа К группы G наз. массив-
н о й, если ограничение любого неприводимого У. п.
я группы G на подгруппу К содержит любое неприво-
неприводимое У. п. а группы К с конечной кратностью. Пусть
Ра — проектор в пространстве Ня представления я
на подпространство, в к-ром действует представление
группы К, кратное а; функции вида
наз. К-с ферическими функциями пред-
представления я (ср. Представляющая функция). Группа G
с массивной компактной подгруппой принадлежит
типу I; каждое неприводимое У. п. группы G имеет
характер и определяется однозначно с точностью до
эквивалентности любой ненулевой сферич. функцией;
дуальное пространство G к группе G можно представить
в виде счетного объединения (пересекающихся) хаус-
дорфовых локально компактных пространств (образо-
(образованных такими я?<§, что <р"о=0 для данного о?Кп,
а размерность соответствующего проектора Ра имеет

данное значение). К числу групп с массивной компакт-
компактной подгруппой относятся линейные полупростыо груп-
группы Ли и [Zj-группы.
Пусть я — У. п. группы G в гильбертовом простран-
пространстве II, Мл — алгебра Неймана, порожденная семей-
семейством я (G). Представление я наз. допускающим
след, если существует след на M?, являющийся ха-
характером У. п. я. Следом на группе G наз.
полуконечный полунепрерывный снизу след на С* (G) + ;
след на G наз. характером группы G, если соот-
соответствующее У. и. группы G есть факторпредставленис.
Существует каноническое взаимно однозначное соот-
соответствие между множеством характеров группы С,
определенных с точностью до положительного множите-
множителя, и множеством классов квазиэквивалентности фак-
торпредставлений группы G, допускающих след; при
этом факторпредетавлениям конечного типа соответ-
соответствуют непрерывные центральные положительно оп-
определенные функции на G.
Регулярное представление локально компактной груп-
группы G в гильбертовом пространстве L2(G) есть точное
непрерывное У. п.; С*-алгебра, порожденная образом
соответствующего представления алгебры Lt(G), наз.
приведенной С*-а л г е б р о й группы G и
обозначается C'r(G); пусть N — ядро канонического
эпиморфизма С* (G) на Cr(G), определяемого регуляр-
регулярным представлением. Группа G аменабельна,
т. е. на Ьж (G) существует инвариантное среднее, тогда
и только тогда, когда N={0} (ограниченное представ-
представление аменабельной группы в гильбертовом простран-
пространстве эквивалентно У. п.). Семейство таких У. п. я?0,
что ядро соответствующего представления С*-алгебры
С* (G) содержит N, наз. о с н о в н о й серией;
остальные У. п. я?<? образуют дополнитель-
дополнительную серию.
Пусть G — унимодулярная сепарабельная локально
компактная группа типа I, W* (G) — алгебра Неймана
ця, где Я — регулярное У. п. группы 67. Существует
единственная положительная мера и, на спектре С груп-
группы G, удовлетворяющая условию
G I / (g) I2 d[i (g) - ^ g Тг
для всех f?L1(G)f]L2(G). Мера ц наз. мерой П л а н-
ш е р е л я. Кроме того, существует изоморфизм про-
пространства L2(G) на прямой интеграл операторов Гиль-
Гильберта — Шмидта в пространствах представлений я?&
но мере ц, переводящий левое регулярное У. п. к в
прямой интеграл У. п., кратных представлениям я,
а след на W* (G), определяемый следом ?е на G(Se(f) =
=/(е) для f?K(G), в прямой интеграл следов Г(ЯI ->
-»-Тг Г на (Hn®C,) + . След 8е на С* (G)+ совпадает со
следом /->- С ~ Тгл (/) ф(я), /?C*(G). Формула (*)
наз. формулой Планшереля; она допускает
обобщение на несепарабельные унимодулярные локаль-
локально компактные группы типа I, а также на не унимоду-
унимодулярные сепарабельные локально компактные группы и
сепарабельные группы не типа I. Одной из задач тео-
теории У. н. является явное построение меры Планше-
Планшереля для данной локально компактной группы. Эта за-
задача решена лишь частично (напр., для полупростых
вещественных групп Ли, разрешимых групп Ли типа
I, а также некоторых групп движений, некоторых
групп Шевалле и нек-рых групп с условиями компакт-
компактности). С разложением регулярного У. п. и формулой
Планшереля связана теория квадратично интегрируе-
интегрируемых представлений, дискретных серий и интегрируе-
интегрируемых представлений.
Полное описание неприводимых У. п. локально ком-
компактных групп даже в случае групп Ли не известно.

Оно получено лишь для разрешимых групп Ли типа I,
нек-рых редуктивных групп Ли, а также групп Шевалле
(в малых размерностях), нек-рых нилыютентных ло-
локально компактных групп Ли и нек-рых полупрямых
произведений. В этих описаниях решающую роль
играет операция индуцирования (и ее обобщения), в
частности метод орбит (и его обобщения). Задача
изучения более общих проективных У. п. и У. п. с
мультипликаторами связана с теорией обычных У. п.
с помощью теории (непрерывных или борелевских)
когомологии групп. Для групп но типа I полного
описания факторпредставлений нет (с точностью до
квазиэквивалентности), хотя для нек-рых па них полу-
получено описание факториредставлений конечного типа.
Теория У. п. играет решающую роль в теории ряда
(банаховых и топологических) групповых алгебр: в
изучении свойств винеровости и полной симметричности,
описании максимальных односторонних и двусторон-
двусторонних идеалов л т. д. Теория У. п. играет важную роль
также и в вопросах теории представлений и гармониче-
гармонического анализа, требующих использования неунитарных
представлений — таких, как построение ограниченных
серий и дополнительных серий; определении явного
вида операторов, сплетающих представления из ана-
литич. продолжения основной серии У. п., изучение
зацеплений вполне неприводимых представлений, раз-
развитие гармонич. анализа в пространствах функций
на группах и однородных пространствах, отличных от
пространств L2, изучение структуры и свойств группо-
групповых алгебр (алгебры мер, алгебры ?i(G), тонологич.
алгебры K(G)).
Лит.; [1] Кириллов А. А., Элементы теории пред-
представлений, 2 изд., М., 1978; [2] Наймарк М. А., Теории
представлений групп, М., 1976; [3] е г о же, Нормированные
кольца, " изд., М., 1968; [4] Желобенко Д. П., Компакт-
Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [5] Ж о л о б е н-
к о Д. П., Штерн А. И., Представления групп Ли, М.,
1983; [6] Д икемье Ж., С*-алгебры и их представлении,
пер. с франц., М., 1974; [7] Г е л ь ф а к д II. М., Г р а-
е d M. И., П я т е ц к и й-Ш а п и р о И. И., Теория представ-
представлений и автоморфные функции, М., 1906; [8J В и л е н-
кнн Н. Я., Специальные функции и теория представлений
групп, М., 1965; [9] Б а р у.т А., Р о н ч к а Р., Теория пред-
представлений групп и ее приложения, пер. с англ., т. 1—2, М.,
1980; [10] К л и м ы к А. У., Матричные элементы и коэффи-
коэффициенты Клебша — Гордана представлений групп, К., 1979;
[11] М а с к е у G. W., Unitary group representations in physics
probability and number theory, Reading (Mass.), 1978; [12]
В e r n a t P. |e. a.], Representations des groupes de Lie rfsolub-
les, P., 1072; [131 В re z in J., Harmonic analysis on compact
solvmanifolds, B.— [a. o.], 1977; [14] Non-commutative harmo-
harmonic analysis, В.— [а. о.], 1979. A. 11. Штерн.
УНИТАРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — линейное пре-
преобразование А унитарного пространства L, сохраняю-
сохраняющее скалярное произведение векторов, т. е. такое,
что для любых векторов х и у из L имеет место равен-
равенство
(Ах, Ау) = (х, у).
У. н. сохраняет, в частности, длину вектора. Обратно,
если линейное преобразование унитарного пространства
сохраняет длины всех векторов, то оно унитарно.
Собственные значения У. п. равны по модулю 1; собст-
собственные подпространства, отвечающие различным соб-
собственным значениям, ортогональны.
Линейное преобразование А конечномерного унитар-
унитарного пространства L является У. п. тогда и только
тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих
условий:
1) в любом ортонормированном базисе преобразованию
А соответствует унитарная матрица;
2) А переводит любой ортонормированный базис
в ортонормированный;
3) в L существует ортонормированный базис, со-
состоящий из собственных для А векторов, причем соот-
соответствующая А в этом базисе диагональная матрица
имеет диагональные элементы, равные по модулю 1.

У. ц. данного унитарного пространства образуют от-
относительно умножения преобразований группу (наз.
унитарной группой). а. Л. Онищик.
УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — векторное прост-
пространство над нолем комплексных чисел С, в к-ром задано
скалярное умножение векторов (причем
произведение (а, Ь) векторов а и Ь предполагается,
вообще говоря, комплексным числом) и выполняются
следующие аксиомы:
1) (а, Ь)--GГТ);
2) (аа, й) = а(а, 6);
3) (а + Ь, с).= (а. с) + {Ь, с);
4) если а Ф 0, то (а, а) > О,
т. о. скалярный киадрат ненулевого вектора есть поло-
положительное действительное число.
У. п. не предполагается конечномерным. В У. п. точ-
точно так же, как и в евклидовых пространствах, вводятся
понятия ортогональности и ортонормированнои системы
векторов, а и конечномерном случае доказывается су-
существование ортонормированного базиса.
О. А. Иванова.
УНИТАРНЫЙ МОДУЛЬ — левый (или правый) мо-
модуль М над кольцом с единицей е такой, что умножение
на е служит тождественным оператором, то есть отоб-
отображение т —*¦ ет (соответственно т —>¦ те для правого
модуля), т?М,— тождественный автоморфизм груп-
группы М. О. А. Иванова.
УНИТАРНЫЙ ОПЕРАТОР — линейный оператор U,
отображающий линейное нормированное пространство
X на линейное нормированное пространство Y и такой,
что ||Сл:||у=||а:||х. Наиболее важными являются У. о.,
отображающие гильбертово пространство в себя. Такой
оператор унитарен тогда и только тогда, когда (х, у) =
= (Ux, Uу) для всех х, у?Х. Др. характеристич.
на
признаками унитарности оператора U : Н -*¦ Н яв-
являются: 1) U*U~UU*—I, т.е. U~L=U*; 2) спектр
оператора U лежит на единичной окружности, и имеет
S2jt
е'Ф dEv . Сово-
Совокупность У. о., действующих в Н, образует группу.
Примером У. о. и его обратного в пространстве
L2(—оо, оо) являются взаимно обратные Фурье преобра-
преобразования.
Лит.: [1] Р и с с Ф., С ё к е ф а л ь в и-Н а д ь Б., Лекции
по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979;
[2] А х и е а е р Н. И.., Г л а з м а и И. М., Теория линейных
операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 19E6;
[3] И л е с и е р А. И., Спектральная теория линейных опера-
операторов, М., 1965. В. И. Соболев.
УНИФОРМИЗАЦИЯ множества AdCN (или
AczCPN) — тройка (/, D, G), где /= (/х, . . ., fN) —
система мероморфных в области D aCN (соответственно
DcCPN) функций, определяющая голоморфное на-
накрытие Do -*¦ f(Da), цричем f(D0) плотно в Л, а С —
собственно разрывная группа биголоморфных автомор-
автоморфизмов D, ограничение к-рой на Do служит группой
накрывающих гомеоморфизмов этого накрытия, т. е.
DJG биголоморфно эквивалентно f(D0).
Можно говорить также об У. многозначных
аналитических функций w— F (г) : С™ ->-
-*¦ С, понимая под этим У. множества /l = {(z, w)};
это соответствует параметризации F с помощью одно-
однозначных мероморфных функций.
Напр., комплексная кривая zi-\-wi=l в С2 униформи-
зируется тройкой ((z, ш), С, G), где z=cost, u>=sin t,
G — группа сдвигов t -*¦ t-\-2kn, к^Ж, или тройкой
((z, w), D, G), где
, -i),

G — тривиальная группа. Менее тривиальный пример
дает кубическая кривая №2 = aoz3+fl!1z2+a2z+ali, к-рая
не допускает рациональной параметризации, но может
быть униформизирована с помощью эллиптических
функций, а именно тройкой ((/lt /2), D, G), где Д и
/2 — рациональные функции от ^-функции Вейер-
штрасса $> {t) и ее производной с соответствующими
периодами щ, w2, aG —группа, порожденная сдвигами
t -*¦ f+ coj, t ->- г+ю2.
Проблема У. произвольной алгебраич. кривой, опре-
определяемой общим алгебраич. уравнением
Р(г, w) = "gihka/kz'w*--=0, (*)
где Р —- неприводимый алгебраич. многочлен над
С, возникла еще в 1-й пол. 19 в., в частности в связи с
интегрированием алгебраич. функций. А. Пуанкаре
(Н. Poincare) поставил вопрос об У. множества решений
произвольных аналитич. уравнений вида (*), когда Р ~
сходящийся степенной ряд от двух переменных, рас-
рассматриваемый с его всевозможными аналитич. продол-
продолжениями. У. алгебраич. и произвольных аналитич.
многообразий составляет содержание двадцать второй
проблемы Гильберта. Полного решения проблемы
У. пока (к 1984) не получено, за исключением одномер-
одномерного случая.
Введя во множестве пар (z, w) в С2, удовлетворяю-
удовлетворяющих (*), комплексную структуру с помощью элементов
соответствующей алгебраич. функции w (г) (или z(w)),
получают компактную риманову поверхность, при этом
координаты точек кривой (*) будут мероморфными функ-
функциями на этой поверхности. Более того, все компактные
римановы поверхности с точностью до конформной
эквивалентности получаются таким образом. Поэтому
проблема У. алгебраич. кривых сводится к проблеме
У. римановых поверхностей.
У. произвольной р и м а н о в о й поверхности
S наз. тройка (D, я, G), где D — область на римановой
сфере С, я : D -*¦ S — регулярное голоморфное на-
накрытие с накрывающей группой G конформных авто-
автоморфизмов D. Общая проблема заключается в нахож-
нахождении и описании всех возможных таких троек для
данной римановой поверхности.
Возможность У. любой римановой поверхности S,
дающая принципиальное решение проблемы, была
установлена в вдгассич. работах П. Кёбе (P. Koebe),
А. Пуанкаре и Ф. Клейна (F. Klein); было получено
окончательное решение, дающее описание всех возмож-
возможных У. поверхности S (см. [4] — [6]). Справедлива тео-
теорема униформизации Клейна — Пу-
Пуанкаре (доказанная в общем случае А. Пуанкаре,
см. [2]); каждая риманова поверхность S конформно
эквивалентна фактору DIG, где D—одна из трех кано-
канонических областей: риманова сфера С, комплексная
плоскость С, единичный круг Д, a G — собственно
разрывная группа мёбиусовых (дробно-линейных) ав-
автоморфизмов D, определяемая с точностью до сопряже-
сопряжения в группе всех мёбиусовых автоморфизмов D.
Случаи 25 =С, С и Л взаимно исключают друг друга.
Поверхности S с такими универсальными голоморф-
голоморфными накрытиями наз. соответственно э л л и п т и-
ческими, парабол и чес к_и ми и г и п е р-
болическими. При этом D=-C только в случае,
когда сама S конформно эквивалентна С (и, значит; G
тривиальна); 2Э = С, когда S конформно эквивалентна
либо С, либо С\{0}, либо тору, и соответственно это-
этому G либо тривиальна, либо есть группа, порожденная
сдвигом г-+г+(о(ш^С\{О}), либо есть группа, по-
порожденная двумя сдвигами z->-z+g>i, z ->- z + ш2,
где <?>х, a>3 ф 0 — комплексные числа с Im {ч>%1и>^\Ф
ФО. В остальных случаях S конформно эквивалентна
Д/G, где С — гауссова группа без кручения. Канони-

ческая проекция я : D ->- S является неразветвленным
накрытием и униформизирует все функции / на S,
так как функции /о я однозначны в D. Теорема Клей-
Клейна — Пуанкаре обобщается и на разветвленные накры-
накрытия с заданными порядками ветвления.
Несколько др. подход к проблеме У. (см. [3]) опира-
опирается на принцип: если риманова поверхность S гомео-
морфна области DcC (не обязательно одиосвязной),
то S и конформно эквивалентна D. Тем самым проблема
У. сводится к топологич. проблеме нахождения всех
(вообще говоря, разветвленных) плоских накрытий
S —>- Л' данной римановой поверхности S. Решение
этих проблем дается следующими теоремами
М а с к и т а (см. [4], f5]).
I. Пусть S — ориентируемая поверхность, ь\,. . .,
vm. . . — множество простых попарно не пересекаю-
пересекающихся петель на S. Если S -*¦ S — регулярное накры-
накрытие с определяющей подгруппой 7V= О™1, ...,у^и, ...>,
где «!,. . ., аП7. . . — натуральные числа, то S — пло-
плоская поверхность, т. е. гомеоморфна области в С.
II. Пусть S — плоская поверхность и S -*¦ Л' — регу-
регулярное накрытие ориентируемой поверхности S с
определяющей подгруппой N. Если S — поверхность
конечного типа, т. е. nx(S) конечно порождена, то су-
существуют конечное множество простых попарно но
пересекающихся петель vlt. . ., г„ и такие натуральные
числа аг, . . ., ап, что О™!, . . ., ?.-""> —iV.
III. Если S — плоская риманова поверхность и
G — собственно разрывная группа конформных ав-
автоморфизмов S, то существует конформный гомеомор-
гомеоморфизм h : S -*¦ DdC такой, что hGh'1 есть клейнова
группа с инвариантной компонентой D.
Таким образом, каждая риманова поверхность уни-
формизируется клепновон группой. Напр., если S —
замкнутая риманова поверхность рода #5=1, то ее
фундаментальная группа имеет копредставление
и в качестве определяющей плоское накрытие S нор-
нормальной подгруппы .V можно взять наименьшую нор-
нормальную подгруппу, порожденную аи. . ., ag (или
Ьх,. . ., bg); тогда S униформизируется группой
Ш о т к и G рода g — свободной чисто локсодромиче-
локсодромической клейновой группой с g образующими (классич.
теорема Кёбео разрезах).
У. римановых поверхностей конечного типа возмож-
возможные клейновы группы могут быть классифицированы.
Для этого используется понятие факторподгруппы.
Если G — клейнова группа с инвариантной компонен-
компонентой D (G), то ее подгруппа Н наз. фактор и одгруп-
п о ii G, если II — максимальная подгруппа, для к-рой:
а) ее инвариантная компонента D G/)гэД (G) односвяз-
на: Ь) // не содержит случайных параболи-
параболических элементов g (т. е. таких параболич.
элементов, что при конформном изоморфизме h : D (//)->-
-»- Д образ hogok~l будет гиперболическим); с) каж-
каждый параболический элемент С с неподвижной точкой
на предельном множестве Н принадлежит Н. Напр., в
теореме Клейна — Пуанкаре каждая факторподгруппа
G совпадает с самой G, а в теореме Кебе о разрезах все
факторподгруппы G тривиальны. У. (D, я, G) римано-
римановой поверхности S, где D — инвариантная компонента
67, наз. стандартной, если G не имеет кручения
и не содержит случайных параболич. элементов. Для
замкнутых поверхностей все такие У. описываются
следующей теоремой (см. |6]).
Пусть S ¦- замкнутая риманова поверхность рода
g>0 и {г17. . ., ;;„} — множество простых попарно не

пересекающихся пстгль нл л. J огда существует един-
единственная с точностью до конформной эквивалентности
стандартная У. (D, к, G) поверхности S такая, что
каждая факторподгруппа G является либо фуксовой,
либо элементарной и накрытие я : D ->- S построено по
наименьшей нормальной подгруппе я1E), натянутой
на петли uj, . . ., vn.
Теория квазиконформных отображений и Тайхмюл-
,iepa пространств позволила доказать возможность
одновременной У. нескольких римановых поверхностей
одной клейновой группой, а также всех римановых
поверхностей данного типа (см. [7]).
Лит.: [1] К 1 е i n С h г. Т., «Math. Ann.», 1883, Bd 21,
S. 141—218; [2] Poincarf H., «Acta math.», 1907, v. 31,
p. 1—63; 13! К о e b e P., «Gottinger Nachr.», 1907, S. 177—210;
['i] M a s k i t В., «Ann. Math.», 19B5, v. 81, № 2, p. 341—55;
Iл] его же, «Amer. J. Math.», 19E8, v. 90, ,i\» 3, p. 718—22;
hi] его ж с, в кн.: Contributions to analysis, N. Л'.— L., 197'i,
|i. 293—312; [7] Б ер с Л., «Успехи матем. наук», 1973, т. 28,
в. 4, с. 153—98; [8] К р у ш к а л ь С. Л., Амана-
г о в Б. Н., Гусевский Н. А., Клейновы группы и уни-
формипация в примерах и задачах, Новосиб., 1981; [9] Н е в а и-
л и н н а Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955; [10]
Форд Л. Р., Автоморфные функции, пер. с англ., М.— Л.,
li'.'Sti, H. А. Гусевский,
УНИФОРМИЗУЮЩИЙ ЭЛЕМЕНТ — элемент я дис-
дискретно нормированного кольца А с простым идеалом р
такой, что р=Ля. Если л]? я2 — два У. э. в А, то эле-
элемент я^тг обратим в А . Пусть R — нек-рая система
представителей в А элементов поля вычетов А /р.
Тогда любой элемент а?А однозначно записывается в
виде степенного ряда ^ _ г,я', где г,^Л, я — У. э.
Если кольцо А полно относительно дискретного нор-
нормирования, то любой степенной ряд указанного вида
представляет нек-рый элемент а?А.
Если А — локальное кольцо функций простой точки
х алгебраич. кривой X, то я является У. э. тогда и
только тогда, когда я имеет нуль первого порядка в
точке х. л. в. Кузьмин.
УНИЧТОЖЕНИЯ ОПЕРАТОРЫ — семейство замк-
замкнутых линейных операторов {a(f), f?H}, где Н — нек-
роо гильбертово пространство, действующих в Фока
пространстве, построенном над пространством Н (т. е.
в симметризованной TS(H) или антисимметризованной
Г" (Я) тензорной экспоненте пространства //) так, что
на векторах (/i®...®/n)a€ Га (Н), a = s, а, являю-
являющихся симметризованными (a = s) или антисимметри-
зованными (а = а) тензорными произведениями после-
последовательностей элементов /ь. . ., /,,^Я, п = 1,2,. . ..
II, они задаются формулами:
/ + 1®---®/|.Ь A)
в симметричном случае, и
я (/И/,® ¦¦¦®!п)а-
B)
в антисимметричном случае; вакуумный вектор
Q?Fa (H), а — s, а (т. е. единичный вектор в подпро-
подпространстве констант из Га(Я)) переводится операторами
a{f) в нуль. Операторы {а* (/), /?#}, сопряженные к
операторам а (/), наа. операторами рожде-
рождения, действуют на векторы (/i®...®/n)cu a —s, a, h =
= 1, 2,... по формулам
C)
a*(f)Q=f.
При этом для каждого и>0 подпространство Г^(

a=s, а (симмстризованная или антисимметризованная
п-я тензорная степень //) переводится оператором а (/) к
подпространство Г™_1 (//), а оператором а* (/) — в под-
подпространство Г п+ \(Н).
При физич. интерпретации пространства Фока Га (// <
a —s, а как пространства состояний системы, состоя
щей из произвольного (конечного) числа квантовых
частиц с пространством Я в качестве пространства
состояний отдельной частицы, подпространство Г" A1:
соответствует n-частичным состояниям системы, т. е.
состояниям, в к-рых имеется ровно и частиц, и, таким
образом, ?г-частичные состояния операторы а (/) пере-
переводят в (п—1)-частичные («уничтожают» частицу), а
операторы а* (/)— в (ге-М)-частичные («рождают»
частицу).
Операторы а (/) и а* (/) образуют неприводимое семей-
семейство операторов и удовлетворяют следующей системе
перестановочных соотношений: в
симметричном случае
a(h)a (h)-a(h) a (fi) -'-a* (h)a* (f,)~a* (/2) a* (/0 = 0,
a*(h)a(f1) — a(f1)a*(ft) = —(fl, ]г)Е D)
(соотношения коммутации), в антисим-
антисимметричном случае
a (Si) a* (fa)Jra* (/2) a (/i) = (/i. h) E E)
(соотношения а н т и к о м м у т а ц и и), вдесь
(•, ¦) — скалярное произведение в 11, а Е — единич-
единичный оператор в Vs (Н) или Va(H). Кроме описанные
здесь семейств операторов а (/) и а* (/), f?H в случае
бесконечномерного пространства Н существуют и
другие, не эквивалентные им, неприводимые пред-
представления коммутационных и антикоммутационных
соотношений D) или E). Иногда их также называют
операторами рождения и уничтожения. В случае же
конечномерного И все неприводимые представления
как коммутационных, так и антикоммутационны,\
соотношений унитарно эквивалентны.
Операторы {а(/)> а* (/К /€#} являются во многих
отношениях удобными «образующими» в совокупности
всех линейных операторов, действующих в пространст-
пространстве Та(Н), <x=s, а, и представление таких операторов
в виде сумм произведений операторов рождения и уни-
уничтожения (нормальная форма оператора) бывает часто
полезным при их исследовании. Связанный с этим
формализм носит название метода вторичного
квантования, см. A).
В частном, но важном для применений случае, когда
11 /,.>(!\v, (fix), V=l, 2,. . ., (или в более общем слу-
случае H~--L2(M, а), где (М, а) — пространство с мерой)
семейство операторов а(/), «*(/), /?^2(^Л\ dvx),
порождает две операторнозначные обобщенные функции
а (х) и а* (х) такие, что
а I т\ { ( т\ r]v г Л* ( {\ - \ п* ( r\ i (r\ rfv т
va \з) j \?) и х, а \/1 — \,lV't \л) / [х) а х.
Введение функций а (х) и я* (х) для формализма вто-
вторичного квантования оказывается удобным (напр.,
позволяет непосредственно рассматривать операторы
вида
v)m+«A'(zi, ..-,xn\yx, ..., ут)а*(х1)...а*(хп)Х
Ха (ух).. .a(yn)dvxi...dvя„ dv(/i.. .dvym, n, m= 1, 2, . ..,
где K(xu. . ., xn; y1,. . ., ут) — нек-рая «достаточно
хорошая» функция), не прибегая к их разложению в
ряды по мономам
a*(f1)...a*(ln)a(g1)...a(gm),
/ь ..-, t«, 8i, ¦¦¦,8me^(^v, d*x).

Лит.: [1] Б е р е з и н Ф. А., Метод вторичного квантова-
квантования, М., 1965; [2] Добр у шин Р. Л., М и н л о с Р. А.,
«Успехи матем. наук», 1977, т. 32, в. 2, с. 67 —122; [3] G а г-
d i n g L., Wightman A., «Proc. Nat. Acad. sci. USA»,
19S4, v. 40, ]\i 7, p. 617—26. P. А. Минлос.
УОЛЛА ГРУППА — абелева группа, к-рая сопо-
сопоставляется кольцу с инволюцией, являющейся антиизо-
антиизоморфизмом. В частности, она определена для группового
кольца 2[л1(Х)], где яг(Х) — фундаментальная груп-
группа пространства. Если X — Пуанкаре комплекс, то в
этой группе определяются препятствия к существова-
существованию простой гомотопич. эквивалентности в классе
бордизмов из Qif(X, v). Это препятствие наз. Уолла
инвариантом, см. [1J.
Пусть R — кольцо с инволюцией: R -»- Д, являю-
являющейся антиизоморфизмом, т. е. аЪ^Ъа. Если Р — левый
Д-модуль, то Ношд(Р, Д) является левым Я-модулем
относительно действия (af) (x)-=j(,t)a, /?Hom^(P, R),
а?Д, i^P. Этот модуль обозначается через Р*. Для
конечнопорожденного проективного Д-модуля Р имеет-
имеется изоморфизм р-+р** : х ->- (f-*-f(x)), и можно
отождествить Р и Р** по этому изоморфизму.
Квадратичной (—1)*-ф о р м о ii над кольцом
с инволюцией Д наз. пара (Р, ф), где Р — конечно-
порожденный проективный Д-модуль, а ф : Р ->¦ Р* —
такой гомоморфизм, что ф —(—1)йф*. Морфнзмом форм
/ : (Р, ф) ->- (Q, я|)) наз. гомоморфизм / : Р -*¦ Q, для
к-рого /*я|)/=ф. Если ф — изоморфизм, то форма (Р, ф)
наз. невырожденной. Л а г р а н ж е в о ii пло-
плоскостью невырожденной формы наз. прямое слагае-
слагаемое LcP, для к-рого L = Ann ф(/>). Если LaP — пря-
прямое слагаемое, и LcAnn ф(?), то L наз. с у б л а г-
р а н ж е в о й плоскостью. Лагранжевы плос-
плоскости L, G формы {Р, ф) наз. д о и о л н и т е л ь н ы-
м и, если L-\-G=P н />П<3-{0}.
Пусть L — проективный Д-модуль. Невырожденная
(— 1)*-форма H{_y^ii(L)—( LCT L*, (° k j j наз. га-
м и л ь т о н о в о й, a Lc:L - L* и L*czLQL* — ее до-
дополнительными лагранжевыми плоскостями. Если L —
лагранжева плоскость формы (Р, ф), то она изоморфна
гамильтоновой форме U^_^k(L). Выбор дополнительной
к L лагранжевой плоскости равносилен выбору изо-
изоморфизма (Р, ф) ->¦ H(_^k(L), при к-ром эта дополни-
дополнительная плоскость отождествляется с L*.
Пусть #2fc(^) —абелева группа, порожденная
классами эквивалентности (при изоморфизме) невырож-
невырожденных квадратичных ( —1)*-форм (Р, ф) с соотноше-
соотношениями: 1) 1(Р, ф)]+[(<?, ф)]=[(Р?<?, ффг|5)]; 2) [(Р,
фI = 0, если (/', ф) и.меет лаграижеву плоскость.
Тройка (//; F, L), состоящая из невырожденной (— 1)*-
формы Н и пары лагранжевых илоскосте!! F, L, наз.
(— 1)*-ф о р м а ц и е п. Формация наз. т р и в и-
а л ь н о й, если F и L дополнительны, и э л е-
м е н т а р н о ii, если существует лагранжева пло-
плоскость формы Н, дополнительная и к F, и к L. Три-
Тривиальная формация (//(__ Mft(G); С, 67) наз. гамиль-
гамильтоновой. Изоморфизмом ф о р ма ц и й
/ : (Н; F, L) ->¦ (//jj /",, Lj) наз. изоморфизм форм / :
: // -*• Н1, для к-рого f (!•')¦= b\, f(L) = Li. Всякая
тривиальная формация изоморфна гамильтоновой.
Пусть U2k + 1(R) — абелева группа, порожденная
классами эквивалентности (при изоморфизме) (— 1)*-
формаций, со следующими соотношениями:
1) [(Я; F, ?)]ф|(#ь Fx, ^1)] = [G/ф/У1;
/•фЛ i®L,)];
2) [A1; \F, L)]=0, если формация элементарна или
тривиальна. Группы U„(Д) и наз. группами У о л-
л а кольца Д.
Лит.: [1] W а 1 I С. Т. С, Surgery on compact manifolds,
h.— N. Y., 1970; 12] В a n i с k i A., «Proc. Lond. Math. Soc»,
1980, v. 40, pt 1, p. 87 — 192. А. В. Шакуров.

УОЛЛА ИНВАРИАНТ — элемент из Уплла группы,
являющийся препятствием к перестройке борди:ша до
простой гомотопич. эквивалентности.
Пусть X — конечный Пуанкаре комплекс, v — рас-
расслоение над X и х = [(М, ф, F)]?Q(X, v) — нек-рып
класс, где т — формальная размерность X и ф : М -*¦
-*¦ X имеет степень 1. Отображение всегда можно пере-
перестроить до -^ -связного отображения. Пусть Л =
=-JJ[n1(X)] — групповое кольцо, и~ — инволюция в
нем: Л->¦ Л, задаваемая по формуле 2gn(g)g—2w (g)
n(g)g~1, где w : Я] (X) -*¦ {1, —1} определяется первым
Штифеля — Уигпни классом расслоения v. Пусть
Я*(Л/) = сокег(ф*:Я* (Х)—*Н* (М)),
К* (Л#) = кег(Ф*:#* (М) -* Я* (X))
(коэффициенты в кольце Л). Инволюция является анти-
антиизоморфизмом и определены группы Уолла Un(A) =
L((X))
n(i(),)
Пусть теперь m = 2k^i. Тогда в стабильно свободном
Л-модуле G=Kf[(M) = ni[ + i (ф) выделен базис, и Пуан-
Пуанкаре двойственность индуцирует простой изоморфизм
к : G -»- <3* = К*(М), причем (G, Я) является (—1)*-
формой. Поэтому получается класс 02ft(a;) = [(G, Я)] g
gL^X )
g^^), )
Пусть теперь ro = 2fc+1^5. Можно выбрать образую-
образующие в :tfc+1(9)--.Kfe(Af; Л) так, что они представляются
вложениями /,• : SkXDk + ^ ->- Af, образы к-рых не пере-
пересекаются, и эти образы соединены путями с отмеченной
точкой. Пусть ?/= U Im /,-, 7lfo = M\Int U. Поскольку
г
фо/,-~0, то можно заменить ф гомотопным отображе-
отображением и считать, что ф(и) = *. Так как X — комплекс
Пуанкаре, то можно заменить X комплексом с един-
единственной m-клеткой, т. е. имеется пара Пуанкаре (Хо,
Sm + l) и Х — ХцОе. Выбором подходящей клеточной
аппроксимации получается отображение для триад
Пуанкаре степени 1: ф : (М; Ма, U) ->~ (X; Хп, ет).
Следовательно, имеется диаграмма из точных последо-
последовательностей (см. рис.):
о-+кк+1Ш,м0)-кк+1(и,ди) —»- кк (м0)—-о
/ ^v ^ X / Ч
о — кш(м,и) = кш(м0,ди)-+ кк(и) — о
При этом имеется невырожденное спаривание к :
Kk(dU)XKk(dU) -+А, причем Н= (Kk(dU), к) —
квадратичная ( —1)*-форма, a.Kk + 1(U, dU) и Kk + 1(M0,
dU) определяют ее лагранжевы плоскости L и Р.
Тогда в2к + 1(х) = [(Н; L, P)]?U2k + 1(A) = L2k + 1X
Х(л,(;с), w).
Определенные выше элементы &т(х) ?Lm(n1(x), w)
и наз. инвариантами Уолла. Важным их
свойством является независимость в (х) от произвола
конструкции и то, что равенство в (х) = 0 равносильно
представимости класса простой гомотопич. эквивалент-
эквивалентностью, см. [1].
Лит.: [1] W а 1 1 С., Surgery on compact manifolds, L.—
N. Y. 1970; [2] R a n i с k i A., «Proc. Lond. Math. Soc», 1980,
v. 40, pt 1, p. 87 — 192; [3] H о в и к о в С. П., «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1970, т. 34, N° 2, с. 253—88; № 3, с. 475—500.
А. В. Шокуров.
УОЛМЕНА БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ (пра-
(правильнее — Уолмена — Шанина бикомпактное расшире-
расширение) <?>Х топологического пространства X, удовлетво-
удовлетворяющего аксиоме Т1 (см. Отделимости аксиомы), оп-
определяется как множество, точками к-рого являются
максимальные центрированные системы |={Fa} замк-
замкнутых в X множеств. Топология в ыХ задаётся замкну-
замкнутой базой {Ф/=-}, где /'' пробегает любые замкнутые в X

множества, а Ф^ состоит из тех и только тех ?={/га}>
что F=Fa при нек-ром а.
У. б. р. было открыто Г. Уолменом [1].
У. б. р. всегда является бикомпактным 7',-простран-
ством: для нормального пространства оно совпадает
со Стоуна — Чеха бикомпактным расширением.
Если при определении расширения а>Х брать но
любые замкнутые множества, а только принадлежащие
нек-рой фиксированной замкнутой базе, получаем так
наз. бикомпактные расширения уолменовского типа.
Не всякое хаусдорфово бикомпактное расширение ти-
тихоновского пространства является расширением уолме-
уолменовского типа.
Лит.: [1] W а ! 1 m a n H., «Ann. Math.», 1941, v. 42,
p. 687—97. П. С. Александров.
УОЛША СИСТЕМА функций {Wn(x)} на отрезке
[О, 1] - функции W0(x)^l и Wn(x) = rVi(x)-rVi(x):..
...¦rv (x) при п>1, где rk(x) = sign sin 2k + inx, k=0,
1, 2,m. ..— функции Радемахера, «---=2V'+2V2+ ¦ • . -f
+2vm, Vj>v2>...>vm >0 — двоичное представление
числа 7?^1. Эта система была определена и исследована
Дж. Уолтом [1], хотя еще в 1900 году Баррет исполь-
использовал функции этой системы в вопросах связи при раз-
размещении проводников в открытых проводных линиях.
В теории связи более предпочтительным является дру-
другое определение У. с. Именно, если
. I 1 при rg 10, 1),
0 1' ' \ 0 при х ? (— оо, O)U[1, oo),
то функции Wn (.г) определяются следующими рекур-
рекуррентными формулами:
Wtj+P (.г):- W] Bх)+ (- i)/+P W* Bт-1),
/)--(). 1; j = 0, 1, 2, ...
Системы {Wn(x)} и {W,*(i)} отличаются только нуме-
нумерацией в пачках 2'"<:«<:2m + 1—1, т=1, 2,. . . На-
Например: Wlm(x)=W3,2m_i(x), Wlm-i_l (x)=W2m (х),
W.,m + i_2(x)=W2i' + i (x) и т.д. Номер к функции
И^(.г) соответствует числу перемен знака этой функции
в промежутке @,1), т. е. является аналогом удвоенной
частоты для синусоидальных функций. У. с. ортонор-
мирована на отрезке [0,1] и ее можно рассматривать
как естественное пополнение системы Радемахера.
У. с. образуют коммутативную мультипликативную
группу, единичным элементом в к-рой является функция
W0(x), а обратным к W^(x) является снова W^ix).
Лит.: [1] W а 1 s h J. Z., «Amer. J. Math.», 1923, v. 45,
li. j—24; 12] F о w 1 e F. F., «Trans. AJEE», 1905, v. 23, p. «59^
«7; [3j F i n e N. J., «Trans. Amer. Math. Soc», 1941), v.
li.i, p. 372—414; [4] К а ч м а ж С, Ш т е й н а у з Г., Теория
ортогональных рядов, пер. с англ., М., 1958; [5] X а р-
м у т X. Ф., Передача информации ортогональными функциями,
ni'li. с англ., М., 1975. А. В. Ефимов.
УПАКОВКА конечного (или бесконечного) семей-
семейства множеств М1г Мг, ... в множестве А — выполне-
выполнение условий
MiCzA, Mif]Mj--- 0, i ф j.
В геометрии чисел обычно A—R", М{=М-\-а, где М —
заданное множество, а; пробегает нек-рое множество %
векторов из R" (i=l, 2, ...); в этом случае говорят об
упаковке (М, %) множества М по систе-
системе векторов^. Если -К=Л — точечная решетка
в R", то говорят о решетчатой упаковке
(М, А).
Рассматриваются также У. множеств М1, Мг, ... не
только в R", но и в др. многообразиях — на в-мерной
сфере, в заданной области и т. д. (см. [1], [2]). Иногда У.
определяется как система множеств (напр., замкнутых
областей) Мг, М2, ¦¦¦ , не пересекающихся по внутрен-
внутренним точкам (см. [i]).

Лит.: [1] Барановский Е. П., в кн.: Итоги науки.
Алгебра. Топология. Геометрия. 1067, М., 1969, с. 189—225;
[2] Т о т Л. Ф., Расположения на плоскости, на сфере и в про-
пространстве, пер. с нем., М., 1958; 13] Р о д ж е р с К., Укладки и
покрытия, пер. с англ., М., 1968. А. В. Малышев.
УПЛОТНЕНИЕ — биективное непрерывное отобра-
отображение. М. И. Войцеховскгш.
УПЛОТНЯЮЩИЙ ОПЕРАТОР — оператор Ъ\ во-
вообще, нелинейным, определенный на совокупности 5Ш
всех подмножеств множества М нормированного век-
векторного пространства X, со значениями в нормирован-
нормированном векторном пространстве У и такой, что г|зк[U(А)] —
мера некомпактности множества U (A)dY— меньше
меры некомпактности tyx(A) любого некомпактного
множества Л?9Л. Меры некомпактности могут быть
при этом как совпадающие, так и различные. Напр.,
в качестве и я|)х, и я|)у можно взять меру некомпактности
Куратовского: cx(yl) = mf {й>0|Л можно разбить на
конечные подмножества диаметра, меньшего d}.
На непрерывные У. о. переносятся многие конструк-
конструкции и факты теории вполне непрерывных операторов,
напр, вращение уплотняющих векторных полей, прин-
принципы неподвижной точки У. о. и т. д.
Лит.: 11] С а д о н с к и й Б. Н., «Успехи матем. наук»,
1972, т. 27. в. I, с. 81 — 146; [2] К и г a t о w s k i C, «Fund,
math.», 1930, t. 15, p. 301 — 09. В. И. Соболев.
УПЛОЩЕНИЯ ТОЧКА — точка регулярной поверх-
поверхности, в к-рой касательный параболоид вырождается
в плоскость. В У. т. индикатриса Дюпена не опреде-
определена, гауссова кривизна равна нулю, тождественно
равны нулю вторая квадратичная форма и все нормаль-
нормальные кривизны.
У. т. пространственной кривой наз.
точка, в к-рой кручение кривой обращается в нуль.
Д. Д. Соколов.
УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА — группа G, на крой
задано отношение порядка <: такое, что для любых
а, Ь, х. у из G неравенство а<:6 влечет за собой
xay<^.xby. Порядок, как правило, подразумевается ли-
линейным и в этом случае понятие У. г. совпадает с по-
понятием линейно упорядоченной группы. Иногда поряд-
порядком называют произвольный частичный порядок и, со-
соответственно, упорядоченными группами — произ-
произвольные частично упорядоченные группы.
Порядковым гомоморфизмом (час-
(частично) У. г. fi в У. г. Н наз. гомоморфизм ф группы О
в группу // такой, что z<:i/, x, y?G, =$¦ дар<:!/ф в Н.
Ядрами порядковых гомоморфизмов являются нормаль-
нормальные выпуклые подгруппы и только они. Множество
правых смежных классов линейно У. г. G по выпуклой:
подгруппе Н линейно упорядочено, если считать Нх*?
<^.Ну тогда и только тогда, когда х<?у. Если Л — вы-
выпуклая нормальная подгруппа линейно У. г. G, то это
отношение порядка превращает факторгруппу GlH
в линейно У. г.
Система 2 (G) выпуклых подгрупп линейно У. г.
обладает свойствами: a) 2 (G) линейно упорядочена
по включению и замкнута относительно пересечений
и объединений; б) 2 (G) инфраинвариантна,
т. е. для любой //?2 (G) и любого x?G верно х~1Нх^
? 2 (G); в) если А <В — скачок в 2 (G), т. е. А,
В?2 (G), AczB, и между ними нет выпуклых подгрупп,
то А нормальна в В, факторгруппа В/А — архимедова
группа и
[[NQ (В), NG(ti)\, B]c^A,
где Nq(B) — нормализатор В в G; г) все подгруппы из
2 (G) строго изолированны, т. е. для лю-
любого конечного набора х, gl5 ... , gn из G и любой под-
подгруппы //?2(С) соотношение
влечет за собой ?
Расширение G У. г. Я с помощью У. г. является У. г.,
если порядок Н устойчив относительно внутренних

автоморфизмов G. Расширение G У. г. Н с помощью ко-
конечной группы является У. г., если G без кручения и
порядок в Н устойчив относительно внутренних авто-
автоморфизмов G.
Порядковый тип счетной У. г. имеет вид т}а|, где
т), | — порядковые типы множества целых и рацио-
рациональных чисел соответственно, а а — произвольный
счетный ординал. Всякая У. г. G является топология,
группой относительно интервальной топологии, в к-рой
базой открытых множеств являются открытые интер-
интервалы
(a, b) = {x ?G\a <х <Ь).
Выпуклые подгруппы У. г. открыты в этой топологии.
Лит.: К о к о р и н А, II., К о п ы т о в В. М., Линейно
упорядоченные группы, М., 1972. В. М. Нопытов.
УПОРЯДОЧЕННАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа,
наделенная структурой (частичного, вообще говоря)
порядка <:, стабильного относительно лолугрупповой
операции, т. е. для любых элементов а, Ь, с из а^.Ь сле-
следует са<;с6 и ac*g.bc. Если отношение <: на У. п. S
есть линейный порядок, то S наз. линейно у п о-
рядоченной полугруппой (л. у. п.).
Если отношение <: на У. п. S задает решетку (с опера-
операциями объединения v и пересечения л), причем вы-
выполняются тождества
с (ауЬ)--=са\/ сЬ и (av b) с — ас V be,
то S наз. решеточно упорядоченной
полугруппой (р. у. п.); тем самым класс всех
р. у. п., рассматриваемых как алгебры с полугруппо-
полугрупповой и решеточными операциями, является многообра-
многообразием. На р. у. п. тождества
с (а Л Ь) — са Л cb и (а Л Ь) с = ас Л be,
вообще говоря, не выполняются, и их наложение выде-
выделяет собственное подмногообразие в многообразии
всех р. у. п.
У. п. возникают при рассмотрении различных число-
числовых полугрупп, полугрупп функций и бинарных отно-
отношений, полугрупп подмножеств (пли подсистем различ-
различных алгебраич. систем, напр, идеалов колец и полу-
полугрупп) и т. п. Всякая У. п. изоморфна нек-poii полу-
полугруппе бинарных отношений, рассматриваемой как
У. п., где отношение порядка — теоретико-множест-
теоретико-множественное включение. Классич. пример р. у. п.— полу-
полугруппа всех бинарных отношений на произвольном мно-
множестве.
В общей теории У. п. выделяются два больших раз-
раздела: теория л. у. п. и теория р. у. п. Хотя всякая
л. у. п. будет р. у. п., обе теории развиваются в значи-
значительной степени самостоятельно: исследования по л. у.
п. посвящаются свойствам, большей частью не перено-
переносимым на произвольные р. у. п., а при рассмотрении
р. у. п. изучаются, как правило, свойства, приводящие
применительно к л. у. п. к вырожденным случаям.
Важнейшим типом У. п. являются упорядоченные груп-
группы; их теория представляет собой самостоятельный
раздел алгебры. В отличие от упорядоченных групп,
отношение порядка на произвольной У. п. S, вообще
говоря, не определяется множеством ее поло ж и-
тельных элементов (т.е. таких элементов а,
что ах^х и ха^х для любого jr?S).
Линейно упорядоченные полугруппы. Полугруппа S
наз. упорядочи ваемой, если на ней может
быть задан линейный порядок, превращающий S в
л. у. п. Необходимым условием упорядочиваемое™ яв-
является отсутствие в полугруппе неидемпотентных эле-
элементов конечного порядка. Если в упорядочиваемой
полугруппе множество всех идемпотентов не пусто, то
оно — подполугруппа. Среди упорядочиваемых полу-
полугрупп — свободная полугруппа, свободная коммута-
коммутативная полугруппа, свободная ге-ступенно нильпотент-

ная полугруппа. Существует континуум способов упо-
упорядочения свободной полугруппы конечного ранга ^2.
Найдены нрк-рьте необходимые и достаточные условия
упорядочиваемости произвольной полугруппы, а также
полугрупп из ряда известных классов (напр., полу-
полугрупп идемпотентов, инверсных полугрупп).
Полностью описано строение л. у. п. идемпотентов;
в частности, в разложении такой полугруппы в полу-
решетку прямоугольных полугрупп (см. Идемпотеи-
тов полугруппа) прямоугольные компоненты сингуляр-
сингулярны, а соответствующая полу решетка является деревом.
Вполне простые л. у. п. исчерпываются правыми груп-
группами и левыми группами, являющимися лексикогра-
фич. произведением (см. Лексикографический порядок)
линейно упорядоченной группы и л. у. п. правых (соот-
(соответственно, левых) нулей. В терминах, использующих
редукцию к линейно упорядоченным группам, получено
описание л. у. п. в классе клиффордовых полугрупп,
охарактеризованы также инверсные л. у. п. Класси-
Классифицированы все типы л. у. п., порожденные двумя вза-
взаимно инверсными элементами (см. Регулярный эле-
элемент).
Условия, накладываемые на исследуемые л. у. п.,
часто постулируют дополнительные связи между опе-
операцией и отношением порядка. На этом пути выделены
следующие основные типы л. у. п.: архимедовы полу-
полугруппы, естественно л. у. п. (см. Естественно упорядо-
упорядоченный группоид), положительно л. у. п.
(в к-рых все элементы положительны), целые л. у. п.
(в к-рых г2<:.г для любого х). Всякая архимедова
естественно л. у. п. коммутативна, ее строение пол-
полностью описано. Строение произвольной л. у. п. в зна-
значительной мере определяется особенностями ее разбие-
разбиения на архимедовы классы. Для периодич. л. у. п. это
разбиение совпадает с разбиением на классы кручения,
при этом каждый архимедов класс будет нилъполугруп-
пой. Произвольная линейно упорядоченная нильполу-
группа является объединением возрастающей после-
последовательности выпуклых нильпотентных подполугрупп;
в частности, она локально нилыютентна.
Гомоморфизм <р: А ->- В л. у. п. наз. и о р я д к о-
в ы м (или у-г о м о м о р ф и з м о м), если ср есл.
изотонное отображение А в В. Конгруэнция на л. у. и.
наз. у-к о н г р у э н ц и е й, если все ее классы — вы-
выпуклые подмножества; у-конгруэнции и только они яв-
являются ядерными конгруэнциями у-гомоморфизмов.
Разбиение л. у. п. S на архимедовы классы не всегда
определяет у-конгруэнцию, т. с. не всегда будет связ-
связкой (см. Связка полугрупп), но это так, напр., если S
периодическая и ее идемпотенты коммутируют или если
S — положительно л. у. п.
Для л. у. п. возникают дополнительные условия про-
простоты (см. Простая полугруппа), связанные с отноше-
отношением порядка. Одно из них — отсутствие собственных
выпуклых идеалов (выпукло идеально про-
простые, или 0-п р о с т ы е, но л у г р у п ц ы); три-
тривиальный пример таких л. у. п.— линейно упорядо-
упорядоченные группы. Л. у. a. S с наименьшим s и наиболь-
наибольшим g элементами (в частности, конечная) будет вы-
выпукло идеально простой тогда и только тогда, когда s
и g одновременно левые или правые нули в S. Любая
л. у. п. может быть вложена с сохранением порядка
(у-изоморфно) в выпукло идеально простую л. у. п.
Существуют л. у. п. с сокращением, невложимые в
группу, но коммутативная л. у. п. с сокращением у-изо-
у-изоморфно вложима в абелеву линейно упорядоченную
группу, причем существует единственная, с точностью
до у-изоморфизма, такая группа частных. Л. у. п.
тогда и только тогда у-изоморфно вложима в аддитив-
аддитивную группу действительных чисел, когда она удовле-
удовлетворяет закону сокращения и не содержит а н о .м а л ь-
н ы х п а р (т. е. таких элементов а, Ь, что либо

oB<6n + 1, bn<an + 1 для всех в>0, либо an>bn + 1,bn>
>a" + 1 для всех в>0).
Решеточно упорядоченные полугруппы. Если для
элементов а\\ Ъ У. п. в ней существует наибольший эле-
элемент х с тем свойством, что Ъх^а, то он наз. их пра-
правым частным и обозначается а : 6; аналогично
определяется левое частное а : Ь. Р. у. п. S
наз. р. у. п. с делением, если правое и левое част-
частные существуют в S для любой пары элементов. Такой
полугруппой является полная (как решетка) р. у. п.,
решеточный нуль к-рой является и мультипликативным
нулем, и удовлетворяющая бесконечным дистрибутив-
дистрибутивным законам a(Vaba)^= Vaaba, (Vaba)a=Vabaa. Важ-
Важный пример р. у. п. с делением — мультипликативная
полугруппа идеалов ассоциативного кольца, и заметное
направление в теории р. у. п. посвящено перенесению
многих понятий и результатов теории идеалов ассоциа-
ассоциативных колец на случай р. у. п. (однозначное разло-
разложение на простые множители, простой, примерный,
максимальный, главный элементы р. у. п., и т. д.).
Так, напр., известное отношение Артина из теории
коммутативных колец следующим образом переносится
на р. у. п. с делением, обладающие единицей 1: пусть
<г~6ФФ1 : а—Л : Ъ. Если рассматриваемая р. у. п. S ком-
коммутативна, то отношение — на ней есть конгруэнция;
при этом факториолугруппа Sl~ будет (решеточно упо-
упорядоченной) группой тогда и только тогда, когда S
ц е л о з а м к н у т а, т. е. а : а=1 для любого a?S.
Изучение р. у. п. связывается с группами при рас-
рассмотрении проблемы вложения р. у. п. в решеточно упо-
упорядоченные группы. Напр., любая р. у. п. с сокраще-
сокращением и условием Оре (см. Вложение полугруппы в груп-
группу), умножение в к-рой дистрибутивно относительно
обеих решеточных операций, вложима в решеточно
упорядоченную группу.
Начато исследование р. у. п. с точки зрения теории
многообразий: описаны свободные р. у. п., найдены ми-
минимальные многообразия р. у. п. и т. д.
Лит.: [1] Ф у к с Л., Частично Упорядоченные алгебраиче-
алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965; [2] Б и р к г о ф Г., Теория
решеток, пер. с англ., М., 1984; [3] К о к о р и н А. И., Ко-
Копы т о в В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972; [4]
Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967,
с. 11&—20; [5] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия.
1966, М., 1968, с. 99—102; [6]SatyanarayanaM., Positi-
Positively ordered semigroups, N. Y.— Basel, 1979.
Л. Н. Шеврин.
УПОРЯДОЧЕННАЯ СУММА частично упо-
упорядоченных множеств — операция, ста-
ставящая в соответствие системе непересекающихся час-
частично упорядоченных множеств {Ра, a?L], где мно-
множество индексов L также частично упорядочено, новое
частично упорядоченное множество
элементами к-рого являются элементы теоретико-мно-
теоретико-множественного объединения множеств Ра, а порядок ус-
устанавливается следующим образом. Во множестве Р
тогда и только тогда а<Ь, когда или а, Ь?Ра и а<:6
в Ра или а?Ра, bt^Pfj и сх<р\ Важнейшими частными
случаями У. с. являются кардинальная и ор-
ординальная суммы. Первая из них получается,
когда L упорядочено тривиально, т. е. каждый его эле-
элемент сравним только с самим собой, вторая — когда L
является цепью. Таким образом, в кардинальной сумме
двух непересекающихся частично упорядоченных мно-
множеств X и У отношение <: сохраняет свое значение
внутри слагаемых X и Y, а х?Х и y?Y между собой
несравнимы; в ординальной же сумме X и Y отношение
порядка также сохраняется на слагаемых и г<(/ для
всех х?Х, y?Y.
Лит.: [1J Биркгоф Г., Теория решеток, пер. с англ.,
М., 1984; [2] С к о р н я к о в Л. А., Элементы теории структур,
М., 1Я70. Т. г Фпфапоеа.

УПОРЯДОЧЕННОЕ КОЛЬЦО, частично упо-
упорядоченное кольц о,— кольцо R (не обяза-
обязательно ассоциативное), являющееся частично упорядо-
упорядоченной группой по сложению, в к-ром для любых а, Ь,
c?R неравенства а<:6 и с^О влекут за собой неравен-
неравенства ас<?.Ьс и ca*z;cb. Всякое кольцо является У. к. с
тривиальным порядком. Примерами У. к. служат так-
также упорядоченные поля; кольцо действительных функ-
функций на множестве 'X, где /<# означает, что f(x)^g(x)
для всех х? X; кольцо матриц над У. к. R, где, но опре-
определению, ||а//||-<||Ь,-у||, если я,-у<:&,у для всех i, j. Если
R — У. к., то множество
Р = {х\х ? R, т?аО}
паз. его положительным конусом. Поло-
Положительный конус У. к. однозначно определяет его по-
порядок: х-^у тогда и только тогда, когда у—х?Р. Под-
Подмножество Р кольца R служит положительным кону-
конусом для нек-рого порядка в том и только в том случае,
когда
РП(—Р) = {0}, Р + Р^Р и PPgzP.
Равенство P(J(—P) — R равносильно линейности этого
порядка.
У. к., являющееся линейно упорядоченным множест-
множеством пли решеткой (структурой), наз. соответственно
линейно упорядоченным или струк-
структурно упорядоченным (репгеточно
упорядоченным) кольцом (см. также Ар-
Архимедово кольцо). Решеточно упорядоченное кольцо
оказывается дистрибутивной решеткой, а его аддитив-
аддитивная группа не имеет кручения (ср. Структурно упоря-
упорядоченная группа). Нек-рые вопросы теории ассоциатив-
ассоциативных колец и, в частности, теория радикалов имеют
аналоги в ассоциативных структурно У. к. Класс ко-
колец, допускающих превращение в структурно У. к.,
не аксиоматизируем. Если о, Ъ, с — элементы структур-
структурно У. к. и с^О, то справедливы соотношения
(а V 6) с ^ ас V Ъс, с (а V Ь)^са V сЬ,
(а А Ь) с ^.ас Л Ъс, с (а А Ъ) <^са А сЬ.
Идеалы структурно У. к., являющиеся выпуклыми
подгруппами аддитивной группы, наз. I - и д е а л а-
м и. Факторкольцо по ^-идеалу естественным образом
превращается в структурно У. к. Остается справедли-
справедливой теорема о гомоморфизме.
Структурно У. к. R наз. функциональным
кольцо м, или /-к о л ь ц о м, если выполнено лю-
любое из следующих эквивалентных друг другу условий:
A) R изоморфно структурно упорядоченному подкольцу
прямого произведения линейно У. к.; B) для любых а,
Ь, x?R справедлива импликация
(аЛб = О)=>(«лб1 = аЛй = О);
C) для любого подмножества X^R множество
является Z-идсалом; D) для любых а,
(flVO) (b\/0)/\{— avO) = FvO) (avO) Л
Условие D) показывает, что/-кольца образуют многооб-
многообразие сигнатуры {+, —, 0, •, v, Л }. Входящие в это
условие равенства не вытекают одно из другого. Не
всякое /-кольцо вложимо в /-кольцо с единицей. Если
а, Ь, с — элементы /-кольца и с^О, то справедливы со-
соотношения
(а V Ъ)с — ас V Ъс, с (а V Ь) = са у сЬ,
(а А Ь) с = ас /\ be, с (а А Ъ)—са A cb,
(а V (-~a)){b v (—b)) = ab V (—ab), a3 Ss О,
а также импликация (алЬ=0)=>(а6=0).
Порядок У. к. R с положительным конусом Р можно
продолжить до линейного так, что R становится линей-
линейно У. к. в том и только в том случае, когда для любого

конечного множества ах, ... , ап из R можно выбрать
е,= 1 пли —1 так, что в полукольце, порожденном ко-
конусом Р и элементами гхах, ... , гпап, сумма любых двух
ненулевых элементов отлична от нуля. При Р= {0}
получается критерий возможности превращения дан-
данного кольца в линейно упорядоченное.
Лит.: ll] Биркгоф Г., Теория решеток, пер. с англ.,
М., 19S4; [2] В и н о г р а д о в А. А., «Матем. заметки», 1977,
т. 21, № 4, с. 449—52; [3] Ф у к с Л., Частично упорядочен-
упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965; 14] В \-
gard A., Keimel К., Wolfenstein S., Groupes et
anneaux reticules, В.—Hdlb.—N. У., 1977; [5] В г u m f i о 1 G.,
Partially ordered rings and semi-algebraic geometry, Camb.,
1979: [6] S t e i n b e r g S. A., «Symp. math. 1st. naz. alta mat.»,
1977, v. 21, p. 379—400; [7] e г о же, «J. Algebra», 1981, v. 72
X; 1, p. 223—36. Л. А. Скорняков.
УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО — множество, на
к-ром задано отношение порядка. См. также Линейно
упорядоченное множество, Частично упорядоченное мно-
множество.
УПОРЯДОЧЕННОЕ ПОЛЕ — линейно упорядочен-
упорядоченное кольцо, являющееся полем. Классич. пример — поле
действительных чисел с обычным порядком. Напротив,
поле комплексных чисел не может быть превращено
в У. п., поскольку ноле допускает порядок, превра-
превращающий его в У. п., тогда и только тогда, когда —1 не
представима в нем как сумма квадратов. Такие поля
наз. формально действительными;
они возникают, напр.. если к какому-либо У. п. при-
присоединить все квадратные корни из всех его положи-
положительных элементов.
Расширение Р У. п. к наз. упорядоченным,
если Р — У. п., содержащее к в качестве упорядочен-
упорядоченного подполя. Это имеет место в том и только в том
случае, когда —1 не представима в виде суммы элемен-
элементов вида Хх2, гдеЯ^/с, Я^О и х?Р. У. п. наз. д е и с т-
вительно замкнутым, если оно не обладает
отличными от себя самого упорядоченными расширени-
расширениями. Порядок действительно замкнутого поля единст-
единствен. Эквивалентны следующие свойства У. п. к: A) к
действительно замкнуто; B) расширение k(i), где ?2=
= — 1, алгебраически замкнуто; C) каждый положит,
элемент из к является квадратом и каждый многочлен
нечетной степени над к имеет корень в к. Каждое фор-
формально действительное поле обладает действительно
замкнутым упорядоченным алгебраич. расширением.
Если к — У. п., то имеет смысл обычное определение
фундаментальной последовательности (см. Действи-
Действительное число). Совокупность фундаментальных после-
последовательностей при надлежащем отождествлении и оп-
определении операций превращается в упорядоченное
расширение к поля к. Если к архимедово, то к изоморф-
изоморфно У. п. действительных чисел.
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Алгебра. Многочлены и поля.
Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] В а н дер
В а р д е н Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; 13]
Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы,
пер. с англ., М., 1965. Л. А. Скорняков.
УПОРЯДОЧЕННЫЙ ГРУППОИД — группоид Н,
множество элементов к-рого частично упорядочено от-
отношением <:, и, кроме того, операция и порядок связа-
связаны аксиомой
я<6|=>яс<Ьс, ca<cb Vc ? Я.
Если У. г. // подчиняется более сильной аксиоме
а < Ь |=:> ас < 6с, са < cb ус ? Я,
то порядок в Н наз. строгим, а Я — строгим
частично упорядоченным группо-
группоид о м. Частично У. г. наз. сильны м, если
ас < 6с Л са < еб | => а < Ъ.
Сильный частично У. г. всегда является строгим, а для
линейно У. г. эти два понятия совпадают.
Элемент а У. г. Н наз. положительным
(строго положительны м), если для всех

х^Н справедливы неравенства ах^х и ха^.х (соответст-
(соответственно, ах>х и ха>х). Отрицательные и
строго отрицательные элементы
определяются двойственными неравенствами. У. г. наз.
положительно (отрицательно) упорядоченным, если все
его элементы положительны (отрицательны). Интерес
для изучения представляют специальные типы груп-
группоидов (см. Естественно упорядоченный группоид, Упо-
Упорядоченная полугруппа, Упорядоченная группа).
О. А. Иванова.
УПОРЯДОЧИВАЕМАЯ ГРУППА — группа G, на
к-роп может быть введено отношение линейного поряд-
порядка <: такое, что а<:6 влечет за собой xay^xby для
любых а, Ь, х, г/?С Группа 67 тогда и только тогда яв-
является У. г., когда в ней существует подмножество Р со
свойствами: 1) РР^Р; 2) f>n/J~1= {1}; 3) P\JP~l=G;
4) x~1Pxg^P для любого x?G.
Пусть S (aj, a2, ... , ап) — нормальная подполугруп-
подполугруппа группы G, порожденная элементами аг, а2, ... , ап-
Группа 67 тогда и только тогда является У. г., когда
для любого конечного набора а1, ... , ап элементов из 67,
отличных от единицы группы, найдется такой набор чи-
чисел 81; ... , е„, равных ±1, что подполугруппа S (а^1, ...
... , а^") не содержит единицу. Всякая У. г. есть груп-
группа с однозначным извлечением корня. Абелевы группы
без кручения, локально нильпотентные группы без
кручения, свободные, свободные разрешимые группы
суть У. г. Двуступенно разрешимая группа, для вся-
всякого неединичного элемента х к-рой 1?S (x), является
У. г.
Класс У. г. замкнут относительно подгрупп, фильт-
фильтрованных произведений, локально замкнут и, следова-
следовательно, является квазимногообразием. Свободное про-
произведение У. г. есть У. г.
Лит.: [1] К о к о р и н А. И., К о п ы т о в В. М., Линейно
упорядоченные группы, М., 1972; [2] Фукс Л., Частично
упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 196.5.
В. М. Нопытов.
УПРАВЛЯЕМЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС —
случайный процесс, вероятностные характеристики
к-рого могут изменяться по ходу наблюдений в зависи-
зависимости от поставленной цели, заключающейся в мини-
минимизации (максимизации) того или иного функционала,
определяющего качество управления. Различают раз-
разные виды управляемых процессов как по способу их
задания и описания, так и по типу целен управления.
Наиболее продвинута теория управляемых скачкооб-
скачкообразных марковских процессов и управляемых диффузи-
диффузионных процессов, в случае наблюдений по полным дан-
данным. Развивается также соответствующая теория в слу-
случае наблюдений по неполным данным (частично наблю-
наблюдаемые процессы).
Управляемый скачкообразный марковский процесс
(у.см.н.) — управляемый случайный процесс с непре-
непрерывным временем и кусочно постоянными траектория-
траекториями, в к-ром выбор управления влияет па инфините-
зимальные характеристики процесса. Обычно (см. [1],
[2]), для построения у.см.п. задают: 1) борелевское
множество Е состояний; 2) борелевское множество А
управлений и множества Л (х) управлений, допусти-
допустимых в состоянии х, причем А=\\А(х), {(х, а):а?
?А(х), х?Е}?33(ЕхА){3)(М) есть 0-алгебра боре-
левских подмножеств борелевского множества М), и
возможен измеримый выбор а = а (х)?А (х); х?Е;
3) плотность q (а, /, х, Г) вероятности скачка из х в Г
в момент t при управлении a (t Зг 0, х?Е, а^А(х),
Г?53 {Е)), являющуюся борелевской функцией (a, t, x)
при любом Г и счетноаддитивной функцией Г при
любых a, t и х, причем функция q ограничена,
q (a, t, х, ГMгО при хфТ, q (a, t, x, Е) — 0.
Пусть Q = ?>([0, со), Е) — пространство всех кусоч-
кусочно постоянных непрерывных справа функций со =

= x[o, 05)= (Xt)t^o co значениями вЕ,ппусть Nt {Nt_)—
мишшальная ст-алгебра в Q, относительно к-рой изме-
измеримы функции xs = xs(a>) при s^t (при s < t) и
.\'=Л'„. Любая функция щ (со) на @, oo)xfi со значе-
значениями at ((?>)? A (xt_ (со)), прогрессивно измеримая от-
относительно семейства {A'f _}, наз. (естественной) стра-
стратегией. Из определения следует, что а( (со) =
=а Ио, t)), где xIOt t)=(xs)o^s<t- Если а<(«) = «(*,-?f-),
где а(/, л;)—борелевская функция на @, <х)хЕ со
свойством а ((, х)? А (х), то стратегия а. наз. мар-
марковской, а если а (I, х) — а {х), то стационар-
стационарной. Классы естественных, марковских и стационар-
стационарных стратегий обозначаются соответственно 31^, 'им
и Sis- Ввиду возможности измеримого выбора из А (х)
класс 2Is (следовательно, 21^ и 21^) не пуст. Если q
ограничена, то по любым х?Е и a?2l? строится един-
единственная вероятностная мера Р? на (Q, N) такая, что
Px{xo = x} = i и при любых t'^t^sO
A)
Рх {т > f | Nt] =
= ехрГГ q (а (ж[0, s)), s, *,, ж») dsl (п. н. Р?),
где т=т (/, со) —момент первого скачка после t, Nt (т)—
минимальная ст-алгебра в Q, содержащая Nt, относи-
относительно к-рой т измеримо, xu=Xf при 0<м<< и xu=Xf
при и у t. Случайный процесс \(xt)t^.oi PJ} и есть
у.см.п. Марковское свойство у.см.п. состоит в том,
что при известном «настоящем» x-f, «прошлое» (xu)u<t
входит в правые части A) лишь через стратегию а.
При произвольной стратегии а^'йЕ процесс (xt)j^0,
вообще говоря, не марковский, но если а?91д1, то
он будет марковским процессом, а если a?2(s и 9
не зависит от t, то — однородным марковским с плот-
плотностью вероятности скачка из х в Г, равной q (a (x),
х. Г). Управление процессом состоит в выборе стра-
стратегии.
Типичная задача управления — максимизация функ-
функционала
<;«(*) =Е? [[То fa'(t, xt)dt + g(xT)] , B)
где f(t, х) и g (х) — ограниченные борелевские функ-
функции на Ах[О, оо)хЕ и на Е, Г —фиксированное число.
(' помощью перехода к другим функциям /и^и вве-
введения фиктивных состояний к виду B) приводится
оолее широкий класс функционалов, содержащих так-
также члены /*ат(т, жт_, хт), т — момент скачка, и допу-
допускающих обрыв или остановку процесса. Функцией
выигрыша (ценой) наз. функция
у(ж)= sup va(x), x ? Е. C)
««в
Стратегия а наз. е-оп т и м а л ь н о й, если va (x) э=
av(x) — е при всех х?Е, и (п. н. |х) е-оптималь-
ной, если то же верно при почти всех х относительно
меры |х на Е. О-оптимальные стратегии наз. опти-
оптимальны м и. Пусть в модели, полученной из перво-
первоначальной схемы сокращением промежутка [0, со) до
[t, оо), символы Щ. (t) Е" х и v (t, x) имеют тот же смысл,
что "il, E? и v (х) в первоначальной модели. Рассмат-
Рассматривая скачки как последовательные шаги в управ-
управляемой марковской цепи с дискретным временем,
можно установить существование (п. н. \х) 8-опти-
мальных стратегий в классе Ше и получить свойство

измеримости v в форме: {(t, x):v (t, x) > С}— анали.тич.
множество. Ото позволяет применить идеи динамиче-
динамического программирования и вывести соотношение
где Tj--=min(T(O, /'), 0<(<Г<Г (вариант прин-
принципа Беллмана). При V * t из D) и A) получается
Беллмана уравнение
до (t, x)_
at ~~
--- sup Г/а(«, х)+Г v(t, y)q(a, t, т, dy{\ (а.в.).
E)
Функция выигрыша v(t, x) — единственная ограничен-
ограниченная абсолютно непрерывная по t функция на |0, Т]хЕ,
удовлетворяющая E) и условию v(T, x) = g(x). Уравне-
Уравнение E) можно решать методом последовательных при-
приближений. При а^^Л1 и3 Колмогорова уравнения для
марковского процесса Ut)t>0 следует, что если супремум
в E) достигается при измеримой функции a=a(t, х),
то марковская стратегия а оптимальна. Так устанавли-
устанавливается существование марковских оптимальных стра-
стратегий в полунепрерывных моделях (в к-рых А , </, / и g
удовлетворяют определенным условиям компактности
и непрерывности), в частности в конечных моделях (с
конечными Е и А). В произвольных борелевских моде-
моделях с помощью теорем измеримого выбора выводится
существование (п. н. и.) е-оптимальных марковских
стратегий при любом е>0. В счетных .моделях получа-
получаются марковские к-оптимальные стратегии. Результаты
частично переносятся на случаи, когда Т=<х> и функции
/ и g не ограничены, но в общей ситуации достаточность
марковских стратегий не доказана.
В однородных моделях, где g и / не зависят от t, на-
наряду с B) рассматривают функционалы
г«(:г)-Е?$"е-*'Л(:г,)Л, (C)
г* (z)= lim E?~ [T ft (x,)dt, G)
причем ставится вопрос о достаточности класса 3(s-
Если К > 0 и борелевская функция /а (.г) ограничена,
то уравнение E) для функционала G) обращается в
Kv(x)= sup Г/а(.г) + С v (у) q (а, х, dy)~] ; (8)
а€ A (.v) L J? -I
оно (оппадает с уравнением Беллмана для аналогич-
аналогичной задачи с дискретным временем и имеет единствен-
единственное ограниченное решение. Если супремум в (8) до-
достигается при а--а(х). a?2Is- то а оптимальна. Точ-
Точно так же с заменой Шщ на 2ls переносятся на случай
функционала (б) и результаты о существовании е-оптн-
мальных стратегий п моделях разных типов. При кри-
критерии G) законченные результаты получены лишь для
конечных и специального вида эргодич. у.см.п. и
полобны случаю дискретного времени: можно выбрать
a?3(s и функцию g на Е так, чтобы а была опти-
оптимальна по критерию B) сразу при всех Т и, следо-
пательно. оптимальна по критерию G).
Управляемый диффузионный процесс (у.д.п.) — не-
непрерывный управляемый случайный процесс в d-мер-
i:om евклидовом пространстве Ed, допускающий сто-
стохастический дифференциал по отьошегнш к нек-рому
винеровскиму процессу, не зависящему от управлений.
Теория у.д.п. возникла как обобщение теории управ-
управления детерминированным движением нек-рой точки
xt?Ed, уравнение движеяия к-рой имеет вид dxt—
= b (щ, s-\-t, xt)dt, t^sO, где af —управляющий па-
раметр.

Для формального описания у.д.п. применяется язык
стохастич. уравнений Ито. Пусть (О, §~, Р)—пол-
Р)—полное вероятностное пространство, {|Гь ^?эО} — семей-
семейство расширяющихся полных о-алгебр JFf, вложенных
в ff~. Пусть mij — (wlt, i = l, ..., rfj) —di-мерный вине-
ровский процесс относительно {<5Г<}, определенный на
(й, ff~, Р) при 152 О (т. е. процесс, для к-рого w\
являются одномерными непрерывными стандартными
винеровскимп процессами при каждом i, процессы
wj, ..., wy независимы, w\ ^"-измеримопри всяких t,
i и при t, h^O величины {wt+h — Щ, i = l, ..., dj\
не зависят от ff~t). Пусть А— нек-рое сепарабельное
метрич. пространство. При а?А, t^O, х = (х',
i = i, ..., d)?Ed предполагаются заданными функции
о (a, t, х), Ь (а, t, х), причем a (a, t, x) — матрица раз-
размера dxdi, Ь (a, t, x) ость d-мерный вектор. Считают,
что а, Ъ — борелевские функции а, t, x, удовлетворяю-
удовлетворяющие услонию Липшица по г с постоянной, не завися-
зависящей от a, t, и такие, что | a'/(a, t, 0) | и | b' {a, t, 0)
ограничены. Произвольный процесс at = at (со), t 5^0,
co^Q, прогрессивно измеримый относительно {lift} и
принимающий значения из А, наз. стратегией;
91—множество всех стратегий. Для всякого s^U,
x?Ed, a?S(. сущесткуст и единственно решение сто-
стохастич. уравнения Иго
dxi = b(a.t, s-j-t, x,)dt-<ro(at, s-]-t, xt) dwu (9)
xa = x
(теорема Ито). Это ретпение, обозначаемое xf's'x,
наз. управляемым диффузионным процес-
процессом (управляемым процессом диффузион-
диффузионного типа); оно управляется с помощью выбора
стратегии a = a^. Кроме стратегий из Щ рассматри-
рассматриваются другие классы стратегий. Пусть С ([0, оо), Ед)—
пространство непрерывных функций на [U, оо) со зна-
значениями в Еф Полуось [0, оо) интерпретируется как
множество значений времени t. Элементы С ([0, оо), Еа)
обозначаются через Х;о, «.i- И пусть N-t — наименьшая
a-алгебра подмножеств' С ([0, оо), Ed), относительно
к-рой при s«s:t измеримы функции xs (являющиеся
значением элемента х10ос)) пространства С([0, оо), Е^)
в момент времени s. Функция a = a< (г@, »>) со значе-
значениями в А наз. естественной стратегией,
допустимой в точке (s, x), если она прогрессивно из-
измерима относительно {Nf) п ПРИ at =>at (xfo, «л) суще-
существует хотя бы одно решение уравнения (9), прогрес-
прогрессивно измеримое относительно {JF(}. Множество всех
естественных стратегий, допустимых в точке (s, x),
обозначается ЭГ^-(s, x), его подмножество, состоящее
из всех естественных стратегий вида a( (xt), обозна-
обозначается 31д! (s, x) и наз. множеством марковских
стратегий, допустимых в точке (s, x). Принято
говорить, что естественная стратегия определяет управ-
управление в момент времени t на основании наблюдений
за процессом хг на участке времени [0, t], марковская
стратегия—на основании наблюдений за процессом
только в момент времени t. При a^2tg(s, x) (даже
при a?3(^j(s, x)) решение (9) может не быть единст-
единственным. Поэтому для каждых s5?0, x?Ed, a.?%E(s, x),
произвольным образом фиксируется к.-н. решение урав-
уравнения (9) и оно обозначается xf' s> x. После этого по
формуле Р( ((o) = ccf (zfo;„>¦* {<?>)) определяется вложение
Е( х)С.Щ., при к-ром х\ s'x = xf's'x (п. н.).
Целью управления, как правило, является макси-
максимизация или минимизация математич. ожидания того
или иного функционала от траекторий xf's' x. Более
общей является следующая задача. Пусть на
Ax[0,os)xEd определены борелевские функции
Ca(t, х)Зг0, f (t, х) и на [0, <x)xEd определена бо-

релевская функция g (t, х). Для а?9(, х5э(),
момент первого выхода (s-j-i, xf'b'x) из Q,
где индексы a, s, х у знака математнч. ожидания озна-
означают, что их нужно вставить под знаком математич.
ожидания всюду, где это возможно. Тогда возникает
задача о нахождении стратегии а, максимизирующей
va (s, х), и о нахождении функции выигрыша
(ц ен ы)
v (s, z)= sup va (s, х). (И)
as Я
Стратегии а, для к-рых va (s, х) 5= v (s, x) — 8, наз.
е-о п т и м а л ь н ы м и для точки (s, .г). О п т и м а л ь
ной наз. Остратегия. Если в A1) множество 81 зам>
нить на %р (s, x) (Щ^ (s, x)), то соответствующая верх-
верхняя грань обозначается i\E)(s, x) (vyi(s, x)). Посколь-
Поскольку имеют место вложения 5Дд1 (s, *)c3lf:(s> -r)C!2l, то
"(М) (s' iT) ^ у(?") (s' х) < v Is' т)- При нек-рых достаточно
широких предположениях известно (см. [3]), что
v{E) — v (это так, если, напр., а, Ъ, с, /, g непрерывны
по (а, ж), непрерывны по х равномерно относительно
а при всяком t и абсолютные величины с, /, g не пре-
превосходят К {\-\-\х\)т при всех a, t, x, где К, т не
зависят от a, t, х). Вопрос о равенстве У(.до) = 7' в Д°"
статочно общей ситуации является открытым. Фор-
Формальное применение идей динампч. программирования
приводит к соотношению, наз. принципом Беллмана:
v(s, *)= sup ??,x\[l е~*1 f'Hs + t, rt)dt +
a 6 si L j 0
~Ф] A2)
где xa's> x — произвольным образом определенные мар-
марковские моменты, не превосходящие tq' s' х. Если в A2)
в качестве т взять tA%Q = mm(t, tq), применить
к v(s-\~%, х%) е т формулу Ито, то после нек-рых
нестрогих рассуждений можно прийти к уравнению
Беллмана:
sup (LaH-/a)=0, A3)
аи А
где
9.x' dxJ
~тbl (^i s > x) —г — ca \si x) v,
dxl
по индексам г, / предполагается суммирование от 1 до d
матрица
a (a, s, x) = (a'J (a, s, .т)} = — о (а, s, x) а* (а, s, ж).
Уравнение Беллмана играет центральную роль в тео-
теории у.д.п., так как часто оказывается, что достаточно
«хорошее» его решение, равное на 6Q функции g,
является функцией выигрыша, а если a = a°(s, x) при
каждых (.?, х) доставляет верхнюю грань в A3) и
a^ = a° (so+i, xt) — марковская стратегия, допустимая
в (so, ¦?(>), то стратегия а° — {а^} является оптималь-
оптимальной в точке (s0, x0). Т.о., иногда удается показать,
что vM (s0, ,ro)= -v (s0, x0).
Строгое обоснование справедливости приведенных
выше выводов наталкивается на серьезные трудности,
связанные с нелинейным характером уравнения A3),

к-рое в общем случае оказывается нелинейным вырож-
вырождающимся параболич. уравнением. Наиболее простым
является случай, когда A3) есть невырождающееся ква-
квазилинейное уравнение (матрица а не зависит от а и
равномерно невырождена в Q). Здесь при нек-рых до-
дополнительных ограничениях на Q, а, Ь, с, /, g, удается
воспользоваться результатами теории квазилинейных
параболич. уравнений, доказать разрешимость A3) в
гёльдеровских классах функций и дать способ построе-
построения g-оптимальных стратегий, основанный на решении
уравнений A3). Аналогичный подход используется
(см. [3]), когда <? = (— оо, <x>)X{r1, r2), a, b, с, /, g огра-
ограничены и не зависят от s, a — равномерно отделена от
нуля. В этом случае A3) сводится к квазилинейному
уравнению 2-го порядка на (гх, г2), т. к. -§--=0 и урав-
уравнение A3) можно разрешить относительно старшей
производной vxx. Методы теории дифференциальных
уравнений помогают при исследовании уравнения A3)
также, если <?=(—оо, oo)x.D, D — двумерная область.
а, Ъ, с, /, g не зависят от s (см. лит. в [3]). Здесь, как и в
предыдущем случае, допускается зависимость а от а.
Уместно упомянуть также случай уравнений Гамильто-
Гамильтона — Якоби (а==0), изученный методами теории диф-
дифференциальных уравнений (см. f5]).
Методами теории случайных процессов удается дока-
доказать, что функция выигрыша v удовлетворяет уравнению
A3) в довольно общем случае при нек-рых предположе-
предположениях типа гладкости а, Ь, с, /, g, если <?=(—оо, Т)ХЕа,
Г<оо (см. [3]).
Наряду с задачами управления движением, в теории
у. д. п. рассматриваются также задачи об оптимальной
остановке управляемого процесса одним или двумя ли-
лицами. Напр., для ее?91 и произвольного марковского
момента т :
v-'Us, х) =Е- х [$*« Л Т е~Ф> Л <* + «, xt)dt +
теория у. д. п. имеет отношение к управляемым частич-
частично наблюдаемым процессам и к задачам управления
случайными процессами, в к-рых управление осуществ-
осуществляется выбором меры на (С([0, оо), Е^), N^) из того
или иного заданного класса мер, отвечающих процес-
процесфф [3] [4] [6][8])
р,
], [
д р, щ
сам диффузионного типа (см. [3], [4], [6]—[8]).
Лит.: [1] Г и х м а н И. И., С к о р о х о д А. В., Управ-
Управляемые случайные процессы, К., 1977; [2] Юшнев и ч А. А.,
«Теория вероятностей и ее применения», 1980, т. 25, № 2,
п. 247—70; [3] Крылов Н. В., Управляемые про-
процессы диффузионного типа, М., 1977; [4] Fleming W. Н.,
R i s h e I R. W., Deterministic and stochastic optimal control,
В.— [a. o.], 1975; [5] К р у ж к о в С. Н., «Матем. сб.», 1975,
т. 98, As 3, с. 450—93; [6] Л и п ц е р Р. Ш., Ш и р я е в А. Н.,
Статистика случайных процессов, М., 1974; [7] W о n h a m
W. M., «SIAM J. Control», 1968, v. 6, № 2, p. 312—26; [8] D a-
v i s M. H. A., «SIAM J. control and optimization», 1976, v. 14,
№ 1, p. 176—88. H. В. Крылов, А. Н. Ширяев, А. А. Юшкевич.
УПРАВЛЯЮЩАЯ СИСТЕМА — одно из централь-
центральных понятий кибернетики. Так наз. объекты, к-рые
имеют определенную структуру и обладают нек-рыми
функциональными свойствами, отражающими их ин-
информационную природу. Понятие У. с. относится к чис-
числу понятий, к-рые невозможно полностью объяснить,
используя только математич. конструкции; поэтому для
обсуждения этого понятия необходимо иметь интуитив-
интуитивное представление о нем. Вот примеры физических (не-
(неформальных) У. с.
Нервная ткань, представляющая определенную струк-
структуру из нейронов и осуществляющая преобразование
раздражений, идущих из внешней среды, в определен-
определенные воздействия на органы.
ЭВМ, являющаяся нек-рым соединением элементов
и способная выполнять данный перечень элементарных
актов (команд).

Химич. молекула, характеризуемая определенной
конфигурацией атомов и обладающая интересующим
нас перечнем свойств (речь идет о свойствах вещества,
построенного из данного типа молекул, в частности
о цвете в нек-рой дискретной шкале, физич. состоянии
при нормальных условиях и т. п.).
Шахматная позиция, задаваемая расположением фи-
фигур на доске и набором допустимых ходов одного из
партнеров.
Фраза русского языка, представляющая определен-
определенное соединение грамматич. элементов (синтаксис) и об-
обладающая нек-рым смыслом, заложенным автором (се-
(семантика).
Каждый из упомянутых объектов выступает как
единство нек-рой структуры (или схемы) и определен-
определенных свойств, или функции. При рассмотрении объек-
объектов как У. с. интересуются, главным образом, их
схемно-функциональными характеристиками, не при-
принимая во внимание остальные их качества. Поэто-
Поэтому две У. с, имеющие в нек-ром смысле одинаковые
схемы и одинаковое функционирование, не различа-
различаются.
Математич. развитие понятия У. с. состоит в уточне-
уточнении понятия схемы и понятия функции, а также не-
к-рых других деталей, связанных с учетом информации
и расположения частей У. с. Первое построение У. с.
относится к 1955 (см. [1]). Позже появились другие,
более частные, варианты У. с— причинные сети Мар-
Маркова [2], агрегаты Бусленко [3] и др. Полное определе-
определение понятия У. с. (см. [1]) устроено так, что включает
в себя все известные определения отдельных классов
У. с. Ввиду значительной сложности уточнения поня-
понятия У. с. ниже дано его краткое описание с выделением
в нем четырех основных звеньев: схемы, информации,
координат и функции.
Схема У. с. представляет собой нек-рое соедине-
соединение элементов, каждый из к-рых связан с заданной па-
памятью, образуя в ней т. н. элементарные подсхемы.
Состояния памяти, принимаемые из нек-рогоконечного
(или счетного) множества, задают информацию
У. с. Расположение схемы характеризуется набором
координат (также из конечного или счетного мно-
множества) ее элементов. Наконец, функция У. с.
определяет возможные преобразования У. с, происхо-
происходящие (детерминированно или стохастически) в момен-
моменты времени, принадлежащие нек-рой дискретной (не
более чем счетной) шкале. Эти преобразования могут
изменять информацию (перерабатывая состояния па-
памяти), осуществлять движение У. с. (изменяя коорди-
координаты элементов), изменять схему (структуру) и функцию
(поведение).
Примеры показывают, что схема и функция в У. с.
могут иметь разнообразный смысл. Благодаря этому
У. с. позволяют описывать физич. У. с. адекватным
образом, т. е. с сохранением их функциональных
свойств и их структуры (схемы). Поэтому У. с. являют-
являются мощным средством для моделирования, при к-ром
достаточно точно копируется не только функция объек-
объекта, но также и его схема.
Поскольку каждая элементарная подсхема данной
У. с. фактически определяет нек-рую элементарную
У. с, то исходная У. с. может рассматриваться как
некий комплекс, нек-рое соединение элементарных У. с.
Вот почему говорят не об определении понятия У. с,
а о его уточнении, при к-ром одни У. с. выражаются
через другие, взятые в качестве неопределяемых, эле-
элементарных. Необходимо также отметить широту поня-
понятия У. с, к-рое пригодно для описания не только про-
простейших дискретных преобразователей, но и объектов
со сложной функцией и структурой. Напр., для описа-
описания ЭВМ, АСУ, роботов, систем с переменной структу-
структурой, систем с «обучением» и т. п.

У. с. как математич. модели исходных физич. У. с,
изучаемых в кибернетике, обладают рядом характер-
характерных черт. Прежде всего они являются объектами ди-
дискретной природы. Дискретными являются и схема,
и ее координаты, и информация, и функция, и время.
Для У. с, требующих специальных кибернетич. рас-
рассмотрений, характерна большая сложность. Эта
сложность проявляется в том, что У. с. может иметь
большое количество элементов, сложную структуру
их связей, большую и сложно организованную па-
память (и тем самым сложную информацию), слож-
сложное функционирование. Реальные объекты можно рас-
рассматривать как У. с, вообще говоря, многими способа-
способами. Фиксация У. с. зависит от выбора элементарных
У. си может осуществляться в различных «масштабах».
Таким образом. У. с. обладают свойством относитель-
относительности. Возможность выбора элементарных У. с. в раз-
разных масштабах (на различных уровнях) позволяет во
многих случаях рассматривать исходную У. с. как ие-
иерархию У. с, в к-рой элементарные У. с. более высо-
высокого уровня являются У. с. относительно элементар-
пых У. с. более низкого уровня. В этом случае говорят,
что У. с. обладает свойством иерархичности. Наконец,
как правило, У. с. описывает исходный объект не впол-
вполне точно, а с нек-рои погрешностью. Благодаря этому
она выступает как нек-рое приближение к объекту.
Существуют попытки расширить трактовку понятия
У. С, включив в него и непрерывные объекты. В ре-
результате этого появляются «непрерывные» У. с, а так-
также «непрерывно-дискретные» У. с. Впрочем, родствен-
родственные объекты изучаются давно в теории динамич. систем
и в теории регулирования. Между дискретными и не-
непрерывными У. с. существует внешнее сходство, но
больше имеется различий. Коренное отличие состоит
в том, что дискретные У. с. описывают информационные
процессы, а непрерывные — «энергетические» процессы.
Исследование У. с. ведется на специальных классах
У. с, на модельных объектах. Выбор типов модельных
объектов основан на следующих соображениях: а) их
число должно быть небольшим, б) они должны быть
непохожими друг на друга, в) они должны охватывать
наиболее часто встречающиеся типы, г) они должны
давать возможность исследовать на основе данного
набора типов другие типы У. с. Ниже приведен список
типов модельных объектов.
1) Формулы алгебры логики в данном базисе и реали-
реализующие булевы функции (в частности, дизъюнктивные
нормальные формы).
2) Схемы из функциональных элементов в данном ба-
базисе и реализующие системы булевых функций.
3) Контактные схемы, реализующие .матрицы из
булевых функций.
4) Автоматы в нек-ром автоматном базисе и реали-
реализующие преобразования «входных» последовательностей
в «выходные» (см. Автомат конечный).
5) Операторные алгоритмы, реализующие вычисли-
вычислимые функции.
Для данных модельных объектов характерно то, что
каждая У.с. U полностью определяется своей схе-
схемой 2 п функцией Ф, т. е. парой B, Ф). Здесь
?/ = B, Ф). С другой стороны, для каждого класса 11
модельных объектов существует фуикция ц> такая, что
Ф = <рB), т. о. функция однозначно определяется схе-
схемой. Более того, функция <р является вычислимой
функцией. В этом случае каждый из модельных клас-
классов может быть охарактеризован другим способом.
Пусть S = {2} и $~={Ф}. где B, Ф)?Ц. Класс U
полностью определен заданием множестн 2 и <JT, a
также заданием алгоритма А, вычисляющего ф.
Основная проблематика теории У. с. группируется
вокруг трех проблем (см. |4]): проблема синтеза (см.
Синтеза задачи), проблема эквивалентных преобразо-

ваний У. с, проблема надежности У. с. (см. Надеж-
Надежность и контроль управляющих систем). Сопоставление
результатов, полученных по этим проблемам для раз-
различных классов модельных объектов, показывает, что
имеется четкая закономерность в формулировках соот-
соответствующих теорем, наблюдается сходство методов
доказательств упомянутых теорем; доказательства тео-
теорем для более сложных У. с. часто используют соот-
соответствующие теоремы для более простых классов.
Лит.: [I] Я б л о н с к и й С. В., «Проблемы кибернетики»,
1959, в. 2, с. 7—38; [2] М а р к о в А. А., в сб.: Кибернетика,
мышление, жизнь, М., 1964; [3] Б у с л е н к о Н. П., «Изв.
АН СССР. Сер. технич. кибернетика», 1963, № 5, с. 7—18; [4]
Ляпунов А. А., Яблонский С. В., «Проблемы ки-
кибернетики», 1963, в. 9, с. 5 — 22. С. В. Яблонский.
УПРАВЛЯЮЩАЯ ФУНКЦИЯ, управление,—
функция u(t), входящая в дифференциальное уравнение
x = f(t, х, и), x{to)-^xo, f:RxR"xRm —¦* R", A)
значения к-рой в каждый момент времени могут выби-
выбираться произвольным образом.
Обычно на область изменения u(t) при каждом t на-
налагается ограничение
u(t)?U, B)
где U — заданное замкнутое множество в Rm. Управ-
Управление наз. допустимым, если при каждом t оно
удовлетворяет ограничению B). Различные допустимые
управления u(t) определяют соответствующие различ-
различные траектории x(t), исходящие из начальной точки х0.
Если задан функционал
J(x, u)=V' f>(t, х, и) at C)
J tu
и граничные условия на правом конце траектории в мо-
момент времени tt:
^di^i, D)
где х1 — нек-рое множество в R" (в частном случае—
точка), то можно поставить вопрос об определении оп-
оптимального управления u(t), доставляющего оптималь-
оптимальное значение функционала к задаче A)—D). Вопросы,
связанные с определением оптимальной У. ф., являются
предметом теории оптимального управления и вариа-
вариационного исчисления (см. [1], [2]).
В отличие от переменных х~(х1, ... , х"), называемых
фазовыми неременными (или фазовы-
фазовыми координатами), управления и=(и1, ... ,
ит) входят в уравнение A) без своих производных. По-
Поэтому A) имеет смысл не только при непрерывном, но
и при кусочно непрерывном (и даже измеримом) уп-
управлении u(t). Причем при каждом допустимом кусочно
непрерывном управлении u(t) уравнение A) определяет
непрерывную, кусочно гладкую траекторию x(t).
В большинстве практич. задач оптимальное управ-
управление существует в классе кусочно непрерывных функ-
функций. Однако встречаются задачи, в к-рых оптимальное
управление не является кусочно непрерывпьш, а при-
принадлежит классу измеримых по Лебегу функций. В этих
задачах оптимальное управление имеет бесконечное
число точек разрыва, сгущающихся к нек-рой точке,
напр. к точке входа на особый режим k-то порядка,
/с>1 (см. Оптимальный режим особый).
Необходимые условия, сформулированные в теории
оптимального управления в виде принципа максимума
Понтрягина, доказаны для самого общего случая, в
к-ром исследуемая на оптимальность У. ф. предпола-
предполагается измеримой (в частности, она может быть кусочно
непрерывной или непрерывной).
Согласно принципу максимума для оптимальности
управления it (t) (в случае минимизации функционала
C)) необходимо, чтобы при каждом t управление u(t)
доставляло максимум функции Гамильтона
H(t, x,%u) = ^"=0%fl{t, x, и)

на множестве U, гдет)з=A)з0, %, ... , tyn) — сопряженная
вектор-функция, определяемая из сопряженной сис-
системы
fi = --^-, i = i,...,n, t|>0 = const <0.
Аналогом принципа максимума в вариационном исчис-
исчислении, позволяющим определить «свободные» функции
в условиях связи, является уравнение Эйлера и необ-
необходимое условие Вейерштрасса.
Для существования оптимального измеримого по
Лебегу управления, доставляющего минимум функ-
функционалу C), достаточно, чтобы при каждом t, x мно-
множество значений вектора правых частей {/ (t, x, U)},
получающееся, когда управление и пробегает всю до-
допустимую область U, было выпуклым в R", а точная
нижняя граница inf {/° (t, x, U)} множества значений,
и? U
принимаемых подинтегральной функцией, была выпук-
выпуклой вниз функцией по и. Если эти условия не выпол-
выполняются, то могут быть случаи, когда минимизирую-
минимизирующая последовательность управлений ип (t) не сходится
даже в классе измеримых функций. В этих случаях
говорят, что имеет место скользящий оптимальный
режим. Скользящему оптимальному режиму можно
придать строгий смысл как особому оптимальному
управлению в расщепленной задаче, тесно связанной
с исходной (см. Оптимальный режим скользящий).
Используя необходимые, а также достаточные усло-
условия оптимальности, установленные в теории оптималь-
оптимального управления и вариационном исчислении, можно
определить оптимальную У. ф. и соответствующую опти-
оптимальную фазовую траекторию в рассматриваемой зада-
задаче. Имеются различные численные методы построения
оптимального управления (см. Вариационное исчисле-
исчисление; численные методы).
В более общем случае У. ф. может зависеть от неск.
аргументов. В этом случае говорят об У. ф. с распреде-
распределенными параметрами.
Лит.: Ш Понтрягигг Л. С. [и др.], Математическая
теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969; [2]
Б л и о с Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер.
с англ., М., 1950; [3] В а п н я р с к и й И. В., «Ж. вычислит,
матем. и матем. физ.», 19С7, т. 7, № 2, с. 259—83; Ш Б у т к о в-
скийА. Г., Теория оптимального управления системами с
распределенными параметрами, М., 1965. И. Б. Вапнярский,
УПРУГОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — раз-
раздел механики, в к-ром изучаются перемещения, дефор-
деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или
движущихся упругих телах под действием нагрузки.
Напряжение в любой точке тела характеризуется
6 величинами — компонентами напряжений: нормаль-
нормальными напряжениями ахх, ауи, azz n касательными
напряжениями оху, ayz, azx, причем аху = аух и т. д.
Деформация в любой точке тела также характеризу-
характеризуется 6 величинами—-компонентами деформаций: отно-
относительными удлинениями ёхх, гуу, ezz и сдвигами гху,
eyz, ezx, причем ext/ = eyx и т. д.
Основным физическим законом теории упругости яв-
является обобщенный закон Гуна, согласно к-рому
нормальные напряжения линейно зависят от деформа-
деформаций. Для изотропных материалов эти зависимости име-
имеют вид:
2цехх, ауу = 3?.е + 2цвуу,
=ЗАе + 2цегг, A)
где e = -g- (e-xx-[-eyy-\-ezz)— средняя (гидростатпч.) де-
деформация, к н |x = G—Ламе постоянные. Равенство A)
можно также представить в виде:
°хх — О = 2И8ЛЛ — 8), . . . , аху = 2^еху, . . . , с=ЗЯе,
B)

где O—-Y (ахх + ау,/цгагг) — среднее (гидростатич.) на-
напряжение, К — модуль всестороннего сжатия.
Для анизотропного материала 6 зависимостей между
компонентами напряжений и деформаций имеют вид:
Из входящих сюда 36 коэффициентов с,у, называемых
модулями упругости, 21 между собой независимы и ха-
характеризуют упругие свойства анизотропного мате-
материала.
У. м. т. при равновесии состоит в том, чтобы, зная
действующие внешние силы (нагрузки) и так наз. гра-
граничные условия, определить значения в любой точке
тела компоненты напряжений и деформаций, а также
компоненты их, иу, uz вектора перемещения каждой
частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде
функций от координат х, у, z точек тела. Исходными
для решения этой задачи являются дифференциальные
уравнения равновесия:
дх ' ду ! дх
до „.. до in, до,,-,
+ -f H-^ + P^O,
дх
где р — плотность материала, X, Y, Z — проекции на
координатные оси действующей на каждую частицу тела
массовой силы (напр., силы тяжести), отнесенные к мас-
массе этой частицы.
К 3 уравнениям равновесия присоединяются 6 ра-
равенств A) в случае изотропного тела и еще 6 равенств
вида:
ди„ Эи„ ди..
ьхх— Эж , • ¦ • . 4Ъху— jj т si ' - - ' ' ( ;
устанавливающих зависимости между компонентами
деформаций и перемещений.
Когда на часть Sx граничной поверхности тела дей-
действуют заданные поверхностные силы (напр., силы
контактного взаимодействия), проекции к-рых, отне-
отнесенные к единице площади, равны Fx, Fy, Fz, а для
части S2 этой поверхности заданы перемещения ее
точек <рх, фу, <рг, граничные условия имеют вид:
axxhJreXyh + aXxl3 = Fx (на Si), E)
uAr = <PA;. "у = Фу. "г = ф2 (на S2), F)
где /г, l2, ls — косинусы углов между нормалью к по-
поверхности и координатными осями. Первые условия
означают, что искомые напряжения должны удовлетво-
удовлетворять на границе S1 трем равенствам E), а вторые — что
искомые перемещения должны удовлетворять на гра-
границе S 2 равенствам F); в частном случае может быть
Фх=Ф;у=Фг=0 (часть поверхности S2 жестко закреп-
закреплена).'
В общем случае поставленная задача представляет
собой пространственную задачу, решение к-рой трудно
осуществимо. Точные аналитические решения имеются
лишь для нек-рых частных задач: об изгибе и кручении
бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о кон-
концентрации напряжений, о действии силы на вершину
конического тела и др. Так как уравнения У. м. т.
являются линейными, то решение задачи о совместном
действии двух систем сил получается путем суммирова-
суммирования решений для каждой системы сил, действующих
раздельно (принцип линейной суперпозиции). В част-
частности, если для к.-н. тела найдено решение при дейст-
действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке
тела, то решение задачи при произвольном распределе-

нии нагрузок получается путем суммирования (интегри-
(интегрирования). Такие решения, напиваемые функциями
Грина, получены лишь для небольшого числа тел (не-
(неограниченное пространство, полупространство, огра-
ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд
аналитических методов решения пространственной за-
задачи У. м. т.: вариационные методы (Ритца, Бубнова —
Галеркина и др.), метод упругих потенциалов и др.
Интенсивно разрабатываются численные методы (ко-
(конечно-разностные, метод конечных элементов и др.).
При решении плоских задач (когда один из компо-
компонентов перемещения равен нулю, а два других зависят
только от двух координат) широкое применение находят
методы теории функций комплексного переменного.
Для стержней, пластин и оболочек, часто используе-
используемых в технике, найдены приближенные решения многих
практически важных задач на основе нек-рых упрощаю-
упрощающих предположений (см. Плоская задача теории упру-
упругости, Оболочек теория).
В задаче термоупругости определяются напряжения
и деформации, возникающие вследствие неоднородного
распределения температуры. При постановке этой за-
задачи в правую часть первых трех уравнений A) добав-
добавляется член — (ЗА+2|х)а/, где а — коэффициент ли-
линейного теплового расширения, Т (х1, х2, х3) — задан-
заданное поле температуры. Аналогичным образом строится
теория электромагнитоупругости и упругости подвер-
подвергаемых облучению тел. Большой практический интерес
представляют задачи У. м. т. для неоднородных тел.
В этих задачах коэффициенты X и |х в уравнении A)
являются не константами, а функциями координат, оп-
определяющими поле упругих свойств тела, к-рое иногда
задают статистически (в виде нек-рых функций распре-
распределения). Применительно к этим задачам разрабатыва-
разрабатываются статистич. методы У. м. т., отражающие стати-
стич. природу свойств поликристаллич. тел.
В динамических задачах теории упругости искомые
величины являются функциями координат и времени.
Исходными для матем. решения этих задач являются
дифференциальные уравнения движения, отличающиеся
от уравнений C) тем, что правые части вместо нуля
содержат инерционные члены и т. д.
Одной из проблем У. м. т. является постановка задач
и разработка методов их решения при конечных (боль-
(больших) упругих деформациях.
Лит.: [1] Л н в А., Математическая теория упругости, пер.
с англ., М.— Л., 1935; [2] Л е й б с н з о н Л. С, Курс теории
упругости, 2 изд., М.— Л., 1947; L3] М у с х е л и ш в и л и
Я. II., Некоторые основные задачи математической теории упру-
упругости, 5 изд., М., 1966; [4] Трехмерные задачи математической
теории упругости, Тб., 1968; In] Л у р ь е А. И., Теория упру-
упругости, М., 1970; [В] С т р е т т Д ж- В. [лорд Рэлей], Теория зву-
звука, пер. с англ., т. 1—2, М., 1955; [7J Теория температурных на-
напряжений, пер. с англ., М., 1904; [8] С н е д д о н И. Н., Б е р-
р и Д. С, Классическая теория упругости, пер. с англ., М.,
19В1; 19] Т и м о ш е н к о С. П., Г у д ь е р Д ж. Н., Теория
упругости, пер. с англ., М., 1975. По материалам статьи
Упругости теория из ВСЭ-3.
УРАВНЕНИЕ — аналитическая запись задачи о ра-
разыскании значений аргументов, при к-рых значения
двух данных функций равны. Аргументы, от к-рых за-
зависят эти функции, наз. обычно неизвестными,
а значения неизвестных, при к-рых значения функций
равны,— решениями, или корнями, У.;
о таких значениях неизвестных говорят, что они удовле-
удовлетворяют данному У.
Совокупность решений данного У. зависит от облас-
области М значении, допускаемых для неизвестных. У. мо-
может не иметь решений в М, тогда оно наз. неразре-
неразрешимым в области М. Если У. разрешимо, то оно
может иметь одно или несколько, или даже бесконеч-
бесконечное множество решений. Напр., У. ж4 — 4 — 0 неразре-
неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два
решения: х1=У~2, х2~~У2 в области действитель-

ных чисел и четыре решения: Х1~У~2, х2 — — У2,
x3 = i У2 , ж4 —— i]f2 — в области комплексных чисел.
У. sin х = 0 имеет бесконечное множество решений:
xk = kn, 6 = 0, ±1, ±2, ..., в области действительных
чисел.
Если У. имеет решениями все числа области М, то оно
наз. тождеством в области М.
Совокупность У., для к-рых требуется найти значения
неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем этим
У., наз. системой У.; совокупность значений не-
неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем У.
системы, наз. решением системы. Две систе-
системы У. (или два У.) наз. равносильными, если
каждое решение одной системы (одного У.) является
решением др*угой системы (другого У.), и наоборот,
причем обе системы (оба У.) рассматриваются в одной
н тон же области.
Процесс разыскания решений У. заключается обычно
в замене У. равносильным. В нек-рых случаях прихо-
приходится заменять данное У. другим, для к-рого совокуп-
совокупность корней шире, чем у данного У. Поэтому, если
при решении У. делались действия, могущие привести
к появлению посторонних корней, то все полученные
корни преобразованного У. проверяют подстановкой
в исходное У.
Наиболее полно изучены алгебраические уравнения;
их решение было одной из важнейших задач алгебры
в 16—17 вв. Если f{x) — трансцендентная функция, то
У. /(х)=0 наз. трансцендентным, причем
в зависимости от вида / (х) оно наз. тригономет-
тригонометрическим У., логарифмическим У.,
показательным У.
При практич. решении У. обычно применяются раз-
различные приближенные методы (см., напр., Линейная ал-
алгебра; численные методы).
Среди систем У. простейшими являются системы ли-
линейных уравнений. Решение системы У. (не обязательно
линейных) сводится, вообще говоря, к решению одного
У. при помощи т. н. исключения неизвестных (см. Иен
лючеиия теория).
В теории чисел рассматриваются т. н. неопределен-
неопределенные У., изучение решений к-рых составляет пред.мет
теории диофантовых уравнений.
В общем случае У. является записью задачи о разыс
кании таких элементов а нек-рого множества А, что
F(a)~ Ф (а), где F шФ — заданные отображения множе
ства А во множество В. Если А и В — множества чисел.
то возникают У. рассмотренного выше вида. Если А п
В — множества точек в многомерных пространствах,
то получаются системы У. Если А и В — множества
функций, то в зависимости от характера отображения
могут получаться дифференциальные уравнения обыкно-
обыкновенные, дифференциальные уравнения с частными про-
производными, интегральные уравнения и др. виды У.
По материалам одноименной статьи из БСЭ-3.
УРАВНЕНИЕ В ВАРИАЦИЯХ, система урав-
уравнений в вариация х,— линейное дифференциаль-
дифференциальное (или разностное) уравнение, решением к-рого явля-
является производная но параметру решения дифферен-
дифференциального (соотв. разностного) уравнения. Пусть
х (•): (а, Р) —> R™ есть решение задачи Коши х — f (x, t),
x(to)=xo, график к-рого лежит в области G, в к-рой
/ и f'x непрерывны. Тогда для всякого отрезка [р, s]cz
С (а, Р) и для всякого в > 0 найдется б > 0 такое, что
для всякой непрерывной функции g: G —»¦ R", имею-
имеющей в G непрерывную производную gx и удовлетво-
удовлетворяющей неравенству
II «-/11с (О) = S"P \g(*,t) — Hx,t)\<b,
def (x, t)eG

и всякого J/o6^"i удовлетворяющего неравенству
\Уо — *о\ < б, задача Кошн y = g(y, t), уAй)--у0 имеет
решение ?/(•), определенное в нек-рон окрестности
отрезка [р, .?]. Для разности решений у(-)— х(-) имеет
место формула
гдег(') — решение линейного дифференциального урав-
уравнения
z = A(t)z + h(t), A)
1!1,-ромЛ(*) = /!с(жо(*), 0, М0 = ?(*о@. t) — f(xo{t),t),
i- начальным значением z (to)~у (t0) — х (;0); здесь
о(.) — «о малое» — равномерно относительно t?[p, •¦>'].
а норма || g — / lie1 (G)' по 0ПРеЛелению> раина
sup \\g{x, t)—f(x, t)\ + \\g'x(x, t)~f'x(x, t)\\].
{x,
Уравнение A) наз. уравнением в вариа-
вариациях уравнения x--f(x, t) вдоль решения %{•).
В литературе чаще приводится более слабая форма
этой теоремы (в к-рой вместо дифференцируемости по
Фроше устанавливается дифференцируемость в более
слабом смысле): если функция /(ж, t, u.):Gx(a,b)—>• R"
в произведении Gx(a, b) области GcR"xR и интер-
интервала (a, ijcR непрерывна и имеет непрерывные част-
частные производные fx, /pi, а функция х0 (•)¦(«, Ь)—*- R"
непрерывно дифференцируема, то решение х{-, \i) за-
задачи Кошн .г — / (х, t, |x), з; (<о)~^о (Н-) непрерывно диф-
дифференцируемо по |х в интервале (а, Ь) и его производ-
производная Ж|х(-, ц) есть решение линейного дифференциаль-
дифференциального уравнения (У. в в. уравнения x — f(x, t, \i) вдоль
решения х (•, \х))
'г = А (t)z-\-h(t),
где A (t)^-fx(x(t,\i),t,VL),h(t)=t'v(x(t, Ц), *(, Ji), Удов-
Удовлетворяющее начальному условию гA0) — хщ(\1).
У. в в. fe-ro порядка — линейное дифференциальное
(разностное) уравнение, решением к-рого является fc-я
производная по параметру решения дифференциаль-
дифференциального (разностного) уравнения. Линейное однородное
уравнение, соответствующее У. в в. любого порядка,—
одно si то ?ке (т. е. не зависит от к), различие — в не-
неоднородности h(t).
Если правая часть дифференциального уравнения не
варьируется (g=f в первой формулировке, /(.г, t, \x) не
зависит от ji — во второй), то У. в в. A-го порядка)
однородно.
У. в в. автономной системы x=f(x) в неподвижной
точке (т. е. вдоль решения х(-)=х0) есть линейная сис-
система дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, причем если /(•) не варьируется, то
ята система однородная для вариации 1-го порядка и
«с квазимногочленом в правой части» — для вариаций
высших порядков. У. вв. автономной системы вдоль
периодического (почти периодического) решения есть
линейная система дифференциальных уравнений с пе-
периодическими коэффициентами (соответственно, линей-
линейная система дифференциальных уравнении с почти пе-
периодическими коэффициентами).
Приведенная в начале статьи дефиниция относится
к уравнениям любого порядка. Напр., У. в в. (если
варьируется только начальная точка в фазовом про-
пространстве) уравнения маятника я + со2 sin x = 0 в ниж-
нижнем положении равновесия (ж—0, х--0) есть уравне-
уравнение х-\-((гх = 0, наз. уравнением малых ко-
колебаний маятника, а в верхнем положении рав-
равновесия (х = я, х = 0) — уравнение х — ш2х~ 0.

Для дифференциального уравнения на дифференци-
дифференцируемом многообразии У. в в. вдоль решения опреде-
определяется аналогично тому, как выше это было сделано в
R"; значения решений У. в в. принадлежат касатель-
касательному расслоению многообразия. Существуют и редукции
случая произвольного дифференцируемого многообра-
многообразия к случаю R", состоящие первая в том, что многооб-
многообразие вкладывается в евклидово пространство доста-
достаточно большой размерности, а дифференциальное урав-
уравнение (векторное поле) продолжается в его окрест-
окрестность, а вторая — в том, что дифференциальное урав-
уравнение, заданное на дифференцируемом многообразии,
записывается в окрестности траектории в картах много-
многообразия, причем, выбирая карты, гладко зависящие
от точки (напр., для риманова многообразия — поль-
пользуясь экспоненциальными геодезич. отображениями),
можно записать данное уравнение в виде дифференци-
дифференциального уравнения в R", имеющего (как и в первой
редукции) правую часть того же класса гладкости, что
и правая часть (векторное доле) уравнения на многооб-
многообразии. Для дифференциального уравнения x=F(x) на
римановом многообразии У. в в. вдоль траектории x{t),
если F не варьируется, может быть записано в виде
гДе Va — ковариантная производная. У. в в. диф-
дифференцируемого отображения /: V"—>- V" (Vn — диф-
дифференцируемое многообразие) вдоль траектории {ffx} e ™
является (если диффеоморфизм не варьируется) урав-
уравнение
значение решения %(¦) этого уравнения в точке г при-
принадлежит касательному пространству Т t V" многооб-
1 разия F" в точке /'.г, а само решение есть последова-
последовательность
где d (jm)x—производная m-й степени диффеоморфиз-
ма / в точке х.
Пусть V" — замкнутое дифференцируемое много-
многообразие. Множество S всех диффеоморфизмов / клас-
класса С1, отображающих V" на V", наделяется С1-топо-
логией. Имеют место утверждения (см. [4]): 1) для
всякого к ? {1, ..., л} характеристич. показатель
Ляпунова
def
An_J; + l (/, X)~
def ,
inf sup lim -i-ln|d/fs|, B)
где Gk (TxVn) — грассманово многообразие ^-мерных
некторных подпространств касательного пространства
Тх\'а, есть функция ln-n + i(-): SxV"—^R второго
класса Бэра (см. Бэра классы); 2) в пространстве SXV"
имеется всюду плотное множество/) типа G{,, обладаю-
обладающее свойствами: а) для всякого к ? {1, ..., п) функ-
функция Xjc(-): SxV"—> R полунепрерывна сверху во
всякой точке множества D; б) для всяких (/, х) ? D,
К ? R подпространство
М/, г)- ij? TXV": fhn -f I
Л def \ <-+« (
.экспоненциально отделено от своего ал-
гебраич. дополнения l\ в касательном пространстве
TxVn, т. е. существуют а > О, Р > 0 такие, что для
всяких j g l\, п g h (/, х) и любых целых ?3=s
выполнено неравенство
exp (P (t - s)).

Множество S векторных полей F класса С1 на замк-
замкнутом дифференцируемом многообразии V" наделяется
(^-топологией. Векторное поле F ? S индуцирует дина-
динамич. систему /' (действие (класса С1) группы R) на V".
Для всякого к ? {1, ..., п} показатель Ляпунова
hn-k + i (F\ x)i по определению, равен правой части
равенства B).
Имеют место утверждения:
а) при всяком к ?{1, ..., п} функция "к^ (¦): S\\'"—rR
принадлежит второму классу Бэра [4];
б) для всякого F ? S. для всякого инвариантного
относительно динамич. системы /', индуцированной
векторным полем F, распределения вероятностей на V"
(а-алгебра к-рого содержит все борелевские множества)
почти всякая точка х такова, что У. и и. уравнения
x = F (х) вдоль траектории {/'х) есть правильная линей"
ная система дифференциальных уравнений (см. [5], [6]);
в) для всякого т ? hj пусть iS("" обозначает мно-
множество векторных полей класса С'" на V", наделенное
С'"-топологией; пусть Р — распределение вероятностей
на V", а-алгебра к-poro содержит все борелевские
множества, и пусть 5'Д1' обозначает подпространство
пространства Sim), состоящее из тех векторных полей,
для к-рых распределение Р инвариантно относительно
индуцированных ими динамич. систем; тогда (см. [7]):
1) для всяких т ? N, к ^ {1, • . •, га} функция
(фазоное среднее суммы старших показателей Ляпунопа
У. I) в.) полунепрерывна сверху,
2) для всякого m gN в пространстве 5р" имеется
нсюду плотное множество типа G& , во всякой точке
к-рого функция
непрерывна (для всякого к g{l, ..., п}), т. о. и про-
пространствах ?р" типична непрерывность фазовых сред-
средних показателей Ляпунова У. в в.
Лит.: [1] Л я п у н о в А. М., Собр. соч., т. 2, М.~-Л.,
19515; [2] У н т т е к е р Е. Т., Аналитическая динамика, пер.
с англ., М.— Л., 1937; [3] ПонтрягинЛ. С., Обыкновен-
Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974; [4] М и л-
лионщиковВ. М., «Дифференц. уравнения», 1983, т. 19,
№ 2, с. 215—20; ЫОселедецВ. И., «Тр. Моск. матем. об-ва»,
1968, т. 19, с. 179—210; [6J М и л л и о н щ и к о в В. М.,
«Матем. сб.», 1968, т. 77, с. 163—73; [7] е г о же, «Дифференц.
уравнения», 1978, т. 14, № 4, с. 759—60.
В. М. Миллионщиков.
УРАВНЕНИЕ В КОНТИНГЕНЦИЯХ — соотношение
D*x(t)cF(t, ж (О),
где D*x(t) — к о н т и н г е н ц и я вектор-функции
x(t), т. е. множество всех частичных пределов отноше-
отношения
[x(t')-x(t)\:(l'-t)
при t' —>- t, a F(t, x) — заданное непустое множество в
R", зависящее от t и х (см. [1], [2]). В случае когда мно-
множество F(t, x) ограничено, замкнуто, выпукло и яв-
является полунепрерывной сверху относительно включе-
включения функцией точки {t, x), У. в к. равносильно урав-
уравнению в паратингенциях (определяемому
аналогично У. в к., но с использованием отношения
[x{t') — x(t")]/(t' — t") при t'—>t, t"—*t,
см. [3]) и дифференциальному включению
dxjdt ? F (t, x)
(см. [4]). Свойства У. в к. подобны свойствам дифферен-
дифференциальных включений.
Лит.: [1] MarchaudA., «Bull. Soc. math. France»,
1934, t. 62, p. 1—38; [2] Б а р б а ш и н Е. А., А л и м о d JO. H.,
«Изв. высших учеОн. заведений. Математика», 1962, № \, с. 3 —13;
\'М ZarembaS. С, «Bull. Sci. main.», 1936, ser. 2, t. U0,

Л« 5, p. 139—00; [4] W a z e w s к i Т., «Bull. Acad. Polon. sci.,
Ser. math....», 1961, v. 9, A's 12, p. 865—fi7. .4. Ф. Филиппов.
УРАВНОВЕШЕННОЕ МНОЖЕСТВО —множество U
действительного или комплексного векторного прост-
пространства X такое, что из х ? U и | Я, | ==? 1 следует
he ? U. Примером У. м. может служить единичный
шар нормированного векторного пространства и вообще
окрестность нуля U базы окрестностей нуля топологич.
векторного пространства. Эти окрестности нуля яв-
являются, кроме того, поглощающими множествами,
т. е. такими, что для любого х ? X существует а > О
такое, что х ? \U при | А, | 5= а. Если U — выпуклое
поглощающее У. м., то функционал рц{х)^-~ inf. |X|
хеки
является полунормой, т. е. обладает свойствами
Ри (х + У)=Ри (х)-\-Ри (У), Ри0&) = \
У. м. наз. также центрированными.
Лит.: [1] Канторович Л. В., А к и л о в Г. П.,
Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977. В. И. Соболев.
УРНОВАЯ СХЕМА — одна из простейших моделей
теории вероятностен. Описание У. с. таково: рассмат-
рассматривается некий сосуд — урна — с шарами белого и
черного цвета. Из урны наугад извлекается один шар,
а затем он возвращается в урну вместе с с шарами того
же цвета, что и вынутый шар, и d шарами другого цвета.
После перемешивания шаров в урне процедура повто-
повторяется любое нужное число раз. Предполагается, что
первоначально урна содержала а>0 и Ь>0 белых и
черных шаров соответственно. Числа end — параметры
У. с.— могут быть и отрицательными.
У. с. дает удобную возможность вычисления нек-рых
основных вероятностей через условные вероятности.
При различных значениях параметров с та d получаются
многие известные схемы теории вероятностей: при <•=(),
d=0 — схема случайного выбора с возвращением (см.
Бернулли испытания), при с= — 1, d=0 — схема слу-
случайного выбора без возвращения, при с= —1, d= — \ —
модель диффузии Эренфестов, при с>0, d=0 — урно-
вая схема Попа и т. д. Эти частные случаи служат мо-
моделями многих реальных явлений или методов их ис-
исследования. Так, напр., У. с. Пойа используется для
описания эпидемий, при к-рых осуществление к.-л. со-
событий увеличивает вероятность их последующего по-,
явления. В рамках У. с. могут быть введены многие рас-
распределения теории вероятностей, такие, как биноми-
биномиальное, гипергеометрическое, геометрическое, Пойа.
Для описания предельных случайных процессов, воз-
возникающих в У. с, применяются отрицательное бино-
биномиальное распределение и распределение Пуассона.
Лит.: [1] Ф с л л с р В., Введение в теорию вероятностей и
ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967.
А. В. Прохоров.
УРОВНЯ ЛИНИЯ функции Г р и н а — мно-
множество точек
L}. — {z ? D:G B, г0)--\—- const}, 0 < % < оо,
где G(z, z0) — функция Грина области D комплексной
плоскости с полюсом в точке zo?D. Если область D
односвязна, то структура этого множества легко выяс-
выясняется при конформном отображении D на круг |?|<1,
переводящем точку z0 в ?=0. Функция Грина инвариант-
инвариантна при этом отображении, а У. л. функции Грина круга
|?| <1 с полюсом в ?=0, т. е. log y-g-j, служат окружности
|?|=const. Таким образом, в случае односвязной обла-
области У. л. G(z, zo)=k являются простые замкнутые кри-
кривые, совпадающие при А=0 с границей области D и стре-
стремящиеся при А, -*- +оо к точке z0. Если область/) та-свя-
зпа и граница ее состоит из жордановых кривых С\ .
v=l, ... , т, то: если А>0 достаточно велико, то У. ;\.
является жордановой кривой; при Я, ->- +оо соответст-
соответствующая У. л. стремится к точке z0, а при убывании X
эта кривая удаляется от z0; если ;п>1, то при нек-ром

значении к У. л. имеет самопересечение, а затем распа-
распадается на непересекающиеся простые замкнутые кри-
кривые; при достаточно малом X У. л. состоит из т жорда-
новых кривых, и при % -*¦ 0 каждая из этих кривых
стремится к одной из граничных кривых области D.
В вопросах приближения функций многочленами на
замкнутом ограниченном множестве В с, односвязным
дополнением большую роль играют оценки расстояния
от точки границы множества В до У. л. дополнения
множества В (см. [4], [5]).
При однолистных конформных отображениях круга
\z\ <1 функциями класса
S={] : /(z)=z-f-... , / регулярна и однолистна в
поведение У. л. L(f, r) (образов окружностей
|z|=r<l) наглядно выясняет степень искажения. Лю-
Любой функцией класса S круг Ы<л 0<г<2— У~3. отоб-
отображается на выпуклую область, а круг |г| </•, 0<г<
<th л/4,— на звездообразную область. У. л. ?(/, г),
/?S, 0<г<1, принадлежат кольцу
и ограничивают односвязную область, содержащую
начало координат.
Для кривизны КA, г) У. л. L (/, г) в классе S имеет
место точная оценка:
и знак равенства имеет место для функции / (z) =
= ., в точке z = r. Точная нерхняя оценка д.чя
К (/. г) в классе iS пока A984) неизвестна. Точная
оценка сверху для К (/. г) в подклассе звездообраз-
звездообразных, функций из S имеет вид:
и знак равенства имеет место для функции / (г) =
= ¦—.—гг в точке z — r.
(¦ —z)
При отображении круга \z\ <1 функцией класса S
тасло точек перегиба У. л. L(/, r) и число точек нару-
нарушения ее звездности (т. е. точек У. д., в к-рых меняется
направление вращения радиуса-вектора, когда точка z
пробегает окружность |z| = r в определенном направле-
направлении) могут изменяться немонотонно при возрастании г,
т. е. если Г]</-2, то может оказаться, что У. л. L(f, гг)
имеет больше точек перегиба и больше точек нарушения
звеэдности, чем L(f, r2)-
Лит.: [1] Стоил о в С, Теория функций комплексного
переменного, пер. с рум., т. 2, М., 1962;[2] Г о л у з и н Г. М.,
Геометрическая теория функций комплексного переменного,
2 изд., М., 19G6 (Добавление); [3] А л е к с а н д р о в И. А.,
Параметрические продолжения в теории однолистных функций,
М., 1976; Ш ДзядыкВ. К., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1959, т. 23, № 5, с. 697—763: [5] Л е б е д е в Н. А., Ш и р о-
к о а Н. Л., «Изв. АН Арм. ССР. Сер. математика», 1971, т. 6,
№4, с. 311 — 41. Е. Г. Голуаина.
УРОВНЯ МНОЖЕСТВО функции /—множество
точек пространства R™, на к-ром /=- const. Если функ-
функция / задана в квадрате Q плоскости R2 и имеет там
частные производные, удовлетворяющие условию Лип-
Липшица, то для почти всех С из интервала min / с / С
Q
С max / У. м.
Мс = {х? Q:f = e)
состоит из конечного числа-регулярных (на них grad }ф
т^О) кривых. См. также Сарда теорема.
Ы. И. Войцеховский.
УРЫСОНА ЛЕММА: для любых двух непересекаю-
непересекающихся замкнутых множеств А и В нормального прост-
пространства X существует действительная и непрерывная
во всех точках этого пространства функция /, принимаю-

щая во всех точках множества А значение 0, во всех
точках множества В значение 1 и удовлетворяющая во
всех точках х?Х неравенству 0</(ж)<1. Эта лемма
выражает не только необходимое, но и достаточное ус-
условие для того, чтобы 7\-пространство X было нор-
нормальным. П- С. Александров.
УРЫСОНА МЕТРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА: 1) Би-
Бикомпактное или счетнокомпактное хаусдорфово прост-
пространство тогда и только тогда метризуемо, когда оно име-
имеет счетную базу.
2) Топологическое пространство со счетной базой
тогда и только тогда метризуемо, когда оно нормально
или (добавление А. Н. Тихонова) когда оно регулярно.
Я. С. Александров.
УРЫСОНА ПРОСТРАНСТВО, пространство, удовлет-
удовлетворяющее аксиоме отделимости Уры-
с о н а,— топологич. пространство, в к-ром всякие две
различные точки имеют окрестности с дизъюнктными
замыканиями.
Лит.: Ill Александров И. С, Урне о н П. С,
Мемуар о компактных топологических пространствах, 'Л изд.,
М., 1971, с. ДО; Г2] А р х а н г е л ь с к и й А. В., II о н о м а-
р е в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях
М., 1974. В. А. Ефимов.
УРЫСОНА УРАВНЕНИЕ — нелинейное интеграль-
интегральное уравнение вида
где Q — ограниченное замкнутое множество конечно-
конечномерного евклидова пространства, К [х, s, t], /(.r) — за-
заданные функции при ж, «?Й, —оо<г<оо. Пусть
функция К [х, s, t] непрерывна по совокупности пере-
переменных х, s?Q, U| <:р (р — нек-рое положительное
число) и пусть
= const, х,
Тогда, если
\К\ MmesQ < 1,
| % | max I max | К [х, $, t] | ds < р,
то уравнение
ф(х)-=?1\ К \.ту s, ф (s)] ds
имеет единственное непрерывное решение ф(.г), z?Q,
удовлетворяющее неравенству |ф(ж)|<:р. Если ф0 —
произвольная непрерывная функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая неравенству |фо(ж)| <:p(x^Q), то последовательные
приближения
ф„ (z) =k^QK [х, s, ф„_х (s)} ds,
п = \, 2, ... ,
равномерно на Q сходятся к <р(х).
Пусть оператор Урысона
действует в пространстве Lp(il), р > 1, для всех t1,
x,s?Q выполняется неравенство
\К(х, s, h)-K(x, s, t.J^K^x, s)!*!-^!,
где К± — измеримая функция
)
Тогда, при | X \ < Д и / g Lp (Q), уравнение (*) имеет
в Lp (il) единственное решение.
Уравнение (*) при определенных предположениях
впервые было изучено П. С. Урысояом (см. Нелиней-
Нелинейное интегральное уравнение).

Лит.: [1] Красносельский М. А., Топологические
методы в теории нелинейных интегральных уравнений, М., 1956;
[2] Интегральные уравнения, М., 1968 (Справочная матем. б-ка).
В. В. Хведелидзе.
УРЫСОНА - БРАУЭРА ЛЕММА, Урысона-
Брауэра — Тице лемм а,— утверждение о
возможности продолжения непрерывных функций с
подпространства топология, пространства на все прост-
пространство. Пусть X — нормальное пространство и F —
его замкнутое подмножество. Тогда любую непрерыв-
непрерывную функцию / : F —>- R можно продолжить непрерыв-
непрерывно до функции g : Х-*- R, т. е. можно найти такую не-
непрерывную функцию g, что g(x)=f(x) для всех x?F
При этом если функция / ограничена, то существует
такое ее продолжение g, что
sup | / (х) | = sup | g (г) |.
xsF хех
У.— Б. л. была доказана Л. Брауэром (L. Brouwer)
и А. Лебегом (Н. Lebesgue) для X=R", А. Тице
(A. Titze) для произвольного метрич. пространства
и П. С. Урысоном — в приведенной выше формули-
формулировке (к-рая может служить характеризацией нормаль-
нормальных пространств и является, таким образом, оконча-
окончательной).
Лит.: [1] У р ы с о н П. С, «Math. Ann.», 1925, Bd 94,
S. 262—95 (на рус. яз.: У р ы с о н П. С, Труды по топологии
и другим областям математики, т. 1, М.—Л., 1951, с. 177—218).
И. Г. Ношевникова.
УСЕЧЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение
вероятностей, получаемое из данного распределения
перенесением массы, заключенной вне нек-рого фикси-
фиксированного отрезка, на этот отрезок. Пусть вероятност-
вероятностное распределение на прямой задано функцией распре-
распределения F(x). Усеченным распределе-
распределением, отвечающим F, наз. распределение с функцией
распределения
0 при х^а,
и
(A
л
( 1 при х > Ь, а < Ъ.
В частном случае а=—оо(Ь=оо) У. р. наз. усе-
усеченным справа (слева).
Наряду с A) рассматриваются У. р. вида
О при
г ,F{x) — F(a) при а<х<с,
fa,bW — \F(x)+i—F(b) при с < z < Ь, [)
\ 1 при х^Ь,
или
I 0 при х < а,
^, Ь (^) -= < ^ (х) при а <.г < Ь, C)
' 1 при х :й= ?j.
В A) масса, сосредоточенная вне [а, й], распределяется
по всему отрезку [а, Ъ\, в B) — помещается в точку
с?(а, Ь] (в том случае, когда а<0<& в качестве с чаще
всего берется точка с=0), а в C) эта масса помещается
в крайние точки а и Ь.
У. р. вида A) могут интерпретироваться следующим
образом. Пусть X — случайная величина с функцией
распределения F(a-). Тогда У. р. совпадает с условным
распределением случайной величины при условии а<
С понятием У. р. тесно связано понятие усеченной
случайной величины: если X — случайная величина,
то усеченной случайной величиной наз. величина
уС_( X, если | X | <с,
\0, если \Х\> с.
Распределение Xе является У. р. типа C) по отно-
отношению к распределению X.

Операция усечения — переход к У. р. или усеченным
случайным величинам — является весьма распростра-
распространенным технич. приемом. Она позволяет, «немного»
изменяя исходное распределение, получить аналитич.
свойство — наличие всех моментов.
Лит.: [1] П р о х о р о в Ю. В., Р о з а н о в Ю. А., Тео-
Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Крамер Г., Мате-
Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975;
{3] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее прило-
приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1967; [4] Л о э в М., Теория
вероятностей, пер. с англ., М., 1962. Н. Г. Ушаков.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ — 1) У. в. относи-
относительно события — характеристика связи двух
событий. Если А и В — события и Р(В)>0, то У. в.
Р(А\В) события А относительно (или при условии) В
определяется равенством
(А
Р(В)
У. в. Р(А\В) может рассматриваться как вероятность
осуществления события А при условии, что событие В
осуществилось. Для независимых событий А и В У. в.
Р(А]В) совпадает с безусловной вероятностью Р{А).
О связи условных и безусловных вероятностей собы-
событий см. Бейеса формула и Полной вероятности формула.
2) У. в. события А относительно о-а л г е б-
р ы 58—случайная величина Р (А 158), измеримая отно-
относительно 58, для к-рой
при любом В ? 58. У. в. относительно а-алгебры опре-
определяется с точностью до эквивалентности.
Если а-алгебра 58 порождена счетным числом не-
непересекающихся событий Вх, В2, ..., имеющих поло-
положительные вероятности и в сумме составляющих все
пространство Й, то
Р(А | 58)=^Р(Л | Bk) при со ? Bk, k = l,2, ....
У. в. события А относительно а-алгебры 58 может
быть определена как условное математическое ожида-
ожидание Е (/^ 158) индикатора А.
Пусть (й, Jt, Р) — вероятностное пространство,
58—под-а-алгебра Jl. У- в. Р (А 158) наз. регуляр-
регулярной, если существует функция р (со, А), со ?Q, A ? JjJ,
такая, что
а) при фиксированном со функция р (со, А) является
вероятностью на а-алгебре Jl,
б) Р (А 158) ¦=/> (со, А) с вероятностью единица.
Для регулярных У. в. условные математич. ожида-
ожидания выражаются интегралами с У. в. в качестве мер.
У. в. относительно случайной величины X опреде-
определяется как У. в. относительно а-алгебры, порожден-
порожденной X.
Лит.: [1] Колмогорова. Н, Основные понятия тео-
теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] П р о х о р о в Ю. В.,
РозановЮ. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973;
[Я] Л о э в М. Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962.
В. Г. Ушаков.
УСЛОВНАЯ ПЛОТНОСТЬ—плотность условного рас-
распределения. Пусть (Q, Л. Р) — вероятностное простран-
пространство, 58 есть с-алгебра борелевских множеств на пря-
прямой, )^~под-а-алгебра e^i
— условное распределение X относительно а-алгеб-
а-алгебры' % и
— условная функция распределения X относительно %.
Если
то fx (х 13) наа- условной плотностью рас-
распределения X относительно а-алгебры %.

Если X и К—случайные величины, fy (у) — плот-
плотность распределения Y, jx,y{x> у) —совместная плот-
плотность распределения X и Y, то
определяет У. п. распределения случайной величины X
при фиксированном значении У.
Лит.: [Л П р о х о р о в Ю. В., Р о з а н о в Ю. А., Тео-
Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973. В. Г. Ушаков.
УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ ряда — свойство
ряда, заключающееся в том, что существует сходящий-
сходящийся ряд, полученный из данного нек-рой перестановкой
его членов. Числовой ряд
безусловно сходится, если он сходится, и
сходится любой ряд, полученный перестановкой его
членов, причем сумма любого такого ряда одна и та же,
иначе говоря, сумма безусловна сходящегося ряда не
зависит от порядка его членов. Если ряд (*) сходится,
но не безусловно, то он наз. условно сходя-
сходящимся. Для того чтобы ряд (*) условно сходился,
необходимо и достаточно, чтобы он сходился, но не
абсолютно, т. е. чтобы 51 _ 1и„| = +оо.
Если члены ряда (*) являются действительными
числами, через к}, и?,..., и„, • •• обозначены его
неотрицательные члены, а через —и\ , — ujj",...
..., — Un, ••• —отрицательные, то ряд (*) будет
условно сходиться тогда и только тогда, когда оба
ряда 51 _ j ип и 51 "" расходятся (при этом поря-
порядок слагаемых в этих рядах безразличен).
Пусть ряд (*) с действительными членами сходится
условно и — oos^a < р<+ов, тогда существует такой
ряд 51 _,ип, полученный перестановкой членов ря-
ряда (*), что если обозначить через {.?„} последователь-
последовательность его частичных сумм, то
lim sn~a, lim %=
(это есть обобщение теоремы Р и м а н а).
Произведение условно сходящихся рядов зависит от
порядка, в к-ром суммируются результаты почленного
умножения членов данных рядов.
Понятие условной и безусловной сходимости ряда
обобщается на ряды, члены, к-рых являются элемен-
элементами нек-рого нормированного векторного пространст-
пространства X. Если X — конечномерное пространство, то ана-
аналогично случаю числовых рядов сходящийся ряд
2 и в, и» 6 Х> п = 1, 2, ..., условно сходится тогда
и только тогда, когда ряд ^ _, II "л Ibr расходится.
Если же пространство X бесконечномерное, то в нем
существуют безусловно сходящиеся ряды J _. мл< не
являющиеся абсолютно сходящимися, т. е. такие, что
ДЛЯ НИХ V II «В 1ЬГ = + °°- тт 71 ^ а
¦6~п=1 " "л Л. Д. Кудрявцев.
УСЛОВНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ точки относительно
семейства отображений
{/«}(е<?+:? —Е A)
— равностепенная непрерывность в этой точке семей-
семейства {ft\v}izG+ сужений отображений it на нек-рое
вложенное в Е многообразие V; здесь G+ — множество

неотрицательных чисел: действительных (G=-R) или
целых (G-~ %).
У. у. точки относительно отображения определяется
как ее У. у. относительно семейства неотрицательных
степеней этого отображения. У. у. точки относительно
динамич. системы р есть У. у. этой точки относительно
семейства отображений {P}t 6g + - У- У- заданного на
*о~Ь Z + решения .*„(•) уравнения
есть У. у. точки xQ{t0) относительно семейства отобра-
отображений
ti g +
У. у. заданного на io-f-R + решения ^(^дифферен-
^(^дифференциального уравнения
'х = Цх, t) B)
есть У. у. точки хп (/„) относительно семейства отобра-
отображений {X(to-\-t, to)}tiRb, где X @, т) — Кохии опера-
оператор этого уравнения. У. у. заданного на io+R+реше-
io+R+решения у (¦) дифференциального уравнения
У(т)^я(у, у, ..., У{т-г\ t)
порядка т есть У. у. заданного на to-j-R+ решения
Х(-) = (У (•), У {•)< ¦¦¦, уш~^) (•)) соответствующего диф-
дифференциального уравнения 1-го порядка вида B), где
ж = (:<•!, .... хт),
¦ I (x, t) = (x2, . . ., х,„, g(xu . . . , хт, I)).
Приведенные ниже определения 1—5 являются
нек-рыми конкретизациялп! атих и родственных им оп-
определений.
1. Пусть дано дифференциальное уравнение B), где
ig?, E — нормированное я-мерно&пространство. Реше-
Решение х0 (•): io-f-R'* -~* E ;)того уравнения наз. условно
у с т о й ч и в ы м с индексом t g {0, .. ., п), если
найдется вложенный в Е fc-мерный диск Dk (рассматри-
(рассматриваемый как многообразие нек-рого класса Ст), содер-
содержащий точку з-ц (/0) и обладающий свойством: для
всякого е > 0 найдется б > 0 такое, что для
всякого х ? Dk, удовлетвюряющего неравенству
| х—х0 (i0) | < 6, решение х (¦) того же уравнения, удов-
удовлетворяющее начальному условию x(tu) — x, единст-
единственно, определено на to~\-R+ и при всяком; ^ to-j-R +
удовлетворяет неравенству \x(t)—xo(t)\<s. Если
диск Dh, имеющий указанные свойства, может быть
выбран так, что
lim \x(t) — xa(t)\ = Q
t ->¦ +со
(соответственно,
llm 4-In | z (О—4(t)\ <0;
t-*-\ oo
здесь и далее считается, что 1пО = —оо) для всякого
решения того же уравнения, начинающегося в этом
диске (т. е. такого, что x(tu)?Dk), то решение xa(t)
наз. асимптотически (соответственно, экспо-
экспоненциально) условно устойчивым (с ин-
индексом к).
Решение уравнения B) (х g R» или х ? С") наз.
условно (асимптотически, экспонен-
экспоненциально условно) устойчивым с индексом к,
если оно становится таковым в результате наделения
пространства R" (или С") нек-рой нормой. От выбора
нормы это свойство решения не зависит.
2. Пусть дано n-мерное риманово многообразие V"
(расстояние в к-ром обозначается через d{-, ¦)). Точка
ха € I" наз- условно устойчивой (с индексом

к ? {0, ..., «}) относительно отображения /: V" —>¦ V",
если найдется вложенный (обычно гладко вложенный)
в V" к-мерный диск Ок, содержащий точку хи и обла-
обладающий свойством: для всякого е"> 0 найдется 6 > О
такое, что для всякого ,т ? Ок, удовлетворяющего
неравенству d(x, х0) < б, имеет место неравенство
d{fx, /'.г,,) < н для всякого t ? N- Если диск Z>ft, имею-
имеющий указанные свойства, может быть выбран так, что
d (/'г, /Ч)—*0 при г—++°°
(соответственно,
lim -f lnd(/<.r, /<.rA) < О)
для всякого х ? Z>*, то точка ж0 нал. асимптоти-
асимптотически (соответственно, экспоненциально)
условно устойчивой (с. индексом к) относи-
относительно отображения /.
Пусть V" —компактное дифференцируемое многообра-
многообразие. Точка ,r0 g V" наз. условно устойчивой
(асимптотически, экспоненциально у с-
ловно устойчивой) с индексом к относительно
отображения /: FB—>Vn, если она становится таковой
в .результате наделения V" нек-рой римановой метри-
метрикой. От выбора риманоной метрики на V это свойстко
точки j0 не зависит,
3. Пусть дано, дифференциальное уравнение B) на
римановом (или на финслеровом) n-мерном многообра-
многообразии Г", расстояние в к-ром обозначается d (•, •). Реше-
Решение то(-): io-\ -R+ —>¦ V" этого уравнения наз. уело и-
iro -'уствйчивым (с .индексом к), если найдется
fr-мерный диск Uk, аложеиныи в V" (рассматриваемый
лак многообразие; нек-рого класса Ст, обычно т^-Л),
содержащий точку :rti{t0) и обладающий свойством:
для всякого е >.0;найд^тся 6 > 0 такое, что для вся-
всякого х ^ Dk, удовлетворяющего неравенству
dC-, xa(t0)) < о, решение х(-) того же уравнения,
удовлетворяющее начальному условию х (t0) = #, единст-
единственно, определено на го + К+ и при всяком t g <o + ^ +
удовлетворяет Неравенству d(x(t), a-0(t))<e. Если
диск DR, имеющий указанные свойства, может быть
выбран так, что
d(x(t), xu(t))—^0 при t—» + оо
(соответственно,
Пт \\nd(x(t), xa(t)) <0)
для всякого решения х(-) этого же уравнения, начи-
начинающегося в этом диске (т. е. такого, что х (г0) ???*),
то решение х0 (.) наз. асимптотически (соответст-
(соответственно, экспоненциально) условно устой-
ч и выи (с индексом к).
4. Пусть V" есть п мерное многообразие класса Ст,
U — открытое множество в нем. Пусть точка л0 € ^
неподвижна при отображенияк ff. U —> V" класса
Ст (t g G + , где G есть К или '?). Неподвижная точка х0
наз. условно устойчивой (с индексом к) отно-
относительно семейства отображений {/;}/6с + , если най-
найдется fe-мерный диск !>*, гладко вложенный (вложение
класса Ст) в V" и такой, что для всякой окрестности
V CZ V" точки ха найдется окрестность W той же точки
такая, что ft {D*(~\W) cV при всяком / g G + . Если
диск D", имеющий указанные свойства, может быть
выбран так, что lim lfx = xa для всякого х ? Л*, то
неподвижная точка г(| наз. асимптотически
условно устой ч а ь о и (с индексом к) относи-
относительно семейства отображений {/;}^€с+-
5. Условная (условная асимптотическая, условная
экспоненциальная) устойчивость (с индексом к) реше-

ния уо(-) уравнения произвольного
~~g(ll< У, •¦•, Уш'~1), t) определяется как условная
(условная асимптотическая, экспоненциальная) устой-
устойчивость (с индексом к) решения х0 (•) =(у0 (•), у0 (•),...
• ••I Уош~и {¦)) соответствующего уравнения 1 го по-
порядка B), где
х = (хх, . . . , хт),
f(x, t) = (xt, . . . , хт, g(xu . . . , ,г,л, О).
Иногда (см., напр., [3]) в определении У. у. требуют,
чтобы индекс к был отличен от нуля: У. у, с индексом
нуль всегда имеет место. У. у. (условная асимптотиче-
асимптотическая, условная экспоненциальная устойчивость) с ин-
индексом п (размерность фазового пространства) есть то
же, что устойчивость по Ляпунову (соответственно,
асимптотическая, экспоненциальная).
Исследование положения равновесия на У. у. Пусть
в окрестности точки .ro?R" задано автономное диф-
дифференциальное уравнение
^:=/(.Г), C)
правая часть к-рого непрерывно дифференцируема
и н точке .)¦„ обращается в нуль. Если н открытой левой
комплексной полуплоскости лежат к собственных зна-
значений производной djXo, то неподвижная точка урав-
уравнения C) экспоненциально условно устойчива с индек-
индексом к (теорема Ляпунова об условной
устойчивости). Напр., верхнее положение равно-
равновесия у —я, у =0 уравнения колебаний маятника
// -\-и>- sin у =0 .шспоненциалъно условно устойчиво
с индексом 1, так как один из корней характеристи-
характеристического уравнения X" — ш2 = -0 уравнения в вариациях
у — ю-у =--- U отрицателен.
Неподвижная точка ха дифференцируемого отобра-
отображения /: R" —* R" экспоненциально условно устойчива
с индексом к относительно /, если к собственных зна-
значений производной dfXls лежат в открытом единичном
круге. Периоднч. точка х0 дифференцируемого отобра-
отображения /: R" —*¦ R", имеющая период т, условно (асимп-
(асимптотически условно, экспоненциально условно) устойчива
с индексом А' относительно / тогда и только тогда,
когда она обладает этим свойством относительно ото-
отображения fm.
Периодич. решение автономного дифференциального
уравнения C) с гладкой правой частью f(x), имеющее
период Т, (асимптотически, экспоненциально) условно
устойчиво с индексом к в том и только в том случае, если
его значение в точке t=0 (соответственно, асимптоти-
асимптотически, экспоненциально) условно устойчиво с индексом
к относительно отображения Х(Т, 0), где X F, т) —
оператор Коши уравнения C).
Пример Перрона (см. Устойчивость по Ляпунову)
показывает, что из отрицательности к показателен Ля-
Ляпунова уравнения в вариациях вдоль решения уравне-
уравнения C) не следует У. у. с индексом fc этого решения.
Однако имеют место следующие теоремы, показываю-
показывающие, что ситуация, описываемая примером Перрона,
нетипична.
1) Пусть S — множество всех диффеоморфизмов /
евклидова пространства Еп, имеющих равномерно не-
непрерывную производную, удовлетворяющую неравен-
неравенству
sup max {;| dfx !|, \\(dfx)-i\\}< + cc.
e?"
Для всякого диффеоморфизма / ? S через S/ обозна-
обозначается множество диффеоморфизмов / ? S, удовлетво-
удовлетворяющих неравенству
sup | fx — jx \ < -j- эо;

в множестве Sj задается расстояние
d(f, g)=_sup (|/г-^|+И/х-*«11).
х 6 Е"
При всяком / ? 5 в пространстве SjXE" имеется
всюду плотное множество Dj типа G&, обладающее
свойством: для всякого (/, х) ? Dj точка х условно
экспоненциально устойчива относительно диффеомор-
диффеоморфизма / с индексом
dim -jj ? ТХЕ": lhii -Jpln| d/"»? | < 01 ,
I m¦-> 4 да J
т. е. с индексом, равным числу отрицательных Ляпунова
характеристических показателей уравнения в вариа-
вариациях.
2) Для динамич. систем, заданных на замкнутом
дифференцируемом многообразии, аналогичная теорема
формулируется проще и является дмфференциально-
топологически инвариантной. Пусть Г™—замкнутое
дифференцируемое многообразие. Множество S всех
диффеоморфизмов / класса С1, отображающих V" на V,
наделяется С-топологией. В пространстве Sx V" имеется
всюду плотное множество D типа Gg, обладающее
свойством: для всякого (/, х) ? D точка х условно
экспоненциально устойчива относительно диффеомор-
диффеоморфизма / с индексом
= dim is € V': пт 4" llll dfm E I <
3) Для всякого диффеоморфизма /: V" —>• V" зал1К-
нутого дифференцируемого многообразия V" для всякого
инвариантного относительно / распределения вероятно-
вероятностей на V" (а-алгебра к-рого содержит все борелевские
множества) множество точек х ? V", условно экспонен-
экспоненциально устойчивых с индексом D) относительно диф-
диффеоморфизма /, имеет вероятность 1.
Лит.: [1] ЛяиуновА. М., Собр. соч., т. 2, М.— Л.,
1956; [2] Бы лов Б. Ф., В и н о г р а д Р. Э., Г р о б-
манД. М., НемыцкийВ. В., Теория показателей Ляпу-
Ляпунова и ее приложении к вопросам устойчивости, М., 1966; [3]
Д е и и д о в и ч Б. П., Лекции по математической теории ус-
устойчивости, М., 1967; [4] И з о б о в Ы. А., в кн.: Итоги науки и
техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 71—146;
[5] Песин Я. В., «Успехи ыатем. наук», 1977, т. 32, в. 4,
с. 55—112. В. М. Миллионщиков.
УСЛОВНО ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функ-
функция Аоц., являющаяся композицией 2л-периодич.
функции А: Т"—»-С, где Тп есть га-мерный тор, и функ-
функции <р: R—*- R" такой, что q: = со, где ш = (са1, ...,и>п) —
постоянный вектор с рационально линейно независи-
независимыми компонентами. Примером У. п. ф. служит отре-
отрезок ряда Фурье
2_, [A;Sin (C0^+TJ);)+S/COS(
где
А:=^-г lJ
Ф:=(Ф1(О, •• ; , ffn(t
Если У. п. ф.— непрерывная функция, то она сов-
совпадает с квазипериодической функцией с периодами
COj, .. ., Ып. Ю. В. Комлеппо.
УСЛОВНО ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ - пря-
прямолинейное движение материальной точки, закон к-рого
выражается действительной условно периодической функ-
функцией.
УСЛОВНО ПОЛНАЯ РЕШЕТКА — решетка, в крой
каждое непустое ограниченное подмножество имеет
точную верхнюю грань и точную нижнюю грань. При-
Примером У. п. р. может служить множество всех действи-
действительных Чисел С Обычным порядком, Т. С. Фофанова.
УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ слу-
случайной величины —функция элементарного собы-

тия, характеризующая случайную величину по отно-
отношению к нек-рой а-алгебре. Пусть (Q, Л, Р)—веро-
Р)—вероятностное пространство, X— заданная на нем случай-
случайная величина с конечным математич. ожиданием, 58 есть
а-алгебра, ^<^Л. У. ль о. случайной величины X
относительно а-алгебры 5Ц наз. случайная величина
E(X|S-B), измеримая относительно а-алгебры ТО и та-
такая, что
для каждого #?58. Если математич. ожидание слу-
случайной величины X бесконечно (но определено), т. е.
конечна только одна из величин Е-У+=Е max (О, X) и
Е^~ = — Emin (О, X), то определение У. м. о. посредст-
посредством (*) имеет смысл, но Е (X | S3) может принимать
бесконечные значения.
У. м. о. определяется однозначно с точностью до эк-
эквивалентности. В отличие от математического ожида-
ожидания, являющегося числом, У. м. о. представляет собой
функцию (случайную величину).
Свойства У. м. о. аналогичны свойствам математич.
ожидания:
1) Е (X, | 23) <Е (Х21 58), если почти наверное
Xj (ш) ss X2 (и);
2) Е(<М58)=-с Для любого действительного с;
3) Е (а^ + рХа | 5В) = аЕ № | 33) + РЕ (Х2 | 58) Для
любых действительных аир";
4) |Е(Х|5В)|<Е(|Х||®);
5) g(?(X\ SB)) < E (g (X) | *8) для выпуклых функций
*(*)¦
Кроме того, имеют место следующие специфические
для У. м. о. свойства:
6) если 33 = {0, Q}—тривиальная а-алгебра, то
Е(Х|58) ЕХ
7) E(
8) Е(Е(Х|23)) = ЕХ;
9) если X не зависит от а-алгебры 58, то Е (X | 5В ) =
ЕХ;
10) если У измерима относительно а-алгебры 58, то
ХГ|23) У(Х|58)
Е(|23) Е(|8)
Имеет место теорема о сходимости иод знаком У. м. о.:
если Х1? Х2, ... —последовательность случайных вели-
величин, | Хп | sg Y, п = 1, 2, ..., EY < оо и Хп —* X почти
наверное, то почти наверное Е {Хп \ 58) —*¦ Е (X \ 58).
У. м. о. случайной величины X относительно случай-
случайной величины Y определяется как У. м. о. X относи-
относительно а-алгебры, порожденной Y.
Частным случаем У. м. о. является условная вероят-
вероятность.
Лит.: [1] К о л м о г о р о в А. Н-, Основные понятия тео-
теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] П р о х о р о в Ю. В.,
РозановЮ. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973;
|3] Неве Ж., Математические основы теории вероятностей,
пер. с франц., М., 1969; [4] Л оэ в М., Теория вероятностей,
пер. с англ., М., 1962. Н. Г. Ушаков.
УСЛОВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — функция элемен-
элементарного события и борелевского множества, при каждом
фиксированном элементарном событии являющаяся рас-
распределением вероятностей, а при каждом фиксирован-
фиксированном борелевском множестве — условной вероятностью.
Пусть (Я, t/t, Р) — вероятностное пространство, 58 есть
а-алгебра борелевских множеств на прямой, X—слу-
X—случайная величина, определенная на (Q, </?), §—под-
а-алгебра Jl. Функция <?(й>, В), определенная на
ЙХЗЗ, наз. (р е г у л я рн ым) условным распре-
распределением случайной величины А' относительно
а-алгебры %, если:
а) при фиксированном #?58 функция ()(а>, В)
^-измерима,
б) с вероятностью единица при фиксированном ш
функция 0(ш> В) является вероятностной мерой на 58,

в) для произвольного
^ Q (а>, B)P(d(o) = P{(X g В) OF].
Аналогично определяется У. р. случайного элемента 3
со значениями в произвольном измеримом простран-
пространстве (Зс, 33)- Если ЭЁ — полное сепарабельное метрич.
пространство, iP есть а-алгебра борелевских множеств,
то У. р. случайного элемента ^ относительно любой
а-алгебры ?$•, % а Л. существует.
Функцию Fx (х | %) «^ Q (ш, (—оо, х)) наз. услов-
условной функцией распределения случайной
величины X относительно а-алгебры %.
У. р. (условная функция распределения) случайной
величины X относительно случайной величины У опре-
определяется как У. р. (условная функция распределения)
X относительно а-алгебры, порожденной У.
Условная функция распределения Fx (x I У) случай-
случайной величины X относительно У является борелевской
функцией от У; при Y = y ее значение Fx(x\Y = y)
паз. условной функцией распределениях
при фиксированном значении У. Пусть У имеет плот-
плотность распределения fy(y), тогда
L±Fx,Y(x, у),
Fx(x\Y^y) = F
где Fx у (х, у) — совместная функция распределения
X п У.
Лит.: 11] П р о х о р о в К). В., Розанов Ю. А., Тео-
Теория вероятностей, 2 изд., М., 197.4; [2] Л о з в М., Теория ве-
вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [3] Г и х м а в И. И., С к о-
роход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971.
В. Г. Ушаков.
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ — минимальное пли мак-
максимальное значение, достигаемое данной функцией (или
функционалом) при условии, что нек-рые другие функ-
функции (функционалы) принимают значения из заданного
допустимого множества. Если условия, ограничиваю-
ограничивающие в указанном смысле область изменения независи-
независимых переменных (функций), отсутствуют, то говорят
о безусловном экстремуме.
Классич. задаче]! на У. а. является задача определе-
определения минимума функции многих переменных
/(¦А, • • -. xn) A)
при условии, что нек-рые другие функции принимают
заданные значения:
gi(xu . . . , х„)—с;, t- 1, . . . , т, т < п. B)
В этой задаче множество G, к-рому должны принад-
принадлежать значения вектор-функции g = (gj. ¦¦¦,gm)i вхо-
входящей в дополнительные условия B), есть фиксиро-
фиксированная точка с=(с1, ..., ст) в m-мерном евклидовом
пространстве Rm.
Если в B) наряду со знаком равенства допускаются
знаки неравенства
gi(xx, . .., х„) — с;, i — l,...,mu тх < п, \
gi(zu ¦¦¦, xn)<Ci, i — ntj + l, .... m2, J C)
gi(xu ..., xa)^Ci, i = m2-(-l, ...., m, !
то это приводит к задаче нелинейного программирования
A), C). В задаче A), C) множество G допустимых значе-
значений вектор-функции g представляет собой нек-рый кри-
криволинейный многогранник, принадлежащий (п—/%)-
мерной гиперповерхности, задаваемой т1, т1<^н, усло-
условиями типа равенства C). Границы указанного криволи-
криволинейного многогранника строятся с учетом п—т1 нера-
неравенств, входящих в C).
Частным случаем задачи A), (Л) на У. э. является за-
задача линейного программирования, в к-рой все рассмат-
рассматриваемые функции / и g; являются линейными по хх,
... , х„. В задаче линейного программирования множе-
множество G допустимых значений вектор-функции g, входя-

щей в условия, ограничивающие область изменения
переменных хх, ... , т„, представляет собой выпуклый
многогранник, принадлежащий (я—т»1)-мерной гипер-
гиперплоскости, задаваемой тх условиями типа равенства
в C).
Аналогичным образом большинство задач оптимиза-
оптимизации функционалов, представляющих практич. интерес,
сводится к задачам на У. э. (см. Изопериметрическая
задача, Болъца задача, Лагранжа задача, Майера зада-
задача). Так же, как и в математич. программировании,
основными задачами вариационного исчисления и тео-
теории оптимального управления являются задачи на
У. э.
При решении задач на У. э., особенно при рассмотре-
рассмотрении теоретич. вопросов, связанных с задачами на У. э.,
весьма полезным оказывается использование неопреде-
неопределенных Лагранжа множителей, позволяющих свести
задачу на У. э. к задаче на безусловный экстремум и
упростить вывод необходимых условий оптимальности.
Использование множителей Лагранжа лежит в основе
большинства классич. методов решения задач на У. э.
Лит.: [1] X е д л и Д ж., Нелинейное и динамическое про-
программирование, пер. с англ., М., 1967; [2] Б л и с с Г. А., Лек-
Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [3]
II о н т р я г и н Л. С. [и др.], Математическая теория оптималь-
оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969. И. Б. Вапнярский,
УСРЕДНЕНИЕ — то же, что осреднение.
УСТАНОВЛЕНИЯ МЕТОД — метод, заключающий-
заключающийся в том, что решение и нек-рых стационарных задач
Au-^f A)
можно рассматривать как результат установления (при
t -»- оо) развивающегося во вре.мени ?>0 процесса u(t) —
решениях Коши задачи для нек-рого нестационарного
эволюционного уравнения с тем же оператором А , напр,
вида
аи
C{j^!L = f
- ««' B)
здесь С,—нек-рые операторы, гарантирующие суще-
существование процесса установления: \'пп и (t) ~-и.
t-t-X
Эффект установления позволяет использовать при-
приближенные методы решения задачи B) для построения
итерационных алгоритмов решения уравнения A).
Так, если для нестационарного уравнения B) определен
разностный по t метод решения, обеспечивающий схо-
сходимость и устойчивость приближенного решения, напр,
при т = \ явный метод вида
где т„ — tn + 1 — tn > 0, то этот метод можно интерпре-
интерпретировать как итерационный алгоритм
C1(u" + l — un) = rn(f —Аи"), ге=0, 1, ..., и° = ит,
для решения уравнения A), в к-ром С, и т„ рассматри-
рассматриваются уже как характеристики метода.
Варьирование вида операторов С; и рассмотрение
различных аппроксимаций по t в уравнении B) (явные,
неявные схемы, схемы расщепления и т. п.) дают воз-
возможность получать достаточно разнообразные семей-
семейства итерационных методов решения уравнения A).
Для этих методов уравнение B) будет замыканием вы-
вычислительного алгоритма.
Обобщением У. м. является продолжения по парамет-
параметру метод.
Лит.: [ll Б а х в а л о в Н. С, Численные методы, 2 изд.,
М., 1975; [2J Годунов С. К., Рябенький B.C., Раз-
Разностные схемы, 2 изд., М., 1977; [3] М а р ч у к Г. И., Лебе-
Лебедев В. И., Численные методы в теории переноса нейтронов,
М., 1971. В. И. Лебедев.

УСТОЙЧИВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение
вероятностей, обладающих свойством, что для любых
oj>0, 6], а2>0, 62 имеет .место соотношение
F(a1.z + &i)*^(<z22:+6,!)==/1(a.z + &), A)
где й>0 и & — нек-рые постоянные, F — функция рас-
распределения У. р., * — символ операции свёртки двух
функций распределения.
Характеристическая функция У. р.
Ф(О=ехр |jdH-c|Ha[l + 'P-^-w(', «)]| , B)
где 0<а<2, —1<;Р<1, с^О, d — любое действитель-
ное число, и
{ tg ^j-, при а Ф 1,
a>(t, oc)-=-j 2
л
In | I |, при а—Л.
Число а наз. показателем устойчивого
распределения. У. р. с показателем а=2 яв-
является нормальное распределение, примером У. р. с
показателем а = 1 служит Коши распределение, У. р. яв-
является вырожденное распределение на прямой, У. р.—
безгранично делимое распределение, и У. р. с показате-
показателем а., 0<ос<2, имеет Леей каноническое представление
с характеристиками а2=0,
М (х) — е1/(ж)а, .V (х) - — а/У2,
сх ;== 0, с2 ;й 0, с, + с2 > О,
7 — любое действительное число.
Для У. р., за исключением вырожденного распреде-
распределения, существуют плотности. Эти плотности бесконеч-
бесконечно дифференцируемы, одновершинны и отличны от нуля
или на всей прямой, пли на полупрямой. Для У. р. с
показателем а, 0<а<2, при 6<а выполняются соот-
соотношения
| х\Ьр (х) dx < оо, ^°° \х \а р (x)dx—<x>,
р(х) — плотность У. р. Явный вид плотностей У. р.
известен лишь в немногих случаях. Одной из основных
задач теории У. р. является описание их притяжения
областей.
В совокупности У. р. выделяется класс строго
устойчивых распределений, для к-рых
имеет место равенство A) при b1=bi=b=O. Характери-
стич. функции строго У. р. с показателем а(а=^=1) да-
даются формулой B) при d=0. При а=1 строго У. р.
является лищь распределение Коши. Спектрально поло-
положительные (отрицательные) У. р. характеризуются
тем, что в канонич. представлении Леви М(x)asO(N (x)==
ssO). Для спектрально положительных У. р. существует
преобразование Лапласа при Re xJsO:
| exp {—csa—ds}, при a < 1,
e~sx p (x) dx — j exp {cs In s — ds}, при а = 1,
I exp {csa — ds}, при a > 1,
где p (x)—плотность спектрально положительного У. р.
с показателем a, 0 < a < 2, с > 0, d — действительное
число, у многозначных функций In s, sa выбираются
те ветви, для к-рых in s действительный, а sa > 0 при
s > 0.
У. р., как безгранично делимому распределению, со-
соответствует однородный случайный процесс с незави-
независимыми приращениями. Стохастически непрерывный
однородный случайный процесс с независимыми при-
приращениями {х(т), т>0} наз. устойчивым, если
приращение аA)—ж@) имеет У. р.
Лит.: [1] Г н е д е н к о Б. В., Колмогоров А. Н.,
Предельные распределения для сумм независимых случайных ве-
величин, М.— Л., 1949; [2] Прохоров Ю. В., Роза-
Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [3] И б р а-
г и м о в И. А., Л и н н и к Ю. В., Независимые и стационарно

связанные величины, М., 1965; [4] Скорох од А. В., Случай-
Случайные процессы с независимыми приращениями, М., 1964; [5]
3 о я о т а |> с в В. М., Одномерные устойчивые распределения
М., 1983. Б. А. Рогозин.
УСТОЙЧИВОСТИ КРИТЕРИИ — необходимые и до-
достаточные условия отрицательности действительных
частей всех корней уравнения
У. к. используются, когда применяется теорема Ля-
Ляпунова об устойчивости по первому приближению непо-
неподвижной точки автономной системы дифференциальных
уравнений (см. Устойчивость по Ляпунову). Наиболее
употребителен следующий У. к., наз. критерием
Рауса — Гурвица или критерием Г у р-
в и ц а: для отрицательности действительных частей
всех корней уравнения (*) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялась совокупность неравенств А/>0,
г ? {1, ... , »}, где
1
Дз= аз
я5 а4 а3
главные диагональные миноры матрицы
«з
а,
аз
«г,
0
1
а.2
я4
0
0
«1
а.ч
0
0
1
«2
0
0
0
0
0 .
0 .
1 .
0 .
. . 0
. . 0
. . 0
. . н
(на главной диагонали этой матрицы стоят aY, ..., а„;
при i > и полагают а,—0).
При и — 2 У. к. Payua— Гурвица выглядит особенно
просто: для отрицательности действительных частей
корней уравнения A2-f-a]A-!-u!2 = 0 необходимо и до-
достаточно, чтобы коэффициенты уравнения были поло-
положительны: ах > 0, я2 > 0.
При всяком п?\Ц для отрицательности действитель-
действительных частей нссх корней уравнения (*) необходимо (но
при и > 2 недостаточно), чтобы все коэффициенты урав-
уравнения были положительны: я, > 0, i?{l, ..., п). Если
хоть один из определителей А,-, г?{1, ..., п), отрица-
отрицателен, то у уравнения (*) найдется корень, действи-
действительная часть к-рого положительна (пто утверждение
используется пр-и применении теоремы Ляпунова о не-
неустойчивости по первому приближению неподвижной
точки автономной системы дифференциальных уравне-
уравнений, см. Устойчивость по Ляпунову). Если Д/^эО
для любого t?{l, ..., я}, но Д; = 0 для некоторого
t?{l, п}, то расположение корней уравнения (*)
относительно мнимой оси тоже можно выяснить, не на-
находя самих корней (см. [5], [8] гл. XVI, § 8).
Более простым для применения является крите-
критерий Льенара — Ш и пара: для отрицательности
действительных частей всех корней уравнения (*) не-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялась совокуп-
совокупность неравенств я,-> 0, ??{1, ..., п), Д„_2[ + 1 > 0,
, ..., |4"Н (определители Д,- — те же, что в кри-
критерии Рауса — Гурвица).
Критерий Э р м и т а (исторически первый, см.
[1], [10] § 3.1) позволяет с помощью конечного числа
арифметич. действий над коэффициентами уравнения
(*) определить, все ли корни этого уравнения имеют
отрицательную действительную часть. Сформулирован-
Сформулированный выше критерий Рауса — Гурвица — это модифи-
модификация критерия Эрмита, найденная А. Гурвицем. Из-
Известен также У. к. Ляпунова (см. [3], 18] гл. XVI, § 5,
[Ю] §3.5).
При исследовании устойчивости неподвижной точки
дифференцируемого отображения (автономной системы

с, дискретным временем), а также при исследовании
орбитальной устойчивости замкнутой траектории авто-
автономной системы дифференциальных уравнений приме-
применяются условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы модули всех корней уравнения (*) были меньше
единицы. Оти критерии получаются из У. к., указан-
указанных выше, отображением Я i—>т—г открытого единич-
единичного круга на открытую левую полуплоскость (см.
[10] § 3.2).
Лит.- [1] Н е г in i I e С li. «.T. roine und angew. Math.»,
1836, Bd 52, S. 39—51; 12] R о u t. h E. J., A treatise on the sta-
stability of a given state of motion, L_, 1877; [3] Ляпунова. М.,
Собр. соч., т. 2, M., 1950; Vi] II и г w i I z A., «Math. Ann.»,
1895," Bd 40, S. 273—84; [5J Orlando L., там же, 1911, Bd 71,
S. 233—45; [0] Liinard А. С h i p a r f M. H., «J. main,
pureetappl.», Ser. 6, 1914, t. 10, p. 291—346; I7l4 e т а е в Н. Г.,
Устойчивость движения, М.— Л., 1946; [8j Гантмахер
Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; [91 Д е м и д о в и ч
Б. П., Лекции по математической теории устойчивости, М.,
1967; [10J ДжуриЭ., Инноры и устойчивость динамических
систем, пер. с англ., М., 1Я79. В. Ы. Миллчо-нщиков.
УСТОЙЧИВОСТИ ОБЛАСТЬ -- множество в прост-
пространстве значений параметра, от к-рого зависит задача
Коши. Это множество (не являющееся, вообще говоря,
областью) есть объединение компоненты связности внут-
внутренности множества S значений параметра, при к-рых
решение задачи Коши устойчиво по Ляпунову, и мно-
множества тех точек границы этой компоненты, к-рые при-
принадлежат S. Приведенное определение является по-
попыткой вложить точный смысл в понятие, обычно опи-
описываемое в той или иной степени расплывчатым образом
(ср. [1] с. 194, 195, 197).
Пример. Нулевое решение уравнения Матьё
у-\~(Ь-\-Е cost) у =0,
зависящего от параметра (S, e)?R2, имеет счетное мно-
множество У. о. (см. [1] рис. 78). Среди этих областей име-
имеются пересекающиеся с полуплоскостью б<0, чем объ-
объясняется возможность стабилизации верхнего положе
ния равновесия маятника с помощью периодич. (сину -
сондального) колебания точки подвеса в вертикальном
направлении (см. 11J гл. VI. §§ 1, 4).
Лит.: [l] С т о к е р Д it;., Нелинейные колебания б меха-
механических и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М.,
1953; ['2] Б а у т л н Н. Н., Поведение динамических систем
вблизи границ области устойчивости. 2 изд., М., 1984.
В. М. Миллионщиков.
УСТОЙЧИВОСТИ ТЕОРЕМЫ теоремы, заключе-
заключением к-рых является утверждение об устойчивости.
В. М. Миллионщиков.
УСТОЙЧИВОСТИ ТЕОРИЯ — совокупность взгля-
взглядов, представлений, идей, понятий, рассуждений, ме-
методов, теорий (содержащих определения, леммы, тео-
теоремы и доказательства), возникших и возникающих с
целью изучения устойчивости движения (понимаемого
в самом общем виде). Таким образом, У. т. является
теорией в широком смысле этого слова. Среди различ-
различных понятий устойчивости движения наиболее известны
следующие.
1. Понятия устойчивости, введенные Л. М. Ляпуно-
Ляпуновым, и их модификации: устойчивость по Ляпунову (в
частности, асимптотич. устойчивость и экспоненциаль-
экспоненциальная устойчивость), условная устойчивость (в частности,
асимптотическая условная устойчивость и экспоненци-
экспоненциальная условная устойчивость), устойчивость но части
переменных, равномерная устойчивость, устойчивость
при постоянно действующих возмущениях, орбитальная
устойчивость, наличие аттракторов (см. Предельный
цикл, Лоренца аттрактор), стохастич. устойчивость,
устойчивость абсолютная. См. также Устойчивости
критерии. Устойчивости область.
2. Устойчивость по Лагранжу.
3. Устойчивость по Пуассону и связанные с ней по-
понятия (блуждающая точка, полная неустойчивость).

4. Структурная устойчивость (см. Грубая система) —
понятие, введенное А. А. Андроновым и Л. С. Поятря-
гиньш.
5. Сохранение большинства инвариантных торов ин-
интегрируемой гамильтоновой системы при малых возму-
возмущениях функции Гамильтона, открытое А. Н. Колмо-
Колмогоровым (см. также Малые знаменатели).
В У. т. по Ляпунову (см. [1| т. 2, а также [2] —
[4]) выделяют вопросы, связанные с первым методом
Ляпунова. Сюда обычно относят теорию линейных сис-
систем дифференциальных уравнений (см. Уравнение в ва-
вариациях. Линейная система дифференциальных уравне-
уравнений с периодическими коэффициентами, Линейная сис-
система дифференциальных уравнений с почти периодиче-
периодическими коэффициентами, Правильная линейная система
дифференциальных уравнений, Неправильности коэффи-
коэффициенты. Почти приводимая линейная система диффе-
дифференциальных уравнений, Приводимая линейная система
дифференциальных уравнении, Мультипликаторы, Га-
мильтонова система линейная) и имеющую большое
пересечение с теорией линейных систем теорию Ляпуно-
Ляпунова характеристических показателей (см. также Особые
показатели, Центральные, показатели, Интегральной
разделенности условие, Устойчивость характеристиче-
характеристических показателей). По второму методу Ляпунова см.
Ляпунова функция, а также [5]—|9].
В теории структурной устойчивости выделяют тео-
теорию систем Аносова (см. [10]), а также критерии струк-
структурной устойчивости (см. [11|, [12]).
При исследовании устойчивости по Ляпунову в меха-
механике затрагивают вопросы: устойчивость фигур равно-
равновесия вращающейся жидкости (см. |1] тт. 3—4), дру-
других гравптирующих систем (см. [13]), устойчивость дви-
движения жидкости (см. [14], [15]), устойчивость движе-
движения деформируемого твердого тела (см. Устойчивость
упругих систем, а также [16]—[19|), устойчивость дви-
движения тел с полостями, содержащими жидкость [20],
устойчивость в системах автоматич. управления [21],
устойчивость решений уравнений с запаздыванием [22].
Лит.: ft! ЛяяуновА. Ы,, Собр. соч., т. 1 — 5, М.[—Л.],
1954—65; [2] Б е л л м а н Р., Теория устойчивости решений
дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1954; [3] Д е-
м и д о в и ч СП., Лекции по математической теории устойчи-
устойчивости, М., 11)й7; Г4] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г.,
Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банахо-
банаховом пространстве, М., 1970; [51.',] а - С а л л ь Ж., Л е ф ш е ц С,
Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, пер. с
англ., М., 1964; ffi] Зубов В. И., Методы А. М. Ляпунова и их
применение, Л., 1957; l7j P у м я н ц с в В. В., в кн.: Меха-
Механика в СССР за 50 лет, т. 1, М., 1968; [8] В а л е е в К. Г.,
Ф и н и и Г. С, Построение функций Ляпунова, К., 1981; [9]
III e с т а к о в А. А., «Дифференц. уравнения», 1982, т. 18,
№12, с. 2009—97; [10] Аносов Д. В., «Тр. Матем. ин-та
АН СССР», 1967, т, 90; [11] Плисе В. А., Интегральные
множества периодических систем дифференциальных уравнений,
М., 1И77; Lt2] e г о же, «Дифференц. уравнения», 1980, т. 16,
.\; 10, с. 1891—92; [13] Поляченко В. Л., Фридман
А. М., Равновесие и устойчивость гравитирующих систем, М.,
1976; A4] Линь Цзя-цзяо, Теория гидродинамической
устойчивости, пер. с англ., М., 1958; [15] Джозеф Д., Ус-
Устойчивость движения жидкости, пер. с англ., М., 1981; [16]
Болотин В. В., Неконсервативные задачи теории упругой
устойчивости, М., 19в1; [17] Болотин В. В., Г р и г о-
л ю к 9. И., в кн.: Механика в СССР за 50 лет, т. 3, М., 1972;
[18] В о л ь м и р А. С, Устойчивость деформируемых систем,
2 изд., М., 1967; 119] К л ю ш н и к о в В. Д., Устойчивость уп-
упруго-пластических систем, М., 1980; [20] Моисеев Н. Н.,
Румянцев В. В., Динамика тела с полостями, содержащи-
мижидкость, М., 1965; [21] N а г е n d а К. S., TaylorJ. Н„
Frequency domain criteria for absolute stability, N. У.— L.~,
1973; [22] Hale J., Functional-differential equations, N. Y.—
[a. o.], 1971. В, М. Миллионщиков.
УСТОЙЧИВОСТЬ — термин, не имеющий четко опре-
определенного содержания.
1) У. применительно к движению — характер пове-
поведения системы на бесконечном промежутке време-
времени. Этот характер движения выражается следующим
образом.
а) Как свойство движущейся системы в том или ином
смысле мало отклоняться от нек-рого движения при

малых возмущениях начального положения системы
(в фазовом пространстве), причем малость отклонения
равномерна по ?JsO (см. Устойчивость по Ляпунову,
Орбитальная устойчивость, Равномерная устойчи-
устойчивость). В других рассмотрениях У. движения есть
свойство движущейся системы мало отклоняться от
нек-рого движения при малых возмущениях как на-
начального положения системы (в фазовом пространстве),
так и самого закона движения (см. Устойчивость при
постоянно действующих возмущениях). Иногда малые
возмущения начального положения берутся не любые,
а подчиненные нек-рому дополнительному условию (см.
Условная устойчивость); иногда малость возмущения и
отклонения измеряется лишь по нек-рым параметрам
(см. Устойчивость по части переменных).
б) У. движения системы как свойство системы сохра-
сохранять нек-рые черты фазового портрета при малых воз-
возмущениях закона движения (см. Устойчивости теория,
Грубая система).
в) Как свойство системы в процессе движения оста-
оставаться в ограниченной области фазового пространства
(см. Устойчивость по Лаграпжу).
г) Как свойство системы в процессе движения сколь
угодно поздно возвращаться как угодно близко к своему
начальному положению (в фазовом пространстве; см.
Устойчивость по Пуассону).
2) У. применительно к геометрическим или иным объ-
объектам, зависящим от параметров,— непрерывная за-
зависимость этих объектов от параметров (см. [1], [2]).
Однако все эти значения термина «У.» не исчерпывают
его содержания.
Лит..- |1] П о г о ]j с л о в А, В., Геометрические методы
в нелинейной теории упругих оболочек, М., 1967; [2] Решет-
някЮ. Г., Теоремы устойчивости в геометрии и анализе,
Новосиб., 1082. В. М. Миллионщиков.
УСТОЙЧИВОСТЬ н г е о р и и игр — принцип
оптимальности, отражающий прямо или косвенно идею
устойчивости ситуации (или множества
ситуаций). Выделяют следующие основные концеп-
концепции У.
1. ф-у стойчивость — см. Коалиционная игра.
2. 1|з-у с т опчпво с т ь — принцип оптимальности в
кооперативных играх, связанный с понятием У. пары,
состоящей из разбиения множества игроков 1 на коа-
коалиции и дележа относительно образования новых коа-
коалиций. Разбиение <?Г = (Т1, ••., Тт) множества игро-
игроков / наз. коалиционной структурой. Пусть
</, i>> — кооперативная игра и 1|)— функция, сопостав-
сопоставляющая всякой коалиционной структуре $~ множество
коалиций я|) (оГ). Пара (х, $~), где х—дележ, наз.
т|)-ус т о й чи в о й, если 2fsS xi-^ v ($) Для всех
S?.ty{<0~) И Xi > y({0)' когда {«}$#"•
3. fe-y стой ч и воет ь—частный случай ^-устойчи-
^-устойчивости, когда в качестве t|) (&T) берется множество коа-
коалиций, каждая из к-рых отличается от какого-либо
элемента $~ не более чем на к игроков.
4. М-у с т о йчи в о с т ь — принцип оптимальности в
теории кооперативных игр, формализующий интуитив-
интуитивное понимание У. образования коалиций и дележей
значений v (T) характеристич. функции v на образую-
образующихся коалициях Г между игроками из Г относительно
возможных угроз одних коалиций против других. Пара
(х, #"), где x~(xi)leI — вектор, удовлетворяющий ус-
условиям 2 x( = v (Тк), ft = l, ..., m, а (?Г=(ТЪ ...
..., Тт)—коалиционная структура, наз. конфигу-
конфигурацией. Конфигурация наз. индивидуально
рациональной (и. р. к.), если жг-5г v ({г}), i?/.
Конфигурация (х, #") наз. коалиционно раци-
рациональной (к. р. к.), если вектор х удовлетворяет
условию 2ieS'r<^3!; (^) для ЛК)бой коалиции S с Тк,

A- = l, ..., т. В случае, когда ]??_, v (Tk) =.v (/), в
.частности когда #" = {/}, для всякой и. р. к. (х, аТ)
вектор х является дележом.
Множество Р(К; <&~) = {i?I \l?Tk и Tk[)K Ф я}
наз. множеством партнеров коалиции К CZ 1
в коалиционной структуре йТ. Пусть (я, <#*) — к. р. к.
и A', Lczl — непересекающиеся коалиции. К. р. к.
(.'/. U), удовлетворяющая условиям
Р(К; A)Г\Ь = 0,
!Л > xi Для всех i ? /С,
;/,5э.г; для всех (? /J(A'; U),
наз. у г розой коалиции К ст р о т л в /L.
Контругрозой коалиции L против К наз. к. р. к.
(z, У), удовлетворяющая условиям
I'),
zj^xi для всех i ? P (L; V),
zi^yi для всех i ? P(L; I ) fl P № f).
К. р. к. (х, ?Г) на;). Л/-у с т о йч и в о и, если для лю-
любой нары непересекающихся коалиций К, L на всякую
угрозу К против L существует контругроза L против К.
Множество всех М-устойчивых конфигураций для коа-
коалиционной структуры ?Г наз. М-у с т о й ч и в ы м м н о-
ж е с т в о м и обозначается через М или М ($~). В слу-
случае, когда 2-i\iv (Tk)~v (^)i множество М содержит
с-ядро (см. Ядро в теории игр) кооперативной игры
</, г>. Множество М часто оказывается пустым, и
поэтому чаще рассматривают множество Л/"', к-рое
определяется аналогично М со следующими измене-
изменениями: рассматриваются не только к. р. к., но и все
и. р. к. и допускаются лишь угрозы и контругрозы
между одноэлементными коалициями, т. е. между от-
отдельными игроками. Было показано, что множество
Л/'j" не пусто для любой коалиционной структуры.
Множество TV/i" для <^~ = {1] содержит fe-ядро и совпа-
совпадает с ним и с-ядром для выпуклых игр </, v').
Понятия Д#-устойчивости и М'/'-устойчивости имеют
естественное обобщение на кооперативные игры без
побочных платежей. Известно, что в этом случае мно-
множество Л/'/' может быть пустым; имеются нек-рые ус-
условия для непустоты Af"'.
Лит.: [1] A u m a n n R. J., M a s с h 1 с г М., в сб.: Ad-
Advances in game theory, Princeton, 1964, p. 44S—76: [2] В о p o-
бьев Н. Н., «Успехи матем. наук», 1070, т. 25, в. 2, с. 81 —
140; [3] L и с е R. D., в сб.: Mathematical models of human be-
behavior, Stanford, 1955, p. 32—44; [4] Л ь ю с Р. Д., Р а Й ф а X.,
Игры и решения, пер. с англ., М., 1961: [5] Р е 1 е g В., «Bull.
Amer. math, soc.», 196,'S, v. 69, p. 109—10; [6] ею же, «Israel
J. math.», 1963, v. 1, p. 48—53; [7] Оуэн Г., Теория игр,
пер. с англ., М., 1971. А. Я. Кирута.
УСТОЙЧИВОСТЬ АБСОЛЮТНАЯ — устойчивость
в целом тривиального решения нелинейной системы
обыкновенных дифференциальных уравнении (или урав-
уравнений другого типа), равномерная для всех систем не-
некоторого класса. Термин «У. а.» подразумевает задание
класса систем и указание, в каком смысле понимается
устойчивость и равномерность. Кроме обыкновенных
дифференциальных уравнений рассматриваются также
уравнения в конечных разностях, интегральные урав-
уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения с
запаздывающим аргументом, уравнения с частными
производными.
Пусть рассматривается система, описываемая диффе-
дифференциальным уравнением
X(t)=:Ax(t) + BZ(t) A)
и нек-рым множеством 2Л пар функций {ж(-), ?(•)}•
Здесь А, В — постоянные комплексные матрицы раз-
размеров NXN и NXn соответственно; x(t) и ?(<) — век-

торные комплексно значные функции порядков N и п со-
соответственно, причем 1A) локально суммируема, a ,r(t)
абсолютно непрерывна. В приложениях обычно А. В,
x(t), ?(() действительны, уравнение A) описывает ли-
линейную часть системы, а множество ОЛ определяется
свойствами нелинейных блоков системы. В простей-
простейшем случае имеется один фиксированный нелинейный
блок, к-рып описывается уравнением
ИМ --=<р[о(М, t], где a(t) = Cx(t) B)
(о(t) и |(Л — скалярные функции, С — (IX^(-матри-
(IX^(-матрица; o(t), |(t)i С действительны). В этом случае 5Л —
множество всех пар {.г(-), ?(•)}> Длн которых выпол-
выполнено B).
Многочисленные исследования конкретных нелиней-
нелинейных систем привели к пониманию того, что в первую
очередь следует учитывать квадратичные соотношения,
связывающие |(/) и x(t), описываемые несколько специ-
специфически. Пусть, напр., относительно функций cp(o, t)
в B) известно лишь, что для всех г^О и а
В атом случае Ш1 = ЯЛ [ fxx, |г2] есть множество всех
x(t) и ?(<), для к-рых почти всюду цх<^(г)/а(г)<|.12,
где a(t)=Cx(t), или, иначе
|u,.2a @-Н01 ti (П-\Ч° @1 3=0. C)
Ниже « 5s I, F (x, |)—эрмитова форма на С^хС".
В общем случае рассматривается класс 5Лр п пар функ-
функций х @, \ (t), удовлетворяющих почти всюду локаль-
локальной С В Я 3 II
а также класс ffl!f и (у) пар функций x(t), ?,(t), удо-
удовлетворяющих интегральной связи
ЭТк -* оо : J[* /' [.г (О. I @1 * Ss-T E)
(числа Tf; зависят от х( •), |( •)). Разнообразные практи-
практически важные нелинейные блоки («люфт», гистерезисные
нелинейности, импульсные .модуляторы разных типов)
удовлетворяют связи E) с подходяще выбранной фор-
формой F(x, ?).
Ниже предполагается, что уравнение A) у п р а в-
ляемо (см. |1|), т. е. что ранг (^УХЛг/г)-матрицы
равен N и что выполнено следующее условие м и н и-
м а л ь н о и устойчивое т и: существует такая
(геХЛО-матрица Л, что A-j-BR — матрица Гурвица и
F (х, Ях) ^э 0 для любого х,
где F — форма в D) или E). Пусть D, Е — произволь-
произвольные матрицы порядков тХ N и тХ п соответственно,
||/)||-f-||?'||=jfcO, и по ним формируется «выход» системы
A):
Различают действительный случай, когда все величины
в A), F) и коэффициенты формы F (х, |) действительны,
и комплексный случай, когда они. вообще говоря,
комплексны. Множество всех действительных х (¦), \ (•),
удовлетворяющих D) (или E)), ниже обозначено Шдр ч
'соответственно Щ} (у)). Пусть
Система A) паз. абсолютно устойчивой по
выходу F) в классе 9Л, если существуют такие по-
постоянные C'iZ^O. С2^0, что из A), F) ц [х(-),
" следует конечность ||г|(-)|| и оценка
я@)|* + 6'2. G)

Квадратичный критерий У. а.: для У. а.
системы A) по выходу F) в классе ^Ш и (у) (в дейст-
действительном случае — в классе 5Л^ и(у)) необходимо
и достаточно, чтобы
Зб >0: F(x, |)<-6|7]Р (8)
для всех комплексных х, ?, ц и действительных со, свя-
связанных СООТНОП1РНИЯМН
ц^и7 + Е1. (9)
При выполнении (8), (9) в G) С2 = С'>.у, причем числа
С1 п С'., не зависят от у в E). Если ц (t) == x (t) и вы-
выполнено D), а также (8) (для i|= x), то имеет место
экспоненциальная устойчивость в целом:
ЭС > 0. е > 0:
|i(i)|<CrE"-''l|.r(@)| (для всех х(-), t^t0). A0)
Пусть det | А — гсо/ || Ф 0 для всех со (здесь /—еди-
/—единичная (ЛГхЛГ)-матрица). Для У. а. системы A) по вы-
выходу i)(t) = [x(t). l(t)] в классе Щ}^ л необходимо и
достаточно, чтобы для любых со, —оо < со <:-|-°°, и
любых комплексных 1^0 было выполнено неравенство
Р[\\А — ш1\\-1В%, с~] <0. (И)
Для класса 9Л^, л аналогичное утверждение справед-
справедНб
Д ^, урд рд
ливо лишь в отношении достаточности. Необходимые и
достаточные условия У. а. в классе SDfjf-_ л известны
лишь для специальных форм /¦', а эффективно прове-
проверяемые условия — лишь для 7V = 2 (см. [3], [7]).
И.ч соотношений (9) следует
ц-^W^ (№))!, где И/<т1)(гсо) = ? + ?1|1гсо/— А Ц-i В;
элемент W)^ .матрицы W(rV (ia>) наз. частотной ха-
характеристикой от входа lk к выходу r\j. Крите-
Критерии, устанавливающие те или иные свойства системы,
выраженные через частотные характеристики, наз.
частотными критериями устойчивости.
Достоинствами частотных критериев являются их удоб-
удобство в практич. применениях и инвариантность отно-
относительно преобразований x'-—Sx E—const, det S 7= 0)
системы A).
В действительном случае с п - 1 для класса 2Л [(Xi,
fi2], определенного соотношением C), условие A1) при-
приобретает вид
Re {[11.2ЙП>) — l][l-HiW((M)]} > 0- A2)
где W (ш)~С (А — гсо/)" В — частотная характеристика
от входа %(t) к выходу [—я(/)]. Частотный критерий
A2) (круговой критерий) означает, что частот-
частотная характеристика W (ico), —ос sg: ох-|-оо, не пере-
пересекается с, окружностью, имеющей центр в точке
(_j1-1^_|L|-1)/2 и проходящей через точки (—цГ1),
(—И^1)- Условно минимальной устойчивости в этом
случае означает, что асимптотически устойчива линей-
линейная система A) с ? = исг, о~Схс каким-либо n?tuii Ц2].
Критерии A2) является естественным распространением
критерия Михайлова — Найквиста на нелинейные, си-
системы.
Исторически первым частотным критерием У. а. для
нелинейных систем был критерий ТГ о п о в а для
н--1 и класса Щ} стационарных нелинейностей 1A) =
— <( [о (I)], гдеО< стер (а) <и0а2 (см. [2]). Он имеет вид:
3ft: iV \- Re W (ico) + в Re [iuW (sco)] > 0,
0<co<oo. A3)
Условие минимальной устойчивости в этом случае рав-
равносильно тому, что матрица А в A) — матрица Гурвица.
Существует определенная связь частотных критериев
F), A2), A3) и других с фактом существования глобаль-

ной функции Ляпунова. Частотные критерии У. а.
обычно охватывают все критерии, к-рые могут быть
получены с помощью функций Ляпунова из нек-рых
многопараметрич. классов функций. Напр., критерий
A2) — необходимое и достаточное условие существова-
существования функции
V(x)^-x*Hx
(ff=ff*=const — (iVx Лг)-матрица, * — знак эрмитова
сопряжения) такой, что ее производная в силу системы
A1), B) с произвольной нелинейностью B) (для к-рой
(Х!<:ф(а, t). а<ц,2) удовлетворяет условию
dV (x)jdt < О при х фО.
Аналогично, частотное условие Попова A3) охватывает
все критерии, к-рые .можно установить, используя
функции Ляпунова вида
Известно много других частотных критериев У. а.
для разных классов нелинейностей (см. [3]—[6]). Они
распространены, в частности, на важные для приложе-
приложений случаи неединственного состояния равновесия (см.
[1]). Частотные критерии У. а. позволили выделять,
классы нелинейных систем общего вида, для к-рых факт
устойчивости в целом устанавливается особенно просто.
Напр., для системы A) с |=<p(a), a=Cx, 7V<3, n=l
(т. е. для произвольной системы не выше 3-го порядка
с одной нелинейностью) имеет место асимптотическая
устойчивость в целом, если A!<ф'(а)<:и2 и если любая
линейная система с | = u.a, |Л!<:|г<:[|,2, асимптотически
устойчива. Для систем 4-го (и более высокого) порядка
аналогичное утверждение ошибочно. Более того, при
jVJ&4, 7i=l существуют такие системы A) и нелинейно-
нелинейности |=ф(о), ^!<ф'(а)<:[12, что матрица любой линеа-
линеаризованной системы с <;=u.a, ui<u<fi2,— матрица
Гурвица, а нелинейная система имеет периодическое
решение.
При замене условия минимальной устойчивости ана-
аналогичным условием минимальной неустойчивости нера-
неравенства (8), (И), A2), A3) становятся критериями а б-
солютной неустойчивости (при соответ-
соответствующем понимании последнего термина). Пусть,
напр., в действительном случае с гс=1 матрица коэф-
коэффициентов системы A) с ? = (Ш, а=Сх (т. о. матрица А-\-
-{-ВцС) при пек-ром A, lu1<:)i<:)i2, имеет &J&1 собствен-
собственных значений в полуплоскости ReK>0 и выполнено час-
частотное условие A2). Тогда у системы A), B) с функцией
ф(а, t), удовлетворяющей условию |xt<:cp(a, г)/а<ц,2
(а также у системы A), C)), имеются решения x(t), для
к-рых
\x(t) |;з Се6'' \х @) | при ?5эО,
где постоянные С>0, е>0 — одни и те же для всех
систем указанного класса. Соответствующие векторы
х@) заполняют конус х@)*Нх@)<0, где 11=11* —
нек-рая матрица, имеющая к отрицательных собствен-
собственных значений.
Аналогично, при п = 1 условие A3) является ч а е-
тотным критерием абсолютной неус-
неустойчивости системы (\) с a=C.r в классе стацио-
стационарных нелинейностей ?(г)=ф [а(гI, где 0<aq>(a)<
<u0a2, если в A) матрица А имеет собственные значения
в полуплоскости ReX>0.
В теории У. а. установлены также аналогичные
частотные критерии диссипативности, конвергенции,
существования периодич. движений (автоколебаний и
вынужденных режимов) и др. (см., напр., [3], [5] и ли-
литературу в [1], [3], [5]).
Лит.: [lj Г с л И г А. X., Леонов Г. А., Я к у б о-
в и ч В. А., Устойчивость нелинейных систем с неединственным
состоянием равновесия, М., 1978; [2] А Й з е р м а н М. А.,

ГантмахерФ. Р., Абсолютная устойчивость нелинейных
регулируемых систем, М., 1963; [3i Я к у б о в и ч В. А., в кн.:
Методы исследования нелинейных систем автоматического уп-
управления, М., 1975, с. 74—180; [4] П о п о в В. М., Гиперустой-
Гиперустойчивость автоматических систем, пер. с рум., М., 1970; [5] В о-
р о н о в А. А., Устойчивость, управляемость, наблюдаемость,
М., 1979; [6] Резв и ir В., Абсолютная устойчивость автомати-
автоматических систем с запаздыванием, пер. с рум., М., 1983; [7] Пят-
Пятницкий Е. С, «Автоматика и телемеханика», 1968, № 6,
с. 5—36. В. А. Якубович.
УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО АЛГОРИТ-
АЛГОРИТМА — равномерная относительно h и т ограниченность
частично разрешающие операторов Lm, описывающих
последовательные этапы вычислительного алгоритма
решения уравнения
Lhuh - jh,
напр, сеточного уравнения <• тагом h (см. Замыкание
вычислительного алгоритма). У. в. а. является гаран-
гарантией слабого влияния вычислительной погрешности на
результат вычислений. Однако не исключена возмож-
возможность, что величина р (h)~sup\\Lm\\ растет сравнительно
т
медленно и соответствующее усиление влияния вычис-
вычислительной погрешности при h -у 0 оказывается прак-
практически допустимым. Понятие У. в. а. конкретизирует-
конкретизируется в применении к проекционно-сеточным методам (см.
[4]) и в применении к итерационным методам (см. [6]).
Имеются и другие определения У. в. а. (см., напр.,
[1], [3]).
Лит.: [1] Б а б у ш к а И., Витасек.Э., Прагер М.,
Численные процессы решения дифференциальных уравнений,
пер. с англ., М., 1969; [2] В а х в а л о в Н. С, Численные ме-
методы, 2 изд., М., 1975; [3] Г а в у р и и М. К., Лекции по мето-
методам вычислений, М., 1971; [4] М а р ч у к Г. И., А г о ш-
к о в В. И., Введение в проекционно-сеточные методы, М., 1981;
[5] Самарский А. А,, Г у л и н А. В., Устойчивость раз-
разностных схем, М., 1973: [В] С а м a ]i с к и й А. А., Н и к о-
л а е в Е. С, Методы решения сеточных уравнений, М., 1978.
А. Ф. Шапкин.
УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ПРОЦЕС-
ПРОЦЕССА — свойство, характеризующее скорость накопле-
накопления суммарной вычислительной погрешности. Понятие
У. в. п. было введено потому, что в реальных расчетах
невозможно оперировать с точными числами, ибо нельзя
избежать округления, к-рое иногда может быть причи-
причиной быстрой потери точности.
Вычислительный процесс есть последовательность
арифметич. операций над числами. Пусть -X",-— норми-
нормированное линейно!' пространство и Ai — непрерывный
оператор Л<:XtxX.2x ¦ ¦ . хХ;—<¦ Х( + 1. Тогда последо-
последовательность уравнении
*.4i€*«4i> »"-=!, 2, ..., ЛГ-1, A)
надает вычислительный процесс с исходным данным xt
и промежуточными результатами xi, i = 2. 3, . .., Лг — 1.
Обычно X,-— R™, а оператор Л,- состоит из конечного
числа арифметич. операций. Как правило, Х{?Х зави-
зависит не от всех ранее полученных промежуточных ре-
зультатов. Число N может быть задано заранее или
определено в самом вычислительном процессе. В по-
последнем случае Л? зависит от х1 (напр.. если N — число
итераций, необходимых для достижения заданной точ-
точности).
Реальный вычислительны!! процесс не может быть
проведен в точном соответствии с определением '1), так
как при выполнении арпфметич. операции допускаются
ошибки округления и ,г, + 1 получается из неточных
предыдущих результатов. ')то значит, что вместо эле-
элемента лг,-41 фактически вычисляется элемент
zf + i --=Ai(*i, J-'<z, •••, a-iO + fy, 6;gX, + 1, B)
где малая аддитивная ошибка б,- возникает из-за ок-
округлений в ходе выполнения оператора .4,-. Значение
6; определяется значениями xj, у —1, 2, ..., i, спосо-

бом округления, рабочей машинной, программой и т. п.
Однако даже если |] 6у || малы для /' —1, 2, ..., г, ото
еще не гарантирует, что мала ||.r,tt — •'V+ill- Она будет
малой только для так наз. устойчивого гшчислитель-
ного процесса, при этом она не будет сильно зави-
зависеть от г,
Лит.: tlJ Б а б у ш к а И.. Вит ii с е к :>., ПрагерМ.,
Численные П1)оцессы решения дифференциальных уравнений,
пер. с англ., М., J960; [2] В о е в о д и н В. П., Ошибки округле-
округления и устойчивость в прямых методах линейной алгебры, М.,
1969; [3] Г а в у р и н М. К., Лекции по методам вычислений,
М., 1971. А, Ф. Шапкин.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛАГРЛНЖУ—свойство точки х
(траектории /'.<¦) динамич. системы /' (или / (t, •), см.
[2]), заданной на метрпч. пространстве S, состоящее
в том, что все точки траектории /(х содержатся в
нек-ром предкомпактном .множестве (см. 11редкомпакт-
ное пространство).
Если 5 = R", то У. по JI.— то же, что ограничен-
ограниченность траектории. Если при всех <?R* (соответственно,
при всех i?R~) точки j'x содержатся в нек-ром пред-
предкомпактном множестве, то траектория jh: (точка .г) нач.
положительно (соответственно о т р и и, а т е л ь и о)
устойчивой по Л а г р а н ж у. Понятие У. по Л.
введено Л. Пуанкаре (Н. Foincare) и связи с анализом
результатов Ж. Лагранжа (J. Lagrange) но устойчи-
устойчивости планетных орбит.
Теорема И и р к г о ф а: если S полно, то замы-
замыкание положительно или отрицательно устойчивом по
Лагранжу траектории содержит хотя бы одно минималь-
минимальное множество. Всякая точка минимального множества
является рекуррентной точкой.
Лит.: [1] Пуанкаре Л., Ичбранные труды, пер. с франц.,
т. 2, М., 1972, гл. 21), с. 130—.">К; [21 Немыцкий В. В.,
Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных
уравнений, 2 изд., М Л., 11L9. В. А/. Миллионщиков.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ т о ч к и о г и о-
с и т е л ь н о семейства отображений
нек-рого пространства Е
{ft)tkG>:E — E A)
— равностепенная непрерывность ltjoio семейства ото-
отображений в этой точке (здесь G'"—множество неотри-
неотрицательных чисел: действительных G — R или целых
G—-Z). У. по Л. точки относительно семейства ото-
отображений A) эквивалентна непрерывности в этой ючке
отображения х\—>?(¦) ее окрестности но множество
функций ?(¦), определенных формулой х (/) -= jt (x),
наделенное топологией равномерной сходимости на С.
У. ио Л. точки относительно отображения определяется
как ее У. по Л. относительно семейства неотрицатель-
неотрицательных степеней этого отображения. У. по Л. точки от-
относительно динамич. системы /' есть У. по Л. этой
точки относительно семейства отображений {/'}|gc + .
У. по Л. заданного на го+ Z + решения хо(-) уравнения
х (t-\-l) = gix(t) есть У. по Л. точки х-0A0) относитель-
относительно семейства отображений {ft r= gt, + i...gt,, + iSu\t j + .
У. по Л. заданного на 1„ \-R^ решения х0 ( ) диф-
дифференциального уравнения х = /(х, I) есть У. по Л.
точки х0 A0) относительно семейства отображений
{X (lo-{-t, <o)bgR + i ГД° ^Fi т) — Ноши оператор этого
уравнения. У. по Л. заданного на /0 + ^+ решения
у (•) дифференциального уравнения
y{m) = g(y, У, ¦¦¦, г/""-1»,/)
порядка т есть У. по Л. заданного на ?0 + R+ реше-
решения я(-) = (у(-), у(-), ..., уш~1)(-)) соответствую-
соответствующего дифференциального уравнения 1-го порядка х =
— f (х, t), где

Приводимые ниже определения 1—7 являются нек-ры-
ми конкретнзащшми этих и родственных им опреде-
определений.
1. Пусть дано дифференциальное уравнение x—-f(x, t),
где х принадлежит «-мерному нормированному про-
пространству Е. Решение хи (.):<„-[-R ь—*Е этого урав-
уравнения наз. устойчивый по Ляпунов у. если
для всякого к > 0 найдется б > 0 такое, что для вся-
всякого х?Е, удовлетворяющегонеравенству |.с—дго(/о)| <б,
решение х (•) задачи Кошн
единственно, определено на /0-}-R + |Г при всяком
' €'о + ^ + удовлетворяет неравенству |a;(i) — ж0 (<) | < е.
Если, сверх того, найдется <% > 0 такое, что для вся-
всякого решения х (¦) уравнения ,е = /(л\ /), начальное
значение к-рого удовлетворяет неравенству
|z(*o) — •ro('o)l < б„,
имеет место равенство
lim \x(t) — x0 С) 1=0
/->.+ «
(соответственно неравенство
lim \\v.\x(t)— xo(t)\ < 0;
/->+ 00
здесь и далее полагают In 0= — со), то решение хо(:-) наз.
асимптотически (соответственно экспо-
экспоненциально) устойчивым.
Решение уравнения
x = f(x, t), B)
где .i^R" или л?С", наз. устойчивым по Ля-
Ляпунову (асимптотически, э к с п о н е н ц п-
а л ь н о у с т о и ч и ч ы м), если оно становится тако-
таковым в результате наделения пространства R" (или С")
нек-рой нормой. От выбора нормы это свойство реше-
решения не зависит.
2. Пусть дано отображение / : S -»- S, где (S, d) —
метрич. пространство. Точка so?S наз. у с т о й ч и-
в о и по Ляпунов у относительно отображения
/, если для всякого ;:>0 найдется й>0 такое, что для
всякого ,7,-?S, удовлетворяющего неравенству d(x, xo)<i
<б, выполнено неравенство
для всякою l^hl- Если, сверх того, найдется 60>0 та-
такое, что для всякого j?i', удовлетворяющего неравен-
неравенству d(x, jo)<6o, имеет место равенство
lim d(px, fixo) = O
(неравенство
iim -\-\nd(px, ftxB) < 0),
/-» + 00
то ючка х0 нао. асимптотически (соответст-
(соответственно экспоненциально) устойчивой
относительно отображения /.
Пусть дано отображение / компактного топологнч.
пространства S в себя. Точка x^^S наз. у с т о й ч и-
в о ii но Ляпунову (асимптотически
устойчивой) относительно отображения /, если
она становится таковой в результате наделения прост-
пространства 5 нек-poii метрикой. От выбора метрики ото
свойство точки не зависит.
Если S — компактное дифференцируемое многооб-
многообразие, то точка xo?S наз. экспоненциально
устойчивой относительно отображения / : S —>- S,
если она становится таковой в результате наделения S
нок-рой римановой метрикой. От выбора римановой
метрики на S это свойство точки не зависит.

3. Пусть дано дифференциальное уравнение B), где х
принадлежит векторному топология, пространству Е.
Решение #„(•) : <0+^+ -*¦ Е этого уравнения наз.
устойчивым по Ляпунову, если для вся-
всякой окрестности нуля UczE множество тех х?Е, для
к-рых решение х(-) задачи Коши B), x(to)=x единст-
единственно, определено на <„-)-R+ п при всяком t?to-\-R +
удовлетворяет соотношению x(t)~xo(t)? V, есть окрест-
окрестность точки xQ(tB) в пространстве Е. Если, сверх того,
найдется окрестность VoczE точки xQ(t0) такая, что для
всякого решения х(-) уравнения B), удовлетворяющего
условию x(to)?VB, имеет место равенство
lim (x(t)
(равенство
lim eat(x(t)~xo(t)) = O
для нек-рого а. > 0), то решение хо( • ) наз. асимпто-
асимптотически (соответственно экспоненциаль-
экспоненциально) устойчивым. Если пространство В норми-
нормируемо, то это определение формулируется так же, как
в п. 1, если в качестве нормы | ¦ | взять любую норму,
согласующуюся с топологией пространства Е.
4. Пусть дано дифференциальное уравнение B) на
римановом многообразии V (моделью к-рого служит
евклидово или гильбертово пространство) или (более
общая ситуация) на финслеровом многообразии U
(моделью к-рого служит нормированное пространство);
расстояние в U обозначается через d(-, •)¦ Решение
хо(') ; Ч ~г R + ->- U этого уравнения наз. устойчи-
устойчивым по Ляпунову, если для всякого е > 0 най-
найдется б > 0 такое, что для всякого x?U, удовлетворяю-
удовлетворяющего неравенству d(x, жо((о)) < б, решение х{ -) задачи
Коши B), x(ta)=x единственно, определено на t0 + R +
и при всяком f?/0+ R+ удовлетворяет неравенству
d(x(t). xo(t)) <t!. Если, сверх того, найдется б„ > 0 та-
такое, что для всякого решения хо(-) уравнения B), на-
начальное значение к-рого удовлетворяет неравенству
d(x(t0), xo(to)) < 60, имеет место равенство
lim d(x(t), xo{t)) = O
t^ + со
(неравенство
iim -f lad(x(t), xo(t)) < 0),
то решение хо(•) наз. асимптотически (соот-
(соответственно экспоненциально) устойчи-
в ы м.
Пусть дано дифференциальное уравнение B) на ком-
компактном дифференцируемом многообразии Vй. Ре-
Решение этого уравнения наз. устойчивым по
Ляпунову (асимптотически, экспо-
экспоненциально устойчивым), если оно ста-
становится таковым в результате наделения многообразия
V" нек-рой рнмановой метрикой. От выбора римановой
метрики это свойство решения не зависит.
5. Пусть Е — равномерное пространство. Пусть
ft:U —*E, t?G+ (G = R или G = Z),
— отображения, определенные на открытом множестве
UczE. Точка яо??/ наз. устойчивой по Ляпу-
Ляпунову относительно семейства отображений {U)teG+,
если для всякого окружения И7 найдется окрестность У
точки х0 такая, что множество тех x?U, для к-рых
{jtx, ихо)?УУ при всяком *€^ + , есть окрестность точ-
точки ха. Если, сверх того, найдется окрестность Fo точ-
точки х0 такая, что для всякого x?V0 для всякого
окружения W найдется t (x, W)?G+ такое, что
(ffx, ftxo)?W при всяком t?t(x, W)-\-R+, то точка
х0 наз. асимптотически устойчивой.

Если Е—компактное топологич. пространство,
a if. U—> Е, f?G + ,—отображения, заданные на
нек-ром открытом множестве UczE, то точка xo?U
наз. устойчивой по Ляпунову (асимпто-
(асимптотически устойчивой) относительно семейства
отображений {/<}(е q+, если она становится таковой
в результате наделения пространстве Е той единствен-
единственной равномерной структурой, к-рая согласуется с то-
топологией пространства Е,
6. Пусть Е — топологич. пространство, U— откры-
открытое множество в нем. Пусть /<: U—* Е, t?G + , где G
есть Кили 2,—отображения, имеющие неподвижную
точку х0. Неподвижная точка х0 наз. устойчивой
по Ляпунову относительно семейства отображений
{ft}teg + , если для всякой окрестности Vточких0 най-
найдется окрестность W той же точки такая, что ftWczV при
всяком t?G+. Если, сверх того, найдется окрестность
Vo точки х0 такая, что lim jfX-=x0 для всякого x?V0,
<-> + «
то неподвижная точка хв наз. асимптотически
устойчивой относительно семейства отображений
{/<}/€G+.
7. У. по Л. (асимптотическая, экспонен-
экспоненциальная устойчивость) решения у0 (•) урав-
уравнения произвольного порядка y{m)=g (у, у, ¦ ¦ ¦, yim ~1). t)
определяется как У. по Л. (соответственно асимптоти-
асимптотическая, экспоненциальная устойчивость) решения
гг0 (•) = (уо (•), Уа(-), ¦ ¦ ¦, Уоп~1}(-)) соответствующего
уравнения 1-го порядка B), где х=(хг, ..., хт),
f(x, t) = (x2, ..., хт, g(xu ..., хт, t)).
Определения 1, 2, 4, 6, 7 охватывают устойчивые
движения систем с конечным числом степеней свободы
(причем уравнения на многообразиях естественно воз-
возникают при рассмотрении механич. систем со связями).
Определения 2—7 охватывают устойчивые движения
в механике сплошной среды и в других разделах фи-
физики, устойчивые решения операторных, функциональ-
функционально-дифференциальных (в частности, уравнений с за-
запаздыванием) и др. уравнений.
Исследование на устойчивость равно-
равновесия положения автономной системы.
Пусть в окрестности точки хо?Шп задано автономное
дифференциальное уравнение х-- f (x), причем функция
/ (•) непрерывно дифференцируема и обращается в этой
точке в нуль. Если действительные части всех собст-
собственных значений производной djXa отрицательны, то
неподвижная точка х0 дифференциального уравнения
x — f(x) экспоненциально устойчива (теорема Ля-
Ляпунова об устойчивости по первому
приближени ю); для облегчения проверки условия
этой теоремы применяются критерии устойчивости.
Если при тех же условиях хоть одно из собственных
значений производной dfXl> имеет положительную дей-
действительную часть (это условие можно проверить, не
находя самих собственных значений, см. Устойчивости
критерии), то неподвижная точка х0 дифференциаль-
дифференциального уравнения x = f(x) неустойчива.
Пример. Уравнение колебаний маятника с трением
ij-\-ay-\-b sin у =-=0, а > 0, Ъ > 0.
Нижнее положение равновесия г/ = г/ = О экспоненци-
экспоненциально устойчиво, т. к. корни характеристич. уравне-
уравнения Я2 -f- aX-j- Ь = 0 уравнения в вариациях имеют отри-
отрицательные действительные части. Верхнее положение
равновесия у-^-П, у-=0 неустойчиво, т. к. характе-
ристнч. уравнение A,'2 -f- «Л — Ь =0 уравнения в вариа-
вариациях у-\-ау — Ьу--Л) имеет положительный корень. Эта
неустойчивость имеет место и в отсутствии трения
(а = 0). Нижнее положение равновесия маятника без

трения— один из т. н. критических с луча е в,
когда все собственные значения производной dlХп ле-
лежат в левой комплексной полуплоскости, причем хоть
один из них лежит на мнимой оси.
Для исследования устойчивости в критич. случаях
А. М. Ляпунов предложил т. н. второй метод
исследования устойчивости (см. Ляпунова функция).
Для маятника без трения
'y + b sin у -О, h > О,
нижнее положение равновесия хетойчиво по Ляпунову,
т. к. существует функция Ляпунова
— полная энергия маятника; условие неположитель-
неположительности производной этой функции — следствие закона
сох ранения энергии.
Неподвижная точка х0 дифференцируемого отобра-
отображения /: R"—*• R." экспоненциально устойчива отно-
относительно /, если все собственные значения производной
dfXa по модулю меньше 1, и неустойчива, если хоть
одно из них имеет модуль > I.
Исследование устойчивости периодич. точки диффе-
дифференцируемого отображения сводится к исследованию
устойчивости неподвижной точки относительно сте-
степени этого отображения. Периодич. решение автоном-
автономного дифференциального уравнепия не бывает асимп-
асимптотически устойчивым (см. Орбитальная устойчивость,
Андронова — Витта теорема).
Не следует думать, что из экспоненциальной устой-
устойчивости нулевого решения уравнения в вариациях
автономного дифференциального уравнения x=f(x)
вдоль решения х(-) вытекает устойчивость решения.
Это показывает пример Перрона (см. [2], (ЗГ):
м = —аи, \
*> C)
v = (sin In i-f-cos In t — 2a)v-\-u2. J
При а>1/2 нулевое решение системы уравнений в
вариациях
и — — аи. \
D)
v-- (sin In / -f cos In t — 2a) v j
системы (З) (вдоль нулевою решения) экспоненци-
экспоненциально устойчиво (Ляпунова характеристические
показатели системы D) равны — а, 1—2а), но при
а?(— , — + — е~п ) нулевое решение системы C)
неустойчиво. Однако устойчивость по первому приб-
приближению типична в смысле, разъясняемом ниже.
Пусть S — множество диффеоморфизмов / евклидова
пространства Е" на себя, имеющих равномерно не-
непрерывную производную, удовлетворяющую неравен-
неравенству
sup max{|)d/A.|], |1 WJ-11|} < + <*>•
х 6 Еп
Для всякого диффеоморфизма j?S через Sj обозна-
обозначается множество диффеоморфизмии f?S, удовлетво-
удовлетворяющих неравенству
sup | fx — jx | < +«>;
в множестве Sj задастся расстояние
a(j, g)= ъщ ({fx-gx\ + ldix-dgx\).
хеЕ"
При всяком ;fS в пространстве SjXti" шмеется всюду
плотное множество Dj типа G6, обладающее свойст-

пом: если для нек-рого (/. x)?Dj для всякого ?? ТхЕп
имеет место неравенство
п^ J_in \djmi\ < 0.
Ш-»+ ОС '"
то найдется окрестность U точки (/. х) в пространстве
SjXE" такая, что для всякого (g, г/)?С/ точка .у экс-
экспоненциально устойчива относительно диффеомор-
диффеоморфизма g.
Для динампч. систем, заданных на компактном диф-
дифференцируемом .многообразии, аналогичная теорема
формулируется проще я является дифференциально-
топологичеекн инвариантной. Пусть V" — замкнутое
дифференцируемое многообразие. Множество S всех
диффеоморфизмов / класса С1, отображающих V" на
V", наделяется С1-топологией. В пространстве SxVn
имеется всюду плотное множество D типа Ge, обла-
обладающее свойством: если для нек-рого (/. x)(ZD для
всякого &?TXV" выполнено неравенство
lim 7—Jn | d/ms | < 0,
то найдется окрестность U точки (/, х) в пространстве
SxVn такая, что для нсякого (g, y)?U точка у экспо-
экспоненциально устойчива относительно диффеоморфизма g.
Понятии У. тю Л., асимптотической устойчивости
и экспоненциальной устойчивости были введены
А. М. Ляпуновым |1], разработавшим методы исследо-
исследования устойчивости, понимаемой в смысле этих опреде-
определений (см. также Ляпунова теория устойчивости).
Лит.: [1] Л я и у и о в А. М., Собр. соч., т. 2, М.— Л.,
195В; [2] Perron Од, «Math. Z.», 1928, Bd 29, S. 129—60;
[3] БсллманР., Теория устойчивости решений дифферен-
дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1954.
В. М. ]\[иллио}ьщиков.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПУАССОНУ—ciioitCTBO точки х
(траектории fx) динамит, системы /' (или f(t, •),
см. [2]). заданной на топологич. пространстве S, со-
состоящее в следующем: найдутся последовательности
ij,—>¦ -j-00! t*—*¦—°° такие, что
lim f kx= lim / ft^— x.
k—> CO k—»-00
Иными словами, х является а- и ш-предельнпй точкой
траектории /'г. Понятие У. по И. введено А. Пуанкаре
(II. Poincare, [1]) на основе анализа результатов
С. Пуассона (S. Poisson) по устойчивости планетных
орбит.
Всякая точка, устойчивая по Пуассону,— неблуж-
неблуждающая; обратное неверно (см. Блуждающая точна).
Всякая неподвижная и всякая периодич. точка, вообще
всякая рекуррентная точка, устойчивы но Пуассону.
Если S ¦¦ --- R3 и динамич. система гладкая (т. е. задана
векторным полем класса С1), то всякая точка, устой-
устойчивая по Пуассону, является либо неподвижной, либо
периодической.
Теорема Пуанкаре о возвращении:
если динамич. система задана па ограниченной области
пространства R" и лебегова мора является инвариант-
инвариантной мерой системы, то устойчивы по Пуассону все
точки, кроме точек нек-рого множества первой кате-
категории меры нуль (см. [1J, |3|). Обобщением этой тео-
теоремы на динамич. системы, заданные на пространстве
бесконечной меры, является теорема Хопфа
о возвращении (см. [2]): если динамич. система
задана на произвольной области пространства R"
(нанр., на всем R") и лебегова мера является инва-
инвариантной мерой системы, то каждая точка х, кроме
точек нек-рого множества меры нуль, или устойчива
по Пуассону или является уходящей, т. е.
| 1*х | —>. во при | t | —> оо.

Имеются ц более общие формулировки теорем Пуан-
Пуанкаре и Хопфа (см. [2]).
Лит.: [1] Пуанкаре А., Избранные труды, т. 2, М.,
1972, гл. 26, с. 130—58; [2] Н с м ы ц к и й В. В., Степа-
н о в В. В,, Качественная теория дифференциальных уравне-
уравнений, 2 изд., М.— Л., 1949; [3]ОкстобиД ж., Мера и кате-
категория, пер. с англ., М., 1974. В. М. Миллионщиков.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ —
устойчивость в смысле Ляпунова решения х=0 по
отношению не ко всем, а лишь к нек-рым переменным
хг, . . ., г/,, /.¦< п, системы обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
^s = Xs(t- ri> •••, хп), s = l, ..., п. A)
Здесь Xs(t, х)— данные действительные непрерывные
функции, удовлетворяющие в области
о. 2L1 ** <н=const'
условиям существования и единственности решения
i(<; <0, г0), причем
Xs(t, 0)==0, s-l, ..., п,
и любое решение определено для всех t^:to^O, при
к-рых 2(=1;4«?#.
Пусть х; = //,- при г — ], . . ., k; j^ + j = zy при / = 1, ...
..., m, ге = /с-р"* п т Хз 0;
fe 2 i1'2 , и /v;-im >Л1;2
J Hii20
2V2
Решение х = 0 гистемы A) нал.: а) устойчивым
по отношению к х.г, .... х^, или г/-устойчи-
вым, если
(Ve > 0) (VJoC7) Об > O)(V^o€^6)(V<6-/+),
\\y(t; t0, .т0) || < е,
т. е. при всяких нроугзвольно задаваемых числах е > 0
(е < //) и ?0 г== 0 найдется число 6(е, tn) > 0 такое,
что при всяких возмущениях а:0, удовлетворяющих
условию ||а-0|| <б, и при всяком t > г0 для решения
z(?; Zo, ж0) выполняется условие \\y\\ < е;
б) г/-н е у с т о н ч и в ы м в противном случае,
т. е. если
C8 >
в) у-у стойчивым равномерно по t0,
если в определении а) для каждого е > 0 число 6 (г)
можно выбрать не зависящим от /0;
г) асимптотически у - у с т о и ч и в ы м.
если оно у-устойчиво и для каждого to^zO существует
число Sx (г0) >0 такое, что
lim||j/U; t0, a-0)|| = 0 при |KH<6i-
/-«-00
Здесь / = [(), оо), /+—максимальный правый интер-
интервал, где х (t; t0, х0) определено, ^6 = {ж?К":||ж || < 6};
в случае г), кроме указанных выше условий, предпо-
предполагается, что все решения системы A) существуют на
[to, 00.)
Постановка задачи об У. по ч. п. дана А. М. Ляпу-
Ляпуновым [1J как обобщение задачи устойчивости но всем
переменным (к — п). При решении этой задачи особенно
эффективным оказался метод Ляпунова функции, мо-
модифицированный (см. [2]) применительно к задачам
^-устойчивости. В основе метода лежит ряд теорем,
обобщающих кдассич. теоремы Ляпунова.
Пусть рассматриваются действительные однозначные
функции V(t, x)?Cl, V(t, 0)=з0, а также их полные

производные по времени в силу A):
dt ~^-s=\ dxs s'
Знакопостоянная функция V(t, x) наз. у-з н а к о-
определенной, если существует положительно-
определенная функция W (у) такая, что в области B)
V (t, x)^W (у) или —V(l, x)^-W {у).
Ограниченная функция V(t, х) д о п у с к а е т бес-
бесконечно малый высший п р е д е л по .г1?
. . ., хр, если для всякого числа Z>0 найдется \A)>0
такое, что
\V(t,x)l< I
при I 5йО, 2t = i а'? < ^> — °° < хр + й ¦ ¦ ¦¦> хп < °°-
Теорема 1. Если система A) такова, что суще-
существует (/-положительно-определенная функция V(t, ж),
производная к-рой F<:0, то решение х=0 является
(/-устойчивым.
Теорема 2. Если выполнены условия теоремы 1 и,
кроме того, V допускает бесконечно малый высший
предел но .г, то решение х=0 системы A) ^-устойчиво
равномерно по t0.
Т е о р е м а 3. Если выполнены условия теоремы 1 п,
кроме того, V допускает бесконечно малый высший
предел по у, то для любого е>0 найдется б2(е)>0
такое, что из to^O, ||г/0||«62, 0<||г0||<оо следует спра-
справедливость неравенства
\\y(t\ t0, xl})\\ < е для всех I 5з/0.
Теорема 4. Если система A) такова, что суще-
существует г/-положительно-определенная функция V, до-
допускающая бесконечно малый высший предел по xlt
. . ., хр (к<^.р<.п), производная к-рой V отрицательно-
определенная но хг, . . ., хр} то решение .г=0 системы
A) асимптотически (/-устойчиво.
Для исследования (/-неустойчивости успешно при-
применяются теорема о неустойчивости Четаева (см. Че.-
таева функция), а также нек-рые другие теоремы.
Установлены условия обратимости ряда теорем об
.(/-устойчивости, напр, обратимость теорем 1, 2, а также
теоремы 4 при р=к. Применяются методы диффе-
дифференциальных неравенств и вектор-функций Ляпунова;
установлены теоремы об асимптотической (/-устойчиво-
(/-устойчивости в целом, по 1-му приближению и т. п. (см. [3]).
Лит.: [1] ЛипуновД. М., «Матем. сб.», 1893, т. 17,
.№ 2, с. 253—;Ш; 12) Р у м л н ц с в В. В., «Вести. Моск. ун-та.
Сер. матем., механ., астроном., физ., хим.». 19Т>7, № 4, с. 9—16;
13] О з и р а и е р А. С, Р у м я ицев В. В., «Нрикл. матрм.
и механ.», 1972, т. ;)«, в. 2, с. ЗВ4—84. В. В. Румянцев.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮ-
ДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ — свойство решения xB(t),
^ начальной задачи
x = i(x, t), x(to)^xo, x?R", (*)
состоящее в следующем. Для всякого f>0 найдется
6>() такое, что для всякой точки г/0, удовлетворяющей
неравенству \у0—.го|<6, и всякого отображения g(x, t),
удовлетворяющего условиям:
a) g и fr.v непрерывны на множестве
б) sup \g(x,l) — f(x,l)\<b,
(х,
решение yB(t) начально!! задачи
у - а' (у- П, г/('о)=-г/п, i/€R".
определено при всех l^t0 и удовлетворяет неравенству
sup j yo(t) — xo @ | < к.

