Text
А. С. ДАВЫДОВ
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебного пособия
для университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1973
.1
13'
К 530.145
Квантовая механика, А. С. Д а в ы д о в, нзд. 2-е,
перераб., учебник, Главная редакция физико-математи-
физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973.
В книге излагаются физические основы и матем»-
тический аппарат нерелятивистского и квазирелятивиОг-
ского движения частицы во внешнем поле, основы кван-
квантовой теории систем взаимодействующих одинаковые
частиц и приложения теории к описанию различных яв-
явлений.
Второе издание книги существенно переработано
с учетом новейшего развития идей и методов квантов|в§
механики. Значительно полнее излагаются методы otm-
сания квантовых систем с помощью представления ?и-
сел заполнения, функций Г.рина и матрицы плотносм.
Изложены основы квантовой теории необратимых про-
процессов и теории когерентных состояний. Подробно рре-
смотрено . важное каноническое преобразование Бого-
Боголюбова— Тябликова. В связи с развитием физики ма-
мазеров переработан и расширен раздел о взаимодействии
электромагнитного излучения с веществом.
Табл. 19, рис. 30, библиогр. 143 назв.
© Издательство «Наука» 1973 с изменениями '{
0232-1801 ; ^
042@2)-73 88-73 I . ~<
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию ' 8
Ив предисловия к первому изданию 9
Глава I. Основные понятия квантовой механики 11
§ 1. Введение . II
§ 2:1 Волновая функция свободно движущейся частицы .... 15
§ 3. Принцип суперпозиции состояний. Волновой пакет .... 17
§ 4. Статистическое толкование волновой функции ..... 20
§ 5. Свободная частица в ограниченном объеме пространства • . 23
§ 6. Вычисление средних значений координаты и импульса ... 24
§ 7. Операторы -физических величин 27
§ 8. Собственные функции н собственные значения операторов . 83
§ 9. Свойства собственных функций операторов, имеющих дис-
дискретный спектр . ¦ 39
§ 10. Свойства собственных функций операторов, имеющих непре-
непрерывный спектр 43
§ II. Условия, при которых несколько физических величин могут
иметь определенные значения в рдном состоянии ¦' ¦ . • 47
'§'12. Методы определения состояний квантовых систем • . . '. 49
§ 13. Соотношение неопределенностей для физических- величин . 53^'
§ 14*. Описание состояний с помощью матрицы плотности - . • 59
Глава II. Изменение квантовых состояний с течением времени .' . .' 66»
- § 15. Волновое уравнение Шредннгера 66е
- § 16. Стационарные состояния >..... 69«
4 § 17. Изменение средних значений физических величин с течением
времени - 74*
' § 18*. Интегралы движения и условия симметрии - 77°
§ 19*. Теория групп и квантован механика 85
§ 20*. Изменение с течением времени состояний, описываемых мат-
матрицей плотности .- 89
Глава III. Связь квантовой механики с классической механикой 91
§ 21. Предельный переход от квантовой механики к классической 91
§ 22. Квазнклассическое приближение • . . 93
§ 23*. Правила квантования Бора — Зоммерфельда .... 96
»§ 24.' Прохождение через потенциальный барьер. Движение, ча-
частицы над потенциальным барьером и потенциальной ямой 101
1*
• - ¦¦»,
Глава IV. Простейшие применения квантовой механики . ... 108
§ 25. Частица в прямоугольной потенциальной яме 108
§ 26. Гармонический осциллятор -.119
Глава V. Элементарная теория, представлений 124
§ 27. Различные представления вектора состояния ....... 124
§ 28. Различные представления операторов . . ./.... 131
§ 29. Определение собственных функций и собственных значений
операторов, задаваемых в виде матриц . . • - 138
§ 30. Общая теория унитарных преобразований ....... 141
§ 31. Унитарные преобразования, соответствующие изменению со-
состояния с течением времени . .......... 144
§ 32. Представление чисел заполнения для гармонического осцил-
осциллятора . . 150
§ 33. Представление чисел заполнения для колебаний атомов в
одномерном кристалле 159
Глава VI. Движение частицы в поле центральных сил . . ... 163
§ 34. Общие особенности движения частицы в поле сферической
симметрии 163
§ 35. Свободное движение с определенным значением орбиталь-
орбитального момента 166
§ 36. Движение в сферически симметричной прямоугольной потен-
потенциальной яме - ¦ 168
§ 37. Сферически симметричная потенциальная яма с квадратич-
квадратичной зависимостью от радиуса Ill
§ 38. Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр • 176
§ 39. Движение в кулоновском поле. Непрерывный спектр . .181
§ 40*. Оператор момента количества движения 182
§ 41. Векторное сложение двух моментов количества движения 185
§ 42*. Векторное сложение трех моментов. Коэффициенты Рака • 189
. § 43*. Преобразование собственных функций операторов моментов
при вращениях координатных осей 192
§ 44*. Обобщенные сферические функции как собственные функ-
функции оператора момента . . . • - 198
§ 45. Вращение твердого тела. Симметричный волчок 204
§ 46t. Вращение твердого тела. Асимметричный волчок 206
Глава VII. Приближенные методы вычисления собственных значений
и собственных функций операторов . .... 211
§ 47. Теория возмущений в стационарных состояниях с дискрет-
дискретным спектром ....... 211
§'48. Условия применимости теории возмущений 214
§ 49. Теория возмущений при наличии двух близких уровней ¦ . 217
§ 50. Теория возмущений при наличии вырождения ...... 220
§ 51. Применение вариационного метода к приближенным рас-
расчетам ¦ 222
§.52. Метод канонических преобразований 227
Глава VIII. Основы квазирелятивистской квантовой теории движения
¦ частицы во внешнем поле . 234
§ 53. Элементарные частицы в квантовой механике .... 234
§ 64. Релятивистское уравнение для частицы с нулевым спином ¦ 237
§ 55. Свободное движение частицы с нулевым спином ..... 242
§ 56*. Свободное движение частицы с нулевым спином в представ-
представлении Фешбаха — Вилларса .¦...-. • 247
§ 57*. Интегралы движения и собственные значения операторов в
релятивистской теории частицы нулевого спина 250
§ 58. Взаимодействие частицы нулевого спина с электромагнит-
электромагнитным полем ¦ . 256
§ 59. Релятивистское уравнение Дирака 262
§ 60. Свободное движение частиц, описываемых уравнением Ди-
Дирака ......... . 266
§ 61*. Коварнантная запись уравнения Дирака 275
§ 62. Момент количества движения электрона в теории Дирака ¦ 286
§ 63. Релятивистские поправки к движению электрона в электро-
электромагнитном поле 291
§ 64. Спин-орбитальное взаимодействие 294
§ 65*. Зарядовое сопряжение. Частицы и античастицы 299
§ 66. Уравнение Дирака для частиц с нулевой массой покои. Ней-
Нейтрино . . .........¦¦.•¦• • • 305
§ 67. Атом водорода с учетом спина электрона - 309
§ 68*. Точное решение уравнения Дирака для кулоиовского поля . 315
§ 69. Атом во внешнем магнитном поле 319
§ 70. Атом во внешнем электрическом поле • : . ¦ • ¦ 324
Глава IX. Квантовая теория систем, состоящих из одинаковых частиц 329
§ 71. Уравнение Шредингера для системы, состоящей из одинако-
одинаковых частиц 329
§ 72. Симметричные и антисимметричные волновые функции • 332
§ 73. Элементарная теория основного состоянии атомов с двумя
электронами ¦ . 338
§ 74. Возбужденные состояния атома гелия. Орто- и парагелий ¦ 342
§ 75. Метод самосогласованного поля Хартри — Фока - . . , 347
§ 76. Статистический метод Томаса — Ферми . .... 353
§ 77. Периодическая система Менделеева 358
§ 78. Спектральные и рентгеновские термы ....'-"..¦¦ 362
§ 79. Оболочечная модель атомного ядра ¦ . ¦ - ... 367
Глава X. Вторичное квантование систем, состоящих из одинаковых
бозонов .... . . . . . . . . -372
§ 80. Вторичное квантование электромагнитного поля без зарядов 372
§ 81. Фотоны с определенным моментом и четностью 377
§ 82. Фононы в трехмерном кристалле- • ¦ 383
§ 83. Вторичное квантование мезонного поля 387
• § 84. Квазичастицы в системе взаимодействующих бозонов • 391
§ 85. Основы микроскопической теории сверхтекучести . . 397
Глава XI. Вторичное квантование систем, состоящих нз одинаковых
фермионов . ..... ... 403
§ 86. Представление чисел заполнении для систем невзаимодей-
невзаимодействующих фермионов 403
§ 87*. Системы фермионов, взаимодействующих парными силами.
Каноническое преобразование Боголюбова . . .... . . 412
§ 88*. Взаимодействие электронов "с фононами металла н микро-
микроскопическая теория сверхпроводимости - . 420
§ 89, Квантование электронно-Позитронного поля ¦ 426
Г л а в а XII. Теория квантовых переходов под влиянием внешнего
возмущения . 431
§ 90. Общее выражение для вероятности перехода из одного со-
состояния в другое ....¦..-'. 431
§ 91. Возбуждение атома пролетающей тяжелой частицей . - . 435
§ 92. Адиабатическое и внезапное включение и выключение вза-
взаимодействия ........ 438
§ 93. Вероятность перехода в единицу времени ....... 443
§ 94. Взаимодействие кв.антовой системы с электромагнитным из-
излучением ........ • . - • . 446
§ -95. Правила отбора для испускания и поглощения света. Муль-
типольное излучение ¦ • 452
§ 96. Время жизни возбужденных состояний в ширина энергети-
энергетических уровней • 459
§ 97. Линейный отклик квантовой системы на внешнее воздей-
воздействие ... - . 462
§ 98. Поляризуемость квантовой системы 467
§ 99. Элементарная теория фотоэффекта ........ . 472
§ 100. Переходы, обусловленные взаимодействием, не зависящим
от времени 474
§ 101*. Вероятность квантовых переходов и S-матрица .... 477
Глава XIII. Квантовая теория процессов релаксации 482
§ 102. Статистический оператор динамической подсистемы . 482
§ 103. Простейшая модель квантовой системы, взаимодействующей
с термостатом 484
- § 104. Вероятность передачи энергии возбуждения от донора к ак-
акцептору при наличии диссипативной среды 488
§ 105. Флуктуационно-диссипативнаяч теорема для обобщенной
восприимчивости .... 493
Глава XIV. Квантовая теория рассеяния 496
v § 106. Упругое рассеяние частиц без спина 496
s// § 107*. Функция Грина для свободной частицы 503
• "'. § 108. Теория упругого рассеяния в борновском приближении . • 506
. § 109. Метод парциальных волн в теории рассеяния . . . . 509
'. ¦' § ПО*. Упруго^ рассеяние медленных частиц - . ..... 516
i § III*. Упругое рассеяние в кулоновском поле 525
§ 112. Эффекты обмена при упругом рассеявин одинаковых частиц
без спина s 531
§ 113. Обменные эффекты при упругом столкновении одинаковых
частиц, обладающих спином 533
§ 114*. Общая теория неупругого рассеяния 536
§ 115. Рассеяние электрона на атоме без учета обмена 541
§ 116. Теория столкновений с перераспределением частиц. Реакции 544
: . § 117. Рассеяние электрона на атоме водорода с учетом обмена • 54?
§ 118. Матрица рассеяния 551
§ 119*. Обращение времени и детальное равновесие ...... -561
§ 120. Рассеяние медленных нейтронов атомными ядрами . - . . 569
§ 121. Рассеяние поляризованных нуклонов и поляризация нукло-
нуклонов при рассеянии на ядрах лулевого спина . 574
§ 122*. Теория рассеиния при наличии взаимодействий двух типов.
Приближение искаженных волн 578
§ 123*. Дисперсионные соотношения в теории рассеяния .... 581
§ 124*. Матрица рассеяния в плоскости комплексных моментов . . 593
§ 125. Потенциальное и резонансное рассеяние . . .- 597
§ 126. Когерентное и иекогеревтное рассеяние медленных нейтро-
нейтронов 599
§ 127*. Когерентное рассеяние нейтронов кристаллическим веще-
веществом . . . 602
§ 128*. Упругое рассеяние медленных нейтронов кристаллами с уче-
учетом колебаний атомов .... . . . . ... 607
Глава XV. Элементарная теория молекул и химической связи . v . 613
§ 129. Теория адиабатического приближения . 613
§ 130. Молекула водорода г > .... 620
§ 131. Элементарная теория химических сил 629
§ 132. Классификация электронных состояний молекул при закреп-
закрепленных положениях ядер 639
§ 133. Колебания ядер в молекулах . 644
§ 134. Вращательная энергия молекул 650
§ 135*. Типы связи угловых моментов в молекулах 657
§ 136. Молекулярные спектры. Принцип Франка — Кондона л . 660
Математические дополнения .- 670
A. Некоторые свойства сингулярной дельта-функции Дирака . ¦ • 670
Б. Операторы момента количества движения в сферических коор-
координатах . , , 674
B. Линейные операторы в векторном пространстве. Матрицы • ¦ 675
Г. Вырожденные гипергеометрические функции. Функции Бесселя . 683
Д. Теория групп ¦ .689
Литература 695
Предметный указатель 699
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Для второго издания книга была значительно переработана.
Существенной переработке подверглись параграфы: 13, 14, 16„
26, 27, 31, 85, 92, 123. Заново написаны параграфы: 32, 52, 80—
82, 84, 94, 96—98, 124, 125. Написана новая глава XIII. В связи
с нежелательностью увеличения общего объема книги во вто^
рое издание не вошла глава «Основы квантовой теории твердо-
твердого тела» и опущены некоторые другие параграфы первого изда^
ния.
При переработке книги автор стремился учесть развитие но-
новых методов квантовой механики, широко используемых в ори-
оригинальной литературе. В связи с этим в новом издании книги
значительно большее внимание уделяется представлению чисел
заполнения и использованию матрицы плотности для описания
квантовых систем. Расширено изложение метода канонических
преобразований и функций Грина. Рассмотрены некоторые во-
вопросы квантовой теории процессов релаксации.
А. С. Давыдов
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В данной книге совершенно не затрагиваются вопросы исто-
исторического развития квантовых представлений. Главное внима-
внимание уделено изложению физических основ и математического
аппарата квантовой теории нерелятивистского и квазирелятивист-
квазирелятивистского (с точностью до ц2/с2) движения одной частицы во внеш-
внешнем поле. В частности, показывается неприменимость представ-
представления о существенно релятивистском движении одной частицы.
Значительное место в книге уделено теории представлений, теории
канонических преобразований, теории рассеяния и квантовых
переходов. Дается относительно подробное изложение теории
систем, состоящих из одинаковых бозонов и фермионов.
Большое место в книге уделяется теории вторичного кванто-
квантования как метода исследования систем, состоящих из большого
числа одинаковых частиц. В частности, излагаются основные
идеи теории сверхпроводимости и сверхтекучести.
Книга может служить введением к изучению квантовой элек-
электродинамики, теории ядра и теории твердого гела. Для чтения
книги необходимы знания в области математики, классической
механики и электродинамики в объеме обычных университет-
университетских курсов. Для справочных целей в конце книги даны мате-
математические дополнения о специальных функциях, матрицах и
теории групп.
Ссылки на обзорные и оригинальные работы приводятся в
книге в основном с целью указания места, где читатель может
найти более подробное изложение вопроса. Эти ссылки не пре-
претендуют на полноту.
Используемые в книге обозначения физических величин и
математических операций поясняются в тексте книги. Конечно,
в книге такого размера нельзя сопоставить каждой физической
величине свое обозначение. Скаляры, обозначаются курсивом,
пространственные векторы —- полужирным курсивом.
Книга предназначается в качестве учебного пособия для сту-
студентов и аспирантов физических факультетов университетов и
высших учебных заведений, в которых изучается квантовая ме-
механика. Она может также служить .справочным пособием для
преподавателей и научных работников.
Отмеченные звездочками параграфы относятся к вопросам,
не входящим в программу обычного курса квантовой механики
для студентов. Однако эти параграфы будут весьма полезны
для студентов, аспирантов и научных работников, занимающихся
применением квантовой механики в различных разделах физики
и химии.
А. С. Давыдов
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. .Введение
Механика Ньютона, теория упругости, аэродинамика, термо-
термодинамика и электродинамика составляют содержание так на-
называемой «классической физики», которая изучает явления, про-
происходящие с телами, содержащими громадное количество
атомов и имеющими, следовательно, макроскопические размеры.
Эги разделы теоретической физики были созданы в результате
обобщения опытных данных, относящихся к изучению свойств
макроскопических тел, их взаимодействий и перемещений в про-
пространстве. Создание перечисленных выше разделов теоретиче-
теоретической, физики в основном было закончено к началу 20-го сто-
столетия.
Появление вакуумных приборов, возникновение радиотехники
и совершенствование других технических средств изучения
физических явлений привело в конце прошлого столетия к от-
открытию электронов, рентгеновских лучей и радиоактивности.
Появилась возможность исследования отдельных атомов и мо-
молекул. При этом выяснилось, что классическая физика не в со-
состоянии объяснить свойства атомов4и молекул и их взаимодей-
взаимодействия с электромагнитным излучением. Исследование условий
равновесия электромагнитного излучения и вещества (М. Планк,
1900 г.) и фотоэлектрических явлений (А. Эйнштейн, 1905 г.)
привело к заключению, чтр электромагнитное излучение, по-
помимо волновых свойств, обладает и корпускулярными свойств
вами. Было установлено, что электромагнитное излучение по-
поглощается и испускается отдельными порциями — квантами,
которые теперь принято называть фотонами.
Если обозначить число электромагнитных колебаний в 2я
секунд буквой w (круговая или циклическая частота), то энер-
энергия фотона определяется формулой
Е = Нв>, A,1)
где Ь = 1,054* 10"7 эрг-с — постоянная величина, имеющая раз-
размерность энергия X время. Величина h = 2яй называется по-
постоянной Планка. В пустоте каждый фотон движется со
12 OljHUBHDlE. Ниплшл Пснтипип nuuuiiuui ..... .
скоростью света с, при этом его импульс определяется вектором
р = Й*. |p| = -f-. A,2)
где \k\= —=-^- = -rr, Я, —длина волны излучения.
С другой стороны, явления интерференции и дифракции све-
света, широко используемые в ряде оптических приборов, с несом-
несомненностью указывают на волновые свойства электромагнитного
излучения. Оказалось, что волновые свойства излучения нельзя
рассматривать как проявление коллективных движений боль-
шого числа фотонов, подобно тому как звуковые волны соот-
соответствуют движению большого числа молекул воздуха, жид-
жидкости или твердого тела.
При исследовании явлений фотоэффекта и комптоновского
рассеяния фотонов было установлено, что сами корпускулярные
свойства ^фотона могут быть выражены через величины ю и k,
определяющие волновые процессы.
Попытки применения классической электродинамики и меха-
механики к объяснению свойств атомов и молекул также приводили
к результатам, находящимся в резком противоречии с опытом.
Классическая физика не может объяснить устойчивости атомов,
тождественности элементарных частиц одного сорта и ряд дру-
других явлений атомной физики. Выяснилось, например, что внут-
внутренние состояния сложных частиц (атомов, молекул, атомных
ядер) меняются дискретным образом. Каждой сложной системе
соответствует своя последовательность вполне определенных ди-
дискретных состояний. Скачкообразность в изменении состояний
атомных систем приводит к тому, что при малых внешних воз-
воздействиях их можно рассматривать как неизменные тела.
Дискретность энергетических состояний атомов проявляется
в опытах Франка и Герца" A914 г.), при изучении оптических
спектров атомов и в ряде других явлений. Дискретность значе-
значений проекций момента количества движения на направление
магнитного поля доказывается опытами Штерна и Герлаха
A922 г.), в которых исследовалось отклонение потока атомов в
неоднородном магнитном иоле.
Первая успешная попытка объяснения свойств атома водо-
водорода была сделана в 1913 г. Нильсом Бором на основе введе-
введения специальных постулатов. Эти постулаты существенно проти-
противоречили сложившимся представлениям классической физики.
Большое значение для выяснения свойств электронов имели
опыты Дэвиссона и Джермера A927 г.), Томсона A928 г.) и
Тартаковского A928 г.), в которых была обнаружена дифрак-
дифракция электронов при их отражении и прохождении через кри*
сталлы и тонкие металлические фольги. Этими опытами была
подтверждена гипотеза де Бройля A924 г.) о наличии волно-
волновых свойств у любых частиц малой массы.
При изучении дифракционной картины, образуемой электро-
электронами, нейтронами, атомами и молекулами _ после прохождения
через упорядоченные структуры (фольги, кристаллы и др.)
было установлено, что свободному движению частиц можно со-
сопоставить длину волны А, или волновой вектор ft, однозначно
определяемый значением импульса р частицы с помощью соот-
соотношения
ft=|,|ft| = -|l. A,3)
Легко видеть, что это соотношение совпадает с соотношением
A,2) для фотона.
Теорией, объясняющей основные свойства атомных и ядер-
ядерных явлений, является квантовая механика, начало которой
было заложено работами де Бройля, Бора, Шредингера, Гейзен-
берга, М. Борна, Дирака, Паули, Ферми, Фока и др. Квантовая
механика является теорией, лежащей в основе объяснения
свойств атомов, Молекул и атомных ядер, т. е. явлений, проис-
происходящих в элементах объема, линейные размеры которых по-
порядка 10~в—10~13 см. Объекты такого масштаба (далее мы бу-
будем кратко называть их объектами микромира) непосредствен-
непосредственно не воспринимаются нашими органами чувств. Их изучение
возможно только с помощью «приборов», т. е. таких микроско-
микроскопических систем, которые переводят воздействия микрообъектов
на макроскопический язык.
К приборам, например, можно отнести: фотопластинку, с не-
некоторой точностью отмечающую потемнением (после проявле-
проявления) те места, на которые попадают фотоны, электроны, про-
протоны или другие заряженные частицы; счетчики Гейгера или
другие счетчики, регистрирующие попадание заряженных ча-
частиц в некоторую область пространства; камеры Вильсона, диф-
диффузионные и пузырьковые камеры, которые позволяют в неко-
некотором приближении проследить за траекторией движения за-
заряженных частиц.
Необходимость введения посредника — «прибора» — при изу-
изучении явлений микромира является очень характерной особен-
особенностью познания объективных закономерностей явлений микро-
микромира. Можно сказать, что лрибор является средством изучения
объективных закономерностей атомных и ядерных объектов.
При построении квантовой механики пришлось отказаться от
ряда наглядных и привычных понятий, широко используемых в
классической физике. Например, оказалось, что классическое
понятие движения тела по траектории, в каждой точке которой
частица имеет определенные значения координаты и импульса
(скорости), оказалось неприменимым к атомным объектам.Уже
в „классической физике мы сталкиваемся с рядом понятий, ко-
которые имеют ограниченную область -применимости. Так, понятие
температуры применимо только к системам, состоящим из боль-
большого числа частиц. Нельзя говорить о периоде или частоте не-
некоторого колебательного процесса в данный момент времени,
так как чтобы убедиться, что имеет место периодический про-
процесс, надо проследить за ним в течение времени, значительно
большего, чем период колебаний. Квантогая механика показы-
показывает, что многие другие понятия' классической физики также
имеют ограниченную область применимости. Оказалось, напри-
например, невозможным определить скорость частицы как производ-
производную dr/dt.
Необходимость отказа от удобных и привычных понятий
классической физики при исследовании свойств атомных объек-
объектов является доказательством того, что законы и понятия мак-
макроскопической физики неприменимы (или ограниченно примени-
применимы) к явлениям микромира. Новые физические понятия кванто-
квантовой механики не обладают свойством наглядности, т. е. не мо-
могут быть объяснены с помощью привычных нам образов. Это в
некоторой степени усложняет понимание квантовой механики.
Новые физические понятия, вводимые квантовой механикой.,
можно освоить лишь при продолжительном их употреблении.
Для объяснения свойств объектов микромира потребовалось ис-
использование в теории и нового математического аппарата, с ко-
которым мы познакомимся в этой книге.
Закономерности атомной и ядерной физики, изучаемые кван-
квантовой механикой, являются объективными закономерностями
природы. Правильность объяснения таких закономерностей под-
подтверждается возможностью использования явлений микромира
в технике. Широкое применение спектроскопии, электронного
микроскопа, полупроводниковых приборов, атомной энергии, ме:
ченых атомов и др.' в научных исследованиях и технике стало
возможным только после создания квантовой теории.
Следует, однако, отметить, что наблюдаемые в микромире за-
закономерности в ряде случаев существенно отличаются от зако-
закономерностей классической физики. Квантовая механика часто
дает только вероятностные предсказания. Она позволяет вычис-
вычислять вероятности воздействия атомных объектов, находящихся
в определенных макроскопических условиях^ на макроскопиче-
макроскопические приборы.
, Квантовая механика является новым бурно развивающимся
разделом теоретической физики. Изучение квантовой механики
необходимо для понимания и использования свойств атомных
ядер, атомов, молекул, для понимания химических свойств ато-
мов и молекул и химических реакций, для понимания явлений,
происходящих в биологии, астрофизике и др. Квантовая меха-
механика является основой новых разделов современной теорети-
теоретической физики: квантовой электродинамики, квантовой мбзоди-
намики и -ебщей теории квантовых полей, которые исследуют
свойства элементарных частиц и возможности их взаимных пре-
преобразований.
В этой книге излагаются основы квантовой механики, кото-
которые необходимы для понимания возможностей применения кван-
квантовой механики для объяснения свойств атомов, молекул, атом-
атомных ядер и твердых гел.
§ 2. Волновая функция свободно движущейся частицы
Свойства атомных объектов в квинтовой механике описы-
описываются с помощью вспомогательной величины — волновой функ-
функции или вектора состояния *). Волновая функция, описывающая
состояние движения одной частицы, является, вообще говоря,
комплексной однозначной и непрерывной функцией радиуса-век-
радиуса-вектора г и времени t. Волновая функция г]з(г, t) удовлетворяет
некоторому дифференциальному уравнению, которое й опреде-
определяет характер движения частицы. Это уравнение носит назва-
название уравнения Шредингера. Оно играет в "квантовой механике
такую же роль, как уравнения Ньютона в классической меха*
нике.
С уравнением Шредингера мы познакомимся в следующей
главе,- а сейчас рассмотрим функцию свободно движущейся не-
нерелятивистской частицы массы ц, имеющей импульс р и энер-
энергию Е ='р2/Bц). Конечно, понятие свободного движения частицы
является идеализацией, так как в действительности никогда
нельзя полностью исключить воздействие "на данную частицу
других объектов (гравитационное и другие поля). Однако такая
идеализация необходима для упрощения теоретического опи-
описания.
Импульс частицы р определяется направлением летящей ча-
частицы и ее кинетической энергией. Например, в электронной
трубке,,при прохождении разности потенциалов V, электрон при-
приобретает лмпульс
где е — заряд электрона.
Как уже указывалось во введении, опыты Дэвиссона и
Джермера и др. показывают,* что при взаимодействии потока
*) Возможны, однако, и такие состояния, которые не описываются вол-
волновыми функциями. В этом случае, который мы рассмотрим в § 14, состоя-
состояние можно описать матрицей плотности.
электронов (сколь угодно малой интенсивности) с периодиче-
периодической структурой (кристаллы, фольга) устройство, регистрирую-
регистрирующее распределение электронов в пространстве (фотопластинка,
счетчик и т. д.), обнаруживает пространственное распределение,
соответствующее дифракционной картине для волнового процес-
процесса с определенным значением длины волны
Используя этот экспериментальный факт а предполагая, что
установленное для фотона соотношение A,1) между энергией и
частотой применимо и для других частиц, можно допустить, что
свободное движение электрона с определенным импульсом р
будет описываться волновой функцией, соответствующей плос-
плоской волне де Бройля:
ф (г, t) = A exp (/ (kr - mO), B,2)
где •
а~Т=Ц1 k==~
Движение, описываемое волновой функцией B,2), обладает фазовой ско-
скоростью
_ ш _ Е
vf~T—р~'
Иопользуя B,3), находим, что V/ = р/Bц), т. е. фазовая скорость плоской
волны B,2)" не совпадает со скоростью частицы v = р/ц. Следует отметить,
что частота го и, следовательно, фазовая скорость Vf не ивляются вполне
определенными величинами, а зависят от того, включаем ли мы в энергию Е
только кийетическую или учитываем и внутреннюю энергию частицы. В по-
последнем случае полная энергия свободно движущейся частицы с массой по-
покоя |х связана с импульсом соотношением
Следовательно, в нерелятивистском приближении
поэтому
Для исследования движений с релятивистскими скоростями связь между
энергией и импульсом удобнее записать в виде Е = c*p/v. В этом случае
фазовая скорость плоских волн Vf = Е/р — c2/v.
Мы убедимся позднее, что неопределенность значения го в B,2) не отра-
отражается на результатах теории.
Итак, будем постулировать, что свободное движение частицы
с определенной энергией и импульсом описывается волновой
функцией B,2). Вид волновых функций для других состояний
движения будет указан позднее.
§ 3. Принцип суперпозиции состояний. Волновой пакет
Одним из основных положений квантовой механики является
принцип суперпозиции состояний. В простейшей форме принцип
суперпозиции состояний сводится к двум утверждениям:'
1) Если какая-либо система может находиться в состояниях,
описываемых волновыми функциями ipi и 1]з2, то она может на-
находиться и в состояниях, которые описываются волновыми функ-
функциями, ^образующимися из ipi и 1]з2 с помощью линейного преоб-
преобразования
C,1)
где «1 и йг — любые комплексные числа, не зависящие от вре-
времени.
2) Если волновую функцию умножить на любое не равное
нулю комплексное число, то новая волновая функция будет со-
соответствовать тому же состоянию системы.
Суперпозиция состояний квантовой теории существенно от-
отличается от суперпозиции колебаний в классической физике, в
которой суперпозиция колебания с самим собой приводит к но-
яому колебанию с большей или меньшей амплитудой. Далее, в
классической теории колебаний существует состояние покоя, в
котором всюду амплитуда колебания равна нулю. В квантовой
же теории равенство йулю волновой функции во всех точках
¦пространства соответствует отсутствию состояния.
Для выполнения принципа суперпозиции состояний необхо-
необходимо, чтобы уравнения Шредингера, которым удовлетворяют
волновые функции, были линейными. Следует, однако, отметить,
что не всякая линейная комбинация произвольных решений
уравнения Шредингера для системы, сбстоящей из одинаковых
частиц, отображает вбзможные состояния этой системы. Допу-
Допустимыми волновыми функциями таких систем являются лишь те,
которые удовлетворяют необходимым свойствам симметрии (см".
§§72 и 73). ;
Возможно, что принцип суперпозиции состояний нарушается
в явлениях, протекающих в областях пространства, линейные
размеры которых меньше 10~14 см, где могут играть некоторую
роль нелинейные эффекты. В этой книге мы будем рассматри-
рассматривать только состояния, удовлетворяющие принципу суперпо-
суперпозиции.
Принцип суперпозиции состояний отражает очень важное
свойство квантовых систем, не имеющее аналога в классической
физике. Для иллюстрации этого свойства рассмотрим состояние,
которое изображается волновой функцией C,1), где
tfo = exp [i (kvr — ю,*)}, t|J = exp {/ (k2r —
В состояниях t])i и грг частица движется с определенными значе-
значениями импульса pi = fifti и рг = Ш% соответственно. В состоя-
состоянии же C,1) движение частицы не характеризуется определенным
значением импульса, так как это состояние нельзя изобразить
плоской волной с одним значением волнового вектора. Но-
Новое состояние C,1) является в некотором смысле промежуточ-
промежуточным между исходными состояниями t])i и г]з2. Это состояние тем
больше приближается к свойствам одного из исходных состоя-
состояний, чем больше относительный «вес» последнего, который, как
мы увидим позднее, пропорционален отношению квадратов мо-
модулей соответствующих коэффициентов линейной суперпозиции.
Таким образом, квантовая механика допускает состояния, в ко-
которых некоторые физические величины не имеют определенных
значений.
Рассмотрим теперь состояние свободного движения* которое
характеризуется волновой функцией, представленной «волновым
пакетом»
чр (z, t) — J A {k) exp {i (kz - at)} dk, C,2)
fto-Afc
V
т. е. в виде совокупности плоских волн, волновые векторы ко-
которых направлены вдоль оси г и имеют -значения, лежащие в
интервале
Введем новую переменную g== k — ko, тогда, разлагая co(fe) в
ряд по степеням ? и .ограничиваясь только двумя первыми чле-
членами разложения ю (k) = ©о + ["ж) I, можно, преобразовать
C,2) к виду
ф (z, t) = 2Л (Ы ^ 2\ ехР У (feo2 - <0о0). C,3)
Ы
Множитель, стоящий перед быстро осциллирующей функцией
exp {i (koz — mot)},
можно назвать амплитудой функции. Схематически вид этой
амплитуды в момент t = 0 изображен на рис. 1. Максимальное
значение амплитуды, равное 2A(ko)Ak, соответствует значению
2 = 0. При z = zn^ (n/Ak)n, где n = ±1, ±2, .... амплиту-
амплитуда обращается в нуль. Значение Az = 2zt = 2n/Ak можно рас-
рассматривать как пространственную протяженность волнового па-
пакета. Чем меньще ДА (разброс значений импульсов), тем боль-
ше просгранственная протяженность пакета. Учитывая, что
Ak = Ap/h, можно преобразовать равенство Az Ak = 2л к виду
АгАр = 2пЬ. C,4)
С течением времени средняя точка волнового пакета, соответ-
-г
Рис. 1. Зависимость амплитуды волнового пакета ot расстояния для f=0.
ствующая максимальному значению амплитуды, перемещается
в пространстве со скоростью i
которая называется групповой скоростью. Используя B,3), на-
находим, что
ve — -?*-, где ро = hk0.
Рассмотрим волновой пакет
оо
¦- tj) B, 0 == J A (k) exp {I (kz — at)}, со =
который в момент времени ? = 0 имел вид
г1)B,0)=ехр(-22/BГ2)).
2ц
C,5)
C,6)
Определим вид волнового пакета при t > 0. Из равенства
оо
t]5B, 0)= J A(k)eikzdk
следует, -что
со
A (k) = -^ J ф (г, 0) е~ш dz. C,7)
— со
Подставив в это выражение значение C,6) и используя формулу
со
J ехр (- аг* + щг) dz = |/-J exp (- jx2/4a), C,8)
— oo
получим
C>9)
Подставив C,9) в C,5) и снова используя C,8), находим окон-
окончательное выражение
C,10)
§4. Статистическое толкование волновой функции
Для объяснения волновых свойств электронов, наблюдаемых
в опытах Дэвиссона и Джермера и др., надо допустить, что
после прохождения периодической структуры распределение
электронов в пространстве (регистрируемое фотопластинкой,
счетчиком и т. д.) пропорционально относительной интенсив-
интенсивности волны в этом месте. Нельзя предположить, что сами части-
частицы являются образованиями, составленными из волн. При
дифракции падающая волна разбивается на систему дифраги-
дифрагированных волн, электрон же ведет себя как единая частица.
Нельзя допустить также, что волновые свойства частицы обя-
обязаны своим происхождением коллективному поведению системы
взаимодействующих частиц (таковы, например, звуковые вол-
волны). Дифракционная картина, отмечаемая фотопластинкой, не
зависит от интенсивности пучка частиц. Она наблюдается и при
очень малой интенсивности пучка частиц [1J. Можно также от-
отметить, что волновые свойства проявляются и в том случае, ког-
когда система содержит всего один электрон, например в атоме во-
водорода.
Каждый электрон, проходя через периодическую структуру
и попадая на фотопластинку, вызывает (после проявления) по-
потемнение небольшого ее участка. Если же на фотопластинку по-
попадет большое число электронов (независимо от того, двигались
ли они вместе или один за одним через длительный промежуток
времени), распределение потемнений на фотопластинке соответ-
соответствует дифракционной картине. Учет этого обстоятельства по-
зволил М. Борну A926 г.) дать статистическую интерпретацию
волновой функции, которая подтвердилась всем дальнейшим хо-
ходом развития квантовой механики. Согласно этой интерпрета-
интерпретации, интенсивность волн де Бройля в каком-либо месте про-
пространства в данный момент времени пропорциональна вероят-
вероятности обнаружения частицы в этом месте пространства. Эта
интерпретация сохраняется и для волновой функции, описываю-
описывающей состояние системы частиц.
Волновая функция системы частиц зависит от времени и от
координат, число которых равно числу степеней свободы систе-
системы (см. § 12). Совокупность, значений всех независимых коорди-
координат в некоторый момент времени кратко будем обозначать од-
одной буквой ?. Задание g определяет точку в абстрактном
пространстве, которое называют конфигурационным простран-
пространством. Элемент объема в конфигурационном пространстве будем
обозначать dg.
Для системы, состоящей из одной частицы, конфигурацион-
конфигурационное пространство совпадает с обычным трехмерным простран-
пространством. В этом случае g = (х, у, г) и rf| = dx dy dz. Однако уже
для системы, состоящей из двух частиц, конфигурационное про-
пространство обладает шестью степенями свободы, т. е.
% = (хи Ни zu х2, у2, 22), dl = dxx dyx dzx dx2 dy2 dz^.
В этой главе будут рассматриваться значения волновых
функций для определенного момента времени, поэтому время мы
не будем указывать в явном виде.
Итак, волновая функция является вспомогательным поня-
понятием, используемым в квантовой механике для вычисления зна-
значений физических величин в состоянии, определяемом этой
функцией. В частности, в квантовой механике принимается, что
волновая функция дает сведения о вероятности того, что при
измерении положений частиц системы мы найдем их в тех или
иных местах пространства. Именно принимается, что величина
I Ф №) Р <*? = Ф'F) Ф (?)<*?
пропорциональна вероятности того, что в результате измерения
Мы найдем значения координат частиц системы в интервале
Ь \ + d%.
Если результат интегрирования |t])|2 по всем возможным
значениям координат сходится, т. е. если
то, используя утверждение § 3 о том, что функции, отличающие-
отличающиеся произвольным, не равным нулю комплексным множителем.
соответствуют одному и тому же состоянию, мож*но выбрать но-
новую волновую функцию
такую, чтобы выполнялось равенство
*'(ЮР <*? = !• - D,1)
"Равенство D,1) называют условием нормировки, а волновые
-функции, удовлетворяющие этому условию, называются норми-
нормированными функциями. Для нормированных функций ф вели-
величина |t])|2d? определяет вероятность dW(g) значений координат
системы в интервале ?, ? + d%, В этом случае величину
называют плотностью вероятности.
Из условия нормировки D,1) следует, что нормированная
функция определена с точностью до множителя, модуль кото-
которого равен единице, т. е- с точностью до множителя eia, где
а — любое действительное число. Эта неоднозначность не от-
отражается ни на каких физических результатах, так как все
физические величины, как мы увидим позднее, определяются
^выражениями, содержащими произведение ip на комплексно со-
сопряженную функцию ф* или ее производные по вещественным
аргументам.
В некоторых случаях Г | ty|2d!| = oo; тогда волновые функ-
функции нельзя нормировать условием D,1) и р == |ty(?)|z не будет
, плотностью вероятности. Однако и в этих случаях отношение
'- величин | ^ F) |2 для разных %, определяет относительную ве-
вероятность соответствующих значений координат. Вопрос о сш**
собах нормировки таких функций будет рассмотрен для част-
частного случая в следующем параграфе, а в общем случае в § 10.
Если волновая функция при t — 0 имеет вид волнового па-
пакета C,6), то плотность вероятности изображается функцией
Гаусса
рB, 0) =!¦(?, 0)|2 = ехр(-22/Г2) D,2)
с «шириной» Г. При t > 0 эта функция переходит в C,10). Сле-
Следовательно, плотность вероятности принимает вид
р {г, 0 = [1 + (-^J]~'А ехр {- 22/Г2 @), D,3)
который также соответствует функции Гаусса, но уже с «шири-
лой» ~~ '
/()8 D,4)
возрастающей с течением, времени. Говорят, что пакет «рас*
плывается» с течением времени. При t •< to =• цР/fi расшире-
расширение пакета происходит медленно. Однако при f> to ширина па-
пакета растет пропорциоиально времени со скоростью Ь/(цТ). Эта
скорость тем больше, чем меньше масса частицы. Например,
при Г = Ю"8 см критическое время, начиная с которого шири-
ширина пакета возрастает линейно, для электрона равно примерно
10~ie с, а для частицы с массой один грамм — около 104 лет.-
§ 5. Свободная частица в ограниченном объеме пространства
Примером волновых функций, которые нельзя нормировать
условием D,1), являются волновые функции
' * (г, 0 = А ехр [Цкг - со*)},. E,1)
соответствующие состоянию свободного ¦ движения частицы,
имеющей определенный импульс р — bk. Однако можно обес-
обеспечить нормируемость функций E,1) путем определения всех
функций внутри очень большого объема, заданного в виде куба
с ребром L. На поверхности этого объема волновые функции
должны удовлетворять некоторым граничным условиям. При до-
достаточно большом L(L~^> 10~e см) влияние граничных условий
на характер движения частицы в объеме О. = L3 будет очень
малым. Поэтому граничные условия можно выбрать в произ-
произвольном, достаточно простом виде. Наиболее часто в качестве
граничных условий принимаются условия цикличности с перио-
периодом 1, т. е. требуют, чтобы волновая функция удовлетворяла
условиям <¦•¦
tHx, y,z) = ^>(x + L, y,z) = ty{x,y + L,z) = He(.xty,z + L). E,2)
Будем исследовать состояния в момент времени t = 0, тогда,
подставляя E,1) в E,2), мы убедимся, что условия цикличности
удовлетворяются, если нормированные на объем Q функции
E,1) имеют вид
tMr) = ?2-%exp(/fcr), E,3>
где
k = nx, ky = -j- ny; kz =,-?¦ пг, E,4)
пх, Пу, пг — все. целые положительные и'отрицательные числа.
Таким образом, введение граничных условий E,2) сводится
к тому, что вектор k' пробегает дискретный ряд .значений, опре-
определяемых условиями E,4). При переходе к пределу L-voo
расстояние между двумя ближайшими значениями k стремите»
к нулю, и мы снова вернемся к свободному движению частицы в.
неограниченном пространстве.
\
Совокупность функций E,3), соответствующих всем возмож-
возможным в соответствии с E,4) значениям k, образует систему функ-
функций, удовлетворяющих условию
J Ч»*- (') Ъ (') ^г = Ьь-ь, E,5)
где бй'й = б ' б ' б '. \ при этом символ б„'„ = 0, если п'фп
kxkx kyky кг"г
и bnTn^l, если п' — п; dx = dxdydz.
Функции E,3) образуют полную систему функций, т. е. лю-
любая волновая функция ty, изображающая произвольное состоя-
состояние движения частицы в объеме Q может быть представлена в
виде линейной комбинации функций E,3), т. е.
Коэффициенты разложения а* функции ф по состояниям с оп-
определенным импульсом легко вычисляются из E,6), если умно*
жить обе части этого равенства на ^l'(r) и проинтегрировать
по всем значениям координат в объеме ft. Тогда, используя
{5,5), находим
} E,7)
Если функции *|з(г) нормированы в объеме Q, то, подставляя
<5,6) в условие нормировки и используя E,5), находим
aft|2. * E'8)
Из E,6) следует, что коэффициенты аь определяют долю уча-
участия состояния с определенным импульсом р = bk в общем
состоянии ty(r); квадрат модуля а* определяет вероятность об-
обнаружения у системы, находящейся в состоянии ф, значения им-
пзу№еа-р-== J&. При этом равенсгво E,8) можно рассматривать
(как утверждение, что сумма вероятностей всех возможных зна-
значений импульса должна равняться единице.
§ 6. Вычисление средних значений координаты и импульса
Покажем, что знание нормированной волновой функции ф
позволяет вычислить средние значения координаты, импульса и
других физических величин в этом состоянии. Если учесть, что
плотность вероятности определенных значений радиуса-вектора
выражается через функцию состояния ф:
то, согласно теореме о математическом ожидании, среднее зна-
значение (г) радиуса-вектора в этом состоянии будет определяться
интегралом ¦
JV(r)n|>(r)dT. F,1)
Таким же образом вычисляется и среднее значение любой функ-
функции радиуса-вектора
Чтобы определить среднее значение импульса р в данном со-
состоянии ф, введем искусственные граничные условия, рассмот-
рассмотренные в § 5. Тогда вероятность значения импульса р = bk, как
было показано в § 5, будет определяться величиной |ой|2, где
а*—/ч>(г)Ч>*(г)Л. F,2)
в
Зная вероятность определенного значения импульса, нахо-
находим среднее значение импульса по общему правилу
{p) = n^alkab. F,3)
Подставляя в это выражение значения а/, из F,2) и используя
равенство
непосредственно следующее из определения функций E,3), пре-
преобразуем F,3) к виду
<Р> = Л J] У (г') ф* (гО dx' J ф (г) Vtf (г) Л. F,4)
Из-за циклических условий E,2) значения функций ф и ^й на
противоположных гранях куба L3 равны, поэгому путем инте~
грирования по частям получаем
Используя этот результат, преобразуем F,4) к виду
- <р> = ih \ ф' И j ^ ** ('О Ч3* (')} ^ W
•Сумма, стоящая в фигурных скобках под знаком интеграла,
равна *)'
2ч*(г')ФИг) = б(г'-г), ' F,5)
¦где б (г' — г) —сингулярная функция, равная нулю во всех точ-
¦ках г* Ф г и удовлетворяющая условию
JF(r)d(r'-r)dx = F(r'). F,6)
Более подробно со свойствами сингулярной функции б (г'—г),
называемой функцией Дирака, можно ознакомиться в матема*
тическом дополнении А.
Используя F,5) и F,6), находим окончательную формулу,
•определяющую среднее значение импульса,
<Р> = J Ф* (г) (- 1Щ ф (г) dx, F,7)
непосредственно через значения волновой функции, соответст-
соответствующей данному состоянию. Формула F,7) сохраняет свой 'вид
и при переходе к пределу L -> оо, поэтому правило F,7) вычис-
вычисления среднего значения импульса сраведливо в общем случае
неограниченного пространства.
Таким же образом можно показать, что среднее значение лю-
любой степени импульса может быть вычислено по правилу
<р"> = J ? (г) (- ШЩп ф (г) dx.
Этот результат легко обобщается и на случай любой целой ра-
рациональной функции F(p) импульса
{Р (Р)> = J Ф* (г) F (- toV) ф (г) dx.
Например, среднее значение кинетической энергии частицы в со-
состоянии ф будет определяться выражением
Р2\ Г
fi2v2
*) Доказательство равенства F.5) легко получить, разлагая 6 (г' — г)
по полной системе функций E,3)
6(Г'-г)= 2 tk(r')+4(r)
и вычисляя коэффициенты разложения l>h(r') с помЬщью E,5) в усло-
условия F,6).
§ 7. Операторы физических величин
В предыдущем параграфе мы вывели правила, позволяющие
вычислять средние значения в произвольных состояниях (опи-
(описываемых нормированными функциями *|з) функций, зависящих,
либо от координат, либо являющихся целыми рациональными'
функциями импульсов. Если функция F является суммой функ-
функций F\(r) и Fz(p), то и Ъ этом случае вычисление среднего зна-
значения F в состоянии ф сводится к вычислению интеграла
где величина
вообще говоря, является дифференциальным оператором. Будем
называть F оператором, соответствующим физической вели-
величине F. , /
Оператор определен на некотором множестве функций, если указан за-
закон, с помощью которого каждой функции множества сопоставляется функ-
функция, . входящая в то же- мйожество функций. Операторы, определенные на-
различных множествах функций, следует рассматривать как различные one-
д2 д2 д2
раторы. Например, оператор Лапласа ?2 = "^~T + "дТ "^" ~л~Тможет быть-
определен на исех дважды дифференцируемых функциях, заданных в беско-
бесконечном пространстве, или на дважды дифференцируемых функциях, которые-
отличны от нуля внутри некоторой области и удовлетворяют некоторому
граничному условию на границах этой области. В частности, можно потре-
потребовать, чтобы на границах области все функции обращались в нуль.
Операторы, содержащие действие дифференцирбвания, носят название
дифференциальных операторов: Если операторы содержат действие интегри-
интегрирования, то оин называются интегральными операторами. Могут быть w
интегро-дифференциальные операторы. Частным случаем интегральных опе-
операторов являются функционалы. Функционалом называется оператор, кото-
который, действуя на любую функцию множества функций, на котором он опре-
определен, дает некоторую ^постоянную. Одним из примеров функционала яв-
является скалярное произведение (iH<p)= I if*{?)<р (|) d|. Если функция q>-
фиксирована, то (гНф) есть линейный функционал относительно функций ф.
В квантовой механике рассматриваются дифференциальные (и обратные-
к ним интегральные) операторы, определенные на множестве функций, не-
непрерывных и дифференцируемых в замкнутой области R (Q может быть, »
бесконечной) и удовлетворяющих однородным краевым услоииям на грани-
границах этой области. Краевые условия называются однородными, если им удо-
удовлетворяет функция, тождественно равная нулю как во всех точках внутр»
области R, так н на границах этой области.
Правило G,1) нахождения среднего значения F в состоянии
f можно обобщить-на случай произвольных физических вели-
величин F, если }лы найдем способ построения соответсгвующих опе-
операторов F.
Прежде чем переходить к правилам построения операторов,
соответствующих физическим величинам, определим общие ус-
условия, которым должны удовлетворять такие операторы.
Действие оператора на стоящую справа от него функцию ф
в интеграле G,1) сводится к преобразованию этой функции в
новую функцию
Чтобы при таком преобразовании не нарушался принцип супер-
суперпозиции состояний, необходимо выполнение условий
Операторы, удовлетворяющие условиям G,3) для произвольной
функции ф, называются линейными операторами.
Если функция F изображает физическую величину, то ее
среднее значение обязательно действительно. Условие действи-
. гельности средних значений: (F) = {F)*, согласно G,1), сводит-
сводится к интегральному равенству для операторов F
J i]>Ар dx = J $F"qfd%. G,4)
Равенство G,4) является частным случаем более общего равен-
равенства
j J т, G,5)
= J
которому удовлетворяют самосопряженные, или эрмитовы, опе-
операторы. В равенстве G,5) функции ф'иф являются произволь-
произвольными функциями, зависящими от переменных, на которые
действует оператор Р' и для,которых интегралы G,5), распро-
распространенные на все возможные значения переменных, имеют ко-
конечные значения. Поскольку равенство G,4) является частным
случаем равенства G,5), то'можно сказать, что условие действи-
действительности средних значений физических величин в произвольных
достояниях сводится к требованию, чтобы соответствующие им
операторы были самосопряженными.
Функциональное уравнение G,5), определяющее условие са-
самосопряженности оператора Р, можно записать в краткой опера-
операторной форме
^ F = F*. G,6)
Итак, в квантовой механике всем физическим (наблюдае-
(наблюдаемым) величинам -сопоставляются линейные (чтобы выполнялся
принцип суперпозиции) и самосопряженные (чтобы средние зна"*
чения были вещественными) операторы. При проведении проме-
, „ „..ur^wri. «югпвдид шашчип 29
жуточных вычислений иногда используются и несамосопряжен*
ные операторы, имеющие комплексные собственные значения.
Оператор координаты совпадает с координатой г = г, опе-
оператор импульса р = —ihV. Оба эти оператора являются линей-
линейными и самосопряженными. Если функция F является суммой
произвольной функции от координат и целой рациональной
функции импульсов, то соответствующий ей оператор полу-
получается заменой в этой функции импульса на соответствующий
оператор
F (г,р) -» F = F (г, - iHV). G,7)
Если функция F является функцией, содержащей произведе-
произведения координат и импульсов, то, вообще говоря, не всякий опера-
оператор Р, полученный из F по правилу G,7), будет самосопряжен-
самосопряженным, так как не всякое произведение самосопряженных опера-
операторов будет самосопряженным.
Произведением операторов PR называется оператор, дейст-
действие которого на функцию сводится к последовательному приме-
применению сначала оператора R, а затем F. Вообще говоря, произ-
произведение операторов зависит от порядка сомножителей:
Если имеются два оператора, произведение которых не зависит
от порядка сомножителей, го говорят, что они jcoMMyrupg^T
друг с другом. • "
Выясним условие, при котором произведение самосопряжен-
самосопряженных (эрмитовых) рператоров является самосопряженным. В об-
общем случае, если F = Ff и К = К*, то
J y'FKy dx = J (p/?'?V dt, G,8)
или в краткой операторной записи
f ff G,8а)
т. е. эрмитово сопряженный оператор произведения равен произ-
произведению эрмитово сопряженных операторов, взятых в обратном
Действительно, используя самосопряженность оператора F, можно написать
I •ф*/7 (/Сф) dx= I (/Cqp) F*ty* dr. Учитывая далее самосопряженность опера-
тора К, имеем I (Кар) F'ty* dx— (fR'F'ty* dx, чтон доказывает равенство G,8).
Если самосопряженные операторы коммутируют, то их про-
произведение яляется самосрпряженным, что непосредственно сле-
следует из G,8а)
f
J ф'/ТСф dx = J
или подробно
Учитывая этот результат, мы можем утверждать, что с по-
помощью правила G,7) можно получать самосопряженные опера-
операторы только в том случае, когда целая рациональная функция
F не содержит произведений операторов координат и импуль-
импульсов, либо содержит такие их произведения, которые ком мути-
руют между собой, например хру и др.
В общем случае, если R и F являются линейными эрмитовы-
эрмитовыми операторами, то такими же будут и операторы
FR), G = i (KF - PR).
В случае коммутирующих операторов
G,9)
В квантовой механике приходится рассматривать физические ве-
величины, не имеющие классического аналога (например, спин
частицы), которые не выражаются через функции координат и
импульсов. Позднее мы познакомимся с тем, как определяются
операторы, соответствующие таким величинам.
В табл. 1 приведен явный вид некоторых простейших линей-
линейных самосопряженных операторов, используемых в кватовой
механике.
Таблица!
Простейшие операторы квантовой механики
Физическая величина
Координата \
1 х, у, z,
Г Р
Импульс \
1 Рх, Ру, Рг
L^lrXp]
Момент количества f Lx = ypz — zpy
•движения, , или I ,
угловой (враща- j Lv~^Px xp?
тельный) момент [ Lz — хри — урх
Энергия в нереля- 2
тивистском прн- Е = -%—1- U (г)
ближенин 21*
Оператор
Г
х, у, г.
—ihV
дх ду дг
?=-ЩгХЩ
*•—*(•¦?-*¦?)
В связи с тем, чго перестановочные соотношения между опе-
операторами играют большую роль в квантовой механике, иссле-
исследуем эти соотношения для операторов, указанных в табл. 1.
Введем сокращенное обозначение
[А, В]^АВ^-ВА,
которым будем пользоваться при дальнейшем изложении. Для
коммутирующих операторов должно выполняться соотношение
[Л, 5И = 0 G,10)
для произвольной функции \|з.
Если самосопряженные операторы не коммутируют, то вы-
выполняется равенство
[А, В]у = 1СЪ G,11)
где в силу G,9) оператор д является также самосопряженвым.
оператором. В частном случае С может быть числом. Для сокра-
сокращения записи часто равенства G,10) и G,11) заменяют опера-
операторными равенствами
[At Б] = 0, [^, B]=iC.
Естественно, что три оператора координаты х, у, г, которые
мы будем кратко обозначать буквой rt (i = 1, 2, 3), коммути-
коммутируют между собой, т. е.
[rt, Ы = 0, i, k=\, 2, 3.
Коммутируют между собой и операторы проекций импульса
[&, 0*1 = 0,
д2
так как при вычислении частных производных -х—^— безраз«
лично, в каком порядке производить дифференцирование.
Примером некоммутирующих операторов являются ? и рх.
Для исследования перестановочных соотношений между ними
вычислим действие произведений этих операторов на произволь-
произвольную функцию, зависящую от х:
с другой стороны,
32 ОСНОВНЫЕ 1ЮНЯ1п» 1чпл.».^~~.. ...„ ._ .__
Итак, имеем - .
' I*, PA f (*) = ihf (x)K или [*, рх\ = ih.
Проведя такие же вычисления, можно показать, что в общем
случае должны выполняться перестановочные соотношения
l'i, АЛ = йв,ь i, *=1, 2, 3., G,12)
Используя явный вид операторов проекций вращательных (уг-
(угловых) моментов Lu можно показать, что должны выполняться
перестановочные соотношения
[Lt, Lk] = ihLt G,13)
для значений i = 1, k = 2, / = 3; i = 2, k = 3, / = 1 и t = 3,
Л = 1, / = 2. Три перестановочных соотношения G,13) можно
для краткости записать в векторной форме:
[LXL] = ihL. G,13а),
Здесь и в дальнейшем символ [А X Щ используется для обоз-
нач\гния векторного произведения векторов А и В. Если А и
В — операторы, то порядок сомножителей определяется прави-
правилом [А X Щг — АхВу — ВУАХ и т. д. Далее можно показать, что
[?2,?г] = 0, * = 1,2,3. G,14)
Пользуясь перестановочными соотношениями G,12) и опреде-
определением оператора углового момента L, легко убедиться в спра-
справедливости следующих перестановочных соотношений:
[Lt ?,] = 0, [Li, rk] = ihh, [Lk, ft] - -
k, ft] - - mh \
k, pi] = - ittpt, J
, Pi] = 0, [U, pk] = ihpu [Lk, p] itt J
где i = 1, k = 2, Z = 3, либо * = 2, ft = 3, / = 1, либо t = 3,
Перестановочные соотношения G,15). можно кратко записать
в векторной форме:
G,15а)
Xp] + [pXX]=2ttp. j
Используя тождество
можно доказать перестановочные соотношения
[р, v\ = a
[г, ?2j = /i
§ 8. Собственные функции и собственные значения операторов
В § 7,был указан способ G,1) вычисления среднего значения
в состоянии, описываемом функцией ф, любой физической вели-
величины F, если мы знаем соответствующий этой физической вели-
величине оператор Р.
Пользуясь правилом G,1), можно вычислять не только сред-
средние значения, но и средние квадратичные отклонения от сред-
средних значений в данном состоянии ф. Действительно, вводя
и соответствующий эрмитов оператор
(8,1)
можно написать
= JV(A?)(A7L>dT. , (8,2)
Используя самосопряженность оператора (&F), преобразуем
(8,2) к виду
(8,3)
Формула (8,3) позволяет вычислять среднее квадратичное от-
отклонение от среднего значения любой физической величины в
произвольном состоянии, описываемом функцией ty.
С помощью (8,3) можно также определять неизвестные со-
состояния, в которых среднее квадратичное отклонение равняется
нулю, т. е. определять такие состояния, в которых величина F
имеет определенное значение. Для таких состояний ty равен-
равенство (8,3) сводится к равенству
О = J | (Д?) ф р dr.
Поскольку под интегралом стоит существенно положительная
величина, то равенство нулю интеграла возможно лишь при ус-
условии
(Д?)Чз = О. . (8,4)
Учитывая, что в состоянии i|)> удовлетворяющем уравнению
(8,4), величина F имеет определенное значение, т. е. F = (F),
перепишем (8,4), подставляя (8,1), в следующем виде:
(F — F) ф = 0. (8,5)
Уравнение (8,5) является однородным, линейным уравнением
относительно неизвестной функции у. В связи с тем, что
2 А, С, Давыдов
34 ULHUDMIC
волновая функция должна изображать реальные состояния
физических систем, нас будут интересовать решения этого урав-
уравнения, соответствующие отличным от нуля непрерывным, одно-
однозначным функциям % удовлетворяющим однородным условиям
(т. е. условиям, выполняющимся и при ty = 0). Дополнительные
условия, связанные с возможностью нормировки функции *|з, бу-
будут обсуждены позднее. Обычно они сводятся к требованию ко-
конечности интеграла Г | г]) f dx, распространенного по конечной
области пространства. Сама функция может быть и сингуляр-
сингулярной, т. е. обращаться в бесконечность в некоторых точках, если
только интеграл остается конечным.
В общем случае уравнение (8,5) имеет решения, удовлетво-
удовлетворяющие поставленным выше условиям только при некоторых
определенных значениях физической величины F, которые яв-
являются параметрами уравнения (8,5). Эти значения могут про-
пробегать либо дискретный ряд значений f i, Fz, ..., либо непре-
непрерывный ряд значений в некотором интервале.
Эти особые значения параметра F называют собственными
значениями оператора Р, а соответствующие им решения урав--
нения (8,5) называют собственными функциями оператора. Сово-
Совокупность собственных значений оператора называется его спект-
спектром. Если оператор имеет дискретные собственные значения, то
говорят, что он имеет дискретный спектр. Если оператор имеет
собственные значения, пробегающие непрерывный ряд в неко-
некотором интервале, то говорят, что он имеет непрерывный, или
сплошной, спектр. Возможны операторы, имеющие спектр, со-
состоящий из дискретных значений и значении, непрерывно из-
изменяющихся в некоторых интервалах.
Чтобы различать собственные функции оператора Р, соответ-
соответствующие разным собственным значениям, мы будем писать
справа от функции в виде индекса собственное значение, на-
например tyv. Если спектр собственных значений оператора ди-
дискретный, то собственные значения можно перенумеровать:
f I, Fz, ..., Fn, ... В этом случае в качестве индекса у собст-
собственной функции часто пишут не собственное значение, а его но-
номер, т. е. ^fk sss \]з„. Целые числа п, определяющие собственные
значения и собственные функции, называют квантовыми чис-
числами.
Согласно вышеизложенному, в состоянии, которое описывает-
описывается собственной функцией ipF оператора Р, физическая величина
имеет определенное значение, равное собственному значению
этого оператора. Этот вывод имеет очень большое значение для
интерпретации физических следствий квантовой механики. Ре-
Результатом измерения физической величины F в состоянии \pF
будет с достоверностью значение Р. Если состояние системы
описывается волновой функцией *|з, не совпадающей ни с одной
собственной функцией оператора Р, то при измерениях величины
F в этом состоянии мы. будем получать разные значения, каж-
каждый раз равные одному из собственных значений оператора Р.
Таким образом, совокупность собственных значений оператора
Р указывает возможные результаты измерений величины F в
произвольных состояниях. Этими утверждениями определяется
физический смысл собственных значений операторов квантовой
механики.
В некоторых случаях одному собственному значению опера-
оператора соответствует несколько линейно независимых собственных
функций; тогда соответствующая физическая величина имеет
определенное значение в каждом из состояний, описываемых
этими волновыми функциями. Число независимых собствен-
собственных функций, соответствующих данному собственному значению,
называют кратностью вырождения этого собственного зна-
значения. " ~
При наличии вырождения собственные функции, соответ-
соответствующие одному собственному значению, приходится снабжать
вторым индексом, пробегающим значения 1, 2, ... вплоть до
числа, равного кратности вырождения. Например,,при трехкрат-
трехкратном вырождении имеются три функции tyFi, tyra фгз, соответст-
соответствующие одному собственному значению F. Иногда, как мы уви-
увидим в последующем изложении, волновые функции вырожден-
вырожденных состояний снабжают и большим числом индексов.
Очень важным свойством собственных значений самосопря-
самосопряженных операторов является то,'что они всегда действительны.
Собственные значения совпадают со средними значениями соот-
соответствующих физических величин в состояниях, описываемых
собственными функциями этих операторов. Поскольку средние
значения действительны (§ 7), то действительны и собственные
значения. В действительности собственных значений самосопря-
самосопряженных операторов можно убедиться и непосредственно из
уравнения (8,5). Для этого умножим уравнение (8,5) на функ-
функцию ty *, комплексно сопряженную к ty, и вычтем из полученного
уравнения ему комплексно сопряженное. Интегрируя получен-
полученное выражение по всем значениям независимых переменных, на-
находим:
ф> dx = J -ф*^ dx — | 43FV dx.
Используя условие G,4) самосопряженности оператора Р, на-
находим F — F*, что и указывает на действительность F.
Для иллюстрации вышесказанного вычислим собственные значения и соб-
собственные функции трех простейших операторов.
2*
36 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ, I
а) Собственные значения и собственные функции
оператора проекции импульса рх. Задача сводится к решению
уравнения
Непрерывные, однозначные и конечные решения этого уравнения возможны
для всех действительных значений рх, заключенных в интервале — оо <
< рх < оо. Следовательно, оператор рх имеет непрерывный спектр собствен-
собственных значений. Каждому собственному значению рх = р соответствует одна
собственная функция (отсутствует вырождение)
) (8.6)
Эта функция описывает движение частицы вдоль оси х с определенным
импульсом р. Волновые функции (8,6), как и другие собственные функции
операторов, имеющих непрерывный спектр, нельзя нормировать обычным
образом, так как I | <фр (я) I2 dp = оо. Волновые функции (8,6) являются
частным случаем волновых функций свободного движения частиц с опре-
определенным импульсом, рассмотренного в § 5, где был указан один из спосо-
способов нормировки таких функций. _
б) Собственные значении и собственные функции
оператора проекции углового момента Cz. Из табл. 1 (§7)
имеем . 1
Если перейти к сферической системе координат (см. -мат. дополн. Б), то
получим Lz= — tb-j:—. Тажим образом, задача сводится к решению урав-
-j:—
нения
tteL-^fo), (8>7)
где переменная ф изменяется в пределах 0 ^ ф ^ 2л. Решениими (8,7) яв-
являются
ляются
L
Для выполнения условия однозначности функции i]j необходимо, чтобы
, ¦Ф (ф) = Ф (ф + 2л).
Это условие удовлетворяется, если Lz\h = т, где т = 0, ±1, ±2, ± ...
Таким образом, спектр собственных значений оператора Lz является
дискретным:
Lz = hm, m = 0, ±1, ±2, ± ... (8,8)
Собственные функции ¦фт(ф), соответствующие собственным значениям (8,8)
2л
и нормированные условием I |фт'фшйф= I, имеют вид
§ 8] СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ 37
в) Собственные значения и собственные функции
квадрата углового м о.м е н т а. Для вычисления собственных значе-
значений и собственных функций оператора квадрата углового момента надо ре-
решить дифференциальное уравнение
L2i]> = L2^, (8,9)
где оператор квадрата углового момента определяется с помощью габл. 1
выражением
Удобнее, однако, пользоваться оператором квадрата углового момента, вы-
выраженным через сферические координаты. В этом случае (см. мат. до-
полн. Б)
я уравнение (8,9) сводится к уравнению
Сравним полученное уравнение с уравнением для сферических функций Yim:
где 1 = 0, 1, 2, ... Эти уравнения совпадают, если
L2 = h2l(t+l). (8,12)
Таким образом, мы приходим к заключению, что собственные значения опе-
оператора квадрата углового момента определяются квантовыми числами 1 = 0,
1, 2, .-. с помощью выражения (8,12), а собственные функции этого опера-
оператора совпадают со сферическими функциями Yim(Qq>) порядка I. При этом
каждому собственному значению L?, т. е. каждому значению квантового
числа I, которое принято называть орбитальным квантовым числом, соответ-
соответствует 2/ + 1 сферических функпий Yim. Эти функции отличаются значе-
ниими второго квантового числа т, называемого магнитным квантовым чис-
числом, принимающим прн заданном / значении
т = 0, ± 1, ± ... ± /.
Явная зависимость сферических функций от углов G и ф для положи-
положительных значений m определяется выражением
& (8,13)
(ai4)
)=егт(б)-Н&
где
ЧЧ\ У 2(/ + т)! (dcosB)
Действительные функции 0 можно выразить через производные о г полино-
полиномов Лежандра
38 ' ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. I
Действительно, при т ^ О
Сферические функции для отрицательных значений т = —1, —2, ...
.... —/ определяются из условия *)
YL _т F. ф) = (-l)m Ги m F, ф). (8,15)
Сферические функции (как и собственные функции других операторов)
определяются с точностью до произвольного фазового множителя, модуль
которого равен 1. Например, вместо функций (8,13) иногда употребляются
функции
В этом случае равенство (8,15) заменяется равенством
Сферические функции нормированы. Функции, относящиеся к разным кван-
квантовым числам I и т, ортогональны между собой. Условия нормировки и
ортогональности- можно записать в виде
'т (в. Ф) Yi'm' (в. Ф) dQ = 6„,6тт,, dQ = sin в dQ d<f. (8.16)
При т = О сферические функции сводятся к полиномам Лежандра
Pi (cos в) с помрщью соотношения
Ую (в, ф) = Т/ "J1 Pt (cos в).
Используя (8,13), легко убедиться, что сферические функции одновременно
являются собственными функцними оператора Lz = — Л -~ проекции уг-
Ж>вого момента на ось г, так как они удовлетворяют уравнению
~Я-§^ Ytm F. ф) = Ът Yim (в, <р). (8,17)
Итак, сферическая функция Yim(Q, ф) является собственной функцией опера-
оператора квадрата углового момента, соответствующей собственному значению
Одновременно эта же функция является собственной функцией оператора
проекции углового момента на ось г с собственным значением
Таким образом, второй индекс волновой функции Yim позволяет различать
состояния, отличающиеся значениями проекции углового момента на ось г.
*) Если функция Yi, -m определяется равенством (8,15), то формула
F,14) справедлива и при т <, О,
§ 9] СОБСТВ. ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ 39
§ 9. Свойства собственных функций операторов,
имеющих дискретный спектр
Пусть оператор Р имеег невырожденный дискретный спектр
собственных значений Fn. Тогда собственные функции этого опе-
оператора удовлетворяют уравнению
F'tyn — Fntyn. (9,1)
Запишем уравнение, комплексно сопряженное уравнению (9,1),
для квантового числа т:
F*ym = Fmqm- (9,2)
Умножим уравнения (9,1) и (9,2) слева соответственно на
tym и tyn- Интегрируя затем правые и левые часга новых урав-
уравнений по всей области изменения переменных и вычитая из од-
одного полученного уравнения другое, находим, используя усло-
условие G,5) самосопряженности оператора Р,
(Fn-Fm)
Если т Ф п, то из этого равенства следует ортогональность соб-
собственных функций, относящихся к разным собственным значе-
значениям, т. е.
m<bndl=0. (9,3}
Физический смысл ортогональности собственных функций tyn и
tym оператора Р заключается в том, что при измерении физиче-
физической величины Р в этих- состояниях мы наверняка получим раз-
разные значения: Fn — в состоянии tyn и Fm—в состоянии t|)m.
Итак, мы доказали, что собственные функции, относящиеся
к различным собственным значениям самосопряженного опера-
оператора, ортогональны между собой.
Для всех реальных систем (т. е. систем с конечным радиусом
действия сил) в состояниях с дискретным спектром энергии ча-
частица обязательно находится в ограниченной области простран-
пространства, т. е. волновые функции таких состояний должны убывать
достаточно быстро к нулю вне этой области. Если бы это усло-
условие не выполнялось, то частица могла бы. уходить в далекие
области пространства, где отсутствуют силы. Свободное же дви-
движение возможно с любой энергией (нет квантования). Поэтому
для собственных функций дискретного спектра интеграл
%, (9,4)
распространенный на всю область изменения переменных,
от которых зависит \]з„, всегда имеет конечное значение.
40 Основные Понятия квантовой механики [гл. 1
Следовательно, собственные функции операторов с дискретным
спектром всегда можно нормировать. Будем предполагать, что
операция нормирования выполнена, гогда, учитывая (9,3), мож-
можно сказать, что совокупность собственных функций операторов,
имеющих дискретный спектр, образует систему ортонормированс
ных функций, т. е. удовлетворяет условиям ¦
Ml = 6mn. (9,5)
Вторым замечательным свойством собственных функций опе-
операторов, имеющих дискретный^пектр7~^щЖёТс^~Тго7~что^:ово-
купность всех собственных функций образуетиолную__(или
замкнутую) систему функций, т. е. любая другая функция ^
"зависящая от тех же переменных и удовлегворяющая тем же
граничным условиям, для которой существует интеграл
J I Ф I2 d\, может быть представлена в виде ряда
ФШ-2«АШ. (9,6)
п
где суммирование распространено на все значения квантового
числа п. Пользуясь (9,5), легко определить способ вычисления
коэффициентов разложения (9,6)
© *»(!)<?. (9,7)
_Третье_^свойство собственных функций операторов, имеющих
дискретный" спектру ЪЪГртЖайс^равён^ом " " ~
2ф*A'Ь«A) = б(|'-|), (9,8)
• п
где | — совокупность всех переменных, от которых зависят
функции tym; бA7—I)—дельта-функция Дирака, свойства ко-
которой определены в мат. дополн. А.
Доказать (9,8) можно путем разложения функции б (?' — ?)
по ортонормированной системе функций ij)n(l)
б (Г - &)*« 2 а« (Г) *»(&)• (9.9)
п
Это разложение является частным случаем (9,6), поэтому коэф-
коэффициенты разложения определяются согласно (9,7). Следова-
Следовательно,
что и доказывает (9,8).
При наличии вырождения собственные функции tynl операто*
pa F удовлетворяют уравнению
h (9,10)
s 9] СОБСТВ. ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ 41
Повторяя действия, аналогичные тем, которые проделывались е
уравнением (9,1), можно доказать, что функции, относящиеся к
разным собственным значениям, будут взаимно ортогональны,
т. е.
J 4>mt A) tynk (?) dl = 0, если тфп.
При этом функции tyni, \|)„2, .-., tynf, соответствующие одному
собственному значению Fn, вообще говоря, не будут ортогональ-
ортогональны. Однако всегда f независимых функций tynj могут быть заме-
заменены другими f независимыми функциями, которые будут также
собственными функциями оператора Р и одновременно будут
взаимно ортогональны. Покажем это на примере двукратного
вырождения. Пусть tyni и ф„2— две нормированные собствен-
собственные функции оператора Р, соответствующие собственному зна-
значению Fn- Определим две другие функции
где Я и а — комплексные числа. В силу линейности оператора #
функция фг также будет его собственной функцией, принадлежа-
принадлежащей тому же собственному значению. Теперь можно выбрать
число К таким, чтобы выполнялось условие ортогональности
f Ф1Ф2 d\ = 0. Из этого условия находим
Постоянная а определяется из условия нормировки. Таким спо-
способом мы получим нормированные и взаимно ортогональные
собственные функции q>i и ф2, соответствующие собственному
значению Fn.
Таким же образом можно ортогонализировать собственные
функций при вырождении любой кратности. Будем предпола-
предполагать, что такая ортогонализация произведена; тогда собсгвен-
'ные функции и при наличии вырождения будут удовлетворять
условиям
} %nl A) Упк A) dl = ЬтпЬш (9, И)
Два других свойства собственных функций операторов, имею-
имеющих дискретный спектр, можно записать в виде
Ф№)«= 2anrt>.,itt), (9,12)
п, I
где
2^(|')%Л1) = б(|'-1). (9,13)
42 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. I
Исключительная важность собственных значений линейных
самосопряженных операторов, используемых в квантовой меха-
механике, состоит в том, что они определяют возможные значения
соответствующих величин при их измерении. Если состояние
системы описывается волновой функцией, совпадающей с одной
из собственных функций фи оператора Р, то в этом состоянии
физическая величина F имеет определенное значение. Поэтому
при ее измерении в этом состоянии мы должны получить с до-
достоверностью значение Fn. Если же волновая функция ф не сов-
совпадает ни с одной из собственных функций фп оператора Р, то
в этом состоянии физическая величина F не имеет определенного
значения. При повторных измерениях физической величины F в
одном и том же состоянии ф мы будем получать различные зна-
значения Fn. Повторяя многократно эти измерения, мы сможем оп-
определить среднее значение {F) этой величины в данном состоя-
состоянии. Это среднее значение должно совпадать со значением, по-
полученным из соотношения
JVAMi. (9,14)
Используя свойство полноты системы собственных функций опе-
оператора JF, можно представить \jp в виде линейной комбинации
*1> = ИМ>*- (9,15)
ft
Подставляя (9,15) в (9,14) и используя уравнение
и условие ортонормируемости системы функций tyn, находим
Таким же образом из условия нормировки функции находим
= 2|«„Р- (9,17)
Равенство (9,17) называется условием полноты системы собст-
собственных функций tyn, так как оно служит критерием того, что
эта система собственных функций достаточна для представления
с помощью (9,15) любой другой функции, без добавления к
системе какой-либо линейно независимой функции, не являю-
являющейся собственной функцией оператора Р.
Равенства (9,16) и (9,17) позволяют утверждать, что квадрат
модуля коэффициента ап в (9,15) определяет вероятность того,
чго в результате измерения физической величины F в состоя-
состоянии г)) мы получим значение Fп. .
§ ИД СОБСТВ. ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРОВ С НЕПРЕРЫВНЫМ СПЕКТРОМ 43
§ 10. Свойства собственных функций операторов,
имеющих непрерывный спектр
Исследуем свойства собственных функций t|)j? операторов,
имеющих непрерывный спектр собственных значений. В этом
случае собственные функции удовлетворяют уравнению
? A0,1)
Собственные функции непрерывного спектра нельзя перенумеро-
перенумеровать числами. Они характеризуются значением самой физиче-
физической величины F в этом состоянии, поэтому можно сказать, что
собственные функции зависят от F как от параметра:
Функции tyF нельзя нормировать обычным образом, так как
интеграл f l^pdg расходится. Расходимость этого интеграла
связана с тем обстоятельством, что |^j?(l) |z не обращается бы-
быстро в нуль на бесконечности. В этом случае вероятность обна-
обнаружения дастицы в любом конечном объеме пространства беско-
бесконечно мала по сравнению с вероятностью ее обнаружения в ос-
остальной бесконечно большой части пространства. Следователь-
Следовательно, если частица находится в состоянии tyj?, то она совершает
неограниченное (инфинитное) движение во всем пространстве,
и это движение характеризуется определенным значением физи-
физической величины F. Примером такого состояния является состоя-
состояние свободного движения частицы с определенным импульсом,
которое описывается плоской волной
$р (г) = А ехр {(¦!%-}.
Совокупность собственных функций iJ)fA) образует полную
систему функций, т. е. любая функция *|э, зависящая от тех же
переменных, может быть представлена в виде линейной супер-
суперпозиции состояний, в которых физическая величина F имеет оп-
определенное значение. В связи с непрерывным характером
спектра собственных значений такая линейная комбинация бу-
будет изображаться интегралом
Ф A)== I ^f^f (?) dF. A0,2)
Собственные функции tyj? операторов с непрерывным спектром
можно выбрать так, чтобы
\aFfdF
определяло вероятность того, чтобы в состоянии if физическая
величина F имела значение, лежащее в интервале F, F -\- dF*
1& ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. I
Тогда условие полноты собственных функций $р сводится к ра-
равенству
/ V (Ю * (9 d% = J «X dF = 1, A0,3)
которое соответствует равенству (9,17) для функций дискрет»
ного спектра. Подставляя в первый интеграл значение ф*(|) из
A0,2) и меняя порядок интегрирования, получаем равенство
для выполнения которого необходимо, чтобы
Таким образом, правило вычисления коэффициентов ар совпа-
совпадает с правилом нахождения коэффициентов ап для случая
дискретного спектра.
Подставим в A0,4) значение \р(|) из A0,2), тогда получим
равенство
аР'^р> (?) <t>p (?) d% dF\
Чтобы это равенство выполнялось при произвольных значениях
коэффициентов ар, необходимо
JV (9 U (9 <*? = б {Р ~
Соотношение A0,5) и является условием нормировки собствен-
собственных функций непрерывного спектра, обеспечивающим возмож-
возможность интерпретации \aF.\2dF как вероятности обнаружить значе-
значение физической величины F в интервале F, F -\-dF. Из A0,5)
следует, что при F Ф F' собственные функции операторов с не-
непрерывным спектром ортогональны, при F — F' интеграл A0,5)
расходится.
Правило нормировки A0,5) собственных функций опера го*
рев с непрерывным спектром носит название нормировки на
дельта-функцию. Формула A0,5) заменяет в этом случае усло-
условие ортонормировки (9,5) собственных функций дискретного
спектра.
Приведем в качестве примера нормированные на дельта-функцию собст»
венные функции оператора импульса
§ ю] советв. функции операторов с непрерывным спектром 45
оо
Используя формулу elltxdx = 2яб (k) (см. мат. дополн. А), легко убедиться,
— оо
что эти функции удовлетворяют условию нормировки
Оператор координаты г = г также имеет непрерывный спектр. В этом
можно убедиться, если мы вспомним, что действие оператора координаты на
функцию сводится к простому умножению этой функции на г. Таким обра-
образом, согласно общему правилу (8,5), собственные значения и собственные
функции оператора координаты определятся из уравнения
Г%, (Г) = гЧг' (»•)•
Это ураннение имеет решения при произвольных значениях г', при этом нор-
нормированные к дельта-функции решения совпадают с дельта-функцией, т. е.
VW = ° (г-г').
Коэффициенты аг/ разложения произвольной нормированной функции ф
по собственным функциям оператора координаты
Ч> И - J ar,qr, {r) dx'
определяются по общему правилу A0,4):
аГ' = J Ф (г) б (г - г') dx = ф (г').
Следовательно, вероятность обнаружения частицы в объеме dx равна
1 «г I2 dT = | -ф (Г) |г dx,
что уже отмечалось в § 4.
Кроме соотношения A0,5), собственные функции непрерыв-
непрерывного спектра удовлетворяют еще одному соотношению, которое
аналогично соотношению (9,8) для функций дискретного спект-
спектра. Для вывода этого соотношения подставим A0,4) в A0,2).
Тогда получим равенство
= J *
dp.
Чтобы это равенство выполнялось для произвольных функций
*ИЮ, необходимо
р (Ю % (I) dF = б (Г - I). A0,6)
Хотя собственные функции фр операторов с непрерывным спектром
нельзя нормировать обычным условием, как функции дискретного спектра,
можно с помощью чрр образовать новые величины — «собственные диффе-
дифференциалы» (волновые пакеты), которые будут обладать свойствами
46 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. I
собственных функций дискретного спектра. Собственные дифференциалы опре-
определяются равенством
Aft* F)= J *F(t)dF, A0,7)
где Д-Р* — конечный, но сколько угодно малый интервал между двумя зна-
значениями Fk и fft+i физической величины. Можно показать, что собственные
дифференциалы, относящиеся к разным промежуткам, обладают свойством
ортогональности, т. е.
J
(Aft* (I))* (А/ф (?)) rf| = 0, если / Ф k.
Далее, собственные дифференциалы можно нормировать так, чтобы
Jim ~
AF
Однако введение собственных дифференциалов очень усложняет практическое
использование теории, поэтому собственные функции непрерывного спектра
обычно нормируют на дельта-функцию.
Наконец, третий способ вычислений с собственными функ-
функциями непрерывного спектра состоит в искусственном превраще-
превращении непрерывного спектра в дискретный путем определения этих
функций в произвольно большом, но конечном кубе объема L3,
с требованием условий периодичности с периодом L по каждой
из трех осей координат. Переходя в игоге к пределу L—> сю, по-
получим результаты, совпадающие с теми, которые получаются
при других нормировках.
Существуют операторы, которые обладают как дискретным,
так и непрерывным спектром. Собственные функции непрерыв-
непрерывного спектра в этом случае ортогональны собственным функ^
циям дискретного спектра. Свойства функций каждого типа сов-
совпадают с рассмотренными выше, за исключением того, что в
этом случае полную систему функций образует совокупность
собственных функций обоих спектров вместе. Поэтому разложе-
разложение произвольной волновой функции по собственным функциям
такого оператора имеет вид
F) = 2 «Л (I) + J <И* ffi)
где сумма берется по всему дискретному, а интеграл по всему
непрерывному спектру. Если функция я})(|) нормирован^ к еди-
единице, то выполняется условие полноты собственных функций
§ и] ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 47
Соотношения (9,8) и A0,5) в этом случае заменяются соотно-
соотношением
J *f F0 Ь ® <*f=s (Г -1).
§ 11. Условия, при которых несколько физических величин
могут иметь определенные значения в одном состоянии
В предыдущих параграфах было показано, что если волно-
волновая функция некоторого состояния системы совпадает с соб-
собственной функцией оператора F, то в этом состоянии физическая
величина F имеет определенное значение. Очевидно, что если
волновая функция некоторого состояния является одновременно
собственной функцией нескольких операторов, то в этом со-
состоянии имеют определенные значений все физические величи-
величины, соответствующие этим операторам.
Например, в состоянии свободного движения, описываемого
волновой функцией
определенное значение имеют импульс р и кинетическая энер-
энергия р2/2ц, так как эта функция одновременно является собствен-
собственной функцией оператора импульса р и оператора кинетической
энергии —2~^2- Однако в этом состоянии не имеют опреде-
определенного значения квадрат углового момента и его проекции на
декартовы оси координат, так как функция я)) (г) не является
собственной функцией соответствующих операторов. В гл. VI
мы покажем, что возможны и такие состояния свободного дви-
движения, в которых одновременно имеют определенное значение
кинетическая энергия, квадрат углового, момента и одна из его
проекций. Однако при этом импульс частицы не будег иметь
определенного значения.
Итак, в зависимости от состояния системы те или иные фи-
физические величины могут" иметь определенные значения. Опыт,
однако, показывает, что имеются и такие физические величины,
которые одновременно не имеют определенных значений ни в од-
одном из состояний системы-. Эта особенность некоторых физиче-
физических величин, отражающая объективные закономерности атом-
атомных явлений (т. е. свойства микрообъектов и их взаимодействий
между собой и окружающими телами), должна отражаться в
свойствах операторов квантовой механики. Перейдем к иссле-
исследованию этих свойств^
48 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. I
Покажем, чго если две физические величины F и М одновре-
одновременно могут иметь определенные значения, то их операторы
должны коммутировать. Из предыдущего следует, что утверж-
утверждение о том, что физические величины Fn и Мп имеют опреде-
определенные значения в одном состоянии, эквивалентно утверждению
о том, что функция яр„ является собственной функцией операто-
операторов Р и М. На математическом языке это выражается равен-
равенствами
Умножим первое из этих уравнений слева на оператор М, а вто-
второе уравнение на Р и вычтем из первого полученного уравнения
второе. Тогда, учитывая, что Fn и Мп являются числами, кото-
которые можно переставлять, находим
{MF - FM) фя = (FnMn - MnFJ фя = 0. A1,1)
Поскольку произвольную функцию можно представить в виде
линейной комбинации собственных функций ф„, то, учитывая
A1,1), имеем
(MF — Рм)-ф=^ап(Ш — М)я|>„ = 0. A1,2)
п
Равенство A1,2) выражает свойство коммутации операторов Р
и М, которое можно записать в виде операторного равенства
0. A1,3)
Операторное равенство A1,3) обозначает, что результат дей-
действия операторов правой и левой частей равенства на произ-
произвольную функцию яр одинаков.
Итак, мы доказали, что, для того чтобы физические величины
могли иметь одновременно определенные значения в одном со-
состоянии, операторы этих величин должны коммутировать.
Следует, однако, отметить, что в особых состояниях несколько физиче-
физических величин могут иметь одновременно некоторые избранные значения даже
в том случае, когда их операторы не коммутируют. Так, например, в состоя-
состояниях с" угловым моментом, равным нулю, равны нулю одновременно и все
три его проекции, хотя операторы проекций углового момента не коммути-
коммутируют между собой (см. G,13)). В общем же случае, при отличном от нуля
угловом моменте, три его проекции не имеют одновременно определенных
значений. В связи с этим никогда нельзя говорить об определенном на-
направлении вектора углового момента в пространстве. Одновременно могут
иметь определенные значения только квадрат момента количества движения
(т. е. длина вектора L) и одна из его проекций, например Lz, так как опе-
операторы этих величин коммутируют [?2, i2] = 0. Для «наглядной» иллюстра-
иллюстрации свойств углового момента можно сказать, что вектор углового момента,
абсолютная величина которого \L \ =bVl(l-\r 1), всегда лрецессирует во-
§ 12] МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОСТОЯНИЙ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ 49
круг некоторого направления (например, вокруг оси г) так, что проекция,иа
это направление равна Am, где т = 0, ±1, .... ±/, а средние значения двух
других проекций равны нулю ({Lx) = (Ly) =0). При этом следует иметь
в виду, что эта «наглядная» картина является иллюстрацией и не отражает
полностью свойств углового момента.
Можно доказать и обратную теорему: если два оператора Р
и М коммутируют, то они имеют общую систему собственных
функций. Доказательство этой теоремы особенно простое, если
оба оператора имеют систему невырожденных собственных зна-
значений. Пусть имеется равенство A1,3) и tyn образуют полную
систему собственных функций оператора Й, т. е. $'tyn=Mntyn,
тогда, действуя слева на это уравнение оператором Р и исполь-
используя A1,3), находим
Из последнего равенства следует, что функция Ptyn является
собственной функцией оператора /Й, соответствующей собствен-
собственному значению Мп. Так как собственные значения функции опе-
оператора М по условию не вырождены, то функция /'¦фп может от-
отличаться от собственной функции tyn этого оператора только
числовым множителем. Если обозначить этот множитель через
Fn, то должно выполняться равенство
которое и указывает, что функции фп являются собственными
функциями оператора Р.
Если операторы имеют вырожденные собственные значения,
то собственные функции ¦фпп оператора Й, вообще говоря, не
будут собственными функциями коммутирующего с ним опера-
оператора Р. Однако можно показать, что и в этом случае можно
всегда из функций tynk составить такие линейные комбинации
которые будут собственными функциями оператора Р.
[рели в состоянии я)з несколько физических величин имеют оп-
определенное значение, то одновременное измерение всех этих ве-
величин является совместным. Другими словами, одновременное
измерение физических величин, соответствующих коммутирую-
коммутирующим операторам, не приводит к взаимным помехам!
§ 12. Методы определения состояний квантовых систем
В предыдущих параграфах мы отмечали, что состояние кван-
квантовой системы определяется вспомогательной величиной — вол-
волновой функцией (или вектором состояния) яр. Основным посту-
постулатом квантовой механики является утверждение, что задание
50 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. I
волновой функции полностью определяет все свойства системы
в данном состоянии.
Перейдем теперь к исследованию вопроса о том, каким же
образом можно определить волновую функцию, соответствую-
соответствующую данному состоянию. В классической физике состояние си-
системы полностью определено заданием всех значений независи-
независимых физических величин, число которых равно удвоенному чи-
числу степеней свободы системы. Например, состояние движения
одной частицы в каждый момент времени определяется указа-
указанием шести величин: трех координат радиуса-вектора и трех
компонент импульса. Состояние системы, состоящей из N ча-
частиц, определяется заданием 6N величин.
Как мы видели в предыдущем параграфе, в квантовых си-
системах не все физические величины могут иметь одновременно
определенное значение. Например, в любом состоянии х и рх не
могут иметь определенных значений одновременно, так как опе-
операторы этих величин не коммутируют между собой. Поэтому
в квантовой механике состояние системы, находящейся в опре-
определенных внешних условиях, зависящих от макроскопических
параметров (объем, внешние поля и др.), характеризуется зна-
значениями независимых физических величин, которые могут иметь
одновременно определенное значение. Другими словами, в кван-
квантовой механике состояние системы определяется значениями не-
независимых физических величин, операторы которых взаимно
коммутируют.
Так, состояние свободного движения можно определить не-
несколькими способами. Простейшими из них являются:
а) задание трех компонент импульса. рх, Ру, р%\ в этом со-
состоянии будет иметь определенное значение и энергия системы,
но ее значение зависит от импульса, так как Е = /^/BA);
б) задание энергии частицы, квадрата углового момента
и проекции углового момента на некоторое направление
(см. § 35).
Число независимых физических величин, определяющих в
квантовой механике состояние системы, называется числом
степеней свободы системы. В общем случае число степеней
свободы квантовых объектов определяется опытом. В некото-
некоторых квантовых системах число степеней свободы совпадает
с числом степеней свободы соответствующей классической си-
системы.
Если известны значения всех независимых физических вели-
величин, имеющих определенное значение в данном состоянии, то
волновая функция этого состояния "должна- быть собственной
функцией всех операторов, соответствующих этим физическим
величинам. Например, если мы с помощью ускорителя сообщим
частице импульс р, то состояние свободного движения
§ 12] МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОСТОЯНИЙ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ 51
частицы будет описываться плоской волной
так как функция typ(r) является собственной функцией опера-
оператора импульса, соответствующей собственному значению р. Если
мы установили, что в некотором состоянии движения частицы ее
угловой момент равен L = hYl(l-{- 1), а проекция углового мо-
момента Lz = Ьт, то зависимость волновой функции от углов 0 и
Ф будет выражаться с помощью сферической функции Кгт@ф),
зависимость от г определяется значением энергии в данном со-
состоянии. В гл. VI мы познакомимся с конкретными примерами
определения таких волновых функций.
Следует отметить, что состояния tyr, имеющие определенные
(Fr) значения физической величины F, соответствующей опера-
оператору с непрерывным спектром, 'не могут быть точно осуществле-
осуществлены. Практически можно лишь добиться того, чтобы система на-
находилась в состоянии, в котором значения F лежат достаточно
близко к F'. Таким образом, состояния, относящиеся к строго
заданному собственному значению в непрерывном спектре, яв-
являются математической идеализацией. Эта идеализация весьма
полезна, так как она значительно упрощает вычисления, однако
в некоторых случаях (например, в строгой теории рассеяния)
приходится от такой идеализации отказываться или прибегать
к дополнительным гипотезам (адиабатическое включение и вы-
выключение взаимодействия в теории рассеяния).
Возможно, что ненормируемость собственных функций
операторов, имеющих непрерывный спектр, связана с неосуще-
неосуществимостью соответствующих состояний. Практически можно
осуществить только состояния, в которых значение F лежит в
некотором интервале F, F -j- AF. Такие Состояния описываются
волновыми пакетами типа A0,7), которые можно нормировать.
Выбор независимых физических величин, используемых для
определения состояния квантовой системы, зависит от свойств
данной системы и ее состояния. К каждому набору независимых
величин (используемых для определения состояния) будут отно-
относиться свои волновые функции, зависящие от соответствующих
переменных. В качестве независимых переменных волновых
функций могут быть выбраны координаты х, у, z либо импульсы
Рх, Ру, Pz, либо другие наборы физических величин. Возмож-
Возможность описания состояний с помощью различного вида волно-
волновых функций будет исследована в гл. IV. Теперь же будем ис-
использовать для описания состояния квантовой системы только
52 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. t
функции, зависящие от координат (координатное представле-
представление) .
В ряде случаев состояние квантовой системы может быть та-
таким, что не имеют определенного значения все или некоторая
часть независимых физических величин, необходимых для опре-
определения состояния. Таково, например, состояние свободного
движения частицы, описываемое волновой функцией в виде воЛ-
нового пакета C,2). В этом состоянии рх = Ру = 0, однако рг
не имеет определенного значения. В общем случае волновые
функции таких состояний могут быть представлены в виде су-
суперпозиции собственных функций некоторых операторов
Если состояние системы определяется только трбмя степе-
степенями свободы, то волновая функция будет зависеть только от
радиуса-вектора г. В этом случае волновая функция может быть
определена через измерения плотности вероятности в каждой
точке пространства с точностью до фазового множителя, модуль
которого равен единице. Действительно, поскольку
то
где а (г)—произвольная действительная функция г.
Состояния квантовой системы, описываемые волновой функ-
функцией, называются чистыми состояниями. Они соответствуют
максимально полным сведениям о квантовой системе.
Наконец, в квантовой механике возможны и такие состояния,
которым нельзя сопоставить никакой волновой функции. Приме-
Примером таких состояний могут быть состояния, задаваемые набором
чисел \ап\2 и \аР\2, т. е. вероятностями состояний с определен-
определенными значениями соответствующих физических величин F.
В этом случае нельзя построить функции ¦ф по типу A2,1), так
как знание квадратов модулей коэффициентов*^ и aF не дает
фазовых соотношений между различными собственными функ-
функциями ¦фп, которые существенны в определении функции A2,1).
Состояния, которым нельзя сопоставить волновую функцию, на-
называют смешанными состояниями. В § 14 мы рассмотрим спо-
способы исследования смешанных состояний, базирующихся на вве-
введении матрицы плотности, которая позволяет вычислять средние
значения и вероятности различных значений физических вели-
величин, характеризующих систему. В этой книге мы будем иссле-
исследовать главным образом чистые состояния, т. е. состояния, ко-
§ 13] СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ДЛЯ ФИЗИЧ. ВЕЛИЧИН 53
торые описываются волновыми функциями, поэтому для кратко-
краткости будем называть их просто состояниями системы.
Итак, состояния квантовых систем фиксируются определен-
определенными внешними условиями, зависящими от макроскопических
параметров (внешние поля). Например, состояние свободного
движения электрона с определенным значением импульса осу-
осуществляется в вакуумной трубке путем предварительного уско-
ускорения его электрическим полем. Каждому состоянию системы
сопоставляется волновая функция. Вид волновой функции зави-
зависит от величин, имеющих определенное значение в данном со-
состоянии. Волновая функция определяет возможные результаты
различных взаимодействий системы, находящейся в таком фик-
фиксированном состоянии с другими телами. Измерение какой-либо
физической величины в системе является одним из таких взаи-
взаимодействий. Измерение всегда вызывает скачок- системы в соб-
собственное состояние оператора той динамической переменной,
измерение которой производилось. Результат измерения совпа-
совпадает с собственным значением этого оператора.
- Если при многократном измерении величины F в системе, ко-
которая перед каждым новым измерением переводится в исходное
состояние, мы получаем одно значение, то мы говорим, что дан-
данная физическая величина имела определенное значение в со-
состоянии, предшествующем измерению. Если же в результате по-
повторных измерений, проводимых в одних и тех же условиях
с одним и тем же начальным состоянием, мы получаем набор
различных значений одной физической, величины, то это указы-
указывает, что в таком состоянии эта физическая величина не имеет
определенного значения. Волновая функция такого состояния
позволяет вычислить вероятности измерений.
Проверка предсказаний квантовой механики, таким образом,
осуществляется многократным повторением измерения в одних и
тех же условиях. Следовательно, отражая объективные законо-
закономерности отдельной системы, находящейся в определенных ма-
макроскопических условиях, квантовая механика дает выводы, ко-
которые проверяются путем повторения большого числа тожде-
тождественных опытов или путем проведения одного опыта с большой
совокупностью одинаковых невзаимодеисхвующих систем.
§ 13. Соотношение неопределенностей для физических величин
В § 11 отмечалось, что две физические величины не могут
иметь одновременно определенные значения ни в одном состоя-
состоянии, если их операторы не коммутируют. Покажем теперь, что
знание перестановочных соотношений между двумя некоммути-
рующими операторами позволяет определить неравенство,
54 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. I*
которому должны удовлетворять средние квадратичные откло-
отклонения этих величин от своих средних значений.
Пусть R и Р— два самосопряженных оператора, удовлетво-
удовлетворяющих перестановочному соотношению
[К,Р\ = Ш, A3,1)
где № — также самосопряженный оператор. В частном случае
при Я = х и Р = fix оператор № равен постоянной величине Ь
(§7).
В произвольном состоянии ty физические величины, соответ-
соответствующие этим операторам, имеют средние значения, опреде-
определяемые интегралами
{К) = J фКЪ dx, {F) = J ty'Fty dr.
Введем теперь операторы -
A3,2)
Подставляя эти выражения в A3,1), мы убедимся, что новые
операторы A3,2) удовлетворяют тому же перестановочному со-
соотношению, т. е.
A3,3)
Рассмотрим далее вспомогательный интеграл, зависящий от
произвольного действительного параметра а
?dr>0. A3,4)
Пользуясь свойством самосопряженности операторов Д/С и А/7,
преобразуем этот интеграл к виду
/(а)= J ^'(a
Перемножая выражения, стоящие в скобках под знаком инте-
интеграла и используя перестановочное соотношение A3,3), на-
находим
(а
Теперь, используя определение средних значений, преобразуем
интеграл к виду
/ (а) = <(Д/02> [а + 2((Дг) ]2 + <(Дт - ТШ
Чтобы неравенство A3,5) выполнялось при произвольных зна-
значениях параметра а, необходимо выполнение неравенства '
\ A3,6)
§ 13] СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ДЛЯ ФИЗИЧ. ВЕЛИЧИН 55
которое называют соотношением неопределенностей для физиче-
физических величин F и К.-
В частности, при Я = х и Р = fix получаем хорошо известное
соотношение неопределенностей Гайзенберга A927 г.)
((Ар*J) ((Ал:J) > -J. A3,7)
Из A3,7) следует, что если в некотором состоянии импульс
имеет определенное значение {{{АрхJ) = 0), то координата х
в этом состоянии совершенно неопределенна (((Дл:J) = оо); на-
наоборот, если точно определена координата, то полностью неопре-
неопределен импульс.
Согласно неравенству A3,7), микрочастица не может нахо-
находиться в состоянии строгого покоя, который характеризуется
значениями Ах = Арх = 0. Возможны состояния, в которых обе
величины не являются определенными (волновой пакет), и тогда
неопределенности значений этих величин будут связаны нера-
неравенством A3,7).
Соотношение неопределенностей часто используют для оцен-
оценки среднего значения кинетической энергии' частицы, которая
движется в некотором ограниченном объеме пространства..
В этом случае можно положить {х) = (р)=0; тогда {(АхJ) =
= (л:2), {(АрJ) = {р2). Если а — линейный размер объема, то
При выводе A3,6) предполагалось, что самосопряженные
операторы Р и R определены н,а одном и том же множестве
функций (см. § 7). Если не
учитывать это важное об- Ф
стоятельство, то можно, на- Л п
пример, прийти к неправиль-
неправильному утверждению о том,
что связь неопределенностей -Зп / -п
Зп <р
азимутального угла ф и про-
проекции углового момента Lz
определяется из формально-
формального равенства [ф, Lz] = ib. В Рнс- 2- Периодическая фазовая переменная.
действительности в этом ра-
равенстве ф не является оператором, сопряженным Lz. Оператор
Lz является самосопряженным оператором только на множестве
функций -ф (ф), периодических с периодом 2л. Азимутальная пе-
переменная ф не является оператором на этом множестве функций,
так как функции фф(ф) не принадлежат этому множеству.
Оператор, канонически сопряженный Lz, должен быть перио-
периодической функцией <р. В качестве такой функции можно выбрать
56 ОСНОВНЫЕ ПОНЙТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ (ГЛ. I
разрывную периодическую фазовую переменную Ф(ф), изобра-
изображенную на рис. 2.
Как показано в работах [2,3], в этом случае
[Ф,1г] = й {1 - 2я S 6 [ф - Bп + 1)]}.
Тогда если определить, согласно Джадж [4], неопределенность
азимутального угла равенством
<(ДФJ) = min J ф2и (Ф + ф') I2 <*Ф
1-я >
то имеет место соотношение неопределенностей
<(А/.гJ>((ДфJ)>^[1 - |г<(ЛфJ>]2, A3,8)
из которого, при ((ALzJ)-*0, следует ((ДфJ)—>п/УЗ, что соот-
соответствует равномерному распределению азимутального угла.
При ((ДфJ) <С п2 условие периодичности несущественно и A3,8)
сводится к неравенству
если ((ДфJ> < я2.*
В работе Каррузерса и Нито [5] в качестве оператора пред-
предлагается выбрать вщф или совф. В этом случае из коммутацион-
коммутационных соотношений
[sin ф, Ъг] = ih cos ф, [cos ф, Zj = — ih sin ф
следуют неравенства
<(Д/.гJ> <(Д sin фJ) > ^ ((cos фJ>,
COS фJ) > ?- ((Sin фJ).
В общем случае, зная перестановочные соотношения между
операторами любых двух физических величин, можно с по-
помощью A3,6) получить соответствующее соотношение неопреде-
неопределенностей для этих величин.
Неравенство A3,6) должно выполняться в произвольном
состоянии для двух величин, операторы которых не коммути-
коммутируют. Определим теперь те состояния, в которых это неравен-
неравенство заменяется равенством. Полагая в A3,4).
§ 13] СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЕЙ ДЛЯ ФИЗИЧ. ВЕЛИЧИН 5?
и учитывая A3,5), имеем
р^к>0. A3,9)
Из A3,9) следует, что знак равенства в A3,6) будет иметь
место в состояниях ф, удовлетворяющих уравнению
= 0. A3,10)
Рассмотрим явный вид этого уравнения для случая коорди-
координаты х и проекции импульса рх. В этом случае А/( = х — Хо,
M = h, &F = — Ш-х р0. Следовательно, уравнение A3,10)
переходит в дифференциальное уравнение
Оно имеет решение
= [2я ((Л*J)]-1'* ехр{ - D*^$ + ^f }. A3,1
В состоянии, описываемом функцией A3, 11), произведение не-
неопределенностей имеет наименьшее значение, т. е.
В классической физике предполагается, что в любом состоя-
состоянии в каждый данный момент частица имеет определенные зна-
значения координаты х и импульса рх. Мы видим, что в квантовой
механике такое утверждение оказывается неправильным. Клас-
Классические понятия координаты и импульса имеют ограниченную
применимость к объектам микромира. Соотношение неопреде-
неопределенностей A3,7) указывает на пределы применимости этих по-
понятий. Оказывается, что используемое в классической физике
определение импульса как величины
dr
неприменимо к атомным и ядерным объектам. Понятие иМ'
пульса в квантовой механике относится в целом ко всему со-
стоянию движения частицы. Поэтому импульс частицы не яв-
является функцией координат. С помощью квантовой механики
мы можем 'вычислить среднее значение импульса в любом со-»
стоянии движения "или вероятность некоторого значения им-
импульса в данном состоянии движения. Измеряется импульс
в квантовых системах путем измерения кинетической энергии
движения частицы или путем исследования дифракционной
58 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
картины, образуемой при прохождении потока частиц через пе-
периодические структуры.
Итак, с точки зрения квантовой механики используемое
в классической физике понятие импульса частицы в определен-
определенном месте пространства столь же ограничено, как и понятие
частоты периодического процесса в данный момент времени.
Вследствие малости постоянной Ь соотношение неопределен-
неопределенностей A3,7) существенно только для микросистем. В гл. III
мы увидим, что при некоторых условиях (квазиклассическое
приближение) квантовомеханическое описание сравнительно
мало отличается от классического, и можно приближенно гово-
говорить об импульсе как функции координат.
В классической физике х и рх называют канонически сопря-
сопряженными величинами. Операторы квантовой механики, соответ-
соответствующие канонически сопряженным величинам классической
механики, не коммутируют между собой. Согласно Н. Бору,
каждая физическая величина вместе со своей канонически со-
сопряженной образует пару дополнительных величин (например,
х и рх). При этом в любом состоянии квантовых систем из каж-
каждой пары таких величин определенное значение может иметь
только одна из них, либо обе не имеют определенного значения.
В связи с этим утверждается, что описание состояния в кван-
квантовой механике распадается на' два взаимно исключающих
класса,, которые являются дополнительными друг к другу в том
см-ысле, что их совокупность могла бы дать в классическом по-
понимании полное описание состояния системы {принцип допол-
дополнительности Бора A928 г.)).
Принцип дополнительности некоторыми физиками отождеств-
отождествляется с идеалистическими толкованиями квантовой механики.
Согласно идеалистической концепции принцип дополнительности
отражает не объективные свойства микросистем, а определяется
условиями измерения. При этом, преувеличивая роль измери-
измерительного прибора, некоторые доходят до утверждения, что без
прибора нет и объекта. Конечно, измерение физических величин
в определенном состоянии нарушает это состояние. Все явления
природы взаимосвязаны между собой. Результат измерения за-:
висит как от свойств измерительного прибора, так и от свойств
измеряемого объекта. Однако, исследуя квантовую систему
(объект) разнообразными приборами, мы имеем возможность
все более полно изучить свойства самого объекта и использо-
использовать эти свойства для практических целей. Математический
аппарат квантовой механики отражает реальные свойства
микрообъектов, которые проявляются в их взаимодействии
между собой и макроскопическими системами. Из соотношения
неопределенностей A3,7) следует, что если в некотором состоя-
состоянии одна из величин х или рх имеет определенное значение, то
§ 14] ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 59
вторая остается полностью неопределенной. Однако из-за огра-
ограниченности энергии и объема системы невозможны значения
((АрхJ) = оо или ((Дл:J) = оо. Поэтому практически нельзя
реализовать состояния, в которых ((Л*2)) либо ((Л/?*J) равня-
равнялись бы нулю.
§ 14*. Описание состояний с помощью матрицы плотности
Если система "находится в смешанном состоянии, т. е. в со-
состоянии, которому нельзя сопоставить волновую функцию, то это*'
значит, что мы «приготавливаем» состояние, не определив мак-
максимально возможное число независимых физических величин,
знание которых необходимо для полного описания с помощью
волновой функции. Например, состояние неполяризованного
пучка фотонов относится к смешанному состоянию, которому
нельзя сопоставить волновую функцию.
Смешанное состояние можно рассматривать как некогерент-
некогерентную смесь чистых состояний ф<*> со статистическим весом W(i).
Здесь W(i) —действительные положительные числа, удовлетво-
удовлетворяющие соотношению IJEiW (i)=l. Словами «некогерентная
смесь» при Зтом выражается то, что при вычислении среднего
значения {L) какой-либо физической величины L в смешанном
состоянии необходимо определить значения этой величины в чи-
чистых состояниях ф(»>, т. е. вычислить
и полученные величины усреднить, используя статистический вес
HP(i); тогда*) __
2((i)) A4,2)
Рассмотрим теперь чистые состояния, которые определяются
конечным числом, собственных функций некоторого оператора.
Например, поляризация света определяется двумя состояниями
поляризации tyi и фг, соответствующими двум взаимно перпенди-
перпендикулярным линейным поляризациям или двум круговым. Состоя-
Состояния с определенной проекцией углового момента L на направ-
направление оси z определяются 2/ -f-1 различными функциями фт,
соответствующими разным значениям Lz = Ьт.
В таких случаях произвольное чистое состояние ф<г') изобра-
изображается линейной суперпозицией
2 <(
*) Здесь и ниже для изображения квантовомеханическото среднего ис-
используется символ (•••), а статистическое усреднение изображается чертой
над соответствующим выражением.
60 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. I
Подставляя A4,3) в A4,1), мы убедимся, что квантовомехани-
ческое среднее значение в этом состоянии величины L, соответ-
соответствующей оператору L, будет находиться по правилу
<>2
пп
где (см. § 28 и мат. дополн. В)
;?*„- dr A4,5)
— матричные элементы, определяемые собственными функциями
фп и оператором ?. Теперь с помощью A4,2) находим
nnn^ A4,6)
I пп'
Введем далее матрицу с матричными элементами
Р«'» = 2Гй<<Ч!!. A4,7)
Тогда, учитывая правило умножения матриц, равенство A4,6)
можно записать в виде
iinnpnn
пп'
или более кратко
(Z> = Sp(Lp)-=Sp(p/.), A4,8)
где знаком' «Sp» (шпур) обозначена сумма диагональных эле-
элементов матрицы, образованной произведением матрицы L с мат-
матричными элементами A4,5), и матрицы р с матричными элемен-
элементами A4,7). Матрица р является-квадратной, обычно она назы-
называется матрицей плотности, определяющей данное смешанное
состояние. Матрида плотности впервые была введена в работах
Ландау [6] и Неймана [7].
Зная матрицу плотности р, можно вычислить среднее значе-
значение любой физической величины, характеризующей систему
(например, состояние поляризации). Следовательно, смешанное
состояние системы может быть описано с помощью матрицы
плотности р.
Равенство A4,8) можно рассматривать как определение мат-
матрицы плотности. Оно позволяет путем измерения средних значе-
значений некоторых величин в смешанном состоянии найти матрицу
плотности данного состояния, т. е. определить все (вообще го-
говоря, комплексные) элементы этой матрицы. Число строк и
столбцов в матрице плотности соответствует числу независимых
состояний, используемых для характеристики чистого состояния
в A4,3). Это число может быть в некоторых случаях и бесконеч-
§ 14] ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 61
ным (см. ниже). Состояние поляризации фотонов, протонов и
нейтронов характеризуется двумя функциями, следовательно,
N = 2. В частности, при отсутствии поляризации матрица плот-
1 /1 0\
ности диагональна и имеет вид р =-й-
2 \0 1/
Комплексная квадратная матрица с N строчками имеет №
комплексных элементов. Однако не все эти элементы являются
независимыми. Из условия действительности средних значений
A4,8) следует эрмитовость матрицы плотности, т. е.
Рп-п-Кп- A4,9)
Далее из условия, чтобы единичный оператор имел среднее зна-
значение, равное 1, находим условие нормировки матрицы плот-
плотности
Spp=l, A4,10)
которое получается из A4,8), если мы учтем, что при L=l
матрица
Lnn' ~ *«,'•
nn'
Условие A4,9) сводит № комплексных элементов к N2 неза-
независимым действительным параметрам. Условие A4,10) умень-
уменьшает число независимых действительных параметров до №— 1.
Итак, если в квантовой системе возможно N независимых
чистых состояний, то определение произвольного смешанного ее
состояния сводится к измерению N2—1 независимых величин,
которые полностью определят матрицу плотности этого состоя-
состояния. Например, состояние поляризации нейтронов (N = 2) пол-
полностью определится вектором поляризации Р (три независимых
параметра) (см. § ПО).
В случае чистых состояний в сумме A4,2) сохранится только
одно слагаемое (например, 1-е), тогда
пп'
Следовательно, матрица плотности чистых состояний
При учете нормировки ^а*пA)а^ = 1 получаем
п
(Р )тп == Ртп-
Это равенство является необходимым и достаточным условием
чистых состояний.
Выше мы рассматривали матрицу плотности для состояний
поляризации или других состояний, определяющихся конечным
62 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. I
числом собственных функций некоторого оператора. В более
общем случае матрица плотности характеризует произвольное
состояние любой системы, являющейся частью большой системы.
Как уже указывалось раньше, вследствие взаимосвязи физи-
физических явлений, понятие изолированной системы является идеа-
идеализацией. Все реальные системы являются частью больших си-
систем, и их состояния описываются матрицей плотности. Покажем
это на примере простейшего. случая — изолированной системы,
состоящей из двух подсистем ? и х. Буквами ? и х здесь и далее
обозначаются полные наборы координат (включая спины) соот-
соответствующих подсистем. Полная система изолирована, и ее
состояние описывается волновой функцией ф(|, х). Если под-
подсистемы взаимодействуют между собой, то эту функцию нельзя
представить в виде произведения двух функций, одна из кото-
которых зависит только от х, а другая только от |. Если, например,
функции q>'a(x) образуют полную ортонормированную систему
собственных функций некоторого оператора $х, действующего на
координаты подсистемы х, то
ФF, *) = 2ф.(Е)ф.(А A4,11)
S
В общем случае эта сумма содержит более, одного слагаемого,
поэтому состояние подсистемы не может описываться волновой
функцией, зависящей только от координат этой подсистемы.
Если L — некоторая физическая величина, относящаяся к под-
подсистеме х, то соответствующий ей оператор Сх действует только
на переменные х. Согласно общему правилу G,1), среднее зна-
значение величины L в состоянии A4,11) определяется интегралом
(L) = JV(I, x)Lxty(?, х)dxd%. A4,12)
Подставим A4,11) в A4,12), тогда можно написать
2<s'|L|s>, A4,13)
2
ss'
где
(s'\L\s)^l<p's,(x)Lx<ps(x)dx
— матричные элементы оператора Сх, т. е. s-представление
оператора Сх (см. § 28);
— матричные элементы матрицы плотности в s-представлении.
Формула A4,13) совпадает с формулой A4,8). Непосред-
Непосредственно из определения A4,14) следует эрмитовость матрицы
§ 14] ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 63
плотности PSS' = Ps'S- Если оператор Sx имеет непрерывный
спектр собственных значений, то в A4,11) и A4,13) надо суммы
заменить интегралами. В этом случае матрица плотности
A4,14) будет непрерывной функцией s и s', т. e.pss, = p(ss/).
Чтобы получить матрицу плотности как функцию координат
подсистемы х (координатное представление (см. § 28)), пере-
перепишем A4,12) в виде
(L) = J р {хх') <*'| Lx'\x) dxdx\
р (хх') = j ф* (х', |) ф (х, 1) d% A4,15)
где
— матричные элементы матрицы плотности в координатном
представлении;
— матричные элементы оператора Lx в координатном представ-
представлении (см. § 28).
Подставляя A4,11) в A4,15) и учитывая A4,14), находим
следующее выражение для матрицы плотности, характеризую-
характеризующей состояние малой части большой системы
ss'
Весьма важным является применение матрицы плогносги
к малой части системы, которая находится в термодинамическом
равновесии с окружающей средой (большой системой) при тем-
температуре в (в энергетических единицах). В этом случае матрица
плотности или статистический оператор позволяет вычислять
средние значения любых физических величин по каноническому
ансамблю Гиббса.
Канонический ансамбль Гиббса представляет собой систему
большого числа тождественных динамических подсистем с по-
постоянным числом частиц N и постоянным объемом V. Подсистемы
не взаимодействуют между собой и могут находиться в различ-
различных квантовых состояниях ф8. Если ф8 являются собственными
функциями гамильтониана системы, т. е. (Н(х)—Es)q>s(x) = О,
то, согласно статистической механике, состояние подсистемы
изображается суперпозицией состояний, соответствующих энер-
энергиям Es с весом, пропорциональным больцмановскому множи-
множителю
Z~l(@, V, АО ехр ( — -§-).
64 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. I
Таким образом, в условиях Статистического равновесия опера-
оператор pss, определяется с помощью канонического распределения
Гиббса
Pss' = О..-* (в, V, N) ехр ( - -§-). A4,17)
Следовательно, согласно A4,17) и A4,16), матрица плотности
для канонического ансамбля Гиббса определяется формулой
A4,18)
в операторной форме ей соответствует статистический оператор
Где величина
называемая суммой состояний, обеспечивает выполнение усло-
условия нормировки матрицы плотности
Spp = l. A4,21)
Суммирование в A4,18) и A4,20) выполняется по всем воз-
возможным состояниям подсистем с гамильтонианом Н(х).
Логарифм суммы состояний определяет с помощью равен-
равенства
F (в, V, N) = - GJn Z (G, V, N) A4,22)
свободную энергию подсистемы как функцию параметров Э,
V, N. При этом статистический оператор A4,19) преобразуется
к виду
{?^} A4,23)
При вычислении суммы состояний ,A4,20) канонического ан-
ансамбля нужно учитывать дополнительное условие постоянства
числа частиц в системе. Чтобы освободиться от этого условия,
можно рассмотреть большой канонический ансамбль Гиббса.
Он представляет систему большого числа тождественных под-^
систем заданного объема V, которые находятся в термодинами-
термодинамическом равновесии с термостатом и обмениваются с ним энер-
энергией и частицами так, что в подсистемах сохраняется среднее
число частиц.
Матрица плотности большого канонического ансамбля
Гиббса определяется выражением
Р {х, х') = 2 Рм. пгЧЪн. (*') %N (*), A4,24)
sNsN m
§ 14] ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 65
где (pSjv(x)—собственные функции операторов энергии Н(х) и
числа частиц Я каждой подсистемы;
PsN.. s'N' = 6^№,В-' (G, V, v) exp ( - -^
Е (в, V, ») = ^ ехр ( - Ев~гМ) A4,25)
s,N
,— сумма состояний большого ансамбля. Она определяется из
условия
р, — химический потенциал, определяемый условием
iV=Sp{piV}.
Логарифм суммы состояний A4,25) связан с термодинами-
термодинамическим потенциалом подсистемы равенством
Q F, ц, V) = - G In H (G, ц, Ю. A4,26)
С помощью A4,26) матрицу плогности A4,24) можно записать
в виде
р(х, *0 = 2 %N(х) qy„,(xf)exp(Q~%+[lN). A4,27)
sN
В более компактной — операторной форме выражения A4,26) и
A4,27). имеют вид
Q (G, й, V) = - Q In Sp{exp ( - ^Щ}, <14,28)
-У^}. A4,29)
В более общем случае, если кроме полной энергии состоя-
состояние подсистем характеризуется многими интегралами движения
(угловой .момент, число частиц, импульс и т. д.), соответствую-
соответствующими операторам Th, то A4,29) следует заменить выражением
р == exp \ g* j , A4,30)
Где Q определяется из условия нормировки матрицы плотности
так, чго
Q(G, ..., aft, ...) = — Gin Spl exp
При этом ah — постоянные величины, определяемые из условий
(/fe> = Sp{P/ft}. A4,32)
3 А. С. Давыдов
ГЛАВА II
ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ
А С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ
V
§ 15. Волновое уравнение Шредингера
Одним из основных уравнений квантовой механики является
{[уравнение Шредингера, определяющее изменение состояний
квантовых систем с течением времени. Оно записывается в виде
= Щ, A5,1)
где Н — оператор Гамильтона системы, совпадающий с опера-
оператором энергии,/_если он_не_зависиг от т)емени./Вид оператора
Я определяется свойствами системы] Для нерелятивистского
движения частицы массы ц в потенциальном поле U(r) опера-
оператор Й действителен и представляется суммой операторов кине-
кинетической и потенциальной энергии частицы
H = --^V2 + U{r). A5,2)
Если частица движется в электромагнитном поле, то оператор
Гамильтона будет комплексным (см. гл. VIII).
Хотя уравнение A Б, 1) является уравнением первого порядка
по времени, вследствие наличия мнимой единицы оно имеет и
.периодические решения. Поэтому уравнение Шредингера A5,1)
.часто называют волновым уравнением Шредингера, а его ре-
решение называют волновой функцией, зависящей от времени.
Уравнение A5,1) при известном виде оператора Н позволяет
. определит* значение волновой функции ¦»])(/) в любой- после-
последующий момент времени, если известно это значение в началь-
начальный момент времени. Таким образом, волновое уравнение Шре-
Шредингера выражает принцип причинности еьквянтпцой. ...м.Щ1нитгр.
Волновое уравнение Шредингера можег быть- получено на
основании следующих формальных соображений. В классиче-
классической механике известно, что если энергия задана как функция
координат и импульсов
Е=-Зв{р„ъ), A5,3)
то переход к классическому уравнению Гамильтона — Якоби для
функции действия S
§ 15] ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 67
можно получить из A5,3) формальным преобразованием
p_>__dS_ dS
Таким же образом уравнение A5,1) получается из A5,3) при
переходе от A5,3) к операторному.уравнению путем формаль-
формального преобразования
если A5,3) не содержит произведений координат и импульсов,
либо содержит такие их произведения, которые после перехода
к операторам A5,4) коммутируют между собой (см. § 7). При-
Приравнивая после этого преобразования результаты действия на
функцию ф операторов правой и левой частей полученного опе-
операторного равенства, приходим к волновому уравнению A5,1).
Не следует, однако, принимать эти формальные преобразования
как вывод уравнения Шредингер'а. Уравнение Шредингера яв-
является обобщением опытных данных. Оно не выводится в кван-
,товой механике, так же как не выводятся уравнения Максвелла
в электродинамике, принцип наименьшего действия (или урав-
уравнения Ньютона) в классической механике.
Легко убедиться, что уравнение A5,1) удовлетворяется при
Я = — -g— V2 волновой функцией
описывающей свободное движение частицы с определенным
значением импульса. В общем случае справедливость уравнения
A5,1) доказывается согласием с опытом всех выводов, получен-
полученных с помощью этого уравнения.
Покажем, что из уравнения A5,1) следует важное равенство
указывающее на сохранение нормировки волновой функции
с течением времени. Умножим слева A5,1) на функцию i]?*, a
уравнение, комплексно сопряженное к A5,1), на функцию ^
и вычтем из первого полученного уравнения второе; тогда на-
находим
*А-^(ФЧ)« Ф*#Ф - Ф#Ч*. A5,6)
Интегрируя это соотношение по всем значениям переменных и
учитывая самосопряженность оператора Я, получаем A5,5).
68 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. II
Если в соотношение A5,6) подставить явное выражение
оператора Гамильтона A5,2) для движения частицы в потен-
потенциальном поле, то приходим к дифференциальному уравнению
(уравнение непрерывности)
| A5,7)
где р = -ф*-ф является плотностью вероятности, а вектор
? A5,8)
можно назвать вектором плотности тока вероятности.
Комплексную волновую функцию 1]з всегда можно предста-
представить в виде
ф(г, t)=R(r,
где R (г, /) и Ф (г, t) — действительные функции времени и коор-
координат. Таким образом, плотность вероятности
p = I? (r, t),
а плотность тока вероятности
.., /=-?/? (г, t) grad Ф = р grad (-22-). A5,9)
Из A5,9) следует, что / = 0 для всех функций ф, у которых
функция Ф не зависиг от координат. В частности, / = О для
всех действительных функций 1]з.
Решения уравнения Шредингера A5,1) в общем случае
изображаются комплексными функциями. Использование комп-
комплексных функций весьма удобно, хотя и не необходимо. Вместо
.одной комплексной функции ф состояние системы можно опи-
описать двумя вещественными функциями ф и %, удовлетворяющими
двум связанным уравнениям. Например, если оператор Н —
вещественный, то, подставив в A5,1). функцию ty = q>-\-l% и от"
делив вещественную и мнимую части, получим систему двух
уравнений
при этом плотность вероятности и плотность тока вероятности
примут вид
Кроме изменения во времени волновой функции ф, обуслов-
обусловленного изменением состояния под влиянием сил, действующих
§ системе, и определяемого однозначно уравнением Шредингера
§ 16] СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 69
A5,1), в квантовой механике рассматриваются еще «изменения»
волновой функции, обусловленные процессом измерения. В этом
случае речь идет собственно не об изменении волновой функции,
а о замене одной волновой функции другой волновой функцией
в связи с изменением постановки задачи — меняются началь-
начальные условия. Поясним это примером. Предположим, что состоя-
состояние системы описывается функцией %?, и в этом состоянии фи-
физическая величина F имеег определенное значение. Тогда, из-
измеряя физическую величину F, мы с достоверностью получим
значение F. Однако после измерения система переходит в новое
состояние г|5, отличное от исходного, в котором величина F не
имеет определенного' значения. Например, измерение импульса
электрона можно осуществигь путем дифракционного опыта.
При таком измерении электрон, попадая на фотопластинку, вы-
вызывает потемнение (после проявления) небольшого ее участка.
Таким образом, в результате измерения электрон из состояния
свободного движения с определенным значением импульса пере-
перешел в состояние с определенным значением координаты.
Переход из состояния 1]з в состояние я]/ в результате измере-
измерения носит название «редукции волнового пакета». После изме-
измерения получается новое состояние, которому соответствует и
новая функция.
§ 16. Стационарные состояния
Рассмотрим систему, у которой оператор Гамильтона не за-
зависит явно от времени, т. е.
-f—0. A6,1)
В этом случае волновое уравнение Шредингера A5,1) допускает
решение с разделенными переменными
ФF.9 = Ф(?М(*). A6,2)
Подставляя A6,2) в A5,1), находим
ь дА
10 dt
Е
где Е—постоянная величина. Из A6,3) следуют два уравнения:
?), A6,4)
^). A6,5)
Уравнение A6,4) является уравнением, определяющим собствен-
собственные значения оператора Гамильтона, который при условии
70 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. II
A6,1) является оператором энергии. Волновые функции i|5e(?)
соответствуют состояниям системы, в которых энергия имеет
определенное значение. Решение уравнения A6,5) может быть
записано в явном виде:
(^) A6,6)
: В квантовой механике,, состояния, имеющие определенную
энергию, - называются стационарными состояниями. Согласно
A6,2), 0^,4) и A6,6), волновая функция стационарных состоя-
состояний имеет вид
Ф (Е, t) = ф? (?) ехр (- IE |). A6,7)
Стационарные состояния в квантовой механике обладают ря-
рядом особенностей:
а) Зависимость волновых функций стационарных состояний
(системы от времени A6,7) однозначно определяется значением
энергии в этом состоянии.
б) В стационарных состояниях плотность вероятности и плот-
плотность тока вероятности не зависят от времени.
в) В стационарных состояниях среднее значение любой фи-
физической величины, оператор которой явно не зависит от вре-
времени, является постоянным
V(fi. t)H(h t)d\ =- const.
Сами физические величины могут иметь определенное значение
в стационарных состояниях в тех случаях, когда их операторы
коммутируют с Н.
", г) Вероятность обнаружения определенного значения любой
физической величины в. стационарном состоянии не зависит от
времени. Действительно, вероятность обнаружения значения Fh
физической величины F в состоянии ф (?, t) определяется квад-
квадратом модуля коэффициента разложения ф по собственным
функциям фи. Следовательно,
W (Fk) = I ak p = | J ф ft, t) ф; (|) dl |2 = const.
В силу линейности уравнения Шредингера A5,1) его общие
решения для операторов Н с дискретным спектром могут быть
представлены в виде
§ 16] СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 71
Если оператор Я имеет непрерывный спектр собственных зна-
значений, то
^j A6,9)
Состояния A6,8) и A6,9) не обладают определенной энер-
энергией и не являются поэтому стационарными. Среднее значение
энергии в этих состояниях не зависит от времени. Например,
в состоянии A6,8)
(?> = f ф* F, t) НЪ (I, 9 d?
Однако плотность вероятности зависит от времени:
рF, 9«Ф'F, 9ФA, 9 =
= 2 C*nCmVn в) ¦„ © ехр {/ (Еп - ?т) Щ.
ti tfl
Если неопределенность энергии системы мала по сравнению
с ее средним значением, то говорят о квазистационарном со-
состоянии системы. Исследуем временное изменение квазистацио-
квазистационарных систем. Пусть при t= 0 состояние характеризуется
функцией
[E. A6,10)
Собственные функции i])e(?) оператора энергии нормированы
условием
J 6 (?-?'),
поэтому величина |Се|2^? определяет вероятность того, что си-
система имеет энергию, заключенную в интервале Е, E-\-dE<
Предположим далее, что
00
^ jl. A6,11)
Параметр е определяет средний разброс энергии около значе-
значения Ео ^> е.
Согласно A6,9), к моменту времени / волновая функция
A6,10) примет вид
W ft, t) = J С?ф? (I) e-uWdE. A6,12)
Вероятность того, что к моменту времени t система все еще на-
находится в начальном состоянии, определяется величиной
IP(9-I OF(&,*)? (&, о» р.
72 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. II
Подставив значения A6,10) и A6,12), находим
f) A6,13)
При t = Ь/е вероятность начального состояния уменьшается
в 2,7 раза, поэтому время
J = — A6,14)
6
называют временем жизни начального состояния. В квазиста-
квазистационарном состоянии (е <^С Ео) время жизни значительно больше
характерного времени системы, равного Ь/Ео.
Из A6,14) следует, что время жизни связано с неопреде-
неопределенностью энергии АЕ = е начального состояния простым соот-
соотношением
TAE = h. A6,15)
Если гамильтониан содержит часть, зависящую от времени,
например, Н = H0-\-V(t), то общее решение уравнения A5,1)
можно выразить через линейную комбинацию стационарных со-
состояний i|Jn(?) оператора #о с помощью формулы
Подставив это выражение в A5,1), находим систему уравнений
Мат = 2 {ЕтЬ
п
из которой, в простейшем случае Vmn = Vn8nm, am@) = Сп8пт,
следует
ап @ = С„ ехр I - -f I Et + J Vn (т) dr\ J.
В заключение этого параграфа рассмотрим вид уравнения
Шредингера в различных системах координат. Оператор энер-
энергии» (гамильтониан) представляет собой сумму операторов по-
потенциальной и кинетической энергии частиц системы. Вид опе-
оператора потенциальной энергии системы частиц записывается
просто в системах координат, явно отражающих свойства сим-
симметрии системы. Удобно и оператор кинетической энергии
2j (—^~^«) записать в той же системе координат. Для этого
достаточно знать вид оператора Лапласа одной частицы
V2 == div grad в произвольной системе криволинейных коорди-
координат. Из курса дифференциальной геометрии известно, что если
§ 16] СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 73
квадрат элемента длины в такой системе выражается формулой
ds2=2 Dkldqkdqb
где Dhi = Dik — произвольные функции qk, то оператор Лапласа
имеет вид
где G — квадратный корень из детерминанта матрицы Dhi', Dki —
элементы матрицы, обратной матрице Dm.
В случае произвольной ортогональной системы координат
Dki = Dk&kit G = D1D2D3, Dki = <
Следовательно,
поэтому
ф__ I f д (D2D3 д \ д /O3D, д \ д /О,Ог д \\
D^DA dtft \ Dt dtft I "^ .д</2 I D2 dqa )^ dg3\ D3 dqj f'
A6,17)
Частным случаем A6,17) являются
z~t +-ir? +-ih—декартова система координат,
~ -|-fr2 -^A +tt~ сферическая система координат,
где
В задачах с аксиальной осью симметрии удобно использо-
использовать параболические координаты |, т], ф, определяемые уравне-
уравнениями
х = Videos q>, # = V^nsin<pf г = ^(% — ц).
Обратные преобразования имеют вид
l = r + z, Т1 = г-г, q) = arctg|-, г = Ух2 + у2 + z*.
Квадрат элементарного отрезка определяется выражением
d&2=т ^2+
Следовательно, оператор Лапласа приобретает вид
74 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [РЛ. II
§ 17. Изменение средних значений физических величин
с течением времени
В предыдущем параграфе было указано, что средние зна-
значения физических величин в • стационарных состояниях не зави-
зависят от времени. Определим, как изменяются средние значения
в произвольных состояниях.
: По определению
Следовательно,
Подставляя из уравнения Шредингера A5,1) значения произ-
производных
и используя эрмитовость оператора Я, преобразуем A7,1)
к виду
где [Л Н] = РН — НР.
ор —тг
Если ввести оператор —тг-, определяемый соотношением
то, учитывая A7,2), получаем операторное равенство
+ И*1*!
<17>4>
Из A7,4) следует, что если оператор Р явно не зависит 6г вре-
времени и коммутирует с оператором Гамильтона, то среднее зна-
значение физической величины F не изменяется с течением времени
в любом состоянии. Такая величина носит название интеграла
квантовых уравнений движения.
Применим полученные выше соотношения к координате и им-
импульсу. Для простоты рассмотрим одномерное движение вдоль
оси х. Импульс рх = р и координата х не зависят явно от вре-
времени, поэтому производные от операторов, соответствующих
этим величинам, согласно A7,4), имеют вид
§ 17] ИЗМЕНЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ 75
Предположим, что состояние движения частицы определяется
оператором Гамильтона
*--?•¦&+«».
тогда из A7,5) следуют операторные равенства
dt дх ' dt j
Взяв производную по времени от обеих частей второго уравне-
уравнения A7,6) и использовав затем первое уравнение, находим
d4 дО
Из этого операторного равенства следует равенство для средних
значений:
Если волновая функция ty(x) отлична от нуля в небольшой об-
области пространства около х = {х), то A7,7) допускает упроще-
упрощение. Вводя новую переменную g, определяемую равенством
х = х + I, можно в этом случае разложить производную -?—
в ряд
~д7 —~дх~"Т~ дх" ё + 1 дх3 ё + ••" {U'0)
где использованы обозначения —-^i= Щ-—ii и т_
ox l o§ j|__0
Подставляя A7,8) в A7,7), получаем
d"x
Если выполняется условие
то A7,8) сводится к классическому уравнению Ньютона для
движения центра волнового пакета, если предположить, что в
нем сосредоточена вся масса частицы. Неравенство A7,10) вы-
выполняется тем лучше, чем более плавно изменяется потенциал
при изменении х и чем меньше пространственное протяжение
волнового пакета. Однако малые значения ((ДхJ) из-за соот-
соотношения неопределенностей приводят к большим неопределенно-
неопределенностям в значении импульса, т. е. к существенному нарушению
классического понятия импульса и кинетической энергии
76 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. II
частицы. Для приближенной применимости классических пред-
представлений о движении частицы необходимо, чтобы наряду с не-
неравенством A7,10) выполнялось равенство
2ц + 2ц 2ц
Чтобы выполнялось A7,11), необходимо выполнение неравен-
неравенства
(Р>2 ^ ((АРJ) _
A7,12)
2ц -^ 2ц 8ц
Одновременное выполнение неравенств A7,10) и A7,12) воз-
возможно при движении частиц с большими импульсами в плавно
меняющихся внешних полях.
Уравнение A7,4) позволяет найти весьма общую связь
между средними значениями кинетической и потенциальной
энергии частицы, движущейся в ограниченном объеме простран-
пространства. Действительно, для движения, ограниченного некоторой,
областью пространства, производная по времени от среднего
значения скалярного произведения (гр) должна равняться
нулю, т. е.
40. A7,13)
Пусть Н— |-?- + V (г), тогда, согласно A7,4), имеем операторное
равенство
4t I'd = IF К'Й' H] = 2f~(r grad V),
где Т = ~- — оператор кинетическо'й энергии. Полученное опе-
операторное равенство соответствует, согласно A7,3), равенству
средних значений
^= 2 (Г>-((/-grad Ю>.
Учитывая A7,13), имеем окончательно
2(r> = ((rgradlO>. A7,14)
Если потенциальная энергия пропорциональна г", то
(г grad V) = n(V) и равенство A7,14) принимает простой вид
2(T) = n(V). A7,15)
Соотношения A7,14) и A7,15) можно назвать квантовой ви-
риальной теоремой, так как оно по форме совпадает с вириаль-
ной теоремой классической механики, определяющей соотноше-
соотношение между средними по времени значениями кинетической и по-
потенциальной энергии системы.
§ IS] ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ 77
§ 18*. Интегралы движения и условия симметрии
Как было показано в § 16, интегралом движения, т. е. вели-
величиной, среднее значение которой не меняется с течением времени
в любом состоянии, является физическая величина, оператор
которой явно не зависит от времени и коммутирует с операто-
оператором Гамильтона данной системы. Напомним, что в классиче-
классической механике интегралом уравнений движения принято назы-
называть такую функцию координат и импульсов, которая остается
постоянной при любых начальных условиях. Знание интегралов
движения позволяет сформулировать соответствующие законы
сохранения, имеющие большое значение для понимания физиче-
физических свойств изучаемых явлений.
Покажем, что наличие интегралов движения и соответствую-
соответствующих законов сохранения тесно связано со свойствами симмет-
симметрии квантовомеханических систем, т. е. с инвариантностью опе-
оператора Гамильтона относительно тех или иных преобразований
координат.
Прежде чем переходить к рассмотрению отдельных приме-
примеров, исследуем, как преобразуются волновые функции кванто-
квантовой механики при преобразованиях координат. Преобразования
координат могут быть двух типов: а) преобразование коорди-
координат, связанное с перемещением в пространстве векторов, харак-
характеризующих положение точек системы; при этом базисные век-
векторы, определяющие систему координатных осей, остаются не-
неподвижными; б) преобразование координат фиксированного в
пространстве расположения точек при изменении базисных век-
векторов координатных осей. В этом параграфе мы рассматриваем
преобразования координат типа а).
Пусть S — некоторая операция, с помощью которой преобра-
преобразуются координаты вектора г, определяющего положение
точки, т. е.
r->r' = Sr. A8,1)
Обратное к A8,1) преобразование
r = S~V. A8,2)
Рассмотрим, как преобразуются волновые функции при пре-
преобразовании координат A8,1). В результате преобразования
координат в точку г' переносится то значение функции, которое
было в точке г, т. е.
Ф'(гО = Ф(г). A8,3)
С другой стороны, по определению, действие оператора на
функцию ty(r') должно давать новую функцию от того же аргу-
аргумента
). A8,3а)
78 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. II
Сравнивая A8,3) и A8,3а), находим правило, определяющее
действие оператора Rs на функцию, Rstyir') =1]з(г). Подставляя
в правую часть полученного равенства A8,2), имеем
или, опуская штрих над вектором, находим окончательно очень
важное равенство
('r), A8,4)
определяющее закон преобразования волновых функций при
преобразовании координат A8,1).
. Перейдем к исследованию интегралов движения, связанных
jco свойствами пространства и времени. Опытным путём-уста-
путём-установлено, что время является однородным, а свободное про-
пространство однородным и изотропным. Какие интегралы движе-
движения и законы сохранения связаны с этими свойствами простран-
пространства и времени?
а) Однородность, времени. Вследствие однородности
времени оператор Гамильтона любой замкнутой системы, т. е.
системы, не подверженной внешним воздействиям, и системы,
находящейся под действием постоянных внешних полей, не за-
зависит явно от времени. Если оператор Гамильтона не зависит
(a ft v
-^т-= 01, то, согласно A7,4),
Следовательно, учитывая A7,3), имеем ^ =0. Если энергия
в начальный момент времени имела определенное значение, то
это значение сохранится и в последующее время. Таким обра-
образом, однородность времени приводит к закону сохранения энер-
энергии в квантовой механике.
-Инвариантность оператора Н относительно некоторого пре-
преобразования, определяемого оператором Р, означает, что дей-
действие оператора Р на функцию #i]? эквивалентно действию Н на
функцию Ар, т. е.
Другими словами, инвариантность Н по отношению к преобра-
преобразованию, осуществляемому оператором Р, сводится к условию
коммутации этого оператора с оператором Гамильтона
FH=HF.
§ 18] ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ 79
Введем оператор Тх —оператор смещения времени на вели-
величину т; тогда, по определению, Т%t = t + т, и из A8,4) следует
Величина г является параметром оператора Тх. Однородность
времени для рассматриваемых нами систем будет математиче-
математически выражаться условием коммутации
[ft, Я]=0.
Вместо оператора смещения во времени удобно пользоваться
генератором преобразования, или инфинитезимальным операто-
оператором смещения времени J(t), который определяется как произ-
производная оператора по параметру при нулевом значении этого
параметра.
Таким образом,
Явный вид оператора l(t) легко получить, если учесть, что
Таким образом,
;<&--¦?•
Закон сохранения энергии связан .с коммутацией оператрра
Й с инфинитезимальным оператором 7{t). В связи с этим имею-
имеющий размерность энергии оператор
-* . д
*' dt
иногда называют оператором энергии. Следует, однако, помнить
об условности такого названия. Энергия квантовомеханической
системы в стационарных состояниях определяется собственными
значениями оператора Гамильтона. Поэтому оператором энер-
энергии системы является оператор Гамильтона, т. е. некоторая
функция операторов координат и импульсов. В противополож-
противоположность пространственным координатам время не является опе-
оператором.
б) Однородность пространства. Однородность про-
пространства проявляется в том, что свойства, замкнутой системы
не меняются при любом параллельном переносе системы как
целого. Поскольку свойства системы определяются в квантовой
механике ее оператором Гамильтона, то однородность простран-
пространства должна проявляться в том, что оператор Гамильтона
80 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. II
остается неизменным (инвариантным) при параллельном сме-
смещении системы на произвольное расстояние. Любое конечное
смещение может быть составлено из бесконечно малых смеще-
смещений, поэтому достаточно рассмотреть инвариантность оператора
Гамильтона относительно бесконечно малого смещения 6а.
Если волновая функция зависит только от координат одной
частицы, то при бесконечно малом смещении г' —г + 6о функ-
функция 1]з(г), согласно A9,4), перейдет в функцию
(r). A8,5)
Из A8,5) следует, что множитель
f A8,5а)
можно назвать оператором бесконечно малого смещения, так
как действие его на функцию эквивалентно смещению радиуса-
вектора г на величину 6а.
Учитывая теперь A8,5а), можно сказать, что условие инва-
инвариантности оператора Н относительно бесконечно малого сме-
смещения сводится к равенству
так как единица и постоянный вектор 6а коммутируют с любым
оператором. Поскольку оператор р отличается от V только по-
постоянным множителем (—ib), то последнее равенство можно
записать в виде
= Нр. A8,6)
Итак, из однородности пространства следует соотношение A8,6),
которое в силу A7,4) сводится к утверждению, что импульс сво-
свободной частицы является интегралом движения.
Выражая. V через оператор импульса, можно преобразовать
оператор бесконечно малого смещения к виду
Оператор смещения на конечный вектор а можно получить пу-
путем последовательного применения A8,7); таким образом, на-
находим
?« = exp(-/-f-). A8,8)
Три компоненты ai вектора смещения а являются параметрами
оператора смещения A8,8). Генератором преобразования про-
пространственного смещения, или инфинитезимальным оператором
пространственного смещения T(xi), называется производная опе-
оператора смещения A8,8) по параметру аь взятая при нулевых
§ IS] ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ 81
значениях всех параметров. Таким образом, инфинитезимальный
оператор смещения вдоль оси xi
/&)==--[А
непосредственно связан с соответствующей проекцией оператора
импульса.
Если функция if относится к системе частиц, то оператор бес-
бесконечно малого смещения всей системы как целого также выра-
выражается формулой A8,7), если понимать под оператором им-
импульса р суммарный оператор импульса всех частиц системы,
т. е. если
р = 2 р.-
В этом случае инвариантность относительно пространственных
смещений сводится к закону сохранения полного импульса си-
системы.
в) Изотропия пространства. Изотропия простран-
пространства (эквивалентность всех направлений) проявляется в инва-
инвариантности свойств замкнутых систем относительно произволь-
произвольных поворотов. Такая же инвариантность имеет место и для си-
систем, находящихся в центрально-симметричных полях, если
поворот осуществляется относительно центра поля.
Определим оператор бесконечно малого поворота. Будем
считать бесконечно малый поворот на угол бф вектором 6<р, на-
направленным вдоль оси вращения и по абсолютной величине рав-
равным углу поворота. Изменение радиуса-вектора г при таком по-
повороте определяется выражением
Вычислим соответствующее изменение волновой функции при
учете членов первого порядка малости:
Ф (г - [ЙФ X г» = {1 - бф [г X V]} ф (г). A8,9)
Из'A8,9) следует, что
является оператором бесконечно малого поворота на угол бф.
Согласно § 7, векторное произведение [г X V] можно выразить
через оператор углового (вращательного) момента
Таким образом,' оператор бесконечно малого поворота на угол
бф выражается через оператор углового момента формулой
82 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. II
Инвариантность оператора Гамильтона относительно произ-
произвольных бесконечно малых поворотов выражается коммутацией
его' с оператором: #е<р или с проекцией оператора углового мо:
мента на произвольное направление оси вращения
nLH = HnL, ' A8,10)
где п — единичный вектор оси вращения. Из A8,10) следует,
чго в свободном пространстве и в любом центрально-симметрич-
центрально-симметричном поле интегралом движения является проекция момента на
произвольное направление. Если внешнее, поле имеет аксиаль-
аксиальную симметрию, то оператор Гамильтона инвариантен лишь по
отношению к вращению вокруг аксиальной оси симметрии и
сохраняется только проекция углового момента на эго направ-
направление.
Из операторов бесконечно малого поворота вокруг некоторой
оси, определяемой единичным вектором п, можно составить
оператор поворота вокруг той же оси на любой конечный угол
A8,11)
Из A8,11)_ следует, что генератор преобразования поворота, или
инфинитезимальный оператор поворота, вокруг оси п опреде-
определяется проекцией углового момента на эту ось
/(л)=^-1п. A8,12)
Связь между оператором проекции углового момента и инфинитезималь-
ным оператором поворота вокруг этой оси можно использовать для опре-
определения операторов проекций углового момента и перестановочных соотно-
соотношений между ними. Пусть а — угол поворота вокруг оси 1; тогда в декар-
декартовой системе координат оператор поворота иа угол а можно записать в
виде матрицы
/10 0
Ra = I 0 cos a — sin а
\ 0 sin а cos а
Следовательно, инфинитезимальный омратор поворота вокруг оси 1 выра-
выражается матрицей
/0 0 0
И
ба Ja==0
Таким же образом находим для поворотов вокруг двух других осей
/ 0 0 1\ /0 —1 0\
/2=1 О О О I, /з={ 1 О О I.
W1 0 0/ \0 О О/
§ 18) ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ И УСЛОВИЯ СИММЕТРИИ 83
Используя полученные выражения и правила перемножения матриц, можно
вычислить перестановочные соотношения между инфинитезимальными опера-
операторами (вращения
ItI2— /2Л — I&
Два других соотношения получаются из этого круговой перестановкой ин-
индексов. Поскольку It =—г— Li, то из найденных перестановочных соотно-
соотношений для h следуют перестановочные соотношения для проекций оператора
углового момента
L{L2 — L2L{ = ibLy, ...
Пользуясь связью A8,12), можно определить и оператор
внутреннего углового момента (оператор спина), не имеющий
аналога в классической физике, т. е. оператор, который не сво-
сводится к функции, зависящей от операторов координаты и им-
импульса (см.§ 62).
Рассмотренные выше преобразования трансляций и поворо-
поворотов относятся к классу непрерывных преобразований, так как
они могут осуществляться пугем многократного повторения бес-
бесконечно малых преобразований. Инвариантность оператора
Гамильтона по отношению "к этим преобразованиям приводит
к законам сохранения импульса и углового момента, которые
соответствуют законам сохранения классической механики. На-
Наряду с непрерывными преобразованиями условия симметрии
могут приводить к дискретным преобразованиям, не сводя-
сводящимся к бесконечно малым. В классической механике инва^
риантность по отношению к таким преобразованиям не приво-
приводит к законам сохранения. В квантовой механике отсутствует
принципиальное различие между непрерывными и дискретными
преобразованиями, поэтому в квантовой механике законы
сохранения следуют и из "инвариантности по отношению к ди-
дискретным преобразованиям.
Рассмотрим одно из дискретных преобразований, относи-
относительно которых оператор Гамильтона остается инвариантным,
так называемое преобразование инверсии. Преобразованием ин-
инверсии, точнее, пространственной инверсии (или пространствен-
пространственного отражения) называется одновременное изменение знака
всех трех пространственных координат частицы
z. A8,13)
При преобразовании инверсии правая система координат пере-
переходит в левую систему координат.
Оператор Гамильтона любой замкнутой системы, в которой
действуют ядерные и электромагнитные силы, инвариантен по
отношению к преобразованию инверсии. Эта же инвариантность
(симметрия относительно правой и левой системы координат)
сохраняется и для систем, находящихся в центрально-
84 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. II
симметричном внешнем поле, если центр инверсии выбирается
в центре поля.
Обозначим оператор пространственной инверсии буквой Р,
тогда симметрия между правым и левым будет математически
выражаться коммутацией оператора Р с оператором Гамиль-
Гамильтона, т. е.
РН — HP.
По определению оператора инверсии его действие на функ-
функцию ¦ф(г) сводится к преобразованию A8,13), т. е.
Ф(-г) = Рф(г).
Определим собственные значения оператора инверсии. Для
этого надо решить уравнение
РФ (г) = Рф (г). A8,14)
Применяя к обеим частям уравнения A8,14) оператор инверсии
и учгя, что двукратное применение оператора инверсии сво-
сводится к тождественному преобразованию, получим
Из условия Р2 = 1 следует Р = ±1. Итак, A8,14) можно за-
записать в виде
Рф(г) = ±ф(г). A8,15)
Согласно A8,15), волновые функции состояний с определенным
собственным значением оператора Р можно разделить на два
класса: а) функции, остающиеся неизменными при действии
оператора инверсии,
соотвегствующие им состояния называются четными состоя-
состояниями; б) функции, меняющие знак при действии оператора
инверсии,
соответствующие им состояния называются нечетными состоя-
состояниями.
Вследствие коммутации оператора инверсии с оператором
Гамильтона четность состояния является интегралом движения.
Таким образом, инвариантность оператора Гамильтона по отно-
отношению к преобразованию инверсии приводит к установлению
закона сохранения четности.
Закон сохранения четности с большой степенью точности вы-
выполняется во всех явлениях, которые определяются ядерными
§ 19] ТЕОРИЯ ГРУПП И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 85
и электромагнитными взаимодействиями. До 1956 г. считали,
что этот закон является всеобщим законом природы. Однако
в 1956 г. (Ли, Янг, By) было установлено, что в явлении р-рас-
пада атомных ядер, распада jx-, л- и К-мезонов и гиперонов
обнаруживается асимметрия, которая позволяет сделать выбор
между правым и левым. Эти явления указывают, что при сла-
слабых взаимодействиях, которые определяют указанные выше
явления распада, нарушается симметрия между правым и ле-
левым (нарушается инвариантность по отношению к операции
пространственной инверсии) и, следовательно, нарушается за-
закон сохранения четности. В этой книге мы будем рассматривать
только явления, в которых имеет место право-левая симметрия.
§ 19*. Теория групп и квантовая механика
Рассмотрим уравнение Шредингера
= ?пфпа, A9,1)
определяющее энергию стационарных состояний некоторой си-
сгемы. Здесь фПа — ортонормированные собственные функции
оператора Н, соответствующие энергии Еп.
Уравнение Шредингера A9,1) допускает точные решения
только в некоторых простых случаях (см. гл. IV и VI), в осталь-
остальных случаях прибегают к приближенным методам решения,
которые мы рассмотрим в гл. VII. Однако ряд важных свойств
квантовых систем, зависящих от их симметрии, может быть
найден без непосредственного решения уравнения A9,1). Эти
свойства легко установить путем использования раздела маге-
матики, носящего название теории групп (см. мат. дополн. Д).
Пусть Г — группа некоторых преобразований симметрии
(вращения, переносы, отражения и т. д.), относительно когорых
оператор Гамильтона системы остается инвариантным, т. е. если
gi — любой из элементов группы, то
A9,2)
Подвергнем обе стороны A9,1) преобразованию gu тогда,
используя A9,2), имеем
fi(g^no) = En(g^na). , A9,3)
Из A9,3) следует, что {g\tyna) является решением уравнения
A9,1), соответствующим собственному значению Еп- Эту функ-
функцию можно разложить по собственным функциям tyna
где
Sl. A9,5)
86 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. II
Совокупность коэффициентов Apa(gi) образует квадратную мат-
матрицу A(gi). Условие A9,5) указывает, что эта матрица уни-
унитарна.
Если ga и g3— другие элементы группы Г, такими же рас-
рассуждениями получим
Предположим, далее, что
тогда, применяя g% к обеим частям равенства A9,4) и исполь-
используя A9,6), находим
2 A9,9)
2 V
Сравнивая A9,7) и A9,9), имеем
|Ч)- 09.Ю)
Последнее равенство можно записать как произведение матриц
A9,Юа)
Таким же образом можно убедиться, что совокупность матриц
A(gi), найденная по методу A9,4) для всех элементов группы
Г, образует представление группы Г, соответствующее уровню
энергии Еп. Размерность этого представления равна кратности
вырождения уровня Еп. При этом принято говорить, что си-
система собственных функций фпа образует базис для соответ-
соответствующего представления группы Г. Представление A(g), созда-
создаваемое собственными функциями, соответствующими одному
уровню энергии, обязательно является неприводимым. В против^
ном случае совокупность собственных функций i|)na, соответ-
соответствующих одному значению Еп, можно было бы разбить на две
или более частей, таких, что'каждая из функций одной части
выражалась бы линейной комбинацией типа A9,4) для всех
элементов группы только через функции, относящиеся к данной
части собственных функций.
Отмеченная выше связь между собственными функциями со-
состояний с определенной энергией и неприводимыми представле-
представлениями группы операций симметрии имеет большое значение для
характеристики состояний системы. Зная неприводимые пред-
представления, мы тем самым знаем, какие кратности вырождения
возможны в этой системе. Далее, энергетические состояния си-
системы можно классифицировать указанием неприводимых пред-
19]
ТЕОРИЯ ГРУПП И КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
87
ставлений, которые им соответствуют. При этом, не решая урав-
уравнения Шредингера, мы будем знать законы преобразования вол-
волновых функций соответствующих состояний.
Поясним сказанное простыми примерами. Предположим, что
наша система имеет симметрию, которая характеризуется груп-
группой C2v (таковы, например, молекулы Н2О, H2S, SO2 и др.). Это
абелева группа, имеющая всего четыре элемента симметрии:
тождественный (единичный) элемент е, ось симметрии второго
порядка (поворот на 180°) С2 и две перпендикулярные плоско-
плоскости симметрии Ov, вы, проходящие через ось симметрии. Эта
группа имеет четыре класса и, следовательно, четыре неприво-
неприводимых представления. Представления группы__С2„ одномерны,
поэтому они совпадают с характерами. В табл. 2 указаны ха-
характеры всех четырех непри-
неприводимых представлений,
которые обозначены соответ-
соответственно буквами A, Bi,
2, О3.
Поскольку все Неприво-
Неприводимые представления груп-
группы ?%v одномерны, то все
энергетические состояния си-
системы не могут иметь выро-
вырождения-. По свойствам сим-'
метрии волновые функции
этих состояний делятся на четыре типа в соответствии с че-
четырьмя неприводимыми представлениями. Часть состояний от-
относится к неприводимому представлению А. Волновые функции
этих состояний, как показывает табл. 2, не меняются при при-
применении любых операций симметрии группы. Эти состояния при-
принято называть полносимметричными состояниями. К полносим-
полносимметричному обычно относится состояние, соответствующее наи-
наименьшей энергии системы (основное состояние). Другая часть
состояний будет относиться к неприводимому представлению By.
Волновые функции этих состояний меняют знак при применении
операций симметрии С2 и ov. Возможны еще только два типа
состояний, которые должны относиться к представлениям В2
или В3.