Теорема Боля [1]. Пусть начальная задача
(*), имейщая решение xo(t). t'^tn, удовлетворяет
условиям:
а) / и ]'х непрерывны на Е^ при нек-ром е„>0,
б) sup \\fx (xo(t), t)\\ < + »,
в) отображение / дифференцируемо по х в точках
(x$(t), t) при t~^ta равномерно относительно f^t^, т. е.
sup -1-1/(^@ + 2/, t)~ f (xo(t), О-
— fx(xo(t), Off I —^0 при у — 0.
Тогда для того чтобы решение этой начальной задачи
было устойчиво при постоянно действующих возму-
возмущениях, необходимо и достаточно, чтобы верхний осо-
особый показатель системы уравнений в вариациях си-
системы x=f(x, t) вдоль решения х0 (t) был меньше нуля.
Если f(x, t) не зависит от t (автономная система)
и решение xo(t) — периодическое или постоянное, а
также если f(x, t) — периодическая по t функция и
решение х0 (t) — периодическое с тем же (или с соиз-
соизмеримым) периодом или постоянное, то: а) указанное
в теореме Боля условие равномерной дифференцируе-
мости лишнее (оно вытекает из остальных условий
теоремы), б) верхний особый показатель системы урав-
уравнений в вариациях системы x=f(x, t) вдоль решения
xo(t) вычисляется эффективно.
Лит.: [1] В о h I P., «J. reine und angew. Math», 1314,
Bd 144, S. 284—318; [2] M а л к и н И, Г., Теория устойчивости
движения, 2 изд., М., 1966; [31 Далецкий Ю. Л.,
К р е й н М. Г., Устойчивость решений дифференциальных
уравнений в банаховом пространстве, М., 1070.
В, М. Миллионщиков.
УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ одно из
важных понятий теории разностных (сеточных) ме-
методов, характеризующее непрерывную зависимость
решений разностных схем по отношению к входной
информации. Точнее, пусть разностная схема (раз-
(разностный или сеточный аналог исходной задачи) ис-
использует множество сеток Q/, с h? {h} в пространстве
независимых переменных для исходной задачи, где
параметр h является элементом нек-рого линейного
нормированного пространства и характеризует конк-
конкретную используемую сетку. Пусть каждой такой
сетке fift соответствует Л^~мерное линейное простран-
пространство Ufr и операторное уравнение в U^ (система раз-
разностных уравнений)
^* («**) = /*. *€{*}. О)
в к-ром ffi?Uh и оператор L^ заданы. Обычно h свя-
связывается с размерами ячеек сетки и Л'д неограничен-
неограниченно возрастает при ||А||—*0. Пуеть uh и /ft — элементы
нормированных пространств Hh и Fh, а оператор Lh —
линейный. Тогда говорят, что разностная схема устой-
устойчива, если: 1) для любогоh?{h}существует L^1; 2) су-
существует константа К > 0, не зависящая от h и такая,
что
\\Lhl\\F ^н <К, h?{h}. B)
h h
Это определение равносильно корректности A): реше-
решение A) существует и единственно при любой правой
части ff, и равномерно (по h) непрерывно зависит от//;
в смысле пространств ЯЛ и F^. Оно же на я.'.ыкс
априорных оценок означает наличие константы К. не
зависящей от h и такой, что для любого решения A)
имеет место априорная оценка
1"л11я <K\\fh\\F C)
п /г
Таким образом, если для устойчниой разностной схемы
по той или иной причине (напр., в силу приближен-
приближенного решения A)) реально отыскивалась не функция

uh из (!)• а функция и^ из возмущенного уравнения
fk> To погрешность легко оценивается сверху:
Кроме того, если разностная схема устойчива и ап-
аппроксимирует исходную задачу в смысле пространства
Fh, то она является и сходящейся с оценкой погреш-
погрешности
где zft—погрешность схемы, a gft—погрешность аппро-
аппроксимации (см. [1], [3], [7]). Приведенная теорема объ-
объясняет и причину того, что /д рассматривается как
элемент нормированного пространства F'h: от выбора
пространства F h существенно зависит и погреш-
погрешность аппроксимации. Поэтому при фиксированном
пространстве Hh целесообразны теоремы устойчи-
устойчивости типа C) с использованием наиболее слабых
норм || /д Цр , в к-рых порядок аппроксимации воз-
h
растает. При фиксированном же Fь целесообразно
изучать устойчивость A) с использованием наибо-
наиболее сильных норм || «й ||н • В этом отношении имеет
место полная аналогия с задачей изучения кор-
корректности исходной краевой задачи. Поэтому и
сами пространства Hh и t'h обычно строятся как се-
гочные аналоги известных функциональных пространств
(напр., C(Q), Lt(Q), Wf (Q) и т. п., см. [3] —[5]) и
допускают соответствующие предельные переходы при
|| h || —>¦ 0. Примеры выбора таких сеточных пространств,
различные приемы изучения У. р. с. в этих простран-
пространствах, а также обзор результатов гм. [1] — [15]. В про-
екционно-сеточных методах (методах конечных элемен-
элементов, проекционно-разностных, вариационно-разностных)
для стационарных ладач наиболее распространен прием
изучения сходимости на основе оценок погрешности
через расстояние до аппроксимирующих подпространств
(см. [3] —[5], [7], [10], [12]/ [131). Тогда теоремы
устойчивости типа C) нужны лишь для получения
оценок D) и изучение последних при Hh и F/j, совпа-
совпадающих с евклидовым пространством сеточных функ-
функций, часто заменяется традиционным алгебраич. под-
подходом, связанным с изучением чисел обусловленности
матриц Lh (см. [10] —[12]).
В нестационарных задачах роль независимой пере-
переменной t существенно отлична от роли пространствен-
пространственных переменных, и это обстоятельство приводит к от-
отдельному рассмотрению сетки по времени щ и сетки
(ох — по пространственным переменным хх, х2, ..., х%.
Оно же определяет и специфику разностных схем для
нестационарных задач, связанную с их расслоением
(см. [1] — [6]). Для простоты описания будем считать,
что Щ — wt, % определяется шагом т > 0, т. е.
а сетка тх определяется вектором (fejfe2 h^) шагов
по пространственным переменным, hr > 0, г=1, 2,. . ., d.
Тогда сетка Q из A) определяется как tOfXco*, где
&={т, A], h2, .... hd}, а пространство Vh состоит из
векторов и={ц@), и (х), ..., и ([Ут])}, где каждое
u{nx)ssu" принадлежит линейному пространству
U—U^hi h j . сеточных функций заданных на
сетке cox. Поэтому нормы в пространствах Н)г и Fh,
встречающиеся в B)—E), обычно определяются через
различные нормы ||и|я и ||/||f для линейного прост-
пространства U сеточных функций, заданных на сетке cox.
Напр., в роли ||"/г[|я часто берутся выражения типа
max ||и"[|я, xV |jm"'|L и т. п. (см. [1]— [6]). Наиболее
детально изучен при этом случай, когда Н и F явля-

ются евклидовыми ияи унитарными пространствами
и получение оценок типа C) возможно на основе отно-
относительно простых средств. Напр., пусть рассматри-
рассматривается линейная двухслойная разностная схема вида
где векторы ф и /n + 1 определяются начальным усло-
условием и правой частью уравнения, а операторы Аг и
Аа в евклидовом пространстве Н таковы, что ЦЛ]!!^
<C'n, [I Ai1 Ao ||< I -(-CiT. где неотрицательные констан-
константы Со и Сх не зависят от сетки. Тогда для решения
F) справедлива априорная оценка
шах ||«"|1„<^
Весьма часто анализ таких схем проводится после
записи их в канонич. виде
5
ча основе изучения свойств оператора перехода /?s
=?—%В~1А (Е — тождественный оператор) в пред-
предположения, что имеется нек-рая относительно простая
информация типа операторных неравенств об опера-
юрах В я А в евклидовом пространстве //. Напр.,
«ш В=В*>0, А=А* и В>тA+р)~М, то (см. [3],
[Н]) существует константа C^sC(T, р) такая, что
(8)
где || и" |1в = (Вип, ип)У^. Подобные результаты полу-
получены для достаточно широкого круга разностных схем,
включая трехслойные и нек-рые многослойные схемы
(см. [6]). При этом изучены и нек-рые частные случаи
устойчивости (устойчивость по начальным данным,
птойчивость по правой части) и их взаимоотношения.
Имеются нек-рые результаты, связанные с изуче-
изучением- необходимых условий подобной устойчивости
:пи близких к ним (см. [3], [6]). Использование энер-
гетич. неравенств (см. [4], [5]) вместо (8) позволяет
при родственных условиях получить оценку типа
приводящую к устойчивости в несколько более силь-
сильной норме для ид и переходящей в пределе в оценку,
часто встречающуюся в теории эволюционных урав-
уравнений. Подобные оценки также получены для весьма
широкого круга схем (см. [4], [5J, [13]).
При изучении У. р. с. выделяют условно устойчивые
разностные схемы типа явных схем для уравнения теп-
теплопроводности, в к-рых устойчивость имеется лишь
при ограничениях типа t(A,j)~2<k0, и схемы абсо-
абсолютно устойчивые, в к-рых шаги по времени и но
пространственным переменным могут меняться неза-
независимо друг от друга, не нарушая устойчивости. Схе-
Схемы последнего типа часто являются предпочтитель-
предпочтительными, если они не требуют решения сложных систем
на каждом шаге. К таким экономичным разностным
схемам для многомерных задач относятся неявные
схемы переменных направлений, схемы расщепления,
схемы с расщепляющимся оператором и аддитивные
схемы (см. [3] — [6]).
Теоремы устойчивости и оценки типа C), @) нахо-
находят применение и в случае, когда погрешность аппрок-
аппроксимации и оценка E) не рассматриваются, а строятся

соответствующие восполнения решений сеточных Задач
и устанавливается на основе теорем компактности
сходимость к решению исходной задачи (см. [4], [5]).
Использование различных априорных оценок н упо-
упомянутого принципа компактности особенно харак-
характерно для сложных нелинейных задач, в к-рых решение
может быть и неединственно, а сходимость устанав-
устанавливается лишь к нек-рому решению исходной задачи.
Иногда изучение нелинейных задач математич. физики
по причине их сложности вообще заменяется изуче-
изучением их линеаризацией, а для разностных схем обра-
обращается особое внимание на справедливость сеточных
аналогов важнейших физич. законов сохранения (см.
[8]). Для слабо же нелинейных задач изучение кор-
корректности разностных схем часто проводится с до-
достаточной полнотой, характерной для линейного слу-
случая (см. [5] — [7] и Нелинейная краевая задача', чис-
численные методы решения).
В случае задач Коши для систем обыкновенных
дифференциальных уравнений изучение устойчивости
разностных схем часто сводится в модельных ситуа-
ситуациях к изучению корней характеристич. уравнения
(см. [2], [14], [15]).
Лит.: [1] Рябенький В. С, Ф и л и и п о в А. Ф.,
Об устойчивости разностных уравнений, М., 1956; [2] Б е р е-
3 и н И. С, Ж и д к о в Н. П., Методы вычислений, т. 2, 2 изд.,
М., 1962; [31 Годунове. К., Р я б е н ь к и й В. С, Раз-
Разностные схемы, 2 изд., М., 1977; [4] Л а д ы ж е н с к а я О. А.,
Краевые задачи математической физики, М., 1973; [5] Д ь я к о-
н о в Е. Г., Разностные методы решения краевых задач, в. 1—2,
М., 1971—72; [6] С а м а р с к и й А. А., Г у л и н А. В., Ус-
Устойчивость разностных схем, М., 1973; [7] С а м а р с к и й А. А.,
АндреевВ. Б., Разностные методы для эллиптических
уравнений, М., 1976; [8] Самарский А, А., П о п о в Ю. П.,
Разностные методы решения задач газовой динамики, 2 изд.,
М., 1980; [9] Л а д ы ж е н с к а я О. А., Математические воп-
вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2 изд., М., 1970;
[10] О г а н е с я и Л. А., Р у х о в е ц Л. А., Вариационно-!
разностные методы решения эллиптических уравнений, Ер.,
1979; [11] М и х л и н С. Г., Численная реализация вариацион-
вариационных методов, М., 1966; [12] Стренг Г., ФиксД ж., Тео-
Теория метода конечных элементов, пер. с англ., М., 1977; [13]
ЗлотникА. А., «Вестн. Моск. ун-та», сер. 15, 1980, №1,
с. 27—35; [14] БахваловН. С, Численные методы, 2 изд.,
М., 1975; [15] Р а к и т с к и й Ю. В., Устинов СМ.,
4 е р н о р у ц к и й И. Г., Численные методы решения жест-
жестких систем, М., 1979. Е. Г. Дьяконов.
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ — 1) У, у. с.—
свойство упругих систем (упругих тел или совокупна-
стей взаимодействующих упругих тел) мало откло*
няться от состояния равновесия (движения) при до-
достаточно малых возмущающих воздействиях. Роль
возмущающих воздействий играют флуктуации внеш-
внешних сил, отклонения от идеальной геометрич. формы,
дефекты материала и т. п.
2) У. у. с— раздел механики деформи-
деформируемого твердого тела, предметом к-рого
является изучение У. у. с. В более широкой трактовке
этот раздел включает изучение устойчивости вязко-
упругих, упруго-пластических и др. деформируемых
систем; часто употребляют также термин устой-
устойчивость деформируемых систем.
Понятие У. у. с. тесно связано с общим понятием
устойчивости движения, в частности с понятием устой-
устойчивости по Ляпунову. Центральная задача теории
У. у. с.— нахождение области в пространстве парамет-
параметров системы и внешних воздействий, в пределах к-рой
рассматриваемое состояние равновесия (движения) ос-
остается устойчивым. Поверхность, ограничивающая
область устойчивости, наз. критической по-
поверхностью. Часто воздействие на упругую
систему задают с точностью до одного параметра р\
Без ограничения общности можно принять, чтоО<:р<оо,
причем при Р=0 имеет место устойчивость. Нижняя
грань {5,. значений параметра р1, при к-рых исследуемое
равновесие (движение) перестает быть устойчивым,
наз. критическим параметром. Задачи

У. у. с. имеют большое прикладное значение: потеря
устойчивости элементов конструкций, машин и прибо-
приборов, как правило, влечет утрату несущей способностп
или нарушение нормальных условий эксплуата-
эксплуатации.
Строгая теория У. у. с. основана на распростране-
распространении классич. устойчивости теории на континуальные
системы и может рассматриваться как приложение
теории дифференциальных уравнений в банаховом про-
пространстве. Близость исследуемого состояния и возму-
возмущенных состояний оценивается по пек-рой норме.
В практич. расчетах широко применяют аппрокси-
аппроксимацию континуальных систем конечномерными си-
системами с широким привлечением вариационных, се-
сеточных и т. п. приближенных методов.
В случае упругой системы с идеальными связями,
нагруженной потенциальными не зависящими от вре-
времени силами, система в целом консервативная. Условия
устойчивости равновесия даются теоремой Л а г-
р а н ж а — Дирихле, согласно к-рой в положении
устойчивого равновесия потенциальная энергия си-
системы П имеет изолированный минимум. На этой тео-
теореме основан энергетический метод исследо-
исследования У. у. с, состоящий в изучении изменения по-
потенциальной энергии системы П при изменении пара-
параметров. При этом \\\и] — функционал от поля пере-
перемещений и, В однопараметрич. задачах У. у. с. кри-
тич. параметр Р,. есть нижняя грань значении (S, при
к-рых нарушается неравенство о2П>0 при условии
6П=0. В окрестности крнтич. значений р^ происхо-
происходит бифуркация форм равновесия.
Для вычисления критич. параметров, отвечающих
точкам бифуркации, вместо э'пергетич. метода обычно
используют статический метод. При этом
задача У. у. с. сводится к линейной задаче о собствен-
собственных значениях для операторного уравнения, соот-
соответствующего вариационному условию б/=0. Здесь
1[и] — квадратичный функционал от поля перемеще-
перемещений, к-рый формально совпадает с 62П, если вариацию
6м заменить на и. Минимальное собственное значение
принимают за критич. параметр. Как правило, допол-
дополнительный анализ подтверждает, что при достижении
минимального собственного значения происходит би-
бифуркация форм равновесия.
Оба метода берут начало от работ Л. Эйлера (L. Euler)
по основам классич. вариационного исчисления A744—
1757). Им же решены простейшие задачи об устойчивости
призматич. упругих стержней при осевом сжатии, а
также изучено поведение стержней после потери
устойчивости. Для стержня, шарнирно опертого по
концам, критпч. сила равна
где Е — модуль Юнга материала. ,/ — момент инерции
поперечного сечения, I — длина стержня. Накопле-
Накоплено большое количество копкретных результатов для
стержней, стержневых систем, пластин, оболочек, а
также тел, все характерные размеры к-рых имеют оди-
одинаковый порядок (см. [1]).
В случае нопотенциальных сил энергетнч. и статич.
методы, вообще говоря-, неприменимы (см. \2)). Они
неприменимы также в д и н а м и ч о с к и х за д а-
ч а х У. у. с. (см. [3]). Во всех ;>тих случаях исполь-
используют д и н а м и ч е с к и й «сто д, состоящий в
рассмотрении малых движений системы в окрестности
исследуемого равновесия (движения). При постоянных
во времени внешних воздействиях изучение устой-
устойчивости сводится к обобщенной задаче о собственных
значениях относительно параметров системы, а также
характеристич. показателей пли комплексных собст-
собственных частот. Динамич. метод основан иа распрост-
распространении теорем об устойчивости по первому прибли-

женпю на континуальные системы. Ьслп при поста-
постановке конкретной задачи не допущено переупроще-
ний, то такой метод дает правильные результаты. В про-
противном случае возможны явления, известные под на-
названием парадоксов стабилизации и
дестабилизации (см. [4]). Среди неконсерва-
неконсервативных задач теории У. у. с. значительное место при-
принадлежит задачам аэроунругости и гидроупругостп
(см. 12], [5J, [6]), а также задачам устойчивости при
периодических внешних воздействиях (см. [3]). По-
Последние тесно связаны с теорией нарамотрич. резонан-
сов для континуальных систем.
Обобщение теории У. у. с. на упруго-пластическир
системы связано с преодолением серьезных трудностей
исследования устойчивости существенно нелинейных
неголономных континуальных систем (см. [7]). Для
систем из материалов, подверженных ползучести и
другим явлениям, протекающим во времени, требуется
исследование устойчивости на конечном интервале
времени [8].
Лит.: [I] В о л ь м и Р А. С, Устойчивость деформируемых
систем, 2 изд., М., 19E7; [2] Б о л о т и и В. В., Неконсерватив-
Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости, М., 1961; [3] его же,
Динамическая устойчивость упругих систем, М., 195В; [43 е г о
ж е, в кн.: Проблемы устойчивости движения, аналитической
механики и управления движением, Новосиб., 1979, с. 7—17;
[5] В о л ь м и р А. С, Оболочки в потоке жидкости и газн. За-
Задачи аэроупругости, М., 1976; [6] его же, Оболочки в потоке
жидкости и газа. Задачи гидроупругости, М., 1979; [7] К л ю ш-
н и к о в В. Д., Устойчивость упруго-пластических систем,
М., 1980; [81 Р а б о т и о в Ю. Н., Элементы наследственной ме-
механики твердых тел, М., 1977. В. В. Болотин.
УСТОЙЧИВОСТЬ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКА-
ПОКАЗАТЕЛЕЙ — свойство Ляпунова характеристичеспих
показателей линейной системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений
x = A(t)x, ar^R", A)
где ^4(-) — непрерывное отображение К+ —<¦
--*Hom(Rn, R") (или R+-^Hom(C«, С»)), удовлет-
удовлетворяющее условию
sup \\A (t)\\ < + oo.
/е R +
Говорят, что характеристич. показатели Ляпунова
системы A) у с т о й ч и в ы, если каждая из функции
^i(-)-Mn—- R, г = 1, ..., я,
непрерывна в точке А. Здесь \х(А)~-~ . . . ~~> Хп (А) —
характеристич. показатели Ляпунова системы A).
а Мп — множество систем ([), наделенное структурой
метрпч. пространства заданием расстояния
d(A, B)= sup \\A (t) — B(t)\\
t 6 R-+
(для удобства система A) отождествляется с отобра-
отображением А (•), причем вместо А (¦) пишется А ).
Были обнаружены (см. |2|, C]) системы A) с не-
неустойчивыми характеристич. показателями. Напр..
характеристич. показатели системы
и=-0,
р = (sin In A + O +cos In A+0) Н-ои
при fi=0 неустойчивы, т. к. при 6=0 ее старший ха-
рактернстич. показатель Xj = l, а при Ьфп показатель
л:>1 л не зависит от 6=^0. Для устойчивости харак-
характеристич. показателей достаточно, чтобы выполнялось
интегральной разделенпости условие (теорема
Перрона). Множество систем A), удовлетворяющих
этому условию, совпадает с внутренностью (в про-
пространстве Мп) множества всех систем A) с устойчи-
устойчивыми характеристич. показателями.
Если A (t)=A @) при всех г?К" или A (t+T)—A (t)
при всех t?Rn (при нек-ром 7">0) (т. е. система A)
имеет постоянные или периодич. коэффициенты), то
характеристич. показатели системы A) устойчивы.

Если А (•) — почти периодич. отображение (см. Ли-
Линейная система дифференциальных уравнений с почти
периодическими коэффициентами), то для У. х. п. си-
системы A) необходимо и достаточно, чтобы система A)
была почти приводима.
Для того чтобы характеристич. показатели системы
A) были устойчивы, достаточно, чтобы нашлось Ля-
Ляпунова преобразование, ариводящее систему A) к кле-
точно-диагональиому виду
такому, что: а) клетки интегрально разделены, т. е.
найдутся числа d>0, я>0 такие, что
-(e —т)]I|У,- + 1(9, т) ||
для всех В^т^О, t=l, . . ., т—1 (здесь Yj[Q, т) —
Коши оператор системы B)); б) верхний и нижний
центральные показатели системы B) равны друг
ДРУгу:
Q(Bi) = ca(B() при всяком ( = 1, .... т.
Условия этой теоремы являются и необходимыми ус-
условиями У. х. п. системы A) (см. F]). Системы с не-
неустойчивыми характеристич. показателями могут об-
обладать свойством стохастической У. х. п.
Характеристич. показатели системы A) паз. с т о-
хастически устойчивыми (или у с топ-
топчи в ы м и почти наверное), если при а-А)
характеристич. показатели Ляпунова системы
у = А [t)y + a'lC(t, со) у
стремятся с вероятностью i к характеристич. показа-
показателям Ляпунова системы A); здесь элементы матрицы,
задающей линейные операторы C(t, w):R"—j- R"
(в нек-ром — ие зависящем от (г, со) — базисе простран-
пространства R") суть независимые ненулевые белые шумы.
Если отображение А {-)'М—>-Hom (R™, R") равномерно
непрерывно и
sup М @ || < + оо,
ге R
то для почти всякого отображения ^4(), где
A(t)=l\uiA(lk-\-i),
характернстич. показатели системы х-- Л (I) x стоха-
стохастически устойчивы (для сдвигов динамической системы
E = Hom(R«, R")) рассматривают нормированную
инвариантную меру, сосредоточенную на замыкании
траектории точки А(-); под почти всяким А(-) пони-
понимается почти всякое А (¦) в смысле всякой такой меры).
Пусть динамич. система на гладком замкнутом мно-
многообразии V" задана гладким векторным полем. Тогда
для почти всякой (в смысле всякой нормированной
инвариантной меры) точки x?Vn характеристнч. по-
показатели системы уравнений в вариациях вдоль траек-
траектории точки х стохастически устойчивы.
Лит.: [1] Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М".— Л.
1956; Е2] Perron О., «Math. Z.», 1930, Bd 31, S. 748—86;
[3] е г о ж е, «J. reine und angew. Math.», 1913, Bd 142, S. 254—
70; [4] H с м ы ц к и й В. В., С т с п а н о в В. В., Качествен-
Качественная теория дифференциальных -уравнений, 2 изд., М.— Л.,
1949; [5] Былой Б. Ф., Виноград Р. Э., Г р о б-
м а н Д. М., Н е м ы ц к и и В. В., Теория показателей Ляпу-
Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, М., 1966; [6]
Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974,
С. 71 —146. В. М. Миллионщиков.
УСТРАНИМАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА однозначной ана-
аналитической функции f(z) комплексного переменного
2 — термин для обозначения такой точки я, п проко-
проколотой окрестности V(a)= {z?C:0<|z—а|<ё} к-рон
функция /(г) аналитическая и ограниченная.

При этих условиях существует конечный предел
lim f(z)--=f(a).
г->-а, гфа
Этот предел принимают за значение /(z) в точке а
и получают аналитич. функцию во всей окрестности
ТОЧКИ п. Е. Д. Соломенцев.
УСТРАНИМОЕ МНОЖЕСТВО Е точек комплексной
плоскости С для нек-рого класса К однозначных
аналитических функций относительно области GdC —
Такое компактное множество EczG, что любая функция
f(z) класса К в С\Е продолжается как функция класса
К на всю область G. Иначе эту ситуацию описывают
словами «Множество Е стирается для класса К»
или «,Е есть нуль-множество для класса ЛГ», сокра-
сокращенно: E?N{K. G). Предполагается, что дополнение
G\E есть область и что класс К определен для любой
области.
Согласно другому определению, >шожество ? уст-
ран в М о для класса К, E?N{K), если из того, что
/(z) есть функция класса К в дополнении С\Е, следует,
что /(z)=const. При этом включения E?N(K, G) и
E^N(K), вообще говори, не равносильны.
Первым результатом Об У. м. можно считать классич.
теорему К о in и — Р й м а н а об устра-
устранило й особенности: если функция f{z)
аналитическая и ограниченная в проколотой окрест-
окрестности V(a)={z : 0<|z—а|<6} точки я?С, то она
продолжается аналитически в точку а. Болрс широкая
постановка вопроса (проблема Пенлеве) при-
принадлежит П. Пенлеве (P. Painleve): найти условия на
множество Е, необходимые и достаточные для того,
чтобы E?N(AB, G), где К=АВ — класс ограниченных
аналитич. функций (см. \\\). Сам П. Пенлеве нашел
достаточное условие: Е должно иметь нулевую линей-
линейную меру Хаусдорфа. Необходимое и достаточное
условие в проблеме Пенлеве получено Л. Альфорсом
(см. [2]): E?N(AB, G) тогда и только тогда, когда Е
имеет нулевую аналитическую емкость. Существует
пример множества Е положительной длины, но нуле-
noi'r аналитич. емкости. Об У. м. для различных клас-
классов аналитич. функции одного комплексного перемен-
переменного и относящихся к ним нерешенных проблемах
см. [3], [41, [6], |9].
В случае аналитич. функций /(z) многих комплекс-
пых переменных г=(г], . . .. г„), и^2, постановка
задач об У. м. изменяется в Силу классич. теоремы
О с г у д а -- Б р а у Н а: Сели f(z) — "регулярная ана-
аналитическая в области ОсС" функция, за исключением,
быть может, компактного множества EczG такого, что
дополнение G\_E связно, то f(z) аналитически про-
продолжается на всю область G. Другие теоремы об У. м.
при ге^2, а также их связь с понятием гюломорфности
области см., напр., в [7], 110].
Задачи об У. м. ставятся также дЛя гармонии., суб-
гармонич. функции и др. Так, напр., пусть G — об-
область евклидова пространства R", га^З, Е — ком-
компакт, EaG. НВ — класс ограниченных гармонич.
функций, HI) — нласо гармонич. функций с конечным
интегралом Дирихле. Тогда включения E^N(HB, G) и
E^N(HD, G) равносильны и имеют место тогда и толь-
только тогда, когда емкость Е равна нулю (см. [5], [8]).
Лит.: 11] Z о г е i t i L. Logons sur le prolongement analy-
tiquo, P., 1911; [2] A h 1 f о r s L., «Duke Math. J.», 1947, v. 14,
JVio 1, p. 1 —11; [3] H о с и р о К., Предельные множества, пер.
с англ., М., 1963; И X а ш н с о п С, Я., в сб.: Итоги науки.
Математический анализ. lOti.'S, M., 19Bj, с. .i—80; [5] К а р л е-
с о ii Л., Избранные Проблемы теории исключительных мно-
множеств, пер. с англ., М., 1971; [6.] Мельников М. С, С и-
нанянС. О., в сб.: Итоги науки и техники. Современные
проблемы математики, т. 4, М., 1975, с. 143—250; [7] III а б а т
Б. В., Введение в комплексный анализ, йизд.,ч. 2, М., 1976; [8]
X е й м а н У, К., Кеннеди П. В., Субгармонические функ-
функции, пер. с англ., 1т, 1], М., 1980; 19] Д о л ж в н к о Е. П.,
«Успехи матем. наук», 1963, т. 18, в. 4, с, 135—42; [10] R i i h e n-
t a u s J., «Math. Z.», 1978, Bd 158, S. 45—54. E. Д. Соломенцев.

ФАБЕРА МНОГОЧЛЕНЫ — классическая базисная
система, служащая для представления аналитич. функ-
функций в комплексной области. Пусть дополнение огра-
ограниченного континуума К, содержащего более одной
точки, есть односвязная область D комплексной пло-
плоскости С, а функция w=O(z), z?D, отображает кон-
конформно и однолистно область D на область |и>|>1 при
условиях Ф(оо)=оо иф'(оо)>0. Тогда Ф. м. {Ф„(г)}
можно определить как суммы членов с неотрицатель-
неотрицательными степенями z в разложениях Лорана функций
{Фп(г)} в окрестности точки z—оо. Ф. м. для конти-
континуума К можно определить так же, как коэффициенты
разложения
где функция ?=Чг(и>)— обратная функции и;=ф(?).
Если континуум К — круг |z|«l, то Ф„(г)-=гге. А в
случае когда К — отрезок [ — 1, 1,], Ф. м. суть Чебы-
шева многочлены, 1-го рода. Эти многочлены были
введены Г. Фабером [1].
Если континуум К есть замыкание односвязной
области G, ограниченной спрямляемой жордановой
кривой Г, а функция /(z) — аналитическая в области
G, непрерывная в замкнутой области G и имеющая
ограниченную вариацию на Г, то в области G эта функ-
функция разлагается вряд Фабера
/(*) = JaA(!). »€G, B)
л = 0
сходящийся равномерно внутри области G, т. е, на
всяком замкнутом подмножестве области G, причем
коэффициенты разложения определяются по формуле
г
Ряд Фабера B) сходится равномерно в замкнутой об-
области G, если, напр., кривая Г имеет непрерывно
вращающуюся касательную, угол наклона к-рой к дей-
действительной оси как функция длины дуги удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица. При этом же условии на кри-
кривую Г для всякой функции / (z), аналитической в об-
области G и непрерывной в замкнутой области G, имеет
место неравенство Лебега
:ClEn(/, Gjlnre,
где постоянная сг не зависит от п и z, а En(j, G)—¦
наилучшее равномерное приближение функции f (z)
многочленами степени не старше п в замкнутой обла-
области G.
В числителе левой части формулы A) можно внести
весовую функцию вида g[\'(w)], где функция g (z),
аналитическая в области D, отлична от нуля и g (оо)>0.

Тогда коэффициенты разложения A) наз. обобщен-
обобщенными многочленами Ф а б е р а.
Лит.; [1] FaberG., «Math. Ann.», 1903, Bd 57, S. 389 —
408, [2] С у е т и н П. К,, в сб.: Итоги науки и техники. Сов-
Современные проблемы математики, т. 5, М., 1975, с. 73-—140. .
П. К. Суетин.
ФАБЕРА — ШАУДЕРА СИСТЕМА — система функций
{фи (')}«"=], построенная на отрезке [а, Ь] с помощью
любой счетной всюду плотной на этом отрезке после-
последовательности точек {li'nJnUi- и.\ = а, м.'а—6, следующим
образом. Полагают epj (()= t на [a,b\. Функция ф2 (t)
линейна на отрезке [а, Ь\ ц такая, чтоф2 (а) = 0, ф2 (Ь) = 1-
Если же п > 2, то отрезок [а, Ь] делится на п — 2 части
точками tvu w2, .. ., «•„_! п выбирается отрезок |и>,-, u>ft],
if/ < ш^, содержащий точку и>„. Затем полагают
Фи (wi) — Ф« (wk) = 0, ф„ (и>„) = 1 и продолжают функцию
Ф„ (t) линейно на отрезки [и>;, wn] и [ш„, ш^]. Вне ин-
интервала (wj. iufc) функцию ф„ (t) полагают равной нулю.
В случае когда а = 0, 6 = 1, а {»„} — последователь-
последовательность всех двоично рациональных точек отрезка [0, 1],
занумерованных естественным образом (т. о. в порядке
n I -L — JL —L JL 2"-l
"' J' 2 ' 4 ' 4 ' ' ' '' Iм > 2« ' ¦ ¦ ¦' 2<я ' '
ciicieMa {ф„ (<)} (ее обозначение {Fn (<)}) впервые встре-
встречается в работе Г. Фанера [1]. Он рассматривал ее
(с другой нормировкой) как систему неопределен-
неопределенных интегралов от Хаара системы, дополненную функ-
функцией, тождественно равной единице. В общем слу-
случае построение системы {ф„ (i)} осуществлено Ю. Шау-
дером [2J, поэтому Ф.—Ш. с. наз. также системой
Ша у дера.
Система [ц.п (()} является базисом в пространстве
С [а, Ь] всех непрерывных на отрезке [а, 6] функций
/(О с нормой ||/[|= max | / (i) I (см. [1], [2] или [3]).
а< t < Ь
Если к системе Фабера [Fn (t)} применить процесс
ортогоналпзации Шмидта на отрезке [0, 1], то полу-
получится Франклина система.
Ф.— III. с.— первый пример базиса в пространстве
непрерывных функций.
Лит.: 11] F a b e r G., «Jahresber. Dtsch. Math.-Ver.». 1910,
Bd 19, S. 104—12, [2] S с li a u d e г J., «Math. Z.», 1928, Bd 28,
S. 317—20; МКачмажС, Ш т с й н г а у и Г., Теория ор-
ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958, с. 63. Б. И. Голубое.
ФАБРИ ТЕОРЕМА — 1) Ф. т. о лакун ах: если
в степенном ряде
с радиусом сходимости R, 0 < R < оо, показатели Хп
удовлетворяют условию
то все точки окружности |г|=Д суть особые точки для
функции /(г). Теорема обобщается на ряды Дирихле,
2) Ф. т. о б о т н о ш е н и и: если в степенном ряде

с единичным радиусом сходямостя коэффициенты удов-
удовлетворяют условию
lim -22-=s,
л^„ «n+t
то z=s — особая точка функции /(г).
Теоремы 1) и 2) получены Э. Фабри [1].
Лит.: [1] FabryE., «Arm. seient. Ecole norm, super.»),
1896, t. 13, p. 367—99; [2] БибербахЛ., Аналитическое
продолжение, пер. с нем., М., 1967; [3] Л е о н т ь е в А. Ф.,
Ряды экспонент, М., 197В. А. Ф. Леонтьев.
ФАВАРА ЗАДАЧА — задача, состоящая в вычис-
вычислении точной верхней грани
sup m4\\f(x)-tn[x)lx> (*)
iuWMX tn
где /„ (л) —тригонометрич. полиномы порядка не
выше п, WMX — класс периодич. функций, у к-рых
/•-я производная в смысле Вейля (см. Дробное инте-
интегрирование и дифференцирование) удовлетворяет нера-
неравенству \\Р-п\\х<А1. Х = С[0, 2я]. Ф. з. была поставле-
поставлена Ж. Фаваром [1]. В последующем рассматривались
более широкие классы функций и полное решение Ф. з.
при Х = С, L и произвольном г > 0 было получено как
следствии более общих результатов (см. [2], [3]).
Лит.: [i] FavardJ., «Bull, sci. math.», 1937, t. 61,
p. 209—24, p. 243—56; [2] С т е ч к и н С. Б., «Изв. АН СССР.
Сер. матем.». 1956, т. 20, AS 5, с. «43—48; [3] Д а я д ы к В. К.,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», JHJSI, т. 23, Л» в, с. 933—50; [4]
Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приб-
приближения, М., 1976. Ю. Н. Субботин.
ФАВАРА МЕРА порядка р подмножества М евкли-
евклидова пространства Еп размерности п > р— обобщение
Хаусдорфа меры; введена Ж. Фаваром [1]. Точное
определение: на совокупности (п—р)-мерных аффинных
подпространств пространства Еп его группа движений
индуцирует единственную с точностью до нормировки
левоинвариантную Хаара меру ft, а множество М ин-
индуцирует функцию /уц, значение к-рой на плоскости т
есть число точек пересечения Tfl M. Мера Фавара
множества Ы — значение меры \х на функции /до, если
нормирующая константа выбрана так, чтобы ц.(//) = 1
для единичного /^-мерного куба /.
Ф.м. порядка р множества. М не превосходит его
р-меры Хаусдорфа а и, в случае а<оо, совпадает с
а тогда и только тогда, когда М распадается на счет-
счетное число частей, у одной из к-рых р-ыера Хаусдор-
Хаусдорфа равна нулю, а каждая из остальных расположена
на гладком р-мерном многообразии.
Лит.: F a v a r d J.. «С. г. Acad. sci.», 1932, t. 194, p. 344—
346; [2] F e d e г е г H. Geometric measure theory, B.— Hdlb.—
N. Y., 1969. Л. Д. Иванов.
ФАВАРА НЕРАВЕНСТВО — неравенство
Wxklo,za]<MKrn~r> '• = 1,2,..., (*)
где
Кг = -| 2"=u (-1)*"- + 11 {2k + i)-r-i,
функция х (t) g WMC и ортогональна любому триго-
нометрич. полиному порядка не выше п—\. При г=1
неравенство (*) было доказано X. Бором (Н. Bohr,
1935), поэтому его наз. также неравенством
Бора и Бора — Фавара неравенством. Для произ-
произвольного натурального г Ф. н. было доказано Ж. Фа-
Фаваром [1].
Лит.: [1] Favard J., «С. г. Acad. sci.», 1936, t. 203,
p. 1122—24; [2] T и х о м и р о в В, М., Некоторые вопросы
теории приближений, М., 1976. Ю. Н. Субботин.
ФАВАРА ТЕОРЕМА об ортогональных си-
е тем ах: если для действительных чисел ап и {5П
выполняется рекуррентное соотношение

то существует функция а(х) ограниченной вариации
такая, что
J -
„ > 0, т = п.
Установлена Ж. Фаваром [1]. Иногда этот результат
связывают также с именем И. Шохата (J. Shohat).
Лит.: [ll FavardJ., «С. г. Acad. sci.», 1935, t. 200,
p. 2052—53; [2l Cere Г., Ортогональные многочлены, пер.
с англ., М., 1962. Ю. Я. Субботин.
ФАДДЕЕВА УРАВНЕНИЕ — линейное интеграль-
интегральное уравнение квантовой механики, описывающее
рассеяние трех частиц.
Рассеяние трех частиц имеет по сравнению с рас-
рассеянием двух частиц принципиальное отличие, "обус-
"обусловленное возможностью образования связанных со-
состояний частиц. Поэтому обычное условие излучении
на бесконечности типа условия Зоммерфельда здесь
неприменимо.
Математич. исследование трехчастичных систем стало
возможным после того, как Л. Д. Фаддеев в 1960
предложил и изучил интегральное уравнение, по
решениям к-рого восстанавливаются решения урав-
уравнения Шрёдингора, отвечающие правильным фиЗич.
условиям на бесконечности.
В сокращенной векторной записи Ф. у. имеет вид:
0
G2
G3
Gi
0
G3
Gi
G2
0
x,
x =
хг
x,
где G; = Vi (? + A — F,-)", Е—энергия системы, V; —
потенциалы парного взаимодействия частиц, а вектор-
функция Х° определяется начальными данными рас-
рассеяния. Если задача рассеяния сформулирована в
терминах уравнения Шрёдингера с правой частью
(Е—#)\|i = /, где Н—трехчастичный гамильтониан
то следует выбрать в (*) X?—<?//. Тогда решение г|)
задачи рассеяния выражается через решение X Ф. у.
по формуле
При соответствующих ограничениях на потенциалы
Vi уравнение .(*) — фредгольмовского типа (см.. [1]),
Кроме того, с помощью уравнения (*) доказана тео-
теорема разложения по собственным функциям оператора
Шрёдингера, дано обоснование нестационарной по-
постановки задачи рассеяния, построен унитарный опе-
оператор рассеяния.
Ф. у. широко применяется в атомной и ядерной фи-
физике и в физике элементарных частиц. Получены реля-
релятивистский вариант этого уравнения и обобщение на
случай системы TV частиц. Важным преимуществом
Ф. у. по сравнению с уравнением Шрёдингера яв-
является возможность эффективного численного решения.
Лит.: [1] Фаддеев Л. Д., Математические вопросы
квантовой теории рассеяния для системы трех частиц, М.—Л.,
19НЗ; [2] Ш м и д Э., Ц и г е л ь м а н X., Проблема трех тел
в квантовой механике, пер. с англ., М., 1979. В. П. Маслов.
ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ — плоскость R2, исполь-
используемая для геометрич. интерпретации автономной
системы двух обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений 1-го порядка. Ф. п.— частный случай фазового
пространства. См. также Динамическая система (где
эта интерпретация названа кинематической), Качест-
Качественная теория дифференциальных уравнений, Пуанка-
Пуанкаре — Вендиксона теория. д. в. Аносов.
ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ — траектория точки в
фазовом пространстве, изображающая, как изменяется
со временем t состояние динамической системы. Если
последняя описывается автономной системой обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнении (геометриче-

ски — векторным полем), то говорят о Ф. т. автоном-
ной системы (поля), используя это название и тогда,
когда решения системы определены не для всех зна-
значений t. Прилагательное «фазовая» нередко опускают.
Когда состояние не зависит от t, Ф. т. сводится к
точке — равновесия положению, а при периодич. за-
зависимости от t получается замкнутая Ф. т. (поэтому
часто говорят о «периодич. Ф. т.»), что включает и
предыдущий случай (однако, говоря о замкнутой Ф. т.,
часто подразумевают, что она не сводится к точке),
Незамкнутые Ф. т. в общем случае могут быть весьма
разнообразны; они классифицируются с различных
точек зрения в топологической динамике. Точка w
незамкнутой Ф. т. разбивает ее на две части — пол о-
жительную и отрицательную полу-
траектории. Они представляют состояния, со-
соответствующие 2^0 и г<0, если при 2=0 система
имеет состояние w. (Последнее определение формально
применимо и к замкнутой Ф. т., но для нее обе полу-
полутраектории совпадают с ной самой.)
Иногда под Ф. т. понимают не просто линию (как
множество точек) или ориентированную линию (на
к-рой выделено направление, отвечающее изменению
состоянии с ростом t), но линию, параметризованную
в процессе происходящего в системе движения фазовой
точки по этой линии. Такое словоупотребление от-
отчасти связано с отсутствием удобного общепринятого
названия для этой параметризованной линии. Правда,
если динамич. система описывается системой диффе-
дифференциальных уравнений, речь идет просто о решении
последней; но такое название не годится в общем случае,
когда динамич. система трактуется как группа пре-
преобразований {St} фазового пространства. (Функцию
t-^-Sfw с фиксированным w иногда наз. «движением»,
но в математике «движения» обычно являются преоб-
преобразованиями всего пространства.) д. в Аносов
ФАЗОВОГО РАВНОВЕСИЯ ДИАГРАММА — проек-
проекция на плоскость каких-либо двух термодинамич.
переменных тех областей поверхности равновесных
состояний в пространстве полного набора термодина-
термодинамич. переменных, к-рые соответствуют «-фазным, п^.2,
состояниям термодинамич. системы. В случае одноком-
понентной системы участки этой поверхности представ-
представляют собой цилиндрич. поверхности и проектируются
на плоскость (р, 6) (давление-температура) в виде
линии, общий вид уравнения к-рой — равенство хи-
мич. потенциалов различных фаз [ij.(p, 8)=[х2(/>, 6)—
может быть в случае фазового перехода 1-го рода за-
записан в форме дифференциального уравнения Клапей-
Клапейрона — Клаузиуса
dp/dQ == <?j.2./e (ua — !;i).
где q12 — скрытая теплота перехода, vl и с2 — удель-
удельные объемы для первой и второй фаз. Трехфазное
состояние изображается точкой, наз. т р о и н о и
точкой.
Лит.: [1] Л е о н т о в и ч М. А., Введение в термодинами-
термодинамику. Статистическая физика, М., 108 3. И. А. Квасников
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО — совокупность всевоз-
всевозможных мгновенных состояний физич. (в широком
смысле слова) системы, снабженная определенной
структурой в зависимости от изучаемой системы и
рассматриваемых вопросов. Ф. п. наз. также более
конкретный объект — пространство (множество с над-
надлежащей структурой), элементы к-рого (фазовые
т о ч к и) представляют (условно изображают) состоя-
состояния системы (напр., фазовая плоскость). С математич.
точки зрения эти объекты изоморфны, поэтому часто
не делают различия между состояниями и изображаю-
изображающими их фазовыми точками.
Математич. формализация понятия «системы» того
или иного типа обычно включает в качестве сущест-
существенной части определение соответствующего Ф. п.

(или класса Ф. п.). что отражает важность понятия
состояния системы. Эволюция системы (т. е. изменение
со временем ее состояний) может быть строго детерми-
детерминированной (тогда она описывается группой или по-
полугруппой {St} преобразований Ф. п.: состояние w
за время t переходит в Stw) или иметь вероятностный
характер (случайные процессы). В первом случае
тоже бывает нужно рассматривать статистич. состояния
системы; для классич. (неквантовых) систем они опи-
описываются посредством вероятностных распределений
на Ф. п. Указания, определяющие эволюцию, состав-
составляют другую существенную часть формального оп-
определения «системы».
В классич. случае дифференцируемой динамической
системы (что включает основные системы, рассматри-
рассматриваемые в аналитич. механике и классич. статистич.
физике) Ф. п.— дифференцируемое многообразие М
(быть может, с особенностями и (или) краем). Если
динамич. система задается автономной системой обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, то говорят
о Ф. п. последней. В этом случае М является той
областью в евклидовом пространстве, где определены
правые части автономной системы. В подобной ситуа-
ситуации термин «Ф. п.» употребляют и тогда, когда решения
не определены при всех t. Дополнительно на М может
быть задана инвариантная мера (классически — зада-
задаваемая плотностью) или симплектическая структура
(условие сохранения последней под действием потока
характеризует гамильтоновы системы). В частности,
в динамике для системы с голономными идеальными
связями, не зависящими явно от времени, Ф. п. яв-
является касательным или кокасательным расслоением
нек-рого многообразия — конфигурационно-
конфигурационного пространства. Точка последнего задает
(рас(положение (конфигурацию) системы, касательный
вектор описывает скорость движения системы (скорость
изменения конфигурации), а кокасательный — импульс
системы.
В других разделах теории динамич. систем Ф. п.
имеет структуру топологич. пространства (в тополо-
топологической динамике). измеримого пространства или
(чаще) пространства с мерой (в зргодичеспой теории).
В квантовой механике Ф. п.— комплексное гильбер-
гильбертово пространство (впрочем, для квантовой системы,
имеющей классический аналог, под Ф. п. часто подра-
подразумевают Ф. п. этого аналога). В теории случайных
процессов Ф. п.— то измеримое пространство (часто
с дополнительно]? топологической, дифференцируемой
или векторной структурой), в к-ром принимает зна-
значения процесс. Здесь специально говорят о Ф. п. тогда,
когда оно в каком-то смысле нетривиально. Так не-
нередко бывает в теории марковских процессов, тогда
как для часто встречающихся процессов с числовыми
значениями Ф. п. сводится просто к R со стандартном
структурой, и специально говорить о нем не прихо-
приходится. (Надо иметь в виду, что если стационарный в
узком смысле случайный процесс интерпретируется
как динамич. система, то Ф. п. последней не совпадает
С Ф. П. процесса.) Д. В. Аносов.
ФАЗОВОЙ СКОРОСТИ ВЕКТОР — вектор /(г), ис-
исходящий из точки х фазового пространства G авто-
автономной системы
x^l(x),
Пусть Г — фазовая траектория этой системы, прохо-
проходящая через точку 5?G; если 1(%)ф®, то Ф. с. в. /(|)
касается кривой Г в точке % и представляет собой мгно-
мгновенную скорость движения изображающей точки си-
системы по траектории Г в момент прохождения поло-
положения §?Г. Если / (|)=0, то точка ??G является
равновесия положением.
Лит.: Ш П о л г р я г и н Л. С, Обыкновенные дифферен-
дифференциальные уравнения, 5 изд., М., 1983. Н. X. Розов.

ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД — физическое явление, про-
происходящее в макроскопич. системах и состоящее в
том, что в яек-рых состояниях равновесия системы
сколь угодно малое воздействие приводит к резкому
изменению ее свойств: система из одной своей однород-
однородной фазы переходит в другую. Математически Ф. п.
трактуется как резкое нарушение структуры и свойств
т. н. гиббсовских распределений, описывающих рав-
равновесные состояния системы, при сколь угодно малых
изменениях параметров, определяющих равновесие.
Лит.: [1] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц К, М., Статисти-
Статистическая физика, 3 изд., ч. 1, М., 1U76; [2) С и н а й Н. Г., Теории
фазовых переходов, М., 1980. Р. А. Минлос.
ФАЗОВЫХ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОД — то же, что
ВКБ-метод.
ФАКТОР — инволютивная подалгебра ?( алгебры
В (HiM) липевных операторов в гильбертовом про-
пространстве Н, замкнутая относительно т. н. слабой
сходимости операторов и обладающая тем сной-
ством, что центр (т. с. совокупность всех оператором
из 21, коммутирующих с любым оператором из %) со-
состоит из скалярнократных единичному оператору.
Если 21 есть Ф., то для большого запаса подпро-
подпространств F из Н можно определить понятие размер-
размерности dim^ F относительно Э( как инварианта, сохра-
сохраняющегося не при произвольных изометриях JF', а
только при изометриях нл данного Ф. » обладающих
дополнительными естественными свойствами (напр.,
dima (/"Ч© f2) = dim?( /""i + dirn^ t\). Все Ф. разбивают-
разбиваются на пять классов в соответствии со значениями, к-рые
может принимать dim?[ F, причем, напр., для Ф. клас-
класса И,,, ее значениями могут быть любые числа из
?0. 00]. м, И. Войцеховский.
ФАКТОРГРУППА группы G по нормаль-
нормальному делителю iV — группа, образуемая смеж-
смежными классами Ng, #?С, группы G и обозначаемая
GlN (см. Нормальный делитель). Умножение смежных
классов производится по формуле
Единицей Ф. является класс N=N-i, обратным к
классу Ng — класс Ng~l.
Отображение % : g —>¦ Ng будет эпиморфизмом груп-
группы G на Ф. GlN, наз. каноническим эпи-
эпиморфизмом G на GlN. Если ф: G -+¦ G' -- произ-
произвольный эпиморфизм группы G на группу С', то ядро
К эпиморфизма ф — нормальный делитель группы G,
а факторгруппа G/К изоморфна группе G'. точнее,
существует изоморфизм ф группы GIК на группу G'
такой, что диаграмма
9 '
коммутативна, где а — канонич. эпиморфизм G -»-
-+GIK.
Ф. группы G можно определять, исходя из нек-poit
конгруэнции на б, как множество классов конгруэнт-
конгруэнтных элементов относительно умножения классов. Все-
Всевозможные конгруэнции на группе находятся во вза-
взаимно однозначном соответствии с нормальными дели-
делителями группы, а Ф. по конгруэнциям совпадают с Ф.
по нормальным делителям. Ф. является нормальным
факторобъектом в категории групп. н. н. Вильяме.
ФАКТОРИАЛ — функция, определенная на мно-
множестве целых неотрицательных чисел, значение к-рой
равно произведению натуральных чисел от 1 до нату-
натурального числа п, т. е. 1-2 . . .-п; обозначается п\
(по определению, 0!=1). При больших п приближенное
Выражение Ф. дается Стирлинга формулой. Ф. равен

числу перестановок ия п элементов. Ф. наз. также
более общее выражение
где а — любое комплексное число, [г — натуральное,
(в)оэ=1. См.-также Гамма-функция. БСЭ-з.
ФАКТОРИАЛЬНОЕ КОЛЬЦО — кольцо с однознач-
однозначным разложением на множители. Точнее, Ф. к. А —
это область целостности, в к-рон можно выбрать си-
систему экстремальных элементов Р такую, что любой
ненулевой элемент «? А Допускает единственное пред-
представление вида
где и обратим, а целые неотрицательные показатели
п (р) отличны от нуля только для конечного числа
элементов р?Р. При этом элемент наз. экстре-
экстремальным в А, если из p=uv следует, что либо и,
либо v обратим в А, И р неебратим в. А.
В Ф. к. существует Наибольший общий делитель и
наименьшее общее кратное любых двух элементов.
Кольцо А факторйально тогда и только тогда, когда
оно является кольцом Крулля и выполняется одно из
следующих эквивалентных условий: A) любой диви-
яориальный идеал в А является главным; B) любой
простой идеал высоты 1 главный; C) любое непустое
семейство главных идеалов обладает максимальным
элементом, 11 пересечение любых Двух главных идеа-
идеалов является глайным идеалом. Любое кольцо глав-
главных идеалов факторйально. Дедекиндово кольцо фак-
факторйально, только если оно — кольцо главных идеалов.
Если S — мультипликативная система в Ф. к. Л, то
кольцо частных S~lA факторнально. Для кольца Зари-
ского R из факториальности его пополнения R следует
факторнальность самого R.
Подкольцо и факторкольцо Ф. к. не обязаны быть
Ф. к. Кольцо многочленов над Ф. к. и кольцо фор-
формальных степенных рядов над полем или дискретно
нормированным кольцом факторйально. Однако кольцо
формальных степенных рядов над Ф. к. не обязано
быть факториальным.
Область целостности факториальна тогда и только
тогда, когда ее мультипликативная полугруппа гаус-
гауссова (см. Гауссова полугруппа), в связи с этим Ф. к.
наз. также гауссовыми кольцами.
Лит.: [1J Б у [I б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер. с
фрпш(., М., 1971, Л. В. Кузьмин.
ФАКТОРИЗАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА, критерий
ф а к т о р и з а ц н и,— теорема теории статистич. оце-
оценивания, указывающая необходимое и достаточное
условия того, чтобы статистика Т была достаточной
для семейства вероятностных распределений -{Pq}.
Пусть X—случайный вектор, принимающий значе-
значения в выборочном пространстве ($, 53, Pq), 0?в,
причем семейство вероятностных распределений {Ре}
доминировано нек-рой itepoft u. и пусть
р(х; Q) = dP(,(x)/dii, в?в.
Далее, пусть Т — Т (X) — статистика, построенная по
вектору наблюдений X и отображающая измеримое
пространство ($, 33) в измеримое пространство (JJ, Ж).
В этих условиях возникает вопрос: когда статистика
Т является достаточной для семейства {Р®}? Отвечая
на этот вопрос, Ф. т. утверждает: для того чтобы ста-
статистика Т была достаточной для семейства {Ре}, до-
допускающего достаточные статистики, необходимо п
достаточно, чтобы для любого 0?0 плотность вероят-
вероятности р (х; 0) можно было факторизовать следующим
образом:
р(х; 0)-,g(x)h{T(x)- 9), (*)
где g (•) есть ^-измеримая функция на ($, ^), h(-, 0)

есть ^-измеримая функция на (Щ, Л). Ф.т., кроме
того, что она дает критерий достаточности, позволяет
во многих случаях определить конкретный вид доста-
достаточной статистики Т, для чего нужно факторизовать
плотность р (х; 0) по формуле (*). На практике обычно
предпочитают иметь дело с функцией правдоподобия
Мб) -~-Р (X; 6), а не с плотностью р {х; 6); при атом
в терминах функции правдоподобия условие (*) имеет
вид L (8) — g (X) h ( Т; в), явным образол1 содержащий
достаточную статистику Т.
Лит.: [1] Р i s с h е г R. A., «Philos. Trans. Koy. Soc. Lmi-
don A», 1922, v. 222, p. 309—68; 1.2) N e у m a n J., «Giorn. 1st.
ttal. Att.», 1935, v. 6, p. 320—34; [3l .4 e м а н Э., Проверка ста-
статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., J079; [4] II б р а-
г и м о в И. А., X а с ь м и н с к и й Р. 3., Асимптотическая
теория оценивания, М., 1979; [5] Ы a I m о s P. R., S a v а-
g e L. J., «Ann. Math. Statistics», 1941), v. 20, p. 225—41.
M. С. Нит/лин.
ФАКТОРИЗАЦИОННЫЕ ТОЖДЕСТВА в те о-
р и и случайных б л у ж д а н и й — система мно-
гопараметрич. тождеств, устанавливающих связи меж-
между различными характеристиками случайного блужда-
блуждания. В качестве характеристик здесь фигурируют т. н.
граничные функционалы — случайные величины, свя-
связанные с достижением блужданием нск-рых границ,
напр, супремум блуждания, момент первого достиже-
достижения этого супремума, величина первого перескока
через уровень н т. д.
Название Ф. т. связано с тем, что их получение ос
новано на факторизации — представлении функции
1—zf(X), где /(Л) — харакиеристич. функция случай-
случайных величин, порождающих блуждание, |z|«l, при
-действительных X в виде произведения двух сомножи-
сомножителей, один из к-рых аналитичен, ограничен, не об-
обращается в нуль и непрерывен вплоть до границы в
верхней полуплоскости IinA>0, а второй обладает
теми же' свойствами в нижней полуплоскости. Такое
представление единственно с точностью до постоянного
множителя (ср. Винера — Хопфа метод), что позво-
позволяет отождествлять соответствующие компоненты раз-
различных факторизации указанного типа, к-рые устанав-
устанавливаются с помощью вероятностных рассуждений и
записываются в терминах характеристнч. функций сов-
совместных распределении граничных функционалов от
случайного блуждания.
Ф. т. позволяют получить и качестве простых
следствий многие как новые, так и известные результа-
результаты, относящиеся к теории случайных блужданих*!, на-
напри-мер больших чисел усиленный закон, арксинуса
закон.
Лит.: [1] С п и ц е р Ф., Принципы случайного блуждания,
пер. с англ., М., 1969; [2] Боровков А. А., Вероятностные
процессы в теории массового обслуживания, М., 1972.
К. А. Боровков.
ФАКТОРИЗАЦИЯ в теории графов- раз-
разложение графа на непересекающиеся по ребрам ос-
товные подграфы специального вида. В общем случае
фактор есть остовный подграф, обладающий за-
заданным свойством. Примером такого свойства яв-
является регулярность подграфа. Регулярный остовный
подграф степени к наз. к-ф актором; 1-фактор
наз. также совершенным паросочета-
н и ем. Граф наз. к-ф а к т о р и з у е м ы м, если он
может быть представлен как объединение своих непе-
непересекающихся но ребрам А:-факторов.
В теории графов рассматриваются вопросы о суще-
существовании факторов того или иного вида в произволь-
произвольном графе, о числе факторов, о возможности Ф. дан-
данного типа для различных классов графов. Известно,
напр., что полный граф с четным числом вершин и
полный граф двудольный с одинаковым числом вершин
в каждой доле являются 1-факторизуемыми. Связный
граф является 2-факторизуеяым тогда и только тогда,
когда он является регулярным графом четной степени.
Граф G имеет 1-фактор тогда и только тогда, когда число

его вершин четно и не существует такого подмноже-
подмножества вершин U, что число компонент связности с не-
нечетным числом вершин графа G — U, получающегося
из G удалением вершин множества U, превышает \U\.
Всякий двусвязный регулярный граф степени 3 может
быть разложен на непересекающиеся 1 -фактор и 2-
фактор.
Примерами нерегулярных факторов являются ос-
товные деревья и леса, остовные плоские подграфы (см.
Графа укладка) и т. п. С разложением графа на остов-
остовные леса связана числовая характеристика, называ-
называемая древесное тью,— это наименьшее число
непересекающихся по ребрам остовных лесов, объеди-
объединением к-рых является граф. Древесность произ-
произвольного графа G равна
шах
k
Где gk — наибольшее число ребер в fc-вершпнных под-
подграфах графа G.
Лит.: Ш X а р а р и Ф., Теория графов, пер- с англ., М.,
1D7H. А. А. Сапоженко.
ФАКТОРКАТЕГОРИЯ —конструкция, аналогичная
конструкции фактормножества или факторалгебры.
Пусть >t — произвольная категория, н в классе морфцз-
мов Мог .4' задано отношение эквивалентности ~, удов-
удовлетворяющее следующим условиям: 1) если а ~ р\ то
начала п концы морфнзмов а и Р совпадают; 2) если
™~р, у ~6 п произведение ау определено, то ау~|36.
Через [а] обозначается класс эквивалентности морфиз-
ма а. Ф а к т о р к а т е г о р и е и категории Ж по от-
отношению ~ наз. категория (обозначаемая ,№/~), у к-рой
те же объекты, что а у .Ч1. а для любой пары объек-
объектов А, В .множество морфпзмов Н (А, /1) в ,47~ состоит
1гз классов эквивалентности [а], где а: А—<¦ В в ,ff;
умножение морфизмов [а] и [Р] определяется формулой
[а] [р*] — [с'Р] (когда произведение «.E определено).
Всякая малая категория является Ф. категории
путей над подходящим ориентированным графом.
М. Ш. Цаленко.
ФАКТОР КОЛЬЦО кольца R по и д е а л у / —
факторгруппа аддитивной группы кольца R по под-
подгруппе / с умножением
Ф. оказывается кольцом и обозначается R/I. Отобра-
Отображение я: R -v /?//, где к(х)~х-\-1. является сюръек-
тивным кольцевым гомоморфизмом, к-рып наз. е с-
tgct венным (ср. Алгебраическая система).
Важнейший пример Ф.: кольцо вычетов по
модулю п — Ф. кольца целых чисел ^ по идеалу
%п. Элементами кольца Z/Z" можно считать числа
{О, 1, ..,, и — 1}, где сумма и произведение опреде-
определяются как остатки от деления обычных суммы ¦ и
произведения на п. Между идеалами Ф. R/I и идеала-
идеалами кольца Л, содержащими I, может быть установ-
установлено взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее
порядок. В частности, Ф. Д'1 просто тогда и только
тогда, когда / — максимальный идеал, л. а. Спорняков.
ФАКТОРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение / то-
пологич. пространства X на топологич. пространство
У, при к-ром множество vclY открыто в простран-
пространстве Y в том и только том случае, если его про-
прообраз /-1i; открыт в пространстве X. Если дано
отображение / топологич. пространства X на множе-
множество Y, то на У существует сильнейшая топология ?Гf
(т. е. содержащая наибольшее число открытых мно-
множеств) среди всех топологий, по отношению к к-рым
отображение / непрерывно. Топология ^Гf состоит из
всех множеств vdY таких, что множество f~xv откры-
открыто в X. Топология является единственной среди всех
топологий на множестве У такой, что / является
Ф.о. Поэтому топология ?Гj наз. ф а кто р т о по л о-

гией, отвечающей отображению / и топологии ?Г,
заданной на X.
Описанная выше конструкция возникает при рас-
рассмотрении разбиений топология, пространств и
приводит к важной операции—переходу от дачного
топологпч. пространства к новому—пространству раз-
биения. Пусть дано разбиение у топологич. про-
пространства (X, Jf"), т. е. семейство у непустых попарно
непересекающихся подмножеств множества X, покры-
покрывающее X. Тогда определено отображение проектиро-
проектирования л: X—*- у правилом: я (х) = Рсу, если х?РсХ.
Множество у теперь наделяется фактортопологпей $~к,
отвечающей топологии ?Г на X и отображению я, и
топологпч. пространство (у, $~п) на:!, простран-
пространством разбиения пространства (А", $~). Так,
с точностью до гомеоморфизма окружность представ-
представляется как пространство разбиения отрезка, сфера —
как пространство разбиения круга, лист Мёбиуса —
как пространство разбиения прямоугольника, проек-
проективная плоскость — как пространство разбиения сферы
и т. д.
Важны следующие свойстве Ф.о., связанные с рас-
рассмотрением диаграмм. Пусть j:X—>Y— непрерывное
отображение, причем /(А')=У. Тогда существует
топологпч. пространство Z, Ф.о. g:X—<¦ 2 и непре-
непрерывное взаимно-однозначное отображение (т. е. уплот-
уплотнение) h:Z —-г Y такое, что / - hag. В качестве Z можно
взять пространство разбиения 1>={/~\</:У € У) простран-
пространства X на полные прообразы точек при /, а в роли отобра-
отображения g выступит тогда проектирование л. Пусть даны
непрерывное отображение /2:А'—>УиФ.о. jy.X — >\\,
причем выполняется условие: если х', .i"?A и fi(x') —
— f1(x"), то 1] /.) {x')~f2 (а1"). Тогда однозначно опре-
определенное отображение g'.Y-^—> У2 такое, что go/i = Aj
оказывается непрерывным отображением. Сужение
Ф.о. на подпространство может не быть Ф.о.— даже
если это подпространство одновременно открыто и
замкнуто и исходном пространстве. Декартово произ-
произведение Ф.о. на тождественное отображение может не
быть Ф.о. Декартов квадрат Ф.о. также может не
быть Ф.о. Сужение Ф,о. на полный прообраз не обя-
обязано быть Ф.о. Точнее, если j:X—*Y есть Ф.о. и
YiCY, X,---/"'Г, fi = f\X-,, то отображение fj'.Xi—>
—¦* >*, может не быть факторныдг. Такого не может
произойти, если подпространстьо Yy открыто или
замкнуто в V.
Эти факты показывают, что с Ф. о. надо обращаться
осторожно и что с точки зрения теории категорий
класс Ф. о. не столь гармоничен и удобен, как классы
непрерывных отображений, совершенных отображений
и открытия' отображений. Однако рассмотрение про-
пространств разбиений и отмеченные выше «диаграммные»
свойства Ф. о. обеспечивают классу Ф. о. положение
одного из самых важных классов отображений в топо-
топологии. Этому безусловно содействует и широта класса
Ф. о.— к нему относятся все непрерывные открытые
и замкнутые отображения. Ф. о. играют существенную
роль при классификации пространств методом ото-
отображений. Так, ^-пространства охарактеризованы как
факторпространелва (т. е. образы при Ф. о.) локально
бикомпактных хаусдорфовых пространств, а секвен-
секвенциальные пространства — это в точности факторпро-
странства метрич. пространств.
Большинство топологич. свойств не сохраняется
при Ф. о. Так, факторпространство метрич. простран-
пространства может не быть хаусдорфовым пространством, фак-
факторпространство сепарабельного метрич. пространства
может не иметь счетной базы. Поэтому вопрос о пове-
поведении топологич. свойств при Ф. о. ставится обычно
при дополнительных ограничениях на прообразы точек
или на образ. Известно, напр., если бикомпакт гомео-
морфен пространству разбиения метрич. пространства

на сепарабелъные множества, то этот бикомпакт мет-
рпзуем. При Ф. о. с-епарабелмшго метрич. прост-
пространства на регулярное уупростпшктво с первой
аксиомой счетностп образ метризуем. Но есть тополо-
топологич. инварианты, устойчивые относительно любых
Ф. о. К ним относятся, напр., ееквенциальностъ и
оценка сверху на тесноту. В топологич. алгебре Ф. о.,
являющиеся одновременно алгебраич. гомоморфизмами,
часто имеют гораздо более правильное строение,
чем в общем топологии. Так, алгебраич. гомоморфизм
одной топологич. группы на другую, являющийся
Ф. о., есть непременно открытое отображение. Бла-
Благодаря этому спектр топологич. свойств, сохраняю-
сохраняющихся факторными гомоморфизмами, существенно ши-
шире (он включает, в частности, метризуемость).
JIvm.: И I А р х а и г с л i г к « it А. В., II о н о м а-
р е и В. И., Основы общей топологии и задачах и упражнениях,
М., 1!O4; 1'1] ВурбакиН., Общая топология. Основные
структуры, пер. с; франц., 2 изд., М., 19Г>«. Л. В. Архангельский.
ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ - раздел многомерного ста-
тистич. анализа, объединяющий математико-статистич.
методы снижения размерности исследуемого многомер-
многомерного признака л-- (хх, х,,, . . ., з-р)', t. e.—построения,—
на основе исследования структуры связей между ком-
компонентами а-,-^/, (, /—1, 2, . . ., р,— таких моделей,
к-рые позволяли бы восстанавливать (с нек-рой слу-
случайной ошибкой прогноза е) значения р анализиру-
анализируемых компонент признака .« по существенно меньшему
числу т, т<р, так наз. общих (непосредственно не
наблюдаемых) факторов f~¦¦(f1, f2 tmY-
Простейшим вариантом фор.мализации подобной по-
постановки задачи служит линейная нормальная модель
Ф. а, с взаимно ортогональными общими факторами
и с некоррелированными остаткалш:
г>^2™=1 9*/. '/ + е*. л = 1> 2- ••¦• Р> ^
или в матричной записи
A')
где {рХ г«)-матрица q коэффициентов линейного пре-
преобразования наз. матрицей нагрузок об-
общих факторов на исследуемые переменные.
Предполагается, что вектор специфич. остатков
(ошибок прогнозов) е---(8j, e2, . . ., ър) подчиняется
/j-мерному нормальному распределению с нулевым век-
вектором средних значений и с неизвестной диагональной
ковариационной матрицей УЕ ; вектор общих факторов
f, в зависимости от специфики решаемой задачи, может
интерпретироваться либо как m-мерная случайная
величина с ковариационной матрицей V/ специального
вида, а именно — с единичной (т. е. Vf=Im), либо как
вектор неизвестных неслучайных параметров (взаимно
ортогональных и нормированных), значения к-рых
меняются от наблюдения к наблюдению.
Если предположить, что наши переменные заранее
процентрированы (т. е. еяз = 0), то из A') с учетом при-
принятых допущений немедленно получается следующее
соотношение, связывающее ковариационные матрицы
векторов ж и е и матрицу нагрузок:
Vx = qq' + Ve. B)
При проведении реального статистпч. анализа иссле-
исследователь располагает лишь оценками элементов кова-
ковариационной матрицы Vx (полученными по наблюде-
наблюдениям жг, ас2, .. ., жп), в то время как структурные па-
параметры модели — элементы </fci матрицы нагрузок q
и дисперсии vkft = De,it специфнч. остатков efe являются
неизвестными и подлежат определению.
Таким образом, при проведении Ф.а. исследователю
приходится последовательно решать следующие основ-
основные задачи:
существования или правомерности использования
модели типа A); ведь далеко невсякая ковариацион-

ная матрица Vx представима в виде B); задача сво-
сводится к проверке гипотезы о специальной структуре
связей между компонентами исследуемого вектора ж;
единственности (идентификации) модели типа A);
принципиальные трудности при вычислениях и интер-
интерпретации модели состоят в том, что при т > 1 ни
структурные параметры, ни сами факторы не опреде-
определяются однозначно; если пара (q, Fe) является реше-
решением в соотношении B), то и любая другая пара
вида (qc, V&), где с — ортогональная матрица раз-
размера тХт, тоже будет удовлетворять соотношению B);
обычно выясняют, при каких дополнительных априор-
априорных ограничениях на матрицу нагрузок q и на кова-
ковариационную матрицу остатков VE определение пара-
параметров q, f и Fs анализируемой модели будет един-
единственным; возможность ортогонального вращения ре-
решения факторной модели используется также для
получения наиболее естественно интерпретируемого
решения;
статистич. оценивания (по наблюдениям ,-rl,ir2,... ..т„)
неизвестных структурных параметров .модели q и Ге ;
статистич. проверки ряда гипотез, связанных с
природой модели (линейность, нелинейность и т. п.)
и со значениями ее структурных параметров таких,
как гипотеза об истинном числе общих факторов, ги-
гипотеза адекватности принятой модели по отношению
к имеющимся результатам наблюдения, гипотеза о
статистически значимом отличии от нуля коэффици-
коэффициентов qij и т. п.;
построения статистич. оценок для ненаблюдаемых
значений общих факторов /';
алгоритмически — вычислительной реализации про-
процедур статмстич. оценивания н статистич. проверки
гипотез.
Разработка теоретически обоснованных решений
перечисленных задач в достаточно полной мере осу-
осуществлена лишь в рамках описанной выше линейной
нормальной модели Ф. а.
Однако в нрактич. применениях широко использу-
используются более общие версии моделей Ф. а.: нелинейные,
построенные на неколичественных переменных, опе-
оперирующие с трехмерными матрицами исходных дан-
данных (к двум тради7(ионным измерениям исходных дан-
данных — размерности р и числу наблюдений п,— при-
присоединяется еще одна, пространственная или времен-
временная, координата). Подобные модели не сопровождаются,
как правило, сколько-нибудь убедительным матема-
тико-статистич. анализом их свойств, но основаны
на вычислительных рекомендациях эврнстич. или
полуэвриепгч. характера.
Лит.: [1] Хапан Г., Современный факторный анализ,
пер. с англ., М., 1972; [21 А й в а з я н С. А., Б е ж а с n a 3. И.,
Староверов О. В., Классификация многомерных наблю-
наблюдений, М., 1974; [3] S p e a r m a n С, «Агаег. J. Psycho].», 1904,
v. 15, р. 201—93; [4] Anderson Т. «"..Rubin Н., «Ргос.
3 Berkeley symp. math. stat. and probab.», 195B, v. ft, p. Ill—50;
[5] R а о С R., «Psychometrika», 1955, v. 20, p. 93—111.
С. А. Айвазян.
ФАКТОРОБЪЕКТ объекта категории —
понятие, частным случаем к-рого являются понятия
фактормножества, факторгруппы, факторпространства
и т. п.
Пусть $—нек-рый класс эпиморфизмов категории it,
содержащий все тождественные морфизмы из АС и вы-
выдерживающий умножение справа на изоморфизмы.
Другими словами, для любого .У?ОЬЙ 1х€ю и Для
всякого |:й—>-С из IsoM и всякого г: А—»- В из <§
морфизм ei?^. Морфизмы е:А—t-Bne1:A—*¦ С из <§
наз. э к в и в а л е н т н ы м и, если 8х — е| для нек-рого
изоморфизма ?. Класс эквивалентности морфизма е
наз. <??-ф а к то р о бъ е кт ом объекта А, а пара
(е, В)—представителем этого Ф. Факторобъект
с представителем (е, В) иногда обозначается |е, В) или
просто [е).

Для каждого объекта А класс всех его ^фр
объектон непуст; в нем имеется несобственный
Ф. [l^, А), остальные ^?-факторобъекты этого клас-
класса собственные. Категория St наз. $-я окально ма-
малой справа, если для каждого объекта А из Я
класс ^-факторобъектов является множеством.
Если в качестве (§ взять подкатегорию всех эпимор-
эпиморфизмов Epifi1, то Epi Й-факторобъекты наз. просто
факторобъектами. Если в категории Я имеется
бикатегорная структура (Й\ $, Щ1), то ^-факторобъек-
ты наз. допустимыми Ф. Аналогично, если $
состоит из всех регулярных (строгих, нормальных и
т. п.) эпиморфизмов, то соответствующие Ф. наз. ре-
регулярными (нормальными, строгими и
т. п.). Напр., и категории топологич. пространств
('•акторпространства соответствуют регулярным Ф.
Понятие Ф. объекта категории дуально понятию
подобъекта объекта категории. м Ш. Цаленко
ФАКТОРПРЕДСТАВЛЕНИЕ — 1) линейное представ-
представление я группы или алгебры X в гильбертовом про-
пространстве И такое, что Неймана алгебра в Н порож-
порожденная семейством п(Х). является фактором. Если
этот фактор имеет тип I (соответственно II, III, П1?
И» и т. д.), то Ф. я на;), факторпредставле-
н и о м типа I и т. д.
2) Ф. я группы или алгебры X — ее представление р,
определяемое следующим образом. Пусть Е — (то-
(топологическое) векторное пространство представления
я, представление р есть представление в (топологиче-
(топологическом) векторном пространстве E\F, являющимся фак-
торцространством пространства Е по нек-рому инва-
инвариантному подпространству F представления я,
определенное формулой р(.г) (|+Л = я (.<¦)?+<F Для
всех х?Х, Н?ё. Если л — непрерывное представ-
представление, то его Ф. также непрерывно. а. и. Штерн.
ФАК ТОРПРОСТР АНСТВО динамической системы /*,
заданной на топологич. пространстве S,— факторпро-
странство пространства S по отношению эквивалент-
эквивалентности: .r~j/, если точки х ж у принадлежат одной тра-
траектории. Иными словами, точками Ф. являются тра-
траектории динамич. системы f (иное обозначение f(t, p),
см. [1|), а топология — сильнейшая из топологий, в
к-рых отображение, сопоставляющее каждой точке
пространства S ее траекторию, непрерывно (таким
образом,
(К — направленное множество) тогда и только тогда,
когда найдутся t^ такие, что
если S —метрич. пространство, то fc^N). Ф. многих
динамич. систем не удовлетворяют ни одной из аксиом
отделимости, даже если S им удовлетворяет. Напр.,
если S — минимальное множество, то замыкание вся-
всякого непустого множества в Ф. есть все Ф. Если ди-
динамич. система, заданная на метрич. пространстве,
вполне неустойчива (см. Полная неустойчивость),
то для того чтобы ее Ф. было хаусдорфовым, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы эта динамич. система не
имела седла в бесконечности.
Лит.: [1] Н е м ы ц к и й В. В., С т е п а н о в В. В., Ка-
Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.,
1949; 12] Б у р б а к и Н., Общая топология. Основные струк-
структуры, пер. с франц., 2 иад.,.М., 1968; Гз] М и л л и о н щ и-
к о в В. М., «Диффереиц. уравнения», 1974, т. 10, №12,
с. 2-292—93. В. М. Миллионщиков.
ФАНО МНОГООБРАЗИЕ — гладкое полное неприво-
неприводимое алгебраич. многообразие X над полем к, анти-
канонич. пучок К\х к-рого обилен. Основы изучения
таких многообразий заложены Дж. Фано ([1], [2]).

Ф. м. размерности 2 наз. поверхностью
дель Пепцо и является рациональной поверх-
поверхностью. Многомерный аналог поверхностей дель Пец-
цо — Ф. м. размерности >2 уже не все являются
рациональными многообразиями, напр, общая кубика
в проективном пространстве Р4. Неизвестно A984),
все ли Ф. м. унирациональны.
Хорошо изучены трехмерные Ф. м. (см. [3], [5]).
О Ф. м. размерности больше 3 известны лишь отдель-
отдельные частные результаты.
Группа Пикара Pic X трехмерного Ф.м. X конечно
порождена и не имеет кручения. В случае когда основ-
основное поло к совпадает с полем С, ранг группы Pic X,
равный второму числу Бетти Ь2(Х), не больше 10
(см. [4]). Если 6.2(Х)^6, то Ф.м. изоморфно Р*Х
Х5п-6,<Х)> гДе ^d — поверхность дель Пеццо степе-
степени d. Ф.м. X нал. примитивным, если не суще-
существует мояоидального преобразования а: X —>¦ X' глад-
гладкого многообразия X' с центром в неособой неприво-
неприводимой кривой. Если Ф.м. X примитивно, то Ь2(Х)<3.
Если Ь2 (X) -- 3, то X является расслоением на коники
над 5 = Р1хР1, другими словами, тогда существует
морфизм я: X —>- S, слой к-рого изоморфен конике,
т. е. алгобраич. схеме, заданной однородным уравне-
уравнением степени 2 в Рг. Ф.м. X с Ь2(Х) = 2 является
расслоением на коники над проективной плоскостью
Р2 (см. [3j). В случае 62 (X) —1 существует 18 типов
Ф.м., к-рые описаны (см. [6]).
Дли трехмерных Ф.м. X индекс самопересечения
антиканонич. дивизора (—А'х)<64. Наибольшее це-
целое число г ;~s i такое, что Н^>г изоморфно КХХ для
нок-рого дивизора //?PicX, на.ч. индексом Ф.м.
Индекс трехмерного Ф.м. может принимать значения
1, 2, 3, 4. Ф.м. индекса 4 изоморфно проективному
пространству Р3, а Ф.м. индекса 3 изоморфно гладкой
квадрике (>сР4. Если г = 2, то индекс самопересече-
самопересечения rf — Hs может принимать значения l^d<7, при-
причем каждое из них реализуется на нек-ром Ф.м. Для
dim 1 А';1 |
Ф.м. индекса 1 отооражение <р _,: X—*¦ Р ' А ',
кх
определяемое линейной системой | Кх1 \, имеет степень
degcp _1 — 1 или 2. Опиеаны Ф.м. индекса 1, для к-рых
%
degcp _i = 2. Если degqp _! = 1, то Ф.м. X реализует-
кх кх
ся как подмногообразие V2g-2 степени 2g — 2 в проек-
проективном пространстве Рг+1. Число g наз. родом Ф.м.
^'ig-2 п совпадает с родом канонич. кривой—сечения
многообразия X при антиканонич. вложении в Р?+1.
Известна классификация Ф.м. F2g_2C:Pfi'+1, класс ги-
гиперплоского сечения к-рых совпадает с антиканонич.
классом и порождает группу PicF2?_2 (см. [4], [5]^-
Лу.т.: [1] F a n о G., «Atti Congr. internaz. del matematlci.
Bologna», 1931, t. 4, p. 115—19; [2] e г о же, «Comm. Math.
Helvetici», 1942, v. 14, p. 202—11; [3] M о r i S., M u k a i S.,
«Manuscr. math.», 1981, v. 36, K« 2, p. 147—62; [4] Rot hi,.,
«Atti Accad. Naz. dei Lincei Rendiconti. Classe sci. fis., mat.
e naturali», 1950, v. 9, p. 246—50; [5] И с к о в с к и х В. А.,
«Изв. АН СССР. Ceii. матем.», 1977, т. 41, .№ 3, с. 516—62; 1978,
т. 42, № 3, с. 506—49; [6] Итоги науки и техники. Современные
проблемы математики, т. 12, М., 1979, с. 59—157.
Bun. С. Куликов.,
ФАНО ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, параметри-
параметризующая семейство прямых, лежащих на неособой ку-
бич. поверхности V3dPi. Дж. Фано изучал семейства
прямых F{V3) на трехмерной кубике [1].
Через общую точку неособой кубики V3<Z.P^ прохо-
проходит ровно 6 прямых, лежащих на ней, и Ф. и. F(V3)
является неособой неприводимой приведенной алге-
браич. поверхностью геометрич. рода pg=i0, иррегу-
иррегулярности </=5, топологич. эйлерова характеристика
(в случае А=С) к-роп равна 27. По Ф. п. F(V3) можно
восстановить кубику V3 (см. [2]).

Лит.: tu F a n о (j., «Am Reale Accad. Sci. Torino»,
1903/04, t. 39, p. 778—92; [2) T ю р и н А. Н., «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1970, т. 34, Лг» И, с, 1200—08; [3] С 1 е m e n s С,
GriffithsPh., «Ann. Math.», 1972, v. 95, № 2, p. 281—356.
Bun. С. Куликов.
ФАНО ПОСТУЛАТ — предложение проективной гео-
геометрии, установленное Дж. Фано (G. Fano, 1892) и
заключающееся в том, что диагональные точ-
к и полного четырехвер шинник а некол-
линеарны. Ф. п. равносилен тому, что характеристика
тела А', соответствующего рассматриваемой проек-
проективной геометрии, не равна 2. Ф. п. не выполняется,
напр., на конечной проективной плоскости, состоящей
из семи точек и прямых, отвечающей телу К из двух
элементов: 0,1. м. и. Войцеховспий.
ФАНО СХЕМА проективного алгебраи-
алгебраического многообразия X надполем к —
алгебраич. схема, параметризующая семейство пря-
прямых, лежащих на подмногообразии X проективного про-
пространства Р". Ф.с. F (X) проективного многообразия X
может быть задана как замкнутая подсхема в грассма-
нианр G B, re-fl) прямых проективного пространства
Р". В отличие от Ф.с. трехмерной кубики (см. Фано по-
поверхность) Ф.с. произвольного проективного много-
многообразия не обязательно является неособой, приведен-
приведенной или неприводимой схемой. Так, линейчатая по-
поверхность R прямых, лежащих на квартике Ферма
^У\_ хс--0, состоит из 40 конусов, высекаемых ги-
гиперплоскостями Xj~Z,.Tj, i gt /, где ?, пробегает пер-
первообразные корни 8-й степени из 1. Каждый из кону-
конусов входит в поверхность Л с кратностью 2 (см., [4]).
Таким образом, эта Ф.с. приводима и каждая ее ком-
компонента не приведена в общей точке.
Лит.: [1] Т е n n i s о п В., «Proc. London Math. Soc», 1974,
v. 29, p. 714—34. Bun. С. Кулипое.
ФАНЬЯНО ЗАДАЧА — задача, в к-рой в данный
остроугольный треугольник требуется вписать тре-
треугольник наименьшего возможного иериметра. Реше-
Решением задачи является т. н. ортоцентрический
треугольник, т.е. треугольник, вершинами
к-рого являются основания высот данного треуголь-
треугольника. Задача была поставлена Дж. Фаньяно деи
Тоски (G. Fagnano dei Toschi) в 1775. я. с. Моденов.
ФАРЕЯ РЯД порядка и —возрастающая после-
последовательность неотрицательных несократимых дробей,
не превосходящих 1, со знаменателем, не превосходя-
превосходящим п. Напр., Ф.р. порядка 5 является последова-
последовательность
_o__L_L_L 2_ _L JL JL JL A _L
1' 5' 4' З'Т' 2' 5' 3 ' ~4~ ' 5' 1 '
Верны следующие утверждения.
1) Если — и ¦——два последовательных члена Ф.р.
порядка п, то
Ьа' — аЪ' =1.
2) Если — , —¦, -р—три последовательных члена
Ф.р. порядка п, то
а" а+а'
3) Число членов Ф. р. порядка п равно
Ф. р. рассматривались Дж. Фареем (J. Farey, 1816).
Лит.: [1] Б у х ш т а б А. А., Теория чисел, 2 изд., М.,
196В; И HallR. R., «J. London Math. Soc», 1970, v. 2,
p. 139—48. В. И. Нечаев.
ФАТУ ДУГА для функции / (г), мероморфной в об-
области G плоскости комплексного переменного z,—
достижимая дуга границы, области G, обладающая
тем свойством,что она входит в состав границы нек-рой

жордановой области gCG, в к-рой /(г), г?С, ограни-
ограничена. Иногда это определение расширяют, заменяя
условие ограниченности /(г) в g более общим условием
неллотности в плоскости iv образа области g при ото-
отображении w=f(z). Усиленная теорема Фату
из теории граничных свойств аналитич. функций
утверждает, что если у — дуга Фату (даже в расши-
расширенном смысле) для функции /(z), мероморфной в
круге D : Ы<1, то почти в каждой хочке ??у функ-
функция /(z) имеет конечный предел при стремлении :
к ? изнутри D по любому углу с вершиной ?, образо-
образованному нарой хорд круга D.
Лит.: 1л] К о л л и н г в у д Э., Л о в а т е у А., Теория
предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; [2] Л р и в а-
л о в И. И., Граничные свойства аналитических функций,
2 изд., М.— Л., 1950; [3] ГолузинГ. М., Геометрическая
теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966.
Е. П. Долженко.
ФАТУ ТЕОРЕМА в теории функций ком-
комплексного переменного: 1) Пусть гар-
гармонич. функция u(z), z=rel'<!\ представима в единичном
круге ?/={z?C : [z|<l} интегралом Пуассона —
Стилтьеса
где ц, — борелевская мера, сосредоточенная на единич-
ной окружности Г= {? : |?| = 1}, \ с?(г(?)==1. Тогда
почти всюду по мере Лебега на Т функция u(z) имеет
угловые граничные значения.
Эта Ф.т. обобщается для гармонич. функций и (х),
z?R", я ^ 2, представимых интегралом Пуассона —
Стилтьеса в областях Ляпунова DcR" (см. [2], [3]).
О Ф.т. для радиальных граничных значений кратно
гармонич. функций и (z) в поликруге {7" = {z =
= (Zl, ...,zn)?Cn:\zj\ < 1, / = 1, ....п} см. [4], [5].
2) Еели /(z) — ограниченная аналитич. функция
в U, то почти всюду по мере Лебега на Т она имеет
угловые граничные значения.
Эта Ф. т. обобщается для ограниченного вида функций
(см. [6]). Точки 1,?Т, в к-рых существует угловое
граничное значение /(?), наз. точками Фату.
Относительно обобщений Ф. т. для аналитич. функ-
функций f(z) многих комплексных переменных z=(zlt
. . ., zn), n^2, см. [7]; оказывается, что при ге^2 су-
существуют граничные значения и по комплексным ка-
касательным направлениям.
3) Если коэффициенты степенного ряда 5\ _„ akzf<
с единичным кругом сходимости U стремятся к нулю,
limst = 0, то этот ряд равномерно сходится на каж-
дой дуге а<0<Р окружности 7', состоящей только
из регулярных граничных точек для суммы ряда.
Если lime^ —0 и ряд равномерно сходится на дуге
то отсюда не следует, что точки этой дуги
регулярные для суммы ряда.
Теоремы 1), 2), 3) были доказаны П. Фату [1].
Лит.: [1] Р a t о u P., «Acta math.», 1906, v. 30, p. 335—400;
[2] П р и в а л о в И. И., К у з н е ц о в П. И., «Матем. сб.»,
1939, т. 6, Ли 3, с. 345—76; [3] С о л о м е н ц е в Е. Д., «Чехосл.
матем. н<.», 1958, т. 8, с. 520—.46; [4] 3 и г м у н д А., Тригоно-
Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1—2, М., 1965; [5] Р у д и н У.,
Теория функций в поликруге, пер. с англ., М., 1974; [6] П р и-
в а л о в И. И., Граничные свойства аналитических функций,
2 изд., М.—Л., 1950; [7] X е н к и н Г. М., ЧираЕ.М.,
в сб.: Итоги науки и техники. Современные проблемы матема-
математики, т. 4, М., 1975, с. 13—142, Е. Д. Соломенцее.
ФАТУ ТЕОРЕМА о переходе к пределу
под знаком интеграла Лебега: если
последовательность измеримых и неотрицательных
функций Ух(х), /2(я), ¦ ¦ . почти всюду на множестве

Е сходится к функции f(x), то
}f(x)dx< lim
E я-*~
Доказана впервые П. Фату [1]. Часто в ее форму-
формулировке lim заменяют на sup.
Лит.: [1] F л t о и P., «Acta math.», 1906, v. 30, p. 335—400;
[21 С а к с С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; [3]
II а т а н с о н И. II., Теория функций вещественной перемен-
переменной, 3 изд., М., 1974. Т. П. Лукашенко.
ФЕДОРОВСКАЯ ГРУППА — то же, что кристалло-
кристаллографическая группа. Названа по имени Е. С. Федо-
Федорова, к-рып в 1891 перечислил все такие группы в
трехмерном сл57чае (см. fl|).
Лит.: ШФедоровЕ. С, Симметрия и структура крис-
кристаллов. Основные работы, М., 1949, с. 111—255.
Э. В. Винберг.
ФЕЙЕРА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ — средних
арифметических метод суммирования, примененный
к суммированию рядов Фурье. Впервые был применен
Л. Фейером [1].
Ряд Фурье
— + ^ _ (яп cos nx-\-bn sin nx) A)
функции f{x)?L(—л, я) суммируем Ф. м. с. к сумме
s(x), если
lim оп (x) = s (x),
Л->00
где
°»<*> = ;гТтХ=и **<*>' B)
sk (x) — частичные суммы ряда A).
Если х — точка непрерывности функции / (х) или
точка разрыва 1-го рода, то в этой точке ее ряд
Фурье суммируем Ф.м.с. соответственно к / (х) или
к лж+ )+ {х- ) _ Если / (х) непрерывна на нек-ром ин-
интервале (а, 6), то ее ряд Фурье суммируем Ф.м.с. рав-
равномерно на всяком отрезке [а, р]СГ(а, Ь); если же / (х)
непрерывна всюду, то указанный ряд суммируем рав-
равномерно к / (х) на I—я, л] (теорема Фей ер а).
Этот результат был усилен А. Лебегом [2], показав-
показавшим, что для любой суммируемой функции f(x) ее ряд
Фурье почти всюду суммируем Ф. м. с. к f(x).
Функция
наз. ядром Фей ера. С ее помощью средние Фей-
ера B) функции / (х) выражаются в виде
ап(^) = 4 \Л f(x + u)Kn(u)du.
Лит.: Ll] Fejer L., «Math. Ann.», 1903, Bd 58, S. 51—69;
[2] Lebesgue H., «Math. Ann.», 1905, Bd 61, S. 251—80;
[31 Бари Н. П., Тригонометрические ряды, М., 1981; L4J
Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1 —
2, М., 1965. Я. Я. Волков.
ФЕЙЕРА ПОЛИНОМ — тригонометрич. полином
вида
s:.
(cos[2n-\-k)x
или аналогичный полином по синусам. Ф. п. использу-
используются при построении непрерывных функций с задан-
заданными особенностями их рядов Фурье.
Лит..- [1] Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды, М.,
1961. С. А. Телякоеский.

ФЕЙЕРА СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл
вида
где
пК '~4{ni-\) sin"//2
— ядро Фейера. Ф.с.и. янляется интегральным пред-
представлением Фейера сумм о„(/, х).
Лит. см, при ст. Фейера сумма. С. А. Теляпоиский.
ФЕЙЕРА СУММА — средние арифметические част-
частных сумм ряда Фурье по тригонометрии, системе
siu кх
где а^, бд.—коэффициенты Фурье функции /.
Если функция / непрерывна, то о„ (/, х) сходятся
К' f [х) равномерно; on(j,x) сходятся к I (х) в мет-
метрике L.
Если / принадлежит классу функций, удовлетво-
удовлетворяющих условию Липшица порядка а<1, то спра
ведлива оценка
т. е. в этом случае Ф. с. приближают / со скоростью
наилучших приближении функций указанного класса.
Но Ф. с. не могут обеспечить высокую скорость при
ближения: оценка
\\Н*)-о„{}, х)\\с = о [~^
верна только для функций, являющихся константами.
Ф. с. введены Д. Фейером [1].
- Лит.: Ш Fejfr L., «Math. Ann.», 1903, Bd 58, S. 51—69;
[2] A x и е з с |i H. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд.,
M., 19E5; [3J Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер.
с англ., т. 1. JVL, 19A5; l4l H а т а н с о и И. П., Конструктивная
теория функций, М.— Л., 1949; [51 Т и х о м и р о в В. М., Не-
Некоторые нипросы теории приближений, М., 197В.
С. Л. Теляковский.
ФЕЙНМАНА ИНТЕГРАЛ — собирательное наива-
ние для представлений в виде континуального инте-
интеграла, или интеграла по траекториям, переходных
функций (функций Грина) того или много аволюцион-
ного процесса.
Пусть дано уравнение
где 0<(<77; Т>0, а и (г, и) — функция, определенная
на множестве TXQ, где Й5Ш — нек-рое пространство,
и Н — линейный оператор, действующий в подходящим
образом подобранном пространстве функций, опреде-
определенных на Q. В ряде случаев переходную функцию
С(ш15 Шх, t) уравнения A) (т. е. ядро оператора из
полугруппы ехр{г//}, t^Q) можно представить в
виде континуального интеграла
С (Ш), щ, 1) =
где W (-)~нек-рая функция, определенная на Q,
а интегрирование происходит по множеству «траекто-
«траекторий» (о(т), 0<т<*, со значениями в Q, «выходящих»
в нулевой момент времени изо)! и «приходящих» в ш,2
в момент t, наконец, цы ш t—нек-рая мера (или
предмера), заданная на этом множестве траекторий.
Интеграл понимается либо в обычном лебеговском
смысле, либо в смысле, предписываемом какой-либо из
процедур континуального интегрирования (см. [5], [6]).

Интегралы вида B), а также интегралы, полученные
пя них с помощью каких-нибудь естественных пре-
преобразований (напр., заменой переменных интегриро-
интегрирования, дополнительным интегрированием по «концам»
wt и Wjj или другим параметрам, входящим в выра-
выражение B), дифференцированием по этим параметрам
и т. д.), и на:!, обычно и н т е v p а л о м Фейнмана.
Представление B) было введено Р. Фейнманом [1]
в связи г предложенной им новой интерпретацией
квантовой механики. Им рассмотрен случай, когда
Q---R", п -1, 2, ..., оператор Н имеет вид H~iL,
где L — дифференциальный оператор Штурма — Ли-
увил.чя Lu -----—aAu-\»Vu, А— оператор Лапласа в R",
Г — нек-рая функция, определенная на R" (потенциал),
а > 0. TIpit этом в представлении B) для функции
G (.rj, ,г2, /), хи ra?R", t > 0, полагается W — V, а
комплексная нредмера j.iV] Vl / (мера Фейнмана)
задается на цилиндрич. множествах вида
где
0 < т, < . . , < т*</, GjCzR", (=1,2, . . ., А-, А- = 1, 2,
интегрированием по множеству Схх ... XG^=(R")* (по
обычной лебеговской мере в (R")*) плотности
где .обозначено eo — ^i- 1й-ч~ж2, т0 —О, Т? + 1—?. Вы-
Выражение B) рассматривалось Р. Фейманом как пре-
предел конечнократных интегралов, полученных заменой
интеграла \ W\a> (t)] dx в подинтегральной экспонен-
экспоненте в B) какой-либо его интегральной суммой. Одна-
Однако строгого обоснования корректности такого опреде-
определения интеграла, а также справедливости равенства
B) дано не было.
Позднее для случая оператора IT — L, где L имеет
вид C), представление B), и к-ром мера цдь,ь (Со-
(Совпадает с Винера мерой, получено М. Кацем [2] с пол-
полной математич. строгостью. Поэтому представление B)
часто наз. форму л он Фейнмана —К а ц а.
Ф. и. в качестве удобного и гибкого аналитич.
средства используется в равных вопросах математич.
физики (|3J, |4|, [6J), теории вероятностей [71 и в тео-
теории дифференциальных уравнении EJ.
Лит.: [Ц FeynmanR., «Rev. Modern Phys.», 1948,
v. 20, p. ,ЧВ7—87: Г2) К а о М., в кн.: Proceedings of the Second
Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability,
Berk. - Los АПК-, 1951, p. 189—215; [3] G e n i b г e J., Sta-
Statistical mechanics and quantum field theory, N. Y., 1971; [4]
С а Й м о и В., Модель Р(фJ эвклидовой квантовой теории но-
ноля, пер. с англ., М., 197П; [5] Д а. л е ц к и й Ю. Л., в кн.:
Итоги науки. Математический анализ. I960, М., 19C7, с. 83 —
124; [6] А 1 b e v е г i о S., Н Ф е g h - К г о Ъ и R., Mathema-
Mathematical theory of Peynman path integrals, В.— [а. о.], 1976; 17]
Г и x м а и И. И., С к о р о x о д А. В., Теория случайных
процессов, т. 3, М., 197Г>; Г8) Г о л у б е в а В. А,, «Успехи
матем. наук», НИВ, т. 31, в. 2, с. 135—202. Р. А. Минлас.
ФЕЙНМАНА МЕРА — комплексная нредмера, опре-
определенная на цилиндрич. множествах в пространстве
функций x(t), 0s?? «s; T, Т ,>{\, со значениями в R",
/( ---1, 2 формулой
ti-^ ,r \ti' T Y) —- I I Bд/а (т.-—-Т/ — т)) X
л, i i i!, ... iи. л 11;- J J
..dlk+l. (l)
Здесь а > 0 — параметр, 0 < тх < т2 < . .. < т^ < Т, а

где А —нек-ров борелевское подмножество простран-
пространства (R")(* + 1). Иногда рассматривается и т. н.
условная мера Фейнмана \ix, y> t-i получаю-
получающаяся из меры A) сужением ее на множество траек-
траекторий с «концом» в точке yQR.n:x (Т)=у. Мера и,л% т,
как и мора ц^ ^ ?-, были введены в Р. Фейнманом
в связи с представлением полугруппы ехр {ПН}, где
Н—оператор Штурма—Лиувилля, в виде континуаль-
континуального интеграла — Фейнмана интеграла.
Лит.: [llFeynmanB., «Rev. Modern Phys.», 1948, v. 20,
p. 367—87; [2] ДалецкийЮ. Л., в кн.: Итоги науки. Ма-
Математический анализ. 1966, М., 1967, с. 83—124; [3] А 1 b e v е-
rioS., Н Ф е g h - К г о h n R., Mathematical theory of Feyn-
man path integrals, В., 1976. P. А. Минлос.
ФЕЛЛЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС — однородны» марков-
марковский процесс X (t), t?T, где Т—аддитивная подполу-
подполугруппа действительной оси R со значениями в топо-
логич. пространстве Е с топологией % п борелевской
о-алгеброй SQ, переходная функция Р {t, x, В), t?T,
х?Е, В^35 к-рого обладает определенным свойством
гладкости, а именно для непрерывной ограниченной
функции / функция
является непрерывной- Естественность такого требова-
требования на переходную функцию обусловлена тем, что
переходные операторы Р*, t ? Т, действующие на про-
пространстве ограниченных борулевскцх функций, остав-
оставляют инвариантным пространство С (Е) непрерывных
ограниченных функций, т. е. полугруппу 5* —{Р*, t?T}
переходных операторов можно считать действующей
на С (Е). Впервые полугруппы такого типа рассмат-
рассматривались В. Феллером (W. Feller, 1952) (см. [1|).
Как правило, на топологич. пространство наклады-
накладываются дополнительные требования: обычно (Е, %) —
локально компактное метризуемое пространство. В этом
случае Ф. п., удовлетворяющий условию стохастич.
непрерывности, допускает модификацию, являющуюся
стандартным марковским процессом (см. Марковский
процесс, строго марковское свойство). Обратно, стан-
стандартный процесс является Ф. и, для естественной то-
топологии %й; базу топологии ^0 составляют такие мно-
множества 5?йЗ, что для момента й($) первого выхода
из jS почти наверное выполняется 0 (?)>(), если про-
процесс начинается в В (см. [1]).
Важный подкласс Ф. и. образуют сильно ф е л-
леровские процессы (с. ф. и.) 12]; в этом
случае на переходную функцию накладываются более
жесткие требования гладкости: функция х[—*Р*1{х)
должна быть непрерывной для любой ограниченной
борелевской функции /. Есл-и, более того, функция
XI—>Р(г, х. ¦) непрерывна по норме вариации в про-
пространстве ограниченных мер, то марковский процесс,
отвечающий такой переходной функции, наз. с. ф. п.
в узком смысле. Если переходные функции Р и Q от-
отвечают с. ф. п., то их композиция Р -Q отвечает с. ф. п.
в узком смысле при обычных предположениях на (Е, %).
Невырожденные диффузионные процессы являются
с. ф. п. (см. [3]). Естественным обобщением с. ф. и.
являются марковские процессы с непрерывной компо-
компонентой (см. [4]).
Если Т—подмножество натуральных чисел, то Ф.п.
X (t), t?T, наз. феллеровской цепью (ф.ц.).
Примером ф.ц. может служить случайное блуждание
на прямой R: последовательность Sn, п^Т--{0,1, ...},
где Sn + 1 = SnJrYn, {Yn}~последовательность неза-
независимых одинаково распределенных случайных вели-
величин. При этом случайное блуждание {Sn} является
сильно феллеровской цепью тогда и только тогда, когда
распределение случайной величины Уг имеет плотность.
Для Ф.п. имеется естественное обобщение классифи-
классификации состояний цепи Маркова со счетным множеством
состояний (см. Маркова цепь); состояния х и у из Е

сообщаются, если для любых окрестностей Ux точки
х и Vy точки у существуют I, s?T такие, что
Р (t, х,' Vy) > 0 и Р (s, у, йх) > 0 (цепи со счетным
множеством состояний являются феллеровскими с ди-
дискретной топологией). Эргодические свойства и методы
их исследования для Ф. п. имеют определенную спе-
специфику по сравнению с класснч. эргодической теорией.
Наиболее «правильное» поведение обнаруживается
у неприводимых (топологически неразложимых) Ф.п.;
ято Ф. п., у к-рых все состояния сообщаются (см. [7]).
При ,)том эргодич. свойства Ф.н. носят сравнительно
слабый характер.
В качество примера можно сравнить свойства типа
возвратности для цепи Маркова с общим пространст-
пространством состояний. Пусть для любого начального состоя-
состояния х?Е и множества А из системы Л почти навер-
наверное выполняется X {t)?A для бесконечного множества
значений времени t(t принимает натуральные значения).
Если^ есть система множеств вида <Д = {А:ц (Л)>0},
где (х — нек-рая мера, то получают свойство возврат-
возвратности цени в смысле Харриса (см. [8]), а если для
Ф.н. в качестве jl выбрать топологию % на Е, то —
свойство диффузыости (ом. G)) (топологич. возвратно-
возвратности) для Ф.п. Случайное блуждание {5,,}, у к-рого Y±
имеет конечное математич. ожидание iY7 будет диф-
диффузной ф.ц. тогда и только тогда, когда ЕУ1 = 0 и
распределение Ул не является арифметическим, при
этом цепь {Sn} будет возвратной в смысле Харриса
только в том случае, когда для нек-рого п распреде-
распределение Sn имеет абсолютно непрерывную компоненту.
С формальной точки зрения теорию цепей Маркова
с общим пространством состояний Е можно свести
к изучению ф.ц. с компактным пространством состоя-
состояний Е — расширением Е, получаемым при помощи
теоремы Гельфанда— Надмарна (см. Банахова алгебра
и [9]). Такое расширение, однако, «слишком велико»;
возможны и другие конструкции феллеровских расши-
расширений для цепей Маркова (см. [10]).
Теория Ф.п. и ф.ц. является также вероятностным
обобщением топологической динамики, поскольку де-
детерминированному (вырожденному) Ф.н. X (/), t ? Т,
отвечает динамич. система {St, I ? Т}, где отображе-
отображение (t, х)\—> SfX из ТхЕ зЕ непрерывно и X (t) = SfX
(почти наверное).
Лит.: [1] Дынкин Е. Б-, Маркорские процессы, М.,
1963; [2] Г и р с а н в в И. В.. «Теории вероятн. и ее примен.»,
1960, т. 5, Ks 3, с. 314—30; L3J Молчанове. А., там же,
1968, т. 1:), № з, с. 403—98; [4] Т и о ш i n e n P., T w e e d i e В.,
«Ргос. Lond. Math. Soc», 1979, v. 38, p. 89—114: [5] F о g u-
e IS., «Ann. Scuola norm. Super. Pisa», 197H, v. 27, .Ms 1, p.
19—51: l(>] SincR. «Indiana Univ. Math. J.», 1Я76, v. 2ft,
№1, p. 23—43; [71 Смирнове. Н., «Докл. АН СССР»,
1982, т. 2ВЗ, Л& 3, с. 554—58; [8] R e v u z D., Markov chains,
Amst.-^ Oxf.— N. Y., 1975; [9] W д а н о к А. II., в кн.: То-
Топология, пространства и их отображения, Рига, 1981, с. 18—33;
[10] III у р М. Г., (.Теория вероятн. и ее примен.», 1981, т. 26,
МЗ, с. 496—509. С. Н. Смирнов.
ФЕРМА МАЛАЯ ТЕОРЕМА: при а, не делящемся
на простое число р, имеет место сравнение аР~х^
= l(modp). Эта теорема была установлена П. Ферма
(P. Fermat, 1640). Она показывает, что порядок каж-
каждого элемента мультипликативной группы классов выче-
вычетов по модулю р делит порядок этой группы.Ф.м.т. была
обобщена Л. Эйлером (L. Euler) на случай произволь-
произвольного модуля т. Именно, им было доказано, что для
всякого числа а, взаимно простого с заданным числом
т >1, имеет место сравнение
оф(т) = 1 (modm),
где ф (т) —Эйлера функция. Други.м обобщением Ф.м.т.
является равенство гЧ -х, справедливое для всех
элементов х конечного ноля kq. состоящего пз ц эле-
элементов.
Лит.: [11 В и н о г р а д о в II. М., Основы теории чисел,
9 изд., М., 1981. С. А. Степанов.

ФЕРМА ПРИНЦИП — вариационный принцип, по-
позволяющий находить лучи, т. е. кривые, вдоль к-рых
распространяется волновой процесс. Пусть х~х(о),
x = xlt ..., хт, сг„< а«5аь — уравнение кривой I, со-
соединяющей точки Мо и М\, с = с(.г)>0—скорость
распространения волн в точке х. Ф.п. утверждает, что
б\ ds/c —О для луча, соединяющего Мо и Мг. Здесь
б—символ вариации, ds = V %(dx(f — дифференциал
душ. Физич. смысл \ * ds/c —- время движения из Мо
в M-i вдоль I со скоростью с(х). Из Ф.п. следуют
классич. ааконы отражения, преломления, прямоли-
прямолинейность лучей при с = const. Дифракционные лучи,
лучи, распространяющиеся от краев экранов, лучи
головных волн тоже можно найти, пользуясь Ф.п.
Лучи, определяемые Ф.п., являются характеристиками
эйконала уравнения. Интеграл \ ds/c задает риманову
метрику частного типа. Лучи — геодезические, соответ-
соответствующие этой метрике. Ф.п. обобщается на случай
скорости, зависящей от направления (анизотропная
среда). Лучи в этом случае — геодезические нек-рой
финслеровой метрики.
Ф. п. для задачи преломления света был впервые
высказан П. Ферма (P. Fermat, ок. 1660). •
Лит. См. при ст. Лучевой метод. В. М. Бабич.
ФЕРМА СПИРАЛЬ — плоская трансцендентная кри-
кривая, уравнение к-рой в полярных координатах имеет
вид
Каждому значению ф соответствуют два значения р —
положительное и отрицательное. Ф. с. центрально
симметрична относительно полю-
полюса, к-рый является точкой пере-
перегиба. Относится к так называе-
называемым алгебраическим спиралям
(см. Спирали).
Ф. с. впервые рассмотрена П.
Ферма (P. Fermat, 1636).
Лит.: [1] С а в е л о в А. А., Пло-
Плоские кривые, М., I960. Д. Д. Соколов.
ФЕРМА ТЕОРЕМА, вели-
великая теорема Ферма, зна-
знаменитая теорема Ферма, большая те-
теорема Ферма, последняя теорема
Ферм а,— утверждение, что для любого натураль-
натурального числа ' п>'2 уравнение xn-{-yn=zn (уравне-
(уравнение Ф е р м а) не имеет решений в целых ненулевых
числах х, у, z. Она была сформулирована П. Фер-
Ферма (P. Fermat) примерно в 1630 на полях книги Дио-
Диофанта «Арифметика» 11] следующим образом: «невоз-
«невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат
на два биквадрата, и вообще никакую степень, боль-
большую квадрата, на две степени с тем же показателем».
И далее добавил: «я открыл этому поистине чудесное
доказательство, но эти поля для него слишком малы».
В бумагах П. Ферма нашли доказательство Ф. т. для
п=4. Общее доказательство до сих пор A984) не по-
получено, несмотря на усилия многих математиков (как
црофессионалов, так и любителей). Нездоровый инте-
интерес к доказательству этой теоремы среди неспециали-
неспециалистов в области математики был в свое время вызван
большой международной премией, аннулированной в
конце 1-й мировой войны.
Предполагается, что доказательство Ф. т. вообще
ре существовало.
Для п=3 Ф. т. доказал/Л. Эйлер (L. Euler, 1770),
для п=Ъ — II. Дирихле (P. Dirichlet) и А. Лежандр
(A. Legendre, 1825), для п—1 — Г. Ламе (G. Lame,
1839) (см. [2]). Ф. т. достаточно доказать для любого

простого показателя гс=р>2, т. е. достаточно дока-
доказать, что уравнение
xP-\-yP = zp A)
не имеет решений в целых ненулевых взаимно простых
числах х, у, г. Можно также считать, что числа жиг/
взаимно просты с р. При доказательстве Ф.т. рассмат-
рассматривают два случая: случай 1, когда {xyz, р) = 1 и
случай 2, когда p\z. Доказательство 2-го случая Ф.т.
более сложно и обычно проводится методом бесконеч-
бесконечного спуска. Существенный вклад в доказательство
Ф.т. внес Э. Куммер (Е. Kummer), к-рый создал прин-
принципиально новый метод, основанный на разработан-
разработанной им арифметич. теории кругового поля. Используется
тот факт, что в поле Q (?), ? = «2!г?'р, левая часть
уравнения A) разлагается на линейные множители
хР-\-уР — ТТ . (x-\-yt?), к-рые являются р-ми степе-
степенями идеальных чисел поля Q (?) в случае 1 и отли-
отличаются от р-х степеней на множитель A—¦ ?), г>0
в случае 2. Если р делит числители Вернулли чисел
B^nin — i, 2, ..., (р—3)/2), то по критерию регуляр-
регулярности р не делит число h классов идеалов поля Q (Z)
и эти идеальные числа —главные. В этом случае
Э. Куммер [3] доказал Ф.т. Не известно бесконечно
или конечно число регулярных чисел р (по теореме
Иенсена число иррегулярных простых чисел беско-
бесконечно [4]). Э. Куммер [5] доказал Ф.т. для нек-рых
классов иррегулярных простых чисел и тем самым
установил ее справедливость для всех р < 100- В слу-
случае 1 он показал, что из A) следует выполнимость
сравнений
гс = 2, 4, .... р — 3,
справедливых при любой перестановке х, у, —z. От-
Отсюда он получил, что если в случае 1 уравнение A)
разрешимо, то для и=3, 5
^-„ = 0 (modp). B)
В случае 2 Э. Куммер доказал Ф.т. при следующих
условиях: 1) р \ hi, p2J(h1, где hi— первый множитель
числа классов идеалов поля Q (?) (это равносильно
требованию, что числитель только одного числа В2п,
где 2ге = 2, 4, ..., р—3, делится на р); 2) В2пр^
^0(modp3); 3) найдется идеал, по модулю к-рого
единица
не сравнима с р-& степенью целого числа из
где g — первообразный корень по модулю р, а
Метод Куммера получил широкое развитие во мно-
многих работах по Ф.т. (см. [6], [7}). Из A) в случае 1
установлена выполнимость сравнений B) для п = 7, 9,
11, 13, 15, 17, 19. М. Краснер [8] при тех же условиях
показал, что найдется такое число р0, что при р > р0
сравнение B) верно для всех чисел n = 2k-\-i, где
X. Брюкнер [9] доказал, что число чисел Вп, п =
= 2, 4, ..., р —-3, числители к-рых делятся на р больше,
чем У"р—2. Пусть i>ft)fci, pk+l%hi. П. Реморов [10]
показал, что существуют такие постоянные N^ и М^,
Nk < Afft, что для всех р < Л'к, р > Mk, случай 1
Ф.т. справедлив. М. Айхлер Щ) установил, что слу-
случай 1 Ф.т. верен при Н^XYj>\ — 1, где Н — индекс
иррегулярности поля Q (?), p"jh. Г. Вандивер [12] до-
доказал случай 1 при pjfh\, где Л2—второй множитель
числа классов идеалов поля Q (?). Интересные резуль-

таты по случаю 2Ф. т. получевы им в [13], [6].. Напр.,
он показал, что Ф. т. истинна при следующих условиях:
1) (к?, p) = i, 2) BnpjkQ(moup3), в = 2, 4, Л., p — 3.
Наиболее важной является теорема: пусть р—'Иррегу-
р—'Иррегулярное простое число, 2alt 2«2, ¦•-, 2«,$— индексы
чисел Бернулли из В%, В±,..., Вр_3, числители
к-рых делятся на р; если ни одна из единиц
Еа (« = «!, в2, ..., as) не сравнима с р-й степенью
целого числа из Q (?) по mod $$, где §р—простой идеал,
делитель простого числа q<p'2 — p и g=l(modp), то
Ф. т. верна. Отсюда Г. Вандивер [14] получил эффек-
эффективно проверяемый критерий для иррегулярных про-
простых чисел, с помощью к-рого на ЭВМ доказана Ф. т.
•для всех р < 425 000 (см. [15]).
Результаты по случаю 1 Ф. т. разнообразней. Еще
в 1823. А. Лежандр публикует результат С. Жермен
(S. Germen): если существует простое число q такое,
что сравнение I?~\-rf-\-У es0 (mod q) не имеет целых
решений g, ц, ?, не делящихся на q, и р не является
вычетом р-й степени по mod q, то справедлив случай 1
Ф. т. (см. B]). Отсюда он показал, что если хотя бы одно
из чисел 2Лр+1, fe^;(mod3), fc<8, простое, то имеет
место.случай 1 Ф. т. Это предложение выведено для
всех к =^55. А. Виферих [16] открыл следующий кри-
критерий: если pJ(qB), где q (т.) — (тР—ЛIр — частное
Ферма, то случай 1 Ф. т. верен. М. Мириманов [17]
доказал это при pJfq C). В дальнейшем, рядом других
авторов случай 1 Ф. т. был установлен для всех р,
для к-рых p\q(m), где т — какое-нибудь простое чи-
число <4&. Отсюда следует 1-ислучайФ. т. дня. р = а±Ь,
где a, b, ?Nn содержат в своих разложениях только
простые числа < 43;-Вычисления на ЭВМ показали
A8], что среди чисел р < 6-Ю9 только два: р —1093
и р = 3511 удовлетворяют условию p|<jB), но для них
p)fq C). Это доказывает случай 1 Ф. т. для всех р <
< 6-Ю9. Ф. Фуртвенглер [19] на основе закона взаим-
взаимности Эйзенштейна довольно просто повторил резуль-
результаты А. Вифериха и М. Мирпманова. Он доказал также,
что если х_г у, z решение уравнения A) и (х, у)—1, то
Р\Ч (г), где r\x, nop)fx, пли г \ у, но р)(у, или г\{х ± у),
Известно много других различных критериев для
случая 1 Ф. т., к-рые связаны с разрешимостью опре-
определенных сравнений или с существованием простых
чисел определенного вида, но неизвестно A984), беско-
бесконечно ли число простых чисел р, для к-рых случай 1
Ф. т. справедлив. Следует отметить, что уравнение
з?Р-\-у±1'.~?1-Р неверно, если 2р не делит ни х, ни у
{см. [20]). Контрпример к Ф. т. практически привести
невозможно. К. Инкери [21] показал, что если целые
числа х, у, г, 0 < х < у < z удовлетворяют уравнению
A), то х > -g-p^-4, а в случае 1: х > ("~-^г~\ '"•
Ф. т. может быть сформулирована так: для любого
натурального числа п > 2 на кривой Ферма х" -\-у" —А
нет рациональных точек, кроме тривиальных @, ±1),
(±1, 0). Рациональные точки на кривой Ферма иссле-
исследуются методами алгебраич. геометрии. Этими мето-
методами доказано A983). что число рациональных точек
на кривой Ферма во всяком случае конечно, что сле-
следует из Морделла гипотезы, доказанной Г. Фалтинг-
сом [23].
Уравнение Ферма рассматривается в алгебраич.
числах, целых функциях, матрицах и т. д. Имеются
обобщения Ф. т. для уравнений вида хп-\-уп ~Dzn.
Лит.: [1] Диофант Александрийский, Ариф-
Арифметика и книга о многоугольных числах, пер. с др.-греч., М.,
1974; [2] ЭДвардсГ., Последняя теорема Ферма. Генетиче-
Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел, пер. с англ.. М.,
1980; Ш К u mm e r E., «J. reine imd angew. Math.», 1850. Bel
40, S. 93—138; [4] Во р е в ич 3. И., HI а фа р е в ич И. Р.,
Теория чисел, 2 изд., М., 1972; !5l К n m m e I E., «A№. Akad.
Wiss. Berlin, Math. Kl.», 1857, S. 41—74; [в] V a n d i v e r H.,
«Amer. Math. Monthly», 1946, v. 53, p. 555—78; [7] Rib en-

b о i m P., 13 lectures on Fermat's last theorem, N. Y.— [a.o.],
1979; [81 К r a s n e v M., «G. r. Acad. sci,», 1934; t. 19S, p. 25S—
258; [9] В г II с к n e г Н., «J. reine und ang. Math.», 1972,
Bd 2»3, S. 15—18; [10] P e м о р о в П. Н., «Уч. зал. ЛГУ. Сер.
матем. наук», в. 23, 1952, т. 144, с. 26—34; [11] Е j с h 1 е г М.,
«Acta Arithm.» 1965, v. 11, p. 129—31; [12] V a n d i v e г Н.,
«Bull. Amer. Math. Soc», 1934, v. 40, p. 118—26; [13] его me,
«Trans. Amer. Math. Soc», 1929, v. 31, p. 613—42; [14] его же,
«Proc. Nat. Acad. Sci.», 19[>4, v. 40, p. 732—35; 115] Wagst-
a f f S., «Math. Comput», 1978, v. 32, p. 583—91; [16] W i e-
f e r i с h A., «J. reine und angew. Math.», 1909, Bd 136, S. 293—
302; [17] litimanod D., «J. reine und angew. Math.»,
1911, Bd 139, S. 309—24; [18] LelmerD. H., «Math. Coin-
put.», 1981, v. 36, p. 289—90; [19] PurtwanglerP.,
«Sitz.-Ber. Akad. Wiss. Wien. Math.-naturwiss. Kl.» Ha, 1912,
Bd 121, S. 589—92; [20] T e r j a n i a n G., «C.r. Acad. sci.»,
1977, A 285—В 285, ,\it 16, p. 973 A—975 A; [21] I n k e r i K.,
«Ann. Univ. Turku», Ser. A., 1953, № 1, p. 3—9; [22] П о с т н и-
к о в М. М., Введений в теорию алгебраических чисел, М.,
1982; [23] Faltings IV., «Invent, math.», 1983, Bd 73, S.
349—66. А. В. Толстиков.
ФЕРМА ТЕОРЕМА необходимое условие локаль-
локального экстремума дифференцируемой функции. Пусть
действительная функция / определена в окрестности
точки зо?К и дифференцируема в этой точке. Тогда,
если функция / имеет в точке х0 локальный экстремум,
то ее производная в х0 равна нулю: /'(.то)=О. Геомет-
Геометрически это означает, что касательная к графику
функции / в точке (.т0. /(.тп)) горизонтальна. Впервые
равносильное условие для экстрел1удгов многочленов
было получено ГГ. Ферма (P. Fermat) в 1629, но опуб-
опубликовано ЛИШЬ В 1679. Л. Д. Кудрявцев.
ФЕРМИ КООРДИНАТЫ — координаты, в к-рых
компоненты метрич. тензора риманова пространства,
вычисленные в точках нек-рой кривой, совпадают с
компонентами метрич. тензора евклидова пространства
в декартовых координатах. Понятие Ф. к. обобщается
на случаи псевдоримановых пространств, для к-рых
их и ввел впервые Э. Ферми (Е. Fermi, 1922). Он по-
показал, что в окрестности достаточно малого отрезка
достаточно регулярной временииодобной кривой на
достаточно регулярном исевдоримановом многообра-
многообразии лоренцевой сигнатуры действительно существуют
Ф. к.
Лит.: Ill P а ш е в с к и й II. К., Риманова геометрия и
тензорный аналш, 3 изд., М.. 1967. Д. Д. Соколов.
ФЕРМИ — ДИРАКА СТАТИСТИКА, статисти-
статистика Ф е р м и, —• квантовая статистика, применимая к
системам тождественных частиц с полуцелым спином
A/2, 3/2, :72, ... в единицах ft—1,05 -Ю-27 эрг-сек).
Предложена Э. Ферми (Е. Fermi, 1926), ее квантово-
механич. смысл выяснен И. Дираком (P. Dirac, 1926).
Согласно Ф.— Д. с. в каждом квантовом состоянии
может находиться не более одной частицы (принцип
П аул и). Для системы частиц, подчиняющихся Ф.~
Д. с, квантовомеханич. состояния описываются вол-
волновыми функциями, антисимметричными относительно
перестановок частиц (т. е. их координат и спинов),
а для Базе — Эйнштейна статистики она симмет-
симметрична.
Квантовое состояние идеального газа определяется
заданием совокупности чисел заполнения уровней си-
системы в пространстве импульсов р и спинов а {пРо},
где каждое пра указывает число частице импульсом р
и спином а. В случае Ф.—Д. с. про может быть рав-
равным нулю или единице.
Газ является системой из очень большого числа
частиц, поатому его квантовые уровни расположены
очень плотно и стремятся к непрерывному спектру при
стремлении объема к бесконечности. Уровни энергии
удобно сгруппировать по малым ячейкам, содержащим
G{ уровней в ячейке. Каждой ячейке соответствует
средняя энергия е,-, а число G; предполагается очень
большим. Квантовомеханич. состояние системы опре-
определяется набором {/V,-}, где Л';—число частиц в ячей-
ячейке, т. е. сумма прС по уровням ячейки. Число раз-
яичных распределений частиц по ячейкам (т. е. ста-

тистич. вес состояния идеального газа Ферми — Дирака)
равно
и определяет вероятность распределения частиц по
ячейкам, к-рые характеризуются числами заполнения
JVi, JV2, . . . Статистич. вес вычислен с помощью ком-
комбинаторного анализа с учетом неразличимости частиц
и того, что в каждом состоянии не может быть более
одной частицы.
Наиболее вероятное распределение частиц по кван-
квантовым состояниям, соответствующее заданной энергии
Е и числу частиц N
?-2.e,-7V,-, N = ^.N;, B)
находится из экстремума статистич. веса A) при до-
дополнительных условиях B). Соответствующие средние
числа заполнения равны
е +1
где ц — химия, потенциал, fi=i/kT, к — постоянная
Больцмана (универсальная постоянная к —1,38 -It)""
дрг/град), Т — абсолютная температура. Величины р1
и [г находятся из условий B).
Энтропия идеального газа Ферми определяется ло-
логарифмом статистич. веса A) для наиболее вероятного
распределения C)
S - к \п IV fii} ^ — к^. О; {^In tii + Ц ~щ) In (i —ni)},
где суммирование ведется по всем ячейкам. С помощью
энтропии можно вычислить свободную энергию и
другие термодинамич. функции.
В случае неидеального газа Ферми вычисление тер-
термодинамич. функций является сложной проблемой и
не сводится к простой задаче комбинаторного аналияа.
Их вычисление основано на методе Гиббса с учетом
Ф.— Д. с. Если известен оператор Гамильтона //
системы, то свободная энергия равна
где операция шпура берется по состояниям, удовле-
удовлетворяющим требованиям Ф.— Д. с., т. е. по антисим-
антисимметрическим волновым функциям. Этого можно достиг-
достигнуть, если для Н использовать представление, в к-ром
его действие определено в пространстве волновых
функций и чисел заполнения, т. е. перейти к представ-
представлению вторичного квантования.
Лит. см. при ст. Возе — Эйнштейна статистика.
Д. Н. Зубарев.
ФЕРРАРИ МЕТОД — метод сведения решения урав-
уравнения 4-й степени к решению одного кубического и
двух квадратных уравнений; найден Л. Феррари
(L. Ferrari, опубл. 1545).
Ф. м. для уравнения
состоит в следующем. При помощи подстановки у=
—х а— данное уравнение приводится к уравнению
xl-j-px2-\-q.r-j-r =¦(), A)
не содержащему члена с .г3. Вводя вспомогательный
параметр а, левую часть уравнения A) можно пре-
преобразовать по формуле
-Е-+ а у
B)

Затем подбирается значение а так, чтобы выражение
в квадратных скобках было полным квадратом. Для
этого нужно, чтобы дискриминант квадратного трех-
трехчлена был равен нулю. Это дает для а кубическое урав-
уравнение
q2 — 4-2a
Пусть а0 — один из корней этого уравнения. При
а—а0 многочлен в квадратных скобках в B) имеет
один двукратный корень
что приводит к уравнению
_2а„ (х — гй? =0.
Это уравнение 4-й степени распадается на два квад-
квадратных уравнения. Корни этих уравнений и служат
корнями уравнения A).
Лит.: UJ К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд.,
М., 1975. И. В. Проскуряков.
ФИБОНАЧЧИ МЕТОД — разновидность одномерного
поиска экстремума функции путем последовательного
сужения интервала неопределенности. Единственное
ограничение, налагаемое на исследуемую функцию
— требование строгой унимодальности на заданном
интервале.
При последовательном сужении значения f(x) вы-
вычисляются (или замеряются) в заранее ограниченном
числе п пробных точек. В результате получается по-
последовательность сужающихся интервалов неопреде-
неопределенности, содержащих искомый экстремум:
(а0, bo)ZD{au b!)r)...r)(aB> Ъ„).
Чтобы сузить интервал неопределенности для произ-
произвольной строго унимодальной функции, нужно знать
не менее двух ее пробных значений. В Ф.м. внутри
каждого текущего интервала неопределенности (аг-, 6;)
подбираются ровно две пробные точки симметрично
от середины интервала. Далее, от одной из пробных
точек отбрасывается конец интервала с наихудшими
значениями / (х). Получается (a, + i, bi + l), где в допол-
дополнение к оставшейся старой пробной точке симметрично
строится новая. Отсюда для длин интервалов
Л,=6,—а;
следует рекуррентное уравнение
(Помимо прочего выше предполагалось, что выполнено
условие перекрывания Д\ <2/з • До •)
Решение уравнения при условии Дп + 1=Дп + -2 дает
01 /==2, ...,п,
где /''(.)—Фибоначчи числа.
Точка экстремума жор1 х (ап-{-Ьа)/2.
В простейшем варианте Ф. м. (когда предполагается,
что пробные точки и пробные значения / (х) опреде-
определяются абсолютно точно), чтобы сузить исходный ин-
интервал неопределенности с Л до в, надо взять число
п пробных точек из неравенства 2Д/е </'„<-2 • С уче-
учетом поправок на точность определения значений функ-
функции вышеприведенная оценка несколько усложня-
усложняется.
Существует предел
х^-. lim -Й- = ^fl =--0,618033989...

Это дает основание ввести метод золотого сече-
сечения—такой вариант Ф.м., где у,- Д1 + ]=тД,-, т. е.
пробные точки осуществляют золотое сечение текущего
интервала. Преимущество последнего метода заклю-
заключается в том, что число пробных точек заранее не
планируется.
Разработаны модификации Ф. м. для нефинитных
функций, для сокращения вычислений при равенстве
f(x) в двух пробных точках, для повышения устой-
устойчивости счета и др.
Ф. м. значительно превосходит по эффективности
дихотомию (см. Половинного деления метод). Однако
для оптимизации дифференцируемых функций Ф. м.
малоцелесообразен (см. Спуска метод, Максимизация
и минимизация функций).
Лит.: [1] KieferJ., «Proc. Amer. Math. Soc», 1953,
v. 4, p. 502—06; [2] У а й л д Д. - Д ж., Методы поиска экст-
экстремума, пер. с англ., М., 1967; [3] Васильев Ф. П., Чис-
Численные методы решения экстремальных задач, М., 1980.
Ю. П. Иванилов, В. В. Охрименко.
ФИБОНАЧЧИ ЧИСЛА — элементы последователь-
последовательности иъ и2, ..., задаваемой начальными значениями
«! = и2 = 1 и рекуррентным соотношением и„ +: — ип_, +
-f- un. Первые 14 Ф.ч. были впервые в 1228 приведены
в рукописи Леонарда Пизанского (Фибоначчи, Fibo-
Fibonacci).
Действия, выполняемые над индексами Ф.ч., мо-
могут быть сведены к действиям над самими Ф. ч. В ос-
основе атого лежит «формула сложения»:
Ее непосредственными следствиями являются:
«2n = «n ("n-l + "n + l)> «Sn = «n + l+«n —"n-l
и т. д. Общая «формула умножения» более сложна:
k m-k
Элементарные свойства делимости Ф.ч. в основном
определяются следующими фактами: u(OTi „)=(«m, ttn)i
если р—простое вида 5t-\-i, то на р делится «p_i,
а если вида 5/-j-2, то ир + 1; если ип делится на про-
простое q и р ф q, то ипр1ип не делится на q; если ип
делится на простое р ф 2, то ипр/ип делится на р, но
не делится на р2; если и„ делится на 4, то и2п/ип де-
делится на 2, но не делится на 4; если ип делится на 2.
но не делится на 4, то и2п1ип делится на 4, но не де-
делится на 8. Вместе с тем иек-рые связанные с Ф.ч. те-
теоретико-числовые проблемы весьма трудны. Напр.,
не решен A984) вопрос о конечности ,множества про-
простых Ф.ч. ' t + VE
Важную роль в теории Ф.ч. играет число а = —=— ,
являющееся корнем уравнения x'2 — .x — i=0. Так,
имеет место формула Бине:
ип = — («"-(- а)-»);
у э
1
из нее следует, что и„ есть ближайшее к j-— а" це-
целое число, и а
Mm ^+л = а.
Ф.ч. занимают особое положение в теории непрерыв-
непрерывных дробей. В разложении дроби ип + 1/ип и непрерыв-
непрерывную все неполные частные суть единицы и их число
не меньше, чем число неполных частных разложения
любой другой дроби со знаменателем, меньшим "„ + ].
В известном смысле число а описывается своими под-
подходящими дробями ип + 1/ип «наихудшим» образом.
Лит.; [i] BoncompagniB. (ed.), Illiber Abbaci di
Leonardo Pisano..., Roma, 1857; [2] В о р о б ь е в Н. Н., Числа
Фибоначчи, 5 изд., М., 1984; 13) Н о g g a 11 W., Fibonacci and
Lucas numbers, Boston, 1969; [4l A 1 f re d U., An introduction
to Fibonacci discovery, San Jose (Calif.) 1965; «Fibonacci
Quart.», 1963—. H. H. Воробьев.

ФИГУР МНОГООБРАЗИЕ — многообразие, образую-
образующими элементами к-рых являются различные фигуры
рассматриваемого однородного пространства. С ана-
литич. точки зрения наиболее простыми фигурами
являются алгебраич. линии и поверхности. Поэтому
в основном исследовались многообразия (как правило,
в евклидовом, аффинном и в проективном простран-
пространствах), образующими элементами к-рых являются
точки, прямые линии, плоскости, окружности, сферы,
коники, квадрики и их многомерные аналоги.
пг-мерное многообразие «ДОр, фигур F ранга N опре-
определяется замкнутой системой дифференциальных урав-
уравнений
Qa = kfQ', ДА? Л Q1' =0, i, /=--1, . •., т;
а, Ь^т-\-1, .. ., N, A)
где Q-/(/ = l, ..., N) — левые части уравнений стацио-
стационарности фигуры F и ДА?—формы Пфаффа, возникаю-
возникающие при замыкании пфаффовых уравнений системы A),
причем Q*a?22A ... Л" Ф 0. Осуществляя последова-
последовательные продолжения системы A), получают последо-
последовательность фундаментальных объектов многообра-
многообразия Ш1т, выделяют из нее основной объект многообра-
многообразия и осуществляют инвариантное построение диф-
дифференциальной геометрии многообразия.
Дифференциальная геометрия линейчатых много-
многообразий разработана достаточно глубоко. Простейшими
многообразиями с нелинейными образующими элемен-
элементами являются многообразия коник. Со всяким одно-
одномерным многообразием С\ коник в трехмерном про-
пространстве (евклидовом, аффинном или проективном)
ассоциируется торс Т, являющийся огибающей
поверхностью плоскостей коник. Многообразие С\
наз. фокальным или нефокальным в за-
зависимости от того, касается коники образующая торса
Т или нет. Двумерное многообразие (к о н г р у э н-
ц и я) коник в трехмерном пространстве имеет в общем
случае шесть фокальных поверхностей и шесть фокаль-
фокальных семейств. Все коники конгруэнции касаются
этих поверхностей. Конгруэнции коник с неопреде-
неопределенными фокальными семействами (всякие две смеж-
смежные коники к-рой пересекаются с точностью до 2-го
порядка малости) характеризуются принадлежностью
всех коник конгруэнции одной квадрике. Конгруэнции
коник, плоскости к-рых образуют однопараметрич.
семейство, имеют одно счетверенное фокальное семей-
семейство, к-рому соответствуют четыре фокальные точки
пересечения двух смежных коник, принадлежащих
одной плоскости. Две другие фокальные точки явля-
являются точками пересечения коники с характеристикой
ее плоскости.
Конгруэнция К2 квадрик в Р3 имеет в общем случае
восемь фокальных поверхностей, к-рых касаются все
квадрики конгруэнции. Точка квадрики F=0 кон-
конгруэнции К 2, определяемая вдоль любого направления
системой уравнений F=0, dF=O, . . ., dmF=O, наз. ее
фокальной точкой порядка т. Фокальная точка 2-го
порядка является четырехкратной точкой 1-го порядка;
фокальная точка 3-го порядка является фокальной
точкой любого порядка т>3. На каждой конике С
трехмерного многообразия (комплекса) коник
существуют в общем случае шесть инвариантных точек
(г-фокальные точки коники). Для каж-
каждой коники С комплекса, плоскости к-poro образуют
двупараметрич. семейство, однозначно определяется
коника С*, проходящая через характеристич. точку
плоскости коники С и четыре точки пересечения коники
со смежной коникой той же плоскости. Геометрич. свой-
свойства многопараметрич. семейств коник существенно
зависят от числа параметров, характеризующих пло-
плоскости коник таких семейств.

Непосредственным обобщением коники в Ps явля-
является квадратичных] элемент — (га—2)-мерная невырож-
невырожденная квадрика в Р„(я>3). Многообразием (h, та, »J
в пространстве Р„ наз. m-параметрич. семейство квад-
квадратичных элементов, гиперплоскости к-рых образуют
А-параметрич. семейство. Многообразия (h, h, 3) , я=1,
2, 3, являются наиболее общими однопараметрич. се-
семействами, конгруэнциями и комплексами коник в Р3-
С каждым локальным квадратичным элементом много-
многообразия (h, h, пJ при /г<и ассоциируется (л—h—1)-
мерное характеристич. подпространство и (h—1)-мер-
ное полярное подпространство. Рангом много-
многообразия (h, h, пJ наз. число R, равное я—h—1—v,
где v — размерность подпространства, по к-рому ха-
характеристич. подпространство пересекается с ого по-
полярным пространством.
Дифференциальную геометрию многообразия (л, п,
лJ можно рассматривать как геометрию нек-рой регу-
регулярной гиперповерхности (га+1)-мерного тангенцаль-
ного центропроективного пространства Ра*г, в к-ром
^сходное и-мерное пространство играет роль непод-
неподвижной точки.
Квадрика размерности р < га — 2 пространства Р„
всегда лежит в (р + 1)-мерном подпространство. Алгеб-
Алгебраич. поверхности порядка к > 2 этим свойством
в общем случае не обладают. При исследовании много-
многообразий алгебраич. поверхностей оказалось целесо-
целесообразным выделить семейства поверхностей таких,
к-рые лежат в плоскостях на единицу большей раз-
размерности. Невырожденная (л — 2)-мерная алгебраич.
поверхность порядка к, принадлежащая гиперплоско-
гиперплоскости Pn-i пространства Рп, наз. плоским
алгебраич. элементом порядка к. Многообра-
Многообразием (я, /л, л)* наз. лг-мерное многообразие плоских
алгебраич. элементов порядка к, гиперплоскости к-рых
образуют й-параметрич. семейство. Фундаментальный
объект 1-го порядка является основным объектом много-
многообразия (h, m, л)*.
В применениях геометрии к гидромеханике, теории
поля и дифференциальным уравнениям используются
многообразия линий и поверхностей, не являющихся
в общем случае алгебраическими. Изучение таких
многообразий представляет и самостоятельный интерес
для геометрии. Криволинейной конгруэн-
конгруэнцией в трехмерном пространстне наз. двупараметрич.
семейство Г/ кривых x = x(t, и, v) такое, что через
каждую точку пространства проходит в общем случае
единственная кривая семейства. При фиксированных и
и v выделяется кривая Cf семейства Г<; при фиксиро-
фиксированном t и переменных и, и выделяется поверхность suv,
называемая трансверсальной поверхностью
конгруэнции 1\. Точки кривой С,, в к-рых (xxtxuxv)=0,
наз. фокальными точками. Совокупность
фокальных точек кривых Ct конгруэнции 1\ образует
фокальную поверхность конгруэнции. Поверх-
Поверхность v = v(u) конгру.мгщи 1\, на к-рой кривые С*
имеют огибающую, наз. главной поверхностью
конгруэнции Г(.
Лит.: [1] М а л а х о в с к и й В. С, в кн.: Итоги науки и
техники. Проблемы геометрии, т. 12, М., 1981, с. 31—60.
В. С. Малаховский.
ФИГУРА — подмножество F однородного прост-
пространства Еп с фундаментальной группой G, к-рое можно
включить в систему R (F) подмножеств этого прост-
пространства, изоморфную нек-рому пространству геомет-
рич. объекта Ф (см. Геометрических объектов теория).
Множество R (F) наз. пространством фигу-
фигуры F. Компоненты геометрич. объекта Ф наз. коор-
координатами соответствующей Ф. F. Каждой Ф.
F пространства Еп соответствует класс {Ф} подоб-
подобных геометрич. объектов. Ранг, жанр, характеристика
и тип геометрич. объекта Ф класса {Ф} наз. рангом,

жанром, характеристикой и типом
фигуры F (т.н. арифметические инва-
инварианты фигур ы). Напр., окружность в трех-
трехмерном евклидовом пространстве является фигурой
ранга 6, жанра 1, характеристики 1, типа 1; точка в
трехмерном проективном пространстве — фигурой
ранга 3, жанра 0, характеристики 2, тина 1. Вполне
интегрируемая система уравнений Пфаффа, опреде-
определяющая геометрический объект Ф, наз. систе-
системой уравнен и и стационарности фи-
гуры F. _
Пусть F и F — две Ф. пространства Еп. Если сущест-
существует отображение пространства Я (F) на пространство
R (F), при к-ром любой геометрич. объект, соответст-
соответствующий Ф. F, охватывается любым геометрич. объек-
объектом, соответствующим Ф. F, то говорят, что Ф. /"охва-
/"охватывает или индуцирует Ф. F (Ф. F охваты-
охватывается или индуцируется Ф. F). Ф. F ранга N наз.
простой, если она не охватывает никакой другой Ф.
меньшего ранга. Ф. F наз. индуцирующей фи-
фигурой индекса N <_ N, если существует охваты-
иаемая ею Ф. ранга N, причем ранг N' любой дру-
другой Ф. F', охватываемой Ф. F, не превосходит N. Напр.,
точка, р-мерная плоскость, гиперквадрика в «-мерном
проективном пространстве являются простыми Ф.,
а гиперквадрика в /г-мерном аффинном пространстве
и d-мерная (а!<я — 2) квадрика в га-мерном проектив-
проективном пространстве являются индуцирующими Ф. соот-
соответственно индексов п и (d-\-2)(n— d— 1).
Парой фигур F = (F1, F%) наз. упорядоченная
совокупность двух Ф. Коэффициентом инци-
инцидентности пары Ф. наз. число k = N1-\-N2 — N,
где JVj- (i---l,2) ранг фигуры /'',-, aTV— ранг системы форм
QA, QJi, /,- —1, 2, ..., N;, являющихся левыми частями
уравнений стационарности Ф. Ь\ и F2. Если к~0, то
пара F = (Fi, F2) наз. не инцидентной.
Лит.: [1] Л а п т е в Г. Ф., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1953,
т. 2, с. 275—383: [2] Малаховский В. С, «Тр. Геометр,
семинара. Ин-т научн. ииформ.АН СССР», 1969, т. 2, с. 179—
206; [3] его же, в сб.: Итоги науки и техники. Алгебра. То-
Топология. Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 113—58.
В. С. Малаховский.
ФИГУРНОЕ ЧИСЛО — см. Арифметический ряд.
ФИДУЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ—распределе-
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ—распределение Рх параметра 9 семейства распределений $* =
={Pq, 9 ? в} наблюдения х. Введено Р. Фишером [1]
для числовых 9шв случае, когда функция распре-
распределения F (х \ 9) наблюдения х убывает с ростом 9 так,
что F* (в\х)-А—F (х | 9), рассматриваемая как функ-
функция от 9 при фиксированном х, обладает свойствами
функции распределения (к такой ситуации часто при-
приводит использование в качестве х достаточной статис-
статистики).
Ф. р. определено для инвариантных семейств рас-
распределений (см. [2]—D]). Именно, пусть группа G
преобразований g действует на множествах X и в.
Семейство распределений наз. инвариантным,
если gx имеет распределение PgQ, когда х имеет рас-
распределение Ре- В этом случае рассматривают экви-
вариантные решающие правила 6: X —>• D (такие, что
&(gx) — g&(z) для всех х и g) и инвариантные функции
потерь Lq (d) (такие, что LgQ (gd)-LQ (d) для всех 9,
d и g). Если действие группы G на множестве в тран-
зитивно, то семейство 9* обладает определенным свой-
свойством однородности: для фиксированного значения пара-
параметра 9о и наблюдения х, имеющего распределение Pq0,
распределение gx пробегает все семейство У, когда g
пробегает G. Пусть D — множество вероятностных мер
на в (предполагаются заданными нек-рые 0-алгебры
3i (в) и ffi(X), так что преобразования группы G
измеримы). Пусть действие G на D задано соотноше-

нием (ga)(B) = (x(g-1(B)), В?33(в).Ф. р. описы-
описывается семейством ^' — {Рх, х 6 %\ вероятностных мер
на в, минимизирующее риск \ LqF (х)) dPe (х) в классе
жвивариантных решающих правил для каждой инва-
инвариантной функции потерь, удовлетворяющей условию
типа несмещенности
J Le (a) d$ F) 5s J U) Ф) (Ф F).
Если С действует на X транзитивно, то семейство Ф. р.
однозначно выделяется требованиями инвариантности
5°*—{.Р*: х ? Х\ и совпадения доверительных и фиду-
циальных вероятностей Ре {в ? S {х)\ =Р*Х {в ? S (х)}
для инвариантных семейств S (.т.) (инвариантность S (х)
означает, что из 9 ? S (,r), g ? G следует g9 ? S(gx)).
Лит.: ID FisherR. A., «Proc. (lamb. Philos. Soc», 19.4A,
v. 26, p. 528—35; [2] FraserU. A S. «Bionietrika», 1ЯН1,
V. 48, p. 261 —SO; [3] Климов V. П., «Доил. ЛН СССР», 1970,
т. 191, №4, 763—65; Ш его же, Инвариантные выводы в
статистике, М., 1973. А. Д. Кузьмин.
ФИЛЬТР, дуальный идеал,— непустое под-
подмножество F частично упорядоченного множества Р,
удовлетворяющее условиям: а) если а, Ь ? F и ниж-
нижняя грань inf {а, Ь) существует, то hif{a, h) ? /•';
б) если а ? F и а <: Ь, то b ^ /•'. Понятие Ф. является
двойственным к понятию идеала частично упорядочен-
упорядоченного множества.
Фильтром над непустым множеством Е
(пли в множестве Е) наз. собственный Ф. частично
упорядоченного (относительно включения) множества
подмножеств множества Е, т. е. любая непустая сово-
совокупность F подмножеств множества /?, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям: если A, B?F, то А (} И ? F; если А ?/•'
и A ct В, то В ? /''; пустое подмножество не принад-
принадлежит F.
Базой фильтра наз. система подмножеств
множества Е, удовлетворяющая двум условиям: 1)
пустое множество ей не принадлежит; 2) пересечение
двух принадлежащих ей подмножеств содержит нек-рое
третье принадлежащее ей подмножество. Каждый Ф.
полностью определяется любой из своих баз. Система
всех подмножеств множества Е, каждое из к-рых
содержит какой-нибудь элемент базы Ф., есть Ф. Он
наз. натянутым на эту базу.
Множество всех Ф. над данным множеством частично
упорядочено по включению. Максимальный элемент
его наз. ультрафильтром (ультрафильтром
наз. также максимальный собственный Ф. в любой
булевой алгебре).
П р и м е р ы Ф. 1) Пусть Nk — подмножество нату-
натуральных чисел, кратных натуральному числу /с; си
стема {Nfr : fc=l, 2, . . .} есть база Ф.; натянутый на
эту базу Ф. состоит из подмножеств, каждое из к-рых
содержит нек-рое подмножество JVj. 2) Совокупность
всех подмножеств, содержащих любое непустое фик-
фиксированное подмножество А?Е, является Ф. над Е,
называемым главным фильтром. Все Ф. над
конечными множествами — главные. 3) Если Е —-
бесконечное множество мощности а и F ~- совокупность
всех подмножеств множества Е, дополнения к-рых
имеют мощность меньше а, то F является Ф. (он наз.
фильтром Фреше). Фильтр Фреше — пример
неглавного Ф. 4) Система подмножеств, содержащих
нек-рую фиксированнун) точку множества, тоже есть
Ф., более того, это — ультрафильтр. 5) Пусть на
множестве Е задана топология, тогда окрестности
любой точки х?Е образуют Ф.
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Общая топология. Основные
структуры, пер. с франц., М., 19A8; [2] К он П., Универсаль-
Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; 13] МальдевА. И.,
Алгебраические системы, М., 1970.
В. И. Малыхин, Т. С. Фофанова,

ФИЛЬТРОВАННАЯ АЛГЕБРА —алгебра S, в крой
выделены подпространства Sa, индексированные пле-
.ментами линейно упорядоченной группы А (чаще всего
А — аддитивная группа целых чисел %), таким обра-
образом, что 5а9=5р при а < E и 5а5рС=5а + E (воз-
(возрастающая фильтрация). Иногда рассматри-
рассматривают случай, когда Sa 13 5р при а < |3 (убываю-
(убывающая фильтрация), но он сводится к предыду-
предыдущему путем обращения порядка в группе А. С каждой
Ф. a. S ассоциируется градуированная алгебра
где Я« —Л'а/2р<а Sp (если А-- Z, TOjSa=_Sa/Sa_i),
а произведение элементов х ? Sa и у ? 5р опреде-
определяется по формуле ху = ху, где х, у — представители
смежных классом х, у, а ху — смежный класс по
2 Sy, порожденный элементом ху ? ?'а + р. Если
в алгебре 5 выполняется какое-либо полилинейное
тождество (напр., коммутативность, ассоциативность
или тождество Якоби), то н алгебре gr S также выпол-
выполняется это тождество.
Примеры. 1) Пусть S — Клиффорда алгебра
и Sn, п ? 2,— совокупность элементов, предстанимых
в виде (некоммутативных) многочленов степени <кот
образующих. Получается возрастающая % -фильтрация
алгебры S, в к-рой ^„^Оприге < 0. Ассоциированной
градуированной алгеброй будет внешняя алгебра с тем
же числом образующих.
2) В универсальной обертывающей алгебре алгебры
Ли так же, как в предыдущем примере, определяется
возрастающая Z-фильтрация. Согласно Биркгофа —
Витта теореме, ассоциированная градуированная ал-
алгебра есть алгебра многочленов. э. Б. Винберг.
ФИЛЬТРОВАННЫЙ МОДУЛЬ—модуль М, снаб-
снабженный возрастающей или убывающей фильтра-
фильтрацией, т. е. возрастающим или убывающим семейством
подмодулей (Мп) Фильтрация наз. и с ч е р п ы-
пагсщей, если М = U Мп, и отделимой, если
П , „М„=0. Если ./V —подмодуль Ф. м. М, то на N
и M/N естественным образом определяются фильтра-
фильтрации. Если М ~~2j g ™ ^(п)—градуированный модуль,
то подмодули Мп--Ji,. М,,-) определяют в М исчер-
исчерпывающую и отделимую убывающую фильтрацию.
Обратно, с любым Ф. м. М, снабженным, напр., убы-
убывающей фильтрацией, связывается градуированный
модуль
М ©
где щтпМ = Мп/Мп + 1. Фильтрация (^n)ng % опреде-
определяет на модуле М топологию, в к-рой подмодули Мп
составляют фундаментальную систему окрестностей
нуля. Эта топология отделима тогда и только тогда,
когда фильтрация отделима, и дискретна тогда и только
тогда, когда Мп = 0 для нек-рого п.
Лит.: Ш Б у р б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер.
с франц., М., 1971. А. Л. Онищик.
ФИНАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ, терминальный
объект, категории — понятие, формализующее свой-
свойства одноточечного множества. Объект Т категории R
наз. финальным, если для любого объекта X
из ,й множество Н(Х, Т) состоит из одного морфизма.
Ф. о. наз. также правым нулем категории ,ff.
Дуальным образом определяется левый нуль,
или инициальный объект, категории.
В категории множеств Ф. о. являются одноточечные
множества и только они. В любой категории с нуле-
нулевыми объектами Ф. о. являются нулевые объекты. Не-

стандартные примеры Ф. о. возникают в различных
категориях диаграмм, где понятие Ф. о. по существу
эквивалентно понятию предела диаграммы. Напр.,
пусть а, р1 : Л-кВ и пусть Eqj(a, р4) — категория левых
уравнителей пары (а, р4); другими словами, объекты
Едг (а, Р) — это морфизмы X —>¦ А , для к-рых ц.а=
= [хр\ а морфизмы из Eq?(a, P) — это такие морфизмы
(X) ( )
[р рф q?(, P) рф
7 : (X, ix) -->- (У, а), для к-рых уа=ц,. Ф. о. категории
Eqi(a, p) — это ядро пары морфизмов (a, P).
М. ДГ. Цаленко.
ФИНИТИЗМ — идущая от Д. Гильберта (D. HiJ-
bert) методология, точка ярения на то, какие объекты
и способы рассуждений в математике следует считать
абсолютно надежными. Основные требования Ф. та-
таковы :
1) объекты рассуждений — конструктивные объекты,
напр, цифровые записи натуральных чисел, формулы
в символич. языке и их конечные совокупности;
2) применяемые операции однозначно определены и
принципиально выполнимы (вычислимы);
3) никогда не рассматривается множество всех пред-
предметов х какой-либо бесконечной совокупности; все-
всеобщее суждение А (х) есть высказывание о произ-
произвольном объекте х, к-рое подтверждается в каждом
конкретном случае;
4) утверждение о существовании объекта х, облада-
обладающего свойством А (г), означает либо предъявление
конкретного такого объекта, либо указание способа
его построения.
Ограничения Ф. на логику близки к интуиционист-
интуиционистским, хотя в целом финитная точка зрения является
более жесткой. Рассуждение, удовлетворяющее тре-
требованиям 1) — 4), не выводит за рамки интуицио-
интуиционистской арифметики (см. Интуиционизм).
После проведения формализации (см. Аксиоматиче-
Аксиоматический метис)) содержательные математич. теории ста-
становятся конструктивными объектами (совокупностями
конструктивных объектов). В рамках подхода Д. Гиль-
Гильберта и его последователей Ф. нужен для изучения
таких формализованных теорий; надежно установлен-
установленными считаются только те свойства теорий, к-рые
докапаны финитными методами. Гёде.ля теорема о не-
неполноте показала принципиальную недостаточность
финитных средств для подобного обоснования мате-
математики. Это привело к необходимости расширить при-
применяемые в теории доказательств средства за рамки Ф.
Лит.: [1J К .1 и н и С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957; [2] Ф р е н к с л ь А., Б а р - X и л-
л е л И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; UJ
Гильберт Д., Б е р н а й с П., Основания математики.
Логические исчисления и формализация арифметики, пер.
с нем., 2 изд., М., 1982. С. Я. Артемов.
ФИНИТНАЯ ЗАДАЧА — см. Финитная общезна-
общезначимость.
ФИНИТНАЯ ОБЩЕЗНАЧИМОСТЬ — одна из не-
классич. интерпретаций логич. формул, предложенная
с целью уточнения выдвинутом А. Н. Колмогоровым
программы истолкования интуиционистской логики
высказываний как исчисления за д а ч.
А. Н. Колмогоров высказал [1] идею, что наряду с
традиционной логикой, к-рая систематизирует схемы
доказательств теоретич. истин, возможна также логи-
логика, систематизирующая схемы решения задач. Не уточ-
уточняя понятия задачи, можно, однако, рассматривать
нек-рые конкретные задачи, напр.:
1) найти четыре натуральных числа х, у, z, га, для
к-рых выполняются соотношения: х" -)- у" — г", н > 2;
2) доказать ложность Ферма теоремы;
3) в предположении, что число я выражается в виде
п=т/п, где т, п — целые числа, найти аналогичное
выражение для числа е.
Можно также естественным образом определить сле-
следующие операции над задачами. Если 31 и 5В — нек-рые

задачи, то Э(&33 означает задачу: «решить обе задачи
31 и ^»; 9lv5S означает «решить хотя бы одну из за-
задач 91, 5P»; St id 5В означает задачу: «предположив, что
дано решение задачи 81, найти решение задачи 5В (т. е.
свести задачу 91 к задаче S3)»; ~| 91 означает задачу:
«предположив, что дано решение задачи ЗГ, придти
к противоречию».
Если в пропозициональную формулу, построенную
из неременных а, Ъ, с, ... с помощью логич. связок
&, V, з, П, вместо переменных подставить какие-
либо задачи, то в соответствии с указанными опера-
операциями получится нек-рая задача. Формула наз. о б-
щ е а н а ч и м о й, если существует общий метод,
позволяющий решить любую задачу, полученную та-
таким способом из данной формулы. Все формулы, вы-
выводимые в интуиционистском исчислении высказыва-
высказывании, оказываются общезначимыми и :>том смысле. В то
же время формула Av~\A, выражающая классич.
закон исключенного третьего, не может быть обще-
общезначимой, т. к. ее общезначимость означала бы воз-
возможность общего метода, позволяющего для любой
задачи либо получить ее решение, либо привести к
противоречию предположение о существовании такого
решения.
Описанная интерпретация логич. формул не явля-
является достаточно строгой и требует уточнения таких
понятий, как «задача», «решение задачи», «общий
метод». Одним из таких уточнений является понятие
Ф. о., предложенное Ю. Т. Медведевым [2|.
Финитной задачей наз. всякая задача, решение
к-рой является элементом нек-рой заранее известной
непустой конечной совокупности F допустимых возмож-
возможностей; множество решений задачи может быть пустым.
Таким образом, финитная задача может рассматри-
рассматриваться как упорядоченная пара 31--</¦", Ху, где F —
конечное множество допустимых возможностей для 91,
а X—множество решений (Xr~F). Если З!™^, Ху,
пишут ^=ф(Щ), Х^%(Щ. Пусть 91, л 94— произ-
произвольные финитные задачи, причем
ф №) = /'/, XOU/)=X,-, * = 1, 2.
Следующим образом определяются операции над
финитными задачами. Для конъюнкции 9l = 3lj&3l2 по-
полагают
Ф C1) = Ь\ X F2, % C1) - XiXX,,
где через АхВ обозначено декартово произведение
множеств А и В, т, е. множество всех упорядоченных
нар <а, by, а ? Л, Ь ? В. Для дизъюнкции 91 = 3liV9t2
полагают
где через А | В обозначено упорядоченное объединение
множеств Л и В, т. е. теоретико-множественное объеди-
объединение множеств Лх{1} и Вх{2]. Для импликации
31 = 3li ID 31г полагают ф (91) ~ F-i' —множество всех ото-
отображений /"'j в F2, у (9С) — множество таких / из Ft'*
что /(X^clj. Отрицание "~| 31 задачи 31 определяется
как задача 9(о31о, где Шо — фиксированная задача
с пустым множеством решений (все дальнейшие построе-
построения не зависят от выбора конкретной такой задачи).
Подставив в пропозициональную формулу А(ръ ...,рп)
какие-либо финитные задачи 3lj, ..., 3fn вместо пере-
мешшх ри ..., рп, получают cocTaBHynj задачу sh —
=Л (91j, ..., 31„). Ifpir этом фC1) определяется лишь
множествами F^ ~-<p(sUi), ..., Fn = (p (9tn) и не зависит
от -X]—%C1]), ..., Хп — х(9С„).. При фиксированных
множествах А'], ..., /¦'„ иыбору разных множеств Х,-?= F(,
1~1, ...,/(, будут отвечать разные задачи А (Щ, ..., %п)
с одним и тем же множеством F и, вообще говоря,
разными множествами X. Если существует элемент
из F, принадлежащий всем таким X, то говорят, что

формула А разрешима на системе множеств F ъ ...,Fn.
Если формула А(рл, ..., рп) разрешима на любой
системе непустых конечных множеств 1<\, . .., Fn, то
она наз. всегда разрешимой или финитно
общезначимой. Это определение имеет прозрачный
смысл: Ф. о. формулы А означает, что можно решить
любую задачу Л(%х, ..., 5J[n), зная лишь множества
допустимых возможностей задач 9tb ..., 91„.
Множество ML всех финитно общезначимых пропо-
пропозициональных формул замкнуто относительно выводи-
выводимости в интуиционистском исчислении высказываний
и содержит все формулы, выводимые в этом исчисле-
исчислении. Тем самым ML является промежуточной (или
суперинтуиционистской, суперконструктивной) логикой,
наз. логикой Медведева. Эта логика содержит
формулы, не выводимые в интуиционистском исчисле-
исчислении высказываний (такова, напр., формула (~]azD
ГЗ (Ь V с)) гз (( ~\а Z) Ь) v ('la Z) с))). Логика Медведева
обладает свойством дизъюнктивности: если формула
вида А V В финитно общезначима, то по крайней
мере одна из формул А или В финитно общезначима.
Если пропозициональная формула не содержит какого-
либо из логич. знаков"], V, ГЭ, то она финитно обще-
общезначима тогда и только тогда, когда выводима в ин-
интуиционистском исчислении высказываний. Все финитно
общезначимые формулы выводимы в классич. исчисле-
исчислении высказываний; в то же время, напр., классически
выводимая формула ау~\а не является финитно обще-
общезначимой. Получены характеризации логики Медведева
в терминах алгебраич. моделей. Понятие Ф. о. различ-
различными способами может быть распространено на пре-
предикатные формулы.
Лит.: [1] Колмогорова., «Math. Z.» 1932, Bd 35,
S. 58 — 65; [2] М « д в о д е в 10. Т., «Докл. АН СССР», 1962,
т. 142, № 5, с. 1(IГ>--18; 1966, т. 1В9, № 1, с. 20 — 23.
ФИНИТНАЯ ФУНКЦИЯ —функция, определенная
в нек-рой области пространства Еп и имеющая при-
принадлежащий к этой области компактный носитель. Точ-
Точнее, пусть функция /(¦ж) = /(ж1, ..., хп) определена
на области Q cz Kn. Носителем / наз. замыкание
множества точек х ? Q, для к-рых / (х) отлично от ну-
нуля (/ (х) т= 0). Таким образом, можно еще сказать, что
Ф. ф. в Q есть такая определенная на Q фупкция,
что ее носитель Л есть замкнутое ограниченное множе-
множество, отстоящее от границы Г области Q на расстоя-
расстоянии большем, чем б > 0, где б достаточно мало.
Обычно рассматривают непрерывно дифференцируе-
дифференцируемые к раз Ф. ф., где к — заданное натуральное число.
Еще чаще рассматривают бесконечно дифференцируе-
дифференцируемые Ф. ф. Функция
[ „-1/A X | 2-1) . , . 2-. V" г?
¦ф (z)=J e , \х\<1, х -2./=1 Х1>
\ 0, М2г=1,
может служить примером бесконечно дифференцируе-
дифференцируемой Ф. ф. в области Q, содержащей в себе шар | а; | < 1.
Множество всех бесконечно дифференцируемых Ф. ф.
в области йс?* обозначают D. Над D определяют
линейные функционалы (обобщенные функции). При
помощи функций v ? D определяют обобщенные реше-
решения краевых задач.
В теоремах, посвященных задачам на нахождение
обобщенных решений, часто важно знать, является ли
пространство D плотным в нек-ром конкретно заданном
пространстве функций. Известно, напр., что если гра-
граница Г ограниченной области Q с Еп достаточно глад-
гладкая, то D плотно в пространстве функций
A<р< оо), т. е. в пространстве функций класса
Wp (Q) Соболева, равных нулю на Г вместе со своими

нормальными производными До норядка г — 1 вклю-
включительно (г —1,2,...).
Лит.: [1] В л а д и м и р о в В. С, Обобщенные функции
в математической физике, 2 изд., М., 1979; [2] С о б о л е в С. Л.,
Некоторые применения функционального анализа в математи-
математической физике, Новосиб., 1962. С. М. Никольский.
ФИНИТНО АППРОКСИМИРУЕМАЯ ГРУППА
группа, аппроксимируемая конечными группами. Пусть
G — группа, р — отношение (иначе говоря, предикат)
между элементами и множествами элементов, опреде-
определенное на G и всех ее гомоморфных образах (напр.,
бинарное отношение равенства элементов, бинарное
отношение «элемент х входит в подгруппу у», бинарное
отношение сопряженности элементов и т. п.). Пусть К —
класс групп. Говорят, что группа баппроксими-
руется группами из К относитель-
относительно р, если для любых элементов и множеств элементов
из G, не находящихся в отношении р, существует
такой гомоморфизм группы G на группу из К, при
к-ром образы этих элементов и множеств тоже не на-
находятся в отношении р. Аппроксимируемость относи-
относительно равенства элементов наз. просто аппроксимиру-
аппроксимируемостью. Группа тогда и только тогда аппроксими-
аппроксимируется группами класса К, когда она вкладывается в
декартово произведение групп из К. Финитная ап-
аппроксимируемость относительно р обозначается ФАр;
в частности, если р пробегает предикаты равенства,
сопряженности, вхождения в подгруппу, вхождения
в конечно порожденную подгруппу п т. п., то получа-
получаются свойства (и классы) ФАР, ФАС, ФАВ, ФАВШ
и т. п. Из наличия этих свойств в группе вытекает
разрешимость соответствующей алгоритмич. про-
проблемы.
Лит.: [1]КаргаполовМ. И., МерзляковЮ. И.,
Основы теории групп, 3 изд., М., 1982. Ю. II. Мерзляков.
ФИНИТНО АППРОКСИМИРУЕМАЯ ПОЛУГРУП-
ПОЛУГРУППА, резидуально конечная полу-
полугрупп а,— полугруппа, для любых двух различных
элементов а и Ь к-рой существует такой ее гомоморфизм
Ф в конечную полугруппу S, что (р(а)Фц>(Ь). Свойство
полугруппы S быть Ф. а. п. эквивалентно тому, что
S — иодпрямое произведение конечных полугрупп.
Финитная аппроксимируемость является одним из
важных условий конечности (см, Полугруппа с усло-
условием конечности); оно тесно связано с алгоритмиче-
алгоритмическими проблемами: если S — конечно определенная
Ф. а. п., то в ней алгоритмически ранрешима проблема
равенства слов.
Ф. а. и. будут свободные полугруппы, свободные
коммутативные полугруппы, свободные ге-ступенно
нильпотентные полугруппы, свободные инверсные по-
полугруппы (как алгебры с двумя операциями), полуре-
полурешетки, конечно порожденные коммутативные полу-
полугруппы [1], конечно порожденные полугруппы матриц
над нильпотентным или коммутативным кольцом, ко-
конечно порожденные n-ступенно нильпотентные в смы-
смысле Мальцева (см. Нилъпотентная полугруппа) регу-
регулярные полугруппы [4], см. также Финитно аппрок-
аппроксимируемая группа.
Прямое произведение, свободное произведение, ор-
ординальная сумма (см. Связка полугрупп), О-прямое объ-
объединение произвольного множества Ф. а. п. сами будут
Ф. а. п. Другие конструкции, вообще говоря, не
сохраняют финитную аппроксимируемость. Идеальное
расширение Ф. а. п. S при помощи произвольной
Ф. а. п. будет Ф. а. п., если, напр., S редуктив-
н а я, т. е. любые два различных элемента из S инду-
индуцируют различные левые и различные правые внутрен-
внутренние сдвиги, в частности, если S с сокращением или
инверсная. Полурешетка нек-рого семейства редук-
тивных Ф. а. п. будет Ф. а. п.
Если S — Ф. а. п., то все ее максимальные под-
подгруппы финитно аппроксимируемы. Для нек-рых типов

полугрупп указанное необходимое условие будет и
достаточным; таковы: регулярные полугруппы с ко-
конечным числом идемпотентов в каждом главном фак-
факторе [2], клиффордовы инверсные полугруппы, вполне
0-простые полугруппы с конечным числом X- или 54-
классов (см. Грина отношения эквивалентности). Для
ряда классов полугрупп описание Ф. а. п. в них полу-
получено в терминах, не использующих редукцию к мак-
максимальным подгруппам.
Несколькими способами описаны многообразия, со-
состоящие из Ф. а. и. [3]. Одно из таких описаний сле-
следующее. Пусть L, R, N, I — двухэлементные полу-
полугруппы левых нулей, правых нулей, с нулевым ум-
умножением и полурешетка соответственно, Р — трех-
трехэлементная полугруппа {е, р, 0}, где е'2=е, ер = р,
остальные произведения равны 0, аР* — полугруппа,
антиизоморфная Р. Многообразие М состоит из Ф. а. п.
тогда и только тогда, когда М порождается подмноже-
подмножеством одного из следующих трех множеств: {L, R, N,
I, G}, {R, Р, С}, {L, Р*, С}, где G — конечная группа
с абелевыми силовскими подгруппами, С — конечная
циклич. группа.
Лит.: [1] М a ;i ы[ с в А. И., «Уч. зап. Ивановского псд.
ин-та», 1958, т. 18, с. 49 — 60; L2J Г о л у б о в Э. А., «Матии.
заметки», 1975, т. 17, № 3, с. 423 — 32; L3] Г о л у б о в Э. А.,
С а п и р М. В., «Докл. АН СССР» 1979 т. 247 JMi 5 с. 1 037 —
1041; [4] L а 1 1 е m e n t G., «Pacific J. Math.», 1972, V. 42,
№ 3, p. 693—700. Э. А. Голубое, Л. Н. Шеврии.
ФИНСЛЕРОВА ГЕОМЕТРИЯ метрическое обоб-
обобщение римаиовой геометрии, возникающее вслед за
введением общего определения длины вектора, не ог-
ограниченного частным римановым определением в виде
корня квадратного из квадратичной формы. Разви-
Развитие такого обобщения начинается с работы П. Финс-
лера [1].
Предметом изучения в Ф. г. является действитель-
действительное TV-мерное дифференцируемое многообразие М (но
меньшей мере класса С3) с системой локальных коор-
координат х1, на к-ром задана действительная неотрица-
неотрицательная скалярная функция F (х, у) от 2N независимых
переменных х' и у1, где у'—компоненты контрава-
риантных векторов, касательных к М и опирающихся
на точку х'. Пусть F (х, у) принадлежит классу С3
по х', и пусть в каждом касательном к М простран-
пространство Мх существует такая область Мх, что, во-пер-
во-первых, она является конической (в том смысле, что если
какой-либо вектор у', опирающийся на нек-рую точ-
точку х', принадлежит Мх, то М*х принадлежит и любой
другой касательный вектор, коллмнеарный у' и опи-
опирающийся на ту же точку х<), и. во-вторых, F (ж, у)
принадлежит классу С5 по у' ? Мх. Ненулевые век-
векторы у1 ? Мх наз. допустимыми. Пусть, далее, для
любого допустимого у1 и любой точки х' справедливо:
F (ж, у) > 0, det (d2F* (х, у)/ду' ду)) ф 0,
а также пусть функция F (ж, у) положительно однородна
нерпой степени по у1, т. е. F (x, ky)—-kF(x, у) при
любом к > 0 для всех х' и допустимых у'. При этих
условиях тройка (М, Мх, F (х, у)) наа. jY-мерным
финслеровым пространством, a F—финс-
леровой метрической функцией. Значение
функции /' (х, у) понимается как длина вектора у1,
опирающегося на точку х'.
Если финслерово пространство допускает такую
координатную систему я', что F не зависит от этих х,
то оно наз. пространством Минковского.
Последнее находится в таком же отношении к финсле-
рову пространству, в каком евклидово пространство
к риманову пространству. Финслерово пространство
называется положительно определенным,
если на F наложены условия, обеспечивающие

• , d*F*(x, у)
положительную определенность квадратичной формы
''У'A, у)
: у при люоых х1 и ненулевых у1.
ду' dyJ
Наложение условия однородности на F по у' имеет
ясный геометрич. смысл с точки зрения инвариантных
понятий, имеющихся в центроаффинных пространствах,
каковыми являются касательные пространства Мх.
Именно, отношение длин любых двух коллинеарных
векторов у\ и У2 — ку[ из Мх может быть инвариантно
определено следующим образом: у\1у\=у\1у\= ...=*,
что не включает никакой метрич. функции. Таким
образом, наложенное на F условие однородности яв-
является условием согласованности финслерова определе-
определения длины с частным центроаффинным определением;
финслерова метрич. функция требуется для сравнения
длин неколлинеарных векторов.
Тензор
_ 1 О'Рг (х, у)
вi/ - ~ ~—";—
" Ву'ву1
наз. ф и н с л е р о в ы м метрическим т е п-
з о р о м. В силу теорем Эйлера об однородных функ-
функциях
F" (.г, y)=gi/ (х, у) ylyJ, yi^—8F (х; — ,
By'
где, по определению, т~gij(x, у) у1. Эти формулы
представляют собой непосредственное обобщение своих
римановых аналогов, вытекающее из одного лишь
условия однородности. Ф.г. сводится к римановой в
случае, когда метрлч. тензор g[j (.r, у) предполагается
не зависящим от у". Последнее условие можно запи-
записать ii виде C;jk = (), где
Г. .. ,~ -л _. ' 8g'V (Y' J/) - 1 O'F'ix, у)
"ijR\",a) 2 Qyk — 4 i а j ¦ ft
наз. картановским тензором кручения.
Он удовлетворяет тождеству у'С^^ = 0. Все финслеровы
соотношения переходят в свои римановы аналоги при
обращении в нуль тензора С,уд,. Символы Кристоф-
феля у^-(х,у), построенные по финслерову метричес-
метрическому тензору но той же формуле, что и в римановой
геометрии, не подчиняются закону преобразования ко-
коэффициентов связности. Тем не менее из первых про-
производных от финслерова метрич. тензора можно по-
построить коэффициенты связности такие, что (как и в
римановой геометрии) ковариантная производная от
метрич. тензора будет обращаться в нуль. Они наз.
картановским и коэффициентами связ-
связности и имеют вид
Г*/ {х, У) - yti-
где
Из коммутаторов различных ковариантных производ-
производных находятся выражения финслеровых тензоров кри-
низны.
В каждом касательном пространстве Мх финслерова
метрич. функция определяет (N — 1)-мерную гиперпо-
гиперповерхность F (ж, у)-1 (где х' рассматриваются фикси-
фиксированными, у'—произвольными), наз. индикатри-
индикатрисой. Индикатриса образуется концами единичных
касательных векторов V = y'/F (x, у), опирающихся на
точку х'. Фундаментальное значение понятия индикат-
индикатрисы видно уже из того, что вследствие однородности
финслеровой метрич. функции индикатриса в точке z>
однозначно определяет вид финслеровой метрич. функ-
функции F (х, у) в этой точке х'. В римановом случае
индикатрисой является сфера. Вообще говоря, инди-

ка i рясой фпнслерова пространства может быть поверх-
поверхность довольно общего вида. Финслеров метрич. тензор
индуцирует на индикатрисе риманову метрику, превра-
превращая ее в риманово пространство. При каждом фикси-
фиксированном х финслеров метрич. тензор является рима-
новым по переменным у. Пара (Мх, gi/{x, J/)), где хп
фиксированы, а у" переменны, на.ч. касательным
римановым пространством в точке х (ен-
клидово пространство в случае римановой геометрии);
риманов тензор кривизны этого пространства сводится
к'выражению С^СЧк — С^Сщ. Индикатриса является
гиперповерхностью, вложенной в касательное риманово
пространство. Ближайшим примером финслеровои мет-
метрич. функции является корень /-Й степени из формы
f-ro порядка.
Пусть / (х) и тА (ж) —действительные скалярные функ-
функции ' класса С3, в каждой точке х удовлетворяющие
условиям / Ф 0, 1, 2 и гА 5^0, a Sf (x) суть N ли-
линейно независимых действительных ковариантных век-
векторных полей класса Ся, А — 1, 2, ..., Аг. Тогда дли
кривизна индикатрисы постоянна и равна f2/i(f—1),
а для
тензор кривизны индикатрисы равен нулю. Определи-
Определитель финслерова метрич. тензора не зависит от ;/' тогда
и только тогда, когда 6',- —0, где С; — С"п. Если финс-
лерово пространство положительно определено и ин-
индикатриса— выпуклая поверхность, то С; ф 0. Функ
ция F2— единственный известный A984) пример финс
леровой метрич. функции, для к рой С, -0 (не считая
собственно риманова случая).
Можно выделять специальные типы финслеровых
пространств, постулируя какой-либо специальный вид
характерных финслеровых тензоров. Если основное
многообразие М допускает поле реперов Si (x) гло-
глобально, a F* (уА)—метрич. функция какого-либо про-
пространства Минковского, то на М можно ввести фнн-
слерову метрич. функцию:
F(x», yi)-F*(Sf{xn)y!).
li ;)том" случае финслерово пространство и метрич.
функция наз. 1-ф о р м о в ы м. и. Функции Fy и F2
являются 1-формовыми, когда / и гА константы. Про-
Пространства 1-формовые можно считать наиболее про-
простыми с точки зрения способа вхождения переменных
х" в метрич. функцию. Финслерово пространство наз.
С-с водимым, если оно не является римановым,
iV>2 и картановский тензор кручения представляется
в виде
C(hC + llC + hC)
где hij — gij—ljlj. Пространства ^'-сводимые могут
иметь метрич. функции только двух типов: либо мет
рич. функцию К ретиной /^^aVP, либо метрич. функ-
функцию Рандерса F4 = а + Р, где р1 =!>[ (х) if, aa = o,-y;/'///,
Ь{(х) — ковариантное векторное поле, о,у (х) — рима-
риманов метрич. тензор. Напр., функция Лагранжа проб-
пробного электрич. заряда в гравитационном и электро-
электромагнитном полях является функцией Рандерса. Финс-
Финслеров метрич. тензор, отвечающий функции /''2, имеет
сигнатуру (-) — .. .), что делает ее интересной для
развития финслерова обобщения общей теории относи-
относительности; такая сигнатура встречается и в случае

выбора метрич. функций вида /"V Такое обобщение
можно основывать на концепции соприкосновения ри-
манова пространства финслеровым, согласно к-рой
каждому векторному полю у' (х) финслеров метрич.
тензор ставит в соответствие т. н. соприкасающийся
риманов метрич. тензор gmn(x. y{x)). Выделяя зави-
зависящие, только от х'1 тензорные поля zA (х), из к-рых
строится финслерова метрич. функция согласно F (х, у)=
= о (zA (х), у), где v—скалярная функция, можно
трактовать zA как собственно гравитационные полевые
переменные. Финслерова геометризация пространства-
времени дает также возможность развивать теорию
физич. полей с различными внутренними симметриями,
опираясь на понятие группы преобразований каса-
касательных векторов (/', оставляющих инвариантной финс-
лерову метрич. функцию.
Лит.: [1] F г n s 1 е г P., t)ber Kurven und Flachen in allge-
meiaen Raumen, Gott., 1918 (Diss.); [2] РундХ., Дифферен-
Дифференциальная геометрия финслеровых пространств, пер. r англ.,
М., 1981; [3] A s a n о v 6. S., Finslerlan Extension of General
Relativity, Dordrecht, 1984. Г. С. Асаиов.
ФИНСЛЕРОВА МЕТРИКА — метрика пространства,
задаваемая действительной положительной и положи-
положительно определенной выпуклой функцией F(x, у)
координат х и компонент контравариантных векторов
у, опирающихся на точку х. Пространство, наделенное
Ф. м., на.ч. финслеровым, а геометрия его —
финслеровой геометрией. м. И. Войцехоеекий.
ФИНСЛКРОВО ПРОСТРАНСТВО обобщение
риманова пространства, пространство, в малых обла-
областях к-рого имеет место приближенно М инковспого гео-
геометрия. По существу, Ф. п.— то же, что ф и н с л е-
р о в о многообразие, т. в. дифференцируемое
многообразие, наделенное финслеровой метрикой.
М. И. Войцеховспий.
ФИНСЛЕРОВО ПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННОЕ -
пространство с внутренней метрикой, подчиненное
нек-рым ограничениям на поведение кратчайших (т. е.
кривых, длины к-рых равны расстояниям между кон-
концами). К таким пространствам относятся <3-простран-
ства (см. Геодезически:!: геометрия) и, в частности,
финслеровы пространства, так что рассматриваемые
пространства можно характеризовать как обобщение
финслеровых, а не только римановых пространств.
Ф. п. о. отличаются от финслеровых не только боль-
большей общностью, но и тем, что их определяют и ис-
исследуют, исходя из метрики, без координат.
G-u p о с т р а н с т в о можно определить как ко-
конечно компактное пространство (т. е. в нем замкнутые
ограниченные множества компактны) с внутренней ме-
метрикой, в к-ром кратчайшие локально однозначно про-
продолжаемы, т. е. выполняются следующие два условия.
1) Существование продолжения: у
каждой точки есть такая окрестность U, что для вся-
всякой кратчайшей ABczU существует кратчайшая
ACz^AB, СфВ.
2) Единственность продолжения,
или «неналегание»: если ACzdAB и ACtZDAB, то либо
ACzdACx, либо АС^АС. Само существование крат-
кратчайших обеспечено конечной компактностью: в ко
нечно компактном пространстве с внутренней мет-
метрикой любые две точки соединимы кратчайшей. Из
однозначной продолжаемости следует локальная един-
единственность кратчайшей с данными концами. Таким
образом, G-пространство можно характеризовать как
конечно компактное пространство, в к-ром любые две
точки, соединилше кратчайшей и локально кратчайшей,
имеют основные свойства прямолинейных отрезков.
Для пространства с внутренней метрикой конечная
компактность равносильна сочетанию локальной ком-
компактности и полноты (см. |3]).
G-пространство топологически однородно, т. е. для
любых двух точек в нем существует гомеоморфизм

пространства на себя, переводящий одну из этих точек
в другую. Более того, такой гомеоморфизм можно
выбрать изотопным тождественному. G-пространства
размерности <:3 являются топологич. многообразия-
многообразиями. Конечномерное G-пространство обладает свойством
инвариантности областей, т. е. если одно из двух
гомеоморфных подмножеств его открыто, то и другое
открыто. Неизвестно A984), является ли всякое G-
пространство конечномерным.
Множество V в пространстве М с внутренней мет-
метрикой наз. выпуклым, если любые точки X, Y?V
соединимы в М кратчайшей XY я всякая такая крат-
кратчайшая содержится в V. Пространство М обладает
свойством в f.i пук л ости малых шаров, если
у всякой его точки существует окрестность такая, что
всякий содержащийся в ней шар выпуклый. Всякое
G-пространство с малыми выпуклыми шарами конеч-
конечномерно. В частности, это верно для G-пространств
с кривизной <Я (см. Риманово пространство обобщен-
обобщенное) и для G-пространств неположительной кривизны
(в смысле Буземана). Последнее означает, что ло-
локально во всяком треугольнике, составленном из
кратчайших, длина сродней линии треугольника не
больше половины соответствующей стороны треуголь-
треугольника. То же верно и для С-пространств с кривизной
^К (см. [4]).
Движением метрич. пространства наз. отоб-
отображение пространства на себя, сохраняющее расстоя-
расстояния между точками. Группа всех движений компакт-
компактного G-пространства с компактно открытой топологией
является группой Ли (см. [1]). Это верно, и в неком-
некомпактном случае, если G-пространство удовлетворяет
условию выпуклости малых шаров (см. [6]).
Метрич. пространство однородно, если для любых
двух точек пространства существует движение, пере-
переводящее одну из точек в другую. Движение Ф метрич.
пространства наз. симметрией относительно точ-
точки р, если Ф(Ф(х)) -х для всех .г, и р — изолирован-
изолированная неподвижная точка отображения Ф. Пространство
наз. с и м м е т р и ч с с к и м, если для любой точки
его существует симметрия относительно этой точки,
Симметрич. G-пространства однородны и удовлетво-
удовлетворяют условию выпуклости малых шаров. Группа всех
движении однородного <7-пространстма есть группа
Ли, а само пространство — топологич. многообразие
(см. |Г>]). Симметрич. G-пространство является фин-
слеровым пространством с выпуклыми индикатрисами.
Если, кроме того, между любыми двумя кратчайшими,
исходящими из одной точки, существует угол, то про-
пространство является симметрическим римановым про-
пространством.
Пусть М — метрич. пространство с метрикой {>,
снабженное структурой группы. Метрика р наз. л е-
в о и н в а р и а н т н о и, если отображение левого
сдвига на элемент ц есть движение пространства. Ана-
Аналогично определяется правоинвариантная
метрика. Метрика, одновременно лево- и правоинва-
правоинвариантная, наз. би инвариантно й. G-простран-
G-пространство, являющееся группой с биинвариантной метрикой,
является симметрич. группой Ли (см. [5]) и, следо-
следовательно, финслероным пространством. Это -- обоб-
обобщение известного результата для римановых про-
пространств.
Лит.: Ill Алекса н д р о к А. Д., Внутренним геометрия
выпуклых поверхностей, М. — Л., 1948; [2] его же
«Тр.Матем. ин-та АН СССР», 1851, т. 38, с. 5—23; [3] его же
«Schrift. Jnst. Malh. Deutsch. Akad. Wiss.», 1957, Bd 1, S. 33—
84; [4] Б e p e с т о в с к и й В. Н., «Сиб. матем. ж.», 1975
т. 16 .145 4, с. E51 — 62; L.r>] H и к о л а е в И. Г., там же, 1978
т. 19, ,\'> В, г,. 1341--48; [В] с г о же, там же, 1979, т. 20, № 2
с. 34П- -'¦>?•: 17] Р <• ш е т к я к Ю. Г., «Матем. об.», 1960, т. 52
.N1 3 с. 789- 1)8; [8] е г о ж с, «Сиб. матем. ж.», 1968, т. 9, № 4
с. 918 — 27.
А. Д. Александров, В. Н. Берестовскип.

ФИТТИНГА ПОДГРУППА — характеристич. под-
подгруппа F(G) — F группы G, порожденная всеми ниль-
потентными нормальными делителями. G, наз. также
радикалом Фиттинга. Впервые рассмат-
рассматривалась X. Фиттингом [1]. Для конечных групп Ф. п.
нильпотентна и является единственным максимальным
нильпотентным нормальным делителем группы. Для
конечной группы G справедливы соотношения:
[F, F]^O^F и F/<t> = F (G/Ф),
где через Ф обозначена Фраттини подгруппа группы
G, а через [F, F] — коммутант Ф. п. F.
Лит.: [1 ] F i t t i n g H., «Jahresbcr. Dtsch. Math -Ver.», 1938,
Bd 48, S. 77—141; [2] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд.,
М., 1967; t3] Goren stein D., Finite groups, N.Y.—
Evanston—L., 1968. H. H. Вильяме.
ФИШЕРА ИНФОРМАЦИОННОЕ КОЛИЧЕСТВО —
см. Рао — Крамера неравенство.
ФИШЕРА ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, F-распреде-
ление, Фишера — Снедекора распре-
распределение, Снедекора распределе-
распределение,— непрерывное сосредоточенное на @, оо) рас-
распределение вероятностей с плотностью
х > О, A)
где vt > 0 и v2 > 0—параметры, а В(?ь 1,2)—бета-
функция. При V] > 2 это—унимодальное (одновершин-
(одновершинное) с положительной асимметрией распределение с
модой в точке х~— ¦ *i • Математич. ожидание и
дисперсия Ф. /'-р. раины соответственно
v2/(v2 —2) при v2 > 2
Ф. F-p. сводится к бета-распределению 2-го рода
(распределению типа VI по классификации Пирсона).
Ф. F-p. можно рассматривать пак распределение слу-
случайной величины, иродстанимон в форме отношения
]'де нгмависнмые случайные неличины Л\ и Х2 имеют
гамма-распределения с параметрами Vi/2 п v2/2 соот-
соответственно. Функция распределения для /<Y v> выра-
выражается чергз функцию распределения Bib(a(^) бета-
распределения:
T,2H, .f^
"~ ¦ ~ \ 1 + —-
v2
Это соотношение иснол},ууется для вычисления зна-
значений Ф. F-p. с помощью таблиц бета-распределения.
Если Vj = m и. va=rt целые, то F-p испроделени-
е м Фишера с т. и п степенями свободы наз.
распределение /''-отношения
гДе %m J1 %n — независимые случайные величины, имею-
имеющие цхи-квадрапт распределения с т и п степенями
свободы соответственно.
Ф. F-p. играет фундаментальную роль в математи-
математической статистике и появляется в первую очередь как
распределение отношения двух выборочных дисперсий.
Именно, пусть Xlt ..., Хт и Ylt ..., Yn — выборки из

нормальных совокупностей с параметрами (а1; of) и
(а2, сг2). Выражения
где X = 2j,Xi'm, Y — ^jjYjjn, служат оценками
дисперсий 0i и 02- Тогда т.н. дисперсионное
отношение !• ————¦ имеет при гипотезе а-^-а.,
Ф. F-p. сет — 1 и п — 1 степенями свободы (в этом ка-
качестве Ф. F-p. наз. также распределением дис-
дисперсионного отношения). На статистике /'
основан F-критррий, используемый, в частности, для
проверки гипотезы равенства дисперсий двух совокуп-
совокупностей, в дисперсионном анализе, регрессионном ана-
анализе, многомерном статистич. анализе.
Универсальность Ф. F-p. подчеркивается связями
с другими распределениями. При т = 1 квадрат вели-
величины Fтп из C) имеет Стъюдента распределение с п
степенями свободы. Существуют различные аппрокси-
аппроксимации Ф. F-p. с помощью нормального распределения
и «хп-квадрат» распределения.
Введение в дисперсионный анализ ф. F-p. связано
с именем Р. Фишера (R. Fisher, 1924), хотя сам Фи-
Фишер использовал для дисперсионного отношения ве-
величину Z, к-рая связана с F равенством Z=-~-
Распределение Z было табулировано Р. Фишером, а Ф.
/"-р.— Дж. Снедекором (G. Snedecor, 1937). В совре-
современной практике предпочитают более простое Ф. F-p..
используя его связь с бета-распределением B) и таб-
таблицы неполной бета-функции.
См. также Дисперсионный анализ, Фишера z-paenpe-
делепие.
Лит.: [П F i 8 h e r R. A., On a distribution yielding the error
functions of several well known statistics, «Proe. Intern. Math.
Congr. Toronto», 1928, v. 2, p. 805—13; [2] К е и д а лл М. Д ж.,
С т ь ю а р т А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966;
L3] ШеффеГ., Дисперсионный анализ, пер. с англ., 2 изд.,
М., 1980; {4] Б о л ь ш е в Л. Н., СмвряовН.В., Таблицы
математической статистики, 2 изд., М., 1968. А. В. Прохоров.
ФИШЕРА «-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — непрерывное, со-
сосредоточенное на всей прямой распределение вероят-
вероятностей с плотностью
Параметры т{^\ и т2^1 наз. степенями сво-
свободы. Характеристич. функция имеет вид
Математич. ожидание и дисперсия равны соответстнен-
(
Если случайная величина F имеет Фишера F-pac-
пределение с mj, m2 степенями свободы, то величина
z — ylnF имеет Ф. z-p. с п^, т2 степенями свободы.
Вместе с ^-распределением Фишера, известным как рас-
распределение дисперсионного отношения, Ф. z-p. было
введено первоначально в дисперсионнып анализ Р. Фи-
Фишером (R. Fisher, 1924). По его замыслу z-p. должно
было бы стать основным распределением при проверке
статистич. гипотез и дисперсионном анализе. Ф. z-p.
было тогда же табулировано и первые исследования
относились к статистике г, однако в совр. математич.
статистике используют более простую статистику F.

Лит.: [1] F i s h e г В. A., On a distribution yielding the error
functions of several well known statistics, «Proc. Intern. Math.
Congr. Toronto», 1928, v. 2, p. 80b—13; f2] К е н д а л л М. Д ж.,
С т ь ю а р т А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966.
А. В. Прохоров.
ФЛАГ типа v в га-м ерном векторном про-
пространстве V—-такой набор линейных подпрост-
подпространств V1, V2, .... I'& в V размерностей соответственно
п1, пг. ..., nk, что Vx cz V2 a.. .cz Vf, (здесь v = («i, ...
..., nk), iszk^ii — l; 0 < щ < пг < . . . < nk < re).
Флаг типа vo -A. 2, .. ., n — 1) наз. полным фла-
флагом. Любые два флага одного и того же типа пере-
переводятся друг в друга нек-рыми линейными преобра-
преобразованиями пространства V, т.е. множество FV(V) всех
флагов типа v в V является однородным пространст-
пространством полной линейной группы GL(V). Унимодулярная
группа SL(V) тоже транзитивно действует на много-
многообразии флагов FV(V). При этом стационарная под-
подгруппа Нр флага F и группе GL(V) (а также в группе
SL(V)) является параболич. подгруппой в GL(V) (со-
(соответственно в SL{V)). Если /"" — полный флаг в V,
определяемый подпространствами 1\ С Г2 CZ. . .CZ Vn-i,
то IIр—полная треугольная подгруппа в GL(V) (со-
(соответственно в SL (V)) относительно такого базиса е±,
е2, ..., еп пространства V, что e,-?F/, i--i, 2, ..., п.
Вообще, факторпространства линейных алгебраич.
групп по параболич. подгруппам иногда наз. фла-
флаговыми многообразиями. При А = 1 флаг
типа (ni) — это просто И]-мерное линейное подпрост-
подпространство вУи ^\и1>(^)—Гроссмана многообразие Gnn%.
В частности, Fa) (V)—проективное пространство, ассо-
ассоциированное с векторным пространством V. Каждое
многообразие флагов FV(V) канонич. образом снаб-
снабжается структурой проективного алгебраич. многооб-
многообразия (см. [1]). Если V—действительное или комплекс-
комплексное векторное пространство, то все многообразия FV(V)
компактны. Известны (см. [3]) клеточные разбиения и
кольца когомологий многообразий FV(V) (см. также
Врюа разложение).
Лит. см. при статье Флаговая структура.
Д. В. Алепсеевский.
ФЛАГОВАЯ СТРУКТУРА—1) то же, что флаг.
2) Ф. с. типа V— (ti\, п2, ..., п^) на n-мерном мно-
многообразии А/—дифференциально-геометрич. структура,
к-рая представляет собой поле флагов Fx типа v, оп-
определяемых подпространствами
Vx(x), V2(x), ..., Vk(x)
в касательных пространствах Мх, гладко зависящими
от точки х?М. Иными словами, Ф. с. типа v на М —
это гладкое сечение расслоения флагов типа v на М,
типовым слоем к-рого в точке х?М является много-
многообразие Fy(Mx). Ф.с. типа v0 наз. полной. Ф. с.
типа v на многообразии является G-структурой, где
G — группа всех линейных преобразований д-мерного
векторного пространства, сохраняющих нек-рый флаг
типа v. Это G-структура бесконечного типа. Группа
автоморфизмом Ф.с, вообще говоря, бесконечномерна.
Алгебра Ли L инфинитезимальных автоморфизмов Ф.с.
на М обладает цепочкой идеалов Lt с L^d. ¦ .С Lk,
где Li состоит из таких векторных полей X^L, что
X(x)(ZVi(x) при всех х?М.
Важным частным случаем Ф. с. являются Ф. с. тина
(п{), или лгмсрвые распределения (здесь
/с = 1, 0 < «1 < ге).
Ф.с. типа v на М наа. локально плоской,
или интегрируемой, если у любой точки р?М суще-
существует такая окрестность Uр и такая система коорди-
координат (г1, х2, ..., хп) н ней, что подпространства Vi(x)
порождены векторами
э a a
дх' ' дх2 ' " ' •' п
дх '

при всех x?Up и всех г —1, 2, ..., к. Это означает,
что окрестность Uр обладает таким набором слоений
Si, S2, ..., Sk, что при всех x?Up флаг Fx опреде-
определяется набором подпространств пространства Мх, ка-
касательных к листам этих слоений, проходящих через
точку х. Ф. с. тогда и только тогда является локально
плоской, когда при любом s = l, 2, ..., к распреде-
распределение F; (х) является инволютивным, т.е. для любых
двух векторных полей X и Y на М таких, что X (х) ?
?V{(x) и Y (х) ? \'i (x) при всех х?М, справедливо
включение
[X, Y](x) ?Vi(x),
где [X, Y] — скобка Ли векторных полей X и У.
Существование на многообразии глобальных (всюду
определенных) Ф. с. накладывает довольно жесткие
ограничения на ого топологич. строение. Напр., для
существования на односвязном компактном многооб-
многообразии поля прямых, т. е. Ф. с. типа A), необходимо
и достаточно, чтобы его эйлерова характеристика была
равна нулю. На односвязном многообразии тогда и
только тогда существует полная Ф. с, когда оно
вполне параллелизуемо, т. е. когда его касательное
расслоение тривиально. Если на полном односвязном
«-мерном римановом многообразии М существует
инвариантная относительно параллельных переносов
Ф. с. типа (и,, п.,, . . ., пк), то М изометрично прямому
произведению одиоевязных римановых многообразии
размерностей
щ, га2 —га,, п3 — га2, .... refe —raft_t, n — nk.
Транзитивная группа диффеоморфизмов многооб-
многообразия М тогда и только тогда оставляет инвариантной
нек-рую Ф. с. типа v на М, когда ее линейная группа
изотропии сохраняет нек-рый флаг типа v в касатель-
касательном пространстве к М. В частности, если Н — та-
такая замкнутая подгруппа группы Ли С, что сушение
на Н присоединенного представления группы G зада-
задает треугольную линейную группу, то на однород-
однородном пространстве G/H существует инвариантная пол-
полная Ф. с, а также инвариантная Ф. с. любого друго-
другого типа.
Развита теория деформаций Ф. с. на компактных
многообразиях 14].
Лит.: [1] Боре л ь А., Линейные алгебраические группы,
пер. о англ., М., 1972; [2] X. а м ф р и Д ж-, Линейные алгеб-
алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [31 Бернштейи
И. Н., Гельфанд И. М., ГельфандС. И., «Успехи
матем. наук», 1973, т. 28, в. 3, с. 3—26; [4] К о d a i г а К.
Spencer D. С, «Ann. Math.», 1961, v. 74, p. 52—100.
Д. В. Алексеевский.
ФЛАГОВОЕ ПРОСТРАНСТВО — проективное «-про-
«-пространство, метрика к-рого определяется абсолютом,
состоящим из совокупности вложенных друг в друга
ffs-плоскостей, т=0, 1, . . ., п—1, называемых ф л а-
г о м; Ф. п. обозначается Fn. Абсолют Ф. п. может быть
получен из абсолютов галилеева или псевдогалилеева
пространств путем предельного перехода а квадриках
абсолютов. В частности, флаг (абсолют) пространства
F3 состоит из 2-плоскости То, в ней лежит прямая 1\
(евклидова прямая), на прямой — точка Т2. Плоскость
F2 представляет собой проективную 2 плоскость с,
выделенной прямой Та и точкой Т1 и совпадает с га-
лилеевой 2-плоскостью. Прямая Fx представляет со-
собой проективную прямую с выделенной точкой То и
совпадает с евклидовой прямой.
Если в Ф. п. Fn выбрана такая система аффинных
координат (*'), что векторы прямых, проходящих
через (и — m — 1)-нлоскость Т,п, определяются усло-
условием х1 —х2-- ... =-х'п = 0, то за расстояние между
точками Х(х1, ж3, ..., хп) и Y (г/1, у", ..., у") прини-
принимается число d- \хх — г/1 |; если у1™^1, . . ., j/A-1-^'4-1,
те расстояние определяется числом d**' —|ж* — г/* |.

Прямые, пересекающие (и—га)-плоскость и не пере-
пересекающие (п—т — 1)-шгоскость, наз. прямыми
порядка т.
Движениями Ф. и. являются коллинеации, перево-
переводящие абсолют в себя. Движения Ф. п. являются под-
подгруппой аффинных преобразований аффинного ге-про-
странства, и эта группа движений Ф. п. является
группой Ли.
Пространство Fn двойственно самому себе. За ве-
величину угла между двумя (п—1)-плоскостями прини-
принимается расстояние между точками, двойственными
этим плоскостям.
Ф. п. является частным случаем полу эллиптических
пространств. В частности, Ф. п. F3 совпадает с
3-пространством S312. Флаговое 3-пространство являет-
является единственным пространством с параоолич. метриками
расстояний на прямых, в полуплоскостях и в пучках
плоскостей.
Лит.: [1] РозенфельдБ. А., Неевклидовы простран-
пространства, М., 1969. .7. А. Сидоров.
ФЛОКЕ ТЕОРИЯ -- теория о строении пространства
решений и о свойствах самих решении линейной си-
системы дифференциальных уравнений с периодическими
коэффициентами
х' — A (t) х, t ? R, x ? R"; (i)
матрица A (t) периодическая по l с периодом ш>0
и суммируемая на каждом компактном интервале из R.
1) Любая фундаментальная матрица X системы (I)
имеет представление
X(t)=F (t)exp(tK), B)
паз. представлением Ф л о к е (см. [1]), где
F (t) — нек-рая ш-периодич. матрица, К — нек-рая
постоянная матрица. Существует базис хх, . . ., хп
пространства решений системы A) такой, что в этом
базисе матрица К имеет жорданову форму; этот базис
можно представить в виде
г до \|>fc,; — многочлены относительно t с <й-периодич.
коэффициентами, а,- —характеристические показатели
системы A). Любая компонента решения системы A)
является линейной комбинацией функций вида (реше-
(решений Флокс) г|)?,- ехр (а,-2). В случае когда все харак-
теристич. показатели различны (или среди них есть
кратные, но им отвечают простые элементарные дели-
делители), функции ipfci суть просто ш-периодич. функции.
В представлении B) матрицы F (t) н К, вообще говоря,
комплекснозначны. Если ограничиться только действи-
действительным случаем, то F (t) может не быть ш-периоди-
ческой, но обязательно будет 2ш-периодической.
2) Систему A) можно привести к дифференциальному
уравнению с постоянной матрицей у' — Ку с помощью
преобразования Ляпунова
x = F(t)y, C)
где /'(/) и К--матрицы из представления Флоке B)
(см. [2]). Представление B) вместе с подстановкой C)
часто называют теоремой Флоке — Ляпунова.
3) Пусть {аь ..., щ} — спектр матрицы К. Для каж-
каждого a?R такого, что a y=Rea/, ;' = 1, •.., I, в силу
представления B) пространство R" распадается в пря-
прямую сумму двух подпространств Sa и Ua
(R« = Sa + Ua, Sa f) Ua ^ Я)
таких, что
lim cxp (— at) V (I) x @) = 0 «ф .г @) ?Л'«,
( -С , Ж
Ihn охр (— at) V (I) .с @) -=0 4Ф -г- @) ? Иа\

здесь V (t)—нормированная в нуле фундаментальная
матрица системы A). Отсюда следует экспоненциаль-
экспоненциальная дихотомия системы A), если Re a,j Ф О ни для
какого / = 1, .. •, I-
Лит.: [1] PloquetG., «Ann. sci. Ecole norm, super.»,
1883, t. 12, № 2, p. 47—88; [2] Л я п у н о в А. М., Собр. соч.,
т. 2, М.— Л., 1956, с. 7—263; [3] Д о м и д о в и ч Б. П., Лек-
Лекции по математической теории устойчивости, М., 1967; [4] Я к у-
о о в и ч В. А., С т а р ж и н с к и й В. М., Линейные диффе-
дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их
приложения, М., 1972; 1ft] М а с с е р а X. - Л., Ш с ф-
ф е р X. - X., Линейные дифференциальные уравнения и функ-
функциональные пространства, пер. с англ., М., 1970; [61 Е р у-
г и н П. П., Линейные системы обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодичеекими коэф-
коэффициентами, Минск, 1963. Ю. В. Комленко.
ФЛОКЕ — ЛЯПУНОВА ТЕОРЕМА — см. Флоке
теория.
ФОКА ПРОСТРАНСТВО, фоковское прост-
пространств о,— в простейшем и чаще всего употребля-
употребляемом случае — гильбертово пространство, состоящее
из бесконечных последовательностей вида
P = {h, /i, •••, /„, •••}, A)
где
/о€С, f^L.ARv, dyx), /пе^г({^)п, (dvx)"),
или
In e LU(RV)n, (dv*)"), « = 2,3, .... v-1, 2, ...,
причем
L§ ((Rv)n, (dvx)n) или Z.?((RV)«, (dvx)")
означает гильбертово пространство снммртрич. (соот-
(соответственно антисимметрнч.) функций от к переменных
Ж], ..., xn(ZRv, п — 2, 3, .... Скалярное произведение
двух последовательностей F и G вида A) равно
В случае когда последовательности F состоят из сим-
ыртрич. функциС|, говорят о сим м о т р и ч е с к о м
(или б о я о н н о м) Ф. п., а в случае последователь-
последовательностей антисимметрия, функций — Ф. и. на,), а н т и-
с и м. м е трически м (или ф е р м и о н н ы м).
В таком простейшем случае Ф. п. были впервые вве-
введены 13. А. Фоком [1].
В общей случае произвольного гильбертова прост-
пространства // Ф. и. Vs (Н) (или Га (II)), построенным
над Н, наз. симметрированную (или антисимметризо-
панную) тензорную экспоненту пространства //, т. е.
пространства
Га (Н) = Ехрсс II =-ф ?^0 (Н®п)а, a =i', a, B)
где знак 0 оанача(!т прямую ортогональную сумм\
гильбертовых пространств, (Лои°)а_С1, {l№ )a — II,
а \Н™ )п, п > 1,— снммет])и.чованную при a.--S или
антиеимметризоианную (а и) п-ю тензорную степень
пространства //. В случае Н — L.2 (Rv, dvx) определе-
определение B) эквивалентно определению Ф. и., приведенному
в начале статьи, если отождествить пространства
/,?((RT, (dvx))n H(i2(Rv, d^x))®" так, что тензорному
произведению
последовательности функций
/i. •-../»€ L2(RV,dvx)
соответствует функция
vk 2„(± ')Sign<J IlLl^'a,.-,) € ^((RV)". (Л)»),
C)

где суммирование происходит по' всем перестановкам а
индексов 1, 2, ...,«, signer — четность перестановки а,
а знак -f-1 или —1 в выражении C) соответствует сим-
метрич. или антисимметрич. случаю.
В квантовой механике Ф. п. Vs (Н) или Г° (Н) слу-
служат пространствами состояний квантовомеханич. си-
системы, состоящей из произвольного (но конечного)
числа одинаковых частиц таких, что пространством
состояний каждой отдельной частицы является про-
странстио //. При этом в зависимости от того, каким
из Ф. п.--симметрическим Г5 (Я) или антисимметри-
антисимметрическим V" A1) описывается эта система — сами частицы
наз. бозона м и или соответственно ф е р м и о н а м и.
Для любого га = 1, 2, ... подпространство Г„ (//) э
= (я^")аСГ Га (Н), a — S, а, наз. «-частичным
подпространством: его векторы описывают те
состояния, в к-рых имеется ровно п частиц; единичный
вектор а?(я®°)аСГГ«(#), а = 5, а (в записи A):
Q = {1, 0, 0, ..., О, ...}), наз. вакуумным век-
вектором, описывает состояние системы, в к-ром нет
ни одной частицы.
При изучении линейных оператором, действующих
в Ф. п. Т^ (II) и Г" (//), часто применяется специаль-
специальный формализм, наз. методом вторичного
квантования. Он основан на иведении в каждом
из пространств Га(Н), a- -S, а, двух семейств линей-
линейных операторов: т.н. операторов уничтоже-
уничтожения {««(/), f(zH}, a = S, а, и семейства сопряженных
к ним операторов \aa{f) f?H\, наз. операторами
рождения. Операторы уничтожения задаются как
замыкания операторов, действующих на векторы
(/1®.--®/»)о €Г«(Я), a = S, a, D)
где (/i®. . -® fn)a симмотризованные (при а = S) или
антисимметризованные (а —я) тензорные произведения
последовательностей векторов/i, ...,/„?//, re —1, 2, ...,
по формулам
<0
X (/j® ... ®//-i®/,4i® ••• ®fn)a,
a^S, а, аа(!)п «О,
где gs(i)—0 и ьи@ -"' — I- Операторы же рождения
"а(/) действуют на векторы C) но формулам
При этом для любого /?#, а„Л1):Гп(Н)—<- Г"_, (II),
н,-1, 2, ..., a«;(/):r?(i/)-*Ci(//), «--0,1, 2, ...,
т. е. состояние физич. системы с п частицами операто-
операторами уничтожения аа (/) переводится в состояние с
(и — 1)-й частицей, а операторами рождения аа (/) —
в состояние с (м-|-1)-й частицей. Операторы рождения
и уничтожения оказываются во многих случаях удоб-
удобной системой «образующих» в совокупности всех опе-
операторов (ограниченных и неограниченных), действую-
действующих в Ф. п. Представление таких операторов в виде
суммы (конечной пли бесконечной) операторов вида
"a (/i) • • • «а Aп) "с (i'i) . . . яа (gm),
(А, ..., /„, gu .. ., а,„ С 11, «, /«=0, 1, 2, •••),
т. н. норма л ь и а я ф о р м а опера т о р а, —
и основанные на таком представлении способы дей-
действия с операторами (вычисление функций от них,
приведение операторов к какому-нибудь «простей-
«простейшему» виду, различные приемы аппроксимации и
т. д.) и составляют содержание упомянутого выше фор-
формализма вторичного квантования (см. |2J).

В случае симметричного Ф. п. Г5 (Я) над действи-
действительным пространством Н существует канонич. изо-
изоморфизм между этим пространством и гильбертовым
пространством кнадратично суммируемых функциона-
функционалов от гауссовской линейной случайной функции {5/,
/?//}, определенной на пространство //, и такой, что
Л/6/=0, M(lhlh) = Uu U)H, /, /„ /2 g II.
Этот изоморфизм, наз. отображением Ито—Си-
Ито—Сигала— Вика, однозначно определяемый тем усло-
условием, что для любой ортонормированной системы эле-
элементов /,, ..., fk?H и любого набора целых неотри-
неотрицательных чисел «j, п2, ..., «? вектор
/. ® ¦ • • ® h ® ¦¦ ¦ ® Ik® • • • ®/fc €
п, рак п^ раз
переходит в функционал
где Нп (•), » = 0, 1, . . .,— многочлен Эрмита со стар-
старшим коэффициентом, равным единице (см. [31, |4[).
Лит.: [1J FockV., «Z. Phys.», 1».Ч2, Bd 75, S. 622—47:
12] Б e p e :i и и Ф. Д., Метод вторичного квантования, М.,
11165; Г;|] Д о 0 р у ш и н Р. Л., Мин л о с Р. А., «Успехи
мятем. наук», 1П77, т. 32, в. 2, 0. 67 — 122; [41 С а й м о н В.,
Модель Рфг ивклидивой квантовой теории поли, пер. с англ.,
М., 1!O6. ' Р. -4. JMuimoc.
ФОКАЛЬНАЯ СЕТЬ конгруэнции — сеть,
к-рую на фокальной поверхности конгруэнции прямых
(гиперболической) высекают развертывающиеся по-
поверхности этой конгруэнции. Ф. с. конгруэнции —
сопряженная сеть. Одно семейство ее линий состоит
из ребор возврата одного семейства развертывающихся
поверхностен конгруэнции; другое семейство образо-
образовано линиями касания с фокальной поверхностью
развертывающихся поверхностей другого семейства.
Всякая сопряженная сеть на двумерной поверхности
является Ф. с. конгруэнции касательных к линиям
одного из семейств этой сети. У каждой гинерболич.
конгруэнции прямых две Ф. с.
Лит.: [11 Ф и н и к о в С. П., Теория конгруэнции, М.- Л.,
1950. В. Т. Ваяым-в.
ФОККЕРА — ПЛАНКА УРАВНЕНИЕ - уравнение
для плотности переходной функции, описывающей не-
непрерывный марковским процесс диффузионного типа.
Ф.—П. у. — то же, что прямое Колмогорова уравнение.
См. также Диффузионный процесс.
ФОКУС — точка F, лежащая в плоскости кривой
2-го порядка и такая, что отношение расстояния лю-
любой точки кривой до F к расстоянию до заданной пря-
прямом (директрисы) равно постоянному числу
(эксцентриситету). См. также Конические
сечения.
Ф. кривой 2-го порядка могут быть определены как
точки пересечения касательных к этой кривой, прове-
проведенных из круговых точек плоскости. Это опреде-
определение Ф. распространяется и иа алгебраич. кривые
п-го порядка. А. Б. Иванов.
ФОКУС — тип расположения траекторий автоном-
автономной системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений 2-го порядка
f? G — область единственности, в окрестности
особой точки х0. Этот тип характеризуется следующим
образом. Существует окрестность U точки х0 такая,
что для всех траекторий системы, начинающихся в
?/\{ж0}, отрицательные полутраектории являются ухо-
уходящими (с течением времени покидают любой компакт
VczU), а положительные полутраектории, не выходя
из U, примыкают к точке х„, наматываясь на нее на-
наподобие логарифмич. спиралей, или наоборот. Ф. наз.
при этом и сама точка х0. Характер приближения тра-

екторий системы к Ф. х0 можно описать точнее, если
ввести на плоскости (хъ х2) полярные координаты г, ср
с полюсом в ,г0. Тогда для любой примыкающей к Ф.
./„ полутраектории r=r(t), ф==ф(#), <>0(i<0), поляр-
полярный угол переменной точки cp(t) -*--{¦ оо (левый Ф.)
пли — оо (цравый Ф.) при t-* оо.
Ф. либо асимптотически устойчив по Ляпунову,
либо вполне неустойчив (асимптотически устойчив
при t -*¦ — оо). Его индекс Пуан-
Пуанкаре равен 1. На рис. изображен
правый неустойчивый Ф. х0 =
-(О, 0).
Для системы (*) класса С1
(f?Cl(G)) точка покоя .г„ явля-
является Ф. в случае, когда матрица
Л — /' (х0) имеет комплексно со-
сопряженные собственные значения
с отличной от нуля действитель-
действительной частью, но может быть Ф. и
в тех случаях, когда эта матри-
матрица имеет чисто мнимые или крат-
кратные действительные собственные значения (см. также
Центр, Центра и фокуса проблема).
Лит. см. при ст. Особая точпа дифференциального уравнении.
А. Ф. Андреев.
ФОРМА — многочлен от нескольких переменных,
все члены к-рого имеют одну и ту же степень.
И зависимости от числа т переменных Ф. называют
бинарными (при т=2), тернарными (при т=3) и т. д.;
в зависимости от степени п их членов — линейными
(при гс=1), квадратичными (при п=2), кубичными
(при п=3) и т. д. Если переменные можно разбить на
группы так, чтобы каждый член Ф. линейно зависел
от переменных каждой группы, то Ф. называется по-
полилинейной формой. Любая Ф. может быть получена
из полилинейной Ф. путем отождествления нек-рых
переменных. Обратно — из каждой Ф. можно путем
нек-рого процесса, называемого процессом поляриза-
поляризации, получить полилинейную Ф.
Наиболее важными для приложений являются квад-
квадратичные формы. Теория квадратичных Ф. тесно свя-
связана с теорией кривых и поверхностей 2-го порядка
(см. также Эрмитова форма).
В теории чисел весьма важным является вопрос о
представимости целых чисел как значений Ф. с цело-
целочисленными коэффициентами при целочисленных зна-
значениях переменных.
В дифференциальной и римановой геометрии ис-
используются дифференциальные формы. Многие теоремы
интегрального исчисления (см. Грина формулы, Ост-
Остроградского формула, Стокса формула) могут рас-
рассматриваться как теоремы о связи дифференциальных
Ф. различной степени.
По материалам одноименной статьи БСЭ-3*
ФОРМА алгебраической группы G, опре-
определенной надполем к,—алгебраич. группа G',
определенная над к к изоморфная группе G над нек-
рым расширением L поля к. В этом случае б" наз.
A/fe-ф о р м о и алгебраич. группы G. Если ks —
сенарабельное замыкание поля к в фикенрованном
основном алгебраически замкнутом поле К (универ-
(универсальной области), то А;5//с-формы наз, просто А-форма-
ми группы G. Две L/'/c-формы группы наз. укнива-
лентными, если они изоморфны над к. Множество
всех классов эквивалентных Л/й-форм группы G обоз-
обозначается через К (L/k, G) (в случае L — ks~через
Е(к, G)) (см. [5], [7J, [81).
Пример. Пусть к- R, А -=С, а
/ '¦
6" -у
с, у) \ху — \
'}

— две определенные над к подгруппы полной линейной
группы GLB), тогда G' является /с-формой G (соот-
(соответствующий определенный над К изоморфизм ф : G'—>-
-+G задается формулой
¦ +iy, x—iy)).
Эта /е-форма не эквивалентна G (если рассматривать
G как свою собственную /е-форму относительно тож-
тождественного изоморфизма G ->¦ G). В рассмотренном
примере множество Е (к, G) состоит из двух элементов,
представленных указанными двумя /е-формами.
Задача классификации Ф. алгебраич. групп естест-
естественно переформулируется на языке Галуа когомологий;
[3, 5]. А именно, пусть Ljk — расширение Галуа с
группой Галуа TL,k (снабженной топологией Крулля).
Группа TL,k естественно действует на группе Aut^ G
всех L-автоморфизмов группы G, а также на множе-
множестве всех L-изоморфизмов группы С в группу G
(в координатах эти действия сводятся к применению
аптоморфизмов из Г'Ljk к коэффициентам рациональных
функций, определяющих соответствующее отображе-
отображение). Пусть ф:С ->¦ G — нек-рый L-изоморфизм, o^TL/k
и ф°—образ ф под действием о. Тогда отображение
ГL/k ~* Auti G, a i—> са =ф° оф-1 является непрерывным
1 -коциклом группы TLjk со значениями в дискретной
группе Autjr G. При замене ф на другой /^-изоморфизм
С ¦-* G указанный коцикл заменяется на когомоло-
гичный. Тем самым возникает отображение Е (L'lk, G) -+
->¦ Я1 (TL/k, Anti G). Основное утверждение о когомоло-
гич. интерпретации задачи описания Ф. группы G со-
состоит в том, что это отображение биективно. В случае
когда все автоморфизмы са внутренние, G' наз. внут-
внутренней формой группы G, а в противном
случае — в нешней.
Для связных редуктивных групп имеется глубоко
развитая теория Ф. В ней устанавливаются относи-
относительные варианты структурной теории редуктивных
групп над алгебраически замкнутым полем: fc-корни,
fc-группа Вейля, разложение Брюа над к и т. п.; при
этом роль максимальных торов играют максимальные
А-разложимые торы, а роль борелевских подгрупп —
минимальные fe-параболич. подгруппы [1, 2, 6, 7].
Эта теория позволяет свести вопрос о классификации
Ф. к классификации анизотропных над к редуктивных
групп (см. Анизотропная группа, Анизотропное ядро);
вопрос о классификации последних существенно за-
зависит от свойств поля к. Если fe=R, а К=С, то опи-
описание Ф. полупростых алгебраич. групп — это опи-
описание вещественных Ф. комплексных полупростых
алгебраич. групп (см. Комплексификация группы Ли).
Лит.: [1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] X а м ф р и Д ж.. Линейные алгеб-
алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [3] СеррЖ. - П-,
Когомологий Галуа, пер. с франц., М., 1968; Ц] его we,
Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968;
[5] Воскресенский В. Е., Алгебраические торы, М.,
1977; [6] Б о р е л ь А., Тите Ж., «Математика», 1967, т. 11,
в. 1, с. 43—111; в. 2, с. 3—31; [7] Т i t s J.t «Proe. Symposia pure
Math.», 1966, v. 9, p. 33—62; [8] S p г i n g с гТ. А., там же,
1979, v. 33, pt.'l, p. 3—27;[9J Serre J. -P., Local fields, N. Y.—
[a.o.], 1979. В. Л. Попов.
ФОРМАЛИЗАЦИИ МЕТОД — способ получения
формальной система из содержательной математич.
теории; один из основных методов в доказательств
теории.
Применение Ф. м. подразумевает выполнение сле-
следующих этапов.
1) Символизация исходной математич. теории. При
этом все предложения теории записываются в подхо-
подходящем логико-математич. языке L.

2) Дедуктивный анализ теории и выделение аксиом,
т. е. тех предложений теории, из к-рых логически вы-
выводимы все предложения теории.
3) Присоединение аксиом в их символич. записи к
подходящему, основанному на языке L, логическому
исчислению.
Полученная при этом формальная система уже сама
является объектом точного математич. изучения (см.
Аксиоматический метод, Доказательств теория).
Лит.; [1] К л и и и С. К., Введение в метаматематику, пер.
с англ., М., 1957. С, Я. Артемов.
ФОРМАЛИЗМ — направление в основаниях матема-
математики, программа к-рого была выдвинута Д. Гильбер-
Гильбертом (D. Hilbert). Целью этой программы было дока-
доказательство непротиворечивости математики точным
математич. способом. Программа Гильберта преду-
предусматривала уточнение понятия доказательства, чтобы
последние могли быть объектами математич. теории —
доказательств теории.
Чтобы сделать возможным точное рассмотрение
доказательств, им придается единая, точно определен-
определенная форма. Это осуществляется с помощью формали-
формализации теорий: утверждения теории заменяются конеч-
конечными последовательностями определенных знаков, а
логич. способы заключения — формальными прави-
правилами образования новых формально представленных
высказываний из уже доказанных. Таким образом,
математич. теория заменяется формальной системой.
Несмотря на то что попытка осуществления про-
программы Гильберта в целом оказалась несостоятельной
(см. Гё'деля теорема о неполноте), проведенные в рам-
рамках этой программы исследования имели большое
значение для развития многих разделов математич.
логики.
Термин «Ф.» часто употребляется как синоним фор-
формальной системы и вообще для обозначения исчисле-
исчисления, позволяющего заменять операции с объектами
операциями с соответствующими им знаками. В фи-
философии математики Ф. означает взгляд на природу
математики, согласно к-рому математика характери-
характеризуется скорее своим методом, нежели предметом изу-
изучения; ее объекты либо не определяются, либо если и
определяются, то таковы, что подлинная их природа
несущественна.
Лит.: [1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с
нем., М.— Л., 1948; [2] Ген цен Г., в кн.: Математическая
теория логического вывода, М., 1967, с. 77—153; [3] G б d с 1 К.,
«Monatsh. Math, und Phys.», 1931, Bd 38, S. 173—88; [41 Нов и-
к о в П. С, Элементы математической логики, 2 изд., М., 1073;
[5] К л и н и С, Математическая логика, пер. с англ., М., 1973;
[6] КарриХ., Основания математической логики, пер.
с англ., М., 1969. В. Е. Плиспо.
ФОРМАЛИЗОВАННЫЙ ЯЗЫК — искусственный
язык, для к-рого имеется точное формальное опреде-
определение класса выражений языка и достаточно строгое
объяснение значения или смысла этих выражений.
Обычно выражения Ф. я. представляют собой фор-
формальные комбинации исходных символов, образую-
образующиеся по определенным правилам образования выра-
выражений данного языка. Описание выражений Ф. я.
и связей между ними составляет синтаксис
языка. Выявление смысла выражений относится к
семантике языка. Таким образом, задать Ф. я.—
это значит построить его синтаксис и указать семан-
семантику. В формулировках синтаксич. понятий Ф. я.
не разрешается использовать семантич. понятия. Все
синтаксич. определения должны быть понятны лицу,
незнакомому с семантикой языка. Это основное тре-
требование, отличающее Ф. я. от естественных, ведет к
отделению синтаксиса от семантики и к появлению
языков с одинаковым синтаксисом, но разными се-
мантиками. Часто под Ф. я. понимают только ого
синтаксис, а возможные семантики наз. интерпре-
интерпретациями языка.

Достигаемая в Ф. я. четкая фиксация языковых
средств выражения позволяет устранить неявные
ссылки на интуитивную очевидность, неизбежные при
неформальном аксиоматич. построении теории (см.
Неформальный аксиоматический метод). Формализа-
Формализация языка создает основу для формализации дедуктив-
дедуктивных средств исследуемой математич. теории. Понятие
Ф. я. лежит в основе гильбертовского понятия формаль-
формальной системы.
Иногда в понятие Ф. я. включают не только его
синтаксис и семантику, но и точную фиксацию допу-
допустимых дедуктивных средств получения верных пред-
предложений Ф. я. (т. е. включают аксиомы и правила
вывода). Конкретные примеры Ф. я. приведены в ста-
статьях Аксиоматическая теория множеств. Арифмети-
Арифметика формальная, Предикатов исчисление, Типов теория.
С семантич. точки зрения выделяют следующие виды
языковых выражений: переменные, термы, формулы.
Каждой переменной сопоставляется (при семантич.
истолковании) дек-рая область ее допустимых значе-
значений — область изменения переменной. Если у всех
переменных область изменения оказывается одной и
той же, то язык на.ч. односортным. В против-
противном случав — многосортным, В многосортном
языке должны быть, синтаксич. правила образования
сортов, наз. также типами. Каждая переменная
такого языка имеет вполне определенный тип. Семан-
Семантич. правила должны сопоставлять каждому типу т
нек-рую облаоть Ft • Переменные, имеющие тип т,
«пробегают» область Vx .
Термы и формулы могут содержать параметры, т. о.
иметь свободные вхождения переменных (см. Свобод-
Свободная переменная). С семантич. точки зрения терм без
параметров (замкнутый терм) является, во-
вообще говоря, составным именем, обозначающим вполне
определенный объект, а формула без параметров
(замкнутая формула, или предложе-
предложение) является сложным высказыванием, выража-
выражающим вполне определенное суждение. В Ф. я. могут
быть простейшие термы, наз. константами. Они
относятся к числу исходных символов Ф. я.
При наличии параметров термы являются и м е н-
н ы м и ф о р м а м и, а формулы — высказыва-
тельными формами. Это означает, что при
каждом допустимом наборе значений свободных пере-
переменных (параметров) в соответствии с семантикой
языка именная форма обозначает вгшлне определенный
объект, а высказывательная форма выражает вполне
определенное суждение. Обычно переменные относят
к термам. При таком подходе терм, являющийся пере-
переменной, имеет эту переменную своим параметром.
Термы и формулы, параметры к-рых содержатся среди
переменных хх, . . ., хп, можно рассматривать как
имена функций и соответственно предикатов от пере-
переменных хх, . . ., хи.
Формулы можно рассматривать и как термы, прини-
принимающие особые истинностные значения (в классич.
случае имеется два истинностных значения: «истина»
и «ложь»). При таком понимании формул для форму-
формулировки суждений можно ограничиться суждениями,
выражающими равенство термов одному выделенному
терму, обозначающему «истину».
Широко распространены Ф. я., удовлетворяющие
требованиям эффективности, состоящим в том, что
выражениями языка должны быть финитные объекты,
и все его синтаксич. понятия (термы, формулы и др.)
должны быть алгоритмически разрешимы. Рассмат-
Рассматривают иногда языки, не удовлетворяющие требова-
требованиям эффективности, содержащие, напр., бесконечно
длинные выражения или использующие нефинитныо
объекты в качестве исходных символов. (Так, при
изучении векторных пространств употребителен язык,

среди исходных символов к-рого содержатся все дей-
действительные числа.)
В случае когда выражениями Ф. я. являются нефи-
нефинитные объекты, правила образования его выражений
уже нельзя считать интуитивно очевидными конст-
конструкциями, порождающими новые выражения из уже
построенных. Необходимо уточнить как сами правила,
так и способ, к-рым они определяют класс выражений.
Можно, напр., рассматривать эти правила как опе-
операции на множествах уже имеющихся «выражений»,
а не как конструкции, порождающие новые выраже-
выражения. При этом Ф. я. должен быть свободным объектом
в подходящей категории. Употребительно также тео-
теоретико-множественное уточнение, при к-ром нефинит-
нефинитные объекты (в частности, выражения) берутся из
нек-рого достаточно богатого множествами теоретико-
множественного универсума (наз. допустимым
множеством). Правила образования выражений
рассматриваются как пункты индунтивного опреде-
определения, выделяющего из допустимого множества под-
подкласс, состоящий из выражений.
Лит.: [1] ЧёрчА., Введение в математическую логику,
пер. с англ., М., 1960; [2] Гильберт Д., Б с р н а й с П.,
Основания математики. Логические исчисления и формализа-
формализация арифметики, пор. с нем., i изд., М., 1982; [3] Справочная
книга по математической логике, ч. 1—4, ]УГ., 1982,1983.
В. Н. Гришин.
ФОРМАЛЬНАЯ ГРУППА — алгебраический аналог
понятия локальной группы Ли. Теория Ф. г. имеет
многочисленные применения в алгебраической гео-
геометрии, теории полей классов и теории кобордизмов.
Ф. г. над полем к — групповой объект в категории
связных аффинных формальных схем над к (см. [1], [4],
[6], [7]). Здесь связная аффинная формальная схема —
ковариантный функтор Н из категории конечномерных
коммутативных /с-алгобр В н категорию множеств,
изоморфный функтору Нд, сопоставляющему алгебре
В множество гомоморфизмов алгебр А -¦* В из нек-рой
нётеровой коммутативной локальной ft-алгебры А с
максимальным идеалом т и полем вычетов к, полной
в m-адической топологии, переводящих идеал т в
множество нильпотентных элементов nil (В) алгебры В.
То, что Н—групповой объект означает, что на всех
множествах Н (В) задана структура группы, причем
для любого гомоморфизма fc-алгебр Bi ->¦ В2 соответ-
соответствующее отображение Н (Вх) ->- Н (В%) является гомо-
гомоморфизмом групп. Если все группы Н (В) коммута-
коммутативны, то Ф. г. Н наз. коммутативной. Любая связная
групповая схема G над к определяет Ф. г. G; В \—>G (В).
При атом в качества А .можно взять пополнение
локального кольца схемы G а единице.
Если А—кольцо формальных степенных рядов
к[[Х1, ..., Х„]] от п переменных над к, то Ф. г. Н
наз. га-л о р но и Ф, г. Л и. Для связной алгебраической
группы G над к Ф. г. G —Ф. г. Ли. Ф. г. Ли Н изоморф-
изоморфна, как функтор в категорию множеств, функтору
D":Bt-»nil (В)", сопоставляющему алгебре В, п-крат-
ноо декартово произведение ее нильрадикала nil (В)
на себя. Групповая структура на множествах Н(В) =
= nil (В)" задается формальным групповым
з а кон о м—набором из п формальных степенных ря-
рядов от 2п переменных Xlt ..., Хп, Yx, ..., У„:
Ft(Xu ..., Х„, Уь ..., У„), ...,
удовлетворяющих следующим условиям:
Fi(X, 0) =,*,-, Ft@, Y) = Yt,
Fi (Xu ..., Xn, F, (Y, Z),...,Fn (Y, Z)) =
= Fl(Fl{X, Y), ..., Fn(X, Y), ZL, ..., Za).
Здесь * = (ХЬ..., Х„),У = (У1 У„), Z = {Zl

?л). 0 = @, ..., 0). Групповой закон на множествах
Н (В) ¦- nil (B)n задается формулами
Ui, • ••, хп)О(Уи ¦¦•, Уп)-~^(ги •••> г„),
где г,---/'',-(ль ..., j-b, г/j, ..., j/,,); в силу нильпотент-
нильпотентности хну нее члены рядов кроме конечного числа
равны 0. И любой формальный групповой закон зада-
задает на nil (В)" структуры групп с помощью формул (*) и
превращает функтор D" в Ф. г. Ли. Понятие формально-
формального группового закона, и тем самым понятие Ф. г.
Ли, обобщается на случай произвольных коммутатив-
коммутативных базисных колец (см. [2], [5]). Иногда под Ф. г.
понимают лишь Ф.г.Ли или даже формальный груп-
групповой закон.
Так же как и для Ли локальных групп, определяется
алгебра Ли Ф. г. Ли. Над полями к характеристики 0
сопоставление Ф. г. Ли ее алгебры Ли определяет
эквивалентность соответствующих категорий. В ха-
характеристике р>0 ситуация сложное. Так, над алгеб-
алгебраически замкнутым полем (при р>0) существует счет-
счетное число попарно неизоморфных одномерных коммута-
коммутативных Ф. г. Ли [1], в то время пак все одномерные
алгебры Ли изоморфны [3]. Над совершенными полями
конечной характеристики коммутативные Ф. г. Ли
классифицируются с помощью модулей Дьёдонне (см.
И, 01).
Теория Ф. г. над полями обобщается на случай
произвольных базисных формальных схем 17].
Лит.: [1] МанинЮ.И., «Успехи матем. паук», 19И.Ч,
т. 18, в. 6, с. 3—90; [2] Б у х ш т а б е р В. М., и кн.:
С т о н г Р., Заметки по теории кобордизмов, пер. с англ., М.,
1973; [3] С о р р Ж.- П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с япг.ч.
it франц., М., 1969; [4] X а р т с х о р н Р., Алгебраическая
геометрия, пер. с англ., М., 1981; [5] L a z а г d M., Commutati-
Commutative formal groups, В.— Hdlb.— N. Y., 1975; [6] Fontaine
J. -M., Gioupes p-divisibles sur les corps locaux, P., 1977, [7]
M a z u г В., T a te J., в кн.: Arithmetic and geometry, v. J,
Boston — Basel — Stutte., 1983, p. 195—237. Ю. Г. Зархин.
ФОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — производная
многочлена, рациональной функции или формального
степенного ряда, определяемая чисто алгебраически
(беч использования понятия предельного переходи)
и имеющая смысл для любого кольца коэффициентов.
Для многочлена
(пли степенного ряда
Ф. п. F' (А) определяется как J. iaiXi~t (соответ-
(соответственно как 2--| 'Ь/Х' J, а для рациональной функ-
функции / (X) =- Р (X)/Q (X)— это рациональная функция
/' (Х).^{Р' (X) О (X)-Q' (X) Р (X)}/[(J (X)]'.
Аналогично определяются Ф. п. высших порядков и
частные Ф. и. для функций от нескольких переменных.
Для Ф. п. остается справедливым ряд свойств обыч-
обычной производной. Так, если Е" (Х)=0, то F(X) — кон-
константа из поля коэффициентов (в случае характеристики
0) и равна (т(Хр) (в случае характеристики р). Если
.г0 — корень многочлена кратности к, то зс0 является
корнем производной F' (X) кратности к—\.
Л. В. Кузьмин.
ФОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА, деду к т и в н а п
систем а,— в математич. логике неинтерпретиро-
ванное исчисление, задаваемое правилами образования
выражений этого исчисления и правилами построения
выводов в этом исчислении. Выражения Ф. с. рас-
рассматриваются как чисто формальные комбинации сим-
символов; правила вывода определяют, н каких случаях
одно формальное выражение А выводится из других
формальных выражений Вх, . . ., Вп. Если п—0,

то А наз. аксиомой. Выводы представляют собой
либо последовательности, либо древовидные фигуры,
составленные из формальных выражений согласно
правилам вывода. Если в вершинах дерева вывода
находятся только аксиомы, то формальное выражение,
завершающее вывод, на:!, выво д и м ы м в Ф. с.
Наиболее интересны Ф. с, удовлетворяющие тре-
требованиям эффективности языка и понятия
вывода. Это о-.щачает, что должна иметься эффективная
процедура для распознавания того, является ли про-
произвольная последовательность символов выражением
Ф. с. или нет. Такому же требованию должно удов-
удовлетворять понятие вывода. Понятие выводимого вы-
выражения в эффективных Ф. с, вообще говоря, не
является эффективным.
Понятие Ф. с.— одно из центральных в математич.
логике, оно обслуживает нужды как самой математич.
логики, так и смежных с ней областей математики.
Наиболее важный класс Ф. с.— формальные теории
1-го порядка (см. [4]), формализующие какую-либо
область содержательной математики. Исторически этот
класс Ф. с. возник в связи с программой Д. Гильберта
(D. Hilberl) обоснования математики (см. Формализм).
Понятия и методы, выработанные математич. логи-
логикой при изучении Ф. с, нашли применения в различ-
различных областях математики, напр. в теории групп и
теории категорий. Ценность понятия Ф. с. опреде-
определяется плодотворностью способа исследования, ос-
основанного на идеях, связанных с этим понятием.
См. также Формальный математический анализ.
Лит.: [1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер.
с нем., М.— Л., 1948; [2] К л и н и С. К., Введение в метамате-
метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [3] Ч ё р ч А., Введение в мате-
математическую логику, пер. с англ., М., 1960, с. J5—03; [4] Мае
L a n e S., «Bull. Amer. Math. Soc», 197G, v. 83, № 1, p. 1 — 40.
В. H. Гришин.
ФОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ тригономет-
тригонометрических рядов
— ряд
2 Кпе"'*,
п—-т
где
СО
&п= 2 стУп-т-
СО
Если сп * 0, 2] | пуп | < оо и
|л|-*<» niT- ос
со
П= — СО
сходится к сумме X (х),
то ряд
сходится к нулю равномерно на [—я, я]. Условие
2 I >гУп к °°
п — — со
выполняется, если, напр.,
есть ряд Фурье трижды дифференцируемой функции
Цх).

Лит.: [1] Б ар и Н. К., Тригонометрические ряды, М.,
1961; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с
англ., т. 1—2, М., 1965. Т. П. Лукашенко.
ФОРМАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ —
название формальной аксиоматич. теории, специ-
специально предназначенной для формализации (точного
описания доказательств) математич. анализа. При
этом формальную аксиоматич. теорию стараются вы-
выбирать по возможности минимальной по своим дедук-
дедуктивным и выразительным возможностям, но все же
достаточной для формализации всего традиционного
материала математич. анализа.
Наиболее распространенный вариант Ф. м. а., при-
принадлежащий Д. Гильберту (D. Hilbert) и П. Бернайсу
(P. Bernays; см. [1]), можно описать следующим
образом. К языку классич. арифметики формальной
добавляется новый вид переменных X, Y, Z, . . .,
к-рые рассматриваются как пробегающие множества
натуральных чисел. Добавляется новый вид ато-
атомарных формул: (t?X) (U принадлежит мно-
множеству X»). Логич. аксиомы формальной арифметики
и схема аксиом индукции естественно усиливаются
таким образом, чтобы включать в себя формулы рас-
расширенного языка. Наконец, добавляется единственная
новая схема аксиом — схема аксиом свер-
свертывания:
где А (у) — формула рассматриваемого языка, не
содержащая свободно X, у — переменная для нату-
натуральных чисел.
Эта теория (т.н. теория Гильберта —
Берна йса, в ней идет речь лишь о натуральных
числах и о множествах натуральных чисел) достаточна
для естественной формализации математнч. анализа.
Интересна проблема обоснования непротиворечивости
теории Гильберта — Бернайса конструктивными в
достаточной степени методами. Согласно Гёделя тео-
теореме о неполноте, для этого необходимо использовать
метаматематич. средства, выходящие за пределы Ф. м. а.
К. Спектору (см. [3D удалось доказать непротиворе-
непротиворечивость этой теории с помощью остроумной модифи-
модификации интерпретации Гёделя для интуиционистской
арифметики (см. Гёделя интерпретация интуиционист-
интуиционистской арифметики), к-рая представляет собой нек-рое
далеко идущее расширение требований интуициониз-
интуиционизма. Фундаментальные трудности в попытках доказа-
доказательства непротиворечивости теории Гильберта —• Бер-
Бернайса связаны с той особенностью аксиомы сверты-
свертывания этой теории, что в формуле А (у) этой системы
разрешается свободно использовать кванторы по мно-
множествам. Таким образом, при выяснении принадлеж-
принадлежности числа у определяемому в аксиоме множеству X
необходимо использовать наличие всех множеств нату-
натуральных чисел, в том числе и определяемое множе-
множество X. Можно сказать, что аксиома свертывания фор-
формального анализа выражает до нек-рой степени не-
необходимость актуального существования всех множеств
одновременно.
Эта особенность (она встречается во многих тео-
теоретико-множественных формальных теориях) наз.
непредикативностью теории. Формальный
анализ Гильберта, — Бернайса является анализом не-
предикативным.
Для устранения непредикатпвности были предло-
предложены различные формальные аксиоматич. теории пре-
предикативного (иначе, разветвленного)
анализа. Напр., в одной из распространенных
формулировок, восходящих к Г. Вейлю (Н. Weyl),
рассматриваются иеременные вида Хт, У*, ... с
натуральными верхними индексами. Переменные рас-
рассматриваются как пробегающие множества натураль-

ных чисел. Схема аксиом свертывания в этой теории
имеет вид
ЗХ^у(у ? Хп^А(у)),
где в А (у) связанные переменные по множествам имеют
индекс <т, а свободные переменные по множествам —
индекс <:т. Таким образом, множества натуральных
чисел в предикативном анализе, содержательно го-
говоря, распадаются («разветвляются») на слои, причем
множества более высокого слоя определяются лишь
с помощью множеств меньших слоев (и уже построен-
построенных множеств данного слоя). Непротиворечивость
разветвленного анализа сравнительно легко обосно-
обосновывается конструктивными средствами, но простота
этой теории достигается дорогой ценой: разветвленный
анализ несравненно хуже приспособлен для формали-
формализации. Так, наименьшая верхняя грань ограниченного
множества действительных чисел определяется сущест-
существенно непредикативным способом и соответствующая
теорема Ф. м. а. в предикативном анализе приобретает
весьма неестественный вид.
Имеется эквивалентная формулировка непредика-
непредикативного анализа Гильберта — Борнайса, в к-рой вме-
вместо множеств натуральных чисел фигурируют функ-
функции, перерабатывающие натуральные числа в нату-
натуральные. А именно, для такого вида функций к фор-
формальной арифметике добавляются переменные а, р\ у,
... и новый вид термов: a(t) («результат применения а
к и); логич. аксиомы и схема аксиом индукции ес-
естественно распространяются на формулы нового языка,
и, наконец, добавляется единственная новая схема
аксиом, так нам. аксиома выбора анализа:
ухЗуА (х, у)
утверждающая, что если для всякого х найдется у,
удовлетворяющий условию А (х, у), то существует
функция а, выдающая по х соответствующий у. Цен-
Ценность этой формулировки состоит в том, что после
исключения из числа логич. аксиом теории закона
исключенного третьего полученная система удобна
для формализации в ней интуиционистского или кон-
конструктивного Ф. и. а. Интуиционистский
(соответственно конструктивный) Ф. м. а.
представляет собой ыереработку традиционного ма-
материала математик, анализа в соответствии с требо-
требованиями программы интуиционизма (соответственно
конструктивной математики). При формализации
этих дисциплин открывается возможность трактовать
переменные а, Р, у, . . . как пробегающие только «эф-
«эффективные» в том или ином смысле функции, напр,
интуиционистские свободно становящиеся последова-
последовательности. При такой интерпретации аксиома выбора
анализа является истинным утверждением. Для раз-
развития содержательных разделов анализа последнюю
теорию пополняют новыми аксиомами, выражающими
специфически интуиционистские или конструктивные
принципы, такие, как бар-индукция или принцип
конструктивного подбора А. А. Маркова.
Лит.: [1] Гильберт Д., Б ер пайс П., Основания
математики. Логические исчисления и формализация арифмети-
арифметики, пер. с нем., [2 изд.], М., 1982; [2] Ф р е н к е л ь А., Бар-
X и л л е л И., Основания теории множеств, пер. с англ., М.,
1966; [3] SpektorCl., в кн.: Recursive function theory,
Providence, 1962, p. 1—27 («Proc. Sympos. Pure Math.», 1962,
v. 5). А. Г. Драгалип.
ФОРМАЛЬНЫЙ СТЕПЕННОЙ РЯД над коль-
кольцом А от коммутирующих перемен-
переменных Тх, . . ., Тп — алгебраич. выражение вида
где Fk— форма от Тг, ..., Тп с коэффициентами из А
степени к. Минимальное значение к, для к-рого Fk ф О,
наз. порядком ряда F, а форма Fk наз. началь-
начальной формой ряда.

Если
— два Ф. с. р., то, по определению,
где
Относительно этих операций множество A[[Ti, ..., Тп]]
всех Ф. с. р. образует кольцо.
Многочлен F = У]ь_ ^*' гДе ^"*—форма степени ft,
отождествляется с Ф. ср. С = ^\ С^, где Ck = Fk
при fteSn и Cft = 0 при к > п. Это определяет вло-
вложение г кольца многочленов Л [Tj, .,., Тп] в кольцо
Л [[71!, ..., Тп\\. В кольце 4 [[Ти ..., Тп]] определена
топология, для к-рой идеалы
..., Г„]] |^=0 при к^п)
образуют фундаментальную систему окрестностей нуля.
Эта топология отделима, кольцо А[[Ти ..., Тп]] пол-
полно относительно этой топологии, и образ вложения i
всюду плотен в Л [[Г], ..., Тп]]. Относительно этой
топологии Ф. с. p. F является пределом своих частич-
частичных сумм 2^=0^*"
Пусть А—коммутативное кольцо с единицей. Тогда
таково же и кольцо А ЦТ1, ..., Тп]]. Если А—область
целостности, то и A [[Ti, .. ¦, Тп]\ — область целостно-
целостности. Ф. с. p. F обратим в кольце А [[Г],..., Тп]\
тогда и только тогда, когда Fo обратим в А. Если
А— нётерово, то и А[[Т1,..., Тп]] также нётерово.
Если А — локальное кольцо с максимальным идеалом
tn, то А[[Т1,.,., Тп]] — локальное кольцо с макси-
максимальным идеалом (т, Тг, ..., Тп).
Если локальное кольцо А отделимо и полно в т-
адической топологии, то в кольце А[[ТХ, ¦ ¦¦, Тп}\
справедлива подготовительная теорема
Вейерштрасса. Пусть F — Ф. с. р. такой, что для
нек-рого к форма F & содержит член аТп, г до а ф щ,
и пусть к — минимальный индекс с этим свойством.
Тогда F=UP, где U—обратимый Ф. ср. и Р — мно-
многочлен вида Т/г-|-а/1_1Тп~1 ~\- ... -\-а0, где коэффициенты
а; принадлежат максимальному идеалу кольца А [[Ти
..., 7"n_i]]. Элементы U и Р однозначно определены
рядом F.
Кольцо Ф. с. р. над полем или дискретно нормиро-
нормированным кольцом факториально.
Рассматриваются также кольца Ф. с. р. от неком-
мутирующих переменных.
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер. с
франц., М., 1971; [2] За рис с кий О., СамюэльП.,
Коммутативная алгебра, т. 2, пер. с англ., М., 1963.
Л. В, Нузъмин.
ФОРМАЛЬНЫЙ ЯЗЫК в математической
лингвистике — произвольное множество цепо-
цепочек (т. е. слов) в нек-ром (конечном или бесконечном)
алфавите V (иногда называемом также словаре м),
т. е. выражений вида 0)=% . . . о^, где аг, . , ., а^? V;
число к, обычно обозначаемое |ш|, есть длина цепочки
ш. Рассматривается также пустая цепочка, обознача-
обозначаемая через Л; полагают |Л|=0. Часто говорят о я з ы-
ке в алфавите V, опуская слово «формальный».
В математической лингвистике и автоматов теории
рассматриваются различные эффективные способы за-

дания Ф. я., главным образом с помощью формальных
грамматик и с помощью автоматов различных типов,
к-рые в большинстве случаев могут быть описаны как
модификации недетерминированных Тьюринга машин,
часто многоленточных, с теми или иными ограниче-
ограничениями на способ работы машины на каждой ленте.
Операции над Ф. я. Кроме обычных теоре-
теоретико-множественных операций, над Ф. я. произво-
производятся: умножение (или прямое умно-
умножение, или конкатенация) —
ЬХЬ2 = {ху | х g Lx & у g L2};
левое деление —
i2\ii = {х | ЗУ, z (У € ?1 & г 6 А> & У = г*)};
правое деление Lx/L., определяется симмет-
симметрично левому; итерация—
L* = L°\J ii U i2 U •••,
где Ln обозначает {Л} и Ln + 1=L"L (в частности, мно-
множество всех цепочек в алфавите V есть V*)', усечен-
усеченная итерация —
подстановка : если L — язык в конечном ал-
алфавите {о1; . . ., а„} и Lx, . . ., Ln — произвольные
языки, то
S(L; оь ..., ап\Ьи ..., /,„) =
= К • • • %Iаи ¦¦¦ aik € L&хн € Lit& ...
если каждый из языков /,,-, г=1, .... га, состоит из
одной цепочки z,-, подстановка наз. гожодорйбмзжож;
если при этом все z,- непусты, говорят о не укора-
укорачивающем гомоморфизме. Если язык {х}
состоит из одной цепочки х, то вместо {х} L, [х}~\Ь и
т. п. пишут xL, x\L и т. Д. соответственно.
Многообразием языков наз. упорядоченная
пара (S, JS) (или Jf, если 8 подразумевается), где
§—бесконечный алфавит, a JS—класс языков такой,
что: 1) для каждого L?j? существует конечный ал-
алфавит 2 с 8 такой, что L с: 2*; 2) L ф 0 для нек-рого
??<??; 3) jf замкнут относительно объединения, умно-
умножения, пересечения с регулярными множествами,
усеченной итерации, неукорачивающих гомоморфизмов
и обращении произвольных гомоморфизмов. Много-
Многообразие языков, замкнутое относительно произвольных
гомоморфизмов, наз. полным.
Лит.: [1] Г л ад кий А. В., Формальные грамматики и
языки, М., 1973; [2] G i n s h u г д S., G г о i Ь а с h S., Н о р-
croftY., «Mem. Ащег. Math. Soc.», 1989, JN» 87, p. 1—32.
Д. В. Гладкий.
ФОРМАЛЬНЫЙ ЯЗЫК, ПРЕДСТАВИМЫЙ МА-
МАШИНОЙ, формальный язык, распозна-
распознаваемый машиной,— множество всех тех слов,
при работе над к-рыми машина попадает в одно из
выделенных состояний. Всякое рекурсивно перечис-
перечислимое множество слов есть формальный язык (ф. я.),
представимый нек-рой Тьюринга машиной. Чаще всего
рассматривают распознавание машинами рекурсивных
ф. я. Так, регулярные языки и только они распозна-
распознаются автоматами конечными; контекстно-свободные
языки и только они распознаются автоматами с мага-
магазинной памятью.
В том случае, когда ф. я. состоит из бесконечных
слов (сверхслов), он наз. сверхъязыком. Оп-
Определение распознавания сверхъязыка на машине
может отличаться от основного определения. Напр.,
слово х принадлежит сверхъязыку, распознаваемому
конечным автоматом 31, тогда и только тогда, когда
при работе над словом х автомат % бесконечное число
раз попадает в выделенное подмножество состояний.

При изучении конкретных ф. я., заданных не в
машинных терминах (напр., посредством формальных
грамматик), часто возникает потребность нек-рым
образом охарактеризовать сложность языка. Одним
из наиболее распространенных путей в этом направ-
направлении является отыскание подходящего класса машин,
распознающих рассматриваемые языки, и определение
сложности языков черев сложностные характеристики
машин. С другой стороны, изучение конкретного
класса машин, как правило, включает описание Ф. я.,
п. м. этого класса. Дальнейшее исследование Ф. я.,
п. м. затрагивает вопросы соотношения с известными
классами языков, свойства замкнутости (относительно
теоретико-множественных операций и т, п.), вопросы
алгоритмического и сложностного характеров.
Лит.: [1] Языки и автоматы. СО. переводов, М., 1975.
С. С. Марченкпв.
ФОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ —
отношение между формальными системами, состоящее
в том, что множества выражений, выводимых в этих
системах совпадают. Точнее, две формальные системы
.5, и 58 эквивалентны тогда и только тогда, когда
выполняются следующие условия: 1) всякая аксиома
системы Sl выводима в системе S2\ 2) всякая аксиома
системы S2 выводима в системе S^, 3) если выражение В
непосредственно следует из выражений Ах, . . ., Ап
в силу одного из правил вывода системы Sv и выра-
выражения <4j, . . ., Ап выводимы в системе Se, то В также
выводимо в системе S2; 4) аналогично 3) с заменой St
на S2 и S2 на Sx. в. Е. Плиспа.
ФОРМУЛА — выражение формализованного языка,
предназначенное для записи суждения. Примеры точ-
точного определения понятия Ф, в различных форма-
формализованных языках см. в ст. Аксиоматическая теория
множеств, Арифметика формальная, Предикатов ис-
исчисление, Типов теория. В математич. практике Ф.
наз. также осмысленные комбинации символов, не-
несущие разнообразную смысловую нагрузку. Они могут
быть как именными, так и высказывательными формами,
определениями-сокращениями и пр. в' Я. Гришин.
ФОРТРАН (от ФОРмульный ТРАНслятор) — перво-
первоначально язык программирования задач вычисли-
вычислительной математики, разработанный в 1954—56 для
машины ИБМ 704 и в версии Ф. II ставший первым в
мире широко распространенным алгоритмическим язы-
языком.
Позднее под Ф. стали понимать семейство языков
проградширования, восходящих к Ф. II, прямо или
косвенно претендующих на роль его преемника и
сохраняющих название Ф. Большинство из них по-
построено как расширение одного из двух стандартов
A962—64): Basic Fortran и Ф. IV и сходится в сле-
следующем.
Ф. предоставляет средства изображения, ввода и
вывода арифметических, логических и'текстовых дан-
данных. Арифметич. данные включают целые, действи-
действительные (обыкновенной и повышенной точности) и
обычно также комплексные числа. Над арифметич.
значениями определен обычный набор операций и
отношений. Такие значения можно запоминать в ска-
скалярных переменных или элементах однородных мас-
массивов (таблиц) того же типа.
Программа состоит из «ведущей программы» и на-
набора подпрограмм (процедур), причем возможна их
раздельная трансляция. Изменение текстуального по-
порядка исполнения осуществляется посредством про-
простых и вычисляемых переходов по метке, условных
операторов, циклов и вызовов процедур.
Подпрограммы передают друг другу информацию
через свои параметры и общие блоки памяти (COMMON
blocks). Так как рекурсивные вызовы запрещены, а
границы массивов константны, часть действий по

доступу к элементам массивов может быть подго-
подготовлена при трансляции, что значительно ускоряет
счет по готовой программе.
Можно сказать, что главная особенность Ф. заклю-
заключена не в самом языке, а в той уникальной роли, к-рую
он обеспечил себе в мировом программировании. Из
«математического автокода» для ИБМ 704 он путем
эволюции, напоминающей эволюцию естественных язы-
языков, превратился в самый распространенный язык
программирования. Наличие хотя бы одной реали-
реализации Ф. стало практически обязательным для всякой
ЭВМ общего назначения.
В этой эволюции Ф. удержал ряд особенностей
автокодов, важных для удобства программирования
или использования программы,— таких, как состав-
составные константы (DATA) и раздельная трансляция.
Они способствовали накоплению огромных библиотек
написанных на Ф. подпрограмм по численным методам
анализа, статистике, машинной графике, инженерным
расчетам и т. д.
В то же время ф. сохранил весьма архаичный син-
синтаксис. Группировку операторов (напр., в циклах)
обеспечивают метки, что не только затемняет про-
программу, но и ослабляет синтаксич. контроль. По-
Поскольку описания идентификаторов необязательны,
помехоустойчивость Ф. очень низка. Напр., если в
типичном цикле
DO 2/= 1,100
2 АA, /) = 0
пропустить любую запятую или заменить первую из
них точкой, ошибка обнаружена не будет. Это снижает
достоверность программ на Ф. и составляет важней-
важнейший недостаток языка. Отчасти он преодолен в новых
стандартах (напр., в Ф. 77).
Лит.: [1] Мак-Кракен Д., Дорн У., Численные
методы и программирование наФОРТРАНе, пер. с англ., 2 изд.,
М., 1977; [2] Г р у н д ф., Программирование на языке ФОРТ-
ФОРТРАН IV, вер. с нем., М., 197Б; [3] Катцан Г., Язык Форт-
Фортран 77, пер. с англ., М., 1982. С. Б. Покровский.
ФОССА ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, несущая
Фосса сеть.
ФОССА СЕТЬ — сопряженная геодезическая сеть.
Поверхность, несущая Ф. с, наз. поверхностью Фосса.
На минимальной поверхности Ф. с. является изо-
изотропной сетью. Каждая Ф. с. на двумерной поверх-
поверхности является главным основанием изгибания по-
поверхности. Только геликоид несет бесконечное множе-
множество Ф. с. Вопрос о существовании поверхностей,
несущих Ф. с, был поставлен А. Фоссом [1].
Лит.: [1] VossA., «Sitzungsber. math.-naturwiss. Kl.
Bayerischen Akad. Wiss. Miinchen», 1888. № 18, S. 95—102;
[2] Ф и в и к о в С. П., Изгибание на главном основании,
М.— Л., 1937. В. Т. Базылев.
ФРАГМЕЦА — ЛИНДЕЛЁФА ТЕОРЕМА — обоб-
обобщение максимума модуля принципа аналитич. функций
на случай функций, априори заданных как неограни-
неограниченные; впервые в простейшей форме дано Э. Фрагме-
ном и Э. Линделёфом [1]. Пусть f(z) — регулярная
аналитич. функция комплексного переменного z в
области D на плоскости С с'границей Г. Говорят, что
/(z) не превосходит по модулю числа М в граничной
точке ?? Г, если
lim sup | / (z) I <Л/,
т. е. если для любого е>0 найдется круг Д (зависящий
от ? ие) с центром ? такой, что |/(z)| <Jkf+e приг?.ОПЛ-
Основное содержание результатов Э. Фрагмена и
Э. Линделёфа, в несколько модернизированной форме,
заключается в следующих двух положениях, последо-
последовательно расширяющих принцип максимума модуля.
' 1. Если регулярная аналитич. функция /(г) всюду
на границе Г не превосходит по модулю числа М, то

|/B)| <Af всюду в области D. Это положение иногда
называют принципом Фрагмена — Лин-
Линде л с ф а. Оно расширяет принцип максимума модуля
на функции, о граничном поведении к-рых имеется
лишь частичная информация.
II. Пусть регулярная аналитич. функция /(«) не
превосходит по модулю числа М во всех точках гра-
границы Г, не принадлежащих нек-рому множеству ЕаТ.
Пусть, кроме того, существует функция со (г) со сле-
следующими свойствами: 1) со (г) регулярна вО,2) |w(z)|<l
в D, 3) co(z)#0 в D, 4) для любого о>0 функция
|w(z)|° |/(z)| но превосходит числа М в каждой точке
?g?\ При этих условиях |/(г)|<Л/ всюду в D.
Ф.— Л. т. получила многочисленные применения,
также часто именуемые теоремами Фрагмена — Лин-
делёфа и связанные с конкретным видом области D,
множества Е и функции w(z) (см. [1] — [4], в част-
частности обобщения Ф.— Л. т. в [4]). Чаще всего в при-
приложениях множество Е состоит из одной точки оо. Напр.,
пусть функция / (z) регулярна в угловой области
D = {z=-re^: |ф| < fot/2, К >0, 0<г < оо} (*)
и на сторонах угла не превосходит по модулю числа
М. Тогда имеет место альтернатива: либо
\f(z)\<M
всюду в D, либо максимум модуля
M(r) = max{|/(z)|; \г\ = г, г ? D]
растет быстрее гпри г -->¦ оо, чем ехр (г*) при лю-
любом к, 0 < к < 1Д. Эта теорема получается из поло-
положений I и II при ? = оо, ш(г) —ехр (— г*'), где к < к'<
<1А.
Формулировки I и II остаются и силе для голоморф-
голоморфной функции / (z), z = (zb ..., zn), заданной в области
D комплексного пространства С", га^»1. Многие ра-
работы посвящены получению результатов типа Ф.—Л. т.
для решений дифференциальных уравнений с частными
производньиш и систем уравнений эллиптич. типа.
Положения I и II остаются верными для субгармони-
субгармонической функции и (Р), определенной в области D ев-
евклидова пространства R", га 5s 2, или С", reisl, при
условии, что в них | /(z) | заменяется на и(Р), а функ-
функция а(Р), 0 < <о(Р) < 1, предполагается логарифми-
логарифмически-субгармонической в D (см. [5], 16]). Напр., пусть
и (z)—субгармоническая функция в угловой области (*)
и на сторонах угла не превосходит числа М. Тогда
имеет место альтернатива: либо u(z)<:A/ всюду в D,
либо максимум
М (г) = шах {и (г); |г|=г, г g D}
растет быстрее, чем rk при любом к, 0</с<1/Х. Ана-
Аналогичные результаты имеются и для решений других
эллиптич. уравнений. Их можно назвать «слабыми»
теоремами типа Фрагмена — Линделёфа в том смысле,
что в них за счет слабого ограничения на границе
только на саму функцию получается довольно слабое
утверждение о росте.
В других результатах, к-рые можно назвать «силь-
«сильными» теоремами типа Фрагмена — Линделёфа, за
счет ограничения на границе на саму функцию и ее
нормальную производную получается более сильное
утверждение о росте. Такова, напр., следующая фор-
формулировка для цилиндрич. области
?> = {(р, ф, t); Os?p< а, 0<ф < 2я, | t \ < оо}
в R3. Пусть и(Р) — гармония, функция в цилиндре
D и на его боковой поверхности Г, причем |«(Р)|<:М
и \du/dn\s?:M на Г. Тогда либо \и(Р)\^М всюду в D,
либо максимум
М (О = шах {м(р, ф, t); OeSp < a, OsSqp < 2я}

растет быстрее при \t\-*- оо, чем
сехр
при любом е>0, с>0 (см. [5] — [8|).
Лит.: [1] Р h г а g m e n E., L i n d е 1 о f E., «Acta math.»,
1908, v. 31, p. 381—406; [2] ТитчмаршЕ., Теория функ-
функций, пер. с англ., М.—Л., 1951; [3] С т о и л о и С, Теория
функций комплексного переменного, пер. с рум., т. \—2, М.,
1962; [4] Е в г р а ф о в М. А., Аналитические функции, 2 изд.,
"" ; [5] П р и " '
М.— Л., 1937; [6]СоломенцёвЁ. Д., в сб.: Итоги науки.
М., 1968; [5] П р и в а л о в И. И., Субгармонические функции,
Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование.
19В2, М., 1964, с. 83—100; [7] Е в г р а ф о в М. А., «Изв. АН
СССР. Сер. матем.», 1963, т. 27, с. 843—54; [8] Л а н д и с Е. М.,
Уравнение второго порядка эллиптического и параболического
типов, М., 1971. Е. Д. Соломенцев.
ФРАНКЛИНА СИСТЕМА—одна из классических
ортонормированных систем непрерывных функций.
Ф. с. {fn(t)\n=i (см. [1] или [2]) получается примене-
применением процесса ортогонализации Шмидта на отрезке
[0, 1] к Фабера — Шаудера системе, построенной с по-
помощью множества всех двоично рациональных точек
отрезка |(), 1|; в этом случае система Фабера — Шаудера
с точностью до постоянных множителей совпадает с
системой И, V %n(x)dx \, где \%п W/n=i — Xaapa си-
система. Ф. с. является исторически первым примером
базиса в пространстве непрерывных функций, обладаю-
обладающего свойством ортогональности. Эта система также
является базисом во всех пространствах Lp[0, 1|,
1<р<оо (см. [3]). Если непрерывная на отре.чке
[0,1] функция / @ имеет модуль непрерывности ш F, /),
a Sn(t, I) — частная сумма порядка п ряда Фурье
функции j(l) по системе Франклина, то
шах |/(О-5„(<,/)|<8со/'± /
о < i <- 1 V "
При этом коэффициенты Фурье — Франклина а„ (/)
функции /(/) удовлетворяют неравенствам
]¦>[•) / 1 , \
I A I f \ \ <^" Iti ( Т«Г / I /? -—- v/Я I Ъ ?• — I HfM
У ')ТП \ *~ /
а условия:
a) max | / (t)~Sn (t, f) \ = 0 («-«), п -+ оо,
и) ап (/) — О \п~ ), п * оо ,
в) ы (б, /) = О(ба), б -+U,
при 0 < а. < 1 являются равносильными.
Если непрерывная функция /(/) такова, что
V —со ( — , / < оо,
^-in-l пуп j
то ряд
"V" \a (f)f (t)\
сходится на отрезке [0, 11 равномерно, а если
2BV
Все эти свойства Ф. с. доказываются с помощью
неравенства
max 2"_ \fv»+
„ П А . Г° 05

Ф. с. является безусловным базисом во всех про-
пространствах Lp [0, 1] A < р < оо) и, более того, во всех
рефлексивных пространствах Орлича (см. [5]). Если
функция f(t) принадлежит пространству Lp\0, 1],
1 < р < оо, то имеют место неравенства
I/fI/=*,m,,
где fl-|p обозначает норму ц пространстве Lp [0, 1], а
постоянные Ар > 0 и Вр > О зависят лишь от р.
Ф. с. нашла важные приложения в различных во-
вопросах анализа. В частности, с помощью этой системы
были построены базисы в пространствах С G2) (см.
[4]) и A (D) (см. [5]). Здесь Сх(/2) — пространство всех
непрерывно дифференцируемых на квадрате 72—[О, 1]Х
Х[0, 1] функций f(x, у) с нормой
|| f || = max | / (х, у) | + max U^- +max -^
a A (D) — пространство всех функций /(z) с нормой
||/||= max |/(г) |,
1 г|< 1
аналитических в открытом круге D — {z: | z | < 1} ком-
комплексной плоскости и непрерывных в замкнутом кру-
круге D = {z: |z|<l}. Вопросы о существовании базисов
н пространствах С1 G2) и A (D) были поставлены
С. Банахом [0].
Лит.: [1] Fran k И nP., «Math. Ann.», 1928, Bd 101),
S. 522—29; [2] К а ч м а ж С, ШтейнгаузГ., Теория ор-
ортогональных рядов, пер. с нем., ИГ., 1958, с. 144; [з] С i e s i с 1-
sk i Z., «Studia math.», 1963, v. 23, Mi 2, p. 141 — 57; [4] его
ж е, там же, 1969, v. 33, №2, p. 243—47; [5] Б о ч к а р е в С. В.,
«Матем. сб.», 1974, т. 95, № 1, с. 3—18; [6] В а и а с h S., Тпёо-
rie des oporationes lineaires, Warsz., 1932. Б. И. Голубое.
ФРАТТИНИ ПОДГРУППА — характеристическая
подгруппа Ф (G) группы G, определяемая как пересе-
пересечение всех максимальных подгрупп G, если такие
существуют; если же максимальных подгрупп в груп-
группе G нет, то G сама наз. своей Ф. п. Введена Дж. Фрат-
тини [1]. Ф. п. состоит из тех и только тех элементов
группы G. каждый и:1 к-рых может быть удален из
любой, содержащей его системы образующих группы,
т. е.
Конечная группа тогда и только тогда нильпотент-
на, когда ее коммутант содержится в ее Ф. п. Для любой
коночной и любой полициклич. группы G подгруппа
Ф(б') нильпотентна.
Лит.: L11 Praltini С, «Atti Accad. Lincei, Rend, (IV)»,
188Г>, 1. 1, ji. 281—85; [2] Курош А. Г., Теория групп,
2 и.чд., М., НN7. Н. Н. Вильяме.
ФРЕДГОЛЬМА АЛЬТЕРНАТИВА — альтернативное
утверждение, вытекающее из Фредгпльма теорем.
В случае линейного интегрального уравнения Фред-
гольма 2-го рода
ф (х) — X \ К (х, s) ф (s) ds -— f (x), x ? [a, b], A)
Ф. а. утверждает: либо уравнение A) и сопряженное
с ним уравнение
К (s, х) Ц) (s) ds=^g (x), г?[а,Ь], B)
имеют единственные решения ф, if, каковы бы ни были
известные функции /, g, либо соответствующие одно-
однородные уравнения
— К С* К(х, s)y{s\ds=--{l, {!')
г|) (.г) — X [ Ьа 'K(s, х) ф (s) ds--- 0 B')
имеют ненулевые решения, причем число линейно
независимых решений конечно и одинаково для обоих
уравнений.

Во втором случае для того чтобы уравнение A)
имело решение, необходимо и достаточно, чтобы
[ f(z)^k(x)dr^-Q, к = 1, ..., га,
где г|),. ..., г|)„ — полная система линейно независимых
решений уравнения B'). При этом общее решение
уравнения A) имеет вид
Ф(л:)=ф. (я) + 2* = 1 ск4>к(х),
где ц>к — какое-нибудь решение уравнения A), ф1, ...,
Ф„—полная система линейно независимых решений
уравнения A'), <••,,—произвольные постоянные. Сходные
утверждения имеют место и для уравнения B).
Пусть Т — непрерывный линейный оператор, ото-
отображающий банахово пространство Е в себя; Е*, Т* —
соответствующие сопряженные пространство и опе-
оператор. Рассматриваются уравнения:
Т(х)=,у, х, у ?Е, C)
T*(S)-=f, g, t?E*, D)
T(x) = Q, x? E, C')
T*(g)~0, g ?E*. D')
Справедливость Ф. а. для оператора Т означает сле-
следующее: 1) либо уравнения C) и D) разрешимы, ка-
каковы бы ни были их правые части, и тогда их реше-
решения единственны; 2) либо однородные уравнения C')
и D') имеют одинаковое копечное число линейно не-
независимых решений хи ..., хп и gx, . .., gn соответ-
соответственно; в этом случае для разрешимости уравнения C)
соответственно уравнения D), необходимо и достаточно,
чтобы gk (у) = 0, к = 1, 2, . .., п, соответственно / (х^) =0,
к-=Л, 2. ...,«; при этом общее решение уравнения C)
дается равенством
а общее решение уравнения D) — равенством
где х* (соответственно g*) — какое-нибудь решение
уравнения C) (уравнения D)), a clt . . ., сп — произ-
произвольные постоянные.
Каждое из следующих двух условий необходимо и
достаточно, чтобы для оператора Т имела место Ф. а.
1) Оператор Т представим в форме
где W — оператор, имеющий двусторонний непрерыв-
непрерывный обратный, а V — вполне непрерывный опера-
оператор, 2) оператор Т представим в форме
где И7,—оператор, имеющий двусторонний непрерыв-
непрерывный обратный, а К[ — конечномерный оператор.
Лит.: [11 С м и j> и о в В. И., Курс высшей математики,
т. 4, ч. 1, 6 иад., М., IH7 4;. [21 В л я д и м и р о в В. С, Уравне-
Уравнении математической физики, 4 изд., М., 1981; [3] Канторо-
Канторович Л. В., А к и л о в Г. П., Функциональный анализ,
2 изд., М., 1977. Б. В. Хведелидзе.
ФРЕДГОЛЬМА ОПЕРАТОР — линейный оператор,
отображающий одно локально выпуклое пространство
в другое и ядерный оператор относительно Макки топо-
топологии, в этих пространствах. А. б. Вапушинский.
ФРЕДГОЛЬМА ТЕОРЕМЫ для интеграль-
интегральных у р а в н е н и и:
Т е о р с Д1 а 1. Однородное уравнение
jili, s)9(s)ds=0 A)

и союзное с ним уравнение
K{s,x)ty(s)ds = O B)
при фиксированном значении параметра X имеют либо
лишь тривиальные решения, либо одинаковое ко-
конечное число линейно независимых решений: фх, . . .
. . ., ф„; г^, . . ., г|)„.
Теорема 2. Для разрешимости неоднородного
уравнения
<р(х)-Х [ ЬК(х, s)<p(s)ds = f(x) C)
необходимо и достаточно, чтобы его правая часть была
ортогональна полной системе линейно независимых
решений соответствующего однородного союзного урав-
уравнения B):
bf(x)^>j{x)dx--=O,] = i,...,n. D)
Теорема 3 (альтернатива Фред-
го л ь м а). Либо неоднородное уравнение C) разре-
разрешимо, какова бы ни была его правая часть /, либо
соответствующее однородное уравнение A) имеет не-
ненулевые решения.
Теорема 4. Множество характеристических чи-
чисел уравнения A) не более чем счетно, с единст-
единственной возможной предельной точкой на бесконеч-
бесконечности.
Для справедливости Ф. т. в функциональном про-
пространстве Ьг(а, Ь) достаточно, чтобы ядро К урав-
уравнения C) было интегрируемым с квадратом на множе-
множестве [a, b]x[a, b] (a, b могут быть и бесконечными).
Когда это условие нарушается, уравнение C) может
оказаться нефредголъмовым интегральным уравнением.
Когда параметр X и функции, участвующие в урав-
уравнении C), принимают комплексные значения, тогда
взамен союзного уравнения B) часто рассматривают
сопряженное к A) уравнение
г|) (х)~X С К (s, x)\p(s)ds — O.
В этом случае условие D) заменяется условием
Теоремы доказаны Э. Фредгольмом [1].
Лит.: [llFredholm E. I., «Acta math.», 1903, v. 27, p.
365—390. R. В. Хведелидве.
ФРЕДГОЛЬМА УРАВНЕНИЕ — интегральное урав-
уравнение вида
\ К (х, s) ф (s) ds = f (x), x ? [a, b],
— Ф. у. 1-г о рода, или вида
Ф(я)— X С Ъ К(х, s)y(s)ds = f (x), х ? [а, Ь], A)
— Ф. у. 2-го рода, если интегральный оператор
Кц> (х) = fЬ К (х, s) ф (s) ds, .г- g [a, 6], B)
является вполне непрерывным в нек-ром функцио-
функциональном пространстве Е. Предполагается, что свобод-
чый член / и искомая функция ф принадлежат про-
пространству Е. Важным примером Ф. у. является урав-
уравнение, в к-ром ядро К удовлетворяет условию
\а | К (х, s) | 2 dx ds < оо, C)
a E=L2([a, Ъ]).

Численный параметр X и функции /, ф, К могут
принимать как действительные, так и комплексные
значения. О Ф. у. 1-го рода см. Интегральное уравнение
с симметричным ядром и Некорректные задачи. Ниже
рассматриваются лишь Ф. у. 2-го рода.
Метод последовательных прибли-
приближений решения Ф. у. 2-го рода. Это —
первый метод, к-рый был предложен для решения урав-
уравнения A). Для формулировки этого метода пусть урав-
уравнение A) записано в виде
ф(я) = / (х) + КК<р(х), х ? [а, Ь]. D)
Предполагается, что ядро К удовлетворяет условию
C), a E=L%{[a, b]). Пусть начальное приближение
искомого решения фо=/; если (п—lj-e приближение
Фп-i построено, то
при этом
где Кт обозначает т-е итерированное ядро ядра К.
Функция E) является частичной суммой ряда
2 L. *"*-/. (в)
к-рый наз. рядом Неймана (или рядом
.1 и у в и л л я — Неймана). Если \Х\ <5~1, то
ряд F) сходится в среднем к решению уравнения (I1),
и это решение — единственное (см., напр., [5]). Если
существует такая положительная постоянная А, что
К(х, s) \*ds<A, х ? [а, Ь],
то ряд F) сходится абсолютно и равномерно. Вообще
говоря, ряд F) расходится, если \Х\"^В~1. Именно,
ото так, если ядро К имеет характеристич. число.
Если же ядро не имеет характеристич. чисел (как,
напр., в случае ядра Вольтерра), то ряд F) сходится
при любом значении X.
Метод Фредгольма решения Ф. у.
2-го рода. Метод последовательных приближений
дает возможность построить решение уравнения A),
вообще говоря, лишь при малых значениях параметра
X. Метод, дающий возможность решить уравнение A)
для любого значения параметра X, был впервые пред-
предложен Э. Фредгольмом (Е. Fredholm, 1903). В пред-
предположении, что ядро К непрерывно на квадрате [а, 6]х
X [а, Ь], а свободный член и искомое решение непрерыв-
непрерывны на сегменте [а, Ь], ниже кратко описана идея этого
метода.
Отрезок fa, 6] делится на п равных частей длины
k=(b—аIп. Если заменить интеграл в A) интеграль-
интегральной суммой, то точное уравнение A) заменяется при-
приближенным
?(i)-WJ"=jX(i, sf)<(>(sj) = f{x), x? [а, Ъ]. G)
Полагая в G) последовательно х=-ии ..., sn для оп-
определения приближенного значения неизвестной функ-
функции ф в точках sj, получают линейную алгебраич.
систему
ф,— M]?"=0?;/P/ = /i. *--=*, 2, •••> ". (8)
где fUi) = fi, ф(х/)=ф1, К (s,, sj) = Kij. Разрешимость
системы (8) зависит от значения определителя
1—ШСц—ШГ12 ... —XhKln
••¦
— XhKnl—XhKn2 ... 1 —XhKnn
к-рый является многочленом относительно X. Если X

отличен от корней этого многочлена, то система (8)
разрешима. Решив эту систему и подставив получен-
полученные значения <fi = <f(sj) в.G), получают приближенное
решение уравнения A)
0( ^' , О)
где Q и А — многочлены относительно X. Приведенный
путь является одним из возможных вариантов по-
построения приближенного решения Ф. у. A) (см. [6]).
Можно ожидать, что в пределе, когда п -*¦ оо так,
что интегральная сумма в G) совпадает с интегралом
в A), предел правой части в (9) совпадает с точным
решением уравнения A). С помощью формальных
переходов к пределам в соответствующих выражениях
Э. Фредгольм установил формулу, к-рая должна
представлять решение уравнения A)
$ R(x, s\ X)f(s)ds, A0)
где
R (х, s;X) = D (x, s; X)/D (X), A1)
D (x, s; X) ^Л,__п~1- Вт (х, s) X'", A3)
si ... dsm, A4)
Bm(x, s) = [„ ¦•¦?* К fx' Su '•¦' Sm) dst...dsm, A5)
Ja ja \s, $i, ¦ . ., smj
(хъхг, ...,хп\ Kixu4)K(xus2)...K(xx,sn)
U, »„ ¦ • •, * J ~ x-(Xn;5i-j x iXn^ ;2}; ; ^(a;n;^}
Для вычисления Ат mi В т (x, s) вместо формул A4),
A5) можно воспользоваться следующими рекуррентны-
рекуррентными соотношениями:
Ао — 1, В0(х, s)— K(x, s), Ат = ^ Bm-l(s, s)ds,
Вт (х, s) — К (х, s) Ат — т \ К (х, t) Вт^.1{1, s)dt,
Ряды A2) и A3) наз. рядами Фредгольм а.
Функцию D (X) наз. определителем Фред-
го л ь м а ядра К, функцию D {x, s; X) — первым м и-
нором Фредгольма для D (X), а функцию
A1) — резольвентой (или разрешающим
ядром, или взаимным ядром) ядра К (или
уравнения A)).
Обоснование упомянутых выше предельных перехо-
переходов, к-рые приводят к формуле A0), было сделано
Д. Гильбертом (см. Интегральное уравнение). Э. Фред-
Фредгольм, построив формально ряды A2), A3), затем
непосредственно строго доказал, что они сходятся
для всех конечных значений параметра X, а ряд A3),
кроме того, сходится равномерно по х и s на квадрате
[а, Ь]Х\а, Ь]. Установление связи между функциями
D (X) и D (x, s; X) позволило ему доказать следующее
предложение: если D (Х)ФО, то уравнение A) име-
имеет одно и только одно решение, к-рое выражается фор-
формулой A0).
Из этого предложения вытекает, что значение па-
параметра X, которое не является корнем определителя
Фредгольма, есть регулярное значение для однородно-
однородного уравнения, соответствующего уравнению A):
ср(ж) — X { К [х, s)<p(s)ds-^O, х?[а, Ь], A0)
т. е. это уравнение в рассматриваемом случае имеет
лишь нулевое решение. Если X — корень уравнения

D(X)—O, то X есть полюс резольвенты A1) уравнения
A0) и характеристич. число этого последнего уравне-
уравнения. Чтобы построить но методу Фредгольма собст-
собственные функции, принадлежащие этому характери-
характеристическому числу, вводится понятие р-го минора D (к).
Пусть
*1,
*1.
\ Si, . .., SpJ J a ,) a
X dh...dtm.
Тогда р-м минором для D (X) наз. ряд
—-*-m=0 m!
к-рый при р-=1 обращается в В (х, s; X). Ряд A6)
сходится абсолютно для всех конечных значений к и
равномерно относительно хь ..., хр, slt ..., s^, удов-
удовлетворяющих неравенствам ««??,,«?&, a<sn<6,
k — i, ..., р. Пусть теперь Хо есть характеристич. чис-
число ядра К; D (Х0) = 0, Хо Ф 0, так как D @) = 1. Пусть
г — кратность корня Хо уравнения D (Хо) =0. Существует
такое натуральное число g<r, что все миноры для
D (ко), порядок к-рых меньше q, тождественно равны
нулю, а минор порядка q отличен от нуля. Существует
нек-рая совокупность значений х[, ..., x'q, s\, ..., s'q
таких, что
Sl, -.., Sg
Число д наз. р а н г о м характеристич. числа
Функции
q
являются линейно независимыми решениями урав-
уравнения A0).
Пусть характеристич. числу Хо принадлежат соб-
собственные ФУНКЦИИ <Pj, . . ., (fg. ЭТИ фуНКЦИИ НЭЗ.
полной системой собственных функ-
функций уравнения A0) (или ядра К), принадлежащих
числу Хо, если любая другая собственная функция,
принадлежащая этому числу, есть линейная комби-
комбинация функций ф!, . . ., ср?.
Если Хо является характеристич. числом однород-
однородного уравнения A0) с рангом q, то оно будет также
собственным значением с рангом q и для союзного с
A0) уравнения
b O, (lo)
причем полная система собственных функций урав-
уравнения A0) определяется формулами A7), а для урав-
уравнения Aо) — аналогичными формулами, построен-
построенными для союзного ядра K(s, x).
Если Хо — характеристич. число ядра К с рангом q,
то уравнение A) имеет решение тогда и только тогда,
когда удовлетворяются условия:
*=0, ft-1, 2, ...,д, A8)
где %, . . ., ф9 составляют полную систему собствен-

ных функций уравнения Aо). Если условия A8) вы-
выполняются, то все решения уравнения A) определяются
формулой
Ф (*) = Г(х) +["аН (х, s) / (в) ds + 2^=, с*Ф* (*),
где сг, . . ., сч — произвольные постоянные, {р^}
— полная система собственных функций однородного
уравнения A0), а функция Н определяется равенством
< хя.А
S], .... S )
и
Непрерывное ядро К имеет не более счетного множе-
множества характеристич. чисел, к-рые могут иметь предель-
предельную точку только при Х=оо.
Сформулированные выше предложения для урав-
уравнения D) называются Фредголъма теоремами. Эти
тевремы Э. Фредгольм распространил на случай систе-
системы таких же уравнений, а также на случай одного
класса ядер со слабой особенностью (см. Интегральный
оператор).
Из сопоставления теорем Фродгольма вытекает
Фредгольма альтернатива.
Часто в теоремах Фредгольма вместо союзного урав-
уравнения A^) рассматривают сопряженное с A) уравнение
K(s, x) ip (s) ds = O.
В этом случае условия A8) заменяются условиями
, А--Л, ..., q.
Изложенный выше метод Фредгольма был обобщен
Т. Карлеманом [9] (см. также [7], |М]) на случаи,
когда /, ф, К в уравнении A) предполагаются инте-
интегрируемыми с квадратом функциями. В этих предпо-
предположениях справедливы сформулированные выше ре-
результаты Фредгольма.
Кроме метода последовательных приближений и
метода Фредгольма для решения Ф. у., О. Шмидт
(Е. Sniidl) иод влиянием исследований Д. Гильберта
разработал метод, основой к-рого является построение,
независимо от теории Фредгольма, теории уравнения
A) с симметричным действительным ядром.
Исследования Д. Гильберта и 0. Шмидта подгото-
подготовили почву для абстрактного изложения теории Фред-
Фредгольма. Д. Гильберт обратил внимание на то, что
теория Фредгольма в основном опирается на свойство
т. н. полной непрерывности интегрального преобразо-
преобразования с ядром К. Это свойство Д. Гильберт сформули-
сформулировал для билинейных форм. Ф. Рисе (см. |8]) показал,
что основные результаты теории Фредгольма остаются
в силе, если в; уравнении A) интегральный оператор
заменить произвольным вполне непрерывным опера-
оператором, действующим в полном функциональном про-
пространство. Исследования Ф. Рисса были пополнены
Ю. Шаудором (см. 110]) с помощью введения понятия
сопряженного оператора в банаховом пространстве,
что и дало возможность окончательной абстрактной
формулировки в пространствах Банаха аналогов тео-
теорем Фредгольма. Эти теоремы часто паз. теорема-
теоремами Рисса — Шаудера. Оператор V, участ-
участвующий в нижеприведенных формулировках этих
теорем, предполагается действующим в банаховом
пространстве Е; через Е* обозначено банахово про-
пространство, сопряженное с Е, а через V* — сопряжен-
сопряженный оператор.
Теорема 1. Однородное уравнении
A9)

и сопряженное с ним уравнение
ф —F*i|>=0, ty?E*, B0)
имеют лишь нулевые решения или одинаковое конеч-
конечное число линейно независимых решений (рь ...,ф7,
%,..., г|)„.
Теорема 2. Для разрешимости неоднородного
уравнения
<р-ЯУ<р = /, /, <f??, B1)
необходимо п достаточно, чтобы ф&(/)=0, А —1,
2, ..., g; если эти условия выполнены и ц>„ — какое-
либо решение уравнения B1), то его общее решение
имеет вид
где с^— произвольные постоянные.
Теорема 3. Каково бы ни было гф(), круг |А|<:г
содержит разве лишь конечное число характеристи-
характеристических значений оператора V, т. е. значений А, для
к-рых уравнение ф—AF=0 имеет отличные от нуля
решения.
Эти теоремы дают возможность обосновать справед-
справедливость теорем Фредгольма для уравнения A) в слу-
случае различных конкретных классов интегрального
оператора {'?). Напр., если заданные и искомая функ-
функции интегрируемы с квадратом.
В качестве области интегрирования вместо отрезка
\а, Ь] в уравнении A) можно рассматривать нек-рое
ограниченное или неограниченное измеримое множество
D в пространстве любого числа измерений. Вместо
обычного интеграла можно брать интеграл Стилтьеса
относительно неотрицательной меры.
Лит.: [1] Смирнов В. И., Курс высшей математики,
6 изд., т. 4, ч. 1, М., 1974; [2] Г у р с а Э., Курс математическо-
математического анализа, т. 3, ч. 2, пер. с франц., М.—Л., 1934; [3] П е т р о в-
ский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений,
3 изд., М., 1965; [4] Л овит т У., Линейные интегральные
уравнения, пер. с англ., М., 1957; [5] М и х л и н С. Г., Лек-
Лекции по линейным интегральным уравнениям, М., 1959; [6] К а н-
т о р о в и ч Л. В., К р ы л о в В. И., Приближенные методы
высшего анализа, 5 изд., М.—Л., 1962; [7] Михлин С. Г.
«Докл. АН СССР», 1944, т. 42, № 9, с. 387—90; [8] Riesz F.
«Acta math.», 1918, v. 41, p. 7J —98; рус. пер.: «Успехи матем
наук», 1936, в. 1, с. 175—!)В; fill С а г I e m a n Т., «Math. Z.»
1921, Bd 9, S. 196—217; [101 SchauderJ., «Studla Math.>,
1930, Ms 2, p. 183—96; [11] Smithies P., «Duke Math. .Г.»,
1941, №8, p- 107—30. 1>. В. ХвеНелидзе.
ФРЕДГОЛЬМА УРАВНЕНИЕ; ч и с ленные ме-
методы решения — методы приближенного реше-
решения интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода,
сводящиеся к выполнению конечного числа действий
над числами.
Пусть
ф (х) - A JJ и К (.г, S) ф (s) ds --- f(x) A)
- интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода,
где А — комплексное число, }(х) — известная вектор-
функция, ф(.г-) — искомая вектор-функция, К(х, s) —¦
ядро уравнения A), D — область в нек-ром /«-мерном
евклидовом пространство. Ниже предполагается, что
А не принадлежит спектру интегрального оператора
с ядром К (т. е. при данном А уравнение A) имеет
единственное решение в нок-ром функциональном
классе, соответствующем гладкости К). Выражение
A) естественно включает случай системы Ф. у.
Для общего описания проблем конструирования и
исследования численных методов решения Ф. у. 2-го
рода используется язык функционального анализа.
Интегральное уравнение A) можно записать как ли-
линейное операторное уравнение
(Ё — Ы)ф^-/, B)
где ф—искомый элемент нек-рого банахова простран-
пространства Ф, /—заданный элемент пространства Ф, А — ли-
линейный ограниченный оператор из Ф в Ф. Оператор
¦Е — ХА предполагается действующим обратимо из Ф в

Ф. Схема любого численного метода решения уравне-
уравнения A) состоит в следующим. Пусть Ф, вообще говоря,
отличное от Ф банахово пространство, нек-рым образом
связанное с Ф, А— линейный оператор из Ф в
Ф. Уравнение
(Е-Ы)у^] C)
наз. аппроксимирующим уравнением для B). Обычно
аппроксимирующий оператор А подбирается так, чтобы
либо было возможно непосредственное вычисление ф
из C), либо (более общо) можно было бы найти при-
приближенное решение C) вида
Ф-Ч>(Д, 1) D)
так, чтобы правую часть D) можно было вычислить
за конечное число арифметич. действий. Выражение
1|) (А, /) означает проведение нек-рых действий над А
и /, в частности чр может быть просто операторной
функцией от А (напр., ty(A, j)~(E — Л)/)- Выбор
A, if) и /, а также пространства Ф прежде всего под-
подчинен требованию близости (в каком-либо смысле) ф
и точного решения <р уравнения A), B) и, вообще го-
говоря, неоднозначен. Точно также для конкретного
численного метода (конкретной формулы аппроксима-
аппроксимации для А) выбор пространства Ф также неоднозначен.
Конкретный выбор Ф и Ф диктуется требованиями
«близости» ср и ф, также удобствами исследования.
Специфика численных методов решения Ф. у. 2-го ро-
рода заключена в основном именно в той или иной кон-
конкретной аппроксимации оператора А при помощи
А. Поэтому обычно способ аппроксимации и дает на-
название тому или иному методу численного решения
уравнения A).
После того как выбраны Ф, Ф, А и /, близость ф
и ф (ф) устанавливается с помощью теорем общей тео-
теории приближенных методов решения операторных
уравнений.
В случае Ф — Ф для установления близости ф и ф
достаточно показать, что \А — А\\ мала. При подходя-
подходящем выборе Ф это удается сделать для большинства
класснч. методов приближенного решения Ф. у. 2-го
рода.
В большинстве конкретных методов решение урав-
уравнения C) легко редуцируется к решению системы
линейных алгебраич. уравнений; для построения гр
в D) можно воспользоваться нек-рым алгоритмом ре-
решения систем линейных алгебраич. уравнений (см.
Линейная алгебра; численные методы).
Основные способы построения аппроксимирующих
операторов:
Методы квадратурных сумм и их
обобщения являются наиболее распространен-
распространенными методами аппроксимации интегрального опера-
оператора А в уравнении A). Основной из этих методов,
применение к-рого возможно в случае непрерывных
К(х, s), ф(«) и /(г), состоит в замене интеграла (по s)
в A) какой-либо квадратурной формулой по сетке
узлов {si)?D.
При атом
Ay ==2*L,e«A'>*(*. Ч)У1Ч)' E)
где a\N) — коэффициенты квадратурной формулы.
Аппроксимирующее уравнение C) можно рассматри-
рассматривать как операторное в том же самом пространстве,
что и основное уравнение A) (напр., в пространстве

C(D) непрерывных вектор-функций на D). В этом слу-
случае оно будет иметь вид
ср (х)— ^^j. ai ' К (х> si) <Р (si) -~ / (*)• Ф)
Уравнение @) редуцируется к системе линейных алгеб-
раич. уравнений относительно <p(s;), i — i, ¦¦-, N:
4>(si)~k^l._la(^) K(sj, «,-)ф (*,•), /==1, • • •-, #..G)
Решение (точное или приближенное) системы G) дает <р-
Иногда само уравнение G) считают аппроксимирую-
аппроксимирующим уравнение A), тогда уравнение G) соответствует
уравнению C).
При таком подходе пространство Ф не совпадает с
Ф. Пространство Ф можно, напр., естественно отожде-
отождествить с факторпространством Ф по подпространству
функций ия Ф, обращающихся в нуль в точках {«,¦},
г = 1, ..., N. Метод E) допускает различные-обобще?
ния, к-рыми удобно пользоваться, напр., в случае
разрывных К (х, s). В этих обобщенных методах опе^
ратор А имеет вид
Ау = 2,--1 в' ' (х) у (*')' ^'^
где (ц ' (х)—функции, связанные с ядром К (х, s).
См. также Квадратурных сумм метод.
Методы замены ядра на близкое исполь-
используют аппроксимирующий оператор А вида
К(х, s)y(s)ds,
где К—нек-рая функция, близкая к К, но более про.-
сто устроенная. Чаще всего К — вырожденное ядро, т. е.
R (x, s) = 2(=i ai(x)bi(s)- (8)
Уравнение C) в данном случае — интегральное Ф. у.
с вырожденным ядром. Его решение сводится к ре-
решению системы линейных алгебраич. уравнений. Од-
Однако элементы матрицы полученной системы урав-
уравнений будут выражаться интегралами от известных
функций и при численном решении их, вообще говоря,
нужно аппроксимировать квадратурными суммами.
Существует много способов конкретного выбора К
по формуле (8) (см., напр., полос метод). Теоретич.
исследование близости решений уравнений C) и A) в
этих методах обычно значительно проще, чем, напр.,
в методах квадратурных сумм, т. к. в большинстве
случаев можно положить ф = ф и выбор Ф естествен-
естественно определяется непосредственно постановкой задачи.
Близость К ж К, как правило, обеспечивает близость
А и А по норме Ф. Однако практич. реализация этих
методов в большинстве случаев значительно более
трудоемка по сравнению с методами квадратурных
сумм и их обобщениями.
Проекционные методы приводят к ап-
аппроксимирующему уравнению C) вида ip-\-PAtf = Pf,
причем Ф—подпространство Ф и Р—проектор на это
подпространство. Произвол в выборе Ф, Ф и даже са-
самого Р приводит к многочисленным конкретным про-
проекционным методам решения интегральных Ф. у. 2-го
рода. Типичным примером проекционного метода яв-
является Галеркина метод. Для получения конкретных
расчетных формул этого метода нужно (если это воз-
возможно) интегральное уравнение A) трактовать как
операторное уравнение в гильбертовом пространстве
L2 (D) функций, интегрируемых с квадратом в D, и
взять в качестве Р ортопроектор, сопоставляющий
функции из L2 (D) Л'-чденный отрезок ее ряда Фурье

по нек-рой полной ортонормальной в L2 (D) системе
функций {%}.
В другой интерпретации метод Галеркина эквива-
эквивалентен методу замены ядра на вырожденное вида
с одновременной заменой правой части на близкую к
ней:
> 2А1 \ <s) ф» <s>ds -Ф' (*)¦
Другим важным примером проекционных методов
может служить коллокаций метод (совпадений метод).
Если К(х, .?) и /(ж) — непрерывные функции, то урав-
уравнение A) можно рассматривать как операторное B)
в пространстве С (D) — пространстве непрерывных
функций на D. Метод коллокаций соответствует вы-
выбору Р в виде
Py = Z(y),
где Z — интерполяционный полином Лагранжа, по-
построенный по нек-рой сетке узлов в D.
При практич. реализации большинства проекцион-
проекционных методов в применении к интегральным Ф. у. 2-го
рода возникают трудности дополнительной аппрокси-
аппроксимации появляющихся интегралов, что и делает эти
методы (так же как и методы замены ядра на близкое)
обычно более трудоемкими по сравнению с типичными
методами квадратурных сумм. Однако это утверждение
условно, так как сама классификация методов яв-
является условной. Напр., метод коллокаций можно
интерпретировать как проекционный метод и как
обобщенный метод квадратурных сумм.
Методы решения аппроксимиру-
аппроксимирующих уравнений. Обычно решение аппрок-
аппроксимирующего уравнения C) сводится к решению си-
системы линейных алгебраич. уравнений. Методами по-
последовательных приближений можно пользоваться
(простейшими из них) при относительно малой вели-
величине \Х\, а при должной их модификации (напр., при
методе осреднения функциональных поправок) ими
можно пользоваться при любых X, не принадлежа-
принадлежащих спектру интегрального оператора А .
Получение последовательности уточ-
уточняющих приближений. При теоретич. исследо-
исследовании того или иного численного метода в большин-
большинстве случаев удается установить только сам факт
сходимости приближений ф или ф к решению A), B)
при сходимости А к А в каком-либо смысле, и весьма
редко удается получить эффективные оценки близости
Ф или ф к решению A), B). Для контроля точности
на практике используют последовательность прибли-
приближенных решений уравнения C) с уточняющимся опе-
оператором А. В простейшем варианте контроля сравни-
сравнивают два соседних члена в этой последовательности
приближенных решений,и прекращают дальнейшее по-
получение приближений при совпадении двух предыду-
предыдущих с заданной точностью. Громоздкость непосредст-
непосредственного получения членов такой последовательности
частично преодолевается в разнообразных алгоритмах
итеративного уточнения приближенного решения. Ти-
Типичным примером подобных алгоритмов является сле-
следующий. Если последовательность {Ап} приближен-
приближенных операторов сходится по норме какого-либо бана-
банахова функционального пространства Ф к А в B), то
итеративная процедура
(Е— Ы0)ф„ + 1 = А(Лп + 1 — Л0)ер„ + /„ (9)
дает сходящуюся к ф последовательность приближе-
приближений ф„, если /„ по норме сходится к / и Ао достаточно

близок по норме к А. При использовании последова-
последовательности (9) требуется только одно обращение опера-
оператора. Сходимость ее тем лучше, чем ближе Ао к А по
норме. Удобен, напр., выбор операторов в виде E).
При нек-рых требованиях на ядро можно в этом слу-
случае установить равномерную сходимость <р„ к ср в D.
А. Б. Бакушинский.
ФРЕДГОЛЬМА ЯДРО. 1) Ф. я.— функция К (х, у),
определенная на Q X Q и порождающая вполне непре-
непрерывный оператор
где Q — измеримое множество в я-мерном евклидовом
пространстве, а Е, Е1 — нек-рые функциональные
пространства. Оператор (*) наз. интегральным
оператором Фредгольма из Е в А\.
Важным классом Ф. я. являются измеримые на QXQ
функции К(х, у) такие, что
I К (х, у) I2 dxdy < +00.
Ф. я., удовлетворяющее этому условию, наз. также
/v2-H Д р О М.
Ф. я. наз. вырождении м, если оно представ-
представляет сумму произведений функции только от х на
функцию только от у:
&1*> *> = 5Г ,ап-
Если для почти всех {х, у) ? Qxfi имеет место ра-
верютво К (х, у) = К (у, х), то Ф. я. наз. симметричным,
а если К (х, у) = К (у, х) — эрмитово симметрич-
симметричным (здесь черта означает переход к комплексно сопря-
сопряженному значению). Ф. я. К(х, у) наз. ко соси м-
метричным, если К (х, у)= —К (у, х).
Ф. я. К (х, у) и К (у, х) наз. транспонирован-
транспонированными или союзными, а ядра К (х, у) и К (у, х) —
сопряженными.
Лит.: [1] С м и р и о в В. И., Курс высшей математики,
6 изд., т. 4, ч. 1, М., 1974. В. В. Хееделидзе.
2) Ф. я. — двухвалентный тенвор, порождающий опе-
оператор Фредгольма. Пусть Е и F—локально выпуклые
пространства, Е (g) F — пополнение тензорного произ-
произведения ExF этих пространств в индуктивной
топологии, т. е. в самой сильной локально выпук-
выпуклой топологии, при к-рой непрерывно^ каноническое
билинейное отображение Е XF ---->¦ Е 0 F. Элемент
u?E(?)F наз. Ф. я., если он может быть представлен
в виде
где {X,} — суммируемая числовая последовательность,
а {е,} и {/,-}—последовательности элементов нек-рых
полных выпуклых закругленных ограниченных мно-
множеств в Е и F соответственно. Пусть Е совпадает с
сопряженным пространством G' к нек-рому локально
выпуклому пространству G. Тогда Ф. я. порождает
оператор Фредгольма A: G —> F, имеющий
вид
где <.г, е,-> — значение функционала е,- ? G' на элементе
х ? О. Если Е и F — банаховы пространства, то любой
элемент из E(?)F является Ф. я.
Понятие Ф. я. допускает обобщение и на случай
тензорного произведения нескольких локально выпук-
выпуклых пространств. Ф. я. и операторы Фредгольма
составляют естественную область применения теории
Фредгольма.
Лит.: [1] ГротендикА., «Математика», 1958, т. 2,
Ni 5, с. 51 — 100. Г. Л. Литвинов.

ФРЕДГОЛЬМОВ ОПЕРАТОР — линейный нормально
разрешимый оператор В, действующий в банаховом
пространстве Е и обладающий нулевым индексом кв
(xg=dim kef В — dim coker В). Классич. примером
Ф. о. является оператор вида
В = 1+Т, A)
где / — единичный, а Т — вполне непрерывный опе-
операторы в Е. В частности, Ф. о. в пространствах С (а, Ь)
или L2(a, Ь) будет оператор вида
B)
В<? = Ф (.т) + ^ К (х, s) ф (s) dS,
где ядро К(х, s) — непрерывная или квадратично
суммируемая на [a, b]x[a, b] функция.
Существуют Ф. о., отличные от A) (см. [2]). Тако-
Таковыми, при нек-рых условиях, являются, напр., опе-
оператор вида 1-\-К, где К — интегральный оператор
свертки на полуоси или всей оси (не являющийся
вполне непрерывным), и многие дифференциальные
операторы.
Для операторных уравнений вида Вф=/ с Ф. о. В
легко формулировать различные теоремы разреши-
разрешимости (см. Фредголъма ядро).
Встречаются и другие трактовки термина «Ф. о.».
Напр., иногда Ф. о. наз. любой линейный ограничен-
ограниченный оператор В в Е с конечным индексом хв.
В классич. теории линейных интегральных уравне-
уравнений Ф. о. часто наз. сам интегральный оператор в B).
Лит.: [1] К р е й н С. Г., Линейные уравнения в банаховом
пространстве, М., 1971; [2] М и х л и и С. Г., Лекция по
линейным интегральным уравнениям, М., 1959.
А. Б. Бакушинспий.
ФРЕЗЕРА ДИАГРАММА — способ получения интер-
интерполяционных формул по узлам ,г0, xo~\-h. .т0—h, жо+
+2А, х0—2А, ... в точке x=xo-\-th, основанный на
соотношении
T^p + l /r+1/2—
¦-<-/? 7г + 1/2 + —
r+l~rl'p //4-1/2 -
p ) Jr + 1/2,
где ff — конечные разности функции f (х), а С<?—бино-
c\ JV2

миальные коэффициенты. Каждому пути, идущему от
произвольного элемента левого столбца по сторонам или
гориаонтальным диагоналям ромбов Ф. д., соответствует
нек-рая интерполяционная формула, для получения
к-рой надо руководствоваться следующими правилами.
1) Когда столбец разностей пересекается слева
направо, добавляется один член.
2) Если путь входит (слева) в нек-рый столбец раз-
разностей по стороне ромба, то добавочный член равен
произведению разности, стоящей на пересечении пути
и столбца, на коэффициент, соответствующий пройден-
пройденной стороне ромба.
3) Если путь входит (слева) в нек-рый столбец раз-
разностей по горизонтальной диагонали ромба, то доба-
добавочный член равен произведению разности, стоящей
на пересечении пути и столбца, на полусумму коэффи-
коэффициентов, соответствующих сторонам, входящим (слева)
в ту же вершину ромба.
4) Если путь пересекает (слева направо) столбец
разностей по горизонтальной диагонали ромба между
двумя разностями, то добавляется произведение полу-
полусуммы этих двух разностей на коэффициент, соответ-
соответствующий стороне ромба, лежащей точно над (или под)
пройденным участком диагонали.
5) Каждая пасть пути, проходимая справа налево,
вызывает те же самые члены, что и при прохождении
слева направо, но с противоположным знаком.
6) Со столбцом табличных значений функции можно
обращаться, как со столбцом разностей нулевого по-
порядка, по тем же правилам, что и с остальными столб-
столбцами разностей.
Лит.: [1] В е р е з и н И. С, Ж и д к о в Н. П., Методы
вычислений, 3 изд., т. 1, М., I960; [2] Корн Г.-А.,
Корн Т.-М., Справочник по математике, пер. с англ., М.,
1973. М. К. Самарии.
ФРЕЙДЕНТАЛЯ БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕ-
РАСШИРЕНИЕ— максимальное бикомпактное расширение с нуль-
нульмерным наростом. Любое периферически бикомпактное
пространство обладает Ф. б. р. (это доказано X. Фрей-
денталем [1]). Среди всех таких расширений существует
единственное максимальное и оно наз. Ф. б. р. (иногда
Ф. б. р. наз. также любое бикомпактное расширение
с нульмерным наростом). Ф. б. р. можно охарактери-
охарактеризовать также как (единственное) совершенное расши-
расширение с нульмерным наростом, а также как мини-
минимальное совершенное расширение, см. [3].
Лит.: [1] Freudenthal H., «Ann. Math.», 1942, v. 43,
М2, p. 261—79; «Indagat. math.», 1951, v. 13, p. 184—92;
[2J С к л я р е н к о Е. Г. «Докл. АН СССР», 1958, т. 120,
№ 6, с. 1200—03; [3] е г о же, «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1962, т. 26, № 3, с. 427—52; 1963, т. 27, Л» 5, с. 1165—80.
И. Г. Кошевникова.
ФРЕНЕ ТРЕХГРАННИК, естественный трех-
трехгранник,—трехгранный угол, образованный лу-
лучами, исходящими из точки Р регулярной кривой 7
и имеющими направления соответственно касательной
т, нормали v и бинормали р к кривой. Если оси ко-
координат х, у, z соответственно совпадают со сторо-
сторонами Ф. т., то уравнение кривой в этой системе ко-
координат имеет вид
h?Ass
x = As i- 1-" (Д«3),
У =¦

663
ФРЕШЕ
664
где J, я *; - кривизна и кручение кривой, s — нату-
натуральный параметр. Качественный вид проекций кри-
кривой на плоскости Ф. т. при кгф0 и к2ф§ см. на рис.
Ф. т. рассматривался Ф. Френе (F. Frenet, 1847).
Д. Д. Соколов.
ФРЕНЕ ФОРМУЛЫ — формулы, выражающие произ-
производные единичных векторов касательной т, нормали v
и бинормали р к регулярной кривой но натураль-
натуральному параметру s через эти же векторы и значения
кривизны к] и кручения fe3 кривой:
Ps= &2v.
Получены Ф. Френе (F. Frenet, 1847). д. д соколов
ФРЕНЕЛЯ ИНТЕГРАЛЫ — специальные функции
lim C(x)= lim
Х-+ + 00 Х-+ + »
Ф. и. представляют в виде рядов
vft Лк
'¦^-/t = 0 Bft)!Dft+l)
Vх (-l)fcx2*+1
*-ft=l Bh+ l)iDfe j a) •
Асимптотич. представление при больших х
(
== 4- - v-1—cos *s
2 ^2
В прямоугольной системе координат (х. у) проекциями
кривой
x = t, y = c(±»
Лит.: W БейгженГ., ЭрдейиА., Высшие транс-
трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболичес-
параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд.,
М., 1974; [2] Я н к е Е., Э м д е Ф., Лёш Ф., Специальные
функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 3 изд., М.
1977. А. Б. Иванов.
ФРЕШЕ ВАРИАЦИЯ — одна из числовых характе-
характеристик функции нескольких переменных, к-рую можно
рассматривать как многомерный аналог вариации
функции одного переменного. Пусть действительно-
действительнозначная функция f{x)=f(x1, . . ., хп) задана на п-мер-
ном параллелепипеде
?>«=[«!, УХ...Х[а„, Ьп]
и введены обозначения
..., хп)~
~f{xu ..., xk, ..., xn), k =
Пусть П — произвольное разбиение параллелепипеда
Da гиперплоскостями
(rs) < z(r,+ i), x(rs+l)~x(rs) = h(rs),
Х,=4*-*1[*
=-а.,
на п-мерные параллелепипеды, а е\г'\ ..., е^л) могут
принимать значения ± 1 произвольным образом. В а-
р нация Фреше определяется так:
def
def
sup sap
Е II
ХА ,
,-.
X
(/;
{У)
0,8
0.7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
С
ft
s
Ш
1
Ш
г
-S
1
j\
\\\
\\
\K
r
1
/
^,
/
и
с
A
\
1
| j
7
s
V
V
L
/
/
s-
\
N
с
I
/
'/
s
\
-c
J
}
С
Если F (f; Dn) < оо, то говорят, что функция / (х)
имеет ограниченную (конечную) вариа-
вариацию Фреше на?>„, а класс всех таких функций
обозначается через F (?>„). Этот класс прип=2 вве-
введен М. Фреше [1J в связи с исследованием обще-
общего вида билинейного непрерывного функционала
t/(cpi,cf>3) в пространстве непрерывных на квадрате
Q2-=[a. b]x\a, b\ функций вида ф, (х{) ф2 (жа). Он
доказал, что всякий такой функционал представ-
представляется « виде
С/
ф2) =
ф,
50
Рис. 2.
10 20 30
Рис. 1.
где t — действительный параметр, на координатные
плоскости являются Корню спираль и кривые
у —С (~ гЛ , z = S (-f-'2) (см- Рис- 2)-
Обобщенными Ф. и. (см. [1]) наз. функции вида:
S (x,a)= ["* ta~l sin I dl.
Ф. и. связаны с обобщенными Ф. и. следующим обра-
образом:
зом:
С (х) = ~ С ( х, — | ¦
2 V2я V ' - ) '
S(z) = ±—-L.s(x, 4-)-
г i 2я V Ч
где u(xl7 г2) g V (<?<,), u (a, 14)зв(г, i)s0.
Для 2я-периодических функций класса F(Qn)
(Qn==[0, 2я] X • ¦. X [0, 2я]) справедливы аналоги
многих классических признаков сходимости рядов
Фурье [2]. Например, если J (x)?F (Qn), n~2, 3, ...,
то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье
функции j (х) в каждой точке х = (хх, ..., хп) сходятся
к числу
где суммирование распространяется на все 2" возмож-
возможных комбинаций знаков ±. При зтом, если функция
непрерывна, то сходимость равномерная (аналог при-
признака Жордана).
Лит.; [I | F г е с h e t M., «Trans. Amer. Math. Soc», 1915
v. 16, X« 3, p. 215—34; 12] Morse M., T r a n s u e W
«Proc. Nat. Acad. Sei. USA», 1949, v. 35, № 7, p. 395—99.
ФРЕШЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛ в точке xt) отображения
/: X—> Y нормированного пространства А' в норми-
нормированное пространство У— отображение h—*D(xo,h),

Лит.: Ш Бейтиев Г., ЭрдейиА., Высшие транс-
трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболичес-
параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд.,
М., 1974; [2] Я н к е Е., Э м д е Ф., Лёш Ф., Специальные
функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 3 изд., М.,
1977. А. Б. Иванов.
ФРЕШЕ ВАРИАЦИЯ — одна из числовых характе-
характеристик функции нескольких переменных, к-рую можно
рассматривать как многомерный аналог вариации
функции одного переменного. Пусть действительно-
действительнозначная функция f(x)=f(x1, . . ., хп) задана на ?г-мер-
ном параллелепипеде
О„=[аъ ii]X...X[a«, bn]
и введены обозначения
Aftft(/f ") = f(xi, ..., xk-\-hk, ..., хп) —
—f{xu ..., xk, ..., xn), k — i, ..., л,
Пусть П —произвольное разбиение параллелепипеда
Dn гиперплоскостями
x(rs) <x(rs+l), x(rs+l)-x(rs) = h(rs),
s s s s s
x[ls)-=bs, rs=Q, 1, ..., ls, я = 1, 2, ...,
на /г-мерные параллелепипеды, a ejr'\ ..., t^ могут
принимать значения ± 1 произвольным образом. В а-
р нация Фреше определяется так:
def
" sup sap
E II
e(rn) v
Если /^ (/; Dn)< oo, то говорят, что функция / (х)
имеет ограниченную (конечную) вариа-
вариацию Фреше на?)п, а класс всех таких функций
обозначается через h (Dn). Этот класс при я =2 вве-
введен М. Фреше [1J в связи с исследованием обще-
с го вида билинейного непрерывного функционала
*" #(q>i, фз) в пространстве непрорывных на квадрате
Q2-=[a- Ь]Х\а, Ь\ функций вида cpj (xt) ф2 (ж3). Он
доказал, что всякий такой функционал представ-
представляется в виде
С/ (ф1, ф2) = J* ^ ф, (ж,) ф2 (,г.2) d^,^^ (ж,, л-2),
,0 где м(хь г2) g A ((?2), u (e, i4Kii(i, Ь) = 0.
Для 2я-периодических функций класса f(Qn)
@>„ = [О, 2я] X • ¦. X [0, 2я]) справедливы аналоги
многих классических признаков сходимости рядов
Фурье [2]. Например, если f (z)?F (Q п), га=2, 3, ...,
то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье
функции j (х) в каждой точке х = (хх, ..., хп) сходятся
к числу
•|;7^/(^ ±0 гп±0),
где суммирование распространяется на все 2" возмож-
возможных комбинаций знаков ±. При зтом, если функция
непрерывна, то сходимость равномерная (аналог при-
признака Жордана).
Лит.: [l| F г е с h e t M., «Trans. Amer. Math. Soc», 1915,
V. 16, ,\fi 3, p. 215 —34; 12] MorieM., T r a n s u e W.,
«Proc. Nat. Acad. Sci. USA», 1949, v. 35, № 7, p. 395—99.
В. И. Голубое.
ФРЕШЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛ в точке ха отображения
/: X—> У нормированного пространства X в норми-
нормированное пространство У — отображение h—>¦ D (х0, А),

являющееся линейным и непрерывным отображением
иа X в Y и обладающее тем свойством, что
(h), A)
где
lim Це (А) ||/|| А [| = 0.
|| h || -+ 0
Если отображение / в точке т0 допускает разложе-
разложение A), то оно на.ч. дифференцируемым по
Ф р е ш е, а сам оператор
f'(.xo)h^D (x0, h), l'{xo)?L{X, Y),
наз. Фреше производной.
Для функции / конечного числа переменных Ф. д.—
линейная функция
обладающая тем свойством, что
-- f (xu) + lXa(h) + o Ц h |), B)
где |Л| = B-- Щ) 2 пли лт^ая другая равносиль-
равносильная норма в R". При этом а;= я —частные про-
производные функции / в точке та.
Определение B), являющееся ныне общепринятым,
впервые в явной форме появилось, по-видимому, в
лекциях К. BeiiepinTpacca A861, см. [1]). В кон. 19 в.
это определение постепенно входит в учебники (см.
[2], [3] и др.). Однако к моменту, когда М. Фреше
(см. [4], |5]) начал разработку бесконечномерного
анализа, классическое ныне определение дифференциа-
дифференциала было настолько необщепринятым, что и сам М. Фре-
Фреше полагал, что определенный им дифференциал на
бесконечномерном пространстве является новым поня-
понятием и в конечномерном случае. В настоящее время
термин употребляется лишь при рассмотрении беско-
бесконечномерных отображений. См. Гашо дифференциал,
Дифференцирование отображения.
Лит.: Li] I) u tl а с P., Elements d'analyse de Karl Weierst-
rass. P., 1972; 121 S I, о 1 z O., Grundziige der Differential-und
Integralrechnuog, Bd 1, Lpz., 1893; [3] Y о u n g W., The fun-
fundamental theorems of the differential calculus, Camb., 1910;
L'il Freche t M., «('.. r. Acad. sci.», 1911, t. 152, p. 845—/,7;
[5] его же, «NouvelJes ann. math.», 4 ser., 1912, 1. 12; [(ij
Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории
функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; 1*71 А л е-
I! с е е в В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В.,
Оптимальное управление, М., 1979. В. М. Тихомиров.
ФРЕШЕ ПОВЕРХНОСТЬ — обобщение понятия по-
поверхности в евклидовом или произвольном метрич.
пространстве А. Пусть М'г — компактное двумерное
многообразие (замкнутое или с краем). Точки М2
играют роль параметра. Непрерывные отображения
/ : М2 -»¦ А называют параметризованными
поверхностями (п. п.). Две п. п. считают
эквивалентными, если
P(/i, /2) = inf max d(jx(x), /., (a (x))) =-:0,
a xe M2
где d — расстояние в A , a a : М- ->- M'2 — всевозмож-
всевозможные гомеоморфизмы М2 на себя. Класс эквивалентных
п. п. называют поверхностью Фреше (см.
[1]), а каждую из входящих в этот класс п. п.— пара-
параметризацией Ф. п. Многие свойства п. п. являются
свойствами Ф. п., а не ее конкретной параметризации.
Для двух Ф. п. значение (>(/х, /2) не зависит от выбора
параметризаций /1, /2; его называют расстоянием
по Фреше между Ф. п. Замена в определении Ф. п.
области М% изменения параметра окружностью или
замкнутым отрезком дает определение кривой
Фреше (см. [2]).
Лит.: [1] Free he t M., «Ann. soe. polon. mat.h.», 1924,
t. 3, p. 4—19; [2l e г о же, «Rend. Gircolo mat. Palermo», 1906,
t. 22, p. 1 — 74. В. А. Залгаллер.

ФРЕШЕ ПРОИЗВОДНАЯ, сильная произ-
производи» я,— наиболее распространенная (наряду с
J'amo производной, нал. иногда слабой произ-
производной) производная функционала или отобра-
отображения. Ф. п. в точке х„ отображения / : X -+¦ Y нор-
нормированного пространства X в нормированное про-
пространство У называют линейный непрерывный опера-
оператор Л : X -*¦ Y, удовлетворяющий условию
f (xo + h)=f (xo) + Ah+e(h),
ГДР
lim ||е(А)||/Ш = 0.
II h ]| -+ о
Оператор Л, удовлетворяющий этим условиям, един-
единствен и обозначается /' (,т„), линейное отображение
h —*¦ f {xo)h наз. Фреше дифференциалом. Если ото-
отображение / имеет в точки .г0 Ф. п., оно наз. д и ф ф е-
р е н ц и р у е м ы м и о Фреше. Для Ф. п. вы-
выполнены важнейшие теоремы дифференциального ис-
исчисления — о дифференцировании сложной функции,
о среднем. Если функция / непрерывно дифференци-
дифференцируема по Фреше в окрестности точки х0 и в точке х0
Ф. п. /' (х0) является гомеоморфизмом банаховых
пространств X и Y, то имеет место теорема об обратном
отображении. См. также Дифференцирование отобра-
отображения. В. М. Тихомиров.
ФРЕШЕ ПРОСТРАНСТВО — полное метризуемое, ло-
локально выпуклое топологическое векторное простран-
пространство. Банаховы пространства доставляют примеры
Ф. п., однако многие важные функциональные про-
пространства являются Ф. п., не являясь вместе с тем
банаховыми. К числу таковых относятся: прост-
пространство Шварца 5 (R") всех бесконечно диф-
дифференцируемых комплексных функций на R", убы-
убывающих на бесконечности вместе со всеми производ-
производными быстрее любого многочлена, с топологией, за-
задаваемой системой полунорм
Ргф (¦'¦(•)) - Slip
If-. К"
где а и р — целочисленные неотрицательные векторы;
пространство Н (D) всех голоморфных функций на
нек-ром открытом подмножестве D комплексной пло-
плоскости с топологией равномерной сходимости на ком-
компактных подмножествах D и т. д.
Замкнутое подпространство Ф. п. является Ф. п.;
факторпространство Ф. п. по замкнутому подпрост-
подпространству является также Ф. п.; Ф. п. является бочеч-
бочечным пространством, и потому для отображений из
Ф. п. в локально выпуклые пространства оказывается
верной Яанаха — Штейнгауаа теорема. Если отде-
отделимое локально выпуклое пространство является
образом Ф. п. при открытом отображении, то оно само
является Ф. п. Взаимно однозначное непрерывное
линейное отображение Ф. и. на Ф. п. есть изоморфизм
(аналог теоремы Банаха).
Названо в честь М. Фреше (М. Frechel).
Лит.: [1] Б у р б а к и II., Топологические векторные про-
пространства, пер. с франц., М., 1959; [2] Роберт сон А.,
Робертсон В., Топологические векторные пространства,
пер. с англ., М., 1967. В. М. Тихомиров,
ФРИДРИХСА НЕРАВЕНСТВО — неравенство вида
где Q — ограниченная область точек ? = ж (жь ..., хп)
гс-мерного евклидова пространства с (п — 1)-мерной
границей Г, удовлетворяющей локально условию Лип-
Липшица, функция / ss / (х) ? И™ (О.) (пространству
Соболева).
Правая часть Ф. н. задает эквивалентную норму
в W\ (й). С помощью другой эквивалентной норми-

ровки W|(Q) получена (см. |2]) модификация Ф. н.
вида
Имеются обобщения (см. [3]—[5]) Ф. н. на весовые
классы (см. Весовое пространство, Вложения теоремы,).
Пусть Г С СA>, числа г, р, а действительные, причем
г—натуральное, 1 <р < оо. Говорят, что / ? Wr a (Q),
если конечна норма
где
р = р(г)—функция, эквивалентная расстоянию от
х ? Q до Г.
Пусть число «о—натуральное и
г — a — l/ps?s0 < r — а + 1— 1/р.
Тогда, если Гс№.«», —1/р < а < г — 1/р, г/2 < s0,
то для / ? И/г а (Q) справедливо неравенство
где
g-j-
—производная порядка s по внутренней
нормали к Г в точках Г.
Также получается и неравенство типа неравенства
B), к-рое и простейшем случае имеет вид
где
р > 1, у > 1, — 1/р < а < 1—1/р —1/Y,
Всюду постоянная С но зависит от /.
Неравенство названо цо имени К. Фридрихса, к-рый
получил его цри п = 2, /^CB'(Q) (см. [1]).
Лит.: [1] FriedrichsK., «Math. Ann.», 1927, Bd 98,
S. 566—75; [2] С о б о л е в С. Л., Некоторые применения функ-
функционального анализа в математической физике, Новосиб., 1962;
[3] Никольский С. М., Лизоркин ГГ. И., «Докл.
АН СССР», 1964, т. 159, № 3, с. 512—15; [4] Николь-
Никольский СМ., Приближение функций многих переменных и теоре-
теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [5] К а л и н и ч е н к о Д. Ф.,
«Матем. сб.», 1964, т. 64, № 3, с. 436—57; [6] К у р а н т Р.,
Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем.,
2 изд., т. 2, М.—Л., 1951; [7] N i г е n b e r g L., «Ann. Scuola
norm, super.», 1959, ser. 3, v. 13, №2; [8] Sandgren L.,
«Meddel. frin Lunds tinivers. matem. semin.x, 1955, Bd 13, p. 1 —
84. Д- Ф. Калиниченко, H. В. Мирошин.
ФРОБЕНИУСА АВТОМОРФИЗМ—элемент группы
Галуа специального вида, играющий фундаменталь-
фундаментальную роль в теории полей классов. Пусть L — алгебраич.
расширение конечного поля К. Тогда Ф. а. наз. авто-
автоморфизм <Pl/k , определяемый формулой Ц>[,^ (а)-—-а9
для всех a?L, где q = dfcK (мощность К). ЕсяшЬ/К —
конечное расширение, то ф^^ порождает группу Галуа
G (L/K). Для бесконечного расширения L/K автомор-
автоморфизм <fi/K является топологич. образующей группы
G (L/K). Если LzxEz) К и [Е:К] < оо, TO<pL/?—(pL/K[E:K].
Пусть к — локальное поле с конечным полем выче-
вычетов к, а К—неразветвленное расширение поля к.

Тогда Ф. а. ф—— расширений полей вычетов одно-
однозначно продолжается до автоморфизма Фк/^б^ (К/к),
наз. Ф. а. неразветвленного расширения
К/к. Пусть ф|-& = <?, бд-—кольцо целых элементов поля
К и р— максимальный идеал в Q^. Тогда Ф. а. Ц>К/^
однозначно определяется условием Фд^ (я)ЕЕЕН а<! mod p
для любого a ? Q^. Если К/к — произвольное расши-
расширение Галуа локальных полей, то Ф. а. расширения К/к
иногда называют любой автоморфизм ф ? G(K/k), ин-
индуцирующий на максимальном неразветвленном под-
расширении поля К Ф. а. в указанном выше смысле.
Пусть К/к—расширение Галуа глобальных полей,
р— простой идеал поля к и $—нек-рый простой идеал
ноля К, лежащий над р. И пусть Щ не разветвлен
в расширении К/к и ф1р? G(K^/kf)— Ф. а. неразвет-
неразветвленного расширения локальных полей К^ /Л„. Отож-
Отождествляя группу Галуа G (К^ /&„) с подгруппой раз-
разложения идеала р в G (К/к), можно рассматривать ф^
как элемент группы G (К/к). Этот элемент наз. Ф. а.,
соответствующим простому идеалу 5р. Если К/к — ко-
конечное расширение, то согласно теореме Чебо-
Чеботарева о плотности для любого автоморфизма
о ? G (К/к) существует бесконечное число простых идеа-
идеалов 5J?, не разветвленных в К/к таких, что о = ф^ . Для
абелева расширения К/к элемент ц>^ зависит только от
р. В этом случае ф,^ обозначается через (р, К /к) и наз.
символом Ар тин а простого идеала р.
Лит.: [1] В е й л ь А., Основы теории чисел, пер. с англ.,
М., 1ЭТ2. Л. В. Кузьмин.
ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА — теорема, описывающая
все конечномерные ассоциативные действительные ал-
алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом [1].
Ф. т. утверждает, что:
1) Поле действительных чисел и поле комплексных
чисел являются единственными конечномерными дейст-
действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами
без делителей нуля.
2) Тело кватернионов является единственной конеч-
конечномерной действительной ассоциативной, но не комму-
коммутативной алгеброй без делителей нуля.
Существует также описание альтернативных конеч-
конечномерных алгебр без делителей нуля:
3) Алгебра Кэли является единственной конечномер-
конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциатив-
ассоциативной алгеброй без делителей нуля.
Объединение этих трех утверждений наз. обоб-
обобщенной теоремой Фробениуса. Все
участвующие в формулировке теоремы алгебры оказы-
оказываются алгебрами с однозначным делением и с едини-
единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случай неальтер-
неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что размерность
любой конечномерной действительной алгебры без де-
делителей нуля может принимать лишь значения, равные
1, 2, 4 или 8.
Лит.: [llFrobcnius F., «J. reine und angew. Math.»,
1877, Bd 82, S. 230—315; [2] К у р о ш А. Г., Лекции по общей
алгебре, 2 изд., М., 1973. О. А. Иванова.
ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА — теорема об условиях
полной интегрируемости системы уравнений Пфаффа
или (в геометрич. терминах) об условиях, при к-рых
заданное на дифференцируемом многообразии поле
я-мерных касательных подпространств является каса-
касательным полем нек-рого слоения. Несколько эквива-
эквивалентных формулировок Ф. т. см. в статьях Ипволютив-
ное распределение, Коши задача; вариант с минималь-
минимальными требованиями дифференцируемости см. в [2]. На-
Название Ф. т. связано с изложением этой теоремы в [1],
но не соответст вует приводимым там сведениям об ее
истории.

Лит.: [1] Frobenius P., «J. reine und angew. Math.»,
1877, Bd 82, S. 230—315; [2J ХартманФ., Обыкновенные
дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970.
Д. В. Аносов.
ФРОБЕНИУСА ФОРМУЛА — формула, выражаю-
выражающая отношение обобщенного определителя Вандермон-
да к обычному (см. Вапдермонда определитель) через
степенные суммы. В качестве коэффициентов в Ф. ф.
участвуют характеры представлений симметрической
группы.
Пусть х1, ..., хп—независимые переменные. Для лю-
любого набора A,--(Xi, ...,Я„) неотрицательных целых
чисел, удовлетворяющего условию A.iS= \2 5г- • -^Ял,
пусть
X | j-п -1 X, I- п - 1 Xt + n — l
1 2 •¦¦ хп
п JXn Хп
хг ¦ ¦ ¦ хп
так что W„ есть обычный определитель Вандермонда.
И пусть 2!?W—m; тогда набор Я после выкидывания
нулей можно рассматривать как разбиение числа т.
Рассматривается соответствующее неприводимое пред-
представление Тх группы Sm. Для любого разбиения
|i = (fj], ..., |хг) числа m через а^ обозначается зна-
значение характера представления Т^ на классе сопря-
сопряженных элементов группы Sm, определяемом разбие-
разбиением |х, и через с^—порядок централизатора любой
подстановки из ятого класса. Пусть 4\i=.5 s ...s,
где sft = jfe+ .. •+*„• Тогда
где сумма берется по всем (неупорядоченным) разбие-
разбиениям числа т. При этом, если разбиение ц содержит
ki единиц, кг, двоек и т. д., то
с^~кг\ кг\ ... I*1 2к- ...
Если п^т, то Ф. ф. может быть преобразована
к виду
2Лу^
где сумма берется по всем разбиениям числа т (до-
(дополненным надлежащим числом нулей). Последняя
формула может быть использована для вычисления
характеров симметрии, группы. А именно, а^„ есть
коэффициент при х^'т п~^х^2+ п~г.. ,х^п в многочле-
многочлене s^Wf,.
Лит.: 11J М у р н а г а н Ф. Д., Теория представлений
групп, пер. с англ., М., 1950. Э. Б. Винберг.
ФРОБЕНИУСА ЭНДОМОРФИЗМ — эндоморфизм
ф: X —>- X схемы X над конечным полем F? из q эле-
элементов такой, что ф—тождественное отображение топо-
логич. пространства X, а отображение структурного
пучка ф*: Qx —>~ 6х совпадает с возведением в сте-
степень q. Ф. э. является чисто несепарабельным мор-
физмом и имеет нулевой дифференциал. Для аффинного
многообразия X сг А", определенного над F,,, Ф. э. ф
переводит точку (xi, .. ., хп) в точку {xQ, . . ., xQ).
Число геометрич. точек схемы X, определенных над
F,j, совпадает с числом неподвижных точек Ф. э. ф,
что позволяет использовать для определения числа та-
таких точек Лефшеца формулу.
Лит.: [1] Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия,
пер. с англ., М., 1981. Л. В. Кузьмин.
ФРОБЕНИУСОВА АЛГЕБРА — конечномерная ал-
алгебра R над полем Р такая, что левые Л-модули R
и Нотр (Л, Р) изоморфны. На языке представлений это
означает эквивалентность правого и левого регуляр-
регулярных представлений. Всякая групповая алгебра конеч-

ной группы над полем является Ф. а. Каждая Ф. а.
является квазифробениусовым кольцом. Обратное ут-
утверждение неверно. Эквивалентны следующие свойст-
свойства конечномерной Р-алгебры R:
1) Л - Ф.. а.;
2) существует такая невырожденная билинейная фор-
форма / : RXR-+P, что f(ab, c)~f(a, be) для любых а, Ъ,
c?R;
3) если L — левый, а Я — правый идеалы алгебры
Л, то (см. Аннулятор)
8, (Зг №)) = ?. 3rCi(H))=H,
dimP Qr (L) + dimP L — dimp R = dim? & (#) + dimP H.
Ф. а., по существу, появились впервые в работах
Г. Фробениуса [3].
Лит.: [1]КортисЧ., РайнерИ., Теория представ-
представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ.,
М., 19й9; [2] Ф е й с К., Алгебра: кольца, модули и категории,
пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79; [3] Frobenius G.,
«Sitzungsber. Konigl. Preuss. Akad. Wiss.», 1903, № 24, S. 504—
507, 634—45. Л. А. Скорняков.
ФРОММЕРА МЕТОД — метод исследования особых
точек автономной системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений 2-го порядка
Р = (*, У), / = (*, Y):G-^R", A)
где функция / аналитическая или достаточно гладкая
в области G.
Пусть 0=(О, 0) — особая точка системы A), т. е.
/@)=О, а X, Y — аналитические в точке О функции,
не имеющие общего аналитического исчезающего в О
множителя. Ф. м. позволяет выявить все ТО-к р и-
в ы е системы A) — полутраектории, этой системы,
примыкающие к О по определенным направлениям.
Каждая ГО-кривая системы A), не лежащая на оси
z=0, является 0-к р и в о и уравнения
, _ JL(x, у) B)
У X (х, у) ' ^>
(т. е. представима вблизи точки О в виде
у = Ф(г), ф(ж)—s-0 при х-—>-0, C)
где ф:/->-К —решение уравнения B), /=@, б) или
(—6, 0), 6>0, ф(ж)зз0 или у(х)Фй для любого х(?1)
и наоборот.
Пусть уравнение B) рассматривается сначала в об-
области ж>0. Если оно представляет собой простое
уравнение Бендиксона, т. е. удовлетво-
удовлетворяет условиям
Х(х, у)^=х", ЛЗ&1, Y'y@, 0) = о Ф0,
то для него в области х^>0 существует единственная
О-кривая при а<0; область ж>0, ж2+у2<', где г —
достаточно малое положительное число, представляет
собой параболич. сектор при а>0. В противном слу-
случае для выявления 0-кривых уравнения B) в области
ж>0 применяют Ф. м. Основой для его применения яв-
является тот факт, что каждая О-кривая C) уравнения
B), <р(хMёО, обладает в точке О вполне определенной
асимптотикой, а именно, будучи представлена в виде
она допускает конечный или бесконечный предел
v = lim v (х) = lim In | ф(ж) | g [Qj + х ^
к-рый наз. ее порядком кривизны в точке 0,
а при v? @, +оо) допускает еще и конечный или
бесконечный предел
7= lim cp(x)x~v?[ — a>, +oo],
х->-0
к-рый наз. ее мерой кривизны в точке 0.
При этом 0-кривой у=0, х?@, б), приписывается
порядок кривизны v=+°o.

Первый шаг Ф. м. состоит в следующем. Алгебраич.
средствами вычисляются все возможные порядки кри-
кривизны v (их всегда конечное число) и для каждого по-
порядка v?@, -|- оо) — все возможные меры кривизны
7 для О-кривых уравнения B). На основании общих
теорем метода выясняется вопрос о существовании у
уравнения B) О-кривых со всеми возможными поряд-
порядками и мерами кривизны, яа исключением конечного
ОО) числа т.н. характеристических л ар
(v, 7)- Для каждой из последних v=r/s, где /•, s — нату-
натуральные числа, 0<|7|<+°°- Поэтому подстановка
х—>-xs, у—*{у-\-у)хг преобразует уравнение B) в
производное уравнение BХ) того же вида,
сводя вопрос о существовании у уравнения B) О-кри-
О-кривых с порядком кривизны v и мерой кривизны 7 к воп-
вопросу о существовании у уравнения Bj) О-кривых в
области х>0.
Если уравнение B) не имеет характеристич. пар или
если каждое из его производных уравнений оказывает-
оказывается простым уравнением Бендиксона, то все О-кривые
уравнения B) в области х>0 выявляются на первом
шаге процесса. В противном случае делают второй
шаг — изучают по схеме первого шага производные
уравнения, не являющиеся простыми уравнениями Бен-
Бендиксона. При этом приходят к производным уравне-
уравнениям 2-й серии и т. д. На каждом шаге процесс, вообще
говоря, ветвится, однако для фиксированного уравне-
уравнения B) число ветвей процесса конечно и любая ветвь
заканчивается приведенным уравнен и-
е м, к-рое либо являетея простым уравнением Бендик-
Бендиксона, либо не имеет характеристич. пар.
Таким образом, с помощью конечного числа шагов
Ф. м. можно выявить все ГО-кривые системы A) в об-
области ж>0 вместе с их асимптотикой в точке О. Заме-
Замена в системе A) х на —х позволяет сделать то же са-
самое для области x<CQ, а непосредственная проверка
позволяет установить, являются ли ГО-кривыми полу-
полуоси оси х=0. Поведение всех траекторий системы A)
в окрестности точки О выясняется на основании мой
информации следующим образом.
Если система A) не имеет ТО-кривых, то точка О
является для нее центром, фокусом или центро-фокусом.
Если множество Н всех ГО-кривых системы A) непусто,
то информация об их асимптотике в точке О, получен-
полученная Ф. м., позволяет разбить Н на конечное число не-
непересекающихся пучков ГО-крииых: Н1, Н2, ...,lik,
& ;s= 2, каждый из к-рых либо открыт: состоит и.ч од-
одноименных (положительных или отрицательных) по-
полутраекторий, заполняющих область, либо «замкнут»:
состоит из единственной ГО-кривой. Представители
этих пучков 1±, 12, ..., lk имеют различную асимптоти-
асимптотику в точке О, что позволяет установить циклич. поря-
порядок следования пучков при обходе точки О но окруж-
окружности С малого радиуса г, и разбивают круг О, огра-
ограниченный окружностью С, на к секторов Slt ..., Sk.
Пусть сектор ?,-, i ? {1,..., к}, имеет своими боко-
боковыми стенками ГО-кривые /,• и /, + 1, где 1^ + 1 совпа-
совпадает с lt. Тогда сектор S, будет: а) эллиптическим,
б) гиперболическим или в) параболическим, смотря
по тому, будут ли пучки Hi, H[+i соответственно
а) открытыми, б) «замкнутыми» или в) разноименными.
Таким образом, Ф. м. позволяет конечным числом
шагов либо найти для системы A) циклич. последова-
последовательность гиперболич., параболич. и эллиптич. сек-
секторов, примыкающих к точке О, и тем самым полно-
полностью выяснить топологич. тип расположения ее траек-
траекторий в окрестности точки О, либо показать, что для
точки О возникает проблема различения центра, фоку-
фокуса и центро-фокуса.
Ф. м. был предложен М. Фроммером [1]. Он может
быть приспособлен и для исследования особых точек
систем 3-го порядка.

Лит.: [1] FrofflmerM., «Math. Ann.», 1928, Bd 99.
S. 222—72; [2] Андреев А. Ф., Особые точки дифференци-
дифференциальных уравнений, Минск, 1979. А. Ф. Андреев-
ФРОНТ ВОЛНОВОЙ обобщенной функции или ги-
гиперфункции — коническое множество в кокасательном
расслоении к многообразию, на к-ром задана рас-
рассматриваемая обобщенная функция или гиперфункция,
характеризующее ее особенности. Гиперфунк-
Гиперфункция — это сумма формальных граничных значений
голоморфных функций. Две такие суммы отождеств-
отождествляются, если они эквивалентны в смысле лкнивалент-
ности, даваемой аналогом Боголюбова теорема «остриё
клина», в к-ром, однако, ни в каком смысле не пред-
предполагается существование пределов рассматриваемых
голоморфных функций.
Ф. в. гиперфункции часто наз. также а н а л и т и-
ч е с к и м Ф. в. или сингулярным носи-
носителем (последний термин чаще употребляется в
совсем другом смысле, когда он означает дополнение
к множеству той или иной регулярности обобщенной
функции или гиперфункции на самом многообразии,
а не в кокасательном расслоении). Понятие Ф. в. ле-
лежит в основе микролокального анализа, представляю-
представляющего собой комплекс идей и методов, использующих
Ф. в. и другие связанные с ним понятия и средства
(в частности, псевдодифференциальные операторы и ин-
интегральные операторы Фурье) для изучения уравнений
с частными производными (в основном, линейных).
Пусть X—область в R", u?D' (X), т. е. и—обоб-
и—обобщенная функция на X. Тогда Ф. в. WF (и) обобщен-
обобщенной функции и представляет собой замкнутое конич.
подмножество в T*X\fl = Xx(R"\0), к-рое определя-
определяется следующим образом: если (х0, g0) ? Xx(R"\0),
то (х0, lo)?WF (и) означает, что существуют такая
функция ф ? Со°° (X), равная 1 в окрестности точки хи,
и такая конич. окрестность Г точки |0 в Rn\0, что
для любого N > 0 выполнена оценка
где
CN > 0, ци (|) =.-<ц (х), ф (х) e'lX'S,
/\
т. е. фи — преобразование Фурье от ери.
Если X — многообразие и и—обобщенная функция
на X (или, более общо, обобщенное сечение гладкого
векторного расслоения), то WF (и) определяется так
жо, как и выше (после перехода к локальным коорди-
аатам). В этом случае WF(u) оказывается корректно
определенным конич. подмножеством в Т*Х\0 (ко-
(кокасательном расслоении без нулевого сечения).
Введем канонич. проекцию п: Т*Х\0 —¦>• X. Тогда
л (WF (M))=singsupp и, A)
где singsupp и — дополнение к наибольшему открыто-
открытому подмножеству в А', на котором и совпадает с бес-
бесконечно дифференцируемой функцией. Это соотноше-
соотношение показывает, что WF(u) действительно является
более детальной характеристикой особенностей и, чем
singsupp и.
Пусть А—псевдодифференциальный оператор на X
порядка в) с главным символом am(x, |), char Л —
множество его характеристич. направлений, т. е.
char А = {(х, 1)?Т*Х\0:ат(х, |) = 0>
Тогда
WF (Аи) с WF (u)a WF (Аи)[]с\\пх А. B)
Здесь первое включение характеризует псевдолокаль-
псевдолокальность оператора А , а второе является далеко идущим
обобщением теоремы о гладкости решений эллиитич.
уравнений с гладкими коэффициентами.
Если главный символ ат (х, |) оператора А дейст-
действительнозначен, то имеет место следующая теорема о

распространении особенностей: если дан связный ку-
кусок у бихарактеристики (т. о. траектории гамильтонова
поля на Т*Х\0 с гамильтонианом ат), не пересекаю-
пересекающийся с WF(Аи), то либо у cWF (и), либо y(]WF(u) =
=0.
Эта теорема показывает, что особенности решений
(т. е. их Ф. в.) уравнения Au=f с гладкой правой
частью / распространяются по бихарактеристикам
главного символа ат оператора А (см. [3], [4], [8], [11],
[12]).
Аналитич. Ф. в. WF а (и) для обобщенной функции
и ? D' (X) может быть определен одним из следую-
следующих трех эквивалентных (см. [13]) способов (здесь для
простоты X — область в R"):
1) (хо, lo) % WFa (и), если существуют такие окрест-
окрестность о точки ж0, открытые собственные выпуклые
конусы Fi, ..., IV в R" и функции /у, голоморфные
что 10?г/\у = 1, ..., Л', и " = 2Jli Ь('Л
где Г? — двойственный конус к Гу, а Ь (/у) — граничное
значение голоморфной функции fj(x-\-iy) при г/—> О,
г/ ? Гу, понимаемое в смысле слабой сходимости обоб-
обобщенных функций. Это определение применимо и к
гиперфункциям, если иначе понимать граничное значе-
значение.
2) Пусть
Fa(l, Л; х)=
(обобщенное преобразование Фурье); тогда (ха, §0) (f
(fWF(u) в том и только в том случае, если для лю-
любой функции % ? С™ (X), аналитической в окрестности
точки х0, существуют такие конич. окрестность Г точки
?0 и положительные постоянные а, у, Сдг, что
3) (^о. %o)%WFa(u) тогда и только тогда, когда
существуют такие окрестность со точки ха в X,
ограниченная последовательность обобщенных функ-
функций ик, k — i, 2, ..., с компактным носителем и по-
постоянная С > 0, что iis = « в в и
I
Для аналитич. Ф. в. имеет место аналог свойства A):
я (Wf „ (и)) = sing suppa и,
где sing suppa и — дополнение к наибольшему множест-
множеству, на к-ром и действительно-аналитична. Имеет место
аналог свойства B), где в качестве А можно брать диф-
дифференциальный оператор с действительно-аналитич.
коэффициентами или аналитич. псевдодифференциаль-
псевдодифференциальный оператор (см. [6], [9], [11], [15]). Для таких опера-
операторов А с действительным главным символом выпол-
выполняется теорема о распространении аналитич. Ф. в.,
аналогичная сформулированной выше теореме об обыч-
обычных Ф. в. (см. [11]).
Лит.: [1] Sato M., Ргос. 2nd Gonf. on Functional Anal.,
Tokyo, 1969, p. 91—94; [2] Хёрмандер Л., «Математика»,
1972, т. 16, № 1, с. 16—61, т. 16, № 2, с. 67 — 136; [3] D u i s-
termaatj. J., Hormander L., «Acta Math.», 1972,
v. 128. p. 183—269; MDuistermaat J. J., Fourier integral
operat -rs, N. Y., 1973; [5] Ш у б и н М. А., Псевдодифферен-
Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория, М., 1978; [6]
Т р е в Ф., Введение в теорию псевдо-дифференциальных опе-
операторов и интегральных операторов Фурье, пер. с англ.,
т. 1—2, М., 1984; [7] Т а у 1 о г М., Pseudodlfferential opera-
operators, Princeton, 1981; [8] Ниренберг Л., «Успехи матем.
наук», 1975, т. 30, в. 4, с. 147—204; [9] S a t о М., К a w a i
Т., Kashiwara M., «Lect. Notes in Math.», 1973, v. 287,
]>. 265—529; [10] Ш а п и р а П., Теория гиперфункций, пер.
с франц., М., 1972; [11] SjostrandJ., Singularites analy-
tiques microlocales, Orsay, 1982; [12] Lascar R., Propagati-
Propagation des singularites des solutions d'equations pseudo-differentiel-

les a eoracteYistiques de multiplicites variables, В.— [е. a.],
1981; [13] В о n у J. «Sem. Goulaouio — Schwartz», 1976—1977,
p. III. 1 —III. 12; [14] Bros J., lagolnitzer D.,
«Sem. Goulaouic — Lions — Schwartz», 1974—75, jsfi 16—18;
[15] Hormander L., «Comm. Pure Apyl. Math.», 1970, v.
23, p. 329—358. M. А. Шубин.
ФРУДА ЧИСЛО — один из критериев подобия дви-
движения жидкостей или газов, применяемый в случаях,
когда существенно воздействие силы тяжести. Ф. ч.
характеризует соотношение между инерционной силой
и силой тяжести, действующими на элементарный объем
чмдкости или газа. Ф. ч.
где v — скорость течения (или скорость движущегося
тела), g — ускорение силы тяжести, I — характерный
размер потока или тела.
Ф. ч. введено У. Фрудом (W. Froude, 1870).
По материалам одноименной статьи ВСЭ-3.
ФУБИНИ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ — интерпретация
многообразия прямых трехмерного эллиптич. прост-
пространства S3 на паре двумерных эллиптич. плоскостей
52. Пары взаимно полярных прямых пространства S3
взаимно однозначно изображаются парами диаметраль-
диаметрально противоположных точек двух сфер единичного ра-
радиуса в евклидовом пространстве R3. При отождеств-
отождествлении диаметрально противоположных точек получает-
получается взаимно однозначное изображение пар полярных
прямых пространства S3 точками двух эллиптич. плос-
плоскостей S2. Многообразие пар полярных прямых гомео-
морфно топология, произведению этих двух плоскос-
плоскостей S2. Движения пространства S3 изображаются в
Ф. и. независимыми движениями двух плоскостей S2:
каждая связная группа движений пространства S3
изоморфна прямому произведению двух групп движе-
движений плоскости 52: группа движений пространства S3
изоморфна прямому произведению двух групп движе-
движений пары плоскостей S2.
Ф. и. строится и для трехмерного гиперболич. про-
пространства 2?3. В этом случае используется Плюккера
интерпретация проективного пространства Р3 в прост-
пространстве 355. Группа движений пространства 2S3 изо-
изоморфна прямому произведению двух групп движе-
движений плоскости 1Si; она изображается в интерпретации
Плюккера подгруппой группы движений пространства
355, переводящей в себя две взаимно полярные гипер-
гиперболич. 2-плоскости. Линии пересечения этих плоскос-
плоскостей с абсолютом пространства 3S$ изображают семейства
прямолинейных образующих линейчатой квадрики.
Многообразие пар полярных эллиптич. прямых прост-
пространства 253 гомеоморфно топология, произведению соб-
собственных областей двух плоскостей 1S2, т. е. тополо-
гич. произведению двух кругов, а многообразие пар
полярных гиперболич. прямых гомеоморфно произве-
произведению идеальных областей двух плоскостей 1Si, т. е.
топологич. произведению двух листов Мёбиуса.
Ф. и. предложена Г. Фубини [1].
Лит.: [1] Fubini G., «Ann. Scuola Norm. Super.», 1904,
t. 9, p. 1—74; [2] Розенфельд Б. А., Неевклидовы про-
пространства, M., 1969. Л. А. Сидоров.
ФУБИНИ ТЕОРЕМА— теорема, устанавливающая
связь между кратным интегралом и повторным. Пусть
(X, @х, №х) и (У> ©/' №у) — измеримые пространства
с о-конечными полными мерами цх и \л,у, определен-
определенными соответственно на о-алгебрах ©у и ©г- Если
функция / (х, у) интегрируема на произведении ХхУ
пространств X и Y по произведению ^ = |хлгХ|хг/ мер \хх
и \ху, то для почти всех у ? Y функция f(x, у) пере-
переменной х интегрируема на пространстве X по мере цх,
функция g{y)=\xf{x, y)d\Lx интегрируема на про-
пространстве У по мере \ху и имеет место равенство

Ф. т. справедлива, в частности, для случая, когда |хх,
|ху и (х—меры Лебега соответственно в евклидовых про-
пространствах Rm, R" и Rn+n (m и п— натуральные числа),
X = Rm, Y=R", XxY=RmxRn = Rm+n, f = f(x, у)—
измеримая по Лебегу на пространстве Rm+n функция,
х ? Rm, у ? Rn. При этих предположениях формула A)
имеет вид
\\m1(x, y)dx. B)
Для того чтобы в случае функции /, определенной
на произвольном измеримом по Лебегу множестве
Е czRm+n, выразить кратный интеграл через повтор-
повторный, нужно продолжить функцию / нулем на все про-
пространство Rm+" и применить формулу B). См. также
Повторный интеграл.
Ф. т. установлена Г. Фубини[1].
Лит.: It] PubiniG., Sugli integral] multipli A907),
Opere scelte, v. 2, Roma, 1958, p. 243—49. Л. Д. Кудрявцев.
ФУБИНИ ФОРМА — дифференциальная форма
(квадратичная F3 и кубическая F3), на основе к-рой
строится проективная дифференциальная геометрия.
Введены Г. Фубини (см. [1]).
Пусть ха (и1, и2) — (однородные-) проективные коор-
координаты точки поверхности с внутренними координа-
координатами и1, и2 и пусть
6,7 = (Л *f, *?, xfj),
bijk = «(/* ~ Y dkbU + T К i dk In V~W,
6 = det6,7, aiJk = (xa, x?, xf, xfjk).
Тогда Ф. ф. определяются так:
F2 = bijdu' dui | b Г1/4, Fs = biJk du' du' duk \ b \~v\
Однако сами проективные координаты не вполне опре-
определены: они допускают введение произвольных множи-
множителей и однородных линейных преобразований. По-
Поэтому Ф. ф. определены только с точностью до множи-
множителя и чтобы избежать связанных с этим затруднений,
нормируют координаты и определенные через них фор-
формы; напр., при унимодулярных проективных преобра-
преобразованиях Ф. ф. сохраняют свое значение (с точностью
до знака). Отношение F3/F2, наз. проективным
линейным элементом, уже не зависит от
нормирования (и определяет проективный метрич. эле-
элемент).
Построенные метрич. средствами, исходя из второй
квадратичной формы и формы Дарбу (определяемой
Дарбу тензором), Ф. ф.
инварианты относительно эквиаффинных преобразова-
преобразований и потому могут быть положены в основу эквиаф-
финной дифференциальной геометрии.
Лит.: [lj Fubini G., CeohE., Geometria proiettiva
differenzial, v. 1—2, Bologna, 1926—27; [2] К а г а н В. Ф.,
Основы теории поверхностей..., т. 2, М.—Л., 1948; [3] Ш и р о-
к о в П. А., ШироковА. П., Аффинная дифференциаль-
дифференциальная геометрия, М., 1959. М. И. Войцеховский.
ФУБИНИ — ШТУДИ МЕТРИКА—эрмитова метрика
на комплексном проективном пространстве СРп, опре-
определяемая эрмитовым скалярным произведением (и, v)
в пространстве С" + 1. Была введена почти одновременно
Г. Фубини [1] и Э. Штуди [2]. Ф.— Ш. м. задается
формулой
ds2 = -щг (| х |2 | dxf - (х, dx) (г, dx)),
где | х I2 — (х, х); расстояние р (х, у) между точками
х = <Сх, у = ?у, где х, #?Cn + 1\{0}, определяется из
формулы

Ф.— Ш.м. является кэлоровой (и даже метрикой Ход-
Ходжа), соответствующая ей колерова форма имеет вид
со = -—- д д In | z |2.
Ф.— Ш. м.— это единственная с точностью до пропор-
пропорциональности риманова метрика на С Я", инвариантная
относительно унитарной группы V (« + !)• сохраняющей
скалярное произведение. Пространство СР", снабжен-
снабженное Ф.— Ш. м., является компактным эрмитовым сим-
метрич. пространством ранга 1. Оно наз. также эллип-
эллиптическим эрмитовым пространством.
Лит.: [1] Fubini G., «Atti Istit. Veneto», 1904, v. 63,
p. 502—13; [2] S t u d у E., «Math. Ann.», 1905, Bd 60, S. 321 —
78; [3] Cartan E., Leoons sur la geometrie projective complexe,
P., 1950; [4] X e л г а с о it С, Дифференциальная геометрия
и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [5]
Ч ж е н ь Ш э н-ш э н ь, Комплексные многообразия, пер.
с англ., М., 1961. А. Л. Онищик.
ФУКСА УРАВНЕНИЕ, уравнение класса
Фукса — линейное однородное обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение в комплексной области
) u,-<«-i>+ ... +Рп (z) w = Q A)
с аналитич. коэффициентами, все особые точки к-рого
на Римана сфере являются регулярными особыми точ-
точками. Для того чтобы уравнение A) принадлежало
классу Фукса, необходимо и достаточно, чтобы его
коэффициенты имели вид
Р/ (г) = XIот = ] B — %т)~' Ч] (г),
где zx, ..., zk — различные точки, qj(z) — многочлен
степени < / (к—-1). Система w' = A (z) w из п уравнений
принадлежит классу Фукса, если она имеет вид
to = у k _Ат_
dz jLtm = l z-zm
где zb ..., zk—различные точки, Ап ф 0—постоянные
матрицы порядка геХге. Особыми для уравнения A) и
системы B) являются точки zly ..., zk, <х>. Для Ф. у.
A) справедливо тождество Фукса:
где pi\ ..., p!f—характеристич. показатели в точке zm,
а рГ, . ¦., Рп—в точке со. Ф. у. (и системы) наз. также
регулярными уравнениями (системами).
Этот класс уравнений и систем был введен Л. Фук-
Фуксом [1].
Пусть D—сфера Римана с проколами в точках zb ...
..., zk, со. Любое нетривиальное решение Ф. у. A)
(соответственно любая компонента решения системы B))
есть аналитическая в области D функция. Как правило,
эта функция бесконечнозначна, а все особые точки
уравнения A) (системы B)) являются ее точками вет-
ветвления бесконечного порядка.
Ф. у. 2-го порядка с особыми точками zb z2, ..., z^,, со
имеет вид
-m=l
X ;-? -0, C)
ТТ Л*-г«.)
ААт=1
где Qk-i (z)~многочлен степени к — 2. Преобразование
w—(z — zm)'w переводит Ф. у. в Ф. у., причем
(Pf, р?) — (pT-i, tf-O,
(рГ.рП — (рГ + г, (п+i),

а характеристич. показатели в остальных особых точ-
точках не меняются. С помощью таких преобразований
уравнение C) приводится к виду
^ ^т=\ z-zm w ^
( 2) w =0,
n
Ф. у. 2-го порядка, имеющее N особых точек, пол-
полностью определяется заданием характеристич. показа-
показателей в этих точках тогда й только тогда, когда N < 4.
С помощью дробно-линейного преобразования уравне-
уравнение приводится к виду: а) ЛГ = 1, и>" = 0; б) N = 2,
t?w" + atjv' -\-bw = 0 (Эйлера уравнение);
в) iV = 3 — Папперица уравнение (или уравнение Ри-
мана).
Матричное Ф. у. имеет вид
v
dz - 2лт=\ z-zm ' W
где zu ...,1^ — различные точки, W — матрица-функция
порядка reXre, Um фО — постоянные матрицы. Матрица
Uт наз. дифференциальной подстановкой
в точке zm. Пусть у — простая замкнутая кривая с на-
началом в неособой точке Ъ, положительно ориентирован-
ориентированная и содержащая внутри себя только одну особую
точку zm. Если W (г)—голоморфное в точке Ъ решение
уравнения D), то при аналитич. продолжении вдоль у
где Vm — постоянная матрица, наз. интеграль-
интегральной подстановкой в zm. А. Пуанкаре
(Н. Poincare, см. [2]) поставил для систем вида D) за-
задачу, к-рая наз. прямой регулярной за-
задачей Пуанкаре. Она состоит из следующих
трех задач:
A) представление решения W (z) во всей области его
существования;
Б) построение интегральных подстановок в точках
B) аналитич. характеристика особенностей решений.
В частности, решение задачи Б) позволяет построить
группу монодромии уравнения D). Решение задачи
Пуанкаре было получено И. А. Лаппо-Данилевским [3].
Пусть Lb(zjv ..., z,v |z\, /m€{l, ..., к}, v = l, 2, ...,
— гиперлогарифмы:
~-m, M*/.'•••.%!*) =
у Lh (z z f \ z\
—i — dz,
" /v
W0(z) — элемент (росток) в точке Ъ решения уравне-
уравнения D), нормированный условием Wu{b)=I и W(z) —
аналитическая в области D матрица-функция, порож-
порожденная этим элементом. Тогда W(z) есть целая функция
от матриц Ui,. . ., Uk и разлагается в ряд
W{z) =
к-рый сходится равномерно по z на любом компакте
KczD. Интегральная подстановка Vm в точке zm, от-
отвечающая решению W (z), есть целая функция от мат-
матриц U-у, ..., Uk и разлагается в ряд

где Pi выражаются через гиперлогарифмы (см. [3],
[6]).
Получены также формулы, дающие решение задачи
В) (см. [3]).
Лит.: [1] FuchsL.,«J. reine und angew. Math.», 1866, Bd 66,
S. 121—60; 1868, Bd 68, S. 354—85; [2] Пуанкаре А., Избр.
труды, пер. с франц., т. 3, М., 1974; [3] Л а п п о-Д а н и л е в-
о к и й И. А., Применение функций от матриц к теории линей-
линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, пер.
с франц., М.,1957; [4] К о д д и н г т о н Э. А., Л е в и и с о п
Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер.
с англ., М.,1958; [5] Голубев В. В., Лекции по аналитичес-
аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.—Л., 1950;
[6] С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. 3, ч. 2,
М., 1974; [7] А й н с Э. Л., Обыкновенные дифференциальные
уравнения, пер. с англ., Хар., 1939. М. В. Федортг.
ФУКСОВА ГРУППА — дискретная группа голо-
голоморфных преобразований (открытого) круга К на сфе-
сфере Римана, т. е. круга или полуплоскости на комплекс-
комплексной плоскости. Чаще всего в качестве К берут верх-
верхнюю полуплоскость
?/ = {z?C |Imz >0}
или единичный круг
D = {z?C\\z\<l}.
В первом случае элементы Ф. г. являются дробно-
линейными преобразованиями
az + b
cz + d
с действительными коэффициентами, и Ф. г. представ-
представляет собой не что иное, как дискретную подгруппу
группы PSL2. Во втором случае элементы Ф. г. яв-
являются дробно-линейными преобразованиями с псев-
псевдоунитарными матрицами.
Если рассматривать круг К как конформную модель
плоскости Лобачевского, то Ф. г. может быть опреде-
определена как дискретная группа его движений, сохраняю-
сохраняющих ориентацию. Ф. г. представляют собой частный
случай клейновых групп.
Произвольные Ф. г. впервые рассматривались
А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [2]) в 1882 в связи с
проблемой униформизации. Группы были названы им
фуксовыми в честь Л. Фукса, работа [1] к-рого стиму-
стимулировала введение этого понятия. Для описания Ф. г.
Пуанкаре применил комбинаторно-геометрич. метод,
ставший впоследствии одним из основных методов тео-
теории дискретных групп преобразований. Понятие Ф. г.
послужило основой для теории автоморфных функ-
функций, созданной А. Пуанкаре и Ф. Клейном (F. Klein).
Ф. г., сохраняющая какую-либо точку в замыкании
К круга К или прямую в смысле геометрии Лобачев-
Лобачевского, наз. элементарной. Если Г — неэле-
неэлементарная Ф. г., то множество Ь{Г) предельных точек
орбиты точки х?К, лежащее на граничной окружно-
окружности дК, не зависит от х и наз. предельным мно-
множеством группы Г. Группа Г наз. Ф. г.
1-г о рода, если L(T)—dK, и 2-г о рода — в про-
противном случае (тогда L(V) — нигде не плотное совер-
совершенное подмножество в дК).
Конечно порожденная Ф. г. является Ф. г. 1-го
рода тогда и только тогда, когда площадь (в смысле
геометрии Лобачевского) ее фундаментальной области
конечна. В качестве фундаментальной области такой
группы Г всегда может быть выбран выпуклый много-
многоугольник Р плоскости Лобачевского со сторонами
«1, b[, a'i,bu ..., ag, b'g, og, bg, сь с[, ..., cn, cn
таким образом, что
в,- = a,- (a'i), Ъ; =* р,- (Ь'с), с,- = у; {с\)
для нек-рых элементов
«I. •••. <%g, Pi, •¦•, $g, Vii »•¦) Чм

порождающих группу Г с определяющими соотноше-
соотношениями
Y.' = l, j = l, ..., ге,
где ft; — целое число 5^2 или оо. Элемент у; оставляет
на месте вершину С,- многоугольника Р, общую сторо-
сторонам с; и с;. Он является эллиптическим, если /<:,¦< оо,
и параболическим, если к(=со; в последнем случае
вершина С, лежит на окружности ЭК, т. е. является
бесконечно удаленной точкой плоскости Лобачевского.
Всякий эллиптич. или параболич. элемент группы Г
сопряжен степени нек-рого однозначно определенного
образующего у;. Углы многоугольника Р при верши-
вершинах С,-, i = 1, ..., re, равны 2л'/к[, сумма всех остальных
углов равна 2я. Стороны а,- и а;,-а также Ь; и &';, с,-
и с; имеют одинаковую длину. Обратно, всякий выпук-
выпуклый многоугольник на плоскости Лобачевского, удов-
удовлетворяющий этим условиям, является фундаменталь-
фундаментальным многоугольником описанного выше типа нек-poij
конечно порожденной Ф. г. 1-го рода.
Всякая система образующих группы Г, к-рая полу-
получается описанным способом, наз. стандартной.
При абстрактном изоморфизме конечно порожденных
Ф. г. 1-го рода, отображающем множество параболич.
элементов одной группы на множество параболич.
элементов другой группы, всякая стандартная система
образующих переходит в стандартную систему обра-
образующих.
Площадь фундаментальной области группы Г рав-
равна — 2л/(Г), где
Х(Г) = х(*; ft,, ..., A-B)-2-2g-2"
Набор чисел (g; Лц..., к„), где fcj,..., кп считаются не-
неупорядоченными, является топологич. инвариантом
группы Г как группы гомеоморфизмов круга и паз.
ее сигнатурой. Единственным ограничением на
сигнатуру является условие
X(g; ku ..., к„) <0. (*)
Для подгруппы Д конечного индекса Ф. г. Г имеет
место формула Римана — Г урви да:
Х(Д)=Х(Г)[Г:Д].
Во всякой Ф. г. существует подгруппа конечного ин-
индекса, не имеющая элементов конечного порядка.
Факторпространство К/Г компактифицируется путем
добавления конечного числа точек, соответствующих
бесконечно удаленным вершинам фундаментального
многоугольника. На компактифицированном простран-
пространстве S имеется единственная комплексная структура,
для к-рой отображение факторизации р: К —>¦ S голо-
голоморфно. При этом S является римановой поверхностью
рода g, а отображение р — регулярным разветвленным
накрытием с индексами ветвления klt ..., кп. Обратно,
теорема униформизации утверждает, что для
любой компактной римановой поверхности S рода g
с отмеченными точками тх, . .., хп и для любых fej, ...
... ,кп (к; — целое число S= 2 или оо), удовлетворяющих
условию (*), существует регулярное голоморфное раз-
разветвленное накрытие р: К —>¦ S, ветвящееся в точности
над точками хи ..., хп с индексами ветвления ftx, ...
..., кп соответственно. Накрытие р определено одно-
однозначно с точностью до автоморфизма круга К. Его
группа скольжений есть Ф. г. сигнатуры (g; fclt ..., кп).
Конечно порожденные Ф. г. 1-го рода фиксирован-
фиксированной сигнатуры (g; kt, ..., кп) могут быть параметризо-
параметризованы точками нек-рого (Зге — 3 + ге)-мерного комплекс-
комплексного многообразия, гомеоморфного клетке,— т. н. п р о-

странства Таихмюллера Т (g; kit ..., кп)
(см. [4]). При ;>том двум точкам пространства Тайх-
мюллсра соответствует одна и та же (с точностью до
сопряженности в группе автоморфизмов круга) Ф. г.
тогда и только тогда, когда эти точки эквивалентны
относительно нек-рой дискретной группы голоморфных
преобразований пространства Т (g\ feb .... кп)—т. н.
модулярной группы Mod (g; кх, .. ., кп). Имеется
изоморфизм
T(g; къ ..., кп)^ T(g; оо, ..., оо),
при к-ром группа Mod (g; kiy .. ., кп) переходит в под-
подгруппу конечного индекса группы Mod (g; оо, . .., оо).
Если Ф. г. сигнатуры {g; klt ..., кп) содержит под-
подгруппу конечного индекса сигнатуры (h; lx, ..., 1т),
то пространство Т (g; А-ь .. ., кп) естественным образом
вкладывается в виде замкнутого подмножества в про-
пространство Т (h; lt, ..., lm). В нек-рых исключительных
случаях эти пространства совпадают [10]. Напр., Т B) =
= Т @; 2, 2, 2, 2, 2, 2); это означает, что всякая ком-
компактная риманова поверхность рода 2 допускает гипер-
эллиптич. инволюцию и, значит, является гиперэллип-
тич. кривой.
Для Ф. г. сигнатуры @; кг, к2, к3), называемых тре-
треугольными группами, и только для них, про-
пространство Таихмюллера состоит из одной точки. Всякая
треугольная группа является подгруппой индекса 2
в группе, порожденной отражениями относительно сто-
сторон треугольника с углами т~ > т~ i тт" (см- Отра-
Отражений группа). Примером треугольной группы служит
модулярная группа Клейна; ее сигнатура
равна @; 2, 3, со).
Всякая конечно порожденная Ф. г. 2-го рода тополо-
топологически (как группа гомеоморфизмов круга) изоморфна
конечно порожденной Ф. г. 1-го рода и допускает ана-
аналогичное геометрич. описание, с той разницей, что
нек-рые пары сторон с;, с,- фундаментального много-
многоугольника не имеют общих точек, даже бесконечно
удаленных, а соответствующие образующие у,- являют-
являются гиперболич. преобразованиями. Компактифициро-
Компактифицированное факторпространство представляет собой рима-
нову поверхность с краем.
Всякая бесконечно порожденная Ф. г. является сво-
свободным произведением циклич. подгрупп. Ее фунда-
фундаментальная область может быть построена как предел
фундаментальных областей конечно порожденных групп
(см. [5]).
Лит.: [1] Fuchs L., «J. reine und angew. Math.», 1880,
Bd 89, S. 151—69; [2] П у а п к а р е А., Теория фуксовых
групп, в кн.: Избр. труды, т. 3, пер. с франц., М., 1974, с. 9—62;
[3] Pricke R., Klein F., Vorlesungen ilber die Tlieorie der
automorphen Funktionen, Bd 1 — 2, Lpz., 1897—1912; [4] А л ь-
ф о р с Л., Б е р с Л., Пространства римановых поверхностей
и квазиконформные отображения, пер. с англ., М., 1961; [5] К ру-
ш к а л ь С. Л., Ананасов Б. Н., Г у с е в с к и й Ы. А.,
Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах, Но-
восиб., 1981; [б] Натан зон С. М., «Успехи матем. наук»,
1972, т. 27, в. 4, с. 145—60; [7] Итоги науки и техники. Алгеб-
Алгебра. Топология. Геометрия, т. 16, М., 1978, с. 191 — 245; [8]
Lehner J., Discontinuous groups and automorphic (unctions,
Providence, 1964; [9] Magnus W., Noneuclidean tesselations
and their groups, N. Y., 1974; [10] Singerman D., «J. Lon-
London Math. Soc», 1972, v. 6, JNs 1, p. 29—38. Э. Б. Винберг,
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА, группа Пу-
а н к а р е,— первая абсолютная гомотопическая груп-
группа щ(Х, х0). Пусть / — отрезок [0, 1], 01= {0, 1} —
его граница. Элементами Ф. г. пунктированного топо-
логич. пространства (X, х0) служат гомотопич. классы
замкнутых путей в X, т. е. классы гомотопных
rel {0, 1} непрерывных отображений пары (/, 01)
в (X, х0). Путь sxs2:
я.,.т.= Ь<2<>' '<'/"

наз. произведением путей st и s2. Гомотопич. класс
произведения зависит только от классов сомножителей,
возникающая операция, вообще говоря, некоммутатив-
некоммутативна. Единицей служит класс постоянного отображения
в х0, обратным к классу ср, содержащему путь q>(t),
служит класс пути ty(t)=<p(—t). Непрерывному отоб-
отображению / :(Х, жо)->-(У, у0) соответствует гомоморфизм
/# (ф)=/°Ф:Лх (X, xo)—+n1(Y, у о),
т. е. n-i является функтором на категории топологич.
пространств в категорию (неабелевых) групп. Для лю-
любого пути q>, соединяющего точки х1 и х2, определен
изоморфизм
ф:лх(Х, х2)—>т{Х, xj), ф(и)< =
q>Ct), «<1/з,
uCi —1), 1/3<^<2/з,
Ф C—Ы), 2/з<<«1,
зависящий только от гомотопич. класса пути q>. Группа
я, (X, х0) действует автоморфизмами на лп (X, ха), в слу-
случае ге — 1 элемент ф действует как внутренний автомор-
автоморфизм и\—> фиф-1 = ф (и). Гомоморфизм Гуревича
к; щ (X, х0) —-> Нх (X) является эпиморфизмом с ядром
[nlt Я!] (теорема Пуанкаре).
Линейно связное топологич. пространство с нулевой
Ф. г. наз. односвязным. Ф. г. произведения Па (Ха)
пространств изоморфна прямому произведению Ф. г.
сомножителей: Л] (Па(Ха)) = 11ал1(Ха). Пусть (Х,х0) —
линейно связное топологич. пространство, {Ux | А,?Л} —
покрытие X замкнутой относительно пересечений си-
системой открытых множеств U\ таких, что xo?f\x Ux,
тогда ях (X, х0)—прямой предел диаграммы IGx, Фя,и#},
где Gx =я1(?7я, Щ), a <fxa# индуцировано включением
Ч>Хц'- U% —>- Un (теорема Зейферта — Ван Кам-
пена). Напр., если дано покрытие, состоящее из ?/0,
U\, U2, и U0 = U1[)U2 односвязно, то п1(Х, х0) есть
свободное произведение групп пг (Ult x0) и nt (?/2> хо)-
В случае клеточного пространства утверждение теоремы
справедливо также для замкнутых клеточных под-
подпространств в X.
Для клеточного пространства X, нульмерный остов
к-рого состоит из единственной точки х0, каждая одно-
одномерная клетка е\^Х задает образующую Ф. г. ях (X, х0),
каждая двумерная клетка е|?Х задает соотношение,
отвечающее приклеивающему отображению клетки e\.
Пусть X обладает покрытием [U\ \k?A} таким, что
гомоморфизм включения ях(?7я,, z)=n1(X, z) нуетевой
для любой точки г. Тогда существует накрытие р: X —>- X
с Ях (X, х)~0. В этом случае группа коммутирующих
с р гомеоморфизмов пространства X на себя (скольже-
(скольжений) изоморфна лх (X, х0), порядок группы Ях (X, х0)
равен мощности слоя р~1х0. Для отображения /: (У, у0) -¦-
->¦ (X, х0) линейно связных пространств такого, что
/# (ях (У, |/0)) == 0, существует поднятие /: У—>-Х,
ро/-= /. Накрытие р: X —* X паз. универсальным.
Лит.: [1] М а С С и У., Столлингс Д ж., Алгебраиче-
Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1977; [2] Рохлин В. А.,
Фукс Д. Б., Начальный курс топологии, М., 1977; [3]
С п е н ь е р Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М.,
1971. А. В. Хохлов.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ дискрет-
дискретной группы Г преобразований топологич. про-
пространства X — подмножество DczX, содержащее эле-
элементы из всех орбит группы Г, причем из орбит общего
положения — ровно по одному элементу. Имеются раз-
различные варианты точного определения Ф. о. Иногда
Ф. о. наз. любое подмножество, принадлежащее за-
заданной сг-алгебре (напр., борелевское) и содержащее
по одному представителю из каждой орбиты. Однако

если X — топология, многообразие, то Ф. о. обычно
наз. подмножество DczX, являющееся замыканием от-
открытого подмножества и такое, что подмножества уО,
у? Г, не имеют попарно общих внутренних точек и об-
образуют локально конечное покрытие пространства X.
Напр., в качестве Ф. о. группы параллельных перено-
переносов плоскости R2 на целочисленные векторы может
быть взят квадрат
Выбор Ф. о., как правило, неоднозначен.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ^
последовательность Кош и, точек метриче-
метрического пространства X—последовательность хп? X, п —
= 1, 2, ... такая, что для любого в > 0 существует
такой номер п0, что для всех номеров п > ;г0 и т > па
выполняется неравенство р(хт, хп) < е.
Обобщением Ф. п. является понятие направленности
Коши в равномерном пространстве. Пусть А' — равно-
равномерное пространство с равномерностью 11 = {U}. Направ-
Направленность {ха: а?А}, ха?Х, А — направленное множе-
множество, наз. направленностью Коши, если для
каждого элемента ?/?U существует такой индекс а,о?А,
что для всех <х?А и Р?Л, следующих в А за а0, имеет
место включение (ха, x$)?U.
Лит.: [1] Александров П. С., Введение в теорию
множеств и общую топологию, М., 1977; [2] К о л м о г о-
р о в А. Н., Ф о м и к С. В., Элементы теории функций и
функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] К е л л и Д ж.,
Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981.
Л. Д. Кудрявцев.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ л и-
ненной однородной системы обык-
обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений — базис векторного пространства дейст-
действительных (комплексных) решений этой системы.
(Система может состоять и из одного уравнения.) Бо-
Более подробно это определение формулируется следую-
следующим образом.
Множество действительных (комплексных) решений
{%(?),...,xn(t)} (заданных на нек-ром множестве Е) ли-
линейной однородной системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений наз. Ф. с. р. этой системы урав-
уравнений (на множестве Е) при выполнении совокупно-
совокупности следующих двух условий: 1) если действительные
(комплексные) числа С1,...,Сп таковы, что функция
C1x1{t)-\-...-\-Cnxn{t)
тождественно равна нулю на Е, то все числа Сх, ..., Сп
равны нулю; 2) для всякого действительного (комплекс-
(комплексного) решения х (t) рассматриваемой системы уравнений
найдутся действительные (соответственно комплексные)
числа Ci, ..., Сп (не зависящие от t) такие, что
х^ — С^хх (t)-\-... -\-Cnxn(t) при всех 1?Е.
Если flcfyl, i, / = 1, ..., п—произвольная невырож-
невырожденная (геХге)-матрица, а {х± (t), ...,х„ (t)} есть Ф. с. р.,
то |2"=1ciy^/(t). •••. 1?j = 1cnjxj(t)} также есть
Ф. ср.; всякая Ф. с. р. получается таким преобразо-
преобразованием из данной Ф. с. р.
Если система дифференциальных уравнений имеет вид
x = A(t)x, A)
где x?Rn (или х?Сп), а
Л(-):(а, Р)—»;Honi(R", R") (соответственно (а, р)—»¦
—> Hom(Cn, C«)),
причем отображение А (•) суммируемо на каждом от-
отрезке, содержащемся в (а, Р) ((а, C) — конечный или
бесконечный интервал в R), то векторное пространство
решений этой системы изоморфно R" (соответственно
С"). Следовательно, система A) имеет бесконечно мно-

го Ф. с. р., и каждая такая Ф. с. р. состоит из п ре-
решений. Напр., для системы уравнений
и -¦- и, v ----- — г;
произвольная Ф. с. р. имеет вид
где ( Ul ) , (  ) —произвольные линейно независимые
векторы-столбцы.
Всякая Ф. с. р. системы A) имеет вид
{X(t, т)х±, ..., ХA,т)хп},
где X (t, т) — Коши оператор системы A), т — произ-
произвольное фиксированное число из интервала (a, В),
а хи . . ., хп — произвольный фиксированный базис
пространства R" (соответственно С").
Если система дифференциальных уравнений состоит
из одного уравнения
x№ + a1(t)xi*-1>+...+ak(t)z = O, B)
где функции
«i@, •••. ak(t)'-(a, Р) —*¦ R (или (а, В)—»-С)
суммируемы на каждом отрезке, содержащемся в
(а, В) (где (а, В) — конечный или бесконечный интер-
интервал в R), то векторное пространство решений этого
уравнения изоморфно R* (соответственно С*). Сле-
Следовательно, уравнение B) имеет бесконечно много
Ф. с. р., и каждая из них состоит из к решений. Напр.,
уравнение
х-{-ы2х~0, со Ф О,
ид!еет Ф. с. p. {coswi, sinwi}; общее действительное
решение этого уравнения дается формулой
x = Cl cos wt -)- С2 sin wt,
где Сх, Сг — произвольные действительные постоян-
постоянные.
Если система дифференциальных уравнений имеет
вид
tfb)=-A1(t)x(b-vJr...-irAk(t)x, C)
где x?R" (или х?С") и при всяком i = l, ..., к — 1
отображение
А{(-):(а, В)—>Hom(R«, R") (или (а, Р) —>
—+ Нот(С«, С"))
суммируемо на каждом отрезке, содержащемся в (а, В)
(где (а, В) — конечный или бесконечный интервал в R),
то пространство решений этой системы уравнений изо-
изоморфно R*" (соответственно С*"); Ф. с. р. системы C)
существуют, и каждая из них состоит из кп решений.
Для линейных однородных систем дифференциальных
уравнений, не разрешенных относительно старших про-
производных, даже если коэффициенты системы постоян-
постоянные, число решений, входящих в Ф. с. р. (т. е. раз-
размерность векторного пространства решений), вычис-
вычисляется иногда не столь просто, как в вышеприведен-
вышеприведенных случаях. (В [1], § 11 рассмотрено такое вычисление
для линейных систем дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами, не разрешенных отно-
относительно старших производных.)
Лит.: ЫПоитрягип Л. С, Обыкновенные дифферен-
дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974. В. М. Миллионщиков.
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ линейного
дифференциального уравнения с част-
частными производны ми — решение дифференциаль-
дифференциального уравнения с частными производными Lu(x) = Q,
z?Rn, с коэффициентами класса С°° в виде функции
I (х, У)> удовлетворяющей при фиксированном ?R
уравнению
Ы(х, у) = Ь{х—у), хфу,

к-рая понимается в смысле теории обобщенных функ-
функций, где б — дельта-функция. Ф. р. существует для
всякого дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами, а также для произвольных эллип-
тич. уравнений. Напр., для эллиптич. уравнения
с постоянными коэффициентами а;/, образующими по-
положительно определенную матрицу а, Ф. р. служит
функция
Их. У)—) г„п
|l0gL2f,/=1
где Aij — алгебраич. дополнение к а;у в матрице а.
В теории эллиптич. уравнений Ф. р. широко
используются при изучении краевых задач с помощью
интегральных уравнений.
Лит.: [1] В л а д и м и р о в В. С, Обобщенные функции в
математической физике, 2 изд., М., 1979; L2] Вере .Л.,
Джои Ф., Ш е х т е р М., Уравнения с частными производ-
производными, пер. с англ., М., 1906; [3] Й о н Ф., Плоские волны и сфе-
сферические средние в применении к дифференциальным уравнени-
уравнениям с частными производными, пер. с англ., М., 19Г>8.
А. П. Солдатов.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ГРУППОИД -группоид
(категория, все морфизмы к-рой— изоморфизмы), опре-
определенный для топологич. пространства Х\ объектами
являются точки X, морфизмами объекта х0 в х± — гомо-
топич. классы rel {0, 1} путей с началом х0 и концом
в хл, композицией — произведение классов путей. Группа
изоморфизмов объекта х0 на себя совпадает с фунда-
фундаментальной группой jtj (X, ха). 1 в Хохлов
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ КЛАСС —1) Ф. к. (и —1)-
связного (т. е. такого, что л; (X) при ?</? — 1)
топологич. пространства X — элемент /¦„
группы Н" (X; я„(Х)). Соответствующий при изомор-
изоморфизме Н" (X; л) я; Нот (Нп (X); я), в к-рый вырож-
вырождается формула универсальных коэффи-
коэффициентов
0 —> Ext (Нп_1 (X)- л) —>- Нп (X; я) —>
—>¦ Нот (#„ (X); л) —> 0,
гомоморфизму h~l, обратному к гомоморфизму Гуре-
вича h: я„ (X)—*Нп{Х) (являющемуся по теореме
Гуревича (см. Гомотопическая группа) изоморфизмом).
Если X является клеточным разбиением (клеточным
пространством), то Ф. к. гп совпадает с первым пре-
препятствием к построению сечения Ссрра расслоения
ИХ- *ЯХ—*Х, к-роо лежит в Н" (X, я„_! (QX)) =
= Н"-(Х; я„ {X)), а также с первым препятствием к го-
мотопии тождественного отображения id: Х--* X посто-
постоянному отображению. В случае, когда (и — 1)-мерный
остов клеточного разбиения X состоит из одной точки
(на самом деле это предположение общности не огра-
ограничивает, поскольку любое (п — 1)-связное клеточное
разбиение гомотопнческн эквивалентно клеточному раз-
разбиению без клеток положительной размерности, мень-
меньшей п), замыкание каждой ге-шерной клетки является
re-мерной сферой и потому ее характеристич. отобра-
отображение определяет нек-рый элемент группы лп (X). По-
Поскольку эти клетки образуют базис группы Сп (X), тем
самым определена «-мерная коцепь из С" (X; лп(Х)).
:)та коцепь является коциклом, класс когомологпй
к-рого и есть Ф. к.
2) Ф. к., о р нента ц ионный класс, связ-
связного ориентируемого n-м ерного много-
многообразия М б е .ч к р а я (соответственно, с краем
дМ)— образующая [М] группыНп (М) (соответственно,
группы 1Гп(М, дМ)), яиляющейся свободной циклич.
группой. Если многообразие М триангулируемо, то
Ф. к. представляет собой класс гомологии цикла, яв-

ляющегося суммой всех когерентно ориентированных
и-мерных симплексов произвольной его триангуляции.
Для каждого q гомоморфизм
где Г) -произведение определяется формулой
(х U у) (с) = х (у П с), dimz+dim j/ = dimc,
является изоморфизмом, называемым Пуанкаре двойст-
двойственностью (если многообразие М имеет край дМ, то
DM: НЧ (М)—уН„_ч(М, дМ)). О Ф. к. говорят также
и для неориентируемых (но связных) многообразий М
без края; в этом случае под ним понимается единствен-
единственный отличный от нуля элемент группы Нп {М; Z2) (если
многообразие имеет край дМ,т группы Нп(М, дМ\ Z2))-
В этом случае двойственность Пуанкаре также имеет
место.
Лит.: [1] Ф у к о Д. Б., Ф о м е н к о А. Т., Г у т е н-
махер В. Л., Гомотопическая топология, 2 изд., М., 1969;
[2] М о ш е р Р. Э., Т а н г о р а М. К., Когомологические
операции и их приложения в теории гомотопий, пер. с англ.,
М., 1970; [3]Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства,
пер. с англ., М., 1970; [4] С а е н ь е р Э., Алгебраическая то-
топология, пер. с англ., М., 1971; [5] Дольд А., Лекции по
алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976.
С. Н- Малыгин, М. М. Постников.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ КОЦИКЛ клеточного про-
пространства X такого, что (ге— 1)-остов X"-1 является
точкой х0,— коцепь из Сп{Х, яп(Х)), значение к-рой
на клетке ei есть элемент лп(Х, х0), соответствующий
замыканию е™. Класс когомологий Ф. к. является фун-
фундаментальным классом пространства X. А. В. Хохлов.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЙ ЦИКЛ, га-м е р н о г о м в о-
гообразия цикл, задающий фундаментальный
класс этого многообразия.
Лит.: И] Дольд А., Лекции по алгебраической тополо-
топологии, пер. с англ., М., 1976; [2] С п е н ь е р Э., Алгебраическая
топология, пер. с англ., М., 1971; [3] Мил нор Д ж.,
С т а ш е ф Д., Характеристические классы, пер. с англ., М.,
1979. А. В. Хохлов.
ФУНКТОР — отображение одной категории в другую,
согласованное со структурой категории. Точнее, одно-
одноместным ковариантным функтором из ка-
категории й в категорию 6, или, короче, Ф. из Я в @,
наз. пара отображений (Ob Я —>¦ ОЪ 6, Мог Я —*¦ Мог ©),
обозначаемых обычно одной и той же буквой, напр. F
(F: $ —у g), подчиненных условиям:
1) F Aа) = 1па) Для каждого 4?0ЬЯ';
2) F (аб) = /'(а) • F ф) для любых морфизмов а?
?НЯ(А, В), $?НЯ(В, С).
Ф. из категории Я'*, двойственной категории $, в ка-
категорию 6 наз. одноместным контравар и-
антным функтором из ,ft в E. Таким образом,
для контравариантного Ф. F: Я—>¦ © по-прежнему
должно выполняться условие 1), а вместо условия 2) —
условие 2*) F (ар) = F (Р) • F (а) для любых морфизмов
a?HR(A, В), $?НЯ(В, С).
п-м естным функтором из категорий Si, й2, ...
..., Я„ в категорию К, ковариантным по аргументам
1 < ix < г2 < . . . < (? < п и контравариантным по ос-
остальным аргументам, наз. функтор из декартова про-
произведения категорий
в категорию 6, где Я; = й/ при i = ii, ..., гА ий; = Й(
при остальных I. Двуместные Ф., ковариантные по обоим
аргументам, наз. бифункторами.
Примеры функторов. 1) Тождественное ото-
отображение произвольной категории Ш в себя есть одно-
одноместный ковариантный Ф., к-рый наз. тождествен-
тождественным функтором категории и обозначается Ids.
2) Пусть ,ff—произвольная категория, © — категория
множеств, А—фиксированный объект из Я. Сопостав-

ление каждому Х?ОЬЯ' множества НА (Х)--Н^ (А, X)
п каждому морфпзму а: X—>Y отображения НА (а):
ИА(Х)—*HA(Y), где уНА (а) = уа для каждого у?
?НА (X), является Ф. из §1 в Q. Этот Ф. наз. основ-
основным ковариантным функтором из Ж в ©
с представляющим объектом А. Аналогично,
сопоставляя объекту X множество Нд(Х) =- HiX (X, А)
и морфизму a: Y —>• X отображение НА (а): II л (X) ->¦
—>• Нд (У), где уНд(а) = а,у, строится основной
контравариантный функтор из Я в ©
с представляющим объектом А. Эти Ф. обо-
обозначаются НА и .йд соответственно. Если Я' — категория
векторных пространств над полем К, то Ф. Н^ задает
переход от пространства Е к сопряженному простран-
пространству линейных функционалов Е*. В категории тополо-
топологических абелевых групп Ф. Hq, где Q—факторгруппа
группы действительных чисел по подгруппе целых чи-
чисел, сопоставляет каждой группе ее группу характеров.
3) Сопоставление каждой паре объектов X, Y про-
произвольной категории множества #(Х, У), а каждой
паре морфизмов а: X'—>Х, р*: У—>-У—отобра-
У—>-У—отображения Я (а, Р): Н (X, У)—*- Н (X', У), определяемого
равенством уН (а, |3) = ауР для любого у?Н(Х, Y),
является двуместным Ф. в категорию @, контравари-
антным по первому аргументу и ковариантным по
второму.
В любой категории с конечными произведениями
произведение можно рассматривать как и-местный Ф.,
ковариантный по всем аргументам, при любом нату-
натуральном п. Как правило, конструкции, к-рые опреде-
определяются для любого объекта категории или для любой
последовательности объектов фиксированной длины не-
независимо от индивидуальных свойств объектов, явля-
являются Ф. Таковы, напр., конструкция свободных ал-
алгебр нек-рого многообразия универсальных алгебр,
к-рые единообразно сопоставляются каждому объекту
категории множеств, конструкция фундаментальной
группы топологич. пространства, конструкции групп
гомологии и когомологий различных размерностей
и т. д.
Любой Ф. F: й —>¦ E определяет отображение каж-
каждого множества Н^ (Л, В) в множество #g (F (A), F (В)),
сопоставляя морфизму а: А —>¦ В морфизм F (a): F (А) ->
->¦ F ($). Ф. F наз. унивалентным, если все ука-
указанные отображения инъективны, и полным, если
все эти отображения сюръективны. Для всякой малой
категории ?) сопоставление D ? Ob 33 —>¦ Яд можно про-
продолжить до полного унивалентного Ф. J из 2) в кате-
категорию F C3*, @) диаграмм со схемой Ъ над категорией
множеств @.
Лит.: [1] Б у к у р И., Деляну А., Введение в теорию
категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] К а р т а н А.,
Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. о англ., М.,
1960; [3] М а с Lane S., Kategorien. Begriffssprache und ma-
thematische Theorie В., 1972; [4] Schubert H., Kategorien,
I—II, В.— Hdlb.— N. Y., 1970; [5] Ц а л е и к о М. HI.,
Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М.,
1974. М. Ш. Цаленко.
К-ФУНКТОР в алгебраической гео-
геометрии — инвариант когомологич. типа, сопостав-
сопоставляемый схемам в алгебраич. if-теории. Точнее говоря,
в алгебраич. .К-теории строится контравариантньш
функтор
Xt->K,(X)--. LJi>o Ki(X)
из категории схем в категорию градуированных ком-
коммутативных колец 11]. К-Ф. родствен этальным кого-
мологиям, однако между ними есть важное отличие:
К -теория несет в себе обширную «целочисленную» ин-
информацию, к-рая отсутствует в этальных когомологиях,
имеющих конечные коэффициенты.
Первое применение К -теории в алгебраич. геометрии
совпадает с ее возникновением. Это доказательство
обобщения (в частности, на гладкие многообразия про

иявольной размерности) классич. Римана — Роха теоре-
теоремы (см. |2]). После создания вмешен алгебраич.
А'-теории, то ость когомологич. теории функторов А',-,
г>0 (см. fl|, |12]) начинается интенсивное проникнове-
проникновение ее идей в алгебраич. геометрию. К настоящему
времени можно выделить следующие области исследо-
исследований в этом направлении.
1) Изучение алгобраич. циклов на алгебраич. мно-
многообразиях. Пусть X — гладкое алгебраич. многооб-
многообразие, СН(Х) — кольцо Чжоу алгебраич. циклов на
X по модулю рациональной эквивалентности. Тогда
имеют место изоморфизмы
CH(X)®Q~K0(X)®Q,
где X',-— пучок в топологии Зариского, связанный с
предпучком U—* KfT (U, Qx)- Эти факты являются
основой для изучения колец СН (X) методами А-тео-
рии. В частности, этими методами доказаны теоремы
о конечности для групп Чжоу 0-циклов на арифметич.
поверхностях [4].
2) Значения дзета-функции и Л-функции алгебраич.
многообразий в целых точках. Имеются гипотезы о
связи значений дзета-функций полей алгебраич. чисел
в целых точках с порядками подгрупп кручения в К-
Ф. их колец целых, а также значений Л-функций мно-
многообразий над полями алгебраич. чисел в целых точ-
точках с рангами их групп А; и объемами решеток, по-
порождаемых образом А'-Ф. в их когомологиях (см.
[1J, [9]). Эти гипотезы подтверждаются в ряде частных
случаев, они дополняют гипотезы Берча — Суиннер-
тона-Дайера (см. Дзета-функция в алгебраической
геометрии).
3) Теория полей классов в высших размерностях опи-
описывает группу Галуа максимального абелева расшире-
расширения полей рациональных функций арифметич. схем раз-
размерности г^1, а также соответствующих локальных
объектов (i-мерных локальных полей [7], [10]). В этом
описании роль, к-рую обычно играет мультипликатив-
мультипликативная группа размерности 1, выполняют группы А,- Мил-
нора.
4) Связь кристаллич. когомологин и деформаций
А-Ф. (см. [3]).
5) Теория характеристич. классов в алгебраич.
А-теории и теорема Римана — Роха — Гротендика
(см. [5], [11]).
6) Вычисление алгебраического А-Ф. для широко-
широкого класса схем. В частности, вычислены А-Ф. с ко-
конечными коэффициентами алгебраически замкнутых
полей [8].
Лит.: [1] Algebraic it-theory, v. 1, p. 85—147, v. 2, p. 489—
501, В.— Hdlb.— N. Y., 1973; [2] Theorie des intersections et
theoreme de Rieraann — Roch, В.—Hdlb.—N. Y., 1971; [3]
BlochS., «Publ. math. IHES», 1977, №47, p. 187 —2B8;
MCoIliot T h ё 1 en e J.-L., S a n s u с J.-J., S о u 1 e" C,
«C. r. Acad. sci.», 1982, t. 294, ser. 1, p. 749—52; [5] G i 1-
letH.,«Adv. in math.», 1981, v. 40 p. 203—89- [6] H a r-
risB., SegalG., «Ann. math.», 1975, v. 101, JN5 1, p. 20—33;
[7] К a t о K., «J. Fac. Sci. Univ. Tokyo», 1979—80, Sec. IA,
v. 26, № 2, p. 303—70, v. 27, № 3, p. 603 — 83; [8] S u fi-
fill n A. A., «Invent. Math.», 1983, v. 73, .Ni 2, p. 241 — 45;
[9] Б е й л и н с о н А. А., «Функциональный анализ», 1980,
т. 14, в. 2, с. 46—47; [10] Паршин А. Н., «Докл. АН СССР»,
1978, т. 243, № 4, с. 855—58; [11] Ш е х т м а н В. В., «Успехи
матем. наук», 1980, т. 35, в. 6, с. 179—80; [12] Итоги науки и
техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 20, М., 1982,
с. 71 —152. В. В. Шехтман.
ФУНКТОРНЫЙ МОРФИЗМ —аналог понятия гомо-
гомоморфизма (левых) модулей с общим кольцом скаля-
скаляров (роль кольца при этом играет область определе-
определения функторов, а сами функторы играют роль моду-
модулей). Пусть F-l и F2— одноместные ковариантные функ-
функторы из категории 5R в категорию 6. Функторным
морфизмом ср: F1—>- F2 наз. такое сопоставление
каждому объекту А из 3t морфизма фд: Ft (А) —>- F2 (A),

что для любого морфизма а: А —>¦ В из 9i коммута-
коммутативна следующая диаграмма:
Если /?1 = F2, то, полагая ф^ = If, (/4>, получают т. н.
тождественный иорфнзм функтора 1\.
Если ф: 1<\—>¦ Ь\ и г|): F2—> F3 — два Ф. м., то, по-
полагая (ф!|').4 = Ч)Л11'Л) получают Ф. м. ф\|): F1—>- F3,
называемый произведением ф и г|э. Композиция Ф. м.
ассоциативна. Поэтому для малой катм-ории 3J все
функторы из Ж в ® и их Ф. м. образуют т.н. кате-
категорию функторов Funct (Ш, 6), или катего-
категорию диаграмм со схемой ;lt.
Пусть ф: ^г-^/л2:Ж—>6 —Ф. м. и G: Щ! —> 31,
Н: (S—>¦ 9J — два функтора. Формулы
определяют Ф. м. G * ф; GFj —>• GF2 и ф * Н: FXH —>- F2-^
соответственно. Тогда для любых Ф. м. ф: 1'\—> F2:
9t—>¦ (S и г|;: Н1—>¦ Я2:E—* ?? справедливо соотноше-
соотношение
(ф * йг) (F2 * ф) --= (Fx * ij;) (ф * Я2).
Ф.м. наз. также естественными преобра-
преобразованиями функторов. По аналогии с
Ф. м. одноместных функторов определяются Ф. м.
МНОГОМестНЫХ функторов. М. Ш. Цаленко.
ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ТЕОРИЯ — область математич. анализа, в к-рой изу-
изучаются вопросы представления и приближения функ-
функций, их локальные и глобальные свойства. Для совре-
современной Ф. д. п. т. характерно широкое применение тео-
теоретико-множественных методов наряду, естественно, с
классическими.
Таким образом, объектом изучения в Ф. д. п. т. яв-
является функция. По поводу этого понятия Н. Н. Лу-
Лузин [3] писал: «Оно не сложилось сразу, но, возникнув
более двухсот лет тому назад в знаменитом споре о зву-
звучащей струне, подверглось глубоким изменениям уже
в начавшейся тогда энергичной полемике. С тех пор
идут непрестанное углубление и эволюция этого по-
понятия, которые продолжаются до настоящего времени.
Поэтому ни одно отдельное формальное определение
не может охватить всего содержания этого понятия...».
В соответствии с этим представляется вполне естествен-
естественным отнести истоки зарождения Ф. д. п. т. ко време-
времени спора о колеблющейся струне [Л. Эйлер
(L. Euler), Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д'Аламбер
(J. D'Alembert), Ж. Лагранж (J. Lagrange) и др.],
хотя становление этой теории происходило в 19 в.
[Ж. Фурье (J. Fourier), О. Коши (A. Cauchy), H. И. Ло-
Лобачевский, П. Дирихле (P. Dirichlet), Б. Риман
(В. Riemann), П. Л. Чебышев, К. Жордан (С. Jordan)
и др.].
В классич. анализе изучались в основном функ-
функции, имеющие определенную степень гладкости. Однако
во 2-й пол. 19 в. в анализе четко обрисовались нек-рые
проблемы, ждавшие своего решения и касающиеся бо-
более общих классов функций, а также более глубокого
изучения и гладких функций. К таким проблемам сле-
следует отнести проблемы меры множества, длин кривых
и площадей поверхностей, приближения и представле-
представления функций, первообразной и интеграла, взаимосвязи
интегрирования и дифференцирования, почленное ин-
интегрирование и дифференцирование рядов, свойства
функций, полученных в результате предельного пере-
перехода и др. Решение этих проблем имело принципиаль-
принципиальное значение для математики. Классич. методы анализа

уже не могли дать достаточно удовлетворительного от-
ответа на такого типа вопросы. В связи с этим и возникла
в кон. 19 в. настоятельная необходимость нового кри-
тич. пересмотра основ математич. анализа, что и было
осуществлено в кон. 19— нач. 20 вв. на базе множеств
теории, чем и завершилось создание основ современ-
современной Ф. д. п. т.
Обычно современную Ф. д. н. т. условно делят на три
части: 1) дескриптивная теория, 2) метрическая тео-
теория, 3) теория приближения.
Особенно близки между собой первые две части, ос-
основы к-рых были заложены Э. Борелем (Е. Borel),
Р. Бэром (R. Baire), А. Лебегом (Н. Lebesgue) и др.
1) В дескриптивной теории функций изучаются свой-
свойства тех или иных классов функций, полученных в ре-
результате предельных переходов. Это изучение (на базе
и в связи с дескриптивной теорией множеств) показа-
показало, что понятие функции крайне сложно. В этом на-
направлении были открыты Бэра классы функций, к-рые
оказались самым тесным образом связаны с классифи-
классификацией борелевских множеств.
Основополагающие результаты по дескриптивной
теории множеств и функций были получены в Совет-
Советском Союзе во 2-м и 3-м десятилетиях 20 в. (Н. Н. Лу-
Лузин, М. Я. Суслин, П. С. Александров, А. Н. Колмо-
Колмогоров, Л. В. Келдыш, П. С. Новиков и др.).
2) В метрич. теории функций изучаются свойства
функций на основе понятия меры множества. Совре-
Современное понятие меры множества (Лебега мера) было
введено А. Лебегом в 1902. Тогда же на базе этого по-
понятия им была создана и теория интеграла (Лебега ин-
интеграл). Эти два крайне важных понятия — мера и
интеграл — образуют фундамент метрич. теории функ-
функций, к-рая занимается изучением свойств функций, про-
производных, интегралов, функциональных рядов и т. п.
Первые крупные результаты в России в этом на-
направлении были получены во 2-м десятилетии 20 в.
Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным (см. Егорова тео-
теорема, Лузина С-свойство). Создателем и руководите-
руководителем школы метрич. теории функций в СССР был Н. Н.
Лузин.
К метрич. теории функций следует отнести теорию
суммирования рядов и последовательностей, а также
теорию почти периодических функций. Эта последняя
была создана работами П. Боля (Р. ВоЫ), X. Бора
(Н. Bohr), Н. Н. Боголюбова, Г. Вейля (Н. Weyl),
В. В. Степанова и др.
Исследования по мотрич. теории функций и создан-
созданные в ней понятия и методы оказали особенно большое
влияние на различные области современной математи-
математики, а именно: во многих аналитич. исследованиях по
разным разделам математики редко обходятся без меры
и интеграла Лебега (или соответствующих их аналогов
и обобщений).
3) Основы теории приближения функций действи-
действительного переменного были заложены в классич. ра-
работах П. Л. Чебышева (сер. 19 в.). Им было введено
чрезвычайно важное понятие наилучшего приближения
?"„(/) и доказана одна из основных теорем о наилучшем
приближении функций многочленами (Чебышева тео-
теорема). Дальнейшее развитие этой теории в 19 в. про-
происходило главным образом в России — в трудах Е. И.
Золотарева, А. Н. Коркина и братьев А. А. и В. А.
Марковых. Большую роль в теории приближения сыг-
сыграла Вейерштрасса теорема о возможности прибли-
приближения непрерывных функций многочленами.
В нач. 20 в. было выяснено, что дифференциальные
свойства функций влияют на быстроту стремления к
нулю En(f) при п->-со [А. Лебег, Э. Борель, Ш. Балле
Пуссен (Ch. Vallee Poussin)].
Важнейшие задачи, относящиеся к выяснению свя-
связей между структурными свойствами функций и ско-

ростью их приближения полиномами, были решены
С. Н. Бернштейном и Д. Джексоном.
Начиная с 30-х гг. исследования в СССР по теории
приближения функций действительного переменного
приобретают особенно большой размах. Наряду с ис-
исследованиями С. Н. Бернштейна здесь в первую оче-
очередь следует отметить крупные достижения А. Н. Кол-
Колмогорова и С. М. Никольского, а также их учеников.
Лит.: [1] Бор Р., Теория разрывных функций, пер. с
франц., М.—Л., 1932; [2] Л у з и н Н. Н., Лекции об аналити-
аналитических множествах и их приложениях, М., 1953; [з] е г о ж с,
Собр. соч., т. 3, М., 1959, с. 319—41; [4] Ляпунов А. А.,
Новиков II. С, Дескриптивная теория множеств, в кн.:
Математика в СССР за тридцать лет, М,— Л., 1948; [5] Л е-
бег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций,
пер. с франц., М.~ Л., 1934; [6] К а м к е Э., Интеграл Лебе-
Лебега — Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; [7] К о л м о г о-
р о в А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и
функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [8] Улья-
н о в П. Л., Метрическая теория функций, в кн.: История оте-
отечественной математики, т. 3, К., 1968; [9] Харди Г.,
Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [10] Бор Г., Почти
периодические функции, пер. с нем., М.— Л., 1934;[11] Л е в и-
т а н Б. М., Почти-периодические функции, М., 1953; [12] Ч е-
б ы ш е в П. Л., Вопросы о наименьших величинах, связанные
с приближенным представлением функций A859), Поли. собр.
соч., т. 2, М.—Л., 1947, с. 151—235; [13] Лозинский С. М.,
Натансон И. П., Метрическая и конструктивная теория
функций вещественной переменной, в кн.: Математика в СССР
за сорок лет, т. 1, М., 1959; [14] Никольский С. М.,
Теория приближения функций многочленами, в кн.: История
отечественной математики, т. 3, К., 1968; [15] Николь-
Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и
теоремы вложения, 2 изд., М., 1977. П. Л. Ульянов.
ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ТЕОРИЯ — в широком смысле слова теория функций,
областью определения к-рых является нек-рое множест-
множество точек z комплексной плоскости C=CJ (функции
одного комплексного переменного) или множество то-
точек z=(zx,. . .,zn) комплексного евклидова пространства
С", и>1 (функции многих комплексных переменных).
В узком смысле слова Ф. к. п. т. есть теория аналити-
аналитических функций одного или многих комплексных пере-
переменных.
Как самостоятельная дисциплина Ф. к. п. т. оформи-
оформилась примерно к сер. 19 в. в качестве теории анали-
тич. функций. Основополагающими здесь были работы
О. Коши (A. Cauchy), К. Вейерштрасса (К. Weierst-
rass) и Б. Римана (В. Riemann), к-рыо подходили к раз-
развитию теории с различных позиций.
По Вейерштрассу, функция w=f(z) : С —*- С наз.
аналитической (или голоморфной) в
области DdC, если в окрестности каждой точки zo?D
она разлагается в степенной ряд
в случае многих комплексных переменных, когда Da
сС", п>1, ряд A] понимается как кратный степенной
ряд. Для определения аналитич. функции достаточно
даже, чтобы сходящийся ряд A) был задан в окрест-
окрестности одной единственной точки z0, ибо ее значения
в других точках zx и соответствующие ряды могут быть
определены в процессе аналитического продолжения
вдоль различных путей, расположенных в комплекс-
комплексной плоскости С (или в пространство С", п>1) и со-
соединяющих ТОЧКИ Z0 И z1.
При аналитич. продолжении могут встретиться осо-
особые точки, аналитич. продолжение в к-рые, хотя бы
вдоль нек-рых путей, невозможно. Эти особые точки
определяют общее поведение аналитич. функции в том
отношении, что если два пути L1 и L2, соединяющие
одни и те же фиксированные точки z0 и zx, не гомотоп-
гомотопны, т. е. если L2 нельзя непрерывно деформировать в
Llt не переходя при этом через особые точки, то зна-
значения функции f(zx), получаемые при аналитич. про-
продолжении вдоль Lx и L2, могут оказаться различными.
Следовательно, полная аналитическая функция w—
=/(z), получаемая аналитич. продолжением исходного

элемента A) по всевозможным путям, может оказаться
многозначной в своей естественной области определе-
определения на С (или на С", я>1). Таковы, напр., функции
w=Y~z или w=lnz. Можно избавиться от этой много-
многозначности, запретив аналитич. продолжение по неко-
некоторым путям, устроив, как говорят, разрезы на
комплексной плоскости и выделив однозначные ветви
аналитической функции. Однако более совершенный
способ превращения многозначной аналитич. функции
в однозначную состоит в том, что ее следует рассмат-
рассматривать но как функцию точки комплексной плоскости,
а как функцию точки римановой поверхности, состоя-
состоящей из нескольких листов, накрывающих комплекс-
комплексную плоскость и определенным образом соединяющих-
соединяющихся между собой. В случае многих переменных вместо
римановой поверхности возникает риманоеа область,
многолистно накрывающая пространство С", и>1.
О. Коти в своем построении теории аналитич. функ-
функций исходил из понятия моногенности. Функ-
Функцию w=f(z), z^DaC, он называл моногенной, если
она имеет всюду в D м о н о д р о м н у ю (т. е. одно-
однозначную и непрерывную, кроме, быть может, полю-
полюсов) производную. Несколько расширяя это по-
понятие, под моногенноп на множество EcD функцией
ц|=/ (z) обычно понимают такую (однозначную) функ-
функцию, для к-рой существует вс всех точках zo?E и р о-
изводная по множеству ?
j'E(z)=limHz)-Hz°\ B)
2->Z0 Z~Z°
геЕ
Моногенность в смысле Коши, когда E---D, совпадает
с аналитичностью. О. Кошн-развил теорию интегриро-
интегрирования аналитич. функций, доказав важную теорему
о вычетах, Коши интегральную теорему и введя по-
понятие Коши интеграла
выражающего значение аналитич. функции /(z) через
ее значения на любом замкнутом контуре Г, охваты-
охватывающем точку z и но содержащем внутри или на Г
особых точек }{z). Как простейшее интегральное пред-
представление аналитич. функций, понятие интеграла Коши
сохраняется и для функций многих неременных.
Введя комплексные переменные г — .г-\-iy, z = x~iy,
можно записать любую функцию двух переменных х
и у\ w = f(x, y)=--u(x, y)-\-iv{x, у) как функцию от а
и z. Коши—Римана условия, выделяющие среди та-
таких функций аналитические, состоят в том, что функ-
функции w = u(x, y)-\-iv(x, у) должны быть дифференци-
дифференцируемыми по совокупности переменных (х, у), причем
всюду в D должно выполняться равенство
lf = °' D,
или, подробнее, и' = и'„ и' = —v'
л U У X •
Условия D) означают, что действительная и мнимая
части аналитич. функции и(х, у) и v (x, у) должны
быть сопряженными гармоническими функциями. В слу-
случае аналитич. функций многих комплексных перемен-
переменных условия D) должны выполняться по всем пере-
переменным zv, v = l, ..., п.
Для Б. Римана наиболее важным было то обстоя-
обстоятельство, что выделяемая условиями D) аналитич.
функция w—f(z) осуществляет при определенных ус-
условиях конформное отображение области D на нек-
рую другую область на плоскости комплексного пере-
переменного w. Связь аналитич. функций с конформными
отображениями открывает путь для решения ряда за-
задач математич. физики.

Дальнейшее развитие Ф. к. п. т. происходило и про-
происходит прежде всего как углубление и расширение
теории аналитич. функций (см., напр., Граничные за-
задачи теории аналитических функций, Граничные свой-
свойства аналитических функций, Единственности свойства
аналитических функций, Интегральное представле-
представление аналитической функции, Мероморфная функция,
Многолистная функция, Однолистная функция, Целая
функция). Важное значение имеют связанные с ана-
аналитич. функциями проблемы аппроксимации и ин-
интерполирования функций. При этом оказывается, что
в теории аналитич. функций многих переменных спе-
специфика и трудность задач таковы, что они поддаются
решению лишь с привлечением самых современных ме-
методов алгебры, топологии и анализа.
Большое теоретическое и прикладное значение имеет
изучение граничных свойств голоморфных функций, в
частности интеграла типа Коши (см. Коши интеграл),
получаемого из C), когда значения /(?) на контуре Г
задаются совершенно произвольно, его многомерных
аналогов и других интегральных представлений.
Важные для приложений обобщенные аналитические
функции получаются, в своей простейшей форме, как
решения более общего, чем D), уравнения
^r + A (z) w + B(z) w = F (z).
dz
Их основные свойства (в случае одного переменного)
довольно подробно исследованы.
Большое значение для самой теории аналитич. функ-
функций (в частности, для теории римановых поверхностей)
и для приложений имеет изучение квазиконформных
отображений.
Развивается также теория аналитических функций
абстрактных со значениями в различных векторных
пространствах.
Лит.: [1] Привалов И. И., Ввведение в теорию функ-
функций комплексного переменного, 12 изд., М., 1977; [2] М а р к у-
ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1—2,
М., 1967—68; [3] Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В.,
Методы теории функций комплексного переменного, 4 изд.,
М., 1973; [4J В л а д и м и р о в В. С, Методы теории функций
многих комплексных переменных, М., 1964; [5] Ш а б а т Б. В.,
Введение в комплексный анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1976; [6]
Век у а И. Н., Обобщенные аналитические функции, М.,
1959. Е. Д. Соломенцев.
ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, в к-ром
изучаются общие свойства функций. Ф. т. распадается
на две части: функций действительного переменного тео-
теория и функций комплексного переменного теория.
ФУНКЦИОНАЛ — отображение / произвольного
множества X в множество R действительных или С
комплексных чисел. Если X наделено структурой век-
векторного пространства, топологического пространства,
упорядоченного множества, то возникают соответст-
соответственно важные классы линейных, непрерывных, моно-
монотонных Ф.
Лит.: [1] Колмогорова. Н., Фомин С. В.,
Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.,
М., 1981. В. И. Соболев.
ФУНКЦИОНАЛ от марковского процесс а—
случайная величина или случайная функция, завися-
зависящая измеримым образом от траектории марковского
процесса; условие измеримости варьируется в зависи-
зависимости от конкретной ситуации. В общей теории мар-
марковских процессов принимается следующее определе-
определение Ф. Пусть в измеримом пространстве (Е, 33) задан
необрывающийся однородный марковский процесс
Х = (х^, jf-t, Px) с операторами временного сдвига Qt,
и пусть о)\Г — наименьшая из а-алгебр в пространстве
элементарных событий, содержащих любое событие
вида {со: xt ? 33}, где t^sd, В ? 58, a Jf—пересече-
Jf—пересечение всех пополнений еДГ по всевозможным мерам
Рх (х ? Е). Случайная функция yt, i^O, наз. функ-
функционалом от марковского процесса X, если

при каждом t S; 0 величина yt измерима относительно
о-алгебрысЛР/flJFt-
Особый интерес представляют мультипликативные п
аддитивные Ф. от марковских процессов. Первые из
них выделяются условием yt + s~yt'®tVsi вторые — ус-
условием Yf4$~Yf~ffY$i ¦s' '^^ причем функцию Yf
считают непрерывной справа на [0, оо) (с другой сто-
стороны, иногда приходится предполагать эти условия
выполняющимися лили. Рд-почти наверное для любых
фиксированных s, />;0). Соответствующие формули-
формулировки принимаются в случае обрывающихся и неодно-
неоднородных процессов. Примеры аддитивных Ф. от марков-
марковского процесса X — (xt, ?, §~t, Рх) можно получить,
приравняв Yt при t < ? к / (xt) — /(.г„), или к \ ( f(xs)ds,
или к сумме скачков случайной функции / (xs) при
s€ [0> ^L гДе / (х) — ограниченная и измеримая отно-
относительно 93 функция (второй и третий промеры кор-
корректны лишь при нек-рых дополнительных услонпях).
Переход от любого аддитивного Ф. yt к exp Y/ достав-
доставляет пример мультипликативного Ф. В случае стан-
стандартного марковского процесса интересным н важным
примером мультипликативного Ф. служит случайная
функция, равная 1 при t < т и 0 нри/^т, где т — мо-
момент первого выхода X jus нек-рого множества А ? 33,
т. о. T--=inf{i ? [О, ?|:.с, (?/!}.
С .мультипликативными Ф., подчиненными условии)
0<Yf<l- связано одно естественное преобразование
марковского процесса—п ер е х о д к и о д процос с, у.
По переходной функции I'(I, <", И) процесса X —
= (х(, с, §~f, Px) строят новую
причем может оказаться, что Р@, .г, К) < 1 в нек-рых
точках х ? Е. Новой переходной функции в (А1, 33)
соответствует нек-рый марковский процесс X =
=(xf, t,, fj, Px), к-pbjii вместе с исходным можно
реализоват1> на одном и том же пространстве элемен-
элементарных событий с одними и теми же мерами ?х,х?Н,
причем так, что ?<?, ^--•*'/ чрч Oe^l < J и что а-
алгебра ^( является следом о-алгебры ff~t в множе-
множестве {(И'.'С, > I}. Процесс ,V паз. подпроцессом
марковского про ц е с с а X, получаемым в ре-
результате «убивания» пли сокращения времени жизни.
Подпроцесс, отвечающий мультипликативному Ф. из
последнего примера, наа. частью X и а мно-
множестве А; его фазовым пространством естественно
считать не нее (Е, 33), а лишь (А, 33а), гДО 93А —
= {# ?Se:ticzA}.
Аддитивные Ф. Yt ^ 0 порождают другой тип пре-
преобразований марковских процессов — с лучайную
замену времени, к-рая сводится к изменению
времени прохождения различных участков траектории.
Пусть, напр., yt^O — непрерывный аддитивный Ф. от
стандартного марковского процесса X, причем у>/ > О
при t > 0. Тогда У — (Х% , -у^- •> (Ft - ?x) является
стандартным марковским процессом, где Т( =
= sup {s: yssil} при t ? [0, Yg-)- ^Ри этом говорят,
что Y получен из X в результате случайной замены
Хорошо изучены различные классы аддитивных Ф.,
в первую очередь от стандартных процессов.
Лат.: И] JL и и ц с р V. III., Ширяев А. II., Статистика
случайных процессов, М., 1!>74; L2J Д ы и к и к К. В., Основа-
Основания теории марковских процессов, М., 1959; [3] его же,
Марковские процессы, М., 1W>3; 141 1ч с v м ъ 3)., «Trans. Amtr.
Math. Soc», 1970, v. 148, p. 501- H); [fij Bcnvtnislr A.,
Lt Notes Math.», 1413, «\» 321, p. 1—24. M. V. Шур.

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ОТДЕЛИМОСТЬ — свойство
множеств А и В топологич. пространства X, когда су-
существует непрерывная действительная функция / на
X такая, что замыкания множеств f{A) и f(B) (по от-
отношению к обычной топологии действительной пря-
прямой R) не пересекаются. Напр., пространство вполне
регулярно, если всякое замкнутое множество отделимо
от каждого одноточечного множества, с ним не пересе-
пересекающегося. Пространство нормально, если функцио-
функционально отделимы любые два его замкнутые непересе-
непересекающиеся подмножества. Если в пространстве функ-
функционально отделимы каждые два одноточечных (раз-
(различных) множества, то оно наз. ф ункционально
хаусдорфовым. Содержание данных определе-
определений не изменяется, если вместо непрерывных дейст-
действительных функций привлечь непрерывные отображения
в плоскость, в отрезок или в гильбертов кирпич.
Лит.: [1] А р х а н г е л ь с к и Й А. В., Понома-
Пономарев В. И-, Основы общей топологии в задачах и упражнениях,
М., 1974; [2] Келли Дж., Общая топология, пер. с англ.,
2 изд., М., 1981. А. В. Архангельский.
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, произ-
производная Волыерра,—одно из первых понятий
производной в бесконечномерном пространстве. Пусть
/ (у)—нек-рый функционал от непрерывной функции
одного переменного у (х); х0—-нек-рая внутренняя
точка отрезка \хг, х2]; у1 {х)-~- у„ (х)-\-Ьу (х), где вариа-
вариация 6у (х) отлична от нуля в малой окрестности [а, Ь]
точки хв; а— \ by(x)dx. Предел
lim г (у,)-К»,)
а-+0, а-*х0, b->-xa a
в предположении, что он существует, наз. функцио-
функциональной производной функционала / и обо-
обозначается , I _ . Напр., для простейшего функ-
ционала классического вариационного исчисления
Цу)=\ХгР(х,у, у)ах
J Xi
ого Ф. п. имеет вид
67 (у„) I __ dF (у„, у„ (х„), ;)„ (х„)) d F (х„. у(х0), у(х„))
by \x-xa ду dx gy '
т. е. представляет собой левую часть уравнения Эйле-
Эйлера, являющегося необходимым условием минимума
функционала 1(у).
В теоретич. вопросах понятие Ф. п. имеет лишь ис-
торич. интерес и практически вытеснено понятиями
Гато производной и Фреше производной. Однако поня-
тле Ф. п. с успехом применяется в численных методах
классического вариационного исчисления (см. Вариаци-
Вариационное исчисление; численные методы). И. В. Вапнярский.
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА —{множество функ-
функций с нек-рым набором операций, применяемых к этим
функциям и приводящих к получению других функций
из этого множества. Ф. с. являются одним из основных
объектов математич. кибернетики и дискретной мате-
математики и отражают следующие главные особенности
реальных и абстрактных управляющих систем', функ-
функционирование (в Ф. с. это функции), правила построе-
построения более сложных управляющих систем из заданных
и описание функционирования сложных систем по
функционированию их компонент (последние два мо-
момента отражены в операциях Ф. с). Примерами Ф. с.
являются многозначные логики, алгебры автоматов,
алгебры вычислимых функций и др. Ф. с. обладает
определенной спецификой, состоящей в рассмотрении
задач и подходов, возникающих при исследовании
Ф. с. с позиций математич. кибернетики, математич.
логики и алгебры. Так, с позиций математич. кибер-
кибернетики Ф. с. рассматриваются как модели, описываю-
описывающие функционирование сложных кибернетич. систем;

с позиции математич. логики — как модели логик,
т. е. как системы предложений с логич. операциями над
ними; с точки зрения алгебры — как универсальные
алгебры.
Важной особенностью Ф. с, выделяющей их из об-
общего класса универсальных алгебр, является их со-
содержательная связь с реальными кибернетич. моделя-
моделями управляющих систем. Эта связь, с одной стороны,
определяет серию существенных требований, к-рые на-
накладываются на Ф.с, а с другой стороны, порождает
класс важных задач, имеющих как теоретическое, так
и прикладное значение. Проблематика Ф. с. обширна
и имеет много общего с проблематикой многозначных
логик. К числу важнейших задач для Ф. с. относятся
задачи о полноте, о сложности выражения одних функ-
функций через другие, о тождественных преобразованиях,
о синтезе и анализе и другие.
Изучение Ф. с. осуществлялось путем исследования
конкретных модельных Ф. с, среди к-рых одной из
первых изучались двузначная и трехзначная, а затем
и /с-значная логики. Наряду с этими Ф.с. интенсивно
изучаются алгебры автоматов, такие, как Ф. с. функ-
функций с задержками, Ф. с. ограниченно-детерминиро-
ограниченно-детерминированных функций и детерминированных функций, счетно-
значные логики, Ф. с. вычислимых функций, Ф. с.
неоднородных функций и другие.
Вместе с накоплением модельных Ф. с. и изучением
их свойств вырабатывались общие понятия Ф. с, ана-
анализировались Ф. с. с точки зрения решения упомяну-
упомянутых задач для них. В качестве обобщений реальных
Ф. с. могут рассматриваться и универсальные алгеб-
алгебры, однако в этом случае теряются основные досто-
достоинства реальных Ф. с. и прежде всего такие, как кон-
конструктивность множеств и операций и ряд других.
Достаточную общность имеет следующий подход
к пониманию Ф. с. Суть подхода состоит в рассмотре-
рассмотрении в качестве Ф. с. пар вида <2Л, fi>, где ЯЛ является
множеством функций ft-значной или счотно-значной
логики или множеством последовательностных функ-
функций, а также множеством нек-рых ближайших обоб-
обобщений таких функций (напр., частичных или не-
неоднородных функций и т. п.); а в качестве Q выступает
множество в определенном смысле автоматных опера-
операций, к-рые обладают теми нужными свойствами,
какими наделены операции в примерах упомянутых
Ф. с: это и локальность информации о функциях, ис-
используемой при применении операций к функциям, и
вычислимый характер операций, причем вычислимый
в определенном смысле простейшими, т. е. автоматными,
средствами, и конструктивность задании самих опера-
операций и т. п. Само понятие Ф. с. в соответствии с реаль-
реальными Ф.с. распадается на понятия истинност-
истинностной Ф.с. и последовательности© й
Ф. с. В первом случае в паре <ЯЛ, fi> множество ЯЛ со-
состоит из функций многозначной логики, а во втором —
из последовательностных функций, т. о. функций, оп-
определенных на словах. Все реальные Ф. с. оказываются
либо истинностными, либо последовательностными
Ф. с.
Важную роль при изучении Ф. с. играет оператор
замыкания /а, к-рый соответствует Ф. с. <2И, fi>,
если ее рассматривать как частичную универсальную
алгебру. Этот оператор, как и операции из Q, наз.
автоматным. Установлено, что классы автомат-
автоматных и алгебраич. операторов замыкания совпадают.
Отсюда, в частности, следует, что все реальные Ф. с.
являются истинностными или последовательностными
Ф.с. и с формальной точки зрения.
Лит.: [1] Я б л о ы с к и й С. В., «Тр. Матем. ин-ra АН
СССР», 1958, т. 51, с. 5—142; [2] его же, «Научный Совет
АН СССР «Кибернетика». Информационные материалы», 1У70,
J* 5 D2), с. 5—15; [3] е г о же, «Труды международного конгрес-
конгресса математиков», Хельсинки, 1978, с. 963—71; [4] Р о s t E. L.,

Two-valued iterative systems of mathematical logic, Princeton
(N. J.), 1941; [5] Кудрявцев В. Б., Функциональные си-
системы, М., 1982. В. Б. Кудрявцев.
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — гомомор-
гомоморфизм нек-рой алгебры функций А в алгебру L(X)
непрерывных линейных операторов в топологич. век-
векторном пространстве X. Ф. и.—один из основных ин-
инструментов общего спектрального анализа и теории
банаховых алгебр, к-рый позволяет использовать
в этих дисциплинах функционально-аналитич. методы.
Обычно А—топологическая (и частности, нормирован-
нормированная) алгебра функций на нек-ром подмножестве К
пространства С", содержащая многочлены переменных
z1, ...,z" (часто К — плотное подмножество), так что
Ф. и. ф: А —>L(X) является естественным продолже-
продолжением полиномиального исчисления р (z1, ..., z")—*
—> р G\, ..., Тп) коммутирующих операторов Г,- =
= <p(z'), l^i<«; в этом случае говорят, что набор
T = (Tl7 . . ., Тп) допускает А-и счисление, и пишут
4(T)-—j(T) = f(Tx, ..., Тп). ^-исчисление для Г—это
род спектральной теоремы, так как соответствие
а—>• <ф (а) х, х'у, где х ? X, х' ? X*, <•, •> — двойст-
двойственность между X и X*, определяет слабое операторно-
значноо ^-распределение, перестановочное с Т.
Классическое Ф. и. Неймана — Мурье—Данфорда
{А —С (К), X — рефлексивное пространство) приводит
к операторной (проекторной) спектральной мере
6 = 8Г:/(Г1, ..., Т„) =
Ф. и. Рисса—Данфорда (п—1, А - Hoi (а (Т))~- все
функции, голоморфные на спектре 0 (Т) оператора Т)
приводит к формуле
где R (X, T)=~CkI — Т)-1 — резольвента оператора, у —
контур, охватывающий о (Г), вплоть до к-рого регу-
регулярна функция /. Формулы последнего типа для мно-
многих переменных (операторов) зависят от записи линей-
линейного функционала на Но1(сгG1)) и способа определе-
определения совместного спектра а (Т) набора Т = (Т1, ...,Тп)
(от определения а(Т) зависит и объем Ф. п.).
Если Т — спектральный оператор, S и N — ого ска-
скалярная и квазинильпотентная части соответственно, а
/ ? Но1@(Г)), то формула
/ (Г) = У
где 8 — разложение единицы Т, позволяет распростра-
распространить Ф. и. Рпсса — Данфорда для Т на более широкий
класс функций. В частности, если Nm +1 = Ф, то Т
допускает Ф. и. на классе С (а (Т)) m раз непрерывно
дифференцируемых функций. Если Т — оператор ска-
скалярного типа, то в эту формулу можно подставить
ограниченные борелевскио функции на о (Г). В част-
частности, такое Ф. и. допускают нормальные операторы
в гильбертовом пространстве. Верно и обратное: если
оператор Т допускает Ф. и. (для операторов в реф-
рефлексивных пространствах достаточно предполагать су-
существование Ф. и. на классе непрерывных функций),
то Т—спектральный оператор скалярного типа (в гиль-
гильбертовом пространстве — линейно подобный нормаль-
нормальному оператору).
Для операторов с достаточно медленным ростом ре-
резольвенты вблизи спектра построена [5] теория не-
неаналитических С [Мь) — исчислений, опирающаяся на
классы Карлемана C{{Mk}, a(T)) и использующая
формулу
где J—т. н. ^-продолжение функции / аа пределы

спектра о (Г), т. с. финитная С'-функцня в С, для ко-
которой
< const /»гм l (f dist (А,,
32
эдесь
dj l / а/ , . э/
a оператор Г удовлетворяет условию
|| Л (^,, r)||<(ftpftj(dist(^, K)\ In dist Ck,K)\-iy
С другой стороны, более широкие (чем Но1(сгG)) ис-
исчисления возникают как следствия оценок оператор-
операторных многочленов р{Т)\ напр., если X — гильбертово
пространство, то неравенство Неймана — Хайнца
приводит к Ф. и. Сёкефальви-Надя—Фояша (А —алгеб-
—алгебра всех голоморфных и ограниченных в круге {??
?С : |?|<1} функций, Т — сжатие без унитарных
частей), а оно — к многочисленным приложениям
в теории функциональной модели для сжимающих опе-
операторов. Аналог неравенств Неймана — Хайнца для
симметричных пространств функций порождает Ф. и.
в терминах мультипликаторов (соответствующих свер-
точных пространств, [8]).
Применения. Тип Ф. и., допускаемый опера-
оператором Т, является инвариантом относительно линей-
линейного подобия Т—>- V~XTV и успешно используется
для классификации операторов. В частности, построе-
построена обширная теория т. н. /4-скалярных опе-
операторов, применимая ко многим классам операто-
операторов, не укладывающихся в классическую спектральную
теорию. Для успешного использования Ф. и. имеют
значения т. н. теоремы об отображении спектра:
a(f(T)) = f(a(T)),
для всех перечисленных выше Ф. и. такие теоремы
доказаны (после надлежащего осмысления правой
части формулы).
Если алгебра А содержит мелкие разбиения еди-
единицы (напр., А =6'м), то А-Ф. и. позволяет построить
локальный спектральный анализ и, в частности, до-
доказать существование нетривиальных инвариантных
подпространств оператора Т (если а(Т) — не одното.-
чечное множество); пример — оператор Т (в банахо-
банаховом пространстве), спектр которого лежит на глад-
гладкой кривой у, и Soln -|- In + 8(r)tfr<oo, где б(г) =
—max {|| Л (V, Г)||:dist {X, V) Ss rY). Следствием локаль-
локального анализа является и теорема Шилова об идем-
потентах [2].
Лит.: Ш Д а н ф о р д Н., Шварц Дж., Линейные опе-
операторы, пер. с англ., ч. 1, М., 1962, ч. 3, М., 1974; [2] Б у р б а-
к и Н., Спектральная теория, пер. с франц., М., 1972; [3j Wa-
elbroeok L., Etude spectrale des algebres completes Brux.,
1980; [4] T а у 1 о r J. L., «Ada math.», 1970, v. 125, № 1—2,
p. 1—38; [5]Д ынькин E. M., «Записки науч. семин. ЛОМИ»,
1972, т. 30, с. 33—39; [6] v о n Neumann J.,«Math. Nachr.»,
1950/51, Bd 4, S. 258 — 81; [7] С о к е ф а л ь в и-Н а д ь Б.,
Ф о я ш Ч., Гармонический анализ операторов в гильбертовом
пространстве, пер. с франц., М., 1970; [8] П е л л е р В. В.,
«Матем. заметки», 1979, т. 25, Л& в, с. 899—912; L9] С о 1 о j о а-
ra I., F о i a ? С., Theory of generalized spectral operators,
N. Y.— L., 1968; [10] Л ю б и ч Ю. И., М а ц а е в В. И.,
«Матем. сб.», 1962, т. 56, .№ 4, с. 433—6S; [11] Минусин-
Минусинский Я., Операторное исчисление, пер. с польск., М., 1956;
[12] Мае лов В. 11., Операторные методы, М., 1973.
Н. К. Никольский, В. В. Пеллер.
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ОТНОШЕНИЕ — бинарное от-
отношение Л на множестве Л, удовлетворяющее соотно-
соотношению Д-ЬЛсД, где Д — диагональ множества А.
Это означает, что из (а, Ъ) ? Л и {а, с) ? Л следует,

что Ь = с, т. е. каждому а ? А, стоящему на первом
месте, соответствует не более одного Ъ ? А на втором
месте в паре из R. Таким образом, отношение Л опре-
определяет (быть может, не всюду определенную) функцию
на множестве А. При выполнении соотношения
Л~1оД = Д эта функция всюду определена и взаимно
Однозначна. О. А. Иванова,
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение
(линейное или нелинейное), в к-ром неизвестным яв-
является элемент какого-либо банахова пространства,
конкретного (функционального) или абстрактного, т. е.
уравнение вида
Pi*) = V, A)
где Р (х) — нек-рый, вообще говоря, нелинейный
оператор, переводящий элементы пространства X
типа В в элементы пространства Y того же типа. Если
Ф. у. содержит еще и числовой (или общий функцио-
функциональный) параметр X, то вместо A) пишут
Р(х; Х) = у,
где х?Х, y?Y, Х?Л, Л — пространство параметров.
Уравнениями вида A) являются конкретные или
абстрактные дифференциальные уравнения, обыкновен-
обыкновенные и с частными производными, интегральные урав-
уравнения, интегро-дифференциальные уравнения, функ-
функционально-дифференциальные и более сложные урав-
уравнения математич. анализа, а также системы алгебраич.
уравнений, конечные и бесконечные, уравнения в ко-
конечных разностях и др.
В линейном случае рассматриваются Ф. у. 1-го рода
Ах=у и 2-го рода х—ХАх=у, где А — линейный опе-
оператор из X в Y, а X — параметр. При этом формально
Ф. у. 2-го рода может быть записано в виде уравнения
1-го рода Тх=у(Т=1—кА). Однако выделение тож-
тождественного оператора / оказывается целесообразным,
так как оператор А может обладать лучшими свойст-
свойствами, чем оператор Т, что позволяет полнее исследо-
исследовать рассматриваемое уравнение.
Ф. у. рассматриваются также и в др. пространствах,
напр, в пространствах, нормированных элементами
полу упорядоченных пространств.
Если решения Ф. у. являются элементами прост-
пространства операторов, то такие Ф. у. наз. оператор-
операторными у р а в н е н и я м и (о. у.), конкретными или
абстрактными. Здесь также могут быть алгебраич.
о. у., линейные и нелинейные, дифференциальные,
интегральные и другие о. у. Напр., пусть в нормиро-
нормированном кольце [X] = [X-»-X] линейных операторов,
переводящих пространство X типа В в себя, рассмат-
рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение
на бесконечном промежутке 0<:А,<:оо:
|*---Лх (=~хА), *@) =--*«, B)
где А, хо?[Х], х(Х) — абстрактная функция со зна-
значениями в банаховом пространстве [X]. Это уравнение
является простейшим абстрактным линейным диффе-
дифференциальным о. у., оно получается, напр.. из примене-
применения прямого метода вариации параметра к построению
операторов вида />(.4)=е-Л\ 0<Л<оо, в частности
проекторов Р(А)([Р (А)\^=Р (А)) с единичной нормой.
Проекторы вида Р(А), Р(АС) и Р(СА), С?\Х], при-
применяются, напр., при построении прямым методом
вариации параметра явных и неявных исевдообратных
операторов и псевдорешений линейных Ф. у., а также
собственных элементов (собственных подпространств)
оператора А. Сведение различных задач к задачам для
уравнения B) и др. является весьма удобным при раз-
разработке приближенных методов решения. Интерес
представляют также о. у. вида
^ l)), x@) = x0,

где А (?„), F(K) — абстрактные функции со значениями
из \Х\, н др. линейные и нелинейные о. у.
В нск-рых задачах, связанных с дифференциальными
и др. уравнениями, приходится исследовать линейные
алгебраич. о. у. вида Ах-\-хВ — у и подобные им. Здесь
х — искомый. & А, В, у — заданные линейные опера-
операторы, принимающие, быть может, и нулевые значения.
Под Ф. у. в узком смысле этого слова понимают урав-
уравнения, в к-рых искомые функции связаны с извест-
известными функциями одного или нескольких переменных
при помощи операции образования сложной функции.
Напр., пусть ф,-(ж), г=1, 2, . . ., и,— заданные функ-
функции и C;(x)=f{x, С,, С2, . . ., CV, где У — произволь-
произвольные постоянные. Исключение С,- из п+1 уравнения
вида
V(yv(x))-^f(<pv(x), СиСг, ..., Сп),
v-d, 1, 2, ..., п, фо (*)=*>
приводит к Ф. у. вида
F[x, W(x), Ч'(щ{х)), ?(ф2(х)), ..., Чг(фп(х))]^0, C)
к-рое будет иметь решение У (х) .=--f (x, Ct. Сг, . . ., Сп).
Построение Ф. у. представляет собой прямую за-
задачу функционального исчисления, аналогичную с,оп-
с,определением производных высшего порядка в дифферен-
дифференциальном исчислении.
Исключение С,- из ге+1 уравнения вида
4v + i{x) = f{V(x), С,, С,, ..., Сп), v==0, 1, 2, ..., п,
У°(х)-^х. V1 (х)^Ч' (х), V-(j;)-4rDrl(a:)), •••,
приводит к Ф. у. вида
F[z, <F (s), ?3(ж), ..., <P" + 1B:)] = 0, D)
имеющему решение W(x) = f(x, С,, С2, . . ., С„).
Иногда Ф. у. различаются по порядкам и классам.
Под порядком уравнения подразумевается
порядок искомой функции, входящей в уравнение,
а под классом уравнения — число данных
ф5'нкций, к k-рым применяется неизвестная функция.
Так, уравнение C) является Ф. у. 1-го порядка и
(п + 1)-го класса. Уравнение D) является Ф. у. (re-f-l)-ro
порядка и 1-го класса.
Соотношения C) и D) являются тождествами отно-
относительно .г, уравнениями их называют постольку,
поскольку искомой является функция У (х).
Уравнешш C) и D) являются Ф. у. с одним незави-
независимым переменным. Могут рассматриваться Ф. у.
с несколькими независимыми переменными, Ф. у.
дробных порядков и др., а также системы совместных
Ф. у. При этом Ф. у. или системы Ф. у. могут содержать
в себе большее число существенных, существенно раз-
различимых между собой переменных, чем искомая функ-
функция с максимальным числом переменных.
К системам Ф. у. приходят, напр., при определении
произвольных функций, входящих в интегралы урав-
уравнений с частными производными и удовлетворяющих
условиям задачи. Если в интеграл входит п произ-
произвольных функций, то, подчиняя их п условиям, полу-
получают п совместных Ф. у. Системы Ф. у. в нек-рых слу-
случаях удобно записываются в более краткой записи
в виде векторного или матричного Ф. у.
Ф. у. можно также рассматривать как выражение
свойства, характеризующего тот или иной класс функ-
функций [напр., Ф. у. f(x)=f(—х) (/(—x)r——f(x)) характе-
характеризует класс четных (нечетных) функций; Ф. у. /(ж+
-\-\)=j[x) — класс функций, имеющих период 1, и
т. д.].
Одними из простейших Ф. у. являются, напр.,
уравнения Коши
/(z + 2/)--/(*) + /(!/), f(x-\-y)=f(x)l(y),
f(xy)--f(x) + f(y), f(xy)=f(x)f(y),
f

непрерывные решения к-рых имеют соответственно
вид (в классе разрывных функций могут быть и др.
решения):
/ (х) = Сх, ес*, С In х, Xе (х > 0).
Ф. у. E) могут служить средством для определения
указанных функций при дополнительном требовании
непрерывности. Рассматриваются также обобщенные
Ф. у. Коши относительно трех и более неизвестных
функций и др., а также Ф. у. в комплексной области.
Ф. у. вида F(f(x), f(y), f(x+y)) = O и вида ФЦ(х),
f(y), f(xy))=O носят название соответственно тео-
теорема сложения и теорема умноже-
умножения функции j(t). Простейшими Ф. у., в к-рых
искомая функция зависит от двух переменных, явля-
являются, напр., уравнения
ф(*, У) + Ч{У, г) = ф(*, z) и (f(x, y)<p (у, z)-^(f(x, z),
решения к-рых имеют соответственно вид
Ч(У, z) = ^(y)-'?(z) и ф(х, у)^
где *F — произвольная функция.
Лит.: [1] Канторович Л. В., Акилов Г. П.,
Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [2] Рисе Ф.,
Сёкефальви-Надь Б., Лекции по функциональному
анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979; [3] Д а в и д е и-
к о Д. Ф., п кн.; Математическое программирование и смежные
вопросы. Вычислительные методы, М., 1976, с. 187—212; [4]
Канторович Л. В., «Успехи матем. наук», 1956, т. 11,
в. 6, с. 99—116; [5] Д а в и д е н к о Д. Ф., в кн.: Теория ку-
батурных формул и вычислительная математика, Новосиб.,
1980, с. 59—65; [6] Д а л е ц к и й Ю. Л., К р е й н М. Г.,
Устойчивость решении дифференциальных уравнений в банахо-
банаховом пространстве, М., 1970; [7] Энциклопедия элементарной ма-
математики, кн. 3, Функции и пределы, М.—Л., 1952; [8]
А цель Я., «Успехи матем. наук», 1956, т. 11, в. 3, с. 3—68;
[9] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. 1, 7 изд., М., 1989.
Д. Ф. Давиденко.
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ; методы
решения — методы нахождения точных или при-
приближенных решений функциональных конкретных или
абстрактных уравнений, т. е. уравнений вида
^ (•*) = </, A)
где Р(х) — нек-рый, вообще говоря, нелинейный опе-
оператор, переводящий элементы пространства X типа В
(или другого типа) в элементы пространства Y того же
типа (см. Функциональное уравнение). Точные решения
в виде аналитич. выражений получаются лишь для не-
немногих типов Ф. у., поэтому особое значение имеют
приближенные методы решения.
Для нахождения решений общих Ф. у. вида A)
развит ряд методов, напр. метод бесконечных степен-
степенных рядов, метод последовательных приближений,
метод Галеркина (метод моментов), метод касательных
гипербол, метод Чебышева (касательных парабол),
метод Ньютона — Канторовича и его модификации,
метод наискорейшего спуска и др., а также методы
вариации параметра (прямые, итерационные и комби-
комбинированные) определенных типов и их различные мо-
модификации, в том числе и с последовательной аппрок-
аппроксимацией обратного оператора. Общие методы приме-
применяются к решению различных конкретных Ф. у. мато-
матич. анализа. Кроме того, существуют специальные
методы решения конкретных Ф. у., в том числе и чис-
численные методы, напр, метод сеток и др. Метод вариа-
вариации параметра, метод Ньютона — Канторовича и
нек-рые др. из указанных методов имеют также и тео-
ретич. значение, так как с их помощью можно делать
заключение о существовании, единственности и об-
области расположения решения Ф. у., не находя самого
решения, что подчас не менее важно, чем фактич. зна-
знание решения. Ниже в качестве примера рассматри-
рассматривается прямой метод вариации параметра.
Пусть в банаховом пространстве [Х]=[Х -*- X]
линейных ограниченных операторов задано нелиней-

ное операторное обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение на бесконечном промежутке
^хA-Ах){ = A~хА)х), х@)=х0, B)
где А , х„, 1?[Х] (А , х0 — заданные, / — тождественный
оператор), х(X) — абстрактная функция со значениями
из [Х\ (X — пространство типа В). К решению урав-
уравнения B) приводится прямым методом вариации пара-
параметра задача построения обратного оператора А~х для
обратимого оператора А, решение линейного опера-
операторного уравнения вида /—Л.г=0 и др. задачи. Если
спектр оператора А х0 (хеА) расположен в правой по-
полуплоскости, то задача B) имеет единственное реше-
решение х(к), x@)=x0, VA?[0, оо).
Аналитич. применение к задаче Коши B) методов
численного интегрирования обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений приводит к целому классу пря-
прямых методов вариации параметра решения оператор-
операторного уравнения B), а следовательно, и решения тех
задач, к-рыо сводятся к задаче B). Напр., метод Эй-
Эйлера с неравномерным шагом hk приводит к следующе-
следующему методу построения оператора А ~1:
~Axk) (-\-hk (/— хкА) ik),
А = 0, 1, 2 ... C)
Шаги hk в формуле C) выбирают различными спосо-
способами. Когда спектр оператора /—Л.г„ (/—хиА ) распо-
расположен на действительной оси в интервале [—р0, 0],
О<Ро<°°, весьма эффективным является следующий
способ выбора шагов hk:
* = 0, 1, 2, ..., hk + 1--=ihk/(l+hkf.
При этом быстрота сходимости метода C) имеет поря-
порядок выше, чем 2*, норма невязки убывает по закону
Pfe + i =- Р*'4 A-hPft). Случай интервала [0, р0], 0 < ро< 1,
выгодно сводится к рассмотренному одним шагом
метода C) при
fe-1/(l-p0), Ро-Ро/4A~р„).
Относительно сходимости метода C), D) для кон-
конкретных операторных уравнении можно высказать
на основании общих фактов те или иные результаты
в зависимости от того, какое пространство борется за
основу.
К решению задачи B) сводятся также задача по-
построения проекторов вида
Р(Аха) (
[случай, когда спектр оператора /—Ах0 A—гаА) рас-
расположен в интервале [—р0, 1]] и задача построения
псевдообратных операторов x+(hx) для оператора А
таких, что
1 — Ах+=Р(А.г<,), I— '¦ хА--Р (х0А), х+-^4х.
Для непосредственного построения проеЕ«торов Р(Ахй)
(Р (.г0А)) метод C), D) можно переписать в виде
Pk + i = Pk + bkPk(Pk-Ih А-=0 1 2 .,
В зависимости от расположения спектра и свойств
оператора А в качестве х0 выбирают, напр., операторы
/, А, А* или др.
К абстрактному линейному функциональному обык-
обыкновенному дифференциальному уравнению @<Х<оо)
^¦^хо(Ь-Ау), ,(/(О) = 2/о, E)
где Ъ, Ув?Х, х0, А?\Х], у(К) — абстрактная функция
со значениями в X, сводится прямым методом вариации

параметра задача непосредственного построения псев-
псевдорешений у+ линейных Ф. у. вида
Ъ — Ау+=Р(Ахо)(Ь — Аув) F)
или Ф. у. Ь— Ау + =0, если Р (Ахо) (Ь— Ауо)=О. К за-
задаче E) сводятся также и др. задачи, в том числе за-
задачи для дифференциальных уравнений обыкновен-
обыкновенных и с частными производными, интегральные урав-
уравнения и др. Формула
дает единственное решение уравнения E), удовлетво-
удовлетворяющее условию у(О)=уо.
Применение к задаче E), напр., метода Эйлера
с шагом А^ 4-1 вперед приводит к следующему методу
построения псевдорешений у+ Ф. у. F):
Ук + i =yk + h + ixo(b~ Ayk), к — 0,1,2,... G)
Шаги hk + 1 выбирают, напр., через корни многочле-
многочленов Чебышева T)
tj-_-cos[Bxy — l)n/2N], / = 1, 2, ..., N, (8)
когда x0A—самосопряженный операторе ненулевой
частью спектра на отрезке [т., М], 0 < т.<М, Р^ =
— (•Ли щ, ..-, хдг) — нок-рое упорядочение чисел
1, 2, ..., N для устойчивости счета, N—порядок тре-
требуемого многочлена. Метод G), (8) даот оптимальную
оценку сходимости только на /V-м шаге. При N~2l
(или и 2') весьма эффективным является выбор шагов
в G) последовательно через корни многочленов
Чебышева
Ti(t)-Ta(t), T±(t), Ti(t), T2(t), T2(t), ...
вместо многочлена T^(t), что существенно упрощает
задачу упорядочения шагов hj и повышает эффектив-
эффективность счета, особенно при больших N. В этом случае
погрешность оптимально уменьшается после употреб-
употребления всех упорядоченных корней каждого много-
многочлена, что важно для упрощения контроля счета.
В случае, если Р (Ах0) (Ь —Ауо) = 0, то Р (хоА)Х
X (у+ — Уо) = 0; при этом, если Р (х„А)—ортопроектор,
то J/+— Уо является нормальным решением Ф. у.
А (у+— уо) = Ь — Ау0. С другой стороны, из G) вы-
вытекает
Ь— Ayk + i = Uk + i(b— Ау0), c/fc + i = H1-=1 G~hiAxo),
fc=0, I, 2, ...
При этом, если Р (Ах0) — проектор, то
при к—* оо (Я = (УМ-У
Существуют также прямые методы вариации пара-
параметра типа метода Эйлера, использующие рекуррент-
рекуррентные соотношения для многочленов Чебышева и близ-
близких к ним (без явного использования корней этих
многочленов), с убыванием погрешности на каждом
шаге. Эти методы являются многошаговыми и обладают
повышенной быстротой сходимости. Применение к за-
задаче E) метода Эйлера с шагом h^ + i назад дает следую-
следующий эффективный класс методов
— Ay0),
откуда

При этом, если Р (Ах0) — проектор и Л,->0 такие,
что для любого i
| Wh-P (Ахо)\\ < П* Р1 > 0.
'—' k-кх
Существуют аналогичные методы и для решения нели-
нелинейных Ф. у. и операторных уравнений, а также ме-
методы с повышенно!; степенью точности типа методов
Рунге — Кутта s-ro порядка точности и др. типов.
Решении Ф. у. в узком смысле этого слова и систем
таких уравнений могут быть как конкретными функ-
функциями, так и классами функций, зависящих от произ-
произвольных параметров или произвольных функций.
В теории Ф. у. известно мало общих методов решения
таких уравнений. Поэтому в каждом частном случае
необходимо, как правило, исследовать степень общ-
общности полученного решения.
Одним из более или менее общих методов решения
Ф. у. является метод сведения их к решению уравне-
уравнений в конечных разностях. Пусть, напр., имеется Ф. у.
re-го порядка и 1-го класса вида
F(x, <р(х), tp2(z), ..., <р»(*)) = 0, (9)
где функция F задана, функция (f(x) — искомая;
<р°(х)=х, ф1(ж) = ф(ж), ф3(ж) = ф(ф(ж)), ...
При этом полагают x~uz, Ф (x) = uz + \. Здесь переход
от х к ф (х) заменяется введением нового переменного
z и изменением z на 1 в функции и2. После такой за-
замены уравнение (9) принимает вид
F(uz, иг + 1, ..., иг + „) = 0. A0)
Решение уравнения A0) в конечных разностях га-го
порядка дает выражение для иг через z и п произ-
произвольных периодич. функций С,- от z с периодом, рав-
равным единице. Решение Ф. у. (9) в самом общем виде
представляется системой двух совместных уравнений
uz=x = f{z, Съ С2, . . ., Сп), \
Выбирая в качестве С, их частные значения, можно из
A1) исключить z и получить таким образом частное
решение уравнения (9). Напр., для Ф. у. 2-го порядка
ф[ф(г)]+аФ(г) + &.г = 0 A2)
общее решение A1) принимает вид
= x----Ct Xl + Cj?, I
где kt ii К„ — корни квадратного уравнения Я2-|-оХ+
-[-6=^0, t'j й С2 — произвольные постоянные периодич.
функции с периодом, равным единице. Если для С1
и С2 дать значение произвольных постоянных и ис-
исключить z из A3), то получается полное решение
Ф. У- A2):
Метод сведения к уравнениям в конечных разностях
применяется также и при решении прямых задач
функционального исчисления. Пусть, напр., задана
функция ф(л)=а + Ьж и пусть требуется построить вы-
выражение ф" (х) (ф' (х) = <р (ф' (ж))). При этом полагают
ф" (х) =¦- ип и записывают уравнение в конечных раз-
разностях ип + 1— а~\-Ьип, решением к-рого является
ип = СЬ"-\-а/A— Ь). Отсюда при ге = 0 получают ио =
= x = C-\-aj{i—Ь), т. е. С = х — о/A — Ь). Таким образом,

Здесь же при желании можно записать и Ф. у. вида
Ф" (х) — р„_1ф (ж) + а„_!, решением к-рого при любом
п является ф (х) и др. Решая ото Ф. у. тем же методом,
можно построить и др. значения ф (х). В частности,
для нечетных п получается еще одно действительное
решение ф (х) — —bx-\-a(i-\-b)l(i—b).
Для решения Ф. у. применяется также метод под-
подстановок. Пусть, напр., имеется Ф. у.
f(x + y) + f(x~y) = 2f(x)cosy. A4)
Применяя последовательно подстановки
х = 0, y-^-t; x=± + t, y = ^\ * = -?, u = y + 1'
из A4) получают соответственно уравнения
(—0^26 cos (^--\-t\ = —
где обозначено f(O)—a, /(л/2) = Ь. Отсюда путем вы-
вычитания из суммы первых двух уравнений третьего
уравнения получают 2/(?) = 2а cos t-\-2b sin I. Общим
решением исходного Ф. у. A4) является функция
/(ж)=а cos x-\-b sin x. Этот метод применим также
и к др. уравнениям типа
H[f(x+y), f(x-y), f(x), x, y]=0
при нек-рых предположениях относительно функции
Н. К уравнениям других типов применяются различ-
различные другие подстановки.
Метод подстановок применяется и для сведения од-
одних Ф. у. к другим уравнениям того же типа, в част-
частности к Ф. у. с известными решениями. Напр., Ф. у.
i{(x + y)l2) = f(x)l2 + f(y)l2 A5)
может быть приведено к Ф. у. Кошм
(y) A6)
с непрерывным решением f(x)=Cx. С этой целью под-
подставляют в A5) х-\-у вместо ? и 0 вместо у:
Сравнивая это с исходным Ф. у. A5), получают Ф. у.
вида f(x+y)=f(x)+f(y)—a, откуда y{x+y)=tp(x)-{-
-\-<р(у), ф(ж)=/(х)—а и <р(х) = Сх. Решением является
функция f(x)=Cx-\-a.
Для сведения к другим Ф. у. того же тина применяют
также логарифмирование и др. приемы. Напр., реше-
решение Ф. у.
путем логарифмирования можно свести к решению
Ф. у. A6). Непрерывная функция j(x), удовлетворяю-
удовлетворяющая Ф. у. A7), всегда строго положительна, а функция
<р(ж)—In f(x) — непрерывна (как результат суперпо-
суперпозиции непрерывных функций) и удовлетворяет условию
ф(ж+г/)=ф(ж)+ф(г/), у(х)=Сх. Решением является
функция }(х)—еСх=ах.
Во многих случаях для решения Ф. у. применяется
также метод сведения их к дифференциальным урав-
уравнениям. Напр., Ф. у. A4) можно свести к уравнению
вида f" (х) — —f(x). К этому уравнению сводятся и дру-
другие Ф. у. Этот метод-дает лишь решения, принадлежа-
принадлежащие классу дифференцируемых функций. Решение,
напр., Ф. у. Коши A6) при условии дифференцируе-
дифференцируемое™ функции f(x) можно найти следующим образом.
Дифференцируя A6) по х, получают /' (x-\-y)=f (x),
и так как у здесь произвольное, то /' (х) = С. Тогда
интегрирование дает f(x)—Cx-\-Ci, где Сх — новая
постоянная. Подставляя найденное выражение для
f(x) снова в Ф. у. A6), устанавливают, что при всех

значениях х и у должно быть С1—0. Решением явля-
является функция }(х) = Сх.
Для решения Ф. у. в ряде случаев применяют также
и метод итераций.
Лит.: [1] Канторович Д. В.. «Тр. Матом, ин-та
АН СССР», 1949, т. 28, с. 104—44; [г] Красносель-
Красносельский М. А. и др., Приближенное решение операторных
уравнений, М., 1969; [3] С а м а р с к и й А. А., Введение в
теорию разностных схем, М., 1971; [4] Бахвалов Л. С,
Численные методы, 2 изд., М., 1975; [5] Д а в и д е н к о Д. Ф.,
в кн.: Приближенные методы решения операторных уравнении
в их приложения, Иркутск, 1982, с. 71—83; 16] Мертвец о-
ва М. М. «Докл. АН СССР», 1953, т. 88, №4, с. ?11 —14;
[7] НечснуренкоМ. И., «Успехи матом, наук» 1954,
т. 9, в. 2, с. 163—70; [8] Тамме Э. Э., «Докл. АН СССР»,
1955, т. 103, № 5, с. 769—72; [9] М ы с о в с к и х И. П.,
«Вестн. Лепишр. ун-та», 1953, №11, с. 25—48; L101 Д а в и-
денк о Д. Ф., в кн.: Совещание по программированию и ма-
тем- методам решения физических задач, Дубна, 1974, с. 542—48;
[11] Бельтюков Б. А., «Ж. вычисл. матем. и матем.
физ.», 1965. т. 5, № 5, с. 927—31; [12] Ваарманн О., «Изв.
АН Эст. ССР», 1971, т. 20, Mi 4, с. 386—93; [13] Давидом-
к о Д. Ф., в кн.: Теоретические и прикладные проблемы вычис-
вычислительной математики, М., 1981, с. 61—63; [14] Л и в е н-
аов А. И., «Матем. сб.», 1876, т. 8, в. 1, с. 80—160; [15J С и н-
аов Д. М., «Изв. физ.-матем. об-ва Казанск. ун-та», 1903,
сер. 2, т. 13, № 2, с. 46—72. Д. Ф. Давиденко.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — часть совре-
современного математического анализа, основной целью
к-роп является изучение функций y=f(x), где, по край-
крайней мере, одна из переменных х, у меняется по беско-
бесконечномерному пространству. В самых общих чертах
такое изучение распадается на три части: 1) введение и
изучение бесконечномерных пространств как таковых;
2) изучение простейших функций, а именно, когда х
бесконечномерно, а у одномерно (такие функции носят
название функционалов, откуда и произошло название
«Ф. а.»); 3) изучение общих функций указанного типа —
операторов. Наиболее полно изучены линейные функ-
функции X^x\->f (x)=y? Y — линейные операторы. Их тео-
теория является по существу обобщением линейной ал-
алгебры на бесконечномерный случай. Для методов Ф. а.
характерно объединение подходов класепч. анализа
и алгебры, что приводит к установлению связей между
на первый взгляд весьма отдаленными разделами мате-
математики .
Ф. а. как самостоятельная математич. дисциплина
аачал складываться на рубеже 19 и 20 вв. и оконча-
окончательно оформился в 20—30 гг. этого столетия, с одной
стороны, под влиянием изучения конкретных классов
линейных операторов — интегральных операторов и
связанных с ними интегральных уравнений, а с дру-
другой — под влиянием чисто внутреннего развития со-
современной математики с ее желанием обобщить и тем
самым осознать истинную природу тех или иных за-
закономерностей. Огромное влияние на развитие Ф. а.
имела также квантовая механика, так как ее основные
понятия, например энергия, оказались линейными
операторами в бесконечномерных пространствах (к-рые
физики вначале не вполне строго интерпретировали
как бесконечномерные матрицы).
1. Понятие пространства. Наиболее общими прост-
пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются тополо-
топологические векторные пространства. Так называется
векторное (линейное) пространство X над полем ком-
комплексных чисел С1 (или каким-либо другим полем,
напр, действительных чисел R1), к-рое одновременно
является и топологич. пространством, причем линей-
линейная структура и топология согласованы в том смысле,
что линейные операции непрерывны в рассматриваемой
топологии. В частности, если X — метрич. простран-
пространство, то возникает метрическое векторное пространство.
Более частная, однако очень важная, ситуация воз-
возникает, когда в векторном пространстве X аксиомати-
аксиоматически вводится понятие нормы ||.т|| (длины) векторов
х?Х. Векторное пространство с нормой наз. норми-
нормировании м п р о с т р а и с т в о м. Оно метри-

зуемо. Метрика р в нем вводится формулой: р(х, у)=
=\\х—у\\. Векторное пространство с нормой назы-
называется банаховым пространством, если оно полно от-
относительно указанной метрики.
В огромном количестве задач возникает ситуация,
когда в векторном пространстве X можно ввести ска-
скалярное произведение (х, у) для любых двух его векторов,
обобщающее обычное скалярное произведение в трех-
трехмерном пространстве. Пространство, наделенное ска-
скалярным произведением, наз. предгильбертовым, оно
является частным случаем нормированного простран-
пространства. Если это пространство полное, то оно называется
гильбертовым пространством.
В Ф. а. изучаются бесконечномерные
и р о с т р а и с т в а, т. е. такие пространства, в к-рых
существует бесконечное множество линейно независи-
независимых векторов.
С гсометрич. точки зрения наиболее простыми явля-
являются гильбертовы пространства Х-=11, свойства к-рых
больше всего напоминают свойства конечномерных
пространств благодаря возможности ввести через ска-
скалярное произведение понятие, аналогичное углу между
двумя векторами. В частности, два вектора х, у g H
наз. ортогональными (х J_ //), если (х, у) = 0. В Нспра-
Нсправедлив следующий результат: пусть G—подпростран-
G—подпространство II. Тогда для любого вектора х ? Н существует
его проекция ха на G, т. е. такой вектор ха ? G, что
х—Xq ортогонально любому вектору из G. Благодаря
атому факту большое число геометрич. конструкций,
имеющих место для конечномерных пространств, пере-
переносится на гильбертовы пространства, где они часто
приобретают аналитич. характер.
Геометрич. вопросы резко усложняются при поре-
ходе от гильбертовых пространств к банаховым и тем
более к общим топологическим векторным пространст-
пространствам в связи с невозможностью ортогонального проек-
проектирования в пих. Напр., в пространстве 1р(р~^1) век-
векторы е„ = @,0, . . ., 0,1,0,0,. . .) образуют базис в том
смысле, что для каждого вектора х^1р справедливо
«покоординатное» разложение:
*- п =
_ , хпеп
Построение базиса в пространстве С[а, Ь] ужо намного
сложнее; вместе с тем базисы удавалось строить в ка-
каждом из известных примеров банаховых пространств.
Возникла проблема: возможно, базис существует в ка-
каждом банаховом пространстве? Эта проблема, несмотря
на усилия многих математиков, не поддавалась реше-
решению более 40 лет и лишь в 1972 была решена отрицатель-
отрицательно (см. [23]). В Ф. а. важное место занимает «геоме-
«геометрическая» тематика, посвященная выяснению свойств
различных множеств в банаховом и других простран-
пространствах, напр, выпуклых, компактных (последнее озна-
означает, что и:! всякой последовательности точек такого
множества Q можно выделить подпоследовательность,
сходящуюся к точке из Q) и т. п. Здесь часто просто
формулируемые вопросы имеют весьма нетривиальные
решения. Эта проблематика тесно связана с изучени-
изучением изоморфизма пространств, с нахождением универ-
универсальных представителей в том или ином классе про-
пространств.
Детально изучены конкретные функциональные про-
пространства, т. к. свойства отих пространств обычно
определяют характер решения задачи, получаемого
методами Ф. а. Примером могут служить т. н. вложе-
вложения теоремы для Соболева пространств Wl (G), G c= R»
и различные их обобщения.
В связи с запросами современной математич. физики
возникло большое количество конкретных пространств,
в к-рых естественно ставятся задачи и изучение к-рых
весьма существенно.