Предположим, что система иМеет симметрию, характеризуе-
характеризуемую группой C3v- Такую симметрию имеют, например, молекулы
NH3, CH3C1 и некоторые другие. Группа C3v имеет шесть эле-
элементов симметрии, которые подразделяются на три класса:
класс, содержащий один тождественный элемент е, класс двух
поворотов.вокруг осей третьего порядка С3 и, наконец, класс
отражений в трех плоскостях симметрии. Группа C3v имеет
три неприводимых представления. Характеры неприводимых
Таблица 2
Характеры группы симметрии
А
В\
Вг
Вз
е
1
1
1
1
С2
1
— 1
1
-1
%
1
—1
—1
1
<v
1
1
J
J
88
ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. II
Таблица 3
представлений группы C3v указаны в табл. 3. Два неприводимых
представления А а В группы C3v первого порядка, поэтому они
соответствуют невырожденным состояниям системы. Третий воз-
возможный тип состояний в такой системе относится к двумерному
представлению Е, поэтому соответствующие состояния будут
обязательно двукратно вырожден-
вырожденными. Никакие другие типы состоя-
состояний невозможны в этой системе.
Например, нет трехкратно вырож-
вырожденных состояний, если не учиты-
учитывать так называемого случайного
вырождения, обусловленного осо-
особым характером потенциальной
энергии (см. §§ 25 и 37).
В качестве третьего примера рас-
рассмотрим систему с аксиальной осью
симметрии. Если при этом система
не обладает центром симметрии, то ее группой симметрии будет
Сто„. Элементами симметрии этой группы, кроме единичного
элемента е, являются всевозможные повороты вокруг аксиаль-
аксиальной оси Ссо на произвольной угол <р и отражения av в любой
плоскости, проходящей через ось. В группе С»» все плоскости
симметрии эквивалентны,
Таблица 4
Характеры
неприводимых
представлений группы Csv
А
В
Е
е
1
1
2
2С3
1
1
— 1
3<ТО
1
-1
0
Характеры неприводимых,
представлений группы Coov
поэтому все отражения av
составляют один класс с не-
непрерывным рядом элемен-
элементов. Поскольку вращения
вокруг аксиальной оси воз-
возможны в двух направлениях
± ф, то имеются два элемен-
элемента в каждом классе, соот-
соответствующие повороту на
угол ф или —ф. Характеры
неприводимых представле-
представлений группы 'Сое указаны в
табл. 4.
Из таблицы характеров
следует, что в системе, обла-
обладающей группой симметрии Ccov, возможны два типа невырож-
невырожденных состояний.
Волновые функции состояний, соответствующих неприводи-
неприводимому представлению А, являются полностью симметричными;
волновые функции состояний неприводимого представления В
меняют знак при операции отражения в плоскости, проходящей
через ось. Все остальные состояния двукратно вырождены, так
как должны относиться к двумерным представлениям Eh Es, ,.,
Ccov
A
В
En
e
— — CM CM
2
2Сф
1
1
2СО5ф
2 cos 2ф
2 соэпф
1
j
0
0
0
§ 20] ИЗМЕНЕНИЕ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 89
Пользуясь теорией групп, легко установить правила полного
или частичного снятия вырождения состояний в системе при
изменении ее симметрии под влиянием внешнего поля. Теория
групп позволяет сделать некоторые заключения о вероятностях
переходов систем из одних состояний в другие. Эти вопросы бу-
будут рассмотрены в дальнейшем.
§ 20*. Изменение с течением времени состояний,
описываемых матрицей плотности
В § 14 было указано, что в некоторых случаях состояние си-
системы не может быть описано волновой функцией, и была вве-
введена матрица плотности р, позволяющая вычислять средние
значения любой физической величины, характеризующей си-
систему. Исследуем теперь, как будет меняться матрица плотно-
плотности с течением времени.
Согласно A4,7), элементы матрицы плотности определяются
равенством
Р„,„ @ = 2 W @ o;w (*) сф (*). B0,1)
Из B0,1) следует, что
Для определения производных-^- подставим
в уравнение Шредингера
Тогда, умножая полученное уравнение на ty*m(%) и интегрируя
по области изменения переменных |, находим
_ I\n)e$, B0,3)
n
где
(m | Я | n) а Г С (|) Я* (|) d|. B0,4)
Подставляя B0,3) в B0,2) и учитывая B0,1) и эрмитовость
матрицы B0,4), находим
iH 4t рп'п ^ S [<»' I я Ю Pin — P«'j ('Iя! ">]• B0»5>
90 ИЗМЕНЕНИЕ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИИ С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ [ГЛ. II
Используя матричные обозначения, это уравнение можно запи-
записать в виде
т-^ = нр-рн. B0,6)
Матричное уравнение B0,6) позволяет определять матрицу
плотности для любого момента времени, если она известна в
какой-либо начальный .момент времени.
Уравнение B0,6) иногда называют квантовым уравнением
Лиувилля, так как оно соответствует уравнению Лиувилля для
классической функции распределения в статистической физике.
Если гамильтониан не зависит явно от времени, то из B0,6)
следует
р (/) = e-wt/np (о) ешшш B0,7)
Если функции ¦фп, относительно которых определены коэффи-
коэффициенты ап в B0,1), являются собственными функциями опера-
оператора Я, то матричные элементы B0,4) имеют особенно простой
вид
\n) = En6mn, B0,8)
где Еп — собственные значения энергии системы. Подставляя
B0,8) в B0,5), находим для этого случая
1П?Ц?±=,{Еп,-Еп)9п,п®. B0,9)
Уравнение B0,9) может быть легко проинтегрировано. Если в
момент t = 0 элементы матрицы плотности равны Р„'„@), то
Таким образом, элементы матрицы плотности с течением вре-
времени изменяются по гармоническому закону. Частота колебаний
определяется разностью энергий состояний п и п', относительно
которых вычисляется элемент матрицы плотности.
ГЛАВА III
СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКОЙ -
§ 21. Предельный переход от квантовой механики
к классической
В § 17 уже отмечалось, что при больших значениях импульса
частицы, движущейся в достаточно плавных полях, уравнение
движения частицы мало отличается от классического уравнения
Ньютона. Исследуем теперь более полно предельный переход от
квантовой механики к классической механике. Такой предель-
предельный переход формально аналогичен переходу от волновой оп-
оптики к оптике геометрической. Эта аналогия использовалась
в первых ра.ботах, приведших к построению квантовой механики.
Наиболее просто условия предельного перехода от квантовой
^механики к классической можно исследовать, представив волно-
волновую функцию в виде
{i} B1.1)
Подставляя B1,1) в волновое уравнение Шредингера, описы-
описывающее движение частицы массы ц. в потенциальном поле с
энергией U(r), находим уравнение
? «мл
определяющее комплексную функцию S(r, t).
Если бы можно было отбросить последнее слагаемое в пра-
правой части точного квантовомеханического уравнения B1,2), то
мы получили бы известное из классической механики [8] уравне-
уравнение Гамильтона — Якоби:
Уравнение B1,3) представляет собой дифференциальное уравне-
уравнение в частных производных первого порядка от действительной
функции действия, определяемой через функцию Лагранжа (L)
с помощью интеграла
t
92 СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ [ГЛ. III
Траектория движения частицы в классической механике нор-
нормальна к поверхностям равных значений функции действия. Это
непосредственно видно из того, что импульс частицы опреде-
определяется соотношением
р = grad So.
Сравнивая B1,2) с уравнением B1,3), мы видим, что пере-
переход от квантового уравнения к классическому соответствует
формальному переходу к пределу й —>0, подобно переходу от
релятивистской механики к нерелятивистской при с -~> сю. По-
Поскольку й— величина постоянная, то такой предельный переход
следует понимать условно. Он оправдывается только тогда,
когда в уравнении B1,2) члены, содержащие й, малы по срав-
сравнению с остальными членами уравнения.
Чтобы упростить исследование условий возможности класси-
классического описания квантовых систем, рассмотрим стационарные
состояния. В стационарных состояниях энергия системы имеет
определенное значение, и зависимость волновой функции от вре-
времени целиком определяется этим значением:
Ц>(г, f) = ф (г) ехр (-/¦§¦).
Поэтому для стационарных состояний в B1,1) можно в функ-
функции S(r,t) выделить в явном виде зависимость от времени, т. е.
положить
S(r,l) = o(r)-Et. B1,4)
При этом уравнение B1,2) переходит в уравнение
+ Иг>-?-^ = 0. B1,5)
Переход от квантовой механики к классической состоит в замене
уравнения B1,5) уравнением классической механики
№L + t/(r)-E = O B1,6)
для функции со, зависящей только от координат и связанной
с импульсом частицы соотношением
р = grad с0. B1,7)
Замена уравнения B1,5) уравнением B1,6) возможна, если
(Vc0J >/И V4 I. B1,8)
Таким образом, неравенство B1,8) можно рассматривать как
условие, при котором квантовая механика переходит в класси-
классическую.
§ 22] КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 93
Учитывая B1,7), можно переписать неравенство B1,8)
в виде
P2»/Mdivp|. B1,9)
В частном случае одномерного движения неравенство B1,9)
можно преобразовать к виду
дх
B1,10)
или Л ^> -g—j— • т. е. изменение длины волны на расстоянии
-к— должно быть значительно меньше самой длины волны. Если
обозначить через а характеристические размеры системы, то
их х *
-д—~—> и неравенство B1,10) переходит в неравенство
Л< а.
Неравенству B1,10) можно придать и другую форму
если учесть, что р = У2\л (Е — U). Из B1,11) следует, что
классическое рассмотрение квантовомеханических систем при-
приближенно оправдывается при движении частиц с большими им-
импульсами в потенциальном поле с малыми градиентами.
Если неравенство B1,11) выполняется, то можно развить
приближенный метод решения квантовомеханических задач,
основанный на введении поправок в классическое описание. Этот
метод получил название квазиклассического приближения, или
метода фазовых интегралов. Иногда этот метод называют при-
приближением Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна (метод ВКБ).
§ 22. Квазиклассическое приближение
Квазиклассическое приближение состоит в приближенном
методе решения квантового уравнения B1,5) для функции с(г),
определяющей волновую функцию стационарных состояний с
помощью соотношения
(^) B2,1)
Решение уравнения B1,5) записывается в виде формального
разложения
} (}J... ' B2,2)
94
СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ [ГЛ. III
Если условия-квазиклассического приближения B1,9) выпол-
выполняются, то последующие члены в этом ряду значительно меньше
предыдущих, и при решении уравнения B1,5) можно использо-
использовать метод последовательных приближений.
Подставляя B2,2) в уравнение B1,5) и приравнивая коэф-
коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях В, получаем си-
систему связанных уравнений
(VctoJ +2ц [?/(г)-?] = О,
B2,3)
Решая первое уравнение из системы B2,3), можно опреде-
определить Сто (г), затем из второго уравнения определяют cti и т. д.
Обычно ограничиваются учетом сто и cti.
Для иллюстрации метода вычислений рассмотрим одномер-
одномерный случай. Тогда систему уравнений B2,3) можно переписать,
используя значок штрих для обозначения производной по х,
в следующем виде:
— ,
a,
B2,4)
Таким образом, последовательные приближения стр а'2, ... по-
получаются из нулевого приближения
* Сто"= ±р(х) = ±
-U(x))^±hk(x) B2,5)
простым дифференцированием. Из второго уравнения B2,4),
в частности, следует
CTl = - In Vp + In С B2,6)
Интегрируя B2,5) по х, определим сто; затем, учитывая B2,6),
B2,2) и B2,1), можно написать волновую функцию в квази-
квазиклассическом приближении, удовлетворяющую уравнению Шре-
дингера с точностью до членов порядка й2,
X
г
ехр —i \ k
Ч> (*)'=
ехр
'/¦
I I k (x')dx'
а
B2,7)
§ 22] КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 95
Область, где ?> U(x), называется классически допустимой
областью движений. В этой области k(x)—действительная
функция и bk(x) является импульсом частицы, выраженным
функцией от координат. В этой области волновую функцию
B2,7) можно всегда записать в виде волновой функции, зави-
зависящей от двух постоянных:
sin! | k (х') dx' + <x }. B2,7а)
Амплитуда волновой функции B2,7а) пропорциональна l/VP-
Следовательно, вероятность обнаружения частицы в малом эле-
элементе объема в основном пропорциональна 1/р, т. е. обратно
пропорциональна скорости классической частицы. Этот резуль-
результат отражает закон сохранения вероятности, так как в нашем
приближении поток вероятности ~ \А(х) |2р(х) = const.
Значения Х{, при которых E~U(Xi), называются точками
поворота. Они соответствуют тем точкам пространства, в кото-
которых классическая частица останавливается, p(Xi) = 0, а затем
движется обратно. Волновая функция B2,7) в области точек
поворота становится бесконечной. Эта расходимость связана
с тем обстоятельством, что при малых значениях импульса, со-
согласно B1,11), квазиклассическое приближение становится не-
неприменимым. Пусть х0 — точка поворота. Определим расстояние
\х — хо\, на котором еще можно пользоваться квазиклассиче-
квазиклассическим приближением. Разлагая потенциальную энергию в точ1се
х = х0 в ряд, можно написать
Подставляя это значение в B1,11), находим, что квазикласси-
квазиклассическое приближение применимо для расстояний от точки пово-
поворота, удовлетворяющих неравенству
\х-хо\^~( Л'рЛ*. B2,8)
или
\х-Хо\^~ = -~, B2,9)
где Я — длина волны, соответствующая значению импульса в
точке х.
Область, где E<iU(x), называется классически недопусти-
недопустимой областью движений. В этой области k{x) является мнимой
функцией. Полагая к[х)-==.Ы(х), где х(х) = -г- \/2\а[U(х) — Е]
96
СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ [ГЛ. III
является уже действительной функцией, можно переписать
B2,7) в виде
{х)=Шехр ("
dx
ехр (/ * (х° dx)'
B2,10)
Первое слагаемое в B2,10) при возрастании х экспоненциально
убывает, а второе слагаемое экспоненциально возрастает. Прак-
Практическое использование этих квазиклассических функций воз-
возможно лишь в том случае, когда известна связь осциллирующего
решения с экспоненциальным при переходе через точки пово-
поворота. В малой области (а, Ь) с протяжением / — JT, . \ , охва-
тывающей точку поворота, нельзя пользоваться квазиклассиче-
квазиклассическим приближением и необходимо решить точное одномерное
уравнение Шредингера.
Связь между осциллирующим и экспоненциальным решением
находится из условий непрерывности перехода экспоненциаль-
экспоненциального решения в точное при х = а и точного решения в осцилли-
осциллирующее при х = Ь. Примеры использования квазиклассического
метода будут даны в двух следующих параграфах.
§ 23*. Правила квантования Бора — Зоммерфельда
Вычислим квазиклассическим методом уровни энергии й вол-
новую функцию частицы массы
движущейся в одномерной
потенциальной яме, вид ко-
которой изображен на рис. 3.
Потенциальная энергия
U(x) такова, что при любой
энергии Е> и(х)Мин име-
имеются только две точки по-
поворота, определяемые усло-
условием
Рис. 3. Движение частицы в одномерной потен-
циальной яме. ОКОЛО ТОЧКИ ПОВОрОТЭ Xi ВЫ-
делим область fci, a±, а около
точки поворота Х2 — область bz> (к, где неприменимо квазиклас-
квазиклассическое приближение. Эти области заштрихованы на рис. 3.
В областях / и /// можно использовать функции квазикласси-
чеекого приближения B2,10),.
§23] ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ ВОРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА д?
Экспоненциально убывающие в этих областях функции при
удалении от точек поворота будут соответственно иметь вид
х'
J
Ь (х) = -pS= exp I - J к (*') dx' J , х < alt B3,1)
%„ (х) = -р?==- ехр ! - J и (xf) dx'\, x>O2. B3,2)
Осциллирующее решение с двумя произвольными постоян-
постоянными Л и а, согласно B2,7а), можно написать в виде
%, (х) = —L sin j J k (xf) dx' + a |, bx < x < b2. B3,3)
Как было указано выше, в областях щ, Ь\ и а2, Ъ% квазикласси-
квазиклассическое приближение неприменимо и надо решать уравнение
Шредингера, которое можно записать в виде
¦g- + #4 = 0, Где ft8 = -§ИЕ-?/(*)]. <23'4>
Рассмотрим уравнение B3,4) в малой области (а\,Ь\).
В этой области потенциальную энергию можно разложить
в ряд и сохранить только два первых члена разложения
Подставляя это выражение в уравнение B3,4), получим урав-
уравнение
Как показано в § 28, ненормированное решение этого уравнения
выражается через функцию Эйри Ф(|):
где
(Щ''х1-х). B3,6)
Согласно B2,8), границы области, в которой надо использовать
решение уравнения B3,5), определяются неравенством '
или
Нас интересуют решения B3,5) только на границах этой обла-
области. Следовательно, функцию ф на границах области можно
4 А, С, Давыдов
98 связь квантовой механики с классинескод механикой [гл. ш
выразить через асимптотические значения функции Эйри при
]§| >• 1. Учитывая B8,18) и асимптотические значения функций
Бесселя при больших значениях аргумента (см. мат. дополн. Г),
находим
i-r''4exp{-!-!4, если |>1;
llEr''sin{!lE|'' + -j}. если Б«-1.
При х>х{
следовательно,
При х< Xi
следовательно,
2
ч„ Г
Итак, решение уравнения B3,5) на границах интервала аи
можно записать в виде
expi — I K(y)dyt у границы с,;
f *'
j —j K
*¦ X
I J k (y) dy + j J
sin I J k (y) dy + j J у границы ft,.
B3,8)
Сравнивая B3,8) с B3,1) и B3,3), мы видим, что волновая
функция из области / будет непрерывно переходить в область
//, если
В = А, 2С, = Л и а=~. B3,9)
Решение уравнения B3,4) на границах интервала Ь2, а2 у
второй точки поворота можно получить непосредственно из
B3,8), если изменить направление оси х на обратное и в каче-
§23] ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ ВОРА — ЗОММЕРФЕЛЬДА 99
стве фиксированного предела в интеграле взять х2. Таким обра-
образом, получим
D \ Г 1
r—- ехр] — n(x')dx' У у границы fl^
B3,10)
Учитывая B3,9), перепишем решение B3,3) в виде
-^=r sin I k (xr) dx' + 4 f У границы Ь2.
v P \i 4 J
4
J Jf J I B3.11)
Теперь видно, что решения B3,10) обеспечат плавный переход
волновой функции B3,11) из области // в функцию B3,2) об-
области ///, если выполняются условия
X)
J
k(x')dx' — у = пя, где п = 0, 1, 2,...
Если ввести фазовый интеграл &pdx—2\pdx по пути от
точки Х\ до ль и обратно от х2 до Хь т. е. интеграл по целому
периоду классического движения, то последнее равенство можно
переписать в виде
§ ( ) B3,12)
Равенство B3,12) определяет в квазиклассическом случае Ста-
Стационарные состояния частицы. Оно соответствует правилу кван-
квантования Бора — Зоммерфельда.
Вне интервала Х\, х2 функция ф экспоненциально затухает,
внутри же этого интервала функция
B3,13)
4»
100 связь квантовой механики с классической механикой [гл. ш
X
осциллирует. При этом фаза функции синуса k (x') dx' + —
I
при изменении х от хг до х2 изменяется, согласно B3,12), от л/4
до (п + 3/4)я, следовательно, функция я|> обращается п раз в
нуль на этом интервале. Таким образом, квантовое число п в
формуле B3,12) определяет число узлов волновой функции в
области между точками поворота. Согласно B2,9), квазиклас-
квазиклассическое приближение справедливо лишь на расстоянии несколь-
нескольких длин волн от каждой из точек поворота. Поэтому решение
B3,13) является хорошим приближением только в том случае,
когда между точками поворота укладывается достаточно много
длин волн, т. е. l<x2 — хх. Другими словами, пользоваться
квазиклассическим приближением можно лишь для состояний,
характеризующихся большими значениями' квантового числа п.
Интеграл в B3,12) определяет площадь, охватываемую в
фазовом пространстве классической траекторией. Из равенства
B3,12) следует, что одному состоянию в фазовом пространстве
соответствует площадь 2лй.
Поскольку квазиклассическая функция B3,13) является бы-
строосциллирующей функцией, то при определении постоянной
А щ условия нормировки функции на отрезке Х\, х% можно заме-
заменить квадрат синуса его средним значением, равным '/г- Тогда
получим
2 ~Ч,
г
dx
Р
Если учесть, что jx 4jT = ~2 есть вРемя прохождения части-
цей отрезка Хг — Х\, то можно ввести циклическую частоту пе-
периодического движения частицы о = 2п/Т.
.Выражая А через эту частоту, находим из B3,13) нормиро-
нормированную функцию квазиклассического движения
Xi
В качестве простейшего .применения квазиклассического ме-
метода для определения энергии стационарных состояний рассмо-
рассмотрим гармонический осциллятор, т. е. систему с потенциальной
энергией U (х) = ц®%х2/2. Если обозначить точки поворота
24]
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
101
то ? =
= ц<оо У а2 — х2. Следовательно,
f
—
«О
Подставляя полученное значение в B3,12), находим значение
энергии стационарных состояний для больших п:
? = ft(oo(n+4). B3,14)
Как будет показано в гл. IV, при точном решении уравнения
Шредингера энергия стационарных состояний гармонического
осциллятора выражается формулой B3,14) для всех значе-
значений п.
Развитию метода ВКБ для приближенного вычисления соб;
ственных значений энергии частицы, движущейся в центрально-
симметричном поле, посвящены работы А. Соколова и др. [9, 10].
§ 24. Прохождение через потенциальный барьер.
Движение частицы над потенциальным барьером '
и потенциальной ямой
Как уже отмечалось, квазиклассическими решениями
B2,7а) для классически доступной области движений и B2,10)
для классически недоступной области движений можно пользо-
пользоваться для значений х, уда-
удаленных от точек поворота,
если ^потенциальная энергия
является плавной функцией
х. Если потенциал претерпе-
претерпевает скачок в точке, удален-
ной от точек поворота, а вне / 11 \ Ш
скачка он является плавной
а:
Рнс. 4. Движение частицы при наличии потен-
потенциального барьера.
функцией от х, то в обла-
областях, разделенных скачком,
также можно использовать
квазиклассические волно-
волновые функции. Связь волновых функций с обеих сторон скачка
потенциала определяется из условий непрерывности волновой
функции и ее производной при значениях х, соответствующих
месту скачка.
Для пояснения метода использования квазиклассического
приближения при наличии скачков в потенциальной энергии
рассмотрим условия движения частицы в поле с потенциальной
энергией, изображенной на рис. 4. Согласно классический меха-
механике, если полная энергия ? частицы меньше, чем максимальное
значение ?/макс потенциальной энергии, то частица отражается
№2 СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ [ГЛ. Ill
от потенциального барьера, если же ?> UMaKC, то частица сво-
свободно- проходит. Можно сказать, что потенциальный барьер для
классического движения частицы полностью прозрачен, если
Е > ?/макс, и является совершенным зеркалом, если Е < ?/макс.
В квантовой механике, однако, оба эти утверждения, вообще
говоря, не являютсй правильными. Всегда имеется некоторая
вероятность того, что частица пройдет через барьер при с <
< ^накс и частично отразится от барьера при Е > UMaKC. Для
вычисления эти!* вероятностей разобьем всю область движения
частицы на три части /, // и ///, указанные на рис. 4. В обла-
областях /" н /// частица движется свободно. Будем считать, что
частица с определенной энергией и импульсом р = hko приходит
из области отрицательных значений х. Тогда в области / вол-
волновая функция изобразится суперпозицией двух волн
Ве-{ь\ B4,1)
где А — амплитуда волновой функции «падающих» частиц, а
В — амплитуда волновой функции «отраженных» частиц. В об-
области /// по условию могут быть только уходящие частицы
<bui(x) = Ce"**. B4,2)
Определим коэффициент отражения R и коэффициент про-
прохождения D потенциального барьера соответственно как отно-
отношение плотности потока отраженных и прошедших частиц к плот-
плотности потока падающих частиц. Тогда, пользуясь определением
плотности потока (см. § 15), находим в нашем случае
Ч4Г- Чт
Для вычисления этих величин надо исследовать движение ча-
частицы в области //.
Рассмотрим вначале случай, когда энергия частицы
макс'
В этом случае область // будет классически недоступной и
при плавном потенциале можно будет записать волновую функ-
функцию в виде квазиклассической функции B2,10)
aexpf J K(y)dyj + $expl — J K(y)dyj j.
Используя условия непрерывности ip и •-? при х = 0 и х == /,
получим четыре соотношения между пятью коэффициентами А,
В, С, а и В, которые позволят исключить а и р и определить от-
§ 24] ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА ЮЗ
ношения BJA и С/А. Если выполняются условия квазиклассич-
квазиклассичности, то к(х) является плавной функцией от х, поэтому при
вычислении производной -?- можно учитывать зависимость от х
только в экспоненте. Таким образом, получаем для л: «в О
- В) = a ¦
ik0 (A — B) = V
где
Соответственно в точке х = 1 имеем еще два соотношения
+ pe-v «* С VF etk»1,
¦ -«ы- B4'б)
где t
6 = -g- V2ц[U([)- Щ, y ==4" J VtyW{x)-E]dx. B4,6)
о
Из уравнений B4,5) находим
Р = j (Vb -yf) С ехр (ОД + Y).
Поскольку квазиклассическое приближение применимо только
для достаточно «широких» барьеров, когда у == xl > 1, то a<tcp.
Поэтому при вычислениях С/А из B4,4) можно пренебречь а,
тогда получим
С _ 4ехр(— ikpl — у)
Подставляя это выражение в B4,3), находим коэффициент лро-
хождения потенциального барьера
аЬ
B4.7)
щ связь Квантовой механики с классической механикой [гл. Ш
Формула B4,7) выведена в предположении, что до и после барьера ча-
частица движется свободно н U(x < 0) = U(x > /) = 0. Если U(x < 0) =
.= 0, U(x > I) = Vi Ф 0, то
В этом случае формулы B4,3) видоизменяются:
Далее, для достаточно «широких» барьеров
С 4 ехр (— ik2l — v)
Следовательно,
D--
Приближенное (с точностью до предэкспоненциального мно-
множителя) выражение
{
- | J[ ^2ц({/(х)-?) rfx B4,8)
для коэффициента прохождения остается справедливым и в
случае более общего достаточно плавного (чтобы выполнялись
условия квазиклассичности) барьера. При этом точки Х\ и х%
определяются из условия обращения в нуль классического им-
импульса частицы или
Коэффициент отражения R можно получить из соотношения
B4,9)
которое непосредственно следует из -уравнения непрерывности
A5,7) для плотности потока, — плотность потока падающих ча-
частиц должна равняться сумме плотностей потоков отраженных
и прошедших частиц.
Согласно формуле B4,7), коэффициент прохождения потен-
потенциального барьера резко уменьшается при увеличении массы
частицы. Так, например, при увеличении массы электрона до
^1840 18
массы протона прозрачность барьера уменьшится в е^1840 «* 1018
раз.
24]
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
Ю5
Рассмотрим теперь движение частицы с энергией, превышаю-
превышающей потенциальную энергию барьера (Е > UM&KC). В этом слу-
случае область // (рис. 4) будет классически доступной и квази-
квазиклассическая функция, согласно B2,7а), может быть записана
в виде
Приравнивая функции и их производные в точках х = 0 и I, на-
находим четыре соотношения:
B4,10)
ik0 (А - В) = а ]/"а cos р,
Vb a cos (ф + р) = ik0Cem,
где теперь а = &@), b = k(l),
B4,11)
Решая систему уравнений B4,10), получаем
В
А
Следовательно, коэффициент отражения от потенциального
барьера при условии Е > UM&KC определяется выражением
В
Если в точках 0 и / значения потенциала одинаковы, то
и коэффициент отражения из B4,12) принимает более простой
вид:
106 СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ [ГЛ. ГИ
Из B4,13) и B4,11) следует, что при условии
i
J 1/2ц [Е— U (x)] dx — nnh, где п—\, 2
о
потенциальный барьер для частицы является полностью про-
прозрачным. Используя теорему о среднем, можно написать
i
где р — среднее значение импульса частицы в области барьера.
Следовательно, прозрачность барьера определяется условием
/р=плй.или, полагая р = 2nh/X, можно написать I — пк/2,
т. е. на длине барьера должно укладываться целое число Я/2.
Рис. 5. Потенциальная энергия электрона на границе металл—вакуум; а) без внешнего
поля; 6) прн наличии внешнего однородного электрического поля. ?—энергия электрона,
ЧР—работа выхода, Vt—высота барьера.
Выражение B4,13) определяет и коэффициент отражения
частицы от потенциальной ямы, если при вычислении <р в фор-
формуле B4,11) учесть, что потенциальной яме (притяжение) соот-
соответствует U(x) < 0.
Для иллюстрации использования полученных выше формул
вычислим вероятиосгь испускания электронов из металла под
действием сильного внешнего поля (холодная эмиссия" электро-
электронов). В отсутствие поля потенциальная энергия электрона внут-
внутри и вне металла может быть изображена кривой U(x), указан-
указанной на рис. 5, а. Внутри металла электрон имеет энергию
Е < С/о, где Uo — потенциальная энергия электрона вне ме-
металла.
Чтобы электрон вылетел из металла, ему надо сообщить
энергию ф = Uo — E (порядка 5—10 эВ), которую называют
работой выхода.
Если к металлу приложено внешнее электрическое поле на-
напряженности ff, то к потенциальной энергии U{x) вне металла
§24] ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА Ю7
надо добавить потенциальную энергию электрона во внешнем
поле (—eSx). В результате получается^ потенциальная кривая,
изображенная на рис. 5, б сплошной линией.
Следовательно, при наличии поля появляется возможность
вылета электрона в вакуум путем прохождения через потен-
потенциальный барьер. Область сильного изменения потенциала
около поверхности металла порядка размеров атомов, т. е. зна-
значительно меньше расстояния а, при котором U(x) = Е. Поэто-
Поэтому для упрощения вычислений можно заменить на отрезке Оа
потенциальную кривую прямой линией, т. е. положить
U (х) — Е = ф — е&х.
Подставляя это значение в B4,7), находим коэффициент про-
прохождения электрона из металла в вакуум
{о
-| J
ГЛАВА IV
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 25. Частица в прямоугольной потенциальной яме
В этой и следующей главах мы рассмотрим некоторые про-
простые системы, для которых можно дать строгое решение урав-
уравнения Шредингера, определяющего стационарные состояния. Та-
Такие системы являются идеализацией систем, встречающихся в
природе. Исследование простых идеализированных систем по-
позволяет более полно понять методы квантовой механики. Кроме
того, полученные результаты имеют и самостоятельный интерес,
так как они в некотором приближении отражают свойства со-
соответствующих реальных систем.
Задача определения стационарных состояний движения ча-
частицы массы ц во внешнем потенциальном поле сводится (см.
§ 16) к отысканию собственных значений оператора энергии,
т. е. к решению уравнения
} = Q. B5,1)
Это уравнение является линейным дифференциальным уравне-
уравнением второго порядка. Точные аналитические решения уравне-
уравнения B5,1) могут быть найдены только для некоторых видов
оператора потенциальной энергии, который в координатном
представлении изображается функцией от координат частицы.
Простейшие решения относятся к системам, в которых потен-
потенциальная энергия постоянна во всем пространстве (свободное
движение) либо имеет разные постоянные значения в отдель-
отдельных областях пространства, переходя скачком от одного значе-
значения к другому на поверхностях, разделяющих такие области. На
поверхностях разрыва потенциала волновая функция должна
быть непрерывной, чтобы плотность вероятности была непрерыв-
непрерывна. Если энергия частицы ограничена и скачок потенциальной
энергии на поверхности разрыва конечный, то из B5,1) следует
необходимость непрерывности gradty на поверхности разрыва.
Итак, граничные" условия на поверхностях о q конечным скач-
скачком потенциала сводятся к требованию
¦ф и gradty непрерывны на о. B5,2)
§ 251 ЧАСТИЦА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ 109
Рассмотрим частицу, движущуюся в потенциальном поле
(рис. 6):
Э, если — а/2 < х < а/2,
/0, если х имеет другие значения.
В этом случае уравнение B5,1) сводится к одномерному урав-
уравнению
т + -|Ив-?/(*)]}+(*) = 0. B5,3)
Потенциальная энергия и оператор Гамильтона инвариантны от-
относительно преобразования инверсии х-*—х, поэтому (см.
§ 18) все стационарные со-
состояния относятся либо к со-
состояниям положительной
четности, либо к состояниям
отрицательной четности.
II
III
Учет указанного свойства *
симметрии потенциальной х
энергии значительно упро- -J- j
щает решение: достаточно
НаЙТИ решение ТОЛЬКО В Об- рнс. 6. Потенциальная энергия прямоугольной
ЛаСТИ ПОЛОЖИТеЛЬНЫХ ЗНа- Формы.
чений х, т. е. в области 0 ^ ¦
^ х <. оо. Волновые функции состояний отрицательной четно-
четности должны обращаться в нуль в точке х = 0; для состояний
положительной четности при х = 0 должна обращаться в нуль
производная волновой функции по координате.
Будем отсчитывать энергию от «дна» потенциальной ямы,
тогда энергия е ^ 0. Рассмотрим значения энергии е <. Uq.
Пусть далее
Тогда уравнение B5,3) можно записать в виде
Конечные при #-»-оо решения ifu можно записать в виде.
ib = Ар—ч* f2K 4^
Решения ifi, соответствующие состояниям положительной чет-
четности, будут
*'+) = В cos kx.
110 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. IV
Для состояний отрицательной четности
¦ф<-> = С sin kx.
Рассмотрим вначале состояния положительной четности. Из
dib a
условия непрерывности ф и -^ в точке х=-^ следует два
однородных уравнения для определения А и В:
Эта система уравнений имеет отличные от нуля решения только
при условии
Поскольку тангенс является периодической функцией с перио-
периодом л, то это уравнение можно преобразовать к виду
ka = пп - 2arcsin JSL_ , B5,6)
где п = 1, 3, ... ; значения арксинуса надо брать в интервале
0, л/2. Уравнение B5,6) является трансцендентным уравнением,
определяющим положительные значения волнового числа k и,
следовательно, возможные уровни энергии, соответствующие со-
состояниям положительной четности.. Поскольку аргумент аркси-
арксинуса не может превышать 1, то значения k могут лежать толь-
только в интервале 0 ^ k ^ Y^-V-Uo /ft. Значения kn, удовлетворяю-
удовлетворяющие B5,6) при п= 1, 3, ..., соответствуют точкам пересече-
пересечения прямой ka и монотонно убывающих кривых
fc, (k) = пп - 2 arcsin —L^. B5,7)
. Особенно простой вид имеют решения уравнения B5,6) для
бесконечно больших значений ?/0 Фе^> е). В этом случае
arcsin
и kn = — n, где п=1, 3, ... При этом энергия частицы
|^n2, n нечетное. B5,8)
§2$ ЧАСТИЦА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ Щ
Волновая функция фп = 0. А волновая функция внутри
ямы, нормированная условием
а/2
J
-а/2
имеет вид
A cos
y
A cos—a:, n нечетное. B5,9)
Для состояний отрицательной четности условия непрерыв-
непрерывности ф и -?¦ в точках *=-f- приводят к системе уравнений
B5,10)
Из условия разрешимости этой системы уравнений имеем
*ctg-? = -Y- B5,11)
Учитывая периодичность котангенса, можно получить из B5,11)
уравнение, по форме совпадающее с трансцендентным уравне*
нием B5,6). При п = 2, 4, 6, оно определяет значения kn,
соответствующие дискретным состояниям отрицательной чет-
четности.
Итак, дискретные уровни энергии частицы в симметричной
,b2k2
потенциальной яме выражаются формулой еп =' д" , где kn
определяются точками пересечения прямой ka и монотонно убы-
убывающими кривыми B5,7). Значения п= 1, 3, 5, ... соответ-
соответствуют состояниям положительной четности; значения п = 2, 4,
6, ... соответствуют состояниям отрицательной четности.
Поскольку ka монотонно возрастает, a t,n(k) монотонно убы-
убывает, то условие их пересечения можно записать в виде
ka-ln(k)>0 при fe^
или в явном виде
а УЩЦ > пН(п - 1). B5,12)
Условие B5,12) всегда выполняется при п= 1. Следовательно,
симметричная одномерная яма с произвольными значениями а
и {/0 имеет не менее одного дискретного уровня энергии. Воз-
Возможное число уровней в яме. определяется максимальным зна-
значением п, при котором еще выполняется неравенствр B5,12).
112 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. IV
В частном случае бесконечно больших значений ?/о из B5,6)
для состояний отрицательной четности следует, что ka = пп,
где п = 2, 4, 6, ... Значение п == 0 исключается, так как оно
приводит к ipi = 0 для всех значений х. Итак, энергия частицы
в бесконечно глубокой потенциальной яме в состояниях отрица-
2 ft 2
тельной четности е^""* = "гпа5" п2' где п ~ 2> ^' ^'''''' а волн0'
вая функция
Волновые функции B5,9) и B5,13) обращаются в нуль при
х = ±а/2. Таким образом, мы видим, что граничные условия
на поверхностях, где потенциальная энергия обращается в бес-
бесконечность (идеальные твердые стенки), сводятся к требованию,
чтобы на этих поверхностях волновая функция обращалась в
нуль (частица не может проникать в область U = оо), произ-
производная же по нормали к поверхности может иметь, вообще го-
говоря, скачок. В случае конечных значений ?/0 частица может
проникать и в область |*| > а/2. Волновые функции в этих об-
областях будут совпадать с функцией B5,4), где А определяется
для состояний положительной и отрицательной четностей соот-
соответственно через В и С с помощью уравнений B5,5) и B5,10)
для каждого значения корня уравнения B5,6) и B5,11).
Согласно B5,12), в случае малых значений а УЧ/О (мел-
(мелкая яма достаточно малой ширины или глубокая яма очень ма-
малой ширины) частица массы ji имеет только один дискретный
уровень энергии, соответствующий значению kx ^Y2\aUujh. При
этом энергия частицы е «* Uo, значение \ = Bя/Й) Y(J0 — е « 0
и волновая функция B5,4) частицы вне ямы будет отлична от
нуля на сравнительно больших расстояниях вне ямы.
В случае трехмерной потенциальной ямы со значением
U(x, у, z), равным нулю внутри параллелепипеда со сторонами
а, Ь, с и равным бесконечности вне этого параллелепипеда, урав-
уравнение B5,1) распадается на три независимых одномерных урав-
уравнения типа B5,3). Следовательно, энергия будет определяться
тремя квантовыми числами
-*L(jL + ? + ji) „„„-123 B514>
Соответствующая волновая функция имеет вид
§ 25] ЧАСТИЦА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ 113
где
У — cos-^1^-, если п, = 1, 3, 5
|/1 sin-2^, если «,==2,4,6,...;
аналогичный вид имеют функции фп (у), tym (z).
Когда а Ф b ф с, каждому значению энергии соответствует
одна волновая функция B5,15). Другими словами, в системе от-
отсутствуют вырожденные состояния. Этот результат непосред-
непосредственно следует из свойств симметрии потенциальной энергии.
Потенциальная энергия остается инвариантной при вращениях
на 180° вокруг каждой из осей координат и при преобразовании
инверсии (xyz-+ — x, —у, —z). Следовательно, симметрия поля
относится к абелевой группе D2h- В этой группе результат при-
применения двух преобразований симметрии не зависит от того,
в какой последовательности они выполняются. Все неприводи-
неприводимые представления этой группы одномерны, и вырождение от-
отсутствует (см. § 19).
Когда а — Ь = с, энергия частицы выражается формулой
«!M2 + ^. B5,16)
В этом случае симметрия поля совпадает с симметрией куба.
Соответствующая группа симметрии Oh содержит одномерные,
двумерные и трехмерные неприводимые представления, поэтому
она может иметь двукратно и трехкратно вырожденные энерге-
энергетические уровни. Например, трем волновым функциям, с кванто-
квантовыми числами «1 = 5, и2=1. «3 = 1; «1 = 1, «2 = 5, 1Ц = 1;
rti = 1, «2=1. «з = 5 соответствует одинаковая энергия
27 Л2п2
~2 j-. Легко, однако, убедиться, что этой же энергии будет
соответствовать и волновая функция с квантовьщи числами
«1 = 3, м2 = 3, «з = 3. Это дополнительное вырождение обус-
обусловлено особым характером зависимости потенциальной энер-
энергии от координат, а не симметрией поля. Такое дополнительное
вырождение называют случайным вырождением. При исследова-
исследовании движения электрона в кулоновском поле (§§ 38, 39) мы
встретимся с аналогичным дополнительным вырождением по
квантовому числу /, отличающим кулоновское поле от всех дру-
других центрально-симметричных полей (см. также § 37).
Рассмотрим теперь одномерное движение частицы с энер-
энергией, превышающей высоту потенциальной ямы,т.е.при е > Uq.
2ii
В этом случае y2=-^-(U0 — e) <0 и у является мнимым. По-
Поэтому конечные решения вне ямы будут содержать не одну (какл
114 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. IV
в случае e<.Uo), а две постоянных. Следовательно, два од-
однородных уравнения, получаемые из условия непрерывности
"ф и -jjr-, на границе будут содержать три неизвестных. Такие
уравнения разрешимы для любых значений k (или е) — кван-
квантование энергии движения отсутствует.
Уровни энергии будуг двукратно вырожденными. Каждому
значению е > Uo соответствует два решения, которые вдали от
ямы изображаются функциями типа
Решение первого типа соответствует движению частицы вдоль
оси х, а решение второго типа — обратному движению частицы.
При исследовании движения частицы в прямоугольной потен-
потенциальной яме мы условились отсчитывать энергию системы от
диа потенциальной ямы, поэтому все значения энергии были по-
положительными. В физике часто в качестве нуля отсчега энергии
принимают потенциальную энергию бесконечно удаленных точек.
Чтобы перейти к этой нормировке, надо вычесть Uo из найден-
найденных выше значений энергии, тогда
. < 0 для дискретного спектра,
Е =Е — иог
¦={
> 0 для непрерывного спектра.
Исследуем более подробно решения одномерного уравнения
B5,3) для состояний непрерывного спектра при движении в
поле с потенциальной энергией
-и» если |! B5,17)
О, если | х | > Ь. '
При такой нормировке потенциальной энергии состояниям не-
непрерывного спектра соответствует энергия е > 0. В этих состоя-
состояниях частица свободно движется вне потенциальной ямы и мо-
может удаляться от нее как угодно далеко.
Если частица движется вдоль оси х, то, достигая потенциаль-
потенциальной ямы, она испытывает действие сил. При этом частица либо
отразится, либо «пройдет» потенциальную яму. Вычислим ве-
вероятности этих процессов. Напомним, что в § 24 такая задача
решалась методом ВКБ для потенциального барьера и потен-
потенциальной ямы. В области / (когда х < —Ь) решение уравнения
B5,3) имеет вид
§251 ЧАСТИЦА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ Ц5
Функции Aeik*x и Be~tk^ относятся соответственно к па-
падающим и отраженным частицам. В области /// (когда х> Ь)
решение берется в виде уходящих от ямы воли
В области // (когда — Ъ ^ х «^ Ъ) решение B5,3) имеет вид
я|зп = aeik* + Ре-'Ч где hk = |^2ц (е + Uo). B5,18)
I С I2
Чтобы вычислить коэффициенты прохождения D = -j- и отра-
I ВI2
жения R= -j , надо выразить амплитуды С и В через А.
Для этого приравняем функции "фщ и фп и их производные по х
на границе х = Ъ. В результате получаем два уравнения
'*6; -^- Ceik»b = аег*ь — $е~
Решение этих уравнений имеет вид
B5.19)
Приравнивая далее -фж и -фц и их производные при х = —Ь, иа-
ходим
U?) [ae~lkb - ре'*6].
Решая эти уравнения относительно А и В, а затем используя
B5,19), получаем
где с == 2& — ширина потенциальной ямы. Следовательно, коэф-
коэффициент прохождения
Таким же образом можно вычислить коэффициент отражения
R и показать,, что R = 1 — ?>.
U6 простейшие применения квантовой механики [гл, iv
Если sin(ka) ф О, то коэффициент прохождения отличается
от 1, т. е. имеется определенная вероятность отражения части-
частицы от потенциальной ямы. Однако при
sin (ka) = 0, или ka = nn, B5,21)
где п — целое число, коэффициент прохождения D = 1 и R = 0.
Подставляя в B5,21) значение k из B5,18), находим энергии
8П, при которых коэффициент отражения равен нулю:
^n2-U0>0, B5,22)
где п — целое число.
Итак, при положительных энергиях еп, удовлетворяющих ра-
равенству B5,22), коэффициент прохождения D = 1. Эти значе-
значения энергии называются резонансными энергиями. Из условия
положительности е„ следует, что квантовые числа резонансных
энергий удовлетворяют неравенству
При этом, согласно B5,21), а = п-^, т. е. в яме укладывается
целое число полуволн. Расстояние между ближайшими резо-
резонансными энергиями определяется уравнением
Формула B5,22) совпадает (при учете нормировки начала
отсчета энергии) с выражениями B5,8) и B5,12), определяю-
определяющими энергию дискретных состояний частицы в глубокой яме.
Уровни энергии B5,22) иногда называют виртуальными уров-
уровнями энергии (см. § 123).
Предположим, что kn характеризует виртуальный уровень
при котором D = 1. Определим величину 6k, такую, чтобы при
k — kn-{-8k коэффициент прохождения D = '/а- Из B5,20) сле-
следует, что для этого необходимо выполнение равенства
Учитывая B5,21) и неравенство bk<&kn, можно, преобразовать
B5,24) к виду
§ 25] ЧАСТИЦА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ 117
Тогда из B5,23) находим изменение энергии
У 2Р
k0 \
,окок.
( ' ]
при котором D уменьшается до 7г- Величину бе„, определяемую
равенством B5,25), можно условно назвать полушириной вир-
виртуального уровня.
Предположим, что частица с энергией е = Й2Ао/Bц) < {/0
проходит через потенциальный барьер
если b >= | х |, 2b = a;
если b < | x |.
В области барьера решение уравнения B5,3) имеет вид
", где ftv =
Вне барьера решения tyi и фш совпадают с соответствующими
решениями для случая потенциальной прямоугольной ямы. Сле-
Следовательно, коэффициент прохождения прямоугольного барьера
можно найги из B5,20) путем формального преобразования
k -* —iy. Тогда, учитывая, что
sin(tz) = -?-^=—,
получаем
r
Обычно выполняется неравенство 2а\ ^> 1, поэтому
Если частица пролетает над барьером, то D снова определяется
формулой B5,20), где надо подставить k==-^ У2ц (е — {/о).
В заключение этого параграфа исследуем решение одномер-
одномерного уравнения B5,3). Для асимметричной потенциальной ямы
?/0, если х < 0,
U(x)= 0, если 0
Uu если х > а.
Пусть Е <с Uq, Vi тогда, вводя обозначения
и2
R » Yi
118 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. IV
можно написать общие решения уравнения B5,3) в трех обла-
областях (с постоянными значениями потенциальной энергии) в
виде
=j Asin(kx
Чтобы функция ф(*) была конечной при х—> ±оо, необходимо
положить Ао = Si = 0. Если мы интересуемся только возмож-
возможными значениями энергии, то вместо требования непрерывности
¦ф(х) и -j*-, при х = 0 и а, достаточно потребовать непрерыв-
непрерывности логарифмической производной -тг-д при тех же значе-
значениях х. Таким образом получаем два уравнения
Y = Actg6, Yi — — k ctg {ka + 6).
Подставляя значения у и \i, можно преобразовать эти равен-
равенства к виду
kb . t, kb ,,
¦ >. .i ' = Sin б, ,-: _ = — Sltl (ka
Исключая значение б, находим трансцендентное уравнение,
определяющее значения k,
ka~nn- arcsin^-arcsin ^, B5,26)
где п ==Т 2, 3, ... нумеруют возможные значения k в порядке
их возрастания; значения арксинуса берутся в интервале 0, л/2;
значения k могут лежать в интервале
Частица в яме имеет п дискретных энергетических уровией,
если при k = |Л2ц?/0/й значение ak больше правой часги равен-
равенства B5,26), т. е. при выполнении условия
л (и - -§-) - arcsin Ylfx - B5»27)
В частности, при п = 1 из B5,27) получаем условие того, что
в яме имеется по крайней мере один уровень. Если ?/о Ф &и то
всегда возможны столь малые значения а У4/о» при которых в
яме не будет ни одного разрешенного уровня энергии. Напом-
Напомним, что в классической механике частица может совершать
финитное движение в любой яме, если ее энергия достаточно
§ 260 ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 119
мала. При Vo = Ui условие B5,27) переходит в рассмотренное
выше условие B5,18), которое всегда выполняется при п = 1.
Этот вывод относится ко всем одномерным задачам. Именно,
если асимптотические значения U(oo) = U(—оо) и между ними
находится один минимум, то имеется по крайней мере один свя-
связанный уровень. Если U(oo) Ф U(—оо), го связанного состоя-
состояния может не быть. В случае двух и трех измерений в неглу-
неглубоких узких ямах может не быть связанных состояний — части-
частица «не захватывается» ямой и совершает инфинитное движение.
§ 26. Гармонический осциллятор
Потенциальная энергия многих физических систем обладает
минимумом в некоторой точке пространства. Разлагая потен-
потенциальную энергию в ряд по степеням отклонений от этой точки,
можно напирать
4(Щ ... B6,1)
где х — отклонение от положения равновесия, определяемого ус-
условием (-а—) =0- Если частица массы ц совершает малые ко-
колебания около положения равновесия,"то в ряду B6,1) можно
сохранить только два первых члена. Будем отсчитывать энергию
системы от значения U@); тогда классическая функция Гамиль-
Гамильтона может быть записана в виде
Якл = ^- + 4*2, B6,2)
где ? = D-5-) • Положим далее, что вид потенциальной энер-
энергии в B6,2) сохраняется и при больших значениях х (идеализа-
(идеализация реальной системы).
Классическое уравнение движения частицы, описываемой
функцией Гамильтона B6,2), имеет простой вид:
X (t) = A cos (erf + p), где ©=|ЩГ. B6,3)
В этом случае говорят, что частица совершает гармонические
колебания около положения равновесия, а соответствующие сис-
системы называют гармоническими осцилляторами. К такому роду
движений можно отнести колебания атомов в молекулах и твер-
твердых телах, колебания поверхности сферических атомных ядер
и Др.
Из B6,2) и B6,3) следует, чго энергия классических колеба-
колебаний гармонического осциллятора определяется выражением
1 B6,4)
120 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1ГЛ. IV
т. е. зависит от квадрата амплитуды колебания А или среднего
значения квадрата отклонения
Определим стационарные состояния гармонического осцилля-
осциллятора методами квантовой механики. Заменяя в B6,2) классиче-
классические величины соответствующими операторами в координатном
представлении, получим уравнение Шредингера
<os
Перейдем в этом уравнении к безразмерным переменным
&=*/?• е^Ц. B6,5)
Тогда получим уравнение второго порядка
A) = 0. B6,6)
Подставив значение ty(g) = t>(!j) exp (—|2/2) в B6,6), находим
уравнение для функции у(|)
v" — 2?t>' + (е — 1) v = О,
где штрих означает дифференцирование по g. Чтобы ф(|) было
конечным, необходимо, чтобы решения v представляли собой
полиномы конечного порядка относительно g. Такие решения су-
существуют, если
8—1=2п, п = 0, 1, 2, ...
Каждому значению п соответствует полином n-го порядка,
который называется полиномом Эрмита
Нормированные волновые функции стационарных состояний
гармонического осциллятора имеют вид
Ч>„ (Б) = [n!2" Vn ]"* Нп (|) ехр (- |2/2). B6,7)
Используя B6,5), находим значение энергии
?„ = /ш(п+72), B6,8)
которому соответствует одна функция B6,7), следовательно,
вырождение отсутствует. Энергия основного состояния Ео =
= йсо/2 называется нулевой энергией.
Поскольку потенциальная энергия осциллятора инвариантна
относительно преобразования инверсии, то стационарные со-
§ 2fl ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР |21
стояния подразделяются на четные и нечетные. Все состояния с
четными п относятся к четным состояниям. Состояния с нечет-
нечетными п—к нечетным, их волновые функции меняют знак при
преобразовании х —¦—х. В этом легко убедиться, если выписать
явный вид первых полиномов Эрмита
В общем случае условие четности определяется равенством
B6,7). Полиномы Эрмита удовлетворяют простым рекуррент-
рекуррентным соотношениям:
гнп (D=пя„_, (D+1 я„+1 а), B6,9)
^ A), B6,10)
знание которых полезно при вычислениях.
Вычислим, например, среднее квадратичное отклонение от
среднего значения | в состоянии фп(?). Среднее значение
так как под интегралом стоит нечетная функция g. Поэтому
(ДЕ2>„ = (>>„= \ЫЪп<%. B6,11)
—¦00
Используя B6,9), находим
Применяя это соотношение еще раз, имеем
у B6,13)
Подставляя B6,13) в B6,11) и учитывая ортонормированность
функций фп(I), получаем
= n-t4. или (*2>„ = (п + |)—• B6,14)
При написании последнего выражения мы учли B6,5). Из
B6,14) следует, что среднее значение квадрата амплитуды нуле*!
вых колебаний определяется выражением
122
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
[ГЛ. IV
При помощи B6,14) формулу B6,8) можно преобразовать, к
виду
>„• B6,15)
Сравнивая B6,15) и B6,4), мы видим, что энергия в классиче-
классической и квантовой теории одинаково выражается через среднее
значение квадрата отклонения от положения равновесия.
Пользуясь B6,12) и учитывая ортонормируемость функций
фп, легко вычислить матричные элементы оператора координаты
Г ъ "ТА»
[цш 2J °т>»-ь
'б *
Дифференцируя функцию ф„ по g и учитывая B6,10), находим
B6,16)
или
Из соотношения B6,16) при учете B6,12) следуют два полезных
соотношения
7Г
B6,17)
Введем оператор /*| —~'Ж' K0TOPbIH B СИЛУ B6,5) связан
с оператором импульса рх = — ih~g— соотношением
Тогда соотношения B6,15)-можно записать в виде
где операторы определены равенствами
B6,18)
B6,19)
B6,20)
С помощью B6,19) можно последовательным применением
оператора й* получить волновую функцию n-го соетояиия из
f (l ~ ag)=WE ~ ^
§ 260 ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 123
волновой функции нулевого состояния:
^„ = ^1^(^L0. B6,21)
Вид волновой функции %> с точностью до множителя норми-
нормировки может быть получен из условия dtyo = 0, которое следуег
из B6,19). Подставляя явный вид оператора й в координатном
представлении B6,21), получим дифференциальное уравнение
определяющее функции tyo(?) в координатном представлении.
Решение этого уравнения имеет простой вид
Пользуясь B6,20), легко убедиться, что операторы удовлетво-
удовлетворяют перестановочным соотношениям
[й,д*]=*1. B6,22)
Путем последовательного применения B6,19) можно доказать
равенства
" — (n )i|>n, I B6,23)
из которых также следует B6,22).
Из B6,23) находим, что собственные значения произведений
операторов Й<2+ и Й+<2 равны соответственно (п + 1) и п. Сле-
Следовательно, матрицы этих операторов в своем собственном пред-
представлении диагональны:
рели использовать B6,24), то легко вычислить собственные
значения оператора Гамильтона, получаемого из B6,2) при пе-
переходе к операторам. Действительно, при учете B6,5) и B6,18)
находим
= -g- \t* + p0. B6,25)
С другой стороны, согласно определению операторов B6,24),
имеем
Таким образом,
нтп=-^ (I2 + />!)mn=~ № + йй+)т„=й(о (п +1)^»=^
Еп = Йсо (n -f -j •
или
ГЛАВА V
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
§ 27. Различные представления вектора состояния
В §§ 2 и 3 для изображения состояния мы использовали вол-
волновую функцию -фаA, t), являющуюся функцией совокупности
координат | в определенный момент времени t. Индексом а
у волновой функции обозначают набор значений физических ве-
величин или соответствующих квантовых чисел, которые опреде-
определяют состояние. В связи с этим индекс а обычно называют
индексом состояния.
Описание состояния с помощью функции, зависящей от коор-
координат (волновой функции), называется координатным пред-
представлением. Квадрат модуля нормированной волновой функции
координатного представления определяет плотность вероятности
обнаружения в данном состоянии определенных значений коор-
координат |. Буква ?, обозначающая совокупность значений пере-
переменных, от которых зависит волновая функция, называется ин-
индексом представления.
В первых трех параграфах этой главы мы будем исследовать
состояния в один определенный момент времени, поэтому время
явно не будет указываться. Наряду с ранее использованным
обозначением волновой функции 1|за(?) в координатном пред-
представлении будем пользоваться введенным Дираком скобочным
обозначением (?|о), т. е. положим
Фв(Б) = <Б|а>- B7,1)
Удобство скобочных обозначений проявится в дальнейшем из-
изложении. Согласно Дираку [11], любое состояние а квантовой
системы можно описать'(независимо от выбора представления)
некоторой величиной, которая называется «кет»-вектором и обо-
обозначается символом |а). Вследствие принципа суперпозиции
(§ 3) «кет»-векторы можно складывать, и умножать на ком-
комплексные :-скалярные величины и получать новые «кет»-векторы.
Совокупность всех возможных «кет»-векторов образует аб-
абстрактное комплексное векторное пространство бесконечного
числа измерений, которое называют гильбертовым простран-
пространством. '
§ 27] РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 125
Каждому «кет»-вектору \а) можно сопоставить дуальный
вектор состояния «бра», который обозначается символом (а|
и связан с «кет»-вектором простым соотношением (а| = |а)+.
Поэтому любое состояние динамической системы можно описать
как «кет»-вектором, так и «бра»-вектором. Совокупность всех
возможных «бра»-векторов образует пространство, дуальное к
гильбертовому .пространству «кет»-векторов. «Кет»- и «бра»-век-
торы имеют'различную природу, поэтому их нельзя складывать.
Следовательно, они не могут быть разбиты на чисто веществен-
вещественную и чисто мнимую части. Это комплексные величины особого
рода. Эрмитовые операторы Р = Р* действуют на «кет»-векторы
слева, а на «бра»-векторы — справа и преобразуют их в другие
векторы состояний соответственно «кет» или «бра». Например,
если
\b) = F\a),
то
Названия «бра» и «кет» соответствуют двум частям английского
слова bracket — скобка, так как скалярное произведение двух
«кет»-векторов \а) и \Ь) обозначается скобкой {Ь\а). Оно обра-
образуется путем умножения «кет»-вектора \а) на «бра»-вектор,
дуальный к «кет»-вектору \Ь). Скалярное произведение {Ь\а)
является обычным комплексным числом и удовлетворяет ра-
равенству {Ь\а) = {а\Ь) *.
Вследствие принципа суперпозиции состояние квантовой си-
системы характеризуется только направлением вектора \а) в
гильбертовом пространстве, а не его величиной. Поэтому обыч-
обычно векторы состояний нормируются к единице *) условием
(а|а)=1. Последнее условие определяет вектор состояния с
точностью до фазового множителя exp(icp) с вещественным <р,
так как векторы \а) и |а)ехр(?ф) имеют одну и ту же длину.
Координатное представление вектора состояния \а) изобра-
изображается волновой функцией B7,1), зависящей от координат |.
Согласно определению скалярного произведения, волновую
функцию координатного представления B7,1) можно рассмат-
рассматривать как скалярное произведение вектора состояния \а) и
векторов состояний |g) для всех значений координат ?, рас-
рассматриваемых как индексы состояний. Другими словами, сово-
совокупность значений (?|я) представляет собой совокупность
проекций вектора состояния на полную базисную систему
*) В § 10 было показано, что собственные функции операторов с непре-
непрерывным спектром нельзя нормиро;вать обычным путем. Соответствующие этим
состояниям «кет»-векторы также имеют бесконечную длину.
126 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. V
векторов Ц). Волновая функция (Ца), как и другие скалярные
произведения, является обычным комплексным числом.
Координатное представление B7,1) вектора состояния не яв-
является единственным. Подобно тому как в обычном трехмерном
пространстве любой трехмерный вектор может быть определен
своими координатами в некоторой произвольно выбранной си-
системе трех ортогональных единичных базисных векторов еи е2,
е3, так и вектор состояния в гильбертовом пространстве может
быть определен через значения «своих координат» — волновых
функций. В гильбертовом пространстве в качестве базисных век-
векторов используются полные системы ортонормированных век-
векторов или соответствующих им базисных функций. Мы уже
знаем (см. §§ 9 и 10), что совокупность собственных функций
любого эрмитового оператора квантовой механики образует
полную ортонормированную. систему функций, поэтому любую
такую совокупность функций можно использовать в качестве
базисной системы.
Совокупность коэффициентов {F\d) разложения \а) =
= 21 F){FIа) вектора состояния \а) по собственным векто-
F
рам \F) оператора Р называется волновой функцией состояния
\а) в представлении, соответствующем оператору Р, или /'-пред-
/'-представлением. Таким образом, вектор состояния можно записать
в энергетическом представлении (^-представление), в импульс-
импульсном представлении (/^-представление) и т. д.
Поясним вышесказанное примерами. Рассмотрим для просто-
простоты состояние движения одной частицы. Для описания состояния
выберем две системы базисных функций: 1) собственные функ-
функция, соответствующие оператору, имеющему дискретный спектр
собственных значений, 2) собственные функции, соответствую-
соответствующие оператору, имеющему непрерывный спектр собственных
значений. Полученные результаты легко обобщить на случай
операторов, имеющих • как дискретный, так и непрерывный
спектр собственных значений.
а) Энергетическое представление (?-представ-
ление). Для изображения вектора состояния \а) выберем в ка-
качестве базисных функций собственные функции оператора Га-
Гамильтона, имеющего дискретный спектр собственных значений.
Обозначим эти функции в координатном представлении через
. B7,2)
Для комплексно сопряженных функций используем обозначение
Фя„.Ш-<^|1>- B7,3)
Таким образом,
\ B7,4)
S m РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 127
Свойство ортонормируемости собственных функций B7,2)
можно записать в виде
©Фд (Е) = *д д, • B7,5)
или, используя скобочные обозначения для функций,
|Еп) в<?т| ?„> = 6?т.v B7,5а)
Чтобы перейти от координатного i]>o(t) = (||а) к энергети-
энергетическому представлению вектора состояния i])o =э |а), разложим
функции координатного представления по базисным функциям
B7,2); тогда получим в двух формах записи:
F)*.(«)
«>. B7,6а)
Набор коэффициентов разложения i{>o(?n) ^ (Еп\а) и является
волновой функцией состояния \а) в энергетическом. представ-
представлении.
Независимой переменной волновой функции в ?-представле-
нии является энергия системы, пробегающая дискретный ряд
значений. Квадрат модуля волновой функции в ^-представлении
определяет вероятность найти систему с соответствующим зна-
значением энергии, т. е.
Если функции координатного представления.были нормированы,
то будут нормированы и функции в новом представлении.
В этом легко убедиться, если подставить в условие нормировки
функций координатного представления (^представление)
значения
{аЛ) = 2(а\Еп){Еп\1) и (||а>= 2<SI?„><?„Iа).
п п
Тогда, учитывая B7,5а), находим
2 <а !?„><?,, |а>-21 Ф
что и является условием нормировки волновых функций в
^-представлении.
128 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 1ГЛ. V
Пользуясь свойством ортонормируемости B7,5а) базисных
функций B7,2), можно из B7,6) получить обратное преобразо-
преобразование
()jn, B7,7)
или
j\a). B7,7а)
Из B7,7а) следует, что преобразование функций координат-
координатного представления (?|я) в функции {Еп\а) энергетического
представления осуществляется с помощью функций (?„||) =
— (||?"п)+. Преобразование B7,6а) переводит функции ?-пред-
ставления в функции ^представления. Это преобразование осу-
осуществляется функциями (Ц/;^), являющимися собственными
функциями оператора Гамильтона в координатном представ-
представлении.
б) Импульсное представление. В импульсном пред-
представлении (/^-представление) базисными функциями являются
собственные функции оператора импульса
= <Е|р>, B7,8)
удовлетворяющие соотношениям ортонормируемости
или
J d% (pf 11) {I | p) = <p' | p) э б (p' - p). B7,9)
Разлагая функцию i])a(!) состояния a no полной системе функ-
функций B7,8), находим
или
(l\a)=\dp{l\p){p\a). B7,10)
Функции tyaip) ss {p\a) определяют вектор состояния \а)
в импульсном представлении. Квадрат модуля этих функций
равен плотности вероятности в импульсном пространстве
^?l B7,11)
Преобразование, обратное к B7,10), имеет вид
§ 27] РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 129
Итак, вектор состояния системы \а) может быть изображен
несколькими волновыми функциями, зависящими от разных пе-
переменных, что можно записать в виде схемы
(Ца), ^-представление;
(Е„ | с), ^-представление;
(РI о), /^-представление;
В общем случае переход от волновой функции {т\а), опре-
определяющей состояние в m-представлении, к какому-либо другому
представлению, например ^-представлению, осуществляется с
помощью соотношения
(<7|a} = 2(<7lm>(m|a), B7,12)
т
где функции преобразования {q\tn) являются собственными
функциями оператора, соответствующего физической величине
т в ^-представлении. Обратное к B7,12) преобразование имеет
вид
2>, B7,13)
где функции преобразования {m\q) = {q\m)f являются соб-
собственными функциями оператора, соответствующего физической
величине q, в m-представлении. Если переменные m в B7,12)
или q в B7,13) пробегают непрерывные значения, то суммиро-
суммирование следует заменить интегрированием по всем значениям
этой переменной.
Формулы B7,12) и B7,13) показывают удобство дираков-
ских (скобочных) обозначений векторов состояний при иссле-
исследовании вопросов перехода от одного представления к другому.
В самом деле, формулы B7,152) и другие можно писать фор-
формально, если учесть, что в силу условий полноты собственных
функций операторов (§§ 9, 10) имеют место соотношения
тКт|=1' или \\
B7,14)
и т. д. Таким образом, например,
(q\a)=jdp(q\p)(p\a).
Этот процесс можно продолжать, например,
{q\a) = j dp{q\p){p\a) = j dpdUq\p).{p\l){l\a).
Б А. С. Давыдов
130 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. V
Рассмотрим явный вид некоторых функций преобразования
от одного представления к другому.
1) Явный вид нормированной условием B7,9) собственной
функции импульса B7,8) в координатном представлении сле-
следующий (см. § 10):
Эта функция преобразует импульсное представление в коорди-
координатное представление. Функция обратного преобразования
является' функцией координаты в импульсном представлении.
Эта функция является комплексно сопряженной функцией к
функции прямого преобразования.
2) Собственные функции оператора углового момента в ко-
координатном представлении можно записать в виде
B7,15)
где углы G и ф определяют направление единичного радиуса-
вектора. Функция B7,15) нормированы условием
J
= J du (lm 16ф> Fф | I'm') = Ьп'Ьтт: B7,16)
Функции B7,15) осуществляют преобразование от представле-
представления угловых моментов к координатному представлению, а функ-
функция (//п|6ф) осуществляет обратный переход от координатного
представления к представлению угловых моментов. Если ввести
единичный вектор я =—, направление которого определяется
углами G и ф, то можно написать
Эти функции нормированы условием
2 (к 11т) {1т | п') = <л | л') = б (л - л').
1,т
Если углы в, Ф определяют направление вектора импульса,
то функции
являются собственными функциями оператора углового момента
в импульсном представлении.
§ 281 РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ 131
Как уже отмечалось ранее, векторы состояний определяются с точностью
до фазового множителя е'°, модуль которого равен 1. Выбор такого множи-
множителя определяется условием простоты записи. В некоторых приложениях,
например, вместо функций B7,15) удобнее пользоваться функцией ^
§ 28. Различные представления операторов
Произведение |6)(а|, в котором «кет»-вектор стоит слева
от «бра»-вектора, является оператором. Подобно тому как лю-
любой вектор состояния \а) можно разложить с помощью равен-
равенства
по полной системе ортонормированных векторов \Fm) операто-
оператора Р, так и любой оператор А можно разложить по полной си-
системе операторов \Fm){Fn\- В самом деле, если
А= IiAmn\Fm){Fn\,
т, п
то из свойств ортонормируемости векторов \Fm) однозначно
определяются матричные элементы разложения:
Amn = (Fm\A\Fn).
В частности, разложение единичного оператора / имеет вид
В координатном представлении операторы выражаются
функциями от координат и производных по координатам. Дей-
Действуя на функции координатного представления, операторы
преобразуют эти функции в другие функции того же представ-
представления. Например, действие оператора Р на функцию tpa(I) опре-
определяется равенством
или в обозначениях Дирака
РA\а). B8,1)
При переходе от координатного к другим представлениям
вектора состояния необходимо осуществлять и преобразование
операторов. Определим вид оператора Р в энергетическом пред-
представлении. Для этого преобразуем функции координатного пред-
представления
{II а) = 2"(| I Еп) {Еп \а), (| | Ь) =. 2 & I Еп) {Еп \ Ь).
n
132 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [ГЛ, V
Подставим полученные выражения в B8,1), затем умножим
это уравнение слева на {Ет\%), проинтегрируем по |. Тогда,
учитывая свойство ортогональности
находим
{Ет\b)=Ii{Em\F\En){En |a), B8,2)
n
где
<*«1*|*.>- J dl(Em\l)F(HE,)^ J dWEjDHeJD^F^
B8,3)
Зная все величины B8,3), мы можем по формуле B8,2) пе-
перейти от вектора состояния \а), заданного в энергетическом
представлении функцией (?„|а), к вектору состояния \Ь), за-
заданному в энергетическом представлении функцией (Ет\Ь). По-
Поэтому совокупность всех величин B8,3) следует рассматривать
как оператор Р в энергетическом представлении.
Совокупность всех чисел Fmn, в общем случае являющихся
комплексными, образует матрицу, которую обозначают (Fmn).
Сами величины Fmn =з {Ет\ Р\Еп) называют матричными эле-
элементами оператора Р в энергетическом представлении.
Если энергетические уровни Еп не вырождены, то матрица
{Fmn) изображается квадратной таблицей с бесконечным чис-
числом строк, нумеруемых индексом пг, и бесконечным числом
столбцов, нумеруемых вторым индексом п. В-случае вырожде-
вырождения каждый индекс тип характеризует свою совокупность
квантовых чисел (которые иногда выписываются в явном виде),
определяющих состояние системы; поэтому матрица
(Fmn)^({a'b'c' ...\F\abc...))
будет многомерной матрицей. Сводка основных свойств матриц
приведена в мат. дополн. В.
Из определения самосопряженного (эрмитового) оператора
G,4) следует, что самосопряженные операторы в энергетиче-
энергетическом представлении (и любом другом дискретном представле-
представлении) изображаются эрмитовыми матрицами, так как выпол-
выполняются равенства
* tan == Fnm>
§ 231 РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ 133
Представляя совокупность величин {Еп\а), выражающих
вектор состояния \а) в ^-представлении, в виде матрицы с од-
одним столбцом
можно рассматривать B8,2) как произведение матриц.
Если в качестве оператора Р взять оператор Гамильтона Й,
то этот оператор в энергетическом представлении будет изобра-
изображаться диагональной матрицей
что непосредственно следует из B8,3), если учесть, что функ-
функции E|?„) являются собственными функциями оператора Й,
т.е.Й{1\Еп) = Еп{ЦЕп).
Определим теперь вид оператора F в р-представлении. Для
этого разложим функции координатного представления, входя-
входящие в B8,1), по собственным функциям оператора импульса в
координатном представлении
<| |й> = J dp(l \р)(р\а), <| |6> = J dp{l \p)(р\Ь).
Подставляя эти значения в B8,1), находим после умножения
на (р'||) и интегрирования по ?, при учете условия ортогональ-
ортогональности
/>), B8,4)
следующее соотношение:
<//|6>=Jdp<//|f|/>>(p|a>, B8,5)
где
$Pp) B8,6)
— совокупность величин, зависящих от двух индексов р и рг
которые можно назвать матричными элементами оператора F,
образованными с помощью функций преобразования (?|р).
Совокупность всех матричных элементов B8,6) является
оператором» физической величины F в импульсном представле-
представлении. Равенство B8,5) указывает правило, с помощью которого
оператор B8,6) переводит одни функции импульсного представ-
представления в другие функции импульсного представления.
Хотя индексы р' и р в B8,6) изменяются непрерывно, тем
не менее из формальных соображений удобно рассматривать
134 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [ГЛ. V
совокупность всех значений матричных элементов B8,6) как
матрицу бесконечного ранга, число строк и столбцов которой
несчетно. При таком толковании правую часть равенства B8,5)
можно рассматривать как произведение матриц, индексы кото-
которых изменяются непрерывно, вследствие чего суммирование за-
заменяется интегрированием.
Чтобы пояснить вышесказанное, вычислим в явном виде опе-
оператор импульса и координаты в импульсном представлении. Для
простоты рассмотрим одномерное движение вдоль оси х. В ко-
¦Z д
ординатном представлении оператор импульса р*= — ш-гу-.
В импульсном представлении оператор B8,6) изображается не-
непрерывной матрицей с элементами
{p'\P\p)=jdx(p'\x)p(x\p). B8,7)
Учитывая, что функции {х\р) являются собственными функция-
функциями импульса, т. е. р{х\р) = р{х\р), и свойство ортогональности
B8,4), преобразуем B8,7) к виду
(Р'\Р\Р) = РНР'-Р). B8,7а)
Таким образом, оператор импульса в импульсном представле-
представлении изображается диагональной непрерывной матрицей.
Подставляя B8,7а) в B8,5), имеем
<р\Ь) = р(р\а). B8,8)
Итак, согласно B8,8), действие оператора импульса на функ-
функции в импульсном представлении сводится к умножению этих
функций на значение импульса. Этот результат легко обоб-
обобщается на трехмерный случай — достаточно заменить р вектор-
векторной величиной.
Определим вид оператора координаты в импульсном пред-
представлении. Пользуясь общим выражением B8,6), имеем
(p'\Jt\p)=jdx(j)'\x)x(x\p). B8,9)
Учитывая явный вид собственных функций оператора импульса
легко убедиться, что умножение на х этой функции сводится
к преобразованию
x{x\p) = -ih-~
§ 2g) РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ 135
Поэтому матричный элемент B8,9) преобразуется к виду
\р) = - М-§? J dx(jf \х)(х |р>= - ih^bip'-p). B8,9a)
Таким образом, бесконечная непрерывная матрица, соответ-
соответствующая оператору координаты „в импульсном представлении,
имеет матричные элементы B8,9а). Подставляя B8,9а) в B8,5),
находим после интегрирования по частям
Следовательно, можно сказать, что координате х соответствует
в импульсном представлении дифференциальный оператор
Z = in-fL. B8,10)
Итак, явный вид операторов зависит от вида представления.
В § 30 будет показано, что перестановочны^ соотношения между
операторами не меняются при переходе от одного представле-
представления к другому. В частности, используя полученные выше ре-
результаты, можно убедиться, что перестановочное соотношение
выполняется как в координатном, так и в импульсном пред-
представлениях.
В общем случае условие самосопряженности (эрмитовости)
операторов в матричных обозначениях сводится к равенству
a'\F\a) = {a\F\ar) ss{a'\F\a), B8,11)
выражающему эрмитовость соответствующей матрицы. Из
B8,11) следует, что диагональные элементы операторов кванто-
квантовой механики, изображаемых матрицами, являются действитель-
действительными числами.
Выше мы показали, что операторы координаты и импульса
в импульсном представлении могут изображаться либо непре-
непрерывными матрицами, либо функциями от импульсов и производ-
производных по импульсам. Для трехмерного случая эти выражения
имеют вид
? = р, или <р'|р|р> = рб(р'-р), 1 о
или <р'|г|р>«=- "" •' ' ' '
Значок р у оператора Vp указывает, что производные берутся по
компонентам импульса, т. е. х = Ш~д—, (/ = Иг-д— и т. д.
Пользуясь B8,12), легко можно написать в р-представлении
явный вид операторов, соответствующих физическим величинам,
136 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ, V
выражающимся в классической физике через функции от коор-
координат и импульсов.
Так, например, оператор Гамильтона, имеющий в координат-
координатном представлении вид
в импульсном представлении принимает вид
fi=*?+VWp), B8,13)
или в матричной форме
,<р'|Я|р> = ^б(^-р) + 1/(-ЙУр)б(р'-Р).
Выпишем, наконец, матричную форму операторов в коорди-
координатном представлении. Оператор координаты изображается диа-
диагональной непрерывной матрицей
Оператор любой физической величины, зависящей только от
координат, также является диагональной матрицей
Оператор импульса изображается матрицей
В практических приложениях наиболее часто используется
координатное представление. Это обусловлено тем, что энергия
взаимодействия выражается функцией от координат частиц и
в координатном представлении совпадает с соответствующим
оператором. Кинетическая энергия является простой функцией
от импульса. Поэтому ее оператор в координатном представле-
представлении также имеет простой вид. При исследовании систем, состоя-
состоящих из слабо взаимодействующих частиц, часто используется
импульсное представление. При приближенном решении кванто-
вомеханических задач (см. гл. VII) часто используется ?-пред-
ставление.
В качестве примера применения импульсного представления решим вве-
введенное в § 23 одномерное уравнение Шредингера B3,5)
B8Л4)
Согласно B7,10), с точностью до множителя Bлй)-'/», можно написать
где <р(р)—волновая фуикция частицы в импульсном представлении
J
dP B8,15)
§ 281 РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ J37
Заменяя, согласно-B8,13), в уравнении B8,14) .оператор Гамильтона ко-
координатного представления оператором импульсного представления, находим
эквивалентное уравнение Шредингера в импульсном представлении
Решение этого уравнения (с точностью до произвольной постоянной) можно
написать сразу:
Ф(р)-ехр(—gj^). B8,16)
Подставляя B8,16) в B8,15) и вводя новую переменную
А (*•-*), B8,17)
мы найдем искомое решение уравнения B8,14) в виде ненормированной вол-
волновой функции в координатном представлении
оо
где
—функция Эйри. Функция Эйрн выражается через функции Бесселя (см. мат.
дополн. Г) порядка '/з с помощью соотношений [121
если | >0;
B8,18)
если
В ряде приложений приходится вычислять матричные эле-
элементы от произведений операторов. Пользуясь условием B7,14)
полноты собственных функций, такие матричные элементы легко
преобразовать к суммам произведений матричных элементов
каждого из операторов в отдельности. Например, если \т) —
собственные функции оператора с дискретным спектром, то
{т IFK I mf) = S (m | F \ т") {т" | К I т'). B8,19)
Если \р) — собственные функции оператора с непрерывным
спектром, то
{р \FK I/O = j (P \F \P") (P" \К \Р') dp". B8,19а)
Эти правила легко обобщаются на случай произведения боль-
большего числа операторов.
138 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [ГЛ. V
В заключение этого параграфа укажем вид выражения, опре-
определяющего, среднее значение физической величины F в произ-
произвольном состоянии, которое описывается вектором состояния в
представлении оператора с дискретным спектром. Пусть, напри-
например, состоянию а соответствует волновая функция {Еп\а) в Е-
представлении. Оператор Р в этом же представлений опреде-
определяется матрицей {Ет\Р\Еп), поэтому среднее значение F в со-
состоянии а будет
<а|Ла>= %{а\Ет){Ет\Р\Еп)(Еп \а). B8,20)
т, п
Кроме среднего значения B8,20), в данном квантовом состоянии часто
приходится вычислять средние значения по той нли иной совокупности со-
состояний, которая в общем случае определяется матрицей плотности (см.
§ 14). Таковы, например, усреднения по спиновым состояниям н статистиче-
статистические усреднения.
Прн описании состояния матрицей плотности р среднее значение физиче-
физической величины L определяется формулой A4,8), которую мы запишем в
виде
(L) - Sp (F) » 2 (at \f\ at), B8,21)
где F = ip — произведение матрицы оператора L и матрицы плотности р.
Легко убедиться, что значение B8,21) не зависит от выбора представле-
представления. В самом деле, прн переходе к новому представлению
Подставляя это значение в B8,21), имеем
(L) = S («I \П а*>= 2 <«| \F IP,) (Р/
i i, i
1(/|^>(,||/>2(
В случае чистых состояний \а) статистический оператор р имеет вид
р = |а)(а|. B8,22)
Его матричные элементы, образованные на любой полной ортонормированной
системе векторов \п), образуют матрицу плотности
Pmn = (mla)(d\n). B8,23)
§ 29. Определение собственных функций и собственных
значений операторов, задаваемых в виде матриц
Операторы Р в представлениях, соответствующих операто-
операторам, имеющим непрерывный спектр собственных значений
(r-представление, р-представление и др.), могут быть записаны
в виде дифференциальных выражений. В этом случае собствен-
собственные функции и собственные значения этих операторов находятся
при решении дифференциальных уравнений. Для операторов,
§ 29] ОПЕРАТОРЫ, ЗАДАВАЕМЫЕ В ВИДЕ МАТРИЦ 139
задаваемых в координатном представлении, такие уравнения ис-
исследовались в § 8. В общем случае они имеют вид
В представлениях, соответствующих операторам дискретного
спектра, операторы выражаются матрицами, и все волновые
функции являются функциями переменных, пробегающих дис-
дискретные значения. Поэтому эти волновые функции можно изо-
изображать одностолбцовыми матрицами. Чтобы определить пра-
правила нахождения собственных значений и собственных функций
операторов в представлениях с дискретным спектром, перейдем
в уравнении B9,1) к соответствующему представлению. Для
примера рассмотрим ^-представление; тогда, подставляя в
B9,1) разложение
ЪР (I)« <6 IО = 2 F \Еп
умножая на (?™||) и интегрируя по всем значениям перемен-
переменных |, получаем систему линейных уравнений:
/'>==o, B9,2)
п
где
{Em\F\ En) =j{Em\l)F(l\ En) <Ц B9,3)
— матричные элементы оператора физической величины F
в ^-представлении. {En\F) = ^(Я,,)— волновая функция в
^-представлении.
Система уравнений B9,2) является бесконечной системой
однородных линейных уравнений относительно неизвестных
функций (En\F). Чтобы эта система имела отличные от нуля
решения, необходимо обращение в нуль детерминанта, состав-
составленного из коэффициентов этой системы уравнений, т. е.
||<?m|F|?n)-F6ran||=0. B9,4)
Относительно F уравнение B9,4) является уравнением беско-
бесконечно высокой степени, оно имеет бесконечное число корней
' 1> * 2> • • •» * mt • • •
Корни уравнения B9,4) и являются собственными значениями
оператора, соответствующего физической величине F.
Подставляя одно из найденных собственных значений, напри-
меР F-т, в систему уравнений B9,2) и решая ее, мы определим
собственную функцию, соответствующую этому собственному
140
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
[ГЛ; V
значению. Эта собственная функция будет изображаться одно-
одностолбцовой матрицей
i{En\Fm))
(E2\Fm)
{E3\Fm)
B9,5)
Используя преобразования, рассмотренные в § 27, можно найти
вид собственных функций B9,5) в любом другом представлении.
Например, переход к координатному представлению осущест-
осуществится преобразованием
(I1^) =
\Еп) {Еп \Fm)t
B9,6)
где (g|i?n) — собственные функции оператора энергии в коорди-
координатном представлении.
Корни уравнения ?29,4) образуют диагональную матрицу
Ft 0 0, ...
О F2 0, ..
О О Fз, ...
B9,7)
Диагональная матрица B9,7) является изображением опера-
оператора Р в своем собственном представлении. В самом деле, если
(||Fn) есть собственная функция оператора Р, то
{Fm \F \Fn)=
Итак, задачу о нахождении собственных значений оператора,
заданного в форме матрицы, можно рассматривать как задачу
о приведении этой матрицы к диагональному виду. В курсах
математики доказывается, что эрмитовы матрицы всегда могут
быть приведены к диагональному виду.
Вышесказанное непосредственно обобщается на случай пред-
представлений, в которых операторы задаются непрерывными матри-
матрицами, если соответствующие суммы заменить интегралами. При
этом система уравнений B9,2), определяющая собственные
функции и собственные значения, заменяется интегральным
уравнением. Например, нахождение собственных значений и
собственных функций оператора (Е'!^!?), заданного в коорди-
координатном представлении непрерывной матрицей, сводится к реше-
решению интегрального уравнения
которое эквивалентно дифференциальному уравнению B9,1).
§ 301 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 141
§ 30. Общая теория унитарных преобразований
В предыдущих параграфах этой главы мы исследовали част-
частные случаи преобразований волновых функций и операторов от
одного представления к другому, т. е. от одних независимых пе-
переменных к другим независимым переменным. Таковы, напри-
например, были преобразования
я>, (зол)
(l\b)*=jdpG\p)(p\b), C0,2)
осуществляемые функциями преобразования (!)?„) и (?|р), ко-
которые являются собственными функциями соответственно опера-
оператора энергии и импульса в координатном представлении. Эти
функции удовлетворяют условиям ортонормируемости
т,Еп, C0,3)
-p). C0,4)
Для исследования общих свойств таких преобразований усло-
условимся записывать их в символической форме, изображая преоб-
преобразование как результат действия некоторого оператора, т. е.
вместо C0,1) напишем
{l\a) = S(l,En){En\a), C0,5)
где S(|, En) следует рассматривать как матрицу с непрерывно
меняющимся первым индексом и дискретным вторым индексом.
В этом случае правую часть C0,5) следует понимать как произ-
произведение матрицы S(|,Еп) на столбцовую матрицу ((Еп\а)).
Преобразование C0,2) кратко можно записать в виде
(E|6>-S(g,p)<p|6>. C0,6)
При этом под S(tj,,p) следует понимать интегральный оператор,
ядром которого является собственная функция оператора им-
импульса в координатном представлении. ,
Переход от одних независимых переменных к другим назы-
называется каноническим преобразованием. Таким образом, преоб-
преобразование C0,5) является каноническим преобразованием от
переменных Еп к переменным •?, преобразование C0,6) является
каноническим преобразованием от переменных р к перемен-
переменным |.
Запишем обратное к C0,6) преобразование в виде
142 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [ГЛ. V
Учитывая, что
{р\Ь) =
мы видим, что S является интегральным оператором с ядром
(?|р)+ J таким образом,
или
S+S=l. C0,7)
Оператор, удовлетворяющий условию C0,7), называется уни-
унитарным оператором. Итак, мы приходим к заключению, что ка-
канонические преобразования осуществляются унитарными опера-
операторами.
В общем случае каноническое преобразование функции я]>
с помощью унитарного оператора S можно символически изо-
изобразить равенством
<D=S^. C0,8)
При каноническом преобразовании C0,8) волновых функций от
одних переменных к другим одновременно должны быть преоб-
преобразованы и всё операторы к новым переменным. Пусть, напри-
например, на функции ¦»]) действует некоторый оператор Р^, таким об-
образом, что
U C0,9)
Преобразуем это равенство с помощью унитарного оператора
S; тогда, учитывая, что S^S = 1, имеем
или, учитывая C0,8), находим
Ф'
где
Fc^SF^S-1 C0,10)
— оператор, действующий на функции Ф. Следовательно, соот-
соотношение C0,10) определяет закон преобразования операторов
к новым переменным при преобразовании C0,8) волновых
функций к тем же переменным.
Кроме рассмотренных выше унитарных преобразований, со-
соответствующих каноническому преобразованию от одних пере-
переменных к другим переменным, в квантовой механике большое
значение имеют унитарные преобразования вида S = eia, где
а — эрмитовый оператор, или произвольная действительная
§ 30] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УНИТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 143
функция от тех же переменных, что и волновая функция. Уни-
Унитарное преобразование
S^ = e<a^ C0,11)
изменяет вид волновых функций, однако не меняет независимых
переменных функции. Такое преобразование называют преобра-
преобразованием фазы.
Итак, каждой физической величине можно сопоставить не
один, а бесконечное множество операторов, отличающихся друг
от друга унитарными преобразованиями. Другими словами, опе-
операторы, связанные соотношением
P' = SFS~\ при SS+ = 1 C0,12)
соответствуют одной физической величине. Свойства физических
величин не могут зависеть от такого произвола, т. е. они дол-
должны отражаться в свойствах операторов, которые остаются ин-
инвариантными при унитарных преобразованиях C0,12). К таким
свойствам операторов относятся:
а) линейность и самосопряженность операторов;
б) коммутационные соотношения между операторами.
В самом деле, пусть [Р, Щ = 1С, Тогда
SFS~xSMS~l - SMS~lSFS~l = iSCS~\
или
F'M' — M'F' = iC/,
здесь штрихованные операторы отличаются от нештрихованных
унитарным преобразованием C0,12);
в) спектр собственных значений операторов инвариантен от-
относительно операции унитарного преобразования операторов,
Действительно, пусть
тогда
или
/?фф = Я1),
где 0 = 51]);
г) всякое алгебраическое соотношение между операторами
инвариантно относительно унитарного преобразования. Напри-
Например, соотношения
F=M+L или F = ML
остаются инвариантными, так как унитарное преобразование
всех трех операторов приведет к новым операторам, удовлетво-
удовлетворяющим тем же соотношениям;
144 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. V
д) матричные элементы операторов не изменяются прн уни-
унитарных преобразованиях. Это утверждение следует непосред-
непосредственно из следующего равенства:
- J *'J*n « = J" <fmS-l
. В заключение этого параграфа рассмотрим малое преобразо-
преобразование фазы вектора состояния с помощью бесконечно малого
унитарного преобразования S = eia, где действительная функ-
функция координат, или эрмитовый оператор, a = -g F (%) <^ 1. Такое
унитарное преобразование можно приближенно представить в
виде конечного числа членов ряда
При F — F+ обратный оператор
Если ограничиться только двумя первыми слагаемыми в этих
рядах, то условие унитарности будет выполняться с точностью
до бесконечно малых второго порядка
Изменение функции при унитарном преобразовании с по-
помощью C0,13) можно также выразить рядом
*+ ••• C0>14)
Одновременно с функциями преобразуются и все операторы по
закону
= Z +±[F, I] - -^[F, [F, L]]+ ... C0,15)
§ 31. Унитарные преобразования, соответствующие
изменению состояния с течением времени
До настоящего времени мы рассматривали унитарные преоб-
преобразования, операторы которых не содержали времени. Путем
одновременного изменения векторов состояний и операторов мы
переходили к разным способам описания одного и того же $о-
§ 31] УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 145
стояния в данный момент времени. Одновременное проведение
унитарного преобразования волновых функций и операторов по
правилам C0,9) и C0,10) изменяет их вид, но не изменяет
состояния системы. Теперь мы покажем, что с помощью унитар-
унитарных преобразований можно также выражать и изменение со-
состояний с течением времени. Такая возможность может осуще-
осуществляться несколькими способами, которые будем называть
представлениями изменения состояния. В этом параграфе мы
рассмотрим несколько представлений изменения состоянии с те-
течением времени.
а) Представление Шредингера. Если спектр соб-
собственных значений оператора не меняется с течением времени,
то можно пользоваться операторами, математическая форма ко-
которых не зависит от времени. В этом случае изменение состояния
с течением времени определяется изменением (поворотом) век-
вектора состояния. Такое представление операторов и векторов со-
состояний носит название представления Шредингера. В представ-
представлении Шредингера изменение волновой функции с течением вре-
времени определяется уравнением Шредингера (§ 15).
Зависимость волновых функций от времени в представлении
Шредингера может быть символически выражена с помощью
унитарного преобразования
, C1,1)
где i])(|)—значение функции при / = 0. Оператор S(t) непре-
непрерывно изменяется с течением времени. При t = 0 оператор S{t)
совпадает с единичным оператором, т. е.
S@) - 1.
Унитарность оператора S[t),
необходима для сохранения условия нормировки волновой функ-
функции для всех времен:
(Si]) | S*> = <ф | SfSy) = <Ч> | ф).
Чтобы определить вид оператора S(t), подставим C1,1) в
уравнение Шредингера A5,1), тогда получим
Последнее равенство можно заменить операторным равенством
ih^M = HS(t). C1,2)
146 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. V
Если Н не зависит явно от времени, то формальным решением
C1,2) будет
(J) C1,3)
Таким образом, изменение состояния с течением времени опре-
определяется, согласно C1,1), волновой функцией
*F). C1,4)
Особенностью выражения C1,4) является то, что в показателе
экспоненты стоит оператор. Чтобы определить действие такого
оператора на функцию ij)(|), необходимо разложить эту функ-
функцию по собственным функциям оператора Н. Если Йуп = Enq>n,
то C1,4) принимает вид
()
ft=0 в
б) Представление Гайзенберга. В этом случае
волновые функции не изменяются с течением времени, а изме-
изменяются операторы, соответствующие физическим величинам.
Пусть ijjjjj (|, t) — волновая функция представления Шредингера,
а 1]эг (|) — не зависящая от времени волновая функция представ-
представления Гайзенберга, тогда, согласно C1,4), переход от представ-
представления Шредингера к представлению Гайзенберга будет осуще-
осуществляться преобразованием
г!)г (|) = S @ -фш (|, 0, C1,5)
где S(t)—оператор, совпадающий с C1,3). Если волновые
функции при переходе от представления Шредингера к пред-
представлению Гайзенберга преобразуются согласно C1,5), то, со-
согласно общему правилу C0,8) и C0,10) унитарных преобразо-
преобразований, надо одновременно преобразовать операторы по закону
Fr(t) = S-l(t)FmS(t). C1,6)
Таким образом, если в представлении Шредингера операторы
не зависели от времени, то в представлении Гайзенберга они за-
зависят от времени по закону C1,6), а волновые функции не зави-
зависят от времени. В связи с тем, что S@) = S~'@) = 1, векторы
состояний в представлении Гайзенберга и в представлении Шре-
Шредингера совпадают в момент времени t = 0. При t = 0 совпа-
совпадают также и операторы в обоих представлениях. Поскольку
§ 311 УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 147
рг @) = Рш, то уравнение C1,6) будет определять изменение
за время / оператора в представлении Гайзенберга. Таким обра-
образом, изменение оператора Гайзенберга за время At определяется
уравнением '
F (t + АО = S (At) F (t) S (At). C1,7)
В этом уравнении опущен индекс Г у операторов, так как они
оба относятся к одному гайзенберговскому представлению. Ис-
Используя C0,15), находим
F(t + At) = F(t) + jr[H,F(t))At + ...
Из последнего соотношения следует закон изменения операто-
операторов в представлении Гайзенберга с течением времени
Это уравнение можно получить и путем дифференцирования по
времени равенства C1,6) при учете C1,3).
Изменение оператора F за конечное время т определяется,
согласно C1,3) и C1г7), формулой
F (t + т) = ехр(-1 Ят) F (t) ехр (- \ Нг). C1,9)
Из C1,8) следует, что все операторы, коммутирующие с опера-
оператором Гамильтона /?, не меняются с течением времени и в пред-
представлении Гайзенберга. Поскольку при t = 0 операторы пред-
представления Шредингера и операторы представления Гайзенберга
совпадают, то вид операторов, коммутирующих с оператором Н,
остается неизменным при переходе от представления Шредин-
Шредингера к представлению Гайзенберга. В частности, это утвержде-
утверждение относится и к самому оператору Гамильтона.
в) Представление взаимодействия. В квантовой
механике часто приходится исследовать системы, состоящие из
нескольких частей, взаимодействующих между собой. В этих
случаях оператор Гамильтона можно представить в виде суммы
двух членов
H=H0+V, C1,10)
где #о—оператор Гамильтона без учета взаимодействия частей
системы, V — оператор взаимодействия. В таких системах часто
для описания изменения состояния системы с течением времени
используется представление взаимодействия. Переход от волно-
волновых функций представления Шредингера 1])ш(|, 0 к волновым
функциям представления взаимодействия фвз(§|0. осуществ-
осуществляется унитарным оператором
(j) C1,11)
148 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ (ГЛ. V
следовательно,
ФБЗ(М) = 5('ИШ (?.')• C1,12)
Подставляя в уравнение Шредингера
функцию 1|зш (|, 0 = ехр (— -g- Яо*) $ю (|, f), получаем уравнение
в представлении взаимодействия
й^'^МД, i), C1,13)
где
Vвз = S @ VSf @ = ехр D Hot) V ехр (- \ щ). C1,14)
Все операторы в представлении взаимодействия изменяются с
течением времени так, что если Р — оператор представления
Шредингера, то оператор представления взаимодействия
FB3 = ехр (I Hot) Fexp(-jrHot). C1,15)
Частным случаем C1,15) является C1,14).
Итак, в представлении взаимодействия изменение состояний
с течением времени описывается изменяющимися с течением
времени функциями и операторами. Изменение операторов про-
происходит по закону C1,15), или эквивалентному C1,15) урав-
уравнению
которое может быть получено из C1,15) путем дифференцирова'
ния по времени. Изменение волновых функций с течением вре-
времени определяется уравнением C1,13), которое имеет вид урав-
уравнения Шредингера, но вместо полного оператора Гамильтона
системы стоит оператор взаимодействия.
Представление взаимодействия является промежуточным
между шредингеровским и гайзенберговским представлениями.
Операторы в этом представлении зависят от времени, как опе-
операторы гейзенберговского представления для системы с опера-
оператором Но; изменение во времени вектора состояния в представ-
представлении взаимодействия обусловлено только оператором взаимо-
взаимодействия.
Кроме рассмотренных выше, существуют и другие способы
описания состояний квантовых систем — другие представления
состояний и их изменений с течением времени, например пред'
§ 3i] унитарные преобразования 149
ставленые вторичного квантования или представление чисел за-
заполнения, с которыми мы познакомимся в гл. XIV и XV.
г) Различные предста-вления квантового ура-
уравнения Лиувилля. Представление, в котором зависимость
от времени статистического оператора определяется уравнением
Лиувилля в форме B0,6), носит название представления Шре-
дингера. В этом представлении среднее значение любой динами-
динамической переменной А в каждый момент времени определяется
равенством
~m C1,17)
Иногда удобнее пользоваться представлением Гайзенберга,
в котором статистический оператор не зависит от времени, а
операторы динамических переменных зависят от времени. Для
перехода в C1,17) к представлению Гайзенберга надо в правую
часть подставить значение B0,7). Тогда, используя перестано-
перестановочность операторов под знаком шпура, находим
C1,18)
где
A (t) = exp (iHt/n) A exp (- IHi/h) (81,19)
—гайзенберговское представление оператора, или в дифферен-
дифференциальной форме*)
М^=[А,Н]. C1,20)
Если гамильтониан системы можно представить в виде суммы
H = H0+HltA(t), C1,21)
где Но не зависит от времени, a #int@ —гамильтониан, харак-
характеризующий взаимодействие системы с внешним зависящим от
времени полем, то удобно использовать статистический оператор
в представлении взаимодействия р(?), который связан со стати-
статистическим оператором p(t) в представлении Шредингера соот-
соотношением
р @ = ехр (- iHot/h) p (t) exp (iHot/h). C1,22)
Подставив C1,22) в C1,17) и используя инвариантность шпура
относительно циклической перестановки операторов, легко убе-
убедиться в том, что среднее значение (1,17) выражается через
статистический оператор в представлении взаимодействия фор-
формулой
{А~Щ = Sp {p (t) A @). C1,23)
*) Следует обратить внимание на различия в знаке уравнений B0,6) и
C1,20). .
150 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ (ГЛ. V
где
A (t) = ехр (Ш№) А ехр (- ВДА) C1,24)
— оператор в представлении взаимодействия.
Чтобы найти уравнение Лиувилля для статистического опера-
оператора в представлении взаимодействия, подставим C1,22) в
B0,6), тогда получим
C1,25)
где
Ны @ = ехр (iHot/h) Нш ехр (- itftf/A) C1,26)
— оператор возмущения в представлении взаимодействия.
§ 32*. Представление чисел заполнения
для гармонического осциллятора
Знакомство с представлением чисел заполнения мы начнем
с исследования одномерного гармонического осциллятора. При
рассмотрении этого простого примера будут введены понятия,
которые используются в представлении чисел заполнения в дру-
других случаях.
В § 26 было показано, что гамильтониан гармонического ос-
осциллятора можно записать в виде
C2,1)
где | — безразмерная переменная, связанная с массой частицы
т, циклической частотой со и координатой х соотношением | =
(/)l/
Операторы координаты |=| и импульса P%=~i~at можно
выразить через два других неэрмитовых оператора
удовлетворяющих перестановочным соотношениям
[й, йЦ в йй+ - йЧ = 1. C2,4)
Тогда гамильтониан C2,1) принимает вид
\) C2,5)
§ 32] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 151
Все другие операторы, относящиеся к гармоническому осцилля-
осциллятору, являются функциями ? и —*"лГ" поэтому с помощью
C2,2) и C2,3) их можно выразить через операторы й и #f.
В частности,
(Й + П k (u~df)- C2>6)
Как было показано в § 26, действия операторов й и й+ на
волновые функции ipn определяются соотношениями
d% = Vn^n-lt й+Ъ,=*Уп + Т Ъп+i- C2,7)
Выражения C2,2) и C2,3) определяют неэрмитовы
операторы й и й+ в координатном представлении. Они дей-
действуют на множестве функций i])(|), нормированных условием
со
Г 1])* (|) 1]з (|) d\: В частности, равенства C2,7) определяют их
—-оо
действие на собственные функции оператора энергии.
Указание квантового числа п полностью характеризует ста-
стационарное состояние осциллятора. Условимся называть одно-
квантовое возбуждение (я=1) однофононным; двухкванто-
вое — двухфон'онным и т. д. Другими словами, каждый квант
возбуждения колебаний осциллятора будем называть фононом.
Тогда квантовое число п будет определять число фононов в со-
соответствующем состоянии. Все фононы имеют одинаковую энер-
энергию. Стационарное состояние полностью определяется указа-
указанием числа фононов, поэтому вместо функции ij)n(?) его можно
характеризовать функцией, в которой независимой переменной
является число фононов. Эту функцию будем кратко обозначать
символом \п). Действие операторов й и й+ на эту функцию
определяется равенствами
й\п) = Уп\п-\), <1+|л> = 1/7Г+Т|/1+1>. C2,8)
Такое представление функций и операторов называется пред-
представлением квантовых чисел, или чисел заполнения. Операторы
а и о+ действуют на числа заполнения п (числа фононов). При
этом оператор й уменьшает число фононов на единицу и назы-
называется оператором уменьшения числа фононов на единицу или,
кратко, оператором уничтожения фононов. Оператор й* увели-
увеличивает число фононов на единицу и называется оператором рож-
рождения фононов. Операторы й и й+ полностью определяются
соотношениями C2,4) и C2,8). Конкретный вид этих операто-
операторов не существен.
Используя C2,8), можно показать, что действие оператора
# = $+$ на функцию |я) сводится к умножению этой функции
152 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. V
на п. Другими словами, оператор числа фононов А в представ-
представлении чисел заполнения диагоналей и его собственные значения
равны числу фононов в данном состоянии. Поскольку оператор
Гамильтона C2,5) содержит только оператор й = 6?а, то в
представлении чисел заполнения этот оператор диагоналей, и его
собственные значения Еп = йсо (п -f- 7г) определяют энергию си-
системы.
Если собственная функция основного состояния (состояние
без фононов) в представлении чисел заполнения имеет вид |0),
то, последовательно применяя п раз оператор рождения й+, мо-
можно получить волновую функцию состояния с п фононами
1О>. C2,9)
В представлении чисел заполнения,обычно полагают |0) = 1,
тогда функция \п), определяемая C2,9), будет также нормиро-
нормирована к 1. Основное состояние системы, описываемое функцией
|0), часто называют вакуумным состоянием. Вакуумное состоя-
состояние можно определить условием
т. е. оператор уничтожения фононов, действуя на вакуумное со-
состояние, дает 0. Энергия вакуумного состояния Ео = '/г^со.
Итак, представление чисел заполнения соответствует описа-
описанию колебаний осциллятора на языке квантов возбуждения —
фононов. Все фононы в этом случае одинаковы, и состояние од-
однозначно определяется указанием числа фононов. Поэтому вол-
волновая функция в представлении чисел заполнения зависит
только от одной переменной — числа фононов.
,Если в операторе Гамильтона C2,1) заменить операторы |
и р% классическими величинами, то получим -гамильтониан клас-
классической механики
где \ и Р\ — действительные сопряженные переменные. Перей-
Перейдем от этих действительных переменных к комплексным пере-
переменным
^ + C2,10)
l-iPl), a=={%
тогда гамильтониан преобразуется к виду
Нт = Нааа' = Ыаа,
§ 32] - ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
153
Переход от классического гамильтониана к квантовому опера-
оператору Гамильтона C2,5) соответствует замене в симметризован-
ном гамильтониане
Нкл = -^(аа* + а*а)
комплексных величин а и а* операторами й и й+, удовлетво-
удовлетворяющими перестановочным соотношениям C2,4). Таким прие-
приемом мы сразу получаем оператор Гамильтона в представлении
чисел заполнения. Этот переход от классического гамильтониана'
к квантовому носит название вторичного квашошния. Это кван-
квантование тождественно с обычным квантованием, которое де-
делается в координатном представлении при переходе от коорди-
координат в сопряженных к ним импульсов к соответствующим опера-
операторам.
Операторы гармонического осциллятора в представлении чи-
чисел заполнения можно записать и в виде бесконечных матриц.
Так, например, неэрмитовы операторы уничтожения и рождения
фононов имеют вид
0 0..
]f~\ 0 . .
0^20.
0 1/3 0
о yi о . .
0 0^20.
0 f3 0
о .
• •
В этом представлении ясно видна эрмитова сопряженность опе-
операторов й и й+. Оператор числа фононов изображается диаго-
диагональной матрицей
0 0 0.
0 10.
0 0 2.
Волновые функции стационарных состояний изображаются ма-
матрицами, состоящими из одного столбца:
Г
0
0
•
. 10 =
0
1
0
•
, |2>-
0
0
1
0
= и т. д.
154 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ (ГЛ. V
В представлении чисел заполнения легко вычислять средние
значения в состояниях \п) любых функций от координат и им-
импульсов. Например, учитывая равенства
имеем
(n I* \n) = (n \px \n) = 0, (n U2 \n) = (o^-) (« Iй+й
+ 1)] И Т. Д.
Из этих равенств, в частности, следует
Уже в первой работе по квантованию электромагнитного
поля Дирак [13] предложил ввести для операторов рождения
а* и уничтожения а представление фазовой переменной с по-
помощью преобразования
-®, C2,12)
где rt = afa — эрмитов оператор числа частиц. Здесь и далее
значок •*"*. над операторами а и af опускается, ф—эрмитов опе-
оператор фазы. Однако, как показали Сусскинд и Глоговер [14],
введение эрмитова оператора ф приводит к противоречию. Дей-
Действительно, если верно C2,12), то должно выполняться соотно-
соотношение
[е1$,й] = е™, или [А, ф] = г. C2,13)
Тогда следовало бы (см. § 13) соотношение неопределенностей
4((ДфJ>((ДпJ)>1. C2,14)
Легко, однако, убедиться, что соотношение C2,13) приводит
к противоречию. Возьмем от C2,13) матричный элемент на
функциях |п) оператора й, тогда
{nr — n){
Следовательно, при п'фп (п'|ф|«) = 0, т. е. оператор ф диаго-
диагоналей одновременно с п, но тогда они коммутируют, что проти-
противоречит C2,13). Это противоречие связано с тем, что эрмитов
оператор ф не существует. Оператор числа частиц п в представ-
представлении фазовой переменной имеет вид A = i-r-. Он действует
§ 32] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 155
в пространстве функций, удовлетворяющих условию периодич-
периодичности
C2,15)
И имеет собственные функции 1]з„(ф) = Bя)-'/2е~г'пч> и собственные
значения 0, 2, 3, ... Оператор ф = ф не определен на простран-
пространстве функций C2,15), так как его умножение на 1])(ф) приводит
к функциям, не удовлетворяющим условию C2,15). В простран-
пространстве функций C2,15) определены, например, операторы Ф==
= ехр(/ф) и Ф+ = ехр(— /ф). Однако они не унитарны. В_самом
деле, если записать C2,12) в виде а=*<ЬУй, а? = УЪ<Ь, то
можно показать [15], что
( | п — 1), если п ф О,
Ф|П> = \ 0, если „«0.
Следовательно, @|Ф+Ф|0) = 0, что противоречит условию уни-
унитарности. В работе, Файна [16] отмечается, что в переменных п, ф
энергия осциллятора вырождена по знаку ф, поэтому его со-
состояние следует характеризовать не только значением энергии,
но и знаком ф (знаком вращения). Знаку вращения сопостав-
сопоставляется оператор / (/2== 1), коммутирующий с гамильтонианом.
Тогда гамильтониан следует выбрать в виде
Г — , /ft д
а оператор числа частиц
A = ll,-~. C2,16)
Оба оператора определены на пространстве функций, удовле-
удовлетворяющих условию 1]з(ф) = — 1]з(ф + 2я), и имеют собственные
функции
¦фпХ = Bя) ехр< ih(п + -g-jФ \' ^'Фпя = htynfo К — ± 1.
Из C2,16) находим
((ДпJ) = ((ДпJ) - (пJ = (LzJ - ((п) +1J.
Учитывая равенство {(h.Lzf) — (L|) — {LzJ, имеем ((Д1,гJ) =
A \2
(п) + -g-J — (?гJ- Подставив это значение в соот-
соотношение неопределенностей A3,8), получаем соотношение неоп-
неопределенностей для числа частиц и фазы
[((А«J) 4
156 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. V
Перейдем к исследованию так называемых когерентных со-
-ШУЩий осциллятора*) [18]. В этих состояниях соотношение не-
неопределенностей для координаты и импульса имеет наименьшее
значение, равное й2/4. Как было показано в § 13, такие состоя-
состояния в координатном представлении характеризуются функцией
Фиг(х) = [2я((А*J)]4ехр{- %-?? +¦&?-}. C2,1-7)
Найдем разложение C2,17) по собственным функциям ста-
стационарных состояний осциллятора ipnOO
Фког (х) — 2 АпЦ„ (х), C2,18)
п
тогда (см. [18])
ппе~п
где ^
— среднее число фононов в состоянии C2,17).
Когерентные состояния можно также определить [15] как
собственные состояния неэрмитового оператора уничтожения
фононов, т. е. как решения уравнения
а|р> = р|р>, C2,19)
где р — некоторое комплексное число. Если ввести унитарный
оператор
С/(Р) = ?/+(-р)^ехр(ра+-рЧ C2,20)
то собственные функции уравнения C2,19) определяются равен-
равенством
I Р> — С/ СР> 10>. C2,21)
Действительно, учитывая тождество
at/(P) = f/(p)(a+p), C2,22)
имеем
Разложим когерентное состояние |р) по собственным функциям
осциллятора, т. е. положим
I P> = S Ап\п), C2,23)
тогда
При вычислении Ап мы использовали выражение
U (р) = ехр (-11 р р) exp (pflf) exp (р'а),
*) Когерентные состояния впервые рассматривались Шредингером [17],
§ 32] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 157
которое следует из тождества Вейля*) [19]
ехр (А + В) = е" М§ т ехр А • ехр В, <32'24>
справедливого для любых операторов, удовлетворяющих равен-
равенствам
[А, [А, В]] = [В, [А, В]) = 0.
Легко убедиться, что C2,23) совпадает тс найденным ранее
C2,18) выражением функции когерентного состояния, если
n = ppV C2,25)
Вычисление средних значений в когерентных состояниях C2,21)
от любых операторов, представленных в виде упорядоченных
полиномов операторов а+ и а (операторы рождения должны
стоять слева от операторов уничтожения), сводится к простой
замене оператора а на р и оператора af на р*. Например,
*) Простое доказательство тождества Вейля предложил Глаубер. Пусть
А и В — операторы, удовлетворяющие условию
[А, [А, В]] = [В, [ДВ]] = 0. (а)
Рассмотрим функцию
F (х) = еАхевх. - (б)
Имеем
2L = (А + еАхВе-А W) F (х). (в)
Учитывая (а), получим
[В, Ап] = пАп~х [В, А],
следовательно,
[В, е~Ах\ - ^ -Ц^ [В, Л"] = - е~Ах [В, Л] д:
п
и дифференциальное уравнение (в) принимает вид
Его решение, при учете (а) и условия F @) = 1,
F (х) = ехр [(А + В) х] ехр (j [А, В] *2). (г)
Из (г) при х = 1 получаем тождество C2,24).
158- ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ [ГЛ. V
Из последнего равенства следует, что средняя энергия в ко-
когерентных состояниях может принимать произвольное значение,
так как |р|2— любое положительное число. Далее,
Следов ател ьно,
<(A*)V = (Р № 1Р> - ФI * 1Р>2 = №(о. C2,26)
Таким же образом получаем
^ C2,27)
С помощью C2,26) и C2,27) находим соотношение неопределен-
неопределенностей для когерентных состояний
Как было показано Глаубером [20], Сударшаном и Мета
[21, 22], когерентные состояния очень удобны при квантовомеха-
ническом описании когерентных источников света. Эти состояния
также использовались для описания сверхпроводимости и сверх-
сверхтекучести [23] и для описания фононов в кристаллах [24].
Когерентные состояния |р) как собственные функции неэр-
митового оператора уничтожения фононов не ортогональны друг
другу, однако они обладают условием полноты, т. е. произволь-
произвольное состояние можно разложить по состояниям |Р) (подробнее
об этом см. [25, 26]).
Весьма интересно, что, в то время как оператор уничтоже-
уничтожения имеет собственные функции, у оператора рождения а* таких
функций нет. Доказательство этого важного утверждения можно
провести от противного. Допустим, что имеет место равенство
«+ I Y> = V I Y>. C2,28)
Тогда с помощью собственных функций \п) осциллятора можно
образовать систему уравнений
(rt|c+lY> = Y(«lY>.
из которых следует
O = Y<OlY>, C2,29)
(я - 1 | у) = Y (« I Y>. если п Ф 0. C2,30)
Если у = 0. то из C2,30) находим.(«|y) = 0 ПРИ всех п. Если
уфО>, то из C2,29) следует @|y) = 0, поэтому равенство
C2,30) дает {п\у) = 0 при п = 1, 2, ... Таким образом, пока-
показано, что в C2,28) |y) = 0.
В заключение покажем, как выражается когерентное состоя-
состояние осциллятора через матрицу плотности. Для гармонического
§ 33] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ КОЛЕБАНИЙ АТОМОВ 159
осциллятора, находящегося в термодинамическом равновесии
С термостатом при температуре G = kT, матрица плотности
в координатном представлении, согласно A4,18), имеет вид
р(. os
/г=0
где
( Еп\
ехР \~~W~I
= [ в} =
Следовательно, статистический оператор можно записать в виде
p=?wjn>(n|. C2,32)
Чистое состояние \п) осциллятора получается из C2,32) при
Wn = f>nnf. Когерентное состояние осциллятора определяется
формулой C2,32), если Wn задано распределением Пуассона,
т. е. Wn = nne~n(n\)~ . Тогда среднее число фононов в когерент-
когерентном состоянии
(й) = Sp (йр) = п.
§ 33*. Представление чисел заполнения для колебаний
атомов в одномерном кристалле
Исследование квантовых систем в представлении чисел за-
заполнения часто называют методом вторичного квантования.
В действительности, как увидим ниже, никакого вторичного
квантования не происходит и это название следует понимать
в условном смысле. Для более полного знакомства с представ-
представлением чисел заполнения рассмотрим колебания атомов в одно-
одномерном кристалле.
Пусть кристалл состоит из одинаковых нейтральных атомов
массы т, равновесные положения которых определяются век-
вектором
п = па, п=1, 2 N. C3,1)
Направим ось х вдоль вектора аи обозначим через хп смещение
из равновесного положения атома, занимающего узел п. При
учете взаимодействия только соседних атомов потенциальная н
кинетическая энергии колебаний атомов имеют вид
C3,2)
160 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. V
где хп — скорость смещения. Для упрощения вычислений введем
циклические граничные условия
Хп = Xn+Na. C3,3)
От смещений отдельных атомов удобно перейти к новым ком-
комплексным обобщенным координатам Л* с помощью преобразо-
преобразования
Хп = у~ 5) Аь exp (ikn), Ак == А-ь, C3,4)
где суммирование выполняется по всем N значениям волнового,
вектора
Т^. Ц = 0, ±1, ±2,..., + № C3,5)
Обобщенные координаты характеризуют коллективные колеба-
колебательные состояния всего кристалла.
Учитывая C3,1) и C3,5), находим равенства
± ]? ехР (» (* ~ *'» = б**' • If 2 ехР № (« - "')} = S»n-, C3,6)
п к
характеризующие унитарность преобразования C3,4). Вслед-
Вследствие C3,6) преобразование, обратное к C3,4), имеет вид
Аи = ¦— 2 хп ехр (- ikn). C3,7)
п
Проведя преобразование C3,4) в выражениях C3,2), полу-
получим классическую функцию Лагранжа
АкА-ы-&\AkA-k}, . C3,8)
к
где .
тп\ =¦ mQ2_k = 4\ sin2 -у .
Значение k = 0 соответствует смещению всего кристалла как
целого, при этом Qo = 0.
Обобщенный импульс Рь, соответствующий обобщенной ко-
координате Ак, определяется обычным путем:
Р* = ТГ = тА~ь = ~кг S Р» ехр (ifen), C3,9)
где рп = т^„ — импульс, сопряженный смещению хп. Согласно
C3,8) и C3,9), энергия колебаний как функция обобщенных
координат и импульсов имеет вид
^ {!* И C3,10)
k (кфЩ
§ 33] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ КОЛЕБАНИЙ АТОМОВ 181
Значение k = О исключается как не соответствующее колеба-
колебательному состоянию. .
Как известно, переход к квантовому описанию сводится к за-
замене хп и рп операторами, удовлетворяющими перестановочным
соотношениям
C3,11)
Используя C3,7) и C3,9), находим, что при таком преобразова-
преобразовании обобщенные координаты Аь и импульсы Рь следует заме-'
нить операторами, удовлетворяющими перестановочным соотно-
соотношениям
[Аь, Рь>] = 1ПЬьь'. C3,12)
От операторов Аь, Рь перейдем к новым операторам Ьь,
с помощью равенств
Аи = |/-2^?(Ьь + Ыь), Рь = I j/-^ (bt - bk). C3,13)
Чтобы выполнялись соотношения C3,12), операторы Ьь, Ьи
должны удовлетворять перестановочным соотношениям
[Ьь, bt] = f>bk', [Ьь, M = 0. C3,14)
Произведя в C3,10) с помощью C3,13) преобразования
Аь, Рь-*Аь, Рь-*Ьь, Ьь,
получим оператор энергии колебаний атомов
C3,15)
То же самое преобразование дает оператор смещения
Сравнивая C3,15) с B2,5), мы убедимся, что оператор энергии
C3,15) представляет собой сумму операторов Гамильтона
(N—J) независимых гармонических осцилляторов с частота-
частотами Q*.
Если ввести числа фононов v* = 6, 1, ..., т. е. числа запол-
заполнений квантовых состояний каждого осциллятора, то в представ-
представлении чисел заполнения функции колебательного состояния кри-
кристалла имеют вид
| ... v* ... v* ...). C3,17)
6 As Сг Давыдов
162 &ЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. V
Операторы bk, be определены на множестве функций C3,17),
Введем краткое обозначение
|^) = |0, 0, .... О, V», 0, .... О),
тогда действие операторов bk, b\ в соответствии с правилами
коммутации C3,14) будет определяться правилами
bt,\Vk) = V vfe| vfe— 1>.
Оператор bt увеличивает, а оператор bk уменьшает число фоно-
нов V* на единицу. С помощью C3,18) находим уравнение
из которого следует, что функции |vfe) являются собственными
функциями оператора Ьфь, соответствующими собственным
значениям v*. Поэтому оператор ЬФь можно назвать операто-
оператором числа фононов типа k.
Основное состояние кристалла (все v* = 0) описывается
функцией |0). В этом состоянии энергия кристалла (нулевая
энергия)
^^ C3,19)
Функция |vfe) состояния с Vfe фононами с волновым векто-
вектором k может быть получена путем последовательного примене-
применения оператора рождения фононов b\ к функции нулевого (ва-
(вакуумного) состояния |0)
В состоянии \vk) энергия кристалла
C3,20)
В том же состоянии среднее смещение n-го атома
равно нулю, а среднее значение квадрата смещения не зависит
от номера атома
ГЛАВА VI
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
§ 34. Общие особенности движения частицы
в поле сферической симметрии
Стационарные состояния частицы, движущейся в сферически
симметричном поле, описываются уравнением Шредингера с опе-
оператором Гамильтона
tf = --g-V2 + t/(r), C4,1)
где г = У х2-\-у2-\-г2 — расстояние от центра сил. Учитывая
симметрию поля, решение уравнения Шредингера следует искать
в сферической системе координат. Используя результаты §16,
можно написать
где оператор Л определен A6,18).
Из C4,2) следует, что оператор квадрата углового момента
Ь2=-Н2А C4,3)
и оператор проекции момента на произвольно направленную
ось г
?.— «>¦? <34>4>
коммутируют с Н. Следовательно, системы, описываемые опера-
оператором Гамильтона C4,2), могут находиться в стационарных со-
состояниях с определенной энергией, определенным значением
квадрата углового момента и определенным значением проекции
углового момента. Волновые функции этих состояний являются
одновременно Собственными функциями всех трех вышепе-
вышеперечисленных операторов. Временная зависимость волновых
функций стационарных состояний характеризуется множителем
(IE \
jt t\, где Е — энергия системы. Поэтому мы будем далее
интересоваться только зависимостью волновых функций от г, 6, ф.
Зависимость волновых функций от углов 0, <р целиком опре-
определяется значениями L2 и Ьг, так как эти функции должны
164 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
совпадать с собственными функциями Yim операторов ?2 и ?г,
соответствующими (см. § 8) собственным значениям
/==0,1,2,... C4,5)
т—0, ±1, ... C4,6)
Квантовое число / называют орбитальным квантовым числом,
а квантовое число ш называют магнитным квантовым числом.
Итак, волновая функция стационарных состояний движения
частицы с определенными значениями L2, Lz в произвольном
поле сферической симметрии, может быть записана в виде
Фя./.т(/-, 6, Ф)«=/я»(г)У/и(в, ф), C4,7)
где fm{r)—радиальная волновая функция, вид которой зависит
от энергии Е, значения L2 (или /) и потенциальной энергии U(r).
Поскольку в поле сферической симметрии нет выделенных на-
направлений в пространстве, то радиальная функция f(r) не может
зависеть от значения квантового числа т.
Подставляя C4,7) в уравнение Шредингера с оператором
C4,2), находим уравнение для функции R(r) = rf(r)
+(Г + J*^/? C4>8)
определяющее энергию системы. Поскольку функция f(r) при
г = 0 должна быть конечной, то функция R (г) должна равнять-
равняться нулю при г — 0.
Каждое из стационарных состояний с определенным значе-
йием / будет 2/ -f- 1-кратно вырождено соответственно 2/ —|— 1
значениям т. Состояния, относящиеся к разным значениям
/ — 0, 1, 2, ..., принято обозначать соответственно малыми ла-
латинскими буквами s, р, d, f, g и далее в порядке обычного ла-
латинского алфавита. Так, например, состояния с нулевым орби-
орбитальным моментом (/ = 0) называют s-состояниями, состояния
с / = 1 называют р-состояниями и т. д.
Оператор Гамильтона C4,2) коммутирует с оператором про-
~странственной инверсии Р (см. § 18), имеющим два собственных
значения ±1. В связи с этим стационарные состояния рассма-
рассматриваемых систем могут быть разделены на четные и -нечетные
состояния. При операции инверсии координата г не меняется,
а угловые переменные преобразуются по закону 9 —> п — 9,
Ф —*¦ ф -|- п, поэтому
РУш (в, Ф) = Ytm fa - в, Ф + п) = (-1)' Ytm (9, ф). C4,9)
Из C4,9) следует, что сферические функции являются собствен-
собственными функциями оператора инверсии. Все состояния с четными /
§ 34] ЧАСТИЦА В ПОЛЕ СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИИ 165
относятся к четным состояниям, состояния с нечетными / яв-
являются нечетными состояниями.
Собственные значения энергии системы и радиальные вол-
волновые функции определяются видом потенциальной энергии
О (г). В следующих параграфах- будут рассмотрены системы
с конкретными выражениями для U(r). Теперь же исследуем не-
некоторые общие свойства решений уравнения C4,8). Если по-
потенциальная энергия U(г) везде положительна и обращается
в нуль при г ~* оо, то средняя энергия частицы положительна во
всех состояниях движения, так как среднее значение (U) ~> О,
а среднее значение кинетической энергии всегда положительно.
В этом случае частица может удаляться от центра на бесконеч-
бесконечное расстояние, где она движется свободно (потенциальная энер-
энергия равна нулю) и ее энергия не квантуется (см. § 39).
Если ?/(г)<0и U(oo) = 0, то возможно движение в ограни-
ограниченном объеме пространства с дискретными значениями энергии
Е .< 0. В этом случае R(oo) = 0 и
Умножая обе части уравнения C4,8) на R и интегрируя по г,
находим, используя равенство C4,10), среднее значение энергии
в состоянии R
<*>-¦?¦/{(¦?)'+№+*''«]*}*• <*•»>
Пусть R отлично от нуля только в малой области г < а. При
этом U (г) =—А/г™, где А и п — положительные величины.
' dR R
Тогда можно положить -^-~— и заменить C4,11) приближен-
приближенным выражением
P^»]- <34'12>
Из C4,12) следует, что при п ~> 2 минимум средней энергии осу-
осуществляется при «падении» частицы в центр (когда а = 0). Если
п < 2, то минимум средней энергии соответствует конечному
значению а, т. е. «падения» частицы в центр не происходит. В этом
случае дискретный спектр ¦ энергии стационарных состояний на-
начинается с некоторого конечного отрицательного значения. При
этом наименьшее значение энергии будет относиться к s-состоя-
ниям (/ = 0). Отметим, что в классической механике «падение»
частицы в центр возможно при любом значении п > 0.
166 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. УГ
§ 35. Свободное движение с определенным значением
орбитального момента
Простейшим случаем уравнения C4,8) является уравнение
для свободного (U = 0) движения частицы с определенным зна-
значением орбитального момента, т. е. уравнение
— 2ц rfr2 ^ 2^K{r)
При свободном движении энергия может быть только положи-
положительной. Умножая C5,1) на 2jx/fi2 и вводя
получаем
[¦?г ~ Щ^- + &] R, (г) = 0. C5,3)
Рассмотрим вначале частный случай s-состояний, которые
определяются уравнением
о(г) = О. C5,4)
Общее решение уравнения C5,4) можно записать в виде
/?0 (г) = A sin kr + В cos kr.
Учитывая граничное условие /?о(О) = 0, имеем
/?о (г) = A sin kr.
Решение C5,4) возможно при любом значении k. Полная ра-
радиальная функция, нормированная условием
имеет вид (см. мат. дополн. А)
р / \ -и / 2 sin kf /or- м \
Ш=У 7F ~Г~- C5>4а)
При исследовании общего случая, включающего / ф 0, удоб-
удобнее в C5,3) использовать полную волновую функцию f{r) =
=7* Ж*"), тогда
Переходя к безразмерной переменной
% = kr, ' C5,6)
§ 35] СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ MOMEHfOM 16?
имеем
Дифференциальное уравнение C5,7) второго порядка. Оно
имеет два независимых решения, выражающихся через функции
Бесселя полуцелого порядка (см. мат. дополн. Г)
ИГ» C5,8)
% (I) = ]/f J-,-4. (I) (-1)Ж • . C5,9)
Функция /j(|) C5,8) называется сферической функцией Бесселя.
Явные выражения для первых трех функций ji имеют вид
/о — | • h — ~|« |~* • h == ^|Г —* у] s^n ^ "~
Асимптотические значения сферических функций Бесселя при
малых и больших | имеют соответственно вид
~р"cos
ш=
1 -3-5 ... B/+ 1) '
C5,10)
Функция т)г(|) называется сферической функцией Неймана. Яв-
Явные выражения для первых трех функций т)гA) имеют вид
cosg cost sing
Чо—-—• 4i— -|S |~.
Асимптотические значения щ соответственно равны
1-3-5... B/— 1)
lsin[6-i(Z+l)]. если &>/.
если ? -С /,
C5,11)
Общее решение уравнения C5,7), соответствующее опреде-
определенной энергии (Е = h2k2/B\i)) и определенному орбитальному
моменту, имеет вид
Полная волновая функция этого состояния
*«» = [AJt (kr) + B4l (kr)\ Ylm F, Ф). C5,12)
168
Движение частицы в поле центральных сил
ГГЛ. VI
Две произвольные постоянные А и В в C5,12) определяются из
граничных условий и нормировки функции. Если движение ча-
частицы может происходить во всей области, включая г = 0, то из
условия конечности волновой функции при г = О следует 6 = 0.
Тогда
*«» = Ah (kr) Ylm (в, Ф). C5,13)
Если частица движется свободно вне сферы радиуса р (напри-
(например, нейтрон вне ядра), то обе постоянные А и В отличны от
нуля и их отношение определяется из условия непрерывности
¦ф и -j^- на сфере радиуса р при переходе из внешней области
во внутреннюю, где действуют силы.
При качественном исследовании решений уравнения C5,3)
следует учесть, что член 1A 4- 1)/г% соответствует «эффективной
,. ЪЧ (/ + 1) _
потенциальной энергии» V Эфф = —s—2" • Полная энергия
равна эффективной потенциальной энергии при значении
r=ri = k~l Vl(l-\- 1). При г < г/ волновая функция Ri(r)
убывает экспоненциально в
сторону малых значений г.
При г $§> /-J в уравнении
C5,3) можно пренебречь
эффективной потенциальной
энергией. Следовательно,
Рис. 7. Эффективная потенциальная энергия
и волновая функция для свободного движения
частицы с энергией Б и квантовым числом I.
где
Решение этого
имеет вид
= Ai sin (kr -f- бг).
r^ri называют
ски доступной
движений. Итак,
уравнения
Ri(r) =
Область
классиче-
классичеобластью
при сво-
свободном движении частицы
в состоянии с квантовым числом / очень мала вероятность нахо-
нахождения частицы в области пространства, где г <гг. На рис. 7
изображена Кэфф и значение Ri(r) для частицы, движущейся
с энергией Е.
§ 36. Движение в сферически симметричной
прямоугольной потенциальной яме
Рассмотрим движение частицы массы \i в сферически сим-
симметричной прямоугольной потенциальной яме бесконечной глу-
глубины, г. е. для случая, когда потенниальная энергия, отсчитывав*
i 36]
СФЕРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЧНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ЯМА
169
мая от «дна» ямы, может быть представлена выражением
О, если г^.а,
. C6,1)
оо, если г > а. '
При г ^ о, частица движется свободно, поэтому, согласно § 37,
состояние движения с определенным значением орбитального
момента характеризуется волновой функцией
¦$kim = AU{kr)Ym{Q, ф), C6,2)
где k определяет энергию частицы соотношением
Е=*Щ-. C6,3)
При г ^ а волновая функция равна нулю, так как частица не
может проникнуть в область бесконечно большой потенциальной
энергии. Из условия непрерывности функции следует
j,(ka)=O. C6,4)
Если обозначить корни сферической функции Бесселя /-го
порядка через Хпи где п = 1, 2, ... — главное квантовое число,
т. е. номер корня в порядке возрастания его величины, то из
C6,4) получим дискретные значения
Подставляя это значение в C6,3), находим энергию стационар-
стационарных состояний
хп1
C6,5)
Состояния nl кратко обозначают малой латинской буквой, соот-
соответствующей значению /, перед которой ставится число, указы-
указывающее значение п. Таким образом, говорят о состояниях типа
Is, 2s, \р и т. д. В табл. 5 приведены значения корней Xni сфе-
сферических функций. Бесселя для первых шести состояний. Поль-
Пользуясь табл. 5, легко вычислить энергии частицы с помощью фор-
формулы C6,5).
Таблица 5
Значение корней сферических функций Бесселя
Состояние
Is
IP
Id
3,142
4,493
5,763
Состояние
2S
1/
2р
6,283 -
6,988
7,725
1
170" ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
Исследование случая движения частицы массы |х в сфери-
сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме конечной
^глубины представляет значительно ббльшие математические
трудности. Рассмотрим здесь только энергетические уровня, со-
соответствующие s-сосгояниям. В случае s-состояний уравнение,
определяющее функцию R(r) = rf(r), согласно C4,8), имеет
вид
±™ U)R = 0. C6,6)
Пусть
Uп. если г
0, если г > а.
Найдем решения C6,6), соответствующие отрицательным значе-
значениям энергии. Положим е = —Е > б, т.огда можно написать
= 0, если г < а, C6,8)
^ 0> если г ^ а> C6,9)
где
a=4-^2n(f/0-e), p = i-^2J^. C6,10)
Решения уравнения C6,6), удовлетворяющие условию конеч-
конечности функции f(r) — R/r в нуле и исчезающие при г -* оо,
имеют вид
/?! = A sin ctr, если г ^ а,
R2==Be~^r, если г^а.
Приравнивая логарифмические производные (~гг~тр) обоих ре-
решений, при г = а, получим условие
actgaa=-p, C6,11)
определяющее уровни энергии системы.
Умножая уравнение C6,11) на а и вводя величины
I = аа > 0 и т] =
находим, учитывая C6,10),
^ф^ C6,12)
Уравнения C6,12) можно решить либо численно, либо графи-
графически. При графическом решении значения ? и т), удовлетворяю-
удовлетворяющие одновременно обоим уравнениям C6,12), определяются точ-
точками пересечения кривой т) = —| ctg ? с окружностью радиуса
I 37]
ЯМА С КВАДРАТИЧНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ ОТ РАДИУСА
171
r2iiU0. На рис. 8 изображены кривые т] = — gctgg и три
окружности. Окружность / соответствует неравенству ^2°а <
„2
<-т-. В этом случае отсутствует пересечение,и, следовательно,
нет стационарных состояний с отрицательной энергией. Частица
не задерживается в яме и может уходить в бесконечность — от-
отсутствуют связанные состояния.
Окружность 2 соответствует ра-
радиусу и глубине ямы, при кото-
которых выполняется неравенство
4 ^ й2 ^ 4 *
В этом случае имеется одно .пе-
.пересечение— одно состояние с от-
отрицательной энергией. Эта энер-
энергия может быть определена по
значению г\\, соответствующему
точке пересечения кривых по
формуле
*2„2
C6,13)
Рис. 8. Графическое решение уравнений
которая получается при помощи
C6,10). Кривая 3 соответствует
таким значениям \iUoa2, при ко-
которых в яме имеется два связан-
связанных состояния.
Итак, наличие или отсутствие связанных s-сосгояний в пря-
прямоугольной сферической потенциальной яме определяется вели-
величиной произведения массы частицы на глубину ямы и квадрат
ее радиуса. ,. "
§ 37. Сферически симметричная потенциальная яма
с квадратичной зависимостью от радиуса
Для исследования некоторых свойств атомных ядер пред-
представляет значительный интерес изучение движения частицы мас-
массы (х в поле с потенциальной энергией
U(r).
C7,1)
которую иногда называют' осцилляторной сферической ямой.
В этом случае для состояний с определенным значением угло-
углового момента радиальная волновая функция R{r) удовлетворяет
172 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
уравнению
Если отсчитывать энергию от минимума потенциальной энер-
энергии, то стационарные состояния будут соответствовать положи*
тельной энергии.
Образуем из ю и ц величину, имеющую размерность длины
<37>3>
и перейдем к безразмерным величинам
5-7Г- е = т?г- <37>4>
Тогда уравнение C7,2) примет вид
}0< C7,5)
Полагая
( {) C7,6)
C7,7)
и переходя к новой переменной г = ?2 и новой функции W(z),
определяемой соотношением •
(f) C7,8)
получаем уравнение для W{z)
)?}=0. C7,9)
Уравнение C7,9) совпадает с уравнением для вырожденной ги-
пергеомегрической функции (см. мат. дополн. Г). Следовательно,
n, 2s+-~, z). C7,10)
Чтобы функция C7,8) стремилась к нулю при z -* оо, необхо-
необходимо, чтобы ряд C7,10) оборвался. Это требование осуществ-
осуществляется, если п = 0, 1, 2, ...
Из C7,7) следует, что s = Vs (/ + 1) - Подставляя это значе-
значение в C7,4) при учете C7,6), находим энергетические уровни
Еп1 = Йсо Bи + / + %), п, 1 = 0, 1,' 2, ... C7,11)
и соответствующие радиальные волновые функции
= Nnl ехр (- -f-j 6'+IF (- п, I + f. |2), C7,12)
ЯМА С КВАДРАТИЧНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ ОТ РАДИУСА
173
где I = г
вая функция
> Nni — множитель нормировки. Полная волно-
волно, ф).
C7,13)
Итак, стационарные состояния в «осцилляторной потенциаль-
потенциальной яме», согласно C7,11), образуют эквидистантную (с рас-
расстоянием fico) последовательность энергетических состояний.
Каждое из состояний характеризуется двумя квантовыми чис-
числами п и /. Энергия зависит только от комбинации квантовых
чисел: «
2п + / = Л, C7,14)
поэтому Л = 0, 1, 2, ... можно назвать главным квантовым чис-
числом. Каждое значение Л ^ 2 может осуществляться нескольки-
несколькими комбинациями значений п и I, следовательно, энергетические
уровни C7,11) со значениями Л^2 являются вырожденными.
Для обозначения стационарных состояний в сферической ос-
осцилляторной яме' используются буквенные обозначения s, p,
d, ..., соответствующие значениям / = О, 1, ... Перед буквой
ставится число, превышающее на единицу значение п, опреде-
определяющее степень многочлена F относительно переменной ?2. Так,
например, состоянию Is соответствуют п = I = 0, состоянию \р
соответствуют п = 0, / = 1 и т. д.
В табл. 6 приведены значения энергии первых стационарных
состояний в сферической осцилляторной яме и соответсгвую-
щие квантовые числа.
Таблица 6
Энергия стационарных состояний
сферической осцилляторной ямы
3/2
5/2
7/2
9/2
11/2
Л
0
1
2
3
4
Is
1р
2s, Ы
2р. If
3s. Ы, \g
Четность стационарных состояний соответствует четности или
нечетности Л.
В табл. 7 приведены явные выражения нескольких радиаль»
ных функций стационарных состояний осцилляторной ямы.
Согласно табл. 6, стационарные состояния, начиная со вто-
второго, многократно вырождены. Например, уровень' энергии
174
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
?2 = —Йс» шестикратно вырожден. В одном из этих шести со-
состояний угловой момент равен нулю (s-состояние), остальные
пять состояний относятся к rf-состояниям. Они различаются ме-
между собой значениями проекций углового момента. Пятикратное
вырождение rf-состояний является результатом сферической сим-
симметрии потенциального поля. Вырождение, благодаря которому
s-состояние имеет энергию, совпадающую с rf-состояниями, яв-
является «случайным». Оно обусловлено не симметрией задачи, а
квадратичной зависимостью потенциальной энергии C7,1) от
радиуса. Если потенциальная энергия отличается от C7,1), на-
например, членом рг4, то вырождение, связанное со сферической
симметрией, сохранится, а случайное вырождение будет отсут-
отсутствовать,
Таблица 7
Радиальные волновые функции
сферического осциллятора
Состояние (п +1) /
Is
IP
2s
Id
2exp(-g2/2)
|/-|-iexp(-g2/2)
4
Систему с потенциальной энергией C7,1) можно рассматри-
рассматривать как трехмерный гармонический осциллятор
В уравнении Шредингера с потенциальной энергией C7,16) пе-
переменные разделяются и задача сводится к трем независимым
осцилляторам. Если ввести безразмерные переменные
|==у ij~x, т] = у
U@
Ъ г>
го, используя результаты § 26,
системы выражается формулой
легко показать, что энергия
C7>16)
§ 37] ЯМА С КВАДРАТИЧНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ ОТ РАДИУСА 175
где пх, Пу, «2 = 0, 1, 2, ..., а волновые функции
Vv* ^г) = *»* О *»„ (Ч) Фн, Й). C7,17)
Сравнивая C7,16) с C7,11), мы убедимся, что энергии совпа-
совпадают при Л = 2п + / = пх + пу + яг = 0, 1,2, ... Волновые
функции, соответствующие каждой тройке чисел пх, пу, пг, имею-
имеющих сумму, равную Л, относятся к одному энергетическому уров-
уровню. В частности, уровню с А = 2 (е = — й<л\ соотвегствуют
шесть различных состояний C7,17), которые характеризуются
наборами квантовых чисел
пх
Пу
пг
2
0
0
0
2
0
и
0
2
1
1
0
1
0
1
0
1
1
В общем случае кратность вырождения уровня с определен-
определенным значением / равна i/2 (Л + 1) (Л + 2). ¦
Вырождение уровней с разным / («случайное вырождение»)
в трехмерном гармоническом осцилляторе связано с тем, чго
уравнение Шредингера C7,2) допускает разделение переменных
как в прямоугольной, так и в сферической системе координат,
следовательно, оно инвариантно относительно группы преобра-
преобразований, более широкой, нежели группа трехмерных вращений.
В этом легко убедиться, если записать уравнение Шредингера с
потенциалом.C7,15) в представлении чисел заполнения
\
2 ,
/
Я = Йю Г? а?аг + 3/2 , C7,18)
где а* и щ — операторы рождения и уничтожения возбужде-
возбуждений, удовлетворяющие перестановочным соотношениям
[аи а]"'] = бц', [а{, сц>]=0.
Гамильтониан C7,18) инвариантен относительно преобразования
операторов
з з .
/=1 /=5=1
осуществляемого унитарными матрицами (w^) третьего порядка
(группа ?/C)). Обычная группа вращений — группа SOC) —
содержится в ?/C) в качестве подгруппы.
176 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ.СИЛ [ГЛ. VI
§ 38. Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр
Исследуем движение электрона в кулоновском поле с потен-
потенциальной энергией
?/(г) = —~. C8,1)
Эта задача имеет большое значение в теории атома водорода
(Z = 1) и других многократно ионизированных атомов (Не+,
Li++ и т. д.), содержащих один электрон, так как потенциальная
энергия взаимодействия электрона с ядром может быть пред-
представлена формулой вида C8,1) для всех расстояний, превышаю*
щих радиус ядра. На меньших расстояниях (внутри ядра) энер-
энергия взаимодействия электрона с ядром не выражается кулонов-
ским законом C8,1), а стремится к конечному пределу при
г—>0. Вследствие малости радиуса ядра по сравнению с разме-
размерами атома отличие реальной энергии-взаимодействия ог C8,1)
можно в первом приближении не учитывать. В этом "параграфе
мы исследуем движение электрона в поле C8,1) без учета ре-
релятивистских эффектов. Они будут рассмотрены в гл. VIII.
Стационарные состояния движения электрона в кулоновском
поле с определенным значением орбитального момента опреде-
определяются уравнением Шредингера *) для радиальной волновой
функции R(r) = rf(r)
Удобно в уравнении C8,2) перейти к безразмерным перемен-
переменным. Для этого введем атомную единицу длины — боровский
радиус
а =-^ « 5,292 • iO~9 см, C8,3)
и атомную единицу энергии
Еа = -~-
Переходя к безразмерным величинам
а = -~- =Jg?- ~ 27,21 эВ. C8,4)
*) Уравнение C8,2) написано в предположении, что ядро атома является
неподвижным. В действительности н электрон и ядро атома движутся вокруг
их общего центра ннерцнн. Чтобы учесть движение ядра атома, достаточно
в уравнении C8,2) заменить массу электрона ц приведенной массой
ц' <= ~mjl'u* где Af — масса идра" атома. и
§ 38] ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ. ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР G7
преобразуем уравнение C8,2) к виду
C8,6)
Поскольку потенциальная энергия C8,1) выбрана так, что она
равна нулю на бесконечном расстоянии, связанные состояния бу-
будут соответствовать отрицательным значениям полной энергии.
При е < 0 удобно ввести положительную величину а такую,
чтобы
а2==-2е>0. C8,7)
Тогда уравнение C8,6) принимает вид
]ft.)-a C8.8)
Исследуем решение уравнения C8,8) для больших значений р.
При р -» оо в уравнении C8,8) можно пренебречь двумя послед-
последними слагаемыми. Таким образом, асимптотическое решение
C8,8) при р —> оо должно иметь вид
р->оо.
Поскольку волновая функция на бесконечных расстояниях не
может стремиться к бесконечности,- надо положить В = 0. Сле-
Следовательно, решение уравнения C8,8) можно искать в виде
#(p) = e-°eF(p), C8,9)
где функцию ^(р) представим в виде степенного ряда
F(p)=pv2pvPv- C8,10)
v=o
Для определения асимптотического поведения F(p) при малых р
подставим C8,9) в уравнение C8,8), сохраняя члены с наимень-
наименьшими степенями р. Тогда получим уравнение, определяющее у,
из которого следует
//+1,
Чтобы /?(р) стремилось к нулю при р-»0, надо взять только
одно решение ,у = / + 1.
Итак, решение, удовлетворяющее граничным условиям
в нуле и в бесконечности, можно искать в виде
2pvP C8,11)
v=9
178 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
Подставляя C8,11) в уравнение C8,8) и приравнивая коэффи-
коэффициенты при одинаковых степенях р, получим рекуррентное соот*
ношение
ношение
2[g(v +
позволяющее выразить последовательно все коэффициенты сте-
степенного ряда C8,10) через значение Ре, которое определится из
условия нормировки функции. Условие, чтобы степенной ряд
C8,10) обрывался*) на члене с v = nr, согласно C8,12),
сводится к требованию
a(nr + /+l) = Z. C8,13)
Вспоминая определение C8,7), находим значение энергии в
атомных единицах
a2 Z2
е==~~Т==~ 2(пг + / + 1J # C8,14)
Величина п = пг + / + 1 называется главным квантовым
числом, так как она определяет значение энергии стационарных
состояний
? = -¦§. ' C8,15)
Поскольку пг, 1 = 0, 1, 2 то главное квантовое число про-
пробегает положительные значения, начиная с 1. Энергия зависит
только от главного квантового числа, т. е. от суммы кванговых
чисел пг и /. Состояния с определенной энергией и определен-
определенным моментом обозначаются кратко через nl, при этом вместо
числа / пишется соответствующая латинская буква (см. § 34).
При п — 1 имеется одно состояние Is; при h = 2 имеется два
состояния 2s и 2р, из которых второе трехкратно вырождено по
значению магнитного квантового числа; при п = 3 имеются со-,
стояния 3s, Зр, 3d и г. д. В общем случае каждому уровню с
главным квантовым числом п соответствует п состояний, разли-
различающихся квантовыми числами / = 0, 1, 2, ..., (п— 1). Такое
вырождение имеется только в кулоновском поле. Каждое со-
состояние с определенным / вырождено 2/ + 1 раз по значению
*) Если бы мы ие ограничивали число членов в ряду C8,11), то при
больших V, согласно C8,12), выполнялось бы соотношение
. 2а Ba)v+1 „
Pv+. ~ v+/ + 2 Pv ~ (V+/ + 2)|P°.
определяющее коэффициенты разложения в ряд экспоненциальной функ-
функции рое2ар. Поэтому прн больших pF (pj/^e20* н функции R (р)/~е~аррг+1е2ар
при р -> со стремилась бы к бесконечности.
§38] ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ, ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР 179
т = 0, ±1, ±2, ..., поэтому общая кратность вырождения
стационарного состояния с квантовым числом п будет равна
2B/+ 1)==п2.
Случайное вырождение в кулоновском поле является след-
следствием дополнительной симметрии гамильтониана кроме сфери-
сферической. Такая симметрия допускает разделение переменных в
уравнении Шредингера как в сферической, так и в параболиче-
параболической системах координат. Уравнение Шредингера с кулоновским
потенциалом инвариантно относительно группы четырехмерных
вращений 0D). Всякое отклонение от кулоновского потенциала
снимает «случайное» вырождение. Например, если в C8,8) за^
22
менить кулоновский потенциал 2Z/p на —A +Р/р), то получим
уравнение
(^^^)(р)==0' C8'16>
где величина /' теперь уже не целое число и связана с орби-
орбитальным квантовым числом / соотношением
Уравнение C8,16) по форме совпадает с C8,8), поэтому оно оп-
определяет энергию в атомных единицах
Z Z
е
которая зависит как от главного квантового числа h = nr -f / -fc.
+ 1» так и от орбитального /.
В табл. 8 указан явный вид (для случая Z = Г) первых ра-
радиальных функций f(p) = R(p)/p, нормированных условием
В общем случае Для произвольного Состояния нормирован-
нормированная радиальная волновая функция выражается через выро-
вырожденную гипергеометрическую функцию формулой
где
N ' Т .> ТЧ]
"' B/+ 1)! [2n(n-l—l)l J \п) '
Квантовое число
180
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
определяет число узлов волновой функции, т. е. число пересече-
пересечений этой функцией оси р (исключая значение р = 0).
Таблица 8
Радиальные функции атома водорода
Состояние
Is
2s
2р
3s
Зр •
3d
0
1
0
2
Г
0
fW
2/1Г
i о2е"р/3
81/30 Р
Для ряда приложений полезно знать средние значения неко-
некоторых степеней р в. стационарных состояниях nl. Ниже приво-
приводятся некоторые из них:
1 г° * '" ' ')], C8,17а)
/i\_JL
\р/ и2 '
C8,176)
C8,17в)
C8,17г)
C8,17д)
Из C8,17в) в частности, следует, что при учете C8,15) сред-
среднее значение потенциальной энергии электрона в кулоновском
поле равно удвоенному значению полной энергии (в атомных
единицах)
U\ / Z
§39] ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ, НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР 181
§ 39. Движение в кулоновском поле. Непрерывный спектр
Перейдем к исследованию стационарных состояний движения
электрона в кулоновском поле C8,1) при положительной энер-
энергии
C9,1)
тогда уравнение C8,6) для функции R(p) примет вид
Асимптотическое значение при р —> <х> функции
остается конечным при любых значениях k и отличных от нуля
значениях А и В. Следовательно, собственные значения энергии
при е > О соответствуют непрерывному спектру.
Асимптотическое значение R(p) при р—*0 должно опреде-
определяться так же, как и в случае отрицательных энергий
R(p) » р'+*.
Таким образом, решение C9,2) можно искать в виде
R (р) = 屫рр<+> 2 pvPv- C9,3)
v=o
Подставляя C9,3) в C9,2) и приравнивая нулю коэффициенты,
стоящие при одинаковых степенях р, находим рекуррентное со-
соотношение
r — 2[i(v + l+l)k-Z]
Pv+l — (v + / + 2) (V + / + 1) - / (/ + 1) Pv#
При больших значениях v
Pv+l ~(v + / + 2)Pv « (v + / + 2)I P°-
Следовательно, ряд C9,3) всегда сходится. Преобразуем C9,4)
к виду .
тогда, подставляя это значение в C9,3), можно выразить функ-
функцию R(p) через вырожденную гипергеометрическую функцию
Rki (Р) = e*'ftpp'+ 'F (* + 1 ± —, 21 + 2, + 2ikp), C9,5)
Полученные результаты легко обобщить на случай движения
в кулоновскдм поле отталкивания, например для движения
182 Движение частицы в поле Центральных сил [Гл. vi
позитрона в поле ядра,
В этом случае полная энергия частицы может быть только по-
положительной. Стационарные состояния движения с определенной
энергией e = -^k2 (в атомных единицах) и определенным орби-
орбитальным моментом выражаются линейной комбинацией волно-
волновых функций, радиальные чясти которых выражаются формулой
Ru (Р) = е±'V+IF (/ + 1 =F -f-, 2/ + 2, + 2ik9), C9,6)
которая получается из C9,5) изменением знака у Z. Радиаль-
Радиальные функции C9,6) можно использовать и для описания движе-
движения" протона с энергией Е и определенным орбитальным момен-
моментом / в поле ядра, если положить
Me2 , Ь /
где М — масса протона.
§ 40*. Оператор момента количества движения
В предыдущих параграфах этой главы мы видели, что во
всех центрально-симметричных полях стационарные состояния
можно характеризовать определенными значениями квадрата
момента количества движения и его проекции на одно из на-
направлений в пространстве. В связи с этим представляет интерес
исследовать более подробно свойства этих операторов.
В общем случае оператором момента количества движения,
или, кратко, оператором момента называется вектор /, декар-
декартовы координаты которого h(i = х, у, г или 1, 2, 3) являются
эрмитовыми операторами, удовлетворяющими перестановочным
соотношениям
[Тх, Ту] = ш„ [Гу, /J = шх, [Т„ Гх] = шу. D0,1)
Частным случаем оператора момента / является оператор ор«
битального или углового момента
В дальнейшем мы познакомимся с операторами моментов, не
выражающимися непосредственно через операторы координат и
импульсов.
Введем оператор квадрата момента
Г = Л+ /* + /!. . D0,2)
§ 40] ОПЕРАТОР МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 183
Тогда, используя D0,1), находим, что
[Я /,] ~0, t = x,y,z. D0,3)
Из перестановочных соотношений D0,1) и D0,3) следует, что
одновременно определенные значения могут иметь квадрат мо-
момента и одна из его проекций. Примем в качестве этой проекции
Jz. Волновые функции таких состояний являются одновременно
собственными функциями операторов Р и Jz. Если обозначить
эти функции через
\№), D0,4)
то, следовательно, должны удовлетворяться уравнения
Г\т) = 1)\1т), D0,5)
lz\jm) = hm\jm). D0,6)
Введем вспомогательный неэрмитов оператор
Тогда из D0,1) и D0,3) следуют перестановочные соотношения
[/*,?+] = <), D0,8)
[/„/+] = Й/+, D0,9)
[?+> ?l] = hJz. D0,10)
Из D0,5) — D0,10) следует, что операторы D0,7) имеют диа-
диагональные матричные элементы по квантовому числу /. Опера-
Оператор /+ увеличивает, а оператор /+ уменьшает квантовое число
т на единицу.
Квантовые числа, определяющие собственные значения опе-
оператора 7г в уравнении D0,6) пробегают отличающиеся на еди-
единицу значения, лежащие в интервале
' -/<т</. D0,11)
Неравенство D0,11) для чисел т, отличающихся друг от друга
на 1, будет выполняться при условии, что 2] является целым по-
положительным числом. Следовательно, возможные значения /
определяются либо целыми положительными числами, либо по-
полуцелыми положительными числами, т. е.
/ = 0, 1, 2 D0,12)
либо
184 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ, VI
Отличными от нуля матричными элементами операторов /+
и /+ являются
m + 11 7+| jm) = (/m |7+| /, m
y +l): D0,14)
Зная отличные of нуля матричные элементы D0,14), легко
вычислить и матричные элементы операторов ТХ1 ?у. Используя
равенства
1Х = ^L G+ + 7+), 7Р = -^ G1 - 7+), D0,15)
находим
/, m ± 11 /ж I /m> = 4 У(/ Т т) (/ ± m + 1),
, m ± 1 |/J/m> = + -f У(/+ т)(/±т+ 1).
D0,16)
Матричные элементы D0,14) и D0,16) определены с точностью
до фазового множителя. Эта неопределенность не сказывается
на физических результатах в силу, инвариантности физических
следствий квантовой теории относительно фазового преобразо-
преобразования функций и операторов (см. § 30).
Согласно D0,2) и D0,7), имеем
Г-7«+ (/+/;+ 7+/+).
Поэтому, учитывая D0,6) и D0,14), находим
Таким образом, собственные значения оператора квадрата мо-
момента определяются квантовыми числами / с помощью формулы
// = Й2/(/+1). D0,17)
Приведенные выше формулы применимы ко всем операто-
операторам моментов, удовлетворяющим перестановочным соотноше-
соотношениям D0,1) независимо от явного вида операторов. В частном
случае оператора орбитального (или углового) момента, опре-
определяемого через операторы координаты и импульса формулой
собственные значения квадрата оператора (см. § 8) выражаются
через значения орбитального квантового числа /, пробегающего
§ 411 СЛОЖЕНИЕ ДВУХ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 185
только целые значения 0, 1, .,., т. е. реализуется случай
L2 = /l2Z(Z-f-l), 1 = 0, 1, 2, ...
В этом случае собственные функции оператора углового момента
в координатном представлении совпадают со сферическими
функциями от полярных углов
Ф/m —I/*»)=¦ У|т(е, ф).
В последующих главах мы познакомимся с другими опера-
операторами моментов, для которых / принимает только полуцелые
значения, т. е. реализуется случай D0,13).
§ 41. Векторное сложение двух моментов количества движения
Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, состояние
которых определяется соответственно моментами /A) и /B).
Допустим далее, что операторы проекций этих моментов комму-
коммутируют, т. е.
[/i A), h B)] = 0, I, k = 1, 2, 3. D1,1)
Тогда полная система может находиться в состояниях, в которых
одновременно имеют определенное значение квадраты моментов
Й2/2(/2+1) D1,2)
и их проекции на одну из осей координат, которую мы примем
за ось г:
D1,3)
Такие состояния описываются волновыми функциями
= I /V"i> I /V>, D1,4)
представляющими произведение собственных функций каждого
из операторов в отдельности. При фиксированных Д и /г имеется
B/i + 1) B/г + 1) различных функций D1,4), отличающихся
значениями пары чисел т\ и т2.
Определим теперь оператор
7 = 7A)+ 7B). D1,5)
Поскольку проекции каждого из операторов правой части D1,5)
удовлетворяют перестановочным соотношениям D0,1), то легко
убедиться, что тем же перестановочным соотношениям удовлет-
удовлетворяют и проекции оператора D1,5). Будем называть оператор
D1,5) оператором полного момента системы.