Эти пространства обычно строятся из исходных при
помощи нек-рых конструкций. Вот наиболее употре-
употребительные из этих конструкций в простейших вари-
вариантах.
1) Образование ортогональной суммы
00
Д — ff) Нпгильбертовых пространств Нп, п = \, 2,..., —
конструкция пространств II по пространствам //„,
подобная образованию II по одномерным простран-
пространствам.
2) Переход к фа к тор пространств у:
в векторном пространство X задастся вырожденное
скалярное произведение (х, у) (т. с. для тф{) возможно
равенство (х, х)=0); гильбертово пространство Н об-
образуется пополнением X относительно (• , •), после
предварительного отождествления с 0 тех векторов,
для к-рых (х, х)=0.
3) Образование тензорного п р о п з и о д <;-
п
ния (>?) //,— аналогичное переходу от функции од-
/-1
ной переменной / {х}) к функциям многих переменных
f (хг, xi7 ..., хп); сходная конструкция применяется и
для бесконечного числа сомножителей; рассматри-
рассматриваются также симметричные или антисимметричны!!
тензорные произведения, состоящие п случае функций
из функций многих переменных, обладающих этими
свойствами.
4) О б р а з о в а н и е и р о о к т н в ц иго предела
X банаховых пространств А*а, где а про-
пробегает нек-роо множество индексов А: по определению,
X— П Ха; топология в X, грубо говоря, задается
ае А
сходимостью хп—*х, к-рая означает, что \\хп — х\\—^0
по норме каждого Ха.
5) Образован н е и п д у к т и и н о г о п редела
X банаховых пространств Ха: по определе-
определению, Х= (J Ха, топология в X, грубо говоря, задается
аб А
сходимостью хп —>• х, к-рая означает, что все хп лежат в
нек-ром Ха и по норме этого пространства \\хп — х\\ —>¦ 0.
6) Интерполяция — образование но двум про-
пространствам Х1 и Х„ «промежуточных» Ха, где а?A, 2),
напр, построение по W^G) и W'~(C) пространств
Wa (G) с дробной производной а ? A, 2).
Процедуры 4), 5) обычно применяются при построе-
построении топологических векторных пространств. Среди та-
таких пространств отметим весьма важный класс т. н.
ядерных пространств, каждое из к-рых строится как
проективный предел гильбертовых пространств На,
обладающих тем свойством, что для каждого а ? А
найдется Р ? А такое, что Яр <= На и оператор вложе-
вложения //р 3 х—уХ € На- — оператор Гильберта — Шмидта
(см. ниже п. 3).
Разработан большой и важный раздел Ф. а., в к-ром
изучаются топологические и нормированные векторные
пространства с введенной аксиоматически структурой
полуупорядоченности, обладающей естественными свой-
свойствами (цолуупорядоченные пространства).
2. Функционалы. В Ф. а. существенную роль играет
изучение непрерывных функционалов и линейных функ-
функционалов; их свойства тесно связаны со свойствами ис-
исходного пространства X.
Пусть X — банахово пространство, X'— совокуп-
совокупность линейных непрерывных функционалов на нем;
X'— векторное пространство относительно обычных
операций сложения функций и умножения их на чис-
число, оно становится банаховым, если ввести норму

Пространство Л" носит название сопря-
сопряженного к X.
Если X конечномерно, то всякий линейный функ-
функционал имеет вид
где Xj — координаты вектора х при разложении по не-
некоторому базису, a aj — числа, определяемые функцио-
функционалом. Оказывается, что такая же формула имеет место
и б случае, когда X — Н — гильбертово (теорема
Р и с с а), именно, в этом случае 1(х)--=(х, а), где
а — нек-рый вектор ияН. Эта-формула показывает, что
в случае гильбертова пространства сопряженное к нему
по существу с ним совпадает.
В случае банахова пространства ситуация гораздо
сложнее: можно строить Х"-—(Х'), X'" — (X")', ...
и эти пространства могут оказаться все различными.
Вместо с тем всегда существует канонич. вложение X
в X", а именно, каждому х ? X можно сопоставить
функционал Lx, полагая Lx (I) — I (х), 1? X'. Прост-
Пространства, для к-рых X" — X, наз. рефлексивными.
Вообще, в случае банахова пространства непростым
является даже вопрос о существовании нетривиальных
(т. о. отличных от 0) линейных функционалов. Этот
вопрос легко решается в положительном смысле с по-
помощью Хана—Банаха теоремы.
Сопряженное пространство X' в известном смысле
«лучше» исходного X. Так, напр., и X' можно ввести,
наряду с нормой, другую (слабую) топологию, к-рая
в терминах сходимости означает, что 1п—>1, если
1п (х) —>¦ I (х) для каждого х ? X. В этой топологии
шар из X' будет колшактным (чего никогда не будет для
бесконечномерных пространств относительно топологии,
порождаемой нормой). Это обстоятельство дает возмож-
возможность более детально изучить ряд геометрич. вопросов
для множеств из сопряженного пространства (напри-
(например, установить структуру выпуклых .множеств и т. п.).
Для ряда конкретных пространств X сопряженные
пространства X' могут быть найдены. Однако для боль-
большинства банаховых и в особенности топологических
векторных пространств функционалы являются эле-
элементами новой природы, не выражающимися просто
средствами классич. анализа. Элементы сопряженного
пространства носят название обобщенных функции.
Для многих вопросов Ф. а. и его приложений су-
существенную роль играют тройки пространств Ф'=3//=2
=!Ф, где Н — исходное гильбертово пространство,
Ф — топологическое векторное пространство (в част-
частности, гильбертово с другим скалярным произведени-
произведением), а Ф'— сопряженное ему пространство, элементы
к-рого можно понимать как обобщенные функции.
Само пространство Н носит тогда название оснащен-
оснащенного гильбертова пространства.
Изучение линейных функционалов на X во многом
способствует более глубокому пониманию природы
исходного пространства X. С другой стороны, в боль-
большом количестве задач возникает необходимость изу-
изучать общие функции А' 5 *" -*¦ I(х)?С, т. е. нелинейные
функционалы, в случае бесконечномерного X. Так как
шар в таком пространстве X некомпактен, то их изу-
изучение часто связано с существенными трудностями,
хотя, напр., такие понятия, как Д1;фференцируемость
f(x), ее аналитичность и т. п. легко обобщаются. Мож-
Можно рассматривать совокупность функций ХЭ^Н>/ (х)?
^С1, обладающих определенными свойствами, как
повое топологическое векторное пространство функций
«бескопечного числа переменных». Такие функции
также появляются при конструировании бесконечных
тензорных произведений (>?) //„ пространств функций
П — 1

от одной переменной. Изучение подобных пространств,
операторов в них и т. п. связано с потребностями кван-
квантовой теории поля (см. [22]).
3. Операторы. Главными объектами изучения в Ф. а.
являются операторы Х^Я-^/М^У, где X, Y — топо-
топологические векторные (большей частью нормированные
или гильбертовы) пространства, прежде всего линей-
линейные операторы.
В случае конечномерных X и Y из линейности опе-
оператора следует, что он имеет вид
где xv х2, . . ., хм— координаты вектора X в нек-ром
базисе, (Ах)-,, ... , {Ах)м— аналогичные координаты
вектора у~Ах. Таким образом, в конечномерном слу-
случае каждому линейному оператору А в фиксирован-
фиксированных базисах в X и в У соответствует матрица
через к-рую А выражается просто. Изучение линей-
линейных операторов в этом случае является предметом
линейной алгебры.
Положение резко усложняется при переходе к бес
конечномерным (даже гильбертовым) X и Y. Здесь
прежде всего возникают два класса операторов: не-
непрерывные, для к-рых функция X^xh+Ax^Y непре-
непрерывна (их также называют ограниченными, так как
непрерывность оператора в случае банаховых прост-
пространств эквивалентна ограниченности его), и неограни-
неограниченные, где такой непрерывности нет. Операторы пер-
первого типа более простые, однако второй тип чаще встре-
встречается, так, дифференциальные операторы именно вто-
второго типа.
Наиболее изучен важный, в частности для квантовой
механики, класс самосопряженных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве Н.
С самосопряженными операторами тесно связаны
другие классы операторов в И (т. н. унитарные
операторы, нормальные оператора), к-рые также хо-
хорошо изучены.
Из общих фактов, касающихся ограниченных опе-
операторов, действующих в банаховом пространстве X,
можно выделить построение операционного исчисления
аналитич. функций от них. Именно, резольвен-
резольвентой оператора А наз. оператор Йг=(А —zl)~x,
где / — единичный оператор, a z^C1. Точки г, для
к-рых обратный оператор (A— zl)~l существует, наз.
регулярными точками оператора А, до-
дополнение к множеству регулярных точек наз. спект-
спектром s (А) оператора А. Спектр всегда не пуст и со-
содержится в круге |z|<||/4 II; собственные значения
оператора А, разумеется, входят в s{A), но спектр,
вообще говоря, ими не исчерпывается. Если /(г) —
аналитич. функция, определенная в окрестности s(A),
а Г — нек-рый замкнутый контур, охватывающий
s(A) и входящий в область аналитичности /(z), то по-
полагают
и наз. f(A (функцией от оператора. Если
/(г) — многочлен, то f(A) получается простой заменой
z в этом многочлене на А. Соответствие /(г)н»/(Л) обла-
обладает важным свойством гомоморфизма:
(A), (fg) (A) = f(A)g(A).
Таким образом, при определенных условиях на А
можно определить, например, еА, sin A, У А и т.п.
Среди специальных классов операторов, действую-
действующих, в банаховом пространстве X, наиболее важную

роль играют т. н. вполне непрерывные операторы или
компактные операторы. Если А компактен, то уравне-
уравнение вида х—Ах—у(у?Х —заданный, х?Х — иско-
искомый векторы) хорошо изучено. Для него справедливы
аналоги всех фактов, имеющих место для линейных
уравнений в конечномерном пространстве (т. н. тео-
теория Фредгольма). Для компактных операто-
операторов А исследованы условия, обеспечивающие полноту
в X системы собственных и присоединенных векторов
А, т. е. возможность приближения любого вектора из
X линейными комбинациями собственных и присоеди-
присоединенных векторов, и т. п. Вместе с тем даже для ком-
компактных операторов возникают естественно формули-
формулируемые вопросы, с трудом поддающиеся доказатель-
доказательству (напр., теорема о том, что у всякого такого опера-
оператора существует отличное от 0 и всего X инвариантное
подпространство G, т. е. такое G, что AG^G; в конечно-
конечномерном случае существование G тривиально следует
»з непустоты спектра).
Спектр компактного А дискретен и может сгущаться
лишь к 0. В соответствии со скоростью его приближе-
приближения к 0 выделяются важные подклассы класса компакт-
компактных операторов. Так, весьма часто встречаются Гиль-
Гильберта — Шмидта оператортд. Если А — оператор в
H = L2(G), то он — оператор Гильберта — Шмидта тог-
тогда и только тогда, когда он интегральный и его ядро
К (t, s) суммируемо с квадратом по двум переменным.
Подробно изучены также компактные Вольтерра опе-
операторы. Изучались также спектральные операторы, для
к-рых имеется аналог разложения единицы Е {X) и
т. п. (см. |8]).
4. Банаховы алгебры и теория представлений. На
ранних этапах развития Ф. а. изучались задачи, для
постановки и решения к-рых необходимы были лишь
линейные операции над элементами пространства.
Одним из мощных приемов в математике является
представление абстрактных математич. объектов бо-
более простыми. Так, напр., спектральную теорему
можно интерпретировать как представление самосо-
самосопряженного оператора в виде оператора умножения
измеримых функций нек-рого класса на независимую
переменную. Если рассмотреть умножение функции
того же класса на борелевские функции, то получают
представление коммутативного нормального кольца
операторов в гильбертовом пространстве. Более общий
пример представления доставляет нам одна из главных
теорем теории коммутативных банаховых алгебр.
Пусть А—коммутативная банахова алгебра, для
простоты с единицей, т. е. банахово пространство,
в к-ро~м определена коммутативная и ассоциативная
операция умножения элементов х-у, х, у ? А, и пусть
норма удовлетворяет условию |] ху ||< ||я|Н1 у ||- Пусть,
далее Ой — множество всех максимальных идеалов.
Тогда в ЗЛ можно так ввести локально компактную
топологию, что каждый элемент х ? А отобразится
в комплекснозначную непрерывную функцию х(т),
т ? 3JI, причем сумме х-\-у и произведению х-у соот-
соответствует сумма х {т)-\-у {т.) и произведение х (т)-у (т)
соответствующих функций (см. [7]). В некоммутативном
случае теория представлений наиболее полно изучена
для т. н. алгебр с инволюцией (см. Банахова алгебра).
Значительно полнев теория представлений развита
для топологич. групп.
5. Нелинейный Ф. а. Одновременно с развитием и
углублением понятия пространства шло развитие и
обобщение понятия функции. В конечном счете при-
пришли к необходимости рассматривать отображения (но
обязательно линейные) одного пространства в другое.
Одной из центральных задач нелинейного Ф. а. яв-
является изучение таких отображений. Как и в линейном
случае, отображение пространства в числа (действитель-
(действительные или комплексные) наз. функционалом. Для нели-

нейных отображений (в частности, нелинейных функ-
функционалов) можно различными способами определить
понятие дифференциала, производной по направле-
направлению и т. д., аналогичные соответствующим понятиям
классического математического анализа (см. [11],
[13], [15]).
Важной задачей нелинейного Ф. а. является задача
отыскания неподвижных точек отображения (см. [11],
[13], [15]).
При изучении собственных векторов нелинейного
отображения, содержащего параметр, возникает су-
существенное для нелинейного анализа явление — т. н.
ветвления точки (см. [15]).
При исследовании неподвижных точек и точек вет-
ветвления широко используются тополошч. методы: обоб-
обобщения на бесконечномерные пространства теоремы
Врауэра — Воля о существовании неподвижных то-
точек отображений конечномерных пространств, индексы
отображений и т. п.
6. Применение Ф. а. в математической и теоретиче-
теоретической физике. Ниже указано, в каких разделах матема-
тич. физики применяются те или иные главы Ф. а.
1) Спектральная теория операто-
операторов — во всех теориях квантовой физики: в кванто-
квантовой теории п тел, квантовой теории поля, квантовой
статистич. физике. Кроме этого, спектральная теория
применяется при изучении моделей динамич. систем
в классич. механике, при изучении линеаризованных
уравнений гидродинамики, при исследовании гиббсов-
ских полей и т. д.
2) Теория рассеяния — в квантовой фи-
физике. Следует отметить, что современная математич.
теория рассеяния первоначально возникла в физике.
В последнее время теория рассеяния (обратная задача)
получила много применений при интегрировании мо-
модельных нелинейных уравнений математической фи-
физики.
3) Банаховы алгебры — в квантовой
теории поля, особенно т. н. аксиоматич. теории поля,
при изучении различных интегрируемых моделей
квантового поля и статистич. физики. В этих вопро-
вопросах используются также алгебры Неймана.
4) Теория возмущений, главным образом
теория возмущений линейных опе-
операторов,— почти во всех областях математич. фи-
физики: в квантовой теории поля, статистич. физике,
равновесной и неравновесной (особенно при исследо-
исследовании т. н. кинетич. уравнений, сложных спектром
многочастичных систем и т. д.).
5) Функциональное интегрирова-
интегрирование и меры в функциональных про-
пространствах — в конструктивной квантовой тео-
теории поля и в квантовой статистич. физике.
6) Различные интегральные пред-
представления (теорема Рисса, теорема Крейна —
Мильмана, теорема Шоке и др.) — в аксиоматич. кван-
квантовой теории поля, в статистич. физике.
7) Векторные пространства (главным
образом гильбертовы) — в квантовой теории, в ста-
статистич. физике.
8) Обобщенные функции — везде в мато-
матич. физике, как важный аналитич. аппарат.
Лит.: [1] А х и е з о р Н. И., Г л а а м а н И. М., Теория
линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М.,
1966; [2] Банах С, Курс функционального анализу, Кшв,
1948; [3]Березанский Ю. М., Разложение по собственным
Функциям самосопряженных операторов, К., 1У6Ь; [4] Бур-
баки Н., Топологические векторные пространства, пер. с
франц., М., 1959; [5] В у л и х Б. 3., Введение в теорию полу-
полуупорядоченных пространств, М., 1961; [6] Г е л ь ф а н д И. М.,
Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними,
М., 1958; [7] Гельфаид И. М., Р а Й к о в Д. А., Ш и-
л о в Г. Е., Коммутативные нормированные кольца, М., 1960;
1-8]Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные операто-
операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; их же, Линейные

операторы. Спектральная теория. Самосопряженный операторы
и гильбертовом пространстве, пер. с англ., М., 1966; их же,
Линейные операторы. Спектральные операторы, пер. с англ.,
М., 1974; [9] Иосидя К., Функциональный анализ, пер.
с англ., М,, 1967; [10] Канторович Л. В., Функциональ-
Функциональный анализ и прикладная математика, «Успехи матем. наук»,
1948, т. 3, в. 0, с. 89 —185; [11] К а н т о р о в и ч Л. В.,
А кил о в Г. П., Функциональный анализ в нормированных
пространствах, М., 1959; [12] Кириллов А. А., Элементы
теории представлений, 2 изд., М., 1978; [13] Колмого-
Колмогоров А. П., Фомин С. В., Элементы теории функций и
функционального анализа, 5 изд., М., 1981; 111] Красно-
Красносельский М. Л., Топологические методы в теории нелиней-
нелинейных интегральных уравнений, М., 1956; [151 Л ю с т е р-
ник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального
анализа, 2 изд., М., 1965; [16] Н а й м а р к М. А., Линейные
дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [17] его же,
Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [18] Рид М., Сай-
Саймон Б., Методы современной математической физики, пер. с
англ., т.], М., 1977; [19] Рисе Ф., Секефальви-
Н а д ь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц.,
2 изд., М., 1979; [20] Соболев С. Л., Некоторые применения
функционального анализа в математической физике, Новосиб.,
1962; [21] X и л л е Э., Ф и л л и п с Р., Функциональный
анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; [22]
Шварц А. С., Математические основы квантовой теории по-
поля, М., 1975; [23] Э н ф л о П., «Математика», 1974, т. 18, № 1,
С. 146—55. Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — опре-
определитель, элементами к-рого являются функции. Ф. о.
определенных видов играют важную роль в математич.
анализе. Прежде всего это относится к якобианам и
вронскианам. Понятие якобиана существенно исполь-
используется при изучении дифференцируемых отображений
областей евклидовых пространств R", ге^2, при за-
замене переменного в кратных интегралах, при выясне-
выяснении условий, когда система уравнений определяет не-
неявную функцию или когда система заданных функций
зависима, и т. п. Понятие вронскиана широко приме-
применяется в теории линейных обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений. л д Кудрявцев.
ФУНКЦИЯ — одно из основных понятий матема-
математики. Пусть заданы два множества X и Y и каждому
элементу х?Х поставлен в соответствие элемент
;/?У, к-рый обозначен через J(x). В этом случае гово-
говорят, что на множестве X задана функция / (а также —
что переменная у есть функция переменной .г, или что
у зависит от х) и пишут f : X ->- Y.
В античной математике идея функциональной за-
зависимости не была явно выражена и не являлась само-
самостоятельным объектом исследования, хотя и был из-
известен широкий круг конкретных систематически изу-
изучавшихся функциональных соответствий. В зачаточной
форме понятие Ф. появляется в трудах ученых в сред-
средние века, но лишь в работах математиков 17 в., и преж-
прежде всего у П. Ферма (P. Fermat), P. Декарта (И. Des-
Descartes). И. Ньютона (I. Newton) и Г. Лейбница (G. Lei-
Leibniz), это понятие стало оформляться как самостоя-
самостоятельное. Термин «Ф.» впервые появился у Г. Лейб-
Лейбница. Для задания Ф. использовались геометрич.,
аналитич. и кинематич. концепции, но постепенно
стало превалировать представление о Ф. как о нек-ром
аналитич. выражении. В четкой форме это было сфор-
мулированс в 18 в.; И. Бернулли (J. Bernoulli) принад-
принадлежит определение, что «функцией переменной вели-
величины... называется количество, составленное каким
угодно способом из переменной величины и постоян-
постоянных». Л. Эйлер (L. Euler), приняв это определение,
написал в своем курсе анализа, что «весь анализ беско-
бесконечно малых вращается вокруг переменных величин и
их функций» [1]. У Л. Эйлера появился уже и более
общий подход к понятию Ф. как зависимости одной
переменной величины от другой. Эта точка зрения
получила свое дальнейшее развитие в трудах Ж. Фу-
Фурье (J. Fourier), Н. И. Лобачевского, П. Дирихле
(P. Dirichlet), Б. Больцано (В. Bolzano), О. Коши
(A. Cauchy), где стало выкристаллизовываться пред-
представление о Ф. как о соответствии между двумя число-

выми множествами. Так, в 1834 Н. И. Лобачевский [2]
писал: «Общее понятие функции требует, чтобы функ-
функцией от х называть число, которое дается для каждого
х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции
может быть дано или аналитическим выражением, или
условием, к-рое подает средство испытывать все числа
и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость мо-
может существовать и оставаться неизвестной». Опреде-
Определение Ф. как соответствия между двумя произвольны-
произвольными (не обязательно числовыми) множествами в 1887 бы-
было сформулировано Р. Додекинцом (R. Dedckind) |3].
Понятие соответствия, а следовательно, и понятие
Ф., иногда сводится к другим понятиям (множеству [4],
отношению [5] или несколько другим теоретико-мно-
теоретико-множественным и логико-математич. концепциям [6]), а
иногда принимается за первичное, неопределимое
понятие [7], поскольку, как это выразил, напр., А. Чёрч
(A. Church): «В конечном счете понятие функции —
или какое-либо сходное понятие, напр., понятие клас-
класса,— приходится считать первоначальным, или неопре-
неопределимым» [8].
Ниже рассматривается понятие Ф., основанное на
понятии множества и простейших операций над мно-
множествами .
Говорят, что число элементов множества А равно 1,
или что множество А состоит из одного элемента, если
в нем имеется элемент а и нет других (иначе говоря,
если после вычитания из множества А множества {а)
получается пустое множество). Непустое множество А
наз. множеством из двух элементов или парой:
А = {а, Ь], если после вычитания из него множества,
состоящего только из одного элемента я?Л, останется
множество, к-рое также состоит из одного элемента
Ь?/1 (это определение не зависит от выбора указан-
указанного элемента а?А).
Если задана пара А = {а, Ь), то пара {а, {а, Ь}} наз.
упорядоченной парой элементов а?А
и Ь?А и обозначается (а, Ъ). Элемент а?А наз. ее
первым элементом, а элемент Ь?А — вторым.
Если заданы множества X и У, то множество всех
упорядоченных иар (х, у), х?Х. ;/?>*, наз. произ-
произведением множеств X 'л У и обозначается
через XXY. При этом не предполагается, что обяза-
обязательно множество X отлично от множества У, т. е.
возможен случай, когда X = Y.
Всякое множество /= {(.г, у)} упорядоченных пар
(х, у), х?Х, y?Y, такое, что для любых пар (х , (/')€/
и (х", y")?f из условия у'фу" следует, что х'Фх",
на.ч. функцией, или, что то же самое, о т о б р а-
ж с н и е м.
Наряду с терминами «Ф.» и «отображение» употреб-
употребляются равнозначные им в определенных ситуациях
термины «преобразование», «морфизм», «соответствие».
Множество всех первых элементов упорядоченных
пар (х, у) нек-рой функции / наз. областью определения
(или множеством определения) этой функции и обоз-
обозначается Xj, а множество всех вторых элементов об-
лаетъю значений (множеством значений) м обозна-
обозначается Yf. Само множество упорядоченных пар /=
={(х, у)}, рассматриваемое как подмножество произве-
произведения ХХУ, наз. графиком функции /.
Элемент .xg Xj наз. аргументом Ф. или н е-
зависимой п е р е м е н н о и, а элемент у ? У —
зависимой переменно^?.
Если / = {(.г, у)} есть функция, то пишут f:Xj-—>¦ У
и говорят, что / отображает множество А"^ в множе-
множество У. В случае X~Xf пишется просто f:X—>¦ У.
Если f:X—>Y — Ф. и (х, у) ? /, то пишут y=f(x)
(иногда просто y = fx, или у = х{), а также j:x\—»г/,
х € ^-1 У 6 ^i и говорят, что Ф. / ставит в соответствие
элементу х элемент у (отображение / отображает эле-
элемент х в элемент у) или, что тоже самое, элемент у

соответствует элементу х. В этом случае говорят также,
что элемент у является значением Ф. / п точке х, или
образом элемента х при отображении /.
Наряду с символом / (х0) для обозначения аначе-
шш Ф. / и точке ха употребляется также обозначение
Иногда сама функция / обозначается символом / (.г).
Обозначение Ф. }:Х—>Y и ее значения в точке х?Х
одним и тем же символом / (х) обычно не приводит
к недоразумению, так как в каждом конкретном слу-
случае, как правило, всегда бывает ясно, о чем именно
идет речь. Обозначение / (.г) часто оказывается удобнее
обозначения f:x\—> у яри вычислениях. Напр., запись
f(x) = x2 удобнее и проще использовать при аналитич.
преобразованиях, чем запись f:x\—>хъ.
При заданном у ? Y совокупность всех таких эле-
элементов х ? X, что / (х) = у ная. прообразом эле-
элемента у и обозначается f~1(y). Таким образом,
Очевидно, если у? Y\Yf, то /-1 (у) — 0.
Пус-ть задано отображение /:Х—>¦ У. Иначе говоря,
каждому элементу х ? X поставлен в соответствие и
притом единственный элемент у ? Y, и каждый элемент
у ? YfClY поставлен в соответствие хотя бы одному
элементу х ? X. Если У = X, то говорят, что отобра-
отображение / отображает множество X в себя. Если
У = Yf, т. е. множество У совпадает с множеством
значений функции /, то говорят, что / отображает
множество X на м н о ж с с т в о У, или что отобра-
отображение / является с ю р ъ е к т и в н ы м отображе-
отображение м, короче сюръещией. Таким образом, отображе-
отображение /:Х—>У есть сюръекцпя, если для любого эле-
элемента у ? У существует, по крайней мере, один такой
элемент х ? X, что f(x) — y.
Если при отображении /:Х—> У разным элементам
х ? X соответствуют разные элементы у ? У, т. е. при
х' Ф х" имеет место / (х') ф f (х"), то отображение / наз.
взаимно однозначным отображением X
в У, а также однолистным отображением,
или инъекцией. Таким образом, отображение f:X—>Y
однолистно (инъективно) тогда п только тогда, когда
прообраз каждого элемента у принадлежащего множе-
множеству значений функции /, т. е. у ? Yf, состоит в точ-
точности из одного элемента. Если отображение f:X—>¦ У
является одновременно взаимно однозначным и на
множество У (см. Взаимно однозначное соответствие),
т. е. является одновременно инъекцией и сюръекцией,
то оно наз. биективным отображением, или
биекцией.
Если f:X —> У и А а X, то множество
S-={y:y?Y, y = f(x), x?A},
т. е. множество всех тех у, в каждый из к-рых при отоб-
отображении / отображается хотя бы один элемент из под-
подмножества А множества X, наз. образом под-
подмножества А и пишется S=[(A). В частности,
всегда Yf=f(X). Для образов множеств АсХ и ВаХ
справедливы следующие соотношения
f (A)\f (B)df (A\B),
а если AdB, то f(A)czf(B).
Если / : X —i- Y и SdY, то множество
наз. прообразом множества 5 и пишут
A = f~1(S). Таким образом, прообраз множества S
состоит из всех тех элементов х ? X, к-рые при ото-
отображении / отображаются в элементы из S, или, что

то же самое, к-рсе состоит из всех прообразов эле-
элементов у ? S:f~l (S) ----- у;/ s s f~l (#)¦ Для прообразов
множеств 5 с У и Т <z У справедливы соотношения
а если S с Т. то I'1 (S) а /-' G').
Если A CZ X, то функция /:Х—<¦ У естественным
образом порождает функцию, определенную на мно-
множестве А, ставящую в соответствие каждому элементу
х ? А элемент / (х). Эта функция наз. сужением
функции / на множество А и иногда обозначается fA.
Таким образом, fj:A —*Y и для любою х ? А имеет
место fA:x\—=> / (х). Если множество А не совпадает
со множеством А", то сужение fA функции / на мно-
множестве А имеет другую область определения, чем
функция /, и, следовательно, является другой, чем /,
функцией.
Если /:Х—>¦ У и каждый элемент у ? Yj представ-
представляет из себя множество каких-то элементов у ? {г},
причем среди этих множеств имеется но крайней мере
одно непустое' множество, состоящее не из одного эле-
элемента, то такая Ф. / наз. многознач}1ой функцией. При
этом элементы множества )(x) — {z} часто наз. значе-
значениями Ф. / в точке х. Если каждое множество / (х),
х ? X, состоит только из одного элемента, то Ф. / наз.
также о д н о з н а ч н о и ф у н к ц и е й.
Если /:Х—«-У и g:Y—*Z, то Ф. F:X—>-Z, опре-
определенная для каждого х ? X формулой F (x)---g (/ (х)),
наз. к о м п о з и ц и ей (су п е р и о з и ц и е й) функ-
функций / и g, nsm сложной функцией, и обозначается g о /.
Пусть задана Ф. /:Х—*У и У/— множество ее зна-
значений. Совокупность всевозможных упорядоченных
пар вида (у, /-1 (у)), у ? У у, образует Ф., к-рая наз.
обратной функцией для Ф. / и обозначается j~l. Об-
Обратная функция /-1 ставит н соответствие каждому
элементу ;/ ? Yf его прообраз f~l (у), т. е. нек-рое
множество элементов. Тем самым обратная Ф. является,
вообще говоря, многозначной функцией. Если отобра-
отображение f:X—>¦ У однолистно, то обратное отображение
является однозначной функцией и отображает множе-
множество значений Ф. Уf на ее область определения X.
Числовые функции. Важным классом Ф. являются
ч и с л е н н о з н а ч н ы е функции /: X —*¦ У, У с С,
где С — множество всех комплексных чисел. Над чис-
леннозначными функциями можно производить различ-
различные арифметич. операции. Если даны две числешю-
значные Ф. / и g, определенные на одном и том же
множестве X, а Я — нек-рое число, то Ф. Xf определяется
как Ф., принимающая в каждой точке х ? X значе-
значение Xf (х); Ф. f-\-g — как Ф., принимающая в каждой
точке значение f (x)-\-g (х); Ф. fg—как Ф., прини-
принимающая в каждой точке значение / (х) g [x); наконец,
fig — как Ф., в каждой точке х ? X равная ---
8W
(что, конечно, имеет смысл лишь при g (x) ф 0).
Ф. j:X—^R наз. действительнозначной
функцией (R — множество действительных чисел).
Действителыюзннчная функцмя j:X—> У наз. огра-
ограниченной сверху (ограниченной снизу)
на множестве X, если множество ее значений ограни-
ограничено сверху (ограничено снизу). Иначе говоря, Ф.
f:X—^R ограничена сверху (ограничена снизу) па
множестве X, если существует такая постоянная с, что
для каждого х?Х выполняется неравенство f(x)sg^c
(соответственно неравенство f(x)^c). Ф. /, ограни-
ограниченная на множестве X как сверху, так и снизу, низ.
просто ограниченной на этом множестве. Верх-
Верхняя (нижняя) грань множества значений функции
f:X—> R наз. верхней (нижней) гранью
функции /.

Большую роль в математич. анализе играют чис-
числовые функции, или, более подробно, численно-
значные функции числового аргумента, т. е. Ф. / : X -*¦
-*¦ Y, где ХаС, YczC. Если множество определения
функции и множество ее значений являются подмно-
подмножествами множества действительных чисел, то такая
Ф. паз. действительной функцией, или,
более подробно, действительной функцией действитель-
действительного аргумента. Обобщением понятия числовой Ф.
является, прежде всего, численнозначная функция
нескольких числовых аргументов — т. н. ч и с л о-
в ы е функции многих переменных.
Дальнейшее обобщение числовых функций составляют
векторнозначные функции (см. Вектор-функция) и
вообще Ф., множества определений и значений к-рых
наделены определенными структурами. Напр., если
множества значений Ф. принадлежат к нек-рому век-
векторному пространству, то такие Ф. можно складывать,
если к кольцу — то их можно складывать и умножать,
если к множеству, в к-ром имеется определенного рода
упорядоченность,— то в этом случае можно на функции
обобщить понятия ограниченности числовых функции,
верхней и нижней граней и т. п. Наличие топологич.
структур на множествах X и У позволяет ввести поня-
понятие непрерывной функции / : X —>¦ У. В случае когда
X и Y — топологические векторные пространства для
Ф. / : X ->- Y, вводится понятно дифференцируемой
функции.
Способы задания функций. Числовые Ф. (и нек-рые
их обобщения) могут задаваться с помощью формул.
Такой способ их задания наз. а н а л и т и ч е с к и м.
Для этого используется нек-рын яанас изученных и
специально обозначенных Ф. (прежде всего, алемен-
тарных Ф.), алгебраич. действия, композиция и пре-
предельный переход (что включает в себя такие операции
математич. анализа, как дифференцирование, интег-
интегрирование, суммирование рядов1!, напр.:
— ах-\-Ь, у = ах2, у — 1 -|- ]/"ln cos 2n
а (г)-- У L
=1 nz
P l с) ——
г и (,¦*•/ — 2nn\ dx" '
Класс функции, представимых в определенном смысле
в виде сумм рядов, даже одних только тригонометри-
тригонометрических, очень широк. Аналитически Ф. могут зада-
задаваться явным образом, т.е. формулами вида у=}(х),
а также и как неявные функции, т. о. уравнениями вида
F (х, 2/)=0. Иногда функция задается с помощью не-
нескольких формул, напр.,
( 2х, если х > О,
/ (х) = | 0, если ж —О, (*)
I х—1, если х < 0.
Ф. может быть задана также с помощью описания
соответствия. Пусть, напр., каждому числу j>0
поставлено в соответствие число 1, числу 0 — число О,
а каждому х<0 — число — 1. В результате получают
функцию, определенную на всей числовой оси и при-
принимающую три значения: 1, 0, —1. Эта Ф. имеет спе-
специальное обозначение sign x. Другой пример: каж-
каждому рациональному числу поставлено в соответствие
число 1, а каждому иррациональному — число 0.
Полученная функция наз. Дирихле функцией. Одна и
та же Ф. может быть задана различными способами,
так Ф sign х и функция Дирихле могут быть опреде-
определены не только с помощью словесного описания, но и
формулами.

Всякая формула является символич. записью нек-
рого ранее описанного соответствия, так что в конце
концов нет принципиального различия между заданием
функции с помощью формулы или с помощью словес-
словесного описания соответствия; это различие чисто внеш-
внешнее. Следует иметь в виду, что всякая вновь определен-
определенная тем или иным способом Ф., если для нее ввести
специальное обозначение, может служить для опреде-
определения других Ф. с помощью формул, включающих
этот новый символ. Однако при аналитич. задании Ф.
весьма существенным является запас Ф. и операций,
используемых в формулах, задающих данные Ф.;
обычно этот запас стараются сделать по возможности
минимальным, а входящие в него Ф. и операции выб-
выбрать в определенном смысле наиболее простыми.
Когда речь идет о действительных функциях одного
действительного аргумента, то для наглядного пред-
представления о характере функциональной зависимости
часто строятся графики Ф. на координатной плоскости,
иначе говоря, для Ф. / : X -»- R, XcrR, на плоскости
переменных х и у рассматривается множество точек
Рис. 1.
Рис. 'I.
(х, f{x)), x?X. Так, график Ф. (*) имеет вид. изобра-
изображенный на рис. I. график Ф. sign х — на рис. 2, а гра-
график Ф. (/=1-|- у In cos 2nx, состоящий из отдельных
точек, на рис. 3. Графич. изображение Ф. также может
служить для задания функциональной зависимости.
Ото задание будет прибли-
приближенно, потому что измере-
измерение отрезков практически
.... можно производить лишь
i с определенной стеновые
Рис. 3.
-4-3-2-10 i 2 3 4 х точности, не говоря ужо о
том, что когда область оп-
определения Ф. ноограниче-
на, то ее принципиально
невозможно нарисовать на
координатной плоскости.
Широко используется также табличный метод зада-
задания числовых Ф. либо в виде готовых таблиц значений
Ф. в определенных точках, либо посредством введения
этих данных в машинную память, либо путем составле-
составления программ для их вычисления на компьютерах.
Классификация числовых функций. Простейшими
числовыми Ф. являются элементарные функции, среди
к-рых следует выделить алгебраич. многочлены, три-
гонометрич. полиномы, а также рациональные функции.
Особая роль этих Ф. состоит в том, что один из методов
изучения и использования более общих Ф. основан на
приближении их алгебраич. многочленами, тригоно-
метрич. полиномами или рациональными Ф., а также
Ф., составленными из указанных Ф. определенным об-
образом (см. Сплайн). Раздел теории Ф., занимающийся
изучением аппроксимаций Ф., посредством наборов
простых в каком-то смысле Ф., паз. приближения тео-
теорией. В этой теории большое значение имеют также
приближения Ф. посредством агрегатов, составленных

из специальных Ф., являющихся собственными функ-
функциями нек-рых операторов.
Важный класс, содержащий в себе рациональные
Ф., составляют аналитические функции, т. е. Ф.,
представимыо в виде степенных рядов. Аналитич. Ф.
делятся на алгебраические функции, т. е. такие Ф.
y=f(x1, . . ., т„), к-рые могут бьш. заданы уравнением
Р(х^, . . ., ,г„, ;/)=0, где р — неприводимый много-
многочлен с комплексными коэффициентами, и трансцендент-
трансцендентные, т. е. не являющиеся алгебраическими. С понятием
производной связаны классы определенное число ра.ч
дифференцируемых Ф., с понятием интеграла — клас-
классы интегрируемых в том или ином смысле Ф., с поня-
понятием непрерывности — класс непрерывных Ф. С по-
помощью последовательного поточечного предельного
перехода из класса непрерывных Ф. получаются Бэра
классы функций (см. также Борелевская функция). На
понятиях измеримого множества и меры базируется
определение измеримых функций. Раздел теории Ф.,
изучающий свойства Ф., связанные с понятием меры,
обычно наз. метрической теорией функций.
При объединении Ф., обладающих нек-рыми общими
свойствами, возникают функциональные пространства.
Так, все Ф., определенные на одном и том же множестве
X n-мерного евклидова пространства R" и, напр.
измеримые но Лебегу, соответственно непрерывные
или удовлетворяющие Гёльдера условию данного по-
порядка, образуют векторные пространства. Аналогично
векторные пространства составляют пространства т
раз (непрерывно) дифференцируемых Ф., иг = 1, 2,
. . ., бесконечно дифференцируемые Ф., финитные <!>.,
аналитич. Ф. и мн. другие классы Ф.
В ряде векторных пространств Ф. можно цвести
норму. Напр., в пространстве непрерывных на ком-
компакте X функций f:X-->-C нормой является функ-
функционал || /||— sup |/(-r)|; нормированное пространство
А'6 X
непрерывных функций с этой нормой обозначается
С (X). Если в пространстве измеримых Ф. f:X- ->-C,
определенных на пространстве (X, ©, \\), где X —
нек-рое множество, © — нек-рая <т-ялгеГ>ра его поддшо-
жеств, а и.—мера, определенная на множествах Л?®,
положить
i{\y\t
'""'' I supvrai \j(x)\, если р _-(-«=,
то функционал || /1|^ на множестве <[>., для к-рых
||/|!^,<+оо, является нормой. Пространство Ф. с та-
такой нормой обычно наз. лебеговым и р о с т р а н-
с т в о м функции Lp (X). Из других функцио-
функциональных пространств, играющих важную роль в мате-
матич, анализе, следует отмстить Гёльдерово простран-
пространство, Никольского пространство, Орлича простран-
пространство, Соболева пространство. Все эти пространства
являются полными метрич. пространствами, что в
большой степени и обусловливает изучение мн. задач
как самой теории Ф., так и задач из смежных разде-
разделов математики в атих пространствах и пек-рых их
обобщениях. Связи между различными нормами Ф.,
принадлежащих одновременно разным функциональ-
функциональным пространствам, изучаются в теории вложения
функциональных пространств (см. Вложения теоремы).
Важным свойством основных функциональных прост-
пространств является плотность в них бесконечно дифферен-
дифференцируемых Ф., что позволяет изучать ряд свойств вхо-
входящих в эти пространства Ф. па достаточно гладких
Ф., перенося затем полученные результаты на все Ф.
рассматриваемого пространства с помощью предель-
предельного перехода.
Зависимость функций — свойство систем Ф., обоб-
обобщающее понятие их линейной зависимости и означаю-

щее, что между значениями Ф. из данной системы
существуют определенные связи, в частности значения
одной из них выражаются через значения остальных.
Напр., Ф. f1(x)=-sini x и f2(x) = cosr (х) зависимы на
всей числовой прямой, поскольку всегда sin2 x =
=1 — cos'Ji. Пусть D — область в Rn,D—ее замыкание,
f:D—+Rn, f(x) = {yi = fi(x), ? = 1, 2, ...,«}, x?D.
Функции //, ? = 1, 2, ..., n, наз. зависимыми
на D, если существует такая непрерывно дифференци-
дифференцируемая на R™ функция F (у), у ? R", множество нулей
к-рой образует нигде не плотное в пространстве R"
множество, что композиция F о / тождественно равна
нулю на D.
Функции /,-: G—>¦ R, ? = 1, 2, .... га, наз. зави-
зависимыми на области G cz R", если они зависимы
на замыкании D любой области D cz G такой, что
Ъ czG.
Непрерывно дифференцируемые в области G СГ R"
функции /,-, г = 1, 2, ..., п, зависимы на С тогда п
только тогда, когда их якобиан
а (Л fn)
в(х, х„)
тождественно равен нулю на области G.
Пусть теперь
fl-.G—> Rm, i = l, 2, ..., m<n, GcR". A)
Если для Ф. yi = fi(x), x ? G, i = l, 2, ..., m,
G cz R", существуют открытое в Л!"^1 множе-
У 1 i/2 *** * У fit — 1
ство Г и непрерывно дифференцируемая на Г функция
Ф (j/ii •••> Ут-i) такие, что в любой точке х ?j G вы-
выполняются условия
Ф(/!И, ..., /Я-1(Х)) = /1В(*),
то Ф. /ra наз. зависимой на множестве G
от Ф. /ь ..., /„,_-,.
Если Ф. /,-, ? = 1, 2, ..., т=п, непрерывны в об-
области G и в окрестности каждой точки х ?G одна из
них зависит от остальных, то Ф. /;, ? = 1, 2, ..., п,
зависимы на области G.
Если в окрестности каждой точки х ? G одна из
непрерывно дифференцируемых в области G cz R"
функций /,-, ? = 1, 2, . .., то<я, зависит от остальных,
то в любой точке области G ранг матрицы Якоби
L , ? = 1, 2, ..., т, ; = 1, 2, ..., п, B)
меньше т, т. е. градиенты v/i, V/г» •••> V/m линейно
зависимы в каждой точке х ^ G.
Пусть Ф. A) непрерывно дифференцируемы на об-
области G с R" и ранг их матрицы Якоби B) в каждой
точке х ? G не превышает нек-рого числа г, 1 ^ г <
< m<n, а в нек-рой точке х@) ? G равен г. Иначе
говоря, существуют такие переменные Яу , ..., х-
и функции (/,-, = //, (ж), г/,-2 = /;2(л;). •••> Vir = 1iAx), что
.x(o, *¦ °- C)
Тогда ни в какой окрестности точки х10) ни одна из Ф-
/(•р /,-,...,/; не является зависимой от остальных
из них и существует такая окрестность точки ж@), что
каждая из оставшихся Ф. /,-, i ф ik, k = l, 2, ..., г,
зависит на этой окрестности от Ф. /¦ , /,• , ..., /,•
В частности, если градиенты v/i, V/21 • ¦ ч Vim ли-
линейно зависимы во всех точках области Сив нек-рой
точке х@) ? G среди них (т — 1) линейно независимы,
и, следовательно, один из них, напр. V/m. является
линейной комбинацией остальных, то существует такая

окрестность точки z@), что на этой окрестности Ф. fm
зависит от остальных Ф. /ь /2, ..., fm_t.
Лит.: [1] Э й л е р Л., Введение в анализ бесконечных, пер.
с лат., 2 изд., т. 1, М., 1961; [2] Лобачевский Ы. И.,
Полное собр. соч., т. 5, М.— Л., 1951; [3] Д е д с к и и д Р.,
Что такое числа и для чего они служат?, пер. снем., Казань, 1905;
[4] X а у с д о р ф Ф., Теория множеств, пер. с нем., Ы.—Л.,
19У7; Id] Т а р с к п и А., Введение в логику и методологии)
дедуктивных наук, пер. с англ., м., 1948; [61 К у р а т о и-
с к и и К., Топология, пер. сангл. т. 1, М., 1966; [7] Р г е g e О.,
Function, Bcgriff, Bedeutung, Gottingen, 1962, S. 79—95; [8]
Ч е р ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ.,
М., 1960; [9] 10 ш к е в и ч А. П., «Истор.-матем. исследова-
исследования», 1УВ6, в. 17, с. 123—50; [10] Медведев Ф. А., Очерки
истории теории функций действительного переменного, М.,
1975. Л. Д. Кудрявцев.
/„-ФУНКЦИЯ — обобщение дзета функции за счет
введения характеров. L-ф. составляют сложной при-
природы класс специальных функций комплексного пере-
переменного, определяемых Дирихле рядами или Эйлера
произведениями с характерами. Они служат основным
инструментом для изучения аналитич. методами ариф-
арифметики соответствующих математич. объектов: поля
рациональных чисел, алгебраич. полей, алгебраич.
многообразий над конечными полями и т. п. Простей-
Простейшими представителями L-ф. являются Дирихле L-
функции. Остальные L-ф. представляют собой более
или менее близкие аналоги и обобщения этих L-ф.
А. Ф. Лаврик.
ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВ — отображение / нек-рой
совокупности 2 подмножеств данного множества X
в другое множество, обычно в множество R действи-
действительных или С комплексных чисел. Важным классом
Ф. м. являются аддитивные функции
множеств, для к-рых
j = 0, г Фи
иа-аддитивные функции множеств,
к-рые удовлетворяют равенству (*) и для счетной со-
совокупности множеств. Если / принимает лишь неотри-
неотрицательные значения, Л@)=О и 2 является о-алгеб-
рой, то такая функция наз. м е р о й.
Лит.: [1] К а н т о р о в и ч Л. В., А к и л о в Г. П.,
Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977. В. И. Соболев.
ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛ — континуальный аналог
Фурье ряда. Для функции, заданной на конечном про-
промежутке действительной оси, важное значение имеет
представление ее рядом Фурье. Для функции /(.г), за-
заданной на всей оси, аналогичную роль играет разло-
разложение / в интеграл Фурье:
/(*)= ^Г 1Л W ^osXx + B (Я) sin Xx] dx, A)
где
B^^[+_lf(l)smkldl. B)
Разложение A) можно формально строить в предпо-
предположениях, обеспечивающих существование написан-
написанных интегралов. Оно справедливо, напр., для гладкой
финитной функции f(x). Имеется большое число приз-
признаков, обеспечивающих равенство A) в том или ином
смысле. Подстановка B) в A) дает т. н. инте-
интегральную формулу Фурье
-?) dl, C)
обоснование к-рой и приводит к упомянутым призна-
признакам. Большую пользу приносит при этом представле-
представление /(ж) простым интегралом Фурье
/(*),= lim ~\ f(l)
N -*¦ <o J -">
?'"

к-рое получается из C), рсли записать внешний интег-
интеграл как предел по интервалу (О, N) и поменять поря-
порядок интегрирования. В прикладных науках представ-
представление A) часто интерпретируется как разложение по
гармоникам: если
D (X) = У\А(Х)\* + \В(Х)\\ cos Ф (X) = §gj ,
,, ч Л (Я)
/<*)=$?
то A) принимает вид:
)о D(XKin[Xx+<p(k)]dX
и таким образом / представляется в виде суперпози-
суперпозиции гармоник, частоты X к-рых непрерывно заполняют
действительную полуось @, оо), а амплитуда D и на-
начальная фаза ф зависят от X.
Во многих случаях (в частности, для комплексно-
зиачных функций /) разложение A) удобнее представ-
представлять в экспоненциальной форме:
D)
' ' ' У'2л ' ' "
где
Функция / (X) именуется при этом Фурье преобразова-
преобразованием функции / (в прикладных науках С (К) паз. ча-
частотной характеристикой, или с п е к т р о ы, /).
При условии, что функция / (х) суммируема:
/ 6 ^i (— °°> +00)) функция /"ограничена, равномерно
непрерывна на оси и f(X) —>0 при | X | —> со. функ-
функция / (X) может оказаться несуммируемой н интеграл
D) — несуществующим. Однако равенство D) допускает
разумное истолкование, если воспользоваться методами
суммирования интегралов [при этом можно рассмат-
рассматривать не только поточечную сходимость, но и сходи-
сходимость в среднем]. Напр., средние арифметические усе-
усеченных Ф. и.
2 sin2 :
(*-
суммируемой функции /(.г) сходятся к /(х) почти всюду
и в среднем при iV->-a>. При наличии дополнительных
ограничений на функцию /(ж) получаются более кон-
конкретные утверждения. Напр., если f^Lx и имеет огра-
ограниченную вариацию в окрестности х, то
1 П+Ш - e,u д_
2я Jffl
В приложениях часто используется разложение
А 1 2л J -«
верное для кусочно гладкой в каждом конечном интер-
интервале абсолютно интегрируемой функции f(x), где ин-
интеграл справа понимается в смысле главного значения
F). Ф. и. изучается также в предположении локальной
суммируемости функции / и при тех или иных требова-
требованиях, накладывающих ограничения на поведение / в
оо. Пусть, напр., f^Lp, 1<:р<2, тогда
t(X)= lim —1- [ +А f (х) е-^ dx, G)
А -*« /2л J -Л

где предел понимается в смысле сходимости в среднем
порядка р', 1—г = 1 [однако предел в G) сущест-
существует и в смысле сходимости почти всюду). Простую
форму приобретает этот результат при р = 2 (см. План-
шереля теорема).
Аналогично строится теория кратных Ф. и., когда
речь идет о разложении функции, заданной в ге-мер-
пом пространстве. Понятие Ф. и. распространяется
также и на обобщенные функции.
Лит.: [lj T и т ч м а р ш Е., Введение в теорию интегралов
Фурье, пер. с англ., М,— Л., 1948; [2] Б о х н е р С, Лекции
оО интегралах Фурье, пер. с англ., М., 1962; [3] Зигмунд А.,
Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 2, М., 19(ЗГ:>.
П. И. Лизоркин.
ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — интег-
интегральный оператор, обобщенное ядро к-рого является
быстроосциллирующей функцией или интегралом от та-
такой функции. Операторы такого типа возникли при
исследовании асимптотики быстроосциллирующих ре-
решений уравнений с частными производными (см. [1],
[2]) ч при исследовании особенностей фундаменталь-
фундаментальных решений гиперболич. уравнений (см. [1], [2], [3]).
I. Канонический оператор М а с л о в а
(КОМ). Пусть Л есть re-мерное лагранжево многообразие
класса 6'°° в фазовом пространстве RJ"p, где х ? R",
Р 6 "^"i и ^° — объем на Л. Каноническим ат-
атласом наз. локально конечное счетное покрытие
многообразия Л ограниченными односвязными обла-
областями fiy (картами), в каждой из к-рых в качестве
координат можно взять либо переменные х, либо р,
либо смешанный набор
(Ра, жр), ot = (oti, ..., as), Р = (РЬ ..., Pn-S),
не содержащий сопряженных пар (ру, х}-). КОМ дейст-
действует из С'о° (Л) в С (R"). Канонич. операторы К (Qy)
вводятся следующим образом.
1) Пусть карта Qy— неособая, т. е. Qy задается урав-
уравнением р = р (х) и
(К (Qj) Ф) (х) = "|/| d? | exp [iX \Гг0(р, dx)~] Ф (г),
г = (х, Р {х)).
Здесь А,;з:1—параметр, r° ^ Qy — фиксированная точка,
(р, dx) = '?._ipjdxJ-, и функция ф^С^(й).
2) Пусть в карте Qy локальные координаты суть р,
т. е. Qy задается уравнением х = х(р) и пусть
Хехр
["
х
г = (*<Р), Р).
Здесь F~l есть Х-п реобразование Фурье
Кр - *ч> (р) ()"/2 S
Аналогично определяется К (Qy) в случае, когда коор-
координаты в Qy—набор (ра, Яр). Пусть Ф,(Р. Лг) = 0
и индекс Маслова indy = 0 для любого замкнутого
пути I, лежащего на Л. Вводится разбиение единицы
класса С00 на Л;
2°°=, eJ (*) =1 ПРИ
и фиксируется точка r° ^ Qy0. КОМ определяется фор-
формулой
)) (х) =2;. еуЯ (Qy) (е/р) (х),

и Y/ — индекс Mac лова цепочки карт, соединяющих
карты йу„ и Qj.
Точка г?Л наз. неособой, если в ее окрест-
окрестности Л задается уравнением р-=р(х). Пусть пересече-
пересечение карт й/, Q.j непусто и связно, г ?Q; f) Qy — неосо-
неособая точка и (ра, Жр), (р~, х-р)— координаты в этих
картах. Индексом Мае лова пары карт Qi, Qj
наз. число
где о_ (А)—число отрицательных собственных значе-
значений матрицы А. Индекс Маслова цепочки карт опре-
определяется по аддитивности. Аналогично определяется
индекс Маслова ind l пути I. Индекс Маслова ind (mod 4)
пути на лагранжевом многообразии есть целочисленный
гомотопич. инвариант (см. [1], [3]). КОМ инвариантен
относительно выбора канонич. атласа локальных коор-
координат в картах и разбиения единицы, в следующем
смысле: если Кл, КА — два КОМ, то и L2 (R")
для любой функции ф ? Со° (Л).
Важнейший результат теории КОМ — формула ком-
коммутации КОМ и Я,-дифференциального (или А,-псевдо-
дифференциального [3]) оператора.
Пусть L (х, K~iD) —дифференциальный оператор с
действительным символом L(x, р) класса С°°, и выпол-
выполнены условия: L(x, р)~0 на Л. Многообразие Л и объем
da инвариантны относительно гамильтоновой системы
dx dL_ dp_ _ _ dL
dr ~~~ ~д]Г ' "dx ЭлГ "
Тогда справедлива формула коммутации (здесь
Ф ? Со (А), X—* оо):
L(x, \-iD)(KA<p)(x)=-^K
Rfn- ГА ± V" ЭгЬ(^, рI
U(f -[dt-2 2il=1 дХ/аР/ J
где d'dx—производная в силу гамильтоновой системы.
Следующие члены разложения A) и оценки остаточных
членов см. [3]. Уравнение Дер = 0 наз. уравнением
переноса. Из формулы коммутации следует, что
если .Яф = О, то функция и = КА<р есть формальное
аелмптотич. решение уравнения L (x, k~1D) м=0.
Метод КОМ позволил решить следующие задачи.
1) Построение асимптотики решения задачи Коши с
быстроосциллирующими начальными данными в боль-
большом (т. е. за любое конечное время) для строго гипер-
болич. систем дифференциальных уравнений с частны-
частными производными, для систем Дирака, Максвелла, тео-
теории упругости, для уравнения Шрёдингера (см. [1],
[9] — [6], а также Квазиклассическое приближение), а
также решения нек-рых смешанных задач [4].
2) Построение асимптотики серий собственных значе-
значении самосопряженных дифференциальных операторов,
ассоциированных с инвариантными относительно со-
соответствующей гамильтоновой системы лагранжевыми
многообразиями (см. [1], [3]).
3) Построение асимптотич. разложения по гладкости
Ф5пдаменталышго решения строго гиперболич. систе-
системы уравнений с частными производными (см. [1], [5],
[6]).
4) Построение коротковолновой асимптотики функ-
функции Грина, решения задачи о рассеянии и амплитуды
рассеяния для уравнения Шрёдингера асимптотики
спектральной функции (см. [5| — [7]).
Развит новый вариант КОМ на лагранжевых много-
многообразиях с комплексным ростком (см. [8], [9]).

II. Интегральный оператор Фурье
(ИОФ).
Пусть X, Y — ограниченные области в R^'1, R^2,
1 2,
ИОФ наз. оператор
(Аи)(х)= ^дг Г Г ехр[гф(х,
J
Y
Bя) ' " "
Хр (х, у, 6) и (у) dy dQ. B)
Здесь ф (фазовая функция) — действительная и поло-
положительно однородная по 9 порядка 1, ф?С°°(Г) и
Vx, у, еф Ф О при 8 Ф 0. Функция р ? С°° (Г) (символ)
и в простейшем случае разлагается при | 61 —>¦ оо
в асимптотич. ряд
Интеграл B) сходится после соответствующей регуля-
регуляризации и определяет непрерывный линейный оператор
А:Сц (Y) -*¦ D (X). Ядро оператора А равно
А'{х' у) = —hur Г N ехр ['ф {х' у> 9I р (г- у>е) dQ-
Bя) 4 " 6
Функция X (г, y)?D' {XxY) и бесконечно дифферен-
дифференцируема вне проекции яС на ХхУ множества С —
= {(х, у, 6)?Г:фе = 0}-. Особенности К зависят только
от тейлоровского разложения символа р в окрестности
С (при фиксированной фазе ф). Пусть фаза ф невы-
невырождена, т. е. дифференциалы dx еф' , l</<./V
линейно независимы на С"; тогда С — гладкое много-
многообразие размерности п. Оператору А отвечает гладкое,
коническое (по переменному (?, т)), двойственному к
2 = (*. У)) лагранжево многообразие Л с Т* (XxY)\{Q)
размерности п — образ С при отображении
СЭ (г, 8)—*(г, Фг)€Л. C)
В дальнейшем оператор Л рассматривается на плот-
плотностях и (у) порядка 1/2:
т. е. и (у) + и (у) у \ dy/dy | при замене переменных
У -* ^ ((/). Символу р ставится в соответствие плотность
b (z, т) порядка 1/2 на Л, к-рая является образом
— о (Л, ф'е) х
pf dc при отображении C), где dc= '
X=Cki, ..., Хп) — координаты на Л первого порядка
однородности по т, перенесенные с помощью C) на С.
Плотность b при | т | --* оо разлагается в асимптотич.
ряд
коэффициент Ьо наз. главным символом оператора А.
Пусть оператор А представим в виде B), но с дру-
другой невырожденной фазовой функцией ф {х, у, 6), 6^R'V
и с другим символом р (х, у, 0). Тогда для этого
представления многообразие Л остается прежним, ве-
величина 0" = sign<Pf)O — signals постоянна, а главный
символ Ьо равен
г Г гла ~~\ 7
Общее определение ИОФ таково. Пусть X, Y—•
гладкие многообразия размерности Л'ь Лг2 и Лс
СГ (^ХК)\{0}—конич. гладкое лагранжево много-

образие размерности и—iVi + A'2. Для любой точки
Х?Л существует ненырождгашая фазовая функция та-
такая, что построенное по ней лагранжево многообра-
многообразие локально совпадает с Л. Пусть 1х'., ;/'., фу, NJ,
Tj, Uj] — множество объектов, состоящих из:
а) локальных координатных окрестнострй Х'С-Х",
Y'czY с локальными координатами x?RA'', j/^R^2.,
z=(x, у);
б) целого числа Л" и невырожденной фазовой функ-
функции ф, определенной в Г -- X'xY' X(RjV\{0}) и такой,
что отображение
{(г, в) ? Г, Фе (г, 9) = 0} Э (г, в) —* (z, <?'z)
есть диффеоморфизм на открытое подмножество Г/сЛ.
ИОФ наз. оператор
где А] имеет вид B), N — NJ, ф — фу—^~j~ и носитель
символа p—pj содержится в множестве A'yX<R >
Kj — компакт в X'.xY'.. Класс таких операторов А
обозначают 1т (Л).
п
^.т — —
Пусть S 4 (л, iii/i)—множество однородных по-
порядка т—— но т плотностей на Л порядка '/.2. Uo
главным символам l'[(z, т) операторов Лу естественным
образом строится главный символ Ьо (г, т)?Л' ' (Л,
оператора А, так что отображение
есть изоморфизм (см. [2], [14]).
Наиболее важным для приложений ИОФ к диффе-
дифференциальным уравнениям с частными производными
является случай, когда проекции Л-*-Г*(У) — локаль-
локальные диффеоморфизмы. Тогда Af1=jV2, и плотность dc
равна
и ограничен оператор
Так же, как и для КОМ, для ИОФ есть формулы ком-
коммутации с дифференциальными операторами со всеми
вытекающими из них следствиями. Локально ИОФ мож-
можно представить в виде интеграла по параметру от
КОМ (см. [10]). ИОФ применяется:
1) Для построения параметрикса и изучения мик-
микролокальной структуры особенностей (волновых фрон-
фронтов) решений гиперболич. уравнений, уравнений глав-
главного типа и краевых задач (см. [2], [14]).
2) При исследовании вопроса о локальной и глобаль-
глобальной разрешимости и субэллиптичности уравнений (см.
U2]).
3) Для получения асимптотики спектральной функ-
функции псевдодифференциалышх операторов (см. [13]).
Лит.: [1] М а с л о в В. II. Теория возмущений и асим-
асимптотические методы, М., 1965; [2] ХёрманцирЛ., «Мате-
«Математика», 1972; т. 10, NJ 1, с. 17- -61, № 2, с. U7—13(>; [31 Mat-
л о в В. П., Ф е д о р ю к М. В., Квазикляссичсское прибли-
приближение для уравнений квантовой механики, М., 1970; 14] Ф е д о-
рюк М. В., «Успехи матем. наук», 1977, т. 32, в. 0, с. 67—
115; [5] К у ч е р е н к о В. В., «Теор. и матем. физика», 1969,
т. 1, № Я, с. 384—406; [6] В а й н б е р г Б. Р., Асимптотические
методы в уравнениях математической физики, М., 1982; [7]
ег о ж е, «Матем. сб.», 1984, т. 123, № 2, с. 195—211; [8J К у-
ч е р с н к о В. В., в кн.: Итоги науки и техники. Современ-
Современные проОлемы математики, т. 8, М., 1977, с. 41 — 13В; [91 Ма-
слов В. П., Операторные методы, М., 1973; [10] М и щ е н-
к о А. С, С т е р н и н Б. Ю., Шаталов В. Е., Лагран-

шевы многообразия и метод канонического оператора, М.,
1978; [11] л ере Ж., Лагранжев аналиа и квантовая меха-
механика, пер. с франц., М., 198); [12] Егоров Ю. В., «Успе-
«Успехи матем. наук», 1975, т. 30, в. 2, с. 57—114; L13] Шубин
М. А.. Псевдодифференциальные операторы и спектральная
теория,М 1978;t 14] Treves P., Introduction to Pseudodiffe-
rential and Fourier Integral Operators, v. 1—2, N. Y.—L., 1980.
Б. P. Вайнберг, М. В. Федорюп.
ФУРЬЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ — коэффициенты
I у /Ф ¦ dx \ у /ф • dx
««•=4^—, ч=~^— (*)
разложения функции f(x), определенной на простран-
пространстве X по ортогональной системе действительнозначных
(комплекснозначных) функций на X. Если {ф,} — орто-
ортогональная система в гильбертовом (предгильбертовом)
пространстве, то для элемента / этого пространства
числа с,' = -г Ц- также наз. Ф. к. / по системе {ф(}.
Ж. Фурье (J. Fourier) впервые исследовал тригоно-
метрич. ряды с коэффициентами, определяемыми со-
согласно (*).
Лит.: [1] К а ч м а ж С, Штейнгауз Г., Теория орто-
ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958. Т. П. Лукашенко.
ФУРЬЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ почти периодиче-
периодической функции — коэффициенты ап Фурье ряда, со-
соответствующего данной иочти периодич. функции f (х):
где
ап = М \f{x)e-a"x}~ lim -f- [TQf (x) e~a>>x dx.
Коэффициенты ап вполне определяются теоремой о
существовании среднего значения
а(Х)=М \f(x)e~ikx\,
к-рое отлично от нуля только на счетном множестве
значений Х = Хп. Е. А. Бредихина.
ФУРЬЕ МЕТОД, метод разделения пере-
переменных,— метод отыскания частных решений диф-
дифференциальных уравнений
(Lu)(x, у) = Ми — Nu~0, x?Rn, y?Rm, A)
где М (N) — линейные дифференциальные выражения,
содержащие производные только по переменным х(у),
с коэффициентами, также зависящими только от х(у).
Функция
и(х, y) = v(x)w(y) B)
будет решением уравнения A), если существует такая
константа X, что
Напр., для уравнения колебаний струны
'ихх — и1 =0, т = ге = 1, D)
Л/ф — Л^ф — ф" и решение B) принимает вид
{cl cos (лж-f-са sin \lx) (c3 cosfif/ +c4 sin цу),
I
где с,-, 1<!<4 — произвольные иостоянные и ц>0.
В полуиолосе 0<х<л, j/SsO при Cj=O, Я=(х2, (Х = 1,
2,. . ., решения E) удовлетворяют краевому условию
и@, у) -и (л, у)=-0, !/5аО. F)
Составленный из этих функций ряд
U (х, у) = У™ sin nx (an cos ny + Ьп sin ny) G)

доставляет решение начально-краевой задачи D), F)
и
U(x, 0)=-.<p(*), -^-{х, 0) = г|)(*), 0<.*<я,
если ап и пЬп являются коэффициентами Фурье
а„ = — УрфМ sinn.rrf.r,
\ sin иг dx
bn = 2 \ г
от достаточно гладких начальных данных ф и t|). Ана-
Аналогичным образом можно получать решения начально-
краевых задач для более общих классов уравнений A),
при этом роль теории рядов Фурье, связанных с раз-
разложением G), играет спектральная теория линейных
операторов.
Ф. м. тесно связан со специальными функциями,
к-рые являются решениями уравнений C) нри т =
= ге=1 для частных случаев операторов М и N, многие
из этих функций первоначально возникли таким спо-
способом. Напр., при применении этого метода к уран-
нению Гельмгольца
записанного в полярных координатах в виде A) с
м — гз JL i r A i Г2 дг ?_
т — г дг'^ г дг ' r ¦ iV — ее* >
первое уравнение в C) является уравнением Бесселя.
Одно и то же дифференциальное уравнение имеет,
вообще говоря, целое семейство систем координат, в
к-рых оно допускает разделение переменных, т. е.
приводится к виду A). Задача разыскания таких си-
систем координат тесно связана с групповыми свойствами
дифференциальных уравнений. Применение методов
теории групп Ли позволяет описать все решения с раз-
разделенными переменными многих классич. уравнений
математич. физики (Лапласа, Гельмгольца, Шрёдинге-
ра, волнового уравнения и др.). На этом пути полу-
получается также целый ряд соотношений из теории спе-
специальных функций.
Метод разделения переменных был предложен для
решения волнового уравнения Ж. Д'Аламбером C.
D'Alembert, 1749), с достаточной полнотой метод был
развит в нач. 19 в. Ж. Фурье (J. Fourier) и в полной
общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828.
Лит.: [1] Бицадзе А. В., Уравнения математической
физики, М., 1976; [2] Миллер У., Симметрия и разделение
переменных, пер. с англ., М., 1981. А. П. Солдатов.
ФУРЬЕ ПОКАЗАТЕЛИ почти периодиче-
периодической функции — действительные числа Я„ в
Фурье ряде, соответствующем данной почти периодич.
функции f(x):
1
где ап ¦— Фурье коэффициенты функции /(х). Множе-
Множество показателей Фурье функции f (х) наз. спек-
спектром этой функции. В отличие от периодич. случая
спектр почти периодич. функции может иметь пре-
предельные точки на конечном расстоянии и даже быть
всюду плотным. Поэтому поведение ряда Фурье почти
периодич. функции существенно зависит от арифметич.
Структуры ее Спектра. Е. А. Бредихина.
ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, одно из интегральных
преобразований, — линейный оператор F, действующий
в пространстве, элементами к-рого являются функции
/ (х) от п действительных переменных. Минимальной
областью определения F считается совокупность D —С"
бесконечно дифференцируемых финитных функций q\
Для таких функций
/ $n<p(i)e-di. A)

В нек-ром смысле наиболее естественной областью
определения F является совокупность S бесконечно
дифференцируемых функций <р(х), исчезающих иа
бесконечности вместе со своими производными быстрее
любой степени \х\. Формула A) сохраняется для ф^5
и при этом (Fq?) (х) = ty (x)?S. Более того, F осуще-
осуществляет изоморфизм 5 на себя, обратное отображение
F-1 —обращение Ф. п., обратное прообразов а-
п и е Фур ь е, — задается формулой:
Ф (х) = (F~hp) (х) -т, Bя)-"/2 Г t (*) еЫ d\. B)
Формула A) еще действует в пространстве L^ (R")
суммируемых функций. Дальнейшее расширение об-
области определения оператора F требует обобщения
формулы A). В классич. анализе такие обобщения
строятся для локально суммируемых функций с теми
или иными ограничениями на их поведение при jд-| —>-оо
(см. Фурье интеграл). В теории обобщенных функций
определение оператора F освобождено от многих тре-
требований классич. анализа.
Основные задачи, связанные с изучением Ф. п. F:
исследование области определения Ф оператора F и
области его значений /?Ф=ЧГ, свойства отображения
F: Ф-*-Чг (в частности, условия существования обрат-
обратного оператора F и его выражение). Формула обра-
обращения Ф. п. весьма проста:
F-4S (*)]='•'[g (-*)]¦
Под действием Ф. п. линейные операторы в исходном
пространстве, инвариантные относительно сдвига, пе-
переходят в пространстве образов в операторы умноже-
умножения (при нек-рых условиях). В частности, свертка
функций / и g переходит в произведение функций F/ и
F
дифференцирование порождает умножение на незави-
независимую переменную:
В пространствах Lp (R"), 1<р<2, оператор F оп-
определен формулой A) на множестве Dp — L\ [\Lp (R")
и является ограниченным оператором из 7^(R") в
MR")> ^+4- =
v ' q
Up
(неравенство Хаусдорфа — Юнга). По не-
непрерывности /•' допускает продолжение на все про-
пространство Lp (Rn), к-рое (для 1 < р sg 2) дается формулой
(Ff)(x)= \1тBпГп12[ f{l)e-i^dl--=~i(x), C)
Ц -> со -J I S I < «
где сходимость понимается по норме пространства
Lq (R"). Если р Ф 2, образ пространства Lp иод дей-
действием оператора F не совпадает с Lq, т. с. вложение
FLpdLq строгое при 1 г^ р < 2 (случай р = 2 см. в
статье Плапшереля теорема). Обратный оператор F~l
определен на FLp формулой
(*¦-!/) (*)--= Нт Bл)-"/2 \ ](l)e^dl,
R ->¦ ж J I S I < R
Задача о распространении Ф. п. на возможно широ-
широкий класс функнпИ постоянно возникает в анализе и его
приложениях. См.. напр., Фурье преобразование
о б о б щепной функции.

Лит.: [1] Т и т ч м а р ш Е., Введение в теорию интегралов
Фурье, пер. с англ., М.— .Т., 1948; [2| .'J и г ы у и д А., Триго-
Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 2, М., ]9()Г>; [3] С т е й и И.,
Вей о Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых
пространствах, пер. с англ., М., 1974. П. И. Лизорпип.
ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ обобщенной
функции — расширение операции преобразования
Фурье с основных функций на обобщенные функции.
Пусть К — пространство основных функции, на к-ром
определена операция преобразования Фурье F,
ф —г F [ф] = \ ф (х) el <i. х> dx, ф? К,
причем F— изоморфизм К на пространство основных
функций К. Тогда операция преобразования Фурье
/->•/'[/], определяемая на пространстве обобщенных
функций К' равенством
(F[f], Ф) = (/, F[fp]),
осуществляет изоморфизм К' на пространство основных
функций Л".
Примеры. 1) K = S — K, A''~S'= А''. Здесь об-
обратной операцией к 'F служит операция
и справедливы основные формулы для /?S'
D<*F [/] = F [(te)« /], F [Da/] = (- i|)« F [/].
2)K= П L* K = DL1= П HS,K' = D'L>= U H_s,
s>0 s>0 s>0
где Ls — совокупность функций ф таких, что A -]-
+ FJ_)*/2ф€^а " Я, =1|, -со < ., < со.
3) A"=D, K—Z, где Z — совокупность целых функ-
функций ф (z), удовлетворяющих условию роста: существует
число а = ay^ 0, что для любого jV 2s 0 найдется Сд^ > О
такое, что
|ф(г)|<сЛг(;а|1т2|A4-|г|)-Л', г^С«.
Ряды Фурье обобщенной функции. Если
обобщенная функция / — периодическая с и-периодом
Г = (Т,, ..., Т„), Tj > 0, то./?S' и ее можно разло-
разложить в тригонометрич. ряд
сходящийся к / в S'; здесь
2nk. 2пкг
Примеры. 4) f (я<*) = Bл)п (— j)|a|-DaS (S), в ча-
частности F [1] = Bя)"бE).
5) f [Da6] = (— г|)а, в частности F [д] = 1.
6) ^[в]=|7Ш = яб(|)+^-|-, где е-функция Хе-
висайда.
Преобразование Фурье свертки обоб-
обобщенных функций. Пусть прямое произведение
1(х)хц(у) обобщенных функций / и g из D' (R«) до-
допускает расширение на функции вида ф (?+(/), Уф?
gD(R"). Именно, пусть для любой последовательности
Ш(х', У),к -+ со, из D (R2") со свойствами: | Dar\k (x; у) К
<са, Чк(х;У)^1, D<*nk(x; y)^0, |a|^l, к -+ со
(равномерно на любом компакте), числовая последо-
последовательность
(f(x)Xg(y), r\k(x; У) ф
имеет предел, обозначаемый (/ (x)Xg (у), Ц> (х-\-у)), не
зависящий от последовательности {п&} из указанного
класса. В этом случае функционал/*^, действующий
по формуле (f*g,(f)=(f (x) xg(y), Ф(+)) ?DR

наз. сверткой обобщенных функций / и g, f*g?
?D' (R"). Свертка существует не для любых пар
обобщенных функций / и g. Она заведомо существует,
если при любом Л > 0 множество
ограничено в R2" (в частности, если / или g финитна).
Если свертка /*g существует, то она коммутативна,
/ * g-=g * /, п коммутирует со сдвигом и с производной:
/ * Dag = D« (/ * g) =Daj * g; S-функция Дирака играет
роль «единицы»: / = б*/ = /*б. Свертка—неассоциа-
Свертка—неассоциативная операция. Однако существуют ассоциативные
(и коммутативные) сверточные алгебры. Единицей в
них служит дельта-функция Дирака 6. Сверточную
алгебру образует, напр., множество DT, состоящее из
обобщенных функций из D' (R") с носителем в выпуклом
остром замкнутом конусе Г с вершиной в О. Множе-
Множество Sr~ S' f]D-p образует сверточную подалгебру
алгебры DT. Обозначают: D+ = О^0_ м), S'+=S^0 a^
(при n = i). Формула Ф. п. свертки
справедлива в следующих случаях:
а) /?¦$"> 8 — финитна,
б) / и g?D'L,,
в) f?D', S — финитна,
г) / и g^S-p. В этом случае произведение F \f]F[g\
обобщенных функций F [/] и F [g] понимается как
граничное значение в S' произведения /(?)#(?),
?=§+st) при ц -* 0, Tj^intr*, где fug обозначают
преобразования Лапласа fag (см. Обобщенных функ-
функций произведение).
Лит.: [11 Владимиров В. С, Обобщенные функции
в математической физике, 2 изд., М., 1979; [2] Гель-
фанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции, в. 1,
М., 1958; [3] Scliwartz L, Theorie des distributions, t. 2,
P., 1951; [4] A ii т о с и к П., Минусинский Я., С и-
к о р с it и й Р., Теория обобщенных функций. Секвенциаль-
Секвенциальный подход, пер. с англ., М., 197В. В. С. Владимиров.
ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИСКРЕТНОЕ—пре-
ДИСКРЕТНОЕ—преобразование, используемое для гармонич. анализа
функций, заданных на дискретном множестве точек.
Если на множестве точек tk~kAt функция задана
своими значениями х^, fe = 0, N — 1. Д* = TIN, Т > 0 —
период функции, то Ф. п. д. вектора х=(х0, хг, . .., x^-i)
есть вектор x = Fx, где F—матрица с элементами
ехр{
i — мнимая единица, сода = гоДсо, тге=0, N—1, Дш=
= 1/7'. Компоненты вектора х аналогичны коэффициен-
коэффициентам Фурье в обычных тригонометрич. разложениях.
Ф. п. д. используется для приближенного вычисления
этих коэффициентов, спектров, авто- и взаимно кор-
корреляционных функций и т. п. Прямое вычисление
Ф. п. д. требует выполнения около N2 арифметич. опе-
операций и большой затраты машинного времени. Метод
быстрого преобразования Фурье (см. [1]) позволил суще-
существенно сократить число операций. При N=n1 n2. . . пт
этот метод выполняет Ф. п. д. приблизительно за
N (п1-\-п2-\-. . .-\-пт) операций, повышая точность вы-
вычислений. Особенно удобные для реализации алгорит-
алгоритмы получаются при 7V=2m. Имеется значительное чис-
число программ, реализующих или использующих быст-
быстрое преобразование Фурье для решения прикладных
задач. Метод быстрого преобразования Фурье вклю-
включает в себя широко известные экономичные способы
вычисления Ф. п. д., напр, метод Рунге (см. [2]).
Лит.: [1] С о о 1 е у J., T u k е у J. «Math. Comput.»,
1965, v. 19, p. 297—301; [2] R и n g e C. Z., «Math. Phys.»,
1903, v. 48, p. 443. В. А. Морозов.

ФУРЬЕ РЯД по ортогональным много-
многочленам— ряд вида
где многочлены {Рп (х)} ортонормированы на интервале
(а, Ь) с несом h (х) (см. Ортогональные многочлены), а
коэффициенты {а„} вычисляются по формуле
an=\bah(x)f(x)Pn{x)dx, B)
причем функция f{x) входит в класс функций L2=
= L2[a, b, h (x)\, квадрат к-рых суммируем (интегрируем
по Лебегу) с весовой функцией h (x) по интервалу орто-
ортогональности (а, Ь).
Как и у любого ортогонального ряда, частичные сум-
суммы {sn(x, /)} ряда A) приближают функцию f(x) наи-
наилучшим образом в метрике пространства L2 и выпол-
выполняется условие
lim an=0. C)
Для доказательства сходимости ряда A) в отдельной
точке х или на нек-ром множестве из (а, Ь) обычно
применяется равенство
/ (з) — sn(x, /) = Ц„К(фх) Pn + iW — an + ii4>x) pn(x)]i
где {ап (фх)} —коэффициенты Фурье вспомогательной
функции
при фиксированном г, a jiw —коэффициент из формулы
Кристоффеля—Дарбу. Если отрезок ортогональности
[а, Ь] конечен, tfx(t)?L2 и последовательность {Рп (х)}
ограничена в данной точке х, то ряд A) сходится к
значению / (х).
Коэффициенты B) можно определять и для функции
f (t) из класса Lx = Lx{a, b, h (t)], т. е. для функций,
суммируемых с весом h (t) на интервале (а, 6). В слу-
случае конечного отрезка [а, Ь] условие C) имеет место,
если f (t)^L1 = Ll[a,b, h (?)], а последовательность
{Рп (t)} ограничена равномерно на всем отрезке [а, Ь].
При этих условиях ряд A) сходится в нек-рой точке
х?[а, Ь] к значению / (х), если (p*(?)??i[a, b, h(t)].
Пусть А—та часть интервала (а, Ъ), где последо-
последовательность {Рп (i)}ограничена равномерно, fi=[a, 6]\/l
и Lp(A)=Lp [A, h(t)\—класс функций, суммируемых
в степени р по множеству А с весом h(t). Если при
фиксированном х? А имеем ц>х (t) ? Lx (A)vsq>x(t)?L2(B),
то ряд A) сходится к / (х).
Для рядов A) имеет место принцип локализации ус-
условий сходимости: если две функции / (t) и g (t) из
пространства L2 совпадают в интервале (х — б, х-\-8),
где х?А, то Ф. р. по ортогональным многочленам этих
двух функций в точке х сходятся или расходятся
одновременно. Аналогичное утверждение справедливо,
если f (t) и g (t) входят в пространства Ьг (А) и L.2 {В),
причем х?А.
Для классических ортогональных многочленов имеют
место теоремы о равносходимости ряда A) с нек-рым
ассоциированным тригонометрич. рядом Фурье (см.
Ра.вносходящиеся ряды).
Равномерная сходимость ряда A) на всем конечном
отрезке ортогональности |а, Ь] или на части его обычно
исследуется с помощью неравенства Лебега
M -I- T (т\Л F <i\ тС Г/т М
L1 i Ljn \^)\ Cj n Kill x t LUJ wJt
где функция Лебега

не зависит от функции f(x), a En{f)—наилучшее рав-
равномерное приближение непрерывной функции f (х) на
отрезке [а, Ь] многочленами степени не ныше п.
В зависимости от свойств весовой функции h (х) после-
последовательность функций Лебега {Ln (х)} в разных точках
отрезка [а, Ь] может возрастать с различной скоростью.
А для всего отрезка [я, Ь] вводятся постоянные Лебега
Ln = max Ln (х),
к-рые возрастают неограниченно при и-»-оо, причем
для различных систем ортогональных многочленов по-
постоянные Лебега могут возрастать с различной ско-
скоростью. Из неравенства Лебега следует, что если вы-
выполняется условие
lim LnEn(f) = О,
п -у оо
то ряд A) сходится к функции f(x) равномерно на всем
отрезке [а, Ь]. С другой стороны, скорость сходимости
последовательности {Еп (/)} к нулю зависит от диф-
дифференциальных свойств функции f(x). Поэтому во мно-
многих случаях нетрудно сформулировать достаточные ус-
условия, при к-рых правая часть неравенства Лебега
стремится к нулю при п—>-со (см., напр., Лежандра
многочлены, Чебышева многочлены, Якоби многочлены).
В общем случае произвольного веса конкретные ре-
результаты получаются, если для рассматриваемых ор-
ортогональных многочленов известны асимптотич. фор-
формулы или оценки.
Лит.: Ш С е г ё Г., Ортогональные многочлены, пер. с
англ., М., 1962; [2] Г е р о н и м у с Я. Л., Многочлены, орто-
ортогональные на окружности и на отрезке, М., 1958; [3] С у е-
тин П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд.,
М., 1979; см. также лит. при ст. Ортогональные многочлены.
П. К. Суетин.
ФУРЬЕ РЯД почти периодической
функции — ряд вида
где Хп — Фурье показатели, ап — Фурье коэффициенты
почти периодич. функции f(x). Ряд (*) соответствует
любой числовой почти периодич. функции. Поведение
Ф. р. существенно зависит от структуры множества по-
показателей Фуръе этой функции, а также от ограниче-
ограничений, наложенных на коэффициенты Фурье этой функ-
функции.
Напр., имеют место следующие теоремы. Если
то существует Безиковича почти периодическая функция,
для к-рой тригонометрич. ряд (*) является ее Ф. р.
Если ап > 0 для равномерной почти периодич. функ-
функции, то ряд
сходится. Если показатели Фурье равномерной почти
периодич. функции линейно независимы, то Ф. р. этой
функции сходится абсолютно. Если равномерная почти
периодич. функция имеет лакунарный Ф. р., то он
сходится равномерно.
Лит.: fl] Левитан Б. М., Почти-периодические функ-
функции, М., 1953; [2] Купцов Н. П., «Успехи матем. наук»,
1968, т. 23, в. 4 A42), с. 117 —78; [3] Г а п о ш к и н В. Ф.,
«Успехи матем. наук», 1966, т. 21, в. 6 A32), с. 3—82.
Е. А. Бредихина.
ФУРЬЕ РЯД функции f (x) по ортонормирований
на промежутке (а, Ь) системе функций {<р„ (х)} — ряд
коэффициенты к-рого определяются по формулам
ск=\Ь f{x)ffk{x)dx, A = 0, 1, 2, ...,

и наз. коэффициентами Фурье функции
/. О функции / в общем случае предполагается, что
она интегрируема с квадратом на (я, Ь). Для многих
систем {ф/Л это требование можно ослабить, заменив
его каким-либо другим, обеспечивающим существова-
существование всех интегралов A).
По тригонометрии, системе Ф. р. определяется для
каждой функции /, интегрируемой на @, 2л). Это ряд
"X + 2Г= 1 (а« COS кх + h sin кх) B)
с коэффициентами
f ^ coskxdx, Ък-= -^ ^~л / (.г) sin kxdx. C)
Аналогично строятся Ф. р. для функций от многих
переменных. Дальнейшие обобщения приводят к коэф-
коэффициентам Фурье и Ф. р. элементов гильбертова прост-
пространства.
Наиболее глубоко разработана теория Ф. р. но три-
тригонометрия, системе, к-рые были первыми примерами
Ф. р. Имея в виду Ф. р. по тригонометрии, системе.
обычно говорят просто о Ф. р., не указывая, по ка-
какой системе они строятся.
Ф. р. составляют значительную часть теории три-
тригонометрических рядов. Впервые Ф. р. появились в ра-
работах Ж. Фурье (J. Fourier, 1807), посвященных иссле-
исследованию задач теплопроводности. Он предложил для
представления функции /, заданной на @,2л), триго-
нометрич. рядом брать ряд B) с коэффициентами, опре-
определяемыми по формулам C). Такой выбор коэффициен-
коэффициентов является естественным со многих точек зрения.
Напр., если ряд B) сходится к функции /(.г) равно-
равномерно, то почленное интегрирование приводит к выра-
выражению коэффициентов «д. и Ъ^ по формулам C). С по-
помощью почленного интегрирования эти формулы по-
получал еще Л. Эйлер (L. Euler, 1777).
С помощью формул C) Ф. р. B) строится для каждой
функции, интегрируемой на [0, 2л]. Интегрируемость
функции моя;ет пониматься uo-разному, напр, как ин-
интегрируемость по Риману или по Лебегу. В зависимо-
зависимости от этого говорят о рядах Фурье—Римана, Фурье —
Лебега и т. п. Сами понятия интегралов Римана и Ле-
Лебега возникли в значительной степени в связи с иссле-
исследованиями Ф. р. Современный вид теория Ф. р. приоб-
приобрела после построения интеграла Лебега, после чего
она развивается главным образом как теория рядов
Фурье—Лебега. Ниже о функции / предполагается,
что она имеет период 2я и интегрируема по Лебегу на
периоде.
В теории Ф. р. изучается связь свойств функций со
свойствами их Ф. р., в частности исследуются вопросы
представления функций с помощью Ф. р.
К работе Ф. Бесселя (F. Bessel, 1828) восходит до-
доказательство минимального свойства
частных сум м Ф. р.: для функций /? I? среди
тригонометрия, полиномов порядка п
tn (х) ~-А0 + 2fe=, И ft cos kx-[- f!k sin kx)
наименьшее значение интегралу
¦й-SJ" Г/(*)--'« И]2 л*
доставляет частная сумма Ф. р. B) функции /:
Это наименьшее значение равно

Отсюда следует Бесселя неравенство
T^^ak + bl)^-^ 1"-{x)dx,
выполняющееся для каждой функции / из L-.
Система тригонометрич. функций является замкну-
замкнутой системой, т. е. если /?/Д то справедливо Парсе-
валя равенство
где ak, bk — коэффициенты Фурье функции /. В част-
частности, для функций / из L1 сходится ряд
Имеет место и обратное утверждение: если для системы
чисел ак, Ьь ряд D) сходится, то эти числа являются
коэффициентами Фурье нек-рой функции /??2 [Ф. Рисе
(F. Riesz), Э. Фишер (Е. Fischer), 1907].
Коэффициенты Фурье каждой интегрируемой функ-
функции стремятся к нулю. Эту теорему наз. теоремой
Р и м а н а — Лебега. В. Риман (В. Riemann) до-
доказал ее для рядов Фурье —Римана, А. Лебег (Н. Le-
besgue) — для рядов Фурье—Лебега.
Если функция / абсолютно непрерывна, то Ф. р.
производной /' можно получить почленным дифферен-
дифференцированием Ф. р. функции /. Отсюда следует, что если
производная порядка г^О функции / абсолютно не-
непрерывна, то для коэффициентов Фурье функции /
справедлива оценка
а*. ък = ° (fc~(r + 1>), к—.уоо.
Первый признак сходимости Ф. р. получил П. Ди~
рихле (P. Dirichlet, 1829). Его результат (Дирихле тео~
рема) можно сформулировать так: если функция /
имеет на периоде конечное число максимумов и мини-
минимумов и непрерывна всюду, кроме конечного числа то-
точек, в к-рых она может иметь разрывы 1-го рода, то
Ф. р. функции / сходится для всех х, причем в точках
непрерывности он сходится к f(x), а в точках разрыва
к ~о [/(•г+0)+/(:с—0)]. В дальнейшем это утверждение
было распространено на произвольные функции огра-
ограниченной вариации [К. Жордан (С. Jordan), 1881].
Согласно принципу локализации, доказанному В. Ри-
маном A853), сходимость или расходимость Ф. р.
функции / в точке х и значение суммы в случае сходи-
сходимости зависят только от поведения функции / в как
угодно малой окрестности точки х.
Известно много разных признаков сходимости Ф. р.
в точке. Р. Липшиц (R. Lipschitz, 1864) установил, что
Ф. р. функции / сходится в точке х, если для достаточно
малых h выполнено условие \f(x-\-h)—f(x)\ i?.M\h\a,
где М и а — нек-рые положительные постоянные. Бо-
Более общим является Дини признак: Ф. р. функции /
сходится в точке л к числу S, если сходится интеграл
где ffx{t)—j{x+t)-\-f(x—t)—2S. В качестве числа i>
обычно выступает значение f(x). Напр., если Ф. р.
функции / сходится в точке х, в к-рой эта функция не-
непрерывна, то сумма ряда обязательно равна f(x).
А. Лебег A905) доказал, что если при А->0 справед-
справедливы оценки

то Ф. р. функции / сходится в точке х к числу S.
Этот Лебега признак сильнее как всех приведенных
выше, так и Балле Пуссена признака и Юнга признана.
Но проверка его обычно затруднительна.
Признак сходимости другого типа дает теорема
X а р д и — Л и т л в у д а A932): Ф. р. функции /
сходится в точке х, если выполнены следующие усло-
условия:
1) при /г->-0
2) для коэффициентов Фурье функции / справедливы
оценки
й/г = <9 (А-6), b!l = 0 (A-6), б > 0.
Наряду с признаками сходимости Ф. р. в точке, изу-
изучаются признаки равномерной сходимости. Пусть
функция / имеет период 2л и непрерывна. Тогда ео
Ф. р. сходится к вей равномерно на всей числовой оси,
если ш(/,б) — непрерывности модуль функции /— удов-
удовлетворяет условию
со(/, б) In 6—^ 0 при 6-^0
(Дини—Липшица признак) или если / имеет ограни-
ограниченную вариацию (Жордана признак).
Отсюда можно получать признаки равномерной схо-
сходимости Ф. р. на нек-ром отрезке, если воспользовать-
воспользоваться принципом локализации для равномерной сходимо-
сходимости, к-рый формулируется так. Если две функции рав-
равны на отрезке [а, 6], то на каждом строго внутрен-
внутреннем к нему отрезке [а-\-в, Ь—е], е>0, Ф. р. этих функ-
функций или оба равномерно сходятся или оба не являются
равномерно сходящимися. Другими словами, равно-
равномерная сходимость Ф. р. функции f на отрезке зависит
только от поведения функции f B произвольно малом
расширении этого отрезка.
П. Дюбуа-Реймон (P. Du Bois Reymond, 1873) уста-
установил, что непрерывность функции в нек-рой точке не
гарантирует сходимость ее Ф. р. в этой точке. В даль-
дальнейшем было доказано, чтоф. р. непрерывной функции
может расходиться на всюду плотном множестве точек
меры нуль, имеющем вторую категорию.
Если о функции не предполагать ничего, кроме ин-
интегрируемости, то ее Ф. р. может оказаться расходя-
расходящимся почти всюду или даже всюду. Первые примеры
таких функций построил А. Н. Колмогоров A923).
Позднее было выяснено, что этим свойством могут обла-
обладать Ф. р. и самой функции и функции, сопряженной
с ней.
Еще в 1915 Н. Н. Лузин высказал гипотезу, что
Ф. р. каждой функции из L2 сходится почти всюду.
Долгое время в этом направлении получали лить част-
частные результаты. В общем виде задача оказалась очень
трудной и только в 1966 Л. Карлесон (L. Carleson)
доказал справедливость этой гипотезы (см. Карлесона
теорема). Ф. р. функций из Lp при р>1 также схо-
сходятся почти всюду. Пример Колмогорова показывает,
что дальнейшее усиление этого результата в терминах
пространств LP невозможно.
Поскольку частные суммы Ф. р. не всегда сходятся,
рассматривается суммирование рядов Фурье, когда для
представления функции используются те или иные
средние частных сумм ее Ф. р. Один из наиболее прос-
простых примеров — Фейера суммы, являющиеся средними
арифметическими частных сумм Ф. р. .%(/, х),
а„ (/, х)= —г ~5^i sk (/i x)-
Для каждой интегрируемой функции / суммы on(f, .r)
сходятся к f(x) почти всюду, при этом сходятся в каж-
каждой точке непрерывности /, а если / непрерывна всю-
всюду, то сходятся равномерно.

Согласно Данжуа— Лузина теореме, если тригоно-
метрич. ряд B) сходится абсолютно на множестве по-
положительной меры, то сходится ряд
2ЛA«*1 + |ь*1) E)
и, значит, ряд B) абсолютно сходится для всех х. Та-
Таким образом, абсолютная сходимость ряда B) эквива-
эквивалентна сходимости ряда E).
С. Н. Вернштейн A934) доказал, что если модуль не-
непрерывности ш(/, б) функции / удовлетворяет условию
4=1 Vn V n /
то Ф. р. функции / сходится абсолютно. Это условие
нельзя ослабить: если функция типа модуля непрерыв-
непрерывности шF) такова, что ряд
Ai=l Vn
расходится, то найдется функция /, для модуля не-
непрерывности к-рой выполняется оценка со(/, 6)<;о)F),
а ее Ф. р. не сходится абсолютно.
В частности, абсолютно сходятся Ф. р. функций,
удовлетворяющих Липшица условию порядка а > -^-.
Л при а = тгабсолютной сходимости может не быть
(С. Н. Борнштейн, 1914).
Если функция / имеет ограниченную вариацию и ее
модуль непрерывности удовлетворяет условию
2°° 1- V
то Ф. р. функции / сходится абсолютно (см. [9]). Усло-
Условие F) ослабить нельзя (см. [10]).
В отличие от предыдущих следующая теорема дает
критерий абсолютной сходимости для индивидуальной
функции. Для абсолютной сходимости Ф. р. функции
необходима и достаточна сходимость ряда
±-\ < ос, F)
/
где fn(f) — наилучшее приближение функции / в мет-
метрике пространства L2 тригонометрич. полиномами, со-
содержащими п гармоник (см. [11]).
Ряд B) можно рассматривать как действительную
часть степенного ряда
Мнимую часть
^^_ (— bfccos kz-\-ak sin кх) G)
наз. рядом, сопряженным с рядом B).
Пусть f?L и B) — ее Ф. р. Тогда для почти всех х
существует функция
/<*)= lim J_
(if. И. Привалов, 1919). Функцию / наз. сопряженной
с /, она может бьт, не интегрируемой. Но если f?L,
то Ф. р функции J является ряд G) (В. И. Смирнов,
1928).
Во многих случаях по свойствам функции / или ее
Ф. р. B) удается установить те или иные свойства со-
сопряженного ряда G), напр. его сходимость в метрике
Lp', сходимость или суммируемость в точке, почти всюду
и т. п.
Изучаются также свойства Ф. р. при специальных
предположениях об их коэффициентах. Напр., лаки-
парные тригонометрические ряды^ когда отличны от

нуля только коэффициенты с номерами пт, образующи-
образующими лакунарную последовательность, т. е. такими, что
пт + 1/пт t>; X > 1. Другой пример специальных рядов —
ряды с монотонными коэффициентами.
Все сказанное выше относилось к Ф. р. вида B).
Для Ф. р. по переставленной тригонометрич. системе
нек-рые свойства Ф. р. по тригонометрич. системе,
взятой в обычном порядке, не имеют места. Напр.,
существует такая непрерывная функция, что ее Ф. р.
после нек-рой перестановки расходится почти всюду
(см. [12] - [15]).
Теория Ф. р. для функций многих переменных раз-
разработана в меньшей степени. Часть многомерных ре-
результатов аналогична одномерным. Но имеются и су-
существенные отличия.
Пусть х—{хъ ..., ждг) — точка iV-мерного пространства,
k=(klt .. ., kN) есть Л'-мерный вектор с целочислен-
целочисленными координатами и (к, х) = к1х1 + . .. -f- kNxN. Для
функции f(x), имеющей период 2я по каждой перемен-
переменной и интегрируемой по Лебегу на TV-мерном кубе
[Q,2n]N, Ф. р. по тригонометрич. системе нал. ряд
где суммирование ведется по всем к \\
С Ь
Jo H)
— коэффициенты Фурье функции /. Ф. р.
(8) записан в комплексной форме. Запись его в триго-
тригонометрич. форме как ряда по произведениям косину-
косинусов и синусов кратных дуг более громоздка.
Возможны различные определения частных сумм ря-
ряда (8), напр. частные суммы по прямоугольникам
SV сие'1 <*• х)
| ft, |< я, • • • MHN I '; nN k
по кругам
I ft |< ,i v '
где п — радиус и | к ) -- V к'1 -].••+ к%.
Для представления функций круговые частные сум-
суммы (9) менее пригодны, чем их средние Рисса
ь I
'I ft |<п
N — 1
Для средних Рисоа порядка а^—^— Ф. р. функций
из L2 справедлив принцип локализации, а для мень-
меньших а это не так (С. Бохнер, S. Bochner, 1936). Средние
N- 1
Рисса круговых частных сумм критич. порядка а = —^—
играют существенную роль и в других вопросах Ф. р.
функций многих переменных.
Существует непрерывная функция двух переменных,
Ф. р. к-рой не сходится по прямоугольникам ни в од-
одной внутренней точке квадрата [0, 2зт]2 (см. [16]).
Нек-рые результаты, относящиеся к Ф. р. по триго-
тригонометрич. системе, допускают значительные обобще-
обобщения, напр, могут быть соответствующим образом пере-
перенесены на спектральные разложения, отвечающие само-
самосопряженным эллиптическим дифференциальным опе-
операторам.
Лит.: [1] Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды, М.,
1961; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с
англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1965; [3] X а р д и Г. X., Р о г о-
з и н с к и й В. В., Ряды Фурье, пер. с англ., М., 1959; [4] Л у-
з и н Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.— Л.,
1951; [5] Lebesgue H., Legons sur les series trlgonometri-
ques, P., 1906; [6] ПаплаускасА. Б., Тригонометриче-
Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега, М-, 1966; [7] У л ь я н о в П. Л.,
«Успехи матем. наук», 1964, т. 19, в. 1, с. 3—69; [8] А л и-
м о в Ш. А. И л ь и и В. А., Никишин Е. М., там же,
197В т. 31, а. 6 с. 28—83; [9] Salem R., «Duke Math. J.»,
)94:i,v. 10, p. 23—31; [10] Б оч кар ев С. В., «Изв. АН СССР.
Ср]1. матем.», 1973, т. 37, с. 630—38; [11] Стечкип

С. Б., «Докл. АН СССР», 1955, т. 102, с. 37 — 40; [121 Ко 1-
mogorofl A., M e n s с h о f f D., «Math. Z.», 1Я27, Hd 2(>,
S. 4Я2—41; [13] Z a h о r s k i Z., «C. r. Acad. sci.», l!)(!0, t. 251,
p. 501 — 03; It4] Ульяной Л. Л., «Успехи матем. наук»,
1»(>1, т. 16, в. 3, с. с>1 —142; 11 Г) 1 О л с в с к и и А. М.,
«Докл. АН СССР», 1901, т. 141, с. 28 — 31; [16] F е ( f e г-
man С, «Bull. Amer. Math. Soc.», 1971, v. 77, p. 191 — 95.
С. А. Теляковский.
ФУРЬЕ ЧИСЛО — один из критериев подобия не-
нестационарных тепловых процессов. Характеризует со-
соотношение между скоростью изменения тепловых ус-
условий в окружающей среде и скоростью перестройки
поля температуры внутри рассматриваемой системы
(тела), к-рын зависит от размеров тела и коэффициента
его теплопроводности. Ф. ч. Fo=atg/P, где я=А,/рс —
коэффициент температуропроводности, Я — коэффи-
коэффициент теплопроводности, р — плотность, с — удельная
теплоемкость, I — характерный линейный размер тела,
г0 — характерное время изменения внешних условий.
Название по имени Ж. Фурье (J. Fourier).
По материалам одноименной статьи БСЭ-3.
ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ ИНТЕГРАЛ, интеграл
Г а н к е л я,— аналог Фурье интеграла для Песселя
функций, имеющий вид
Mv (Ал) dk (J " yJv (ky) / {у) dy. (*)
Формула (*) может быть получена из Фурье—Бесселя
ряда для интервала (О, I) переходом к пределу при J-»-
+ сс. Г. Ганкель (Н. Hankel, 1875) установил теорему:
если функция f(x) кусочно непрерывная и имеет огра-
ограниченную вариацию на любом интервале 0<х<{, ин-
интеграл
сходится, то формула (*) справедлива при v >—1/2 во
всех точках непрерывности /(#), 0 < х <-f-oo. В точ-
точках разрыва х0, 0 < х0 < -f- со, правая часть формулы
(*) равна [/(т„ — 0) + /(г0 + 0)]/2, при ха — 0 она дает
/@ + )/2
/( + )/
Аналоги Ф. — Б. и. (*) для цилиндрич. функций Zv (x)
других типов также справедливы, но пределы интег-
ралон должны быть соответственно изменены.
Е. Д- Соломеицев.
ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ РЯД — разложение функции
/(.т) в ряд
где / (ос) — заданная в интервале @, а) функция, Jv (x) —
Бесселя функция порядка v >—тг , г™—положитель-
г™—положительные нули функции Jv(x), расположенные в порядке
возрастания; коэффициенты ряда с,„ имеют следующие
значения
%) .— ) dr.
Если }(х) — кусочно непрерывная функция, заданная
на интервале (о, а) и интеграл
(¦о ,—
\ У r / (r) I dr < с»,
Jo r i ' ^ I "- '
то Ф.— Б. p. сходится и сумма его равна -^- (/ (я + 0) -f-
+/(^~0)) в каждой внутренней точке х интервала
(О, а), в окрестности к-рой 1 (х) имеет ограниченную
вариацию. Л. Я. Кармазина.
ФУРЬЕ — СТИЛТЬЕСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — од-
одно из интегральных преобразований, родственное Фурье
преобразованию. Пусть функция F (х) имеет ограничен-
ограниченное изменение на (—со, +оо). Функция

на:!, преобразование м Ф у р ь е — С т и л т ь е с а
для />'. Функция Ф, определенная интегралом A), огра-
ограниченна и непрерывна. Всякая периодич. функция ф(.т),
разлагающаяся is ряд Фурье У апе'пх с абсолютно
сходящимся рядом коэффициентов, может быть запи-
записана в форме интеграла (*) с F (.г) — 2 ап-
Формула (¦¦¦¦¦) допускает обращение: если F (х) имеет
ограниченное изменение и
F(x)-F(Q)~-L [''* 4.(l)-^^dl, *?(-«>,+оо),
1 J-Я J - CO 'Ь
где интеграл понимается в смысле главного значения
на оо.
Если в формуле (*) в качестве функции F (х) допус-
допустить лишь неубывающие функции ограниченной ва-
вариации, то совокупность получающихся непрерывных
функций ср(.т) полностью характеризуется свойством:
для любой системы действительных чисел tx,. . .,tn
справедливо Еюравенство
каковы бы ни были комплексные числа |u ?2). . .,g,,
(теорема Б о х н е р а — X и н ч и н а). Такие
функции наз. положительно определен-
н ы м и. Ф.-С. п. находит широкое применение в тео-
теории вероятностей, где неубывающую функцию
1 2л
подчиняют дополнительным ограничениям lim Р (х)=
X -> — аз
= 0, lim Р (х) — 1, Р (х) непрерывна слева, и именуют
распределением, функцию
Ф(х)= \ + ю е-'** dP (у)
J — СО
— характеристической функцией
[распределения Р(х)]. Теорема Бохнера — Хинчнна вы-

ражает тогда необходимое п достаточное условие того,
что непрерывная функция Ф (.г) |для к-рой Ф @) -11
является характеристической функцией нек-рого рас-
распределения.
Теория Ф.-С. п. развита и в п-мерном случае.
Лит.: Ill Ь о х н с р С, Лекции об интегралах Фурье,
пер. с англ., М., 1982; 12] 3 и г м у и ц А., Тригонометрические
"ряды, пер. с англ., т. 2, М., 1905; [3] Г н с д о и к о В. В.,
Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969. П. If. Лнзортш,
ФУРЬЕ — СТИЛТЬЕСА РЯД — ряд вида
-тг+2л=1 (an™s nx + bn sia пх).
n = 0, 1,...,
(интегралы понимаются в смысле Стилтьоса). F(x) —
функция с ограниченным изменением на [0, 2л]. Ина-
Иначе можно записать
dF (х) ~4г -Ь'У* ian ros пх-\-Ь„ sin nx). (*)
Если F(x) абсолютно непрерывна на [0, 2я1, то (*)
есть ряд Фурье функции F' (х). В комплексной форме
ряд (*) имеет вид
где
при этом
и {сп} будет ограниченной. Если сп —>¦ 0, то F непре-
непрерывна на [0, 2л]. Существует непрерывная функция F (х),
для к-рой сп -?> 0 при п—>-\-&>. Ряд («•) суммируем
методом Чезаро (С, г), г > 0, почти всюду на [0, 2л]
к F' (х).
Лит.: и] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер.
с англ., т. 1, М., 1965. А. А. Копюшков.

ХААРА МЕРА — ненулевая положительная мера
|i на 0-кольце М подмножеств Е локально компактной
группы G, порожденном семейством всех компактных
подмножеств, принимающая конечные значения на всех
компактных подмножествах в G и удовлетворяющая
либо условию левоинвариантности:
\i(E)=--n(gE) япявсехЕ?М, g?G, где gE ^--{gx\x?E},
либо условию право инвариантности:
для всех ??M,?gG, где Eg =
Соответственно говорят о лево- или п р а в о и н-
вариантной X. м. Всякая X. м. ц-р е г у л я р-
н а, т. е.
(X (fi) = sup {[i (К) \ К с Е, К компактно}
k
для всех ?
Левоинвариантная (а также правоинвариантная) Х.м.
существует и определена однозначно с точностью до по-
положительного множителя; это было установлено А. Ха-
аром fl] (при дополнительном предположении о сепара-
сепарабельности группы G).
Если / — финитная непрерывная функция на G, то
/ интегрируема относительно левоинвариантной X. м.
на G и соответствующий интеграл левоинвариантен
(см. Инвариантное интегрирование), т. е.
для всех ga^G. Аналогичным свойством обладает пра-
правоинвариантная X. м. Мера Хаара всей группы G
конечна тогда и только тогда, когда G компактна.
Если (X — левоинвариантная X. м. на G, то для лю-
любого ga?G имеет место равенство
где Д — непрерывный гомоморфизм группы G в муль-
мультипликативную группу R+ положительных действи-
действительных чисел, не зависящий от выбора непрерывной
финитной функции / на G. Гомоморфизм Д наз. моду-
модулем г р у п п ы G; мера A(g-1)d(x(g) является право-
инвариантной X. м. на G. Если A(g)=l, то группа С
наз. унимодулярной; в этом случае левоин-
левоинвариантная X. м. является также и правоинвариант-
ной и наз. двусторонне инвариантно]!.
В частности, любая компактная, дискретная и абелева
локально компактная группа, а также любая связная
полупростая или нильпотентная группа Ли унимоду-
лярна. Унимодулярность группы G равносильна также
тому, что любая левоинвариантная X. м. (х на G ин-
инверсионно инвариантна, т. е. \х(Е~1) =
=\i(E) для всех Е?М.
Если G — группа Ли, то интеграл но левоинвариант-
ной (правоинвариантной) X. м. на G определяется фор-
формулой
\ / {х) d\x,(x)= \ /(Oi Л ... Л мП)
где со,- — линейно независимые левоинвариантные (пра-
воинвариантные) дифференциальные формы 1-го по-

рядка на С (см. Маурера — Картана форма), и=
-dim G. Модуль группы Ли С определяется формулой
Д (г) = | det Ada: |, x?G,
где Ad — присоединенное представление.
Примеры. 1) X. м. на аддитивной группе R
и на факторгруппе R/z (группа вращений окружно-
окружности) совпадает с обычной лебеговской мерой. 2) Пол-
Полная линейная группа GL(n, Ф), Ф=К или С. унимо-
дулярна, причем X. м. имеет вид
где k — n при Ф = К и к=2п при Ф=С, a dx — лебе-
говская мера в евклидовом пространстве всех матриц
порядка п над полом Ф.
Если G — локально компактная группа, 77 — ее замк-
замкнутая подгруппа, X — однородное пространство G/H,
Д и б — модули групп G и Н соответственно, % — не-
непрерывный гомоморфизм группы G в R +, задаваемый
формулой
X(h) = b(h)h(h-i), h?II,
то существует положительная мера v на а-кольце Т
множеств EczG/H=X, порожденном семейством ком-
компактных подмножеств в А7, однозначно определяемая
условием:
\/ ( н f (ёН) ^ {h))dv {g)=lof {8) х {8) dv{8)'
где / — любая непрерывная финитная функция на
С, g=gH?X, причем
х h (g-ix) v(x) = f(g) J x h {x) dv (x)
для всех непрерывных финитных функций / на X.
Лит.: [1] На а г A., «Ann. Math. », 1933, v. 34, p. 147—
69; [2] Б у р б а к и Н., Интегрирование, пер. с франц., М.,
1970; [3] В е й л ь" А., Интегрирование в топологических груп-
группах и его применения, пер. с франц., М., 1950; [4] Л ю м и с Л.,
Введение в абстрактный гармонический анализ, пер. с англ.,
М., 1956; 15] X е л г а с о н С, Дифференциальная геометрия и
симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.
Д. П. Желобенко, А. И. Штерн.
ХААРА СИСТЕМА — одна из классических орто-
нормированных систем функций. Функции Ха-
а Р а Xn M этой системы определяются на отрезке
[О, 1] следующим образом:
Хг@^1 на [0, 1];
если п = 2т + /г, А- = 1,. . ., 2т, т=0, 1,. . ., то
f 1/1"» при t?(Bk — 2)/2'>' + 1, Bk — \)/2»-+1),
Хя (') = ¦{ — Y*" при t?(Bk —1)/2» + \ 2fe/2m + !),
lo при 1 ^ {(к — l)/2m, kj2m\.
Во внутренних точках разрыва функции Хаара пола-
полагаются равными полусумме своих предельных значе-
значений справа и слева, а на концах отрезка [0, 1] — своим
предельным значениям изнутри отрезка.
Система {Хп№} определена А. Хааром ([1]). Она ор-
тонормирована на отрезке [0, 1]. Ряд Фурье по этой
системе от любой непрерывной на отрезке |0, 1] функ-
функции сходится к ней равномерно. Более того, если

(о (а, /) — модуль непрерывности функции j(t) на от-
отрезке [0, 1], то для частных еум.м Sn(l, /) порядка п
ряда Фурье -Хаара функции f(t) справедливо нера-
неравенство
sup |/(*)_.<?„ (г, /)|<12соA/п, /), и=--Н,2, ....
О < << 1
X. с. является базисом в пространстве Lp [0, 1], 1<:
<р<со. Если f(t)?Lp[O, 11 и ШрF,/) — интегральны!!
модуль непрерывности функции f (t) в .метрике прост-
пространства Lp [0, 1], то (см. [3])
\\f(t)-Sn(t,f)\\L [0_ 1]<24со/,A/я, /), п = 1, 2
X. с. является безусловным базисом в пространстве
Lp [0, 11 при 7<р<со.
Если функция /(*) интегрируема по Лебегу на от-
отрезке [0, 1], то ее ряд Фурье—Хаара сходится к ней
в любой точке Лебега этой функции и, в частности,
почти всюду на [0, 1]. При этом сходимость (и абсолют-
абсолютная сходимость) ряда Фурье—Хаара в фиксирован-
фиксированной точке отрезка [0, 1] зависит лишь от значений функ-
функции в любой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Для рядов Фурье — Хаара существенно отличаются
друг от друга следующие свойства: а) абсолютная схо-
сходимость всюду; б) абсолютная сходимость почти всюду;
в) абсолютная сходимость на множестве положитель-
положительной меры; г) абсолютная сходимость ряда коэффициен-
коэффициентов Фурье. Для тригонометрии, рядов все эти свой-
свойства равносильны.
Свойства коэффициентов Фурье — Хаара резко от-
отличаются от свойств тригонометрич. коэффициентов
Фурье. Напр., если функция f(t) непрерывна на от-
отрезке [0,1], а я„(/) — ее коэффициенты Фурье по систе-
системе {Хп№}> то справедливо неравенство
I а-п (/I < О/ V"bi) ш (IK Л, п 5э 2,
откуда следует, что
а„(/) = о(п-1'2), п—-со.
В то же время коэффициенты Фурье — Хаара непре-
непрерывных функций не могут убывать слишком быстро:
если функция /(/) непрерывна на отрезке [0,1] и
Для функций /(/) f ^[0,1], 1<р < оо, сира иод-
[3])
то / (t) Е== const на [0,1].
Для функций /(/) f []
ливы следующие оценки (см. [3]):
|eB(/)K»A/p)-(l/sH);,(l/ii, /), п-1, 3, ... ,
/l/2", /), ге = 0, 1
Если же j(t) имеет конечную вариацию V(j) на отрез-
отрезке [0,1], то
Все эти неравенства являются точными в смысле но-
рядка убывания их правых частей при га->-со (в соот-
соответствующих классах) (см. [3]).
Интересной особенностью отличаются ряды вида
безусловно сходящиеся почти всюду: если ряд вида (*)
при любом порядке следования его членов сходится
почти всюду на множестве Е с [0, 1] положительной
меры Лебега (исключительное множество меры нуль
может зависеть от порядка следования членов ряда (*)),
то этот ряд сходится абсолютно почти всюду на [0, 1].
Для рядов вида (*) справедлив следующий критерий:
чтобы ряд (*) сходился почти всюду на измеримом

множестве К cz [ft, 1], необходимо и достаточно, чтобы
ряд 2„_1 а«Хи(О сходился почти всюду на Е.
Ряды Хаара могут служить для представления изме-
измеримых функций: для любой конечной почти всюду на
отрезке [0,1] измеримой функции f(t) существует ряд
вида (*), к-рый почти всюду на [0,1] сходится к функ-
функции f(t). При этом конечность функции f (t) сущест-
существенна: не существует ряда вида (*), сходящегося к
+ оо (или —со) на множестве положительной меры Ле-
Лебега.
; Лит.: [1] Н а а г A., «Math. Ann.», 1910, Bd 69, S. 331—71;
[2j Алексии Г., Проблемы сходимости ортогональных рядов,
пер. с англ., М., 1963; [3] Ульянов П. Л., «Матем. сб.»,
1964, т. 63, № 3, с. 356—91; [4] е г о же, там же, 1967, т. 72,
.№ 2, с. 193—225; [5] Г о л у б о в Б. И., в сб.: Итоги науки.
Математический анализ. 1970, М., 1971, с. 109—43.
Б. И. Голубое.
ХААРА УСЛОВИЕ — условие на непрерывные линейно
независимые на ограниченном замкнутом множестве М
евклидова пространства функции xk(t), fc = l, ..., п.
Сформулировано А. Хааром ([1]). X. у. гарантирует
для любой непрерывной на М функции / (t) единст-
единственность полинома н а и л у ч m e г о прибли-
приближения (н. п.) по системе {xk(t')}, т. е. полинома
для к~рого
max|/U)-Pn-i(')|-
teM
— min max f (I) -V"
{ak} teM *=
X. у. состоит в том, что любой нетривиальный полином
вида (*) должен иметь в М не более п — 1 различных
нулей. Чтобы для любой непрерывной на М функции
/(*) существовал единственный полином н. п. по си-
системе {2fc(i)}fc=i, необходимо и достаточно, чтобы эта
система удовлетворяла X. у. Систему функций, удов-
удовлетворяющих Х.у., наз. Чебышева системой. Для таких
систем справедлива Чебышева теорема и Балле Пуссена
теорема (об альтернансе). X. у. достаточно для един-
единственности полинома н. п. по системе [xk(t)}^=i в мет-
метрике L [a, b] (M — [a, b]) для любой непрерывной на
\а, Ь] функции.
Лит.: [1] Н а а г A., «Math. Ann.», 1918, Bd 78; [2] А х и е-
nep H. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965.
Ю. Н. Субботин.
ХАДВИГЕРА ГИПОТЕЗА —задача комбинаторной
геометрии о покрытии выпуклого тела фигурами спе-
специального вида, выдвинутая X. Хадвигером [1]. Пусть
К — выпуклое тело n-мерного евклидова простран-
пространства R", а Ъ (К) — минимальное число тел, гомотетич-
гомотетичных К с коэффициентом гомотетии к, 0 < к < 1, доста-
достаточное для покрытия тела К. X. г. заключается
в следующем: для любого ограниченного К cz Rn спра-
справедливы неравенства
Причем неравенство 6 (if) = 2" характеризует паралле-
параллелепипед (см. [1]). X. г. подтверждена для случая и^2;
для «5=3 имеются A984) лишь частные результаты.
Напр., для любого n-мерного ограниченного много-
многогранника KczR", каждые две вершины к-рого при-
принадлежат двум различным параллельным опорным
гиперплоскостям к К, справедливы неравенства (*).
Причем Ъ (К) совпадает с числом вершин К, а в мно-
множестве таких многогранников равенство Ь(К) = 2"
проверяется только для параллелепипеда. Этот резуль-
результат связан с решением одной из Эрдёша задач о числе
точек в R", каждые три из к-рых образуют не тупо-
тупоугольный треугольник. X. г. связана и с покрытия,
разбиения и освещения задачами. Напр., X. г. может
быть рассмотрена как обобщение Борсука проблемы

о разбиении множества на части меньшего диаметра
для случая, когда R" заменяется пространством Мин-
ковского. Для неограниченного К cz R™ число Ь (А)
либо равно Ь(К'), где К' выпуклое и ограниченное
тело с меньшим числом измерений, либо со. Напр.,
для К a R3 число Ь {К) принимает одно из значений:
1, 2, 3, 4, оо (см. [2]).
Лит.: [1] Hadwiger H., «Archiv Math.», 1957, т. 8, р.
212—13; [2] Б о л т я н с к и й В. Г., С о л т а н П. С, Ком-
Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств,
Кишинев, 1978. Я. С. Солтан.
ХАНА РАЗЛОЖЕНИЕ — разбиение множества X, на
(т-алгебре 2 подмножеств к-рого задана ст-аддитивная
функция .множеств /, на два подмножества Х+, Х_,
X+\JX_ = X такие, что /(Af)SsO, если М ? 2,
*cl+ и /(Af)<0, если М 4. 2. *сХ- Такое
разбиение X, вообще говоря, не однозначно.
Лит.: [1] Данфорд Г., Шварц Д ж., Линейные опе-
операторы. Общая теория, пер. с англ., ч. 1, М., 1962.
Б. И. Соболев.
ХАНА — БАНАХА ТЕОРЕМА: линейный функцио-
функционал f(x), определенный на линейном многообразии L
действительного или комплексного векторного прост-
пространства X, может быть продолжен до линейного функ-
функционала F(X), определенного на всем X, если сущест-
существует полунорма р (х) такая, что
IIWKpW (*)
для любого x?L. Такое продолжение определяется,
вообще говоря, неоднозначно, но для любого из них
неравенство
\F(x)\<p(x)
при любом ,т?Х сохраняется.
В случае действительного пространства X полунор-
полунорму можно заменить положительно однородным функ-
функционалом, а неравенство (*) — односторонним нера-
неравенством f(x)*s.p(x), остающимся справедливым и для
продолженного функционала. Если X — банахово про-
пространство, то в качестве р (х.) можно взять ||/||i-||a:||,
и тогда \\F\\x=--=Vh- Доказана X. Ханом A927) и
независимо С. Банахом A929).
Лит.: [1] Hahn H.,«J. reine und angew. Math.», 1927,
Bd 157, S. 214; [2] Banach S., «Stud, math.», 1929, v. 1,
p. 211 —16, 223—39; [3] Колмогоров А. Н., Фо-
Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального ана-
анализа, 5 изд., М., 1981; [4] Канторович Л. В., А к и-
л о в Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
В. И. Соболев.
ХАНТА — СТЕЙНА ТЕОРЕМА — утверждение, со-
содержащее условия, при выполнении к-рых существует
максиминный инвариантный критерий в задаче статис-
тич. проверки гипотез.
Пусть по реализации случайной величины X, при-
принимающей значения в выборочном пространстве
{Ж, 93, Ре)- в € ®i надлежит проверить гипотезу
Н0:в ? в0 с: в против альтернативы H1:B?Q1 = Q\@0,
причем предполагается, что семейство {Ре} доминиро-
вано нек-рой 0-конечной мерой ц. Далее, пусть на
(Ж, 33) действует группа преобразований G = {g}, остав-
оставляющая инвариантной задачу проверки гипотезы Но
против Я], и пусть А — борелевское ст-полеподмножеств
группы G. X.— С. т. утверждает, что если выполняются
условия:
1) отображение (х, g)—-*¦ gx (SB X с/?)-измеримо,
причем Ag ? 53 для любого множества A g Л и любого
элемента g ^ G;
2) на Л существует асимптотически правоинвариант-
ная последовательность мер vn в том смысле, что для
любых g ^ G и А ? Л
lim \vn(Ag)~vn(A)\ = O,
то для любого статистич. критерия, предназначенного
для проверки #0 против Нл, критич. функция к-рого
есть ф(ж), найдется (почти) инвариантный критерий

с критич. функцией i))(.r) такой, что при всех
inf Е_о Ф (XX Ео г\- (X) < sup Е- цф (X),
G G
где C={g} — группа, индуцированная группой G.
Из X.— Ст. следует, что если существует статисти-
статистический критерий уровня а с критич. санкцией ф0,
максимизирующий inf Еефо(Х), то существует и
0 0
(почти) инвариантный критерий с таким же свойством.
Условие 2) заведомо выполняется, когда группа G
является локально компактной, на к-рой задана пра-
воинвариантная мера Хаара. Х.—С. т. показывает, что
если группа G удовлетворяет условиям теоремы, то в
любой задаче статистич. проверки гипотез, инвариант-
инвариантной относительно G, в к-рои. существует равномерно
наиболее мощный критерий, этот критерий является
максиминным.
Напротив, пусть в нек-рой задаче статистич. про-
проверки гипотез, инвариантной относительно группы G,
установлено, что равномерно наиболее мощный крите-
критерий не является максиминным. Это означает, что на-
нарушены условия Х.-С. т. В связи с этим возникает
вопрос: может ли заданный критерий быть максимин-
максиминным в другой задаче проверки гипотез, инвариантной
относительно той же группы G? Ответ на этот вопрос
уже зависит не только от группы G, но и от самого се-
семейства распределений {Ро }¦
X.—С. т. была получена Хантом (G. Hunt) и Стей-
ном (С. Stein) в 1946, см. [1].
Лит.: til Леман Э., Проверка статистических гипотез,
пер. о англ., 2 изд., М., 1979; [21 3 а к с Ш., Теория статисти-
статистических выводов, пер. с англ., М., 1975. М. С. Никулин.
ХАРАКТЕР С*-алгебры А— ненулевой полуне-
полунепрерывный снизу полуконечный след f на С*-алгебре А,
удовлетворяющий следующему условию: если ф — полу-
непрерьндаый снизу иолуконечный след на С*-алгебре А
и <р (ж) г?/(ж) для всех х? А +, то ф {x) = Xf (х) для
нек-рого неотрицательного числа К и всех элементов
х ? А + , лежащих в замыкании идеала 41/, порожден-
порожденного множеством [х:х ? А + , f (x) < + оо}. Существует
канонич. взаимно однозначное соответствие между мно-
множеством классов квазнэквивалентности ненулевых фак-
торпредставлений 6'*-алгебры А, допускающих след,
и множеством характеров С*-алгебры А, определенных
с точностью до положительного множителя; это соот-
соответствие устанавливается формулой / (х) = % (п (х)),
х ? А, где я—факторпредставление С*-алгебры А,
допускающее след %. Если след / на С*-алгебре А
конечен, то X. С*-алгебры наз. конечным харак-
характером; конечный характер непрерывен. Существует
каноническое взаимнооднозначное соответствие между
множеством классов квазиэквивалентности ненулевых
факториредставлений конечного типа С*-алгебры А и
множеством конечных X. С*-алгебры А с нормой 1.
Если А коммутативна, то любой характер коммутатив-
коммутативной алгебры А есть X. С*-алгебры А. Если А — груп-
групповая С*-алгебра компактной группы G, то X. 6'*-ал-
гебры А конечны, и X. С*-алгебры А с нормой i соот-
соответствует нормализованным характерам компактной
группы G.
Лит.: ШДиксмье Ж., С*-алгебры и их представления,
пер. с франц., М., 1974. А. Я. Штерн.
ХАРАКТЕР ассоциативной алгебры А над
полем к — ненулевой гомоморфизм алгебры А в к.
X. алгебры А иногда называют также мультипли-
мультипликативным функционалом на А. Любой X.
у;.А—у к сюръективен и обладает свойством 5СA)---1.
Ядро Кег х есть максимальный идеал в А.
Если А — конечно порожденная коммутативная ал-
алгебра и поле к алгебраически замкнуто, то любой
максимальный идеал в А является ядром единствен-

ного X., так что соответствие между X. и максималь-
максимальными идеалами биективно. Совокупность Specra А
всех X. коммутативной алгебры А, называемая ее
м а к с и м и л ь н ы м спек т р о м, обладает естествен-
естественной структурой алгебраического аффинного многообра-
многообразия. Каждый элемент а ? А определяет функцию а
па Specm А, заданную формулой а(%) = %(а), причем
функции а составляют алгебру регулярных функций
на Specm А. Обратно, если X—аффинное алгебраич.
многообразие и А—алгебра регулярных функций на X,
то Specm А отождествляется с X: каждой точке х ? X
соответствует характер %х, действующий по формуле
Хх(а) = а(х).
Аналогичными свойствами обладают X. коммутатив-
коммутативной банаховой алгебры А над полем С. Любой
X. %:А—> С непрерывен, его норма ||х||<1. Любой
максимальный идеал в А является ядром единствен-
единственного X. алгебры А. Множество Ф (А) всех X., рас-
рассматриваемое как подмножество единичного шара в А*,
снабженного слабой топологией, компактно и наз.
спектром алгебры А, причем имеется естественный
гомоморфизм алгебры А в алгебру непрерывных функ-
функций на Ф(А). Напр., если А—алгебра всех комплекс-
нозначных непрерывных функций на компакте X, снаб-
снабженная нормой || /1| = max | / |, то Ф (А) отождествляется
о X: каждому элементу х ? X соответствует X. %х,
действующий по формуле %x(f) = f (х), f ? А. Харак-
Характер х симметрической коммутативной банаховой ал-
алгебры А наз. эрмитовым, если % (я*) = % (а) (а?А);
% эрмитов тогда и только тогда, когда Кег%—симмет-
Кег%—симметрический максимальный идеал.
Лит.: [1] НаймаркМ. А., Нормированные кольца,
2 изд., М., 1968. А. И. Штерн.
ХАРАКТЕР группы — гомоморфизм данной
группы в нек-руго стандартную абелеву группу А.
Обычно в качестве А берется либо мультипликативная
группа к * нек-рого поля к, либо подгруппа
r = {z€C|h| = l}
группы С*. Понятие X. группы было первоначально
введено для конечных групп G и А — Т (впрочем,
в атом случае всякий X. G —>¦ С* принимает значе-
значения в Т).
Изучение X. групп сводится к случаю абелевых
групп, поскольку имеется естественный изоморфизм
между группами Hom(G, А) и Нош (C/(G, G), А), где
(С, G) — коммутант группы G. Характеры С—> к* со-
составляют линейно независимую систему в пространстве
всех &-значных функций на G. Характер С—>А* одно-
однозначно продолжается до X. групповой алгебры k[G].
Характеры G —>- к* являются одномерными линейными
представлениями группы G над к; понятие характера
представления группы в одномерном случае совпадает
с понятием X. группы. Иногда X. группы называют
X. любого ее конечномерного представления (и даже
само это представление).
Характер топологической группы G—
это непрерывный гомоморфизм G—> Т. Если G —ло-
—локально компактная абелева группа, то ее X. разделяют
точки, т. е. для любых а, Ь ? G, а Ф 6, существует
такой X. a: G—> Т, что а (а) ^ а(Ь). Для хаусдорфо-
вых абелевых групп G это утверждение, вообще говоря,
неверно (см. [3]). Характер алгебраической
группы G над алгебраически замкнутым полем А' —
это рациональный гомоморфизм G —»¦ К*.
В теории чисел важную роль играют X. мультипли-
мультипликативной группы gft кольца вычетов %k по модулю к,
к-рые взаимно однозначно соответствуют Дирихле ха-
характерам (mod k): характеру а: 1,1—*- Т отвечает
характер Дирихле х^ 52—>?, определяемый форму-

лои
J а(и-|-А g), рглп (н, *) —1;
Х \0, если (л, к) ф\.
См. также Характеров группа.
Лит.: [11 Борель А., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] Моррис С, Двойственность Попт-
рягина и строение локально компактных абелевых групп, пер.
с англ., М., 1980; [3] X ь ю и т т Э., Р о с с К., Абстрактный
гармонический анализ, пер. с англ., т. 1, М., 1976.
А. Л. Онищик.
ХАРАКТЕР конечномерного представле-
представления полупростой алгебры Ли—функция,
сопоставляющая каждому весу представления размер-
размерность соответствующего весового подпространства. Если
() — подалгебра Картана полупростой алгебры Ли g
над алгебраически замкнутым полем к характеристики
О, ф;д—>- cjl (V) — линейное представление и Vi—ве-
Vi—весовое подпространство, отвечающее А, ? I)*, то X. пред-
представления ф (или д-модуля V) записывается и впде
сЬУ = 2Яб (dimrx)e^
и рассматривается как элемент группового кольца
% [()*]. Если к^--С и ф = <2ф, где Ф:С—^GL(I7) — ана-
литическое линейное представление группы Ли G, ал-
алгеброй Ли к-рой является д, то е^ можно рассматри-
рассматривать как функцию на Г) и ch V совпадает с функцией
¦Т|—*>Хф(ехРг> (х € б)> гДе %<р —х- представления Ф.
X. представления алгебры Ли обладает следующими
свойствами:
Лит.: [1] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с
англ. и франц., М., 1969; [2J Д и к с м ь е Ж., Универсальные
обертывающие алгебры, пер. с франц., М., 1978.
А. Л. Онищик.
ХАРАКТЕР полугруппы — ненулевой гомо-
гомоморфизм коммутативной полугруппы S с единицей в
мультипликативную полугруппу комплексных чисел,
состоящую из всех чисел с модулем 1 и нуля. Иногда
под X. полугруппы понимают ненулевой гомоморфизм
в мультипликативную полугруппу комплексных чисел,
модуль к-рых <1. Оба понятия X. полугруппы .экви-
.эквивалентны, если S — клиффордова полугруппа. Мно-
Множество S * всех X. полугруппы 5" образует коммута-
коммутативную полугруппу с единицей (полугруппу
характеров)- относительно поточечного умно-
умножения «
Идеал Р полугруппы S наз. вполне и з о л и-
р о в а н н ы м, если 5\Р есть подполугруппа. Множе-
Множество всех вполне изолированных идеалов коммутатив-
коммутативной полугруппы с единицей образует полурешетку от-
относительно операции объединения, изоморфную но-
лурешетке идвмпотентов (см. Идемпотентов полу-
полугруппа) полугруппы S*. Характеры коммутативной
полугруппы S отделяют элементы из S,
если для любых a, b?S, афЪ, найдется %?S* такой,
что %(а)ф%(Ъ). Если S с единицей, то X. полугруппы
S отделяют элементы из S тогда и только тогда, когда
5 — сепаративная полугруппа. Задача описания полу-
полугруппы X. произвольной коммутативной полугруппы
с единицей сводится к описанию X. полугруппы, яв-
являющейся полурешеткой групп; соответствующее опи-
описание для случая, когда эта полурешетка удовлетво-
удовлетворяет условию минимальности, см., напр, fl], § 5.5.
Имеется абстрактная характеризация полугрупп X.
Для любого а ? S, -/ ? S* отображение а:у >—>%(я),
% ? S*, является X. полугруппы S*, т.е. а ? б1**.
Отображение co:ai—»¦ а является гомоморфизмом S в

S** (так. наз. к а н о н и ч. гомоморфиз м). Если со
является изоморфизмом S на S**, то говорят, что для
lS1 справедлива теорема д в о ii с т в с п и о с т и. Тео-
Теорема двойственности справедлива для коммутативной
полугруппы S с единицей тогда и только тогда, ког-
когда S—инверсная полугруппа [3]. О вопросах двойст-
двойственности для X. полугрупп в топологич. случае см.
Топологическая полугруппа.
Лит.: [1] Клиффорд А., П р е с т о н Г., Алгебраи-
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972; [2] Л е-
с о х и н М. М. «Изв. вузов. Матем.», 1970, № 8, с. 67—74;
[3] A u s t i n С, «Trans. Amer. Math. Soc», 1963, v. 109, № 2,
p. 245—56. Б. П. Танана, Л. Н. Шеврин.
ХАРАКТЕР представления я ассоциатив-
ассоциативной алгебры А—функция <р на алгебре Л, опре-
определенная формулой <f> (х) — % (п (х)) для х ? А, где
X — линейный функционал, определенный на нек-ром
идеале / в алгебре я (А) и удовлетворяющий условию
X («6) = х (Ьа) для всех а ? /, Ь^п(А). Если пред-
представление я конечномерно или если алгебра я (А) со-
содержит ненулевой конечномерный оператор, то в ка-
качестве х обычно рассматривается след оператора. Пусть
А есть С*-алгебра, я—такое представление С*-ал-
гебры А, что Неймана алгебра ЭД, порожденная алгеб-
алгеброй я (А), является фактором полуконечного типа;
пусть х' — точный нормальный полуконечнып след
на 9(, х—линейное продолжение следа %' на идеал Ш%'\
если множество {х:х ? А, %' (я (х)) < -)- оо} отлично от
нуля, то формула ц> (х) = у_ (я (х)), х ? А, определяет
X. представления алгебры А, ограничение к-рого
на Л+ есть характер С*-алгебры А. Во многих слу-
случаях X. представления алгебры определяет представ-
представление однозначно с точностью до нек-рого отношения
эквивалентности; напр., характер неприводимого ко-
конечномерного представления определяет представление
однозначно с точностью до эквивалентности; X. фак-
фактор представления С*-алгебры, допускающего след,
определяет представление однозначно с точностью до
квазиэквивалентности.
Лит.: El] Кириллов А.А., Элементы теории представ-
представлений, 2 изд.,М., 1978; [2] Кэртис Ч., Райнер И., Те-
Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр,
пер. с англ., М., 1969; ШДиксмье Ж., С*-алгебры и их
представления, пер. с франц., М., 1974. А. И. Штерн.
ХАРАКТЕР представления я группы G —
в случае конечномерного представления функция хя
на группе G, определяемая формулой
Для произвольных непрерывных представлений топо-
топологич. группы G над полем С это определение обоб-
обобщается следующим образом:
%л (g) = X (я («?)) для g?G,
где 1 — линейный функционал, определенный на нек-
ром идеале / в алгебре А, порожденной семейством
операторов n(g), g?G, и инвариантный относительно
внутренних автоморфизмов алгебры А; в нек-рых слу-
случаях X. представления я наз. X. представления нек-
некрой групповой алгебры группы G, определенного пред-
представлением л (см. Характер представления ассоциа-
ассоциативной алгебры).
X. прямой суммы (тензорного произведения) конеч-
конечномерных представлений равен сумме (произведению)
X. этих представлений. X. конечномерного представ-
представления группы является функцией, постоянной на клас-
классах сопряженных элементов; X. непрерывного конечно-
конечномерного унитарного представления группы есть непре-
непрерывная положительно определенная функция на группе.
Во многих случаях X. представления группы опре-
определяет представление однозначно с точностью до эк-
эквивалентности; напр., X. неприводимого конечномер-
конечномерного представления над полем характеристики 0 опре-
определяет представление однозначно с точностью до прост-

ранствонной эквивалентности; X. конечномерного не-
непрерывного унитарного представления компактной
группы — с точностью до унитарной эквивалентности.
X. представления локально компактной группы G,
допускающего продолжение до представления алгебры
непрерывных финитных функций на G, может опреде-
определяться мерой на G; в частности, X. регулярного пред-
представления унимодулярной группы задается точечной
вероятностной мерой, сосредоточенной в единичном
элементе группы G. X. представления я группы Ли G,
допускающего продолжение до представления алгебры
СE° (G) финитных бесконечно дифференцируемых функ-
функций на С, может определяться обобщенной функцией
на G. Если G — нильпотентная или линейная полупро-
полупростая группа Ли, то X. неприводимых унитарных пред-
представлений зх группы G определяются локально интег-
интегрируемыми функциями -фя по формуле
эти X. определяют представления я однозначно с точ-
точностью до унитарной эквивалентности.
Если группа G компактна, то любая непрерывная
положите л f>ho определенная функция на G, постоянная
на классах сопряженных элементов, разлагается в ряд
по X. неприводимых представлений яа группы G,
сходящийся равномерно на G; эти X. хя образуют
ортонормированную систему в пространстве Z2 (G),
полную в подпространстве функций из L2 (G), постоян-
постоянных на классах сопряженных элементов в G. Если
Хр=2; ттХк —разложение X. непрерывного конеч-
конечномерного представления р группы G по X. %л , то
та — целые числа, являющиеся кратностями, с к-рыми
яа входят в р. Если р—непрерывное представление
группы G в квазиполном бочечно локально выпуклом
топологич. пространстве Е, то существует максималь-
максимальное подпространство Еа в Е такое, что ограничение
представления р на Еа кратно представлению па,
и существует непрерывный проектор Ра пространства Е
на подпространство Еа, определяемый равенством
Р« = %па (е) а
где dg — такая мера Хаара на G, что \ dg — 1.
Лит.: 1П К и р и л л о в А. А., Элементы теории представ-
представлений, г изд., М., 1978; [2] К эр тис Ч., РайпсрИ.,
Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр,
пер. с англ., М., 1969; [3] Диксмье Ж., С*-алгебры и их
представления, пер. с франц., М., 1974; [4] Ф р о 0 е и и у с Г.,
Теория характеров и представлений групп, пер. с нем., Хар.,
1937; [5] Н а и м а р к М. А., Теория представления групп,
М., 1976; [6] L i 111 е w о о d D., The theory of group charac-
characters, 2 ed., Oxf., 1950. А. И. Штерн.
ХАРАКТЕРИЗАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ в тео-
теории вероятностей и математиче-
математической статистике — теоремы, устанавливаю-
устанавливающие связь между типом распределения случайных ве-
величин или случайных векторов и нек-рыми общими
свойствами функций от них.
Пример 1. Пусть X — трехмерный случайный
вектор такой, что:
1) его проекции Xt, X2, Х3 на какие-либо три взаим-
взаимно ортогональные оси независимы и
2) плотность р (х), x — (xi, #2, ^3I распределения
вероятностей X зависит только от х\-\-х\-\-хз. Тогда
распределение X нормально и
где о>0 — нек-рая постоянная (закон Максвел-
л а для распределения скоростей молекул при стацио-
стационарном состоянии газа).

Пример 2. Пусть Х? R" случайный вектор
с независимыми и одинаково распределенными компо-
компонентами Х-~(ХХ, ..., Хп). Если распределение нор-
нормально, то «эмпирическое среднее»
и «эмпирическая дисперсия»
будут независимыми случайными величинами. Обратно,
если они независимы, то распределение X нормально.
Пример 3. Пусть X ? R"— вектор с независи-
независимыми и одинаково распределенными компонентами,
аь ..., а„, Ьь ..., Ьп — отличные от нуля постоянные.
Случайные величины
будут независимы тогда и только тогда, когда X имеет
нормальное распределение. Последнее утверждение
остается верным, если предположение, что Yx и У2
независимы, заменить предположением, что они одина-
одинаково распределены, добавив, однако, нек-рые ограни-
ограничения на коэффициенты ву и by.
Подобного рода характеризация распределения слу-
случайного вектора X ? R" свойством одинаковой распре-
деленности или независимости двух многочленов
Qi(X) и Q2 (X) дается рядом X. т., играющих важную
роль в матсматич. статистике.
Лит.: [1] К а г а н А. М., Л и н н и к Ю. В., Р а о С. Р.,
Характеризационные задачи математической статистики, М.,
1372. Ю. В. Прохоров.
ХАРАКТЕРИСТИК МЕТОД — метод численного ин-
интегрирования уравнений гиперболич. типа. В гипер-
болич. области существует линейная комбинация ис-
исходных уравнений, в к-рую входят лишь внутренние
производные вдоль характеристич. поверхностей. При
этом существенно упрощаются решаемые уравнения.
В X. м. решение рассчитывается на характеристич.
сетке, к-рая выстраивается в процессе счета, тем самым
точно учитывается область зависимости решения. Для
X. м. доказаны существование решения и сходимость.
Наиболее широкое применение X. м. наше л при реше-
решении задач механики сплошных сред (см. [1]). Напр.,
уравнения в характериотич. форме
aj_ ?_.Ё?.4-ц — р_?р = о A)
dt рг dt < dt рг дх ' у '
+^±с)?±рс^+(и±с)^0 B)
представляют собой линейную комбинацию традицион-
традиционных уравнений газовой динамики: неразрывности, им-
импульса и энергии. Здесь и ниже р — плотность, и —
скорость, / — внутренняя энергия единицы массы,
р=р(р, J) — давление, Т — температура, х — про-
пространственная координата, t — время. Ставится за-
задача Коши: решение ищется в области ?>0 при задан-
заданных параметрах на линии t=0. Энтропией наз. интеграл
S (p, /)=const уравнения
Тогда A) имеет вид
В левых частях (!') и B) стоят производные —^г , -jj- ,
du
^¦jt , взятые в направлениях
dx /o.

dx __ .,.
dt ' " ± C' {i>
называемых характеристиками. Систе-
Система A), B) имеет три семейства действительных харак-
характеристик. Вдоль характсристи- .
ки C) выполнено соотноше-
соотношение
а вдоль характеристик D) —
соотношения
dp ± рс du^O. E)
Через точку А (см. рис.) прово-
проводится характеристика D) в сто-
сторону возрастания t
t-t,
= иА-\-сА.
Через ближайшую к точке А справа — точку В —
проводится характеристика D) другого семейства
С — точка пересечения характеристик. При замене
выполняемых вдоль характеристик дифференциальных
соотношений E) разностными получают алгебраич.
систему
(Рс—Ра)—рп<:в («с —ив)=°1
из к-рой определяются рс и ис. Из точки С прово-
проводится характеристика C)
до пересечения с линией АВ в точке D. Значение
онтрошш S в точке D определяется путем интерполя-
интерполяции между точками А и В (при этом S'c — Su). Из
уравнений
Р (Рс. Jc) = Pc,
находятся значения внутренней энергии Jс и плот-
плотности рс в точке С. По известным данным в двух точках
А и В находится решение при большем значении вре-
времени t в точке С. Эта процедура вычислений повторя-
повторяется для каждой пары точек. Затем, используя новые
точки С в качестве исходных А, В, делается следующий
шаг по t. Расчет проводится до необходимых величин t.
Однако из-за нелинейности уравнений газовой динами-
динамики счет может прекратиться в определенный момент вре-
времени, если характеристики одного семейства будут ка-
касаться друг друга или пересекаться.
Описанная разностная схема имеет первый порядок
точности (аналог метода ломаных Эйлера для решения
обыкновенных дифференциальных уравнений). По-
Повышения точности можно достигнуть путем пересчета
и т. д.
X. м. можно решать стационарные многомерные за-
задачи в области гиперболичности (для газовой динами-
динамики — сверхзвуковые течения). При этом можно опре-
определить положение вторичных ударных волн в местах,
где происходит пересечение или касание характерис-
характеристик одного семейства. X. м. рассчитываются задачи с
небольшим числом разрывов, так как при скоплении
особенностей вычисления затруднены. Расчет X. м. со-
состоит из ряда элементарных задач: расчет внутренней
точки, точек на ударной волне или на обтекаемом теле
и т. п.
Возможно построение численных схем X. м., поз-
позволяющих вести счет по «слоям» — сеточно-ха-
рактеристическии метод (см. [2]).

Лит.: [1] Опыт расчета плоских и осесимметричных сверх-
сверхзвуковых течений газа методом характеристик, М., 1961; Г2|
Магомедов К. М., Холодов А. С., «Ж. вычисл. ма-
тем. и матем. физ.», 1969, т. 9, JMi 2, с. 'ST3—86.
Ю. М. Давыдов.
ХАРАКТЕРИСТИКА — одно из основных понятий
в теории дифференциальных уравнений с частными про-
производными. Роль X. проявляется в существенных свой-
свойствах этих уравнений, таких, как локальные свойства
решений, разрешимость различных задач, их коррект-
корректность и др.
Пусть
L(x, 0) = 2|v|<mev(*Hv
— линейный дифференциальный оператор с частными
производными порядка т, а
— его символ. Здесь х, § ? R", v f %1 — мульти-
индекс, | v |=Vi+ .. . +vn, av:Q^Rn—> R,
Пусть S — гиперповерхность, определенная в R" урав-
уравнением ф (г) = 0, причем фх (ar) = grad ф (х) ф 0 при х ?S,
а(х, Фх(г)) = 0. A)
В этом случае 5 наз. характеристической по-
поверхностью, или характеристикой, для
оператора L (x, D). Другие названия X.: характе-
характеристическое многообразие, характери-
характеристическая линия (в случае R" = R2).
Ниже рассмотрен пример задачи Коши. Пусть S —
произвольная (не обязательно характеристическая) ги-
гиперповерхность в R", определенная уравнениями
Ф(г) = 0, <рх{х) фЧ.
Пусть и0, ..., um_i—функции, определенные на S
в окрестности U точки х0 ?S, и поставлена задача Коши
L(x, D) u — f, x?U,
ди дт-ги -¦ с,
относительно неизвестной функции а. Здесь / — задан-
заданная функция, L{x, D) — заданный линейный дифферен-
дифференциальный оператор порядка т, п — ортонормиропанный
лектор к S. Считая, для определенности, (д/дхп)ц> (х) Ф 0,
x?U, заменой переменных
х—>-х', где x't = Xj, 7 = 1, ..., re —I, x'n = y(x),
приходят к уравнению
о(х, tpx(x)) f?\mu + 2...=f. B)
Невыггасанное выражение под знаком S не содержит
частных производных от функции и по хп порядка т.
Возникают два случая:
1) а (х, ух(х)) фО, x?U,
2) а (х, фх(г)) = 0, х = хо.
В первом случае деление уравнения B) на а приводит
к уравнению, разрешенному относительно старшей част-
частной производной по переменной х'п, т. е. записанному
в нормальной форме. Начальным условиям можно при-
придать вид
/ = 0, . .., от —1.
Такая постановка задачи Коши хорошо изучена и,
напр, при аналитически заданных функциях в уравне-

нии и п начальных условиях, существует единственное
решение этой задачи в классе аналитич. функций в
достаточно малой окрестности точки х0. Во втором слу-
случае точка х0 является характеристической, а если ра-
равенство A) верно для всех x?S, то поверхность S яв-
является X. В этом случае начальные данные не могут
быть произвольными и исследование задачи Коши ус-
усложняется.
Напр., для уравнения
-ёк =° О)
могут быть заданы начальные условия на одной из
ого X. х1=0:
и @, х2) = щ{х2), -g^-@, х2) = щ{х2). D)
Если функция щ отлична от постоянной, то задача
Коши C), D) не имеет решения в пространстве С2.
Если же функция щ постоянна, напр, равна egR, то
решение неединственно в С?, т. к. им может быть любая
функция вида
и (xi, x.2) = axi + b (х1)-\-и0(х2),
где
Ь, ио?С2, 6@) = Ь'@) = 0.
Таким образом, задача Коши существенно различа-
различается в зависимости от того, заданы ли начальные дан-
данные на характеристической поверхности или нет.
X. обладает свойством инвариантности при преобра-
преобразовании независимых переменных: если ф (х) есть ре-
решение уравнения A) и если преобразованием—>х'
переводит ф (х)—>-ty(x'), av(x)—*¦ bv(x'), то чр (х') удов-
удовлетворяет уравнению
где
Другое свойство X. таково, что относительно X. S
оператор L(x, D) является внутренним дифференциаль-
дифференциальным оператором.
Эллиптические линейные дифференциальные опера-
операторы определяются как операторы, для к-рых не су-
существует X. (действительных). Определение гиперболич.
и параболич. операторов также тесно связано с поня-
понятием X. Так, линейный дифференциальный оператор
2-го порядка относится к гиперболич. типу, если он
имеет два семейства X., и к параболическому, если —
одно. Знание X. дифференциального уравнения позво-
позволяет свести это уравнение к более простому виду. Напр.,
пусть задано гиперболич. уравнение
«20 (*1, *2) -^Г Щ&ГШ
+ вО2(жь х2)—^- =0. E)
дх2
Для него уравнение X. A) имеет вид
[бф 2 , Эф а<р , г Эф "i2 n
й\ +а11э^^+в»4^] =0-
)Тоследное уравнение определяет два различных семей-
семейства X.:
Существуют две X. из этих семейств такие, что соот-
соответствующие им функции q>i(x) и ф2(г) определяют за-
замену переменных .с —>- х' по формулам

и приводят уравнение E) к канонич. виду
Для нелинейного дифференциального уравнения
F (х, и, Dvu, D*ii) = 0, F)
где (i, v?z"—ыультииндексы, причем | v | sg m— 1,
I ц. I = m, X. S определяется как гиперповерхность в R"
с уравнением ф(^) = 0, причем при x?S. q>x (х) ф О
и a (j% q>_v(^))=0. Символ в этом случае для опера-
оператора F), задаваемого функцией F (х, и, v, ш), опреде-
определяется так:
о(х, ?) = 2|ц|=„/и,(г, и, Dvu
Кроме переменных х и |, очевидно, о может зависеть
от и, Dvu, Dv-u. Пусть, напр., задано уравнение 1-го
порядка (т-~1). Кроме того, для простоты п — 2. Урав-
Уравнение F) принимает вид
ди ди \ „
Ж1, ж», и, 1— , з— 1—0
с функцией F(x, у, г, р, q). Уравнение X.:
¦ I / ди д
Т. к. решение этого уравнения ф(лг, а:2) фактически мо-
может зависеть от и, ди/дх1, du/dx.z, то ее задают в пара-
метрич. виде
Xi=x(t), x2 = y(l), u = z(t),
причем эти функции удовлетворяют обыкновенным
дифференциальным уравнениям
x'(t) = Fp, y'(t) = F9, z'W^pFp + qF,,,
P'(t)=-Fx~pFz, q'(t)=-Fy-qFt.
Геометрически это определяет т. и. характеристиче-
характеристическую полосу (при а<г<р"). Проекция этой полосы на
пространство (x(t), y(t), z(t)) определяет такую кривую
линию в R3, что в каждой своей точке она касается
плоскости с направляющими коэффициентами p(t),
q(t). Эта кривая также наз. X. уравнения F).
Лит.: Ш М и з о х а т а С, Теории уравнений с частными
производными, пер. с япон., М., 1977; [2] К а м к с Э., Справоч-
Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных
первого порядка, пер. с нем., М., 1966: [з] X а р т м а н Ф.,
Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ,, М.,
1970; [4] П е т р о в с к и й И. Г., Лекции об уравнениях о
частными производными, 3 изд., М., 1961; [5] К о ш л я-
к о в Н. С, Г л и н е р Э. Б., Смирно в М. М., Уравне-
Уравнения в частных производных математической физики, М., 1970:
1б1 Владимиров В. С, Уравнения математической фи-
физики, 4 изд., М., 1981; [7] М и х л и н С. Г., Курс математиче-
математической физики, М., 1968: [8] Тихонов Л. Н., Сама р-
ский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М..
1977. Ю. В. Комленко.
ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ целое положитель-
положительное простое число или число 0, однозначно определяе-
определяемое для данного поля следующим образом. Если для
нек-рого «>0
0 = пе = е+ .. . -\-е,
п слагаемых
где е — единица поля К, то наименьшее из таких п
будет простым числом и оно наз. характерис-
характеристикой поля К. Если же такого числа не сущест-
существует, то говорят, что X. п. К равна нулю, или что К —
поле нулевой характеристики. Иногда такое поле наз.
нолем боя характеристики или ио-
иолом бесконечной (ос) х а р а к т о р и с т и-
к и. Всякое поле нулевой характеристики содержит

подполе, изоморфное полю всех рациональных чисел,
а поле конечной характеристики р — подполе, изо-
изоморфное полю классов вычетов по модулю р.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ^ в тео-
теории дифференциальных уравнений
с участными производными — то же,
ЧТО характеристика. Ю. В. Комлетю.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ПОДГРУППА — под-
подгруппа // группы G, инвариантная относительно всех
автоморфизмов группы G. О. А. Иванова.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ПОЛОСА д иф фе ре н-
циального уравнения с частными
производными 1-го порядка — однопа-
раметрическое семейство
непрерывно дифференцируемых в интервале
функций, удовлетворяющих уравнениям
х' (t) = Fp, у' (t) = pFp, p' (t)= —Fx — pFij,
где умножение векторов понимается скалярно;
F (х, и, их)---0 (*)
— нелинейное дифференциальное уравнение с частными
производными 1-го порядка относительно неизвестной
функции и: йс R» —». R. Здесь их^grad и, F (ж, у, р):
QxRxR"—>R, x, pgR", j/gR, ngN.
Значение X. п. состоит в том, что она используется
цри исследовании и нахождении решений уравнения (*).
См. также Характеристика.
Лит.: [1] Камке Э., Справочник по дифференциальным
уравнениям в частных производных первого порядка, пер. с
нем., М., 1966; [2] Хартман Ф., Обыкновенные дифферен-
дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970. Ю. В. Комленко.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ м н о ж i -
ства Е пространства X — функция % (х), ра в-
ная 1 при х?Е, и равная 0 при х?СЕ (где СЕ~до-
СЕ~дополнение Е в X). Любая функция %(х) со значениями
в {0, 1} является X. ф. нек-рого множества, а именно
множества Е = {х\ уь(ж) = 1}. Свойства X. ф.:
1) гее ^! — гк, xe\f= xe (] — "//•-);
2) если FcE, чо Xn\F^Xl- — y.t-"<
3) если Е— U Еа, то /? —sup {хваЬ
ос ее
4) если ?-=П Еа, то ХЕ^'^НХЕаУ'
а а
5) если Elt Е.т, . .. попарно непересекающиеся, то
00
6) если Е :- ПА'а-, то %?¦= Л Хе ¦
Лит.: [1] X а л м и ш II., Теория меры, пер. с англ., М.,
1953. Д. А. Конюшков.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, преоб-
преобразование Фурье — Стилтьеса ве-
вероятностной меры ц.,— комплекснозначная функция,
заданная на всей числовой оси R1 формулой
X. ф. случайной величины X по определению есть
X. ф. ее вероятностного распределения
[xx(fl) = P{X ? В}, ficR'.
Метод, связанный с использованием X. ф., был впер-
впервые применен А. М. Ляпуновым и позднее стал одним
из основных аналитич. методов теории вероятностей.
Особенно эффективно он используется при доказатель-
доказательстве предельных теорем теории вероятностей, напр.
доказательство центральной предельной теоремы для
независимых одинаково распределенных случайных

велпчпв со 2-ми моментами сводится к элементарному
соотношению
г2 , / 1 Wj .._ / <2
Основные свойства X, ф. 1) jx(O) — 1 и |х по-
положительно определена, т. е.
для любых конечных наборов комплексных чисел а^
и аргументов ^gR1.
2) |i равномерно непрерывна на всей оси R1.
з) |^@|<1, iji|(*i)-M*s)ili<
«2A — Re р. (*! —*2)), *, <i, B 6 R'.
4) fx(<) = fx(—г); в частности, fx принимает только
действительные значения (и является четной функцией)
в том и только том случае, когда соответствующее
вероятностное распределение симметрично, т. е. и. (В) =
= ц(—В), где — S = {z: — ж^В}.
5) X. ф. однозначно определяет меру; имеет место
формула обращения:
((, ) 2
для любых интервалов (a, b), концы к-рых имеют ну-
нулевую (х-меру. Если (х интегрируема (абсолютно, если
интеграл понимать в смысле Римана) на R.1, то соот-
соответствующая функция распределения имеет плот-
плотность р и
6) X. ф. свертки двух вероятностных мер (суммы
двух независимых случайных величин) есть произведе-
произведение их X. ф.
Следующие три свойства выражают связь между су-
существованием моментов случайной величины и степе-
степенью гладкости ее X. ф.
7) Если Е | X \" < оо для нек-рого натурального п,
то при всех натуральных г^ге существуют производ-
производные порядка г от X. ф. цх случайной величины X
и имеет место равенство
$'@ =S!.(te)rexp (Их)
Т.о., Е X'-i-'>x>@),ir<re.
8) Если существует ^"'(О), то Е X'in < оо.
9) Если Е | X \п < оо для всех п и
пнТ(Е|Л|П)-=4-
то при всех | t | <.R имеет место
Использование метода X. ф. главным образом осно-
основано на указанных выше свойствах X. ф., а также на
следующих двух теоремах.
Теорема Бохнера (описание класса X. ф.).
Пусть функция / задана на R1 и /@)=1. Для того что-
чтобы / была X. ф. нек-рой вероятностной меры, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна и поло-
положительно определена.
Теорема Леви (непрерывность соответствия).
Пусть {(-(,„}—последовательность вероятностных мер,
а {|я„} — последовательность их X. ф. Тогда {цп\ слабо
сходится к нек-рой вероятностной мере \х (т. и. \ cpdfx,, ->•
-> \ ср d|i для произвольной непрерывной ограничен-

ной функции ф) в том и только том случае; если {цп A)\
в каждой точке i^R1 сходится к пек-рой непрерывной
функции /; в случае сходимости функция / —[i. Отсю-
Отсюда следует, что относительная компактность (в смысле
слабой сходимости) семейства вероятностных мер рав-
равносильна равностепенной непрерывности в нуле семей-
семейства соответствующих X. ф.
Теорема Бохнера позволяет смотреть на преобразова-
преобразование Фурье — Стилтьеса как на изоморфизм между
полугруппой (относительно операции свертки) вероят-
вероятностных мер в R1 и полугруппой (относительно пото-
поточечного умножения) положительно определенных не-
непрерывных равных в нуле единице функций на R1.
Теорема Леви утверждает, что этот алгебраич. изо-
изоморфизм является и топологич. гомеоморфизмом, если
в полугруппе вероятностных мер иметь в виду тополо-
топологию слабой сходимости, а в полугруппе положительно
определенных функций — топологию равномерной схо-
сходимости на ограниченных множествах.
Известны выражения X. ф. основных вероятностных
мер (см. [1], [2]), напр., X. ф. гауссовой моры со
средним т и дисперсией о2 есть exp (tint—^тг)-
Для неотрицательных целочисленных случайных
величин X, наряду с X. ф., используется ее аналог —
производящая функция
связанная с X. ф. соотношением |ijf(O —Фу (*'*)•
X. ф. вероятностной моры ji в конечномерном про-
пространстве R" определяется аналогично:
Rn exp (i <«, z» dfx (х), t
R«,
[•де <?, x~) означает скалярное произведение. Сформу-
Сформулированные выше факты справедливы и для X. ф. ве-
вероятностных мер в R".
Лит.: [1] Л у к а ч Е., Характеристические функции, пер.
с англ., М., 1979; [2] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероят-
вероятностей и ее приложения, т. 2, пер. с англ., М., 1967; [3] II р о-
хоров 10. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей.
Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы,
2 изд., М., 1973; [4] Золотарев В. М., Одномерные устой-
устойчивые распределения, М,, 1983. Я. II. Вахания.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ КЛАСС —естественное со-
сопоставление с каждым расслоением |= {Е,р, В) (как пра-
правило, векторным) определенного типа нск-рого класса
когомологий базы В (наз. X. к. данного расслоения).
Естественность означает, что X. к. расслоения, инду-
индуцированного отображением / : В' -*- В, совпадает с об-
образом при /* : Н* (В) —>- Н* (В') X. к. расслоения |
над В. Характеристический класс
многообразия — класс когомологин многооб-
многообразия, являющийся X. к. его касательного расслоения.
X. к. многообразий связаны с важными топологич. ха-
характеристиками многообразий, такими, как ориенти-
ориентируемость, ойлероеа характеристика, сигнатура и т. д.
Пример ы.
Ориентируемость расслоения.
Имеет место точная последовательность групп
1 --> SOn (К) ¦--> Оп (R) -еЛ Z2 —- 1.
Отображение
«^(detVi/1 (В; Un (R)) ~~> Ш (Л; 2„)
сопоставляет с каждым действительным векторным рас-
расслоением g класс Ш] E), к-рый наз. первым клас-
классом Ш т и ф е л я — У я т н и расслоения §, здесь
Н1 (В; Оп(Щ) — когомологий с коэффициентами в пучке
ростков непрерывных функций со значениями в Оп (R)
(см. G-Расслоение). Точная когомологич. последователь-
последовательность показывает, что группа расслоения \ редуцируется

к SOn (R), т. е. расслоение ориентируемо тогда и только
тогда, когда w1(%) = 0.
Первый класс Чжэня. Дана короткая
точная последовательность
О—i-z—>-С^5.С0—0.
Связывающий гомоморфизм б: Н1 (В; С°)—>¦ Н2 (В; g)
соответствующей когомологич. последовательности со-
сопоставляет с каждым одномерным комплексным рас-
расслоением g над В двумерный класс когомологий базы В,
наз. первым классом Чжэня расслоения |
и обозначаемый с1(^,). Иными словами, если gap: uaf\
Г) up—>- С0—функции перехода расслоения |, то вы-
выбором произвольных значений логарифмов In gap по-
получается двумерный целочисленный коцикл {ка$у}:
Ш
и сг(\) есть по определению клаос когомологий этого
коцикла.
Спинорная структура. Имеет место точ-
ыая последовательность групп
1 _ z2 —> Spinn (R) —> SOn (R) —>¦ 1,
где Spinn(R) — группа, определяемая в теории Клиф-
Клиффорда алгебр. Связывающее отображение w2: H1 (В;
SOn(R))—>¦ Н2 (В; Z2) соответствующей когомологич.
последовательности наз. вторым классом Шти-
феля — Уитни. Структурная группа ориентирован-
ориентированного векторного расслоения % может быть редуцирована
к Spinn (R) тогда и только тогда, когда ша(|) = 0.
Класс Эйлера. Пусть база В действительного
векторного расслоения % = (Е, р, В) есть гладкое ком-
компактное TV-мерное многообразие с краем дВ (возможно
пустым), и нулевое сечение i: В—>Е приведено в «об-
«общее положение с самим собой». Пусть близкое и изо-
изотопное к г вложение i': В—*- Е трансверсально регу-
регулярно относительно i(B)czE. Тогда X = i~1 (V (В)\~\
П i (В)) будет подмногообразием В и dXczdB, codim X —
= га — dim g. Следовательно, [X] g-flyv-n (В, дВ). Двой-
Двойственный к [X] класс когомологий наз. классом
Эйлера расслоения | и обозначается е (?)?//" (В).
Расслоение § имеет не обращающееся в нуль сечение
тогда и только тогда, когда е(|)=0. Если В связно,
дВ = 0, а |—касательное расслоение, то dimX = 0,
следовательно, X состоит из конечного числа точек.
Класс [X] С Но (В) определяется в этом случае целым
числом, к-рое обозначается через % (В) и совпадает
с эйлеровой характеристикой В.
Построение классов Штифеля — Уитни и Чжэня на
языке теории препятствий (см. [6] — [8]) проводится
р
так. Пусть r\: E —>- В — Серра расслоение, и В — связное
клеточное разбиение. Тогда гомотопич. тип слоя F =
= р~х (х) не зависит от х?В. Если пч (F)—первая не-
нетривиальная гомотопич. группа слоя F и В односвязно,
то первое препятствие к построению сечений s: В —>¦ Е
лежит в группе HQ+1 (В; nq (F)). Это препятствие и (т|)
инвариантно связано с расслоением т). Иногда инвари-
инвариант х (т|) наз. X. к. расслоения т|. Пусть | — комп-
комплексное векторное расслоение над В, dim| = /z. Для
каждого 1<)<в с % ассоциируется другое расслое-
расслоение ц9 со слоем Un/Uq-i (комплексным много-
многообразием Штифеля). Из точных последователь-
последовательностей расслоений следует, что щ (UJUq-i) = 0 при
i < 2q-i, n2q^1(UJU9_1) = 1, TaK4TOx(Ti9)g#2</(?).
Этот класс наз. g-м классом Чжэня расслоения Е,
cq(l) = K(~tf).
Если | — действительное расслоение, F = R", то слоем
расслоения rf будет Oa/Oq^1. Так как
/Za. если q четно и q < п,
Щ-1 (OJOq-i) = <
\%, есл-и q нечетно или q — n\

при i < q — 1, то класс
7/?E), осли q нечетно или <? — и,
На (В; Za)i (!СЛИ <? четно ид < я.
Классами Штифеля — Уитни расслое-
расслоения | наз. классы
"V (?) = х (Т19) m°d ^ € Hi (В; Z2)-
Впрочем, если | неориентированно, то классы х (i|'')
определены корректно лишь с коэффициентами в %г.
При q = n многообразие Штифеля есть сфера Sn~i
в действительном случае и S24-i — в комплексном. За-
Задача о построении сечения расслоения цп совпадает
с задачей о построении не обращающегося в нуль се-
сечения расслоения |. Первое препятствие в этом случае
наз. классом Эйлера е(?)
е (%) — сп (|)? Я2" (В)
в комплексном случае,
в действительном ориентированном случае,
в действительном неориентированном случае.
Пусть ED и ?s — пространства расслоений, ассоцииро-
ванных с | со слоями: диск D" и сфера S"-1. Если
i: В—>¦ Е[у — нулевое сечение, то e(g) = i*(u), где «?
?Hn(Ej), Е$) — Тома класс. Пусть F— одно из тел R.,
С, Н, где R — поле действительных чисел, С—поле
комплексных чисел, И—тело кватернионов. Пусть h*—•
мультипликативная теория когомологий, обладающая
следующим свойством: для каждого конечномерного
векторного пространства V над F можно выбрать естест-
естественно относительно вложений такой элемент ау?
?ha (Р (V)), где Р (V) — многообразие всех одномерных
подпространств в V, Р (V) =FPdim v-i и d=AimR F,
что h*(P(V))=h*(pt)[av]/(av), где n=---dimV. Для
случая AimV = 2 пусть ау совпадает с фундаменталь-
фундаментальным классом (ориентацией) многообразия Р (V).
Пусть ! = (?, р, В) —векторное (в смысле F) расслое-
расслоение над В со слоем V, dim§ = re, Р (|) — п р о о к т н-
визация этого расслоения, т. е. локально тривиаль-
тривиальное расслоение над В со слоем Р (V), пространство
к-рого Р (Е) состоит из всех одномерных подпространств
в слоях расслоения |. Над пространством Р (Е) имеется
одномерное расслоение, пространство к-рого состоит из
всех пар (I, х), где I — одномерное подпространство слоя
расслоения §, 1(?Р(Е), х—точка пространства I. Этому
расслоению соответствует классифицирующее отображе-
отображение ;: Р{Е)^ P(V). Пусть a = j*(av), a?hd (P (E)).
Если снабдить группу h* (P (Е)) структурой h* (В)-ма-
дуля с помощью гомоморфизма я*, где я: Р (Е) —»¦ В —
проекция расслоения Р (?,), то этот модуль свободен
и имеет базис 1, а, ..., а"-1. Существуют однозначно
определенные классы когомологий а1 (§), а2(?), ...
•••. o«(i), at(l)?.hdi(B), для к-рых
а" -л* to (D) a»-i+ • • .+(-i)n-1 n* (orn_i (I)) а +
+ (— 1)» я* (<т„ (?)) = 0.
Для F = R условиям, налагаемым на теорию Л*, удов-
удовлетворяет, напр., теория Н*(-\ %2). В этом случае оп-
определенные выше X. к. обозначаются через u»l5 ш2, ...
..., wn и наз. классами III т и ф о л я — Уитни.
Для F = C в качестве А* можно ваять обычную теорию
когомологий //*. Определенные выше классы для Н*
обозначаются через еь с3, . . ., сп и наз. классами
Чжэня. Впрочем, при F = С требуемым условиям
удовлетворяет любая ориентированная теория когомо-
когомологий. При /'--И также можно рассматривать обычную
теорию /У*. В этом случае определенные выше классы

обозначаются через р\, р|> ..., psn и наз. симплек-
т и чески ми классами Понтрягина.
Пусть но-прежнему F — одно из тел R, С, И, h* —
теория когомологий, удовлетворяющая требуемым выше
условиям. Принцип расщепления: для произ-
произвольного векторного (в смысле F) расслоения | над В
существуют пространство В' и отображение /: В' —>¦ В,
для к-рых расслоение /•§ над В' распадается в прямую
сумму одномерных расслоений, и гомоморфизм /*:
h* (В)—>¦ h* (В1) мономорфен.
В частности, если | — универсальное комплексное рас-
расслоение над BUn, то п качестве В' можно взять про-
пространство ВТп = СР°° х ... хСР°° (п сомножителей), где
Тп—максимальный тор u Un, а в качестве /: ВТп—>-
—> BUп—отображение, индуцированное включением
Тп с Un. Отображение
/•:#*• (BUn) -* Н**(ВТп)=г Цхь . ..,*„]]
мономорфно, и образ /* совпадает с кольцом всех сим-
симметрических формальных степенных рядов, зависящих
от переменных хг, ..., хп, dim ж; = 2.
Для произвольной топологич. группы G множество
всех X. к., определенных для главных G-расслоений
и принимающих значения в теории когомологий h*,
находится во взаимно однозначном соответствии с h*(BG),
где BG — классифицирующее пространство группы G.
В частности, для векторных расслоений и для теории Н*
задача описания всех X. к. сводится к вычисле-
вычислению колец когомологий Н*(ВОп), H*(BSOn), H*(BUn)
и т. д.
Пусть G — компактная группа Ли, и Т—максималь-
Т—максимальный тор в G. Включение Т cz G индуцирует отображение
ВТ—> BG классифицирующих пространств. Простран-
Пространство ВТ гомотопически эквивалентно произведению
СР°°Х ¦ ¦ ¦ хСР°°, в к-ром число сомножителей равно
размерности тора Т. Поэтому Н** (ВТ)= % [[xlt ..., хп]],
где « = dim T, dim ж,-= 2. На торе Т действует группа
Вейля Q>(G) = N(Т)/Т, где iV (^ — нормализатор Т,
следовательно, группа Вейля действует также и на ВТ.
Если группа G связана и пространства G, G/T не имеют
кручения в гомологиях, то гомоморфизм р*: Н** (BG) —>¦
—>-Н**(ВТ) мономорфен, и образ р* совпадает с под-
кольцом всех инвариантных относительно группы Вейля
элементов кольца Н** (ВТ) = % \\хх, ...,хП]] (теорема
Б о р е л я).
Группа Un удовлетворяет условиям теоремы. Диаго-
Диагональные унитарные матрицы образуют максимальный
тор Т„ группы Un. Если элементы диагональной мат-
матрицы обозначить через tlt ..., tn, то группа Вейля
состоит из всех перестановок переменных tx, ..., tn.
Следовательно, Я** (BUn) = Z [[сх, ..., с„\\, где сь ...
..., сп— элементарные симметрич. функции переменных
х\, •¦¦, xn^.H'i (ВТП), совпадающие с классами Чжэня.
Группа Spn также удовлетворяет требованиям теоремы
Боре ля. Группа Вейля порождена всеми перестановками
хх, ..., хп и произвольными переменами знаков. Сле-
Следовательно, H**(BSpn)=% [[аь . ..,а„]], где Oj, ...
..., ап — элементарные симметрич. функции переменных
х\, ..., хп. Группа SOn не удовлетворяет требованиям
теоремы Бореля, однако, если рассматривать в качестве
кольца коэффициентов произвольное кольцо Л, содер-
содержащее 1/2, напр. Z/pZ при нечетных р или Q, то ви-
видоизмененная таким образом теорема будет справедлива.
Максимальный тор группы SOn образован матрицами
вида
cos аг — sin at
sin a! cos ax
COSGCg—Sin a2
sin a2 cos a2
и имеет размерность [н/2]. Группа Вейля порождена
isccMii перестановками а1? ..., а|„/а] и переменами зна-
знаков у четного числа этих символов при четном п

и у произвольного числа символов при нечетном га-
Поэтому Н** (SO2k; Л) = Л[[рь ..., pft_b e]], где рь ...
..., Pk-i — элементарные симметрич. функции перемен.
ных х\, ..., Xk, кроме последней, e = xi, . .., xk. Классы
Pi, ¦ ¦ ¦, Pk-i> Pk = e2 совпадают с классами Понтрягина
(см. ниже), е—класс Эйлера; H**(SO2kJri; A) = A[[pi, ...
•••> Pk]]-
КлассыxigH2 (ВТП), 1<1<геназ. образующими
В у. Сами они не являются X. к. (так как не лежат
в H**(BUn)), но любой X. к. выражается через них как
симметрический формальный степенной ряд и любой
симметрический формальный стененной ряд от {х;} за-
задает X. к. Напр., классу Эйлера с„ соответствует про-
произведение JJ _ Х{.
Элемент (формальный степенной ряд) exi -)-... +<?*"?
gZ(^i, •••, xn) = Н**(ВТп) симметричен, и задает
X. к.— неоднородный элемент кольца Н** (BUn), обоз-
обозначаемый ch, наз. характером Чжэня. Характер
Чжэня «аддитивно-аддитивен» и «мультипликативно-
мультипликативен», т. е.
ch(g®rj)=ch(g) Uch(n).
Классы Чжэня и кривизна. Пусть
база В га-мерного векторного расслоения \—{Е, р, В)
является гладким многообразием. Пусть в расслоении |
задана произвольная аффинная связность. Если фикси-
фиксировать локальную тривиализацию расслоения | в
окрестности нек-рой точки базы, то в этой окрестности
кривизна данной связности задается 2-формой Q со
значениями в векторном пространстве gl (С, п) комп-
комплексных (га X га)-матриц. При замене локальной три-
виализации расслоения значения формы Q преобразу-
преобразуются по правилу т -*¦ gmg~1, где g?GL(C, n) — матри-
матрица перехода от одной тривиализации к другой. Если
(р: gl(C, га) ->- С —однородный многочлен степени /,
то ф о Q — С-значная внешняя форма степени 2/. Если,
кроме того, многочлен ф инвариантен относительно
действия
GL(C, n)Xgl(C, n)—+gl(C, re), (g, mj—rgmg-1,
то форма ф о Q не зависит от локальных тршшализацпй
и является С-значной внешней формой на всем много-
многообразии В. Можно показать, что d(q>oQ) = 0 и что из-
изменение связности меняет ф о Q лишь на точную форму.
Так как коэффициенты tr (m<) характеристического мно-
многочлена матрицы т инвариантны, то, полагая ф,- (го) =
= tr(ro'), получаются классы когомологий [ф,оО]^
2> (В; С). Имеет место равенство [ф,-о Q] ^ (С,- (|))С,
где (С; (|)) —классы Чжэня с комплексными коэффи-
коэффициентами.
Классами Понтрягина действительного век-
векторного расслоения | наз. классы р,- (|) = (— 1)' С2,- (?(g)
($С)?Н*' (В), здесь |®С — комплексификация рас-
расслоения |. (Другое определение см. и [5].) Пусть база В
и-мерного расслоения % = (Е, р, В) есть Лт-мерное мно-
многообразие с краем и а — целочисленная неубывающая
функция аргумента h = 0, ..., га — 1. Система векторов
"i, ¦•¦> «и^К* наз. подчиненной функции о;
если dim |их, .. ., uhJ_a^ ^,h при всех fe=0, . .., Л —1.
Пусть в расслоении выбраны сечения v1(x), ..., vm (x)
в общем положении. Подмножество базы {х ? В | ь\ (х), ...
..., vm(x) подчинена о} есть псевдомногообразие кораз-
коразмерности а @)+ •.. -\-о (п — 1). Оно реализует относи-
относительный класс гомологии в Н r ^n_l . (В, дВ), а двои-
ственный ему класс когомологий в II ° (В) будет

X. к. расслоения §. Класс ргA) получается, если
в качестве о взять функцию
о@)== ... = а («—2г —1) = 0, а(п—2г)= ... = а(и —1)=2.
Классы Понтрягина можно выразить через кривизну
связности действительного расслоения аналогично
тому, как это сделано для классов Чжэня.
Для произвольной градуированной Q-алгебры А пусть
Т^А — группа (относительно умножения) рядов вида
l + <*i + 02+• • ¦ , dege, = i. Мультипликативной
последовательностью наз. такая последова-
последовательность многочленов {Ki(xlt .. ., я,-)}, A^-gQ [хх,. . .,х{\,
что соответствие
a = (i+ai+...)-^(l + K,(al) + K.i(a1, а.2)+ . . .)--Я (а)
является гомоморфизмом групп 1\А —>• TiA для лю-
любой градуированной Q-алгебры А. В частности,
K[(xi, ..., х;) однороден степени i, если degxj — j.
Если ^4 = Q[J], то Т±А есть группа формальных сте-
степенных рядов, начинающихся с 1. Для любого f(l)?
6Г1 (Q [t]) существует и единственна мультипликатив-
мультипликативная последовательность К = {К{), К (l-\-t)~/ (t). При
этом
Kn(xi, ..., х„) = 2 >-(,•• ¦h/.S;r .-ir(xu ..., х„),
со 6Ц («>
Здесь / (<) = 20 X.;/', Яо--1, суммирование производит-
производится по всем разбиениям п, т. е. со— {гь ..., ir], A; ...,
S0 + +
Мультипликативная последовательность, определяе-
определяемая рядом
где Вь—числа Бернулли, обозначается обычно L =
Пусть Мп—многообразие, А — Н**(М, Q), р(М) =
— i+pi (М)-\-.. .+P[n/i] (Л?"NГИ—полный класс
Понтрягина. Рациональное число <,L{p (M)), [М\у наз.
L-p о д о м многообразия Ж". L-роды бордантных мно-
многообразий равны. Если п не делится на 4, то <.L (p(M)),
[Л/]>=0. Если М" — замкнутое многообразие размер-
размерности и=--4Л, то <Ь{р(М)), [М]> — 1(М), где / \М] —
сигнатура квадратичной формы пересечения на 7/а^(Л/, Q)
(теорема X ц р ц с б р у х а о с in- н а т у р е).
Для приложений важны многие специальные муль-
мультипликативные последовательности, напр, ряд /(t) =
— задает мультипликативную последовательность
1-е-'
Т. Для комплексного расслоения | определен класс
x(g) = T(c (|))€#*(Д(|)), яаз. классом Тодда
расслоения g. Класс Тодда следующим образом связан
с характером Чжэня ch:
1=(— 1У'тA).ф^сЬ\1з|A) G Я* (В, Q), п-=й\т%,
здесь г|?j A)—класс Тома в А^-теории, ф— Тома изо-
изоморфизм в Я*. Для действительного расслоения | опреде-
определен класс / (?)= Т {Iq\?H*(B (g), Q), наз. ин дек с-
н ы м классом. Имеет место следующая теорема
об индексе (А ть и — 3 и н г е р а): индекс эллиптич.
оператора D на компактном многообразии М размер-
размерности п равен
(—l)n{chu-J(M)}[Mv ],
где Мх — Тома пространство касательного расслоения,
и?К(МХ)~класс символа оператора D.
X. к. сферич. расслоений находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с когомологиями классифицирую-
классифицирующего пространства BGn.
Для нечетного простого р в размерностях, меньших
¦lp(p-i)-i,
Н*(ВС; %р)- %p[qt, <,,, ...|®A|f5f/j, |i</2, ...],

где при всех п классы q,¦?H2i<p-1) (BGn; Zj,) выра-
выражаются по формуле </,-•=:ф-^'ф A), здесь Р1 — С ти-
нрода приведенные степени, ф — изоморфизм Тома,
Л [P</i, C<?2> ...]— внешняя Zp-алгебра (теорема
М и л но р а).
Классы <у,- являются точными аналогами классов
Штифеля — Уитни и так же, как и последние, могут
рассматриваться как X. к. сферич. расслоений, или
как классы когомологий пространства BG. Наконец,
H*(BSG2H; Q)^=Q[e], где е — класс Эйлера, Н* {BGlk\
Показано, что вышеприведенная формула относи-
относительно II*(BG;ZP) неверна уже в размерности
2р(р — 1) — 1:Л2Р^-1'-1 (BG; Zp)s=Zp, и образующая
этой группы не выражается через щ и (З?,-, т. е. пред-
представляет собой первый экзотический Х.к.
Лит.: 11] Бор ель А., в кн.: Расслоенные пространства
и их приложения, пер. с франц., М., 1958, с. 163—246; [2]
А т ь я М., Зингер И., «Успехи матем. наук», 1968, т. 23,
в. 5, с. 99—142, в. 6, с. 135—49; 1969, т. 24, в. 1, с. 127—82;
1972, т. 27, в. 4, с. 161—78, с. 179—88; [з] Bolt R., «Lecture
Notes in Mathematics», 1972, v. 299, p. 1—94; [4] M и ,u-
ji о р Д ж., «Математика», 1959, т. 3, № 4, с. 3—53; 1965, т. 9,
№4, с. 3—40; [5] ПонтрягинЛ С, «Докл. АН СССР»,
1942, т. 35, с. 35—39; [6] StiefelE., «Comment, math,
lielv.», 1935, v. 8, № 4, p. 305—53; [7] Whitney H., «Bull.
Amcr. Math. Soc». 1937, v. 43, p. 785—805; [8l С h с r n S.-S.,
«Ann. M«th.», 1946, v. 47, Ml, p. 85—121; [9] Honniio»
С. П., «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300; [10]
Hilior J., «Comment, math, helv.», 1968, v. 43, J\b 1, p. ol —
77; [11] Stash eft J., там же, р. 78—86: [12] В о г е 1 Л.,
HirssebrucJi F., «Amer. J. Math.», 1958. v. 80, p. 458—538;
1959, v. 81, p. 315 — 82; 1960, v. 82, p. 491 — 504; [13] С т о н г Р.,
Заметки по теории кобордизмов, пер. с англ., М., 1973; [14]
М и л н о р Д ж., СташефДж., Характеристические клас-
классы, пер. с англ., М., 1979. А. Ф. Харшиладзе.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН м а т р и-
ц ы А — (| aij ||? над полем К — многочлен над полом А!
11 — Я. &\2 ¦ ¦ ¦ О,\п
¦ ¦ -апп —
Степень Х.м, равна порядку квадратной матрицы Л,
коэффициент Ьх равен следу матрицы А {Ьг — tr A -- аи-\-
-\- в22+ • • ¦ ~гапп), коэффициент Ът равен сумме всех
главных миноров т-то порядка, в частности Ьп — del Л.
Уравнение /; ("К) — 0 наз. хара к т с р н с т и ч е с к и м
уравнением матрицы А, или вековым урав-
уравнением.
Корни X. м., лежащие в К, наз. характери-
характеристическими значениями или собст-
собственными значениями матрицы А. Если
К — числовое поле, употребляются также термины
«характеристические числа» пли «с о б-
ст венные ч и с л а». Иногда рассматривают корни
X. м. в алгебраич. замыкании поля К. Их обычно наз.
характеристическими корнями мат-
матрицы А. Матрица А порядка п, рассматриваемая над
алгебраически замкнутым нолем (напр., над полем ком-
комплексных чисел) имеет п собственных значений \lt
Х2, ..., Хп, ваш каждый корень считать столько раз, ка-
какова его кратность. См. также Собственное значение.
Подобные матрицы имеют один и тот же X. м. Каж-
Каждый многочлен над К со старшим коэффициентом (—1)"
является характеристическим для нек-рой матрицы
над К порядка п, наз. матрицей Фробениу-
с а.
Лит. см. при статье Матрица. Т. С. Ниголпина.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ — 1)
X. п.— то же, что Ляпунова характеристический по-
показатель.
2) X. п. л и н е и и о и системы обыкно-
обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений с периодическими к о у ф ф и-

рентами — частные от деления натуральных ло-
логарифмов мультипликаторов системы на период коэф-
коэффициентов системы. В этом случае характеристические
показатели Ляпунова системы равны действительным
частям X. п. этой системы. Эквивалентное определе-
определение: число а наз. X. п. линейной системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений с периодич. коэф-
коэффициентами, если эта система имеет комплексное ре-
решение вида [ехр(са)] y(t), где вектор-функция у(г)щО
периодическая по t с тем же периодом, t?R, а а?С.
3) Встречается также выражение «X. п. решения
системы обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений», причем рассматриваемая система, вообще говоря,
нелинейная. Под этим понимаются X. н. системы урав-
уравнений в вариациях данной системы вдоль данного ее
решения, где, в свою очередь, термин «X. п.» может
пониматься как в смысле 1), так и в смысле 2).
В. М. Миллионщиков.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИОНАЛ —аналог
понятия характеристической функции, используемый
в бесконечномерном случае. Пусть Ж — непустое мно-
множество, Г — векторное пространство определенных на ЭЁ
действительных функций, С (ЗЕ, Г)—наименьшая а-ал-
гебра подмножеств ЭЕ, относительно к-рой измеримы
все функции из Г. X. ф. вероятностной меры |х, задан-
заданной на С C1, Г), определяется как комилекснозначный
функционал (х на Г равенством
Ниже имеется в виду наиболее важный и простой слу-
случай, когда 32 есть сепарабельное действительное бана-
банахово пространство и Г совпадает с его топологическим
сопряженным Ж*. В этом случае С (Ж, Ж*) совпадает
с а-алгеброй борелевских множеств пространства J.
Понятие X. ф. для бесконечномерных банаховых про-
пространств ввел А. Н. Колмогоров [1].
X. ф. случайного элемента X со значениями в Ж, по
определению, есть X. ф. его вероятностного распреде-
распределения \ix(B) = P{X?B}, BCZI.
Основные свойства Х.ф.:
1) }i@) =1 и (д, положительно определен, т. е.
Jj «А«гЦ {x*k — л1/) 52 0 для любых конечных наборов
j
комплексных чисел а, и элементов х, ?ЭЕ";
2) |Л непрерывен в сильной топологии и секвенциаль-
секвенциально непрерывен в *-слабой топологии пространства Ц*\
3) ||1 (х*) |<1,
| ?(xl) -|ГD) |2 < 2 [1-Reeljl (гГ-а:2*)],
х*, xi х\ б г\
4) fi(?) = fi(—g); в частности и. принимает только
действительные значения (и является четным функцио-
функционалом) в том и только в том случае, когда мера \.i сим-
симметрична, т. е. (х E)==ц (— В), где — В = {х: — х? В};
5) X. ф. однозначно определяет меру;
6) X. ф. свертки двух вероятностных мер (суммы двух
независимых случайных величин) есть произведение
пх X. ф.
В конечномерном случае метод X. ф. основан на тео-
теореме о непрерывности соответствия между мерами и их
X. ф., и на теореме об описании класса X. ф. В беско-
бесконечномерном случае прямые аналоги этих теорем не
имеют места. Если последовательность вероятностных
мер (цп) слабо сходится к ц., то (и„) поточечно схо-
сходится к [I и эта сходимость равномерна на ограничен-
ограниченных множествах из $*; если А' есть слабо относительно
компактное семейство вероятностных мер в ЗЁ, то се-
семейство {ц: ц?А*} равностепенно непрерывно в сильной

топологии пространства J*. Обратные утверждения вер-
верны только в конечномерном случае. Однако условия
сходимости и слабой относительной компактности се-
семейств вероятностных мер можно выразить в терминах
X. ф. (см. [2]). В отличие от конечномерного случая,
не всякий положительно определенный нормированный
(равный в нуле единице) непрерывный функционал
является X. ф.— непрерывности в метрич. топологии не
хватает. Топология в J* наз. достаточной, соот-
соответственно необходимой, если в этой топологии
непрерывность положительно определенного нормиро-
нормированного функционала достаточна, соответственно необ-
необходима, для того чтобы он был X. ф. нек-рой вероят-
вероятностной меры в ЭЕ. Необходимая и достаточная тополо-
топология наз. 5-юпо л о гие й. Пространство J наз. S-
пространством, если в ЗЕ* существует Л'-тополо-
гия. Гильбертово пространство является Л'-иростран-
ством (см. [3]).
Наиболее важный класс X. ф.— характериетич. функ-
функционалы гауссовекпх мер. Мера ц d J наз. центриро-
центрированной гауссовской, если для всех ж*?3:*
где Я—ограниченный линейный положительный опе-
оператор из I* в I — ковариационный оператор меры ц,
к-рый определяется соотношением
х* (Rx*) = [ х*- (х) dp (x)
(см. [4]). В отличие от конечномерного случая, не вся-
всякий функционал вида (*) является X. ф.— нужны до-
дополнительные ограничения на R. зависящие от про-
пространства ЗЕ. Напр., если Ц — 1р, 1 ё? р < оо, то допол-
дополнительным (необходимым и достаточным) условием
2р/2 .
г < -)- оо, где || rij || матрица опе-
оператора R в естественном базисе (см. [5]). В частности,
в гильбертовом пространстве дополнительным условном
является ядерность оператора R.
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., «С. г. Aead. sci.», 1935,
t. 200, p. 1717—18; [2] П р о х о р о в ГО. В., «Теория осроптн.
и ее примел.», 1956, т. 1, в. 2, с. 177—238; L3] С а з о н о в В. В.,
там же, 1958, т. 3, в. 2, с. 201 — 05; I'll В а хани я li. H.,
Т а р и е л а д з с В. II., Ч о б а и л и С. А., Вероятностные
распределения и банаховых пространствах, М., 1985; L5j V a к-
hania N. N., «С. г. Acad. sci.», 19И5, t. 260, li. 15C0—02.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ ТТс-
о р п и дифференциальных уравнении
с частными производными — см. Ха-
Характеристика.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ в то-
топологии—непрерывное отображение % замкнутого
re-мерного шара Е" в хаусдорфово топологич. простран-
о
ство X, являющееся на внутренности Еп шара гомео-
( \
( \
морфизмом. Множество еп = \ \Еп) наз. в этом случае
клеткой пространства X, a % — X. о. клетки а". Если
X—клеточное пространство, то клетками пространства
X наз. те клетки пространства \Х\, к-рые составляют
клеточное разбиение X. А- *• Харшиладзе.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, веко-
вековое уравнение, см. в ст. Характеристический
многочлен.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО— 1) Х.ч.—тоже,
что собственное число, собственное значение матрицы
(см. Характеристический многочлен).
2) X. ч. — значение характеристического класса ка-
касательного расслоения замкнутого многообразия на
фундаментальном цикле этого многообразия.
Л. Ф. Харшиладзе.
ХАРАКТЕРОВ ГРУППА г р у п и ы G группа
всех характеров X (G) — НотF', А) группы G со

значениями в абелевой группе А относительно опера-
операции
(aP)(*)=a(*)P(g) U'<G С, а, р 6Х(С)),
индуцированной операцией в .4. В случае когда /1 = Т,
р
где Z(p°°) — квазициклические группы, взятые по
одной для каждого простого числа р. Эта группа ал-
алгебраически компактна (см. Сервантная подгруппа).
Если при этом G абелева, то X (G) является полной груп-
группой тогда и только тогда, когда G — группа без кру-
кручения, и редуцированной тогда и только тогда, когда G
периодична [4].
Группа характеров топологиче-
топологической группы G — группа X(G) всех непрерыв-
непрерывных гомоморфизмов G -*¦ Т, снабженная компактно
открытой топологией. Она является хаусдорфовой абе-
абелевой топологич. группой. Если группа G локально ком-
компактна, то и X (G) локально компактна, если G компакт-
компактна, то X (G) дискретна, а если G дискретна, то X (G)
компактна.
Примеры X. г.:
X(T)?Z, X{Z)=T, I(R)sR, X(G)=G
для любой конечной дискретной абелевой группы G.
С каждым непрерывным гомоморфизмом топологи-
топологических групп ф: G -*¦ Н связан гомоморфизм X. г.
Ф* : X (Н) ->¦ X (G). При этом соответствие G t—> X (G),
Ф i—*¦ ф* есть контравариантный функтор из катего-
категории топологических групп в категорию топологических
абелевых групп. Если ограничиться категорией ло-
локально компактных абелевых групп G, то этот функ-
функтор определяет эквивалентность указанной категории
и двойственной к ней категории (см. Понтрягина двой-
двойственность).
Группа характеров алгебраиче-
алгебраической группы G над полем К — группа X(G)
всех рациональных характеров G-+K*=Gm. Если
G — абелева аффинная алгебраич. группа, то X (G) по-
порождает пространство K[G] (т. е. является базисом в
этом пространстве) тогда и только тогда, когда G —
диагонализируемая алгебраическая группа, т. е. изо-
изоморфна замкнутой подгруппе нек-рого тора Gsm. При
этом X (G) — конечно порожденная абелева грулиа
(без р-кручения, если char K=p'>0) и К [G] является
групповой алгеброй группы X (G) над К, что дает воз-
возможность определить двойственность между катего-
категорией диагонализируемых групп и категорией конечно
порожденных абелевых групп (без р-кручения, если
char АГ=р>0). В случае когда G — конечная группа
(рассматриваемая как 0-мерная алгебраич. группа),
ута двойственность совпадает с классич. двойственно-
двойственностью конечных абелевых групп.
Для любой связной алгебраич. группы G группа
X (G) не имеет кручения. В частности, диагонализи-
диагонализируемая группа G является тором тогда и только тогда,
когда X(G)siZs-
Лит.: [1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] М о р р и с С, Двойственность Понт-
Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп,
пер. с англ., М., 1980; [3] П о н т р я г и н Л. С, Непрерывные
группы, 3 изд., М., 1973; [4] Фукс Л., Бесконечные абелевы
группы, пер. с ашл., т. 1, М., 1974: [э] Хамфри Д ж., Ли-
Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.
А. Л. 0}сищик.
ХАРАКТЕРОВ ФОРМУЛА, формула В е и л я, —
формула, выражающая характер ch V (А) неприводи-
неприводимого конечномерного представления полупростой алге-

бры Ли cj над алгебраически замкнутым полем харак-
характеристики 0 через его старший вес Л:
(здесь W— Вейля группа, р — 1^^ +а — полусумма
положительных корней алгебры Ли g). Следствиями
X. ф. являются формула для размерности представле-
представления:
и формула для кратности веса, а также формула
Стейнберга для числа тА вхождений неприводи-
неприводимого д-модуля V (А) в V (A')@V {А"):
где Р(|л)—-число различных представлений элемента \х
в виде суммы положительных корней (см. [1]).
X. ф. обобщается на случай неприводимых представ-
представлений градуированных алгебр Ли, определяемых нераз-
неразложимой Картана матрицей (см. также Ли градуиро-
градуированная алгебра). Это обобщение приводит к следующим
комбинаторным тождествам:
е@ = 2 (_1)'У<з/ + 1>/2 (тождество Эйлера),
/ s Z
^)^S/ez (—1)/'/* (тождество Гаусса),
е3@-2-> п(—1КB/ + 1)/(/ + 1)/2
(т о ж д е с т в о Якоб и),
где
tn>
(тождество Роджерса — Рам ануджа-
н а) и другие (см. [3], [4]).
Аналог X. ф. получен также для неприводимых пред-
представлений нек-рых простых супералгебр Ли. [2].
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли. Подал-
Подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупрос-
полупростые алгебры Ли, пер. с франц., М., 1978; [2] Л е й т с с Д. А.,
«Функциональный анализ», 1980, т. 14, № 2, с. 35—38; 1.41
К а с V. G., «Adv. Math.», 1978, v. 30, p. 85—136; [4] L e p о v s-
k у J., в кн.: Lie algebras and related topics, В.— Hdlb.— N. Y.,
1982. Д. А. Лейтес.
ХАРДИ ВАРИАЦИЯ—одна из числовых характери-
характеристик функции нескольких переменных. Пусть функция
f(x) = f(x1, ..., хп), и = 2, 3, ..., задана на и-мерном
параллелепипеде
Dn = [au Ьг] X ... X [ап, Ь„]
и
Д/, (/; x) = f(xu ..., xk + hk, ..., ха) —
к
— f(x1,..., xk, ..., х„), к = 1, ..., п,
Пусть, далее, П — произвольное разбиение паралле-
параллелепипеда гиперплоскостями
*5=*(/j). rs = v, i, .... h; « = 1. 2- ••- n,
Xs <. xs , xs —as, xs —os, xs xb —ns

на re-мерные параллелепипеды и Нп — класс всех функ-
функций /(ж), для к-рых
< 00.
Пусть, теперь, a —(aj, ..., as), s — 1, ..., п—1 —
целочисленный вектор, координаты к-рого удовлетво-
удовлетворяют неравенствам Isga1<a2< ... <в5<пио--
цолочисленный вектор размерности п — s такой, что его
координаты образуют строго возрастающую последова-
последовательность и состоят из всех тех чисел 1, .. ., п, к-рые
не содержатся среди аь ..., а^. Тогда каждую точку
x?Dn можно записать в виде х = (ха, ха). Если коор-
координаты xai, ..., ха точки x?Dn фиксированы на зна-
значениях ха , . . ., ха , то будем писать х = (ха, ха).
Вариация X а р д и функции / (х) на Dn:
def _ „
Если H(f, Dn) < оо, то говорят, что функция f (х)
имеет ограниченную (конечную) X. в. на параллеле-
параллелепипеде Dn, а класс всех таких функций обозначается
H(Dn). Этот класс при п —2 был введен Г. Харди [1]
(см. также [2]) в связи с исследованием сходимости
двойных рядов Фурье. Он доказал, что прямоугольные
частичные суммы двойного ряда Фурье функции / (хг, х2)
класса Н (Q2) (Q2 = [0, 2я]Х[0, 2я]), имеющей период
2я по каждой переменной, сходятся в каждой точке
(хи х2) к числу
где
def
/ (Ч ± 0, х2 ± 0) = lim / (xl ± eu x2 ± е2).
Е! -* + 0, е2 -* + 0
Для того чтобы функция / (х) входила в класс H(Dn),
необходимо и достаточно, чтобы ее можно было пред-
представить в виде f(x) = f1(x) — ii(x), где ft и /г такие
конечные на Dn функции, что Aft h (/; ж)^0,
к —2, ..., п, при всех x?Dn и допустимых прираще-
приращениях h1, ..., hn. Класс Н (Dn) содержится в классе
Л (Dn) функций, имеющих ограниченную Арцела ва-
вариацию на Dn.
Лит.: [11 Н а г d у G. H., «Quart. J. Math.», 1905, v. 31,
№ 1, p. 57—79; [2l H a h n H., Theorie der reellen FunktioncTi
Bd 1, В., 1921. Б. П. Голубое.
ХАРДИ КЛАССЫ HP, p> 0,— классы аналитич.
в круге D = {|z| < 1} функций f(z), для к-рых
sup {\T\i(rl)\Pdm{l)Vlp < оо, (»)
О < г < 1 I J ' )
где dm = \dl |/2я—нормированная мера Лебега на окруж-
окружности jT = {||| = 1}; это равносильно условию сущест-
существования у субгармонич. функции | / (z) \p гармонич.
мажоранты в D. К X. к. причисляют также класс Я°°
ограниченных аналитич. функций в D. Введенные
Ф. Риссом [1] и названные им в честь Г. Харди
(G. Hardy), первым рассмотревшего свойства р-сред-
них в условии (*), X. к. играют важную роль в раз-
различных вопросах граничных свойств функций, гармо-
гармонич. анализа, теории степенных рядов, линейных опе-
операторов, случайных процессов, экстремальных и аппрок-
симационных задач.
При любых 0 < д < р < оо справедливы точные вло-
вложения HfcH^dN, где ./V — класс Неванлинны ограни-

ценного вида функций, в частности функции X. к. имеют
почти всюду на Т угловые граничные значения /* (?),
по к-рым исходные функции / (z) в D восстанавли-
восстанавливаются однозначно. Если f(z)?Hp, то /* (l)?Lp (T)
(обратное верно не для любой аналитич. функции / (z)) и
lim \T\f{rl)-f*(l)\
г ->- 1- J т
Классы Нр, 1 < р < оо, — это в точности классы ана-
аналитических в D функций / (z), к-рые имеют граничные
значения /* (%)?LP (T) и восстанавливаются по ним
посредством интеграла Коши. Функции же, предста-
вимые в D интегралом типа Коши или Коши—Стилть-
еса, принадлежат, вообще говоря, лишь классам Нр,
р < 1 (обратное неверно). Однолистные функции в D
принадлежат всем классам Нр, р < 1/2. Условие /'(z)^H1
необходимо и достаточно для того, чтобы аналитич.
функция / (z) была непрерывна в D и абсолютно непре-
непрерывна на Т. Если функция / (z) конформно отображает
круг D на жорданову область G, то условие /' (z)^H1
равносильно спрямляемости контура dG (см. [2], [5]).
Существование взаимно однозначного соответствия
между функциями X. к. и их граничными значениями
позволяет рассматривать, когда это удобно, функции
f(z)?IIp как функции на Т, при этом классы Нр ста-
становятся замкнутыми подпространствами банаховых
(полных линейных метрических, если р < 1) пространств
Lp (Т). При 0 < р < оо эти подпространства совпадают
с замыканиями в Lp (T) многочленов от | = е'*, а при
1 < Р < оо—с совокупностями тех функций из LP(T),
коэффициенты Фурье к-рых равны нулю для отрица-
отрицательных индексов. Теорема Рисса утверждает, что
отображение Р, выражаемое через ряды Фурье равен-
равенством
/ int] V00
tl = v
является ограниченной проекцией банахова простран-
пространства Lp (Т) на Нр при любом 1 < р < оо, но не при
р = 1, оо. Отсюда вытекает совпадение действительных
пространств L^ (Т) и Be Нр, 1 < р < оо; при других
же значениях р эти пространства существенно различны
как по аппроксимативным характеристикам и структуре
сопряженных пространств, так и (при р = 1) в отноше-
отношении свойств коэффициентов Фурье (см. [7], [9]).
Множества нулей {z^} нетривиальных функций X. к.
полностью характеризуются условием ^k(i — \ z^ |) < оо,
обеспечивающим равномерную сходимость внутри D
канонич. Бляшке произведений
в (z) =
TT
Л-i-k
Для любой функции f(z)?Hp, /(z)^EO. p > 0, имеет
место факторизация Рисса / (z) = В (z) • /0 (z),
где В (z) — произведение Бляшке, построенное по нулям
функции /(z), a fo(z)?Hp и /0(z) ф 0 в D. Функция
/о (z) в свою очередь разлагается в произведение /о (z)=
= F(z)-S(z) внешней функции
F (z) = exp| [.ТЩ In %(l) dm &) + ia j, a g R,
и внутренней сингулярной функции
где x(i)>0, In "/(!)€^J (?)' a Ф—-неотрицательная
сингулярная мера на Т. Условия

равносильны, при этом [ /*(?) | = | F* (?,) |-—X (?) почти
всюду на Т. Внутренние функции С (z), имеющие вид
С (z) = 7? (z)-S (г), полностью характеризуются условиями
! G (г) | < 1 и Z> и | G*(|) | — 1 почти всюду на Г. Часто
используют разложение / (z) — У/о (z)-(У/о (z) # (г))
произвольной функции /(z)?//x в произведение двух
функций из IP (см. [4], [5]).
Класс Н2 занимает особое место среди X. к., так как
является гильбертовым пространством с воспроизво-
воспроизводящим ядром и имеет простое описание через коэффи-
коэффициенты Тейлора:
Важную роль сыграло изучение оператора умножения
на z, шля оператора сдвига, в пространстве Н2;
оказалось, что все инвариантные подпространства этого
оператора порождены внутренними функциями С (z),
т. о. имеют вид G(z)-H2 (см. [4]).
Относительно поточечного умножения и sup-нормы
класс Н°° является банаховой алгеброй с весьма слож-
сложным строением пространства максимальных идеалов ЗЛ
н границы Шилова (см. [4]); вопрос о плотности идеа-
идеалов (z—|)•//'", |?.D, в пространстве Щ1 с обычной
топологией Гельфанда (т. н. проблема короны)
был решен положительно на основе описания уни-
универсальных интерполяционных после-
последовательностей — последовательностей {zn},
z,,?D, таких, что {{/ (г„)}:/ (z)€ff°°} = 1°° (см. [5]).
Х.к. W (<?), р > 0, аналптич. функций /(z) в обла-
областях GaC, отличных от круга, можно определить
(в общем случае неэквивалентно) исходя либо из усло-
условия существования у функций [ / (z) \p гармонич. ма-
мажоранты в G, либо из условия ограниченности инте-
интегралов \ | / (z) \Р | dz | но семействам контуров {Lr},
J Lr
LrcG, в каком-то смысле приближающих границу
области 6'. Первый способ позволяет определить также
X. к. на римановых поверхностях. Второй способ при-
приводит к классам, лучше приспособленным для решения
экстремальных и ашгрокелмационных задач; в случае
жордаиовых областей G со спрямляемой границей по-
последние классы наз. к л а с с а м и Смирнова и обо-
обозначаются Ер (G) (см. [2]). Для полуплоскости, напр.
./'^{Re :; > 0}, классы Нр (Р), р > 0, определяемые
условием
sup [ " | / (x+iy) \P dij < оо,
х > О J ~х
но свойствам близки к X. к. для круга, однако их при-
приложения в гармонич. анализе связаны уже не с тео-
теорией рядов Фурье, а с теорией преобразований Фурье.
Х.к. аналитич. функций f(z) — f(zlt ..., z,,) в еди-
единичном шаре Вп и единичном поликруге D" простран-
пространства С" определяются условием (*) с заменой окруж-
окружности Т соответственно сферой дВп или остовом Тп
иолпкруга. Специфика многомерного случая прояв-
проявляется прежде всего в отсутствии простой характери-
характеристики множеств нулей и факторизации функций соот-
соответствующих X. к. (см. [6], [10]). X. к. определяются,
причем различными способами, и для других областей
в С» (см. [10]).
Многомерными аналогами X. к. (см. [3]) являются
т. н. пространства Хард и — пространства
Нр (R™), р > 0, систем Рисса — действительных
вектор-функций i1'(.г, .у)—-{«у (.т, !/)}"=0, x^R", у > О,
удовлетворяющих о б о б щ е н н ы м у с л о в н я м К о-
ш и — Р и м а н а

для к-рых
Определение этих пространств можно дать и в терми-
терминах лишь «действительных частей» ио(х, у) систем
F(x, у), потребовав, чтобы функция ио(х, у) была гар-
гармонической, а ее максимальная функция по некаса-
некасательным путям
Л/ам(х) = sup {|uo(/, y)\:\t — x\ <ay} g Lp (R«), а > 0.
t,y
I Fpn p > 1 переход от функции и0 (х, у) к ос граничным
значениям дает отождествление пространств Нр (R") и
Lp (R"), поэтому интерес представляет лишь случай
р< 1. Именно в рамках пространств Нр (R") были пер-
первоначально установлены такие фундаментальные резуль-
результаты теории X. к., как реализация сопряженного про-
пространства (Н1)* в виде пространства функций ограни-
ограниченного среднего колебания (см. [8], [9]) и атомит. раз-
разложение классов Нр, р<1 (см. [7]). Характеристика
X. к. в терминах максимальной функции в ряде слу-
случаев требует привлечения вероятностных понятий, свя-
связанных с броуновским движением (см. [8]).
Абстрактные X. к. возникают в теории равномерных
алгебр и не связаны непосредственно с аналитич. функ-
функциями. Фиксируется замкнутая алгебра А непрерывных
функций на компакте X и нек-рый гомоморфизм ц>:
А —>-С; существует положительная мера du. на X, пред-
л
ставляющая <р: <р(/)=:\ f-d\i, f?A. По определению,
классы Нр (d[x), 0< p<oo, cyTi> замыкания (слабое
замыкание при р--&>) алгебры А в пространствах
Lp (d\i); изучение классов Нр (d|_i) позволяет получить
дополнительную информацию об алгебре А (см. [li]).
Лит.: [1] Riesz F., «Math. Z.», 1923, Bd 18, S. 87—115;
12] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических
функций, 2 изд., М.— П., 1950; La] Stein E., Weiss G.,
«Acta math.», 1960, v. 103, p. 25—62; [4j Гофман К., Банахо-
Банаховы пространства аналитических функций, пер. с англ., М., 1963;
15] D u г с n P., Theory of II? spaces, N. Y.— L., П170; [6] P y-
д ин У., Теория функций в поликруге, пер. с англ., М., 1974;
[7] С о i f m a n R. R., Weiss G., «Bull. Amer. Math. Soc»,
1977, v. 83, №4, p. 569—645; L8] P с t e г s e n K. E., Brow-
Aiian motion, Hardy spaces and hounded mean oscillation, L.,
1977; [91 К о os is P., Introduction to II spaces. With an
appendix on Wolff's proof of the corona theorem, Caiub., 1 OHO;
[10] Rudin W., Function theory in the unit ball of C",
N. Y-—В., 1980; [11] Гамелин Т., Равномерные алгебры,
пер. с англ., М., 1973.
СВ. Шведенко.
ХАРДИ НЕРАВЕНСТВО для рядов: если р > 1,
ап г- 0 и Ап = а1+ ... +в„, «--^-1,2, . . . , то
Z { ) < [p-l
кроме случая, когда все ап равны нулю. Константа
р в этом неравенстве наилучшая.
(—У
X. н. для интегралов
" I \Гf {t) dl I"dx <pP So"''j:/ w |7>dx> p > L
Неравенства справедливы для всех функций, для к-рых
конечны правые части неравенств, кроме случая, когда
функция / почти всюду на интервале @, ¦•]- оо) равна
пулю (в этом случае неравенства обращаются в ранен-

ства). Константы (—^ у и р? являются наилучшими.
Интегральные X. н. обобщаются на произвольные
промежутки:
rb rb
0<а < 6<+сс,
где с — нек-рые постоянные.
Обобщенными неравенствами X а р-
д и наз. неравенства вида
fb
\dt
B)
В случае а —0 и & = -}- оо неравенство A) имеет место
тогда и только тогда, когда
P
» > О
а неравенство B) тогда и только тогда, когда
Лит.: [1] X а р д и Г. Г., Л и т т л ь в у д Д ж. Е., 11 о-
лиа Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [2J Николь-
Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и тео-
теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [3] Muckenhoupt В.,
«Studia math.», 1972, v. 44, p. 31 — 38. Л. Д. Кудрявцев.
ХАРДИ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное пре-
преобразование вида
F(x)-=\n Cv(xt)tf(t)dt,
где
C'v (z) — cos ;
Jv(z), Yv(z) — функции Бесселя 1-го и 2-го рода соот-
соответственно. При р — 0 X. и. совпадаете одной из форм
преобразования Ганкеля, при р---х!% с У-преобразова-
нием. X. п. предложено Г. Хардп [Г].
Формула обращения
где
I \-Ч— ^Jn = 0 Г (р + п ( 1) Г(\' + р + п+1) -
X. п. определено также для нек-рых классов обоб-
обобщенных функций.
Лит.: И] Hardy G. H., «Proe. Lond. Math. Soc», 1925,
v. 23, Л5 7, p. 61; [2] Бры ч к о и Ю. А., П р у д н и-
к о в А. II. Интегральные преобразования обобщенных функ-
функций, М., 1977. Ю. А. Брыч-ков, А. П. Прудников.
ХАРДИ ПРИЗНАК равномерной сходимо-
сходимости функциональных рядов: если последова-
последовательность действительных функций ап(х), га = 1, 2, ... ,
монотонна при каждом х?Е, где Е — нек-рое множе-
множество, и равномерно стремится к нулю на Е, а после-
последовательность частичных сумм ряда ^1 Ьп (х) огра-
ограничена на Е (функции Ьп(х) могут принимать комплекс-
вые значения), то ряд ^ _, ап (х) Ь„ (.*) равномерно
сходится на множестве Е.
X. п. установлен Г. Харди |1J.
Лит.: [1] Н а г й у G. Н., «Ргос. Lond. Math. Soc. B)»,
1906, v. 4, p. 247—Во. Л. Д. Кудрявцев.
ХАРДИ ТЕОРЕМА в теории функций комп-
комплексного переменного: если / (г) — регулярная

аналитич. функция в круге |z|<i?, а —любое по-
положительное число и
Ма (r)={^Hn\f (re1'6) |<* ёвI1<Х, О < г < R,
— среднее значение, то Ма (г) есть неубывающая функ-
функция от г, логарифмически выпуклая относительно In г.
X. т. установлена Г. Харди [1].
Утверждение о логарифмич. выпуклости остается
в силе и для функции f(z), регулярной в кольце 0«:р<
<| z \<R (см. [1]).
Эта X. т. обобщается для субгармонических функций
в шаре пространства R", геЭ^2 (см. также [2]).
Лит.: [I] Hardy G. Н., «Proc. Lond. Math. Soc. B)»,
1915, v. 14, p. 269—77; [2] Привалов И. И., Субгармони-
Субгармонические функции, М. — Л., 1937. Е. Д. Соломенцев.
ХАРДИ — ЛИТЛВУДА ПРИЗНАК сходимос-
сходимости рядов Фурье: если 2я-периодич. функция
f(x) такова, что
/ (яо + А) -/ (,г0) _ о (I/log 1/| h\), I h | —> + 0,
а коэффициенты Фурье ап, Ьп этой функции удовлет-
удовлетворяют условиям
при пек-ром б>0, то ряд Фурье функции f{x) в точке т0
сходится к f(x0).
X.—Л. п.установлен Г.Харди и Дж. Литпвудом A1]).
Лит.: [1] Н а г d у G. H., L i t t 1 с w о о d J. E., «J.
Lond. Math. Soc», 1932, v. 7, p. 252—56; Ы Б а р и Н. К.,
Тригонометрические ряды, М., 1961, с. 271. Б. И. Голубое.
ХАРДИ — ЛИТЛВУДА ПРОБЛЕМА — задача на-
нахождения асимптотич. формулы для числа Q (п) реше-
решений уравнения
+2 + J/2 = «, A)
где р — простое, гиг/ — целые, п — натуральное чис-
число (п-*¦ оо). Аналогом этой задачи является проблема
нахождения асимптотики для числа решений уравне-
уравнения
р-з*~у*=1, B)
где 1ф$ — фиксированное целое число, р<:и (п -*¦ оо).
X. —Л. н. была поставлена Г. Харди (G. Hardy)
и Дж. Литлвудом (J. Littlewood) в 1923 и рассмотрена
ими на основе эвристич. и гипотетич. соображений.
Дисперсионный .метод, разработанный 10. В. Лин-
Линии ком, позволил ему найти асимптотику для A):
где
Из аналогичной формулы для B) следует бесконечность
множества простых чисел вида р=з?-\-у*-{-1. С помощью
дисперсионного метода найдена асимптотика для числа
решений обобщенного уравнения Харди — Литлвуда
р+ф(а:, у), где р — простое, ср(т, у) — заданная при-
примитивная положительно определенная квадратичная
форма.
Рассмотрение аналогичного уравнения р—<р(г, у)=1
приводит к доказательству бесконечности множества
простых чисел вида p=ip(,r, y)-\-l-
Теорема Виноградова — Бомбьери о распределении
простых чисел в арифметич. прогрессиях в среднем
также доставляет решение X.— Л. п., заменяя факти-
фактически расширенную гипотезу Римана теоремами типа
большого решета.
Лит.: [1] Л и и н и к IO. В., Дисперсионный метод в бинар-
бинарных аддитивных задачах, Л., 1961; [2] Бредихин Б. М.,
Линник Ю. В.. «Матем. сб.», 1966, т. 71, №2, с. 145—61;
[3] Бредихин Б. М., «Успехи матем. наук», 1965, т. 20,
в. 2, о. 89—130. U. М. Бредихин.
ХАРДИ — ЛИТЛВУДА ТЕОРЕМА — 1) X. — Л. т.
в теории функций к о м и л е к с н о г о по-

ременного: если ak^0, k = 0, 1, ..., и для степенно-
степенного ряда
с радиусом сходимости 1 имеет место на действитель-
действительной оси асимптотич. равенство
то для частичных сумм sn имеет место асимптотич.
равенство
Sn = 2^k = Q аП ~ П' П "СС-
Эта X.— Л. т., установленная Г. Харди и Дж. Литлву-
дом [1], является одной из глауберовых теорем.
Лит.: [1] Н а г d у G. H., L i 11 I e w о о d J. E., «Ргос.
Lond. Math. Soc. B)», 1914, v. 13, p. 174—91; [2]Титчмарш
E., Теория функций, пер. с англ., М.— Л., 1951.
Е. Д. Соломенцев.
2) X.—Л. т. о неотрицательной сумми-
суммируемой функции — теорема об интегральных
свойствах нек-рой функции, связанной с данной. Уста-
Установлена Г. Харди и Дж. Литлвудом ([1]). Пусть f(x)
неотрицательна и суммируема на [а, Ъ] и пусть
6(х) = е,И= sup -^r
Тогда:
1) если f?Lp{a,b), 1 < р < оо, то
2) если f?L(a, 6), то для всех а?@, 1)
3) если f(x)\n + f(x)?L(a,b), то
()< [ }() f(
где А зависит только от b—а. Здесь
, , /0, и < 1,
In + и = < ' /
\1п и и Зг1.
Пусть / (х) — периодич. функция с периодом 2it, сум-
суммируемая на [—я, я], и
1 С X-h t
¦ М{х) = М,(х)= sup T\ \f(u)\du.
Тогда A/^(j:)<9|/| (ж), где Q\f\(x) построена для
[—2я, 2я]. Из теоремы для в (х) получаются интеграль-
интегральные неравенства для М (х).
Лит.: [1] Hardy G., Little w о о d J., «Acta math.»,
1930,v. 54, p. 81—116; [2] 3 и г м у н д А., Тригонометрические
ряды, пер. с англ., т. 1, М., 1965. А. А. Конюшпов.
ХАССЕ ИНВАРИАНТ—1) X. и. h(A) централь-
центральной простой алгебры А над локальным полем
К (соответственно над полями K = R, С) — образ класса
алгебры А при канонич. изоморфизме Брауэра группы,
поля К на группу всех комплексных корней из 1 (со-
(соответственно на группы {±1}, {1})- Для циклич. алге-
алгебры А с образующими а, Ъ и определяющими соотно-
соотношениями ап = х, bn=y, ba = eab, где х, у?К*, е?К —
первообразный корень степени п из 1, X. и. h{A) сов-
совпадает с норменным вычетом (символом Гильберта)
(г, у)п. В частности, X. и. алгебры кватернионов ра-
равен —1.
Для центральной простой алгебры А над глобальным
полем К и любого нормирования v этого поля опре-
определяется локальный X. п. hv (А) как X. и. алгебры
А @ Kv над пополнением Kv ноля К относительно то-
топологии, определяемой нормированием v. Локальные

X. и. однозначно определяют класс алгебры А. Они
связаны следующими условиями: 1) имеется лишь ко-
конечное число нормирований и, для к-рых hv (А) Ф i\
2) JJ hv(A) = i (закон взаимности). В осталь-
остальном они могут принимать произвольные значения.
X. и. предложен X. Хассе [1], [2].
Лит.: Ш Н a s s e H., «Math. Ann.», 1931, Bd 104, S. 495—
534; [2] e г о же, там же, 1933, Bd 107, S. 731—60s 13] Алгебраи-
Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [4] В с й л ь А.,
Основы теории чисел, пер. с англ., М., 1972.
2) X. п., инвариант Хассе — Минковского,
символ X а с с е, s (/) невырожденной квадратичной
формы / — ахх\ +...-(- апх\ над локальным полем К
характеристики Ф2 (соответственно над полями K — R,
С) — произведение
где ( , ) — квадратичный символ Гиль-
Гильберта, то есть (о, Ь) = 1, если квадратичная форма
ах2-{-by2 представляет 1 в поле К и (а, Ь) = —1 в про-
противном случае. X. и. зависит только от класса эквива-
эквивалентности формы /, а не от выбора диагональной формы
в этом классе. Иногда X. и. определяют как произве-
произведение ТТ. (а,-, а,), что отличается от приведенного
Л-Л-l ^ / J
выше определения множителем (d(f), d(f)), где d(f)—
дискриминант формы /.
В случае локального поля К число п переменных,
дискриминант и X. и. определяют класс формы /. При
п Э= 3 инварианты d (/) и 8 (/) могут принимать любые
значения независимо друг от друга; при ге = 2 исклю-
исключается случай d(f)^—1, е(/) = —1; при п — 1 всегда
В случае K = R X. и. выражается через сигнатуру,
а именно,
где s — отрицательный индекс инерции формы /. В слу-
случае К=С всегда е(/)=1.
Для невырожденной квадратичной формы / над гло-
глобальным полем К характеристики Ф 2 и любого нор-
нормирования v поля К определяется локальный
X. и. ev (/) как X. и. квадратичной формы /, рассмат-
рассматриваемой над пополнением Kv поля К относительно
топологии, определяемой нормированием v. Число пере-
переменных, дискриминант, локальные X. и. и сигнатуры
над вещественными пополнениями поля К определяют
класс формы /.
Необходимые и достаточные условия существования
невырожденной квадратичной формы от п переменных
над глобальным полем К характеристики Ф2, имеющей
заданный дискриминант d=?0, заданные локальные
X. и. ev и, для вещественных нормирований г; — задан-
заданные отрицательные индексы инерции sv, состоит в сле-
следующем:
a) 8О Ф 1 лишь для коночного числа нормирований v;
b) JJ Sj, = l (следствие квадратичного закона взаим-
взаимности);
c) гу = \, если ге —1 или ?г = 2 и d?(—1) (К„J;
d) 8г/ = (—i)sv(sv~1'>/2 для каждого вещественного нор-
нормирования у;
e) 8j, = l для каждого комплексного нормирования и;
f) sgndv = (—l)Sv для каждого вещественного нор-
нормирования v (здесь dv — образ d при изоморфизме
X. и. предложен X. Хассе [i].
Лит.: [1] Н a s s e H., «J. reine angew. Math.», 1923, Bd 152,
S. 129—48, 205—24; 1924, Bd 153, S. 12—43, 113—30, 158—62;
L2] O'M e a r а О. Т., Introduction to quadratic forms. В.—
[a. o.J, 1963; L3] L a m T.-Y., The algebraic Uieory of quadratic
forms, Reading (Mass.), 197;i; 111 К а с с е л с Д ж., Рациональ-
Рациональные квадратичные формы, пер. с англ., М., 1982.

3)Х. и. эллиптической кривой X над
полем К характеристики р>0 — число 0 или 1 в зави-
симости от того, является нулевым или биективным эн-
эндоморфизм группы когомологий НХ(Х, Ох), индуци-
индуцированный Фробениуса эндоморфизмом кривой X. Кри-
Кривые, для к-рых X. и. равен 0, называются суперсин-
суперсингулярными.
Лит.: II] Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия,
пер. с англ., М., 1981; [2] М а н и н Ю. И. «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1961, т. 25, № 1, с. 153—72. 9. Б. Винберг.
ХАССЕ ПРИНЦИП — один из центральных прин-
принципов диофантовой геометрии, сводящий вопрос о су-
существовании рациональных точек на алгебраич. мно-
многообразии над глобальным полем к аналогичным воп-
вопросам над локальными полями.
Пусть М—нек-рый класс алгебраич. многообразий
над глобальным полем К. В классе М выполнен X. п.,
если для любого X из М такого, что для всех не-
нетривиальных абсолютных значений v на К множество
.^-рациональных точек X (Kv) многообразия X не
пусто, множество ^-рациональных точек X (К) тоже
не пусто (здесь Kv— пополнение поля К относитель-
относительно у). В частности, если К — поле рациональных чи-
чисел Q, то из непустоты множества вещественных точек
X(R) и множеств р-адических точек X (Qp) для всех
простых р вытекает непустота множества рациональ-
рациональных точек X (Q). X. п. выполнен для квадрик [2], тем
самым он справедлив для алгебраич. кривых рода О
(см. [3]). Для квадрик над числовым полем X. п. сфор-
сформулирован и доказан X. Хассе [1]. Для кубич. гипер-
гиперповерхностей X. п., вообще говоря, неверен (см. [3],
[4]); контрпримерами (над Q) являются кривая Зл;2 +
+ 4?/3 + 5z3^0 и поверхность 5xs + l2y3 + 9z3 + 10ts = 0.
Для алгебраич. группы G над полем к выполнен
X. п., если он выполнен для класса алгебраич. много-
многообразий M(G), состоящего из всех главных однородных
пространств над G (см. Галуа когомологий, Вейля —
Шатле группа, а также [2], [3], [5]). Предполагается
[5], и во многих случаях доказано, что X. п. выполнен
для односвязных или присоединенных полупростых
алгебраич. групп. Неизвестны A984) примеры абеле-
вых многообразий G над числовым полем, для к-рых
выполнен X. п.
Лит.: Il] Basse H., «J. reine und angew. Math.», 1924,
Bd 153, S. 113—30; E2] Алгебраическая теория чисел, пер. с
англ., М., 1969; [3] Кассе л с Д ж., «Математика» 1968,
т. 12, №1, с. 113—60; №2, с. 1 — 48; [4] МанинЮ. И.,
Кубические формы, М., 1972; [э] Серр Ж.-П., Когомологий
Галуа, пер. с франц., М., 1968. Ю. Г. Зархин.
ХАУСДОРФА АКСИОМА — одна из отделимости
аксиом. Введена Ф. Хаусдорфом (F. Hausdorff, 1914.
см. [1]) при определении им понятия топологич. про-
пространства. В топологич. пространстве выполняется
X. а., если любые две его (различные) точки обладают
непересекающимися окрестностями. Пространство,
удовлетворяющее X. а., наз. хаусдорфовым
пространством или Т 2- пространст-
пространством.
Лит.: [1] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем.,
М.— Л., 1937. И. Г. Кожевникова.
ХАУСДОРФА МЕРА—собирательное название класса
мер, определенных на борелевской ст-алгебре 93 (Х)жет-
рич. пространства X с помощью следующего построе-
построения: пусть Ж—нек-рый класс открытых подмножеств
X, 1 = {1(А), А?Щ—неотрицательная функция, опре-
определенная на классе §(, и
{Ai, 4 = 1, ..., п),
Вс= и"=1 Ai € 2С, diam^,-<8, «-=1,2,...,
где нижняя грань берется по всем конечным или счет-
счетным покрытиям борелевского множества ВаХ множе-
множествами из 5Д с диаметром, не превосходящим 8. Мерой

Хаусдорфа X. определяемой классом % и функ-
функцией I, вял. предел
Х(В)-^ lim % (В, в).
е ->¦ О
Примеры Х.м.: 1) пусть 2t—совокупность всех
шаров в X, I (/l) = (diam А)а, а > 0; соответствующая
мера X наз. а-м е р о й Хаусдорфа (линейной
мерой Хаусдорфа при а = 1 или плоской
мерой Хаусдорфа при а=2); 2) X = Rn + 1, 31 —
совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и
осями, параллельными направлению осигп + 1; ЦЛ) равна
re-мерному объему осевого сечения цилиндра .4 ?91,
соответствующая X. м. наз. цилиндрической ме-
мерой.
X. м. введена Ф. Хаусдорфом [1].
Лит.: Ш H a u s d orf f F., «Math. Ann.», 1918, Bd 79,
S. 157—79; [2] Д а н ф о р д Н., Шварц Д ж., Линейные
операторы. Общая теория, пер. с англ., т. 1, М., 1962.
Р. Л. Минлос.
ХАУСДОРФА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ—метод
суммирования числовых и функциональных рядов; вве-
введен Ф. Хаусдорфом [1]; определяется следующим обра-
образом. Последовательность s = {sn} подвергается после-
последовательно трем линейным матричным преобразованиям:
где fi— преобразование посредством треугольной мат-
матрицы {6„й}:
{ О, А: > п;
\х, — диагональное преобразование посредством диаго-
диагональной матрицы ||u.nkll:
ГДС М« —числовая последовательность. Преобразование
где Я—S|iS, {u,J — произвольная числовая последова-
последовательность, наз. общим хаусдорфовым преобра-
преобразованием, а матрицу 6|i6 —матр ицей Хаусдор-
Хаусдорфа. В матричной записи общее хаусдорфово преобра-
преобразование имеет вид
где
t-nk =i \ \ к 1
\ 0, к > п;
¦V*^ V-k — Pk + i, b"p-k = An-1p,k — bn
Ряд
с частичными суммами sn суммируем методом Хаус-
Хаусдорфа к сумме S, если
lim on — S.
п -> х
Поле и регулярность метода Хаусдорфа зависят от по-
последовательности {и,„}. Если {|лп} — действительная по-
последовательность, то для регулярности метода необхо-
необходимо и достаточно, чтобы:
{[х„} была разностью двух абсолютно монотонных
последовательностей;
lim A'«|.io = O;

или, в другой терминологии, необходимо и достаточно,
чтобы и„ были регулярными моментами.
Х.м.с. содержит и качестве частных случаев ряд
других известных методов суммирования. Так, при
|хп = 1/((/-|-1)" метод Хаусдорфа обращается в метод
Эйлера (А1, </), при и, = 1дп + 1)* — в метод Гёльдера
(Н, к), при \in--^il(n~^k)—H метод Чезаро (С, к).
Лит.: U 1 Н a u s'd о г f I F., «Math. Z.», 1921, Bd 9, S. 7 4 —
109; [2] X a p д и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М.,
1951. И. И. Волков.
ХАУСДОРФА ОПЕРАЦИЯ —то же, что бв-операция.
А. Г. Елькин.
ХАУСДОРФА РАЗМЕРНОСТЬ —числовой инвариант
метрич. пространства, введенный Ф. Хаусдорфом [1].
Пусть X—нек-рое метрич. пространство. Для действи-
действительных р > 0 и е > 0 пусть тр — ШУ). (diam A[)p,
^¦•l — 1
где нижняя грань берется но всем таким счетным по-
покрытиям {А;} пространства X, что diam Л,- < 8. X. р.
пространства X определяется как sup {р | тр (X) > U},
где т„(Х)— sup т% (X). Так определенное число зави-
сит от метрики на X (см. но этому также Метрическая
размерность) и, вообще говоря, не является целым
(напр., X. р. кашпорова множества равна Iog32). Топо-
логнч. инвариантом является, напр., нижняя грань
X. р. по всем метрикам на данном тоиологич. простран-
пространстве X, и для компактного X этот инвариант совпадает
с Лебега размерностью для X.
Лит.: [1] Hausdorff F., «Math. Ann.», 1918, Bd 7!',
S. 157—79; [2] Г у р е в и ч В., В о л м э н Г., Теория размер-
размерности, пер. о англ., М., 1948. И. Г. Ношевниповаш
ХАУСДОРФА — ЮНГА НЕРАВЕНСТВА —оценки ко-
коэффициентов Фурье функций из Lp; установлены У. Юн-
гом [1] и Ф. Хаусдорфом [2]. Пусть ср„ (t) — ортонор-
мированная система функций на [а, Ь], | (р„ (I) \ < М для
всех.<?1я,6] и всех ге = 1, 2, ... и 1 < р< 2, — -\--L- - 1.
Если f?L
где сп (!) — коэффициенты Фурье функции /. Вели
2 _, \an\pi то существует такая функция, что g
* I«(о Г «//I/л* ои^ BГ.1' ««i"I'"" B)
В качестве g (t) можно нзять ^ Ц!п (t), причем этот
ряд сходится в Ьр,_
X.— К), н. A) и B) эквивалентны. Для р > 2 они не
имеют .места. Более того, если 6„5гО, ^ ''п < °°.
то существует такая непрерывная функция /, что ее
коэффициенты Фурье по тригономстрич. системе cn(f)
удовлетворяют условию | сп (/) | > Ь„. Качественная фор-
формулировка X.— К), н. (если /^Ло, 1<р<2, то
(сге(/)}€^р') Для неограниченных ортонормированных
систем функций, вообще говоря, не имеет .места. Ана-
Аналог X.— Ю. н. справедлив для широкого класса функ-
функциональных пространств.
Лит..- Ш Young W., «Proc. Lond. Math. Soc», 19J3,
v. 12, p. 71 — 88; [2] H а и s d о г t t F., «Math. Z.», 1923, Bd IB,
S. 163—B9; [31 Бар и Н. К., Тригонометрические ряды, М.,
19В1; [4] К а ч м а ж С, Ш т е й н г а у з Г., Теория ортого-
ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958,г [51 Зигмунд А.,
Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 2, М., 1965; [ti] L е-
(• u w К. [и др.], «С. г. Acad. sci.», 1977, t. 285, p. 1001—03;
[7j К p e ii и С. Г., 11 e т у н и н Ю. И., Семенов Е. М.,
Интерполяция линейных операторов, М., 1978. Е. М. Семенов.
ХАУСДОРФОВА МЕТРИКА, о т клон о н и с,
метрика в пространстве Подмножеств комнакта К, он-

ределяомая следующим образом. Пусть X, Yd К и
Dx,v — множество чисел р(х, У) и p(i/, х), где .г?Х,
У$У, р — метрика в Z. Тогда метрикой X а у с-
д о р ф a dist (X, У) наз. верхняя грань чисел иа
Dxy. Введена Ф. Хаусдорфом в 1914 (см. [1]), и одним
из 'важнейших его результатов является следующий:
пространство замкнутых подмножеств компакта также
компактно. (Независимо к такой же теореме пришел
в 1921—22 П. С. Урысон. см. [2].)
Лит.: [1] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем.,
М,—Л., 1037; [2] У р ы с о н П. С, Труды по топологии...,
т. 2, М.— Л., 1951. м. И. Войцеховский.
ХАУСДОРФОВО ПРОСТРАНСТВО, ^-простран-
^-пространство,— топологич. пространство, каждые две (раз-
(различные) точки к-рого отделимы непересекающимися
окрестностями (см. Хаусдорфа аксиома отделимости).
X. п. могут не быть регулярными и тем более вполне
регулярными, даже если они состоят лишь из счетного
множества точек или имеют счетную базу. Впервые рас-
рассмотрены Ф. Хаусдорфом (К. Hausdorff, 1914, см. [1]).
Лит.: [1] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с
нем., М.- ¦ Л., 1937; [2] А р х а п г с л ь с к и й А. В., II о н о-
марев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражне-
упражнениях, М., 1974. А. В. Архангельский.
ХЕГОРА ДИАГРАММА — один из наиболее употре-
употребительных способов задания замкнутых ориентируемых
трехмерных многообразий. X. д. рода п состоит из
двух систем простых замкнутых кривых в замкнутой
ориентируемой поверхности F рода п. Кривые каждой
системы удовлетворяют следующим условиям: 1) число
кривых в системе равно п; 2\ кривые системы не долж-
должны иметь общих точек; 3) после разрезания поверхно-
поверхности F по этим кривым должна получаться связная по-
поверхность (сфера с 2га удаленными открытыми диска-
дисками). X. д. тесно связаны с Хегора разбиениями: кри-
кривые одной системы представляют собой полную систе-
систему меридианов (секущих окружностей ручек) одного
кренделя разбиения, кривые второй системы — пол-
полную систему меридианов другого кренделя. X. д. наз.
эквивалентными, если эквивалентны отве-
отвечающие им разбиения Хегора. Известно, напр., что
любые две X. д. трехмерной сферы эквивалентны, если
их род одинаков. Род X. д. всегда можно увеличить,
взяв вместо поверхности F ее связную сумму с двумер-
двумерным тором и добавив к кривым диаграммы моридиан
и параллель этого тора. Такая операция наз. опера-
операцией стабилизации. Любые две X. д. од-
одного и того же многообразия стабильно эквивалентны,
т. е. становятся эквивалентными после применения к
каждой из них нескольких операций стабилизации.
Лит. см. при статье Хегора разбиение. С. В. Матвею.
ХЕГОРА РАЗБИЕНИЕ — представление замкнутого
трехмерного многообразия в виде объединения двух
трехмерных подмногообразий с общим краем, каждое
из к-рых является полным кренделем (т. е. трехмер-
трехмерным шаром с несколькими ручками индекса 1). Опре-
Определено в 1898 П. Хегором [1]. X. р. служат одним из
наиболее употребительных приемов в изучении трех-
трехмерных многообразий, хотя имеются и более эффек-
эффективные способы разбиения трехмерных многообразий
на простые куски (связные суммы, иерархии). Любое
замкнутое трехмерное многообразие имеет X. р. В ка-
качестве кренделей разбиения можно взять, напр., регу-
регулярную окрестность одномерного остова нек-рой триан-
триангуляции многообразия и замыкания ее дополнения.
Род (число ручек) одного кренделя всегда совпадает
с родом другого кренделя и наз. родом X. р. Два X. р.
одного и того же многообразия Мя эквивалентны, если
разбивающую поверхность (общий крап кренделей)
одного из них можно перевести в разбивающую по-
поверхность другого с помощью нок-рого гомеоморфизма
многообразия М'л.
Лит.: ГЦ И с с s a n г (I V. «Hull. Sue. nialli. I'i'iimcp»,
l'JIU, I. 4'i, p. 161 — 242. С. В. Матвеев.

ХЕЛЛИ ТЕОРЕМА 1) X. т. о пересечении
выпуклых множеств с общей точкой:
пусть К — семейство из не менее чем ге+1 выпуклых
множеств в «-мерном аффинном пространстве А", при-
причем К — конечно или каждое множество из К — ком-
компактно; тогда, если каждые ге-f-l из множеств семейства
имеют общую точку, то существует точка, общая всем
множествам семейства К.
X. т. посвящены многие исследования, относящие-
относящиеся к ее приложениям, доказательству различных ана-
аналогов и предложений тина X. т., ее обобщений, напр,
в вопросах чебышееского приближения, в решениях
освещения задач, в теории выпуклых тел. Часто X. т.
фигурирует в доказательствах комбинаторных утверж-
утверждений следующего типа: если в нек-ром семействе каж-
каждое подсемейство из к членов обладает определенным
свойством, то этим свойством обладает и все семейство.
Напр., если а и Ь — две точки множества KczAn, то
выражение «а видно из Ъ в К» обозначает, что отрезок
[а, Ь] принадлежит К. Пусть компакт КаА" обладает
свойством, что для каждых re-f-l точек и;) К существует
точка в К, из к-рой видны эти точки, тогда в К суще-
существует точка, из к-рой видны все точки К, т. е. К —
звездное множество.
Большинство аналогов X. т. и ее обобщений связа-
связаны с различными вариантами понятия «выпуклость».
Напр., пусть S" — евклидова сфера; множество наз.
выпуклым но Робинсону, если вместе
с каждой парой диаметрально непротивоположных то-
точек оно содержит соединяющую эти точки меньшую
дугу определяемой ими большой окружности. Если се-
семейство выпуклых по Робинсону замкнутых множеств
пространства S" таково, что каждые 2(«+1) его эле-
элементов обладают непустым пересечением, то и все эле-
элементы этого семейства обладают непустым пересече-
пересечением.
X. т. установлена Э. Хелли (Е. Iielly, 1913).
Лит.: [1] Давне р Л., Г р ю н б а у м Б., К л и В.,
Теорема Хелли, пер. с англ., М., 1968. П. С. Солтан.
2) X. т. в теории функций: если последователь-
последовательность функций #„, и—1, 2, .... с ограниченной на
отрезке [а, Ь] вариацией сходится в каждой точке итого
ь
отрезка к пек-рои функции g, причем вариации V gn
а
всех функций gn ограничены в совокупности:
V ?„«<-, »1-1, 2, ...,
а
то предельная функция g также имеет ограниченную
на отрезке \а. Ь] вариацию и для любой непрерывной
на \а, Ь] функции / справедливо равенство
lim
п -*¦ оо
Л. Д. Кудрявцев.
ХЕЛЛИНГЕРА ИНТЕГРАЛ —интеграл тина Римана
от функции множества /(-?). Если (X, ц.) — простран-
пространство с конечной неотрицательной несингулярной мерой,
f(ti), EczX,— вполне аддитивная функция, причем
1(Е)^0, если |i?' = 0; S = {En}j —разбиение X, то
и интегралом Хеллингера функции f(E) но X наз.
если он конечен. X. и. можно рассматривать и как пре-
предел но направленному множеству разбиений: bt < 6г,
если Л-., есть подразбиение 6j.

Если существует суммируемая функция ф (.г): А' •-> R
такая, что / (Е) есть интеграл Лебега \ ,фф, то X. и.
выражается через интеграл Лебега
Э. Хеллингер [1] дал определение интеграла для
Х—[а, Ь] в терминах функции точки.
Лит.: [11 Н. е 1 1 i n g к г Б., «3. reine uud aiiKCW. Math.»,
1909, Bd 136, S. 210—71; [2] С м и р н о в В. И., Курс высшей
математики, т. 5, М., 1359. И. А. Виноградова.
ХЕЛЛИНГЕРА РАССТОЯНИЕ —расстояние между
вероятностными мерами, выраженное в терминах Хел-
лингера интеграла. Пусть на измеримом пространстве
($, 35) задано семейство вероятностных мер \Pg\, 6g8,
абсолютно непрерывных относительно нек-рой а-конеч-
ной меры и, на 53.
X. р. между мерами Ро и Pg Fi, 62?в) определяется
но формуле
г (9,,
/
— интеграл Хеллингера. X. р. не зависит от выбора
меры и. и обладает следующими свойствами:
1) 0<г(вь ег)<}/;
2) г Fi, 02) = V'" 2 тогда и только тогда, когда меры
Р9| и Ре сингулярны;
3) г (9j, 62) — 0 тогда и только тогда, когда Pg — Рц
Пусть
lpe1-pej=
о и Pfi . Тогда
— расстояние по вариации между мерами
т'-'^ь e2)<[|P0i-p02||<r(ei. ад-
.'1ит,: [1| Г о N..-C, Гауссивскис меры в банаховых простран-
пространствах, пор. с англ., М., liOH; [2] Крамер Г., Математические
методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [3] И б р а г л-
м о в И. А., X а с ь м и и с к и й Р. 3., Асимптотическая
теория оценивания, М., 1979; [4] Золотарев В. М., «Зап.
науч. семинаров ЛОМИ АН СССР», 1979, т. 87, с. 18—35.
М. С. Никулин.
ХЕФЛИГЕРА СТРУКТУРА коразмерности q и клас-
класса С на тонологич. пространстве X — структура, опре-
определяемая с помощью х е ф л и г е р о в с к о г о атласа
(наз. также х е ф л и г о р о в с к и м к о ц и к л о м)
нающие X,
1'Де
а
Uа. — открытые подмножества, покры-
— непрерывные отображения f/afWp в пучок Г* рост-
ростков локальных С-диффеоморфизмов пространства R1?,
причем
f V«, и ¦-¦- VvP, и о Ура, „ при и?иаПи$ПЩ.
Два хефлигеровских атласа определяют одну и ту же
Х.с, если они являются частями нек-рого большего
хефлигеровского атласа. (Таким образом, X. с. можно
определить как максимальный хефлигеровский атлас.)
Если на X задана X. с. ^С посредством атласа {U'а,
IVr} и /: У —* X — непрерывное отображение, то атлас
{i'Wa, Ч'ар}* где Чг'ар,и---хРар,}ш). определяет ин-
индуцированную Х.с. f*ffl (она не зависит от кон-
конкретного выбора атласа, задающего ffl).