186 Движение частицы в поле центральных сил- [гл. vi
Легко убедиться, что волновые функции D1,4) являются соб-
собственными функциями оператора проекции полного момента
7, = /*(!) + /* B), D1,6)
соответствующими собственному значению
h (тх + т2). D1,7)
Оператор квадрата полного момента
P = P(l) + PB) + 2J{l)JB) D1,8)
коммутирует с операторами fi(l) и /2B), следовательно, квад-
квадрат полного момента может иметь определенное значение одно-
одновременно с квадратами моментов каждой из подсистем. Однако
функции D1,4) не являются собственными функциями оператора
D1,8), так как третье слагаемое в D1,8) будет смешивать
состояния, отличающиеся по nti и тг на единицу. Можно пока-
показать, что из функций D1,4) можно образовать такие линейные
комбинации, которые будут собственными функциями и опера-
оператора /2. В силу линейности оператора ]г эти линейные комбина-
комбинации будут одновременно и собственными функциями оператора
1г- Таким образом, состояние системы, соответствующее опреде-
определенным значениям квадрата полного момента, проекции полного
момента и квадратам моментов 7? и /1, можно записать в виде
\ jm) | hm,) | ьщ). D1,9)
Здесь (hhmim2.\im)—коэффициенты, определяющие вклад раз-
различных функций D1,4) в D1,9). Они называются коэффициен-
коэффициентами векторного сложения, или коэффициентами Клебша — Гор~
дана. Фазовые множители у функций D1,9) выбираются так,
чтобы коэффициенты векторного сложения были действительны.
Коэффициенты векторного сложения определены для целых и
полуцелых значений квантовых чисел /ф/.
Таблицы этих коэффициентов можно найти в специальных
руководствах *).
*) Значения коэффициентов векторного сложения дли /г^2 даны в книге
Кондона и Шортли [27]. При этом следует учесть, что обозначения Кон-
дона и Шортли несколько отличаются от обозначений, используемых в этой
книге. Укажем наиболее употребительные, обозначения коэффициентов вектор-
векторного сложения
(iii^riim21 /m) «е (
см. также [28—30].
§ 41] СЛОЖЕНИЕ ДВУХ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 187
Из D1,9) следует, что коэффициенты векторного сложения
являются • матрицами преобразования от представления, в кото^-
ром заданы проекции моментов подсистем, к представлению, в
котором задан полный момент системы и его проекция. Коэффи-
Коэффициенты векторного сложения играют большую роль в приложе-
приложениях квантовой механики, поэтому мы укажем основные свой-
свойства этих коэффициентов, чтобы облегчить их использование
для практических целей.
Коэффициенты векторного сложения отличны от нуля только
при условии
т = тх-\- т2, D1,10)
поэтому в сумме D1,9) суммирование по одному из индексов
носит формальный характер. Так как mi = т — т2, то при за-
заданном т в D1,9) можно вести суммирование только по т2.
При заданных ]\ и /г квантовое число / может пробегать по-
последовательность отличающихся на единицу значений, удовлет-
удовлетворяющих неравенству
l/i-/2|</</. + /2. D1,11)
Каждому значению / соответствует B/4-1) значений т = ±/,
±(/—1), ..., поэтому общее число состояний со всеми воз-
возможными значениями / будет равно
'"З B/+ 1) — B/1 + 1)B/2+ 1), D1,12)
/=i/,-/sl
т. е. совпадает с общим числом состояний, описываемых функ-
функциями D1,4).
Неравенство D1,11) можно интерпретировать на геометриче-
геометрическом языке как неравенство, которому удовлетворяют три сто-
стороны треугольника. В связи с этим неравенство D1,11) часто
называют соотношением треугольника и кратко записывают в
виде
А (/./У). D1,13)
Числа /i, /2 и / входят в условие треугольника D1,11) симмет-
симметричным образом. Если условие треугольника D1,11) не выпол-
выполнено, то коэффициенты векторного сложения автоматически
равны нулю.
Коэффициенты векторного сложения (/i/2, m — 1Щ, m21 jm)
можно представить в виде матрицы, строки которой нумеруются
числом /, а столбцы — числом пн. В таком виде обычно приво-
приводятся коэффициенты векторного сложения в таблицах. Если /3
является наименьшим из значений /i и /г, то число строк и столб-
столбцов равно 2/3 -f- 1.
188 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
Коэффипиенты векторного сложения удовлетворяют следую-
следующим соотношениям ортогональности и нормировки:
2 (/,/>,«,| /m)(/,/smX| im) = в^;^. D1.14)
'. D1,15)
Эти соотношения ортогональности выражают унитарный харак-
характер преобразования D1,9). Поскольку коэффициенты векторного
сложения действительны, то обратное к D1,9) преобразование
осуществляется теми же функциями преобразования, т. е.
) I iztn2) = S Uiiztniinz I /m) | iihjm). D1,16)
/m
Свойство ортогональности коэффициентов векторного сложения
можно выразить также равенством
т\т
Симметрии условия треугольников D1,13) относительно кван-
квантовых чисел jij2j соответствуют простые соотношения между
коэффициентами векторного сложения для сложения моментов
в разном порядке. Эти соотношения называют условиями сим-
симметрии. Например,
(hhmlm2\jm) = (-l)i'+h-4j2jlm2ml\jm). D1,18)
Из D1,18) непосредственно следует соотношение между волно-
волновыми функциями
I hh№) = (-1)'-+'->| Шт). D1,19)
В некоторых случаях вместо коэффициентов векторного сло-
сложения удобнее пользоваться Щ-символами Вигнера, которые оп-
определяются через коэффициенты векторного сложения формулой
ibSfe0*1** DЬ20>
Удобство З/'-символов Вигнера заключается в их высокой сте-
степени симметрии. Они отличны от нуля, только если выполняются
условия
mi + т2 + т3 = О, Л (Шз).
Значение 3/-символа Вигнера остается неизменным при четном
числе перестановок столбцов символа. При нечетном числе пе-
перестановок столбцов надо умножить символ на (—1)/|+/>+/>«
42] СЛОЖЕНИЕ ТРЕХ МОМЕНТОВ. КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА 189
Имеет место также равенство
lh h к \,l)M.i1+J h h h \
\ Ш\ ТП2 /Яз / \ — ТПХ — Ш2 — Шз I
В силу ортогональности коэффициентов векторного сложения
ЗУ-символы также удовлетворяют условиям ортогональности
D1,21)
D1,22)
§ 42*. Векторное сложение трех моментов.
Коэффициенты Рака
Рассмотрим три коммутирующих между собой оператора
/A), /B), /C), которым соответствуют собственные функции
l/iOTi)t \i2ffh), |/зтз), описывающие состояния трех подсистем
некоторой сложной квантовой системы. Оператор
/=/A) + /B) + /C) D2,1)
также будет оператором момента. Этот оператор называют опе-
оператором полного момента системы. Последовательно применяя
результаты предыдущего параграфа, можно из функций \jitni),
|/Уп2), I/3WJ3) для состояний подсистем С определенными значе-
значениями /ь /г и /з построить волновые функции, являющиеся соб-
собственными функциями операторов /2 и Jz, соответствующие соб-
собственным значениям
Я = #>/(/4-1) и /2 = Йт. D2,2)
Такое построение можно осуществить двумя путями: а) вначале
сложить /A) и /B) и к их сумме прибавить /C); б) вначале
сложить /B) и /C) и к их сумме прибавить /A).
Рассмотрим вначале случай а). Для суммы /A) и /B)
имеем
l j12m12), ml2 = mx -f m2,
теперь, складывая /A2) и /C), находим
! (Ш /u/a/nt) =
2\iX2, mt+m2)X
Х(/12/з, т\-\-т2, m3\jm). D2,3)
190 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
В случае сложения моментов по способу б) имеем
I /l (/2/3) /23/W> =
= 2 I Ami) I j2m2) I /3m3> (}2j3m2m31 /fflt m2 + m3) X
XUiItsfnu m2 + m3\jm). D2,4)
Чтобы упростить дальнейшую запись, введем следующие обо-
обозначения:
/i = fl, /2 = b, /з = с, } = d, Ji2 = e, /23 = /,
fli\ = a, wig == Р» "*з:== Y> tn = 6,
тогда D2,3) и D2,4) примут соответственно вид
| (ab) ecdb) = 2 | аа> | ftp) | суУ(с*ор | е, о + р) (ее, а + р, Y | Об),
а. р. v
D2,3а)
| а Fс) / rf6) = 2 I аа) \ 6р> | cY> FcpY I /, р + у) (afa, p + YI Л).
а, р, v
D2,4а)
Функции D2,3а) и D2,4а) являются двумя возможными
представлениями состояния полной системы, соответствующего
собственным значениям D2,2), поэтому они связаны между со-
собой с помощью унитарного преобразования
| (ab) ecdb) == 2 ((ab) ecd | a (be) fd) | a (be) f db). D2,5)
Матричные элементы унитарного преобразования ((ab)ecd\
\a(bc)fd) не зависят от магнитного квантового числа б. Они мо-
могут быть выражены через произведения четырех коэффициентов
векторного сложения. Чтобы найти это выражение, обратим
D2,4а):
! аа) | Ьр> | су) = 21 a (be) fd'b) (befiy \ f, p + Y) (afa, p + YI d'b). D2,6)
Подставляя D2,6) в D2,3а), находим
\(ab)ecdb) =
c, a + p, y\d6)(bc$y\f,
2
X (aja, p 4- Y! d'b) I a (be) fd'b). D2,7)
Поскольку состояния, отличающиеся квантовыми числами пол-
полного момента d, являются линейно независимыми, в D2,7)
в сумме по d' отличен от нуля только один член d = d'. Сравни-
Сравнивая далее D2,7) и D2,5), находим
((ab) ecd \ a (be) fd) = 2 (fltapi e, a + р) (ее, а + р, y I db) X
X FcpY I U P + Y) (afa, P + YI dS). D2,7a)
§ 42] СЛОЖЕНИЕ ТРЁХ МОМЕНТОВ. КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА 191
4
Коэффициенты векторного сложения действительны, поэтому
действительны и матричные элементы унитарного преобразова-
преобразования D2,7а). Вместо этих матричных элементов обычно исполь-
используют в приложениях коэффициенты Рака W(abcd; ef), которые
определяются через D2,7а) с помощью соотношения
W (abed; ef) = «"»>«"* I "(*«>W . D2>8)
Из действительности и унитарности коэффициентов преобразо-
преобразования D2,7а) непосредственно следует, что коэффициенты Рака
удовлетворяют следующему условию ортогональности:
2 Bе + 1) B/ +l)W (abed; ef) W (abed; eg) *= 6fg. D2,9)
Из определений D2,8) и D2,7а) вытекает, что коэффициенты
Рака отличны от нуля только в том случае, когда выполняются
соотношения треугольников
A(abe), A(ecd), A(bcf), A(afd).
Из свойств симметрии коэффициентов векторного сложения сле-
следуют свойства симметрии коэффициентов Рака
W (abed; ef) = W (bade; ef) = W (cdab; ef) =
*=W(dcba; ef) = W(cadb; fe) = W(bdac; /e> =
; fe),
(-\)e+f~b~cW(abcd; ef) = W(aefd; be),
(-l)e+f-a-dW(abcd; ef) = W(befc; ad).
D2,10)
Из определений D2,7а) и D2,8) можно получить полезное со-
соотношение
(аЬф еа + р) (eda + рб | со, + р + б) =*
X
X (Фф + б | са + р + б) W (abed; ef) D2,11)
Если один из шести параметров коэффициента Рака равен
нулю, то с помощью свойств симметрии D2,10) он может быть
сведен к коэффициентам
W(abed; of)
W (abco; ef) = . Ь"Ае
192 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
Более полное изложение свойств коэффициентов Рака и их
численные значения можно найти в обзорах Биденхарна, Блатта
и Роуза [31], А. Эдмондса [32] и в книге Любарского [29].
В ряде работ.вместо коэффициентов Рака используют введен-
введенные Вигнером 6/-СИМВ0ЛЫ, которые определяются через коэффи-
коэффициенты Рака соотношением
{Id ef}=(-l)a+b+C+dwWc;ef). -D2,12)
6/-СИМВ0ЛЫ Вигнера обладают очень простыми свойствами
симметрии. В них можно любым образом переставлять столбцы
без изменения значения 6/-символа. Значение символа не ме-
меняется также при перестановке любых двух элементов верхней
строки с двумя элементами, расположенными в нижней строке
непосредственно под ними.
§ 43*. Преобразование собственных функций операторов
моментов при вращениях координатных осей
Собственные функции \}пг) оператора момента количества
движения определяют состояния, в которых квадрат момента
имеет значение *2/'(/rh U и проекция на ось г имеет значе-
значение Mm.
В ряде приложений возникает необходимость преобразова-
преобразования волновых функций \jtn), заданных в системе координат хуг,
к новой системе координат |т)?, которая получается из старой
при произвольном повороте вокруг начала координат.
Произвольный поворот системы координат |т]?; относительно
системы координат хуг однозначно определяется тремя параме-
параметрами— тремя углами Эйлера а, р и у. Будем пользоваться
правыми системами координат и отсчитывать положительное на-
направление вращения по направлению вращения правого винта.
Пусть вначале система осей |т]?; совпадала с системой осей
хуг — положение К- Углы Эйлера а, р и у определяют три по-
последовательных вращения, с помощью которых система осей |т]?
перейдет из положения К в конечное положение К'. Эти три вра-
вращения осуществляются следующим образом (рис. 9): а) враще-
вращением на угол а (О ^ а ^ 2я) вокруг оси г система осей пере-
переводится в положение /Ci(*i#i2i)—операция Rl; б) вращением
р@ р )
(#)р ; ) р
на угол р@ ^ р ^ я) вокруг новой оси у\ система осей коорди-
координат из положения К\ переводится в положение /Гг Сод/222) —
операция jRf1; в) вращением на угол Y@^Y^2n) вокруг
оси 2г, совпадающей с ?, система координатных осей переводится
из положения Ка в конечное положение К' — операция Д§.
¦43]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ВРАЩЕНИЯХ К.ООРД. ОСЕЙ
193
В § 18 мы рассматривали изменение волновых функций, свя-
связанное с перемещением в пространстве векторов, характеризую-
характеризующих положение точек системы (перемещение тела). При этом
базисные векторы, определяющие систему координатных осей,
оставались неподвижными. Теперь мы рассматриваем преобразо-
преобразование координат точек фиксированного в пространстве тела при
вращении базисных векторов координатных осей (вращение ко-
координатных осей).
*с ,*--.%
У/&
Рис. 9. Углы Эйлера.
Пусть при вращении координатных осей координаты точки
преобразуются по закону
= gr, D3,1)
где g — линейный оператор.
Новая функция, зависящая от новых координат, должна
иметь в данной точке такое же значение, как и старая функция
от старых координат, т. е. i|/(r') = Ч> (г) •
Заменяя в правой части этого равенства г через г' с помощью
обратного преобразования к D3,1), находим
Следовательно, закон преобразования функций при преобра-
преобразовании координат D3,1) определяется равенством
y(O = f(f') = *(g4O = t(f). D3,2)
Сравнивая D3,2) с преобразованием A8,4), мы убедимся, что
преобразование функций при преобразовании координат, осуще-
осуществляемом вращением координатных осей и вращением тела,
происходят по одинаковому правилу. Следует, однако, иметь
в виду, что если g — оператор, соответствующий преобразованию
координат при вращении координатных осей, a S — оператор,
соответствующий преобразованию координат при вращении тела,
то эти операторы являются взаимно обратными. Например, по-
поворот координатных осей вокруг единичного вектора п на угол ср
эквивалентен повороту тела на угол —ф. При последнем
7 А. С. Давыдов
194 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
повороте, согласно § 18, преобразование функций осуществ-
осуществляется оператором A8,11), если положить в нём а = —ф. Та-
Таким образом, изменение функции при повороте координатных
осей на угол ф вокруг п осуществляется оператором
/?Ф = ехр{/7п-|-}, D3,3)
где /— оператор момента количества движения.
Оператор D3,3) преобразует вид волновой функции. Он оп-
определяется углом поворота ф и проекцией оператора момента
на ось поворота. Следовательно, при повороте координатных
осей на три угла Эйлера волновые функции подвергаются трем
последовательным преобразованиям с помощью операторов:
R% — оператор поворота на угол а вокруг оси z; Щ — оператор
поворота вокруг нового положения оси у на угол р и ^—опе-
^—оператор поворота на угол у вокруг нового положения оси z. Итак,
оператор, преобразующий волновые функции при повороте си-
системы координатных осей на три угла Эйлера, должен иметь вид
/? (о, Р, Y) = *W& D3,4)
где
/Й = /«?, /# = /»?, *? = /'"? D3,5)
Обратное преобразование к jD3,5) осуществляется поворо-
поворотами (в обратном порядке) на углы —у, —р, —а. Следователь-
Следовательно, обратное преобразование определяется оператором
/Г1 (ару) = RtaR^Rly ='Ц* (ару). D3,6)
Операторы D3,4) и D3,6) коммутируют с оператором Р, по-
поэтому при действии этих операторов на функции \jtn), являю-
являющиеся собственными функциями /2, они преобразуют их в ли-
линейные комбинации функций \jm) с тем же значением /, но
с разными значениями т. Следовательно,
R (ару) | jm) = 21 \т') {jm' \ R (ару) | jm). D3,7)
m'
Коэффициенты преобразования D8,7) являются матричными
элементами матрицы конечного вращения в /-представлении.
Эти матричные элементы являются функциями углов Эйлера. Их
обычно называют функциями Вигнера, обобщенными сфериче-
сферическими функциями, или D-функциями, и вводят обозначение
DV (ару) а (/от' | R (ару) | jm). D3,8)
При повороте координатных осей координаты фиксирован-
фиксированной точки г9ф преобразуются в координаты гб'ф'. В равенстве
i 43]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ПРИ ВРАЩЕНИЯХ КООРД. ОСЕЙ 195
D3,7) функции | jm) являются функциями углов в повернутой
системе координат, что можно записать в явном виде с помощью
выражений @'ф'|/т) и (Э'ф'|/т')- На основании D3,2) имеем
Подставляя это значение и D3,8) в D3,7), находим оконча-
окончательно
<6Ф | jm) = 5 DU (ару) <6 VI jk). D3,9)
k
Легко убедиться, что матрица конечного вращения с матрич-
матричными элементами D3,8) является унитарной матрицей, т. е.
)+ = l, или (Z)/)+ = (D/r1.
В более подробном виде унитарность D-функции запишется
так:
2 D2kD'mk' = 2 D'LDl'm = 6kk>. [D3,10)
т т
Пользуясь D3,10), находим обратное преобразование к преобра-
преобразованию D3,9)
2&. . D3,11)
Если функции (Эф|/т) = Флт(8ф) представить в виде одно-
одностолбцовой матрицы <bj@, <p) = (<bjm) с 2/ -J- 1 строками, разли-
различающимися значениями т, то преобразования D3,9) и D3,11)
можно записать в матричном виде
ф, (еФ) = ю'ф, (В'фО, Ф/ F'фО = (D'f ф,
Учитывая, что функции \jm) являются собственными функ-
функциями операторов Jz, и принимая во внимание определение
D3,8), можно написать явное выражение матрицы конечного
вращения D' через эйлеровские углы а, р и у
Dmk («Py) = e'm dmk (p) е' , D3,12)
где
dLk (р) = BU (ОрО) = {jk | е "у Т | jm) D3,13)
— действительные матричные элементы.
Матрица конечного вращения для /=1 имеет вид
( 1 + cos Р sin р 1 — cos р
¦ 2 У2 2
«пР л„„а ^пР
1 — cos P
sin Р 1 + cos (
D3,14)
196 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
Матрицу конечного вращения dmk (Р) для / = 1/2 можно записать
в виде
cos|- sin|-
D3,14а)
Два знака в D3,14а) ставятся в связи с тем, что
Далее мы увидим, что все матрицы dj(f$) могут быть получены
из матрицы d'l* и коэффициентов векторного сложения. Выра-
Выражение D3,14а) будет выведено в § 61. Матрица d3(p) действи-
действительна и унитарна, следовательно, она является ортогональной
матрицей
(d'mk (Р))=(dim (р))=(dL (- Р))-
Отметим некоторые свойства матричных элементов rfmfe(P):
d'mk(Р) = (-\?~тdL(р) = (~\f-mdL(- р) = (-l)fe~mdlm-k(р).
Наконец, отметим еще одно соотношение для частного
случая, когда р = л и / — целое:
<&*(я) = (-1)'~Ч.-«. D3,15)
Из приведенных выше выражений и D3,12), в частности, следует
Dink (<xPy) = (- l)k~m D'J*. -k (apY). D3.16)
Если либо т, либо k равны нулю, то матричные элементы
Dink (apv) ПРИ целых значениях / = / сводятся к сферическим
функциям
Dbk (apY) = (~ 1)" У
В частности,
D3,17)
Соотношения D3,17) и позволяют назвать матричные элементы
матрицы конечного вращения обобщенными сферическими функ-
функциями /-порядка.
Для упрощения записи введем сокращенное обозначение со-
совокупности трех углов Эйлера ¦& = (а, р, у). Если поворот ф =
43] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ ПРИ ВРАЩЕНИЯХ КООРД. ОСЕЙ 197
является результатом двух последовательных поворотов
вначале ¦ди а затем Фг, то имеет место равенство
2 D'mk (Os) DL' (<>i) = D'mm' (<Mh), D3,18)
которое указывает, что матрицы D^fe образуют представление
трехмерной группы вращения. Представления с целым значе-
значением j — t являются однозначными. Представления с полуце-
полуцелыми значениями / являются двухзначными: каждому значению j
соответствует два. матричных элемента, отличающихся знаком
(см., например, случай D3,14а)).
При 1 = 1 и т = т' = 0 из D3,18) следует теорема сложе-
сложения сферических функций:
YL (Эф) Ylm (GV) = ^~ Pi (cos со),
m
где
cos ю = cos 6 cos Э' + sin 0 sin 9' cos (q> — q/).
В различных приложениях приходится вычислять произведе-
произведения от нескольких обобщенных сферических функций разного
порядка. Такие произведения всегда можно выразить с помощью
коэффициентов векторного сложения -через линейную комбина-
комбинацию самих же обобщенных сферических функций, если использо-
использовать равенство
h+h
^ , Ш2^Ы1т)°иЩ^А\Щ. D3,19)
Из свойств-коэффициентов векторного сложения (см. § 41) сле-
следует, что в' D3,19) т = mi -\- т2 и k = k\ -f k2.
Используя свойство ортогональности коэффициентов вектор-
векторного сложения (§41), можно обратить равенство D3,19)
DUV»- S (/,/^,и,|/
Формула D3,20) позволяет получать обобщенные сферические
функции более высокого порядка из функций более низкого по-
порядка, в частности из Dmfe. Например, используя D3,14а), мож-
можно, зная матричные элементы
вычислить матричные элементы Dlmk ((фу). Для иллюстрации
вычислим матричный элемент D\u Используя D3,20) и значение
(• 1 1 1 Л
2ТТт' 11)~{* имеем
)
п1 М ' 1 1 i i Л2(п% \2 to. Л Р l\ ta 1+cosP
Dll==\'JI^I l l) ^DlW ="« cos 2е е 2~^
198 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
В физических приложениях часто приходится вычислять ин-
интегралы от произведений обобщенных сферических функций.
Покажем, как они вычисляются. Введем сокращенное обозна-
обозначение
л 2л 2л
Jdft... =
о
Отметим прежде всего, что
2Л 2л
J DU (ft) dft = J dU ф) sin р dp J e'ma da J e'ftv rfY = 8л2б/обтобйо.
0 0 0
D3,22)
Используя этот результат и формулу D3,19), можно вычислить
интеграл
J D'^ (ft) D&*' (О) dft = J (- l)fe~mDU-bDbv df> =
bbb . D3,23)
= 2- ,
Используя D3,19) и D3,23), можно далее вычислить интеграл
J D%K Щ DU (Ъ) Dj5u (ft) db = -2—j- (/,/2mi/»21 /Af) (/,M^21 /*)
D3,24)
В следующих параграфах мы- убедимся, что обобщенные
сферические функции являются не только неприводимыми пред-
представлениями трехмерной группы вращения, позволяющими пре-
преобразовывать собственные функции операторов моментов коли-
количества движения от одной системы координат к другой, повер-
повернутой относительно первой, но также являются функциями,
играющими большую роль при описаниивращения твердого тела.
§ 44*. Обобщенные сферические функции
как собственные функции оператора момента
Рассмотренные в предыдущем параграфе обобщенные сфе-
сферические функции Dlnk (apv) описыёэют конечные вращения си-
системы координат |т]? на углы Эйлера относительно лаборатор-
лабораторной системы координат xyz. Закрепим с системой координатных
осей |г]? некоторое твердое тело. Тогда положение твердого тела
относительно системы координатных осей хуг будет характери-
характеризоваться тремя углами Эйлера а, р и у. Поскольку обобщенные
сферические функции D!mk описывают конечные вращения коор-
§ 44] ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 199
динатных осей |т]? относительно лабораторной системы xyz, то
повороты твердого тела тоже описываются функциями D'mk(a$y).
Пусть L — оператор момента количества движения твердого
тела, действующий на углы Эйлера. Проекции оператора С на
координатные оси xyz удовлетворяют обычным перестановоч-
перестановочным соотношениям
... D4,1)
Результат действия оператора L на D-функции можно вычис-
вычислить, зная Собственные значения оператора J — момента коли-
количества движения одной частицы в состояниях, определяемых
функциями \jm). Для этого введем вспомогательную частицу,
не связанную с твердым телом. Оператор момента / действует
только на угловые' координаты частицы 0'ф', определяемые от-
относительно системы осей |т]?, закрепленных с телом. Пусть
функции @'ф'|/т) являются собственными функциями /2 и /g
То же движение частицы описывается относительно системы
координатных осей xyz с помощью функций (Эф|/от). Связь
между этими функциями, согласно D3,9), определяется D-функ-
цией, т. е,
<6ф | jm) = S DU (ору) <ву | /ft>. D4,2)
Повернем систему координатных осей, связанных с телом,
вокруг единичного вектора п на бесконечно малый угол 6. При
таком повороте, согласно A8,11), волновые функции D преоб-
преобразуются по закону
(DU («Py)X = e~iL" ^DU « A - iLn |) DU D4,3)
Волновые функции (Эф|/т), определенные относительно не-
неподвижных осей xyz, при этом не меняются, т. е.
>. D4,4)
Функции {Q'<p'\jtn) определены относительно системы осей
поэтому при повороте их изменение определяется с помощью
оператора D3,3), т. е.
FV \jky=eJnT <еу \jk)«(l + tin })<ev I/ft). D4,5)
После поворота соотношение D4,2) преобразуется к виду
<9Ф 11т)' = S {PU («PY)X <6 VI /*У.
200 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. V!
Подставляя в это равенство D4,3)—D4,5), после простых пре-
преобразований получаем равенство
21 /ft) (nl) DU = 2 DU (пТ) | /ft). D4,6)
к k
Если вектор п направлен вдоль оси ?, то D4,6) принимает вид
21 Jk) LxPU = 2 DUh I Ik). D4,7)
ft k
Учитывая, что \jk) является собственной функцией оператора
/& т. е.
имеем
Это равенство должно выполняться для любых функций \jk),
следовательно,
UDU^hkDL. D4,8)
Вместо L%, L^, 7|, 7^, удобнее рассмотреть их линейные комби-
комбинации
//„), D4,9)
/1Ч). D4,10)
Тогда из D4,6) получаем
21 jk) LiDU = S ^L/i!/ft). D4,11)
ft *
Используя D4,9) и D0,22), можно преобразовать правую часть
этого равенства
L—h2DU[(i-k)%+k+l) f\!, k+ i).
k k
Заменяя в правой части индекс суммирования k на k' — k -\- \,
получим после простых преобразований
llDLk = _ h [(/ + *М-*+1>р DU.U D4,12)
Таким же образом можно получить
k+l)fL D4,13)
§ 44] ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 201
т
Операторы Ц?о = 4 ?i называют сферическими проекция-
проекциями оператора L на координатные оси |т]?. Пользуясь D4,10),
находим
?L?? 4^ ?_, + ?,). D4,14)
Используя D4,12), D4,13) и D4,14), легко определить правила
действия операторов L^ и ?„ на обобщенные сферические функ-
функции D'mk.
Действуя на D4,12) и D4,13) операторами L-t и L,, соот-
соответственно получаем
UUDU - - «-*>« + *+'> ft^ft, D4,15)
f_,?i^ = - « + *)</-*+i) tfDimk. D4> 16)
Вычитая из D4,15) равенство D4,16), находим
Учитывая D4,8), из последнего равенства находим перестано-
перестановочное соотношение
[Г„ ?_,] = ft4 D4,17)
Подставляя в D4,17) значения D4,10), находим перестановоч-
перестановочные соотношения
[Ц, Lji^
отличающиеся знаком от перестановочных соотношений D4,1)
между проекциями L на координатные оси xyz. Складывая
D4,15) и D4,16), получаем
(?,?_, + ?_,?,) D'mk = - [/.(/ + 1) - ft8] DL. D4,18)
Из D4,10) следует
?,?_,+?_,?, = -B!+ ?j).
Поэтому, используя D4,8) и D4,18), имеем
L2DU = (L| + Д + ID DU == Й2/ (/ + 1) />?*. D4,19)
Для вывода правил действия проекций Lx, Lv, Lz оператора L
на обобщенные сферические функции предположим, что вспо-
вспомогательная частица, которую мы вводили для получения ра-
равенства D4,6), жестко закреплена с телом; тогда оператор J
будет действовать только на функции Fф|/то). В этом случае
при вращении системы осей |rj?; вокруг единичного вектора п
202 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
на бесконечно малый угол б функции D по-прежнему преобра-
преобразуются по правилу D4,3). Однако
(вV | fm)' = <вV11т), D4,20)
<6Ф | ]тУ » A - Ш |) (вФ 11т). D4,21)
Знак минус в D4,21) связан с тем, что вращение тела на угол б
эквивалентно повороту системы координатных осей xyz на
угол — б. Подставляя D4,3), D4,20) и D4,21) в равенство
(вФ | ту = 2 (DL (ару))' <е VI iky,
k
получаем
(я/) <6ф | jm) = 2 (вV | jk) ЫЦ DU D4,22)
ft
Если я совпадает с осью z и /г| jm) = hm] jm), то из D4,22)
следует
2
Подставляя в правую часть полученного равенства значение
D4,2), мы убедимся, что оно выполняется при условии
D4,23)
Образуем далее операторы
-. = у^ Ох ~ if у), 7°i = -~0x + U у), D4,24)
L °, = -^L- (Lx - lly), lx=~y^ (lx + ily). D4,25)
Учитывая D0,7) и D0,22), имеем
711 im) = =н h [0=P")«± "+!)]*| /, m ± 1). D4,26)
Подставляя D4,26) в D4,22), находим, учитывая D4,2),
tn)(i ±т+\)Ук. . , 1Ч
^^^j |/, m±l) =
L 2" J ^mil, fej =0.
Следовательно,
L±]Dmk = + n | ^—г j i>m±i,ft. D4,27)
§ 44] ОБОБЩЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 203
Формулы D4,8), D4,19) и D4,23) указывают, что обобщен-
обобщенные сферические функции D'mk являются собственными функ-
функциями операторов U, Lz и L\ и соответствуют собственным
значениям квадрата момента й2/(/+1), проекции момента Ьт
на ось z лабораторной системы координат и проекции момента
bk на ось ? вращающейся системы координат.
В координатном представлении проекции оператора L на
оси xyz выражаются через углы Эйлера при помощи формул
D4,28)
д
да '
При этом оператор квадрата момента
I sin P dp \ ^ dp / ' sin2 P L да" г ga gy frf} j
D4,29)
Проекция оператора момента L на ось ? имеет вид
Уравнениями D4,8), D4,19) и D4,23) собственные функции
операторов L2, Lz и ?Б определяются с точностью до постоян-
постоянного множителя
I Imk) = qL (apY) == NjDL (apY). D4,30)
Множитель Nj вычисляется из условия нормировки волновой
функции D4,30)
tj'm'k' | Imk) = J tibtybv sin p rfp da dy = Ьи>Ьтп?Ь№'. D4,31)
Подставляя D4,30) в D4,31) и используя D3,23), находим
N1—V ~8^~-
Используя D4,8), D4,12) и D4,13), легко вычислить матричные
элементы (при т' = т) от сферических проекций оператора
момента L:
<Jk 1101 Ik) = {jk| L% | Ik) = bk, D4,32)
(/, k+ Hi.
D4,33)
204 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. Vt
С помощью матричных элементов D4,33) и соотношений D4,14)
находим матричные элементы декартовых проекций моментов
;, k +11U\jk) = (ik\ц\], k + i)=
D4,34)
<;, k +11?„\}k) = -(jkiЦ\u k + \)=~Vii-k){] + k + i).
D4,35)
Пользуясь значениями матричных элементов D4,32), D4,34) и
D4,35), легко определить матричные элементы квадратов опе-
операторов:
(jk\Ll\jk)=H2k2, D4,36)
(jk | Ц | jk) = (jk I L\ I jk) = -f- [/(/+ 1) - П D4,37)
D4,38)
§ 45. Вращение твердого тела. Симметричный волчок
Понятие твердого тела, т. е. системы, внутреннее состояние
которой (форма, равновесные положения частиц и т. д.) не ме-
меняется, является идеализацией, отражающей свойства некото-
некоторых систем вести себя как твердое тело при малых внешних
возмущениях. Эта возможность есть проявление квантовых
свойств систем: если энергия внешнего воздействия меньше
энергии возбуждения первого внутреннего состояния системы,
то система будет находиться в основном состоянии. К таким
системам относятся, например, молекулы и атомные ядра.
В связи с этим возникает задача изучения движения идеа-
идеализированных систем — твердых тел. Движение твердого тела
можно подразделить на поступательное движение тела как еди-
единого целого и вращение тела вокруг центра масс. В этом и
следующем параграфах мы рассмотрим вращение твердого тела
вокруг закрепленной точки, совпадающей с центром масс.
Закрепим систему координатных осей gr]? с твердым телом,
тогда ориентация тела будет определяться тремя углами Эйле-
Эйлера а$у, характеризующими положение системы gr]? относитель-
относительно лабораторной системы xyz. Если координатные оси направ-
направлены вдоль главных осей инерции твердого тела, то классиче-
классическая энергия вращения твердого тела выражается формулой
§ 45) ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. СИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК 205
где 1%, 1п, It, — главные моменты инерции твердого тела; L%,
Ln, Li —проекции момента1 количества движения на оси |т]?.
Оператор Гамильтона получается из D5,1) заменой классиче-
классических моментов соответствующими операторами L\, L^, Lg. Эти
операторы должны совпадать с рассмотренными в предыдущем
параграфе операторами Zg, Ln, Zg, характеризующими поворот
системы ?т]? относительно xyz.
Таким образом, вычисление энергии вращающегося твердого
тела сводится к определению собственных значений оператора
Я = -i {al\ + ЬЦ + сЦ}, D5,2)
где а = /|"\ b = I^X и с = /{"', а операторы Ц, L^, Lt, удовле-
удовлетворяют перестановочным соотношениям
[Ц, LJ = - Ihh, ... D5,3)
Твердое тело с тремя одинаковыми моментами инерции а=Ь=
=с=1// называют шаровым волчком. В этом случае оператор
Гамильтона D5,2) имеет простой вид
Следовательно, собственные функции оператора энергии совпа-
совпадают с собственными функциями оператора квадрата момента
?2, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе. Соб-
Собственные значения оператора Гамильтона равны
. /==0, 1, ... D5,4)
Каждому собственному значению D5,4) соответствует B/ + 1J
собственных функций
I № = $L (apv) = ~\/~^Ш- D'mk ^Р^). D5.5)
где
k, m = 0, ±1 ±j.
Твердое тело с одной осью симметрии более чем второго по-
порядка имеет два одинаковых момента инерции. Такое тело на-
называют симметричным, волчком. Пусть, например, а = b =Ф с,
тогда D5,2) можно переписать в виде
±-а)Щ. D5,6)
206 . ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
Волновые функции D5,5) будут собственными функциями и
оператора D5,6)., Собственные значения энергии
Enki = ^-{aj(j+l) + (c-a) k% D5,7)
Каждому значению / соответствует (/' + 1) подуровней с раз-
различными энергиями, при \k\ = 0, 1, ..., /. Уровни энергии
D5,7) не зависят от значения. квантового числа и и от знака
квантового числа k. Таким • образом, при' k =Ф 0 имеется
2B/ -|- 1) -кратное вырождение. Двукратное вырождение по
знаку k, т. е. по знаку проекции момента количестка движения,
связано с инвариантностью гамильтониана D5,2) относительно
отражения в плоскости, проходящей через ось симметрии тела
(ось волчка). Обозначим оператор, соответствующий этому от-
отражению, через Pv. Поскольку двукратное применение опера-
оператора Р„ соответствует тождественному преобразованию, то соб-
собственные значения оператора Pv равны ±1. Волновые функции
D5,6) не являются собственными функциями оператора Pv, од-
однако легко составить линейные комбинации функций D5,5), ко-
которые будут одновременно "собственными функциями оператора
D5,2) и оператора отражения Pv. Легко убедиться, что такими
функциями являются при 1г=Ф0
| jk + > = -JL [ | jk) +1 /, - k)\, D5,8)
| Ik -> = ~ [ | Ik) -1 /, - k)]. D5,9)
Функции \jk—) меняют знак, а |/&+) не меняют знак при
отражении в плоскости, проходящей черезь ось волчка. При
k = 0 имеется только один тип функций
1^ D5,10)
§ 46*. Вращение твердого тела. Асимметричный волчок
Если все три момента инерции твердого тела различны, т. е.
a=f=b =f= с, то твердое тело называется асимметричным волч-
волчком. Стационарные состояния асимметричного волчка характе-
характеризуются квантовым числом /, определяющим полный момент
количества движения. Однако волновые функции D5,5) не яв-
являются собственными функциями оператора Гамильтона D5,2),
так как, согласно D4,34) и D4,35), действие операторов' Ц и
Ln изменяет квантовое число k у волновой функции ™ть. Соб-
Собственные функции оператора Гамильтона D5,2), соответствую-
I 46]
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. АСИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК
207
щие полному моменту с квантовым числом j, можно искать в
виде линейной комбинации функций D5,5)
•ф/= 2 ?*!/&)• D6,1)
ft
Подставляя это выражение в уравнение Шредингера
(Я — E)tyj = O с оператором D5,2), получим систему 2/+ 1
уравнений
2 { (Jk | Я | jk') - Ebkk.) gk> = 0. D6,2)
Условие разрешимости этой системы сводится к уравнению
2/+1-й степени относительно Е. Корни полученного уравнения
и определяют уровни энергии асимметричного волчка, соответ-
соответствующего, моменту /.
Используя значения матричных элементов D4,36) — D4,38),
легко вычислить матричные элементы оператора D,5,2), полу-
полученные с помощью волновых функций D5,5)
(Jk | H\jk) = ~{(а + Ь)
(Jk + 2\H\jk) = (jk\H \jk + 2> =
= (a - b) Щ- V(!-k)(!~k- l)(j+k +
- k*] + 2ck% D6,3)
k + 2). <46,4)
Из D6,4) следует, что матричные элементы оператора Й связы-
связывают только состояния со значениями k, отличающимися на 2.
Поэтому линейная комби-
¦ - - -- Таблица 9
Характеры неприводимых
представлений группы D2
нация D6,1) распадается на
две независимые части: од-
одна содержит только функ-
функции |/&) с четными значе-
значениями k, другая — только с
нечетными значениями k.
Дальнейшее упрощение вы-
вычислений возможно при
учете свойств симметрии си-
системы. При этом, кроме
упрощения решения, мы по-
получим возможность класси- •
фикации вращательных состояний по неприводимым представ-
представлениям соответствующей группы симметрии (§ 19)..
Оператор Гамильтона D5,2) и перестановочные соотношения
D5,3) остаются инвариантными при преобразованиях группы
симметрии D2, которая содержит (табл. 9), кроме тождествен-
тождественного элемента, три операции поворотов на п вокруг трех декар-
декартовых осей координат! При каждом таком повороте меняют знак
два из трех операторов Lg, L^, L^.
•>
А
В1
в2
в3
е
1
1
1
1
4
—]
—1
1
—1
1
~1
с2
1
1
-1
.... 1
208 ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
Матричные -элементы оператора D5,2), .образованные с по-
помощью функций, относящихся к разным неприводимым пред-
представлениям группы ?J, равны нулю. Поэтому система уравнений
типа D6,2) распадается на систему независимых уравнений,
относящихся в отдельности к каждому из неприводимых пред-
представлений группы D2.
При преобразованиях, соответствующих элементам симмет-
симметрии группы D2, обобщенные сферические функции D]mk и, сле-
следовательно, функции D5,5) преобразуются следующим образом:
Ф1пн НУ) = DU (apY + я) = (-1)* DU (apY). D6,5)
Далее,
C\Dlk (aPv) = (-1)'"* DU -k (aPv). D6,6)
Последнее выражение может быть получено, если -вспомнить
определение функции D3,12) и соотношение D3,15). Действи-
Действительно,
ClDU (apv) = DU (a, p + n, - y) =eiam 2 4,*- (P) 4>k (n) e~m =
= (-1)'-" Djn.-k (a, p, y).
Таким же образом получим
C\DU (apY) = DU (- a, P + n, y) = (- \)J Dlm, _ft (сфу). D6,7)
Учитывая свойства преобразования D6,5) — D6,7), можно
построить из функций D5,8) — D5,10) такие линейные комбина-
комбинации, которые будут преобразовываться по неприводимым пред-
представлениям группы симметрии D2. Простейший случай соответ-
соответствует /==1. В этом случае сами функции D5,8) —D5,10) пре-
преобразуются по неприводимым представлениям группы ?J
¦ф,A)=|10) — представление Ви
•ф2 A) —-~(\ 11) +1 1 — 1» — представление В2,
•фз A) ~Т?^ (И 0 — И — 0) — представление В3.
Поскольку все три функции принадлежат различным представ-
представлениям группы, вращательная энергия трех возможных состоя-
состояний со спином 1 (мы здесь отвлекаемся от вырождения по кван-
квантовому числу т) определяется средними значениями Н. Исполь-
Используя значения матричных элементов D6,3) и D6,4), имеем
§ 46] ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. АСИММЕТРИЧНЫЙ ВОЛЧОК 209
Уровень энергии Et(l) соответствует неприводимому, представ-
представлению В и симметрия которого по отношению к осям \, ц одина-
одинакова, поэтому энергия выражается формулой, симметричной1 от-
относительно моментов инерции /^ и /„.
Со значением момента / = 2 имеется пять стационарных со-
состояний, их волновые функции могут быть записаны следующим
образом:
яр! B) = -pL- A22) — | 2 — 2» — представление Ви
¦ф2 B) = -^= (| 21) — 12 — 1» — представление В2,
ofe B) =у= (I 21) +1 2 - 1» - представление В3,
oj>4.5 B) = | 20) g, + р= (| 22} + 12 - 2» g2 - представление А,
D6,8)
где gi и g2 — коэффициенты, которые будут определены ниже.
Каждому из неприводимых представлений Ви В2, В3 соответ-
соответствует только одна функция, поэтому энергия этих состояний
вычисляется непосредственно, если использовать матричные эле-
элементы D6,3) и D6,4):
?, B) = B21 Я 122) =*у- (а + Ь + Ас) — представление Ви
Е2 B) = -у (а + с + Щ ~ представление В2,
Е3B) = — (с + Ь + 4а) —представление В3-
Неприводимому представлению А соответствуют две функции
D6,8), отличающиеся значениями коэффициентов g\ и g2. Под-
Подставляя функцию 1^4,5 из D6,8) в уравнение Шредингера, полу-
получим систему двух уравнений для определения этих коэффициен-
коэффициентов
[B0| Я |20) -E]gl + V* B0| Я 122) g2 = 0,
V2 <20| Я |22) gl + [<22| Я \Щ?-Щ g2 = 0.
Используя значения матричнйх элементов из D6,3) и D6,4), из
условия разрешимости полученной системы уравнений находим
уравнение второй степени для определения уровней энергии
=0-
210 ДВИЖЕНЦЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ [ГЛ. VI
Решая уравнение D6,9), находим
Eit 5 B) = h2 {(a + Ь + с) ± Via + Ь + сJ-3 (ab + ac + be)). D6,10)
Из семи состояний, соответствующих / = 3, только одно со-
состояние относится к неприводимому представлению А. Его функ-
функция имеет вид ч
4,1C) = -pL-(|32> —13 —2»
и энергия
?, C) = 2Й2 (а + Ь + с). D6,11)
Интересно отметить, что энергия этого состояния равна сумме
энергий двух состояний с моментом / = 2, относящихся также
к неприводимому представлению А, т. е.
Каждому- из трех других неприводимых представлений (Blt B2,
В3) соответствуют две функции состояний с моментом / = 3.
Энергии этих состояний можно найти при решении уравнений
2-й степени.
ГЛАВА VII
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ И СОБСТВЕННЫХ
ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРОВ
§ 47. Теория возмущений в стационарных состояниях
с дискретным спектром
Точное решение уравнения Шредингера, определяющего
энергию стационарных состояний систем,-возможно только для
некоторых простейших потенциальных полей, соответствующих
идеализированным системам (см. гл. IV и VI). При исследова-
исследовании реальных атомных и ядерных систем приходится прибегать
к приближенным методам вычисления собственных значений и
собственных функций операторов Гамильтона. В последнее
время вследствие появления электронных вычислительных ма-
машин большое значение приобретают численные методы решения
задач квантовой механики. Такие методы излагаются в специ-
специальных руководствах. В этой книге мы рассмотрим только ана-
аналитические методы приближенного отыскания собственных зна-
значений и собственных функций реальных систем, не очень сильно
отличающихся от идеализированных систем, допускающих точ-
точное решение. В этом случае приближенные методы решения мо-
могут быть сведены к вычислению поправок к точному решению.
Общий метод вычисления таких поправок носит название теории
возмущений.
В этом параграфа мы рассмотрим теорию возмущений для
стационарных задач с дискретным спектром энергии. Предпо-
Предположим, что оператор Гамильтона квантовой системы можно раз-
разбить на два слагаемых
H = H0 + V, D7,1)
из которых одно — #0 — представляет гамильтониан идеализи-
идеализированной задачи, допускающей точное решение, а V — некото-
некоторая малая добавка, которую принято называть оператором воз-
возмущения. Оператором возмущения может быть часть оператора
Гамильтона, которая не учитывалась в идеализированной за-
задаче, или потенциальная энергия внешнего воздействия (поля).
Задачей теории возмущений является отыскание формул, опре-
определяющих энергию и волновые функции стационарных состоя-
состояний через известные значения энергий ?^ и волновых функций
Ф„ «невозмущенной» системы, описываемой гамильтонианом #0.
212 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. VII
Предположим теперь, что в невозмущенной задаче отсут-
отсутствует вырождение, т. е.
Я0Ф„=-?°„Ф„. D7,2)
Пусть далее
V*=W, D7,3)
где X—малый, безразмерный параметр. Тогда задача отыскания
собственных функций и собственных значений оператора D7,1)
сводится к решению уравнения
(Я0 + Я1Р)ф = .Еф. D7,4)
Перейдем от координатного представления к энергетическому,
выбрав в качестве базисной системы систему собственных функ-
функций ф„ оператора невозмущенной задачи. Тогда
Е D7,5)
и уравнение D7,4) сводится к бесконечной системе алгебраиче-
алгебраических уравнений
(Е -E°m)am = k'2l Wmnan, D7,6)
п
где Wmn = (фт|№|фп) — матричные элементы оператора возму-
возмущения W.
Для определения поправок к энергии и волновой функции
стационарного состояния с квантовым числом / положим
Подставляя эти ряды в D7,6), находим систему уравнений
- =* 2 wmn[bnl ]
Полагая m = i и приравнивая члены, стоящие у одинаковых
степеней Я, получаем совокупность уравнений
D7,7)
Если т =f= I, то таким же образом находим
Е\ пт + \Ei — ?mJ a^ = 2j ^mreOn , I V*t,O)
§ 47) СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ 213
Из D7,7) следует, что в первом приближении энергия системы
выражается формулой
Е = ЕЧ + XE\l) = E°t + Ши = Е°г + У„. D7,9)
Таким образом, поправка к энергии в первом приближении
равна среднему значению оператора возмущения V в состоянии,
соответствующем волновой функции ф; нулевого приближения.
Используя первое уравнение D7,8), D7,3) и D7,5), находим
волновую функцию состояния / в первом приближении
_ _-фщ.
тФ1 l m
Величина kaSp определяется из условия нормировки функции.
Функции ф; нормированы, поэтому из условия нормировки с точ-
точностью до к2 следует уравнение
Следовательно, aj1» чисто мнимое и так как волновые функции
определяются с точностью до фазового множителя, то можно
положить ajl) = O. Итак, в первом приближении функция опреде-
определяется равенством '
тф1
Подставляя далее значение а^ из первого уравнения D7,8) во
второе уравнение D7,7), находим поправку к энергии во втором
приближении
Таким образом, энергия во втором приближении выражается
формулой
пф1
Из D7,11) следует, что поправка второго порядка к уровню
энергии основного состояния (т.- е. когда ?° < 2?°) всегда отри-
отрицательна.
При практическом применении метода возмущений обычно
используют первое приближение для волновых функций и вто-
второе приближение для энергий. Однако в некоторых случаях
приходится пользоваться и более высокими порядками прибли-
приближений.
214 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. VII
Указанный выше метод теории возмущений оправдывается
только в том случае, если ряд последовательных приближений
сходится. Необходимым условием этого является малость каж-
каждой последующей поправки по сравнению с предыдущей. Таким
образом, условие применимости теории возмущений можно за-
записать в виде
I Him I = I Ylm I < | ?/° - ?m | ДЛЯ ЛЮбОГО ГП ф I. D7,12)
Следовательно, условие применимости метода теории возмуще-
возмущений сводится к требованию, чтобы недиагональные матричные
элементы оператора возмущения V были малыми по сравнению
с абсолютной величиной разности соответствующих значений
невозмущенных энергий. Для иллюстрации использования ме-
метода возмущений вычислим в первом приближении изменение
энергии электрона в кул.оновском поле — Ze2/r при увеличении
заряда.ядра на единицу (р — распад ядра). В этом случае опе-
оператор возмущения
где р—расстояние, измеряемое в атомных единицах. Согласно
D7,9), изменение энергии в состоянии (nl) в первом приближе-
приближении равно среднему значению D7,13) в состоянии nl, т. е.
Среднее значение оператора 1/р, согласно C8,17в), равно Z/n2,
таким образом,
Это значение можно сравнить с точным значением, если мы
учтем, что энергия электрона в кулоновском поле определяется
формулой C8,15), тогда имеем
§ 48. Условия применимости теории возмущений
Как было показано в § 47, метод теории возмущений состоит
в разбиении оператора Гамильтона физической системы на две
части — одна из которых (Яо) соответствует упрощенной (не-
(невозмущенной) системе, а вторая рассматривается как возмуще-
возмущение. Если во второй части выделить малый числовой множи-
множитель Я, то метод теории возмущений позволяет получить реше-
решение в виде ряда по степеням к. Если этот ряд сходится, то
задача может быть решена с любой желаемой точностью. До-
§ 48) УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 215
казательство сходимости ряда теории возмущений для боль-
большинства задач, имеющих практический интерес, очень сложно.
В некоторых случаях первые приближения теории возмущений
дают хорошие результаты и тогда, когда ряд теории возмуще-
возмущений расходится.
В § 47 было показано, что необходимым условием примени-
применимости метода теории возмущений к расчету состояния с кван-
квантовым числом I является выполнение неравенства D7,12), т. е.
разность между данным уровнем и всеми остальными уровнями
энергии невозмущенной задачи должна быть велика по сравне-
сравнению с изменением энергии, вызванным возмущением. В связи
с этим уровень I не может быть вырожденным, так как в про-
противном случае разность энергии невозмущенной задачи равня-
равнялась бы нулю. Однако справедливость формул D7,10) и D7,11)
не нарушится, если будет вырожденной часть из состояний т,
имеющих энергии Е°т, удовлетворяющие неравенству D7,12).
Эти формулы могут быть распространены и на случай, когда
часть состояний т будет относиться к непрерывному спектру,
в последнем случае надо для этих состояний суммы D7,10) и
D7,11) заменить интегралами.
Теория возмущений, строго говоря, применима лишь в том
случае, когда при уменьшении параметра % до нуля как соб-
собственные функции, так и собственные значения оператора Я
непрерывным образом переходят в собственные функции и соб-
собственные значения оператора Яо. В некоторых случаях это ус-
условие не соблюдается — возмущение может изменить характер
самого решения, превратив задачу с дискретным спектром в за-
задачу с непрерывным спектром. Рассмотрим, например, опера-
оператор Гамильтона с потенциальной энергией
U (х) = -i- цю2*2 + кх\ D8,1)
При К = 0 оператор Гамильтона совпадает с оператором гар-
гармонического осциллятора, имеющего дискретный спектр энергий
Еп ==¦ й©(п + 1/2). При малых значениях К всегда выполняется
условие *)
%\ (т\ г> \п) |<| Ет - Еп \ = ha\ т — п |.
*) Вычисление матричных элементов (т|д;3|п) легко выполнить в пред-
представлении чисел заполнения. Например, полагая х = Л/ -= (в + а") и ис-
используя правила действия операторов в* и в на функции |»), получим
{п + 11 х31 п) = A1J-K Bп + 3)
216 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. VII
Однако при всяком значении К Ф О оператор Гамильтона с по-
потенциальной энергией D8,1) имеет непрерывные собственные
значения энергии, так как при больших отрицательных значе-
значениях х потенциальная энергия становится меньше полной энер-
энергии частицы. В этом случае волновые функции и уровни энергии,
полученные на основе метода возмущений, описывают нестацио-
нестационарные состояния. Частица может пройти через потенциальный
барьер в сторону отрицательных х и удалиться в бесконечность.
Однако при малых значениях % вероятность такого процесса
будет ничтожно мала, поэтому найденные методом теории воз-
возмущений решения будут практически совпадать со стационар-
стационарными состояниями. Состояния такого типа называют квазиста-
квазистационарными состояниями.
В заключение этого параграфа выведем еще одно выраже-
выражение для определения энергии во втором порядке возмущения.
Пусть Я = #0 + V и #о<р„ = ?«фге. Тогда уравнение Шредин-
гера (Я— E)ty = О подстановкой
•ф = 2 anq>n
п
сводится к бесконечной системе однородных алгебраических
уравнений
2(Ят„-?6т„)а„ = 0, D8,2)
п
где
и (т\н\г,\ f^+^m если т = п,
Ят„ == (т| Я \п) = D8,3)
1 У mm если тфп.
Условие разрешимости системы уравнений D8,3) приводит к
уравнению бесконечного порядка
||Ят„-?6т„|| = 0, D8,4)
корни которого определяют точные собственные значения опе-
оператора Я.
Предположим, что мы интересуемся изменением уровня Е\
под влиянием возмущения V. Если для любого m Ф 1 выпол-
выполняется неравенство
то, пренебрегая в детерминанте D8,4) всеми недиагональнымй
матричными элементами Н\т, получим, в согласии с D7,9),
энергию в первом приближении
Чтобы получить энергию во втором приближении, пренебрежем
в D8,4) всеми недиагональными элементами, не лежащими в
§ 49] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ДВУХ БЛИЗКИХ УРОВНЕЙ 217
первой строчке и в первом столбце детерминанта D8,4). Тогда
получим детерминант
Я,, — Е #<2 Я13 #и .
Я21 Я22-? 0 0 .
Яз. О Я33-? 0 .
==0.
Умножая вторую строчку на-rj—^^-е-и вычитая из первой, нахо-
2 ?
дим новый детерминант, у которого первый элемент первой
строчки будет равен
и f AILllL.
Нп-Е- ffa_E.
а на месте Hi2 будет стоять нуль. Умножая затем третью строч-
строчку нового детерминанта на #1з(#зз — Е)~1 и вычитая из первой,
мы уничтожим His и изменим первый элемент этой строчки. Про-
Продолжая этот процесс, можно получить
(Я„-?-У 'Я'тО(Я22-?)(Язз-?)... =0. D8,5)
Если уровень E°i не вырожден, то при энергии, близкой к
этому уровню, в D8,5) может равняться нулю только первая
скобка. Таким образом, получаем
iHlm_!E. D8,6)
m=1
Это уравнение содержит неизвестное значение Е и в правой
части. Его решение можно получить методом последовательных
приближений. В качестве первого приближения в правой части
D8,6) можно положить
Учитывая далее D8,3), находим
§ 49. Теория возмущений при наличии двух близких уровней
Из формул D7,10) и D7,11) следует, что если среди соб-
собственных значений Но есть одно или несколько с энергией, близ-
близкой к Е\, то поправки к волновым функциям и энергии уровня I
будут велики (малые знаменатели), и пользоваться этими
218 -теория возмущений [ГЛ. vit
формулами нельзя. Если, однако, число близких собственных
значений Яо около уровня / невелико, то можно так изменить
метод вычислений, чтобы и в этом случае исключить появление
больших поправок. Покажем это на примере двух близких
уровней.
Пусть оператор Яо имеет два близких собственных значения
Е\ и El, которым соответствуют собственные функции (pi и фг,
а все остальные собственные значения расположены далеко от
них. При вычислении поправки к волновой функции ф1 методом
D7,10), мы убедимся, что из-за малого знаменателя Е\ — Е\
вклад функции ф2 будет велик. Поэтому целесообразно уже
в нулевом приближении искать решение в виде
D9,1)
Подставляя это значение ty в уравнение
получим систему двух уравнений
"" ~~ D9,2)
где матричные элементы Hik совпадают с D8,3). Из условия
разрешимости системы уравнений D9,2) находим два значения
энергии:
Еи 2 = Т <Я» + Н^ ± 7 ^(Я„-Я22J+4|Я12|2, D9,3)
N
где знак плюс относится к уровню Еи а знак минус к уровню
Ег. Если выполняется условие применимосги обычной теории
возмущений, т. е. если
I Я„ - Я221 > | На |, D9,4)
то из D9,3) следуют значения энергии
|К,г|2 '•
¦И2 _рО,,/ I V» I2
flu E2 + V22 — )
совпадающие с энергией, определяемой обычной теорией возму-
возмущений во втором порядке (см. D8,7)). Если выполняется нера-
неравенство
I Я„ -Я221<| Я121, D9,4а)
то из D9,3) следует
(Я„-//22J
§ 49] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ДВУХ БЛИЗКИХ УРОВНЕЙ 219
На рис. 10 на основе формулы D9,3) показаны энергии ?\ и
Ег как функции разности 6 = Ян — Ягг для некоторого фикси-
фиксированного значения Ht2. Значения Яц и Я^ указаны штрихо-
штриховыми линиями. Поправки второго порядка к значениям энергии
изображаются на рис. 10 разностью между сплошной и ближай-
ближайшей штриховой линией. Интересно отметить, что поправки вто-
второго порядка к значениям Ян и Я22 всегда увеличивают расстоя*
ние между уровнями. В связи с этим иногда говорят об
-ш -
Рис. 10. Уровни энергии d и Es в зависимости от разности энергий б=#ц— Ню невозму-
невозмущенной системы. Значения Яц и #в указаны штриховыми линиями.
«.отталкивании уровней», понимая под этим явлением уве-
увеличение расстояния между двумя близкими уровнями, когда
в операторе Гамильтона учитываются члены, которые отбрасы-
отбрасывались в более упрощенной задаче.
Из уравнения D9,2) следует отношение коэффициентов а и
Ь, определяющих волновую функцию D9,1),
Т
Подставляя в это выражение значения ?4 и
D9,3) и вводя
_ 2Я12
#11 — #
22
получим соответственно
- (*).— *}¦
из уравнения
D9,5)
Таким образом, нормированные волновые функции состояний,
220 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. VII
соответствующих энергиям Е\ и Е2, будут иметь вид
Vl = Ф1 cos 2 "Ь Ф2 sin " •
¦фг~ —Ф1 s'n " ~1" Ф?cos "§" ¦
D9,6)
Если выполняется неравенство D9,4), то из D9,5) следует
Р « 0 и г]н « фь $2 « фг- Наоборот, если выполняется неравен-
неравенство D9,4а), то р = я/2, поэтому ф1 и ф2 выступают в D9,6)
с равными долями.
Если теперь для отыскания поправок к энергии Е( (или Е2)
и волновой функции г|н (или г|эг) использовать найденные в ну-
нулевом приближении уровни энергии
Е\, Е2, Ез, Ei, ...
и волновые функции
•Фь ^2» ФЗ» Ф4. • • •»
то в знаменателях сумм, определяющих энергию во втором при-
приближении D7,11) и волновую функцию в первом приближении
D7,10), не будет встречаться малая разность Ei — Ez, так как
числитель соответствующего слагаемого (i|)i|#|^2) равен нулю
в силу того, что обе функции гр1 и г]эг являются решениями
D9,1) уравнения с полным оператором Я. Следовательно, опре-
определение поправок более высокого порядка можно далее вести
обычным методом теории возмущений.
§ 50. Теория возмущений при наличии вырождения
Результаты предыдущего параграфа остаются справедли-
справедливыми и при совпадении энергии двух уровней, т. е. при наличии
двукратного вырождения. Легко обобщить эти результаты и на
случай многократного вырождения.
Допустим, что уровень Е° имеет вырождение f-й кратности.
Тогда в качестве функции нулевого приближения можно взять
линейную комбинацию
*1=21а*Ф1», E0,1)
где фк определяются уравнением
Подставляя функцию E0,1) в уравнение Шредингера с опера-
оператором Я = #о -f V, получим систему / линейных однородных
§ 50] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРИ НАЛИЧИИ ВЫРОЖДЕНИЯ 221
уравнений
f
g Wmk - Efimk) ak = 0, m = 1, 2 /. E0,2)
Эта система уравнений имеет отличные or нуля решения при
условии равенства нулю определителя, составленного из коэффи-
коэффициентов при неизвестных аи, т. е.
м — Ei #12 #|з
#21 #22 — Ei #23
#3i #32 #33 —
= 0. E0,3)
Раскрывая определитель E0,3), получим уравнение степени /
относительно неизвестного значения Ей Это уравнение называют
вековым, или секулярным уравнением. Оно имеет / действитель-
действительных корней. Если все корни уравнения E0,3) различны, то
/-кратно вырожденный уровень Ei невозмущенной задачи рас-
распадается на f различных уровней Ещ, каждому из которых будет
соответствовать функция
¦ф« = 2 «тайФт. E0,4)
коэффициенты ати которой определяются из системы уравнений
E0,2) при подстановке вместо Et значения Ещ. В этом случае
говорят, что возмущение V полностью снимает вырождение.
Если один или несколько корней уравнения E0,3) .являются
кратными, то снятие вырождения является неполным. Волновые
функции, соответствующие кратным корням уравнения E0,3),
определяются уравнениями неоднозначно. Однако их всегда
можно выбрать взаимно ортогональными. Волновые функции,
относящиеся к разным корням уравнения E0,3), взаимно орто-
ортогональны. Таким образом, все недиагональные матричные эле-
элементы полного оператора #, вычисленные с помощью функций
E0,4), будут равны нулю, что позволяет использовать эти функ-
функции наряду с функциями, соответствующими другим уровням,
для отыскания поправок к уровням Ещ в следующих приближе-
приближениях. Эти поправки могут быть найдены с помощью формулы
D7,11).
В главе VIII, §§ 69 и 70, мы применим теорию возмущений
для определения изменения энергетических уровней атома при
действии на него постоянного внешнего электрического и маг-
магнитного поля.
222 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. VII
§ 51. Применение вариационного метода
к приближенным расчетам
В ряде случаев приближенное вычисление первых дискрет-
дискретных состояний квантовых систем может быть проведено с по-
помощью вариационного метода. Вариационный метод вычисления
первых собственных значений оператора Гамильтона не исполь-
использует теории возмущений и не требует знания всех решений более
простых уравнений.
Вариационный метод вычисления энергии Ео основного со-
состояния системы сводится к использованию неравенства
E1,1)
где ф — произвольная функция, удовлетворяющая условию нор-<
мировки
JV E1,2)
В — полный оператор Гамильтона системы.
Доказательство неравенства E1,1) легко провести путем пе-
перехода к энергетическому представлению. Если мы обозначим
полный набор собственных функций оператора Й через ф„, то
любую функцию ф можно разложить по системе функций
Фп, т. е.
оо оо
*=Ца»Ф„. 2|а„Р=1. E1,3)
Используя E1,3) находим
J
ап р?
п=0 п=0
Полученное неравенство совпадает с E1,1). Таким образом,
вычисление энергии основного состояния квантовой системы сво-
сводится к вычислению минимума интеграла | lpV/ipdg при варьи-
варьировании нормированной волновой функции г];. Следовательно,
если
Ео = мин [ ф'Яф (Щ, E1,4)
JVi|> <?•=!•
Практическое вычисление энергии основного состояния с по-
помощью выражения E1,4) сводится к выбору «пробной функции»,
§ 51] ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА 223
содержащей некоторое число неизвестных параметров «, р, ...
После вычисления интеграла
получают выражение /(а, р, ...), зависящее от этих парамет-
параметров. Определение искомых значений параметров, вследствие
E1,4), сводится к отысканию минимума /(а, р, ...), т. е. к ре-
• шению системы уравнений
да — ар ~" ••• •
При удачном выборе вида пробной функции, получаемое зна-
значение
? = /(а0, Ро, •••)
будет близко к истинному значению ?о даже при сравнительно
малом числе использованных параметров. Волновая функция
основного состояния системы буДет приближенно совпадать
с функцией фо(|, ссо, Ро, . • .)•
Указанный выше метод отыскания энергии основного состоя-
состояния носит название прямого вариационного метода, или метода
Ритца. Выбор пробных функций базируется на качественном
анализе решений с учетом симметрии задачи. В случае удачно-
удачного выбора пробной функции хорошие результаты для энергии
получаются уже при использовании одного параметра.
Если обозначить через г|э0 волновую функцию основного со-
состояния системы, то вычисление энергии первого возбужденного
состояния Ei сводится к решению вариационной задачи
?, = min J г^Яг!;, d% E1,5)
при дополнительных условиях
j^odl = O. E1,6)
Доказательство этого утверждения можно провести таким же
образом, как и для случая основного состояния, если мы учтем,
что, в силу условия ортогональности E1,6), разложение функ-
функции tfi no собственным функциям оператора Й -не содержит
функции фо, т. е.
Вычисление второго возбужденного уровня сводится к ре-
решению вариационной задачи
E2 = min f $;Й%<& E1,7)
224 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. VII
при дополнительных условиях
M>,dg = Jil>M>odi = O. E1,8)
Вычисление третьего возбужденного уровня сводится к реше-
решению вариационной задачи при четырех дополнительных усло-
условиях. Следовательно, при вычислении высоких возбужденных
состояний вариационная задача значительно усложняется. В не-
некоторых случаях требуемые условия ортогональности выпол-
выполняются при подходящем выборе пробных функций просто в силу
свойств симметрии. Например, при исследовании состояний дви-
движения частицы в центрально-симметричном поле ортогональ-
ортогональность состояний, соответствующих разным угловым моментам,
обеспечивается ортогональностью соответствующих сферических
функций.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих примене-
применение вариационного метода к вычислению собственных значений
и собственных функций оператора Гамильтона. Вычислим ва-
вариационным методом энергию основного состояния одномерного
гармонического осциллятора, т. е. системы, имеющей оператор
Гамильтона
При выборе пробной функции учтем, что при я-»-±оо волно-
волновая функция должна обращаться в нуль. Далее волновая функ-
функция основного состояния не должна иметь узлов.. Поэтому по-
положим
ф (х, а) = А ехр(- |ax2). E1,10)
Из условия нормировки функции находим А = (а/п)'1*. С по-
помощью E1,10) и E1,9) вычисляем интеграл
Минимум /(а) соответствует значению ао = цоо/й, поэтому энер->
гия основного состояния
а соответствующая волновая функция имеет вид
В данном случае значения энергии и волновой функции, полу-
полученные вариационным методом, совпадают с точными выраже-
выражениями, найденными в § 26.
§ 51] ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА 225
Для вычисления энергии и волновой функции первого воз-
возбужденного состояния надо взять пробную функцию tyi, ортого-
ортогональную к фо. Простейшей функцией, удовлетворяющей этому
условию, будет
ф, (х, р) = Вх ехр ( - j р*2). F1,10а)
Из условия нормировки находим
*-¦?¦¦
V п
Далее вычислим интеграл
|[^Р ^] E1,11)
Из условия минимума /i(P) определяем значение вариацион-
вариационного параметра Ро = цоо/й. Подставляя это значение в E1,11),
находим энергию первого возбужденного состояния осциллятора
Волновая функция этого состояния, согласно E1,10а), имеет вид
2 \'/« / цш \7<
В качестве следующего примера вычислим энергию и вол-
волновую функцию основного состояния атома водорода. Оператор
Гамильтона в этом случае имеет вид
В центрально-симметричном поле имеет определенное значение
угловой момент. В основном состоянии угловой момент равен
нулю. Следовательно, волновая функция может зависеть толь-
только от г и не зависит от углов. При г —> оо функция должна стре-
стремиться к нулю, поэтому пробную функцию можно написать в
виде
-рг). E1ЛЗ)
Из условия нормировки имеем А2 = р3/я.
Используя E1,12) и E1,13), находим
оо оо
= JE!*L J е-Ргу2е_ргг2 dr _ 4рзе2 J е-2Ргг rfr# E1, и)
226 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. VII
При вычислении первого интеграла в E1,14) имеем
оо оо
Г Г / д \2
о о
Второй интеграл в F1,14) легко вычисляется:
оо
о
Подставляя эти значения в F1,14), получаем
Из условия минимума /(р) определяем вариационный параметр
Ро = 1/а, .где а = й2/(р,е2) — атомная единица длины. Подстав-
Подставляя значение Ро в E1,15) и E1,13), находим энергию и волно-
волновую функцию основного состояния атома
Вычислим энергию первого возбужденного состояния 2s.
Пробную функцию выбираем в виде функции, зависящей от
двух параметров: а и у,
оо
Из условия ортогональности Фй'Фиг <Ц, = 0 находим
о
Подставляя это значение в E1,16), определяем из условия нор»,
мировки
Теперь можно вычислить интеграл
Из условия минимума /(а) следует cto = 1/2. Подставляя это
значение в E1,17) и E1,16), находим
52] МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 227
V
Кроме рассмотренного выше прямого вариационного метода,
при котором пробная функция выбирается в виде функции, за-
зависящей от некоторого числа парамегров, нахождение миниму-
минимума интеграла
J E1,18)
при условии
J E1,18а)
может быть сведено к задаче подбора самого вида волновой
функции.1 Покажем, что в этом случае вариационный метод эк-
I вивалентен решению уравнения Шредингера.
Пусть 8i|) есть вариация функции ф. Тогда условие минимума
E1,18) сводится к равенству
J бф'Яф dl+ J ф*Я бф dl = 0.
Используя эрмиговость оператора Я, последнее равенство мож*
но преобразовать к виду
J ЦН-^Г dl+ J бф'Яфdl = 0. E1,19)
Уравнение E1,19) должно выполняться при всех вариациях
8i|)* и 8i|), удовлетворяющих условию
J бя№*dl+ J бг|)>dl = 0, E1,20)
вытекающему из E1,18а). '
Используя метод_ неопределенных множителей Лагранжа,
мож^о"?а'гТйсать^р^вяёШя"(81,19)-и-E-Ь2{)) в виде едиего -ра"-
венства
jb$(H'-E)q'dt+ |бг|)*(Я-?)я1)й| = 0 E1,21)
и считать вариации бг|)* и б-ф независимыми.
Равенство E1,21) выполняется при произвольных независи-
независимых вариациях 8i|) и бф* при условии, когда фиф* удовлетво-
удовлетворяют уравнениям Шредингера
§ 52. Метод канонических преобразований
Среди приближенных методов вычисления собственных зна-
значений операторов в последнее время привлекает все большее
внимание метод канонических преобразований, с помощью кото-
которого оператор или его главная часть преобразуется к диаго-
диагональному виду.
228 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. VII
Пусть, например, требуется определить собственные значе-
значения оператора F(c), р), являющегося функцией оператора коор-*
динагы <? и импульса р, удовлетворяющих перестановочному со-
соотношению
W,/>] = й. E2,1)
С помощью унитарной матрицы S заменим операторы $ и /5 но-
новыми операторами
Q = Sf$S и P = SfpS, Sf = S~\ E2,2)
удовлетворяющими тем же перестановочным соотношениям
E2,1). Вид матрицы S надо выбрать так, чтобы операгор
F(P, Q) принял диагональный вИд. В матричной форме записи
это условие сводится к системе уравнений
{n\F(P, Q)\m) = Fnbnn, E2,3)
тогда Fn будут собственными значениями оператора Р.
Можно показать, что любые степени <? и 0 преобразуются по
тому же закону E2,2). Например,
Q2 = SfqSSf$S = SVS и т. д.
Следовательно, если F разлагается в ряд по степеням $ и р, то
F(Q, P) = SfF(c}, p)S.
В связи с этим система уравнений E2,3) преобразуется к виду
{n\SfF(p,c})S\m) = Fn6nm,
или
Метод канонических преобразований особенно удобно при-
применять при нахождении собственных значений гамильтонианов,
записанных в представлении чисел заполнения, т. е. выражен-
выраженных через операторы рождения и уничтожения частиц в неко-
некоторых одночастичных состояниях. Полная (частичная) диаго-
нализация гамильтониана путем канонического преобразования
к новым операторам рождения и уничтожения приводит к но-
новым одночастичным (квазиодночастичным) независимым (почти
независимым) состояниям.
Ниже мы рассмотрим три примера точной диагонализации
гамильтонианов.
52] МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 229
I. Диагонализация эрмитового гамильтониана
N
Н = 2 LaaBtBa + 2 Ь<фВ1В&, E2,4)
а=1 аф$
Индексы а, р нумеруют одночастичные состояния и пробегают
значения 1, 2, .... N, операторы Ва удовлетворяют перестано-
перестановочным соотношениям
[Ва, ЯрЧ = б«р, [Ва, Sp] = O. E2,5)
Первая сумма в E2,4) характеризует систему N типов элемен-
элементарных возбуждений с энергиями Laa. Оператор В^Ва опреде-
определяет число таких возбуждений. Вторая сумма в E2,4) учитывает
взаимодействия между возбуждениями.
С помощью матрицы «да, удовлетворяющей условиям уни-
унитарности
ZJ Ыца«м,р = бар, Zi «тоЫца = 6vn, E2,6)
проведем каноническое преобразование
к новым операторам, удовлетворяющим перестановочным со-
соотношениям
[A»,, Al] = &V.Z [/4ц, Av] = О,
Потребуем, чтобы в результате преобразования E2,7) га-
гамильтониан E2,4) имел диагональный вид относительно новых
¦операторов. Следовательно, должно выполняться равенство
#= 2 LaQUwUtfAtA» = 2 Ev,AiAv E2,8)
а. 0, v, ц . И
Тогда операторы А^, и Ар, будут соответствовать новым, уже
не взаимодействующим возбуждениям.
Равенство E2,8) выполняется, если
a, p
С помощью E2,6) можно преобразовать эту систему уравнений
к виду
2 (Lap-?ApKp = 0. E2,9)
Из условия нетривиальной разрешимости системы уравне-
уравнений E2,9) находим уравнение
230 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. VII
определяющее спектр энергий Е^ новых невзаимодействующих
возбуждений. Для каждого уровня Еи из E2,9) тогда получим
значения ы^р.
В частном случае, когда в E2,4) входят только два типа опе-
операторов (а, р = 1, 2), унитарную матрицу преобразования удоб-
удобно выбрать в виде
/coscp — sinqA
¦* \sin<p cosqi/
Значения Е^ и параметра <р тогда определяются при решении
системы уравнений
(Ln — Е) cos ф — L12 sin ф = 0,
L21 sin ф + (L22 — Е) cos ф — 0.
Следовательно,
Ей 2 ¦= ~ [Ln + L22 ± V(LU-Ln? + 4|L12p}.
Каждому значению Еи соответствует фц, определяемое равен-
равенством
II. Диагонализация гамильтониана вида
Я = aAfA + pBffi + y № V + АВ], E2,10)
в котором операторы удовлетворяют перестановочным соотно-
соотношениям
[А, Л+] = [В, Bf]= 1, \А\ В]^[А, В]=0. E2,11)
Операторы А* и б+ рождают соответственно возбуждения с
энергиями а и р, а операторы А и В уничтожают эти возбужде-
возбуждения. Последнее слагаемое в E2,10) характеризует взаимодейст-
взаимодействие между возбуждениями типа аир.
Проведем каноническое преобразование к операторам рож-
рождения jxf и уничтожения (а* (I = 1, 2) новых невзаимодействую-
невзаимодействующих возбуждений с помощью соотношений
i f E2,12)
и эрмитово сопряженных к ним. Преобразование E2,11) яв-
является унитарным при любом значении ф, поэтому новые опера-
операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям
[И,, |ij] = Ъп„ [цр (i,,J = 0, E2,13)
§ 52] МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 231
Значение <р в E2,12) определим из условия, чтобы оператор
E2,10) после преобразования принял вид
Si,. <б2'И>
Используя E2,1-3) и E2,14), находим
[ц,,, Я] = ?',(х1. .E2,15)
С другой стороны, этот же коммутатор можно вычислить под-
подстановкой значений E2,10) при учете перестановочных соотно*
шений E2,11), тогда
[ц,,, Я] == A (a ch ф — v sh ф) + Bf (v ch ф — р sh ф). E2,16)
Если подставить в E2,15) значение уц из E2,12) и сравнить
результат с E2,16), то получим систему уравнений
(?,-a)chv + Yshv = 0, 1
Vch9-(?1 + P)sh9 = O. / , {*г>и>
Эта система уравнений имеет нетривиальное решение
4 1 E2,18)
В E2,18) знак перед корнем выбран так, чтобы при у-+0 энер-
гия Ei -»• а. Далее, из E2,7) находим
^{(р+а)КГа + Р)у}/). E2,19)
Проведя аналогичное вычисление коммугатора [цг, ff\, получим
систему уравнений
(Е2 + a) sh ф — v ch q> = 0, v sh ф + (?2 — p) ch ф = 0,
из которой следует
Е* *= | {(Р - a) + K(a + PJ-4V2}. E2,20)
Для вычисления энергии Eq вакуумного состояния системы (т. е.
состояния без новых элементарных возбуждений), надо подста-
подставить в E2,14) значения E2,12) и результат приравнять E2,10);
тогда получим
& --4Y8. E2,21)
В частном случае при а = р имеем
?1 = ?'2=^a2-Y2, D = -
:па-Е1уЕ; v . <52'22>
D2 - 1 (a - Ety - у2 '
232 ~ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. VII
III. Каноническое преобразование Боголюбова — Тяблико-
ва*). Пусть гамильтониан представляет общую квадратичную
форму операторов рождения Bt и уничтожения Ва возбужде-
возбуждений N типов:
Я = 2 LapBafip + jj] [Маф1в1 + М'<фВаВр}, E2,23)
a, p a, p
где
?ap = Lpa, Мац = Мра, а, 0=1, 2, .... N.
Операторы Ва удовлетворяют перестановочным соотношениям
[Ва, fij] = a«e, [Sa, Вр] = О. E2,24)
Проведем каноническое преобразование
А* = 2 (%<*#« - v^Bt), ц = 1, 2, ..., N, E2,25)
от операторов Ва к новым операторам Л^, относительно кото-
которых оператор E2,23) имеет вид
Я = Ео + 2Яц4Л1. E2,26)
и
Новые операторы должны удовлетворять перестановочным со-
соотношениям
К, АХ] = Ь„, [Av, Au] = 0. E2,27)
Эти соотношения выполняются, если элементы матрицы пре-
преобразования E2,25) удовлетворяют условиям унитарности
2 (UfiaUla — VuaV*va) = Ь&», 2 (UuaVva — V^at^a) = 0. E2,28)
С помощью E2,28) легко найти преобразование, обратное к
E2,25):
Ва = 2 {ЩаАу. + V^aAt). E2,29)
С помощью E2,26) и E2,27) получаем
[Аи,Н] = Е„А„. E2,30)
С другой стороны, подставив в левую часть E2,30) значения
E2,23) и E2,25), имеем
[Аи;, Н] = 2 {Ва [и^Ца + ЯцрМра] + #а [tVpLjta +
а,Р
*) Н. Н. Боголюбов, Лекции по квантовой статистике, Киев, 1949,
С. В Т М й
§ 13.
) Н. Н. Боголюбов, Лекции по квантовой статистике, Киев, 1949,
§ 11; С. В. Т я б л и к о в, Методы квантовой теории магнетизма, «Наука»,
1965, § 13
§ 52] МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 233
Если сравнить это выражение с E2,30) при учете E2,25), го по-
получим систему уравнений, определяющих при условиях E2,28)
элементы матриц преобразования и и v и энергии Е^ новых эле-
элементарных возбуждений
<52'31)
Наконец, подставив E2,29) в E2,23) и сравнив с E2,26),
найдем энергию вакуумного состояния новых невзаимодейст-
невзаимодействующих элементарных возбуждений
Яо=-ЗВДвО|». E2>32)
Рассмотренный ранее гамильтониан E2,4) является частным
случаем E2,23) при Ма§ = 0. В этом случае из E2,31) следует
ящз = 0. Следовательно, Ео =*= 0 и элементы матрицы преобразо-
преобразования определяются системой уравнений
ГЛАВА VIII
основы квазирелятивистской
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
ч
§ 53. Элементарные частицы в квантовой механике
В настоящее время известно сравнительно большое число
часгиц: электроны, протоны, нейтроны, ц-мезоны, я-мезоны,
^-мезоны и др., которые называются «.элементарными частица-
частицами-», так как на современном этапе-наших знаний нельзя гово-
говорить о «структуре» этих частиц. Такие частицы характеризуются
определенными значениями массы покоя и могуг быть либо
нейтральными, либо электрически заряженными (положитель-
(положительно и отрицательно). Абсолютная величина электрического за-
заряда всех устойчивых заряженных частиц одинакова.
Кроме электрического заряда элементарные частицы харак-
характеризуются и другими «зарядами». Так,, легкие часгицы нейт-
нейтрино, электроны и ц-мезоны (мюоны) имеют лептонный заряд.
Протоны, нейтроны и более тяжелые частицы — гипероны имеют
барионный заряд, я-мезоны (пионы), /С-мезоны (каоны) и дру-
другие более тяжелые мезоны не имеют лептонного и барионного
зарядов.
Одной из наиболее характерных особенностей элементарных
частиц является возможность их рождения, уничтожения и вза-
взаимных превращений в результате взаимодействий. Так, фотоны
рождаются при изменении характера движения электронов в
атомах или протонов в атомных ядрах. При столкновении нукло-
нуклонов большой энергии рождаются пионы. НейтрОн, излучая Элек-
Электрон и антинейтрино, превращается в протон. С другой стороны,
прогоны, входящие в состав атомных ядер, испуская нейтрино
и позитрон, могут превращаться в нейтрон. Нейтральный "пион
превращается в два фотона; заряженный пион превращается в
нейтрино и мюон. Фотоны в поле ядра могуг превратиться в
электрон и позитрон и т. д.
Открытие возможностей (в соответствии с законами сохране-
сохранения энергии, электрического заряда и некоторых других законов
сохранения) рождения, уничтожения и взаимной превращаемо-
превращаемости элементарных частиц является одним из наиболее сущест-
существенных достижений в познании объективных свойств
окружающего нас мира и взаимосвязи различных явлений при-
природы. В связи с этим понятие «элементарности» и «изолирован-
§ 53] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ 235
ности» одних частиц от других становится все более и более не-
неопределенным. Согласно современным представлениям", взаимо-
взаимодействия между частицами одного типа передаются с помощью
частиц другого типа. Так, например, заряженные и нейтральные
пионы передают ядерные взаимодействия между нуклонами.
Образно говоря, протоны и нейтроны как бы окружены мезон-
ным облаком, через которое и осуществляется взаимодействие
между ними. Это мезонное облако является составной частью
протонов и нейтронов и во многом определяет их свойства.
С другой стороны, протоны и нейтроны в свою очередь опреде-
определяют ряд свойств пионов. В связи с этим теряет смысл понятие
изолированной частицы того или иного вида. Следовательно,
представление о свободном движении частицы может быть
только грубой идеализацией действительности.
В явлениях, сопровождающихся взаимодействием частиц
большой энергии, теряет смысл представление о неизменном
числе частиц. Так, например, быстрый электрон, пролетая в поле
ядра, образует фотоны, фотоны в поле ядер создают пары ча-
частиц: электрон и позитрон, которые в свою очередь создают фо-
фотоны и т. д. Такое лавинообразное нарастание числа частиц
наблюдается при попадании в атмосферу Земли первичных ча-
частиц, из космического пространства.
«Описание явлений, происходящих при больших энергиях,
должно базироваться на релятивистских волновых уравнениях,
т. е. на уравнениях, инвариантных относительно преобразова-
преобразования Лоренца. Переход от нерелятивистского описания к реляти-
релятивистскому связан с необходимостью пересмотра ряда понятий
нерелятивистской квантовой теории. Прежде всего требует изме-
изменения понятие координаты отдельной частицы. Нерелятивистская
квантовая механика допускает возможность как угодно точной
локализации частицы в пространстве и времени. В релятивист-
релятивистской квантовой механике одной частицы невозможна локализа-
локализация частицы в пространстве, линейные размеры которого меньше
Ь1Dтс), где т — масса покоящейся частицы, так как в против-
противном случае в силу соотношения неопределенностей (§ 13) ча-
частице будет сообщаться энергия р2/Bт)> 2тс2, которая доста-
достаточна для образования пары частиц. Таким образом", представле-
представление об одной частице можно сохранить только при отсутствии
внешних воздействий, приводящих к локализации частицы в про-
пространстве, линейные размеры которого меньше комптоновской
длины волны (Ъ1(тс)) соответствующей частицы. Для предельно
релятивистских частиц — световых квантов (т = 0, v = с) —
понятие координаты частицы в обычном смысле полностью от-
отсутствует.
Если имеется неопределенность в положении Дд: > Ъ/(тс), то
неизбежна и неопределенность во времени At~Ax/c > fi/(mc2).
236 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
Итак, в релятивистской теории понятие плотности вероятности
p(x,y,z,t) положения частицы в определенный момент времени
требует существенного пересмотра. В нерелятивистской теории
с ~ оо и Д^ может быть равно нулю.
Вторым фундаментальным понятием, используемым в нереля-
нерелятивистской теории, является понятие импульса частицы. Неопре-
Неопределенность значения импульса определяется соотношением Ар ~
~ fi/Длг. Поскольку неопределенность скорости частицы в реля-
релятивистской теории не может превышать с, то Лл; ~ с At, где
Д^ — промежуток времени, в течение которого реализуется дан-
данное состояние движения. Таким образом, Ap~bj(Ax) ~b/(cAt)
В случае свободного движения частиц (стационарное состояние)
Д/~оо. Следовательно, Ар = 0. Итак, для свободного движе-
движения частицы, когда импульс не меняется с течением времени,
в состояниях движения, описываемых волновыми пакетами,
имеет смысл плотность вероятности определенного значения им-
импульса р(р) в импульсном пространстве. В связи с этим в реля-
релятивистской теории очень удобно использовать импульсное пред-
представление.
Последовательная релятивистская теория элементарных ча-
частиц в последнее время развивается на основе представления
о различных взаимодействующих полях, квантами которых яв-
являются частицы. Такое рассмотрение позволяет сравнительно
просто объяснить процессы рождения, уничтожения и взаимо-
взаимопревращений частиц при высоких энергиях. Однако теория эле-
элементарных частиц сталкивается с большими математическими
трудностями, которые в некоторой степени преодолены только
в квантовой электродинамике, изучающей взаимодействие элек-
электронов с электромагнитным полем. Теория взаимодействия ме-
мезонов с различными мезонами и другими элементарными части-
частицами (гиперонами), а также теория самих элементарных частиц
находятся еще в начальной стадии развития.
Хотя представление о системах, состоящих из постоянного
числа частиц, и является грубой идеализацией (в явлениях, про-
протекающих при больших энергиях), это представление приходится
использовать как первый этап в развитии более строгой теории.
Такое упрощение задачи неизбежно связано с появлением ряда
трудностей, обусловленных искусственным игнорированием не-
неразрывной связи между различными частицами и их взаимной
превращаемостью.
В этой главе будут исследованы границы применимости од-
ночастичного описания при изучении движения электронов, ме-
мезонов и нуклонов в не очень сильных внешних полях. Будут
найдены приближенные выражения для учета релятивистских
поправок (с точностью до v2/c2) к нерелятивистскому движению.
Попутно мы познакомимся с рядом новых понятий, связанных
§ 54] РЕЛЯТИВ. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ 237
с внутренними степенями свободы элементарных частиц, та-
такими, как спин частицы и ее зарядовая переменная. Полученные
результаты будут применены к исследованию движения элек-
электрона в атоме водорода с учетом релятивистских поправок по-
порядка v2/c2 и к исследованию изменений энергетических уровней
атомной системы во внешнем электрическом и магнитном по-
полях.
§ 54. Релятивистское уравнение для частицы
с нулевым спином
Как было указано в § 15, уравнение Шредингера
соответствует нерелятивистской связи между энергией и импуль-
импульсом частицы, имеющей массу М:
Уравнение E4,1) можно получить формальным путем из E4,2)
с помощью преобразования
E-±ih-Qf , р -> — ifiS. E4,3)
Чтобы получить волновое уравнение для движений частицы
с энергией, значительно превышающей ее энергию покоя, надо
исходить из релятивистского соотношения между энергией и им-
импульсом. В случае свободного движения частицы такая связь
имеет вид
-^- = р2+М2с2. E4,4)
Згменяя в E4,4) энергию и импульс операторами, согласно
E4,3), получаем релятивистское волновое уравнение для свобод-
свободного движения" част
E4,5)
Это уравнение обычно называется уравнением Клейна — Гор-
Гордона. Оно было предложено в 1926 г. Клейном [33], Фоком [34]
и Гордоном [35].
Релятивистская инвариантность соотношения E4,4) прояв-
проявляется более явно, если ввести четырехмерный вектор импульса,
четыре компоненты которого определяются равенством
А>> Рз. i —
238 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
Тогда соотношение E4,4) примет вид
Переход к операторам с помощью E4,3) запишется в виде
Pi* -* Z5!» = — /А"а^Г*
где
*ц s fa У, Z, Ш).
Используя новые обозначения, можно записать уравнение E4,5)
в ковариантной форме *)
E4,6)
Если умножить уравнение E4,5) на ф* и уравнение, ему со-
сопряженное, на ф, а затем вычесть из первого уравнения второе,
то найдем уравнение непрерывности
|f- + div/ = O, Ч E4,7)
где
E4,8)
В ковариантной записи эти уравнения принимают вид
/и s Uu is, h. icP)-
Переход от релятивистского уравнения E4,5) к нерелятивист-
нерелятивистскому уравнению Шредингера можно осуществить с помощью
*) Форма уравнения называется ковариантной, если все члены уравнения
имеют одинаковую тензорную размерность (скаляр, вектор и т. д.), т. е. пре-
преобразуются одинаково при преобразовании координатных систем. Уравне-
Уравнение E4,6) имеет ковариаитную форму, так как М?Ф и 2^ц являются
скалярными величинами по отношению к ортогональным преобразованиям
(любым поворотам и отражениям) в - четырехмерном пространстве Минков-
скргр, т. е. в пространстве, три измерения которого совпадают с тремя
измерениями XiX2*3 обычного пространства, а четвертое измерение является
мнимым и пропорционально времени: xt = ict. Ковариантиая форма уравне-
уравнения по отношению к ортогональным преобразованиям пространства Минков-
ского автоматически обеспечивает инвариантность следствий, полученных из
уравнения, относительно преобразования Лоренца,
§ 54] РЕЛЯТИВ. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ 239
унитарного преобразования
ф (г, 0 = ф (г, t) ехр [ - -^-1]. E4, Ю)
При нерелятивистском движении полная энергия частицы мало
отличается от ее энергии покоя, т. е. Е = Е' + Мс2, где ?' <
<С Мс2, поэтому
гЙ-^-1 ~?"ср<Мс2ф.
Следовательно, можно написать
-л7 = Ыг b~Ve h «--я-«ре й , E4,11)
<54-12>
С помощью E4,10), E4,12) из E4,5) получаем нерелятивистское
уравнение Шредингера для функции ф
Подставляя далее E4,10) в E4,8) и E4,9), мы убедимся, что
для нерелятивистского движения (при учете E4,11)) эти выра-
выражения переходят в известные (см. § 15) выражения нереляти-
нерелятивистской квантовой теории для плотности вероятности р = ф*ф
и плотности тока вероятности
Главной особенностью релятивистского уравнения E4,5) яв-
является то, что оно — уравнение второго порядка относительно
времени. Поэтому для определения изменения волновой функции
с течением времени надо знать значение самой функции и ее
первой производной в начальный момент времени. Поскольку
значения г|з и -~- в начальный момент могут быть произволь-
произвольными, то величина р, определяемая равенством E4,8), может
быть положительной, отрицательной и равной нулю. В связи
с этим нельзя интерпретировать р как плотность вероятности оп-
определенных значений координат частицы. Эта трудность была
причиной того, что долгое время считали релятивистское урав-
уравнение E4,5) не описывающим реальных частиц.
Вторая особенность уравнения E4,5) связана с законом пре-
преобразования волновых функций г|з при ортогональных преобра-
преобразованиях координат
Х' = S aMV*v> 2 «uv«u,V' — Svv" E4>13'
240 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
где [х, v = 1, 2, 3, 4. Преобразования E4,13) не изменяют квад-
квадрата длины 4-вектора и соответствуют вращениям в трехмерном
пространстве, собственным преобразованиям Лоренца и инвер-
инверсии координат (см. § 61). Согласно специальной теории относи-
относительности, релятивистские волновые уравнения должны сохра-
сохранять свою форму при преобразованиях координат E4,13). Для
исследования свойств преобразования волновой функции ip
удобно рассмотреть уравнение Клейна — Гордона в ковариант-
ной записи E4,6). Поскольку при преобразованиях координат
E4,13) квадрат длины 4-вектора не изменяется, то из E4,6)
следует, что при этих преобразованиях волновая функция может
умножаться только на множитель, по модулю равный единице.
Таким образом, при преобразованиях координат E4,13), кото-
которые мы кратко запишем в виде
х->х' = ах, E4,13а)
волновая функция уравнения E4,5) преобразуется по закону
Ц(х)^^(х') = ^(х), E4,14).
где |Я|= 1. Если преобразование E4,13) относится к непрерыв-
непрерывным преобразованиям (повороты на произвольные углы в че-
четырехмерном пространстве), т. е. матрица .преобразования зави-
зависит от непрерывно изменяющихся параметров ось сег, ..., то при
значениях параметров cci = осг = ...== 0 величина К = 1.
Дискретное преобразование, соответствующее пространствен-
пространственному отражению, определяется равенствами
Двукратное применение пространственного отражения является
тождественным преобразованием. Поэтому %2 = 1, или Х = ± 1.
Если К = 1, т. е.
1>'(г', *0 = Ч>'(-'.*) = 1> (г. t),
то функция называется скалярной; если X = — 1, т. е.
ф' (- г, 0 = - Ч> (г, 0,
то функция \|) называется псевдоскалярной.
Итак, волновая функция \|э может быть либо скаляром, либо
псевдоскаляром, т. е. величиной, которая не меняется при про-
пространственных вращениях и преобразованиях Лоренца. Скаляр
остается неизменным, а псевдоскаляр меняет знак при инвер-
инверсии пространственных координат.
Законы преобразования волновых функций при преобразова-
преобразованиях координат E4,13) являются существенной математической
характеристикой свойств частиц, описываемых соответствующим
уравнением. Эти свойства характеризуются понятием — спин ча-
§ 54] РЕЛЯТИВ. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ 241
стицы. Скалярные и псевдоскалярные волновые функции опи-
описывают частицы, имеющие спин, равный нулю. К таким части-
частицам, как теперь установлено, относятся пионы, т. е. частицы
с массой покоя ~270 масс электрона и имеющие либо нулевой,
либо положительный, либо отрицательный электрический заряд.-
Пионы описываются псевдоскалярными волновыми функциями
(см. § 107). Возможно, что спин, равный нулю, имеют и каоны,
т. е. частицы с массой ~966 масс электрона.
Вследствие возможности рождения и уничтожения пар ча-
частиц число частиц в релятивистской теории не сохраняется. По-
Поэтому при больших энергиях невозможно проследить за движе-
движением одной частицы. С другой стороны, величина суммарного
заряда сохраняется, поэтому вместо плотности вероятности ко-
координат частицы удобно рассматривать плотность вероятности
электрического заряда.
Умножим E4,8) и E4,9) на электрический заряд частицы е,
равный по абсолютной величине заряду электрона, тогда полу-
получим
(^Ш) E4,15)
/ей / . дф дф*
Величина, определяемая E4,16), является временной компонен-
компонентой 4-вектора, пространственные компоненты которого опреде-
определены E4,15). Величины р и / теперь можно рассматривать как
плотность заряда и плотность электрического тока. Возмож-
Возможность двух знаков у р определяется знаком заряда соответствую-
соответствующей частицы. Из уравнения непрерывности E4,7) следует сохра-
сохранение полного заряда, т. е.
Г р dx = const.
Плотность заряда р определяет разность между числом положи-
положительных и числом отрицательных зарядов, поэтому она не яв-
является положительно определенной. Если имеется одна частица,
то плотность либо положительна,'либо отрицательна в зависи-
зависимости от знака заряда частицы. Для частиц без электрического
заряда р = 0.
Наличие или отсутствие электрического заряда у частицы
проявляется только при взаимодействии этой частицы с элек-
электромагнитным полем. Поэтому вводимые в этом параграфе ве-
величины E4,15) и E4,16) можно оправдать только при исследо-
исследовании взаимодействия частиц с электромагнитным полем.
242 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
§ 55. Свободное движение частицы с нулевым спином
Как было указано в § 53, понятие свободного движения ча-
частиц является идеализацией. Эта идеализация особенно далека
от действительности в случае исследования частиц нулевого
спина, так как известные частицы (пионы, каоны) очень сильно
взаимодействуют с другими частицами и полями. Однако иссле-
исследование решений уравнения E4,5), описывающего свободное
движение частиц с нулевым спином, представляет большой мето-
методический интерес, поэтому мы рассмотрим здесь эти решения.
Будем искать решения уравнения E4,5), соответствующие
состояниям с определенным значением импульса. Тогда
¦ф = Л expj j(px — ef)}. E5,1)
Подставляя E5,1) в E4,5), мы убедимся, что это уравнение
удовлетворяется, если
e= + ?pi где Ep = cVp2 + M2c2 E5,2)
— энергия частицы.
Таким образом, решения уравнения E4,5), соответствующие
состояниям с определенными значениями импульса и заряда,
могут быть двух типов
Я = —, г=±Ер. E5,4)
Подставляя E5,3) в E4,16), находим
ХеЕ„
Решения типа ф+ соответствуют свободному движению частиц
с импульсом р и знаком заряда е, а решения типа \р_ — свобод-
свободному движению с обратным знаком заряда.
Если на свободное движение частиц наложить периодические
условия с большим периодом L по трем осям декартовых коор-
координат, то компоненты волнового вектора будут принимать ди-
дискретные значения
ki=~nh п,=0, ±1, ±2, ...; /=1,2,3. E5,6)
В этом случае общее решение уравнения E4,5) для свободного
движения частицы нулевого спина с определенным знаком за-
заряда имеет вид
2 * ехр {*[*«-to (ft) *]}, o(ft) = -^-. E5,7)
§ 55] ' СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ 243
Итак, переход к релятивистскому квантовому уравнению при-
приводит к появлению дополнительных степеней свободы по отноше-
отношению к нерелятивистскому уравнению. В нерелятивистской теории
состояние свободного движения с определенным Значением
импульса только одно. В релятивистской теории заряженных
частиц с нулевым спином в случае свободного движения с опре-
определенным импульсом имеются решения, которые можно сопо-
сопоставить двум возможным значениям заряда частицы. Следова-
Следовательно, новая степень свободы связана с электрическим зарядом
частицы.
Для более наглядного выделения двух степеней свободы
удобно переписать уравнение E4,5) для комплексных волновых
функций в виде системы двух линейных относительно временных
производных уравнений для двух волновых функций ср и %. По-
Положим
§ х); E5,8)
E5,9)
будет в точности эквивалентна уравнению E4,5).
Для упрощения записи функции.<р и % можно рассматривать
как две компоненты функции W, представляемой в виде ма-
матрицы *)
/т\
E5,10)
тогда легко убедиться, что система уравнений
имеющей один столбец. Введем далее четыре матрицы
0
0 -i\ /1 0\ л /1 0\
*) В общем случае, если частица имеет, кроме трех степеней свободы,
связанных с пространственными перемещениями, дополнительные степени
свободы, соответствующие дискретным переменным, волновая функция мо-
может быть представлена в виде одностолбцовой матрицы с несколькими ком-
компонентами. В случае бесспиновой частицы дополнительная степень свободы
связана с зарядовой переменной. Для заряженных частиц эта переменная
принимает два значения' и функция имеет две компоненты. В § 61 мы по-
познакомимся с частицами, у которых дополнительные степени свободы сня-
заны не только с зарядовой переменной, но и г переменной, характеризую-
характеризующей две возможные проекции спииа частицы. Такие частицы описываются
функциями с четырьмя компонентами.
244 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
удовлетворяющие соотношениям
х\ = /, xkxt = — xxk = -ixm,
где индексы k, I, m пробегают значения 1, 2, 3 в циклическом
порядке. Теперь систему уравнений- E5,9) можно записать
в виде одного уравнения в гамильтоновои форме
T = O, E5,12)
которое мы будем называть уравнением Клейна — Гордона или
кратко — уравнением К—Г. Оператор Гамильтона уравнения
E5,12) имеет вид
Hf - (т3 + it2) -^ + Mc*x3. E5,13)
_d_
dt
Действуя на E5,12) оператором th-^т + Hf и учитывая равенство
f = c2p2 + AfV, получаем уравнение второго порядка
из которого следует, что каждая компонента функции E5,10)
удовлетворяет уравнению E4,5).
Подставляя E5,8) в E4,16) и учитывая E5,10), E5,11), на-
находим выражение для плотности электрического заряда
р = е (ф*ф _ Х*Х) = еЧ!*г3ЧГ, E5,14)
где
^ = (ф*,хО
— функция, эрмитово сопряженная к функции E5,10). Таким
же образом выражение E4,15) для плотности тока можно пре-
преобразовать к виду
Щ) W -
т3 (т3 + /т2) ЧГ]. E5,15)
Как уже отмечалось выше, из уравнения непрерывности E4,7)
следует сохранение с течением времени интеграла
если интегрирование производится по всем значениям перемен-
переменных функций Ч1". При свободном движении одной частицы эта
величина может быть нормирована либо к + е, либо к —е в за-
зависимости от знака заряда частицы. Таким образом, условие
нормировки функции сводится к равенству
= f (ф'ф - х*х) dx= ± 1. E5,16)
§ 55] СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ 245
Рассмотрим теперь свободное в объеме V движение частицы со
спином 0. Полагая
и подставляя в E5,12), получаем систему уравнений
(е - Мс2) фо'= -^ (ф0 + %о),
(е + Мс2) хо == - -^ (Фо + %о).
Эта система имеет отличные от нуля решения при
е=±?р, где Ер = с Vp2 + М2с\
В случае, когда е = Ер, функция W(+) имеет компоненты
Ер+Мс Мс2-Ер
при этом нормировка функции соответствует равенству
Фо(+)Фо(+) — %о(+)%о(+) = 1. E5,19)
Таким образом, решения, соответствующие е = Ер, определяют
движение частицы в положительном «зарядоёом состоянии». Та-
Такие решения будем называть положительными решениями. По-
Положительные решения соответствуют положительной норми-
нормировке в E5,16).
Если е = —Ер, то функция Ч^-) имеет компоненты
Мс*-Ер
F5,20)
При этом фо<-)фо(-) — Хо(-MСо(-) = — 1, и состояние соответствует
движению частиц отрицательного заряда. Такие решения будем
кратко называть отрицательными решениями. Они соответ-
соответствуют отрицательной нормировке в E5,16).
В нерелятивистском приближении Ер «* Мс2 + -577" • и вол-
волновые функции имеют следующий порядок величины:
E5,21)
Таким образом, в нерелятивистском приближении для положи-
положительных зарядовых состояний фО(+) ,<^ %о{+), а для отрицательных
СОСТОЯНИЙ фо(_) < Х0<—>-
246 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
Из E5,17), E5,19) и E5,20) следует, что если функция
E5,22)
-С)
соответствует решениям с положительным знаком заряда, то
функция
E5,23)
будет соответствовать решениям с отрицательным знаком за-
заряда, и наоборот, если *?— решение для отрицательного заряда,
то Чгс — решение для положительного заряда. Решение E5,23)
называют зарядово сопряженным решением по отношению
к E5,22). Связь между этими решениями определяется соотно-
соотношением *?с = ti^P. Преобразование ЧГ-»Ч'"С сопровождается
преобразованиями
Если состояние движения некоторой частицы описывается
функцией Ч1", то частицы, соответствующие зарядово сопряжен-
сопряженной функции Wc, называются античастицами. Например, если
я~-мезон назвать частицей, то я+-Мезон будет античастицей. Опе-
Операция зарядового сопряжения переводит частицы в античастицы
и наоборот, поэтому зарядовое сопряжение иногда называют
сопряжением частица — античастица.
Если частица тождественна со своей античастицей, то она
называется нейтральной частицей. Частицы и античастицы мо-
могут отличаться не только знаком электрического заряда, но и
другими величинами (например, магнитным моментом, нуклон-
ным зарядом и т. д.). При операции зарядового сопряжения все
эти величины меняют знак. Частицы, не имеющие электриче-
электрического заряда, не всегда являются истинно нейтральными. На-
Например, я°,-мезон и фотон являются истинно нейтральными
частицами, нейтрон и нейтрино не являются истинно нейтраль-
нейтральными частицами. Волновые функции истинно нейтральных ча-
частиц нулевого спина должны удовлетворять равенству
. , ?с = т,Ч" = аГ где |а|=1.- E5,24)
Двукратное применение операции аарядового сопряжения
эквивалентно тождественному преобразованию. Следовательно,
должно выполняться равенство а2 = 1, или а = ± 1. Итак, воз-
возможны два типа истинно нейтральных частиц: а) нейтральные
частицы положительной зарядовой четности, для которых а =Л;
б) нейтральные частицы отрицательной зарядовой четности, для
§ 56] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФЕШБАХА - ВИЛЛАРСА ¦ 247
которых а = — 1. Волновые функции таких частиц удовлетво*
ряют соответственно равенствам
V^^V^W или ф = х*; E5,25)
Ч^в-^ЧГ^-ЧГ или ф=-х*. E5,26)
Подставляя E5,25) и E5,26) в E5,8), находим условия, ко-
которым удовлетворяют волновые функции (уравнения второго
порядка по времени) для нейтральных частиц: *
1>П = (Ф + Ф*) = < E5,27)
для частиц с положительной зарядовой четностью;
<P*)e*;. E5>28)
для частиц с отрицательной зарядовой четностью.
Итак, нейтральные частицы описываются действительными
волновыми функциями.
Зарядовая четность нейтральных частиц определяется на
опыте при исследовании их взаимодействий с другими части-
частицами. Например, нейтральные пионы (ло-мезоны) являются ча-
частицами с положительной зарядовой четностью. Фотоны (кванты
электромагнитного поля) являются частицами отрицательной
зарядовой четности. Отрицательная зарядовая четность фотонов
следует из того факта, что потенциалы электромагнитного поля
меняют знак при зарядовом сопряжении, которое меняет знак
электрических зарядов. Положительная зарядовая четность
Яо-мезонов следует из экспериментального факта распада яо-ме-
зона на два фотона.
§ 56*. Свободное движение частицы с нулевым спином
в представлении Фешбаха — Вилларса
Из равенств E5,18) и E5,20) следует, что состояния движе-
движения, соответствующие определенному знаку заряда, изобра-
изображаются двумя компонентами фи/, удовлетворяющими системе
уравнений E5,9) первого порядка по времени. В нерелятивист-
нерелятивистском приближении в каждом зарядовом состоянии одна из этих
компонент значительно больше другой и приближённо волновая
функция сводится только к одной компоненте. Например, для
состояний с положительным зарядом <po<+) 3> %(%+у
Можно, однако, перейти к такому представлению (Фешбах
и Вилларс [36]), в котором при свободном движении с опреде-
определенным импульсом каждому из зарядовых состояний будет со»
ответствовать только одна функция при любых по абсолютной
величине импульсах частиц. Переход к новому представлению
(Ф — представление), волновые функции которого будем
248 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
обозначать буквой Ф, осуществляется матрицей
(Ер +
. и =
где Ер = с Yp2 + М2с2. Матрица U не унитарна в обычном
р
смысле, так как
Однако преобразование функций
Ф = и*Р и ®t = 4)'tf/t E6,3)
оставляет неизменной нормировку E5,16) функций уравнения
К-Г, т.е.
J Ч^тз^ dx = J ФЧ3Ф dr. E6,4)
В соответствии с E6,4) можно назвать обобщенным скалярным
произведением или Ф-произведением двух функций ЧР" и W инте-
интеграл
Далее назовем Ф-унитарным любой оператор А, не изменяющий
Ф-произведения, т. е. удовлетворяющий равенству
Оператор Л является Ф-унитарным, если выполняется оператор-
операторное равенство
А*^т3А\=А~\ E6,4а)
Если Ф-унитарный оператор коммутирует с тз, то он является
унитарным и в обычном смысле.
Средний заряд в состоянии W определяется интегралом
Как будет показано в § 139, средняя энергия в состоянии ЧР" вы-
выражается интегралом вида
Это правило можно распространить на вычисление среднего зна-
значения любого оператора
§ 56] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФЕШБАХА - ВИЛЛАРСА 249
Условие действительности среднего значения требует выполнения
равенства
Это условие выполняется, если
Последнее равенство можно назвать обобщенным условием эр-
митовости оператора. Если оператор эрмитов в обычном смысле
и коммутирует с тз, то он эрмитов и в обобщенном смысле. Опе-
Оператор Гамильтона E5,13) удовлетворяет обобщенному условию
эрмитовости, т. е. H* = Hf.
При преобразовании функций E6,3) все операторы изме-
изменяются по правилу
U = ULU~l. E6,5)
Производя в соответствии с правилом E6,3) преобразование
функции
/(^){4} E6,6)
изображающей состояния с положительным зарядом, находим
при учете E5,18), функцию в Ф-представлении
(J){4 } E6,7)
Преобразование функции
изображающей состояния с отрицательным зарядом, приводит
к функции в Ф-представлении
){4 } E6,8)
Если V = L3, то импульс в E6,7) и E6,8) пробегает дискретные
значения
^ /=1,2,3. E6,9)
В представлении Фешбаха — Вилларса оператор Гамильтона
E5,13) свободного движения частицы спина 0 с определенным
значением импульса р изображается простой диагональной ма-
матрицей
~1 = T3Ep. E6,10)
2S0' КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ {ГЛ. VIИ
Таким образом, уравнение E5,12) в представлении Фешбаха —
Виллзрса имеет вид
дФ
^ ЕФрь> E6,11)
где Я = + для состояний с положительным зарядом E6,7) и
Я =— для состояний с отрицательным зарядом E6,8).
Функции Фрк образуют полную ортонормированную систему
J,VT34''pAdT = A6p'p6^, E6,12)
где Я', Я — +, —; р', р пробегают значения, определяемые соот-
соотношениями E6,9).
В состоянии свободного движения одна частица имеет опре*
деленное значение электрического заряда. Однако уравнение
E6,11) допускает -и такие состояния, в которых одновременно
имеются частицы обоих типов зарядов (Я = +, —). Такие со-
состояния будут описываться волновыми функциями Ф, представ-
представляющими линейную суперпозицию состояиий ФРк, т. е.
Ф = 2 a^fbpx = 2 (ар+Фр+ + ар-.Фр-). E6,13)
рЛ р ¦
Пользуясь условием ортогональности E6,12), легко показать,
что
E6,14)
Из условия нормировки функции Ф тогда следует
р
где +Afe — полный заряд системы (N может равняться и 1),
е2|О/»+12 — суммарный заряд всех частиц с положительным
р
знаком заряда, е 21 O/>- f — полный заряд всех частиц, имею-
р
щих отрицательный знак заряда.
§ 57*. Интегралы движения и собственные значения
операторов в релятивистской теории частицы
нулевого спина
В релятивистской теории частиц нулейого спина, так же как
и в нерелятивистской теории (см. § 31), изменение состояний
стечением времени характеризуется волновыми функциями
§ 57] ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ НУЛЕВОГО СПИНА 251
зависимость которых от времени определяется уравнением
tt-|-YF,.0 = #fYF,O, E7,2)
где Hf—'оператор Гамильтона.
Оператор Гамильтона для случая свободного движения в
обычном представлении был определен выражением E5,13).
Операторы Гамильтона для частицы, находящейся под влиянием
внешнего поля, будут указаны в следующем параграфе. Уравне-
Уравнение E7,2) позволяет вычислить значение функции E7,1) в лю-
любой момент времени t, если известно значение этой функции
в момент времени t = 0. Изменение состояния с течением вре-
времени можно описать и с помощью.^преобразования
6, 0), E7,3)
где оператор преобразования
(L) E7,4)
удовлетворяет условию Ф-унитарности
S*(t) = r3Sf (t) т3 = S-» (t). E7,5)
Наряду с указанным выше шредингеровским представлением
изменения состояния с течением времени в релятивистской тео-
теории существует другое — гайзенберговское представление изме-
изменения состояний с течением времени, при котором волновые
функции сохраняются неизменными, а операторы изменяются
с течением времени. Переход от представления Шредингера
к представлению Гайзенберга для функций и операторов осуще-
осуществляется соответственно обобщенными унитарными преобразо-
преобразованиями
ll, f), E7,6)
S-l(t)FS(f). E7,7)
где оператор преобразования S(t) определен E7,4), а
Из E7,7) следует (см., например, способ получения C1,8))
операторное уравнение
th^-^lP, Hf], E7,8)
которое по форме соответствует операторному уравнению C1,8)
в нерелятивистской квантовой механике. Следствием E7,8) яв-
является утверждение, что физические величины F, операторы
262 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
которых Р коммутируют с оператором #/, являются интегра-
интегралами движения, т. е. средние значения таких величин не ме-
меняются с течением вр.емени в любом состоянии.
Одним из основных постулатов нерелятивистской квантовой
механики является утверждение (см. § 8), что собственные зна-
значения операторов характеризуют результаты возможных измере-
измерений соответствующих величин в произвольном состоянии. Чтобы
сохранить это утверждение в релятивистской теории надо из-
изменить определение некоторых операторов. Покажем это на при-
примере свободного движения частицы. Собственные значения и
собственные функции оператора Hf для случая движения с опре-
определенным значением импульса вычисляются с помощью урав-
уравнения
Н{ЧГ = в*Р, E7,9)
где
Легко убедиться, что уравнение E7,9) имеет два решения
*'«-?г(?И*)- х-+>-- E7'10)
соответствующие собственным значениям
е„ = Я?р> E7,11)
если фоа, и хо*. определены выражениями E5,18) и E5,20). Одно
из этих собственных значений отрицательно:
е_ = - с
следовательно, оно не может соответствовать энергии свобод-
свободного движения частицы, которая всегда положительна.
В нерелятивистской квантовой теории собственные значения
оператора Гамильтона играли двоякую роль: они определяли
энергию стационарных состояний и зависимость волновых функ-
функций от времени. В релятивистской теории собственные значения
оператора Гамильтона также определяют зависимость волновых
функции от времени. Так, в соответствии с E7,3) имеем
(x, Q=.exp(—? Hft)W
Одна.ко энергия стационарных состояний всегда положительна,
т. е. энергия определяется собственными значениями оператора
Hf только с точностью до знака. Действительно, энергия системы
в стационарном состоянии совпадает со средним значением энер-
энергии, т. е.
§ 57] ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ НУЛЕВОГО СПИНА 253
Учитывая далее равенства
находим
Таким образом, энергия стационарных состояний положительна
как для Я = 1, так и для Я = —1.
В нерелятивистской теории связи между операторами соответ-
соответствовали связям между классическими величинами. Например,
согласно A7,5), связь между операторами скорости и импульса
частицы соответствовала связи между скоростью и импульсом
нерелятивистской механики. В релятивистской квантовой теории
такое соответствие нарушается. Покажем это на примере опера-
оператора скорости. Используя E7,8) и E5,13), находим
-^ = -g-[*, Ht]^(x3 + ix^. E7,12)
Классическая же релятивистская теория приводит, как известно,
к следующему соотношению:
чг—т- E7>1<3)
/ 1 М
Поскольку матрица (т3 + гт2) = , ,1 имеет собственные
значения, равные нулю, то и собственные значения оператора
скорости E7,12) равны нулю. Здесь мы опять убеждаемся, что
собственные значения оператора в релятивистской теории не
всегда соответствуют возможным результатам измерения. Если
бы все измерения скорости приводили к значению, равному нулю,
то и средняя скорость во всех состояниях равнялась бы нулю.
Таким образом, не все операторы нерелятивистской квантовой
теории могут быть непосредственно перенесены в релятивистскую
теорию, изучающую движение одной частицы. В § 53 уже отме-
отмечалось, что ряд операторов, например оператор координаты ча-
частицы, должен быть видоизменен. В нерелятивистской теории
оператору координаты х = х частицы соответствует собственная
функция Ь(х — хг), допускающая возможность локализации ча-
частицы около точки хг в сколь угодно малом объеме. В релятиви-
релятивистской квантовой теории возможность последовательного одноча-
стичного описания ограничена. Понятие одной частицы можно
сохранить только в том случае, когда исключается ее локализа-
локализация (внешними полями) в объемах, меньших Ь/(Мс).
264 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII?
На математическом языке возможность сохранения понятия одной ча- *'
стицы в релятивистской теории сводится к требованию сохранения только-
тех операторов, которые не смешивают разные зарядовые состояния. Такие!
операторы будем называть четными, или одночастичными. Оператор [F] на-"•¦
зывают четным, если *'
г pi иг =С , \р 1 иг, 1=s иг /47 14Ъ •
Оператор {F] называют нечетным, если , *" '$
{?} ttf(+) = ЧГ'{у {^иг^^иг^ E7,14а)-?
Оператор Гамильтона Hf и оператор импульса Р == —iftV являются четными \
операторами, т. е. • !¦
В общем случае любой оператор можно разложить иа четную и нечет- ?
ную части -.:
]
или, другими словами, из любого оператора F можно выделить одночастич-
иую часть [F].
¦ Чтобы более просто исследовать свойства четных и нечетных операто-
операторов, воспользуемся представлением Фешбаха — Вилларса (Ф-пр'едставление)
с волновыми функциями, в которых независимой переменной является им-
импульс частицы (р-представление).
В Ф-представлении волновые функции двух возможных знаков заряда
определяются выражениями E6,7) и E6,8). Следовательно, четные операторы
в Ф-представлении должны выражаться диагональными матрицами. Так, на-
например, оператор Гамильтона, согласно E6,10), имеет вид
р- E7,16)
Оператор импульса (р = р) коммутирует с матрицей преобразования U,
поэтому
рф = С/рС/-1=р=[р]. E7,16)
Поскольку в Ф-представлении четный оператор выражается диагональной
матрицей, то разбиение любого оператора на четную и нечетную части вы-
выполняется простым путем; если
то [F ф] =
Перейдем к рассмотрению оператора координаты Je = ifiVp. Используя
явный вид матрицы преобразования U E6,1), получаем оператор координаты
в Ф-представлении
Оператор ti нечетный, поэтому четной (или одночастичной) частью опера-
тора координаты в Ф-представлении будет
[жф] = ЙУр. E7,19)
Из вида оператора E7,19) непосредственно следует, что этот оператор кано-
канонически сопряжен с оператором импульса. Используя явный вид четной
§ 57] ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ НУЛЕВОГО СПИНА 255
части оператора координаты E7,19) в р-представлений, можно вычислить
по правилу E7,8) (учитывая E6,10)) производную по времени от этой вели-
величины
-ж м=I v яф]=тз т^*- E7'20>
Собственные значения оператора E7,20) равны соответственно
с2р с2р
Следовательно, в состоянии с г = Ер связь между операторами произ-
производной по времени от [х]ф и импульсом соответствует связи между ско-
скоростью и"импульсом частицы в классической теории. Поэтому оператор [жф]
можно назвать одночастичным оператором координаты частицы.
В Ф-представлении функции
'(^(^) - E7.21)
являются собственными функциями оператора E7,19), соответствующими
индексу состояния х, индексу представления р и положительному заряду
частицы.
Переход от Ф-представления к обычному представлению осуществляется
преобразованием
1
Учитывая явный вид матрицы преобразования E6,1), находим собственную
функцию оператора E7,19) в обычном р-представлении:
ехр (- Щ E7,22)
Переход от р-представления к «-представлению осуществляется стандарт-
стандартным путем (см. § 27):
= BпЪГ°'> J
ехр (-^-) W, (+) (р)
Подставляя в это выражение значение E7,22), находим собственную функ-
функцию четной части оператора координаты E7,19) в «-представлении:
E7,23)
где
ею м
и3 ¦
"'* sin qz dq.
k6 Г k3 Т
А = Ж J q {q2 + l)~'''sin (<?2) dq- B = ~Ш J
0 • 0
Здесь
feo^—^-i z = ko\x — x'\.
Пользуясь формулой Бассета ({37], стр. 191)
cos (zq) dq
б
ос
J
256 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
где Ky(z)—видоизмененная функция Бесселя второго рода, или функция
Бассета, можно выразить интегралы, входящие в А к В, через производные
от функций Бассета
Г / 2 I iW< ¦ г ^ d ( d* At г'иУИ „ , A
Используя далее асимптотическое разложение функции Бассета ({37],
стр. 226) при больших г
определим асимптотические значения А и В для больших значений г:
А~г /4ехр(—г), В z '4ехр(— г), г = '—; -.
Таким образом, собственные функции оператора среднего положения части-
частицы не являются б-функциями, а отличны от нуля в области пространства,
линейные размеры которого (г ~ 1) порядка комптоновской длины волны
частицы П/(Мс) [38].
§ 58. Взаимодействие частицы нулевого спина
с электромагнитным полем
Из классической электродинамики известно, что переход от
классической функции Гамильтона (энергии, выраженной через
импульс) для свободного движения частицы
к функции Гамильтона для частицы с зарядом е, движущейся
в электромагнитном поле, определяемом потенциалами
•*4ц = (Л1( А2, А3, iA0), E8,1)
можно осуществить преобразованием
Е->Е— еАо,
или
г г с
E8,2)
Переход от квантового уравнения для свободного движения
E4,6) к квантовому уравнению для движения заряженной части-
частицы можно получить (по аналогии с классической физикой) из
E4,6) путем преобразования
§ 58) . ЧАСТИЦА НУЛЕВОГО СПИНА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 257
Таким образом, находим релятивистское волновое уравнение
O, E8,4)
или в более подробной записи:
[f]. E8,4а)
Функция -ф в E8,4) комплексна, так как заряженные частицы
описываются только комплексными функциями.
Если умножить уравнение E8,4а) слеза на ф* и вычесть из
полученного уравнения ему комплексно сопряженное, то снова
придем к уравнению непрерывности E4,7); при этом плотность
электрического заряда и тока будет в присутствие электромаг-
электромагнитного поля определяться выражениями
Ш* -"* )-!??•**• E8'5)
Из ковариантной записи уравнения E8,4) следует, что нали-
наличие электромагнитных потенциалов не нарушает инвариантности
уравнения по отношению к преобразованиям Лоренца'. Как из-
известно, одно и то же электромагнитное поле может быть опи-
описано потенциалами, отличающимися друг от друга градиентным,
или калибровочным, преобразованием типа
где О — произвольная функция. Из равенства
1ев ieG
(/V - j- А„) е >« ф'= е *° fa - |
следует, что если калибровочное преобразование потенциалов
сопровождается унитарным фазовым преобразованием функций
то вид уравнения E8,4) не меняется. Поскольку унитарное пре-
преобразование не отражается на физических свойствах системы, то
моЖ'Но утверждать, чго уравнение E8,4) инвариантно относи-
относительно калибровочного преобразования потенциалов. Пользуясь
калибровочным преобразованием потенциалов, всегда можно вы-
выбрать такие потенциалы, для которых
. j-^ + divA^O. F8,7)
S As С. Давыдов
258 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (ГЛ. VIIT
Осуществляя преобразование
* , E8,8)
при условиях
находим
Шс'
те * '[mV — 2Mc2eA0+2Mc2ift~ — и>Й-^]<р;
далее,
Подставляя полученные равенства в E8,4а), получаем, при
условии E8,7), нерелятивистское уравнение Шредингера, описы-
описывающее движение частицы без спина в электромагнитном поле:
- <58-9>
При исследований стационарных состояний движения части-
частицы в электромагнитном поле следует в E8,4а) положить
ф(ж, 0 = Ф (*) йр (-*-/). E8,10)
Тогда функция ty(x) будет удовлетворять уравнению
-^ (е - еАоJ «(х) = [р2 - Ц-А$ + ^А*+ М2с*\ ф (х), E8,11)
В стационарных состояниях E8,10) плотность электрического за-
заряда принимает вид
При е = Е >• еЛ0 знак плотности заряда соответствует знаку
заряда (е) частицы. Однако в области больших значений потен-
потенциальной энергии, когда е<еЛ0, знак р противоположен знаку е.
Следовательно, в области очень сильных полей одночастичная
интерпретация не может быть сохранена. Физический смысл из-
изменения знака р в сильных полях может быть понят только на
основе теории, описывающей поведение систем с переменным
числом частиц, учитывающей процессы рождения и уничтоже-
уничтожения частиц обоих знаков заряда пионов., В качестве примера ис-
использования уравнения E8,11) рассмотрим движение в куло-
новском поле ядра отрицательно заряженной часгицы, имеющей
$ 58J ЧАСТИЦА НУЛЕВОГО СПИНА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 259
спин, равный нулю. Эта задача возникает при исследовании
движения пионов в поле атомных ядер. Такую систему назы-
называют п-мезонным атомом. Если пренебречь размерами ядра, то
и уравнение E8,11) принимает Для случая е = Е > О следую-
следующий вид:
+ If-J - М2с* + /A*V«] ф (х) = 0.
Переходя к сферическим координатам и рассматривая решения,
соответствующие определенному значению орбитального мрмен-
та частицы, можно написать
Ф(*) = |/?*е-)^т(е<р), / = 0,1,2/... E8,12)
При этом радиальная функция. Ri(r) удовлетворяет уравнению
Г d* l{l+\)-ZW , 2ZaE МЧ*
Ш ; ? + ~Т~ Р
где а = ег1{Ьс) — так называемая постоянная тонкой структуры.
Вводя обозначения
9_ 4(W-P) ,,Q1O4
Р — рр , (bo, Id)
и новую переменную р ^ f>r, можно преобразовать последнее
уравнение к виду
d* , X !(/+!)—ZV
+ Т
где
^=^->0. E8,15)
Подставляя
в E8,14), получим уравнение, определяющее функцию W (р),
p-^ + Bs + 2-p)-^ + (X-s-1)^ = 0, E8,16)
если
E8,17)
Уравнению E8,16) удовлегворяет вырожденная гипергеометри-
гипергеометрическая функция (см. мат. дополн. Г)
W(p)=F(-K + s+l, 2s-f 2, р). E8,18)
Чтобы функция /ft убывала при р -* оо, необходимо, чтобы сте-
степенной ряд, изображаемый гипергеометрической фуикциой
860 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ,КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. V.III
E8,18), был полиномом конечной степени. Последнее условие
Выполняется, если % — s — 1 = v = 0, 1, 2, ,.., следовательно,
Решая уравнение E8,17) относительно s и выбирая корень
обеспечивающий положительность % (см. E8,15)), находим
+ -\f(l + ±f(ZJ % 1=0, I, 2, ... E8,20)
Из E8,13) и E8,15) получаем, исключая р,
Е
<б8-21)
Вследствие малости постоянной тонкой структуры (а ~ 1/137)
параметр Za для всех атомов (за исключением очень тяжелых)
будет мал по сравнению с единицей. Подставляя E8,20) в
E8,21) и разлагая ё ряд по степеням Za, находим
} ,ад
где п =¦ v + ^+ 1 является главным квантовым числом.
Подставляя E8,22) в E8,13), имеем
если Za<l. E8,23)
Первое слагаемое в E8,22) соответствует энергии покоя части-
частицы. Второе слагаемое
MZ2e4 - „о
t
совпадает с энергией движения частицы массы М в кулонов-
ском поле в нерелятивистском приближении (см. § 38). Третий
член
^[iУ №24)
определяет релятивистские поправки к энергии. Мы видим, что
поправка к энергии E8,24) зависит ог квантового числа /, что
приводит к снятию вырождения, которое наблюдается в нереля-
нерелятивистском приближении. Относительная величина расщепления
уровней ns и пр выражается формулой
Епр - En
*.
$ 58] ЧАСТИЦА НУЛЕВОГО СПИНА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 261
Следовательно, расщепление увеличивается с ростом Z и умень-
уменьшается с ростом главного квантового числа п. ^При п = 1
имеется только одно значение / = 0, и вырождение отсутствует.
При п = 2 наблюдается наибольшее расщепление.
Система уровней, соответствующая разным значениям AEni,
при одинаковом п называется тонкой структурой. При данном
п «полная ширина тонкой структуры», т. е. расстояние между
крайними уровнями (/==«. — 1 и I = 0), равно
E8,24а)
Рассмотрим далее поведение волновых функций E8,12) при
р—>©. При /=^0 и малых значениях заряда ядра W < 1,
s ж I и волновые функции E8,12) обращаются в нуль при
р —*¦ 0 так же, как и волновые функции нерелятивистской теории
(§ 38). При 1 = 0 волновые функции E8,12) сингулярны в на-
начале координат. Однако при малых значениях Za эта сингуляр-
сингулярность очень слабая. Для атомов с большими значениями Z эта
сингулярность уже значительна, и отличие релятивистских функ-
функций от нерелятивистских становится существенным.
Из E8,12) следует, что при малых Za наиболее вероятное
значение р в состоянии Is равно 2. Тогда, учитывая E8,23), на-
находим для наиболее вероятного значения радиуса
г — JL _JL___iL а
в~ р ^ ZMe* — М Z"'
где боровский радиус а«0,5-10-8 см, \i — масса электрона.
Поскольку для л~-мезона М « 270 ц, то
2-1Q-11
гв «* —y~^~ См-
Таким образом, уже для атомов с малыми значениями Z сравни*
гельно велика вероятность пребывания я~-мезона внутри ядра.
Следовательно, учет конечных размеров ядра, т. е. отличия
электрического поля ядра от кулоновского, весьма существен
при вычислении волновых функций и энергии л-мезонных ато-
атомов [39].
Если использовать гамильтонову форму E5,12) уравнения
К — Г для свободного движения частицы нулевого спина, то пе-
переход (по правилу E8,3)) к уравнению, описывающему движе-
движение частицы в электромагнитном поле с потенциалами А, Ло,
сводится к замене оператора Гамильтона свободного движения
оператором
H°f + еА0 - '<
H°f + еА0 - '<* + *»> рА + <*(Sf+<r') A\ E8,25)
262 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. У1Г#^,
При написании E8,25) было ¦ использовано условие калибровкац
потенциалов ^_ Д.
div А = 0. ;|,
Если функция Т = 1 I удовлетворяет уравнению Ж
Me v ^ 2Мс2
E8,26)^;
то зарядово сопряженная функция E5,23) ' А,
= t,V ' E8,27) -л
удовлетворяет уравнению <Л
которое получается из E8,26) при изменении знака импульса и с
заряда. В этом легко убедиться, умножив слева на матрицу т» S
уравнедие, комплексно сопряженное к уравнению E8,26), и ис- •
пользовав определение E8,27). Если, далее, р = eWfx??, to ''§;¦
плотность элекгрического заряда в зарядово сопряженном со- *;.
стоянии E8,27) будет равна ?
Однако вектор плотности электрического тока E5,15) при пере- ';•'
ходе к зарядово сопряженному состоянию не меняет своего на- |
правления V
/»=/¦ i
Это цроисходиг потому, что зарядово сопряженное состояние *FC
отличается от состояния W изменением знака заряда и измене-
изменением направления импульса.
§ 59. Релятивистское уравнение Дирака
В 1928 г. Дираку удалось найти релятивистское уравнение,
которое оказалось пригодным для описания свойств электронов
и других частиц, имеющих спин 1/2. При построении своего урав-
уравнения Дирак исходил из требования, чтобы уравнение движения
приводило к уравнению непрерывности с положительно-опреде-
положительно-определенной плотностью вероятности. Вместо одной функции, исполь^
зуемой в нерелятивистской теории, Дирак ввел систему функций
tyv(r, t), v = 1, 2, ..., определяющих плотность элекгрического
заряда с помощью соотношения
§ 59] РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 263
Тогда из закона сохранения электрического заряда следует:
-о. ' «ад
Для выполнения соотношения E9,2) необходимо, чтобы зна-
чения производных —^- определялись значениями функций в
данный момент времени. Следовательно, функции i|5V должны
удовлетворять уравнению первого порядка относительно произ-
производных по времени.
Не ограничивая, общности, можно записать такую систему
уравнений в виде
где т — масса частицы, с — скорость света, а^> и р^-посто-
р^-постоянные, вообще говоря, комплексные коэффициенты. Здесь и в
последующем знаки сумм указывают, что производится сумми-
суммирование по индексам, встречающимся дважды. Латинские ин-
индексы k, I, ... пробегают значения 1, 2, 3. Греческие индексы
v, ц, ... пробегают целые положительные значения ог 1 до не-
некоторого и, которое будег определено ниже.
Постоянные коэффициенты «!** и PV[l в системе уравнений
E9,3) определяются из следующих двух условий:
а) система уравнений должна приводить к уравнениям не-
непрерывности для р;
б) каждая, из функций i|?v в отдельности должна удовлетво-
удовлетворять релятивистскому уравнению второго порядка E4,5) *).
Легко убедиться, что при выполнении условий
„(ft) __ ff(k) о _ a*
из уравнения E9,3) следует уравнение непрерывности
*) Аналогичное требование имеется в классической электродинамике,
где шесть величин 8Х, Sv, <?г> 2$х, Жу, Щг, определяющих в пустоте
электромагнитное поле, удовлетворяют уравнениям Максвелла (уравнениям
первого порядка)
а каждая из иих удовлетворяет волновому уравнению, например
4
264 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
если р определяется E9,1) а компоненты вектора плотности
тока
Для упрощения записи перейдем к матричным обозначениям.
Образуем из коэффициентов а<?> и р^ четыре матрицы •
Тогда условия E9,4) сводятся к требованию, чтобы введенные
четыре матрицы были эрмитовыми, чго кратко записывается а
виде
«* = «*• P = Pf-
Далее все функции ipv объединим в матрицу, имеющую один
столбец
E9,6)
В результате действия матриц ось й р на функцию Ч? получаем
новую функцию
Компоненты функции Ч*" определяются по правилу умножения
матриц:
следовательно, матрицы. E9,4) являются линейными эрмитовы-
эрмитовыми операторами, действующими на индексы функции i|)V, кото-
которые можно рассматривать как новые (внутренние) переменные,
пробегающие дискретные значения.
Матрица, эрмитово сопряженная к E9,6), будет иметь толь-
только одну строчку:
*"=№. ** -.•)• E9«7)
Используя E9,6), E9,7) и матрицы оси, можно выражения
E9,1) и E9,7) переписать в виде
е2^Х, E9,8)
jk = ecWfakW = ее 2 ^d^%. E9,9)
Три матрицы ал можно объединить в одну векторную матрицу
а, три компоненты которой совпадают с а*,. В этом случае век-
§ 59] РЕЛЯТИВИСТСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 265
тор плотности тока принимает вид
E9,10)
В матричной форме записи система уравнений E9,3) сводится
к одному уравнению
Действуя на E9,11) оператором
1 д yi д imc
с It Za
получаем уравнение
1 д2
Это уравнение переходит в уравнение второго порядка
/ _L^L _ V -___ -и _____ \ W — п
для каждой Компоненты функции Ч1", если
E9,12)
Итак, матричное уравнение E9,11) удовлетворяет поставлен-
поставленным условиям а) и б), если матрицы В и ал являются эрмитовы-
эрмитовыми матрицами, которые удовлетворяют перестановочным соотно-
соотношениям E9,12).
Четыре независимые эрмитовы матрицы а& и В могут удовлет-
удовлетворять соотношениям E9,4) и E9,12) только при условии, что
они имеют не меньше четырех строк и четырех столбцов. Один
из возможных вариантов выбора матриц ал и В заключается
в том, что полагают
* = [0 -/j' E9'13)
где матричными элементами являются двумерные матрицы
Паули, или спиновые матрицы
@ 1\ /0 —i\ /I O
ff|="(i о)' °--1* о)' °Но -i
E9'14)
4i ?)' Ч°о °о)"
266 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIIf:
Матрицы Паули удовлетворяют простым соотношениям
° = / V = ~?='°m- E9,15)
где индексы k, I, m пробегают значения 1, 2, 3 в циклическом
порядке. Любая квадратная матрица второго порядка может
быть представлена в виде линейной комбинации спиновых мат-
матриц Паули и единичной матрицы.
Набор матриц E9,13) не является единственным. Легко убе-
убедиться, что матрицы
получаемые из E9,13)'с помощью произвольной унитарной
(чтобы сохранить эрмитовость) матрицы S, также удовлетво-
удовлетворяют соотношениям E9,12).
Все физические следствия матричного уравнения E9,11), на-
называемого уравнением Дирака, не зависят от конкретного вида
эрмитовых матриц р, аи, удовлетворяющих соотношениям
E9,12). . ¦ ¦
В соответствии с тем/что р и а& являются четырехмерными
матрицами, волновые функции W также должны иметь только
четыре компоненты. Следовательнб, индексы v и ц, в уравнениях
E9,3) должны пробегать значения 1, 2, 3, 4.
§ 60. Свободное движение частиц, описываемых
уравнением Дирака
Матричному уравнению E9,11) -можно придать вид урав-
уравнения Шредингера
m-^-=HDw F0,1)
с оператором Гамильтона, содержащим дираковские матрицы
HD = cap + mc2p. F0,2)
При записи уравнения в форме F1,1) время выделено явно и
основным оператором является оператор Гамильтона Ню- Такая
форма записи называется гамильтоновой формой. Она особен^
но удобна при исследовании стационарныхгсостояний квантовых
систем. В стационарных состояниях зависимость волновой функ-
функции от времени выражается формулой
- F0,3)
Подставляя F0,3) в F0,1), находим уравнение
еТ(г) = ЯсТ(г). F0,4)
$ 60) ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА 267
ч
Величина е в F0,4) определяет зависимость от времени полной
волновой функции F0,3) в стационарных состояниях. Для мно-
многих приложений удобно выразить четырехкомпонентные функ-
функции E9,6) через две двухкомпонентные функции
•-О- -С)
с помощью равенства
(*) F0,6)
d = свр% -f- тс2ф> \
С=сорф — тсЧ. j
Используя запись матриц E9,13) через двумерные матрицы
E9,14), приведем уравнение, F0,4) к системе двух матричных
уравнений
еф = (
е/ =
Состояния с определенным значением импульса будут описы*
ваться системой уравнений
V" F0,8)
Отличные от нуля решения этой системы уравнений имеют место
только при равенстве нулю детерминанта, составленного,из ко-
коэффициентов, стоящих при неизвестных функциях, т. е. 'j
тс2 — е cap
. ,, =0. F0,9)
г*- сор щс* ~\- z
Раскрывая детерминант F0,9) и учитывая операторное тожде-
тождество *) . '
(огА) (аВ) = АВ + to [A X Щ, F0,10)
справедливое для двух произвольных, коммутирующих с о опе-
операторов А и В, находим
или
е=±?р, F0,11)
где
— энергия частицы. Двум знакам в F0,11) соответствуют два
типа решений уравнения Дирака для состояний с различным
*) Тождество F0,10) легко доказать, если использовать свойства матриц
Паули E9,14).
268 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1ГЛ. VIII
знаком у энергии в экспоненте, определяющей зависимость вол-
волновой функции от времени. Решения с е = Ер будем называть
положительными решениями уравнения Дирака для свободного
движения часгицы, а решения с е = —Ер будем называть отри-
отрицательными решениями. Положительные решения иногда
условно называют решениями, соответствующими «состояниям
с положительной энергией». Отрицательные решения называют
решениями, соответствующими «состояниям с отрицательной
энергией». Последние названия были введены Дираком. Они
имеют условный смысл и удобны для описания процессов ро-
рождения и уничтожения пар частиц (например, электронов и по-
позитронов) на языке квантовых переходов однойчастицы (см. §65).
Введем знаковый оператор
коммутирующий с оператором Гамильтона свободного движе-
движения. Оператор Л эрмитов и унитарен, т. е.
В импульсном представлении этот оператор имеет простой вид:
А
ep
Поскольку Л2 = 1, то собственные значения оператора Л равны
Х = е/ЕР = ±1. 1
~ Собственное значение Я=+1 относится к положительным
решениям, соотвегствующим в = Ер. Собственное значение
К = —1 относится к отрицательным решениям, когда е = —Ер.
Для свободного движения энергия Ер, импульс р и собствен-
собственные значения к оператора Л являются интегралами движения и
могут одновременно иметь определенные значения.
Если е определяется из F0,11), го с помощью F0,8) можно
одну двухкомпонентную функцию выразить через другую, на«
пример ч"
?«- <60'13>
Для состояний с определенным значением импульса зависи-
зависимость функции ф от координат выражается функцией ехр
Следовательно,
е-—не зависящая от координат двухкомпонентная спиновая
функция, на которую действуют матричные операторы а. Эту
§ 60] ДВИЖЕНИЕ1 ЧАСТИЦ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА 269
функцию обычно нормируют условием
относи оставшуюся часть нормировки к множителю N.
Итак, функция Дирака, соответствующая состояниям с опре-
определенными значениями импульса р, энергии Ер и знака у энер-
энергии К, может быть записана в виде
(и \ ipr
^Tur'llLk- F0'I4>
Чтобы функция F0,14) была нормирована условием
|, 4^4Vv dx = Ькк'Ь (р - р'),
надо положить
тсг + КЕР ТА
J
ТА
J '
В нерелятивистском приближении для положительных реше-
решений
е = Ер = тс2 + Е', где ?' < тс2;
поэтому из F0,13) следует
* = -5й?Т1Г »•*•&¦<* F015>
Таким образом, если скорость- частицы мала по сравнению со
скоростью света, то, согласно*F0,15) и F0,5), две из четырех
компонент волновой функции становятся малыми по сравнению
с двумя другими. В связи с этим часто функции tyb ty2 называют
большими функциями, a ty3, яр4 — малыми функциями. Для со-
состояний с е-= —Е, которые соответствуют отрицательным реше-
решениям, наоборот, функции tyi и чрг являются малыми, а функции
*3 и tiu являются большими.
С)
Если в данном состоянии I I частица не обладает опреде-
ленным значением импульса, то связь между малыми и боль-
большими компонентами в нерелятивистском приближении, согласно
F0,7), может быть записана в виде
Из E9,8) получаем приближенное выражение для плотности
электрического заряда в этом состоянии
р = е (ф^ + xtx) „ ^i +'^^) Ф. F0,16)
270 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VI»
1 . /О о\
Если учесть, что а = I п / v то плотность тока будет, со-
гласно E9,9), определяться равенством
=ce (q>fо/ + Xfa<p) « — -^j- [q>fо (в?ф) — (V<p+e) e<p] =
rot^eq»). F0,17)
При получении F0,17) мы использовали равенства
а (аУф) — Уф -f i rot (<xq>), Dq>f, в) в — Уф* — i rot (<ир*),
которые легко получаются при учете соотношений E9,15). Пер-
Первое слагаемое в F0,17) совпадает с нерелятивистским выраже-
выражением плотности тока для частицы без спина, второе слагаемое
учитывает спин частицы.
Покажем теперь, что, кроме знака г/Ер, состояния свобод-
свободного движения частицы с определенным значением импульса мо-
могут различаться значениями другой физической величины, кото-
которая, как будет показано ниже, обусловлена наличием спина у
частицы. Для этого введем оператор
4SP» F0'18>
где
у I
V0 о
Оператор F0,18) коммутирует-с оператором Гамильтона F0,2)
свободного движения, поэтому соответствующая емуфизическая
величина является. интегралом движения. Поскольку при сво-
свободном движении импульс р является интегралом движения, то
интегралом движения будет и физическая величина, соответ-
соответствующая оператору
1 0 0 0'
F0,19)
если ось г выбрана вдоль направления импульса.
В дальнейшем мы будем пользоваться буквой а для изобра-
изображения как двухрядных, так и четырехрядных, матриц Некоторые
образуются из двухрядных матриц а.
В § 29 отмечалось, что собственные значения операторов, за-
задаваемых в виде диагональных матриц, совпадают со значе-
значениями диагональных элементов. Таким образом, собственные
§ «Я ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ. ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА 271
значения оператора F0,19) равны ±bj2. Собственные функции
этого оператора, соответствующие собственным значениям й/2 й
— й/2, могут быть представлены в виде F0,4) со спиновыми
функциями
=(о) И
Говорят, что в состоянии щ спин частицы направлен вдоль им-
импульса, т. е. ар = р. В состоянии щ спин частицы направлен
против импульса, т. е. ар — — р. Следовательно,1 в состояниях,
описываемых спиновыми функциями F0,20), проекция спина
имеет определенное значение. Возможны, конечно, состояния, в
которых проекция спина не имеет определенного значения. Этим
состояниям соответствуют спиновые функции
и = агщ + а^щ.
В общем случае спиновые функциц изображаются двумерными
одностолбцовыми матрицами или функциями от переменной,
пробегающей только два значения.
Итак, из анализа решений уравнения Дирака для свободного
движения частицы с определенным импульсом мы пришли к за-
заключению, что это уравнение описывает частицы, характеризую-
характеризующиеся некоторой величиной — спином, проекции которой на
направление движения принимают только два знацения ±й/2.
О таких частицах говорят,, что они имеют спин, равный 1/2.
К этим частицам относятся электроны, мюоны, протоны, нейтро-
нейтроны, нейтрино. Физический смысл спина этих частиц будет опре-
определен ниже (см. § 62).
Волновые функции состояний с определенным значением им-
импульса, направленным вдоль оси г, определенным знаком % A
или —1) ri проекцией спина sz (Г/2 или —1/2) можно кратко за-
записать в виде
VP,Ksz. F0,21)
Функции F0,21) удовлетворяют соотношениям ортогональности
и нормировки, которые выражаются равенствами
Произвольное состояние с определенным знаком % может
быть записано в виде
У*в 2\\л (р) ^ d3p- F0>22)
272 .КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ . [ГЛ. VIII-
Учитывая, что НрХ^р% = ^ЕрхР0,, легко определить действие
оператора Л на функцию F0,22):
=2 S
С помощью оператора Л можно образовать проекционные опе-
операторы
которые обладают простыми свойствами:
П_?+ = 0, П-Т- = ЧГ_.
Таким образом, при действии оператора П+ (П-) на произволь-
произвольную функцию Дирака из нее выделяется часть, соответствующая
положительным (отрицательным) состояниям.
По аналогии со случаем частиц нулевого спина операторы,
действующие на функцию Дирака, легко разложить на четную
и нечетную части. Так как все положительные функции ортого-
ортогональны ко всем отрицательным функциям, то средние значения
всех нечетных операторов в состояниях, соответствующих опре-
определенному знаку К, всегда равны нулю. Последовательная одно-
частичная теория должна использовать либо решения; соответ-
соответствующие положительным состояниям (К = 1), либо решения,
соответствующие отрицательным состояниям (Я = —1). Поэтому
в последовательной одночастичной теории все физические вели-
величины должны выражаться через четные («одночастичные») опе-
операторы*). При выполнении этого условия, как будет показано
ниже, связи между операторами (и средними значениями физи-
физических величин) релятивистской квантовой теории одной ча-
частицы будут аналогичны связям между соответствующими вели-
величинами классической теории.
Определим правила выделения из операторов теории Дирака
четной и нечетной частей., Предположим, что оператор а может
быть представлен в виде
*) Следует, однако, иметь в виду, что из-за эффектов взаимодействия
с другими полями и вакуумом представление о релятивистском движении
одной частицы не может быть сохранено. В связи с этим последовательная
квантовая теория движения одной частицы может дать приближенное описа-
описание только таких явлений, в которых эффекты рождения реальных и вир-
виртуальных частиц мало существенны, т. е. явлений, протекающих при малых
энергиях и в малых внешних полях.
§ т ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ. ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЕМ ДИРАКА 273
где [а] — четная, а {а} — нечетная часть оператора а. Тогда па
определению знакового оператора Л F0,23) и четного и нечет-
нечетного оператвров имеем
= [а] ЧГ+ - {a
Из полученных равенств находим
(а + ЛаЛ), F0,24)
- {а} = ±(а-АаА). F0,25)
Легко убедиться, что оператор Гамильтона свободного движения
Нв и оператор импульса являются четными операторами. Ис-
Используя F0,24) и явный вид оператора Л F0,12), можно, на-
например, вычислить четную часть матрицы а:
F0,26)
Таким же образом находим, что четная часть матрицы р равна
Как- уже отмечалось в § 53, понятие «одночастичной» коор-
координаты частицы и соответствующего оператора х в релятивист-
релятивистской теории одной частицы должно быть изменено. К этому же
заключению можно прийти, вычислив оператор скорости частицы
со спином 1/2. Согласно § 31, при учете явного вида оператора
Гамильтона F0,2) уравнения Дирака, имеем
*?-=-L[x, HD] = m. F0,27)
Поскольку собственные значения оператора а равны ±1, то мы
приходим к парадоксальному результату, что собственные зна-
значения абсолютной величины скорости частицы со спином 1/2 все-
всегда равны скорости света. Далее, поскольку матрицы аь аг, аз
не коммутируют между собой, то и компоненты оператора ско-
скорости F0,27) не коммутируют между собой. Легко, однако, ви^
деть, что четная часть оператора F0,27) для положительных
решений выражается через оператор импульса равенством,
соответствующим связи между скоростью и импульсом -в
274 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ, VUI
классической релятивистской теории. Действительно, используя
F0,26), имеем
F0,28)
Следовательно, оператор скорости равен с2р/Ер для положитель-
положительных решений и —с2р/Ер для отрицательных решений.
Равенство F0,28) наводит на мысль-, что в качестве «одно-
частичного» оператора координаты в квазирелятивистской кван-
квантовой теории одной частицы со спином '/г можно взять четную
часть оператора x = ih-^-. Для выделения четной части опе-^
ратора х воспользуемся соотношением
Тогда легко получить, что
F0,29)
Последнее" слагаемое в F0,29) не меняется с течением времени.
Изменение первого слагаемого выражается операторным равен-
равенством F0,27). Изменение второго слагаемого в F0,29) легко1
определить, если учесть соотношение
тогда имеем
ih4f =1"' Н^ = 2(ср- На) = 2 (оЯ - ср) =
= 2/ис2«Э + lie [a X р]. F0,30)
Амплитуда изменения [дс], обусловленного вторым быстро осцил-
осциллирующим (с частотой 2тс2/р) слагаемым, по порядку величины
будет равна комптоновской длине волны частицы, так как
ЛсА | Л
В связи с этим собственные функции оператора координаты ча-
частицы [х] уже/ не являются б-функциями, как это было для опе-
оператора х нерелятивистской теории, а «размазаны» по области
порядка комптоновской длины волны частицы.
Учитывая F0,27) и F0,30), находим
<*[*] ^ 1 , -~ с*рА ¦ сАНпа с2рА *
dt /fi 1 l*J» IJDl twT ж? р р »
U* Hi Up Е-р E-p
что совпадает с F0,28).
4 61] КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 275
Итак, в релятивистской теории для сохранения приближен-
приближенного представления о движении одной частицы в качестве опера-
оператора координаты частицы. следует брать оператор [х], который
иногда называют оператором среднего положения частицы
(усредненного по объему, линейные размеры которого порядка
комптоновской длины волны частицы).
§ 61*. Ковариантная запись уравнения Дирака
Для исследования свойств преобразований волновых функ-
функций Дирака и билинейных комбинаций, составленных из этих
функций, удобно переписать матричное уравнение E9,11) в бо-
более симметричном виде относительно пространственных и вре?
менных переменных. Для этого введем четыре координаты хи —
= (ж, ict) и новые матрицы Yia— (Y>Y*)» выражающиеся через
матрицы аире помощью соотношений
ГО ~а\
FI.D
Новые матрицы Yi* являются эрмитовыми. Они удовлетворяют
перестановочным соотношениям
YwYv + YvY1Jl=26V(i, ц, v=i, 2, 3, 4. F1,2)
Умножая E9,12) на —йр и используя приведенные выше мат-
матрицы Yu> можно записать это уравнение в ковариантной форме
Y.A-'"*)*= О, ^=-й-Д-. F1,3)
Конкретный вид матриц ущ. входящих в F1,3), не имеет
существенного значения. Необходимо только, чтобы они удовле-
удовлетворяли перестановочным соотношениям F1,2). Допустим, что
наряду с матрицами уи имеется другая совокупность матриц yJL>
также удовлетворяющих перестановочным соотношениям F1,2).
Как показано чПаули [40], в этом случае всегда имеется такая
несингулярная унитарная матрица S, которая преобразует одну
совокупность матриц в другую, т. е.
Y^Sy^S-1. F1,4)
Согласно общей теории унитарных преобразований (см. § 31),
если одновременно с преобразованием матриц F1,4) провести
преобразование функций
276 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
то уравнение Дирака остается неизменным. В этом можно убе-
убедиться и непосредственно, если подставить значения штрихован-
штрихованных матриц и функций в уравнение Дирака
и умножить полученное уравнение слева на S'1.
Перепишем уравнение F1,3), отделив временную производ-
производную
( ) = 0.
Тогда уравнение, эрмитово сопряженное к данному, можно за-
записать в виде
гели условиться, что на функцию V действуют операторы, стоя-
щиечеправа от нее. Умножая это уравнение справа на матрицу
Y4 и «перенося» ее с использеванием перестановочных соотноше-
соотношений F1,2) через операторы, стоящие в круглых скобках, полу-
получаем уравнение
^4 (V4 Т ~it
Если ввести функцию
^=^Y4, F1,5)
называемую функцией дираковски сопряженной относительно W,
то последнее уравнение можно записать в компактной форме
=o. F1,6)
Уравнение F1,6) называется дираковски сопряженным уравне-
уравнением относительно уравнения F1,3).
В новых обозначениях рассмотренные в § 59 выражения для
плотности электрического заряда и тока принимают вид
р = eW
Эти выражения можно объединить в единый четырехмерный
вектор
У„ = </, icp)=iecWyilW. F1,7)
При этом уравнение непрерывности (закон сохранения электри-
неского заряда) сводится к равенству
-= 0. F1,7а)
§ 61] КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 277
Исследуем теперь свойства преобразований волновых функ»
ций уравнения Дирака при ортогональных преобразованиях ко-
координат
F1,8)"
или в краткой записи х' = ах, аа = 1, где а — матрица преобра-
преобразования, транспонированная к матрице а. Преобразования F1,8)
не изменяют квадрата длины -4-вектора и соответствуют соб-
собственным преобразованиям Лоренца, вращениям в трехмерном
пространстве, инверсии пространственных координат и обраще-
обращению времени. Операции инверсии пространственных координат
соответствует матрица преобразования
Операции обращения времени соответствует матрица
A 0 0-
0 10 0 ,
0 0 1 0 I' <61'Ш>
0 0 0-1
Оба эти преобразования координат относятся к даскретным пре-
преобразованиям с детерминантом преобразования, равным —1.
Собственные преобразования Лоренца и все трехмерные вра-
вращения в пространстве относятся к непрерывным преобразова-
преобразованиям, т. е. к преобразованиям, которые могут быть получены из
тождественного преобразования путем непрерывного его изме-
изменения. Детерминант, составленный из коэффициентов матриц
таких преобразований, равен 1. В качестве примера укажем две
матрицы непрерывных преобразований.
а) Матрица преобразования
='7 <61>п>
соответствует преобразованию Лоренца, т. е. переходу к системе
координат, движущейся относительно начальной системы вдоль,
оси х со скоростью v.
COSY
0
0
sin у
0
1
0
0
0
0
1
0
sinx
0
0
COSY
578 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТ.СКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
„ б) Матрица преобразования
со$ф sinq) О О
. — sin ф cos ф 0 0 .
(С)=| 0 о 1 о | <61'12>
О 0 0 1
•соответствует вращению системы координат вокруг оси г на
угол ф.
В этом параграфе мы рассмотрим только преобразования
¦с Й44 О 0, т. е. преоВразования.^не содержащие операции обра-
обращения времени. Операция обращения времени будет исследо-
исследована в § 119. Если учесть, что матрицы Дирака Yu являются чис-
числами и не изменяются при преобразованиях "координат F1,8),
а операторы четырехмерного импульса преобразуются по закону
то при преобразовании F1,8) уравнение Дирака перейдет в
уравнение
B у Л ~imc)w' <*'> ^ °' F *¦14)
где Ф — новые функции от новых независимых переменных л?.
Определим теперь такое унитарное преобразование волновых
•функций:
, F1,15)
лри котором уравнение F1,14) перейдет снова в уравнение
F1,3). После подстановки F1,13) и F1,15) в уравнение F1,14)
имеем
Умножая это уравнение слева на S~l, приведем его к виду .
-^Sa^fa - Imc) W=0.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением F1,3), мы убе-
убедимся, что они совпадают, если
Используя свойство ортогональности матрицы преобразования
F1,8), последнее равенство можно преобразовать к виду
S~4S=I4vYv F1,16)
Система четырех уравнений F1,16) определяет матрицу преоб-
преобразования волновых функций уравнения Дирака при преобразо-
преобразованиях координат F1,8).
§¦ 611 - КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА «J7&
Можно показать, что при преобразованиях координат, не ме-.
няющих знака времени @44 >0), дираковски сопряженные
функции преобразуются по закону
. F1,17)
Матрица преобразования функции (S) вследствие мнимого характера
координаты #4 = ict не унитарна. Среди . матричных элементов матрицы
преобразования координат F1,8) только ан и аи (k, I = 1, 2, 3) действи-
действительны,. элементы же а4к являются, мнимыми. Поэтому, учитывая свойство-
эрмитовости матриц у^, из равенства F1,16) находим
t з
Умножая полученное равенство справа на Y4 и учитывая свойство комму-
коммутации матриц \ц, находим
{STl4jsf Y4 - S\ (S+)-' у4 = Y< 2
и
Правую часть этого равенства можно преобразовать согласно F1,16). Тогда
получим
Поскольку Y4==Y4~1' можно преобразовать это равенство к виду
Из' последнего равенства следует, что
где Я, = 1,-1.
Чтобы выяснить, когда к =5= 1 и когда Л =—1, рассмотрим тожде-
тождество S+S = S+Y4?4S. Преобразуем правую часть этого- тождества с по-
помощью F1,18) и F1,16). Тогда получим
Ваяв шпур, т. е. сумму диагональных элементов от обеих частей получен-
полученного равенства между матрицами, и учитывав, что Sp (\4\ь) •= 0, находим
Теперь из условия Sp (S^S) > 0 непосредственно следует, что Я, = 1 дл»
преобразований, ие меняющих знака времени (а44 > 0), и А, = —1 для преоб-
преобразований, меняющих знак времени (а44 < 0). • -
• . Итак,
s~; если в F1,19)
— S , если а44<0.
Перейдем от равенства F1,15) к эрмитово сопряженному
280 .КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
После умножения полученного соотношения справа на Y4, ис-
используя определение F1,5), имеем
Из этого соотношения и F1,19) сразу получаем
^S~1' еСЛИ а« > 0;
— WS~\ если ам<0.
Матрица преобразования S действует только на спиновые пе-
переменные функции W согласно правилу F1,15), которое в более
подробной записи имеет вид
S-!/). F1,20)
Правила преобразования координатной функции при преоб-
преобразованиях координат были рассмотрены в § 43. Так, например,
при вращении системы координатных осей на угол ф вокруг на-
направления единичного вектора п, преобразование координатной
функции определяется оператором момента количества движения
L, коммутирующим с матрицей S:
Поскольку правая и левая части этого равенства относятся к
одинаковым независимым переменным, то знак штрих можно
опустить. Итак, при вращении координатных осей полная функ-
дия W преобразуется по закону
4" (jg = exp {i ^ } S (ф) W (xj.
Матрица 5(ф) будет определена ниже (см. 61,26)).
При любом ортогональном преобразовании F1,8) можно
найти матрицу S преобразования спиновых волновых функций
уравнения Дирака, удовлетворяющую соотношениям F1,16).
Существование такой матрицы следует уже из того факта, что
четырехмерные матрицы yw образуют неприводимую группу. Су-
Существование матрицы S может быть также доказано и непосред-
непосредственно путем явного построения матрицы S для пространствен-
пространственных отражений, вращений в трехмерном пространстве и переме-
перемещений, поскольку из этих элементарных преобразований можно
построить любое другое конечное преобразование.
Рассмотрим, например, преобразование, соответствующее
пространственной инверсии. Умножая равенство F1,16) слева
ла S, приведем его к виду . .
§61] КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 281
Теперь, используя вид коэффициентов преобразования F1,9),
имеем
Полученные соотношения удовлетворяются, если S = Ху4, где
К — коммутирующий со всеми матрицами \w множитель, модуль
которого равен единице. Явный вид этого множителя будет опре-
определен ниже.
Определим вид оператора S для непрерывного преобразова-
преобразования пространственно-временных координат. Любое непрерывное
преобразование получается путем последовательного примене-
применения бесконечно малых преобразований. Поэтому достаточно
определить вид матрицы 5 для бесконечно малых преобразова-
преобразований. Бесконечно малые ортогональные преобразования F1,8)
осуществляются матрицей
о„* =«„* + «„» F1,21)
где ewV — бесконечно малый тензор второго ранга.
Чтобы преобразование F1,21) сохраняло длину 4-вектора*
необходимо выполнение равенства
Следовательно, бесконечно малый тензор второго ранга в
F1,21) должен быть антисимметричным. Из F1,11), например,
следует, что преобразованию Лоренца при бесконечно малом
значении %='— соответствует
F1,22)
Вращению вокруг оси г на бесконечно малый угол бф, согласно
F1,12), соответствует
О бф 0 0\
— бф 0 0 0 \
о ооо- <61'23>
о ооо/
При бесконечно малом преобразовании д^ = 2 (\v + etfV)*v»
матрица 5 будет отличаться от единичной матрицы бесконечно
282 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIH
доалой добавкой,, пропорциональной g^, т. е.
= 1 + ~2 ? С
uv
или более подробно
= бор + -g"
Поэтому равенство F1,20) можно записать в виде
Для вычисления явного вида генератора преобразования ¦•?¦
можно использовать равенство F1,16), которое при условии
{61,21) сводится к уравнению
Проведя преобразование
2 4
можно представить предыдущее уравнение в виде
+ 6wY0 e,v = 0.
Последнее уравнение удовлетворяется, если С v = -к- y*.Yv Таким
образом, матрица преобразования дираковских функций при'
бесконечно малом преобразовании пространственно-временных
координат определяется соотношением
<61'24>
При пространственных вращениях уцуу = 1Оь, где (л, v, К — цик-
циклические индексы, пробегающие значения 1, 2, 3. В частности,
при вращении вокруг оси 3 на бесконечно малый угол бф, зна-
значения e^v определяются матрицей F1,23) и y«Y2 = ^з, следо-
следовательно,
D) F1,25)
Заменяя в F1,23) индекс 3 на и 2, получим операторы беско-
бесконечно малых поворотов соответственно вокруг осей 1 и 2. После-
Последовательно применяя оператор бесконечно малого поворота во-
§61] КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 28?
круг оси /, можно определить оператор конечного поворота на
угол ф
S/Чф) == е^р Г"о" °/ф) > F1 >26)>
Учитывая, что -jy-o является оператором момента количества движе-
ния частицы со спином '/г, можно найти связь матрицы вращения F1,26)
с введенными в § 43 .обобщенными сферическими функциями d^ ($),.
определяющими преобразование спиновых. волновых функций Хуат ПРИ по~
вороте на угол р вокруг оси у. Согласно D3,ГЗ), можно написать
»4«,
где k, т = У2, —Чъ
Для вычисления матричных элементов проведем преобразование:
/о — / \
Используя явный вид матрицы 0^ = I I, находим окончательно матрицу
cos-^- —)
sin-|- cos-|-
Интересной особенностью матрицы преобразования F1,26)
является то, что при полном повороте (ф = 2я) эта матрица не
возвращается к своему первоначальному значению, а переходиг
в —/, т. е. ' '
Выше было показано, что при пространственном отражении
(Р) преобразование функции, удовлетворяющей уравнению Ди-
Дирака, определяется матрицей
Sp=Xy4, где I *.!=!•
Двукратное отражение можно рассматривать как тождественное
преобразование и как поворот на угол 2я. Последнее, как мы
видели, приводит к изменению знака функции; поэтому дву-
двукратному отражению может соответствовать оператор
Следовательно, число Я может равняться четырем значениям.
284 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
Возможные значения К определяют так называемые внутрен-
внутренние свойства частиц (их внутреннюю четность), описываемых
функциями W. Принято говорить, что функции W (спинорные
поля) могут принадлежать к четырем классам: А, В, С или D,
соответственно значениям K = i, —i, 1, —1, определяющим за-
закон преобразования волновых функций при пространственном
отражении. Функцию, преобразующуюся по закону PW =• W' =
= i\iW, иногда называют полярным спинорным полем, а осталь-
остальные— псевдоспинорными полями. В настоящее время нет воз-
возможности установить, к какому из этих классов относятся на-
наблюдаемые в природе спинорные поля (см. § 66).
Используя F1,15), F1,16) и F1,17), легко установить свой-
свойства преобразований некоторых билинейных выражений, состав-
составленных из функций Дирака. Так, например, из F1,15) и F1,17)
следует, что при ортогональных преобразованиях
Следовательно, величина
является скаляром.
Из равенств F1,7) и F1,7а) следует, что
является 4-вектором, т. е. величиной, четыре компоненты кото-
которой преобразуются как координаты хи. В этом можно убедиться
и непосредственно, если использовать F1,15), F1,16) и F1,17),
так как
Таким же образом можно показать, что величины YyuYv^ пре-
преобразуются как произведения двух координат, т. е. являются
компонентами тензора второго ранга. Как известно, любой тен-
тензор aih второго ранга можно представить в виде суммы симмет-
симметричного V2(aife'+afei) и антисимметричного тензора 72(o«r-a/u).
Пользуясь F1,2), легко показать, что симметричная часть тен-
тензора второго ранга Ч^у^ сводится к скаляру
Величина
m I nit
является антисимметричным тензором второго ранга (с шестью
независимыми компонентами). Множитель i перед этим выра-
§ 61] КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 285
жением выбирается для того, чтобы пространственные компо-
компоненты тензора-были действительны.
Величины YYwYvY^ преобразуются как компоненты тензора
третьего ранга. Симметричные по любым двум индексам' компо-
компоненты этого тензора сводятся к тензору первого ранга. Антисим-
Антисимметричный относительно перестановки любых двух индексов тен-
тензор третьего ранга сводится к аксиальному вектору (четыре ком-
компоненты).
Произведение всех четырех матриц Yu часто используется в
теории, поэтому вводится специальное обозначение
Из эрмитввости матриц уц (м- = 1» 2> 3. 4) и соотношений F1,2)
следует, что матрица ys является эрмитовой матрицей
Yj = (YtfsYsY/ = Y4Y3Y2Y, = Y,Y2Y3Y4 = Y5-
Матрица ys антикоммутирует со всеми четырьмя матрицами у»»
т. е.
Y5Yn + YnYs = °. A=1,2,3,4.
Легко проверить, чтоу5=1. В частном представлении матриц
Дирака E9,14) матрица
Ys
—7° ')
При ортогональных преобразованиях величина W\sW преобра-
преобразуется как произведение координат х^х^х*, т. е. как четырех-
четырехмерный объем. Следовательно, эта величина остается инва-
инвариантной при пространственных вращениях и меняет знак при ин-
инверсии пространственных координат, т. е. является псевдоскаля-
псевдоскаляром. Если использовать эрмитовость матриц Ys и \*, то можно
показать, что эрмитовой псевдоскалярнвй величиной будет
Действительно,' (iWy5Wf= — ??*у#& =* iWyJV. Величина Р
имеет одну независимую компоненту.
Учитывая определение матрицы vs. имеем
YiYs = Y2Y3Y4» Y2Y5 = - Y1Y3Y4, • • •
Поэтому антисимметричный тензор третьего ранга можно запи-
записать в виде
Введенные выше пять величин С, Уш Tuv, Au и Р исчерпывают
все возможные билинейные комбинации, которые можно
286 " КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ДЕОРИЯ [ГЛ. VIW
Составить из волновых функций W w W. Всякая другая билиней-
билинейная комбинация этих функций может быть выражена через эти
величины, содержащие 16 независимых компонент.
В ряде приложений приходится производить преобразования
произведений матриц Yu- Такие вычисления легко выполняются,,
если использовать основное перестановочное свойство F1,2)
матриц. Например,
2ул=4,
l = 2{(YllYv + YvY1Jl)Ylx —
F1,27)
l = 23 {(YnYv + YvYn) Ya.Yh — YvY^Yn) =
= 2 B SiivYtfn + YvYa) = 2(Y^Yv + YvY*) = 46^v
Итак, упрощение произведения матриц, содержащего две ма-
матрицы с одинаковыми индексами, по которым производится сум-
суммирование, сводится к преобразованию произведения с помощью
F1,2) к таким произведениям, которые содержат рядом две
матрицы с одинаковыми индексами, и последующему суммиро-
суммированию по правилам F1,27).
Из определения матриц Yi* F1,1), следует, что след, или
шпур, т. е. сумма диагональных элементов каждой из этих
матриц, равен нулю, т. е.
Sp Y,x = 2 (Y^)w = 0, ц == 1, 2, 3, 4.
V
Равен нулю и след матрицы ys- Равен нулю след произведения
нечетного числа матриц Yu (независимо, имеются ли среди них
одинаковые или нет), т. е. Spfv ¦, Y., •-• Y.. ^:=:0^ если п — не-
четное число. При вычислении следа произведения четного числа
матриц Yu наД° учитывать, что след произведения двух матриц
не зависит от порядка- сомножителей
§ 62. Момент количества движения электрона
в теории Дирака
При исследовании свободного движения частицы, удовлетво-
удовлетворяющей уравнению Дирака (см, § 60),> было показано, что со-
состояние свободного движения с определенным импульсом можно
характеризовать знаком е/Е и проекцией вектора спина, опера-
оператор которой изображается матрицей
$з = -§сз. F2,1)
$ 62] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА В ТЕОРИИ ДИРАКА 287
Введем по аналогии с F2,1) два других оператора;
s = — о s = — а
и определим физический смысл вектора, соответствующего опе-
оператору
Пользуясь свойствами матриц <х,- (см. E9,15), можно установить
перестановочные соотношения
[$h s/1 == 0, [§,, 41 = ihS[. F2,2)
Таким образом, операторы ij удовлетворяют перестановочным
соотношениям, аналогичным перестановочным соотношениям
между операторами проекций углового момента ?j G,13). По-
Поэтому можно сказать, что s является оператором некоторого мо-
момента количества движения. Этот момент количества движения
называют внутренним узловым моментом частицы, или спино-
спиновым моментом.
Определение спинового момента частицы можно получить и
из рассмотренных в § 61 свойств преобразований спиновой части
волновых функций уравнения Дирака при пространственных
вращениях. При вращении системы координат на угол <р вокруг
оси г (в направлении от оси к к оси у) спиновые части волновых
функций преобразуются с помощью матрицы преобразования
F1,26), а при вращении векторов, определяющих положение
точек системы, функции преобразуются при помощи матрицы
Следовательно, инфинитезимальный оператор поворота (см.
§, 18) для спиновых функций определяется равенством
I ftpVJ.-o~"~ier*
Вспоминая рассмотренную в § 18 связь A8,12) между операто-
оператором проекции момента и инфинитезимальным оператором
мы убедимся, что -^oz является проекцией момента количе-
количества движения, связанной со спиновой переменной. Квадрат опе-
оператора спинового момента сводится к диагональной матрице
288 ' КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
Следовательно, собственные значения квадрата спинового мо-
момента всегда равны одней величине
Оператор sz коммутирует с s2, и его собственные функции
одновременно являются собственными функциями оператора s2.
Проекция углового момента tz коммутирует с оператором
Гамильтона свободного нерелятивистского движения частицы без
спина. Покажем, что эта коммутация отсутствует для частицы
со спином '/г. поведение которой описывается оператором Га-
Гамильтона уравнения Дирака. Из F0,2) и определения опера-
оператора tz следует
[Lz, HD] = с [L2, ар] = ihc (axpy - аурх). F2,3)
Таким образом, проекция орбитального момента Cz не является
интегралом свободного движения в теории Дирака. Можно, од-
однако, показать, что сохраняющейся величиной будет сумма
?z + &. Чтобы вычислить перестановочное соотношение между
sz и Но, можно использовать перестановочные соотношения ме-
между операторами Oj и од, следующие из определения дираков-
ских матриц E9,13) и равенств E9,15),
а2а* = — ахог— iay,
== — <хуог = — тх, ^
В результате получаем
[4, Нв] = ~ [с2, ар\ = ich (aypx - ахру). F2,4)
Из F2,4) следует, что проекция sz оператора спинового момента
в общем случае не является интегралом движения. Только в со-
состояниях с определенным значением импульса, направленного
вдоль оси г, когда ар = azp, проекция спинового момента sz яв-
является интегралом движения (см. § 60).
Складывая F2,3) и F2,4), имеем
l(Z, + totHD] = Q. F2,5)
Таким образом, в общем случае сохраняющейся величиной будет
сумма проекций орбитального и спинового моментов. Эта сумма
называется проекцией полного момента частицы. Этой проекции
§ 62] МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОНА В ТЕОРИИ ДИРАКА 289
соответствует оператор
Аналогичным образом можно показать, что с оператором HD
коммутируют и две другие проекции
J =L 4-— J ==L 4-~
• -з проекций Jx, Jv, h можно составить оператор полного мо-
момента количества движения частицы, обладающей спином Цг,
/=? + 4 а. F2,6)
В состоянии с определенным полным моментом / общие вол-
волновые функции, зависящие как от пространственных, так и от
спиновых переменных (индексы у спиновых функций), преобра-
преобразуются при вращении системы координат на угол <р вокруг на-
направления, определяемого единичным вектором п, с помощью
оператора
F2,7)
Операторы ? и а действуют на различные переменные, по-
поэтому они коммутируют друг с другом. Равенство (.62,6) следует
понимать в смысле векторного сложения двух операторов момен-
моментов, к которому применимы правила, установленные в § 41.
В связи с этим квадрат полного момента количества движения
будет равен
/2 = й2/(/ + 1), где / = /±»/2. F2,8)
Проекция полного момента частицы
/г == hm, где m = mt ± l/2.
Введем новые обозначения для рассмотренных в § 60 двухком-
понентных спиновых функций F0,20):
@) *.A.(J) <62'9>
Тогда можно написать
где
10 А. С. Давыдов
290 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VHI
Спиновые функции %ит можно мкже рассматривать не как матрицы
F2,9), а как функции, зависящие от одной спиновой переменной те, про-
пробегающей два значения зЬ'/г, так что
1\ . / J
(,. У, (
*Ч* -'А \2) Uf Xl/2, -Ч,
В этом случае условие ортоиормнруемостн этих функций будет выражаться
равенством
ms 4*ms S ll'ms msms
Согласно правилу векторного сложения, волновые функции, со-
соответствующие состояниям с полным моментом, определяемым,
согласно F2,8), квантовым числом / и проекцией полного мо-
момента, определяемой квантовым числом т, выражаются через
сферические и спиновые функции формулой
. у, « - т„ ms | Im) Уи т_т^ FФ) Ч. т#, F2,1
где коэффициенты векторного сложения для j==l±y2 и ms—±l/a
определяются выражениями
2/+1
2»'И 2 '
Волновые функции F2,11) являются одновременно собствен-
собственными функциями квадратов операторов полного /, орбитального
L и спинового моментов с следующими собственными значе-
значениями:
F2,12)
Функции F2,11), зависящие от угловых переменных 6, ф и спи-
спиновой переменной tns, называют спин-угловыми функциями, или
сферическими функциями со спином.
§ 63] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ 291
§ 63. Релятивистские поправки к движению электрона
в электромагнитном поле
Согласно общему правилу (§ 58), переход от уравнений сво-
свободного движения к уравнению, описывающему движение ча-
частицы в электромагнитном поле (А, Ло), осуществляется с по-
помощью преобразования * \
р~*р — ~А, е-*е — еА0. F3,1)
В случае электрона е < 0. Произведя преобразование F3,1) в
уравнениях F0,8), получаем
(e — еЛ0 — тс2) <р == ев (р — — АI х,
I- e \ t F3'2>
(е — еЛ0 + тс2) % = ев \р AI q>.
Исследуем эту систему уравнений для нерелятивистских дви-
жений в слабом поле, когда выполняются неравенства
e = F + /nc2, \E' — eA0\<g.mc2.
Тогда система уравнений F3,2) перейдет в систему уравнений
?'q, = са (р _ i. л) х + еЛ0<р,
Е'
Подставляя значение % из второго уравнения F3,2а) в первое»
находим уравнение, содержащее только спиновую функцию <р,
F3,3)
Используя тождество F0,10), находим
Подставляя это выражение в F3,3) и вводя напряженность
магнитного поля /? = rotA, получаем нерелятивистское уравне-
уравнение для движения частицы со спином Уг в электромагнитном
поле:
10*
292 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
Уравнение F3,4) было впервые предложено Паули A927 г.),
поэтому его называют уравнением Паули. Сравнивая это урав-
уравнение с нерелятивистским уравнением E8,9) для бесспиновой
частицы (при условии ф(г, t) = <р (г) e~iEt/h), мы убедимся, что
F5,4) содержит в операторе Гамильтона дополнительное сла-
слагаемое
-(Д,Я)=-цо(стЯ), F3,5)
где цо = еЬ/Bтс) —магнетон Бора.
Выражение F3,5) можно интерпретировать как энергию вза-
взаимодействия с магнитным полем магнитного момента частицы,
соответствующего оператору
Д = №¦ F3,6)
Этот магнитный момент называют спиновым магнитным момен-
моментом, так как он имеется только у частиц, обладающих спином.
Таким образом, в нерелятивистском приближении оператор
Гамильтона уравнения Дирака содержит член, учитывающий
внутренние магнитные свойства электрона. Величина этого маг-
магнитного момента и его свойства однозначно определяются урав-
уравнением Дирака. Это следствие теории прекрасно согласуется
с экспериментом для электронов и хорошо подтверждает приме-
применимость уравнения Дирака для описания нерелятивистского
движения электрона.
Если ось г направить вдоль магнитного поля, то проекция
оператора спинового магнитного момента электрона будет равна
ей
0
Собственные значения этого оператора равны ±eh/Bmc). Учи-
Учитывая, что собственные значения оператора sz= (fi/2)cr2 проек-
проекции внутреннего механического момента равны ±й/2, получаем,
что отношение магнитного спинового момента к механическому
равно е/(тс), т. е. в два раза превышает соответствующее отно-
отношение для моментов, обусловленных орбитальным движением.
Отметим, что введение взаимодействия электромагнитного
поля с частицей спина '/г с помощью преобразования F3,1) не
является единственно возможным. Чтобы рассмотреть более об-
общий случай, удобно исходить из ковариантной записи уравнения
Дирака F1,3) для свободного движения. В этом случае рассмо-
рассмотренный выше переход к уравнению движения в электромагнит-
электромагнитном поле, описываемом четырехмерным потенциалом
§ 63] РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ 293
осуществляется преобразованием
Ai-Ai-f А» ^ = -«1-2-. F3,7)
Получаемое при этом уравнение
[2 ^ К ~ Т Л») ~ Н Т = ° F3>8)
остается релятивистски инвариантным. Оно также инвариантно
относительно градиентного (калибровочного) преобразования
потенциалов
All = Ai + ^-, F3,9)
где f—произвольная функция, удовлетворяющая условию
^- = 0. Инвариантность по отношению к первому преобра-
преобразованию следует непосредственно из ковариантной записи урав-
уравнения F3,8). Инвариантность по отношению к градиентному
преобразованию F3,9) легко может быть установлена, если од-
одновременно с преобразованием потенциалов. F3,9) провести
в F3,8) унитарное преобразование волновой функции
Легко, однако, видеть, что требования релятивистской инвари-
инвариантности и инвариантности относительно градиентного преобра-
преобразования потенциалов F3,9) будут выполнены и в том случае,
когда уравнение F3,8) будет заменено уравнением
[2 V. К - Т А») ~ Н V = - * ?¦ 2 Yn
где
Г^~ dxv
g— безразмерный гпараметр,
еЬ
Если учесть, что компоненты напряженностей электрического и
магнитного полей связаны с компонентами тензора F3,11) соот-
соотношениями
и принять во внимание равенства
то
294 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
Тогда уравнение F3,10) можно записать в виде
~ Т А •*) ~ H W== «¦?•««*) +i (««)> W- F3,12)
Для электронов хорошее согласие с экспериментом получается
лри g = 0. Для нуклонов вводят уравнения cg^O.
В заключение этого параграфа вычислим выражение для
плотности электрического тока частицы спина '/2 в электромаг-
электромагнитном поле. Пользуясь E9,9), выразим плотность электриче-
электрического тока через двухкомпонентные функции
/ = ceWfaW = се (<р*<тх +
Если подставить в это выражение значение функции % F3,2а),
то после простых преобразований получим в нерелятивистском
приближении
/ = -щ [<P*V<p - (Vq>*) q>] - -^ «р+ф + с [V X (qC-WP)], F3,13)
eh
где ft = -~п— сг — оператор спинового магнитного момента ча-.
стицы. Сравнивая F3,13) с-соответствующим выражением плот-
плотности тока для частицы без спина E8,6), мы убедимся, что спи-
спиновый магнитный момент частицы вносит в плотность электри-
электрического тока дополнительный вклад, равный c[VX(<pV<p)I
§ 64. Спин-орбитальное взаимодействие
Рассмотрим движение частицы со спином '/г в электростати-
электростатическом поле с точностью до членов порядка v2/c2. Полагая в ура-
уравнениях F3,2) А = 0, еА0 = V(r), находим (при в = ?' + тс2)
систему уравнений
F4,1)
[2тс2 + Er-V (г)] х •= серу. F4,2)
Вычислим из уравнения F4,2) функцию % с точностью до пер-
первых степеней отношения ¦ 2~2 ¦¦. Подставляя значение
Л Е'~У\ ер
*~Л 2тс* ) 2тс *
в уравнение F4,1), находим уравнение, содержащее только
двухкомпонентные функции,
^D?) F4,3)
§ 64] СПИН-ОРБИТАЛЬЙОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 295
Для преобразования правой части уравнения F4,3) используем
F0,10) и равенство
(ар) f (г) (ар) = / (г) (ор) (ар) - ih (agrad f) (ар) =
= f (г) р2 _ in {(gra(j f)p + ю [(grad f) X p]}.
Тогда уравнение F4,3) преобразуется к виду
Е'ц> = Н'ц>, F4,4)
где
F4,5)
Чтобы последовательно учесть все члены, имеющие порядок
v2/c2, следует помнить, что функция <р, согласно F0,16), норми-
нормирована с этой точностью условием
pdx— <р+A — 4 г г )<t>dx= 1. F4,6)
Удобнее вместо функции <р использовать другую функцию
W = g<f, F4,7)
такую, чтобы
f Ч!*ЧГ dx = f q>Vgfl> dx = 1. F4,8)
Сравнивая F4,8) с F4,6$, можно найаги явный вид оператора
преобразования (с точностью до несущественного фазового мно-
множителя) ;
_/ р» у/, _ _ р^
&~у 4т2с2.) 8т2с2 *
Преобразование функций F4,7) (не унитарное) должно сопро-
сопровождаться преобразованием оператора Гамильтона. В этом легко
убедиться, если написать уравнение F4,4) в виде
Следовательно, оператор Гамильтона уравнения
EfW= НЧ? " F4,9)
с точностью до членов порядка v2/c2 равен
KH^XPI + ^WW. F4,9a)
296 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
При получении F4,9а) были использованы равенства
P2V (г) ~ V (г) р2 = — h2V2V (г) - 2ift (grad V) р,
(l _ e'-v)q-> ~ 7р (Е'-У\2
V 2тс* )Р ~Р \ с ) •
Первые два слагаемых в F4,9а) соответствуют нереляти-
нерелятивистскому оператору Гамильтона. Три последних слагаемых учи-
учитывают релятивистские поправки порядка vz/c2. В этом легко
убедиться, если учесть, что
Н grad V ~^~pV и ft W ~ ^~
где а — характерный размер системы.
Итак, релятивистскую поправку к оператору Гамильтона
нерелятивистского движения частицы со спином '/2 можно запи-
записать в виде
ИГ^И^ + Гг + Гз, F4,10)
где
H^OTrW F4,11)
— поправка, впервые введенная Дарвином [41]. В случае куло-
новского поля V(r) = — e2Z/r. Учитывая, что V2 — = — 4пб (г),
получаем
Величину W\ иногда называют оператором контактного взаимо-
взаимодействия. Он определяет дополнительную энергию взаимодей-
взаимодействия электрона с ядром в s-состояниях.
^Г F4,12)
— поправка к оператору кинетической энергии, возникающая
из-за изменения массы частицы при изменении ее скорости. На-
Наконец,
^ F4,13)
— поправка, которую называют оператором спин-орбитального
взаимодействия.
Вид оператора спин-орбнтальиого взаимодействия может быть установлен
нз общих соображений. Оператор спин-орбитального взаимодействия в не-
релятнвнстской теории должен быть скалярной величиной относительно
вращений н пространственных отражений, составленной из операторов
спина s, импульса р и скалярной потенциальной энергии. Поскольку
§ 64] СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 297
р — полярный вектор, a s — аксиальный вектор, то единственным возможным
скаляром будет
где А — постоянная. Как показано выше, из уравнения Дирака следует, что
А = Й/D/и2с2).
В центрально-симметричном поле
Подставляя это выражение в F4,13), находим оператор спин-
орбитального взаимодействия для движения частицы спина '/s
в центрально-симметричном поле
r)-1-?-$?), F4,14)
где?=[гХр]—оператор орбитального момента, s = -^-a —
оператор спинового момента. В s-состояниях среднее значение
W3 равно нулю.
В некоторых случаях удобно в операторе F4,13) выразить
скалярный потенциал Ло непосредственно через напряженность
электрического поля Ш, тогда.
grad V = е grad Ао = — е%\
следовательно,
r3=~W^Xp]. F4,15)
Мы рассмотрели движение частицы со спином lk в электро-
электромагнитном поле. В этом случае взаимодействие характеризуется
электрическим зарядом е частицы. Однако взаимодействия ме-
между элементарными частицами могут осуществляться и силами,
не зависящими от электрического заряда. Таковы, например,
ядерные взаимодействия между нуклонами, обусловленные взаи-
взаимодействием нуклонов с мезонным полем, или взаимодействия
нуклонов с электронно-нейтринным полем, приводящие к преоб-
преобразованию нуклонов в ядрах и т. д. Таким образом, представляет
интерес исследовать более общий случай движения частицы в
произвольном внешнем поле.
В наиболее общем виде движение частицы со спином х/2 в
произвольном внешнем поле определяется уравнением
тс)w=т 2 Q«v.
где Qa — операторы, соответствующие возможным типам взаи-
взаимодействия частицы с внешним полем:
298 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
а) в случае взаимодействия с внешним скалярным полем опе-
оператор энергии взаимодействия равен
б) в случае взаимодействия с внешним векторным полем
G* = 2y,A, В^ф.Щ. F4,17)
Частным случаем взаимодействия F4,17) является рассмотрен-
рассмотренное выше взаимодействие с электромагнитным полем, опреде-
определяемым потенциалами
Ар = (А, iA0), тогда B^^ieA^;
в) в случае взаимодействия с тензорным полем
Qt = 2 YnYvCuv
Частным случаем этого взаимодействия является взаимодей-
взаимодействие магнитного момента с полем (см. F3Д0)), когда
Рассмотрим случай, когда частица взаимодействует со ска-
скалярным и векторным полем одновременно. Тогда, выделяя вре-
временную производную в F4,16), можно записать это уравнение
в виде
= {c<*(pBtx)) + $(mc*V(x)) + B(x)}w F4,18)
В нерелятивистском приближении можно выделить из F4,18)
часть оператора Гамильтона, соответствующую спин-орбиталь-
спин-орбитальному взаимодействию,
S I(grad V) х р]- F4> 19)
Уравнение Дирака должно описывать поведение любой «сво-
«свободной» частицы, имеющей спин 7г- Однако понятие «свобод-
«свободной» частицы является приближенным. Каждая частица взаимо-
взаимодействует с «вакуумом», т. е. с виртуальными полями других ча-
частиц. При учете взаимодействия частицы с внешним полем, в
частности с электромагнитным полем, надо учитывать влияние
и виртуальных полей. Такие неизбежные дополнительные взаи-
взаимодействия приводят к поправочным' членам в уравнениях, опи-
описывающих поведение частицы во внешнем поле. Для электронов
эти поправки малы. Как показывает квантовая электродинамика
[42, 43], эти поправки частично можно учесть эффективным изме-
изменением магнитного момента и заряда электрона. Так, вследствие
взаимодействия с вакуумом электрон приобретает добавочный
§ 651 ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ, ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ 299
(по сравнению сц = еЬ/Bтс)) магнитный момент йр — т^га И-»
где а — постоянная тонкой структуры.
По-видимому, (г-мезоны также слабо взаимодействуют с ва-
вакуумом, поэтому уравнение Дирака сравнительно с большой точ-
точностью применимо для описания их взаимодействий с внешним
электромагнитным полем.
К частицам, имеющим спин '/г. принадлежат также нуклоны
(протоны и нейтроны). Для нуклонов взаимодействие с вирту-
виртуальным я-мезонным полем играет весьма существенную роль.
Поэтому при исследовании их движения во внешнем поле необ-
необходимо учитывать их взаимодействие с этим полем и через вир-
виртуальное мезонное поле. Если бы такое взаимодействие отсут-
отсутствовало, то магнитный момент протона был бы равен ядерному
магнетону Mn = ebjBMc) (M — масса протона), а магнитный
момент нейтрона должен равняться нулю. На самом же деле,
как, показывает опыт, магнитный момент протона равен цр «
« 2,79 JCn, а магнитный момент нейтрона цп = — 1,91, Мя.
Строгая теория учета влияния п-мезонного поля на взаимодей-
взаимодействие нуклонов с электромагнитным полем в настоящее время
€ще отсутствует, поэтому приходится учитывать такое взаимо-
взаимодействие феноменологически путем формального введения экс-
экспериментальных значений магнитных моментов в нерелятивист-
нерелятивистское уравнение типа Паули и в операторы, определяющие спин-
орбитальное взаимодействие нуклонов с электрическим полем.
На малых расстояниях ядерные взаимодействия значительно
-больше электромагнитных, поэтому в операторе спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия F4,19) будет играть основную роль второе
слагаемое, если V характеризует скалярное ядерное поле, дей-
действующее на нуклон. Такое поле определяется ядерным взаимо-
взаимодействием между нуклонами. Спин-орбиталБное взаимодействие
^ l F4,20)
обусловленное ядерным полем V, играет существенную роль в
объяснении поляризации нуклонов при их рассеянии на ядрах.
Энергетический спектр нуклонов в ядрах также сильно зависит
от спин-орбитального взаимодействия F4,20).
§ 65*. Зарядовое сопряжение. Частицы и античастицы
В § 58 была исследована операция зарядового сопряжения
для частиц нулевого спина, которая позволяла из решений ЧР",
соответствующих частице заряда е, получать решения Ч?с, изо-
изображающие движение частицы заряда — ев том же поле. Опре-
Определим теперь операцию зарядового сопряжения для частиц спина
300 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
7г, т. е. найдем такое преобразование функции W, удовлетво-
удовлетворяющей уравнению F3,8) для частицы с зарядом е, при кото-
котором новая функция Ч?с удовлетворяла бы уравнению типа F3,8)
с измененным знаком перед электрическим зарядом.
Итак, по определению, если функция Ч** удовлетворяет урав-
уравнению F3,8), то зарядово сопряженная функция должна удо-
удовлетворять уравнению
Определим преобразование, обеспечивающее переход от функ-
функции 4я к функции ЧРс. Для этого рассмотрим уравнение, ком-
комплексно сопряженное уравнению F3,8), в котором мы предва-
предварительно выделим член с ц = 4,
{ ~ Yj (pt + i At) + Y* (p + f A) - imcjV = 0. F5,2)
Если в уравнении F5,2) провести преобразование функции
X * Ка X с ИЛИ X с С> X ^00,0^
с помощью унитарной, симметричной матрицы С, удовлетворяю-
удовлетворяющей равенствам
V= " F5,4)
то уравнение F5,2) перейдет в уравнение F5,1).
Свойство симметрии и унитарности матрицы С выражается
соотношениями
Cf = C* — C~l. F5,4а)
Определим свойства преобразования зарядово сопряженных состоя-
состояний Ус при пространственном отражении. Как было показано в § 61, при
пространственном отражении функции У преобразуются по закону
где Я= ± i, ±\.
Следовательно, РФ* — к*\%?*. Используя полученное равенство и F5,3),
находим
рчгс = с~1рчг*=xc'WiV-
Учитывая далее F5,4) и F5,3), получаем закон преобразования спиновых
волновых функций разных классов при пространственном отражении
РЧГС = — К*\4С~1ЧГ* = — Г\4ЧГС.
Итак, если % = ±t, то прн пространственном отражении зарядово сопря-
сопряженное состояние ЧРс преобразуется так же, как и ЧР. Если X = ±1, то чет-
четности функций ЧГ и ЧРС по отношению к пространственному отражению
будут противоположными.
§ 65) ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ, ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ 301
В настоящее время для частиц, имеющих спнн '/г. еще не удалось уста-,
новить, какая из этих возможностей реализуется в природе. В процессах
сильного и электромагнитного взаимодействий, инвариантных относительно
пространственных отражений, такие частицы всегда рождаются и исчезают
парами. Например, электрон и познтрои, протон и антипротон н т. д. По-
Поэтому в этих процессах существенна только внутренняя четность по отно-
отношению к преобразованию пространственного отражения произведения функ-
функций ЧР и ЧГс. Легко, однако, видеть, что внутренняя четность произведения
функций f и ЧРс, относящихся к одному классу спннорных полей, всегда
отрицательна независимо от значения X, если |^.|2 = 1. Действительно,
Р (WJ = (МчЧР) (—^*\i^c) — —("РЧ^). в этом смысле внутренняя чет-
четность фермнона всегда противоположна внутренней четности антнфермнона,
т. е. частицы, описываемой функцией УРС.
Для исследования преобразований билинейных комбинаций
нз дираковских функций при зарядовом сопряжении необходимо
еще знать закон преобразования дираковски сопряженных функ-
функций 4я (см. § 61). Функции 4я при наличии электромагнитного
поля удовлетворяют уравнению
а зарядово сопряженная функция Wc должна удовлетворять
уравнению
% { S ( f ) + Imc } = 0. F5,6)
(/V + f
Сравнивая F5,5) и уравнение, комплексно сопряженное к
F5,6), находим, что
WC=W*C. F5,7)
Равенство, комплексно сопряженное к F5,3), имеет вид
Учитывая теперь F5,4а), мы убедимся, что
Таким образом, операция зарядового сопряжения F5,3) обра-
обратима в том смысле, что если функция ЧРс является зарядово со-
сопряженной к функции ЧР", то и функция 4я является зарядово
сопряженной к функции Wc.
В частном случае, когда матрицы -уц заданы в представлении
,F1,1), т. е. когда
U oh Y4=U -ih
матрица зарядового сопряжения С, удовлетворяющая условиям
,F5,4), совпадает с уг, т. е.
С=у2. F5,8)
302 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
В этом случае операция зарядового сопряжения сводятся к пре-
преобразованию
ЧГс==у2ЧГ\ F5,3а)
Исследуем теперь соотношение между зарядово сопряжен-
сопряженными токами. По определению F1,7),
Компоненты четырехмерного вектора плотности тока в зарядово
сопряженном состоянии будут
(k)c=iecWcv№. F5,9)
Подставляя в F5,9) значения F5,3) и F5,7) и учитывая
F5,4), находим
/с= iec Щ
Таким образом, плотности электрического заряда зарядово со-
сопряженных состояний отличаются знаком, а плотности тока
имеют одинаковый'знак:
(/4 =-/4, /,= /• F5,10)
Покажем теперь, что если временная зависимость состояний
Ч^-) (§ 60) соответствует отрицательным решениям временного
уравнения Дирака
Ш-^- = -Е%-)г Е>0. F5,11)
то временная зависимость зарядово сопряженных состояний
соответствует положительным решениям.
Действительно, из F5,12) и F5,11) имеем
Если функция 4я выражается через двухкомпонентные функ-
(*\
ции I „ I, то зарядово сопряженное состояние выражается через
функцию
где
(fc=-ia2r, Хс=ш2ф*. F5,13)
§ 65) ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ. ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ. 303
Особенно просто можно провести исследование зарядово со-
сопряженных состояний при специальном выборе дираковских ма-
матриц Yn- В этом легко убедиться, если переписать уравнение
F3,8) в виде
[2 | Н 2 V*. F5,14)
Выберем матрицы Дирака так, чтобы матрица Y4 была мнимой:
/О <тЛ // 0\ /О вЛ /0 аЛ
Yl==U OJ' Mo -I)' Y3 = U OJ' Y" = U 0>
F5,15)
При выборе матриц в виде F5,15), называемом майорановским
представлением, величины Vu "з— и Yu^u действительны. Срав-
нивая F5,14) ? комплексно сопряженным уравнением
ИЛ"*- F5,16)
мы убедимся, что ЧР описывает зарядово сопряженное состоя-
состояние, т. е. *
<jr __ ^г*
Другими словами, при майорановском представлении матриц уи
матрица зарядового сопряжения С сводится к единичной матрице.
Итак, если функция Ч? описывает состояние частицы с заря-
зарядом е, то зарядово сопряженная функция ЧРс описывает состоя-
состояние движения частицы той же массы и спина, но имеющей дру-
другой знак заряда (—е) и другой знак магнитного момента и им-
импульса. Например, если Ч?" описывает состояние электрона
(е<;0), то *Fc описывает состояние позитрона (—е>0). В со-
современной теоретической физике принято называть электрон ча-
частицей, а позитрон античастицей. Таким образом, операция за-
зарядового сопряжения соответствует переходу от частиц к анти-
античастицам. Эта терминология сохраняется для любых других пар
частиц, волновые функции которых переходят друг в друга при"
зарядовом сопряжении.
Как уже неоднократно отмечалось в предыдущих парагра-
параграфах, представление об одной частице в релятивистской кванто-
ёой механике возможно только при исследовании свободного
движения частицы. При наличии внешнего поля, наряду с функ-
функциями w в Ф-представлении, появляются и функции v (оператор
Гамильтона Яф при наличии внешнего поля содержит нечетную
часть). Это явление отражает процесс рождения пар частиц (ча-
(частица и античастица). В силу закона сохранения электрического
заряда новые частицы могут рождаться только парами. Реальный
304 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
процесс рождения пар частиц возможен только при условии,
когда энергия внешнего воздействия (например, энергия фотона)
превышает удвоенную энергию (тс2) покоящейся частицы. Если
энергия недостаточна для образования пары частиц, то возни-
возникающие состояния можно рассматривать как состояния с вир-
виртуальными парами частиц. В этом случае говорят, что происхо-
происходит поляризация вакуума. Теоретическое объяснение поляри-
поляризации вакуума и рождения пар частиц (и их аннигиляции)
возможно только на основе теории, приспособленной к описанию
процессов, происходящих с изменением числа частиц в системе.
В своей первоначальной теории Дирак рассматривал отрица-
отрицательные решения релятивистского уравнения одной частицы как
решения, соответствующие отрицательной энергии. Физическая
интерпретация таких состояний наталкивается на непреодоли-
непреодолимые трудности. Частица с отрицательной энергией должна иметь
отрицательную массу; ее ускорение должно быть направлено
против силы. Состояния с отрицательной энергией сколь угодно
большой величины проявились бы в возможности неограничен-
неограниченного выделения частицей энергии при переходе во все более низ-
низкие состояния. Чтобы обойти эти трудности, Дирак в 1930 г.
выдвинул предположение, что пустое пространство — вакуум —
представляет собой пространство, в котором все состояния отри-
отрицательной энергии (их бесконечно много) заполнены электро-
электронами, а состояния с положительной энергией свободны. В каж-
каждой точке такого «пустого» пространства имеется бесконечно
много электронов отрицательной энергии, которые образуют
своеобразный «фон», от которого следует проводить отсчеты
всех физических величин. Отклонение числа электронов от нор-
нормального— «фонового» — числа проявляется в наличии частиц
с электрическим зарядом, создающим электрическое поле, и мас-
массой, создающей гравитационное поле. Если имеется один элек-
электрон с положительной энергией, то он не может перейти в со-
состояния отрицательной энергии, так как они все заняты (см. в
§ 72 принцип Паули). Если одно из состояний в «фоне» свобод-
свободно— «дырка в фоне», то этому состоянию должна соответство-
соответствовать частица с положительной массой и положительным заря-
зарядом. Такие частицы в 1930 г. не были известны, поэтому Дирак
пытался отождествить «дырочные» состояния с протонами.
В 1932 г. были открыты позитроны — частицы с массой элек-
электрона и положительным зарядом. Открытие позитронов значи-
значительно повысило интерес к «теории дырок», развитой Дираком.
Многие свойства позитронов хорошо описывались теорией «ды-
«дырок». Было установлено, что позитрон возникает всегда в паре
с электроном. При этом поглощается энергия, превышающая
2тс2. Теория «дырок» легко объясняет это явление. Для образо-
образования позитрона надо перевести электрон из состояния отрица-
§ 66] УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ НЕЙТРИНО 305
тельной энергии (~ с Vp2 + тгс2) в состояние положительной
энергии (с Ур2 + т2с2); для этого надо затратить энергию, пре-
превышающую 2тс2*). При переходе электрона из состояния отри-
отрицательной энергии в состояние положительной энергии в фоне
отрицательной энергии образуется «дырка» — позитрон, а элек-
электрон с положительной энергией проявляет себя как обычный
электрон. Обратный процесс — уничтожение (аннигиляция)
электрона и позитрона — будет соответствовать переходу элек-
электрона в незанятое состояние (заполнение дырки) с выделением
соответствующей энергии в виде фотонов. Блестящее качествен-
качественное и (в первом приближении) количественное согласие экспе-
эксперимента с теорией позитронов Дирака указывало, что эта теория
в некоторой степени отражает реальность. Теория Дирака впер-
впервые поставила вопрос о физических свойствах вакуума как ис-
источника появления электронов и позитронов. Возникло представ-
представление о возможной электрической поляризации вакуума. Однако
теория Дирака оказалась не свободной от ряда принципиальных
недостатков. Хотя она и рассматривала процесс рождения пары
как процесс перехода одного электрона из одного состояния в
другое, однако для описания эксперимента приходилось вводить
одновременно бесконечное число электронов в состояниях отри-
отрицательной энергии. Следовательно, попытка искусственного со-
сохранения представления об одной неизменной частице, перехо-
переходящей из одного состояния в другое, неизбежно была связана
с введением не имеющих физического смысла состояний отрица-
отрицательной энергии и ненаблюдаемого «фона» бесконечной плотно-
плотности электронов. Трудности одночастичной теории Дирака устра-
устраняются современной квантовой теорией поля, которая позволяет
методами вторичного квантования исследовать системы с пере-
переменным числом частиц. Эта теория более полно отражает явле-
явления природы.
§ 66. Уравнение Дирака для частиц с нулевой
массой покоя. Нейтрино
В 1934 г. Ферми развил теорию р-распада, предположив,
что этот процесс сопровождается вылетом нейтральных частиц
с массой покоя, равной нулю. Из закона сохранения момента
*). Свободный электрон не может ни поглотить, ни испустить фотон,
так как при этих процессах не удовлетворяются одновременно закон сохра-
сохранения энергии и закон сохранения импульса. Например, при энергии фотона,
мало превышающей 2/гас2, образуются электрон и позитрон с малыми кине-
кинетическими энергиями движения. Однако, чтобы выполнялся закон сохранения
импульса, необходимо, чтобы суммарный импульс образованных частиц был
равен ~2 тс. Процесс поглощения и испускания фотона электроном возмо-
возможен только в электростатическом поле ядра, которое и принимает на себя
излишек импульса и очень малую долю энергии (из-за большой массы).
306 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. V1U
количества движения при р-распаде следовало, что эти частицы
обладают спином 7г- Успехи теории р-распада, опыты по иссле-
исследованию отдачи ядер при р-распаде и опыты по непосредствен^
ному воздействию на нуклоны доказали реальность существова-
существования такой частицы, названной нейтрино. В связи с этим пред-
представляет интерес исследовать уравнение Дирака для частиц с
массой покоя, равной нулю.
Полагая в F0,8) массу частицы равной нулю, получим си-
систему двух уравнений
X = (<m)q>, F6,1)
где я = ср/е— единичный вектор', совпадающий с направлением
импульса для положительных решений, когда е = Е = ср, и
противоположный направлению импульса для отрицательных
решений, когда е = —ср. Полная волновая функция ЧГ выра-
выражается через двухкомпонентные функции <р и / обычным обра-
образом:
Из F6,2) и F6,1) следует, что при действии псевдоскаляра
сп на волновую функцию F6,2) две компоненты этой функции
переставляются местами:
'X
F6,3)
Поэтому для частицы с массой покоя, равной нулю, действие
оператора (on) на волновую функцию F6,2) эквивалентно дей-
действию матрицы
/0 /\
=4/ oj=
(<m)=4/ oj=~Y5- F6>3a)
Вместо функций <р и / можно ввести две их линейные комби-
комбинации
Ф = 7г(<Р + *)=-7гA+<Т«)<р, F6,4)
Складывая и вычитая уравнения F6,1), легко убедиться, что
функции Ф и F удовлетворяют соответственно уравнениям
=Ф и 0«F= —F.
Таким образом, функции Ф и F, имеющие только по две компо-
компоненты, являются двумя собственными функциями оператора
§ 66] УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ НЕЙТРИНО 307
v
сп — проекций спина частицы на направление импульса. Два
собственных значения +1 и —1 этого оператора (или эквива-
эквивалентного оператора —ys) называют спиральностью частицы.
Спиральность (helicity) принято обозначать буквой ft(ft = ±l).
Учитывая эквивалентность действия на волновую функцию
операторов on и —уб. запишем их собственные функции в виде-
Эти выражения показывают, что умножение чётырехкомпонент-
ной функции на 1 ± Y5 превращает ее в двухкомпонентную
функцию.
В состояниях с определенной спиральностью каждому значе-
значению импульса соответствует только одно спиновое состояние.
При положительной спиральности направление импульса и на-
направление спина (для состояний, при которых е = ср)- парал-
параллельны. При отрицательной спиральности они антипараллельны.
Образно говоря, положительная спиральность как бы соответ-
соответствует правому винту (у винта вращение связано с направле-
направлением перемещения). Отрицательная спиральность соответствует
левому винту. Такие состояния могут реализоваться только у
частиц с нулевой массой покоя и двигающихся, следовательно,
всегда со скоростью света. Если масса покоя частицы не равна
нулю, то всегда можно перейти в систему координат, где частица
покоится. В этой системе импульс был бы равен нулю и нару-
нарушалась бы связь между спином и импульсом. Поэтому наличие
у частиц только продольной поляризации (в смысле направления
спина), однозначно связанной с направлением их движения, воз-
возможно только в случае, когда m = 0. В конце 1956 г. Салам[44],
Ландау [45], Ли и Янг [46] развили теорию свойств нейтрино на
основе двухкомпонентной модели с. определенной спиральностью.
Эта теория базировалась на предположении, что свойства ней-
нейтрино описываются только одной из функций F6,4) иди F6,5).
Нейтрино является частицей без электрического заряда, по-
поэтому оно не взаимодействует с электромагнитным полем. Од-
Однако и для таких частиц решения уравнения Дирака допускают
два типа состояний: положительные и отрицательные, которые
можно рассматривать как «зарядово сопряженные состояния».
Более правильно в этом случае говорить о состояниях, соответ-
соответствующих частице и античастице. Если частица описывается
функцией 4F, то античастица должна описываться функцией
(см. § 65)
Ч^С-'ЧГ, F6,6)
где С-1 = Y2, если матрицы уц выбраны в представлении F1.1).
Различие свойств частиц и античастиц может проявляться
308 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VI1Г
при исследовании их взаимодействий с другими частицами. Та-
Такие взаимодействия характеризуются величинами, играющими
такую же роль, как электрический заряд во взаимодействиях с
электромагнитным полем. Если частица тождественна антича-
античастице, т. е. *F = 'Fc, то такая частица называется истинно ней-
нейтральной. Теория истинно нейтральных частиц рассматривалась
Майорана [47] (см. также [48]), который исходил из предполо-
предположения, что нейтрино и антинейтрино — одинаковые частицы.
В настоящее время установлено, что нейтрино и антиней-
антинейтрино являются разными частицами. Нейтрино выделяются при
позитронном распаде протона, а антинейтрино — при электрон-
электронном распаде нейтрона. Нейтрино и антинейтрино различаются
спиральностью. Опытами Гольдгабера, Гродзинс и Суньяра [49]
показано, что у нейтрино спин направлен против импульса —
отрицательная (или левая) спиральность. Следовательно, анти-
антинейтрино должно иметь положительную (или правую) спираль-
спиральность.
В 1962 г. было обнаружено, что нейтрино, выделяющееся
при распаде нейтрона вместе с электроном, отличаются от ней-
нейтрино, выделяющихся вместе с мюоном при распаде пионов.
Первые были названы электронными нейтрино. Им сопостав-
сопоставляется электронный лептонный заряд. Вторые нейтрино были
названы мюонными. Они имеют мюонный лептонный заряд. По-
видимому, оба типа нейтрино являются двухкомпонентными.
Двухкомпонентные нейтрино не инвариантны относительно
операции пространственного отражения, так как при этой опе-
операции импульс меняет знак, а момент количества движения (спин)
остается неизменным. При пространственном отражении правый
винт переходит в левый винт — антинейтрино должно перехо-
переходить в нейтрино, и наоборот. Только при одновременном приме-
применении пространственного отражения и зарядового сопряжения
нейтрино остается неизменным.
Произведение операций зарядового сопряжения и простран-
пространственного отражения было названо в работах Ландау комбини-
комбинированной инверсией. Нейтрино инвариантно относительно опе-
операции комбинированной инверсии. Все явления, в которых уча-
участвуют нейтрино, инвариантны относительно комбинированной
инверсии и не инвариантны относительно пространственного
отражения и зарядового сопряжения в отдельности. Поэтому
в этих явлениях нарушается закон сохранения четности, кото-
который является следствием инвариантности относительно про-
пространственного отражения. Закон сохранения четности нару-
нарушается и в ' ряде других явлений, обусловленных слабыми
взаимодействиями, приводящими к распаду мезонов и гиперо-
гиперонов. В настоящее время обнаружено слабое несохранение и
комбинированной инверсии.
§ 6Я АТОМ ВОДОРОДА С УЧЕТОМ СПИНА ЭЛЕКТРОНА 309
В заключение этого параграфа отметим, что понятие спи*
ральности для собственного значения оператора ар = ар/р, т. е.
проекции матрицы о на направление импульса, сохраняется и
для частиц с массой покоя, отличной от нуля. При свободном
движении таких частиц оператор ор коммутирует с "оператором
Гамильтона HD, поэтому спиральность h является интегралом
свободного движения. Однако связь между операторами ар и ys
имеет более сложный характер.
Умножая равенство ys *= —&zoz на аг, имеем azys = —ccz>
нли YPY5 = —Щ>-
Подставляя это значение в HD F0,2), находим, что в состоя-
состояниях, относящихся к собственному значению е оператора HD,
При m = 0 j^ = n, где г=±.ср. Следовательно, F6,7) пере-
переходит в F6,3а). При тфО е= ± сУр*-\- гп2(?, поэтому при
значении спиральности /г= 1 проекционный оператор
При значении спиральности h = —1 проекционный оператор
е —тс2р
§ 67. Атом водорода с учетом спина электрона
В §§ 38 и 39 было исследовано движение электрона в куло-
новском поле ядра без учета спина электрона. Исследуем теперь
это движение на основе уравнения Дирака с учетом релятивист-
релятивистских поправок порядка (v/cJ. Сравнивая полученные резуль-
результаты с решениями §§ 38 и 39, можно будет оценить роль спина
электрона в атоме водорода.
Для определения стационарных состояний электрона в куло-
новском поле ядра с потенциальной энергией V(r) = —Ze2/r
(размерами ядра мы пренебрегаем) надо решить уравнение
(Ho + W^Ws+WJW^EW, F7,1)
где
Я" = |Г—^. F7,2)
Wlt Wz, W$ — релятивистские поправки к оператору Гамильтона
F7,2) нерелятивистского движения, рассмотренные в § 64
310 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1ГЛ. VIII
(
и имеющие вид
2mc2 ,
= Bт2с2гГ1 -|^ C1) = Ze2 ^/nVr3)-1 («?). F7,5)
Уравнение F7,1) выведено в § 64 в предположении, что
Е + —у- -С 2тЛ Поэтому для значений г < y-^-j- «1,4Z • 10~13см
его использовать нельзя. Однако при приближенной оценке по-
поправочных членов Wi в уравнении F7,1), которая проводится в
этом параграфе, роль малых значений г ничтожно мала, не-
несмотря на наличие в F7,3) и F7,5) особенности при г = 0.
Для упрощения решения уравнения F7,1) введем оператор
полного момента электрона
Теперь скалярное произведение sL, входящее в F7,5), можно
выразить через квадраты операторов моментов
2%Ь = Р--Ъ -%\ F7,6)
Учитывая F7,6) и переходя к сферической системе координат,
преобразуем F7,2) и F7,5) к виду
д I 2д
Г IF
(^-?2-^)- F7.8)
Учитывая F7,7) и F7,8), легко убедиться, что полный оператор
Гамильтона уравнения F7,1) коммутирует с операторами L2, s2,
/2. Поэтому возможны стационарные состояния, в которых все
три величины, соответствующие этим операторам, имеют опре-
определенные значения. В этих состояниях зависимость- волновых
функций от угловых и спиновых переменных определяется функ-
функциями F2,11), а операторы угловых моментов можно заменить
собственными значениями F2,12). Таким образом, уравнение
для радиальной волновой функции стационарных состояний
атома водорода сводится к виду
nl,(r), F7,9)
§ 67] АТОМ ВОДОРОДА С УЧЕТОМ СПИНА ЭЛЕКТРОНА 311
где W\ и U?2 определены соответственно F7,3) и F7,4), а
<67'10>
Поскольку опер.аторы Wi имеют порядок величины (v/cJ, то
решение уравнения F7,9) можно провести методом последова-
последовательных приближений. В нулевом приближении имеем уравне-
уравнение
которое в точности совпадает с уравнением нерелятивистской
теории атома водорода без спина. В § 38 было показано, что
каждому значению энергии ¦
е-п 2Ъ2п2 '
соответствует п радиальных функций q>ni(O» различающихся зна-
значениями квантового числа / = 0, 1, ..., п—1. Используя вид
этих функций и заменяя в W2 энергию Е ее значением Еп в ну-
нулевом приближении, можно выразить поправку к энергии уровня
Еп в первом приближении формулой
АЕп1 = Еп1-Еп = \ ф*, (Wt + W2 + Wy dr. F7,12)
о
При вычислении F7,12) удобно перейти к атомным единицам.
Вводя постоянную тонкой структуры
72
и ?„= — Tj^r-, запишем F7,12) в виде суммы трех слагаемых
{nl\W\\nt) =
f ° если 1=?°>
если /=0>
(«Л Г ^[)|]|ф
1 если }=1+ 72,
2п*{21+1)
\ _Г1(
312 КЙАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
При вычислении этих матричных элементов были использованы
•следующие значения интегралов от p"ft на волновых функциях
атома водорода:
J T««
V»)
?j Q if\\ тгл*
! и/
Подставляя полученные значения матричных элементов в F7,12),
находим окончательную формулу для поправки к энергетиче-
энергетическим состояниям (в атомных единицах) атома водорода, обу-
обусловленной релятивистскими эффектами для частицы со спи-
спином 1/2-
А с а224 /1 3
Из формулы F7,14) следует, что релятивистские эффекты
при учете членов порядка (f/cJ приводят к расщеплению п2-
кратно вырожденного уровня нерелятивистской теории Шредин-
гера для частицы без спина. Теперь, кроме главного квантового
числа п, уровни энергии зависят от квантового числа / = 1/2,
8/г, ..., определяющего полный момент количества движения
электрона в атоме. Энергия зависит только от квантового числа
/ и не зависит от I. Поэтому пары уровней, имеющие одинаковые
пи/ при / = / ± '/г, остаются вырожденными. Такое двукратное
вырождение энергетических уровней сохраняется и при точном
решении уравнения Дирака (см. § 68) в кулоновском поле.
В связи с тем, что при учете спина электрона появляется новая
•степень свободы, общее число энергетических состояний, соот-
соответствующих одному главному квантовому числу п, равно 2п2,
что в два раза превышает число состояний частицы без спина.
При учете спина электрона обозначение ««/» квантового со-
состояния частицы в центрально-симметричном поле заменяется
обозначением «и/3», где квантовое число /, стоящее справа внизу
у латинской буквы /, характеризует полный момент электрона
в данном состоянии. Таким образом, в атоме водорода возможны
состояния
Is./,; 2si/2, 2/7./s; 2p%; 3s./,, 3p4l; Зр>1г, Щ„ Ъй% и т. Д.
I I I I, j !
¦Состояния, обладающие одинаковой энергией, подчеркнуты.
Волновые функции стационарных состояний электрона в ку-
-лоновском поле могут быть записаны в виде
| nljm) = Фя/ (г) Ф{ 2 im (Q<pms), F7,15)
§ 67] АТОМ ВОДОРОДА С УЧЕТОМ СПИНА ЭЛЕКТРОНА 313
где радиальные функции фп3(г) в нулевом приближении совпа-
совпадают с функциями фги (г) нерелятивйстского уравнения для
частицы без спина. Функции ^i^mi Fq>ms) определены выраже-
выражениями F2,11). Они зависят от угловых и спиновой переменных.
Энергия стационарных состояний F7,15) зависит только от кван-
квантовых чисел п и \. Каждый из этих уровней B/-Н) кратшо выро-
вырожден по магнитному квантовому числу т = ±/, ±(/— 1), ¦ •¦»
определяющему проекцию полного момента количества движе-
движения электрона.
Система уровней, соответствующая разным значениям &Еп$
при одинаковом значении Еп, называется тонкой структурой.
Из формулы F7,14) следует, что при данном п «полная ширина
тонкой структуры», т. е. расстояние между уровнями ji = п—'/г
и /2 = Уг» равна
D = Д?„л - hEnh= ijj—'-.
Эта величина меньше, чем полная ширина тонкой структуры для
частицы без спина (см. 58, 24а), где
и ~~ «3Bи-1) •
Расстояние между отдельными компонентами тонкой струк-
структуры пропорционально квадрату постоянной тонкой структуры
F7,13), т. е. порядка 5-Ю атомной единицы энергии. Для
уровня п = 2 атома водорода (Z — 1) энергетическая разность
между состояниями 2р% и 2si/2 равна а2/32 (»0,365 см-1).
Абсолютная величина тонкой структуры с ростом главного кван-
квантового числа быстро уменьшается. Поэтому расщепление спек-
спектральных линий, соответствующих переходам между состояния-
состояниями с разными значениями п, обусловлено в основном расщепле-
расщеплением уровней нижайшего состояния. Так, например, каждая
бальмеровская линия (соответствующая квантовым переходам
в состояние п = 2) состоит из дублетных линий, расстояние
между которыми порядка а2/32 атомных единиц энергии.
Многочисленные экспериментальные исследования, прово-
проводившиеся оптическими методами, подтверждали выводы теории
Дирака о тонкой структуре энергетических состояний атома
водорода. В некоторых экспериментах наблюдалось небольшое
расщепление уровней 2si/2 и 2/?уг, но это расщепление было по-
порядка вероятной ошибки измерения (~ 10~6 по отношению к
энергии перехода). Применение радиочастотной техники к иссле-
исследованию малых разностей между энергетическими уровнями по-
повысило точность измерения на 3—4 порядка, что позволило в
1947 г. Лэмбу и Ризерфорду [50] с достоверностью устано-
установить, что уровни- 2si/a и 2руа смещены друг относительно друга
314 КВАЗИРЕЛЯТИВЙСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
примерно на 10% от величины тонкой структуры. Объяснение
относительного смещения уровней 2sv2 и 2р%, названного лэмбов-
ским смещением, было дано квантовой электродинамикой. Ока-
Оказалось, что это расщепление в основном обусловлено радиацион-
радиационными поправками (взаимодействие электрона с вакуумом).
Небольшие дополнительные поправки вызываются конечными
размерами и внутренней структурой ядра. Учет всех этих эф-
эффектов приводит к прекрасному согласию теории с эксперимен-
экспериментом (см. [51]).
При вычислении релятивистских поправок, приводящих к тон-
тонкой структуре энергетического спектра электронов в атоме, мы
считали поле атомного ядра центральным электрическим полем.
Однако ядро атома водорода и многих других атомных ядер
обладает магнитным моментом. Взаимодействие магнитных мо-
моментов электрона и ядра приводит к расщеплению вырожден-
вырожденных (по проекции полного момента атома) энергетических
уровней атома.
Поскольку ядерный магнитный момент примерно в 103 раз
меньше орбитального магнитного момента электрона, то рас-
расщепление уровней, обусловленное магнитным моментом ядра,
будет примерно в 103 раз меньше расщепления, вызываемого
спин-орбитальным взаимодействием (тонкая структура). В связи
с этим расщепление уровней энергии, обусловленное магнитным
моментом ядра, называют сверхтонким расщеплением. Измере-
Измерение сверхтонкого расщепления энергетических уровней атома
является одним из методов измерения спинов и мащштных мо-
моментов атомных ядер.
Для оценки величины сверхтонкого расщепления энергетических уровней
s-состояний электрона в атоме можно считать, что ядро атома является
точечным магнитным диполем с моментом ц. Такой диполь создает потен-
потенциалы
которым соответствует магнитное поле
М - [V X А] _ V (V -?-) - V* (JL-). F7.16)
Оператор
Л7 __ _ ей a?g eb щ
2тс 2/пс г
характеризует взаимвдействче магнитного момента электрона с магнитным
полем. Следовательно, в первом приближении теории возмущений смещение
уровней в невоэмущенном электронном состоянии V равно ДБ = 0FHF|V).
Пусть V=q)<(r)u, где <р«(г)—радиальная функция s-состояния; и — спино-
спиновая функция. Тогда
вЪ 'ulozlu)
§ 68] РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ КУЛОНОВСК.ОГО ПОЛЯ 315
Двум возможным спиновым состояниям соответствует (u|ctz|u) = ±1.
Если учесть, что q>«(r) не зависит от углов, то, подставляя F7,16), имеем
<Ч>И Ж | q>s> = <q>s | V2 JL. | %) = Ц (<ps 16 (r) | <ps) = nq>2 (Q)
Следовательно, в нерелятивистском приближении сверхтонкое смещение
s-уровней атома выражается равенством
где ц — магнитный момент ядра, т —масса электрона, q>s@)—значение
волновой функции электрона в центре атома.
§ 68*. Точное решение уравнения Дирака
для кулоновского поля
В этом параграфе мы исследуем точное решение уравнения
Дирака для движения электрона в кулоновском поле с потен-
потенциальной энергией V = —Ze?/r. В этом случае оператор Гамиль-
Гамильтона имеет вид
Н=сар + тс$ + V (г). F8,1)
Учитывая центральную симметрию потенциальной энергии,
удобно записать F8,1) в сферической системе координат.
Пользуясь операторным тождеством F0,10), можно написать
(or) (а?) = (<тг) (а [г X р]) = / {(or) (rp) - г2 (ар)},
следовательно,
Поскольку
( (арЛ
то
( ) F8,2)
где
<V = -^- F8.3)
— эрмитова матрица;
±Ж (? !) F8,4)
Введем новый оператор R с помощью соотношения
ЙК = Р[(оХ) + Й]. F8,5)
316 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
Тогда'оператор Гамильтона F8,1) приводится к виду
Я = са,рг + -^ аДК + рте2 + V. F8,6)
Оператор R коммутирует с операторами р, аг и рт, следова-
следовательно, он коммутирует и с полным гамильтонианом F8,6). Вы-
Вычислим квадрат оператора F8,5). Используя F0,10) и оператор-
операторное равенство [L X L] = ihL, находим
+ -!i-=/2+^-, F8,7)
где
— квадрат оператора полного момента электрона. Оператор
Ъ2К2 является интегралом движения и имеет собственные зна-
значения h2k2, где
Следовательно,
k= ± (/ + -|-) = ± 1, ±2, ... F8,8)
Нас будут интересовать состояния с определенным значением
полного момента электрона и, следовательно, с определенным
значением k. Энергия таких состояний, согласно F8,6), вычи-
вычисляется с помощью уравнения
(сагр'г + ~~a?k + рте2 + V - е) Y = 0, F8,9)
где k — число, определяемое F8,8). .
Матрицы От и р антикоммутируют между собой. Можно вы-
выбрать представление, в котором
/ 0\ /0 -П
о -//• ar==[l О)'
Тогда, используя F8,4) и вводя функцию
получаем из уравнения F8,9) систему двух уравнений
._ . F8,11)
(he)'1 (Е + тс2 - V) G - -SC- + f F = 0.
68] РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА ДЛЯ КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ 317
Полагая V = —Ze2/r и вводя обозначения
Е F8,12)
и безразмерную длину (для случая Е <; тс2)
р = rD, Dhc = VtnW — Е2 = he У~АВ, F8,13)
преобразуем систему уравнений F8,11) к безразмерным пере-
переменным
F8,14)
где а = ег\{Ьс) —постоянная тонкой структуры.
Решение системы уравнений F8,14) можно искать в виде
рядов
v=o
2
V=0
F8,15)
Подставляя F8,15) в уравнения F8,14) и приравнивая коэф-
коэффициенты при р*™, находим
В
cv_,
•д- 6v_i — Zabv —
(k + s) b0 —
~ Zabo + (k — s) a0
— (s + v + k)K
= 0, 1
=0, j
! = 0,
если
F8,16)
F8,17)
F8,18)
Решения, соответствующие отрицательному знаку перед корнем
1G1,18), отброшены, так как они приводят к волновым функциям,
расходящимся в нуле.
Умножая первое уравнение F8,17) на D, а второе уравнение
на Б и вычитая одно из другого, находим связь между коэффи-
коэффициентами av и bv:
Из системы уравнений F8,16) следует
k2 — s2 — Pa2 = 0 или s = (k2 —
ov(yf~
~Za)• F8'19)
318 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (ГЛ. VIII
Ряды F8,15) будут соответствовать регулярным на беско-
бесконечности решениям, если они будут обрываться при конечном
значении v = N. Полагая в F8,17) aN+x = bN+1 = О, находим
VBaN=-V~AbN, N=0,1,2,... F8,17а)
Подставляя далее F8,17а) в F8,19) при v = N, получаем урав-
уравнение
Подставляя в это равенство значения F8,12) и F8,13), находим
ZaE =-(s V
Из этого уравнения можно вычислить энергию. При учете
F8,18) имеем
Е' = Е-тс?= тс2Ml + / f )Т*- l), F8,20)
где
k=±l, ±2, ..., N=0, 1, 2, ...
Если разложить F8,20) в ряд по степеням Z?a2, то с точ-
точностью до членов (ZaL получаем
где
i=i, 2,..:
— главное квантовое число. Первый член правой части F8,21)
совпадает с энергией, определяемой нерелятивистским уравне-
уравнением Шредингера без спина. Второе слагаемое определяет реля-
релятивистские поправки для частицы со спином 1/2. Учитывая, что
\k\=j-\-1/2, и переходя к атомным, единицам, мы убедимся,
что формула F8,21) совпадает с формулой F7,14), полученной
методом теории возмущений.
Перейдем теперь к исследованию радиальных собственных
функций точного решения уравнения Дирака. Эти функции вы-
выражаются формулой F8,10), в которой функции F и G опре-
определены рядами F8,15). Коэффициенты av и bv выражаются
через ао и bo с помощью уравнений F8,17) и F8,19) при
s == (k2— Z2a2)*ls. На бесконечности эти функции обращаются
в нуль по тому же закону, что и в теории Шредингера (§ 38).
Убывание происходит тем быстрее, чем меньше главное кванто-
квантовое число. Поведение волновых функций при малых р опреде-
определяется асимптотическим выражением
F8,22)
¦§.69] АТОМ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛБ 319
Для всех устойчивых атомных ядер Za<C 1, поэтому при А:=±2,
±3, ..., что соответствует / = 3/г, 5/а, • • •, функция Ч? обра-
обращается в нуль при р—*0. При k = ±1 (т. е. для s- и р-состоя-
ний) дираковская функция F8,22) является сингулярной в на-
начале координат для всех квантовых чисел п. Однако, если Za
мало, эта сингулярности» очень слабая. В реальных атомах син-
сингулярность функций (при k = ±l) в нуле отсутствует, так как
вследствие конечных размеров ядер потенциальная энергия от-
отлична от кулоновскои и не стремится к бесконечности при р-*0.
Более подробные сведения о волновых функциях Дирака для
движения электрона в кулоновском поле ядра как в случае ди-
дискретного, так и непрерывного спектра можно найти в работах
[52] и [53].
§ 69. Атом во внешнем магнитном поле
Если на атом действует внешнее магнитное поле, то его энер-
энергетические состояния изменяются. Смещение энергетических
уровней атома под влиянием внешнего магнитного поля назы-
называют эффектом Зеемана. В этом параграфе мы рассмотрим эле-
элементарную квантовую теорию эффекта Зеемана. г
Как было показано в §§ 63 и 67, в квазирелятивистском
приближении гамильтониан электрона, движущегося в электро-
электромагнитном поле с потенциалами А и Ло, определяется выра-
выражением
И- ом' +еАо-¦??-(<&) + &., F9,1)
где М—приведенная масса; е — заряд электрона; Ws = a(Ls) —
оператор спин-орбитального взаимодействия; а = ZePftMWr3]^1.
Если атом находится во внешнем однородном поле напря-
напряженности Ж, то
еЛ0 = -—, А = ±[ЖХг]. F9,2)
При малых полях в F9,1) можно пренебречь А2 и написать
Я = Но + W,
где
Н°= ~Ш 7~ * №,Щ
— оператор Гамильтона для атома в отсутствие внешнего поля;
F9,4)
320 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
Подставляя F9,2) в F9,4) и вспоминая, что L = [rX(—t)]
можно преобразовать оператор F9,4) энергии взаимодействия
электрона с однородным магнитным полем к виду
W=-pM, F9,5)
где
? F9,6)
— оператор магнитного момента электрона,
/ = ? + * F9,7)
— оператор полного момента количества движения.
При отсутствии магнитного поля энергия стационарных состоя-
состояний электрона определяется уравнением (Яо — Enj) | njtm) = 0
(см. §67). Уровни энергии Eni вырождены по квантовому числу
т в соответствии с центральной симметрией поля (нет выделен-
выделенных направлений). При наличии внешнего поля 36 суммарное
поле, действующее на электрон, имеет аксиальную симметрию.
Поэтому вырождение по т должно сниматься.
Перейдем к количественному вычислению эффекта расщепле-
расщепления. Изменение энергетических уровней атома под влиянием
внешнего ¦ магнитного поля будем вычислять методами теории
возмущений. Как было показано в § 47, изменение энергии под
влиянием внешнего возмущения в первом приближении выра-
выражается через матричные элементы оператора возмущений на
волновых функциях невозмущенной задачи. В операторе возму-
возмущения F9,5) магнитное поле не зависит от координат, поэтому
вычисление сведется к вычислению матричных элементов типа
(ось z направлена вдоль Ж)
(п1Гт'\»г\пЦт). F9,8)
Для упрощения вычислений выразим оператор магнитного мо-
момента F9,6) через оператор момента количества движения
F9,7) с помощью соотношения
й = б/= 2^ (/+*), F9,9)
где о — оператор, вид которого можно определить, умножив ска-
лярно F9,9) на J. Тогда получим
_ е Г
~2Mc[
. G9I
l+ P У
Возводя F9,7) в квадрат, можно выразить Js через квадраты
операторов моментов. Таким образом, находим
У
АТОМ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
321
Следовательно,
Подставляя это значение в F9,8) и учитывая, что функции
\njlm) являются собственными функциями операторов G и 7Zr
получаем
(n/7'm' | АаЗК | njltn) = mg ¦— Ьтт'Ьи-, F9,10)
где
€ .*/.*) 1 \ I » /» I \\ 1/11 f\t
F9,11)
— множитель Ланде. Для электронов s = 1/2, j = l±il2r
1 = 0, 1, 2, ...
Поскольку отличны от нуля только диагональные элементы
оператора возмущения, то энергия атома в первом приближении
теории возмущений определится выражением
17 р ей3@ nm /RQ 19V
спЦт — *-¦„.] — 2Мс ° voy> W/
где т = ±у, ±(/' — 1),...
Итак, в магнитном поле B/ + 1) -кратное вырождение пол-
полностью снимается. Смещение уровней происходит симметрично
относительно невозмущенного уровня Enj. Расстояние между со-
соседними расщепленными уровнями
пропорционально напряженности магнитного поля и множителю
Ланде, зависящему от квантовых чисел /, I и s. В табл. 10 при-
приведены значения множите-
множителя Ланде для нескольких
атомных состояний E=7г).
Расщепление уровней
энергии, определяемое фор-
формулой F9,13), носит назва-
название аномального эффекта
Зеемана.
Для частицы без
(s = 0) множитель
Таблица 10
Значения множителя Ланде
спина
Ланде
случае рас-
расСостояние
g
«1/2
2
Pl/2
2
3
РЗ/2
4
3
d3/2
4
5
<%/2
6
5
g = 1. В этом
стояние между соседними расщепленными уровнями одинаково
независимо от характера состояния и равно
_
2Мс Ф
Такое расщепление предсказывалось классической электронной
теорией. Оно носит название нормального эффекта Зеемана.
As Cs Давыдов
322 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ (ГЛ. VIII
Нормальный эффект Зеемана " наблюдается для некоторых
состояний сложных атомов. Как будет показано в § 78, состоя-
состояние сложных атомов, содержащих несколько электронов, в не-
некотором приближении можно характеризовать собственными
значениями операторов суммарного спина всех электронов
5 = 2*г, суммарных орбитальных моментов количества движе-
движения L = 2Lj и полного момента / = L -f- S. Изменение. энерге-
энергетических состояний таких атомов в слабом однородном внешнем
магнитном поле также определяется формулой
где
Из этого выражения следует, что для энергетических состояний
с полным спином S = 0 (синглетные термы атомов с четным
числом электронов) множитель g = 1. В этом случае АЕ = -~тт-,
что соответствует' нормальному эффекту Зеемана. Такое рас-
расщепление наблюдается у синглетных термов атомов цинка, кад-
кадмия и других.
Формула F9,12) получена методом теории возмущений, по-
поэтому она справедлива'только для таких напряженностей маг-
магнитного поля, при которых величина расщепления F9,12) будет
меньше разности энергий соседних уровней в атоме без поля,
т. е. при выполнении условия
<\Еп,-ЕпГ\. F9,14)
Наименьшее расстояние между уровнями атома водорода
соответствует тонкой структуре (расстояние между компонен-
компонентами спинового дублета): Е г_ — Е j_= 0,365 см «* 10~16 эрг.
•2. 22
Таким образом, аномальный эффект Зеемана должен наблю-
наблюдаться в таких магнитных полях, когда величина расщепления,'
обусловленного внешним магнитным полем, меньше расстояния
между компонентами дублета. Если учесть, что еЬ/BМс) ~9Х
ХЮ~М эрг/Э, то мы придем к заключению, что слабыми полями
для первых возбужденных уровней атома водорода следует счи-
считать поля с напряженностью магнитного поля Ж < 1000 Э.
Если величина расщепления АЕ, вызываемого магнитным по-
полем, велика по сравнению с.дублетным расщеплением уровней,
то магнитное поле называют сильным. В таком магнитном поле
разрывается связь спинового и орбитального моментов количе-
количества движения, и они взаимодействуют с магничмым полем не-
независимо. Следовательно, в сильных магнитных полях оператор
2Мс
§ 6S1 АТОМ ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 323
взаимодействия электрона с магнитным полем можно записать
в виде
^ F9,15)
При расчете величины расщепления энергетических уровней в
сильном магнитном поле можно в нулевом приближении пре-
пренебречь епинорбитальным взаимодействием и выбрать невоз-
невозмущенные функции в виде
|n/mzms), F9,16)
т. е. состояния электрона в атоме можно характеризовать глав^
ным числом п, орбитальным квантовым числом / и квантовыми
числами mi и ms, определяющими соответственно проекции ор-
орбитального и спинового моментов* В этом случае изменение
энергетических уровней под влиянием поля ?№ будет опреде-
определяться формулой
так как собственные значения операторов Cz и §z равны соответ-
соответственно Ыпь и bms.
Следовательно, каждый энергетический уровень Ещ расще-
расщепляется на 2/ + 3 равноотстоящих [на величину „„ 4 ком-
компонент, соответствующих 21 + 3 возможным значениям суммы
квантовых чисел (m* + 2ms). Поскольку ms= ±ll% то при дан-
данном / такими числами будут t+l, I, t—1, ..., —(/+1). Из
этих компонент две высшие и две низшие не вырождены, все
остальные вырождены двукратно в соответствии с двумя воз-
возможными способами получения определенного значения
[+1, если ms = j,
— 1, если ms= — у.
Расщепление уровней F9,17) должно наблюдаться в сильных
магнитных полях. Расщепление этого типа носит название
эффекта Пашена — Бака. Оно действительно наблюдается для
некоторых уровней атомов: Li, Na, О и др. в. магнитных полях с
напряженностью, превышающей соответственно 36000, 40000 и
90000 Э.
При более строгих вычислениях следует учесть оператор
спин-орбитального взаимодействия
Ws =«(?*), a=j^ F9,18)
XI*
324 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
наряду с оператором F9,17) взаимодействия с внешним маг-
магнитным полем. В сильных магнитных полях оператор F9,18)
будет приводить к дополнительному (мультиплетному) расще-
расщеплению энергетических уровней, накладывающемуся на рас-
расщепление F9,17).
Усредняя оператор спин-орбитального взаимодействия F9,18)
в состояниях, определяемых функциями F9,16), получим допол-
дополнительное слагаемое (в атомных единицах Энергии) к энерге-
энергетическим уровням системы
KEJS=Amlm^ F9,19)
где
А = (filmtms | а | nlmtms) = 2
t) (/ + [/г)
— величина (в атомных единицах энергии), по порядку равная
расстоянию Между компонентами тонкой структуры (см. F7,14)).
Поправка к энергии A?s F9,19) зависит от квантовых чисел
mi и ms. Она приводит к расщеплению упомянутого выше вы-
вырождения и к малому смещению невырожденных уровней. Учет
оператора F9,18) особенно существен в том случае, когда внеш-
внешнее поле вызывает расщепление, сравнимое с расщеплением,
обусловленным тонкой структурой.
В очень сильных полях следует учитывать члены второго по-
порядка в теории возмущений для оператора F9,15) и член, про-
пропорциональный Л2 в F9,1). Изменение энергетических уровней,
обусловленное этими поправками, будет пропорционально Ж2.
§ 70. Атом во внешнем электрическом поле
Изменение энергии стационарных состояний атома под влия-
влиянием внешнего электрического поля называется эффектом
Штарка. При отсутствии поля стационарные состояния \njrn)
соответствуют одной энергии Enj (вырождение по квантовому
числу ш). При включении однородного электрического поля на-
напряженности % в операторе Гамильтона появляется дополни-
дополнительное слагаемое
W=-%d, G0,1)
где d = er — оператор дипольного электрического момента элек-
электрона. Если направить ось z координатной системы вдоль век-
вектора напряженности электрического поля, то оператор Гамиль-
Гамильтона для атома примет вид
Н= Но + W = -JJ- - Ц~ - ez&. G0,2)
Таким образом, при включении внешнего электрического поля,
во-первых, изменяется симметрия системы — центральная сим-
$ 70] АТОМ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 325
метрия заменяется аксиальной, во-вторых, изменяется поведение
потенциальной энергии при г ^±00. В связи с тем, что потен-
потенциальная энергия убывает при z '-* —00 (е < 0), появляется
вероятность прохождения электрона через потенциальный барь-
барьер, т. е. может осуществиться спонтанная ионизация атома под
влиянием-внешнего электрического поля. Возможность прохож-
прохождения электрона через потенциальный барьер проявится в рас-
расширении уровней (см. § 96). Это расширение тем больше, чем
больше п. При достаточно больших п (большие возбуждения
атома) вероятность ионизации приближается к 1. Для первых
возбужденных уровней в не очень сильных полях этот эффект
очень мал и в первом приближении его можно не учитывать.
Оператор G0,2) инвариантен относительно вращения на про-
произвольный угол вокруг направления поля и отражения в любой
плоскости, проходящей через эту ось. При таком отражении из-
изменяется знак проекции момента количества движения:
т—>—т. Вследствие этого в системе с оператором Гамильтона
G0,2) энергетические уррвни состояний с т и —т совпадают,
т. е. имеется двукратное вырождение. Отметим, что оператор
Гамильтона F9,1) атома, находящегося в магнитном поле, ин-
инвариантен относительно поворотов вокруг направления поля и не
инвариантен относительно отражения в плоскостях, проходящих
через направление поля. Поэтому для атома в магнитном поле
аналогичное вырождение (т и —т) отсутствует.
Количественные вычисления изменения энергетических уров-
уровней атома при включении электрического поля можно провести
методом теории возмущений, если величина поля достаточно
мала, т. е. в случае, когда изменение уровней мало по сравне-
сравнению с расстоянием между соседними уровнями атома без поля.
В первом приближении теории возмущений поправка к энер-
энергии невозмущенной системы определяется средним значением
оператора возмущения в этом состоянии. Изменение энергии в
состоянии \njrn) под влиянием возмущения G0,1) будет равно
Д? = & {njm I d I njm), G0,3)
где (njm\d\njm) — среднее значение оператора электрического
дипольного момента в состоянии \njrn).
В связи с тем, что оператор дипольного момента изменяет
знак при операции инверсии пространственных координат, его
среднее значение равно нулю во всех состояниях, имеющих оп-
определенную четность. Действительно, если tya имеет определен-
определенную четность, то |я1>а|2 не изменяется при операции инверсии, по-
поэтому Г | ij)a |2гс/т=0, так как подынтегральная функция ме-
меняет знак при операции инверсии. Невырожденные состояния
квантовых систем имеют определенную четность, поэтому
326 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIII
среднее значение электрического момента в этих состояниях
всегда равно нулю. Квантовые системы, находящиеся в Вырож-
Вырожденном состоянии, вообще говоря, могут иметь отличный от нуля
средний дипольный момент, если это состояние не имеет опреде-
определенной четности. Примером такого состояния является первое
возбужденное состояние атома водорода, которому соответствует
волновая функция в виде линейной комбинации
В этом состоянии среднее значение оператора дипольного мо-
момента равно
i | d 12pI/s> + компл. сопр.
Отличный от нуля средний дипольный момент может быть и у
квантовых систем, обладающих группой почти вырожденных со-
состояний, если такая система не имеет вполне определенной энер-
энергии, так что величина неопределенности энергии больше расстоя-
расстояния между уровнями разной четности. Частным случаем таких
систем являются некоторые молекулы, например гетерополяр-
ная молекула NaCl и дрт которые обладают очень близко рас-
расположенными вращательными уровнями разной четности. По-
Поэтому средине значения дипольных моментов таких молекул
отличаются от нуля уже в слабых электрических полях, так как
расстояние между соответствующими вращательными уровнями
мало по сравнению с энергией молекул в электрическом поле и
тепловой энергией.
Перейдем к исследованию эффекта Штарка для атома водо-
водорода. Электрическое поле в нерелятивистском приближении не
действует на спин электрона, поэтому в первом приближении
теории можно не учитывать спин электрона и тонкую структуру,
обусловленную спин-орбитальной связью. Такое упрощение оп-
оправдывается при электрических полях, превышающих 103 В/см,
когда-расщепление, обусловленное электрическим полем, пре-
превышает расстояние между уровнями тонкой структуры спектра.
Основное состояние атома водорода Is обладает положи-
положительной четностью и в первом приближении энергия этого со-
состояния остается неизменной при включении поля, так как
(ls|W|ls) = 0. При исследовании первого возбужденного со-
состояния, соответствующего п = 2, следует учесть, что это со-
состояние четырехкратно вырождено. Для определения смещения
уровней в первом приближении теории возмущений надо рас-
рассмотреть линейную комбинацию вырожденных состояний
G0,4)
§ 70] АТОМ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 327
где каждая из функций tpi = |2,0,0), я|з2 = |2,1,0), я|}3~= |2,1,1),
ч|>4 = |2,1,— 1) удовлетворяет невозмущенному уравнению -
Подставляя G0,4) в уравнение (Но-\-W)W =* ЕЧ?, находим си-
систему уравнений
Iibl[Wlk-e6lk] = 0, G0,5)
где г=Е-Е\ и Wih={l\W\k).
Отличные от нуля матричные элементы
Wn = W2l =» - е& B, 0, 0 [ г | 2, 1, 0> = - Ъе&а, G0,6)
где а = А2/(Ме2) — боровский радиус.
Поправки е к уровням энергий определяются из условия раз-
разрешимости системы уравнений G3,5). Это условие сводится к
равенству
(е2 - Эе2^2) е2 = 0. G0,7)
Четыре корня G0,7) равны соответственно
jBj = Ъеа&, 8г = — Зеаё?, % = е4 = 0.
Итак, при включении внешнего электрического поля четырех-
четырехкратно вырожденный уровень атома водорода расщепляется на
три уровня. Один из этих уровней является двукратно вырож-
вырожденным (состояния с т == ±Д), что находится-в согласии с вы-
выводами, следующими из симметрии задачи. Величина расщепле-
расщепления уровней пропорциональна напряженности электрического
поля. Такое расщепление носит название линейного эффекта
Штарка.
Линейный эффект Штарка может наблюдаться Т9лькп R ги-
СТеМе С КУЛОНОРГКПИ ПГ|ТР""|Т-""Т| * ( }
Г ( р
где имеется вырождение по квантовому числу I. Во всех других
атомах поле, действующее на электрон, отличается от кулонов-
ского, поэтому уровни, относящиеся к разным I (следовательно,
разной четности), имеют разную энергию. Средний электриче-
электрический момент в этих состояниях равен нулю. В этом случае
влияние внешнего электрического поля будет сказываться на
положении энергетических уровней только во втором приближе-
приближении теории возмущений. Изменение энергии состояния \nltn)
определяется формулой
?Р bl~ hn'V
328 КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. VIH
При вычислении матричных элементов в G0,8) следует учесть,
что z = r cos 6, поэтому, используя равенство
cos 6Ylm = AYl+Um + BY,-lt m,
мы убедимся, что неравные нулю матричные элементы в G0,8>
относятся к состояниям, в которых / отличается на единицу.
Из G0,8) следует, что поправка к уровням энергии пропор-
пропорциональна квадрату электрического поля (квадратичный эф-
эффект Штарка). Вследствие вырождения уровней га и —га коэф-
коэффициент пропорциональности может быть только четной функ-
функцией га, поэтому
^ ^ + рга2). G0,9)
ГЛАВА IX
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ, СОСТОЯЩИХ
ИЗ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ
§ 71. Уравнение Шредингера для системы, состоящей
из одинаковых частиц
Во всех предыдущих параграфах мы рассматривали движе-
движение одной частицы в заданном внешнем поле. Исследуем, как
можно обобщить эти результаты на случай движения многих
частиц. Если система состоит из N взаимодействующих частиц,
то при учете конечной скорости взаимодействия уже классиче-
классическая энергия взаимодействия зависит от всей истории движения
частиц, а не определяется положением частиц в .данный момент
времеш. Однако, если относительные скорости частиц в системе
малы" по сравнению со скоростью света, то конфигурация си-
системы (т. е. распределение частиц в пространстве) мало изме-
изменяется за время, необходимое для передачи взаимодействия
между частицами. В этом случае с точностью до величин пв-
рядка (у/сJ (см. [54] и § 63), можно определить классическую
функцию Гамильтона как функцию только координат и импуль-
импульсов всех частиц системы. Если же скорости частиц сравнимы со
скоростью света, то необходимо рассматривать наряду с части-
частицами и поле-, которое передает взаимодействие, поэтому система
будет обладать бесконечным числом степеней свободы.
Исследуем системы, допускающие использование нереляти-
нерелятивистского приближения. В этом случае оператор Гамильтона
можно записать в виде
N ~2
¦P--\-V{xu x2f ...) + Г, G1,1)
где V — оператор потенциальной энергии взаимодействия между
частицами как функция пространственных координат всех ча-
частиц; W — оператор, характеризующий спин-орбитальное взаи-
взаимодействие, взаимодействие между спинами частиц и часть по-
потенциальной энергии, зависящей от импульсов частиц и частично
учитывающей эффект запаздывания взаимодействия. Таким об-
образом, оператор W является функцией операторов спинов и
импульсов частиц. Взаимодействия, учитываемые оператором W,
330 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. ХХЦ.,
имеют порядок величин (и/сJ и в нерелятивистскпй теории |
могут рассчитываться методом теории возмущений. •;
Волновая функция уравнения Шредингера f,
> = 0 G1,2) ¦".
5
с оператором Гамильтона G1,1) в зависимости от выбора пред- ^
ставления является функцией времени, спиновых и простран- |
ственных координат, частиц, или функцией времени, спиновых ¦¦
координат и импульсов частиц и т. д. .:
Если все настицы системы одинаковы (га = га,- и т. д.), т. е. j.
неотличимы друг от друга, то оператор Гамильтона G1,1) не '•;'
изменится при перестановке любой пары частиц. Обозначим one- 4
ратор перестановки частиц номеров k и i через Ры', тогда уело- {
вие одинаковости частиц в системе выразится на математиче- I
ском языке условием коммутации оператора Гамильтона G1,1) ^
с оператором перестановки любой пары частиц системы, т. е. %
G1,3)
Так как операторы Ры и Н коммутируют между собой, то соб-
ственные значения оператора Ры будут интегралами движения.
Для определения собственных функций и собственных значе-
значений оператора перестановки двух частиц Лг рассмотрим си-
систему, состоящую только из двух одинаковых частиц. В этом
случае собственные функции оператора Pi2 должны удовлетво-
удовлетворять уравнению
РйЪО., 2)==Я*A, 2), G1,4);
где к — действительное собственное значение (оператор Р12)/
эрмитов). Если на это уравнение подействовать еще раз опера-
оператором перестановки Р^, то находим -
>?2*A, 2) = Я,ЧA, 2). "G1,5) ,
С другой стороны, из определения оператора перестановки сле-
следует
Р12*а, 2) = ^ф B, 1),
поэтому Pi2iHl, 2) = фA, 2). Учитывая этот результат, из G1,5)
получаем
К2=1, или Я,= ±1.
Итак, оператор перестановки имеет только два собственных
значения ± 1. Србственная функция фвA, 2), соответствующая
собственному значению К = 1, называется симметричной функ-
функцией и определяется уравнением
МЛ1,-2) = ф,A. 2). G1,6)
§ 71] УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ 331
Собственная функция tya A, 2), соответствующая собственному
значению Я, = — 1, называется антисимметричной функцией.
Она определяется уравнением
Ра*.A. 2) = -ЧаA. 2).
Как показывает опыт, система, состоящая из двух электронов
или двух протонов, или двух нейтронов во всех состояниях
описывается только антисимметричными функциями. Система,
состоящая из двух альфа-частиц, всегда описывается симметрич-
симметричной функцией. Таким образом, свойство симметрии по отиошё
нию к перестановкам пары частиц является интегралом движе|
ния (из-за коммутации Я« и Я) и определяется типом частиц!
входящих в состав системы. - v
Это утверждение непосредственно обобщается и на системы,
состоящие из произвольного числа одинаковых частиц. В силу
одинаковости частиц волновая функция системы должна обла-
обладать одинаковыми свойствами симметрии (быть симметричной
либо антисимметричной) по отношению к перестановке любой
пары частиц. Формально математически волновые функции
систем, содержащих более двух частиц, могут иметь и более
сложную симметрию, так как все эти.функции являются реше-
решениями соответствующего уравнения Шредингера, но, как пока-
показывает опыт, в природе реализуются только симметричные или
только антисимметричные состояния по отношению к переста-
перестановке каждой пары частиц.
i Свойство симметрии волновых функций системы не может
Измениться и внешним возмущением, так как вследствие одина-
одинаковости частиц внешнее возмущение всегда симметрично по от-
отношению к перестановкам пар частиц.
Итак, в квантовой механике состояния систем одинаковых
частиц описываются в зависимости от рода частиц либо симмет-
симметричными, либо антисимметричными волновыми функциями.
Антисимметричные функции описывают состояния систем, со-
стояшиХ' из электронов, протонов, нейтронов и других частиц
(сложных или простых) еполуцелым спином ('/гй, №, 5А>й, • • •)•
Системы, состоящие из частиц (сложных или простых), имею-
имеющих целый спин @, ft, 2й, ...), описываются симметричными
функциями. Эти правила являются обобщением опытных дан-
данных и образуют основной постулат—принцип неразличимости
одинаковых частиц. Частицы, образующие системы, описывае-
описываемые антисимметричными функциями, называются фермионами.
Частицы, образующие системы, описываемые симметричными
функциями, называются бозонами. По-видимому, все частицы,
существующие в природе, являются либо фермионами, либо
бозонами.
332 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
В связи с принципом неразличимости одинаковых частиц воз-
возникает необходимость уточнения принципа суперпозиции состоя-
состояний, о котором говорилось в § 3. Не всякая линейная комбина-
комбинация произвольных решений некоторого уравнения Шредингера
для системы одинаковых частиц будет изображать возможные
состояния этой системы. Возможные состояния системы опре-
определяются только такими линейными комбинациями .функций,
которые не меняют свойств симметрии по отношению к пере-
перестановкам пар частиц. Например, для систем, состоящих из
электронов, в линейную комбинацию могут входить только анти-
антисимметричные волновые функции.
§ 72. Симметричные и антисимметричные волновые функции
Уравнение Шредингера G1,2) допускает решения общего
типа, как обладающие, так и не обладающие определенным ти-
типом симметрии. Из всех этих решений для систем, состоящих
из фермионов, надо взять только решения, соответствующие ан-
антисимметричным функциям, а для систем бозонов — симметрич-
симметричным функциям. Покажем, как можно получить решения с ука-
указанными свойствами симметрии. Пусть система состоит из двух
частиц, и функция фA, 2) является одним из решений уравне-
уравнения G1,2), тогда, в силу одинаковости частиц, функция-фB, 1)',
образованная из i|)(l, 2) путем перестановки частиц 1 и 2, также
будет решением уравнения G1,2). Из этих двух решений легко
составить функции, обладающие требуемой симметрией. С точ-
точностью до множителя нормировки антисимметричная ч|>о и сим-
симметричная i])s функции будут соответственно иметь вид
1)],
1)].
Этот процесс антисимметризации и симметризации волновых
функций обобщается и на случай систем, состоящих из N одина-
одинаковых частиц. В такой системе возможны N1 различных пере-
перестановок частиц. Функция, соответствующая каждой переста-
перестановке, может быть получена из первоначальной функции
1]зA, 2, ..., N) путем последовательной перестановки пар частиц.
Пусть РуфО, 2, ..., N) обозначает функцию, которая получается
из i|>(l, 2, ..., N) в результате v последовательных перестано-
перестановок пар частиц. Тогда с точностью до множителя нормировки
симметричная и антисимметричная функции будут получаться
по правилу
Ф.*= А Ц Я„фA, 2, .... N), G2,1)
V
2, .... JV). G2,2)
§ 72] СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 333
I
где суммирование проводится по всем N1 функциям, соответ-
соответствующим различным возможным перестановкам N частиц си-
системы.
Точное решение задачи многих частиц в квантовой механике
наталкивается на непреодолимые математические трудности.
Однако в ряде случаев основные особенности квантовых систем
могут быть объяснены при использовании метода последова-
последовательных приближений, в котором в нулевом приближении ча-
частицы считаются независимыми, а в высших приближениях вза-
взаимодействие учитывается на основе теорий возмущений. Итак,
в нулевом • приближении оператор Гамильтона системы частиц
будет равен сумме операторов Гамильтона отдельных частиц:
В этом случае собственная функция оператора Яо представится
в виде произведения или линейной комбинации произведений
собственных функций операторов НA) отдельных частиц, а
собственное значение Яо будет равно сумме собственных значе-
значений операторов #(/).
Пусть функция фП/(/) удовлетворяет уравнению
[Я@-е„г]<р„г(/) = 0,
где щ — совокупность квантовых чисел, характеризующих кван-
квантовое состояние частицы I. Тогда собственные функции опера-
оператора Яо, соответствующие собственному значению Е— 2 е„ ,
будут линейными комбинациями функций ц>п A) <рп B) ... <pn (N).
Для системы бозонов волновая функция должна иметь вид
симметризованного произведения
где А — множитель нормировки. Для систем фермионов функ-
функция в соответствии с G2,2) должна иметь вид
И G2'3)
Вместо записи G2,3) можно антисимметричную волновую функ-
функцию изобразить в виде детерминанта
>пA) фП1B) ... yni(N)
щ п, пг\ G2,4)
334 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ, IX
Изменение знака функции G2,4) при перестановке любой пары
частиц непосредственно следует из изменения знака детерми-
детерминанта при перестановке двух его столбцов.
Из G2,4) следует так называемый принцип Паули. Согласно
принципу Паули, система одинаковых фермионов не может на-
находиться в состояниях, которые описываются волновыми функ-
функциями G2,4), содержащими хотя бы два одинаковых одноча-
стйчных состояния.
В . самом деле, если среди одночастичных состояний
п\, п2, ..., nN имеется хотя бы два одинаковых, то детерминант
тождественно обращается в нуль.
Итак, в системе, состоящей из одинаковых фермионов, две
(или более) частицы не могут находиться в одинаковых состоя-
состояниях. Конечно, в такой формулировке принцип Паули может
применяться только к системам слабовзаимодействующих
частиц, когда можно говорить (хотя бы приближенно) о состоя-
состояниях отдельных частиц.
В общем случае можно сказать, что система частиц удов-
удовлетворяет принципу Паули, если она описывается только анти-
; симметричными волновыми функциями относительно переста-
перестановки пар частиц. Следует, далее, отметить, что хотя функция
G2,4) характеризует состояния системы, в которых отдельные
частицы находятся в одночастичных состояниях п\, п2, ..., п^,
нельзя указать, какая именно частица находится в каждом из
этих состояний.
В нерелятивистском приближении (и в отсутствие внешнего
магнитного поля) оператор Гамильтона системы одинаковых ча-
частиц
N
не содержит операторов спина частиц. Поэтому волновая функ-
функция системы может быть записана в виде произведения функции
Ф, зависящей только от пространственных координат (коорди-
(координатная функция), на функцию %, зависящую только от спиновых
переменных (спиновая функция):
$ (*,«,, *2S2f ...) = Ф (*„ х2, ...) х (su s2, ...), G2,5)
или в виде линейной комбинации таких произведений. Волновая
функция G2,5) в виде произведения координатной и спиновой
•функций часто используется как первое приближение и при
исследовании систем с операторами Гамильтона, содержащими
спин-орбитальное взаимодействие.
Рассмотренные' выше требования симметрии волновых функ-
функций по отношению к перестановкам частиц относились к полной
§ 72] СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 335
функции, так как перестановке частиц соответствует переста-
перестановка как пространственных, так и спиновых переменных. Если
функция ф представляется в виде произведения спиновой и ко-
координатной функций (или линейных комбинаций таких произве-
произведений), то требуемая симметрия функции G2,5) может быть
обеспечена несколькими парами функций Ф и %, обладающих
симметрией некоторых типов относительно перестановки соот-
соответствующих координат. Для выяснения таких возможностей
удобно воспользоваться схемами Юнга.
. Каждая схема Юнга относится к определенному типу сим-
симметрии относительно перестановки независимых переменных,
соответствующей перестановке частиц. Схема Юнга для коор-
координатной волновой функции Ф от N переменных Xi, х2, ..., х^
определяются разбиением числа N всеми возможными спосо-
способами на сумму слагаемых N± + N% + - • • = N. Такое разбиение
наглядно изображается расположением N клеток строками,
в каждой из которых содержатся в порядке убывания числа
Nu N2, ... Например, число N = 4 можно представить пятью
способами
4 = 3+1=2 + 2 = 2+1 + 1 = 1 +1 + 1 + 1,
следовательно, при N = 4 имеется 5 схем Юнга
сш
LJ LJ_J _ _ G2,6)
J
i
—
Для краткого обозначения схем Юнга иногда используются
квадратные скобки, внутри которых указываются числа клеток
в каждой строке схемы Юнга. Так, приведенные выше схемы
Юнга для N = 4 изображаются соответственно
[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1].
Волновые функции, относящиеся к определенной ч:хеме Юнга,
получаются путем симметризации по переменным, входящим
в состав каждой строки, и антиеимметризашш по переменным,
входящим я состав каждого столбца, начиная с первого.
Схема Юнга [4] соответствует полностью симметричной
функции. Схема Юнга [1, 1, 1, 1] соответствует полностью анти-
антисимметричной функции. Остальные схемы Юнга в G2,6) изобра-
изображают волновые функции смешанной симметрии.
Так как переменные спиновой функции % частиц со спином,'/г
пробегают только два значения s = ±'/2. то функция i может
быть антисимметризована не более чем по двум переменным.
336 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
Другими словами, функции % могут соответствовать только схе-
схемам Юнга, содержащим не более двух строк. Например, для
системы из четырех частиц спиновые волновые функции могут
соответствовать только схемам Юнга
[ЩЦШ HIM --1- G2,7)
1
Здесь стрелками в клетках условно обозначены спиновые со-
состояния.
Можно показать*), что для систем, состоящих'из частиц
спина 1/2, волновые функции, соответствующие каждой схеме
Юнга, изображают состояния с определенным значением пол-
полного спина системы, значение которого в единицах Ь будет в
дальнейшем обозначаться буквой S. Например, спиновые функ-
функции, соответствующие схемам Юнга G2,7), изображают, соот-
*) Спиновая функция, соответствующая схеме Юнга —I-** 1 °-^ , анти-
симметрична относительно спиновых переменных частиц 1 и 4. Поэтому
зависимость этой функции от спиновых переменных частиц 1 и 4 можно
изобразить i определителем,1, который [не меняется1 при вращениях системы
координатных осей. Следовательно, спиновые функции, соответствующие
схемам Юнга |~|—'—* и I I I , будут обладать одинаковыми свой-
свойствами преобразования при вращении системы координат, т. е. они относятся
к одинаковым неприводимым представлениям группы вращения, В общем
случае, при определении неприводимого представления, к которому отно-
относится спиновая функция, содержащая две строчки с а- и р-клетками, сле-
следует отбросить все заполненные столбцы, т. е. схемы Юнга
ее клеток
q D
. . . I I I <x-j3 клеток
JS клеток
относятся к одному неприводимому представлению. Но функции б) пол-
полностью симметричны по отношению к а—р-спинам. Такие функции можно
построить, располагая все спины в одном направлении, поэтому они соот-
соответствуют состояниям с полным спином S — -jr- (а — Р). Следовательно,
2S + 1 спиновых функций %»»> соответствующих схемам Юнга а) и б) и
различающихся 2S + 1 значениями проекции полного спина, при вращении
координатных осей преобразуются друг через друга с помощью обобщенных
сферических функций Ds, т. е.
W = ]
.§ 721 СИММЕТРИЧНЫЕ И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 337
ветственно, состояния с полным спином 2, 1 и 0. Схемы
Юнга | f | f [ f |,И для спиновых волновых функций системы,
состоящей из трех частиц спина Уг, изображают соответствен-
соответственно два возможных состояния со спинами 3/2 и '/2. Схемы
Юнга | | | f | , Н~| системы двух частиц со спином 1/2 изобра-
изображают состояния со спином 1 и 0.
Схемы Юнга для спиновых функций характеризуют только
полный спин системы. Поэтому каждая схема Юнга, соответ-
соответствующая полному спину S4 изображает 2S + 1 различных спи-
спиновых состояний, которые отличаются друг от друга проекциями
полного спина.
Если обозначить волновые функции двух возможных спино-
спиновых состояний частицы спина 72 соответственно через а и р, то
спиновая функция, соответствующая схеме Юнга Ж. (суммар-
(суммарный спин равен 0), будет иметь вид
ЗСA. 2) = pL{o A) р B) - а B) р A)}. G2,8)
К схеме Юнга \\\\\ (суммарный спин равен 1) относятся три
спиновые функции
Jbsfl. 2) =
G2,9)
Каждому спиновому состоянию системы N частиц, т. е. каж-
каждой схеме Юнга для спиновой волновой функции %, можно найти
такую схему Юнга для координатной функции Ф, ч^тобы полная
функция^ была антисимметрична относительно одновременной
перестановки координатных и спиновых переменных любых двух
частиц. Например, если в системе четырех частиц спиновая
функция % соответствует схеме Юнга [4], то эту функцию надо
умножить на координатную функцию, соответствующую схеме
Юнга [1, 1, 1, 1]. В общем случае можно показать, что полная
волновая функция ¦ф будет антисимметричной, если спиновая
волновая функция, соответствующая некоторой возможной схеме
Юнга, .умножается на координатную функцию, соответствующую
338
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ
транспонированной схеме Юнга*). Например, для системы
тырех "частиц возможны три антисимметричные функции (индек-^
сы у функции ф указывают значение полного спина состояния)^ 4
4^
.f-
¦Л
Если система состоит из частиц полуцелого спина s > '/г. то
спиновая волновая функция будет содержать не больше чем
Bs + 1) строк. В этом случае, вообще говоря, полный спин си-
системы, состоящей более чем из двух частиц, не определяет одно-
однозначно схему Юнга спиновой функции.
Волновые функции систем- частиц, обладающих целым спи-
спином, должны быть симметричны, поэтому они изображаются
произведениями координатной и спиновой функций, относящихся
к одной и той же схеме Юнга, или линейными комбинациями
таких произведений. Некоторые вопросы симметрии волновой
функции системы, состоящей из двух частиц произвольного
спина, будут рассмотрены в теории рассеяния (§ 113).
§ 73. Элементарная теория основного состояния атомов
с двумя электронами
Исследуем энергетические состояния системы, состоящей из
двух электронов, движущихся в кулоновском поле ядра заряда
Ze. К таким системам относится атом Не, содержащий два элек-
электрона и ядро cZ = 2, однократно ионизированный атом Li, дву-
двукратно ионизированный атом Be и другие многократно ионизи-
ионизированные «гелиеподобные» ионы. Пренебрегая спин-орбиталь-
*) Каждой схеме Юига можно сопоставить несколько волновых функ^
ций. Поэтому, в общем случае, аитисимметризоваииые волновые функции
представляют собой линейные комбинации произведений функций, относя-
относящихся к указанным схемам Юнга. Эти комбинации выбираются так, чтобы
они были собственными функциями полного момента и других интегралов
движения.
§ 73] ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ АТОМОВ С ДВУМЯ ЭЛЕКТРОНАМИ 339
ным взаимодействием, можно записать оператор Гамильтона си-
системы в виде
Я = Я0A, 2) + Vlt2, G3,1)
где
^(f $*(± + j-) G3,1a)
оператор Гамильтона двух электронов в кулоновском поле
ядра, У|,2=7 оператор взаимодействия между электро-
электронами.
В нулевом приближении (когда не учитывается взаимодей-
взаимодействие между электронами) задача для обоих электронов сво-
сводится к рассмотренной в § 38 задаче о движении электрона в
кулоновском поле —Ze?/r. Энергия каждого электрона в этом
случае определяется формулой
„ ZV
" ~~ 2ап2 '
где а== й2/(це2) —боровский радиус, и— главное квантовое чи-
число. Уровню энергии еп соответствуют волновые функции <pnjm=
= fni{r)Ylm(B,4>).
Основное состояние системы в нулевом приближении соот-
соответствует состоянию, в котором оба электрона, находятся в со-
состоянии Is. Энергия этого состояния равна
? G3,2)
а волновая функция
Волновая функция G3,3) симметрична относительно переста-
перестановки пространственных координат двух частиц. Чтобы получить
антисимметричную полную функцию, надо умножить G3,3) на
антисимметричную спиновую функцию двух частиц %аA, 2).
Функция ХоA, 2) соответствует схеме Юрга Ш и изображает со-
состояние с нулевым значением полного спина. В первом прибли-
приближении теории возмущений энергия основного состояния системы
равна
E = E0 + Q, G3,4)
где
J^ G3,5)
— среднее значение энергии кулоновского взаимодействия двух
электронов в состоянии G3,3).
340 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ .[ГЛ. IX
¦ Для вычисления интеграла G3,5) удобно разложить l/пг по
сферическим функциям:
1 — га|
если гх > /у,
если г2 > гъ
где 6ьф1 и 6г, Фг — соответственно полярные углы радиусов^век-
торов г\ и г2. Если подставить это разложение и G3,3) в G3,5)
и учесть, что функция G3,3) не зависит от угловых переменных,
то при интегрировании по угловым переменным обратятся в нуль
все члены, кроме тех, для которых / = т = 0. Таким образом,
интеграл G3,5) преобразуется к виду
2Zr, I
A
' " ri&r<Ar\drv
Путем интегрирования по частям получим окончательное выра-
выражение для среднего значения энергии взаимодействия элек-
электронов
G3,6)
Подставляя G3,6) и G3,2) в G3,4), находим энергию основ-
основного состояния системы в первом приближении теории возму-
возмущений
Вычислим энергию ионизации атома гелия и соответствующих
гелиеподобных атомов. Энергия ионизации /, т. е. энергия, тре-
требуемая для отрыва одного электрона, равна разности энергии
— Z2e2/Bo) оставшегося электрона в поле заряда Ze и энергии
G3,7). Таким образом,
Можно получить более точные значения энергии и волновой
функции основного состояния системы двух электронов, исполь-
используя прямой вариационный метод. В основном состоянии оба
электрона находятся в состояниях с нулевым орбитальным мо-
моментом и с. антипараллельными спинами. Поэтому нормирован-
§ 73] ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ АТОМОВ G ДВУМЯ ЭЛЕКТРОНАМИ 341
ную пробную функцию можно выбрать в виде G3,3), заменив Z
вариационным параметром р:
Согласно § 51, задача определения энергии основного состояния
сводится к вычислению интеграла
?(P)J4otf4>odT,
где Я— оператор Гамильтона G3,1). Подставляя в ?(р) явное
выражение Я из G3,1) и учитывая, что Ъ2/ц = ае2г представим
?(Р) в виде суммы трех слагаемых
где
Таким образом, энергия системы как функция параметра
имеет вид
Теперь из условия минимума —т=® находим
po = Z-A.. G3,10)
Следовательно, энергия основного состояния системы
^ = ?(Po)=-(z2-|z + -§-)^, G3,11)
а волновая функция
где
Z* = Z--|- G3,13)
— эффективный заряд ядра.
Волновая; функция G3,12) отличается от водородоподобной
функции G3,3) тем, что в G3,12) входит не заряд ядра, а эф-
эффективный заряд, учитывающий тот факт, что каждый электрон
частично экранирует ядро от другого электрона.
.342 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
Вычисляя с помощью G3,11) энергию ионизации, получаем
/=-?о— "-25~==2^(Z2~TZ + l28")' G3-14)
В табл. 11 приведены экспериментальные значения энергии иони-
ионизации (в атомных единицах) и значения, полученные на основе
формул G3,8) и G3,14).
Таблица 11
' Энергия ионизации двухэлектронных систем
Экспериментальное
значение
Из формулы
G3.8)
Из формулы
Не
Ве++
С+++
0,9035
2.7798
5.6560
14,4070
0.75 ,
2,62
5,50
14.25
0,85
2,72
5,60
14,35
Из табл. 11 следует, что уже простой вариационный метод
.дает удовлетворительное согласие с экспериментом. Хиллераас
[55J показал, что путем использования пробной волновой функ-
аЦйи с несколькими вариационными параметрами можно получить
энергию двухэлектронных систем со спектроскопической точ-
точностью, т. е. порядка 10~6. При использовании функции с 8 пара-
параметрами Хиллераас получил для энергии ионизации атома гелия
«величину / = 0,9037, что хорошо согласуется с эксперименталь-
экспериментальным значением.
§ 74. Возбужденные состояния атома гелия.
* Орто- и парагелий
В нулевом приближении в основном состоянии атома гелия
.два электрона находятся в водородоподобных состояниях Is.
Это состояние кратко записывается в виде (IsJ. В скобках ука-
указано электронное состояние, а показатель степени указывает чи-
«сло электронов в этом состоянии. Такое изображение состояний
называется электронной конфигурацией. Первому возбужден-
возбужденному состоянию атома гелия будет соответствовать электронная
конфигурация.(Is)'BsI. Волновые функции этой конфигурации,
относящиеся к двум схемам Юнга [2] и [1, 1], можно записать
в виде
= T^fou (О Ф2* B) + Фи B) Ф2* A)],
Ф« = -j7=- [Фи @ Ф» B) - ф„ B) ф* A)].
G4,1)
.Полная волновая функция должна быть антисимметричной, по-
§ 741 ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ АТОМА ГЕЛИЯ
этому, в соответствии с § 72, можно сказать, что координатная
волновая функция Ф8 должна соответствовать спиновому состоя-
состоянию с антипараллельными спинами, (общий спин равен 0), а вол-
волновая функция Фо — спиновому состоянию с параллельными?
спинами (общий спин равен 1)! Состояния, имеющие антипарал-
антипараллельные спины, называются парасостояниями. Состояние, соот-
соответствующее функциям Ф8 (в частности, основное состояние
атома гелия), относится к парасостояниям. Состояния, в кото-
которых электроны имеют параллельные спины, называются орто-
состояниями.
В нулевом приближении пара- и ортосостояния Ф» и Фа кон-
конфигурации (Is)'BsI имеют одинаковую энергию. Однако, если
учесть взаимодействие между электронами, то энергия, этих
состояний оказывается различной: энергия парасостояния Ф*
несколько выше энергии ортосостояния Фа. В этом можно легко-
убедиться на основе простых качественных соображений. Из
вида функций G4,1) следует, что функция Фа равна нулю, а
функция Ф8 имеет наибольшее значение, когда координаты обоих
электронов совпадают. Таким образом, в состоянии Фо элек-
электроны находятся чаще далеко друг от друга, чем в состоянии Ф*
Поэтому средняя энергия кулоновского отталкивания электро-
электронов в состоянии Фо меньше, чщ в состоянии Ф8. Следова-
Следовательно, разница в энергии пара- и ортосостояний конфигурации
(IsI BsI является следствием корреляции в движении элек-
электронов, возникающей из условий симметрии волновых функций
по отношению к перестановке пространственных координат.
Для получения энергии орто- и парасостояний G4,1) в пер-
первом приближении теории возмущений достаточно вычислить
среднее значение оператора Гамильтона G4,1) в этих состоя-
состояниях. Таким образом, учитывая, что фи и <p2s являются водородо-
подобньши функциями, соответствующими энергиям eis и ег«, по-
получим энергию парасостояния
Es = J Ф,ЯФ, dx = е„ + е^ + Q + А, G4,2).
и энергию ортосостояния
Еа = J Ф„ЯФО tfт = е„ + ег, + Q - А, G4,,3)-
где
Q = J Ф?. @ Ч& B) -?¦ d*i d*»
А = J Ф„ A) ф25 B) ¦?- q>ls B) фг, A) dx, dx2. G4,5>-
Интеграл Q обычно называют кулоновским интегралом. Он оп-
определяет среднее значение кулоновской энергии взаимодействия;
344 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
электронов без учета корреляции движения электронов, обу-
обусловленной симметрией функций. Интеграл А обычно назы-
называют обменным интегралом. Он определяет часть кулоновского
взаимодействия, существенно связанную с корреляцией движе-
движений обоих электронов. Добавку,к энергии, обусловленную инте-
интегралом А, обычно называют обменной энергией. В некоторых
книгах по квантовой механике (например, [53], стр. 211) отме-
отмечается, что обменный интеграл «определяет частоту, с которой
оба электрона обмениваются своими квантовыми состояниями».
Такая интерпретация основана на пренебрежении спиновыми со-
состояниями электронов. Она не отражает никакого реального про-
процесса*). Обменная энергия является частью кулоновской энер-
энергии взаимодействия электронов, возникающей из-за особой кор-
корреляции в движении электронов, обусловленной соответствующей
симметрией (по отношению к перестановке пространственных
координат, а не самих частиц) координатных волновых функций.
*) Эта интерпретация обычно базируется на следующем рассуждении:
двум стационарным состояниям с энергиями Ее и Еа, определяемыми фор-
формулами G4,2) и G4,3), соответствуют две координатные волновые функции
(А)
где Ф8 и Фа определены G4,1). Рассмотрим далее нестационарное состояние,
описываемое функцией i]j (t) = (Ч^ + Ч^). Подставляя в это выражение
значения (А) и учитывая G4,1) — G4,3), получим
Ч> @ = [<PlS A) <P2S B) cos Ы + iq>IS B) Фм A) ш*
¦где
1 А
(e + e + Q) 6 =-у.
При < = 0 функция i])@) = q>u(l)(p2sB). Функция i])@) изображает состоя-
состояние, в котором первый электрон находится в состоянии Is, а второй — в со-
•стоянии 2s. При *==-|L = Jlp функция ¦$ (-Ц-) — i'<PiSB) cp2S A) e 26 .
Эта функция изображает состояние, в котором первый электрон находится в
•состоянии 2s, а второй — в состоянии Is. Поэтому и говорят, что электроны
меняются своими квантовыми состояниями. Легко, однако, видеть, что при
учете спиновых состояний приведенные выше рассуждения оказываются не-
неправильными. Действительно, с учетом спиновой переменной стационарные
•состояния с энергиями Ев и Еа определяются не функциями (А), а функциями
iEsj) и ^=Фа3Eехр(-г?а-|), (Б)
тде Ф„ и Фо определены G4,1), а спиновые функции %а и %s определяются
выражениями G4,8) и G4,9). Функции (Б) относятся к двум различным спи-
спиновым состояниям атома и из них нельзя образовать линейные комбинации,
допускающие приведенную выше интерпретацию.
§ 74] ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ АТОМА ГЕЛИЯ 345
Для вычисления интегралов Q и А надо подставить в G4,4)
и G4,5) явный вид водородоподобных функций
''> -— 1 /7\%/ 7г\ -—
К 2 \ а / \ а/
Экспериментальные значения энергий пара- и ортосостояний
атома гелия в конфигурации (Is)'BsI соответственно равны
?,= -2,146-J, ?„=-2,1754".
Возбужденные состояния атома гелия, соответствующие кон-
конфигурации (ls)lBp)], также разделяются на пара- и ортосостоя-
ния, которым соответствуют координатные функции
= -Jf foi. A) Ф2Р B) + Ф.Л2) Ф2Р A)],
, G4,6)
Ь = "^ [Фи (О Ф2Р B) - Фи B) Ф2р A)].
Экспериментальные значения энергии этих возбужденных со-
состояний соответственно равны
&=*- 2,124-^-, ?'„ = -2,133-^-.
^
Чтобы получить полные волновые функции орто- и парасо-
стояний, соответствующих конфигурации (Is)'BsI, надо умно-
умножить функции G4,1) на соответствующие спиновые функции.
Таким образом,
, 1&. = Ф.а. 2)ХОA,2),
где функция ХаA, 2) определена G2,8).
В соответствии с G2,9) ортосостояние определяется тремя
функциями
О. 2);
(l, 2);
которые соответствуют трем возможным спиновым состояниям,
отличающимся ориентацией суммарного спина S= 1.
Возбужденные состояния, соответствующие другим электрон-
электронным конфигурациям (в которые входят два разных одноэлек-
тронных состояния), также разделяются на пара- и ортосо-
стояния.
Итак, энергетические уровни атома гелия (и гелиеподобных
ионов) разбиваются на две системы уровней: парасостояния,
346 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
•соответствующие симметричным координатным функциям, и ор-
тосостояния, соответствующие антисимметричным координатным
•функциям. Каждому уровню парасостояния соответствует одна
спиновая функция (общий спин 0, спины электронов антипарал-
лельны). Каждому уровню ортосостояния соответствуют три спи-
спиновые функции (общий спин равен 1, проекции спина 0, ±1).
Уровни энергий парасостояний называют синглетными уров-
уровнями, уровни энергий ортосостояний называют триплетными
уровнями.
Оба интеграла Q и А положительны. Поэтому триплетное
состояние лежит ниже синглетного. Это частный случай прЯЪ
вила, известного как правило Хунда, согласно которому в одной!
электронной конфигурации состояния большего спина имек^г
меньшую энергию.
Если не учитывать спин-орбитальное взаимодействие, то Е\-
яереходы с испусканием или поглощением света между триплет-
триплетными и синглетными состояниями запрещены (из-за ортого-
ортогональности спиновых функций). 'В связи с этим синглетные и
триплетные состояния атома гелия являются в этом приближе-
приближении независимыми. Попав в нижайшее возбужденное триплет-
триплетное состояние фо[(IsI BsI]. атом гелия длительное время будет
находиться в этом состоянии (месяцы), так как изменение ориен-
ориентации спина одного из электронов трудно осуществимо. Из-за
большого времени жизни этодч) состояния его называют метаста-
билъным состоянием. Таким образом, атомы гелия, находящиеся
в синглетных и триплетных состояниях, можно рассматривать
как два разных типа атомов. Атом гелия, находящийся в син-
глетном состоянии, называют парагелием. Атом гелия, находя-
находящийся "в триплетном состоянии, называют ортогелием. Атомы
парагелия не имеют магнитного момента и образуют диамагнит-
диамагнитный газ. Атомы ортогелия обладают магнитным моментом и об-
образуют парамагнитный газ. Спектральные линии атомов пара-
парагелия одиночны. Спектральные линии ортогелия состоят из трех
близких линий (триплетов), соответствующих трем спиновым
состояниям, энергии которых при учете релятивистских попра-
поправок отличаются на малую величину.
Расщепление уровней в триплетных состояниях вызывается
взаимодействием между спиновым и орбитальным магнитными
моментами (спин-орбитальное взаимодействие) и магнитным
взаимодействием спинов обоих электронов. В триплетных состоя-
состояниях (Is)* BsI и других состояниях без орбитального момента
расщепление отсутствует, так как нет выделенных направлений
в атоме. В состоянии (lsIBpI и других состояниях с орбиталь-
орбитальным моментом появляется выделенное направление (направле-
(направление углового момента), поэтому сниновые состояния, отличаю-
отличающиеся проекцией спина на это направление, будут отличаться
§ 75J МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ ХАРТРИ—ФОКА 34Г
и энергией. Если ядро обладает спином и магнитным моментом,,
то появляется дальнейшее (сверхтонкое) расщепление энергети-
энергетических уровней, зависящее от квантового числа, определяющего*
полный момент количества движения всего атома. Количествен-
Количественное исследование тонкого и сверхтонкого расщепления уровней
атома гелия можно найти в [53].
§ 75. Метод самосогласованного поля Хартри — Фока -
Перейдем к исследованию приближенных методов вычисле-
вычисления энергетических состояний атомов, содержащих более двух
электронов. Пренебрегая спин-орбитальным взаимодействием,,
оператор Гамильтона атома в системе координат, связанной с
ядром атома, можно записать в виде
П'. /,*=*= 1.2 Z, G5,1>
где Hi — оператор Тамильтона /-го электрона в поле ядра заряда
¦Ze, Vkt— — оператор взаимодействия двух электронов; знак
гы
штрих над суммой указывает, что суммирование по k и / ведется5
при условии, что k ф I.
Для вычисления энергии основного состояния атома удобна
использовать вариационный метод (см. -§ 51). В этом случае
волновая функция атома определяется из равенства
б/ = б J Чз'Яф d-c = 0, G5,2>
при условии J -ф*-ф </тг = 1.
.Успех вариационного метода зависит от выбора пробной
функции ф. Построим пробную функцию из волновых функций
отдельных электронов'в виде простого произведения
-ф {rit2 ... rz) = ф, (г,) фг (Га) ... ц>z (rz). G5,3)
Выбор функции "ф в виде простого произведения координатных]
функций отдельных электронов соответствует предположению,!
что электроны движутся в атоме независимо друг от другая
Функция G5,3) не удовлетворяет требованиям симметрии отно-
относительно перестановки пар частиц, следовательно, мы не учиты-'
ваем корреляций в движении электронов, обусловленных эффек-
эффектом симметрии. Ниже будет рассмотрена и волновая функция-
с правильной симметрией.
Подставляя G5,3) в интеграл /-= I ф'Яфйт и учитывая, что
Hi действует только на координаты 1-го электрона, a Via — на
348 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ (ГЛ. IX
координаты ft-ro и 1-го электронов, преобразуем его к виду
VI Г 1 -Yi' Г • •
Теперь равенство G5,2) при дополнительном условии норми-
нормировки f qpjqp,dr,= l преобразуется к виду
кФ1 )
где вариации 6q>J удовлетворяют условиям
J бф^ф, dxt = 0. G5,5а)
Умножая каждое из равенств G5,5а) на неопределенный мно-
множитель Лагранжа — е/ и складывая с равенством G5,5), по-
получим
= S J вер,* ( Я, + Л J ср^Л drfe - еЛ Ф/ dT/ = 0. G5,6)
В интегралах G5,6) вариации 6q>J независимы, поэтому равен-
равенство G5,6) будет выполняться только при условии ¦ .
ГHl + 2 J
- s/l % = 0, / = 1,2 Z. • G5,7)
J
Система уравнений G5,7) является нелинейной системой инте-
гродифференциальных уравнений относительно неизвестных од-
ноэлектронных функций q>u q>2, ..., q>z-
Система уравнений G5,7) для определения одноэлектронных
функций и энергий ei была предложена впервые Хартри [56] на
основе физических представлений о среднем поле, создаваемом
электронами. Фок [57] получил систему уравнений G5,7) путем
использования вариационного принципа. Для решения системы
уравнений G5,7) Хартри применил метод последовательных
приближений. В качестве нулевого приближения используются
водородоподобные функции ф°; с помощью этих функций вычис-
вычисляется сумма
которая представляет собой среднюю энергию взаимодействия
/-го электрона со всеми остальными электронами, находящимися
в состояниях, описываемых функциями tp°. Подставляя это зна-
§ 75] МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ ХАРТРИ—ФОКА 349
чение вместо суммы, стоящей в G5,7), получаем систему (уже
независимых) уравнений для определения функций ф] в первом
приближении
Решив эту систему уравнений, вычисляем новую потенциальную
энергию
с помощью которой находятся функции ф(|> второго приближе-
приближения:
пор, пока не получится потенциальная энергия
Если этот процесс сходится, то можно продолжить его до тех
которая в системе уравнений
[tf, + ^(r,)-e,]q),(r,) = 0 G5,9)
будет приводить к почти тем же золновым функциям цц, с по-
помощью которых она вычисляется в G5,8). Полученная таким
способом потенциальная энергия G5,8) называется самосогла-
самосогласованным полем Хартри.
Путем введения самосогласованного поля в G5,9) многоэлек-
многоэлектронная задача сводится к одноэлектронной задаче, т. е. к реше-
решению уравнения Шредингера G5,9), содержащего координаты
только одного электрона. В этом' случае состояние атома при-
приближенно рассматривается как совокупность одноэлектронных
состояний. Такое приближение основано на использовании вол-
волновых функций атома в виде произведения G5,3) одноэлектрон-
одноэлектронных функций. Строго говоря, полную волновую функцию атома
нельзя представить в виде произведения G5,3), поэтому метод
самосогласованного поля учитывает только основную часть вза-
взаимодействия между электронами, а не полное взаимодействие
(см. §78).
При практических вычислениях самосогласованное поле Хар-
Хартри усредняется по направлениям радиуса-вектора п; тогда по-
потенциальная энергия делается сферически симметричной, что
позволяет искать решения q>i(r) в виде произведений сфериче-
сферических функций на функции, зависящие только от \г\.
Значения ед в уравнении G5,9) определяют энергетические
состояния отдельных электронов в атоме. Основное состояние
350
КВАНТОВАЛ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. IX
атома соответствует размещению Z электронов в согласии с
принципом Паули (по одному электрону на состояние) по со-
состояниям с наименьшей энергией. Возбужденные состояния
атома получаются при переходе электрона с занятого состояния
В. одно из свободных состояний с большей энергией. При таком
переходе несколько изменяется и самосогласованное поле Уу од-
однако при малых изменениях состояния движения одного элек-
электрона изменение У будет очень малым (так как У определяется
состоянием движения всех электронов атома), и его можно не
учитывать при приближенных вычислениях.
Суммарная энергия Е всех электронов в атоме определяется
выражением G5,4), если в интегралы подставить волновые
функции, соответствующие решениям системы уравнений G5,7).
Легко, однако, видеть, что эта энергия не равна сумме энергий
одночастичных состояний е*. Действительно, из G5,7) следует
В сумме 2 Щ энергия электростатического взаимодействия
учитывается дважды, поэтому в-согласии с G5,4) имеем
t=i
кФ1
Жак уже отмечалось выше, выбор пробной волновой функции
в виде простого произведения не позволяет учесть корреляцию
в движении электронов, обусловленную антисимметрией полной
функции. Самосогласованное поле, учитывающее корреляции в
движении электронов, было получено Фоком [57] на основе ис-
использования пробной волновой функции, правильно учитываю»
щей симметрию относительно перестановки частиц. В методе
Фока пробная функция строится с помощью волновых функций
отдельных электронов, зависящих как от пространственных, так
и от спиновых, переменных. Если |г — Совокупность простран-
пространственных и спиновых координат и %(|) — ортонормированная
система функций, то нормированная антисимметричная пробная
функция может быть выбрана в виде
Vzf
(Ei)
G5,10)
¦zfti) *z(Ea) ••• *z(lz)
Волновая функция G5,10) характеризует состояние электро-
электронов в атоме набором собственных функций tyi, ^фг, ..., tyz, од-
§75] МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ ХАРТРИ-ФОКА 351
нако, в отличие от функции G5,3), она не указывает, в каком
состоянии находится каждый электрон системы.
Хотя эта функция правильно учитывает одинаковость элек-
электронов, она тоже не является наиболее общим видом пробной
функции, которую следовало бы использовать в вариационном
методе.
Выбор одноэлектронных функций я])г(?), входящих в G5,10),
основан на предположении, что отдельные электроны движутся
в эффективном центрально-симметричном поле, образованном
ядром и остальными электронами. Поэтому состояния электро-
электронов характеризуются квантовыми числами /, т, sz.
Условимся записывать нормированную антисимметризован-
ную функцию G5,10) в сокращенном виде
V (li Iz) = Det М>„ %, .... i|>z}. G5,11)
Основному состоянию атомов с замкнутой электронной оболоч-
оболочкой соответствует только одна функция типа G5,10). Например,
волновая функция основного состояния атома бериллия, соот-
соответствующая / = L,— S = 0, может быть записана в виде
Знаки + и — указывают'спиновое состояние электрона.
У атомов с незамкнутой оболочкой антисимметричные функ-
функции, используемые в качестве пробных функций в G5,2), надо
выбирать в виде линейных комбинаций" функций типа G5,10).
Эти линейные комбинации составляются так, чтобы они соответ-
соответствовали определенным значениям полного.орбитального и спи-
спинового моментов всего атома. Например, возбужденным состоя-
состояниям атома бериллия, относящимся к электронной конфигурации
(lsJBs)lBpI, могут соответствовать значения S=0, / = L=l
и S — 1, L = 1, / = 0, 1,2. Функции этих состояний получаются
путем линейной комбинации, по правилам сложения (§ 42) трех
моментов (два спина и L = 1), двенадцати детерминантов
Det{ij>ls+, ij)U_, fe.,.
где m — 0, ± 1.
Корреляции в движении электронов определяются типом сим-
симметрии координатной части волновой функции. Как показано в
§ 72, симметрия координатной функции зависит от полного
спина системы. Поэтому состояниям с разными значениями пол-
полного спина системы в,методе Фока будут соответствовать раз-
разные самосогласованные поля. Покажем это на примере системы,
состоящей из двух частиц спина 7г-
Пусть оператор Гамильтона имеет вид
H~H°i + Hl + Vn, G5,12)
352 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
где Я? и Я° — операторы Гамильтона, действующие только на
координаты каждого электрона. Найдем уравнения, определяю-
определяющие парасостояния системы (суммарный спин равен 0), когда
одноэлектронные состояния относятся к двум разным ортого-
ортогональным и нормированным' функциям фо и фь, например для
конфигурации (IsI Bs)J. В парасостояниях координатные вол-
волновые функции симметричны, следовательно, в интеграле G5,2)
надо брать пробные функции в виде
W = ^L {сра A) <рь B) + Фа B) Фб A)}. G5,13)
Используя G5,12) и G5,13), вычисляем интеграл
/ = J ww dxl dr2 = J <р;яофй dx + J ф;
+ J Ф; (i) Ф;<2) vl2% B) <p e
b(l)q)flB)dT1dT2. G5,14)
Варьирование G5,14) по функциям ф* и ф* при условиях
J <p'q>ft dx = 6.э k; i, k= a, b,
сводится к варьированию выражения
* (' - ?e J фХ йт - ?ь J ср*ьфь л) - о.
Таким путем находим систему двух уравнений
(Я0 + П6 ~ Еа) Фа + П*Фь = 0, 1
где
— интеграл, учитывающий кулоновское взаимодействие элек-
электрона, находящегося в состоянии фь, с электроном, находящимся
в состоянии фо, без учета корреляции движения электронов. Ана-
Аналогичным образом определяется интеграл Жаа\
— обменный интеграл, учитывающий корреляцию в движении
электронов, обусловленную симметризацией^ координатных
функций.
§76] СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД ТОМАСА-ФЕРМИ 353
В ортосостоянии (S = l) координатная волновая функция
антисимметрична
1ТГ * Ж
поэтому система уравнений Фока будет иметь вид
» - Еа) <ра - ТЬащ = 0,
Система уравнений G5,16) отличается от системы уравнений
G5,15) знаками обменных интегралов. Если не учитывать пра-
правильной симметрии волновых функций, то обменные интегралы
в G5,15) и G5,16) будут отсутствовать. В этом случае обе си-
системы уравнений совпадают и переходят в менее точные уравне-
уравнения Хартри, в которых уровни энергии пара- и ортосостоянии
одинаковы.
Для атомов, состоящих из многих электронов, системы инте-
гродифференциальных уравнений, определяющих одноэлектрон-
ные состояния, очень сложны. Явный вид уравнений можно
найти в работе Фока [57] и в [58]. Решение уравнений Фока для
случая атомов Li и Na было найдено в работе Фока и Петра-
шень [59]. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспери-
экспериментом.
Метод самосогласованного поля Хартри — Фока нашел ши-
широкое применение для расчета собственных функций и энергий
сложных атомов. Практическое применение этого метода стал-
сталкивается с большими вычислительными трудностями численного
решения системы интегродифференциальных уравнений. Такие
вычисления требуют использования счетных машин.
; § 76. Статистический метод Томаса—Ферми
Математические трудности численного решения систем инте-
интегродифференциальных уравнений метода Хартри-г Фока, рас-
рассмотренных в предыдущем параграфе, значительно возрастают
по мере увеличения числа электронов в атоме. Поэтому для
сложных атомов этот метод редко применяется.
Для определения основных особенностей распределения элек-
электронов и поля в сложных атомах используется статистический
метод, предложенный Томасом [60] и Ферми [61]. При статисти-
статистическом рассмотрении нельзя объяснить индивидуальные свойства
каждого атома, однако этот метод позволяет объяснить общие
свойства атомов (радиус, энергия ионизации, поляризуемость
атома и др.) и их изменение при изменении заряда ядра.
Статистический метод Томаса — Ферми первоначально был
введен для вычисления распределения плотности электронов
354 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОЁЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
в тяжелых атомах. В настоящее время этот метод с успехом
применяется и к другим системам, содержащим много частиц
(молекулы, кристаллы, атомные ядра). Подробное изложение
статистического метода можно найти в монографии [62] и статье
[63], в этом параграфе мы приведем краткое изложение метода
для случая атомов.
В тяжелых атомах основная часть электронов находится в
состояниях с большими Квантовыми числами, или, другими сло-
словами, в состояниях, при которых длина волны электрона значи-
значительно меньше размеров атома. В этих условиях применимо ква-
квазиклассическое приближение, т. е. приближенно можно говорить
об импульсе электрона как функции координат. Пусть —eq>(r)—
"потенциальная энергия электрона в точке г (здесь е >• 0). В ста-
стационарном состоянии атома максимальная полная энергия дол-
должна иметь одинаковое значение во всех точках атома (иначе
электроны переходили бы из одних мест атома в другие). Обо-
Обозначим это постоянное значение через — еА. Тогда, если рт(г) —
максимальное значение импульса в точке г, то указанное выше
условие стационарности примет вид
Р2(г)ер(г)=-еА. G6,1)
С другой стороны, в основном состоянии максимальный им-
импульс электронов в некотором малом объеме v определяется
плотностью п{г) электронов в этом объеме. Связь между макси-
максимальным импульсом и плотностью находится из условия равен-
равенства (принцип Паули) числа электронов n(r)v числу возможных
3
„ „to p3m (г) v 4
состоянии 2-g- /2яд\з электронов в фазовом объеме YnPm \r> °-
Следовательно,
n<> G6'2>
Подставляя в G6,2) значение рт из G6,1), находим
]*. G6,3)
Будем предполагать, что атом обладает сферической симмет-
симметрией. Граница атома г — R определяется условием п(/?) = 0,
поэтому на границе атома
Ф(Д)=А G6,4)
Если атом нейтральный, то вне атома поле ядра заряда Ze пол-
полностью экранировано электронами, следовательно, для нейтраль-
нейтрального атома
§76] СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД 1ОМАСА — ФЕРМИ 355
Если число электронов в атоме N ?= Z, то на границе атома дол-
должно выполняться условие
G6,4a)
При г -> 0 потенциал должен совпадать с потенциалом ядра, т. е.
q>(r)-*Ze/r, если г-*0, или, учитывая, что А постоянно, это усло-
условие можно написать в виде
lim[r(q)(r) — A)\=Ze, если г->0. G6,5)
Электростатический потенциал ф(г) связан с плотностью
электронов уравнением Пуассона
= - 4яр, р = - еп (г). G6,6)
Исключая п(г) из уравнений G6,3) и G6,6) и учитывая, что для
сферического поля ^~-2~рг\г2 "т~Ь получаем уравнение То-
Томаса — Ферми
о у
Положим
Это уравнение удобно записать в безразмерной форме.
П
е (Ф - А) = If- Ф, г = bxZ~\ G6,8)
где
)
Тогда получим уравнение
Ух-*«=Ф\ G6,9)
Кроме граничных условий G6,4а) и G6,5), надо еще потре-
потребовать, чтобы на границе атома напряженность электрического
dm (Z ~ N)e
поля -г- непрерывно переходила в выражение -1 ^—, т.е.
должно выполняться условие
Если обозначить ^о = RZ'tyb, то в безразмерных переменных
граничные условия G6,4а), G6,5) и G6,10) принимают вид
\ =_?^-. G6,11)
356 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
Рассмотрим случай нейтрального атома (N — Z), тогда функ-
функция Ф должна удовлетворять уравнению G6,9) и граничным
условиям
Ф@)=1, O(x0)^O'W = 0, G6,11a)
где штрихом указана производная по х. Из G6,11а) и уравнения
G6,9) следует, что Ёсе производные функции Ф по х в точке
х = х0 обращаются в нуль. Поэтому Ф(х) тождественно равна
нулю для всех конечных значений Хо. Следовательно, радиус ней-
нейтрального атома, согласно уравнению Томаса — Ферми, беско-
бесконечно велик, т. е. Хо = оо. Решение уравнения G6,9) с гранич-
граничными условиями G6,11а) при хо = оо были найдены Ферми [61]
и другими авторами численным путем. Наиболее точные реше-
решения найдены Бушем и Колдуэллом [64]. В случае малых значе-
значений х функция Ф(х) может быть представлена рядом
ф (Х) = 1 _ 1,588* + ¦§¦**• + ...
Как показал Зоммерфельд [65], при больших значениях х
(х > 10) функция Ф выражается формулой
J • Л = 0,772.
Из G6,4) следует, что для нейтрального атома А = 0, по-
поэтому из G6,8) имеем
Подставляя это значение в G6,3), находим распределение плот-
плотности электронов в атоме
[f, G6,12)
где-
1 '1 ег\'/2
Из G6,12) следует, что распределение плотности электрического
заряда в различных тяжелых атомах подобно. Роль характери-
характеристического параметра длины играет величина
Плотность электронов резко уменьшается при х ^1, поэтому
значение х = 1 можно считать характеристическим радиусом
атома. В обычных единицах R = 0,885о2-''з. На рис. 11 указано
распределение радиальной электронной плотности D(r) =
5?= 4nn(r)r2 для атома ртути, вычисленное на основании теории
! 76]
СТАТИСТИ
МЕТОД ТОМАСА - ФЕРМИ
357
Томаса — Ферми (сплошная кривая). Для сравнения на том же
рисунке изображено штриховой кривой распределение электро-
электронов, вычисленное по методу Хартри [66]. (На рисунке расстояние
г выражено в атомных единицах длины а = 62/це2.)
Статистический метод, естественно, не учитывает индивиду-
индивидуальных свойств отдельных атомов и не передает строения элек-
электронных оболочек и распределения плотности сравнительно
60
¦40 -
го -
Рис. 11. Радиальное распределение С<г)'(в атомных единицах длнны) плотности
электронов в атоме ртути.
слабо связанных валентных электронов. Чтобы устранить суще-
существенный недостаток теории Томаса — Ферми, приводящий к
медленному спаданию плотности электронов на больших рас-
расстояниях, рядом авторов вводились различные поправки: исклю-
исключение электростатической собственной энергии электронов (Фер-
(Ферми и Амальди [67])", учет обменной энергии (Дирак [68], Иенсен
[69] и др.). Введение этих поправок значительно улучшило со-
согласие теории с экспериментом.
Для ионов решение уравнения Томаса — Ферми G6,9) зави-
7 Д^
сит от величины —j—, входящей в третье граничное условие
358 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
G6,11). Притом для положительных ионов теория приводит к
конечным радиусам иона даже без введения поправок. В послед-
последнее время метод Томаса — Ферми был с успехом применен к вы-
вычислению возбужденных состояний атомов щелочных металлов
(см. [70]).
§ 77. Периодическая система Менделеева
В двух предыдущих параграфах были рассмотрены прибли-
приближенные методы вычисления волновых функций и энергетических
состояний атомов периодической системы элементов Менделеева.
Основным результатом этих методов расчета было доказатель-
доказательство того, что в атомах можно приближенно говорить о движе-
движении отдельных электронов, на которые действует поле ядра и
самосогласованное поле остальных электронов. Этот результат
позволяет исследовать качественные закономерности строения
атомов на основе простых и элементарных рассуждений. В част-
частности, удается объяснить природу периодичности изменения
свойств, обнаруживаемую в ряду элементов, расположенных в
порядке увеличения атомного номера.
Суммарное электрическое поле, действующее на электрон в
атоме, отличается от кулоновского поля ядра, однако в некото-
некотором приближении его можно считать сферически симметричным.
Состояние электрона в таком поле будет характеризоваться че-
четырьмя квантовыми числами ft, I, m, ms. Сохраняя терминоло-
терминологию, введенную для атома водорода, будем называть эти кван-
квантовые числа соответственно: главным квантовым числом/ орби-
орбитальным квантовым числом, магнитным квантовым числом и
спиновым квантовым числом. Три последние квантовые числа
определяют: орбитальный момент количества движения, его про-
проекцию на ось г и проекцию спина электрона на ось z. Главное
квантовое число п в кулоновском поле однозначно определяет
энергию состояния. В сложных атомах, без учета спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия, энергия электрона зависит от двух кванто-
квантовых чисел п и I; эти числа используются для обозначения соот-
соответствующих энергетических состояний nl. Обычно вместо чис-
численных значений 1 = 0, 1, 2, ... пишутся соответственно малые
латинские буквы s, р, d, f, g, ...
Наблюдаемая обычно последовательность энергетических со-
состояний электронов в атомах в порядке возрастания энергии ука-
указана в табл. 12, В каждой строчке таблицы приведены состоя-
состояния, мало отличающиеся по энергии. Разности энергий состоя-
состояний, соответствующих разным строчкам таблицы, сравнительно
велики. Совокупность состояний, входящих в каждую строчку
таблицы, образует «электронную оболочку». Как видно из таб-
таблицы, энергии состояний в сложных атомах отличаются от энер-
\тп
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕНДЕЛЕЕВА
359
Электронные оболочки
Номер
оболочки
1
2
3
4
5
6
7
Электронные
СОСТОЯНИЯ
Is
2s, 2p
3s, Зр
4s, 3d, \р
5s, Ad, 5p
6s, if, 5d, 6p
7s, 6d, 5/, ...
в атомах
Полное число
состояний
в оболочке
2
8
8
18
18
32
гии состояний атома водорода. Например, в атоме водорода
состояния 3s, Зр, 3d имеют одинаковую энергию, а в сложных
атомах энергии этих состояний различны. Наименьшее значение
энергии имеет состояние 3s, наибольшее значение энергии — со-
состояние 3d. Эта разница в энергии может быть понята на основе
простых качественных рассуждений, если учесть самосогласо-
самосогласованное поле, действующее на данный электрон со стороны дру-
других электронов. Для учета
этого эффекта можно в пер- . Таблица 12
вом приближении использо-
использовать волновые функции во-
дородоподобных атомов.
Как показано в § 38, в со-
состояниях с орбитальным мо-
моментом, соответствующим
квантовому числу I, ради-
радиальная часть волновой
функции из-за наличия эф-
эффективного потенциала от-
талкивания —^—^-^ убы-
убывает, как г' при г->0. Сле-
Следовательно, электроны в s-состояниях могут подходить ближе
к ядру, чем электроны й- или /-состояний, поэтому электроны
s-состояний испытывают полное притяжение ядра в большей
степени, чем электроны d- и /-состояний. В связи с этим энергия
состояния 4s оказывается меньшей, чем у состояния 3d. Осо-
Особенно существенно экранировка сказывается в /-состояниях, на-
например уровень 4/ оказывается выше уровня 6s.
В основном состоянии атомов электроны заполняют, в согла-
согласии с принципом Паули, нижние энергетические состояния.
В каждом s-состоянии может быть не более двух электронов,
в р-состоянии — не более 6, в d-состоянии — не более 10, в /-со-
/-состоянии не более 14. В атоме гелия (Нег) два электрона запол-
заполняют первую оболочку (IsJ. В атоме неона (Nejo) полностью
заполнены две оболочки — конфигурация (lsJBsJBpN. Три
оболочки заполнены у атома аргона (Ari8). Четыре — у атома
криптона (Кгзб); пять — у ксенона (Хев4) и шесть оболочек за-
заполнено у атома радона (Ипвб). У перечисленных атомов
с заполненными оболочками суммарный орбитальный момент
и суммарный спин равны нулю. Эти атомы очень устойчивы,
с большим трудом вступают в химические соединения с дру-
другими атомами и слабо взаимодействуют между собой (инерт-
(инертные газы).
Начало каждой новой оболочки заполняется электроном в
s-состоянии. Все атомы с одним электроном сверх заполненных
360
КВАНТОВАЯ "ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. IX
оболочек имеют близкие химические свойства и относятся к ще-
лонным металлам: Li3, Nan, K19. №37. CS55, Fr87.
В табл. 13 указаны электронные конфигурации атомов пер-
первых 18 элементов периодической системы Менделеева.
Таблица 13
Электронные конфигурации атомов
Номер
оболочки
I
II
III
Z
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
Элемент
н
Не
Li
Be
В
С
N
О
F
Ne
Na
»
Si
Р
S
Cl
Аг
Is
1
2
2
2
2
,2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2p
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
3s
1
2
2
2
2
2
2
2
3p
1
2
3
4
5
6
В четвертой и пятой электронных оболочках имеется по 18 со-
состояний. В шестой электронной оболочке имеется 32 различных
состояния. Среди этих состояний 14 состояний относятся к типу
4/. Как уже отмечалось выше, радиальные функции /-состояний
быстро убывают при г-*0. На рис. i2 указано радиальное рас-
распределение электрического заряда в водородоподобных атомах
для состояний типа 4s-, 4p и 4/. Мы видим, что в состоянии 4/
электрон хотя и не подходит близко к ядру, однако находится
в областях атома более глубоких, чем внешние области, куда
простираются состояния 4р и особенно 4s. Еще более внешние
области атома занимаются электронами в состояниях 5s и 6s.
Состояния 4/ начинают заполняться после элемента лантана
(La67), у которого 54 электрона заполняют первые пять оболо-
оболочек, а состояние трех остальных электронов определяется конфи-
конфигурацией Ed)lFsJ. В атомах следующих 14 элементов: Cess,
1771
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕНДЕЛЕЕВА
361
Рг59, Nd60, Pm61, Sm62, Eu63, Gd64, Tb65, Dy66, Ноет, Er68,1"%,, Yb70,
Lu7i, которые называются элементами редких земель илн лантп'
нидами, заполняются состояния 4f. Поскольку электроны состоя-
состояний 4/ располагаются во внутренних областях атома, то внешний
слешу лантана^ахо^ловредаюс^земель достается почти неизмен-
н^ыгГХко1н^^1Гурация "(BSJ2)"; в связи jc этим мЖч^"скй? овбйсйа
этйх"МТШёТ1тШ^©чёньПБлШки и их относят к одной клетке перио-
периодической системы элементов, занимаемой лантаном.
В другой группе элементов: Thgo, Pa91, U92, Np93, PU94, Am95,
Cm96, BU97, Cfee. ES99, Fm100, Mvioi, последовательное увеличение
числа электронов в атоме,
соответствует заполнению
оболочки 5/ без изменения
конфигурации внешних
электронов. Конфигурация
внешних электронов GsJ
одинакова у всех этих эле-
элементов и совпадает с кон-
конфигурацией атомов актиния
Асад, поэтому такие элемен-
элементы называют актинидами и
относят к одной клетке пе-
периодической системы эле-
элементов, занимаемой элемен-
элементом актинием. ___.
Оболочечная структура
электронных состояний ато-
атомов, следующая из законов
Рис. 12.- Радиальное распределение электриче-
электрического заряда в водородоподобных атомах для
состояний 4s, 4p, 4f.
движения электронов, объ-
объясненных квантовой механи-
механикой, была в некоторой сте-
степени предугадана замечательным русским химиком Менделее-
Менделеевым в 1868 г., т. е. задолго до появления квантовой Механики.
Менделеев открыл периодический закон химических элементов,
который он выразил в виде таблицы «периодической системы
элементов по группам и рядам». Периодическая система элемен-
элементов Менделеева состоит из десяти» горизонтальных рядов, кото-
которые составляют семь периодов, и девяти групп (вертикальных
столбцов), в которых один под другим4 расположены сходные ме-
между собой элементы. Первоначальная таблица Менделеева со-
содержала только восемь групп, так как инертные газы в то время
не были еще известны. Произведенное Менделеевым размещение
элементов в периодической системе оказалось полностью отра-
отражающим строение атомов, найденное современной квантовой
механикой. Каждому периоду системы элементов, Менделеева
соответствует одна электронная оболочка в атоме.
362 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
§ -78. Спектральные и рентгеновские термы
В предыдущем параграфе состояние электронов в атомах ха-
характеризовалось электронной конфигурацией, т. е. указанием
одноэлектронных состояний. Например, конфигурация основного
состояния атома лития— (lsJBs)', конфигурация основного со-
состояния атома неона— (lsJBsJBpN и т. д. В основном состоя-
состоянии атомов инертных газов Не, Ne, Ar и др., когда электроны
заполняют одну, две и т. д. электронных оболочек, суммарный
орбитальный момент и суммарный спиновый момент всех элек-
электронов равны нулю. Следовательно, равен нулю и полный мо-
мент количества движения всех электронов. У атомов щелочных /
металлов Li, Na и т. д. с одним электроном сверх заполненных]
оболочек последний находится в состоянии с нулевым орбиталь-j
ным моментом (состояние ns), поэтому полный момент электро-1
нов атома равен спину электрона, т. е. 7г.
Для обозначения квантовых чисел оператора суммарного ор-
орбитального момента всех электронов атома ?=2^» прини-
принимающего значения 0, 1, 2, 3, 4 используются соответственно
большие буквы латинского алфавита S, P, D, F, G... Квантовое
число оператора суммарного спина всех электронов S = 2 **
i
может принимать значения О, '/г, I,-3/г. ••• Число 2S + 1 назы-
называют мультиплетностью состояния (или терма). Эте число ста-
ставится слева вверху от большой латинской буквы, характеризую-
характеризующей полный орбитальный момент вс§х электронов. Наконец,
квантовое число оператора полного момента атома / —Z + S
может принимать значения 0, '/г. 1,3/2, ... Эти числа указы-
указываются справа внизу от большой латинской буквы, характери-
характеризующей квантовое число L. Так, основное состояние атомов
инертных газов можно изобразить — 'So. Основное состояние
атомов щелочных металлов — 2Si/2. Например, такую характери-
характеристику имеет основное состоя'ние атома лития, соответствующее
конфигурации DsJBsI. Возбужденные состояния атома ли-
лития будут соответствовать конфигурациям (lsJBpI, (lsJCs)',
{lsJCp)\ (lsJCd)'. Каждой конфигурации типа (lsJ(npI
(п ^ 2) соответствуют два состояния 2А/2 и 2А/2, различающиеся
полным моментом количества движения. При учете спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия энергия уровней 2Р% будет немного
выше энергии уровней 2Ру2, соответствующих той же конфигура-
конфигурации электронов. Конфигурациям (lsJ(ndI, где п^З, будут при-
принадлежать состояния 2Z)»/j, 2D*k.