Пусть X— многообразие, и на нем задано слоение |р
посредством субмерсий {(Ua, cp«)}, согласованных в том
смысле, что если u?Uar\Up, то существует локальный
СЛ-диффеоморфизм Фра, ц, с помощью к-рого можно
перейти от фа (v) к фр(у):
фр И = Фра, и (фа (у)) (*)
при всех v, достаточно близких к и. Если положить
Чгра> и = росток Фра> и в и, то Ypa-'tt —>¦ Ypa, и есть ото-
отображение U а П t/p —>¦ Г?, и {fa, Ypa} — хефлигеровский
атлас. При этом фа однозначно восстанавливается по
хефлигеровскому атласу: фа (и)—та точка, ростком в
к-рой является Ч'аа.и- Полученное соответствие между
слоениями и нек-рыми X. с. не зависит от случайно-
случайностей построения (выбор системы {{Uа, фа)}); различ-
различным слоениям соответствуют различные X. с, но су-
существуют X. с, не соответствующие никакому слоению.
Поэтому X. с. является обобщением понятия слоения.
В общем случае для X. с. можно так же, как и выше,
определить отображения <pa:Ua—>-Ri. Если Фра, и —
представитель ростка Ypa, и, то фа (v) и ф„ (v) в нек-рой
окрестности точки и по-прежнему связаны соотноше-
соотношением (*). Но так как фа и ф„ уже не обязательно суб-
субмерсий, то из (*), вообще говоря, уже нельзя одно-
однозначно определить ?ра, ц. Поэтому в общем случае
приходится формулировать определение X. с. не в тер-
терминах HUа, Фа)|, а включая ^ga в определение.
Если /:7V—*- М есть С-отображение многообразии,
трансверсальное к слоям заданного на М слоения 5"
коразмерности q и класса С, то разбиение N на связ-
связные компоненты прообразов слоев ff~ является слоением,
к-рое естественно наз. индуцированным слоением; оно
обозначается /*|f. Если согласованная система субмер-
субмерсий {(fa, Фа)} задает dp, то /*|Р определяется согла-
согласованной системой субмерсий Hf~1Ua, фи0/)}; в этом
случае индуцированная X. с. — по существу то же самое,
что и индуцированное слоение. Если же / не трансвор-
сально к слоям |р, индуцированного слоения нет, а
есть только индуцированная X. с. Поэтому в гомото-
пич. теории слоений неизбежно обращение к X. с, хотя
бы на нек-рых промежуточных этапах рассуждений.
Обнаружено (см. [1], [2]), что для X. с. сохраняется
известная для расслоений связь между их классифика-
классификацией и непрерывными отображениями в классифицирую-
классифицирующее пространство. Таковое для X. с. коразмерности q
и класса С обозначается ВХГЦ. На нем самом имеется
нек-рая «универсальная» X. с. 55f (B этом отношении
ВТд напоминает скорее универсальное расслоение).
Для любого «хорошего» топологич. пространства X
(напр., клеточного полиэдра) любая X. с. на X индуци-
индуцируется из ffl при нек-ром непрерывном отображении
/: X—>¦ BTq. Отображения /0, fy:X—> BTrq гомотопны
тогда и только тогда, когда X. с. /oj/^f и /i,^f к о н-
кордантны, т. е. получаются при «ограничении»
нек-рой X. с. на «цилиндре» Хх[0, 1] на его «дно» и
«крышку».
Все сказанное относится также к топологиче-
топологическим, аналитическим и к у с о ч н о ли-
линейным X. с, причем первые два случая формаль-
формально охватываются предыдущим текстом, если принять
r=U или г=со, а последний случай требует нек-рой пе-
перефразировки.
Лит.: Ш Н а е f I i g e r A., «Topology», 1970, v. 9, №2,
p. 183—94; [2] его ж е, в кн.: Manifolds, Amst., 1970, p. 133—
63; [3] Laws on H., The quantitative theory of foliations
Providence, 1977; [4] Ф у к с Д. Б., «Итоги науки и техники
Сер. Совр. пробл. матем.», 1978, т. 10, с. 179—285; [Г>] его же
«Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия»
1981, т. 18, с. 151 — 213. Д. В. Аносо,

«ХИ-КВАДРАТ» КРИТЕРИЙ—критерий для про-
проверки гипотезы Но, согласно к-рой случайный вектор
частот v-(vi, ..., v&) имеет заданное полиномиальное
распределение, характеризующееся вектором положи-
положительных вероятностей p — (pi, . ¦., pk), Pi+ • • • +Р* = 1-
«Х.-к.» к. основан на статистике Пирсона
?;-рая имеет в пределе при п -*¦ оо чхи-квадрать рас-
распределение с к—1 степенями свободы, т. е.
lim Р{Х2<а;|Я0} = р{х14
П -*¦ со
Согласно «Х.-к.» к. с уровнем значимости « а, гипо-
гипотезу Но следует отвергнуть, если X2 ;>= %k-i (°01 гДе
xl-i (а) —верхняя а-квантиль «хи-квадрат» распреде-
распределения с к— 1 степенями свободы, т. е.
Статистику X2 используют также для проверки ги-
гипотезы Но о принадлежности функции распределения
независимых одинаково распределенных случайных
величин Хь ..., Xk семейству непрерывных функций
F (х, 6), x?R\ е = Fь ..., вт)?всКт, в—откры-
в—открытое множество. Разбивая действительную прямую точ-
точками х0 < хг < . .. < xk, хо = — оо, xk ¦-= + оо, на к,
к > т, интервалов (х0, xY], ..., (xft_1, xk) таких, что
при всех 6?в
г = 1, ..., к; pj F)+ . .. -\-Pk F) = 1, образуют вектор
частот V —(V!, ..., уг), получающихся в результате
группировки значений случайных величин Х1г ..., Х„
по этим интервалам. Пусть
Y2 ,m у* [vf-npf(9)]8
х <е)=А=1 пР(ф)
— случайная величина, зависящая от неизвестного
параметра 9. Для проверки гипотезы Но пользуются
статистикой X2 F„), г до 6„ —оценка параметра 6, вы-
вычисленная но методу минимума «хи-квадрат», т. е.
(„)
вев
Если интервалы группировки выбраны таким образом,
что все р; (9) > 0, а функции д'р; F)/с*9/ <?92 неирерыв-
ны для всех 6?в, i—1, ..., г; j, г~Л, ..., т, и
матрица !| dpi (9)/99y Ц имеет ранг т, то при справедли-
справедливости гипотезы /70 и п—^оо статистика X2 (9П) имеет
в пределе «хи-квадрат» распределение с к — т—1 сте-
степенями свободы, чем и пользуются для проверки
гипотезы #0 по «Х.-к.» к. Если в X2 (9) подста-
подставить оценку максимального правдоподобия 0„, вычис-
вычисленную по негрушшрованным данным Хь ..., Х„, то
при справедливости гипотезы Но и п—>оо статистика
X3 @„) распределена в пределе как
2 2 2
где ii, . ..,ift-i — независимые стандартные нормально
распределенные случайные величины, а числа ixb ..., ц.,„
лежат между нулем и единицей и, вообще говоря, за-
зависят от неизвестного параметра 9. Из этого следует,
что использование оценок максимального правдоподо-
правдоподобия при применении «Х.-к.» к. для проверки гипоте-
гипотезы #о приводит к затруднениям, связанным с вычис-
вычислениями нестандартного предельного распределения.
Лит.: Ill К е н д а л л М., С т ь ю а р т А., Статистические
выводы и связи, пер. с англ., М., 1973; [2] Ч и б и с о в Д. М.,
«Теория вероятн. и ее применения», 1971, т. 16, «N° 1, с. 3—20;
[3] Н и к у л и и М. С, там же, 1973, т. 18, УЬ 3, с. «75 — 76,
М. С. Никулин.

«ХИ-КВАДРАТ» РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, х2 Р а с п р с-
деление, — непрерывное, сосредоточенное на по-
положительной полуоси @, оо) распределение вероят-
вероятностей с плотностью
, * 1 . Т 1 1
где Г (а) — гамма-функция, а положительный цело-
целочисленный параметр п наз. числом степенен свободы.
«Х.-к.» р. представляет собой частный случай гамма-
распределения и обладает всеми свойствами последнего.
Функция распределения «Х.-к.» р. есть неполная гамма-
функция, характеристич. функция выражается фор-
формулой
/
математич. ожидание и дисперсия равны, соответствен-
соответственно, п и 2л. Семейство «Х.-к.» р. замкнуто относительно
операции свертки.
«Х.-к.» р. с п степенями свободы может быть выве-
выведено как распределение суммы %п = Х\ + .. ¦ + А',?
квадратов независимых случайных величин Хь.. ., Х„,
имеющих одинаковое нормальное распределение с ну-
нулевым математич. ожиданием и единичной дисперсией.
Эта связь с нормальным распределением определяет
ту роль, к-рую «Х.-к.» р. играет в теории вероятно-
вероятностей и математич. статистике.
Многие распределения определяются посредством
«Х.-к.» р. Таковы, напр., распределение случайной
величины Vу% — длины случайного вектора (Хь..., Хп)
с независимыми, нормально распределенными компонен-
компонентами (иногда наз. «хи»р а с п р е де л е ни е м, см. так-
также частные случаи — Максвелла распределение, Рэлея
распределение); Стьюдента распределение, Фишера
F-распределение. В матоматич. статистике эти распреде-
распределения вместе с «Х.-к.» р. описывают выборочные распре-
распределения различных статистик от нормально распреде-
распределенных результатов наблюдений и используются для
построения интервальных статистич. оценок и стати-
статистических критериев. Особую известность в связи с,
«Х.-к.» р. получил «хи-квадрат» критерий, основан-
основанный на т. н. «хи-квадрат» статистике Пирсона.
Имеются подробные удобные для статистич. расче-
расчетов таблицы «Х.-к.» р. При больших п используют
аппроксимации посредством нормального распределе-
распределения: напр., согласно центральной предельной теореме
распределение нормированной величины " сходится
V2n
к стандартному нормальному распределению. Более
точна аппроксимация
при п ¦—> оо,
где Ф (х) — функция стандартного нормального рас-
распределения.
См. также Нецентральное «хи-квадрат» распределе-
распределение.
Лит.: [1] Крамер Г., Математические методы статисти-
статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] К е н д а л л М. Дж.,
С т ь ю а р т А., Теория распределений, пер. с англ., М., 1966:
[3] L a n с a s t е г Н. О., The chi-squared distribution, N. Y.—
Га. о], 1969; ГЗ] Б о л ь ш е в Л. Н., Смирнов Н. В.,
Таблицы математической статистики, 3 изд., М., 1983.
А. В. Прохоров.
ХИЛЛА УРАВНЕНИЕ — обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение 2-го порядка
w"(z)-\-p(z)w(z) = 0
с периодич. функцией p(z); все величины могут быть
комплексными. Уравнение названо по имени Дж. Хил-

ла fl], к-pbiii, изучая движение Луны, иол учил урав-
уравнение
w"(z)-\-
с действительными числами 6о, 62, 641 ¦¦¦> причем ряд
2"= , I ®ir I сходится.
Дж. Хилл дал метод решения X. у. с использованием
определителей бесконечного порядка. Это явилось толч-
толчком для создания теории таких определителей и, далее,
для создания Э. Фредгольмом (Е. Fredholm) теории
интегральных уравнений. Для X. у. ставятся прежде
всего задачи устойчивости решений, существования
или отсутствия периодич. решений. Если в действи-
действительном случае в X. у. ввести параметр:
х"-\-ХрA)х = 0,
то, как установил А. М. Ляпунов [2], существует такая
бесконечная последовательность
... < л ~ i ^S Ао ~ О *С Ai ^ А2 <! • • . <С Л2я — 1 ^
< Агп < Л2п +1 < . • • j
что при к?(Ъ2п- ^an + i) X. у. устойчиво, а при
л€[^2п-1, А2„1 Х.у. неустойчиво. При этом А<,„ и
'Чв + з являются собственными значениями периодич.
краевой задачи, a A4,, + i и A4n + 2—собственными зна-
значениями полупериодич. краевой задачи. Хорошо
изучена теория Х.у. (см. [3]).
Лит.: Ш Hill G., «Acta math.», 1886, v. 8, p. 1; [2] Ляпу-
Ляпунов A. M., Собр. соч., т. 2, M., 1956, с. 407—09; [3] Я к у б о-
в и ч В. А., С т а р ж и н с к и й В. М., Линейные дифферен-
дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их
приложения, М., 1972. ГО. В. Комленко.
ХИНЧИНА ИНТЕГРАЛ — обобщение узкого Дан-
Данжуа интеграла, введенное А. Я. Хинчиным [1].
Функция / (х) наз. интегрируемой в смыс-
смысле X и н ч и н а на [а, Ь], если она интегрируема ши-
широким интегралом Данжуа и ее неопределенный интеграл
почти всюду дифференцируем. Иногда интеграл Хин-
чипа наз. интегралом Данжуа — Хин-
ч и на.
Лит.: [1] X и н ч и н А. Я., «С. г. Acad. sci.», 1916, t. 162,
p. 287—91; [2] X и н ч и н А. Я., «Матем. сб.», 1918, т. 30,
с. 543—57; Гз1 П е с и н И. Н., Развитие понятия интеграла,
М., 19В6 с. 171—73; [4] С а к с С, Теория интеграла, пер.
с англ. М. 1949, с. 370. Т. П. Лукашенко.
ХИНЧИНА НЕРАВЕНСТВО для независимых
ф у н кци й—оценка в Lp суммы независимых функ-
функций. Пусть jf,—система независимых функций и для
нек-рого р > 2
Тогда
Если
2°° cl < °°, a rk = sign sin 2*яг
— функции Радемахера и
то для любого р >0
где Вр — О {Ур) при р—к». Это неравенство было
установлено А. Я. Хинчиным [1]. Точное значение Ах
равно 1/2.

Аналог Х.н. справедлив в банаховых пространствах
[4]. Существует такая константа С (р, q), О < р, q < оо,
что для любых элементов .«;/. ил банахова простран-
пространства Е
^-. со II /-1 / \ ^Г^ * /j\
Одно из многочисленных приложении X. н.: если
то для почти всех наборов =tl функция
5] i (uft cos Ai + bf[Sin It)
принадлежит всем Lp, р < оо (см. [5]).
Лит.: [1] Хин чин A., «Math. Z.», 1П2.Ч, Bd 18, S. tOO—
11й; [21 KurlinS., «Trans. Amer. Main. Soc», 1 НЛО, v. A6,
p. 44—64; [H] Г а п о ш к и н В. Ф., «Успехи матем. наук»,
1966, т. 21, в. 6, с. .3—82; 14] К а х а н Ж.-П., Случайные функ-
функциональные ряды, пер. с англ., М., 1973; [о] Зигмунд А.,
Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1, М., 1965.
Е. М. Семенов.
ХИНЧИНА ТЕОРЕМА — 1) X. т. о фактори-
факторизации распределений: любое распределе-
распределение вероятностей Р допускает (в сверточной полугруппе
распределений вероятностей) факторизацию
где Р1— распределение класса /0 (ем. Безгранично де-
делимых распределений разложение), а Р%— распределе-
распределение, к-рое либо является вырожденным, либо пред-
ставимо в виде свертки конечного или счетного мно-
множества неразложимых распределений. Факторизация
(*), вообще говоря, не единственна.
X. т, была доказана А. Я. Хинчиным [1] для распре-
распределений на прямой, позднее выяснилось [2], что она
справедлива для распределений на значительно более
общих группах. Известен (см. [3], [4] широкий класс
топологич. полугрупп, включающий сверточную по-
полугруппу распределений на прямой, в к-рых справед-
справедливы факторизационные теоремы, аналогичные X. т.
Лит.: [1] Хинчин А. Я., «Бюлл. МГУ. Секц. А», 1937,
т. 1, в. 1, с. 6—17; [2] II а р т а с а р а т и К. Р., Ранга
Р а о Р., В а р а д X а н С. Р., «Математика», 1965, т. 9, в. 2,
о. 113—46; [3] Kendall D. G., «Z. Wahrscheinlichkeitstheor.
verw. Geb.», 1968, Bd 9, H. 3, S. 163—95; U] D a v i d s о n R.
там же, 1968, Bd 10, H. 2, S. 120—72. И. В. Островский.
2) X. т. о диофантовых приближени-
приближениях — см, Диофантовых приближений .метрическая
теория.
ХОДЖА ГИПОТЕЗА — предположение о том, что для
любого гладкого проективного многообразия X над
полем С комплексных чисел и для любого целого
Р5?О Q-пространство Н%р (X, Q)f]Hp'p, где Нр-" —
компонента типа (р, р) в разложении Ходжа
порождается классами когомологий алгебраич. циклов
коразмерности р на X. Эта гипотеза была выдвинута
У. Ходжем [1].
В случае р = 1 Х.г. равносильна Лефшеца теореме
о когомологиях типа A,1). Х.г. доказана также для
следующих классов многообразий: 1) X — гладкое
4-мерное ун и линейчатое многообразие,
т. е. такое, что существует рациональное отображение
конечной степени РххУ—*-Х, где У — гладкое много-
многообразие (см. [2]). Унилинейчатыми многообразиями
являются, напр., унирациональные многообразия и
4-мерные полные пересечения с обильным антикано-
нич. классом (см. [3]). 2) X — гладкая гиперповерх-
гиперповерхность Ферма простой степени (см. [4|, [5|). 3) X — про-
простое 5-мерное абелево многообразие (см. [В]). 4) X —
простое d-мерное аболево многообразие, иричем

End (X) (x) _ R — R/, нечетное число, или
//> I
End (X) (g),-. R= [Af2 (R)]', -^- — нечетное число.
Лит.: L11 H о d ц e W. V. D., «Proc. Intern. Congr. Math.»
(Camb., 1950), 1952, v. 1, p. 182—92; [2l С о n 1. e A., M n i-
it J. P., «Ma111. Ann.», 1978, Bd 238, S. 79—88; Гя1 их же,
«J. de geometrie algebrique d'Angers» (juillet, 1979), 1980, p. 129—
'И; [41 R a n Z., «Сотр. matli.», 1980/81, v. 42, Jms 1, p. 121- 42;
Fr>J S к i о d а Т., «Proc. Japan Acad.» 1979, Ser. Л v. r>!i, .№ .4,
p. 111 — 14; [0] T a » к е е в С. Г., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1981, т. 45, № 4, с. 793—823. С. Г. Танкеев.
ХОДЖА МНОГООБРАЗИЕ — комплексное многооб-
многообразие, на к-ром можно задать метрику Ходжа,
т. е. Кэлера метрику, фундаментальная форма к-рой
определяет целочисленный класс когомологий. Ком-
Компактное комплексное многообразие является X. м,
тогда и только тогда, когда оно изоморфно гладкому
алгебраич. подмногообразию комплексного проектив-
проективного пространства нек-рой размерности (т е орем а
Кодаирыо проективном вложении).
См. также Колерово многообразие.
Лит.: [1J Гриффите Ф., X а р р н с Д ж., Принципы
алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1982.
А. Л. Оитцик.
ХОДЖА СТРУКТУРА в е с а п (ч и с т а я) — объект,
состоящий из решетки Н в действительном век-
торном пространстве //R - //_ @ К и разложения
#„ — ф^ + ч_„ И"' q комплексного векторного простран-
пространства IIq — II -„ @ С (разложения Ходжа). При
этом должно выполняться условие ll1^'1 H'1'1', где
черта означает комплексное сопряжение и II q =
= //R@RC. Другое описание разложения Ходжа со-
состоит в задании убывающей фильтрации (фильтра-
(фильтрации Ходжа) Fr — ®р->гнР'" в г1? так0"' что
Fsf)Fr~O при r-\-ST±n. Тогда подпространства 11Р'
восстанавливаются по формуле IlPl q - 1:Г>[\~Fq.
Примером является Х.с. и пространстве «-мерных
когомологий //" (X, С) компактного кмерова много-
многообразия X, впервые изученная У. Ходжем (см. [1]).
В этом случае подпространства HPi ч описываются как
пространства гармонических форм типа (р, q) или как
когомологий Hq (X, Qp) пучков Qp голоморфных диф-
дифференциальных форм B). Фильтрация Ходжа в
//" (X, С) возникает из фильтрации комплекса пучков
Й=^, Q'', п-мерные гиперкогомологин к-рого ияо-
р> о
морфны Н" (А', С), подкомплексами 2 йг.
Более общим понятием является смешанная
Х.с. Это —объект, состоящий из решетки Н„ в
HR—H-<2QR. возрастающей фильтрации (фильтрации
весов) Wn в Hq~II (/)Q и убывающей фильтрации
(фильтрации Ходжа) Fp в Н^ — Н @С таких, что на
пространстве {WniWn + 1) (Х)С фильтрации Fp и Fp
определяют чистую Х.с. веса п. Рассмотрена [3| сме-
смешанная Х.с. в когомологиях комплексного алгебраич.
многообразия (не обязательно компактного или глад-
гладкого), как аналог структуры модуля Галуа в эталь-
ных когомологиях. Х.с. имеют важные приложения в
алгебраич. геометрии (см. Отображение периодов) и в
теории особенностей гладких отображений (см. [4]).
Лит.: [l] Hodge W. V. D., Tbe theorie and applicalions
of harmonic integrals, 2 ed., Camb., 1952; [21 Г р и ф ф и т с Ф.,
Харрис Д ж., Принципы алгебраической геометрии, пер.
с англ., т. 1, М., 1982; [3] D с 1 i g n e P., «Proc. Intern. Congr.
Math.» (Vancouver, 1974), 1975, v. 1, p. 79—80; L4] В а р ч с. н-
к о А. И., в сб.: Современные проблемы математики, г. 22, М.,
1983, с. 130 — ПО (Итоги науки и техники). См. также лит.к статье
Отображение периодов. А. И. Оасееаич.

ХОДЖА ТЕОРЕМА — 1) X. т. об индексе:
индекс (сигнатура) а(М) компактного кулерова много-
многообразия М комплексной размерности 2ге вычисляется
по формуле
а(М) = 2 (—\)р>1''' Ч, (p-i-g четно),
где //'' ' ~ dim Нр' q(M) — размерность пространства гар-
гармонических форм тина (р, q) па М. Доказана У. Ход-
жем [1].
2) X. т. о разложении пространства гладких сече-
сечений эллиптич. комплекса на компактном многообра-
многообразии в ортогональную прямую сумму подпространств
гармонических, точных и коточных сечений (см. Лапла-
Лапласа оператор). Была доказана У. Ходжем |21 для комп-
комплекса де Рама
на ориентируемом компактном риманопом многообра-
многообразии М. В этом случае Х.т. утверждает, что для лю-
любого р js 0 пространство Нр (М) гармонич. форм на М
конечномерно и существует единственный оператор С;
ЕР (М) —* ЕР (М) (оператор Г р и и а — д с Рама),
удовлетворяющий условиям:
G{HP(M))-=O, Gd — dG, Gb-hG,
ЕР (М)-- HP (М) © dbGEP (М) © ЫСЕр (М)
(разложение Ходжа). В частности, пространство
Нр (М) изоморфно пространству Нр (М, Щ веществен-
вещественных когомологий многообразия М. Другой важный
частный случай — Х.т. для комплекса Дольбо на ком-
компактном комплексном многообразии М (см. Дифферен-
Дифференциальная форма) [3]. Эти результаты приводят к клас-
сич. Ходжа структуре в пространствах когомологий
компактного кэлерова многообразия.
Лит.: Ill Hodge W. V. D., «Proc. Intern. Congr. Math.»
(Camb., 1950), 1952, v. 1, p. 182—92; [2] его же. The theory
and applications of harmonic integrals, 2 ed., Camb., 1952; [31
Гриффите Ф., X a p p и с Д ж., Принципы алгебраиче-
алгебраической геометрии, т. 1, пер. с англ., М., 1982; [4] д е Рам Ж.,
Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 195В.
А. Л. Онищик.
ХОЛЛОВА ПОДГРУППА — подгруппа конечно»
группы, порядок к-poii взаимно прост с ее индексом.
Название связано с именем Ф. Холла (Ph. Hall), к-рый
в 20-х гг. 20 в. начал изучать такие подгруппы в ко-
конечных разрешимых группах.
В конечном п-отделимой группе существует х о л л о-
в а я-подгрупп а (X. п., порядок к-poii делится
только на простые числа из я, а индекс взаимно
прост с любым числом из л) и все холловы я-под-
групиы сопряжены. Конечная разрешимая группа для
любого множества я простых чисел обладает холловой
л-подгруппой. Любая st-подгругша конечной разре-
разрешимой группы содержится в холловой я-подгруипе и
все холловы я-подгруппы сопряжены. Любая холлова
л-подгрупиа является силовской я-подгруппой. Для
нормальной X. п. Я конечной группы G в G всегда су-
существует дополнение, то есть такая подгруппа D,
что G=H-D и H\~\D —единичная подгруппа; все
дополнения для Н в G сопряжены. Если в группе есть
нильпотентная холлова л-подгруппа, то все холловы
я-подгруппы сопряжены и любая я-подгруппа содер-
содержится в нек-poii холловой я-подгруппе. В общем слу-
случае X. п. не обладает такими свойствами. Напр., зна-
знакопеременная группа /1 з порядка 60 не имеет холловой
{2, 5 }-подгруппы. В Аь есть холлова {2, 3}-подгруппа
порядка 12, но подгруппа порядка 6 не лежит ни в ка-
какой холловой. Наконец, в простой группе порядка 168
холловы {2, 3}-подгруппы не сопряжены.
Лит.: [1) Ч у и и х и'н С. А., Подгруппы конечных групп*
Минск, 196'г. [21 Итоги пауки и техники. Алгебра. 1964, М., 19ВК,
с. 7— Л6; Гз1 Н и р р е г t В., Endliche Gruppen, v. 1, В., 1979;
[4) Reviews on finite groups, Providence, 1974. В. Д. Maaypmi.

ХОПФА АЛГЕБРА, б и а л г о б р а. шпора л г о б-
ра — градуироваипый модуль .4 над ассоциатнвно-
коммутативным кольцом А' с единицей, снабженный
одновременно структурой ассоциативно)! градуирован-
градуированной алгебры ц: А0Д —у А с единицей i: A" —> А и
структурой ассоциативной градуированной коалгебры
ft: А—> A (g) A с коодиницей н.: Л-->А, причем вы-
выполнены условия:
1) i — гомоморфизм градуированных коалгебр;
2) е — гомоморфизм градуированных алгебр;
3) 6 — гомоморфизм градуированных алгебр.
Условие 3) эквивалентно условию:
3') (х — гомоморфизм градуированных коалгебр.
Иногда требование ассоциативности коумножевия
отбрасывается; такие алгебры наз. к в а з и х о п-
ф о в ы м и.
Для любых двух Х.а. А и В над К их тензорное
произведение А (х) И снабжается естественной структу-
структурой Х.а. Пусть Л —51 п, Ап — Х.а., причем все
Лп — конечно порожденные проективные А'-модули.
Тогда А* = 2 wAn' гДе А*п~МОДУЛ'-, сопряженный
к А„, снабженный гомоморфизмами градуированных
модулей 6*: A* (g) А* - -» А*, г*: К —, А*', ft*: Л*-^
—*Л*@Л*, I*: А*--у К, является Х.а.; она наз.
д в о й с т в с н н о и к А.
Элемент х X. а. А наз. п р и м и т и в н ы м, если
S (.г)=жBI + 1B)х.
Примитивные элементы составляют градуированную
подалгебру Р\ в А относительно операции
[х, y\=xy — (—i)P4yx, x?Ap, у?Аг
Если А связна (т. е. А„---0 для п < 0, Ай~К) и
К-—поле характеристики 0, то подпространство Рд
порождает алгебру А (относительно умножения) тогда
и только тогда, когда коумножение градуирования
коммутативно [2].
Примеры. 1) Для любой градуированной алгеб-
алгебры Ли я (т. е. градуированной алгебры, являющейся
супералгеброй Ли относительно естественной 2г-гРаДУ~
ировкп) универсальная обертывающая алгебра U (я)
становится Х.а., если положить
[Три этом ^?/((,)*= fl. Ксли А' —поле характеристики 0.
то связная Х.а. А, порожденная примитивными эле-
элементами, естественно изоморфна U (Ра) (см. [2]).
2) Аналогично определяется структура Х.а. (с три-
тривиальной градуировкой) в групповой алгебре A" [G]
произвольной группы G.
3) Алгебра регулярных функций на аффинной алгеб-
раич. группе G становится Х.а. (с тривиальной гра-
градуировкой), если определить гомоморфизмы 6 и е с
помощью умножения GxG—>G и вложения {г}—>G,
где е — единица группы G (см. [3]).
4) Пусть G — линейно связное Н-пространство с
умножением т и единицей е и пусть Д: G—>GxG,
i: {>}—>G, p: G—у {<?} определяются формулами
А(а) = (я,я), i(e) = e, р (я) — е, а ? G. Если все модули
когомологии //" (G. К) проектшшы и конечно порож-
порождены, то отображения \i -Л*, i -р*, о —;??.*. b--i*,
индуцированные в когомологиях, превращают Я* (G, К)
в градуированно коммутативную квазиходфову алгеб-
алгебру. Если умножение т гомотопно ассоциативно, то
H*(G, К) — Х.а., а двойственная ей Х.а. есть алгебра
гомологии Jlsf.iG, К), снабженная отображениями ш„,
l*i А», Рх (алгебра II о нтр я г и н а). Ксли А' — по-
поле характеристики 0, то алгебра Нонтрягина порож-
порождается примитивными элементами и изоморфна

U(n (G, К)), где я (С, К) = Л^ощF)®К рассмат-
ривается как градуированная алгебра Ли относительно
произведения Самельеона (ем. [2]).
Алгебра H*(G. К) из примера 4) была впервые рас-
рассмотрена X. Хопфом [1], показавшим, что она явля-
является внешней алгеброй с образующими нечетных сте-
степеней, если К — поле характеристики 0 и H*(G, К)
конечномерна. Строение произвольной связной граду-
ированно коммутативной квазихопфовой алгебры А с
условием dim Ап <оо, ngZ, над совершенным полем
К характеристики р описывается следующей теоремой
(см. [4]). Алгебра А разлагается в тензорное произве-
произведение алгебр с одной образующей х и соотношением
х = 0, где при р = 2 s — степень двойки или оо, а при
р ф 2 s — степень р или оо (оо при р —0), если х имеет
четную степень и s = 2, если х имеет нечетную сте-
степень. В частности, при р=0 А есть тензорное про-
произведение внешней алгебры с образующими нечетных
степеней и алгебры многочленов с образующими четных
степеней. С другой стороны, всякая связная Х.а.
А над полем К, в к-рой х2 = 0 для любого элемента
х нечетной степени и все элементы четной степени раз-
разложимы, есть внешняя алгебра А=АРд (см. [2]).
В частности, таковы алгебра когомологий и алгебра
Понтрягина связной компактной группы Ли над по-
полем R.
Лит.: [1] Hopf H., «Ann. Math.», 1941, v. 42, p. 22-52;
[2] M i 1 n о г J. W., Moore J. С, там же, 1965, v. 81, J\S 2,
p. 211—(!4; [3] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические груп-
группы, пер. с англ., М., 1972; [4] е г о ж е, в кн.: Расслоенные про-
пространства и их приложения, пер. с англ. и франц., М., 1958,
с. 162—246; [5] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М.,
19fi6. А. Л. Онищик.
ХОПФА ИНВАРИАНТ —инвариант гомотопич. клас-
класса отображений топологич. пространств. Впервые был
определен X. Хопфом ([1], [2]) для отображений сфер
/: S2"-1—+ Sn.
Пусть /: S2"-1—»¦ S"—непрерывное отображение.
Переходя, если нужно, к гомотопному отображению,
можно считать это отображение симплициальным отно-
относительно нек-рых триангуляции сфер S" и S2".
Тогда инвариант Хопфа определяется как за-
зацепления коэффициент (п — 1)-мерных непересекающих-
непересекающихся подмногообразий /-1 (а) и /-1 F) в S2n~1 для любых
различных a, b?Sn.
Отображение /: S2"-1—>¦ S" определяет элемент
[/] €я2л-1 (S") и образ элемента [/] при гомоморфизме
я2„_! (S") =я2„_2 (QS") Л Я2„_2 (QS") = Z
совпадает с Х.и. // (/) (здесь h — гомоморфизм Гуре-
вича) [3].
Пусть теперь /: S'2"-1—>¦ Sn — отображение класса
С3, и форма QgA" представляет образующую группы
целочисленных когомологий Нп (Sn, %). В качестве
такой формы можно взять, напр., форму Q— v
vol(S«)'
где dV—элемент объема на Sn в нек-рой метрике
(напр., в метрике, заданной вложением S" с R"+ 1),
a vol E")—объем сферы S". Тогда форма /* (Я) g
^AnS2"~1 замкнута и, ввиду тривиальности группы
Н" (iS2", %), является точной. Таким образом,
f(Q) = dB для нек-рой формы 9 ? Л" ~1S2n~1. Имеет
место формула для вычисления Х.и. (см. [4]):
Определение Х.и. обобщено (см. [5], [6]) на случай
отображений /: Sm—> S" при т<4ге —4. В этом слу-
случае имеется разложение
где

— гомоморфизм, индуцированный проекцией к: (SnxS",
S" v Sn)—*(S", pi). Пусть дано отображение g:
Sn —>• S" v S", заданное стягиванием экватора сферы
S" в точку. Тогда Х.и. наз. гомоморфизм
Я: яяE»)-*.яяE»»-1),
при к-ром [/]?яга {S") прообразуется в проекцию эле-
элемента [g о /] ?лт (S" vS") на прямое слагаемое nm(S2n~x)
в разложении (*). При m = 2n— 1, ввиду равенства
п2п-1 (S2") — % , получается обычный Х.и. Обоб-
Обобщенным инвариантом Хопфа наз. компози-
композиция Я* гомоморфизмов
-p->nm+1(S»xs», S" vs«)^%tlin
где р —проекция груггпы ят (SnvSn) на прямое сла-
слагаемое пт + 1 (SnxSn, Sn\/S"), а гомоморфизмы g9 и
/с,, описаны выше. При т < 4ге — 4 инвариан-
инварианты Хонфа — Уайтхеда Я и Хопфа — Хил-
Хилтона II* связаны соотношением H* — SoH, где S:
лт (S2n ~г) —*¦ я;л + 1 (S2") — гомоморфизм надстройки
(см. [6]).
Пусть дано отображение /: S2n~1—>- Sn и Cf — его
цилиндр. Тогда когомологии H*(Cf, S2") имеют
однородным Z-базисом пару {а, Ь} с dima = « и
dim6 = 2re. Имеет место соотношение я2 — Я (/) b
(см. [7]). Если п нечетно, то (в силу косокоммутативно-
сти умножения в когомологиях) Я(/) = 0.
Имеется (см. [8]) обобщение инварианта Хопфа —
Стинрода через обобщенные теории когомологии. Пусть
к — полуточный гомотопич. функтор в смысле Дольда
(см. [9]), заданный на категории конечных CW-комп-
лексов и принимающий значения в нек-рой абелевой
категории А. Тогда отображение комплексов /: X —>- Y
определяет элемент f* = d (/)?Нош (к (Г), к(Х)), где
Нот — множество морфизмов в А. Инвариант
Хопфа — Адаме а е({) определен, когда /* = 0 и
d(Sf) = O, где Sf: SX--+SY — соответствующее отоб-
отображение надстроек. В этом случае последовательности
корасслоений
/ г i -Sf
X -;-> Y -¦* Y\JfCX -Л SX - * SY
соотнотетвует точная последовательность в А:
0+-k(X)^k (Y()fCX) ?- к (SX) <- О,
к-рая и определяет инвариант Хопфа — Ада м-
с а —Стинрода е (f) = Ext1 (к (Y), к(Х)).
В случае функтора /с = Я*( —; Z2)> принимающего
значения в категории модулей над Стинрода алгеброй
по модулю 2, получается инвариант Хопфа —
Стинрода Я2(/)?й отображения /: Sm—> S'1 при
т>п (см. [7]). Когомологии H*(Cf, Sm\ Z2) имеют
22-базисом пару {я, 6} с сПтя = ге и dim 6 = т.+ 1, и
тогда
57т-« + 1я = Я2(/N.
Инвариантом Хопфа Нр по модулю
р (р — простое) наз. композиция отображений
^" + 1) р ->
р + \ S2"-i)(p)^ zip,
vw (X, Y)p — локализация по р пары пространств (см.
[10J). Пусть
S: я4„-1E2")->я4„E2" + 1)
— гомоморфизм надстройки. Тогда Я2 (Л1/) — Я2 (/)
(см. [10]). X. и. Н (/) можно определить и в терминах
Штифеля чисел (см. [11]): если М»'1 —замкнутое

оснащенное многообразие и M"~l ~dV, то характери-
стич. число Штифеля — Уитнп «>,;(v)[K, M] нормаль-
нормального расслоения v совпадает с Х.и. Я? (/) отображе-
отображения /: Sn + r~1—>Sr, представляющего класс оснащен-
оснащенных кобордизмов многообразия Мп~1.
Спектральная последовательность Адамса — Новикова
позволяет построить высшие инварианты
Хопфа. Именно, индуктивно определены инварианты
?,-: кегд,-_г—*-??* и qn: п$ —* Е0^ * (см. [12]). Из
вида дифференциалов этой спектральной последователь-
последовательности следует, что
Ext\l(QUt Qv) =>E%*,
i = 0, 1, 2, 3
(йу — кольцо комплексных кобордизмов точки), потому
при i — 0, 1, 2, 3 инварианты д,- лежат в Ext/jJ(Q{/.
Qy) и наз. инвариантами Хопфа—Нови-
Хопфа—Новикова. При i = 1 получается инвариант Адамса.
Значения, к-рые может принимать Х.и., не являют-
являются произвольным. Напр., для отображения /: Sin + 1—>¦
—)-iS2n + 1 Х.и. всегда равен нулю. Х.и. по модулю
р Hip): n2mp(S2m + 1)—>- %г тривиален, за исключением
случаев: р~2, /га = 1, 2, 4 и р > 2, т = 1. С другой
стороны, для любого четного числа к существует от-
отображение /: S1"-1—у S2n с Х.и., равным к (п—лю-
(п—любое). При ге = 1, 2, 4 существуют отображения
/: 54«-1^52" с Х.и., равным 1.
Лит.: Ill Hopf H., «Math. Ann.», 1930/1931, Bd 104;
B1 е г о ж е, «Fund, math.», 1935, т. 25, р. 427—40; [3]
Серр Ж.-П., в кн.: Расслоенные пространства и их приложе-
приложения. Сб. пер., М., 1958, с. 124—62; [4] W h i t о h e a d J. Н. С,
«Proc. Nat. Acad. Sci. USA», 1947, v. 33, p. 117—23; [5] e г о ж е,
«Ann. Math.», 1950, v. 51, p. 192—237; Lol Hilton P.,
«Proc. Lond. Math. Soc», 1951 v. 1, Л» 3, p.4A2—ЯЗ; [7']
Steenrod N., «Ann. Math.», 1949, v. 50, p. 954—88; 18]
Адаме Д ж., «Математика», 1968, т. 12, в. 3, с. 37—97;
[9] Дольд А., там же, 1970, т. 14, в. 1, с. 3—103; [10]
Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с англ.,
М., 1970; [11] Стонг Р., Заметки по теории кобордизмов,
пер. с англ., М., 1973; [12] Новиков С. П., «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1967, т. 31, № 4, с. 855—951; [13] А д а м с Д ж.,
«Математика», 1961, т. 5, в. 4, с. 3—86. А. В. Шакуров.
ХОПФА РАССЛОЕНИЕ — локально тривиальное рас-
расслоение /: Sin~1 ¦—> S" при ге = 2, 4, 8. Это—один из
самых ранних примеров локально тривиальных рас-
расслоений, введенный X. Хопфом [1]. Эти отображения
индуцируют тривиальные отображения в гомологпях и
когомологиях, однако они не гомотопны пулевому
отображению, что вытекает из нетривиальности Хопфа
инварианта этих отображений. Для их построения
потребуется т. н. конструкция Хопфа.
Пусть X * У—джойн пространств X и У, он обла-
обладает естественными координатами <х, t, г/>, где х?Х,
(€[0' 1]. Убу- ПРИ этом X*Pt-=SX, где SX —над-
—надстройка над X. Конструкция Хопфа § сопоставляет
отображению /: XxY —s- Z отображение § (f):X * У —>
—> SZ, заданное соотношением § (/) (х, t, г/> =
= </(*, у), t, pt>.
Пусть отображения |х„: S"-1xS"~1—г-5"-1 опреде-
определены при п = 2, 4, 8 при помощи умножений: в комп-
комплексных числах при ге = 2, в кватернионах при ге = 4
и в числах Кэли при ге = 8. Тогда S"-1 * S"-1 = S^-\
и отображением Хопфа наз. отображение
Отображение Хопфа ?„, п — 2, 4, 8 является локально
тривиальным расслоением со слоем S"-1. Если
/: Sn-1xS"~1 —>¦ Sn~1 — отображение бистепенп (d1, d2),
то инвариант Хопфа отображения § (/) равен dxc?2.
В частности, инвариант Хопфа Х.р. равен 1.
Иногда Х.р. наз. отображение /: S2n + 1—>CP", за-
заданное формулой (г0, ...,zn)—г [zq-.Z!-.. . . :г„], 2,gC.
Это отображение является локально тривиальным рас-

слоенном со слоем 51. При ге —1 получается клас-
сич. X.]). /: S* — >S~.
Лит.: [1 I H (J ]) 1 Я., «Fund, math.», 1935, v. 25, p. 427—40;
[21 x ь hj и м о л л с 1) Д., Расслоенные пространства, пер.
с англ., М., 1970. А. В. Шопуров.
ХОПФА — РИНОВА ТЕОРЕМА: если М — связ-
связное риманово пространство с функцией расстояния р и
Лееи-Чивита связностью, то следующие утверждения
равносильны:
1) М полно;
2) для каждой точки р?М экспоненциальное отоб-
отображение ехрр определено на всем касательном про-
пространстве М р;
3) каждое ограниченное по отношению к р замкну-
замкнутое множество АсМ компактно.
Следствие: любые две точки р, д?М можно
соединить на М геодезич. длины р(р, д). Установлена
X. Хопфом и У. Риновым [1].
Обобщение X.— Р. т. (см. [4]): если р, q — две
точки в М, то либо существует линия, соединяющая
их кратчайшим образом, либо существует выходящая
из р геодезич. L со следующими свойствами: 1) L
гомеоморфна 0<:г<1; 2) если последовательность точек,
лежащих на L, не имеет предельных точек на L, то она
не имеет предельных точек и в М, т. е. L замкнуто в М:
3) L содержит кратчайшую связь между любыми двумя
точками на L; 4) для каждой точки x?L справедливо:
р(р, х) + р(.т, q) — p(p, q)\ 5) длина L конечна и не пре-
превосходит р(р, q). При этом функция р(р, q) не обязана
быть симметричной, и каждую точку можно соединить
кратчайшим образом с любой точкой из нек-рой окрест-
окрестности ир не обязательно однозначно. Следствие:
если в М не существует ограниченных лучей, то каждое
ограниченное множество в М компактно.
Лит.: [1] Н о р f H., Rinow W., «Gomm. math, helv.»,
1931, v. 3, p. 209—25; [2] d e R h a m G., там же, 1952, v. 26,
p. 328—44; [3] Г р о м о л Д., Клингенберг В., Мей-
ер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
[4] К о н-Ф о с с е н С. Э., Некоторые вопросы дифференциаль-
дифференциальной геометрии в целом, [пер. с нем.], М., 1959.
М. И. Войцехоеский.
ХОПФОВА ГРУППА — группа, не изоморфная ни-
никакой своей истинной факторгруппе. Название дано
в честь X. Хопфа (Н. Hopf), поставившего в 1932 во-
вопрос о существовании конечно порожденных групп, не
обладающих таким свойством. Известны примеры не-
хопфовых групп, в том числе пример группы с одним
определяющим соотношением и двумя образующими.
Всякая конечно порожденная финитно-аппроксими-
финитно-аппроксимируемая группа — хопфова.
Лит.: [1] Магнус В., К а р р а с А., С о л и т э р Д.,
Комбинаторная теория групп, пер. е англ., М., 1974.
Н. Я. Вильяме.
ХОРД МЕТОД — то же, что секущих метод.
ХОРДА — прямолинейный отрезок, соединяющий
две произвольные точки конич. сечения. бсэ-з.
ХОТЕ ЛЛИНГА КРИТЕРИЙ, Г2-к ритерий,—
критерий, предназначенный для проверки гипотезы Но,
согласно к-рой истинное значение неизвестного векто-
вектора [х = ((л1, ..., \1р) математич. ожиданий невырожден-
невырожденного р-мерного нормального закона N (|х, В), ковариа-
ковариационная матрица к-рого В тоже неизвестна, есть век-
вектор |Xo = (Hio, ..., Про)- X. к. основан на следующем
результате. Пусть Xlt ..., Хп—независимые р-мерные
случайные векторы, п — 1Эгр, подчиняющиеся невы-
невырожденному нормальному закону N (р., В), и пусть
где
X2

— оценки максимального правдоподобия для неизвест-
неизвестных параметров /i и В. Тогда статистика
Р (п-1)
имеет нецентральное Фишера f'-распределение с р и
ге—р степенями свободы и параметром нецентральности
статистика Г3 имеет Хотеллинга Т2-распределение.
Следовательно, для проверки гипотезы //о: Ц = Щ> иро-
тив альтернативы #t: u. Ф ц0 можно по реализациям
независимых случайных векторов Zlt ..., Хп, подчи-
подчиняющихся невырожденному р-мерному нормальному
закону N (u,, #), вычислить значение статистики Р,
к-рая при справедливости гипотезы Но имеет централь-
центральное F-распределение с р и п—р степенями свободы.
Согласно Х.к. с уровнем значимости а гипотезу Яо
следует отвергнуть, если F^Fa(p, n—р), где
Fa (р, п~р)—верхняя а-квантиль /''-распределения.
Следует отметить связь, существующую между Х.к. и
отношения правдоподобия критерием. Пусть
Л(|1, B)-L{X1, ..., Хп; ц. И)--
— функция правдоподобия, вычисленная по выборке
Х1, ..., Xп. Критерий отношения правдоподобия для
проверки сложной гипотезы Ло: |х = |х0 против сложной
альтернативы Н^. и. Ф |х0 построен на статистике
sup/, (u,0, В)
" sup L (и,, В)
ц, В
Между статистикой К и статистиками Т2 и F существуют
следующие отношения:
j2/n _ п- 1 _ я-р
Для проверки гипотезы Но : (j,=ju.o X. к. является
равномерно наиболее мощным среди всех критериеь,
инвариантных относительно преобразований подобия
(см. Наиболее мощный критерий, Инвариантный при-
притер ий).
Лит.: [1] Андерсон Т., Введение в многомерный ста-
статистический анализ, пер. с англ., М., 1963; [2] Р а о С. Р., Ли-
Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М.,
1968. М. С. Никулин.
ХОТЕЛЛИНГА ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — непрерыв-
непрерывное распределение вероятностей, сосредоточенное на
положительной полуоси @, оо) с плотностью
зависящей от двух целочисленных параметров п (числа
степеней свободы) и k, «SsfcSsl. При к—А X. Г3-р.
сводится к Стыодента распределению, а при любом
к > 1 может рассматриваться как многомерное обоб-
обобщение распределения Стыодента в следующем смысле.
Если /с-мерный случайный вектор Y имеет нормальное
распределение с нулевым вектором средних и ковариа-
ковариационной матрицей 2 п если
<?V"

где случайные векторы Z,- независимы между сооой
и от У и распределены так же, как У, то случайная
величина T2--YTS-1Y имеет X. '/"-р. с и степенями
свободы (Y— вектор-столбец, а "' -транспонирование).
Вели А- =1, то
7-2—Х!_ =/2
где случайная величина 1п имеет распределение
Стьюдента с п степенями слободы. Если при определе-
определении случайной величины Тх допустит]), что У имеет
нормальное распределение с параметрами (v, 2), а
Z,-— нормальное распределение с параметрами (О, 2),
то соответствующее распределение будет наз. не-
нецентральным X. Г--р. с а степенями свободы и
параметром нецентральностм v.
Х.Г2-р. используется в математич. статистике в
той же ситуации, что и ?-распределение Стьюдента, но
только в многомерном случае (см. Многомерный ста-
статистический анализ). Если результаты наблюдений
Xlt ..., Хп представляют собой независимые нормаль-
нормально распределенные случайные векторы с вектором
средних ц. и невырожденной ковариационной матри-
матрицей 2, то статистика
где
X=i-Vn
имеет X. Т!-р. с п— 1 степенями свободы. Этот факт
положен в основу Хогпеллинга критерия. Для числен-
численных расчетов используют таблицы бета-распределения
или Фишера F-распределения, поскольку случайная
величина "~nft+1 Т2 имеет f-распределение с к и
п — /с + 1 степенями свободы.
X. Т2-р. было предложено Хотеллингом [1] в яа-
даче об однородности двух нормальных выборок.
Лит.: [1] HotcllingH., «Ann. Math. Stat.», 1931,
v. 2, p. 360—78; [2J Андерсон Т., Введение в многомерный
статистический анализ, пер. с англ., М., 1963.
А. В. Прохоров.
ХЬЮИТТА РАСШИРЕНИЕ — расширение тополо-
гич. пространства, наибольшее относительно свойства
продолжения действительных непрерывных функций;
предложено Э. Хьюиттом [1].
Гомеоморфное вложение v: X —s- У наз. функцио-
функциональным расширением, если г; (X) плотно в У
и для любой непрерывной функции /: X - ¦->¦ R сущест-
существует такая непрерывная функция /: У—<¦ R, что / — /у.
Вполне регулярное пространство X на.ч. Q-n рост-
ранет в ом, или функционально замкну-
замкнутым пространством, если любое его функцио-
функциональное расширение является гомеоморфизмом, т. о.
v(X)~X. Функциональное расширение v: X—* v (X)
вполне регулярного пространства X наз. расшире-
расширением Хыоитта, если о (X) является (^-простран-
(^-пространством. Любое вполне регулярное пространство обла-
обладает Х.р., и последнее единственно с точностью до
гомеоморфизма.
Х.р. можно определить так же, как подпространство
тех точек у Стоуна — Чеха бикомпактного расширения
|ЗХ, что любая непрерывная действительная функция
/: X—+R продолжается на X(j{y}.
Лит.: [1] Me Witt E., «Trans. Amer. Math. Soc», 1048,
v. 64, p. 45—99; [2] E n g e 1 k i n g R., Outline of general topo-
topology, Amsl., 19 6»» [3] A p x а н г е л ь с к и и А. В., П о п о-
марев В. И., Основы общей -гопологии в задачах и упражне-
упражнениях, М., 1974. И. Г. Кошевникова.

ЦАССЕНХАУЗЛ ГРУППА — дважды транзитивная
группа G подстановок конечного множества М, в K-poii
лишь единичная подстановка оставляет на месте более
двух символов из М, и для любой нары символов
а, Ь?М подгруппа На,ъ нетривиальна, где
впервые такие группы рассмотрены X. Цассенхаузом[1].
Класс Ц. г. включает два семейства конечных простых
групп — проективные специальные группы PSLB, </),
g>3, и Судзуки группы.
Лит.: [1] Zassenhaus H., «Abhandl. math. Semin.
Univ. Hamburg», 193E, Bd 11; [2] GorensteiiD., Fini-
Finite groups. N. Y., 1968. If. Н. Вильяме.
ЦЕЛАЯ РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, (илгоб-
р а и ч р с к и и) м н о г о ч л е н, (а л г е б р а и-
чески и) п о л и н о м, — функция вида
w--Vn (z)~aoz"-ha1z"-1+ . . . +ап.
где я— целое неотрицательное, коэффициенты я0, . . .,
а„—действительные или комплексные числа, z—
действительное или комплексное неременное. Если
цфО, п наз. степенью многочлена, многочлен
Р(г)-—0 не имеет степени. Простейшая непостоянная
Ц. р. ф.— целая линейная функция
w — az-\-b, а ф 0.
Ц.р.ф. аналитична во всей плоскости, т. е. является
целой функцией комплексного переменного z, oo —по-
—полюс ?i-ro порядка для Pn{z) (Pn(z)—>-оо при re^l,
когда z—* оо; обратно, если /(г) — целая функция, и
/(г)—>оо при z—э-со, то /(г) — Ц.р.ф.). Важную роль
в математич. анализе играют также многочлены от
нескольких действительных пли комплексных перемен-
переменных. Ц.р.ф., как наиболее удобные для вычисления
функции, используются для приближенного представ-
представления более сложных функций.
См. также Многочлен.
Лит.: Привалов И. И., Введение в теорию функций
комплексного переменного, 12 изд., М., 1977.
К. П. ДоАжеико.
ЦЕЛАЯ ТОЧКА — точка в re-мерном пространстве
R™ с целочисленными координатами. В теории чисел
изучается вопрос о количестве Ц. т. нек-рых областей,
напр, при я--2 в круге и при ге=3 в шаре (см. Круга
проблема), а также об условиях равномерного рас-
распределения Ц. т. на поверхностях, напр, при ге=3 на
сфере и на эллипсоидах. Наиболее сильные результаты
получаются с помощью метода тригонометрич. сумм
и методов алгебраич. и геометрич. теории чисел.
Б. М. Бредихин.
ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ — функция, аналитическая по
всей плоскости комплексного переменного (кроме,
возможно, бесконечно удаленной точки). Она разлага-
разлагается в степенной ряд
сходящийся во всей плоскости С, Jim y{ak\ — 0.
ft-* CD
Если /(г) Ф 0 всюду, то / (z) ^ ер <г>, где Р (z)~ Ц.ф.
Если имеется конечное число точек, в к-рых / (z) обра-

щается п нуль, п птп точки — г,. гг z^ (их наз.
н у л я м и ф у н к ц и и), то
гдо Р (г) есть Ц. ф.
В общем случае, когда у /(z) имеется бесконечно
много нулей zlt z2, . . ., имеет место нредставление
(см. Вейерштрасса теорема, о бесконечном произведе-
произведении)
где Р(z) есть Ц. ф., а Х=0, если /@)^0. и % равно крат-
кратности нуля г—I), если /'@)--().
Пусть
M(r)- max |/(z)|.
|z|<r
Если при больших г величина М (г) растет нр быстрее
г&, то j(z) — многочлен степени не большей ц. Сле-
Следовательно, если / (z) не многочлен, то М(г) растет бы-
быстрее любой степени г. При оценке роста М (г) в этом
случае берется в качество функции сравнения показа-
показательная функция.
По определению, /(z) есть Ц. ф. к о н с ч н ого п о-
р я д к а, если имеется конечное |х такое, что
д
М (?) < ет , г > г,,.
Нижняя грань р множества чисел |i, удовлетворяю-
удовлетворяющих этому условию, наз. поря д к о м Ц. ф. f(z).
Порядок вычисляется по формуле
о-. TirrT. /|1пй
Если /(z) порядка р удовлетворяет условию
р
М (г) < еаг , а < оо, г > г0, (*)
то говорят, что /(z) — функция порядка р и коне ч-
н о г о типа. Нижняя грань о множества чисел а,
удовлетворяющих указанному условию, наз. типом
Ц. ф. l(z). Он определяется ня формулы
Среди Ц. ф. конечного wina различают Ц. ф. н о р-
мального типа (о>0) и минимального
типа (а=0). Если условие (*) не выполняется при
любом а<оо, то Ц. ф. наз. Ц. ф. м а к с и м а л ь н о-
г о, или бесконечного, типа. Ц. ф. порядка
1 и конечного типа, а также Ц. ф. порядка ниже 1,
характеризуемые условием
ТТпГ/с 'У\ aft | =— Р < оо,
наз. Ц. ф. :) к с и о п е н ц и а л ь н о г о тип а.

Нули z-f, zj, . . . Ц. ф. /(z) порядка р обладают свой-
свойством:
У " mr < °°' vF > о.
Пусть р—наименьшее целое (;><()) такое, что
^ | гА I"/7 < оо. Тогда (см. Адамара теорема о
целых функциях) имеет место представление
"ft
ft 7
где P(z) — многочлен степени не выше р.
Для характеристики роста Ц. ф. /(z) конечного по-
порядка р и конечного типа о вдоль лучей вводится ве-
величина
— роста индикатриса. Всегда
() | ^ г > ro(e)i уР v, „
Если
| / (ге«'Ф) | > e(/l W-E) ?P , г > т-о (е), г $ /?„,
где Ео— в нек-ром смысле малое множество (множе-
(множество нулевой относительной меры), то нули f(z) рас-
расположены на плоскости в определенном смысле весь-
весьма правильно и имеется точно описываемая связь между
/г(ф) и характеристикой (плотностью) нулей. Функции
/ (г) с таким свойством наз. функциями впол-
вполне регулярного роста.
Функция многих переменных f(zt, z2, . . ., za) есть
Ц. ф., если она является аналитической при |z^|<oo
(к—А, 2, . . ., п). Для нее вводятся понятия порядка
и типа (сопряженных порядков и типов). Простого
представления в виде бесконечного произведения здесь
получить не удается, потому что в отличие от случая
п—\ нули /(z) не являются изолированными.
Лит.: [1] Евграфов М. А., Асимптотические оценки
и целые функции, 3 изд., М., 1979; [2] Л е в и н Б. Я., Распре-
Распределение корней целых функций, М., 1956; [3] Р о н к и н Л. И.,
Введение в теорию целых функций многих переменных, М., 1971.
А. Ф. Леонтьев.
ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ, функция «ели,—
название оптимизируемой функции в задачах матема-
математического программирования.
ЦЕЛОЕ РАСШИРЕНИЕ кольца — расширение 11
коммутативного кольца А с единицей такое, что любой
элемент х?В является целым над А, т. е. удов-
удовлетворяет нек-рому уравнению вида
хп-\-ап_1х"-1-\- ...
где а[?А, называемому уравнением целой
зависимости.
Элемент х цел над А тогда и только тогда, когда вы-
выполняется одно из двух эквивалентных условий: 1)
А [х] является А -модулем конечного типа; 2) сущест-
существует точный А [я]-модуль, являющийся А -модулем
конечного типа. Целый элемент алгебраичен над А.
Если А — поле, то верно и обратное утверждение.
Элементы поля комплексных чисел С, целые над коль-
кольцом %, паз. целыми алгебраическими
числам и. Если кольцо В есть модуль конечного
типа над А, то любой элемент х ? В цел над А (обратное
может не быть верным).
Пусть кольцо R^)A коммутативно, х и у — элементы
I}, целые над А. Тогда х-\-у и ху также целы над А, и
множество всех элементов из R, целых над А, образует
иодкольцо, наз. целым замыканием А в R.

Все рассматриваемые далее кольца предполагаются
коммутативными.
Если В является целым над А и А'—нек-рая
.Д-алгобра, то В® А' цело над А'. Если В — целое
расширение кольца А и S—нек-рос мультипликатив-
мультипликативное подмножество в А, то кольцо S~1B является целым
над S~LA. Область целостности А паз. целозамк-
нутой, если целое замыкание А в своем поле част-
частных совпадает с А. Факториальное кольцо целозамк-
нуто. Кольцо А целозамкнуто тогда и только тогда,
когда для любого максимального идеала р с А цело-
замкнуто локальное кольцо Ар.
Пусть В — целое расширение А и р—нек-рый про
стой идеал кольца А. Тогда рВ ф В и существует
простой идеал % кольца В, лежащий над $ (т. е. та-
такой, что ^ = 5РП^)- Идеал Щ максимален тогда и толь-
только тогда, когда максимален р. Если L—конечное рас-
расширение поля частных кольца А и В — целое замыка-
замыкание А в L, то существует лишь конечное число прос-
простых идеалов g? кольца В, лежащих над заданным
простым идеалом кольца А.
Пусть С Г) В гэ А; расширение CDi-Ц.р. тогда
и только тогда, когда целыми являются оба расшире-
расширения С Г) В и Вгэ А.
Лит.: [1] Яенг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2J
Бур баки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М.,
1971. Л. В. Кузьмин.
ЦЕЛОЕ ЧИСЛО— см. Число.
ЦЕЛОСТНОЕ КОЛЬЦО — то же, что область це-
целостности.
ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ —
раздел математического программирования, в к-ром
исследуется задача оптимизации (максимизации пли
минимизации) функции нескольких переменных, свя-
связанных рядом уравнений и (или) неравенств и удов-
удовлетворяющих условию целочисленности (используются
также термины дискретное программиро-
программирование, дискретная оптимизация). Источ-
Источником задач Ц. п. является техническая, экономиче-
экономическая и военная проблематика.
Условие целочисленности переменных формально
отражает: а) физич. неделимость объектов (напр., при
размещении предприятий или выборе варианта боевых
действий); б) конечность множества допустимых ва-
вариантов, на к-ром проводится оптимизация (напр.,
множества перестановок в задачах упорядочения);
в) наличие логич. условий, выполнение или невыполне-
невыполнение к-рых влечет изменение вида целевой функции и
ограничений задачи.
Наиболее изученной и распространенной задачей
Ц. п. является т. я. задача целочисленного
линейного программирования: мак-
максимизировать
при условиях
жу^гО, / = 1, 2, ..., n, Xj — целые для /==-1, ..., р,
р<ге, где я,у, 6,-, Cj—заданные целые числа, xj — пе-
переменные.
Методы решения задач Ц. п. (релаксация, отсечения,
динамическое программирование, метод «ветви и гра-
границы» и др.) основаны на сокращении перебора допусти-
допустимых вариантов. «Наивный» подход к решению задач
Ц. п., заключающийся в полном переборе всех вариан-
вариантов (если их множество, конечно), требует объема вы-
вычислительной работы, к-рый растет как экспонента от
числа переменных, и оказывается практически несос-
несостоятельным. Сложность теоретических и вычислитель-
вычислительных проблем, возникающих при решении задач Ц. п.,

можно проиллюстрировать тем, что т. н. великая
теорема Ферма допускает следующую эквивалентную
формулировку: минимизировать
при условиях
xi Si 1, а-2 Зг 1, х3 3*1,
t, хи хг, х3— целые числа. Если какой-то метод Ц. п.
в качестве ответа выдаст положительное значение для
минимума целевой функции, это будет конструктив-
конструктивным доказательством теоремы Ферма, если же ответом
будет нуль, то это опровергнет ее.
Центральный теоретич. вопрос в Ц. п.: можно ли
исключить полный перебор при решении задач Ц. и.?
¦Одна из математич. формулировок этой проблемы: сов-
совладают ли классы Р и NP'! Класс Р (класс NP) — это
переборные задачи, разрешимые на детерминированной
(недетерминированной) машине Тьюринга за полино-
полиномиальное время, т. е. за число вычислительных опера-
операций, зависящее как полином от т. ц. «длины записи»
задачи. Класс NP включает все задачи Ц. п., к-рые
имеют экспоненциальное (относительно «длины записи»
задачи) количество допустимых решений. Проблема
«P—NP?» пока A984) остается открытой.
Лит.: )]| Го л ь ш т с й н К. Г., Юдин Д. Б., Новые
направлении в линейном программировании, м., 19В6; [2]
К о р G у т А. А., Ф и н к с л ь ш т е ti и Ю. Ю., Дискретное
программирование, М., 1909; [,Ч] Г и о и М., Джонсон Д.,
Вычислительные машины и труднорешаемые задачи, пер. с англ.,
М., 1982. Е. Г. Голыитейп, К. В. Левнер.
ЦЕЛЫЙ ИДЕАЛ — идеал ноли Q относительно
кольца А (здесь <) — поле частных кольца А), целиком
лежащий к А. При этом Ц. и. является идеалом в Л и
обратно, всякий идеал кольца А — Ц. и. его поля
частных Q. О. А. Ива пит.
ЦЕЛЫХ ТОЧЕК РАСПРЕДЕЛЕНИЕ нек-рые
асимптотические формулы аналитич. теории чисел для
арифметич. функций, к-рые могут быть сформулированы
как задачи о числе целых точек в нек-рых многообра-
многообразиях, в первую очередь, в гомотетически расширяю-
расширяющихся областях в пространстве К".
Классическими (исходными) здесь являются круга
проблема (Гаусса) н делителей проблема (Дирихле),
а также их многочисленные обобщения.
J/um..- Ill 1' ]¦ i с к с г F., Fiinfulirumr in die Gitterpunktleli-
re, Basel — Boslun — Stutlgart, 1981; |2J ХуаЛо-геп,
Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чи-
чисел, пер. с нем., М., 19(ii; 1;Л В а л ь ф и ш А. 3., Целые точки
в многомерных шарах. То., 1959. А. В. Малышев.
ЦЕНТР — тип расположения траекторий автоном-
автономной системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений 2-го порядка
--1 (х), х-
х2),
(*)
f?C(G), G -область единственности, в окрестности
oco6oii точки ,г„. Этот тип характеризуется следующим
образом. (Существует окрестность V точки ,г0 такая, что
все траектории системы, начинающиеся в ?/ч\{.|,)}.
являются замкнутыми кривыми, окружающими хй.
Ц. наз. при этом и сама точка .?•„. На рис. точка
О— центр. /Движение по тра-
траекториям с возрастанием /
может происходить по часо-
часовой стрелке или против нее
(как указано на рис. стрел-
стрелками). Ц. устойчив по
— Ляпунову (не асимптотиче-
асимптотически). Его индекс Пуанкаре
равен 1.
Точка ха является для
системы (*) Ц., напр., когда
}(х) — А (х—,г0), где А — по-
постоянная матрица с чисто

мнимыми собственными значениями. В отличие от
простых точек покоя других типов, встречающихся для
линейных систем 2-го порядка (седло, узел, фокус),
точка х0 типа Ц. при возмущении линейной системы
добавками к правой части, вообще говоря, не остается
Ц., как бы ни были высоки порядок малости возмуще-
возмущений относительно \\х—ха\\ и порядок их гладкости.
Она может перейти при этом в фокус (устойчивый или
неустойчивый) или в центрофокус (см. Центра и фо-
пуса проблема). Для нелинейной системы (*) класса
Cl(f?Cx(G)) точка покоя _г0 может быть Ц. и в том слу-
случае, когда матрица Д=/'(ж0) имеет два нулевых собст-
собственных значения.
Лит.: ll] А ы е л ь к и н В. В., Л у к а ш е в и ч Н. А.,
Садовский А. П., Нелинейные колебания в системах вто-
второго порядка, Минск, 1982. См. также лит. при статье Особая
точка дифференциального уравнения. А. Ф. Андреев.
ЦЕНТР г р у п п ы — множество Z всех цент-
центральных (называемых иногда также инвари-
инвариантными) эле м с я т о в этой группы, т. е.
элементов, перестановочных со всеми элементами груп-
группы. Ц. группы G является нормальным делителем в G
и даже характеристич. подгруппой в G. Более того,
нормальным делителем в G будет всякая подгруппа
Ц. Абелевы группы и только они совпадают со своим
Ц. Группы, Ц. к-рых состоит лишь из единицы, наз.
группами без центра. Факторгруппа GlZ
группы G по своему Ц. не обязана быть группой без Ц.
Лит.: Ill К у рот А. Г., Теории групп, И изд., М., 1967.
О. А. Иванова.
ЦЕНТР к о л I. ц а -- совокупность Z всех элементов
кольца, перестановочных с. любым элементом, т. е.
Z= {2 | az = za дли всех «}.
Ц. кольца оказывается нодкольцом, содержащим вме-
вместе с каждым обратимым элементом элемент, обратный
к нему. Ц. кольца, являющегося алгеброй с единицей
над полем, содержит основное поле (ср. Центральная
алгебра). Л. А. Скорняпов.
ЦЕНТР типологической динамической системы {Sj}
(потока или каскада с фазовым пространством X) -¦¦-
наибольшее замкнутое инвариантное множество AtzX,
все точки к-рого являются неблуждающими точками.
для ограничения исходной системы на Л . Ц. заведомо
ней уст, если пространство X* компактно (более общо,
если имеется цолутраокторин с компактным замыка-
замыканием). Дж. Киркгоф, к-рып ввел понятие Ц., пользо-
пользовался другим, но эквивалентным, определением с по-
помощью не к-рого трансфиннтного процесса (см. [1] — [4]).
Число тагов последнего наз. г л у б и н о й Ц. (фак-
(фактически имеется несколько «глубин», так как этот
процесс допускает нек-рые модификации). Глубина
Ц. невелика для потоков на компактных многообразиях
размерности <2 (см. |5], [6]) и для каскадов, получаю-
получающихся итерированием гомеоморфизма окружности или
непрерывного отображения (даже необратимого) отрез-
отрезка (см. [7]), но уже для потоков в R3 и на нек-рых
открытых поверхностях может быть сколь угодно боль-
большим счетным трансфинитом (см. [8] —110]). В полном
метрич. пространстве Ц. совпадает с замыканием мно-
множества точек, обладающих свойством устойчивости
по Пуассону.
Мели X — компакт, a U - окрестность Ц., то тра
ектория любой точки .>?Х «проводит большую часть
времени в U»: доля на отрезке |0, Т] тех t, для к-рых
Sj.r?ll, стремится к 1 при 7'-*оо. Впрочем, наимень-
наименьшее замкнутое пннариантноо множество, обладающее
тем же свойством (м и н и м а л ь н ы й центр
и р и т я ж е и и я, см. |3|, |4J), является, вообще
говоря, только частью Д.; в метризуемом случае оно
совпадает с замыканием объединения всех эргодических
множеств.
Лит.: Ill В i г k h о f f О. D., «Nachr. der Gesellschaft
der Wiss. Gottingc-n. ivlatli.- phys. Kl.», 1926, H. 1, S. 81—92;

[2J Б и р к г о ф Д ж. Д. Динамические системы, пер. с англ.,
М.—Л., 1941: ГЗ| И с м и и к и и В. В., С т с п ;i н о и В. Р,..
Качественная теории дифференциальных уравнении, 2 изд.,
М.—Л., 1949: UJ Сибирский К. С, Введение и топологи-
топологическую динамику, Киш., 1970; [5] Schwa r t г А. .)., Т h o-
m a s E. S., в кн.: Global analysis. («Proc symp. in pure nialli.»,
v. 14), Providence, 1970, p. 253- <>4; L6l N e u m a n n D. A.,
«Proc. Amer. Math. Soc», 1976, v. «1, № 1. p. 30—43; l7j Ш a p-
ковський О. М.,«Доповш1 АН УРСР», 19И4, № 7, с. 865—68:
[8] М а й е р А. Г., «Матем. сб.», 1950, т. 26, „Ч 2, с. 265—90;
[9] Щ и л ь н и к о в Л. П., «Матом, заметки», 1969, т. 5, № Я,
с. 335—39; [10] Neumann D. A., «Amer. J. Math.», 1978,
v. 100, № 1, p. 1 — 18. Д. В. Аносов.
ЦЕНТР частично упорядочении г о
множества — подмножество элементов частично
упорядоченного множества Р с 0 и 1 (в частности, ре-
решетки), у к-рых при нек-ром разложении Р в прямое
произведение одна из компонент есть 1, в остальные —
0. Ц. любого частично упорядоченного множества с
0 и 1 является булевой алгеброй. Элемент а решетки L
принадлежит ее Ц. тогда и только тогда, когда он
нейтрален (т. с. каждая тройка элементов {а, х,
у) порождает дистрибутивную подрешетку в А) и
обладает дополнением. В дедекиндовой решетке с до ¦
полнениями Ц. совпадает с множеством всех алимен-
алиментов, обладающих единственным дополнением.
Т. С. Фофанова.
ЦЕНТРА И ФОКУСА ПРОБЛЕМА проблема оп-
определения условии, при к-рых все траектории автоном-
автономной системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
х — X (х, у), у .-Y{.r, у) (*)
в нек-рой окрестности равновесия положения О, за
исключением точки О, являются замкнутыми кривыми.
Функции X и Y предполагаются голо.морфнылш и
нек-poii окрестности точки О. Проблема поставлена
А. Пуанкаре (Н. Poincare, |1]). Основополагающие
результаты получены А. М. Ляпуновым |2|.
Обычно предполагают, что характеристик, уравне-
уравнение линеаризованной в точке О системы, т. е. системы
имеет чисто мнимые корни. Тогда особая точка О
является для системы (*) либо центром (окружена
замкнутыми траекториями), либо фокусом (окружена
спиралями). В этом случае необходимое и достаточ-
достаточное условие существования центра заключается в том,
что система (*) должна иметь не зависящий от l действи-
действительный голоморфны]! в окрестности точки О интеграл
F(x, у) = С'(см. [2]). Па основе этого результата раз-
разработаны методы составления условии наличия цент-
центра; такие условия представляют собой равенство нулю
бесконечной последовательности многочленов от ко-
коэффициентов разложений в ряды правых частей систе-
системы (*). В случае полиномиальных правых частей из
теоремы Гильберта о конечности базиса полиномиаль-
полиномиальных идеалов следует, что существенных условий в ука-
указанной последовательности — лишь конечное число, а
остальные являются их следствиями. Задача установ-
установления числа существенных условий центра является
весьма сложной и полностью решена лишь в случае,
когда X и У являются многочленами 2-й степени (три
условия). В случае многочленов более высокой степени
разработаны методы установления условий наличия
центров определенной структуры: изохронных, устой-
устойчивых, симметричных (см. [3], [41).
Лит.: Ll] Пуанкаре А., О кривых, определяемых диф-
дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М., 1947; La]
Л я п у н о в А. М., Общая задача об устойчивости движения,
М.—Л., 1950; [3] А м е л ь к и н В. В.,«Дифференц. уравнения»,
1977, т. 13, Л"» 6, с. 971—80; [4] Сибирский К. С, Алгеб-
Алгебраические инварианты дифференциальных уравнений и матриц,
Киш., 1976. К. С. Сибирский.
ЦЕНТРАЛИЗАТОР — подмножество кольца, группы
или полугруппы //, состоящее из элементов, нереста-

новочных (коммутирующих) со всеми элементами из
нек-рого множества 59=Л; централизатор S в R обоз-
обозначается Сд (S). Ц. неприводимого (т. е. не
имеющего собственных инвариантных подгрупп) под-
кольца эндоморфизмов абелевой группы в кольце всех
эндоморфизмов этой группы есть тело (л е м м а III у-
ра).
Лит.: Ll] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ.,
М., 1961. Л. А. Бикутъ.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ АЛГЕБРА — алгебра с единицей
над полем, центр к-рой (см. Центр кольца) совпадает с
основным полем. Напр., тело кватернионов является
Ц. а. над полем действительных чисел, а поле ком-
комплексных чисел не является. Алгебра матриц над по-
полем — Ц. а. Тензорное произведение простой алгебры
и простой Ц. а. оказывается простой Ц. а. Всякий ав-
автоморфизм конечномерной простой Ц. а. является вну-
внутренним, а ее размерность — квадратом целого числа.
Лит.: [1] Д р о з д 10. А. Кириченко В. В., Конечно-
Конечномерные алгебры, К., 1980; [2] С к о р и я к о в Л. А., Элементы
общей алгебры, М. 1983. Л. А. Скорняков.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА — об-
общее название ряда предельных теорем теории вероят-
вероятностей, указывающих условия, при выполнении к-рых
суммы или другие функции от большого числа неза-
независимых или слабо зависимых случайных величин
имеют распределения вероятностей, близкие к нор-
нормальному распределению.
В классич. варианте Ц. и. т. речь идет о последова-
последовательности
Х„ X,. ..., Х„. ... A)
независимых случайных величин, имеющих конечные
математич. ожидания BXk ak и конечные дисперсии
DXk~ bk, и о суммах
Sn=X, + Xt+...-\-Xn. B)
Пусть A,, = tS,r- 0,-f- . . . -fa,,, lin D,?n = U!+ . .. +Ь„.
Функции распределения
/¦•„ (х)=Р {Zn < х)
т. н. «нормированных» сумм
Zn =~"=±i- , C)
имеющих математич. ожидание, равное нулю, и диспер-
дисперсию, равную единице, сравнивают со «стандартной»
нормальной функцией распределения
Q>(x) = -Lr [х е-*2/'2 dz,
соответствующей нормальному распределению с нуле-
нулевым математич. ожиданием и единичной дисперсией.
Утверждение Ц. п. т. в этом случае состоит в том, что
при определенных условиях при п->-оо и при любом х
1'п (х) ~> Ф (.г)
или, что то же самое, для любого интервала (а, Р)
имеет место сходимость
Р {а < Хп < Р}= Р {Л„ + а V"H~n < sn < An + $ У"п~п}->
(см. Лапласа теорема, Ляпунова теорема).
Понять наиболее отчетливо условия возникновения
нормального распределения в качестве предельного
для распределений сумм независимых случайных ве-
величин можно лишь переходя от схемы последователь-
последовательности к серий схеме (см. DJ). В данном случае при
каждом и=1, 2, 3, . . . получают серию величин
полагая

Тогда случайные величины внутри каждой серии неза-
независимы и
%п ~~ Хп, l'r Хп, гН~ ¦ • ¦ Л~^п, «¦
Обычные условия приложимости Ц. п. т. (такие, как
условие Ляпунова или условие Линдеберга — Феллера
теоремы) влекут асимптотическую пренебрегаемость
величин ХПл /j. Напр., из условия Ляпунова с третьими
моментами, т. е. из условия: при п-*-сс
Е|Хь-вь|3->(>, D)
BV, ^-n=\
при любом р>0 вытекает неравенство
max P { | Х„, ft I > f}" " max P { | Xk~ ак
/.„ -•* О
при п—>-оо, а стремление к нулю величины в крайней
левой части этой цепочки неравенств и означает асимп-
тотич. пренебрегаемость образующих серии случай-
случайных величин.
Пусть теперь дана произвольная схема серий
Хп, li ^n.ii •••! Хп k E)
»—1, 2, ..., асимптотически нринебрегаемых и неза-
независимых внутри каждо11 серии случайных величин.
Тогда, если предельное распределение для сумм Zn =
= ^п, 1 + ¦ ¦ ¦ -}-Хп, кп существует и не является вырож-
вырожденным, то оно будет нормальным тогда и только
тогда, когда при п—>оо и любом р > О
Р {max | Хп k | > е} -, 0, @)
т. е. когда максимальное слагаемое в Zn становится
исчезающе малым по сравнению со всей этой суммой
(без условия F) можно лишь утверждать, что пре-
предельный закон для Z,, принадлежит классу безгранич-
безгранично делимых распределений). Два дополнительных усло-
условия, к-рые вместе с F) являются необходимыми п
достаточными для сходимости распределений
сумм Ъп к предельному, указаны в ст. Серий схема.
При отказе от условия асимптотпч. иренебрегаемостн
величин в рассмотренной выше схеме серий положе-
положение усложняется. Известная теорема Крамера о том,
что сумма нескольких независимых случайных величин
может быть нормально распределенной тогда и только
тогда, когда каждое из слагаемых нормально распре-
распределено, позволяет предположить (как это сделал
П. Леви (см. [15], теорема 38, гл. V), что сумма независи-
независимых случайных величин имеет распределение, близкое к
нормальному, если «большие» слагаемые почти нор-
нормальны, а совокупность «малых» слагаемых подчи-
подчиняется условиям «нормальности» распределений сумм
асимптотически нренебрегаемых слагаемых. Впервые
точную форму подобного рода соображения получили
для схемы серий E) с EXnk=0, 2 "_ D%n, k~i
(см. [7]). Здесь для сходимости функций распределе-
распределений Fп (х) = Р {Zn < х) к нормальной функции распре-
распределения Ф (х) необходимо и достаточно одновременное
выполнение двух условий:
1) при п —>-оо
ап—- max L (/¦'„, k, Фл> к) ~> О,
где L(Pn>)t, Фп, *) — расстояние Леви (см. Леей мет-
метрика) между функцией распределения F„^ k (x) случай-
случайной величины Х„: k и нормальной функцией распре-
распределения Фп k (x) с такими же математич. ожиданием
и дисперсией как у Fn< ^ (х);

2) для любого е > 0 при п —>оо
где сумма распространена на тс к, 1 <&<&„, для
к-рых DXn< k < У"аЦ.
Эта формулировка всего ближе по звучанию к пер-
первоначальному предположению Леви. Возможны и иные,
в известном смысле более напоминающие теорему Лин-
деберга — Феллера, формулировки (см. напр., [8]).
В настоящее время эта форма Ц. п. т. может быть по-
получена как частный случай более общей теории сумми-
суммирования в схеме серий без условия асимптотич. прене-
брегаемости.
В практич. отношении важно иметь представление
о скорости сходимости распределений сумм к нормаль-
нормальному распределению. Этой цели служат неравенства и
асимптотич. разложения (а также теория больших откло-
отклонений вероятностей, см. также Крамера теорема, Пре-
Предельные теоремы,). В последующем для простоты изло-
изложения рассматривается схема последовательности, при-
причем величины, образующие последовательность A),
предполагаются одинаково распределенными. Пусть
F(x)=P{X)i<.-r}. Типичным примером неравенств для
отклонений функции распределения Fn(x) нормиро-
нормированной суммы B) от Ф (х) служит неравенство
I! a j) р и — .') с с е е н а: при всех х
г
где Г — абсолютная постоянная (наилучшее возможное
значение константы С и настоящее время A984) не-
неизвестно, однако можно утверждать, что оно не пре-
превосходит 0,7055). Неравенства типа G) становятся мало
информативными, если слагаемые ХА сами «почти-
нормальны». Так, если они в точности нормальны, то
левая часть G) равна нулю, а правая С-гт—-. Поэтому
с нач. 60-х гг. предлагались аналоги неравенства G),
у к-рых в правую часть вместо моментов случайных
величин Xif входят другие характеристики, подобные
моментам, но определяемые по разности
так, что они становятся тем меньше, чем меньше эта
разность. В правой части неравенства G) и его обоб-
обобщений можно поставить неограниченно убывающие при
,г|-*-оо функции от х (так наз. неравномерные
оценки). Рассматривают (см. |6j) и другие способы
измерения «близости» Fn(x) к Ф(х), напр., в смысле
пространства Lp (в так наз. глобальных вариантах
Ц. п. т.) или способы, основанные на сравнении локаль-
локальных характеристик распределений (см. Локальные пре-
предельные теоремы,).
Асимптотич. разложения для разности Fn(x) — Ф (х)
имеют вид (ем. [4], [3]) для ст—1:
-xz/2
/•' (Т) ф (х) — е fQl <ж) I ^г (д) I Qa (ж)
Здесь Qfi(x) — многочлен степени Зк — 1 относительно х
с коэффициентами, зависящими только от первых
(к — 2) моментов слагаемых. Для биномиального рас-
распределения первый член асимнтотич. распределения
был указан П. Лапласом (P. Laplace, 1812), а пол-
полностью, но без точного обоснования, оно было опи-
описано П. Л. Чебышевым A887). Первая оценка оста-
остаточного члена в предположении, что конечен s-й мо-
момент fis — Е | Xk \s, s5s3, и выполнено условие
lim \Вег ' к
\t\-*ta

•— так наз, условие Крамера, была дана Г. Краме-
Крамером (Н. Cramer, 1928). Этот результат в несколько
усиленной формулировке утверждает, что
равномерно относительно х. Это асимптотич. разложение
служит основой для построения широкого класса
случайных величин преобразований.
Ц. п. т. может быть распространена на случай, когда
последовательность A) (или обобщающая ее схема
серий) образована векторами иа т- мерного евклидова
пространства Rm. Пусть, напр., случайные векторы A)
независимы, одинаково распределены, не лежат с ве-
вероятностью 1 в какой-либо гиперплоскости и EXk--0
и Е || Xk ||- 'оо, где норма—обычная евклидова норма
в R'". В этих условиях при п —>оо распределения ве-
вероятностей нормированных сумм
/' _ ¦*i-|-**i+- +Xn
слабо сходятся (см. Распределений сходимость) к нор-
нормальному распределению Ф^ и 'Я'" с математич. ожи-
ожиданием, равным нулевому нектору, и матрицей кона-
риаций Л, совпадающей с .матрицей ко вариаций Л',,.
Более того, :>та сходи.мость равномерна на широких
классах подмножеств Rr" (см. [1A]). Напр., она равно-
равномерна на классе (.S всех борелевских выпуклых под-
подмножеств Ит: при п — >-оо
.sup | Рп(А)—ф(А)\-+0. (S)
А еЧ
При дополнительных предположениях может быть оце-
оценена скорость сходимости в (8).
Ц. п. 1. может быть распространена и на последова-
последовательности (и на серии) независимых случайных векто-
векторов <и значениями в бесконечномерных пространстваv.
При этом Ц. п. т. в «привычной» форме может и не иметь
места (здесь сказывается влияние «геометрии» прост-
пространства, см. Случайный элемент). Особый интерес пред-
представляет случаи, когда члены последовательности (I)
принимают :шачения из с енарабельного гильбертова
пространства И. Приведенное выше утверждение о
слабой сходимости в R'" распределений нормирован-
нормированных сумм Хп к нормальному остается верным в Л
в точно топ же формулировке. При атом сходимость
равном-ерна на сравнительно узких классах (напр., на
классе всех шаров с центром в нуле, или шаров, центры
к-рых лежат в каком-либо фиксированном шаре; схо-
сходимость на классе всех шаров может не быть равномер-
равномерной). Пусть Sr —- шар и // радиуса г и с центром п нуле.
Аналогом неравенства G) здесь служат неравенства
следующего типа. Пусть
Е Хк=0, Е || Л',. ||- <- 0=
и распределение Xk не сосредоточено ни в каком ко-
конечномерном подпространстве пространства Н; тогда
в специальных случаях (подобных разбираемому в
указанном ниже примере)
Д„ =sup | Р {Z; <= Sr} - ф Л (Sr) | =<) (JL) ;
при условии же Е || Хк |-'ч "¦ <оо, где а фиксировано и
не слишком мало, можно утверждать, что при любом
е > О
(напр., jto верно при а^

К Ц. п. т. в бесконечномерных пространствах, и в
частности в Н, могут приводить и весьма конкретные
задачи, наир. математич. статистики.
Пример. Пусть 6lt Э2, ..., Э„, ... —последователь-
—последовательность независимых случайных величин, распределен-
распределенных равномерно на отрезке [0, 1]. Пусть Xk(t), к =
= 1, 2, ..., случайные элементы из пространства
L2 [О, 1] (пространство функций с интегрируемым по
отношению к мере Лебега на [0, 1] квадратом) заданы
следующим образом:
Хк @ = — 1 При 0 s? t
xk{t) = i — t при efe < /<i.
Тогда BXk(t) — O, 0s?/<1 u
Zn(') -IimifJ^nVl . y-n[Gn(t)-t),
1 n
где Gn (t)—эмпирия, функция распределения, построен-
построенная по выборке 8j, 82, .... 0„ обьема п на равномер-
равномерного на [0, 1] распределения. При этом квадрат нормы
совпадает со статистикой rojj критерия Крамера — Ми-
.чеса—Смирнова (см. Крамера—Миаеса критерий).
В соотнетстнии с Ц. п. т. существует предел].пне при
// -->оо распределение для го^. Оно совпадает с рас-
распределением квадрата нормы нек-рого нормально рас-
распределенного вектора в Н и носит название <'<>ме,'а-
книдрат» распределения. Таким образом, Ц.н.т. дает
обоснование замены при больших п распределения
Mjt распределением or, что и лежит в основе примене-
применения упомянутых выше статиетич. критериев.
Известны многочисленные варианты обобщения Ц.гг.т.
на суммы зависимых величин (в случае однородных
конечных ценен Маркова, простейшей неоднородной це-
цени с двумя состояниями и нек-рых др. схем; ито было
сделано самим А. Л. Марковым, 1907-1911, дальней-
дальнейшие обобщения связаны, в первую очередь, с. именем
С.. Н. Вернштеина [12|). Основная черта, свойственная
всем такого рода обобщениям Ц.н.т., состоит в том
(если говорить о схеме последовательности), что
зависимость между событиями, определяемыми но Хь
X.,. .... Хк, и событиями, определяемыми по Xk + fl,
Xftt-ръ-л, •••! становится исчезагоще малой при не-
неограниченном росте р.
Что касается методов доказательства Ц. п. т., то
и случае независимых слагаемых наиболее мощным
является, как правило, метод характеристич. функций;
cio дополняет, а порой и заменяет так наз. «метод
композиций» (см. |11|) (а также метод, получивший
условное название «метода метрических расстоянии»),
В случае зависимых величин наиболее аффективным, в
целом, является метод семиинвариантов (см. напр.,
Г14]). Этот же метод пригоден для изучении функций
от случайных величин, более общих чем суммы пли
линейные функции (напр., для квадратичных и других
форы).
Относительно Ц. п. т. в теории чисел см. Чисел теория
вероятностная. Ц. и. т. применима п в нек-рых во-
вопросах теории функций и теории динамич. систем.
Лит.: Ш Г и с д !¦ II I,- n IS. R., Kyjic теории вероятностей,
Г) изд., М., 1НВЯ; [2] Ф е .ч .1 с р В., Виедение в теорию вероят-
вероятностей и ее приложения, пер. с апг.ч., '1 изд., т. 1—2, М., 1967;
l:i] Крамер Г., Математические методы статистики, пер.
е ,чнгл., '1 нлд., М., 1У7Г>; UJ Г и е д е и к' о П. В., К о л м о-
г о р о а Д. П., Предельные распределении для ryivnvi незави-
независимых случайных величин, М,—.'I., MK9; |Ь1 II браги-
м о в И. А., "Л и н н и к Ю- У"., Незаииспмые и стационарно
связанные величины, М., 19(i;>; L(i] II етр о и В. В., Суммы
независимых случайных величин, М., 1!I72: [7J Золота-
Золотарев В. М., <сТеория вероятп. и ее примем.», 1967, т. 12, AS h,
с. 66й—77; [8] Р о т а р ь В. И., «Матем. наметки», 1970, т. 18,
Ni 1, е. 129 — 35; [9] Ч е б ы ш е в П. Л., Избр. тр., М., 19-ЗГ.;

НО] БхаттачарияР. Н., РангаРаоР., Аппрокси-
Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разло-
разложения, пс]|. с. англ., М., 19811; 111! S л /, и п и W V. V., Normal
approximation..., В.— Hdlu. — N. V., 1981; [12J Берн-
штейн С. Н., Собр. соч., т. 4, М., 1964; ?13] Мар-
Марков А. А., Избр. тр., М., 1951; [14] С т а т у л я в и-
чус В. А., «Теория иеронтн. и ее примем.», 19fiO,T.5,JMi2i [IS]
Levy I'., Thfiorie de J'addilion des variables aleatolfes, 2 ed.,
P., 1954. Ю. В. Прохоров.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРОСТАЯ АЛГЕБРА—простая
ассоциативная алгебра с единицей, являющаяся цент-
центральной алгеброй. Всякая конечномерная Ц.ша. А над
полем К изоморфна алгебре матриц Мп (С) над конеч-
конечномерной центральной алгеброй с делением С над К.
В частности, (тли К алгебраически замкнуто, то вся-
всякая конечномерная Ц.н.а. А над К изоморфна Мп(К),я
если Л' - R. то Л изоморфна алгебре вещественных или
кватернионных матриц. Тензорное произведение Ц.н.а.
А на любую простую алгебру В есть простая алгебра,
центральная, если И центральна. Две конечномерные
Ц.п.а. А и II над К нал. пквивалентнымп, если
для нек-рых т и п, или, что равносильно, если А и В
изоморфны алгебрам матриц над одной и той же цен-
центральной алгеброй с делением. Классы эквивалент-
эквивалентных Ц. и. а. над К образуют Врауэра группу поля К
относительно операции, индуцируемой тензорным ум-
умножением .
Лит.: 11] Ванде р В а р д е и Б. Л., Алгебра, пер.
с нем., i изд., М., 197!); \'l\ Д р и .': д Ю. Л., К и р и ч е н-
ко В. В., Конечномерные а.неоры К., 198П. А. Л. Онищик.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ г и у п п
теоретико-групповая конструкция. Группа С называ-
называется Ц. п. своих подгрупп А и В, если она порождается
ими, если дли любых двух элементов а?А nb^B верно
равепство ab — ba и если пересечение А\\В лежит в
центре Z(G) группы 6'. В частности, при А(\В—Л?С
Ц. и. оказывается прямым произведением АХ В. Фик-
Фиксируя для произвольных групп А . В и С таких, что
C<iz(A) —нек-рый мономорфизм 0: (,'->-Z(B), можно
определить Ц. п. групп A nfiii не предполагая предва-
предварительно, что А и В являются подгруппами нек-рой
группы G.
Лит.: И] A о г р n s t e i n U., Fiaile gioupg, N. Y., 19IJ8.
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ линейной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений — вели-
величины, определяемые формулами
ii(A)= Jim Tim" -Ly"-' In || A'((H D T, '"Oil
(в e p x н и ii ц е н т р а л ь н ы ii показател ь) и
(о(Л)=Шп Шп: =^У*-' 1п\\Х(,Т, (/ + 1O-)||
Т~> и ft-> . со"' ^-'/=A
(нижний центральный показатель);
иногда нижним Ц. п. называется величина
lim lim =1 ук~ ' lull X (iT, (i + \) T) ||.
Здесь X(Q, т) —Коиш оператор системы
x=A (t)x, x?R", A)
где A (•) — суммируемое на каждом отрезке отобра-
отображение
R+->Hom(R", R").
Ц. п. Q(A) и со(Л) могут равняться ±<х; имеют место
неравенства
t—

из к-pux следует, что если система A) удовлетворяет
условию
lim
то ее Ц.п. суть числа. Ц.н. связаны с Ляпунова харак-
характеристическими показателями Я] (Л). ..., Я„ (Л) и С
особыми показателями S30 (Л), ш11 (А) неравенствами
Й° (Л) 5s Si (Л) -> Хг (А) 5а. . .5а Хп (А) 5а со (Л) 5а со0 (Л).
Для системы A) с постоянными коэффициентами (Л (г)з=
=:А) Ц. п. Q(A) и ю (Л) равны соответственно макси-
максимуму и минимуму действительных частей собственных
значений оператора А. Для системы A) с периодич.
коэффициентами (Л (г-|-9)=Л (I) при всех /(-jR для
нек-рого 6>0, 6 — наименьший период) Ц. и. ii(A) и
to (Л) равны соответственно максимуму и минимуму
логарифмов модуле]! мультипликаторов, деленных на
период 8.
Если Л (•) — почти периодич. отображение (см. Ли-
Линейная система дифференциальных и равнений с почти
периодическими коэффициентами), то Ц. п. системы A)
совпадают с особыми показателями:
S3 (Л) О" (Л), о>(Л) -ш° (А)
(теорема Вылов а).
Для всякой фиксированной системы A) условие
ЩЛ)<0 достаточно для существования 6>0 такого,
что у всякой системы
г -А (/) x-j-g (х, t),
удовлетворяющей условиям теоремы существования и
единственности решении задачи Коти и условию
\g (х, О I < о'|.г |,
решение х—0 асимптотически устойчиво (теорема
И и н о г р а д а). Условие Si(^)<0 в теореме Вино-
Винограда не только достаточно, но и необходимо (необхо-
(необходимость сохранится и в том случае, если асимптотич.
устойчивость заменить на устойчивость но Ляпунову).
Функция И(А) (соответственно со (Л)) на простран-
пространстве Мп систем (I) с ограниченными непрерывными
коэффициентами (т. е. А (•) непрерывной sup |] Л'(?)|]<
/е R +
¦: -f»), наделенном метрикой
<ЦА, «)-¦ sup \\A{l)~B(t)\\,
tnRi-
иолунепрерывна сверху (соответственно снизу), но
каждая из этих функций не всюду непрерывна. Для
всякой системы (lj из Мп как угодно близко к ней
(в Мп) найдутся системы
х - Hi(t)x, i = l,2, B)
такие, что
где Хг (И;) и %п (Н[), I 1, 2,—соответственно наиболь-
наибольший (старший) и наименьший (младший) характерис-
тич. показатели Ляпунова «истем B)
Если отображение А (¦): R -* Horn (R", R") равно-
равномерно непрерывно и sup || Л (t) \\ < + оо, то для почти
всякого отображения Л (в смысле всякой норми-
нормированной инвариантной меры сдвигов динамической си-
системы (S--H.om(R". R")). сосредоточенной на замы-
замыкании траектории точки Л; отображения Л, Л рассмат-
рассматриваются, как точки пространства динамич. системы
сдвигов) верхний (нижний) Ц.п. системы x — A(t)x
равен наибольшему (соответственно наименьшему) ха-
рактеристич. показателю Ляпунова этой системы:

Пусть динамич. система на гладком замкнутом мно-
многообразии Г" задана гладким векторным нолем. Тогда
для почти всякой (в смысле всякой нормированном
инвариантной меры) точки x?V" верхний (нижний)
Ц. п. системы уравнений в вариациях вдоль траекто-
траектории точки х совпадает с ее наибольшим (наименьшим)
характеристич. показателем Ляпунова. Рассмотрены
типичные (с точки зрения категорий Ьэра) свойства
Ц. и. (см. |3]).
Лит.: [1] Было в В. Ф., Вино г р а Д Р. Э., Г р о б-
м а н Д. М., НемыцкийВ. В., Теория показателей Ля-
Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, М., 1966;
[2] Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М.,
1974, с. 71 —146; [з] М и л л и о н щ и к и в В. М., «Дифференц.
уравнения», J 983, т. 19, № 9, с. 1 50.4—1510; 1984, т. 20, КМ 6,8.
В. М. Миллионщиков.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ РЯД групп ы — нормальный
ряд, все факторы к-рого централь и ы, т. е. ряд
подгрупп
^=G,gfi1c.,.c(;1) = (;,
для к-рого C[ + i/G лежит в центре группы (?/(?,- для
всех i (см. также Подгрупп ряд). Если для всех i
подгруппа Gj^v'Ci и точности совпадает с центром
группы G/G;, то ряд наз. верхним Ц. р. группы G,
а если коммутант G{ + 1 и G совпадает с G,-, то ряд
наз. нижним Ц. р, группы С.
Группа, обладающая Ц. р.. наз. нильпотентной
группой. В нильпотентной группе нижний и верхний
Ц. р. имеют одну и ту же длину, равную минимальной
длине Ц. р. группы. Эта длина наз. к ласе о м и и л ь-
потентности, или ступ е и ь ю н и л ь п о-
ТенТНОСТИ Группы. О. А. Лваиони.
ЦЕНТРИРОВАННОЕ СЕМЕЙСТВО МНОЖЕСТВ —
семейство, пересечение любого коночного множества
алементов к-рого не пусто. Напр., счетное семейство
{Af. /?|2}, состоящее из подмножеств натурального
ряда чисел Z+ вида -4,-= {л ? Z +, п > г}, центриро-
центрировано. Центрированным будет любое семейство, пересе-
пересечение всех элементов к-poro не пусто. Отим свойством
обладает любое конечное Ц. с. м.
Впервые бесконечные Ц. с. м. были использованы в
общей топологии для характеристики бикомпактных
пространств. Ц. с. м., замкнутых в топологич. прост-
пространстве, используются при построении его бикомпактно-
бикомпактного расширения и его абсолюта.
Понятие Ц. с. м. допускает следующее обобщение.
Пусть т — бесконечное кардинальное число. Тогда
т-ц е в т р и р о в а н н ы м сем е й с т в о м м н о-
ж е с т в наз. такое семейство, что пересечение любого
множества его элементов мощности, меньшей т. не
пусто. Такие семейства применяются для характери-
характеристики m-комнактных пространств и в абстрактной тео-
теории меры.
Лит.: [1] К е л л и Д ж., Общая топология, пер. с англ.,
2 изд., М., 1981; [2l Gil] m an L., ,T orison M., Rings of
continuons functions, Princeton, 1960. Б. А. Ефимов.
ЦЕНТРОАФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел аффин-
аффинной геометрии, в к-ром изучаются инварианты ц е н-
троаффинных преобразований; х' — Alsxs.
Центроаффинные преобразования оставляют неподвиж-
неподвижной одну точку (центр). В Ц. г. имеет место полная
двойственность: каждому предложению относительно
точек соответствует такое же предложение относительно
гиперплоскостей. Л А Сидоров
ЦЕНТРОАФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО — аффин-
аффинное пространство, в к-ром основным инвариантом яв-
является свойство плоскости проходить или не проходить
через нек-рую точку — центр пространства.
Л. А. Сидоров.
ЦЕНТРО-ФОКУС — тип расположения траекто-
траекторий автономной системы обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений 2-го порядка

?) G — область единственности, в окрестности
изолированной особой точки х0. Этот тип характеризу-
характеризуется следующим образом: в любой окрестности U точки
х0 существуют замкнутые траектории системы, окружа-
окружающие точку х0, и целые
незамкнутые траектории;
последние .заполняют
стягивающиеся к точке
г0 кольцеобразные обла-
области, ограниченные замк-
замкнутыми траекториями, и
представляют собою спи-
спирали, к-рые (в каждом ~
кольце) одним концом
асимптотически прибли-
приближаются к внешней, а
другим — к внутренней
границам кольца. Ц.-ф.
наз. при этом и сама
точка х0. На рис. точка
@,0) есть Ц.-ф.; стрелки указывают направление дви-
движения по траекториям системы с возрастанием /
(оно может быть и противоположным).
Ц.-ф. устойчив, по Ляпунову (не асимптотически).
Его индекс Пуанкаре равен 1.
Лит.: Н] н е мы ц к и й В. В., Степан о в В. В., Каче-
Качественная теория дифференциальных уравнений, '1 изд., М.—Л.,
1949; [2] Д ю л а к Г., О предельных циклах, иер. с франц.,
М., 1980; [3] Ели з аров П. М., И л ь я ш е н к о К). С,
«Матем. сб.», 1983, т. 121, Л» 1, с. 111—20. .4. Ф. Анд-реев.
ЦЕПНАЯ ДРОЬЬ, и спрерыиная д р о б ь,—
выражение вида
аа + Ьх;и,-{- ...+Ьп;ап+..., A)
где
{Ь„}п-1 C)
-- конечные или бесконечные последовательности
комплексных чисел. Вместо выражения A) употребля-
употребляется также обозначение
ьп
Цепной дробью последовательно-
1' т и B) наз. выражение вида
Для каждой Ц. д. A) рекуррентные уравнения
с начальными условиями
Ьо = 1, Р-2 - О, Р-1- 1, 0-2---1, <?-i=-0,
определяют две последовательности {Рп}п=о и {Q„}п=о
комплексных чисел. Обычно предполагается, что после-
последовательности B) и C) таковы, что Qn Ф 0 для всех п,
0<n<co-f-l. Дробь Sn^Q^ наз. подходящей
дробью порядка п Ц. д. A). При этом
кроме того,

Подходящую дробь порядка п Ц. д. последовательно-
последовательности B) принято обозначать
[а0; аъ ..., ап].
Для таких подходящих дробей имеют место равенства:
\ап\ ..., aiH-Q^ np" raSs1'
[а„; .. ., а0] -=-?-3- при «в^0 ип^О.
Если со— оо и последовательность подходящих дробей
Ц. д. A) сходится к пек-рому пределу I, то Ц. д. A)
наз. с х о д я щ е й с я, а число I — значением
этой Ц. д. Если же со<оо, т. е. Ц. д. конечна, то ее
значением наз. последнюю подходящую дробь после-
последовательности ее подходящих дробей.
Если все члены последовательностей B) и C), кро-
кроме, быть может, ар, положительные действительные
числа, а число а0 действительно, то последовательность
60, ^2> °4> • • • подходящих дробей четного порядка
Ц. д. A) возрастает, а последовательность 6\, 63, 8^, . . .
подходящих дробей нечетного порядка убывает. При
этом любая подходящая дробь четного порядка меньше
каждой подходящей дроби нечетного порядка (см. [5]).
Если а0, аг, а2, ... — такая последовательность
комплексных чисел, что
то выражение A) наз. разложением числа в
ц с и и у ю д р о б ь. Не всякая Ц. д. сходится и
значение Ц. д. не всегда равно числу, разложением
к-рого она является. Существует ряд признаков схо-
сходимости Ц. д. (см., напр., [3], [5J):
1) Пусть со— оо, все члены последовательностей B) н
C) действительные числа и а„>() для всех натураль-
натуральных п, начиная с нек-рого. Если для таких п выполня-
выполняется неравенство ап—16„|^1, то Ц. д. A) сходится.
2) Пусть со -- со, ц нес члены последовательности B),
начиная с; я,, положительны. Тогда Ц. д. последова-
последовательности B) сходится к том и только в том случае,
если ряд 'У л расходится (т е о р о, м а 3 е и д е л я).
Ц. д. последовательности B) наз. правильной,
если все ее члены (кроме, быть может, а0) — натураль-
натуральные числа, а0— целое число, а аО)^2, если 1<<со<а>.
Для любого действительного числа г существует един-
единственная правильная Ц. д., значение к-рой равно г.
Эта дробь конечна в том и только том случае, если число
г рационально (см. |1], [2], [4]). Алгоритм разложения
действительного числа г в правильную Ц. д. определя-
определяется следующими соотношениями:
ao=rj. «i~ > есл|1 ао -¦= '"'
l«l , если Oi Ф «
GC, а
где 1^] означает целую часть х.
Числа ап и ап, определяемые ии условий D), наз.
соответственно п о л н ы м и н е и о л н ы м ч а с т-
н ы м и порядка п разложения числа г в Ц. д.
В 1776 И. Ламберт (J. Lambert) нагнел разложение
tg х в цепную дробь:
А. Лежандр (A. Legendre) в предположении, что эта
Ц. д. сходится, показал, что ее значение для рациональ-
рациональных значений х иррационально. Принято считать, что
тем самым была доказана иррациональность числа я
(см. [7]).

Л. Эйлер (L. Euler, 1737) нашел, что
L(e -1) = 11 + 1,0 + 1/10 + 1/14 + ...
Действительное число г является иррациональным
корнем многочлена 2-й степени с целыми коэффициен-
коэффициентами тогда и только тогда, когда неполные частные
разложения числа г в Ц. д., начиная с нек-рого, перио-
периодически повторяются (теорема Э и л е р а — Л а г-
р а н ж а, см. [1], [4]). Неизвестны A984) разложения
в правильную Ц. д. алгебраич. чисел 3-й и более высо-
высоких степенен. Не доказано и предположение, что не-
неполные частные разложения |/2 в Ц. д. ограничены.
Правильные Ц. д.— весьма удобный аппарат для
приближения действитальных чисел рациональными.
Справедливы следующие утверждения:
1) Если б„ - ~ и о„ , 1 -= -—-1 — соседние подходя-
щие дроби разложения числа г в правильную Ц. д., то
I»1 —S,,| < | г — 6„ц|
I!
Г-.Г
Qn I ^ QnQn + . '
причем в последнем случае равенство имеет место лишь,
если г --би + 1.
2) Из двух соседних подходящих дробей разложе-
разложения числа г ь правильную Ц. д. хотя бы для одной из
них выполняется неравенство:
3) Если а и Ь — целые числа, 6>0, г — действитель-
действительное число и
то — подходящая дробь разложения числа г в пра-
правильную Ц. д.
4) Если б„ —-^ — подходящая дробь разложения
числа г в правильную Ц. д., то для любых целых а
и I), ал Ь > 0, б„ 9= -г И
-в„|
следует 6 > (>„ (теорема о наилучшем п р И б-
л п ж е нии).
Первые двадцать пять неполных частных разложения
числа я в правильную Ц. д. суть числа: 3, 7, 15, 1,
292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1.
Первые пять подходящих дробей разложения числа
я в правильную Ц. д. суть:
с, о е _^2 s _ 333 „ 3D5 с 103993
"°: ' °1 "~> 2=~ГГ§' ^ТТЗ' 4~ 331 02 '
Поэтому
3 5 5
Я-113
< 3-Ю-1?.
Существуют различные обобщения Ц. д. (см., напр., [9]).
Лит.: [I] В у х шт а б А. А., Теория чисел, 2 изд., М.,
1906; [21 Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М.—Л.,
1!K7; [3] Марков А. А., Избранные труды, М.—Л., 1948;
[4J Хинчин А. Я., Цепные дроби, 4 изд., М.—Л., 1978; L5]
Хованский А. Н., Приложение цепных дробей и их обоб-
обобщений к вопросам приближенного анализа, М., 1966; [6] Исто-
История математики, т. 3, М., 1972; [71 О квадуаг^е круга, пер.
с нем. 3 изд., М,— Л., 1936; [8] Perron О., Die Lehre von.
den Hettenbriirhen, 3 Aufl., l)d J—2, Stuttg-., 1954—57; [9]
Szekeres G., «Ami. Univ. sci., Sec. math.», 1970, v. 13,
p. 113 — 40. В. И. Нечаев.

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ — плоская трансцендентная кри-
кривая, форму к-рой принимает под действием силы тя-
тяжести однородная гибкая ыерас-
тяжимая тяжелая нить с закреп-
закрепленными концами (см. рис.).
Уравнение в декартовых прямо-
прямоугольных координатах:
Длина дуги, отсчитываемая от точки ,т=0:
Радиус кривизны:
- а su_i. _
Площадь, ограничиваемая дугой Ц. л., двумя её орди-
ординатами и осью абсцисс:
S =аУ у\ — а- — а V у\ — а-= a2 sh^-2 — a- sh ~ .
Если дугу Ц. л. вращать вокруг оси абсцисс, то
образуется катеноид.
Лит.: Ill Саве лов А. А., Плоские кривые, М., 19(;0.
Д. Д. Соколок.
ЦЕПНАЯ РЕКУРРЕНТНОСТЬ — наиболее широкое
из свойств «повторяемости движений», рассматриваемое
в топологической динамике. В оснонном случае топо-
топологич. потока {Sf} на метрич. компакте W с метри-
метрикой р точка w?W обладает свойством Ц. р., если для
любых е, Т > 0 имеется е-траекторпя, исходящая ли w
и снова возвращающаяся в w пере;! время 7"^ > Т. Под
е-траекторией понимается таг.ия параметризованная
кривая (возможно, разрывпая) ii'(t), 0</<7',., что
p(Szw{i), w(l-\-T)) ^ е при (Js?Ts?j, dss/:s?7'c 1
(«конечный отрезок с.-траекторпн близок к отрезку на-
настоящей траектории»). Имеется определение Ц. р. и для
более общего случая [1]. Кслн W является замкнутым
мноюобразием, то Ц. р. совпадает со свойством «сла-
«слабой неблуждаемости» (см. [3J), более непосредственно
отражающим влияние малых (в топологич. смысле)
возмущений системы на поведение ее траекторий. Вне
множества точек со свойством Ц. р. поведение системы
напоминает поведение градиентной динамической системы
(см. [1], [2]).
Лит.: [1) С о п 1 е у С h., Isolated invariant sels nrni the
Morse index, Providence, 1H78; 12] S li и )> M., «Asifj-isque»,
1978, t. 56; 13] Ш а р к о в с к и ii A. IJ., Добрый-
с к и й В. А., в кн.: Динамические системы и вопросы устойчи-
устойчивости решений дифференциальных уравнений. К., 1973,
с. 165—74, Д. В. Аносов.
ЦЕПНОЕ КОЛЬЦО левое -- кольцо (обычно
предполагаемое ассоциативным и с единицей), левые
идеалы к-рого образуют цепь. Другими словами, Н —
левое Ц. к., если R — левый ценной модуль над собой.
Всякое левое Ц. к. локально. Аналогично определяются
правые Ц. к. Коммутативные Ц. к. часто называют
кольцами нормирования. См. также
Дискретного нормирования кольцо. .и. а. Скирияков.
ЦЕПНОЙ МОДУЛЬ — модуль, совокупность всех
подмодулей к-рого образует цепь, т. с. линейно упоря-
упорядоченное множество: для этого достаточно, чтобы
цепью была совокупность всех циклич. подмодулей.
Л. А. Скорняков.
ЦЕПЬ — 1) то же, что линейно упорядоченное мно-
множество.
2) Ц.— формальная линейная комбинация симплек-
симплексов (триангуляции, симплициального множества и,
в частности, сингулярных симплексов топологич. про-
пространства) или клеток. В более общем смысле — зле-
мент группы цепей произвольного цепного комплекса
(как правило, свободного). Ц. с коэффициентами в груп-
группе G — элемент тензорного произведения цепного ком-
комплекса на группу G.

Лит..- [1] С т и н р о д Н., Эйленберг С, Основания
алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [2J X и л-
т о н П.-Д ж., У а й л и -С, Теория гомологии, пер. с англ., М.,
1966. А. Ф. Харшиладзе.
ЦЕРМЕЛО АКСИОМА — выбора аксиома для про-
произвольного (не обязательно дизъюнктного) семейства
множеств. Эту аксиому Э. Цермело сформулировал
в 1904 в виде следующего утверждения, названного им
принципом выбора [1]: для любого семейства
множества t можно выбрать из каждого его члена по
единственному представителю и объединить их всех
в одно множество,— и дал первое доказательство своей
теоремы о вполне упорядочении. В 190G Б. Рассел
(В. Russell) сформулировал аксиому выбора в мульти-
мультипликативной форме: если t есть дизъюнктное множе-
множество непустых множеств, то прямое произведение Ш
не пусто. В 1908 Э. Цермело доказал эквивалентность
мультипликативной формы аксиомы выбора ее обыч-
обычной формулировке.
Лит.: [1] Zermelo- Е., «Math. Ann.», 1904, Bd 59,
S. 514—16; [2l Френкель А., Б а р-Х и л л е л И., Осно-
Основания теории множеств, пер. с англ., М., 19ВИ.
В. Ш. Малихин.
ЦЕРМЕЛО ТЕОРЕМА: всякое множество можно
вполне упорядочить (см. Вполне упорядоченное множе-
множество). Впервые эту теорему доказал Э. Цермело (Е. Zei1-
tnelo, 1904), исходя из принципа выбора —одной из эк-
пивалентных форм аксиомы выбора (см. Цермело ак-
аксиома). Позднее выяснилось, что Ц. т. эквивалентна
аксиоме выбора (в системе обычных аксиом теории мно-
множеств), а значит, и многим другим высказываниям тео-
теоретико-множественного характера (см. Выбора аксиома).
В. II. Малыхин.
ЦИКЛ — цепь, граница к-рой равна нулю.
А. Ф. Харшиладзе.
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа с одним об-
образующим. Все Ц. г. абелевы. Всякая конечная группа
простого порядка — Ц. г. Существует по одной, с точ-
точностью до изоморфизма, Ц. г. каждого конечного по-
порядка п и одна бесконечная Ц. г., изоморфная адди-
аддитивной группе '? целых чисел. Конечная Ц. г. G поряд-
порядка п изоморфна аддитивной группе кольца вычетов
й(я) по модулю /г (а также группе €-(«¦) (комплексных)
корней степени я из i). В качестве образующего в этой
группе может быть взят любой элемент а порядка п.
Тогда
G =-{1-= а"--о", а, а2, ..., а"~1}.
О. А. Иванова*
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОЛУГРУППА •- то же, что мо-
моногенная полугруппа.
ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ—обобщенные коор-
координаты нек-рой физич. системы, не входящие явно в вы-
выражение характеристич. функции этой системы. При
использовании соответствующих уравнении движения
можно сразу получить для каждой Ц. к. соответствую-
соответствующий ей интеграл движения. Напр., если Лагранжа
функция L(qi, q,-, t), где q;—обобщенные координаты,
</,• — обобщенные скорости, «—время, не содержит
явно qj, то <ij- — Д. к. и /-е Лагранжа уравнение имеет
вид —(—^- )=0, что сразу дает интеграл движения
dt \3п./
—- — const.
0
Д. Д. Соколов.
ЦИКЛИЧЕСКИЙ МОДУЛЬ над кольцом R
(левый) — фактормодуль кольца R, рассматривае-
рассматриваемого как левый Л-модуль, по нек-рому левому идеалу.
В частности, циклическими являются неприводимые
модули. С Ц. м. связана проблема Кёте (см.
[4]): над какими кольцами каждый (или каждый конеч-
конечно порожденный) модуль изоморфен прямой сумме
Ц. м.? В классе коммутативных колец таковыми ока-

зываются артиновы кольца главных идеалов и толь-
только они (см. [1], [3]). Получено и полное описание ком-
коммутативных колец, над которыми в прямую сумму
Ц. м. разлагается каждый конечно порожденный
модуль [2].
Лит.: [1] Фейс К,, Алгебра: кольца, модули и катего-
категории, пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79; [2] В ran da I W.,
Commutative rings whose finitely generated modules decompose,
В.—Hdlb.—N. Y., 1979; [3] F a i t h С, в кн.: Ring Theory. Proc.
Antwerp. Gonf. 1977, N. Y.—Basel, 1978, p. 9—23; [41 К в t h e G.,
«Math. Z.», 1935, Bd 39, S. 31—44. Л. А. Скорняков.
ЦИКЛОИДА — плоская трансцендентная кривая;
траектория точки окружности, катящейся по прямой
линии (рис. 1).
А Параметрич.
уравнения:
x = rt— г sin i,
у =г — г cos t,
где г — радиус
окружности, t—
угол поворота
о ¦ о,
Рис. 1.
окружности. Уравнение в декартовых прямоугольных
координатах:
х = г arccos г-~ — У2гу — у2.
Ц. — периодич. кривая: период (базис) OOi — 2nr.
Точки О, Ok, Bknr, 0), &=±1, ...,—точки возврата.
Точки A, Ak, [B/с + 1)яг, 0]—т. н. вершины. Пло-
Площадь: 5ол,О,о = Зяг2, радиус кривизны: rfc = 4r sin (i/2).
13сли кривая описывается точкой, лежащей вне
(внутри) окружности, к-рая катится но прямой, то она
наз. удлинен-
удлиненной (рис. 2)
(укоро чен-
н о й, рис. 3)
ц и к л о и д ой,
или, иногда, тро-
трохоид о й.
Параметрические
уравнения:
x — rt—dsin t,
y = r — d cost,
где d — расстоя-
расстояние точки M от
центра катящейся
окружности.
Ц. является т а-
у т о х р о н н о й
т. р. такой, что
Рис. з.
(или изохронной) кривой,
время спуска материальной точки но этой кривой под
действием силы тяжести до определенной высоты не
зависит от исходного положения точки на кривой.
Д. Д. Соколов.
ЦИКЛОИДАЛЬНАЯ КРИВАЯ — плоская кри-
кривая, описываемая точкой, к-рая связана с окруж-
окружностью, катящейся по другой окружности.
Если производящая точка находится на окружности,
то Ц. к. наз. эпициклоидой или гипоциклоидой в зави-
зависимости от того, расположена ли катящаяся окруж-
окружность вне или внутри неподвижной окружности. Если
же точка расположена вне или внутри катящейся ок-
окружности, то Ц. к. наз. трохоидой.
Вид Ц. к. зависит от соотношения между радиусами
окружностей. Так, если отношение радиусов — число
рациональное, то Ц. к. есть замкнутая алгебраич. кри-
кривая, если же это отношение — число иррациональное,
то Ц. к. не замкнута. Среди эпициклоид наиболее из-
известна кардиоида, среди гипоциклоид — астроида и
Штейнера кривая.

Параметрпч. уравнения Ц. к, можно записать в комп-
комплексном виде:
Это уравнение является частным случаем уравнения
z=- h+ /,рю'''+ l,e^u + ...-r lnemntl,
описывающего циклоиды высших поряд-
порядков.
Лит.: [1] Савелов А. А., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
ЦИЛИНДР — тело, ограниченное цилиндрической
поверхностью и двумя параллельными плоскостями,
пересекающими её. Части плоскостей, лежащие внутри
цилиндрич. поверхности, наз. основаниями
Ц. Часть цилиндрич. поверхности, заключенная между
основаниями, наз. боковой поверхностью
Ц. Если основания Ц. суть круги, то Ц. называется
круговым. Если образующие боковой поверхности
перпендикулярны плоскостям оснований, то Ц. назы-
называется прямым. Осью прямого кругового Ц.
называется прямая, проходящая через центры осно-
оснований. Объем прямого кругового Д. равен n.R2h, где
R — радиус основания, It—высота Ц.; площадь боко-
боковой поверхности равна 2nrh. а. Б. Иванов.
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ КОНСТРУКЦИЯ — сопостав-
сопоставление с каждым непрерывным отображением топологич.
пространств: /: X -»- У топологич. пространства /уОУ,
к-рое получается из топологич. суммы (несвязного
объединения) Хх[0, 1] ф У отождествлением гХ{1}=
— f(x)t x?X. Пространство If наз. цилиндром
отображения/. Подпространство У является дефор-
мациошшм ретрактом пространства If. Вложение i: X=
— Xx{0}cIf обладает тем свойством, что композиция
кп: X -»• У совпадает с / (здесь я — естественная ре-
ретракция If на У). Отображение я: Ij~>Y —гомотопич.
эквивалентность, и с гомотопич. точки зрения каждое
непрерывное отображение можно считать вложением и
даже корасслоением. Аналогичное утверждение имеет
место и для Серра расслоения. Для любого непрерыв-
непрерывного отображения /: X ~> У определены с точностью
до гомотоппч. эквивалентности слой и кослой, причем
кослой /имеет гомотопич. тип надстройки над слоем/.
Лит.: [1] С п е п ь е р Э., Алгебраическая топология, пер.
с англ., М., 1971; [2] МошерР. Э., ТангораМ. К.,
Когомологические операции и их приложения в теории гомото-
иии, пер. с англ., М., 1970. Л. Ф. Харшиладзе.
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ МЕРА — 1) Ц. м. в теории
меры в топологических векторных про-
пространствах — конечно аддитивная мера и, опреде-
определенная на алгебре % (Е) ц п л и н д р и ч е с к и х мно-
множеств в топологическом векторном пространстве Е,
т. о. множеств вида
где В?$В (R") — борелевская а-алгебра подмножеств
пространства R", и —1, 2, ..., фь ..., ф„ — линейные
функционалы на Е, a /'(pi, ..., ф„ — отображение
При этом предполагается, что сужение меры ц на лю-
любую а подалгебру S84h фд (Е) CZ 3( (Е) множеств ви-
вида (*), где набор функционалов (фь ..., ф„) фиксиро-
фиксирован, является а-аддитивнгш мерой на ЗЗф( ; фд (дру-
(другое назвашн—п р о д м е р а, к в а з и м е р а).
2) Ц. м. в теории функций многих дейст-
действительных переменных-- специальный случай
Хаусдорфа меры, определенной на боролевской а-ал-
гебре 5g(Rn + 1) пространства Rn + 1 с помощью фор-
формулы
lim inl \^\
е->-0, {А}, (Наш А <е

где нижняя грань борется по всем коночным пли счет-
счетным покрытиям множества /??SP(IRn) цилиндрами А
с шаровыми основаниями и осями, параллельными
(n-f-l)-ii координатной оси в IRn + I; при атом I (А) рав-
равно n-мррному объему осевого сечения цилиндра А.
В случае когда В является графиком непрерывной
функции / от п переменных, определенной в области
. . ., Xn), X,
совпадает с т. н. «-мерной вариацией функции /.
Лит.: [1] Гвльфапд И. М., В и л е и к и u H. Я., Не-
Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные
гильбертовы пространства, М., 1961; [2] Вит у ш к и н А. Г.,
О многомерных вариациях, М., 1955. Р. А. Минлос.
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ц и
л и н д р,— поверхность, образуемая движением пря-
прямой (о б р а з у ю щ е и), перемещающейся параллель-
параллельно самой себе и пересекающей данную линию (направ-
(направляющую).
Направляющей цилиндрич. поверхности второго по-
порядка служит линия второго порядка. В зависимости
от вида направляющей различают эллиптически и
ц и л и н д р, канонич. уравнение к-рого
м н и м ы и элл и п т и ч е с к и и цилиндр:
а2 ~ Ьг ~~ '
г и и е г) б о л и ч е с к и и ц и л и н д р:
¦V2 У2 ,
параболически!! ц и л и н д р:
Если направляющая — распадающаяся линия второго
порядка, то Ц. п. есть пара плоскостей (пересекающих-
(пересекающихся, параллельных или совпадающих, действительных
или мнимых — в зависимости от соответствующего
свойства направляющей).
Цилиндрической поверхностью
в-го порядка наз. алгебраич. поверхность, зада-
задаваемая в нек-рой аффинной системе координат х, у, z
уравнением, не содержащим одну иа координат (на-
(например, z):
f(x, у)=,0. (¦¦¦,)
Кривая /1-го порядка, определяемая уравнением (*),
иногда наз. основанием Ц. п. а. К. Иванов.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ—числа р, ср
и z, связанные с прямоугольными декартовыми коор-
координатами х, у и z формулами:
z=--pcoscp, y
где 0<р<оо, 0<ф<2я,—оо<г<ос.
Координатные поверхности (см.рис.):
круговые цилиндры (р--const), полу-
полуплоскости (cp=const), плоскости
(z —const). Система Ц. к.— ортого-
ортогональная.
Коэффициенты Ламе:
Элемент площади поверхности:
3 + (dp dzJ + p2(dq> dzJ.
Элемент объема:
dV — p dp d(f dz.

Векторные дифференциальные операции:
р dip дг '
даЦ> i 9ap
1 да z д"ц> ± 8"р
~d|>3 '" () flp ' i>- Эф2 аг2'
Обобщенными Ц. к. наз. числа u. v и ю,
связанные с декартовглыи прямоугольными координа-
координатами х, у и z формулами:
ж —- ан cos у, г/ —^ Ъи sin у, z---¦ cw,
гдеО<и<оо, 0<г;<2я, — оо <к;<оо , а>0, й>0, с>0,
афЬ. Координатные поверхности: эллиптические
цилиндры («=const), полуплоскости (t;=const) и пло-
плоскости (»=COnSt). Д. Д. Соколов.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, б оссрлр и и
функции,— решения Zv дифференциального урав-
уравнения Бесселя
гдо v — произвольное действительное или комплексное
число (см. Бесселя уравнение).
Цилиндрические функции произвольного порядка.
Бели v не является целым числом, то общее решение
уравнения A) имеет вид
где с,- и с2 — постоянные, a Jv и /_v—т. н. Ц. ф.
1-го рода, пли Бесселя функции, Для них справед-
справедливо разложение
1'яд в правой части для z~vJv (z) сходится абсолютно
и равномерно при всех |г|<Д, |v|<Ar, где Я и N —
произвольные положительные числа. Функции /v- (г)
II J-v (г) — аналитические, с особыми точками z = 0 и
z --оо; производные Jv (з) и /-v (z) удовлетворяют сле-
следующему тождеству:
z[/v(Z)/'_v(z)-^v(z;/;(.)] =_Цр=. B)
Если же v — целое, то Jv
и их линейная комбинация уже не является общим
решением уравнения A). Поэтому, наряду с Ц. ф. 1-го
рода, вводят Ц. ф. 2-го рода Nv(z) (или Неймана
функции, функции В о б ер а):
cos w -¦/~v
f другое обозначение Yv(z)). При помощи этих функций
otiiniH1 решение уравнения A) может быть записано
II виде
Zv —c1Jv(z)-}-c2Nv(z).
Важны для приложений и другие решения уравне-
Ш1Я A) — Ц. ф. 3-го рода (или Ганкеля функции).
Лх обозначают через Н1^ (z) и Н^у (z) и, по определе-
определению, полагают

Справедливы тождества
D)
и соотношения
Для действительных z-—x и v функции Ганкеля яв-
являются комплексно сопряженными решениями уравне-
уравнения A). При этом функции Jv{z) дают действительную
часть, а функции Л\-(х) — мнимую часть функции
Ганкеля.
Ц. ф. 1-го. 2-го и 3-го рода Zv удовлетворяют реку])
рентным формулам
Zv-i(z)-i-Zvu(z) = 7-Zv(z), \
Каждая пара функции
Jv{z), J-V(z); JvC), yvB); Я^М), tf
образует (при нецелом v) фундаментальную систему
решении уравнения A).
Модифицированными Ц. ф. наз. Ц. ф.
мнимого аргумента
| e-?ra'-/v (е'^/Ч), — д < argz<n/2,
и Маь-доналъЯа функции:
Эти функции являются решениями дифференциального
уравнения
и удовлетворяют рокуррентнылг форм5;лам
A'v-i (z) —A"v4i(z) = — y A'v(z), j
A'_v(z)=A:v(z). G)
Цилиндрические функции целых п полуцелых по-
порядков. Кслп v = и — ц(>лое число, то ¦1пG) можно оп-
определить с помощью формулы Я к о б и — Ангора
тО -4) bs;:-<-'»<*>.
exp {± izsine}=yn(zL-
+ 2^Г=1 {¦/2«(z)cos2ree± гУа„. L B) sin B«
Справедливы равенства
и ^^ « ш = 0 2«+ !«m! (m + n)! '
Функция /„ (z) есть целая трансцендентная функция
аргумента z; для алгебраического 2 = а, а ^ 0, /„(г)
есть трансцендентное число п Jт (а) т= /п (а) при т Ф п.

В качество иторого линейно незавигидюгп с Jn (с) реше-
решения уравнения A) обычно берут функцию
Nn(z)=\\m __i_ [Jv(
i
/ (-1) f * у ^
1 (
где c=0,577215...— постоянная Эйлера. Если в одной
из конечных сумм верхний индекс суммирования мень-
меньше нижнего, то соответству югца я сумма получает зна-
значение 0. Справедливо равенство
Y_n(z)=(-l)»Yn(z).
Ц. ф. тогда и только тогда превращаются в элемен-
элементарные функции, когда индекс v принимает значение
v л-j-V.j, п ---0, 1, 2, ... (сферические ф у н к-
ц и и f> ее с е л я, пли Ц. ф. полу целого п о-
р я д к а). Справедливы формулы (ге=0, 1, 2, ...):
в частности J iri(z) = y -^ sin z\
\ z dz J 2
fi частности /_ i/a (;)= l/ ~cosz;
ПЧп-ш (z) =i (-1)" H%lm (г),
H%^n [z)=~ i (-1)" BtUrAz),
Интегральные представления цилиндрических функ-
функций. Для v=re=0, 1, 2, ... имеется интеграль-
интегральное представление Бесселя
¦К (г) = TJ- 3 о cos ^z sln ф ~га
-~ ]0*'1" («sirup ~иф)
Для Н ( 0-f-—'] > 0 и R {:.) > 0 имеется интег-
р а л F, и о е и р с д с т а вленио 11 у а с с о н а
Jv (z) = ~—-—- ( " " cos (г sin ф) cosav ф dq>,
/vB) =
лГ ( v 4

v 'z' "
Xexp [(—I)*-' j(z —vcp+^-ф)—2zctg(p]<*p,
fc = l, 2, ...,
Кроме этих представлений, существует много других
интегральных представлений, в частности в виде кон-
контурных интегралов (см. [2], [4], [51).
Асимптотическое поведение цилиндрических функций.
Для |z|<^l, v=n+T)>0, 0<т|<1. справедливо
J-v(z)~ (—1)«(V-1)!
Для действительных г=х имеют место
Л.<*)-¦! (НИ-с), A'vW ^-51^21 (
Для г^>1, |z|^>v, имеют место следующие оценки
v, т = i символы Ганкеля :
y 5^ {cos (г— 4-
in (г —-хя —?- я j X
sin
—л < argz < л;
=y ^ {sin (z-|vn--|-
+ COS (z Vn — — Л ) X
у, 2m+l)
—я < arg z < л;
e' Й-ГЛ/2-Я/4) X
—я < arg z < 2л;
-nii) x
—2я < argz < л;
ХГ
-|?<argz<f ;

Для v=re+V2, re = O, 1, 2, ... , ряды (9) и A0) обры-
обрываются. Функции Ганкеля являются единственными
Ц. ф., к-рые стремятся к нулю для комплексных значен
ний переменного z при |z| —>- оо (и в этом их особое зна-
значение для приложений):
lim Я'1'(г)=0,
|г|-сс
lim #«2>(г) = 0,
Для больших значений |z| и |v| применимы асимптотич.
ряды специальных типов (см. [1], [2], [3], 15]).
Нули цилиндрических функций. Нули, произвольной
Ц. ф. являются простыми нулями за исключением
г==0. Если а, Ь, \ — действительные, то между двумя
действительными нулями /v(z) лежит один действи-
действительный нуль a./v (г)-|-WVV (z). При действительном
v /v(z) имеет бесконечно много действительных нулей;
для v >—1 все нули /v(z) действительны; если 0<
< /v, 1 < /v, 2 < ¦ • •—положительные нули Jv{z), то
О < /v, 1 < /v+i, i < /v, a < /v+i, a < /v, з < ¦ • • -
Для v > 0 справедливо ;v, i > 0; также для наимень-
наименьшего положительного нуля функции Jv (г) имеет место
/v, 1 > 0. Пары функций Jn(z), /„ + /я(г); /п+1/г(г),
/ (z), й = 0, 1, 2, ..., «=1, 2, 3, ..., не име-
1
ют, кроме z = (J, общих нулей. Если
v= —B/7 + 1) — т), 0<т]<1, га = 0, 1, 2, ... ,
то Jv(z) имеет ровно 4/*+ 2 комплексных нулей, из
к-рых два — чисто мнимые; если v = —2я—п, 0 < i| < 1,
и ~i, 2, 3, . . ., то Jv(z) имеет ровно 4д комплексных
нулей с отлгтчной от нуля действительной частью.
Теоремы сложения и разложения в ряды по цилинд-
цилиндрическим функциям. Справедливы следующие теоремы
сложения:
cosm9
T. {v + m)jW^v^ coge
x—jc^ii^—Си(совв)'
C0S ml
., Kv+ m t^1'») 'v-i m
X ^771
где ______
-fi = K rf+ra — 2r1r2cos8, snit|) —-^-sin 0,
Со(ж)=О — ультрасферические многочлены. При разло-
разложении Ц. ф. используются Ломмеля многочлены,
Неймана ряды, Фурье—Бесселя ряды, Дирихле ряды.

С Ц. ф. связаны Ангера функция, Струве функции,
Ломмеля функции, Кельвина функции, дйри функции.
Ц. ф. можно определить как предельные значения
сферич. функции следующим образом:
cos-M=/0(z),
lim птРп ( cos — )=Jm(x), 0<х<л;
lim п"
П -» оо
Qm / h _*\ =
При этом асимптотич. представления сферич. функций
связаны с Ц. ф., и наоборот, как, напр., в формуле
X и л ь б а:
и в разложениях Макдональда, Ватсона, Трикоми и др.
(см. [Ц, [21, 141).
Вычисление значений Ц. ф. на ЭВМ. Для вычислений
значений функций Ja{x), J^x), N0{x), Nt(x), I0(x), It(x),
K0(x), K^x) удобны аппроксимации многочленами и
рациональными функциями (см. [5]). О разложениях
по многочленам Чебышева см. 16]. Для вычисления
функций больших целых порядков, особенно на ЭВМ,
применяются рекуррентные соотношения E) —G) (см.
Сведения об имеющихся таблицах Ц. ф. приводятся
в [7], f8|, [9].
Лит.: [11 В а т с о н Д ж. Н., Теория бесселевых функций,
пер. с англ., ч. 1, М., 1949; М Б с й т м с н Г., Э ji д к и и А.,
Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции
параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер.
с англ., М., 1074; [3] Л е б е д с в Н. Н., Специальные функции
и их приложения, 2 изд., М.— Л., 1963; ЫГрадШТсйп И. С,
Рыжик 11. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произ-
произведений, Г) над., М., 1971; 151 AbumowitiM., S t e-
gun I. A. ted.I, Handbook of mathematical functions with for-
formulas graphs and mathematical tables, Wash., 1984, ch. 0—11;
L6J С 1 с в i li e w Г,, W., Chebyshev series for mathematical
functions, L., 1962 (Mathematical tables, v. 5); L7] Л с 6 c-
д е в А. В.. Федорова Р. М., Справочник по математиче-
математическим таблицам, М., 1956; [8] Бурунова Н. М., Справоч-
Справочник по математическим таблицам.' Дополнение JMa I, M., 1959;
f9] Р 1 е t с h е г А., М i 1 1 е г J. С. P., R о s e n Ь с a d L.,
Conine L. J,, An index of mathematical tables, 2 ed., v. 1—2,
Oxf., 1962.
Таблицы: Чистова Э. А., Таблицы функций Бесселя
от действительного аргумента и интегралов от них, М., 1958;
Кармазина Л. Н., Чистова Э. А., Таблицы функций
Бесселя от мнимого аргумента и интегралов от них, М., 1958;
Таблицы функций Бесселя дробного индекса, пер. с англ.,
т. 1—2, М., 1959; Таблицы функций Бесселя целого положитель-
положительного индекса, пер. с англ., М., 1960; Таблицы сферических функ-
функций Бесселя, пер. с англ., т. 1--2, М., 1963; Таблицы функций
Бесселя J0(z) и .1,B) в комплексной области, пер. с англ., М.,
1963; Таблицы функций Бесселя Г0(г) и У}(г) в комплексной
области, пер. с англ., М., 1963; Таблицы нулей функций Бесселя,
пер. с англ., М., 1967. Л. Н. Кармазинп, А. Я. Прудников.
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО - множество S
в векторном пространстве L над полом действительных
чисел К, задаваемое уравнением
Fn) -
€ Л
где F?L*, i-i, 2, ...—линейные функции, опреде-
определенные на L, a /iczR" —борелевское множество в п-
мерном пространстве Rn, «= 1, 2, ... .
Совокупность всех Ц. м. в L образует алгебру мно-
множеств, наз. цилиндрической а л г е б р о й.
Наименьшая о-алгебра подмножеств L, содержащая
Ц. м., наз. ц и л и н д р и ч е с к о и о-а л г е б р о и.
В случае когда пространство L является топологи-
топологическим векторным пространством, рассматриваются
лишь такие Ц. м. Л'(А. F^ .,._ yKj, к-рыо определяются
наборами {fj, ... , Рп} непрерывных линейных функ-
функций. При этом под цилиндрич. алгеброй и а-алгеброп

подразумеваются соответствующие совокупности под-
подмножеств L, порожденные именно такими Ц. м. В важ-
важном частном случае, когда пространство L является то-
топологически сопряженным к нек-рому топологическому
векторному пространству М : L= M\ Ц. м. в L опреде-
определяются с помощью *-слабо непрерывных линейных
функций на L, т. е. функций вида
где ф — произвольный элемент М. р. А. Минлос.
ЦИЛИНДРОИД — развертывающаяся поверхность,
множество точек пересечения образующих к-рой с каж-
каждой из двух параллельных плоскостей пг и я2 является
простой замкнутой линией. Ц. наз. замкнутым, если он
ограничен двумя плоскими областями, получающимися
пересечением с ним плоскостей ях и я2. И. X. Сабитов.
ЦИРКУЛЯЦИЯ векторного поля а (г) вдоль замк-
замкнутой кривой L — интеграл вида
a dr;
в координатной форме Ц. равна
(ах
az dz).
Работа, совершаемая силами силового поля п{г) при
перемещении пробного тела (единичной массы, заряда
и т. д.) вдоль кривой L, равна Ц. поля вдоль L. См.
Стокса теорема. БСЭ-3.
ЦИССОИДА — плоская алгебрапч. кривая 3-го по-
порядка, уравнение к-рой в декартовых прямоугольных
координатах:
.V3
' 2а-х '¦
параметрич. уравнения:
--- l*v 1 ' •> - t (t' + i) ¦
Ц. симметрична относительно оси абсцисс (рис.).
Начало координат — точка возврата. Асимптота: х=
— 2а. Площадь между кривой и
асимптотой: S=3na2.
Ц. часто наз. ц и с с о и д о н
Д и о к леса — по имени др.-
греч. математика Диоклоса C в.
до н. ;).), к-рый рассматривал ее
в связи с решением задачи об о
удвоении куба.
Ц. - множество точек М, для
к-рых ОМ—СВ, где В и С - точ-
точки пересечения прямой ОМ с ок-
окружностью и касательной А В к ок-
окружности в точке А , диаметраль-
диаметрально противоположной точке О. вели в этом построении
заменить окружность и прямую кривыми pi=/i(<p) и
р2—/а(ф), то получающаяся кривая р—[Ч—Рг наз-
ц и с с о и д а л ь н о и к р и в о й, пли ц и с с о и-
д о й к р и в ы х (заданных).
Лит.: Ill Г, а и с л и в А. А., Плоские кривые, М., 1960;
[2] С м и г о р ж с в с к и И А. С, С, т о л о в а К. С, Спра-
Справочник по теории плоских кривых третьего порядка, М., 1961.
Д. Д. Соколов.
ЦИФРЫ - условные знаки для обозначения чисел.
Наиболее ранней и вместе с тем примитивной является
словесная запись чисел, в'отдольных случаях сохраняв-
сохранявшаяся довольно долго (напр., нек-рые математики Ср.
Азии и 1>л. Востока систематически употребляли сло-
словесную запись чисел в 10 в. и даже позже). С развитием
общественно-хоз. жизни народов возникла потребность
в создании более совершенных, чем словесная заиись,
обозначений чисел и в разработке принципов записи
чисел — систем счисления.

Древнейшие известные нам Ц.— цифры вавилонян
и египтян. Вавилонские Ц. B-е тыс. до н. д.— нач. н. э.)
представляют собой клинописные знаки для чисел
1, 10, 100 (или только для 1 и 10), все остальные нату-
натуральные числа записываются посредством их соедине-
соединения. В египетской иероглифич. нумерации (возникнове-
(возникновение ее относится к 3000—2500 до н. э.) существовали
отдельные знаки для обозначения единиц десятичных
разрядов (вплоть до 107).
Нумерациями типа египетской иероглифической яв-
являются финикийская, сирийская, греческая аттиче-
аттическая. Возникновение аттической нумерации относится
к 6 в. до н. э.; нумерация употреблялась в Аттике до
1 в. н. э., хотя в других греч. землях она была задолго
до этого вытеснена более удобной алфавитной ионий-
ионийской нумерацией, в к-рой единицы, десятки и сотни
обозначались буквами греч. алфавита, все остальные
числа до 999 — их соединением (первые записи чисел
в этой нумерации относятся к 5 в. до н. э.). Алфавитное
обозначение чисел существовало также и у др. народов,
напр, у арабов, сирийцев, евреев, грузин, армян. Ста-
Старинная русская нумерация (возникшая ок. 10 в. и
встречавшаяся до 16 в.) также была алфавитной (см.
Славянские цифры). Наиболее долговечной из древней-
древнейших цифровых систем оказалась римская нумерация,
возникшая у этрусков ок. 500 до н. э.; она употреб-
употребляется иногда и в наст, время (см. Римские цифры).
Прообразы совр. Ц. (включая нуль) появились в
Индии, вероятно, не позднее 5 в. н. э. Удобство записи
чисел при помощи этих Ц. в десятичной позиционной
системе счисления обусловило их распространение из

Индии в др. страны. В Европу индийские Ц. были за-
занесены в 10—13 вв. арабами (отсюда и сохранившееся
поныне их др. название — «арабские» Ц.) и получили
всеобщее распространение со 2-й пол. 15 в. Начертание
индийских Ц. претерпело со временем ряд крупных из-
изменений; ранняя их история плохо изучена.
Лит. см. при ст. Счисление. В. И. Битюцков.
ЦОКОЛЬ модуля — сумма всех его неприводи-
неприводимых подмодулей. При их отсутствии Ц. считается ну-
нулевым. В соответствии с данным определением в кольце
можно рассматривать его левый и правый
Ц. Каждый из них оказывается двусторонним идеалом,
инвариантным относительно всех эндоморфизмов коль-
кольца. Ц. представляется в виде прямой суммы неприводи-
неприводимых модулей. Вполне приводимые модули могут быть
охарактеризованы как модули, совпадающие со сво-
своим Ц. Л. А. Скорняков.
ЦОРНА ЛЕММА, принцип максимально-
максимальности: если в частично упорядоченном множестве X
всякое линейно упорядоченное подмножество А огра-
ограничено сверху, то X содержит максимальный элемент.
Элемент х0 наз. верхней границей подмноже-
подмножества АаХ, если х^.х0 для всех х?А. Если верхняя
граница для А существует, то множество А наз. огра-
ограниченным сверху. Элемент х0?X наз. макси-
максимальным в X, если не существует элемента х?Х,
х Ф х0, удовлетворяющего условию хо^.х.
Ц. л. была сформулирована и доказана М. Цорном
[1]. Она эквивалентна выбора аксиоме.
Лит.: [1] Z о г n M., «Bull. Amer. Math. Sue», 1935,v: 41,
p. 667—70; [2] К е л л я Д ж., Общая топологии, пер. с англ,,
2 изд., М., 1981. Б. А. Ефимов.

ЧАПЛЫГИНА МЕТОД — метод приближенного ре-
решения задачи Коши для системы обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений 1-го порядка, состоящий в од-
одновременном построении двух семейств последователь-
последовательных приближении к ее решению. Напр., в случае задачи
Коши для одного уравнения 1-го порядка
y(zt) y<>,
# = {(•*, У)\\х — хо]<а, \у — г/о К 6}
одно из указанных семейств приближает решение с недо-
недостатком, а другое — с избытком.
В основе метода лежит Чаплыгина теорема о диффе-
дифференциальных неравенствах. Пусть у(х)— решение
задачи A) п пусть кривые у=и(х) и г/=г(ж) целиком
лежат в прямоугольнике R, проходят через точку
(х0, у0) п при х>х0 удовлетворяют неравенствам
и {х)—((х, и [х)) < 0, v' {x)—f(x, v (х)) > 0.
Тогда при д\>г0 справедливы неравенства
и(х) < у(х) < v(x). ('I)
Функцтш и(х) и и (.г), удовлетворяющие условиям тео-
теоремы Чаплыгина, дают двустороннюю оценку для ре
шения задачи A).
Если найдена пара начальных приближении ио(.г)
щ(х), удовлетворяющих условиям B), то Ч.м. позво-
позволяет построить кару и^.с), ь\(х) более точных прибли-
приближении, удовлетворяющих условиям
«0 (X) < !/! (X) < у (X) < VX (X) < У„ (X). (.'))
П случае когда — сохраняет знак в области II, пара
Wj(.r), i\(x) может быть получена путем решения двух
линс1шых дифференциальных уравнений с начальным
условием у(я-0) = у0. Если, напр., — >0 в II, то любая
кривая, но к-poii плоскость i'=const пересекает по-
поверхность z—j(.r, //), выпукла вниз, и каждая ее дуга
лежит ниже хорды и выше касательной, проведенных
из нок-роп ее точки. Ксли при пек-ром x=const уравне-
уравнение касательной к кривой z=f(x, у) в точке у = ио(х):
z=^k(x)y + p(x),
где
k(x)=j'v(x, ио{х)), р{х)=--)(х, ип(х))—и„[х)к(.г),
а уравнение хорды, проходяще!! через точки J/ —«о(')
и 1)=1!0(х) той же кривой
z--=l(x)y + q(x),
где
^ v,, (х)-и„ (х) '
q (x)=f (х, и„ [х)) — ио(х) I (х),
то для этого значения х имеет место неравенство
k(.r)y + p{x) <f(x, у) < 1(х)у + д(х). D)
Условия D) выполняются равномерно no x в области /?;
решение у = и.1(х) задачи Коши у'=к(х)у-{-р (х), у(хо)=
=у0 и решение y=v1(x) задачи Коши у'=1(х)у-{-р(х),

у{хо)=у„ удовлетворяют условию B). Можно показать,
что они удовлетворяют п условию C). Зная пару их(х),
ь\(х), можно тем жо способом построить следующую пару
и2(х), v2(x) и т. д. Процесс очень быстро сходится:
у„-«„<С/22\ E)
где константа с не зависит ни от х, ни от п.
Второй способ построения уточненных приближений
ип(х), vn(x) по известным ип-\(х), vn_1(x) не требует
сохранения знака -g-^- в R. В этом способе
Un(x) =(/„_] (х)-\-
e-*<*
-t)[r'n_l(l)-f(t,i>n-1(t))]dt,
где А: — Липшица константа функции /(.с, !/) в R.
И в этом случае пары функций ип(х), vn (,<;) и г<„_1 (ж),
"и-i (ж) удовлетворяют условию C) равномерно по х,
но скорость сходимости меньше, чем в формуле E).
Основная трудность в применении Ч. м. состоит
в построении начальных приближений ип (х), v0 (x).
Метод предложен С. А. Чаплыгиным в 1915).
Лит.: [1] Чап л ы i- и н С. А., Новый метод приближенно-
приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, М,—Л., 1950;
[2] Л у з и и Н. II., О методе приближенного интегрирования
академика С. А. Чаплыгина, «Тр. ЦАГИ», 1932, в. 141, с. 1—32;
[3] М и х л и п С. Г-, С м о л и ц к и й X. Л., Приближенные
методы решения дифференциальных и интегральных уравне-
уравнений, М., 1965, с. 22—26. С. С. Гайсарян.
ЧАПЛЫГИНА ТЕОРЕМА о дифференциальном не-
неравенстве: если в дифференциальном неравенстве
L [у] ^ уш) + al(x)ifm-»+...+am(x)y>f (x) (*)
г.се я,- и / суммируемы на [х0, х^, то существует такое
х*?(х0, xj\, но зависящее от /, что у (х) > z (x), х0 <
< х =sj х*, где
L[z]--¦¦-¦ f(x), z(xn)=,j(xa) 2(«-i>(aro)-j/(«-i>(a;o).
При этом
где G(j\ 5) — соответствующая функция К о ш и,
т. с. peuienne уравнения L fG]=O, ^^.x^x^ удовлетво-
ряющео начальным условиям
Таким образом, при т — 1, а также для неравенства
.'/"—!/>/(ж) получается .г* = .г1, тогда как для неравен-
неравенства ц"+У>/(•'-') получают
ж*--= mill {.r,, хо--\-л].
Аналогичные утверждения справедливы: для нестро-
нестрогих неравенств; для сравнения i/l)(x) с zl'>(.r), i=\, ...
... , in—1; для начальных условий вида
у (.г0) -,3 2 (*„), ..., (/<"-1»(^o);--=2<«-i)(.r());
для решения неравенства (*) при ^<x0-

Теорема была получена С. А. Чаплыгиным в 1919.
Лит.: [1] М а м е д о в Я. Д., А ш и р о в С, А т д а е в С,
Теоремы о неравенствах, Аш., 1980.
См. также пит. при статье Дифференциальное неравенство.
А. Д. Мышкис.
ЧАСТИЦ МЕТОД — метод численного эксперимента
для моделирования движения сплошных или дискрет-
дискретных сред. Многие Ч. м. используют эйлерово-лагранже-
во или лагранжево описание движущейся среды. Для
решения системы уравнений сжимаемой среды наиболее
распространен крупных частиц метод (см. [1]), приме-
применяемый при исследовании одно- и многофазных гомо-
и гетерогенных потоков газа и плазмы. К Ч. м. отно-
относится метод свободных точек (см. [1], [2]),
в к-ром отсутствует фиксированный шаблон. Одним из
первых несовершенных Ч. м. является метод час-
частиц в ячейках (метод PIC, см. [3]). В нем исполь-
используются две расчетные сетки: эйлерова и лагранжева.
Из-за дискретности представления сплошной среды
этому методу присущи значительные флуктуации ре-
решений. Для уменьшения флуктуации используется ме-
методика частиц-слоев в пространственно-одномерном
случае. Методу PIC близок метод FLIC (см. |4]), обла-
обладающий плохими диссипативными свойствами. При
расчете несжимаемых сред используются метод MAC
(см. [5]) и метод SMAC (см. [6]), где частицы играют роль
маркеров для выделения поверхностей раздела сред.
Ч. м. получили распространение при описании турбу-
турбулентности, в динамике разреженных газов, при решении
задач электродинамики и др. (см. [1], [7]).
Лит.: Ill Б е л о ц е р к о в с к и й О. М., Дан ы-
дов Ю. М., Метод крупных частиц в газовой динамике, М.,
1982; 12] Дьяченко В. Ф., «Ж. вычисл. матем. и матем.
физ.», 1965, т. 5, № 4, с. 680—88; [3] Е v a n s M. W.,
Наг low F. H., The particle-in-cell method for hidro-
dynamic calculations, Los Alamos, 195*7; [4] Gentry R. A.,
M a r t i n R. E., DaljB.J., «J. Сотр. Phys.», 1966, v. 1,
№ 1, P. 87—118; [5] The MAC-method, Los Alamos, 1966; [6]
A m s d e n A. A., Harlow F. H., The SMAC-method: a
numerical technique for calculating incompessible fluid flows,
Los Alamos, 1970; Г7] Б с p e з и и JO. А., Вшивков В. А.,
Метод частиц и динамике разреженной плазмы, Новосиб.,
1980. Ю. М. Давыдов.
ЧАСТИЧНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — инцидентностная
структура S=(P, L, I), в к-рой отношение инцидент-
инцидентности между точками и прямыми симметрично и удов-
удовлетворяет следующим аксиомам:
1) каждая точка инцидентна
различные точки инцидентны не более чем одной пря-
прямой;
2) каждая прямая инцидентна к точкам, /c^s2;
3) через каждую точку, не инцидентную прямой I,
проходит ровно t^i прямых, пересекающих /.
Если Ч. г. состоит из v точек и Ь прямых, то
v = kUjc—\)(r — \)-\-tyt и b = r[(k—l)(r — l)-\-t\!t,
а необходимыми условиями существования такой Ч. г.
являются, делимость (к—\.)(г—1)кг на t(k-{-r~t—\),
к(к—1)(г—1) на t и r(fc—1)(г—1) на t (см. B]).
Ч. г. можно разделить на четыре класса:
а) Ч. г. с t=k или (двойственно) t=r. Геометрии этого
типа — то же самое, что 2—(и, к, 1)-схема или 2 —(с, г,
1)-схема (см. Блок-схема);
б) Ч. г. с t=k—1 или (двойственно) t--r — 1. В этом
случае Ч. г.— то же самое, что и сеть порядка к и дефек-
дефекта 1 или к—г+1;
в) Ч. г. с <=1, наз. обобщенными чет ы-
рехугольниками;
г) Ч. г. С l«<min(fc—1, г—1). Все известные Ч. г.
этого типа строятся с помощью максимальных дуг в
проективных плоскостях (см., напр., C)).
Лит.: [1] В о s e R. С, «Pacific J. Math.», 1963, v. 13, Л? 2,
p. 389—419; [21 Т а с Д ж. А., «Математика», 1980, т. 19,
с. 82—100; [3] Thas J. A., «Geumetnae dedicate». 1974, v. 3,
J4» 1, p. 61—64. В. В. Афанасьев.
ЧАСТИЧНАЯ ПРОБЛЕМА собственных
значений — задача вычисления одного или не-

скольких собственных значений квадратной матрицы,
обычно действительной или комплексной, а также соот-
соответствующих им собственных векторов.
Чаще всего в практике встречаются следующие ва-
варианты Ч. п. собственных значений: 1) найти группу
наименьших (наибольших) по абсолютной величине соб-
собственных значений; 2) найти группу собственных зна-
значений, ближайших к заданному числу я; 3) найти точки
спектра, принадлежащие заданному интервалу (а, E)
(для симметричной или эрмитовой матрицы).
Большинство методов решения Ч. п. собственных зна-
значений для матриц общего вида имеет в основе идею
степенной итерации или ее разновидность— обратную
итерацию (см. Итерационные методы решения пробле-
проблемы собственных значений матрицы): если матрица А об-
обладает доминирующим по абсолютной величине соб-
собственным значением Ятах и хтак — соответствующий
собственный вектор, то для почти любого вектора v
последовательность и, Аи, А2и, ... , Akv, ... сходится
по направлению к вектору хтак. Если требуется наи-
наименьшее по абсолютной величине собственное значение
(задача 2)), то степенная итерация проводится с матри-
матрицей A~L (метод обратной итерации); при вычислении
собственного значения, ближайшего к я (задача 3)),—
с матрицей {А—я) (метод обратной итерации со
сдвигом).
Наиболее важный частный случай Ч. п. собственных
значений — вычисление собственных значений и собст-
собственных векторов действительной симметричной либо
комплексной эрмитовой матрицы А. Здесь имеется ряд
эффективных численных методов решения Ч. п. собст-
собственных значений, основанных на весьма различных
идеях (см. [1]). Среди них: методы, использующие экст-
экстремальные свойства функционала Рэлея (наибольшее и
наименьшее собственные значения матрицы А реали-
реализуют соответственно максимум и минимум отношения
Рэлея q> (A, z)~(Az, z)l{z, г), г ф 0; достигаются
эти экстремумы на соответствующих собственных век-
векторах); методы, использующие закон инерции Силь-
Сильвестра (метод последовательности Штурма и, более
общо, методы деления спектра); наконец, методы, бази-
базирующиеся на аппроксимационных свойствах крылов-
ских подпространств, т. е. линейных оболочек систем
вида и, Av, .. ., Ak~lv (метод Ланцоша и его вариан-
варианты). Выбор того или иното метода определяется такими
соображениями, как порядок задачи, степень разрежен-
разреженности матрицы, наличие ленточной структуры, доступ-
доступная информация о спектре и т. д.
Методы решения Ч. п. собственных значений как
в общем, так и в эрмитовом случае можно разделить
на групповые и последовательные. Групповые методы
характеризуются том, что в них нужные собственные
значения (и соответствующие собственные векторы)
вычисляются в известной мере параллельно. Сюда от-
относятся многочисленные методы одновременных итера-
итераций, метод Ланцоша, методы деления спектра.
В последовательных методах собственные значения
определяются поочередно. При этом, начиная со вто-
второго собственного значения, возникает необходимость
воспрепятствовать тому, чтобы итерации сходились к
ранее найденным корням. С этой необходимостью свя-
связаны различные приемы исчерпывания (или дефляции)
|2]. В одних случаях исчерпывание приводит к построе-
построению матрицы А , у к-рой вычисленным собственным зна-
значениям А соответствуют нулевые корни; в остальном
спектр обеих матриц совпадает, совпадают п их собст-
собственные векторы. В других случаях результатом исчер-
исчерпывания является расщепление матрицы, вследствие
чего последовательные собственные значения можно
определить, пользуясь матрицами убывающих поряд-
порядков. В третьих — итерации метода с неизменной матри-
матрицей А сопровождаются ортогонализацией по отноше-

нию к прежде вычисленным собственным векторам.
Приемы исчерпывания могут использоваться и группо-
групповыми методами.
Лит.: [1] И а II л с т т В., Симметричная проблема собствен-
собственных значений. Численные методы, пер. с англ., М., 1983; [2]
У и л к и н с о н Д ;к., Алгебраическая проблема собственных
значений, пер. с англ., М., 1970. X. Д. Икрамов.
ЧАСТИЧНО РЕКУРСИВНАЯ ФУНКЦИЯ, р е-
курсивная функция,— одно из эквивалент-
эквивалентных уточнений понятия вычислимой функции.
ЧАСТИЧНО РЕКУРСИВНЫЙ ОПЕРАТОР — отоб-
отображение класса всех одноместных функций в себя, оп-
определяемое следующим образом. Пусть Ф2— нек-рый
перечисления оператор. С этим оператором естественным
образом связан другой оператор lF, к-рый действует на
одноместных функциях. А именно, всякая функция ф
имеет график — множество всех пар (х, у) таких, что
у(х)~у. При фиксированном способе кодирования пар
натуральными числами этот график может рассматри-
рассматриваться как множество т(ф) натуральных чисел. Если те-
теперь Фг(т(ф)) также является графиком нек-роп функ-
функции г|з, то полагают Чг(ф)==г|). В противном случае счи-
считают, что значение Т (ф) не определено. Таким образом,
каждый оператор перечисления Ф2 определяет нек-рый
Ч. р. о. ?.
Если Ч. р. о. определен на всех функциях, он наз.
рекурсивным оператором. Ч. р. о.,
к-рый определен на всех всюду определенных функциях
и переводит всюду определенные функции во всюду
определенные, наз. о б щ е р е к у р с и в н ы м опе-
оператором. Не всякий Ч. р. о. может быть продол-
продолжен до рекурсивного оператора. Всякий общерекурсив-
общерекурсивный оператор является рекурсивным оператором. Об-
Обратное включение не имеет места.
Лит.: [1] Р о д ж е 1> с X., Теория рекурсивных функции и
эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972.
В. Е. Плис. ко.
ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННАЯ ГРУППА — груп-
группа С, на к-рой задано отношение частичного порядка
< такое, что для любых а, Ь, х, у m С неравенство
asg:/) влечет за собой xays^xby.
Множество Р={ж?(? | x\Ss 1} Ч. у. г., называемое
положительным конусом, ил и цело и
частью, группы С, обладает свойствами: 1) РР^Р;
2) Р[)Р-1 --{1}; 3) х~1Рх^Р для любых ж?G. Всякое
подмножество Р группы О, удовлетворяющее условиям
1)—3), задает на G частичный порядок (х^у тогда
и только тогда, когда х~1у^Р). для к-рого Р служит
положительным конусом.
Примеры Ч. у. г.: аддитивная группа действительных
чисел с обычным порядком; группа F(X, R) функций,
заданных на произвольном множестве X со значениями
в R, с операцией
и отношением порядка /«:#, если f(x)<scg(x) для всех
х?Х; группам) (Л/) всех автоморфизмов линейно упоря-
упорядоченного множества М на себя, относительно супер
позиции отображении и с отношением порядка: ф<гф-
если ф(тга)<:г|)(т) для любого т?М, ф, ip?A (M).
Основными понятиями теории Ч. у. г. являются по-
понятия порядкового гомоморфизма (см. Упорядоченная
группа), выпуклой подгруппы, декартова и лексико-
графич. произведений.
Важнейшие классы Ч. у. г.: линейно упорядоченные
группы, структурно упорядоченные группы.
Лит.: [1] Б и р к г о ф Г., Теория структур, пер. с англ.,
М., j952; [2] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраи-
алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965. В. М. Нопытов.
ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО —
непустое множество, на к-ром зафиксирован нек-рый
порядок.
Ч. у. м. является примером модели.

Примеры Ч. у. м.: 1) множество натуральных чисел
с обычным порядком; 2) множество натуральных чисел,
где a<fe означает, что а делит Ь; 3) множество всех
подмножеств нек-рого множества, где а<& означает,
что аЯ^Ь; 4) множество всех действительных функций
на отрезке |0, 1], где /<g означает, что f(t)<.g(t) для
всех *?[0, 1]; 5) множество конечных возрастающих
последовательностей натуральных чисел, где
означает, что fc</ и а;=&,- при 1<г</с (см. Дерево);
(>) произвольное непустое множество, где а<:6 означает
а—Ъ (такое Ч. у. м. наз. тривиальным, или
дискретны м).
Каждое Ч. у. м. Р можно рассматривать как малую
категорию, объектами к-рой служат элементы множе-
множества Р, а множество морфизмов И (а, Ъ) одноэлементно,
если а<&, и пусто в остальных случаях. В свою очередь,
каждая малая категория, где каждое из множеств
Н (а, Ъ) содержит не более одного элемента, определяет
Ч. у. м.
Если на Ч. у. м. Р определить отношение ^, пола-
полагая а^Ъ, если Ъ-^.а, то это отношение оказывается по-
порядком. Возникающее таким образом Ч. у. м. наз.
д у а л ь н ы м, или двойственным, к Р.
Отображение tp Ч. у. м. Р вЧ. у. м. Р' наз. (анти)изо-
тонным, или (анти)гомоморфизмом, если а«:& в Р влечет
ф(а)<ф(Ь) (фF)<ф(а))
в Р'. Взаимно однозначный (анти)гомоморфизм наз.
(анти)изоморфизмом. Тождоствонное отображение Ч. у.
м. Р на себя является антиизоморфизмом этого Ч. у. м.
на дуальное ему. Изоморфизм является частным слуг
чаем резидуалъного отображения. Последовательное
выполнение двух антигомоморфиамов дает гомоморфизм.
Совокупность всех Ч. у. м. образует категорию, если
морфизмами считать изотонные отображения. Всякое
непустое подмножество Ч. у. м. является Ч. у. м. отно-
относительно индуцированного на нем порядка.
Если А — непустое подмножество Ч. у. м. Р, то
няжниЛ конус А^ (в е р х н zi ii конус А^)
определяется как совокупность всех таких элементов
.i'?P, что ж<:а(а-<а;) для всех а?А. Если а, Ь?Р и
а«:6, то подмножество
[а, Ь] = аА[)Ь^ = {х | а<х <Ь}
наз. интервалом (хотя с точки зрения словоупот-
словоупотребления, принятого в математик, анализе, здесь сле-
следовало бы говорить «отрезок»). Конусы а^ и о", где
а(^Р, часто также наз, интервалами. Элемент и из под-
подмножества А наз. наибольшим (наимень-
(наименьшим), если а<сч (м<а) для всех а?А . В этом случае и
является единственным элементом пересечения А ГМ
(A f)A^). Наибольший (наименьший) элемент Ч. у. м.
Р (если он существует) наз. единицей (нулем)
этого Ч. у. м. Элемент т из подмножества А наз. м а к-
симальным (минимальны м), если для
каждого х из А , для к-рого пг<;ж (х^.т) будет т=х.
Другими словами,
тД П А — т (т^ |~| А = т).
Наибольший (наименьший) элемент является макси-
максимальным (минимальным). Обратное верно не всегда.
Наименьший (наибольший) элемент верхнего (нижнего)
конуса А^ (А^) наз. точной верхней (нижней)
гранью подмножества А и обозначается как sup A
(mi А). Расшифровывая это определение, можно ска-
сказать, что « = sup^, если иГ-s-a для всех а?А и и'5з
^и, если и'^а для всех а?А. Аналогично расшиф-

ровывается определение inf A. Если Р — цепь, то по-
последнее условие можно заменить таким: «... и и' ^ я0
для нек-рого ао?А, если и' < м», как это принято
в математич. анализе. Элементы из А& {А^) часто наз.
верхними (нижними) гранями подмножества А. Ясно,
что l=supP и 0--inf-Р. Часто полагают, что sup 0 =
= 0 и inf 0=1. Среди свойств рассмотренных выше
понятий следует отметить следующие:
а) если А^В, то В&<=А& и fi'c/lV;
б) A
в)
г)
д)
е) если sup Л или inf Л^ существует, то sup A =
= inf А&;
ж) если inf А или sup Л^7 существует, то inf 4=sup A^\
з) (обобщенная ассоциативность) если {Аа\а?1} —
некоторое множество подмножеств Ч.у.м. Р и если
существуют sup ((J а.Аа) и sup Ла (inf (|Ja4) и inf Ла)
для всех а?/, то
и) еслиф-—изотоннос отображение Ч. у. м. Р в Ч. у. м.
Р', Ад^Р и существуют как sup Л в Р. так ийирф(^)
в Р' (как inf А в Я, так и inf <р (Л) в Р'), то sup ф (A) «S
<Ф (sup Л) (ф (inf 4)<inf ф (А)).
Нек-рые из приведенных выше определений и ре-
результатов, можно получить из других заменой символа
<: на ^s. Это касается, напр., определения верхнего и
нижнего конусов, наибольшего и наименьшего элемен-
элементов. Такие понятия называют двойственными. В част-
частности, двойственными являются утверждения г) и д),
а также е) и ж). Все это является проявлением общего
принципа двойственности (см. Двойственности принцип
в частично упорядоченных множествах).
Специальными видами Ч. у. м. являются линейно
упорядоченные множества (или цепи), вполне упорядо-
упорядоченные множества, направленные множества, решетки
(или структуры), полурешетки (или полуструктуры),
булевы алгебры. Особую роль играют алгебраич. обра-
образования, являющиеся в то же время Ч. у. м. (см. Упо-
Упорядоченная полугруппа, Частично упорядоченная группа,
Упорядоченное кольцо). Понятие Ч. у. м. является од-
одним из фундаментальных общематематич. понятий
и широко используется как в самой математике, так и
в ее приложениях.
Определение Ч. у. м. впервые явно сформулировано
Ф. Хаусдорфом [11], хотя входящие в определение
порядка аксиомы рассматривались еще Г. Лейбницем
(G. Leibniz) около 169A. Аккуратное определение
линейно упорядоченного множества впервые дано
Г. Кантором [10]. В этой жо работе он определил поряд-
порядковый тип линейно упорядоченного множества, т. с..
в современной терминологии, класса линейно упорядо-
упорядоченных множеств, изоморфных данному. Еще раньше
Г. Кантор рассматривал вполне упорядоченные множе-
множества [9], хотя введенное им определение не удовлетво-
удовлетворяет современным требованиям. Оригинальный подход
к аксиоматич. определению линейно упорядоченного
множества предложил С. О. Шатуновский |6], [7]. В свя-
связи с определением понятия предела в математич. ана-
анализе С. О. Шатуновский [8], а также Э. Мур и Г. Смит
[12] рассматривали направленные множества.
Лит.: [1] Б и р к г о ф Г., Теория решеток, пер. с англ.,
М., 1984; [2] Б у р б а к и Н., Теория множеств, пер. с франц.,
М., 1965; [3] К у р о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд.,
М., 1973; [4] Розен В. В., Частичные операции в упорядо-
упорядоченных множествах, Саратов, 1973; [5] Скорняков Л. А.,

Элементы теории структур, 2 изд., М., 1982; [6] Ш а т у н о в-
с к и й С. О., «Записки Новороссийского об-ва естествоиспы-
естествоиспытателей», 1904, в. 26, с. 21—25: 17] е г о да е, «Тр. I Всероссий-
Всероссийского съезда преподавателей математики», 1913, т. 1, с. 276—81;
[8] е г о ж е, Введение в анализ, Од., 1923; [9] С a n t о г G.,
«Math. Ann.», 1883, Bd 21, S. 545—86; LlOJ его же, «Math.
Ann.», 1895, Bd 46, S. 481—512; [11] HausdorffF..
Grundztige der MenB'enlehre, Lpz., 1914; [12] MooreB,
Smith H., «Amer. J. Math.», 1922, v. 44, p. 102—21.
См. также обзоры [6l—[9] из статьи Решетка.
Л. А. Скорняков.
ЧАСТИЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ ОБЛАСТЬ без-
безгранично делимого распределения —
совокупность всех функций распределения F(x) таких,
что для последовательности независимых одинаково
распределенных случайных величин Хг, Х2, ••• с функ-
функцией распределения F(x) при подходящем выборе по-
постоянных Ап и Вп>0, п = 1, 2, ... и нек-рой подпоследо-
подпоследовательности целых чисел rej<«2<- ••<«/?<••• функции
распределения случайных величин
слабо сходятся при к -*¦ оо к невырожденной функции
распределения V(x), к-рая с необходимостью безгра-
безгранично делима; каждое безгранично делимое распреде-
распределение имеет непустую Ч. п. о. Существуют распреде-
распределения, не принадлежащие ни одной Ч. п. о., а также
распределения, принадлежащие Ч. п. о. любого без-
безгранично делимого распределения.
Лит.: Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Пре-
Предельные распределения для сумм независимых случайных ве-
величин, М.—Л., 1949. Б. А. Рогозин.
ЧАСТИЧНЫЙ ПОРЯДОК — см. Порядок.
ЧАСТИЧНЫЙ ПРЕДЕЛ данной последо-
последовательности — предел нек-рой ее подпоследова-
подпоследовательности. У всякой числовой последовательности (а
также у всякой последовательности точек конечномер-
конечномерного евклидова пространства) существует, по крайней
мере, один Ч. п. (конечный или бесконечный).
Л. Д. Кудрявцев.
ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ первого порядка
функции м н о ]¦ и х переменных — производная
функция по одной из переменных при условии, что
все остальные переменные фиксированы. Напр., если
функция / (,гг, хг, . . ., хп) определена в нек-рой окрест-
окрестности точки (*{°\ xf\ . . ., хТ), то Ч. п. ^ (х[°\ хТ, ...
¦ ¦ •. хп') функции / по переменной х1 в рассматривае-
рассматриваемой точке равна обычной производной ~ (х1,х^1, ...
..., Хп') л точке хТ функции /(жь xf\ ..., х^) од-
одной переменной х1. Иначе говоря,
'''/ /т<0) _«•) @)\ (if I @) <0)\i
— \хх , хг , ¦ . ., хп ) -^ — (х1, х2 , . .., хп Л.\-1=л,) —
.= lim x' { ' ' 2 ' '••• " > ,
\х, ^ о Дх"
где
Ч. п.
fittlf
.. . ~\*тп=. т, (*)
порядков т>1 определяются по индукции; если опре-
определена Ч. п.
... dxKi . . . дхк"
i n

та, по определению,
дхЛдхк'...вхЧ...дх
\ i
4. n. (*) обозначается также D7? m f. 4. n. (*),
у которой, по крайней мере, два различных показа-
показателя т.[ не равны нулю, наз. смешанной Ч. п.,
Qmf
в противном случае, т. е. когда Ч. п. имеет вид—— ,—
несмешанной. При достаточно широких предположе-
предположениях смешанные Ч. п. не зависят от порядка диффе-
дифференцирования по различным переменным. Это имеет
место, напр., если все рассматриваемые Ч. п. непре-
непрерывны.
Если при определении Ч. п. положить в основу по-
нятпе но обычной, а обобщенной в том или ином
смысле производной, то получают определение обоб-
обобщенной Ч. и. Л. Д. Кудрявцев.
ЧАСТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ первого поряд-
порядка функции многих переменных — диффе-
дифференциал функции по одной из переменных при усло-
условии, что все остальные переменные фиксированы.
Напр., если функция / (а^, ж2, ..., хп) определена
в нек-рой окрестности точки (xf\ х^\ ..., хп0)), то
Ч. д. dxf(x'i\ x'i\ ..., хп') функции / по перемен-
переменной х1 в рассматриваемой точке равен обычному диф-
дифференциалу df(ху, xf\ ..., хп0)) в точке ^i0) функции
f(xlt х?\ ..., x,lt0)) одной переменной хи т. е.
xj 1Ж1 , Х2 , • • •, хп ) =- <lf \Xi, Хг , ¦ ¦ ¦ 1 xnl\x ,._ v<0) —
Отсюда следует, что
д/ _ dXlf
Аналогично определяется и Ч. д. порядка к > 1:
напр., Ч.д. dkx fD"\ jf\ ..., .гп0)) порядка к функ-
функции / (хи х?, ..., хп) по переменной хл в точке (х?,
хз\ .... ^п') наз. дифференциал порядка к функции
f (xii x-i\ ¦¦¦, хп') одной переменной х1 в точке х\0).
Отсюда следует, что
i —1, 2, ..., п, к-I, 2, ...
JJ. Д. Кудрявцев.
ЧАСТНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ — мера
линейной зависимости между двумя случайными вели-
величинами из нек-рой совокупности случайных величин
в том случае, когда исключено влияние остальных.
Точнее, пусть случайные величины Хг, ..., Хп имеют
совместное распределение в R", и пусть -Х^.зд п и
Х2.34 п — наилучшие линейные приближения вели-
величин A'j и X, соответственно величинами Х3, ..., Хп.
Тогда Ч.к.к. между Хх и Х2, обозначаемый р1234 п,
определяется как обычный коэффициент корреляции
между случайными величинами Yi — X1—Xt.34 n и
Кг-А-г-^.34...„:
п Е{(У,-ЕУ,)(У;-ЕУг)}

Из определения следует, что —1 < Pi2-34 п "^ ^- Ч- к- к-
выражается через элементы корреляционной матрицы.
Пусть i' = ||py||, где pij — коэффициент корреляции
между Х[ и л у, и пусть />,-_,- есть алгебраич. допол-
дополнение элемента р,;- в определители \Р\, тогда
р р»
(i2.3 ...л У7Г7р72 -
Напр., при я = 3
__ Pl2pB»-plrfb3
12:)"УB)(|) '
Аналогично определяется Ч. к. к. для любых величин
Х( и Xj из Хг Хп. В самом общем случае Ч. к. к.
р]9 34 л отличается от (полного) коэффициента корре-
корреляции р12 величин Xj и .Y2. По различию между
Pi2-34 n и р12 можно судить о том, завиоимы ли Хг
и Х2 между собой, или зависимость между ними есть
следствие зависимости каждой из них от величин
Х3, .... Хп. Если величины Хг, .... Хп попарно не-
коррелиронаиьт, то все Ч. к. к. равны нулю.
Выборочным аналогом Ч. к. к. Р12.34 n является
статистика
г Л'г
где Rij — алгебранч. дополнение элемента г,-у в опре-
определителе матрицы Л=||г,-/|| выборочных коэффициен-
коэффициентов корреляции i'ij. Если результаты наблюдений не-
независимы и нормально распределены, то r19.34 n рас-
распределен с плотностью вероятности
-»-f I \ N-n-i
.<V-/JN
(.V — объем выборки). Для проверки гипотезы о
Ч. к. к. используется тот факт, что статистика
где г-=г12.31_/(,
при указанных условиях имеет Стьюдента распределе-
распределение с 7V—п степенями свободы.
Лит.: [1] К р а м о р Г., Математические методы статистики,
пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] Кендалл М. Дж.,
С т ь ю а р т А., Статистические выводы и связи, пер. с англ.,
М., 1973. ' А. В. Прохоров.
ЧАСТНЫХ КОЛЬЦО — кольцо, связанное с данным
ассоциативным кольцом R с единицей. Кольцом
частных (классическим правым) кольца R наз.
кольцо Qc\(R), в к-ром все регулярные элементы (т. е.
но делители нуля) кольца R обратимы и любой эле-
элемент из Qcl(R) имеет вид аЬ~х, где a, b?R. Кольцо
Qd (R) существует тогда и только тогда, когда R
удовлетворяет правому условию Оре (см. Ассоциатив-
Ассоциативные кольца и алгебры). Ч. к. максимальное (или полное)
правое кольца R — это кольцо Qmax (Д) = Нотя {R, R),
где Й — инъективная оболочка R как правого Л-мо-
дуля, /7 —Нот/} (/f, R) — кольцо эндоморфизмов пра-
правого Д-модуля R. Кольцо Qmax можно определить
так же, как прямой предел
limHom(?>, R),
где D — множество всех плотных правых идеалов
кольца Л (правый идеал D кольца Н наз. плотным,
если
V0 ф v-l^R, r2?R3r?R (rir ф 0, rtr?D)).
Лит.: Ll] Л а ы о с к И., Кольца и модули, пер. с англ., М.,
1971; [2] Е л и з а р о в В. П., «Алгебра и логика», 1969, т. 8,
№ 4, с. 381—424; [3] S t e n s t г б ш В., Rings of quotients,
В.— N. Y., 1975. Л. А. Бокутъ.

ЧАСТОТНАЯ ТЕОРЕМА—теорема, формулирую-
формулирующая условия разрешимости уравнений Лурье
P*H + HP-t-hh* = G, Hq — hx = q, A)
где Р, G = G*, q, g, x — заданные матрицы размеров
пХп, пХп, пХт, пХт, тХт соответственно, Н=Н*,
h — искомые матрицы размера нХ н и пХ т. Уравнения
Лурье имеют две другие эквивалентные формы: при
det хфО
HQOH+(P'OH+HPO) + GO = O, B)
где (?о=(?оЭгО, G0 = G*0, и в общем случае
2Rex*H(Px+qt) = $(x, l)-\h*x-xl\* (Vz, t), C)
где <§ (x, g) — заданная эрмитова форма векторов х? С",
) + Re
При этом T = x*xSsO, Gn = gT-xg* — G, P0 = P — gVg*,
«?„ = дГ-1д*.
Если пара {P, q} управляема, го уравнения Лурье
сводятся к случаю, когда
При т = 1 и когда все матрицы действительны, в ска-
скалярной записи уравнения Лурье приобретав?! вид
хч" hJhk
Дк = 1 q*T^-hJ У Г i= V/, / = 1, .... я,
здесь h=[h1: ... , hn] — искомый вектор.
Пусть пара {/>, д} стабилизируема, т. е.
существует г такое, что R = P-\-qr* — матрица Гурвица.
Частотная теорема утверждает: для раз-
разрешимости уравнений Лурье необходимо и достаточно,
чтобы
для всех 1?Ст, ш^К1, det||Jw/—Р\\фО (^ —единич-
—единичная матрица). Ч.т. также формулирует прицсду]1у
определения матриц Н, h и утверждает, что при
detr??O, det || to/-Р ||^0, •§ [II Ш-Р Ц <]%, I] > 0
(V| Ф 0, VW)
существуют такие (единственные) матрицы Я, h, чю
кроме C) выполнено: P-\-qx~4i* есть матрица Гур-
Гурвица (см. [3]).
Уравнение Лурье в форме B) иногда наа. также
матричным алгебраическим урав-
уравнением Р и к к а т и. Ч.т. используется при реше-
решении задач абсолютной устойчивости [2, 4, 5], управления
и адаптации (см., напр., [6]).
Лит.: [1] Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи
теории автоматического регулирования, М.— Л., 1951; Г21
Попов В. М., Гиперустойчивость автоматических систем,
пер. с рум., М., 1970; [3] Я к у б о в и ч В. А., «Сиб. матем. ж.»,
1973, т. 14, Л» 2, с. 384—420; [4] Г с лиг А. X., Л е о-
н о в Г. А., Якубович В. А., Устойчивость нелинейных
систем с неединственным состоянием равновесия, М., 1У78;
[5] Методы исследования нелинейных систем автоматического
управления, М., 1 97 5; [б] Фомин В. Н., Ф р а д к о в А. Л.,
Якубович В. А., Адаптивное управление динамическими
объектами, М., 1981. Г. А. Леонов.
ЧЕБЫШЕВА КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ин-
интерполяционная квадратурная формула с равными ко-
коэффициентами :
Весовая функция равна 1, промежуток интегрирования
конечен и считается совпадающим с [--1, 1]. Число па-
параметров, определяющих квадратурную формулу (*),
равно JV-j-1 (N узлов и значение коэффициента С). Па-
Параметры определяются требованием, чтобы квадратур-
квадратурная формула (*) была точна для всех многочленов сте-
степени не выше N или, что то ?ке самое, д.чя одночленов 1,

x, x2, ... , xN. Параметр С находится из условия, что
квадратурная форкула точна для }(х)=1, и равен 2/jV.
Узлы xt, ... , ждг оказываются действительными лишь
при iV=l(lO и JV=9. При iV=l(lO узлы вычислил
П. Л. Чебышев. При TV^IO среди узлов Ч. к. ф. всегда
имеются комплексные (см. [1]). Алгебраич. степень
точности Ч. к. ф. равна ./V при ./V нечетном и равна
7V+1 при ./V четном. Формула (*) предложена П. Л. Че-
бышевым в 1873.
Лит.: [1] Крылов В. И., Приближенное вычисление
интегралов, 2 изд., М., 1967. И. П. Мысоеских.
ЧЕБЫШЕВА МЕТОД — метод получения класса
итерационных алгоритмов нахождения однократного
действительного корня уравнения
/(*)=0, A)
где /(ж) — достаточно гладкая функция.
В основе метода лежит формальное представление
обратной к f(x) функции x=F (у) по формуле Тейлора.
Если а — достаточно точное приближение для корня х
уравнения A), со=р=/(а), f (а)Ф0, то
где коэффициенты dn рекуррентно определяются из со-
соотношения x^sF(f(x)) через коэффициенты Тейлора сп
функции f(x)—Z,n>Vlcn(x—a)n. Полагая в B) у=0,
получают соотношение
/(а) / / (a) \ a Г (а)
f (a)) 2f'(a)
Г (a)
/(a) У ( Ъ_ (f"(a)
J V
_ (
» V/'(a)/ 12(/'(a)J t24/'(a)
C)
Несколько членов справа в C) дают формулы итераци-
итерационного алгоритма; так при двух членах получается
Ньютона метод, а при трех членах получается итера-
итерационный метод вида
С ростом числа учитываемых в C) членов возрастает
скорость сходимости хп к .г (см. [2]). Метод может быть
фьн урвнн (м [3])
», 1354, т. О,
2 с. 16370. В. И. Лебедев.
ЧЕБЫШЕВА МНОГОЧЛЕНЫ первого ро-
д а — многочлены, ортогональные на отрезке [—1, 1]
с весовой функцией
ki(x)=—L^, х €(-1, 1).
V 1 -.\'2
Для стандартизованных Ч. м. справедливы формула
Тп(х)-- -cos (и aiccosx), xg[-l, 1],
и рекуррентное соотношение
с помощью к-рых находят последовательно
Т3 (х) = Ах3 - Зх, Т, (х) = 8х* - 8*а +1,
Ортонормированные Ч. м.:

Старший коэффициент многочлена Тп(х) при ге^г=1 равен
2™-1. Поэтому Ч. п. с единичным старшим коэффици-
коэффициентом определяются формулой
У«(ж)^-трг=-, Тп(х)-^^;cos(re arccosz), reSsl.
Нули многочлена Тп(х), определяемые равенством
(Л) 2fe — I . л с\
xk = cos 0 л, я = 1, 2, ..., п,
часто применяются в качестве узлов интерполяционных;
и квадратурных формул. Многочлен Тп(х) является
решением дифференциального уравнения
A —ж2) у" — от/' + и2г/ = 0.
Многочлен Тп{.г) наименее отклоняется от нуля на
отрезке [—1Т i\, т. е. для всякого другого многочлена
Fn(x) степени п с единичным старшим коэффициентом
выполняется условие
max | Р„ (.!¦) [ > max | fn (x) \ = .7ТГг-1 .
*е[-1, 1] -v e L - ], 1|
С другой стороны, для всякого многочлена Qn(x) сте-
степени не выше п, удовлетворяющего условию
max | <?„(.*) |=1,
хе [ - !, 1]
при любом х0?(— со. —1)UA, оо) имеет место неравен-
неравенство
|<?(*о)|<| тп(хо)\-
Если функция /(.г) непрерывна на отрезке [ — 1, 1] и ее
модуль непрерывности ojF, /) удовлетворяет услоыло
Дини
lim со (б, /)ln JL _ л
о -> о б '
то эта функция разлагается в ряд Фурье — Че-
б ы ш е в а
сходящийся равномерно на отрезке [ — 1, 1]. Коэффици-
Коэффициенты этого ряда определяются по формуле
«»=$!_,/(О г» (о-
Если же функция / [х) непрерывно дифференцируема
р раз на отрезке [—1, 1], причем ее р-я производная
f-РЦх) удовлетворяет условию Липшица порядка а,
т. с. /'/" (.c)?Lip а, то имеет место неравенство
akTk(.x)
. C| In П
*. 1]-
где постоянная ct не зависит от пах.
Ч.м. второго рода определяются равенством
Un (х) =;——; ?п-и (ж) — sin [(" + 1) arccos г] ; .
Эти многочлены ортогональны на отрезке [—1, 1] с ве-
весовой функцией
/ц (х) ---- j/Ч —х2, ж^ [—1, 1 ].
Для всяко1ч) многочлена уп (х) с единичным старши.м
коэффициентом справедливо неравенство
, \Qn(x)\dx.
Ч. м. были введены в 1854 П. Л. Чебышевым (см.
[1]).
Обе системы Ч. м. являются частными случаями уль-
тр'асферических многочленов и Якоби многочленов.
Лит.: llJ Ч е б ы ш е в П. Л., Поли. собр. соч., т. 2,
М.— Л., 1947, с. 23-—-51; L2J С с г с Г., Ортогональные много-
многочлены, пер. с англ., М., 1962. П. К. Суетин.

ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО для конечных
монотонных последовательностей
а1 <^а2 ^ . .. ^ ап,
&1<6а<... <Ь„
— неравенство
Ч. н. для монотонных функций / (
()^0 — неравенство
f(x)dx \Ь S(x)dx^(b — a) [Ь 1 (х) g (x) dx,
где /(ж) и g(x) либо возрастают, либо убывают.
Неравенства установлены П. Л. Чебышевым A882.)
В. Н. Битюцпов.
ЧЕБЫШЕВА НЕРАВЕНСТВО, неравенство
Бьенемс — Ч е б ы m e в а,— неравенство теории ве-
вероятностей, дающее оценку вероятности отклонений
значений случайной величины от ее математич. ожида-
ожидания через ее дисперсию. Пусть Х(со) —нек-рая слу-
случайная величина с конечными математич. ожиданием
ЕА'(со) и дисперсией ОХ(ы). Ч. н. состоит в том, что
для любого е>0 вероятность события
{со: | Х(а)~ЕХ|5ге}
не превосходит DX/sr или
Р{\Х~ЕХ]^1\ГОХ}<±. A)
Это неравенство было независимым образом открыто
И. Бьенеме (I. Bienayme, 1853) и П. Л. Чебышевым
A866). В современной литературе это неравенство чаще
наз. Ч. н., возможно, и потешу, что с именем П. Л. Че-
бышева связано использование его при доказательстве
обобщения больших чисел закона (теоремы Чебышева).
Ч. н. является представителем целого класса одно-
однотипных неравенств, простейшее из к-рых утверждает,
что для неотрицательной случайной величины X с ко-
конечным математич. ожиданием ?Х
Р{Х^е}<^ B)
(иногда наз. неравенством Маркова). Из
этого неравенства вытекают неравенства для произ-
произвольных случайных величин, зависящие от моментов:
г 3? 1
(при г= 2 и само Ч. н.), а также более общее неравенство
Р{|Х|^е}<!Ш) C)
для неотрицательной четной неубывающей при положи-
положительных значениях х функции f(x). Неравенство C)
указывает путь получения новых неравенств того же
типа, напр, экспоненциального нера-
неравенства:
pprSseXlfi, c>0.
Сложилась традиция относить все эти неравенства к че-
бышевскому типу и даже наз. Ч. н. Существует общий
принцип получения Ч. н. при определенных условиях
на моменты, основанный на использовании системы
многочленов Чебышева (см. [4]). Для произвольных
случайных величин Ч. н. дают точные, неулучшаемые
оценки, однако в пек-рых конкретных ситуациях эти
оценки можно уточнить. Напр., если X имеет унимо-
унимодальное распределение с модой \х, совпадающей с мате-

матич. ожиданием, то справедливо неравенство
Гаусса:
где O2=,DZ.
Значение Ч. н. в теории вероятностен определяется
в конечном счете не его точностью, а простотой и уни-
универсальностью. Большую роль Ч. н. и его видоизмене-
видоизменения сыграли применительно к суммам случайных вели-
величин при доказательстве различных форм закона боль-
больших чисел и закона повторного логарифма. Ч. н. для
сумм независимых случайных величин было подвергну-
подвергнуто обобщению и уточнению в двух главных направле-
направлениях. Первое иа них связано с переходом от Ч. н.
^. О (X,J ¦ ¦ .+Х„)
к значительно более сильному неравенству
'{
max
1 < k < n
_D(A',+ .. • +Xn)
к-рое было доказано А. Н. Колмогоровым и использо-
использовано им при доказательстве больших чисел усиленного
закона (см. Колмогорова неравенство).
Второе направление посвящено замене степенной
оценки в Ч. н. на экспоненциально убывающую п при-
приводит к неравенствам Бернштепна —
Колмогорова:
; 2 ехр /
I
1+—¦
3
где |Z,-|<C, ЕА';_О, aJ = D (Хг+ ... +Х„), а^-=Щ-г
(см. Бернштейна неравенство). Такие уточнения Ч. н.
получаются при дополнительных условиях ограничен-
ограниченности слагаемых Х[.
Получены многомерные аналоги нек-рых из указан-
указанных здесь неравенств (см. E1).
Лит.: [1] Ч е б ы ш е в И. Л., «Матем. сб.», !807, т. 2,
с. 1—9; [2] Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд.,
М., 1924; [3] Колмогоров А. Н., Основные понятия тео-
теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [4] Кар л и п С., С т а д-
д е н В., Чебышевские системы и их применения в анализе и
статистике, пер. с англ., М., 1976; [5] Прохоров Ю. В.,
в сб.: Итоги науки и техники. Теория вероятностей, матем.
статистика, теоретич. кибернетика, т. 10, М., НO2, с. Г)—24.
А. В. Прохоров.
ЧББЫШЕВА ПОСТОЯННАЯ - числовая характе-
характеристика т=т(Е) компактного множества Е на комплекс-
комплексной плоскости, употребляемая в теории наилучшего
приближения.
Пусть Кп — класс всех многочленов вида
степени п, и пусть
М (р„) =
г„=--
Существует многочлен tn(z)^l\Я1 для к-рого M(tn) =
= mn, он наз. многочленом Чобышсва для /.'.
Кроме того, существует предел
lim тп= т,
П ->- 00
1{-рый и наз. постоянной Чебышева для Е.
Если ограничиться классом Кп всех многочленов
pn(z)^z»+...-\-cn,
нули к-рых расположены на Е, то получают соответ-
соответствующие величины т„, т„, с и многочлен tn (г) (он

также наз. многочленом Чебышева) такой, что
M(tn)^mn.
Известно, что т —т = С (E) = d, где С (Е) — емкость
компакта Е, d—его трансфинитный диаметр (см.,
например, [1]).
Понятие Ч. п. обобщается для компактов Е в много-
многомерном евклидовом пространстве К'л, т5г2, исходя
из потощиала теории. Пусть для точек x?Rm
| In-;—Г при т = 2,
— фундаментальное решение уравнения Лапласа, и для
набора {xj^=\<z.E пусть
(т„ (?)=:,. sup (min |^-^"=1 H(\x—xj[):x^
Тогда при 7я = 2 получают равенство
(— lim ow
II -*- CO
а при тп^З принимают (см. |2])
т = С(Е)= Х
lim а„ (Е) '
Лит.: [1] Г о л у л и и Г. М., Геометрическая теория функ-
функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] К а р л с-
сон Л., Избранные проблемы теории исключительных мно-
множеств, пер. с англ., М., 1971. Е. Д. Соломеицев.
ЧЕБЫШЕВА СИСТЕМА — система линейно незави-
независимых функций Sa— {ф, (q)}"=i из пространства С (Q),
обладающая тем свойством, что любой нетривиальный
полином по этой системе имеет не более (п—1)-го раз-
различного нуля. Примером Ч. с. в С [0, 1] является сис-
система ?п=-{|/'}"=о, 0<;<7<1, аппроксимативные свой-
свойства к-рой и равномерной метрике впервые рассматри-
рассматривал П. Л. Чебышев |1|. Термин «Ч. с.» введен С. Н.
Бернштсйшш |2]. Произвольная Ч. с. наследует прак-
практически псе аппроксимативные свойства системы Sn.
Для Ч. с. остается справедливой Чебышева теоре-
теорема, Балле Пуссена теорема (об альтернаисе), сохра-
сохраняют силу псе методы, разработанные для прибли-
приближенного построения алгебраич. многочленов наилуч-
наилучшего равномерного приближения, справедлива тео-
теорема единственности полинома наилучшего равномер-
равномерного приближения но Ч. с. (см. также Хаара условие
\\ Чебышевское множество). Для того чтобы на компакте
Q существовала Ч. с. порядка 7г>1, необходимо и до-
достаточно, чтобы Q был гомеоморфен окружности или ее
подмножеству (при этом Q не гомеоморфон окружности,
если к четно). В частности, на тга-мерных областях (т^
^2), напр, на квадрате, не существует Ч. с. [31.
В качество системы, не являющейся Ч. с, можно
привести систему, состоящую из сплайнов степени
7тг с а фиксированными узлами 0«Or, <... <.г„<1.
J5 отом случае функция [max@, х—хп)]т принадлежит
;)ТО)"[ системе и имеет бесконечно много нулей. Отсутст-
Отсутствие единственности затрудняет численное построение
элемента наилучшего приближения.
Важным частным случаем Ч. с. является Маркова
система функций.
Лит.: [i] Ч е п ы m с u It. Л. Поли. собр. соч., т. 2,
М.— Л., 1947; с. Ifil— 238; L2J Бсрнштсйн С- Н., Экстре-
Экстремальные свойства полиномов, Л.— М., 1937; [3] М a i r h u-
be г J. С, «Proc. Amer. Matb. Soc», 1956, v. 7, M» 4, p. B09—15;
[4] Д з я д ы к В. К., Введение в теорию равномерного при-
приближения функций полиномами, М., 1977; [5) К а р л и н С,
С т а д д е н*В., ЧеОышовские системы и их применение в ана-
анализе и статистике, пер. с англ., М., 1976. Ю. Н. Субботин.

ЧЕБЫШЕВА ТЕОРЕМА: гели функция f (х) непре-
непрерывна на [а, Ь\ и
А-,- max \f(x) — Pn(x)\,
а < д- < h
то Р„ (х) тогда и только тогда является многочленом
наилучшего равномерного приближения для функции
/И, т. е.
\f(x) — Рп (х) |~ min max
/(ж)—-
когда существуют n -f-2 точки {.г,}, я < г0 < j:, с
...<tf,, + i<6, образующие чебышевский алътернанс.
то есть удовлетворяющие условию
f(xi) — Pn(xi) =e(A)(—i)', i=0, 1 гс+1,
где 8=1 или —1. Сформулированная теорема была до-
доказана П. Л. Чебышовым в 1854 (см. [1]) в более общем
виде, а именно для наилучшего равномерного прибли-
приближения непрорывной функции рациональными дробями
с фиксированными степенями числители и знаменателя.
Ч. т. сохраняет силу, если вместо алгебраических
многочленов рассматривать полипом
где {ф/г(.г)}/г=,о — Чебышева система. Критерий, сфор-
сформулированный в Ч. т., применяется в методах прибли-
приближенного построения полиномов наилучшего равномер-
равномерного (чебышевского) приближения. В несколько иной
формулировке Ч. т. распространяется на приближение
функций комплексного переменного (см. [2]) и абстракт-
абстрактных функции (см. [3]).
Лит.: [ij Ч с б ы ш е в И. .'Г., Поли. собр. соч., т. 2, М.— П.,
1947, с. 151 — 238: [2] Колмогоров А. Н., «Успехи матем.
наук» 1948 т. 3, в. 1, с. 216—21: [Я] 3 у х о в и ц к и А С. И.,
С т е ч к и н С. Б., «Докл. АН СССР», 195В, т. 106, .№ 5,
с. 773—7В: 14] Дзядык В. К., Введение в теорию равно-
равномерного приближения функций полиномами, М., 1977.
Ю. Н. Субботин.
ЧЕБЫШЕВА ТЕОРЕМА о д и ф ф о р г н ц и а л ь-
н о м биноме: неопределенный интеграл от диффе-
дифференциального бинома
хт (а-\-Ъхп)Р,
где а и Ь ¦-- действительные числа, т, л, р — рацио-
рациональные, не выражается через элементарные функции
при любых т, п, р, кроме случаев, когда р, (т-\-\Iп,
(т-\-1Iп-\-р — целые. Установлена П. Л. Чебышевым
A853). В. И. Вытюцков.
ЧЕБЫШЕВА ТЕОРЕМЫ о простых чис-
числах — теоремы 1)—8) о распределении простых чисел,
доказанные П. Л. Чебышевым [II в 1848—50.
Пусть п(х) — число простых чисел, не превосходя-
превосходящих х, т — целое JsO, р — простое число, In и — на-
натуральный логарифм и,
1\х =
1) Для любого т сумма ряда
имеет конечный предел при s-»-l-f-.
2) Как бы ни было мало я>0. а т велико, функция
п(х) бесконечное число раз удовлетворяет каждому из
неравенств:
я (х) > И х — axln~mx, Л (х) < li x-\-ax\n~mx.

3) Частное п(х)\п xlx при х -*¦ оо не может иметь
предела, отличного от 1.
4) Если функция л {х) может быть выражена до коли-
количества порядка х \п~п х включительно алгебраически
к х, In х, ех, то таким выражением является выраже-
выражение (*).
После этого IT. JI. Чебышев ввел дво новые функции
распределения простых чисел 9 (.г) и г|)(ж) — Чебышева
функции
ii установил фактич. порядок роста этих функций.
Отсюда впервые им получен фактич. порядок роста
числа простых чисел я (х) и re-го простого числа Рп.
Точнее, он доказал:
5) Для х > 1 при А -.-- In 2i/231'35i 5/301'30, имеют
место неравенства
i|) (ж) > Лж — Jl In г — 1,
f ^4-In х+1.
6) Для х, начиная с нек-рого х0, имеют место нера-
неравенства
0,9212. ..< "(*>!"«< 1,1055...
X
7) Существуют постоянные а > 0. Л > 0 такие, что
и-е простое число Рп, для всех я —1, 2, ... удовлет-
удовлетворяет неравенствам
а/г In п < Рп < An In и.
8) В интервале (а, 2а—2) при а>3 лежит, по крайней
мере, одно простое число (постулат Бертра-
н а).
Главная идея метода доказательства 1)—4) состоит
в изучении поведения величин
V
п их производных при .? -»- 0+. В основе метода вывода
5)—8) лежит тождество Чебышева:
Лит.: [1.1 М со ы ш и в II. Л., Поли. собр. соч., т. 1, Тео-
Теория чисел, М.— Л., 1944. А. Ф. Лаврик.
ЧЕБЫШЕВА УРАВНЕНИЕ — линейное однород-
однородное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го
порядка
или, в самосопряженной форме,
здесь а — константа. Ч. у. представляет собой частный
случай гипергеометрического уравнения.
Точки ж= — 1 и .г=1 являются регулярными особыми
точками Ч. у. Замены независимой переменной
I — arccosх при \х\ < 1,
t = Arch | х | при | x | > 1
приводят это уравнение соответственно к линейным
уравнениям с постоянными коэффициентами
^ + аг/ = О или ?l — ay = 0,
так что Ч. у. интегрируется в замкнутой форме. Фун-
Фундаментальная система решений Ч. у. на интервале

—1<ж<1 при я=п2, где п — натуральное число, со-
состоит из Чебышева многочлена A-го рода) степени п
Тп(х) = cos (n arccos x),
и функции Un(x)=sm(n arccos х), связанной с много-
многочленами Чебышева 2-го рода. Многочлен Тп(х) служит
действительным решением Ч. у. с а=я2 и на всей дейст-
действительной оси. Ч. у. изучалось также в комплексной
области. н. X. Розов.
ЧЕБЫШЕВА ФУНКЦИИ — функции положитель-
положительного аргумента х, определяемые следующим образом:
Первая сумма берется по всем простым числам
а вторая — по всем положительным целым степеням
простых чисел р, таким, что pm*z.x. Функция ¦ф(я)
может быть выражена через Манголъдта функцию
Из определения функций 8 (ж) и т]) (х) следует, что
величина ее ш равна произведению всех простых чисел
р < х, а величина еФ <*> равна наименьшему общему
кратному всех положительных целых чисел п^х.
Функции 9 (х) и т]) (х) связаны между собой соотноше-
соотношением
Эти функции тесно связаны также с функцией
указывающей количество простых чисел p^
Лит.: [1] Чебышев И. Л., Избр. труды, М., 1955,
с. 33—54. С. А. Степанов.
ЧЕБЫШЕВСКАЯ СЕТЬ —сеть, направляющие век-
векторы каждого семейства линий к-рой переносятся
параллельно по линиям другого семейства. Чебы-
шевской сетью I рода наз. сеть 2„ такая, что
для каждого ? = 1, 2, ..., п направления распределе-
распределения Ai (x) параллельны в связности у вдоль любой
интегральной кривой каждого из других распределе-
распределений Aj, задаваемых этой сетью. Чебышевской
сетью II рода наз. сеть 2„(я>2), для каждого
i = l, 2, ..., п подпространства Д^-1 (z)czAn-i парал-
параллельны в связности у вдоль интегральных кривых
распределения А[.
Введены П. Л. Чебышевым A878).
Лит.: [1] Чебышев П. Л., Поли. собр. соч., т. 5, М.,
1951, с. 165—70. В. Т. Базылев.
ЧЕБЫШЕВСКАЯ ТОЧКА системы линейных нера-
неравенств
Ш (г) = а,-1|1+...+а|-„|„ + а,-<0, i = l, ..., т,
— точка г = (^1, ..., %п), для к-рой достигается мини-
макс
min max %(x).
х 1
Задача отыскания Ч. т. сводится к общей задаче линей-
линейного программирования [1].
Более общее понятие — чебышевская точка х*
системы гиперплоскостей {^fJ^Li из банахова прост-
пространства X, т. е. точка х*, для к-рой
sup inf || z—х* ||= inf sup inf \\z — x ||.
Ч. т. часто выбирается в качестве «решения» несовмест-
несовместной линейной системы уравнений или неравенств.
Лит.: [1] ЗуховицкийС. И., Авдеева Л. И.,
Линейное и выпуклое программирование, М., 1964; [2] Б е л о-
бров П. К., «Матем. заметки», 1970, т. 8, № 4, с. 29—40;
[3] Е р е м и н И. И., «Докл. АН СССР», 1961, т. 138, №6,
с. 1280—83. Ю. Н. Субботин.

ЧЕБЫШЕВСКИЙ АЛЪТЕРНАНС — свойство разно-
разности между непрерывной на Q функцией / (х) и полино-
полиномом Рп (х) (по Чебышева системе {<рк (я)}о) на упорядо-
упорядоченном множестве (п + 2) точек
{Х(}1+ ' с Q, *о < хх < ...
заключающееся в том, что
где е = 1 или —1 и Q—замкнутое множество действи-
действительных чисел. Точки {z,-}o+1 наз. точками чебы-
шевского альтернанса (см. также Альтернанса
точки). Ю. Н. Субботик.
ЧЕБЫШЕВСКИЙ ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД —
итерационный алгоритм нахождения решения линейно-
линейного уравнения
Au = f, A)
учитывающий информацию о принадлежности Эр(Л) —
спектра оператора А — нек-рому множеству Q, и ис-
использующий свойства и параметры многочленов, наи-
наименее отклоняющихся от нуля на множестве Q и рав-
равных единице в нуле.
Наибольшее развитие Ч. и. м. получил, когда в урав-
уравнении A) А — линейный самосопряженный оператор
и S-p(A)?[m, Ml, где 0<т<Л/ — точные границы
спектра; тогда Ч. и. м. использует свойства многочле-
многочленов Чебышева 1-го рода Тп(х). Для этого случая рас-
рассматривают два типа Ч. и. м.:
-u* —aft + 1DM*-/), B)
-/)-Pft+1(u*-uft-i), C)
Pi = 0, fc = 0, 1,... ,
в к-рых по заданному u° образуют последовательность
uk-+u при fc->oo. В B), C) a,-, f5; — числовые пара-
параметры методов. Если f,*=u—и*, то начальная ошибка
е° и ошибка на N-& итерации е^ будут связаны фор-
формулой
где
Рлг(') = Ц^ A-Vft). *V@) = l. D)
Многочлены Pn @ вычисляют по параметрам каждого
из методов B), C): для метода B)
ak = y,k,k = l,2,...,N, E)
где l<;'ft<iV — элементы перестановки x.N — (iuh,
• ¦¦-, Jn), а для метода C) — из рекуррентных соотно-
соотношений
^ft-i(<), F)
Л> = 1, Pi = 0, k--0, I, .... N~-1.
При этом
[|е*||< sup |Pjv(O!-Be«>||.
Оптимизация методов B), C) на классе задач, у
к-рых Sp(^4)? [m, M], заключается в таком выборе
параметров, чтобы Ppf(t) вида D) был многочленом, наи-
наименее отклоняющимся от нуля на [т, М]. П. JI. Чебы-
шевым в 1881 было показано, что это будет многочлен
PN(t)=TN((M-\-m-Zt)l(M-m))ITN(Q), G)
где Q=(M->j-m)/(M—m). Тогда
|еЛ'||<:2тЛ'/A+т2Л')|!е«||, (8)
где

Подставляя G) при N—к—1, к, k-j-i в F), опреде-
определяют параметры a^ + i, (^ ц метода C):
«* + 1=4йА + 1/(М — га), Pfc+1= —6ft6ft + 1, (9)
где
60=0, б1=0-1, 6fe + 1 = B0 — fife)-1, A-=l, ..., iV —1. A0)
Таким образом, вычисляя а^+ь p& + i по формулам
(9), A0), получают Ч. и. м. C), к-рый при любом
N S= 1 оптимально уменьшает || v,N ||.
В оптимальном методе B) для заданного N пара-
параметры «fc+i выбирают в соответствии с перестановкой x,v
по формуле E) так, чтобы было G), т. е.
yj — 2 (М -\- т — (M—rn) cos Я1|>у) ~\ A1)
г|зу^Bу— 1)/BJV), / = 1, 2, ..., N.
Тогда после jV итерации для Це^Ц будет справедливо
неравенство (8).
Важной проблемой при малых т/М является вопрос
об устойчивости метода B), E), A1). Неосмотритель-
Неосмотрительный выбор ил/ может привести к катастрофич. возра-
возрастанию || и* || для нек-рых i sS^lKiN, к потере знача-
значащих цифр, к возрастанию ошибок округления, допу-
допущенных на промежуточных итерациях. Известны алго-
алгоритмы, перемешивающие параметры A1) и гарантирую-
гарантирующие устойчивый счет: для N--=2? см. ст. Итерацион-
Итерационный алгоритм, а для N — Зр один из алгоритмов пост-
построения Х/\ следующий: пусть и, — A). а хзг_, -—
= (/ii /at ••¦! i%r-i)— построена, тогда образуют по
правилу
хзг = Gь г-З'-' + Л, 2.3'--1 + 1-/г, ..., 2.31—+
+ 1 —/or- ,), A2)
r^l, 2... , р.
Существует класс методов B) — устойчивые беско-
бесконечно продолжаемые оптимальные Ч.и. м.—позволяю-
м.—позволяющих продолжить метод B), E), A1) после N итераций
так, чтобы он был устойчив и вновь становился опти-
оптимальным для нек-рой последовательности W ,--* оо. Дли
случая N(—'V'N из представления
T*N(x)= TN(.r) B7V(.t) + /1) BTN(x)-Vl) A3)
видно, что треть параметров Рзл/ (О совпадает с A1).
Если после N итераций продолжить итерации B), E),
A1.) далее, нзяв в A1) :ta яру 2N значений:
¦фу-=Bу—1)/@Л0, 2/ Ф 1 (mod.3), A4)
то снова получается после 3/V итераций Ч. п. м. Для
обеспечения устойчивости множество A4) разбивают
на два: к г-му, г=1, 2, относят те фу, для к-рых
я cos фу является корнем /-и скобки н A3); внутри
каждого из подмножеств фу перемешивают с помощью
перестановки ил/. При N <_ к ^ 'IN употребляют в E),
A1) элементы первого множества, при 2N < /c<37V —
второго, тем самым определяется перестановка хзл/.
Продолжив аналогичным образом процесс образования
параметров, получают бесконечную равномерно рас-
распределенную на [0, 1] последовательность {шу}™, наз.
^-последовательностью, для к-рой метод [2] становится
оптимальным при N{~3fN и
а* + 1 —2 (М -\-m—{M — m) cosTOOft+1)-:, A5)
к = 0, 1, ....
Теория Ч.и. м. B), C) может быть распространена
на нек-рый класс несамосопряженных операторов, ког-
когда Sp А лежит на нескольких отрезках или внутри не-
нескольких специальной формы областей (в частности,
эллипса), или, когда известна информация о распреде-

пении начальной ошибки, на случай комбинированных
с методом сопряженных градиентов Ч. и. м., на задачи
частичной проблемы собственных значений.
Одним из эффективных приемов ускорения сходимо-
сходимости итераций B), C) является предварительное преоб-
преобразование уравнения A) к эквивалентному уравнению
вида
и применение уже к этому уравнению Ч. и. м. Опера-
Оператор В определяют, руководствуясь двумя факторами:
1) чтобы алгоритм вычисления величин вида Bv был
нетрудоемким, 2) чтобы Бр(.йЛ) принадлежал множе-
множеству, для к-рого обеспечена быстрая сходимость Ч. и. м.
Лит.: Elf M а р ч у к Г. И., Лебедев В. И., Числен-
Численные методы в теории переноса нейтронов, 2 изд., М., 1981; [2J
Вахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975;
[з] М а р ч у к Г. И., Методы вычислительной математики,
2 изд., М., 1980; [4] С а м а р с к и й А. А., Теория разностных
схем, М., 1977; [5] Лебедев В. PL, Ф и н о г е н о в С. А.,
«Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1971, т. 11, .№ 2, с. 425—38;
197а, т. 13, № 1, с. 18 — 31); 197E, т. 1U, № 4, с. 895—907; [в]
Лебедев В. И., там же, 19U9, т. 9, М 6, с. 1247—52;
е г о ж е, в кн.: Матем. анализ и смежные вопросы математики,
НовосиО., 1978, с. 89—108. В. И. Лебедев.
ЧЕБЫШЕВСКИЙ РАДИУС ограниченного
тожества М из метрич. пространства (X, р) —
точная нижняя грань радиусов всех шаров, содержащих
М (см. Чебышевский центр). ю. Н. Субботин.
ЧЕБЫШЕВСКИЙ ЦЕНТР ограниченного
множества М из метрич. пространства Х = (Х; р)
— элемент .го?Аг, для к-рого
sup р(ж0, у) — inf sup р (х, у). (*)
у t М х'6 X у 6 М
Величина (*) есть чебышевский радиус множества М.
Если линейное нормированное пространство является
сопряженным к нек-рому линейному нормированному
пространству, то любое ограниченное множество МаХ
имеет хотя бы один Ч. ц. Существует банахово прост-
пространство и трехточечное множество в нем, не имеющее
Ч . ц. Для того чтобы каждое ограниченное множество
банахова пространства X имело не более одного Ч. ц.,
необходимо и достаточно, чтобы X было равномерно
выпуклым по каждому направлению, т. е. чтобы для
любого z?X и любого е>0 существовало такое число
б—6(z, е)>0, что если Н^П-—||.г.2|| —1, х1—x2=Kz и
||г1+аг2||^1—6, то |Х,|<е. Ч. ц. каждого ограниченного
множества М из линейного нормированного простран-
пространства X размерности большей двух принадлежит выпук-
выпуклой оболочке этого множества тогда и только тогда,
когда X гильбертово. Ч. ц.— частный случай более
общего понятия наилучшей JV-сети.
Лит.: [11 Итоги науки. Математический анализ. 1967, М.,
НН;9, с. 75—132. Ю. И. Суййотгш.
ЧЕБЫШЕВСКОЕ МНОЖЕСТВО ¦- такое множество
М в метрич. пространстве (X, р), что для любого х?Х
в М существует единственный наилучшего приближения
элемент, т. е. элемент у?М, для к-рого р(.г, у) = р(х,
М). Существование и единственность элемента наилуч-
наилучшего приближения являются простейшими, естествен-
естественными требованиями, весьма удобными как с теоретиче-
теоретической, так и с вычислительной точек зрения. Это и опре-
определяет роль Ч. м. в теории приближений и теории бана-
банаховых пространств. Логически понятие Ч. м. является
развитием понятия Чебышева системы.
Конечномерное векторное подпространство LczC (Q)
с базисом фь ... , ф„ тогда и только тогда является Ч. м.
(ч е б ы in e в с к и м подпространство м),
когда функции (f1, ... , <р„ образуют систему Чебышева
(т. е. удовлетворяют Хаара условию). В евклидовом
пространстве Ч. м. являются прямые, плоскости, вы-
выпуклые фигуры и тела. Нетривиальные примеры Ч. м.
рассматривал впервые П. Л. Чебышев [1]. Это — под-
подпространство алгебраич. многочленов степени <.п и

множество рациональных функций с фиксированными
степенями числителя и знаменателя в пространстве
С [а, Ь\. В евклидовых пространствах множество яв-
является Ч. м. в том и только в том случае, когда оно зам-
замкнуто и выпукло.
В геометрии Лобачевского Ч. м. не обязано быть вы-
выпуклым [7]. В двумерном нормированном пространстве,
если оно негладко, легко строится невыпуклое Ч. м.
Существуют негладкие трехмерные пространства, в
к-рых каждое Ч. м. выпукло. Проблема выпук-
выпуклости произвольного Ч. м. в гильбертовом прост-
пространстве не решена A984). В то же время имеются дока-
доказательства выпуклости Ч. м. при дополнительных ус-
условиях на множество и на пространство, а также ус-
условия, эквивалентные выпуклости для Ч. м. (см. Ап-
Аппроксимативная компактность).
Поскольку Ч. м. могут быть невыпуклыми, изучают-
изучаются другие их характеристики. Ч. м. М наз. с о л идем
[2], если для любых хфЛ1 и z?x'x (где х' — точка в М,
ближайшая для х, х'х — луч с вершиной х', проходя-
проходящий через х) точка х' является ближайшей в М для z.
В гладких пространствах условия «М — выпукло» и
</,М — солнце» эквивалентны для Ч. м. М.
Свойства Ч. м. тесно связаны с аппроксимативной
компактностью и непрерывностью метрической проек-
проекции. Пусть в банаховом пространстве X задано Ч. м.
М:г если а) М — ограниченно компактное множество
или б) X равномерно выпукло, а М локально компакт-
компактно, то М является солнцем (н_ри дополнительном усло-
условии <iX гладко» — выпуклым множеством). Ч. м. с не-
непрерывной метрич. проекцией выпукло в гладком реф-
рефлексивном пространстве, а в С |0, 1] является солнцем.
В равномерно выпуклом банаховом пространстве всякое
Ч. м. связно (даже пересечения с шарами связны). Од-
Однако в С [0, 1] семейство функций ха, где 0«а<1,
жо(г)==О, xa(t)=a(a-\-i)(a-\-t)~1 при а>0, является Ч. м.
с изолированной точкой, т. е. несвязно и не является
солнцем [8]. Остается нерешенным A984) вопрос о том,
не будет ли каждое Ч. м., являющееся солнцем, в лю-
любом банаховом пространстве связным.
В «хороших» пространствах достаточно много Ч. м.
В банаховом пространстве X каждое выпуклое замкну-
замкнутое множество является Ч. м. тогда и только тогда, ког-
когда X строго выпукло (строго нормировано) и рефлек-
рефлексивно. В произвольном рефлексивном пространстве
всегда существует Ч. м.— гиперплоскость. В п-мерном
банаховом пространстве существуют чебышевские под-
подпространства всех размерностей <:п (см. [91). Существу-
Существует пространство, в к-ром нет нетривиальных чебышев-
ских подпространств. В равномерно выпуклом банахо-
банаховом пространстве каждое замкнутое множество М яв-
является почти ч е б ы m e в с к и м множест-
множеством в том смысле, что множество точек .г?Х, для
к-рых ближайшая точка в М существует и единственна,
является дополнением тощего множества в X. В сепа-
рабельных пространствах существуют подпространст-
подпространства любой конечной размерности, являющиеся «почти
Ч.м.». Существует пространство, изоморфное гильбер-
гильбертову, в к-ром метрич. проекция на нек-рое чебышев-
ское подпространство разрывна.
Понятие Ч. м. допускает обобщения, напр. вместо
условия единственности элемента наилучшего прибли-
приближения можно требовать известную «правильность» мно-
множества элементов наилучшего приближения для каж-
каждого х?Х, напр, компактность, связность или выпук-
выпуклость. Результаты, получаемые при таких обобщениях,
во многом аналогичны соответствующим результатам
для Ч. м.
Лит.: Ш Ч е б ы ш е в П. Л., Поли. собр. соч., т. 2,
М.—Л., 1947, с. 151—235; [2] Е ф и м о в Н. В., Стеч-
к и н С. В., «Док.ч. АН СССР», 1958, т. 118, Avl, с. 17 — 19;
[3] Итоги uajii'ii. Математический анализ. 1967, М., 1969,

с. 75—132j 141 Власов Л. П., «Успехи матем. наук», 1973,
т. 28, в. 6, с. 3—66; [5] Singe r I., Best approximation in
normed linear spaces by elements of linear subspaces, B.— Hdlb.—
N. Y., 1970; [lij e г о ж е, The theory of bestapproximation and
functional analysis, Phil., 1974; [7] Болтянский В. Г.,
Яг л ом И. М., в кн.: Энциклопедия элементарной математи-
математики, т. 5, М., 1966, с. 181—269; fe] Dunham С. В., «Canad.
Math. Bull.», 1975, v. 18, Л1» 1, p. 35—37; [9j 3 а л г а л-
лер В. А., «Зап. научн. семинаров Ленингр. отделения матем.
ин-та ДН СССР», 1972, т. 27, с. 67—72. Л. П. Власов.
ЧЕБЫШЕВСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ, равномер-
равномерное приближение,— приближение функций
f(x), непрерывных на множестве М, функциями S (х)
из нек-рого заданного класса функций, когда в качест-
качестве меры приближения рассматривается, уклонение в
равномерной метрике
р(/, 5)= sup |/(*)-?(*) |.
П. Л. Чебышев в 1853 (см. [1]) поставил и исследовал
задачу о наилучшем Ч. п. непрерывной функции алгеб-
раич. многочленами степени не выше п. В этой задаче,
а также в более общей задаче о наилучшем Ч. п. непре-
непрерывной функции рациональными дробями он получил
фундаментальные результаты и тем самым создал осно-
основы теории наилучшего приближения.
Лит.: |1] Чебышев II. Л., Поли. собр. соч., т. 2,
М.— Л., 1947, с. 23—51; [2] Г у т е р Р. С, Кудряв-
Кудрявцев л. Д., Левитан Б. М., Элементы теории функций,
М., 1963. Ю. И. Субботин.
ЧЕВЫ ТЕОРЕМА — теорема о соотношении отрез-
отрезков нек-рых прямых, пересекающих треугольник. Пусть
А х, Вх и С] —три точки, лежащие соответственно
на сторонах ВС, С А и А В треугольника ABC. Для
того чтобы прямые ААХ, ВВХ и С(\ пересекались в од-
одной точке или были все параллельны, необходимо и до-
достаточно, чтобы имело место соотношение
ас, BAt св, .
СТВ' AiC' ВТа"~
Прямые AAt, ВВг и ССг, пересекающиеся в одной точке
и проходящие через вершины треугольника, называют-
называются прямыми Ч е в ы, или ч е в пана м и. Ч. т.
метрически двойственна Менелая теореме. Название по
имени Дж. Чевы [1].
Ч. т. допускает обобщение на случай многоуголь-
многоугольника. Пусть в плоскости многоугольника с нечетным
числом нершин АХА,. . . A2w_i дана точка О, и пусть
прямые ОАг, ОА.2 <-)Аи, ОАп + х, ..., OA.in_1 пере-
пересекают противоположные вершинам А-[. А,, ..., Ап,
/!„!!, ..., A^n-i стороны многоугольника соответст-
соответственно в точках о„, «„ ( т. .-., a.,n-i. я(, .... «,j-i-
В таком случае
A-tfii Агаг Л,п_2а2П_, И.п_гп
о,Л2 а2А3' ' 'ч,п_,Л,„_.
__¦
Лит.: [1] С с v a G., Do lincis ri'ftis se invicem secantibus
sfatica constnictio, Mil., Hi78. П. С. Моденов.
ЧЕЗАРО КРИВАЯ — плоская кривая, радиус кри-
кривизны R к-poii в произвольной точке М пропорциона-
пропорционален отрезку нормали, отсекаемому на этой нормали
полярной точки М относительно нек-рой окружности.
Натуральное уравнение Ч.к.:
(Д/Ь)»»- 1 '
где Ъ — постоянное, та — действительное число. Ис-
Исследована !). Чезаро |1].
Лит.: [1J С е s а г о К., \'oi'lesungen iiber natiirliclie Geomet-
Geometric, 2 Aufl., Lp/.., 1926; L2] С а в с л о в А. А., Плоские кривые,
М., 1960. Д- Л- Соколов.
ЧЕЗАРО МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ — совокуп-
совокупность методов суммирования числовых и функциональ-
функциональных рядов; введены Э. Чезаро [1]; обозначаются симво-
символом {С, к).
Ряд

с частичными суммами Sn суммируем мето-
методом Ч е з а р о ti о р я д к а к, (С, ft)-c у м м и-
руем, к сумме S, если
- — -»¦ j , n -»¦ oo,
Ak
где Sn и Ап определяются как коэффициенты разло-
разложений
УАпх" =A—^)~*!
Выражения для а* и Л* можно представить в виде
(it4-1)
Метод (С, к) является матричным методом суммиро-
суммирования с матрицей ||anvi!:
An
0, v > n.
При ft —0 метод совпадает с обычной сходимостью, при
k=i есть метод средних арифметических. Методы
(С, к) вполне регулярны при ft>0 и не являются регу-
регулярными при /?<0. Сила метода возрастает с увеличе-
увеличением к: если ряд суммируем методом (С, к), то он сум-
суммируем к той же сумме методом (С, к') при &'>ft>—1.
При &<—1 :>то свойство не сохраняется. Из суммируе-
суммируемости ряда (*) методом (С, к) следует, что ап=о(пк).
Метод (С, к) равносилен и совместен с методами сумми-
суммирования Гёльдера (Н, к) и Рпсса (R, /?, к), (А:>0). При
любом к~>—1 метод (С, к) слабее метода Абеля.
Первоначально методы (С, к) были определены
Э. Чезаро для целых положительных значений парамет-
параметра к и применены им к умножению рядов. Позднее они
были распространены на произвольные значения к,
в том числе и на комплексные. Методы (С, к) имеют мно-
многочисленные применения: при умножении рядов, в тео-
теории рядов Фурье и др. вопросах.
Лит.: |1] С е а & г о Е., «Bull. sci. math.», 1890, t. 14, № 1,
p. 114—20; [2] Xa p ди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М., 1951; [3] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер.
с англ., т. 1, М., 1965; [4] Барон С. А., Введение в теорию
суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977. И. И. Волпов.
ЧЕПМЕНА — ЭНСКОГА МЕТОД — способ получения
решения Болъцмана уравнения (кинетического) для
одночастичной функции распределения / (t, r, V), являю-
являющийся своеобразным методом последовательных прибли-
приближений, в к-ром локальное распределение Максвелла
/лок (г, v\n,u, 8) определяется стандартной формулой,
но с локальными значениями плотности числа частиц
n(t, г), гидродинамич. скорости и (t, r) и температуры
0(?, г), используется в качестве нулевого приближе-
приближения, а условием существования решения для следую-
следующих приближений является выполнение гидродинамич.
уравнений для и, и, 6 в предыдущем приближении.
Так как свертки по скорости v интеграла столкновений
Больцмана с величинами 1, v и v2 равны нулю, то
в эти уравнения движения для п, и и 8 интеграл
столкновений явно не входит. Решение самого урав-
уравнения Больцмана •ищется в виде
/ (t, г, v) —-¦ /лок A+ Ф С) rJv))t Ф С? г, *)<«t^>

что приводит к неоднородному интегральному уравне-
уравнению с линеаризованным относительно функции ф ин-
интегралом столкновений. Неоднородная часть уравнения
содержит величины n(t, r), a (t, r), 0(i, r), подчиненные
упомянутым выше уравнениям. Таким образом, сов-
совместно рассматриваются сразу шесть уравнений. Ре-
Решение уравнения для ф ищется в виде разложения по
многочленам Сонина (присоединенные многочлены Ла-
герра полуцелого индекса) в пространстве скоростей.
Для всего метода характерно, что зависимость функции
распределения f(t, r, v) от времени входит только через
->е зависимость от локальных величин п (t, r), u(t, r),
Q(t, г). Нулевое приближение /=/лок определяет урав-
уравнения гидродинамики идеальной жидкости (уравнения
Эйлера), к-рые являются условием существования
первого приближения для /, ему же соответствуют уже
уравнения Навье—Стокса с явными выражениями для
коэффициентов диффузии, теплопроводности и двух
вязкостен, следующий шаг — уравнение Бэрнетта и
т. д. Параметром разложения является, по существу,
относительное изменение величин n(t, r), u(t, r), Q(t, r)
на интервале, равном средней длине свободного пробе-
пробега (параметр неоднородности), поэтому для задач со
скачками этих величин (ударные волны и т. п.) метод
не может быть использован.
Изложенный метод решения, основанный на идее ре-
решения интегральных уравнений Д. Гильберта (D. Hil-
bert, 1912), был разработан Д. Энскогом (D. Enskog,
1917) и независимо С. Чепменом (S. Chapman, 1916).
То же решение можно получить методом Гре-
д а [5], не столь громоздким, как Ч.— Э. м. При этом
функция / представляется в виде ряда по производным
/л„к(г, v\n, и, В) по компонентам скорости v (что факти-
фактически эквивалентно разложению функции по многочле-
многочленам Эрмита в трехмерном пространстве скоростей) с за-
зависящими от г и г коэффициентами, являющимися мо-
моментами искомой функции распределения, к-рые и оп-
определяются с помощью уравнения Больцмана. Первое
приближение для / (приводящее к уравнениям Навье—
Стокса) содержит только вторые производные от /лок-
Полученное указанными методами решение для одно-
частичной функции распределения можно вывести непо-
непосредственно из Боголюбова цепочки уравнении в соответ-
соответствующем малому значению параметра неоднородности
гидродинамическом приближении (т. е. минуя кинетич.
уравнение). Однако т. к. последовательные приближе-
приближения, производимые в цепочке, будут включать учет кор-
корреляций более высокого порядка, то совпадение резуль-
результатов произойдет лишь до первого порядка включи-
включительно, т. к. следующее приближение для / уже учи-
учитывает тройные корреляции частиц, к-рых уравнение
Больцмана не содержит, причем вклады от г>тих членов
конкурируют с теми членами, к-рые соответствуют вто-
второму приближению для функции /, удовлетворяющей
стандартному уравнению Больцмана.
Лит.: [1] Ч е п м е н С, К а у л и н г Т. Д., Математиче-
(кая теория неоднородных газов, пер. с англ., М-, 1960; [2]
У л еибек Д ж., Ф о р д Д ж., Лекции по статистической
механике, пер. с англ., М., 1965; [3]Гиршфельдер Д т.,
К е р т и с Ч., Б о р д Р., Молекулярная теория газов и жид-
жидкостей, пер. с англ., М., 1961; [4] Гр з д Г., в кн.: Некоторые
вопросы кинетической теории газов, пер. с англ., М., 1965,
с. 7—128; [5] G r a d H., в кн.: Handbuch der Physik, Bd 12,
В.— [а. о.], 1958, S. 203 —9i. Л. А. Кваснипов.
ЧЁРЧА ^-АБСТРАКЦИЯ—способ введения функций
в языках математич. логики, в особенности в комбина-
комбинаторной логике. А именно, если в нек-ром точном языке
определен терм А, выражающий объект теории и зави-
зависящий от параметров хЛ, ... , хп (и, может быть, также
от других иараметров), то
X^i.. .хпА (*)
служит в языке обозначением функции, перерабатываю-
перерабатывающей значения аргументов хг, ... , хп в объект, выражав-

мый термомЛ. Выражение (*) и наз. Ч. Я-а. Эта Ч. %-&.,
наз. также явным определением функций, употребляет-
употребляется чаще всего в случае, когда в языке теории возникает
опасность смешения функции как объекта исследования
со значениями функции для нек-рых значений аргу-
аргумента. Введена А. Чёрчем |1|.
Лит.: [1] Church A., The calculi of lambda-conversion,
Princeton, 1941; [2] Kapp X. Б., Основания математиче-
математической логики, пер. с англ., М., 1969. А. Г. Драгалин.
ЧЁРЧА ТЕЗИС — принцип, согласно к-рому класс
функций, вычислимых с помощью алгоритмов в широ-
широком интуитивном смысле, совпадает с классом частично
рекурсивных функции. Ч. т. — это естественнонаучный
факт, подтверждаемый опытом, накопленным в матема-
математике за всю ее историю. Все известные в математике
примеры алгоритмов удовлетворяют ему. Ч. т. впервые
был высказан А. Чёрчем (A. Church, 193G). Различ-
Различным уточнениям интуитивного понятия алгоритма со-
соответствуют свои формулировки Ч. т. Тез и с Тью-
Тьюринга заключается в том, что всякая вычислимая
в интуитивном смысле функция вычислима с помощью
нек-рой Тьюринга машины, а принцип нормализации
Маркова — в том, что всякая вычислимая в интуитив-
интуитивном смысле функция вычислима с помощью нек-рого
нормального алгорифма. Из эквивалентности известных
уточнений понятия алгоритма следует эквивалентность
соответствующих вариантов Ч. т. Этот факт является
еще одним подтверждением Ч. т. Тезис Чёрча не может
быть строго доказан, так как в его формулировке участ-
участвует неточное понятие «алгоритм в интуитивном смысле».
Были попытки опровергнуть Ч. т., однако они к успеху
не привели A984). Принятие Ч. т. полезно в теории
алгоритмов и ее приложениях. Во-тгервых, при доказа-
доказательстве существования тех или иных конкретных ал-
алгоритмов — машин Тьюринга, рекурсивных функции,
нормальных алгорифмов и др.— можно, опираясь на
Ч. т., ограничиваться интуитивно ясными построе-
построениями и не выписывать соответствующие формальные
схемы.
Кроме того, Ч. т. является основанием для вывода
о неразрешимости данной алгоритмической проблемы
после того, как строго доказано, что эта проблема не
может быть решена в рамках того или иного уточнения
понятия алгоритма.
Лит.: [1] К лини С. К,, Введение в метаматематику,
пер.; с англ., М., 1957; L2] Р о д ж е р с X., Теория рекурсив-
рекурсивных функций и эффективная вычислимость, пер. с англ., М.,
1972. С. И. Аняп.
ЧЕТАЕВА ПРИНЦИП — вариационный дифферен-
дифференциальный принцип механики, представляющий собой
видоизменение Гаусса принципа, установленное
Н. Г. Четаевым [1].
Согласно Ч. п., работа на элементарном цикле, со-
состоящем из прямого движения в поле заданных сил и
движения обратного (попятного) в поле сил, к-рых
было бы достаточно для создания действительного дви-
движения, если бы механич. система была совершенно сво-
свободной, для действительного движения имеет отно-
относительный (по меньшей мере) максимум в классе
мыслимых по Гауссу движений. Ч. п. распространен
на физич. системы, а также на сплошные среды
(см. [2]).
Подробнее см. Вариационные принципы классической
механики. _
Лит.: [1] Ч е т а е в Н. Г., «Прикл. матем. и механ.», 1941,
т. 5, в. 1, с. 11 — 12; [21 Р у м я н ц е в В. В. «Докл. АН СССР»,
1973, т. 210, Кг 4, с. 787—90. В. В. Румянцев.
ЧЕТАЕВА ТЕОРЕМЫ— 1) Ч. т. о неустойчи-
неустойчивости — общие теоремы о неустойчивости движения,
установленные П. Г. Четаевым для уравнений возму-
возмущенного движения вида
*g-=Xs(t, *,, ..., х„), * = !,..., п, A)

правые части к-рых Х$ — голоморфные функции от-
относительно действительных переменных xs с коэффици-
коэффициентами, являющимися непрерывными и ограниченными
функциями действительной переменной — времени t,
определенные в нек-рой области
'^'о, Х=1Х*<Л' B)
причем Xs (t, 0, ... , 0) = 0.
Ч. т. даны в двух формулировках: с двумя функция-
функциями F, W и с одной функцией V. Под функциями V, W
понимаются действительные функции действительных
переменных xs и /, однозначные и непрерывные в обла-
области B) и обращающиеся в нуль при .rj--O, так же как
их полные производные по времени 1-го порядка V, W,
причем, напр.,
Теорема о неустойчивости с двумя
функциями A934, см. [1], с. 222—24): если диф-
дифференциальные уравнения таковы, что: 1) для нек-рой
допускающей бесконечно малым высший предел функ-
функции У существует область, где l'F>0, и 2) для нек-рых
значений величин xs, численно сколь угодно малых, в
области FF>0 возможно выделить область, в к-рой
нек-рая функция W>0, на границе области W~Q зна-
значения W суть одного какого-либо определенного знака,
то нввозмущенное движение х—Л) неустойчиво.
При решении вопроса о неустойчивости целесообраз-
целесообразно рассматривать интервал изменения времени \t0, oo|
закрытым и существование области \ >0 понимать как
ео непустоту для любого t на этом интервале (см. [1],
с 225—238). Если рассматриваемая область FF>0 ог-
ограничена !¦'—(.) л при :>то.и I ;-;-(!, то за функцию W воз-
возможно взять функцию V.
Условие 2) можно сформулировать многими иными
способами, в частности, пусть уравнения A) имеют
первый интеграл F(l, ,c)— const, обладающий свойства-
свойствами функций V, и пусть область /'>0 не является пустой
при численно сколь угодно малых значениях xs (см.
|1], с. 232'). Если для возмущенных движений при
l'(t, .<¦)=¦?, сколь бы мало к не было, тем самым будут
выполняться неравенства К>/,'>0 в области B) для
допускающей малый высший предел функции V, а
начальные значения ,rSo при удовлетворении интегралу
F (t, x)--E-~-Fu возможно выбрать так, чтобы они удов-
удовлетворяли также п неравенству 1'0>0, то невозмущен-
невозмущенное движение неустойчиво.
Если интервал времени считать открытым \t0, oo)
и не вводить условного смысла существования области
F>0, то справедлива теорема о неустойчи-
неустойчивости с одной ф у н г. ц 11 о и A946, см. [1],
с. 5—152): если дифференциальные уравнения A) тако-
таковы, что возможно найти функцию V, ограниченную в об-
области F>0, существующей при всяком t^ttt и для сколь
угодно малых по абсолютной величине значений пере-
переменных xs, производная к-рой V была бы определенно-
положительной в области F>0, то невозмущенное дви-
движение неустойчиво. Под определенно положительной
в области F>0 функцией понимается функция Wit, x),
к-рая может обращаться в нуль в этой области лишь
на границе Г=0, причем для произвольного е>0, как
бы мало оно не было выбрано, найдется такое число
Z>0, что при xs, удовлетворяющих условию FJse, и для
всякого t^t0 имеет место неравенство W^l.
Было дано обращение этой теоремы, чем была обос-
обоснована ее универсальность (см. [2]).