Итак, основное состояние атомов, имеющих больше одного
электрона вне заполненных оболочек, определяется указанием
электронной конфигурации неоднозначно. Каждой электронной
конфигурации соответствует несколько состояний, различаю-
§ 78] СПЕКТРАЛЬНЫЕ И РЕНТГЕНОВСКИЕ ТЕРМЫ 363
щихся значениями полного момента электронов. В приближении
самосогласованного поля, т. е. когда предполагается, что на каж-
каждый электрон действует центрально-симметричное поле У{}), со-
соответствующее усредненному взаимодействию остальных элек-
электронов и ядра, состояния атома, различающиеся полным момен-
моментом электронов, имеют одинаковую энергию. Это вырождение
частично снимается двумя типами взаимодействий:
а) частью кулоновского взаимодействия, не сводящегося к
центрально-симметричному самосогласованному полю. Это вза-
взаимодействие, характеризующееся оператором
Уо«®~*У.т- У @, G8,1)
* ik
будем называть остаточным взаимодействием;
б) спин-орбитальным взаимодействием. Оператор спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия для одного электрона можно записать
в виде
i G8,2)
где U и Si — операторы орбитального и спинового момента элек-
электрона.
Как было показано в § 64, спин-орбитальное взаимодействие
является одним из трех операторов, которые надо вводить при
исследовании релятивистских поправок к движению электрона
в центральном поле. При качественном исследовании доста-
достаточно учитывать только G8,2).
Величина и характер расщепления зависят от относительной
роли указанных взаимодействий. Обычно в атомах остаточное
взаимодействие больше спин-орбитального. В этом случае в опе-
операторе Гамильтона в первом приближении можно не учитывать
спин-орбитальное взаимодействие. Такое приближение назы-
называется случаем Расселя — Саундерса. В случае Расселя — Саун-
дерса интегралами движения, кроме полного момента / всех
электронов, являются суммарный орбитальный момент всех
электронов, оператор которого
?=2/i, G8,3)
и суммарный спин всех электронов, оператор которого
. S=S«/. G8,4)
Суммы в G8,3) и G8,4) следует понимать в смысле векторного
сложения.
Состояние атома теперь можно характеризовать че-
четырьмя квантовыми числами L, S, ML, Ms, определяющими
364 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
соответственно квадраты орбитального и спинового моментов и
их проекции. Вместо четырех квантовых чисел L, S, ML, Ms
часто используют четыре других L, S, I, М, где / и М — кванто-
квантовые числа, определяющие квадрат полного момента количества
движения электронов и его проекцию. Энергия состояний зави-
зависит только от квантовых чисел L и S. и случае использования
квантовых чисел L, S, ML, Ms это следует непосредственно из
факта независимости энергии от магнитных квантовых чисел
ML и Ms (в атоме нет выделенных направлений). Поскольку
состояние L, S, J, М представляет собой линейную комби-нацию
состояний LSMLMS с различными ML и Ms, но одинаковыми L,
S, то энергия состояний LSJM не зависит от / и М.
Приближение Расселя — Саундерса, в котором L2 и S2 яв-
являются интегралами движения, носит название схемы LS-связи.
Эта схема связи является основой качественного описания со-
состояний атома, получившего название векторной модели атома.
В этой модели орбитальные моменты отдельных электронов рас-
рассматриваются независимо от спиновых моментов. Полный мо-
момент атома образуется путем векторного сложения суммарного
орбитального L и суммарного спинового S моментов.
Система BL -f-1) B5 -\-1) -состояний, принадлежащих опре-
определенной электронной конфигурации с заданными значениями L
и 3, называется спектральным термом или просто термом. Вели-
Величина (z6 -f 1) называется мультиплетностью терма. Если L^S,
•fo мультиплетность терма определяет число различных значений
/, т. е. число уровней, на которое расщепится терм при учете
спин-орбитальной связи. Если L < S, то число различных значе-
значений / будет равно 2L + 1, т. е. число уровней будет меньше
мультиплетности терма. При S = О 2S + 1 = 1 и термы, назы-
называются синглетными; при S = '/г 2S + 1 = 2 и термы назы-
называются дублетными; при S = I-— триплетными, при S = 3/г —
квартетными; при S = 2 — квинтетными и т. д.
ч Поясним сказанное примерами. В атоме гелия конфигурации
(Is)'BsI может соответствовать синглетный терм парагелия
'So, соответствующий спину, равному 0, и триплетный терм орто-
ортогелия 3Si, соответствующий суммарному спину, равному 1. Как
показано в § 74, энергия триплетного терма меньше энергии син-
глетного терма. Поскольку в состоянии 3Si суммарный спин ра-
равен 1, а орбитальный момент равен 0, то полный момент равен
только одному значению A), и энергия трех возможных состоя-
состояний-остается вырожденной и при учете спин-орбитального взаи-
взаимодействия. Конфигурации электронов (lsIBpI в атоме гелия
соответствует один терм парагелия 1Р\ и три терма ортогелия
8Ро, 3Ри 3Я2, различающиеся значениями полного момента @, 1
и 2). При учете спин-орбитального взаимодействия энергия этих
термов становится разной.
§78] СПЕКТРАЛЬНЫЕ И РЕНТГЕНОВСКИЕ ТЕРМЫ 365
Так же как в атоме гелия, энергетические термы всех
других атомов с двумя электронами сверх заполненных обо-
оболочек (Ве4 с конфигурацией (lsJBsJ; Mgi2 с конфигурацией
(IsJBsJBpNCsJ; Ca20; Sr38; Ba5(s; Ragg) могут быть двух ти-
типов: синглетные и триплетные. Основное состояние этих атомов
соответствует терму 'So:
Электронной конфигурации (lsJBsJB/?J атома углерода
в схеме LS-связи соответствуют термы в порядке возрастания
энергии _ ~~\J^~ ..... ^ AS-o L-Чу
Без учета спин-орбитального взаимодействия первые три терма
имеют одинаковую энергию.
Расположение термов, соответствующих одной электронной
конфигурации, в схеме LS-связи подчиняется правилам Гунда
[71]: а) наименьшей энергией обладают состояния с наибольшим
значением S; б) в группе состояний с данным S наименьшую
энергию имеют состояния с наибольшим значением; L.1
Как 'уже отмечалось, схема LS-связи соответствует прибли-
приближению Расселя— Саундерса, при котором предполагается, что
энергия остаточного взаимодействия значительно больше спин-
орбитального взаимодействия. В некоторых тяжелых атомах и
атомах, содержащих почти заполненные электронные оболочки,
возможны случаи, когда спин-орбитальное взаимодействие пре-
превышает остаточное взаимодействие.
Рассмотрим предельный случай, когда остаточным взаимо-
взаимодействием можно пренебречь по сравнению со спин-орбиталь-
спин-орбитальным взаимодействием G8,2). В этом случае состояние отдель-
отдельных электронов можно характеризовать квантовыми числами
nljtn, так как квадраты орбитального и полного моментов коли-
количества движения каждого электрона будут интегралами движе-
движения. Полный момент количества движения всех электронов
атома будет складываться из полных моментов отдельных элек-
электронов, т. е. для соответствующих операторов, имеет место ра-
равенство J = 2 /*• При этом ]{= lt + s{. Таким образом, со-
состояние электронной оболочки будет характеризоваться набо-
набором квантовых чисел ndi\i для каждого электрона и квантовыми
числами J п М для всех электронов. В этом случае говорят, что
осуществляется схема jj-связи. Без учета остаточного взаимо-
взаимодействия, состояния, различающиеся значениями / и М, при дан-
данном наборе квантовых чисел пг/г/г- вырождены. Под действием
слабого остаточного взаимодействия состояния, соответствующие
разным значениям /, расщепляются.
В атомах случай //-связи в чистом виде не реализуется.
Наиболее часто реализуется промежуточная связь, так как
366 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
остаточное и спин-орбитальное взаимодействия сравнимы по
порядку величины.
Возбужденные состояния атомов являются квазистационар-
квазистационарными, так как всегда имеется некоторая вероятность возвраще-
возвращения атома в основное состояние с испусканием одного или
нескольких фотонов. Наименьшие возбуждения атома соответ-
соответствуют квантовым переходам в более высокие возбужденные
состояния наиболее слабо связанных «оптических» электронов,
т. е. электронов, которые в основном состоянии заполняют обо-
оболочку, соответствующую наибольшей энергии. Например, в
атоме натрия с конфигурацией (IsJBsJBpNCsI и калия
с конфигурацией (IsJBsJBpNCsJCpNDs)' оптическими элек-
электронами будут соответственно электроны состояний 3s и 4s.
В атомах редких земель оптическими электронами будут элек-
электроны 4/ и т. д. Следует, конечно, помнить об условности такого
названия. В атоме все электроны эквивалентны и нельзя ука-
указать, какой из электронов находится в данном состоянии.
Малое значение энергии возбуждения при квантовых перехо-
переходах оптических электронов обусловлено тем, что эти электроны
имеют возможность переходить в соседние, близко лежащие не-
незаполненные состояния. Возбуждение внутренних электронов
средних и тяжелых атомов, например электронов первой обо-
оболочки Is возможно лишь в том случае, когда электрону будет
сообщена большая энергия, достаточная для перевода его в не-
незанятое состояние внешних оболочек. Обычно эта энергия соот-
соответствует энергии квантов рентгеновских лучей.
В средних и тяжелых атомах при удалении электрона Is во
внешнюю оболочку (какую именно в первом приближении несу-
несущественно) получается конфигурация с одним свободным ме-
местом (одной «дыркой») в оболочке Is. Энергия образующейся
конфигурации будет очень велика. Такое состояние называется
рентгеновским К-термом.- Таким образом, /(-терм соответствует
возбужденному состоянию атома, при котором в электронной
оболочке Is имеется одно свободное место. При перестройке
электронной оболочки, сопровождающейся заполнением этого
пустого места электроном, переходящим из других оболочек, ис-
испускаются кванты рентгеновских лучей. Например, переход элек-
электрона с состояния Чр сопровождается испусканием фотонов с
длиной волны ~0,12 А в атоме урана и ~1,9 А в атоме железа.
Образование «дырки» в других местах заполненных электрон-
электронных оболочек приводит к другим возбужденным состояниям —
рентгеновским термам, которые классифицируют указанием
квантовых чисел nlj свободного состояния с помощью символов:
2si/2, 2рЧг или специальными символами Li, Ьц, ... Соответствие
между этими символами указано в табл. 14. В тяжелых атомах
состояния, соответствующие малым квантовым числам п, мало
I 79]
ОБОЛОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ АТОМНОГО ЯДРА
367
отличаются от водородоподобных из-за незначительного влия-
влияния экранировки поля ядра другими электронами, поэтому со-
состояния, соответствующие одному значению п, имеют близкие
энергии. Отклонение самосогласованного поля от кулоновского
приводит к небольшому расщеплению уровней, соответствующих
разным значениям I, а релятивистские поправки (спин-орби?аль-
ное взаимодействие и др.) приводят к расщеплению уровней,
соответствующих разным значениям / (правильные, или реляти-
релятивистские дублеты).
Таблица 14
Обозначения рентгеновских термов
Состояние дырки
Рентгеновский
терм ....
К
h
2p,k
hi
2Р%
Зч
Щ
Зр,/2
мп
мш
3d,,,
Щу
ЗА/,
My
При более точном рассмотрении надо учесть зависимость
рентгеновских термов от структуры внешних электронных обо-
оболочек.
Квантовые переходы, сопровождающиеся испусканием рент-
рентгеновских лучей, соответствуют переходам электронов с внеш-
внешних оболочек в незанятые состояния. Иногда говорят, что такие
переходы соответствуют перемещению «дырки». Так, например,
переход электрона из состояния 2pi/2 в свободное состояние lsy2
соответствует перемещению «дырки» из К-оболочки в Ln-обо-
лочку. При такой интерпретации нормальное состояние атома
соответствует положению «дырки» в наружной незанятой обо-
оболочке.
§ 79. Оболочечиая. модель атомного ядра
Атомные ядра представляют собой образования из протонов
и нейтронов, имеющих спин '/2 и массу, примерно в 1840 раз пре-
превышающую массу электрона. Между этими частицами действуют
ядерные силы малого радиуса действия (порядка 10~13 см);
между протонами также действуют обычные кулоновские силы
отталкивания.
Протоны и нейтроны принято называть нуклонами. Вслед-
Вследствие сильного взаимодействия между нуклонами можно гово-
говорить о состояниях всего ядра в целом, а не о состояниях отдель-
отдельных нуклонов. Однако при приближенном рассмотрении для
объяснения многих свойств ядер оказалась очень полезной так
называемая оболочечная модель ядра, в которой допускается
368 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IX
возможность описания состояния ядра через состояния отдель-
отдельных нуклонов.
Оболочечвая модель ядра исходит из допущения, что в атом-
атомном ядре каждый нуклон движется до некоторой степени неза-
независимо в усредненном поле, образованном другими нуклонами.
Такое поле напоминает самосогласованное поле, действующее
на электрон в атоме, однако эта аналогия далеко не полная.
В атоме основной вклад в среднее поле вносит атомное ядро.
Из-за большой массы ядра по сравнению с массой электронов
положение ядра можно считать фиксированным, а самосогласо-
самосогласованное поле относительно устойчивым. В ядрах атома нет такого
стабилизирующего центра, кроме того, ядерные силы обладают
радиусом действия, лишь немногим превышающим среднее рас-
расстояние между нуклонами в ядре. В связи с этим роль остаточ-
остаточного взаимодействия в ядре сравнительно велика. Возможность
введения однонуклонных состояний для описания свойств ядер
облегчается принципом Паули: изменение состояния движения
отдельного нуклона происходит лишь в том случае, когда ему
сообщается энергия, достаточная для перевода его в состояние,
не занятое другими нуклонами. Поэтому средняя длина свобод-
свободного пробега нуклона малой энергии в ядерном веществе равна
приблизительно 20-10~13 см, т. е. значительно превышает диа-
диаметр ядра.
.Для многих ядер среднее ядерное поле обладает сферической
симметрией. Поэтому состояния отдельного нуклона в ядре мо-
можно характеризовать значениями квантового числа /, опреде-
определяющего орбитальный момент нуклона. В отличие от атомов,
в ядре спин-орбитальное взаимодействие играет значительно
большую роль. Для средних и тяжелых ядер спин-орбитальное
взаимодействие столь велико, что полный момент количества
движения ядра образуется по схеме //-связи.
Последовательность энергетических уровней нуклонов в ядре
определяется явным видом зависимости потенциальной энергии
от расстояния до центра ядра. В настоящее время установлено,
что эта зависимость может быть приближенно выражена функ-
функцией ~
[ (^)]~\ G9,1)
где а = 0,5-10-13 см, R — 1,33-Л'ЧО-13 см (Л —массовое число
ядра), То ~ 50—60 Мэв. Для тяжелых ядер форма потенциаль-
потенциальной кривой близка к прямоугольной потенциальной яме. Поло-
Положение энергетических уровней в такой идеализированной яме
исследовалось в § 36. Спин-орбитальное взаимодействие приво-
приводит к расщеплению уровня с данным значением / Ф 0 на два
уровня, соответствующие значениям / = / ± '/г-
§ 79] " ОБОЛОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ АТОМНОГО ЯДРА 369
Оператор сПин-орвитального взаимодействия для ядерного
потенциала был найден в* § 64. Для центрального потенциала
grad V =—-jr-, поэтому F4,20) принимает вид
<79'2>
где L = [/" Хр]. V — потенциальная энергия взаимодействия дан-
данного нуклона со всеми остальными нуклонами. Следует иметь
в виду, что в формулу G9,2) входит истинная потенциальная
энергия взаимодействия данного нуклона со всеми остальными
нуклонами, а потенциальная энергия G9,1) является усреднен-
усредненным взаимодействием, которое плавно зависит от г. Если s =
=jff и/ = !-(-«, то 2sL = /2 — L2 — s2. Собственные значе-
значения /2 = й2/(/+ 1) и L2 = h2t(t + 1), поэтому среднее значение
Ц^яд в состоянии с определенными значениями I к j будут равны
/ / + /2' G93)
A(l+l), если / = /-V2, ™^
где
л~~ BтсJ \г дг
Явный вид V (г) неизвестен, поэтому величину А приходится под-
подбирать «з экспериментальных данных.
Из G9,3) следует, что вследствие спин-орбитального взаи-
взаимодействия уровень энергии с определенным значением / рас-
расщепляется на два уровня. Величина расщепления пропорцио-
пропорциональна квантовому числу /; уровень с ббльшим значением пол-
полного момента / = / + '/г лежит ниже, чем уровень с j = I — 7г.
(Напомним, что для электронов в атомах расположение было
обратным.)
На рис. 13 приведено относительное положение энергий со-
состояний нуклонов в ядре с учетом спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия. В соответствии с принципом Паули число нуклонов опре-
определенного типа «на 'каждом энергетическом уровне не может
превышать числа состояний 2/ + 1 с данной энергией.
Группы состояний, мало отличающихся по энергии, назы-
называются нуклонными оболочками. Первая оболочка для нейтро-
нейтронов образуется состоянием lsi'/a. На этой оболочке могут нахо-
находиться два нейтрона. Вторая оболочка соответствует состояниям
1р>/„ lpi/2. На этой оболочке могут находиться 6 нейтронов.
Третья оболочка образуется состояниями ld«/s» 2si/2, ld% и т. д.
Протонные оболочки соответствуют таким же квантовым числам.
У легких ядер протонные и нейтронные оболочки мало отли-
отличаются по энергии. В этом случае у устойчивых ядер число
370
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СИСТЕМ ОДИНАКОВЫХ ЧАСТИЦ
[ГЛ. IX
протонов и нейтронов почти одинаково. Если, например, число
нейтронов превышает число протонов, то нейтроны будут зани-
занимать более высокие энергетические уровни. Такое ядро будет не-
неустойчивым. Нейтрон, испуская электрон и антинейтрино, пре-
превратится в протон и займет более низкое энергетическое состоя-
состояние. Если число протонов превы-
превышает число нейтронов, то проис-
происходит превращение протона в
нейтрон с испусканием нейтрино
и позитрона.
В тяжелых ядрах кулонов-
ское отталкивание между прото-
протонами (оно возрастает пропорцио-
пропорционально квадрату числа прото-
протонов) делается значительным. По-
Поэтому уровни энергии протонов бу-
будут выше соответствующих уров-
уровней энергии нейтронов. В этом
случае устойчивые ядра содержат
больше нейтронов, чем протонов.
Когда число протонов и число
нейтронов достигает значений,
указанных на рис. 13 числами в
кружках, то полностью запол-
заполняются соответствующие» нижние
оболочки. Эти числа: 2, 8, 20, 28,
50, 82 и 126 называют магиче-
магическими числами. К. таким ядрам
относятся Не*, Og6, CaS, Pbi8. Эти
ядра в некотором смысле соот-
соответствуют атомам инертных га-
газов, у которых заполнены элек-
электронные оболочки. Они являются
наиболее устойчивыми ядрами и
менее охотно вступают в ядер-
ядерные реакции.'
Большая устойчивость ядер с заполненными протонными и
нейтронными оболочками связана еще с «эффектом спаривания
нуклонов». Оказывается, что взаимодействие пары нейтронов
(протонов), имеющих проекции полного момента, отличающиеся
только знаком, значительно сильнее, чем взаимодействие других
пар нуклонов. Эффект спаривания обусловлен остаточным взаи-
взаимодействием нуклонов в ядре. В ядрах с четным числом прото-
протонов и четным числом нейтронов (четно-четные ядра) все ну-
нуклоны спарены. Поэтому суммарный момент количества движе-
движения четно-четного ядра, находящегося в основном состоянии,
ts
Рис. 13. Схема энергетических уровней
нуклонов в атомном ядре. Слева ука-
указаны значения /, посередине—значе-
посередине—значения /.
Цифры в кружках справа указывают
число нейтронов (протонов), которыми
заполняются все уровни с меньшей
энергией.
§ 79] ОБОЛОЧЁЧНАЯ МОДЕЛЬ АТОМНОГО ЯДРА &7I
всегда равен нулю. Образование возбужденного состояния в та-
таком ядре требует около 1—2 МэВ энергии для «разрыва пары».
У ядер с заполненными нейтронными и протонными оболочками
возбуждение ядра соответствует энергии 6—8 МэВ, так как у та-
таких ядер «разрыв пары» нуклонов возможен только при пере-
переводе одного из нуклонов пары в более высокую незаполненную
оболочку.
В наиболее простом и примитивном варианте оболочечной
модели нечетных атомных ядер (одночастичная модель ядра)
предполагается, что все нуклоны ядра, за исключением послед-
последнего, нечетного, соединяясь парами, образуют «инертный остов».
Момент количества движения ядра (спин ядра), магнитный мо-
момент и. первые возбужденные состояния ядра определяются со-
состоянием движения этого нечетного нуклона в поле «инертного
остова». В более совершенной модели, оболочек ядро рассмат-
рассматривается как определенное число нуклонов, образующих запол-
заполненные оболочки плюс внешние нейтроны и протоны незаполнен-
незаполненных оболочек. Используя далее приближение //-связи для сред-
средних и тяжелых ядер и Z-5-связи для легких ядер, рассматривают
состояния ядра, соответствующие различным значениям полного
спина с учетом остаточного взаимодействия между нуклонами.
Более детально с методами теории оболочек можно познако-
познакомиться в обзоре Эллиота и Лейна ([72], ч. IV) и в курсах теории
ядра [73}
ГЛАВА X
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ,
СОСТОЯЩИХ ИЗ ОДИНАКОВЫХ БОЗОНОВ
§ 80. Вторичное квантование электромагнитного
поля без зарядов
В системах тождественных частиц описание состояния не
должно зависеть от нумерации частиц. Это свойство отражается
в симметрии функций относительно перестановки любой пары
частиц. В § 71 было указано, что состояния систем бозонов —
частиц с целым спином — описываются только симметричными
функциями относительно этой перестановки. Исследование таких
систем удобнее всего производить в представлении квантовых
чисел заполнения или, как часто говорят, в представлении вто-
вторичного квантования, которое автоматически выбирает функции
нужной симметрии.
В обычном координатном представлении волновые функции
системы N частиц с а степенями свободы зависят от No пере-
переменных. В представлении вторичного квантования все опера-
операторы выражаются через операторы рождения и уничтожения
частиц в одночастичных состояниях с числом степеней свободы
только одной частицы, а состояние всей системы описывается
функциями, зависящими от чисел, указывающих число частиц
в каждом одночастичном состоянии. В связи с этим метод вто-
вторичного квантования значительно облегчает исследование си-
систем с большим числом частиц. Этот метод практически неза-
незаменим при исследовании систем с переменным числом частиц,
т. е. систем, в которых происходят взаимопревращения частиц.
В последнем случае используется полевое описание, а именно
частицы рассматриваются как кванты некоторого поля. Взаи-
Взаимодействие между частицами осуществляется через другие поля,
квантами которых являются другие частицы. Поля соответ-
соответствующих частиц рассматриваются как динамические перемен-
переменные. Они являются функциями координат и времени. Однако эти
координаты характеризуют точки пространства и не являются
координатами частиц.
В этом параграфе мы исследуем методом вторичного кван-
квантования систему фотонов, т. е. квантов электромагнитного поля.
Электромагнитное поле в вакууме в классической электроди-
§ 80] КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ БЕЗ ЗАРЯДОВ 373
намике [74] описывается с помощью плотности функции Ла-
гранжа
где А — векторный потенциал, через который при условии
div А = 0 выражаются напряженности электрического Е и маг-
магнитного В полей
Е=-±2±. В = rot A. (80,2)
Учитывая, что -^ = — -^- rot rot А, и решая уравнение Ла-
гранжа
получаем из (80,1) первое уравнение Максвелла
Т~Ж"=гЫВ- (80'3>
Три других уравнения
следуют автоматически из (80,2).. Из (80,2) и (80,3) получим
также уравнение движения для векторного потенциала
^--№А = 0. (80,4)
Согласно (80,1), обобщенный импульс Р, сопряженный век-
векторному потенциалу, определяется выражением
р— я(дл\ —Ш~дГ- ¦
д\~дГ)
Следовательно, функция Гамильтона, выраженная через век-
векторный потенциал и обобщенный импульс, принимает вид
Н = ¦ J { 2пс2В2 + -gj (rot AJ } d*r. (80,6)
Предположим, что электромагнитное поле заключено в большой
объем V, имеющий форму куба с ребром V\ и удовлетворяет
циклическим граничным условиям с периодом V'3. Тогда можно
374 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ. X
провести фурье-преобразования ,
А (г, t) = -±=г 2 е« «?) AQa (t) ei(*r, AQa = A*-Q, „, (80,7)
Q, a
P (r, i) = -~ 2 вв (Q) Po« @ е-'9', POa = Р-Ь, a, (80,8)
^ 0, a
где компоненты волнового вектора Q пробегают бесконечный
ряд дискретных значений
\h 1=1, 2, 3; ^ = 0, ±1, ±2, ...;
ea(Q)—единичные вещественные векторы поляризации, удов-
удовлетворяющие условиям *)
Qea (Q) = 0, еа (Q) ep (Q) = бар, а, р = 1, 2, 3. (80,9)
Векторный потенциал (80,7) удовлетворяет уравнению (80,4),
если AQa(t) изменяется со временем по гармоническому закону
ДОа@ = Ле„@)е~~(Х 4 = c2Q2. (80,10)
Переход от классического к квантовому описанию состоит
в замене Aqu, Pq0 операторами, удовлетворяющими переста-
перестановочным соотношениям
[AQa @, Ptya' @1 = ihdQQ'daa'. (80,11)
В представлении чисел заполнения эти операторы выражаются
через бозе-операторы рождения a?a и уничтожения aQa эле-
элементарных возбуждений поля — фотонов с волновым век-
вектором Q и поляризацией еа
(80,12)
при этом
[aQa(t), a%a-(t)] = 600'6aa', [аОа@, ао-а'@] = 0. (80,13)
Проведя соответствующие преобразования в (80,7) и (80,8),
получим операторы векторного потенциала и сопряженного
*) Вещественные векторы ea(Q) определены условиями (80,9) неодно-
неоднозначно. Можно ввести другую пару единичных векторов, повернутую по от-
отношению к первой в плоскости, перпендикулярной Q Вместо вещественных
векторов, определяющих линейную поляризацию фотонов, можно ввести
комплексные векторы
е+ (Q) = - 2-'* [е, (Q) + ie2 «?)], е_ «?) = 2~* [е, (Q) - ie2 (<?)],
характеризующие левую и правую круговые поляризации.
§ Щ КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ БЕЗ ЗАРЯДОВ 375
к нему обобщенного импульса, выраженные через операторы
рождения и уничтожения фотонов:
°'a ' (80,14)
P(r, t) = i
Q,a
Переходя в (80,6) к операторам (80,7) (80,8), (80,12), инте-
интегрируя по объему V и учитывая равенства
J et (o-eo rdzr = V6wt [Q
найдем гамильтониан электромагнитного поля в представлении
вторичного квантования
9(Ьо ?) (80,15)
О, a
Из (80,15) следует, что операторы aQa в гейзенберговском
Представлении зависят от времени
ih —J2- — [aOa, Я] =
или
Переходя в (80,2) к операторам (80,14), получим операторы на-
пряженностей электрического и магнитных полей
(80,16)
r f«XeOa]e^(aOa-aio.a).
О. о
Вычислим оператор полного импульса поля. Согласно клас-
классической электродинамике, плотность импульса равна вектору
Пойнтинга, деленному на с2. В связи с этим полный импульс
в единице объема равен
J [В X В] d3r.
Переходя к операторам (80,16), получаем
376 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ. X
Поскольку при суммировании по всем значениям Q каждому
вектору Q соответствует и вектор —Q, то
^ = JiJiQa%aaQa. (80,17)
Операторы энергии (80,15) и импульса (80,17) диагональны
в представлении квантовых чисел заполнения, так как они со-
содержат только операторы квантовых чисел a^aaQa. Следова-
Следовательно, в состояниях с определенным числом частиц \tiQa) энер-
энергия и импульс поля определяются выражениями
Таким образом, квантование электромагнитного поля соот-
соответствует введению элементарных возбуждений фотонов, имею-
имеющих энергию bdQ, импульс HQ и поляризацию ea(Q). Энергия
вакуумного состояния (состояние без фотонов) Ео = -j У] /м»е =
о
= оо, так как число возможных состояний бесконечно велико.
В физических явлениях проявляются только разности энергий,
поэтому энергию поля можно отсчитывать от ее вакуумного
значения.
Переход от классических величин А, Е, В, описывающих
электромагнитное поле, к операторам называется квантованием
поля. Обычно такое квантование называется вторичным кванто-
квантованием. Это название используется очень часто, хотя оно не
оправдано. Переход от классических величин к квантовым опе-
операторам происходит только один раз. Координаты, от которых
зависят А, Е, В, играют роль параметров, а не координат ча-
частиц.
Фотоны, соответствующие определенному квантовому со-
состоянию, совершенно тождественны. Волновая функция, изо-
изображающая состояние с п фотонами одного типа, имеет вид
Эта функция симметрична относительно перестановки фотонов,
следовательно, фотоны являются частицами Бозе. Фотоны все-
всегда движутся со скоростью света, поэтому их масса покоя равна
нулю.Х помощью (80,13) и (80,14) можно вычислить переста-
перестановочные соотношения для компонент операторов векторного
потенциала, относящихся к разным точкам пространства в один
момент времени. Таким образом, получаем
[At(r, t), Ak{r', 01 = 0, ./, k = x, у, г,
[Я, (г, f),
= i4nhc*6lk6 (r - г').
§ 81] ФОТОНЫ G ОПРЕДЕЛЕННЫМ МОМЕНТОМ И ЧЕТНОСТЬЮ 377
Легко вычислить и перестановочные соотношения для ком-
компонент напряженностей полей:
[Et(r, f), Е,{г'г O] = [5j(r, t), B,(r', 01 = 0.
Коммутируют также параллельные составляющие Ё и В," на-
например,
[Ёх(г, t), Bx(r', 01 = 0.
Однако перпендикулярные составляющие операторов ? и Б не
коммутируют, например, *
[Ёх{г, t), Ву (rr, t)] = i4nch-§r6(r-r').
Перестановочные соотношения для других компонент полу-
получаются при циклической перестановке х, у, г. Из перестановоч-
перестановочных соотношений следует, что перпендикулярные составляющие
? и В не могут одновременно иметь определенное значение в од-
одной точке пространства.
§ 81. Фотоны с определенным моментом и четностью
В предыдущем параграфе было показано, что элементарные
возбуждения электромагнитного поля — фотоны — могут харак-
характеризоваться энергией Ьа, импульсом bQ и состоянием поляри-
поляризации, т. е. двумя векторами еи е2, перпендикулярными друг
другу и вектору Q. Такие состояния фотонов не являются един-
единственно возможными. Возможны также состояния, в которых
фотоны имеют определенное значение энергии, углового момента
и четности. Напомним, что и свободное движение бесспиновой
частицы в некоторых состояниях характеризуется определенным
значением момента и четности (см. § 35). Фотоны с определен-
определенным моментом и четностью испускаются и поглощаются систе-
системами (атомами, молекулами, атомными ядрами и др.), состоя-
состояния которых также характеризуются-определенными моментами
и четностью.
Фотоны являются квантами электромагнитного поля. Чтобы
исследовать фотоны с определенными угловыми моментами и
четностью, надо представить лотенциалы электромагнитного поля
в виде суперпозиции состояний, соответствующих определенным
моментам и четности. Затем методом вторичного квантования
перейти к операторам чисел заполнения.
Определим вначале нолную систему функций, соответствую-
соответствующих определенному значению углового момента и четности фо-
фотона. Угловой момент любой частицы складывается из ее орби-
орбитального и спинового моментов. Поскольку масса покоя фотона
равна нулю, то обычное определение спина как момента
378 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ. X
покоящейся частицы к фотону неприменимо. Тем не менее
весьма удобно ввести понятие спинового момента фотона как
наименьшего из возможных значений его момента количества
движения. Как показывает опыт, наименьшее изменение момента
системы, испускающей или поглощающей один фотон, равно 1
(в единицах й, которыми мы будем пользоваться далее в этом
параграфе). Поэтому можно считать, что спин фотона равен 1.
Если обозначить оператор спина фотона через S, а оператор
орбитального моменту L, то оператор полного момента
J=L + S. (81,1)
Собственные функции YJLm операторов Р и Jz называются век-
векторными сферическими функциями. Векторные сферические
функции, следовательно, удовлетворяют уравнениям
(ад
Проекции оператора спинового момента частицы со спином
S = 1 можно записать в виде трех матриц
(81,3)
Они удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям
для компонент оператора момента. Собственные функции xiu
операторов
1
0
0
0
1
0
0
0
1
удовлетворяют уравнениям
=2х1ц, 5гХ1Ц=(хХ1ц, |*=1. О, -1.
Если вместо трех взаимно ортогональных единичных векто-
векторов ех, ev, ez, направленных вдоль осей декартовой системы ко-
координат, ввести три вектора
ei=--y~(ex + iey); ео = ег, *-., = у= (ех — iey), (81,4)
§ 81] ФОТОНЫ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ МОМЕНТОМ И ЧЕТНОСТЬЮ 379
то спиновые волновые функции фотона ' xi, ц можно записать
в виде
Xi. 1 = в„ Xi,o=eo> Xi,-i = e-i- (81.5)
В базисной системе векторов вь е2, вз, в которой определены
операторы (81,3), функции (81,5) выражаются соответственно
с помощью матриц
Векторы еи и спиновые функции xiu удовлетворяют условиям
ортонормируемости в виде
где
Любой вектор 4 можно представить в виде
А = 2 А^ = 2 (—l^e-uAi. (8Ь7)
ц ц
тогда, используя (81,6), имеем
Лц = Лвц. (81,8)
Компоненты Л ц можно назвать сферическими компонентами век-
вектора. Подставляя (81,4) в (81,8), легко найти связь между сфе-
сферическими и декартовыми компонентами вектора
А± 1 = + Т7=" №х ± *Л), А, = Аг. (81,9)
Такое представление вектора удобно при исследовании измене-
изменения его при повороте системы координат и в ряде других при-
приложений. Пользуясь (81,6) и (81,7), можно показать, что ска-
скалярное произведение двух векторов выражается через их сфе-
сферические компоненты с помощью равенства
Оператор орбитального момента L коммутирует с операто-
операторами спина (81,3), поэтому, согласно правилу векторного сло-
сложения моментов (§ 41), векторные сферические функции можно
образовать из линейных комбинаций спиновых функций Xin и
сферических функций Y^ m_^ (n), являющихся функциями
380 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ. X
единичного вектора п = QIQ, определяющего направление дви-
движения фотона. Таким образом,
YJIm = 2 (lL\i, /n -ц
где (l?ji, /n — \i\Jm)—коэффициенты векторного сложения.
Из (81,10) следует
J = L+l, L,\L-l\i m=±J, ±(/-1) (81,11
так как только при выполнении этих условий коэффициенты век-
векторного сложения отличны от нуля. При операции инверсии
функция xi ц меняет знак, а функция Уь.т-ц умножается на
(—l)L, поэтому векторная сферическая функция (81,10) соот-
соответствует состояниям с определенной четностью, равной
(-l)W.
Векторные сферические функции (81,10) образуют полную
ортонормированную систему функций
J TJLmYyVwfdu = bmm'bLublr. (81,12)
Каждому значению J соответствуют три векторные сферические
функции, .отличающиеся, согласно (81,11), значениями L:
Вспоминая правило, определяющее четность сферических вол-
волновых функций, можно показать, что четность YJJm равна
(— l)/+t; четности YJiJ+Uril и Fj,j-i,m равны (—1)J. Векторная
сферическая функция YJJtn перпендикулярна вектору распро-
распространения п. Она соответствует полному моменту / и четности
(—1)/+| и обычно называется поперечной векторной сферической
функцией магнитного типа. Введем для нее обозначение
Yfm («) зэ Yj,m («).
Векторные сферические функции магнитного типа выражаются
через обычные сферические функции равенством
г&60-Ynm(")
где
Ь= -i[Q X V0J- - iQ [n X Ve].
Рассмотрим далее вторую векторную сферическую функцию,
перпендикулярную (81,13) и вектору распространения п. Такую
функцию можно образовать следующим образом:
§ 81J ФОТОНЫ С ОПРЕДЕЛЕННЫМ МОМЕНТОМ И ЧЕТНОСТЬЮ 381
Подставляя в это выражение (81,13), мы убедимся, что функ-
функция Yjm выр
ской функции
ция Yjm выражается через производные от обычной сфериче-
сферичей ф ^
"
Функция (81,14) определяет состояние фотона с моментом /
и четностью (—1)J. Эту функцию называют поперечной вектор-
векторной сферической функцией электрического типа. Учитывая ра-
равенство
QVQF/W= B/ + 1)-'/! {/ VT+TYj. j+u и + (/ + 1) VlYj. j-x, ml
мы убедимся, что векторная сферическая функция электриче-
электрического типа является линейной комбинацией двух векторных сфе-
сферических функций, соответствующих орбитальным моментам
/'+ 1 и /— 1:
ТКЛ j-u Jtl)}. (81,15)
Таким образом, в состояниях, описываемых векторной сфери-
сферической функцией электрического типа, орбитальный момент фо-
фотона не имеет определенного значения. Другими словами, в этих
состояниях нельзя разделять полный момент на орбитальную
и спиновую части.
Из двух векторных сферических функций, соответствующих
орбитальным моментам J+1, /—.1, можно образовать также
продольную векторную сферическую функцию, направление ко-
которой совпадает с вектором распространения. Очевидно, что
такой функцией будет
Yjm(n) = nYJm(n). (81,15а)
Таким образом, в состояниях, соответствующих продольным
векторным функциям, орбитальный момент также не имеет опре-
определенного значения.
При / = О отлична от нуля только одна функция Yfa (n) =
= — Ym=nY00, поэтому функция У^ может описывать только
сферически симметричное продольное векторное поле. Каждому
значению 7^1 соответствуют три независимые векторные сфе-
сферические функции, из которых две являются поперечными и
одна — продольной. Все они,
*?„>), Yfjn), Ffc». (81,16)
взаимно ортогональны при различных Jam; при одинаковых
значениях Jam они взаимно перпендикулярны для каждого
значения вектора распространения п, следовательно,
382 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ. X
где
К, К' = М, Е, L.
Векторные сферические функции (81,16) являются функциями
единичного вектора п, определяющего направление волнового
вектора Q. При вращении координатной системы они преобра-
преобразуются по неприводимому представлению трехмерной группы
вращения, т. е. по представлению DJmk, и, следовательно,, яв-
являются не векторами, а неприводимыми тензорами ранга /.
Поперечный векторный потенциал Л (сНуЛ = 0) электромаг-
электромагнитного поля в объеме V, ограниченном идеально проводящей
сферой очень большого радиуса R, можно представить в виде
разложения
Л= 2 {a%(QJm)AK(QJm) + ai{QJm)Ab{QJm)}, (81,17)
Q, 1, т. К
где Я = М, Е;
(^f{i)'t (81,18)
— потенциал магнитного излучения мультипольности /;
(81,19)
— потенциал электрического излучения мультипольности /;
fb(Qr) — функция, пропорциональная сферической функции Бес-
Бесселя, нормированная условием
Q — волновое число, имеющее размерность обратной длины и
пробегающее для каждого / дискретные значения, определяе-
определяемые из условия
) = 0.
Потенциалу (81,18) соответствует магнитное излучение муль-
мультипольности /, напряженности электрического и магнитного по-
полей которого равны
EM(QJm)=iQAM(QJm), BM(QJm) - rot AM.
Следовательно, напряженность электрического поля в электро-
электромагнитной волне, соответствующей магнитному излучению, все-
всегда перпендикулярна радиусу-вектору, в направлении которого
она распространяется, т. е. (гЕм) = 0.
§ 82] ФОНОНЫ В ТРЕХМЕРНОМ КРИСТАЛЛЕ 3g3
Потенциалу (81,19) соответствует электрическое излучение
мультипольности /, напряженности электрического и магнит-
магнитного полей которого определяются равенствами
Ев (QJm) = iQAE (QJm), BE (QJm) = rot AE (QJm).
При этом (rBE) = 0. В общем случае выполняются равенства
ЕЕ (QJm) = Вм (QJm) = rot AM (QJm) = iQAE (QJm),
EM (QJm) = -BE (QJm) = iQAM (QJm).
Переход к квантовомеханическому описанию в представле-
представлении чисел заполнения соответствует замене в выражениях
(81,17) и классической энергии поля
«--w]{[±irf+ <**#}<»
амплитуд ак, а*к операторами йк, dj, удовлетворяющими пере-
перестановочным соотношениям
[UK(QJm), Ut,(Q'J'm')] = 6QQ,6n,6mm,, [Uv йк,] = 0.
После такой замены получим гамильтониан
= 2
Qlmh
и оператор векторного потенциала
А = 2 [йк (QJm) AK (QJm) + dj (QJm) A*k (QJm)]. (81,21)
QJK
Оператор й% = й^й^ является оператором числа фотонов соот-
соответствующего мультипольного излучения. В состояниях с опре-
определенным числом фотонов 1%) энергия поля также имеет опре-
определенное значение. Каждый фотон в состоянии KQJm имеет вол-
волновое число Q, квадрат момента /(/+1), проекцию момента т
и четность (—1)/+I при Я, = М и (— l)J при К.= Е.
§ 82. Фононы в трехмерном кристалле
Для простоты рассмотрим моноатомные кристаллы. Пусть
масса атомов т и гпа, а= 1, 2, 3, — три компоненты смещений
атома из узла ячейки, определяемой вектором решетки
п = а,п, + а2«2 + «з"з» (81,22)
где tii — 0, ±1, ±2, ...; а\, а2, а3 — векторы основных транс-
трансляций. Кристалл представляет собой очень большой параллеле-
параллелепипед с ребрами а»Л^-, iV» >$> 1. Число различных значений п
384 ВТОРИЧНбЁ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ. 3?
равно числу атомов N = NiNaNa в кристалле. В качестве гра-
граничных условий принимаются циклические условия Борна —
Кармана, согласно которым
, /=1,2,3. (82,2)
Потенциальная энергия смещений атомов в гармоническом при-
приближении имеет вид
2 V(n m)J- (82,3)
па, mfl
где компоненты тензора второго ранга Кар удовлетворяют усло-
условиям
Fap(«-m) = Kpo(«-m), S^(n-m) = O. (82,4)
Кинетическая энергия выражается через скорости смещений г„:
п, а
Проведем в (82,3) й (82,5) каноническое преобразование к
коллективным комплексным переменным Ад с помощью ра-
равенств
2 Ач=А-ч, (82,6)
где еа (q) = еа (—^) — вещественные числа, которые будут опре-
определены ниже; волновой" вектор q пробегает N значений
Ч
— векторы обратной решетки, определяемые равенствами
= Sij- Унитарность преобразования (82,6) обеспечивается
равенствами
9'»" •= «иг. ж
и g
После преобразования (82,6) получаем
«¦* (82,7)
q, о.
§ 821 ^ ФОНОНЫ В ТРЕХМЕРНОМ КРИСТАЛЛЕ 385
где
Д«р (Я) = Я5« (?) = DZv (~ q) = -L 2 Fap (я) e<«« (82,8)
я
— матричные элементы силовой матрицы.
Введём функцию Лагранжа L = К— U, тогда уравнения
Лагранжа
dt \ dqf. dq
при q~eqaAq примут вид
ea (q) Aq + 2 Dap (q) ep (q) Aq = 0.
P
С помощью подстановки Aq= —Q2(q)Aq эти дифференциальные
уравнения -преобразуются к алгебраической системе трех урав-
уравнений (при фиксированном q) относительно неизвестных коэф-
коэффициентов ea(q):
Q2(?) еа (q) - S Dap (q) ер {q) =- 0.. (82,9)
Из условия нетривиальной разрешимости уравнений находим
дисперсионное уравнение
||Q2faNap-Dapfa)|| = 0,
определяющее частоты Q?(q). Уравнение (82,9) имеет, вообще
говоря, три кдрня Щ{д), s=l, 2, 3. Соответствующие им три
решения (82,9) определяют три вектора es(q) с компонентами
е*а(Я)- Они ортогональны и определяются уравнениями (82,9)
только с точностью до постоянной, поэтому их можно выбрать
ортонормированными
е* (q) es- (q) = 6SS'.
При q~*0 матричные элементы Dap.(<7), ^согласно (82,4) и
(82,8), стремятся к нулю. Поэтому предельные значения всех
трех частот Qs(<7) также стремятся к нулю. В связи с этим со-
соответствующие движения атомов в кристалле называются тремя
ветвями акустических колебаний. В кристалле кубической син*
гонии один из векторов es(q) направлен вдоль вектора q. Он
характеризует продольные смещения атомов; Соответствующие
колебания называются -продольными. Два других вектора е8
взаимно перпендикулярны и перпендикулярны q. Они опреде-
определяют ветви поперечных колебаний. В анизотропных кристаллах
три вектора es(q) взаимно ортогональны, однако только для не-
некоторых выделенных направлений в кристалле один из них
совпадает с q.
386 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ. X
В соответствии с тремя решениями системы уравнений (82,9)
компоненты смещений атомов (82,6) определяются через три
коллективные переменные Aqs для каждого вектора q с по-
помощью выражения
гпа = y=r %esa (q) Aqse">», s => 1, 2, 3. (82,10)
Подставив (82,10) в (82,3) и (82,5), получаем
AqsA-.q,s. (82,11)
9, s q, s
Обобщенные импульсы, сопряженные обобщенным координа-
координатам Aqs, определяются равенствами
р _ д(К — Ц) _ 1 ,о2 ]9ч
"qs ~2 л-д. s• loz»lz)
"Aqs
Выражая в (82,11) скорости Aqs через обобщенные импульсы,
находим классическую функцию Гамильтона
Якл= К + U =- 1 2 {PqsP-q, s + Й (?) AqsA.q, J. (82, 13)
Переход к квантовому оператору Гамильтона осуществляется
заменой обобщенных координат и импульсов операторами
A9S->Aqs = (-щ^)h(bqs + btq, .},
*qs~>Pqs == l\ 2 ) ^ 9S v—q> «/»
где b\s и bqs — соответственно операторы рождения и уничтоже-
уничтожения фононов в состояниях [ vqs), характеризующих число фоно-
нов \qs «аждой ветви колебаний. Они удовлетворяют обычным
перестановочным соотношениям для операторов Бозе
[bqs, bg's'J = &qq'&ssr, [bqs, btfif] = 0.
Проведя преобразования (82,14) в выражениях (82,13) и
(82,10), получим операторы Гамильтона и векторы смещений
атомов из равновесных положений
Я = 2 йр, (q) [b$sbqs + \], (82,15)
q.s
=2 (-штшТes (q) [b«s+b~«'J et'9"' (82> I6)
g.
Собственные функции оператора (82,15) и оператора числа ча-
частиц bqsbqst соответствующие числу фононов «•= nq8 в состоя-
§ 83] ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ МЕЗОННОГО ПОЛЯ gg7
нии с волновым .ректором q, поляризацией es(q) и энергией
hQs(q), получаются из функций вакуумного состояния (без фо-
нонов) по общему правилу
Эти функции симметричны относительно перестановки фононов,
так как операторы b?s удовлетворяют перестановочным соот-
соотношениям [b^s, bJs]==O.
Симметричные относительно перестановки одинаковых ча-
частиц функции описывают состояния бозе-частиц, следовательно,
элементарные квантовые возбуждения колебаний атомов в твер-
твердом теле — фононы — являются бозе-частицами — бозонами.
фононы должны удовлетворять статистике Бозе — Эйнштейна.
В каждом квантовом состоянии может находиться произволь-
произвольное число фононов.
§ 83. Вторичное квантование мезонного поля
Как показывает опыт, в природе имеются заряженные и ней-
нейтральные п-мезоны — пионы. Заряженные пионы имеют два-
знака электрического заряда и массу, в 273 раза превышающую
массу электрона. Нейтральные пионы в 264 раза тяжелее элек-
электрона. Спин пионов равен нулю, внутренняя четность отрица-
отрицательна.
В главе VIII отмечалось, что в релятивистской теории нельзя
последовательно сохранить представление о движении одной
ча,стицы. Чтобы описать состояние систем с несохраняющимся
числом частиц, надо перейти к полевому описанию, при котором
частицы появляются как кванты поля.
Заряженным пионам сопоставляется комплексное поле ф(г),
нейтральным — вещественное поле. Динамическая координата
поля -ф (г) является псевдоскалярной функцией . от простран-
пространственных координат г и времени. При полевом описании коор-
координата г играет роль координаты пространства, а не коорди-
координаты частицы. Поэтому при полевом описании отсутствует
обсуждавшаяся в §§ 53 и 57 трудность введения понятия коор-
координаты релятивистской частицы.
Рассмотрим комплексное скалярное поле частицы с мас-
массой М. Согласно . E4,5), функция •ф(г) должна удовлетворять
уравнению Клейна — Гордона
Это уравнение описывает свободное движение. Оно будет со-
соответствовать пионам, не взаимодействующим между собой.
Чтобы описать их взаимодействие, надо ввести еще другое поле,
переносящее взаимодействие.
383 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ. X
Плотности электрического заряда и тока
образуют четырехмерный вектор, удовлетворяющий уравнению
непрерывности E4,7). Комплексному полю яр, удовлетворяю-
удовлетворяющему (83,1), соответствует плотность функции Лагранжа
Координатам поля яр и яр* соответствуют канонически сопря-
сопряженные импульсы
и
д[Ж)
Следовательно, плотность гамильтониана
* = ^№)(V*) + -^*4 + -^-^. (83,4)
Квантование поля состоит в замене динамической перемен-
переменам*
ной яр и сопряженного импульса n~—jb- соответствующими
операторами, удовлетворяющими перестановочным соотноше-
соотношениям
[¦ (г', t),
ihb {г' - г). (83,5)
Другие комбинации яр (г, f), ¦ ~?— коммутируют*.
Проведя соответствующую замену в (83,4) и интегрируя по
всему пространству, получим эрмитовым оператор Гамильтона
поля
1{Ч% ^$ 1№}Ь. (83,6)
Чтобы перейти к представлению чисел заполнения, введем
ортонормированную систему функций, являющихся решениями
уравнения (83,1). В качестве такой системы функций можно
взять решения, соответствующие определенному значению им-
импульса bk. Согласно § 55, каждому значению k будет соответ-
соответствовать два независимых решения
Ф1 = —г= ехр {I {кг — ad)}, ф2 = —т=- exp {t (kr + ad)}, (83,7)
где
ЛРс2
= */
*"
§ 83] ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ МЕЗОННОГО ПОЛЯ 389
V — L3 — основной объем пространства. Для упрощения записи
мы здесь пользуемся циклическими граничными условиями с
большим периодом L, при которых ki = -?-nt, i= I, 2, 3;
щ = 0, ±1, ... Разложим операторы поля ф и_-—- по полной
системе функций (83,7), тогда
ikr
Подставляя полученные выражения в перестановочные соотно-
соотношения (83,5), мы убедимся, что они удовлетворяются, если
новые операторы удовлетворяют перестановочным соотноше-
соотношениям для бозе-частиц
Подставляя (83,8) в (83,6) и используя (83,9), находим опера-
оператор Гамильтона поля в представлении чисел заполнения1
Я = S ftcoft {dW + btfo + 1}. (83,10)
Заменив в (вЗ^ХЛункции операторами (¦вЗ.в) и интегрируя по
объему V, находиТм оператор полного электрического заряда
поля
ф = J pdV = е J] Наш ~ Чь*)- (83> 1 П
Введем операторы числа частиц
"*"*> "* ''ft0*-
Они коммутируют с оператором Гамильтона (83,10) и опера-
оператором заряда поля, поэтому волновые функции
¦ ¦ ¦<>¦ ¦ «IT'- .>-... ^ ... ^ ... Ю» (83,12)
?
изображают стационарные состояния. Из (83,10) и (83,11).сле-
(83,11).следует, что волновая функция | «й+>) соответствует состоянию,
в котором tt(ft+) частиц имеют импульс Ьк, заряд Q = enj^+) и
390 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ, X
энергию /г^йсо^; волновая функция | и^"') определяет состояние,
в котором njf* частиц имеют импульс fik, заряд Q= — en{f] и
энергию п^~Ш<ак. Таким образом, квантованные состояния за-
заряженного мезонного поля приводят к квантам поля — части-
частицам, которые могут иметь два знака заряда и положительную
энергию. Собственные значения оператора Гамильтона (83,10)
всегда положительны. Собственные значения оператора электри-
электрического заряда поля могут быть как положительными, так и
отрицательными в зависимости от числа отрицательно и поло-
положительно заряженных частиц.
Вследствие перестановочных соотношении (83,9) состояния
системы пионов описываются симметричными функциями
(83,12) относительно перестановки пар частиц. Поэтому пионы
являются бозонами и удовлетворяют статистике Бозе — Эйн-
Эйнштейна.
Нейтральные пионы описываются вещественным полем. Опе-
Оператор (83,8) будет описывать нейтральные частицы, если по-
положить
$(г) = $+"(г). (83,13)
Из (83,8) следует, что условие вещественности (83,13) вы-
выполняется, если операторы аь и bt, связаны соотношениями
bk = a-k. (83,14)
Таким образом, операторы нейтрального мезонного поля выра-
выражаются только через операторы рождения а* и уничтожения аь\
(83,15)
\7ffi~] \#*e — а-ье )е .
k
Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям
= ihb (г — г'),
если операторы а* и ак удовлетворяют обычным перестано-
перестановочным сотношениям для операторов рождения и уничтожения
частиц
К. Ч=Ка*']' K<l=<w- <83'16)
Подставляя (83,16) в (83,6), получаем оператор Гамильтона
нейтрального мезонного поля в представлении чисел заполнения
§ 84] КВАЗИЧАСТИЦЫ В СИСТЕМЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗОНОВ 391
Оператор полного электрического заряда (83,2) в случае ней-
нейтрального поля тождественно равен нулю
§ 84. Квазичастицы в системе взаимодействующих бозоиов
Пусть |г — совокупность трех пространственных координат
и проекции спина i-й частицы Бозе (частицы с целым спином).
Оператор Гамильтона системы N одинаковых частиц, которые
взаимодействуют между собой парными силами, в координатном
представлении имеет вид
Яш - 2 Яш (Ы + S W (Ь, I,), (84,1)
где Huidi)—оператор Гамильтона одной частицы без учета
взаимодействия с другими частицами..
Состояние системы N одинаковых частиц определяется в
координатном представлении уравнением Шредингера
(ih -Ij- - Яш) яр (|„ |2 %N; f) = 0,
где волновая функция г[з является функцией в абстрактном
4А^-мерном конфигурационном пространстве. Как было показано
в § 72, эта функция должна быть симметричной относительно
перестановки пар частиц.
Исследование свойств систем, состоящих из многих тожде-
тождественных частиц в координатном, импульсном или другом пред-
представлении, в котором отмечаются состояния каждой из частиц
в отдельности, не оправдано усложнено ненужной детализацией.
В таких системах все явления не должны зависеть от нумера-
нумерации частиц. Такое требование автоматически удовлетворяется
в представлении вторичного квантования. Чтобы ознакомиться
с правилом перехода к этому представлению при описании
системы взаимодействующих бозонов, рассмотрим вначале си-
систему невзаимодействующих одинаковых бозонов. В этом слу-
случае оператор Гамильтона является суммой операторов, относя-
относящихся к каждой частице в отдельности,
Яо= 2 Яш (?«)• (84,2)
Пусть ev. и q>v.(gj) — собственные значения и собственные функ-
функции оператора НШ(Ь) одной i-й частицы. Состояние системы в
координатном представлении определяется указанием набора
квантовых чисел v для каждой частицы системы. Вследствие
898 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ {ГЛ. Х-4.
неразличимости частиц нельзя указать, какая из частиц нахо- ]
дится в данном состоянии. Учет тождественности частиц требует
симметризации волновых функций по отношению к перестанов- .
кам пар частиц. Симметризованную волновую функцию системы,
соответствующую состоянию, в котором щ частиц находятся -
в одночастичном состоянии vi, n2 частиц находятся в состоянии
V2 и т. д., можно записать в виде
(84,3)
где <pv(?) —ортонормированные одночастичные волновые функ-
функции состояния, определяемого квантовыми числами v; знаком
2Р указывается операция симметризации произведения волно-
волновых функций по всем возможным перестановкам пар частиц.
Громоздкий вид волновой функции (84,3) и зависимость ее
от 4N переменных очень усложняет расчеты.
В системе невзаимодействующих тождественных частиц, опи-
описываемых оператором (84,2), состояние каждой из них совпа-
совпадает с состояниями одночастичного уравнения Шредингера
[#m©-ev]<pv(l)=0, (84,4)
а состояние полной системы частиц однозначно определяется
указанием числа частиц nv, занимающих каждое состояние <pv
с энергией ev. Таким образом, в представлении чисел заполнения
оператор (84,2) эквивалентен оператору
#о= 2 evaX. (84>5)
V
если а* и av — соответственно операторы рождения и уничтоже-
уничтожения частиц в состоянии <pv» удовлетворяющие перестановочным
соотношениям
К <] = К> K«J=0- (84,6)
Тогда а\ач — оператор числа частиц nv и собственные функции
оператора (84,5) |... nv ...) полностью определяют состояние
системы.
Учитывая (84,4) и ортонормируемость функций qv(?), опе-
оператор (84,5) можно записать в виде
На = J Ф* (%) Яш (|) Ф (|) d%, (84,7)
где
^ 2?) (84,8)
§ 84] КВАЗИЧАСТИЦЫ В СИСТЕМЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗОНОВ 393
— операторные функции, удовлетворяющие, согласно (84,6), пе-
перестановочным соотношениям
[Ф (I), %* (ГI= б (g -Г). [Ф ©, Ф (Г)] = 0. (84,9)
Таким образом, переход от координатного представления
оператора (84,2) к оператору в представлении чисел заполнения
осуществляется по правилу
N
2 Яш (Ь) -> J #* (I) Яш (?) # ft) dg. (84,10)
Если операторные функции ^A) выбираются в виде (€4,8), то
J #+ (I
Однако переход к представлению чисел заполнения может быть
осуществлен с помощью преобразования (84,10) и в том случае,
если операторные функции ФA), удовлетворяющие - (84,9), за-
записываются в виде (84,8) при использовании любой полной си-
системы ортонормированных одночастичных функций. Пусть, на-
например, %s{%) — полная система ортонормированных функций.
Тогда операторные функции Ф(|) будут иметь вид
ФЛ9. (84,11)
S
Он» удовлетворяют перестановочным соотношениям (84,9),
если bs — бозевские операторы, т. е.
[Ь.,Ь$] = 6.*, [bs, М = 0.
Подставив (84,11) в (84,7), Находим
Ho^iiLss-btbs-,' -(84,12)
S
где
Оператор Гамильтона (84,12) не коммутирует с оператором
числа частиц As=^btbs, поэтому число частиц в одночастич-
одночастичных состояниях, определяемых функциями %s (|), не является
интегралом движения даже* пр"и отсутствии взаимодействия
между частицами. Таким образом, выбор функций %S(Q для
характеристику одночастичных состояний нельзя признать удач-
удачным. Однако если мы не знаем решений уравнения (84,4), то
можно воспользоваться недиагональным оператором (84,12)
394 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ. X
и диагонализовать его с помощью канонического преобразования
к другим операторам по методу, изложенному в § 30.
Правило перехода (84,10) от оператора (84,2) в координат-
координатном представлении к оператору (84,5) в представлении вторич-
вторичного квантования можно перенести на любые операторы в ко-
координатном представлении, если они выражаются через сумму
одночастичных операторов. Пусть, например,
где F(%i)—оператор, действующий на координаты i-й частицы.
В силу одинаковости частиц все слагаемые в этой сумме отли-
отличаются лишь номером частицы. Переход к представлению вто-
вторичного квантования соответствует преобразованию
> F = /"$* A) F- A) Ф О) d\. (84,13)
После подстановки в (84,13) значений (84,8) получим
V, Ц
где
^ J
— матричные элементы, которые легко вычисляются, если изве-
известен вид оператора F(g) и функций cpv(E)- Бозе-операторы
а\ и av действуют на функции от чисел заполнения nv.
Рассмотрим далее оператор, имеющий в координатном пред-
представлении вид
2
Ki
где g(?i, ?j)—оператор, действующий на координаты i-й и /-й
частиц. Этот оператор можно получить в представлении вторич-
вторичного квантования путем обобщения правила (84,10), т. е.
(ь, и -> ?=4J у* (I) ф+ (Г) g а, Г) ф (go ч^ (I) d\ dr. (84, и)
Подставляя в (84,14) значения (84,8), находим оператор в
представлении чисел заполнения
ГДе
J ч>; © ф; (so g & r> ф7 (Г)
§ 84] КВАЗИЧАСТИЦЫ В СИСТЕМЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ БОЗОНОВ 395
Оператор координатного представления, заданный в виде
суммы операторов, действующих на координаты трех частиц,
преобразуется к представлению вторичного квантования по пра-
правилу
2 G(h Е Е)б
G = 4г J Ф+ (I) Ф+ A0 ^* (ГО G(g, Г, ГО w (|'О Ф A0 Ф (Б) ^? <*!' rfg*
(84,15)
и т. д.
Сформулированные выше правила (84,10), (84,14) и (84,15)
перехода от координатного представления к представлению вто-
вторичного квантования можно применить и к оператору (84,1),
характеризующему систему тождественных бозонов, взаимодей-
взаимодействующих между собой парными силами. Таким образом, в
представлении вторичного квантования оператор (84,1) преоб-
преобразуется к виду
J
Ю W & Г) # (Г) ^ (?) dg d\\ (84,16)
где операторы \Р и Ч' удовлетворяют перестановочным соотно-
соотношениям (84,9). Дальнейший переход к представлению чисел
заполнения может быть осуществлен путем использования лю-
любой полной системы ортонормированных одночастичных функ-
функций. Выбор такой системы определяется свойствами взаимодей-
взаимодействующих частиц. Желательно выбрать такие одночастичные
состояния, при .использовании волновых функций которых наи-
наибольшая часть оператора Гамильтона (84,16) принимает диаго-
диагональный вид. Часто в качестве полной системы одночастичных
функций выбирают собственные функции фг(?) одночастичного
оператора НшA), т. е. операторы f и Т* определяются равен-
равенствами (84,8). В этом случае оператор (84,16) в представлении
чисел заполнения принимает вид
#=I]v>X + ? 2 ^aya6(^\W\y6), (84,17)
v v, ц. V.6
где
= J ф;
Гамильтониан (84,17) не диагоналей относительно операторов
uv = aXav числе частиц. Поэтому число частиц в состоянии q>v
не сохраняется. Если "в начальный момент времени состояние
396 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ЁОЗОНОВ [ГЛ. X
определяется функцией |... nv ...), то под влиянием операто-
операторов, входящих во вторую сумму (84,17), начнутся переходы ча-
частиц из одних состояний в другие.
Легко видеть, что .оператор полного числа частиц Й — ^а+а
• v
коммутирует с гамильтонианом (84,17). Поэтому общее число
частиц в системе сохраняется. Это сохранение связано с тем,
что операторы рождения и уничтожения входят в оператор
(84,17) парами. Следовательно, каждому акту уменьшения на
единицу числа частиц'в состоянии cpv соответствует увеличение
на единицу числа частиц в другом состоянии.
Исследование энергетических состояний систем, описывае-
описываемых гамильтонианом (84,17) (см. следующий параграф), сво-
сводится к переходу с помощью канонического преобразования к
новым -операторам рождения и уничтожения bj и Ь», относи-
относительно которых гамильтониан имеет вид
Н» (84,18)
где #i — небольшая часть оператора, не сводящаяся к диаго-
диагональному виду. Такое преобразование эквивалентно введению
новых одночастичных состояний частиц с учетом самосогласо-
самосогласованного поля, обусловленного взаимодействием между части-
частицами. Энергии Е^ будут соответствовать новым одночастичным
состояниям, которые учитывают взаимодействия между части-
частицами и тем в большей степени, чем меньшее значение имеет
часть гамильтона Н\, несводимая к диагональному виду.
Формально гамильтониан 2 Е^Ь^Ь^ описывает систему не-
взаимодействующих частиц с энергиями Еи. Эти частицы назы-
называют квазичастицами системы реальных взаимодействующих ме-
между собой частиц. Недиагональная часть гамильтониана как
функция операторов Ьц, Ь» описывает взаимодействие между
квазичастицами. Это взаимодействие называют остаточным
взаимодействием. Если остаточное взаимодействие мало, то со-
состояния системы, соответствующие собственным функциям
|... Пц ..,) операторов b?, Ьи будут близки к стационарным со-
состояниям системы, т. е. квазичастицы можно будет рассматри-
рассматривать как достаточно устойчивые образования.
В этом параграфе мы предполагали, что гамильтониан #(|)
и волновые функции (pv(?) одночастичных состояний реальных
бозонов даны в координатном представлении. Легко убедиться,
что все формулы сохраняют свой вид, если #(?) и (pv(?) заданы
в импульсном (или другом) представлении. Достаточно только
считать, что ? определяет компоненты импульса и спиновую
переменную, если частицы имеют спин, не равный нулю.
§ 85] ОСНОВЫ МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СВЕРХТЕКУЧЕСТИ 397
§ 85. Основы микроскопической теории сверхтекучести
Явление сверхтекучести (открыто в 1938 г. П. Капицей) свя-
связано с отсутствием измеримой вязкости в жидком гелии вблизи
абсолютного нуля при движении его через тонкие капилляры и
щели. Теория сверхтекучести на основе представления о гелии
(при Г<2,19°К) как о «квантовой жидкости» была развита
Ландау [75]. Микроскопическая теория сверхтекучести гелия
была развита Боголюбовым [76]. Предложенный Боголюбовым
метод приближенного вторичного квантования системы взаимо-
взаимодействующих бозонов представляет значительный интерес не
только для теории сверхтекучести, но и для ряда других прило-
приложений в случаях, когда нельзя пользоваться теорией возмуще-
возмущений. В этом параграфе мы познакомимся с основными идеями
метода Боголюбова.
Атомы гелия (Не4) являются бозе-частицами, так как их
спин равен нулю. Они слабо взаимодействуют между собой.
Оператор Гамильтона системы N атомов гелия в координатном
представлении имеет вид
#=2 #(*•«¦)+
1
где #(#•,-)—оператор кинетической энергии свободного движе-
движения; W — оператор энергии взаимодействия двух атомов. Если
в качестве полной системы ортонормированных функций выбрать
собственные функции оператора Н(г{), т. е. плоские волны
фй= V~4>elkr (нормированные на большой объем V в форме
куба с периодическими условиями на гранях куба), соответ-
соответствующие энергии свободного движения е* = fi2k2/2m, то, со-
согласно § 84, в представлении чисел заполнения оператор Гамиль-
Гамильтона имеет вид
*Л"*+т S a\al2%\ (kA I w I *K>. (85, i)
Здесь
^ (85>2)
при этом
v (|« - *iI) = JV (P)е^-^р =
(85,3)
— действительная функция, зависящая от абсолютной величины
разности W\ — kx й являющаяся фурье-представлением энергии
398 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ. X
взаимодействия пары бозонов,
[ 1,
i) Н п
если k2-\-kri = k2 + k,,
и- */_/.«., и (85,4)
если k2 + k\ ф= k2 + kx. v ' '
Из (85,1) следует, что двухбозонное взаимодействие, изобра-
изображаемое в представлении чисел заполнения второй суммой в
операторе Гамильтона, содержит четыре оператора. Каждое
слагаемое этой суммы указывает, что взаимодействие соответ-
соответствует исчезновению пары частиц в состояниях с импульсами
(в единицах К) k2 и k\ и одновременному появлению пары ча-
частиц в состояниях с импульсами k2 и kt. Согласно (85,2) и
(85,4), такой переход осуществляется только с сохранением
суммарного импульса двух частиц.
Подставляя значение (85,2) в (85,1), получим окончатель-
окончательный вид оператора Гамильтона в представлении чисел запол-
заполнения для системы одинаковых бозонов, взаимодействующих
между собой парными силами, которые зависят только от абсо-
абсолютной величины расстояния между двумя бозонами
\kfifit%\- (85,5)
(*1-*1-*2-*?)
Во второй сумме выполняется суммирование по всем возможным
значениям k\, k\, k%, k'2, удовлетворяющим закону сохранения
суммарного импульса, указанному в скобках под суммой; функ-
функция v ' = v(|fti — kA) определена (85,3).
*ri
В случае системы невзаимодействующих бозонов, основное
состояние системы соответствует «конденсации» всех частиц в
состоянии с наименьшей энергией (k = 0). При наличии слабого
отталкивания между атомами в основном состоянии системы
подавляющая часть атомов все еще будет в «конденсированном»
состоянии, т. е. в состоянии с наименьшей энергией. Таким об-
образом, и при наличии слабого взаимодействия, которое имеет
место между атомами гелия, «конденсат» содержит п0 атомов,
при этом п0 мало отличается от полного числа N атомов в си-
системе. Чтобы исключить влияние периодических условий (с боль-
большим периодом L), введенных для упрощения записи, следует в
конечных результатах переходить к пределу V->oo. Стремление
V -* оо должно происходить одновременно с N -* оо так, чтобы
плотность частиц оставалась постоянной (N/V = const). Из
(85,5) следует, что операторы а%ао — по и aoaj=^=no+l входят
во вторую сумму в виде отношений no/V и («о+ 1)/V.
Поскольку п0 fa N, то при указанном выше предельном пере-
переходе эти отношения остаются конечными однако при V->oo
§ 85] ОСНОВЫ МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СВЕРХТЕКУЧЕСТИ 399
разность
<J — «Q
Q«0
Поэтому можно пренебречь некаммутативностью операторов
рождения aj и уничтожения а0 частиц в состоянии k = 0 и за-
заменить их обычными числами. Тогда, вводя, согласно Боголю-
Боголюбову, новые бозе-операторы для k ф О
Ьк = «Ч> К = акп-1'ш0, (85,6)
можно преобразовать (81,5) к виду
W 2'v
где е (k) = b2k2l2tn; знак штрих указывает, что суммирование
не включает значение k = 0; члены, содержащие произведения
трех и четырех бозе-операторов Ьк, Ь%, обозначены Н'. При низ-
низких температурах оператор W можно опустить, так как опе-
операторы Ьк имеют порядок малости N~l. В этом можно убедиться,
если учесть, что из (85,6) следует равенство
Преобразуем гамильтониан (85,7) к виду
и N2v{0) ¦ v^ и /qr о\
== —2? ¦" 2л \°д>о)
где
Оператор (85,9) совпадает с рассмотренным в § 52 оператором
E2,10), если в последнем положить а=р = осй, у — ук,
А = Ък, В — Ь-ь. Следовательно, (85,9) приводится к диаго-
диагональному виду
Hk = 2Е0 (ft) + Е (ft) [ц| (ft) (i, (ft) + ^ (*) ^2 (*)] (85,10)
с помощью канонического преобразования
Hi (ft) — 6* ch ф -f- blft sh ф, ji2 (*) = bfc sh ф + Ь-fc ch ф. (85,11)
400 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ВОЗОНОБ [ГЛ. X
При этом
shq> = -
(85,12)
Из (85,11) и (85,12) следует, что ц2 (й) = ц, (—й), ?(?) =
= ?(—ft). Учитывая эти равенства и (85,10), преобразуем
(85,8) к виду
ft ft
Из (85,13) следует, что малые возбужденные состояния системы
атомов гелия (низкие температуры) можно рассматривать как
совокупность элементарных возбуждений, которым соответ-
соответствуют квазичастицы с энергией, зависящей от k согласно
(85,12). Поскольку при малых возбуждениях no^N, то (85,12)
можно заменить приближенным выражением
{l^^} . (85,14)
При малых импульсах
(^f2 .). (85,15)
Скорость передачи элементарных возбуждений (групповая ско-
скорость звуковых волн)
дЕ
поэтому (85,15) можно записать в виде
E(k)~hS\k\.
Чтобы основное состояние, соответствующее отсутствию квази-
квазичастиц, было устойчивым, необходимо, чтобы выполнялось не-
неравенство
v @) = I W (p) d3p > 0.
В противном случае при малых k энергия была бы комплексной,
что означало бы неустойчивость рассматриваемых возбужденных
состояний. Указанное неравенство выполняется, если, энергия
i 85]
ОСНОВЫ МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СВЕРХТЕКУЧЕСТИ
401
взаимодействия между атомами в основном положительна, т. е.
между атомами должны действовать отталкивательные силы.
Из (85,14) следует, что при больших импульсах энергия эле-
элементарных возбуждений зависит от импульса по закону
Nv (k)
V
(85,16)
ЕЩ
Согласно (85,3), при возрастании k значение \(k) стремится
к нулю, поэтому при больших импульсах энергия элементарных
возбуждений (квазичастицы) со-
совпадает с кинетической энергией
отдельных атомов.
Зависимость энергии от им-
импульса элементарных возбужде-
возбуждений (85,14) в системе бозонов,
между которыми действуют сла-
слабые силы отталкивания, можно
изобразить кривой, указанной на
рис. 14. Спектр возбуждений
такого типа имеет ту особен-
особенность, что
min
E(k)
bk
(85,17)
Рис. 14. Зависимость энергии элемен-
элементарных возбуждений от импульса в
сверхпроводящих системах (сплошная
кривая). Штриховой лииней показана
эцергня свободных частиц.
Как показал Ландау [75], сверх-
сверхтекучее состояние движения жид-
жидкости может наблюдаться только при хкоростях течения
v < 1>кр*)- В случае идеального газа и элементарных возбужде-
возбуждений с энергией
*) Рассмотрим жидкость, текущую по капилляру с постоянной скоростью
V. Если жидкость обладает вязкостью, то вследствие трения о стенки в жид-
жидкости возникают элементарные возбуждения, т. е. часть кинетической энергии
движения частично переходит во внутреннюю энергию. Определим условия,
при которых в жидкости могут возникать элементарнее возбуждения (квази-
(квазичастицы) с энергией Е(р) и импульсом р. В системе координат, покоящейся
относительно капилляра, энергия этого возбуждения будет равна E(p)+pv.
Если начальная кинетическая энергия была Ев, а после возникновения
возбуждения Еа, то должно выполняться равенство
Следовательно, условие торможения жидкости сводится к выполнению нера-
неравенства
E(p) + pv<0. (85,18)
При заданном значении абсолютной величины импульса сумма, стоящая в ле-
левой части неравенства (85,18), имеет наименьшее значение, когда импульс р
402 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ БОЗОНОВ [ГЛ. X
(штриховая линия на рис. 14) значение
Поэтому явление сверхтекучести будет отсутствовать при любой
сколь угодно малой скорости течения жидкости.
Итак, явление сверхтекучести жидкого гелия при низких
температурах определяется коллективными свойствами систе-
системы взаимодействующих бозонов (атомы гелия), приводящими
к спектру элементарных возбуждений E(k), для которого
Ш
Ш
направлен против скорости V. Поэтому для выполнения (85,18) необходимо
осуществление неравенства
Е(р)-ро<0, или t)>-^L. (85,19)
Итак, если зависимость энергии элементарного возбуждения от импульса
такова, что min— = окрф0, то при скорости г» < оир неравенство (85,18)
не выполняется, и течение жидкости ие замедляется, т. е. будет обнаружи-
ваться явление сверхтекучести. Если min —— = 0, то при течении жидкости
с любой сколь угодно малой скоростью в жидкости могут возникать элемен-
элементарные возбуждения.
ГЛАВА XI
ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ,
СОСТОЯЩИХ ИЗ ОДИНАКОВЫХ ФЕРМИОНОВ
§ 86. Представление чисел заполнения для систем
невзаимодействующих фермионов
В главе X мы познакомились с описанием состояний кванто-
квантовых систем, состоящих из одинаковых бозонов в представлении
чисел заполнения. В представлении чисел заполнения автомати-
автоматически учитывается свойство тождественности частиц и требуе-
требуемая симметрия волновой функции относительно перестановок
частиц. В этой главе будут исследованы системы, состоящие из
одинаковых фермионов.
Как было показано в § 72, состояния систем, состоящих из
одинаковых фермионов, определяются функциями, антисиммет-
антисимметричными относительно перестановки любых двух фермионов.
В связи с этим для систем, в которых приближенно можно го-
говорить о состояниях отдельных фермионов, справедлив принцип
Паули, согласно которому в каждом одночастичном состоянии
не может находиться больше одного фермиона. Исследование
системы одинаков'ых фермионов мы начнем с простейшего слу-
случая системы, содержащей N невзаимодействующих фермионов
малой энергии, когда еще не происходит образование антича-
античастиц.
Предположим, что состояние движения отдельного фермиона
в некотором внешнем поле, порождаемом другими частицами
(например, атомными ядрами в атомах и молекулах), опреде-
определяется оператором Гамильтона #(?), где ?— совокупность про-
пространственных и спиновых переменных. Пусть es и (ps(|) — соот-
соответственно собственные значения и собственные функции опе-
оператора H(Q. Индекс s характеризует все квантовые числа,
определяющие одночастичное состояние. Полный гамильтониан
в координатном представлении
(h,h Ы21(|()
Волновая функция в том же представлении является антисим-
антисимметричной функцией ty(h, ..., In), зависящей от 4N перемен-
переменных; li — совокупность пространственных и спиновых перемен-
переменных i-й частицы.
404 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМЙОНОВ ?f Л. XI
В представлении чисел заполнения состояние системы опре-
определяется указанием числа частиц в каждом одночастичном со-
состоянии. Пусть оператор числа частиц в состоянии s имеет вид
/xs = aX- (86,1)
Чтобы оператор (86,1) описывал состояния системы фермионов,
он должен в согласии с принципом Паули иметь только два соб-
собственных значения 0 и 1. Следовательно, в представлении.чисел
заполнения эрмитовый оператор ns изображается диагональной
матрицей
0 0\
lj* (86J)
Напомним,.что оператор числа частиц в системе бозонов изобра-
изображался диагональной бесконечной матрицей C2,12). Две соб-
собственные функции оператора (86,2), относящиеся соответственно
к собственным значениям 0 и 1, имеют вид
|0> = (q) и I !> = (?)• (86,3)
Предположим,' что оператор as является оператором умень-
уменьшения числа частиц в состоянии s на единицу; тогда по опре-
определению
as|0> = 0 и ч,|1> = |0>. (86,4)
Следовательно, в представлении, в котором оператор йа диаго-
диагоналей, оператор а? изображается неэрмитовой матрицей
/О 1\
а*={о о)'
(86,5)
Оператор
0 0\
1 о)' (86>6)
эрмитово сопряженный оператору as, обладает тем свойством,
что
а+[0) = | 1> и а+|1)=0,
из чего следует, что оператор с? увеличивает на единицу число
частиц в состоянии s, если в этом состоянии нет частиц, и обра-
обращает в нуль функцию, соответствующую состоянию s с одной
частицей. Из определений (86,5) и (86,6) следуют перестановоч-
перестановочные соотношения для введенных операторов, которые мы будем
называть ферми-операторами,
§ 861 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ФЕРМИОНОВ 405
где фигурные скобки используются для обозначения антиком-
антикоммутатора двух операторов, т. е.
{а, р}=сф + р(х.
Порядок расположения операторов в антикоммутаторе безраз-
безразличен, {а, р} = {р, а}, поэтому действие операторов as и а*
/0\ /1\
может быть обращено. Если ввести |0) —I I и | 1) = 1 ]>
то as будет оператором рождения, aj — оператором, уничтоже-
уничтожения. Мы будем придерживаться определений (86,3) — (86,6).
Операторы as и а* определяются матрицами (86,5) и (86,6)
не полностью. Необходимо еще указать связь этих операторов с
операторами as, и а*, для других состояний. Будем считать, по
аналогии со случаем частиц Бозе, что соотношения типа
{as, a/} = 0 выполняются для всех операторов, кроме операто-
операторов as и а* (для каждого состояния s), для которых
fas,a*}= 1. Другими словами, потребуем, чтобы операторы
as. а«м ... удовлетворяли соотношениям
{as> a,} = {aj, a*} = 0, {as, a+} = 6S/. (86,8)
Как мы увидим ниже (впервые это показано Иорданом и Вигне-
ром [77]), такие перестановочные соотношения приводят к пра-
правильному описанию системы фермионов.
Если перенумеровать одночастичные состояния в каком-либо
порядке и обозначить через ns — число частиц в состоянии s,
равное 0, или 1, то операторы, удовлетворяющие перестановоч-
перестановочным соотношениям (86,8), можно записать в виде следующих
матриц (в представлении, где оператор па .диагоналей):
( } ( о)' (86'9)
S-1
где vs = 2 Щ — число занятых состояний, предшествующих со-
состоянию s. Следовательно, знаковый множитель (—J)s равен 1
или —1, в зависимости от того, четно или нечетно число занятых
состояний, предшествующих s. Действие операторов as и а* на
волновые функции |... щ ...), зависящие от числа частиц в
каждом одночастичном состоянии, характеризуется равенствами
ae|..'. я, .¦..) = (-l)v«n»|... 1-я»...), J
aj|...n.,..>«(-l)*.(l-n|)|...l-n....>. I
406 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI
Используя (86,10), можно показать, что перестановочные соотношения
(86,8) выполняются. Действительно, учитывая, что «| = ras и (l — ns)Z =
= A — ns), имеем
..) = ns A - ns) |... ns ...) •= 0, a+a* |... ns ...)== 0.
Используя полученные равенства, легко убедиться в справедливости (86,8)
при s = I. Рассмотрим теперь случай s > I. Тогда
(-l)Vs+v'«sW/|... 1-я,... 1-я,
= (-l)Vs+V'~4"il-" 1-я,... 1-я,...).
Следовательно, a^as \ ... щ... ns. ..)== — asctj | ... щ... ns...). Таким же
образом можно доказать остальные перестановочные соотношения (86,8).
Из равенств (86,10) следует, что результат действия ферми-
операторов as и а? на волновые функции от чисел заполнения
зависит не только от числа ns частиц в состоянии s, но и от чи-
чисел заполнения всех предшествующих состояний. Поэтому опе-
операторы од и as нельзя считать полностью независимыми.
Если (Я(|)—es)(ps = O — уравнение, определяющее одноча-
стичные состояния, то полный оператор Гамильтона системы
невзаимодействующих фермионов можно записать в виде
(|М|. (86,11)
Здесь и в дальнейшем интегрирование по % включает суммиро-
суммирование по спиновым переменным. Операторы поля в представле-
представлении чисел заполнения выражаются через операторы as равен-
равенством
Ф 2Х cos = -^. (86,12)
Используя (86,8), ортонормируемость и полноту системы функ-
функций ф8, можно показать, что операторы поля в фиксированный
момент времени t, которое явно не указывается, удовлетворяют
перестановочным соотношениям
ф сю. ф+ ©}=| % (г) q
= {?+ (Г), Ф+ ©} = 0.
Здесь и в дальнейшем б(|' —|) = боо' bif—r), где б —спи-
—спиновая переменная. Подставляя (86,12) в (В6Д1), можно найти
§ 86] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ФЕРМИОНОВ 407
оператор Гамильтона системы фермионов в представлении чи-
чисел заполнения
Энергии es и волновые функции q>s могут относиться к одноэлек-
тронным состояниям в атомах, молекулах и твердых телах,
когда не учитывается взаимодействие между электронами, или
когда взаимодействие учитывается приближенно путем введе-
введения дополнительного эффективного поля.
Операторы суммарного числа частиц в системе и плотности
р(|) числа частиц в точке | определяются интегралами
Подставляя в эти выражения (86,12), находим их вид в пред-
представлении чисел заполнения
N = 2 a*ae, P(l) =Ij «+VU №) «V ©•
Оператор Я коммутирует с оператором Гамильтона 'Я, поэтому
число частиц в системе является интегралом движения. В си-
системе с N стабильными фермионами (электронами, протонами
и т. д.) их общее число имеет определенное значение (мы не
рассматриваем взаимодействие данной системы с частицами
большой энергии). Следовательно, волновые функции, описы-
описывающие состояния такой системы, должны быть собственными
функциями оператора суммарного числа частиц, соответствую-
соответствующими собственному значению N, т. е. должно выполняться ра-
равенство
l (86,13)
для всех состояний рассматриваемой системы.
Операторы любых других физических величин системы фер-
фермионов получаются из операторов координатного представления
по следующим правилам: если оператор Р в координатном пред-
представлении изображается суммой операторов Р(?,), действующих
на координаты каждого электрона в отдельности, то этот опе-
оператор в представлении вторичного квантования имеет вид
Подставляя далее в это выражение значение Ф(?) из (86,12),
находим оператор Р в представлении чисел заполнения
? = 2а+аД5Й/>, (86,14)
s, I
408 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI
где
$?;&)F(
— матричные элементы оператора координатного представления;
фг(|) —собственные функции оператора #(?).
Если оператор g в координатном представлении выражается
суммой i
S ?CviV2... v)
<<v<JV
операторов, действующих - на координаты /?-фермионов, то этот
оператор в представлении чисел заполнения имеет вид
где
= J «Ш • • ¦ <ьр
Итак, в системе фермионов операторы физических величин вы-
выражаются через фердои-операторы увеличения а! и уменьшения
а« числа частиц в одночастичных состояниях s такими же фор-
формулами, как в системах бозонов операторы физических величин
выражались через бозе-операторы й+ и & (см. (86,14), (86,15)).
Если система состоит из фермионов разного сорта, то каждому
типу фермионов сопоставляется свой оператор Ф и свои опе-
операторы рождения и уничтожения, которые действуют на числа-
заполнения фермионов данного сорта. Операторы Ф, относя-
относящиеся к разным сортам фермионов, антикоммутируют между
собой. Если в системе имеются фермионы и бозоны, то опера-
операторы фермионов коммутируют с операторами бозонов.
Основное состояние системы N невзаимодействующих одина-
одинаковых фермионов соответствует состоянию, при котором N со-
состояний Si, s2) ..., Sjv наименьшей энергии заполнены электро-
электронами, а остальные состояния свободны. Наибольшая энергия
ef уровней, занятых в основном состоянии, называется энергией
Ферми. Основное состояние системы будет соответствовать со-
состоянию, при котором все уровни s с энергией е« ^ bf заполнены
фермионами, а уровни с энергией е« > eF свободны. Волновая
функция основного состояния с точностью до знакового множи-
множителя определяется выражением
Фо= 11 с?|0>, (86,15)
§ 86] Представление чисел заполнения для систем фермионов 409
где в произведении участвуют все состояния s с энергией 6s^ef;
|0)—волновая функция состояния, в котором нет частиц ни на
одном уровне. Очевидно, что функция (86,15) удовлетворяет
условию
<Фо! 2 «Х|Фо>-^. (86,16)
где N — общее число фермионов. Сумма '2 здесь и в даль-
s«F)
нейшем обозначает суммирование по всем состояниям с энер-
энергией е8 ^ ef. Полная энергия системы фермионов в основном
состоянии (нулевая энергия) определяется равенством
в0=<ф0| Zpi Фа | ф0) - s(S », (86.17)
Состояние слабо возбужденных систем, состоящих из боль-
большого числа фермионов, мало отличается от состояния Фо. Изме-
Изменение начального состояния сводится к освобождению некото-
некоторых уровней с энергией е8 < 8j? и заполнению соответствующего
числа уровней с энергией е8 > ef. Состояния остальных фер-
фермионов остаются при этом неизменными. Поэтому слабо воз-
возбужденные состояния системы невзаимодействующих фермио-
фермионов можно характеризовать указанием состояний частиц с энер-
энергией es > eF и освободившихся состояний — «дырок» при
8S <; е>. Такое описание системы одинаковых фермионов назы-
называют «дырочным^представлением».
В дырочном представлении состояние Фо (86,15) называют
«вакуумным состоянием». Вакуумное состояние обладает нуле-
нулевой энергией Ео (86,17), от которой можно отсчитывать энер-
энергию возбуждения. Возбуждение системы соответствует рожде-
рождению пары частиц — частицы в состоянии s (е6 > ег) и «дырки»
в состоянии s'(es, ^ef). Другие состояния возбуждения характе-
характеризуются рождением нескольких пар частиц. Переход системы
из состояний большей энергии в состояния меньшей энергии
соответствует «аннигиляции» пар. Чтобы описать такие процес-
процессы, введем наряду с ферми-операторами a?, as (при es > вР)
новые операторы р*, Ps (es^ вырождения и уничтожения «ды-
«дырок» в состоянии s. Пусть состояние s характеризуется импуль-
импульсом р и проекцией спина о, тогда уничтожение частицы в со-
состоянии 5 эквивалентно рождению дырки в состоянии —р, —о,
которые мы будем кратко обозначать «—s». Следовательно,
операторы рождения и уничтожения дырок связаны с операто-
операторами частиц соотношениями
ss^sp. (86,18)
410 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI
Естественно, что операторы Ps и р* удовлетворяют перестано-
перестановочным соотношениям
антикоммутаторы между другими комбинациями операторов р6
и между операторами р8 и операторами as равны нулю.
Вакуумное состояние в дырочном представлении опреде-
определяется условиями
а5Фо==О (если es > ер); ps<Po = O (если es<ef).
Операторы поля (86,12) в дырочном представлении принимают
вид (энергия одночастичных состояний отсчитывается от ef)
# foe10-', (86>19)
s
где первое суммирование выполняется по всем состояниям с
es > ef, а второе — по всем состояниям ces<ef;
если Es>Ef;
если Es<eF.
Подставляя (86,19) в (86,13) и учитывая перестановочные
соотношения для операторов р8, находим
Принимая во внимание, что 2 l = N, преобразуем получен-
«F)
ное равенство к виду
Следовательно, в дырочном представлении число частиц всегда
равно числу «дырок». Другими словами, частицы и «дырки»
рождаются и исчезают парами.
Чтобы определить оператор энергии в дырочном представ-
представлении, подставим (86,19) в (86,11) и учтем равенства
Н (I) 4>s =¦ (^f + ^Qs) q>s, если es > ef;
H(t)q>s=(eF — fiQs)q)s, если
Тогда получаем
Если учесть^ что частица и «дырка» всегда рождаются парами
и отсчитывать энергию системы от энергии Eq ее основного со-
§ 86] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ЗАПОЛНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ФЕРМИОНОВ 411
стояния, то оператор энергии можно преобразовать к виду
ЯДШХ + ДША (86,20)
Следовательно, рождение пары — частицы в состоянии s и «дыр-
«дырки» в состоянии s' — увеличивает энергию системы на величину
Й (Q, + QS').
Все формулы этого параграфа сохраняют свой вид, если
считать, что операторы Я(|) и функции ф6(|) заданы в импуль-
импульсном представлении. Тогда | определяет компоненты импульса
частицы и спиновую переменную. Импульсное представление
удобно, если собственные функции одночастичного оператора
Гамильтона изображаются плоскими волнами.
Предыдущие формулы относились к случаю, когда одноча-
стичные состояния определялись движением фермионов во внеш-
внешнем поле (поле ядра и т. д.). Рассмотрим теперь частный слу-
случай, когда оператор Я(|) имеет собственные значения е6 =
= ti2k2lBm) и собственные функции <ps = q>ko = V~l'2eikr%a, где
Ха — спиновая функция; о — проекция спина. В этом случае
состояние системы характеризуется значениями k и о. Оператор
Гамильтона системы в представлении чисел, заполнения тогда
имеет вид
ft, a
Оператор числа частиц .
^ = S<V (86,22)
к,а
Состояние системы с постоянным числом частиц описывается
только собственными функциями оператора ft, соответствующи-
соответствующими собственному значению N, т. е. собственными функциями, ко-
которые удовлетворяют уравнению
А^Ф=|^ЛаФ. (86,23)
Чтобы не вводить дополнительного условия (86,23), можно вос-
воспользоваться известным приемом статистической физики и вве-
ввести параметр ц, имеющий размерность энергии и играющий
роль химического потенциала. Тогда вместо оператора (86,21)
следует рассматривать оператор
ft, о
Переход к новому оператору Н' эквивалентен тому, что все
412 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI
одночастичные энергии отсчитываются от значения \х. Химиче-
Химический потенциал определяется из условия (N) = N. Для невзаимо-
невзаимодействующих электронов химический потенциал равен энергии
Ферми.
§ 87*. Системы фермионов, взаимодействующих парными
силами. Каноническое преобразование Боголюбова
Рассмотренный в § 86 случай систем невзаимодействующих
фермионов представляет только методический интерес, так как
свойства реальных систем определяются взаимодействием фер-
фермионов между собой и внешними полями, порождаемыми дру-
другими частицами. Поэтому представляет интерес исследование
систем фермионов, взаимодействующих между собой.
Предположим^-что взаимодействие между фермионами опре-
определяется парными .силами, тогда оператор Гамильтона систем
N фермионов можно записать в виде
{=1 _ I < j
Переход к представлению вторичного квантования соответствует
замене оператора #(gi ... %n) оператором
+ Т J *f ® ф* F0 ^ Ш ^ (SO Ф (I) Al dl', (87,1)
где операторы поля удовлетворяют перестановочным соотно-
соотношениям
), w (Г)}=№f (i). ^f A0}=о, j
Переход к представлению чисел заполнения состоит в разло-
разложении операторов поля Ф(|) по полной ортонормированной си-
системе функций ф«(|). Если
ФF) = 2зд>.<6). (87,8)
S
то операторы as удовлетворяют перестановочным соотношениям
{as' аП == ^г> антикоммутаторы остальных комбинаций as и af
равны нулю. В качестве ортонормированной системы функций
фв(Ю удобно взять собственные функции оператора #(|). Если
[Я(|)—es]qps(!)=O, то, подставляя (87,3) в (87,1), находим
оператор Гамильтона в представлении чисел заполнения
н - 2 еаЧ + т 2 вЖв« <5/|г' w>' (87'4)
§ 87] ФЕРМИОНЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПАРНЫМИ СИЛАМИ 413
где
{sl\W\pq)= /ф^ф^БО^Шф^Оф,©^^'. (87,4а)
Оператор суммарного числа частиц в системе определяется
равенством
N = J Wf (g) W (g) dg= S «fo.. (87,5)
В системах, состоящих из устойчивых частиц (электроны,
протоны и т. д.), полное число частиц в системе должно быть
постоянным. Чтобы не вводить дополнительного условия по-
постоянства числа частиц iV — 2a*as, введем химический потен-
потенциал (х. Добавляя в оператор (87,4) член — uSaJa^ мы полу-
S
чим новый оператор
Е (87-6)
s slpq
Химический потенциал ц определяется из условия
В основном состоянии системы при отсутствии взаимодействия
(\J7 = 0) все одночастичные состояния с энергией es^ef запол-
заполнены, а состояния е6 > ef свободны, и химический потенциал
(х = eF, где_ег — энергия Ферми.
Для большей конкретности предположим, что система со-
состоит из ферми-частиц, имеющих спин '/г и оператор Я(|), опре-
определяющий одночастичные состояния, имеет собственные значе-
значения h2k2lBtn). Тогда одночастичные состояния определяются
волновыми функциями
где %д — спиновая функция. Индекс о принимает два значения
±'/2- Предположим далее, что взаимодействие между двумя
фермионами зависит только от расстояния между ними, не за-
зависит от ориентации их спинов и обладает малым радиусом
действия, т. е. положим №(|, |') = Щ|Г1—г2\). Матричные
элементы, входящие в (87,6) тогда будут равны
v(|fev~fell)
-ч(87>7)
414 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI
где функция Д, определенная (85,4), учитывает закон сохране-
сохранения импульса. Она отлична от нуля только при k2 + ?, = k'2-\-k[-
(87,8)
— действительная функция, зависящая от абсолютной величины
вектора k\ — kx. Эта функция является фурье-представлением
энергии взаимодействия двух фермионов. Знак в (87,8) выбран
так, чтобы притяжению соответствовали положительные значе-
значения Vkk>. Учитывая (87,7), находим явное выражение оператора
Гамильтона для случая, когда силы взаимодействия не зависят
от спинов
(87,9)
Во второй сумме суммирование выполняется по Сь ог и по всем
значениям ku...,k'2, удовлетворяющим закону сохранения
импульсов, указанному в скобках под суммой.
Если W им,еет конечный радиус действия, меньший средней
длины волны относительного движения пары фермионов, то это
взаимодействие проявляется только между фермионами с анти-
антипараллельными спинами. Фермионы с параллельными спинами
не будут сближаться до расстояний, где проявляется взаимо-
взаимодействие. В этом случае в (87,9) надо положить 02 = —оь Вы-
Выделим далее во второй сумме (87,9) члены k2 + ky = k'z + k[ = 0.
Тогда можно написать
Н = Н0+Н',
где Н' содержит все произведения четырех ферми-операторов
для которых k2-\-ki = k2-\-k\^=Q;
ka ftft'a
здесь е (k) = -^ ц; vftft' — фурье-представление энергии
взаимодействия двух фермионов.
Слагаемые, отличающиеся только значениями о, дают оди-
одинаковый вклад в суммы оператора Яо, поэтому можно написать
ft ft*'
§ 8Я ФЁРМИОНЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПАРНЫМИ СИЛАМИ 415
Для исследования спектра собственных значений оператора
(87,10) проведем каноническое преобразование ферми-операто-
ров, предложенное Боголюбовым: ' ' .
где Uk и vk — вещественные функции, симметричные относи-
относительно преобразования k—>—k и удовлетворяющие соотно-
соотношению
ul + vl=l. (87,12)
При выполнении условия (87,12) новые операторы Аьо и Аы
удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям для
ферми-операторов.
Переходя с помощью (87,11) к новым ферми-операторам,
преобразуем (87,10) к виду
Н1 + Н2, (87,13)
где
Ео = 2 2 е (k) v% - -f ]? v^tv^o, (87,14)
•—постоянное слагаемое, не зависящее от ферми-операторов и
соответствующее энергии основного состояния;
ft
+ -^? V vkk,uk,vkЛ(л1оЛло + AlxAkl) (87,15)
ft' J
— диагональная часть оператора Гамильтона;
Hx = y,[2e{k)ukvk-±r{ul
(87,16)
— недиагонаЛьная часть оператора Гамильтона, содержащая
произведения только двух ферми-операторов. Оператор Я2 со-
содержит произведения четырех новых ферми-операторов. Для
возбужденных состояний малой энергии порядок величины Н2
значительно меньше остальных членов, поэтому Яг можно опу-
опустить.
. До сих пор вещественные функции ы* и vk канонического
преобразования были произвольными при условии выполнения
равенства (87,12). Выберем теперь эти функции таким образом,
416 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI
чтобы обратить в нуль оператор (87,16). Для этого достаточно
потребовать, чтобы' выполнялось равенство
2e (k) «л = f («| _ ф 2>ftA'*V- (87,17)
Легко убедиться, что (87,17) является одновременно условием
минимума энергии основного состояния (87,14) при дополни-
дополнительном равенстве (87,12). Введем обозначение
Дй ss-rr У, u-k'Vu'Vkk'; (87,18)
тогда из (87,17) и (87,12) можно выразить uk и yft через e(k)
(87,19)
Подставив полученные выражения в (87,17), находим уравне-
уравнение, определяющее величину Д*,
0Ж-
Уравнение (87,20) имеет сложный вид. Значение Д* зависит от
спектра энергий е* одночастичных состояний без взаимодей-
взаимодействия, отсчитанных относительно химического потенциала ц и
функций Vftft', определяемых силами взаимодействия между дву-
двумя фермионами.
Подставляя значения (87,18) и (87,19) в (87,15), можно пре-
преобразовать диагональную часть оператора Гамильтона к виду
(87,21)
Таким образом, вследствие взаимодействия между фермионами
спектр элементарных возбуждений определяется величиной
Ve9(k) + Al (87,22)
Каждому значению импульса hk соответствуют два типа эле-
элементарных возбуждений системы фермионов, характеризуемые
собственными функциями новых "операторов чисел заполнения
Состояния |я*о.) и |«fti) имеют соответственно энергии Е(к)пк0
и E(k)nki,
§ 8П ФЕРМИОНЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПАРНЫМИ СИЛАМИ 417
Изменение одночастичного спектра, т. е. разность e(k) —
— E(k), определяется величиной Д*, которая является корнем
уравнения (87,20). Перейдем к исследованию этого уравнения.
Прежде всего легко видеть, что уравнение (87,20) имеет три-
тривиальное решение: Д* = 0, или UkVu = 0. Выберем это решение
в виде
b2k2 1
и/, — 1, Vn = 0, если е (k) = -у jx > 0; |
й? (87,23)
Uk = 0, Vk == 1, если е (k) = —я ц < 0. !
Чтобы определить физический смысл полученных решений, рас-
рассмотрим каноническое преобразование, обратное (87,11):
(87,24)
При значениях (87,23) вне сферы Ферми (e(k) > 0) операторы
Ako = 0'k42, Aki = a-k,-42 уничтожают фермионы соответственно
определяющим максимальный импульс Pf = й^о сферы Ферми.
(e(ft)<0) эти операторы равны Лй0 = — <хЦ _1/s, ЛЛ1 = а^1/а>
следовательно, они соответствуют рождению фермионов, или
уничтожению «дырок» в состояниях (—&, — Уг) и (kll2). Таким
образом, преобразование (87,24) при значениях (87,23) эквива-
эквивалентно переходу к дырочному представлению, рассмотренному
в § 86. Энергия новых одночастичных состояний при этом все-
всегда положительна: Е (Щ = Vе2 (k) (в соответствии с (86,20)).
При достаточно больших- силах притяжения, когда выпол-
выполняется неравенство
2F Zi \e(k')\ ^ l>
наряду с тривиальным решением уравнения (87,20) имеется не-
нетривиальное решение, при котором Д* ф- 0. Вычислим значение
Д* для случая, когда можно предположить, что функция vkt,[
равна постоянному значению v, если k и к' лежат внутри интер-
интервала k0 — q, k0 + q, и равна нулю, когда k и k' лежат вне этого
интервала. Тогда, согласно (87,18), значение Д* равно постоян-
постоянному Д для k, находящемуся в том же интервале, и уравнение
(87,20) принимает вид
418 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI
Если Д больше расстояния между соседними уровнями e(k),
то сумму можно заменить интегралом, используя равенство
... =VBn)~3j ...d*k.
к
Полагая ц = ffkolBm), имеем
. ' т
Далее
,2
Теперь можно написать
-Q
Вычисляя интеграл и разрешая полученное уравнение относи-
относительно Д, находим
^^ *? (87,25)
т 1-
Непосредственно из (87,25) следует, что это выражение нельзя
получить путем вычисления эффекта взаимодействия между фер-
мионами методом теории возмущений. Теория возмущений дает
поправки к энергии в виде степеней малой энергии взаимодей-
взаимодействия v, а величина Д стремится к нулю как ехр(—D/v) и при
значениях v я* О не может быть разложена в ряд.
Перейдем к выяснению физического смысла величины Д.
Для этого выразим энергию основного состояния Ео через Д.
Подставляя (87,18) н (87,19) в (87,14), находим
(к) [VeHk) + bl-e (к)] —|
Если Д = 0, то Ей = 0 и функции канонического преобразования
сводятся к (87,23) для тривиального решения уравнения (87,20).
Если Д =^= 0, то Ео < 0. Таким образом, при Д Ф 0 нетривиаль-
нетривиальные решения (87,20) энергетически выгоднее тривиальных.
Возбужденные состояния системы соответствуют «рождению»
квазичастиц, зависимость энергии которых от импульса опреде-
определяется формулой (87,22). Последнюю при ц == й2/го/Bт) можно
записать в виде
17 /U\ Я* [ft.2 fc^i2 I 12tn&b \21'/2 /o-7 oc\
E W = l^-1 (* — Ы + \~w) J * (87,26)
§ 87] ФЕРМИОНЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПАРНЫМИ СИЛАМИ 419
При больших разностях k2—Jfeo зависимость энергии квазича-
квазичастиц от импульса такова же, как для свободных частиц с мас-
массой т. Однако при приближении \k\ к значению &о (fifto — гра->
ничный импульс сферы Ферми) энергия возбуждения стремится
не к нулю, а к конечному пределу
lim ?" (Jfe) = Л*,, при |?|->/г0.
Следовательно, величина Akll определяет разность энергии ме-
между основным и первым возбужденным состоянием системы
фермионов. Если Ak0 Ф О, то говорят, что в спектре элементар-
элементарных возбуждений системы фермионов имеется энергетическая,
щель. В связи с этим возникает определенная устойчивость воз-
возбужденных состояний по отношению к внешним воздействиям,
которая и обусловливает явление сверхпроводимости. Система
может отдавать и получать энергию порциями, не меньшими Д*о^
При Дй>т^0 функции (87,19) канонического преобразования
одновременно отличны от нуля, следовательно, новые фер ми-
операторы Л+ и Л, соответствующие рождению и уничтожению-
квазичастиц (кванты элементарных возбуждений), относятся
к состояниям, являющимся суперпозицией фермионных и дыроч-
дырочных состояний системы невзаимодействующих частиц. Другими
словами, элементарные возбуждения, относящиеся к значению
Аь?= 0, являются коллективными возбуждениями. Тривиальному
решению Aft = 0 уравнения (87,20) соответствует другое — «нор-
«нормальное» основное состояние с большей энергией, от которого
непосредственно начинается непрерывный (для бесконечно боль-
большой системы) спектр возбужденных состояний.
Рассмотренный выше эффект появления щели в спектре воз-
возбужденных состояний системы, согласно (87,10), связан с взаи-
взаимодействием фермионов в состояниях с противоположными им-
импульсами. Такое взаимодействие называют эффектом спари-
спаривания.
В заключение этого параграфа рассмотрим вопрос о вычис-
вычислении химического потенциала системы взаимодействующих
фермионов в основном состоянии. Химический потенциал основ-
основного состояния определяется из условия
N = (<D0\N\O0), (87,27)
где N — число частиц в системе; Фо — функция основного со*
стояния системы, соответствующего отсутствию квазичастиц в
системе, т. е. Фо удовлетворяет равенствам
Чтобы использовать (87,27) для определения химического по-
потенциала, выразим оператор числа частиц ^=22^,^ че<
420 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI
рез новые операторы с помощью преобразования (87,11), тогда
получим
N= 2 Wu + (ul - vDiAlAu + AioAk0) +
+ 2ukVk{At0Ai1 + Ak0Akl)}.
Подставляя это выражение в (87,27) и используя (87,19), на-
находим уравнение, определяющее ц,
*-?**-?['-
где
Если Д,а= 0, то (87,28) сводится к равенству
N
Учитывая, что
е(к) \ [ °. если
[
~ Ie(ft)|j"~l 2, если
мы убедимся, что равенство (87,29) совпадает с равенством,
определяющим максимальный импульс pF = */г0 сферы Ферми.
Следовательно, при Дй = 0 химический потенциал
совпадает с энергией Ферми.
. Если Да ?= 0, то, заменяя в (87,28) сумму интегралом, полу-
получим равенство
W(W
определяющее величину /г0, а следовательно, и ц = й2/го/Bт),
через плотность частиц в системе N/V и значения Дй.
§ 88*. Взаимодействие электронов с фононами металла
и микроскопическая теория сверхпроводимости
Микроскопическая теория сверхпроводимости была создана
только в последнее время работами Купера, Бардина, Шриф-
фера [78, 79] и Боголюбова [80]. Мы рассмотрим здесь только
основные идеи теории, которые иллюстрируют важность взаимо-
§ 08] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ МЕТАЛЛА 421
действия электронов металла с колебаниями ионов, т. е. взаи-
взаимодействие системы фермионов с системой бозонов.
Сопротивление металлов обусловлено взаимодействием элек-
электронов с фононами решетки, которое приводит к рассеянию
электронов. Фрелих [81] еще в 1950 г. высказал идею о том, что
и сверхпроводимость металла также обусловлена взаимодей-
взаимодействием электронов с фононами решетки. В работах [78, 79, 80]
было показано, что такое взаимодействие при некоторых усло-
условиях приводит к наличию в спектре возбужденных состояний
электронов энергетической щели над основным состоянием.
В связи с этим возникает устойчивость возбужденных состояний,
соответствующих прохождению тока через металл, что и приво-
приводит к сверхпроводимости.
В идеальной решетке (неподвижно закрепленные ионы в
узлах решетки) движение электрона в зоне проводимости опре-
определяется блоховской функцией
которая представляет плоскую волну, модулированную функ-
функцией м*(г), удовлетворяющей условию периодичности ик{г) =
— Uk(r-\-n), где п — вектор решетки. Явный вид этой функции
нам далее не потребуется, k — волновой вектор.
Электронная волновая функция всего металла, содержащего
N электронов проводимости в объеме V, является антисиммет-
ризованным произведением N функций (88,1). Основное состоя-
состояние соответствует заполнению электронами нижайших блохов-
ских состояний, т. е. заполнению состояний, лежащих в области
ft-пространства внутри поверхности Ферми. Будем предполагать,
что эта поверхность лежит далеко от границы зоны и изотропна,
т. е. представляет собой сферу радиуса k0. При возбуждении
электроны из состояний k < k0 переходят в состояния k > ko.
Если sfc — энергия состояния электрона с квазиимпульсом Eft,
то в представлении вторичного квантования оператор Гамиль-
Гамильтона системы электронов (с точностью до постоянного слагае-
слагаемого) имеет вид
tfo=2eft<«*a. (88,2)
ft, a
где а\ и ak—ферми-операторы рождения и уничтожения квази-
квазичастиц.
Для определения оператора взаимодействия электронов с фо-
фононами решетки учтем, что при смещении иона, занимающего
л-е место в решетке, на величину Ъ,п энергия взаимодействия
электрона с решеткой 2 W (г — п) — изменяется на величину
422 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI.
2 In {SnW (г — л)}. Следовательно, в представлении вторичного
»
квантования оператор электрон-фононного взаимодействия мож-
можно написать в виде
Нш = J Ф* (г) 21 F«W (r - п)} Ф (г) dr =
л
= - J Ф* (г) ^ W (г - n) (V«i) W (г) rf?, (88,3>
где W — оператор, выражающийся через ферми-операторы ak(t
и блоховские функции (88,1) с помощью равенства
ft, a
Оператор смещения ионов Сопределен (82,16), следовательно,.
где й , &J — бозе-операторы; s — скоро'сть продольных звуковых
волн, соответствующих волновому вектору q, так как только-
продольные волны дают вклад в (88,5) и для них ю (<?) = sq.
Подставляя (88,4) и (88,5) в (88,3) и учитывая, что сумма
2 exp (iQn) равна N, если Q = 0, и равна нулю, если Q ФОГ
п
получаем окончательное выражение операторов электрон-фенон-
ного взаимодействия в представлении чисел заполнения
% l + 3.c, (88,6>
B3q eql
где
p?=|a^aft (88,7)
— сокращенное обозначение сумм произведений ферми-опера-
торов;
— малая величина, определяющая электрон-фононное взаимцг
действие. Интегрирование ведется по одной элементарной ячей"
ке. Буквами «э. с.» в (88,6) и в последующих выражениях ука-
указываются члены, эрмитово сопряженные ко всем предыдущим-
Оператор взаимодействия (88,6) не зависит от спинового
состояния электронов, поэтому в дальнейшем мы не будем явно
учитывать спиновый индекс о во всех выражениях.
§ 88] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ МЕТАЛЛА 423
Оператор (88,6) получен в предположении, что ионы в ре-
решетке движутся как единое целое, что D(q) зависит только от q
и не зависит от ft и что колебания ионов в решетке делятся на
продольные и поперечные для всех значений q, поэтому взаимо-
взаимодействие (88,6) осуществляется только с продольными фоно-
нами. Без этих упрощений вычисления сильно усложняются.
Такое усложнение оправдывается только при необходимости по-
получить количественные результаты.
Вследствие взаимодействия электронов с фононами меняются
энергетические состояния электронов и фононов. Нас будет ин-
интересовать только поведение электронов. Изменение спектра
фононов под влиянием электронов будет учитываться только кос-
косвенно путем использования экспериментального значения для
скорости звука s.
Итак, система электронов, взаимодействующих с фононами,
¦будет описываться оператором Гамильтона
Я' = Яо + Явз, Яо = 2 eftaX + 2 A«yi&. (88,8)
#вз — определяется формулой (88,6).
Для оценки роли электрон-фононного взаимодействия про-
проведем предложенное Фрелихом [82] преобразование оператора
(88,8), чтобы исключить возможно большую часть оператора
взаимодействия. Преобразованный гамильтониан имеет вид
Я = e-KH'e* =H' + i [Я', S] - 1 [[Я', S], S] + ... (8,9)
Оператор преобразования, содержащий малое взаимодействие,
выбирается в виде
f% (88,10)
где
У, = 2Ф(А,?)аК-,. (88,11)
Функции <D(ft, q) связаны с взаимодействием. Их явный вид бу-
будет определен ниже.
Подставляя (88,8) и (88,10) в (88,9), находим, учитывая
(88,6) и собирая члены одинакового порядка малости,
г" S [A
(88,12)
Оператор (88,12) легко вычисляется, если учесть, что ферми-
операторы аА, а\ коммутируют с бозе-операторами aq и что
424 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI
из свойств ферми-операторов следует равенство
Используя (88,11) и (88,13), вычислим предварительно комму-
коммутаторы
[«К. VJ = Ф (ЬФ «К-9 ~ Ф (*
[<?-,«*. VJ = Ф <*?) [«!-,«*-, - aj
K<W VJ = Ф (* ~ Я, Я) aK_2, -
Используя найденные соотношения, вычислим в (88,12) члены,
линейные относительно энергии взаимодействия:
l[#0,
= / { 2 (в, - eft_9 + fio>gH(kq) + ?» (?) }^a+aft_9 + э. с. (88,14)
Выберем функции Ф(й, q) так, чтобы все выражения (88,14) об-
обращались в нуль, т. е. положим
При значении (88,15) находим
| [Яо, SJ + Я, -= ¦!¦ ? D (?) й,аК_9 + э. с.
Следовательно,
Явз ЕЕЭ / ^ [D [^0, S,] + Я,) , S,] =
9
- - т 2 Р W [VS«.-^ v9^] - Д* (?) [V*-A> ya
Усредняя полученное выражение по вакуумному состоянию фо-
нонов, находим, используя значения (88,14) и (88,15),
(в4 eft_9J - (Bo,9J • (88>16>
Проведенные преобразования имеют смысл только при усло-
условии, что функции (88,15) являются малыми, так как в против-
противном случае ряд (88,9) не будет сходиться. Таким образом, наше
преобразование можно применить только для части Явз, не
содержащей значений q, при которых знаменатель (88,15) бли«
§ 88] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОНОНАМИ МЕТАЛЛА 425
зок к нулю. Если обозначить часть #Вз, соответствующую таким
значениям q, через Ню, то оператор Гамильтона электронов
металла (с точностью до квадрата параметра взаимодействия)
в вакуумном состоянии относительно фононов (низкие темпера-
температуры) принимает вид
Второе слагаемое в (88,17) можно интерпретировать как
энергию взаимодействия между электронами, обусловленную
виртуальным обменом фононами. При этом каждое слагаемое
в сумме соответствует взаимодействию между электронами,
имеющими квазиимпульсы bk и bkr = b{k — q). Это взаимодей-
взаимодействие соответствует притяжению, если гь-q—ъь'СЪщ. По-
Поскольку Ek= е-*, то для электронов, имеющих противоположно
направленные импульсы, т. е. при k' = k — q=—ft, знамена-
знаменатель в слагаемых суммы (88,17) принимает значение, равное ficog.
Если в операторе (88,17) выделить члены с k — q = —k, то
получим оператор
#= S *Aak ~ S v(q) ata.katkak, (88,18)
k k
где
Переходя в операторе (88,18) к новым ферми-операторам
с помощью канонического преобразования Боголюбова
а^иьАьо + VbAL)
u-k —ukAk\ — vkAm, J
где u\-\-v\=\, сведем задачу к уже рассмотренной в § 87.
Как было показано в § 87, при достаточно большой величине
\(q) в спектре возбужденных состояний электронов появляется
энергетическая щель А. Возбужденные токовые состояния ста-
становятся устойчивыми и соответствуют сверхпроводящему состоя-
состоянию. Для их уничтожения надо затратить энергию, которая вы-
выделяется при переходе электронов в сильно коррелированные
состояния движения, приводящие к их «спариванию». При ма-
малом электрическом токе любой процесс одночастичного рассея-
рассеяния электронов (разрыв пары) связан с увеличением (а не
уменьшением) энергии системы электронов, несмотря на то, что
энергия токового состояния больше энергии основного состоя-
состояния. Процесс рассеяния будет запрещен до тех пор, пока доба-
добавочная энергия электронов, связанная с появлением тока, будет
426 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ. [ГЛ. ХГ
меньше энергетической щели. Если р — средний импульс элек-
электрона в токовом состоянии, то при возникновении тока измене*
h2k2
ние энергии электрона е (k) = -^- по абсолютной величине
I <Эе (k) I pbk
будет равно \Р Ъдк — "^~ • Поскольку k ^ k0, то сверхпрово*
димость должна наблюдаться при
Сверхпроводящее состояние возникает только в таких метал-
металлах, для которых энергия электрон-фононного взаимодействия
достаточно велика. С другой стороны, чем больше электрон-фо-
нонное взаимодействие, тем больше сопротивление металла в-
нормальном состоянии, так как при этом велика вероятность
рассеяния электронов с испусканием и поглощением фононов.
Этим качественно объясняется известный факт, что хорошие
проводники (серебро, медь, золото) не переходят в сверхпрово-
сверхпроводящее состояние. Сильное электрон-фононное взаимодействие,,
приводящее к большому сопротивлению в нормальном состоя-
состоянии, способствует образованию сверхпроводящего состояния, ли-
лишенного сопротивления.
В этом параграфе мы провели преобразование оператора
Гамильтона (88,8) в два этапа. Такое преобразование хороша
проясняет физическую картину явления сверхпроводимости. При
этом, однако, из-за возникающих расходимостей приходится
рассматривать только часть общего взаимодействия. Если про-
провести преобразование (88,19) к новым ферми-операторам и к но-
новым бозе-операторам ,
^ —(х|=1, непосредственно в гамильтониане (88,8), то»
такая трудность не возникает.
Последовательная теория сверхпроводимости металлов с уче-
учетом кулоновского взаимодействия была развита Боголюбовым
[80]. С этой теорией можно ознакомиться по монографии [83].
§ 89. Квантование электронно-позитронного поля
В главе VIII уже отмечалось, что в релятивистской теории
представление о движении одной- частицы удается сохранить
только приближенно с точностью до членов порядка (vieJ. При
движении частиц в сильных полях начинают играть существен-
существенную роль процессы виртуального и реального рождения пар
частиц. Число частиц в системе при больших энергиях не сохра«
няется. Для описания процессов взаимопревращений частиц еле-
¦§89] КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННО-ПОЗИТРОННОГО ПОЛЯ 427
дует использовать представление о поле, квантами котррого яв-
являются частицы. В этом случае процессы рождения и уничтоже-
уничтожения пар частиц находят естественное объяснение, одновременно
устраняются трудности, связанные с представлением о состоя-
состояниях отрицательной энергии и их роли в различных физических
явлениях.
В этом параграфе мы рассмотрим квантование электронно-
позитронного поля, описываемого уравнением Дирака. Соглас-
Согласно § 60, «одночастичный» оператор Гамильтона уравнения Ди-
Дирака для свободного движения выражается через дираковские
матрицы р и а равенством
HD — cap -f mc2$.
В соответствии с общими правилами квантования систем фер-
ми-частиц оператор Гамильтона электронно-позитронного поля
можно записать в виде
J^^ (89,1)
где ЧГ— (одностолбцовая матрица, содержащая 4 компоненты)
является оператором, действующим в пространстве чисел частиц
и удовлетворяющим перестановочному соотношению
{ЧГ(гО, ^(г)} = б(г-гО. (89,2)
Чтобы перейти к представлению чисел заполнения, надо разло-
разложить операторы ЧГ по ортонормированной системе функций опе-
оператора HD. В качестве такой системы функций рассмотрим
«функции
соответствующие состояниям движения с определенным импуль-
импульсом р = bk и удовлетворяющие уравнению
%Й = ^А* (89,3)
еде
А = 1, -1; Ek =
Как было показано в § 60, при заданном k имеется четыре соб-
собственные функции, отличающиеся значениями проекции спина
на направление движения и значениями Я,==~±1, являющимися
собственными значениями знакового оператора F0,12). Реше-
Решения, соответствующие Я,= I, мы условились называть положи-
положительными; будем обозначать такие решения я]зй(Т+. Решения при
X = — 1 будем называть отрицательными и обозначать ^>fta_.
Чтобы иметь дело с дискретными значениями k, мы наложили
428 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI
на функции г!>й<д периодические условия с периодом L = V'h по
трем взаимно перпендикулярным направлениям; тогда условия
ортонормируемости принимают вид
Если оператор поля W разложить по системе функций
и подставить в (89,2), то мы убедимся, что операторы йкаК бу-
будут удовлетворять обычным перестановочным соотношениям для
ферми-операторов. Удобно от операторов й*л перейти к новым
ферми-операторам с помощью канонического преобразования
5 л,
... ko= &-h, -a, —
Тогда оператор поля можно записать в виде
г 5* ¦_._„._); (89,5)
2
при этом операторы й и Ь удовлетворяют перестановочным соот-
соотношениям
{<W <*U = [Ь„ «to-} = 6*Ac- (89,6)
Антикоммутаторы других комбинаций й и 5 равны нулю. Опе-
Оператор йА(Г является оператором уничтожения частиц в состоянии
с импульсом bk, проекцией спина на направление движения Ъа
и Я=1; оператор Ь\а является оператором уничтожения ча-
частицы в состоянии —bk, —ha и К — — 1, или оператором рож-
рождения античастицы в состоянии bk, Ьа, 7ь^= 1. Таким образом,
если операторы а относятся к электронам, то операторы б долж-
должны относиться к позитронам (или наоборот).
Подставляя (89,5) в (89,1) и учитывая перестановочные
соотношения (89,6), уравнение (89,3) и условия ортонормируе-
ортонормируемости (89,4), получим оператор Гамильтона поля в представле-
представлении чисел заполнения
Н' = 2 Ek (utcuko + blobko) + S» (89,7)
*,<т
где ^0= — 2 Ek —постоянная энергия вакуума, от которой
k. a
можно проводить отсчеты энергий возбужденных состояний.
§ 89] КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННО-ПОЗИТРОННОГО ПОЛЯ 429
Если обозначить через |0) волновую функцию вакуумного со-
состояния, то эта функция определяется уравнениями
указывающими, что в вакуумном состоянии нет частиц и анти-
античастиц.
Операторы полного импульса и электрического заряда поля
в представлении чисел заполнения равны соответственно
Р = J Ф+р# d3r = ]g Afc (died*, + 5U*o), (89,8)
*, a
= e ]gtflJofi*e - 6Io5*a).+ Qo, (89,9)
*, a
где Qo — полный заряд вакуумного состояния.
Из (89,7) — (89,9) следует, что полная энергия, импульс и
заряд поля представляются в виде суммы энергий, импульсов
и зарядов отдельных возбуждений — частиц. Оператор nja =
=sa*ca*d> имеющий собственные значения 0 или 1, относится к
частицам с зарядом е (электроны); оператор пьа=ЪкаЬьа с
собственными значениями 0 и 1 соответствует античастицам за-
заряда— е (позитроны). Следовательно, частицы можно рассмат-
рассматривать как кванты возбужденных состояний. Основное состоя-
состояние, или вакуумное состояние, определяется как состояние
поля без частиц.
Выражения (89,7) и (89,9) содержат бесконечные постоян-
постоянные слагаемые <§q и Qo, соответствующие вакуумным значениям,
которые не проявляются в физических явлениях. Легко, однако,
так переопределить операторы энергии и электрического заряда,
чтобы вакуумные значения равнялись, нулю. Действительно,
fc. a
= е ^ (aU*c - bUU (89,10)
fc.a
где
430 ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗ ФЕРМИОНОВ [ГЛ. XI
Входящий в (89,10) оператор плотности электрического за-
заряда можно записать в сокращенном виде с помощью комму-
коммутатора
р = |(Ф+Ф-W+) = |[r, ¦]. (89,11)
Чтобы не нарушить уравнения непрерывности .для электриче-
электрического заряда, надо наряду с оператором плотности электриче-
электрического заряда (89,11) рассматривать и преобразованный опера-
оператор плотности электрического тока
Оператор электрического заряда (89,10) коммутирует с опера-
оператором Я, следовательно, электрический заряд является интегра-
интегралом движения.
ГЛАВА XII
ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ПОД
ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ
§ 90. Общее выражение для вероятности перехода
из одного состояния в другое
Предположим, что на систему, описываемую не зависящим
от времени гамильтонианом Но, действует в течение некоторого
времени возмущение, оператор которого имеет вид
W(t), если 0<<<т,
0, если t<0, t>x.
В этом случае полный оператор Гамильтона
¦«-{
зависит от времени и соответствующее временное уравнение
Шредингера
ih-^-=(H0 + V(t))q (90,1)
не имеет стационарных решений.
Оператор V(t) может характеризовать взаимодействие дан-
данной системы с другими телами. В простейших случаях такое из-
изменяющееся с течением времени взаимодействие осуществляется
изменением внешних параметров: изменение расстояния, изме-
изменение напряженности внешнего поля и т. д.
Для определения волновой функции, удовлетворяющей урав-
уравнению (90,1), перейдем к представлению взаимодействия. Для
этого представим я]з в виде ряда
где Еп и фп — соответственно собственные значения и собствен-
собственные функции оператора Яо. Предположим, что до включения
взаимодействия система находилась в стацион-арном состоянии
с энергией Ег. Следовательно, при ^Ов сумме (90,2) отлично
от нуля только одно слагаемое:
¦фнач = <р, ехр (— iEitlh),
или a.f(t) = bfi, если t ^ 0. По истечении действия возмущения,
т. е. при t ^ х, коэффициенты af снова принимают постоянные
432 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
значения а#(т), их величина зависит от вида оператора возму-
возмущения W(t) и начального состояния, которое отмечается вторым
индексом.
Таким образом, при t~>x система будет находиться в состоя-
состоянии с волновой функцией
¦фкон = 2 ап (т) <pf exp (— iEft/h). (90,3)
При этом вероятность того, что система находится в некотором
стационарном состоянии с энергией Ef, будет определяться
квадратом модуля коэффициента afl(x). Следовательно, вели-
величина
Mfl(x) = \aft(x)\2 (90,4)
равна вероятности перехода системы за время т из начального
состояния / в состояние f.
Для вычисления коэффициентов пц подставим (90,2) в урав-
уравнение (90,1). После умножения правой и левой частей этого
уравнения на ф! и интегрирования по всем значениям перемен-
переменных, от которых зависят эти функции, находим систему уравне-
уравнений
ih ± af (t) = J] (Л W (OlQ'e'Va, @, (90,5)
i
где
<Л W @1 /> = J <$)W (t) ф, d%, (90,6)
h<Dfl = Ef — Eh (90,6a)
В дальнейшем будут рассматриваться только возмущения, для
которых равны нулю диагональные матричные элементы опера-
оператора возмущения, т. е. {l\W(t)\t) = 0. В этих случаях в сумме
^90,5) будет отсутствовать член с f = I.
Если (/|№(<I0 ф 0, то можно перейти к новым амплитудам Ai(t) с по-
помощью преобразования
о, @ = At @ ехр | - ~ J (/1 W (f) | /) dt' J. (90,7)
Эти амплитуды будут удовлетворять системе уравнений
dAf (t) v,
ib—dt~== Ъ (f\W(t)\l)At(t)exp(iQftt),
где
t г- t -j
J (f | W (i')\f) dt'-\ Ett + J (Л W(t')\l)dt' \.
0 L 0 J
§ 90] ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА 433
Следовательно, частоты й/г учитывают смещение энергетических уровией под
действием возмущения. В частном случае, когда (/|№|/) ие зависят от вре-
времени,
Из (90,7) следует, что |й/@|2= И/@12. поэтому амплитуды Af (t) дают те
же вероятности переходов, что и амплитуды a, (t).
Для вычисления вероятности перехода надо решить систему
уравнений (90,5) при начальном условии
flf@) = *fi. (90,8)
Если матричные элементы (90,6) малы и время действия возму-
возмущения х не очень велико, так что за время действия возмущения
значения коэффициентов с/(т) мало изменяются относительно
их начальных значений, то систему уравнений (90,5) можно ре-
решать методом последовательных приближений.
В "первом приближении для определения af(l) можно в пра-
правую часть (90,5) подставить начальные значения (90,8), тогда
получим систему уравнений для f ф I
Решая эти уравнения с начальными условиями (90,8), находим
t
ап <*> = IF I <f Iw MI *> exP <tof''')dfr- <90'9>
о
Подставляя это значение в правую часть (90,5), находим урав-
уравнение с точностью до второго порядка
1K ?
Ш\П \(r\{)\)dt'.
Г(ГФП
Решение этого уравнения можно записать в виде.
t
ftf'^eo о (90д0)
Подставляя это значение снова р уравнение (90,5), можно найти
решение с точностью до третьего порядка.
434 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. ХИ
Продолжая этот процесс, получим решение в виде бесконеч-
бесконечного,ряда. Этот ряд может быть кратко записан в следующем
виде:
о
где
Pexpl-^\w{f)dA tj, (90,11)
+ -i- f w (П df + Ш21 w in J w (n dt" df +
0 0 0
t t' Г
ibf J^^ I ^(<//)I ^(f//Jdr"drdt'+ '••' (90'1
J. H t -±Ht
eh °W(t)e h ° (90,13)
— оператор возмущения в представлении взаимодействия (см.
§ 31).
Рассмотрим п-й член ряда (90,12)
Ап = Щ* J Л, J Л2 ... J d<n# (<,) # (У ... W (Q.
0 0 0
Интегрирование в Ли производится по временным переменным,
расположенным в «хронологическом» порядке t\ > t% ~> t3 >>...
... > tn. Для записи Ап в более симметричном виде Дайсон [84]
ввел «хронологический» оператор Р, который упорядочивает
произведение зависящих от времени операторов, ставя их слева
направо в порядке хронологической последовательности убыва-
убывания времени. „Например,
i a (<,), если t2 > tx.
Рассмотрим теперь интеграл
t t
U-(-^Уpjdt1^dti...jdtnW(f,)W(h) ...W(tn).
0 0 0
Этот интеграл полностью симметричен относительно U, t2, ... tn,
поэтому он в п\ раз больше интеграла Ап, в котором выбрана
§91] ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМА ПРОЛЕТАЮЩЕЙ ТЯЖЕЛОЙ ЧАСТИЦЕЙ 435
определенная хронологическая последовательность. Доказатель-
Доказательство, можно провести методом математической индукции [85].
Следовательно, Ап = /„(л!)-1. Таким образом,
P exp - -?¦
можно рассматривать как символическую запись ряда (90,12)
или ряда
Для многих задач атомной и ядерной физики достаточно
ограничиться решениями (90,9), соответствующими первому по-
порядку теории возмущений. В этом случае вероятность церехода
из состояния Z в состояние_J за время действия возмущения оп-
определяется формулой
<Л
(90,14)
В дальнейшем изложении, если не будет делаться специальных
оговорок, мы будем пользоваться первым порядком теории воз-
возмущений, поэтому индексы над амплитудами ац, указывающие
порядок теории возмущений, будут опускаться.
Вследствие квантовых переходов из состояния |/) в другие
состояния |/) вероятность \at(t) |2 пребывания системы в состоя-
состоянии /, равная единице в момент t = 0, будет уменьшаться. Если
это уменьшение происходит по экспоненциальному закону, так
что
\at(t)f=exp(-t/T), (90,15)
то величину Т называют 'временем жизни состояния \1). Оче-
Очевидно, что формула (90,14) справедлива лишь для времен т, знат
чительно меньших времени жизни состояния |/), так как только
в этом случае в правую часть уравнений (90,5) можно подста-
подставить начальные значения С/@) = б/г.
§ 91. Возбуждение атома пролетающей тяжелой частицей
Применим полученную в предыдущем параграфе формулу
(90,14) для вычисления вероятности перехода электрона в атоме
из m-ro в п-е состояние под влиянием взаимодействия с проле-
пролетающей тяжелой заряженной частицей. Если частица тяжелая,
то ее движение будет квазиклассическим, при этом характер ее
436 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. Х1Г
движения практически не изменяется из-за взаимодействия
с атомом. Следовательно, можно допустить, что частица дви-
движется с постоянной скоростью v. Пусть центр системы коорди-
координат совпадает с центром атома, а ось х направлена вдоль на-
направления движения частицы, тогда ее положение к моменту /
можно определить радиусом-вектором jR = {vt, D, 0}, где D —
расстояние наибольшего сближения, достигаемое к моменту
t = 0. Если положение электрона в атоме определяется радиу-
радиусом-вектором г = {х, у, г), то оператор взаимодействия между
электроном и пролетающей заряженной частицей можно запи-
записать в виде
\R-r\
где R = V(vtf + D2, При х и у ¦< R в (91,1) достаточно рас-
рассмотреть только два первых слагаемых. Первое слагаемое не
содержит координат электрона, поэтому матричный элемент,
входящий в (90,14), будет определяться выражением
(п\ W @ Iт)- - -^ (xnmvt + Dynm), (91,2)
где
- хшп= \ Ч>пхЧ>тdl, Упт = j Ф>Фтdl, dl = dxdy dz;
4>n, 4>m — волновые функции стационарных состояний электрона
в атоме.
Подставляя (91,2) в формулу (90,14) и раздвигая пределы
интегрирования до — оо и оо, получим формулу, определяющую
вероятность перехода электрона атома из состояния т в со-
состояние п:
2
(91,3)
Подынтегральное выражение в (91,3) убывает быстро с измене-
изменением расстояния. Поэтому взаимодействие существенно только
в области, соответствующей наибольшему сближению. Следова-
Следовательно, можно считать, что эффективное время столкновения
определяется величиной D/v.
Столкновение называется адиабатическим, если эффективное
время столкновения значительно больше периода <в~^, характе-
характеризующего квантовую систему, т. е. при выполнении неравен-
неравенства
Щ*»Я > 1. (91,4)
При выполнении неравенства (91,4) подынтегральное выраже-
выражение в (91,3) многократно осциллирует за время эффективного
§ 91] ВОЗБУЖДЕНИЕ АТОМА ПРОЛЕТАЮЩЕЙ ТЯЖЕЛОЙ ЧАСТИЦЕЙ 437
столкновения и значение интеграла близко к нулю. Следова-
Следовательно, адиабатические столкновения не сопровождаются воз-
возбуждениями атома. .
Если выполняется неравенство
со„т/)<1, (91,5)
то за время эффективного столкновения exp (iianmt) ~ 1 и инте-
интеграл, входящий в (91,3), легко вычисляется. Полагая vtD~x =
= tg 6, находим
оо . о
Г xnmvt + Dynm ?f _ Г
J [(vty + D2]'1' J
DO ОО
__ 2Уп
[(vt)* + D2]\ vD '
DO —ОО
Таким образом, при выполнении неравенства (91,5) вероятность
перехода атома из состояния т в состояние п под влиянием
взаимодействия с частицей заряда Ze, пролетающей на расстоя-
расстоянии D от центра атома, будет равна
если D ^ щ где с — радиус атома.
Если в единицу времени через единицу площади проходит N
заряженных частиц, то вероятность возбуждения атома в еди-
единицу времени будет определяться выражением
Из полученного выражения следует, что вероятность возбужде-
возбуждения атома увеличивается при уменьшении скорости частицы до
тех пор, пока v/(nnm не сделается равным с. При дальнейшем
уменьшении скорости, когда
ссо„т>и, (91.7)
формула (91,6) перестает быть справедливой (не выполняется
неравенство (91,5)). Однако, поскольку D^a, то при условии
(91,7) адиабатическое неравенство (91,4) выполняется для всех
значений D и возбуждение атома пролетающей частицей де-
делается маловероятным. Максимальная вероятность возбуждения
соответствует скорости частицы v = а<апт-
Для высоких, возбужденных состояний атома справедливо
квазиклассическое приближение. В этом случае а>Пт соответ-
соответствует круговой частоте вращения электрона вокруг ядра.
438 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
Следовательно, при выполнении квазиклассического приближе-
приближения максимальная вероятность возбуждения соответствует слу-
случаю, когда скорость частицы совпадает со скоростью движения
электрона в атоме.
Хотя при выполнении адиабатического условия (91,4) не
происходит квантовых переходов в атоме, пролетающая частица
вызывает в атоме возмущение (при больших Z это возмущение
может быть большим), которое строго коррелировано.с движе-
движением этой частицы и исчезает при удалении частицы. Такого
рода взаимодействия носят название адиабатических взаимодей-
взаимодействий. Адиабатические взаимодействия не приводят к квантовым
переходам в состояниях с дискретным спектром.
Чем больше абсолютная величина разности энергий уровня
Ет и ближайших уровней Еп, тем лучше выполняется условие
адиабэтичности для начального состояния т. Для состояний не-
непрерывного спектрз адиабатическое условие (91,4) никогда не
выполняется, так как разность энергий между соседними уров-
уровнями Еп — Ет бесконечно мала.
§ 92. Адиабатическое и внезапное включение
и выключение взаимодействия
В предыдущем параграфе было показано, что если скорость
заряженной частицы столь мала, что выполняется адиабатиче-
адиабатическое условие
асопт>у, (92,1)
то частица не -может вызвать квантовых переходов, соответ-
соответствующих частоте conm. Величина a/v характеризует время про-
пролета частицей атомной системы. Величина со^Д характеризует
период колебаний в атомной системе. Таким образом, адиабати-
адиабатическое условие соответствует большому отношению времени про-
пролета (времени изменения взаимодействия) к периоду колебаний
в атомной системе.
В рассмотренном примере скорость изменения взаимодей-
взаимодействия (его включение и выключение) определялась скоростью
пролетающей частицы. В общем же случае изменение взаимо-
взаимодействия может происходить по произвольному закону. Рассмо-
Рассмотрим два предельных случая:
а) Адиабатическое изменение взаимодействия. В этом случае
изменение энергии взаимодействия за время одного периода ко-
колебаний в атомной системе мало ио сравнению с абсолютной
величиной разности энергии соответствующих состояний
Z Йсопт. (92,2)
§ 92] ВКЛЮЧЕНИЕ И ВЫКЛЮЧЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 439
б) Внезапное изменение взаимодействия. В этом случае вг не-
некоторый момент времени, например при включении взаимодей-
взаимодействия, выполняется неравенство
При исследовании этих предельных случаев удобно преобра-
преобразовать выражение (90,14), используя равенство
X -|Т
I еШпт* -^f{n\W{t)\m)dt=(n\W@ |т) е'*»*' _
о Jo
х
- тпт J (п | W @ |m) e'°W Л. (92,4)
о
Подставляя (92,4) в (90,14) и учитывая, что значение на грани-
границах интегрирования равно нулю, получаем
2
1
Jnm
\ еш«тг~(n\W{t)\m) dt
0
(92,5)
Если выполняется неравенство (92,2), то за время изменения
знака функции exp (konmrf) множитель, стоящий перед этой функ-
функцией, меняется мало и можно его вынести из-под знака инте-
интеграла. Тогда интегрирование легко выполняется, и для вероят-
вероятности перехода находим
I m) |2 sin2
Учитывая (92,2), получаем неравенство 9Вит < 1. Другими сло-
словами, при достаточно медленном, в смысле выполнения нера-
неравенства (92,2), включении и выключении взаимодействия кван-
квантовая система, находившаяся до включения взаимодействия
в. невырожденном состоянии т, останется в том же состоянии
после выключения взаимодействия.
Если включение возмущения происходит внезапно, т. е. из-
изменяется от 0 до W «мгновенно» (в течение времени At, малого
по сравнению с периодом <o^V а затем изменяется адиабати-
адиабатически и выключается адиабатически, то вклад в интеграл (92,5)
будет осуществляться только за время включения взаимодей-
взаимодействия. За это время множитель exp(icunm0 по условию изме-
изменяется мало и его можно вынести за знак интеграла. Остав-
Оставшийся интеграл сразу вычисляется, и мы получаем для вероят-
вероятности перехода простое выражение
Wnm~\(n\W\m) |2фшпт)~\ (92,6)
440 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XIГ
где W соответствует максимальному значению взаимодействия
при его внезапном включении.
Формула (92,6) позволяет вычислять вероятности переходов
под действием внезапных возмущений, малых по абсолютной ве-
величине, когда применима теория возмущений. В ряде случаев,
однако, происходят большие и быстрые изменения (по сравне-
сравнению с периодом движения в системе), при которых неприме-
неприменима теория возмущений. Например, при р-распаде легких ядер
заряд ядра изменяется на единицу за время ~ajc, значительно
меньшее периода движения электрона в атоме. Изменение элек-
электрического заряда ядра должно сопровождаться перестройкой
электронной оболочки (с последующим испусканием фотонов).
Вероятности переходов, вызываемые такими быстрыми «внезап-
«внезапными» изменениями оператора Гамильтона, могут быть легко
сосчитаны, если мы учтем, что волновая функция начального
состояния практически не меняется за очень малое время изме-
изменения потенциала.
Пусть, например, в момент времени t = 0 система находится
в состоянии, соответствующем волновой функции q>m, являю-
являющейся собственной функцией оператора Но. Предположим, что
при t = 0 происходит «внезапное» изменение оператора Гамиль-
Гамильтона и далее он остается неизменным и равным Н (при этом
Н — #о может быть большим). Обозначим собственные функции
оператора Н через я])п, а собственные значения — через Еп. По
условию в момент времени t = 0 система описывалась функ-
функцией фт, которая сохранится и при внезапном изменении' Но; та-
таким образом,
V (г, 0) = Фт (г) = 2 Апт$п (г), (92,7)
п
где
j (92,8)
Квадраты модулей коэффициентов (92,8) и будут определять
вероятность перехода системы из начального состояния <рт в ко-
«ечное состояние tyn. Дальнейшее изменение функции (92,7)
с течением времени определяется уравнением
лиг
т dt '
следовательно,
Ч(г, 0 = 2 Д,иф„ (г) ехр {-i-Щ. (92,9)
п
В качестве примера вычислим вероятность возбуждения элек-
электрона в атоме при внезапном изменении заряда ядра: Z-*Z±\
(электронный и позитронный распад ядра). Для упрощения рас-
расчетов предположим, что атом содержит один электрон в поле
§ 92] ВКЛЮЧЕНИЕ И ВЫКЛЮЧЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 441
ядра заряда Z. Тогда начальное состояние атома определяется
волновой функцией
После внезапного изменения заряда ядра волновые функции
стационарных состояний будут соответствовать водородоподоб-
ным функциям
Ъа (г, е, ф)=fnl (r) Ylm (e, Ф) • (92,11)
ядра заряда Z ± 1. Следовательно, в соответствии с (92,8) ве-
вероятность возбуждения уровня nl при этом процессе будет опре-
определяться квадратом модуля коэффициентов
Ani, ю =
Учитывая (92,10) и (92,11), мы видим, что отличные от нуля
значения Лп/,ю соответствуют только переходам в s-состояния.
Используя явный вид радиальных функций fni(r) для ядра с за-
зарядом Z± 1 (см. § 38), можно вычислить AniiW. В частности,
для состояния 2s
тогда
Таким образом, вероятность перехода Is —» 2s при внезапном из-
изменении заряда ядра (Z-*Z± 1) определяется выражением
s) = -^§fi^. (92,12)
При больших значениях Z изменение потенциальной энергии
W = ±е2/г мало. Поэтому можно использовать формулу теории
возмущений (92,6) для переходов с внезапным изменением опе-
оператора Гамильтона. Учитывая, что для атома с зарядом Z раз-
разность E2s — Eis = 3Z2e2/8c и матричный элемент W на водородо-
подобных функциях (Is \W\ 2s) = 27а * ' нах°Дим с помощью
(92,6)
2B(ls-*2s)= 2П9~4;Г2~ 0,312Z~.
Легко видеть, что это же значение получается из точной фор-
формулы (92,12) при достаточно больших Z.
Рассмотрим, наконец, случай адиабатического изменения,
при котором гамильтониан Н(%, Rt) зависит только от одного
медленно меняющегося с течением времени параметра Rt
442 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
(внешнее поле, расстояние между взаимодействующими систе-
системами и т. д.). Пусть далее оператор Н(%, Rt) имеет только невы-
невырожденный дискретный спектр для каждого значения Rt, т. е.
[Н ft, Rt) - вп (Rt)] Ф„ (|, Rt) = 0. (92,13)
В этом случае функции <pn(?, Rt) вещественны и ортонормиро-
ваны
яЙ, Я*)Фт(?. ?*)<? =
Решение уравнения Шредингера
удовлетворяющее начальному условию ty(g, 0) = фО(?,
можно искать в виде
J со„ (т) ЙГ ,
0 '
S о» @ Ф» №. Я«) ехр I -« J со„ (т) ЙГ , (92,14)
где
«„W = -??^L, с„(О) = б„з. (92,15)
Подставив (92,14) в уравнение Шредингера, получим систему
алгебраических уравнений
)
^[\ = O, [(92,16)
т \ 0 /
где (п |-др-| т) — матричный элемент оператора ^- на функ-
функциях фп, (о^= сот (т) — соп (т), знак штрих указывает1, что в сумме
отсутствует член с m=n, так как для вещественных функций
Дифференцируя уравнение (92,13) по параметру Rt vt вычис-
вычисляя матричные элементы на функциях <pm(g, Rt), получим ра-
равенство
(я I "Jj-I m) = <n l|f I m) (гт - вп)~\ (92,17)
Решая уравнение (92,6) при начальном условии (92,15) ме-
методом последовательных приближений, получим, при учете
1(92,17), в первом приближении
о«о (Т) = J Ф @ ехр ( -1 J со0п (т) dx ] Л, (92,18)
о \ о /
§ 93] ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ 443
где'
(92'19)
По условию en(Rt)Фso(Rt) (уровни не пересекаются). Пусть
функция ФB) имеет только один полюс при z = t0 — ?6, тогда
при адиабатическом изменении гамильтониана co~o' <SC T, где
Т — время, в течение которого существенно меняется гамильто-
гамильтониан, интервал интегрирования (О, Т) в (92,18) можно заменить
на (—оо, оо). Следовательно, вероятность перехода из состоя-
состояния <ро в состояние <р„ за время Т будет экспоненциально мала,
так как
|о«о(Г)Р~ехр(-бо„6).
Если при некотором Rt функция Ф(<) имеет полюс на веще-
вещественной оси, то имеется вырождение" (т. е. уровни пересе-
пересекаются). В этом случае решение уравнения Шредингера надо
искать в виде суперпозиции состояний, соответствующих пересе-
пересекающимся уровням.
§ 93. Вероятность перехода в единицу времени
Особенно простой вид имеет вероятность перехода (90,14)
в случае, когда оператор возмущения V(t) имеет постоянное
значение W между моментами включения и выключения взаимо-
взаимодействия и скачком изменяется до нуля вне этого интервала.
В этом случае говорят о переходах под действием постоянного
возмущения*). Поскольку матричный элемент (f|№|0 не зави-
зависит от времени, то интеграл в (90,14) вычисляется просто. По-
Получаем
Г
о
и вероятность перехода за время действия возмущения выра-
выражается формулой
*) В некоторых случаях включение и выключение взаимодействия осу-
осуществляется специальным выбором начальных и конечных состояний. Напри-
Например, в системе с оператором Гамильтона Н в момент времени t = 0 условия-
условиями эксперимента может быть выделено состояние, соответствующее волновой
функции, являющейся собствеииой функцией некоторого оператора Нв. Даль-
Дальнейшее изменение этой функции будет- определяться оператором Н, поэтому
можно сказать, что в момент t = 0 произошло включение взаимодействия
«? = //—Но.
444 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
где
l-ccJ<?f-?,)-!}
F(Et - Et)= (gf_Et)»a-2 •
При Ef — Et функция F(Ef — Et) имеет максимальное значение,
равное т2/2. При | Ef — Et \ = -^—, —— г ... эта функция обра-
обращается в нуль. При малых значениях т <С Л/Еп вероятность пе-
перехода пропорциональна т2. При достаточно больших т по срав-
сравнению с характерными периодами Ь/Еп в системе функция
F(Ef — Ei) может быть выражена через дельта-функцию
F (Ef - Et) == хпПб (Ef - Et).
Таким образом, формула вероятности перехода (93,1) может
быть приведена к виду
-Et). (93,2)
Вероятность перехода оказывается пропорциональной времени т
действия возмущения, следовательно, можно определить вероят-
вероятность перехода, отнесенную к единице времени (скорость пере-
перехода или число переходов в секунду):
> I ШИП /> ?6(E - Et). (93,3)
При выводе выражения (93,2) мы использовали формулу
(90,14), которая справедлива только для времен т, значительно
меньших времени жизни Т состояния |/). Таким образом, выра-
выражение (93,2) и представление о вероятности переходов в еди-
единицу времени (93,3) оправдываются только для времен т, удо-
удовлетворяющих неравенствам
ПЕГ1 < т <С Т. (93,3а)
Практически во всех физических системах либо конечные,
либо начальные состояния принадлежат непрерывной (или почти
непрерывной) группе состояний. Измерения сводятся к опреде-
определению полной вероятности перехода во все состояния /, обла-
обладающие почти одинаковой энергией и одинаковыми матричными
элементами {f\W\l). Для получения такой вероятности надо про-
просуммировать (93,3) по всем состояниям /, обладающим такими
свойствами, и усреднить по начальным состояниям I, обладаю-
обладающим одинаковыми матричными элементами (/|^|/). Этим оп-
оправдывается использование выражения (93,3), содержащего
б-функцию.
Если обозначить число конечных состояний данного типа,
приходящихся на единичный интервал энергии ?/, через
§ 931 ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ 445
то полная вероятность перехода в единицу времени будет опре-
определяться выражением, которое получило название «золотого
правила Ферми»:
Pfi = J PfiP (Ef)dEt = ^-\ {f\W\ I) ?p(Ef) (93,4)
при условии Ef = Ei. Это условие выражает закон сохранения
энергии при квантовом переходе.
Рассмотрим теперь случай, когда оператор возмущения W(t)
зависит от времени периодически между моментами включения
и выключения:
W± (t) = w± exp (± iat), (93,5)
и скачком изменяется до нуля вне этого интервала. В этом слу-
случае с помощью формулы (90,14) находим
l <f|Г' 012* *(? E ± M (93.6)
и вероятность перехода в единицу времени будет определяться
формулой
Pfi = Щ-1 (П w± I /> Р 6 (Ef ~Et± Aid). (93,7)
где знаки '+ и — соответствуют знакам, с которыми входит ча-
частота и внешнего возмущения в экспоненциальный множитель
(93,5).
Таким образом, при возмущении, периодически зависящем
от времени, переходы происходят в состояния, обладающие
энергией Et, удовлетворяющей условию
Ef = E,± /zco. (93,8)
Следовательно, при возмущении W+(t)= гю+еш при квантовом
переходе система теряет энергию fico, так как Ef = Et — Аи,
а при возмущении W-(t)= w-e~im система приобретает энер-
энергию fico, так как Ef = Et -f- fito.
Потеря и приобретение энергии Ьа> рассматриваемой систе-
системой (будем называть ее системой I) происходят за счет изме-
изменения энергии системы II, которая взаимодействует с первой.
Суммарная энергия полной системы, состоящей из обеих взаи-
взаимодействующих систем, при квантовом переходе системы I из
состояния I в состояние f остается неизменной.
Предположим, что системой II, взаимодействующей с систе-
системой I, является система фотонов с энергией йсо, тогда вероят-
вероятность перехода в единицу времени (93,7) из определенного на-
начального |нач) в определенное конечное |кон) состояние можно
записать в виде
Ркон. нач = Ц I (КОН | W± | НаЧ> f б {Е^ч - f кон), (93,9)
446 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
где
Епяч = Ei + ha, Екон = Ef (поглощение фотона),
Е?ач = Ei, Е?о« = Ef + Йсо (испускание фотона).
§ 94. Взаимодействие квантовой системы
с электромагнитным излучением
Взаимодействие бесспиновой частицы массы ц и заряда е,
входящей в состав атома (молекулы), с электромагнитным по-
полем, описываемым векторным потенциалом А, определяется (см.
§ 58) оператором
w
где А — оператор векторного потенциала, р — оператор импуль-
импульса частицы. При вычислении методом теории возмущений ве-
вероятностей перехода, последние, согласно ~§ 90, представляются
степенным рядом по оператору взаимодействия W(t). Безраз-
Безразмерным параметром малости в этом ряду при взаимодействии
(94,1) будет постоянная тонкой структуры а = еЦЬс « A37).
Малость этой величины позволяет во многих случаях учитывать
только первое приближение теории возмущений. В этом случае
в (94,1) можно сохранить только первое слагаемое, т. е. поло-
положить
W(t)^-j^Ap. (94,2)
Без учета взаимодействия (94,2) гамильтониан полной си-
системы представляет собой сумму гамильтонианов атома Яа и
электромагнитного поля #ф. Предположим, что мы знаем реше-
решение уравнения Шредингера для атома
Гамильтониан прля выберем в представлении вторичного кван-
квантования (80,15), т, е. положим
У (alaaQa + -?•).
Тогда \fiQa)—его собственные-функции при наличии в поле
tiQa-фотонов. Состояния полной системы: атом и поле без взаи-
взаимодействия (94,2) характеризуются функциями
|«„„>Ф,. (94,3)
§ 94] КВАНТОВАЯ СИСТЕМА И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 447
Если в (94,2) подставить оператор поля (80,14), то оператор
взаимодействия примет вид
^ (* <«> Р) К-
Q, а
где, согласно § 80,
GOa @ = с«" ехР (— "М)
— гайзенберговское представление оператора уничтожения фо-
фотона (Qa); a?a @ — соответствующий оператор рождения того
Же фотона. Таким образом, каждое слагаемое оператора взаи-
взаимодействия характеризует процесс поглощения (уничтожения)
или испускания (рождения) фотона атомной системой.
Рассмотрим часть оператора (94,4), соответствующую испу-
испусканию фотона (Qa). В соответствии с § 93 ее можно записать
в виде
w+ exp (—
где
Если начальное состояние полной системы (без взаимодействия)
характеризуется функцией |нач) =|по<х)фг, то оператор (94,5)
переведет систему в состояние с функцией |кон) = \riQa + 1)ф/-
При этом, учитывая действие операторов рождения фотонов
Сва | «Оа> = V'V+T | tlQa + 1),
получим
(кон | w+1 нач> = -± (|f-)/2 Vnea+1 (ea {Q) <<pf I
(94,6)
Таким образом, в соответствии с (93,4) и (93,9) вероятность
испускания фотона атомной системой в единицу времени опре-
определится формулой
Р\Р = ^\ (кон \w+\ нач) f р(?(+>), (94,7)
где р(?к1ж)— плотность числа конечных состояний. В случае
атомных систем волновые функции дискретных состояний от-
отличны от нуля только"в области размеров атома. Следовательно,
интегрирование в (<pf | eiQrp | <pt) =з (/ | eiQrp \ I) существенно толь-
только для г ^ а, где a ~ 10~8 см (радиус атома). Длина волны ви-
видимого и ультрафиолетового света значительно больше размеров
атома
Q2jta 1п-з
448 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
Такое же соотношение выполняется и для многих типов \у
чений атомных ядер (для ядер а ~ 10а см). Следовательно,
в этих случаях, разлагая в матричном элементе экспоненциаль-
экспоненциальный множитель в ряд
ехр (- iQr) = 1 - iQr + (~ffrJ -f ..., (94,8)
можно учесть только первый член ряда, т. е. положить
</|е'*ЙО^<Лр1О. (94,9)
Такое упрощение называется длинноволновым приближе-
приближением. Если матричный элемент (94,9) оказывается равным
нулю, то надо учесть следующий член в разложении (94,8).
Матричный элемент от оператора импульса (94,9) можно за-
заменить матричным элементом от оператора координаты с по-
помощью соотношения
/MO. ttofi = Ef-Et. (94,10
Доказательство равенства (94,10) легко провести в общем виде. Пусть
оператор Гамильтона Яо = -g— р2 + U (г). Тогда, используя перестановочт
ные соотношения между оператором импульса и координаты, легко получить
операторное равенство
„ „ Л —
тп о — пвг = — р.
Теперь, если вычислить матричные элементы от обеих сторон этого равенства,
используя собственные функции оператора Нц, то получаем искомое соотно-
соотношение
Таким же образом можно убедиться в справедливости (94,10) для системы,
состоящей из любого числа взаимодействующих частиц, еслир = 2р,- и г =
Подставляя (94,10) в (94,6), находим матричный элемент
дипольного электрического перехода в длинноволновом прибли-
приближении
<кон | w+1 нач> = - mfl (^I^±il)% (eQdfl), (94,11)
где вектор
dn = e(f\r\l) (94,12)
называется дипольным электрическим моментом перехода l—*f.