2) Ч. т.— теорема о свойствах уравнений в вариациях
Пуанкаре
д'н
7 = 1, . . ., re,
составленных для невозмущенного движения g;~qt (<),
Pi--pi(t), предполагаемого таким, что коэффициенты
уравнений C) суть непрерывные ограниченные дейст-
действительные функции /, Н A, q;, pi) — функция Гамиль-
Гамильтона, ?,¦ и т),-—отклонения координат ?,• и импульсов р,\
Уравнения C) имеют существенное значение в иссле-
исследованиях устойчивости движений консервативных голо-
нимных систем.
Теорема. Если невозмущенное движение голо-
номной потенциальной системы устойчиво, то характе-
ристич. числа всех решений уравнений в вариациях C)
равны нулю, уравнения C) являются при этом правиль-
правильными и прмводимы.ми к системе уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами и имеют знакоопредеяеняый
квадратичный интеграл.
Ч. т. обобщает теорему Лагранжа для равновесий и
теорему Пуанкаре — Ляпунова для нериодич. движе-
движений. Согласно теореме, для устойчивого невозмущенно-
невозмущенного движения потенциальной системы бесконечно близ-
близкие возмущенные движения имеют колебательный, вол-
волновой характер. Отсюда IT. Г. Четаев сделал вывод, что
если существует аналогия между динамикой и матема-
тич. теорией света Коти, то ее следует искать в возму-
возмущенных движениях вблизи устойчивых движений по-
потенциальных систем. И такую аналогию Н. Г. Четаев
нашел (см. [1J, с. 404—06), показав, что необходимое
условие устойчивости голономных консервативных сис-
систем приводит к волновому уравнению. Оптико-механи-
Оптико-механическая аналогия полно исследована Н. Г. Четаевым и в
свете теории групп Ли, причем в основу положена ори-
оригинальная мысль о существе аналогии между двумя
явлениями как о совпадении группы преобразовании
одного явления (колебательного процесса распростра-
распространения света) с группой преобразований другого явле-
явления (возмущенных движений консервативной системы
вблизи ее устойчивого движения). Н. Г. Четаев дока-
доказал (см. [1], с.393—403), что эта последняя группа пред-
представляет собой унимодулярную группу линейных пре-
преобразований, илтеющую представление в полной группе
преобразований Лоренца — основной для теории света
Коши и Максвелла.
Лит.: [1] Четаев Н. Г., Устойчивость движения. Рабо-
Работы по аналитической механике, М., 1962; [2] К р а с о в -
с кий Н. Н., Некоторые задачи теории устойчивости движе-
движения, М., 1959. В. В. Румянцев.
ЧЕТАЕВА УРАВНЕНИЯ — общие канонич. уравне-
уравнения механики голономных систем, представимые с по-
помощью нек-рои группы Ли бесконечно малых преобра-
преобразований и эквивалентные Пуанкаре уравнениям.
Если вместо независимых переменных г\;, определяю-
определяющих действительные перемещения, ввести величины
L(t; X], ... , х„\ т]3, ... , T)t) — функция Лагранжа, то
уравнения Пуанкаре примут более простой вид Ч. у.
A)
где
Н (t; хъ ..., хп\ !/! #ft) = 2;-
I

—функция Гамильтона. Вторую группу уравнений A)
можно заменить уравнениями
dX;
Вводя функцию действия по формуле
где интегрирование происходит по действительной тра-
траектории системы, можно получить соотношения
Уа^ХаУ, l?--X»K, o-l, .... fc. C)
Здесь X% обозначают операторы Ха, отнесенные к на-
начальному моменту времени t(l и начальному положению
системы ж?; у"а— начальные значения уа. Если функ-
функция действия известна, то уравнения C) решают за-
задачу механики, причем вторая группа уравнений C)
определяет в неявном виде .чакон движения системы.
Функция действия удовлетворяет дифференциально-
дифференциальному уравнению с частными производными 1-го порядка
X0V+H(t, .ть ..., *„, X,V, ..., XkV)=-0. D)
Если известен полный интеграл V (t, а;,, .. ., х„, аъ . ..
..., ап) уравнения D), то решения Ч. у. определяются
соотношениями
(UT.^bi> !/j~xjl\ < = 1, .... и, j-^i, ..., к,
где а,-, Ъ; — произвольные постоянные, стесненные п—к
проинтегрированными уравнениями связей.
Вместо переменных л1,- могут быть рассмотрены новые
переменные а,-, определяющие положение системы.
Пусть Аа -д/dt, As, s—1, ..., к представляют (А1-]-!)-
членную группу непрерывных преобразований Jin в пе-
переменных а,- со структурными постоянными ysrj-, при-
причем Vor/~"O; ns " 6^ — переменные, определяющие
возможные и действительные перемещения, так что
для нек-рой функции
/ (/, а,, . .., а„)
= (jl+ 2
*=I
Преобразование переменных определяется характери-
стич. функцией
V(t, *!,..., Х„, «1,
а„
и формулами
ys--XtV, $S=-ASV, s = l, .... к,
вместе с проинтегрированными уравнениями связей.
Такие преобразовании наз. к а н о н и ч. преоб-
преобразованиями, они сохраняют канонич. вид
уравнений движения, причем функция Гамильтона в
новых переменных принимает вид
Если характеристич. функция преобразования является
полным интегралом уравнения D) (при Х{) = -^\, то
функция II* —0 и Ч. у. A), B) в новых переменных
принимают вид
т. е. a,- —const,, pj = const, i — 1, ..., re, s = l, ..., к.
Линейная фирма ^ = 2_ Vsws определяет основной
относительный интегральный инвариант динамики.

Условие того, что f(t, х±, ..., хп, yi, ..., j^ft) = const,
есть первый интеграл Ч. у., имеет вид
где
— скобка Пуассона.
Если f=a и g—b являются первыми интегралами, то
интегралом будет и (/, g)=c (обобщение Пуассона тео-
теоремы).
Ч. у. выведены IT. Г. Четаевым [1]—[3], разработав-
разработавшим и их теорию.
Лит.: [1] Ч е т а е. в Н. Г., «С. г. Acad. sci.», 1927, t. 185,
p. 1577—78; [2] его же, «Докл. АН СССР. А», 1928, №7,
с. 103—04; [3] е г о ж е, «Прикл- матом, и мехаи.», 1941, т. 5,
в. 2, с. 253—62. В. В. Румянцев.
ЧЕТАЕВА ФУНКЦИЯ — функция г (х) в окрест-
окрестности неподвижной точки х~ 0 системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
x = F(x), x?R", F@) = 0, (*)
обладающая двумя свойствами: 1) существует примы-
примыкающая к точке х— 0 область G, в к-рой у>0, и v=0 на
границе области G вблизи .т=0; 2) в области G производ-
производная в силу системы (*) (см. Дифференцирование в силу
системы) i>>0.
Справедлива теорема Четаева [1]: если для
системы (*) имеется Ч. ф. и, то неподвижная точка т=0
неустойчива по Ляпунову.
Ч. ф. является обобщением Ляпунова функции и дает
удобный способ доказательства неустойчивости (см.
[2]). Напр., для системы
х = ах~\-о (| а; |-(-| у | ),
где а, Ь>0, Ч. ф. будет г;==х2—с2у2 при любом сфО.
Предложены обобщения Ч. ф., в частности для неав-
неавтономных систем (см. [3]).
Лит.: Ш Чета ев Н. Г., «Докл. АН СССР», 1934, т. 1,
№ 9, с. 529—31; [2] е г о ж е, Устойчивость движении, 3 изд.,
М., 19И5; [3] К р а с о в с к и й Н. Н., Некоторые задачи тео-
теории устойчивости движения, М., 1959. А. Д. Брюно.
ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, не меняющая
знак при изменении знака независимого переменного,
т. е. функция, удовлетворяющая условию /(—x)—f(x).
График Ч. ф. симметричен относительно оси ординат.
ЧЕТНОЕ ЧИСЛО — целое число, делящееся (без
остатка) на 2.
ЧЕТЫРЕХ КРАСОК ЗАДАЧА: можно ли области
любой плоской карты (см. Граф плоский) раскрасить
четырьмя цветами так, чтобы любые две соседние области
были раскрашены в различные цвета?
Гипотеза о том, что ответ на Ч. к. з. утвердительный,
была сформулирована в сер. 19 в. В 1890 было доказано
более слабое утверждение, а именно, что любая плоская
карта раскрашивается в пять цветов. Сопоставляя лю-
любой плоской карте двойственный ей плоский граф,
получают эквивалентную формулировку Ч. к. з. в тер-
терминах графов: верно ли, что хроматич. число
(см. Графа раскраска) любого плоского графа G не
превосходит 4 (/(G)<4)? Многочисленные попытки ре-
решения Ч. к. а. оказали влияние на развитие ряда на-
направлений графов теории. В 1976 анонсировано поло-
положительное решение Ч. к. з. с использованием ЭВМ
(см. [3]).
Лит.: [11 X а р а р и Ф., Теория графов, пер. с англ., М.,
1973; [2] Ore О., The four-color problem, N. Y.— L., 19B7;
[3] A p p e 1 К., H a k e n W. «Ш. J. Math.», 1977, v. 21, № 3,
p. 429—567. В. Б. Алексеев.
ЧЕТЫРЕХВЕРШИННИК полны и — совокуп-
совокупность четырех точек А, В, С, D, лежащих в одной пло-

скости, из к-рых никакие три не принадлежат одной
прямой, и шести прямых, соединяющих попарно эти
точки (см. рис.). Точки А, В, С, D наз. вершинами,
прямые АВ, CD, AC, BD, ВС, AD — сторонами
полного Ч. Стороны, не имеющие общей вершины, наз.
противоположными; точки Р, Q, Я пересе-
пересечения противоположных сторон наз. диагональ-
диагональными точками.
Если S и Т — точки пересечения прямой PQ с пря-
прямыми AD и ВС, то четверка точек Р, О, S, Т является
гармонической четверкой точек. Фигура, двойственная
Ч., наз. четырехсторонником — совокуп-
совокупность четырех прямых, лежащих в одной плоскости,
из к-рых никакие три не принадлежат одной точке.
П. С. Моденов, А. С. Пархоменко.
ЧЕТЫРЕХМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ — топологич.
пространство, каждая точка к-рого имеет окрестность,
гомеоморфную четырехмерному числовому простран-
пространству R4 или замкнутому полупространству R?-. Это
определение обычно дополняют требованием того, что-
чтобы Ч. м., как тоиологич. пространство, было хаусдор-
фовым и имело счетную базу. Топология Ч. м. занимает
особое место в топологии многообразий. С одной сторо-
стороны, размерность 4 слишком мала для беспрепятствен-
беспрепятственного применения соображений общего положения и
трансверсальности, столь продуктивных в многомер-
многомерной топологии, и достаточно велика для того, чтобы ис-
исключить прямое использование более интуитивных
методов трехмерной топологии. С другой стороны, то-
топология Ч. м. наследует многие трудности как трех-
трехмерной, так и многомерной топологии многообразий. Это
объясняется, напр., тем, что край Ч. м. может быть
произвольным трехмерным многообразием, и тем, что
любая конечно определенная группа является фунда-
фундаментальной группой нек-рого замкнутого Ч. м. На по-
последнем замечании основано доказательство невозмож-
невозможности алгоритмич. распознавания сферы среди Ч. м.
Аномальность размерности 4 хорошо иллюстрируется
следующим фактом: на многообразии R" существует
нестандартная кусочно линейная (и дифференцируемая)
структура только при п=4. Существуют Ч. м., не допу-
допускающие кусочно линейной структуры. Если все же та-
такая структура имеется, то имеется и единственная согла-
согласованная с ней дифференцируемая структура. Ч.м.,
снабженное комплексной структурой, наз. анали-
аналитической поверхностью.
Каждому замкнутому ориентированному Ч.м. М от-
отвечает унимодулярная целочисленная симметрическая
билинейная форма L^j, задаваемая на свободной части
группы Ht{M; %) с помощью пересечения циклов.
Сигнатура этой формы наз. сигнатурой многооб-
многообразия. Форма пересечений является важнейшим инва-
инвариантом Ч. м. Два замкнутых односвязных дифферен-
дифференцируемых Ч. м. /г-кобордантны тогда и только тогда,
когда их формы изоморфны. Если квадратичная форма,
отвечающая билинейной форме L^ дифференцируемого
Ч. м. М, принимает только четные значения, то струк-
структурную группу SO его стабильного касательного рас-
расслоения можно заменить на группу Spin. Такие Ч. м.

наз. спинорными. Имеется топологич. класси-
классификация замкнутых одиосвязных Ч. м. Каждое такое
Ч. м. с четной формой полностью определяется ею, при-
причем любая четная целочисленная симметрическая уни-
модулярная форма реализуема как форма пересечения
односвязного топологического Ч. м. В частности, спра-
справедлива четырехмерная топологич. гипотеза Пуанкаре.
Классифицирующим инвариантом Ч. м. с нечетной фор-
формой служат пары вида (L, х), где L — нечетная целочис-
целочисленная симметрическая унимодулярная билинейная
форма, а х=0 или 1. Каждое замкнутое односвязное
Ч. м. М с нечетной формой полностью определяется
парой (Lyu, Хуц)> где км = О, если стабильное касательное
расслоение многообразия М допускает векторную ре-
редукцию, и 1 в противном случае. Любая такая пара реа-
реализуема. Вопрос о том, какие формы реализуются од-
носвязными дифференцируемыми Ч. м., до конца не
исследован. Известно, что можно реализовать все не-
нечетные неопределенные формы. Из четных неопределен-
неопределенных форм связные суммы Куммера поверхностей и мно-
многообразий S2X S2 реализуют формы вида mEs(?)nU, если
, т четно и Зт<2ге. Форма указанного вида с нечетным
числом т заведомо не является формой пересечения
замкнутого дифференцируемого Ч. м., так как сигна-
сигнатура такого спинорного многообразия обязана делиться
на 16, а сигнатура форм mEsQ)nU равна 8т. Из опреде-
определенных форм реализуемы только формы, задаваемые
единичными матрицами.
Лит.: [l] M а н д е л ь б а у м Р., Четырехмерная тополо-
топология, пир. с англ., М., 1981; [2] S i е Ь с п m a n n L., La conjec-
conjecture de Poincare topologique en dimension 4, Seminaire Bourbaki,
34 annrie, 1981/82, n° 588, p. 1 — 30. С. В. Матвеев.
ЧЕХА КОГОМОЛОГИИ, к о г о м о л о г и п
Александрова — Ч е х а, спектральные
к о г о м о л о г и и,— прямой предел
Н"(Х; С) = Ншй»(а; G)
когомологнй с коэффициентами в абелевой группе G
нервов всевозможных открытых покрытий а топологич.
пространства X. Когомологии замкнутого подмножества
A<z.X могут быть определены аналогичным образом
с помощью подсистем а'са. всех тех множеств из а,
к-рые имеют непустое пересечение с А. Предел групп
пар Н" (a, a'; G) определяет когомологии Hn(X, A;G)
пары (X, А). Когомологич. последовательность
...^ Н" (X, A; G)^ В" (X; G) -г II" (A; G) -»
->- Hn + x(X, A; G)->- ...
пары (X, А) точна как предел точных когомологич-
последовательностей пар нервов (а, а').
Когомологии Александрова — Чеха служат заменой
сингулярных когомологий в общих категориях топо-
топологич. пространств и совпадают с ними всякий раз,
когда применение последних не вызывает сомнений
(а именно, в случае гомологически локально связных,
в частности, локально стягиваемых пространств). Они
удовлетворяют всем Стинрода—Эйленберга аксиомам
и в категории паракомнактных пространств однозначно
определяются этими аксиомами вместе со следующими
требованиями: a) HP = Q при р < 0; б) когомологии
дискретного объединения (JiX\ естественно изоморфны
прямому произведению когомологий пространств X j,;
в) lira Hp (U i; G)~ Hp (x; G) для системы всех окрест-
окрестностей Ui произвольной точки х?Х. Когомологии
Александрова — Чеха изоморфны когомологиям
Александера — Спеньера. Они могут быть опре-
определены с коэффициентами в пучке и для паракомпакт-
ных пространств изоморфны когомологиям, определя-
определяемым в теории пучков.
Возможность аппроксимации пространств полиэдра-
полиэдрами — нервами замкнутых покрытий установлена П. С.
Александровым (см. [1] — [3]). Для частного случая им

было дано определение обратного предела топологич.
пространств, а на основе аппроксимации — определе-
определение чисел Бетти метризуемых компактов. Группы гомо-
гомологии компактов определились в терминах циклов
Вьеториса. Л. С. Понтрягин [4] ввел прямые и обратные
спектры групп, и эти понятия были применены им к изу-
изучению групп гомологии компактов. Э. Чех (Е. Cech)
стал рассматривать нервы конечных открытых покры-
покрытий некомпактных пространств и на этой основе поло-
положил начало гомология, теории произвольных тополо-
топологич. пространств. Позже выяснилось, что рассмотрение
исключительно конечных покрытий не оправдано (так
как приводит к довольно сложным гомологиям компак-
тификации Стоуна—Чеха). Плодотворность использо-
использования произвольных открытых покрытий в теории гомо-
гомологии и когомологии некомпактных пространств проде-
продемонстрировал X. Даукер [5].
Лит.: [1] Александров П. С. «Math. Ann.», 1927,
Bd 96, S. 489—511; [2] его же, «С. г. Acad. sci.», 1927, t. 184,
P. 317—20; [3] e г о ж е, «Ann. Math.» 1928, v. 30, p. 101—87;
[4] Понтрягин Л. С, «Math. Ann.» 1931, Bd 105, H. 2,
S. 165—205; [5] D о w k e г С. Н., «Amer. J. Math.», 1947, v. 69,
p. 200—42; [6] С т и н р о д Н., Э й л е п 0 е р г С, Основа-
Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [7]
С к л я р е н к о Е. Г., «Успехи матсм. наук», 1979, т. 34,
в. 6, с. 90—118; [8] М а с с и У., Теория гомологии и когомо-
логий, пер. с англ., М., 1981, гл. J—3, 8 и доб. к гл. 6; [9]
С е с h E., «Fund, math.», 1932, v. 19, p. 149—83.
E. Г. Скляренко.
ЧЖОУ КОЛЬЦО — кольцо классов алгебраических
циклов на неособом квазиггроективном алгебраич. мно-
многообразии относительно рациональной эквивалентности.
Умножение в этом кольцо определяется и терминах
пересечения циклов (см. Пересечений теория).
Ч. к. А (X) = Q)i-^qAi' (X) многообразия X является
градуированным коммутативным кольцом, если обоз-
обозначить через А' (X) группу классов циклов коразмер-
коразмерности г. При этом для морфизма /: X —>• Y гомоморфизм
обратного образа /*: A (Y) —> А (X) является гомомор-
гомоморфизмом колец, а гомоморфизм прямого образа /»:
А (X)—> A (Y) является (для собственных /) гомомор-
гомоморфизмом A (Y)—модулой. Последнее означает, что имеет
место формула проекций:
Ч. к. является областью значений для теории классов
Чжэня алгебраич. расслоений (см. [1]), а именно, если
Е— локально свободный пучок ранга г на многообразии
X, Р(Е)~ето проективизация, л: Р (Е)—* X — кано-
Ш1ч. проекция, ?? А1 (Р (?)) —класс дивизоров, соответ-
соответствующий обратимому пучку О/>(?¦> A),то я* является
вложением и Ч. к. А (Р {Е)) отождествляется с факто-
фактором кольца многочленов А (X) [?,] по идеалу, порожден-
порожденному многочленом
ZT-Cl (E) S'-1 + .. . + ( — 1Усг (Е).
Коэффициент С? {Е) ? Ak(X) наз. k-м классом Чжэня
пучка Е.
В случае многообразий над полем комплексных чисел
имеется гомоморфизм А (X) -<- Н(Х, %) в кольцо сингу-
сингулярных когомологии, удваивающий степени и совмести-
совместимый с гомоморфизмами прямого и обратного образов.
Если X—особое квазипроективное многообразие, то
его кольцо Чжоу А (X) определяется как прямой
предел колец: А {X) — lim A (Y) по всем .морфизмам
/: X.—>• Y, где Y неособо. Получается контраварпант-
ный функтор в категорию градуированных колец, удов-
удовлетворяющий формуле проекций (см. [3]).
Лит.: [1] Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия,
пер. с англ., М., 1981; [2] Дппеаих de Chow et applications.
Seminaire Chevalley, P., 1958; [3] Pulton W., «РиЫ. Math.
IHES», 1975, >tb 45, p. 147—67. Вал. С. Куликов.
ЧЖОУ МНОГООБРАЗИЕ, Чжоу схема,—алге-
схема,—алгебраическое многообразие, точки к-рого параметризуют

все алгебраич. подмногообразия X размерности г и сте-
степени d проективного пространства Р".
В произведении Xx(P")r + 1, где Рп— двойственное к
Рп проективное пространство, параметризующее гипер-
гиперплоскости исР", рассматривается подмногообразие
Т = {х, ц«», ..., и'К | а:?и<'> при i = 0, ..., г}.
Его образ р2 (Г) С (Pn)r + 1 при проекции на второй со-
сомножитель есть гиперповерхность в (Pn)r + 1, к-рая за-
задается формой F% от r-\-i системы и по n-\-i перемен-
переменным, однородной степени d по каждой системе пере-
переменных. Форма Fx наз. ассоциированной
формой (или формой К э л и) многообразия X;
она полностью определяет подмногообразие X. Эта форма
была введена Б. Л. Ван дер Варденом и В. Чжоу [1].
Коэффициенты формы Fx определены с точностью до
постоянного множителя и наз. координатами
Чжоу многообразия X.
Координаты Чжоу многообразия X определяют точку
c(X)g.Pv, где v — нек-рая функция от п, г, d. Точки
c(X)?Pv, соответствующие всем неприводимым под-
подмногообразиям X с Р" размерности г и степени d,
заполняют в Pv квазипроективное подмногообразие
Сп, г, di называемое многообразием Чжоу. Если
рассматривать не только неприводимые подмногообра-
подмногообразия, но и положительные алгебраич. циклы (т. е. фор-
формальные линейные комбинации многообразий с целыми
положительными коэффициентами) размерности т и сте-
степени d в Р", то получается замкнутое подмногообразие
Сп, г,,;СРт, к-рое также наз. многообразием Чжоу.
Ч. м. является базой универсального алгебраич. се-
семейства Ж —* С„. r<d, где J сг С„, л, d~Xpn, n индуци-
индуцировано проекцией и слой я (с) в точке с (X)?<"'„,/• ,а
совпадает с циклом X. Простейшими примерами Ч. м.
являются многообразия C:il d— кривых степени d в Р3.
Так, Сз, 1, з :=Сз, 1,1 — неприводимое многообразие раз-
размерности 4, изоморфное квадрике Плюккера в Р",
Сз, 1, 2 = ^A) U ?'"' состоит из двух компонент размерности
8, где С'1' соответствует плоским кривым 2-го порядка,
а СB) — парам прямых; СЛ1?1 состоит из четырех ко.м-
понент размерности 12. к-рые соответствуют тройкам
прямых, кривым, состоящим из прямой и плоской
квадрики, плоским кубикам, неплоским кривым сте-
степени 3. Во всех лтих случаях многообразия Са ti d
рациональны. Однако из нерациональности схемы моду-
модулей кривых достаточно большого рода следует, что при
достаточно больших d многообразия C-ild нерацио-
нерациональны (см. [2]).
Если V С Р" — алгебраич. подмногообразие, то циклы
Z С Р" размерности ?• и степени d, лежащие в V, об-
образуют алгебраич. подмногообразие Crid(V) czCll<r a-
Этот результат позволяет ввести нек-рую алгёбро-
геометрич. структуру на множестве положительных
r-мерных циклов Zt (V) -¦- \Jd > 0Сr d(V) многообразия
V (см. [1]).
О других подходах к проблеме классификации мно-
многообразий см. Гильберта схема, Модулей проблема.
Лит.: [1] Y a n d e r W a e r d e n В. L., С й о w W.-L.<
«Math. Ann.», 1937, Bd ll.'i, S. 692—704- [2j Harris J..
MumfordD., «Invent. Math»., 1982, v. 67, p. 23—8B; Ш
Ход* В., II идо Д., Методы алгебраической геометрии, пор.
с англ., т. 2, М., 1954; [4] Ш а ф а р е в и ч И. У., Основы алгеб-
алгебраической геометрии, М., 1У72. Вал. С. Нуликов.
ЧЖОУ ТЕОРЕМА: любое аналитич. подмножество
комплексного проективного пространства является ал-
алгебраическим многообразием. Теорема доказана В.
Чжоу [1].
Лит.; [1] ChowW.-L., «Amer. J. Math.», 1949, v. 71,
p. 893—9L; [2] Гриффите Ф., X a p p и с Д ж., Принципы

алгебраической геометрии, т. 1, пер. с англ., М., 1982; [3]
Ч ж э н ь Ш э н-ш о н ь, Комплексные многообразия, пер.
с англ., М., 1961. А. Л. Онищик.
ЧЖЭНЯ КЛАСС — характеристический класс, опре-
определенный для комплексных векторных расслоений.
Ч. к. комплексного векторного расслоения % с базой
В обозначается с,- (?)?#2' (В) и определен для всех
натуральных индексов г. Полным Ч. к. наз. неод-
неоднородный характеристич. класс с = 1 + сх -\- е2 -j- ,..,
а полиномом Чжэня — выражение ct = l-\-c1t-\-
-f- c2t2 -{-..., где t — формальная переменная. Ч. к.
введены в [1].
Характеристич. классы, определенные для га-мерных
комплексных векторных расслоений, со значениями
в целочисленных когомологиях, естественно отождест-
отождествляются с элементами кольца Я** (BUn). В этом смысле
Ч. к. с,- можно считать элементами группы Л-' (BUn),
полный Ч. к.—неоднородным элементом кольца
Н** (BUn), а полином Чжэня — элементом кольца фор-
формальных степенных рядов Н** (BUn) [[']]•
Ч. к. обладают следующими свойствами, к-рые од-
однозначно их определяют. 1) Для векторных расслоений
|, Т] с общей базой В с (?ф г\) = с (|) с (п), другими сло-
словами, eft(g®T)) = 2,-<"'(S)cft-'(^)' fo=-l. 2) Для од-
одномерного универсального расслоения щ над СР°= имеет
место равенство с (Х]) — 1 + м, где и(±Н2 (CPW)— ориен-
ориентация расслоения Х] (СРФ— Тома пространство рас-
расслоения Xi, к-рое, будучи комплексным, имеет одно-
однозначно определенную ориентацию и).
Следствия свойств 1 — 2): с,-B;) —0 при i > dim g;
с (g)=~f (gEH), где в — тривиальное расслоение. По-
Последнее обстоятельство козволяет определить Ч. к. как
элементы кольца H**(BU).
Если а) = {гь ..., if;}—набор целых неотрицательных
чмгел, то через см обозначается характерпстнч. класс
Ч-Ph- ¦ -с;^»-" (HU), где п = h + ... + /*.
При естественном мономорфизме II** (HU,,)—>
—¦* Н** (ВТп)~- % f[orb ..., .г,,]], индуцированном ото-
отображением ВТп --^СР^Х . .. хСР°" ^ ЯП,,, Ч. к. пере-
переходят в элементарные симметрии, функции, а полный
Ч. к. переходит н многочлен TJ,_ (I | .r,). Образом
кольца H**(BUn) в Н**(ВТ„)т- /||ж,,..., .т„]] яв-
является лодкольцо всех симметрических- формальных
степенных рядов. Каждый симметрический формальный
степенной ряд от образующих By хл, ..., хп опреде-
определяет характерпстпч. класс, к-рый может быть выражен
Пп х ¦
._!—-—— определяет хл-
1 - е'''
риктсрпстич. класс с рациональными коэффициентами,
на:;. к .ч а с с о м Тодда и обозначается Т?
Q
Пусть и>--{/j,..., (;,} — набор целых неотрицатель-
неотрицательных чисел. Через SM (ст сп) обозначается характе-
рпстич. класс, определяемый наименьшим симметрии,
многочленом от переменных хх, . . ., хп, где n~^ii~\- ... -\-
-\- ifr, содержащим одночлен х1^ ... xl?.
Пусть h* -ориентированная мультипликативная тео-
теория когомологнй. Ч. к. а/ со значениями в теории h*
обладают такими же, что и обычные Ч. к., свойствами:
(l(Bn)(l)(]), H, + 2+; (щ) +
+ и g fe* (CP~), где и?№ (СР*) —ориентация расслое-
расслоения X], к-рые пх однозначно определяют. Как и для
обычных Ч. к., употребляются обозначения аа =
= о( ... ai и 5(о (o"i, ..., ап). Если ?,т) — комплексные
векторные расслоения, то
(т)),

где суммирование производится по наборам со', со"
с со'U со" = со.
В качестве теории h* можно взять теорию унитарных
кчбордизмов U* или К-тпеорию. Для ?/*-теории элемент
и ? U'2 (СР°°) определяется тождественным отображением
СР°° —+CP°°^--MUi, а для А'-теории к —РA —[ж])€
?К2 (СР°°), где C: А'0—>¦ К'г — оператор периодичности
Ботта. Обозначение а,- сохраняется для Ч. к. со зна-
значениями в ?7*-теории. а Ч. к. со значениями в А-тео-
рии обозначается у,.
Согласно общей теории, у,-(g)gX21 (В), где ? — вектор-
векторное расслоение с базой В. Однако А'-теорлю часто
удобнее рассматривать как Жа-градуированную теорию,
отождествляя группы К" (В) с Кп + 2(В) с помощью
оператора периодичности р\ Тогда А* (В) = Ка (B)Q)
©Ах(.й), и у (?,)?К° (В) при всех i. При такой точке
зрения имеет смысл вместо полного Ч. к. рассматри-
рассматривать полином Чжэня
Пусть К1 (?) — [|л ... л?]— когомологич. операции \-.
А'-теории (t сомножителей). Полином
обладает точно таким же, как и 7/, свойством мульти-
мультипликативности
Между этими полиномами имеется следующая связь:
здесь ode части равенства лежат п А0 (В) \l], dims —
тривиальное расслоение размерности (Jim fe. Построен-
Построенные классы V; отличаются от классов, построенных
М. Атьей, к-рый определил их формулой у^ (|) — ¦ (|).
Р. Стонг [1] определил классы у,, к-рые удовлетворяют
условию
Расхождение вызвано тем, что у Стонга
С классами о,- связано плодотворное в теории гомо-
топпй понятие алгебры Ландвебера--Новикова. Для
произвольного набора целых неотрицательных чисел
со—{<!,..., г'/,} рассматривается характерцстпч. класс
S@ (Oj, ...,<jn)?t/2d (#?/), где rZ = /,+ ...-hi*. Имеет мес-
место Тома изохорфизми2* (BU) —> Uid (M V) dV-d (MU),
здесь Afi/ — спектр, соответствующий Г"*-теории. Образ
класса Sm (о,, ..., а„) в U2d(MU) определяет когомо-
когомологическую операцию в сУ*-теории. Подалгебра С тип-
рода алгебры в G*-теории, порожденная операциями
такого вида, наз. а л г е G р о й Л а и д н о Г> е р а - - П о-
в пк о на. Операция, построенная но набору w ¦=
= {'it •¦•) ^ft}i обозначается через 5И.
Для одномерных расслоений |, т) имеет место раненстно
Это важное обстоятельство, позволяющее определить
Чжэня характер, не имеет места в обобщенных теориях
когомологий. Однако существует формальный степен-
степенной ряд g (t) с коэффициентами в Л* (j>O@Q, дли
к-рого г(О!Eфт]))--=^ (oj (li))-hff(ai(ii)), где о, пер-
первый Ч. к. со значениями в А*. Для унитарной теории
кобордизмов

где \СР°°] — ?2* = U* (pt)— класс кобордизма проектив-
проективного пространства СР°°. Этот ряд наз. рядом М м-
щенки.
Лит.: [1] ChernS. S., «Ann. МаШ.», 194G, v. 47, Ли 1,
р. 85—121; [2] Стонг Р., Заметки по теории кобордизмов]
пер. с англ., М., 1973; [3] II а л е Р., Семинар по теореме Атьи —
Зингера об индексе, пер. о англ., М., 1970; [4] К о к н е р П.,
Ф л о й д ,')., Гладкие периодические отображения, пер. с англ.,
М., 1969; 15] А т ь я М. Ф., Зингер И. М., «Успехи матем.
наук», 1968, т. 23, в. 5, с. 99—142; Атья М. Ф,, С е-
гал Г. Б., там же, в. 6, с. 135—49; АтьяМ. Ф., 3 и н-
г е р И. М., там же, 1969, т. 24, в. 1, с. 127—82; 1972, т. 27,
в. 4, с. ltil—88; [6] Хирцебрух Ф., Топологические мето-
методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973; [7]
X ь ю з м о л л е р Д., Расслоенные пространства, пер. с англ.,
М., 1970; Г8| Б у х ш т а б е р В. М., «Матем. сО.», 1971), т. 83,
с. 575-—95; [И] Новикове. П., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»
1967, т. 31, .N» 4, с. 855—951: fl 01 Атья М., Лекции но К-тео-
рии, пер. с англ., М., 1967. А. Ф. Харшиладзе.
ЧЖЭНЯ ХАРАКТЕР — характеристич. класс, опре-
определяющий .кольцевой гомоморфизм cli: К (X) —>
—*II**(X; Q). Для одномерного расслоения I- имеет
место равенство ch g =-eCl'*', где сх{%) — рациональный
Чжэня класс. Это равенство вместе с требованием, чтобы
класс cli определял гомоморфизм if0 (X)—* Hev (X, Q),
однозначно определяют класс cli. Имеет место комму-
коммутативная диаграмма
ch:Ar°(X)- Я**(Х; Q)
I i
cli:^°(S2AX) -> #**(S2AX; Q),
в к-рой вертикальные стрелки обозначают оператор пе-
периодичности и двойную надстройку. Пусть отображение
ch.-A'1 (Х)^А"° (SX + ) -* H°<i<t (X; Q)
совпадает с композицией
ch:Kn (SX + ) -*H
(здесь через « + » обозначается функтор из категории
топология, пространств в категорию пунктированных
пространств Х+ =(X{J.r.a, ,r0). Полученное преобразо-
преобразование функторов ch: К*(Х) ^ 11**(X; Q) индуцирует
преобразование К* (X) (g) Q --—If** (X; О), к-рое яв-
является естественным пломорфюмом й._>-градуированных
колец.
Если /)* — обобщенная теория котоыологиц, в к-рой
определены классы Чж:шя а,-, то для одномерных рас-
расслоений 5 " о о б щ о и н ы и \ а р а к т е р Ч ж э и я
определяется формулой:
, ,t. S((!;(S))
о/г(|)=-е 1 ' ',
гДе 8 С) — логарифм соответствующей теории h* фор-
мально!! группы. С помощью леммы о расщеплении
может быть определен естественный кольцевой гомо-
гомоморфизм
alr.r<*-*h**(X)®Q.
Для обобщенной теории когомологии It* существует
единственный естественный изоморфизм градуированных
групп elift: h*(X) —-Ж** (X; А* (/)/) (g) Q),'|.--рый для
X=pl совпадает с отображением
h* (pt) -» h* (ft) (g) Q, :r -¦ ./¦ ® 1.
Здесь
[$?• (X; h* (pt) ® Q)\a =2. Ж' (X, h"-i (j,i)®Q).
Отображение chfe, где А,'*—й» — градуированная /С-тео-
))ин совпадает с характерол1 Чжяня ch. Естественное
преобразование функторов chh» наз. характером
11 ж э н я — Д о л ь д а.
Пусть Л* — унитарная теория кобордизмов U*, а X—
пространство СР°°. Кольцо U** (?Р°°) изоморфно кольцу

формальных степенных рядов Я* [["]], где Q*t =U* (pt),
u?U" (CP°°) — ориентация расслоения xj. Аналогично,
кольцо Ж*(СРС°; S3*) н.юморфно Q* [М], 'ЛA г?
?Я2(СР°°)— ориентация расслоения у.х. Формальный
степенной ряд ch,, (и) функционально обратен ряду
Мищенко
Лит. см. при craTf.e Чжэня класс. А. Ф. Харшиладм.
ЧЖЭНЯ ЧИСЛО — характеристическое число квази-
квазикомплексных многообразий.
Пусть х?Н** (HUп) — произвольный характеристич.
класс. Для замкнутого квазикомплексного многообразия
Min целое число х[М-"]--<,х(х М), |Л/-"]> наз. чис-
числом Чжэня многообразия М2п, соответствующим
классу х, здесь [М-п]^Нг„(Мгп)—фуноаменталъный
класс многообразия или ориентация, однозначно опреде-
определенная квазикомплексной структурой, %М — касательное
расслоение к М. Если в качестве .г взять характеристич.
класс с рациональными коэффициентами, то соответствую-
соответствующие ему Ч. ч. будут рациональными. Ч. ч. х[М'1"} за-
зависит лишь от однородной компоненты степени 'In
класса х. Ч. ч. инвариантны относительно квазикомп-
квазикомплексного бордизма, следовательно, характеристич. класс
х индуцирует гомоморфизм ?2",- » %.
Разбиением числа п наз. набор со={A? ..., i^}
целых неотрицательных чисел с i1-\-... '-if, -п. Если
для квазикомплексных многообразий М, N размерности
2п при всех разбиениях ш числа п имеет место равенство
С(о [М] =еш [N] (см. Чжэня класс), то многообразия М
и N кобордантны (в квазикомплексном смысле).
- Пусть А- свободная абелева группа с базисом {еа} =
= ie(- (- |, находящимся во взаимно однозначном со-
соответствии со всеми разбиениями числа п. Приведенная
теорема утверждает, что гомоморфизм
Ф:О«„ -A, <f([.W-"])=2(/<of-1/'->"i%
мономорфен. Ниже дано описание образа гомоморфизма
Ф (чадачаМилнора — Хирцебруха). Другими
словами, какие наборы целых чисел аа = а^ t задан-
заданных для всех разбиений а> числа п, являются Ч. ч. квази-
квазикомплексного многообразия? Ч. ч. можно определить
в произвольной мультипликативной ориентированной
теории когомологий h*, только в этом случае Ч. ч.
ква:шкомплексного многообразия будет элементом кольца
h* {pi). Для теории когомологий К* определена двой-
двойственная ей теория гомологии /?.,., и так как h* ориен-
ориентирована и мультипликативна, то для каждого квази-
квазикомплексного многообразия М может быть однозначно
определен фундаментальный класс [Л/, dM\h?_
(zhzn(M, дМ), где 2re = dimR M. Далее, как и в обыч-
обычной теории, имеется спаривание
h"(M, дМ)фпт(М, дМ) ^h"-"'(pt).
Если x?h*(M, дМ). то применение х к [М, dM]h от-
относительно этого спаривания обозначается {х, \М, ОМУ1} ?
(zh* (pt). Для характеристич. класса у со значениями
в h* я замкнутого квазикомплексного многообразия М
элемент {;/(тЛУ), \M]h}?h* (pt) наз. числом Чжэня
в теории />,*. Предыдущие соображения применимы п к
К-теории. Пусть М — квазикомплексное многообразие
(возможно, с краем), dimRM — 2;?, ,г?А'°(Л/, дМ) —
произвольный элемент. Тогда целое число
2п (Pt) к к° (pt) = z
может быть вычислено по формуле:
{х, [Л/, 0Л/]*} = <сЬ.т7'(тЛГ), [М, дМ]у,

где Т—Тодда класс, задаваемый рядом
1-1 = 1 Л".
1 -p '
Если многообразие М замкнуто, то при j=1 ? К" (М),
получается {1, [M]k}r-Т[М]. Характеристич. число
Т\М] наз. родом 'Г од да многообразия М и является
целым числом для любого замкнутого квазикомплексного
многообразия. Часто Т[М\ обозначают Td (.If).
Касательные многообразия представляют собой один
из важных примеров квазикомплексных многообразий.
Пусть М — замкнутое действительное многообразие раз-
размерности п. Многообразие ТУ всех касательных векто-
векторов к Л'имеет естественную структуру квазикомпле.ксного
многообразия: xTN —-rN ф N, i(x, у) —(у, —х). Пусть
на N выбрана риманова метрика и через ВХ cz TN обоз-
обозначено многообразие с краем, образованное всеми век-
векторами длины, не превосходящей единицы. Если
e?7{° (BN, dBN), то целое число ц (а) -={ст, [BN, dBN]*}
ная. топологическим индексом элемента п.
Если а есть класс символа эллиптич. оператора I),
заданного на многообразии Л', то index D ¦--- ij (а) (тео-
(теорема А т ь и — 3 и н г о р а), а приведенная выше фор-
формула для вычисления числа {.г, [Л/, дМ]к) приводит
к когомологич. форме теоремы об индексе.
Для набора a>T-{tj, ..., in} целых неотрицательных
чисел и замкнутого квазикомплексного многообразия М
размерности 2ге пусть S^ \М\ — Ч. ч. в А'-теории:
5m(v,,..., \n)[M] =
а S,a [М]— обычное Ч. ч. Sa (сь .. ., сп)[М]. Число
5<о [М] может быть отлично от нуля лишь тогда, когда
со — разбиение числа п. Число 5* [М\ может быть от-
отлично от нуля при наборах m ~{гь ..., ik} с гх—J— .. . —J-
-¦|-ifc<)?.. Любой гомоморфизм ЯЦп—+1 может быть
представлен в виде линейно!1! комбинации с целыми
коэффициентами гомоморфизмов S^: й^--^, при
| о) | < п, где | о) | = ij +... + (/, (теорема С т о н г а —
Хаттори). Характеристич. числа Л'* [М] при|ш|<ге
мот ут быть представлены в виде
где ),о—рациональные коэффициенты, а .If—любое
замкнутое квазикомплексное многообразие размерно-
размерности 2i/. Пусть а произвольный элемент пз группы А,
"¦ -2|м. |=„а*>"<.>'" si (a)=2,с-1=„rw'am'- Тпгда
элемент а?А принадлежит образу 1'омоморфнзма ф:
Q%n—>-А тогда и только тогда, когда 5* (а) — целое
число для всех наборов со с |w|<n.
Лит. см. при статье Чжэпя класс. А. Ф, Харшиладзе.
ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ — наука о целых числах. Целое
число, наряду с простейшими геометрич. фигурами, яв-
является первым и древнейшим математич. понятием. Ч. т.
возникла из задач арифметики, связанных с умноже-
умножением и делением целых чисел.
В Древней Греции F в. до н. :>.) изучалась делимость
целых чисел, были выделены отдельные подклассы це-
целых чисел (напр., простые числа, составные числа,
квадратные числа), изучалась структура совершенных
чисел, было дано решение в целых числах уравнения
x2~i~y2=z2, т. с. был указан алгоритм построения пря-
прямоугольных треугольников со сторонами, длины к-рых
являются целыми числами. Евклид C в. до н. а.) в
«Началах» дал систематич. построение теории делимо-
делимости на основе т. н. Евклида алгоритма для нахождения
наибольшего общего делителя двух целых чисел, дока-

зал первую теорему теории простых чисел — бесконеч-
бесконечность числа простых чисел. Несколько позднее Эрато-
сфеном был найден метод получения простых чисел,
к-рый стал наа. Эратосфена решетом.
Систематизации проблем Ч. т. и методов их решении
проведена Диофантом C в.) в его «Арифметике», где,
в частности, дано решение в рациональных числах
многих алгебраич. уравнении 1-й и 2-й степени с целы-
целыми коэффициентами от нескольких неизвестных.
В Китае, начиная со 2 в., в связи с календарными
расчетами, возникла задача определения наименьшего
целого числа, дающего при делении на заданные числа
заданные остатки, к-рая была решена Сунь-цзы B -
6 вв.) и Цинь Цзюшао A3 в.).
В Индии Врамагупта G в.) и Бхаскара A2 в.) дали
общие методы решения в целых числах неопределенных
уравйений 1-й степени с двумя неизвестными и уравне-
уравнений вида ах2-\-Ь=су2, хг/=ах+6г/+с.
Расцвет Ч. ч. начался в Европе с работ II. Ферма
(P. Fermat, 17 в.). Он исследовал решения многих урав-
уравнений в целых числах, в частности высказал гипотезу,
что уравнение .r"-\-y" ---z", n > 2. не имеет решении
в натуральных числах х, у, с (Ферма теорема великая),
доказал, что простые числа вида 4л-[-1 являются сум-
суммою двух квадратов, ныеказал одно из основных утвер-
утверждений теории сравнений: аР — а делится на р, если
р — простое число (Ферма малая теорема).
Исключительно важный вклад в Ч. т. внес .'I. Эйлер
(Ij. Euler). Он доказал теорему Ферма при и-~3, малую
теорему Ферма и ее обобщение, целый ряд теорем о
представлении чисел бинарными квадратичными фор-
формами. JJ. Эйлер был первым, кто для решения задач
Ч. т. привлек средства математич. анализа, что привело
к созданию аналитической теории чисел. Производящие
функции Эйлера явились источником кругового метода
Харди — Литлвуда — Рамануджана и тригонометри-
тригонометрических сумм метода И. М. Виноградова — основных
методов современной аддитивной теории чисел, а функ-
функция ?(s), введенная Л. Эйлером, и ее обобщения состав-
составляют основу современных аналитич. методов исследова-
исследования проблем распределения простых чисел.
В переписке X. Гольдбаха (Ch. Goldbach) с Л. Эйле-
Эйлером были поставлены три знаменитые проблемы: вся-
всякое нечетное Лг>5 есть сумма трех простых, четное TVJs
^4 есть сумма двух простых и нечетное ,/V=p-f 2п3, где
?! — целое, р — простое. Первая проблема решена
II. М. Виноградовым A937), две другие проблемы не
решены A984).
К. Гаусс (С. Gauss) создал основные методы и завер-
завершил построение теории сравнений, доказал взаимности
закон квадратичных вычетов, сформулированный Л. Эй-
Эйлером, заложил основы теории представления чисел
квадратичными формами аз?-\-Ьху-\-су* и формами выс-
высших степеней со многими переменными, ввел т. н. Гаус-
Гаусса суммы
.an*
к-рые явились первыми трпгопометрич. суммами, и по-
показал их полезность и решении задач Ч. т. Если до К.
Гаусса Ч. т. представляла собой собрание отдельных ре-
результатов и идей, то после его работ она начала разви-
развиваться в различных направлениях как стройная теория.
Большой вклад в рп:шптие Ч. т. внесли многие уче-
ученые 19—20 вв.
Особенностью и привлекательностью Ч.т. является
простота и доступность формулировок большинства
проблем и трудность их решений. Напр., проблема бес-
бесконечности числа простых чисел бли.шецов была постав-
поставлена еще Евклидом и не решена A081). Отдельные
проблемы Ч. т. стали источником больших самостоя-
самостоятельных направлений математики. Такими являются:

теория простых чисел и связанная с ней теория дяета-
функции м Дирихле рядов, теория диофаншовы.г уравне-
уравнении, аддитивная теория чисел, .метрическая теория
чисел, теория алгебраических и трансцендентных чи-
чисел, алгебраическая теория чисел, теория диофантовых
приближении, чисел, теория вероятностная, геометрия
чисел. Напр., источником аналитпч. Ч.т. послужили
проблема распределения простых чисел в натуральном
ряде и проблема представления натуральных чисел
суммою слагаемых определенного вида. Решение урав-
уравнений в целых числах, к-рые стали наз. диофантовьши,
в частности великан теорема Ферма, послужили источ-
источником алгебраич Ч . т. Проблема построения с Чгомощыо
циркуля и линемкн круга единичной площади (квадра-
(квадратура круга) привела к вопросу об арифметич. природе
числа я, а вместе с ним — к созданию теории алгебраи-
алгебраических и трансцендентных чисел.
Все названные направления Ч. т. переплетаются
между собой, дополняя и обогащая друг друга.
Лит.: [1] В и н о 1' р а д о в И. М., Основы теории чисел,
9 изд., М., 1981; 12| с г о ж е, Метод тригонометрических сумы,
2 изд., М., 1980; [3] е г о ж е, Особые варианты метода тригоно-
тригонометрических сумм, М., 197R; [4] К а р а ц у б а А. А., Основы
аналитической теории чисел, 2 изд., М., 1983; 15] Б о р е-
в и ч 3, И., Ш а ф а р е в и ч И. Р., Теория чисел, 2 изд., Ы.,
1972; [61 Дэве и и о р т Г., Мультипликативная теория чи-
чисел, пер. с англ., М., 1971; Е7] Чандрасекхаран К.,
Введение в аналитическую теорию чисел, пер. с англ., М., 1974;
?8] X а с с е Г., Лекции по теории чисел., пер. с нем., М., 1953;
Е9] Д tf р и х л е 11. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. с нем.,
М.— Л., 1936; L101 Титчмарш Е. К., Теория дзета-функ-
дзета-функции Римана, пер. с англ.. М., 1953; Lll] Венков Б. А., Эле-
Элементарная теория чисел, М. - Л., 1937.
А. А. Карацуоа и материалы одноименной статьи БСЭ-2.
ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ вероятностная — в широ-
широком смысле раздел теории чисел, в к-ром используются
идеи и методы теории вероятностей.
Под вероятностной Ч.т. в узком смысле понимается
ститистич. теория распределения значений арифмети-
арифметических функций.
Подавляющее большинство арифметич. функций,
изучаемых в теории чисел, являются аддитивными или
мультипликативными. Их значения обычно распреде-
распределены очень сложно. Если проследить за изменением
значений таких функций, когда аргумент пробегает
последовательные натуральные числа, получится весь-
весьма хаотическая картина, к-рая обычно наблюдается
при рассмотрении аддитивных свойств целых чисел
совместно с мультипликативными. В классич. исследо-
исследованиях при рассмотрении распределения значений дей-
действительных арифметич. функций /(та) обычно изуча-
изучалось асимптотич. поведение самой функции f(m) или ее
среднего значения. В первом случае ищутся простые
функции iMm), i|>2(m). чтобы было iK1(m)</(m)<iK2(m)
для всех т или хотя бы для всех достаточно больших т.
Напр.. если ш(от) означает число всех различных про-
простых делителей числа т, то ш(т)^1 для всех /д>1,
co(m)<:2(ln In т)~Чх\ т при ^
lim mfco(m) = l,
m—*¦ оо
lim sup со (m) (In m)-1 In In m = 1.
m -> 05
Во втором случае рассматривается поведение
Для (rt(m) среднее значение A) равно A-|-оA) In In/?).
Решение как первой, так и второй задачи в общем
случаи дает .мало информации о поведении функции
f(m), об ее колебаниях. Функция может значительно
отклоняться от своего среднего значения. При этом ока-
оказывается, что большие отклонения встречаются вообще
довольно редко. Ставится задача отыскания границ, в
к-рых могут колебаться значения функции ((т) для
подавляющего большинства значений аргумента.

Если f(m) — действительная аддитивная арифметич.
функция,
где суммы берутся по простым числам р и по степеням
простых чисел ра, то
где с — абсолютная константа. Следовательно, для лю-
любого <>0 и всех тп<:«, за исклгоченио.и<( — + —— )nt~2
\ 2 In ?1 /
чисел, имеет место неравенство
\f(m)~A,n\<tBn
(аналог теоретико-вероятностного больших чисел зако-
закона). Для функции ы(т) это неравенство можно запи-
записать в виде
| <в (то)— In In п | < t )An In п.
Пусть через Nп(. . .) обозначено число натуральных
7ге<:га, удовлетворяющих условиям, к-рыо будут ука-
указываться в скобках вместо многоточия. Желая более
точно охарактеризовать распределение значений дейст-
действительных арифметич. функций /(то), приходят к рас-
рассмотрению асимптотич. поведения частоты
4л' (/("*>€ ?) C)
при п -*¦ <х, где Е — любое борелевское множество.
Среди асимптотич. законов для C) наибольший интерес
представляют законы двух типов: интегральные и ло-
локальные.
Интегральные законы. Изучается асимптотич. пове-
поведение функции распределения
*"» (С„ + Dnx) = \ Nn (f (m )<С„+ Dnx),
при п —г со п заданных Сп, D,,.
В случае арифметических аддитивных функций
ищутся условия, при к-рых F,,{('n-\-l)nx) стремится
к нек-рой функции распределения F (х) но иссх ее
точках непрерывности. При этом, если F (х) не вы-
вырождены, то 1)п обязательно должно стремиться к ко-
конечному (отличному от 0) или бесконечному пределу.
I! случае конечного предела достаточно ограничиться
рассмотрением Fn{Cn-\-x). Для того чтобы F,,((-',, + .t)
с какими-либо С„ при и ~— со имела невырожденное
предельное распределение, необходимо и достаточно,
чтобы / (т) имела вид
/ (т)=а In m \-g(m),
где а — константа, а функция #(»<) удовлетворяет ус
При этом Сп должны быть равными
ляется дискретным, когда У -^- < оо, и непре-
С — константа. Выбор Сп однозначен с точностью до
слагаемых C-\-o{i). Предельное ])исп ре деление ;ш-
1
о"?7
рывным в противном случае.
В частности. FtlU) (случай С„^=0) тогда п только
тогда имеет предельное распределение, когда сходятся
ряды
У -L У tin} у (Не)

(аналог теоретико-вероятностной теоремы о трех рядах).
Случай Dn—>• оо не исследован до конца. Ниже
приведены нек-рые наиболее простые результаты,
когда С„--А„ п Dn=Bn определены формулами B).
Если для всякого фиксированного р > О
0 D)
при га -*• оо (аналог условия Линдеберга, см. Линде-
берга — Фе.члера теорема), то
,-/2du=O(x) E)
(нормальный закон). Если выполнено D), то В„ яв-
является медленно меняющейся функцией от In n в смысле
Карамата. Более того, если Вп является такой функ-
функцией, то для справедливости E) условие D) является
необходимым.
Пусть Вп является медленно меняющейся функцией
от In и. Для того чтобы Fn (An~{-Bnx) сходилась к пре-
предельному распределению с дисперсией 1, необходимо
и достаточно, чтобы существовала такая неубывающая
функция V (и), — со < и < со, V (— оо) =- О, V (со ) ¦— 1,
что при л —»• оо для всех и, за исключением, быть
может, N- = 0,
Р <п, Р
! (р«) < иВп
Характерпстич. функция ф (t) предельного закона в слу-
случае его существования определяется формулой
ф(О=ехр ( И (eiin — i—itu)) и~г dV (и).
Изучается быстрота сходимости к предельному закону.
Так, напр., если }(т) — сильно аддитивная функция
п
при /; ->- со, то
])нвпомерно но .т.
Для мультипликативных арифметич. функций имеют
место аналогичные результаты.
. 1{ц;а.1Ы1ые законы. Плучлотел поведение при и ¦-*¦ со
•тастоттл — N„{1 (т)—с) при заданных с. В случае
действительные аддитивных арифметич. функций ата
частота всегда имеет предел, к-рый отличен от 0 лишь
для не более чем счетного множества значении с. Пусть
— не равные нулю пределы, причем хотя бы один такой
предел существует. Тогда
Fa-ни К) принимает лишь целые значения,
ид, (/)= liin — Л'„(/ (т) — к),

тогда и только тогда, когда
Изучается скорость сходимости к fi^(/). Существует
такая абсолютная константа С, что для всех целых к
и всех целозначных аддитивных арифметич. функций
f(m) с условием /(р)—0 для всех простых у
Изучается также асимптотич. поведение частоты
~Nn (/ (m)—k,t), когда кп может расти вместо с п.
Лит.: []] К а ц М., Статистическая независимость в тео-
теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М.,
1963; [2] К у fi и л ю с Й. П., Веринтностные методы в теории
чисел, 2 инд., Вильнюс, 19К2; f;i] его ж е, в со.: Актуальные про-
проблемы аналитической теории чисел, Минск, 1974; [4] Л и н-
н и к Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных аддитивных за-
задачах, Л., 1961; ГГ>] его ж е, Эргодические свойства алгебраи-
алгебраических полей, .ТГ., 19f>7; [fil Постников А. Г., Эргодиче-
Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых прибли-
приближений, М., 190В; L7J Е 1 I i о t t P. P. T. A., Probabilistic
number theory, v. I--2, N.-V.— Hdlb.— В., 1979—80.
Я. П. Нубилюс.
ЧИСЛИТЕЛЬ арифметической дроби •-'
.. 1
целое число а, показывающее u:i скольких долен -^-
гоставлена дробь. Ч и с л и т о л е м а л г с б р а и ч е-
ской дроби ~ на:), выражение А (ем. Дробь).
С. А. Стпттав.
ЧИСЛО — основное понятно математики, сложивше-
сложившееся в ходе длительного историч. развития. Возникнове-
Возникновение и формирование :>того понятия происходило вместе
с, зарождением и развитием математики. Практич. дея
тельность человека, с одной стороны, и внутренние пот
ребноети математики — с другой определили развитие
понятия числа.
Потребность счета предметов привела к возникнове-
возникновению понятия натурального числа. Все народы, обладав-
обладавшие письменностью, владели понятием натурального
числа и пользовались той или иной системой счисления.
О ранних этапах возникновения и развития понятия Ч.
можно судить лишь на основе косвенных данных, к-рые
доставляют языкознание и этнография. Первобытному
человеку, видимо, но требовалось умение считать, чтобы
установить, полной или нет является какая-нибудь
совокупность.
Впоследствии за определенным количеством предме-
предметов или явлений, с к-рыми люди часто встречались, зак-
закрепились особые наименования. Так, в языках нек-ры\
народностей имелись слова для обозначения таких
объектов, как «три человека», «три лодки», . . ., но
не было отвлеченного понятия «три». Таким путем,
вероятно, возникали сравнительно короткие числовые
ряды, служащие для обозначения отдельно людей,
отдельно лодок, отдельно кокосовых орехов, . . . На
этой стадии отвлеченных Ч. еще не было, Ч. были име-
именованными.
Необходимость передавать сообщения о численности
той или иной совокупности привела к выделению стан-
стандартной совокупности, состоящей чаще всего из частой
человеческого тела. Каждая часть тела в такой систе-
системе счета имела определенный порядок и наименование.
Когда же частей тела не хватало, пользовались пучком
палочек. Той же цели служили камешки, раковины,
зарубки на дереве или камне, черточки на земле,
веревки с узелками...
Следующий этап в развитии понятия Ч. связан с
переходом к счету группами: парами, десятками, дюжи-
дюжинами... Возникают прообразы т. н. узловых чисол и
вместе с тем зачатки арифметич. операций, что отра-
отражено в названиях Ч. Оформляются определенные при-

емы счета, для счета применяются специальные при-
приспособления, появляются числовые обозначения. Ч.
отделяются от сосчитываемых объектов, становятся
отвлеченными. Начинают складываться системы счисле-
счисления.
Процесс образования современной системы счисления
исключительно сложен. Только о завершении :>того про-
процесса можно судить с определенной достоверностью.
Известно много разных систем счисления. В Древнем
Египте таких систем было несколько. В одной из них
имелись особые знаки для 1, 10, 100, 1000. Другие Ч.
изображались путем комбинации этих знаков. Основ-
Основной арифметмч. операцией у древних египтян являлось
сложение. За две тысячи лет до н. ¦>. вавилоняне упо-
употребляли шестидесятиричную систему счисления с по-
позиционным принципом записи Ч. Они пользовались
только двумя знаками. Древние греки пользовались
алфавитной системой счисления, ее употребляли также
славяне. В Индии в начале н. :>. была широко распро-
распространена словесная позиционная десятичная система
нумерации с несколькими синонимами для нуля. Впо-
Впоследствии там возникла и позиционная десятичная сис-
система счисления. С 8 в. н. л. ата система стала распростра-
распространяться по Арабскому Востоку. Европейцы познако-
познакомились с ней в 12 в.
Расширение круга сосчитываемых предметов, что
произошло в результате усложнения практнч. деятель-
деятельности людей и, наконец, любознательность, свойствен-
свойственная человеку, шаг за шагом отодвигали границу счета.
Возникло представление о неограниченной продолжае-
продолжаемости натурального ряда. Этим представлением отчет-
отчетливо владели древние греки. Одна из теорем Евклида
гласит: «Простых существует больше всякого предло-
предложенного их числа». Тем не менее еще Архимеду приш-
пришлось убеждать современников, что можно указать чи-
число, большее чем «число песчинок в мире».
Для измерения величин требовались дробные Ч. Дроб-
Дробные Ч. были известны уже в Древнем Египте и Ва-
Вавилоне. Египтяне дроби выражали обычно при помощи
аликвотных дробей, т. е. дробей с числителем, равным
I. Вавилоняне пользовались шестидесятиричными дро-
дробями. Китайцы и индийцы в начале и. ;>. пользовались
обыкновенными дробями и умели выиолнягь все ариф-
.метпч. действия над ними. Среднеазиатские ученые
не позднее 10 в. создали позиционную шестидесяти-
шестидесятиричную систему счисления. Эта система особенно широ-
широко применялась в астрономич. вычислениях и таблицах.
Следы ее дошли до нас в измерении времени м углов.
Десятичные дроби ввел в нач. 15 в. и стал широко при-
применять самаркандский математик Каши (аль-Каши).
В Европе десятичные дроби стали распространяться
после выхода книги «Десятая» A585), автором к-рой
был С. Стевин (S. Stevin). До введения десятичных дро-
дробей в практику вычислений целую часть Ч. европейцы
обычно представляли в десятичной системе счисления,
а дробную — к шестидесятиричной или в виде обыкно-
обыкновенной дроби.
Дальнейшее расширенно понятия Ч. происходило
главным образом в связи с потребностями самой матема-
математики. Отрицательные Ч. впервые появились в Древнем
Китае. Индийские- .математики пришли к отрицательным
Ч., пытаясь формулировать алгоритм решении квад-
квадратных уравнений для всех случаев. Диофант C в.)
свободно оперирует с отрицательными Ч. Они постоян-
постоянно встречаются в промежуточных вычислениях во мно-
многих задачах его «Арифметики». Однако и в 16 и в 17 вв.
многие европейские математики не признавали отрица-
отрицательных Ч., и если такие Ч. встречались в их вычис-
вычислениях, то они наз. их ложными, невозможными. По-
Положение изменилось, когда в 17 в. были найдено геоме-
трич. истолкование положительным и отрицательным
Ч., как противоположно направленным отрезкам.

Проблема существования отношения однородных ве-
величин в рамках практики не возникает. Вавилоняне
владели алгоритмом нахождения приближенного зна-
значения квадратного корня из Ч. с любой заданной точ-
точностью. В 5 в. до н. э. греч. математики открыли, что
сторона и диагональ квадрата не имеют общей меры.
Таким образом, оказалось, что не любые точно задан-
заданные отрезки соизмеримы. Греческие математики но
стали вводить новых Ч. Указанную трудность они
обошли, создав теорию отношения отрезков, не свя-
связанную с понятием Ч.
Развитие алгебры и трхникп приближенных вычис-
вычислений, в связи с потребностями астрономии, привело
арабских математиков к расширению понятия Ч. Лю-
Любое отношение однородных величин, как соизмеримых,
так и несоизмеримых, они стали рассматривать как
Ч. Так Насирэддин A201—74) писал: «Каждое из этих
отношений может быть названо числом, к-рое опреде-
определяется единицей так же, как один из членов этого от-
отношения определяется другим из этих членов». В том
же направлении развивалась европейская математика.
Если Дж. Кардано (G. Cardano) в «Практической ариф-
арифметике» A539) еще говорил об иррациональных числах
как о «глухих», о таких, к-рые «нельзя ни услышать,
ни представить», то С. Стевин в своей «Арифметике»
A585) заявлял, что «число есть то, чем определяется
любая величина», и что «нет никаких абсурдных, ирра-
иррациональных, неправильных, невыразимых или глухих
чисел». И, наконец, И. Ньютон (I. Newlon) во «Вероб-
щей арифметике» A707) дал следующее определение:
«Под числом мы понимаем но столько множество еди-
единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь ве-
величины того же рода, принятой за единицу. Число бы
вает трех видов: целое, дробное и иррациональное.
Целое есть то, что измеряется единицей; дробное —
кратное долей единицы; иррациональное число несоиз-
несоизмеримо с единицей». В связи с тем что величины у
И. Ньютона могут быть как положительными, так и
отрицательными, то и Ч. в ого арифметике могут быть
и положительными или же «большими, чем ничто»,
так и отрицательными или же «меньшими, чет ничто».
Мнимые Ч. впервые появились в труде Дж. Кардано
«Великое искусство» A545). Решая систему уравнений
^+.'/—10, xy—iO, он нашел корны b-j-V —15 и
5—У—15. Найденные решения Дж. Кардано назвал
«чисто отрицательными» и даже «софистически отрица-
отрицательными». Первый, кто увидел пользу от введения мни-
мнимых величин, был Р. Бомбелли (R. Bombelli). В своей
«Алгебре» A572) он показал, что действительные корни
уравнения ,г3—px-\-q, р>0, q>0, в случае ( — \> (-^-
выражаютоя через радикалы из мнимых величин.
Р. Бомбелли определил арифметич. операции над та-
такими величинами и подошел, таким образом, к созда-
созданию теории комплексны.)-, чисел. И 17 и 18 вв. многие ма-
математики занимались исследованием свойств мнимых
величии и их приложениями. Так, .1. Эйлер (L. Euier)
распространил понятие логарифма па .побыв комплекс-
комплексные Ч. A738) и указал новый метод интегрирования
с помощью комплексных переменных A77В), А. Муавр
(A. Aloivre) решил задачу об извлечении корпя нату-
натуральной степени из любого комплексного Ч. A736).
Удачным применением теории комплексных Ч. стала
основная теорема алгебры: «Всякий многочлен с дей-
действительными коэффициентами степени выше нулевой
разлагается в произведение многочленов первой и вто-
второй степени с такими же коэффициентами» (Л.Эйлер;
Ж. Д'Аламбер, .). D'Alembert; К. Гаусс, С. Gauss).
Тем не менее пока на рубеже 18—19 вв. не было дано
геометрич. истолкование комплексных Ч., как точкам

плоскости, мнимые Ч. у многих математиков выяыва-
лп недоверир.
В нап. 19 в. в связи с большими успехами матема-
тич. анализа многими учеными была осознана необходи-
необходимость обоснования основ анализа — теории пределов.
Математиков перестали удовлетворять доказательства,
основанные на наглядности или геомотрич. представле-
представлении. Нерешенной оставалась и проблема построения
единой дедуктивной теории Ч. Натуральное Ч. нередко
мыслилось как собрание единиц, дробь — как отноше-
отношение величин, действительное Ч.— как длина отрезка и
комплексное Ч.— как точка плоскости. Не было полной
ясности в вопросе, как вводить арифметич. операции
над Ч. И, наконец, естественно возникал вопрос о
дальнейшем развитии понятия Ч. Можно ли, в част-
частности, ввести новые Ч., связанные уже с точками про-
пространства?
Во всех указанных направлениях в 19 в. велись ин-
интенсивные исследования. Формулируется принцип, в
соответствии с к-рым происходит обобщение понятии
Ч.— т. н. принцип перманентности формальных зако-
законов счета. В согласии с ним при построении новой более
широкой, в сравнении с исходной, системой Ч. опера-
операции в ней обобщается таким образом, что остаются в
силе законы одноименных действий надЧ. (Дж. Пикок,
G. Peacock, 1834; Г. Ганкель, Н. Hankel, 1867). Во 2-й
иол. 19 в. почти одновременно Г. Кантор (G. Cantor,
1879), III. Мере (Ch. Meray, 1869), Р. Дедекинд (R. Dede-
kind, 1872) и К. Войерштрасс (К. Weierstrass, 1872)
построили теорию действительных чисел. При этом
Г. Кантор и III. Мере исходили из фундаментальных
последовательностей рациональных Ч. Р. Дедекинд —
из сечений в поле рациональных Ч., а К'. Вейерштрасс—
ни бесконечных десятичных дробей.
В результате работ Дж. Пеано (G. Реапо, 1891),
К. Вейерштрпеса A878) и Г. Грассмана (И. Grassman,
1861) была построена аксиоматич. теория натуральных
Ч., У. Гамильтон (W. Hamilton, 1837) построил те-
теорию комплексных Ч., исходя ил пар действительных
Ч., IV. Вейерштраес— теорию целых Ч. как пар на-
натуральных Ч., и Ж. Таннери (.1. Tannery. 1894) —
теориго рациональных Ч. как пар целых Ч.
Попытки найти обобщение понятия комплексного Ч.
привели к разработке теории гиперномплексных чисел.
Исторически первой системой таких Ч. были кватернио-
кватернионы, открытые У. Гамильтоном. В результате проведен-
проведенных исследовании выяснилось (II. Вепертптрасе; Г. Фро-
бениус, G. Frobeiiins; IJ. Мире. В. Peirep), что всякое
расширение понятия комплексного Ч. за пределы сис-
системы комплексных Ч. возможно только при отказе от
каких-либо обычных свойств Ч.
На протяжении всего 19 в. и до нач. 20 в. в мате-
математике происходят глубокие изменения. Меняются
представления об объектах и установках математики.
Постепенно складывается акеиоматпч. метод построе-
построения математики на теоретико-множественной основе.
В соответствии с ним всякая матоматич. теория изучает
определенную алгебраич. систему. Другими словами,
изучает множество с выделенными в нем отношениями,
в частности алгебраич. операциями, удовлетворяю-
удовлетворяющими определенным условиям — аксиомам.
С этой точки зрения любая числовая система есть
нск-рая алгобраич. система. При определении конкрет-
конкретных числовых систем удобно пользоваться понятием
«расширение алгебраической системы». 1)то понятие
является естественным уточнением сформулированного
выше принципа перманентности формальных законов
счета. Алгебраич. систему А' нал. р ;i с ш и р е и и е м
алгебраич. системы А, если основное мно-
множество системы А является подмножеством основного
множества системы А', если далее существует взаимно
однозначное отображенпе множества отношении систе-

мы А' на множество отношении системы А а если для
любого набора элементов системы А , для к-рого выпол-
выполняется какое-нибудь отношение этой системы, выпол-
выполняется соответствующее отношение системы А'.
Так, напр., иод системой натуральных Ч. обычно
понимают алгебраич. систему (^=<Л7, + ,•,!> с
двумя бинарными алгобраич. операциями: сложением
(-]-) и умножением (•) и выделенным элементом A)
(единица), удовлетворяющим следующим аксиомам:
1) для любого элемента а?Лг, а-\-\фа\
2) ассоциативность сложения: для любых элементен
а, Ь, с из Л'
3) коммутативность сложения: для любых элементом
О, Ъ ХАЛ iV
а-\-Ъ = 6-]-а;
4) сократимость сложения/ для любых элементов
я, Ь, с из N ии равенства a-rc=b-{-c следует равенство
а=6;
5) 1 — нейтральный элемент умножения, т. е. для
любого a?N, а Л=а;
6) ассоциативность умножения: для любых элемен-
элементов а, Ь, с и:1 N
(а-Ь) -с — а-ф -с);
7) дистрибутивность умножения: относительно сло-
сложения: для любых элементов а, Ь, с п.ч Л'
8) аксиома индукции: если подмножество М мно-
множества натуральных Ч. Л' содержит I и вместе с
элементом а элемент а-]-1, то М=Л\
Ил аксиом 2, 3, 4, (> и 7 следует, что система нату
ральных Ч.— полукольцо относительно операций (+)
и (•)• Поэтому систему натуральных Ч. можно опреде-
определить как минимальное полукольцо с, нейтральным эле-
элементом умножения и бе:! нейтрального элемента сложе-
сложения .
Система целых Ч. й = </?, -\-. •, 0. 1> определяется
как минимальное кольцо, являющееся расширением
полукольца <ЛГ, -}-. ¦. 1> натуральных Ч. Система ра-
рациональных Ч. О=<(>, -|-, ¦. 0. 1> может быть опре-
определена как минимальное поле, являющееся расшире-
расширением кольца <Z, -f-. •, 0, J> целых Ч. Система комплек-
комплексных Ч. С —<С, -[-, •, 0. 1, (> — минимальное поле,
являющееся расширением поля </?, -)-, •. 0. 1>
действительных Ч. с элементом i таким, что ia-f-1 —= 0.
Под системой R —<Л. +, •, 0, 1, >> действительных
Ч. понимают алгебраич. систему с двумя бинарными
алгебракч. операциями (-j- )и(-),с двумя выделенными
элементами (К) и A) и с одним бинарным отношением
порядка (>). Аксиомы R разделяются на следующие
группы:
1) а к с и о м ы поля: система <Л'. + , ¦, 0, 1> —
поле;
2) а к с по м ы п о р я д к а: система SR, -)-, ¦, 0,1, >> —
линейно и строго упорядоченное поде;
3) а к с п о м а Архимеда: для любых эле-
элементов в>0 и й>0 из R существует натуральное число
п такое, что
II ¦ (I = и -f- . . . -f- Ч > 1>\
4) аксиома полноты: любая фундаментальная
последовательность {/„}„ действительных Ч. сходится,
т.е. если для любого ? > О существует номер пе TaKoii.
что для любых и > не и in ? пе выполняется siepa-
венство \гп—гт\ < е, то тк ледовательноси^ [гп}п схо-
сходится к нек-рому элементу ноля R.
Короче, система действительных Ч.— полное линей-
линейно строго и архимедовски упорядоченное ноле. Систему

действительных Ч. эквивалентным образом можно опре-
определит!. II кяк непрерывное линейно упорядоченное поле.
В этом случае аксиомы Архимеда н полноты заменяются
аксиомой непрерывности:
если А и В — непустые подмножества В такие, что
для любых элементов а?А и Ь?В выполняется нера-
неравенство я<&, то существует такой элемент r?R, что
««с<с6 для любых элементов а?А и Ь?В.
Конструкции действительных Ч., предложенные Г.
Кантором и Ш. Мере, могут служить интерпретацией
первой системы аксиом для системы действительных Ч.,
а конструкция Р. Дедекинда — интерпретацией для
второй системы. Аналогично, конструкции У. Гамиль-
Гамильтона, К. Вейерштрасса и Ж. Таннери — интерпрета-
интерпретацией для систем аксиом систем комплексных Ч., це-
целых Ч., рациональных Ч.
Для системы натуральных Ч. в качестве интерпрета-
интерпретаций могут служить порядковая теория натуральных Ч.,
разработанная Дж. Пеано и количественная теории на-
натуральных Ч., принадлежащая Г. Кантору.
В 19 в. была четко поставлена задача обоснования
понятия Ч. и, более широко, проблема обоснования ма-
математики. Эта проблема стала предметом математич.
логики, интенсивное развитие к-рой продолжается в
20 в.
См. также Арифметика формальная. Конструктивный
пнали-:, р-адическое число, Алгебраическое число, Транс-
Трансцендентное число. Кардинальное число. Порядковое
число, Арифметика.
Лит.: [1] D е р е з к и н а Э. И., Математик,! древнего Ки-
Китая, М., 11)80: 12) Б у р 0 а к и Н., Очерки по истории матема-
математики, пор. с франц.,'М., 1903: 1.Я] Еайман А. А., Шумеро-
навилонская математика. М., 1961: Е4] Ван дер В a р-
д е и К. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 19Г>9;
13] В и л с и т н е р Г., История математики от Декарта до
середины XIV столетия, пер. с нем., 2 изд.. М., 1966; [К] В о л о-
царский Л. IT., Очерки истории средневековой индийской
математики, М., 1977; [7] В ы г о д с к и й М. Я., Арифметика
и алгеПра в древнем мире, 2 изд., М., 1967: [8] Д е п м а н И. Я..
История арифметики. М., 1959; [!)] Кольман Э., История
математики в древности, М., 1961: ЕЮ] К э д ж о р и Ф., Исто-
История элементарной математики, пер. с. англ.. Од., IVHU: [ill
Н с ч а о и В. II., Числовые снстемы, М., 197.i; [12| Р ы Пи и-
к it н К. А., Истории математики, 2 я.чд., М-. 1971: [1.4]
С т р о й к Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер.
с нем., з изд., М., 1978; 11 'J Ф е ф о |i м а и С, Числовые систе-
системы, пер. с англ., М., 1971; [1Г>] Иситсн И. Г., Истории ма-
математики в древности и в средние века, пер. с франц., 2 игщ.,
М.— Л., 1938: tlti] IO ш к е и и ч \. П., История математики
п средние века, М., 1961; [17] Истории математики, т. 1 — 3, М.,
197и—-72; [181 Математика ХЛ\. века. Математическая логика.
Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей, М., 1978.
В. И. Нечаев.
ЧИСЛОВОЕ ПОЛЕ — поле, элементами к-poro ян-
ляготся комплексные (в частности, действительные)
числа. Множество комплексных чисел образует Ч. п.
тогда и только тогда, когда оно содержит более одного
числа и вместе с каждыми числами а и Р также и
а — р и — (Р т= 0). Всякое Ч. п. содержит бесконечное
р
множество чисел. Поле рациональных чисел содержится
во всяком Ч. п.
Примерами Ч. п. являются поля рациональных, дей-
действительных, комплексных и гауссовых чисел. Ч. п.
образует множество чисел вида -yr-r , f (ot) Ф 0, где
о. - любое фнкенропанное комплексное число, а Н (х)
и /¦'(.<) пробегают всевозможные многочлены с рацио-
рациональными коэффициентами. л в. Шидловский.
ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ АСИМПТОТИКА, а с и мп-
т о т и i; а а р и ф м е т н ч е с к и х функций —
приближенное представление арпфметич. функций (оп-
(определенных при всех натуральных значениях аргумента)
посредством сравнительно простых выражений со сколь
угодно малом, относительной погрешностью. Точнее,
для числовой функции f (х) существует а с н м п т о-
т ii к а, если имеет место асимптотич. равенство

где cp(.r) — приближающая функция, R (х) — погреш-
погрешность, относительно к-рой в общем случае известно
только, что
lim (В (ж)/ф (х))=0.
Х—> 05
Краткая запись: /(г) = ф(ж)-|-о (ф(.г)) пли /(.т)—ф(х)
(см. Асимптотическая формула).
Нахождение Ч. ф. а. является одной из важнейших
задач аналитич. теории чисел. Это объясняется тем,
что почти все числовые функции с интересными ариф-
метич. свойствами характеризуются крайней неправиль-
неправильностью своего изменения при возрастании аргумента.
При рассмотрении вместо числовой функции f(x) ее
среднего значения —У _<ЖМ") (" — натуральное) «не-
«неправильность» функции /(.):) сглаживается. Поэтому
типичной для числовых функций является задача полу-
получения асимптотики для их средних значений. Напр.,
среднее значение функции, означающей число делите-
делителей п, будет равняться
т Gг) ~ In п.
Возникающая здесь проблема наилучшей возможной
оценки погрешности в асимптотич. равенстве для мно-
многих функций, в частности дли функций т(и), в 1984
еще не решена (см. Аналитическая теория чисел).
Не менее важную роль играет Ч. ф. а. при решении
аддитивных проблем. Для многих из них неизвестны
прямые доказательства существования разложения це-
целого числа п на слагаемые заданного вида. Однако, как
только удается вывести асимптотику для числа иско-
искомых разложении, отсюда уже следует существование
требуемого разложения для любого достаточно боль-
большого ЧИСЛИ П. IS. M. Вредихин.
ЧИСТЫ!) ПОДМОДУЛЬ в с м ы с л е К о н а -
такой подмодуль А правого Л-модуля 8, что для любо-
любого левого /?-модуля С естественный гомоморфизм абе-
левых групп
инъективен. Это эквивалентно следующему условию:
если система уравнений
2,"= i x&ij": о/, где 1< j s? m, kjj?П, а^А.
имеет решение в 5, то она имеет решение и в А (ср.

Плоский модуль). 4. п. является любое прямое сла-
слагаемое. Любой подмодуль любого правого Я-модуля
чист тогда и только тогда, когда В — регулярное
кольцо.
В случае абелевых групп (т. е. при R=%) эквива-
эквивалентны следующие утверждения: A) А -чиста я
(или сервантная) подгруппа в В; B) иА ~А (]пВ
для любого натурального и; C) А/пА — прямое слагае-
слагаемое в В/пА для любого натурального п; D) если Ссз/1
и AIC — конечно порожденная группа, то А 1С — пря-
прямое слагаемое в В/С; E) каждый смежный класс фак-
факторгруппы В/А содержит элемент того же порядка,
что и порядок этого смежного класса; @) если А^Сд=В
и С/А конечно порождена, то А — прямое слагаемое в
С. Если выполнение свойства B) требуется лишь для
простых п, то А паз. слабо с е р в а и т ы о и и о д-
г р уппой.
Аксиоматич. подход к понятию чистоты базируется
на рассмотрении класса мономорфизмов Йо>, подчинен-
подчиненного (-ледующим требованиям (здесь А сз(() В означает,
что А—подмодуль в В и естественное вложение при-
принадлежит Йш): D0') если А—прямое слатшое в В,
то Л^Ш5; D1') если А <=, ЫВ и #с=(||С, то А ^ аС;
D2') если А^ BczC и /1^ ШС, то А с:: „,/У; D3') если
А с; ЫВ и /(<= А . то А/К 9,~: №В/К; ('М') если КЯ^А<=В,
А"?ш? и А/КГ~ШВ/К, то Асг:Ь1В. Рассмотрение
класса Й'о> вместо класса всех мономорфиамов приводит
к относительной гомологии, алгебре. Напр.. модуль Q
наз. (о-и и ъ е к т и вн ы м, если ни A<~ZMH вытекает,
что всякий гомоморфизм из А в Q может быть продол-
продолжен до гомоморфизма из В в Q (ср. Ииъекпшвный мо-
модуль). Сервантно инъективная абелепм группа наз.
алгебраически комкан т н о и. .' 1квнвалентны
следуюпц1е свойства абелевой группы Q: A) Q алге-
алгебраически компактна; B) Q выделяется прямым сла-
слагаемым из любой группы, содержащей ее в качестве
сервантпой подгруппы; C) Q является прямым сла-
слагаемым группы, допускающей компактную топологию;
D) система уравнений над Q разрешима, если разре-
разрешима каждая из ее конечных подсистем.
Лит.; Ll I М и m я н а А. Л., С к о |> п я и о в Л. А., АСе-
левы группы и модули, М., 1%!>; 12] С к л я р с н к о Е. Г.,
«Успехи матсм. паук», 1978, т. ,'!.Ч, и. :!, с. S5—120; |Я]
Фейс К.. Л.чгеОра: ио.пьцп, модули и катего|ши, пор. с, англ.,
т. 1—2, М., 1П77—79; I'll Фукс Л., Ег-сионечные пСелевы
группы, пер. с англ., т. 1—2, М., 1974—77.
Л. .4. Скорняков.

ШАЛЯ ТЕОРЕМА —1) Ш. tj_ если_ 4 ,_В, С—три
произвольные точки оси, то А~В-\-1Ш=АС, где АВ,
ВС, АС—длины направленных отрезков. Ш. т. обоб-
обобщается для случая площадей ориентированных треу-
треугольников и объемов ориентированных тетраэдров
(см. [1]).
2) Ш. т.: движение 1-го рода (не меняющее ориента-
ориентации), отличное от поворота и переноса, является произ-
произведением переноса на поворот, ось к-рого параллельна
направлению переноса (т. н. винтовое движение). Тео-
Теорема доказана М. Шалем (М. Ghasles, 1830).
Лит.: El] Моденов П. С, Аналитическая геометрия,
М., 1969. А. Б. Иванов.
ШАПКА, к - ш а п к а,— множество к точек конеч-
конечного проективного пространства P(n,q), никакие три
из к-рых неколлинеарны. Две Ш. считают эквивалент-
эквивалентными, если существует коллинеация пространства
Р(п, q), переводящая одну из них в другую. Нахожде-
Нахождение максимального числа т(п, </) точек ш. в Р (п, q),
построение и классификация т(п, (/)-Ш. составляет
главный вопрос ири изучении 111., не решенный пол-
полностью A984). Известны следующие результаты (см.
12], [3]):
т(п, 2)^=2" : 2"-1Д. единственна (с точностью до
эквивалентности) и является множеством точек Р{п, 2),
не лежащих и фиксированной гиперплоскости;
тB, q)—q-\A, q — нечетное: ((/+1)-Ш. в PGB, q)
является коникой и единственна;
те B, </)¦---(/-1 -2, (/--четное: (q-|-2)-llI. в Р B, q),
вообще говоря, не единственна; тоC, с/)—(/+1, q —
нечетное: ((/-+1L11. в Р C, q) является эллиптич.
квадрикой к единственна;
тC, 1/) — 113-\-1, (/ — четное: ((/+1)-Ш. в PC,q),
вообще говоря, не единственна;
hi D, 3) = 20 : 20-Ш. в РD,3) не единстеонна-,
т E,3)^50 : 56-Ш. в Р E, 3) единственна.
Ш. используются в теории кодирования (см., на-
например. |21).
Лит.: Ш'Вове N.O., «Sunkhya», 1047, v. 8, p. 107 —(>Н;
[2l Hill Л.. «Discrete Mall).», 1978, v. 22, .M 2, p. 111-37;
l3l S с s г с В., «Atti Ac.CHti. ma. Lincei, Mem.», 19B7, v. 8,
p, J3;} 2.'{(i. В. В. Афанасьев.
ШАР -множество V" точек х евклидова пространства
Е". удаленных от нек-рой точки х„ (центр Ш.)
на расстояние, меньшее (открытый шар Vn) пли
не превышающее {¦> a ,\t к и у т ы Й шар V") величину R
(радиус Ш.), т. е.
r(p') = {tg/';». A(,,, .!•„) < я (ssA1)}.
Ш. Т71— это о т р е :( о к, И— ато круг, V" ири н >3
иногда на.ч. г и н о р ш а р о м. Границей (поверхно-
(поверхностью) III. является сфера.
Объем Ш.
где S"-1 — поверхность гранпчнш') сферы. В частности,
Т'1 2Л V*rR\ V3l{'J V'

С возрастанием размерности объем Ш. «концентри-
«концентрируется» у его поверхности:
, д „
Ш.— простейшая геометрич. фигура. Топология его
тривиальна. Среди всех тел равного объема Ш. имеет
минимальную поверхность, а среди всех тел одинако-
одинаковой поверхности он имеет наименьший объем.
Совершенно аналогично определяется Ш. в метрич.
пространстве, однако при этом, напр., Ш. может быть
не строго выпуклым, его поверхность может иметь не-
негладкие точки и т. н.— все то, что бывает у произволь-
произвольных выпуклых тел.
Бесконечномерный шар — прямой пре-
предел последовательности вложенных друг в друга Ш.
последовательных размерностей — в отличие от конеч-
конечномерного Ш. не имеет компактного замыкания. На-
Наоборот, компактность III, в топологическом векторном
пространстве свидетельствует о его конечномерности.
Лит. см. при статье Сфера. И. С. Шарадзе.
ШАРЛЬЕ МНОГОЧЛЕНЫ — многочлены, ортого-
ортогональные на системе неотрицательных целочисленных
точек с интегральным весом da(x), где а(х) — ступен-
ступенчатая функция, скачки к-рой определяются по формуле
7(*) = е~а-?г, -« = 0, 1, 2, ...; а > 0.
Ортонормированные Ш. м. имеют представления
-а2 (п\) Т Ц (x)\-*tf (х — п).
С Лагерра многочленами Ш. м. связаны равенством
Ра(х; а) =
Введены К. Шарлье [1]. Поскольку функция / (х) опре-
определяет распределение Пуассона, то многочлены
{Рп (.с; а)} наз. также многочленами ГГ у а с с о-
н а — Ш а р л ь е.
Лит.: [li Cliarlier С, АррПснИ'оп d« la theorie des
pi'cilialiiVitcs h l'astronomie, P., 1931; 12] В e it т м е н Г., Эр-
д e ii ii Л., Высшие трансцендентные функции. Функции Бессе-
Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные много-
многочлены, пер. с англ., М., 1974; 1;I С, е i ё Г., Ортогональные
многочлены, пер. с англ., М., I%2. JI. К. Суетин.
ШАРЛЬЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — малоупотребитель-
малоупотребительное название распределении, плотность к-рого дается
Г рами —Шарлье рядом.
ШАРОВАЯ ФУНКЦИЯ, г с л с с н а я гармони ч е-
о к а я функция,— сферическая функция п-й степени
с множителем г".
ШАУДЕРА МЕТОД мстд решения краевых задач
для линейных равномерно эллиптических уравнений
2-го порядка, и основе к-рого лежат априорные оценки
и метод продолжения по параметру.
Ш. м. решения Дирихле задачи для линейного равно-
равномерно эллиптического уравнения
Lit =.-= aU (х) ихх +Ь/ [х) их +b (x)u = j (x), A)

заданного в ограниченной области U евклидова про-
пространства точек х={хх, хг, •••, хп) и с коэффициентом
Ъ(х)^0 описывается следующим образом.
1. Вводятся пространства Са (Q), Ci+ctffl). Cz + xiQ)
как множества функции и = и (х) сроненными нормами
11 «* 11с (Ц)= SUP I в (•'¦¦> I - -«'
2. Предполагается, что граница о области Q принад-
принадлежит классу С2+о- !'• е. каждый элемент ах (я—1)-
мерной поверхности о может быть отображен на часть
плоскости с помощью преобразования координат у — у (х)
с положительным якобианом, причем функция
у (x)dCz+a (ах).
3. Доказывается, что если коэффициенты уравненля
A) принадлежат пространству Са (Q) и функция
и?С*+а(О), то справедлива априорная оценка вплоть
до границы
""¦ 11'.'а ia(Q)9S=c[llL"l|ca(H) + ll"llc.J1.a(U) + ll« Hc.(B)J, B)
где постоянная С зависит только от Q. постоянной
эллиптичности ms^a'J (x) gi|y/| ? |2, | ?^ 0, н норм коэф-
коэффициентов оператора L, а
II" Hco(i2)^SUr-) I " W I'
4. Считается известным метод доказательства сущест-
существования решения и?С'2+а(^) задачи Дирихле
для оператора Лапласа -j —^,-_, <hi(lx'i-
5. Не нарушая общности, полагается ф (х)г-=О и
затем реализуется метод продолжения по параметру,
сущность к-рого состоит и том, что:
51. Оператор L вкладывается в однопараметрнчоское
семейство операторов
Ltu = tLu-\- A — 0 Su, Usj, /<1. А„ \.
52. Существенно опираясь на априорную оценку (-),
устанавливается, что множество Т тех значений пара-
параметра '?[0, 1], для к-рых задача Дирихле Ltn I (.с).
и |0 =.- О имеет решение и^C-i: а (И) при любых j?Ca (U)
является одновременно открытым и, стало быть, сов-
совпадает с единичным отрезком [It, 1].
6. Доказывается, что если О —ограниченная область,
содержащаяся в Q вместе со своим замыканием, то
для любой функции и?С-> , a (U) и каждой компактной
подобласти шей справедлина инутреяняя априорная
оценка:
6' [II
llc-a («) +«" I:, (и) \
7. Равномерно аппроксимируя заданные функции ф
и / с помощью функций из класса С2-1а и применяя
оценку C), показывается существование решения задачи
Дирпчло для любой непрерывной граничной функции
и широкого класса областей с негладкими границами,
напр. для областей, предсташкчых как объединение
последовательностей областей Иг d fi2 ^ ¦ ¦ ¦ С О/ С!
Cfly + iC..., границы к-рых имеют такую же гладкость,
ЧТО И О.
Оценки 2 и :' получены впервые Ю. Шаудером (см.
И], [2J) и носят его имя. Оценки Шаудера и его метод
обобщены на уравнения и системы высшего порядка.
Соответствующие им как внутренние, так и вплоть до

границы, априорные оценки иногда наз. оценк а ми
шаудсровского типа. Дальнейшим разви-
развитием Ш. м. является метод априорных оценок.
Лит.: [lJ S с h a u d e r .)., «Math. Z.», 1!i:n, Bd 38, Л» 2,
S. 257—82; [2l его же, «Stud, math.», 193.".. v. .-,, p. 34---42:
[;j] h e p с .[., Д ж о и Ф., Ш е х т с р М., Уравнении с ча-
частными производными, пер. с англ., М., 1966: UJ К у р а и т Р.,
Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964;
Г5] Б и ц а л з е А. В., Некоторые классы уравнений в частных
производных, М., 1981: L6] Б с р с з а н с к и й Ю. М., Раз-
Разложение по собственным функциям самосопряженных операто-
операторов. К., 19Н5; [7] Л а д ы ж е в г. к !i я О. А., Уральце-
II а 11. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптиче-
эллиптического типа, 2 изд., М., 1973. А. М. Нахушев.
ШАУДЕРА ТЕОРЕМА -- один т принципов непо-
неподвижной точки: если вполне непрерывный оператор А
отображает ограниченное замкнутое выпуклое множе-
множество К банахова пространства X в себя, то существует
но крайней мере одна точка х?К такая, что Ах=х.
Доказана Ю. Шаудером [11 как обобщение Врауэра
теоремы.
Существуют различные обобщения Ш. т.: теорема
Маркова — Какутани. принцип Тихонова и др.
Лит.. [1] Schaudor J., «Stud, math.», 11130, v. 2,
p. 171- 80; 12J Л юстерник Л. А., С. о б о л е в В. И.,
.Элементы функциональниго анализа, 2 изд., М., i905; [3l Д а н-
ф о р д Н., Ш в а р ц Д ж., Линейные операторы. Общая тео-
теория, пер. сангл.,М., 1962; ['i! Эдварде Р., Функциональный
анализ, пер. с англ., М., 19НЯ; [5] Н в р е н б е р г Л., Лекции
но нелинейному функциональному анализу, пер. е англ., М.,
1977. В. 11. Соболек.
ШВАРЦА АЛЬТЕРНИРУЮЩИЙ МЕТОД один н.ч
общих методов решении Дирихле задачи, позволяющий
получить решение задачи Дирихле для дифференциаль-
дифференциального уравнения эллиптич. типа в областях D, иредста-
вимых в виде объединения конечного числа областей
I),. для к-рых решение задачи Дирихле уже известно.
Работы Г. Шварца A869; см. [1]) и ряд последующих
работ других авторов были посвящены Ш. а. м. реше-
решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в пло-
плоских областях. Сущность Ш. а. м. применительно к
простейшему случаю уравнения Лапласа в объедине-
объединении двух плоских областей заключается в следующем.
Пусть Д и В -- две области на плоскости, имеющие
непустое пересечение и такие, что решение задачи
Дирихле для уравнения Лапласа для каждой ия них
известно; напр.. если А и 5 — круги, то решение
задачи Дирихле для каждого из них дается интегралом
Пуассона. Пусть, далее, I) -- объединение областей А
и В, для к-рого требуется найти решение задачи Ди-
Дирихле (см. рис.). Через а обозначена граница области
А , через а1 - части границы
а. попавшие в В (они входят
в /)), а через а2 - оставшиеся
части, так что ос — c.t(Ja.,. Ана-
Аналогично E — граница области
/?, рх ¦-- ее части, попавшие к
А (они тоже входят в D). р.,
оставшиеся части, то осп,
P=P\UpV Тогда граница у области /; может быть
представлена в виде 7=a2UpV
Пусть теперь на у задана непрерывная функция /
и пусть требуется найти гармонич, функцию w 11 D,
непрерывную в замкнутой области Ь и принимающую
на у значения функции /. Сужение функции / на а2
продолжается непрерывно на всю границу а и для
этих граничных значении находится решение ах задачи
Дирихле в А. Значения иу на р4, вместе со значениями /
на Р2 образуют теперь непрерывную функцию на Р,
для к-роп находится решение иг задачи Дирихле в В.
Далее, решение и2 задачи Дирихле в А строится по
значениям функции / на а2 и функции иг на о^ и т. д.
Искомая функция имеет вид
u'= lim un в А

и>=- lim у„ в Л.
Применение ограниченных решений задачи Дирихле
для кусочно непрерывных граничных данных позволяет
полагать, не заботясь о непрерывном продолжении /,
значения равными нулю на оставшихся частях границ.
Метод, аналогичный Ш. а. м. (см. [2]), может брдть
применен к отысканию решения задачи Дирихле в пе-
пересечении двух областей А и б, если ее решения для
А и В известны.
Ш. м. м. используется и при решении краевых задач
более общий природы для общих уравнений эллиптич.
типа (в том числе и порядка выше второго), подчинен-
подчиненных нек-рьш дополнительным условиям [3], причем
также н в пространственных областях.
Важное значение имеет III. а. м. для построения гар-
ыонич. функции различного вида (с наперед заданны-
заданными особенностями) на римановых поверхностях [4].
Лит.: Ы S с h w а г 7. Н.. Ges. math. Abh.. Bd 2, В., 1890:
[21 Neumann С, «Ber. Verhendl. Sachsisch. Akad. Wiss. Leip-
Leipzig. Math.-naturwiss. К.1.», 1870, Bd 22, S. 2K4--321; [3]
Канторович Л. В., Крылов В. П., Приближенные
методы высшего анализа, 5 и«щ., М.— Л., 1962, гл. 7; М
Н с в а л л л и н а Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955.
Е. Д. Соломенцсв.
ШВАРЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛ главная часть по-
порядка и Шварца симметрической производной. Подроб-
Подробнее, если для функции действительного переменного
/И
то выражение .1 -(Д.г)" наз. Ш. д. порядка п. Когда
говорят о Ш. д. без указания порядка, то обычно счи-
считают п — 2. Т. П. Лукашенко.
ШВАРЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР,
производная Шварца, шварциан, ана-
литич. функции /(г) комплексного переменного z —
дифференциальное выражение
>'' '"" /'(г) 2lv/'B); -\ f(z)) 2\f'(z)) '
появившееся .при исследовании конформного отображе-
отображения многоугольников на круг, в частности в работах
Г. Шварца |1|.
Важнейшее свойство Ш. д. и.- его инвариантность
относительно дробно-линейного преобразования функ-
функции /(г), т. е. если
. > и1 (z) t Ь
то {/, z}—{%, z}. Применения Ш. д. п. связаны прежде
всего с вопросами однолистности аналптич. функций.
Напр.. если /(г) — однолистная аналптпч. функция в
круге U =~ {z : |z|<l}, причем /@)=0. /'(d).="l, то
Обратно, если /(z) регулярна в D и
то I (:¦) — однолистная функция в /) и константу 2
здесь нельзя увеличит!..
Лит.: [I Scti war/ II, ties, niatli. Alili., Bd 2, 11.,
1890; I2J U о n a u л и н к л I1., Одпп.щачныс гиылпгпчесиис
функции, пер. с нем., М. .1.. I!''¦ 1: l.'il Г и i у ;t и м Г. М.,
Геометричсгиан теория функций ko.mii.il'Kcikh n переменного,
I ИЗД., М., liHlfi. /:,. Л. Со..1О.И('Н|(р«.
ШВАРЦА ИНТЕГРАЛ зависящий от параметра
интеграл, дающий решение :» а д а ч и 111 г. а р ц а
о выражении нналитич. функции /(z) — u (z)-,-ii:{z) в
круге D по граничным значениям ее действительной

(или мнимой) части и на граничной окружности С
(см. [1]).
Пусть на единичной окружности С= {г : г=е"Р,
0<ф<2л} дана непрерывная действительная функ-
функция и (ф). Тогда интегральные, формулы
Шварца, выражающие аналитич. функцию /(«)=
--!(¦ (г) + п;(г), граничные значения действительной ча-
части i.'-poii совпадают с и (ф) (или граничные значения
MiuiMoii части совпадают с у(ф)), имеют вид
/ (-) -= аи (z) = 4^ J в (О ttj т- + '¦'-¦ =-
. (.ал ciq> , ,.,,1'й
= _L_\ v (ф) с?ф-г ri.
где z^=/e'9j г=е^Ф,с и с4 — произвольные действитель-
действительные постоянные. Ш. и. (i,) тесно связан с IIцассона ин-
интегралом. Выражение
1 е'Ф ¦ ,.,'»
часто наз. ядро м Шварц а, а интегральный
оператор 5, фигурирующий в первой формуле (*),—
оператором Шварца. Эти понятия обобща-
обобщаются и на области произвольного вида комплексной
плоскости (см. |3]). Ш. и. и его обобщения играют важ-
важную роль при решении граничных, задач теории аналити-
аналитических функций (см. также [3]) и исследовании гра-
граничных свойств аналитических функций (см. также 14]),
При применении интегральных формул (*) возникает
важный и более трудный вопрос о существовании и вы-
выражении граничных значений мнимой части v(z) и
всей функции /(г) по данным граничным значениям дей-
действительной части и (ф) (или граничных значений дей-
действительности части u\z) и всей функции /(г) по данным
граничным значениям мнимой части у(ф)). Если данные
функции и (ф) или у(ф) удовлетворяют на С ГсльОера
условию, то соответствующие граничные значения
у(ф) или и(ц>) выражаются формулам и L' и л ь-
б е р т а
v (Ф) - ~ \ и (a) ctg -2Ц^ da -i- г.
, л2Л
-= \ " (а)
причем входящие н ;)ти формулы интегралы являются
сингулярными и существуют и смысле главного значе
ния по Коши (см. \'Л\).
Лит.: [1] S с li w а г z Н,, Ucs, math. Abh., Bd 2, В., ISHU;
f2l Б и ц а д з е А. В., Основы теории аналитических функций
комплексного неременного, 2 инд., М., 1972; [3] Г а х о п Ф. Д.,
Краевые задачи, 3 изд., М.. 1977; I'll 11 р и и а л о в И. 11.,
Граничные свойства аналитических функций, 2 и;щ,, М. - ,1.,
11150. Е. Л. Соломеп1(ев.
ШВАРЦА ЛЕММА: если функция / (г) регулярна
в круге Л1—{|z|<! }, /((!)--() п |/(г)|<1 и К, то нрпг^Д
справедливы неравенства
|/(г)|<|г| и |/'@) |=S.l, A)
причем знаки равенстна >з них (» исрво.м n:i неравенств
A) при : Ф 0) имеют место только в случае, когда
/(s) scir'-z. где, а - действительная нос гонннан (клас-
I1 теска и форма III. л.). .)та лемма была дока-
доказана Г. Шварцем (см. |1|).
Известны различные формы III. л. Мац))., и н в а р н-
а н г н а я ф о р м а III. л.: если Функция /(-) регу-

лярна в круге Е и |/(г)|<:1 в Е, то для любых точек
!(, г,,^? справедливо неравенство
где гЕ(а, 6)—гиперболич. расстояние между точками
а, Ъ в круге А (см. Гиперболическая метрика)] кроме
того, при z^E справедливо неравенство
^T/uVi^TTiV' C)
при этом знаки равенства в B) в C) имеют место только
в случае, когда / (z) — дробно-линейное отображение
круга К на себя.
Неравенство C) наз. также д и ф ф е р е н ц и а л ь-
ной формой Ш. л. Интегрирование этого нера-
неравенства приводит к следующей формулировке Ш. л :
при отображении круга Е с помощью регулярной функ-
функции j(z), для к-рой |/(г)|<1 при z?E, гиперболич.
длина произвольной дуги в Е уменьшается, за исклю-
исключением того случая, когда /(z) реализует однолистное
конформное отображение круга Е на себя, в утом слу-
случае гиперболич. расстояния между точками Е сохра-
сохраняются.
Обобщением инвариантной формы Ш, л. на многосвяз-
многосвязные области, в к-рых может быть определена гииербо-
лич. метрика, служит гиперболическо/i метрики прин-
принцип. Известны аналоги Ш. л. для голоморфных отоб-
отображений в й-мерном комплексном пространство Сп
(см. [4]).
Лит.: Ш S с Ь w a r z H. A., Ges. math. Abh., Brt 1--2,
В., 1890; [2] Г о л у з и н Г. М.. Геометрическая теории функ-
функций комплексного переменного, 2 изд., М., 19В6; lul Н с на н-
л и н н а Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем.,
М.— Л., 1941; [4] Ш а б а т Б. В., Введение и комплексный ана-
анализ, 2 изд., М., 1976, ч. 2. Г. В. Кузьмина.
ШВАРЦА ПОВЕРХНОСТЬ многогранная поверх-
поверхность, вписанная в конечный круговой цилиндр так,
что последовательность таких поверхностей при соот
вететвующем подборе парамет-
параметров может стремиться к любому
пределу (в том числе и беско-
бесконечному).
Конструкция III. п. гакова
(см. рис.), что при стремлении к
нулю максимальных диаметров
ее граней: они оказываются но-
новее не близкими по своему рас-
расположению в пространстве к ка-
касательной плоскости к' -поверх-
-поверхности цилиндра. Таким образом
грань III. п. не может с возра-
возрастающей точностью приближать
" элемент поверхности цилиндра,
приведена Г. Шварцем (II. Schwai'z)
Поверхносп
в 1880.
Лит.: [11 Ф и х г е и г о л ь ц Г. М.,
пого и интегрального исчислении, т. 3, ft
Курс днфс|)е11снцпа. !!¦-
изд., М., I'.Ki'J.
ШВАРЦА C11MMRTPHЧК( КАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
функции /(.t) в точке ,г0— величина
ft-* 0 "
иногда наз. и р о и о воды о ii I1 п м а и а , или
в т о р о ii с и м м е т р и ч с с к о ii пронзи о д-
н о ii. Впервые введена Б. Рнмано.м в 1854 (см. |2|),
рассматривалась Г. Шварцем И]. Колее общо III. с. п.
называют симметрия, производную порядка и
= lirn-
ft->n

Лит.: [1] S с h w а г г Н., Ges. math. Abh., Bd 2. В.,
1890, s. 3-41 — 43: [J.] V и м а н В., Сочинения, пер. с нем.,
М.—Л.. 1948, с. 225—В1; [3] Натансон И. П., Теория
функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1У74, с. 27!)—98;
[4] Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961, с. 185—
201; 15) Зигмунд А., Тригонометрические ряды. пер. с
англ,, 2 иод., М., 1965, т. 1, с. 43—45, 502-18, т. 2, с.
132—39. Г. II. Лукашенко,
ШВАРЦА ТЕОРЕМА СИММЕТРИИ: если минималь-
минимальная поверхность проходит через нен-рую прямую I,
то I является ее осью симметрии. Из 111. т. с. следует
что если граница минимальной поверхности содержит
отрезок прямой I, то ота поверхность может быть про-
продолжена через этот отрезок симметрично относительно I.
II. X. Сабитов.
ШВАРЦА УРАВНЕНИЕ -- нелинейное обыкновен-
обыкновенное дифференциальное уравнение 3-го порядка вида
его левая часть наз. производной Шварца
функции z(t) и обозначается символом {z, t}. Это урав-
уравнение использовал в своих исследованиях Г. Шварц ]\].
Если »j@- гг(') --фундаментальная система рошс
Htiii линейного уравнения 2-го порядка
B)
то на любом интервале, где .г, (<)=^0, функция
удовлетворяет Ш. у. (U, где
¦инвариант линейного уравнения
B). Обратно, любое решение III. у. A) может быть пред-
представлено в виде C), где xy(t), x2(t) — нек-рые линейно
независимые решения уравнения B). Решения Ш. у. в
комплексной области с рациональной правой частью
тесно связаны с задачей описания функций, кон-
конформно отображаюгцих верхнюю полуплоскость внутрь
многоугольника, ограниченного конечным числом отрез-
отрезков црнмых и дуг окружностей.
Лит.: li] Scliwarj П., «J. reinc unit angew. Math.»,
1873, Bd 75, S. 292—335; l2j Голубев В. В., Лекции ли
аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 и.щ.,
М.—Л., 1!>50. Н. X. Pujos.
ШВАРЦА ФОРМУЛА—формула для минимальной
поверхности, имеющая вид
г (и, !>) = Ri. {г @+«'$[«, <*Г]},
где г (и, ') - радиус-вектор минимальной поверхности
F, lie {/¦ (I)} — радиус-вектор произвольной незамкнутой
аналитической (относительно /) кривой L, лежащей
на F, •*#.(/)— единичная, нормаль к /• вдоль L (аналити-
(аналитически зависящая oi' l). После интегрирования параметр
/ заменяется на /--/*-]- ir. <1>ор.мула установлена
Г. Шварцом (II. iSchvvar-/,, J875); она дает в явном виде
решение Иьсрлиигп задачи. И. X. Сабитов.
ШВАРЦА ФУНКЦИЯ, ф у н к ц и я 1' и м а н а --
Шварца, -- аналити1!. функция, реализующая кон-
конформное отображение треугольника, ограниченного ду-
дугами окружностей, на верхнюю полуплоскость (или
на единичный круг) и при неограниченном аналитпч.
продолжении остающаяся однозначной. Ш. ф. являются
автоморфнымч функциями, группа к-рых зависит от
вида отображаемого треугольника. Требованию од-
однозначности можно удовлетворить лишь п том случае,
если углы треугольника равны л v,. л;\\,. л>'\>;|, где v>j. v2,
v.,-- Hciv pi.ie специально подобранные натуральные
числа.
Кслп l/v, -f 1/v2+l/V;t—-I, то получаются прямоли-
прямолинейные треугольники, для к-рых возможны только
случаи: vx — va=2, v3 = oo (полуполоса); vx=2, v2=3,

v3=6; гг=2, v2—vy—4; v]=v3=v3=3. Во всех этих
случаях Ш. ф. выражаются через тригонометрия,
функции или через Вейерштрасса эллиптические функ-
функции п являются автоморфными функциями, группа
к-рых есть группа движении евклидовой плоскости.
Если 1. v, -I b'v2-r l/v3>t, то возможны следующие
случаи: v,- v2~2, v.,—любое; v( = 2, v3~=va=3; v, —2,
v2—3, v.i—4; v, — 2, v3 — 3, v3=5. Во всех этих случаях
Ш. ф. являются рациональными автоморфными функ-
функциями, группа к-рых есть конечная группа движений
сферы. Вследствие связи этой группы о правильными
многогранниками такие Ш.ф. наз. также и о л и э д-
р а л ь н ы м и функциям и.
Наконец, если 1/vj + l/v2+l/v3<J, то возможно бе-
бесконечно много различных треугольников, т. к. числа
V,, v2, v:) можно неограниченно увеличивать. При этом
Ш. ф. суть автоморфные функции с непрерывной особой
линией (окружностью или прямой). В частности, слу-
случаи Vj=2, v2=3, v3=oo п v1=v2 = v3 = oo (круговой
треугольник с нулевыми углами) приводят к модуляр-
модулярным функциям J (z) и X(z) соответственно. III. ф. изу-
изучались Г. Шварцем [1].
Лит.: [1] S с h w а г z II-, «J. reino mid air^ew. Math.».
1873, Bd 75, S. 292 -335; [2) Г о л у 6 с в В. И.,' Лекции ни
аналитической теории дифференциальных уравнении, 2 изд.,
М.-- Л., J Я 5 0: [3] ФорД Л. Р., Аитоморфиые функции, пер.
с англ., М.-- Л., 111.41). Е. Д. Силоменцев.
ШВАРЦА ЯДРО в к р у г с |z|<l — функция
Пусть D — конечная односвязная или многосвязная
область с границей Г, G(z; ?) — функция Грина для
оператора Лапласа в D, а действительная функция
Н (z; ?,) — сопряженная с С(з; t). Тогда функция
Л/(г; l,)~G(z\ ?)-f-i//(z; l,) наз. к о м и л е к с н о й
ф у н к ц и е й Грина об л а с т и D. Функция
М (z; t,) — аналитическая, но многозначная (если
D — многосиязна) функция от z и однозначная неана-
неаналитическая функция ?• Функция
где v — направление внутренней нормали \\ точке
?? Г. наз. я д р о м Шварца области D.
Пусть F (z) — и (z)-\-iv(z) -— аналитич. функция, не
имеющая в D особых точек, и — однозначная и непре-
непрерывная в D{}T. Тогда справедлива формула
F(z) = ~^rH(t)r(z; 0 (/a + iv (а),
где a?D — фиксированная точка, г (а) — значение в а
одной из ветвей функции с(г).
Лит.: Ill Интегральные уравнении, М., 11168; [2| М и \-
л и и С Г., Интегральные уравнения..., 2 изд., М.— Л., 1949.
I). В. Хведелидзе.
ШВАРЦШИЛЬДЛ МЕТРИКА метрика четырех-
четырехмерного нсевдорпманова нросгранства, к-рая может
быть приведена к виду
ds2 = f~777 dl'2 — r~ №~ ^ sin'2 ° d(Pa) +
-| A- rs;r)r'di-, г Ф rg, г Ф 0,
где rg и г - KOHcTaini.i. III. м. состоит из двух связных
компонент: uepmui ни них (с>г^) наа. внешне ir
Ш. м., вторая (r<Lrg) - в н у т р сине й Ш. м. 13 об-
щеи теории относительности 111. м. служит для описания
сферически симметричного поля изолированного точеч-
точечного тела. И итом ел у мае 1чОординут|,1 интерпретируются
кап время, измеренное по часам бесконечно удаленного
наблюдателя, г — как расг-тоянио до об'ьектм, 0 ir ц-
как угловые переменные, с—спорость света в вакууме,
20Ш
г? — —-,; так наз. гравитационный радиус

(® — постоянная тяготения, М—масса тела). Ш. м. не
является геодезически полной. Неполными являются
геодезические, к-рые приближаются к точкам г=0 или
r—rg. В связи с этим принято говорить, что Ш.м. имеет
координатные сингулярности при г=0 и r—rg. В пер-
первом случае сингулярность связана с тем, что вблизи
точечного источника величины, характеризующие гра-
гравитационное поле, неограниченно возрастают. Коорди-
Координатная сингулярность при г—0 является истинной
с и н г у л я р и о с т ь ю (или просто сингулярно-
сингулярностью), т. о. не существует четырехмерного псевдорима-
нова пространства N сигнатуры A, 3) такого, что в него
можно вложить III. м. так, что предельные точки после-
последовательностей, r-координаты к-рых стремятся к нулю,
были бы внутренними точками пространства N. При
r~rg координатная сингулярность не является истин-
истинной. Известна так ная. метрика К р ус кала,
являющаяся расширением Ш. м., в к-рой точки с
г — Tg являются регулярными. Метрика Крускала не
допускает расширения без нарушения сигнатуры или
регулярности; она имеет более сложное строение, не-
нежели Ш. м. Ряд особенностей этого строения пока не
имеет ясного физич. истолкования.
Важной особенностью III. м. является то, что при
r<Lrg всевозможные траектории пробных частиц и
лучей света идут в направлении уменьшения г. Дру-
Другими словами, частица или луч света, проникшие за
так наз. шварцшильдовскую сферу
(r=i-g), уже не могут выйти обратно. С этой особенно-
особенностью П1. м. связано представление о гравитационном
коллапсе массивных звезд и образовании черных
дыр, т. е. самоизолировавшихся тел, к-рые влияют
на остальные тела лишь посредством гравитационного
поля. Для описания черных дыр используется также
обобщение 111. л. метрика К о р р а. Ш. м.
может служить и для описания катастрофич. взрывов —
так наз. белы х д ы р.
Важным приложением IIJ. м. является применение ее
для вычисления эффектов общей теории относительнос-
относительности в Солнечной системе. В атом случае гравитационное
поле является слабым, т. к. радиусы Солнца и Земли
являются много больше их гравитационных радиусов,
равных, соответственно, 3 км и 0,4 см. Для описания
гравитационного поля внутри небесных тел 1П. м. не-
непригодна.
Ш. м. предложена К. Шварцшильдом (К. Scliwarz-
schild) a 1016 как решение уравнений Эйнштейна в
случае сферически симметричного статического грави-
гравитационного поля при правой части уравнений Эйн-
Эйнштейна, равной нулю всюду, кроме точки начала ко-
координат.
Лит.: ll) 3 е .' ь д он и ч Л. Ji., Пори к о и И. Д., Реля-
Релятивистская астгкрфиаина, М., 1967: [2] Линда у Л. Д.,
Лифшиц Е. М., Теории поля, (i изд., М., 1!Ш.
Д. Д. Соколов.
ШИАРЦШИЛЬДА ИОД К — гравитационное поло
изолированного точечного тела, пространственно-вре-
пространственно-временные свойства к-рого определяются Шварцшилъда
метрикой. Д. Д. Соколов.
ШЕВАЛЛЕ ГРУППА—линейная алгебраич. группа
нал, век-рым полем, связанная с полупростой комплекс-
комплексной алгеброй Ли. Пусть fl — Ли полупростая алгебра
над С, [) — ее подалгебра Картана, S — система корней
алгебры з относительно (), {аь ..., ajcl — система
простых корней, J//a. (I «S i<fc), Xa (a ?2) [—базис
Шеьалле алгебры fl, ft,. — его линейная оболочка над '?.
11 пусть ф- —точное представление алгебры Ли g в ко-
конечномерном векторном пространстве Г. Оказывается,
что в V существует решетка (т. е. свободная абелева
подгруппа, базис- к рой является базисом простран-
пространства V), инвариантная относительно всех операторов

Ф (Ха)т
—-—j (a?Z, m—-натуральное число). Если к — пропз-
вольное иоле и У* = Л/@А, то определены гомомор-
гомоморфизмы ха: к—* GL (V*), <х?2, заданные формулами
Подгруппы $a = lmxa, а?1, порождают в GL (I*)
нек-рую подгруппу G^, к-рая и наз. группой III г-
валлр, связанной с алгеброй Ли д, представлением ф,
полем fe. В случае, когда (p = ad (присоединенное пред-
представление), Ш. г. были определены К. Шевалле (С. Che-
valley) в 1955 (см. [1]).
Если К — алгебраически замкнутое ноле, содержа-
содержащее к, то Ш. г. G/( есть связная полупростая линейная
алгебраич. группа над К, определенная и разложимая
над простым подполем /r0Efe. Ее алгебра Ли изоморфна
Чг» ®К. Группа G& является коммутантом группы
G/((k) точек группы Сд-, рациональных над к. Любая
связная полупростая линейная алгебраич. группа над А'
изоморфна одной из Ш. г. Алгеораич. группы Сд- (и Gk
как абстрактные группы) зависят лишь от решетки
ГфС1)*, порожденной весами представления ср. Если
Гф совпадает с решеткой корней Го, то <?л- наа. при-
присоединенной группой, а если Гф = Гх (решетка
весов, см. Ли полупростая группа), то СА- наз. уни-
универсальной, или односвязной, группой.
Если GK универсальна, то Gk--=GK(k).
Ш. г. 6д- всегда совпадает со своим коммутантом.
Центр группы Gk конечен. Напр., центр Z универсаль-
универсальной группы Gk изоморфен Ыот(Г1/Го, к*), а соответ-
соответствующая присоединенная группа изоморфна G^/Z и
имеет тривиальный центр.
Если алгебра rj проста, то присосдиненная Ш. г. G/t
проста, за исключением следующих случаев: |&| = 2,
G — алгебра Ли типов А1% В2, G2; |/c| = 3, g — алгебра
Ли типа Ах. Другие серии простых групп можно полу-
получить, рассматривая подгруппы неподвижных точек не-
к-рых автоморфизмов конечного порядка Ш. г. (т. н.
скрученные группы).
Если иоле к конечно, то порядок универсальной
группы Сд. вычисляется по формуле
где q = \k\, d( (l-~l, ..., /:) — показатели алгебры Лид,
т. е. степени свободных образующих алгебры много-
многочленов на I), инвариантных относительно Вейля группы,
iV = 2-_ (^/ — 1) — число положительных корней.
Имеется развитая теория рациональных линейных
представлений Ш. г. Сь над бесконечным полем fc, сво-
сводящаяся к случаю алгебраически замкнутого ноля, а
в последнем случае совпадающая с теорией рациональ-
рациональных представлений полупростых алгебраич. групп. Если
Я проста. Gk~- универсальная 1П. г. над бесконечным по-
полем к и а — нетривиальное неприводимое, конечномерное
представление группы (г/, (как абстрактной группы) лад
алгебраически замкнутым нолем Л. ю существуют
такой конечный набор вложении q ,•: к — ¦¦ А и такой
набор рациональных представлений р, групп О ,k^, что
a--®i l'i ° Ф(- По поводу ирече.тявлоний III. т. см. также
B1, [3]. |5|.
Лит.: И] Ш е }t н .J .1 о IV'., ^Математик.I). !П.)Ь, ч. '1, .V? 1,
с. .4 — 5,'l: [2J С т с й и б о )> г Р., .Иекции о группах Шевалле,
пер. с анг.1., М., 1075; l;j] Семинар но алгеГфпнчеРким группам,
иер. с aiir.i., М., 197,4: 14] 1J и m p h г е у к J. Л., Jntiuductiori
to Lie algebras and representation theory, N. ^. Hdlb.--- В..
1972: [ol с г о ж и. Ordinary and modular representations of C.lic-
valley groups, U.— Hdlb.— N. V., 1У7«. А. Л. Онищик.
ШЕННОНА ТЕОРЕМА - теорема, устанавливающая
условия, при к-рых возможна или невозможна пере-

дача сообщений, вырабатываемых данным источником
сообщений, но данному каналу связи и при заданных
условиях точности воспроизведения сообщений (см.
Сообщении точность воспроизведения). Имеются раз-
различные формулировки Ш. т. (см. Информации передача
и лит. [1J — [4] при этой статье).
Р. Л. Добрушин, В. В. Прелое.
ШЁНФЛИСА ГИПОТЕЗА: общая граница двух
плоских областей всегда разложима. При этом про-
пространство X наи. разложимым, если оно связно
и допускает представление в виде объединения двух
замкнутых связных подмножеств, отличных от X.
Эта гипотеза была высказана А. 1Нёнфлисом(А. Schoenl-
lies) в 1908 и опровергнута Л. Брауаром (L. Brouwer)
в 1910, открывшим неразложимые к о н т и-
н у у м ы. т. е. связные компакты, к-рые нельзя пред-
представит!, в виде объединения двух замкнутых собствен-
собственных связных подмножеств. Для каждого конечного
или счетного к^2 построено к плоских областей, имею-
имеющих общую границу, являющуюся неразложимым кон-
нуумом.
Лит.: [II Куратовский К., Топология, пер. с англ.,
т. 2, М., 1969. Ь. А. Ефимов.
ШЕПЛИ ВЕКТОР —вектор-функция <р (i>) = (<Pi (v), ...
..., ф„ (i?)), заданная на множестве характермстич. функ-
функций игр п лиц и удовлетьоряющая следующим аксио-
аксиомам: 1) (эффективность) если коалиция Т такова,
что для любой коалиции S выполняется равенство
u(S)^r(S{]T), то ]?ieT<n(v)^v{r); 2) (симмет-
(симметричное т I.) если л — перестановка множества J =
= {1. ..., и} и для любой коалиции S имеет место
и' (nS) = v (Л'), то фл(- ([>')— ср,- (у); 3) (линейность)
ф; (w-f-i/) =ф.(v)-\-<p. (и). Эти аксиомы были введены
Л. Шепли [1| для акспоматич. определения ожидаемого
выигрыша игрока в кооперативной ujpe. Было показано,
что аксиомам 1)—3) удовлетворяет единственная вектор-
функция
Лит.: [II К h a p I e у L., в кн.: Contributions to the Theory
of Games, v. г, Princeton (N. J.), 195У, p. 307—17.
A. PI. Соболев.
ШЕППАРДА ПОПРАВКИ д л я м о м е н т о в
поправки на дискретизацию реализаций непрерывных
случаниых величин,применяемые с целью уменьшения
систематич. ошибок в задаче оценивания моментов не-
непрерывных случайных величин при заданной системе
округлений.
Впервые такие поправки были предложены У. Шен-
пардом [1J. Пусть X — непрерывно распределенная слу-
случайная величина, плотность вероятности к-рой р (х),
j?IR'. имеет всюду непрерывную на R1 производную
//•" (х) порядка s такую, что
p(S) (.r) = () (| ,, [ 1-6) Ир„ х__, да
для нек-рого 6 > О, и пусть существует момент ак -=
--- ВХ'\ Далее, пусть задана система округлений резуль-
результатов наблюдении (т. е. заданы начало отсчета хп и шаг
h. h > О), выбор к-рой приводит к тому, что вместо
реализаций исходной непрерывной случайной величины
X в действительности наблюдаются реализации х,„ —
— jco-j- mil, m=0, :;:1, ± 2, ... дискретной случайной
величины
где [а] —целая часть числа а. Моменты а, —ЕУ', i-1,

2, ..., к. ел) чайной величины У вычисляются по фор-
формуле
\ p[x)d.r.
Вообще говоря. а-ьФ а;. В связи с этим возникает вопрос:
можно ли подправить моменты яь а2, .... а^так, чтобы
они давали «хорошие» приближения для .моментов аь
сс2, •••, «fc? Ш. 11. дают положительный ответ на этот
вопрос.
Пусть g(t)— характеристич. функция случайной вели-
величины X, 1A)— характеристич. функция случайной по-
почины Y. и пусть
— характеристич. функция случайной величины г\, к-рая
равнолюрно распределена на интернале I - -^- , — I и
стохастически независима от X. В этил условиях при
малом к
откуда следует, что моменты дискретно)! случайной
величины Y совпадают с точностью до 0(/(^-1) с мо-
моментами случайной величины X -\- ц и, следовательно,
с точностью до ()\lis~]) имеют место следующие ра-
равенства
1 ,„ , 7 ,,
а1 :~~ а1- а4 --'- Я4 ~ A-1"" С TfT, "" i
1 a Г) ., , -
.4 1
к-рые и содержат т. н. Ш. п. к моментам ву, а3, . . ., а^.
Лит.: Ill Sheppard W. К., «Proc. Lond. Math. Soc»,
1898, v. 2S>, p. .453 —8A; [21 К p a м е р Г., Математические мето-
методы статистики, пер. с англ., 1 и.чд., М., Н>7Г>; [3] У ил КС С,
Математическая статистика, мер. с atu\i., M., 1907; L'i] Ван
дер В а р д е н Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем.,
М., 1960. М. С. Никулин.
II'ЯРКА ПОВЕРХНОСТЬ минимальная поверх-
поверхность (м. п.), найденная X. Шерком (К. Sclierk, 1834).
Ова определяется уравнением г =1п cos ;y и является
единственной м. п.. представляемой как переноса по-
поверхность вида z — l(x)-\-g(y). HI. и. и ее модификации
служат для построения вспомогательных функций,
позволяющих находить примеры неразрешимости за-
задачи Дирихле для уравнения Эйлера — Лагранжа м. и.
над невыпуклыми областями.
Ш. п. обладает рядом интерес вы х свойств: она—пол-
она—полная поверхность бесконечного рода, содержащая счет-
вое число прямых; универсальная накрывающая к ней
дает пример полкой м. п. конформно-гиперболическо-
конформно-гиперболического типа; ее сферический образ не содержит ровно че-
четыре точки: l,— — \ и t-' — i. Последнее свойство Ш. и.
усматривается из со представления через Вейерштрасса
формулы с /(и1)-- ~_"--;.i I g(w) = w, где w изменяется в
плоскости с четырьмя исключенными точками —I и
±г. По аналогии с утнм представлением строятся обоб-
обобщенные Ш. п. с
/('•") = |Цт^1 ("-' — «'га)J , fc<4. g(w)—w,
являющиеся полными м. п., нормали к к-рым «упуска-
«упускают» ровно к, 1<:&<:4, любых заранее заданных направ-
направления. Существование таких м. п. интересно в связи

с гипотезой об отсутствии полных м. п., у к-рых нор-
нормали «упускали бы» более четырех направлений. Эта
гипотеза доказана A984) для числа направлений, боль-
большего семи.
И. X. Сабитов.
ШЕФФЕРА ШТРИХ — логическая операция, обыч-
обычно обозначаемая I. к-рая задается следующей истин-
истинностной таблицей:
Л \В\ А\ Я
И
п
л
л
[1
л
и
л
л
и
и
и
Таким образом, высказывание А {В означает, что А а В
несовместны, т. е. не являются истинными одновре-
одновременно. 4i'рез Ш. ш. выражаются все другие логич.
операции. Наор., высказывание ~\А (отрицание А)
эквивалентно высказыванию <4|/4; дизъюнкция А\/В
высказываний А и В выражается так:
(А\А)\(В\В).
Конъюнкция А&В и импликация А—*-В выражаются
соответственно как (А\В)\(А\В) и А\{В\В). III. ш. был
введен в рассмотрение Г. Шеффером [1].
Лит.: hi S h e f f е г П., «Trans. Amer. Math. Soc», 1913,
v. 14 p. '.81 — 88. В. h. 11лиско.
ШЛЕФЛИ ИНТЕГРАЛ — 1) Ш. п.— интегральное
представление Песселя функции для любых значений п:
1 Гл
Jn(z)=— \ cos(«6 — з sin 9) </Н
я J
1 Гл
n(z)=— \
л 00
У
когда Re z>0. Если и — целое, то формула (*) при-
приводится к виду
Впервые формула (¦¦) приведена Л. Шлефли |1].
2) III. п.--- интегральное представление Лежандра
многочлена
Р Ы- —
где С — контур, обходящий вокруг точки z один раз
против часовой стрелки. Впервые представление дано
Л. Шлефли [2].
Лит.: [1] SchlSIli L., «Malli. Ann.», 1871, Bd 3, H. 1,
S. 134—49; [2l его же, [leber die zwei Heine'scheu Kugel-
funktionen, В., 1881; [3J У и т т е к е р Э. Т., Ват-
сон Д ж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд.,
ч. 2, М., 1963; [4] К р а т ц е р А., Франц В., Трансцендент-
Трансцендентные функции, пер. с нем., М.. 19ВЗ. А. Б. Иванов.
ШМИДТА ГРУППА — конечная ненилыютентная груп-
группа, все собственные подгруппы к-рой нилыютентны.
III. г. является разрешимой группой порядка радР,
где р и q — различные простые числа. В любой конеч-
конечной ненилыютеятной группе существуют подгруппы,
являющиеся Ш. г. Введены О. К). Шмидтом A924).
Лит.: [11 Шмидт С). Ю., Шбр. груды, М., 1',13'J,
с. 221 — 27. II. Н. Вильяме.
ШНИРЕЛЬМАНА МЕТОД — метод сложения после-
последовательностей целых неотрицательных чисел; создан
Л. Г. Шнирельманом в 1930. Пусть v(.r) — количество
элементов последовательности, не превосходящих х,
ф(). По аналогии с понятием меры множества
а -_ ml -1—¦
к=.1.2, ... п
есть плотность последовательности. Суммой последо-
последовательностей А и В наз. последовательность С, эле-
элементы к-рой с=а-\-Ъ, где а?А Ь?В

Теорема Шнирельмана 1): если а, [} -
плотности слагаемых, то плотность суммы y=a.-\-$—afi.
Если при сложении последовательности самой с собой
конечное число раз получается весь натуральный ряд,
то исходная последовательность нач. базисом. Тогда
любое натуральное число представимо суммой ограни-
ограниченного числа слагаемых данной последовательности.
Последовательность положительной плотности есть
базис.
Теорема Швирельмана 2): последова-
последовательность 5s + Э" имеет положительную плотность,
где 5s — последовательность, состоящая на единицы и
всех простых чисел; следовательно, ?р — базис нату-
натурального ряда, то есть любое натуральное число «5*2
представимо суммой ограниченного числа простых чи-
чисел. Для количества слагаемых s (абсолютная
постоянная Шнирельмана) получено
s<:19. В представлении достаточно большого п^щ
суммой простых чисел для количества слагаемых Л'
(постоянная Шнирельмана) 111. м. с
использованием аналитич. методов дает S<X>. Однако
более мощным тригонометрическух сумм методом
11. М. Виноградова получена оценка 5<4.
III. м. применен для доказательства того, что после-
последовательность, состоящая из единицы и чисел вида
р-\-ат, где р — простое, а~^2 натуральное, т_-1,2,
. . ., есть базис натурального ряда (Н. П. Романов,
1934).
Лит.: [1] ШниРельман Л. Г., «Успехи матем. наук»,
1940, в. 7, с. 7—46; [21 X и н ч и и А. Я., Три жемчужины тео-
теории чисел, 2 изд., М.— Л., 1948; [3] П р а х а р К., Распределе-
Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967. Н. И. Климов.
ШОКЕ СИМПЛЕКС — непустое компактное выпук-
выпуклое множество X в локально выпуклом пространстве Е,
обладающее следующим свойством: при вложении Е
в качестве гиперплоскости ?xl в пространство EXR
проектирующий конус
x€X}c:Exl, a Ss 0}
множества X превращает Ex R в частично упорядочен-
упорядоченное пространство, для к-рого пространство разностей
X — X является решеткой. В случае конечномерного Е
111. с. есть обычный симплекс с числом вершин dim Е-\А.
Существует ряд эквивалентных определений Ш. с.
(см. HI). Одно из них сводится к требованию, чтобы
пересечение X с любым транслятом X снова было транс-
транслятом X.
Когда дополнительно к наложенным условиям Е
еепарабельно, а X метризуемо, то для того, чтобы .Y
былоШ. с..необходимо и достаточно, чтобы каждая точка
.) ? X была центром тяжести единственной меры, сосре-
сосредоточенной на крайних точках множества X. Понятие
111. с. существенно при изучении единственности ин-
интегральных представлений функций (см. [1|, |2|);
оно введено Г. Шоке (О. Choke).
Лит.: Ш Фелпс Р., Лекции о теоремах Шоке, игр.
<•¦ англ., М., 1Ш)8; [2l A I f sen П., Compact convex sets and
boundary integrals, B.— N. y., 1071. Я. А. Залгиллер.
ШОТТКИ ТЕОРЕМА: если функция
регулярная аналитическая и круге l)—{z : ]zi</^}
и не принимает в D нек-рых конечных значении nt,
а.,, то в любом круге \z\ -<Ht, U</^i<7i', модуль !/(;)!
ограничен числом М(аг, о2, с0, /?]), зависящим только
от <?!¦ а2, (-'о, Я] (см. [1]). Более законченную формули-
формулировку получают, объединяя обобщенную Ш. т. и теоре-
теорему Ландау при произвольном числе д^2 выпускаемых
значений. Пусть функция («) не принимает нек-рых
конечных значений ах, . . ., ач, q^2. Тогда, если су^-О.
то радиус R ограничен сверху числом, зависящим толь-
только от %,..., aq, c0, Cj (теорема Л а н д а у).
Кроме того, в круге |z|</?!, 0<Ях<Л, модуль |/(z)|

ограничен числом М(aj, . . ., aq, с0, i?j), зависящим
только от вь . . ., aq, с„, Иг (т е о р е м а Ш о т т к и).
Геометрически Ш. т. означает, что сферич. расстоя-
расстояние (т. е. расстояние на Римана сфере) образа круга
|z|<:/?i до точек ах, . . ., а? не меньше числа d(ax,
. . ., я(/, с0, /?,), зависящего только от ах, . . ., aq,
r0, lit. III. т.— один u;i классич. результатов теории
функция комплексного переменного типа искажения
теорем.
Лит.: ll] ScbottkyF., «Sitzungsber. Preuss. Akad.
Wiss. », 1904, 2 H.|Bd, S. 1244—(И; 12] Голузпн Г. П., Гео-
Геометрическая теории функций комплексного переменного, 2 изд.,
М., 1966; 13] Стоило» С, Теории функций комплексного
переменного, пер. с рум., т. 1—2, М., 1962.
Е. Д. Соломенцее.
ШПЕККЕРОВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — алго-
рифмическая, монотонная, ограниченная последова-
последовательность рациональных чисел, не являющаяся кон-
конструктивно (алгорифмически) фундаментальной. Соот-
Соответственно, числовой ряд с алгорифмически заданным
неотрицательным рациональным общим членом и огра-
ограниченными в совокупности частичными суммами, не
являющийся конструктивно сходящимся в себе, наз.
in ц е к к е р о в ы м рядом.
Первый пример такой последовательности (ряда) был
указан Э. Шнеккером fl]. Более точно, для Ш. п. а
невозможна общерекурсивная функция Р такая, что
при любых i, j, п таких, что г, у^=E(«), выполняется
неравенство
Существование Ш. п. является фактом принципиаль-
принципиального значения как для конструктивной математики,
так и для традиционного математич. анализа. Посколь-
Поскольку Ш. п. не сходится ни к какому конструктивному
(вычислимому) действительному числу и из нее нельзя
выбрать подпоследовательности с этим свойством, то
ее можно рассматривать в качестве контрпримера, оп-
опровергающего для наиболее естественной алгорифмич.
концепции конструктивного континуума такие фунда-
фундаментальные принципы, кап теорема Beiiepirrrpacca о
существовании предела монотонной ограниченной по-
последовательности, теорема Вольцано -- Вейсрштрасса
о ныборе сходящейся подпоследовательности, теорема
о существовании точных границ ограниченных число-
числовых множеств. С точки зрения традиционной матема-
математики результат О. Шнеккера показывает, что объекты,
существование к-рых утверждается в упомянутых тео
ремах, могут иметь довольно сложную природу даже
при очень простых исходных ситуациях. Теорема Шнек-
Шнеккера может рассматриваться как первый существенный
шаг в исследовании вычислительной и дескриптивной
сложности этих объектом.
См. также Конструктивная математика, KoucnipijH-
тивный анализ.
Лит.: [11 S р с с к <¦ г К., «J.Syniiml. 1д>?!.». 11L0, v. 14,
.р 145—58; |2] Куши о р Ь, Л., Лекции по конструктивному
математическому анализу, М., 1Я7.Ч. И. А. Куишер.
ШПЕРНЕРА ЛЕММА: если покрытие замкнутого
п-мерного симплекса Т" состоит из м-|-1 замкнутых
множеств Ло, Л[, .... Ап. поставленных в соответствие
вершинам а0. аи ..., ап симплекса 7'" таким образом,
что каждая грань Тг - («,о, .... я(- ) этого симплекса
покрыта множествами ^1,-0 А; , соответствующими
ее вершинам, то существует точка, принадлежащая
всем множествам Ао, А1, ..., Ап. Установлена 3. Шпер-
нером (см. [1]). Из Ш. л. следует, что Лебега размер-
размерность пространства R" есть п. Ш. л. используется также
для доказательства Брауэра теорем о неподвижной
точке и об инвариантности области.
Лит.: [1] S р е г п е г Е., «Abh. Matli. Sem. Hamb.», 1928.
Bd В, S. !2В5 — 72; [2] А л е к с а н д р о в П. С, П а с ы н-
к о в Б. А., Введение в теорию размерности..., М., 1973.
И. Г. Иошевникова.

ШРЁДИНГЕРА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — одно из ос-
основных возможных (наряду с Гейзенберга представле-
представлением и взаимодействия представлением) эквивалентных
представлений зависимости от времени t операторов А
и волновых функций \|> в квантовой механике и кван-
квантовой теории поля. В Ш. п. операторы А$, соответ-
соответствующие физич. динамич. величинам, не зависят от
времени t, поэтому решение Шрёдингера уравнения
,h°ML=,HW) A)
можно записать с помощью не зависящей от t Гамиль-
Гамильтона функции Н формально в виде
-iJLt
^(t) = ^s(t) = e h t@), B)
где ч(з @) не зависит от времени, а волновая функция
в Ш. п. зависит от t и содержит всю информацию об
изменении состояния системы с течением t. Среднее зна-
значение оператора /Ij и 111. п.
+ ,ft -eft
,--ф*@)« п Ase * г|)@) C)
зависит от I вследствие зависимости от t волновых
функций ifs((). А можно также понимать как среднее
значение оператора Af!, зависящего от I, по волновым
функциям 1|)я, не зависящим от t:
иЛ-t -iJLt iJLt
AH(t)=-e h Ase h ; \|)H-i|) @) --e h i|5S(<), D)
т. е. как среднее значение оператора в представлении
Гейзенберга. Свойство инвариантности средних зна-
значений, к-рые должны быть наблюдаемыми и иметь тем
самым физич. смысл, относительно унитарных преоб-
преобразований типа D) означает эквивалентность Ш. п. и
представлений Гейзенберга и взаимодействия.
III. ц. названо по имени Э. Шрёдингера (Е. Schrodin-
gei), к-рый ввел его в 1926, формулируя в квантовой
механике уравнение, получившее впоследствии назва-
название уравнения Шрёдингера. В. Д. Кукии.
ШРЁДИНГЕРА УРАВНЕНИЕ — основное уравнение
квантовой механики, определяющее вместе с соответ-
соответствующими дополнительными условиями волновую
функцию г|)(г, q), характеризующую состояние и ми-
микроскопия, свойства квантовой системы. Для нереля-
нерелятивистской системы частиц без спина сформулировано
Э. Шрёдингером (Е. Schrodinger, 1926). Оно имеет вид
it-Ht-Vit, ч)=ЩA, q),
где Н = Н (р, г)—оператор Гамильтона, образованный
но общему правилу: в класс на. функции Гамильтона
U [р, г) импульсы частиц р и [ix координаты г заме-
заменены на операторы, имеющие, в частности, в коорди-
координатном ('/-=/¦], ..., г у) и импульсном (<l = Pi,
• ¦ ¦ ^ Pn) представлениях соответствующий вид
h д ~ h д
i - 1, . .., N.
Для заряженных частиц в электромагнитном поле, ха-
характеризуемом векторным потенциалом A (t, r), вели-
величина р заменяется на р + — A (t, r). В этих представ-
представлениях Ш. у. представляет собой дифференциальное
уравнение с частными производными, напр. для частицы
в поле U (г)
d^ ? , r).

Возможны дискретные представления, в к-рых г|)-функ-
ция многокомпонентна, а оператор Н имеет вид матри-
матрицы. Если волновая функция определена в пространстве
чисел заполнения, то оператор Н выражается с помощью
определенных комбинаций операторов рождения и
уничтожения (представление вторичного квантования).
Обобщение Ш. у. на случай нерелятивистской части-
частицы со спином (двухкомпонентная функция \p(t, г)) наз.
уравнением Паули A927), на случай реля-
релятивистской частицы со спином д/2 (чстырехкомпонентная
\|>-функция) — уравнением Дирака A928),
на случай релятивистской бесспиновой частицы урав-
уравнением Клейна — Гордона A926), со
спином 1 (г|>-функция — вектор) — уравнением
Прока A936) и т. д.
Решение Ш. у. определяется в классе функций, удов-
удовлетворяющих условию нормировки (г|)*, г|>)=1 при
всех значениях t, где скобки означают интегрирова-
интегрирование или суммирование по всем значениям переменных
</. Дли нахождения решения необходимо сформулиро-
сформулировать начальные и граничные условия, соответствующие
характеру рассматриваемой задачи. Наиболее харак-
характерные типы таких задач:
1) Стационарное Ш. у. и определение допустимых
значений энергии системы. Полагая i|)(<, g)==
= ф(^) exp{—~iEtl'k) и требуя в соответствии с условием
нормировки и условием отсутствия потоков на бе-
бесконечности обращения в нуль волновой функции и
ее градиентов при |г|-»-оо, приходят к уравнению на
собственные значения Еп и собственные функции ф„
оператора Гамильтона:
Характерные примеры точного решения этой проблемы:
собственные функции и уровни энергии для гармонич.
осциллятора, атома водорода и т. д.
2) Квантовомеханич. задача рассеяния. Ш. у. ре-
решается с граничными условиями, соответствующими на
большом расстоянии от центра рассеяния (описываемо-
(описываемого потенциалом U (г)) падающей на него плоской и
расходящейся от него сферич. волнам. С учетом такого
граничного условия III. у. можно записать в виде
интегрального уравнения, первая итерация к-рого по
члену, содержащему U(r), соответствует т. н. борнов-
скому приближению. Это уравнение можно предста-
представить в виде формального решения, к-рое называют
также уравнением Л и п п м а н а — Ш в и н-
г е р а.
3) Случая, когда гамильтониан системы зависит от
времени, И — llo([>, r)-\-U(t, p, r), обычно рассма-
рассматривается в рамках временной теории возмущений.
Это — теория квантовых переходов, определение ре-
реакции системы на внешнее возмущение (динамич. вос-
восприимчивость) и характеристик релаксационных про-
процессов.
Для решения Ш. у. обычно используют приближен-
приближенные методы, регулярные (различного типа теории воз-
возмущений), вариационные и т. д.
Лит.: II] Д а в ы д о в Л. С, Квантовая механика, М.,
1973; [2J Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Квантовая ме-
механика, 3 изд., М., 1974; [3] Соколов А. А., Тер-
Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Квантовая механика,
М., 1979. И. А. Квасников.
ШРЕЙЕРА СИСТЕМА — непустое подмножество сво-
свободной группы F с множеством образующих S, удов-
удовлетворяющее такому условию. Пусть элемент цф{,
принадлежащий Ш. с, представлен в виде редуциро-
редуцированного слова от образующих группы:

и пусть
, _ (gS*, Щ < О,
8 " \gSk'' nk > О.
Тогда требуется, чтобы элемент g также принадлежал
этой системе (элемент g' можно представлять себе как
редуцированное слово, полученное из g зачеркиванием
его последней буквы). Элемент 1 принадлежит каждой
Ш. с.
Введена О. Шрейером (О. Schreier) в 20-х гг., ом. [11.
Лит.: [1] Масса У., Столлингс Д ж., Алгебраиче-
Алгебраическая топология. Введение, пер. с англ., М., 1977.
М. И. Войцеховский.
ШТЕЙНА МНОГООБРАЗИЕ, голоморфно
полное многообразие, — пара компактное
комплексное аналитическое многообразие М, обладаю-
обладающее следующими свойствами:
1) для любого компакта KczM множество
{*€ X Ц 1 (.г) | < sup | / (г) | (/66 (
К
где б (Л/) —алгебра голоморфных функций на Л/, ком-
компактно (голоморфная выпуклость);
2) для любых двух различных точек х, г/?А/ суще-
существует такая функция /66 (М), что / (ж) ф / (у) (голо-
(голоморфная отделимость);
3) в окрестности любой точки существует голоморф-
голоморфная карта, координатные функции к-рой принадлежат
G(M).
Условно голоморфной выпуклости можно заменит!, сле-
следующим: для любой последовательности точек {.т„ | и - \.
2, . ,.}cAf, не имеющей предельных точек, сущест-
существует такая функция 1?Q(M), что вчр|/(г„)| --оо.
п
Класс Ш. м. был введен в рассмотрение К. Штейном
[II. как естественное обобщение голо.порфности областей
н С". Всякое замкнутое аналитич. подмногообразие в С™
является Ш. м.; обратно, любое «-.мерное Ш. м. допус-
допускает собственное голоморфное вложение в С2". Всякая
некомпактная риманова поверхность является Ш. м.
Непоср"дственным обобщением III. м. являются
Штейна пространства.
Лит.: [1]S tei ч K.,«Malli. Ann..), 1«Г>1, Ud 123, S. UIM- 22.
См. также лит. при статье Штейна щтстранстач.
ШТЕЙНА ПРОСТРАНСТВО, голоморфно пол-
полное пространств о,— паракомпактное комплексное
аналитич. пространство (X, 6), обладающее следующими
свойствами:
\) любое компактное аналитич. подмножество в X
конечно;
2) любой компакт К (Z. X допускает такую открытую
окрестность W в X, что множество
{х? W || / (х) | «: sup | / (г) для всех / ?6 (Л)}
геК
компактно (с .1 и (i а я голоморфная выпук-
выпуклость).
Комплексное многообразие М тогда п только тогда
является Ш. II., когда М — Штейна многообразие.
Комплексное пространство является III. тт. тогда и
только тогда, когда этим свойством обладает его ре-
редукция. Всякое голоморфно выпуклое открытое под-
подпространство в Ш. п. является III. п. Приведенное
комплексное пространство штейново гогда и только
тогда, когда его нормализация есть 111. п. Всякое
замкнутое аналнтич. подпространство в Ш. п., напр.
в С", есть Ш. п. Всякое конечномерное 111. u. допу-
допускает собственное инъектнвнос голоморфное отображе-
отображение в нек-рое С", регулярное.в каждой неособогг точке.
Всякое неразветвлонное накрытие III. п. есть Ш. п.
Прямое произведение двух Ш. п. есть III. и. Тем же
свойством обладает во многих случаях голоморфное
расслоение, база и слой к-рого суть Ш. п. (напр., если

структурной группой является комплексная группа Ли
с конечным числом связных компонент). Однако су-
существуют примеры голоморфных расслоений со слоем
С2 и базой С, не являющихся многообразиями Штейна
[2.
Пусть ff — когерентный аналитич. пучок на Ш. п.
(X, C). Тогда справедливы Картапа теорема:
A) Пространство Н° (X, §") порождает слой $'х пучка
,^~ в любой точке х^Х;
B) Н<!(Х, йП^-О для всех </ > 0.
Обратно, если Н1(Х, g/).= () для любого когерент-
когерентного пучка идеалов 3 ?=6, го X — III. ц. Область
D а С" является многообразием Штейна тогда и только
тогда, когда II1 (D, 6)= ..=H"~l(D, Q)--=0.
Из теорем Картана следует, что ua lU.n. всегда раз-
разрешима 1-я проблема Кузена, а если Я-(А'. 2)-=0—то
и 2-я проблема Кузена (см. Кузена проблемы). На любом
многообразии Штейна X разрешима проблема Пуан-
Пуанкаре, т.е. всякая мероморфная функция представима
и виде —, где /, g?Q(X), g Ф 0. Если при этом
Н2(Х, 2) = 0, то /, g можно выбрать так, чтобы ростки fx,
,gx в любой точке х?Х были взаимно просты. Группа
классов дивизоров неприводимого приведенною Ш. п. X
изоморфна Н-(Х, %). Для любого ге-мерного III. п. X
группа гомологии Нд(Х, 2) = 0 для q > п, а группа
Йп{Х, %) не имеет кручения. Если X — многообразие,
то X гомотопически эквивалентно «-мерному клеточ-
клеточному комплексу. С другой стороны, для любой счетной
а осле вой группы G и для любого q S^ 1 существует
область голоморфности DaC"'^1 3 такая, чю Ha(D, S) =
~ С
Важное направленно в теории Ш. и. связано с изу-
изучением плюриеубгармонмч. функций на них (см. Леей
проблема, Псевдовыпуклостъ и псевдовогнутоетъ). Ос-
Основной результат здесь состоит в характеризащш Ш. к.
как пространства, на к-ром существует исчерпываю-
исчерпывающая его сильно 1-псевдовыпуклая функция.
Алгебры голоморфных функций Q(X) на Ш. и. X
(т. и. ш т с Й н о в ы алгебр ы) обладают следующими
свойствами. Для максимального идеала / dQ{X) укви-
валентны условия: / замкнут и (j{X) относительно
топологии компактной сходимости; I {f <z?)(X) | /(ж) =
^0} для нек-рой точки г?Х; / конечно порожден.
Если X конечнол1ерно, то каждый характер X'- 6(Х) —*¦ С
имеет вид %(f)-— f(x) для нек-рой точки х?Х. Если
(X, 6х)' (Y, (Зу)-дна конечномерных Ш.и. с изоморф-
изоморфными алгебрами §Х(Х) = QY (Y), то (X, §х) as (Y. QY),
причем любой изоморфизм (9\'(ЛГ) —* Qy (Y) непрерывен
и индуцируется неи-рым изоморфизмом Y—¦>¦ X комп-
комплексных пространств.
Большую роль в теории Ш. п. играет т. н. п р и н
ц и п Ока. согласно к-ром у многие задачи разре-
разрешимы на 111. и. в классе аналитич. функций тогда и
только тогда, когда они разрешимы в классе гладких
непрерывных функции. Этому принципу удовлетворя-
удовлетворяет, напр., 2-я проблема Кузена. Более общим является
следующее утверждение: классификации главных ана-
аналитических, расслоен nil, базой к-рых является задан-
заданное приведенное. 111. п. Л", а структурной группой -
заданная комплексная группа .4 и (!, совпадает с клас-
классификацией топологич. расслоений с топ же базой и
структурной группой. Совпадают также группы связ-
связных компонент в группах аналитических и непрерывных
функций X --> (i.
Лит.: Ill U v :i ч е v I. И., \\ к m me г t R.( Theorie dei
Sleinschcn lUiimif П. - Hdlb -- N. Y. 1977; f2] Demai 1-
ly .I.-P., «Invent. math.», 1978, v. 48, №3, p. 293 —302:
l;il Итоги науки и техники. Ллгеора. Топологии. Геометрия,
1.11, Ы., l!O''j, с. 125 — 01; т. l.'i, M., 1977, с. 93 — 171.
А. Л. Онищик.
ШТЕЙНЕРА КРИВАЯ — плоская алгебраич. кри-
кривая 4-го порядка, к-рая описывается точкой окружности

радиуса г, катящейся по окружности радиуса /?=3г
и имеющей с ней внутреннее касание; гипоциклоида с
модулем т — 'А. Уравнение
III. к. в декартовых прямо-
прямоугольных координатах:
(х2 + ,'/2)'2-f-Ъгх C;у-—х~)-\-
Пмеются три точки возвра-
возврата (см. рис.). Длина дуги
от точки А:
, 16 . „ t
I =— г sin- —.
с
Длина всей привои Uir.
t
диус кривизны гд.—8/-sin — •
Площадь, ограниченная кривой, Л'—2лН.
Кривая исследовалась И. Штейнером (.1. Sloiner).
Д. Д. Соколов.
ШТЕЙНЕРА СИСТЕМА — пара (Г, И), где F —
конечное множество из v элементов, а В — совокуп-
совокупность ^-подмножеств множества V (называемых б л о-
к а м 11) такая, что каждое I- подмножеств о множества
V содержится точно в одном блоке множества B{l<Ck).
Число v на;!, порядком Ш. с. S(t, k, v). III. с.
является частным случаем блок-схемы, а также так-
тактической конфигурации. III. с. с < = 2 является уравно-
уравновешенной неполной блок-схемой (BIB-схемоп), а при
i>—а--|-4'-;-1, k = s-'rl — конечной проективной плос-
плоскостью. Необходимым условием существования ПТ. с.
S(t, k, г) является условие того, что число
v—s\j/k~s
t—sjj\t—s
должно быть целым при всех таких *-, что ()<s<(!. До-
Доказана достаточность этого условии при (к, <) = C,2),
D,2), E,2), D,3) (см. 13|, |4]).
В 1844 У. Вулхаус (W. Woolliouse) поставил пробле-
проблему существования Ш. с., а П. Киркман (P. Kirkman)
в 1847 реишл ее для к~3 (с и с т е м ы т роек
Штейнера). В 1853 Я. Штейнер (.1. Steinor, [1])
рассмотрел S(t, t-y 1. и).
Для Ш. с. обычно рассматриваются задачи: 1) опре-
определения максимального числа попарно непзоморфных
Ш. с. данного порядка г; 2) существования JU. с. с за-
заданной группой автоморфизмов; 3) вложения частич-
частичных Ш. с. (не содержащих нек-рых /-подмножеств
У) в конечную III. с; 4) существования разрешимых
Ш. с. (с В, представимой как объединение разбиений V);
5) максимальной упаковки (минимального покрытия)
полного множества /^-подмножеств V попарно не пере-
пересекающимися S (t, к, v) (с помощью Ш. с).
Большинство результатов по 1ГГ. с. относятся к не-
небольшим значениям к и t (см. |2] — |4|).
Лит.: [I] Stclner .Г., «J- reine iind angew. Matli.». 1853,
Bd 45, S. 181- 82; [2l X о :i ,:i W-, Комбинаторика пер. v. англ.,
M., 1970: [;i| Ь i n d и е г С. С-, Rosa A., «Discrete Math.»,
1978, v. 22, p. 147 81; [1] H a n a n i H., хам же, 1975, v. 11,
p. 255—389. Б. 7\ I'умов.
ШТЕЙНЕРЛ ТОЧКА -- центр тяжести массы, рас-
пределенной по площади поверхности выпуклого тела
с плотностью, равной гауссовой кривизне. Для неглад-
негладкого тела определяется через смешанные объемы (см.
Смешанных объемов теория). Ш. т. аддитивна относи-
относительно сложения тел. Н. Штейнером в 1840 (J. Steiner)
впервые рассматривался центр тяжести массы, распре-
распределенной на плоском контуре переменной кривизны.
Лит.: М Г |i ю и б а у м В., Этюды но комбинаторной гео-
геометрии и теории ыьшуклых тел, пер. с англ., М.. 1971; |21
Schneider К., «Abli. Math. Seni. Univ. 1-Iamb.», 1972,
Bd ,'!7. ,V I— 1. В. Л. Залгнллер.
ШТЕИНИЦА ТЕОРЕМА: нсякий абстрактный много-
многогранник, ййлерова характеристика к-рого равна 2,
может быть реализован в виде нек-рого выпуклого мно-

гогранника. При этом под абстрактным мно-
много г р а н н и к о м понимается конечная совокуп-
совокупность произвольных элементов, называемых вершина-
вершинами, ребрами и гранями, для к-рых определено симме-
симметричное и транзитивное отношение инцидентности:
ребро а инцидентно грани а, если а составляет часть
границы а; вершина А инцидентна ребру а, если А —
конец а; вершина А инцидентна грани а, если А явля-
является одной из вершин грани а. Сеть вершин, ребер и
граней абстрактного многогранника должна удовлет-
удовлетворять следующим условиям:
1) Каждое ребро инцидентно с двумя и только с
двумя вершинами. Каждое ребро инцидентно с двумя
и только с двумя гранями.
2) У двух вершин может быть только одно инцидент-
инцидентное им обоим ребро. У двух граней может быть только
одно инцидентное обоим ребро.
3) Всякая вершина инцидентна, по крайней мере,
трем граням. Всякая вершина инцидентна, по крайней
мере, трем вершинам.
Теорема доказана Э. Штейницем (Е. Steinitz, 1917).
А. Б. Иванов.
JIJTiOPMEPA МЕТОД, м е т о д С т ё р м е р а,—
конечно разностный метод решения задачи Коши для
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
2-го порядка, не содержащей первой производной от
неизвестной функции:
!/"=/ (я, У), ,'/М=0о. У' (*(>) —!/о-
При интегрировании но сетке с постоянным шагом
хп—Лц-\-tih, n—i, 2, . . ., расчетные формулы имеют
вид:
а) экстраиоляционные:
Уп , I— "f/n-f-2/n-i=fe25jA, = 0 (*-^«-*> tn==f (л«> У")>
п^О, 1, . . .,
или (в разностной форме)
где
б) интерполяционные:
-И) ¦•
(_1 __0< ... (t~\-(p — l))dt ), р — 0, 1, .... к,
или (в разностной форме)
Уп+i -Уп i Уп-i - 1 ^р=.о
где
(-1-0

Первые значения коэффициентов §р и ур:
Р„ = 1, Рх = О, Р3 = Уз , Рз = 72' Р4^24?
R — 863 •
Рб~ 1209В '
__ _[_
Т5~ 240' ">'6~ 60480'
При одном и том же k формула и) точнее, но требует
решения нелинейной системы уравнений для нахожде-
нахождения значения у„ + \. На практике сначала находят при-
приближенное значение решения </n4i no формуле а), а
затем проводят два-три уточнения но формуле
Применение Ш. м. предполагает, что уже известны
приближенные значения решения в первых к уздах
сетки: г/0, U\i • • •> ilk (опорные значения). Эти значе-
значения вычисляют по Рцнге — Кутта методу, либо ис-
используя разложение решения по формуле Тейлора.
Необходимость использовании специальных формул для
вычисления значений в начале счета и в случае изме-
изменения шага сетки, но к-рой ведется интегрирование,
приводит к существенному усложнению расчетных про-
программ на ЭВМ.
Формулы Ш. м. с /с членами в правой части имеют
погрешность порядка O(htt + 1). Оценка погрешности
аналогична соответствующей оценке для Адамса метода.
Можно показать, что для любого к существуют устой-
устойчивые формулы с погрешностью порядки О (fc* + 1).
На практике обычно используются формулы с к—
= 4, 5, 6. Широко используется II у м е р о в а м е-
т о д, принадлежащий к семейству интерполяционных
Ш. м.:
Уп + г~2.У» +1 + Уп = ту (/« i а-I !<•/,> v 1 + In)¦
Метод предложен li. Штёрмером (С. Slomier, 1U20).
Лит.: 111 Б а х li н л и в И. С., г[ис.иеннь]A методы, 2 изд.,
М., 1975; [2] L a m 1> с г ( Л. D., CuinpulaLional methods in ordi-
ordinary differential equations, N. Y.— [a. o.l, 1!O,Ч; laj M и x-
¦4 u и С Г., (; м и л и ц i: и й X. Л., Приближенные методы
решении дифференциальных и интегральных уравнений, М.,
19В Гь 'С. С. Гайсарии.
ШТИФЕЛЯ МНОГООБРАЗИЕ (кещестпенное) —много-
—многообразие Vn к ортонормированных /с-репероп в «-мерном
евклидовом пространстве. Аналогично определяются ком-
комплексное Ш. м. Wn,k и кватерннонное Ш. м. Xпк. Ш. м.
являются компактными вещестиенно-аналитпч. многооб-
многообразиями, а также однородными пространствами классич.
компактных групп ()\и). U (п) и Sp («) соогнитственло.
В частности, У„л- .У"-', W ,u , -^ 52"-1, A"Bi, ^SJ«-'
являются сферами, Ш. м. Vn_ 3 есть мно1ообразие еди-
единичных касательных иекторои к S"~', Ш. м. Vnn,
И7л,н> Xnvii отождествляются с группами О (п), U (п),
Sp (re), a Vn< „_]¦ — с i-pyjuioii SO(ti), Рассматриваются
также HoltOMiiaктныо 111. м., состоящие из всевозможных
А-реперов в R", С" или Н".
Эти многообразии были нведены ;). Штифелом Ц| к
связи с изучением систем линейно независимых нектор-
ных полей на гладких многообразиях. Начатое в |1|
изучение топологии 111. м. привело затем к полному
вычислению их когомологнй (см. [2J, [о]). В частности,

H* (Vn, k, ''Li) есть коммутативная алгебра с образую-
образующими '»„_<,. х„_й+1, ..., хп_х и соотношениями
(xi + j> если г + /^п — 1,
10, если i + / > л — 1
(через х; всюду обозначен алеменг степени I). Вещест-
Вещественные, комплексные и кватернионные Ш. м. асфе-
асферичны в размерностях не более /г — к—1, 2 (к—к) и
4 (п—А")+2 соответственно, причем
J2. если А - 1 илн и — ft четно,
"~ ' "' ' \'?ч, если к > 1 или п—к нечетно;
Но поводу вычисления других гомотонич. групп
Ш. м. см. \->\.
Лит.: Ill St/efel E., «Cumin, math, helv.», 1935—36,
v. S, Kj 'i. p. 305—,r>3; 121 Бо|1«л ь А., веб.: Расслоенные щю-
пранстин и их приложения, пер. с франц., М., 1958, с. 183—24U;
\'Л] С т и и р о д Н., Э п с т е й и Д., Когомологические опера-
операции, пер. е ашл., М.. 1983; L4J Рохлин В. А., Ф у к е Д. Б.,
Начальным курс топологии. Геометрические главы, М., 1077;
L5] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, М., 1971,
с. 71 — 122. А. Л. Онищик.
ШТИФЕЛЯ ЧИСЛО — характеристическое число
замкнутого многообразия, принимающее значения вы-
вычетов по модулю 2. Пусть и-?П** (ВО; S2) — нроиа-
иольныГ| стабильный характсристич. иласс, М — зам-
замкнутое многообразие. Вычет но модулю 2, оиределяе-
мый равенством
х[М\ = (х{%М), [М\у,
низ. числом Штифеля (или Штифеля —
Уитни) многообразия М, соответствующим классу х.
Здесь хМ—касательное расслоение многообразия М, а
\M)^Ht(M; Z2)—фундаментальный класс. Для много-
многообразий размерности п Ш. ч. зависят лишь от
однородной компоненты степени п класса х. Группа
Нп (ВО; 2г) изоморфна векторному пространству над
полем 2г с базисом, находящимся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с множеством всех разбиений w =
— {'ь • • ¦ > '*} числа п, т. е. наборов {it, . . ., гд,} целых
неотрицательных чисел с i1-j~ ...-(- г^ —н. В качестве
базиса группы II" (ВО; 22) естественно взять классы
и><д =WiiWj1. . .wt . Поэтому с точки зрения характери-
зацпп многообразия его Ш. ч. достаточно рассмат-
рассматривать классы Was, где ш — разбиение размерности мно-
многообразия.
Бордантные многообразия имеют одинаковые Ш.
ч., так что каждый характеристчч. класс х опреде-
определяет гомоморфизм х [ J: 9J"—* Ъч., 1Де Щ"—группа
классов бордантных неориентированных многообразий
размерности п. Если для двух замкнутых многообра-
многообразий М, N имеет место равенство wlu[M]-~wlli[N] при
всех разбиениях со числа л —dim jV/==dim N, то много-
многообразия М и N бордантны (теорема Тома).
llycii, А — векторное пространство Нош (Нп (ВО; 2г)>
22) над нолем й2. Пусть {еш} — базис в пространстве Л,
дуальный базису {м\0} пространства И" (ВО; Z2),
еа> («'ю')— б^', здесь со, ш' — разбиения числа п; и пусть
отображение ф: 3(" —>¦ А определено формулой ф (|ЛГ]) =
— ^ы '"<» f71'] "<я- Отображение ф мономорфно и для
полного описания группы 43t" и терминах Ш. ч. нуж-
нужно найти его образ. ;)та проблема аналогична проб-
проблеме Ммлнора — Хирцебруха для Чжопя классов. Для
замкнутого многообразия М пусть v?U*(M\ /2) т. н.
к л а с с К у, к-рый однозначно определен равенством
<aljr, \M'\y-—<Sqa\M\y, имеющим место при всех
а?11*(М; Ч-i). Тогда ю(гМ) Sqv, где тЛ/—-касатель-
тЛ/—-касательное расслоение, к М (теорема By).
Из итой теоремы видно, что класс By может быть
определен как нек-рый характеристпч. класс: пусть

где w?H** (ВО; Ч,2)—полный Штифеля — Уитни класс,
a5g-1 = l + 5(/1 -\-Sq2-\-Sq2Sqi-\- .. . — когомологич. опе-
операция, обратная к полному Стинрода квадрату Sq. Пусть
а?Н** (ВО; ^^--произвольный характеристич. класс.
Тогда, для любого замкнутого многообразия числа
la[)i})[M] и (Sqa)]M] совпадают. Таким образом, для
того чтобы элемент а? A , а-—2 affle« лежал в образе отоб-
отображения <р, необходимо, чтобы для всех а?Н** {ВО; Х2)
имело место равенство a (a(J v) = a (Sqa). Для гомомор-
гомоморфизма а: 11" (ВО; %%) —»-Z2 тогда и только тогда суще-
существует такое многообразие М", что х [Мп] = а (х) при
всех х^Н" (ВО; 2г), когда a (a(Jу) — a (Sqa) при всех
а?Н**(ВО; Ъ2) (теорема Дольда).
Лит. см. при статье Штифеля — Уитни класс.
А. Ф. Харшиладзе.
ШТИФЕЛЯ — УИТНИ КЛАСС — характеристический
класс со значениями в //* ( ; g2), определенный для
действительных векторных расслоений. Ш.— У. к. обо-
обозначаются через и/[, i > 0, и для действительного век-
векторного расслоения § над топологич. пространством В
класс wi (g) лежит в Л< (В; Z2); введены Э. Штнфелем
|1| и X. Уитни [2]; они обла ают следующими свой-
свойствами. 1) Для двух действительных векторных рас-
расслоений g, т] над общей базой
аAФл)=2 «'«¦(?)«'*-((л), u'o^i,
другими словами, №(E(Pt|)=wE)w (т|), где w _--1 -)-- wj -]-
+ it#-j — полный Ш.— У. к. 2) Для одномерного универ-
универсально] о расслоения ?t над |RP°° имеет место равенство
ш (ti) -= 1 + J/j гДе У — ненулевой элемент группы
И' ( R/>~; &2) — Жг. 'Ovmin двумя свойствами ПТ.— У. к.
определяются однозначно. Ш.— У. к. стабильны, т. е.
«• (?06)=и>(|). где 6 — тривиальное расслоение иш,-B;) =
— О при i> dim |. Для ориентированного векторного
расслоения § размерности п над базой fi класс wn (?)?
?П" (В; 1,2) совпадает с приведением по модулю 2
иплерива класса.
Для некторного расслоения ? над fi пусть Въ — Томп
пространство этого расслоения. Далее, пусть Ф:
:11* (В; 2г)—>!{* + " (В*; %2)—ГомаиаомирфибмЛо1\\&
полный Ш. — У. к. w (|) совпадает с
где Sq— l-\-Sql-\-Sq2Jr. . . — полный Стинрода квад-
квадрат. Это свойство Ш.—- У, к. можно использовать в
качестве их определения. Ш.— У. к. гомотопически
инвариантны в том смысле, что они совпадают для по-
слойно-гомотопически эквивалентных расслоений над
общей базой.
Любой характеристик класс со значениями в
//*(; и2), определенный для действительных вектор-
векторных расслоений, выражается через Ш.—У.к.: кольца
//** (ВОп; %.2) и 11** (ВО; Z2) являются кольцами фор-
формальных степенных рядов от Ш.— У. к.:
Н**(ВО„; 22) = 22[[«Ч, ..., w,,)\,
Л** (ВО; 22)--S3[k'i, •••,]]•
Лит.: Ш 8 I i с f е 1 В., «Comm. iimlh. ticlv.», Ii)a5 3B, v.H,
.V .1, |i. .4A5- Г),'); [2l W h i I li e у П., «Bull. Araer. Math. Soc»,
I!)o7, v. 4.'i, p. 7NF>—8U:>; [3l M n л и о j> Д ж., «Математика»,
1Я5Я, i j, ii. 4, с. :i—53; 1905, т. О, в. 4, с. 3—40; [4] С т о н г Р.,
Заметки но теории кобордмзмоь, иер. с англ., М., 1973; Г5]
С т » и р о ц П., Топология косых произведений, пеу. с англ.,
М., 11M3. А. Ф. Харшиладге.
ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОД метод сведе-
сведения условно-экстремальных задач к задачам безуслов-
безусловной оптимизации. Проиллюстрировать Ш. ф. м. можно
на примере задач математического программирования.
Рассматривается аадача минимизации функции ф (х) на
множестве Х—={х: /,• (х) ^э(), г--=1, 2, ..., т] из «-мер-
«-мерного евклидова пространства. Штрафной функ-
функцией, или штрафом (за нарушение ограничений
li (x) S= 0, г —1, 2, ..., т), наз. функция \|) (х, а), зави-

сящая от х и числового параметра а, обладающая сле-
следующими свойствами: \|) (х, а) = 0, если х?Х, и i|) (х, а)>
> 0, если х^Х. Пусть ж (а) является любой точкой
безусловного глобального минимума функции М (х, а) =
— ф (^)-f-i|) (я;, a), a X*—множеством решений исходной
задачи. Функцию г|) (х, а.) выбирают таким образом, что-
чтобы расстояние между точками х (а) и множеством X*
стремилось к нулю при а—*- оо, либо, если это не уда-
удается гарантировать, чтобы выполнялось соотношение
lim ф (х (а)) = inf ф (х).
а-»-» хеХ
В качестве if>(i, а) часто выбирают функцию
г]-(х, «) = «2^1 |min {/,-(*), 0}|», gSsl, либо 2.
Выбор конкретного вида функции "ф (а;, а) связан как
с проблемой сходимости Ш. ф. м., так и с проблемами,
возникающими при решении задачи безусловной ми-
минимизации функции М(х, а).
В несколько более общей постановке Ш. ф. м. за-
заключается в сведении задачи минимизации функции
ц>(х) на множестве X к задаче минимизации нёк-рой
параметрич. функции М(х, а) на множестве более
простой структуры, с точки зрения эффективности при-
применения численных методов минимизации, чем исход-
исходное множество X.
Имеет место следующий весьма общий результат,
иллюстрирующий универсальность Ш. ф. м. Пусть U и
V—рефлексивные банаховы пространства; R—расши-
R—расширенная действительная прямая; ф—функция, опреде-
определенная на U со значениями в R, слабо полунепрерыв-
полунепрерывная снизу; //,8 = 1,2, ..., т — функции, определенные
на U со значениями в Д, непрерывные в слабой топо-
топологии пространства U; hj, / = 1, 2, ..., п—функции,
определенные на U со значениями в V, непрерывные
в слабых топологиях пространств U и V; множество
Х = {х: fi(xMs0; г-1,2, ...,m; hJ(x)=0, / = 1,2,
..., n\ z?U} не пусто. Рассматривается задача отыс-
отыскания таких z*?U, что
ф(л;*)<фA) для всех х?Х. (*)
Для функции
М (х, уъ г/2, ..., ут, а) = ф (х) +
при а > 0, x?U, yi^R, г = 1, 2, ..., т, рассмат-
уииается задача отыскания таких х (а)? U и \ц () 0
i —1, 2, . .., т, что
М (х (а), У1 (а), уг (а), ..., ут (а), а)
<М (х, уъ уг, ..., ут, а)
для всех x?U, г/,-5эО, г' = 1, 2, ..., т. Если
lim ф(л;)
то каждая слабо предельная точка произвольной после-
последовательности {х (а/г)}, (Xfc—>- оо, к—>¦ оо, является ре-
решением задачи (*) п, кроме того,
lim ф (х (а)) = ф (х*), а—>¦ оо.
Лит.: [1] Моисеев Н. Н., И ва и и л о в 10. П., Сто-
Столярова Е. М., Метопы оптимизации, М., 1978. [2] Ва-
Васильев Ф. П., Численные методы решения экстремальных
задач, М., 10 80; 1,41 Ф и а к к о А. В., М а н-К о р м и к Г. П.,
Нелинейное программирование. Методы последовательной без-
безусловной минимизации, пер с англ., М., 1972; [4] Сеа Ж.,
Оптимизация, пер. с франц., М., 1973. В. Г. Карманов.
ШТУРМА КРИВЫЕ — плоские трансцендентные
кривые, описываемые точкой, связанной с эллипсом,
гиперболой или параболой, к-рые катятся по прямой.
Примером Ш. к. является траектория фокуса параболы,
к-рая катится но оси абсцисс — цепная линия.
Эти кривые исследованы И. Штурмом (J. Sturm).

Лит.: [1] Са велов А. А., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
ШТУРМА ТЕОРЕМА: если
fo(x), /jW, . .., tsW (*)
— ряд Штурма для отрезка [a, 6J, я О и w(x) — число
перемен знака в ряди (*) в точке ¦'¦?[«, й| (значения,
равные нулю, не учитываются), то число различных
корней функции f(x) на отрезке \а, Ь\ равно разности
w(a) — w(b).
Рядом Штурма ваз. последовательность дей-
действительных функций (*). непрерывных нн отрезке \п,1>\
и имеющих на этом отрезке конечное число корней, и
такая, что
1) U(a)U(b) Ф0,
2) js(x) ^Она [а. Ъ\,
У) из ff, (с) = 0 для нек-рого к @ < к < s) и данною с
из [а, Ь] следует /*_х (с) /й+1 (с) < 0,
4) из /о(с) = О для данного c{a<c<b) следует, что
для достаточно малого е>0
/о (х) U (с) < 0 (с —е < х < с);
/о W /i (с) > 0 (с < х < с + е).
Теорема доказана Ш. Штурмом [1], к-рый укапал
также следующий метод построения ряда Штурма для
многочлена /(х) с действительными коэффициентами, не
имеющего кратных корней: fa(x)~f (x), ji(x) — f'(x)
н, если ужо построены многочлены /0 (х). ..., /;; (х),
то за ik + i (x) надо брать с обратным знаком остаток
при делении fk~i(x) на fk(x). При этом fs(x) будет
константой, отличной от нуля.
Лит.: [1] Sturm J. Gh., «Bull, dc Pcrussac», 182!), t. 11;
[2] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 11O5.
П. В. llpoch-t/р.чков.
ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА — задача, по-
порожденная на конечном или бесконечном интервале (а,
Ь) изменения переменной х уравнением
и нек-рыми граничными условиями, где р(х) и г(х)
положительны, 1(х) де^гствитрльна. а "К — комплексный
параметр. Начало глубокому изучению этой задачи
положили Ш. Штурм (Ch. Sturm) и Ж. Лиувилль
(J. Liouville). Понятия и методы, зародившиеся в про-
процессе изучения Ш.— Л.з., сыграли большую роль
в развитии многих направлений математики и физики.
Она была и остается постоянным источником новых
идей и задач для спектральной теории операторов и
смежных вопросов анализа. Особое значение приобрела
она в последнее время после открытия связи с нек-рыми
нелинейными эволюционными уравнениями математич.
физики.
Если р(х) дифференцируема, а р(х)г(х) — дифферен-
дифференцируема дважды, то уравнение A) с помощью иодста-
яовкн сводится к виду (см. |1])
— y" + q (x)t/----'by. B)
Принято различать регулярные и сингулярные зада-
задачи. Ш.— Л. з. для уравнения B) наа. р е г у л я р-
н о й, если интервал (а, Ь) изменении переменной х ко-
конечен и если функция q(.r) суммируема во всем интер-
интервале (а, Ъ). Если же интервал (а, Ь) бесконечен или
q (x) несуммируема (или п то п другое), то эта задача
наз. с и н г у л я р н о it.
Ниже рассматриваются и отдельности следующие
случаи: 1) интервал (а, Ь) конечен, в .-лом случпе, не
нарушая общности, можно считать, что « = () м й = д;
2) а = 0, 6— оо; 3) а=- со, ft = oo.
1. Рассматривается задача. норо;клемная нч сегменто
[0, л] уравнением B) и разделенными граничными усло-
условиями
г/'(°)-%@) = 0, |у'(.тг) + Яу(л) = 0, C)

где q (x) — действительная суммируемая на сегменте
[О, я] функция, h и Н — произвольные конечные или
бесконечные фиксированные действительные числа,
к —• комплексный параметр. Если h= оо (//=»оо), то
первое (второе) условие в C) заменяется условием у (())—-
=0 (у (я)=0). Для определенности далее предполагает-
предполагается, что числа, участвующие в граничных условиях, ко-
конечны.
Число к0 наз. собственным значением
задачи B), C), если при к ки уравнение B) имеет не-
нетривиальное решение уо{х)ф{), удовлетворяющее i ра-
иичным условиям C); при :>том функция уо(х) наз.
собственной функцией, соответствующей
собственному значению к0.
Собственные значения граничной задачи B), C) дей-
действительны; каждому собственному значению соответ-
соответствует единственная линейно независимая собственная
функция (в силу действительности q(.г) и чисел Л, //
собственные функции задачи B). C) .можно выбрать
действительными); собственные функции у^(х) и у.,(.г).
соответствующие различным собственным значениям,
ортогональны, т.е. ^ i/1(x) y.2(x) dx-- 0.
Существует неограниченно возрастающая последова-
последовательность собственных значений к0, /.,. /..,, . . . гранич-
граничной задачи B). C); при этом собственная функция ;/„(.')¦
соответствующая собственному значению /,,,, имеет
ровно и нулей в интервале @, я).
Пусть W™ [0, л1 - пространство Соболева, состоя-
состоящее из заданных на сегменте |0, я] комилекснозначных
функций, к-рые имеют от —1 абсолютно непрерывные
производных и производную порядка т, суммируемую
на сегменте [0, я]. Если q(x)? W'l'iO. я], то собственные
значения кп граничной задачи B), C) при больших п
удовлетворяют асимптотич. равенству (см. |4|):
S,n (п)
1де c.,; + i — независимые от п числа,
dt,
ft,, не зависит от ft, Я и
2Г= о i б« i2 < °° ¦ 2Г= и!!-"(/' ¦ Н)'3 < °° ¦
Отсюда, в частности, следует, что если </(.')? TFj [0, л],
Поэтому ряд ^ (Я„ - п-—с) сходится. Его сумма наз.
р е г у л я р и з о в а н н ы м с л с д о м задачи B),
C) (см. |13|):
Пусть уо(.г), уг(х), . . .— ортонормированные собствен-
собственные функции задачи B), C). соответствующие собствен-
собственным значениям к„, Х1? ... . Для каждой функции /(-j)g

?LJO, л] имеет место так ваз. равенство Пар-
Парсе в а л я
где
и справедлива формула разложения по собственным
функциям
где ряд сходится в метрике пространства L.JO. л|.
Теоремы полноты и разложения для регулярной Ш.—
Л. з. впервые доказаны В. А. Стекловым [14].
Если функция f(x) имеет вторую непрерывную произ-
производную и удовлетворяет граничным условиям C), то
справедливы следующие утверждения (см. [15]):
а) ряд D) сходится абсолютно и равномерно на сег-
сегменте [0, л| к функции f(x)\
б) (един раз продифференцированный ряд D) сходится
абсолютно и равномерно на сегменте |(), я] к f'(x);
в) в каждой точке, в к-рой /"(./¦) удовлетворяет како-
какому-либо локальному условию разложения в ряд Фурье
(напр., имеет ограниченную вариацию), дважды про-
продифференцированный ряд D) сходится к /"(г).
Для любой функции /(./¦)? (.ц[0, я] ряд D) является
равномерно равносходнщимся с рядом Фурье функции
/(.с) по cos их, т. е.
lim sup | r,v, /(•'¦) — <'n, /(•'•') I = "•
где
^ / (О У^
^ (| „ {)
* / (О {"S" +1" Z *= , cos nx cos "' } dl ¦
Это утверждение означает, что разложение функции
fix) по собственным функциям граничной задачи B),
C) сходится при тех же условиях, что и разложение
/(.?:) в ряд Фурье по косинусам (см. [1], [4]).
2. Рассматривается дифференциальное уравнение B)
на полуоси 0<,с<оо с граничным условием и нуле:
!/'(О)-Ьу(О) = О. E)
Функция q(x) предполагается действительной и сумми-
суммируемой в каждом конечном нодинтервиле интервала
[О, оо), а число h действительным.
Пусть (р(ж, к) - решение уравнения B) с начальными
условиями г/@)-: 1, y'(O) — h (так что <р(х,Х) удовлетво-
удовлетворяет и граничному условию E)). Пусть /(,т) — любая
функция из Л2@, ее) и Фд b (х) = jj о / (х) <р (.с, X)dx,
где h — произвольное конечное положительное число.
Для каждой функции д(т) и каждого числа h существует,
но крайней мере, одна, не зависящая от f(x), неубываю-
неубывающая функция р(Х), —оо<А.<оо, обладающая следую-
следующими свойствами:
а) существует функция Ф^Х), являющаяся пределом
®f bW nPiJ ^ "^" °° в метрике ?,2, р (— оо, оо) (про-
(пространства р-шшеримых функций ф (X), для к-рых
т. е.
lim
б) имеет место равенство Парсеваля

Функция р(Я.) наз. спектральной функ-
функцией (или спектральной плотностью)
граничной задачи B), E) (см. |9j — [11]).
Для спектральной функции р(к) задачи B), E) спра-
справедлива аснмцтотич. формула (см. |16]) (в уточненном
виде см. |17]):
Jim г1 *"Л'(р(Я,) — р(~ое))^= 0, 0-^л-< ос,
).-* - т.
lim ( р{%) — р(—оо) — .1 У'к + h j = о.
Справедлива следующая теорема равносходимости:
для произволHHoi'i функции l(x)^Li@, ее) пусть
Ф, (Я) = $ " / М Ф (я, к) riг,
i у (Я) --=¦ ^ °° / (.г) cos|/"I ^ (/.с
(интегралы сходятся в метриках пространств
? ( — оо. *) и ?., i/-t@' °°) соответственно); тогда
з, ij
., i/-t
иуш каждом фиксированном й<оо сходится интеграл
!° Ф,(к)<р(х, к) dp (к)
1—00 '
абсолютно и равномерно относительно х? [О, Ь\ и
lim sup \\N_ Ф/-(Я)ф(г, Я) dp (Я) —
xd\f к
-0.
Пусть аадача B), E) имеет дискретный спектр, т. е.
ее спектр состоит из счетного числа собственных значе-
значении к{, к2, ... , <кп, <... с единственной предельной
точкой в бесконечности. При определенных условиях
на функцию q(x) для функции N (к) = 1^^ <Х1, т.е.
числа собственных значений, меньших к, справедлива
асимптотич. формула:
Наряду с решением ф(.с, к) вводится второе решение
й(х, к) уравнения B), удовлетворяющее условиям
9@, Я,)=0, в'(О, Я,)=1, так что ф(аг, к) и 0(,г, А) образуют
фундаментальную систему решений уравнения B).
При фиксированных числах кAтп кфО) и 6>0 рассмат-
ринается дробно-линейная функция
/м -9' (Ь, Я,)-/в(Ь, ?.)
ША, й ^ !"л, й(^ ;г; ф'(ь, х) + гф(б. м~-
Когда независимая переменная г пробегает действи-
действительную ось, точка u?x, б описывает нек-рую окруж-
окружность, ограничивающую круг К.%, ь- Он всегда лежит
в той же полуплоскости (нижней или верхней), что
и Я,. С увеличением Ь круг Кх, ь сжимается, т. е. при
Ь<Ь' круг К-А, ь' лежит целиком внутри круга Кх, Ь-
Существует (при Ь —>- ос) предельный круг или точка
Кх, «; при этом если
|«f ('¦, М1аАе<ю. F)
то Кх, со будет кругом, и точкой — в противном случае
(см. [10]). Если условие F) выполняется для одного
какого-либо недействительного значения Я, то оно вы-
выполняется для всех значений к. В случае предельного
круга для всех значений к все решения уравнения B)
принадлежат пространству /_2@, оо), а в случае предель-
предельной точки для каждого недействительного значения Я,
это уравнение имеет решение вида 8(ж, к)-\-т(к)ц>(х, к),
принадлежащее L2@, a>), где т(к) — предельная точка
(т(к)^Кх, по).
Если q(x)^ — cx2, где с — нек-рая положительная
постоянная, то имеет место случаи предельной точки
(см. [19]), более общие результаты см. [20], [211,

3. Рассматривается теперь уравнение B) на всей
оси —оо<ж<оо при предположении, что q(x) действи-
действительная суммируемая в каждом конечном подинтер-
вале из ( —оо, оо) функция. Пусть ц>г(х, X), ц>2(х, X) —
решения уравнения B), удовлетворяющие условиям
фх@, Х)=фг(О, Я) = 1, <pi(O, Л)=ф2@, А.)=0.
Существует, по крайней мере, одна действительная
симметрическая неубывающая матрица-функция
обладающая следующими свойствами:
а) для любой функции f(x)?L2{—co, оо) существуют
функции Фу,/$)| /=1,2, определенные равенствами
(Dyt/(A,) = l-i-m [ 1 (x)<pj(x, X)dx, / = 1,2,
где предел — по метрике пространства Lo ф (—оо, со);
б) имеет место равенство Парсеваля
Фк (X) dpjk (к).
. Г, а р г с я н И. С, Введение
ч спектральную теорию, М., Г,O0; [2] Левитан Б. М.,
Разложение по собственным функциям дифференциальных урав-
уравнений второго порядка, М.— Л., 1950; [3] е г о же, Теория опе-
операторов обобщенного сдвига, М., 1973; [4] М а р ч е н к о В. А.,
Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения, К., 1977;
15] ТитчмаршЭ. Ч., Разложения по собственным функ-
функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго
порядка, пер. с англ., т. 1, М., 1960; [6] К о д д и н г т о н Э. А.,
Л е в и н с о н Н., Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений, пер. с англ., М., 1958; [7] Найма р и М. А.,
Линейные дифференциальные операторы, 2 »;а., М., 1969; [8]
Костюченко А. Г., С а р г с я н И. С, Распределение
собственных значений, М., 1979; [9] W е у 1 П., «Gott. Nuchr.»,
1909, S. 37—64; [10]е гож e,«Math. Ann.», 1910, Bd 68, S. 220 —
69; [11] его же, «Gott. Nachr.», 1910, S. 442—67; 112]
Крейн М. Г., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1952, т. 16,
№ 4, с. 293—324; [13] Гель ф а н д И. М., Л е в и т я и Г.. М.,
«Докл. АН СССР», 1953, т. 88, №4, с. 593-06; [14] Стек-
лов В. А., «Сооищ. Харьк. матем, об-ва», 18U6, т. 5, ,\» 1—2;
[15] Левитан В. М., Сар гея и И. С., «Успехи матем.
наук», 1960, т. 15, и. I, с. 3 — 98; [16] Марченко В. А.,
«Докл. АН СССР», 1950, т. 72, №3, с. 457 —60; 117J Леви-
Левитан Б. М., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1953, т. 17, К4,
с. 331—U4, 1955, т. 19, J* 1, с. 33 58; [18] Wet .].,
Maud] F., «Proc. Hoy. Hoc. Ser, A», 1950, v. 200, p. 572—80;
[19] T i t с hm a r s h ti., «Canad. J. Math.», 1949, v. 1, p. 191 —
98; [20] Levineon N., «Casop. Pest. Mai. Kys.», 1949, v. 74,
p. 17—20; [21] Sears D., Titclim л r s h E., «Quart. J.
Math.» (Oxford ser.), 1950, V. 1, p. 1U5--75.
Г. Ш. Гусейнов, Ьт. М. Левитан.
ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА —
задача, в к-рой требуется восстановить функцию (по-
(потенциал) q(x) по тем пли иным спектральным характе-
характеристикам оператора А , порождённого дифференциаль-
дифференциальным выражением I [y] = —y"-\-q (x)y и нек-рыми гранич-
граничными условиями в гильбертовом пространстве L.z(a, b),
где (а, Ь) — конечный или бесконечный интервал изме-
изменения переменной х. При этом следует восстановить
также вид граничных условий, соответствующнч опе-
оператору А .
При исследовании обратных задач естественно воз-
возникают следующие вопросы: 1) выяснить, какие спект-
спектральные характеристики однозначно определяют опе-
оператор А ; 2) дать метод восстановления оператора А по
этим спектральным характеристикам; 3) найти харак-
теристич. свойства рассматриваемых спектральных ха-
характеристик. В зависимости от выбора спектральных
характеристик возможны многие различные постанов-
постановки обратных задач (часто возникавших из приложений).
Первый результат по обратным задачам (см. |10]),
к-рый положил начало развитию всей теории: пусть
Хп, к{, ...— собственные значения задачи
//' !i)) = y' (л) =0, / (

причем д(х) — действительная непрерывная на сег-
сегменте [0, я] функция. Если Хп=п2, п=О, 1, ... , то
(H
(
Углубленное исследование обратных задач началось
в 40-х гг. 20 в. (см. [И], [121). Пусть Хо, Хх, . . .— соб-
собственные значения уравнения A) при граничных усло-
условиях
y'(O)-hy(O) = O, у'(л) + Ну(п) = 0 B)
(h и Н — действительные числа), a u,0, |ilt . . .— собст-
собственные значения уравнения A) при граничных условиях
У' @)~-hiy@) = 0, у' (я) + Ну (л) = 0, kl9^h.
Тогда последовательности {Хп} и {ц„}, «=0, 1, ...
однозначно определяют функцию q(x) и числа h, ht и //.
Причем если хотя бы одно собственное значение этих
задач неопределенно, то все оставшиеся не определяют
уравнения A) однозначно. В частности, один спектр,
вообще говоря, не определяет уравнение однозначно
(упомянутый выше результат является исключением
из общего правила).
Если уравнение A) изучаемся на полуоси @, оо) и на
потенциальную функцию q(j.) наложено условие
оо,
то решении tp(j, X) задачи — u"-{-ti(x)y=№y, y@)~0
допускает при с -*¦ оо асимптотич. представление
ц>(х, к) = М (X) sin [Ъ--1-б(Л)] + оA).
Функции 6 (А.) наз. ф а з о ii рассеяния. Основ-
Основной результат состоит в том. что если задача (рассмат-
(рассматриваемая » пространстве L2@, оо)) не имеет дискретных
собственных значении, то фаза рассеяния однозначно
определяет потенциальную функцию q(x).
При дальнейшем развитии теории обратных задач
решающим оказалось то обстоятельство, что был при-
применен аппарат так наз. операторов преобразования
(см. Штурма — Лиувилли уравнение), к-рый естествен-
естественно возник в рамках теории операторов обобщённого
сдвига (см. [4]).
Применение операторов преобразования к обратным
задачам (см. [131) позволило обобщить вышеприведен-
вышеприведенные теоремы, а именно, оказалось, что наиболее общей
обратной задачей является задача восстановления
уравнения A) по его спектральной функции (см. Штур-
Штурма - Лицвилля .шдача). Выяснилось, что спектральная
функция определяет это уравнение однозначно. При
этом безразлично, рассматривается случай конечного
или бесконечного интервала.
В принципе псе обратные задачи могут быть сведены
к обратной задаче восстановления оператора по его
спектральном функции. Однако таком муть не всегда
является" самым простым; кроме того, на ;>том пути
часто трудно бывает наптп необходимые и достаточные
условия, к-рым должны удовлетворять рассматривае-
рассматриваемые спектральные характеристики, по к-рым восста-
восстанавливается оператор.
Значение обратных задач возросло после открытия
возможности их использовании для решения нек-рых
н е л и н е ii и ы х э в о л ю ц и о н н ы х у р а п н е-
н и ii м а т е м а г и ч. ф и з и к и. В частности, была
установлена связь (см. |2Г>|) между обратными задачами
для нек-рых операторов Штурма — Лиувилля с конеч-
конечным числом лакун в спектре и проблемой обращения
Якоби абелевых интегралов. Развитие итих идей в по-
последнее время позволило получить явные формулы для
конечнозонных иотенциалов, выражающие их через
0-функции Римана (см. [1], [31).
Ниже рассматриваются два варианта постановки
и решения обратных задач.

1. По известной спектральной функции р(Я) требует-
требуется найти дифференциальное выражение вида
с действительным локально суммируемым потенциалом
ц(х), 0<.г<оо и число h из граничного условия
у' (O)~hy(Q)^O. C)
Для решения этой задачи полагают
, 0 <*<«,, D)
Оказывается, что интегральное уравнение
f(x, У) + К(.т, у)+^ХоК(х, t)f(t,y)d1=O,
0<у<х, E)
при каждом фиксированном х имеет единственное реше-
решение К(х, у). Потенциал q(x) определяется по формуле
,dK(x, х)
«(*)¦= 2":
dx
а число Л, участвующее в C),— по формуле А=Л'@, 0)
(см. [14]). Решение ф(ж, А-) уравнения I [у\=Ку, удовле-
удовлетворяющее граничным условиям <р@, Я) = 1 н <р'@, Я)--
=й, можно найти по формуле
Ф(.т, Х)^ cosV Кх~\-\Х К (х, г) cos
/ dl.
Далее, неубывающая функция р(Я), —оо<Я<оо,
тогда и только тогда является спектральной функцией
для нек-poii задачи вида —!i"-\-q(x)y—Xi/, O<.r<oo,
;/@)—hi/ (())=() с деГгствительноЛ функцие>1 '/(<), имею-
имеющей m локально суммируемых производных, и дейст-
действительным числом //, когда функция Ф(.г), достроенная
по р(Я) формулой D), имеет и/-|- 'Л локально суммируе-
суммируемых производных и ф"(+()) —- h (см. [14|, 117], [9]).
В ряде частных случаев функции ()(Я) можно аффектив-
аффективно найти q(r) и h. Напр., пусть
^^
(Я—Яо) для Я > О,
{ ах(Я—Яо) для Я < О,
где х(к)—О, если Я<0, и %(К)—I, если Я>0, а — поло-
положительное число. В этом случае интегральное уран
нение E) будет уравнением с вырожденным ядром
f(x, У)~«cos У Ха .rcos У Кц у и его решение
v / ч a cos 1 kn x cos ^ Яо у
*¦ ' •" (• А"
1 +а \ cos2 У ко t dt
Теперь функция q{x) и число h определяются форму
лами
„ dli (х, х) _ „ d ' a cos21" к„ х \^
' Л \ 1 <-а \'o('"s2 ' "^ ' '" ,/
Л—Л @, 0) — —а.
2. Пусть действительная функция q(.r) удовлетворя-
удовлетворяет неравенству
' "" .т| q (.T)\dx < oo. @)
Тогда граничная ладача
— у"-у д (х) у =%-у, 0 < х < со, G)
.'/(!•)= 0, G')
имеет ограниченные решения при Я2>0 и Я=гЯ^, Я^>0,

Л-=1, ... , п, причем эти решения удовлетворяют при
х —*¦ оо асимдтотич. формулам
у (х, Л) —е-'** —5(Я)еА*_|_оA), 0 < Я2 < оо,
Набор величин {5 (Я), — оо<Я<оо, Хк, тк, &=1,
... , п} наз. данными рассеяния гранич-
граничной задачи G), G'). Требуется восстановить потенциал
q(x) по данным рассеяния.
Для решения этой задачи строят функцию F(x) по
формуле
и рассматривают уравнение
--O. (8)
Это уравнение имеет единственное решение К (х, у)
при каждом .rjsrl). Решив его, определяют потенциал
q (x) по формуле
Для того чтобы набор величин {5 (Я), — оо < Я < оо;
^ft> тъ ^*> 0, mk > О, fc —1, ..., «} был данными
рассеяния нек-рой граничной задачи вида G), G') с
действительным потенциалом г/(.г), удовлетворяющим
условию F), необходимо и достаточно выполнение сле-
следующих условий (см. |1]):
а) функции Л'(Я) непрерывна на всей оси, S (X)—
— S (--Я) — [Л(Я)|-], 1 — S(X) стремится к нулю при
|Я| —> ж п янляетсн преобразованием Фурье функции
представимоп в виде суммы двух функций, из к-рых
одна принадлежит Ьл(—оо, оо), а другая ограничена
и принадлежит L2( —«>, со). Па полуоси 0<.;<и.
функция Fs(i) имеет производную /\s(.t), удовлетворяь;-
щую условию \ ^ ¦'' I l's(z)\ dr < оо;
б) приращение аргумента фупкщш S (Я) связано с чис-
числом а отрпц;лрльны\ собственных значений (т. е. чи-
чисел — Я?, ... , - Яп) граничном задачи G), G') форму-
формулой
/(_ InS( + 0)-ln .S'(-t ж) 1—S (Q)_
2я* 4
Интегральное уравнение (8) для К(х, у) допускает
явное решение в случае, котда S(X) — рациональная
функция. Решения уравнения G) и потенциал (/(')
получаются п этом случае в виде рациональных функ-
функций от тригонометрии, п гиперболнч. функций. Напр.,
если
то соответствующий потенциал имеет вид
2 4
q (г) — B ch 2x-sh 2.vJ '
Лит.: [1] М а р ч е и к о В. Л., Операторы Штурма —
Лиувплля и их приложении. К,, 1!O7: |2| А г ]> а н о в и ч .1. С.,
М ;i р ч р л к о В. А.. Обратная амлпча теории [ысерллия, Харь-
Харьков, I960-; [:I III а д а м К., С а 0 а т ь е II., Обратные задача
в квантовой теории рассеяния, пер. саигл.,М., liisfl; [4| JI ей и-
таи С М., Теорил операторов oGoOimnnioro едьигл, М., 197.4;
[5] Теория солитонов: метод опрятной ладачи, М., HI80; [6] Б е-
р е :s а н с к и й Ю. М., Разложение но собственным функциям
самосопряженных операторов. К., 19t>5; [7J Фаддеев Л. 71.,
«Успехи матем. наук», 1959, т. 14, в. 4, с. 57—119; [8] его ж и,
в кн.: Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики т. ;),
М., 1974, с. 93—180; [Н] Левитан Б. М., Г а с ы-
м о в М. Г., «Успехи матем. наук», 1964, т. 19, в. 2, е. 3— «Я;
[10] А га Ъ а г г umia и V., «Z. l'hys.>>, 1929, ВA 5.4, S. 690
695; lllj Borg G., «Arta math.», 1946, v. 78, p. 1—96; A2]
Levin son N.. «Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd.», 1949,
v. 25, .№ 9, p. 29; [131 Марченко В. А., «Докл. АИ СССР»,

1ЯГH. т. 72, № 3, с. 457 — 00; [14] Гельфанд И. М., Л е-
питан Б. М., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1951, т, 15,
J* 4, с. ЗОЯ —60: [15] К р е й м М. Г., «Докл. АН СССР», 1951,
т. 76, Л» 1, с. 21 — 24: 1952, т. 82, Л« Г), с. E89- 72; 1953, т 88,
№ 3, с. 405—08; [16] Марченко В. А., там же, 1955, т. 104,
Кг 5, с. 695—98; [17] Левин Б. Я., там же, 1956, т. 106,
.NS 2, с. 187—90; [18] Newton R., .lost R. «Nuovo Cimen-
to.>, 1955, v. 1, Ki 4, p. 590—622; [19] Г а с. ы м о в М. Г., Л е-
витай Б. М,, «Докл. АН СССР», 1966, т. 167, Jvft 6, с. 1219 —
1222; [20] Г а с ы м о в М. Г., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1968,
т. 19, с. 41 —112; [21] Р о ф е-Б е к е т о в Ф. С, «Теория функ-
функций, функц. анализ и их прилож.», Харьков, 1967, в. 4, с. 189—
197; [22] Л е в и т а н Б. М., в кн.: Задачи механики и математи-
математической физики (Посвящ. памяти и. Г. Петровского), М., 1976,
с. 166—207: 123] Ахиезер Н. П., «Докл. АН СССР», 1961,
т. 141, Д'» 2, с. 263—66- [24] Г у с е й и о и Г. III. там же,
1976, т. 231, .Ms 5, с. 1045 —48.
Г. Ш. Гусейнов, Б. М. Левита».
ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ ОПЕРАТОР — самосо-
самосопряженный оператор, порожденным дифференциаль-
дифференциальным выражением
ПЛ=-(Р (*)/')' + </(*)/, х?(а,Ъ),
и подходящими граничными условиями в гильбертовом
пространстве L2(a. 6), где (a, ft) — конечным или беско-
бесконечный интервал, р', р, q — непрерывные действитель-
действительные функции и р{х)>0 при всех х?_ (а, 6) (иногда та)?
называют любой оператор, порожденный квазидиффе-
квазидифференциальным выражением вида I). Начиная с 1830
III. Штурм (Ch. Sturm) и Ж. Лиувилль (J. Liouville)
опубликовали ряд фундаментальных исследований по
теории Штурма — Лиц вилл я задачи на конечном ин-
интервале.
Точка а наз. регулярным к о п ц о м, если а
конечно, р (а)ф 0 и //, р, q?C(a, ft). В противном слу-
случае ита точка на:!, сингулярным концом.
Выражение I наз. регулярным или с и н г у-
л я р н ы м в зависимости от того, являются ли оба
конца интервала (а. ft) регулярными или нет.
Пусть 1)х — множество функций ff_L2(a, ft) таких, что
/' — абсолютно непрерывна и I |/j?L2(a, ft), Do — под-
подмножество Дц состоящее из финитных функций. Пусть,
далее, Lx: f -*¦ I [/], /??>i и Lo — замыкание оператора
L'u : f -*- I [/], ff_Dn, оператор Lo является симметрич.
оператором и L0=Li. Ш.— Л. о. является расширени-
расширением (сужением) оператора La(Lx).
1. Пусть / регулярен, векторы (а,-, с.,-, fi,-, p|) линейно
независимы и
V /«/«|)-0, i. 7-1,2. A)
Тогда множество всех функция IG_DX, удовлетворяющих
условиям
Р Ш\Г (Ь) - hi (>>)) --/>(«)(«;/' (а) -v.il (о))---- 0, B)
1= 1, 2, есть область определения нек-рого III. - Л. о.
Обратно, область определения всякого 111.- Л. о. мож-
можно найти этим способом.
Среди граничных условий важное место занимают
разделенные граничные условия (или гран и ч н ы с
условия типа Штурм а):
/(a)cos(p- /' (a) sin <р = 0, ф?[0, л], C)
/F) cos В — /'(ft) sin 6 = 0. tt?[O, я], СО
и смешанные граничные условия:
/<a)=v/F), Г (а) =6/' (ft), E)
где v6=p (ft)/p (a). В частности, если р(а)=р F), то в
случае v=6=-l условия E) наз. и с р и о д п ч е-
с к и м и, а в случае v — 6 =- — 1 - а я т п п е р и о д и-
ч е с к и м и (или полупери о д и ч е с к м м и).
П. Пусть I сингулярен. Случай, когда оба конца (а,
ft) сингулярны, приводится к случаю с одним сингуляр-
сингулярным концом методом расщепления.
II]. Пусть конец а регулярен, а Ь сингулярен и пусть
число независимых решений уравнения I [f]—if, при-

надлежащих L2(a, b), равно 1. Тогда говорят, что вы-
выражение I принадлежит случаю предельной
точки В е h л я в точке Ъ. Область определения
Ш.— Л. о. задастся граничным условием C).
П2. Если число линейно независимых решений урав-
уравнения I [/]—(/. принадлежащих Ьг(а, Ь), равно 2. то
говорят, что выражение I принадлежит случаю п р е-
д р л ь н о г о круга Вейля в точке 6. Оператор Lo
в этом случае имеет индексы дефекта B,2). Область
определения III.— Л. о. описывается аналогично I,
заменяя условия B) следующим образом: р(Ь) следует
заменить на />(«)> /('>) " 1'{Ь) соответственно на (Sf)^(b)
и (Л'/JF), где
(Sf),(b) ¦= lim р (т)Циг} (.г), (SJUb);- lim р (x)[u,f\ (x);
здесь [ф\|)](ж) — вронскиан функции <р и 1|з в точке .г,
и,-, < —1, 2.— решения уравнения I [/|=0 с начальными
УСЛОВИЯМИ г([-'>(О) = 6/у, !, /=1, 2, б/у— СИМВОЛ КрО-
нскера.
Ядром резольвенты Ш.— Л. о. является Карлемана
ядро, причем в случаях I и П2 резольвента является
Гильберта — Шмидта интегральным оператором, а в
случае \\х таковым может быть или не быть.
Спектральное разложение Ш.— Л. о. в случае диск-
дискретности спектра (напр., в случаях I и 112) аналогично
разложению в ряд Фурье но собственным функциям
задачи Штурма — Лиувилля, а в остальных случаях
содержит собственные функции, не принадлежащие
1,,{а, Ь).
Большой интерес представляют задачи отыскания ус-
условий па коэффициенты р и q, при к-рых спектр III.--
Л. о. дискретен, заполняет всю ось, выражение I при-
принадлежит случаю предельной точки или предельного
круга. Достаточно общие необходимые и достаточные
условия на р и д, обеспечивающие принадлежность I
к случаю предельного круга или предельной точки {Ь =
=Ноо), неизвестны A984).
Лит.: [1] На й ма р к М. А., Линейные дифференциаль-
дифференциальные ппррнторы, 2 изд., М., 19й9; [2] А х u e .i i' |> Н. И., Г л а з-
м л п И, М., Теория линейных операторов в гильбертовом про-
пространстве, 3 изд., т, 2, Харькон, 1078; III! Л mi ¦ пи 11. М.,
С а р г с я и П. С, Введение п спектральную теорию, М.,
1970; I'iJ ;\1 а ]) ч е н к о В. А., Операторы Штурма — Лиувил-
Лиувилля и их приложения, К., 1977; [5] К о д ц и и г т о п Э. А..
Л с и и не о и Н., Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений, пер с ашм., М., 1958: [С] Глазка н И. М.,
Прямые методы качественного спектрального анализа сингуляр-
сингулярных дифференциальных операторов, М., 1ЙВЗ: 17] II u t s о и V.,
Р у hi Л., Applications of functional analysis and operators theo-
theory, L — N. V., 1980; [8] T и т ч м а р ш Э. Ч., Разложения по
собственным функциям, связанные с дифференциальными урав-
уравнениями нторого порядка, пер. с англ. т. 1, М., 1960; [9] М и р-
:i о е в I'. А., «Матсм. зачетки», 1981, т. 29, №2, с. 225—33;
I Ш| М о .1 ч а н о в А. М., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1953, т. 2,
C1G9—99: [III Lcvmeon N., «Math.-fyz. tasop.», 1949,
v. 74, p 17 — 211: tl2] И с м а г и л о в Р. С, «Докл. АН СССР»,
П162, т. 142, .\» 6, с. 1239 — 42; [l3j II о в з н е р А. Я., «Матеы.
cfi.», 1948, т. 23, Л» 1, с. 3—52; [14] EveriltW., в ип.:
Hifferenlial equations (Proc. Internal. Conf.), IJppsHlii, 1977,
p IJ2---81. J) Л/. ,'leevman, K. A. Mxtp.wpe.
ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ УРАВНЕНИЕ обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка
вида
рассматриваемое на конечном пли бесконечном интер-
интервале (о, />) изменения переменной .г. где />(х). /(.<),
г (г) — ладанные коэффициенты, к •- комплексны11 па-
параметр, а I/ —искомое решение. Если р (.г), г(,г) положи-
положительны и /)(г) имеет первую производную, a />(.r)r(.r) —
вторую производную, то с помощью подстановки
Лиувилля (см. [1]) это уравнение сводится к стандарт-
стандартному виду
— y"+q(x)y — 7,y, а < .г < Ь. A)
Предполагается, что комплексная функция q(x) из-
измерима в интервале (а, Ь) и суммируема в каждом его

внутреннем подинтервале. Наряду с уравнением рас-
рассматривается также неоднородное уравнение
— y" + q(x)y = },y-\-1(x), a < х < Ь, B)
где /(х) — заданная функция.
Если функция f(x) измерима в интервале (а, Ь) и сум-
суммируема в каждом его внутреннем подинтервале, то
каковы бы ни были комплексные числа с0, с1 и какова
бы ни была внутренняя точка х0 интервала (о, 6),
уравнение B) имеет в интервале (а, 6) одно и толь-
только одно решение у(х, X), удовлетворяющее условиям
у(х0, Х)=с0, г/'(.гп, Х)=с1. Для каждого х?(а, Ь) функция
у(х,Х) является целой аналитич. функцией Я,. В каче-
качестве точки х0 можно взять также и конечный конец ин-
интервала (о, Ь) (если этот конец регулярен).
Пусть ух(х, а) и у2(х, X) — какие-нибудь два решения
уравнения A). Их вронскиан
w (Уг, У2) =2/1 (х, Я,) у'г (х, Х)—у\ (х, X) уг (х, А)
не зависит от х и равен нулю тогда и только тогда, когда
эти решения линейно зависимы. Общее решение урав-
уравнения B) представляется в виде
у(х, X) -=ai;/l (x, X) + a.zy.2(.r, к)+ {* R (.г. §, X) f (c.) dg.
где
а,, а., — произвольные постоянные, а у^(х, X), у2(х, X) —
линейно независимые решения уравнения A).
Справедлива следующая фундаментальная теоре-
теорема Штурма (см. [1]): пусть даны два уравнения
и' + ?1(т)« = 0, C)
v" + qi(x)v=--0; D)
если ?](х), qz(?) действительны и ?i(.r)<92(j) во всем
интервале (а, й), то .между каждыми двумя нулями
любого нетривиального решения первого уравнения
заключен, по крайней .мере, один нуль каждого решения
второго уравнения.
Следующая теорема известна под названием тео-
р с м ы сравнения (см. |1]): пусть левый конец
интервала (о, Ь) конечен и и (г) есть решение уравне-
уравнения C), удовлетворяющее условиям «{«)—sin ос, и'{а) =
-cos а, а (>(.г) - решение уравнения D) с теми же
условиями; кроме того, пусть </v(.T)<g.>(:r) во всем ин-
интервале (а, Ь); тогда если и (х) в интервале (а, Ь) имеет m
нулей, то v(.r) н том же интервале имеет не меньше m
нулей и k-ii нуль г (.г) меньше к-то нуля и(х).
Одним из важных свойств уравнения A) является
существование для него так наз. операторов преобра-
преобразования, имеющих простую структуру. Операторы пре-
преобразования возникли из общих алгебраич. соображе-
соображений, связанных с теорией операторов обобщенного сдви-
сдвига (преобразование базиса).
Для уравнения A) существуют следующие типы опе-
операторов преобразования. Лусть у(х, X) — решение урав-
уравнения
— У" + Я (х) У^'Х'И, — а <х < а, о< со, E)
удовлетворяющее условиям
1/@, Х) = 1. ц' @, X)-^iX. (С)
Оказывается, что это решение допускает представление
у (х. Я.)--=<"''"*-}- [Х А' (х, t)
где К(.г, п -- непрерывная не зависящая от X функции.
причем
К (х, х) ^-~[^q(t)dt, К{х, —х)--0.
Интегральный оператор 1~\-К, определенный формулг«1
(/-J-К) f^i(x) -j- у_х К (х, 1) I (t) dt.

наз. оператором преобразования, со-
сохраняющим условия в точке г—0. Он переводит функ-
функцию еР'х (решение простейшего уравнения — #"=A,2i/
при условиях (С)) в решение уравнения E) при тех
же данных в точке х=0.
Пусть флО, Я,) и ф„о(.г. Я.) — решения уравнения E),
удовлетворяющие условиям
фЛ@, Х)-1, Фй@, W-h.
Ф» @, Я.) = 0, qu @, Я.) -1.
Эти решения допускают представления
цп (Л Я-)= cos Ъ:+ ГХ,, (х, t) cos Я/ Л,
, . . sin Ял- , С к ъг , ., sin kt j.
фоо (.Г, Л,) =г-- —у- + \ # «> (х, t) -j— dt,
где Kh{x, t) и А'„,(.г, <) — непрерывные функции.
Введен (см. [8]) новый вид операторов преобразова-
преобразования, сохраняющих асимптотику решений на бесконеч-
бесконечности, а именно, оказалось, что для всех X из верхней
полуплоскости Im Я^О уравнение E), рассматривае-
рассматриваемое на полуоси 0<:,г<оо, при выполнении условия
jr\q{x)\dx<ao имеет решение y(j А), представимое
в виде
С ю Л' (.г, 1) eiu dt,
где функция К (х, t) является непрерывной и удовлетво-
удовлетворяет неравенству
\к(х, о I<т° (нг)ехр {Ol(a:)~ai (*?)}-
в к-ром
(т (х)
Кроме того,
t, а, (х) .-= ^ " а (t) dt.
Лит.: Ill Л о в и т а и Б. М., С a p г с я н И, С, Введе-
Введешь в спектральную теорию, М., 1970; 12] Н а й м а р к М. А.,
Лииойные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [3J
Левитан Б. М., Теория операторов обобщенного сдвига,
М., 1973; [4] Марченко В. А., Операторы Штурма— Лиу-
вилля и их приложения, К., 1977; [5] D в 1 s а г t e J., «С. г.
Acad. sci.» 1938, t. И0«, p. 1780—82; [6HI о в з н е р А Я.,
«Матем. сП..>, 1948, т. 23, № 1, с. .4—52; [7] Л е в и т а н Б. М.,
«Успехи матем. наук», 1949, т. 4, в. 1, с. 3—112; L8J Л е-
в и н Б. Я., «Докл. АН СССР», 1950, т. 100, № 2, с. 187 — 90.
Г. Ш. Гусейнов, Б. М. Левитан.
ШУБЕРТА МНОГООБРАЗИЕ — множество всех т-
мерных подпространств W в га-мерном векторном прост-
пространстве V над полем к, удовлетворяющих у слов и-
ям Шуберта: dim (W f) Vj) :s )', / = 1, ..., "г,
где FiC..-С Vm — фиксированный флаг подпространств
в V. В грассмановых координатах эти условия выра-
выражаются линейными уравнениями; Ш. м. есть неприво-
неприводимое (вообще говоря, особое) алгебраич. подмногооб-
подмногообразие Грассмана многообразия GHrn. Ш.м. определяют
базис Чжоу кольца A(Gn<m), а в' случае к —С — базис
группы гомологии Н^ (G,, ,„, %).
Условия Шуберта расс.«атривались X. Шубертом [1]
в связи с задачами перечисления геометрич. объектов,
обладающих заданными свойствами инцидентности.
Обоснованию развитого Шубертом исчисления посвя-
посвящена 15-я проблема Гильберта (см. [21).
Лит : fll Schubert П., «Mitt. Math. Оея. Hamburg»,
1889, Bd 1, S. 134—55; MKlfiman S. L., t. кн.: Mathema-
Mathematical development arising- from Hilbert problems, Providence,
1970, p. 445—82 (Proc. Symp. Pure Math., v. 28): [3] Гриф-
Гриффите Ф., X a p p и о Д ж., Принципы алгебраической гео-
геометрии, пер. с англ.. т. 1, М., 1982; 14] X о д ж В., П п д о Д.,
Методы алгебраичегкой геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1954.
Л. Л. Онищик.
ШУМ АДДИТИВНЫЙ —помеха, прибавляемая к
сигналу при передаче его по каналу связи. Точнее, го-

ворят, что задан канал связи с III. а., если переход-
переходная функция Q (гл •) канала задается плотностью
4(y,yh У&У, V € & = & C/ и "S — пространства зна-
значений сигналов на входе и выходе канала соответственно),
зависящей лишь от разности у— у, т. е. д(у,у) =
= q (у — у). В этом случае сигнал на выходе канала т)
можно представить в виде суммы сигнала на входе т)
и не зависящей от него случайной величины ?, назы-
называемой Ш. а., так что r\ = r\-\-Z,.
В случае когда рассматриваются каналы с дискрет-
дискретным или непрерывным временем на конечных или бес-
бесконечных интервалах, понятие канала с Ш. а. вводят
с помощью соотношения r\ (t)=r\ {t)-j-?,{t), где t изме-
изменяется в рассматриваемом интервале, a r\(t), r\{t) и
t,(t) — случайные процессы, являющиеся соответствен-
соответственно сигналами на входе и выходе канала с Ш. а., причем
процесс ?(*) не зависит от процесса r\(t). В частности,
если t,(t) —гауссовский случайный процесс, рассмат-
рассматриваемый канал является каналом гауссовским.
Лит.: [1] Галлагер Р,, Теория информации и надеж-
надежная связь, пер. с англ., М., 1974; [2] X а р к е в и ч А. А.,
Борьба с помехами, 2 изд., М., 1965,
Р. Л. Добрушин, В. В. Прелое,
ШУРА ЛЕММА: если Т, S — алгебраически непри-
неприводимые представления нек-рой группы или алгебры
в векторных пространствах X п У соответственно, то
любой сплетающий оператор для представлений Т и S
либо равен нулю, либо взаимно однозначно отображает
X на У (в этом случае Т и S эквивалентны). Ш. л. уста-
установлена для конечномерных неприводимых представле-
представлений И. Шуром [1]. Аналогом Ш. л. является описание
семейства сплетающих операторов для двух данных
представлений. В частности, IIJ. л. часто называется
следующее утверждение: если Т, S — унитарные не-
неприводимые представления нек-рой группы или сим-
симметричные неприводимые представления нек-рой ал-
алгебры в гильбертовых пространствах X и У соответст-
соответственно, то любой замкнутый линейный оператор из X
в У, сплетающий Т и S, либо равен нулю, либо унита-
унитарен (& этом случае Т и S унитарно эквивалентны).
Описание семейства сплетающих операторов для пред-
представлений, допускающих разложение в прямой интег-
интеграл, наз. континуальным аналогом
Леммы Шур а. А. И. Штерн.
Следующие два предложения являются обобщениями
III. л. для семейств операторов, действующих в беско-
бесконечномерных пространствах.
Пусть Тх, Sx—представления в гильбертовых про-
пространствах fflT и $С\ симметричного кольца R А:
5%т —*¦ ЗСs—линейный замкнутый оператор с нулевым
ядром, плотными областью определения и областью
значений. Если выполняются соотношения SXA a. ATX
для всех x?R, то представления Тх и Sx унитарно
эквивалентны.
Пусть R — алгебра линейных непрерывных операто-
операторов в локально выпуклом пространстве /'', содержащая
ненулевой компактный оператор и не имеющая нетри-
нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств.
Тогда любой оператор, перестановочный со всеми опе-
операторами алгебры R, кратен единичному оператору.
В. П. Ломоносов.
Лит.: [1] S с h u г I., «Sitz.-Ber. Akad. Wiss.», 11H6, S. 164 -
184; [2] Кириллов А. А., Элементы теории представлений,
2 изд., М., 1978; [3] Н а й м а р и М. А., Нормированные коль-
кольца,2 изд., М., 1968; 14] е г о ж е, Теория представлений групп,
М., 1976; [5] Желобенко Д. П., Компактные группы
Ли и их представления, М., 1970; [fil Л омо носов В. И.,
«Функц. анализ и его прил.», 1973, ). 7, в. 3, с. Г>Г>—56.
Н1УРА МУЛЬТИПЛИКАТОР г р у п и ы 6' — труп
па когомологий Я2(С, С *), где С * — мультипликатив-
мультипликативная группа комплексных чисел с тривиальным дейст-
действием G. Ш. м. был введен И. Шуром 11] в связи с изуче-
изучением конечномерных комплексных проективных пред-
представлений групп. Если р ; G -»- PGL(n) — такое пред-

ставление, то р можно интерпретировать как отображе-
отображение л : G -*¦ GL(n+l) такое, что
л (а) л (т) = ао> х л (а, т),
где ао,х — нек-рый коцикл со значениями в С *.
В частности, проективное представление р является
проективизацией нек-рого линейного представления п
тогда и только тогда, когда коцикл ао % определяет
нулевой злемент группы #2(G, С *). Если IP(G, С *) = 0,
то группа G наз. замкнутой в смысле Шу-
р а. Если G — конечная группа, то существуют естест-
естественные изоморфизмы
Пусть M(G)~H~\G, Z)=Char(//s(G, •?))¦ Если задано
центральное расширение
1 __> А —-> F — * С, —-> 1 (*)
конечной группы G, то существует естественное отобра-
отображение ф : М (О) -*¦ А, образ к-рого совпадает с A [)\F,
F]. Отображение гр совпадает с отображением J[~a(G,
Е) -*¦ H~1(G, А), индуцированным (J-произведением
на 2-мерный коцикл из /Я(С, А), определяющий рас-
расширение (*). Обратно, для любой подгруппы CczM(G)
существует расширение (•*) такое, что Кет ф=С Если
6=1^, 6'], то расширение (*) однозначно определяется
гомоморфизмом ср. Если ф — мономорфизм, то любое
проективное представление группы G индуцируется
нек-рым линейным представлением группы /'.
Лит.: [11 S с h ц г Г., «J. reinc \md angew. Malli,», 1!Ш1,
Bd In7, H, 20- -Me i2l M a it ,п с п н ('. Гомологии, пер. с ашм.,
М., 1У60. Л. В. Ицяьлиш.
ШУРА ТЕОРЕМЫ теоремы, относящиеся к реше-
решению коэффициентов проблемы для ограниченных ана-
литич. функций и полученные И. Л1уром |1]. Пусть В —
класс функции j(z)~co-\-с¦&-{-. . . , регулярных и кру-
круге |г|<1 и удовлетворяющих в нем условию |/(^)|<:1.
Пусть R,,, n~^z\, есть га-мерное комплексное евклидово
пространство, точками к-poro являются системы из п
комплексных чисел (с0, сЛ, . . . , c,,-i); B{n) -- мно-
множество точек (с„, с,, . . . , с„ _])?!?„ таких, что числа
с0, С], ... , cn_i являются первыми п кояффициентами
нек-poii функции класса И, Множества 5<л) -- огра-
ограниченные, замкнутые л выпуклые в К„. Тогда спра-
справедливы следующие теоремы.
Первая теорема Шура: точкам (сп, с,, . . .
. . . , с„_!) на границе В("> соответствует в В только
дроби вида _ __
^ 1
Вторая теорема Шура: для того чтобы
(с0, с17 ... , e,,_i) была внутренне!! точкой Bi:l}, необ-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
i 0 ... О
>0. fc-=1
«fe-l«ft-a ¦¦
Вторая Lll. т. дает в окончательной форме решение
задачи коэффициентов для ограниченных функций в
случае внутренних точек области коэффициентов.
Лит.: [1] S с h u г ]., «.Г. reine und angew. Math.», 1917,
Bd 147, S. 205—32; |2l Ricberbach L., Lehrbuch der
Funktiouenthcoric, Bd 2, B. - Lp?,., 1927; [Hi Г о л у я и н Г. М.,
Геометрическая теория функций комплексного переменного,
2 изд., М., 19ЙЦ. Ю. К. Аленицып.

ЭВБУЛИДА ПАРАДОКС, парадокс Евбули-
Да — то же, что антиномия Эвбулида.
ЭВЕРЕТТА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА —
способ записи интерполяционного многочлена, получа-
получающегося из Гаусса интерполяционной формулы для
интерполирования вперед по узлам .г0, ,то+Л, х0—h,
..., xa-\-nh, xo~~nh, xo-\-(n-{-\)h в точке x—xo-\-th
f (Г-1
исключением конечных разностей нечетного порядка
ори помощи соотношения
,2fe+l ,гк Ак
/1/2 — /1 — /о •
После приведения подобных членов получается Э. и. ф.
tf«B + i(*b + «')--'so(")+'S, (О. (D
где и=1—/,
Формула [1] примерно вдвое сокращает работу по срав-
сравнении) с другими записями интерполяционного много-
многочлена при решении задачи уплотнения таблиц, т. е.
когда n:t данной таблицы значений функции с узлами
lo+fcfe требуется составить таблицу значений, функции
с узлами хв \-kli' при h'—hll, где I. — целое, поскольку
в этом случае значении ](ха—Л) при 0</<1 вычисля-
вычисляются по формуле
значение S0(u) используется при нахождении дпуч
значений f{xo±th).
При ручнол! счете в случае п-~2 коэффициент при
/J в B) целесообразно приблизить выражением
и вместо Sq(l) вычислять
Параметр к можно выбирать, напр., из условия мини-
минимума главной части величины
sup| Д5(т0 + /Л)~-^в(-То + /ЛI,
где _ _ _
Е:> (.Го + /Л) ^ Л'о (и) -|- S{ (/), ц = 1 ~ *.
В этом случае пначенне к = 3,6785.
Лит.: И] I; о р е з и и И. ('.,, Ж и д к о и П. П., Методы
вычислении, 'J изд., т. 1, М., 1'ilifi; |2| Б a s и я л i> и II. с.,
Численные методы, 2 иод., М., 1475. Л/, /г. Счмарни.
ЭВОЛЬВЕНТА л л о с к о и крип о ii у —такая
кривая у, для к-poii кривая у является -.тчлинпоП. Если
r~r(s) (где .«— натуральным параметр) — уравнение
кривой у, то уравнение ее !¦). имеет вид:
Г=Г(.<)-т-Т(О — К),

где с — произвольная постоянная, т — касательный
вектор к у. На рис. показано строение Э. в двух ха-
характерных случаях: _
а) для всех s<c кри-
кривизна k(s) кривой у
не обращается в
нуль (Э.— регуляр-
регулярная кривая); б) k(s)
обращается в нуль
только нри з=.?1,
причем A:'(sj)^O (точ-
(точка Э., соответству- ^
ющая s=s1, являет-
является точкой возврата
2-го рода1).
Об Э. поверхности см. Эволюта. д. д. Соколов.
ЭВОЛЮТА плоской кривой у — множест-
множество 7 точек центров кривизны кривой 7- Если г=г (s) (где
s — натуральный параметр) — уравнение кривой у, то
Cits)
уравнение рр 3. имеет вид:
1
/-=/- + ¦
V,
где к — кривизна, v — нор-
нормаль кривой у. На рис. по-
показано строение Э. в трех ха-
характерных случаях:
а) вдоль всей кривой произ-
производная к' знакооыределона, к не обращается в нуль;
б) вдоль всем кривой производная к' знакоопределе-
на, к обращается в нуль при .« .?„;
в) для ,sO0 fe'>0, для s>so 7c'(.v)<0, к'(.чв)—О, к не
обращается в нуль (точка Э., соответствующая s=s0,
является точкой иозврлта). Длина отрезка Э., соответст-
соответствующего отрезку s, <..<<;.s-.j кривой у. равна
1 1
Э. является orn6aK)ineii нормалей кривой у. Кривая у по
отношению к своей !). нал. эвольвентой. Д. Д. Соколов.
ЭВОЛЮТА, э и и л in г н а я а о в е р х н о с т ь,—
множество реГм'р возврата развертывающихся поверх-
поверхностей, образованных нормалями к поверхности F вдоль
одного срмрйства линий кривизны F. Э. состоит ни двух
полостей Fи и F.,,, каждая из к-рых является множеством

центров нормальных кривизн соответствующего семей-
семейства и, v линий кривизны. Поверхность по отношению
к своей Э. наз. э в о л ь в с п т о и (авопьвен т-
ной поверхность ю). Напр., Э. тора есть ось
вращения его и окружность, описываемая центром вра-
вращающейся окружности.
Радиус-вркторы /?„ и Пи соответствующих полостей
Э. Fn и Fv суть:
где рн, pv — радиусы нормальных кривизн линий кри-
кривизны (и, <;), г — радиус-вектор поверхности F, п —
нормаль к F. Ортогональные траектории ребер возврата
Fv полости 3. Fv совпадают с линиями уровня функции
р.а и являются геодезическими параллелями.
Средней эволютой (средней оги-
огибающей поверхностью Ф) для данной
поверхности F наз. огибающая плоскостей, параллель-
параллельных касательным: плоскостям F и проходящих через
середину отрезка между центрами лормальныл кривизн
линий кривизны; ее радиус-вектор Нс -с-|--^-п, где И
а К — соответственно средняя и гауссова кривизны F,
так что F и Ф — параллельные поверхности. При этом,
если Д' — второй дифференциальный параметр, соот-
соответствующий III квадратичной форме /' и и- -(ги), то
A'w~— 2(№+~ ). Если н>= ^-, т. е. средняя Э.
вырождается в плоскость, то получается поверх-
поверхность Бонне, если же и-\- -у- —си>, то поверхность F
гомотетична Ф и наз. поверхностью Г у р с а,
в частности при с—\ получается минимальная поверх-
поверхность. II. X. Сабитов.
ЭВОЛЮЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, до-
допускающее истолкование как запись дифференциаль-
дифференциального закона развития (эволюции) во времени нек-рого
процесса. Термин не имеет точного определения, и его
применимость может зависеть не только от самого
уравнения, но и от постановки задачи для него. Для
Э. у. характерна возможность построения решения при
заданном начальном условии, крое трактуется как
запись начального состояния процесса. К Э. у. отно-
относятся, прежде всего, обыкновенные дифференциальные
уравнения и их системы общего вида
u'=f(l, и), u"^-f(t, и, и') (*)
и т. п. в случае, когда u(t) естественно рассматривать
как решение задачи Коши; эти уравнения описывают
эволюцию систем с конечным числом степеней свободы.
Учет последействия приводит к интегро-дифференци-
альным уравнениям типа Вольтерра или к дифферен-
дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом.
Описание процессов, происходящих в сплошных сре-
средах, приводит к дифференциальным уравнениям с част-
частными производными гиперболического, параболиче-
параболического и родственных типов; здесь, наряду с задачей
Коши, ставится смешанная (начально-граничная) за-
задача. Если решение и (х, t) таких уравнений трактовать
как зависящий от параметра t элемент какого-либо про-
пространства функций от я, то приходят к абстрактным
дифференциальным уравнениям вида (*). Все эти
уравнения, а также соответствующие им разностные
уравнения и относят обычно it Э. у.
Аналогии с реальными процессами приводят к поста-
постановкам естественных задач для 0. у. (напр., задача об
устойчивости решений) и порой дают методы их изуче-
изучения (напр., привлечение математич. аналогов законов
сохранения или диссипации полной энергии). Эволюци-
Эволюционный характер уравнения благоприятен для его
численного решения, так как значения ;;(//;) Co<'i<
<. . .) при достаточно малом шаге Д(/г мошно получать
с помощью постепенного перротранвания, отправляясь

от начального условия. Это привело к тому, что многие
задачи о стационарном состоянии среды при их числен-
численном решении трактуются как предельные при t -*¦ -\- оо
для .эволюционных задач. (Напр., решение уравнения
Лапласа Д»=0 при заданных гранидных условиях слу-
служит пределом решении уравнения du/dt—Au при тех
же граничных условиях и любых начальных условиях;
в подобных случаях говорят об установлении решений
0. у.) А. Д. Мшипис.
ЭВОЛЮЦИОННЫЙ ОПЕРАТОР — линейная опера-
оператор-функция V(t, х) двух переменных /, s, обладающая
свойствами:
U(s, .?) = /;
U (/, т) U {%, s)~U (t, s);
U (I, x)=-U-1(t, i).
M. П. BointexoecKuu.
ЭДЖВОРТА РЯД — ряд, определяемый выражением
/ (*)=<Г (*)-!-
Здесь /(х) — плотног-ть распределения случайной ве-
величины
(•<!n=li~|-- • -fin' %\, ¦ ¦ ¦ ¦ ?// ~- независимы и одина-
одинаково распределены),
Ф(.г)=-4=р-л'2'2
4 V ' 1 2л
— плотность стандартного нормального распределения,
Коэффициенты Ь^ k + 2i не зависят от п и представляют
собой многочлены относительно Ая, . . . , Я^_; + ?>, где
Xj=y.jlaJ', о- — дисперсия, а ку — семиинвариант поряд-
порядка / случайной величины ?,. В частности, первые члены
разложения имеют вид
f (х) = у (х)--Ip--L }.
p
f
Коэффициенты Ь^^+и могут быть выражены также
через центральные моменты.
Ряды (*) введены Ф. Эджвортом [1]. Их асимптотич.
свойства исследованы Г. Крамером (Н. Cramer), к-рый
показал, что при довольно общих условиях ряд (*)
дает асимптотич. разложение /(.г) с остаточным членом
порядка первого отброшенного члена.
Лит.: LtlEdgeworth F. Y., «Proc. Camb. Phil. Soc.»,
1905, v. 20, p. 36—65; [2] Крамер Г., Математические мето-
методы статистики, пер. с анг.ч., 2 изд., М., 1975. В. Г. Ушаков
ЭЙКОНАЛА УРАВНЕНИЕ — уравнение с частными
производными, имеющее вид
V V '
Здесь т — размерность пространства, с — гладкая,
не равная нулю функция. В приложениях с имеет
смысл скорости распространения волн, а поверхности
%(т1, . . . , xm) -const — волновых фронтов. Лучи (см.
Ферма принцип) являются характеристикадш Э. у.

Существует ряд обобщений и аналогов Э. у. В частно-
частности, обобщением Э. у. является уравнение
где // — однородная 1-й степени по -^ , . . . , ^
функция, удовлетворяющая нек-рым дополнительным
ограничениям. Важное значение имеет нестационарный
аналог Э. у.
-,/ym (°L
Последнее уравнение — частный случай встречающих-
встречающихся в теории волновых явлений дисперсионных уравне-
уравнений, имеющих вид
Здесь (о — заданная функция.
На математич. теорию геометрич. оптики можно
смотреть как на теорию Э. у. Все виды Э. у.-- диффе-
дифференциальные уравнения с частными производными 1-го
порядка. Решение 3. у. может иметь сингулярности.
Их теория — часть теории особенностей дифференциру-
дифференцируемых отображений (см. также Гамильтона — Я кобч
теория, Геометрическое приближение, Лучевой метод).
Лит.: [1] В а б и ч В. М., Булдырев В. С, Асимпто-
Асимптотические методы в палачах дифракции коротких воли, М., 1972;
[2] У и з е м Д ж. В., Линейные и нелинейные волны, пер. с.
пи гл., М., 1977. Я. М. ВпГтч.
ЭЙЛЕНБЕРГА — МАКЛЕЙНА ПРОСТРАНСТВО —
пространство, обозначаемое через А'(я, п) и представ-
представляющее функтор X —>- Нп(Х; я), где п — неотрицатель-
неотрицательное число и я — нек-рая группа, коммутативная при
и>1, а Нп(Х; я) есть «-мерная группа когомологий ко-
конечного клеточного пространства X с коэффициентами
ц л. Существует при любых указанных в и я.
Э.— М. п. А* (я, п) можно характеризовать также
следующим условием: я1(А'(я, п))=п при i = n и г=0
при Ьфп, где я,- есть г-я гомотопическая группа. Таким
образом, пространство А (я, п) определено однозначно
с точностью до слабой гомотопич. эквивалентности. Лю-
Любое топологич. пространство можно, с точностью до сла-
слабой гомотопич. эквивалентности, разложить в косое
произведение Э.— М. п. (см. Постникова система).
Когомологий пространства А" (я, 1) совпадают с кого-
мологиями группы я. Введены С. Эйленбергом и С. Мак-
ленном |1].
Лит.: [1] Е i I e n b e r g S., МасЬапе S., «Ann. Math.»,
1945, v. 40, |). 480- 509; 1VI50, v. 51, p. 514 — 33; [2]M о ш е р P.,
T а и г о р а М., Когомологические операции, пер. с англ., М.,
1Я70; [31 О пень ер Э., Алгебраическая топология, пер. с
ainvi., М., 1971. 10. Б. Рудяк.
ЭЙЛЕРА КРИТЕРИЙ: при в, не делящемся на простое
число р>2, имеет место сравнение
р- 1
— ) (modp),
где ( — j —Лежандра символ. Таким образом, Э. к.
дает необходимое и достаточное условие того, чтоби
число a^0(mod p) являлось квадратичным, вычетом
или же невычетом по модулю п. Доказан Л. Эйлером
в 1781 (см. [1]).
Л. Эйлер получил также и более общий результат:
для того, чтобы число а (а ^0 (mod p)) было вычетом сте-
степени п по простому модулю р, необходимо и достаточно
условие
р- '
а 6 =1 (modp),
где б=G?, р — 1).
Оба эти утверждения легко переносятся на случай
конечного поля.

Лит.: [llEuler L., Opera Omnia. Ser. t, v. 12, Lpz.— В.,
1914, p. 49,4—538; [2j Виноградов И. М., Основы теории
чисел, !' над., М., 1981. С. А. Степанов.
ЭЙЛЕРА МЕТОД — простейший конечно-разностный
метод численного решения обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений.
Пусть дано дифференциальное уравнение
.</'=/(¦'•, У) A)
с начальным условием
У(ч)=Ув-
Выбирается достаточно малый шаг h по оси х, строятся
точки ^i=xo-\~ih, г=0, 1, 2, ... , и искомая интеграль-
интегральная кривая у (х) заменяется ломаной (ломаная
Эйлера), звенья к-рой прямолинейны на отрезках
[х,-, -''v+il- а ординаты определяются по формулам
yi + i^yi + hj(xi, Уд, * = 0, 1, 2, ... . B)
Если правая часть j(x, у) уравнения A) непрерывна,
то последовательность ломаных Эйлера при h -*¦ 0 на
достаточно малом отрезке [х0, ,го+Я] равномерно стре-
стремится к искомой интегральной кривой у(х).
3. м. заключается в том, что интеграл дифференци-
дифференциального уравнения A) на каждом последовательном
отрезке [.г,-, xi+x\ представляется двумя членами ряда
Тейлора
На каждом шаге Э. м. имеет погрешность порядка №.
Для уточнения Э. м. используются различные моди-
модификации. Напр., в усовершенствованном методе лома-
ломаных вместо формулы B) для определения ординат ис-
используют формулу
Vi-n--~-yi + hf (xi+1;o, i/i + i/г), i — 0, 1, 2, ..., C)
гдо
?4+1/2 = ;»;; +ft/2, г/1+1,2=г/; + (Л/2) / (хь Vi), D)
то есть учитывают направление поля интегральных кри-
кривых в средней точке D) звена ломаной.
Другой модификацией Э. м. является усовершенство-
усовершенствованный метод Эйлера — Кош и:
y^yi + h'^"'^"-^, < = 0, 1, 2, .... E)
где
ГГоследний метод можно еще более уточнить, приме-
применив итерационную обработку каждого значения j/,-+i:
0т = У1+-!г1/(*/. 9i)+ /(*i + i, У1к'Ц)], fc = i, 2, ...,
F)
где нулевое приближение
yf+i^yi + hf(xi, yd.
Итерационный расчет по формуле F) продолжают до
тех пор, пока два последовательных приближения
yf2i ii yli!+i\iti совпадут между собой в заданном числе
десятичных знаков. Если после трех — четырех итера-
итераций совпадение требуемого числа десятичных знаков
не достигается, то это указывает на необходимость
уменьшения шага h. Э. м. с итерационной обработкой
ординат дает на каждом шаге погрешность порядка hs.
Э. м. и его модификации переносятся на более общий
случай решения системы п обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнении
y'k = fk(x, I/i, • .., У„), А=-1, ..., п,
при заданных начальных условиях
У к (*о) =¦ У ка-

Алгоритм вычислении по Э. м. легко программируется
и удобен для реализации на ЭВМ.
Метод предложен Л. Эйлером (L. Euler, 1768).
Лит. • U I Д с м и д о в и ч Б. П., Марон И. А., Основы
вычислительной математики, М., 1 ЭвО, II, 13. Ваппярский.
ЭЙЛЕРА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ — один из ме-
методов суммирования числовых и функциональных ря-
рядов. Рид
суммируем методом суммирования Эй-
Эйлера ((?", ^-суммируем) к сумме 5, если
где g>—I, 5* = 2и=оа«-
Впервые метод при 5=1 применялся Л. Эйлером
(L. Euler) для суммирования медленно сходящихся и
расходящихся рядов. На произвольные значения q
метод был распространен К. Кношгом [11, поэтому
Э. м. с. при любом д наз. также методом сумми-
суммирования Эйлера — Кноппа. Э. м. с. регу-
регулярен при <?2&0 (см. Регулярные методы суммирования);
если ряд (Е, (^-суммируем, то он суммируем и методом
(Е, q') при q'>q>~~i к той же сумме (см. Включение
методов суммирования). При д=0 суммируемость Э. м.
с. ряда (*) означает сходимость этого ряда. Если ряд
(Е,-^-суммируем, то его члены ап удовлетворяют усло-
условию an-—o{BqJr\)n), g^O. Э. м. с. применяется также
для аналитич. продолжения функции, определенной
степенным рядом, за круг сходимости. Так, ряд
У zn(E, д)-суммируем к сумме 1/A—z) в круге с
*«J1= О
центром в точке —q и радиусом, равным q-\-l.
Лит.: [1] К п о р р К., «Malh. Z.», 1922, Bd 15, S. 22В—53;
[2] е г о же, там же, 1923, Bd 18, S. 125—56; [3] X а р д и Г.
Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951; [4] Барон С.
Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977
И. 11. Волков
ЭЙЛЕРА МНОГОЧЛЕНЫ — многочлены впда
где Е/t — эйлеровы числа. Э. м. можно последовательно
вычислить по формуле
В частности,
Ео (,:) --- 1. Ё t (х) -- X - -1 , Яг (X) -, X (.т ~~i).
Э. м. удовлетворяют разностному уравнению
л принадлежат классу Аппеля многочленов, т. е. удовле-
удовлетворяют соотношению
Производящая функция для Э. м.:
Для Э. м. енрнведдпво разложение в ряд Фурье
. о, cos Bh+l)nv->. ^i~ я
р /^ —_?L_V __J; ;___J
П < .г < 1, ,, > 1.

Э. м. удовлетворяют соотношениям:
~
л
Л',, (тх) = т"
если т нечетно,
если m четно.
Периодич. функции, совпадающие с правой частью
(*), являются экстремальными в Колмогорова неравен-
неравенстве и ряде других экстремальных задач теории функ-
функций. Рассматриваются также обобщенные Э. м.
Лит.: [1] Э й л е р jr., Дифференциальное исчисление, пер.
с лат., М.— Л., 1949; [21 N ii r I u n A N. К., Vorlesungen ttber
Differenzenrechnung, В., 1!>2Д. Ю, Н. Субботин.
ЭЙЛЕРА ПОДСТАНОВКА — замена переменной х=
— r(t) в интеграле
С R (х, Уая?-\-Ъх-\-с)й.г, A)
где ]{(¦, ¦) — рациональная функция своих аргумен-
аргументов, сводящая этот интеграл к интегралу от рациональ-
рациональной функции и имеющая один из следующих трех видов.
Первая подстановка Эйлера: если
а>0, то
V'ax2+b,r+'c— ± x}/~~a ± 1.
Вторая подстановка Эйлера: если
корни х1 и х2 квадратного трехчлена ах3-\-Ьа-~\-с дейст-
действительные, то
— ± I (х—хх).
Третья подстановка Эйлера: егли
с>0, то
Уах"-^Ъх-\-с-^ ± У ± xt
(в правых частях равенств можно брать любые комби-
комбинации знаков). При всрх 3. п. как старая переменная
интегрирования .т, так и радикал У а.г'2-\-Ьх-^-а рацио-
рационально выражаются через новую переменную t.
Две первые Э. п. позволяют всегда свести интеграл
A) к интегралу от рациональной функции на любом
промежутке, на к-ром радикал Уах1~\-Ьх-{-с принимает
только действительные значения.
Геометрия, смысл П. и. состоит в том, что кривая
2-го порядка
х/~=ах*- + Ъх-\-с B)
немеет рациональное параметрич. представление:
именно, если за параметр t взять угловые коэффициенты
пучка секущих i/—yo=t(:r—z0), проходящих через точ-
точку (,г„, у0) кривой B), то координаты зтой кривой будут
рационально выражаться через переменную /. В случае,
когда а>0 и, следовательно, кривая B) является гипер-
гиперболой, для того, чтобы получить 1-ю У. п.. за точку
(''о- .'/о) следует взять одну из бесконечно удаленных
точек, определяемых направлениями асимптот этой
гиперболы; в случае, когда корни х1 и ,х2 квадратичного
трехчлена а.г2+йж-(-с действительны, для того, чтобы
получить 2-ю Э. п., надо взять за точку (.т0, ;/„) одну из
точек (.г,, 0) или (т2, 0); а в случае, когда t>0, чтобы
получить 3-ю Э. п.— одну из точек пересечения кривой
B) с осью ординат, т. е. одну из точек @, — У с).
Л. Д. Кудрявцев.
ЭЙЛЕРА ПОСТОЯННАЯ — число с, определяемое
равенством
с- limfi + 4- + 4-+...+ ——Inn) «0,57721566490...,
рассмотрено Л. Эйлером (Г,. Ruler. 1740). Его существо-

вание следует из монотонного возрастания и ограничен-
ограниченности сверху последовательности
Арифметич. природа Э. п. не изучена, неизвестно A984)
даже является ли она рациональным числом или нет.
Л. Д. Кудрявцев.
ЭЙЛЕРА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — 1) Э. п. р я д о в:
если дан числовой ряд
то ряд
наз. рядом, полученным из ряда A) Э. п. рядов. Здесь
Если ряд A) сходится, то сходится и ряд B) и притом
к той же сумме, что и ряд A). Если ряд B) сходится
(в этом случае ряд A) может расходиться), то ряд A)
наз. суммируемым по Эйлеру.
Если ряд A) сходится, а„>0, для всех к=0, 1, 2, ...
последовательность
монотонная и
п
то сходимость ряда B) быстрее сходимости ряда A)
(СМ. С refill моппъ). Л. Д. Кудрявцев.
2) Э. и.— интегральное преобразование вида
(z-t)«v(l)dt, A)
где С — контур в комплексной плоскости t. Предложено
Л. Эйлером (L. Euler, 1769).
Э. п. применяется к линейным обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнениям
B)
где Qj(z) — многочлен степени <ге—/ и р — константа.
В таком виде можно представить любое линейное урав-
уравнение
где Рj (z) — многочлены степени </, степень Рп (г)
равна п. Уравнение
Мг;^2"=о (-1)/ (Qn-j (z) ^)</> = 0
наз. преобразованием Эйлера уравне-
уравнения B). Если ш(z) определена формулой A), причем
а = р+и—1, то справедливо тождество
Lw=[c(z— t)<* M (v)dt
при условии, что внеинтегральная подстановка, к-рая
возникает при интегрировании по частям, обращается
в нуль. Отсюда видно, что если М (у) — 0, то w(z) —
решение, уравнения B).
Э. п. позволяет понизить порядок уравнения B),
если Qj(z)^() при /></, q<n. При q=0, q=i уравнение
B) интегрируется (см. Поггаммера уравнение).
Лит.: [11 А й и с Э. Л., Обыкновенные дифференциальные
уравнения, пер. с англ., Харьков, 19Я9; L2] К а м к е Э., Спра-
Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер.
г нем., 5 изд., М., 1!»7С. М. В. Федорюк,

У) Э. п. — 1 - г о рода— интегральное преобра-
преобразование вида
IN (*) =Яц {/ @; ¦'} = Fu17 5 и ' О ('-'>"-1 Л'
где ц, х — комплексные переменные, причем путем
интегрирования является отрезок t—хт, 0<т<1.
!¦). п. 1-го рода наз. также дробным интегралом
I' и м а н а -— .11 и у в и л л я порядка ji. (Иногда под
интегралом Римана — Лиувилля понимают интеграл
где а — комплексное число.)
При нек-рых условиях н.ч функции f{.r), g(a-) имеют
место следующие равенства:
IV О'')- /(¦*),
/и [а/ (ж) + р? (ж)J •--¦-- а/и/ (.г) + р/м- g W,
а, р—комплексные постоянные,
J-"f(.r)~?;if(.T), и-l, 2, 3, ... .
Э. п. 2-го р о д a — интегральное преобразование
вида
где (х, .г — комплексные неременные, причем путем
интегрирования является луч t—хт, т>1, или 1,-= .т-|-т,
т>0. При нек-рых условиях имеют место следующие
равенства
К» [а/ (х) + Pg (.г)] - аА'^/ (.с) -\- PA'11 g- (,r),
а, р - комплексные постоянные,
A-"/(.r)=^j/(.r), « = 1, 2, 3, ....
0. п. 2-го рода иногда наз. дробным интегралом
1! е и л я порядка \i.
Указанные преобразования введены также для обоб-
обобщенных функций.
Лит.: Б р ы ч к о в Ю. А., Прудников А. П.,
Интегральные преобразования обобщенных функций, М., 1977.
Ю. А. Врыч-пов, А. П. Прудников.
ЭЙЛЕРА ПРОИЗВЕДЕНИЕ - бесконечное произве-
произведение вида
где .ч — действительное число и р пробегает все простые
числа. Это произведение абсолютно сходится при всех
л>1. Аналогичное произведение для комплексных чисел
.v~<j-|-(/. абсолютно сходится при <*>1 и задает в этой
области дзета-функцию Римаиа
С. А. Cw.etmn.oe.
ЭЙЛЕРА ПРЯМАЯ — прямая, на к-рой лежат точка
// пересечения высот треугольника, точка S пересече-
пересечения медиан и точка О — центр описанно)! окружности.
Ксли Э. п. проходит через вершину треугольника, то
треугольник либо равнобедренный, либо прямоуголь-
прямоугольный, либо прямоугольный равнобедренный. Для отрез-
отрезков Э. п. выполняется соотношение:
0H:SH = i:2

Э. п. впервые была рассмотрена Л. Эйлером (L. Euler,
1765). П. С. Моденов.
ЭЙЛЕРА РЯД — выражение вида
"У -L
где сумма берется по всем простым числам р. Л. Эйлер
(L. Euler, 1748) показал, что :>тот ряд расходится, и
тем самым дал еще одно доказательство бесконечности
множества простых чисел. Для частичных сумм Э. р.
имеет место асимптотика
2 1 / \ \
р < х р ' ' ' \ In ж / '
где С-=0,261497 ....
С. А . Степанов.
ЭЙЛЕРА ТЕОРЕМА: у всякого выпуклого многогран-
многогранника число вершин В плюс число граней Г минус число
ребер /' равно 2:
В + Г — Р=-2. (*)
Э. т. справедлива для многогранников рода О; для мно-
многогранников рода р выполняется соотношение
В + Г —Р^2 —2р.
Э. т. доказана Л. Эйлером (L. Euler, 1758), соотношение
(*) было известно Р. Декарту (К. Descartes, 1620).
ЭЙЛЕРА ТОЖДЕСТВО соотношение вида'
где s>1 — произвольное действительное число и про-
произведение берется по сеем простым числам />. Э. т.
справедливо также для всех комплексных чисел s - гг-И/
таких, что ст>1.
Обобщением .'). т. является соотношение
справедливое для всякой вполне мультипликативной
арифметич. функции f (и) с абсолютно сходящимся ря-
Г1
Другим обобщением Э. т. является соотношение
для Дирихле рядив
соответствующих модулярным функциям
веса 2к, являющимся собственными функциями опера^
торов Гекке.
Лит.: ШЧандрасекхаран К., Введение в аиалити~
ческую теории] чисел, пер. с англ., М., 197Л; Г2] Л е н г С, Вве-
Введение л теорию модулярных форм, пер. с. англ., М., 1979.
С. А . Степанов.
ЭЙЛЕРА УРАВНЕНИЕ - 1) .'). у. линейное обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение «го порядка
1 — " dx'
где л/, t = 0, 1, . . ., «,— константы, апф§. Это уравне-
уравнение подробно исследовал Л. Эйлер (L. Eulei), начиная
с 1740.
Замена независимой переменной x--ef приводит урав-
уравнение A) при x>0 к линейному уравнению я-го порядка

с постоянными коэффициентами
Характеристич. уравнение этого линейного уравнения
нал. определяющим уравнением Э. у.
Точка ,т=0 является регулярной особой точкой однород-
ного 9. у. Фундаментальная система (действительных)
решений действительного однородного уравнения A)
на полуоси л->0 состоит из функций вида
ха cos ф In х) 1пот х, х* sin ф In г) inm x. B)
Rc-ли з-<0, то в уравнении A) нужно сделать по дета-
новку а- = --е*, а в выражениях B) заменить .т на \х\.
Солее общее, чем A), уравнение Л а г р а н~
ж а
где а, р\ ay — константы. афО, я„=^0, подстановкой
az-[~P = e' или
также сводится к линейному уравнению с постоянными
коэффициентами.
Лит.; И) Камке Э., Справочник по обыкновенным диф-
дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1970.
Н. X. Розов.
2) Э. у.— необходимое условие экстремума в задачах
вариационного исчисления, полученное Л. Эйлером
(L. Ruler, 1744). Впоследствии, используя другой метод,
это уравнение вывел Ж. Лагранж (J. Lagrange, 1759),
В связи с этим Э. у. иногда наз. уравнением
Эйлера — Лагранж а. Э. у. представляет собой
необходимое условие обращения в нуль 1-й вариации
функционала.
Пусть поставлена задача вариационного исчисления,
состоящая в определении экстремума функционала
J (х) = ['' F (t, х, x)dl A)
при известных условиях на концах
х (/,) = .г,, .г («„) = .т2. B)
II пусть непрерывно дифференцируемая функция x(t),
рр ффрру фу (,
2, есть решение задачи A), B). Тогда x(t) удов-
удовлетворяет уравнению Эйлера:
Уравнение C) можно записать в развернутом виде
FX~F .—F .x — F. ..r = (). D)
tx хх х х к
Гладкое решение уравнения C) пли D) наз. э к с т~
р е м а л ь ю. Если F ~хф0 в точке (/, .г), лежащей на
экстремали, то в этой точке экстремаль имеет непрерыв-
непрерывную 2-ю производную j. Экстремаль, во всех точках
к рой F^4^0, наз. неособенной. Для неосо-
неособенной экстремали Э. у. можно записать в виде, разре-
разрешенном относительно 2-й производной х.
Решение вариационной задачи A), B) необязательно
должно быть непрерывно дифференцируемым. В общем
случае оптимальное решение x(t) может быть кусочно
дифференцируемой функцией. Тогда в угловых точках
.t(t) должны выполняться необходимые условия Beii-
ерштрасса -Эрдмана, обеспечивающие непрерывность
мри переходе через угловую точку выражении F-x и
F—.tF-k , а на отрезках между соседними угловыми точ-
точками функция х(() должна удовлетворять Э. у. Кусочно
гладкие линии, составленные из кусков экстремалей и
удовлетворяющие в угловых точках условиям Вейершт-
расса — Эрдмана, наз. ломаными экстрема-
л я м и.

В общем случае дифференциальное Э. у. является
уравнением 2-го порядка и, следовательно, его общее
решение зависит от двух произвольных постоянных
* = /('. Cj, Г2).
Эти произвольные постоянные можно определить из
граничных ус-лоимц B):
1A,, сх. г2) =х
ft)
/(*„ с,, г2) =х2.' { '
Если рассматривается функционал, зависящий от
нескольких функций
J (х\ ..., х'1)^-- \U F (t, х\ . .., х", а1, . . ., x")dl, (fi)
то вместо одного Э. у. приходят к системе п Э. у.
id.
Общее решение системы G) зависит от 2п произвольных
постоянных, к-рые определяются из заданных 'In гра-
граничных условий (для задачи с закрепленными концами).
Для вариационных задач с подвижными концами, в
к-рых левый и правый концы экстремали могут сме-
смещаться но нек-рым заданным гиперповерхностям, не-
недостающие граничные условия, позволяющие получить
замкнутую систему соотношений типа E). определяются
с помощью необходимого трансверсальности условия.
Для функционалов, содержащих производные высших
порядков (а не только 1-го, как A), F)) необходимое
условие, аналогичное Э. у., записывается в виде диф-
дифференциального уравнения Эйлера — Пуассона (см.
HI).
Для вариационных задач, в к-рых разыскивается
экстремум функционалов, зависящих от функций нес-
нескольких переменных, аналогичное Э. у. необходимое
условие записывается в виде уравнения Эйлера — Ост-
Остроградского, представляющего собой дифференциальное
уравнение с частными производными (см. |2j).
13 случае вариационных задач на условный экстремум
получение системы Э. у. связано с использованием Ла-
гранжа множителей. Напр., для Волъца задачи, в к-роп
требуется найти экстремум функционала, зависящего
от и функций х—(.г1, . . ., .г"),
при наличии дифференциальных ограничений типа ра-
равенств
ф; (t, х, .г) =0, г = 1 т, ;;? < п, (!1)
и граничных условий
с помощью множителей Лагранжа Яо и Я,(/), t—1, . . .,
т, из / и ((),- составляется функция
F(t, х, х, Я)=Я./(«, -г, i)H-S"'=1T/('' '. ^
и Э. у. записываются в виде
г. d
"i
i = l, . . ., т,
Таким образом, оптимальное решение вариационной за-
задачи (8) — A0) должно удовлетворять системе т-[ и
дифференциальных уравнений Эйлера A1), причем пер-
первые т из :>тих уравнений совпадают с заданными усло-
условиями связи (9). Используя дополнительно необходимое
условие трансверсальности, получают замкнутую крас-

вую задачу для определения решения вариационной
задачи (8) A0).
Помимо '-). у. и условии трансверсальности оптималь-
оптимальное решение вариационной задачи должно удовлетво-
удовлетворять остальным необходимым условиям: условию Клеб-
ша (Лежандра), условию Вейергатрасса и условию
Якоби.
Лит.: [1] А х и с з е р Н. И., Лекции по вариационному
исчислению, М., 1955; [21 Л а вр с н т ь е в М. А., Л ю с т е |и
н и к .1. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М. - Л.,
1!)Г>0. 11. П. Вапнярский.
Я) '<). у.— дифференциальное уравнение вида
dx | dv =Q
Ух ' >Т
где
X (х) = я,0.т4 + а, х3 + а2х2 + а^х -(- а4,
У (ж) =аау*-\-а1у3-\-а2уг-\-аяу |-а4.
Л. Эйлер (L. Euler) рассматривал это уравнение в ряде
работ начиная с 1753. Он показал, что общее решение
этого уравнения имеет вид F(x, у)=(), где /'(.г, у) —
с.имметрич. многочлен 4-й степени от х и у. всэ-я.
ЭЙЛЕРА ФОРМУЛА — формула, выражающая нор-
нормальную кривизну поверхности в данно»! направлении
I через главные кривизны /г, и к2:
к[ = кл cos2 ф-4~ k-i sin2 ф,
где ср — угол, к-рый составляет направление I с глав-
главным направлением, соответствующему главной кривиз-
кривизне fe|.
Э. ф. получена Л. Эйлером (L. Enler, 17(Ю).
Д. Д. Соколов.
ЭЙЛЕРА ФОРМУЛЫ формулы, связывающие по-
показательную и тригонометрические функции:
e'z =cos z \- i sin z,
eiz ьГ'г „:„ , _ fiz-e~lz
«¦osz= r i Sin г — _ ,
справедливые при всех значениях комплексного пере-
переменного г. В частности, при действительном ;•=-<¦ .9. ф.
имеют нид:
IX,
Jx.
vosx = , sin х = — .
Эти формулы и были опубликованы Л. Эйлером [1].
Лит.; Ш К н 1 с г L., «Miscellanea Berulinenski», 174.!,
v. 7, p. 193—242: Vl\ Эйлер Л., Введение в аналип бееконеч-
ini малых, пер. с лат., т. 1, М.-- Л., 1936; 13) Марку ш е-
II и ч А. И., Краткий курс, теории аналитических функций,
'i изд., М., 1Я78. К. Д. Соломеуцев.
ЭЙЛЕРА ФУНКЦИЯ — арифметическая функция
ф(/г), значение к-рой равно количеству положительных
целых чисел, не превосходящих п и взаимно простых с п.
Э. ф. мультипликативна, т.е. фA) = 1 и if(mn)-
- ф(т)ф(ге) при (т, п)—\. Для функции ф(ге) справедли-
справедливы соотношения
In In и
Введена Л. ЭГ|ле])ом (L. Eiiler, 17A.'!).
Лит.: ttl Ч а н д \i а с е е; х а р а п К., Введение п лнплп-
чичееь'ун^ чеорию чисел, пер. i- нш-..i., М., Ht74.
ЭЙЛЕРА - Л АГРАТГЖА УРАВНКПИЕд'ля m"i'i"h"ii;
м а л I. ir о й и о в с J) х и о с т и z z(.r, ij) уравне-
уравнение вида
^ + ) 2 + + ) J 0

оно получено Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1760) и ис-
истолковано 5К. Мёнье (,1, Meusnier) как условно равенства
нулю средней крпвинны поверхности z -z(r, //), частные
интегралы найдены Г. Монжем (G. Monge). Системати-
Систематические исследования Э.—Л. у. проведены С. М. Берн-
штейном, который показал, что П.--,11. у. является ква-
яшшнейны.м иллиггтич. уравнением роди /<~2, вследст-
вследствие чего решении .'-).--Л. у. обладают рядом свойств,
резко отличающих их от решений линейных уравнений.
К таким свойствам, напр., относятся устранимость изо-
изолированных особых точек решения беи априорного пред-
предположения об ограниченности решения к окрестности
особой точки, принцип максимума, имеющий место при
тех же условиях, невозможность равномерной априор-
априорной оценки г(т, у) н любой компактной подобласти кру-
круга через значения z в центре круга (т. р.. отсутствие
точного аналога неравенства Гарнака), факты, относя-
относящиеся к Дирихле задаче, отсутствие нелинейного реше-
решения Э.—Л. у., определенного над нс.ен плоскостью
(Ве.рнштейна теорема) и т. д.
О.— Л. у. обобщается по размерности: для минималь-
минимальной гиперповерхности z—z(zj, . . ., .г„) в (R" + i соот-
соответствующее уравнение имеет вид
|V21 )=0' vz=
Для этого уравнения (я$гЗ) исследована разрешимость
задачи Дирихле, докапана устранимость особенностей
решения, если они сосредоточены ннутри области нм
множестве нулевой (п— 1) -мерном меры Хаусдорфн,
показана справедливость теоремы Иернштейна дли
«<7 м построены контрпримеры для »J>8.
ЭИЛ UPA — М АКЛОРЕНА ФОРМУЛ А — формула
суммирования, связывающая частные суммы ряда с
интегралом и производными его общего члена:
где Bv — Bf/iHi/лли кисла, Rn — остаточный член. С по-
помощью Вернулли многочленов Вп (/), б„ (())¦—В„ остаточ-
остаточный член записывается в пи до:
Я
7ГГ Я Iй" О /У 2ГГр f (ft + 1 -0 <it.
Для «—2s остаточный член B2s может быть представлен
с использованием чисел Бернулли:
Если производные гр'ЭД (()и||м+11 (t) имеют одинако-
одинаковые знаки и не меняют знака на \р, т], то
Если, кроме того,
Jimij'i"-1' (x) =0,
то Э.—М, ф. может быть записана в виде:
В такой форме Э.—М. ф. применяется, напр., при выво-
выводе С шиллинга формулы. В г)то.\! случае ф(.т) — In ,r и
с — Эйлера, постоянная. Имеются обобщения Э. — М. ф.
на случай кратных сумм.
0.--М. ф. применяется для приближенного вычисле-
вычисления определенных интегралов, для исследования сходи-

мости рядов, для вычисления сумм и для разложения
функции в ряд Тейлора. Напр., при т~\, р=0, и=
--2т-I, ф(:г)—cos-y Э.—М. ф. дает следующее вы-
ражение:
'i
3.—М, ф. играет важную роль при изучении асимпто-
тич. разложении, в теоретико-числовых оценках, в
конечных разностей исчислении.
Э.—М, ф. иногда применяется в виде:
J('-H—5") Ф'
Э.—М. ф. была впервые приведена Л. Эйлером [lj
в видр:
, , , . о (it , d't R d't , d't ,
где ,V — сумма первых членов ряда с общим членом
1{п), S — г—0 при н—0, а коэффициенты определяются
рекуррентными соотношениями:
Независимо формула была открыта позднее К. Макло-
ррном [2].
Лит.: 11) Е п 1 р г L., «Comment. Ac.ad. sci. Imp. Petrop.»,
17.48, I,. 6, p. tS8—97; I2J M а с L a u r i n C, A l.reaiise of fluxi-
fluxions, v. 1—2, Edin., 17'i2; [3l Харди Г., Расходящиегя
ряды, пер. с англ., М., 1!M1; f'i] Niirluni N. Е., Vorlesun-
кет) iiher DifferenzenrechnunK, В., 1924; ihl Г е л ь ф о н д А. О.,
1!<-.чип.ш!ние нонечпых разностей, 'Л изд., М., 1907.
Ю. Н. Суйботим,
.')ИЛЕРА — ФУРЬЕ ФОРМУЛЫ — формулы для ко-
коэффициентов Фурье ряда.
ЭЙЛЕРОВ КЛАСС — первое препятствие к построе-
построению сечения расслоения со слоем сфера, ассоциирован-
ассоциированного с векторным расслоением. См. Характеристиче-
Характеристический класс. А. Ф. Xapvivjiniiae.
ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА конечного клеточ-
клеточного комплекса К — целое число
где ак — число /с-мерных клеток комплекса. Названа
в честь Л. Эйлера (L. Enler), к-рый докапал в 1758,
что число вершин В, ребер Р и граней Г. выпуклого
многогранника связаны формулой В—Р+Г—2. В неяв-
неявном виде эта формула была известна еще Р. Декарту
(К. Descartes, 1620). Оказывается, что
где р* есть fc-мерное Бетти число комплекса К (фор-
(формула Эйлера — Пуанкаре). '-). х. комплек-
комплекса К является его гомологическим, гомотопическим и
топологическим инвариантом. В частности, •-). х. не
зависит от способа разбиения пространства на клетки.
Поэтому можно говорить, напр., об Э.х. произвольного
компактного полиэдра, понимая под этим Э.х. какой-
нибудь его триангуляции. С другой стороны, формула
Эйлера —Пуанкаре позволяет распространит!, понятие
Э. х. на более широкий класс пространств и пар про-
пространств, для к-рых правая часть формулы имеет смысл.
Для произвольного поля F справедлива обобщенная
формула Эйлера — Пуанкаре, выражающая Э. х. через

размерности над полем F групп гомологии с коэффици-
коэффициентами в доле /':
Пусть р : Е-+В — локально тривиальное расслоение
со слоем F. Тогда, при нек-рых ограничениях на про-
пространства Е, В, F, их Э. х. связаны соотношением
t{E)—%(BYi(F). В частности, Э. х. прямого произве-
произведения двух пространств равна произведению их Э. х.
С помощью соотношения %(А.[]В)=%(А)-{-%(В)- -
—%(А П-В), справедливого для любой вырезаемой триа-
триады (A \JB, А, В), вычисляются Э. х. всех компактных-
двумерных многообразий. Э. х. сферы с g ручками и к
удаленными открытыми дисками равна 2—2g—к, сферы
с т листами Мёбиуса и к удаленными дисками — 2—т—
—к. Э. х. произвольного компактного многообразия
нечетной размерности равна половине Э. х. его края.
В частности, Э. х. замкнутого многообразия нечетной
размерности равна нулю, так как его край пуст.
С. В. Матвеев.
ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ — интеграл
1 —1 (l-.r)f-!<??¦, р > 0, q > О,
= Г
наз. эйлеровым интегралом 1-г о род а
или бета-фуакцией, и интеграл
-эйлеровым интегралом 2-го роди
(при .«>() :>тот интеграл B) сходится и является пред-
представлением гамма-функции).
Э. и. рассматривались Л. Эйлером (L. Enler, 172!)—
1731). -П. Д. Кудрявцев.
ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ — углы ф, -ф, 6, определяющие
положение одной декартовой прямоугольной системы
координат Oxyz относительно другой декартовой пря-
прямоугольной системы коор-
координат Ox'y'z' с тем же
началом координат и с
той же ориентацией.
Э. у. рассматриваются
как углы последователь-
последовательных поворотов одной си-
системы относительно осей
другой, после к-рых обо
системы совпадают (см.
рис.). Пусть и — ось,
совпадающая с линией
пересечения плоскости
Or у с плоскостью Ох'у' и
направленная так, что три
напранлония Ог, Oz' и и обрадуют правую тройку.
Угол я|) — угол между осями Ох и и, отсчитываемый
в плоскости Оху от оси Ох в направлении кратчайшего
поворота от Ох к Оу; 0 — не превосходящий л угол
между осями Oz и Oz'; ф — угол между осями и и От',
отсчитываемый в плоскости Ох'у' от оси и и направ-
направлении кратчайшего поворота Ох' к Оу'. Свя:и. между
координатами х, у, z и х', у', г':
х' — (cos г|1 cos ф — sin ф cos В si л ф) .г' +
-+-(— cos \[i sin ф — sin i(i cos 0 cos <р) у' -\- (sin i|i sin 0)z',
у = (ят^созф + г.оя^со.чВ sin ф) r'-j-
+ (—sin ч sin ф+соз^совбсовф) у' -\-{— cos if sin fl) z',
z = (sin 8 sin ф) .r'-f-(sin в совф) у'-)-(cos в) z'.
Э. у. введены Л. Эйлером (L. Euler, 1748). д, д. Соколов.
ЭЙЛЕРОВЫ ЧИСЛА — коэффициенты Еп в разложе-
разложении
ch z'~2dn.

Рекуррентная формула для Э. ч. имеет вид (в символи-
символической записи, E"-:=h',i):
(? + 1)" )-(*.'- 1)"=0, #„-1.
При этом #2п+1--0, А'4„ — положительные, Ein + 2 —
отрицательные целые числа для всех п.—О, 1, . . .;
#2= —1, Я4=5, #„ = -01, Л'в —Ш5, #10^-50521. Э. ч.
связаны с Вернулли числами Вп:
4
'). ч. применяются для суммирования рядов. Напр.,
V" (—1)* fbrr,=2m + >'+2nV I E-n I"
Иногда Э. ч. наз. числа 1#2л1-
Э. ч. введены Л. Эйлером (L. Euler, 1755).
Лит.: [1J Э й л е р Л., Дифференциальное исчисление, пер.
с. лат., М.— Л., 1949; [2] Г р а д ш т е й н И. С, Рыжик
И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений,
Г) изд., М.—Л., 1971. К. Д. Соломеицев.
ЭЙНШТЕЙНА ПРАВИЛО—правило упрощенной (без
символа 2it) записи конечной суммы, каждое из сла-
слагаемых к-рой содержит индекс суммирования дважды:
один раз как верхний индекс, и второй раз как ниж-
нижний индекс. Суммы 2- x'ei' 2- ¦ x'yJaij записыва-
записываются в виде х'г;, г'.Ыа,-j\ при этом 1 < г, /<л. Требо-
Требованием записи индексов на разных уровнях иногда
пренебрегают.
Э. п. предложено А. Эйнштейном (A. Einstein, 1916).
Л. П. Купцов,
ЭЙНШТЕЙНА УРАВНЕНИЯ гравитации н-
н о г о ноля-- основные уравнения общей теории
относительности, связывающие метрич. тензор прост-
пространства-времени, к-рый описывает поле тяготения, и
физич. характеристики иных видов материи, к-рые опи-
описываются тензором янергии-импульса:
Здесь /?,-? — Риччи тензор, к-рый выражается черея
метрич. тензор #(i., /? — Я1;, Т,-^, — тензор энергии-им-
энергии-импульса, г — скорость света в вакууме, G — гравита-
гравитационная постоянная.
Лит.: И J Л а п д а у Л. Д., Л И ф ш и ц Е. М., Теория
поля, В изд., М., 197а. Д. Д. Соколов.
ЭЙНШТЕЙНА — СМОЛУХОВСКОГО УРАВНЕ-
УРАВНЕНИЕ — интегральное уравнение для плотности веро-
вероятности функции перехода Р (t0, xn(t, x)) из положения
г0 в момент времени /0 в точку х к моменту t:
P(te, ,г„|/, х)=\ РAп,х„\1',х') х
X/>('', з;'1'. -r)dx.',
^ P{U" '''"I'' ¦r)rf-'1 "''•
Функция Р описывает случайный процесс бел после-
последействия (марковский процесс), для к-рого характерна
независимость эволюции системы от t0 к t от предшест-
предшествующих моменту /,, возможных ее состояний. Уравнение
было сформулировано М. (^молуховскнм (М. Smohi-
chowski, 1900) в связи с разрабатываемым им и одновре-
одновременно А. Эйнштейном (A. Einstein) представлением о
броуновском движении как о случайном процессе. В ли-
литературе 9.—С. у. наз. уравнением If о л м о-
г о р о в я — Ч е п мена.
Фпзип. анализ процесса типа броуновского движения
показывает, что описание его с помощью функции Р
возможно на временах At— t—10, значительно превы-
превышающих время корреляции случайного процесса (даже

если формально A?-*-(t) и что рассчитанные с помощью
этой функции моменты (.с -/¦„)* Мк должны удовлет-
удовлетворять требованию
lim Mk/At=0, /c>;3; lim M2/M ^0.
В этом случае Э.—С. у. сводится к линейному диффе-
дифференциальному уравнению параболич. типа, называемо-
называемому уравнением Фоккера —Планка (см. прямое Колмого-
Колмогорова уравнение, Диффузионный процесс), начальные и
граничные условия к к-рому выбираются в соответствии
с конкретной решаемой задачей.
.'him.: [1] Эйнштейн А., Смолуховский М.,
Брауновское движение, пер. с нем., М.—Л., 1936; [2] Ч а н д р а-
с е к а р С, Стохастические проблемы в физике и астрономии,
пер. с англ., М., 1947; [3] К а ц М., Несколько вероятностных
яадач физики и математики, пер. с польск., М., 1967.
И. А. Квасников.
ЭЙРИ УРАВНЕНИЕ — обыкновенное линейное диф-
дифференциальное уравнение 2-го порядка
Впервые оно появилось в исследованиях Дж. Эйри по
оптике |1]. Общее решение Э. у. выражается через Бес-
гвля функции порядка i1/3:
Поскольку Э. у. играет важную роль в различных зада-
задачах финики, механики, в асимптотич. анализе, его ре-
тения выделены в особый класс специальных функций
(см. Эйри функции).
Решения 9. у. в комплексной плоскости z
w" — zw =0
имеют следующие основные свойства.
1) Всякое решение Э. у. есть целая функция z и раз-
разлагается в степенной ряд
„,(,) = „, @)[1-^+[ГЛ?1ПП+..
-[-«•' @) [^ +7ГТ + ^ГТГТ1ГТТЧ" • ¦ - ] -
сходящийся при всрх z.
2) Пели ir(z)^l) — решение Э. у., то функции w(toz)
и ;/'(ft»2z), где о)—егл'<'\ суть решения .'). у. и любые
два из этих решений линейно независимы. Справедливо
тождество:
w (г) + w (сог) -)- w (to2z) за 0.
Лит.; [1] Airy G. В., «Trans. Caml). Phil. Hoc», 1838
v. IS, p. .Ч7Н — 402; 12] Б и П и ч В. М., 15 у л д ы р е в В. С.
Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн
М., 1Ы72; |3) Справочник по специальным функциям, пер. с англ.
М., 1979. ЛГ. IS. Федорюк.
ЭЙРИ ФУНКЦИИ — частные решения Эйри урав-
уравнения.
Первая Э. ф. (или просто Э. ф.) определяется равен-
равенством
Ai(.r)=— \ cos ( \-rt\dt.
При комплексных z
где у = (оог "-л?'3, 0] LJ Гf), +оо) — контур в комплексной
плоскости t. Вторая '). ф. определяется равенством
Bi (z) = Нл- Ai (to'-г) — Ш Ai (мг), м =^2Л|/;).
Функции Ai(^), Bi (.с) действительны при действитель-
действительных х.
Другой набор Э. ф. ввел В. А. Фок:
v(z)=~A\(z),
w,(z) --2e~i;Xt)v(io-1z),

v{z) в этом случае наз. функцией Эйри — Фо-
к а. Справедливы тождества:
р(г) =и'(г)""''(г.! , шх (z) = ш2 (г). A)
Любые две из Э. ф. r(z), ^(z), ш2(г) линейно незави-
независимы.
Наиболее важна из 3. ф. r(z) (или Ai (г)). Ее асимпто-
асимптотич. поведение на действительной оси таково:
v (.г) =± JC^Loxp ( —-1- .г"'2) [1 -И> (.г" ;1/2I,
X —* -(- 00 ,
'¦•И-1—^- Г31'11 ( 41 -T 13/2+т) -Н° (I з-Г?/8I.
X—+ — 00,
так что у (.г) быстро убывает при .г>0, .г > 1 и сильно
осциллирует при г<0, |.г| > 1. Функции «'j(.r), ir2(.r)
экспоненциально растут при г-*-\-со. Для Г), ф. спра-
справедливы аси.мптотич. разложения при комплексных г,
1:1— >-оо:
Пр" I argzl^rt —е, B)
argz— 4
— е.
Для функции н'2(г) справедливо асимптотич. разложе-
разложение B), но в секторе
Здесь е^@, я) — любое, ветви V~z, -,/z положитель-
iii.i на полуоси @, ее), асимптотич. разложения равно-
равномерны по arg z и их можно почленно дифференцировать
любое число раз. В оставшемся секторе |arg(—z)|<f.
асимптотич. разложение функции v(z) выражается через
асимптотич. разложения функций u\(z), 7/'г (z) с. по-
помощью A), так что ее асимптотич. разложение имеет
разный вид в разных секторах комплексной плоскости
г. Этот факт был впервые установлен Дж. Стоксом |2|
и наз. явлением Стоке а.
Э. ф. возникают при исследовании интегралов от
быстроосциллирующих функций:
/ (X, а) = ^ exp [iXS (.r, a)J / (x, a) d.r
при Х>0, Я-»-+ов. Здесь /, S — гладкие функции, S
действительна, a — действительный параметр. Пусть
при малых а^О фаза S имеет две близкие невырожден-
невырожденные стационарные точки г, (ос), .та(а), к-рые совпадают
при а—0, напр.,
5 (,т, a,) = ar — xa-\-0(xi) при х—> 0.
Тогда при малых а^О и при Х-*- | е» вклад в асимптотику
интеграла от окрестности точки .г—0 выражается через
'¦). ф. v и ее производную (см. [fi]). Такого рода интегра-
интегралы возникают при исследовании коротковолновых полей
вблизи простой каустики (см. |7], |8]); Э. ф. возникли
в связи с исследованием ятой задачи [1].
Пусть рассматривается обыкновенное дифференци-
дифференциальное уравнение
у"-\-ХЦ(т)!,=О, C)
где q(x) — гладкая на отрезке /—fa, Ь] действительно-
действительнозначная функция, X >0 — большой параметр. Нули

функции q(x) наз. точками поворота (или
точкам п и е р о х о д а) уравнении {',)). Пусть
а < т0 < b. q(xu) 0, q' (хь) #0
(такая точка ная. простой),
д (х) =* 0 при ,г?/, ж =6 х0, q' (,r0) > 0.
Положим
/ i (-Я2/:!Нг)),
Уравнение C) имеет линейно независимые решения
Уй(х), !h(-r) такие, что при Х-*--роо равномерно по х
y/(x)=YJ(x)[i-'rO(k-1)], a<.r<.rQ, / = 0.1.
Уо П - Ко И U + O (X-1)] + Y1 (х) О (к-1)-
у, (.г) = Y, (х) [1-J-0 (Л-1)] + ^о (¦') <> (Х-1).
Ь.
Отот результат обобщен в следующих направлениях:
полуиены асимптотлч. ряди для решении; исследован
случай q -(j(.r, к) (напр.. q{x, к) разлагается r асимнто-
тич. ряд q ~ 2j „л 1п{х) "ри A->--j-oo); исследована
асимптотика решений вблизи кратных точек поворота.
Другие обобщения относятся к уравнению
«/' + А2д(г)ш^-0, D)
где v(z) —аналитическая в области D комплексном
плоскости z функция. Пусть I —максимальная связ
ная компонента линии уровня
Re Уг Y'q (t) dt —0,
выходящая из точки поворота z0 и не содержащая других
точек поворота; тогда I наз. лини е и Сто к с а.
Если q—.--z (т. е. D) есть уравнение Энри), то линии
Стокса — лучи (—оо, 0), @, е~гл^). Аналогично,
если z0 — простая точка поворота уравнения D), то
из неё выходят три линии Стокса 1и 12, 1Ц и угол между
соседними линиями в точке z0 равен 2я/3. Пусть Sj —
окрестность точки z0, из к-рой удалена окрестность ли-
линии Стокса lj, I I, 2, 3. При подходящей нумерации
Sj уравнение D) имеет три решения irj(z),j — 1, 2, .'),
такие, что
^(*)~(&(s))-1/2 .'(•- ^2/3«'^(-)). @=гал'/»,
при Я~*+оо, z?Sj.
it. ф. возникают также при исследовании асимптоти-
асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравне
Hiiii высокого порядка и систем вбли:ш простейших то-
точек поворота.
Лит.: fl] Airy (i. П., «Trans, camli. I'liil. Soc», 18.48,
v. II, p. :t7;)~ 'il)i; |2] S I nkes (i. (;., там .tie, 18J7, v. Ill,
p. HlFi —28; 1.4] Ф о it В. А., Таблицы функции :)йри, М., ni'iil;
IAI Справочник но специальным функциям, пер. с англ., М., 1117!);
Ifil Б а 0 и ч В. М., В у .ч д ы р е и В. С, Аеим!(готические
методы в задачах дифракции коротких ноли, М., 1!O2; [(;] Фе-
Федор ю it М. В., Метод перевала, М., 1Н77; [7| Ля п-
дау Л. Д., Лифшиц К. М., Теория поля, ti изд., М.,
1Я7Н; [8] М а с л о в В. П., Ф е д о р ю к М. В., Квазиклас-
оичесиое приближение для уравнений квантовой механики, М.,
1Я7Г>; 19] Д и ji од н и 1{ ы н А. А., «Успехи матем. наук»,
19,ri2, т. 7, в. 6, с. .4—9A; МО] В а а о в В., Асимптотические раз-
разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений,
пер. с англ., М., 19i>8; Г111 Ф е д о р ю к М. В., Асимптотиче-
Асимптотические методы для линейных иПыьноненных дифференциальных-
уравнений, М., 198,'i. M. В. Фгдорюк.

ЭЙТКЕНА СХЕМА — метод вычисления значения
интерполяционного многочлена />„ (г) по узлам -г0- -Г1<
. . ., хп в точке х, основанный иа последовательном
применении формулы
где L(,-_ /+]| ._ m)(x) — интерполяционный многочлен с
узлами интерполяции г,-, .г, + г, . . ., jm, в частности
l;(i)(x)—f(х;) (см. Интерполяционная формула). Про-
Процесс вычисления но формуле (*) можно закончить,
когда в значениях двух интерполяционных многочле-
многочленов последовательных степеней совпадает требуемое
количество знаков. Э. с. удобно использовать для ин-
интерполяции значений таблично заданной функции, пе-
перенумеровав узлы интерполяции в порядке возрастания
\x~xt\.
Лит.: [1] Б е р е я и н II. с, Жидков Н. П., Методы
вычислений, з изд., т. 1, М., 19Н6; Г2] Б а х в а л о в Н. С,
Численные методы 2 изд., М,, 1975. М. К. Самарин.
ЭКВИАФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел аффин-
аффинной геометрии, изучающий инварианты аффинной уни-
модулярнои группы преобразований. Важнейшим фак-
фактом является существование в Э. г. площадей паралле-
параллелограммов и объемов параллелепипедов.
ЭКВИАФФИННАЯ ПЛОСКОСТЬ — аффинная''плос-
аффинная''плоскость, в к-рой площадь параллелограмма является
инвариантом относительно аффинной унимадулярноп
группы преобразований. Л. а. Сидоров.
ЭКВИАФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ — аффинная связ-
связность на гладком многообразии М размерности п,
обладающая ковариаптно постоянно)! относительно нее
отличпой от нуля «-формой Ф на М. Форму Ф(ХЛ, . . .,
.?„) можно интерпретировать как объем параллелепи-
параллелепипеда на векторах полей Хг, . . ., Хп, и это условие озна-
означает существование объема, сохраняющегося при па-
параллельном перенесении векторов. Если аффинная связ-
связность на М задана с помощью матрицы локальных форм
связности
о/ = V\ (/r) fteft, del | Г*. | у= О,
ы) = Т)к (к) о,*,
и Ф=Х(|11/-.. . . ¦ ю", то указанное условие на Ф имеет
вид
Равносильно аффинная связность на М является 0. с.
тогда и только тогда, когда ее группа голономии яв-
является эквиаффиеной. В случае связности без круче-
кручения, условие равносильно симметричности тензора
1'иччи Rki~Hkii' т- е- условию Rki~Rik- Чри нали-
наличии Э. с. расслоение реперов в касательных к М про-
пространствах можно привести к иодрасслоению, относи-
относительно к-рого го}--О.
Лит.- И о |> де п Д. П., Пространства аффинной связности,
I'. изд., М\, I!i7(j. /О. У. Лумнспи1.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ — бинарное отношение Rci
'~-X ' , X на множестве X. удовлетворяющее условиям:
1) a R:r (р е ф л е к с и в н о с т ь).
2) x.Ry^pyJi.r (с и м метр и ч н о с т ь),
'Л) xRyAyRz^>xRz (т р а п з и т и в и о с т ь).
Если / отображает множество X во множество У,
то отношение Л— {(-*i.?2)l/-'V~/¦''*} является Э.
Для произвольного у?Х множество IJczX, состоя-
состоящее из всех х, .жвивалентиых у, наз. классом эк-
эквивалентности у. Любые два класса эквива-
эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают, т. е.
любая Э. определяет разбиение множества А, и об-
обратно. В. П Гришин.

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ КАТЕГОРИЙ - расширение
понятия изоморфизма категорий, обусловленное преж-
прежде всего наличием классов изоморфных объектов. Две
категории .Й и Щ. наз. эквивалентными, если
существуют такие одноместные ковариантные функторы
Р' '¦ Ш.-*-!& и G : У~»-Я, что произведение FG естественно
эквивалентно тождественному функтору ld.fr, и произ-
произведение 01''—функтору id.W'; другими словами, кате
горив Ш и Ц эквивалентны, если существуют «почти»
обратные друг другу функторы />' и G. Категории
эквивалентны тогда л только тогда, когда их скелеты
изоморфны (см. Скелет категории).
Теорема двойственности Понтрягина устанавливает
Э. к. абелевых групп и категории, двойственной кате-
категории топологических абелевых групп; категория бу-
булевых алгебр эквивалентна категории, двойственной
категории булевых пространств; категория бинар-
бинарных отношений над категорией множеств эквивалент-
эквивалентна категории Клейсли для тройки, которую определя-
определяет функтор взятия множества подмножеств.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ пред
ставления ях и я2 группы (алгебры, кольца, полугруп-
полугруппы) X в векторных пространствах А\ и Е2 соответст-
соответственно, для к-рых существует сплетающий он,е,рато/>,
являющийся изоморфизмом векторных пространств Е,
и й2 (иногда такие представления наз. алгебраи-
алгебраически эквивалентными); если jij и я2 --
представления в топологических векторных пространст-
пространствах Ел и Ег, то пг и л,2 наз. т о jj о л о г и ч е с к и
:•> к в и в а л е н т н ы м и, если существует сплетаю-
сплетающий оператор для пг и я2, являющийся изоморфизмом
топологических векторных пространств Е1 и Е2. Тер-
Термин «Э. и.» используется также для обозначения нек-рых
других отношений эквивалентности: напр., представ-
представления наз. слабо эквивалентными, если
существует замкнутый оператор с плотной областью
определения и плотным образом, сплетающий эти пред-
представления; представления группы Ли в банаховых
пространствах наз. инфинитезимально эк-
эквивалентными, если определяемые ими пред-
представления универсальной обёртывающей алгебры в про-
пространствах аналитич. векторов являются алгебраич.
Э. п. Два представления алгебры иногда наз. эквива-
эквивалентными или изоморфными, если ядра этих
представлений совпадают, а представления топологич.
группы наз. эквивалентными, если определяемые ими
представления той или иной групповой, алгебры этой
группы изоморфны. А. 11. Штерн.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ у п р а в
ляющих систем — преобразования, сохра-
сохраняющие отношение эквивалентности (о. э.) управляю-
управляющих систем (у. с). Используются в задачах оптимиза-
оптимизации, контроля, а также как средство характеризации
(напр., аксиоматизации) определенных классов у. с;
нывод в формальных системах также можно рассмотри
пать как Э. п. управляющих систем. В качестве о. :>.
обычно рассматривают функциональную эквивалент-
эквивалентность, т. е. в этом случае эквивалентными являются
у. с., имеющие одинаковые функции. Иногда по тем
или иным соображениям рассматривают и другие о. э.
С 3. п. управляющих систем связан широкий круг
задач, конкретная постановка к-рых варьируется и
зависимости от особенностей рассматриваемого класса
у. с. Основные из этих задач следующие.
1. Построение конечных (или рекурсивных) полных
систем правил преобразовании. Система правил '•). и.
наз. и о я н о ii для данного класса у. с. если с по-
помощью конечного числа применений этих правил про-
произвольную у. с. из рассматриваемого класса можно
преобразовать и любую эквивалентную ей у. с. Реше-
Решение этой задачи существенно зависит как or класса

у. с. в о. э. в нем, так и от допустимых средств преоб-
преобразований.
Наиболее распространены такие постановки задачи,
когда средства решения ограничиваются следующим
образом. Определяют понятие фрагмента (или подсхе-
подсхемы) у. с. и рассматривают преобразования у. с, состоя-
состоящие в замене одних фрагментов у. с. другими. Таким
образом, пара (а, р1) фрагментов определяет множество
преобразонаний произвольной у. с. у, каждое из к-рых
состоит в замене нок-рого вхождения фрагмента а а
у фрагментом fl (если у не содержит вхождений фрагмен-
фрагмента а, то считается, что преобразование, определяемое
нарой (а, $>), оставляет у без изменения). Пара фрагмен-
фрагментов (а, C) наз. правилом для данного класса
у. с, если преобразования, определяемые :>той парой,
сохраняют о. э., то есть переводят произвольную у. с.
из данного класса в эквивалентную ей. Нек-рые пра-
правила могут быть снабжены условиями их применимости,
описывающими ситуации, в к-рых их разрешается при-
применять, и гарантирующими сохранение о. э. Если пра-
правило (а, Р) применимо к любому вхождению фрагмента
а во всякой у. с, то оно наз. л о к а л ь н ы м. Нело-
Нелокальность правила обычно означает, что его примени-
применимость определяется строением всей у. с. Понятие пол-
полноты системы правил часто определяют и следующей
форме.
Говорят, что пара фрагментов (а, C) выводима
ил системы вравил 2, если фрагмент а с помощью пра-
правил из 2 можно преобразовать во фрагмент f> (приме-
(применение правил к фрагменту определяется так же, как
и для у. с). Система правил 2 наз. и о л н о и, если
из нее выводимы все нары вида (а, р1), где а и |i — экви-
эквивалентные у. с. Обычно наряду с правилами рассмат-
рассматриваются схем ы правил, содержащие те или
иные параметры (свободные переменные). Каждая схема
правил путем придания параметрам конкретных значе-
значений порождает в общем случае бесконечное множество
правил, и наиболее распространенная постановка зада
чи состоит в том, чтобы для данного класса у. с. найти
конечную полную систему схем правил.
2. Проблема полноты систем правил преобразований
(как для индивидуальных систем, так и в алгоритмич.
плане): по системе правил определить, является ли
она полной или нет.
3. Построение эффективных процедур, порождающих
о. э. Эта задача является ослаблением первой. В каче-
качестве средств решения допускаются произвольные алго-
алгоритмы, а также недетерминированные формально опи-
описанные процедуры.
4. Построение оптимизирующих (или вообще целе-
целенаправленных) процедур преобразований. Наиболее
часто речь здесь идет о минимизации сложности схем
у. с. либо о преобразовании у. с. в нек-рую канонич.
форму, единственную в классе эквивалентности. В по-
последнем случае решение задачи дает и разрешающую
процедуру для о. э. Целью преобразовании может быть
также построение самокорректирующихся или других
специальных у. с. С задачей оптимизации связан целый
ряд задач метрического характера, например получе-
получение оценок сложности решении, доли оптимальных
у. с. и т. п.
5. Проблема разрешения для задач первого типа, т. е.
вопрос о существовании конечной или рекурсивной
полной системы правил преобразований для произволь-
произвольного класса у. с. из нек-рого бесконечного множества
классов. Таким множеством классов у. с. может быть,
напр., совокупность множеств всех термов однотипных
алгебр или совокупность'классов схем ил функциональ-
функциональных элементов в различных базисах и т. и.
Особенности конкретных классов у. с. накладывают
отпечаток на постановку и методы решения указанных
задач. Ниже рассмотрены нек-рые примеры.

Э. п. в алгебрах. Каждой алгебре нек-рой сиг-
сигнатуры соответствует бесконечный класс у. с.— мно-
множество всех термов (формул) данной сигнатуры (вместе
с определяемыми ими функциями). Естественным о. э,
на множестве термов является отношение функцио-
функциональной эквивалентности: термы tt и
/2 эквивалентны тогда и только тогда, когда они опре-
определяют одну и ту же функцию с точностью до несущест-
несущественных аргументов. В этом случае обычно пишут:
t,~t2 (или tA^t2) и такие выражения наз. т о ж д о с т-
в а м и или равенствами данной алгебры, В ка-
чрствк фрагментов термов рассматриваются подтермы,
т. е. такие части, к-рые сами являются термами. Так
как любая замена подтерма эквивалентным ему тер-
термом сохраняет о. о., то любое тождество алгебры (рас-
(рассматриваемое как неупорядоченная пара термов) явля-
является локальным правилом. Всякое тождество алгебры
можно рассматривать и как схему правил, параметрами
к-poii являются переменные. Поэтому для алгебр зада-
задача 1 приобретает следующий вид: для данной алгебры
найти конечную иоиную систему тождеств, рассматри-
рассматриваемых как схемы правил, т. е. в этом случае задача
I Э. п. совпадает с задачей алгебраич, аксиоматизации
нлгебр.
Сущеетование конечной полной системы тождеств
является функциональным свойством алгебр, т. е. оно
полностью определяется классом функций, выразимых
в данной алгебре, и не зависит от сигнатуры. Лю-
Любая функционально полная (конечная) алгебра имеет
коночную полную систему тождеств; любая двухэле-
двухэлементная алгебра имеет конечную полную систему тож-
тождеств; существуют трехэлементные грушюиды, конеч-
конечные полугруппы и бесконечные группы, не имеющий
конечных полных систем тождеств; любая конечная
группа имеет конечную полную систему тождеств;
для алгебр всех рекурсивных функций, а также для
алгебры регулярных событий задача 1 решается отри-
цател ьно.
У. II. с х (' м из функциональных э л е-
м е н i о в. Понятие схемы из функциональных эле-
элементов (с. из ф. а.) можно рассматривать как обобщение
понятия терма. Класс с. из ф. э. в нек--ром базисе реа-
реализует in же множество функций, что и алгебра с набо-
набором сигнатурных операций, соответствующим данному
базису. Поэтому результаты, относящиеся к задаче
Э. и. для алгебр, переносятся с небольшими модифика-
модификациями на с. из ф. э. Фрагментами с. из ф. о. являются
подсхемы, отличающиеся от с. из ф. и., быть может,
только наличием нескольких выходов.
У. и. контактных схем. Как и для термов,
понятие фрагмента совпадает с, понятием контактной
схемы (к. с). Требует уточнении только определение
множества полюсов во вхождении фрагмента в схему.
Две к. с, между полюсами к-рых установлено взаимно
однозначное соответствие, считаются эквивалентными,
если функция проводимости между произвольными
нолюсами одной схемы совпадает с функцией проводи-
проводимости между соответствующими нолюсами другой. Если
пары эквивалентных к. с. рассматривать как схемы
правил, параметрами к-рых являются буквы, припи-
приписанные ребрам схем, и считать, что каждая такая схема
порождает правила только путем переименования этих
букв, то для класса всех к. с. не существует конечной
полной системы схем привил. 13 то же время для любого
п для класса всех к. с, ребрам к-рых приписано не
более и различных букв, конечная полная система таких
схем правил существует. Если же допустить порождение
конкретных правил из схем путем согласованной заме-
замены ребер с одинаковыми буквами произвольными к. с,
¦то н для класса всех к. с. может быть построена конеч-
конечная шитая система правил.

Э, п. а в т о м а т о в. Для автоматов конечных не
существует конечной полной системы локальных правил
преобразований. Однако с использованием нелокальных
правил или схем правил, зависящих от специальных
параметров, задача 1 для них может иметь положитель-
положительное решение. С конечными автоматами связана алгебра
регулярных событии, элементами к-рой являются мно-
множества слов, представимые (распознаваемые) конечны-
конечными автоматами, а сигнатурными операциями служат
объединение хуу, конкатенация ху и итерация х*.
Для этой алгебры ни существует конечной полной си-
системы тождеств. Однако подалгебра, состоящая из всех
событий, содержащих пустое слово, имеет конечную
полную систему тождеств.
Э. п. алгоритмов. Для полного класса алго-
алгоритмов и функционального отношения эквивалентности
проблема О. п. имеет отрицательное решение, поскольку
отношение функциональной эквивалентности в этом
случае не является рекурсивно перечислимым. Поэтому
для получения положительных решений либо сужают
класс алгоритмов, либо прибегают к модификации по-
постановки проблемы. Для задания подклассов алгорит-
алгоритмов часто используют конечные автоматы, автоматы с
магазинной или стэковой памятью, дискретные преоб-
преобразователи различного вида, программы г ограниче-
ограничениями на топологическую структуру или на объем ра-
рабочей памяти и т. п. Иногда подклассы алгоритмов вы-
выделяются по функциональному признаку путем зада-
задания класса вычислимых функций. В последнем случае
обычно задается определенное базисное множество
функций, к-рое замыкаете;! с помощью таких опера-
операций, как суперпозиция, рекурсия, ограниченное сум-
суммирование и т. п. Однако для выделяемых таким пу-
путем классов алгоритмов отношение функциональной
эквивалентности оказывается разрешимым лишь в тех
случаях;, когда соответствующий класс функций до-
достаточно бедон.
Поэтому развиваются другие подходы, в частности
подход, основанный на изучении схем алгоритмов. Схе-
Схемы алгоритмов отличаются от алгоритмов в основном
способом приписывания им функций. При этом отноше-
отношение эквивалентности схем алгоритмов рассматривается
как определенная аппроксимации отношения функцио
налi>uoii эквивалентности алгоритмов, так что решение
проблемы У. п. для схем алгоритмов можно считать
приближенным решенном этой проблемы для алгорит-
алгоритмов. Однако и здесь положительные решения удается
получать лишг. для достаточно грубых приближений,
близких к конечным автоматам. Возможность получе-
получения положительных решений для класса всех алгорит-
алгоритмов появляется при ослаблении понятии полноты систе-
системы правил, напр, при отказе от требования конечного
числа применении правил. Точнее, система правил наз.
п р е д о л ь н о н о л н о и, если, применяя ее пра-
правила, можно любые два эквивалентных алгоритма про-
прообразовать в пределе, т. с. -ул бесконечное число тагов,
и один (в общем случае бесконечный) вычислительный
комплекс. Конечную предельно полную систему схем
локальных правил оказалось возможным построить
для функционально полного класса всюду определен-
определенных программ в нек-ром простом бизиее. Реальный
смысл предельной полноты состоит, » частности, в тол,
что предельно полные системы являются полными и
обычном смысле для класса программ, вычисляющих
конечные функции.
В связи с задачей оптимизации у. с. нажную роль
играют направленные преобразования, дающие в конеч-
конечном, счете оптимальные или близкие! к ним у. с. В част-
частности, большой интерес представляет изучение возмож-
возможностей м о и о т о п н ы х и р е о б р ;t .'. о в и н и ii,
к-рые ма каж.юм шаге не повышают сложность у. с.
В HIM II.'IH ИНОМ I'MI.ICic.

Лит.: El] Я н о в Ю. И., «ТАШ. Math. Ops. DDR», 197.4,
11. 2—3; [2] его же, «Проблемы кибернетики», 19К2, н. 8. г.
75—90; [3] Муре кий В. Л., «Докл. Л И СССР», 1!Н>5,
т. 163, № 4, с. S15—18; .Ш e v о ж с, «Проблемы кибернетики»,
1961, в. 5, с. 61—76; [5] его же, там же, 1965, н. 15,
с. 101 — 16; ГОI Я и о в Ю. И., там же, 1958, в. 1, с. 75 — 127;
1980, в. 37, г. 215 — 38- КЗ. И. Янов.
ЭКВИВАРИАНТНАЯ ОЦЕНКА — точечная етати-
' тическая оценка, сохраняющая структуру задачи ста-
шетич. оценивания относительно заданной группы
взаимно однозначных преобразований выборочного про-
пространства.
Пусть по реализации случайного вектора X (Уь
\'2, . . ., Хп), компоненты к-рого Х\, Х2 Хп суть
независимые одинаково распределенные случайные ве-
величины, принимающие значения в выборочном прост-
пространстве (j, 5Э, Ре )< Э^всгК*, надлежит оценить
неизвестное истинное значение параметра Н. Далее,
пусть на ¦? действует группа взаимно однозначных пре-
преобразовании G={g) такая, что
gJ-ЭЕ ng58x = $ix для всех g?G.
Группа (! в свою очередь порождает на парамотрич. про
странстве в так нал. и и д у ц и р о п а н н у ю г р у п-
м у преобразований G—{g}, алементы к-рой опреде-
определяются но формуле
Предполагается, что A является группой взаимно одно-
однозначных преобразований на в таких, что
g& =в для всех g?G.
В этих условиях про точечную оценку 9 - 0(X) парамет-
параметра 9 говорит, что она ннляотсн .г). о. или сохраним1
структуру задачи статиетич. оценивания параметра 0
относительно группы A, если
0(«А')=а'6(Л) для всех ц?С.
Наиболее интересные результаты в теории эквнварп-
антной оценки получены в предположении, что функция
потерь является инвариантной относительно этой жо
группы С.
Лию,: 14] :i;i и с Ш., Теория статистических иыкодон, пер.
с англ., М., Ш7."); I2J Л f щ и Э., Происрка статистических
1-ипоте,), пер. с miii.ii., 2 изд., М., 1979. М. С. Никулин,
ЭКВИВЛРИАНТНЫК КОГОМОЛОГИИ когомо
логин, учитывающие действие нек-рой группы. Подроб-
Подробнее, <). к. в категории G-n р остра не т в (т. е. топо-
топологи ч. пространств, на к-рых задано непрерывное дей-
действие группы G) и их эквивариантных отображений --
последовательность контравариантных факторов //'а
(принимающих значение в категории абелевых групп)
и их естественных преобразований
H'lG(L)-^HnG+i (К, L), LCLK,
обладающих следующими свойствами: а) ;швивариантно
гомотопные отображения пар индуцируют одинаковые
отображения групп H'q\ б) включения вида
(К, Kf\L)<=(K\JL, L)
индуцируют изоморфизм
в) для всякой пары {К, L) точна когомолощч. иоследч
вательность
.. .Но (К, /,)-¦> //"; (А') —* H'('i(L) -, И",11 (К, L) -...
Пусть л: А'о - Ва -универсальное б'-расслоепис и
Ка—пространство ассициированнсо'о с я. универсаль-
универсального расслоении со с,тем А' (т. е. факторнрострннство

Eg,-.К при действии G, заданном нан g {l,k) = (lg-1^
gk). Тогда функторы НЪ (К) - II" (Ка) дают эквивари-
антную тоорию когомологий; здесь И" — произвольная
теория когомологий.
Для любой фиксированной группы G набор групп
H"q(I1iF) вместе с индуцированными всевозможными
включениями F1czF.i подгрупп С гомоморфизмами наз.
обычно системой коэффициентов для
ЙО-теории. В нек-рых случаях функторы Н'о однознач-
однозначно определяются своей системой коэффициентов (напр.,
когда G конечна и Hq (GlF)=() при га>0).
Лит.: [1] В red on G., Equivarianl cohomolosy theories,
B.— N. Y., 1967; [2] У И С я н, Когомологическая теория
топологических групп преобразований, пер. с англ., М., 11O9.
Е. Г. Скляреиуо.
ЭКВИДИСТАНТА множества М в метрическом прост-
пространстве R — граница трубчатой, окрестности М в
R, образованной шарами одинакового радиуса d. Если
М — дифференцируемое подмногообразие М" в рима-
новом пространстве V", то под Э. понимают (в более
узком смысле) множество концов равных отрезков, от-
отложенных от точек Л/* па геодезических, перпендику-
перпендикулярных к М* в соответствующих точках. Если V" -
полное, то Э,— образ экспоненциального отображения
векторов постоянной длины d нормаль и о г о
расслоения Мк в V". Если V"— неполное, то
;). существует лишь при достаточно малых d.
Примеры Э. 1) 3. на плоскости Лобачевского (г п-
и е р ц и к л) — ортогональная траектория пучка пря-
прямых, перпендикулярных к нек-рой прямой (к базис-
базисной прямой, или базе). Э. состоит из двух
ветвей, расположенных по разные стороны от базисной
прямой и вогнутых в сторону базы. Кривияна Э. посто-
постоянна. 2) Э. плоскости в пространстве Лобачевского
является поверхность постоянной положительной внеш-
внешней кривизны. д. д, Соколов.
ЭКОНОМЕТРИЯ, з к о н о м е т р и к а, -- направ-
направление в применении матоматич. методов в экономим.
исследованиях, имеющее целью количественное описа-
описание закономерностей и взаимосвязей экономии, объек-
объектов и процессов на основе теоретич. представлений об их
важнейших, определяющих факторах с помощью мате-
матич. моделей и статистич. методов обработки данных.
Для Э. характерно предположение о проявлении изу-
изучаемых закономерностей в измеряемых и используемых
в экономим, статистике и прогнозировании показателях
в неявном виде, на фоне действия второстепенных, слу-
случайных факторов и побочных явлений и, как следствие,
установка на выявление теоретически предсказываемых
зависимостей с одновременным выбором конкретной
формы их выражения.
Отдельные попытки количественного описания взаи-
взаимосвязей между экономич. показателями предприни-
предпринимались уже в 19 в. Развиваясь в рамках буржуазной
экономич. науки, эконометрич. направление использует
ее теоретич. положения, что ограничивает возможности
научного анализа и предсказания социально-экономич.
процессов при помощи эконометрич. моделей. В то же
время практич. потребности изучения явлений на всех
уровнях экономики — от народнохозяйственного до
отдельных фирм — обусловили разработку и много-
многократное применение набора типовых формулировок
укономико-математич. моделей и математич. приемов,
позволяющих выявлять и анализировать количествен-
количественные взаимосвязи, проявляющиеся в статистич. данных,
и обосновывать их, предполагая выполненными нок-рые
гипотезы, относящиеся к допустимым данным и изучае-
изучаемым зависимостям.
Ныявленпе и исследование количественных законо-
закономерностей и взаимосвязей в социалистическом народ-
народном хоинистве подчинено задачам развития экономич.

теории п потребностям планирования и управления.
В СССР и соцналпстич. странах сложилось более общее
по своим задачам и применяемым методам (по сравнению
с эконометрич. направлением в буржуазной экономии,
науке) научное направление, изучающее количествен-
количественные закономерности и взаимосвязи в экономике на ос-
основе марксистско-ленинской политич. экономии и тео-
теории управления народным хозяйством и его звеньями,
объединяемое в литературе термином «экономико-мате-
«экономико-математические методы». Оно включило в себя не только
методы построения количественно-определенных моде-
моделей по статистич. данным, но и всю проблематику, свя-
связанную с подготовкой и обоснованием оптимальных
экономич. решений, анализом условии, необходимых
для их эффективной реализации, моделированием про-
процессов функционирования сложных еоциально-эконо-
мич. систем, в к-рых одновременно происходят матери-
материально-вещественные и информационные взаимодейст-
взаимодействия, вырабатываются и выполняются планы и управ-
управленческие решения различных уровней, в том числе
создающие условия для активного коренного измене-
изменения достаточно устойчиво в прошлом проявлявшихся
зависимостей и тенденций.
Э. использует понятия, постановки и методы решения
задач из многих разделов математики, в том числе мате-
матич. статистики, теории вероятностей, математич.
программирования, численные методы решения задач
линейной алгебры, систем нелинейных уравнений и на-
нахождения неподвижных точек отображений, во многих
случаях имеет дело с обратными и некорректными за-
задачами в стохастич. постановках. В то же время Э.
применяет математич. методы не только для определе-
определения зависимостей, задаваемых в общепринятой для ста-
статистич. исследований форме [напр., в виде линейного
по оцениваемым параметрам уравнения регрессии с не-
неслучайными факторами аргументами], но и к более
сложным математич. моделям, формализующим типо-
типовые для экономич. исследований задачи. К числу ти-
типовых экономико-математич. моделей, конструируемых
п изучаемых с помощью эконометрич. методов, отно-
относятся: производственные функции, выражающие ус-
устойчивые, закономерные взаимосвязи между затратами
и результатами производственной деятельности эконо-
экономич. систем различных уровней; факторные модели
производительности труда; системы функций спроса
групп потребителей и целевые функции потребитель-
потребительского предпочтения; статические и динамические меж-
межотраслевые модели производства, распределения и по-
потребления продукции; частные модели межотраслевого
и межрегионального распределения и перераспределе-
перераспределения ресурсов; модели общего экономического равно-
равновесия; модели внешнеторгового обмена для группы
стран и др.
Сталкиваясь с практич. необходимостью расширить
набор исходных гипотез о случайных факторах, прояв-
проявляющихся в статистич. данных. Э. формулирует нетра-
нетрадиционные для прикладного статистич. анализа поста-
постановки задач и вырабатывает методы их решения. Так,
н ряде эконометрич. моделей независимые переменные
и параметры рассматриваются не как детерминирован-
детерминированные, а как случайные величины, включаются распре-
распределенные во времени взаимозависимости переменных,
используются непосредственно не наблюдаемые, ла-
латентные переменные и учитываются априорные ограни-
ограничения на оцениваемые параметры, допускается изме-
изменении изучаемых зависимостей во времени или н про-
пространстве факторов и ищутся моменты таких изменений
или множества значении факторов, на к-рых они про-
происходят. Наряду с обобщениями постановок задач вы-
выявления зависимостей, для :). характерно тсоретпч. и
змнприч. |нанр., методом Монтс-Кнрло| исследование
свойств м сравнительной эффективности различных ме-

тодов решения задач одного класса. а также стремле-
стремление формулировать систему рекомендации, используя
к-рую можно последовательно проверять и уточнять
гипотезы, относящиеся к моделям научаемых явлений
и объектов.
Развитие ;>кономико-математич. направлении, нс-
нольаующего богатый арсенал методов прикладной ма-
математики и возможности использования средств вычис-
вычислительной техники для сбора, хранения и обработки
данных, приводит к более четкому определению клас-
классов моделей, методов их разработки и анализа, объеди-
объединяемых общностью принимаемых методич. положении.
Так, в частности, в чрезвычайно широком ио своим за-
задачам экоиометрич. подходе к разработке экономико-
математич. моделей принято выделять класс собствен-
собственно эконометрич. моделей, имеющих следующую обоб-
обобщенную, конкретизируемую но многих направлениях
формулировку.
Рассматривается совокупность переменных — эко-
номич. показателей — X/, i— 1, ... , », каждой из к-рых
в промежутке времени t соответствует ее намеряемое
значение X\. Предполагается, что :п\\ переменные
удовлетворяют системе соотношений
J'k(Xf, X'-1, ..., Х'-Т; I; а; ф = 0, к = \ ///, A)
и к-рон .У ¦ вектор состояния изучаемой системы
в период t с координатами X;. 1=^-1, ... , и, 1<\ — функ-
функция своих аргументов, задаваемая с точностью до зна-
значений параметром, представленных вектором a, tfe —
реализация случайной величины |^, А-—1, ... , ш, та-
такой, что условный закон распределения вероятностен
для случайных величин |?, А--1, ... , т, при фиксиро-
фиксированных значениях векторов f'-'_ {f[. l), e'~2— {с/Г"}*
. . . , обозначаемый
Р(в'|е' 1. ...; Ь). B)
предполагаете!! известным с, точностью до значений
нек-рого вектора параметров Ь.
Для уконо.метрич. модели A)--B) рассматриваются
следующие основные задачи:
по известной совокупности данных \T~Q, ... , .V
определит), значения параметров а и b так, чтобы ;jtii
данные в нек-ром, специально оговоренном смысле,
хорошо удовлетворяли соотношениям A);
построить условным прогноз значениС! т переменных
.У/, j—i\, ••• , im, при заданных значениях других
(и — т) переменных х\, t—1, ... , и; 1ф1^ ... , im, для
/-2Ч-1, . . . , Г-,-1-
сравнить между собой несколько альтернативных
моделей вида A) — B), отличающихся выбранными
функциями Fh п законом Pfe'le*-1, ...; 6), при опреде-
определенных значениях их параметров и определить, имеются
ли среди них модели, существенно лучше (хуже) соот
ветствующие имеющимся данным и качественным сооб-
соображениям о природе выявляемых зависимостей.
Эти качественные формулировки задач оценивания
параметров эконометрич. моделей, построения с их по-
помощью прогнозов и сравнения таких моделей между
собой доопределяются в Э. так. что для некоторых
классов функций F\ и законов Р оказывается воз-
возможным предложить методы решения и, как правило,
реализовать их в виде соответствующих программ
для ЭВМ.
В практич. исследованиях эконометрич. методы при-
применяются не только при разработке собственно эконо-
эконометрия, моделей, но и в процессе создания более об-
общих и разносторонних моделей, использующих также
нормативные, оптимизационные и имитационные под-
подходы к моделированию к преодолевающих таким об-
образом присущую .л-ашомегрическому подходу описа-
тельность.

Лит. (^Канторович Л. В., Математический методы
организации и планирования производства, Л., ЮН!), till г г о
ж е, Экономический расчет наилучшего использования ресур-
ресурсов, М., 1059; [3] Тинтнер Г., Введение и эконометрию,
пер. с нем., М., 1965; [4] М и х а л с в с к и й Б. П., Система
моделей среднесрочного народнохозяйственного планировании,
М., 1972; [5] Эконометрические модели и прогнозы, Яовосиб.,
1975; [fi] К о л е к Ю., Ж у я и И,, Эконометрическис модели
в социалистических странах, пер. со словац., М., 1078; [71
Фишер Ф., Проблема идентификации в эконометрии, нер. с
англ., М., 1078; [8] Пирог о в Г. Г., Ф и д о р о н-
с к и й Ю. П., Проблемы структурного оценивания в экономет-
эконометрии, М., 1079; [9] Джои с т о н Д ж., Эконометрические мето-
методы, пер. г англ., М., 1980; [101 !i с л ь н е р Л., Байесовские
методы в эконометрии, нер. с англ., М., 1ПЖ1; [I 11 IT у а р ь е Д.,
Эконометрия структурных изменений, пер. с англ., М., 1981;
[112] В я в и Р., X о л д е и К., Введение в прикладной аконо-
метричеекий анализ, пер. с. англ., М., 1981; ClSJ Д р а й м з Ф.,
Распределенные лаги. Проблемы выбора и оценивания модели,
пер. с англ., М., 1982; [14] Межотраслевые эконометрические мо-
модели, Новосиб., 1983. Л. В. Канторович, Э, Б. Ершов.
ЭКСПЕРИМЕНТЫ С АВТОМАТАМИ - способ полу-
получения информации о внутренней структуре автоматов
по их поведению, причем такой информации, к-руш
можно получить из внешних экспериментов (т. е. таких
экспериментов, когда на вход автомата подаются вход-
входные слова, обозревается соответствующая последова-
последовательность выходных слов и на основе этих наблюдений
делаются выводы).
При помощи Э. с я. можно искать подходы к решению
следующих задач.
1) Известно, что автомат находится в одном из со-
состояний, наз. начальным. Требуется определить это
состояние автомата.
2) Построение эксперимента, переводящего автомат
из любого состояния в нек-рое наперед заданное (уста-
(установочная задача).
3) Проверка автомата на исправность. Путем экс-
эксперимента требуется узнать, правильно ли функциони-
функционирует заданный автомат.
4) Диагностика автомата. Требуется узнать не толь-
только то, исправен ли автомат, но также и то, какая имен-
именно неисправность имеет место.
5) Задача распознавания автомага из заданного клас-
класса (расшифровка). Известно, что «черный ящик» совпа
дает с одним из автоматов данного множества. Требует-
Требуется узнать, с каким именно автоматом имеется совпаде-
совпадение.
Пусть 21 есть нек-рый класс инициальных автоматов
со входным алфавитом X и выходным алфавитом Y.
Пусть, далее, X* — совокупность всех слов в алфави-
алфавите .Y, а ? X* и А сЭ1. Под э к с п е р и м е н т ом с ав-
автоматом А понимается множество |а, А\ всех таких
пар вида (х, у), что .ega, a у — слово, в к-рое А перера-
перерабатывает х.
Классификация экспериментов. Обычно рассматрива-
рассматриваются следующие типы экспериментов.
1. Простой безусловный э к спер и-
м с и т ¦ множество [а, А |, где а состоит из единствен-
единственного слова. В процессе экспериментирования на вход
автомата подается единственный элемент а, и резуль-
результате на выходе автомата появляется яок-роо слово из
У*.
2. Простой у с л о и и f,i if э к с и е р м м е н т - ¦
множество |а, А\, где а состоит и;( единственного
слова Х--{Х(\), ¦ • ¦ , Х{г)), причём дли любого/?{1,
2, . . . , х) значения X(/) зависят от |а', А], где
'х' = (А'A), . . . , X (/—1)). Таким образом, в процессе
3. с а. каждая последующая буква входного слона фор-
формируется в зависимости от полученного ранее выход
ного слова.
3. К р а т н ы й б е з у с л о и и ы и :> к с п е р и-
мент — обобщение простого безусловного экспери-
эксперимента на случай, когда множество [а, А\ таково, что а
состоит более чем ич одного слова. Обычно предпола-
предполагается, что в процессе проведения данного эксперимен-
эксперимента либо имеется более чем один экземпляр автомата А,

либо автомат обладает возможностью возврата в на-
начальное состояние.
4. Кратный условный эксперимент—
обобщение простого условного эксперимента на слу-
случай, когда множество [а, А | таково, что а состоит более
чем из одного слова:
При игом различают две возможности: а) для любых
г? {1, 2, ... , s] и у? {1, 2, . . . , т,} значение X/(j)
зависит только от \а', А\, где а' состоит из единствен-
единственного слова (Х((\), . . . , Х|(/—1)); б) для любых ;? {1,
2, ... , s} и /? {1, 2, . . . , т,} значение Х,(/) зависит от
[а", Л], где а" — множество, состоящее из наборов
{(^A), ... , Х,ф, . . . , (*,A), . . . , Xs(fy)}, a
индекс <}• для ?? {1, . . . , ,v} совпадает с т,-, если / —1>
>т,-, и совпадает с у — 1, если У—1<:т,-.
Меры сложности экспериментов. Это нек-рые число-
числовые характеристики, к-рые оценивают степень сложно-
сложности эксперимента. Для кратного эксперимента обычны-
обычными мерами сложности являются: высота экспе-
эксперимента — количество символов наибольшего вход-
входного слова; кратность— количество входных
слов; длина — общее количество символов во всех
входных словах. Мерой сложности иростого экспери-
эксперимента считается его длина (количество символов ис-
использованного входного слова).
Некоторые результаты. Автомат Мура А с г состоя-
состояниями, т входными и р выходными символами наз,
(г, т, р)-автоматом. Справедлива теорема об
отличимости состояний простым
экспериментом: если А есть (г, т, р)-автомат
и все его состояния попарно отличимы, то отличимость
любых двух состояний может быть установлена про-
простым экспериментом длины г—1 и граница г—1 не мо-
может быть понижена (см. [4|).
Задачу определения начального состояния автомата
можно решать с иомощью простого безусловного экс-
эксперимента длины X, где
Зв <А,<3° (Ej. ?,—>¦ 0 прп г—*оо).
Установочную задачу для автомата с г состояниями,
к из к-рых являются допустимыми, всегда можно ре-
решать с помощью простого безусловного эксперимента
длины X, где ?i<:Br—к)(к—1)/2, и эта граница не может
быть улучшена.
Указанные выше оценки, как правило, достигаются
лишь для небольшой доли автоматов. Установлено
(см. [4]), что задачу определения начального состояния
для почти всех (г, т, /;)-автоматов с двумя допустимыми
состояниями решают простым безусловным экспери-
экспериментом длины X, где A.<logm •logJ,r-b4, а установочную
задачу для почти ucex (r, т, /^-автоматов можно ре-
решать с помощью простого безусловного эксперимента
длины X, где Я<5 log^r.
Не существует алгоритма, к-рыи позволил бы рас-
расшифровать инициальные автоматы Мили, дли к-рых
ничего не известно о числе состояний. Однако оказы-
оказывается, что большую часть таких автоматов все-таки
можно расшифровать.
Э. с а. используются и и качество средств контроля
работы автоматов. Разработан единый подход к зада-
задачам контроля автоматов, иозволяющий указать прин-
принципиальные способы их решения. Построен эффектив-
эффективный алгоритм нахождения всех тупиковых кратных экс-
экспериментов для различных автоматов (см. [2]).
Лит.: Г1J М у р Э. Ф., в кн.; Автоматы, пер. о англ., М.,
195U, с. 179--2Н); [2J Я 0 л и и с к и й С. В.. «Тр. Матем. ин-W
ЛЫСССМ», М>7Х т. 133,с. 21K-7:»: L;iJ Трахтснброт Б. А.,
Б а р :t д п и I. И. М., Конечные автоматы. (Поведение и син-
синтез), М., 1970; [4] X и б б а р д Т. Н., «Кибсрнстич. сб.», 1966,
В. 2, с. 7—23. X. А. Мадатяп-

ЭКСПОНЕНТА — то же, что экспоненциальная функ-
функция.
ЭКСПОНЕНТА группы — наименьшее число п
такое, что в данной группе выполняется тождество
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ '—' слабей-
слабейшая топологии на множестве ехр X—2х всех замкну-
замкнутых' подмножеств топологич. пространства X, в к-poii
множества охр А открыты (в ехр X) для открытых А
и '.замкнуты (в ехр X) для замкнутых А ¦ Если Ac: V, то
через охр А обозначается множество всех замкнутых
подмножеств множества А.
Пример. Топология метрич. иространсгва замк-
замкнутых ограниченных подмножеств метрич. пространст-
пространства, наделенное Хаусдорфова метрикой. Общее опреде-
определение: пусть UL, ... , Un — произвольный конечный
набор непустых открытых в X множеств; базу Э. т.
образуют множества вида
>~U'cspX:Fd U
гдр F обозначает точку охр .V, соответствующую данно-
данному замкнутому множеству FdX. Пространство ихр X,
наделенное д. т., наз. ;> к с и о н е н т о и л р о с т-
р а а с т в а X. Если X есть /^-пространство, то ехр X
также ^-пространство. Если X регулярно, то ехр X
хаусдорфово. Если X нормально, то ехр X виолне ре
гулярно. Для Э. т. нормальность эквивалентна ее би-
комиактности. Если пространство X бикомпактно, то
ехр X также бикомпактно. Если X — диадический би-
бикомпакт и вес X не превосходит #х, то ехр X — также
диадический бикомпакт. С другой стороны, экспонента
любого бикомпакта, вес к-рого больше или равен $2,
не является диадическим бикомпактом. Экспонента
континуума Иеаио является абсолютным ретрактом
в классе метрмч. компактов и, следовательно, непре-
непрерывным образом отрезка. Однако экспонента несчетного
веса не является непрерывным образом тихоновского
куба /т. Пусть / : X -*- Y — замкнутое отображение
иространстна Л' на пространство У. Отображении
ехр / : ехр X ->- ехр Y, действующее по правилу
(ехр j)(F)—l (P), наз. экспонентой отобра-
отображения. Если / • X -*¦ Y — непрерывное отображе-
отображение бикомпакта X на бикомпакт У, то оно открыто тог-
тогда и только тогда, когда открыто отображение ехр /.
Функтор ехр X, действующий из категории бикомпак-
бикомпактов и непрерывных отображений в ту же самую катего-
категорию, является ковариантным функтором экспоненци
а.чьного типа, если морфизму ставится экспонента
этого морфизма ехр /.
Лит.: ШКуратовский К., Топология, [пер. с англ.),
т. I- 2, М., 1966—6Й. Б. А. Ефимов.
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, показа
тельная функци я,— функция у=ех; обозна-
обозначается также г/=ехр х. Иногда Э. ф. наз. и функцию
у--^ах~ при любом основании а>0. бсэ-з
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА ФУНКЦИЯ — це
лая функция /(z), удовлетворяющая условию:
|/B)| < Лй°1г|, |г| <оо, А <оо, а<оо.
Если /(z) представить рядом
lim \/\ ak | < оо .
Простейшие примеры '•). т. ф.: есг, sin as, cos |-Ь,

Э. т. ф. имеет интегральное представление
где y(t) — функция, ассоциированная по Борелю с f(z)
(см. Бирелн преобразование), & С — замкнутый контур,
охватывающий всо особенности y(t).
Лит.: [11 Левин Б. П., Распределение кирней целых
функций, М., 1056. А. Ф. Леонтьев.
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ - отобра-
отображение касательного пространства многообразия М
п М, определяемое заданной на М связностью и являю-
являющееся далеко идущим обобщением обычной экспонен-
экспоненциальной функции, рассматриваемой как отображение
прямой в себя.
1) Пусть М — многообразие класса С° с аффинной
связностью, р — век-рая точка из М, Мр — касатель-
касательное пространство к многообразию М в точке р и X —
ненулевой вектор из Мр, t -*¦ yx(t) ~ геодезическая,
проходящая через точку р в направлении вектора X.
Существует такая открытая окрестность 7V0 точки О
в Мр и такая открытая окрестность Nр точки р в М, что
отображение X -> yxW является диффеоморфизмом
<V0 на Nр. Это отображении называется Э. о. в точке р
и обозначается Ехр. Окрестность Nn наз. норм а л ь-
н о й, если: 1) отображение Ехр диффеоморфно отобра-
отображает No на IVр, 2) если X?Nnn 0<Kl, то tX?Nn.
В атом случае N р — нормальная окрестность точки />
в многообразии М. Каждая точка р ? М обладает выпук-
выпуклой нормальной окрестностью Nр точки р: любые две
точки такой окрестности можно соединять в точности
одним геодезич. отрезком, содержащимся в Nр. Если
М — полное риманово многообразие, то Ехр есть сюръ-
ективное отображение Мр на М.
2) Пусть G — группа Ли с единицей ев g — соответст-
соответствующая алгебра Ли, состоящая из касательных векто-
векторов к G в точке е. Для каждого вектора Xgg существует
единственный аналитич. гомоморфизм В группы R в G
такой, что касательный вектор к fl(R) в точке е совпа-
совпадает с X. Отображение .Y ->-ехр X —8A) п на;(. '¦). о.
алгебры g в группу С. Существует такая открытии ок-
окрестность N,, точки 0 в g и такая открытая окрестность
Nе точки е в G, что охр является аналитич. диффеомор-
диффеоморфизмом окрестности IVп на Nе. Пусть Хх, . . . , Хп ~
нек-рый базис алгебры g. Отображение ехр(.г,Х,-|-
. . .+х„Х„) ->- (xi, ... , хп) есть система координат
на Ne, эти координаты наз. каноническими.
К понятию Э. о. для группы Ли G можно подойти и с
другой точки зрения. Существует взаимно однозначное
соответствие между множеством всех аффинных евнз-
ностей на G, инвариантных относительно группы левых
сдвигов, и множеством билинейных функций а : #'/
X g ->• g. Оказывается, что Э. о. ехр алгебры # в груп-
группу G совпадают с отображением Бхр касательного
пространства g к многообразию G в точке е в ато много-
многообразие относительно левоинвариантной аффинной
связности, отвечающей любой кососимметричной били-
билинейной функции а.
Лит.: [1] X е л г а с о fi С, Дифференциальная геометрии
и симметрические пространства, пер. с англ., М., 19В4,
А. С. ФсОсныи.
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — то
Же, что показательное распределение.
ЭКСТРАПОЛИРОВАНИЕ, а к с т р а п о л я ц и я,
функции — продолжение функции за пределы ее обла-
области определения, при к-ром продолженная функция
(как правило, аналитическая) принадлежит заданному
ь-.инссу. Э. функции обычно производится с помощью
формул, в к-pij.v использована информация о доведе-
доведении функция в ни; ром конечном напоре точек (у з л » х
и н т е р п о л я Ц и и), принадлежащих ее области он
ределения.

Понятие интерполирования функций употребляется
в качестве противопоставления понятию Э. функций (в
узком смысле понимания этого термина), когда конст-
конструктивно восстанавливаются (быть может, прибли-
приближенно) значения функций в областях их определений.
Пример. Если заданы значения функции / : [а,
(iI^-Rb узлах xk?\a, b], /с=0. 1, ... , п, то интерпо-
интерполяционный многочлен Лагранжа Ln{x) (см. Лагранжа
интерполяционная формула), будучи определен на всей
числовой оси R, является, в частности, Э. функции /
вне отрезка \а, Ь] в классе многочленов степени не вы-
выше п.
Иногда при Э. функций используется не вся ее об-
область определения, а только ее часть, т. е. фактически
производится У. значений сужения заданной функции
на указанной части. В этом случае экстраполяционные
формулы дают, в частности, значения (вообще говоря,
приближенные) функции в соответствующих точках ее
области определения. Именно таким образом часто по-
поступают при решении практич. задач, когда вне рас-
рассматриваемой части области определения нек-рой функ-
функции отсутствует достаточная информация, необходимая
для вычисления ее значений. л. Д. Кудрявцев.
ЭКСТРЕМАЛЕЙ ПОЛЕ — область (ге+1)-мерного
пространства переменных х, уу, . . . , у„, покрытая без
пересечений n-параметрич. семейством экстремалей
функционала
J =<\\BA)F(-X' Уь •••' У"< У'г •¦" y'Jdx' f1)
где А и В — начальные и конечные точки, через к-рые
проходят экстремали семейства.
Различают случаи собственного (или общего) и цент
рального I). п. С о б с т в е н н о е Э. п. соответствует
случаю, когда экстремали семейства трансверсальны
нек-рой поверхности
ф (х, у\, . .., Уп) = <>, B)
г. р. на згпн поверхности выполняются условия транс
вереальноетп
г-У" , .-/,>„: V V
Т. о., для собственного 'J. п. точка А (или В) в A) при
надлежит поверхности B) и в ней выполняются усло-
условия C).
Центрально о '•). п. соответствует случаю, ког-
когда экстремали семейства исходят ин одной точки, на
ходящейся вне поля, напр. из общей начальной точ-
точки А .
II а к л о и о м 0. и. наз. вектор-функцию и (.с, у) —
^(«i(r, у), . . ., (/„ (j-, //)), относящую каждой точке!
(х, у) = (х, ;/!, . . ., ;/„) поля вектор ;/(¦<•) = (у[{х),
¦ ¦ ., Уп(х))-
Для задач с подвижными концами, когда //(./•) есть
экстремаль, дифференциал интеграла A) имеет вид
где дифференциалы <1.с и rly вычисляются вдоль линий
смещения подвижных концов А (.г,, у (.<¦,)) и В (х2, y(xt)),
я у' - угловой коэффициент касательной к экстремали
у (а-).
Выражение в квадратных скобках в D) можно запи-
записать в виде
-Hdx+Jfi^pidyi, E)
где
Я= -F (г, у, и (г, ;/))+ У" ,ч (г, у) Гп- (.г, (/, и(х, у)),
Pi ¦= У„' (¦'•"• //¦ " (¦'¦- .'/))•

В Э. п. выражение E) является полным дифференци-
дифференциалом нек-poii функции от х, у1, . . . , уп, поскольку
имеют место равенства
9.V,- вх ' аук~ е-/.' '' К~1' ¦¦¦' п-
Эта функция с точностью до постоянного слагаемого
есть криволинейный интеграл
[ —Н{х, у, p)dx + ^n pidyt, (tj)
он паз. инвариантным интегралом
Гильберта. В F) через С обозначена произволь-
произвольная кривая ;/(.г), лежащая в Э. if. и соединяющая точки
А та В. Термин «инвариантный» подчеркивает тот факт,
что интеграл F) не зависит от выбора кривой С, а опре-
определяется только заданными граничными точками.
Интеграл Гильберта F) можно записать в эквивалент-
эквивалентном виде
Jr [> (х, у, и) -2"= ! UiFy-t (х, у, и (х, у))] йх +
= S
^1
Если и качестие кривой сравнения С взять экстре-
экстремаль Е, то '~ =!(,-. и для интеграла Гильберта G)
получается выражение
^_F (x,y,u(x, y))dx, (8)
чю совпадает с геодозич. расстоянием мо;кду точками
Л и В, определяемым как значение функционала A)
на укстремали, соединяюще!! точки .4 и В.
Указанное свойство Э. п. и инвариантного интеграла
Гильберта лежит в основе теории достаточных условии
экстремума, развитой К. Войерштраееом (К. Weier-
sli-as,1-). Оно позволяет при исследовании на знак цри-
ращешш функционала
M~.J(C)-J(E) (9)
выразить значение функционала J (Е), взятого вдоль
экстремали (в предположении, что она окружена 3. п.)
черел инвариантный интеграл Гильберта по кривой
сравнения С, соединяющей те же точки. Тем самым
приращение функционала @) представляется в виде
криволинейного интеграла и о кривой сравнения С:
AJ =\ {['(х, у, y')-F(x, if, и)-
= [ 8 [л, у. и, у') dx. A0)
*j С
Иодинтегральная функция t'{x, у, и, ;/') в A0) яаз.
^-функцией Вейерштрасса. Неотрицательность (непо-
(неположительность) этой функции в любой точке г), и. при
произвольных конечных значениях //' достаточна дли
того, чтобы экстремаль Е доставляла сильный минимум
(максимум) функционалу A) на множестве всех кривых
сравнения, соединяющих точки А и В.
Лит.: [1] В л и с с Г. А., Лекции но вариационному исчнг-
лению, пер. с англ., М., 11M0; [2J Лаврентьев М. А.,
Л ю с т е р и и к Л. А., Курс вариационного исчислении,
2 изд., М. Л., ID.'iO; [Ml Лхиезср Н. II., Лекции по ва-
вариационному исчислению, М., 1У5л, II. В. Вапнярсьий.
.'ЖСТРЕМАЛЕЙ СЕМЕЙСТВО - совокупность ре-
решений Э(ин'ра уравнении, заьиеящая от /i произвольных
постоянных, заполняющая бел взаимных пересечений
нек-рую часть (п [-1)-мерного пространства. Здесь п —

число неизвестных функций у,-(х), i=l, . . . , п, от
к-рых зависит минимизируемый функционал
F (*, у\, • •., »», yj, ..., y'n)dx,
а уравнение Эйлера понимается в векторном смысле,
то есть цредставляет собой систему н обыкновенных
дифференциальных уравнений 2-го порядка
Ниже приводятся два способа построения Э. с.
Пусть рассматривается пучок экстремалей, выходя-
выходящих из ладанной точки М0(х0, у,,) в (n-f 1 )-мерном прост-
пространстве. Если экстремали пучка взаимно не пересе-
пересекаются в нек-рой окрестности точки Мо (кроме точки
М„), то они в этой окрестности образуют семейство экс-
экстремалей (центральное Э. с).
Другой способ построения экстремалей состоит в по-
построении множества экстремалей, грансвереальных
к поверхности So, заданной в (га-|-1)-мерном простран-
пространстве уравнением
Если в каждой точке этой поверхности условия транс-
трансверсальности
f1-^]i_j v[ f , F , f ,
Vi Un
представляющие совокупность п условии, определяют
значения п производных у\. и —1, ... , п, то, принимая
эти значения за начальные значения производных,
можно через точку поверхности So провести экстре-
экстремаль, к-рая пересекается с поверхностью Sa транс-
ворсально. Если в окрестности этой поверхности ука-
указанные экстремали взаимно не пересекаются, то они
образуют Э. с. (обще е, или собственное
Э. с).
Построение Э. с. является исходным пунктом при
рассмотрении вопросов, связанных с построением поля
экстремалей. Э. с. является полем экстремалей, если
существует семейство поверхностей, зависящих от од
ного параметра и пересекающихся трансверсально с эк-
экстремалями семейства.
Лит.: И] Смирнов В. И., Курс ныешей математики,
It и:зд., т. k, М., 1957. И. И. Яапнярский.
ЭКСТРЕМАЛЬ - гладкое, решение Эйлера уравне-
уравнения, являющегося необходимым условием экстремума
в задаче вариационного исчисления.
В случае простейшей задачи вариационного исчисле-
исчисления, в к-рой требуется найти акстромум функционала
1 1Х5 У1 У ) MtC v1/
среди всех кривых y(s), удовлетворяющих граничным
условиям
уравнение Эйлера имеет вид
т. р. представляет собой обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение 2-го порядка, к-рое в развернутом виде
можно записать следующим образом
f''u'u>y" + 'fyyy' + l''y'x—Fy = O. C)
Если экстремум в задаче A), B) достигается на гладко)!
кривой у(х), ,с1<:^<а-2, то ц(х) является О., т. е. реше-
решением уравнения Эйлера C) с начальным условием

При Fi/'ii-фО, rt<^<j-a, уравнение Эйлера имеет
только гладкие решения (если /<'(.<:, у. у') дважды не-
непрерывно дифференцируемая функция). Если же Fyy
может обращаться в нуль, то среди решений уравнения
Эйлера могут быть и кусочно гладкие кривые. Пусть
кусочно гладкая кривая ;/(х), а-л<:.г<:т2, доставляет экс-
экстремум в задаче A), B). Тогда всяким ое гладкий участок
является Э., а в угловых точках (с, у (с)) должны вы-
выполняться необходимые условия Вейерштрасса — Эрд-
Эрдмана
^ V \у lf-0) --= '' У \у (с+0) ,
(/•'--</'/•> |.v (с-о)) = ('•' — y'Fy) if/' F + 0) •
Кусочно гладкий кривая, состоящая из кусков экстре-
малей и удовлетворяющая в угловых точках условиям
Вейерштрасса — Эрдмана, наз. ломаной Э. Если
экстремум в задаче A), B) достигается на кусочно глад-
гладкой кривой, то эта кривая есть ломаная Э. Впрочем,
часто для краткости термин «ломаная» опускают и го-
говорят об Э. функционала A), имея в виду ломаную Э.
В случае функционала J {у), зависящего от несколь-
нескольких функций, т. и. когда у в A) есть га-мерный вектор
//=(!/], .... г/„), уравнение Эйлора представляет собой
спетому // обыкновенных дифференциальных уравнений
2-vu порядка
и определение 0. (ломаном Э.) дается аналогичным
образом.
В более общем случае -задачи на условный экстремум
(см. И ^периметрическая задача, Польца задача, Ла-
грачжа задача, Мапера задача) Э. определяется с по-
мощыо правила множителей.
Пуст)., напр., кусочно гладкий кривая ;/(.') — (f/i(x),
• • • > ;///(¦'¦)) доставляет экстремум в задаче Лагранжа
J (у)=[Хг l(x,<i,i,')dx, \
*! | (О)
Ф|):Г^хК»ХК" -,Ri, f l '
A- = l, ..., p<2n + i. G)
Тогда, согласно иравилу множителей, существует та-
такая постоянная ~К„ (вообще говоря, отличная от нуля) и
такие множители ^,(j). i = t, ¦ • . , in, что вектор-функ-
вектор-функция 1/(х) является обычно!'! (безусловной) Э. для функ-
функционала
'(.'/, *) = [*'F(x, у, у', k)dx, (8)
где
>•' (¦«, .'/, .'/', К) - X0/-i-Xi (x) ч-! -|- ... +Хт(рт.
Система уравнений Эйлера для задачи на безуслов-
безусловный экстремум функционала (8)
включает в себя т уравнений (9), совпадающих с ус-
условиями связи F), а также п дополнительных уравне-
уравнений A0), позволяющих совместно с (У) определить неиз-
неизвестные функции !/j(a), . . . , !/„(,(•), A.j(x), . . . , km(x)
(при заданных начальных условиях).
Гладкое (кусочно гладкое) решение системы уравне-
уравнений Эйлера (9) --A0), написанной для задачи ни безу-
безусловный якстремум функционала (8). наз. .'). (ломаной
Э.) задачи E) (fi) ii;i условным икстрему.ч.

Свойство кривой быть Э. является не единственным
необходимым условием для того, чтобы ата кривая дей-
действительно доставляла экстремум функционалу. Это
объясняется тем, что уравнение Эйлера выводится как
необходимое условие равенства нулю 1-й вариации
функционала, так что остается еще проблема исследо-
исследования на знак 2-й вариации функционала. Дальнейшее
исследование Э. осуществляется с помощью необходи-
необходимых условий Лежандра, Вейерштрасса и Якоби, а также
достаточных условий, основанных на построении но-
ноля Э.
Лит.: [1] Б л и с с Г. А., Лекции но вариационному ис-
исчислению, пер. с англ., М., 1950; [2] Л а в р е н т ь е в М. А.,
,Л ю с т е р н и и Л. А., Курс вариационного исчисления,
2 изд., М.— Л., 1950. - И. В. Вапнярский.
ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ДЛИНА семейства кри-
кривых — понятие, являющееся, наряду с понятием мо-
модуля семейства кривых, общей формой определения
конформных инвариантов и лежащее в основе экстре-
экстремальной метрики метода.
Пусть Г — семейство локально спрямляемых кривых
на римановой поверхности R. Для Г определена про-
проблема модуля, если имеется непустой класс Р
конформно-инвариантных метрик p(z)\dz\, заданных на
R, для к-рых p(z) интегрируема с квадратом в плоско-
плоскости г для каждого локального униформизирующего
параметра z(—x-\-i;/), причем
p*(z)dxd!i и ЛР(Г)_- int С (J(z)|rfz|
i> e г «^
не равны одновременно 0 или оо (каждый из указанных
интегралов понимается как интеграл Лебега). В этом
случае величина
Л/(Г)- inf Лр(Д),[?р(П]'2
ваз. м о д у .чем с о м с п с т в а кривых ]'•
Величина, обратная к Л/(Г), на;), а к с трепал ь~
н (I й длиной семейства кривых Г-
Проблему .модуля дли семейства кривых часто опре~
дел я ют п следующим образом. Пусть PL — такой под"
класс Р, что для (>?/*? и v€ '
Если множество Pi не пусто, то иод м оду л е л
семейства Г понимают величину
Л/(Г)- inf Лр(Д).
Если же Р не пусто, а /'; пусто, то под М (Г) понимают
со. Ниже имеется в виду последнее определение модуля.
Пусть Г — семейство локально спрямляемых кривых
на римановой поверхности R, для к-рого определена
проблема модуля, и М(Г)фсс. Тогда каждая метрика
из Pi является допустимой метрикой
проблемы модуля для семейства Г. Если в l'i
существует метрика p*(z)|tfz|, для к-рой
Л/(Г)= inf At,(R),
то эта метрика на:!, э к с т р d м а л ь и о ii м р г р к-
к о й проблемы модуля для семейства кривых I'.
Основным из свойств модулей является конформная
инвариантность.
Теорема 1. Пусгь римановы поверхности /•' и
R' конформно эквивалентны, / - - однолистное конформ-
конформное отображение поверхности />' па II'. Пусть Г -
семейство локально спрямляемых кривых, адданних на
Н, Г' - (;,"мейство образов кривых семейства Г при
отойражч'нии /. Ilyi'i'i, ;|,|я Г опредолгнн проблема моду-
модули [1 пусть модуль семейства I' равен М (Г). Тогда иро-

блема модуля определена и для семейства Г' и М(Г') —
=М(Г).
Следующая теорема показывает, что если экстре-
экстремальная метрика существует, то она, по существу, един-
единственна.
Теорема 2. Пусть Г — семейство локально
спрямляемых кривых на римановой поверхности R и
для Г определена проблема модуля, и пусть М(Т)Ф<х.
Если pl(z)\dz\ и рг(г)|(/г| — икстремальные метрики для
этой проблемы модуля, то всюду на R, за исключением
разве лишь подмножества R меры нуль, p2(z) — pi(z).
Примеры модулей семейств кривых.
1) Пусть D — прямоугольник со сторонами а и Ь,
и Г (соответственно, Г') — семейство локально спрям-
спрямляемых кривых в D, соединяющих стороны длины а
(соответственно, стороны длины 6). Тогда
М(Т) = а/Ь, М(Т') = Ь/а.
2) Пусть О — круговое кольцо: r<|z|<l. Пусть Г —
класс спрямляемых жордановых кривых в D, разделяю-
разделяющих граничные комионенты D, а Г'— класс локально
спрямляемых кривых в D, соединяющих граничные
компоненты D. Тогда М(Г) — ^ In— ,a М(Т')=
=^2я/1п Иг. В обоих случаях М(Г) и М(Г') — харак-
характеристические конформные инварианты области D.
Поэтому М (Г) на.з. модулем области D для
класса кривых Г, М(Г") — модулем области D для
класса кривых Г'.
Известна следующая связь между модулями семейств
кривых при квазиконформном отображении. Пусть Г —
семейство кривых в нек-рой области D, Г"— образ се-
семейства Г при К— квазиконформном отображении обла-
области D. Тогда для модулей М(Г) и М(Г') семейств Г
и Г' справедливы неравенства:
К~1М (Г) < М (Г') < КМ (Г).
Важным для приложений оказывается обобщение
понятия модуля для нескольких семейств кривых.
Пусть Г], . . . , Г„ -- семейства локально спрямляемых
кривых на римановой поверхности II (как правило,
I'l, . . . , Г„ — соответствующие гомотолич. классы
кривых). Пусть «[, ... , ап — неотрицательные дейст-
действительные числа, не все равные нулю. Пусть Р({Гу},
{ау}) — класс конформно-инвариантных метрик p(z)|dz|
на R, для к-рых pa(z) интегрируема для каждого ло-
локального параметра z=x-\~iy и
р (z) | dz | Ss ау для Yy€ry. / = I- •••> «•
Если множество Р( {Гу}, {«/}) не пусто, то говорят, что
определена проблема модуля 5*({Гу}, {«у}) для се-
семейств кривых {Гу} и чисел {ау}. В итом случае вели-
f«y})= inf , ,
ре /' ({Гу}, {«у» J •'¦"
наз. модуле.м утой проблемы. Если и />({Гу},
существует метрика [>*(z)\dz\, для к-poii
SJ,
го она na:i. :i к с т р о м а ,н i. н о ii метрикой
и р о б л е м ы .м о д у л я !P({Vj}, \rJ.j}).
Модуль, онредиленвый таким образом, также пред-
представляет собой конформный инвариант. Для таких мо-
модулей справедлива теорема единственности, аналогич-
аналогичная теореме 2. Доказано существование экстремальной
метрики проблемы модуля 3* ({Гу }, {rr.j }) при достаточно
общих предположениях. Приведенное выше определе-
определение распространяется на случай семейств кривых

T-i, . . ¦ , Г„, рассматриваемых на поверхности R', по-
получаемой удалением из R конечного числа отмеченных
точек %,..., а^, где семейства Гц . . . , Г&, /с<га,
состоят из замкнутых жордановых кривых, гомотопных
на R' окружностям достаточно малых радиусов с цент-
центрами в соответствующих из отмеченных точек. Такая
экстремально-метрическая проблема в сочетании с по-
понятием приведенного модуля односвязной области D
относительно точки a?D (см. Модуль кольца) связана
с теорией емкости плоских множеств.
Известны и другие обобщения и модификации поня-
понятия модуля семейства кривых (см. [6]—[10]). Понятие
модуля семейства кривых распространено на случай
пространственных кривых и поверхностей. При этом
установлены теоремы единственности и ряд свойств
этих модулей, в частности получен аналог неравенств
A) для Я-квазиконформных отображений в простран-
пространстве (см. [9], [10]).
Лит.: И] A b I f о г в L. V.j Beurling A., «Acta math.»,
1950, v. 83, p. 101—29; [2]Дженкинс Д ж., Однолистные
функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962;
[3] А л ь ф о р с Л., Лекции по квазиконформным отображени-
отображениям, пер. с англ., М., 1969; [4] Jenkins J. A., «Ann. Matli.»,
1957, v. 66, №3, p. 440—53; [5] Кузьмина Г. В.,
Модули семейств кривых и квадратичные дифференциалы, ,: I •,
1980; [6] Hersch J., «Comment, math, helv.», 1955, v. 29,
faso. i, p. 301—37; [7] T а м р а з о в П. М., «Докл. АН УСО1'»,
1966, № 1, с. 51—54; [8] F u к 1 е d e В., «Acta math.», 1957,
v. «8, p. 171—219; [9] Шабат Б. В., «Докл. АН CCCV»,
I960, т. 130, J4» 6, о. 1210—13; НО] Сычев А. В., Модули и
пространственные квазиконформные отображения. Новосиб,,
1983. Г. В. Куньмина.
ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ЗАДАЧА — задача отыскания
экстремумов функций или экстремумов функционалов,
заключающаяся в выборе параметров или функций (уп-
(управления) из условий минимума или максимума целе-
целевой функции или функционала при разного рода (фа-
(фазовых, дифференциальных, интегральных и др.), на-
накладываемых на них. См. также Вариационное исчисле-
исчисление, Математическое программирование, Оптимальное
ц правление.
ЭКСТРЕМАЛЬНО НЕСВЯЗНОЕ ПРОСТРАНСТВО
пространство, в к-ром замыкание каждого открытого
множества является открытым множеством. В регу-
регулярном Э. н. п. не существует сходящихся последова-
последовательностей без повторяющихся членов. Поэтому среди
метрнч. пространств только дискретные экстремально
несвязны. Тем не менее Э. н. и. достаточно широко
распространены: каждое тихоновское пространство
можно представить как образ при совершенном непри-
неприводимом отображении нек-рого экстремально несвяз-
несвязного тихоновского пространства (см. Абсолют топологи-
топологического пространства). Это означает, что экстремальная
несвязность не сохраняется совершенными отображе-
отображениями. Однако, образ Э. н. п. при непрерывном откры-
годе отображении является Э. н. п.
Все регулярные Э. н. п. нульмерны, однако, в отли-
отличие от нульмерности, экстремальная несвязность не на
следуется произвольными подпространствами, даже
замкнутыми. Но всюду плотное подпространство Э. н.
п. всегда само экстремально несвязно. Экстремальная
несвязность плохо сочетается с топологич. однород-
однородностью. В частности, каждый экстремально несвязный
топологически однородный бикомпакт конечен. Тем не
менее существует недискретное Э. н. п., являющееся
тонологич. группой (при континуум-гипотезе — даже
счетной), где каждый бикомпакт, лежащий в них, не-
непременно конечен. Поэтому каждая экстремально не-
несвязная топологич. группа, пространство к-рой являет-
является ^-пространством, дискретна.
Лит.: [11 А р х а п г е л ь с к и й А. В,, 1] и н о м м-
Ii f и В. VI., Основы ofiiueii топологии в задачах и упражнени-
упражнениях, 1\1., 1974. А. В. Архангельский.
ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ МЕТРИКИ МЕТОД один и)
основных методов геометрич. теории функций, тесни
связанный с дифференциальной геометрией и топологи-

ей. В основе Э. м. м. лежат соотношения между длинами
кривых, принадлежащих определенным гомотопич.
классам, и площади заполняемой ими области. При этом
указанные кривые и площади вычисляются в специаль-
специальной метрике, соответствующей особенностям исследуе-
исследуемой экстремальной задачи (об экстремальных задачах
геометрич. теории функций см. Однолистная функция).
Имеются различные формы Э. м. м. Первоначальной
формой этого метода был метод полос Грёт-
ш а. Он представляет собой существенное усовершенст-
усовершенствование рассуждений, связывающих длину и площадь,
оперирующее с характеристич. конформными инвари-
инвариантами двусвязных областей и четырехугольников (см.
Грётша принцип). Используя свой метод полос,
X. Грётш (Н. Grotzsch) получил ряд классич. резуль-
результатов в теории конформных и квазиконформных отобра-
отображений (см., напр., Грётша теоремы).
Существенными моментами в развитии Э. м. м. по-
послужили: введение Л. Альфорсом (L. Ahlfors) и А. Бёр-
лингом (A. Beurling) понятия экстремальной длины
семейства кривых, предложенное Дж. Дженкинсом
(J. Jenkins) обобщение понятия модуля семейства кри-
кривых на случай нескольких семейств кривых и доказа-
доказательство единственности экстремальной метрики про-
проблемы модуля в этом случае.
В 1939—41 О. Тайхмюллер (О. Teichmiiller) высказал
(без доказательства) общий принцип, состоящий в ут-
утверждении, что решения экстремальных задач геомет-
геометрич. теории функций определенным образом связаны
с нек-рыми квадратичными дифференциалами. Одним
из самых значительных результатов в развитии Э. м. м.
явилась «общая теорема о коэффициентах» Дженкинса
(см. Дженкинса теорема и [2]). Эта теорема содержит
в качестве частных приложений почти все известные
элементарные результаты об однолистных функциях и
приводит к решению многих сложных экстремальных
задач (см., напр., Однолистная функция). Результат
о единственности в теореме Дженкинса был усилен и
установлен аналог этой теоремы для квадратичных диф-
дифференциалов без кратных полюсов (см. [3]). Таким пу-
путем было получено решение нек-рых экстремальных
задач для областей с двумя и тремя отмеченными гра-
граничными компонентами с полным анализом множества
всех экстремальных отображений (см. [4], [5]). Реше-
Решение экстремальных задач при помощи «общей теоремы
о коэффициентах» представляет собой одну из форм
Э. м. м., используемую во многих исследованиях.
Широкое распространение получила форма Э. м. м.,
известная под названием метода модулей.
Этот метод основывается на установлении прямой связи
исследуемой экстремальной задачи с нек-рой пробле-
проблемой модуля для одного или нескольких семейств кри-
кривых (см. Экстремальная длина семейства кривых) и
решении этой экстремально-метрической проблемы.
Как правило, экстремальной метрикой указанной про-
проблемы модуля оказывается метрика \Q (z)l*'*|dz|, где
Q(z)dz2 — квадратичный дифференциал, полюсы к-рого
определяются условиями данной задачи. Непосредст-
Непосредственное рассмотрение проблем модуля для семейств кри-
кривых привело к окончательным результатам в ряде во-
вопросов, связанных с задачами об экстремальном раз-
разбиении данной области на семейство односвязных и дву-
двусвязных областей, ассоциированных с определенными
гомотопич. классами кривых. Постановка последних
задач восходит к исследованиям М. А. Лаврентьева и
Г. М. Голузина (см. [5]).
Успешным оказалось сочетание Э. м. м. с вариацион-
вариационными методами и симметризации методом. Так, одно-
одновременное использование метода модулей и внутренних
вариации метода позволило доказать существование
экстремальной метрики проблемы модуля для семейств

кривых при весьма общих предположениях. Сочетание
Э. м. м. и метода симметризации в ряде случаев дает
возможность установить, что в расположении полюсов
ассоциированного квадратичного дифференциала имеет-
имеется соответствующая симметрия, и тем самым свести рас-
рассматриваемую задачу к более простому случаю.
Имеются и другие формы Э. м. м. Одна из них состо-
состоит в решении экстремальных задач как для однолист-
однолистных, так и для неоднолистных отображений (в послед-
последнем случае принцип Тайхмюллера неприменим) при
помощи непосредственного использования выражений
для площадей образов при рассматриваемом отображе-
отображении нек-рых подмножеств данной области, интерпрети-
интерпретируемых как площади исходных множеств в нек-poii но-
новой метрике, через площади самих этих мно?кеетв. Та-
Такая форма Э. м. м. оказалась особенно аффективной
при решении задач о размахе многосвязной области
(см. [7]). Развитием того же подхода служит «специаль-
«специальная теорема о коэффициентах» Дженкинса (см. Джен-
кипса теорема).
В частных случаях эта теорема сводится к утвержде-
утверждению площадей принципа.
Лит.: 11] Г о л у а и н Г. М., Геометрически)! теория функ-
функций комплексного подсменного, 2 изд., М., 1066; [2| Д ж с н-
к и н с Д ж., Однолистные функции и конформные отображения,
пер. с англ., М., 1!)В2: [3] Танразов П. М., «Матем. сб.»,
1967, т. 72, № 1, с. 5!)—71; т. ТА, №. 1, с. 97 — 125; 14] его >и с,
«Ту. Томского гос. ун-та», 11N9, т. 210, в. в, с. 111 — 18; Ы
Кузьмина Г. В., Модули семейств кривых и квадратич-
квадратичные дифференциалы, Л., 1980; La] Jenkins 3. A., «Ann.
Math.», 1957, v. 66, Л» .4, p. 440 — 53; [7] его же, «Illinois J.
Math.», 1Я63, v. 7, Л» 1, p. 104- 17; [8] Там i> азов П, М.,
«Матем. сб.», 1965, т. 66, № 4, с. 502—24; [9] Сычев А. В.,
Модули и пространственные квазиконформные отображения,
Новосиб., 1983; [10] Rodin В. «Bull. Amer. Math. Sue», 1974,
v. 80, N° 4, p. 587 — 600. Г. В. Кузьмина.
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ; численные ме-
методы решения- методы вычислительной мате-
математики, применяемые дли поиска экстремумов (макси-
(максимумов или минимумов) функций и функционалов.
Для численного решения экстремальных задач, рас-
рассматриваемых в бесконечномерных функциональных
пространствах (напр., задач оптимального управления
процессами, описываемыми обыкновенными дифферен-
дифференциальными уравнениями или уравнениями с частными
производными) могут быть использованы после соот-
соответствующего обобщения многие методы математич.
программирования, разработанные для задач миними-
минимизации или максимизации функций конечного числа
переменных. При этом в конкретных задачах весьма
важен правильный выбор подходящего функциональ-
функционального пространства, в к-ром следует ее рассматривать.
При выборе такого пространства обычно учитываются
физич. соображения, свойства допустимых управле-
управлений, свойства решений соответствующих начально-кра-
начально-краевых задач при фиксированном управлении и т. п.
Напр., задачу оптимального управления, заключаю-
заключающуюся в минимизации функционала
У (и)-Г7/»(i(O, "(О, i)di + l'(x(T)) A)
при условиях
i--/(x, «(О, О. 'os?'sS7'; x{io)^xo, (-)
u.= u(t)?V(l), <0<s_/<7\ C)
часто бывает удобно рассматривать в функциональном
пространстве Ь^\1й, Т]. Здесь х—(.с', г"), и—
= (и1, . . . , W), /=(/!, . . . , /»), /'(¦'¦, и, I), /-=(), 1,
. . . , п, F(x) — заданные функции; /„, Т — известные
моменты времени, tu<.T\ x9 — заданная начальная точ-
точка; V(t) ири каждом t^{t0, T\ — заданное множество из
евклидова пространства Er; Lri\t0, T\ — гильбертово
пространство r-мерных вектор-функций и — и{1) -(ul(t),
. . . , ur(t)), /0<г<7', где и' (t) -—функция, ннтегрируе-

мая на \tu, T\ по Лебегу вместе со своим квадратом
(LlUn, Ti — L2[l0, T]), причем скалярное произведение
двух функций u(t), с((), в этом пространстве равно
2
i — 1
(I) v'(t) dt,
норма
При определенной гладкости функций /'(г, u, t), /•"(<•)
приращение функционала A) можно представить в виде
J(u + k)-J(u) = —
где
Н (х, lj), и, t) —
'ОН
~/"(*, «, О, E)
дН (и)
du '
ви
¦ = и (О
-х ((, и)
j =_-ф (t; и)
x—x(t\ ч) — решение задачи B) при «=«(О. i|;=i|)(t; и)
— решение сопряженной задачи
дН
.v=* (/; и)
<1F
дх'
T, i^l, ..., /t, F)
G,
Из формулы D) следует, что функционал A) дифферен-
дифференцируем в пространстве/4 Uo, 7'] и его градиентом яв-
является вентор-функция
Таким образом, для решения задачи A) — C) могут быть
применены различные методы, использующие градиент
функционала. При V(l) — Er адесь можно применить
градиентный метод
дН (uh)
«*fj (')=«*(') + «*—g^-, fc-0, 1, ...
Если V(t) - {» — (»', . . . , ur) : at (t)*zu'^.$i (t), i — l,
. . ., г), где a,¦ (/), P,-(<) - заданные функции из L.z\tn,
T\, то возможно применение метода проекции градиента
, /с_0, 1, ....
где
P(w) -((уМО '"
( а,- (О при i>' @
0={ '"'(О при a,@
V МО ири ЫA)
р,-(/),
-1,
.., г.
Параметр «ft>0 может выбираться из условия / ("t + iX
</(i(fe). Аналогично могут быть расписаны для задачи
A)—-C) методы условного градиента, сопряженных
градиентов и др. (см. [4] —16], [111). Если задача A)--
C) рассматривается при дополнительных ограничениях
x(t- u)?G(t), /n^t^T, (9)
где G(t) - заданное множество из Л'«, то для учета огра-
ограничений (9) может быть использован штрафных функ-
функции метод. Напр., если
i -1, .,., ш, gi(x, 0-0,
.. ., s},

то в качестве штрафной функции можно взять
BГ-1 (max {*,(*(<; и),/);
и задачу A)- C), (9) заменить задачей минимизации
функционала Фк(и)~= J (и)-\-АкР (и) при условиях B),
C), где Ак— штрафной коэффициент, lim Ak~-\-<x>.
к -*¦<*>
Другие методы решения задачи A) — C), (9) основаны
на принципе максимума Понтрягина, на динамич.
программировании (см. Понтрягина принцип максиму-
максимума. Динамические программирование., Вариационное ис-
исчисление; численные методы).
Для решения задачи минимизации квадратичного
функционала на решениях систем линейных обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений или линейных
уравнений с частными производными, может быть при-
применен метод моментов (см. [3], [8]). Ниже описан этот
метод применительно к задаче минимизации функцио-
функционала
J (и)--=\х{Т; и)—у\1„, AA)
где ,c — x(f, и) — решение задачи
х'^А (l)x+ti(t) и @ + /(/), /о<'« Г, x(to)=xB, A1)
упраьления и ~ u(t)?Li \t0, T\ таковы, что
A2)
2
здесь АA), В (t). /(У) —заданные матрицы порядка
«Х«, «Хг, иХ1 соответственно, имеющие кусочно не-
непрерывные элеменгы иа отрезке /„<(< Т; 0 < R <оо,
¦?о> //g А'" — заданные точки; J x Em—<.x,x>Em. <л, уУПт-=
— ^. х'у1—скалярное нроизнедение в Ет. Из прави-
правила множителей Лагранжа следу(н\ что управление
u-u(t) является оптимальным и задаче A0)— A2) тог-
тогда и только тогда, когда существует число у ^ 0 (Лаг-
(Лагранжа множитель для ограничения A2)) такое, что
J'(u)+yu = 0, A3)
\\ui\ -ЛW0, ||м|| <rt; A4)
при /?= оо здесь у—"- Из формул E)—(8) следует, что
градиент J'(u) функционала A0) в L^[tn, T\ имеет вид
J' (u)-=BT(t)q(t; и), *0<<<Г,
где \|)=t|)(i; и) — решение задачи
ip=—AT(t)ty, «o<«< Z', A5)
$(Т)^2(х(Т; и)-у); A6)
.4Г, Вт — матрицы, полученные трансшшированием
матриц .4, В соответственно. Условие A3) тогда примет
вид
УТA)ЦA; u) + Y"(O=O, ?„<<< Г. A7)
Услов1ш (Hi) равносильно соотношениям
fc = l, ..., л, A8)
где
Рк решение системы A5) при условии рк(Т) —
=ек—@, ... , U, 1,0, ... , 0) — единичный вектор.

Таким образом, для определения оптимального управ
ления и—и (t) в задаче A0) — A2) нужно решить систему
A4), A5), A7), A8) относительно функций u(t), ty{t)
и числа y^O. При R~oo здесь у=0, if>(<)=0 и условие
A8) приведет к проблеме моментов (см. Моментов про-
проблема): найти функцию u—u(t), зная ее моменты
по системе (fk(t)~BT(t)pii(t), А=1, . . . , п.
Система A4), A5), A7), A8) представляет собой
обобщенную проблему моментов для задачи A0) — A2)
при 0<«<оо (см. |3). [8]).
Любое решение ф W системы A5) однозначно предста-
Butio в виде
При любом фиксированном 7^0 существует решение
if>(<; 7), « U; у) системы A5), A7), A8), причем среди всех
решений найдется единственное такое, что и, (Г, у) имеет
вид
"C;v)-S=i'**fl7'(')p*@. и<.кт. B0)
Для определении \)i(<; 7), " ('I 7) нужно подставить вы-
выражения A9), B0) в A7), A8). В результате получится
система линейных алгебраических уравнений относи-
относительно i|),, . . ., ф„. ых, . . ., м„, из к-рой однозначно
определяются величины \\\, . . . , г|;„, а величины ut,
. . ., мн II случае линейной зависимости системы
{BT{t)pk(l), k=i, . ¦ ., п} определяются неоднозначно.
При лрактич. решении задачи A0) — A2) целесообразно
сначала положить 7=0, ty(t)—0 и из A8) определить
и (/; 0) вида B0). Затем следует проверить условие
||» (t; 0)|| ,.</?. Коли ;)то неравенство выполняется, то
''2
а (!.', 0) оптимальное управление задачи A0) — A2),
имеющее минимальную норму среди всех оптимальных
управлений; множество всех оптимальных управлений
it этом случае исчерпывается управлениями вида
u(t)--u(l; О)-Н'('). *(,<<< 7\
где i'{t) принадлежит ортогональному дополнению в
L«\l№, T\ линейной оболочки систем функций
{BT(t)pk(t), к- 1, ..., и},
Й^ 0II* ,</**-II "С; ")И'Г
Ьсли ||« (Г, П|| ,>/i', то и;) A7), A8) при 7>0 определя-
юг решения г|з(<, у), н (t, 7) вида A!1), B0) и находят 7
на уравнения
\\u(l; y)\\L,~R, 7 >0; B1)
функция \\u(t; 7I1 г неременной 7 непрерывна, строго
монотонно убывает при 7>0, lim ||«(<;0|| г—0, поэтому
из B1) однозначно определяется искомое 7=7*- Управ-
Управление u(t; 7*) будет оптимальным для задачи A0) — A2);
при \\u(t; 0|| r>R эта задача других оптимальных
управлений не имеет.
Метод моментов применим также для решения задачи
быстродействия для систем A1) и других линейных си-
систем (см. [3], [8]).
Упомянутые выше методы широко используются и
для численного решения задач оптимального управле-
управления процессами, описываемыми уравнениями с частны-
частными производными.
Численная реализации многих методов решения за-
задач оптимального управления предполагает использо-
использование тех или иных методов приближенного решения

встречающихся начально-краевых задач (см. Краевая
задача; численные методы решения для уравнений с ча-
частными производными), приближенного вычисления
интегралов (см. Интегрирование численное). В резуль-
результате исходная задача оптимального управления заме-
заменяется нек-рым семейством аппроксимирующих задач,
зависящим от нек-рых параметров (напр., от шагов раз-
разностной сетки). Вопросы построения аппроксимирую-
аппроксимирующих задач, исследование сходимости см. в [5].
Широкие классы экстремальных задач являются не-
некорректно поставленными (см. Некорректные .тОачи)
и для их решения нужно использовать регуляризации
методы (см. [5], |13]).
Лит.: [1] А л е к с с с в В. М., Тихомиров В. М.,
Фомин С. В., Оптимальное упраьление, М., 1П79; 12) 15 е й-
к о И. В., Бублик Б. Н., 3 и н ь к о Ji. H., Методы и
алгоритмы решения задач оптимизации, К., 198У; [3] Б у т к о в-
с к и й А. Г., Методы управления системами с распределенными
параметрами, М., 1975; [4] В а с и л ь е в Ф. II., Численные
методы решения экстремальных задач, М., 1980; [5] е г о же,
Методы решения экстремальных аадач, М., 1981; [в] 13 в т у ш е н-
1; о Ю. Г., Методы решения экстремальных задач и их приме-
применение в системах оптимизации, М., 1982; [7] В г о р о в А. И.,
Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процес-
процессами, М., 1978; [8J К р а с о в с к и й Н. Н., Теория управления
движением, М., 1968; [9] Л ионе Ж.-Л., Оптимальное управ-
управление системами, описываемыми уравнениями с частными про-
производными, пер. с франц., М., 1972; [101 И о л я и Б. Т., Вве-
Введение и оптимизацию, М., 198S; [111 Сеа Ж-, Оптимизация.
Теории и алгоритмы, пер. о франц., М., 197,4; |12| (; и р а з с т-
д и н о в Т. К., Оптимизация систем с распределенными пара-
параметрами, М,, 1977; tl-'t] Тихо н о в А. 11., А р с; с и и и В. Я..
Методы решения некорректных ;шдач, 2 и.чд., М., i9TJ; A41
Ф е ц о р <'н к о Р. II., Приближенное решение задач опти-
оптимального управления, М., 1978; Г15] Э к л а и д И., Темам Р.,
Выпуклый анализ и вариационные проблемы, пер. с англ.,
М., 1979. Ф. П. Васильев.
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ —
свойства алгебраических, тригонометрических или об-
обобщенных полиномов, к-рые выделяют их в качестве
решений нек-рых экстремальных задач.
Напр., Чебышева многочлены Trl(x)—cos (га arccos x)—=
~2"~1хп-\-. . . имеют наименьшую норму в пространст-
пространстве 6'([ —1, П) среди всех алгебраич. многочленов степе-
степени п. со старшим коэффициентом, равным 2п~1 (II. Л. Чо-
бышев, 1853) и, таким образом, являются решением
следующей экстремальной задачи
шах | 2" -»л" + а,у*п ~' +¦•¦+«„ | -^ i nf
A'6[-l, I] « = («,, . . ., и„)
Иначе говоря, многочлен '/'„ наименее уклоняется от
нуля в пространстве С ([—1, 1]) среди всех многочленов
степени п со старшим коэффициентом, равным 2"-'.
Экстремальные задачи на пространствах многочленов
в значительной части исследуются в пространствах
Lp(\a, &]), 1<р<оо. При этом наиболее известные ре-
результаты связаны со случаями /) —1, 2 и оо (метрика С).
В частности, в этих метриках решен вопрос о явном
виде многочленов, наименее уклоняющихся от нуля.
В метрике Ll — это многочлены Чебышева 2-го рода,
в метрике L2 — Лежандра многочлены, о метрике С см.
выше. Описано также множество классических ортого-
ортогональных многочленов, являющихся многочленами наи-
наименее уклоняющимися от нуля в пространстве L2 с весом
(Лагсрра многочлены, Эрмита многочлены, Якоб и много-
многочлены, и т. п.).
Е. И. Золотарев A877) рассмотрел вопрос о много-
многочленах вида хп-\-а?"~1-\-а2х"~' -\ . . .-\- ап (с двумя
фиксированными старшими коэффициентами), наиме-
наименее уклоняющихся от нуля в метрике Г. Он нашел од-
нонараметрич. семейство многочленов, решающих эту
задачу, выразив их через iwuinimi'i. функции.
Многочлены Чебышева экстремальны в задаче о не
равенстве для производных, а именно, имеет место сле-
следующее точное Маркова нгратч/енто (где /'„ — много-
многочлен степени <:«):
'., Ur
«г I /* (\) I I1 Р II I ¦¦)

в к-ром равенство достигается на Тп. Неравенство (*)
для &=1 доказал А. А. Марков A889), для остальных
к — В. А. Марков A892). О подобном неравенстве для
тригонометрия, полиномов см. Бернштейна неравен-
неравенство.
Нек-рые экстремальные свойства алгебраических и
тригонометрических полиномов в равномерной метрике
переносится нн чебышевские системы функций (см. |2]).
0 теории экстремальных задач и 0. с. п. см. |6].
Jlurn,: Ill Ч с б ы ш с в II. .11., Поли. сибр. сич.. т. 12—3,
М- .1., HI47— 4Н; [21 Б с р и ш т с й п С. Н., Экстремальные
свойства полиномов и наилучшее приближенно непрерывных
|[|унлций одной веществешшй переменной, ч. 1, Л.—М., 1937;
1:1] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и при-
приближения функций, 2 изд., М., 1954; [4] А х и е з е р Н. И.,
Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1065; 15] В о р о-
повевая Е. В., Метод функционалов и его приложения,
Л., 1903; [ti] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы тео-
теории приближений, М., 197В. В. М. Тихомиров.
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ - свой-
свойства отдельных функций, к-рые выделяют их как ре-
решения нек-рых экстремальных задач. Иольшинство спе-
специальных функций, возникших в математич. анализе
могут быть охарактеризованы нек-рым экстремальным
свойством. Таковы, напр., экстремальные свойства поли-
полиномов: классич. Лагерра многочлены, Лежандра много-
ч.тны, Чебышева многочлены, Эрмита многочлены, Якп-
би многочлены можно охарактеризовать как многочле-
многочлены, наименее уклоняющиеся от нудл в пространстве L,2
с весом. Классич. полиномы являются обычно решения-
решениями разных экстремальных задач, нередко возникающих
в отдаленных областях анализа. Так, напр., многочле-
многочлены Чебышева экстремальны в задаче о неравенстве для
производных многочленов (см. [1], Маркова неравенст-
неравенство). То же можно сказать и о др. специальных функци-
функциях. Многие из них являются собственными функциями
для дифференциальных операторов, т. е. являются ре-
решением нек-рой изоперимегпрической задачи. При этом,
наиболее известные специальные функции так или ина-
иначе связаны с наличием век-рой инвариантном структу-
структуры (см. Гармонический анализ абстрактный), когда они
являются собственными функциями Лапласа — Бельт,-
рами уравнения, инвариантного относительно сдвигов.
Таковы тригонометрич. полиномы, сферич. функции,
цилиндрич. функции и др. (см. |2|). Iбольшинство Э. с. ф.
может быть сформулировано в виде нек-рого точного
неравенства.
С экстремальными задачами теории приближении
связаны Бернштейна неравенство, Бора — Фавара не-
неравенство и др. В частности, неравенство Нора — Фа-
Фавара отражает экстремальное свойство Бернулли много-
многочленов. Э. с. ф. изучаются в теории приближении (см.
И'1, [7J), в теории численного интегрирования (см. |8|).
Сплайны могут быть охарактеризованы различными
экстремальными свойствами (см. 19)). Многие специаль-
специальные сплайны обладают рядом экстремальных свойств,
касающихся аппроксимации и интерполяции классов
функций (см. [7], [8]). Многие Э. с. ф. изучают в ком-
комплексном анализе. В частности, Кебе функция является
жетремальнеш функцией ряда задач теории однолист-
однолистных функций. См. также И.юпериметрическое неравен-
:тво, Вложения теоремы.
.linn.: Lll Г, е |> н ш т о и п (!. II., Окстримсыышс свойства
in. I1IHOMOB и наилучшее приближение непрерывных функций
>Aiioii игщос'пк'нной переменной, ч. I, . I. М., |'.Ш; ТliI H и-
1 с н к и и II. Я., Специальные функции и теория иредегавле-
niii групп, М., !!)()!'>; Г;)) X. а р д и Г. Г., Л и т т л к-
i уд Д. Iе;., II о л и а Г., Неравенств;), пер. с англ., М., ID'nS;
W Г> е л и с и б а X Э., Г> е л л м а и Р., Неравенства, пер,
; англ., М., HHiTi; [5] М 1 1 г i n о v i с 1». S., Analilicku nejeiJ-
lakosli, Beomad, 1970; (til It и р и с ii 'i у к 11. 11., Лкстре-
.lajibin.ic задачи теории прибли/кенпй. М., 1!17(>; 171 ГГ и х о м н-
i о в М. М., Некоторые вопросы чсорми приближений, М.,
H7li; 1я| 11 п i,- о л i, с к и ii С. М., Квадратурные формулы,
1 нмц.. М.. IHT'-i. L'Jl Л ,п б е |) г Д ж., II п л 1. с о н Я., У о л ш
J, ж., Теория сплайнов п его прнложспим, пер. i: англ , М-, I 9~2
В. М. 'J'n.yiiMupoa.

ЭКСТРЕМУМ — значение непрерывной функции, яв-
являющееся максимумом или минимумом (см. Максимума
и минимума точки). Термин «Э.» употребляется также
при изучении наибольших и наименьших значений функ-
функционалов в вариационном исчислении. а. б, Иванов.
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ — число, равное отношению рас-
расстояния от любой точки конического сечения до данной
точки (фокуса) к расстоянию от той же точки до данной
прямой (директрисы). Два конич. сечения, имеющие
равные ',)., подобны между собой. Для эллипса Э. е<1
(для окружности е—0), для гиперболы е>1, для пара-
параболы е=1. Для эллипса и гиперболы Э. можно опреде-
определить как отношение расстояний между фокусами к
Длине большей ОСИ. А. К. Иванов.
ЭКСЦЕССА КОЭФФИЦИЕНТ, а к с ц е с с, — ска
лярная характеристика островершинности графика
плотности вероятности унимодального распределения,
к-рую используют в качестве нек-рой меры отклонения
рассматриваемого распределения от нормального. Э. к.
уг определяется по формуле
где 02 = u4/u| есть 2-й коэффициент Пирсона, jij и \хА —
2-й и 4-й центральные моменты вероятностного распре-
распределения. В терминах семиинвариантов (кумулянтов)
хг п х4 второго и четвертого порядков Э. к. имеет вид
Если V2=°> то говорят, что плотность вероятности рас-
распределения имеет нормальный эксцесс,
ибо для нормального распределения Э. к. 7г—О- В слу-
случае, если Э. к. i>2>0, то говорят, что плотность вероят-
вероятности имеет положительный эксцесс, что,
как правило, соответствует тому, что график плотности
рассматриваемого распределения в окрестности моды
имеет более острую и более высокую вершину, чем
нормальная кривая. В случае, когда 7г<0, говорят
об отрицательном эксцессе плотности,
при этом плотность вероятности имеет в окрестности
моды более низкую и плоскую вершину, чем плотность
нормального закона.
Если Хи Хг, . . ., Хп — независимые случайные ве-
величины, подчиняющиеся одному и тому же непрерыв-
непрерывному вероятностному закону, то статистика
нач. выборочным коэффициентом экс-
эксцесса, где
Выборочный Э. к. 72 используется в качестве точечной
статиетич. оценки Э. к. у2, когда закон распределения
случайной величины Х{ неизвестен. В случае нормаль-
нормальной распределенное™ случайных величин Хи . . ., Хп
выборочный Э. к. y2 асимптотически нормально распре-
распределен при гс—>-оо с параметрами
и
- ._ 24П(П-2)(«-3) 24 Г. 225 Q (±\~\
>2 (л + 1J (п + 3) <л+5)~ п \ 15П + 24 \ п' I \ "
Именно поэтому, если наблюденное значение выбороч-
выборочного Э. к. у.2 существенно отличается от 0, то следует
признать, что распределение случайной величины X,
отлично от нормального, чем и пользуются на практи-
практике при проверке гипотезы Нй : Ya^^ принятие к-рой
равносильно признанию отклонения распределения
случайной величины JST,- от нормального.

Лит.: [1] К е н д а л л М. Д ж., Стьгоарт А:, Теория
распределений, пер. с англ., М., 1966; [2] Крамер Г., Ма-
Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975;
[3] Б о л ь ш е в Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы ма-
математической статистики, 3 изд., М., 1983. М. С. Никулин.
ЭКСЦЕССИВНАЯ ФУНКЦИЯ для марковского про-
процесса — аналог неотрицательной супергармонической
функции.
Пусть в измеримом пространстве (Е, S3) задана одно-
однородная марковская цепь с вероятностями перехода
за один шаг Р(.г, В) (х?Е, В?<й). Измеримая относи-
относительно <® функция / : Е^>-[0, оо] наз. эксцессив-
ной функцией для этой цепи, если
всюду в Е. Для цепи с не более чем счетным множеством
состояний среди Э. ф. есть отличные от констант тогда
и только тогда, когда хоть одно из состояний не-
невозвратно.
При заданном в (А', S3) однородном марковском про-
процессе X = (Xf, ?, JFf, Рх) с переходной функцией P(t,x,
В) онределение У.ф. несколько усложнится. Множе-
Множество В относят к а-алгебре S3, если для любой конеч-
конечной меры \i на S3 найдутся такие множества В^ и В^,
что В^с В а Ври и. (в1\в],) = 0. Функция /: Е —¦»
—>¦ [0, со] наз. эксцессивной функцией, если
она й-измерима и при t ^ 0 удовлетворяет всюду в В
соотношениям
Ptf (х)^[/ (у) P(t,x, dy) < / (х),
и
f(x) = limP*f(x).
s/0
Для части винеровского процесса в нек-рой области
Е d R" (см. Функционал от марковского процесса)
класс Э. ф. совпадает с классом неотрицательных су-
супергармонических в Е функций, пополненным функ-
функцией / (х) = оо.
В случае стандартного процесса X в локально ком-
компактном сепарабельном пространстве Е, для Э. ф.
I (х) всюду в Е выполняется неравенство
где т—марковский момент, Мх—математическое ожи-
ожидание, отвечающее мере Рх, и где положено f(xx)=0
при т5г?. Другое часто используемое свойство Э. ф.
состоит в том, что Рх—почти наверное случайная
функция / (xt) непрерывна справа на интервале [0, ?)
(см. [3]).
Э. ф. / (х) < оо наз. гармонической, если, как
бы ни задавался компакт КаЕ, выполняется f(x) =
= Mxf (хх), где т — момент первого выхода X из К.
Потенциалом наз. любую Э. ф. / (х) < оо, для
к-рой
lim Mxf(x ) = 0
при любом выборе марковских моментов т„, ^,
таких, что tn—>-K, при га-*-оо. Для части винеровского
процесса в области EczR" гармонич. функции и потен-
потенциалы, это, соответственно, неотрицательные в Е
гармонические в классич. смысле функции и потенциа-
лн Грина борелевских мер, сосредоточенных в Е.
Примером потенциала служит потенциал Мху^ ад-
аддитивного функционала YtSsO от X, если Мху^ <оо.
Э. ф. /(ж)<оо является потенциалом аддитивного функ-
функционала в том и только том случае, когда
lim M Kf <х )з=0,
гду г„ — момент 1-го попадания в множество {х : f(x)^

В рамках аксиоматич. теории гармонич. пространств
Врело все неотрицательные супергармонич. функции
являются Э. ф. для нек-рого стандартного процесса.
См. также Мартина граница, Ляпунова стохастиче-
стохастическая функция.
Лит.: [1] X а н т Д ж.-А., Марковские процессы и потен-
потенциалы, пер. с англ., М., 1962; [2] Ширя е и А. Н., Статисти-
Статистический последовательный анализ, 2 изд., М., 1976; [3] Д ы п-
к и и Е. Б., Марковские процессы, М., 1963; [4| О с I <>-
о г R. К., Markov processes: Ray processes and riglit prosesses,
В., 1975; [о] Ж у р М. Г., «Матем. заметки», 1973, т. 13, Л» 4,
с 587 — 96; [6] М е у с г P.-A., «Ann. Inst. Fourier», 19152, I,. 12,
p. 125—230; [7] e г о же, там же, 1963, t. 13, Л» 2, р. 357 -72.
М. Г. Шур.
ЭЛЕМЕНТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ со
вокупность (D, /) области D на плоскости комплексного
переменного С и аналитич. функции /(г), заданной в D
при помощи нек-рого аналитич. аппарата, позволяю-
позволяющего эффективно осуществить аналитич. продолжение
/ (z) во всю ее область существования как полной анали-
аналитической функции. Наиболее простой и чаще всего
применяемой формой Э. а. ф. является круговой
элемент в виде совокупности степенного ряда
и его круга сходимости D— {z?C : \z—а\ <Я} с центром
а (центр э л е м е н т а) и радиусом сходимости
Я>0. Аналитич. продолжении здесь достигается (быть
может, многократным) переразложением ряда A) для
различных центров Ь, \Ь—я|</?, по формулам вида
Любой из элементов (D, /) полной аналитич. функции
определяет ее однозначно и может быть представлен
посредством круговых элементов с центрами a?D.
В случае бесконечно удаленного центра а—со круговой
элемент принимает вид
с областью сходимости D— {z?C : \z\>R}.
В процессе аналитич. продолжения функция /(г)
может оказаться многозначной и могут появиться соот-
соответствующие алгебраическим точкам ветвления т. н.
разветвленные и л о м и н т ы вида
n.j^y* c.z~klv
где v>l, число v—1 наз. порядком р а и в е т-
вленности. Разветвленные элементы обобщают
ионятие Э. а. ф., последние в этой связи наз. также
неразветв ленным и (при v = l) р е г у л я р-
н ы м и (при т^О) элементами.
В качестве простейшего элемента (D, /) аналитич.
функции I (z) многих комплексных переменных г—
= Bц . . ., zn), «>1, можно принять совокупность крат-
кратного степенного ряда
где а — («,, . . ., а„) — центр, \kl=kL-\-. ¦ .тк„, ск~.
=скг..с„п, (с—а)*^(г1—а^*,. . .(г„ —а„)*м, и нек-рого
поликруга
D={z^C4\:j—aj\ < Rj, J - 1, .... я},
в к-ром ряд B) абсолютно смолится. Однако, при и> 1

следует иметь в виду, что поликруг не является точ-
точной областью абсолютной сходимости степенного ряда.
Понятие У. а. ф. весьма близко к понятию ростка
аналитич. функции.
Лит.: 11] М а р и у ш и и и ч А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 1 --2, М., iU07—«8; [2] Владими-
Владимиров В. С, Методы теории функций многих комплексных пере-
переменных, М., 1964. К. Д. Соломенцев.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АВЕЛЕВА ГРУППА абелева
группа, порядки всех неединичных элементов к-рой
равны одному и тому же простом у числу р.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АРИФМЕТИКА — то же Г" что
арифметика формальная.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СИСТЕМА АКСИОМ — система
аксиом, написанная на языке увкого исчисления пре-
предикатов. Системы аксиом арифметики формальной,
теории множеств Цермело — Френкеля (см. Аксиомати-
Аксиоматическая теория множеств), типов теории — примеры
Э. с. а. в. Н. Гришин.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ — совокупность замкну-
замкнутых формул логики предикатов 1-й ступени. Э. т.
Th(K) класса К алгебраических систем сигнатуры
Q наз. совокупность всех замкнутых формул логики
предикатов 1-й ступени сигнатуры Q, истинных на
всех системах из класса К- Если класс К состоит на
одной системы А, то Э. т. класса К наз. Э. т. сие т е-
м ы А. Две алгебраич. системы одной сигнатуры на:],
элементарно эквивалентны м и, если
их Э. т. совпадают. Алгебраич. система А сигнатуры
Q наз. моделью Э. т. Т сигнатуры Q, если все
формулы из Т истинны в А. Э. т. наз. с, о и м е с т-
и о й, если она имеет модели. Совместная Э. т. наз.
полной, если любые две ее модели элементарно
эквивалентны. Класс всех моделей Э. т. Т обозначаете)!
Mod (Г). Э. т. Т наз. разреши м о ii, если мно-
множество формул Tli (Mod (T)) (т.е. совокупность всех
логич. следствий из Т) рекурсивно. Класс К алгебраич.
систем сигнатуры И на:), а к с и о м а т и з и р у о-
м ы м, если существует такая Э. т. Т сигнатуры il,
что К—Mod (У). В этом случае Т наз. совокупно-
с т ь ю аксиом для К- Класс К тогда и только тог-
тогда аксиоматизируем, когда К^= Mod (Th (К)). Напр.,
класс плотно линейно упорядоченных множеств без
наименьшего и наибольшего элементов аксиоматизиру-
аксиоматизируем, его Э. т. разрешима, любые две системы из этого
класса элементарно эквивалентны, значит Э. т. этого
класса полна; кроме того, Э. т. рассматриваемого класса
конечно аксиоматизируема. Класс конечных циклич.
групп не является аксиоматизируемым, однако его
Э. т. разрешима и, значит, рекурсивно аксиоматизи-
аксиоматизируема. Имеются примеры конечно аксиоматизируемых
неразрешимых Э. т. Такими являются Э. т. групп, ко-
колец, полей и др. Однако полная рекурсивно аксиомати-
аксиоматизируемая Э. т. обязательно разрешима. Поэтому для
доказательства разрешимости рекурсивно аксиомати-
аксиоматизируемой Э. т. достаточно заметить, что эта Э. т. полна.
Известен ряд методов доказательства полноты. Э. т.
наз. категоричной в мощности а, если
все ее модели мощности а изоморфны. Э. т., катего-
категоричная в нек-рой бесконечной .мощности и не имеющая
конечных моделей, обязательно полна. Напр.. Э. т.
алгебраически'замкнутых полей фиксированной харак-
характеристики рекурсивно аксиоматизируема и категорич-
категорична в каждой несчетной мощности, а конечных моделей
не имеет, иоэтому эта теория полна и разрешима.
В частности, разрешима Э. т. поля комплексных чисел.
Две формулы той же сигнатуры, что и сигнатура теории
Т, эквивалентны в теории Т, если эти
формулы имеют одинаковые свободные неременные и
для любой модели А теории Т и любого способа
приписывания этим свободным переменным элементов
модели А либо обе формулы одновременно истинны при

этих .значениях неизвестных, либо обе они ложны. Пол-
Полная Э. т. Т конечной или счетной сигнатуры тогда и
только тогда счетно категорична, когда для каждого п
существует конечное число формул с п свободными пе-
переменными г>,, . . ., ь;, такое, что каждая формула соот-
соответствующей сигнатуры со свободными переменными
у,, . . ., vn эквивалентна в Т одной из этих формул.
Полная теория конечной или счетной сигнатуры, кате-
категоричная в одной несчетной мощности, категорична и
во всякой другой несчетной мощности. Система А
сигнатуры И наз. элементарной и о д с и с т е-
м о й системы В той же сигнатуры, если А является
подсистемой системы В и для всякой формулы Ф(У],
. . ., г„) логики предикатов 1-й ступени сигнатура Я
со свободными переменными г,, . . ., г„ и всяких аи
. . ., ап?А из истинности Ф(я!- . . ., а„) в А следует
истинность Ф (at, . . ., а„) в В. Э. т. Т наз. модель-
н о полной, если для любых ее моделей А и В
из того, что А является подсистемой системы В, следу-
следует, что /1 являетсн элементарной подсистемой В. Ока-
Оказывается, что модельно полная теория, имеющая такую
модель, к-рая изоморфно вкладывается во всякую модель
этой теории, является полной. Универсально
эквивалентны м и наз. такие алгебраич. систе-
системы одной сигнатуры, на к-рых истинны одни и то же
предваренные формулы, не содержащие кванторов су-
существования. Модельно полная Э. т., все модели к-рой
универсально эквивалентны, является полной. Исполь-
Используя технику модельной полноты, можно доказать пол-
полноту и разрешимость Э. т. вещественно замкнутых нолей,
в частности поля действительных чисел. Среди других
Э. т., являющихся разрешимыми.— Э. т. сложения
целых и натуральных чисел, 0. т. абелевых групп,
поля р-адических чисел, конечных полей, нолей выче-
вычетов, упорядоченных абелевых групп, булевых алгебр.
Теория неразрешимых Э. т. была наложена А. Тар-
ским (A. Tarski) в 40-е it. 20 в.. хотя неразрешимость
логик» предикатов первой ступени была доказана
А. Чёрчем (A. Cliurcli) еще к 193E. а неразрешимость
арифметики натуральных чисел — Дж. Россером (J.
Kosser) также в 1936. Говорят, что Э. т. Tli (К) класса К
алгебраич. систем одной сигнатуры il н е о т д е л и-
м а, если не существует рекурсивного .множества фор-
формул, содержащего все тождественно истинные замкну-
замкнутые формулы сигнатуры Q и содержащегося u Th(/C).
Н. т. класса К, систем сигнатуры </)>, состоящей
ил одного двуместного предиката, наз. о т н о с и т с-
л ь н о о пред е л и м о и в 0. т. класса Кг систем
сигнатуры fi2, если существуют такие формулы Ф(г„;
м.1( . . ., и?), 4r(b'i» V2> ui' ¦ ¦ •> us) сигнатуры Q2, что
для каждой системы Ал мл Ki можно найти такую систе-
систему А 2 из Кг и такие элементы 6,, . . ., bs в А 2. что мно-
множество Х= {х?А2\Ф (х4, 6], . . ., bs) истинно в А.г)
вместе с предикатом РB), определенным на X так, что
ЯB) (.г, у) истинно тогда и только тогда, когда V(x, ц\
Ьи . . ., bs) истинно в А 2, образует алгебраич. систему,
изоморфную системе At. Это определение естественным
образом распространяется и на теории классов Ki
произвольной сигнатуры. Если неотделимая Э. т. клас-
класса /<j относительно определима в Э. т. класса Кг, то
Э. т. класса К.% тоже неотделима. Это позволяет дока-
доказывать неотделимость Э. т. многих классов алгебраич.
систем. В качестве Т]](Л]) при этом удобно брать Э. т.
всех конечных бинарных предикатов, Э. т. конечных
симметричных предикатов и подобные Э. т. Неотде-
Неотделимые Э. т. неразрешимы. К неразрешимым Э. т. отно-
относятся также Э. т. иоля рациональных чисел, многих
классов колец и полей. Важен результат А. И. Маль-
Мальцева о неразрешимости Э. т. конечных групп.
Лит.: Ш К р ш о н К). JJ., Ы щ\.\ «Уеиохи матсм. паук»
1965, т. 20, в. 'i. с. И7 —11)«; [2] В ]) ш о и К). Л1., П[юоломы
разрешимости и конструктивные модели, М., 1И811.
Ю. Л. Ершов, М. Л. Тайцлиу.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел чисел
теории, изучающий свойства чисел элементарными ме-
методами. Такие методы включают использование свойств
делимости, различных форм аксиомы индукции и ком-
комбинаторные соображения. Иногда понятие элементар-
элементарных методов расширяют на счет привлечения простей-
простейших элементов математич. анализа. Традиционно
неэлементарными считают доказательства, в к-рых
используются мнимые числа.
К Э. т. ч. обычно относят задачи, возникающие в
таких разделах теории чисел, как теория делимости,
теория сравнений, теоретико-числовые функции, неоп-
неопределенные уравнения, разбиения на слагаемые, адди-
аддитивные представления, приближения рациональными чи-
числами, ценные дроби. Нередко решение таких задач
приводит к необходимости выходить за рамки элемен-
элементарных методов. Иногда вслед за отысканием неэлемен-
неэлементарного решения какой-нибудь задачи находят и ее
элементарное решение.
Задачи Э. т. ч. имеют, как правило, многовековую
историю и нередко стоят в истоках современных направ-
направлений теории чисел и алгебры.
Из сохранившихся клинописных таблиц древних ва-
иилиннн можно сделать вывод, что им не были чужды
задачи разложения натуральных чисел на простые
множители. Ki 5 в. до н. з. пифагорейцы построили т. н.
учение о четных и нечетных числах и обосновали пред-
предложение: произведение двух натуральных чисел четно
тогда и только тогда, когда хоти бы один из сомножите-
сомножителей — четное число. Общая теория делимости, по су-
существу, была построена Евклидом. В его «Началах»
C в. до н. э.) вводится алгоритм отыскания наиболь-
наибольшего общего делителя двух целых чисел и на этой основе
намечается обоснованно основной теоремы арифметики
целых чисел: о возможности и единственности разложе-
разложения натурального числа в произведение простых сомно-
сомножителей.
После того как К. Гаусс (С. Gauss) и нач. 19 в. постро-
построил теорию делимости для целых комплексных чисел
стало ясно, что изучение произвольного кольца нужно
начинать с построения теории делимости в нем.
Все свойства целых чисел так или иначе связаны с
пристыли числами. Поэтому вопросы распределения
простых чисел в натуральном ряду издавна интересова-
интересовали ученых. Квклиду принадлежит первое доказательст-
доказательство бееконечиости множества простых чисел. Только в
сер. 19 в. [I. .11. Чебышев сделал следующий шаг в
изучении функции п(х) — числа простых чисел, не
превосходящих х. Ему удалось элементарными средст-
средствами доказать неравенства, из к-рых следовало, что
(МЙШ^ <„(,)< 1,10555...^
для всех достаточно больших х. В действительности,
я (.г) ~ y~-^ , но это удалось установить только в кон. 19 в.
средствами комплексного анализа. Долгое время счи-
считалось, что этот результат не может быть получен эле-
элементарно. Однако Л. Сельберг (A. Selberg, 1949) полу-
получил элементарное доказательство этой теоремы. П. Л.
Чебышеву удалось также доказать, что для п^2 интер-
интервал (га, 2м) содержит хотя бы одно простое число. Уточ-
Уточнение интервала, содержащего хотя бы одно простое
число, требует более глубокого изучения поведения
функции л(х).
В 3 в. до н. э.'был разработан метод Эратосфеиа реше-
решета выделения простых чисел из множества натуральных
чисел. В 1918 В. Врун (V. Brim) показал, что видоизме-
видоизменение этого метода может служить основой для изуче-
изучения множества почти простых чисел. Им была получена
Вруна теорема о простых близнеца X. Вру-
Вруна, решети является частным сдучнем общих решета ме-

тодов, дающих оценки для количества почти простых
чисел, не превосходящих х и принадлежащих последо-
последовательности натуральных чисел {ап}. Методы решета
позволяют получать такие оценки, если известны «хо-
«хорошие» приближения в среднем для количества чисел
ап^:х, принадлежащих прогрессиям, модуль к-рых
растет вместе с х. Среди методов решета, развитых после
работ В. Бруна, особое значение приобрело Сельберга
решето. Наиболее сильные результаты получают соче-
сочетанием методов решета с аналитическими. Метод решета
в сочетании с Ш нирелъманй методом дал возможность
эффективно найти значение к такое, что любое натураль-
натуральное число п^к можно представить суммой не более к
простых чисел.
Два целых числа а и 6 наз. сравнимыми по модулю
^l если они дают одинаковые остатки при делении
на число т. Для этого отношения на множестве целых
чисел К. Гаусс A801) ввел запись a=6(mod то). Эта
форма записи, выявляющая аналогию сравнений с
уравнениями, оказалась удобной и способствовала раз-
развитию сравнений теории.
Многие результаты, полученные до этого П. Ферма
(P. Fermat), Л. Эйлером (L. Euler), Ж. Лагранжем
(J. Lagrange) и др., а также китайская теорема об ос-
остатках, просто формулируются и доказываются на
языке теории сравнений. Один из наиболее интересных
результатов этой теории — квадратичный закон вза-
взаимности.
Древним вавилонянам было известно большое коли-
количество «пифагоровых троек», видимо, им был известрн
какой-то способ, позволяющий находить сколько угодно
целочисленных решений неопределенного уравнения
x2Jry'z=z2. Пифагорейцы пользовались формулами х—
о2—1 а'+1
= —г— , у=а, z= —5— Дпя отыскания таких решении
этого уравнения. Евклид указал метод, позволяющий
последовательно находить целочисленные решения урав-
уравнения х2—2i/2=l (частный случай Пелля уравнения),
В «Арифметике» Диофанта C в. н. у,) заметна попытка
построения теории неопределенных уравнений (см. Дио-
фантовы уравнения). В частности, Диофант при реше-
решении уравнений 2-й степени и нек-рых уравнений выс-
высших степеней систематически пользуется приемом,
к-рый позволяет ему находить и.ч одного рационального
решения данного уравнения др. рациональные решения
того же уравнения. П. Ферма A7 в.) открыл новым
метод — «метод спуска» и решил ряд уравнений таким
методом, но объявленная и.М как решенная Ферма теп
рема великая, оказалась не под силу элементарным
методам.
II. Ферма решил задачу о представлении натуральных
чисел суммой двух квадратов целых чисел. В результа-
результате исследований Ж. Лаграндаа A773) и К. Гаусса A801)
была решена задача о представлении чисел определен-
определенной бинарной квадратичной формой. К. Гаусс построил
общую теорию бинарных квадратичных форм. Решение
задачи о представлении чисел формами более высокой
степени (напр., Вщшнга проблема) и квадратичными
формами с большим числом переменных обычно пылодит
за рамки элементарных методов. Только нек-рые част-
частные случаи таких задач решаются алиментарно. Приме-
Примером может служить теорема Л а г р а н ж а: каж-
каждое натуральное число есть сумма -четырех квадратов
целых чисел. Следует заметить, что и своей «Лрифмети-
ке» Диофант неоднократно пользовался возможностью
представить натуральное число суммой четырех квадра
тон целых чисел.
К Э. т. ч. относит теории! разбиений, основы крон
были заложены Л. Эйлером A751). Одна из основных
задач теории разбиении — изучение функции Р (и) --
чисиа представлений натуральною числа и в виде сум-

мы натуральных слагаемых. В теории разбиений рас-
рассматривают и др. функции подобного типа.
Цепные дроби появились в связи с задачами прибли-
приближенных вычислений (извлечение квадратного корня
из натурального числа, отыскание приближения дей-
действительных чисел обыкновенными дробями с малыми
знаменателями). Цепные дроби находят применение при
решении неопределенных уравнений 1-й и 2-й степени.
Используя аппарат цепных дробей, И. Ламберт (J. Lam-
Lambert, 1766) впервые установил иррациональность чис-
числа п. При решении различных задач о приближении деп-
отвительных чисел рациональными числами в Э. т. ч.
наряду с ценными дробями используют также Дирихле
принцип.
В теории чисел легко назвать большое число элемен-
элементарно формулируемых и нерешенных до сих пор задач.
Напр.: конечно или нет множество четных совершенных
чисел; существует ли хотя бы одно нечетное совершен-
совершенное число; конечно или нет множество простых чисел
Ферма; конечно или бесконечно множество простых
Мерсенна чисел; конечно или нет множество простых
чисел вида ге3-)-1; верно ли, что между квадратами лю-
любых соседних натуральных чисел содержится хотя бы
одно цростое число; ограничено или нет множество не-
неполных частных разложения у 2 в цепную дробь.
Лит.: [1] Венков Б. А., Элементарная теория чисел,
М.— Л., 1037; [2] Виноградов И. М., Основы теории
чисел, 9 изд., М., 1981; t3j Г ель фонд А. О., Лив-
ник Ю. В., Элементарные методы в аналитической теории
чисел, М., 1962; [4] X и н ч и н А. Я., Цепные дроби, 4 изд.,
М., 1978; [5] Г а у с с 1?. Ф., Труды но теории чисел, пер. с
лат,, М., 1950; [6] Д я в е н и о р т Г., Высшая арифметики,
пер. с англ., М., 1965; [7] Т рос т Э., Простые числа, пер. с
нем., М., 1959; [8] Эндрюс Г., Теория разбиений, пер. г,
англ., М., 1982; [9] История математики, т. 1 — 3, М., 1970—71!;
[10] Вилейтнер Г., История математики от Декарта до
середины XIX столетия, пер. с нем., М., 196В; [II] Dick-
son L. E., History of Ше theory of numbers, v. ]—If, N. Y.,
1971; [12] Hardy G. H., Wright E. M., An introduction
to the theory of numbers, 5 ed., Oxf., 1970; li;j] S i и г р i ri s-
k i W., Elementary theory of numbers, Wart/., 1964.
А. А, Бухштаб, В. П. Нечаев.
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ СОБЫТИЕ — исходное понятие
вероятностной модели, В определении вероятностного
пространства (И, Л, Р) непустое множество О наз.
пространством Э. с, а его любая точка ш?й наз. э л е-
м е н т а р н ы м событием. При неформальном
подходе множество Q описывает множество всех исходов
нек рого случайного эксперимента и Э. с. w соответст-
соответствует элементарному исходу: эксперимент заканчивается
одним и только одним элементарным исходом, эти исхо-
исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга.
Существует принципиальная разница между '¦). с. м —
точкой множества Q и событием {ы} -¦- элементом нек-
рого класса множеств <Д. См. Вероятностей, теория,
Вероятностное пространство, Случайное событие.
А . &. 11fioxopoe.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ м а т р и ц ы / (.с)
над кольцом многочленов к\х] — степени унитарных
неприводимых многочленов над полем к, на к-рые раз-
разлагаются инвариантные множители матрицы /<'(х). Две
(тX п)-матрицы над к\х\, имеющие один и тот же ранг,
тогда и только тогда эквивалентны (т. е. получаются
одна из другой с помощью элементарных операций),
когда они обладают одной и той же системой Э. д.
Э л е м е п т а р н ы ми дели т с л я м и (и А. п)-
матрицы Л над полем к паз. О. д. ее характеристик,
матрицы ||.;-А'„ — А\\. Они могуч' быть получены следую-
следующим образом. Пусть Dt(.r) — наибольший общий дели-
делитель миноров порядка L матрицы хЕп—А, 1-</<н и
Д„ = 1. Тогда инвариантными множителями матрицы
\\хЕп—А\\ служат
V, (х)

Множители ii(x), отличные от 1, содержатся в к [х]'\к.
Каждый из них представим в виде
где р,(.г) -- унитарные неприводимые над к многочле-
многочлены, /н/>(», />;\x)^pj(x) при 1ф}. Все полученные таким
способом многочлены вида (р(.т))т и составят систему
Э. д. матрицы Л. Две квадратные матрицы над полем
подобны тогда и только тогда, когда они имеют одну
и ту же систему Э. д. Произведение всех Э, д. матрицы
над полем совпадает с ее характеристич. многочленом,
а наименьшее общее кратное ее Э. д. равно ее мини
мальному многочлену. Любой набор многочленов вида
^¦(х) = (#;(.г))т'1 TRe gi(x) — унитарный неприводимый
над к многочлен, служит системой Э. д. для одного и
только одного класса подобных матриц над к порядка
п, где п — степень произведения многочленов 1;(х).
Если к — поле разложения характеристич. многочле-
многочлена матрицы Л, то Э. д. матрицы А имеют вид (.т—Я)'".
В этом случае число Э. д. равно числу клеток Жордана
жордановом формы матрицы А, а Э. д. (х—Х)т соответ-
соответствует жорданова клетка /т(Я) порядка т (см. ЖорОп-
нчва матрица). Квадратная матрица над полем к по-
подобна диагональной матрице над к тогда и только тог-
тогда, когда каждый ее Э. д. имеет вид х—Я, где Х?к.
Д. Л. Сунрунент).
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ — класс функций,
состоящий из многочленов, показательных функций,
логарифмических функции, тригонометрических функ-
функций и обратных тригонометрических функции, а также
функций, получающихся из перечисленных пышс с
помощью четырех арифметич. действий и суперпозиции
(образование сложной функции), примененных конечное
число раз. Класс Э. ф. наиболее изучен и чаще всего
встречается в приложениях математики. Однако многие
вопросы приводят к рассмотрению функций, не являю-
являющихся Э. ф. (см., напр., Специальные функции). Про-
Производная от Э. ф. также является Э. ф.; неопределен-
неопределенный интеграл от Э. ф. не всегда выражается через
Э. ф. При изучении неэлементарных функций представ-
представляют их через Э. ф. при помощи бесконечных рядов,
произведений и т. д. бсэ-з.
ЭЛЛИПС (действительный)- плоская кри-
кривая, получающаяся в пересечении кругового конуса с
плоскостью, не проходящей через вершину конуса и
пересекающей все его образующие в точках одной его
полости. Э. есть множество точек М плоскости (см.
рис.), для каждой из к-рых сумма расстояний до двух
данных точек F^ и F2 (фокусов) постоянна и равна
2a>F1F2t. Расстояние между фокусами наз. фоку с-
ным расстоянием, его принято обозначать
через 2с. Середина отрезка FiF2 наз. центром Э.
Прямая, на к-poii лежат фокусы Э., наа. п е р в о ii
(или фокально Й) осью. Прямая, проходящая
через центр Э. перпендикулярно к первой оси, наз.
второй о с ь ю Э. Оси Э. являются его осями
симметрии. Точки пересечения Э. с осями симметрии

наз, его в е р ш и н а м и. Б о л ь ш о й ос ь ю Э.
нал. отрезок (а также длина 2а итого отрезка) первой
оси Э., заключенным между вершинами 3. М а л О и
о с i> и) '¦). наз. отрезок (а также длина 26 этого отрез-
отрезка) втором оси Г)., заключенного между вершинами Э.
Число е~с!а<.\ наз. эксцентриситетом Э. Д маме т-
р о м ¦'). наз. любая прямая, проходящая через центр
9.; диаметр может быть определен как прямая, про-
проходящая через середины параллельных хорд. Директ-
]>исий Э., соответствующей данному фокусу F, наз.
прямая d, перпендикулярная первой оси Я. и отстоя-
отстоящая от центра Э. на расстоянии ale. В общем случае
у Э. имеются две директрисы. Э. есть центральная линия
второго порядка, канонич. уравнение к-рой имеет вид
Уравнение касательной к Э. в точке (<г0, у0):
Фокальный параметр Э. (половина длины
хорды, проходящей через фокус перпендикулярно пер-
первой оси Э.) равен Ь-/а. При помощи фокального пара-
параметра можно записать уравнение Э. в виде
р
f l + e cos ф '
где (), ф — полярные координаты, 0«ф<2я.
Rciim я—ft, Э. представляет собой окружность; /\=
^е/<'2=0 — центр окружности, а — ее радиус, #>=0,
директрис нет.
;¦). обладает следующим о и т и ч е с к м м с в о й-
с т в о м: световые лучм, исходящие из одного фокуса,
после зеркального отражения от Э. проходят через дру-
другой фокус.
Линия второго порядка, канонич. уравнение к-рой
имеет вид
— -4-^-— 1
(I О
где а и ft — действительные числа, наз. мнимым эллип-
эллипсом. А. Б. Цепное.
ЭЛЛИПСОИД (действительный) — замкну-
замкнутая центральная поверхность второго порядка (см. рис.).
Канонич. уравнение Э.
имеет вид
Положительные числа а,
ft, с и отрезки соответст-
соответствующей длины наз. и о-
л у о с я м и Э. Сечение
Э. любой плоскостью
представляет собой эл-
эллипс. Если две полуоси
г), равны между собой, то '.). наз. эллипсоидом
вращеви я, сечения .'). вращения плоскостями,
параллельными плоскости равных полуосей, являются
окружностями. При а—Ь=с Я. представляет собой
сферу. Центр симметрии Э. наз. его цен т р о м.
Поверхность второго порядка, канонич. уравнение
к-рой имеет вид
ПаЗ. М Н И М Ы М 3 Л Л И П СОИ Д О М. А. И. Ивтюе.
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНАЯ ГАРМОНИКА — функция
точки на эллипсоиде, появляющаяся при решении урав-
уравнения Лапласа методом разделения переменных в эллип-
эллипсоидальных координатах.

Пусть декартовы координаты (х, у, г) в евклидовом
пространстве R3 связаны с эллипсоидальными коорди-
координатами (?1, ?2, I3) тремя однотипными формулами вида
; = 1, а > Ъ > с > О,
причем а<|]<+оо, 6<?2<я, <:<?,<?>• Полагая ^=^i>
получают координатные поверхности в виде аллипсои-
дов. Гармонич. функция h~h(%, |2, Ъ,3), являющаяся
решением уравнения Лапласа, записывается как линей-
линейная комбинация выражений вида
где сомножители Ej(%j), /=1, 2, 3, суть решения Ламе
уравнения. Выражения вида (*) при |г=^1 и их линей-
линейные комбинации наз. Э. г., или, как их еще называют,
поверхностными Э. г., в отличие от комбина-
комбинаций выражений (*), зависящих от всех трех перемен-
переменных (|х, |2, |3), к-рые иногда наз. пространст-
пространственными Э. г.
Лит.; [1] Тихонов А. Н., Самарский А. А.,
Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [^1
Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики,
пор. с англ., т. 1—2, М., 1958—60. Е. Д. Соламен.цев.
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ, э л л и н-
тические координаты в пространст-
в е,— числа К, ц и v, связанные с декартовыми прямо-
прямоугольными координатами .<¦, ;/
и с формулами
(ц-1 -а2) (у :-«*)
(Л2-а2)
У=-
z- = ¦
(ц-Ь2) (
где — «2<v< — Ь2<р,<—с2<
верхности (см. рис.): эллип-
эллипсоиды (^=const,), однополост-
ные гиперболоиды (u=const)
и двуполостные гиперболои-
гиперболоиды (v=const) с центрами и начале координат. Си-
Система Э. к.— ортогональная. Каждой тройке чисел
X, ц, и v соответствуют 8 точек (по одной в каждом октан-
октанте), симметричных друг другу относительно плоскостей
системы Oxyz.
Коэффициенты Ламе:
fj
/¦ _ ' ¦
а+а') а+
(Я.-М.)
(И + )(М.+
(Я-v)
(Ц-v)
ь») a t
(v-n)
Ь2)(ш
(H-v>
с-')
<¦¦')
(\ч-а2) (vi-h!) (v -г') '
Если в условиях а2>Ь2>г2>0 при определении Э. к.
допускать и равенства, то можно получить вырожден-
вырожденные системы Э. к. д. д. Соколов.
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ геометрия про-
пространства, риманова кривизна к рого в любом двумер-
двумерном направлении постоянна и положительна. '¦). г.-
многомерное обобщение Нимапа геометрии.
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ ноосоСая иолная
алгебраическая кривая рода 1. Теория I). к. является
истоком большей части современной алгебраич. гео-
геометрии. Но исторически теория ;). к. возникла как
часть анализа, как теория эллиптических интегралов
и ал.чттических функций.
II р и м е р ы. Неособая проективная плоская кубпч.
кривая, пересечение ,[яу\ неособых квадрик в трехмгр-

ном проективном пространстве, двулистное накрытие
проективной прямой, разветвленное ровно в четырех
точках, а также одномерное абелево многообразие и
главное однородное пространство над ним являются
Э. к.
Геометрия Э.к. Пусть X — Э. к. над алгебраи-
алгебраически замкнутым полем к. Тогда X бирегулярно изо-
изоморфна плоской кубич. криво/] (см. [1], [9], [13]). Если
char кф2, 3, то в проективной плоскости Р2 существует
аффинная система координат, в к-рой X имеет уравнение
в нормальной форме В е й е р ш т р а с с а
^^x^-i-az-i-b. A)
Кривая X неособа тогда и только тогда, когда много-
многочлен 3?-\-az-\-b не имеет кратных, корном, т. е. дискри-
дискриминант Д= —Da3+276a)=?t0. В Р2 кривая A) имеет
единственную точку на бесконечности, к-рую обозна-
обозначают Ря; Рв — точка перегиба кривой A), а касательная
в /'0 — бесконечно удаленная прямая, j - и н в а р и-
II н т В. к. X
не зависит от выбора системы координат. Равенство
/-инвариантов двух Э. к. равносильно тому, что :>тн
'.). к. онрегулярно изоморфны. Для любого /?к найдет-
найдется Э. к. А' над к с j (А)=/.
Групповая структура на Э.к. Пусть
РВ?Х -- фиксированная точка Э.к. X. Отображение
Р\-+ /' /'0, сопоставляющее точке Р ? X дивизор Р — Ро
на,'), к. А', устанавливает взаимно однозначное соответст-
соответствие между Э. к. X и группой Pic°X классов дивизоров сте-
степени 0 на А', т. е. Пикара многообразием кривой А'. Это
соответствие переносит на А" структуру коммутативной
группы, к-рая согласована со структурой алгебраич.
многообразия и превращает А' в одномерное абелево
многообразие (X, Ро); точка Ро при этом является нулем
группы. Введенная групповая структура допускает
следующее геометрич. описание. Пусть XciP2 — плос-
плоская кубич. кривая. Тогда сумма точек Р тл Q определя-
определяется правилом P-',-Q=PBo (PoQ), где PoQ — третья
точка пересечения кривой X с прямот!, проходящей
через точки /' и Q. Иначе говоря, сумма трех точек
на X равна нулю тогда и только тогда, когда они лежат
па одной прямой.
Э.к. как одномерное абелево мно-
многообразие. Пусть г>х обозначает эндоморфизм
умножения на ng2 в (X, /'0). Если (У, Qo) -— Э. к.
с отмеченной точкой Qa, то любое рациональное отобра-
отображение / : X-+Y имеет вид f(P)--h(P)-\-Q1, где (>,=
=¦¦((?«)€?, a h : (X, P0)-*-(Y, <?„) — гомоморфизм абе-
левых многообразий. При этом гомоморфизм А является
либо постоянным отображением в точку Qo, либо изо-
гением, т. о, существует гомоморфизм абелевых многооб-
многообразий g : (Y, Q0)-+(X, Ро) такой, что gh—nx, hg—ny
для иек-рого и (см. [1], |(>]).
Группа автоморфизмов Э. к. X действует транзитивно
на А. а ее подгруппа G—Ап1,(А', Яо) автоморфизмов,
оставляющих на месте точку Ро, нетривиальна и конеч-
конечна. Пусть char k отлична от 2 и 3. Если /(А') не равно О
или 1728, то группа С состоит из двух элементов \\
и ( 1)^-. Порядок С равен \ при /(А7) =--1728 и II при
1(Х)-Л) (гм. |1], 10], |131).
Важным инвариантом Э. к. является кольцо эндомор-
эндоморфизмов R—=Епа(А"\ Ро) абелева многообразия (А", Ро).
Отображение п \—> пх определяет вложение 7L CZR. Если
R ф Z, то говорят, что X— Э. к. с к о м и л е кс н ы м
умно ж е н и е м. Кольцо R может быть одного из сле-
следующих типов (см. [1], [9], [13]): I. R—%. II. R= % -f-
-\-fQaQ. Здесь Q — кольцо целых алгебрапч. чисел мни-
мнимого квадратичного поля А", /?М. III. R — некомму-
некоммутативная Z-алгебра ранга 4 без делителей нуля. В этом

случае p = cbark чОи Я—-порядок в алгебре кватер-
кватернионов над '0, разнетвленной только в /> и со. Такпе
.'). к. существуют для всех /; и нац. с у п е р с и н г у-
лирными; нееуперсиягулярные Э. к. в характерис-
характеристике рназ. обыкновенными Э.к.
Группа Хп---Кегпх точек Э.к. X, порядок к-рых
делит п. имеет следующую структуру: Хн х(Ж!п'ЕJ,
если (п. char k) = i. При />— char fe ~> О для обыкновен-
обыкновенных '.). к. Xр,п v X 'pmZ, а для суперсингулярных '.). к.
Xрт « {0}. Для простого I ф char Л: Тейта модуль Tt(X)
изоморфен I'f,
Э. к. над незамкнутыми пол и ми. Пусть
X — Э. к. над произвольным полем к. Если множество
/r-рациональных точек X (к) кривой X непусто, то X
бирегулярно изоморфна плоской кубич. кривой A)
с а, Ь?к (char кф2, 3). Бесконечно удаленная точка
Ра кривой A) определена над к. Как и выше, можно
определить групповую структуру на кривой A), пре-
превращающую X в одномерное абелево многообразие над
к, а множество X (к) в коммутативную группу с нулем
1>0. Если к конечно порождено над своим простым под-
полем, то X (к) — группа с конечным числом образую-
образующих (теорема Морделла — В е и л я).
Для любо» Э. к. X определено Якоби многообразие
J(X), являющееся одномерным абелевым многообрази-
многообразием над к '-). к. X является главным однородным прост-
пространством над J (X). Если множество X (к) непусто, то
выбор точки Р0?Х(к) задает изоморфизм Х=ь=./(Х),
при к-ром точка Ро переходит в нуль группы J (X).
И общем случае Э. к. X и У (X) изоморфны над коночным
расширением поля к (см. [1], [4], I13J).
Э.к. над полем комплексных ч и с е л.
Э. к. X над С является компактной римановои поверх-
поверхностью роди 1 и обратно. Групповая структура пре-
превращает X в комплексную группу Ли, являющуюся
одномерным комплексным тором С/Л, где Л—решетка
в комплексной плоскости С. Обратно, любой одномер-
одномерный комплексный тор является 0. к. (см. [3|). С топо-
логич. точки зрения Э. к.— двумерный тор.
Теория .'). к. над полем С, по существу, эквивалентна
теории :)ллиптич. функции. Отождествление тора С'А
с Э. к. осуществляется следующим образом. Эллиптин.
функции с данной решеткой периодов А образуют поло,
порожденное ^-функцией Вейерттрасса (см. Вепер-
штрасса эллиптические функции) и ее производной
Щ>' (с), к рые снязаны соотношением
Отображение С —»• Р- (Zi-»A: <@ (Z): $'(Z))) индуци-
индуцирует изоморфизм тора С/А и У. к. X с Р" с уравнени-
уравнением y2 = 4.rf— <><,т—g3. Отождествление ',). к. А', .чад.'шной
уравнением A), с тором С Л осуществляется с помощью
криволинейных интегралов от голоморфной формы (О =
= '•— н приводит к совпадению -ГК к. X с ее многооб-
многообразием ЯкоОп ./ (.V).
Описание множестпа псех Э. к. как торов С/А приво-
приводит к модулярной фу нации J (т). Две решетки Л и Л'
определяют изоморфные торы тогда и только тогда,
когда они подобны, т. е. одна получается из другой
умноженном на комплексное число. Поэтому можно
считать, чю решетка А порождена числами I и т ни
//—-{т?С|1тт>0J. Две решетки с базисами 1, т и 1,
т' подобны тогда п только тогда, когда т'— у(т) для
нек-рого элемента у лтоулярной группы Г. Модулярная
функция
наз. также абсолютным инвариантом;
7(т)=-/(т') тогда и только тогда, когда т'=7(т) Для

нек-рого у?Г и функция / : Я/Г-^С осуществляет вза-
взаимно однозначное соответствие между классами изо-
изоморфных Э. к. над С и комплексными числами. Если
Х=С/Л, то /(Х)= 1728 /(т).
Э. к. X есть Э. к. с комплексным умножением тогда
и только тогда, когда т — мнимая квадратическая ир-
иррациональность. В этом случае R — подкольцо конеч-
конечного индекса в кольце целых алгебраич. чисел мнимого
квадратичного ноля <Q(t). Э. к. с комплексным умноже-
умножением тесно связаны с полей классов теорией для мнимых
квадратичных полей (см. [4], [8]),
Арифметика Э. к. Пусть X — Э. к. над ко-
конечным полем к из q элементов. Множество X (к) всегда
непусто и конечно. Тем самым X снабжается структу-
структурой одномерного абелева многообразия над к, а X (к) —
структурой конечной коммутативной группы. Порядок
А группы X (к) удовлетворяет неравенству |(</+1)—
—А | <:2jAqr. Многочлен f2—(<Н~1—A)t-\-q есть характе-
ристич. многочлен Фробениуса эндоморфизма, действую-
действующего на модуле Тейта Tt(X), 1ФсЪах к. Его корни
а, а -- комплексно сопряженные целые алгебраич.
числа, по модулю равные У q. Для любого конечного
расширения кп поля к степени п порядок группы X (кп)
равен <7n-,Ll —(а"-[-а"). Длета-функция П. к. X равна
Для любого целого алгебраического а, лежащего в
нек-ром мпимом квадратичном поле (пли в Q) и по мо-
модулю равного Уq, найдется такая Э. к. Л" над к, что
порядок группы X (к) равен (/+1— (а—а).
Пусть к — поле р-адических чисел Qp пли его конеч-
конечное алгебрапч. расширение, В — кольцо целых поля к.
А" — Э. к. над A- Ti пусть множество X (к) непусто. Груп-
Групповая структура превращает А* (к) в коммутативную
компактную одномерную Ли р-адическцю группу. Груп-
Группа X (к) двойственна по Понтрягину к Вейля — Шатле
группе WC(k, X). Если j(X) (?В, то А' — кривая Тейта
(см. |1], |Г>|) и существует канонич. униформизация
группы У (к), аналогичная случаю поля С.
Пусть X - - Г), к. над Q и множество X (Q) непусто.
Тогда X бирсгулярно изоморфна кривой A) с a, ft?/Z-
Из всех кривых вида A) с целыми а и Ь. изоморфных Л',
выбирается такая, для к-рой абсолютная величина
дискриминанта Л минимальна. Кондуктор TV u L-
функция L(X, .ч) '¦). к. X определяются как формальные
произведения локальных множителей
N = ufp,
L(X, „) = ПЬр(Х, s) B)
по всем простым р (см. [1], [5], [13]). Здесь /^ — нек-рая
степень /), Lp(X, а) - мероморфная функция комп-
комплексного переменного s, не имеющая ни нуля, ни
полюса при .ч=1. Чтобы определить локальные множи-
множители, рассматривается редукция кривой X по модулю
/< (Ф2,Я) - плоская проективная кривая Xр над полем
вычетов '1,1 (р), заданная в аффинной системе координат
уравнением
;/- = .г1 -\~ax-\b(a = a mod р, Ь - b mod p).
Пусть Ар-*- число 2/(/))-точек на Xр. Если р не делит
Д, то Хр '¦). iv. над %1(р) и полагают
fp=i, Lp(X, S) = i/[l- (p + i-Ap) p-* + pl-*4
Если р делит Д, то многочлен ,г3+«'"+^ имеет кратлыд.
корень и полагают
Lp(X, *) = 1/[1-(/>-г1-Л,,)/>-*], fp = p* илир
(в зависимости от того, является этот корень трехкрат-
трехкратным или нот). Произведение B) сходится в правой полу-

плоскости Re s> -у . Предполагается, что L (X, s) меро-
морфно продолжартсн на всю комплексную плоскость
и что функция
|Х (*)=-#"• BЯ)-1 Г (*) А (X, s)
(Г(ь-) -гамма-функция) удовлетворяет функциональному
уравнению ?x(s)== W?xB-s) с W-:±l (см. [5J, [13]).
Эта гипотеза доказана для Э. к. с комплексным умно-
умножением.
Группа X (Q) изоморфна F ф X (Q)t, где X (Q)t—ко-
(Q)t—конечная абелева группа, a F—свободная абелева груп-
группа нек-рого конечного ранга г. Группа X (Q)t изоморф-
изоморфна одной из следующих 15 групп (см. [11]): ZMZ,
1<т<10 илиш —12hZ/2ZXZ/2vZ, 1<v<4. Чис-
Число г наз. рангом 0. к. над Q, или Q-p а н г о м. Из-
Известны примеры Э. к. над Q ранга 5=12. Имеется
предположение (см. [1], [13]), что над Q существуют
Э. к. сколь угодно большого ранга.
Для изучения группы X (Q) используется высота
Тейта h: X (Q)—>- IR +, являющаяся неотрицательно оп-
определенной квадратичной формой на X (Q) (см. [1],
[3], [8], а также Высота в диофантовой геометрии). Для
любого eg R+ множество {Р?Х (<Q) | /i (P) <с} конеч-
конечно. В частности, А обращается в 0 в точности на под-
подгруппе кручения X (Q)f.
Важным инвариантом Э. к. X является ее группа
Тейта — Шафаревича Ш(Х) (см. Вей ля —Шат.ле груп-
группа). Нетривиальные элементы группы Ш(А') Э. к.,
не имеющие Q-точек,— доставляют примеры Э. к., для
к-рых не выполнен Хассе принцип. Группа 1L1 (X) перио-
периодична и для любого п подгруппа ее элементов, порядки
к-рых делят п, конечна. Для большого числа Э. к.
проверена конечность 2- и 3-компонент группы ГО (см.
II]. [4], [5]). Имеется гипотеза, что и группа Ш конечна.
Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера (см. [5], [13])
утверждает, что порядок нуля Л-функции L(X, s)
при s=l равен Q-рангу Э. к. X. В частности, L(X, s)
имеет нуль при s—1 тогда и только тогда, когда группа
X (<Q) бесконечна. Гипотеза не доказана ни для одной
Э. к. A984), хотя для Э. к. с комплексным умножением
(и /—1) установлено, что бесконечность X {€>) влечет
за собой наличие нуля у L-функции при s— 1 (см. [14]).
Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера дает главный
член асимптотики L-функции при s-*-l, в к-рый входят
порядки групп Ш(Х) и X(Q)t, определитель высоты
Тейта [1]. Эта гипотеза допускает переформулировку
в терминах Тамагавы чисел (см. [7]).
Предполагается (гипотеза В е й л я), что су-
существует униформизация Э. к. X модулярными функ-
функциями относительно конгруэнц-подгруппы Го (АО моду-
модулярной группы Г (см. |5], а также Дзета-функция в
алгебраич. геометрии). Эта гипотеза доказана для Э. к.
с комплексным умножением. Известно (см. [15]), что
всякая алгебраич. кривая над Q униформизуется моду-
модулярными функциями относительно нек-рой подгруппы
конечного индекса группы Г.
Лит.: [1J К а с с е л с Дж., «Математика», 1008, т. 12,
№ 1, с. 113—60; М» 2, с. 1—48; [2] Г у р в и ц А., Курант Р.,
Теория функций, пер. с нем., М., 1908; [3] Мам форд Д.,
Абелевы многообразия, пер. с англ., М., 1971; [4] Алгебраиче-
Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1!1(!9, гл. 12, L3; [5] М а-
н и н Ю. И., «Успехи матем. наук», 1971, т. 2В, в. (i, с. 7—71;
[6] X а р т с х о в и Р., Алгебраическая геометрия, пер. с
англ., М., 1981; [7] В loch S., «Invent, math.», 1981), v. 58,
p. 65—7fi; [8] Lang S., Elliptic curves: diophantine analysis,
В.— [a. o.], 1978; [9] его ж е, Elliptic functions, Reading
(Mass.), 1973; [10] M a z u г В., «Invent, math.», 1978, v. 44,
p. 129—62; [11] Modular functions of one variable, v. 4, B. —
[a o.] 1975; [12] Mestre ,1. F., «С. г. Acad. sci.», 1982,
t. 295, ser. 1, p. 643—44; [13] T a t. e J., «Invent, math.», 1974,
v. 23, p. 179—206; [14] Goates J., Wiles A., «Invent,
math.», 1977, v. 39, p. 223—51; [15] Белый Г. В., «Изь.
АН СССР. Сер. матем.», 1979, т. 43, с. 267—76.
Ю. Г. Зархи», Вал.С. Куликов.

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — алгебраи-
алгебраическая пли аналитическая полная неособан поверх-
поверхность А', у к-poii имеется пучок эллиптических кривых,
т. е. морфизм л : Х—>-В на неособую кривую В, общий
слой к-рого — неособая зллиптич. кривая. Всякая
Э. и. бирационально (бимероморфно) эквивалентна над
В однозначно определенной минимальной модели,
к-рая характеризуется тем, что слои морфизма л не
содержат исключительных кривых 1-го рода. Далее
Э. н. будет предполагаться минимальной. Минимальные
Э. п. устроены более сложно, чем линейчатые поверх-
поверхности. Они могут иметь особые слои Xf — n~y (t)
(т. е. слои, не являющиеся неособыми эллиптич. кри-
кривыми). Имеется классификация |3] особых слоев Э. п.
Особый слой Xt=2niE{ наз. кратным, если ПОД
(ге,-)=го>2, тогда Xt = mF и т наз. кратностью
слоя Xf.
На минимальной Э. п. канонич. класс Кх содержит
дивизор, являющийся рациональной комбинацией сло-
слоев, в частности (К\)~0. Более точно, имеет место сле-
следующая формула для канонич. класса (см. [1], [4]):
где X) .=miFi— все кратные слои морфизма я, a d —
дивизор на В степени— %(Qx)- Для эйлеровой топо-
топология, характеристики имеет место формула
Классификация зллиптич. пучков.
Пучок я : Х->В можно рассматривать как эллиптич.
кривую над полем функций к(В). Эта кривая, вообще
говоря, не имеет структуры абелева многообразия над
к (В). Для выполнения последнего необходимо, чтобы
она имела рациональную точку над к (В) (и тогда А"
бирационально изоморфна поверхности, определяемой
в ВХА2 уравнением Вейерштрасса у2—х3—g%r—g3,
где g2, gzftk(B)). Задание рациональной точки эквива-
эквивалентно заданию сечения е : В->Х такого, что ле.— id;
необходимым условием существования сечения явля-
является отсутствие кратных слоев. Пучки без кратных-
слоев наз. п. р и в о д е н н ы м и. Любой пучок после
подходящего разветвленного накрытия базы имеет се-
сечение (т. е. приведен) [3]. Любой пучок можно сделать
приведенным также последовательностью преобразова-
преобразований, обратных к логарифмическим [4],— локальных
перестроек пучка в окрестностях слоев.
Приведенные эллиптич. пучки описываются следую-
следующим образом. Каждому такому пучку я: X —>- В соот-
соответствует единственный пучок ^д (А") —>¦ В, к-рый
является групповым объектом и такой, что XjH явля-
является главным однородным пространством над^д(Х)/Л.
Пучок ^д (Х)/В наз. якобиевым пучком для
Х/В, он характеризуется наличием сечения. /Для за-
заданного якобиева пучка 'piВ множество / Ср/В) клас-
классов изоморфных пучков Х/В, для к-рых ff-n(X) ду- ¦у-,
имеет когомологич. описание, аналогичное описанию
обратимых пучков. При этом роль пучка Q'B играет
пучок SKn Cpi'R) локальных сечений т: ^ —-> В. Имеется
естественное взаимно однозначное соответствие
при к-ром якббиеву пучку соответствует нулевой эле-
элемент. С помощью 6 можно различать алгебраич. и яе-
алгебраич. пучки: для приведенного пучка я : Х->В
поверхность X алгебраическая тогда и только тогда,
когда соответствующий ему элемент в IIх(В, S%°(y-lB)
имеет конечный порядок. Аналогию с обратимыми пуч-
пучками можно продолжить дальше. Аналогом точной
последовательности

является точная последовательность
О—
гДе Жй {Т Cj?)/B) — пучок локальных сечений расслог-
ния T(ffl/B, а Т (у-)ь—касательное пространство к
слою т. (Ь) в точке е.(Ь). Граничный гомоморфизм
позволяет узнать, когда один пучок является деформа-
деформацией другого. Для этого необходимо и достаточно, что-
Пы соответствующие этим пучкам элементы имели один
и тот же обрая относительно о (см, |41).
К л а с с и ф и к а ц и я алгебрам ч. Э. п.
Пусть char к—0. Для Э. п. X канонич. размерность
к(Х)*?\, т. е. равна —1,0 или 1. Э. п. с к(Х)— 1 нал.
Э. п. основного тип а. Они характеризуются
условием: VAKx?-0 и 112А'х \Ф 0. Э. п. с рг>2 или,
более общо, с Рт^>2 при нек-ром т являются !-). п.
оснонного типа.
3, и. с /,-(Х)=0 характеризуются условием \2Kx~0.
В :itom случае хFя) может принимать три значения:
2, 1,0. Если /Fх)~2, то X есть аллиптич. КЗ-поверх-
нпсть (</—0, Кх=0)- В этом случае Я изоморфна проек-
проективной прямой FJ, пучок не имеет кратных слоев и А'
имеет инварианты pg— 1, ц—0, Ь2~22. Если xfGx)^^
то X есть и о в е. р х н о с т ь Э н р и к в е с а, т. е.
поверхность с pg=q—0,2Kx~® (всякая поверхность
Инриквеса является эллиптической). Н этом случае
/i^H1, пучок имеет два кратных слоя кратности 2 и
X имеет инварианты pg—q—U, i.j=10. Если хFх)~"-
то возможны два случая. Либо X — абелсно многообра-
многообразие (тогда /'?—1, д—2, Ь2~1>). Либо X — г и и е р а л-
л и и т и ч. и о в е р х н о с т ь, т. е. поверхность, у
к-рой имеется конечное неразветвленное накрытие -
произведение двух эллиптич. кривых. В :>том случае
])g—((, bj—2, Ь2=2, B=VL и л имеет три или четыре
кратных слоя, для кратностей к-рых имеется четыре
возможности: C, 3, 3), B, 4, 4), B, 3, 6), B, 2, 2, 2) и
соответственно 3A'x=0,4ifx— 0,ОА'Х=0 и 2Кх~0.
Э. п. с /г(Х) = — 1 являются линейчатыми поверх-
поверхностями. Они характеризуются условием |12Л'х1~0-
Здесь возможны два случая: 1) X — поверхность с
/,g—g—(.)t 62=10 и я не имеет кратных слоев либо имеет
один кратный слой; причем поверхности без кратных
слоев получаются следующим образом: нужно взять
рациональное отображение P2-*-Px, определяемое дву-
двумя кубиками ^=0 и F1=0, и раздуть их 9 точек пере-
пересечения. 2) X —поверхность с р^=0, q—i, l>2=2, a
кратности т,- удовлетворяют неравенству
Формула для канонич. класса и классификация Э. п.
обобщены также на случай конечной характеристики
поля (см. [5], [6]).
Классификация неалгебраич. Э. п.
Для неалгебраич. поверхностей — алгебраич. размер-
размерность а(Х)—ЛгАе%М(Х) — 1 или 0. Если а(Х)—0, то
поверхность X немлилтическая. Все поверхности с
а(Х) = \ эллиптические. При этом структура Э. п.
я : Х^-В определена почти канонически: любое такое
расслоение я обязательно является эллиптическим.
Классификации по канонич. размерности точно такая,
как и в случае алгебраич. Э. п.: к(Х) = — 1<С" У\^2К^\ —
= 0, /с(.У)=О<—>12А'х^0 и k(X)=i (Х — Э. п. основ-
основного тнтт) ^—^> 112 Кх\ ф 0, 12А>#0.
Неалгобраич. Э. п. с к(Х) — 6 принадлежат одному
иа классов: 1) КЗ-поверхности (%{Qx\ = 2, by=Q, Ь2=22,
X —- односвязна). 2) Комплексные торы (Я^=0, %(Qx)=
—0, /^—4, й2=*')- 3) Поверхности Кодаиры (Я^=0,
¦/Fа')=0. 6i=3i ^2~^)- Поверхности Кодаиры явля-
являются расслоениями на аллиптич. кривые с эллиптич.

кривой в качестве базы, а с дифференцируемой точки
ирония — расслоениями на окружности над трехмер-
трехмерным тором. 4) Поверхности с %(Qx):~G, Pg~Q, b1=i,
Ьа—0. Для ни* т.Кх=0 при т=2, 3, 4, 0 (аналогично
гинерэллиптпп. поверхностям). Они имеют поверхность
Кодаиры в качестве конечного неразветвленного накры-
накрытия. В случаях 2), 3) и 4) универсальной накрывающей
для X является С2.
Неалгебраич. !). п. с к(Х)~ — 1 являются поверхнос-
поверхностями Хопфа, т. е. их универсальная накрывающая
ость С2\0. Для них %Fл')=^> fti~li Ь2—0. Собственные
поверхности Хопфа- это (CiK0)/Z, где Т (zx, z2)=(a1z1,
ctjjZjj) — действие образующей Т. Они гомеоморфны
S*yS!i и характеризуются .чтим условием. Произволь-
Произвольные Э. и. Хопфа являются факторами собственных
поверхностей Хопфа |4].
Лит.: ll] Алгебраические поверхности, М,, 1965; [2] Вот-
li j е г 1 Е., И и s е т о 1 1 е г D., «Prnc. symp. in pure math.»,
197Г,, v. 29, p. .129—420; Гз] KodairiK., «Ann. Math.»,
1900, v. 71, p. 111-52; lflG.'i, v. 77, 11.563—628; 1963, v. 78,
p. 1 'ifl; [4] с г о ж e, «Airier. J. Math.», 1964, v. 8E, p. 751—98;
19fi6, v. 88, p. 682—721; 19H(i,v. 90, p. 55—8.1, 11148—66; [5]
M и rn ford D., в кн.: Global analysis. Papers in honor of
K. Kodaira, Tokyo, 1969, p. .42.1—39; [6] В о m b I e г i В.,
M и in ford D., в кн.: Complex analysis and algebraic geomet-
ly, fCamb.], 1977, p. 23—42. Вал. С. Куликов.
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТОЧКА — точка регулярной по-
поверхности, в к-рой соприкасающийся параболоид явля-
является :>ллиптич. параболоидом. В Э. т. индикатриса Дю-
Дюпена является яллипсом, гауссова кривизна поверхнос-
поверхности положительна, главные кривизны поверхности име-
имеют один анак, а для коэффициентов 2-й квадратичной
формы справедливо неравенство
LN—M2 > 0.
Поверхность r окрестности Э. т. является локально
выпуклой. д. д. Соколов.
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ в собственном смы-
смысле — Овоякопериодическая функция, мероморфная в ко-
конечной плоскости комплексного переменного г. Э. ф.
обладают следующими основными свойствами.
Не существует целых ',). ф., кроме констант (т е о-
р е м а Л и у в и л л я).
Пусть 2о)|, 2oi3 — примитивные периоды Э. ф. /(z),
I in (о>я/о)])><). Сумма вычетов всеч полюсов f(z) в ее
параллелограмме периодов
; 0</<1, 0<т < 1}
равна нулю.
Пусть г — число полюсов (с учетом их кратности)
Э. ф. /(z) в параллелограмме периодов Д. Тогда /(z)
принимает в Д каждое конечное значение с учетом крат-
кратности в точности г ра.ч. Число г наз. порядком
Э. ф. Не существует Э. ф., порядок к-рых меньше 2.
Если а,- и hi, i = l, . . ., г,— все нули и полюсы Э. ф.
/(z) в ее параллелограмме периодов Д с. учетом их крат-
кратности, то сумма
сравнима с нулем по модулю периодов, т. е.
где m,, /Ид.— целые числа (частный случай теоремы
Абеля, см. А белееа функция).
Все Э. ф. с фиксированными примитивными периода-
периодами 2шг, 2(о3 образуют алгебрам1!, поле Э. ф. с двумя
образующими. В качестве этих образующих можно
взять, напр., функции! Вейерштрасса ^ и ее производ-
производную (см. Вейерштрасса эллиптические функции).
Производная Э. ф. является в свою очередь Э. ф.
того же порядка с теми же периодами. Каждая Э. ф.
удовлетворяет обыкновенному дифференциальному
уравнению 1-го порядка.

Каждая Э. ф. / (z) допускает алгебраическую
теорему с л о ж е и и я, т. е. значения /(гг),
/(г2), f(zt I г.2) связаны неприводимым алгобраич. урав-
уравнением с постоянными коэффициентами. Обратно, имеет
место теорема Вей ерш трасс а: всякая
аналитич. функция /(г), допускающая алгебраич. теоре-
теорему сложения, либо является рациональной функцией
от z или от ег, либо есть Э. ф.
Иногда применяется более общая терминология, свя-
связанная с теорией тета-функций. Э. ф. Ill рода наз.
всякая мероморфная функция /(г), удовлетворяющая
функциональному уравнению
/ (г+ 2ш,-) = ехр [я,-(г+ «,¦)+&;]•/(г), г-^1, 3.
где а{, й,- — нек-рые постоянные. Если в]—о3=0, то
f(z) наз. О. ф. II рода. Если а1 = ая = Л1=63 —О, то /(г)
наз. Э. ф. I рода, или Э. ф. в собственном смысле. По
этой терминологии тета-функции Якоби (см. Якоби
эллиптические функции) и сигма-функции Вейерштрас-
са (см. Вейерштрасса эллиптические функции) суть
Э. ф. Ш рода.
Впервые эллиптические интегралы исследовались в
работах ученых кон. 17 — нач. 19 вв. Я. Бернулли
(J. Bernoulli), И. Бернулли (J. Bernoulli), Дж. К. Фань-
яно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi), Л. Эйлера
(L. Euler), А. Лежандра (A. Legendre) конца 17 — начала
19 вв. Эти интегралы появились в задачах вычисления
длины дуги эллипса и других кривых 2-го порядка. Они
имеют вид \ И (z, u>) dz, где Я — рациональная функция
от переменных z и гг, связанных алгебраич. уравнением
иЛ = aozl-{- a,z3- [- a2z2 -\- a3z 4- а4,
в к-ром справа стоит многочлен 4-л или 3-й степени бон
кратных корней. Подынтегральная функция однознич-
на на двулистной компактной римановой поверхности
F рода g=t с четырьмя точками ветвления. Дифферен-
Дифференциалы I, II и 111 рода на /' (см. Дифференциал на рима-
римановой поверхности) порояадают соответственно эллиптич.
интегралы I, II и III рода. Интеграл I рода является
главной униформизирующеи поверхности /' и ноля
алгебраич. функций, порождаемых F. Если принять ого
за независимую неременную, то :)то иоле переходит в
поле Э. ф.
Идея непосредственного обращения эллиптич. интег-
интегралов в нормальной форме Лежандра возникла и была
развита в работах Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С. Ja-
cobi) в нач.19 в. Развитое К. Якоби построение Э. ф.
на основе тета-функций имеет основное значение для
приложений Э. ф. Теоретически более простое построе-
построение поля ;).ф., при к-ром в качестве образующих бе-
берутся функция $> и ее производная, было дано
К. Вейерштрассом (К. Weierstrass) в 70-х гг. 19 в.
При развитии теории 0. ф. одной из основных явля-
является проблема преобразования Э. ф.
и связанных с ними величин при переходе от примитив-
примитивных периодов 2и)!, 2со3 к другим примитивным периодам
2o)r, 2uj:), связанным соотношениями
где «, р. у, 6 — целые числа такие, что «й- f)-|> —«, // --
натуральное число, называемое поря д к о м и р о-
о б р a :i о в а и и я. Площадь параллелограмма пе
риодов 2о),, 2(с!:1 н и раз больше площади параллелограм-
параллелограмма периодов 2(о,, 2оK. При и—Л получаются преобра-
преобразования модулярной группы, откуда возникла связан-
связанная с У. ф. теория модулярных функций.
',). ф. можно трактовать как мероморфные функции,
инвариантные относительно преобразований группы
сдвигов

комплексной плоскости. Обобщение этого подхода
привело к рассмотрению автоморфных функций, инва-
инвариантных относительно дробно-линей пых отображений,
составляющих группы более общей природы. Э. ф. и
модулярные функции суть частные случаи автоморфных
функций.
Обращение эллиптич. интегралов сразу же привело
к Якоб и проблеме обращения более общих абелевых
интегралов \ R (г, w) dz, где переменные z я w снн:)аны
произвольным алгебраич. уравнением. На этом пути
получаются абемвы функции — обобщение 0. ф. на
случай нескольких комплексных переменных.
Э. ф. и эллиптич. интегралы находят многочисленные
применения (как специальные функции) во многих
разделах анализа, как средство униформ изации в
алгебраич. геометрии, а также в механике, электроди-
электродинамике и других прикладных областях.
Лит.: [1] Ахнезер Н. И., Элементы теории эллипти-
эллиптических функций, 2 изд., М., 1970; [2] Г у р в и ц А., К у-
рант Р., Теория функций, пер. с нем., ч. 2, М., 1968; 1,4]
У и т т е к е р Э. Т., В а т с о н Д ж. Н., Курс современного
анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; [4] Ж у р а в с-
к и it A. M. Справочник по эллиптическим функциям, М.~-
Л., 1941; [5] К n n е р е г A., Elliptische Functionen. Theorle
und Geschichte, 2 Aufl., Halle, 1890; [6]Ta n ne г у J., Molk J.,
Elements de la theories des fonctionselliptiques, t. 1 ',, P., 189.1—
1902. E. Д. Соломепцев.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ — числа а и т,
связанные с декартовыми прямоугольными координа-
координатам» формулами
(ст + п2) (т+ аг)
(т. t- Ьг)
Ьг-а'-
o(ot-T)-
где - яг<т<—Ь2<
<а<оо. Координат-
Координатные линии (см. рис.):
софокусные оллппсы
(a—coiist) и гипербо-
гиперболы (т—const) с фоку-
фокусами (— yV —/А 0) и (У о2-б2, 0). Система Э. к.—
ортогональная. Каждой паре чисел опт соответствуют
4 точки, по одной в каждом квадранте плоскости Оху,
симметричные друг другу относительно осей Ох и Оу.
Коэффициенты Ламе:
У'° 2 К (а-"-а») Си/,') ' ''т 2 У (u ki«) (т i ft') •
Уравнение Лапласа допускает в Э. к. разделение пе-
переменных.
В ы р о ж д е н н ы м и Э. к. наз. числа о и т,
связанные с ',). к. опт формулами (при е-—1, Л—О):
и с декартовыми прямоугольными координатами .т ц
г/ — формулами:
2;=chacosT, i/ —si) 5 sin т,
где 0«ст<сс, 0<т<2л. Иногда эти координаты также
наз. эллиптическими.
Коэффициенты Ламе:
''а т I ('h2 a— cos- т.
Элемент площади:
(/.<,¦ = (сЬ2 а— cos2 г) dotii.
Оператор Лапласа:
Дер = _ __ /1_?. ]- '!.!? \
ch2a-cos2T \ до2 От'/
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ ¦-- iraTefpa^^OT
алгебраической функции I рода, т. е. интеграл вида
A)
Сг'Д(г, w)dz,
J 20

где R (z, w) — рациональная функция от переменных
z и ir, связанных алгебранч. уравнением
i»J = /Wse/ 1-в1г3 + а2=3 -|-л3г-|-а4, B)
в к-ром /(z) — многочлен 3-й или 4-й степени без крат-
кратных корней. При этом обычно подразумевается, что
интеграл A) нельзя выразить через одни только эле-
элементарные функции. В том случае, когда такое выра-
выражение возможно, интеграл A) наз. псевдоэллиптическим
интегралом.
Название Э. и. связано с тем, что впервые они по-
появились при спрямлении дуги эллипса и других кри-
кривых 2-го порядка в работах кон. 17 — нач. 18 вв.
Я. Бернулли (.1. Bernoulli), И. Бернулли (.1. Bernoulli),
Дж. К. Фаньяно деи Тоски (G. С. Fagnano dei Toschi),
Л. Эйлер (L. Euler) заложили основы теории Э. и. и
эллиптических функций, возникающих при обращении
эллиптических интегралов.
Уравнению B) соответствует двулистная компактная
риманова поверхность F рода #=1, гомеоморфная тору,
на к-рой г, w, а следовательно, в R(z, w), рассматривае-
рассматриваемые как функции точки поверхности F, однозначны.
Интеграл A) задается как интеграл \ в от абелева
дифференциала (o=/?(z, w)dz на F, взятый вдоль нек-
рого спрямляемого пути L. Задание начальной z0 и ко-
конечной z, точек этого пути L. вообще говоря, не вполне
определяет значение Э. и. A), или, иначе говоря, Э. и.
A) есть многозначная функция от z0 и г,.
Любой Э. и. можно выразить в виде суммы элементар-
элементарных функций и линейной комбинации к а н о н и ч.
Э. и. 1. II и III рода. Последние записываются,
напр., следующим образом:
пг г Г 7 d2 т Г <и
где с — параметр Г), л. III рода.
Дифференциал I рода dzlw, соответствующий Э. и. I
рода /,, всюду на рименовой поверхности F конечен,
дифференциалы II и III рода имеют соответственно
особенность типа полюса с нулевым вычетом или про-
простого полюса. Рассматриваемые как функции верхнего
предела интегрирования при фиксированном нижнем
пределе, все три Э. и. на F многозначны. Если же раз-
разрезать F вдоль двух циклов базиса гомологии, то в по-
получившейся односвязной области F* интегралы /,
и /2 будут однозначны, а интеграл /., сохраняет еще
логарифмич. многозначность, появляющуюся при об-
обходе простого полюса. При переходе через разрез каж-
каждый интеграл изменяется на целое кратное соответ-
соответствующего периода, или модуля п е р и о-
д и ч и о с т и, а /3 имеет еще, кроме того, третий л о-
г а р и ф м и ч е с к и й п е р и о д 2яг, соответствую-
соответствующий обходу особой точки. Таким образом, вычисление
интеграла типа A) сводится к вычислению интеграла
вдоль пути L*, соединяющего на F* точки г0 и zl7 и
прибавлению соответствующей линейной комбинации
периодов.
Подвергая переменное z нек-рым преобразованиям,
можно привести функцию w и основные '). и. к
и о р м а л ь н ы м фор м а м.
Б н о р м а л ь и ой форме Неиерштра с-
с л выполняется соотношение
И=4:3-- ?,,?— ,sf.ч,
и интеграл
имеет периоды 2@], 2о>я. Обращение этого Э. и. дает
иллиптич. функцию Венергнтрассн j^(z) с периодами
2<оь 2т,-, и инвариантами #.2, g:j {см. Beue.pmmpac.ca
эллиптические, функции). Вычисление периодов 2со,,
2иK по заданным инвариантам производится при по-

мощи модулярной функции J (Т). Если в нормаль-
нормальном интеграле II рода
[zJlL
принять нормальный интограл I рода и в качестве пе-
переменной интегрирования, то при надлежащем выборе
постоянной интегрирования будет выполняться равен-
равенство
где ?(«) — дзета-функция Вейерштрасса. При этом
периоды нормального интеграла II рода равны —2%=
— — 2^@)]), — 2п3 = — 2?((о3). Нормальный ин-
интеграл III рода по Вейерштраесу
имеет вид
где о (и) — спгма-функция Вейерштрасса, z0=$(u0),
и>а=$'(и9), но^<) (mod B(оь 2оK)). При этом справед-
справедливо правило перестановки:
7(z, ">; 20, ш0)—/(г0, и'о; г, и>)—
где п — целое число. Периоды нор.мального интеграла
III рода имеют вид
где я,, 7?^— целые, 2л/ — л о г а р и ф м и ч. п е-
Р иод.
В приложениях чаще встречается нормальная
форма Лежавдра. При этом
и»2 = A — г2) A — к2г-),
где к ная. модулем Г), и., /с2 иногда наз. л е ж а н-
д р о в ы м м одуле м, к' —. |/~1—к- — допол-
дополнительным модулем. Чаще всего имеет ме-
место нормальный случай, когда 0</с<1, а
z=-,r=sin t — действительное переменное. Э. и. I ро-
рода в нормальной форме Л е ж а н д р а
имеет вид
dt -=F(tp, к);
O V(i-xs)(i-k'x*) JO I 1 -ft2 sin2
он наз. также неполным 3. п. I рода; Ф—am и
наз. амплитудой Э. и. I рода. Амплитуда есть
бесконечнозначная функция от ;/. Обращение нормаль-
нормального интеграла I рода приводит к эллиптич. функции
Якоби z—sn и (см. Якоби эллиптические функции).
Нормальный интеграл II рода в
нормальной форме Л е ж а н д р а имеет вид
at ^
он наз. также неполным Э. и. II р о д а.
Интегралы
F
Е {—, к) =

наз. полными Э. и. соответственно 1 и II рода.
Лежандровы интегралы 1 рода имеют периоды 4Я и
2lK', II рода — периоды kE и 2? (К1 — Е').
Нормальный интеграл III рода в
нормальной форме Лежавдра имеет
вид
Sz dx СЧ> dt
0(l-nW)V(l-x*) A-А2ж!) JO A-й2 sin2*)KT —A2 sin21
= П(Ф; п\ к) = П(и; иа),
где rfi.— параметр, чаще всего —ое<и2<оо. При
— оо <иг<0 или &2<»2<1 он наз. циркулярным
интегралом, а при 0<яа</г- или 1 О-- г и-
перболич. интегралом.
По Якоби нормальный интеграл
1П рода определяется несколько иначв:
где n?=h?sn2a. Связь между интегралами III рода Якоби
и Лежандра выражается формулой
П(и;п2) = и-\ ^1?_ ТТ (м;о).
v ' ^cn a-dn а ULj
циркулярный характер соответствует мнимым а, ги-
гиперболический — действительным а.
Наряду с эллнптич. функциями, 3. и. находят мно-
многочисленные и важные применения в различных воп-
вопросах анализа и геометрии, физики, в частности ме-
механики, астрономии и геодезии. Составлены таблицы
Э. и. подробные руководства яо теории Э. и. и :шлип-
тич. функций, а также сводки формул.
Лит.: [1] Б е л я к о в В. М., Кравцова Р. И., Рап-
Раппопорт М. Г., Таблицы эллиптических интегралов, т. 1—2,
М., 1962—63; |2] Я нк е В., Э м д е Ф., Л Р ш Ф., Специаль-
Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. е нем.,
3 изд., М., 1977.
См. также лит. при ст. Эллиптическая функция.
Е. Д. Соломенцев.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР—линейный диффе-
дифференциальный или псевдодифференциальный оператор
с обратимым главным символом (см. Символ оператора).
Пусть Л—дифференциальный или псевдодифференци-
псевдодифференциальный оператор (вообще говоря, матричный) на об-
области XczR" с главным символом Од(х, !;). Если Л—
оператор порядка т, то Од (х, |)—матричная функция
на Zx(Rn\0) положительно однородная порядка т по
переменному |?IRn\0. Тогда эллиптичность означает,
что Од (ж, |) — обратимая матрица при всех х^Х,
§^R™\0. Это понятие эллиптичности наз. эллип-
эллиптичностью по Петровскому.
Другой вид эллиптичности, эллиптичность по
Дуглису — Ниренбергу, предполагает, что А—
матричный оператор, А — D/у),-, /=i, где 4,-у—оиератор
порядка sj—t;, (si,...,sj) и (?!,..., Zd)—нек-рые
наборы действительных чисел. Тогда можно образовать
матрицу главных символов аА (х, |) = (Од.. (х, ?))?,/ =1,
где функция Од. (х, |) положительно однородна по |
порядка Sj—1{. Тогда эллиптичность по Дуглису —
Ниренбергу означает, что матрица ал (х, ?) обратима
при всех x?X,l?R"\0.
Эллиптичность оператора А на многообразии озна-
означает эллиптичность операторов, к-рые получаются и:»
него при его записи в локальных координатах. Рав-
Равносильным Образом ЭТу ЭЛЛИПТИЧНОСТГ. МОЖНО ОПИСЭТ1.
как обратимость главного символа Од, к-рьш является
функцией на Т*Х\0, где Т*Х — кокасательное рас-
расслоение к X, Т*Х\0 — то же расслоение без нулевого
сечения. Если оператор А действует в сечениях вектор-
векторных расслоений А : С°° (X, Е)-*-Сл'(Х, Е), то эллип-
эллиптичность оператора означает обратимость линейного
оператора о^(х, \) : Ex-*-Fx для любой точки
(х, ?)?Г*Х\0 (здесь Ех, Fx — слои расслоений К и
F в точке т). Примером 0. о. является Лапласа оператор.