Электромагнитное излучение, обусловленное отличным от нуля
матричным элементом (94,12), называется дипольным электри'
ческим излучением и кратко обозначается ?1.
8 94] КВАНТОВАЯ СИСТЕМА И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 449
Для окончательного вычисления (94,7), т. е. вероятности из-
излучения кванта fico в единицу времени, надо еще определить
плотность числа конечных состояний р(?кшО. Число конечных
состояний системы, состоящей из атома и внешнего электромаг-
электромагнитного поля, при переходе атома в дискретное состояние опре-
определяется числом степеней свободы электромагнитного поля. Если
учесть квантовые свойства этого поля, то каждый фотон энергии
е = й(о имеет импульс р = е/с. Поэтому число состояний поля
в объеме4 V с определенной поляризацией фотона и импульсом
фотона в телесном угле dQ с абсолютной величиной, лежащей
в интервале р, р + dp, определяется выражением
ИМ _ Vp2dpd?l _ Ve2dpdQ
ал/р— BяйK ~ с2BяйK *
Поскольку —?- = —, то соответствующая плотность числа со-
стояний на единичный интервал энергии равна
dNp Vm2 dQ
- (94'l3)
Подставляя (94,11) и (94,13) в (94,7), находим вероятность
испускания фотона в единицу времени в. телесном угле dQ с по-
поляризацией еа (Q) и частотой со = ю/й
U (94,14)
Вектор поляризации еа перпендикулярен вектору распро-
распространения света Q, поэтому, если обозначить угол между Q и
направлением дипольного электрического момента перехода dfl
через 8, то
Теперь выражение (94,14) можно переписать в виде
dp\p = (Явв + 1) "^У sin2 6 dQ. ' (94,14а)
Интенсивность испускаемого в секунду излучения в элемент те-
телесного угла dQ Получается путем умножения (94,14а) на энер-
энергию йсо:
dlfi = (W<?*!} &i I dfl f sin2 6 dQ. (94,146)
Из этих выражений следует, что вероятность испускания фотона
отлична от нуля и в том случае, когда в начальном состоянии не
было фотонов (tiQa = 0). Такое излучение называют спонтан-
спонтанным излучением. Часть излучения, интенсивность которого
450 ПЕРЕХОДЫ ПОЯ ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. ХИ
пропорциональна числу n«ja фотонов в начальном состоянии, на-
называют вынужденным излучением. Процессы вынужденного из-
излучения широко используются в квантовых генераторах света —
лазерах. Интенсивность спонтанного излучения (94,146) совпа-
совпадает со средней по времени энергией, излучаемой в единицу вре-
времени в телесный угол dQ электрическим диполем:
Интегрируя (94,14а) при riQa = 0 по всем направлениям из*-
лучения, получим полную вероятность спонтанного излучения
в секунду с испусканием одного фотона
Для оценки порядка величины вероятности (94,15) положим
гп = а, где а — линейные размеры квантовой системы, тогда/
(94>16)
Для систем с кулоновским взаимодействием а *» е2/йсо, поэтому
Pfi « ю • 137~3. (94,16а)
Из (94,16а) следует, что для излучения оптических частот
(со ~ 1015 с) порядок величины вероятности перехода в одну
секунду равен ~109 с~'. Для излучения \-част°т (to ~ Ю21 с~')
Рп ~ 1015 с.
Повторяя предыдущие рассуждения для оператора ш_е~ш',
где w- = w\, можно определить вероятность поглощения
в одну секунду фотона при переходе атомной системы из состоя-
состояния I в состояние f. Если свет поляризации еа поглощается из
телесного угла dQ, то соответствующая вероятность поглощения
в( одну секунду равна
^)< (94> 17>
Если в начальном состоянии электромагнитное излучение на*-
ходится в равновесии с черным телом при температуре Т, то
число фотонов- Пца в формулах (94,14) и (94,17) должно быть
заменено на среднее значение, числа фотонов при данной тем-
температуре
В этом случае направление излучения и поляризации произволь-
произвольны, поэтому в формулах (94,14) и (94,16) надо провести соот-
соответствующие суммирования, чтобы перейти к вероятностям, от*-
5 94] КВАНТОВАЯ СИСТЕМА И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 451
несенным к единице времени полного вынужденного испускания
и полного поглощения фотона частоты со:
Эйнштейн показал, еще до развития квантовой теории излу-
излучения, что статистическое равновесие между излучением и ве-
веществом возможно только в том случае, когда наряду с вынуж-
вынужденным испусканием, пропорциональным плотности излучения,
имеется спонтанное излучение, происходящее и в отсутствие
внешнего излучения. Спонтанное излучение обусловлено взаимо-
взаимодействием атомной системы с нулевыми колебаниями электро-
электромагнитного поля. ,
В предыдущих формулах мы рассматривали изменение со-
состояния одного электрона в атомной системе. Если атомная си-
система содержит не один, а несколько электронов, то надо заме-
заменить матричный элемент дипольного перехода электрона на
матричный элемент дипольного электрического перехода всех
электронов, т. е. провести замену
где Z — число электронов в системе.
Матричный элемент на функциях <р? полного оператора взаи-
взаимодействия (94,1) бесспиновой частицы массы ц и заряда е
с электромагнитным полем, характеризуемым векторным потен-
потенциалом А, может быть записан в виде
Входящую в этот интеграл подынтегральную функцию
можно назвать оператором плотности матричного элемента пе-
перехода. При этом величина
образует Л-ую составляющую плотности электрического тока пе-
перехода /->/. При f = / выражение (94,18) переходит (см. E8,6))
в ?-ую компоненту плотности электрического тока в состоянии /.
15*
452 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ, ХИ
Из (94,18) следует, что плотность матричного элемента пе-
перехода
3 г1
i?,i=-7S (Jfi)kdAk. (94,19)
fe=l О
Запись матричного элемента в виде выражения (94,19)
удобна потому, что она сохраняет свой вид и в случае частиц,
обладающих спином, если подставлять в (94,19) вектор плотно-
плотности тока для соответствующих частид. Так, например, для ча-
частиц со спином '/2 в нерелятивистском приближении вектор плот-
плотности тока перехода должен быть выбран в виде (см. F3,13))
где ф — двухкомпонентные функции.
Следовательно, матричный элемент (94,19), соответствующий
только.спиновому взаимодействию, будет иметь вид
^ (94,21)
§ 95. Правила отбора для испускания и поглощения света.
- Мультипольное излучение
Согласно (94,11) и (94,17), вероятность поглощения и испу-
испускания дипольного электрического излучения в единицу времени
пропорциональна квадрату проекции матричного элемента ди-
дипольного момента на направление поляризации фотона
edba^e(b\er\a). (95,1)
Численное значение этого матричного элемента зависит от
вида волновых функций квантовой системы, в которой совер-
совершаются переходы. Для систем с центрально-симметричным по-
полем зависимость волновых функций начального и конечного со-
состояний от угловых переменных характеризуется сферическими
функциями, т. е.
¦ I a) = Ra (r) Yiatna F, ф), | Ь) = Rb (r) Yibtnb F, q>), (95,2)
где la, та, 1Ь, ть — квантовые числа, определяющие квадрат мо-
момента количества движения и его проекцию на ось z соответ-
соответственно для начального а и конечного Ь состояний. При отсут-
отсутствии спин-орбитального взаимодействия спиновое состояние при
дипольном электрическом переходе не меняется, поэтому спино-
спиновые функции при определении состояний \а) и \Ь) не выписаны.
Простая угловая зависимость волновых функций (95,2) позво-
позволяет в общем виде указать состояния, переходы между кото-
§ 95] ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ИСПУСКАНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА 453
рыми соответствуют отличным от нуля матричным элементам
(95,1). Условия, определяющие возможность испускания и по-
поглощения дипольного электрического излучения,, носят название
правил отбора дипольного электрического излучения. Перейдем
к выводу этих правил отбора. Рассмотрим случай, когда единич-
единичный вектор е поляризации фотона направлен вдоль оси г, тогда
Подставляя это значение и (95,2) в (95,1), имеем
еЛа = j/f" J RbRar* dr J Ytb, mbYi.oYla, madu. (95,3)
Используя свойства ортогональности сферических функций
и равенство
где А и В — коэффициенты, зависящие от la, ma, мы убедимся,
что (95,3) отлично от нуля только при выполнении условий (пра-
(правил отбора)
1„ = 1а ± 1, та = ть. (95,4)
Вместо раздельного исследования двух других случаев на-
направления вектора поляризации ех и еу удобно рассмотреть две
их линейные комбинации ех ± iey, соответствующие двум воз-
возможным круговым поляризациям фотонов. Учитывая, что
8w ¦ 05,5)
(ex-teu)r~x-ly = ry -f-Г,,-,,
мы убедимся, что правила отбора для излучения и поглощения
фотонов, поляризованных по кругу, можно представить следую-
следующими равенствами:
1„= 1а ± 1, т„ = та± 1. (95,6)
Если правила отбора (95,4) или (95,6) не выполняются, то ди-
польное электрическое излучение невозможно. В этом случае
переход из состояния а в состояние Ъ может осуществляться пу-
путем испускания излучения более общего типа, когда в матрич-
матричном элементе (94,9) учитываются следующие члены разложения
(94,8). Так, например, если учесть второй член разложения
(94,8), то матричный элемент (94,9) будет пропорционален
M = (b\(Qr)(ep)\a).
454 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ 1ГЛ. Х1Г
Если направить ось у координатной системы вдоль вектора ег
а'ось х — вдоль вектора Q, то матричный элемент М можно
преобразовать к виду
Если \а) и \Ь) — собственные функции оператора Но, то, учи-
учитывая операторное равенство
можно найти связь между матричными элементами
Учитывая равенство — Ш\х-= у-~\ = Ъг, преобразуем
матричный элемент Мг к виду
Мг^ - i§-<ofl6,i{Ь\ху\ а) + \{Ь if,| a). (95,7)
\
Для других направлений е и Q таким же образом находим
= - \ «a6fi (Ы угI a) + | (b \LX | а),
д ¦ (95,8)
L\)
§ Ь \гх I а) + -|
Выражая произведения ху, уг игх через сферические функ-
функции, можно показать, что матричные элементы
(Ь\ху\а), (Ь\гу\а) и (b\zx\a)
отличны от нуля при выполнении правил отбора:
lb=la,\la±2\, если 1аФ0; 1„=2, если 4 = 0,
ть — Ша=0,,±1, ±2, четность сохраняется. '^
Излучение, испускаемое квантовой системой при выполнении
правил отбора (95,9), называется квадрупольным электрическим
излучением.
§ 95] ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ИСПУСКАНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА 455
Излучение, испускаемое квантовой системой при переходах,
обусловленных матричными элементами
{Ь\1г\а), (b\Ly\a) и (b\Lx\a), (95,10)
носит название магнитного дипольного излучения.
В квантовых системах с центрально-симметричным потен-
потенциалом начальное и конечное состояния характеризуются соб-
собственными волновыми функциями оператора Сг. Поэтому при
\Ь)Ф \а) имеем {b\Lz\a) = 0. Операторы Сх н Су, не меняя
радиальной функции и квантового, числа /, изменяют (см. § 40)
квантовое число m на ±1. Однако поскольку в центрально-сим-
центрально-симметричном поле состояния, отличающиеся только значениями т,
имеют одинаковую энергию, то переходы между ними не свя-
связаны с испусканием или поглощением энергии. Если атом нахо-
находится во внешнем магнитном поле, то энергия уровней будет за-
зависеть от магнитного квантового числа т. В этом случае воз-
возможны Ml-переходы между двумя зеемановскими компонентами
уровней тонкой структуры (А/ = 0, Am = ±1). Эти переходы
можно использовать для измерения энергии зеемановского рас-
расщепления. В квантовой системе с нецентральным потенциалом
орбитальный момент не является интегралом движения, поэтому
матричные элементы (95,10) могут быть отличны от нуля. В си-
системах с большим спин-орбитальным взаимодействием (атомные
ядра) матричные элементы (95,10) также могут играть роль
в Ml-переходах. Однако при наличии спина надо учесть, что
квантовые переходы Ml могут вызываться и оператором снина;
Матричные элементы таких переходов, согласно (94,21), можно
записать в виде,
(b\ w I в) = ——- (ЬIв \Q X в] e~i<lrI a). (95,11)
При \а) Ф \Ь) в приближении, когда не учитывается спин-орби-
спин-орбитальное взаимодействие и длина волны излучения значительно
больше размеров системы, первый член разложения в ряд
ехр(—iQr) не дает вклада в матричный элемент (95,11) из-за
ортогональности координатных функций состояний \а) и \Ь),
поэтому
{b\wcmH\a)m = ^{b\o[QXe]\(kr)\a),' (95,12)
Отношение (95,12) к,значению матричного элемента электриче-
электрического дипольного перехода
по порядку величины равно
456 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
Для испускания фотонов видимого света (Q ~ 105 см) атом-
атомными системами (h/цс) ~ IQr11 см) это отношение равно 10~6.
Поскольку вероятность перехода пропорциональна квадрату
матричного элемента, то, следовательно, Ml-переХоды, вызван-
вызванные оператором спина, в 1012 раз менее вероятны, чем электри-
электрические дипольные переходы. При наличии спин-орбитального
взаимодействия Ml-переходы обусловлены, одновременно опера-
операторами орбитального и спинового моментов.
В классической электродинамике электрическое дипольное
излучение испускается переменными электрическими диполями.
При этом напряженность магнитного поля всегда перпендику-
перпендикулярна направлению распространения волны. Напряженность
электрического поля вблизи диполя может иметь составляющую
и вдоль вектор'а распространения. Магнитное дипольное излуче-
излучение испускается переменными магнитными диполями, т. е. пе-
переменными замкнутыми токами. В этом случае напряженность
электрического поля всегда перпендикулярна вектору распро-
распространения, а напряженность магнитного поля может иметь со-
составляющую вдоль вектора распространения.
При исследовании излучения и поглощения фотонов более
высокой мультипольности оператор' векторного потенциала
в (94,2) следует брать не в виде разложения по плоским волнам
(80,14), а в виде (81,21), содержащем операторы рождения
allQJm) и уничтожения а% (QJm) фотонов электрического
(к = Е) и магнитного (X = М) излучения мультипольноети /.
Соответствующие излучения кратко обозначаются EJ и MJ. Пра-
Правила отбора, определяющие возможности испускания и поглоще-
поглощения фотонов типа EJ и MJ, определяются законами сохранения
четности и полного углового момента. *
Согласно § 81, фотоны EJ имеют угловой момент / и чет-
четность (—1)J+1, поэтому испускание и поглощение таких фотонов
возможно только между состояниями \а) и \Ь) с угловыми мо-
моментами \а и /ь, удовлетворяющими соотношениям
2) (четность | а)) X (четность | Ь)) — (—1)/+|. '
Если R— размер атомной системы, то для длинноволнового из-
излучения (RQ <^L 1) наиболее вероятно испускание и поглощение
фотонов EJ с наименьшим /, удовлетворяющим (95,14). Это
правило обусловлено тем, что матричные элементы переходов,
в соответствии с (81,21) и (81,19), будут содержать функции
fj-i(Qr), пропорциональные сферическим функциям Бесселя,
имеющим при Qr<cl асимптотические значения (Qr)J-x
?1 -3-5-... • B/ — I)], быстро убывающие с ростом /. Например,
§ 95] ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ ИСПУСКАНИЯ И ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА 457
при QR = 10~2 вероятность испускания фотона Б4 будет меньше
вероятности испускания фотона El в 10'° раз.
Испускание и поглощение магнитного излучения фотонов MJ
возможно при выполнении правил отбора
2) (четность | а» X (четность | fe» = (- 1)Л ( ' '
Матричные элементы переходов с испусканием и поглощением
фотонэв MJ будут содержать подынтегральные выражения вида
(Qrf
1-3-5- ... -B/+ 1) *
Переходы высоких мультипольных порядков сравнительно
часто наблюдаются в атомных ядрах и очень редко в атомах.
Такая разница обусловлена характером их энергетических спек-
спектров. У атомов соседние возбужденные состояния редко отли-
отличаются значениями полного момента / больше чем на 1. В атом-
атомных же ядрах момент первого возбужденного состояния может
отличаться От основного состояния на несколько единиц. Так,
например, все ядра с четным числом нейтронов и четным числом
протонов имеют в основном состоянии / = 0. Первое возбужден-
возбужденное состояние таких ядер характеризуется обычно значением
/ = 2. Оба состояния имеют положительную четность, поэтому
электромагнитные переходы между ними должны соответство-
соответствовать Е2 (электрические квадрупольные). У ряда атомных ядер,
например Y39, Уз! Znio, G3!, Nbll, Те!з и других, момент / пер-
первого возбужденного состояния отличается от момента / основ-
основного состояния на 4 единицы и оба состояния имеют разную
четность. В этих ядрах излучение наименьшей мультипольности
соответствует М4.
Спин-орбитальное взаимодействие нуклонов в атомных яд-
ядрах составляет около 10% от всего взаимодействия, т. е. во
много раз сильнее соответствующего взаимодействия для элек-
электронов. Поэтому оценка (95,13) отношения вероятностей Ml- и
?2-переходов, полученная на основании раздельного рассмотре-
рассмотрения оператора спинового момента, для атомных ядер неприме-
неприменима. В атомных ядрах вероятность Ml-переходов может быть
очень значительной.
Магнитное дипольное излучение (Ml) может наблюдаться и
в атомах при переходах между состояниями с одним и тем же
значением / и А/ = ±1. Такие переходы возможны между ком-
компонентами одного и того же мультиплета тонкой структуры. На-
Например, переходы типа 2ру2 ¦*-*¦ 2р>/*- Частоты этих переходов
очень малы, поэтому соответствующее излучение лежит в микро-
микроволновой или радиочастотной области, а «е в оптической области.
45S ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
Из-за слабой спин-орбитальной связи в атомах вероятности
этих переходов очень малы. Оптические переходы Ml возможны
и между компонентами разных мультиплетов тонкой структуры,
соответствующими состояниям одинаковой четности. Из-за ма-
малой вероятности испускания квантов Ml в обычных условиях
атом теряет энергию возбуждения при взаимодействии с другим
атомом (неупругие столкновения) непосредственно без излуче-
излучения. В сильно разреженных газах (межзвездные туманности)
столкновения между атомами очень редки. В этом случае атом
может освободиться от возбуждения только путем излучения Ml
(если излучение фотонов El запрещено). Такое излучение маг-
магнитных дипольных квантов действительно наблюдается при
квантовых переходах в атомах межзвездного газа — линии све-
свечения туманностей, где оно соответствует квантовым переходам
в дважды ионизированных атомах кислорода.
Угловое распределение интенсивности мультипольных излучений EJ и Ml
не зависит от типа излучения (электрическое или магнитное), а определяет-
определяется значениями / и |от|, где от = ть— та, та и ть— магнитные квантовые
числа соответственно начального и конечного состояний, между которыми
происходит переход. Можно показать (см. [73], § 78), что угловое распреде-
распределение излучения характеризуется функцией
^т(в)- 2 KpD>.e,Y)|2. (95,16)
р=1. -1
где 6 — угол между направлением излучения и осью г, относительно которой
определяются магнитные квантовые числа та и mb; Dmp— обобщенные сфе-
сферические функции, определенные в § 43 и зависящие от эйлеровых углов ф, 6, у.
Функция (95,16) обладает следующими свойствами:
'Wej-'W*-8). <95-17>
J
FIm (в) = Flt _т (в); ^ Flm (в) не зависит от 9; J FJm (в) rfQ не зависит
т=—I
от от. Из (95,17) и свойств функций Г?тр следует, что Flm (G) выражается
полиномом от cos2 8, максимальная степень которого равна /, т. е.
В частности, при дипольном излучении
При квадрупольном излучении
F20 = 3 sin2 6 cos2 Э, F2±2 = ~ sin2 6.A+ cos2 6), и т.
•§ 961 ВРЕМЯ ЖИЗНИ ВОЗБУЖДЕННЫХ СОСТОЯНИЙ 459
§ 96. Время жизни, возбужденных состояний
и ширина энергетических уровней
Возможность спонтанного перехода квантовой системы из
определенного возбужденного состояния в более низкие энергети-
энергетические состояния приводит к тому, что возбужденные состояния
квантовых систем нельзя рассматривать как Строго стационар-
стационарные состояния. Они обладают конечным временем жизни. Вре-
Временем жизни Та состояния \а) называется время, в течение
которого вероятность 2Во@ пребывания.системы в состоянии \а)
уменьшается в е, раз, т. е. 2Ва(^а) = ег*. Если закон распада со-
состояния экспоненциальный, то
2Ва@=>ехр(-га. (96,1)
Понятие времени жизни имеет определенный смысл только
в квазистационарных состояниях, т. е. в состояниях, в которых
выполняется неравенство Та [S> h/Ea.
Время жизни, обусловленное процессами спонтанного испу-
испускания фотонов, называется радиационным временем жизни.
Спонтанное излучение фотонов только частично определяет
время жизни состояния, так как наряду со спонтанным излуче-
излучением фотонов возможны другие процессы потери энергии воз-
возбуждения квантовой системой. К таким процессам относятся
взаимодействия между атомными системами, приводящие
к безызлучательному переходу энергии возбуждения на другие
степени свободы, например, столкновения между атомами может
перевести энергию возбуждения в кинетическую энергию их дви-
движения, электронное возбуждение в молекулах и атомах может
перейти в колебательное возбуждение ионов. В ядерных систе-
системах к таким процессам относятся: передача энергии возбужде-
возбуждения ядра электронам атома (явление внутренней конверсии), или
ядерные превращения, сопровождающиеся вылетом из ядра ну-
нуклонов, Электронов и т. д. Если такие процессы характеризовать
парциальными временами жизни Ta(i), то общее время жизни
Т„ квантового состояния будет определяться формулой
ЯГ1 = 2 77'@- (96,2)
Рассмотрим случай, когда система характеризуется только
радиационным временем жизни. Тогда при t <g.T выражение
(96,1) можно записать в виде
»«(*)= 1~т". <96'3>
* а
Следовательно, 1/Го определяет суммарную вероятность, отне-
отнесенную к единице времени, спонтанного испускания фотонов при
квантовых переходах из состояния \а) во все другие состояния,
обладающие меньшей энергией. Согласно § 94, вероятности
460 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ (ГЛ. XII
таких переходов в единицу времени выражаются формулой (94,7).
Следовательно,
(96,4)
". fK/>.
где суммирование выполняется по всем конечным состояниям
с энергией Ef ^ Ei\ p(Ef)—плотность числа конечных состоя-
состояний.
В § 16 было показано, что экспоненциальный закон распада
связан с неопределенностью энергии квазистационарного состоя-
состояния. Волновая функция этого состояния с учетом взаимодей-
взаимодействия, приводящего к спонтанному испусканию фотонов, имеет
вид
Ъа F, 0) = J Са (Е) $в A) dl, (96,5)
где i])e(?) — собственные функции оператора полной энергии
(с учетом взаимодействий) системы,
<96>6>
— плотность вероятности того, что энергия в состоянии tya(h 0)
имеет значение Е, е — характеризует величину разброса энергии
и называется естественной шириной энергетического уровня.
Функциональная зависимость (96,6) называется распределением
Лоренца. Естественная ширина уровня связана с его временем
жизни простым соотношением
Ге = Й. (96,7)
Если наряду со спонтанным излучением имеются другие при-
причины, уменьшающие вероятность пребывания системы в воз-
возбужденном состоянии, то ширина возбужденного уровня, со-
согласно (96,2), будет равна сумме парциальных ширин, обуслов-
обусловленных различными процессами уширения.
Квазистационарные состояния можно рассматривать и с дру-
другой, более формальной, точки зрения как состояния с комплекс-
комплексной энергией. Действительно, волновая функция квазистационар-
квазистационарного состояния со временем жизни Т = Ь/е должна иметь вид
tf« (h t) = е-*</2Ча (h 0) exp (- i-Zf). J *а (h t) ? = e~^%
Этому выражению можно придать форму, соответствующую ста-
стационарному состоянию, введя комплексную энергию Е:
—
§96] ВРЕМЯ ЖИЗНИ ВОЗБУЖДЕННЫХ СОСТОЯНИЙ 461
Таким образом, средняя энергия ?о, время жизни Т и ширина
уровня е квазистационарного состояния • однозначно опреде-
определяются через его комплексную энергию с помощью соотношений
?0=Re?, e = y=2Im?.
Связь (96,7) между временем жизни квазистационарного со-
состояния и неопределенностью энергии является частным случаем
теоремы, доказанной Фоком и Крыловым [86] о том, что функция
распределения энергии |СЕ|2 в квазистационарном состоянии
непосредственно связана с законом распада этого состояния.
Пусть гамильтониан системы имеет вид
H = H0® + W(l). (96,8)
Предположим далее, что оператор #о(|) имеет дискретные энер-
энергии Еа, соответствующие собственным функциям сра(|). Опера-
Оператор W(l) вызывает переходы между этими состояниями. По-
Поэтому, если при t = О состояние системы характеризовалось
функцией
то это состояние будет квазистационарным. Чтобы определить
функцию \ра(?> 0. разложим функцию фа(|, 0) по полной си-
системе собственных функций \|зе(|) полного гамильтониана (96,8).
Если он имеет непрерывный спектр, то
фв (?, 0) = J Са (Е) г|>? (|) dE, J | Са(Е) ?dE=*l. (96,9)
Следовательно,
Вероятность того, что при t > 0 система все еще будет нахо-
находиться в состоянии tya(l, 0), определяется формулой
Я&а (t) — | (iCa (|, 0) | г|)а (|, /)) |2= I J | Са (Е) fe~m^h dE *.
Фок и Крылов [86] показали, что необходимым и достаточ-
достаточным условием «распада» состояния, т. е. того, чтобы lim Ша (t) =
= 0, является непрерывность функции \Са(Е) \2 относительно Е.
В частности, как мы видели в § 16, если эта функция совпадает
с (96,6), то
462 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
В системах с гамильтонианом (96,8), имеющим дискретный
спектр собственных значений Еп, выражение (96,9) заменяется
суммой
поэтому
- 21 Са (Еп) |* + И I Са (Еп) ?1 Са (Ет) рcos{(?„ - Ет) t/h}.
п гит
(пФт)
. ¦ (96,10)
Таким образом, в системах с конечным числом степеней сво-
свободы, в которых полный гамильтониан обладает дискретным
спектром, вероятность обнаружения системы в квазистационар-
квазистационарном состоянии \а) характеризуется функцией 2Ва@> которая
осциллирует с течением времени и не стремится к нулю при
t —» оо.
§ 97. Линейный отклик квантовой системы
на внешнее воздействие
Рассмотрим линейную реакцию (см. также [87—89]) кванто-
квантовой системы, описываемой гамильтонианом Я на внешнее перио-
периодическое возмущение Hlni(t), адиабатически включаемое в бес-
бесконечном прошлом. Тогда
Hinl(t)=DexpW-i(of)B, (97,1)
где D — амплитуда внешнего возмущения; В — операторы, ха-
характеризующие динамические переменные квантовой системы;
г\ — бесконечно малая положительная величина, обеспечиваю-
обеспечивающая адиабатичность включения взаимодействия при t = — оо.
Введение малой величины г\ формально учитывает затухание,
всегда имеющееся в любой реальной системе. Даже при исклю-
исключительно слабом затухании по прошествии достаточно большого
времени собственные возбуждения в системе затухнут и оста-
останутся'только вынужденные, вызываемые внешним возмущением.
При включении возмущения адиабатически изменяются и
средние значения физических величин в системе. Как было по-
показано в § 31, среднее значение физической величины Ф вычис-
вычисляется с помощью статистического оператора p(f).,B представ-
представлении взаимодействия имеем
(97,2)
где
Ф @ = exp (iHUH) Ф ехр (- ШЩ
$ 97] ЛИНЕЙНЫЙ ОТКЛИК СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ 463
— оператор физической величины Ф в представлении взаимо-
взаимодействия; p(t)—статистический оператор в представлении взаи-
взаимодействия, удовлетворяющий уравнению Лиувилля
ih^ = [HM(t),~p№, ' (97,3)
где
р (t) = eiHi'h(> (t) e-iHt'\ (97,4)
Нш = exp (IHt/h) Hlni @ exp (-iHt/h). (97,5)
Если до включения взаимодействия статистический оператор
р(^) равнялся ро, то к моменту t в линейном приближении по
внешнему возмущению находим
t
= Po + -jg- J[#,nt(T),p0]dT.
Подставив это значение при учете (97,1) в (97,2) и проведя
циклическую перестановку операторов под знаком шпура, полу-
получаем
t
J e-'»(t-fl+4(t-<) Sp{p0[O@, B(x)])dx,
(97,6)
где (Ф)о = 8р(роФ)—среднее значение Ф в системе без внеш-
внешнего воздействия.
Вводя под знак интеграла ступенчатую функцию
| 1, если t > т,
в(^ — т) = |
можно верхний предел интегрирования заменить бесконечностью.
Тогда под интегралом (97,6) будет запаздывающая двухвремен-
ная функция Грина *) от операторов Ф и В:
«Ф; B))t-4^-iQ(t~r) Sp{ро[Ф(О, В(т)]} =
= - /9 (t - т) Sp {ро [Ф (t - т), В @)]}. (97,7)
Следовательно, (97,6) можно переписать в виде
<Ф10>-<Ф)о +Л <<Ф;Я>)в в"'»'™, (97,8)
где
со
«Ф; В))а = 1 J е'*'-л* «ф; fl», rf/ (97,9)
*) Запаздывающая функция Грина рассматривалась Боголюбовым и Тяб-
ликовым [90] (см. также [88]).
464 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ (ГЛ. XII
— фурье-образ *) функции Грина (97,7) по времени, или ее энер-
энергетическое представление.
При температуре абсолютного нуля усреднение с помощью
статистического оператора ро заменяется усреднением по основ-
основному «остоянию |0) системы и (97,7) принимает вид
«ф; В», sa - 6 (t) @ | [Ф (О, В @)] | 0>.
Введем с помощью равенства
<Ф @) ¦»= (Ф>о + «(о) De-M** (97,10)
комплексную обобщенную восприимчивость х(со) квантовой си-
системы, описывающую влияние гармонического возмущения
(97,1) на среднее значение {F{t)). Тогда, сравнивая (97,8) и
(97,10), получаем формулу Кубо
(97,11)
выражающую обобщенную восприимчивость через фурье-образ
запаздывающей функции Грина.
Мы рассматривали внешнее возмущение BDeri<i>t+4ty обуслов-
обусловленное комплексным полем, поскольку обобщенная восприимчи-
восприимчивость х(©) по определению (97,10) является коэффициентом про-
пропорциональности у комплексной части поля. Поэтому и средние
значения операторов (97,2) получались комплексными. Физиче-
Физические поля являются вещественными
D @ = Re фе~ш). ' (97,12)
Поскольку мы интересуемся только линейным откликом системы
на внешнее воздействие, то все приведенные выше результаты
сохраняют свое значение и для вещественных внешних полей
(97,12), если определять средние значения с помощью выраже-
выражений .
где (Ф(?)) — комплексное среднее значение, вычисляемое по
формулам (97,8) и (97,10) для комплексного поля D(r)e-imt. При
этом обобщенная восприимчивость будет определяться форму-
формулой (97,11).
*) Выражение (97,7) содержит разрывную функцию 8(/). Поэтому оно
определяет запаздывающую функцию Грина только при t Ф 0. В точке t = 0
функция Грина должна быть доопределена. Такое доопределение функции
Грина обычно делается с помощью указания правила вычисления интегралов
по времени, содержащих функции Грина. Множитель е~^{, имеющийся в
(97,9), как раз определяет такое правило. После вычисления интеграла можно
перейти к пределу ц -*¦ + 0 или приравнять 2tj величине \. характеризующей
естественную ширину соответствующих энергетических состояний.
§ 97] ЛИНЕЙНЫЙ ОТКЛИК СИСТЕМЫ НА ВНЕШНЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ 465
Можно показать, что фурье-образ запаздывающей функции
Грина при температуре абсолютного нуля удовлетворяет урав-
уравнению
ft© «Ф; В». = @ | [Ф, В] | 0> + «[Ф, Я]; В»й, (97, Ю)
где Я— гамильтониан, определяющий изменение операторов Ф
и В с течением времени, т. е.
/»-§?•=[Ф, я]. т^- = [в,щ.
В некоторых случаях уравнение (97,13) позволяет вычислять
фурье-образы запаздывающих функций Грина без предваритель-
предварительного вычисления самих функций Грина.
Наряду с запаздывающими функциями Грина (97,7) удобно
пользоваться двумя типами временных корреляционных функ-
функций
(Ф7в><>=8р{роФ(ОВ(О)},
(97,14)
Если оператор Я имеет дискретный спектр энергии Еп = ficon и
собственные функции \п) и статистическое усреднение произво-
производится по каноническому ансамблю с ро = е^-^Р, 0 = 1/kT, то
корреляционные функции можно преобразовать к виду
(ф7в>,> = 2 ер(F"?«)<я| Ф |т){т |В| п)exp{i[©„- <о„]t),
п, tn
= 2 eP(F"E«) (n | ф | m> (m | В | ft) e(B»-Bm) В exp {i [<om - са„] f}.
n, m
Вводя, далее, величину
/ФВ(Й) = 2я 2 e(F~E«)e(n^|m>(mIB|nN(<on-om-Q), (97,15)
th m
эти корреляционные функции можно переписать в виде
оо
(ФТВ)^ = ^ J 1фв(Q)е-'й'dQ,
"I (97,16)
Согласно определениям (97,7) и (97,14), запаздывающую
функцию Грина можно выразить через корреляционные функ-
функции с помощью равенства
; В», = й>(О {<ФГВ>,> -<ф7в>*<Ь (97,17)
466 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
После подстановки (97,17)" и (97,16) в (97,9) и интегрирования
по I, получаем интегральное выражение для фурье-образа за-
запаздывающей функции Грина
L f O-^wnup ,97
Такое представление было введен© Леманом [98] и называется
спектральным представлением, а величина (97,15) называется
спектральной интенсивностью. Она вещественна и удовлетворяет
важному интегральному соотношению
со
4- | /фв (Q) dQ = 1. (97,19)
—оо
Используя символическое тождество
(х -f it)) === &>x~l — шб (х), г\ -> -f О,
моэйнб выделить из (97,18) мнимую и вещественную части
Im «Ф; В»й = - ±- A - е^) /фВ (о),
(97,20)
где буква & перед интегралом указывает, что интеграл вычис-
вычисляется в смысле главного значения. Из (97,20) следует очень
важная связь между мнимой и вещественной частями фурье-
образа запаздывающей фунйции Грина
=- J
Im{(CD; B))QdQ
Если учесть связь (97,12) фурье-образа запаздывающей функ-
функции Грина с обобщенной восприимчивостью, то из соотношения
(97,21) находим общую связь между вещественной и мнимой
частями восприимчивости любой стационарной квантовой си-
системы ' .;
J iH??^- <97'22>
Зто соотношение носит название дисперсионного соотношеният
или соотношения Крамерса — Кронига, которые установили та-
§98] ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ 467
кое соотношение в 1927 г. для случая диэлектрической прони-
проницаемости.
Если использовать символическое тождество
то с помощью спектрального представления (97,18) можно опре-
определить связь фурье-образа функции Грина с плотностью спек-
спектрального распределения
^ (97,23)
§ 98. Поляризуемость квантовой системы
Если на квантовую систему (атом, молекула, атомное ядро
и др.) падает электромагнитная волна с небольшой (по сравне-
сравнению с полями внутри системы) напряженностью электрического
поля и длиной волны, значительно превышающей линейные раз-
размеры системы, то в последней возникает электрический диполь-
ный момент
d = $E, (98,1)
пропорциональный напряженности электрического поля Ё в цен-
центре" системы. Коэффициент пропорциональности р является сим-
симметричным тензором второго ранга и называется тензором по-
поляризуемости. Его вычисление можно провести по методу, из-
изложенному в предыдущем параграфе.
Предположим, что квантовая система характеризуется га-
гамильтонианом Я, имеющим собственные функции \f) и собствен-
собственные значения fico/. Согласно (94,2), оператор взаимодействия
квантовой системы с электромагнитным полем напряженности
сопр., div?"o = 0, (98,2)
включаемым в бесконечном прошлом, имеет вид
•, Ям = - ~ Ар = -^ (Еор) e-^+nt + эрм. сопр., (98,3)
где р — оператор суммарного импульса всех электронов си-
системы. •
Согласно теореме Кубо (см. § 97), среднее значение электри-
электрического дипольного момента, возникающего в системе под влия-
влиянием (98,3), можно записать в виде
= (ег)о + -^ «г; (ЕоР)»» в-«+* + эрм. сопр., (98,4)
468 ПЕРЕХОДЫ. ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
где г = 2 гп ((г; (Еор)))а — фурье-образ запаздывающей функ-
i
ции Грина, которая при температуре абсолютного нуля опреде-
определяется выражением
«г; (ад», = - 1в @ <0 | [г @, (Еор)] | 0), (98,5)
г (t) = ехр (ШЩ г ехр (- 1НЩ.
Направим ось х вдоль Ео и вычислим я-ую составляющую
матричного элемента, входящего в (98,5). Используя (см. (94,10))
равенство
где cufo = Of — too, получаем
<0 \[х (t), (Еорх))| 0) = щЕ0 2 tuf0| Q \х\ 0> |2[е-ш1°* + *>*><}.
Подставив это значение в #-ую составляющую (98,5) и вычис-
вычисляя по правилу (97,9) фурье-образ, находим
После подстановки этого выражения в х-ую составляющую
(98,4) и сравнения с (98,1) получаем явное значение компоненты
тензора поляризуемости вдоль главной оси
- 08.6)
Значения тензора поляризуемости вдоль двух других главных
осей у и г получаются из (98,6) заменой матричного элемента
координаты х соответственно на матричные элементы координат
у и г.
Если ввести вспомогательную безразмерную величину
(98,7)
называемую силой осциллятора перехода 0-*f, то х-я компо-
компонента тензора поляризуемости системы, находящейся в состоя-
состоянии |0), может быть записана в виде
Для изотропной квантовой системы поляризуемость является
скалярной величиной
§ 98] ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ 469
Из (98,7); следует, что сила осциллятора перехода О —>f положи-
положительна, если Ef > Ео, и отрицательна при выполнении обратногб
неравенства. В частности, силы осцилляторов всех переходов
с основного состояния, определяющие поляризуемость квантовой
системы, находящейся в основном состоянии, положительны.
В качестве примера вычислим силы осцилляторов переходов между со-
состояниями гармонического осциллятора. Используя значения (т — 1| х \т) =
( тЬ у/г
= l-g 1 для матричных элементов оператора координаты и полагая
«о = tOm+i, т, находим
? ? -«+•• (98.9)
Силы осцилляторов всех других переходов равны нулю. Поэтому, согласно.
(98,8), поляризуемость осциллятора равна
Силы осцилляторов являются очень удобной характеристи-
характеристикой квантовых переходов в системе. Их удобство выражается в
наличии простых теорем о суммах сил осцилляторов, доказа-
доказательство которых опирается на перестановочные соотношения
между операторами координат и импульсов. Для доказательства
основной теоремы о сумме сил осцилляторов (теорема Томаса —
Рейхе — Куна) преобразуем (98,7) к виду
mY(k |*| т) +\k \x\ тУ (k\x\ m>}.
Теперь, учитывая связь матричных элементов
ЩЩт {k I x | m) == (k | px | m)
и'эрмитовость операторов, можно написать v
Fkm = -^{{m \x\ k) (k \px\ m) - <m \px\ k) (k \x\ m>}.
Суммируя найденное выражение по всем значениям k (при на-
наличии состояний с непрерывным спектром надо суммирование
дополнить интегрированием) и используя правило перемноже-
перемножения" матриц и перестановочное соотношение [х, рх] = it, полу-
получаем
<m|A-Aex|m)=«l. (98,10)
В частном случае гармонического осциллятора правило сумм
(98,8) следует непосредственно из значений (98,9)
= Fm-\, т + Fm+\, т = 1.
470 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
Равенство (98,10) является выражением правила сумм сил
осцилляторов, соответствующих квантовым состояниям одной
частицы в системе. Оно справедливо для произвольного
направления оси х в системе и для произвольного состоя-
состояния т. Если в атомной системе число электронов равдю Z, то
правило сумм сил осцилляторов для всей системы сводится к ра-
равенству
i Fkm = Z,
k
так как каждый электрон вносит свой вклад в сумму незави-
независимо.
Для иллюстрации величин сил осцилляторов и правила
(98,10) отметим, что сила осциллятора, соответствующая пере-
переходу Is—*2p в атоме водорода, равна 0,4162. Таким образом,
согласно (98,10), сумма сил осцилляторов для переходов с
основного состояния Is во все остальные состояния (кроме 2р)
равна 0,5838. При этом переходам во все состояния с непрерыв-
непрерывным спектром соответствует часть суммы сил осцилляторов, рав-
равная 0,4359.
Теоретическое вычисление сил' осцилляторов требует знания
волновых функций состояний, между которыми происходит пере-
переход. Такие функции хорошо известны только для гармонического
осциллятора, атома водорода и некоторых других простейших
квантовых систем. В. случае более сложных атомных систем эти
функции могут быть вычислены приближенными методами, с ко-
которыми мы познакомимся в следующих главах.
Зная поляризуемость атомов, можно вычислить диэлектриче-
диэлектрическую проницаемость е или показатель преломления вещества
n=YB> если использовать связь, даваемую классической элек-
электродинамикой, между диэлектрической проницаемостью веще-
вещества и поляризуемостью атомов (или молекул). В случае разре-
разреженного газа эта связь выражается простой формулой
е = п2=1 + 4лЛф, (98,11)
где р — поляризуемость атома; N— число атомов в единице
объема. В случае плотной изотропной среды эта связь более
сложная:
Подставляя в (98,11) значение поляризуемости (98,8) для
основного состояния атома, можно определить зависимость по-
показателя преломления вещества от частоты падающего света для
,98]
ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ
471
частот о, не совпадающих с частотами квантовых переходов.
Для газа такая зависимость выражается формулой
(98,12)
) — © — IT)G>
Из (98,12) следует, что чем больше сила осциллятора кванто-
квантового перехода, тем большую роль играет соответствующее сла-
слагаемое в сумме (98,12), определяющей зависимость показателя
преломления от частоты падающего света. О зависимости пока-
показателя преломления от частоты света говорят как о законе дис-
¦J\
>D
nlw)
W
6)
Рис. 15. Зависимость показателя преломления от частоты:
а) положительная дисперсия; б) отрицательная дисперсия.
Персии света. Если атомы находятся в основном состоянии, то
Fho > 0 и с ростом частоты (в области применимости формулы
(98,12)) показатель преломления возрастает. Такая зависимость
показателя преломления от частоты носит название положитель-
положительной дисперсии (рис. 15,а).
Если атомы находятся в возбужденных состояниях (т), то
показатель преломления будет определяться формулой
— «г —
В этом случае для состояния k с энергией Eh <. Em силы осцил-
осцилляторов отрицательны. Поэтому в области, близкой к соответ-
соответствующим частотам переходов, показатель преломления убывает
с ростом частоты. Такая зависимость показателя преломления
от частоты называется отрицательной дисперсией (рис. 15,6).
В соответствии с равенством (97,22) мнимые и вещественные
части поляризуемости и диэлектрической проницаемости свя-
связаны между собой интегральными соотношениями, например
Ч» со
= - J
472 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
§ 99. Элементарная теория фотоэффекта
Если энергия й© фотона превышает энергию ионизации
атома, то поглощение фотонов будет сопровождаться переходом
электрона из связанного состояния в состояние непрерывного
спектра. Такое явление носит название фотоэффекта. Фотоэф-
Фотоэффект играет существенную роль в поглощении рентгеновских лу-
лучей и у-квантов веществом и в ряде других физических явлений.
Рассмотрим элементарную теорию фотоэффекта. Вероятность
поглощения в единицу времени с испусканием электрона опре-
определяется общей формулой (93,4). Конечное состояние электрона
принадлежит непрерывному спектру, поэтому плотность числа
конечных состояний, соответствующих испусканию электронов
в направлении телесного угла dQ, в нерелятивистском прибли-
приближении Е = p2/2[i определяется выражением
, Vp2dQ dp _
) dE ~~ Bnbf aii> : ^y>1>
где V — объем системы.
.. Для упрощения вычислений не будем учитывать в конечном
состоянии взаимодействия электрона с атомом, т. е. конечное
состояние электрона будем описывать плоскими волнами
^ ? = |=^, (92,2)
нормированными на объем V. Такое приближение вполне допу-
допустимо, когда энергия вылетающих электронов велика по сравне-
сравнению с энергией ионизации атома, т. е. при выполнении неравенства
-^>/=^, или | = ^<1. (99,3)
Величина |2 представляет собой отношение энергии ионизации
к кинетической энергии испускаемого электрона. Поскольку
]д.и2/2 = fico — /, то из (99,3) следует, что энергия фотонов дол-
должна быть достаточно большой. С другой стороны, энергия фо-
фотонов должна быть малой по сравнению с энергией покоя элек-
электронов, чтобы сохранить возможность решения задачи в нере-
нерелятивистском приближении.
В качестве начального состояния электрона выберем волно-
волновую функцию Is состояния атома
^-), a = -j5r. (99-4>
Подставляя (98,1) в (93,4), находим выражение для вероят-
вероятности испускания в секунду электрона в телесном угле dQ при
поглощении фотона
^ (99,6)
§ 991 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ФОТОЭФФЕКТА 473
где, согласно (94,5), оператор, определяющий поглощение элек-
электромагнитной волны, нормированной на единицу объема, имеет
вид
IX ^ СО \ » /
Подставляя (98,2) и (99,6) в (99,5) и учитывая, что в началь-
начальном состоянии фотонов не было, а в конечном состоянии имеется
один фотон, находим
2
Ш. (99,7)
Проводя в этом выражении интегрирование по частям при учете
ортогональности векторов ft и ей вводя вектор ЬК передаваемого
атому импульса
K = k-q, (99,8)
находим при учете (99,4)
J
Учитывая полученный результат в (98,7), находим
2У ( >У>
Формула (99,9) определяет угловое распределение испускае-
испускаемых электронов. Обозначим через в угол между направлением
вектора k фотона и вектора q электрона, а через угол Ф — угол
между плоскостью kq и плоскостью eft, тогда
X>. (99,10)
Далее, из (99,8) имеем
В силу неравенства (99,3) кинетическая энергия электрона
мало отличается от энергии фотона йю « '/гЩ'2. следовательно,
, (О
с 2Ьс "
Поэтому k/q ft! v/Bc). Далее, учитывая (99,4), находим ka «
«¦w/(c|) ~ 1. Из (99,3) и (99,4) следует qa= 1Ц^1. Полу-
Полученные соотношения приводят к приближенному равенству
(99,11)
474 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
Подстановка (99,10) и (99,11) в (99,9) дает
е*- 32Z*p sin'в cos* Ф ,
dP dQ (2)
где «о = Ъ21(ц,е2) —боровскин радиус.
Таким образом, большинство электронов испускается в на-
направлении электрического вектора электромагнитной волны
(в = я/2, Ф = 0), т. е. перпендикулярно направлению падаю-
падающего фотона. Наличие угла в в знаменателе (99,12) приводит
к небольшому сдвигу максимума испускания вперед. Это смеще-
смещение максимума возрастает с увеличением скорости электрона.
В релятивистском случае максимум сильно смещен вперед.
Вероятность фотоэффекта при вырывании электрона из со-
состояния Is атома сильно возрастает с ростом Z (как Z5). По-
Поскольку kqb~{h(u)tl, то в области применимости проведенного
расчета (/ <С ha <C \ic2) вероятность фотоэффекта сильно убы-
убывает с ростом частоты фотона.
Если мы разделим вероятность перехода в единицу времени
(99,12) на плотность потока падающих фотонов, равную с при
нормировке (99,6), то получим дифференциальное эффективное
сечение фотоэффекта.
Если энергия фотона мало превышает энергию ионизации
электрона /, то конечные состояния электрона нельзя описывать
плоскими волнами, а нужно пользоваться точными функциями
электрона в непрерывном спектре. Нерелятивистские расчеты
с волновыми функциями непрерывного спектра в кулоновском
поле были проведены Штоббом [91]. Расчеты показывают, что
учет кулоновского взаимодействия уменьшает вероятность фото-
фотоэффекта на множитель
f~ ехР (— )
Когда йсо очень близко к /, значение \ —*¦ оо и множитель
FU)-»0,12.
§ 100. Переходы, обусловленные взаимодействием,
не зависящим от времени
Рассмотрим квантовые переходы под влиянием взаимодей-
взаимодействий, не зависящих от времени. К таким переходам относятся:
а) процесс внутренней конверсии, т. е. процесс передачи энергии
возбуждения ядра электронам атома; б) эффект Оже — пере-
перестройка электронной оболочки атомов с несколькими электро-
электронами, сопровождающаяся вылетом одного электрона из атома.
S 1001 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ, HE ЗАВИСЯЩЕЕ ОТ ВРЕМЕНИ 475
В этом параграфе мы рассмотрим процесс внутренней кон-
конверсии. Это название отражает первоначальную ошибочную
точку зрения, согласно которой передача энергии возбуждения
ядра электронам атома рассматривалась как внутриядерный
фотоэффект, осуществляемый фотонами, испускаемыми ядром.
В дальнейшем выяснилось, что процесс передачи энергии воз-
возбуждения ядра электронам может происходить и в том случае,
когда испускание одного фотона абсолютно запрещено, т. е.
между состояниями с нулевыми значениями полного момента
@—0 переходы, см. § 94). Внутреннюю конверсию и испускание
ядром фотонов следует рассматривать как две альтернативные
возможности, осуществляемые при переходе атомного ядра из
возбужденного в основное состояние. Вопросу вычисления ве-
вероятности внутренней конверсии посвящено много работ [92—96],
которые отличаются друг от друга тем или иным использован-
использованным, приближением для волновых функций атомйых электронов
и для оператора, определяющего переходы. Здесь мы рассмот-
рассмотрим элементарную теорию внутренней конверсии, в которой вол-
волновые функции испускаемых электронов выбираются в виде
плоских волн и используется нерелятивистское приближение.
Итак, начальное состояние электрона будет описываться
функцией
а конечное состояние — волновой функцией
% И = V~* ехР (*»")•
Если обозначить волновые функции начального и конечного со-
состояния ядра соответственно <р0(Я) и Ч>*(9). то волновые функции
начального и конечного состояний всей системы будут иметь вид
Вероятность внутренней конверсии в единицу времени для элек-
электрона в состоянии Is будет определяться общим выражением
dPb0 = Ц- \{kb\ W 10> Р dp, ' A00,4)
где ф = т«ПГ\Г ^ ~ число конечных состояний электронов На
единичный интервал энергии, испускаемых в телесный угол dQ.
Если длина волны, соответствующая энергии возбужде-
возбуждения атомного ядра, значительно превышает а, то эффекты
запаздывания взаимодействия малы и оператор W сводится
476 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ (ГЛ. XII
к кулоновскому взаимодействию между электроном и прото-
протонами ядра, т. е.
<Х=1
где г и да — координаты электрона и протонов, отсчитываемые
от центра инерции ядра. Оператор A00,5) не содержит спино-
спиновых переменных, поэтому мы не сможем описать ядерных пере-
переходов, соответствующих магнитному мультипольному излучению.
При г »<7„ оператор W можно разложить' по сферическим
функциям
w= 2 B/Тпг (t-)'Yim<-@' ф)уш(е», Фо), A00,6)
а. /, М
где в, Ф — углы, определяющие направление г; 0а, <ра — углы,
определяющие направление qa. Пользуясь A00,3), A00,6), напи-
напишем
^ШГш^ША^ > A00'7>
l.M
Матричный элемент, содержащий интегрирование по электрон-
электронным координатам, после подстановки волновых функций A00,1)
и A00,2) сводится к интегралу
Разлагая e~lkr по сферическим функциям
е-ш =: 4я 2 (-/)' I (kr) Ytm F, Ф) У;т F, Ф),
It tn
где 6, q> — углы, определяющие направление вектора As, получим,
выполняя интегрирование по угловым переменным,
A00,8)
При вычислении интеграла следует учесть, что в нашем прибли-
приближении ka » 1 из-за быстрых осцилляции сферической бесселевой
функции в интеграле будут существенны только малые значения
г, поэтому
J
г"/,(kr)e-"°dr
10Ц
ВЕРОЯТНОСТЬ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И S-МАТРИЦА
477
Подставляя это значение в A00,8), а затем A00,7) в A00,4),
находим при интегрировании по угловым переменным испускае-
испускаемого электрона (учитывая ортонормированность сферических
функций) вероятность внутренней конверсии (на одном элек-
электроне) в единицу времени
W
Ш
A00,9)
Квадрат матричного элемента, входящего в A00,9), пропор-
пропорционален приведенной вероятности ядерного перехода, соответ-
соответствующего электромагнитному излучению типа ?7 (см. [73]). На-
Напомним, что формула A00,9) выведена при условиях: v/c'<Zi 1
и Z2/() 1
§ 101*. Вероятность квантовых переходов и S-матрица
В § 90 было найдено общее выражение (90,11) для матрич-
матричного элемента anm(t), определяющего переход под влиянием воз-'
мущения W из состояния | т) в состояние | я). Пусть состояния
\т) и \п) и их энергии Ет и Е^ являются собственными функ-
функциями и собственными значениями оператора Гамильтона Но
двух подсистем, оператор взаимодействия W между которыми
обусловливает переходы. В представлении Шредингера оператор
W не зависит от времени *).
В случае, когда начальное время берется равным —со, а ко-
конечное время t = оо, матричные элементы апт (°°) обозначаются
через (n|S|m) и называются матричными элементами S-матри-
цы. Следовательно,
где
Pexp -
1
m). A01,1)
1 "-¦
+±frm«+Wl
oo t\ ti
TtA dtt dU dti
—oo —oo —oo
—оо —оо
., A01,2)
A01,3)
*) В § 90 рассматривался случай, когда оператор W относился только
к одной подсистеме (например, к атому). Тогда № было внешним возмуще-
возмущением с соответствующей временной зависимостью (например, световая волна).
478
ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
В соответствии с тем, что A01,2) представлено в виде ряда,
можно записать матричные элементы A01,1) в виде суммы ма-
матричных элементов разного порядка
A01,4)
При этом '
dt
.nt),
OO t\ '
(л | S<2> | m) = (-^-J (и J dtx J dt2W (t{) W (t2)
—OO —OO
и т. д.
Учитывая A01,3), можно преобразовать матричный элемент
первого порядка к виду
Je P«~Em)~* dt=
=.-4.2я/6 (?„ ~Ет) (n\W\ m). A01,5)
Перейдем к преобразованию матричного элемента второго по-
порядка
f —оо
=(жJ
e* (Eft"Ef) ^rf^ I" {Ef~Em) *
Для вычисления второго интеграла в~ полученном выражении
проведем замену Ef — Em—*-Ef — Em^-ir\, где r\ — малая поло-
положительная величина, обеспечивающая сходимость интеграла на
нижнем пределе. В окончательных выражениях надо перейти
к пределу т]-*0. Таким образом,
\'4
§101) ВЕРОЯТНОСТЬ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И S-МАТРИЦА 479
Следовательно,
Таким же образом можно преобразовать матричные элементы
следующих порядков.
В дальнейшем мы будем рассматривать только переходы, в
которых конечное.состояние отличается от начального. Тогда
(n|m)=0.
Итак, учитывая A01,5) 4i A01,6) и проведя аналогичные пре-
преобразования других слагаемых A01,4), можно записать матрич-
матричные элементы S-матрицы в виде
{n\S\m)=-2ni6(En-Em)(n\T\m), П01.7)
где
L
ft Г
(n\W\f)(f\W\f')(f'\W\m)
[Ет - Ef+Ы) (Ет - EV + in)
Матричный элемент (n|T|m) называется матричным элементом
перехода на энергетической поверхности.
Функции |f) промежуточных состояний являются собствен-
собственными функциями оператора Яо, поэтому A01,8) допускает про-
простое преобразование. Например, отдельные слагаемые, входящие
во вторую сумму A01,8)-, можно записать в виде
W\m).
Следовательно, энергетические знаменатели^ входящие в A01,8),
можно рассматривать как средние значения оператора
(Ет—Яо-М1)) в соответствующих промежуточных состояниях.
Таким образом, равенство A01,8) можно записать в оператор-
операторной форме
Т = И7 + W(Em~ Но + iriJ-'W +
480 ПЕРЕХОДЫ ПОД ВЛИЯНИЕМ ВНЕШНЕГО ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. XII
Полученное операторное равенство можно рассматривать как
решение методом последовательных приближений операторного
уравнения
T = W+W(Em-Ho + ir\frT. A01,9)
Из A01,7) следует, что вероятность перехода за бесконечно
большое время определяется равенством
8*„ш (оо) = | (п | S | т) f = 4я262 (?„ - Ет) \{п | Т | т) ?.
Если преобразовать квадрат дельта-функции к виду
то вероятность перехода в единицу времени можно записать
в виде
Рпт= а"отУ =^6(?n-?m)|(»|T|m)p. A01,10)
lim f dt
В первом порядке теории возмущений Т == W и A01;10) совпа-
совпадает с (93,3). Если оператор W мал, то для вероятности пере-
перехода можно получить хорошее приближение, взяв в ряду A01,8)
несколько первых не равных нулю слагаемых. При больших зна-
значениях W необходимо использовать много членов бесконечного
ряда A01,8) или решить интегральное уравнение, соответствую-
соответствующее операторному уравнению A01,9).
Матричные элементы различного порядка, входящие в
A01,8), принято обозначать графически с помощью графиков
или диаграмм Фейнмана [97]. Если W является внешним постоян-
постоянным полем, действующим на частицу, то матричному элементу
первого порядка будет соответствовать диаграмма
на которой начальное и конечное состояния изображаются пря-
прямыми линиями, а внешнее поле W — штриховой линией. Такая
диаграмма изображает процесс рассеяния частицы внешним
полем. :
S ни]
ВЕРОЯТНОСТЬ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ И S МАТРИЦА
481
Матричному элементу второго порядка в A01,8) будет соот-
соответствовать диаграмма
W
\w
<f\{Em-H0+i7])~1\f>\
изображающая процесс двукратного рассеяния частицы внеш-
внешним полем. Таким же образом можно изобразить процессы рас-
рассеяния большей кратности.
16 А, С. Давыда»
ГЛАВА XIII.
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПРОЦЕССОВ РЕЛАКСАЦИИ
§ 102. Статистический оператор динамической
подсистемы
Если квантовая система с гамильтонианом Н является замк-
замкнутой, то изменение средних значений физических величин Л,
характеризующих ее состояние, определяется в общем случае
формулой
где p(t)—статистический оператор (или матрица плотности
Pn,m(t)), удовлетворяющий уравнению Лиувилля
A02,1)
Часто интересующая нас система с конечным числом степе-
степеней свободы, которую мы будем называть динамической систе-
системой, не является замкнутой, а находится в контакте со своим
окружением, обмениваясь с ним энергией, частицами и т. д. Та-
Такие динамические системы называются открытыми системами.
В открытых системах, обменивающихся с окружением энергией
и частицами, состояния термодинамического равновесия описы-
описываются (см. § 14) статистическим оператором
p = exp{p[Q-// + A -р^-САГ)-1, A02,2)
где
Р = (ЛТ); Q=—j~ In Sp{exp(p №//-//])}
— термодинамический потенциал системы. Если система обмени-
обменивается с окружением только энергией, то статистический опера-
оператор равновесных состояний определен выражением
р = ехр{р(/7-//)}, A02,2а)
где
— свободная энергия системы.
Если в начальный момент времени открытая система нахо-
находилась в неравновесном состоянии, то с течением времени она
§ 102] СТАТИСТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОДСИСТЕМЫ 483
будет переходить в равновесное состояние, определяемое внеш-
внешними условиями (температурой и т. д.). Процессы приближения
квантовой системы к равновесному состоянию называются про-
процессами релаксации,. В этой главе мы рассмотрим некоторые ме-
методы исследования процессов релаксации в простейших кванто-
квантовых системах.
Пусть На — гамильтониан динамической системы, Нт — га-
гамильтониан диссипативной системы, взаимодействующей с дина-
динамической. Если оператор взаимодействия Нгеи то полный оператор
Н = На+Нт + Нге1 A02,3*
будет описывать замкнутую систему с помощью статистического-
оператора раТ, удовлетворяющего уравнению A02,1). В соответ-
соответствии с теоремой Фока — Крылова (§ 96) диссипативная си-
система и, следовательно, полная система должны иметь бесконеч-
бесконечное число степеней свободы и непрерывный спектр, чтобы со-
состояние стремилось с течением времени к равновесному пределу.
Конечно, приписывание диссипативной системе бесконечного чи-
числа степеней свободы есть идеализация, однако такая идеализа-
идеализация вполне оправдана, так как диссипативной системой является
макроскопическое тело, с числом степеней свободы 1022—1023 в
каждом куб. сантиметре, и излучение в свободном пространстве.
Пусть некоторый оператор А, зависящий от всех переменных
полной системы, задан в виде матрицы (папт\А\ттта\ образо-
образованной на полной системе ортонормированных функций \па, птУ
полной системы. Введем сокращенные обозначения
Spfl (А) = 2 {папг\ А | mTna), Spr (Л) = 2 (папг| А \птта).
па nj.
Основной задачей квантового описания открытой динамиче-
динамической системы является отыскание возможности вычисления раз-
различных средних (Аа), относящихся только к этой системе. По
общему правилу такие средние определяются выражениями
A02,4)
Если оператор Аа зависит только от переменных динамической
системы, то
{папг | Аа | тгШа) = б^пу {папТ | Аа | щ ml),
поэтому A02,4) можно преобразовать к виду
<^fl>=SPfl{pfl^fl}> A02,5)
где
Pfl=SprPflr A02,6)
— статистический оператор динамической подсистемы.
16*
484 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. ХШ
Таким образом, для вычисления изменения с течением вре-
времени средних значений величин, относящихся к динамической
подсистеме, надо знать уравнения, определяющие изменение во
времени статистического оператора рв. Вообще говоря, это изме-
изменение зависит от состояния диссипативной системы. Однако если
диссипативная система очень велика, а ее взаимодействие с ди-
динамической системой мало, то можно пренебречь обратным влия-
влиянием динамической системы на диссипативную, т. е. можно пред-
предположить, что диссипативная система все время находится в од-
одном состоянии и все средние, относящиеся к этой системе, не
зависят от времени. Таким образом, если до включения взаимо-
взаимодействия (t = 0) между динамической и диссипативными систе-
системами статистический оператор изображался в виде произведе-
произведения
то и после включения взаимодействия оператор рг@) остается
тем же, т. е.
Р«г@ = Р««Рг@). A02,7)
Это приближение можно назвать основным приближением не-
необратимости. В этом приближении уравнения, определяющие из-
изменение рп во времени, будут содержать помимо операторов
динамической подсистемы только средние значения величин, от-
относящихся к диссипативной подсистеме. Такие уравнения назы-
называются кинетическими уравнениями для статистического опера-
оператора ра. Следовательно, кинетическое уравнение должно иметь вид
где S — функция, зависящая от операторов динамической си-
системы, р„ и средних значений {b(i))T величин, относящихся к
диссипативной системе.
В этой главе мы исследуем кинетические уравнения для не-
некоторых моделей квантовых систем.
Первые исследования проблемы затухания в квантовой меха-
механике, по-видимому, были проведены Ландау [99]. Метод кинети-
кинетического уравнения в теории необратимых процессов развивался
в работах Боголюбова [100], Кирквуда [101], Борна и Грина [102],
Ван Хова [103] и ряде других [89, 104—105].
§ 103. Простейшая модель квантовой системы,
взаимодействующей с термостатом
Рассмотрим квантовую двухуровневую систему а с энергией
возбуждения Е, взаимодействующую, начиная с момента t = 0,
с термостатом. Термостат обладает бесконечным числом степе-
степеней свободы с непрерывным спектром. Предположим далее, что
§ 103] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ С ТЕРМОСТАТОМ 485
взаимодействие системы а с термостатом резонансное, т. е. осу-
осуществляется только с теми его степенями свободы, энергия воз-
возбуждения которых Е. Наличие других степеней'Свободы термо-
термостата будет учитываться косвенно тем, что все средние величины
термостата выбираются равными статистическим средним при
температуре Т. В соответствии с вышесказанным в качестве мо-
модели термостата принимается очень большое число (JV»1),
одинаковых формально не взаимодействующих между собой под-
подсистем с энергией Е. Таким образом, при t ^ 0 полная система
описывается гамильтонианом
) A03,1)
где Af, А—фермиевские операторы рождения и уничтожения
возбуждения в системе a; bti, bn — операторы рождения и уни-
уничтожения возбуждений в подсистемах термостата. Они удовле-
удовлетворяют бозевским перестановочным соотношениям, если подси-
подсистемы термостата характеризуются эквидистантными спектрами,
или фермиевским, если подсистемы имеют только но одному воз-
возбужденному уровню. В соответствии с основным предположе-
предположением о неизменности средних величин в термостате принимаем,
что последние вычисляются с помощью статических операторов
рп подсистем, соответствующих термодинамическому равновесию
при температуре Т. Следовательно, для подсистем с эквидистант-
эквидистантным спектром
В э (btbn) + (bX> = c
для двухуровневых подсистем
{blbn) = {ет + I)"', В ^ (btbn) + (bX> = 1 - A03,3)
Взаимодействие системы а с термостатом характеризуется
оператором
Яге1 @ = 2 {6 [t - т (п - I)] - 6 {t - тп)) Нп, A03,4)
где ступенчатая функция Q(t) равна единице при />0 и равна
нулю при t < 0;
Hn = f(Afbn + bU>, A03,5)
f — энергия взаимодействия. Согласно A03,4), подсистема а
каждый раз взаимодействует в течение времени т с подсистемой
486 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. XI»
термостата, еще не испытавшей такого взаимодействия. Предпо-
Предполагается, что выполняется неравенство
T/T'f<l. (Ю3,6>
Оператор взаимодействия A03,4) коммутирует с оператором
A03,1), поэтому в представлении взаимодействия статистиче-
статистический оператор р полной системы определяется уравнением
N
при начальном условии р @) = ра @) Ц р„. После подстановки в
• п=1
это выражение значения A03,4) получим систему разностных
уравнений
р (пх + х) - р (пт) = -Ь- [Я„+„ р (пт + t)J.
Решая эту систему методом последовательных приближений;
находим
р (ит + т) — р (ит) = -Ь- [#п+1, р (пт)] +
+ J {-wJlHreL [Яге1, Р («Г)]] + ...
Подставим значение A03,5) и применим операцию Spr к обеим
частям уравнения. Тогда вводя pn = Sprp, статистический опе-
оператор системы а, и полагая р° = [р„ (пт + т) — ра (ит)] т»
получим кинетическое уравнение
^ - - I- {<М+„> {[А'А, Ра @]+ - 2АРаА+) +
+ (tibn)([AAf, Pa (t)]+ - 2Л+р„ @ А)}, A03,7)
где К = т/2/й2 — параметр (имеющий размерность частоты), ха-
характеризующий скорость изменения статистического оператора
динамической системы а; [х, у\+ = ху — ух.
Кинетическое уравнение A03,7) рассматривалось в работе
Серикова и автора [106]. Для полевого оператора, взаимодей-
взаимодействующего с двухуровневой системой атомов, оно исследовалось
в работе Шена [107]. Уравнение этого типа исследовалось также
Зельдовичем, Переломовым и Поповым [108].
В представлении чисел заполнения операторы A, Af, pn@ и
другие операторы динамической системы а определяются на про-
пространстве собственных функций оператора AfA, имеющего соб-
собственные значения 0 и 1. Собственные функции |v) иаобра-
§ 103] ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ С ТЕРМОСТАТОМ 487
жаются столбцовыми матрицами | 0) = 1 _ ] и | !) = ( ). а опе-
операторы— квадратными матрицами второго порядка. Например,
Для отыскания решений уравнения A03,7) представим
матрицу pa(t) в виде
Pe(9=2>i@or(Q, A03,8)
где матрицы <т(/) определены выражениями
Они удовлетворяют равенствам
Sp{(T(/)a(/')} = 6,r. A03,9)
С помощью A03,9) из A03,8) находим
Следовательно, W\ (t) определяет вероятность того, что система а
находится в возбужденном состоянии, W2(t)—вероятность не-
невозбужденного состояния системы.
Подставив A03,8) в A03,7) и используя фермиевские свой-
свойства операторов А, Л+, получаем уравнение
Используя далее A03,9), можно преобразовать это уравне-
уравнение в систему двух уравнений
= я [(pbf) Wl (t) - (b+b) w2 (t)],
A03,10)
из которых следует
Wl(t) + W2(t) = const,
где
488 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. ХИ1
Решение этих уравнений, удовлетворяющее начальному усло-
условию Wi@) = Wo ^ 1, имеет вид
Щ&] ехр (- Ш). A03,11)
Значения \bfb) и В для подсистем термостата с эквидистантным
спектром и для двухуровневых подсистем определяются соответ-
соответственно выражениями A03,2) и A03,3).
Таким образом, для двухуровневых систем термостата
(В = 1) скорость приближения вероятности возбуждения си-
системы а к равновесному значению {bfb) не зависит от темпера-
температуры термостата. Для подсистем термостата с дискретным спект-
спектром тот же результат будет только при малых температурах
0гТ <с Е), так как только в этих условиях Й»1 и ¦ „ ' ** \Ь Ь/.
Однако при повышении температуры значение В быстро возра-
возрастает и стремится к '/г и система а переходит в равновес-
равновесное состояние с одинаковой заселенностью основного и возбуж-
возбужденного состояний (Е <с kT).
§ 104. Вероятность передачи энергии возбуждения от донора
к акцептору при наличии диссипативной среды [106]
Для исследования процесса передачи энергии электронного
возбуждения от донориой к акцепторной молекуле, каждая из
которых взаимодействует с диссипативиой- средой, рассмотрим
следующую простую модель
__?• (рис. 16). Донорная (D) и
акцепторная (Л) молекулы на-
— Е-е ходятся в твердом растворе.
Донорная молекула имеет
энергию электронного возбу-
0 ШШ» • Ш///ШШ ° ждения Е. В акцепторной мо-
Л а лекуле этой энергии соответ-
соответствует одиофононное виброн-
Рнс. 16. Передача электронного возбужде- ВПЧ^ЖПРНИР С ЧНРПГИРЙ
ння от донорной молекулы D к акцептор н°е ВОЗОуЖДеНИе L dHepi иеи
ной молекуле а. внутримолекулярных колеба-
ний е. Между донорной и
акцепторной молекулами имеется резонансное взаимодействие,
энергия которого bL. Это резонансное взаимодействие без учета
релаксационнйх процессов приводило бы к обратимому обмену
возбуждениями между D и А.
Предположим далее, что колебательная часть вибронного
возбуждения в молекуле А может переходить в энергию колеба-
колебаний молекул растворителя, который будем рассматривать как
$ 104] ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ 489
термостат при абсолютном нуле температуры. Энергия возбуж-
возбуждения донорной молекулы может спонтанно излучаться или пере-
переходить безызлучательно в энергию колебаний растворителя. Оба
эти процесса мы будем характеризовать одним параметром и
рассматривать условно как результат взаимодействия молекулы
с некоторым «полем» при нулевой температуре.
Гамильтонианы термостата и «поля» запишем соответственно
-в виде
Яг = 2еЬХ, HF=2iEatan, A04,1)
tl=l /1=1
где bt, Ьп— бозевские операторы рождения и уничтожения воз-
возбуждения в одинаковых подсистемах термостата; а*, ап— соот-
соответствующие операторы «поля». Состояния термостата и «поля»
определяются статистическими операторами рт и pF. При абсо-
абсолютном нуле имеем
(btbn) = <аЯ> = 0, (bnbV) = {anaV)=\. A04,2)
Молекулы донора и акцептора образуют динамическую си-
систему а с оператором Гамильтона
Яа = Яо + Я|„ь A04,3)
где
Яо = ED*D + (Е — е) AfA + eCfC A04,4)
— оператор энергии возбуждения молекул без учета их взаимо-
взаимодействия; D, А и С — фермиевские операторы возбужденных со-
состояний молекул;
Нш = Ш (DA*C* + D*AC) A04,5)
— оператор резонансного . взаимодействия между молекулами
D и А.
Релаксационные процессы в системе определяются операто-
оператором взаимодействия динамической системы с термостатом и «по-
«полем», который мы выберем в виде (см. § 103)
Яге! = 2 {6 (t - [П - 1] X) - е (t - ПХ)} Нп, A04,6)
п
где
Будем предполагать, что выполняются неравенства
Tfr<l, т/, <1, N->\. A04,8)
Гамильтониан полной системы записывается в виде
Нш. A04,9)
490 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. XII!
В соответствии с основным приближением необратимости {102,7)
статистический оператор полной системы можно написать в
виде
A04,10)
Операторы взаимодействия A04,5) и A04,6) коммутируют с га-
гамильтонианом #о + Нт + #f, поэтому в представлении взаимо-
взаимодействия статистический оператор р удовлетворяет уравнению
+ Hcei),p(t)].
Подставив в это уравнение A04,6) и проведя операции
SprSpF, получим, учитывая A04,2), кинетическое уравнение для
статистического оператора pa(t)= SpySp^pff) динамической си-
системы
д-^- = -1- [Яi»t, Р« @1 - \ {[С*С, Ра (t)]+ - 2СРоС+) -
-1 {[DfD, Pa (t)]+ ~ 2DPa @ D+}, A04,11)
где А=т/|. и у = xf2p — параметры, характеризующие релакса-
релаксационные процессы в системе.
Решение уравнения A04,11) можно искать в виде
pe(Q=.2>i(QM@. (Ю4.12)
где Wt(t)—скалярные вещественные функции; МA)—система
эрмитовых операторов
= DfDAAfCCf,
= -J=r (DfAC - DAfCf),
M C) = DDfAfACfC, A04,13)
= DDfAAfCCf,
удовлетворяющих соотношению
Spa{M(l)M(l')} = 6n> A04,14)
и характеризующих разные состояния динамической системы.
Например, М(\) характеризует состояние, в котором электрон-
электронное возбуждение сосредоточено на донор ной молекуле, М C) —
состояние, при котором это возбуждение перешло на акцептор-
акцепторную молекулу, МD)—состояние, при котором акцепторная мо-
молекула потеряла колебательную часть возбуждения и осталось-
§ 104] ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ 491
только ее электронное возбуждение (Е — е), МE)—обе моле-
молекулы не возбуждены.
Из A04,12) при учете A04,14) следует
Таким образом, функции Wi(t) определяют вероятности состоя-
состояний, характеризуемых операторами МA).
Подставив в A04,11) значение A04,12) и учитывая переста-
перестановочные свойства операторов, получим уравнение
t—i
+ VIМ B) [L (Wi ~ W3) -
+ M C) [ V2 LW2 - Ш3] + Ш D) W3 + Y^ E) W,.
<C помощью A04,14) это уравнение можно свести к системе
уравнений
"A04,14)
A04,15)
Из уравнений A04,14) и A04,15) следует
Wi @ + ^з @ + ^4 @ + W5 (/) = 1.
При решении системы уравнений A04,14), A04,15) в каче-
качестве начальных условий выберем состояние системы а, в кото-
котором возбуждение сосредоточено на молекуле донора, т. е. по-
положим
Г,@)=1, W2[@) = W3@)=Wi@) = W5@) = 0. A04,16)
Тогда, после введения величин
2? = A + y, 2т) = Л-у, S = 4L2-if, A04,17)
решения можно представить в виде
aiT\ ( С Л\ 1 iT\ (С Л
— U>I (о, г)) -|- ¦ g | Ч>2 \^t Ч
492
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ
1ГЛ. XIII
Ф2 (S, t) = sin (Vs't),
где при S > О
Ф, (S, t) = cos
а при S < 0
Ф, (S, t) = ch (lT=S t), Ф2 (S, 0 = sh {V^
В частном случае, когда отсутствуют релаксационные про-
процессы в доноре и акцепторе (? = т) = 0), решения A04,17) сво-
сводятся к известному из квантовой механики результату
W, tO = cos2 Lt, W3 (t) = sin2 Lt,
W2 @ = /2 sin L^ cos Zi, Г4 = W5 = 0.
При S = 0 формулы A04,17) приводят к неопределенности,
раскрыв которую находим
o-u
@ =
{t) = |^{l -
A04,19)
Итак, если при f = 0 выполняются начальные условия
A04,16), то к моменту t вероятность полного (электронного и
Рнс. 17. Изменение с течением времени
вероятности полного возбуждения ак-
акцепторной молекулы. Параметр S/!2 ра-
равен 16, 4, 0 н —0,66 соответственно для
кривых /, //, ///, IV. Параметр rj/|s=
=0,8 для всех кривых.
Рис. 18. Изменение с течением времени
вероятности электронного возбуждения
акцепторной молекулы. Кривые /—IV по-
построены для тех же значений параметров,
что и на рис. 17.
вибронного) -возбуждения акцепторной молекулы определяется
значением W$(t) + W4(t) (рис. 17), а вероятность чисто элек-
электронного возбуждения — значением W4(t) (рис. 18).
Скорость изменения вероятности W^t) существенно зави-
зависит от времени и определяется, согласно A04,15) и A04,18),
§ 105] ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНАЯ ТЕОРЕМА 493
выражением
3=Т-— j r®2\S> -о)'
dt '
Если интересоваться не динамикой процесса, а только его конеч-
конечным результатом, то следует рассмотреть предельные значения
функций Wt(t) при |*->оо. Для всех значений S и |=И=0 полу-
получаем, согласно A04,18) и A04,10), следующие выражения:
Wy (ОО) = W2 (ОО) = W3 (ОО) = 0,
Вводя безразмерные параметры
* a2
(со) = 1 - W5 (со) - (Я + уL(^г+4.г) . A04,20)
A04'21>
можно преобразовать A04,20) к виду
WUoo) = j^j. A04,22)
Из A04,22) следует, что при a ^C 1 вероятность локализации
электронного возбуждения на акцепторной молекуле пропор-
пропорциональна квадрату энергии резонансного взаимодействия
AУ4(сю)= Ко.2). В частном случае диполь-дипольного резонанс-
резонансного взаимодействия W4(°°) ~ R~6, где R — расстояние между
молекулами.
При значениях а, находящихся в интервале 0,2 < a ¦< 1,7,
W4 (oo)^0,48 (a — 0,1) К.
Следовательно, вероятность передачи электронного возбужде-
возбуждения зависит линейно от энергии резонансного взаимодействия
(закон R~3 для диполь-дипольного взаимодействия).
Наконец, при a > 1
т. е. с увеличением энергии резонансного взаимодействия веро-
вероятность передачи возбуждения стремится к асимптотическому
значению К, не зависящему от L.
§ 105. Флуктуационно-диссипативная теорема
для обобщенной восприимчивости
Флуктуационно-диссипативная теорема для обобщенной вос-
восприимчивости связывает характеристики диссипативных процес-
процессов с равновесными флуктуациями в системе.
4Э4 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ 1ГЛ. XIII
Обобщенная восприимчивость и (со), введенная в § 97, харак-
характеризует линейный отклик квантовой системы на внешнее поле
D (t) — Re {De-iat+^}, r\ -> + 0, A05,1)
гармонически изменяющееся с течением времени и включаемое
в бесконечном прошлом. Для простоты мы рассматриваем ска-
скалярное внешнее поле. Под влиянием поля A05,1) среднее значе-
значение физической величины, характеризуемой оператором Л, изме-
изменяется по закону
{А^)) = Яе(к((а)Ое-ш+^). A05,2)
При этом комплексная восприимчивость определяется фурье-об-
разом ((Л; B))w запаздывающей функции Грина с помощью
равенства хд (со) = «Л; B»w, A05,3)
где В — оператор квантовой системы, входящий в оператор ее
взаимодействия W(t) с внешним полем A05,1);
W @ = Re (BDe-iat+4<). A05,4)
Рассмотрим диссипацию энергии системы под влиянием воз-
возмущения A05,4). Гамильтониан системы, взаимодействующей
с полем A05,1), запишем в виде
тогда изменение средней энергии системы с течением времени
определится равенством
Согласно § 97, среднее значение (В) выражается через комп-
комплексную обобщенную восприимчивость
{В) = Re (x (со) йе-ш), A05,6)
где обобщенная восприимчивость выражается через фурье-образ
запаздывающей функции Грина операторов В:
х(ш) = «0;В»и. A05,7)
Подставив A05,6) в A05,5) и усреднив по времени, получаем
. A05,8)
Согласно (97,20), мнимая часть фурье-образа запаздывающей
функции Грина выражается через спектральную интенсивность
1ВВ (со) = 2л 2J еС-^*) Р| <„| в | т) f б («„ - «т - со)
п, т
с помощью соотношения
Im «В; В))а = ~ (еР*« - 1) 1ВВ (со). A05,9)
§ 105] ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНАЯ ТЕОРЕМА 495
При учете A05,7) и A05,9) уравнение A05,8) можно преоб-
преобразовать к виду
^•=-^(^-l)/BBW. A05,10)
Иногда удобно выразить спектральную интенсивность 1Вв(и>) че-
через фурье-образ симметризованной временной корреляционной
функции, определяемой равенством
1
где в фигурную скобку входят временные корреляционные функ-
функции, определенные выражениями (97,14). Подставляя в это вы-
выражение значения (97,16) и сравнивая с
мы найдем связь спектральной интенсивности с фурье-образом
{В; В)а симметризованной временной корреляционной функции
(gftwP _ 1) [вв (ю) = (В; B)w.
Следовательно, уравнение A05,10) можно преобразовать
к виду д{Е) со|Р|г ,D D4 iU pcofi nn, m
—Qt == Ofi \"> Bf^tn—g—. A1M,11)
Это равенство выражает флуктуационно-диссипативную теорему
Кэлена — Велтона [109,110]. Если ввести среднее число («)==
= (efte>p—I) фононов энергии Ью в равновесном состоянии с тем-
температурой r=="Mf> T0 th Щ- — 2 (п) + 1 = Дщ ' гДе
(е(ю)) — средняя энергия осциллятора с частотой ю в равновес-
равновесном состоянии с той же температурой. Таким образом, равен-
равенство (Ю5,11) выражает диссипацию энергии квантовой системы
через фурье-образ корреляционной функции и среднюю энергию
осциллятора в равновесном состоянии. Сравнивая A05,8) и
A05,11), находим полезное равенство
A05,12)
позволяющее выразить мнимую часть обобщенной восприимчи-
восприимчивости через фурье-образ симметризованной временной корреля-
корреляционной функции равновесного состояния. Зная мнимую часть
восприимчивости, можно с помощью соотношений Крамерса —
Кронига (97,22) найти и ее вещественную часть.
Если состояние системы далеко от равновесного и нельзя
ограничиться линейной реакцией системы (сильные внешние
поля), то отклик системы характеризуется нелинейной восприим-
восприимчивостью, которая выражается через корреляции более высокого
порядка.
ГЛАВА XIV
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
§ 106. Упругое рассеяние частиц без спина
Как известно из классической механики, в нерелятивистском
приближении задача рассеяния одной частицы массы mt на дру-
другой частице массы т2, взаимодействие между которыми V(r) за-
зависит от относительной координаты г = ri — r2, может быть све-
сведена к задаче рассеяния некоторой фиктивной частицы, обла-
обладающей приведенной массой и = —^hSh—в потенциальном поле
V(r). Такое сведение задачи упругого рассеяния двух частиц к
движению фиктивной частицы с приведенной массой ji в потен-
потенциальном поле V(r) осуществляется простым переходом к си-
системе координат, связанной с центром инерции сталкивающихся
частиц. В дальнейшем мы будем пользоваться только системой
центра инерции.
Упругим рассеянием называется рассеяние, при котором не
меняются внутренние состояния и состав сталкивающихся ча-
частиц. Начальной стадией процесса рассеяния является движение
навстречу друг другу двух бесконечно удаленных частиц
(рис.19). При их сближении взаимодействие между частицами
меняет состояние их движения, затем частицы разлетаются. Ко-
Конечной стадией процесса рассеяния является движение частиц
друг от друга.
Часто удобно вместо временного описания задачи рассеяния
рассматривать эквивалентную стационарную задачу. При ста-
стационарном описании процесса рассеяния предполагается, что
имеется непрерывный поток частиц, летящих из бесконечности,
который из-за взаимодействия с рассеивающим центром перехо-
переходит в поток разлетающихся (рассеянных) частиц. Задача рас-
рассеяния состоит в вычислении при заданном силовом поле потока
рассеянных частиц (на бесконечном расстоянии от рассеиваю-
рассеивающего центра) как функции потока падающих частиц.
Поскольку рассеянные частицы при большом удалении от
центра движутся свободно, то относительная энергия их движе-
движения всегда положительна и не квантована. Таким образом, в за-
задаче рассеяния мы имеем дело с непрерывным спектром. Итак,
в стационарной формулировке задача рассеяния частицы массы
106]
УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ БЕЗ СПИНА
497
ц с положительной энергией относительного движения Е в по-
потенциальном поле V(r) сводится к решению уравнения Шредин-
гера
(V2+**)¦(*•) = -3^1^* (г), A06,1)
где
Й2 = 2ц/Г2?. A06,2)
Предположим, что V(r) отлично от нуля только в некоторой
ограниченной области пространства |г|^ й. Эту часть простран-
т.
Рис. 19. Рассеяние в системе центра инерции, в—угол рассеяния. »
ства будем называть областью действия сил. Вне области дей-
действия сил частицы движутся свободно, и их состояние движения
можно описать плоской волной
<ра (г) = exp (ikar), k2a = ft2,
A06,3)
удовлетворяющей волновому уравнению A06,1) без правой ча-
части. Волновой вектор ka связан с импульсом р относительного
движения простым соотношением р = Ька. Функция <ра(г) нор-
нормирована так, чтобы плотность потока частиц численно равня-
равнялась скорости относительного движения, т. е.
/.в-5г(ч>:*ч>.-Ф.*ФЭв-ТГ- A0М)
Пусть /в описывает поток «падающих» часта^, состояние дви-
движения которых соответствует плоской волие A06,3). В резуль-
результате взаимодействия происходит рассеяние частиц. Наша задача
состоит в отыскании таких решений уравнения A06,1), которые
представляли бы суперпозицию плоской волны A06,3) и
498 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1ГЛ. XIV
рассеянных волн, уходящих от области действия сил. Такие ре-
решения легко получить, если использовать функцию Грина опе-
оператора левой части уравнения A06,1), который представляет
собой оператор свободного движения частицы. Функцией Грина
оператора свободного движения называется функция G(r|r'),
удовлетворяющая уравнению с точечным источником
(V2 + ft2)G(r|r') = 6(r-r'). A06,5)
Если известно решение уравнения A06,5), общее решение урав-
уравнения
= Л(г) A06,6)
всегда можно представить в виде
Ф (г) = Ф (г) + { G (г | г') А (г') dh', A06,6а)
где <р(г) —решение уравнения A06,6) без правой части.
Как будет ноказано в § 107, решение уравнения A06,5), со-
соответствующее уходящим (рассеянным) волнам, имеет вид
/^, A06,7)
поэтому в соответствии с A06,6) и A06,6а) можно преобразо-
преобразовать уравнение A06,1) к виду
,фа (г) = фа(г) --J-gy J ехР(|^-^1) у (Г') уа(г')^v. A06,8)
Полученное уравнение является интегральным уравнением, опре-
определяющим полную волновую функцию 1])о задачи рассеяния.
На больших расстояниях (г ~3> d) можно положить k\r — r'\ *&
s>ikr — kbrr, где kb = ky; поэтому асимптотическое значение
¦фв(»") имеет вид
¦»ра(г)==фв(г)+ Aba^y-, r>rf, , A06,9)
где
[r')dV. . A06,10)
Принимая во внимание, что ф6 = е'*&г является плоской вол-
волной, определяющей движение эффективной частицы с импульсом
ръ = bkb, можно переписать A06,10) в виде
Лы=—5аг<Ч>ь1Н*«>- 006,11)
Функция АЬа называется амплитудой рассеяния. Согласно
A06,11), амплитуда рассеяния пропорциональна приведенной
§ 106] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ БЕЗ СПИНА 499
массе и зависит от энергии относительного движения, угла ме-
между векторами ka и кь и потенциала рассеяния. Из A06,9) сле-
следует, что на больших расстояниях от области действия сил рас-
eittr
сеянная волна г|)расс = АЬа целиком определяется амплитудой
рассеяния Аъа-
Рассеяние принято характеризовать дифференциальным сече-
сечением рассеяния da(Q, <p), которое определяют как отношение
числа рассеянных в единицу времени в элемент телесного угла
dQ = sin б dQ dq> частиц к плотности потока падающих частиц.
Через элемент площадки r2dQ в одну секунду проходит jrr2dQ
частиц, где радиальная плотность потока
Ц acc дг %асс дг ) ~ ^ ' ЛЬа I». Ф^ I •
Поэтому, принимая во внимание A06,4), находим связь между
дифференциальным сечением рассеяния и амплитудой рассеяния
da = li?to=k\AbafdQ A06,12)
I la I «a
при упругом рассеянии k = ka.
Итак, дифференциальное сечение рассеяния однозначно опре-
определяется амплитудой рассеяния, для вычисления которой с по-
помощью формулы A06,11) надо знать решение интегрального
уравнения A06,8). Если энергию взаимодействия V(г) можно
рассматривать как малое возмущение, то уравнение A06,8) ре-
решается методом последовательных приближений. В результате
получим
1>а (Г) = Ф« (Г) ~ ^р- J fZ'r'l V ^ «Р» W dh' + •••
Подставляя A06,13) в A06,11), мы представим амплитуду рас-
рассеяния в виде ряда
v W V
Если этот ряд сходится и мы сохраним первые N членов, а
остальные отбросим, то полученное приближенное выражение
называют N-м борновским приближением. В частности, в первом
борновском приближении
^Ы. A06,14)
500
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
1ГЛ. XIV
Подставляя A06,14) в A06,12), можно вычислить диффе-
дифференциальное сечение упругого рассеяния в первом борновском
приближении
(J V l4>«> l2rfQ- A06,14a)
Следовательно, при вычислении амплитуды рассеяния в первом
борновском приближении надо в выражении A06,11) заменить
функцию tya падающей волной фа.
Перейдем к исследованию области применимости борнов-
ского приближения. Из A06,13) следует, что замена в интеграле
A06,11) функции г|)а падающей волной возможна лишь в том
случае, когда в области действия сил (где V(r) велико) выпол-
выполняется неравенство
ц Г eik]r~r'I
JitiF J I г - r' I
Обычно V(r) имеет наибольшее значение при г = 0. Полагая
в этом неравенстве г = 0 и подставляя значение уа{г), получаем
общее условие применимости борновского приближения
< 1.
A06,15)
При малых энергиях относительного движения, когда kd<g.\,
в интеграле A06,15) можно заменить экспоненциальные множи-
множители единицами. В этом случае неравенство A06,15) преобра-
преобразуется к виду
цй2К<Й2, A06,15а)
где
1
V =
2nd2
V (г) d3r
Согласно соотношению неопределенностей, величина b2j{2\id2)
характеризует кинетическую энергию электрона в области с ли-
линейными размерами d. Следовательно, неравенство A06,15а)
сводится к требованию, чтобы кинетическая энергия частицы
была значительно больше ее потенциальной энергии.
Если потенциальная энергия V(r) сферически симметрична,
то в интеграле A06,15) можно выполнить интегрирование по
угловым переменным. Выбирая направление ka за ось г, полу-
получим (учитывая, что k = \ka\) условие применимости борновского
приближения для сферически симметричного потенциала
V (r)[e2ikr -l]dr
A06,16)
§ 106] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ БЕЗ СПИНА 501;
При больших энергиях относительного движения (kd ^ 1) равен
нулю вклад, вносимый слагаемым, содержащим экспоненту, по
этому это условие переходит в простое неравенство
A06,16a),
где V —
оо
[V(r)dr
, При малых энергиях, когда kd <§; 1, мо>
о
жно в интеграле A06,16) разложить экспоненту в ряд. Учиты
вая два члена этого ряда, мы снова приходим к неравенству
A06,15а).
Рассмотрим явный вид условия справедливости борновского
приближения для некоторых типов потенциальной энергии.
а) Экспоненциальный потенциал V(r)=Voexp(— ~-L
В этом случае
9
Г Г к 2V0'fe/0
J 2ikrB — 1
о
и условие (95,16) сводится к неравенству
При kr0 «С 1 это условие переходит в 2цУ0г(; <& И2; при kr0 S>
получим цУоГо 4С kH2.
б) Экранированный кулоновский потенциал V(r)
= ' "е ехр(— аг), где а-=1/г0. Чтобы вычислить интеграл
о
продифференцируем его по параметру а; тогда
оо
4r=>- \e-ar(e2ikT-\)dr = - ~.
да J v ' a a — 2ik
Интегрируя полученное выражение по а, находим / = In a —.
.— In (а — 2ik) + С. При а = оо / = 0, следовательно, С = 0, та-
таким образом,
/ = _ 1пA — 2ikr0) = — In Vl H- №r\ + /Ф, где tgO = 2kr0.
Итак, условие A06,16) для экранированного кулоиовского
потенциала принимает вид
nZtZ^[(in yi+4k*r2J + Ф2]7' < kh2.
502 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Значение Ф не превышает я/2, значение логарифмического сла-
слагаемого мало меняется с изменением радиуса экранирования,
поэтому в качестве общего условия применимости борновского
приближения для кулоновского взаимодействия можно принять
ZiZ^^hv, A06,17)
где и = Mt/ц — относительная скорость сталкивающихся частиц,
в) Потенциал прямоугольной формы. Потенци-
Потенциальная энергия V(r)= —Vo, если г ^С d, и равна нулю для всех
остальных значений г. В этом случае неравенство A06,16) при-
принимает вид
%г? {sin2 kd + kd [kd — sin BЫ)]}'
Поскольку k2b2l\i = IE, где E — энергия относительного движе-
движения, то полученное неравенство можно записать в виде
Vo<2F. A06,18)
В ядерной физике установлено, что для описания упругого рас-
рассеяния нейтронов на атомных ядрах можно в первом приближе-
приближении использовать потенциальную яму с параметрами
Vo = 50 МэВ и d = 1,3 Л'ЧО3 см, где А — массовое число ядра.
Следовательно, при исследовании рассеяния нейтронов на атом-
атомных ядрах можно применять борновское приближение только
при энергиях относительного движения, удовлетворяющих нера-
неравенству
?»25МэВ, A06,19)
Согласно A06,10), амплитуда рассеяния в борновском при-
приближений (tya -> фа = exp (ikae)) принимает вид
>= - w J
где bq = b(kfl — kb)—импульс, передаваемый при рассеянии.
Формула A06,20) допускает простую интерпретацию: каждая
единица объема дает вклад в амплитуду рассеяния, равный
— Yjp V (г) eiqr. Множитель е1дг определяет фазовое смещение
волны, рассеянной элементом объема в точке г, по отношению
к волне, рассеянной элементом объема в точке г = 0. Если V{r\
не изменяет знак, то при рассеянии вперед (# = 0) все
элементы объема дают рассеяние в фазе и амплитуда рассеяния
§ 107] ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ 503
имеет максимальное значение
При других направлениях рассеяния вклады от различных эле-
элементов объема отличаются по фазе. Эффект интерференции
воли, рассеянных разными элементами объема, можно учесть
отношением
Подставляя в A07,1) интегральное представление б-функции
через собственные функции оператора свободного движения
которое принято называть формфактором.
§ 107*. Функция Грина для свободной частицы
Функция Грина свободного движения частицы определяется
уравнением A06,5). Перепишем это уравнение в виде
G(r|r') = (V2 + A:2)-16(r-r/). A07,1)
б-ф
вижен
б (г - г') = Bя) J exp {iq (г - r')}d%
находим
G(r \г') = С(г-г')=BпГ3 J exp{gy)}rf3<7- (Ю7,1а)
Это выражение после интегрирования по угловым переменным
можно преобразовать к виду
оо
G (х) = Dя2;*Г! J -jje^ dq, A07,2)
—оо
где_д;= \г — г'|.
Интеграл A07,2) вычисляется с помощью теории вычетов.
Его значение остается неопределенным до тех-пор, пока не за-
заданы правила обхода полюсов q = ± k. Правила обхода полю-
полюсов определяются из граничных условий, накладываемых на
функцию G(x) при х—>оо. Чтобы получить решения, соответ-
соответствующие уходящим от центра волнам, следует выбрать путь
интегрирования А, указанный на рис. 20. Тогда интеграл A07,2)
равен умноженному на 2я/ вычету подынтегрального выражения
в единственном полюсе q = k, лежащем внутри контура инте-
интегрирования. Таким образом, находим
¦504
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. XIV
Чтобы получить функцию Грина G(-y(x), соответствующую схо-
сходящимся волнам, надо интегрирование в A07,2) проводить по
контуру 6, указанному на рис. 20. В этом случае внутри кон-
контура будет полюс q = —k и
exp[Jkx) A07,4)
Правила обхода полюсов можно указать и путем формальной
замены в знаменателе A07,2) значения k значением fe-f-te для
-к-и ' *t-ie
Рнс. 20. Правила обхода полюсов для получения функций Грнна О+ и О_.
•функции Gi+)(x), где е—малая положительная величина, кото-
которая после вычисления интегралов должна быть устремлена к
нулю. При такой замене полюса подынтегрального выражения
¦q = ± (k + fe) смещаются в комплексную область (рис. 20, С)
и внутри контура интегрирования остается полюс k-\-ie. После
интегрирования надо перейти к пределу е—*0. Для получения
•функции G(-)(x) надо в знаменателе подынтегрального выраже-
выражения A07,2) провести замену k—*k — ie (рис. 20, D).
В ряде случаев при проведении промежуточных вычислений
нет необходимости в явном вычислении функции Грина, и удоб-
удобно пользоваться символической записью. Покажем, как это де-
делается на примере уравнения A06,1).
Имея в виду дальнейшие обобщения, перепишем уравнение
A06,1) в виде
. (?о-//0Н=Уф, A07,5)
§ 107] ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
где
A07,6>
— оператор свободного движения частицы с приведенной мас-
массой ц; Еа — энергия относительного движения. Формальным ре-
решением уравнения A07,5), соответствующим «падающей» волне
фа, удовлетворяющей уравнению
(?в-Я0)Фо=0, A07,7)
будет
Чтобы выделить решения, содержащие только расходящиеся
рассеянные волны, надо указать правило обхода полюсов, соот-
соответствующих энергии Еа. Это удобно сделать, заменив Еа ком-
комплексным значением Еа + te. Таким образом, искомое решение
будет иметь вид
<+> = <Р„ + (Еа + & + "о)"' V*?\ A07,8)
Решения уравнения A07,5), соответствующие сходящимся вол-
волнам, будут определяться уравнением
Уравнения A07,8) и A07,9) являются интегральными уравне-
уравнениями. Для явной записи уравнения A07,8) надо разложить
функцию Vty'** по собственным функциям ф, оператора Яо, т. е.
по функциям, удовлетворяющим уравнению
(?9-Я0)ф9 = 0. A07,10)
В нашем случае оператор Яо является оператором кинетической
энергии свободного движения и его собственные функции яв-
являются плоскими волнами (при нормировке в ^-пространстве)
A07,10а)
Итак, разлагая Vty* no полной ортонормированной системе
функций ф9, имеем
V^ = | ф9 <ф91 V | ^+)) rf3^, A07,11)
где
<Ф, I V I *l4+>> = B")~S/' J е~'9г>^ (г7) ^+> (rf) dY, A07,12)
506 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Подставляя A07,11) в уравнение A07,8) и учитывая, что ф яв-
являются собственными функциями оператора Яо (см. A07,10)),
можно написать
Подставляя в это выражение A07,10а), A07,12) и Еа
= В2?2/Bц), находим явный вид интегрального уравнения
где е'= це/(Й2&). Учитывая, что
а также A07,3), мы убедимся, что уравнение A07,13) тожде-
тождественно совпадает с интегральным уравнением A06,8).
§ 108. Теория упругого рассеяния
в борновском приближении
Рассеяние частиц при столкновении можно рассматривать
как квантовый переход в состояниях непрерывного спектра из
начального состояния, соответствующего свободному движению
с импульсом ра = Ы*а, в конечное состояние с импульсом Ыгь
под влиянием оператора возмущения V(r), определяющего энер-
энергию взаимодействия сталкивающихся частиц. Покажем, что вы-
вычисление вероятности такого перехода в первом приближении
теории возмущений соответствует первому борновскому прибли-
приближению в теория рассеяния.
Если начальное состояние изображается плоской волной
9а = е*Р №аГ), A08,1)
нормированной на одну частицу в единице объема, а конечное
состояние
A08,2)
то, согласно § 93, в первом приближении вероятность перехода
в единицу времени из состояния фа в состояние щ с направле-
направлением импульсов в телесном угле dQ определяется формулой
V\9a)?dp. A08,3)
где
§ 108] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 507
— число конечных состояний в'единице объема с направлением
импульса в телесном угле dQ, рь — скорость относительного дви-
движения частиц в конечном состоянии.
Разделив вероятность перехода A08,3) в единицу времени на
плотность потока падающих частиц, численно равную va — ско-
скорости относительного движения, получим при учете A08,4) се-
сечение рассеяния в элемент телесного угла dQ,
^ <108-5>
При упругом рассеянии vь = va и формула A08,5) переходит в
формулу A06,14а), полученную в первом борновском прибли-
жении.-
Учитывая явный вид волновых функций, можно преобразо-
преобразовать матричный элемент перехода к виду
<Ф»1 V I Фо> = J V (г) exp [i (ha - %) г] dh s V (kb - ka), A08,6)
где Ар = Ь(кь — ka) — импульс, переданный частицей при рас-
рассеянии. Таким образом, матричный элемент, определяющий се-
сечение рассеяния, является фурье-образом потенциала, соответ-
соответствующим переданному импульсу при рассеянии. При упругом
рассеянии
\bb\ = \ka\=k и | ft» — fte |= 2A sin -§-, A08,7)
где 6 — угол рассеяния. Следовательно, вероятность рассеяния
под углом 6 связана с вероятностью передачи импульса Ар =
= 2MsinF/2).
Если потенциал V(r) сферически симметричен, то в A08,6)
можно провести интегрирование по угловым переменным
V (*» - К) = \kb-ka\ J У (г)г sin (| kb - К \r) dr. A08,8)
Таким образом, в этом случае фурье-образ' потенциала зависит
только от абсолютной величины переданного импульса, и сече-
иие упругого рассеяния принимает вид
72JtFF|^BA:sin|-)|2dQ. A08,8a)
Если V(r) является четной функцией от г, то A08,8) можно напи-
написать в виде
оо
v <*» - *¦>=тлйет J v^r) *' н~"а'r dr- A08'8б)
508 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Вычислим явный вид дифференциального сечения упругого
рассеяния для простейших потенциалов:
а) Экранированное кулоновское поле V (г) =
— у-\. Подставляя это аначение в A08,8), находим
V(\kb-ka\)=
Подставляя это выражение при учете A08,7) в A08,8а), полу-
получим явный вид дифференциального сечения рассеяния
dQ-
При г0—>оо экранирование отсутствует и формула A08,9) пере-
переходит в известную формулу Рёзерфорда
12 /
J Д
da_ _ г
dQ ~L2p2sin2(e/2)J Д 2(u>2 sin2 F/2) j
где и — скорость относительного движения.
Сравнивая A08,9а) с A08,9), мы видим, что экранирование
кулоновского поля не сказывается иа упругом рассеянии для
всех углов 6 > 6о, где 6о определяется из условия
2pr0 sinFo/2) = Ь. При 6 < 6о сечение рассеяния изменяется
медленно, приближаясь к конечному максимальному значению
при 6 = 0.
6)%П о тенциал Гаусса V (г) = V0exp(—r2/Br|)). Этот по-
потенциал является четной функцией, поэтому можно использовать
формулу A08,86). Тогда получим
V (I kb - К |) = Bя)ЧЗКоехр{ -\{кь- kaf rl)
и дифференциальное сечение рассеяния
}Q. A08,10)
Следовательно, эффективное сечеиие упругого рассеяния моно-
монотонно уменьшается с ростом угла рассеяния.
в) Сферическая прямоугольная яма V(r) —
= —Vo, если rOo, и V(r) = 0, если r>r0. В этом случае по-
потенциал также является четной функцией г. Используя формулу
A08,86), находим
}¦
A08,11)
<§ 109] МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 509
Подставляя A08,11) в A08,8а), получим дифференциальное се-
сечение рассеяния. Интересной особенностью эффективного сече-
сечения упругого рассеяния на потенциале, соответствующем сфери-
сферической прямоугольной яме, является то, что при больших энер-
энергиях относительного движения сечение рассеяния осциллирует
при изменении угла рассеяния.
При малых энергиях движения, т. е. при условии g =
= kr0 <3C 1, сечение рассеяния можно разложить в ряд но ма-
малому параметру ?• Тогда легко видеть, что во всех трех рассмот-
рассмотренных выше примерах с точностью до членов g2 сечение упру-
упругого рассеяния не зависит от угла рассеяния. Таким свойством
обладают все потенциалы с конечным радиусом действия г0.
В связи с этим исследование упругого рассеяния медленных ча-
частиц не позволяет отличить один потенциал от другого.
Рассматривая рассеяние как переход из начального состояння в конечное
под влиянием возмущения V(r), мы использовали для изображения началь-
начального и конечного состояний плоские волны A08,1) и A08,2). Однако плоские
волны, строго говоря, непригодны для точного описания процесса рассеяния
методом квантовых переходов, так как они всегда имеют бесконечное протя-
протяжение и, следовательно, всегда «присутствуют» в области действия сил. При
строгом описании процесса рассеяния надо начальное состояние изображать
волновым пакетом, так как пучок падающих частиц коллимирован в про-
пространстве и попадает в область действия сил только через некоторое время,
а рассеянные волны должны появляться только после того, как падающая
волиа достигнет области действия сил. Если начальное состояние описы-
описывается волновым пакетом, то значение импульса в падающей волне будет
задано с неопределенностью Ар ~ h/R, где R — линейные размеры пакета.
Во всех случаях, когда эксперименты ведутся с хорошо коллимированными
и достаточно монохроматическими пучками частиц, размеры волновых пакетов
значительно (R » г0) превышают размеры атомных систем. Поэтому неопре-
неопределенность значений импульса в пакете волн 'будет очень мала по сравнению
с изменением импульса, обусловленным действием потенциала, приводящего
к рассеянию. Этим оправдывается упрощение, вводимое заменой волновых
пакетов плоскими волнами.
§ 109. Метод парциальных волн в теории рассеяния
Если потенциал поля, в котором происходит рассеяние, обла-
обладает сферической симметрией, то момент количества движения
является интегралом движения. Другими словами, состояния.,
соответствующие разным значениям углового момента, в рассея-
рассеянии участвуют независимо. Поэтому удобно представить па-
падающую волну в виде суперпозиции парциальных волн, относя-
относящихся к каждому моменту количества движения.
Выберем ось z координатной системы вдоль направления
импульса падающей волны; тогда можно написать
Ф« (г) = eikz = 2 B1 + 1) /'/, (kr) Pi (cos в), A09,1)
510 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
где ji{kr) —сферические функции Бесселя, определенные в §35.
Учитывая, что на больших расстояниях от центра сферическая
функция Бесселя сводится к простому выражению
Sinl ~2~
li (kr) *» 7 , если kr ^> I,
можно представить асимптотическое значение A09,1) в виде
Фа (О - (kry' 2 B/ + 1) i'Pt (cos 0) Р[ (г), A09,2)
где
"' " ' A09,3)
Первое слагаемое в фигурных скобках A09,3) соответствует
сходящимся, а второе — расходящимся от центра сферическим
волнам.
Итак, каждая парциальная волна в A09,1) на больших рас-
расстояниях от центра представляет собой суперпозицию расходя-
расходящейся от центра и сходящейся к центру сферических волн.
Решение уравнения A06,1), определяющего рассеяние ча-
частицы в центрально-симметричном потенциальном поле V(r),
имеющем конечный радиус действия, можно также искать в виде
суперпозиции парциальных волн. Для этого положим
со
ф (г) = (kr)~l 2 B1 + 1) ilRi (r) Pi (cos 9). A09,4)
Переходя в уравнении A06,1) к сферической системе координат
и подставляя A09,4), получим уравнение
A09,5)
которому должна удовлетворять радиальная функция Ri(r).
Волновая функция A09,4) должна быть конечной при г = 0,
следовательно, функция Ri(r) удовлетворяет граничному усло-
условию
Д,@) = 0. A09,6)
Если потенциал V(r) при г-*0 изменяется не быстрее, чем 1/г,
то при г—>0 уравнение A09,5) переходит в уравнение
* /(/+1)
Из этого уравнения при условии A09,6) следует, что
Ri(r) ~ rl+l, когда г-*0.
§ 109] МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 511
Нас интересуют решения уравнения A09,5), которые наболь-
набольших расстояниях от центра представляют суперпозицию ради-
радиальной части A09,3) парциальной волны, соответствующей
квантовому числу / в падающей волне, и уходящих от центра
рассеянных волн. Взаимодействие потока падающих частиц с
рассеивающим полем изменит только амплитуду расходящихся
от центра волн в A09,3). Поэтому асимптотическое значение ра-
радиальной функции <Ri(r) в уравнении A09,5) можно написать
в виде
= sin (&¦-¦?) +4 (-0'(l-S,) в'*', если kr > /. A09,7)
Коэффициент Si, определяющий в A09,7) изменение уходящих
от центра волн, зависит от энергии относительного движения и
называется диагональным матричным элементом матрицы рас-
рассеяния, соответствующим орбитальному моменту /.
Подставляя A09,7) в A09,4), при учете A09,2) находим
асимптотическое значение волновой функции
kr>l,
где амплитуда рассеяния Л@) выражается через матричные
элементы матрицы рассеяния
оо
А (е)=-к SB/ +1} (l - Si) Pi (cos e)- A09>8)
1=0
Матричные элементы матрицы рассеяния Si однозначно опреде-
определяют амплитуду рассеяния. Они являются комплексными числа-
числами. При упругом рассеянии матричные элементы матрицы рас-
рассеяния могут быть выражены через вещественные фазовые сме-
смещения (фазовые сдвиги, или фазы рассеяния) б; с помощью
соотношения
S, = ехр B/6/), или S/— l = 2/e'e'sin8/. A09,9)
Так как экспоненциальная функция является периодической
функцией, то соотношения A09,9) определяют фазовые смещения
неоднозначно. Бели потребовать, чтобы при исчезновении вза-
взаимодействия V фазовюе смещения стремились к нулю, то значе-
значения фазовых смещений могут лежать либо в интервале @, я),
либо (—л/2, я/2). В дальнейшем мы будем пользоваться интер-
интервалом (—я/2, л/2).
Поскольку для рассеяния вперед @ =0) полиномы Ле-
жандра равны 1, то из A09,8) следует простая связь между
5J2 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
амплитудой рассеяния вперед А@) и элементами матрицы рас-
рассеяния
Оо
^^St). A09,10)
С помощью A09,8) и A09,9) можно выразить через фазовые
смещения дифференциальное сечение упругого рассеяния
A09,12) в элемент телесного угла ёп
= ft JJ B1 -f 1) B/' + 1) Л (cos G) Pf (cos 6) sin 6, sin6r cos F,~6r).
A09,11)
Интегрируя это выражение по всем углам при учете
J P, (cos 6) Pf (cos 6) dQ = 2/ТТ б"''
получим интегральное сечение упругого рассеяния
? 2B/+ I)sin26j. A09,12)
Итак, интегральное сечение рассеяния можно представить в
виде суммы парциальных сечений рассеяния oi, относящихся к
определенным значениям /:
где
a/ = ^B/+l)sin26/ = -^B/+l)|l-S/|2. A09,13)
Множитель B/+1) в A09,13) можно рассматривать как стати-
статистический вес /-й парциальной волны, т. е. как число состояний,
различающихся квантовым числом т.
Из.A09,13) следует, что возможное максимальное значение
сечения рассеяния равно
(<т,)макс = ^-B/+1). (Ю9,14)
Из A09,8) при учете A09,9) следует, что мнимая часть ам-
амплитуды рассеяния вперед имеет вид
.(=0
§ 109] МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 513
Сравнивая это значение с A09,12), мы убедимся, что интеграль-
интегральное сечение упругого рассеяния связано с мнимой частью ам-
амплитуды рассеяния вперед простым соотношением
а = ^1тЛ@), A09,15)
которое называется оптической теоремой.
Применение метода парциальных волн особенно удобно в
том случае, когда силы взаимодействия, определяющие потен-
потенциальную энергию V(r), имеют малый радиус действия d (та-
(таковы, например, ядерные силы, силы, действующие между ней-
нейтральными атомами и др.). В таких случаях в рассеянии частиц
малой энергии будут участвовать только парциальные волны с
малыми значениями /. В этом легко убедиться на основе про-
простых качественных соображений. На расстоянии г, превышаю-
превышающем радиус действия d, на частицу в состоянии с квантовым
числом / действуют только центробежные силы отталкивания с
потенциальной энергией 1—~-. Поэтому частицы в основ-
основном будут двигаться на расстояниях г, удовлетворяющих нера-
неравенству
—2^г~<^г=Е, A09,16)
где Е — энергия относительного движения. Из A09,16) следует,
что расстояние го1= — т—- можно назвать расстоянием наи-
наибольшего сближения. При значениях г < гог вероятность обна-
обнаружения частицы экспоненциально мала. Если радиус действия
d меньше roi, то соответствующие парциальные волны почти не
попадают в область действия V(r) и не участвуют в рассеянии.
Следовательно, парциальные волны с квантовым числом /,
удовлетворяющим неравенству
kd <Vl{l+l), A09,17)
практически не участвуют в рассеянии.
Для более строгого определения зависимости фазовых смещений б; от
квантового числа / рассмотрим наряду с уравнением A09,5), записанным
в виде
другое уравнение, соответствующее свободному движению,
/(/+1)
17 А, С. Давыдов
514 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Умножая первое из этих уравнений на gt, а второе на Ri, вычитая из пер-
первого полученного уравнения второе и интегрируя от 0 до р, находим равенство
Г dR. dg.~] 2ц Г
[8, ~аГ ~ R, -? |= = ~р- J V (г) R{ (г) gt (г) dr. A09,18)
О
Как было показано в § 35, решение уравнения для функции gi имеет вид
ffj(r)=>ftr7|(*r).
где j(kr) —сферическая функция Бесселя. Если выбрать р достаточно боль-
большим, чтобы можно было для gi использовать всимптотическое значение
g,(r) = sin (б/---у-), ?/¦»/, A09,19)
и искать асимптотическое решение для функции Ri(r) в виде
Rl (г) = sin [kr - Щ- + 6/), A09,20)
то, подставляя эти асимптотические значения в левую часть равенства A09,18)
находим уравнение, определяющее фазовое смещение 6i, если известно реше-
решение Ri, соответствующее асимптотическому значению A09,20).
J V (r) R[ (r) g[ (r) du A09,21)
Полученное уравнение является точным. Для приближенной оценки величины
фазовых смещений можно в A09,21) подставить вместо Ri(r) функцию gi(r);
тогда получим
о
k sin 6, ~ ?й*1 J V (Г) r2j2t (kr) dr. A09,22)
о
Если d — область действия потенциала и kd <tC 1, то для сферической функ-
функции Бесселя можно использовать асимптотическое значение
Тогда из A09,22) находим
d
sin 6< ~ ~ й^ьзУ-У/'+ОР I V ЦтГ'r dr- A09'23)
о
Из A09,23) следует, что фазовые смещения являются нечетными функциями
k, С ростом /, при kd <S 1, фазовые смещения быстро уменьшаются. Напри-
Например,
Ьх (kdJ 62 (kdI 63 (fed)8
бо ~ 9 ' б0 ~ 225 ' 60 ~ 11025'
Сравнение A09,19) и A09,20) показывает, что фазовые сме-
смещения б/ определяют изменение фазы асимптотической радиаль-
§ 109] МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 515
ной функции A09,19) под влиянием центрально-симметричного
поля V(r). При отталкивании фазовые смещения отрицательны.
Вычисление фаз рассеяния с помощью выражения A09,22) соот-
соответствует борновскому приближению. Оно справедливо при
условии, когда
| sinб,|«|в,1< 1.
Если энергия относительного движения такова, что MWH,
то говорят, что происходит рассеяние медленных частиц. Из
A09,17) и A09,23) следует, что при столкновении медленных
частиц в рассеянии участвуют только s-волны A = 0), т. е. от-
отличным от нуля является только фазовое смещение б0-
Исследование рассеяния парциальных s-волн сводится к ре-
решению уравнения A09,5) при I = 0, т. е. уравнения
Н~^ (г>- <109'24)
Чтобы определить фазовое смещение б0, надо решение уравнения
A09,24) преобразовать при больших значениях г к виду
Ro(r) = e*°sm(kr + do), A09,25)
который получается из A09,7) при So = ехр B?бо). Решение
уравнения A09,24) будет исследовано в^следующем параграфе.
Как было показано выше, при рассеянии частиц малой энер-
энергии в рассеянии участвуют только s-волны (I =0) и дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния не зависит от угла рассеяния
dQ. A09,26)
Если в рассеянии участвуют волны с несколькими значениями I,
то, согласно A09,11), дифференциальное сечение рассеяния бу-
будет определяться интерференцией волн с различными значениями
/. Например, если в рассеянии участвуют волны с 1 = 0 и
/=1,то
[sin26 + 6 sin So sin б! cos (б0 — dj) cos 6 + 9 sin2 б, cos26]dQ.
Следовательно, интерференция рассеянных s- и р-волн приводит
к нарушению симметрии рассеяния вперед и назад по отноше-
отношению к углу 90°, которая имелась бы при рассеянии одних
только s- или р-волн.
Если рассеяние" характеризуется, небольшим числом отлич-
отличных от нуля фазовых смещений, то, определяя дифференциаль-
дифференциальное сечение рассеяния как функцию угла 6, можно с помощью
A09,11) вычислить фазовые смещения. Такая обработка экспе-
экспериментальных данных носит название фазового анализа сече-
сечений рассеяния.
516 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Задачей теории рассеяния является вычисление фазовых
смещений или амплитуды рассеяния по заданной потенциальной
энергии взаимодействия V(r). В ряде случаев (например, в
ядерной физике) приходится решать обратную задачу — опре-
определения вида потенциала по измеренным значениям фазовых
смещений. Чем большее число фазовых смещений известно, тем
большие сведения можно получить о характере V(r).
§ ПО*. Упругое рассеяние медленных частиц
Как было показано в предыдущем параграфе, рассеяние
медленных частиц (Ы<$С!1) определяется уравнением
(-?- + k2) Ro (r) = 2pV (r) rt0 (r), A10,1)
с граничным условием
/?о(О) = О A10,2)
при г = 0, и асимптотической формой
A10,3)
на больших расстояниях. Прежде чем исследовать общее реше-
решение этого уравнения, рассмотрим простейшие случаи.
а) Рассеяние на. сферической прямоуголь-
прямоугольной потенциальной яме
~~V°' если
0, если r>d,
соответствующей притяжению. Решение A10,3) удовлетворяет
уравнению A10,1) для всех значений r^d. Внутри ямы урав-
уравнение A10,1) принимает вид '
(^ ) (О) = 0, A10,4)
где
K2 = k2 + Kl К1 = ?ф-. (П0,4а)
Уравнения A10,4) удовлетворяются волновой функцией
A10,5)
Поскольку нас интересует только фазовое смещение, то вместо
приравнивания волновых функций и их первых производных до-
достаточно приравнять при г = d логарифмические производные
1 dR
-n--j~ функций A10,3) и A10,5). Таким образом, получаем
^^ ) /(rf) A10,6)
§ 110] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ 517
Есди ввести обозначение
D-x (П0,7)
для логарифмической производной волновой функции внутрен-
внутренней области при г = d, то из A10,6) следует
или
б0 = arc tg (kD) -kd. A10,8a)
Фазовое смещение б0, определяемое из A10,8), является много-
многозначной функцией, и нас. интересуют только главные значения,
лежащие в интервале — я/2 :< б0 ^ я/2.
При малых энергиях относительного движения tg kd *» kd +
(kdK
+ ¦3—1~ ....поэтому A10,8) принимает более простой вид
При выполнении неравенств kd <$С 1 и k2Dd ^ 1 значение tg 60
еще более упрощается:
{^^) A10,9)
В этом случае интегральное сечение рассеяния
Ш}2. A10,10)
При малых энергиях относительного движения и глубоких по-
потенциальных ямах выполняется приближенное равенство
K2^=k2 + Kl~ Kl A10,11)
Поэтому эффективное сечение упругого рассеяния на глубокой
сферической прямоугольной яме при ¦ малых энергиях относи-
относительного движения будет выражаться формулой
\ A10,12)
Из A10,9) и A10,10) следует, что при выполнении равенства
A10,13)
•фазовое смещение и эффективное сечение рассеяния равны
нулю. Таким образом, при некоторых значениях глубины и раз-
размеров потенциальной ямы последняя не приводит к рассеянию
5-волн, энергия которых такова,, что выполняется равенство
{110,13). Это явление получило название эффекта Рамзауера.
518 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ (ГЛ. XIV
Рамзауер в 1921 г. установил, что эффективное сечение рассея-
рассеяния электронов на атомах инертных газов (Аг, Кг, Хе) дости-
достигает особенно малых значений при энергиях электронов
~ 0,7 эВ. Такую особенность рассеяния не могла объяснить
классическая теория. Квантовая теория дает простое объясне-
объяснение эффекта Рамзауера. Поле атомов инертных газов убывает
значительно быстрее с расстоянием, чем поле какого-либо дру-
другого атома, поэтому в первом приближении это поле можно за-
заменить сферической прямоугольной ямой и для вычисления се-
сечения рассеяния медленных электронов использовать формулу
A10,10). При энергии электронов ~ 0,7 эВ выполняется при-
приближенно равенство A10,13) иа«0.
Если равенство A10,13) не выполняется и Kd Ф Bя + 1) я/2
(п = 0, 1, ...), то при k-*0 фазовое смещение б0 стремится к
нулю, а эффективное сечение A10,10) стремится к конечному
пределу. Знак фазового смещения бо при малых энергиях опре-
определяется знаком разности
t = ig (Kd)-Kd.
При значениях Kd < я/2 разность и, следовательно, б0 положи-
положительны. При Kd-*я/2 сечение рассеяния о стремится к беско-
бесконечности. Этот факт не противоречит формуле A09,14), опреде-
определяющей максимально возможное парциальное сечение рассея-
рассеяния, так как при k—»0 (ао)маКс —> °°. При я/2 < Kod < я знак
? (и бо) делается отрицательным.
При рассеянии медленных частиц на потенциальной яме,
удовлетворяющей условию A10,11) и Kod = Bп + 1)я/2 сечение
рассеяния достигает максимального, резонансного значения.
Если учесть, что,. согласно C6,11) (§ 36), условие, определяю-
определяющее наличие s-уровня с нулевой энергией в сферической прямо-
прямоугольной яме, имеет вид ctg Kod = 0, то мы убедимся, что
сечение рассеяния медленных частиц на сферической потенци-
потенциальной яме достигает максимального значения в том случае,
если яма имеет s-уровень с энергией Е = 0. Если Kod = я/2, то
в яме имеется только один s-уровень с энергией Е — 0. При
Kad — 3/гл потенциальная яма будет иметь два s-уровня, один
из которых обладает энергией Е = 0. При Kod = бД>я в яме
имеется три уровня типа s и т. д.
Если экстраполировать волновую функцию A00,3) в область
малых значений г и нормировать ее к 1 при г = 0, то получим
функцию
g (г) = cos kr + ctg б0 sin kr.
При малых значениях энергии и малых значениях г, удовлетво-
удовлетворяющих неравенству kr <c 1, эта функция преобразуется к виду
«W = 1-?. (П0.14)
ПО]
УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ
51-9
где величину
а == — (k ctg б0)
-1
A10,15)
называют длиной рассеяния. Из A10,14) следует, что длиной
рассеяния можно назвать значение г, при котором функция g(r),
соответствующая экстраполяции асимптотического решения
A10,3) к малым г, обращается в нуль. При малых глубинах по-
потенциальной ямы, когда Kod < я/2 (и в яме нет s-уровней),
фазовое смещение бо положительно и длина рассеяния а отри-
отрицательна (рис. 21). При Kod — я/2 в яме появляется первый
2 -
Я а (г)
2
-а
л
а ¦
а<о,
а>о, д0 <о
Рис. 21. Длина рассеяния при разных параметрах потенциала взаимодействия.
s-уровень с энергией Е = 0; в этом случае бо = я/2 и длина
рассеяния а = ±оо. При я/2 < Kod < я фазовое смещение от-
отрицательно, а длина рассеяния положительна.
Формула A10,12) определяет фазовые смещения в прибли-
приближении, когда выполняется равенство A10,11). При не очень
больших глубинах потенциальной ямы, для определения зависи-
зависимости фазовых смещений бо от энергии, надо пользоваться вы-
выражением A10,9). В этом случае максимальное сечение рассея-
рассеяния, соответствующее б0 = я/2, будет определяться из условия
A10,16)
Значения энергии относительного движения, соответствующие
значениям k, удовлетворяющим условию A10,16), называются
виртуальными уровнями энергии.
Вспоминая выражение A10,7) для логарифмической произ-
производной волновой функции на поверхности г = d, мы убедимся,^
что условие максимума парциального сечения рассеяния а0 со-
совпадает с условием обращения в нуль логарифмической произ-
производной D~l.
520 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
б) Рассеяние на сферическом потенциаль-
потенциальном барьере
Уо, если г ^d,
0, если r>d.
В этом случае внутри барьера уравнение A10,1) принимает вид
(r) = 0, /?oi(O) = O, (П0Д7)
где
К = k —Ко> Ко== ^l^Voh . A10,18)
Вне барьера решение имеет вид A10,3). Внутри барьера
Rm = С] sin Кг, если k ^ Ко,
Rox == С sh Qr, если k ^ ^Со,
где Q = V Ко — k2. При малых энергиях Q ^ Ко, поэтому, при-
приравнивая логарифмические производные функций A10,3) и
A10,19), получаем (при kd <С 1)
60=arc{g(kD) — kd, A10,20)
где
D^ th(Qrf) _ th(/Cod) A1021)
Q До
Поскольку th(/(orf) ^ 1, то из A10,20) следует, что при k-*0
фазовое смещение бо всегда стремится к нулю.
В пределе бесконечно высокого барьера (непроницаемая
сфера) СяО и фазовое смещение бо = — kd. Этот результат
может быть получен и непосредственно из условия равенства
нулю асимптотической функции A10,3) на поверхности сферы
г = d (внутри бесконечно высокого барьера функция равна
нулю).
Интегральное сечение s-рассеяния при k—>0 стремится к ко-
конечному пределу
o0 = -rj- sin2 60 = 4nd2 (—Yd — ) * A10,22)
При возрастании Kod эффективное сечение A10,22) медленных
частиц монотонно приближается к пределу сто = 4я^2, соответ-
соответствующему рассеянию на непроницаемой сфере. Значение
оо = 4лсB в 4 раза превышает классическое сечение для рассея-
рассеяния на твердой сфере радиуса d. При возрастании энергии
относительного движения, когда kd> 1, значение бо, определяе-
определяемое A10,20), может равняться пп, где п — целое отрицательное
число. В этом случае парциальное сечение s-рассеяния обра-
обращается в нуль. Однако при kd > 1 в рассеянии будут участво-
§ ПО] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ 521
вать и волны с / Ф 0, поэтому полное сечение рассеяния не
обращается в нуль.
в) Потенциальная энергия произвольной
¦формы. Решение уравнения A10,1) при произвольной потен-
потенциальной энергии V (г) удобно провести в импульсном представ-
представлении. В силу граничного условия A10,2) в разложении Ro(r)
могут встречаться только синусы; таким образом,
оо
Яо@=/ R(q) sin (qr)dq. A10,23)
о
Подставляя A10,23) в A10,1) и учитывая равенство
оо
sin qr sin q'r dr = у б (q — q'),
о
получаем уравнение s-рассеяния в импульсном представлении
оо
(q2 -k2)R{q)=\ V{q,q')R (q') dq', A10,24)
о
где
V (q, q') =:^L f V (r) sin qr sin q'r dr. A10,25)
0
Уравнение A10,24) можно заменить интегральным уравнением
¦ оо
R (q) = Лб (q - k) + (q2 - /г2)"' J V (q, q') R Ю dq', A10,26)
о
где слагаемое A&(q — k) является решением уравнения свобод-
свободного движения (<72 — k2)b(q — k) =0 и соответствует падающей
волне с энергией относительного движения h2k2l{2\x,). Нас инте-
интересуют решения A10,26), которые в координатном представле-
представлении имеют асимптотический вид A10,3), т. е.
#0 (г) = С sin {kr + б0) = С cos60 (sin kr + tg 60 cos kr). A10,27)
Чтобы найти такое решение, преобразуем A10,26) в координат-
координатное представление, тогда получим
оо
R (г) = A sin kr-\- \ f_^2 sin qrdq, A10,28)
о
где
B(q)=jV(q, q')R{q')dq' A10,29)
— регулярная функция q.
522 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Постоянная А и правило обхода полюса q = k при вычисле-
вычислении интеграла A10,28) определяются условием, чтобы при
г—*оо функция A10,28) переходила в A10,27). Следует отме-
отметить, что рассеянная волна в (П0,27) соответствует стоячей
волне, а не волне, уходящей от центра, как это было в выраже-
выражении A09,7). Чтобы получить асимптотическое значение функции
A10,28) в виде A10,27), надо вычисление интеграла A10,28)
проводить в смысле главного значения. Для выделения сингу-
сингулярной части в интеграле A10,28) проведем преобразование
Поскольку второе слагаемое в этом выражении регулярно, то
его вклад в интеграл при г—¦ оо равен нулю, на том же основа-
основании можно отодвинуть нижний предел до — оо. Следовательно,
|
|ML,,, если
Если положить q— k = х, то, обозначая главное значение инте-
интеграла с помощью символа & Г, при достаточно больших значе-
значениях г можно написать
оо
д> Г ™!Ldq = sin
— 00
Учитывая, что
находим окончательно
R(r)= A sin kr + ^fi-cos kr (r-*.«>).
Сравнивая полученное выражение с A10,27), находим
или
i 1 (по.зо)
Если известно решение интегрального уравнения A10,26), то,
подставляя его в A10,30), можно вычислить фазовое смещение
6q. В частности, если можно применять борновское приближение,
УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ ЧАСТИЦ 523
надо в A10,30) подставить R(q) = A8(q — k), тогда получим,
учитывая A10,25),
оо
(tg бо)Б = -5К^*1 = _ -§L J у (г) sin* (kr) dr.
о
Трудность решения интегрального уравнения A10,26), а в
некоторых случаях и недостаточное знание потенциальной энер-
энергии взаимодействия V(r) затрудняют использование формулы
A10,30) для вычисления фазового смещения б0- В связи с этим
прибегают к косвенным методам, позволяющим выразить фазо-
фазовое смещение б0 через некоторые величины, определяемые из
эксперимента. Введем, например, обозначение
для логарифмической производной радиальной волновой функ-
функции A10,27) вне области действия сил. Тогда фазовое смещение
s-рассеяния выражается непосредственно через f(k):
fcd, W<1. A10,32)
В случае прямоугольной потенциальной ямы f(k) = D-1 и эта
формула переходит в A10,8а). В общем же случае вычисление
требует знания волновой функции внутри области действия сил.
Из A10,32) непосредственно следует, что если логарифмиче-
логарифмическая производная f(k) при некотором значении k0 обращается
в нуль, то фазовое смещение |бо| = я/2 и сечение s-рассеяния
достигает максимального значения
«о «о
В связи с этим энергия EQ= h2kljB\i), соответствующая значе-
значению k = k0, при котором логарифмическая производная f(k)
обращается в нуль, называется резонансной энергией, и говорят,
что потенциальная яма имеет виртуальный уровень энергии Ео.
Для ямы прямоугольной формы равенство нулю логарифмиче-
логарифмической производной сводилось к равенству A10,16).
Для вычисления логарифмической производной f(k) надо
знать решение уравнения Шредингера
р (г\ п (\ 10 ЧЧ\
для s-состояния внутри области действия сил (r^.d). Если
энергия JE" <§С | V (г) | ив потенциальной яме V(r) имеется дис-
дискретный s-уровень с отрицательной энергией, равной —г при
524 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
е sg: |V(r)|, то Ro{r) (для г ^ d) будет мало отличаться от ре-
решения уравнения
|?1/(г)==0- A10-34)
При r~^d уравнение A10,34) переходит в уравнение
[-?¦?+•]*•«-<>•
Решение этого уравнения, соответствующее связанному состоя-
состоянию, имеет вид
Следовательно, при г = d должно выполняться равенство
f_L EEL] _ ["_!_ АЕ1] — _ УГ%™
U' dr\r=d~~[R" dr \r^d~ Ъ •
Поскольку при r^Cd R' ~ Ro, то можно положить
f(k)**-±V^. A10,35)
Таким образом, при е и Е, значительно меньших \V\, логариф-
логарифмическая производная выражается через энергию связанного
s-состояния. Подставляя значение A10,35) в A10,34)", находим
Эффективное сечение A10,36) достигает максимального значе-
значения при энергии относительного движения Е = 0. Это макси-
максимальное значение тем больше, чем меньше е; при е = 0 насту-
наступает «истинный» резонанс.
Формула A10,36) сравнительно хорошо описывает зависи-
зависимость сечения рассеяния от энергии относительного движения
(до 5 МэВ) при рассеянии нейтронов на протонах в состоянии
с параллельными спинами. В этом случае е « 2,23 МэВ соот-
соответствует энергии связи нейтрона с протоном в дейтроне, ц =
= М/2, где М — масса нуклона. При этом максимальное сечение
Из определения длины рассеяния A10,15) и A10,31) следует,
что в приближении нулевого радиуса действия сил (d = 0) ло-
логарифмическая производная равна с отрицательным знаком
обратной величине длины рассеяния. Таким образом, в этом
приближении длина рассеяния, логарифмическая производная
§ III] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 525
и фазовое смещение связаны соотношением
- 4" = *ctg6o = /(*). A10,37)
Используя это соотношение и A10,35), можно вычислить длину
рассеяния at для случая рассеяния нейтронов на протонах в
триплетном состоянии (спины параллельны)
a = ^b -Ю-13 см.
|/2[хе
В случае рассеяния нейтронов на протонах в состоянии с
антипараллельными спинами (синглетное рассеяние) длина
рассеяния отрицательна as = —2,5-10~12 см. В синглетном со-
состоянии нейтрон и протон не образуют связанной системы.
В этом случае энергия es = h2j{2\x,a2^ «* 37 кэВ соответствует
виртуальному уровню системы (длина рагсеяния значительно
превышает радиус действия ядерных сил ~ 10~13 см, хотя и не
равна оо) и сечение рассеяния выражается формулой
(+4V ff ч A10,38)
Поскольку в формулу A10,38) входит квадрат длины рассеяния,
то исследование упругого рассеяния нейтронов на протонах в
синглетном состоянии (так же, как и в триплетном) не опреде-
определяет знака длины рассеяния.
Другие примеры использования логарифмической производ-
производной для определения сечений рассеяния будут исследованы в
в § 120.
§ 111*. Упругое рассеяние в кулоновском поле
В предыдущих параграфах мы рассматривали упругое рас-
рассеяние, предполагая, что потенциальная энергия V(r) отлична
от нуля только в некоторой области пространства (r^.d).
В связи с этим в случае s-рассеяния асимптотическая радиаль-
радиальная функция имела вид A10,3) с постоянным фазовым сме-
смещением б0. В ряде случаев потенциал хотя и убывает с рас-
расстоянием, но недостаточно быстро, и представление о конечном
радиусе действия сил становится неоправданным. Примером
такого взаимодействия является кулоновское взаимодействие с
энергией V(r) = ±Ze2jr.
На больших расстояниях от центра потенциал V(r) имеет
малую величину и изменяется плавно, поэтому для определения
асимптотического вида волновой функции при больших г можно
526 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
использовать волновую функцию квазиклассического приближе-
приближения B2,7а) (при а = 0, чтобы R0@) =0):
J ^ = fc2. A11,1)
Всегда можно выбрать такое значение г = р, чтобы ?» V(p),
поэтому
jVty[E-V(r)]~k-2yp-, если г>р.
Разбивая интервал интегрирования в A11,1) на две части от 0
до р и от р до г, можно написать
где
р
E-V{r)\dr~4b\ V(r)dr. A11,2)
о
Если при больших г
где п > 0, то
V(r)= B
гп+\
lim
Г-»оо
следовательно, фазовое смещение б0 при г—¦'<» стремится к ко-
конечному пределу. Если же V(r) = В/г, как в кулоновском поле,
то
A11,3)
Таким образом, фазовое смещение бо с ростом г растет как In г.
Этот результат сохраняется и для фазовых смещений с / Ф 0.
При I ф 0 надо в A11,2) заменить V(r) эффективной потеи-
циальной энергией W(r)=V(r)H ^"Т5— и интегРирование
проводить по области г > гь доступной классическому движе-
движению (г/ определяется из условий ? — №(г() = 0).
В связи с тем, что фазовые смещения б; при г—* оо изме-
изменяются пропорционально In r, применение метода парциальных
волн (§ 109) для вычисления рассеяния в кулоновском поле
неудобно (надо учитывать все значения /). В этом случае срав-
сравнительно легко получить точное решение задачи, не прибегая к
§ 111] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 527
парциальным волнам. Наиболее просто задача решается при
использовании параболических координат §, ц, ср (см. § 16).
Если направить ось z вдоль волнового вектора падающей
волны, то в силу аксиальной симметрии задачи волновая функ-
функция \|э может быть выбрана только как функция переменных
I, т), где \ = г — г и ц = г + z. Учитывая вид оператора Лапласа
A6,19) и г = -г-(| + 'Ч)> получим уравнение Шредингера для рас-
рассеяния в поле ± ZiZ2e2/r
д I* dib \ . д
Решение этого уравнения, соответствующее сумме плоской вол-
волны и расходящейся сферической волны, можно искать в виде
>®. AП,5)
Подставляя A11,5) в A11,4), находим уравнение для функции
О, . A11,6)
где 2-2
Я=±^|^=±^|^, A11,7)
v — скорость относительного движения.
Уравнение A11,6) совпадает с уравнением для вырожденной
гипергеометрической функции для аргумента ik% (см. мат.
дополн., Г), следовательно,
(p(?) = CF(— ih, I, ikl), A11,8)
где С — множитель нормировки функции. Воспользовавшись
асимптотическим разложением вырожденной гипергеометриче-
гипергеометрической функции
f (а, Р, г)— Г(р_а) [1 г
при z ^> 1,
можно преобразовать Ф(?) к виду
ФЫ-С(-1к1)а Г, Я2] Се'*№Га _
^vs;— гA + /л) L1 ikil^ ikiT(~n)
L eiiinkl г Л21 fxe<fct-ftln*4
г(l + a) L ' (fe|J щгA-/чг
при этом мы использовали равенство
S28 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Подставляя асимптотическое значение Ф(|) в A11,5) и переходя
к сферическим координатам: г\ — | = 2z, rj -f- g = 2г, получим
следующее асимптотическое значение полной функции
} A11,9)
где
<т_ *-Г A + а) ехр [- 2Д In sin F/2I (... ,m
— амплитуда рассеяния. Первое слагаемое в A11,9) представ-
представляет падающую волну ехр (ikz), искаженную множителем
учитывающим действие кулоновского поля даже на больших
расстояниях от центра. Плотность потока, создаваемая этой
волной,
(если г—юо), так как поправки к плотности потока, обуслов-
обусловленные искажением плоской волны, пропорциональны 1/л Вто-
Второе слагаемое в A11,9) соответствует расходящейся сфериче-
сферической волне, которая также содержит дополнительный логариф-
логарифмический член в фазе. Выражение для потока частиц в телес-
телесный угол dQ равно
hkc2
ехр (яА/2)
A + /Я)
следовательно,
-4
Эта формула совпадает с классической формулой Резерфорда и
формулой A08,9а), выведенной в первом борновском прибли-
приближении. Такое случайное совпадение имеет место только в куло-
новском поле.
Согласно A11,5) и A11,8) полная волновая функция в куло-
новском поле, имеющая асимптотику типа A11,9), т. е. содер-
содержащая расходящуюся сферическую волну, может быть записана
в виде
V+> = Ce'*rF(-a, I, ikl), (Н1ДЗ)
§ 111] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ 529
где l = r — 2 = 2r sin2(у). Если нормировать -ф(+) на единичную
плотность потока на больших расстояниях от центра, то согласно
A11,11) надо выбрать
Используя асимптотическое разложение гипергеометрической
функции для малых значений аргумента; F (a, p, z) =
= 14—_- + ..., можно вычислить квадрат модуля волновой
функции A00,13) в начале координат
\$» @) |2 = | С f = -^| ГA + Щ fe-"\
Воспользовавшись далее известными свойствами гамма-функций
ПОЛуЧИМ
Следовательно,
A11,15)
Представляет интерес предельное значение A11,15) при малых
скоростях относительного движения сталкивающихся частиц.
Из A11,7) следует, что \к\ '!»" 1 при малых у, поэтому
J п ' г'е для сил притяжения,
1У+>@)Г=( 2 Ле, _i?!2i^l С111-16)
я ' /e g й0 для сил отталкивания.
Из A11,16) следует, что при малых относительных скоростях
экспоненциально мала вероятность нахождения на малом рас-
расстоянии частиц, имеющих одинаковый знак электрического за-
заряда. Это обстоятельство очень существенно сказывается в ядер-
ядерных реакциях с заряженными частицами.
Уравнение A11,4), кроме решения ip(+> A11,13), асимптотика
которого на бесконечности соответствует сумме плоской и рас-
расходящейся сферической волн, имеет решение ^~\ асимптотика
которого является суммой плоской волны и сходящейся сфериче-
сферической волны. Функции а|)<Н можно формально получить из i|)<+)';
Для этого надо перейти от i|;(+> к комплексно сопряженной
530 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
функции и затем в полученном выражении заменить z на —z.
Следовательно,
ф<-> = Ceikz? (iX, 1, - iki\), A11,17)
где т] = г -\- г. Легко убедиться, что решение A11,17)" может
быть получено из уравнения A11,4) путем подстановки
V~} (?, Ч) = ехр ( - Ik 1=^) Ф (г)).
Если желательно выделить парциальное рассеяние кулонов-
ским полем частицы в состоянии с определенным орбитальным
моментом, то надо подставить в уравнение Шредингера с куло-
новским потенциалом V(r) — ±ZjZ2e2/r волновую функцию
A09,4), тогда радиальная функция Ri(r) будет удовлетворять
уравнению
^± (lSipi)l{r)==O, A11,18)
где U(r)= 2k%/r; К определено выражением A11,7).
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному
условию Ri@) — 0, имеет вид
*(г)
+ ft)|. BkrI eihr?(iK + l-h 2/ + 2; - 2ikr),
A11,19)
где F(a',b;x)—вырожденная гипергеометрическая функция (см.
мат. дополнение, (Г, 11)). Решение A11,19) при kr^>l прини-
принимает асимптотический вид
kRt (г) =ф sin [kr — -у- + S, — К In 2Ат). A11,20)
При этом фаза парциального кулоновского рассеяния опреде-
определяется равенством
Из A11,19) следует, что квадрат волновой функции в s-co-
стоянии в точке г « 0 определяется выражением
Для потенциала отталкивания и малых скоростей Я 3> 1, поэтому
| ij)s |2 & 2лке~2пХ. Множитель ехр (—2пК) измеряет проникнове-
проникновение частицы в кулоновский барьер и называется множителем
проникновения.
§ 112] ЭФФЕКТЫ ОБМЕНА ПРИ УПРУГОМ РАССЕЯНИИ 531
§ 112. Эффекты обмена при упругом рассеянии
одинаковых частиц без спина
В предыдущих параграфах рассматривались столкновения не-
неодинаковых частиц, не имеющих спина. Рассмотрим теперь про-
процесс упругого столкновения одинаковых частиц без спина. К та-
таким частицам относятся, например, альфа-частицы, ядра атомов
С12, О16, атомы инертных газов и др. При упругом рассеянии
этих частиц их внутреннее состояние не меняется, поэтому со-
состояние каждой частицы определяется указанием только ее по-
положения в пространстве.
Как было показано в § 71, систем а, "состоящая из двух ча-
частиц, не имеющих спина, может описываться только симметрич-
симметричными функциями по отношению к перестановке частиц. Это
свойство симметрии волновой функции должно быть учтено и в
теории рассеяния одинаковых частиц. Учет тождественности ча:
стиц приводит в теории рассеяния к новым эффектам, которые
принято называть эффектами обмена.
В системе центра инерции относительное движение двух ча-
частиц определяется радиусом-вектором г = гх—г^ где Г\ и
г2 — координаты каждой частицы в отдельности. Если началь-
начальное состояние определяется относительным движением частиц
вдоль оси г, то волновая функция системы для больших г без
учета тождественности частиц имеет вид
ф (г) = е1кг + -Ур- eikr. A12,1)
В системе, состоящей из двух одинаковых бесспиновых частиц,
функцию A12,1) следует симметризовать. Учтем, что при пере-
перестановке двух частиц вектор г меняет знак. Следовательно, в
сферической системе координат |г| остается неизменным, а
угол 6 переходит в я — 6. Поэтому симметричная волновая функ-
функция будет иметь вид
-'** + * <в> + Л <" - е>
фд (г) = N (е1к* + е-'** + * <в> + Л <" - е> ^ § AВД
где N определяется из условия нормировки волновой функции.
Первые два слагаемых в A12,2) определяют начальное движе-
движение обеих частиц в системе центра инерции: одна частица дви-
движется вдоль положительного направления оси г, а другая ей
навстречу. При N = 1 функция A12,2) нормирована так, что
плотность потока, соответствующего движению каждой сталки-
сталкивающейся частицы, равна по абсолютной величине v = hk/\i,
т. е. скорости относительного их движения (ц — приведенная
масса). Второе слагаемое в A12,2) соответствует рассеянной
532
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. XIV
волне. При рассеянии на углы 6 и я— 6, как видно из рис. 22,
имеются рассеянные частицы в направлении ОВ; поэтому число
частиц, рассеянных в одну секунду в элемент телесного угла <ffi
в направлении 6, равно
jrr? йп = -^-1 А F) + А (я - 6) fdU.
Следовательно, эффективное сечение упругого рассеяния; при
котором одна из частиц отклоняется в направлении телесного
угла dQ, равно
da = \ ЛF) + Л(я-в)Р<Ю. (П2,3)
Без учета симметрии волновой функции эффективное сечение
рассеяния одной частицы в направлении телесного угла dQ
В
•V ис. 22. Два возможных рассеяния одинаковых частиц; когда рассеянные частицы летят
в направлении ОА и ОВ.
равнялось бы просто сумме сечений рассеяния под углом 6 и
ля — 6, т. е.
{\A(e)f+) A(n-Q)f}dQ. A12,4)
Разность сечений A12,3) и A12,4) обусловлена обменным эф-
эффектом, т. е. корреляцией в движении частиц, возникающей из-за
симметрии состояния по отношению к операции перестановки
частиц.
Применим полученный результат к случаю кулоновского рас-
рассеяния (например, рассеяние а-частицы на а-частице). Учиты-
Учитывая явный вид амплитуды кулоновского рассеяния A11,10), на-
находим
t=(I?LY f ' i '• i 2c°s^lntg2(e/2)] i
sin4 F/2)
+ ¦
s4 F/2) ^ sin2 F/2) cos2 F/2)
(П2,5)
где К — Z2e2l(bv). Эта формула впервые была получена Моттом,
поэтому упругое рассеяние одинаковых бесспиновых частиц,
обусловленное кулоновским взаимодействием, называется мот-,
говским рассеянием. Последнее слагаемое в A12,5) обусловлено
§ 113) ОБМЕННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ УПРУГОМ СТОЛКНОВЕНИИ ЧАСТИЦ 533
эффектом обмена. Это слагаемое имеет наибольшее значение
при 6 = 90° (что соответствует углу 45° в лабораторной системе
координат). При этом угле учет членов, соответствующих об-
обмену, приводит к удвоению дифференциального сечения по отно-
отношению к сечению, полученному без учета обмена. Обменный эф-
эффект является существенно квантовым эффектом. При Ь—>0
величина Х->о°; следовательно, последнее слагаемое в A12,5)
быстро осциллирует и, усредненное в очень малом интервале
углов, приводит к исчезновению обменного эффекта. При малых,
скоростях относительного движения, величина К также велика,
поэтому при усреднении сечения по некоторому интервалу углов
члены, соответствующие обменному эффекту, исчезают. По тем
же причинам можно не учитывать обменные эффекты при малых,
углах рассеяния.
§ 113. Обменные эффекты при упругом столкновении
одинаковых частиц, обладающих спином
Если сталкивающиеся частицы обладают спином, то состоя-
состояние системы определяется функцией, зависящей от координат и
спинов. В общем случае при столкновении частиц интегралом
движения является полный момент количества движения си-
системы. В ряде случаев можно пренебречь маловероятным изме-
изменением ориентации спина при столкновении (см. § 121), тогда
интегралами движения будут в отдельности полный спиновый
момент и орбитальный момент количества движения. В этих слу-
случаях полная волновая функция Ф системы двух частиц может
быть записана в виде произведения координатной ty и спиновой
функции %. В системе центра инерции координатная функция за-
зависит только от вектора г, определяющего относительное движе-
движение. Спиновая функция x(sis2) зависит от Si и s2, определяющих
ориентацию спинов обеих частиц относительно некоторого на-
направления. Предположим, что в столкновении участвуют две
одинаковые частицы со спином 7г (электроны,'протоны, некото-
некоторые ядра). Тогда суммарный спин системы либо равен 0, либо
равен 1. В первом случае (синглетное спиновое состояние) коор-
координатная функция должна быть симметричной относительно
перестановки частиц (см. § 72). Следовательно, координатная
волновая функция будет иметь вид такой же, как функция
A12,2) и сечение рассеяния
das = \A(Q)-\-A{n — 6)pdQ, если S = 0. A13,1)
В триплетном спиновом состоянии, когда S = 1, координатная,
волновая функция антисимметрична, следовательно,
г) = е«« - е-'*г + ЛF)~Лг("""е) е'*', A13,2).
334 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
& сечение рассеяния
dot = \A(e) — А (я — Q)\2dQ, если S=l. A13,3)
В частном случае, когда рассеяние обусловлено только кулонов-
скими силами, сечение рассеяния в синглетном спиновом состоя-
состоянии совпадает с A12,5), а сечение рассеяния в триплетном спи-
спиновом состоянии равно
2 cos [Я In tg2 (8/2)] }
sin4 F/2) "*~ cos* F/2) sin2 F/2) cos2 F/2) /'
Из A13,4) следует, что при 6 = 90° (в системе центра инерции)
эффективное сечение упругого рассеяния dot = 0. Таким обра-
образом, если рассеяние происходит на частицах с определенной ори-
ориентацией спина, то в рассеянии под углом 6 = 90° (в лаборатор-
лабораторной системе этому углу будет соответствовать угол 6Л = 45°)
будут наблюдаться только частицы, имеющие ориентацию спина,
противоположную ориентации спина частиц мишени.
Обычно рассеяние исследуется с неполяризованными пуч-
пучками частиц на неполяризованных мишенях, поэтому наблю-
лается среднее значение эффективного сечения. Поскольку в
синглетном спиновом состоянии имеется одна спиновая функция,
а в триплетном состоянии — три, то среднее значение эффектив-
эффективного сечения будет равно (предполагается равновероятное осу-
осуществление каждого спинового состояния)
I О
da=-j das + -j dat =
_fZV\»f 1 ¦ 1 cos [Я In tg» F/2I1 moc\
~~\2tiv2) \ sin4F/2) ^ cos4 F/2) sin2 F/2)cos2 F/2) Jf У110'0'
Хорошее согласие формулы A13,5) с экспериментальными
данными было получено Вильямсом [111] при исследовании рас-
рассеяния электронов с энергией 20 кэВ в камере Вильсона.
Перейдем теперь к исследованию общего случая рассеяния
одинаковых частиц спина s (в единицах й). Симметрия коорди-
координатной функции относительного движения частиц зависит от
симметрии спиновой функции системы по отношению к переста-
перестановкам спинов частиц. Двум частицам со спином s соответствует
Bs-(-lJ различных спиновых состояний, которые будут отли-
отличаться значениями суммарного спина системы и его проекциями.
Пользуясь правилом векторного сложения (§ 41), можно пока-
.зать, что суммарный спин S системы, состоящей из двух одина-
§ 1131 ОБМЕННЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ УПРУГОМ СТОЛКНОВЕНИИ ЧАСТИЦ 535
ковых частиц, будет пробегать Bs -\-I) различных значений
S = 2s, 2s—I, 2s —2,..., 0. A13,6)
Если спиновая функция одной частицы есть ф8т, то каждому зна-
значению S спина всей системы будет соответствовать волновая
функция
%sm 0, 2) = 21 (sls2m1m21SM) Ф A) ц> B). A13,7)
Учитывая свойство симметрии D1,18) коэффициентов вектор-
векторного сложения и равенство Si = s2 — s, мы убедимся, что при
перестановке частиц спиновая функция %sm A,2) изменяется по
закону
2sS, 1). (П3.8)
С другой стороны, в соответствии со свойствами системы тожде-
тождественных частиц (§ 72), полная волновая функция Ф при пере-
перестановке двух частиц должна изменяться по закону
Ф™A» 2)^^A, 2)XsM(l, 2) = (~lfosMB, 1), U 13,9)
т. е. эта функция симметрична, когда s — целое число, и анти-
антисимметрична, когда s — нецелое число. Сравнивая A13,8) и
A13,9), мы приходим к заключению, что
4WL 2)=(-1M-ф5МB, 1). A13,10)
Итак, координатная волновая функция системы, состоящей из
двух одинаковых частиц, симметрична при четном и антисиммет-
антисимметрична при нечетном полном спине системы.
Следствием этой общей теоремы является то, что при рас-
рассеянии двух одинаковых частиц дифференциальное сечение рас-
рассеяния будет определяться формулами
dor<+> = | А F) + А (п — 6) р йп, если S четно, A13,11>
Жт<-> = | ЛF) — Л(я — e)fdQ, если S нечетно. A13,12)
При рассеянии частиц с произвольной ориентацией спинов
полный спин системы S не фиксируется, поэтому, если все воз-
возможные спиновые состояния равновероятны, то эффективное се-
сечение рассеяния будет равно
da = W (SO dff<+) + W (SH4) doM, A13,13)
где W(S4), W(SR4)—относительные числа спиновых состояний,
соответствующих четным и нечетным значениям S. Из A13,6)
536
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. XIV
следует, что
s+ 1
2s+ t , если s целое,
2s , . , если s полуцелое;
2s+ 1 '
s+1
если s целое,
если s полуцелое.
A13,14а)
A13,146)
2s + I
Из A13,11) и A13,12) следует, что дифференциальное сече-
сечение рассеяния не изменяется при замене 6 на я — 6. Таким об-
образом, общим свойством дифференциального сечения рассеяния
одинаковых частиц является его симметрия в системе центра
инерции относительно угла рассеяния 6 = 90°.