Эллиптичность оператора равносильна отсутствию
у него действительных характеристич. направлений.
Эллиптичность можно также понимать микролокально.
А именно, эллиптичность оператора А в точке (хй, 10)
означает обратимость матрицы (линейного отображе-
отображения) О-д(ж0, |0)-
Эллиптичность псевдодифференциального оператора
на многообразии г. краем (папр., оператора из алгебры
Вутеде Монвеля 1НМ, |11]) в граничной точке означает
обратимость нек-рого модельного оператора граничной
задачи на полуоси. Этот модельный оператор получается
из исходного выпрямлением границы, замораживани-
замораживанием коэффициентов главных частей оператора и гра-
граничных условий в рассматриваемой точке и взятием
преобразования Фурье по касательным направлениям
(от х' к |') с последующим фиксированием ненулевого
вектора 1', к-рый можно рассматривать как кокаса
тельный нектор к границе. В случае дифференциального
оператора и дифференциальных граничных условии
описанное условие эллиптичности можрт быть записано
в алгебраич. терминах. В этом случае (а также иногда
и в общем случае) это условие часто наз. условием
Шапиро — Л о п а т и н с к о г о, или услови-
условием коэрцитивности.
Наиболее характерными свойствами Э. о. являются:
1) свойства регулярности решений соответствующих
уравнений; 2) точные априорные оценки; 3) фредголь-
мовость Э. о. на компактных многообразиях.
Ниже, для простоты, коэффициенты и символы всех
операторов считаются бесконечногладкими.
Пусть дано уравнение Аи—-}, где А — Э. о. Простей-
Простейшее свойство регулярности таково: если /?С°% то
>/?С". Это свойство верно для любых дифференциаль-
дифференциальных Э. о. с гладкими коэффициентами или псевдодиф-
псевдодифференциальных Э. о. >(с гладкими символами). Оно вер-
верно и для Э. о. краевой задачи (т. е. верно вплоть до
границы при выполнении условия Шапиро — Лопа-
тинското). Уточнением этого свойства является его
микролокальный вариант: если оператор А аллипти-
чел в точке (хп, |0) (здесь .т0— внутренняя точка X) и
(*о. So)?lW(/), то (/1тУ6^(»), где WF означает
фронт типовой (распределения или функции). Другое
уточнение: если А — Э. о. порядка т и /^ Wp, то
u?Wp+m, где Wp — Соболева пространство, 1<р<оо.
Если А — дифференциальный Э. о. с аналитич. коэф-
коэффициентами, то из аналитичности / вытекает аналитич-
аналитичность и (в случае уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами это свойство необходимо и достаточно для
эллиптичности). Соответствующий микролокальный ва-
вариант также справедлив и формулируется на языке
аналитических волновых фронтов.
Локальная априорная оценка для Э. о. А порядка
m имеет вид
A)
где t<p<oo, s?R, N?R, Q и Q' —две области в
IR", причем У — компакт, принадлежащий iV, Au—j
и И', постоянная С не яависит от и (но может зависеть
от .v, Q, Q', IV).
Глобальная априорная оценка для Э. о. А порядка
/» на компактном многообразии X без края имеет тот
же лид, что л A), но с заменой И и U' на X. 15 случае
многообразия с краем вместо норм пространств Wp в A)
нужно взять нормы, учитывающие структуру вектор-
функций и и / (содержащих, вообще говоря, граничные
компоненты). Напр., пусть на компактном многообразии
А' с краем Y задан Э. о. вида «i—>(А и, Вги\у, . , Bru\Y),
где А — эллиптический дифференциальный оператор
порядка т, Вj — дифференциальные операторы по-
порядков nij, причем nij-Cm и выполнено условие Шапи-

po — Лопатинского (для оператора А и системы
граничных операторов Вх, . . ., Вг). Тогда априорная
оценка в пространствах Соболева Hs=Wl имеет вид
где |]-|IS — норма в пространство HS(X), ||-||s' — норма
в пространстве IIs(F), s^m, u?Hs(X) и постоянная
С>0 не зависит от и (но может зависеть от А, В/,
s, X, Y и выбора норм в пространствах Соболева).
Э. о. на компактном многообразии (возможно, с кра-
краем) определяет фредгольмов оператор в соответствую-
соответствующих соболевских пространствах, а также в простран-
пространствах бесконечно дифференцируемых функций. Его ин-
индекс зависит лишь от главного символа и не меняется
при непрерывных деформациях главного символа.
Это позволяет поставить вопрос о вычислении индекса
(см. Индекса формулы).
Важную роль играют Э. о. с параметром (см. [12]).
При выполнении условия эллиптичности с параметром
на компактном многообразии при больших по модулю
значениях параметра рассматриваемый Э. о. оказывает-
оказывается обратимым, причем в глобальной априорной оценке
типа A) можно опустить последний член (младшую
норму и в правой части).
Лит.: [1] II е т р о в с к и ft И, Г,, Лекции об уравнениях
с частными производными, 3 иьд., М., 1961; [2] М и р а н д а К.,
Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер.
с итал., М., 1957; [3] Ладыженская О. А., Уральце-
в а Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллипти-
эллиптического типа, М., 1973; [4] Лионе Ж. Л., М а д ж е и е с Э.,
Неоднородные граничные задачи и их приложения, пер. с франц.,
М., 1971; [5] Б е р с Л., Джон Ф., III е х т е р М., Урав-
Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [6]
А г м о и С, Д у г л и с А., Ниренберг Л., Оценки
вблизи границы решений эллиптических уравнений в частных
производных при общих граничных условиях, пер. с англ., М.,
1962; [7] Хер манд ер Л., Линейные дифференциальные
операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965;
[8] Шубин М. А., Псевдодифференциальные операторы и
спектральная теория, М., 1978; [9] Палей Р., Семинар по
теореме Атьи—Зингера об индексе, пер. с англ., М., 1970; [10]
Rempel S., Schulze В. W., Index theory of elliptic
boundary problems, В., 1982; [11] Boutet de Monvel I..,
«Actamath.», 1971, v. 126, p. 11 —51; [12] А г р а н о и н ч М. С,
Вишик М. И., «Успехи
матем. наук», 1964, т. 19, в. 3,
с. 53 — 161. М. А. Шубин.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПА-
ПАРАБОЛОИД — незамкнутая
поверхность второго поряд-
порядка. Канонич. уравнение
Э. п. имеет вид
—+ —= 2z, p, q > 0.
р ' q ' rt ч
Э. п. расположен по одну
сторону от плоскости Оху
(см. рис.). Сечения Э. п. пло-
плоскостями, параллельными
плоскости Оху, являются
эллипсами с равным эксцен-
эксцентриситетом (если р=<? —
окружностями, Э. п. наз.
параболоидом вращения). Сечения Э. п.
плоскостями, проходящими через ось Oz, являются
параболами. Сечения Э. п. плоскостями Oyz и Oxz
наз. главными параболами Э. п. Ось сим-
симметрии Э. п. наз. его осью, а точка пересечения оси
С Э. П.— верШИНОЙ. А. Б. Иванов.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР — цилиндрическая
поверхность второго порядка, для к-рой направляющей
служит эллипс. Если эллипс действительный, то Э. ц.
наз. действительным и его канонич. уравне-
уравнение имеет вид

если эллипс мнимый, то Э. ц. наз. мнимым и его
канояич. уравнение имеет вид
Л. Б. Иванов.
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ в д а н-
ной точке — дифференциальное уравнение с част-
частными производными порядка т
где Lj— дифференциальный оператор порядка ниже пг,
характеристич. форме к-рого
2 «
..я;,»
соответствует канонич. уравнение
Я (А*, ...,*„) =0,
но имеющее действительных точек, кроме Я,—О
Для уравнения 2-го порядка характеристич. форма
является квадратичной
и может быть при помощи неособого аффинного преоб-
преобразования переменных A,/=A,/(|j, . . ., |„), г —1, . . ., п,
приведена к виду
Когда все сх,-=1, или а,-=—1, уравнение наз. Э. т. у.
Уравнение наз. Э.т. у. в области своего
задания, если оно эллиптично в каждой точке
этой области.
Э. т. у. наз. равномерно эллиптиче-
эллиптическим уравнением, если существуют отличные
от нуля действительные числа к0 и kt такие, что
ко 2"=1 *? < Q (*i- • • •, К) < Н 2"=1 Я?.
Лит. см. при ст. Дифференциальное уравнение с частными
производными. А. В. Иванов.
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ; ч и с-
ленные методы решения — методы при-
приближенного отыскания решений дифференциальных
уравнений с частными производными эллиптич. типа.
Среди различных классов задач, к-рые ставятся для
Э. т. у., наиболее хорошо изучены краевые задачи и
задачи с данными Коши. Последние поставлены некор-
некорректно и требуют для решения специальных методов
[1]. Более типичны для Э. т. у. краевые задачи и для
их приближенного решения разработано много различ-
различных численных методов (см. [2], [3]). Наиболее широкое
распространение в вычислительной практике получили
сеточные методы, а среди них — метод конечных разно-
разностей (см. Разностные методы, Разностных схем теория,
[4], [5]) и метод конечных элементов (м. к. э.) (см. [6] —
[9]). Хотя указанные методы и различаются подходом
к построению приближенного решения — в первом из
них аппроксимируются (см. Аппроксимация дифферен-
дифференциальной краевой задачи разностной) уравнение и гра-
граничные (краевые) условия, а во втором — само искомое
решение,— однако получающиеся для отыскания при-
приближенного решения алгебраич. системы близки по
структуре, а в ряде случаев и вовсе совпадают.
Суть метода конечных разностей состоит в следую-
следующем: область непрерывного изменения аргументов ис-
исходной задачи заменяется дискретным множеством то-

чек (умов), называемым сеткой; производные,
входящие в дифференциальное уравнение и граничные
условия, аппроксимируются разностными отношения-
отношениями; при этом краевая задача для дифференциального
уравнения заменяется системой алгебраич. уравнений
(разностной схемой). Если полученная таким
образом разностная краевая задача разрешима (быть
может, только на достаточно мелкой сетке) и ее решение
при безграничном измельчении сетки приближается
(сходится) к решению исходной задачи для дифференци-
дифференциального уравнения, то полученное на любой фиксиро-
фиксированной сетке решение разностной задачи и принимает-
принимается за приближенное решение исходной задачи.
Простейшим примером Э. т. у. является уравнение
Пуассона (уравнение Лапласа, если f(x, y)^sO):
Примеры разностных схем для уравнения Пуассона
приведены в статьях Краевая задача; численные мето-
методы решения для уравнений с частными производными и
Разностное уравнение.
В м. к. э. аппроксимируется обобщенное решение
краевой задачи. Если, напр., уравнение A) задано при
(.т, у) g Q и для него рассматривается однородная задача
Дирихле, т. е.
где dQ — граница Q, то обобщенным решением задачи
A), B) наз. функция и? ]&1(й)=Ф(?1), к-рая при любой
функции г?Нг(п) удовлетворяет интегральному тож-
тождеству
Здесь Ях@) — Соболева пространство функций, обра-
обращающихся в нуль (в смысле обобщенных функций)
на дй. Наиболее важный класс м. к. э. образуют
м. к. э. галеркинского типа (конформные м. к. э.).
В Галеркина методе приближенное решение ищется
в конечномерном подпространстве того пространства, на
к-ром задано интегральное тождество, определяющее
обобщенное решение. Применительно к задаче C) при-
приближенным по Галеркину решением наз. такая функция
uil^iSfl(Q)ciH1(Q), к-рая при любой функции v?Sh(Q)
удовлетворяет интегральному тождеству C). В м. к. э.
подпространство Sh (Q) должно обладать нек-рыми спе-
специальными свойствами (см. Разностная вариационная
схема).
Специфику конечномерного подпространства, отли-
отличающую м. к. э. от других реализаций метода Галер-
Галеркина, иллюстрирует следующий пример. Пусть область
Q, в к-рой ищется решение задачи A), B), есть много-
многоугольник. Область Q разбивается на малые треуголь-
треугольники (конечные элементы) так, чтобы любые два тре-
треугольника либо вовсе не содержали общих точек, либо
имели одну общую вершину, либо одну общую сторону.
В качестве конечномерного подпространства простран-
пространства jfrJ(ft) выбирается пространство Sh(Q) кусочно ли-
линейных, линейных над каждым треугольником, непре-
непрерывных и обращающихся в нуль на dQ функций. Раз-
Размерность пространства S^Q) совпадает с числом вер-
вершин треугольников (без учета их кратности), не по-
попавших на границу dQ. Указанные вершины наз. у з-
л а ми. В качестве базиса Sh(Q) можно взять совокуп-
совокупность таких элементов ц>,g 5/,(Q), к-рые отличны от нуля
лишь в одном узле. Характерной особенностью этого
базиса является то, что у каждого его элемента носитель
минимален и образован объединением всех треуголь-
треугольников с общей вершиной в том узле, где данный базис-
базисный элемент отличен от нуля. Благодаря этому свойст-
свойству па каждом конечном элементе (к. э.) отлично от нуля

но более трех (но числу вершин, по попавших на dQ)
базисных функции, что позволяет использовать суже-
сужения указанных базисных функций на к. э. как базис
на к. э. и проводить все вычисления на к. э. без привле-
привлечения информации о других к. э. Указанное свойство
базиса делает м. к. я. весьма технологичным с точки
зрения использования ЭВМ [10].
Если, напр., И — единичный квадрат, а разбиение Q
на к. э. осуществляется тремя семействами эквидистант-
эквидистантных прямых
x—mh, y~nh, y~x-\-plt, m, n, p ? 2, h~l=-N ? N,
то при условии, что отличные от пуля значения базис-
базисных функций равны единице, для коэффициентов стп
разложения приближенного решения
"ft (ж, v)-=^jmrfm,№mn{^, У)
получают систему уравнении, в точности совпадающую
с системой уравнений метода конечных разностей. При
этом стп будут значениями приближенного решения
в узлах.
Точность описанного м. к. э. характеризуется оцен-
оценкой
где h — максимальный линейный размер к. э. Чтобы
получить большую точность, нужно приближенное ре-
решение искать по в пространстве кусочно линейных
функций, а в пространстве кусочно квадратичных
или, вообще, кусочно полиномиальных функций. Точ-
Точность в этом случае при надлежащей гладкости искомо-
искомого решения будет O(hk), где к -¦ степень используе-
используемых многочленов.
Помимо треугольных к. :>. можно использовать и че-
тырехугольпые к. э., однако, если стороны четырех-
четырехугольников не параллельны координатным осям, то
необходимо применять изопараметрич. технику, т. е.
сначала отобразить рассматриваемый к. э. на канонич.
к. э. (в данном случае на прямоугольник со сторонами,
параллельными координатным осям) при иомощи не-
невырожденного преобразования, обратное к к-рому за-
задается теми же самыми функциями, что и приближенное
решение на канонич. к. -л. Можно использовать тре-
треугольники и четырехугольники с криволинейными сто-
сторонами (снова применяя изопараметрич. технику), что
необходимо при решении задач в областях с гладкой
границей методами более высокого порядка точности,
чем первый.
Помимо м. к. э. галеркинского типа, существуют так
наз. неконформные м. к. э., решения в к-рых ищутся в
пространствах, не являющихся подпространствами ис-
исходных пространств. Особенно часто такие м. к. э.
применяются для задач, связанных с Э. т. у. более вы-
высокого, чем второй, порядка.
И метод конечных разностей, и м. к. э. приводят к
системам линейных алгебраич. уравнений большого по-
порядка с разреженными матрицами; подавляющее
большинство элементов этих матриц нулевые (см. [11],
|12]). Получил значительное развитие еще один метод
приближенного решения краевых задач для Э. т. у.—
метод граничных элементов [13].
Лит.: [1] Д а т т е с Р., Л ионе Ж.-Л., Метод квазиоб-
рашепия и «го приложения, пор. с франц., М., 1970; [2] К а нт о-
р о в и ч Л. В., К р ы л о н В. И., Приближенные методы
высшего анализа, 5 изд., М.— Л., 1962; [3] М и х л и н С. Г.,
Смолин к и й X. Л., Приближенные методы решения диф-
дифференциальных и интегральных уравнений, М., 1965; [4] Са-
Самарский А. А., Андреев В. Б., Разностные методы
для эллиптических уравнений, М., 1976; [5]Birkhoff G.,
л шг.: Elliptic problem solvers, N. Y.— L., 1981, p. 17—38; [6]
Зенкевич О. К., Метод конечных элементов в технике,
пер. с англ., М., 11O5; L7J С т р о и г Г., Фикс Д ж., Теория
метода конечных элементов, пер. с англ., М., 1977; [8] С ь я р-
леФ., Метод конечных элементов для эллиптических задач,
пер. с англ., М., 1980; ГУ] М и т ч с л л 3., Улит I'., Метод

коночных плементов для уравнений с частными производными,
пер. с англ,, М., 1981; [10] Hinton E., OwenD. R. J.,
Finite element programming, L., 1977; [Hi С а м a p-
c к и й А. А., Николаев Е. С, Методы решения сеточ-
сеточных уравнений, М., 1978; [12] Джорджа,, Л ю Д ж.,
Численное решение больших разреженных систем уравнении,
пер. с англ., М., 1984; [13] Б р е б б и а К., У о к е р С,
Применение метода граничных элементов в технике, пер.
с англ., М., 1982. В. Б. Андреев.
ЭМДЕНА УРАВНЕНИЕ — нелинейное обыкновенное
дифференциальное уравнение 2-го порядка
?М-+Щ, а==0 A)
dx* ~ х йх~у "' ^ '
или, в самосопряженной форме,
где а>0, аф{,— константа. Точка х—0 является для
Э. у. особой. Заменой переменной х—\.1\ уравнение A)
приводится к виду
а заменой у—г\1х — к виду
После замены переменных
и последующего понижения порядка подстановкой
u'—v(u) получается уравнение 1-го порядка
Уравнение A) было получено Р. Эмденом [1] в связи
с изучением условий равновесия политропного газо-
газового шара; эта задача сводится к задаче существования
у уравнения A) с начальными условиями у@)=\,
i/'@)=0 решения, определенного на нек-ром отрезке
[О, х0], 0<ж0<оо, и обладающего сво1ствами:
у (х) > 0 при 0 <х < х0, у (ха) = 0.
Иногда уравнение A) наз. также уравнением Л е ii-
на — Эмдена.
Более общими, чем Э. у., являются уравнение
Ф а у л е р а
iL(x« ;!!
и уравнение Эмдена — Фаулера
где р, X, аф\ — действительные парал1етры. Как ча-
частный случай это уравнение включает уравнение
Томаса — Ферми
dx' у- '
возникающее при изучении распределения ялектронов
в атоме. Если р=й=1, то уравнение B) заменой переменных
может быть преобразовано к виду
?-±-«—0.
Имеются различные результаты качественного и асим-
птотич. исследования решений уравнения Эмдена —
Фаулера (см., напр., [2], [3]). Подробно изучалось также
уравнение тина Эмдена — Фаулера
(см. о нем и его аналоге n-го порядка в [4]).

Лит.: [1] Em den R., Gaskugeln, Lpz.— В., 1»07; [21
Санооне Д ж., Обыкновенные дифференциальные! уракне-
ния, пер. с итал., т. 2, М., 1954; [3] Б е л л м а н Р., Теория
устойчивости решений дифференциальных уравнений, пер. о
англ., М., 1954; [4] К и г у р а д з е И. Т., Некоторые сингу-
сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений, Тб., 1975. И. X. Розов.
ЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, распре-
распределение выборки, — распределение вероят-
вероятностей, к-рое определяется по выборке для оценивания
истинного распределения. Пусть результаты наблюде-
наблюдений Xlt . . ., Хп— взаимно независимые и одинаково
распределенные случайные величины с функцией рас-
распределения %f(x) и пусть Ха)<ХB)<. . .<Х{п) — соот-
соответствующий вариационный ряд. Эмпирическим
распределением, соответствующим Хг, . . .,
Хп, наз. дискретное распределение, приписывающее
каждому значению Хк вероятность 1/ге. Функция Э. р.
§~п (х) наз. эмпирической функцией р а с-
пределени я, является ступенчатой функцией
со скачками, кратными 1//?, в точках, определяемых,
величинами Ха), . . ., Х(п):
l 0, ,т «S ХA,,
§-п(х)=\ ± , X(k) < x<Xlk + lu l<*<re--l,
[ 1. х > Хш.
При фиксированных .шачениях Хь ...,Хп функция
fn (x) обладает всеми свойствами обычной функции
распределения. При каждом фиксиронанном действи-
действительном х функция ^п (.г) является случайной вели-
величиной как функция Xj, ..., Хп. Таким образом,
Э.р., соответствующее выборке X,, ..., Хп, задается
семейством случайных величин $'п (.г), зависящих от
действительного параметра х. При этом для фиксиро-
фиксированного х
Wn {*)--? (*), D# „ (х) =- i. W И [1 -&(*)]
В соответствии с законом больших чисел <jf „ (х) —>¦
—yWix)i п—><Xl^ ПРИ каждом х. 9то означает, что
aFn(z) —несмещенная и состоятельная оценка функции
распределения §- (х). Функция У. р. равномерно по х
сходится с вероятностью 1 к Jf" {x) при ?? -—>оо или,
если
lim ?>„ =
(теорема Глпвенко — Кантелли).
Величина Dn служит мерой близости $п (х) к <f (x).
А.Н.Колмогоров A933) нашел предельное распределе-
распределение: для непрерывной функции Jf (x)
\\m?{V~iiDn < г}=----А'(я)=2+Г (— i)ke--^2, z>0.
Если $f (x) неизвестна, то для проверки гипотезы о том,
что эта функция есть заданная непрерывная функция
JF0(a:), применяются критерии, основанные на ста-
статистиках типа Dn (см. Колмогорова критерии, Колмо-
Колмогорова — Смирнова критерий, Непараметрические ме-
методы статистики).
Моменты и любые другие характеристики Э. р. нал.
выборочными (эмпирическими) мо-
моментами и характеристиками, напр.:
Х = — ^ь_ Хь — выборочное среднее,

1 ^l"
s2 = —^ft=i (Xk—XJ — выборочная дисперсия,
a.r = — 2jk_, X-k — выборочный момент г-го порядка.
Выборочные характеристики служат статистич. оцен-
оценками соответствующих характеристик исходного рас-
распределения.
Лит.: [1] Большее Л. Н., Смирнов Н. В., Таб-
Таблицы математической статистики, 3 изд., М., 1983; [21 В а н дер
Варден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем.,
М., 1960; [3] Боровков А. А., Математическая статисти-
статистика, М., 1984. А. В. Прохоров.
ЭНГЕЛЕВ ЭЛЕМЕНТ — элемент кольца Ли или ас-
ассоциативного кольца, для к-рого определяемое им внут-
внутреннее дифференцирование является нилыютентным.
Если все элементы конечномерной алгебры Ли над
нек-рым полем энгелевы, то алгебра нильпотентна
(см. Энгеля теорема). Индекс нильпотентности упомя-
упомянутого дифференцирования наз. индексом эн-
гелевости элемента. Совокупность Э. э. алгебры
Ли в общем случае не является даже подпространством.
Однако при наложении дополнительных условий типа
обобщенной разрешимости эта совокупность оказыва-
оказывается подалгеброй и даже идеалом [1]. При наличии
Э. э. индекса 2 алгебра Ли наз. сильно вырож-
вырожденной. Наименьший идеал алгебры Ли, фактор-
алгебра по к-рому не является сильно вырожденной,
наз. радикалом Кострикина.
Лит.: ll] A m а у о R. К., Stewart I., Infinite-dimen-
Infinite-dimensional Lie algebras, Leyden, 1974; [2] К о с т р и к и н А. И.,
в кн.: Избранные вопросы алгебры и логики, Новосиб., 1973,
с. 142—60. Ю. А. Бахтурин.
ЭНГЕЛЕВА АЛГЕБРА — ассоциативная алгебра или
алгебра Ли д, удовлетворяющая условию Энге-
Энгеля: для всякого Xgg внутреннее дифференцирование
ad X нильпотентно. Иначе говоря, все элементы Э. а.—
энгелевы элементы (см. также Ли нильалгебра).
Ю. А. Бахтурин.
ЭНГЕЛЕВА ГРУППА — группа G, в к-рой для лю-
любых двух элементов a, b?G существует такое целое
п=п(а, 6), что [[. . .[[а, Ь\, 6], . . .], 6] = 1, где [а, *]—
коммутатор элементов а и Ъ. Если это число п можно
выбрать не зависящим от а, Ъ, то G наз. Э. г. конеч-
конечного класса п. Класс Э. г. содержит класс ло-
локально нильпотентных групп, но не совпадает с ним.
Всякая нильпотентная группа класса п будет Э. г.
того же класса. Э. г. класса 2 являются нильпотентны-
ми группами класса не большего 3.
Названо по имени Ф. Энгеля (F. Engel).
Лит.: [1] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967.
Я. Н. Вильяме,
ЭНГЕЛЯ ТЕОРЕМА: пусть для конечномерной алгеб-
алгебры Ли д над полем к линейные операторы
ad X (где ad X (Y) = [X, Y])
нильпотентны для всех -У?д. Тогда существует ба-
базис алгебры д, относительно к-рого матрицы Всех
операторов ad X треугольны и имеют нулевую диаго-
диагональ.
Ф. Энгель доказал (ок. 1887, опубликовано в [1]),
что алгебра Ли д с указанным свойством разрешима,
откуда, в силу Ли теоремы, непосредственно вытекает
сформулированное выше утверждение. Первое опуб-
опубликованное доказательство Э. т. принадлежит В. Кил-
лингу [2], указывавшему на приоритет Ф. Энгеля.
Э. т. формулируется часто в следующей более общей
форме: если р : (} -»- End V — линейное представление
конечномерной алгебры Ли д в векторном простран-
пространстве V (д и V — над произвольным полем), причем
р{Х) — нильпотентный эндоморфизм для любого X ?д,
то существует ненулевой вектор v? Vтакой, что р (X)v—
=0 для любого Х?д. Если V конечномерно, то от-
отсюда выводится существование в V базиса, относительно
к-рого все р{Х) имеют треугольные матрицы с нуле-

вой диагональю (или, что то же, существует полный
флаг F—{Vi} в V, для к-рого р{Х) (F,-)CF;_i для всех
Xgg и i^i). Заключение Э. т. справедливо также
для любого представления р, для к-рого алгебра Ли
р (д) является линейной оболочкой нек-рого своего
подмножества, состоящего из нилыютентных эндомор-
эндоморфизмов и замкнутого относительно операции коммути-
коммутирования [4].
Алгебра Ли g наз. энгелевой, если любой
-X?i} является энгелееым элементом, т. е. если все
операторы ad X, X?q. нильпотентны или, что то же,
если для любого X найдется такое п, что
[X, [Х...[Х, Г]...] = 0
для любого У?д. Конечномерная алгебра Ли энгеле-
ва тогда и только тогда, когда она нильпотентна. Для
бесконечномерных алгебр нильпотентность не выте-
вытекает из энгелевости, однако конечно порожденная
алгебра Ли, в к-рой (ad Х)"=0 для нек-рого п (где п
не зависит от X), нильпотентна [3].
Лит.: [1] L i e S., E n g е 1 F., Theorie der Transformations-
gruppen, Bd 3, Lpz., 1893; [2] Killing W., «Math. Ann.»,
1888, Bd 31, S. 252—90; [3] L e v i t z k 1 J., «Bull. Amer.
Math. Soc», 1946, v. 52, p. 1033—35; [4] Джекобсон Н.,
Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [5] Б у р б а к и Н., Груп-
Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы
Ли, пер. с франц., М., 1976. В. В. Горбацевич.
ЭНДОМОРФИЗМ алгебраической сис-
системы — отображение алгебраич. системы А в себя,
согласованное с ее структурой. А именно, если А —
алгебраич. система, сигнатура к-рой состоит из мно-
множества Qp символов операций и множества Q^ сим-
символов предикатов, то Э. ф : А-*-А должен удовлетво-
удовлетворять следующим двум условиям:
l)<p(ai, ..., а„со) = ф (а-^).. .ф(я„)<о для любой
и-арной операции cogQf и любой последовательности
элементов at, . . ., ап системы А;
2) Р (аъ ..., ап)=>Я(а1ф, ..., а„ф) для любого
и-местного предиката Р ? Qp и любой последовательно-
последовательности элементов а1, . . ., ап?А.
Понятие Э. является частным случаем понятия го-
гомоморфизма двух алгебраич. систем. Для любой алге-
алгебраич. системы все ее Э. образуют моноид относитель-
относительно операции последовательного выполнения (суперпо-
(суперпозиции) отображений, единицей к-рого служит тождест-
тождественное отображение основного множества системы (см.
Эндоморфизмов полугруппа).
Э., для к-рого существует обратный, наз. автомор-
автоморфизмом алгебраич. системы. м. ш. Цаленко.
ЭНДОМОРФИЗМОВ КОЛЬЦО — ассоциативное коль-
кольцо End A =Hom(yl, А}, состоящее из всех морфизмов
А в себя, где А — объект нек-рой аддитивной катего-
категории С. Умножение в End А совпадает с композицией
морфизмов, а сложение — со сложением морфизмов,
определенным аксиомами аддитивной категории. Тож-
Тождественный морфизм 1,4 является единицей кольца
End A . Элемент ф из End А обратим тогда и только тог-
тогда, когда ф — автоморфизм объекта А. Если А ж В —
нек-рые объекты категории С, то группа Нот (А, В)
обладает естественной структурой правого модуля над
кольцом End А и левого модуля над кольцом End В.
Пусть Т : С-+С — ковариантный (соответственно
контравариантный) аддитивный функтор из аддитив-
аддитивной категории С в аддитивную категорию С. Тогда
для любого объекта Л из С функтор Т индуцирует есте-
естественный гомоморфизм (соответственно естественный
антигомоморфизм) End A-*-End(T(A)).
Пусть С — категория модулей над кольцом R. Для
7?-модуля А кольцо End А состоит из всех эндоморфиз-
эндоморфизмов абелевой группы А, перестановочных с умноже-

нием на элементы из R. Сумма эндоморфизмов ф, t|> оп-
редоляется формулой
Если R — коммутативно, то кольцо End А обладает
естественной структурой Д-алгебры. Многие свойства
модуля А могут быть охарактеризованы в терминах
кольца End А. Напр., модуль А неприводим тогда и
только тогда, когда End А является телом.
Произвольный гомоморфизм it ассоциативпого коль-
кольца К в End А наз. представлением коль-
ц а К (эндоморфизмами объекта Л). Если К — кольцо
с единицей, то накладывается дополнительное условие
яA) = 1л- Любое ассоциативное кольцо К обладает точ-
точным представлением в Э. к. нек-рои абелевой группы А.
Причем, если К — кольцо с единицей, то в качестве А
можно взять аддитивную группу кольца К, на к-рую
элементы из К действуют умножением слева. Если же
К — кольцо без единицы и К'— кольцо, получен-
полученное из К внешним присоединением единицы к К, то
в качестве А можно взять аддитивную группу коль-
кольца К'.
В случае абелева многообразия X наряду с кольцом
End A, являющимся конечно порожденным Z-моду-
Z-модулем, рассматривают алгебру эндоморфиз-
эндоморфизмов (алгебру комплексных умноже-
умножений) End" X=Q@W End X.
11л
Лит.: [1] Ф е й с К., Алгебра: кольца, модули и категории,
т. 1—2, пер. с англ,, М., 1977—79; 12] М а м ф о р д Д., Абеле-
вы многообразия, пер. с англ., М., 1971; [3] Итоги науки и
техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 21. М., 1983, с.
183—254. Л. В. Кузьмин.
ЭНДОМОРФИЗМОВ ПОЛУГРУППА — полугруппа,
состоящая из эндоморфизмов нек-рого объекта (мно-
(множества X, наделенного какой-либо структурой сг) с
операцией умножения (последовательного применения
выполнения преобразований). Объектом X могут быть
векторное пространство, топологич. пространство, ал-
гебраич. система, граф и т. д.; он рассматривается
обычно как объект нек-рой категории, причем, как
правило, морфизмами в этой категории являются отоб-
отображения, сохраняющие отношения структуры о (ли-
(линейные преобразования, непрерывные преобразова-
преобразования, гомоморфизмы и т. п.). Множество End X всех
эндоморфизмов объекта X (т. е. морфизмов на свои
подобъекты) является подполугруппой полугруппы Тх
всех преобразований множества X (см. Преобразова-
Преобразований полугруппа).
Полугруппа End X может нести в себе значительную
информацию о структуре а. Напр., если X, Y — век-
векторные пространства размерности ^2 над телами F
и И соответственно, то из изоморфизма полугрупп
End X и End У их эндоморфизмов (т. е. линейных пре-
преобразований) вытекает изоморфизм пространств X и У
(и в частности, изоморфизм тел Fb II). Нек-рые предупо-
рядоченные множества и решетки, всякое булево коль-
кольцо и нек-рые другие алгебраич. системы определяются
своими Э. п. с точностью до изоморфизма. Этот же
результат справедлив и для нек-рых модулей и полу-
полугрупп преобразований. Аналогичную информацию об
объекте X несут в себе и нек-рые собственные подпо-
подполугруппы полугруппы End X (напр., полугруппы гомео-
морфных преобразований топологич. пространства).
Нек-рые классы объектов X (напр., графы, топологич.
пространства) могут быть таким же образом охарак-
охарактеризованы своими полугруппами частичных эндомор-
эндоморфизмов, т. е. частичных преобразований множества
X, являющихся морфизмами их подобъектов.
Лит.: [1] Г л у с к и н Л. М., в кн.: Труды 4-го Всесоюз-
Всесоюзного математического съезда, т. 2, Л., 1964, с. 3—9; [21 3 ы-
к о в А. А., Теория конечных графов, Новосиб., 1969: 13]
М a g i 1 I К. D., «Semigroup Forum», 1975/76, v. 11, М Л,
р. 189—282; [4] Pelricli M., Rings and semigroups. В.—
N. Y., 1974. Л. М. Глускин.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД — см. Ритца метод.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО — неравенство,
тем или иным образом оценивающее энергии интеграл.
Лит.: [1] М и з о х а т а С, Теория уравнений с частными
производными, пер. с япон., М., 1977. А. Б. Иванов.
ЭНЕРГИИ ИНТЕГРАЛ — величина, представляю-
представляющая собой сумму кинетической и потенциальной энер-
энергий механич. системы в нек-рый момент времени.
Пусть, напр., в ограниченной области Q с кусочно
гладкой границей S для уравнения гиперболич. типа
|^M) — qu+F(x, t)^~Lu + F(x, t), A)
где
p?Ci(G), q?C(G), p(x)>Q, g(x
поставлена сметанная задача
), a(z)SsO, P(zMsO, a (z) + P (.r) > 0.
Классич. решение задачи B), C) — функция и(х, t)
класса C2(GX@, оо)) Л С1 (GX@, оо)), удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению A) в цилиндре GX @, оо), начальным
условиям B) на нижнем основании и граничным усло-
условиям C) на боковой поверхности цилиндра.
Справедливо соотношение
^$с f^ D)
где
Интегралом энергии наз. величина
Г~ <г)=т Sg [с DгJ +р I ?rad и I'
a
При F—0 равенство D) принимает вид
Физич. смысл Э. и. состоит в том, что полная энергия
колеблющейся системы при отсутствии внешних воз-
возмущений не меняется со временем (закон сохранения
энергии).
Лит.: [1] Владимиров В. С, Уравнения математи-
математической физики, 4 изд., М., 1981. А. Б. Иванов.
ЭНЕРГИЯ МЕР — понятие потенциала теории, яв-
являющееся аналогом физич. понятия потенциальной
энергии системы электрич. зарядов. Пусть для точек
х=(х1, . . ., хп) евклидова пространства IR", ^2
В(\х\)=\ \Xi A)
lFF^T при и=г3
— фундаментальное решение уравнения Лапласа и
= '\jH(\x-y\)dli(y) B)
— ньютонов (при п^З) или логарифмический (при
;г=2) потенциал борелевской меры \х, на R".
Ограничиваясь пока случаем ге^З, определяют
взаимную энергию неотрицатель-
неотрицательных мер (ihv равенством
(p., v)i
\^v(x)dii(x), C)

причем (fj., vM^0, но может оказаться ([i, v)=+oo.
Энергия меры [i>0 — это число (jx, ц), ()«:
«:(|х, Ili.)^:-!-00- Для мер ji, v произвольного знака
можно воспользоваться каноннч. разложениями ц=
=ji+—ц,-, v=v+—v~ (или любыми разложениями вида
^.=(хг—(я2, Цх^О, щЗзО) и определить взаимную Э. м.
равенством
(ji, v) = (ft<", v + ) + (,a-, v-)-(n + , v-)-(n-, v + ),
причем взаимная Э. м. может оказаться и отрицатель-
отрицательной, но
Совокупность ? всех мер с конечной энергией пре-
превращается в предгильбертово векторное пространство
со скалярным произведением (ц, v) и эяерг е т и-
ческой нормой Н(х||г= Y~(\i> М-)- При этом вы-
выполняются 1) неравенство Буняковского |(ц, v)|<:
<Нц|1е-1М1г и 2) принцип энергии: если
ilf*lle=Oi то Н-=0. А. Картан (Н. Cartan) показал, что
пространство 8 не является полным, но множество
8 + cz8 неотрицательных мер полно в 8.
Пусть К — компакт в R", п^З. Среди всех вероят-
вероятностных мер Я, на К, т. е. таких, чтоЯ.^0, Х(К)=1, суще-
существует экстремальная емкостная мера
%о с минимальной Э. м. (Хо, Яо), к-рая связана с емкостью
С (Л) компакта А" соотношением
(Я*, Я*) = J UKa (х) d\u (х) = gi- . D)
Если потенциал Ull(x) меры \х?8 допускает гради-
градиент с суммируемым квадратом, то имеет место равенство
с(п)\ЫеЩ\и^\\, E)
где
— норма Дирихле, а с (и) — (и — 2) 2л"/2/Г (и/2),
п ~^s 3. На самом деле равенство E) остается в силе
для любой меры |х??, причем норма Дирихле || f/M||
определяется при помощи соответствующего предель-
предельного перехода.
В случае плоскости R2 непосредственное применение
для определения Э. м. формулы C) с логарифмич. по-
потенциалом B) невозможно вследствие особого поведе-
поведения логарифмич. ядра A) на бесконечности. Пусть Q —
ограниченная область пространства R", гС^2, допуска-
допускающая функцию Грина g(x, у), и ц — борелевская мо-
мора на Q. Применяя в C) вместо потенциалов и^(х),
Uv (x) потенциалы Грина вида
получают при н^З определение Э. м., равносильное
данному выше для мер на Q, к-рое, однако, оказыва-
оказывается пригодным и при ге=2 с сохранением всех описан-
описанных свойств (причем сB)—2л).
Лит.: Ш Б р е л о М., Основы классической теории потен-
потенциала, пер. с франц., М., 1964; 12] У эр мер Д ж.. Теория
потенциала, пер, с англ., М., 1980; [3] Ландкоф Н. С,
Основы современной теории потенциала, М., 196В.
Е. Д. Соламепцев.
ЭННЕПЕРА ПОВЕРХНОСТЬ — алгебраическая ми-
минимальная поверхность, наложимая на поверхность
вращеяия. Ее яараметрич. уравнения:
x = ±-(us — За — Зш.-2), y = -^{3v-\-3u"v — ря),
г= — о—w )¦
На11дена Л. Оннепером (Л. Епперег, 1804).
М. И. Войцеховский.
ЭНТРОПИЙНАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИС-
СИСТЕМ — раздул оргодичесний теории, тесно связанный

с теорией вероятностей и теорией информации. При-
Природа :>той сняли в общпх чертах такова.
Пусть {Гг} - - динамнч. система (обычно измеримый
потоп или каскаО) с фазовым пространством W и ин-
инвариантной мерой [I. Пусть / : W-*R — измеримая
функция, а | — измеримое разбиение W на прообразы
/~1(с"), c?R (для дальнейшего достаточно рассматри-
рассматривать прообразы /, имеющей счетное, обычно даже ко-
конечное, число значении и соответствующие ?). Тогда
{<.-*/( 2»}
есть стационарный (в узком смысле слова) случайный
процесс с пространством элементарных событий W.
Обычным образом этот процесс можно рассматривать
как процесс {X-t(w)}, пространством элементарных со-
событий к-рого служит пространство Q выборочных функ-
функций со, снабженное надлежащей мерой \>, a Xf (co)= v>(t).
Отображение
является гомоморфизмом пространств с мерой (см.
определение в ст. Метрический изоморфизм), переводя-
переводящим {Г<} в сдвиги {Sf}, где {Stu>) (т) = со(?+т).
Процесс {Х({ы)} содержит нек-рую информацию об
исходной системе {?"(}. Это может быть даже полная
информация, пели я -- изоморфизм (тогда говорят, что
разбиение | — обра я у ю щ о е для системы {Tf};
если Т — автоморфизм, то разбиение наз. односто-
односторонне образующим для Т, если оно явля-
является образующим для каскада {Г", п^О}, и д в у с т о-
р о н н с образую щ и м для Т, если оно — обра-
образующее для {Г", /igz}). Однако {Х((со)} зависит также
от выбора /, т. е. прежде всего от % (конкретные зна-
значения / на элементах | здесь менее важны). Для эрго-
дической теории интересны те свойства индивидуального
процесса {Аг( (со)} или совокупности таких процессов
(получающихся при различных ?), к-рые являются свой-
свойствами самой системы {7\}. Однако выделить такие
свойства долго не удавалось либо они сводились к из-
известным.
Эту трудность удалось преодолеть в середине 50-х гг.
20 в. А. Н. Колмогорову, к-рый ввел принципиально
новый (неспектральный) инвариант — метрич. эн-
энтропию динамич. системы -- п подчеркнул роль воз-
возрастаю щ и х измеримых разбиений г| (уже кон-
континуальных), т. е. таких, для к-рых Т^г\ мельче
r\ (mod 0) при f>0. (Таким является разбиение, описы-
описывающее «прошлое» процесса {Х](ы)}.) (См. также К-си-
стема, Точный эндоморфизм.) Разработка этого круга
вопросов (включая вопрос о существовании и свойст-
свойствах образующих разбиений) составляет предмет Э. т. д. с.
в том виде, как она сложилась к сер. 60-х гг. (см. [1]).
Существенным добавлением к нему явилась более но-
новая и несколько более специальная теория Д. Орнстей-
на (D. Ornstein), в к-рой более непосредственным обра-
образом используются вспомогательные случайные процес-
процессы {Xf (о))} (см. [2]). Ввиду необходимости обеспечить
инвариантность относительно метрич. изоморфизма в
обеих частях Э. т. д. с, «колмогоровской» и «орнстей-
новской», вероятностные и теоретико-информационные
идеи выступают в существенно преобразованном виде.
Примером могут служить имеющиеся в Э. т. д. с.
два условия типа'«регулярности» случайного процесса.
Одно из них приводит к определению А'-систем. Дру-
Другое, более ограничительное --- очень слабая бернуллие-
вость. — оказывается необходимым и достаточным для
того, чтобы сдвиг в пространстве выборочных функций
был изоморфен Бернулли автоморфизму. Оно подда-
поддается проверке в ряде примеров, исходные определения
к-рых не имеют отношения к случайным процессам.
Лит.: Н] Р о х л и п В. А., «Успехи матом, наук», 1907,
т. L'li, в. Л, с. .4 — .'id; l^i О ji 11 с т е ii и Д., Эргодичеекая тео-

рия, случайность и динамические системы, пер. с англ., М.,
1978.
См. также лит. при статьях К-система, Энтропия, Эрео-
дическая теория. Д. В.'Аносов.
ЭНТРОПИЯ — теоретико-информационная мера сте-
степени неопределенности случайной величины. Если | —
дискретная случайная величина, определенная на
нек-ром вероятностном пространстве (Q, Щ, Р) и
принимающая значения х\, х2, . . . с распределением
вероятностей {pk, fc=l, 2, . . .}, р^—Р {\~xk}, то Э.
определяется формулой
НA) = -^1=1Рк\О?Рк A)
(при этом считается, что 0 log 0=0). Основанием лога-
логарифма может служить любое положительное число,
но обычно рассматривают логарифмы по основанию 2
или е, что соответствует выбору бит или н а т (нату-
(натуральная единица) в качестве единицы измерения.
Если \ и г\ — две дискретные случайные величины,
принимающие значения х±, х2, . . . и ух, ;/2, ... с
распределениями вероятностей {рк, к=1, 2, . . .} и
{<?у, /=1, 2, . . .} соответственно, и {pk\j, A;=l, 2, . . .}
— условное распределение | при условии, что Ц=у/,
/=1, 2, . . ., то (средней) условной Э. Я(||т))
величины | относительно т| наз. величина
,)=- 2;=1 gj s;= t Pkl i log Pk, Л B)
Пусть g= {gA, k=. . ., —1, 0, 1, . . .} — стационар-
стационарный процесс с дискретным временем и дискретным про-
пространством значений такой, что //(Е^^оо. Тогда Э.
(точнее, средней Э. на символ) Я(|) такого стационар-
стационарного процесса наз. предел
ЯF)= lim -На"), C)
п -> °°
где Н (t,n) — Э. случайной величины |"=(?х, . . ., t,n).
Известно, что предел в правой части [3] всегда суще-
существует и имеет место равенство
Я(Б)= lim ЯF„||„ ..., ?„_!>, D)
П —> да
где #(|в|!1( . . ., ?n-i) — условная Э. 5п относительно
5П~1=A1, . . ., i,,_i). Э. стационарных процессов на-
находит важные применения в теории динамич. систем.
Если ц и v — две меры на нек-ром измеримом про-
пространстве (Q, 9?), причем мера jx абсолютно непрерыв-
непрерывна относительно v и djx/dv — соответствующая про-
производная Радона — Никодима, то Э. II(d\i/dv) меры
(I относительно меры v наз. интеграл
Частным случаем Э. меры по мере является дифферен-
дифференциальная энтропия.
Из многих возможных обобщений понятия Э. для
теории информации одним из самых важных является
следующее. Пусть | и 1 — две случайные величины,
принимающие значения в нек-рых измеримых простран-
пространствах (ЗЁ, Ss) и (J, Sg) соответственно. Пусть зада-
заданы распределение р(-) случайной величины | и класс
W допустимых совместных распределений пары E, |)
в множестве всех вероятностных мер в произведении
(ИхЖ, $х X Sj ). Тогда l-F-э нтропией (или Э.
при заданном условии сообщений точности воспроизве-
воспроизведения W) наз. величина
где I (%, 5) — информации количество в | относительно
|, а нижняя грань берется по всем парам случайных
величин (^, 1) таким, что совместное распределение

p (•, •) пары (|, ?) принадлежит W, a ? имеет распреде-
распределение /?(•). Класс PF совместных распределении р (•, •)
часто задают с помощью нек-рой неотрицательной из-
измеримой действительнозначной функции р(.т, .г), ,г??,
ж?ЭЕ,—меры искажения следующим обра-
образом:
W = {p(., .):Ep(g, 1)<е}, G)
где е>0 — нек-рое фиксированное число. В этом
случае величину, определяемую равенством F), где
W задается G), называют е-э н т р о п и е и (или ско-
скоростью как функцией искажения)
и обозначают #е(|). Напр., если |=(?и . . ., |п)—
гауссовский случайный вектор с независимыми ком-
компонентами, Е?ь=О, k=i, 2, . . ., п, а функция
р(ж, .г), х=(.г,, . . ., ,г„), х=(хх, . . ., хп) имеет вид
то IIЕ (|) может быть найдена по формуле
Не (I) ~ -»" ^ь_ logmax
где Я определяется из уравнения
Если ? — дискретная случайная величина, простран-
пространства (ЭЕ, Ss ) и (J, Л'j-) совпадают, а функция р(х, ж)
имеет вид
(О, рели х — х,
Р (*, х) = \
\ 1, если х jz х,
то е-Э. при е=0 равна обычной Э., определяемой в
A), т. е. НА1)=Н{%).
Лит.: tlj Шеннон К., Математическая теория связи,
в сб.: Работы тю теории информации и ниОернетике.пер.с англ.,
М., 1963, с. 24.!—332; [2] Г а л л а г е р Р., Теория информации
и надежная связь, пер. с англ.. М., 1974; [3] Berber Т.,
Bate distortion theory, Englewood Cliffs (N. J.), 1971; L4] Б и л-
л и н г с л с й П., Эргодическая тео!зия и информация, пер. с
англ., М., 1969. Р. Л. Добругиин, В. В. Прелое.
ЭНТРОПИЯ измеримого разбиения ?
пространства с нормированной мерой: (X, \х) — поня-
понятие, определяемое следующим образом. Если элементы
разбиения g, имеющие меру нуль, образуют в совокуп-
совокупности множество положительной меры, то Э. измеримо-
измеримого разбиения //¦(|) = оо, в противном случае
где сумма берется по всем элементам |, имеющим по-
положительную меру. Логарифм — обычно двоичный.
Д. В. Аносов.
ЭНТРОПИЯ метрическая динамической сис-
системы — один из важнейших инвариантов в дргодиче-
ской теории. Основным является понятие 3. h(S) эн-
эндоморфизма S (см. Метрический изоморфизм) Лебега
пространства (A*, \i). Для любого конечного измери-
измеримого разбиения % существует предел (энтропия | на
единицу времени относительно S)
h(S, g)= lim -i-ff (IS),
П -f ос "
где ff(!) -- энтропия измеримого раябпенпя |, а
|VT) — разбиение?, элементы к-рого суть пересече-
пересечения элементов разбиений ?, и i] (это определение до-
дословно переносится на ? с У/(^)<оо; другим способом
h(S, |) определяется для любых измеримых |). Э. h(S)
определяют как верхнюю грань h(S, 1) по всевозмож-
всевозможным конечным измеримым ? (она может равняться оо;
использование всех" J; с //(*)<оо или всех измеримых §
дает ту же Э.).

Первоначально Э. была определена А. Н. Колмогоро-
Колмогоровым несколько иначе (см. [1]); приведенный выше вари-
вариант был дан позже (см. [2]). В основном случае апе-
апериодического автоморфизма пространства Лебега опре-
определения в конечном счете — эквивалентны [3].
Оказывается, что h(S")—nh(S), а если S — авто-
автоморфизм, то feE~1)=/jFT). Поэтому Э. каскада {Sn}
естественно считать h(S). Для измеримого потока
{5(} оказывается, что h(Sf) = \t\h(S1). Поэтому Э.
потока естественно считать ЛF\). Несколько иначе
определяется Э. для других групп преобразований с
инвариантной мерой (она уже не сводится к Э. одного
из преобразований, входящих в эту группу; см. [5],
[6]). Имеется модификация Э. для случая бесконечной
инвариантной меры [7]; еще одна модификация — А -
энтропия (где А — {кп} — возрастающая после-
последовательность натуральных чисел) — получается при
замене Щ на
s-^i v...v s~kni
и lim на lim (см. [8]).
Э. является инвариантом метрического изоморфизма
динамич. систем, принципиально отличным от извест-
известных ранее инвариантов, в основном связанных со
спектром динамической системы. В частности, с по-
помощью энтропии Бернулли автоморфизмов (см. [1])
впервые установлено существование неизоморфных
эргодич. систем с одинаковым непрерывным спектром
(что контрастирует с ситуацией для дискретного спект-
спектра). В более широком плане роль Э. связана с тем, что
вместе с ней в эргодич. теории возникло новое направ-
направление — энтропийная теория динамич. сис-
систем (см. [3], [4] и эргодическая теория).
Э. дает нек-рую среднюю характеристику скорости
перемешивания множества малой меры (точнее, набора
таковых, образующих разбиение). Наряду с этой «гло-
«глобальной» ролью Э. играет и «локальную» роль, к-рая
устанавливается эргодической теоремой
Бреймана (индивидуальная эрго-
дическая теорема теории информа-
ц и и): для эргодического S при почти всех х
i|lg|i(C?g(z))|-+ft(S, I) при п—> оо,
где Сц (х) — элемент разбиения ц, содержащий х,
а логарифм берется по тому же основанию, что и в
определении Н (см. [9], [4]). (Теорема Бреймана верна
для \ с Л(!)<оо [Ю], но, вообще говоря, неверна для
счетных \ с #(?) = оо [11]; имеются также варианты с
неэргодическим S (см. [4], [12]) и бесконечной jx [13].
Более слабое утверждение о сходимости в смысле
L1 доказано для нек-рого общего класса групп преоб-
преобразований [б].1
Для гладких динамич. систем с гладкой инвариант-
инвариантной мерой установлена связь между Э. и Ляпунова ха-
характеристическими показателями уравнений в вариа-
вариациях (см. [14] — [16]).
Название «Э.» объясняется аналогией Э. в теории
динамич. систем с Э. в информации теории и стати-
стич. физике, вплоть до совпадения этих Э. в нек-рых
примерах (см., напр. [4], [17]). Аналогия со статистич.
физикой явилась одним из стимулов введения в эрго-
эргодич. теорию (уже не в чисто метрич. контексте, а для
топологических динамических систем) новых поня-
понятий — «гиббсовских мер», «топологического давления»
(аналог свободной энергии) и «вариационного принципа»
для последнего (см. лит. при статьях У-система,
Топологическая энтропия).
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., «Докл. АН СССР»,
1958, т 119 № 5, с. 861—64; 1959, т. 124, № 4, с. 754—55;
[21 Синай Я. Г., там же, 1959, т. 124, J4» 4, с. 788—71;
E.'ij Рохлин В. А., «Успехи матем. паук», 1967, т. 22, в. 3,
с. 3—56; [4] Биллингс л ей II., Эргодическая теория и
информация, пер. с англ., М., 1969; [5] С а ф о н о в А. В.,

«Изв. АН СССР. Сер. матем.» 1983 т. 47 Ml 2, с. 421—26;
[6J К i e f f e r J. С, «Ann. Probab.», 1975, v. 3, № в, p. 1031 —
37; t7j К г е n g о 1 и., «Z. Wahrseheinlichkeitslheor. und verw.
Geb.», 1967, Bd 7, Ms 3, S. 161—81; l8]K у ш н и р е н к о А. Г.,
«Успехи матем. наук», 1967, т. 22, в. 5, с. 37—6.г>; [9] В г е i-
m a n L., «Ann. Math. Statistics», 1957, v. 28, Ml 3, p. 809 — 11;
1960, v. 31, № 3, p. 809—10; [10] Chung K. L., там же, 1961,
v. 32, № 3, p. 612—14; [11] Пицкель Б. С, «Проблемы
передачи информации», 1976, т. 12, Ml 2, с. 98—103; [12] I о n e s-
с u-T u 1 с е a A., «Arkiv mat.», 1961, Bd 4, Н. 2—3, №18,
S. 235—47; [13] К 1 i m k о E. M., Su с he s ton L., «Z. Wahr-
scheinlichkeitstheor. und verw. Geb.», 1968, Bd 10, MS 3, S. 226—
35; [14] Миллионщиков В. М., «Дифференциальные
уравнения», 1976, т. 12, Ml 12, с. 2188—92; [15] Лесин Я. Б.,
«Успехи матем. наук», 1977, т. 32, в. 4, с. 55 — 112; [16] 1а-
Я ё В., «Ergodic theory and dynamical systems» 1981, v. 1, № 1,
p. 95—102; [17] Robinson D. W., R u e 1 1 e D., «Commun.
math.-phys.», 1967, v. 5, MS 4, p. 288 — 300. Д. В. Аносов.
с-ЭНТРОПИЯ множества в метрическом пространст-
пространстве — двоичный логарифм наименьшего числа точек
Е-сети для этого множества. Иначе говоря, е-Э.
Ж г (С, X) множества С, лежащего в метрич. пространст-
пространстве (X, р), равна.
C, X),
где
Ne(C, X) = inf{n|3*i, ¦ •-, *н, х&Х
Сси?=1Я(ч, <•)}, а ВЦ, «) = {*€* 1Р(*>
шар с центром в точке Z, радиуса а. Определение вели-
величины ?%г (С, X) было дано А. Н. Колмогоровым [1J,
исходившим от нек-рых идей и определений информа-
информации теории. Величину Жг(С, X) наз. также отно-
относительной е-э нтропией; она зависит от
пространства X, в к-ром находится множество С,
т. е. от метрич. расширения множества С. Величина
Жг(С) = ЫЖг(С, X),
где нижняя грань берется по всем метрич. расшире-
расширениям X пространства С, наз. абсолютной е-э н т-
р о н и е й множества С. Величина Жг (С) допускает и
прямое определение (также предложенное А. Н. Колмо-
Колмогоровым [1]): для метрич. пространства С величина
Жг (С) есть двоичный логарифм мощности Ne (С) наи-
наиболее экономного (по числу множеств) 2е-покрытия С.
При этом система множеств {С,} наз. 2е-покрытием С,
если С id С, \Jl=iCi = C и диаметр каждого множества
не превосходит 2е. Доказано [2] минимальное свойство
абсолютной е-Э. Величины NE (С), Ne (С, X) суть ве-
величины, обратные к поперечникам е^ (С) и едт (С, X),
характеризующим наилучшие возможности восстанов-
восстановления элементов из С с помощью таблицы из N эле-
элементов и наилучшие возможности аппроксимации N-
точечными множествами. Исследование асимптотики
е-Э. различных функциональных классов составило
специальный раздел теории приближений.
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., «Докл. АН СССР»,
1956, т. 108, Ks 3, с. 385—88; [2] В и т у ш к и н А. Г., Оценка
сложности задачи табулирования, М., 1959; [3] Колмого-
Колмогоров А. Н., Тихомиров В. М., «Успехи матем. наук»,
1959 т. 14 в. 2 с. 3—86. В. М. Тихомиров.
ЭПИДЕМИИ ПРОЦЕСС — случайный процесс, слу-
служащий математич. моделью распространения какой-
либо эпидемии. Одна из простейших таких моделей
описывается марковским процессом с непрерывным
временем, состояния к-рого в момент t описываются чис-
числом (хх(г) больных особей и числом ]x2(t) восприим-
восприимчивых особей. Если ji1(<) = m, |12(г) = га, то за время
(t, г+А<),_ Дг->-0, вероятности переходов определяются
следующим образом: (т, и)->-(т+1, п — 1) с .вероятно-
.вероятностью XmnAt-\-o(At); (т, п)-+(т — 1, п) с вероятностью
|1тгеД?+о(Л?). В этом случае производящая функция
F(t; х, y) = Ex^<t)y>lllt)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
В. А. Севастьянов.

ЭПИМЕНИДА ПАРАДОКС — то же, что антиномия
Эпименида.
ЭПИМОРФИЗМ — понятие, отражающее алгебраич.
свойства сюръективных отображений множеств. Мор-
фиам п : А-+В категории ЭД наз. э н и м о р ф и з-
м о м, если из равенства яа=.тхE следует равенство
а=р. Другими словами, Э.— это сократимый слева
морфизм.
Всякий изоморфизм является Э. Произведение двух
Э. является Э. Поэтому все Э. ироизвольнои категоряи
5R образуют подкатегорию в Ш (обозначаемую Epi Щ).
В категориях множеств, векторных пространств,
групп, абелевых групп Э.— это в точности отображе-
отображения, линейные отображения, гомоморфизмы одного
множества, векторного пространства или одной груп-
группы на другое множество, векторное пространство или
другую группу. Однако в категориях топологич. про-
пространств или ассоциативных колец существуют не-
сюръективные Э. (т. е. не являющиеся отображени-
отображениями «на»).
Понятие Э. дуально понятию мономорфизма.
М. Ш. Цаленко.
ЭПИЦИКЛОИДА — плоская кривая, траектория
точки окружности, катящейся но другой окружности и
имеющей с ней внешнее касание. Параметрич. уравне-
уравнения:
где г — радиус катящейся окружности, R — радиус
неподвижной окружности, 6 — угол, стягиваемый ду-
дугой между точками касания окружностей (см. рис.).
В зависимости от величины моду л я m=R/r полу-
получаются Э. различной формы. При т=1 Э.— кардиоида,
при т целом кривая состоит из т непересекающихся
ветвей. Точки возврата Аг, А2, ¦ ¦ ., Ат имеют поляр-
полярные координаты р=Л, cp=2fcrt/m, k=0, 1, . . ., т—1.
Вершины кривой В1у В2, . . ., Вт имеют координаты
p=R-\-2r, ф== ~ (к+ 4") • ^Ри т Дробном ветви пере-
перекрещиваются; при т иррациональном число ветвей
бесконечно, точка М в исходное положение не возвра-
возвращается; при т рациональном Э.— замкнутая алгебра-
алгебраич. кривая. Длина дуги от точки A±.
s = 8Rm A -|- т) sin2 -г-,
длина дуги от точки В^.
ft
m) cos — .
Площадь сектора, ограниченного двумя радиус-век-
радиус-векторами кривой и дугой кривой:
S = тп (R + mR) (R + 2mR).
Радиус кривизны:
4J?m(l+m) . 6
sm
Г ъ =
Если точка находится не на катящейся окружности, а
лежит вне (внутри) ее, то кривая наз. удлиненной

(укороченной) эпициклоидой или
эпитрохоидой (см. Трохоида). Э. относится
к т. н. циклоидальным кривым.
Лит.: El] С а в е л о в А. А., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
ЭРАТОСФЕНА РЕШЕТО — метод, разработанный
Эратосфеном C в. до н. э.) и позволяющий отсеивать
составные числа из натурального ряда. Сущность
Э. р. заключается в следующем. Зачеркивается единица.
Число 2 — простое. Зачеркиваются все натуральные
числа, делящиеся на 2. Число 3 — первое незачеркну-
тое число — будет простым. Далее зачеркиваются все
натуральные числа, к-рые делятся одновременно и
на 2 и на 3. Число 5 — первое незачеркнутое число —
будет простым. Продолжая аналогичные вычисления,
можно найти сколь угодно большой отрезок последо-
последовательности простых чисел. Э. р. нашло развитие в
других более сильных методах решета (см., напр., Вру-
Вруна решето). Б. Ш. Бредихин.
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА — см. Эргодическая
теория.
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ, метрическая те-
теория динамических систем, — раздел
теории динамических систем, изучающий системы с
инвариантной мерой и смежные вопросы.
1) В «абстрактной», или «общей», части Э. т. рас-
рассматриваются измеримые динамич. системы. В наиболее
общем смысле это тройки (W, G, F), где W — измери-
измеримое пространство («фазовое пространство»), G — ха-
усдорфова локально компактная группа (или полугруп-
полугруппа) со счетной базой, a F — измеримое отображение
GX W-+W, определяющее (левое) действие G на W:
если w?W, e — единица G и g, h?G, то (при мульти-
мультипликативной записи операций в G) F(e, w)=w и
F(gh, w) = F(g, F (h, w)). (*)
[Подразумевается, что GXW снабжено структурой
измеримого пространства как прямое произведение G
и W, причем в G измеримыми считаются борелевские
множества. При сделанных предположениях о G раз-
различные варианты последнего понятия (см. Вореля мера,
Бара множество) оказываются эквивалентными.]
Обозначая преобразование w\—>F(g, w) через Tg,
можно записать (*) в виде Тgh=TgFh. (Можно рас-
рассматривать и правое действие, для него Tgh=ThTg.)
За исключением тех случаев, когда специально обсуж-
обсуждается вопрос о существовании инвариантной меры
(возможно, с определенными специальными свойства-
свойствами), в Э.т. обычно считают, что W является простран-
пространством с мерой (Л, к-рая сг-конечна или конечна и инва-
инвариантна относительно Т g: если 4с W—измеримое мно-
множество, то \i(Tg1A)=yi(A). Конечную меру обычно
нормируют; чаще всего (W, jx) есть Лебега пространство.
Что касается G, то основными являются случаи G=%
или N (каскад) и G = R (поток). О них можно говорить
как о случаях с «классич. временем» (дискретным или
непрерывным), в соответствии с тем смыслом, к-рый ре-
реально может иметь g в конкретных примерах. [По ана-
аналогии и в других случаях иногда говорят о «времени»
(уже «неклассическом»): не будучи временем в обычном
смысле слова, оно может иметь иной физич. смысл,
означая, напр., пространственные сдвиги трансляцион-
но инвариантной физич. системы. Э. т. развита в
особенности для аменабельных (тем более коммутатив-
коммутативных) G; в ряде отношений (хотя и не во всем) в этом
случае имеется аналогия с случаем классич. времени.
Для неаменабельных G ситуация иная; она изучена ху-
хуже.] Ниже рассматривается основной случай: {Т^} —•
измеримый поток или каскад в пространстве Лебега
(W, \и), сохраняющий ц,.
В «абстрактной» Э. т. изучаются как различные ста-
тистич. свойства динамич. систем, отражающие их
поведение на больших отрезках времени (напр., эрго-

дичностъ, перемешивание), так и вопросы, связанные
с метрич. классификацией систем (классификацией от-
относительно метрического изоморфизма), причем эти
две группы вопросов оказываются тесно связанными.
Поскольку неэргодич. системы разлагаются на эргодич.
компоненты (ссылки см. в статье Метрическая тран-
транзитивность), то обе группы вопросов в основном надо
исследовать для эргодич. систем. Основная часть «аб-
«абстрактной» Э. т. охватывается следующими шестью
направлениями.
а) Оформление Э. т. в самостоятельный раздел свя-
связано с эргодической Неймана теоремой, Биркгофа
эргодической теоремой и осознанием их метрич. при-
природы. В дальнейшем появились различные модифика-
модификации и обобщения этих теорем, зачастую уже не обяза-
обязательно связанные с динамич. системами (в этом смысле
они выходят за рамки Э. т.), они тоже наз. эрго-
эргодич е с к и м и теоремами (см. Максимальная
эргодическая теорема, Операторная эргодическая те-
теорема, Орнстейна — Чекона эргодическая теорема).
Но их разработка для самой Э. т. имела уже меньшее
значение.
б) Спектральная теория динами-
динамических систем, т. о. исследование вопросов,
связанных со спектром динамической системы.
в) Энтропийная теория динамических систем.
г) Аппроксимация периодическими преобразованиями.
д) Замена времени и монотонная эквивалентность
(эквивалентность К а к у т а н и).
е) Траекторная теория и смежные вопросы.
Для приложений наиболее важными являются нап-
направления б) и в). Применительно к потокам идея д) и
е) состоит, грубо говоря, в том, чтобы отделить те
свойства потока, к-рые зависят от расположения тра-
траекторий в фазовом пространстве, от свойств, завися-
зависящих от параметризации траекторий посредством вре-
времени. Различие между д) и е) состоит в том, что в д)
траектория рассматривается как непрерывная кривая
с выделенным положительным направлением и соот-
соответственно ограничивается класс допускаемых пара-
параметризаций, тогда как в е) траектория рассматривается
просто как множество точек и соответственно параме-
параметризации могут быть разрывными и не обязаны быть
монотонными относительно друг друга. Ниже даны
точные определения.
Замена времени в потоке {71/} состоит в
переходе к новому потоку {Ss}: время, ;sa к-роо точка
w попадет в положение Ttw, для нового потока равно
St 1
a(Txw)dT, где а, — ?L1(H/, ц,), а>0 mod 0 (поток
0 "' с 1
{Ss} имеет инвариантную меру Х(А)—\ —du.). Гово-
Говорят, что {Tf} и {Ss} монотонно а к в и в а-
л о н т н ы. Равносильное определение: два потока
монотонно эквивалентны, если они метрически изо-
изоморфны специальным потокам, построенным по одно-
одному и тому же автоморфизму пространства с мерой (и,
вообще говоря, различным положительным функциям).
Автоморфизмы Т, S (равно как и каскады {Тп}, {S"})
наз. монотонно эквивалентными, если
Т и S метрически изоморфны специальным автоморфиз-
автоморфизмам, построенным по одному и тому жо автоморфизму.
Динамич. системы т р а о к т о р н о э к в и в а л е н т-
н ы, если существует мотрич. изоморфизм их фазовых
пространств, переводящий траектории одной системы
в траектории другой (как множества точек).
В д) рассматриваются вопросы: насколько сильно
могут измениться свойства потока при замене времени;
п частности, нельзя ли посредством замены обеспечить,
чтобы новый поток имел какое-нибудь специальное
свойство (вопрос может ставиться в общем случае или
для конкретного потока; замена времени может быть

подчинена каким-нибудь специальным условиям); что
можно сказать о классификации систем относительно
монотонной эквивалентности.
Траекторная эквивалентность для систем с «клас-
«классическим» временем неинтересна: если инвариантная
мера непрерывна, то любые два эргодич. потока или
каскада траекторно эквивалентны. Однако для систем
с «неклассическим» временем траекторная эквивалент-
эквивалентность приводит к содержательной теории.
2) В «прикладной» части Э. т. рассматриваются
разнообразные конкретные динамич. системы (и классы
таковых), возникающие в различных областях матема-
математики, а также в физике. [Исторически зарождение
Э. т. связано со статистич. физикой (см. Динамическая
система, Статистической физики математические
задачи). Ныне наметились новые связи с этой дисцип-
дисциплиной; см., напр., о гиббсовских мерах в последней
статье.] Здесь для рассматриваемых систем изучаются
те же вопросы о статистич. свойствах и классификации,
что и в 1), однако теперь нельзя считать с самого нача-
начала, что рассматриваемая система эргодична. Напро-
Напротив, выяснение вопроса о ее эргодичности — обычно
необходимый (и нередко трудный) этап исследования,
даже если в конечном счете устанавливается наличие
более сильных статистич. свойств.
Имеются и такие случаи (в теории чисел и статис-
статистич. физике), когда речь идет но о применении поня-
понятий или результатов Э. т., а об использовании сооб-
соображений, в каком-то отношении родственных имею-
имеющимся в Э. т. Наконец, идеи теории динамич. систем, и
в частности Э. т., привлекаются для интерпретации ре-
результатов нек-рых численных экспериментов (см. Стран-
Странный аттрактор).
Лит.: [1] X о п ф Э., «Успехи матем. наук», 1949, т. 4, в. 1,
с. 113—82; [2] Р о х л и н В. А., там же, 1949, т. 4, в. 2, с. 57 —
128; [3] X а л м о ш П., Лекции по эргодической теории, пер.
с англ., М., 1959; [4] «Успехи матем. наук», 1967, т. 22, в. 5,
с. 3—172; [5] Б и л л и н г о л с й И,, Эргодическая теория и
информация, пер. с англ., М., 1969; [6] В ер шик А. М.,
Ю з в и н с к и й С. А., в кн.: Итоги науки. Математический
анализ. 1967, М., 1969, с. 133—87; [7] Сипай Я. Г., Введение
в иргодическую теорию, Ер., 1973; [8] К а т о к А. Б., С и-
и а й Я. Г., С т е п и н А. М., в кн.: Итоги науки и техники.
Математический анализ, т. 13, М., 1975, с. 129—262; [9] О р н с-
тейн Д., Эргодическая теория, случайность и динамические
системы, пер. с англ., М., 1978; 110] Корнфельд И. II.,
Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория, М.,
1980. Д. В. Аносов.
ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕКОММУТАТИВ-
НЕКОММУТАТИВНАЯ — раздел теории операторных алгебр, изучаю-
изучающий автоморфизмы С*-алгебр с точки зрения эргодиче-
эргодической теории.
Круг вопросов, рассматриваемых в Э. т. н., и полу-
полученные (к 1984) результаты можно в основном разде-
разделить на три группы. К первой группе относятся ре-
результаты, связанные с построением полной системы
инвариантов внешней сопряженности (автоморфизмы
0! и 62 наз. внешне сопряженными, если
существует такой автоморфизм а, что Ojoej'o-1 есть
внутренний автоморфизм). Соответствующая задача
классификации решена (см. [1!) для аппроксимативно
конечных факторов типа II и для факторов типа 1Н\,
0<К<1 (см. [2]).
К другой группе относятся работы, посвященные
исследованию свойств равновесных состояний (под
состоянием алгебры понимают положительный
линейный нормированный функционал на алгебре),
инвариантных относительно однопараметрич. групп ав-
автоморфизмов. В частности, в них рассматриваются во-
вопросы существования и единственности гиббсовских
состояний (см. |3]). К этой группе вопросов примыкают
исследования по некоммутативным обобщениям эрго-
эргодич. теорем (см., напр., [4], [5]).
Третью группу составляют результаты, относящие-
относящиеся к энтропийной теории автоморфизмов. Построен

[6] инвариант автоморфизмов конечной И^-алгебры
(см. Неймана алгебра), обобщающий энтропию мет-
рич. динамич. системы. Исследована [7] энтропия ав-
автоморфизмов произвольной РР*-алгебры относительно
состояния ф.
Лит.: [1] Gonnes A., «Ann. sci. Eeole norm, super.»
1975, t. 8, p. 383—419; [2) V о ;i о д с ц В. Я., «Успехи матем.
наук», 1978, т. 33, в. 1, с. 43—94; Гз1 Araki H., «Lecture
Notes in Math.», 1978, № 650, l>. 66—84; L4] Синай Я. Г.
Аншелевич В. В., «Успухи матем. наук», 1!OВ, т. lil
в. 4, с. 151—67; [5] L a n с с Е. С, «Invent, math.», 1976, t. 37
p. 201—14; [6] Connes A., SUrmcr E., «Acta math.»
1975, v. 134, p. 289 — 306; [7] С т е п и и А. М., Шухов А. Г.
«Изв. ВУЗов. Математика», 1982, Jw 8, с. 52—60.
A. M. Cmenmi.
ЭРГОДИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО в фаяовом про-
пространстве X (являющемся метризуемым компактом)
топологической динамической системы {6'f} (потока
или каскада), отвечающее нормированной ургодиче-
ской инвариантной .мере и,-- .множество точек xgA",
для к-рых:
а) при любой непрерывной функции / : X-+R
«временное среднее»
4- JI 1 (ЗД dt —* [х / du. при Т —> ос ¦
П) U,(C)>0 ДЛЯ Любой ОКРЕСТНОСТИ V ТОЧКИ X.
Точка, для к-рой при любой непрерывной / сущест-
существует предел временного среднего в а), наз. к в а з и р е-
г у л я р н о й. Для такой точки этот предел имеет
вид \ fd\i, где |i — нек-рая нормированная инвариант-
инвариантная мера, однако не обязательно эргодическая. Если
при этом выполняется б), то точка наз. точкой
плотности, а если jx зргодическая, то точка наз.
транзитивной; при выполнении обоих этих
условий она наз. регулярно й. Множество нере-
нерегулярных точек имеет меру пуль относительно любой
инвариантной нормированной меры. Разбиение мно-
множества регулярных точек на Э. м., отвечающие различ-
различным (х, представляет собой наиболее сильную реализа-
реализацию идеи о разложении динамич. системы на эргодич.
компоненты (требующую и наиболее сильных ограни-
ограничений на систему).
Э. м. введены il. Н. Коголюбовым и Н. М. Крыло-
Крыловым [1], другие изложения и обсуждении различных
обобщений и смежных вопросов см. в лит. при статьях
Инвариантная мера, 1) и Метрическая транзитив-
транзитивность.
Лит.: И] Боголюбов Н. Н., Избу, труды, г. 1, К.,
1969, с. 411—63. Д. В. Аносов.
ЭРГОДИЧНОСТЬ динамической сие т е-
м ы — свойство, рассматриваемое в эргодической, тео-
теории. Первоначально оно определялось для каскадов
{Г*} и потоков {Tf} с конечной инвариантной .мерой ц
следующим образом: если па фазовом пространстве
W задана функция f?Lt(W, ц), то для почти каждой
точки w существует временное среднее вдоль траекто-
траектории этой точки, т. е.
или
Jim -p-
к-рое совпадает с пространственным сродним (т. с. с
If* г'
-w. \ fdfi). В этом случае говорят также об о р г о-
дичности меры и. В частности, для любого изме-
измеримого множества A cz W среднее время пребывания в
А траектории почти каждой точки пропорционально
\i(A) (на самом дело это свойство эквивалентно 0.).
Когда была доказана Ниркгофа оргодичеекпя теорема,
стало ясно, что 0. эквивалента метрической тран.ш-

тивности. В связи с этим стали говорить об Э., по-
понимая под ней метрич. транзитивность, в более общей
ситуации, когда уже не приходится говорить о совпа-
совпадении временных и пространственных средних (сис-
(системы с бесконечной инвариантной или квазиинвариант-
квазиинвариантной мерой, не только потоки и каскады, но и более
общие груипы и полугруппы преобразований).
Д. В. Аносов.
ЭРДЕША ЗАДАЧА — -задача о существовании в
гс-мерном евклидовом пространстве Еп множества то-
точек, каждые три из к-рых образуют нетупоугольный
треугольник (свойство Э р д е ш а), содержащего
более чем 2" элементов. Поставлена П. Эрдешом (см.
[1]); ил же было высказано предположение (доказан-
(доказанное в [2]), что задача имеет отрицательный ответ и
если множество, обладающее свойством Эрдеша, со-
содержит 2" элементов, то это может быть в том и только
в том случае, когда оно исчерпывает множество вер-
вершин «-мерного прямоугольного параллелепипеда из
Еп. Доказательство этого утверждения явилось реше-
решением и т. н. з а д а ч и К л и: чему равно число вер-
вершин т (К) многогранника КаЕп, каждые две верши-
вершины к-рого лежат в различных параллельных опорных
гиперплоскостях к многограннику К (свойство
К л и). Если множество NczEn обладает свойством
Урдеша, то выпуклая оболочка conv N множества jV
представляет собой многогранник М—conv N, облада-
обладающий свойством Или, и т (М) равно мощности мно-
множества N. Если многогранник К обладает свойством
Кли, то ni(K)<^l2n. Равенство т(К)=2п характеризует
п-мерный параллелепипед в множестве всех много-
многогранников, обладающих свойством Кли.
Э. з. связана с Хадвигера гипотезой: Ь(М)=т{М).
Лит.: 11] Е г d б s P., «Michigan Math. J.», 1957, JM& 't,
p. 291—300; H'DanuT L., G r u n b a u m В., «Math. Z.»,
1962, Bd 79, S. 1M — 99. Я. С. Солтан.
ЭРЛАНГА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, эрланговское
распределение,— сосредоточенное на @, оо)
распределение вероятностей с плотностью
где целое »>1 и действительное и.>0 — параметры.
Характеристич. функция Э. р. имеет вид
и матоматпч. ожидание и дисперсия — соответственно
1,'|1 и 1/геи2.
Э. р. есть специальный случай гамма-распределения'.
p(x)—ag%(a.x), где g^(y) есть плотность гамма-распре-
гамма-распределения при \=п и где а=п\х. При п=1 Э. р. совпа-
совпадает с показательным распределением с параметром [х.
Э. р. с параметрами п и ц, может быть найдено как
распределение суммы п независимых случайных ве-
величин, имеющих одинаковое показательное распреде-
распределение с параметром гщ. При и->оо Э. р. стремится к
вырожденному распределению, сосредоточенному в
точке 1/ц.
Выделение Э. р. из системы гамма-распределений
объясняется использованием Э. р. в теории массового
обслуживания. Во многих случайных процессах мас-
массового обслуживания Э. р. появляется как распреде-
распределение промежутков между случайными событиями
или как распределение времен обслуживания. Иногда
Э. р. наз. гамма-распределение с плотностью
гзг,*"-1»-1". х>0-
Названо по имени А. Эрланга (A. Erlang), построив-
построившего первые матоматич. модели в задачах массового
обслуживания. А- в- Прохоров.
Лит.: [i] С а а т и Г. Л., Элементы теории массового об-
обслуживания и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., М., 1971.

ЭРЛАНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА — единая точка пре-
прения на различные геометрии (напр., евклидову, аф-
аффинную, проективную), сформулированная впервые
Ф. Клейном (F. Klein) на лекции, прочитанной в 1872 в
ун-те г. Эрланген (Германия) и напечатанной в том же
году под назв. «Сравнительное обозрение новейших
геометрических исследований».
Сущность Э. п. состоит в следующем. Как известно,
евклидова геометрия рассматривает те свойства фигур,
к-рые не меняются при движениях; равные фигуры
определяются как фигуры, к-рые можно перевести
одну в другую движением. Но вместо движений можно
выбрать какую-нибудь иную совокупность геометрич.
преобразований и объявить «равными» фигуры, полу-
получающиеся одна из другой с помощью преобразований
этой совокупности; это приводит к иной «геометрии»,
изучающей свойства фигур, не меняющиеся при рас-
рассматриваемых преобразованиях. Введенное «равенство»
должно удовлетворять следующим трем естественным
условиям: 1) каждая фигура F «равна» сама себе; 2)
если фигура F «равна» фигуре /, то и F' «равна» /';
3) если фигура F «равна» F', a F' «равна» F", то и F
«равна» F". Соответственно отому надо потребовать,
чтобы рассматриваемая совокупность преобразований
была группой. Теория, к-рая изучает свойства фигур,
сохраняющихся при всех преобразованиях данной
группы, наз. геометрией этой группы.
Выбор различных групп преобразований приводит к
разным геометриям. Так, рассмотрение группы дви-
движений приводит к обычной (евклидовой) геометрии;
замена движения аффинными преобразованиями или
проективными преобразованиями приводит к аффинной
соответственно проективной геометрии. Основываясь
на идеях А. Кэли (A. Cayley), Ф. Клейн показал, что
принятие за основу группы проективных преобразова-
преобразований, переводящих в себя нек-рый круг (или произволь-
произвольное конич. сечение), приводит к неевклидовой геомет-
геометрии Лобачевского. Ф. Клейн ввел в рассмотрение до-
довольно широкий круг других геометрий, определяемых
подобным же образом.
Э. п. не охватывает нек-рых важных разделов гео-
геометрии, напр, риманову геометрию. Однако Э. п. имела
для дальнейшего развития геометрии существенное сти-
стимулирующее значение.
Лит.: [1] К л е й н Ф., Сравнительное обозрение новейших
геометрических исследований («Зрлангенскан программа»),
в кн.: Об основаниях геометрии, М., 195В; [2] его же, Эле-
Элементарная математика с точки зрения высшей, пер. с нем., 2 изд.,
т. 2, М.— Л., 1934; [3] е г о же, Высшая геометрия, пер. с
нем., М.— Л., 1939; [4] Е ф и м о в Н. В., Высшая геометрия.
6 изд., М., 1978. ВСЭ-3.
ЭРМИТА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА —
форма записи многочлена Нт (х) степени го, решающего
задачу интерполирования функции f(x) и ее производ-
производных в точках х0, хъ. . ., хп, т. е. удовлетворяющего
условиям:
Hm(xu) = j (х0), H'm(x0) = f (х0), ...
(хя) = / (хп), Нт (х„) = Г(ха), ...
Э. и. ф. может быть записана в виде:
1 1 г
ft! ill
(*-*,-л г °<*>
Ж*) lx=xi Ix-Xi)a

где Q(x)^(x —хо)а° (x-Xl)a'...(x-xn)a".
Лит.: [1] Б е р е з и и И. С, Жидков Н. II., Методы
вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966. М. К. Самарин.
ЭРМИТА МНОГОЧЛЕНЫ, многочлены Ч е-
бышева — Эр мит а,— многочлены, ортогональ-
ортогональные на интервале (—оо, оо) с весовой функцией h(x)—
=ехр(— х2). Стандартизованные Э. м. определяются
Родрига формулой
Наиболее употребительны формулы
tin +1 И = 2я#„ (x) — 2nlln.l
Н'п(х) = 2пНп_1(х),
11 (х)У
UnW — Zk = o ft! («-2ft)!
exp (Zxw-w*) = 2Г=0 Ц
Первые Э. м. имеют вид
) = 4г2 —2,
#4 (х) = 16i4—48л;2 +12, Я5 (ж) = 32i6—160л;3 + 120i,...
Многочлен 7зГ„ (г) удовлетворяет дифференциальному
уравнению у"—2ху' -f- 2пг/ = 0.
Ортонормированные Э. м. определяются равенством
Нп{х)-, _.
V «! 2« К я
Э. м. с единичным старшим коэффициентом имеют вид
Йп (х) = ^Нп (х) = Ц^ е*х* («-*)<»).
Ряды Фурье по Э. м. внутри интервала (—оо, оо)
аналогичны тригонометрич. рядам Фурье.
В математич. статистике и теории вероятностей при-
применяются Э. м., соответствующие весовой функции
ехр (—х2/2).
Определение Э. м. встречается у П. Лапласа [1|.
Подробное исследование атих многочленов опублико-
опубликовал П. Л. Чобышев в 1859 (см. [2]). Затем эти много-
многочлены изучал Ш. Эрмит [3]. В. А. Стеклов [4] доказал
плотность множества всех многочленов в пространстве
функций, квадрат к-рых интегрируем с весом h(x)=
=ехр(—х2) на всей оси.
См. также Классические ортогональные многочлены.
Лит.: [1] L а р 1 а с е P. S., «Mem. classe sci. math., phys.
iust France», 1810, p. 279—347; [2] Ч е б ы ш е в П. Л По:ш
собр. соч., т. 2, М,— Л., 1947, с. 335—41; [3] Н е г т i t e С h.
«С. г. Acad. sci.», 1864, t. 58, p. 93—100, 266—73; [4] С т с к-
лов В. А., «Изв. АН», 1916, т. 10, с. 403—16; [5] С у е-
т и и П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд
М., 1979. П. К. Суетин.
ЭРМИТА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное про
образование вида
erx*Hn(x)F(x)dx, re = 0, 1,2, ... ,
со
где Нп(х) — Эрмита многочлен степени п. Формула
обращения имеет вид
F ^=SrPs"^!^<;C) = //{/(n)}'
если ряд сходится. Э. и. сводит операцию

к алгебраической по формуле
Если функция F (х) ограничена вместе со всеми
производными до порядка р включительно, то
Э. п. введено также для специального класса обобщен-
обобщенных функций (см. [2]). Оно используется при решении
дифференциальных уравнений, содержащих оператор R.
Лит.: [ 1] D e b n a t h L., «Mat. vesnik», 1964, № 1, с. 285--
292; [2] 3 e м а н я н А. Г., Интегральные преобразования об-
обобщенных функций, пер. с англ., М., 1974.
Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.
ЭРМИТА ПРОБЛЕМА — задача об однородных ариф-
арифметических минимумах положительных re-арных квад-
квадратичных форм с действительными коэффициентами,
равносильная задаче о плотнейших решетчатых упаков-
упаковках n-мерных шаров одинакового радиуса (см. Геомет-
Геометрия чисел).
Пусть f=f(x), x?R",— положительная квадратич-
квадратичная форма над R определителя d=d(f)=det (/)^=0;
т (/) = inf / (х) = min / (ж)
хи%п xtl,"
хфО хфО
— ее однородный арифметич. минимум. Величина
Уп= sup -J^= max
p ^ Щ
/-п. кв. ф. {d (/)} '" /-п. кв. ф. {d (/)} 1п
наз. постоянной Эрмита; у„={у(Fn)}2, где
Fn(x)={x\-\-. . .^-x%I/n— лучевая функция, отвечаю-
отвечающая шару.
Первоначально под Э. п. понималась задача нахож-
нахождения или оценки 7п (сверху и снизу). Точные значе-
значения для у„ известны только для л<8 (см. [1], с. 318).
Оценки для у„ см. в [2], [1], § 38.
В дальнейшем под Э. п. стали понимать отыскание
локальных максимумов для rn(f)/{d(f)}'^n в простран-
пространстве коэффициентов и отвечающих им форм / —
предельных или экстремальных. Известны алгорит-
алгоритмы отыскания всех классов предельных форм. В част-
частности, алгоритм Вороного совершенных форм (см. [1],
13], [4]).
Проблема была поставлена Ш. Эрмитом (Ch. Hermite,
1850).
Лит.: [llLekkerkerker G. G., Geometry of numbers,
Groningen — [a. o.], 1969; [2] Роджерс К., Укладки и
покрытия, пер. с англ., М., 1968; [3] Делоне Б. Н., Петер-
Петербургская школа теории чисел, М.— Л., 1947; [4] Баранов-
с к и й Е. П., в кн.: Итоги науки. Математика. Алгебра. То-
Топология. Геометрия. 1967, М., 1969, с. 189—225.
А. В. Малышев.
ЭРМИТА ТОЖДЕСТВО — тождество, примененное
Ш. Эрмитом (Ch. Hermite, 1873) к нек-рым специально
построенным многочленам для доказательства транс-
трансцендентности числа е. В упрощенном виде Э. т.
где f(x) — многочлен от х, а
ЭРМИТА УРАВНЕНИЕ — линейное однородное
обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го по-
порядка
или, в самосопряженной форме,
dz \ dz

здесь Я, — константа. Замена неизвестной функции
w=u exp(za/2) приводит Э. у. к уравнению
а после замены переменных
из Э. у. получается Вебера уравнение
Э. у. при %=2п, где п — натуральное число, имеет
среди своих решений Эрмита многочлен степени п
Этим и объясняется название самого дифференциаль-
дифференциального уравнения. В общем случае решения Э. у. выра-
выражаются через специальные функции — функции
параболического цилиндра, или функ-
функции Вебера—Эрмита. И. X. Розов.
ЭРМИТА ФУНКЦИИ — решения Эрмита уравне-
уравнения
w"—2zw' + 2Xw = 0.
Э. ф. имеют вид
где Cj — контур в комплексной плоскости *, состоящий
из лучей (—с», —а), (а, +оо) и полуокружности \t\ =
=я>0, 1нЦ>0, С2=—С1. Полусумма этих решений
при целом Л = ге^0 равна Эрмита многочлену Hn(z).
Уравнением Эрмита наз. также уравнение
При v целом это уравнение имеет фундаментальную
систему решений Не (х), kev(x), где Uev(x) — много-
многочлены Эрмита, hev (х) суть Э.ф. 2-го рода, к-рые
выражаются через вырожденную гипергеомет-рическую
функцию:
п+4-; -§•: т
Справедливы тождества:
tfev (x) he'v (x)—hev (x) He'v(x) = v! ex*/2 ,
Hev (x) hev^ (x)—Hev-i (x) hev (x) = (v—1)!
Лит.: [1] К у р а н т Р., Гильберт Д., Методы мате-
математической физики, пер. с нем., 3 изд., т. 1, М.— Л., 1951;
121 К р а т ц е р А., Франц В., Трансцендентные функции,
пер. с нем., М., 1963. М. В. Федорюк.
ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР, симметрический
оператор,— линейный оператор А в гильбертовом
пространстве Л с плотной областью определения D (А) и
такой, что <_Ах, 2/>=<z, Ay> для любых х, y?D(A).
Это условие эквивалентно тому, что: 1) D (А)с
CZD(A*), 2) Ах=А*х для всех x?D(A), где А* —
оператор, сопряженный с А, т.е. что АаА*. Огра-
Ограниченный Э. о. либо определен на всем Л, либо по
непрерывности расширяется до такого и при этом
А=А*, т. е. А — самосопряженный оператор. Не-
Неограниченный Э. о. может как иметь, так и не иметь
самосопряженных расширений. Иногда эрмитовым наз.
самосопряженный оператор, сохраняя для оператора,
эрмитова в указанном выше смысле, название симмет-
симметрический. В конечномерном пространстве Э. о. описы-
описывается эрмитовой матрицей.

Лит.: [1] А х и е з с р Н. И., Г л а з м а н И. М., Теория
линейных операторов в гильбертовом пространстве, 3 изд.,
Хар., 1978; 121 Р ц с с Ф., С е к е ф а л ь в и - Н а д ь Б.,
Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М.,
1979. В. И. Соболев.
ЭРМИТОВА МАТРИЦА, эрмитово-симмет-
рическая матрица, самосопряжен-
самосопряженная м а т р и ц а,— квадратная матрица 4=||я;/г[|
над полом С, совпадающая со своей эрмитов о-
сопряженноп матрицей
т. е. матрица, элементы к-рой удовлетворяют условию
а,-?=а/;,-. Если все a[k^R, то Э. м. А —симмотрич^
матрица. Э. м. фиксированного порядка образуют
векторное пространство над полем R. Если А, В —
Э. м. одного порядка, то АВ-\-ВА—Э. м. Относительно
операции AoB — l/2 (AB-\-BA) Э. м. (порядка п) со-
составляют йорданову алгебру. Произведение АВ Э. м.
является Э. м. тогда и только тогда, когда А и В
перестановочны.
Э. м. порядка п служат матрицами эрмитовых пре-
преобразований л-мерного унитарного пространства в
ортонормированием базисе (см. Самосопряженное линей-
линейное преобразование). С другой стороны, Э. м.—это матри-
матрицы эрмитовых форм в re-мерном комплексном векторном
пространстве. Как и эрмитовы формы, Э. м. могут
быть определены над любым телом с антиинволюцией.
Все собственные значения Э. м. действительны.
Для каждой Э. м. А существует унитарная матрица
U такая, что U~lAU — диагональная действительная
матрица. Э. м. наз. неотрицательной (или
положительно полуопределенной),
осли все ее главные миноры неотрицательны, и п о л о-
жительно определенной, если все
они положительны. Неотрицательные (положительно
определенные) Э. м. соответствуют неотрицательным
(положительно определенным) эрмитовым линейным
преобразованиям и эрмитовым формам. а. л. Онищик.
ЭРМИТОВА МЕТРИКА — 1) О. м. в ком и л е к-
сном векторном пространстве V—по-
V—положительно определенная эрмитова форма в V. Про-
Пространство V, снабженное Э. м., наз. унитарным
(или комплексно евклидовы м, ил» у р-
м и т о в ы м векторным) пространством,
а Э. м. в нем — эрмитовым скалярным
произведением. Любые две Э. м. в V перево-
переводятся друг в друга автоморфизмом пространства F.
Таким образом, множество всех Э. м. в V является
однородным пространством группы GLn(C) и отож-
отождествляется GLn(C)IU(п), где «=dim V.
Комплексное векторное пространство F можно рас-
рассматривать как вещественное векторное пространство
1/R, снабженное оператором комплексной структуры
J (x)—ix. Если h — Э. м. п V, то форма g=Rf, h явля-
является евклидовой метрикой (скалярным произведением)
в V, а форма ш=1тй — невырожденной кососиммет-
рической билинейной формой в V. При этом g(Jx, Jy) =
=g(x, у), (d(Jx, Jy) = a(x, у), ш(х, y)=g(x, Jy). Лю-
Любая из форм g, со однозначно определяет h.
2) Э. м. в комплексном во к т о р и о м
расслоении я: Е-+М — функция g : p i—*¦ gp на
базе М, сопоставляющая точке р ? М эрмитову метри-
метрику gp в слое Е (p)=n~x(p) расслоения я и удовлетво-
удовлетворяющая следующему условию гладкости: для любых
гладких локальных сечений е, е' расслоения я функция
pi—*gp(ep, e'p) является гладкой.
В любом комплексном векторном расслоении су-
существует Э. м. Связность V 1! комплексном векторном
расслоении п на;), согласованной с О. м. ц, если g и
оператор / комплексной структуры в слоях рлеслоения
л ковариантно постоянны (т. с. V»—V/^O), иначе

говоря, если соответствующий параллельный перенос
слоев расслоения я вдоль кривых на базе является
изоморфизмом слоев как унитарных пространств.
Для любой Э. м. существует согласованная с ней связ-
связность, к-рая, вообще говоря, не единственна. В случае,
когда я есть голоморфное векторное расслоение над
комплексным многообразием М (см. Векторное анали-
аналитическое расслоение), существует единственная связ-
связность V расслоения л, согласованная с данной Э. м. и
удовлетворяющая следующему условию: ковариант-
ная производная любого голоморфного сечения е рас-
расслоения я относительно любого антиголоморфного
комплексного векторного поля X на М равна нулю
(каноническая эрмитова связность).
Форму кривизны этой связности можно рассматривать
как 2-форму типа A,1) на М со значением в расслоении
эндоморфизмов векторного расслоения я. Канонич.
связность можно рассматривать также как связность в
главном GL (п, С)-расслоении я : Р -*¦ М, ассоцииро-
ассоциированном с голоморфным расслоением я комплексной
размерности п. Она характеризуется как единственная
связность в я, горизонтальные подпространства к-рой
являются комплексными подпространствами касатель-
касательных пространств комплексного многообразия Р.
Лит.: [1J К о б а я с и Ш., Номидзу К., Основы диф-
дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1981; [2] Л и х-
нерович А., Теория связностей в целом и группы голоно-
мий, пер. с франц., М., I960; [3] У э л л с Р., Дифференциальное
исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М.,
1976; [4] В е й л ь А., Введение в теорию калеровых многооб-
многообразий, пер. с франц., М., 1961. Д. В. Алексеевский.
ЭРМИТОВА СВЯЗНОСТЬ — аффинная связность на
эрмитовом многообразии М, относительно к-рой кова-
риантно постоянны тензор <р комплексной структуры
и фундаментальная 2-форма Q = -г- ?ари>Р Л соа , сле-
следовательно и эрмитова форма <fe2 = gapooa(u . Если
аффинная связность на М задана локальными фор-
формами связности <л%= Г^у@7-(- Гр— a>V, то эти условия
выражаются в виде т~~ ш'р ~0, w2-=a>p, dga$=
= <»aS'YP + ?av@P На заданном эрмитовом многооб-
многообЭ
YP vP р
разии М существует одна и только одна Э. с, у к-рой
Га-=0
pv
Обобщением Э. с. является и о ч т и эрмитова
связность, к-рая определяется аналогичными ус-
условиями ковариантного постоянства тензоров <р'. и gn
с gk№№j — 8ij на почти эрмитовом многообразии М.
Почти Э. с. на заданном М существует с нек-рым про-
произволом, к-рый сосредоточен в ее тензоре кручения:
если тензоры кручения двух почти Э. с. совпадают, то
и сами связности совпадают. Например, существует
одна и только одна почти <г). с, у к-рой формы кручо
ния являются суммами «чистых» форм (т. е. форм типа
B,0) и типа @,2)), —вторая каноническая связность
Лихнеровнча.
Лит.: ШЛихнерович А., Теория связностей в целом
и группы голономий, пер. с франц., М., 1960; [2] Y а п о К.,
Differential geometry on complex and almost complex spaces
Oxf., 19G5. Ю. Г. Лумисте.
ЭРМИТОВА СТРУКТУРА на многообразии М — па-
пара (/, g), состоящая из комплексной структуры /
многообразия М и эрмитовой метрики g в касательном
расслоении ТМ, т. е. римановой метрики g, инвариант-
инвариантной относительно /:
g(JX, JY)=g(X, Y)
для любых векторных полей X, У на Л/. Я, с. задает в
каждом касательном пространстве ТрМ структуру
эрмитова векторного пространства (см. Эрмитова мет-
метрика). Многообразие с Э. с. наз. эрмитовым
многообразием. Э.с. определяет на М диффе-

ренциальную. 2-форму ш(.Х\ Y)=g(X, JY), к-рая наз.
канонич. 2-формой эрмитова многообразия. Любую
комплексную структуру J на многообразии М можно
дополнить нек-рой римановои метрикой g до Э. с. (/, g):
в качестве g можно взять метрику g {X, Y)—g0 (X, У)+
-{-ga(JX, JY), где g0 — произвольная риманова мет-
метрика.
Каноническую эрмитову связность эрмитовой мет-
метрики g можно рассматривать как аффинную связность
с кручением Т на М, относительно к-рой поля / и
g ковариантно постоянны. Среди всех аффинных связ-
ноетей, удовлетворяющих этим условиям, она однознач-
однозначно характеризуется тождеством T(JX, Y) = T(X, JY),
справедливым для ее тензора кручения Т и произволь-
произвольных векторных полей X, Y. Тензор кривизны R ка-
канонич. связности удовлетворяет условию R(JX, /У)=
=R(X, Y). Эрмитово многообразие является кэлеро-
вым многообразием тогда и только тогда, когда канони-
каноническая эрмитова связность не имеет кручения и совпа-
совпадает тем самым со связностью Леви-Чивита метрики g.
Естественным обобщением понятия Э. с. является
понятие почти эрмитовой структуры —
пары (/, g), состоящей из почти комплексной структу-
структуры J многообразия М и римановои метрики g, инвари-
инвариантной относительно /. Вели фундаментальная 2-фор-
ма ш(Х, Y)—g{X, JY) замкнута, то почти 0. с. наз.
почти кэлеровой. Задание почти '¦). с. равно-
равносильно редукции структурной группы касательного
расслоения к группе U(n), где и—1;2dim M. Любая
невырожденная дифференциальная 2-форма на многооб-
многообразии М является фундаментальной 2-формой нек-рой
почти Э. с.
Лит. см. при статье Эрмитова метрика.
Д. В. Алексеевский.
ЭРМИТОВА ФОРМА на лево м Н-ы одуле
X — отображение <р : XXX-+R, линейное по первому
аргументу и удовлетворяющее условию
ф(г/, ж)=ф(г, y)J . х
При этом R — кольцо с единицей, снабженное инволют-
ным антиавтоморфизмом /. В частности, tp является
полуторалинейной формой на X. Сам модуль X при
утом наз. эрмитовым про с т ране т в о м.
Аналогично тому, как это делается для билинейных
форм, для Э. ф. определяется эквивалентность
(в другой терминологии, и з о м е т р и ч н о с т ь) и,
соответственно, изоморфизм (и з о м с т р и я)
урмитовых провтранств (в частности, а в т о м о р-
ф и з м). Все автоморфизмы О. ф. (р образуют группу
?/(<р), называемую унитарной групиой, ас-
ассоциированной с 3. ф. ф; ее строение хорошо
изучено, когда R — тело (см. .Унитарная группа).
Э. ф. является частным случаем е-э р м и т о в о й
формы (е — элемент центра кольца /?), т. е. таком
полуторалинейной формы -ф па X, что
x) — ety(x, y)J , х, у?Х.
При е—1 в-эрмитова форма является Э. ф., а при ь= — 1
она наз. косоэрмитовой, или а н т п я р и и-
т о в о й, формой. Если /=1, то Э. ф.- ото симмет-
симметрическая билинейная форма, а косоэр.митова форма —
это кососимметрическая, или антисимлотрическая били-
билинейная форма. Если отображение
X~>llomR(X, R), yt->[u,
где fv(j-)={p{x, у) для любого х?Х, биемстшши, то
Э. ф. ip наз. пев i.i р о ж д о н н о и Э. ф., или э р м и-
т о в ы м скалярным п р о и а в е д с и и с м
на X.
Если Л' —свободный /f-модуль <; базисом '•{. ...,<¦,,,
то матрица \\a;j\\, где «,-/--Ф ('',-, с;), наз. матрицей
I), ф. ф в указанном базисе; опа является jpMumnmiu

матрицей (т.е. ац = ац). Э. ф. ф невырождена тогда
и только тогда, когда матрица (|о,-у|| обратима. Если
R— тело, char Л ф 2 и X конечномерен над R, то в X
существует ортогональный относительно ф базис (в к-ром
матрица Э. ф. диагональна).
Если R — коммутативное кчльцо с единицей, Ro=
= {r?R\rJ=r} и матрица Э. ф. ф определена, то опре-
определитель этой матрицы лежит в Яо. При замене базиса
в X этот определитель умножается на ненулевой эле-
элемент из R вида аа^, где а —обратимый элемент кольца
R. Указанный определитель, рассматриваемый с точ-
точностью до умножения на такие элементы, наз. детер-
детерминантом Э. ф., или детерминантом эр-
эрмитова пространства X; он является важным
инвариантом Э. ф., участвующим в классификации Э. ф.
Пусть R коммутативно. Тогда Э. ф. ф на X порождает
квадратичную форму Q{x)=tp{x, х) на X над Ro.
Рассмотрение таких форм лежит в основе конструкции
группы Витта кольца R с инволюцией (см. Витта
кольцо, Витта разложение, Витта теорема). В случае,
когда R — максимальное упорядоченное поле, на Э. ф.
распространяется инерции закон (и возникают связан-
связанные с ним понятия сигнатуры, индекса инерции, поло-
положительной и отрицательной определенности). Если R —
поле и 1Ф1, то R является квадратичным расширением
Галуа поля Ло, и изометричность двух невырожденных
Э. ф. над R равносильна изометричности порожден-
порожденных ими квадратичных форм над Ло: это сводит клас-
классификацию невырожденных Э. ф. над R к классифика-
классификации невырожденных квадратичных форм над Ro.
Если Л=С, а / — инволюция комплексного со-
сопряжения, то полную систему инвариантов Э. ф. на
конечномерном пространстве образуют ранг и сигна-
сигнатура соответствующей квадратичной формы. Если R —
локальное ноле или поле функций от одной переменной
над конечным полем констант, то полную систему ин-
инвариантов для невырожденной Э. ф. образуют ранг и
детерминант. Если R — конечное поле, то инвариант
только один — ранг. О случае, когда Я — алгеораич.
расширение поля Q, см. [3]. 0. ф. впервые рассмотрены
Ш. Эрмитом (Cti. Herniite, 1853) в связи с нек-рыми зада-
задачами теории чисел
Лит.: [П В у р б а к и Ы., Алгебра. Модули, кольца, фоу>-
мы, пер. с франц., М., 1966; 12] Д ь с д о и н е Ж., Геометрия
классических групп, пер. с франц., М., 1074; [3] М i I n с г J.,
Husem oiler D., Symmetric bilinear (orms, В.— [а. о.],
1972; [4] O'M e a r а О. Т., Introduction to quadratic forms,
3 ed., В.— [а. о.], 1Э73. В. л. Попов.
ЭРМИТОВО СИММЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО—
связное комплексное многообразие М с эрмитовой
структурой, каждая точка к-рогор?Л? является изо-
изолированной неподвижной точкой нок-рой голоморфной
инволютивной изометрии Sp многообразия М. Компо-
Компонента единицы G группы голоморфных иаометрий
пространства М транзитивна на М. Пусть К — ста-
стационарная подгруппа в G относительно нок-рой точки
О?М. Тогда М наз. пространством компактного или
некомпактного типа в соответствии с типом глобально
симметрического риманова пространства GlK. Каждое
Э. с. п. М является прямым произведением М=М0Х
ХЛ/-ХЛ/ + , где все сомножители есть односвязные
Э. с. п., Л?о—С", М- и М+ — пространства компакт-
компактного и некомпактного типа соответственно. Любое Э. с. гг.
компактного или некомпактного тина односвязно и яв-
является прямым произведением неприводимых Э. с. и.
Некомпактные неприводимые Э. с. п. совпадают с
пространствами вида GIK, где G — связная некомпакт-
некомпактная простая группа Ли с тривиальным центром, а К —
максимальная компактная подгруппа в С, имеющая
нрдискретный центр. Компактные неприводимые Э. с. п.
совпадают с пространствами вида GIK, где О — связ-
связная компактная простая группа Ли с тривиальным

центром, а К — максимальная связная собственная
подгруппа в G, имеющая неднскретный центр.
Э. с. и. некомпактного типа имеют следующее истол-
истолкование в теории функций многих комплексных пере-
переменных. Пусть С" есть га-мерное комплексное вектор-
векторное пространство. Ограниченной областью наз. огра-
ограниченное открытое связное подмножество пространства
С". Ограниченная область наз. симметриче-
симметрической, если каждая точка p?D является изолирован-
изолированной неподвижной точкой нек-рого инволютивного
голоморфного диффеоморфизма области D на себя.
Имеет место теорема: а) каждая ограниченная симмет-
симметрия, область D, будучи снабжена метрикой Бергмана
(см. Бергмана кернфункция, Однородная ограниченная
область), является Э. с. п. некомпактного типа, в ча-
частности, ограниченная симметрич. область обязательно
односвязна; б) пусть М — Э. с. п. некомпактного типа,
тогда существует ограниченная симметрич. область D
и голоморфный диффеоморфизм многообразия М на D.
Лит. см. при статье Симметрическое пространство.
А. С. Феденко.
ЭРМИТОВО ЯДРО — комплекснозначная функция
К (х, у), интегрируемая с квадратом на [а, Ь]Х[а, 6] и
удовлетворяющая условию (эрмитовой симмет-
симметричности)
Ж(х, у) = К(у, х) A)
для почти всех (х, у)?[а, b]X[a, b]. Черта в равенстве
A) означает переход к комплексно сопряженному
значению. Если Э. я. почти всюду не равно нулю, то
оно имеет по крайней мере одно характеристич. значе-
значение (собственное значение), т. е. существует такое чи-
число X, что уравнение
w(x)-X [Ь К(х, y)<p{y)dy=--0
имеет ненулевое решение (собственная функция, соот-
соответствующая числу X). Все характеристич. значения
Э. я. действительны и на любом сегменте может нахо-
находиться лишь конечное их множество. Собственные
функции Э. я., соответствующие различным характери-
характеристич. значениям, ортогональны между собой.
Существует ортонормированная (конечная или бес-
бесконечная) последовательность собственных функций
ф!, ф2, • . ., соответствующих характеристич. значе-
значениям 1^1 <|Х,2| <:. . . . Ряд
сходится в среднем на квадрате [а, Ь]Х[а, Ъ] к ядру
К. Если Э. я. непрерывно и ряд B) сходится равно-
равномерно в [а, Ь]Х[а, Ь], то его сумма равна К. Для того
чтобы система характеристич. значений и собственных
функций Э. я. была конечной, необходимо и достаточно,
чтобы ядро было вырожденным.
Все итерированные ядра Э. я. также являются Э. я.
Линейный интегральный оператор, порожденный
Э. я., является самосопряженным. Э. я. наз. полным
(или замкнутым), если система его собственных
функций полна в L2([a, Ъ}); в противном случае оно
наз. неполным. Э. я. наз. положитель-
положительным (отрицательным), если все его характе-
характеристические числа положительны (отрица-
(отрицательны). Полное положительное (отрица-
(отрицательное) ядро наз. положительно (от-
(отрицательно) определенным.
Отрезок [а, Ъ] можно заменить областью Q п-мерного
евклидова пространства.
Лит.: [1] Смирнов В. II., Курс высшей математики,
6 изд., т. 4, ч. 1, М., 1974; [2] В л а д и м и р о в B.C., Урав-
Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [3] Интеграль-
Интегральные уравнения, М.. 1968. Б. В. Хведеливзе.
ЭТАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ — наиболее важный при-
пример топологии Гротендика (см. Топологизированная кате-

I гория), позволяющий дать определение когомологич. и
гомотопич. инвариантов для абстрактных алгебраич.
многообразий и схем. Пусть X — схема. Э. т. на X
наз. категория Xet этальных Х-схем, объектами
к-рои служат зталъные морфизмы U-+X, а морфизма-
ми—• морфизмы Х-схем. Конечные семейства (/г-: Ui->-U)
такие, что U=\Jifi(Ui) объявляются покрытиями, и
тем самым в Xet вводится топология.
Предпучком множеств (групп, абелевых групп
и т.д.) на Xet наз- контравариантный функтор F из
категории Xet в категорию множеств (групп и т. д.).
Предпучок ,f~ наз. пучком, если для любого покры-
покрытия (ff. U[—> U) сечение s?of (U) определяется своим
ограничением иа U; и для всякого согласованного набора
сечений s,-?f~ (?/,-) существует единственное сечение
S€<F (U) такое, что /? (s) = s,-. На э т а л ьны е п у ч к и
на X (т. е. пучки на категории Xej) переносятся мно-
многие стандартные понятия пучков теории. Напр., если
/: X—>• Y—морфизм схем, а JF— этальный пучок на X,
то, полагая для Fgy
получают так наз. прямой образ /„.JF пучка §~
при морфизме /. Сопряженный слева к /„ функтор /*
наз. функтором обратного образа. В част-
частности, слоем пучка JF в геометрической точке
ц: Spec К —>- X (где К — алгебраически замкнутое поле)
наз. множество JF^ =r|*Jf(Spec К).
Важным примером пучка на A'et является пучок If у,
представимый нек-рой Х-схемой Z; для него Jr^(t/) =
= Нотх(У, Z). Если Z — конечная и этальная Х-схе-
ма, то пучок JF'z наз. локально постоянным.
Пучок |Г наз. конструктивным, если сущест-
существует конечное разбиение схемы X на локально замк-
замкнутые подсхемы X; такое, что ограничение ? \ X,- ло-
локально постоянно на каждом X,-.
См. также Этальные когомологии и Гомотопический
тип топологизированной категории.
Лит.: [1] Манин IO. И., «Успехи матем. наук», 1905,
т. 20, в. 6, с. 3—12; [2] Милн Д., Этальные когомологии,
пер. с англ., М., 1983; [3] Theorie dus topos et coliomologie etalo
des scliemas, t. 1—3, В.— [а. о.], 1972—73; [4] Coliomologie
etale, В.— [а. о.], 1977. В. И. Данилов.
ЭТАЛЬНЫЕ КОГОМОЛОГИИ—когомологии пучкоп
в эталъной топологии. Они определяются стандартным
образом при помощи производных функторов. А имен-
именно, пусть X —схема и Xet—этальная топология на X.
Тогда категория пучков абелевых групп на Xei являет-
является абелевой категорией с достаточным количеством инь-
ективных объектов. Функтор Г глобальных сечений то-
точен слева, и его производные функторы $ '—*¦ Hi(X, Jp)
(где,^—пучок абелевых групп на Хе\) наз. функто-
функторами когомологии. При этом Н° (X, JF)=r(J/")=
= ^"(Х). Аналогично определяются высшие прямые
образы Rifit (JF) пучка §^ относительно морфизма
/: X —> У; для них имеет место аналог Лере спектраль-
спектральной последовательности. Если ^р — пучок неабелевых
групп, удается определить множество Н1 (X, ,f") (см.
Неабелевы когомологии).
Наиболее важные результаты в теории Э. к. полу-
получены для конструктивных этальных пучков абелевых
групп. Центральный из них — теорема конечности и
замены базы: пусть / : X —<• Y — собственный морфизм,
и JF — конструктивный пучок на X. Тогда пучки Rif^f)
конструктивны, и слой Rifsfff в геометрич. точке у—>Y
изоморфен группе когомологии Hi (f~1 (у), ff) слоя
/-1 (у) = ХХуУ. Аналогичные теоремы верны для любого
морфизма конечного типа, если использовать когомоло-
когомологии с компактными носителями.
Если X—алгебраич. многообразие над алгебраически
замкнутым полем, то для любого конструктивного
пучка JF на X когомологии с компактными носителя-

ми Hf, (К, ,f) конечны и равны 0 прп q > 2dim X. Если
к тому же X— аффинное многообразие, то H<t(X, {jJr)=O
для q > dim X.
Для многообразий над полем комплексных чисел
Э. к. конструктивных пучков совпадают с классич. кого-
мологиями со значениями в этих пучках. Справедлива
теорема о специализации для глад-
гладкого морфизма: пусть / : Х->У — гладкий собст-
собственный морфизм схем, и целое число п обратило на У;
тогда пучки R4f9('E/n'E) локально постоянны на У.
Для Э. к. имеют место аналог двойственности Пуан-
Пуанкаре (см. Двойственность в алгебраической геометрии)
и Кюннета формулы. Каждый алгебраич. цикл кораз-
коразмерности i дает класс когомологий в размерности 2s,
что позволяет построить теорию Чжэня классов.
Э. к. конструктивных пучков используются для по-
построения l-адических когомологий и доказательства ги-
гипотез Вейля о дзета-функции.
Лит.; [1] Гротендйк А., в кн.: Международный мате-
математический конгресс в Эдинбурге. Сб. докладов, М., 1962,
с. 116—37; [2] М и л н Д ж., Этальные когомологий, пер. с
англ., М., 1983; [3] Cohomologie 6tale, В.— [е. а.], 1977; [4]
Cohomologie Г-adique et fonctions, В.— [e. a.], 1977; [5] Theorio
des topos et cohomologie etale des schemes, t. 1—3, B.— [e. a],
1972—73. В. И. Данилов.
ЭТАЛЬНЫЙ МОРФИЗМ — гладкий морфизм алге-
алгебраич. многообразий или схем относительной размерно-
размерности 0. Эквивалентным образом можно определить Э. м.
схем / : X-*-Y как локально конечно представленный
плоский морфизм такой, что для любой точки y?Y
&(г/)-схема f~x{y)=X(?)yk(y) конечна и сепарабельна.
Э. м. обладает свойством подъема инфинитезимальных
деформаций: если / : X—>-Y — Э. м., У — аффинная
У-схема и Уо — замкнутая подсхема в У, задаваемая
нильпотентным пучком идеалов, то естественное отобра-
отображение HomY (У, X) ->-Ноту (Y'o, X) биективно. Ука-
Указанное свойство характеризует Э. м. Наконец, Э. м.
можно определить как плоский неразветвленный мор-
морфизм. (Локально конечно представленный морфизм
/ : Х->У неразветвлен, если диагональное вло-
вложение Х-4-ХХуХ является локальным изоморфизмом.)
Этальность (как и гладкость и неразветвленность)
сохраняется при композиции морфизмов и при замене
базы. Открытое вложение является Э. м. Любой мор-
морфизм между этальными У-схемами этальный. Для глад-
гладких многообразий этальность / : X~*-Y означает, что /
индуцирует изоморфизм касательных пространств. Ло-
Локально Э. м. задается многочленом с ненулевой произ-
производной.
Э. м. играют важную роль в теории эталъных кого-
когомологий, при определении фундаментальной группы
схемы, алгебраического пространства и гензелева кольца.
Лит.: [1] Grothend leek A., Dieudonne J., Ele-
Elements de geometrie algebrique, N. Y., 1971; [2] RevStements
etales et groupe fondamental, B.— [e. a.], 1971. В. И. Данилов.
ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА — несмещенная стати-
статистическая оценка, дисперсия к-рой совпадает с нижней
гранью в Рао — Крамера неравенстве. Э. о. является
достаточной статистикой для оцениваемого параметра.
Если Э. о. существует, то ее можно получить с помо-
помощью метода максимального правдоподобия. В силу того,
что во многих случаях нижняя грань в неравенстве
Рао — Крамера не является достижимой, в математич.
статистике часто Э. о. наз. оценку, имеющую минималь-
минимальную дисперсию в классе всех несмещенных оценок рас-
рассматриваемого параметра.
Лит.: [1] К р а м е р Г., Математические методы статисти-
статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] И б р а г и м о в И. А.,
Хасьминский Р. 3., Асимптотическая теория оценива-
оценивания, М., 1979; [3] Рао С. Р., Линейные статистические ме-
методы и их применения, пер. с англ., М., 1968. М. С. Никулин.
ЭФФЕКТИВНОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ КРИТЕ-
КРИТЕРИЯ — понятие, позволяющее осуществлять в случае
больших выборок количественное сравнение двух

различных статистич. критериев, применяемых для
проверки ложной и той же статистич. гипотезы. Необ-
Необходимость измерять эффективность критериев возник-
возникла в 30—40-е гг., когда появились простые с точки зре-
зрения вычислений, но «неэффективные» ранговые проце-
процедуры.
Существует несколько различных подходов к опре-
определению асимптотич. эффективности критерия. Пусть
распределение наблюдений определяется действитель-
действительным параметром 6 и требуется проверить гипотезу Яо :
8=60 против альтернативы Hi : 8=^=80. Пусть также
нек-рому критерию с уровнем значимости а требуется
N1 наблюдений для достижения мощности Р против
заданной альтернативы 6, а другому критерию того
же уровня требуется для этого Лг2 наблюдений. Тогда
можно определить относительную эффек-
эффективность первого критерия по отношению ко
второму формулой е12= j^- ¦ Понятие относительной эф-
эффективности дает исчерпывающую информацию при
сравнении критериев, но оказывается неудобным для
применения, поскольку величина е12 является функци-
функцией трех аргументов: а, Р и 6 и обычно не поддается
вычислению в явном виде. Для того чтобы обойти эту
трудность, используют предельные переходы.
Величина lim e12(a, f$, 0) при фиксированных а и Р
(если этот предел существует) наз. асимптот и-
ческой относительной эффективно-
эффективностью (АОЭ) по Питмену. Аналогично опреде-
определяется АОЭ по Бахадуру — в этом случае при
фиксированных Р и 8 устремляют к нулю а, и АОЭ
по Ходжесу — Леману, когда при фиксиро-
фиксированных а и 6 вычисляют предел при р~»-1.
Каждое из этих определений имеет свои достоинства
и недостатки. Так, напр., АОЭ по Питмену вычисля-
вычисляется обычно легче, чем АОЭ по Бахадуру (вычисление
последней связано с нетривиальной задачей изучения
асимптотики вероятностей больших уклонений тесто-
тестовых статистик), однако в ряде случаев оказывается ме-
менее чувствительным средством для сравнения двух
критериев.
Пусть, напр., наблюдения распределены по нор-
нормальному закону со средним 6 и дисперсией 1 и прове-
проверяется гипотеза Но : 8=0 против альтернативы Hi :
8>0. И пусть рассматриваются критерии значимости,
основанные на выборочном среднем X и дроби Стью-
дента t. Поскольку i-критерий не использует информа-
информации о величине дисперсии, он должен проигрывать
оптимальному критерию, основанному на X. Однако
с точки зрения АОЭ по Питмену эти критерии эквива-
эквивалентны. С другой стороны, АОЭ по Бахадуру i-критерия
по отношению к X строго меньше 1 при любом 8>0.
В более сложных случаях АОЭ по Питмену может
зависеть от а или Р и ее вычисление оказывается очень
трудным. Тогда вычисляют ее предельное значение
при Р->1 или а-»-0. Последнее обычно совпадает с
предельным значением АОЭ по Бахадуру при 6-*-60.
О других подходах к определению АОЭ см. в [2],
[4], последовательные аналоги понятия АОЭ введены
в [5] — [7]. Выбор того или иного определения АОЭ
должен основываться на том, какая из них дает более
точное приближение к относительной эффективности
ej2> однако в настоящее время A984) в этом направлении
почти ничего не известно.
Лит.: [1] К е н д а л л М., С т ь ю а р т А., Статистичес-
Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973; [2] В a li a d u r R.,
«Ann. Math. Stat.», 1967, v. 38, № 2, p. 303—24; [3] H о d g e s J.,
LehmannE., там же, 1956, v. 27, №2, p. 324—35; [4]
P а о С. Р., Линейные статистические методы и их примене-
применения, пер. с англ., М., 1968; [5] L a i Т. L., «Ann. Stat.», 1978,
v. 6, JMi 5, p. 1027—47; [6] В е г k R., Brown L., там же,
1978, v. 6, № 3, р. 567—81; [7] В е г к К., там же, 1976, v. 4,

Л", ft, p. 801—911; [8] W i с я и d H., там же, 1976, v. 4, № 5
p. 1003—11; 10] G г о с п с b о о m P., Oosterhoff J.,
«Stal. neerlandica», 1977, v. 31, p. 1—24. Я. Ю. Никитин.
ЭФФЕКТИВНОСТЬ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОЦЕДУ-
ПРОЦЕДУРЫ — понятие, используемое при сравнении статистич.
процедур из данного класса с оптимальной. В матема-
тич. статистике понятие оптимальности статистич.
процедуры выражается в терминах риска (функции
риска) процедуры, к-рый, в свою очередь, непосредст-
непосредственно зависит от выбора функции потерь. Поэтому мо-
может оказаться, что одна и та же статистич. процедура
является очень эффективной или даже оптимальной в
I
5
8
3
6
7
9
1
4
ЮНГА ДИАГРАММА порядка т — Юнга таб-
таблица порядка ш, в клетках к-рой каким-либо образом
расположены числа 1, 2, . . ., т, (см. табл.). Ю. д.
паз. с т а н д а р т н о и, если в каждой
ее строке и в каждом столбце числа идут
в порядке возрастания. Число всех 10. д.
для данной таблицы Юнга t порядка т
равно ml, а число стандартных 10. д.
равно
т\
где произведение борется по всем клеткам с(/- таблицы
t, a %ij обозначает длину соответствующего крюка.
Э. J-). Вииберг
ЮНГА ПРИЗНАК —один из достаточных признаков
сходимости Фурье ряда в точке. Пусть функция / (х)
имеет период 2л, интегрируема но Лебегу на отрезке
[0,2л], cp.v (l) = I (x-\-t)-\-{ (x — t) — 'If (x) и в точке х0
выполнены следующие условия» фЛо (I) —>• 0 upu t—*--|-0;
функция ¦хр (I) —l<fXo (t) имеет конечную вариацию
[/ (б) з= Vari|) (/) на отрезке [0, б], 0<б<б(), где о0>0 —
нек-рое фиксированное число; V F) =0 (б) при б—>--f 0.
Тогда ряд Фурье функции / (х) в точке х0 сходится к
/ (хй) (см. [2]). К), и. сильнее Жордана признака. Уста-
Установлен У. Юнгом |1].
Лит.: Ill Y о и и ц W. ]!., «Рте. Loud. Math. Soc», 19](i,
v. 17, p. 1У5—23H; [21 llap» II. К., Тригонометрические
ряды, М., 1УК1. Б. If. Голубиц
ЮНГА СИММЕТРИЗЛТОР - элемент ed группового
кольца группы Sт, определяемы)'! Юнга диаграммой
d порядка т. по следующему правилу. Пусть Rd (соот-
(соответственно Cj) - подгруппа группы Sm, состоящая из
всех подстановок, переводящих каждое из чисел 1, 2, ...,
т в число, находящееся в тон же строке (соответственно
в том же столбце) диаграммы d. И пусть
где e(/j) = ±l четность .подстановки g. Г1'огда cd~-
=cdrd (пногда определяют ed~rdcd).
Основное cBoiicTBO [О. с. состоит в том. что он про-
пропорционален неразложимому идеммотенту групповой
алгебры С,У,Я. Коэффициент пропорциональности ра-
равен произведению длин всех крюков диаграммы d.
Э. II. Ниньсрг.
ЮНГА ТАБЛИЦА но ря д к а ш — графическое пред-
представление разбиения k=(Xi, . . ., Кг) натурального чис-
числа т (где A,-g %, \х~-г-Х2^. ¦ .>-kr>0, \Х; = т). Ю. т. t %
состоит из т клеток, раснолшающился в ее строках и
столицах таким образом, что в i-ii строке находится

каком-то одном смысле и мало эффективной в другом
смысле.
Э. с. и.— понятие, не совсем четко определенное; бо-
более точный смысл оно приобретает в конкретных зада-
задачах математич. статистики, в таких, как, напр., ста-
статистических гипотез проверка и статистическое оцени-
оценивание- М. С. Никилин.
ЭФФЕКТИВНЫЙ КРИТЕРИЙ — наиболее мощный
критерий в рассматриваемом классе статистич. крите-
критериев, имеющих один и тот же значимости уровень.
М. С. Нику Aim.
Я,- клеток, причем первые клетки всех строк находят-
находятся в одном (первом) столбце. Напр., разбиение F,5,
4,4,1) числа 20 представляется Ю. т. (см. табл. слева).
III!
I
Транспонированная Ю. т. t'%, соответствует сопря-
/Ксыному разбиению Х'-—(к[, . . ., K's), где к) — число
клеток в /-м столбце 10. т. Так, в приведенном выше
примере сопряженным разбиением будет E, 4, 4, 4,
2, 1).
Каждая клетка Ю. т. определяет два множества кле-
клеток — так наз. крюк и косой крюк. Пусть
cij — клетка, находящаяся в i-ii строке и /-м столбце
данной Ю. т. Соответствующий ей крюк hij есть множе-
множество, состоящее из клеток с-а с Z>/ и ckj- с K^i, а косой
крюк есть наименьшее связное множество крайних
клеток, содержащее последнюю клетку i-й строки и
последнюю клетку /-го столбца. Напр., для изображен-
изображенной слева Ю. т. крюк и косой крюк, определяемые
клеткой с22, имеют вид, показанный на табл. в центре
и справа соответственно.
Длиной крюка (соответственно косого крюка)
наз. число входящих в него клеток. Длина крюка
hij равна Л.;у;=А,,-+А.; — i -j-\-i. При удалении из Ю. т.
косого крюки длины р получается 10. т. порядка т—р.
В ы с о т о и крюка (соответственно косого крюка)
наз. число строк, в которых располагаются его клетки.
Язык 10. т. и Юнга диаграмм используется в теории
представлений симметрических групп и в теории пред-
представлений классических групп. Он был предложен Л. 10н-
гом (см. |1]).
Лит.: Ill J о u n к Л., «Proc. Lond. Math. Soc», 190],
v. Я.Ч, p. 1O— Hti; 11H2, v. ;M, p. 361 — 402. 9. Б. Випберг.
ЮНГА ТЕОРЕМА: каждое множество диаметра d ев-
евклидова пространства Е„ принадлежит шару из Еп
радиуса r—di/ ,, " ;> . Имеются аналоги и обобщения
К), т. (напр., замена евклидова расстояния на другие
метрики) (см. |2]).
Теорема доказана Г. Юнгом |1|.
Лит.: И) J u и я И. W. E., «J. remo mid jiUKew. Math.»,
lilUl, Bd 12M, S. 241 -57; [2] Д а иц ер Л.. Г р и) и б а у м Б.,
К л и В., Теорема Холли и се применении, пор. с англ., М.,
Ш'>8: Г Л1 Ха л в и 1- с р Г., Д е б р у и и е р Г., Комбинатор-
Комбинаторная геометрии п.чогкости, иер. с нем., М., 1'JG"). //. С. Солтаи.

ЯДЕРНАЯ С*-АЛГЕБРА — С*-алгебра А, обладаю-
обладающая следующим свойством: для любой С'*-алгебры В
в алгебраическом тензорном произведении A(g)B этих
алгебр существует единственная норма, пополнение
в к-рой превращает А($В в С*-алгебру. Таким образом,
Я. С*-а. по отношению к тензорным произведениям
ведут себя подобно ядерным пространствам (хотя
бесконечномерные Я. С'*-а. не являются ядерными про-
пространствами). Класс Я. С*-а. включает в себя все С*-
алгебры типа 1. Этот класс замкнут относительно индук-
индуктивного предела. Если / — замкнутый двусторонний
идеал в С*-алгебре А, то А ядерна тогда и только тогда,
когда ядерны I a A/I. Подалгебра в Я. С*-а. не обязана
быть Я. С'*-а. Тензорное произведение С*-алгебр А и В
ядерно тогда и только тогда, когда А ж В (обе) являют-
являются Я. С*-а. Если G — аменабельная локально биком-
бикомпактная группа, то обертывающая С*-алгебра группо-
групповой алгебры L1^) ядерна (обратное неверно). Каждое
факторпредставление Я. С*-&. гиперфинитно, т. о.
порождаемая этим представлением Неймана алгебра
может быть получена из возрастающей последователь-
последовательности конечномерных факторов (матричных алгебр).
Любое факторсостояние на ядерной С*-подалгебре в
С*-алгебре продолжается до факторсостояния на Bccii
алгебре.
Пусть L(H) есть С*-алгебра всех ограниченных
линейных операторов в гильбертовом пространстве
Н, А есть С*-алгебра операторов в //. Если А — Я.
С*-а., то ее слабое замыкание А является и н ъ с к-
т и в н о й алгеброй Неймана,!, е. сущест-
существует проекция L(I/)-*-A с единичной нормой; в атом
случае коммутант А' алгебры Л также инъективон. Про-
Произвольная С*-алгобра А ядерна тогда и только тогда,
когда ее обертывающая алгебра Неймана инъективна.
С*-алгебра А ядерна тогда и только тогда, когда она
обладает свойством вполне положительной
аппроксимации, т. е. тождественный оператор
в А аппроксимируется в сильной операторной тополо-
топологии линейными операторами конечного ранга с нормой,
не превосходящей 1, и с нек-рым дополнительным
свойством «вполне положительности» [1].
Любая Я. С*-а. обладает свойством аппроксимации и
ограниченной аппроксимации (см. Ядерный оператор).
Однако существует неядерная С*-алгебра со свойством
ограниченной аппроксимации. С*-алгебра Ь(Н) всех
ограниченных операторов в бесконечномерном гильбер-
гильбертовом пространстве Н не обладает свойством вполне
положительной аппроксимации и даже свойством
аппроксимации, так что L(H) не является Я. С*-а.
Лит.: [1] Lance E. Ch., «Proc. Symp. Pure Mall].», 1982,
v. 38, pt 1, p. 379—99; 12] Браттели У,, Робинсон Д.,
Операторные алгебры и квантовая статистическая механика,
пер. с англ., М., 1982. Г. Л. Литвинов.
ЯДЕРНАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА — билинейная
форма В (/, g) на декартовом произведении FXG ло-
локально выпуклых пространств F и G, допускающая
представление вида
ВЦ, а')-2Г .Ki<f,fi><s,g't>,
где {ki} -суммируемая последовательность, {ft}
и {gi}— равностепенно непрерывные последователь-

в сопряженных к F и G пространствах F' и G'
соответственно, а значение линейного функционала а'
на векторе а обозначается {а, а'). Все Я. б. ф. непре-
непрерывны. Если F — ядерное пространство, то для любого
локально выпуклого пространства G все непрерывные
билинейные формы на FXG являются ядерными (т е о-
р е м а о ядре). Этот результат принадлежит А. Гро-
тендику |1]; в приведенной форме теорема о ядре сфор-
сформулирована в 12], другие формулировки см. в [3].
Справедливо и обратное утверждение: если для про-
пространства F выполняется заключение теоремы о ядре,
то это пространство ядерно.
Для пространств гладких финитных функций тео-
теорему о ядре впервые получил Л. Шварц [4]. Пусть
D — ядерное пространство всех бесконечно диффе-
дифференцируемых функций с компактным носителем на пря-
прямой, наделенное стандартной локально выпуклой топо-
топологией Шварца, так что сопряженное пространство D'
состоит из всех обобщенных функций на прямой. Для
частного случая F—G—D теорема о ядре эквивалентна
следующему утверждению: всякий непрерывный били-
билинейный функционал на DXD имеет вид
«(/• ?)-</ Ci) g (h), У>= \ "j" (H, t2) 1{tx)g (t^dtidh,
где f(t), f>(t)?D и F—F(ti, t2) — обобщенная функция
от двух переменных. Аналогичную формулировку до-
допускает теорема о ядре для пространств гладких фи-
финитных функций от нескольких переменных, про-
пространств быстро убывающих функций и других конк-
конкретных ядерных пространств. Аналогичные результаты
справедливы и для полилинейных форм.
Непрерывную билинейную форму В (/, д) па DXD
можно отождествить с непрерывным линейным опера-
оператором А : D-+D' с помощью равенства
В U, g) = <g, Af>,
что приводит к формулировке теоремы Шварца
о я д р е: для каждого непрерывного линейного отобра-
отображения А : U-i-D' существует такая однозначно опре-
определенная обобщенная функция F(t±, /2) от двух пере-
переменных, что
^w l'(li, t3)J(h)dt2
для всех/?/".*. Другими словами, А является интеграль-
интегральным оператором с ядром F.
Лит.: [I] G rotliendlcck A., Produits tcnsorlcls topo-
Joyiqucs et espacos nucleaires, Providence, 1955; [2] Пич А.,
Ядерные локально выпуклые пространства, пер. с нем., М.,
1967; [ЗД Г ел ь ф а н д И. М.. В и л с и к и и Н. Я., Некото-
Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гиль-
гильбертовы пространства, М., 19В1; [4] Schwartz L., «Proc.
[ntcrn, Совдг. Math.» (Gamb.. 1950), 1952, v. 1, p. 220—30;
[5] его же, «J. d'Analysc Math.», 1954/55, v. 4, p. 88—148.
Г. Л. Литвинов.
ЯДЕРНАЯ КОНГРУЭНЦИЯ гомоморфизма <р :
: Л-*-А' алгебраич. систем — конгруэнция 0 на алгеб-
раич. системе А, состоящая из всех нар (а, Ь)?АХА,
для к-рых Ц) (а)--ц> (Ь). Для всякой конгруэнции 0
а.чгебрппч. системы существует гомоморфизм ф этой
системы, для к-рого 0 является Я. к. Если 0 - - Я. к.
сильного гомоморфизма (р алгебраич. системы А на

систему А', то канонич. отображение а/в—>-ф(а), где
а/в={х?А\(х, а)?6}, есть изоморфизм факторсиетемы
Л/0 на систему А'.
Лит. см. при статье Гомоморфизм. Д. М. Смирнов.
ЯДЕРНАЯ НОРМА, следовая норма,— нор-
норма в пространстве N(X, У) ядерных операторов, ото-
отображающих банахово пространство X в банахово про-
пространство У.
Пусть X, Y — банаховы пространства над полем дей-
действительных или комплексных чисел, L(X, У) — про-
пространство всех непрерывных линейных операторов,
отображающих X в Y, F(X, Y) — линейное подпрост-
подпространство, состоящее из операторов конечного ранга
(т. е. операторов с конечномерным образом). Банахово
сопряженное пространство к X обозначается X', зна-
значение функционала х'?Х' на векторе х?Х обозна-
обозначается (х, х').
Каждый ядерный оператор A?N(X, Y) допускает
представление в виде
ху^ Ах=^=^<х, x'i>yi, A)
где {x'i} и {(/;} — такие последовательности в X' и Y
соответственно, что
такие представления наз. ядерными. Величина
где точная нижняя грань берется но всевозможным
ядерным представлениям вида A), наз. ядерной
нормой оператора А. Эта норма превращает N (X,
Y) в банахово пространство, к-рое содержит F(X, Y)
в качестве плотного линейного подпространства. Если
A ?N(X, У), то сопряженный оператор А' содержится
в N(Y', X') и |H'|li<IHHi. Пусть Ц-11 — обычная опе-
операторная норма в L(X, Y). Тогда ||^41|<:|[-Ail| для всех
A ?N(X, Y). Если A ?L(Y, Z), B?N(X, У), то АВ?
?N(X, Z) и рЯН^ПЛН №; если A?N(Y, Z),
B?L(X, Y), то AB?N(X, Z) и |И5||1<|И||1||5||. Лю-
Любой оператор F?F(X, Y) представим в виде
*h»^ = 2"=I <*. x'i>yi- C)
Величина
где точная нижняя грань берется по всевозможным ко-
конечным представлениям вида C), наз. конечной
ядерной нормой оператора F. Пространство
F(X, У) можно отождествить с тензорным произведе-
произведением X'(g)Y. При этом оператору F вида C) соответст-
соответствует элемент
и конечная Я. н. D) переходит в норму
где точная нижняя грань берется по всем конечным
представлениям элемента и в виде E). Эта норма наз.
тензорным (или скрещенным) произве-
произведением норм в Y и в X'. Пополнение X'(g)Y по
норме F) обозначается X'@Y. Отображение X'(g)Y-+-
->~L(X, У), при к-ром элемент E) переходит в оператор
C), продолжается до непрерывного линейного опера-
оператора Г: X'(g)Y-+L(X, Y). Образ оператора Г совпа-
совпадает с N(X, Y). Если отображение Г устанавливает
взаимно однозначное соответствие между Х'@У и

N(X, Y),t:oN(X, Y) совпадает с замыканием F(X, Y)
по норме D); в этом случае сужение Я. н. на F(X, Y)
совпадает с конечной Я. н. Однако в общем случае
оператор Г может иметь нетривиальное ядро, так что
Я. н. является результатом факторизации нормы в
X'@Y (см. Ядерный оператор).
Пусть X=Y=H, где Н — сепарабельное гильбер-
гильбертово пространство; L(H)=L(H, Н) — алгебра огра-
ограниченных операторов в Н, L1(H)=N(Н, Н) — идеал
ядерных операторов в L(H). В этом случае отображе-
отображение Г взаимно однозначно, для операторов конечного
ранга Я. н. совпадает с конечной Я. н. и каждый опе-
оператор A ^U-(H) имеет след \хА (см. Ядерный оператор).
Я. н. оператора А^ЬХ(Н) совпадает с величиной
tr [(А *А )^2], где А * — сопряженный к А оператор в Н.
Я. н. связана с Гильберта — Шмидта нормой \\ •]]%
неравенством ||4||a<:||4||i. Общий вид линейного непре-
непрерывного функционала в банаховом пространстве L1 (Н)
дается формулой
A-i-tr(AB), G)
где В — произвольный оператор из L (Н), причем норма
функционала G) совпадает с ||fi||. Следовательно,
L(H) изометрично пространству, сопряженному к
^(Н). Формула G) дает общий вид линейного функ-
функционала и на замкнутом подпространстве L°° (H) в
L(H), состоящем из всех вполне непрерывных (ком-
(компактных) операторов; при этом A?L°°{H), а В пробе-
пробегает Ll(H). При этом норма функционала G) совпадает
с ||fi||i, т. е. пространство ядерных операторов L1 (Н)
с Я. н. изометрично пространству, сопряженному к
L°°(H) в обычной операторной норме. Перечисленные
результаты допускают нетривиальные обобщения на
случай операторов в банаховых пространствах.
Пример. Пусть X=Y=ll — пространство сум-
суммируемых последовательностей. Оператор A?L(lx, I1)
содержится в JV (Iх, I1) тогда и только тогда, когда суще-
существует такая бесконечная матрица ||0",^||, что А переводит
{
последовательность {Ыб'1 в К1 }=={2j=1f(Ii';^} €ll и
2"=] suPKfcl<°°- в этом случае l|4||i=2^1, SUP'CT'*I-
Лит.: [1] Grothendieck A., ProduiLs tensoriels
lopologiques et espaces nucleaires, Providence, 1955; [2] П и ч А.,
Операторные идеалы, пер. с англ., М., 1U82; [3] его же.
Ядерные локально выпуклые пространства, пер. с нем., М.,
1967; [4] Г о х б е р г И. Ц., Крейн М. Г., Введение в тео-
теорию линейных несамосопряшенных операторов в гильбертовом
пространстве, М., 1965; [5] Г е л ь ф а н д И. М., Винен-
к и н Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа,
Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961; [в] Мо-
Морен К., Методы гильбертова пространства, пер. с польск., М,,
1965; [7] Д э й М., Нормированные линейные пространства,
пер. с англ., М., 1961. Г. Л. Литвинов.
ЯДЕРНАЯ ПАРА морфизмакатегории —
категорное обобщение отношения эквивалентности,
индуцированного отображением одного множества в
другое. Пара морфизмов е^ е2 : R-+A категории ff
наз. ядерной парой м орфизма а: А-+В,
если 83а=Е2а и если для любой пары морфизмов ф,
\р : Х-+А, для к-рой фос=г|за, существует такой един-
единственный морфизм у : X-+R, что ф=уе! и ty=ye2.
Пусть 3J — произвольная категория однотипных
универсальных алгебр и всех гомоморфизмов между ни-
ними, замкнутая относительно конечных произведений,
и пусть 817 е2 : Н-*-А — Я. п. гомоморфизма / : А -кВ
из §}. Тогда образ гомоморфизма
8!Хе2: В. -+AY.A,
индуцированного парой е^ е2, является конгруэнци-
конгруэнцией на алгебре А. Обратно, если Яя^АхА — произ-
произвольная конгруэнция на А , i — вложение R в А ХА,
Pi< Pi—проекции АХ А на А, то пара гомоморфизмов

ipi, ip% : R-+A является Я. п. естестведного гомомор-
гомоморфизма алгебры А на факторалгебру AlR.
В произвольной категории с конечными произве-
произведениями и ядрами пар морфизмов Я. п. морфизма а :
А-+В строится следующим образом. Выбирают произ-
произведение АХ А с проекциями щ и я2 и находят ядро ц
нары морфизмов itjCt, я2сх • АхА-*-В. Тогда пара мор-
морфизмов (xiti, (хя2 является Я. п. морфизма а.
М. Ш. Цаленпо.
ЯДЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — локально выпуклое
пространство, у к-рого все линейные непрерывные
отображения в каждое банахово пространство явля-
являются ядерными операторами. Понятие Я. п. возникло
[Ц при исследовании вопроса о том, для каких про-
пространств справедливы аналоги теоремы Шварца о ядре
(см. Ядерная билинейная форма). Основополагающие
результаты теории Я. п. принадлежат А. Гротендику
[1]. Употребительные в анализе функциональные про-
пространства, как правило, являются банаховыми или
Я. п. Важную роль играют Я. п. в спектральном анали-
анализе операторов в гильбертовых пространствах (построе-
(построение оснащенных гильбертовых пространств, разложе-
разложения по обобщенным собственным векторам и т. п.) (см.
[2]). Я. п. тесно связаны с теорией меры на локально
выпуклых пространствах (см. [3]). Удается охарактери-
охарактеризовать Я. п. в терминах инвариантов типа размерности
(аппроксимативная размерность, диаметральная размер-
размерность и др.) (см. [2], [4], [5]). Одним из таких инва-
инвариантов является функциональная размерность, к-рая
для многих пространств, состоящих из целых анали-
тич. функций, совпадает с числом переменных, от
к-рых зависят эти функции (см. [2]).
По своим свойствам Я. п. приближаются к конечно-
конечномерным пространствам. Каждое ограниченное множе-
множество в Я. п. предкомпактно. Если Я. п. полно (или хотя
бы квазиполно, т. е. каждое замкнутое ограниченное
множество является полным), то оно п о л у р е ф-
л е к с и в н о (т. е. второе сопряженное к этому про-
пространству совпадает с ним по запасу элементов) и каж-
каждое замкнутое ограниченное множество в нем является
компактным. Если квазиполное Я. п. является бочеч-
бочечным пространством, то оно является и Монтеля про-
пространством (в частности, рефлексивно); всякая слабо
сходящаяся счетная последовательность в таком про-
пространстве сходится и в исходной топологии. Нормиро-
Нормированное пространство ядерно тогда и только тогда,
когда оно конечномерно. Каждое Я. п. обладает с в о й-
ством аппроксимации: любой непрерывный
линейный оператор в таком пространстве можно при-
приблизить в операторной топологии предкомпактной схо-
сходимости операторами конечного ранга (т. е. непрерыв-
непрерывными линейными операторами с конечномерными обра-
образами). Тем не менее существуют ядерные Фреше прост-
пространства, не обладающие свойством ограничен-
ограниченной аппроксимации: в таком пространстве то-
тождественный оператор не является пределом счетной
последовательности операторов конечного ранга в силь-
сильной или слабой операторной топологии [6]. Построены
Я. п. Фреше без базиса Шаудера, причем такие про-
пространства могут иметь сколь угодно малую диамет-
диаметральную размерность, т. е. в нек-ром смысле могут
быть сколь угодно близкими к конечномерным [7].
Для Я. п. построен и контрпример к проблеме инва-
инвариантного подпространства: в нек-ром ядерном прос-
пространстве Фреше указан непрерывный линейный опе-
оператор, не имеющий нетривиальных замкнутых инва-
инвариантных подпространств [8].
Примеры Я. п. 1) Пусть ?(Rn) — пространство
всех (действительных или комплексных) бесконечно
дифференцируемых функций на R", наделенное топо-
топологией равномерной сходимости со всеми производными
ни компактных подмножествах в R". Сопряженное к

S(Rn) пространство ?'(Rn) состоит иэ всех обобщен-
обобщенных функций с компактным носителем. Пусть $(Rn)
и of (Rn)— линейные подпространства в ?(R"),
состоящие соответственно из функций с компактным
носителем и из функций, убывающих при |г|->-оо вместо
со всеми производными быстрее любой степени \х\~1.
Сопряженные к <jf)(Rn) и ?f (Rn) относительно стандарт-
стандартной топологии пространства $' (R") и $" (R") состоят
соответственно из всех обобщенных функций и всех
обобщенных функций медленного, роста. Пространства
?> $, of-, <§"i ?>', if'i наделенные сильными топо-
топологиями, являются полными рефлексивными Я. и.
2) Пусть {апр} — бесконечная матрица, причем 0<:
<anjD<oo, anp^.an(p + i), п, р=1, 2, .... Пространст-
Пространство таких последовательностей |={|п}> чт0 111/7=
=2 |?n|<zn/7<oo для всех р, с топологией, задавае-
задаваемой преднормами ?-И?|_р, наз. пространством
К ё т е и обозначается Ж(апр). Это пространство ядер-
ядерно тогда и только тогда, когда для любого р найдется
такое д, что 2n=0(«Va»«)<0°-
Свойства наследования. Локально вы-
выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда
ядерно его пополнение. Каждое подпространство (отде-
(отделимое факторпространство) Я. п. ядерно. Прямая сум-
сумма, индуктивный предел счетного семейства Я. п., а
также произведение, проективный продел любого семей-
семейства Я. п.— снова Я. п.
Пусть Е — произвольное локально выпуклое про-
пространство, Е' — сопряженное пространство к Е, на-
наделенное сильной топологией. Если Е' — Я. п., то Е
наз. дуально ядерным. Если Е — произволь-
произвольное пространство, a F — Я. п., то пространство Ь(Е,
F) непрерывных линейных операторов из Е в F яв-
является Я. п. относительно сильной операторной топо-
топологии (простой сходимости); если к тому же Е полу-
полурефлексивно и дуально ядерно, то L(E, F) ядерно и в
топологии ограниченной сходимости.
Метрические и дуально метричес-
метрические Я. п. Локально выпуклое пространство Е наз.
дуально метрическим или простран-
пространством типа (jZiiT), если оно имеет счетную
фундаментальную систему ограниченных множеств и
каждое (сильно) ограниченное счетное объединение
равностепенно непрерывных подмножеств в Е' рав-
равностепенно непрерывно. Всякое сильное сопряженное
к метризуемому локально выпуклому пространству
является дуально метрическим; обратное неверно. Если
Е — пространство типа ($)!F), то Е' — пространство"
типа (у) (пространство Фреше, т. е. полное и метри-
зуемое). Примерами Я. п. типа (у) являются простран-
пространства Кёте, а также S, <У\ соответственно ?', of" —
Я. п. типа (jjF). Пространства $ и $' не являются ни
метрическими, ни дуально метрическими.
Метрические и дуально метрические Я. п. сепарабель-
ны, а если они полны, то рефлексивны. Переход к со-
сопряженному пространству Е-+Е' устанавливает взаимно
однозначное соответствие между Я. п. типа (F) и пол-
полными Я. п. типа (jfrlF). Если Е — полное Я. п. типа
(<?&), a F — Я. п. типа (ж), то пространство опе-
операторов L ('/?, F), наделенное топологией ограниченной
сходимости, ядерно и дуально ядерно.
Каждое Я. п. типа (F) изоморфно подпространству
пространства ? (R) бесконечно дифференцируемых
функций на прямой, т. е. ё (R) — универсальное
пространство для Я. п. типа (у) (см. [10]). Пространство
Фреше Е ядерно тогда и только тогда, когда всякий
безусловно сходящийся ряд в Е сходится абсолютно
(т. е. по любой непрерывной преднорме). Интенсив-
Интенсивно научаются пространства голоморфных функций на
Я. п. типа (ж) xi (^у) (см. [И]).

Т слпоране произведен и я Я. it. и
пространства век т о р-ф у н к ц и й. Алгеб-
Алгебраическое тензорное произведение E(?)F локально
выпуклых пространств Е и F можно наделить проек-
проективной и слабой топологиями, превращающими E(?)F
в топологическое тензорное произведение. Проектив-
Проективная тополог и я —- это сильнейшая локально вы-
выпуклая топология, для к-poit каноническое билинейное
отображение EX F-+E(/)F непрерывно. Слабая то-
топология (или топология (би)равностеиенно непре-
непрерывной сходимости) индуцируется при естественном
вложении E@F-*-Le (Ex, F), где Ех — сопряженное про-
пространство к Е, наделенное топологией Макки т(Л", Е),
a Le(Ex, F) -- пространство непрерывных линейных
отображений Е% —*¦ F, наделенное топологией равно-
равномерной сходимости па равностепенно непрерывных мно-
множествах п Е'. При этом вложении элемент z&)y?E(g)F
переходит в оператор x'i—$-<.r. r'>f/, где (х, х')— значе-
значение функционала х'?Е' на х^Е. Пополнение E@F в
проективной (слабой) топологии обозначается E§§F
(соответственно E(?)F).
Для того чтобы Е было Я. п., необходимо и доста-
достаточно, чтобы для произвольного локально выпуклого
пространства /•' проективная и слабая топологии в
EQ)F совпадали, т. е.
E®F^E®F. A)
Если F совпадает с пространством /' суммируемы \
последовательностей, то Е — Я. п.; вместо I1 можно
взять любое пространство с безусловным базисом (см.
[12]). Тем не менее существует такое (неядерное) бес-
бесконечномерное сепарабелъное банахово пространство А',
что X(g)X — X(>Z)X (см. |13]). Если Е и F — полные про-
пространства и F — Я. н., то вложение E(/)F->-Le(Exi F)
продолжается до изоморфизма между E(?)F и Le (Е%: /'')•
Если Е — ненулевое Я. п., то E(^)F ядерно тогда и
только тогда, когда F ядерно. Если Е и F — оба про-
пространства типа (F) (или (ДО)) и Е - - ядерно, то /i'(g)
(?)F — пространство типа (У) (соответственно (liF))
и {Еф-)'^Е'О)Е'.
Пусть Е - - полное Я. п., состоящее из скалярных
функций (не всех) на нек-ром множестве 7', причем Е
является индуктивным пределом (локально выпуклой
оболочкой) счетной последовательности пространств
типа (у) н топология в Е не слабее топологии пото-
поточечной сходимости функций на Т. Тогда для любого
модного пространства /•' можно отождествить EfflF с
пространством всех таких отображений (вектор функ-
функций) T—^-F, что скалярные функции t\—></(/), ;/> при-
принадлежат /•; для всех у'?1'". В частности, S (I^")(^)F
совпадает с пространством всех бесконечно дифферен-
дифференцируемых вектор-функций на R" со значениями в /¦',
а 8 (К")®? (R'")—8 (R"X Rm)-.? (R"+'«).
С т р у к т у р а Я. и. Пусть U - выпуклая закруг-
закруглённая окрестность нуля в локально выпуклом про-
пространстве Е, а р — соответствующий U функционал
Минковеь'ого (непрерывная преднорма), Ец — фак-
торпространстло Е'/>~1(Щ с нормой, индуцированной
лреднормой р, кц - пополнение нормированного про-
пространства Ец. (Определено непрерывное каноническое
линейное отображение Е-*Ец\ если окрестность ГУ
содержит окрестность V, то канонически определяется
непрерывное линейное отображение Еу-^Ец.
Для локально выпуклого пространства Е следующие
условия эквивалентны: 1) К является Я. п.; 2) и И
существует такой базис !У выпуклых, закругленных
окрестностей нуля, что для любой окрестности C/?iB

каноннч. отображение Е-^Ёц является ядерным one4
ратором; 3) отображение Е i—*• Ец ядерно для любой
выпуклой закругленной окрестности нуля U в Е; 4)
всякая выпуклая закругленная окрестность нуля V
в Е содержит другую такую окрестность нуля V, что
ядерно канонич. отображение Ёу-+Ец.
Пусть Е — Я. 11. Для любой окрестности нуля U
в ? и любого такого числа р, что 1<р<оо, существует
выпуклая закругленная окрестность VaU', для к-poir Еу
(по норме) изоморфно подпространству в пространстве
IP суммируемых со степенью р последовательностей.
Таким образом, Е совпадает с локально выпуклым
ядром (индуктивным пределом) семейства пространств,
изоморфных IP. В частности (случай р — 2) в любом Я. и.
Е существует такой базис окрестностей нуля {Ua},
что вес пространства Ёца гильбертовы; таким образом,
Е — м у л ь т и г и л ь б о р т о в о п р о с т р а н-
с т в о, т. е. топология в Е может быть порождена
семейством преднорм, каждая из к-рых получается из
пек-рой неотрицательно определенной эрмитовой фор-
формы на КхЕ. Любое полное Я. п. изоморфно проектив-
проективному пределу семейства гильбертовых пространств.
Пространство Е тина (у) ядерно тогда и только тогда,
когда его можно представит!, в виде такого проектив-
проективного предела Е = WmgmnHlt счетного семейства гиль-
гильбертовых пространств 11 „, что gmn — ядерные операторы
(или хотябыГильберта—Шмидта операторы)цри т<п.
Базисы в Я. и. В Я. п. любой равностепенно
непрерывный базис является абсолютным. В простран-
пространстве типа (У) любой счетный базис (хотя бы слабый)
является равностепенно непрерывным базисом Шау-
дера, так что в Я. п. типа (у) всякий базис является
абсолютным (в частности, безусловным). Аналогичный
результат справедлив для полных Я. п. типа CIF) и
всех Я. п., для к-рых имеет место теорема о замкнутом
графике. Факторпространство Я. п. типа (Эг) с бази-
базисом не обязано иметь базис (см. [4|, [5], F]).
Пусть К — Я. и. типа (W)- Топологию в Е можно
задать счетной системой преднорм .г г—>¦ \\х\\р, р~ 1, 2, . . .,
причем \\.r\\p<:\U\\p+1 Д^я всех .rgfi1. Если в Е существует
базис пли непрерывная норма, то нреднормы || -\\р можно
считать нормами. Пусть {«„} —- базис в Е; тогда любой
элемент .< ? Е разлагается в сходящийся (абсолютно и
безусловно) ряд
где координаты t,n имеют вид ?„ — <(.*, •?,',>, а функцио-
функционалы ?'п образуют бнортогональный базис в Е'. Про-
Пространство Е изоморфно пространству Ке'те Ж (аир), где
а„р==\\ еп\\р\ при этом изоморфизме элементх?Е перехо-
переходит в 11ос.чсдовато.71,иост1. сноих координат {!„}¦ Базис
{/„} в И эквивалентен базису {f,,}, т. е. получается из
него под действием изоморфизма тогда и только тог-
тогда, когда пространства Кётс Ж С? е п\\р) ч &(\\fn\\p) со-
совпадают кап .множества |4|. Базис {/„} наз. регу-
регулярным (или правильным), если существует
система нормЦ-Ц^, и перестановка индексов о такие, что
WlmmWpillmmWi монотонно убывает при всех rySs p.
Если Я. п. J'J типа (Ж) имеет регулярный базис, то
любые два базиса в Е к ваз и эквивалентны
(т.е. могут быть сделаны эквивалентными путем пере-
перестановки н нормировки элементов одного из них). Су-
Существуют ц другие достаточные условия, при к-рых
все базисы в Е квнзиэквнвалентны (см. [4], [14]). Пол-
Полное описание класса Я. п., обладающих этим свойст-
свойством, неизвестно A984).
Пример. Функции Эрмнта (р„ (/) = е'!/2 _ (е- t>)
образуют базис в полном м.етрич. Я. п. {f (Щ быстро
убываиицнх вместо со всеми производными гладких

функций на прямой. Пространство <$Р (Щ изоморфно
пространству Кёте Ж (пР).
Лит.: [UGrothendieck A., Produits tensoriels topo-
logiques et espaces nucleaires, Providence, 1955; [2] Гель-
фанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения
гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства,
М., 1961; [3] Мин л ос Р. А., «Тр. Моск. матсм. об-ва»,
1959, т. 8, с. 497—518; [4] М и т я г и н Б. С, «Успехи матем.
наук», 1961, т. 1В, в. 4, с, 63—132; [5] Иич А., Ядерные ло-
локально выпуклые пространства, пер. с нем., М., 19E7; Tiii D u-
b in sky Ed., Structure of nuclear Frechet spaces, D,— La. o.},
1979; L7] Зобин H. M., M и т я г и н Б. С «Функц. анализ
и его прилож.», 1974, т. 8, в. 4, с. 35—47; [8] A t z in о u A.,
«Ann. Math.», 1983, v. 117, № 3 p. 669—94; [9] Шефер X., То-
Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971;
[10] Коти г а Т., Komura Y., «Math. Ann.». 1966. Bd
162, S. 284—88; [11] Dine en S., Complex analysis in locally
convex spaces, Amst., 1981; [12] John K., Z i z 1 e r V.,
«Math. Ann.», 1979, Bd 244, № I, S. 83—87; [13] P i s 1 e r G.,
«C. r. Acad. sci.», 1981, t. 293, p. 881—83; [14] Драг и лев
M. М., Базисы в пространствах Кёте, Ростов н/Д, 1Й83.
Г. .'/. Литвинов.
ЯДЕРНЫЙ ОПЕРАТОР, ядерное о т о б р а ж е-
н и е,— линейный оператор, отображающий одно ло-
локально выпуклое пространство в другое н допускающий
специального вида аппроксимацию операторами
конечного ранга (т. е. линейными непрерыв-
непрерывными операторами с конечномерными образами). Я. о.
обладает нек-рыми свойствами, присущими конечно-
конечномерным операторам. В частности, Я. о., отображающий
в себя пространство с базисом, имеет конечный след
(см. ниже), совпадающий с суммой ряда, составленного
из диагональных элементов матрицы этого оператора
относительно произвольного базиса. Я. о. и появились
первоначально под наименованием «операторов со
следом» в математическом аппарате квантовой меха-
механики (см. [1], [2]). В гильбертовом пространстве опера-
операторы со следом взаимно однозначно соответствуют
двухвалентным тензорам, и след оператора совпадает с
результатом свертки соответствующего тензора. С по-
помощью такого соответствия А. Растон |3] перенес поня-
понятие Я. о. на случай банаховых пространств и незави-
независимо А. Гротендик — на случай локально выпуклых
пространств в связи с теорией ядерных пространств
(см. [4], [5]). Пусть Е и F — локально выпуклые про-
пространства над полем действительных или комплексных
чисел, Е' и F' — сопряженные к ним пространства,
наделенные сильной топологией, L(E, F) — вектор-
векторное пространство всех непрерывных линейных отобра-
отображений Е в F, a S(E, F) — пространство всех слабо
непрерывных линейных отображений Е в F; Ь(Е) =
=L(E, E), S(E) = S{E, F).
Линейный оператор А : E-+F наз. ядерным, если
он представим в виде
х н> Ах = 2"= j К <х, х\ > у;, A)
где [ki) — суммируемая числовая последовательность,
{х{}—равностепенно непрерывная последовательность
в Е' и {(/,}—последовательность элсмегпов из нек-рого
полного ограниченного выпуклого закругленного .мно-
.множества в F; при этом значение линейного функционала
х на векторе х обозначается <.г, х'>. Представление A)
можно рассматривать как разложение оператора в
сумму операторов ранга 1 (т. и. с одномерным образом),
и соответствующий ряд абсолютно сходится в L(E, F)
в топологии равномерной сходимости на ограниченных
множествах. Таким образом, в итон топологии И.о. А
является пределом последовательности операторов
конечного ранга. Если Е и F — банаховы простран-
пространства, то Я. о. А аппроксимируется операторами конеч-
конечного ранга ио ядерной норме.
Разложение A) наз. я д е р и ы м и р е д с т а н л е-
нием оператора .4. Любой Я. о. допускает такое
ядерное представление A), что ж'4-->-0, //,¦—>(). Если Е—
бочечное пространство и полно или хотя бы к в а з и-

полно (т. е. замкнутые ограниченные множества в Е
полны), то разложение A) ядерно тогда и только тогда,
когда последовательности {i't} и {гц} ограничены.
Меняя требования к последовательностям {X,}, {ж;},
{г//}, можно получить различные модификации поня-
понятия Я. о. (см. [4|, [5], [7]). Если от последовательности
{jj} потребовать (вместо равностепенной непрерыв-
непрерывности), чтобы ее элементы содержались в каком-нибудь
полном ограниченном выпуклом закругленном множе-
множестве в Е', то разложение A) определяет оператор
Фредголт, м а; такие операторы образуют естест-
естественною область применения теории Фредгольма (см.
[4], [5]). Всякий Я. о. является оператором Фред-
Фредгольма, а любой оператор Фредгольма А : E-+F превра-
превращается в Я. о., если наделить Е Макки топологией.
Я. о. Л пая. строго ядерным (или Я. о. по-
порядка 0), если допускает такое ядерное представле-
представление A), что {к;}— быстро убывающая последователь-
последовательность, т. е. "У. |Л.A/7<оо при всех р>0.
Интегральные операторы (в частности, интегральные
операторы Фредгольма) дают многочисленные примеры
Н. о. и их .модификаций (см. [4|, |5], [7], [8J).
С в о н с т в а Я. о. Всякий Я. о. A ?L(E, F)
компактен, т. о. отображает нек-рую окрестность ну-
нуля в Е во множество с компактным замыканием в F.
Таким образом, любой Я. о. непрерывен, а любой опе-
оператор Фредгольма слабо непрерывен. Произведение (в
любом порядке) Я. о, и непрерывного линейного опера-
оператора является Я. о. В частности, совокупность всех
Я. о. образует идеал в алгебре Ь(Е); соответственно
операторы Фредгольма образуют идеал в S(E). Стро-
Строго Я. о. также образуют идеал в L (Е). Всякий Я. о.
A ^L{E, F) имеет единственное продолжение A ?L(E, F),
где к — пополнение Е, причем А — Я. о. Если
A?L(E, F) — оператор Фредгольма, то сопряженное
отображение F'-*-E' является Я. о. Для любого Я. о.
A?L(E, F) существуют такие банаховы пространства
/?!, Fu компактные операторы КХ^Ь(Е, Е±), K^L(t\,
F) н И.о. В?ЦЕ,, Fi). что А^КфКг. Если А ?ЦЕ) —
строго Л. о., то упорядоченная по убыванию абсолют-
абсолютной величины последовательность собственных зна-
значении (вообще говоря комплексных) итого оператора
является быстро убывающей.
Пуст1> пространство К ядерно, a F — полное или
квазиполное пространство. Тогда для оператора A?L
(Е, F) следующие утверждения эквивалентны: 1) А
является Я. о.; 2) А компактен; 3) А ограничен, т. е.
отображает нек-рую окрестность нуля в ограниченное
.множество в Е; А) А — строго Я. о.
Пусть Е, F, О — гильбертовы пространства,
A', ?L(?'. F), K2?L(F, G) — Гильберта—Шмидта опе-
операторы. Тогда произведение l\.iK1<ZL(E, G) является
Я. о. Обратно, каждый Я. о. является произведением
двух операторов типа Гильберта—Шмидта. Произволь-
Произвольный вполне непрерывный оператор А ? L (E, F) является
Я. о. тогда и только тогда, когда сходится ряд, состав-
составленный из собственных значений положительно опре-
определенного оператора Т^Ь(Ё), входящего в полярное
разложение A = UT, где II — изометрич. оператор,
отображающий область значений оператора Т в про-
пространство F (см. [9]).
Операторы со с л е д о м. Пусть Е — произ-
произвольное локально выпуклое пространство, А — Я. о.
(оператор Фредгольма), отображающий Е в себя и до-
допускающий представление вида A). Ряд 3"! ^iOji, ХЪ
сходится абсолютно, и его сумма, обозначаемая ivA,
лаз. с л е д о м Я. о. (соответственно оператора Фред-
Фредгольма) А при условии, что эта величина не зависит от
представления A). В этом случае след корректно

определен (см. [4], [5]). Если разложение A) содер-
содержит лишь конечное число слагаемых, то А — оператор
конечного ранга и tr А совпадает со следом конечно-
конечномерного оператора, индуцируемого в образе операто-
оператора А.
Пусть Е'^Е — индуктивное тензорное
произведение пространств Е' и Е, т. е. по-
пополнение (алгебраического) тензорного произведения
E'^jE в самой сильной локально выпуклой топологии,
при к-рой раздельно непрерывно каноническое били-
билинейное отображение Е'хЕ-+Е'(§?)Е (пара (х', х) перехо-
переходит в х'@х). Композиция этого отображения с любой
непрерывной линейной формой на Е'(?)Е дает раздельно
непрерывную билинейную форму на Е'хЕ, цричем
соответствие между формами указанного тина взаимно
однозначно. В частности, билинейная форма (а,', х) i—*¦
i—>(,х, х' > соответствует непрерывной линейной форме
на Е'($Е. Значение этой формы на элементе u?E'(g)E
обозначается tvu. Элемент и?Е'(?)Е наз. ядром
Фредгольма, если он допускает разложение вида
где последовательности {Я;}, {х{}, {г/,} такие же, как в
разложении A) для оператора Фредгольма. Ядра Фред-
Фредгольма образуют подпространство в Е'(?)Е, обозначае-
обозначаемое Е'@Е.
Пусть алгебра S (Е) слабо непрерывных операторов в
Е наделена слабой операторной топологией, к-рая
задается преднормами А<—»• |<Лг/, х'>\, где A?S(E),
а х' и у пробегают соответственно Е' и Е. Отображение
Г : E'(g)E->-S (E), переводящее элемент и вида B) в
оператор А вида A), корректно определено, линейно и
непрерывно, причем trw=trr(M), если след оператора
А = Т(и) корректно определен. Если пространства К
и Е' полны (напр., если Е — Фреше пространство), то Г
продолжается по_ непрерывности на Е'(?)Е. Образы
элементов из Е'(?)Е при этом отображении наз. о п е-
раторами со следом (см. [4], [5]). Если про-
пространство Е банахово, то всякий оператор со следом
является Я. о., так что в этом случае классы Я. о.,
операторов Фредгольма и операторов со следом совпа-
совпадают. Существуют операторы со следом, не являющие-
являющиеся операторами Фредгольма (напр., в ядерных простран-
пространствах Фреше). Некомпактность таких операторов за-
затрудняет их изучение.
Проблема однозначности. Если отоб-
отображение Г взаимно однозначно или хотя бы из условия
Г(м)=0 следует, что tru=O, то след оператора Г (и)
можно корректно определить равенством trT(u)=
—tr«.
Указанная возможность тесно связана со с и о й-
ством аппроксимации, к-рое coctoxit в том,
что L(E) содержит сеть операторов конечного ранга,
сходящуюся к единичному оператору в топологии
равномерной сходимости на всех предкомиактных
множествах. Если Е — банахово пространство, то
след любого Я. о. корректно определен тогда и только
тогда, когда выполнено свойство аппроксимации [4].
Построено [11] рефлексивное сепарабельнос простран-
пространство X без свойства аппроксимации (и без базиса
Шаудера, что решает известную проблему Банаха).
Тем самым решен и вопрос об однозначности отображе-
отображения Г : существует такой элемент и?Х'@Х, что Г(и)=
=0, но tra=l. Если локально выпуклое пространство
Е обладает свойством аппроксимации, то каждый Я. о.
имеет корректно определенный след; если {Bv } — сеть
операторов конечного ранга, сходящаяся к произволь-
произвольному оператору B(^L(E) равномерно на всех предком-

пактных (или хотя бы выпуклых уравновешенных
компактных) множествах, то равенство
ti(AB) = limtr(ABv) C)
v
справедливо для любого Я. о. А (см. [12]). Однако су-
существует локально выпуклое пространство со свойством
аппроксимации, в к-ром нельзя корректно определить
след для всех операторов Фредгольма. Любой оператор
Фредгольма в локально выпуклом пространстве Е
имеет корректно определенный след, если Е обладает
свойством ограниченной аппрокси-
аппроксимации, т. е. существует сеть операторов конечного
ранга, сходящаяся к единичному оператору в слабой
операторной топологии и ограниченная в этой тополо-
топологии; указанным свойством обладает любое пространство
с базисом Шаудера. Если {Bv } — ограниченная сеть,
сходящаяся в S (Е) к произвольному оператору В
(напр., если {Bv }— произвольная сходящаяся в S {Е)
счетная последовательность), то соотношение C) вы-
выполняется для любого оператора Фредгольма А при
условии, что операторы ABV имеют корректно опреде-
определенный след (напр., если Bv — операторы конечного
ранга или Е обладает свойством ограниченной аппрок-
аппроксимации). Если Е обладает свойством аппроксимации
(ограниченной аппроксимации), то для любого Я. о.
(оператора Фредгольма) А и любого оператора В из
L(E) (соответственно из S (Е)) выполнено: tr(AB) —
=tv(BA) (см. [12]).
Матричный след. Пусть локально выпуклое
пространство Е обладает базисом Шаудера {е,}, г'=1,
2, . . ., так что любой вектор х?Е допускает разложение
я=2- <•*' е''>еь гДе e'i€.E'. Величина 2 (Ае;,
e'i) наз. матричным следом оператора А,
если указанный ряд сходится; этот ряд сходится аб-
абсолютно, если базис безусловный. Любой оператор
Фредгольма в пространстве с базисом Шаудера имеет
корректно определенный след, совпадающий с матрич-
матричным следом, к-рый в этом случае не зависит от выбора
базиса [13].
Любой непрерывный оператор в гильбертовом про-
пространстве является ядерным тогда и только тогда, когда
этот оператор имеет конечный матричных! след для лю-
любого ортонормированного базиса (см. [2]. [8J, [9]).
Ядерный след. Пусть Т - - компактное про-
пространство с мерой Бореля |х, С(Т) — б;шахово про-
пространство непрерывных функций на Т, наделенное
топологией равномерной сходимости, К (t, a) — непре-
непрерывная функция на ТХТ. Тогда линейный интеграль-
интегральный оператор
К-: <p(i)H>$r#(<, s) <p {s) dp (s)
в пространстве С(Т) (классический интегральный опе-
оператор Фредгольма) является ядерным и имеет корректно
определенный след, причем
= \ K(t, t)dii(l). D)
Если К — интегральный оператор с ядром K(t, s), дей-
действующий в нск-ро.м пространстве функций на прост-
пространстве Т с мерой [х, и если правой части равенства D)
можно приписать какой-либо разумный смысл, то эта
величина наз. ядерным следом оператора К.
Для различных классов интегральных операторов по-
получены условия, обеспечивающие ядерность этих опе-
операторов и позволяющие приписать смысл формуле D)
(см. [4], [5], [8], [14]).
Спектральный след. Пусть Е — локально
выпуклое пространство над полем комплексных чисел,
А — Я. о. в Е. Спектр оператора Л, как и любого ком-
компактного оператора, представляет собой либо конечное
множество, либо сходящуюся к нулю последователь-

ность, причем любое ненулевое собственное значение
имеет конечную спектральную кратность. Если ряд
2,0/D), E)
составленный из ненулевых собственных значений опе-
оператора А, причем каждое собственное значение входит
в E) столько раз, какова его спектральная кратность,
сходится абсолютно, то его сумма наз. с п е'к траль-
тральным следом Я. о. А и обозначается tra А. Любой Я. о.
в гильбертовом пространстве имеет спектральный след,
совпадающий с матричным следом [15]. Пусть Е —
мультигильбертово пространство,
т. е. топология в Е может быть порождена семейством
преднорм, каждая из к-рых получается из нек-рой
неотрицательно определенной эрмитовой формы на
ЕхЕ; примером мультигильбертова пространства
является любое ядерное пространство. Тогда всякий
Я. о. Л в Е имеет корректно определенный след и
спектральный след, причем tra4=tr^4 (см. [13]). При
этом Я. о. Л может и не иметь матричного следа. Я. о.
А в банаховом пространстве может не иметь спектраль-
спектрального следа даже в том случае, когда это пространство
имеет базис и след \хА корректно определен. Может
нарушаться и равенство tra A=trA. Напр., в банаховом
пространстве с0 сходящихся к нулю последовательно-
последовательностей существует такой Я. о. А, что tr 4=1, Л2=0, так
что А не имеет ненулевых собственных значений и
tra 4=0. Можно указать условия на оператор, выпол-
выполнение к-рых обеспечивает существование и совпадение
величин tra А и tr4 для Я. о. А, действующего в произ-
произвольном банаховом или локально выпуклом простран-
пространстве (не обладающем, быть может, какими-либо аппрок-
симационными свойствами) (см. [4], [14], [16], [17]).
Пример. Пусть Е — комплексное банахово про-
пространство, Ь(Е) — алгебра линейных непрерывных
операторов в Е, наделенная обычной операторной нор-
нормой. Для произвольного оператора A?L(E) пусть
ar (E) обозначает точную нижнюю грань величин
\\А— F\\, где F пробегает совокупность всех операторов
из Ь(Е), ранг (т. е. размерность образа) к-рых не
превосходит числа г=0, 1, 2,. . . Совокупность всех
операторов А?Ь(Е), для к-рых 2arD)<oo, обозна-
обозначается г-(Е). Каждый оператор А ?1Х(Е) является ядер-
ядерным; если Е—гильбертово пространство, то ^(Е) совпа-
совпадает с множеством всех Я. о. в Е. Для произвольного
банахова пространства Е каждый оператор А^1г(Е)
имеет след tr4 и спектральный след, и tra4=tr4 (см.
[16], [17]).
Лит.: [1] Н е й м а н И., Математические основы кван-
квантовой механики, пер. с нем., М., 1964; [2] Schatten R.,
Neumann J., «Ann. Math.», 1946, v. 47, № 3, p. 608—30;
[3]RustoD A. F., «Proc. Lond. Math. Soc.» B), 1951, v. 53,
Mi 2, p. 109—24; [4] G г о t h e n d i e с k A., Produits tensoriels
topologiques et espacesnucleaires, Providence, 1955; [5] Гротен-
дик А., «Математика», 1958, т. 2, Mi 5, с. 51 — 103; [6] Ш е-
фер X., Топологические векторные пространства, пер. с англ.,
М., 1971; [7] П и ч А., Операторные идеалы, пер. с англ., М.,
1982; [8] Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г,, Введение в тео-
теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом
пространстве, М., 1965; [9] Г е л ь ф а н д И. М., В и л е н-
кин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа.
Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961; [10] II и ч А.,
Ядерные локально выпуклые пространства, пер. с нем., М.,
1967; [11] Э н ф л о П., «Математика», 1974, т. 18, Ms 1, с. 146 —
155; [12] Литвинов Г. Л., «Теория функций, функциональ-
функциональный анализ и их приложения», 1983, в. 39, с. 73—87; [13] его
ж е, «Тр. семинара по вект. и тенз. анализу», 1979, в. 19, с. 263—
272; [14] Р i e tsch A., «Math. Nachr.», 1981, Bd 100, S. 61—91;
115] Л и д с к и й В. Б., «Докл. АН СССР», 1959, т. 125, № 3,
с. 485—87; [16] М а р к у с А. С, Мац а ев В. П., «Матем.
сб.», 1971, т. 86, Л« 2, с. 299—313; [17] К бп i g H., «Studia
Math.», 1980, t. 67, № 2, p. 157—72. Г. Л. Литвинов.
ЯДРО в теории игр — множество, состоящее
из всех недоминируемых ситуаций, т. е. такое множе-
множество ситуаций С, что отношение доминирования Sc-c не-
К
возможно ни при каких ситуациях s?S, c?C и коали-
коалиции А'?9(ц. Выделяют следующие основные типы Я.

1) f-ядро — множество с (г;) таких дележей, к-рые
не домшшруютсн никакими другими дележами; с-
ядро совпадает с множеством дележей, удовлетворяю-
удовлетворяющих для любой коалиции S условию: ^j z,->y(S).
Если с(и)=0 и Н — М-решение (см. Решение в теории
игр) существует, то с (и) содержится в любом Н — М-
решении.
2) к-я д р о — множество к (v) таких индивидуально
рациональных конфигураций (х, %) (см. Устойчивость
в теории игр), что для любых i, /?#?5K выполняется
неравенство
(maxe (S, x)—maxe(S, z))s,-<0,
8ех{/ set,,.
где e(S, x)=v(S)—2. „^, а т,-у- — множество коали-
коалиций, содержащих игрока г и не содержащих игрока
;'. Я. k(v) содержится в М}-устойчивом множестве.
3) п-я д р о — дележ n(v), минимальный на множе-
множестве дележей относительно квазипорядка —?,
V
определяемого следующим образом: х-4у тогда и
V
только тогда, когда вектор В(х, v) = (Q1(x, v),. . .,
Qn(x, v)), где Qi(x, t>)—max mineE', x), лексикогра-
|ii|=i Sett
фически предшествует вектору В (у, v). Я. n(v) суще-
существует и единственно для любой игры с непустым
множеством дележей. В кооперативной игре п-ядро
содержится в Л-ядре.
Лит.: [1] В о р о б ь е в Н. Н., «Успехи матем. наук»,
1S70, т. 25, в. 2, с. 103 — 07. А. И. Соболев.
ЯДРО интегрального оператора —
функция двух аргументов К (х, у), определяющая ин-
интегральный оператор А равенством
<Р(У) = А [<р (х)] = ^ А' (х, у) <р (х) dn (x),
где х пробегает пространство X с мерой d\i (х), а
ф(ж) принадлежит нек-рому пространству функций,
Определенных на X. Г- Л. Литвинов.
ЯДРО комплексной последователь-
последовательности — множество точек расширенной комплексной
плоскости, определенное для последовательности {zn}
следующим образом. Пусть Rn — наименьшая замк-
замкнутая выпуклая область комплексной плоскости, со-
содержащая точки zn + i, zn + 2, ¦ ¦ .. Если не существует
полуплоскости, содержащей эти точки, то областью Яп
является вся комплексная плоскость, включая беско-
бесконечно удаленную точку оо; если такие полуплоскости
существуют, то Яп их общая часть. При этом точка со
включается в Rn, если последовательность {г„} не-
ограничена, и не включается, если ограничена. Пере-
СО
сечение К = Г\ Я„ всех Rn наз. ядром п о-
следовательности {zn}.
Если {zn} ограничена, то ее Я. совпадает с замкнутой
выпуклой оболочкой множества предельных точек;
если {zn} сходится к z0, z0=^=oo, то Я. состоит из одной
точки г0. Я. действительной последо-
последовательности {zn} является отрезок действитель-
действительной оси с концами
а= lim zn и b= lim zn.
П-+ оо ?г->- Qo
Я. любой последовательности не может быть пустым,
хотя и может состоять из одной бесконечно удаленной
точки, как, напр., для последовательности {zn}, zn=
=n-\-in. Последовательность {zn}, Я. к-poii состоит из
одной бесконечно удаленной точки, иногда называют
определенно расходящейся. Для дей-
действительной последовательности это означает, что
или zn-*~)-оо или zn->—оо.
В теории суммирования рассматриваются вопросы
ядерного включения методов суммирования. Метод

суммирования А ядерно сильнее метода суммирования
В на множестве последовательностей U, если для любой
последовательности {zn}cU имеет место включение
КА с Кв, где А"д и Л'д — ядра А и В — средних по-
последовательности {zn }.
Лит.: [1] К п о р р К., «Math. Z.», 1930, Bd 31, S. 07 — 127,
276—305; [2] К у к Р., Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер. с англ., М., 1900; ['Л] X а р д и Г.,
Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 19М. IF. И. Волков.
ЯДРО линейного оператора — линейное
подпространство области определения линейного опе-
оператора, состоящее из всех векторов, к-рые отобража-
отображаются этим оператором в нуль. Я. линейного непрерыв-
непрерывного оператора, определенного на нек-ром топологи-
топологическом векторном пространстве, является замкнутым
линейным подпространством в этом пространстве.
Для случая локально выпуклых пространств линейный
непрерывный оператор имеет нулевое ядро (т. е. вза-
взаимно однозначно отображает область определения на
образ) тогда и только тогда, когда сопряженный опе-
оператор имеет слабо плотный образ. г. л. льтттов.
ЯДРО лупы — совокупность элементов лупы,
являющихся одновременно лево-, право- и среднеассо-
циативными (или пересечение левого, правого и сред-
среднего ядер лупы). Элемент а лупы наз. левоассо-
циатнвны м, если а(Ьс) = (а}>)с для любых 6, с из
этой лупы. Совокупность левоасеоциативных элементов
наз. левым ядром лупы. Аналогично опреде-
определяются право- и среднеассоциатпвные элементы и соот-
соответствующие Я. Левое и правое Я. могут быть опреде-
определены и для квазигрупп, но непустым сродним Я. обла-
обладают только лупы. Все Я. лупы являются ее подгруп-
подгруппами. Все три Я. /Р-лупы совпадают между собой, а в
лупах Муфанг являются, кроме того, нормальной
ПОДЛУПОЙ (см. Лупа). О. А. Иванова.
ЯДРО метода суммирования — функция
Kn(t) (зависящая от параметра), значения к-poii есть
средние данного метода, примененного к ряду
4- + Y" cosvt. A)
Я. метода суммирования служит для интегрального
представления средних этого метода при суммировании
рядов Фурье. Так, если метод суммирования определен
преобразованием последовательности в последователь-
последовательность посредством матрицы ||оп^|[, п, А=0, 1, . . ., то
ядром этого метода является функция
где Dk(t) — частичные суммы ряда A):
Г
2 sin—
В этом случае средние ряда Фурье 2л-иерш>дич. функ-
функции /(ж) могут быть выражены черен функцию и Я.
формулой
4 [1jW Kn(l-x)dl.
В частности, Я. метода средних арифметических
имеет вид
„ Г sin-^- (n+l) t Y
L T J
и наз. ядром Ф е й е р а. Я. метода суммирования
Абеля выражается формулой
К {г, t)=4r-.—т^2-,—г . 0<г < 1,
*¦ ' ' I 1 — lircos t-vr*
и наз. ядром II у а с с о н а. Функция L>it(t) в B)
наз. ядром Дирихле.

Функция Kn(t), значения к-рой есть средние метода
суммирования, примененного к ряду
Sx sin vl,
v=l
наз. сопряженным ядром метода суммиро-
суммирования.
Лит.: И] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М.,
1961; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с
англ., т. 1—2, М., 1965. И. И. Волков.
ЯДРО множества, открытое ядро мно-
множества М — совокупность {М) всех внутренних
точек М. Если АХВ — взаимно дополнительные мно-
множества топологич. пространства X, т. е. В=Х\А,
то Х\[4]={В), Х\(В)=[А ], где \А] — замыкание мно-
множества А . М. И. Войуеховский.
ЯДРО морфизма категории — понятие,
частными случаями к-рого являются понятия ядра ли-
линейного преобразования векторных пространств, ядра
гомоморфизма групп, колец и т. п. Пусть Я — кате-
категория с нулевыми морфизмами. Морфизм ц : Я—>-Л наз.
ядром морфизма а: А-+В, если (ха=0 и вся-
всякий морфизм ср, для к-рого <ра=0, однозначно предста-
представим в виде ф=1|5[х. Я. морфизма а обозначается кета.
Если jx=kera и ц/=кега, то [х' = ?(х для единственного
изоморфизма |. Обратно, если ji = kera и | — изомор-
изоморфизм, то морфизм ц' = ?[х есть ядро а. Таким образом,
все Я. морфияма а образуют подобъект объекта А,
к-рый обозначается Kera.
Если ;i=kera, то р, — нормальный мономорфизм.
Обратное, вообще говоря, неверно. Я. нулевого мор-
морфизма 0 : А-+В равно 1А. Я. единичного морфизма \А
существует тогда и только тогда, когда в ,Я' имеется
нулевой объект.
Не во всякой категории с нулевыми морфизмами
каждый морфизм обладает Я. С другой стороны, в ка-
тогории Si с нулевым объектом морфизм a : А -»-Д
обладает ядром в том и только в том случае, когда в if
существует универсальный квадрат относительно мор-
физмов а и 0 : 0-*-В. Это условие выполнено, в част-
частности, для любого морфизма локально малой слева
категории с нулевым объектом и с копроизведениями.
Понятие «Я. морфизма» дуально понятию «коядро
морфизма». М. Ш. Цаленхо.
ЯДРО полугруппы — наименьший двусторон-
двусторонний идеал данной полугруппы. Я. имеет не всякая
полугруппа. О свойствах Я. полугрупп и о полугруп-
полугруппах, обладающих Я., см. Минимальный идеал, Архиме-
Архимедова полугруппа. Сплетение полугрупп, Топологиче-
Топологическая полугруппа. Л. я. Шеврип,
ЯКОБЙ МАТРИЦА — квадратная матрица /=
= Ня1а11 с действительными элементами, у к-рой а^—Л)
при |г — А-|>1. Если обозначить о;--а,,- (j—1, . . ., п),
l>i~aHii' Ч = а! + М О'~1, • • •• " — 1}, то Я. м. примет
вид
О с.
О 0 0 ... сп_1ап
Любой минор Я. м. / является произведением нек-рых
главных миноров матрицы / и пек-рых ее элементов.
Я. м. J вполне неотрицательна (то есть неотрицательны
все миноры матрицы ,/) тогда и только тогда, когда
неотрицательны все ее главные миноры и все элементы
ft,- и c,-(i=l, . . ., п—1). Если ft,c,->0 при i = l, . . ., п—1,
то корни характеристич. многочлена / действительны
и различны.
Лит.: Ill Г а и т м а х с р Ф. Р., К р е й н М. Г., Осцил-
лпцпопныо матрицы и ядра и малые колебания механических
систем, 'Z над., М.— Д., 195A. Д. А. Супрупенко.
0 .
ft*
. . 0
. . 0
. . 0

ЯКОБИ МЕТОД — 1) Я. м. - мртод приведения
квадратичной формы к каноннч. виду при помощи тре-
треугольного преобразования неизвестных, предложенный
К. Якобп (С. .lacobi, 1834) (см. [1|).
Пусть дана билинейная форма
(не обязательно симметрическая) над нек-рым полем
Р, и пусть матрица А = || ak! \\ этой формы удовлетво-
удовлетворяет следующему условию:
Д^ ф 0, к—Л, ..., п, A)
где Ак — минор к-то порядка, стоящий в ге левом
верхнем углу. Тогда форма / может быть записана в
таком виде:
f — V1™ ukvk B1
где «i =
«ifc-г
при
Of
«2i «a?
"-А- 1
01
01
fl/,-i Ofta ¦ ¦ ¦ "кк-i -Jl
«И «21
Of
¦ "к~и ~о7,
Of
i «22 • ¦ • «Л-12 -Г-
«¦\k a-2k
ak-lit
C)
В частности, если Л — симметрии, матрица и f — квад-
квадратичная форма с матрицей А, удовлетворяющая усло-
условию A), то форма / приводится к каноннч. виду
npvi помощи следующего преобразования поизвес.тных:
«11 «12 •• ' al
a2\ a2i • ¦ • a2
1 01
1
1 d/
"'' ' \1 ОХ,
при ffi=2, . . ., п. и
1 О/1
Это преобразование имеет треугольную матрицу и :ia ¦
писывается в виде
где См — минор матрицы А, стоящий п строках с но-
номерами 1,2, . . , к ¦ I, к и столбцах с номерами 1,
2, . . ., к—1, i.
Формулы B) — G) наз. иногда ф о р м у л а м и
Я к о б и.
В случае, когда матрица квадратичной формы /
удовлетворяет лишь условию
Д,-5*0, 1 = 1, ..., г,
ЛЛ + 1=... = Л„=О,

где г — ранг формы, :>та форма .может быть приведена к
каноническому виду
(здесь Ло = 1) треугольным преобразованием неизвест-
неизвестных. Приведение можно осуществить при помощи метода
Гаусса (см. |11, с. 272—275). В частности, если поле
]>--R. то положительный индекс инерции квадратич-
квадратичной формы / равен числу сохранений знака, а отрица-
отрицательный индекс инерции -- числу перемен знака в
ряду чисел
См. также Инерции паипп.
Лит.: [1] Г а и т м а х е р <1>. Р. Теория матриц, 2 изд.,
М., J96G. 11. В. Проскуряков.
2) Я. м.— простой итерации метод для решения
системы линейных алгебраич. уравнений Л.г—ft, в
к-ром предварительное преобразование системы к виду
B^ осуществляется по правилу
i — 1, 2, ..., п, d,j =0, I t- !¦
3) Я. м.— вращении метод для решения полной проб-
проблемы собственных значении и собственных векторов
эрмитовой матрицы. /¦, д ним.
ЯКОВИ МНОГООБРАЗИЕ, я к о б и а и, а л г е-
fipa и ческой кривой 6' - - главно поляризо-
поляризованное абелево многообразие (/F"), в), сопоставляе-
сопоставляемое этой кривой. Иногда Я. м. является просто комму-
коммутативной алгебраич. группой. Если S — гладкая про-
проективная кривая рода g пад полем С или. и классич.
терминологии, компактная риманова поверхность рода
g, то интегрирование голоморфных 1-форм но I-цик-
I-циклам на S задает вложрпио
я, (S, /:)-—>- n»(S,Qs)*,
образ к-рого является решеткой макснмал1>ного ранга
(здесь ?i$ — пучок голоморфных 1-форм на >S'). Я. м.
кривой S есть фактормногообразпе
В качестве поляризации па нем берется класс когомо-
логий в n:i
fP(J(S), Ч)Л1П(.1 (S),z)=U-(J (Л'), Z)<=ir%/(S),€),
гоответствующи11 форме нересечешгя иа Нх (•?, Z) ~
si Лг (J (S), Ж). Эта поляризация является главной,
т. е. eg-g\. J.{j4i более явпо| о задания Я. м. обычно
берется нек-рып базис 6Ь .... (S,,g. » Я] (Л1, Z) п базис
из форм СО], .... ov и Л° ($, fi.s)- ''т11 Дачные он редел я-
ют .матрицу Q разме]>а g".\2i; м а т ]i и ц у и е р и о д о в
рпманошш поверхности
Тогда J (S)—Cs/A, где Л — решетка с базисом, со-
состоящим из столбцов матрицы Q. базисы {бу-} и {м,}
можно выбрать так, что Q — \\EgZ\\; при этом матрица
Z--X-\-iY симметрична и У>0 (ем. Абелев дифферен-
дифференциал). [»ласс поляризации представляется формой о>,
к-ран в стандартных координатах (?,,. . . ., ;.„) на
С'' записывается в виде
Вместо класса когомологий 0 часто рассматривают
двойственный к нему эффективный дивизор, обозна-
обозначаемый той же буквой; он определен однозначно с точ-
точностью до сдвига. Геометрпч. описание дивизора в

дается отображением Абеля [х : S-+J(S), заданным
формулой
где so^5—фиксированная точка. Пусть 5(d) есть d-я
симметрия, степень кривой S, т. е. фактормногообразие
многообразия Sd по симметрия. группе (точки много-
многообразия 5(а) соответствуют эффективным дивизорам сте-
степени d на S). Формула u, (s,, . . ., sd) = ц (я,) -{- . . . -f- jx (sd)
определяет продолжение отображения Абеля до отобра-
отображения ц: 5(d» -ч-/E). Тогда 9 = H/g_, = (x E<?-D).
Отношение эквивалентности в S*?1, определяемое
отображением |х, совпадает с рациональной эквивалент-
эквивалентностью дивизоров (теорема Абеля). Кроме того,
(хE(?»)=/E) (теорема Якоби об обра-
обращении). Сам К. Якоби [1] занимался проблемой обра-
обращения в случае g=2 (см. также Якоби проблема обраще-
обращения). Указанные теоремы определяют изоморфизм
J (S)szPicg{S), где Pic^E) — компонента Пикара
группы Pic E), отвечающая дивизорам степени g.
Умножение на класс дивизора — gs0 приводит к кано-
нич. изоморфизму абелевых многообразий /E)=Pic°(S).
В случае полной гладкой кривой над произвольным
полем Я. м. /E) определяется как Пикара многооб-
многообразие PicS. Отображение Абеля (х сопоставляет точке
sg5 класс дивизора s—s0, а поляризация определя-
определяется дивизором Wg-1~ii(S{s-1)).
Значение Я. м. в теории алгебраич. кривых видно
из следующей Торелли теоремы', неособая полная кри-
кривая однозначно определяется по своему якобиану (с
учетом поляризации), см. [5]. Переход от кривой к
ее якобиану позволяет лианеризовать ряд нелинейных
задач теории кривых. Напр., вопрос об описании спе-
специальных дивизоров на 5 (т. е. эффективных дивизоров
D, для к-рых h°(S, О (К—?>))>0) по существу переводит-
переводится на язык особенностей специальных подмногообразий
Wd=p,(Sid)) якобиана /E). Этот перевод основан на
теореме Римана — Кэмпфа об особенностях (см. [1],
[5]). Одно из следствий теоремы Римана — Кэмпфа
состоит в том, что многообразие особых точек дивизора
поляризации Q=Wg-i имеет коразмерность, не пре-
превосходящую 4. Это свойство Я. м. является характе-
характеристическим, если рассматривать лишь главно поляри-
поляризованные абелевы многообразия, принадлежащие ок-
окрестности якобиана общей кривой. Точнее, если много
образие особых точек дивизора поляризации главно
поляризованного абелева многообразия А имеет кораз-
коразмерность <:4 и А не принадлежит нескольким выделен-
выделенным компонентам многообразия модулей, то As^J(S)
для нек-рой гладкой кривой S (см. [2]).
Другой подход к выделению якобианов среди абеле-.
вых многообразий — задание уравнений на значения 0-
функций и их производных в специальных точках.
Отыскание таких уравнений называют и р о б л е м о п
Ш о т т к и.
В случае особой кривой 5 Я. м. /E) называют под-
подгруппу в Pic(S), определяемую дивизорами, имеющи-
имеющими степень 0 по каждой неприводимой компоненте
кривой 5 (она совпадает со связной компонентой еди-
единицы в Pic E)). Если кривая S задана модулем т на
гладкой модели N, то J (S) обычно называют обоб-
обобщенным якобианом кривой N (относительно
модуля т) и обозначают через Jm (см. 10]).
Лит.: [llJacobi С. G. J., Gesammelte Worke, Bd 2, В.,
1882, S. 5—16, 23—50; [2] A n d г е о 11 i A., Mayer A.,
«Ann. Scu. Norm. Super. Pisa», 1967, v. 21, p. 18У—238; [3]
Griffiths Ph. A., An introduction to the Iheory of special
divisors on algebraic curves, Providence, 1980; [4] M u m-
f ord D., Curves and their Jacobians, Ann Arbor, 1978; 15]
Гриффите Ф., X a p p и с Д ж., Принципы алгебраичо-
гкой геометрии, не]), с англ., т. 1, М., 1982; llil С е р р Ж. П.,
Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М.,
1968. В. В. Шакуров,

ЯКОБИ МНОГОЧЛЕНЫ — многочлены, ортого-
ортогональные на отрезке (j—1, 1] с весовой функцией
Л (я) = A-я)* A+а;K, а>—1, Р >-1, x?[-i, 1].
Стандартизованные Я. м. определяются Родрига фор-
формулой
Р„(х; а,р) = Р^р>(х) =
а ортонормированные Я. м. имеют вид
„(;,Р)
/га1(а + р+2и+1)Г(а + |3+п + 1) р ^ р,
2а + C+1г(а + п+1)Г(C+п+1) ' '
Многочлен Р„ (х; а, Р) удовлетворяет дифференциалт.-
ному уравнению
A— z2)
При а^— у и р^ g- для ортонормированных Я. м.
имеет место весовая оценка
где постоянная ct не зависит от ?г и х. А в точках j=±l
последовательность {Рп(х; а, Р)} возрастает со скоро-
a + 4 P+ 4-
стью п "иге соответственно.
Ряды Фурье по Я. м. внутри интервала (—1, 1) ана-
аналогичны тригонометрич. рядам Фурье. А в окрестности
концов отрезка ортогональности свойства рядов Фу-
Фурье — Якоби иные, ибо в точках г=±1 ортонормиро-
ортонормированные Я. м. возрастают неограниченно. Равномерная
сходимость ряда Фурье — Якоби на всем отрезке [ — 1,
1] имеет место, если функция f(x) непрерывно дифферен-
дифференцируема р раз на этом отрезке и /(я> (a-)^Lip у, причем
Р+У>4+ y , где
g=^max {a, P} > 1-.
При этих условиях выполняется неравенство
Q Н
, xf[— 1, 1],
где постоянная с2 не зависит от п и ж. С другой стороны,
для остатка ряда Фурье — Якоби при а^5 в- и р4^
!> ;г- справедлива весовая оценка
/Iпп, я^[—1, 1],
где «5^2, постоянная е3 не зависит от п и ж, а Яп(/) —
наилучшее равномерное приближение непрерывной
функции f(x) на отрезке [—1, 1J многочленами порядка
не выше п.
Я. м. были введены К. Якоби [1] в связи с решением
глпергеометрич. уравнения. Частными случаями Я. м.
являются Лежандра многочлены (при а=р=О), Чебы-
шева многочлены 1-го рода (при а=р=—1/2), Чебышева
многочлены 2-го рода (при а=Р = 1/2), ультрасфериче-
ские многочлены (при а —Р).
См. также ст. Классические ортогональные многочле-
многочлены.

Лит.: [1] J а с о b i С, «J. reine und angew. Math.», 1859,
Bd 56, S. 149—65; [2l Суети it И. К., Классические орто-
ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979. Я. К. Суетин.
ЯКОБИ ПОЛЕ — поле экстремалей, удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнению Якоби (см. Геодезическая линия).
ЯКОБИ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное преоб-
преобразование вида
/ {F (х)} = /<«• Э)(И) = ^_ i Pf. Э) (Я) F (х) их,
га = 0, 1, 2, ...,
где Рп '''(г)—Якоби многочлен степени га; а> — 1,
Р — 1 — действительные числа. Формула обращения
е
имеет вид
F ^=
Х/(а' р) (га), -1 < ж < 1,
с _
если ряд сходится.
Я. п. сводит операцию
к алгебраической по формуле
При a={5=0 Я. п. переходит в Лежандра преобразова-
преобразование, при a=P=v g в Гегенбауэра преобразование.
Я. п. применяется при решении дифференциальных
уравнений, содержащих оператор Т. Я. п. введено так-
также для специального класса обобщенных функций.
Лит.: [1] S с о t t E. J., «Quart. J. Math.», 1953, v. 4, N« 13,
p. 36—40; [2] Итоги науки. Математический анализ. 1966, М.,
1967; [3] 3 е и а н я н А. Г., Интегральные преобразования
обобщенных функций, пер. с англ., М., 1974.
Ю. А. Брычков, А. П. Прудников.
ЯКОБИ ПРИНЦИП, принцип стационар-
стационарного действия, вариационный интегральный
принцип механики, установленный К. Якоби [1] для
голономных консервативных систем. Согласно Я. п.,
если заданы начальное .Ро и конечное Рг положения
голономной консервативной системы, то для действи-
действительного движения действие по Якоби
ds, ds* = 2"_ .^^ijdqidqj
имеет стационарное значение по сравнению со всякими
другими бесконечно близкими движениями между теми
же самыми начальным и конечным положениями и с тем
же самым постоянным значением h энергии, что и в дей-
действительном движении. Здесь U(q1, . . ., qn) — сило-
силовая функция активных сил, действующих на систему,
qi — обобщенные лагранжевы координаты системы,
кинетич. энергия к-рой
К. Якоби (см. [1]) показал, что если начальное Ро
и конечное Pt положения системы достаточно близки
одно к другому, то действие S имеет минимум для дейст-
действительного движения. Я. п. приводит задачу определе-
определения действительно!) траектории голономной консерва-
консервативной системы к геометрнч. задаче отыскания в рима-
новом пространстве с метрикой
экстремалей вариационной задачи.
См. также Вариационные принципы классической меха-
механики.

Лит.: [1] Jacob i С, Vorlesungen iiber Dynaraik, В.,
18(it; (рус. пор..- Я к о б и К., Лекции по динамике, Л.— М.,
1936). В. В. Румянцев.
ЯКОБИ ПРОБЛЕМА ОБРАЩЕНИЯ — проблема об-
обращения абелевых интегралов I рода произвольного поля
алгебраических функций. Иначе говоря, проблема обра-
обращения абелевых интегралов I рода на компактной рима-
новой поверхности F рода р^1, соответствующей дан-
данному алгебраич. уравнению F(z, w)—0.
Пусть фх, . . ., ф^ — базис абелевых дифференциа-
дифференциалов I рода на F. Обращение одного абелева интеграла,
напр. \ cp1^su1(w1)=z1, т. е. представление всевозмож-
•/Cl ,
ных рациональных функции от и>х, в частности представ-
представление функции w1=w1(zl) как функций от zx, имеет смысл
только при р = 1 — в этом случае речь идет об обраще-
обращении эллиптического интеграла, к-рое приводит к двоя-
копериодическим эллиптическим функциям. Напр.,
обращение нормального интеграла I рода в нормальной
форме Лежандра
М,(Ш1)=\ = Z,
JO V(l-t')(l-k't*)
приводит к Якоби эллиптической функции и>г=5П zx.
Как заметил еще К. Якоби (С. Jacobi, 1832), пробле-
проблема обращения при р>1 должна рассматриваться для
всех абелевых интегралов I рода \фХ) . . ., ^ф^ в сово-
купности, так как должны получиться функции с 2р
периодами. В общем случае при р^1 рациональная по-
постановка Я. п. о. состоит в следующем: пусть дана сис-
система равенств
в к-рой нижние пределы интегрирования с1; сг, . . .,
ср — фиксированные точки на F; и>г, ... , wp — теку-
текущие точки на F; z=(z-^, . . ., zp) — данные произволь-
произвольные комплексные числа. Требуется указать, при каких
условиях и как можно обратить систему A), т. е. по-
получить представление всевозможных симметрических
рациональных функций от wk, k=l, 2, . . ., р, как
функций от z=(zr, . . ., zp).
Вследствие зависимости от формы путей, соединяю-
соединяющих на F точки ск и wk, абелевы интегралы в A), как
функции от верхних пределов wk, многозначны: при
изменении формы пути они могут получить приращение
в виде целочисленной линейной комбинации периодов.
Отсюда вытекает, что A) является в сущности систе-
системой сравнений по модулю периодов дифференциалов
фх, . . ., ф^. Получаемые при решении Я. п. о. функции
от комплексных переменных z=(zl7 . . ., zp) не должны
изменять своих значений при прибавлении к аргументу
любой целочисленной комбинации периодов дифферен-
дифференциалов ф], . . ., Ц1р. Это будут, следовательно, специ-
специальные абелевы функции с 2р независимыми периодами.
Для случая р = 1, т. е. для эллиптического интеграла,
построение эллинтич. функций, решающих проблему
обращения, достигается при помощи сравнительно про-
простых тета-функций Якоби от одного комплексного пере-
переменного z, причем мероморфные эллиптич. функции
строятся в виде отношений целых тета-функций. Ре-
Решение общей Я. п. о. также возможно при помощи тета-
функций 9//(z)=9w(z1, . . ., Zp) 1-го порядка от р комп-
комплексных переменных с полуцелыми характеристика-
характеристиками Н.
Матрица периодов W базисных абелевых дифференци-
дифференциалов фу имеет вид
я,- 0 ... О иц «12 .. • а\р
О 7ii ... О д21 а™ ... а,2г?
0 0 .. . ni apl
B)

причем римановы соотношения (см. Абелева функция)
между периодами обеспечивают равномерную сходи-
сходимость на компактах пространства С1' представляющих
тета-функций 9^ (z) рядов, построенных по матрице W.
При помощи тета-функций Q(z)—60(z) с нулевой харак-
характеристикой строится суперпозиция
ф(н>)=6(и(н>) — z),
где
{
W\ С W
() = ) с Р
— вектор абелевых интегралов, гг=(ц'1, . . . , wp) —
система точек на F; Ф (и>) наз. Римана тета-функцией.
Для данной системы чисел z?Cp либо в нормальном слу-
случае функция Ф (и>) имеет на F единственную систему
нулей т){, . . ., iip, либо в исключительном случае тож-
тождественно обращается в нуль. Эти нули %, . . ., х\р
и дают решение Я. н. о. Исключительные точки г,
для к-рых Ф ((о)^зО, составляют в Ср множество низшей
размерности.
Явные выражения специальных абелевых функций,
решающих Я. п. о. в полном объеме, строятся при по-
помощи отношений тета-функций вида 9^(z)/Q(z), в к-рых
тета-функция с пулевой характеристикой служит об-
общим знаменателем. При прибавлении к аргументу пе-
периодов тета-функций умножаются на определенные
мультипликаторы. Для отношений тета-функций,
вследствие сокращений, нетривиальным .мультиплика-
.мультипликатором может быть только —1. Следовательно, квадраты
отношений но изменяются при прибавлении к аргумен-
аргументу периодов и получаются абелевы функции с 2/j перио-
периодами.
К Я. п. о. примыкает важная проблема построения
для данной системы тета-функций 9W (z) с общей мат-
матрицей W, удовлетворяющей условиям сходимости,
соответствующего ей поля алгебраич. функций и соот-
соответствующей римановой поверхности. Для того чтобы
такое построение было возможно, различные элементы
(iff, матрицы W, число к-рых равно р(р-\-1)/2, должны
удовлетворять (р—2)(/>—3)/2 дополнительным соотно-
соотношениям, и исследование этих соотношений при р>3
представляет собой весьма трудную задачу (см. [1|,
13]-[5]).
Лит.: [1] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических
функций, М.— Л., 1948; [21 Спрингер Д ж., Введение н
теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., I960; [3]
С. 1 е b s с h A,, G о г d a n P., TJicorie der Abelschen Funktio-
nen, [Wurzburg], 1967; [4] С о n f о г t о F., Abelsche Fnnktio-
nen und algebraische Geometrie, В., 195В; [5] M а м ф о р д Д.,
«Математика», 1973, т. 17, № 4, с. 34—42. Е. Д. Соломенцев.
ЯКОБИ СИМВОЛ (jr^\ — функция, определяемая
для всех целых о, взаимно простых с заданным нечетным
целым числом Р>1, следующим образом: если /' —
=PiPa- • -Рг — разложение числа Р на простые сомно-
сомножители, не обязательно различные, то
где | — ) — Лежандра символы.
\ pi)
Я. с. является обобщением символа Лежандра и об-
обладает аналогичными с ним свойствами. В частности,
для Я. с. справедлив закон взаимности
/'-1 Q-1
р \ ( Q \ / \ Г*~ " -'
где Р, Q — положительные нечетные взаимно простые
числа, а также два дополнения к этому закону
Р-\ пг-1

Я. с. введен К. Якоби (С. Jacobi, 1837).
С. А. Степанов.
Я КОНИ СКОБКИ, скобки Манера — диффе-
дифференциальное выражение
+P
A)
от двух функций /"(ж, и, р) и G(x, и, р), 2и + 1 независи-
независимых переменных х—(.гь . . . , хп) и p — (pi, ¦ • ., р„).
Основные свойства:
1) [*\ e] = -[G, Л;
2) [F, GH]=G [F, H] + H[F, О];
3) если G=g{y), !/=(;/,, ...,ys) и у, — /;(*). то
f//,
Последнее свойство носит название тождества
Я к о б и (см. 11], [2]).
Выражение A) иногда записывается в виде
¦^п г 9F во да of ч
где принято символическое обозначение
ilH __ ОН дН
если переменные « и /;^ трактовать как значения функ-
функции от х(хъ . . ., хп), причем рк~ди1дхк, 1</с<га, ТО
B) приобретает смысл полной производной по х^.
Если функции F и G не зависят от м, то их Я. с. A)
переходит в Пуассона скобку.
Лит.: [1] Jacobi С, «J. reine und ungew. Math.», 1862,
Bd 60, S. 1 — 181; [21 Mayor A., «Matli. Ann.», 1876, Bd 9,
S. 347—70; [3] Г ю н т е р Н. М., Интегрирование уравнений
первого порядка в частных производных, Л.— М., 1934; [4]
Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений,
8 изд., М., 1959. А. П. Солдатов.
ЯКОБИ УРАВНЕНИЕ — обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение 4-го порядка
dj/ Аху { By- +ax + by-t-c
dx Л .г--i- Bxy + <xx + fiy + v '
или, в более симметричной форме,
dy — у dx)-\-
где все коэффициенты — постоянные числа. Это урав-
уравнение, являющееся частным случаем Дарбу уравнения,
«первые исследовал К. Якоби [1]. Я. у. всегда интег-
интегрируется в замкнутой форме применением следующего
алгоритма. Сначала непосредственной подстановкой
отыскивается по крайней мере одно линейное частное
решение
y=px-!rq.
Затем делается преобразование переменных
? X у
b ~~ px-y + q • "Ч ~~ рх-у -if '
в результате чего получается уравнение, приводимое
к однородному уравнению.
Лит.: ll] Jacobi С, «,1. reine und angew. Math.», 1842,
Bd 24; [2] Степанов В. В., Курс, дифференциальных урав-
уравнений, 8 над., М., 195 9; [3lK а м к с 0., Справочник по обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд.,
М., 1970. Н. X. Роме.
ЯКОБИ УСЛОВИЕ — необходимое условие опти-
оптимальности в задачах вариационного исчисления. Я. у.
ниляется необходимым условием неотрицательности
2-й вариации минимизируемого функционала в точке его
минимума (равенство нулю 1-ii вариации функционала

обеспечивается выполнением необходимых условий
первого порядка — дифференциального Эйлера урав-
уравнения, трансверсальности условием, а также Вейер-
штрасса условием).
Пусть, напр., поставлена задача минимизации функ-
функционала
J(x)=.V*F(t,x,r)dl A)
J М
при заданных условиях на концах
x(h) = xu x(t2)-=x2. B)
Если x(t), ix<it<:«a, есть решение задачи A), B), то 1-я
вариация функционала 6/ должна быть равна пулю,
и отсюда следуют необходимые услония 1 го порядка,
а 2-я вариация
должна быть больше или равна нулю при любой кусоч-
кусочно гладкой функции t](t), удовлетворяющей нулевым
граничным условиям
n(ti)=--O, T)(fa)=O. ('.)
Уравнение Эйлера для функциопала 6",/ (ц):
FXXT) + Fxx >1 - ж (/''-« '1 + F • -^ = ° W
"' XX
нал. уравнением Якоб и. Это уравнение
является линейным дифференциальным уравнением
2-го порядка относительно неизвестной функции т](/).
Все коэффициенты в E) при т| и т) вычисляются при
значениях (, х, х, соответствующих известному оп-
оптимальному решению x(t) и, следовательно, все они
являются известными функциями, зависящими от аргу-
аргумента t.
Функция т] (<)=0, <х<:1<:<2, удовлетворяет уравнению
Якоби при граничных условиях D), то есть является
экстремалью функционала б2/(т)). С другой стороны,
для r\(t)s!s() 2-я вариация 62/(п)=0 и так как для оп-
оптимального решения х (t) 2-я вариация неотрицательна
при любых T[(t), то функция т) (l)s=0, ^<:i</2, доставляет
минимум функционалу б2/(л,). Если выполнено условие
Лежандра Р^фО, il<««.2, то есть x(t) является ж1-
особенно!! экстремалью, то при начальных условиях
1)(^i)=rl(zi)=A решение уравнения Якоби тождественно
равно нулю.
Точка t=c наз. сопряженной с точкой <=п,
если существует решение уравнения Якоби, обращаю-
обращающееся в нуль при t=a и Z—с и не равное тождественно
нулю между а и с. Согласно необходимому Я. у., если
неособенная экстремаль x(t), tt<i«2, доставляет мини-
минимум функционалу A), то интервал {tx, t2) не содержит
точек, сопряженных с tx.
Практич. смысл Я. у. может быть пояснен следующим
образом. Пусть Я. у. не выполняется, т. е. существует
точка a, <t<o</s, сопряженная с tx. Тогда можно было
бы построить непрерывную функцию
0, «</</„
являющуюся решением уравнения E), для к-рой
6V(T)l)=t). Таким образом, г]^/), /",</</;,, является
ломаной экстремалью функционала 6aJ (i)) с yrjioeoi'i
точкой при t—a. Но согласно необходимому условию
Вейерштрасса — Эрдмана (см. Эйлера уравнение),
требующему непрерывности выражении /•'—xF-x
и /'• в угловой точке, при ?—а должно выполняться
равенство ^(я)—0, что вместе с 1],(я)г=0 дает
это противоречит предположению r\(l.)^0,

Для непосредственной проверки Я. у. следует рас-
рассматривать решение уравнения E), удовлетворяющее
начальным условиям
г) (*!)=--(), 4(f,)-l.
Пусть Д(<1, I) — это решение. Для того, чтобы точка
i=a, /,<a<:i2, была сопряжена с t-l, необходимо и до-
достаточно, чтобы функция Л((г, t) обратилась в нуль при
t--=a. Таким образом, выполнение Я. у. эквивалентно
условию яеобращения п нуль решения уравнения Яко-
Якоби A(tl. t) на интервале (tu t2).
В более общем случае, когда рассматривается вариа-
вариационная задача па условный минимум (задача и форме
Лаграпжа, Манера пли Польца), формулировка Я. у.
имеет нек-рые. особенности. Возникающая здесь задача
на минимум 2-й вариации функционала формулируется
как задача на условный экстремум (в форме задачи
Больца). Эта задача наз. п р и с о е д и н е и и о и
з а д а ч е и, а ее экстремали — ir р и с о с д и и е п-
н ы м и я к с т р е м а л я м и. Дифференциальные
условия связи и граничные условия и присоединенной
задаче па минимум 2-й вариации получаются is резуль-
результате варьирования соответствующих условии исходной
вариационной задачи. Определение сопряженной точки
остается по форме таким же. Для неотрицательности
2-й вариации функционала на классе присоединенных
экстремалей, удовлетворяющих присоединенным усло-
условиям для концов, должно выполняться Я. у., требую-
требующее, чтобы интервал (/,, /2) не содержал точек, сопря-
сопряженных с /,.
Я. у. установлено К. Якоби (С. Jacobi. 1837).
,lum.: MJ Г> л и с о Г. А., Лекции по иариациоиному иг-
чнгиюнию, пер. с .-iiiivi.. M., IslJO; 12) ,11 а и |> « н т ь i1 в М. Л.,
.'I ю с т о i> к л к Л. Л., КУ|>о иарнациопиоП! почис.клш.ч,
2 плд. М.— Л.. 1!l.ril). II. В. Вттярский.
ЯКОБИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — эллип-
эллиптические функции, возникшие при непосредственном
обращении эллиптических интегралов и нормальной
форме Лежандра. Г)та задача обращения была решена
в 1827 независимо К. Якобн (С. Jacobi) и. в несколько
иной форме, II. Абелем (N. Abel). Конструкция Якоби
основывается на применении тета-функции.
Пусть т — комплексное число с lm т>(). Тета-функ-
Тета-функции Якоби fl'oO'). tti(i'), ft.,(r), ft;i('') представляют собой
следующие ряды, абсолютгго и равномерно сходящиеся
на компактах плоскости комплексного переменного v.
fl'o (v) = х% (i>; т) = 2*= _ ю (-1)'яе'лтЧ eiiKlnr =
= 1 f 2У°° U-4y"eijun4cos Bnmv);
,•„ / 2m + 1
т
sin [B/n-f \)nv}\
=- 1 +2 2,"_ , <:ЫтЧ cos Bnmv).
Эти ряды достаточно быстро сходятся. Обозначения
^о('')> ^i(!'). ^2(!'), ^з(';) восходят к IV. Вейерштрассу

(К. Weierstrass). Вместо fto(v) часто пишут Ф4(и)> имеют-
имеются и другие системы обозначений. Сам К. Якоби при-
применял обозначения: в (v)=$0(v/2K), II (v)=&1(v/2K),
/ / /
1(J(), 1()s.), где Х=я ()
Все тета-функции Якоби представляют собой целые
трапсцендентные функции комплексного переменного
v, причем bx{v) — нечетная функция, а остальные
функции fto{v), &2(v), 03(у) четные.
Имеют место следующие с о о т н о ш о и и я пе-
периодичности:
(v ± т) = —
(v ± l) = -
(f ± т) = —
®3(v ± T) = e-im.e^iinv-§3(v),
из к-рых вытекает, что тета-функции являются эллин
тич. функциями III рода по Эрмиту.
Различные тета-функции связаны между собой ф о р
мулами преобразования:
Все четыре тета-функции удовлетворяют одному и
тому же дифференциальному уравнению
Важное значение имеют так наз. нулевые зна-
значения тета-функции Фо@), 0^@), *2@), #3@);
при этом д1@)=0. Между ними имеются следующие со-
соотношения:
Ъ[ @) =ид0 @) О2 @) Оз @), Оз @) =йо @) + О| @).
По отдельности
* О4 ?
*з @) = ЯОЯ1, ©1 @) = 2яе
где

Функция Ф0(у) имеет простые нули в точках т-\-
-J- ( п jv, ftx(v) — в точках т-\-п%; ®2(v) — в точках
т —\-пт; $3(v) — в точках m— — + (re J т;
то, re=0, ±1, ....
Из соотношений периодичности видно, что нек-рые
отношения тета-функций будут эллиптич. функциями
и собственном смысле. Основные эллипти-
эллиптические функции Я к о б и — sn« (синус ам-
амплитуды), спи (косинус амплитуды) и йпи (дельта амп-
амплитуда). Эти обозначения введены X. Гудерманом
(Ch. Gudermann, 1838). Названия происходят от ста-
старых обозначений, введенных самим К. Якоби (snu=
=sin атм, спи=сов атм, dna=A атм) и позднее вы-
вышедших из употребления.
Новое переменное и связано с v соотношением м=
— г-лФз(О). Если /c=Ol@)/^l@) — модуль эллип-
эллиптических функций, то Я. э. ф. следующим
образом выражаются через тета-функции или посредст-
посредством сходящихся в окрестности начала степенных рядов:
«„@)
-?—A+44**+Ш«) ¦?¦+...,
; ¦
ft* -ff- + fc» D + fc*) -^f — ** A6 + 44*» + fc«)
Удобные обозначения для обратных величин и отно-
отношений были введены Дж. Глейшером(.Г. Glaisher, 1882):
1 1,1
ns и — , пс и — , nd и — -;— ,
sn и ' спи ' dn и '
сп и , dn и л dn и
ds м =dcM
snu ' sn и ' си ы
snu j .. _ so „, en»
*"""cnu ' "" " " dn и - ~" ¦* "~ dn и ¦
Я. э. ф. sum, спи, dim являются эллиптич. функциями
2-го порядка с периодами: 4А и 21 К' для snu; 4Л" и
2(А'-НА') для спи; 2А и 4гА' для dnu. Здесь Л' —
= А (А-)=1ттЭ'1@)/2, К' = К(к') —— iiK — значения пол-
полных эллиптич. интегралов I рода, к'—у\—/с2 — до-
дополнительный модуль эллиптиче-
эллиптических функций. Я. э. ф. имеют только простые
полюсы, расположенные в точках 2тА-]-Bк-)-1)гА';
то, га=О, —1, ....
Три Я. э. ф. связаны соотношениями:
sn2 u+cn2 и = 1,
dn2 и—
d
d
Им
du
к2 cn2 и ¦¦
- sn и = с
СП U = —
Inn- —
= 1 —
п и ¦ d
- sn и
fe2sn
п и,
¦ dn и,
м-cn г
л дифференциальными уравнениями
-^-snu) =^A—sn2 u) A—к-яп2 и),
du
¦Jj- СП M V -= A —СП2 И) (fe'2 +fe2 СП2 M) ,

Теоремы сложения для Я. я. ф. имеют вид:
sn и, см Hj-iln и.ч sii и, en «,-dn Kt
=—
su (и,
сп AЧ
)= Г
, , , . ЙП «i-dn И»-*!2 Sn Ui-CnUi'SllU.'Cn Иг
Связь Я. а. ф. с эллиитич. интегралами ьыражаетсн
в том, что еслм
Г
У'П-t1) (l-h*i*) О О У\ -h* sin's
— эллиптич. интеграл I рода в нормальной форме Ле
жандра, то его обращение имеет вид z—мш; в этом
н состоял исходный пункт теории Якоби. Переменная
ср — ami/ есть бескопечноаначная функция от и и ваз.
амплитудой эллиптического инте-
интеграла и,
сп и — у'Ч — su2 и = сое am и,
dn u= }/~i —ft2 sn2 и = У'Ч —A2 sin- am ы .
Основные соотношения между постоянными:
A-=A'(*)=-i-ji#!@;x), K'=K(k'),
**3 @) #|@)
В прикладных задачах обычно задан модуль к, причем
чаще всего имеет место так наз. норм а льны й
случай 0<А<1, или задан дополнительный модуль
fc'=>^l—/с2, 0<fc'<l. Требуется найти К, А", т или
д=е'ят. Полагая 2е=A— j/V)/(l+ >^fc'), ири 0<fr<1
имеем 0<в<1/2. Для определения q получается быстро
сходящийся при 0<в<г/2 ряд
Значения полных аллиптич. интегралов К и А''
ляются по формулам
или при помощи таблиц.
При /с^=0 и fc=l Я. э. ф. вырождаются соответстнен-
но в тригонометрич. и гиперболич. функции:
sn (и; 0) = sin«, en (и; 0) = cosu,
dn(u; 0) = l; sn(it; l) = thu,
en (u; l) = dn(u; l)=l/chu.
В теоретич. отношении более простое построение тео-
теории эллиптич. функций дано К. Вейерштрассом и
1862—03 (см. Вемерштрасса эллиптические функции).
При заданном модуле к, 0</с<1, инварианты Вейер-
штрасса ех, е%, е3 вычисляются, напр., по формулам ех=
= B—/с2)/3, е2=Bк2—1)/3, е3=—A+А2)/3, и далее g2=
= —4(е1е2+е2ез+е3е1), g3=^i«2e3- Полупериоды теперь
определяются по формулам <а1=К/Уге1—е3, щ—-
= 1К'/У~е±—е3, что и дает возможность вычислить все
остальные величины, относящиеся к эллиитич. функ-
функциям Вейерштрасса.
Лит.: El] J а с о b i С, Fundamenta nova theoriae fimctiomim
elliptioarum, Konigsberg, 1829; Gesammelte Werke, Bd 1, В.,
1881 i Ё2] A x и е з е р Н. И., Элементы теории эллиптических
функций, 2 изд., М., 1970; [3] Г у р в и ц А., Курант Р.,
Теория функций, пер. о нем., М., 1968; [4] У и т т е к е р Э. Т.,
Ватсон Дж, Н., Курс современного анализа, пер. с англ.,
2 изд., ч. 2, М., 1963; [5] Е n n е р е г A., Elliptische Funktio-
nen. Theorie und Geachiohte, 2 Aufl., Halle/Saale, 1890; [6] Та n-
nery J., Mo Ik J., Elements de la theorie des functions
elliptiquos, t. 1—4, P., 18ИЯ--1Я02; [7] Ж у р а в с к и а А. М.,

Справочник г(о эллиптическим функциям, М.— Л., 1941; [8]
Янке is., ;) и д с Ф., .!1 Г'ш Ф., Специальные функции
Формулы, графики,таблицы, пер. с. нем., 3 изд., М., 1977.
Е. Д. Соломенцее.
ЯКОБИАН, определитель Я к о б и, функ-
функциональный определитель специального вида, состав-
составленный из частных производных 1-го порядка. Пусть
заданы т функций т;=ф,(/,, . . ., tm, tm + 1, . . ., tn),
/ = 1, 2, . . ., т, имеющих частные производные 1-го
порядка по переменным /(, t2, . . ., tm, тогда Я. этих
функций называют определитель вида
Оф; Эф; 9ф2
"<77Г liiT ¦ ¦ ¦ ~м^
at, at. ' ' ' 6tn
кратко обозначаемы!! символом
Д (If I, фг, .... фи)
mt,, t., tm> •
Модуль Я. характеризует растяжение (сжатие) эле-
элементарного объема при переходе от переменных х\,
лг2, . . ., .[,„ к переменным *,, t2, . . ., tm. Назван по
имени К. Якоби ((;. Jaiobi), впервые изучившего его
свойства и применение.
Лит.: |1 J II .к ь и II is. А., П о з н я к Э. Г., Основы ма-
математического анализа, ч. )—2, М., 1971—73; [2] Кудряв-
Кудрявцев Л. Д., Математический анали.ч, 2 изд., М., 1973; [з] Ни-
Никольский с. М., Куре математического анализа, 2 изд.,
г. 2, М., 197Г>. В. А. Ильин.
ЯНГА—МИЛЛСА ПОЛЕ — связность в главном
расслоении над (исевдо) римановим многообразием, кри-
кривизна к-poii удовлетворяет условию гармоничности
(уравнению Инга — М и л л с а).
Я.— М. II., наз. также калибровочными
пол я м и, используются в современной физике для
описания физич. полей, играющих роль переносчиков
взаимодействия. Так, электромагнитное поле в электро-
электродинамике, поле векторных ИЧзозонов — переносчиков
слабого взаимодействия в теории олектрослабого вза-
взаимодействия Найнберга — Салама и, наконец, глю-
онаое ноле -— перенос,пик сильного взаимодействия —
описываются Я. М. и. Гравитационное поле также
может бьпч. интерпретировано как Я. — М. п. (см. [4]).
Впервые концепция связности как нек-рого поля была
развита Г. Венлем (II. Weyl, 1917), к-рый также сделал
попытку описания электромагнитного поля в терминах
связности. В 1954 Ч. Янг (С. Yang) и Р. Миллс (R. Mills)
предположили, что пространство внутренних степеней
свободы элементарных частиц (напр., изотопич. прост-
пространство, описывающее две степени свободы нуклона,
соответствующих двум его чистым состояниям — про-
протону и нейтрону) зависит от точки пространства — вре-
времени, причем внутренние пространства, соответствую-
соответствующие различным точкам, канонически не изоморфны. На
геометрич. языке предположение Япга - - Миллса со-
состоит в том, что пространство внутренних степеней сво-
свободы является векторным расслоением над пространст-
пространством — временем, не обладающим канонич. тривиализа-
цией, а физич. поля описываются сечениями этого рас-
расслоения. Для написания дифференциального уравнения
эволюции поля необходимо ввести в расслоение нек-
рую связность -- тривиализацию расслоения вдоль кри-
кривых базы. Такая связность с фиксированной группой
голономии описывает физич. ноле (получившее назв.
поля Я и г а — М и л л с а). Из вариационного
принципа выводятся уравнения для свободного Я.—
М. п., являющиеся естественным нелинейным обобще-
обобщением Максвелла уравнений.
Более строгое определение Я.— М. п. состоит в сле-
следующем. Пусть я : Р -*¦ М -- главное G-расслоение
над риманопым многообразием М и Е (М)—РХ qE -*¦

-*¦ M — векторное расслоение, ассоциированное с л
и б'-модулем Е. Связность V расслоения л определяет
оператор v? : Г (?)-*- Г(Т*М®ЕМ), действующий в
пространстве Г(Е) сечений расслоения Е(М). Он про-
продолжается до оператора dv : Г (Ер) -»- Г(Ер+1), дейст-
действующего в пространстве V(Ер) Е\[М)-яначных р-форм
аа формуле dv((o@e)=d(o@e+(—1)ршл \Ее. Формаль-
Формально сопряженный к dv оператор 6V на р-формах равен
6V=(—\)р+ *dv*, где * — оператор Ходжа.
Связность v в главном G-расслоении наз. полем
Янга — Миллса, если кривизна Rv, рассматри-
рассматриваемая как 2-форма со значениями в векторном рассло-
расслоении й (М) = РХ AdGQ (где g — алгебра Ли группы
Ли G), удовлетворяет уравнению 6vflv=0.
Для римановой связности \? риманова многообразия
(М', g) уравнение Янга — Миллса равносильно усло-
условию симметричности
(??пс)(У, Z) = (V«ric)(X, Z), X, У, Z € D(M)
ковариантной производной тензора Риччи ric. Таким
образом, примерами Я.— М. п. служат римановы связ-
связности пространств Эйнштейна и прямых произведений
таких пространств. В частности, римановы связности
пространств Кэлера — Эйнштейна и кватернионных
римановых пространств определяют Я.— М. п. в глав-
главных расслоениях реперов со структурными группами
[/(га/2) и Sp A) -Sp (n/i). Примерами неэйнштейновых
римановых связностей, удовлетворяющих уравнению
Янга — Миллса, являются римановы связности кон-
конформно плоских метрик с постоянной скалярной кри-
кривизной и непостоянной секционной кривизной. Приме-
Примерами неримановых связностей, удовлетворяющих урав-
уравнениям Янга — Миллса, являются связности в нор-
нормальном расслоении вполне геодезич. подмногообразий
симметрического пространства или кватернионных под-
подмногообразий кватернионного пространства, индуци-
индуцированные римановыми связностями этих пространств.
Уравнение Янга — Миллса является вариационным
уравнением Эйлера — Лагранжа для функционала
L(V) в пространстве связностей главного расслоения
я, задаваемого формулой
Риманово многообразие (М, g) предполагается компакт-
компактным и ориентированным, а скобка (•, ) означает ска-
скалярное произведение в слоях векторного расслоения
д(Л/)B)Л2, определяемое АdG-инвариантным скаляр-
скалярным произведением в алгебре Ли* g группы G и скаляр-
скалярным произведением в слоях расслоения Л2 2-форм на
М, индуцированным метрикой g. Таким образом, Я.—
М. п. суть критич. точки функции L(y). Я.— М. п.
наз. устойчивым, если 2-й дифференциал функ-
функции L в точке v положительно определен (и, следова-
следовательно, v есть локальный минимум функции L) и сла-
слабо устойчивым, если 2-й дифференциал неотри-
неотрицательно определен. Известно, что не существует слабо
устойчивых Я.—М. п., в произвольном нетривиальном
главном расслоении над стандартной сферой S" при
п^5. С другой стороны, при п^Ъ риманова связность
стандартной римановой метрики факторпространства
Snl Г сферы по свободно действующей нетривиальной
конечной группе изометрий Г является устойчивым
Я.—М.п. [5].
Наибольший интерес для физики представляет Я.—
М.п. на четырехмерных римавовых (а также лоренце-
вых) многообразиях. В этом случае оператор Ходжа *
отображает пространство 2-форм на М (со значениями
в произвольном векторном расслоении) на себя, причем
это отображение является инволютивным (*2=;d) и за-
зависит только от ориентации и конформного класса
метрики g. Связность v в главном расслоении над М*

нал. самодуальной связностью или
пнстантоном (соответственно, антиса мо-
дуальной связностью или а н т и и н-
стантоном), если ее 2-форма кривизны /?v являет-
является собственным вектором оператора Ходжа с собствен-
собственным значением 1 (соответственно, —1). В силу тожде-
тождества Бьянки инстантоны и антиинстантоны являются
Я.— М. п. Солее того, они являются точками абсолют-
абсолютного минимума функции L. В случае главного расслое-
расслоения над стандартной сферой со структурной группой
SUB), SUC) или SU(i) все локальные минимумы
функции L исчерпываются инстантонами и антиинстан-
тонами (и, следовательно, являются глобальными). Ри-
Риманова связность риманова многообразия М4 является
инстантоном только для многообразий с группой голо-
номии Gc:Sp(l). Все такие компактные многообразия
исчерпываются комплексными поверхностями КЗ.
Группа (?(я)=Г (P*AdG) тождественных на базе ав-
автоморфизмов расслоения я : Р -*¦ М наз. калибро-
калибровочной группой. Она естественным образом
действует в множестве С + (я) инстантонов расслоения л
с группой голономии G. Факторпространство М + (п)=
=С + (я)/C(л,) наз. пространством модулей
неприводимых инстантонов расслоения я. Если струк-
структурная группа G расслоения я компактна и полупроста,
а база М* является компактным ориентированным рн-
мановым многообразием с неотрицательной ненулевой
скалярной кривизной и самодуальным тензором кон-
конформной кривизны Вейля, то пространство модулей
М + (п) либо пусто, либо является многообразием раз-
размерности
dim М+ (я) = 2р! (g (Af)) — V2 dim G (% (М1)— а (М4)),
где Р\($(М)) — первое Понтрягина число расслоения
д(ЛО, а -/(М4), a(Mi) — характеристика Эйлера —
Пуанкаре и сигнатура многообразия Af4.
Наиболее полные результаты получены в физически
важном случае расслоений над стандартной сферой 5*
с классическими компактными структурными группами
G. В частности, получено описание всех инстантонов
в таких расслоениях в чисто алгебраич. терминах
(напр., в терминах нек-рых модулей над грассмановой
алгеброй или в терминах решений нек-рых кватернион-
ных матричных уравнений, см. [1]). Для случая группы
G=5p(l) известно явное описание всех инстантонов.
Напр., для 5рA)-расслоения ях : Pt -*¦ S* с Понтря-
Понтрягина числом 1 пространство модулей М+ («i)«R+XlH,
где R+ — множество положительных чисел, а Н —
множество кватернионов. Паре (к, a)?R+xH отвечает
ннстантон, задаваемый д-значной 1-формой связности
где и(х)=к{а—х)'1, х?М. Кватернионы из H«R4
отождествляются с точками сферы S" с помощью стерео-
графич. проекции, а алгебра Ли fl=Sp(l) рассматри-
рассматривается как алгебра Ли Im H чисто мнимых кватерни-
кватернионов.
Лит.: ШМанив Ю. И., в сб.: Итоги науки и техники.
Соврем, проблемы матем., т. 17, М., 1981, о. 3—55: L2]
Шварц А. С, там же, с. 113—73; [3] A t i у a h M. [и др.),
«Proc. Roy. Soc. Lond.», 1978, А 362, p. 425—61; [4] По-
Попов Д. А., Дайхин Л. И., «Докл. АН СССР», 1975,
т. 225, Я» 4, с. 790—93; [5] Bourguignon J. [и др.],
«Proc. Nat. Aoad. Sci. USA», 1979, v. 76, Nt 4, p. 1550—53; [6]
Конопле в'а Н. П., Попов В. Н., Калибровочные
поля 2 изд., М., 1980; [7] Y a n g С. N., Mills R. L.,
«Phys. Rev.», 1954, v. 96, № 1, p. 191—95; [8J Геометрические
идеи в физике, пер. с англ., М., 1983. Д. В. Алексеевский.
ЯЧЕЙКА — термин, применяемый иногда для обо-
обозначения такого параллелограмма периодов двоякопе-
риодической функции /(г), на сторонах к-poro нет по-
полюсов и к-рый получается из основного параллелограм-
параллелограмма периодов сдвигом на нек-рый вектор zo?C.
Лит.: [1] У и i т е к е р Э. Т., В а т с о н Д т. Н., Курс
современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч, 2, М., 1963.
Е. Д. Соломенцев.