§ 114*. Общая теория неупругого рассеяния
В предыдущих параграфах исследовалось только упругое
рассеяние, при котором не изменяются внутренние состояния
сталкивающихся частиц. Чтобы рассмотреть неупругие столкно-
столкновения, необходимо учесть внутренние степени свободы сталки-
сталкивающихся частиц. Предположим, что происходит рассеяние ча-
частицы массы ц на сложной системе А, совокупность внутренних
степеней свободы которой будем обозначать буквой |. Если
масса частицы значительно меньше массы системы А (рассеяние
электрона на атоме, рассеяние нуклона на атомном ядре и т. д.),
то начало координат системы центра инерции будет совпадать
с центром тяжести системы А. Будем предполагать, что падаю-
падающая частица не тождественна частицам, входящим в состав А«
Если обозначить через г координату падающей частицы, то урав-
уравнение Шредингера, определяющее рассеяние,» будет иметь вид
, l)=W(r,
I), A14,1)
где Еа — полная энергия; #(|)—оператор Гамильтона, опреде-
определяющий состояния системы A; W(r, |)—оператор взаимодей-
взаимодействия частицы с системой А. Если ф&(|) и ъь — собственные
функции и собственные значения оператора #(|), то собствен-
собственные значения и собственные функции оператора
можно записать в виде
еь + -
A14,2)
AН.З)
A14,4)
§ 1141 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ 537
Собственные функции нормированы условием
Bя)-3 ^ J Фь (I) % (I') exp {iq (г - г')} d*q =
-гО. A14,4а)
Предположим, что начальное состояние («падающая волна»)
определяется функцией »
Фа = Фо*а = Фо (I) exp (ikar), A14,5)
соответствующей основному состоянию системы А и относитель-
относительному движению частицы и системы А с энергией й2йа/Bц,); при
этом Еа— ъо-\- H2kal2ii. В конечной стадии рассеяния система
А переходит в состояние фе, поэтому конечное состояние опреде-
определяется функцией
соответствующей энергии Еь = ъь -\- tfkljB\i), где H2kll{2[i) —
энергия относительного движения после рассеяния. "В силу за-
закона сохранения энергии при рассеянии должно выполняться
равенство Еа — Еь, из которого следует, что энергия относитель-
относительного движения после рассеяния определяется равенством
Различные конечные состояния, отличающиеся квантовыми чис-
числами Ъ и, следовательно, внутренними энергиями системы Л, на-
называются каналами рассеяния. Канал рассеяния называется от-
открытым, если начальное и конечное состояния удовлетворяют
условию
В этом случае энергия относительного движения частиц после
рассеяния положительна, т. е. они могут удаляться на бесконеч-
бесконечность (реальный процесс рассеяния). Канал рассеяния назы-
называется закрытым, если выполняется неравенство
Нас интересуют решения уравнения A14,1), соответствую-
соответствующие «падающей волне» Фа и рассеянным, уходящим от центра
волнам. Для получения таких решений удобно перейти от
дифференциального уравнения к соответствующему интеграль-
интегральному уравнению. Вычислим предварительно функцию Грина G
538 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
оператора левой части уравнения A14,1). По определению, эта
функция должна удовлетворять уравнению
(Еа - На) G (П | г'?0 = б (г - г') б (| - V). A14,6)
При этом функция Грина, соответствующая уходящим от центра
^волнам, определяется выражением
ь
где
J ?a-
= ** о ft) cd" ft') f exP ^(г
ФIS) ФKl) J
" ft') f exP ^
A14,8)
Малая положительная величина г\ в A14,7а) определяет только
правило обхода полюса, поэтому после вычисления интеграла
следует переходить к пределу г\ —> 0.
Для открытых каналов, т. е. для состояний Ь, в которых
к\ > 0, функция Грина канала, согласно равенству (см. § 107),
ИтBяГ3 Г 2ехр(Г> ^=_.ехр№Н) (П4>9)
¦П-*о * кь —.-. q + iTj 4я| г I
ИтBяГ Г 2Г ^
¦П-*о * кь —.-. q + iTj 4я| г I
приводится к виду
Интегральное уравнение, соответствующее дифференциаль-
дифференциальному уравнению A14,1),при «падающей волн§» Фо можно запи-
записать в виде
X J «ДО
где первая сумма соответствует всем возможным открытым ка-
каналам (рассеяние и реакции); вторая сумма по Ъ' соответствует
всем закрытым каналам {k\' < 0). Функции Грина закрытых ка-
§ 114] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ 539'
налов определяются непосредственно выражением A14,7а).
Знак '+ У функции 4f<+) указывает, что эта функция соответ-
соответствует уходящим от центра рассеянным волнам. Уравнение
A14,11) часто записывают в символической форме
а -На+ Щ)~1 W4f^\ A14,1 la)
предложенной Липпманом и Швингером [112].
Чтобы определить амплитуду рассеяния, надо найти асимпто-
асимптотическое значение A14,11) на больших расстояниях от центра,
когда вклад в W^ir, |) дают только открытые каналы (см.
§ 118). При больших значениях г kb\r — г'|«з kbr — ЬъГ1, где kb —
волновой вектор в направлении радиуса-вектор а г. Поэтому-
асимптотическое значение A14,11) при больших г можно запи-
записать в виде
Ww(r, 6) = Ф„(г, D + S ЛьЖA)^-, A14,12)
ъ
где
АЬа = ~ зйр f ф; (I) e-if>»rW (г, I) Ч^+) (г, 1) d\ d\ =
= -цBяЙ2)~'(Фь1^|ч;а+)> A14,13)
— амплитуда рассеяния из состояния Фа A14,5) в состояние
соответствующее переходу системы А в состояние фь(|) и рас-
рассеянию частицы в направлении вектора ftb с энергией относи-
относительного движения H2kl/2n. В частности, при Ъ = а амплитуда
рассеяния A14,13) соответствует упругому рассеянию.
Чтобы определить дифференциальное сечение рассеяния, со-
соответствующее переходу а->Ь, надо умножить A14,12) на функ-
функцию ф?(|) и интегрировать по всем значениям внутренних пере-
переменных |; тогда получим для рассеянной волны выражение
""Л-е^Г' еСЛИ Ь=О' A14 14>
6 — угол между ka и направлением рассеяния. Следовательно,
поток рассеянных частиц в единицу времени в телесный угол dfi
в направлении kb равен —~\ АЬа(Щ fdu.
Плотность потока падающих частиц равна va = bkj\i, по-
поэтому искомое эффективное сечение рассеяния принимает вил
540 , КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Умножив A14,15) на плотность потока падающих частиц, полу-
получим число рассеянных ЧЗстиц за одну секунду в элемент телес-
телесного угла dQ:
^ A14,16)
где
число конечных сОСТОЯНий, приходящихся в единице объема
на единичный интер%ал энергии.
Если функцию Начального состояния Фа нормировать на
одну частицу в объеце у, т. е. положить вместо A14,5)
и число конечных ссччтояний относить к объему V, т. е.
Уу.Ыгь dQ
то формула A14,16^) будет определять вероятность перехода
а—*Ъ в одну секунду При столкновении двух частиц, находя-
находящихся в объеме V.
Формулы. A14,15) и A14,16) являются точными формулами,
определяющими соответСтвенно вероятность перехода в единицу
времени (в состоянцях непрерывного спектра) и эффективное
сечение рассеяния. ^ля вычисления этих величин надо знать
решение интегральн^го уравнения A14,11). Если заменить в
этих выражениях значение Ч*1+) его нулевым приближением Фв,
то получим соответственно эффективное сечение упругого и не-
неупругого рассеяния % первом борновском приближении (боль-
(большие скорости относительного движения)
^^(¦шI*j;\<.®b\W\Oa)\*dQ A14,17)
и вероятность перехода в единицу времени в первом приближе-
приближении теории возмущен ий
A14,18)
где матричный элемент определяется интегралом
<Ф61 W | ФД = J wm (г) ехр {I (К - kb) r) <Рг, A14,19)
в котором
w d») = f Ф; о w (r, D Фо
§ ЦБ] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА АТОМЕ БЕЗ УЧЕТА ОБМЕНА 541
§ 115. Рассеяние электрона на атоме без учета "обмена
Применим результаты предыдущего параграфа к вычислению
эффективного сечения упругого и неупругого рассеяния электро-
электронов на атоме с одним электроном." В этом параграфе мы будем
предполагать, что электроны системы можно различать. Падаю-
Падающему электрону будет приписываться индекс 1, а электрону
атома — индекс 2. Тождественность электронов будет учтена
в §117.
Электрон в атоме описывается оператором Гамильтона
ЯB) = -|^-^, A15,1)
собственные значения еп и собственные функции которого фпB)
рассматривались в § 38. Относительное движение электрона 1 и
атома определяется оператором —Т~^1 (масса атома значи-
значительно больше массы электрона); взаимодействие электрона с
атомом характеризуется оператором
^-^-. A15,2)
Таким образом, рассеяние электрона на атоме водорода опреде-
определяется уравнением
= 1М1, 2L41, 2), A15,3)
^1 A15,4)
Функцию Грина оператора Но (см. A14,10)), соответствующую
решениям A15,3) в виде уходящих рассеянных волн, можно за-
записать в виде
где
Поэтому интегральное уравнение, соответствующее уравнению
A15,3) и «падающей волне»
ФоA, 2) = e'*
приводится (если учесть только открытые каналы) к виду
542 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
После' умножения уравнения A15,6) на фЦ/) и интегрирова-
интегрирования по координатам второго электрона находим функцию
соответствующую рассеянной волне при возбуждении n-го со-
состояния атома
e—i? J
На больших расстояниях от центра (ri->oo) функция A15,7)
имеет асимптотический вид
= T1^oF)e'V1, A15,8)
где амплитуда рассеяния электрона 1 под углом 6 при возбуж-
возбуждении атома из состояния 0 в состояние п определяется выраже-
выражением
Ап0 (в) = - ^р <Ф„ | V (г,г2) | ?'+)>. A15,9)
В матричном элементе A15,9)
Ф„ = Ф«(/-2)е'*'»г' A15,10)
— функция «конечного состояния»; Ч^о" — решение интеграль-
интегрального уравнения A15,6).
Эффективное сечение рассеяния в элемент телесного угла du
равно
j
Вычисление эффективного сечения рассеяния сводится к ре-
решению интегрального уравнения A15,6) или системы связанных
интегральных уравнений*), которая получится из A15,7) при
*) Подставляя A15,12) в A15,6) и умножая на ф^ (г2), находим после
интегрирования по переменным г2 систему уравнений
i * i
ik I г, —г( 1
где
Ч'тЫМ'^М'гI
Подставляя далее A15,12) в A15,9), находим выражение для амплитуды
рассеяния через функции
S J
§ 115] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА АТОМЕ БЕЗ УЧЕТА ОБМЕНА 543
подстановке
?.^ 015,130
При больших скоростях падающего электрона можно при-
применить борновское приближение, т. е. заменить в A15,9)
^fo+)(/"ir2) на ®o- ^ этом случае
(Ф„ | V (Г1г2) |Ф0> = J e^Vn0 (r,) (Рги
где д = йо — ^n, й<7— импульс, переданный электроном атому
при рассеянии
= / Ф„ (г2) V (г.га) ?o(/-2)d3r2. A15,13)
В частном случае упругого рассеяния
(Фо | V I Фо> = J e'Woo (г) #г = V,, A15,14)
где Voo — усредненная по основному состоянию атомного элек-
электрона потенциальная энергия взаимодействия падающего элек-
электрона с атомом. Эту потенциальную энергию можно выразить
с помощью уравнения Пуассона (е < 0)
Woo (г) = - 4зтер (г) A15,15)
через среднюю плотность электрического заряда в атоме
P(r) = Ze6(r)-en(r),
где п{г)—плотность электронов в основном состоянии атома.
Подставляя в (П5,15) разложения
и р (г) = ^ J
получим
q2Vg =
Следовательно,
-F(q)], A15,16)
где
A15,17)
•—атомный формфактор, который зависит от распределения
плотности электрона в атоме и от величины hq — импульса,
передаваемого при рассеянии. Если плотность электронов
544 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
обладает центральной симметрией, то
о
rn (r) sin{qr)dr. A15,18)
о
При упругом рассеянии
q = 2ks\n~, ft = |*b|.
Подставляя A15,14) в A15,9), находим с помощью A15,11) и
A15,16) в борновском приближении эффективное сечение упру-
упругого рассеяния электрона атомом
dc. _ \W (Z-F (,?))-[2 . f »e* [Z-F Bk sin F/2))] f
а<у—[ Щ* \аи—\ 2ЬЧ* sin2 F/2) )
В заключение вычислим явный вид атомного формфактора
A15,18) для основного состояния атома водорода. Волновая
функция основного состояния в атоме водородаф0(г) = ехрА_ ,. ,
где а — боровский радиус. Следовательно, п (г) = ехр 3 »
Подставляя это значение в A15,17а), находим
l[ (^)] A15,20)
о
При малых углах рассеяния, когда
qa = 2ka sin-|- < 1, F (q) ~ 1 — \ q2a2.
Подставляя это значение в A15,19), находим (при Z = 1)
Таким образом, в области малых углов рассеяния эффективное
сечение рассеяния не зависит от угла рассеяния.
При больших углах рассеяния, когда qa 3> 1, эффективное
сечение рассеяния
совпадает с резерфордовским рассеянием на ядре атома (Z=l),
§ 116. Теория столкновений с перераспределением частиц.
Реакции
В предыдущих параграфах этой главы развивалась теория
рассеяния, при котором допускались только внутренние возбуж-
возбуждения сталкивающихся частиц% без изменения их состава. На-
Наряду с такими столкновениями могут происходить столкновения
§ 116] ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ С ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЧАСТИЦ 545
сложных частиц, при которых в результате столкновений ме-
меняется состав частиц. Такие столкновения называют реакциями
или столкновениями с перераспределением частиц. Будем иссле-
исследовать только такие реакции, в результате которых в конечном
состоянии получается две частицы.
При столкновении с перераспределением частиц система опи-
описывается оператором Гамильтона Н, который можно предста-
представить в двух видах
H = Ha + Va^Hb + Vb, A16,1)
где На и Нь— эрмитовы операторы, описывающие кинетическую
энергию относительного движения и внутренние состояния соот-
соответственно сталкивающихся и разлетающихся частиц; Va и Vb —
операторы взаимодействия соответственно сталкивающихся
(входной канал) и разлетающихся (выходной канал) частиц.
Пусть
— оператор Гамильтона кинетической энергии относительного
движения (с приведенной массой \ia) и внутреннего состояния
сталкивающихся частиц. Его собственные значения и собствен-
собственные функции соответственно равны
Ф«=ЯЧ, О) ИФ (*«»¦«). (П6.4)
В результате столкновения происходит перераспределение
составных частей столкнувшихся частиц. Оператор Гамильтона
кинетической энергии и внутреннего состояния новых разлетаю-
разлетающихся частиц обозначим через
Нь=-~Уь + Нь{®. A16,5)
Пусть
^ A16,6)
— собственные значения и собственные функции оператора Нь.
Задача о столкновении полностью определяется уравнением
Шредингера
(Ea-Ha)Wa=VaWa A16,8)
18 As Cs Давыдов
546 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
с должным образом определенными граничными условиями.
В качестве граничного условия потребуем, чтобы на больших
расстояниях от центра инерции всей системы функция Ч^ изо-
изображалась суперпозицией волновой функции сталкивающихся
частиц
-о), A16,9)
соответствующей энергии Еа = -у-^- + е„д и рассеянных, уходя-
уходящих от центра волн.
Удобно уравнение A16,8) заменить интегральным. уравне-
уравнением, учитывающим одновременно и граничные условия. Такое
уравнение можно записать в символической форме (см. § 114)
xir(a+)=Ol + (Ea-Ha + iri)~lVaWa+). A16,10)
Это уравнение удобно для нахождения асимптотики функции
во входном канале. Волновая функция, удовлетворяющая инте-
интегральному уравнению A16,10), определяет все процессы рассея-
рассеяния и реакции в системе. Она описывает как относительное дви-
движение, так и внутренние состояния всех частиц системы (во всех
каналах).
Чтобы выделить процессы, связанные с реакциями в канале
Ь, надо эту функцию преобразовать к виду, который при Гъ —* сю
соответствовал бы расходящейся рассеянной волне относительно
переменной гь-
В силу A16,1) функция ?<,+) = Ч^+1 ('а, t) = Wa+)(rb, О, Удо-
Удовлетворяющая уравнению A16,8) (и интегральному уравнению),
одновременно удовлетворяет уравнению
A16,11)
Это уравнение в символической форме имеет вид
) = Ф°Ь + (Еа -Нь + тГ
удобный для нахождения асимптотики рассеянных волн в вы-
выходном канале. Функция Грина оператора левой части уравне-
уравнения A16,11) для открытых каналов имеет вид
где
§ 116] ТЕОРИЯ СТОЛКНОВЕНИЙ С ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЧАСТИЦ 547
Учитывая, что при больших гь могут быть только уходящие' от
центра волны, находим асимптотический вид функции *?% для
больших значений Гь
х S ф„6 (о J ф;
n
ехр
О v Ь
ь
или
где (
ЛЬа («) = (- ^) <ФЬ | Vb | wL+)> A16,14)
— амплитуда рассеяния, п — единичный'вектор в направлении
рассеяния
Ф* = Ф«ь @ ехр (ЛбГ6);, A16,15)
kb — волновой вектор рассеянной волны. Волновая функция
\Ро+\ входящая, в A16,14), является решением интегрального
уравнения A16,10).
На опыте наблюдается поток частиц одного из продуктов
реакции, соответствующий переходу в одно из состояний, изо-
изображаемых суммой A16,13). Поток этих частиц в единицу те-
телесного угла в направлении п выражается через амплитуду
рассеяния и равен —^-|ЛЬа(п)|2. Разделив этот поток на плот-
ность потока падающих частиц bko/ца, получим эффективное
сечение соответствующей реакции
где конечное состояние характеризуется функцией A16,15), a kb
определено соотношением A16,12).
Если в A16,14) заменить функцию Ч^"' ее нулевым прибли-
приближением Фа (см. A16,10)), то получим амплитуду реакции в
борновском приближении
( ) 61Ф«>. A16,16)
648 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
С другой стороны, если бы мы исходили не из уравнения A16,8),
а из уравнения A16,11), то амплитуда реакции в борновском
приближении определялась бы выражением
и, следовательно, существенно отличалась бы от A16,16). Эта
неоднозначность приближенных выражений связана с неортого-
неортогональностью функций начального Фа и конечного Фь состояний,
поскольку они являются функциями различных гамильтонианов
На И НЬ. '
§ 117. Рассеяние электрона на атоме водорода
с учетом обмена
В § 115 было рассмотрено рассеяние электрона атомом при
условии, что падающий электрон и электрон атома считаются
разными частицами. В этом случае асимптотическое значение
волновой функции
Ч
- п I 1 11 /
A17,1)
при больших значениях Т\ сводилось к виду
^+) (г,Га) = е'*"г'Фо (Га) + J] Фя (г2) Л„„ (G) exp (^„r,) -i-, A17,2)
п
где
I V+>> * ; A17,3)
оператор Va определен A15,2).
Если считать электроны различимыми, то наряду с указанным
выше процессом рассеяния электрона 1 при возбуждении атома
в n-е состояние, возможен еще процесс захвата электрона 1 в
n-е состояние атома при испускании электрона 2 в направлении
угла G. Такой процесс соответствует столкновению с перераспре-
перераспределением частиц, описанному в предыдущем параграфе. В этом
случае оператор взаимодействия между электроном 2 и атомом,
в котором место электрона 2 занял электрон I, имеет вид
^-^, A17,4)
и конечному состоянию соответствует функция
Ф» (гг) exp (iknf2).
§ ПЯ РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА АТОМЕ ВОДОРОДА - 549
Асимптотическое значение волновой функцииЧ^+^/у^при боль-
больших значениях г2 в соответствии с A16,13) можно записать
в виде %
)(r2ri)==S<lp''(ri)B"o(e)'Eb7r^f если г2 велико, A17,5)
n
где
= *- /<т>- ' Vb | ЧГL+)>. A17,6)
Следовательно, дифференциальное сечение рассеяния элек-
электрона с возбуждением атома в состояние п с одновременным об-
обменом электронами определяется выражением
dotna = -j^ I Bna (8) Р dQ; , A17,7)
Чтобы учесть тождественность электронов, надо провести
правильную симметризацию (по отношению к перестановке ко-
координат электронов 1 и 2) координатной волновой функции
^о+>(г1г2)» определяемой уравнением A17,1). В системе двух
электронов симметрия координатной функции, зависит от спино-
спинового состояния системы. Если пр^и столкновении спины антипа-
раллельны (синглетное спиновое состояние), то координатная
волновая функция должна быть симметричной относительно пе-
перестановки Г\ и г2, следовательно,
Учитывая A17,2) и A17,5), мы убедимся, что функция A17^8)
при больших значениях г\ имеет асимптотическое значение
4>п (r2) [Ana + Впа] -^7~' если ri велико. A17,9)
При больших значениях г2 та же функция имеет асимптотиче-
асимптотический вид ;
если Га велико- (! 17>9а)
Из A17,9) (или из A17,9а)) следует, что в синглетном
спиновом состоянии дифференциальное сечение рассеяния
550 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ (ГЛ. XIV
электрона на атоме с возбуждением атома в n-е состояние
определяется выражением
Если при столкновении спины параллельны (триплетное спино-
спиновое состояние), то координатная волновая функция должна
быть антисимметричной относительно перестановки Г\ и г2. По-
Поэтому
Тогда, используя A17,2) и A17,5), получим асимптотические
значения
в»'
Ф« (гя) fА™ (е) - впа Ш —^~ . если г, велико,
еП2
~ Впа @Я ~7~ ' если Г2 ведик0-
Следовательно, при рассеянии в триплетном спадговом со-
состоянии
. dot = \ Апа(в) — Bna(&)fdQ~. '' «A17,11)
Для неполяризованных электронных состояний эффективное се-
сечение рассеяния электрона на атоме при его возбуждении в п-е
состояние равно
В борновском приближении в формулах A17,3) и A17,6) надо
заменить Ч^' (г^г) значением е k°ri ф0 (г2), тогда получим сле-
следующие выражения для амплитуд рассеяния:
Ana— —
2jtfi2
где
-=- w
(r.) = J Ф;(г2) [^ - -i-] фо (r2
§ 118] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 551
§ 118. Матрица рассеяния
При изучении общих свойств процессов рассеяния и реакций
удобно использовать оператор рассеяния S, матричные элементы
которого образуют„Б-матрщу, или матрицу рассеяния. Матрица
рассеяния связывает начальное состояние системы, когда стал-
сталкивающиеся части системы еще находятся на бесконечном рас-
расстоянии, с конечными состояниями, соответствующими разлету
продуктов реакции на бесконечные расстояния.
Пусть Ф„(—сю)—волновая функция начального состояния,
характеризующая в момент времени t = —сю относительное
движение двух подсистем и их внутренние состояния. Оператор
рассеяния S определяет асимптотическое поведение волновой
функции ^(оо) вне области взаимодействия, т. е. конечного со-
состояния, возникающего к моменту t•= оо после столкновения.
Таким образом,
-сю). A18,1)
Если Н — полный эрмитовый оператор Гамильтона системы, то
оператор рассеяния S можно определить соотношением *)
S= lim u(t,io), A18,2)
где
й (t, t0) = ехр{ — -g- Н (t —10)} A18,3)
— унитарный оператор.
Функция Wa(o°) характеризует все возможные процессы рас-
рассеяния и реакции, которые могут произойти после столкновения
подсистем, находившихся при t = —сю в состоянии Фо. Обозна-
Обозначим через Фь одно из возможных конечных состояний, опреде-
определяющих тип разлетающихся частиц, их внутренние состояния и
относительное движение. Каждая из возможностей распада,
*) С помощью оператора Гамильтона Н можно проследить за непрерыв-
непрерывным изменением состояния от Фо(—то) до ЧМ»»). Гайзенберг высказал
мнение, что такое подробное описание не является необходимым. Для
описания процессов рассеяния и реакций достаточно знать асимптотическое
поведение волновых функций до столкновения и после него, когда сталкиваю-
сталкивающиеся и разлетающиеся частицы являются свободными. В этом случае мож-
можно отказаться от уравнения Шредингера и понятия гамильтониана и рассма-
рассматривать равенство A18,1) как определение оператора S. При таком подходе
оператор S и его матричные элементы, с помощью которых вычисляются ве-
вероятности различных процессов, являются основными величинами теории.
Пока еще ие удалось на этой основе построить последовательную теорию
(без введения уравнения Шредингера), способную описать как реакции, так
и все связанные состояния. По-видимому, теория, содержащая только S-мат-
рицу, не будет достаточно полной.
552 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ " [ГЛ. XIV
характеризуемая индексом Ь, называется каналом реакции. На-
Начальное состояние и конечное состояние, соответствующие упру-
упругому рассеянию, относятся к входному цаналу, все остальные со-
состояний соответствуют выходным каналам.
В теории S-матрицы рассматриваются только начальные «
конечные состояния, соответствующие достаточно удаленным
друг от друга подсистемам, когда можно пренебречь их взаимо-
взаимодействием. Поэтому начальное и конечное состояния соответ-
соответствуют лепрерывному спектру. При ядерной реакции происходит
переход из определенного начального состояния (определяемого
условиями эксперимента) в определенные конечные состояния
непрерывного спектра.
Функции Фь (включающие как частный случай при Ь = а и
функцию Фо) образуют по определению полную ортонормиро-
ванную систему функций, поэтому можно написать
4.4°°) = 2 Фь<Фь 1^„>. A18,4)
ь
Квадрат модуля коэффициента разложения (Фь^о) в A18,4)
определяет вероятность того, что при t = <x> система находится
& состоянии Фь. Используя A18,1), эту вероятность можно за-
записать в виде
^\ (Фь \S \Фа) FM Sba p-*| <&| S | о> |2. A18,5)
Из унитарности оператора A18,3) следует унитарность опера-
оператора S и унитарность матрицы рассеянир. Унитарность матрицы
рассеяния S определяется соотношением
S+S=l, . A18,6)
или в подробной записи
2SiSte= Si Stap=l. A18,7)
Ь b
Условие унитарности матрицы рассеяния A18,7), как легко
видеть при учете A18,5), сводится к утверждению, что сумма
всех вероятностей перехода равна 1. Условие унитарности
A18,7) накладывает некоторое ограничение на элементы ма-
матрицы рассеяния.
Из определения A18,2) следует, что матрица рассеяния диа-
гональна по квантовым числам, соответствующим интегралам
движения в системе, т. е. относительно значений физических ве-
величин (полная энергия,, момент количества движениями др.),
операторы которых коммутируют с оператором Н.
Квадраты модулей элементов матрицы рассеяния (&|S|a)
определяют вероятности переходов A18,5) из состояния а в со-
состояние Ь. Поэтому элементы матрицы рассеяния не могут зави-
§ 118] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 553
сеть от выбора системы координат. В связи с этим элементы
матрицы рассеяния могут быть функциями только таких инте-
интегралов движения, значения которых не зависят от выбора си-
системы координат. Например, в простейшем случае упругого рас-
рассеяния частиц без спина (§ 109) матрица рассеяния содержала
только диагональные элементы Si, которые зависели от кванто-
квантового числа I, характеризующего орбитальный момент количества
движения й не зависели от квантового числа mi, определяющего
проекцию момента на ось г.
Если с падающей волной не происходит никаких изменений,
то матричные элементы матрицы рассеяния равны Sba = бьа-
Поэтому процесс рассеяния (и реакции) принято определять
оператором 0" = S — 1 с матричными элементами
ЬФа. C1^
Новый оператор 3" не унитарен. Из условия унитарности
оператора рассеяния S следует
или в явном виде
Ъ TlcTcb = т- {Т.л + Tit). A18,8a)
с
Процесс рассеяния и реакций обычно характеризуется эффектив*^
ным сечением, которое определяется как отношение числа пере-
переходов в единицу времени к плотности потока падающих частиц
(в системе центра инерции).
Определим, как выражается вероятность перехода через мат-
матричные элементы 0~ъа или матричные элементы матрицы рассея-
рассеяния Sba- Учитывая, что энергия является одним из интегралов
движения, можно написать
{Ь | S - 1 | а) = - 2л/ТЬаб (Еь - Еа), A18,9)
где матричный элемент Тьа соответствует состояниям а и Ъ, от-
относящимся к одной и той же энергии. Поэтому Тьа называют
матричными элементами Т-оператора на энергетической поверх-
поверхности (см. § 101). Множитель 2ni выбран для удобства (см.
ниже).
Матричные элементы Т-оператора на энергетической поверх-
поверхности связаны с матричными элементами оператора &~ соотно-
соотношением
ТЬа = - 2лй (Еь - Еа) 1Ьа. A18,9а)
Из равенства A18,9) находим
а6 (Еь - Еа), A18,10)
554 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
где {Ь\а) = бьа. Подставляя A18,10) в A18,5), можно вычислить
вероятность перехода из состояния а в состояние Ь
+ { I (b I a) Im lba + Щ-1 lba P б (?„ - ?fl)}2яйб (?„ - Ea).
Заменяя в этом выражении
2nhf>(Eb-Ea)= jexp{jr(Eb-Ea)t}t
\dt
и учитывая, что из-за наличия множителей (Ь|о) и б(?ь— Еа)
в фигурных скобках, в интеграле можно положить Еь = Еа, по-
получим
wba = (b\ay + {jr(b\a)lmTba + ^\Tbafb(Eb-Ea)}jdt.
Следовательно, средняя вероятность перехода в единицу вре-
времени
(П8,П)
При Ъ ф а вероятность перехода в единицу времени равна
Б j?fL| х '12Л (F F \ П 18 11я^
*Ъо. ' —t^ I bo \ \ b ^^ *-• п)• \ ^ 9 /
При Ь = аэто же выражение определяет и вероятность упру-
упругого рассеяния (в указанном перед формулой A18,8) смысле).
Чтобы получить сечение рассеяния и реакций надо разделить
A18,11а) на плотность потока падающих частиц }а =? bkj\x,a-
Таким образом, получим
A18,12)
Конечные состояния лежат в" непрерывном спектре. Если ввести
число конечных состояний р(Еъ) в объеме V, приходящихся на
единичный интервал энергий, и провести интегрирование^ энер-
энергии конечных состояний, то можно преобразовать вероятность
рассеяния и реакций (е-»Ь) в единицу времени к следующему
виду:
) = -^|<Фь|Т|Фа>|2р(?ь). A18,13)
Сравнивая формулу A18,13) с вероятностью перехода в единицу
времени в первом приближении теории возмущений (§ 93), мы
убедимся, что это приближение соответствует замене в A18,13)
§ 118] ' МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 555
оператора рассеяния Т оператором взаимодействия V, опреде-
определяющим переход. Этот предельный переход оправдывает выбор
множителя в A18,9).
Если система описывается оператором Гамильтона Н =
= Но + К где Но — оператор бесконечно удаленных частей си-
системы, то вероятность перехода в единицу времени, как пока-
показано в § 114, определяется выражением
A18,13a)
где функция 4rL+) является решением интегрального уравнения
Ч/Т = Фа + (Ed - Но + йтГ1 V?+'; A18,14)
Еа — Еь — энергия системы. Сравнивая A18,13) с A18,13а), мы
видим, что с точностью до-фазового множителя
>. A18,15)
Если ввести оператор Q<+> с помощью соотношения
то из A18,14) будет следовать операторное равенство
Чтобы выполнялось равенство A18,15), можно положить
T=FQ(+), A18,15a)
тогда оператор Т будет удовлетворять операторному уравнению
T=.V + V(Ea — Яо-НпГ'т. A18,16)
Из операторного уравнения A18,16) следует
(Еа - я + ад (Еа - я0 + щ)~1 т=V,
где Я = Ho-\-V — полный оператор" Гамильтона. Умножая полу-
полученное операторное равенство слева на (Еа — Я0 + 1т])Х
X (?а — Я + Щ)~\ находим
T = V + V(Ea — Я + ад~11/. A18,16а)
Вспоминая общий вид амплитуды рассеяния A14,13), можно
выразить амплитуду рассеяния непосредственно через матрич-
матричный элемент оператора Т. Для этого достаточно использовать
соотношение A18,15), тогда имеем
ФО-|Т|ФЙ>. A18,17),
556 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Для вычисления эффективного сечения рассеяния и реакций
надо подставить в формулу A18,13) явное выражение для р(?ь)
и разделить на плотность потока /„ падающих частиц. Во всех
предыдущих параграфах этой главы мы нормировали плоские
волны, описывающие движение свободных частиц^ на плотность
потока, численно равную скорости относительного движения, т. е.
(ikara), ia = ~f.
Число конечных состояний, приходящихся на единичный ин-
интервал энергии при рассеянии в направлении единичного век-
вектора пь в элемент телесного угла dQ, определяется выражением
ар \яЬ) —
Следовательно,
Если функции Фо и Фь сталкивающихся и разлетающихся ча-
частиц нормировать на дельта-функцию в энергетическом про-
пространстве, т. е. положить
( k X1' m
то эффективное сечение рассеяния и реакций A18,18) преобра-
преобразуется к простому виду
Еь=Еа. A18,19)
В формуле A18,19) начальное состояние задано значениями
полной энергии Еа и единичным вектором па распространения
падающих частиц. Состав частиц и их состояния определяются
буквой а.
В центрально-симметричных полях интегралом движения ча-
частиц без спина является орбитальный момент количества движе-
движения, поэтому начальные состояния удобнее характеризовать пар-
парциальными волнами с определенными значениями квантового
числа I. Это легко осуществить с помощью преобразования
(ЬЕьщ | Т | аЕапа) = 2 {ЬЕьПь | Т | aEJm) (lm | па), A18,20)
1т
где функция преобразования (см. § 27)
A18,20а)
§ 118] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ - 857
i
Если выбрать направление оси z вдоль вектора па, то
Подставляя A18,20) в A18,19), получим
data=-рг IS ^2Г-Й <Ь?ь«ь I Т | aEJO) fdQ, Еь = Еа.
Учитывая далее, что матричные элементы оператора Т в цен-
центрально-симметричном поле диагональны относительно кванто-
квантовых чисел 1т, имеем
| Т |aEJO) = (nb |/0) (bEJO |T |aEJO)- Ym(nb)(b\T,\ a),
где
Подставляя это значение в предыдущую формулу, находим
4я3
2 ^j у "»-г * * iu v'*6/\" I ¦ < I **/1 "¦¦". A1о,21)
Ra
После интегрирования по всем направлениям испускания, а
также учитывая ортогональность функций Yi0, находим инте-
интегральное сечение рассеяния и реакций ч
A18,22)
Если ввести матрицу рассеяния SE на поверхности энергии
с помощью соотношения
<Ы S | а) = Sffl6 (Еь - Еа), A18,23)
то, используя равенство A18,9), можно найти связь между ма-
матричными элементами оператора Т и матрицы рассеяния
Подставляя это значение в A18,22), находим интегральное се-
сечение рассеяния и реакции
^а i
Дифференциальное сечение A18,21) при этом принимает вид
" Ую Ы (Sfi - бьа) fdQ. A18,25)
558 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Сумма всех сечений реакций оьа по всем возможным кана-
каналам b Ф а называется полным сечением реакции и обозначается
буквой Or- Таким образом,
w 2¦ SB/+1) • ^ I2- A18>26)
а ЬчЬа 1=0
Из A18,24) следует, что интегральное сечение упругого рас-
рассеяния
^^1 + 1)\Б^-1\2. A18,27)
а 1=0
Условие унитарности матрицы рассеяния можно записать в.
виде
V I ЧЕг I2 _1_ \S,BI I2 1
Ь (Ьфа)
Поэтому полное сечение реакции A18,26) можно выразить че-
через матричный элемент Sfi» соответствующий только входному
каналу
оо
Eis-i2)- A18'29>
Если возможно только упругое рассеяние, то Sfi == 0 при
Ъф'а. Поэтому из A18,28) следует |S^|2= 1 и Sfi = ехрBйг),
где бг — действительные фазовые смещения. Если возможно не-
неупругое рассеяние и реакции, то некоторые матричные элементы
БьаФО и |sfi|2<l. Положим sS = Tue2l'4 тогда
-т]2). A18,29а)
Далее, из A18,27) находим
оо 4
°е=pr SB/ +1)A+п? - 2т1/cos щ- v 18»з°)
При т]г = 0 парциальное сечение реакции ат достигает макси-
максимального значения (<?')макс = B1 + 1)~т- При этом парциальное
сечение упругого рассеяния имеет такую же величину. При
T|i= I, 8i = h/2 парциальное сечение упругого рассеяния дости-
достигает максимального значения
-, при этом olr — 0.
§ 118] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ 559
Вернемся теперь к выражению A18,11), определяющему ве-
вероятность перехода в единицу времени. Если просуммировать
это выражение по всем возможным состояниям Ь (включая и а),
то, учитывая, что 2iWba— 1, получим
ь
Согласно A18,11а), второе слагаемое в этом равенстве опреде-
определяет полную вероятность Ра в единицу времени рассеяния и ре-
реакций из состояния «а» во все возможные состояния той же
энергии. Таким образом, полная вероятность.рассеяния и реак-
реакций в единицу времени выражается через мнимую часть диаго-
диагонального элемента матрицы ТЬа с помощью простого соотно-
соотношения
* Я "' "
Разделив это равенство на плотность потока падающих частиц
fika/\jLa и учитывая равенство A18,12), определяющее сечение
реакций и рассеяния, и амплитуду рассеяния A18,17), можно
выразить полное сечение а через мнимую часть амплитуды рас-
рассеяния вперед
^ba=^lmAaa. A18,31)
Это соотношение носит название оптической теоремы. Частный
случай этой теоремы при наличии только упругого рассеяния
был рассмотрен в § 109.
В начале этого параграфа уже отмечалось, что S-матрица
диагональна относительно значений физических величин, опера-
операторы которых коммутируют с оператором Гамильтона системы.
На математическом языке это свойство можно записать в виде:
если [0, Я] = 0, то S = f7~lSt/,
или более подробно,
= (Ub\S\Ua).
A18,32)
Из A18,32) вытекает два рода следствий: а) правила отбора
в реакциях и рассеянии; б) некоторые указания о структуре ма-
матрицы или амплитуды рассеяния.
В общем, случае правила отбора в реакциях и рассеянии
можно сформулировать как утверждение, что в начальном
560 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
и конечном состояниях должны сохраняться собственные значе-
значения всех операторов, коммутирующих с оператором Гамильтона
системы. Правила отбора позволяют сделать ряд весьма полез-
полезных утверждений о характере протекания реакций. Покажем
это на двух примерах.
а) Реакция образования двух нейтронов при
аахвате медленного я-мезона дейтроном. На-
Начальной стадией этой реакции является образование зт-мезон-
ного атома в Is состоянии. Спин дейтрона равен 1, спин л~-ме-
зона равен нулю, орбитальный момент в Is состоянии равен
нулю. Таким образом, полный момент в начальном состоянии
равен 1, а четность равна внутренней четности зт~-мезона (внут-
(внутренняя четность протона и нейтрона предполагается одинако-
одинаковой). В конечном состоянии образуется система двух нейтронов.
Система двух нейтронов в силу принципа Паули (см. § 72) мо-
может находиться в следующих антисимметричных (с учетом
спина) состояниях
Полный момент системы и четность, согласно правилам от-
отбора, не изменяются при реакции. Поскольку в начальном со-
состоянии полный момент равен 1, то из написанных возможных
состояний системы двух нейтронов в данной реакции может осу-
осуществиться только состояние, соответствующее полному спину 1.
Таким состоянием является 3РЬ т. е. состояние с L = S = / = 1.
Так как L = 1, то это состояние нечетное. Следовательно, на-
начальное состояние реакции должно также быть нечетным. Это
возможно только при условии, что внутренняя четность зт~-ме-
зона отрицательна. Итак, реакции п~ -\- d-*2n, протекающие при
малых энергиях (эксперименты Пановского [113]) показывают,
что л~-мезон является псевдоскалярной частицей.
б) Распад Ве8 на две а-частицы. В настоящее время
хорошо известно, что ядро бериллия Bee является нестабильным
ядром и за время ~ 10~1в сек распадается на две сс-частицы.
В реакции р -\- Li7 -> Bel при энергии протонов, близкой к 0,4 МэВ,
образуется возбужденное ядро бериллия Bee с энергией воз-
возбуждения ~ 17,6 МэВ. Это возбужденное ядро не распадается
на две сс-частицы пока не отдаст свое возбуждение в виде у-
кванта (М1-излучение) и не перейдет в основное состояние. Не-
Невозможность распада возбужденного Bel на две сс-частицы
легко объяснить правилами отбора. Возбужденный уровень Bet,
соответствующий энергии возбуждения 17,6 МэВ, имеет момент,
равный 1, и положительную четность, а система двух а-частиц
может находиться только в состояниях с четным моментом:
0, 2, 4, .... так как спин а-частицы равен нулю и симметричная
волновая функция системы, состоящей из двух сс-частиц, может
§ I IS) ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ДЕТАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ 561
иметь только четные значения орбитального момента, характе-
характеризующего их относительное движение. После излучения у-кван-
та бериллий переходит в основное состояние, имеющее момент О
и сразу же распадается на две а-частицы.
Из равенства A18,32) вытекает далее, что если Н инвари-
инвариантно относительно некоторых преобразований, то и S-матрица
(и амплитуда рассеяния) должна быть инвариантной относи-
относительно тех же преобразований. Например, если в системе дей-
действуют ядерные и электромагнитные силы, то оператор Н
инвариантен относительно пространственного вращения и отра-
отражения. Следовательно, амплитуда рассеяния должна быть ска-
скаляром. Так, при взаимодействии нуклонов с ядрами нулевого
спина или при рассеянии я-мезонов на нуклонах состояние си-
системы характеризуется спиновой матрицей о, начальным волно-
ным вектором ka и конечным волновым вектором кь. Из этих
величин можно построить скаляр вида
A + Bo[kaXkb], A18,33)
где А и В — некоторые функции скаляров k\, kl и (какь), т. е.
функции энергии относительного движения и косинуса угла
рассеяния. Следовательно, A18,33) является наиболее общим
видом амплитуды рассеяния частиц со спином У2 на частицах
нулевого спина.
§ 119^. Обращение времени и детальное равновесие
Оператор Гамильтона всех задач теории рассеяния инвари-
инвариантен относительно изменения знака времени, т. е. з.амены буду-
будущего прошедшим. Используя инвариантность, оператора Гамиль-
Гамильтона по отношению к изменению знака времени, можно получить
весьма общие соотношения, связывающие вероятности перехо-
переходов и эффективные сечения прямых и обратных процессов.
По отношению' к операции обращения времени, t^+—t, все
физические величины делятся на два класса. К первому классу
принадлежат физические величины, не изменяющиеся' при обра-
обращении времени. Такими величинами являются: координаты
точки, .полная энергия, кинетическая энергия и. др., которые
содержат время только в четных степенях. Ко второму классу
физических величин относятся скорость, импульс, угловой мо-
момент, спиновый момент и все другие, которые содержат время
в нечетной степени.
Рассмотрим уравнение Шредингера
«>4& = tfi|>e, A19,-1)
определяющее изменение с течением времени некоторого со-
состояния фа. Обозначим через ip-^, волновую функцию-состояния,
562 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ¦ [ГЛ. XIV
которое получится из состояния tya путем операции обращения
времени. В состоянии, описываемом функцией ф_а, все физиче-
физические величины первого класса имеют те же значения, что и в со-
состоянии г|H, а физические величины второго класса имеют дру-
другой знак.
Перейдем к отысканию оператора обращения времени G, пре-
преобразующего волновую функцию 1|)а в функцию \j)_a. По опреде-
определению функция 1|з_а удовлетворяет уравнению Шредингера
*Ь , A19,2)
так как оператор Н инвариантен относительно операции обраще-
обращения времени. Рассмотрим уравнение, комплексно сопряженное
уравнению A19,1):
-,-А^ = Я>;. A19,3)
Если имеется некоторый унитарный оператор б, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию
дН'=НО, 6+6 = 1, A19,4)
то, действуя слева на обе части уравнения A19,3) оператором
О, получим уравнение
Сравнивая это уравнение с уравнением A19,2), мы убедимся,
что
д д? = е1>в. A19,5)
Таким образом, оператор обращения времени в, преобразую-
преобразующий функцию г|)а в функцию \|з_о, имеет вид
6=6Я, A19,6)
где Я —оператор комплексного сопряжения, а О — унитарный
оператор, удовлетворяющий операторному равенству A19,4).
Оператор комплексного сопряжения R является антилиней-
антилинейным оператором, так как его действие на функцию 2a<i|?i харак-
характеризуется равенством
?2 2 (H9.7)
Далее, оператор R удовлетворяет условию
^ A19,8)
•§ 119) ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ДЕТАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ 563
т. е. оставляет неизменным абсолютное значение скалярного
произведения двух произвольных функций и, следовательно, не
меняет условия нормировки волновых функций. Операторы,
удовлетворяющие двум условиям A19,7) и A19,8), называют
антиунитарными операторами. Произведение унитарного и ан-
антиунитарного операторов дает антиунитарный оператор, следо-
следовательно, оператор обращения времени 6 A19,6) является анти-
антиунитарным оператором. Явный вид оператора обращения вре-
времени зависит от вида оператора Гамильтона системы и от
представления, в котором задана волновая функция. Рассмот-
Рассмотрим теперь отдельные примеры:
а) Оператор Гамильтона Н описывает части-
частицы без спина в отсутствие электромагнитного
поля. В координатном представлении оператор Гамильтона
действителен, т. е. Н = Н*. Легко убедиться, что оператор обра-
обращения времени в координатном представлении равен в = К.
Действительно, 0=1 удовлетворяет условию A19,4), если
Н = Н*.
Согласно общему правилу, преобразование функций (J19.5)
должно сопровождаться преобразованием операторов F-a —
Следовательно, при г = г и р = — t'fiV,
r_a = KraK~l = ra, p-a=k(- /AV)K~l = t'AV = - ра.
Таким образом, как и следовало ожидать, оператор координаты
остается неизменным, а оператор импульса изменяет знак при
преобразовании, соответствующем обращению времени.
В импульсном представлении г = ifiVp и р — р. В этом слу-
случае оператор обращения времени G не сводится только к опера-
оператору К, а необходимо положить 0 = ОРК, где QP— оператор,
заменяющий р на —р; в этом случае ОРН* = HQP (в импульс-
импульсном представлении Н* ф Н) и
Р_а = О „К (ihS/p) FРК)~[ = ihVp = га,
б) Оператор Гамильтона содержит взаимо-
взаимодействие с электромагнитным полем, которое опи-
описывается векторным потенциалом А. Например,
В координатном представлении р == — ihV, r = r, поэтому со-
соотношение A19,4) будет выполняться при условии, когда
Б64 , КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
оператор 6=6А заменяет векторный потенциал Л на — А, в этом
случае В=6АК и г-а = га, р_о=—Ро- В ^мпульсном пред-
представлении р = р, r = ifiS/p, поэтому &=дл6рК, где оператор бр
определен выше.
в) Оператор Гамильтона содержит спиновые
операторы. Например,
В этом случае для выполнения операторного равенства A19,4)
в координатном представлении необходимо, чтобы оператор 0=
= OaUo, где йА совпадает с определенным выше оператором,
заменяющим А на —А, и йо— спиновый оператор, удовлетво-
удовлетворяющий операторному равенству
6аа*=~а6а.
Если векторная матрица о выбрана в представлении, где
1 0
то
/О 1\ /0 _i\
^=(i о)- «^{i oj- °
/ 0 1\
00=40^ = 1 _. „I. Таким образом,
A19,9)
Легко убедиться, что спиновая матрица ioy, входящая, в опера--
тор обращения времени, действуя на волновую функцию состоя-
состояния с определенным значением- проекции спина на ось г, меняет,
значение проекции спина на противоположное:
Из A19,9) следует, что оператор обращения времени для ча-
частицы, имеющей спин '/г, удовлетворяет равенству в2 = —1,
Если система состоит из п частиц спина '/г. то оператор обра-
обращения времени получается из A19,9) простым обобщением
©/. = 6Ainolyo2y ... опуК. A19,9а)
Легко убедиться, что двукратное применение оператора4 обра-
обращения времени осуществляется оператором 6п=.(— 1)", где п —
число частиц в системе. Этот результат позволяет получить очень
важное заключение о возможной кратности вырождения уровней
энергии в стационарных состояниях систем, находящихся в про-
произвольном электрическом поле (без внешнего магнитного).
Оператор Гамильтона системы, на которую не действует вне-
внешнее магнитное поле, инвариантен относительно операции обра*
8 119] ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ДЕТАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ 565
щения времени. Поэтому, если функция ty определяет стационар-
стационарное состояние с энергией Е, то и волновая функция впг|) опреде-
определяет состояние с той же энергией. Если ф и в^ф отличаются
лишь фазовым множителем, т. е. если
0„ф=аф, ' A19,10)
где |а|2 = 1, то Оба состояния тождественны (отсутствует вы-
вырождение). Подействуем на обе части равенства A19,10) опера-
оператором обращения времени. Преобразуя затем правую часть,,
имеем
6^г|) = в„ (аф) = а* (вп$) = a'aty = ф.
Учитывая, что в" = (—1)", мы приходим к заключению, что ра-
равенство A19,10) может выполняться только при условии чет-
четного числа частиц в системе. .
Таким образом, в системе с нечетным числом частиц (следо-
(следовательно, с полуцелым значением полного спина) кратность вы-
вырождения уровней в произвольном электрическом поле не может
быть меньше 2 (теорема Крамерса). В связи с этим внешнее
электрическое поле может полностью снять вырождение только
у систем, состоящих из четного числа частиц спина '/г- У систем
с нечетным числом частиц кратность вырождения может быть
снижена только до 2.
Перейдем к выводу связи между матричными элементами
прямого и обращенного по времени перехода. Для этого рас-
рассмотрим матричный элемент
Используя определение A19,5), можно написать
ф_0 = еФа = ОФа, Ф_„ = ОФь.
Следовательно,
бб б1бЗ;). A19,11)
Учитывая A18,16а), A19,4) и эрмитовость операторов V и Н,
можно показать, что
б+тб = (т7=т.
Поэтому
(Фа | О+ТО | Oft = <Фй | Т | Фа) = Тьа.
Используя это равенство, получаем из A19,11) связь между;
матричными элементами прямого и обращенного по времени
перехода
Тьа=Т_а,_ь. A19,12)
.*566 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ' [ГЛ. XIV
Из равенства A18,10) при учете A19,12) следует аналогичное
соотношение для матричных элементов, матрицы рассеяния
Sba = S_a._6. A19,13)
Согласно A18,13), вероятность перехода а—»Ь в единицу
времени выражается, через квадрат модуля матрицы перехода
Тьа и плотность конечных состояний р(?б)- Поэтому из A19,12)
следует теорема взаимности, связывающая вероятности прямого
_и обращенного во времени переходов
Pba Р-а. ~Ь I
р(Е„) — р(Еа) •
В случае, когда плотности конечных состояний обоих процессов
равны друг другу, то равны и вероятности прямого и обращен-
обращенного во времени переходов.
Если оператор Гамильтона инвариантен относительно операции
инверсии пространственных координат (х, у, z)—¦ (—х, —у, —z),
то при одновременном проведении операции инверсии и обраще-
обращения времени-импульсы и. скорости частиц не меняются, компо-
компоненты моментов количества движения меняют знак. Поэтому
в системах, не содержащих спиновых переменных, состояния |а)
и |— а) эквивалентны, т. е. волновые функции этих состояний
могут отличаться только фазовым множителем. В этом случае
имеют место равенства абсолютных величин матричных элемен-
элементов прямых а —* b и обратных Ь-*а переходов, т. е.
и матричные элементы соответствующей матрицы рассеяния
удовлетворяют равенству |Sba| = |Sab|. В таких системах имеет
место детальное равновесие, при котором равны
Pba _. Раб
р (Eb) p (Еа)
— вероятности прямого и обратного переходов, отнесенные к од-
одному конечному состоянию.
Если состояние системы характеризуется и ориентацией спи-
спинов, то в состояниях |а) и |—а) проекции спинов отличаются
знаком. В этом случае детальнЪе равновесие выполняется только
для вероятностей, усредненных по проекциям спинов начального
и конечного состояний*). Такое равновесие иногда называют
полудетальным.
Если оператор взаимодействия, вызывающий переход, инва-
инвариантен относительно пространственных вращений, то переход
*) Отметим, что уже Больцмаи указал иа возможность нарушения де-
детального равновесия при классическом описании столкновений между моле-
жулами несферической формы.
§ 119] ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ И ДЕТАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ 567"
между состояниями |а) и \Ь), характеризуемыми квантовыми
числами jm, происходит при сохранении полного момента и его-
проекции на любое направление. В этом случае матричные эле-
элементы Тъа не зависят от магнитных квантовых чисел. Поскольку
в этом случае состояния |а) и |—а) отличаются только знаком,-
магнитных квантовых чисел, то
I ТЬа | = | Т_а> -Ь | — | ТаЬ |.
Следовательно,, и в этом случае имеет место детальное равно-
равновесие.
В первом борновском приближении детальное равновесие вы-
выполняется для всех систем. Действительно, в первом борновском.
приближении имеем
Tt> ^ (Ф61 V | Фа) = (Фа
следовательно,
Теоремы взаимности A19,13) и унитарности матрицы рас-
рассеяния накладывают дополнительные условия на> ее элементы и
сокращают число независимых параметров, определяющих ма-
матрицу рассеяния. Для реакции, идущей по N возможным кана-
каналам, комплексная матрица рассеяния содержит 2N2 веществен-
вещественных параметров. Вследствие унитарности матрицы рассеяния и
теоремы взаимности только у N(N -f-1) из этих параметров яв-
являются независимыми. Для доказательства этого утверждения
запишем матрицу рассеяния в следующем виде:
1- — R
S = —4—, A19,15).
где R — эрмитова матрица, т. е. R = Rf. Представление A19,15)
удобно тем, что в этом случае унитарность матрицы S выпол-
выполняется автоматически: S+—S-*. Из A19,15) следует
~2 ^^ 1 + S "
Эрмитова матрица R (порядка N) обладает такими же свой-
свойствами симметрии A19,13), как и матрица S. Следовательно,.,
в представлении полного момента матрица R эрмитова и симмет-
симметрична. Поэтому она имеет уЛ?(Л?+1) независимых веще-
вещественных параметров, которые полностью определяют рассеяние
и реакции.
568 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
В заключение этого параграфа рассмотрим различные экви-
эквивалентные выражения вероятностей переходов и сечений реак-
реакций. Как было показано в § 118, вероятности переходов и сече-
ния реакций пропорциональны квадрату матричного элемента
ТЬа^<Фь|Т|Фа>, A19,16)
где Фа и Ф& — соответственно волновые функции начального и
конечного состояний, а оператор Т определен операторным урав-
уравнением
Т = У + У(?а-#в + /г)Г1Т, A19,17)
где V — оператор взаимодействия; Но — оператор, определяю-
определяющий относительное движение и внутренние свойства сталкиваю-
сталкивающихся частиц. Используя равенство A18,15)
¦
тот же матричный элемент Тьа можно записать в виде
=<Фь| F| #!+>>, A19,18)
где Ч^40 — волновая функция, удовлетворяющая интегральному
уравнению
ч4+> = Фа + (Еа - #о + ЩГ1 VWla+), A19,19)
соответствующему уходящей рассеянной волне при падающей
волне Фа.
Введем теперь функцию ЧТ*' с помощью равенства
ObT = Wib-)V', A19,20)
тогда матричнь1й элемент A19,16) можно записать в виде
а). A19,21)
Для вывода уравнения, определяющего функцию Wj,"' в
A19,21), и выяснения ее смысла, .умножим уравнение A19,17)
«лева на функцию Фь. Используя равенство
следующее из эрмитовости операторов Но и V, имеем
Ф„Т = ФЬУ + {Е - Но - /г)) УФЬТ.
§ 120] РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ АТОМНЫМИ ЯДРАМИ 569?
Учитывая A19,20), из этого уравнения получаем уравнение, ко-
которому удовлетворяет функция Ч1*"'
<-> = Ф* + {Е - Но - «пГ1 УЧ^. A19,22)
Вспоминая рассуждения, проведенные в § 107, можно сказать,
что интегральное, уравнение A19,22) определяет*Волновую функ-
функцию "Фь'К "соответствующую функции конечных состояний Фь и
представляющую сходящуюся к центру волну.
Итак, матричный элемент ТЬд может быть определен тремя
выражениями
Тьа = {ФЬ I ТФа> = <Ф6 | V lWla+)) = (?а* | V | Ф„>, A19,23)
где оператор Т удовлетворяет операторному уравнению A19,17),
функция Wi40удовлетворяет интегральному уравнению A19,19),
а функция Ч'ь"' удовлетворяет интегральному уравнению
A19,22).
§ 120. Рассеяние медленных нейтронов атомными ядрами.
Эффективные сечения рассеяния нейтронов на атомных ядрах
определяются ядерными силами и зависят от свойств ядер и
энергии относительного движения нейтрона й ядра. Точное вы-
вычисление эффективных сечений рассеяния в настоящее время
невыполнимо из-за плохого знания волновых функций, опреде-
определяющих основное и возбужденные состояния атомных ядер, и
больших математических трудностей. Приходится прибегать к
некоторым упрощениям. Одно из таких упрощений базируется
на малом радиусе (~ 10а^см) действия ядерных сил. Область
взаимодействия нейтрона с ядром практически совпадает с объ-
объемом ядра. Если обозначить наименьший радиус, при котором
еще не проявляются ядерные силы, буквой R, то при энергии
относительного движения fi2k2/B\x), соответствующей неравенству
kR •< 1, в рассейнии участвуют только s-волны (Z = 0). Нера-
Неравенство kR <^ 1 выполняется в сравнительно широком интервале
энергий @—5 МэВ). Нейтроны таких энергий называют медлен-
медленными нейтронами.
Если в первом приближении не учитывать спинов нейтрона и
ядра, то вне области действия сил (г ^> R) волновая функция
относительного движения нейтрона и ядра в s-состоянии может
быть записана в виде
r*(r) = e-tkr-S01kr, So=S^. A20,1)
Эта функция нормирована на поток падающих частиц, численно
равный скорости относительного движения. Согласно A18,29) и
$70 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
A18,27), в этом случае полное сечение реакции и сечение упру-
упругого рассеяния выражаются через So простыми формулами
«^^-(l-ISol2), A20,2)
oe=-?r\l-S0f. A20,3)
-Элемент матрицы рассеяния So можно выразить через безраз-
безразмерную логарифмическую производную функции A20,1) при
.r = R
агде x = kR.
Выделим в логарифмической производной вещественную и
мнимую части, положив f(E) = fo — ih; тогда, разрешая преды-
предыдущее равенство относительно So, находим
с o-2ix (к — h) — if0
Подставляя это значение в A20,2) и A20,3), получаем
^J&A20,5)
к2 (к + hf + ff
4я
A20,6)
Так как функция п|з и ее производная должны быть непре-
непрерывны, то значение f{E) при r — R полностью определяется
условиями во внутренней области г ^ R. Величины f0 и h яв-
являются функциями энергии относительного движения. Если
h = 0, то f =/o, |S0|2 = 1, ar = 0, т. е. имеется только упругое
рассеяние, не сопровождающееся какими-либо реакциями.
Значение энергии Ег, при которой fo(Er) = 0, называют резо-
резонансной энергией. При резонансной энергии сечения реакции
A20,5) и упругого рассеяния A20,6) достигают максимальных
(резонансных) значений. Разложим /0(^) вблизи одной из резо-
резонансных энергий в ряд по степеням разности Е — Е& тогда
дЕ 1Е*=ЕГ
Ограничившись первым членом разложения и введя обозначения
V дЕ )Ес=Е \ дЕ }Es=E
§ 120] РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ АТОМНЫМИ ЯДРАМИ 571
можно преобразовать сечение реакции A20,5) к виду
где Г = ГеЧ-Гг. В тех же обозначениях сечение упругого рас-
рассеяния имеет вид
ае = An | Лрез + Лот Р, ^ A20,9)-
где
4Г/2 A20,10)-
,
называется амплитудой резонансного или внутреннего рассеяния,
A20,11)
называется амплитудой внешнего или потенциального рассеяния,.
так как эта часть амплитуды рассеяния зависит только от ра-
радиуса R и от энергии относительного движения. Иногда Л110Т на-
называют амплитудой рассеяния на непроницаемой сфере. Это-
название связано с тем, что сечение рассеяния, обусловленное
только этой частью амплитуды, равно
<те= An \Anm P=^ sin2 (kR) « 4зт#2.
A20,12)
Если бы ядро представляло абсолютно отражающую сферу ра-
радиуса /?, то при г = R волновая функция обращалась бы в нуль.
В этом случае Ирез = 0, и сечение рассеяния определялось бы
только формулой A20,12).
Разделение амплитуды упругого рассеяния на две части: ам-
амплитуду резонансного и амплитуду потенциального рассеяния —
зависит от выбора значения R и является некоторым формаль-
формальным приемом. На опыте измеряется только сумма Лрез + ИПот-
Подставляя A20,10) и A20,11) в A20,9), находим сечение
упругого рассеяния
__ 4я
Введем обозначение
-f elk* sin (kR)
2 (Е- ?1r) = Tctg6,
A20,13)
A20,14)
572 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ (ГЛ. XIV
тогда
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
\
Е-ЕГ-~Т
Те
г
РАССЕЯНИЯ
-sin6e№,
и A20,13) принимает симметричный вид
|2 A20,15)
Фазовое смещение б, определяемое формулой A20,14), является
функцией энергии. В случае изолированного резонанса при
? Э> Ег фазовое смещение S « 0; при приближении Е к резо-
резонансной энергии фазовое смещение S—>п/2; при переходе Е че-
через резонансное значение Ег фазовое смещение скачком изме-
изменяется до —я/2 и при дальнейшем уменьшении энергии фазовое
смещение снова стремится к нулю.
Полученные формулы A20,8) и A20,13) описывают рассея-
рассеяние при энергиях, находящихся вблизи резонанса Ет. В области,
мало отличающейся от Ег, амплитуда резонансного рассеяния
значительно больше амплитуды потенциального рассеяния, по-
поэтому сечеиие упругого рассеяния при Е г» Ег приближенно вы-
выражается только через квадрат модуля амплитуды резонансного
рассеяния ~*~
(°е)рез == "р" (? _ ?гJ _|_ у2/4 * ^ ^' * )
Формулы A20,8), A20,13) и A20.Ш) называются формулами
Брейта — Вигнера или дисперсионными формулами для изолиро-
изолированного резонансного уровня и I, равного нулю. .
Из A20,8) и A20,16) следует, что при значении \Е — Ег\ =
= Г/2 эффективное сечение уменьшается в два раза по сравне-
сравнению с максимальным значением; следовательно, Г равно ширине
резонансной кривой (изображающей зависимость сечения от
энергии) при значении сечения, равном половине максимального..
Величину Г часто называют шириной резонансного уровня. Ве-
Величину Гв называют частичной шириной, отвечающей упругому
рассеянию нейтронов во входном канале, так как она опреде-
определяет вероятность упругого рассеяния A20,16). Величину Гг наг
зывают частичной шириной, отвечающей реакции.
Рассмотрим теперь простейшие случаи, при которых можно
вычислить логарифмическую производную A20,4). При энергии
нейтронов, заключенной в интервале от нескольких МэВ до
40 МэВ, столкновение нейтрона с ядрами со средним и большим
атомным весом сопровождается почти полным поглощением ней-
нейтронов, т. е. ядро можно рассматривать для таких нейтронов как
абсолютно черное тело. Если в грубом приближении представить
§ 120) РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ АТОМНЫМИ ЯДРАМИ 573
движение нейтрона внутри ядра функцией <р(г), то условие пол-
полного поглощения нейтронов ядром математически выразится
предположением, что волновая функция <р внутри ядра описы-
описывается только сходящейся сферической волной, т. е.
г<р = const e-w, A20,17)
где К2 = kz + Ко — волновое число нуклона внутри ядра; Ко ~
~ 1013 см ~' — волновое число внутри ядра при нулевой энергии
падающих частиц. В рассматриваемой модели ядра (черное
тело) внутренние свойства ядра характеризуются Двумя пара-
параметрами: Ко и R.
Значение логарифмической производной волновой функции
A20,17) на поверхности ядра равно
f=-iX, A20,18)
где X = KR. Следовательно, в этом случае логарифмическая
производная является чисто мнимой: /0 = 0, h = X. Подставляя
эти значения.в A20,5), находим
_ АпхХ _ 4пК
При k'ggjiK получаем приближенное выражение
. 4jt const
В противоположном предельном случае, когда возможно
только упругое рассеяние, волновую функцию нейтрона внутри
ядра следует рассматривать как суперпозицию сходящейся и
расходящейся, сдвинутой по фазе на некоторую величину 2%,
волн, т. е.
В этом случае логарифмическая производная f имеет только
действительное значение
f = fo=-Xtgtf + ?). A20,19)
Аргумент тангенса X + ? sss Z(E) является функцией энергии
относительного движения нейтрона и ядра. Резонансные значе-
значения энергии Ег определяются условием Z(Er) =nn, где п — це-
целое число. В окрестности одной из резонансных энергий можно
написать
574 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
где — ==Нгр) . Следовательно, в области r-го резонанса ло-
гарифмическая производная
В малой области изменения Е можно пренебречь зависимостью
К от Е, тогда из A20,7) получим ширину Ге для упругого рас-
рассеяния
г 2kD
l
При этЬм сечение упругого рассеяния вблизи резонансной энер-
энергии, согласно A20,16), примет вид .
§ 121. Рассеяние поляризованных нуклонов
и поляризация нуклонов при рассеянии на ядрах
нулевого спина
В теории атомного ядра (см., например, [73]) показывается,
что упругое рассеяние нуклонов ядрами можно описать, введя
комплексный потенциал со спин-орбитальным взаимодействием
cL, A21,1)
где L = — i[*"XV]. a — постоянная, имеющая размерность ква-
квадрата длины. Мнимая часть потенциала ity(r) учитывает погло-
поглощение нуклонов ядром.
Исследуем упругое рассеяние нуклонов на таком потенциале.
Уравнение Шредингера, определяющее процесс рассеяния, имеет
вид
где ц — приведенная масса нуклона и ядра: й2А2/Bц) —энергия
_. /*1(гП
их относительного движения; ЧГ= I.
Функция Грина оператора левой части уравнения A21,2),
соответствующая расходящимся сферическим волнам, как пока-
показано в § 107, имеет вид
§ 121]" РАССЕЯНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ НУКЛОНОВ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ 575
поэтому общее решение уравнения A21,2), соответствующее на-
начальному состоянию, определяемому функцией
Фв(г,а) = е'*-рх%Ив, A.21,3)
можно записать в виде
= Ф«—5ДГ J ^ |г-г~|Г''} V{r'o)V(r')dh', A21,4)
X,, т —спиновая функция, на которую действует векторная спи-
/ 1\ /0\
новая матрица Паули о. При этом Zi/2i/2=l n I. XVa_V2 =( )•
На больших расстояниях от ядра k\r — rr \ *» kr — kbr',
kb = k —, поэтому асимптотическое значение A21,4) можно запи-
записать в виде
Y = Oa + Fms^^-, A21,5)
где амплитуда рассеяния Fms определяется интегралом
F«. = ~ -Ш J ехР (~ Шьг')V (r'°
Для вычисления Fms надо знать решение интегрального уравне-
уравнения A21,4). При достаточно больших энергиях относительного
движения можно ограничиться первым борновским приближе-
приближением. Подставляя в A21,6) значение A21,1) иТ» Фа, получим
. Fms=M(e) + 0nB(e)}x,/!ms, A21,7)
где
A21,8)
q — \ka — кь | = 2fesinF/2); /0(qr) — сферическая функция. Бес-
Бесселя;
-fr'*;: A21,9)
п — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости' рассея-
рассеяния, определяемый равенством
[К X kb] = nk2 sin 6. A21,10)
Б76 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Квадрат амплитуды рассеяния A21,6) определяет дифферен-
дифференциальное сечение рассеяния поляризованных нукленов. Если
нуклоны не поляризованы, то надо прввести усреднение по двум
возможным состояниям поляризации т8 = 1/2, —'/г- Тогда по-
получим
Если V (г) = VoP (r), то, согласно A21,8) и A21,9), имеем
Л(8)=2>гA + '?)У° JpW/o^r)/-2^, A21,12)
где
оо
Г л« _
A21,14)
Используя равенство х\ (х) = -^- (x2j{ (x)) и выполняя в A21,12)
интегрирование по частям, преобразуем А F) к виду
A21,15)
Если предположить, что зависимость потенциалов от радиуса
можно представить прямоугольной ямой, т. е.
| 1, если г<#,
Р(Г)~\ 0, если r>Rf
то
В этом случае, интегрируя A21,14) и.лспользуя явное выраже-
выражение для сферической функции Бесселя (см. § 35), имеем
Подставляя A21,13) и A21,15) в равенство A21,11), находим
дифференциальное сечение рассеяния неполяризованных нукло-
нуклонов на ядрах нулевого спина
Рассмотрим теперь рассеяние поляризованных нуклонов.
Пусть нуклоны с проекцией спина, направленной вдоль оси г,
121]
РАССЕЯНИЕ ПОЛЯРИЗОВАННЫХ НУКЛОНОВ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ
577
движутся вдоль оси у (рис. 23). При отклонении нуклонов в
плоскости х, у влево на угол в (рис. 23, а) единичный вектор п>
определяемый равенством A21,10), направлен вдоль оси z, сле-
следовательно, по =5= oz. Поэтому из A21,7) при учете A21,13) и
A21,15) имеем
A21,16)
При отклонении нуклонов в плоскости ху вправо на угол &
(рис. 23,6) единичный вектор п направлен против оси z, следо-
следовательно, па = —oz. Поэтому
Из A21,16) и A21,17) следует, что если ?=5^0, то интенсивность
рассеяния поляризованных нуклонов вправо или влево по отно-
Рис. 23. Рассеяние поляризованных нуклонов, проекция спина которых направлена вдоль
оси г.
шению к направлению движения первичного пучка различны.
Нуклоны со спином, направленным вдоль оси z, рассеиваются с
меньшей вероятностью влево, чем под тем же углом вправо. При
рассеянии нуклонов со спином, направленным против оси z, со-
соотношение между вероятностями рассеяния вправо и влево будет
обратным. Таким образом, исследование право-левой асимметрии
упруго рассеянных нуклонов позволяет судить о их поляризации.
При рассеянии неполяризованных нуклонов на потенциале
A21,1) они частично поляризуются. Величина и направление
19 А. С. Давыдов
578 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
поляризации рассеянных нуклонов характеризуются вектором
поляризации, который определяется следующим равенством:
I ° I ^"расс/
Vp.ee)
ms
elkr
Подставляя в это выражение значение ^расс^1 Fm F) и учи-
учитывая A21,7), преобразуем его к виду
2Fm F)Fm (в)
ms
где единичный вектор п определяется равенством A21,10). Итак,
вектор поляризации всегда перпендикулярен плоскости рассея-
рассеяния. Абсолютная величина вектора поляризации называется
степенью поляризации.
Если подставить в A21,18) значения А @) и 23F), определяе-
определяемые равенствами A21,13) 'и A21,15), то получим
eft» «In в
7
+ l + S2
Из A21,19) следует, что степень поляризации будет наибольшей
при углах рассеяния в ~ 90°. Степень поляризации пропорцио-
пропорциональна величине спин-орбитального- взаимодействия и отноше-
отношению % мнимой части оптического потенциала к действительной.
Из A21,18) следует, что поляризация при упругом рассеянии
возможна лишь в том случае, когда амплитуда рассеяния A21,7)
содержит как слагаемое А F), не зависящее от ориентации
спина, так и слагаемое (сгпM@), зависящее от ориентации
спина.
§ 122*. Теория рассеяния при наличии взаимодействий
двух типов. Приближение искаженных волн
В ряде задач теории рассеяния и реакций потенциал взаимо-
взаимодействия можно разбить на два слагаемых. Так, при ядерном
взаимодействии заряженных частиц, наряду с ядерным взаимо-
взаимодействием КЯд, надо учитывать кулоновское взаимодействие Vq
между сталкивающимися и разлетающимися частицами; при
столкновении нуклонов со сложными ядрами энергия взаимо-
взаимодействия может быть представлена в виде суммы некоторого
§ 1221 ПРИБЛИЖЕНИЕ ИСКАЖЕННЫХ ВОЛН 579
эффективного «оптического» потенциала Fon, определяющего
упругое рассеяние и «остаточного» потенциала VOct- В таких
случаях часто необходимо учесть раздельно влияние обеих ча-
частей потенциала. Для исследования возможности такого разде-
разделения предположим, что оператор Гамильтона можно записать
в виде
H = H0 + VA + VB.
Согласно общей формуле A18,11 а), вероятность перехода в
единицу времени из состояния Фа в состояние Фь определяется
выражением
где
Тьа = {Фь IVA + VB | <+)>. A22,1)
Волновая функция Ч^+> соответствует падающей волне Фа и
удовлетворяет интегральному уравнению
*Fi+) = Ф„ + (Еа - Но + ftJT' (У а + Vв) ^а+). A22,2)
Введем волновую функцию <р~, описывающую сходящуюся
волну при рассеянии только в поле VB и соответствующую ко-
конечному состоянию Фь, т. е.
Ф'ь"» = % + {Еа - Яо - щ)-11><->. A22,3)
Определим из этого уравнения функцию Фь и подставим в
A22,1), тогда получим
т6о=(<-] | vA j ^<+>>+<ФГ | vB | ^<+>> -
- <ч4~» I у в (в. - я0 + щ)-1 (vA + vB) | n+)>-
Подставляя во второе слагаемое полученного уравнения значе-
значение Ч^' из A22,2), находим
Т6а = <Ф<-> | VA | *<+>> + <Ф(-» | VB | Фа>. A22,4)
Используя формулу A19,23), можно написать
<Я4~» | У в I ф«> = <Ф* | У в | Ф^+)> - Tfca (В), A22,5)
где функция ф*,-» удовлетворяет уравнению A22,3), а ф^+) — ин-
интегральному уравнению
<+) = Фа + (Еа ~Н0 + in)'1 УвФ<+>. A22,6)
Таким образом, матричный элемент Т6а(В) A22,5) определяет
переход из состояния Фа в состояние Ф& под влиянием только
оператора VB.
19*
580 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Чтобы выяснить физический смысл первого слагаемого в
матричном элементе A22,4), преобразуем интегральное уравне-
уравнение A22,2) к эквивалентному виду
= Фй + (Еа -H0-Va-Vb + Hi) (VA + VB) Фа. A22,7)
Уравнение A22,7) следует непосредственно "из A18,16а), если
учесть, что ТФа = V4a+) (в данном случае V= Ka+ Vb). Уравт
нение A22,6) также можно заменить эквивалентным уравнением
ф!+) = фа + (Еа ~Ho-VB + irf1 УвФа. A22,8)
Вычитая из уравнения A22,7) уравнение A22,8) и учитывая опе-
операторное тождество
получим
А~1 — В~1 = Л (В — А) В
X [Фв + (Е - Но - VB + lid'1 VBQ>a].
Согласно A22,8), выражение в квадратных скобках равно <р<+',
таким образом получаем интегральное уравнение
Чг<+> = ф(+) + (Еа -H0-VA-VB + щ)-11/лФ(+).
или эквивалентное ему уравнение
П+) = № + (Еа -H0-VB + /г,) VAW+K A22Д)
Итак, интегральное уравнение A22,9) определяет расходящуюся
волну Wo"', которая возникает в результате рассеяния на Va
волн <р<+^ являющихся решениями уравнения A22,6). Поэтому
можно сказать, что матричный элемент, входящий в A22,4),
, A22,10)
определяет амплитуду вероятности рассеяния на потенциале VA
волн, рассеянных («искаженных») потенциалом VB.
Все полученные выше соотношения являются точными, так
как при их выводе мы не делали никаких дополнительных упро-
упрощающих предположений.
Если в матричном элементе A22,10) заменить, согласно
уравнению A22,9) функцию Ч/а1"> ее нулевым приближением, то
получим матричный элемент перехода
который называют матричным элементом перехода в приближв'
нии «.искаженных волн-», так как в этом матричном элементе
§ 123] ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЙ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 581
стоят функции начального и конечного состояний не в виде пло-
плоских волн (как в борновском приближении), а в виде решений
уравнений A22,6) и A22,3), учитывающих «искажение» волно-
волновых функций начальных и конечных состояний потенциалом VB.
Существенно, что функция ф[->, входящая в A22,10) и A22,11)
и соответствующая конечному состоянию Фь, является решением
интегрального уравнения A22,3). Таким образом, асимптотика
функции (р(~) соответствует суперпозиции плоской волны конеч-
конечного состояния Фь и сходящейся сферической волны, обуслов-
обусловленной действием потенциала VB.
Если оператор Vb соответствует кулоновскому взаимодей-
взаимодействию, то уравнение A22,3) допускает точное решение. Тогда
действие второго потенциала Va (например, ядерного взаимо-
взаимодействия) может быть учтено методом искажённых волн при
вычислении A22,11) или точно, если решить интегральное урав-
уравнение A22,9) и подставить значение Ч'а"' в A22,10).
В § 11Г были найдены функции типа ф?->, имеющие асимпто-
асимптотику в виде плоской волны Фь и сходящейся сферической волны,
обусловленной кулоиовским полем, путем решения эквивалент-
эквивалентного дифференциального уравнения. Функции ф^ используются
при вычислении фотоэффекта на атомах, когда желают учесть
взаимодействие электрона с кулоновским полем ядра, и в теории
ядерных реакций, когда учитывают кулоновское взаимодействие
продуктов, реакции (см. по этому поводу также работу Брейта
и Бете [114]).
Полный матричный элемент перехода а-+Ь согласно A22,4),
A22,5) и A22,10), изображается суммой матричных элементов
&-> | VA
В частном случае, когда можно использовать метод искаженных
волн, т. е. заменить ?<+> функцией ф{+>, удовлетворяющей инте-
интегральному уравнению A22,8), имеем
-С=<ф„ | vB | Ф<+>> + <ф«-> | vA K+>>.
§ 123*. Дисперсионные соотношения в теории рассеяния
Дисперсионными соотношениями в теории рассеяния назы-
называются интегральные соотношения, связывающие действитель-
действительную и мнимую части амплитуды (или матрицы) рассеяния.
В этом параграфе мы рассмотрим простейшие дисперсионные
соотношения для нерелятивистских энергий относительного дви-
движения взаимодействующих частиц.
Дисперсионные соотношения впервые были введены Крамер-
¦сом и Кронингом A927 г.), которые установили интегральные
582 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
соотношения между мнимой и действительной частями диэлек-
диэлектрической проницаемости вещества. На примере диэлектриче-
диэлектрической проницаемости легко выяснить физические условия, приво-
приводящие к дисперсионным соотношениям, поэтому мы кратко
остановимся на выводе этих соотношений.
В слабых электромагнитных полях вектор индукции D =
= & -\-4nP, где Р — электрический момент единицы объема
диэлектрика, линейно связан с напряженностью & электриче-
электрического поля. В полях, изменяющихся с течением времени, из-за
эффектов запаздывания значение электрического момента Р
единицы объема вещества в данный момент времени зависит,
вообще говоря, от значений & во все предыдущие времена. Эта
зависимость выражается интегральным соотношением
F(r)&(t-r)dr. A23,1)
В согласии с принципом причинности интегрирование в A23,1)
производится лишь по времени, предшествующему времени t.
В случае изотропных тел F(r)—конечная вещественная функ-
функция времени*) и притом такая, что интеграл в A23,1) всегда
сходится. Это обстоятельство является следствием того, что зна-
значение D(t) должно быть конечным при конечном & и не должно
зависеть от значений & в очень отдаленные моменты времени.
Следовательно, при t-*oo функция F(t) достаточно быстро стре-
стремится к нулю. Интервал значений т, в котором функция F(t)
заметно отличается от нуля, определяется временем запаздыва-
запаздывания процессов, приводящих к установлению электрической поля-
поляризуемости диэлектрика.
Перейдем в A23,1) к компонентам Фурье для индукции и
напряженности электрического поля, т. е. положим
?-'•* Ж»,
Тогда, вводя диэлектрическую проницаемость е(ю) с помощью
соотношения /)(ю) = е(о))<У (о>), получаем
е (ю) = 1 + | F (т) еш dr. A23,2)
о
Эта формула определяет зависимость диэлектрической прони-
проницаемости от частоты, т. е. закон дисперсии. В общем случае
функция е(со) комплексна. Непосредственно из определения
*) В общем случае F(t) является симметричным тензором второго ранга,
компоненты которого являются функциями времени. .
§ 123] ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 583
следует, что она удовлетворяет равенству
е (ю) = е* (-ю). A23,3)
Если выделить действительную и мнимую части с помощью со-
соотношения
е(ю) = а(ю) + /а(ю), A23,4)
то используя A23,3), получим два равенства
<х(— ю) = а(ю), о(—(?>) = —о (а), A23,5)
которые показывают, что действительная часть диэлектрической
постоянной является четной, а мнимая — нечетной функцией
частоты.
Соотношение A23,2) определяет диэлектрическую проницае-
проницаемость как функцию действительной переменной. Рассмотрим
теперь е как функцию комплексной переменной, т. е. положим
оо
е (г) = 1 + J F (т) е'™ d%, A23,6)
о
где z = ю + 'Y> Y =^ 0. При у < 0 интеграл расходится. Поэтому
для значений y < 0 функция e(z) определяется как аналитиче-
аналитическое продолжение формулы A23,6).
Поскольку F(x) конечна во всей области значениий О^Ст < оо,
то функция e(z) в верхней полуплоскости z, включающей ве-
вещественную ось, т. е. при у гЗ= 0. имеет конечное значение. Этот
результат является следствием принципа причинности, благо-
благодаря которому интегрирование в A23,6) выполняется только
для значений т ^ 0. При стремлении z в верхней полуплоскости
к бесконечности функция e(z) стремится к единице.
Рассмотрим теперь интеграл
в котором интегрирование проводится по бесконечно большому
замкнутому контуру С, идущему в положительном направлении
вдоль всей действительной оси, обходя сверху по бесконечно
малой окружности радиуса р точку z = g> и замыкающемуся
бесконечно удаленной полуокружностью, лежащей в верхней
полуплоскости переменной z. При z-*oo значение e(z) — 1 стре-
стремится к нулю, поэтому подынтегральная функция стремится к
нулю быстрее, чем 1/z, и интеграл / сходится. Поскольку
подынтегральная функция не имеет особых точек внутри кон-
контура С, то этот интеграл равен нулю. С другой стороны, инте-
интегрирование в / по бесконечно удаленной полуокружности дает
584 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
нулевой вклад, а интегрирование вдоль всей действительной
оси приводит к выражению
0 = / = lim \ e dz-\-
р_»о \ J z — <o
V У -op <0+р
где слагаемое —ш[е((о) — 1] появилось в результате интегриро-
интегрирования по бесконечно малой полуокружности, обходящей точку
z = (о по часовой стрелке.
Полученное равенство можно записать в виде
,(„)_!«,-? Jll&zLdz, A23,7)
—op
где ^ указывает на то, что интеграл в A23,7) вычисляется в
смысле главного значения. Отделяя в A23,7) действительную и
мнимую части, получаем два равенства, которые называются
дисперсионными соотношениями Крамерса — Кронинга
со ор
Учитывая, что согласно A23,5) функция a(z) является нечетной,
а функция а (г) — четной функцией действительной переменной
г, можно преобразовать эти равенства к виду
ОО
о(©) - 1 = | Р J -^У dz, A23,8)
Формулы A23,8) и A23,9) позволяют вычислить функцию а (со),
если известна функция а(ю), или вычислить функцию а(со),если
известна функция а(ю).
Поглощение энергии диэлектрическим веществом опреде-
определяется мнимой частью диэлектрической проницаемости. По-
оо
скольку интеграл !Р j 2_f 2 тождественно равен нулю, то из
A23,9) непосредственно следует, что в среде без дисперсии»
т. е. когда а (со) = const, мнимая часть диэлектрической прони-
проницаемости равна нулю. Другими словами, любая диспергирующая
среда одновременно является и поглощающей средой.
¦5 123] ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 585
В § 98 была получена формула для действительной части ди-
диэлектрической проницаемости (при условии пренебрежения за-
затуханием)
Это выражение можно преобразовать к виду
Сравнивая A23,10) с A23,8), находим явное выражение мии-
мой части диэлектрической проницаемости через силы осцилля-
осцилляторов переходов
2 WK*) ») A23,11)
Если учесть время жизни возбужденных состояний, то дельта-
функции в правой части равенства A23,11) заменяются более
плавными функциями с максимумами при значениях а — шь0-
Пользуясь теоремой о сумме сил осцилляторов (98,10), путем
интегрирования равенства A23,11) получаем интегральное ра-
равенство
г
где JV — число атомов в единице объема; Z — число электронов
в атоме.
Для иллюстрации основных идей, используемых при выводе
дисперсионных соотношений в теории рассеяния, рассмотрим
простейший пример s-рассеяния бесспиновых частиц централь-
центрально-симметричным полем. Согласно § 109, радиальную часть вол-
волновой функции, описывающей s-рассеяние в потенциальном поле
конечного радиуса действия, можно записать в виде
R(r, 0 = nl>(r, 0 = C{e-'*r-~S(fc)e'ftr}e-'E"ft. A23,12)
В A23,12) мы включили также зависимость от времени. Диаго-
Диагональный элемент матрицы рассеяния S(k) является функцией
энергии относительного движения или волнового числа k. По
определению, матрица рассеяния S(k) является оператором,
преобразующим расходящуюся часть падающей волны eihr в
функцию S(k)eihr, описывающую, рассеянную волну. Заменяя
в A23,12) k на —k, получим
R (г, 0 = CS (- k) {e~lkr - S (- k) elkr] e~imh. A23,13)
586 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Сравнивая A23,43) и A23,12), мы убедимся, что матрица s-pac-
сеяния должна удовлетворять равенству
S (k) = S~l (- k), или S(k)S(-k)=l. A23,14)
Далее из унитарности матрицы рассеяния (см. § 118) следует
равенство
S-'(fe) = S*(fc). A23,15)
Матрица рассеяния S(k), определенная как. функция дей-
действительного переменного, может быть аналитически продол-
продолжена на область комплексных значений волнового числа k. Ком-
Комплексным значениям волнового числа
& = <?, + % A23,16)
соответствуют комплексные значения энергии
4 ^ ]- A23-17>
Комплексные значения энергии используются в физике для опи-
описания нестационарных состояний системы. Величина Л, входя-
входящая в A23,17), определяет вероятность «распада» системы в
единицу времени и называется постоянной распада. Она поло-
положительна, если квадрат модуля волновой функции убывает с
течением времени (радиоактивный распад), и отрицательна,
если квадрат модуля волновой функции возрастает с течением
времени, например при захвате нуклона ядром.
Если аналитически продолжить S(k) на область комплекс-
комплексных значений k, то свойство матрицы рассеяния, выраженное
равенством A23,14), сохраняется. Однако равенство A23,15),
выражающее унитарность матрицы S, становится несправедли-
несправедливым. Сравнивая при t = 0 A23,12) с его комплексно сопряжен-
сопряженным значением, можно убедиться, что должно выполняться со-
соотношение
S"'(A:) = S*(fe*)- A23,18)
Из условия A23,18) следует, что если S-матрица равна нулю в
некоторой точке k\ комплексной плоскости, то она обязательно
должна иметь полюс в точке k\^=k\, расположенной симмет-
симметрично относительно действительной оси.
Исследуем, какие физические явления описывает матрица
рассеяния, рассматриваемая как функция комплексных волно-
волновых чисел:
а) Волновое число k действительно (92 = 0). В этом случае
матрица рассеяния описывает истинные процессы рассеяния.
123]
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
587
б) Волновое число k является чисто мнимым (<7i=0), т. е.
A23,19)
Отрицательным энергиям могут соответствовать связанные со-
состояния системы. Для этого необходимо, чтобы квадрат модуля
волновой функции был конечен, т. е. должно выполняться ра-
равенство
| с21 j | ew - S (iq2) e-w \4r =
о
=конечному числу.
Для выполнения этого условия
необходимо, чтобы
= O. A23,20)
с/
2
>2
Итак, связанным состояниям
системы соответствуют нули
функции S(k), лежащие на
отрицательной мнимой оси, и
полюсы функции S(k), сим-
симметрично расположенные на
положительной оси.
Можно показать, что функция S(k) не должна иметь нулей
в нижней комплексной полуплоскости, кроме нулей. на мнимой
оси. Допустим, что S(k) имеет нуль в IV квадранте, т. е. при зна-
значении k\ = <7i + «92» где q\ > 0 и q2 <. 0; тогда функция A23,12)
при k — kx будет иметь вид
Рис. 24. Нули (кружки) и полюсы (крестики)
матрицы рассеяния S (ft) на комплексной
плоскости k==qK+ iq2. Нули / соответ-
соответствуют захвату, нули 2—связанным со-
состояниям, нули 3—радиоактивному распаду
системы, нули 4—виртуальным состоя-
состояниям.
Л = — 2hqlq2lii.
Такой функции соответствует входящий внутрь сферы радиуса г
поток с плотностью, в каждый момент времени t равной
Но это противоречит уменьшению с течением времени квадрата
модуля волновой функции внутри сферы радиуса г из-за вре-
временного множителя ехр(—At), так как Л= jf~?~'>^# ^a~
ким же образом можно показать, что функция S(k) не имеет
нулей в III квадранте (<?i < 0, <7г<0). Следствием A23,18)
тогда будет отсутствие полюсов в верхней полуплоскости (за
588 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ • „ [ГЛ. XIV
исключением полюсов на положительной мнимой, оси). На
рис. 24 указаны возможные положения нулей и полюсов матрицы
рассеяния S(k) на комплексной плоскости & = <7i + i<72. Нули
функции S(k) при <7i > 0 и q2 > 0 соответствуют процессам за-
захвата. Нули функции S(k) при q\ < 0 и q2 > 0 соответствуют
процессам распада.
Итак, процессы распада определяются условием S (д\ r+ iq2) =¦
= О при qi < 0 и q2 > 0. В этом случае энергия состояния комп-
лексна: Е~п(щ-±м), где щ^ ^^
и волновая функция A23,12) принимает вид
Таким образом,
11>(г, 0) р = Kilехр (- Л/ - 2g2r),
и поток, выходящий из сферы радиуса г, имеет плотность /г =
= —| ф(г, 0 |2. Следовательно, процессы распада отвечают
квазистационарным состояниям системы, т. е. состояниям с раз-
размытыми энергетическими уровнями, ширина которых ЙЛ опреде-
определяется временем жизни т с помощью равенства Л = Ь/х. Квази-
Квазистационарные состояния проявляются в рассеянии в виде резо-
резонансных максимумов на кривой, изображающей зависимость
сечения рассеяния от энергии (см. § 125).
Если для некоторого состояния системы матрица рассеяния
обращается в нуль на положительной мнимой оси (</i = 0,
42 > 0), то соответствующая волновая функция на больших рас-
расстояниях экспоненциально возрастает. Такие состояния назы-
называют виртуальными, или антисвязанными. Виртуальные состоя-
состояния, в отличие от распадакццихся квазистационарных состояний,
имеют Л = 0 и отрицательное значение энергии Е = — h2q\jByi).
Однако они не могут отражать реальных стационарных состоя-
состояний, так как соответствующие им радиальные волновые функ-
функции экспоненциально возрастают при удалении от центра.
Нулю матрицы рассеяния при k = iq2 (q2 >0) должен соот-
соответствовать полюс при k = — iq2. Поэтому матрица рассеяния
должна иметь вид S(k) ~ (k — iq2)l(k + iq2) и сечение упругого
s-рассеяния A20,3) будет иметь вид
Аналогичное поведение сечений s-рассеяния соответствует и
связанным состояниям. Однако соответствующие им волновые
функции экспоненциально убывают при удалении от центра.
§ 123] ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 589
Виртуальные состояния можно рассматривать как предель-
предельный случай распадающихся состояний при стремлении qt к нулю.
Тогда плотность потока jr также стремится к нулю.
Виртуальные состояния могут возникнуть при уменьшении
потенциальной энергии притяжения в системах со связанными
состояниями. Пусть, например, потенциал притяжения имеет
вид %U(r), где | — безразмерный параметр. Предположим, что
при некотором значении ? в системе имеется стационарное со-
состояние с <7i = 0, <7г <^ 0 и энергией Е — — Й2^|/Bц). По мере
уменьшения | значение <?2 увеличивается, следовательно, его
абсолютное значение и энергия Е уменьшаются. При некотором
значении |0 они оба принимают нулевые значения. При даль-
дальнейшем уменьшении | величина q%, пройдя через нулевое значе-
значение, сделается положительной и связанное состояние перейдет
в виртуальное.
В качестве примера, иллюстрирующего зависимость матрицы
рассеяния от волнового числа k, рассмотрим рассеяние нейтрона
на протоне. Как было указано в § ПО, такое рассеяние характе-
характеризуется в синглетном спиновом состоянии длиной рассеяния
as = —2,5-10~12. см, а в триплетном спиновом состоянии — дли-
длиной рассеяния щ — 4,3-10~13 см. Учитывая A10,15) и связь
матрицы s-рассеяния с фазовым смещением
ctg б0 — i '
находим
(— + k) [-—k) при синглетном рассеянии,
Т 7 -« A23>22>
[ 1— Ае I / k\ при триплетном рассеянии.
Таким образом, матрица рассеяния S(k) в триплетном спиновом
состоянии имеет нулевое значение (соответствующее связан-
связанному состоянию системы—дейтрон) на отрицательной мнимой
оси при значении /г = —i/at== — t2,32-1012.CM-'. Энергия этого
состояния Et = — Й2Д2ца2) «* — 2,23 МэВ. Синглетному спино-
спиновому состоянию соответствует нуль функции S(k) на положи-
положительной оси при значении k = — i/as = t'0,40-1012 см~'. Энергия
этого виртуального состояния Es = — 0,066 МэВ.
В общем случае упругое рассеяние в центрально-симметрич-
центрально-симметричном поле характеризуется набором- диагональных матричных
элементов Si, которые, согласно A09,8), связаны с амплитудой
рассеяния соотношением
>
" [21 + 1) Р, (cos 6) A ~ St). A23,23)
1=0
590 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Таким образом, амплитуда рассеяния также является функцией
волнового числа k, и ее можно аналитически продолжить в
область комплексных значений k. При этом нулям и полюсам
матрицы рассеяния будут соответствовать нули и полюсы функ-
функции kA F). В частном случае рассеяния в кулоновском поле (см.
A11,10)) эта функция имеет вид
ехр[—
кл\п)— 2ГA-|7,) sin2 F/2)
где
A23,24)
Нули функции kA(Q) соответствуют значениям к, при которых
аргумент гамма-функции ГA—»Я) равен целому отрицатель-
отрицательному числу или нулю, т. е. при значениях IX = я, где я =
= 1, 2, ... Подставляя эти значения в A23,24), находим значе-
значения k, при которых функция kA(Q) обращается в нуль
A23,25)
где знак плюс соответствует случаю отталкивания, а знак ми-
минус — случаю притяжения. Таким образом, при кулоновском
притяжении между частицами функция kA(Q) имеет нули, лежа-
лежащие на отрицательной мнимой оси, при значениях
Rn~ ЬЧ •
Этим значениям k соответствуют связанные состояния с энергией
„ __й^ ФЗ»У
"~~ 2ц ~ 2Й2«2 *
При Z2 = 1 эта формула в точности совпадает (см. § 38) с ди-
дискретными уровнями энергии электрона в поле ядра заряда Z\e.
Итак, связанным состояниям системы соответствуют нули
функции kA(Q) на отрицательной мнимой оси. Обратная теорема
не всегда справедлива.
В некоторых случаях матрица рассеяния может иметь лиш-
лишние нули, не соответствующие связанным состояниям. Лишние
нули матрицы рассеяния всегда отсутствуют в системах с по-
потенциалом конечного радиуса действия. Поэтому при вычисле-
вычислении спектра связанных состояний можно исключить лишние
нули, заменив реальный потенциал потенциалом с обрезанным
краем на некотором достаточно большом расстоянии R. Затем
в выражениях, определяющих нули матрицы рассеяния этой
модифицированной системы, следует перейти к пределу R-*oo
(см. примеры в книге [115]).
§ 123] ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ 591
Амплитуда и матрица рассеяния являются аналитическими
функциями в комплексной плоскости k = qi -f- iq2. Это их свой-
свойство является следствием принципа причинности, согласно ко-
которому причина должна предшествовать следствию. Аналитиче-
Аналитические свойства матрицы рассеяния зависят от вида потенциаль-
потенциальной энергии.
Используя аналитические свойства матрицы рассеяния и ам-
амплитуды рассеяния на потенциале конечного радиуса действия,
можно по аналогии с рассмотренным выше случаем диэлектри-
диэлектрической проницаемости установить ряд полезных (см. работы
[116—119]) интегральных соотношений, которые также носят на-
название дисперсионных соотношений. Здесь мы рассмотрим толь-
только простейшие дисперсионные соотношения для амплитуды рас-
рассеяния вперед Ао = А @).
Дисперсионные соотношения для амплитуды рассеяния впе-
вперед легко получить, если учесть, что для любой аналитической
функции /(г) от комплексного переменного z согласно теореме
Коши можно написать равенство
/ (г') dz' _ 9
z'-z ~~Z:
m
где интегрирование ведется по замкнутому контуру, не вклю-
включающему точку z, 2 9т обозначает сумму вычетов от всех полю-
т
сов функции f(z) внутри контура. Если точка z лежит на дей-
действительной оси и функция f(z) не имеет полюсов на действи-
действительной оси и убывает достаточно быстро при г-»оо в верхней
полуплоскости, то при соответствующем выборе контура инте-
интегрирования последнее равенство можно преобразовать к виду
со
J
A23,26)
Здесь знак ?Р указывает, что интеграл следует вычислить в смы-
смысле главного значения в точке z = z'. Из A23,26) непосред-
непосредственно следует связь между мнимой и действительной частями
функции f(z) на действительной оси
оо
Re/(г) =4* f lmfJZJ2dZ' -2Re%9m. A23,27)
-оо т
Если взаимодействие между частицами обладает конечным ра-
радиусом действия, то амплитуда рассеяния вперед при k—»оо
стремится к конечному действительному пределу Л0(°о). Следо-
Следовательно, функция f(k)—A0{k)—A0(oo) будет стремиться к
592 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ . [ГЛ. XIV
нулю при k-+oo и к ней можно применить соотношение A23,27);
тогда получим
)=1«Р J h^(*)rffe'-2Re]j>]Pw, A23,28)
где рт — вычеты функции A0(k), соответствующие связанным со-
состояниям.
При рассеянии медленных частиц Si ф 1 только для / = О,
поэтому, согласно A23,23), имеем
Если выразить So через длину рассеяния а согласно A23,22), то
получим
^W-- A23'29)
Из этого равенства следует, что при s-рассеянии Л0(оо) =0.
Действительная часть амплитуды рассеяния является четной
функцией k, а мнимая часть нечетной функцией. В частном слу-
случае это утверждение следует непосредственно из A23,29}.
В общем случае в этом легко убедиться, если выразить с по-
помощью равенства St = exp Bt'6i) амплитуду рассеяния вперед
через фазовые смещения
Ао=т S(cos б'sin б'
и учесть, что, согласно A09,23), фазовые смещения являются
нечетными функциями k Ff~fea+1). В общем случае такая не-
нечетность фазовых смещений следует из A23,14), если учесть,
что S(k) =exp[2i6(fe)].
Учитывая нечетность lmAa(k), можно написать
Г lmA0(k')dk' n f ¦ k'\mA>(k')dk'
J k'-k ~l) (k'f-k2 '
Используя далее связь A18,31) между мнимой частью ампли-
амплитуды рассеяния вперед и полным сечением
§ 124] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ МОМЕНТОВ 593
можно преобразовать A23,28) к виду
Re Ао (к) - Ао (оо) = -±? 9> J ikJky{kJ?k' - 2 Re JJ pm. A23,30)
0
Равенства A23,28) и A23,30) называются дисперсионными соот-
соотношениями для амплитудьг рассеяния вперед.
§ 124*. Матрица рассеяния в плоскости комплексных моментов
В § 123 было показано, что аналитическое продолжение
матрицы рассеяния с вещественной оси волновых чисел k = <7i
в комплексную плоскость k = qx + Щъ позволяет связать ряд
важных свойств квантовых систем с особенностями матрицы рас-
рассеяния в комплексной плоскости k. В центрально-симметричном
поле матрица рассеяния зависит как от волнового числа k, так
и от квантового числа /, определяющего орбитальный момент.
Поэтому интересно исследовать поведение матрицы рассеяния
при ее аналитическом продолжении в комплексную плоскость "/.
В этой плоскости только целочисленные значения /==0, 1, 2, ...
соответствуют реальным орбитальным моментам системы.
При исследовании аналитических свойств матрицы рассея-
рассеяния в плоскости комплексных значений I удобно ввести вели-
величину % = I + 'Аг- Тогда реальным моментам будут соответство-
соответствовать значения %= 1ь 3/г. ••• При этом уравнение A09,5) для
радиальной функции Ri(r) преобразуется к виду
{-?¦+^-^7^— #(г) }*(*,*; г)-0, A24,1)
где функция R(k,X;r) удовлетворяет граничному условию
) =0. A24,2)
г-»о
Рассмотрим вначале s-состояние. Тогда уравнение A24,1)
и условие A24,2) принимают вид
4»: 0\=0.' A24,4)
Если на бесконечности потенциал спадает быстрее г~2, то
уравнение A24,3) имеет два независимых решения f(k, '/г; г)
и f(—k, '/г; г), удовлетворяющих граничным условиям
f(±k, ~; r) ~>e*tkr, или Hme±'fe'f (± k, j', r) = 1. A24,5)
594 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Такие решения называются решениями Поста. Они удовлетво-
удовлетворяют интегральному уравнению
оо
s\nk(r'-r)U(r')f[k,\;r')dr'.
A24,6)
Из решений Йоста можно составить линейную комбинацию,
образующую функцию
«{k^'r)=m^r[f(-Vf(k>r>r)-nw(-k, 1;,)].
A24,7)
удовлетворяющую граничному условию A24,4), если
f(k)^f(k,4i;O) и f(-k)^f(-k,42;0). A24,8)
Функции A24,8) называются функциями Йоста.
Учитывая A24,6), мы убедимся, что при /-->оо функция
A24,7) принимает асимптотический вид
, 2'г) 2k [e f(-k)e
Сравнив это выражение с A09,7) при / = 0, находим, что функ-
функции Йоста A24,8) связаны с матрицей s-рассеяния соотно-
соотношением
so(*) = 71=*r A24'9)
Учитывая равенство f(—k) =f*(k) и связь S0(fe) = e2'6°(fe' ма-
матрицы рассеяния с фазой рассеяния, находим
бо (k) = arg f (k), т. е. б0 = q> (k), если f (k) = /|7Щ| el<*».
Решения Йоста для общего уравнения A24,1) обозначим
через f(±k, X; г). Они должны удовлетворять граничным усло-
условиям
\ime±ikrf(±k,l; r)=l. A24,10)
г-»оо
Решение уравнения A24,1), удовлетворяющее граничному усло-
условию A24,2), можно выразить через решения Йоста
* {k> К> Г) = 2kf(-k,l) V (~ *• К) f ik> К] Г) ~ f (fe' %) f (~ k' %' Г)]'
A24,11)
где
— функции Поста.
§ 124] МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ МОМЕНТОВ 595
Асимптотическое значение A24,11) при г-*оо в соответствии
с A24,10) принимает вид
A24Д1а)
Сравнивая это выражение с A09,7), находим связь матрицы
рассеяния с функциями Йоста
S (К k) = e"? *"*» F^L-. A24,12)
Предположим теперь, что к принимает произвольные ком-
комплексные значения, и исследуем поведение полученных выше
выражений на комплексной плоскости X Можно показать, что
функция Йоста f(k, X) является аналитической функцией в полу-
полуплоскости Re Я, > 0 и удовлетворяет равенству
f (Л, А) = П-*'.*•)• A24,13)
Из равенства A24,13) и выражения A24,12) следует усло-
условие комплексной унитарности матрицы рассеяния
S'(k\ r)=S"'(fe, к).
Согласно A24,12), при фиксированном k матрицы рассеяния
имеют полюсы при значениях Xj(k), удовлетворяющих уравнению
f(_*,A) = O. A24,14)
Эти полюсы называются полюсами Редже. Если уравнение
A24,14) имеет одно решение для каждого вещественного k2, то
функция kj(k) изображает на комплексной плоскости Я, кривую,
которую называют траекторией Редже. При наличии несколь-
нескольких решений уравнения A24,14) каждому решению соответствует
своя траектория Редже. Если функция X(k) вещественна при
k2 <; 0, то ее полуцелым положительным значениям будут соот-
соответствовать связанные состояния системы. Комплексным значе-
значениям k(k) при k2 > 0, вещественная часть которых близка к
полуцелым значениям, а мнимая мала, соответствуют резонансы
в системе.
Если k = —1<72, то значения <$', удовлетворяющие равенству
будут определять связанные состояния с энергией Е— — (
и орбитальным моментом, соответствующим квантовому числу I.
596
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
(ГЛ. XIV
¦ В качестве примера рассмотрим траектории Редже для ча-
частицы, движущейся в кулоновском поле V(r)= — Ze^jr. Как
было показано в §111, фаза bi{k) кулоновскрго рассеяния опре-
определяется формулой A11,21), следовательно, матрица рассеяния
выражается формулой
• A24,15)
где
kh*
A24,16)
I
Если аналитически продолжить выражение A24,15) на область
комплексных значений / == l(k), то полюсы S-матрйцы будут
соответствовать таким зна-
значениям I = l(k), при кото-
которых аргумент гамма-функ-
гамма-функции Г(/ + 1 + t?) равен ну-
нулю или целому отрицатель-
отрицательному числу, т. е.
-V.
v=0, I, 2, ... A24,17)
Каждому значению v будет
соответствовать своя траек-
траектория Редже. Те места этой
траектории, в которых l(k)
Принимает ЦвЛЫе ЗНЭЧеНИЯ
/
Рис. ?5, Две первые траектории Редже для р Ц
водородного атома. Кружки иа кривых изо- / __ n i rtvnvT
Сражают реальные состояния. и» »>•••» "УДУ»
ветствовать связанным
стояниям. Согласно A24,16) и A24,17), такие состояния имеют
волновое число
со-
соk=-
и энергию в атомных единицах
~~ 2ц ( Й2 ) ~~
v=0, 1, 2, ... A24,18)
Сравнивая A24,18) с C8,14), мы убедимся, что эти выражения
совпадают и число v является радиальным квантовым числом
пт, определяющим число узлов радиальной волновой функции
стационарных состояний водородоподобного атома. На рис. 25
изображены две первые траектории Редже для значений v = О
и v = 1.
$ 125] ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ 597
§ 125. Потенциальное и резонансное рассеяние
В § 123 было показано, что процессам распада квазиста-
квазистационарных состояний отвечают нули матрицы рассеяния при
комплексных значения ko = qx— iq2, <7i >0, q2>0, которым
соответствуют энергии
? = ?о-уГО) A25,1)
где
2JI
Го== »—' A25,2)
Исследуем более подробно вид матрицы рассеяния для энергий*
близких к ?о. Согласно A24,12) и A24,13), при фиксированном
вещественном / матрица рассеяния как функция волнового чи-
числа k выражается через функции Йоста
S/(A) = (-O'Tf^- = (-O'7^-. A25,3)
Волновое число k0 распадающихся состояний удовлетворяет
уравнению f(k0) = О, поэтому, разлагая функцию Иоста в обла-
области значений к0 и ограничиваясь учетом только линейных чле-
членов, получаем
Следовательно, при k та k0 матрица рассеяния A25,3) прини-
принимает вид
Введем обозначения
fi2fe2 f — ЬЧЯ1 г—
Тогда выражение A25,4) преобразуется к виду
Sl (k) s eMi = e2i6'@) ( 1 ^—r— \ . A25,6)
( E + ±]
Второе слагаемое в A25,6) имеет резонансный характер. Вели-
Величины Ет и Гг называют, соответственно, энергией и шириной ре-
резонанса. Сравнивая A25,5) и A25,2), мы убедимся, что при
<7г •< <7i они связаны с энергией и шириной квазистационарного,
уровня соотношениями
Из A25,6) следует, что при Е — Ег >• Гг фазовое смещение
! = бг(О). Следовательно, 6i@) определяет фазовое смещение
598 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
вдали от резонанса. В окрестности резонансного уровня, исполь-
используя равенство
¦^=у = exp {2i arctg *},
из выражения A25,6) получаем
6, = 6, @) - arctg 2{/lEr) • A25,7)
Это равенство указывает, что возрастание Е при переходе
через значение Ег сопровождается изменением bi на п. Первое
слагаемое в A25,7) называется фазой потенциального, а вто-
второе— резонансного рассеяния (см. также § 120).
Зная элемент матрицы рассеяния, можно с помощью A09,13)
вычислить сечение упругого парциального рассеяния
Г 2*6,@) _1 р2 1
i L-L+ ' ! A25,8)
?-?г + ^Гг (? ?г) +Г/4 [
Первое слагаемое в A25,8) описывает потенциальное рассеяние.
Если 6г@) •< 1, то сечение потенциального рассеяния
6ПО). A25,9)
В случае s-рассеяния на бесконечно высоком потенциальном
барьере радиуса R, согласно § ПО, фазовое смещение бо(О) =
= —kR, следовательно, сечение потенциального рассеяния
а|;от =
совпадает с поперечным сечением барьера.
Третье слагаемое в A25,8) описывает резонансное рассея-
рассеяние. При резонансной энергии Е = Ет оно достигает максималь-
максимального значения
При ? = ?г±Г/2 сечение резонансного рассеяния равняется
половине максимального значения A25,10). Согласно A25,7),
при резонансе фаза резонансного рассеяния
где п — положительное или отрицательное целое число.
Второе слагаемое в A25,8) описывает интерференцию между
резонансным и потенциальным рассеянием.
§ 126] КОГЕРЕНТНбЁ И НЕКОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ tflj,
§ 126. Когерентное и некогерентное рассеяние
медленных нейтронов
Если нейтроны (или другие частицы) рассеиваются веще-
веществом с упорядоченной структурой и длина волны сравнима с
расстоянием между ядрами, то в рассеянии наблюдаются интер-
интерференционные эффекты. Поскольку расстояние между ядрами
в твердых и жидких телах порядка ~ 10~8 см, то указанные
выше условия выполняются для нейтронов с энергией, не пре-
превышающей 0,025 эВ (что соответствует длине волны ~ 1,8 X
X Ю~8 см). Такие нейтроны называют тепловыми нейтронами.
Для тепловых нейтронов безусловно выполняется неравен-
неравенство ka <С 1, где а — размер атомного ядра. Поэтому тепловые
нейтроны являются медленными нейтронами и их рассеяние на
отдельном ядре возможно только в состояниях, описываемых
парциальными волнами с / = 0. Следовательно, рассеяние теп-
тепловых нейтронов сферически симметрично. Для данной энергии
относительного движения и определенного спинового состояния
рассеяние характеризуется матрицей рассеяния с одним отлич-
отличным от единицы матричным элементом So, так что соответствую-
соответствующая волновая функция задачи рассеяния может быть записана
в виде
ц, (Г) = А (в-«г _ soe'ft0-' A26,1)
Чтобы найти связь между элементом матрицы рассеяния SQ и
амплитудой рассеяния, выделим из асимптотического значения
волновой функции задачи рассеяния
парциальную s-волну, которую обозначим через %). Учитывая,
что при больших значениях z
находим
*°= щ [e~'kr ~A + mA) eikr]- A26'2)l
Сравнивая A26,2) с A26,1), получаем искомое соотношение
S0=\+2ikA. A26,3)>
Это соотношение следует непосредственно и из A09,10). Ампли-
Амплитуда рассеяния А является комплексным числом. Полагая
А = а + »"Р, находим сечение упругого рассеяния
^ +р2), A26,4).
600 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
и сечение реакции
or = -j?r(l-\So?) = ^L-4n(a* + P)=,lf—ae. A26,5)
Из A26,4) и A26,5) следует, что полное сечение рассеяния и
реакции (в соответствии с оптической теоремой A18,31)) зави-
зависит только от мнимой части амплитуды рассеяния
§?=-*j8-. A26,6)
Если известны сечения упругого рассеяния ое и полное сечение
рассеяния аи то из A26,4) и A26,6) можно определить значение
р и значение вещественной части амплитуды рассеяния а (по-
(последнее с точностью до знака). Таким образом,
+'3f. <>ад
. Если амплитуда рассеяния не зависит от спинового состоя-
состояния системы, то рассеянная волна будет когерентной по отноше-
отношению к падающей волне, т. е. между ними возможна интерферен-
интерференция. Если амплитуда рассеяния зависит от спинового состояния
системы, то не все рассеяние является когерентным по отноше-
отношению к падающей волне. Возникающая при рассеянии некоге-
некогерентность может быть названа спиновой некогерентностью, так
как она обусловлена зависимостью рассеяния от спина системы
двух сталкивающихся частиц. Перейдем к исследованию спино-
спиновой некогерентности.
Если ядро-мишень имеет спин, равный /, то соответственно
двум возможным спиновым состояниям системы / = /.+ V2.
/—'/г рассеяние тепловых нейтронов будет определяться двумя
амплитудами рассеяния А+ и Л_. Введем проекционные опе-
операторы
. I+1 + 2IS /-2/7 /юс ох
Ч Ч Г. <126'8>
Если учесть, что / = Г-^ s и 2Is = Р — Р — s^, то легко убе-
убедиться, что действие проекционных операторов A26,8) на спиг
новую функцию системы %JM определяется следующими равен-
равенствами:
если /=/ + 1/».
0, если / = / + 78,
если /==/ —V».
§ 126] КОГЕРЕНТНОЕ И НЕКОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ 601
так как
I -(/+1)
для / = / + V2,
для / = 1 — V2.
С помощью проекционных операторов A26,8) можно записать
волновую функцию относительного движения нейтрона и ядра
в виде
где
Л>ФФ = ЧА+ + Ч-А- = ^ТТТ {(/ + 1) Л+ + 1А~ + (+
A26,9)
Часть амплитуды рассеяния A26,9), равная
Лог = B/ + 1Г1 {(/ + 1) А+ + IA-], A26,10)
носит название амплитуды когерентного рассеяния, а остав-
оставшаяся часть
A26,11)
носит название амплитуды некогерентного рассеяния. Амплитуда
некогерентного рассеяния равна нулю, если А+ — Л_, т. е. в тех
случаях, когда амплитуда рассеяния не зависит от спинового
состояния. Так, например, для всех четно-четных ядер (спин
7 = 0) Авк = 0. Очень малое значение Ли< имеет ядро Be9 и не-
некоторые другие нечетные ядра.
Скалярное произведение операторов Is, входящее в ампли-
амплитуду некогерентного рассеяния, можно преобразовать к виду
/ * = hsz +1 (/* + Ну) (sx - isy) + y Их - И у) (sx + iSy). A26,12)
Как показано в § 40, операторы Ix + ilv и /ж — Ну, соответственно
увеличивают и уменьшают на единицу проекцию момента ко-
количества движения на ось z. Поэтому два последних оператора
в A26,12) соответствуют переориентации спина нейтрона.
Сечение упругого, рассеяния на одном ядре, усредненное по
спиновым состояниям, определяется выражением
ое = 4л <| Лэфф Р> = 4я <| Акот + Bl2 р>,
где
В = 2 B1+ I) (А+ - А-). A26,13)
Если ориентации спинов нейтрона и ядра не коррелированы,
то (Is) = Q, а
<602 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
так как (s2) = (s2 ) = (s|) — llt. Таким образом, усредненное по
-спиновым состояниям сечение упругого рассеяния можно запи-
записать в виде
<*е = Окот + Онк.
¦где
аког = 4я| Лког |2= 4я| -±±±- А+ + -^гг А- f • A26,14)
ог« = 4лВ2 ((/sJ> = У^^Р I Л+ - Л_ |2. A26,15)
Общее сечение упругого рассеяния нейтронов на ядре равно
1Л_|2}. A26,16)
Вычислим теперь усредненное по спиновым состояниям сече-
сечение рассеяния тепловых нейтронов двумя одинаковыми ядрами с
некоррелированными спинами. Амплитуда рассеяния нейтронов
.каждым ядром, согласно A26,9), может быть записана в виде
-где /4К0Г и В определены соответственно A26,10) и A26,13).
Поэтому
¦ае A, 2) = 4я (| Лэфф A) + Л9фф B) j2) =
= 4я| Лког A) + Лкот ; ig
Вследствие некоррелированности спинов ядер ((/|«) (^s)) = 0,
таким образом, ((JiS + /2sJ) = 2 ((/isJ). Поэтому получаем окон-
окончательно, используя обозначения A26,14) и A26,10),
ае A, 2) = 2вик + 4п | Лкрг A) + Лкот B) |2. ^
Итак, в сечение упругого рассеяния амплитуды некогерентиого
рассеяния дают независимый вклад, поэтому суммируются сами
сечения. Часть же сечения, соответствующая когерентному рас-
¦сеяйию, получается путем суммирования амплитуд рассеяния и
лоследующего возведения в квадрат модуля этой суммы.
Кроме рассмотренной выше спиновой некогерентности, неко-
герентное рассеяние наблюдается во всех случаях неупругого
рассеяния.
§ 127*. Когерентное рассеяние нейтронов
кристаллическим веществом
Как было показано в предыдущем параграфе, при рассеянии
медленных нейтронов системой ядер интерференционные явления
•определяются только когерентной частью амплитуды рассеяния.
Вычислим теперь влияние пространственного распределения ядер
§ 127] КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ 603
в кристаллическом веществе иа когерентное рассеяние медлен-
медленных нейтронов. Для простоты предположим, что кристалл со-
состоит из одинаковых атомов, и масса этих ядер очень велика
(чтобы не учитывать изменение их энергии движения при рас-
рассеянии (см. § 126)). Далее предположим, что положения ядер
в кристалле определяются векторами решетки
з
п=2а*Пь A27,1)
где пи «2, <*з — базисные векторы единичной ячейки кристалла;
tii пробегают целочисленные значения, удовлетворяющие нера-
неравенствам
2~ < Hi ^s -jj~ • * = * > А <>>
N1N2N3 — N — полное число ядер в кристалле.
Если обозначить волновой вектор нейтрона перед рассеянием
через k, а после рассеяния через h' (при этом |ft'| = |ft|), то
в соответствии с результатами предыдущего параграфа можно
написать следующее выражение для дифференциального сече-
сечения, отнесенного к одному ядру, упругого рассеяния нейтронов
кристаллом
doW)—JL V л (я\\ _|_1 А Р H27 2V
dQ — n ZiakotW| -t-1 ^ик Г. KUi,*Y
где AKOr(n) — амплитуда когерентного рассеяния (в направле-
направлении ft') нейтрона ядром, находящимся в точке п; 2 здесь и в
я
дальнейшем обозначает суммирование по всем атомам кристал-
кристалла, содержащего один атом в элементарной ячейке.
Обозначим амплитуду .когерентного рассеяния ядром, нахо-
находящимся в начале координат (л = 0), через А, тогда для s-pac-
сеяния амплитуда когерентного рассеяния ядром, находящимся'
в точке л, будет отличаться от А только фазовым множителем,
учитывающим разность фаз волн, рассеянных обоими ядрами,,
т. е.
Лког («) = А ехр {in (ft - k')}. A27,3>
Подставляя A27,3) в A27,2), получим дифференциальное сече-
сечение упругого когерентного рассеяния
A27,4>
€04 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ ' (ГЛ. XIV
Для вычисления A27,4) удобно выразить волновые векторы к
и ft' через базисные векторы обратной решетки Ьи Ь2, Ь3, свя-
связанные с векторами прямой решетки «ь «2, «з соотношениями
6, = V~l [а2 X в3], Ь2 = V~\ [щ X «Л, ; 63 = V~l [а, X «2J, •
где V = «1 [а2 X аз1 ~ объем элементарной ячейки прямой ре^
з
шетки; при этом Vbx [Ь2 X *з! = 1- Полагая ft — ft' = 2(*( — #) *t
и учитывая, что alb/ = 6l/, получим
з.
„ (й _ k') = %щ (kt - k't).
Подставляя последнее равенство в A27,4), находим
-Щт = Ц?-Р(к-к'), A27,5)
где
1=1
sin2
fe-x
l J
A27,6)
— так называемый структурный фактор. При N -*оо
з
F (ft — ft') = П [2nNfi (ft, — k\ — 2nt\\, A27,7)
где ti — целые числа. В равенстве A27,7) аргументами дельта-
функции являются компоненты вектора в системе координат
с базисными векторами обратной решетки. Если ввести декар-
декартовы координаты kx, ky, kz тех же векторов, то
з
TI &(ki — k't — 2ят()= V~lb(k — k' — 2ят),
следовательно,
F (ft - ft') =Bя>ЗЛГ 6 (ft - ft' - 2ят), A27,8)
з
где t — 2: fibi — вектор обратной решетки, определяемый через
базисные векторы Ьг обратной решетки и целые числа п, назы-'
ваемые миллеровскими индексами отражающих брегговских
плоскостей. Каждому вектору обратной решетки i соответствует
семейство параллельных' кристаллических плоскостей, уравне-
§ 127] КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ 605
3 :
ния которых х 2 Vial = nt, где vi, V2, V3 и т — целые числа. Рас-
1
«=1
стояние между соседними такими плоскостями d=|t[~'.
В случае простой кубической решетки с ребром куба а
d^a{t\ + xl + x%-\ т„ х2, т3 = 0, 1, 2, ...
Учитывая A27,8), получим отнесенное к одному ядру дифферен-
дифференциальное сечение упругого когерентного рассеяния нейтронов
большим монокристаллом (N —>оо) в виде
Из A27,9) следует, что дифференциальное сечение рассеяния
имеет резкие максимумы в направлении векторов к', удовлетво-
удовлетворяющих условиям
ft —Л'=2ят, |fc|=|ft'|, A27,10)
которые называются условиями Брегга.
Условия Брегга выполняются всегда для рассеяния вперед
{k = k'), когда t — 0. Обычно, однако, рассеянием называют
отклонение нейтронов от первоначального направления движе-
движения, поэтому случай х = 0 будет исключаться. Для кристаллов
конечных размеров дельта-функция A27,9) должна быть заме-
заменена функцией A27,6), имеющей максимумы с конечной угло-
угловой шириной, по порядку величины равной (kL)~2, где L — ли-
линейные размеры монокристалла.
Если упругое рассеяние нейтронов изучается на поликристал-
поликристаллах, то дифференциальное сечение, рассеяния можно получить
из A27,9) при усреднении по всём направлениям вектора т при
заданной его абсолютной величине. При фиксированном аначе^
нии г определенному волновому вектору падающих нейтронов ft
будут, согласно A27,10), соответствовать направления ft', обра-
образующие с направлением ft угол G, удовлетворяющий условию
sin|-=-5-p или 2dsin-| = X, A27,10a)
где d—lfx — расстояние между брегговскими плоскостями в
кристалле. Из A27,10а) непосредственно следует, что вклад в
рассеяние будут давать только значения х, удовлетворяющие
неравенству
х < — или .% < 2d.
я
Следовательно, для нейтронов с длиной волны, превышающей
удвоенное наибольшее расстояние между кристаллическими
плоскостями, брегговское условие для рассеяния с G ф 0 не
606 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ 1ГЛ. XIV
выполняется ни для одного из микрокристаллов. Такие нейтроны
проходят через кристалл, почти не рассеиваясь в стороны. На
этом свойстве основано действие фильтров, обрезающих в про-
проходящем пучке нейтронов коротковолновую область спектра.
В качестве фильтров берутся микрокристаллические вещества,
обладающие малым поглощением нейтронов и только когерент-
когерентным рассеянием. Часто используют окись бериллия (d = 4,4A),
или графит (d = 6,7А).
Предположим теперь, что кристалл состоит из ядер элемента,
обладающего несколькими изотопами, распределенными по
узлам правильной кристаллической решетки. Допустим, что
массы ядер бесконечно велики, спины равны нулю и свойства
рассеяния нейтронов изотопом, находящимся в n-м узле, опре-
определяются амплитудой рассеяния А„. Тогда сечение рассеяния
(отнесенное к одному ядру) в единицу телесного угла в направ-
направлении ft' будет равно
| A27,11)
I
Введем среднее значение амплитуды рассеяния
А=~^АК, A27,12)
л
тогда
A27,13)
n
Подставляя A27,13) в A27,11), можно написать
da (kr) / dg(k')\ . / da (kr) \
dQ \ dQ /ког \ dQ /дифф'
где
A27,15)
— сечение когерентного рассеяния, совпадающее с A27,4). Оно
сильно зависит от угла рассеяния, имея резкие максимумы для
направлений, удовлетворяющих условиям Брегга A27,10). Из
A27,15) следует, что когерентной амплитудой рассеяния яв-
является среднее значение A27,12) амплитуд рассеяния отдельных
изотопов.
Второе слагаемое в A27,14) имеет вид
(ж)ДИФФ=
п п'
— jj- 5] exp {im (ft — ft')} 5) А А„+т ?ьА'п.
§ 128] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ 607
При беспорядочном распределении изотопов по узлам решетки
для каждого значения тфО, ДЛЯ и ДЛя+т независимы, по-
поэтому 2 ДЛя+т ДЛя = 0, и сечение рассеяния
не зависит от угла рассеяния и может быть названо диффузным
изотопным рассеянием, обусловленным изотопической некоге-
некогерентностью. Если все изотопы, входящие в состав кристалла,
имеют одинаковую амплитуду рассеяния, то изотопическая неко-
некогерентность отсутствует.
§ 128*. Упругое рассеяние медленных нейтронов
кристаллами с учетом колебаний атомов
При исследовании упругого рассеяния нейтронов кристаллом
с учетом колебаний атомов около положения равновесия удобно
использовать аналитическое выражение энергии взаимодействия
медленного нейтрона с отдельным ядром в виде ядерного псевдо-
псевдопотенциала, введенного Ферми [120]
A28,1)
где А — амплитуда рассеяния медленного нейтрона ядром. По-
Потенциал A28,1) выбран так, чтобы уже в борновском прибли-
приближении эффективное сечение рассеяния правильно выражалось
через амплитуду рассеяния. Действительно, подставляя A28,1)
в A08,5), имеем
Итак, оператор взаимодействия медленного нейтрона с кри-
кристаллом, состоящим из ядер одноизотопного элемента со спи-
спином нуль, можно записать в виде
^{r~Rn), A28,2)
где Rn—радиус-вектор, определяющий положение ядра в кри-
кристалле. Если базисные векторы единичной ячейки кристалла
<*ь U2, а3, то Rn = п -\- ип, где вектор я = 2 niai указывает узел
решетки, а вектор смещения ип характеризует отклонение ядра
от равновесного положения в n-м узле.
При не очень высоких температурах потенциальная энер-
энергия (П) колебаний атомов кристалла представляет собой
608 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ (ГЛ. XIV
квадратичную функцию смещений ядер из положений равнове-
равновесия и может быть записана в виде суммы квадратов
П =4 !]«>%. A28,3)
/9
где\^—нормальные координаты, связанные со смещениями из
положений равновесия соотношениями
«-=Y-ш 2 e***f {qn)> A28>4)
i.4
здесь М — масса ядра;
{sin (an), если q3 > 0,
, : ^ * A28,5)
cos fan), если q3<0; v
eqJF(qn)—плоские стоячие волны с волновым вектором q и по-
поляризацией /, характеризуемой тремя единичными взаимно орто-
ортогональными векторами eQj для каждого вектора q. Вектор q
определяется равенством
1=1
где bi — введенные в § 127 базисные вектрры обратной решетки;
г], — целые числа, удовлетворяющие неравенствам
IV 1 j, ^^ iV I • 4 Л П •
j-<T)f<;-jr, *=1, 2, 3. .
Легко убедиться, что функции F(qn) удовлетворяют соотно-
соотношению V F (qn)F(qnr) —-к Л^6ЯП'.
ч
ч
В дальнейшем для простоты записи вместо двух величин q
и / будем пользоваться одним индексом s = (q, /); тогда A28,4)
примет вид
Un = У
Волновая функция, описывающая колебательное состояние,
соответствующее энергии 2^fi>svs при определенном наборе
s
квантовых чисел {vs} осцилляторов, будет иметь вид
<pv I—) — нормированная волновая функция гармонического
§ 128] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ 609
осциллятора типа s, соответствующая состоянию с квантовым
ЧИСЛОМ Vs.
Начальное состояние системы, состоящей из кристалла и
нейтрона с энергией h2k2/B\i), в первом приближении можно
изобразить волновой функцией
I а) = Фре) exp {ikr},
а конечное состояние — функцией
В борновском приближении вероятность перехода в единицу
времени из начального состояния \а) в конечное состояние \Ь)
с направлением волнового вектора нейтрона ft' под влиянием
возмущения A28,2) равна
A28,6)
где
<ЫУ|а) = --^УехрОп(Л-*0}~ПХ\, (»)• A28-7>
М ' (n)= exr>\i(k — k')esysF(qn)l/ -тттг Ф 'Ф dy ; A28,8)
dp (Eb) ц/г'
- ' = /n >, t.—плотность числа конечных состоянии на еди-
ницу телесного угла и энергии. Если воспользоваться свой-
свойствами нормированных волновых функций гармонического ос-
осциллятора, то можно показать [121], что
MMlij(i)= ехр (—2~1 Фл+\ (—j фп (— j dy =
. A28,8а)
v!
Матричные элементы A28,8) получаются из A28,8а), если по-
положить
Величина х ~ N~'1', поэтому при больших значениях N в
ряду A28,8а) следует сохранять только члены с наименьшими
20 А, С. Давыдов
610
значениями х
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
(ГЛ. XIV
) = 1 Qs2 (vs + j) Я fon);
Mvs-u vs (n) = - iQ Ylf F <«">'
A28,9)
где
2fi
MNms '
A28,10)
Разделив A28,6) на скорость падающих нейтронов — и
число ядер в кристалле N, получим эффективное сечение рас-
рассеяния в единицу телесного угла, отнесенное к одному ядру,
da
du
A28,11)
При упругом рассеянии k' = k и v^ = vs. Подставляя A28,7)
при этих значениях в A28,11), находим
dQ
_\А\*
N
— ft')}
М2,
A28,12)
где
Учитывая, что при х малом, 1 — х fa e~x, можно преобразовать
последнее выражение к* виду
Далее, пользуясь определением функций F(qn) A^8,5) можно
при суммировании по s (напомним, что суммирование по s
включает суммирование по всем значениям q) объединить по-
Дпарно члены, отличающиеся только знаком qs. Тогда, учтя, что
находим
Для сравнения с экспериментальными результатами необхо-
необходимо усреднить полученное выражение по всем начальным со-
состояниям колебаний решетки. В результате такого усреднения
квантовые числа vs в A28,13) заменяются ifa средние значения
$ 128] УПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ КРИСТАЛЛАМИ 611
I ha IT *\"~' т
vs:=\e sl —l; , где у—температура кристалла в энергети-
энергетических единицах.
Итак, эффективное сечение упругого рассеяния нейтронов
кристаллом, отнесенное к одному ядру, принимает вид
d° U|2 ^ - ~ ^2exp(-2W), A28,14)
dQ N
? exp {/«(*-*')}
SK + t)Q5- A28,15)
где
№ = —
4
s
Сравнивая A28,14) с выражением A27,15), полученным в § 127
для случая ядер, закрепленных в узлах решетки, мы убедимся,>
что учет возможности смещений ядер из их равновесных поло-
положений приводит к уменьшению эффективного сечения рассея-
рассеяния на величину ехр(—2W). Этот множитель зависит от тем-
температуры и свойств кристалла.
Для вычисления явного вида W используем упрощенную мо-
модель колебаний решетки — модель Дебая, в которой скорость
звуковых волн в твердом теле предполагается независимой от
поляризации. В этом случае, подставляя в A28,5) значение
A28,10), легко выполнить суммирование по поляризации фоно-
нов, так как
следовательно,
J^'Vl^, A28,i6)
ч
где 2 обозначает суммирование по всем возможным часто-
я
там нормальных колебаний. Учитывая, что в объеме V в интер-
интервале частот со, со -f- dca содержится 2 2 — нормальных колеба-
колебаний определенной поляризации, можно перейти от суммы к ин-
интегралу и написать
«"макс
2vo V Г
-3- = 0 о з A-T-2v)cud(o, A28,17)
q q 0
где «>з кс = 6я2с3-it- определяется из условия
S-
мак
J
20*
612 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ [ГЛ. XIV
Подставляя значение v в A28,17), преобразуем A28,16)
к виду
о Г о "макс
2ЛКомакс L 4 J ехр (Йа/Г) - 1J '
При упругом рассеянии (ft — ft'J = 4&2sin2(ft/2), где Ф— угол
рассеяния. Полагая далее йсомакс = в (температура Дебая в
энергетических единицах), получим
A28,18)
где
Легко убедиться, что
* yf, если Т < в;
-J-, если Г>0.
Множитель W приводит к ослаблению упругого когерентного
рассеяния для всех углов рассеяния Ф Ф 0. Он возрастает с
ростом угла рассеяния, энергии нейтрона и температуры кри-
кристалла. При Т = в множитель W по порядку величины равен
{i/M, где ц-— масса нейтрона, а М — масса ядра рассеивателя.
Следовательно, для тяжелых ядер e~2w »1 и смещение ядер
из положения равновесия существенно не влияет на интенсив-
интенсивность когерентного рассеяния.
ГЛАВА XV
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ
И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
§ 129. Теория адиабатического приближения
Г1ри квантовомеханическом исследовании свойств молекул
и твердых тел приходится рассматривать системы, состоящие
из электронов и атомных ядер. Так как атомные ядра в десятки
и сотни тысяч раз тяжелее электронов, то в среднем они дви-
движутся значительно медленнее электронов. В связи с этим воз-
возникает возможность приближенного исследования свойств мо-
молекул и твердых тел, считая в нулевом приближении ядра
покоящимися, а в последующих приближениях учитывать дви-
движение ядер методами теории возмущений. Такое приближен-
приближенное рассмотрение носит название адиабатического прибли-
приближения.
Чтобы понять основные идеи метода адиабатического при-
приближения, рассмотрим систему, состоящую из некоторого числа
электронов с массой ц и атомных ядер с массой М. Совокуп-
Совокупность координат всех электронов относительно центра инерции
всей системы обозначим буквой г, а совокупность координат
¦ядер-—буквой R. Оператор Гамильтона, определяющий внут-
внутреннее состояние, системы, можно записать в виде
Н == TR + Тг + V (Г, R), A29,1)
где
г _ _ Л Y Л
2ц -"* dr,
i l
— оператор кинетической энергии электронов (легкие частицы);
— оператор кинетической энергии ядер (тяжелые частицы);
V(r,R) — оператор потенциальной энергии взаимодействия
между всеми частицами.
Адиабатическое приближение основывается на предположе-
предположении, что оператор кинетической энергии TR тяжелых частиц
можно рассматривать как малое возмущение. Напомним, что
ранее мы обычно считали оператором возмущения часть опера-
оператора потенциальной энергии. \
614 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ (ГЛ. XV
Итак, перепишем оператор A29,1) в виде
H = H0+TR, A29,1а)
где
H0=*Tr + V(r, R). A29,2)
Тогда в нулевом приближении, когда масса тяжелых частиц
рассматривается бесконечно большой, задача отыскания ста-
стационарных состояний системы сводится к решению уравнения
Шредингера
[H0-en(R)]4>n(R, /-) = 0 A29,3)
для фиксированных значений координат R тяжелых частиц.
Индекс п определяет совокупность квантовых чисел, характе-
характеризующих стационарное состояние. В каждом таком состоянии,
соответствующем определенному значению п, энергия системы
en(R) и волновые функции (fn(R,f) завиеят от координат тя-
тяжелых частиц R как от параметров* Таким образом, функции
фв (R, г) характеризуют состояния движения легких частиц при
фиксированном значении координат R или при бесконечно мед-
медленном изменении R (адиабатическое изменение).
Допустим; что мы знаем решения уравнения A29,3) (про-
(простейшие случаи решения аналогичных уравнений будут иссле-
исследованы в следующих параграфах); тогда нахождение стацио-
стационарных состояний системы с полным оператором Гамильтона
A29,1), т. е. решение уравнения
{H-E)W{R, г) = 0, A29,4)
можно искать в виде ' >
W (R, г) = 2 Ф» (#) Ф» (R, г), A29,5)
п
где (fn(R,f) — собственные функции оператора Яо адиабатиче-
адиабатического приближения. Поскольку оператор Яо может иметь как
дискретный, так и непрерывный спектр, то в A29,5) знак 2
п
следует понимать в обобщенном смысле как суммирование по
дискретным состояниям и интегрирование по непрерывным со-
состояниям.
Подставляя A29,5) в A29,4) после умножения на <$*m{R, r)
и интегрирования по координатам легких частиц, находим си-
систему уравнений "-
т№)-Е)Фт№)=%АтпФп№), A29,6)
§ 129] ТЕОРИЯ АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
где оператор
- J Ф; (/?, г) ГЛ (/?, г) dr. A29,7)
Система уравнений A29,6) является точной. Если оператор
A29,7) можно рассматривать как малый (условия этого будут
определены ниже), то систему уравнений A$9,6) можно ре-
решать методом последовательных приближений. В нулевом
(адиабатическом) приближении правая часть уравнения A29,6)
заменяется нулем. Таким образом, в адиабатическом прибли-
приближении система уравнений A29,6) распадается на систему неза-
независимых уравнений
[7> + ет {R)] Ф°тч (R) = E°m^°mv A29,8)
для каждого состояния движения легкой частицы, определяе-
определяемого квантовыми числами т. Из A29,8) следует, что движение
тяжелых частиц характеризуется потенциальной энергией
?m(R), которая соответствует энергии легких частиц уравнений
A29,3) при фиксированных положениях тяжелых частиц.
Итак, в^ адиабатическом приближении волновая функция
системы A29, 5) сводится к простому произведению
(Я.'->. A29,9)
т. е. каждому состоянию движения легких частиц, определяе-
определяемому квантовыми числами т, будут соответствовать состояния
движения тяжелых частиц, различающиеся квантовыми чис-
числами V. .
Адиабатическое приближение рправдывается в том случае,
когда решение точного уравнения A29,6) мало отличается от
решения уравнения нулевого приближения A29,8). Пользуясь
теорией возмущений, можно показать, что условие примени-
применимости адиабатического приближения сводится к выполнению
неравенства
|«|K)|<|?L-iw|, A29,10)
при т ф п н любых квантовых числах v и v\ Для более полного
исследования" этого неравенства рассмотрим более подробно
решения уравнения A29,8). Потенциальная энергия Em(R)
этого уравнения является энергией электронов в состоянии т
при фиксированных положениях координат ядер. Обозначим
через О полную совокупность "квантовых чисел состояний элек-
электронов в системе, соответствующих наименьшей энергии.
616 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ (ГЛ. XV
Энергия этого состояния eo(i?) будет функцией конфигурации
ядер R. Равновесная конфигурация ядер Ro определяется иа
условия минимума eo(R). Разлагая Eo{R) по степеням отклоне-
отклонений от положений равновесия и ограничиваясь квадратичными
отклонениями, можно после перехода к нормальным координа-
координатам написать в безразмерных координатах |s (§ 33)
*& A29Л1)
где ©so — частоты нормальных колебаний у положений равно-
равновесия, соответствующие состоянию электронов 0. Если прене-
пренебречь в операторе 7^ оператором вращения системы как це-
целого, то оператор Гамильтона уравнения A29,8) в состоянии
электронов 0 преобразуется к виду
где ео—постоянное слагаемое, соответствующее энергии eo(R)
при R == Rq. Другому состоянию движения электронов с кван-
квантовыми числами т будут соответствовать другие равновесные
положения ядер. В некоторых из этих состояний минимум энер-
энергии Em{R) осуществляется при распаде системы иа части. Та-
Такие состояния требуют специального исследования. Здесь мы
рассмотрим только случаи, при которых переход системы в но-
новое электронное состояние может сводиться только к измене-
изменению положений равновесия ядер и изменению частот нормаль-
нормальных колебаний. В этих случаях при разложении em(R) по сте-
степеням отклонений от положений равновесия, соответствующих
электронному состоянию 0, в разложении будут присутствовать
члены, пропорциональные первым степеням отклонений. По-
Поэтому при малых отклонениях от положений равновесия можно-
написать
где е,т — постоянное слагаемое; величины |sm определяют сме-
смещения положений равновесия при переходе электронов из со-
состояния 0 в состояние т. В состоянии 0 значения |so = O.
Учитывая равенство A29,12), можно преобразовать уравне-
уравнение, определяющее в адиабатическом приближении движение
ядер системы (без учета вращения системы) для электронных
состояний т, к виду
^mv==0' (I29'13>
=§ 12S1 ТЕОРИЯ АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 617
Оператор Гамильтона уравнения A29,13) представляет сумму
¦операторов Гамильтона гармонических осцилляторов с часто-
частотами (osm. Таким образом, состояние системы в адиабатическом
приближении характеризуется квантовыми числами т (опре-
(определяющими состояние движения электронов) и квантовыми
числами v. Последние мы используем для краткого обозначе-
обозначения набора квантовых чисел ns, каждое из которых указывает
-состояние гармонического осциллятора, соответствующего нор-
нормальному колебанию типа s, т. е..
f . " v = nlt п2, ...s={ns}-
Энергия системы в состоянии m{ns} будет равна
A29,14)
Волновая функция такого состояния изображается произведе-
произведением волновых функций отдельных осцилляторов и электрон-
электронной волновой функции, т. е.
I ю{лЛ> = Ф« (Яг) П-Х« &-!.«). A29,15)
S
гДе Xns (Is — Ism) — волновая функция гармонического осцилля-
осциллятора типа s, в котором колебания совершаются относительно
равновесного значения lsm-
.Для оценки величины матричного элемента
A29,16)
входящего в неравенство A29,10), отбросим в операторе A29,7)
мало существенное слагаемое, содержащее вторые производные
электронных функций по координатам ядер. Пренебрегая да-
далее изменением частот колебаний ядер при переходе электронов
в разные состояния, т. е. полагая coSm ~ «s, можно записать опе-
оператор кинетической энергии колебаний ядер в виде
= ~ * 2 J Фт(«г) -щ-^п(Нг)ёг &
¦следовательно,
Ф(«г) -щ-^(Нг)ёг ¦ & ~ =
%<us-^:+ ....• A29,17)
s
где матричный элемент
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
учитывает изменение волновых функций электронных. состоя-
состояний при изменении положения ядер, соответствующего нор-
нормальной координате типа s.
Учитывая равенство (см. B6,16))
— y 2 Xns~l
OCn,+i
и Ф%= Ylxns(
A29,16) в виде
можно записать матричный элемент
-/:
<s'=5bs)
Mns.ns+l
М
A29,19)
где
С fочностью до членов порядка (|s^ — |snJ матричные эле-
элементы М™„' равны нулю, если пгеФпе, ns±l. При n^ = rts,
По± 1 имеем
A29,21)
Мтп
ns, ns+l —
ns. ns-l = у
~
Если состояния v' отличаются от состояний v 'тем, что
«о = «0+1. а все остальные nrs = ns, то согласно A29,14) (без
учета изменения частот)
•С mv -С nv'== ^m ^n
При этом матричный элемент A29,19) принимает вид
<<Dmv | Дт„ |Ф^'> == 1ШоВтп (О) -
В этом случае неравенство A29,10) сводится к следующему:
I (о) 2z±± (gam _ |an) I <, ет - е„ - Й©0 |. A29,22)
§ 129] ТЕОРИЯ АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 619
Если состояние v' отличается от v тем, что n'a — tio— 1, а все
остальные n's = ns, то
а матриугаый элемент A29,19) имеет вид
Ф^>
J (О) Пв A„га — &,„).
Поэтому неравенство A29,10) можно записать в виде
| ha>aBmn(о)па{1ат -У1«| em-- в» + Йоа01. A29,23)
Из A29,22) и A29,23) следует, что достаточным условием
для применимости адиабатического приближения является ма-
малость частот колебаний ядер ©0 по сравнению с частотами, со-
соответствующими электронным состояниям, т. е.
Йсй0<|ет-е„|. A29,24)
Условие A29,24) является только достаточным, но не необходи-
необходимым. В некоторых случаях из-за малости Ьтп{о) и ||0та — |0П|
адиабатические условия A29,10) выполняются и при наруше-
нарушении условия A29,24).
Для оценки порядка величины энергии электронов в моле-
молекулах и энергии колебаний ядер можно воспользоваться сле-
следующими простыми качественными рассуждениями. Если ли-
линейные размеры, молекулы обозначить буквой й, то энергия
электронов в молекуле будет порядка
е~^. * A29,25)
Энергия колебаний ядер ?кол=Й ~\fk\M> где k—• коэффициент
упругости, определяющий потенциальную энергию колебаний
ядер. Поскольку потенциальной энергией для колебаний ядер
является (см. A29,8)) энергия электронов, то
следовательно,
./jjL'e. A29,26)
При многих вычислениях с волновыми функциями адиабати-
адиабатического приближения используются не функции A29,9), а функ-
функции
620 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
где Ro соответствует равновесной конфигурации ядер. Такое
приближение возможно лишь в том случае, когда среднее зна-
значение амплитуды нулевых колебаний УХ*2) около положения
равновесия значительно меньше размеров молекулы. Согласно
ft ft2
B6,19), {х2) ^-тг-=-мб—• Подставляя в это выражение
кол
значения A29,26) и A29,25), находим
В работе Борна и Оппенгеймера [122] энергия Молекулы вы-
вычислялась в виде ряда по степеням малого параметра т). Энер-
Энергия электронов имеет нулевой порядок по отношению к ij; энер-
энергия колебаний ядер пропорциональна if. Энергия вращения
молекулы пропорциональна i\\ так как, согласно A29,25),
й2
_ ц й2 и
§ 130. Молекула водорода
Перейдем к исследованию уравнения A29,3), определяю-
определяющего энергию электронов в молекуле при фиксированных зна-
значениях координат ядер (адиабатическое приближение). В ка-
качестве примера рассмотрим простейшую молекулу — молекулу
водорода, состоящую из двух ядер А и В, находящихся на рас-
расстоянии R, и двух электронов 1, 2 (рис. 26). Оператор Гамиль-
Гамильтона молекулы (без учета движения ядер и спин-орбитального
взаимодействия) можно записать в виде
4* \-ГА\ ГАЗ ТЪ\ ГВ2 T\1 K J
A30,1)
где индексы 1 и 2 относятся к электронам, а индексы А и В
относятся к ядрам.
Предположим, что атомы находятся на достаточно большом
расстоянии друг от друга. Тогда задача о решении уравнения
[H0-e(R)]<t(R, 1,2) = 0, A30,2)
определяющего стационарные состояния системы при фикси-
фиксированном положении ядер, может быть решена методом тео-
теории возмущений. К молекуле водорода этот метод впервые был
применен Гайтлером и Лондоном [123].
§ 130] МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА 62{
В методе Гайтлера — Лондона волновая функция молекулы
в нулевом приближении строится из волновых функций изоли-
изолированных атомов. Энергия системы в первом приближении
определяется средним значением оператора Яо в состоянии, со-
соответствующем волновым функциям нулевого приближения.
Волновая функция основного состояния молекулы образуется
из волновых функций основ-
основного (Is) состояния атомов во- V""*"^\~ ~ —-——=*?
дорода. При выборе волновой ^^ " —
функции нулевого приближе-
приближения надо учесть симметрию
волновой функции, следую-
следующую ИЗ ОДИНаКОВОСТИ Электро- Рис. 26. Условное обозначение расстояний
НОВ. ДВУМ ВОЗМОЖНЫМ СПИНО- МеВДУ ЭЛеКвТоИлаеГулеИводороЯдДаРаМИ * ' *
вым состояниям электронов:
синглетному (s) и триплетному (/) — соответствует два типа
координатных функций
<ps = [2A+ S2)]-1'2 W>A A) фв B) + ф„ B)>в A)}, A30,3)
Ф, = [2 A - S2)]-''2 {фл A) фв B) - *л B) Ц,в A)}, A30,4)
где
ЦА A) = (я«з)-'/' ехр (- -^1-); фв B) = (яо»)"^ ехр
^ B) = {паТ1'2 ехр (- ^f); фв A) = (яо»)"* ехр (- ^
A30,5;
а=Й2/(це2) — атомная единица длины;
{rM+rBl) A30,6)
о
— интеграл перекрывания волновых функций.
Значение S легко вычисляется путем перехода к эллиптическим коорди-
координатам
A30,7>
где ф — угол поворота вокруг прямой, соединяющей оба ядра. Элемент объема
в этих координатах имеет вид
их == %- (ц2 — v2) dp dv d»p.
Интегрирование должно проводиться в пределах
1 < ц < оо, — 1 < v < 1, 0 < ф < 2л.
622 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ (ГЛ. XV
Переходя к координатам ц, v, <p, можно A30,6) преобразовать к виду
оо 1 2л
J J J( ^) A308)
i -i
где p = Ц/а. При вычислении A30,8) мы использовали значения интеграла
ОО
Г
1
A30,9)
Для вычисления энергии системы в синглетиом и триплетном
спиновых состояниях в первом приближении теории возмущений
надо вычислить соответственно интегралы
= J
Подставляя в эти выражения A30,1), A30,3) и A30,4) и учи-
учитывая, что волновые функции A30,1) являются собственными
функциями операторов изолированных атомов, соответствую-
соответствующими энергии Ей, например
получим
'A^e = *e-2?,, = -2^J-. Д«ГГ^-2Е1х = -^( A30,10)
где \
f T-—r—T-\** + -T=*
r12 ГВ1 rA2j K
^lB)dx + -f-. A30,11)
Первый интеграл в этом выражении определяет среднее зна-
значение кулоновского взаимядействия ядра атома В с' электро-
электроном 1, создающим «электронную плотность» рлA) = — eij)^(l)
без учета корреляции, обусловленной симметрией волновых
функций A30,3) и A30,4). Второй интеграл определяет соот-
соответствующее взаимодействие электрона 2 с ядром атома А.
Численно этот интеграл равен первому интегралу. Третий ин-
интеграл в A30,11) определяет кулоновское взаимодействие обоих
электронов (также без учёта корреляции). Последний член
соответствует отталкиванию ядер. В целом величину Q назы-
называют интегралом кулоновского взаимодействия*
§ 130] МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА 623
Энергию взаимодействия, определяемую интегралом
J *л A) Фв B) -?¦ <фд B) фв A) dt -
A30,12)
принято называть обменной энергией, так как она соответ-
соответствует части кулоновского взаимодействия между электронами
и ядрами, связанной с корреля-
корреляцией в движении электронов,
возникающей из-за симметриза-
симметризации волновых функций в соответ-
соответствии с принципом Паули.
Интегралы Q и А являются
функциями расстояния между
ядрами. На рис. 27 изображена
зависимость энергий S&s и hfSt
в эВ как функций расстояния ме-
между ядрами (в атомных едини-
единицах p = R/a). Из рис. 27 сле-
следует, что при сближении атомов
водорода в синглетном спиновом
состоянии (антипараллельные
спины) происходит уменьшение
энергии вплоть до расстояний
Ко = 1,51 а, ПОСЛе ЧеГО При ДаЛЬ- для двух спиновых состояний: д^—три-
нейшем уменьшении расстояния
наступает резкое увеличение
энергии. При сближении атомов
водорода в триплетном состоя-
состоянии (параллельные спины) энергия A$°t монотонно увеличи-
увеличивается, что соответствует отталкиванию между атомами.
Итак, образование молекулы из атомов водорода возможно
только в синглетном спиновом состоянии. Равновесное расстоя-
расстояние между ядрами Ro в стабильной молекуле должно соответ-
соответствовать минимуму энергии A$°s. На основе теории возмущений
Гайтлер и Лондон получили для Ко значение 1,51 ао«* 0,80 А.
Экспериментальное значение Ко — 0,7395 А. Таким образом, со-
согласие между экспериментальным и теоретическим значениями
довольно плохое. Это связано с тем, что теория возмущений
применима только для расстояний к > Ко- Однако качествен-
качественные особенности взаимодействия между атомами водорода в
синглетном и триплетном спиновом состояниях передаются
Рис. 27. Зависимость энергии системы,
состоящей из двух атомов, водорода
плетное спиновое состояние; A$s—син-
глетиое спиновое состояние. Штрихами
показала экспериментальная кривая для
сииглетного спинового состояния.
624 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
правильно. Значительно лучшее согласие теории и эксперимента
можно получить на основе вариационных методов. Наиболее
простые вычисления были выполнены Вангом [124]. Для вычис-
вычисления энергии основного состояния молекулы водорода Ванг
использовал выражение типа A30,3), в котором функции i|u
и ярд соответствовали не функциям основного состояния атома
водорода с зарядом ядра Z = 1, а функциям основного состоя-
состояния атома с зарядом Z, который рассматривался как вариа-
вариационный параметр и определялся из условия минимума энергии
при фиксированном расстоянии между .ядрами. Для равновес-
равновесного расстояния между ядрами Ванг получил значение Ro =
= 0,76 А, что уже лучше согласуется с экспериментальным зна-
значением, указанным выше. Вариационный параметр Z соответ-
соответствовал значению 1,166. Путем выбора более сложных пробных
функций (содержащих 13 вариационных параметров) Джеймсу
и Кулиджу [125] удалось значительно улучшить согласие тео-
теории с экспериментом.
Разное взаимодействие атомов водорода в синглетном и
триплетном спиновых состояниях качественно легко понять, ис-
исходя из анализа координатных волновых функций A30,3) и
A30,4). Координатная функция A30,4),- соответствующая три-
плетному спиновому состоянию, имеет узел в плоскости, пер-
перпендикулярной линии, соединяющей ядра и расположенной по-
посредине между ними, так как в этой плоскости ipA(l)tyBB) =
= я|иB)я|)вA)- Наоборот, функция A30,3), соответствующая
синглетному спиновому состоянию, имеет наибольшее значение
в этой плоскости. Таким образом, в синглетном спиновом "со-
"состоянии (при р ~ 1) велика вероятность пребывания электро-
электронов между двумя ядрами. Электрическое притяжение между
электронами и ядрами приводит к связанному состоянию. На
расстояниях R <а электроны не могут йаходиться между яд-
ядрами даже в синглетном состоянии, поэтому наблюдается
отталкивание. В триплетном спиновом состоянии вероятность
нахождения электронов между ядрами мала для всех не очень
¦больших расстояний, поэтому наблюдается отталкивание, экс-
экспоненциально убывающее с расстоянием.
Разные свойства синглетного и триплетного состояний коли-
количественно определяются значениями «обменного» интеграла А.
Из вида этого интеграла A30,12) непосредственно следует, что
его подынтегральное выражение отлично-от нуля только в тек
точках пространства, где произведение функций я|)аA)^вA) и
ФаB)я|)вB) отлично от нуля, т. е. в области «перекрывания»
электронных волновых функций обоих атомов. Поскольку зна-
значения волновых функций экспоненциально убывают на боль-
больших расстояниях, то на больших расстояниях значение А экс-
экспоненциально уменьшается с расстоянием.
§ 130] МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА 625
Рассмотрим количественные значеиия интегралов Q и А в теории Гайтлера
и Лондона. Подставляя явный вид волновых функций A30,5) в A30,11) и
учитывая равенство двух первых интегралов, получаем
r dxldx2 + ~w. A30,13)
Bl " rl2 "¦
Вычисление первого интеграла в этом выражении легко выполнить путем пе-
перехода к эллиптическим координатам A30,7). Тогда
'Bl
( °о I оо II
{ Г це-р>* d» Г e~pv dv + Г е~™ йц Г ve~pv dv Ь
I.' J J J I
I 1 -I l -l )
Интегралы по ц в этом выражении являются частными случаями A30,9),
а интегралы по v являются частными случаями интеграла
Г
J vV-pvrfv = (-l)"+I Dn (- р) - Dn (p), A30,14)
/ -I
где Dn(g) определено A30,9). Используя эти значения, находим окончательно
Г
A30,1
Чтобы освободиться от шестикратного интегрирования при вычислении сред-
среднего кулоновского взаимодействия между электронами, можно провести пре-
преобразование
Г *ЙA)е21]>вB) Г
J rJ rfTlrfT2=J РлA)^вA)йт,. A30,16)
где
pA A) = - etfA A): FB A) = - f ~
J '12
'12
¦— потенциал, создаваемый в точке 1 электроном 2, находящимся около ядра В,
т. е. потенциал, создаваемый плотностью,электронов рвB) = — ei])B B), по-
поэтому значение VbA) можно определить с помощью уравнения Пуассона
V2y = —4nQ. После "определения V интеграл (lSO.iej^ereo вычисляется. Та-
Таким образом получаем полное выражение для кулонйвского взаимодействия
между электронами и ядрами в молекуле водорода
В обменном интеграле вычисление двух последних слагаемых просто выпол-
выполняется переходом к эллиптическим координатам A30,7). Вычисление второго
626 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. 'KV
слагаемого является очень громоздким. Оно было сделано Сугиура [126], ко-
который для значения А получил следующее выражение: '
+ ~- [М Ei (- 4р) - 2S Ei (- 2р)] },
Г е~Е
где С = 0,57722 — постоянная Эйлера; Ei(x)==— I —— d% — интегральный
—х
логарифм; М = ер ll — р + -~- р2\.
Интеграл А имеет отрицательное значение при Я > /?о, ин-
интеграл Q имеет вообще малое положительное значение, и
только в области некоторых значений R этот интеграл имеет
малое отрицательное значение. Поэтому Q + A отрицательно
при R > Ro, a Q — А положительно.
Как было указано выше, возможность образования связи
между атомами водорода в синглетном спиновом состоянии
(антипараллельные спины) и их отталкивание в триплетном
спиновом состоянии обусловлены разным характером корреля-
корреляции в движении электронов в этих состояниях. Хотя эта корре-
корреляция зависит от взаимной ориентации спинов электронов, она
не обусловлена непосредственным взаимодействием магнитных
моментов электронов. Энергия такого взаимодействия намного
меньше обменной энергии. Для образования химической связи
необходимо, чтобы координатная функция была симметричной
относительно перестановки пространственных координат элек-
электронов. В этом случае повышается вероятность пребывания
электронов между ядрами, что и приводит к устойчивой моле-
молекуле. О том, что непосредственное взаимодействие между спи-
спинами двух электронов практически не играет роли в образова-
образовании химической связи, свидетельствует возможность образова-
образования такой связи только одним электроном. Такой случай
наблюдается в ионе молекулы водорода Hj>\ состоящем из двух
ядер с зарядом Z=l и одного электрона. В адиабатическом
приближении, т. е. при фиксированном расстоянии R между
ядрами, электрон движется в аксиальном поле, создаваемом
обоими ядрами Д.. и В. В этом приближении оператор Га-
Гамильтона
и- »lv? е- f-4--^
¦ W ГА\ ГВ\ R
где гА, и гт — расстояния электрона от ядер А и В соответ-
соответственно. Энергия электрона как функция расстояния R может
§ 130 МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА 627
быть определена на основе вариационного принципа
= 0. , A30,17)
Для вычисления энергии основного состояния в качестве про-
простейшей пробной функции выберем линейную комбинацию вол-
волновых функций электрона, движущегося независимо в поле
ядра А и ядра В, т. е. положим
Ф = вфдA) + РФвО). A30,18)
где функции *|>аA) и iJ)bA) определены A30,5).
Подставляя A30,18) в A30,17), мы убедимся, что вычисле-
вычисление значений вариационных параметров аир сводится к реше-
решению системы двух однородных уравнений
где значение S совпадает с A30,8),
=VAA = e* J *
= е (/?)
А\
A30,20)
Решая систему уравнений A30,19), находим при учете норми-
нормировки функции A30,18), что
+ 5ЛВ. если a=p==[2(l+S)]-'/l,
если a=-P = [2(l-
A30,21)
Поскольку VAB > 0, то меньшая энергия системы соответствует
состоянию, при котором а = р, и нормированная функция
имеет вид
Этому состоянию в нашем приближении соответствует энергия
1 + S '
628 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
Подставляя значения A30,20), находим
е (/?)=
Из этой формулы следует, что при р < 2,5 ядра отталкиваются
друг от друга, а при р > 2,5 имеется притяжение.
Второе решение A30,21) системы уравнений {130,19), соот-
соответствующее функции
- ф, = [2 A - S)]-'1' (фд - фв), A30,23)
приводит к отталкиванию между ядрами на всех расстояниях.
Качественно это отталкивание связано с тем, что в состоянии
A30,23) мала вероятность пребывания электрона между
ядрами.
Минимум энергии A30,22) соответствует значениюр = 2,5,
следовательно, Ro = 2j5a « 1,32 А. Экспериментальное значе-
значение /?о=1,О6А. Согласие с экспериментом значительно улуч-
улучшается, если в пробной функции A30,18), наряду с вариацион-
вариационными параметрами аир, ввести третий параметр — эффектив-
эффективный заряд Z* ядер молекулы, т. е. положить
Г '\Ч> / Z'r
В случае ядер с зарядом- Z > 1 один электрон не в состоянии
обеспечить устойчивое связанное состояние.
Химическая связь между ядрами водорода может быть осуществлена не
только электроном, но и другими частицами с отрицательным электрическим
зарядом. Например, большой интерес представляют** образования — мюонные,
или мю-мезонные, молекулы, состоящие из двух ядер водорода и отрицатель-
отрицательного мюона. Мюоны являются неустойчивыми частицами (распадаются на
электрон и два нейтрино) с средним временем жизни около 10~6 с. В течение
этого времени мюон может удерживать два ядра водорода, образуя мюонную
молекулу. Поскольку масса мюона в 207 раз больше массы электрона, то
энергия такой мюонной молекулы как функция расстояния между ядрами бу-
будет определяться фррмулой- A30,22), если в ней заменить атомную единицу
Ь2 а _
длины а значением а,,, = Г = ол7- Следовательно, расстояние между
ядрами, соответствующее минимуму энергии Ro = 2,50^» 6,4-10"" см. Таким
образом, отрицательный мюон компенсирует электрическое отталкивание ме-
между ядрами и значительно сближает их. Если мюонная молекула образована
из ядра обычного водорода и дейтерия,^то такое сближение приведет к ядер-
ядерной реакции с образованием ядра Нез и выделением энергии ~ 5,4 Мэв. Сле-
Следовательно, мюоны могут играть роль катализатора в указанной ядерной реак-
реакции. Это явление впервые было исследовано Альварецом с сотрудниками
в 1956 г.
§ 131] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ХИМИЧЕСКИХ СИЛ 629
§ 131. Элементарная теория химических сил
Выяснение природы химической связи между атомами яв-
является одной из основных задач квантовой химии. На основа-
основании ряда экспериментальных данных было установлено, что во
многих химических соединениях (соли и основания) составные
части молекулы представляют собой совокупность положитель-
положительных и отрицательных ионов, между которыми действуют элек-
электростатические силы притяжения. Если ввести эмпирически
подбираемый объем иона, т. е. некоторое расстояние, начиная
с которого притяжение между противоположно заряженными
ионами переходит в отталкивание, то можно на основе класси-
классической теории (теория Косселя) объяснить некоторые особен-
особенности, так называемой ионной, или гетерополярной, химической
связи. Однако эта классическая теория использовала ряд пред-
представлений (электронное сродство, размеры ионов), которые не
могли быть объяснены на основе классической теории.
Анализ многочисленных экспериментальных данных о хи-
химических соединениях показал, что химические свойства ато-
атомов определяются конфигурацией внешних электронов атома.
Все атомы инертных газов (Не, Ar, Ne, Кг, ...). не вступающих
в основном состоянии в химические соединения с другими ато-
атомами, имеют в этом состоянии полностью заполненные элек-
электронные оболочки. Внешние электронные слои в таких атомах
(см. § 77) соответствуют электронным конфигурациям (nsJ
и (прN.
Образование ионов, постулируемое в теории Косселя, свя-
связано с перестройкой электронной оболочки атомов, вступающик
в химическое соединение. Электрон (или несколько электронов)
одного атома переходит к другому атому таким образом, чтобы
образовались ионы, имеющие устойчивую электронную конфи-
конфигурацию, близкую к структуре инертных газов. Такая пере-
перестройка осуществляется в том случае, когда она связана с вы-
выделением энергии при образовании молекулы. Атомы металлов
обычно образуют положительные ионы, отдавая электроны ато-
атомам металлоидов.
Валентность атома в молекуле с ионными связями опреде-
определяется числом электронов, которые он отдает (положительная
валентность) другим атомам молекулы, или приобретает от
них (отрицательная валентность). Однако ярко выраженными
металлическими и металлоидными свойствами обладает мень-
меньшая часть элементов периодической системы Менделеева. По-
Поэтому большую часть химических соединений нельзя объяснить на
основе представления об ионной связи. Химические связи наблю-
наблюдаются и между одинаковыми атомами, о чем свидетельствует
наличие устойчивых молекул Н2, О2, N2 и др. Химическая связь^
'630 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
не сопровождающаяся заметным смещением электронов
•одного атома к другому, получила название гомеополярной
или ковалентной связи. Простейшим примером ковалент-
ной связи является связь атомов в молекуле водорода
(см. § 130).
Ковалентные взаимодействия обладают свойством насыще-
насыщения и пространственной направленности. Вследствие больших
математических трудностей, возникающих при рассмотрении
многоэлектронной задачи, в "настоящее время еще не по-
построена удовлетворительная количественная теория гомеополяр-
гомеополярной связи в сложных молекулах. Однако качественные особенно-
особенности таких взаимодействий легко можно объяснить на основе
простых модельных представлений, базирующихся да распро-
странении теории молекулы водорода на случай сложных моле-
молекул. Рассмотрим такие закономерности на, отдельных примерах.
а) Свойство насыщения химических сил. Рас-
Рассмотрим вначале простейший пример — взаимодействие атома
водорода с атомом гелия, находящимся в основном состоянии.
В основном состоянии атома гелия оба электрона находятся
в состоянии Is (такие состояния будем для краткости называть
одночастичными координатными состояниями)' и имеют проти-
противоположно направленные спины. Пары электронов атома, за-
занимающие одно одночастичное координатное состояние и имею-
имеющие противоположные спины, называются в квантовой химии
спаренными электронами. Обозначим спаренные электроны,
входящие в состав атома гелия, цифрами 1 и 2, а электрон
атома водорода цифрой 3. Система, состоящая из атома водо-
водорода и атома гелия в основном состоянии будет, иметь спин,
равный '/г; спиновая волновая функция* такого состояния соот-
соответствует схеме Юнга ' , т. е. она антисимметрична отно-
относительно перестановки спиновых переменных электронов 1 и 2,
входящих в атом гелия, и симметрична относительно переста-
перестановки электрона 3 атома водорода только с одним из электро-
электронов атома гелия, имеющим такую же ориентацию спина. Чтобы
полная функция системы была антисимметрична относительно
перестановки любой пары электронов, симметрия ее координат-
координатной функции должна определяться схемой Юнга ¦¦', т. е.
эта функция должна быть антисимметрична относительно пе-
перестановки пространственных координат электрона а.тома водо-
водорода и одного из электронов атома гелия. Как было показано
в § 130, в этом случае между атомами должно наблюдаться
отталкивание, так как корреляция в движении электронов взаи-
взаимодействующих атомов такоаа, что они реже попадают- в об-
§ 13Ц ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ХИМИЧЕСКИХ СИЛ 631
ласть между ядрами атомов. Разность энергии системы по от-
отношению к изолированным атомам можно приближенно—запи-
приближенно—записать в виде
2Q-A,
где Q — кулоновское, а А — обменное взаимодействие. Так как
А < 0, то 2Q — А > 0 для всех расстояний. Следовательно, в
системе нет связанных состояний.
Система, состоящая из двух атомов гелия (в их основном
состоянии), описывается координатной волновой функцией, ко-
которая является антисимметричной относительно перестановки
пространственных координат электронов из одного атома
в другой (переставляться без изменения суммарного спина
каждого атома могут только электроны, которые имеют парал-
параллельные спины). Поэтому два атома гелия отталкивают друг
друга.
Такими же рассуждениями можно убедиться, что взаимо-
взаимодействие любой пары «спаренных» электронов атома с электро-
электронами другого атома всегда приводит к отталкиванию. В связи
с этим атомы инертных газов, находясь в своих нормальных
состояниях, не обнаруживают химической активности.
Итак, электроны любого атома в каждом его квантовом со-
состоянии можно разделить на две группы: валентные («неспа-
ренные») электроны внешних электронных оболочек, занимаю-
занимающие «координатные состояния» по одному, и все остальные
«спаренные» электроны, не участвующие в образовании кова-
лентной химической связи. Цисло внешних неспаренных элек-
электронов в данном состоянии атома определяет его химическую
валентность. Валентность атома зависит от его квантового со-
состояния (см. ниже).
Два электрона молекулы водорода, образующие ковалент-
ную связь в синглетном спиновом состоянии, также являются
«спаренными» электронами, поэтому их взаимодействие с элек-
электроном и ядром другого атома водорода приводит к отталки-
отталкиванию. Таким образом, качественно можно объяснить свойство
насыщения ковалентных химических связей между атомами.
Можно образно сказать, что каждая ковалентная связь между
атомами образуется при «спаривании» их валентных электро-
электронов. После «спаривания» электроны не могут образовывать но-
новые Химические коваленчгные связи. Квантовая механика, сле-
следовательно, в некотором смысле оправдывает принятое в химии
изображение молекул как совокупности атомов, соединенных
локализованными валентными линиями. л
б) Направленные валентности атомов. На осно-
основании анализа экспериментальных данных русский химик Бут-
Бутлеров уже в 1861 г. ввел понятие о химической структуре
632 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
молекулы, т. е. об определенном пространственном располо-
расположений атомов в молекуле. Например, в молекуле Н2О атомы
располагаются в виде треугольника, а в молекуле СО2 атомы
располагаются по прямой линии, в ценхре которой находится
атом углерода. Для объяснения химической структуры молекул
необходимо было допустить, что химические валентности ато-
атомов обладают определенной направленностью. Квантовая ме-
механика дает простое качественное объяснение направленных ва-
валентностей атомов.
Естественно, что можно говорить о направленных валентно-
валентностях только в том случае, когда атом обладает двумя или боль-
большим числом валентных электронов. Рассмотрим простейшие
примеры. Атом азота в основном состоянии имеет конфигура-
конфигурацию (lsJBsJBpK, 4 электрона, находящихся на оболочках
Is и 2s, попарно спарены и не участвуют в химической связи.
Оболочка 2р имеет три разных координатных состояния, кото-
которые можно обозначить рх, ру, pz- Три электрона, по одному
в каждом из этих состояний, являются валентными электро-
электронами. Угловое распределение этих электронов определяется
квадратами модулей волновых функций, нормированных к еди-
единице на сфере единичного радиуса:
A3U)
рх) = -J=- [Yn + F,_,I = ^Ьsin Gcos*•
Y~2
\ Py) = y= [Yu — F,_,] = |/ ¦—¦ sinO sin ф.
Можно убедиться, что направления, в которых наблюдаются
максимальные вероятности пространственного распределения
электронов в состояниях A31,1), образуют между собой пря-
прямые углы. Естественно, что направления химических связей, об-
образуемых этими электронами, также образуют прямые углы,
так как при сближении атомов в этих направлениях волновые
функции перекрываются наиболее сильно.
Опыт показывает, что молекула NH3 действительно имеет
пирамидальное строение, при этом углы между направлениями
NH образуют 107° 18'. Несколько большее значение угла, пд
сравнению с теоретическим. значением 90°, легко объяснить эф-
эффектом взаимного отталкивания атомов водорода, лежащих в
основании пирамиды.
Электронная конфигурация атома фосфора записывается в
виде (IsJBsJ.BpNCsJCpK. Следовательно, атом фосфора
§ 131] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ХИМИЧЕСКИХ СИЛ
633
имеет три валентных электрона в состояниях, характеризуемых
угловыми функциями A31,1). Поэтому валентные направления
должны составлять угол 90°. Опыт показывает, что в химиче-
химическом соединении РН3 углы между связями Р—Н составляют
93° 18'. Три валентных направления под прямым углом имеют
и атомы мышьяка, сурьмы, висмута, так как три их валентных
электрона относятся к конфигурации (пр)а.
Атомы кислорода и серы имеют соответственно электронные
конфигурации (lsJBsJBpL и (IsJBsJBpNCsJCpL. Из
четырех внешних электронов, находящихся в трех р-состояниях,
два обязательно спарены.
Следовательно, эти атомы имеют по два валентных элек-
электрона, которые находятся в двух состояниях типа A31,1). По-
Поэтому две валентности этих атомов образуют между собой угол
90°. Опыт показывает, что в соединениях Н2О и H2S валентные
углы составляют соответственно 104° 27' и 92° 12'.
Не всегда, однако, валентные состояния атома определяются
так просто, как в рассмотренных выше случаях. При образова-
образовании химического соединения обычно, происходит перестройка
электронной оболочки атома, поэтому валентное состояние
атома в химическом соединении отличается от состояния изо-
изолированного атома. Рассмотрим в качестве примера атом угле-
углерода. Изолированный атом углерода имеет конфигурацию
(lsJBsJBpJ, которая соответствует двухвалентному атому.
В химических соединениях углерод выступает как четырехва-
четырехвалентный атом. Таковы, например, соединения СН4, СС14,
С(СН3L и многие другие. Четыре валентности, наблюдаемые
в этих соединениях, совершенно эквивалентны и направлены
от атома углерода иод углом 109°.28' друг к другу.
Такие углы образуются между линиями, проведенными и5
центра к четырем вершинам тетраэдра, поэтому часто говорят,
Что валентные направления атома углерода образуют тетраэд-
рические углы между собой.
Кристалл алмаза также представляет собой гигантскую мо-_
лекулу, у которой каждый атом углерода соединен с четырьмя
соседними атомами углерода ковалентными связями, образую-
образующими тетраэдрические углы между собой.
Легко дать теоретическое объяснение такой валентности
атома углерода, если учесть, что энергии 2s- и 2р-состояний в
атоме углерода мало отличаются друг от друга.
Поэтому валентные состояния атома углерода (lsJBsIBpK
образуются при перестройке электронной оболочки и соответ-
соответствуют не четырем функциям \s), \px), \py), \pz), а их четы-
четырем линейным комбинациям, взаимно ортогональным между
собой. Легко убедиться, что такими функциями, нормированными
•€34 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
ла сфере единичного радиуса, являются
A31,2)
где | s) = Dя) ~1/г, а остальные функции определены в A31,1).
Функции A31,2) называют тетраэдральными орбитами. В ва-
валентном состоянии углерода его внешние четыре электрона, за-
занимавшие в изолированном атоме состояния BsJBpJ, нахо-
находятся по одному в каждом состоянии, определяемом функциями
A31,2). Квадрат модуля функции tyi в A31,2)- имеет макси-
максимальное значение в направлении диагонали октанта, образован-
образованного осями координат х, у, г. Это направление и будет направ-
направлением валентной связи, осуществляемой электроном, находя-
находящимся в таком состоянии.' Квадрат- модуля функции t]J имеет
максимум в направлении диагонали октанта, образованного
¦осями х, ^—у, —г. Для функции \|K таким направлением будет
диагональ в октанте *—х, у, —z и, наконец, для функции tp4 таким
.направлением будет направление диагонали в октанте ~х, —у, г.
Энергия, необходимая для перевода атома из состояния
BsJBpJ в состояние Bs)'BpK, характеризуемое функциями
A31,2), меньше энергии, выделяемой при образовании химиче-
химического соединения углерода (находящегося в состоянии тётра-
эдрической валентности) с четырьмя другими атомами водо-
водорода, или углерода, или другими атомами.
Четыре тетраэдрические валентности наблюдаются и у ато-
атомов кремния, германия и олова, четыре внешних электрона ко-
которых в свободных атомах относятся соответственно к конфи-
конфигурациям (nsJ(npJ при и = 3, 4, 5.
Перестройка электронного состояния происходит и при хи-
химическом соединении бериллия с другими атомами. Свободный
атом бериллия имеет конфигурацию (lsJBsJ. Валентное со-
состояние атома бериллия (ls)'2Bs)'Bp)' определяется двумя
внешними электронами, находящимися в состояниях, описываю-
описывающихся двумя взаимно ортогональными, нормированными к еди-
единице на сфере единичного радиуса, волновыми функциями
*'= ?Т(| s>+'Рг))=^~'/2A )
A31,4)
$ 1311 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ХИМИЧЕСКИХ СИЛ 635»
Плотность вероятности, определяемая функцией A31,3), имеет
максимальное значение вдоль оси г; для функции A31,4) плот-
плотность вероятности максимальна для угла 6 = 180°. Следова-
Следовательно, две валентности атома бериллия направлены в противо-
противоположные стороны. В связи с этим, например, молекула BeCly
является линейной молекулой.
Электронная конфигурация (lsJBsJB/?I атома бора при
образовании химического соединения переходит в конфигура-
конфигурацию (lsJBs)'BpJ, в которой три внешних электрона зани-
занимают состояния, соответствующие волновым функциям
s) -1 рх) - 1/3| ру)}
A31,5)
Валентности, определяемые функциями A31,5),.лежат в одной
плоскости и составляют между собой углы 120°.
Итак, при образовании "химического соединения обычно про-
происходит перестройка электронной оболочки свободного атома.
Кроме указанной выше перестройки электронной конфигурации,,
возможна и более существенная перестройка электронной оболоч-
оболочки, когда электрон атома в~ молекуле смещается к одному или
нескольким другим атомам молекулы, что приводит к образова-
образованию дополнительной ионной связи. Например, в некоторых со-
соединениях (NmBr, NH4C1 и др.) атом азота выступает в виде
положительного иона №\ При переходе одного электрона атома
азота к другим атомам молекулы образуется положительный
ион азота с электронной конфигурацией (lsJBsIBpK, соот-
соответствующей четырехвалентному атому углерода, поэтому ион
азота в состоянии удержать четыре атома водорода и образо-
образовавшийся отрицательный ион атома галоида. Хотя такая пере-
перестройка электронных оболочек требует энергии, эта энергия
с избытком компенсируется энергией, выделяющейся при обра-
образовании связи атомов в молекуле.
В молекулах НВр4 и некоторых других бор является отри-
отрицательным ионом с электронной конфигурацией (lsJBs)'BpK.
Ионные взаимодействия в молекуле характеризуются чис-
числом окружающих соседей. В молекуле NaGl каждый ион имеет
одного соседа, а в кристалле NaCl, который можно рассмат-
рассматривать как одну большую молекулу, каждый ион натрия окру-
окружен шестью ионами хлора. В кристалле CsCl каждый ион
хлора окружен восемью ионами цезия. Поскольку при образо-
образовании ионных взаимодействий происходит смещение электронов
636 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
от одних атомов молекулы к другим, то молекула обычно
приобретает электрический момент. В некоторых случаях
вследствие особой симметрии распределения электрического
заряда такой момент отсутствует.
В общем случае некоторое смещение электронов от одних
атомов к другим происходит и в гомеополярных соединениях,
что приводит к появлению электрических моментов. В связи
с этим разделение химических связей на ионные и чисто гомео-
полярные имеет условный характер.
в) Кратные связи между атомами, о- и этс-связи.
В некоторых' молекулах связи между атомами осуще-
осуществляются не одной, а двумя или тремя парами электронов. Та-
Такие связи называют соответственно двойными и тройными. Ти-
Типичным примером молекул с тройной химической связью
является молекула азота N2; ее можно записать в виде N=N.
Как уже отмечалось выше, валентное состояние атомов
азота определяется тремя электронными состояниями \рх),
\ру), \pz), образующими три валентности, направленные под
прямым углом друг к другу.
Если ось г направить вдоль линии, соединяющей два атома
азота, то одна из химических связей образуется при перекры-
перекрывании волновых функций \рг) обоих атомов. Соответствующая
молекулярная функция не зависит от угла <р, т. е. не меняется
при вращении вокруг оси z и при отражениях во всех плоско-
плоскостях, проходящих через ось г. Электроны, образующие -такую
связь, называются а-электронами. Отметим попутно, что элек-
электроны, образующие одиночные связи между атомами, всегда
являются а-электронами. Две другие пары валентных электро-
электронов в молекуле N2 образуют две дополнительные связи. Одна
пара электронов образует связь при перекрывании волновых
функций состояний \Рх) обоих атомов. Вторая пара электро-
электронов— при перекрывании волновых функций \ру). Волновая
функция молекулы, образованная из атомных функций \ру),
меняет знак при отражении в плоскости, проходящей через ось
z, т. е. через линию, соединяющую атомы (когда эта плоскость
перпендикулярна оси у), так как функция \ру) содержит sin ф
и меняет знак при ф-*—ф. Электроны, образующие такую
связь, называются п-электронами. Естественно, что энергия
связи, образованной я-электронами, меньше, чем энергия связи,
образованной а-электронами (меньше перекрываются волновые
функции). Пара электронов в состоянии, определяемом волно-
волновой функцией, образованной из атомных функций \рх), также
называются л-электронами, так как эта функция меняет знак
при отражении в плоскости, перпендикулярной оси х и прохо-
проходящей через линию связи. Таким образом, в молекуле азота из
трех связей только одна связь между атомами образована
§ 131] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ХИМИЧЕСКИХ СИЛ 637
о-электронами, две другие — я-электронами. Это правило рас-
распространяется на кратные связи и между другими атомами.
Атомы углерода могут образовывать между собой двойную
связь. Такая связь наблюдается, например, в молекуле этилена
Н\ /Н
>С=СЧ . Основная связь между атомами углерода в мо-
лекуле этилена (и между атомами углерода и водорода) обра-
образована о-электронами. Дополнительная связь между атомами
углерода образована jx-электронами. Валентное состояние ато-
атомов углерода в молекуле этилена описывается четырьмя вол-
волновыми функциями:
=1 Рг), Ф2 = -J7="(l S)
L s)-\px) + \ГЗ\ ру)) ,
о-связи, образованные функциями ty2, фз> $4. лежат в одной
плоскости, перпендикулярной оси г, и образуют между собой
углы 120°. jx-связь образуется электронами, находящимися в
состояниях ty\=\pz)- Наибольшее перекрывание волновых
функций \pz) обоих атомов осуществляется в том случае, когда
направления максимальной плотности обоих атомов становятся
параллельными. Это условие обеспечивает стабильность плос-
плоской структуры молекулы этилена.
Между атомами углерода возможна и тройная связь. Такой
случай наблюдается в молекуле ацетилена, имеющей линейную
структуру: Н—С22=С—Н. Тройная связь между атомами угле-
углерода в этой молекуле состоит из одной а-связи и двух л-связей.
Валентное состояние атомов углерода в молекуле ацетилена
характеризуется четырьмя функциями
^1 = I Рх), *г= I Ру), *»*= у= (I S) + I Рг)), *4 = -j7=g (I «> - I Рг))-
Электроны в состояниях tyi и ф2 образуют jx-связи между ато-
атомами углерода. Электроны в состояниях 1|э3 и i|>4 образуют две
o-связи в каждом атоме углерода. Одна из них идет на удер-
удержание атома водорода, а вторая составляет основную а-связь
между атомами углерода.
Итак, валентное состояние атома может быть разным в мо-
молекулах разного типа. В атоме- углерода, например, возможны
три типа валентных состояний: а) четыре эквивалентных ва-
валентности, направленные к - вершинам правильного тетраэдра
638 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
и приводящие к образованию четырех о-связей; б) три валент-
валентности, направленные под углом 120° и приводящие к образова-
образованию трех о-связей, лежащих в одной плоскости, и одна валент-
валентность (электрон в состоянии \р2)), приводящая к образованию
л-связи; в) две валентности, направленные в противополож-
противоположные стороны, образующие две о-связи, и две валентности
(два электрона в \рх)- и |/^-состояниях), образующие две
я-связи.
г) Молекулы ароматических соединений. Не-
Неполная локализация связей. В рассмотренных выше
примерах можно указать число связей, удерживающих каждый
атом в молекуле, т. е. можно в некотором приближении гово-
говорить о локальном положении каждой химической связи, в ко-
которой участвуют по два электрона*). В этом случае в струк-
структурной формуле молекулы можно каждую связь изобразить
черточкой. Такое положение наблюдается не всегда. Примером
молекулы, в которой частично нарушена локализация связей
между атомами, является молекула бензола С6Н6. Молекула
бензола является плоской молекулой. Шесть атомов углерода
располагаются в углах правильного шестиугольника. Три ва-
валентных электрона каждого атома углерода участвуют в обра-
образовании трех а-связей: одна с атомом водорода и две с сосед-
соседними атомами углерода. Эти три связи образуют углы в 120°
между собой. Четвертый валентный электрон в каждом атоме
углерода находится в состоянии \pz) (ось z перпендикулярна
плоскости молекулы). Следовательно, этот электрон относится
к типу я-электронов. Каждый такой я-электрон в молекуле бен-
бензола участвует в образовании связи одновременно с обоими со-
соседними атомами углерода, а не с одним атомом. Такая «дело-
кализация» связи приводит к возможности перемещения шести
я-электронов в бензольном кольце от одного атома к другому
с образованием кольцевого тока. Например, при включении
магнитного поля, направленного перпендикулярно плоскости
бензольного кольца, возникает кольцевой электрический ток
в молекуле, приводящий к появлению магнитного момента мо-
молекулы (диамагнетизм). Так как ток «обегает» большую пло-
площадь, то возникающий магнитный момент имеет большую
величину.
К молекулам типа бензола относится большая группа дру-
других органических соединений: нафталин, антрацен, нафтецен,
фенантрен и др. Наличие «делокализованных» я-электронов
атомов углерода в этих молекулах приводит к ряду особенно-
особенностей, отличающих эти соединения, которые называют аромати-
*) В некоторых случаях, например в однократно ионизированной моле-
молекуле водорода, химическая связь образована только одним электроном.
§ 132] КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ МОЛЕКУЛ 639
ческими соединениями, от других, молекул с локализованными
связями. -~
Среди всех других атомов периодической системы элемен-
элементов углерод выделяется тем, что он образует наиболее много-
многообразные соединения, выступая в них в различных валентных
состояниях, образующих как локализованные, так и нелокали-
зованные химические связи. В сочетании е водородом, кислоро-
кислородом, серой и фосфором углерод образует почти все органиче-
органические вещества в природе. В настоящее время их известно уже
более двух миллионов.
§ 132. Классификация электронных состояний молекул
при закрепленных положениях ядер
В предыдущем параграфе мы интересовались только основ-
основным состоянием молекулы и возможными валентными состоя-
состояниями атрмов, приводящими к образованию устойчивых моле-
молекул. Перейдем теперь к рассмотрению - электронных состояний
молекулы при фиксированном положении атомных ядер, соот-
соответствующем их равновесному положению в основном состоянии
молекулы. Количественное вычисление энергии электронных со-
состояний наталкивается на большие математические трудности.
Для понимания многих особенностей электронных состоящий
молекул прежде всего необходима их правильная классифи-
классификация.
Так же как в случае атомов, классификация электронных
состояний молекул осуществляется указанием значений инте-
интегралов движения в соответствующих состояниях. Поскольку
наличие интегралов движения определяется симметрией поля,
в котором движутся электроны, то классификация электронных
состояний может быть произведена по неприводимым представле-
представлениям группы симметрии соответствующей молекулы (см. § 19).
Рассмотрим вначале двухатомные и другие линейные молекулы.
В линейных молекулах среднее поле, действующее на элек-
электрон, обладает аксиальной симметрией, т. е. оператор Гамиль-
Гамильтона (адиабатическое приближение) остается неизменным при
вращении молекулы на произвольный угол вокруг оси молекулы
(элемент симметрии Сф). Кроме того, оператор Гамильтона
остается инвариантным при отражениях в любой плоскости,
проходящей через ось молекулы (элементы симметрии av).
Группа' симметрии, обладающая такими элементами симметрии,
обозначается CooV- Если кроме указанных выше элементов сим-
симметрии имеется еще центр симметрии (например, двухатомные
молекулы с одинаковыми ядрами, такие, как молекулы СО
и др.), то такая группа симметрии обозначается Д
640 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
Рассмотрим вначале молекулы, относящиеся к группе сим-
метрии Coot,. В поле аксиальной симметрии сохраняется проек-
ция орбитального момента количества движения на ось мо-
молекулы. Поэтому электронные состояния молекулы можно
классифицировать по значениям абсолютной величины этой
проекции. Абсолютное значение суммарной проекции Л орби-
орбитального момента электронов на ось молекулы в единицах Ь
принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, ... Более часто вместо числен-
численного значения Л указываются большие греческие буквы 2, П.
Д, Ф, Г, ..., которые сопоставляются значениям Л = 0, 1, 2,
3, 4, ...
При Л ф- 0 возможны два состояния, отличающиеся знаков-
проекций орбитального момента на ось молекуды. Изменений
знака проекции соответствует отражение в плоскости, проходя-
проходящей через ось молекулы. При таком отражении оператор Га-
миЛьтона не меняется. Следовательно, два состояния, отличаю-
отличающиеся знаком проекции орбитального момента электронов»
имеют одинаковую энергию. Таким образом, состояния П, А.
Ф, ... являются дважды вырожденными. 2-состояния (Л = 0)
являются невырожденными. Возможны два типа Е-состояний,
отличающихся своим поведением при отражении в плоскости,
проходящей через ось молекулы. Поскольку двукратное приме-
применение операции отражения в плоскости, проходящей через ось
молекулы, эквивалентно тождественной операции, то при отра-
отражении в такой плоскости волновая функция 2-состояния либо
меняет знак, либо не меняет знака. В связи с этим соответст-
соответствующие состояния обозначаются либо 2~, либо 2+.
Кроме значения проекции орбитального момента на ось мо-
молекулы, электронные состояния различаются суммарным спиной
S всех электронов. При пренебрежении спин-орбитальным взаи-
взаимодействием, 2S + 1 -состояний, отличающихся проекциями поЛ"
ного спина, имеют одинаковую энергию. При учете спин-орб0-
тального взаимодействия эти состояния образуют группу 2S+1
близко расположенных уровней. Поэтому число 2S + 1 назы-
называют мультиплетностью электронного состояния молекулы. Э-го
число ставится в виде индекса слева вверху греческой буквь!.
указывающей значение Л. Классификация по мультиплетности
приводит к синглетным, дублетным, триплетным и т. д. со-
состояниям.
Опыт показывает, что в основном состоянии большинства
молекул суммарный спин всех электронов равен нулю (все
спины спарены). Исключением из этого правила являются мо-
молекулы кислорода Ог, окиси азота N0 и некоторые другие.
В табл. 15 указаны свойства преобразований волновых
функций "электронных состояний линейных молекул, не имею-
имеющих центра симметрии (группа C^J. При вращению вокруг оси
$ J32]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ МОЛЕКУЛ
641
Таблица 15
Симметрия волиовых
функций линейных
молекул типа <?„,„
молекулы на угол ф волновые функции умножаются на
ехр(±»Аф), где Л определяет абсолютную величину проекция
орбитального момента электронов на ось молекулы. Двум зна-
знакам (±) соответствуют два возмож-
возможных направления вращения. Волновые
функции электронных состояний типа
2(Л=0) не изменяются при враще-
вращении. При отражении в плоскости, про-
проходящей через ось молекулы (опера-
(операция ой), волновые функции состояний
S+ не меняются, а волновые функции
состояний 2~ меняют знак. Волновые
функции состояний с Лт*=О при отра-
отражении в плоскости av заменяются
комплексно сопряженными функция-
функциями. Эта операция в табл. 15 и 16 ука-
указана знаком *. Характеры неприво-
неприводимых представлений группы (?»„ бы-
были указаны в табл. 4 § 19.
Молекулы, относящиеся к группе симметрии D^, т. е. ли-
линейные молекулы, имеющие центр симметрии дополнительно
к операциям симметрии группы Сте имеют элементы симмет-
симметрии, соответствующие: а) инверсии I; б) отражению в плоско-
плоскости о/,, перпендикулярной оси симметрии молекулы и проходя-
проходящей через центр молекулы, в) бесконечное число поворотов на
180° (операция С2) вокруг осей, проходящих через центр мо-
молекулы перпендикулярно оси молекулы. В табл. 16 указаны
Таблица 16
Симметрия волиовых функций
линейных молекул типа Dooh
2+
2Г
П
д
ф
с.
1
1
屫ч>
е±2Щ
1
—1
*
Jf
2+
z-
2«7
no
kg
A"
¦ c.
1
1
1
1
e±i<P
e±2iy
e
1
1
t
t
*
*
*
i
1
— 1
1
-1
1
-1
1
— 1
C2
1
-1
J
1
*
*
*
°ft
1
— 1
I
— 1
— 1
1
1
21 А. С, Давыдов
642
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛШОТ1 И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
свойства преобразований волновых функций молекул типа /)«*;¦
В первом столбце таблицы приведены обозначения электрон-
электронных состояний таких молекул. Индексы gnu указывают сим-
симметрию и антисимметрию волновых функций электронных
состояний по отношению к операции инверсии i. Состояния,
обозначаемые индексом g, называются четными состояниями,
состояния, обозначаемые индексом и, называются нечетными
состояниями.
, В § 130 были рассмотрены состояния системы^ состоящей из
двух атомов водорода. Основное устойчивое состояние такой
системы является синглетным спиновым состоянием, коорди-
координатная функция которого соответствует суммарному орбиталь-
орбитальному моменту, равному нулю. Следовательно, Л =. 0. Эта функг
ция симметрична относительно координат обоих электронов.
Краткое изображение этого электронного состояния имеет вид
'sj. Второе из рассмотренных в § 130 состояний соответствовало
г —-
Рис. 28. Расположение атомов углерода (заштрихованные
кружки) и атомов водорода (белые кружки) в молекуле
нафталина.
триплетному спиновому состоянию и антисимметричной коор-
координатной функции. Спектральное обозначение этого состояния
3ХГ. При переходе в такое состояние молекула распадается на
атомы.
Электронные состояния многоатомных нелинейных молекул
также классифицируются по неприводимым представлениям
группы симметрии, относительно которой инвариантен оператор
Гамильтона соответствующей молекулы. В § 19 была рассмот-
рассмотрена классификация электронных состояний «угловых» трех-
трехатомных молекул типа Н2О, H2S и др., которые относятся
к группе симметрии Czv, и четырехатомных молекул NH3, СНзС1
и др., которые относятся к группе симметрии С3в. .
$132]
КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ МОЛЕКУЛ
643
Рассмотрим классификацию электронных состояний-в моле-
молекуле нафталина (рис. 28). Симметрия этой молекулы относится
к группе D^. Это абелева группа с 8 элементами симметрии.
Кроме тождественного элемента (Е) и инверсии (»)> имеется
симметрия по отношению к поворотам на ,180° вокруг трех
взаимно перпендикулярных направлений С*, С\ и Cf и трех
отражений ох, ау, аг относительно плоскостей, перпендикуляр-
перпендикулярных осям х, у, г. В этой молекуле электронные состояния мо-
могут быть восьми типов в соответствии с восемью неприводи-
неприводимыми представлениями группы D^,. Неприводимые представле-
представления этой группы, характеризующие свойства преобразовании
волновых функций соответствующих состояний, приведены
в табл. 17.
Таблица 17
Неприводимые представления группы D2h
AXg
Aiu
Big
Bin
Bug
Biu
B3g
Взи
E
rx
C2
cl
1 M.I
/
1 1 1 1 1
1 II' 11
Основное состояние всех устойчивых молекул относится
к полносимметричному представлению соответствующей группы.
У линейных молекул без центра симметрии это состояние 2+;
у линейных молекул с центром симметрии это состояние Eg";
у молекулы НаО состояние типа А; у молекулы нафталина со-
состояние Alg и т. д.
Указанная выше классификация электронных .состояний мо-
молекул соответствует расположению атомных ядер в основном
состоянии молекулы. Эта классификация приближенно сохра-
сохраняется и при малых колебаниях ядер у положений равновесия.
Если колебания нельзя рассматривать как малые, то смещения
ядер из положений равновесия, могут приводить к значитель-
значительным изменениям такой классификации. Смещение ядер из рав-
равновесных положений наиболее сильно сказывается на вырож-
вырожденных электронных состояниях, если такое смещение ядер при-
приводит к нарушению симметрии молекулы. Поясним это на
21*
644 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
примере линейной трехатомной молекулы. В основном состоянии
такая молекула имеет аксиальную ось симметрии, и ее элек-
электронные состояния П, А и др. двукратно вырождены. При сме-
смещении ядер, указанном на рис. 29 (не-
(несимметричное колебание), нарушается
аксиальная симметрия молекулы. Нару-
Тшение аксиальной симметрии приводит
к снятию вырождения. Например, дву-
двукратно вырожденное состояние типа П,
которому в линейной молекуле соответ-
Рис. 29. Несимметричное ко- 1
лебание трехатомной линей- СТВУЮТ ВОЛНОВЫе ФУНКЦИИ . е'ф И
ной молекулы, нарушающее J T У 2п
, ее аксиальную симметрию. i
¦ e~iv, при указанном смещении ядер
перейдет в два состояния разной энергии, соответствующие вол-
волновым функциям
и tb =
У An
из которых первая функция симметрична, а вторая антисим-
антисимметрична относительно отражения в плоскости, проходящей
через три смещенных ядра (угол <р отсчитывается от этой
плоскости).
§ 133. Колебания ядер в молекулах
Как было указано в § 129, в адиабатическом приближении
движение атомных ядер в молекуле определяется уравнением
A29,8), в котором роль потенциальной энергии играет энергия
электронов em(R) как функция положения ядер. Энергия Em(R)
зависит от состояния движения электронов, которое отмечается
квантовыми числами, изображаемыми индексом т. Следова-
Следовательно, в разных электронных состояниях атомные ядра дви-
движутся в разных потенциальных полях. Рассмотрим колебания
ядер у положений равновесия в основном электронном состоя-
состоянии с потенциальной энергией ео(/?).
В, молекуле с Аг ядрами (не расположенными на одной пря-
прямой) энергия vo(R) будет зависеть от 3N— 6 независимых сме-
смещений Ri из положений равновесия. Разлагая Eo(R) в ряд
относительно этих смещений и ограничиваясь квадратичными
членами, преобразуем ео(/?) к виду
3JV-6
(*L) A33,1)
Путем перехода от смещений Ri к новым нормальным коорди-
координатам можно преобразовать квадратичную форму A33,1)
§ 133] КОЛЕБАНИЯ ЯДЕР В МОЛЕКУЛАХ 645
к сумме квадратов. В этом случае оператор Гамильтона, опре-
определяющий колебательные движения ядер, можно преобразовать
к сумме операторов Гамильтона, т. е.
3W-6
}
=4 2 {--^
Поскольку оператор Гамильтона A33,2) распадается на сумму
операторов Гамильтона гармонических осцилляторов с часто-
частотами а),, то полная энергия колебаний молекулы будет зависеть
от набора квантовых чисел {vt} = vi, V2, ... с помощью фор-
формулы
где каждое из v,- может пробегать значения 0, 1, 2, ... Волно-
Волновые функции таких состояний являются произведениями соот-
соответствующих волновых функций линейных гармонических осцил-
осцилляторов
^} = Пф^Ы. A33,4)
где
Фv(<7) = (^v!2v)~'/2e"'/г'2Яv(?), A33,5)
Hv{x) — полиномы Эрмита степени v относительно перемен-
переменной х, определенные в § 26.
Колебательные состояния молекул можно классифициро-
классифицировать по их свойствам симметрии так же, как и электронные
состояния. Прежде всего колебания молекул разделяются на
вырожденные и невырожденные. К невырожденным колебаниям
относятся такие колебания, при которых каждой частоте соот-
соответствует только один тип движения ядер. Эти колебания сим-
симметричны либо антисимметричны по отношению к различным
операциям симметрии, соответствующим точечной группе сим-
симметрии равновесной конфигурации молекулы. Другими словами,
невырожденные колебания относятся к одномерным неприводи-
неприводимым представлениям соответствующей группы симметрии. При
невырожденных колебаниях ядра в молекуле движутся вдоль
прямых линий.
Если одной частоте соответствует несколько типов незави-
независимых движений ядер, то такие колебания называются вырож-
вырожденными. Вырождение (за исключением маловероятного слу-
случайного совпадения частот) обусловлено свойствами симметрии
молекулы. Г1ри преобразованиях симметрии один тип вырож-
вырожденных колебаний данного типа переходит, вообще говоря,
646 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
в другие типы колебаний той же частоты. Только по отношению
к некоторым элементам симметрии вырожденные колебания яв-
являются симметричными либо антисимметричными, т. е. смеще-
смещения атомов из положений равновесия либо остаются неизмен-
неизменными, либо меняют знак.
Определение кратности частот колебаний сложных молекул
и свойств симметрии соответствующих колебаний можно осу-
осуществить без решения уравнений, характеризующих динамику
колебаний, если использовать некоторые простые теоремы тео-
теории групп.
С точки зрения теории групп задача определения кратности
частот колебаний и их свойств симметрии сводится к разло-
разложению полного представления произвольных колебаний ядер
молекулы по неприводимым представлениям соответствующей
группы симметрии. Последнее эквивалентно более простой за-
задаче разложения характера полного представления колебаний
по характерам неприводимых представлений соответствующей
группы симметрии.
Характеры неприводимых представлений точечных групп
симметрии указываются в таблицах (см., например, [29, 127]).
Характер представления, соответствующего всем возможным
движениям ядер молекулы, определяется следующим образом.
Каждому ядру сопоставляется три взаимно ортогональных сме-
смещения хи уи гг от положения равновесия и исследуются свой-
свойства преобразований этих смещений при последовательном при-
применении всех элементов симметрии данной группы.
Поскольку характеры представлений равны сумме диаго-
диагональных элементов матрицы преобразования, то при вычисле-
вычислении характеров всех возможных движений ядер надо учитывать
только те ядра, положения равновесия которых остаются на
месте при данном преобразовании. Ядрам, которые меняются
местами при данном преобразовании, соответствуют недиаго-
недиагональные элементы матрицы преобразования, не дающие вклада
в характер представления.
Если в молекуле имеется N ядер, то при тождественном
преобразовании Е все ядра остаются на своих местах, а мат-
матрица преобразования смещений хи у{, гг каждого ядра имеет
вид'
1 О 6
Следовательно, характер тождественного элемента равен
=3#. A33,6)
§ Щ) . КОЛЕБАНИЯ ЯДЕР В МОЛЕКУЛАХ ' 647
Определим характер представления, соответствующего цово-
роту молекулы. Пусть при повороте на угол <р (элемент сим*
метрии Сф) вокруг некоторой оси симметрии остаются на ме*
сте Nc ядер. Матрица преобразования смещений каждого из
этих ядер имеет вид
COS
— sin
•0
Ф
Ф
sin
cos
0
Ф
Ф
0
0
1
поэтому характер поворота Сф равен-
). A33,7)
При отражении в плоскости ху матрица преобразования сме-
смещений ядер есть
1 0 04
0 1 О).
>0 0 -1/
Если при таком отражении (ог) остаются на месте Na ядер, то
характер представления будет определяться формулой
Х(ог)-=ЛГО." A33,8)
При инверсии / матрицей преобразования смещений ядер яв-
является матрица
-1 0 0>
0-1 0
О О -L
Если при инверсии остаются на месте Nt ядер, то характер
инверсии
= ~3N,. A33,9)
Таким же образом можно определить характеры представле-
представлений всех возможных движений ядер молекулы для других эле-
элементов симметрии.
Чтобы вычислить характеры представления колебательных
движений ядер в молекуле, надо вычесть из определенных выше
характеров всех возможных смещений ядер характеры, соот-
соответствующие поступательным движениях Тх, Ту, Тг и трем вра-
вращениям Rx, Rv, Rz молекулы как целого. Характеры поступа-
поступательных движений (Т) и вращений (/?) обычно указываются
в таблицах (см., например, [127] и табл. 18, 19).
648
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
Определив указанным выше способом характеры колеба-
колебательных движений ядер %v(g) для каждого элемента g группы,
надо разложить эти характеры по характерам %h(g) неприводи-
неприводимых представлений группы. Согласно (Г,8) (см. мат. дополн.),.
такое разложение определяется формулой
A33,10>
где коэффициенты разложения
A33,
указывают, сколько типов колебаний имеют симметрию, опреде-
определяемую соответствующим неприводимым представлением. Сум-
Суммирование в A33,11) выполняется по всем элементам сим-
симметрии группы, N — общее число элементов симметрии.
Поясним вышесказанное двумя простыми примерами:
а) Произведем классификацию нормальных колебаний мо-
молекулы воды Н2О. Молекула воды принадлежит к группе сим-
симметрии С2„. Элементами симметрии этой группы являются: Е —
тождественный элемент, С2 — поворот около оси z на 180°, о„ —
отражение в плоскости xz (плоскость молекулы), с»' —отра-
—отражение в плоскости yz. Характеры неприводимых представлений
этой группы приведены в табл. 18. Там же указаны характеры
трансляций и вращений
Таблица 18 м0ЛеКулы как целого. В
Характеры группы C2t) шестой строчке таблицы
указаны характеры всех воз-
возможных смещений ядер мо-
молекулы. Характер, соответ-
соответствующий тождественному
элементу, определен по фор-
формуле A33,6). Характер, со-
соответствующий элементу С2,
определен по формуле
A33>7), если учесть, что
Nc = 1, так как только атом
кислорода не смещается при
этой операции. Характер,
соответствующий элементу avt определен по формуле A33,8)
при учете того, что Na==3 (все три атома не смещаются). На-
Наконец, характер ov, определен по формуле A33,8) при учете
того, что в этом случае не смещается только один атом. В седь-
седьмой строчке таблицы указаны характеры %v колебаний ядер
молекулы; они получаются из характеров всех возможных
С2»
Rz
к
T.z
Тх
Ту
А1
Л2
в,
в?
%
Е
1
1
1
1
9
3
—
—
1
j
1
1
3
3
«V
—;
133]
КОЛЕБАНИЯ ЯДЕР В МОЛЕКУЛАХ
649
смещений у путем вычитания характеров трех трансляций и
трех вращений.
Пользуясь затем формулами A33,10) и A33,11), находим
Таблица 19
Характеры группы C3t>
Следовательно, из трех возможных простых колебательных дви-
движений ядер в молекуле воды два колебания относятся к со-
совершенно симметричному представлению А{ и одно относится
к представлению Bi. Все три колебания имеют разные частоты
(как показывает эксперимент, эти частоты в обратных сантимет-
сантиметрах соответственно равны 3652, 1595 и 3756), так как группа
Сг» имеет только одномерные представления. Все другие типы
колебательных движений ядер молекулы соответствуют супер-
суперпозиции (многофононные колебания) этих простых колебаний.
б) В качестве второго примера рассмотрим классификацию
нормальных колебаний ядер в пирамидальных молекулах типа
XY3 (например, молекула
аммиака NH3). Такие моле-
молекулы принадлежат к группе
симметрии C3v, имеющей
б элементов симметрии: Е—
тождественный; 2С3 — два
вращения на 120° и —120°
и Зс — три плоскости сим-
симметрии, расположенные под
углами 120°. Характеры не-
неприводимых представлений
этой группы указаны в
табл. 19. Эта группа имеет
три неприводимых представ-
представления, из которых (Е) дву-
двумерное. Следовательно, в такой молекуле возможны двукратно
вырожденные колебания. В таблице указаны также характеры
трансляций (Т) и вращений (R) молекулы как целого. В пятой
строчке табл. 19 указаны характеры % всех возможных смеще-
смещений ядер молекулы.
В последней строчке таблицы приведены характеры у„ коле-
колебательных движений. Разлагая %v по характерам неприводимых
представлений, имеем %v = 2Ai-\-2E. Следовательно, в молеку-
молекулах XY3 возможны по два типа колебаний симметрии А\ и Е.
Колебания типа Е двукратно вырождены. Таким образом, нор-
нормальные колебания в молекулах XY3 соответствуют двум раз-
разным частотам полностью симметричного представления А\ и
двум частотам двукратно вырожденных колебаний типа Е.
В случае молекулы NH3 такими частотами (в единицах см~!)
соответственно являются: 3337, 950, 3414, 1628.
с30
(Тх, Ту)
Тг
Rz
А,
В
г
Xv
Е
1
1
2
12
6
1
1
— 1
0
0
1
— 1
0
2
2
650 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
§ 134. Вращательная энергия молекул
Кроме колебаний ядер у положений равновесия возможно
поступательное смещение и вращение всей молекулы. Поступа-
Поступательное движение не квантуется и легко может быть исключено
путе'м перехода в систему координат, связанную с центром
инерции молекулы. Вращательная энергия молекулы пробегает
дискретные значения. Согласно оценкам, проведенным в § 129,
вращательная энергия молекулы составляет Yv^lM ~0,01 часть
энергии колебаний ядер, следовательно, вращательное движе-
движение является медленным по сравнению с колебательным дви-
движением ядер и движением электронов в молекулах. Поэтому
в адиабатическом приближении можно пренебречь связью
между вращением молекулы и ее внутренним состоянием, опре-
определяемым состоянием движения электронов и колебаниями
ядер. В этом приближении энергия молекулы выражается сум-
суммой энергии электронного движения Еэл, энергии колебания
ядер ?Кол и энергии вращения ?вр, т. е.
? = ?эл + ?кол + ?вр, A34,1)
В том же приближении волновая функция молекулы изобра-
изображается произведением волновых функций, относящихся к каж-
каждому из этих типов движения, т. е.
Ч = ^эл (Г, Яо) Фкол (/?) Фвр (9,), A34,2)
где г — координаты электронов, Ro — равновесные положения
ядер, R — смещения ядер из положений равновесия, 0; — углы
Эйлера, определяющие ориентацию молекулы в пространстве.
В следующих приближениях разделение энергии молекулы на
независимые: вращательную, колебательную и электронную
энергии оказывается уже невозможным. Все три типа движений
являются взаимосвязанными. В этом случае кратко говорят,
что происходит взаимодействие всех трех типов движения.
В настоящем параграфе мы рассмотрим только вращатель-
вращательное движение молекул, пренебрегая взаимодействием с колеба-
колебаниями и с движением электронов, т. е. будет рассматриваться
вращение молекул, находящихся в заданном (основном) элек-
электронном состоянии, в котором ядра совершают только нулевые
колебания у положений равновесия. Предположим, что электрон-
электронное состояние относится к синглетному спиновому состоянию,
т. е. суммарный спин электронов молекулы равен нулю.
Оператор Гамильтона молекулы в адиабатическом прибли-
приближении (т. е. без учета связи вращения с внутренним движе-
движением) можно написать в виде
Н = Нт(х)+Твр, A34,3)
§ 1341 ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МОЛЕКУЛ 651
где Явн — оператор внутреннего движения, х—-координаты
электронов и ядер молекулы относительно системы координат-
координатных осей, закрепленных с молекулой; Твр — оператор вращения.
Если R — оператор момента количества движения, связанного
с вращением молекулы, то
где Ii — три главных момента инерции молекул, Ri — проекции
оператора вращательного момента на три главные направления
в молекуле. Молекулу, имеющую три различных главных мо-
момента инерции, называют асимметричным волчком. При равен-
равенстве двух' главных моментов инерции молекулу называют сим-
симметричным волчком. Частным случаем симметричного волчка
являются линейные молекулы, у которых два главных момента
инерции равны между собой, а третий ничтожно мал. К сим-
симметричным волчкам относятся все молекулы, имеющие ось сим-
симметрии не ниже третьего порядка. Если все три главных мо-
момента инерции молекулы равны между собой, то молекулу на-
называют сферическим волчком. К сферическим волчкам отно-
относятся молекулы, имеющие две или несколько осей симметрии
третьего или более высокого порядка, таковы, например, моле-
молекулы, имеющие кубическую симметрию.
Рассмотрим вначале вращательную энергию молекул типа
симметричного волчка. Пусть J — Jx = 12'Ф /3, тогда оператор
вращательной энергии A34,4) преобразуется к виду
- A34'5)
Если обозначить через L оператор момента внутреннего дви-
движения в молекуле (электронное движение и колебания), то
оператор полного момента количества движения / будет равен
t=R + L. A34,6)
Таким образом, оператор Твр можно преобразовать к виду
!^Р fr ^W 1Ш-ЪJ- 034,7)
Если пренебречь в этом операторе членом IL, определяющим
связь полного момента количества движения с внутренним мо-
ментом; то оператор Гамильтона A34,3) для молекул типа сим-
симметричного волчка преобразуется к виду
° iP, A34,8)
652 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
| Ц /з - /-') (/з - ?&. A34,9)
Оператор Я0 коммутирует с операторами /2, /3 и L3> по-
поэтому стационарные состояния молекулы будут характеризо-
характеризоваться функциями
|//СЛ) = фЛ(л:)<г4к(е,), ' A34,10)
Ф*«(в)='|/"^1ли(в|) A34,11)
— собственные функции симметричного волчка (см. § 45). Кван-
Квантовое число К определяет проекцию полного момента на ось 3
молекулы; квантовое число М определяет проекцию полного
момента на ось z лабораторной системы координат. Функция
q>A(x) зависит только от внутренних (электронных и ядерных)
координат молекулы. Оператор полного момента / вызывает од-
одновременный поворот как системы координат, связанной с мо-
молекулой, так и ядер и электронов молекулы, поэтому он не
изменяет волновой функции внутреннего движения, т. е. бфл =
= /фл(х) = 0. Другими словами, оператор / действует только
на функции Фмк Fj). зависящие от углов Эйлера. При этом
/ 2Ф'мК = / (/ + 1) Фмк, ТгФ'мк = КФмк. A34,12)
Оператор ?з действует только на функцию фЛ так, что
<Фл|^з|Фл) = Л, A34,13)
где А—проекция внутреннего момента на ось 3 молекулы
(в единицах й). В двухатомных молекулах Л определяется
только электронным движением, в частности, в 2-состояниях
Л = 0. В линейных многоатомных молекулах вклад в Л дают и
поперечные колебания ядер молекулы, которые всегда дву-
двукратно вырождены. Если поперечное колебание частоты ю воз-
возбуждено с квантовым числом v (v — фононное колебание), то
такое возбуждение обладает моментом количества движения
относительно оси молекулы, пробегающим значения: v, v — 2,
v — 4, ..., —v (доказательство см. Ландау и Лифшиц [137]).
Этот момент обычно называют колебательным моментом. Ко-
Колебательный момент вдоль оси молекулы может также возни-
возникать и при колебаниях ядер нелинейных молекул типа симме-
симметричного волчка. В основном состоянии молекул обычно Л = 0.
Учитывая A34,12), находим среднее значение оператора Га-
Гамильтона A34,8) молекулы типа симметричного волчка в со-
состоянии, определяемом функцией A34,10),
A34,14)
§ 134) ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МОЛЕКУЛ 653
ГДе
В = (фл|явн + ^|фл)
— внутренняя энергия молекулы; I ^ К; J и /3 — средние зна-
значения моментов инерции в состоянии внутреннего движения срЛ#
В линейных молекулах /з « 0; поэтому состояния конечной
энергии возможны только для значений К = Л. В этом случае
энергию молекулы можно записать в виде
г? Н (Т /1 1 1\ Т/~ / If I 1\1 I D' /1 О Л 1 К\
Е-1К = ~п7о V \* ~г ^) — А (А ~г 4} г " » Aс54,1й)
где
Первое слагаемое в A34,15) определяет энергию вращения ли-
линейной молекулы для значений полного момента / ^ К = Л.
Основное состояние линейной молекулы обычно является 2-со-
стоянием, для которого Л = 0.
В нелинейных молекулах типа симметричного волчка /з ~ /°,
поэтому энергия молекулы будет выражаться общей формулой
A34,14). В основном внутреннем состоянии молекулы Л = 0 и
формула A34,14) принимает более простой вид
2+b- A34Л6)
При заданном значении / квантовое число К пробегает 2/+ 1
значений, так как К = 0, ±1, ..., ±/. Все состояния с К ф 0
дважды вырождены. Учитывая, что энергия A34,16) не зави-
зависит от квантового числа М, пробегающего значения 0, ±1, ...
..., ±/, мы убедимся, что общая кратность вырождения уров-
уровней с К Ф 0 равна 2B/+ 1).
Для молекул типа сферического волчка /3 = J', поэтому из
A34,14) следует, что энергия таких молекул выражается фор-
формулой
В этом случае энергия не зависит от квантовых чисел М и К,
поэтому вращательные уровни будут B/ -f- 1J-кратно вырож-
вырожденными.
Перейдем к исследованию роли оператора /?, определяю-
определяющего в A34,7) связь полного момента с моментом внутреннего
движения (кориолисово взаимодействие). Перепишем этот опе-
оператор в виде
IL = TZLZ + \ (Тх + if,) (Lx-iLy) +1 (/; - ify) (Lx + i?y). A34,17)
654 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
Оператор A34,17) не коммутирует с оператором 7Z, L2, поэтому
волновые функции A34,10) не являются собственными функ-
функциями оператора A34,3). Решение уравнения
(H-E)W = 0 A34,18)
с оператором
можно искать в виде
Подстановка A34,19) в A34,18) приводит к секулярным урав-
уравнениям для каждого значения /, решения которых определяют
коэффициенты аКА и уровни энергии Е. Чем больше разности
внутренних энергий молекулы в состояниях, отличающихся
квантовыми числами Л, тем меньшую роль играют кориолисовы
взаимодействия.
Энергия молекул типа асимметричного волчка определяется
оператором Гамильтона
^y? {>l~LlY . A34,20)
l
В состояниях внутреннего движения с нулевым моментом ко-
количества движения энергия молекулы в адиабатическом при-
приближении может быть найдена путем усреднения оператора
A34,20) по волновым функциям внутреннего движения у{х).
Тогда получим оператор
совпадающий с точностью до постоянной величины В (внут-
(внутренняя энергия молекулы) с оператором вращательной энергии
асимметричного волчка. Таким образом, задача сведется к за-
задаче, рассмотренной в § 46.
Все предыдущие рассуждения относились к молекулам, со-
состоящим из разных ядер. Если в состав молекулы входит не-
некоторое число одинаковых ядер, то на полную волновую функ-
функцию молекулы накладываются дополнительные требования сим-
симметрии по отношению к перестановкам одинаковых ядер. Пол-
Полная волновая функция должна быть симметричной относитель-
относительно перестановки пары одинаковых ядер целого спина и анти-
антисимметричной по отношению к перестановке пары одинаковых
ядер полуцелого спина.
§ 134] ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МОЛЕКУЛ . " 655
Рассмотрим вначале молекулы, имеющие одинаковые ядра,
спин которых равен нулю. Полная волновая функция таких мо-
молекул должна быть симметричной относительно перестановки
любой пары одинаковых ядер. В адиабатическом приближении
эта функция имеет вид
где <р(х)—волновая функция внутреннего состояния. В основ-
основном состоянии (Л = 0) функция ф(л;) является симметричной
относительно перестановки одинаковых ядер нулевого спина.
Следовательно, функции Ф должны быть симметричны отно-
относительно этой перестановки. В случае линейных молекул с цент-
центром симметрии одинаковые ядра располагаются симметрично
относительно центра молекулы. В этом случае перестановка
одинаковых ядер эквивалентна вращению молекулы на 180°.
Таким образом, вращательные состоянии должны соответство-
соответствовать только таким функциям Ф, которые остаются неизменными .
при вращении молекулы на 180°. Это требование сводится
к условию, что квантовое число / в формуле A34,15) может
принимать только четные значения, т. е. вращательная энергия
будет определяться формулой
?, = ¦^/(/+1), где / = 0, 2, ... A34,21)
При этом
^ A34,22)
где ф — угол поворота вокруг оси 3 молекулы. Для нелинейных
молекул типа симметричного волчка, имеющих одинаковые ядра
без спина, вращательные волновые функции, соответствующие
уровням энергии A34,14), согласно A34,11) и D3,12), имеют
вид
Ф'км (в,) = Y^Sr D™ (e<} = V^T^ d'^ W eim, A34,23)
где ф — угол поворота вокруг оси 3 молекулы. ¦
Как указывалось выше, молекулы типа симметричного
волчка имеют ось симметрии не ниже третьего порядка. В моле-
молекулах, относящихся к точечным группам симметрии С3„, С3л, С3,
т. е. имеющих ось симметрии третьего порядка, поворот на угол
Ф = 120° вокруг оси симметрии эквивалентен перестановке оди-
одинаковых ядер молекулы. Следовательно, при таком повороте
функции A34,23) не должны изменяться. Последнее возможно
только в том случае, когда К кратно 3. Таким образом, враща-
вращательная энергия молекул, имеющих ось симметрии третьего по-
порядка, выражается формулой A34,15) при К = Зп, где п =
656 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
= 0, 1, ... Для молекул с осью симметрии 4-го порядка К = 4п
и т. д. Итак, требование правильной симметрии полной волновой
функции по отношению к перестановке одинаковых ядер с ну-
нулевым спином приводит к тому, что реализуется только часть
вращательных состояний молекулы.
Если спин одинаковых ядер в молекуле отличен от нуля,
то в общем случае могут реализоваться все вращательные со-
состояния, хотя и с различными статистическими весами. Пояс-
Поясним это на примере двухатомной молекулы, имеющей одинако-
одинаковые ядра со спином 1/2 (например, молекула водорода Н2).
В этом случае волновая функция внутреннего состояния моле-
молекулы ц>(х) будет содержать спиновые переменные ядер моле-
молекулы. Поэтому ее свойства симметрии определятся суммарным
спином обоих ядер. В синглетном ядерном спиновом состоянии
волновая функция ф(х), соответствующая основному колеба-
колебательному и электронному состояниям, антисимметрична отно-
относительно перестановки спиновых переменных двух ядер. Чтобы
полная волновая функция была антисимметрична относительно
перестановки двух ядер, необходимо, чтобы функция A34,22)
не изменяла знака при перестановке пространственных коор-
координат ядер, поэтому возможны значения / = 0, 2, 4, ... В три-
плетном ядерном спиновом состоянии спиновая функция
симметрична по отношению к перестановке спиновых перемен-
переменных, поэтому функция Фг должна быть антисимметричной при
перестановке пространственных координат обоих ядер, т. е. при
вращении на 180°. Последнее условие выполняется при /= 1, 3, ...
Итак, вращательная энергия молекул водорода, находящихся
в синглетном спиновом ядерном состоянии, определяется фор-
формулой A34,21) при / = 0, 2, 4, ... Такие молекулы называются
молекулами параводорода. Вращательная энергия молекул во-
водорода, находящихся в триплетном спиновом состоянии, опре-
определяется формулой A34,21) при / = 1, 3, 5, ... Такие молекулы
называются молекулами ортоводорода. Статистический вес па-
расостояний равен l/it а статистический вес ортосостояний ра-
равен 3/4.
В молекулах типа XY3, относящихся к точечной группе C3v
и имеющих три одинаковых атома Y со спинами '/г, полная
волновая функция должна относиться к неприводимому пред-
представлению Л2 (см. табл. 19), так как операция av соответствует
перестановке одной пары одинаковых ядер, а операция С3 со-
соответствует перестановке двух пар ядер. Суммарный спин трех
одинаковых ядер Y равен либо 1/2, либо 3/2. В состоянии со спи-
спином S = 3/г (квартетное спиновое состояние ядер) спиновая вол-
волновая функция соответствует схеме Юнга ff 11 !TI и является
полносимметричной, т. е. относится к представлению А{. Следо-
Следовательно, чтобы полная функция принадлежала к представле-
§ 135] ТИПЫ СВЯЗИ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ В МОЛЕКУЛАХ 657
нию Л2, необходимо, чтобы функция Ф A34,23) имела симмет-
симметрию, соответствующую представлению А% Легко убедиться, что
это требование удовлетворяется при К — О, 3, 6, 9, ... Следо-
Следовательно, вращательная энергия молекул XY3 в квартетном
ядерном спиновом состоянии определяется формулой A34,15)
при /С = 0; 3, 6, 9, ... В дублетном спиновом состоянии спи-
спиновая функция соответствует представлению Е группы С3у.
Чтобы полная волновая функция в этом случае могла отно-
относиться к представлению Л2, необходимо, чтобы функция Ф
относилась также к представлению Е. Действительно (см. мат.
дополн., Д), из равенства ?X^ = -^i+^2 + ? следует, что
из функций Ф и ф, относящихся к представлению Е, можно по-
построить четыре независимых функции, из которых одна будет
относиться к требуемому представлению А2. Функция Ф^ от-
относится к представлению Е, если /С = I, 2, 4, 5, 7, 8.
§ 135*. Типы связи угловых моментов в молекулах
В § 134 исследовались вращательные состояния молекул,
суммарный спин электронов которых равен нулю. Перейдем
теперь к исследованию вопроса об энергетических состояниях
молекул с отличным от нуля спинОм электронов. В нулевом при-
приближений, при полном пренебрежении взаимодействием сум-
суммарного спина электронов с моментами других движений в мо-
молекуле, энергия молекулы не зависит от направления спина, и
каждый ее энергетический уровень имеет дополнительное BS +
-f-1) -кратное вырождение. Вследствие взаимодействия спина
электронов с другими моментами это вырождение снимается.
В адиабатическом приближении оператор полного момента
J молекулы складывается из оператора орбитального момента
L, оператора момента вращения R и спинового момента элек-
электронов S. Характер энергетического спектра молекулы зависит
от типа связи между этими тремя моментами, т. е. от отно-
относительной роли взаимодействий, обусловливающих связь между
этими моментами.
Различные типы связи между моментами в линейных моле-
молекулах впервые были разобраны и классифицированы Гундом.
Перейдем к краткому рассмотрению типов связи по Гунду.
Тип связи а. Энергия взаимодействия орбитального мо-
момента с осью молекулы велика по сравнению с вращательной
энергией. Интегралом движения является в этом случае про-
проекция орбитального момента Л = (Lz) на ось молекулы. По-
Поэтому спин-орбитальное взаимодействие можно рассматривать
как взаимодействие спина с осью молекулы. Взаимодействие
вращения как с орбитальным моментом, так и со спином мало.
658 v ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ (ГЛ. XV
Роль вращения ядер определяется расстоянием между ближай-
ближайшими вращательными уровнями. Случай а Гунда соответствует
большой по сравнению с разностью вращательных уровней
энергии связи орбитального и спинового моментов с осью мо*
лекулы. В этом случае роль вращения ядра можно учесть ме-
методами теории возмущений. Вначале рассматриваются энерге-
энергетические состояния неподвижной молекулы. Тогда электронные
состояния определяются моментом, образованным суммой Л и
проекции спина на ось молекулы. Эта величина обычно обо-
обозначается буквой Q, таким образом, Q = Л + Sz. Если Л ^ S,
то Q пробегает значения: Л + S, Л-f-S— 1, ..., Л — S; если
Л < S, то Q = S + Л, S + Л — 1, ..., S — Л. Следует отме-
отметить, что значение Л = 0 не может соответствовать типу свя-
связи а, так как в этом случае отсутствует связь орбитального
движения с осью молекулы.
Взаимодействие • орбитального и'спинового моментов с осью
молекулы приводит к дополнительной энергии Д? = Ail, где
А — некоторая постоянная. Каждому значению Q соответствует
своя энергия. Это расщепление называют мультиплетным рас-
расщеплением электронных уровней молекулы. Расстояние между
соседними компонентами равно А. Получающиеся термы при-
принято обозначать большими греческими буквами (соответствую-
(соответствующими значениям Л), около которых справа внизу ставится
число Q, а слева вверху мультйплетность терма, т. е. число
2S + 1- Так, например, при S = l/2 и Л= 1 возможны термы
2ГЬ/„ 2ГЬ/г; при S = 1 и Л—2 возможны термы 3Д,, 3Д2, 3Д3.
Напомним, что мультйплетность терма равна числу расщепленных
компонент только при Л ^ | Q |.
Чтобы вычислить энергию вращения, надо усреднить опера-
оператор вращения
где л — единичный вектор вдоль ос» молекулы, по состояниям
движения электронов, для каждого значения Q. Учитывая, что
вращение линейной молекулы происходит только вокруг оси,
перпендикулярной оси молекулы, т. е. (In) = Q, получим
где B(Q) соответствует слагаемым, не зависящим от /, но за-
зависящим от внутреннего состояния молекулы. Нормируя вра-
вращательную энергию так, чтобы при / = Q энергия вращения
равнялась нулю, получим, формулу, определяющую вращатель-
вращательную полосу над каждым внутренним состоянием с квантовым
§.135] ТИПЫ СВЯЗИ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ В МОЛЕКУЛАХ 659
числом Q
где / ^ Q. При четном числе электронов в молекуле число Й
является целым. В этом случае и / — целое число. При нечет-
нечетном числе электронов в молекуле Q и / — полуцелые числа.
Тип связи Ь. Связь между угловыми моментами молекулы
относится к типу Ь, когда энергия связи между орбитальным
моментом и спином Мала по сравнению с разностью враща-
вращательных энергий. Чистый случай связи типа Ъ наблюдается,
естественно, в молекулах, имеющих электронные состояния
с нулевым орбитальным моментом B-состояния). В легких мо-
молекулах наблюдаются случаи связи типа бив состояниях с
Л Ф 0. В некоторых случаях связь типа а переходит в.связь
типаГЬ при больших вращательных возбуждениях, когда раз-
разности между соседними вращательными уровнями становятся
большими.
Вследствие слабой (или нулевой для 2-состояНий) связи
спина S с осью молекулы (молекулы со «свободным» спином)
в первом приближении надо учесть связь оператора углового
момента вращения R с орбитальным моментом яЛ (где л —
единичный вектор вдоль оси молекулы).
Результирующий оператор момента обычно обозначают бук-
буквой К, следовательно,
Из-за слабой с'вязи К с оператором спина S квадрат момента,
соответствующий оператору К2, будет приближенным интегра-
интегралом движения. При Л =4) оператор К совпадает с оператором
вращения R, при этом квантовое число К принимает целые зна-
значения 0, 1,2, ... Если Л ф 0,- то квантовое число К принимает
целочисленные значения Л, Л + 1, Л + 2, ...
Каждому значению оператора К соответствует определен-
определенная энергия молекулы, которую можно рассматривать как элек-
электронную и вращательную энергию, т. е.
). ¦ A35,1)
Векторы К к S образуют оператор полного момента / = К + S.
Согласно правилам векторного сложения, при данном К воз-
возможны следующие значения квантового числа /, определяю-
определяющего полный момент молекулы: ^С + S ^ I ^\K — S\.
„ Взаимодействие операторов К и S приведет к расщеплению
каждого терма Ек на 25 -? 1 компонент, если К ^ S; или на
660 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
2/С + 1 компонент, если К < S. Оператор, определяющий рас-
расщепление термов A35,1), пропорционален
KS = ± (P -К2- S2). A35,2)
Среднее значение этого оператора в состоянии с определенными
значениями /, К и S равно
(/KS\ KS |IKS) = у{/(/+ 1)-К(К+ 1)-S(S + 1)}.
Следовательно, величина расщепления энергетических термов
Ек увеличивается при возрастании К.
Рассмотренные выше типы связи а и b являются наиболее
важными. Гунд рассмотрел также другие возможные типы
связи между моментами, которые осуществляются в молекулах
сравнительно редко. Следует иметь в виду, что случаи связи
по Гунду являются идеальными предельными случаями. В дей-
действительности не всегда один тип взаимодействия меньше дру-
других; кроме того, при усилении вращения один тип связи может
перейти в другой (это явление называют разрывом связи).
При рассмотрении типов связи а и Ъ мы пренебрегали взаи-
взаимодействием между оператором вращения R и оператором ор-
орбитального момента L. В отсутствие вращения интегралом дви-
движения в линейной молекуле является проекция орбитального
момента Л на ось молекулы, так как электрическое поле, дей-
действующее на электроны, имеет аксиальную симметрию. Энер-
Энергия молекулы зависит при этом от абсолютной величины Л, что
приводит к двукратному вырождению всех термов с Л ф 0.
Под влиянием вращения молекулы это вырождение сни-
снимается — происходит А-удвоение термов. Величина расщепле-
расщепления растет с ростом энергии вращения, т. е. с ростом /. Теория
Л-удвоения разрабатывалась Кронигом [128], Ван Флеком [129],
Мэлликеном и Кристи [130].
§ 136. Молекулярные спектры. Принцип Франка—Кондона
Молекула представляет собой систему с многими степенями
свободы, поэтому вычисление квантовых переходов между раз-
различными возбужденными состояниями молекулы является очень
сложной задачей. Для упрощения вычислений обычно исполь-
используют .те или иные приближения в зависимости от характера
перехода в молекуле и причин, вызывающих такие переходы.
Рассмотрим переходы, связанные с поглощением и испуска-
испусканием электромагнитных волн. При исследовании спектров по-
поглощения и испускания света молекулярными газами установ-
установлено, что эти спектры состоят из более или менее широких
§136] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ. ПРИНЦИП ФРАНКА - КОНДОНА 66 Г
полос, поэтому их называют полосатыми спектрами. В некоторых
случаях эти полосы состоят из огромного числа линий, интен-
интенсивность которых иногда резко обрывается с одной стороны
полосы (кант полосы) и медленно спадает на другой стороне
полосы. В некоторых случаях полосы представляют сплошные
участки спектра.
Сложный характер спектров поглощения и испускания света
молекулами связан с тем, что молекулярные возбужденные со-
состояния обусловлены характером движения электронов и коле-
колебательными и вращательными степенями свободы молекул.
Сравнительно хорошая применимость адиабатического прибли-
приближения позволяет, как мы видели в предыдущих параграфах
этой главы, представить энергию молекулы в виде суммы энер-
энергии движения электронов Едл, энергии колебания ядер моле-
молекулы ?кол и энергии вращения ?вр молекулы.
В связи с тем, что разность соседних вращательных уров-
уровней энергии в сотни и тысячи раз меньше разности колеба-
колебательных уровней энергии, которая в свою очередь в сотни и
тысячи раз меньше разности электронных энергий (если прене-
пренебречь переходами между соседними электронными мультипле-
тами), молекулярные спектры можно разделить на три класса:
1) вращательные спектры, обусловленные изменением только,
характера вращательного движения молекулы; 2) вращательно-
колебательные спектры, которые связаны с изменением состоя-
состояния колебаний и вращения молекулы; 3) вращательно-колеба-
тельно-электронные, или, кратко, электронные спектры молекул,
которые связаны с изменением движения электронов, сопровож-
сопровождаемым изменением колебательного и вращательного состояний.
Рассмотрим вращательные спектры молекул типа симмет-
симметричного волчка (см. § 134). Волновые функции вращательных
состояний таких молекул определяются выражением A34,10),,
а энергетические уровни — формулой A34,14). Для вычисления
правил отбора, соответствующих ?1 -переходам (дипольное
электрическое излучение), надо рассмотреть матричные эле-
элементы дипольных электрических переходов на функциях
A34,10). В адиабатическом приближении вращение молекулы
не сопровождается изменением электронного и колебательного,
состояний, поэтому при переходе функции <рл остаются неиз-
неизменными, и достаточно рассмотреть только функции
?1-переходы между вращательными состояниями возможны лишь-
ъ молекулах, обладающих собственным электрическим диполь-
ным моментом, т. е. молекулы не должны иметь центра симмет-
симметрии. К таким молекулам, например, относятся СО, НС1, Н2О и др*
«662 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
Собственный дипольный момент молекул типа симметрич-
симметричного волчка ориентирован вдоль оси молекулы. Если обозна-
обозначить абсолютную/величину собственного дипольного момента
.молекулы буквой do, то оператор дипольного электрического
момента в неподвижной системе координат будет иметь вид
A36,1)
где 6i — углы Эйлера, определяющие ориентацию системы ко-
координат, связанной с молекулой относительно неподвижной си-
системы; D^o — функции, введенные в §ЛЗ.
Итак, правила отбора ?1-переходов определяются матрич-
матричным элементом
Чфм-к- 141 Фмк>=(IpitF d° <1/0* 17'я'> (и»м 1гм">- A36>2>
При вычислении A36,2)- мы использовали формулу D3,24).
Учитывая свойства коэффициентов векторного сложения
(HQK\l'Kr) (см. § 41), мы убедимся, что Матричные элементы
A36,2) отличны от нуля (т. е. переход возможен) только при
выполнении условий
дд:=о и д/=о, ±i. A36,3)
Все молекулы с центром симметрии имеют d0 = 0, поэтому
переходы типа ?1 между их вращательными состояниями за-
запрещены. Если такие молекулы имеют собственный электриче-
электрический квадрупольный момент Qo, то оператор квадрупольного
момента в неподвижной системе имеет вид
Ц ^136,4)
Правила отбора для переходов типа ?2 будут определяться
матричными элементами
¦(I'MfK'\Q2lx\IMK) =
) -gr J dUk'D^d'mk de, sin e2 de2 m3.
Используя снова формулу D3,24), мы убедимся, что правила
отбора для ?2-излучения сводятся к равенствам
^ = 0,^ = 0, ±1, ±2. A36,5)
Для молекул типд асимметричного волчка при определении
правил отбора для вращательного спектра надо пользоваться
функциями A34,19). Тогда можно показать, что Е1-переходы
между вращательными состояниями могут возникать только в
том случае, когда молекула обладает собственным электриче-
электрическим дипольным моментом. При этом правила отбора для пол-
* 136] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ. ПРИНЦИП ФРАНКА — КОНДОНА 663
ного момента остаются без изменения:, А/= О, ±1. Однако ус-
условие АК — 0 может не выполняться.
Чисто вращательный спектр молекул расположен очень да-
далеко в инфракрасной области, настолько далеко, что только
в немногих случаях его удалось наблюдать методами инфра-
инфракрасной спектроскопии. В последнее время, однако, с помощью
методов радиоспектроскопии удалось наблюдать вращательное
поглощение электромагнитных волн с длиной волны до 1 см
при возбуждении вращательных состояний многих молекул.
Энергия квантовых переходов, сопровождающихся измене-
изменением состояния колебаний ядер в молекулах (колебательный
спектр), соответствует длинам воли от 2 до 100 мкм. Правила
отбора для переходов между колебательными уровнями с вол-
волновыми функциями -фи' и tft, определяются условиями, при ко-
которых отличны от нуля матричные элементы типа
у\%) и <ijvI г |ф0), A36,6>
так как при длинноволновом излучении матричные элементы
оператора дипольного перехода сводятся к матричным элемен-
элементам операторов х, у, z.
Для определения правил отбора нет нужды в явном вычис-
вычислении матричных элементов A36,6), достаточно знать неприво-
неприводимые представления, к которым относятся соответствующие
колебательные состояния. г
В § 133 была рассмотрена классификация колебательных
координат по неприводимым представлениям группы симмет-
симметрии молекулы. Волновые функции однофононных колебаний,
т. е. возбуждений с квантовым числом и = 1, преобразуются
аналогично соответствующей координате. Если п > 1, то вол-
волновая функция /г-кратного или я-фононного возбужденного не-
невырожденного колебания является полностью симметричной
при п четном. Если п нечетное, то симметрия волновой функции
совпадает с Симметрией волновой функции однофононного воз-
возбуждения.
Волновая функция я-фононного возбуждения одного и того
же вырожденного колебания прообразуется по представлению,
образуемому прямым произведением п неприводимых представ-
представлений, соответствующих однофононному возбуждению. В общем
случае такое представление является приводимым. При п чет-
четном это приводимое представление содержит полностью сим-
симметричное представление.
Если одновременно возбуждается несколько частот разных
колебаний, то волновая функция относится к представлению,,
являющемуся прямым произведением представлений, осуще-
осуществляемых функциями, относящимися к каждой из колебатель-
колебательных частот.
664 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
Как показано в мат. дополн., Г, интегралы, через которые
выражаются матричные^ элементы A36,6), будут отличны от
нуля только в том случае, когда прямое произведение представ-
представлений, соответствующих волновым функциям г])„, и ф„, будет
содержать представления х, у или z.
Правила отбора для появления основных частот нормаль-
нормальных колебаний, т. е. для ?1-переходов между основным со-
состоянием молекулы ф0 и первыми возбужденными однофонон-
ными колебательными состояниями г|)„, сводятся к равенству
представления Гф представлениям координат х, у или z, так
как функции основного состояния всегда принадлежат пол-
полностью симметричному представлению А, т. е. Гф0 = А и T$v X
X А = Гф . Если удовлетворяются правила отбора для пере-
перехода Е\, соответствующего некоторой колебательной частоте,
то говорят, что эта частота активна в инфракрасной области
спектра, так как она будет присутствовать в спектрах испуска-
испускания и поглощения электромагнитных волн соответствующей
частоты. Такие колебания всегда сопровождаются изменением
дипольного момента молекулы.
Для иллюстрации вышесказанного определим активные в
инфракрасной области спектра колебания молекулы воды.
В § 133 было показано, что из трех основных.частот колебаний
ядер в молекуле воды две частоты относятся к представлению
Л\ и одна —к представлению В{. Учитывая, что характеры
представлений координат х, у, z совпадают с характерами
трансляций Тх, Tv, Tz, и используя табл. 18, мы убедимся, что
все эти частоты активны в инфракрасном спектре, так как
представление Л] совпадает с представлением z, а представле-
представление В\ совпадает с представлением х.
Пользуясь табл. 19, таким же образом можно убедиться, что
активны в инфракрасном спектре и все основные частоты коле-
колебаний молекул типа XY3, соответствующих группе симмет-
симметрии С3„.
Колебательные спектры молекул в чистом виде практически
не встречаются, так как колебания ядер молекулы обычно со-
сопровождаются ее вращением. Наложение малых вращательных
возбуждений на колебательные движения приводит к линей-:
чато-полосатой структуре инфракрасных спектров поглощения
и испускания.
Перейдем теперь к краткому рассмотрению электронных
спектров, обусловленных одновременным изменением как коле-
колебательного и вращательного, так и электронного состояний мо-
молекулы. Энергия квантовых переходов такого типа в основном
•определяется расстояниями между электронными уровнями.
136)
МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ, ПРИНЦИП ФРАНКА - КОН ДОНА
665
Изменения колебательных и вращательных квантовых чисел
приводят к тонкой структуре — системе полос.
Основные особенности структуры и распределения интенсив-
ностей в электронных полосатых спектрах были объяснены на
основе принципа Франка — Кондона, сформулированного [131Г
132] в 1926 и Принцип Франка — Кондона вытекает из предпо-
предположения, что из-за большой разницы в массах ядер и элект-
электронов за время электронного перехода расположение ядер
Рис. 30. Возможная зависимость энергии двухэлектронных состояний двухатомных молекул
от расстояний между ядрами.
в молекуле практически не меняется. Поскольку в разных элект-
электронных состояниях атомные ядра движутся в разных потенциаль-
потенциальных полях, то переход электронов в новое состояние обычно со-
сопровождается последующим изменением равновесного положе-
положения ядер (и частот нормальных колебаний), что и приводит
к одновременному возбуждению электронных и колебательных
Состояний. Характер таких возбуждений определяется зависи-
зависимостью электронных состояний молекулы от расположения
ядер. Наиболее простая картина наблюдается в случае двух-
двухатомных молекул, у которых энергия электронов в адиабатиче-
адиабатическом приближении является функцией только одной коорди-
координаты (расстояние между ядрами). На рис. 30 качественно изо-
изображена возможная зависимость от расстояния: между ядрами
энергии двухатомной молекулы для двух электронных состоя-
состояний. Случай а) соответствует двум электронным состояниям,
у которых минимумы функций ео(/?) и ei(/?) соответствуют
почти одинаковым значениям равновесного расстояния, т. е.
/?о «Ri. В случаях б) и в) Ноф R\. Горизонтальными пря-
прямыми линиями на рис. 30 указаны (не в масштабе) энергии
¦666 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
колебательных состояний молекулы в обоих электронных со-
состояниях. Предположим, что в начальный момент молекула
находится в электронном состоянии |0) и ядра совершают нуле-
нулевые колебания около положения равновесия Ro, тогда с точ-
точностью до энергии нулевых колебаний начальная энергия мо-
молекулы равна ео(^о). Если теперь под влиянием света происхо-
происходит переход в электронное состояние |1), то за время перехода
расстояние между ядрами практически не изменится и моле-
молекула перейдет в состояние с энергией е, (RQ). Таким образом,
энергия перехода будет равна &е = Ei(Ro) —eo(Ro)- Эта энер-
энергия на рис. 30 изображена сплошными стрелками. В случае а)
при квантовом переходе ядра в молекуле в начальном и конеч-
конечном состоянии совершают нулевые колебания. Такой переход
можно назвать чисто электронным переходом: Де = Дее. В слу-
случае б) после квантового перехода молекула переходит в со-
состояние |1) при значении R = Rq, которое не совпадает с рав-
равновесным положением Ri. Ядра молекулы, следовательно, в
этом состоянии будут совершать колебания относительно
равновесного положения с энергией nfiw, где число п соответ-
соответствует квантовому числу, определяющему номер (число фоно-
нов) возбужденного колебательного состояния. Следовательно,
в этом случае энергия перехода может быть представлена фор-
формулой Де = Дев + пйсо, где Дее = ei(Ri) — eo(/?o)-
В случае в) квантовый переход происходит в состояние, со-
соответствующее непрерывному спектру. При переходе в это со-
состояние ядра молекулы могут удаляться на бесконечные рас-
расстояния, что соответствует фотохимической диссоциации мо-
молекулы.
Вследствие нулевых колебаний ядер в начальном состоянии
значение R = Ro является лишь наиболее вероятным. Поэтому
наряду с переходами, указанными на рис. 30 сплошными стрел-
стрелками, возможны менее вероятные переходы, сопровождаемые
возникновением других колебательных состояний, например та-
таких, которые указаны штриховыми стрелками. Таким обра-
образом, возможен не один переход, а целая серия переходов, со-
соответствующих возбуждению разного числа молекулярных ко-
колебаний. Так возникает полоса электронно-колебательных:
состояний, которая еще усложняется наложением вращательных
состояний. В случае, показанном на рис. 30, в, когда переход
происходит в состояния непрерывного спектра, полоса возбуж-
возбужденных состояний непрерывна.
Для получения количественной картины распределения ин-
интенсивности ?1-переходов в электронном спектре надо рассчи-
рассчитать матричные элементы
Bv' | г 11 v) = J q>; (rR) О>;, (/?) гФ, (г/?) Фа (R) dr dR
S 1361 МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ. ПРИНЦИП ФРАНКА — КОНДОНА g
дипольного электрического перехода на волновых функциях
адиабатического приближения, представляющих- произведение
волновых функций электронов ф(г,/?), в^ которых координаты
ядер R входят как параметры, на волновые функции Ф (/?),,.
опнсывающие движение ядер.
Матричный элемент
= J
(r,R)dr
является медленно меняющейся функцией координат ядер Rr
так как электронные волновые функции слабо зависят от R'
при малых смещениях R от положения равновесия. Поэтому
7W2i можно разложить в ряд
М21 (R) = М21
Подставляя это значение в Bу'|г|1у), пачучим
<2у'| г 11 о) ~ M2i (Ro) J Ф^ (/?) Ф„ (R) dR, A36,7>
где v' и v — квантовые числа двух колебательных уровней верх-
верхнего и нижнего электронных состояний, мтакду которыми про-
происходит переход. Интеграл
(v' | о) шш J ф*, (R) фо (/?) rf^ A36,8)-
называют, интегралом наложения волновых функций, описы-
описывающих движение ядер. Квадрат модуля этой величины
A36,9)-
определяет относительную интенсивность перехода между со-
состояниями о' и v, т. е. «V» характеризует распределение ин-
интенсивности в полосе, соответствующей электронному переходу
1^>2. При этом 2«Vo —1» т. е. суммарная вероятность пе-
рехода с одного вибрационного уровня начального состояния
на все вибрационные состояния конечного уровня зависит
только от вероятности электронного перехода, которая пропор-
пропорциональна | М21 (Ro) |2.
Интеграл наложения волновых функций A36,8) отличен от
нуля только в том случае, когда функции Ф»' и Ф^ имеют оди-
одинаковую симметрию (относятся к одинаковому неприводимому
представлению группы). Если Ф^ соответствует основному со-
состоянию молекулы (о = 0), то для полностью симметричных
колебаний ядер в верхнем электронном состоянии возможны
о' = 0, 1, 2, ... Для колебаний, антисимметричных по отноше-
отношению к некоторым элементам симметрии группы, возможны чет-
четные значения vr = 0, 2, 4, ...
668 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛ И ХИМИЧЕСКОЙ СВЯЗИ [ГЛ. XV
Численные значения интеграла наложения функций A36,8)
зависят от характера потенциальных кривых, определяющих
движение ядер в обоих электронных состояниях. Заменяя ре-
2
(хор-
(хоральные потенциальные кривые параболами —^- (R — R{J
с разными частотами ю* и равновесными положениями R\ в
обоих электронных состояниях, Хетинссон [133] вычислил инте-
интегралы наложения для небольших значений о и о'. В дальней-
дальнейшем Маннебак [134] получил рекуррентные формулы, связы-
связывающие интегралы перекрывания для разных значений v к v'.
В ряде работ развивались методы вычисления интегралов
наложения для потенциальных кривых, более близких к истин-
истинным. Подробные ссылки на работы по определению вероятно--
стей электронно-колебательных переходов в двухатомных моле-
молекулах можно найти в обзоре Колесникова и Лескова [135].
Расчет распределения интенсивностей в электронно-колеба-
электронно-колебательных полосах многоатомных молекул представляет еще боль-
большие трудности, так как в случае многоатомных молекул потен-
потенциальные энергии, определяющие движение ядер, являются
многомерными функциями.
Кроме дискретных молекулярных спектров поглощения и ис-
испускания, наблюдаются также и сплошные молекулярные
спектры. Такие спектры возникают в результате переходов
между двумя состояниями, из которых хотя бы одно имеет не-
непрерывный ряд значений энергии. В случае молекул такие
спектры могут, соответствовать ионизации, молекулы (отрыву
электрона) или диссоциации молекулы (распад молекулы на
составные части). Сплошные.спектры примыкают к сериям ко-
колебательных уровней каждого электронного состояния, а также
возникают в тех случаях, когда .конечное электронное состоя-
состояние совсем не имеет дискретных колебательных уровней (на-
(например, как состояние 3Е? для молекулы водорода). Кроме
квантового перехода непосредственно в непрерывное состояние
(соответствующее ионизации или диссоциации молекулы), воз-
возможно появление непрерывных, диффузионных полос в спектре
молекул, обусловленное эффектом предиссоциации. Явление
предиссоциации обнаруживается по размытости вращательно-
колебательных полос в электронных спектрах поглощения мо-
молекулярных газов. Расширение линий, часто приводящее к .их
полному слиянию, связано с малой продолжительностью жизни
возбужденной молекулы. Теоретическое объяснение явления
предиссоциации было дано Бонгеффером, Герцбергом и Крони-,
гом на основе представления о спонтанных безызлучательнЫх
переходах молекулы из дискретного состояния в состояние
с той же энергией, соответствующей потенциальной кривой от-
§ 136] " МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ. ПРИНЦИП ФРАНКА — КОНДОНА 669
талкивания. Такие спонтанные переходы обусловлены нестро-
нестрогой применимостью адиабатического приближения, позволив-
позволившего записать волновую функцию молекулы в виде произведе-
произведения электронной функции на функцию, определяющую движе-
движение ядер. Отброшенные в уравнениях A29,6) (при переходе
к адиабатическому приближению) операторы Атп A29,7) вы-
вызывают спонтанные переходы между различными электронно-
колебательными состояниями одинаковой энергии. Явление
предиссоциации наблюдается в том случае, когда возможны пе-
переходы в состояния, относящиеся к непрерывному спектру. Бо-
Более подробные сведения о предиссоциации молекулы можно
найти в книге Герцберга [-132].
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
А. Некоторые свойства сингулярной дельта-функции Дирака
Дельта-функция Дирака от одной переменной х обычно обо-
обозначается Ь(х). Эта функция является сингулярной функцией
от переменной х и равна нулю всюду, кроме точки х = 0.
В точке х = 0 она столь велика, что интеграл от этой функции,
содержащий точку х = 0, равен 1, т. е.
J6(x)dx=l. (A,
Наиболее важное свойство 6-функции выражается равенством
ь
J F(xN(x)dx = F@) (A, 2)
а
для любой непрерывной функции F(x), если интервал (а,Ь)
содержит точку х = 0. Таким образом, результат интегрирова-
интегрирования произведения 6(х) и любой непрерывной функции от х сво-
сводится к простой замене аргумента функции нулем. Путем сме-
смещения начала координат равенство (А, 2) можно преобразо-
преобразовать к виду
J F(x)b(x—a)dx = F(a). (A, 3)
Формула (А, 3) справедлива для любой непрерывной функции
независимо от того, является ли она скалярной, векторной, тен-
тензорной и т. д.
Дельта-функция не является функцией в общепринятом в
математике смысле. Как и другие сингулярные, или несобствен-
несобственные функции, используемые в современной теоретической фи-
физике, б-функция определяется не заданием ее величины для
всех значений аргумента, а заданием правил интеграции ее
произведений с непрерывными функциями*). Полезно иногда
*) Математическое обеснование допустимости использования обобщенных
функций типа 6-функций дано в работах [138, 139].
А] СВОЙСТВА СИНГУЛЯРНОЙ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ ДИРАКА 671
использовать одно из явных представлений б-функциь в виде
предела последовательности аналитических функций. Одним из
таких представлений является
6(*)=lim si"(*L>. (A, 4)
?-»<»
ПК
При х = 0 функция 8№я* равна —, при возрастании аб-
абсолютного значения х она осциллирует с периодом 2n/L. Инте-
Интеграл от этой функции, взятый в интервале —оо < х < оо, ра-
равен единице независимо от значения L. Таким образом,
litn ¦ при L —¦ оо имеет все свойства 6-функции.
Пользуясь (А, 4), можно доказать равенство
]kxdk = b(x), (A, 5)
часто используемое в этой книге. Действительно,
оо L
-1- f elkxdk= lim 4r f elkxdk= litn ^^- = 6 (x).
—oo — ?
Выделяя действительную и мнимую части в (А, 5), находим
- | ca&(kx)dk=*6(x).
— ОО
оо
J
В некоторых приложениях удобно пользоваться другими пред-
представлениями 6-функции, например
Прн подстановке любого из представлений 6-функции, напри-
например (А, 4), (А, 6), в операторное уравнение знак предельного
перехода надо выносить из-под знака интеграла. Часто исполь-
используются представления 6-функций через различные полные орто-
нормироваиные системы функций. В случае функций tyn(x),
соответствующих дискретному спектру,
б (х - х') = S ¦; (*>¦„ (*')• (А, 7)
1
672 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Для функций *])*¦(*), соответствующих непрерывному спектру,
б (х - х') = J tfp (х) % (*') dF. (A, 8)
Приведем теперь ряд равенств, которым удовлетворяют
б-функцни. Смысл этих равенств состоит в том, что они дают
одинаковый результат, если их применять в качестве множите-
множителей под знаком интеграла
б(— х) = б(х), (А, 9)
хб(х) = О, (А, 10)
6(ш:)=-|||-6(ж), (А, И)
(А, 12)
(А, 13)
L> (A,14)
(А, 15)
где Xi — простые корни уравнения <р(ж) = 0.
Можно также определить производную по х от б-функцин,
которую обозначим 6'(*)- Одним из представлений б'(х) яв-
является
б'(*) = - lim
Вычисление интегралов, содержащих в'(л), осуществляется ин-
интегрированием по частям при учете того, что 6(*) = 0, если
х ф 0. Таким образом,
Производная от б-функции удовлетворяет соотношению
хд'(х) = -Ь(х). (А, 16)
Функция Ь{х) является четной функцией х, следовательно,
производная Ь'(х) является нечетной функцией. Поскольку
б-функция является четной функцией, то выполняется равенство
'/г, если а > 0;
— '/г, если а < 0.
А] СВОЙСТВА СИНГУЛЯРНОЙ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ ДИРАКА $73
Трехмерная 6-функция б (г) определяется равенством
б (г) = б (х) б (у) б (z) = Bя) ~3 J е* <f%,
где интегрирование ведется по всем значениям kx, ky, kz.. Функ-
Функция б (г) обладает свойством
J6(r)F(r)(Pr=F@), (A, 17)
если интегрирование проводится по области, включающей точку
г = 0. Приведем также полезные равенства
где п' и я — единичные векторы в направлении г' и г; интегри-
интегрирование по г совершается от точки г = 0.
В некоторых случаях под знаком интеграла встречается син-i
гулярная функция
Вычисление таких интегралов легко выполнить, если учесть, что
«e(x)tf» <А19)
где знак 0* указывает, что вычисление интеграла надо прово-
проводить в смысле главного значения. Такое же свойство имеет и
сингулярная функция
lim (х — /е)~' = шб (х) + &>—.
е->0 . *
Наряду с б-функцией часто используют другие несобствен-
несобственные функции. Например,
б+ (х) = 61 (х) = ~г Пт (х -ia)-\ (A, 20)
О помощью (А, 20) и (А, 6) получаем
Дельта-функция б (г), рассматриваемая как функция ком-
комплексного переменного, имеет два полюса первого порядка в
22 А. С, Давыдов
674 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
точках la и —ia с вычетами, соответственно равными 1/Bш) и
— 1/Bш). При интегрировании выражений, содержащих б (г),
путь интегрирования должен проходить между этими полю-
полюсами. Соотношения (А, 20) и (А, 21) остаются справедливыми
и для комплексных значений х. При этом
б- (г) = б+ (- г) = Ь\ (г) = F+ {г'))\
Функции 6+(г) и б- (z) можно записать в виде
М*)=~. «-(г)---^.
если условиться выбирать путь интегрирования соответственно
над и под точкой 2 = 0.
Б. Операторы момента количества движения
в сферических координатах
В § 7 были даны выражения проекций оператора момента
количества движения в декартовых координатах
Найдем вид этих операторов в сферической системе координат.
Преобразованиям
х = г sin 9 cos <р, г/= г sin Э sincp, 2 = г cos 0
соответствуют обратные преобразования
Следовательно,
дг
дг
дв
дг
(Зф
дг
= cos 9,
sin 9
г
дг
дх
58
дх
дф
дх
дг __
38
ду
(Эф
ду
sin 0 cos ф,
cos 8 cos ф
г
sin ф
/¦sin 6 '
sin 0 sin q
cos 8 sin ф
r
COS ф
r sin 0 '
В] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 675
Используя эти соотношения, находим
дх дг ' дх дб ' дх
Таким же путем получаем
(Б, 3)
Ly=- ih (cos ф -щ — ctgG sin ф -~^. (Б, 4);)!
Следовательно,
,2 ,2|г2,,2 ^2f 1 3 / • л •? \ I I
Вместо операторов Lx, Ly часто используют линейные комби-
комбинации
В. Линейные операторы в векторном пространстве.
Матрицы
Для облегчения чтения книги напомним некоторые опреде-
определения, связанные с векторными пространствами конечного и
бесконечного числа измерений. Понятие векторного простран-
пространства является обобщением понятия обычного трехмерного про-
пространства.
I. Комплексным векторным пространством R называют бес-
бесконечную совокупность комплексных величин А, В, С, ..., для
которых определены линейные операции сложения и умноже-
умножения на комплексные числа. Сами величины А, В, ... назы-
называются векторами пространства R.
Векторное пространство R является линейным простран-
пространством, т. е. оно обладает тем свойством, что любая линейная
комбинация двух векторов (например, аА -\- ЬВ, где а и ft —
комплексные числа) образует вектор, принадлежащий тому же
векторному пространству. Каждой паре векторов А и В в век*
торном пространстве сопоставляется число (А\В), называемое
скалярным произведением векторов. Определение скалярногб
произведения дано в разделе IV этого параграфа.
22*
676 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Если в векторном пространстве R существует система п не-
независимых ортонормированных векторов
таких, что любой вектор из векторного пространства R может
быть представлен в виде линейной комбинации векторов eit на-
например
21
то говорят, что векторное пространство имеет п измерений.
Векторное пространство бесконечного числа измерений называют гильбер-
гильбертовым пространством. В качестве векторов (элементов) гильбертова простран-
пространства можно рассматривать линейное множество функций, определенных в ко-
конечной или бесконечной области Q. При этом каждой паре функций 1|эE) и
ф(|) линейного множества сопоставляется скалярное произведение, которое
обозначается выражением (i|)|q>), удовлетворяющее четырем условиям:
1) <1И<Р) = (ф|Ф>*; 2) (аф1 + &ф2|11
4) если (ф| ty) = 0, то ¦ф (|) з= 0.
Иногда линейное множество функций со скалярным произведением, удо-
удовлетворяющим указанным свойствам, называют функциональным гильберто-
гильбертовым пространством. Векторы состояний квантовых систем образуют функцио-
функциональное гильбертово пространство.
Полную совокупность независимых векторов в, называют
базисной системой векторов, или базисом векторного простран-
пространства. Комплексные числа At в разложении типа (В, 1) называют
координатами вектора А.
В функциональном гильбертовом пространстве базисной системой векто-
векторов является полная совокупность собственных функций любого линейного
самосопряженного оператора, определенного на множестве функций, входящих
в гильбертово пространство.
Координаты вектора однозначно определяются заданием
вектора и системы базисных векторов е{. Выбор базисных век-
векторов может производиться многими способами. Одному век-
вектору в разных системах базисных векторов соответствуют раз-
разные системы координат. Следовательно, значения координат
существенно зависят от выбора базиса. Однако некоторые ве-
величины, образованные из координат, не зависят от выбора ба-
базиса и определяют свойства самих векторов, например их
длину, взаимное расположение и др.
Переход от одного вектора А векторного пространства R
к другому вектору В того же пространства при заданном ба-
базисе et осуществляется линейным преобразованием координат
(В, 2)
В] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 677
Коэффициенты этого преобразования образуют квадратную
таблицу чисел. В случае n-мерного пространства таких чисел
будет п2;
« — (<*«) =
«и
а21
а„2
... а„
Для бесконечномерного пространства число строк и столбцов
в таблице также бесконечно. Таблица чисел а,-& называется
п-мерной (или бесконечномерной) квадратной матрицей. Числа
a,-ft называют матричными элементами. Первый индекс i обо-
обозначает номер строк, второй индекс обозначает номер ст©лбцов.
Линейному преобразованию координат (В, 2) соответствует
линейное преобразование векторов. Каждому линейному пре-
преобразованию векторов соответствует своя матрица преобразо-
преобразования. Произведением у двух линейных преобразований а и Р
называют последовательное применение вначале преобразова-
преобразования р, а затем преобразования а, что можно записать в симво-
символическом виде
Матрица (у**) произведения преобразований образуется из
матриц преобразований (а^) и (р«) по закону
Y/*=Sa«P«. (В, 3)
который определяет правило умножения матриц.
Отметим основные свойства произведения матриц: 1) произ-
произведение двух матриц, вообще говоря, зависит от порядка мно-
множителей. Две матрицы, произведения которых не зависят от
порядка множителей, называют коммутирующими матрицами;
2) при матричном умножении нескольких матриц справедлив
ассоциативный закон у($а) = (\$)а; 3) детерминант произве-
произведения двух матриц равен произведению детерминантов этих
матриц.
Частным случаем преобразования векторов является тожде-
тождественное преобразование, которому соответствует единичная
матрица
1 О О
О 1 О
О 0 1
678 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Матричные элементы Ьш единичной матрицы называют симво-
символами Кронекера, они равны единице при i = k и равны нулю-
при i ф k. Единичная матрица коммутирует со всеми другим»
матрицами.
Если детерминант матрицы а не равен нулю, то существует
матрица а", обратная матрице а, т. е. такая матрица, которая
удовлетворяет равенству
Если а~' является обратной к матрице а, то и матрица а яв-
является обратной к а~'. Обратная матрица к произведению не-
нескольких матриц равна произведению обратных матриц, взя-
взятому в обратном порядке
(apY)~1=Y"IP~1a~I. (В, 4>
При умножении матрицы на комплексное число надо умножить
все элементы матрицы на это число. Суммой двух матриц
a -(-Р называется матрица y> матричные элементы которой
равны сумме матричных элементов аир.
Сумма диагональных элементов квадратной матрицы назы-
называется шпуром, или следом матрицы, т. е.
Если шпуры нескольких матриц а, р, ... конечны, то шпур их
произведения при циклической перестановке не меняется, на-
например,
II. Как отмечалось выше, при заданном базисе координаты
'At вектора А полностью определяют вектор
А = 2 A^et.
Координаты вектора удобно записывать в виде столбца, на-
например
A*=(At)i
Тогда линейное преобразование векторов (В,2), осуществляе-
осуществляемое матрицей а, можно записать в матричной форме
В = аА или Bt = 2 a,Hft. ¦ (В, 5)
В] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 679
Рассмотрим наряду с базисом е* другой базис е'г В новой
базисной системе координаты векторов А и В будут изобра-
изображаться матрицами
'А\
Линейному преобразованию векторов (В, 5) в новом базисе бу-
будет соответствовать новая матрица (а^), определяемая соот-
соотношением
b'i — 2 a'fc^ft' (в, в)
Переход от координат At и Bt к координатам А\ и В\, соот-
соответствующий переходу от базиса е{ к базису е\, осуществляется
матрицей преобразования S = (Sik), где
Stk = ete'k, (В, 7)
с помощью соотношений
I ^ (В, 8)
ft ft
В этом легко убедиться, рассматривая, например, равенство
и используя свойстве ортонормируемости базисных векторов.
После подстановки (В, 8) в (В, 5) и умножения слева на
S находим
Сравнивая ато равенство с (В, 6), получаем связь между раз-
различными матричными представлениями линейного оператора а
в двух базисных системах
a' = S~'aS. (В, 9)
Матрицы, связанные соотношением (В, 9) с помощью произ-
произвольной матрицы S (имеющей обратную матрицу), называются
680 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
унитарно-подобными матрицами. Таким образом, каждому ли-
линейному оператору в векторном пространстве можно сопоста-
сопоставить целый набор подобных между собой матриц, представ-
представляющих линейный оператор в различных базисах. Унитарно-
подобные матрицы удовлетворяют одинаковым матричным
уравнениям. Другими словами, соотношения между матрицами
остаются инвариантными относительно преобразований мат-
матриц (В, 9).
III. Перечислим некоторые матрицы, обладающие особыми
свойствами.
Диагональные матрицы. Матрица называется диагональной,
если она имеет отличные от нуля матричные элементы только
на главной диагонали, т. е.
Bee диагональные матрицы коммутируют между собой. Произ-
Произведение двух диагональных матриц снова дает диагональную
матрицу. Диагональная матрица, у которой все диагональные
элементы по модулю равны единице, называется фазовой мат-
матрицей (е'ф*6Аг).
, Транспонированные матрицы. Матрица а является транспо-
транспонированной к матрице а, если она образована из матрицы «
путем замены строк столбцами, т. е.
(alk) =
Матрица, транспонированная к произвп^'пню, рзвна произве-
произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
Например,
Комплексно сопряженная матрица. Матрица а* является
комплексно сопряженной к матрице а, если ее матричные эле-
элементы комплексно сопряжены элементам матрицы а, т. е.
Ы*=(«!»)•
Эрмитово сопряженные матрицы. Матрица а+, полученная
из матрицы а путем последовательного применения операции
транспонирования и комплексного сопряжения, называется эр-
эрмитово сопряженной матрицей к матрице а = (а,ь), т. е.
Ы+=««•)•
Матрица, эрмитово сопряженная к произведению матриц,
равна произведению эрмитово сопряженных матриц, взятых
В] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 681
в обратном порядке, например
Матрица а называется действительной, если а* = а. Матрица
« называется мнимой, если а* = —а. Матрица а называется
симметричной, если a = а. Матрица а называется антисиммет-
антисимметричной, если a = —а. Матрица а называется эрмитовой, или
самосопряженной, если af = а. Матрица а называется анти-
антиэрмитовой, если af = —а. Матрица а называется унитарной,
если af = a~'.
Действительная унитарная матрица называется ортогональ-
ортогональной матрицей. Ортогональная матрица, следовательно, удовле-
удовлетворяет равенствам
a = a . *
IV. Скалярным произведением двух векторов А а В назы-
называется выражение
{A\B)^%A'iBb (В, 10)
Скалярное произведение векторов остается инвариантным при
переходе от одного базиса к другому, т. е.
{А I В) = 5 A*Bt = S Ai'BL
i i
Скалярное произведение любых двух векторов удовлетворяет
равенству
(А\В) = (В\АУ. (В, 11)
Для любых двух векторов Л и В и произвольной матрицы а
имеют место равенства
|«В> = <аМ1Л>; 1
{ ' '
Скалярное произведение в функциональном гильбертовом про-
пространстве является непосредственным обобщением (В, 10), т. е.
определяется интегралом
JV (В, Юа)
где интегрирование распространено на все возможные значения
переменных |, от которых зависят эти функции.
V. Среди различных линейных преобразований векторов
особенно большое значение в квантовой механике имеют
унитарные преобразования. Унитарные преобразования
682 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
осуществляются унитарными матрицами, т. е. матрицами и,
удовлетворяющими равенству
u+u = l, или u+ = u~1.
Используя свойство (В,12) скалярного произведения двух век-
векторов, легко доказать, что при унитарном преобразовании двух
векторов их скалярное произведение остается неизменным.
Действительно,
(В, 13)
Выполнение равенства (В, 13) для произвольных двух век-
векторов может служить определением унитарности матрицы и.
Произведение двух унитарных матриц тоже унитарно. Так,
(и,и2)+ = иЭД = u-'uf1 = (UjU^-1.
Матрица, обратная к унитарной матрице, тоже унитарна, так
как
Легко убедиться, что рассмотренные ранее матрицы преоб-
преобразований S(B,7) координат векторов при переходе от одной
базисной системы координат к другой являются унитарными
матрицами. Они удовлетворяют условию S+— S. Поскольку
матрица S действительна, то из условия унитарности следует,
что S ортогональна.
VI. Прямым произведением двух матриц а = (а,й) и Р =
= (film) называется матрица, элементами которой являются
произведения элементов матриц аир. Прямое произведение
двух матриц иногда обозначают с помощью знака «X»,
стоящего между символами, обозначающими соответствующие
матрицы. Не следует смешивать это обозначение с обозначением
векторного произведения двух трехмерных векторов а и 6, для
которого в книге используется обозначение [а X Ь]. Итак, пря-
прямое произведение двух матриц можно определить равенством;
а12р
I r»..ft
«ХР =
Если размерность квадратной матрицы а равна п, а размер-
размерность квадратной матрицы р равна т, то прямое произведение
a X Р будет иметь размерность тп.
V •
'll «11 Pl2
'21 апРг2
•
• • • а12РП
• • • «12021
а12р12
«12р22
П ВЫРОЖДЕННЫЕ ГЙПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 683
Г. Вырожденные гипергеометрические функции.
Функции Бесселя
Многие дифференциальные уравнения, рассматриваемые в
этой книге, сводятся к уравнениям для вырожденной гипергео-
гипергеометрической функции. Приведем здесь для справочных целей
несколько свойств этих функций. Доказательства и более по-
подробные сведения можно найти в книгах [141—143].
Вырожденная гипергеометрическая функция определяется
рядом
г (а, с, z) — 1 -г- с и -г- с {с + {) 2, -т- • • • U , U
для всех конечных значений переменной z, произвольных зна-
значений параметра а и для всех не равных нулю и целому отри-
отрицательному числу значений параметра с. Функция F(a,c;z)
яри а = с сводится к обычной экспоненциальной функции
F (a, a; z) = ez.
Вырожденная гипергеометрическая функция является одним
из частных решений дифференциального уравнения второго по-
порядка
2- + (с-г)^-аФ = 0, <Г'2)
?г. е. Ф\ = F(a, c\z). Если с — нецелое число, то второе незави-
независимое решение уравнения (Г, 2) имеет вид
O2 = 21-cF(a-c+l,2-c;Z). (Г, 3)
В этом случа-е общее решение уравнения (Г, 2) образуется пу-
путем линейной суперпозиции решений Ф\ и Фг, т. е.
Ф=ЛФ, + ВФ2,
где А и В — произвольные постоянные. Функция F(a, c;z) ре-
регулярна при г = 0и имеет значение, равное 1; она удовлетво-
удовлетворяет соотношению
F (а, с; z) = ezF (с - а, с; - z), (Г, 4)
которое называют преобразованием Каммера. Приведем еще
несколько соотношений, которым удовлетворяют функции
Р(а,с;г):
(с - a) F (а - 1, с; z) + Bа - с + z) F (а, с; z) = а? (а + 1, с; г),
(а - с + 1) F (а, с; z) + (с - 1) F (а, с - 1; z) = aF (a + 1, с; г),
~-F(a,c;2)=:-jF(a+l,c+l;2). (Г, 5)
684 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Последовательным применением (Г, 5) можно получить
-^—- F (а с- z) = r(t;* '"-rf4 F (a 4- я с + ^г)
rfz" l ' ' ' Г (а) Г (с + я) l ^ «, с -г- /г, г;,
где Г(х) — гамма-функция.
Если а равно нулю или целому отрицательному числу, а =
= —п, то вырожденная гипергеометрическая функция сводится
к полиному п-й степени
F(— п, с; z)= 1 — — z+ п , . ,, -|г + • • • + (—1)" / f ~ п. г".
Эти полиномы можно записать с помощью простой формулы
F (- п, с; z) = г'~1е?1^ ^ (^+^-'б-г). (Г, 6)
Вырожденная гипергеометрическая функция (Г, 6) связана не-
непосредственно с обобщенными полиномами Лагерра с помощью
равенства
F (- «, с + 1; г). (Г, 7)
Обобщенные полиномы Лагерра определяются формулой
Lcn B) = z~cez -^ (^+«6-*). (Г, 8)
Обобщенные полиномы Лагерра при с = 0 обозначаются как
Ln(z) и называются просто полиномами Лагерра; согласно
(Г,7) и (Г, 8), имеем
Ln(z)=eJ-?-(z"e-*) = I>+l)F(-n, I; z). (Г, 9)
Укажем асимптотическое поведение вырожденной гипергео-
гипергеометрической функции. При малых значениях z асимптотическое
значение функции F определяется непосредственно первыми чле-
членами ряда (Г, 1). При больших значениях |z| имеем
F(a,c;z) = y|g-z«-«e»[l + O(|zr1)], если Rez->cx>, (Г, 10)
(,;) Tj^(-z)-a[l + O{\z\-% если Rez->-°o.
(Г, П)
Приведем еще асимптотические значения F(a, c;z) для огра-
ограниченных значений z и неограниченно больших значений
Г] ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРЙЧЕСКИЁ ФУНКЦИИ 688
одного из параметров:
F (а, с; z)= 1 + О(\ с |~'), если 2 и а ограничены, с—>оо,
F(a, с; г) —ег [1 -f- О (| с Г1)], если с — а и z ограничены, с-> оо.
Большое значение вырожденной гипергеометрической функ-
функции в теоретической физике связано с тем, что через эту функ-
функцию выражаются решения многих линейных однородных диф-
дифференциальных уравнений. Рассмотрим, например, уравнение
(аох + bo) 45- + fa* + bx) -g- + (eye + b2) <p - 0. (Г, 12)
При «о = Й1 = «2 = 0 решение этого уравнения выражается
через элементарные функции. Поэтому этот случай мы не рас-
рассматриваем. С помощью подстановки
ф = ^хф) x-~hz + ii, (Г, 13)
преобразуем уравнение (Г,12) к виду
(«о2 + ро) ~ +'(a,z + р.) -^ + (а2г + Рг) Ф = 0, (Г, 14)
где
ao = -y-i 01 = ^], а2=ЯЛ2,
РО — J2 > Pi — X ' Р2— ^Л2 Т О2>
y4,=2a0v + ai, A2= a0v2 + a,v + a2,
5) = 2fc0v + ft,, fB2 = M2 + b2v + &2.
Если определить Я, ц и v так, чтобы
&о=О, ao + Mi = O, Л2=0, (Г, 15)
то уравнение (Г,14) совпадает с уравнением (Г,2). Следова-
Следовательно, любое уравнение типа (Г, 12) сводится к уравнению вы-
вырожденных гипергеометрических функций (Г, 2), если можно
подобрать значения ц, X, v, удовлетворяющие уравнениям
(Г, 15), а затем воспользоваться преобразованием (Г,13).
Путем подстановки
(Г, 16)
уравнение (Г,2) преобразуется к уравнению Уиттекера
1
^+l-i+4+^A)W = 0. (Г.17>
686 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Функция Уиттекера Wft^z), удовлетворяющая уравнению
(Г, 17), определяется интегралом
г _*-_,„, ,ч -„ ц (г^18)
Г 4---<
для всех значений k и ц и для всех значений г, кроме веще-'
ственных отрицательных значений. Если Wft^z)— решение
уравнения (Г, 17), то W_ft, ^(—г) будет тоже решением того же
уравнения, так как при одновременной замене знаков k и г
уравнение не меняется. Решения Wft(Jl(z) и W_ft, ^(z) образуют
основную систему решений уравнения (Г, 17).
Связь между вырожденной гипергеометрической функцией
F(a,c;z) и функцией Уиттекера WfeilxB) определяется соотно-
соотношениями (Г, 16). Многие функции, применяемые в прикладной
математике и физике, могут быть выражены через функции
W()
u()
Так, например, обобщенные полиномы Лагерра (Г, 8) яв-
являются частным случаем функций Уиттекера, если в последних
положить
k = n + -j (с+ 1), Н- = у>
т. е.
а(г) = (-1)яг 2 e=«W е+1 с (г).
При с = ± y полиномы Лагерра переходят в полиномы Эрмита
являющиеся решениями дифференциального уравнения
(Л <ь> —
Именно
"Асимптотическое значение функции Уиттекера при
|argB)|<n и больших значениях г дается формулой
Г] ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 687
Функции Бесселя являются частным случаем вырожденной
гипергеометрической функции. Функции Бесселя часто исполь-
используются в этой книге, поэтому мы приведем здесь для справок
некоторые их свойства.
Функции Бесселя являются решением уравнения Бесселя
Одно из частных решений этого уравнения определяется рядом
<Г'20>
и называется функцией Бесселя первого рода порядка р. Если
р — не целое число, то два решения JP{z) и J-p(z) являются
линейно независимыми. В этом случае общее решение (Г, 19)
изображается в виде
AJp{z)+BJ.p(z),
где А и В — произвольные постоянные.
Функции Бесселя выражаются через вырожденные гипергео-
гипергеометрические функции с помощью равенства
Если р равно целому числу п, то оба решения, отличающиеся
знаком п, связаны соотношением
При больших значениях z асимптотическое значение функции
Бесселя первого рода определяется формулой
NP(z)= "w "Г! РУ- (Г.22)
Если р — не целое число, то часто используют в качестве од-
одного из решений уравнения (Г, 19) функцию Неймана порядка
р (или функцию Бесселя второго рода)
Jp{z)cos рп — I~p{z)
sin /ш
Функция Неймана Np(z) и функция Бесселя JP(z) также об-
образуют два независимых решения уравнения (Г, 19).
В качестве линейно независимых решений уравнения (Г, 19)
иногда используют первую и вторую функции Ханкеля (или
функции Бесселя третьего рода)
688 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Выбор тех или иных функций в качестве независимых решений
уравнения (Г,19) определяется поведением этих функций при
больших значениях независимой переменной. Асимптотическое
поведение функций Ханкеля при больших z характеризуется
выражениями
Функции Бесселя, индекс которых равен половине целого
числа, выражаются через элементарные функции. Так, при лю-
любом целом /
d \l/sinz\
) . j
/p 23)
Обычно вместо функций (Г, 23) часто используются отличаю-
отличающиеся от них множителем сферические функции Бесселя
(Г, 24)
Ш (г) - (- D'+I /^ /-,-* (г) = (- 1)'+I z' G4г)г (^). (Г, 25)
Асимптотические значения этих функций приведены в § 35.
Если Jp{z) есть решение уравнения Бесселя (Г, 19), то функ-
функция от чисто мнимого аргумента JP{iz) является решением
уравнения
z\p+2k
Обычно решение уравнения (Г, 26) выбирается в виде
| СО
!p(z) = Jp(iz)e-'ipn = y\ -
Функция lP{z) называется видоизмененной функцией Бесселя
первого рода. Если р — не целое число, то IP(z) и I-P{z) об-
образуют два независимых решения, через которые выражается
любое общее решение уравнения (Г, 26). Если р — целое число,
то
Видоизмененная функция Бесселя первого рода связана с вы-
Д1 ТЕОРИЯ ГРУПП 689
рожденной гипергеометрической функцией простым соотноше-
соотношением
В приложениях наряду с функцией 1р(г) в качестве второго
независимого решения (Г, 27) (при р не целом) используют
функцию
я r-p(z)-lp(z)
А ; 2 sinpjt ' Ц 'ZV>
которую называют функцией Бассета, или видоизмененной
функцией Бесселя второго рода. Функция Бассета при z-+oo
имеет асимптотический вид
-е-гП + 0(г-'I, 2>0.
Если р стремится к некоторому целому числу п, то числи-
числитель и знаменатель (Г,28) стремятся к нулю. В этом случае
Кп определяется как предел отношения этих бесконечно малых
величин. Также определяется и функция Неймана для целых
значений р.
Д. Теория групп
I. Определение группы. В математике группой называется
совокупность элементов а, Ь, с, ..., g, ....которая удовлетво-
удовлетворяет следующим свойствам: 1) определена такая операция про-
произведения элементов, что произведение двух элементов равно
какому-либо другому элементу той же группы; например
ab = с; 2) среди элементов группы должен содержаться еди-
единичный элемент е такой, что еа = ае = а для произвольного
элемента группы; 3) соблюдается ассоциативный закон умно-
умножения: (ab)c = а(Ьс); 4) каждый элемент а группы имеет об-
обратный элемент а-1 такой, что аа~х = а~ха = е.
Число элементов N группы называется ее порядком. Это
число может быть и бесконечным. Вообще произведение эле-
элементов группы не обладает коммутативным законом: ab Ф Ьа.
Если же коммутативный закон справедлив для всех элементов
группы, то группа называется абелевой группой.
Примером групп может быть: а) совокупность операций,
преобразующих симметричную фигуру саму' в себя; б) совокуп-
совокупность всех поворотов пространства вокруг всевозможных осей,
проходящих через фиксированную точку; совокупность всех
возможных перестановок п элементов и т. д.
II. Представление группы. Если каждому элементу g группы
можно сопоставить оператор n(g) в некотором линейном
690 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
пространстве L так, что при этом произведению любых двух эле-
элементов группы соответствует произведение операторов, т. е.
то операторы U(g) называются представлениями группы. Раз-
Размерность пространства L называют размерностью представле-
представления. Операторы H{g) часто выражаются квадратными матри-
матрицами. В этих случаях размерность представления совпадает
с размерностью матриц.
Все представления группы можно разбить на классы взаимно
эквивалентных представлений. Два представления IIi и П2 на-
называются эквивалентными, если для каждого элемента группы
выполняется соотношение
nl(g)=m2(g)T-\ (д,2)
где Г —одна и та же для всех элементов матрица (линейный
оператор). Для всякого представления конечной группы суще-
существует эквивалентное унитарное представление, т. е. представ-
представление, состоящее только из унитарных матриц, поэтому дальше
мы будем рассматривать только унитарные представления.
Преобразования типа (Д,2) называют преобразованиями
подобия. Если данному представлению П (g) можно найти та-
такое преобразование подобия, что все матрицы U{gi) преобра-
преобразуются к виду
,(?) О О
о u2(g) о . .
о о не*) "' (Д>3)
где Tli(g) изображаются матрицами меньшей размерности, то
представление U(g) называется приводимым. Если нельзя
найти преобразование подобия, которое приводило бы все мат-
матрицы представления к виду (Д, 3), то II(g) называется непри-
неприводимым представлением.
Отметим два свойства неприводимых представлений: а) сум-
сумма квадратов размерностей всех неприводимых неэквивалент-
неэквивалентных представлений равна порядку группы
2#=ЛГ; (Д,4)
б) Элементы Umn(g) матриц неприводимых представлений
удовлетворяют следующим условиям ортогональности:-
С (g) А (8) = -?- bk{bmm*nn>. (Д, 5)
Д1 ТЕОРИЯ ГРУПП 691
Таким образом, N величин
V N 11тп\&>
с компонентами, соответствующими отдельным элементам gi
группы, образуют полную эрмитову ортонормированную си-
систему векторов Л/-мерного пространства.
Неприводимые представления с размерностью большей чем
единица имеются только в группах, содержащих некоммутатив-
некоммутативные элементы. Абелевы группы имеют только одномерные пред-
представления.
III. Характеры представлений. Сумма диагональных элемен-
элементов матриц представления для каждого элемента группы обра-
образует характеры представления, т. е.
'?). (Д- 6).
Поскольку представление, соответствующее единичному эле-
элементу группы, изображается диагональной единичной матри-
матрицей, то характер этого представления всегда равен размерности
представления. Характеры эквивалентных представлений, т. е.
представлений, отличающихся преобразованием подобия (Д, 2),
совпадаЕОт. Характеры неприводимых неэквивалентных пред-
представлений взаимно ортогональны:
2i%k{g)t](g)=Nblk, (Д,7)
g
где N — число элементов группы.
Элементы каждой группы можно разбить на классы. В со-
состав каждого класса входят взаимно сопряженные элементы,
т. е. такие элементы а и Ъ группы, между которыми имеется
равенство а = xbx~\ где х — какой-либо элемент той же груп-
группы. Классы абелевых групп состоят только из одного элемента,
т. е. число классов в этих группах равно числу элементов N.
Разделение элементов группы на классы очень существенно,
так как элементы, входящие в один класс, имеют одинаковые
характеры. Далее, число неприводимых представлений равно
числу классов группы.
Так как характеры элементов, входящих в один класс,14 оди-
одинаковы, то, обозначая число элементов в классе а через па,
можно в (Д, 7) суммирование по всем элементам заменить
суммированием по всем классам
2 «aXft (Да) %*l (ga) = N6kl, (Д, 7а)
где ga — один из элементов группы, входящий в класс а. Сум-
Суммирование происходит по всем классам,
692 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
Поскольку между системами характеров и неприводимыми
представлениями группы имеется однозначное соответствие, то
удобно во многих приложениях теории групп иметь дело не
с неприводимыми представлениями, а с характерами. Поль-
Пользуясь свойствами ортогональности (Д,7) характеров неприво-
неприводимых представлений группы, можно разложить характеры лю-
любых приводимых представлений группы по неприводимым пред-
представлениям. Например,
2 (Д,8)
где суммирование выполняется по всем неприводимым пред-
представлениям. Коэффициенты разложения Ah определяются со-
согласно (Д, 7) формулой
2(g). (Д>9)
При этом суммирование проводится по всем элементам группы.
IV. Непрерывные группы Ли. Непрерывной группой Ли на-
называется бесконечная группа, каждый элемент которой может
быть задан с помощью конечного числа параметров. Минималь-
Минимальное число параметров, определяющих каждый элемент группы,
называется размерностью группы Ли. Например, повороты на
произвольный угол вокруг фиксированной оси образуют группу
Ли. Произведением двух поворотов на углы ц>\ и ф2 является
поворот на угол <pi -f- ц>г- Эта группа имеет размерность, рав-
равную 1, так как каждый поворот определяется одним парамет-
параметром— углом поворота. Полная группа вращений является
группой Ли размерности 3, так как каждое вращение характе-
характеризуется тремя параметрами, например углами Эйлера.
Нулевые значения всех параметров данной группы Ли со-
соответствуют единичному элементу группы. Представления груп-
группы Ли являются функциями параметров группы. Если пред-
представления П(а]а2...) являются дифференцируемыми функ-
функциями параметров, то можно ввести понятие инфинитезималь-
ного оператора. Инфинитезимальным оператором Ih соответ-
соответствующим параметру ось называется производная от представ-
представления n(aia2...) по од, взятая при значении всех параметров,
равных нулю, т. е.
г дП 1
I ; Ja,=a2= ...=0
Число инфинитезимальных операторов равно размерности
группы Ли.
V. Прямое произведение представлений группы. Как было
показано в § 19, система собственных функций оператора Га-
Гамильтона И образует базис для представления группы g one-
Д1 ¦¦• теория групп 69S
раций симметрии, которые оставляют инвариантным оператор
Н. Представления, создаваемые собственными функциями Н,
соответствующими каждому уровню энергии системы, являются
неприводимыми представлениями этой группы. Другими сло-
словами, каждой собственной функции оператора Н можно сопо-
сопоставить определенное неприводимое представление группы.
Предположим, что функции ф и ф являются собственными
функциями оператора Н, соответствующими неприводимым
представлениям Г^, и Гф. Тогда произведению функций г|зф бу-
будет соответствовать представление Г^,ф той же группы g, ко-
которое называется прямым произведением Tf и Гер, т. е. можно
написать
г^Ф = гфхгф, (д, ю).
где X — знак прямого произведения.
Поскольку представления группы изображаются матрицами
(например, Гф = (Ггй(ф))), то прямое произведение представ-
представлений (Г, 10) будет выражаться через прямое произведение со-
соответствующих матриц (см. В, разд. VI). Из определения пря-
прямого произведения матриц непосредственно следует, что харак-
характер представления прямого произведения равен простому про-
произведению характеров соответствующих представлений. Так,
например,
Х*> = 2 Г„ № Гкк (Ф) = х*Хф. СД, 11)
(, к
Представление прямого произведения двух неприводимых пред-
представлений в общем случае является приводимым представле-
представлением. Для разложения этого представления по неприводимым
представлениям достаточно разложить характер этого пред-
представления по характерам неприводимых представлений. Для
этого надо воспользоваться формулой (Д, 8).
VI. Определение условий, при которых интегралы от произ-
произведения двух функций равны нулю. Теория групп позволяет
без вычисления интеграла
¦ффб?!
(Д,
определить условия, при которых этот интеграл равен нулю.
Эта возможность следует из того факта, что интеграл отли-
отличается от нуля только в том случае, когда подынтегральное
выражение инвариантно по отношению ко всем операциям сим-
симметрии группы или выражается в виде суммы членов, из кото-
которых хотя бы один был инвариантен. Подынтегральное выра-
выражение будет обладать указанными свойствами, если прямое
произведение представлений Г$ и Г,,, к которым относятся
694 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
функции \J) и ф, содержит полностью симметричное представле-
представление. Для большинства представляющих физический интерес
случаев характеры представлений' действительны. В этих слу-
случаях необходимым и достаточным условием того, что прямое
произведение Гф X Гф содержит полностью симметричное пред-
представление А, является равенство соответствующих представле-
представлений, а следовательно и их характеров, Таким образом,
J" ФФ dt # 0,' если Гф=Гф. (Д, 13)
Из (Д, 13) следует, что
T^O, если ГфГф=Г,. (Д,Н)
Учитывая, что оператор Гамильтона Я принадлежит к пол-
полностью симметричному представлению, можно сказать, что
матричные элементы (\|э|#|ф) отличны от нуля только в том
случае, если функции г|) и ф принадлежат к одному и тому же
представлению, т, е. когда Гф = Гф.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. А. Б ибер мал, И. Сушкин, В. Фабрикант, ДАН СССР 26,
185 A949).
2. L. Susskin d, J. Glogo we r, Physics 1, 49 A964).
3. D. J u d g e, J. Т. L e w i s, Phys. Letters 5, 190 A936),
4. D. Ju d ge, Nuovo Cimento 31, 332 A964).
5. P. Carruthers, M. M. N i e t o, Rev. Mod. Phys. 40, 411 A968).
6. Л. Д. Л а н д а у, Z. Phys. 45, 430 A927).
7. J. v о n Neumann; Gottingen Nachr, 247 A927).
8. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика, Физматгиз, 1965.
9. А. А. Соколов, Р. М. М у р а д я н, В. М. А р у т ю н я н, Вестник МГУ
4, 61 A959); 6,64 A959).
10. Н. Ф р ё м а н и П. Ф р ё м а н, ВКБ-приближение, «Мир», 1967.
11. П. А. М. Дирак, Принципы квантовой механики, Физматгиз, 1960.
12. Н. Batemann, Higher Transcendental Functions, II, 22, N. Y., McGraw-
Hill, 1953.
13. P. A. M. D i r a c, Proc. Soc. A114, 243 A927).
14. L. S u s s k i n d, J. G 1 о g о w e r, Physics 1, 49 A964).
15. P. Carruthers, M. M. N i e t o, Rev. Mod. Phys. 40, 411 <Ш68).
16. В. М. Ф а й н, ЖЭТФ 52, 1544 A969).
17. Е. S с h г о d i n g e r, Z. Phys. 14, 664 A926).
18. N. В 1 о e m b e r g e n, Phys. Rev. 104, 324 A956).
19. H. Weyl, Z. Phys. 46, 1 A928).
20. R. J. Glauber, Phys. Rev. Letters 10, 84 A963).
21. E. С S u d a r s h a n, Phys. Rev. Letters 10, 227 A963).
22. С L. Mehta, E. С Sudarshan, Phys. Rev. 138, B274 A965).
23. F. W. Cummin gs, J. R. Jons ton, Phys. Rev. 151, 105 A965).
24. P. Carruthers, K. S. Dy, Phys. Rev. 147, 214 A966).
25. Дж. Клаудер, Э. Сударшан, Основы квантовой оптики, «Мир»,
1970.
26. А. И. Б а з ь, Я. Б. Зельдович, А. М. Переломов, Рассеяние, реак-
реакции и распады в нерелятивистской механике, «Наука», 1971.
27. Е. Кон дон, Г. Шорт л и, Теория атомных спектров, ИЛ, 1961.
28. Е. Вигнер, Теория групп, ИЛ, 1961.
29. Г. Любарский, Теория групп и ее применения в физике, Гостехиздат,
1957.
30. D. M. Brink, G. R. S a t с h I e r, Angular Moments, Oxford Univ. Press,
1962.
31. L. С Bidenharn, J. M. В 1 a 11, M. E. Rose, Rev. Mod. Phys. 24, 249
A952).
32. A. R. Edmon s, Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton
Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1957.
33. О. К 1 e i n, Z. Phys. 37, 895 A926).
34. В. Фок, Z. Phys. 38, 242 A926); 39, 226 A926).
35. W. Gordon, Z. Phys. 40, 117 A926).
696 ' ЛИТЕРАТУРА
36. Н. Feshbach, F. V i 11 а г s, Rev. Mod. Phys. 30, 24 A958).
37. Г. Н. В а т с о н, Теория бесселевых функций, ИЛ, 1959.
38. Т. D. Newton, Е. P. W i g п е г, Rev. Mod. Phys. 21, 400 A949).
39. Д. Д. Иваненко, Г. Е. П у с т о в а л о в, УФН 61, 27 A957).
40. В. Паули, Общие принципы волновой механики, Гостехиздат, 1947.
41. С. G. Darwin, Proc. Roy. Soc. U8A, 634 A928).
42. А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий, Квантовая электродинамика,
Физматгиз, 1959.
43. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ш и р к о в, Введение в теорию квантовых
полей, Гостехиздат, 1957.
44. A. S а 1 a m, Nuovo Cimento 5, 299 A957).
45. Л. Д. Л а и д а у, ЖЭТФ 32, 407 A957).
46. Т. D. Lee, С. N. Yang, Phys. Rev. 105, 1671 A957).
47. Е. М a j о г a n a, Nuovo Cimento 14, 171 A937)
48. W. Furry, Phys. Rev. 54, 56 A938).
49. M. Goldhaber, L. Grodzins, A. W. S u n у a r, Phys. Rev. 109, 1015
A958).
50. W. E. Lamb, R. С R e t h e r f о г d, Phys. Rev. 72, 241 A947); 81, 222
A951); 86, 1014 A952).
51. E. E. Солпитер, УФН 51, 115 A953).
52. D. R. Y e n n e, D. G. Ravenhall, R. H. Wilson, Phys. Rev. 95, 500
A954).
53. Г. Бете, Е. Солпитер, Квантовая механика атомов с одним и двумя
электронами, Физматгиз, 1960.
54. Л. Д. Ландау. Е. М. Л и ф ш и ц, Теория поля, «Наука», 1967.
55. Е. A. Hylleraas, Z. Phys. 54, 347 A929); 65, 209 A930); 60, 624
A930).
56. D. R. Ha rt ree, Proc. Cambr. Phil. Soc. 24, 111 A928).
57. В. Фок, Z. Phys. 61, 126 A930); 62, 795 A930).
58. П. Гомбаш, Проблема многих частиц в квантовой механике, ИЛ, 1952.
59. В. Фок, М. Петрашень, Phys. Zs. d. Sowjetunion 6, 368 A934).
60. L. H. T h о m a s, Proc. Cambr. Phil. Soc. 23, 543 A926).
61. E. R. Fermi, Ace. Lencei 6, 602 A927).
62. П. Гомбаш, Статистическая теория атома и ее применения, ИЛ, 1951.
63. N. Н. March, Adv. in Phys. 6, 21 A957).
64. V. Bush, S. H. С a Id well, Phys. Rev. 38, 1898 A931).
65. A. Sommerfeld, Z. Phys. 78, 285 A932).
66. D. Hart ree, W. Hartree, Proc. Roy. Soc. A149, 210 A935).
67. E. Fermi, E. Am aid i, Mem. Ace. Italia, 6117 A934).
68. P. A. M. D i r a c, Proc. Cambr. Phil. Soc. 26, 376 A930).
69. H. Jensen, Z. Phys. 101, 141 A9361.
70. H. J. Bruiner, S. В о г о w i t z, Phys. Rev. 120, 2053 (I960).
71. E. H u n d, Z. Phys. 33, 345 A925).
72. Сборник «Строение атомного ядра». Перев. под ред. А. Давыдова, ИЛ,
1959.
73. А. С. Д а в ы д о в, Теория атомного ядра, Физматгиз, 1958.
74. Л. Ландау, Е. Лифши и, Теория поля, «Наука», 1967.
75. Л. Д. Ландау, ЖЭТФ И, 592 A941); 14, 112 A944); Е. М. Л и ф-
шиц, УФН 34, 512 A948).
76. Н. Н. Боголюбов, J. Phys. 9, 23 A947); Вестник МГУ, № 7, 43
A947).
77. P. Jordan, E. Wigner, Z. Phys. 47, 641 A928).
78. L. N. Cooper, Phys. Rev. 104, 1189 A956).
79. J. Bardeen, J. N. Cooper, J.R Schrieffer, Phys. Rev. 106, 162
A957); 108, 1175 A957).
80. H. H. Боголюбов, ЖЭТФ 34, 58 A958); Nuovo Cimento 7, 794 A958).
81. H. Frolich, Proc. Roy. Soc. A215, 291 A952).
ЛИТЕРАТУРА 697
82. Н. Frolich, Phys. Rev. 79, 854 A950).
83. H. H. Боголюбов, В. В. Толмачев, Д. В. Ш и р к о в, Новый метод
в теории сверхпроводимости, Изд-во АН СССР, 1958.
84. F. J. D у s о n, Phys. Rev. 75, 486 A949).
85. Т. Kino shit a, Progr. Theor. Phys. 5, 473 A950).
86. В. А. Ф о к, С. Н. К р ы л о в, ЖЭТФ 17, 93 A947).
87. Р. К у б о, Термодинамика необратимых процессов, ИЛ, 1962.
88. Д. Н. 3 у б а р е в, УФН 71, 71 A960).
89. Д. Н. Зубарев, Статистическая неравновесная термодинамика, «На-
«Наука», 1971.
90. Н. Н. Боголюбов, С. В. Т я б л и ко в, ДАН СССР 126, 53 A959).
91. М. Stobbe. Proc. Roy. Soc. A138, 643 A932).
92. S. M. Dancoff, P. Morrison, Phys. Rev, 55, 122 A939).
93. H. H u 1 m e, Proc. Roy. Soc. A138, 643 A932). ¦ ¦ -
94. В. Б. Берестеики ft, ЖЭТФ 17, 12 A957).
96. А. С. Д а в ы д о в, ЖЭТФ 10, 862 A940).
96. N. Tr al li, G. Goertzel, Phys. Rev. 83, 399 A951).
97. R. P. Feynman. Phys. Rev. 76, 749, 769 A949). ;
98. H. L. Lehmann, Nuovo *_imenio ii, ГА2 ( — "'./•
99. Л. Д. Л а н л a y, Z.Phys. 45, 430 A927); Собрание трудов, т. 1, «Наука».
i_»>;,% стр. 19. ''¦¦*'
100. Н. Н. Боголюбов, Проблемы динамической теории в статистической
физике, Гостехиздат, 1946.
101. J. Q. Kirk wood, J. СЬэгп. Phys. 14, 188 A946); 15, 72 A947).
102. М. Green, The Molecular Theory of Fluids, Amsterdam, 1952.
103. L. Van Hove, Physica 21, 517 A952).
104. И. Пригожий, Неравновесная статистическая механика, «Мир», 1964.
105. JO. Л. Клим он то внч, Статистическая теория неравновесных про-
процессов в плазме, Изд-во МГУ, 1964.
106. А. С. Давыдов, А. А. Сериков, Phys. Slat. Soi. 51, 57 A972).
107. Y. R. Shen, Phys. Rev. 153, 921 A967).
108 Б Я- Зельдович, А. М. Переломов, В. С. Попов, ЖЭТФ 55,
589 A968).
!<;о Н. а Си}',?, г.. Т. Л. Wei to л, Phys. Rev. 83, 34 A951).
110. W. Bernaru, ii. ii. С a 1 1 e n, Rev. Mod. Phys. 31, 1017 A954).
111. P. Wi 11 i a m s, Proc. Roy. Soc. A128, 459 A930).
112. B. Lippman, J. Scwinger, Phys. Rev. 79, 469 A950).
113. W. K. Panofsky, R. L. Adraodt, J. Halley, Phys. Rev. 81, 565
A951).
114. С. В r e i t, H. В е t h e, Phys. Rev. 93, 888 A954).
115. А. Г. С и т е н к о, Лекции по теории рассеяния, «Вища школа», Киев,
1971.
116. N. G. Van Kampen, Phys. Rev. 89, 1072 A953); 91, 1267 A953).
117. N. N. Khuri, Phys. Rev. 107, 1148 A957).
•15 и v Wear Phv« I-V-- 107,302 A957).
119. B. W. Lee, Phys. lev. 112, 2123 A958).
120. E. Fermi, Ric. Sci. 1, 13 A936).
121. R. V. We in stock, Phys. Rev. 65, 1 A944).
122. M. В о r n, J. О p p e n h e i m e r, Ann. Phys. 84, 457 A927).
123. W. H e i 11 e r, F. L о n d о n, Z. Phys. 44, 455 A927).
124. S. С W a n g, Phys. Rev. 31, 579 A928).
125. H. M. James, A. S! Coolidge, J. Chem. Phys. 1, 825 A933); 3, 129
A935).
126. Y. S u g i u r a, Z. Phys. 45, 484 A927).
127. Г. Эйринг, Д. Уолтер, Д. Кимбалл, Квантовая химия, ИЛ, 1949.
128. R. Kroning, Z. Phys. 50, 347 A928).
129. J. H. Van Vleck, Phys. Rev. 33, 467 A929); 37, 733 A929),
698 ЛИТЕРАТУРА
130. R. S. Mul liken, A. Christy, Phys. Rev. 38, 87 A931).
131. J. Franck, Trans. Farad. Soc. 21, 536 A925); E. U. Condon, Phys.
Rev. 28, 1182 A926); 32, 858 A928).
132. Г. Герцберг, Спектры и строение двухатомных молекул ИЛ, 1949.
133. Е. Hutchinsson, Phys. Rev. 36, 410 A930).
134. С. Manneback, Physica 17, 1001 A951); 20, 497 A954).
135. В. Н. Колесников, Л. В. Л ее ко в, УФН 65, 3 A958).
136. Е. Eisenschitz, F. London, Z. Phys. 60, 491 A930).
137. Л. Д. Ландау, Е. М. Л и ф ш и ц, Квантовая механика, Физматгиз,
1963.
138. N. Marchand, Distributions, North-Holland, 1962.
139. I. Halperin, L. Schwarz, Introduction to the Theory of Distribution,
Toronto, 1952.
140. Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов, Классическая теория поля, Гос-
техиздат, 1949.
141. В. В. Смирнов, Курс высшей математики, т. 3, Гостехиздат, 1950,
стр. 42.
142. Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон, Курс современного анализа, Физ-
Физматгиз, 1963.
143. Э. Т р е й, Г. М э т ь ю з, Функции Бесселя и их приложения к физике
и механике, ИЛ, 1953.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа 689
Адиабатическое взаимодействие 438
— включение взаимодействия 348
— приближение 613
— столкновение 436
Актиниды 361
Акустические колебания 385
Амплитуда когерентного рассеяния
601
— рассеяния 498, 571
— резонансного рассеяния 571
Аннигиляция 305
Аномальный эффект Зеемана 321
Антилинейный оператор 562
Антисимметричная функция 331—333
Антиунитарный оператор 563
Античастицы 246, 303
Асимметричный волчок 206
Атомная единица длины 176
энергии 176
Атомный формфактор 563
Барионный заряд 234
Бассета функция 689
Бесселя сферические функции 167
Блоховская функция 421
Бозоны 331, 391
Бора магнетон 292
Борцовское приближение '499
Боровский радиус 176
«Бра»-вектор 124
Брегга условия 605
Брейта — Вигнера формула 572
Вакуумное состояние 152, 409
Валентные электроны 631
Вариационный метод 222, 223
Вейля тождество 157
Вектор обратной решетки 604
— поляризации 578
— состояния 15
Векторная модель атома 364
Векторное пространство 675
Векторные сферические функции 378
Вероятность передачи энергии 488
— перехода 443
Вигнера З/'-символы 188
— функции 194
Виртуальный уровень 116, 117, 519,
588
Внезапное включение взаимодействия
440
Возмущения оператор 211
Волновая функция 15
Волновой пакет 18
Волчок асимметричный 205
— симметричный 205
— шаровой 205
Вращательные спектры 661
Временные корреляционные функции
465
Время жизни состояния 435, 459
Вторичное квантование 153, 159, 376,
387, 403
Входной канал 552
Вынужденное излучение 450
Вырождение случайное 113, 174, 179
Вырожденная гипергеометрическая
функция 682
Вырождения кратность 35
Вырожденные колебания 664
Выходной канал 552
Гайтлера — Лондона метод 621
Гамильтона оператор 66
Гамильтонова форма уравнения 266
Гармонический осциллятор 119
Генератор преобразования 79, 82
Гетерополярная химическая связь
629
Гильбертово пространство 124
Графики Фейнмаиа 480
Группа Ли 691
Групповая скорость 19
Гунда правила 365
700
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Двухвременная функция Грина 463
Делокализация связи 638
Дельта-функция 670
Детальное равновесие 566
Динамическая система 482
Диполыюе электрическое излучение
448
Дипольный момент перехода 448
Дирака уравнение 266
Дираковское сопряжение 276
Дисперсионные соотношения 466, 581,
591
Дифференциальное сечение рассеяния
499
Длина рассеяния 519
Длинноволновое приближение 448
Дублетные термы 364
Дырочное представление 409
Естественная ширина уровня 460
Закрытый канал рассеяния 537
Запаздывающая функция Грина 463
Зарядовая четность 246
Зарядовое сопряжение-246
Зеемана эффект 319, 321
Золотое правило Ферми 495
Инверсия 83
Индекс представления 124
— состояния 124
Инертные газы 359
Интеграл наложения 667
Инфинитезимальный оператор 692
Ионная химическая связь 629
Калибровочное преобразование 257
Каналы рассеяния 537
— реакций 552
Канонический ансамбль 63
Кант полосы 661
Квадратичный эффект Штарка 328 *
Квадрупольное излучение 454
Квазистационарное состояние 216
Квазичастицы 391, 396
Квантовое число главное 178
магнитное 37, 164
орбитальное 37, 164
Квартетные термы 364
Квинтетные термы 364
Кинетические уравнения 484
Клебша — Гордана коэффициенты lat»
Клейна — Гордона уравнение 237,
244
Ковалентная связь 631
Ковариантная запись уравнения 275
Когерентные состояния 156
Колебательные спектры 661
Колебательный момент 652
Комбинированная инверсия 308
Коммутирующие матрицы 677
Контактное взаимодействие 296
Конфигурационное пространство 21
Координатная функция 334
Координатное представление 52
Корреляционные функции 465
Коэффициенты векторного сложения
196
Крамерса—Кронига соотношения 466,
584
Крамерса теорема 565
Кратные связи 636
Кубо формула 464
Кулоновский интеграл 343 ,
Кэлена — Вельтона теорема 495
«Кэт»-вектор 124
Лагерра полиномы 684
Лазеры 450 .
Ланде множитель 321
Лантаниды 361
Лемана представление 466
Лептонный заряд 234
Линейный оператор 675
— эффект Штарка 327
Липпмана и Швингера уравнение 539
Лиувилля уравнение 90, 149, 482
Лэмбовское смещение 314
Магические числа 370
Магнетон Бора 292
Магнитное дипольное излучение 455
Максвелла уравнения 373
Матрица диагональная 680
— квадратная 677
— комплексно сопряженная 680
— плотности 15, 52, 60, 159
— рассеяния 511, 551
—, S-матрица 477, 551
— транспонированная 680
— эрмитово сопряженная 680
Медленные нейтроны 569
Мезонное поле 387
Мезонные молекулы 628
Мезонный атом 259
Метастабильное состояние 346
предметный указатель
701
Микромир 13
Миллеровские индексы 604
Моттовское рассеяние 532
Мультиплетность состояния 362, 364
Мультипольное излучение 452
Мюонное нейтрино 308
Невырожденные колебания 645
Нейтральная частица 246, 308
Нейтрино 306, 308
Неполная локализация связей 638
Непрерывные группы 692
Неприводимые представления 690
Неупругрое рассеяние 536
Нуклонные оболочки 369
Нуклоны 367
Нулевая энергия 120
Обменная энергия 344, 623
Обменный интеграл 344
Обобщенная восприимчивость 464
Оболочечная модель 367
Обращение времени 561
Одночастичная модель ядра 371
Оже эффект 474
Оператор перестановки частиц
330
— числа фононов 153, 162
Операторы рождения фотонов 375
— уничтожения фотонов 375
Оптическая теорема 513, 559
Оптические электроны 366
Ортоводород 656
Ортогелий 346
Ортосостояния 343
Остаточное взаимодействие 363,
396
Откпытая система 482
Открытый канал рассеяния 537
Отрицательная дисперсия 471
Отрицательные решения 245
Отталкивание уровней 219
Параводород 656
Парагелий 346
Парасостояния 343
Парциальные волны 509
Паули принцип 334
— уравнение 292
Пашена — Бака эффект 323
Пионы 387
Пирамидальные молекулы 649
Планка постоянная 11
Плотность вероятности 22, 68
Поверхность Ферми 421
.Позитроны 428, 429
Полиномы Лагерра 684
Полное сечение реакции 558
Положительная дисперсия 471
Полосатые спектры 661
Полудетальное равновесие 566
Поляризация вакуума 304
Поляризуемости тензора 467
Порядок группы 689
Постоянная распада состояния 586
— тонкой структуры 259, 311
Правила отбора 452, 456, 457
Правило сумм сил осцилляторов
470
— Хунда 346
Предиссоциация 668
Представление взаимодействия 148
— Гайзенберга 146
— группы 689
— импульсное 128
— чисел заполнения 150, 151
— Шредингера 145
— энергетическое 126
Преобразование Каммера 683
— каноническое 141
— фазы 143
Приближение искаженных волн 578
— необратимости 484
Принцип дополнительности 58
— неразличимости одинаковых ча-
частиц 331
— причинности 66
Продольные колебания 385
Процессы релаксации 483
Прямое произведение матриц 682
— — представлений 692
Псевдопотенциал ядерный 607
Псевдоскалярная функция 240
Работа выхода 100
Радиационное время жизни 459
Размерность представления 690
Разрыв связи 660
Рака коэффициенты 191
Рамзауера эффект 517
Расселя — Саундерса приближение
365
Редже полюсы 595
— траектории 595
Редукция волнового пакета 69
Резерфорда формула 528, 508
Резонансная энергия 116, 570
Рентгеновские термы 366
Ритца метод 223
702
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Самосогласованное поле 349
Самосопряженные операторы 28
Сверхтекучесть 397
Сверхтонкое расщедление 314
Секулярное уравнение 221
Сечение рассеяния 499
Сила осциллятора 466, 468
Симметричная волновая функция 330,
332
Симметричный волчок 204
Синглетпые термы 322, 369
— уровни 346
След матрицы 678
Собственные значения 34
— функции 34
Соотношение неопределенности 55
— треугольника 187
Состояния смешанные 52
— чистые 52
Спаренные электроны 630
Спаривание нуклонов 370
Спектр оператора 34
Спектральное представление 466
Спектральный терм 364
Спин 240, 241, 271, 287
¦— фотона 378
— ядра 371
Спиновая матрица 265
¦— некогерентность 600
— функция 268, 334
Спиновый момент 287
Спин-орбитальное взаимодействие
296 ¦
Спиральность 307
Спонтанное излучение 449
Статистический метод 353
— оператор 63, 482
Стационарные состояния 70
Степень поляризации 578
Столкновения с перераспределением
частиц 545
Структурный фактор 604
Суперпозиция состояний 17, 332
Сферические компоненты вектора
379
— функции Неймана 167
Сферический волчок 651
Схема-связи 365, 368
Тензор поляризуемости 467
Теорема взаимности 566
Тепловые нейтроны 599
Тетраэдральная орбита 634
Томаса — Рейхе — Куна теорема
469
Томаса — Ферми метод 353
Томаса — Ферми уравнение 355
Тонкая структура 261, 313
Транспонированные матрицы 680
Треугольника соотношение 187
Триплетные термы 364
— уровни 346
Удвоение термов 650
Уиттекера функция 686
Унитарно -подобные матрицы 679
Унитарные представления 689
Унитарный оператор 142
Упругое рассеяние 496
Уравнение Бесселя 650
Условие сверхтекучести 401
Фазовые смещения 511
Фейнмана диаграммы 480
Ферми золотое правило 445
Фермиоиы 331
Ферми-операторы 404
Ферми-энергия 408
Флуктуационно-диссипативная теоре-
теорема 493
Фока — Крылова теорема 461
Фононы 383
Формфактор 503, 543
Фотоны 372, 376
— магнитного излучения 456
— электрического излучения 456
Фотоэффект 472
Франка — Кондона принцип 660
Функция Грииа 463, 503, 498
Функции Иоста 594
Фурье-образ функция Грина 464
Ханкеля функция 687
Характеры представлений 691
Хартри — Фока метод 347
Химическая валентность 531
Химический потенциал 411
Ширина резонанса 507
— уровня 460
Шпур матрицы 678
Шредингера уравнение 15
Штарка эффект 324, 327
Эйлера углы 193
Эйри функция 97, 137
Эквивалентные представления 690
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
703
Электронная конфигурация 342
— оболочка 358
Электронное нейтрино 308
Электронно-позитронное поле 426
Электронные спектры 661
Элемент матрицы 677
Элементарные возбуждения 401
Элементы редких земель 361.
Энергетическая поверхность 479
— щель 419
Энергия Ферми 408, 413
Эрмита полиномы 120
Эрмитовые операторы 28
Эффект спаривания 419
Эффективный заряд 341
Юнга схемы 435
Ядерный псевдопотенциал 607
Александр Сергеевич Давыдов
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
М., 1973 г., 704 стр. с илл.
Редактор Л. А. Русаков
Техн. редактор К. Ф. Брудно
Корректор А. Л. Ипатова
Сдано в набор 9/IV 1973 г. Подписано к печати
16/VIII 1973 г. Бумага 60X90'/i6- Тип. № 2. Физ.
печ. л. 44. Условн. печ. л. 44. Уч.-изд. л. 45,33.
Тираж 34 000 экз. Т-П 199. Цена книги 1 р. 73 к.
Заказ № 608.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, B-7J, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография JV° 2 имени Евгении
Соколовой Союзполиграфпрома при Государственно»
комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29